/
Author: Атанасян Л.С.
Tags: математика геометрия естественные науки учебное пособие издательство просвещение
Year: 1973
Text
Л.С.АТАНАСЯН
ГЕОМЕТРИЯ
Л. С. АТАНАСЯН
ГЕОМЕТРИЯ
Часть I
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических факультетов
педагогических институтов.
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1973
513
А92
Атанасян Л. С.
А92 Геометрия, ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-
мат. фак-тов пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1973
480 стр. с ил.
2-2-3
23-72
513
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы традиционный способ изложения геометрии в
средней школе подвергается серьезым изменениям, направленным в
сторону его модернизации. Министерством просвещения СССР принята
новая программа по математике для средней школы, геометрическая
часть которой существенно изменена. Это обстоятельство предъявляет
повышенные требования к подготовке преподавателей математики в
педагогических институтах. В связи с этим утверждены новые
учебные планы и программы для студентов физико-математических
факультетов педагогических институтов, обеспечивающие подготовку
будущих преподавателей в соответствии с новыми требованиями.
Особенность нового учебного плана заключается в том, что
геометрические дисциплины, так же как и другие циклы математических
дисциплин, объединены в единый курс геометрии, включающий и
разделы элементарной геометрии.
Предлагаемое учебное пособие «Геометрия, часть I» содержит
материал первого и второго семестров единого курса геометрии,
читаемого на физико-математических факультетах педагогических
институтов. Здесь дано изложение элементов векторной алгебры, геометрии
на плоскости, теории прямой, теории плоскостей и квадрик в
евклидовых и аффинных пространствах. Оно написано в полном
соответствии с новой программой. В настоящей книге не излагаются вопросы,
которые, будучи классическими, в современной математике не играют
серьезной роли, например инварианты кривых и поверхностей
второго порядка, детальное изучение общей теории кривых и
поверхностей второго порядка и т. д. Вместо этого в курс включены вопросы,
имеющие принципиальное значение для математического образования
в настоящее время. К таким вопросам относится изучение теории
преобразований, более серьезное изучение векторной алгебры, основ
многомерной геометрии и т. д.
В связи с этим настоящий учебник существенно отличается от
других учебников аналитической геометрии как по характеру
изложения, так и по выбору материала.
При написании настоящего учебника автор руководствовался
следующими основными принципами:
1. В основу изложения курса положена аксиоматика Вейля.
Явно об этом говорится только в последней главе при изложении основ
многомерной геометрии. Так как учащиеся не знакомы с этой
аксиоматикой, то в первой главе книги сформулированы теоремы векторной
з
алгебры, которые доказаны на основе «школьной» аксиоматики.
Однако основные определения и теоремы (теоремы [1.2]1, [2.2], [3.4])
даны так, что если эти теоремы не доказывать, а объявить аксиомами,
то по существу можно получить аксиоматическое изложение геометрии
точечно-векторного пространства. Стремление автора меньше
пользоваться понятиями, которые основаны на интуитивных
соображениях, сказалось также в том, что дано новое, не встречавшееся ранее
в учебной литературе изложение тем: скалярное произведение,
тройное произведение, ориентация в пространстве и другие.
2. Так как вопросы элементарной геометрии включены в
объединенный курс геометрии, то в книге обращено большое внимание на
применение методов аналитической геометрии к решению задач
элементарной геометрии. В ряде случаев этому вопросу посвящены
отдельные параграфы. Нам кажется, что это является весьма
существенным в учебнике, предназначенном студентам педагогических
институтов.
3. В книге уделено большое внимание изложению векторной
алгебры двумерных и трехмерных пространств. При изложении основ
многомерной геометрии мы считаем, что из курса алгебры
учащемуся известны основы теории линейных векторных пространств, поэтому
в книге даем только беглый обзор основных вопросов, которые
используем при построении многомерной геометрии. Однако тема
«Квадратичные формы», которая перенесена из курса алгебры в курс
геометрии, излагается достаточно подробно. Эта тема находит
естественное приложение при изучении квадрик.
При изучении этого курса мы рекомендуем учащемуся
пользоваться новым изданием задачника2 [25], который составлен автором в
соавторстве с В. А. Атанасян. Это издание задачника полностью
соответствует предлагаемому учебнику.
В заключение отметим, что при написании этой книги перед
автором стояла сложная и ответственная задача — дать цельное и единое
изложение обширного программного материала в доступной для
студентов первого курса форме. Задача осложнялась тем, что многие
вопросы, как было отмечено выше, являются новыми, и поэтому еще
не накоплен достаточный методический опыт их изложения. В ряде
случаев автор предлагает свое толкование отдельных вопросов
программы. Насколько это ему удалось—лучше судить читателю.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность профессорам 3. А. Скопецу, В. И. Близникасу, доцентам
В. П. Иваницкой и К. И. Дуничеву, которые внимательно прочитали
рукопись и дали ряд ценных указаний, направленных на улучшение
содержания и структуры книги.
Автор
1 Запись [1.2] означает, что рассматриваемая теорема является второй
теоремой первого параграфа. В книге все теоремы пронумерованы аналогичным
образом.
2 Здесь и в дальнейшем цифры в прямых скобках относятся к списку
литературы, помещенному в конце книги.
4
Раздел ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
первый ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Понятие вектора; сложение и вычитание векторов
1. Понятие вектора. Многие геометрические и физические
величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика.
Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса,
работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную
величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном,
принятым за единицу измерения. Такие величины в математике
называются скалярными величинами или просто скалярами.
Однако иногда встречаются величины более сложной природы,
которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым
значением. К подобным величинам относятся сила, скорость,
ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных величин, кроме
числового значения, необходимо указать их направление. Такие
величины в математике называются векторными величинами или
векторами.
Для графического изображения векторов пользуются
направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно,
отрезком называется совокупность двух различных точек А и В
вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В
называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они
берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для
графического изображения векторной величины, то порядок, в котором
указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ
и В А задают один и тот же отрезок, но различные векторные величины.
В геометрии вектором называется направленный отрезок,
т. е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек
считается первой, какая — второй. Первая точка направленного отрезка
называется началом вектора, а вторая точка — концом.
Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой,
обращенной острием к концу вектора.
В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами
латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке \,а (стр. 6)
изображены векторы АВ, CD, EF, GH, причем А, С, Е, G —
соответственно начала, а В, D, F, Н — концы данных векторов. В некоторых
5
в
D
-H*-
H
«)
5)
Рис. L
К
Рис. 2.
« случаях вектор обозначается также
_. одной строчной буквой, набранной
полужирным курсивом, например,
а, &, с ... (рис. 1,б)\
2. Нуль-вектор. При определе-
! нии вектора мы предполагали, что-
5 начало вектора не совпадает с его
концом. Однако в целях общности
будем рассматривать и такие
«векторы», у которых начало совпадает
с концом. Они называются
нулевыми векторами или нуль-векторами
и обозначаются символом 0. На
чертеже нуль-вектор изображается
1С одной точкой. Если эта точка
обозначена, например, буквой /(, то
нуль-вектор может быть обозначен
также через КК-
3. Коллинеарные векторы. Два
вектора А В и CD называются
коллинеарны ми, если они
лежат на одной и той же прямой
или на параллельных прямых.
Нуль-вектор считается колли-
неарным любому вектору.
На рисунке 1,а векторы АВ, CD, EF, GH
попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы
ЕС и DA коллинеарны, а А В и ВС не
коллинеарны.
Если ненулевые векторы А В и CD
коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или
противоположные направления. В первом
случае их называют сонаправленными, во втором
случае — противоположно направленными2.
На рисунке \,а векторы АВ и EF сонаправ-
лены, а АВ и CD или АВ и GH
противоположно направлены. В дальнейшем мы будем
пользоваться следующими обозначениями: за-
1 В § 1 и 2 этой главы мы предполагаем, что векторы заданы в трехмерном
пространстве.
2 Четкое логическое обоснование этих понятий опирается на аксиоматическое
построение элементарной геометрии, что выходит за рамки настоящего курса (см.
ч асть II настоящего учебного пособия, раздел «Основания геометрии»).
6
пись АВ || CD (или CD \\ АВ) будет означать, что векторы АВ и CD
коллинеарны; запись АВ \\ CD (или АВ \\ CD) будет означать, что
векторы АВ и CD сонаправлены, а запись АВ \\ CD — что они
имеют противоположные направления. Например, для векторов,
изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: АВ U EF, АВ U
V.CD, GH Ц~сЬ, EF || GH, EF u GH.
4. Модуль вектора. Длиной или модулем ненулевого вектора
называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной
нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора АВ
обозначается символом \АВ\, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина
вектора а обозначается так: | а\. Очевидно, длина вектора а равна
нулю тогда и только тогда, когда а — нулевой вектор.
Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.
5. Равенство векторов. В элементарной геометрии два отрезка
считаются конгруэнтными, если их длины равны. Однако это
определение нецелесообразно распространять на направленные отрезки,
так как в этом случае естественно учитывать и направления отрезков.
Например, если скорость поступательного движения твердого тела
в механике изображается вектором, то, очевидно, равными скоростями
следует считать те скорости, у которых совпадают как величины,
так и направления изображающих их векторов. Введем следующее
определение.
Два вектора а и b называются равными, если выполнены
следующие условия: а) модули векторов а иЬ равны; б) если векторы а иЬ
ненулевые, то они сонаправлены.
Из этого определения следует, что два нулевых вектора всегда
равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они
не равны.
Рассмотрим пример. На рисунке 2 изображен квадрат A BCD.
Вектор АВ равен вектору DC, так как выполнены все условия
равенства. Вектор ВС не равен вектору DA: для этих векторов выполнено
*—>- - >
условие а), но не выполнено условие б). Для векторов BE и AD (E —
середина стороны ВС) выполнено условие б), но не выполнено
условие а), поэтому BE не равен вектору AD.
Равенство векторов а\\Ь обозначается так: а = Ь.
Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые
аналогичны свойствам равенства чисел.
Теорема [1.1]. Равенство векторов удовлетворяет следующим
условиям:
а) каждый вектор равен самому себе (условие
рефлексивно с т и);
б) если вектор а равен вектору Ь, то вектор Ь равен вектору а
(условие симметричности);
7
в) если вектор а равен вектору D, а Ь равен вектору с% то а решен с
(условие транзитивност и).
Доказательство теоремы предоставляем читателю.
Эта теорема показывает, что понятие равенства векторов по
существу совпадает с понятием эквивалентности. По этой причине в
дальнейшем равные векторы в ряде случаев будем обозначать одной и
той же строчной буквой латинского алфавита. Более четкое
обоснование этого соглашения дано ниже, в § 2, п. 6.
6. Перенос вектора в данную точку. Пусть дан некоторый вектор
a — EF и произвольная точка Л пространства. Построим вектор а\
равный вектору а, так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для
этого достаточно провести через точку А прямую /, параллельную
прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок ЛВ, равный
отрезку EF. При этом точку В на прямой / следует выбрать так, чтобы
векторы EF и АВ были сонаправлены. Очевидно, А В есть искомый
вектор а'. Легко видеть, что, каков бы ни был данный вектор aw какова
бы ни была точка А, существует один и только один вектор а', равный
вектору а, с началом в точке А. Мы будем говорить, что вектор а'
получен путем переноса вектора а в точку А или путем
отложения вектора а от точки Л. В соответствии
с принятым соглашением вектор а' в дальнейшем будем обозначать а.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих предложений.
а) Если несколько равных векторов отложить от одной и той же
точки, то их концы совпадут.
б) Если несколько коллинеарных векторов перенести в одну и
ту же точку Л, то их концы будут лежать на одной прямой,
проходящей через точку А и параллельной данным векторам1.
в) Если два неколлинеарных вектора перенести в точку Л, то их
концы вместе с точкой Л не будут лежать на одной прямой.
7. Сумма двух векторов. Теперь введем операцию сложения двух
векторов, играющую важную роль в векторной алгебре.
Суммой двух произвольных векторов а и Ь называется третий
вектор р, который получается следующим образом: от произвольной
точки О откладывается вектор а, от его конца А откладывается век-
тор Ь. Получившийся в результате этого построения вектор О В есть
вектор р (рис. 3).
Векторы а и Ь называются слагаемыми. Отметим, что указанный
нами способ позволяет построить сумму любых двух векторов.
Сумму двух векторов а и о будем записывать так: а-\-Ь=р.
Правило для получения суммы, описанное выше, называется правилом
треугольника. Это название объясняется тем, что при построении
суммы двух неколлинеарных векторов приходится строить
треугольник (см. рис. 3).
1 Это свойство объясняет термин «коллинеарность», что означает «солинейность»,
т. е. принадлежность одной и той же прямой.
8
Рис. 3.
На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных
векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных,
в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но
противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов
равна нуль-вектору).
а
р=0В
р = ОВ
А
°)
в
BOA
К I *н-
е)
р=ОВ
р=ОВ=0
О
-н—
В
р , а
4
О А
г)
Рис. 4.
Легко видеть, что сумма двух
векторов не зависит от выбора
исходной точки О. В самом деле,
если за исходную точку
построения взять точку О', то, как
видно из рисунка 3, построение по
указанному выше правилу дает
вектор р', равный вектору р.
Очевидно также, что если а= а'
и Ь = &', то а + Ь =а' + &'.
Из правила треугольника
для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное
для решения задач правило: каковы бы ни были три точки Л, В и
С, имеет место соотношение:
ос=р
Рис. 5.
АВ + ВС = АС.
При. этом не исключаются из рассмотрения случаи, когда две из
данных точек или даже все три совпадают.
Если слагаемые векторы не коллинеарны, то для получения их
суммы можно пользоваться другим способом — правилом
параллелограмма, которое хорошо известно из курса физики средней
школы. На рисунке 5 дано построение суммы векторов а и & по
этому правилу.
8. Основные свойства сложения векторов.
Теорема [1.2]. Понятие суммы векторов удовлетворяет
следующим условиям:
а) для любых трех векторов а, Ь и с имеет место соотношение',
(а + Ь) + с = а + (& + с) (ассоциативный закон);
б) для любых двух векторов а и Ь имеет место соотношение:
а+ Ь = Ь + а, т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка
слагаемых (коммутативный закон);
в) для любого вектора а имеем: а + 0 = а\
г) для каждого вектора а существует противоположный вектор а',
т. е. вектор, удовлетворяющий условию:
"А
Рис. 6.
а + а' = 0.
Все векторы, противоположные
данному, равны между собой.
До к аз ательство.
а) Пусть О — начало, а Л —
конец вектора а. Перенесем
вектор Ь в точку Л и от его конца
В отложим вектор с, конец
которого обозначим через С (рис.
6). Из нашего построения
следует, что
\0
OA^a. AB = b, BC = c. (1) В
Из правила треугольника име- q / А хх
ем: ОС=ОВ + ВС и OS = ОА + ' ^ А *Г ^С
+ ЛВ, поэтому б?=(бТ+ ЛвГ+ ^ ЧХ/^ - L
—*¦ п АС-и
+ ВС. Подставив сюда значения и
слагаемых из (1), получаем: ОС = Рис. 7.
= (а + Ь)+с. ^ ^ ^ ^ ^ ^
С другой стороны, ОС = ОА + АС и АС = АВ + ВС, поэтому
ОС = О А + (АВ + ВС). Подставив сюда значения слагаемых из (1),
получаем: ОС = а + (Ь + с).
Мы пришли к выводу, что векторы а + (Ь + с) и (а + Ь) + с
равны одному и тому же вектору ОС, поэтому они равны между собой.
б) Если слагаемые векторы не коллинеарны, то это свойство
непосредственно следует из правила параллелограмма сложения
двух векторов. Если векторы а и & коллинеарны, то правило
неприменимо, поэтому для данного случая мы предлагаем следующее, на
первый взгляд формальное, но достаточно строгое доказательство.
Если хотя бы один из векторов а и & нулевой, то свойство, очевидно,
справедливо, поэтому пусть а и Ь — коллинеарные ненулевые векторы.
Построим параллелограмм ABCD так, чтобы АС =Ь (рис. 7). Пусть
АВ = с, AD = d. Теперь, применяя доказанное уже свойство а), а
также свойство б) для неколлинеарных векторов, получаем:
a + b = a +(c + d) = {a + c)-\-d = (c + a) +d = c + (a +d) =
= с + (d + а) = {с -Ь d) + а = Ь + а; итак, а + Ь = Ь + а.
Предлагаем читателю внимательно разобраться, откуда следует
каждое из записанных равенств.
в) Это свойство непосредственно следует из правила треугольника
сложения векторов.
г) Пусть а = ОА — данный вектор. Из правила треугольника
следует, что О А + АО = 00 = 0. Отсюда вытекает, что АО есть
вектор, противоположный вектору а. Все векторы, противоположные
вектору а= ОА, равны вектору АО, так как если каждый из них
перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в
силу того, что а + а' = 0. Теорема доказана полностью.
Вектор, противоположный вектору а, обозначается через1 — а.
1 Ниже (в п. 5 § 2) будет показано, что вектор — а нельзя считать
«отрицательным» вектором, понимая этот термин в том смысле, в котором мы его
употребляем для действительных чисел. Вообще понятия положительных и отрицательных
чисел не распространяются на векторы. Символ — а просто означает, что — а есть
вектор, противоположный вектору а.
11
Из предыдущего доказательства
следует, что если аф 0, то \—а\ =\а\ и
— а \\ а. Легко видеть также, что для
любого вектора а имеем: —(—а)= а.
XI . . 9. Сложение нескольких векторов,
' / /h Суммой трех векторов а, & и с мы бу-
/ / дем считать вектор р = (а + Ь) + с. На
основании ассоциативного закона (тео-
рема [1.2 ]) сложения векторов
_^ а р = а + (Ь+с), поэтому при записи
ОС -Q + b-f-C суммы трех векторов мы можем опустить
скобки и записать ее в виде а + Ь + с,
Рис. 8. не указывая при этом, считаем ли мы
а + b + с = (а+Ь)+с или а +Ь + с=
— а + (Ь + с). Больше того, из теоремы [1.2] следует, что сумма
трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле,
докажем, например, что а + b + с = b + с + а:
а
+ b + c = a + (b + c) = (b + c) + a = b + c + a.
Здесь мы применили коммутативный закон для слагаемых а и (Ь+с).
Пользуясь доказательством теоремы [1.2], можно указать
следующий способ построения суммы трех векторов a, b и с. Пусть О —
начало вектора а. Перенесем вектор b в конечную точку вектора а, а
вектор с— в конечную точку вектора Ь. Если С — конечная точка
вектора с, то а + b + с = ОС (рис. 8).
Точно так же можно определить сумму четырех и более векторов.
Например, суммой четырех векторов а, &, с и d называется вектор р =
= (а + & + с) + d. По аналогии с предыдущим можно доказать,
что сумма четырех и более векторов также не зависит от порядка
слагаемых. Обобщая правило, данное для построения суммы трех
векторов, можно указать следующее общее правило сложения
нескольких векторов. Чтобы построить сумму векторов а 1У а2, ..., ап,
достаточно вектор а2 перенести в конечную точку вектора aiy затем
вектор а3 перенести в конечную точку вектора а2 и т. д. Суммой дан-
них векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом
вектора аи а конец — с концом ап.
Сумма векторов аг, а2, ..., ап обозначается: аг + а2+ ... + ап*
На рисунке 9 дано построение суммы векторов аи а2, аъ, ak, а5:
ОА5 = а1 + а2 + а3 + ак + а5.
Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов
называется правилом многоугольника.
10. Вычитание векторов. Вычитание вводится как операция,
обратная сложению. Разностью векторов а и b называется такой
вектор q, что q + b = a.
Разность векторов а и & обозначается так: а — &.
12
Таким образом, выражение
q = а—Ь означает, что q + Ь = а.
Вектор а называется
уменьшаемым, а вектор b — вычитаемым.
Для обоснования понятия
разности еекторов существенно
доказать следующее предложение.
Теорема [1.31. Каковы
бы ни были векторы а и &,
всегда существует и единственным
образом определяется разность1
а — Ь. Рис. 9.
Доказательство.
Возьмем произвольную точку О и перенесем векторы а и Ь в эту точку.
Если О А = а и ОВ = &, то вектор В А есть искомая разность, так как
ОВ + В А = ОЛ, или Ь + В А =а. Наше построение выполнимо при
любых векторах а и &, поэтому разность а — & всегда существует.
Теперь докажем, что разность определяется единственным
образом. Пусть Ь + q = а и b + q' = а. К обеим частям этих равенств
прибавим вектор —Ь:
b + q+(—b) = a+(-b), b + q' +(-&) = а+(—&).
Пользуясь теоремой [1.2], после элементарных преобразований
получаем:
q = а + (— &); q' = а + (— &),
поэтому q = q'. Теорема доказана.
Следствия. Г. Для построения разности двух векторов
нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда
вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого,
есть искомый вектор.
2°. Для любых двух векторов а и & имеем:
а — b = а + (— &),
т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и
вектора, противоположного вычитаемому.
11. Модули сумм и разностей векторов. Следует предостеречь
читателя от распространенной ошибки. Нередко начинающий изучать
векторную алгебру считает, что при сложении векторов их модули
складываются. На самом же деле модуль суммы двух векторов,
вообще говоря, не равен сумме модулей слагаемых. Для
произвольных векторов а и b имеют место следующие соотношения:
а) \а + Ь\< \а\ + \Ь\\ б) \а - Ь\ < \а\ + I Ь\.
1 Под «единственностью» разности мы понимаем следующее: если q=a — b
uq' =a — b, то q = q'.
13
В соотношении а) знак равенства имеет место только в случае,
если а \\ Ь или если хотя бы один из векторов а и & нулевой.
В соотношении б) знак равенства имеет место только в случае,
если а \\ Ь или если хотя бы один из векторов а и & нулевой.
Предоставляем читателю самостоятельно доказать эти
предложения.
§ 2. Умножение вектора на число;
деление коллинеарных векторов
1. Умножение вектора на число. Произведением ненулевого
вектора а на действительное число афО называется вектор р, удов-
летворяющий следующим условиям:
а) | р | = | а | | а |, где | а | — модуль числа а;
б) если а > 0, то р и а сонаправлены; если а < 0, то р и а
противоположно направлены.
Произведение нулевого вектора на произвольное число или
произвольного вектора на число О равно нуль-вектору.
Произведение вектора а на число а условимся обозначать так:
аа или аа.
Легко видеть, что, каковы бы ни были а и а, их произведение есть
вполне определенный вектор.
Докажем следующее вспомогательное предложение, необходимое
для дальнейшего изложения.
Лемма [2.1 ]. Для того чтобы вектор а был коллинеарен
ненулевому вектору &, необходимо и достаточно, чтобы существовало
число а, удовлетворяющее условию
a=ab.
Доказательство. Пусть а коллинеарен ненулевому
вектору Ь. Возможны следующие три случая: 1) а\\Ь\ 2) а\\Ь\ 3) а = 0.
Покажем, что в каждом из этих случаев существует число а,
удовлетворяющее условию а =а&. В самом деле, в первом случае а =
= -^ &, т. е. а = -Ш-. Во втором случае а= -—- &, поэтому
а = —^- . В третьем случае а = 0 • &, а = 0. Необходимость
доказана. Достаточность условия непосредственно следует из
определения произведения вектора на число.
2. Основные свойства произведения вектора на число. В следующей
теореме сформулированы основные свойства произведения вектора на
число.
Теорема 12.21. Для произвольных чисел ее, р и векторов а, Ь
имеют место следующие свойства:
14
а) 1 • а = а; ( —1) а = — а, где а вектор,
противоположный а;
б) а фа) = (оф) а;
в) (ос + Р) а = оса -(- ра;
г) а (а + &) = аа + а&.
Свойство а) непосредственно следует из данного выше определения.
Если хотя бы одно из чисел ос, р равно нулю или хотя бы один из
векторов а, Ь равен нулю, то справедливость остальных свойств
очевидна, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда а Ф О, Р Ф О,
я Ф 0, b ф 0. Ниже приведены доказательства свойств б) и г).
Доказательство свойства в) предоставляем читателю.
Доказательство свойства б). Пусть а фа) = pt и
(осР) а=р2. Докажем, что Pi=p2. Для этого необходимо убедиться в
том, что векторы рги р2 имеют равные модули и сонаправлены.
Вычислим модули этих векторов:
|А|=|а||ра|=|а|(|Р||а|) = |а||Р||а|;
|р2|=|сср||а|==(|а||Р|)|а|=|а||Р||а|.
Таким образом, \рх | = \р2 |. Векторы рх и р2 по определению
коллинеарны вектору а, поэтому они коллинеарны между собой.
Остается доказать, что pt и р2 имеют одно и то же направление.
Возможны четыре случая:
1)<х>0, Р>0; 3)сс<0, р>0;
2) а > О, Р < 0; 4) а < 0, р < 0.
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) а > 0, Р > 0. В этом случае по определению имеем а 14 Р# и
Ра Ц Pi = ос (Ра), поэтому а Ц ос фа). С другой стороны, так как
осР>0, то а Ц(оср)а = р2. Таким образом, pt Ц /?2, и в силу
равенства их модулей Pi = р2.
2) а > 0, Р < 0. В этом случае а н ра, Ра и а (Ра) = pL,
поэтому а и /??. С другой стороны, так как осР<0, то а \\ (сф)а = р2.
Итак, р1\\ р2, поэтому р1 = /?2.
Случаи 3) и 4) предлагаем читателю разобрать самостоятельно и
убедиться в том, что в каждом из этих случаев •р1ир2 сонаправлены,
поэтому рг = /?2.
Доказательство свойства г). Пусть а (а+й) = рг
иаа+ оси = /72. Докажем, что рг= р2. Возможны два случая: 1)
векторы а и & не коллинеарны; 2) векторы а и & коллинеарны. Рассмотрим
каждый из этих случаев в отдельности.
1) Сначала предположим, что а > 0. Пользуясь правилом
треугольника, построим сумму а + Ь. Пусть ОА = а, АВ = &, тогда
—*¦ —*•
ОВ = а + Ь (рис. 10). Пусть далее OP = pv Так как а > 0, то точка
Р лежит на луче ОВ. Проведем в плоскости ОАВ через точку Р
прямую, параллельную АВ, и обозначим через Q точку пересечения
15
Q
этой прямой с прямой ОА. Так как
треугольники ОАВ и OQP подобны, то
OP OQ = QP
ОВ ~~ ОА ~~ АВ '
Отсюда непосредственно следует, чтс
OQ = aa и QP = а&.
а+?
5
Рис. 10.
Но
поэтому
OP = OQ + QP,
pi = aa +ab = p2.
Случай, когда а < 0, может быть рассмотрен аналогично.
2) Так как а и Ь коллинеарны, то из леммы [2.1] следует, что
существует некоторое число Я, удовлетворяющее условию: а = Kb,
поэтому
Pi = а (а + &) = а [(Ь6 + &)] = а [(X + 1) &] = [сДО. + 1)] &.
Здесь мы воспользовались свойствами б) и в). Точно так же
р2 = аа + аЬ = а (Я,6) + а& = (оА) & + а& =
= (cd + a)& = [a(k + 1)] ft.
Поэтому /?х = р2. Теорема доказана полностью.
3, Деление коллинеарных векторов. Введем еще одну операцию,
обратную произведению вектора на число. Если векторы а и &
коллинеарны и если b Ф 0, то из леммы [2.1 ] следует, что существует
число а, удовлетворяющее условию: а=а&. Покажем, что если векторы а и
Ь даны, то число а определяется единственным образом. В самом деле,
пусть а = а& и а = ab. Из этих соотношений следует, что а& —
— а'& = 0 или согласно теореме [2.2] (а —а')& = 0. Так как ЬфО,
то а —а' = 0, или а = а'. Число а, определяемое из соотношения а=
= а&, /г/ш & Ф 0 называется отношением коллинеарных
векторов а и Ъ и обозначается так:
а
а = —.
Таким образом, соотношение а = — означает, что а = ab.
ь
Замечания. Г. Если Ь
0, то соотношение — либо не
ъ
существует (если аф 0), либо неопределенно (если а= 0). Поэтому
в векторной алгебре, так же как в алгебре чисел, не вводится
операция деления вектора на нуль-вектор.
2°. Если а и & не коллинеарны, то отношение — не существует,
16
так как а = —- означает, что а = а&, а отсюда следует коллинеар-
ь
ность векторов а и Ъ. Поэтому в векторной алгебре не вводится
операция деления неколлинеарных векторов.
Пример. На прямой дана последовательность точек,
следующих одна за другой, Ait Л2, Л3, ..., Л10, причем АгА2 = А2А3 =
= Л3Л4 = ... = А9А10. Определить отношения:
Л1А2 ' А8А7\ АхА5 : А5Аг\ A3A10l A5A7\ A8Ak : Л9Л3; A6Aa : Л10Л1в
Решение. А1А2:А8А1 =—1, так как А1А2 = А8А1 = 1
и АХА2 и А8А7. Аналогично этому получаем: АгА5 : Л5Л3 = =
—>• —у 7 —** "~*" 4 2 "—*¦ """^
== —2; А3А10 : Л5Л7 = —-; A8Ak : Л9Л3 = — = —; А6А8 : А10Аг =
= —А
9'
4. Свойства деления векторов. Некоторые свойства, которыми
обладает операция деления чисел, могут быть распространены на
векторы, о чем свидетельствует следующая теорема.
Теорема [2.31. Если а, Ь и с — коллинеарные векторы, а, Р —
числа, причем с Ф О и р Ф О, то имеют место следующие
соотношения:
а)
б)
в)
г)
а , &
С ?
-(f)-
Ра __ а
Ре ~~ с
i(7) =
_ a + &
с
аа #
>
(7
»
а
1Г'
Доказательство. Пусть — = Х1У — = Х2. Тогда из
с с
определения умножения вектора на число и теоремы [2.21 следует, что
a = Xic, Ь=Х2с\ (1)
а + Ъ = {Х, + Х2)с. (2)
Пользуясь этими соотношениями, легко доказать отмеченные выше
свойства:
а) Так как с Ф О, то из соотношения (2) следует,
™~> а + & л , л тттттт а + & а , b
что —!— = \ + л2, ИЛИ —— = 1 •
с с с с
б) Умножив обе части первого из соотношений (1) на а, получим
аа = а (Хгс). Из теоремы [2.21 следует, что aa = (aXi)c, откуда
аа л (а
= аХ{ = а —
с \ с г
17
в) Умножив первое из соотношений (1) на Р, получим:
Ра = фХ^с = Л* фс). Отсюда А* = -^, т. е. — = i^L.
Р<? С Р(?
г) Из доказанного свойства б) следует, что -*— = Р —. С другой
рС 00
стороны, из свойства в) следует, что — = —, поэтому Р [ — ]= —; ум-
§с с \$с J с
ножив обе части на —, в силу 12.2] получим: — = — ( — ).
Р № § \с I
5. Некоторые свойства векторов, отличные от свойств чисел.
Введенные нами операции позволяют складывать и вычитать векторы, умножать
векторы на числа, а также делить коллинеарные векторы Таким образом, с формально
алгебраической точки зрения алгебра векторов имеет очень много общего с алгеброй
чисел. Однако нельзя думать, что эти две алгебры тождественны. Вспомним хотя бы
то, что отношение двух чисел —, если Р Ф О, всегда существует, в то время как от-
Р
ношение двух векторов а и b (если даже b ф 0) не всегда существует. Отсюда, в
частности, следует, что если числовое уравнение се ¦+- дф = 0 при (S Ф 0 всегда имеет
решение, то аналогичное векторное уравнение а -f xb = 0 при ЬФ 0 (х —неизвестное
число) далеко не всегда имеет решение
Или другой пример: известно, что множество действительных чисел
упорядочено, т. е. для любых двух неравных действительных чисел можно указать, какое из
них больше другого. Это обстоятельство позволяет, в частности, ввести
отрицательные числа, т. е. числа, меньшие нуля. В отличие ог этого для векторов понятия
«больше» и «меньше» не вводятся, так как векторы характеризуются не только длиной, но
и направлением. В частности, в векторной алгебре не существует понятия
«отрицательного» вектора. Здесь можно сравнивать лишь длины векторов, а не сами векторы.
Можно говорить, что вектор а по модулю больше вектора Ь, но нельзя говорить,
что а больше Ь.
Операция деления векторов, введенная в двух предыдущих пунктах, также
существенно отличается от аналогичной операции деления чисел. Например, в
векторной алгебре нет правила, аналогичного правилу сложения дробей:
Pi Рг Р1Р2
a b
Действительно, если векторы с и d не коллинеарны, то сумму 1 нельзя
с d
«привести к общему знаменателю». Однако интересно отметить, что если end
коллинеарны, т. е. все четыре вектора а, Ь, с и d попарно коллинеарны, то эта
операция возможна.
В дальнейшем, когда будут введены произведения векторов, мы увидим, что
отличие векторной алгебры от алгебры чисел сказывается еще в большей степени.
6. Свободный вектор. В предыдущем изложении мы построили
основы векторной алгебры, т. е. ввели понятие вектора, определили
равенство векторов, операции над ними и изучили свойства этих
операций. Таким образом, по существу векторы рассматривались как
алгебраические объекты. Для того чтобы построенная нами теория была
полностью аналогична обычной алгебре, целесообразно несколько
изменить само понятие вектора. В самом деле, в алгебре, как известно,
равными считаются такие объекты, которые просто совпадают. Но
определение равенства векторов, данное выше, не удовлетворяет этому
18
условию. Например, векторы АВ и DC, изображенные на рисунке 2,
равны, но не совпадают. Поэтому с алгебраической точки зрения
удобнее считать, что все векторы, равные одному и тому же вектору,
определяют один и тот же алгебраический объект — свободный
вектор. Таким образом, свободный вектор а есть совокупность
всех векторов пространства, равных данному геометрическому вектору
АВ. Каждый геометрический вектор этой совокупности можно назвать
представителем свободного вектора. При этом, например,
запись АВ будет означать, что рассматривается свободный вектор,
определяемый геометрическим вектором АВ, т. е. совокупность всех
векторов пространства, равных АВ. Точно так же запись а = Ь
означает, что свободные векторы а и 6 совпадают, т. е. мы имеем одно
и то же множество равных друг другу геометрических векторов.
Легко видеть, что все основные понятия, операции над векторами
и их свойства, сформулированные выше, полностью переносятся на
свободные векторы. Например, коллинеарность свободных векторов
а и Ь означает, что любой представитель вектора а коллинеарен
любому представителю вектора Ь. Аналогичные толкования имеют
термины «сонаправленные векторы» и «противоположно направленные
векторы». Так как все представители свободного вектора равны друг
Другу, то они имеют один и тот же модуль, поэтому этот модуль можно
назвать модулем свободного вектора.
Суммой двух свободных векторов а и Ь называется свободный
вектор с, который определяется так: пусть ах и &х соответственно
представители свободных векторов а и Ь\ тогда с есть свободный
вектор, определяемый геометрическим вектором at + Ьг. Так как
при at= а2, bi = &2 имеем аг + Ьх = а2 + Ь2, то введенное понятие
суммы свободных векторов не зависит от выбора представителей этих
свободных векторов. Аналогично определяются операции
вычитания и умножения на число для свободных векторов.
На первый взгляд может показаться, что мы излишне усложняем
понятие вектора. Однако, как будет видно из дальнейшего
изложения, такая точка зрения придает определенную четкость и логическую
стройность всей теории.
В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, все
рассматриваемые векторы будем считать свободными. Так как свободный
вектор практически невозможно изобразить на чертеже, то при
использовании чертежа свободный вектор будем изображать каким-либо
его представителем. Условимся также для свободных векторов
пользоваться выражениями: «перенесем вектор а в данную точку Л» или
«отложим вектор а от данной точки Л», понимая под этим следующее:
«рассмотрим геометрический вектор АВ, который является
представителем свободного вектора а» или «рассмотрим точку В, такую, что
АВ = а».
19
§ 3. Линейная зависимость; векторные подпространства
1. Линейная комбинация векторов. Пусть на плоскости даны
векторы аи я2, •••>ak- Линейной комбинацией этих
векторов называется всякий вектор вида ахаг + а2а2 + ... +akak, где
а1э а2, ..., ak— произвольные числа.
Очевидно, изданных векторов можно составить различные линейные
комбинации. Например, если даны три вектора at,a2, а3> то векторы
2aL+ За2— а3, а4 — — а2 + 1/"3"а3, ях + 0-а2 — За3, ах + а2 + а3
являются линейными комбинациями этих векторов.
Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то
такая линейная комбинация называется тривиальной, в
противном случае она называется нетривиальной. Легко видеть,
что тривиальная линейная комбинация любого числа векторов есть
нуль-вектор. В частности, сумма двух векторов аг + а2, разность
ai — а2 = #1 + ( — 1) #2» произведение вектора на число (аа) суть
линейные комбинации данных векторов.
2. Линейная зависимость векторов. В векторной алгебре всякое
множество векторов, конечное или бесконечное, принято называть
системой векторов. Система векторов
a„ а2, ... , ak (1)
называется линейно зависимой, если существуют такие
числа Хг, К2, ..., Xk9 не равные нулю одновременно, что
Ках + К<*г + ... + K^k = °- (2)
В противном случае система векторов называется линейно
независимой. Другими словами, система (1) линейно
независима, если из соотношения (2) следует, что Хг = i2 = ... = Xk = 0.
Определение линейной зависимости применимо также и в том
случае, когда система состоит из одного вектора, т. е. когда k = 1.
В этом случае, как легко видеть, система будет линейно зависимой
тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.
Если система (1) линейно зависима, то в соотношении (2) по
крайней мере один из коэффициентов не равен нулю. Пусть, например,
Kk Ф 0. Разделив соотношение (2) на Kk, получаем:
В этом случае вектор ak является линейной комбинацией векторов
аг,а2, ...,#?_!• Говорят также, что вектор aft линейно выражается через
векторы а1э а2, ..., ak-i. Итак, если система линейно зависима, то
хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через
другие.
Докажем следующее вспомогательное предложение.
20
Л е м м а [3.1]. Если часть данной системы линейно зависима, то
вся система также линейно зависима.
Доказательство. Пусть (1) — данная система. Допустим,
например, что система векторов а1э а2, ..., at, где /<6, линейно
зависима: агаг + а2а2 + ... + &i<ii = 0. По определению хотя бы один
из коэффициентов а1э а2, ..., at не равен нулю. Это соотношение можно
переписать так:
a^i + ос2а2 + ... + щаг + 0 • al+i -f-... + 0 • аЛ = 0.
Мы видим, что система (1) также линейно зависима.
3. Система коллинеарных векторов. Конечная или бесконечная
система векторов называется коллинеарной, если любые два
вектора этой системы коллинеарны. Например, векторы АВ, CD, EF,
GH на рисунке 1, а (стр. 8) образуют коллинеарную систему, а векторы
BEу ВС, AD, DC на рисунке 2 не образуют коллинеарной системы.
Отметим, что если система коллинеарна, то всякая ее часть также
коллинеарна. В частности, если бесконечная система векторов
коллинеарна, то всякая ее конечная часть коллинеарна.
Рассмотрим один частный, но весьма важный случай бесконечной
системы коллинеарных векторов. Возьмем в пространстве прямую /
и рассмотрим множество всех векторов пространства,
параллельных этой прямой1. Это множество, очевидно, образует коллинеарную
бесконечную систему векторов. Эта система называется одномерным
векторным подпространством.
Итак, одномерное векторное подпространство — это совокупность
всех векторов пространства, параллельных некоторой прямой I.
Следует подчеркнуть, что любое одномерное векторное
подпространство содержит нуль-вектор.
Очевидно, каждое одномерное векторное подпространство имеет
хотя бы один ненулевой вектор е, через который линейно выражается
любой вектор подпространства. В случае подпространства, в отличие
от общего случая системы коллинеарных векторов, для любого
действительного числа а вектор р =а? принадлежит подпространству.
Таким образом, одномерное векторное подпространство есть
множество векторов вида ае при всевозможных значениях а.
4. Система компланарных векторов. По аналогии с предыдущим
введем следующее определение: конечная или бесконечная система
векторов называется компланарной, если в пространстве
существует плоскость, которой параллельны все векторы системы2.
На рисунке 11 векторы ОА1у ОА2, А3А, А2В образуют
компланарную систему. Векторы ОЕг, ОЕ2, ОЕ3 не образуют компланарной
системы.
1 Вектор А В называется параллельным прямой I, если прямые А В и /
параллельны или совпадают. Нуль-вектор считается параллельным любой прямой.
2 Вектор АВ называется параллельным плоскости л, если прямая АВ
параллельна я или лежит в ней. Нуль-вектор параллелен любой плоскости.
21
Легко видеть, что любая система,
состоящая из двух векторов, всегда
компланарна. Далее, если некоторая система
компланарна, то любая ее часть также
компланарна. Если все векторы
компланарной системы перенести в одну точку
О пространства, то, очевидно, их концы
А вместе с точкой О будут лежать в одной
плоскости. Этим по существу объясняется
термин «компланарность», что означает
Аг В принадлежность одной и той же плоскости.
Рассмотрим один частный, но весьма
Рис. 11. важный случай бесконечной системы
компланарных векторов. Возьмем в
пространстве некоторую плоскость я и рассмотрим
множество всех векторов пространства, параллельных этой
плоскости. Это множество, очевидно, образует компланарную систему
векторов, которая называется двумерным векторным
подпространством. Итак, двумерное векторное подпространство — это совокупность
всех векторов пространства, параллельных некоторой плоскости я.
Отметим, что любое двумерное подпространство, так же как и
одномерное, содержит нуль-вектор.
5. Базис системы компланарных векторов. Сначала докажем
следующую теорему.
Теорема [3.2]. Если конечная или бесконечная система
компланарных векторов содержит хотя бы два неколлинеарных вектора
ег и е2, то любой вектор а этой системы линейно выражается через
ех и е2, т. е.
а = ае{ + §ev (3)
где аир — действительные числа.
Любая конечная система компланарных векторов, состоящая более
чем из двух векторов, линейно зависима.
Доказательство. Пусть а — произвольный вектор
системы1. Перенесем векторы а, ег, е2в произвольную точку О
пространства и обозначим через A, Et, Е2 их концы. В силу компланарности
данной системы точки О, Е1У Е2н А лежат в одной плоскости. Но
векторы ег и в2 не коллинеарны, поэтому О, Е1 и Е2 не лежат на одной
прямой (рис. 12).
Проведем через точку А прямые, параллельные векторам ех и е2.
Обозначим через Аг и А2 точки пересечения этих прямых
соответственно с прямыми 0Ег и 0Е2. Очевидно, О А = 0АХ + О А 2. С другой
стороны, как векторы 0Аг и еи так и векторы ОА2 и е2 коллинеарны
1 В этом доказательстве не исключаются случаи, когда а \\ е2 или а \\ еъ или
даже а = ег или а = е2.
22
у
А,
Рис. 12.
и ех ф О, е2 ф О, поэтому
существуют отношения ОАг: ег и
ОА«: б о. Если ввести обозначе- ег/ >^ ty &^/r /
ния: а = ОА1:е1 и р =ОЛ2: е2, J^ ^^ ^/
то ОЛх = аег, ОА2 = Ре2. *^ 0 в; Л;
Подставив эти выражения в *»-
предыдущее соотношение, полу- е7
чим (3).
Теперь докажем вторую часть
теоремы. Пусть (1)—данная
система и k > 2. Если векторы аг и а2 коллинеарны, то они линейно
зависимы, поэтому согласно лемме [3.1] система (1) линейно
зависима. Если av а2 не коллинеарны, то согласно первой части теоремы
имеем: az=a1a1 + ^га2. Мы видим, что часть системы (1) линейно
зависима, следовательно, согласно лемме [3.1 ] вся система линейно
зависима.
Введем следующее определение: базисом системы компланарных
векторов называется совокупность любых двух неколлинеарных векторов
этой системы, взятых в определенном порядке.
Предыдущая теорема показывает, что любой вектор компланарной
системы линейно выражается через базис.
Легко видеть, что каждое двумерное векторное подпространство
содержит хотя бы два неколлинеарных вектора, т. е. б а з и с. Из
теоремы [3.2] следует, что любой вектор а этого подпространства
линейно выражается через ег и е2. В случае подпространства, в отличие от
общего случая системы компланарных векторов, вектор а, имеющий
вид (3), при любых действительных аир принадлежит
подпространству. Таким образом, если ег,е2 — базис двумерного подпространства,
то это подпространство есть множество векторов а вида (3) при
всевозможных действительных значениях а и р.
Теперь легко доказать следующую теорему.
Теорема [3.3 ]. Для того чтобы три вектора а19 а2, а3 были
компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно
зависимы.
Доказательство. В самом деле, если система векторов
а19 а2, аъ компланарна, то согласно теореме [3.2] она линейно
зависима. Обратно, пусть система линейно зависима:
aiai + а2а2 + ос3а3 = О-
Если, например, ад Ф 0, то из данного соотношения получаем:
а3 = * at ? а2.
а3 а3
Если л — некоторая плоскость, параллельная векторам аг и а2, то
отсюда видно, что а3 является вектором, параллельным той же плоскости.
23
6. Трехмерное векторное пространство. Множество всех векторов
пространства называется трехмерным векторным
пространством. Базисом трехмерного пространства
называется совокупность любых трех некомпланарных векторов, взятых в
определенном порядке.
Следующая теорема в некотором смысле объясняет этот термин.
Теорема [3.4 ]. В трехмерном пространстве всегда существует
хотя бы один базис.
Если е1,е2,е3 — произвольный базис трехмерного пространства,
то любой вектор а пространства линейно выражается через ег, е2, е3,
т. е.
а = ае{ + $е2 + уе3, (4)
где а, р, у — действительные числа.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, поэтому
сразу перейдем к доказательству второй части. Пусть а —
произвольный вектор пространства. Перенесем векторы а, е19 е21 е3в
произвольную точку О пространства и обозначим через Л, Е1У Е2У Е3 концы
этих векторов (см. рис. 11). Если вектор а компланарен с одной из пар
0i» е2, еи е3 или е2У е3, то согласно теореме [3.2] вектор а линейно
выражается через соответствующую пару и, следовательно, для этого
случая теорема справедлива. Поэтому мы предполагаем, что тройки
векторов a, ех, е2\ а, еи е3\ а, е2, е3 не компланарны. Отсюда и из
условия некомпланарности векторов ег, е2, е3 следует, что каждая из
четверок точек О, Е19 Е2, Е3\ О, А, Е2, Е3, О, ?1э Л, Е3\ О, Ег, Е2, А
не лежит в одной плоскости. Проведем через точку Л три плоскости,
параллельные соответственно плоскостям ОЕ^Е^ ОЕхЕ3 и ОЕ2Е3.
Получим параллелепипед, изображенный на рисунке 11. Легко видеть,
что ОА = 0В + ВА = 0А1 + 0А2 + 0А3. Так как 0AX || ег, 0%2 \\
|| е2 и 0А3 || е3, то существуют отношения: а = 0Аг : еи Р =
= ОА2: е2, у = 0А3 : е3. Выразив отсюда 0Аи 0А2 и 0А3 и
подставив в предыдущее соотношение, получаем соотношение (4).
Из доказанных выше теорем непосредственно следует, что в трех-
мерном пространстве всякая конечная система, состоящая более чем
из трех векторов, линейно зависима.
§ 4. Координаты вектора на плоскости
В предыдущих параграфах мы задавали векторы только
графически. Теперь рассмотрим аналитический способ задания векторов,
играющий важную роль в векторной алгебре.
1. Базис плоскости. Пусть W2—двумерное векторное
подпространство, т. е. совокупность всех векторов пространства,
параллельных некоторой плоскости я. В дальнейшем изложении векторы
подпространства W2 называются векторами плоскости я,
24
а базис е19е2 этого подпространства—б азисом плоскости я.
Другими словами, вектором плоскости я называется любой вектор,
параллельный этой плоскости.
Если е19е2— базис плоскости, то е1 называется первым, а е2—
вторым вектором базиса. На векторы ех и е2 накладывается только
одно ограничение — требуется, чтобы они были неколлинеарны, в
остальном они произвольны. Подчеркнем, что существен порядок, в
котором заданы векторы базиса. Системы векторов ег,е2 и е2,ег
определяют различные базисы.
Базис еъе2 называется прямоугольным декартовым, если ег и е2
взаимно перпендикулярны и модули их равны единице. Векторы
прямоугольного декартового базиса будем обозначать через / и j.
Произвольный базис в отличие от прямоугольного декартового будем
называть общим декартовым1.
2. Координаты вектора на плоскости. Пусть е{, е2 — общий
декартовый базис плоскости. Согласно теореме [3.2] любой вектор а
плоскости линейно выражается через е± и е2, т. е.
a = aei+ $e2. (1)
Соотношение (1) называется разложением вектора а по векторам
базиса ег и е2. Существенно подчеркнуть, что разложение (1)
возможно для любого вектора а. Если а коллинеарен ег или e2i то
соотношение (1) несколько упрощается, так как, например, при
коллинеарности а и ег имеем а= —, поэтому а = аег или а = аех-\- 0 • е2. Если,
наконец, а = 0, то а = О • ег + 0 • е2.
Покажем, что если задан базис ег,е2, то для любого вектора а
коэффициенты а, р в соотношении (1) определяются однозначно.
В самом деле, пусть вектор а имеет разложение (1) и, кроме того,
разложение
a=a'ei + $'e2. (2)
Из (1) и (2) следует, чтоа^ + $е2 = а'ег + §'е2 или
(а-а')*, + (Р-Р')*2 = 0-
Отсюда в силу линейной независимости векторов ех и е2 получаем:
а — а' = О, Р — Р' = 0, т. е. а = а', р = Р'. Мы пришли к
следующей теореме.
Теорема [4.1 ]. Если дан базис е1у е2, то любой вектор а
плоскости может быть разложен по векторам е1У е2, причем
коэффициенты а, р в разложении (1) определяются единственным образом и не
зависят от способа разложения.
Теорема [4.1] позволяет ввести следующее определение:
коэффициенты а и Р в соотношении (1) называются координатами
вектора а в базисе еи е2. При этом а называется первой
координатой вектора а, Р — второй. Приняты следующие
обозначения для координат вектора: а {ос, Р}.
1 Иногда этот базис называют аффинным.
25
Рис. 13.
Заметим, что в базисе е1Уе2 сами базисные векторы имеют
координаты: ег {1, 0}, е2 {0, 1}. Нуль-вектор в любом базисе имеет
координаты 0 {0, 0}, так как 0 = 0ег + 0е2-
Если выбран прямоугольный декартовый базис, то координаты
вектора называются прямоугольными декартовыми;
в общем случае они называются общими декартовыми
или аффинными.
Учащемуся необходимо с первых же шагов знакомства с
понятием координат вектора научиться без труда строить вектор по
координатам, если на чертеже изображены базисные векторы. Для
построения вектора а {а, 0} удобнее всего воспользоваться формулой (1).
Согласно этой формуле сначала строим векторы аег и рб2, а затем,
воспользовавшись правилом сложения векторов, строим вектор а.
На рисунке 13,а построены векторы OAt {—1, 1}, ОА2 {5, 2},
6AZ {2, —3}, ОЛ4 {6, —2}, ОА5 {—4, —1}, ОЛ6 {3, 0} в общем де-
26
картовом базисе ех,е2, а на рисунке 13,6 векторы ОВ1 {—2, I},
ОВ2 (0, 3}, ОВ3 (1, |j, OB, {-3, 0}, OS5 {-2, -3} и OBe {3, -2}
в прямоугольном декартовом базисе /,/.
3. Теорема о координатах линейной комбинации векторов.
Поставим следующую задачу. Дан базис е1,е2, даны координаты
нескольких векторов аи а2, ..., ak в данном базисе и, кроме того, дана
некоторая линейная комбинация этих векторов:
р = %{а{ + Х2а2 + ... + Xkak, (3)
где Xt, Х2, ..., Xk — известные коэффициенты. Определить координаты
вектора р в том же базисе е1эе2-
Так как идея решения задачи не зависит от числа k данных
векторов, то для упрощения выкладок предположим, что k =3. Допустим,
что нам даны три вектора а^а^ рх}, а2{ос2, р2} и а3{а3, рз} и тРе~
буется определить координаты вектора р = Х1а1 + Х2а2 + Х3а3.
Для решения задачи достаточно разложить вектор р каким-либо
способом по векторам et, е2. Так как ах, рх являются координатами
вектора а1э то ах = а1в1+р1в2. Точно так же а2—а2ег+ $2е2, а3 =
= а3е1 + Р3?2. Подставив эти значения в выражение р, после
элементарных преобразований получим: р = (Х1а1 + Х2а2+ Х3а3) ех +
+ (^iPi + ^2 + ^зРз) е2- Если обозначить через л; и у координаты
вектора р, то из определения координат вектора следует, что
х = А,^ + ?i2a2 + А3а3, у = А1р1 + А,2р2 + А,3р3.
Таким образом, мы доказали следующую важную теорему
о координатах линейной комбинации
векторов.
Теорема [4.2]. Каждая координата линейной комбинации
нескольких векторов, заданных своими координатами на плоскости, равна
той же линейной комбинации соответствующих координат
составляющих векторов.
Пример. Пусть на плоскости даны векторы аг {1,1}, а2{2, 1},
а3 {—3,2}. Определить координаты вектора р = 2ах— За2+ а-6% в
том же базисе.
Решение. Пусть {х, у} — координаты вектора р. По теореме
[4.2] координата х равна той же линейной комбинации первых
координат векторов а19 а2 и а3, т. е. следует взять линейную комбинацию
р = 2аг— За2+а3 и формально вместо векторов р, аг, а2 и а3
подставить их первые координаты: х = 2 • 1 — 3 • 2 + ( —3) = —7.
Точно так же определяем вторую координату: у = 2 • 1 — 3 • 1 +•
+ 2-1. Итак, р {—7,1}.
4. Координаты суммы, разности векторов и произведения вектора
на число. Выше было отмечено, что векторы р = а + Ь, q = а — Ь,
Г= аа являются линейными комбинациями векторов а и &, поэтому
к ним также применима георема [4.2].
27
Следствия. 1°. Каждая координата суммы двух векторов
равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
2°. Каждая координата разности двух векторов равна разности
соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов.
3°. При умножении вектора на число каждая его координата
умножается на то же число.
5. Условие коллинеарности двух векторов на плоскости. В
следующей теореме сформулирован критерий коллинеарности двух
векторов плоскости, заданных координатами.
Теорема [4.3]. Для того чтобы векторы а{ах, рх} и b {а2, р2},
заданные в общем декартовом базисе ех,е2, были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы определитель второго порядка,
составленный из координат этих векторов, был равен нулю, т. е.
«1 Pi
«2 Р2
= 0 (или
at а2
PiP2
Доказательство. Если а = Ь = 0, то теорема
очевидна, поэтому предположим, например, что Ь Ф 0. Пусть а \\ Ъ.
Согласно лемме [2.1 ] существует такое число К, что а — Kb. Из теоремы [4.2]
следует, что
ах = Ка2, рг = К$2. (5)
Отсюда непосредственно вытекает соотношение (4).
Обратно, пусть выполнено соотношение (4). Учитывая свойства
определителей второго порядка и принимая во внимание
предположение о том, что b ф О, приходим к соотношениям (5). Умножив обе
части первого из соотношений (5) на е±, второго на е2, получаем:
ai^i = Ка2ег, $хе2 = К$2е2. Отсюда следует, что а1е1 + Ре2 =
= К (а2е1 + р202)> т. е. а = Kb. Из леммы [2.1 ] вытекает, что а и b
коллинеарны.
Следствие. Для того чтобы два вектора, заданные в общем
декартовом базисе своими координатами, были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы координаты одного вектора были
пропорциональны координатам другого.
6. Угловой коэффициент вектора на плоскости. Пусть вектор а
в общем декартовом базисе elfe2 имеет координаты {а, Р}. Если
векторы а и е2 не коллинеарны, т. е. если а Ф О, то число k = —
называется угловым коэффициентом1 вектора а. Вектор, коллинеарныи
вектору е2, не имеет углового коэффициента. Значение введенного
нами понятия углового коэффициента становится ясным из следующей
теоремы.
Теорема [4.4 ]. Для того чтобы два вектора а и Ь, не колли-
неарные вектору е2, были коллинеарны друг другу, необходимо и
достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.
1 Это понятие вводится только для векторов, заданных координатами на пло
скости.
28
Доказательство. Пусть векторы а и Ь коллинеарны.
Если а {аг, Рх}, Ь {а2, Р2}, то из [4.3] следует: а$2 = а2$г. Так как
аг ф О, а2 Ф О, то это соотношение можем разделить наа^з:
2А = 52Р1э или Ь.= Ь_
аха2 ага2 о^ а2'
Т. е. fex = k2.
Обратно, пусть kx = k2i или ——— = —^—. Умножив на а^,
а1 <я2
получаем: а2Рх— P2ai = 0- Из [4.3] следует, что векторы
коллинеарны.
Теорема [4.4] показывает, что угловой коэффициент вектора
характеризует направление вектора; точнее, все векторы,
параллельные одной и той же прямой, имеют равные угловые
коэффициенты.
7. Ориентация плоскости, определяемая базисом. Плоскость
называется ориентированной, если в ней указано некоторое
направление обхода в качестве положительного. Для того чтобы выбрать
ориентацию на плоскости, достаточно, например, взять
ориентированную окружность, т. е. окружность с фиксированным
направлением обхода, или ориентированный треугольник, т. е. треугольник
с указанным порядком расположения вершин. Например, на
рисунке 14,а положительное направление задано при помощи
ориентированной окружности Q; оно совпадает с направлением движения
часовой стрелки, а на рисунке 14,5 положительное направление задано
ориентированным треугольником ABC — оно противоположно
движению часовой стрелки.
Пусть на плоскости дан базис е1Уе2. Перенесем векторы е1У е2 в
некоторую точку О плоскости и обозначим через А1и А2
соответственно концы этих векторов. Лучи ОАг и 0А2 образуют направленный
угол, т. е. угол, для которого указан порядок, в котором берутся
стороны (0А± — первая сторона, а ОА2 — вторая). ^.А1ОА2 назовем
углом, определяемым векторами ег и е2.
Покажем, что задание базиса е1уе2 на плоскости определяет
некоторую ориентацию. В самом деле, возьмем угол АгОА2,
определяемый векторами elt e2> и примем за положительное направление обхода
то направление, по которому
следует повернуть луч ОАг до
совпадения с лучом ОА2 по Q
кратчайшему пути (рис. 15).
Отметим, что данный базис
на плоскости определяет
бесчисленное множество углов,
так как положение точки О
можно выбрать произвольно.
Однако легко видеть, что все
эти углы определяют одно и
то же положительное направ- Рис. 14.
а)
29
Рис. 15.
ление, т. е. одну и ту же ориентацию. В дальнейшем плоскость с
заданным базисом будем считать ориентированной вышеуказанным
способом.
8. Угол между двумя векторами ориентированной плоскости.
Рассмотрим направленный угол АОВ на ориентированной плоскости
(ОА — первая сторона, а ОВ — вторая). Из курса элементарной
геометрии известно, что величиной этого направленного угла называется
число, которым измеряется угол поворота луча ОА вокруг точки О до
совпадения с лучом ОВ. При этом величина угла считается
положительной, если поворот совершается в положительном направлении; в
противном случае она считается отрицательной.
Пусть на плоскости даны два ненулевых вектора а и & в
определенном порядке (а— первый вектор, Ь— второй). Эти векторы, как мы
знаем, определяют бесчисленное мнэжество углов, в зависимости от
выбора вершины (см. п. 7). Однако все эти углы конгруэнтны, поэтому
имэют одну и ту же величину. Величину любого из этих углов назовем ее-
личиной угла между векторами а и Ь и обозначим через (а, &), или
А (я, V).
Заметим, что величина угла между данными ненулевыми векторами
не определяется однозначно. Например, угол между векторами а и Ь
на рисунке 16 равен 30° или—330°. Тот же угол равен 30°± k • 360°,
где k — целое число. На том же рисунке угол между векторами с и d
равен 90° ± ?-360° или —270° ± 6-360°. Существенно отметить, что
эта неопределенность в дальнейших рассуждениях не сказывается,
так как нас будет интересовать, как правило, не величина угла между
векторами, а какая-либо его
d g тригонометрическая функция.
"* ^ Учитывая это замечание, не
нарушая общности, всюду в
дальнейшем будем считать,
что величина ф угла между
двумя векторами заключена
Рис. 16. в пределах —я < ф < п.
30
Из указанного способа измерения углов следует, что если а, Ь и с —
произвольны^ ненулевые векторы, то величины углов всегда можно
подобрать так, чтобы:
а) (а, Ь) = — (&?а); б) (cCb) +(tCc) = {(Сс).
Кроме того, имеют место предложения:
хч
в) если (а, Ь) = О, то векторы а и & сонаправлены;
хч хч
г) если (а, &) =л или (а, &) = —я, то а и & противоположно
направлены.
Мы не будем доказывать эти свойства. Рекомендуем убедиться в их
справедливости, рассмотрев на чертеже различные случаи
расположения векторов.
Ненулевые векторы а и Ь называются ортогональны миу
если угол, определяемый этими векторами, прямой или, что то же
самое, если 2$. (а, Ь) = ± —. Нулевой вектор считается
ортогональным любому вектору пространства.
Введенное нами понятие величины угла между двумя векторами
теряет смысл, если хотя бы один из данных векторов нулевой, так как в
этом случае не существует угла, определяемого этими векторами.
Однако для удобства дальнейшего изложения нам необходимо ввести
соглашение, позволяющее пользоваться понятием величины угла для л ю-
б ы х двух векторов. Если а и Ь — векторы, из которых по крайней
мере один нулевой, то согласно определениям коллинеарности и
ортогональности векторов эти векторы одновременно коллинеарны и
ортогональны. Поэтому целесообразно считать, что величина угла между
этими векторами равна одному из чисел 0, —, я, , —п.
В заключение введем следующее соглашение: всюду в дальнейшем,
если нет специальных оговорок, величину угла между векторами будем
называть просто углом между ними.
9. Геометрический смысл координат вектора в прямоугольном
декартовом базисе. Пусть а —ненулевой вектор, заданный
координатами а, р в прямоугольном декартовом базисе/, /. Возьмем единичный
вектор а0, сонаправленный с данным вектором а, и обозначим его
координаты через а0, Р0. Если перенесем векторы а0, /, / в точку О
плоскости, то концы Л0, Ех и Е2 этих векторов будут лежать на
окружности с центром в точке О и радиусом единица (рис. 17). Если Al n
А 2 — проекции точки А0 на прямые 0Ег и 0Е2, то легко показать,
что
0АХ о 0А2 ,пЛ
* У
В самом деле, из правила параллелограмма следует, что а0 =>
= 0Аг + 0А2, но О A t || /, ОЛ 2 || /, поэтому согласно лемме [2.Ц
имеем: 0А± = а'/, 0А2 = Р'у. Подставив эти выражения в предыду-
31
щее соотношение, получим: а0 = а 7 + Р'у\
а,
о»
откуда в силу теоремы [4.1 ] следует: а'
Р' = Ро-
Если ф = ^(/, а0), то из соотношений (6),
учитывая определения тригонометрических
функций sin ф и cos ф, имеем:
СОЗф =
ОА1 __
= а0, sin ф =
ОЛ.
= Ро-
Рис. 17.
i J
Таким образом, а0=со5ф •/+ БШф • у, но
Ф, поэтому
а=\а\а0, *$ (/, а) = ^ (/, а0)
а == | а | cos ф/ + I л | sin фу.
(7)
Это соотношение верно также и в том случае, когда а = О, так как | а |=
= 0. Мы доказали следующую теорему.
Теорема [4.5]. Координаты произвольного вектора а в
прямоугольном декартовом базисе /, у равны соответственно
| а | cos (/, а) и \ а | sin (/, а).
Следствия. 1°. Координаты единичного вектора а0 в пря-
#/ч
моугольном декартовом бдзисе /, у равны соответственно cos (/,a0) и
sin (/, а0).
2°. Если вектор а, заданный в прямоугольном декартовом базисе
I, у, не коллинеарен базисному вектору у, то угловой коэффициент
•ч
этого вектора равен tg (/, а).
Эти следствия непосредственно следуют из формулы (7).
§ 5. Координаты вектора в пространстве
В этом параграфе, по аналогии с § 4, рассмотрим аналитический
способ задания векторов в трехмерном пространстве.
1. Базис пространства. Как было отмечено в п. 6 § 3 любые три
некомпланарных вектора е1э е2, ?3» взятые в определенном порядке,
называются базисом пространства, сами векторы — базисными
векторами, причем вектор ег называется первым вектором базиса,
вектор е2 — вторым, а е3— третьим. На векторы ег, е2, е3
накладывается только одно ограничение — требуется, чтобы они
были линейно независимы, в остальном они произвольны.
Существенным является порядок, в котором берутся векторы базиса.
Базис ег, е2, е3 называется прямоугольным декарто-
в ы м, если векторы базиса взаимно перпендикулярны и модули их
равны единице. В дальнейшем изложении векторы прямоугольного
декартового базиса обозначаются так: /, у, k. Произвольный базис е19
е2, е3 в отличие от прямоугольного декартового будем называть о б-
щим декартовым (иногда его называют аффинным).
32
2. Координаты вектора в пространстве. Если eite2,e3 — общий
декартовый базис пространства, то, как следует из теоремы [3.4],
любой вектор а пространства линейно выражается через ег, е2> в3\
a = aei + $e2 + ye3. (1)
Покажем, что заданием векторов а, е19 е21 е3 коэффициенты а, Р, у
определяются однозначно. В самом деле, пусть, например,
а = a'et + $'е2 + у'е3. (2)
Из (1) и (2) следует, что (а — а') ег+ (Р — Р>2 + (у — у') е3 = 0.
Отсюда в силу линейной независимости векторов е1У е2, е3 получаем:
а _а' = р _ р' = у — у' = 0, т. е. а = а', р = Р', у = у'.
Таким образом, мы пришли к теореме, аналогичной теореме [4.1].
Теорема [5.1 ]. Если в пространстве выбран базис е19 е2, е3>
то любой вектор а может быть разложен по векторам е19 е2, е3,
причем коэффициенты а, р, у разложения (1) определяются единственным
образом и не зависят от способа разложения.
Эта теорема позволяет ввести следующее определение:
коэффициенты а, Р, у в соотношении (1) называются координатами
вектора а в базисе ег, е2, е3. При этом а называется первой
координатой, р — второй и у — третьей. Приняты
следующие обозначения для координат вектора:
Если выбран прямоугольный декартовый базис, то координаты
вектора а называются прямоугольными
декартовыми, в общем случае они называются общими декартов ы-
м и или аффинными.
Пример. Дан параллелепипед ABCDA^^J)^ в котором
середины сторон AAU AD, ССХ обозначены соответственно через Е, /\
G (рис. 18). Принимая векторы AAlt AD и АВ соответственно за
базисные векторы е1У е2, е3, определить
координаты векторов АС, АЕ, ЁСХ, FG.
Решение. Согласно определению
координатами вектора в данном базисе
называются коэффициенты его
разложения по векторам базиса ег, е2, е3.
Согласно теореме [5.1] коэффициенты
разложения не зависят от способа,
используемого для выражения вектора а через векторы
?i> #2» ?з> поэтому для решения задачи
достаточно каким-либо способом данные
векторы разложить по векторам:
е±= ААг, е2 = AD, е3 = АВ. Рис. 18.
А
\?Z?
F D
33
АС = е2т еЗУ отсюда следует, что АС (0, 1, 1};
Л? = — АА{ = -j е1У поэтому АЕ | -, 0,0) ;
;
ЕСг = EAt + AXDX + DlCl = — ех + е2 + e3t поэтому
Щ\. 1.'};
FG = — AD +DC + — СС,. = — ег + е3 -f — еи отсюда следует,
что ™{у>-> 1
2' 'Г
3. Теорема о координатах линейной комбинации векторов.
Теорема [4.2], доказанная в предыдущем параграфе для векторов
плоскости, имеет место и для векторов пространства.
Теорема [5.2]. Каждая координата линейной комбинации
векторов, заданных координатами в пространстве, равна той же линей-
ной комбинации соответствующих координат составляющих
векторов.
Советуем читателю самостоятельно провести доказательство этой
теоремы, используя доказательство теоремы [4.2]; разложение
векторов аг, а2, ..., dk по базисным векторам в данном случае будет
содержать не два, а три слагаемых. Так как сумма, разность двух
векторов и произведение вектора на число являются линейными
комбинациями векторов, то следствия 1°, 2°, 3° теоремы [4.2] (см. стр. 28)
справедливы и для векторов, заданных координатами в пространстве.
4. Условие коллинеарности двух векторов в пространстве. Из
курса алгебры известно, что две последовательности чисел
а19 а2, ..., а&, (3)
Pi, P2, ...> h (4)
называются пропорциональными, если числа одной из
этих последовательностей получаются из соответствующих чисел
другой последовательности умножением на одно и то же число.
Например, последовательности 1, 0, 3, 4 и 2, 0, 6, 8 пропорциональны,
так как 2 = 2- 1, 0 = 2-0, 6 = 2-3, 8 = 2- 4. Точно так же
последовательности 0, 0, 0 и 1, —1,5 пропорциональны, так как 0 =
=0 • 1, 0 = 0- (—1), 0 = 0-5. В алгебре доказывается следующая
теорема: для того чтобы последовательности (3) и (4) были
пропорциональны, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
К2 '" R* ) ®
\PiPa — Р* /
был меньше двух, т. е. чтобы все определители второго порядка,
составленные из произвольных двух столбцов этой матрицы, равнялись
нулю. При k = 2 эта теорема сводится к известному свойству
определителей второго порядка1.
1 См. теорему [4.3] и ее следствие.
34
Имеет место следующий критерий коллинеарности векторов,
заданных координатами в пространстве.
Теорема [5.3 ], Для того чтобы векторы а{а1г р1э уг} и Ь {а2, (32,
<р2}, заданные координатами в базисе е1уе2,е3> были коллинеарны, не-
обходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.
Доказательство. Если Ь = О, то теорема очевидна,
поэтому доказательство проведем для случая, когда Ь Ф 0.
Пусть а || 0. Из леммы [2.1 ] следует, что существует такое число
Я, что а= Kb. Согласно теореме [5.2] получаем:
аг = ла2, р3 = Яр2, уг = Ху2. (6)
Мы видим, что координаты векторов а и & пропорциональны.
Обратно, пусть координаты векторов а и Ь пропорциональны.
Так как Ь Ф 0, то условие пропорциональности координат можно
записать в виде (6). Умножив эти соотношения соответственно на е19 е2>
е3 и сложив, получаем: а = Я&, т. е. а || &.
Матрица (5) в данном случае имеет вид:
/«1 Pi Yi \
V*2 Р2 V2/ '
поэтому критерий коллинеарности векторов a{alf рг, Yi}, Ь {а2, |32 у2}9
как следует из доказанной теоремы, можно записать так:
=
PiYi
P2Y2
=
§ 6. Скалярное произведение векторов
1. Линейные функции от еекторных аргументов. Одним из
основных понятий современной математики является понятие функции. Как
известно, переменная величина у называется функцией переменной
х, если каждому значению х, взятому из какого-либо множества
допустимых значений Q (область определения функции), поставлено в
соответствие определенное значение у. При этом правило, позволяющее
определить у по данному значению х, может быть задано различными
способами. Чаще всего это правило задается аналитическими
формулами.
В приведенном выше определении функции вовсе не требуется,
чтобы переменные х, у были действительными числами. В
современной математике часто рассматриваются функции, для которых
переменные являются элементами произвольной природы —
комплексными числами, векторами, точками и т. д. При этом не обязательно,
чтобы х и у были элементами одной и той же природы, скажем, оба
числами или оба векторами.
В нашем курсе понятие функции будет широко использовано.
Наряду с «обычными» функциями, где аргументом и значением
функции являются действительные числа, мы будем рассматривать
35
также функции, у которых аргументами являются векторы, а
значениями функций — либо числа, либо векторы. В первом случае
функции называются скалярными, а во втором — векторными. При этом
будем иметь дело как с функциями от одного векторного аргумента,
так и с функциями от двух и трех векторных аргументов.
Итак, если каждой системе k векторов х{, х2,..., xk, взятых в
определенном порядке из некоторой области определения, поставлено в
соответствие число {вектор), то говорят, что дана скалярная
{векторная) функция от векторных аргументов хъ х2, ..., xk:
?=/(*!, х2, ..., xk). (1)
В качестве примеров рассмотрим следующие скалярные функции
от двух векторных аргументов:
i°. м*. у) = i*i +им.
2°. f2 {х, у) = хх + у2. ^
3°. f3{x, y) = \x\ Ысо5(лСу).
4°. h {х, у) = хху2 — х3уг.
5°. f5 {х, у) = х1у1 + 2хху2 + 2х2у± + Хоуг.
6°. fB(x, у) = 2 + \х\.
В примерах Г, 3°, 6° | х| и \ у\ — модули соответствующих
векторов; в примерах 2°, 4°, 5° предполагается, что выбран базис; хг, х2, х3\
Vi» У 2» Уз — координаты соответственно векторов х и у в этом базисе.
В курсе геометрии чаще всего используются линейные функции.
Скалярная {векторная) функция (1) от векторных аргументов лги ..., xk
называется линейной относительно аргумента х1У если для
любых векторов х и у и любого числа К выполняются условия:
f {х + у, х2, ..., xk) = / {х, х2, ..., xk) + f {у, х2, ..., xk), (2)
/ (Кх, х2, ..., xk) = К {х, х2, ..., xk). (3)
Если функция (1) линейна относительно всех своих аргументов,
то она называется k-линейной. В случае, если k = 2, функция
называется билинейной (двулинейной), если k = 3 — трилинейной и т. д.
В дальнейшем все рассматриваемые нами функции от векторных
аргументов предполагаются линейными относительно всех векторных
аргументов. Такие функции будем называть просто линейными
функциями от векторных аргументов.
В примерах, рассмотренных выше, линейными будут функции
/а(*»У). h(x,y) и f5{x,y). Линейность функций /4 {х,у) и f5{x,y)
проверяется непосредственно, исходя из их определения. Что же касается
функций /3 (х% v), то ее линейность будет установлена ниже.
2. Метрическая линейная функция. В этом параграфе мы будем
рассматривать билинейные скалярные функции, т. е. линейные
скалярные функции от двух векторных аргументов.
Введем следующее определение. Билинейная функция f {x, у)
называется метрической, если выполнены следующие условиях
1) для любых двух векторов х и у
36
{условие симметричности);
2) для любого единичного вектора л?0
/(*о. ^о)=1. (4>
В дальнейшем для метрической функции
введем следующее обозначение: g (x, у).
Естественно, возникает вопрос: существуют ли
метрические функции и сколько их?
Чтобы ответить на эти вопросы,
предварительно рассмотрим две леммы.
Лемма [6.1 ]. Еслиg {x, у) —
метрическая функция, a a0ub0 —единичные
ортогональные векторы, то
g («о. *о) = 0.
Доказательство. Перенесем векторы а0 и &0 в некоторую
точку О и, пользуясь правилом параллелограмма, построим сумму
ао + &о (Рис- 19). Так как ОАСВ — квадрат и | а0\ = \ Ь0\ = 1, то
ОС = \а0 + Ь0\ =|/1 В силу этого вектор _^<l+A_
Рис. 19.
но тогда из условия (4) следует, что
Ар + fro gp + frp
V2
единичный,
g
f frp \
2" i
= 1.
l/"2 ' /2
Преобразуем последнее соотношение, используя свойства линейности
и условие (4) для метрической функции:
ф=- • y=-g(a0 + b0t a0 + b0) = 1, g(a0 + &0, а0 + Ь0) = 2;
г(«о. a0)+g{a0i b0)+g(b0, a0)+g{b0, b0) = 2;
1 + 2g(a0b0) +1=2, откуда g(a0, b0) = 0.
Лемма [6.2 ]. Пусть g (x, у) —метрическая функция, a ij\k —
прямоугольный декартовый базис. Если векторы aubeбазисе /, j, k
имеют соответственно координаты: a{av а2, а3) и b {biy b2, b3}9 то
g(a, b) = aibi + a2b2 + a3b3. (5)
Доказательство. По определению координат векторов
имеем:
а = aj + a2f + a3kt b = bj + b2j + b3k.
Подставив эти значения в выражение g (a, b) и используя свойства
линейности функции g (x, у), получаем:
g(a, Ь) = afigit, I) + afagtf, j) + a&g&k) + aJttgW) +
+ я2&2?(У. Л + a2b3g (j, k) + a3big{k, i) + a3b2g (kj) + a3b3g (ft, k).
37
Принимая во внимание лемму [6.1] и соотношение (4), получаем (5).
Теперь докажем следующую основную теорему.
Теорема [6.3]. В пространстве существует одна и только
одна метрическая функция.
Доказательство. Сначала докажем существование
функции. Пусть i0ij0>ko — некоторый фиксированный прямоугольный
декартовый базис. Рассмотрим функцию от двух векторных
аргументов:
/ (х, У) = хгу{ + х2у2 + х3уз, (6)
где х1у х2, х3 и у1э у2, уъ соответственно координаты векторов х и у.
Покажем, что функция (6) является метрической. Билинейность
этой функции очевидна. В самом деле, если х { xlt x2i х3 }, у {уи у2>
у3} и z {г1У 22, г3}, а А, — произвольное число, то
/ (х + у, z) = (хг + уО гг + (х2 + у2) 22 + (*з + Уз) h =
= (хггг + x2z2 + х3гг) +(у1г1 + у2г2 + у3г5) = / (лг, г) + / (у, z)\
f (Ьх, У) = (he,) ух + (Хх2) у2 + (Ъ?з) Уз = * (^i^i + *2У2 + х3у3) =
= V (х, У)-
Точно так же проверяется линейность относительно второго
аргумента. Условие симметричности / (л:, у) = f (у, л:) непосредственно следует
из (6).
Остается проверить условия (4), т. е. показать, что для любого
единичного вектора а0 имеем / (a0i а0) = 1. Так как /0 { 1, 0, 0},
У0 {0, 1, 0}, k0 {0,0, 1}, то из соотношения (6) непосредственно следует,
что
/(/0, /0) = 1, /(/0, /0) = 1, /(?0Л) = 1,
/(/о, Jo) = f(U W=0, /(/0.*о)=/(Мо) = 0,/(Уо,*о)=Л*о.Уо) = 0. (7)
Если вектор а0 коллинеарен одному из базисных векторов, то из (7)
следует, что / (а0, а0) = 1, поэтому рассмотрим случай, когда вектор
а0 не коллинеарен ни одному из базисных векторов. Перенесем
векторы а0, /0, jo, k0 в некоторую точку О пространства и рассмотрим
единичный вектор &0, исходящий из точки О и принадлежащий плос-
костям О/о/о и О?0#о (рис. 20). Если (/0, &0) = ф» a (kQya0) = а|), то
из следствия Г теоремы [4.5] &0=/0 cos ф +у"о sin ф, aQ= kQ cos if +
+ b0 sin i|). Отсюда получаем:
а0 = ft0 cos ij) 4- 4 sin \|) cos cp + j0 sin i|) sin ф. (8)
Теперь вычислим /(а0, tf0)- Подставим сюда значение вектора а0 из (8)
и учтем, что функия / линейная и для нее выполняются условия (7).
После элементарных преобразований, аналогичных тем, которые
проводились при доказательстве леммы [6.2], получаем: /(a0,a0) =
= (cos if>)2 + (sin гр cos ф)2 + (sin я|) sin ф)2 = cos2 г|) + sin2 гр (со$2ф +
+ $т2ф) = 1.
Мы доказали, что функция (6) метрическая. Единственность
метрической функции непосредственно следует из леммы [6.2]. В самом
38
Рис. 20.
деле, если g (х, у) — какая-либо
метрическая функция, то согласно лемме [6.2]
она имеет вид (6), т. е. совпадает с
f (х, у). Теорема доказана полностью.
3. Скалярное произведение
векторов. Теорема [6.3] позволяет ввести
следующее определение: скалярным
произведением векторов х и у
называется значение метрической
функции для векторов х и у, т. е. число
8 (-*. У).
Скалярное произведение векторов х
и у в дальнейшем обозначается так1: ху.
Из определения метрической
функции сразу получаем основные свойства
скалярного произведения векторов.
Теорема [6.4 ]. Для произвольных векторов а, &, с и любого
числа а имеем:
а) ab = Ьа;
б) (аа) Ь = a (ab), а (ab) = а (ab)\
в) а (Ь + с) = ab + etc, (а + Ь)с = ас + be;
г) аа = | а |2.
Доказательство. Свойство а) следует из условия
симметричности метрической функции, а свойства б) и в) — из условий
линейности. Докажем свойство г). Если а = 0 , то это свойство
очевидно, так как в этом случае | а \ = 0 и, с другой стороны,
aa = g(a, a) = g(0-b, 0 • b) = 0 g(b, b) = 0.
Здесь b — произвольный вектор пространства. Пусть а —
произвольный вектор, отличный от нуля, а а0—единичный вектор, сона-
правленный с а. Тогда а = | а \ а0. Пользуясь условиями
линейности, а также соотношением (4), получаем:
аа = g(a, а) = g (| а | а0,| а \ а0) = | а |2 g (а0, а0) = | а |2.
Следствия. Г. Для произвольных векторов а, Ь и
произвольных чисел а, р имеет место соотношение (аа) фЬ) = aft (ab).
2°. Каковы бы ни были векторы а,ЬЛ, ...,bk, имеет место
соотношение: a(b1 + b2 -1- ... + bk) = аЬг + ab2 + ... +abk.
3°. Если а = 0, a b — произвольный вектор, то ab = 0.
Следствия Г и 2° непосредственно вытекают из теоремы. Для
доказательства следствия 3° заметим, что в данном случае можно
положить а = 0а', где а' — произвольный вектор. Далее, из
условия б) теоремы [6.4 ] следует: ab = (0 a') b = 0 (a'b) = 0.
1 .Мы по существу принимаем соглашение о том, чтобы каждый раз, когда
вычисляется значение метрической функции g(x,y) для конкретных векторов х0, у0,
опускать знак функции, т. е. вместо g (jc0, y0) записывать х0 у0.
39
4. Геометрический смысл скалярного
произведения. Выясним геометрический
смысл скалярного произведения. Пусть
аФО и Ь ф 0. Если а0 и &0 —
единичные векторы, сонаправленные с а и &,
то а = | а | а0 и & = | 6 | &0. Отложим
векторы а0, &0 от некоторой точки О
пространства и в плоскости Оа0Ь0
построим единичный вектор с0,
ортогональный а0 (рис. 21). Если ввести обозначе-
ние ф = (а0&0), то на основании
следствия 1° теоремы [4.51 получим*.
&0 = cos ф а0 + sin ф с0.
Теперь вычислим скалярное произведение а&. Пользуясь леммой
[6.1 ] и свойствами, перечисленными в теореме [6.4], получаем:
аЬ = (| а | а0) {\ Ь \ Ь0) = | а \ \ Ъ \ {а0Ь0) = \ а \ \ Ь \ [а0 (cos ф - а0 +
+ sin ф • cQ)} = | а 11 Ь | (aQa0) cos ф = | а \ \ Ь \ cos ф.
Итак,
аЬ = \а\ \Ь |cos ф. (9)
Очевидно, этот вывод верен также в том случае, когда один из
векторов а, Ь (или оба) обращается в нуль, так как в этом случае
обе части соотношения (9) обращаются в нуль.
Получили теорему, раскрывающую геометрический смысл
скалярного произведения.
Теорема [6.51. Скалярное произведение векторов равно
произведению модулей данных векторов на косинус угла, образованного
данными векторами.
Из этой теоремы можно сделать ряд выводов, раскрывающих
геометрический смысл обращения в нуль скалярного произведения, а
также геометрический смысл знака скалярного произведения.
Следствия. Г. Скалярное произведение двух векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны.
2°. Скалярное произведение векторов а и & положительно тогда
и только тогда, когда аф 0, Ь ф 0, (а Ь) <—.
3°. Скалярное произведение двух векторов а и & отрицательно
тогда и только тогда, когда а ф 0, Ь ф 0, (ab)>—.
Следствия 2° и 3° непосредственно следуют из формулы (9). Для
обоснования следствия Г заметим, что если а ф 0, ЬфЬу то условие
аЬ = 0 согласно (9) эквивалентно условию cos (a6)== 0, что означает,
что векторы ортогональны. Если хотя бы один из этих векторов равен
Cnh
Рис. 21.
40
нулю, то данное утверждение следует из определения ортогональности
векторов и следствия 3° теоремы [6.4].
5. Механический смысл скалярного произведения. Скалярное
произведение двух векторов имеет широкое применение в физике, в
частности в механике. В качестве примера рассмотрим работу силы,
действующей на материальную точку, движущуюся по прямолинейной
траектории. Пусть материальная точка М под действием постоянной
силы F переместилась из точки М1 в точку М2 по прямолинейной
траектории. Как известно из физики, работа А силы F при данном
перемещении измеряется величиной А = | F | • МгМ2 cos ср, где ср —
угол между векторами МгМ2 и F. Из формулы (9) следует, что Л=
= F • МХМ2. Таким образом, работа постоянной силы F, действующей
на материальную точку при прямолинейном перемещении МгМ2, равна
скалярному произведению векторов F и МгМ2.
6. Свойства скалярного произведения, отличные от свойств произведения чисел.
Из теоремы [6.4] видно, что формальные свойства скалярного произведения векторов
в основном совпадают с соответствующими свойствами произведения чисел. Однако
нельзя думать, что любое свойство произведения чисел автоматически
распространяется на скалярное произведение векторов. Скалярное произведение имеет и
специфические свойства, не присущие операции умножения чисел. Вот некоторые из них.
а) Одной из существенных особенностей скалярного произведения является то
обстоятельство, что произведение двух векторов дает число, т. е. объект другой
природы, в то время как произведение двух чисел есть число, т. е. объект той же
природы. Отсюда, например, вытекает, что, пользуясь скалярным произведением, нельзя
ввести вектор-единицу и вектор, обратный данному вектору. В самом деле, во
множестве чисел всегда существует число 1, обладающее тем свойством, что а • 1 =а
для любого числа а. Но произведение вектора на вектор есть число, поэтому
соотношение аЬ = а принципиально невозможно.
б) Если а ф 0, то числовое уравнение ах = Р всегда имеет единственное
решение. Аналогичные уравнения для скалярного произведения векторов ах = &, как
было указано выше, не имеют смысла. В связи с этим операция, обратная
скалярному произведению, не вводится. Однако можно ставить вопрос о решении уравнения
вида ах = а, где а и х— векторы, а а — число.
Можно показать, что это уравнение имеет
бесчисленное множество решений. Например, для векторов
a, jc0, хг . . , х6, изображенных на рисунке 22,
имеем: ах0 = ах1=. . .= ах6 = |a||jc0|. Эти
равенства следуют из теоремы [6.5].
в) Если а и Р — числа, то из равенства ар = О
следует, что хотя бы одно из них равно нулю.
Аналогичного свойства для скалярного произведения
векторов нет,о чем свидетельствует следствие 1°
теоремы [6.5].
г) Если alt а2 и а3 — числа, то (о^суссд =
= а1(а2<Хз). поэтому эти произведения просто
обозначаются так: а1а2а3. Так вводится понятие
произведения трех, четырех и вообще п чисел, где п —
любое натуральное число. Аналогичную операцию
для векторов на основе скалярного произведения
ввести нельзя в силу того, что если аъ а2,а3 —
векторы, то ага2 — число, а (аха2)а2 — вектор. По
этой же причине в векторной алгебре рассматрива- Рис. 22.
41
ется только квадрат вектора: аа — а2; понятие
степени ап при п > 2 не вводится.
д) Если alta2, аг — произвольные векторы,
то, вообще говоря, ах (а2а3) Ф (d\CL2) #з> т- е-
ассоциативный закон в данном случае не имеет
места. В самом деле, если, например,аг и а3 не
коллинеарны, то рг = (аха2) а3 и р2 = aY(a2a3)
не коллинеарны, поэтому они не равны (рис.23).
Таким образом, если в выражении (а1а2)а3
опустить скобки и записать его так: а^а^ то оно
теряет смысл. Ниже эта запись применяется для
обозначения другой операции — смешанного
произведения векторов.
§ 7. Вычисление скалярного произведения, длины вектора
и угла между векторами по их координатам
В этом параграфе, пользуясь свойствами скалярного произведения,
мы введем ряд вычислительных формул, которые широко
используются в аналитической геометрии.
1. Вычисление скалярного произведения векторов по их
координатам на плоскости; длина вектора
Задача 1. На плоскости даны векторы а и Ь своими
координатами {а1У а2}, {^1> ^2} в прямоугольном декартовом базисе /,/.
Вычислить скалярное произведение векторов.
Решение. По определению координат векторов имеем: а =
= ati + а2/, Ь = bj + b2j. Используя свойства скалярного
произведения, получим:
аЬ = (att + a2j) (b,i + b2J) = a,b, (It) + (atb2 + a2bi) (ij) + a2b2 (jj).
Учитывая, что базис прямоугольный декартовый, будем иметь:
аЬ = ар{ + а2Ь2. (1)
Мы пришли к следующей теореме.
Теорема [7.1 ]. Скалярное произведение двух векторов а и Ъ,
заданных своими координатами в прямоугольном декартовом базисе,
равно сумме произведений одноименных координат векторов а и Ь.
Отсюда и из следствия 1° теоремы [6.5] получаем условие
перпендикулярности двух векторов а и &, заданных своими координатами:
а1Ь1 + а2Ь2 = 0. (2)
Если в соотношении (1) положить а=Ь, то получим выражение
скалярного квадрата вектора через координаты: аа = ci{ + #5.
Используя теорему [6.4], г), мы приходим к формуле для вычисления
модуля вектора по координатам.
\а\= V а\ +4 . (3)
42
Рис. 23.
2. Вычисление угла между векторами по их координатам. Для
определения угла ф между двумя векторами а и о на ориентированной
плоскости достаточно знать cos ф и sin ф. Выведем формулу для
вычисления этих тригонометрических функций по координатам векторов
а и &.
Задача 2. На плоскости в прямоугольном декартовом базисе
заданы ненулевые векторы а{аи а2} и b{bl7 b2}. Найти косинус угла,
образованного данными векторами.
Решение. Из теоремы [6.5 ] следует, что
cos(a?&) = аЬ . (4)
V ' \а\\Ь\ V '
Пользуясь формулами (1) и (3), выразим abt \а\ и \Ь\ через
координаты векторов а и & и полученные выражения подставим в
соотношение (4). Окончательно приходим к формуле:
cos(a->) = «i»i+«A _
VZ + alVb\+bl <5>
Задача 3. На плоскости в прямоугольном декартовом базисе
заданы ненулевые векторы а{ага2} и Ь{Ь1Ь2}, Найти синус угла,
образованного этими векторами.
Решение. Если /, j — данный базис, то согласно теореме
[4.5 1 имеем:
/ч /ч
а = | а | cos (/, a) i + | а | sin (/, a)j.
Пусть ф — угол между векторами а и &. Согласно § 4, п. 8 можем
записать:
Ф = (о>) = (?/) + (Cb).
Пользуясь известным соотношением из тригонометрии, получаем:
УК /Ч /Ч /\ /Ч /\
sin ф = sin [(a,/) + (/,&)] = sin (a,/) cos (/,&) + cos (a,/) sin (/,&). (6)
Умножая и деля правую часть этого соотношения на |а(|&[ ,
получаем:
sin = [ lal sin( <Q )][ \b\ cos (Cb )] + [ |alcos( ?l)\[\b\sm(Cb)]
\a\\b\
/к /к /\
Принимая во внимание, что sin (a,i) = — sin (i9a)f cos (aJ) =
/\
= cos (/,a), и учитывая теорему [4.5] и формулу (3), окончательно
получаем1:
1 Важно заметить, что при вычислении синуса угла мы предполагали, что
плоскость ориентирована базисом /,/, поэтому при пользовании формулой (7)
необходимо учитывать порядок, в котором берутся векторы а и Ь.
43
I ai h |
c?n T gA - ДА (д. bt\ #7)
V a*+alVb\ + bt V^ + a\Vb\ + bl '
3. Вычисление скалярного произведения векторов по их
координатам в пространстве; длина вектора
Задача 4. В пространстве даны векторы а и Ъ своими
координатами {а1? а2, а3}, {^i» ^2» ^з) в прямоугольном декартовом базисе
/,,/,&. Вычислить скалярное произведение векторов а и &.
Решение. Задача по существу нами решена при
доказательстве леммы [6.2]. В самом деле, так как ab=g (а, &), то согласно лемме
[6.2]
аЬ = а4&4 + а2Ь2 + asb3. (8)
Мы пришли к выводу, что теорема [7.1 ] имеет место и в том
случае, когда векторы а и b заданы своими координатами в трехмерном
пространстве.
Из формулы (8) на основании следствия Г теоремы [6.5] получаем
условие перпендикулярности двух векторов а и &, заданных своими
координатами в пространстве
а1Ь1 + а2Ъ2 + а3Ь3 = 0. (9)
Если в соотношении (8) положить а=Ь, то получим соотношение
аа = а{ + at + ai Используя теорему [6.4], г), мы приходим к
формуле:
\а\= V а\ + а\ + al (10)
Формулы (8), (9), (10) совершенно аналогичны соответственно
формулам (1), (2), (3), выведенным выше.
4. Вычисление угла между векторами по их координатам в
пространстве. Угол, образованный двумя ненулевыми векторами в
пространстве, заключен в пределах от нуля дол. Поэтому для определения
угла достаточно найти его косинус.
Задача 5. В пространстве в прямоугольном декартовом базисе
i,j\k заданы векторы а {аг, a2rJ а3} и Ь{ЬЪ b2, Ь3). Найти косинус
угла, образованного данными векторами.
Решение. Задача решается точно так же, как и задача 2.
Воспользовавшись формулами (8) и (10), выразим a&, | а |, \Ь\ через
координаты векторов а и & и подставим в соотношение (4). В
результате получим формулу, аналогичную формуле (5):
COS ОТ») = аА + а2&2 + аА
Ya2 + a2 + a2^b2 + b2 + b2- (И)
5. Геометрический смысл прямоугольных декартовых координат
вектора в пространстве. Если вектор ab прямоугольном декартовом
базисе i,j,k имеет координаты aly a2, a3, то по определению
координат вектора имеем: а = aj + a2j + a3k. Умножая последнее
равенство скалярно на вектор / и учитывая, что базис прямоугольный
и декартовый, получаем:
44
ai = aji 4- atji + a3ki = a{.
Аналогично, умножив исходное соотношение на j и k, будем
иметь a j = а2 и ak = a3. Из теоремы [6. 5] следует, что
/\ у^\ У\
ai = | а 11 /1 cos (а, /), а У = I a \ \ j | cos (а, у), а&= | а \ \ k | cos (a, k).
/Ч /Ч /Ч
Если ввести обозначения: (а, /) = ср1э (а, у) = ф2, (#, #) = Ф3,
то предыдущие соотношения принимают вид:
а{ = | а | cos ф1? а2 = | а | cos ф2, а3= | а | cos ф3. (12)
Если вектор а ненулевой, то cos ф1э cos ф2, со5ф3 называются
направляющими косинусами вектора а в базисе /, у, k. Легко видеть,
что направляющие косинусы любого ненулевого вектора удовлетворяют
соотношению'.
COS^x + COS2<p2 + COS2(p3 = 1. (13)
В самом деле, подставив значения координат вектора а из
соотношений (12) в соотношение (10), получаем:
| а |2 = | а |2 cos2 ф! + | а |2 cos2 ф2 + | а |2 cos2 ф3 .
Отсюда, учитывая, что | а \ ф 0, приходим к формуле (13).
Интересно отметить, что координаты единичного вектора в прямо-
угольном декартовом базисе равны направляющим косинусам этого
вектора. Это утверждение непосредственно следует из соотношений
(12). Для единичного вектора соотношение (13) имеет простой
геометрический смысл: длина единичного вектора равна сумме квадратов его
координат.
§ 8. Приложение векторной алгебры к элементарной геометрии
Изложенную выше теорию можно с успехом применять для
доказательства теорем и решения задач элементарной геометрии. В
настоящем параграфе приведем некоторые примеры приложения
векторной алгебры к решению элементарно геометрических задач. Мы
рассмотрим ряд несложных теорем и задач на треугольники,
четырехугольники и тетраэдры. Если читатель пожелает рассмотреть этот
вопрос более подробно, то можно рекомендовать ему следующие
пособия (см. стр. 477): [61, [111, [14], [251, [261, [29], [30].
1. Некоторые свойства треугольников
Задача 1. Два треугольника ABC и Л1В1С1 расположены
так, что вершины С19 Аъ Вх последнего лежат соответственно на
лучах АВ, ВС и СА и, кроме того, АСг = Х3АВ, ВАг = кгВС, СВХ =
= Х2СА (рис. 24). Выяснить, при каких ограничениях,
накладываемых на числа Хи К2, Я3, существует треугольник A0BQCQy стороны
которого соответственно параллельны и конгруэнтны отрезкам ААи
ВВ1у ССг.
45
Решение. Из условий
задачи следует, что АС} = Х3с,
ВАХ= ^а, СВ?=к2Ь, где с=
=ЛВ, а= ВС, b= CA. Отсюда
получаем (см. рис. 24):
ЛЛХ= с+М> #Bi = а + ^2&»
С?! = & + V- (D
Треугольник А0В0С0
существует тогда и только тогда,
когда выполняется одно из следующих четырех условий:
Tax+BBx +ССг = 0; (2)
АА1+ВЁ1—СС1 = 0
ЛЛХ — В'Вг + ССг = 0
—АД! + SSl + ССг = 0,
Рис. 24.
(3)
(4)
(5)
Подставив значения векторов АА^ ВВ1У ССХ из соотношений (1) в (2)
и учитывая, что а + Ь + е= 0, получим: Хха + ^2& + Х3с = 0.
Так как с = —& — а, то отсюда будем иметь: (кг — к3) а + (к2 —
— У Ь = 0.
В силу неколлинеарности векторов а и б получаем: Я.х = А,2 = А,3.
Из соотношения (3), учитывая (1), получаем: а(\ + Хг) +
4- & (А,2 — 1) + с (1 — А,3) = 0. Учитывая, что с = —а — &,
будем иметь: а {Хх + А,3) + б (А,2 + Х3 — 2) = 0. Отсюда получаем:
^i + ^з = 0, А,2 + Х3 — 2 = 0. Так как по условию задачи %г >0
и Х3 > 0, то этот случай невозможен. Точно так же убеждаемся в том,
что случаи (4) и (5) не могут иметь место. Мы пришли к выводу, что
треугольник существует тогда и только тогда, когда Хг = Х2 — К-
В частности, если ААЪ ВВ1 и ССг являются медианами
треугольника ЛВС, то Хг = Х2 = к3 = — и треугольник A0B0CQ
существует. Мы получили известную теорему элементарной геометрии: для
любого треугольника существует другой треугольник, стороны
которого соответственно параллельны и конгруэнтны медианам исходного
треугольника.
Интересно отметить, что если ААЪ ВВ1 и ССг являются
биссектрисами неравностороннего треугольника, то, как легко понять, Xlt Х2, К3
не равны друг другу, и поэтому в данном случае Л А 0В0С0 не
существует.
Задача 2. Доказать, что для любого треугольника ABC имеет
место соотношение:
где ф= Z. ВАС.
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2ЛВ ¦ АС - cos cp,
48
Решение. Введем
обозначения: АВ=е, АС = &, ВС = а.
Очевидно, Ь —с = л. Отсюда (Г;—
—с)(Ь — с) = а - а , или Ъ Ъ —
— 2Ьс-\- ее = аа. Используя
геометрический смысл скалярного
произведения, получаем искомый
результат.
Следствием этой задачи
являются прямая и обратная теоремы
Пифагора: для того чтобы
треугольник ABC был прямоугольным с
прямым углом при вершине Л. необходимо и достаточно, чтобы ВС2—
= АВ'2 + АСК
Задача 3. Доказать, что для любого треугольника ABC имеет
место соотношение:
sin A sin В sin С
где а = ВС, Ь = СА, с = АВ.
Решение. Возьмем прямоугольный декартовый базис /, j
так, как указано на рисуке 25. Если обозначить через {а, р}
координаты вектора АВ, то в силу принятых обозначений будем иметь:
АВ {а, р>, АС {Ъ, 0}, сХ { —Ъ, 0}, СВ {а — Ь, Р}.
По формуле (7), § 7 определим синусы углов А = АС АВ к С —
= сеЛсл:
sin Л =
Отсюда, исключая р, получим:
а с
доказать второе соотношение.
При решении многих задач весьма полезной является следующая
лемма:
Лемма [8.1 ]. Если ABC — произвольный треугольник, а М —
середина стороны ВС, то AM = — (АВ + АС).
Доказательство. Из определения разности векторов
имеем: AM — АВ = ВМ, AM — АС = СМ. Сложив эти соотношения,
\Ь 01
|а р|
be
. пол
_ Р.
>
с
учим:
[а — Ь Р|
п —Ь 0
sin С = L=
ab
sin Л sinC T
= . Точне
_ Р
а
) та
0, или АМ= -(АВ + АС).
получаем: 2АМ — АВ — АС
Задача 4. В треугольнике ABC вычислить длину медианы /па,
зная угол Л и две стороны АВ = с, АС = 6,
47
?ас. 26.
Р е ш е и и е. Пусть М — середина
стороны ВС треугольника ABC. Сог-
ласно теореме [6.4], г) имеем: та =
= у А/И • AM. Согласно лемме 18.1]
имеем: AM = ^р, где c=AS и &=АС.
Подставив это значение в предыдущее
соотношение, получаем:
та = jV^ + c)(b+c) =
_±у bt, +сс± 2ЪС =
2
= —Кб2 + с2 + 2Ьс cos Л,
Задача 5. Доказать, что высоты любого треугольника имеют
одну общую точку.
Решение. Пусть ABC — данный треугольник, О — точка
пересечения двух высот АНг и ВН2 (рис. 26). Если обозначить через
г1э г 2 и г3 соответственно векторы ОА, ОВ и ОС, то О А • ВС = 0 и
ОВ • СЛ = 0, поэтому гг (г3 — г^ = О и г2 (rL— r3) = 0.
Воспользуемся следующим тождеством, в справедливости
которого легко убедиться, если раскрыть скобки:
С2 — rt) г3 + (г8 — г2) г4 + (г4 — г8) г2 = 0.
Учитывая предыдущие соотношения, получаем:
(г 2— гх) г3 = 0 или В А • ОС = 0. Отсюда следует, что ОС —
высота треугольника ABC. Задача решена.
2. Некоторые свойства пространственных четырехугольников
Задача 6. Доказать, что если ABCD — пространственный
четырехугольник, т. е. четырехугольник с вершинами, не обязательно
лежащими в одной плоскости, то ВС + AD = 2EF, где Е и F —
середины соответственно сторон А В я DC.
Решение. Если ввести в рассмотрение векторы, указанные на
рисунке 27, то можно составить следующие два равенства:
EF = ТВ + ВС -г Ср;
EF = ЕА + AD +Ш>.
Складывая их почленно и учитывая, что ЕВ
получим:
ВС + ~AD = 2?F.
— ЕА и CF = — DF,
(6)
48
Пользуясь этим соотношением, легко получить как частный
случай известную теорему: средняя линия трапеции параллельна
основаниям, длина ее равна полусумме их длин. В самом деле, для трапеции
векторы ВС и AD в равенстве (6) коллинеарны, поэтому вектор 2EF
коллинеарен им. Таким образом, средняя линия трапеции
параллельна основаниям. Остается доказать, что ее длина равна полусумме
длин оснований. Так как векторы ВС и AD сонаправлены, то
согласно п. 11 § 1 имеем: | ВС + AD \ = \ ВС | + | AD\. Таким образом, имеем:
,^1 __ \~ВС\ + \АР\
Задача 7. В пространственном четырехугольнике ABCD
проведены три отрезка, соединяющие соответственно: 1) середины двух
противоположных сторон; 2) середины двух других сторон; 3)
середины диагоналей. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в одной
точке и каждый из них этой точкой делится пополам.
Решение. Зафиксируем точку О и векторы ОА, ОВ, ОС и
—>-
0D обозначим соответственно через г1э г2, г3 и rk (рис. 28).
Середины сторон и середины диагоналей обозначим так, как указано
на рисунке. Пусть, далее, Et — середина отрезка MN, Е2 — середина
PQ и Е3 — середина RS. Выразим векторы ОЕ19 ОЕ2 и ОЕ3 через
векторы г19 г2, г3> г4. Так как точка Ег является серединой отрезка
MN, то согласно лемме [8.1] ОЕг= - . В свою очередь точки М
и N являются серединами соответственно отрезков АВ и CD, поэтому
Окончательно г
0? = гY + г2 + г8 4- г4
1 4
49
ОМ = Гх 2 и ON =Гз + г* . Окончательно получаем
Проводя аналогичные рассуждения
для векторов ОЕ2 и ОЕ3, получим:
-^ -*" П + га + г3 + г4
4
0?2 = 0?8=
Рис. 29.
ребрами тетраэдра вычисляется по формуле:
Пришли к выводу, что 0Ег = ОЕг =
«—>¦
ОЕг Отсюда следует, что точки ?\,
?2, ?3 совпадают, Задача решена.
3- Некоторые свойства тетраэдров.
Задача 8. Показать, что
угол 6 между противоположными
cost)
с2 + с
¦Р-Ь'2
2аа'
(7)
где а и а' — длины рассматриваемых ребер, а 6 и 6', с и с' — длины
двух других пар противоположных ребер.
Решение. Пусть О ABC — данный тетраэдр, а О А и ВС —
рассматриваемые ребра (рис. 29).
Введем обозначения:
ОЛ - а,ОВ = ЬуОС= с, I ОА | - а, I ОВ | = 6, | ОС | = с, ВС =
= а', ЛС= У, ЛВ = с\
Искомое соотношение (7) может быть записано следующим образом:
2ш' cos 0 = с2 + с'2 — Ъ2 — б'2, или
2а. ВС == с2 — &2 + ЛВ2 — ЛС2, 2а (с — &) =
= с2 — Ь2 + ф — а)2—{с — а)2.
Воспользовавшись распределительным свойством скалярного
произведения, непосредственно убеждаемся в справедливости
последнего, а следовательно, и исходного соотношений.
Задача 9. Доказать, что если в тетраэдре две пары
противоположных ребер взаимно перпендикулярны, то и третья пара ребер
также взаимно перпендикулярна.
Доказательство. Пусть О ABC — данный тетраэдр, у
которого ОА _L СВ и OB _L AC (рис. 29). Требуется доказать, что
ОС _L АВ. Для решения задачи введем в рассмотрение векторы О А =
= а, ОВ= Ь и ОС=с и запишем данные условия, используя
скалярное произведение векторов. Так как ОА ± СВ, то ОА • СВ = 0 или
а (Ь — с) = 0. Так как ОВ 1 АС, то ОВ • АС = 0 или Ь(с—а) =
=0. Сложив эти два соотношения, получаем а& — ас -Ь йс— а& =
= 0, с (Ь— а) = 0, т. е. ОС • АВ = 0. Отсюда следует, что прямые
ОС и АВ взаимно перпендикулярны.
Глава II
КООРДИНАТЫ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
§ 9. Координаты точек на плоскости
1. Общие декартовы координаты точек на плоскости. Мы
приступаем к введению одного из основных понятий аналитической
геометрии — координат точек на плоскости.
Возьмем на плоскости две пересекающиеся прямые а и b с точкой
О пересечения и базис ех,е2, векторы которого принадлежат
соответственно прямым а и Ь. Построенный геометрический образ, состоящий
из двух прямых а и Ь, пересекающихся в точке О, и базиса ех,е2,
назовем общей декартовой системой координат
(рис. 30). Точка О называется началом координат, а прямые а
и Ь вместе с векторами ег и е2 — осями координат1, причем а
называется первой координатной осью или осью абсцисс, а Ъ —
второй координатной осью или осью ординат. Векторы ех и е2
называются координатными. Ось абсцисс обычно обозначается
через Ох, а ось ординат — через Оу. Систему координат обозначают
через Оеге2 или Оху.
Легко видеть, что задание системы координат позволяет определить
положение любой точки на плоскости при помощи двух чисел. В
самом деле, пусть Оехе2—данная система координат, а М —
произвольная точка плоскости. Вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М (рис. 30). Каждая точка плоскости имеет радиус-вектор,
различные точки имеют различные радиус-векторы и любой вектор
плоскости является радиус-вектором не-
которой точки. Это означает, что су- /Ь
ществует взаимно однозначное соот- /
ветствие между точками плоскости /
и их радиус-векторами. Это обсто- ^ / ¦>
ятельство позволяет ввести следу- у Z>^
ющее определение: координатами р У ^^^//
точки М в общей декартовой */ ^S^ /
1 Осью в геометрии называется всякая /п р ка
прямая, на которой зафиксировано одно из * 1 1
двух возможных направлений в качестве
положительного. Рис 30.
51
системе координат Oele2 называются координаты радиус-вектора ОМ
этой точки в базисе ?L,?2» m- е- числа х, у, удовлетворяющие условию'.
ОМ = xet + уег. (1)
Очевидно, каждая точка плоскости имеет две координаты, и,
обратно, любые два числа, взятые в определенном порядке, определяют
некоторую точку на плоскости. Последнее утверждение легко
обосновать при помощи следующих рассуждений. Пусть x0J у0 — данные
действительные числа. Рассмотрим вектор р = х0ех + Уо#2 и точку
М0, удовлетворяющую условию: ОМ = /?. Из определения
координат следует, что точка М0 имеет координаты (х0, у0).
Число х в соотношении (1) называется первой координатой или
абсциссой точки М, а число у — второй координатой или
ординатой этой точки. Запись М0 (х, у)0е е в дальнейшем будет
означать, что точка М в системе Оеге2 имеет координаты х0, у0.
Мы видим, что выбор на плоскости общей декартовой системы
координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками плоскости и парами чисел, взятых в определенном порядке.
Другими словами, если на плоскости взята общая декартова система
координат, то тем самым, по существу, определяются две функции:
х = /х (М), у = /а (М),
для которых аргументами являются точки, а значениями функций —
действительные числа. Областью определения этих функций являются
все точки плоскости. Важно заметить, что если взять другую систему
координат, то эти функции будут другими. Иными словами,
координаты точки существенно зависят от выбора системы координат на
плоскости. В этом мы неоднократно будем убеждаться.
Для построения точки М по данным координатам х, у в системе
Оехе2 воспользуемся формулой (1). Так как хех || ех и уе2 \\ е2У
то на осях координат Ох и Оу существуют соответственно точки Мг и
М2> удовлетворяющие условиям:
xei = OMt, ye2 = ОМг. (2)
Из соотношения (1) следует, что
ОМ = 0МХ + 0М2. (3)
Пользуясь соотношениями (2), сначала по координатам х и у строим
точки ML и М2, а затем, проводя через точки Мх и М2 прямые,
параллельные соответствующим координатным осям, находим их точку
пересечения, которая согласно соотношению (3) будет искомой точкой М
(см. рис. 30).
Если абсцисса х точки М равна нулю, то из соотношений (2) и (3)
следует, что ОМ = ОМ2, поэтому М и М2 совпадают и точка М
лежит на оси ординат. Аналогично, если ордината точки равна нулю, то
точка лежит на оси абсцисс. Начало координат О имеет координаты
52
О, 0. На рисунке 31
построены следующие точки
по координатам: О (0, 0),
Л (2,3), В (1,-3), С(-1,
-2), D( -2,3), ?(3,0)
и F (0, —2).
На практике часто
приходится рассматривать и
обратную задачу: на
чертеже изображена система
координат и даны точки,
удовлетворяющие
определенным геометрическим
условиям; требуется
определить координаты данных
точек. Рассмотрим
следующий пример,
поясняющий идею решения
подобных задач.
Пример. На
плоскости дан правильный
шестиугольник ABCDEF.
Принимая точку А за
начало координат и полагая
АВ =ег nAF = е2У
определить координаты всех
вершин и центра О
шестиугольника (рис. 32).
Решение. Так как начало координат совпадает с точкой
Рис. 31.
Рис. 32.
л,
а точки В и F являются концами координатных векторов,
приложенных к точке А, то А (0, 0), В (1, 0), F (0, 1). Для определения
координат остальных точек выразим их радиус-векторы через е± и е2\ АС =
=AF + FC = е2 + 2еъ так как FO = ОС = ЛВ - ег. Отсюда
следует, что точка С имеет координаты (2, 1). Аналогично определяем
координаты точек D, Е и О.
AD = AC + CD = (2et +- е2) + е2 = 2ех + 2e2i т. е. D (2,2);
IbE =AD +DE = (2ei + 2e2) — ei = et + 2e2, т. е. Е (1, 2);
Ab==±AB = ±(2ei + 2e2)==ei+e2, т. е. О (1.1).
2. Прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости.
Система координат Оеге2 называется прямоугольной декартовой,
если координатные векторы е1У е2 образуют прямоугольный
декартовый базис, т. е. если \е1\ = \е2\=1ие1±е2. В этом случае,
очевидно, оси координат взаимно перпендикулярны. На рисунке 33
53
Рис. 33.
изображена прямоугольная
декартова система координат и
точки А (2,3), В ( —3,1), С (—1,
-2), D (0,-3), ?(5,0),
F (0, 2).
Прямоугольную декартову
систему координат в дальнейшем
будем обозначать так: Oij.
Мы ввели в рассмотрение
прямоугольные декартовы и
общие декартовы системы
координат. Очевидно,
прямоугольная система есть частный
случай общей декартовой, поэтому
все теоремы и предложения,
доказанные для общей декартовой системы, справедливы и для
прямоугольной декартовой. Обратное утверждение, конечно, не
справедливо. В дальнейшем изложении во всех случаях, когда это
возможно, будем пользоваться общими декартовыми системами. В
прямоугольной декартовой системе будем рассматривать только такие
вопросы, изложение которых существенно упрощается при введении
этой системы. Итак, во всем дальнейшем изложении, если нет
специальных оговорок, мы предполагаем, что система координат общая
декартова.
3. Координатные углы. Если Ое±ег — данная система координат,
то, как было отмечено в § 4, п. 7, базис ех,е2 определяет некоторую
ориентацию на плоскости. Мы будем считать, что эта ориентация
вводится системой координат Оеге2. Пусть Еъ Е2 — точки,
удовлетворяющие условиям: ОЕг = е±, ОЕ2 = #2- Напомним, что
положительным направлением обхода плоскости, определяемым базисом ех,е2%
считается то направление, по которому следует повернуть луч 0Ег
вокруг точки О по кратчайшему пути до совпадения с лучом 0Е2
(рис. 34).
Координатные оси Ох и Оу делят всю плоскость на четыре угла,
называемые координатными углами. Введем следующую
нумерацию координатных углов. Первым назовем угол,
образованный лучами OEt и ОЕ2. Остальные три угла нумеруются
последовательно в положительном направлении, как показано на рисунке 34.
Если точка М (х, у) не лежит
на координатных осях, то по
знакам чисел х и у можно
определить, в каком из координатных
углов она лежит. В самом деле,
если х >0, у>0,то точка
принадлежит первому углу;
если х< 0, у> 0, то точка
принадлежит второму углу; Рис. 34.
54
если х < 0, у < О, то точка принадлежит третьему углу;
если х > 0, у < 0, то точка принадлежит четвертому углу.
Очевидно, имеют место и обратные утверждения.
Эти критерии позволяют без помощи чертежа, по координатам
точек, определить их положение по отношению к системе. Например,
если А (2,5), В ( -1, -1 j С ( -2,1), D (2, -5), Е (1, 3), F ( -1, -1),
G (2, 0), то, очевидно, А и Е принадлежат первому координатному
углу, В и F — третьему, С — второму, a D — четвертому. Точка G
лежит на оси х, так как ее вторая координата равна нулю.
§ 10. Решение простейших задач аналитической геометрии
в координатах
В настоящем параграфе рассмотрим ряд задач аналитической
геометрии, имеющих важное практическое значение.
1. Определение координат вектора по координатам его начала и
конца
Задача 1. Даны две точки А и В своими координатами в
общей декартовой системе: А (хг, yj, В (х2, у2). Определить координаты
вектора АВ.
Решение. Если О — начало системы координат, то АВ —
= ОВ — ОА. Но О А и ОВ есть радиус-векторы точек Л и Б, поэтому
их координаты нам известны: ОА {хг, ух} и ОВ {х2, у2). Таким
образом, АВ как разность векторов ОВ и ОА имеет координаты: АВ {х2 —
— *i» Уг — Уг}- Итак, каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат конца и начала вектора.
2. Деление отрезка в данном отношении. Из элементарной геомет-
ПЛ « Л D Л AM
рии известно, что если М есть точка прямой АВ, то число л =
называется отношением, в котором эта точка делит отрезок АВ. Если
М лежит между А и В, то говорят, что она делит АВ внутренним
образом, если же М лежит вне отрезка ЛВ, то М делит отрезок
внешним образом. В целях уточнения этого понятия введем
следующее определение: будем говорить, что точка М, лежащая на
прямой АВ, делит направленный отрезок АВ в отношении К, если X =
= . В дальнейшем изложении для сокращения записи слово
~МВ
«направленный» будем опускать. Отметим некоторые свойства этого
понятия.
а) Какова бы ни была точка М прямой АВ, отличная от В, всегда
существует отношение, в котором М делит отрезок АВ.
б) Если М лежит между А и В, то отношение К, в котором М
делит отрезок АВ, положительно, если М не лежит между А и В, то
оно отрицательно. Если М совпадает с Л, то X = 0.
55
в) Каково бы ни было число %, отличное от—1, на прямой АВ
всегда существует одна и только одна точка М, делящая
направленный отрезок АВ в отношении X.
Первые два свойства очевидны, поэтому докажем только свойство
в). Пусть X— произвольное (положительное или отрицательное)
число, отличное от —1. Найдем на прямой АВ точку М,
удовлетворяющую условию: АМ= ХМВ. Из этого соотношения следует:
АМ+ ХАМ = X (AM + MB) = ЫВ или (1 + X) AM = L4ft
Так как 1 + X Ф О, то
AM = -Ц АВ. (1)
1 -J- Л/
Очевидно, существует одна и только одна точка М,
удовлетворяющая этому соотношению.
Заметим, что на прямой не существует точки, делящей отрезок АВ
в отношении X = —1. В самом деле, если X = —1, то = — 1
мв
или AM = — MS, AM + MB = О, ЛВ = 0, т. е. ЛВ есть нулевой
отрезок. Этот случай мы с самого начала исключили из рассмотрения.
Соотношение (1) позволяет строить точки, делящие отрезок в
данном отношении.
3. Определение координат точки, делящей данный отрезок в данном
отношении
Задача 2. Пусть в некоторой общей декартовой системе
координат даны две различные точки своими координатами А (хх, ух) и
В {х2, у2). Определить координаты х, у точки М, которая делит
отрезок в отношении X Ф —1.
Решение. Пусть г1э г2 и г — соответственно радиус-векторы
точек Л, В и М. Так как X = ^- , то AM = ХМВ. Далее, AM =
мв
— г — г1э МВ = г2 — г. Подставив эти значения в предыдущее
соотношение, получим: г — rL = X (г2 — г). Из этого векторного
соотношения, после элементарных преобразований, получим:
г = ri + Xr\ (2)
Отсюда, согласно теореме [4.2] о координатах линейной
комбинации векторов, имеем:
*1 + k*2 „ _ У1 + fy2
1 +А, ' 1 +Х
(3)
В частности, если точка М делит отрезок ЛВ пополам, то X = 1,
поэтому из соотношений (3) имеем:
56
*-й±3, у-*±*. (4)
Задача 3. Доказать, что точка пересечения М медиан
треугольника с вершинами Л (хг, у^, В (х2, у2), С (х3, у3) в общей
декартовой системе координат имеет координаты:
% + х2 + *3 Л. _ У1 + У2 + Уз /ел
*м= , Ум = . (о)
Решение. Если Мг — конец медианы, проведенной из
вершины А, а М — точка пересечения медиан, то, как известно из
элементарной геометрии, = 2, поэтому, зная координаты точек А и
Ми легко получить координаты точки М. Точка М1 —- середина
отрезка ВС, поэтому Мг I *2 3 , у 3). Подставив в формулы
(3) координаты точек А и М1 и положив X = 2, после элементарных
преобразований получим соотношения (5).
Задача 4. В точках Л (хх, yt) и В (х2, у2) сосредоточены массы
т1 и т2. Доказать, что координаты центра тяжести системы двух
материальных точек А и В определяются соотношениями:
х = mfr + т2х2 = тгУ! + m2y2 .g4
Решение. Центр тяжести двух материальных точек А и В
находится в точке С, расположенной на отрезке АВ и делящей этот
отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам,
сосредоточенным в точках А и В. Таким образом, С делит отрезок А В в
отношении К = т2\ тх. Подставив координаты точек Л, В и значение А,
в соотношения (3), после элементарных преобразований получим
соотношения (6).
4. Условие коллинеарности трех точек
Задача 5. Пусть в общей декартовой системе Ое^е^ даны три
точки А (хг, уг), В (х2у у г) и С (х3, у3). Найти необходимое и
достаточное условия коллинеарности этих точек.
Решение. Три точки называются к о л л и н е а р н ы м и,
если они лежат на одной прямой. Для того чтобы точки Л, В и С были
коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы векторы А В и АС
были коллинеарны. Отсюда легко получить искомое условие. Так как
АВ {х2 — %, у2 — yi}, АС {х3 — хг, уд — Ух}, то условие
коллинеарности этих векторов согласно теореме [4.3 ] запишется так:
х0 — хх у2— у А = о (7)
хз х\ У г У\ I
Это соотношение можно записать в более удобном для запоминания
виде:
57
1*1 Vil
\х3у3\\
= 0. (8)
Непосредственным подсчетом легко убедиться в равенстве
определителей, входящих в уравнения (7) и (8).
5. Определение расстояния между двумя точками
Задача 6. В прямоугольной декартовой системе координат
даны две точки А (хг, ух) и В (х2, у2). Определить расстояние между
ними.
Решение. Расстояние р между точками А и В равно модулю
вектора ЛВ, поэтому, определив координаты вектора АВ и
использовав формулу (3), § 7, получим искомую формулу для определения
расстояния между двумя точками. Так как АВ {х2 — xv, у2 — уЛ, то
Р=1Л*2--*1)2 + (У2-У1)2- (9)
Мы пришли к следующей теореме.
Теорема [10.1]. Расстояние между двумя точками, заданными
своими координатами в прямоугольной декартовой системе, равно
корню квадратному из суммы квадратов разностей соответствующих
координат данных точек.
6. Вычисление площади ориентированного треугольника.
Треугольник ABC называется ориентированным, если указан порядок
расположения вершин. Очевидно, треугольник ABC можно
ориентировать двумя способами, указывая обход от вершины А к вершине В,
затем к С и, наоборот, от Л к С и В (рис. 35). В первом случае
ориентированный треугольник будем обозначать через ABC, а во втором
случае через АС В.
Назовем площадью ориентированного треугольника,
заданного на ориентированной плоскости, число, абсолютная величина
которого равна площади данного треугольника и которое положительно,
если ориентация треугольника совпадает с положительной
ориентацией плоскости, и отрицательно — в противном случае. На рисунке
35 ориентация плоскости задана окружностью Q, поэтому площадь
ориентированного треугольника ABC положительна, а треугольника
АСВ — отрицательна.
Из курса элементарной геометрии известно, что площадь S
треугольника ABC на неориентированной плоскости вычисляется по
формуле: S = — АВ-АС sin ^ ВАС. При этом считается, что для лю-
G бого треугольника ABC *$ ВАС,
поэтому sin -4 ВАС > 0 и S > 0.
Если эту формулу записать в виде
у7 \ S \\ J s= -АВ-АС sin (AB?AC)
А*—*—ХС А
и предположить, что ориен-
Рис. 35. тированный треугольник ABC
58
задан на ориентированной
плоскости, то легко видеть, что
sin (А В, АС)>0 в случае, когда
ориентация треугольника
совпадает с положительной ориентацией
плоскости, и sin (АВ, АС) < 0 —
в противном случае. На
рисунке 36 sin (АВ^АС) > 0, а
sin {AiBl Л1С1)<0. Таким образом,
площадь ориентированного
треугольника ABC на
ориентированной плоскости может быть вычислена
Рис. 36.
по формуле:
-АВ- АСьт{АвГЯд).
(10)
Пользуясь этим соотношением, легко получить формулу для
вычисления площади ориентированного треугольника, заданного
координатами вершин, если предположить, что ориентация плоскости
определяется координатным базисом /,/ (см. § 4, п. 7).
Задача 7. В прямоугольной декартовой системе координат
дан ориентированный треугольник ABC: А (хи уг), В (х2, у2),
С (*з> Уз)- Вычислить площадь этого треугольника.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (10).
Заметим, что из формулы (7), § 7 следует, что для произвольных
ненулевых векторов а {а1У а2} и Ь {bu b%) имеем:
|a||&|sin(a, Ъ) =
\<h Ь2\
(И)
Применим эту формулу к векторам АВ и АС. Так как АВ {х2 —
xi> Уз — Ух}» то из соотношений (10) и (11)
— *i, У 2 — Ух). АС {х3
получим:
2
¦*i У2 —У1
¦*i Уз —>'i
(12)
Эту формулу можно записать в более удобном для запоминания
виде:
5 = 1
2
Х2Уг1
•^зУз1
(13)
Непосредственным подсчетом легко убедиться в равенстве
определителей, находящихся в правых частях равенств (12) и (13).
59
§11. Формулы пребразования координат. Комплексная плоскость
В § 9 при введении понятия координат точек на плоскости было
отмечено, что координаты точки существенно зависят от выбора системы
координат. В настоящем параграфе мы установим связь между
координатами одной и той же точки в двух различных системах координат.
Далее введем понятие комплексной плоскости.
1. Связь между координатами точки в различных общих
декартовых системах. Пусть 0et е2 и 0'в\ е2 — две системы координат на
плоскости, а М — произвольная точка, имеющая в системе Оеге2
координаты л;, у, а в системе 0'в\ е2 — х\ у'. Установим связь между
я, у и *', у', Для удобства дальнейшего изложения систему 0ех е2
назовем старой, а систему 0'в\ е2 — н о в о й. Старую систему
будем считать исходной и предположим, что координаты новых
координатных векторов и нового начала заданы в этой системе:
Если г = ОМ — радиус-вектор точки М в старой системе, аг' =
= О'М — радиус-вектор той же точки в новой системе (рис. 37), то
из правила сложения векторов для треугольника 00''М следует, что
Ш = 00' + 07W или
Из определения
00' = х0е± + у0е2,
г = 00' + г'. (2)
координат точек следует, что г = xet + уг2,
г' = х'е\ + y'el Но е\= oiiei + pte2, е2=
= Q^i + Э2^2» поэтому г' = (a^i + Р^а)*' 4- (a2ei + Р2е2)у' = (а4х' +
+ а2У') е± + (Р^' + Р2у>2.
Подставив эти значения в выражение (2), получим:
«1 + Уе2 = *0*i + У0е2 + (а^ + а2у') в, + (Р^' + Р2у>2.
Отсюда, учитывая, что ег и е2 не коллинеарны, получаем:
х = о^х' + а2у' + А'о' (3)
У-р1*' + Р2У'+Уо.
Эти соотношения называются
формулами преобразования
общих декартовых координат
точек.
Мы видим, что координаты точки М
в системе Оеге2 выражаются через
координаты той же точки в системе 0'в\ е2
при помощи системы линейных
уравнений. Коэффициентами при х' являются
координаты вектора вь а при у'
—координаты вектора е2\ свободными членами
60
являются координаты нового начала в старой системе координат.
Так как векторы е\ и ?2 не коллинеарны, то
6 =
Pi Р2
О, (4)
поэтому система (3) всегда разрешима относительно х\ у'. Это
позволяет координаты точки М в новой системе 0е\в2 выразить через
координаты той же точки в старой системе Оехе2\
Г</ /V/ />у
х' = ахх + а2у + х0, ,х\
/^/ /-ч/ /v/ V"V
где
ft
Xq <У*2
ai = T> а2=— т» *" = — 1Уор2
о о
II <6>
Pi = -7T. ^ = Т> у0 kyol.
6 б 6
2. Частные случаи преобразования общих декартовых систем
координат. Если при переходе от системы Ое±е2 к другой системе
0'в\ е*2 векторы ех и е2 не меняются, т. е. е\ = е1 и еч = е2, то
такое преобразование называется переносом начала координат. В
данном случае е\ {1, 0}Ов^2, в2 {0, 1}о*ге2, поэтому формулы (3)
принимают вид:
X = X + XQ, /j\
У = У' + Уо- {П
Эти выражения называются формулами
преобразования при переносе начала координат.
Если при переходе от системы Оеге2 к другой системе Огв\ е'г
начало координат не меняется, т. е. О = О', то такое преобразование
называется поворотом системы координат. Существенно отметить,
что при повороте, вообще говоря, Z. (е19 е2) Ф ^- {е\, е'ъ), \ ег \ ф
Ф\е\\, \е2 \Ф\е2\.
При повороте системы координат точка О' в системе Ое1е2 имеет
координаты (0, 0), поэтому соотношения (3) принимают вид:
х = агх' + а2у', /ох
y = Pi^ + p2/: w
Эти соотношения называются формулами
преобразования при повороте системы координат.
3. Ортогональные матрицы второго порядка. Для дальнейшего
изложения необходимо ввести следующее определение: матрица
второго порядка
61
te) »
называется ортогональной, если ее элементы удовлетворяют
следующим условиям:
ах + Р? = I, al + $ =1, аха2+ рхр2 = 0. (10)
В качестве примеров рассмотрим следующие матрицы:
V2 У2\ {УЪ }_
.А!).(Л~Л (о-?)- ,'7-1 <»>
Читатель без труда может убедиться в том, что элементы каждой из
этих матриц удовлетворяют условиям (10).
Если ввести в рассмотрение прямоугольный декартовый базис
плоскости, то элементы ортогональной мшприцы (9) можно
истолковать как координаты двух единичных взаимно перпендикулярных
векторов, заданных в этом базисе. В самом деле, пусть в базисе /,/ даны
векторы qx {аг, рх} и q2 {a2» Рг}* Соотношения (10) показывают, что
Я\ и Я2— единичные взаимно перпендикулярные векторы. Пользуясь
этим замечанием, можно доказать следующую теорему.
Теорема [11.11. Если дана ортогональная матрица второго
порядка (9), то всегда существует такой параметр ф, что все элементы
матрицы (9) выражаются через этот параметр и матрица принимает
вид
соэф — Бтф\ /J2)
sin ф cos ф/ v
или
ах>ф sinq>\ (i3)
sin ф — cos ф '
Доказательство. Пусть /,/ — прямоугольный
декартовый базис. Согласно предыдущему замечанию векторы q1 {alf pt}
и q2 {a2, Р2} также образуют прямоугольный декартовый базис. Пусть
ф = 2$. (/, qj, atj) = 4 ('", <72)- Согласно следствию Г теоремы [4.5]
имеем:
ах = cos ф, Pt = sin ф; а2 = cos -ф, Р2 = sin г|з.
Согласно п. 8 § 4 имеем: -?"(*> Яъ) = -4 (Л Яг) + 4 (Яи Я*)-
Возможны два случая.
а) Базисы q±J q2 и i,j имеют одну и ту же ориентацию. В этом
случае ^{qly q2) = + 90°, поэтому предыдущее соотношение запишется
так: "ф = ф + 90°; отсюда следует, что cos г|э = cos (ф + 90°) =
= — sin ф, sin г|) = sin (ф + 90о)=соБф, поэтому матрица (9)
принимает вид (12).
62
б) Базисы q^q<L и /,/ имеют разные ориентации. В этом случае
ф = ф — 90°, cos ф = cos (ф — 90°) = sin cp, sin if> = sin (ф — 90°) =
= —созф, поэтому матрица (9) принимает вид (13).
Придавая ф конкретные значения, мы получим различные примеры
ортогональных матриц. В частности, первые две матрицы (И)
получаются из матрицы (12), если положить фх = 0 и ф2 = 45°, а
следующие две матрицы получаются из (13) при ф3 = 0 и ф4 = 30°.
4* Связь между координатами точек в различных прямоугольных
декартовых системах» Формулы (3) преобразования координат
остаются справедливыми также и в том случае, когда системы координат
Оехе2 и Оге[ еь прямоугольные декартовы. В этом случае е\ {at, Рх}
и в2 (а2, р2} — единичные взаимно перпендикулярные векторы,
поэтому матрица (9), образованная из координат этих векторов,
является ортогональной.
Если ввести обозначение ф = -*?(/, /') и предположить, что системы
О ij и O'i'j' имеют одну и ту же ориентацию, то согласно теореме
[11.1 ] матрица (9) приобретет вид (12) и соотношения (3) примут вид:
х = х' cos ф — у' sin ф + х0, /|4)
у = х' sin ф + у' cos ф + Уо-
Если системы О ij и O'i'j' имеют разные ориентации, то матрица
(9) приобретает вид (13); соотношения (3) запишутся так:
х = х' cos ф + у' sin ф + х0, /щ
у = х' sin ф — у' cos Ф + у0-
5. Обратная задача. Пусть теперь дана общая декартовая система
координат 0еге2 и система уравнений (3), коэффициенты которой
удовлетворяют условию (4). Существует ли такая новая общая
декартовая система координат О'е^е^, при переходе к которой
формулы преобразования координат точек имеют вид (3)? Для того чтобы
ответить на этот вопрос, введем в рассмотрение точку О' (#0, у0) и
векторы е\ {а1э рх}, е2 {а2, р2}, где числа х0, у0, а1э 01э а2, р2 взяты
из уравнений (3). Векторы ег\ е2' линейно независимы, так как их
координаты удовлетворяют условию (4). Отсюда следует, что 0'е\ег
является общей декартовой системой. Если записать формулы
преобразования координат при переходе от системы Оеге2 к системе
О'е'хво, то мы убеждаемся в том, что полученные формулы имеют
вид (3).
Мы доказали следующую теорему.
Теорема [11.2]. Если дана система координат Оеге2 и
система линейных уравнений (3), коэффициенты которой удовлетворяют
условию (4), то существует система координат 0'е^е2\ при
переходе к которой соотношения (3) являются формулами преобразования
координат точек. Новая система определяется соотношениями (1).
Из этой теоремы непосредственно следует:
Теорема [11.3]. Если дана прямоугольная декартова система
Oij и система линейных уравнений (3), коэффициенты которой обра-
63
зуют ортогональную матрицу, то существует прямоугольная
декартова система O'i'f, при переходе к которой соотношения (3)
являются формулами преобразования координат точек. Новая система
определяется так:
О' (x0i у0), /' К, рх}, у' {а2, р2}.
В самом деле, существование новой системы координат следует
из предыдущей теоремы. Из условия ортогональности матрицы
коэффициентов вытекает, что новая система является прямоугольной
декартовой.
Пример. Определить координаты новых координатных
векторов и нового начала в старой системе, если формулы преобразования
имеют вид:
а) х = 2х' — у + 3; б) х' = 2х — у; в) х = УТх'— Зу2 + 2;
у = х' + 2у' + 1; у' = х — Зу + 1; у = 2х' — 3]/2 у'— 2.
Решение, а) Так как данная система удовлетворяет условиям
теоремы [11.2], то новая система существует, начало О' и
координатные векторы е'\у e<i имеют следующие координаты:
О' (3, 1,) е\{2, 1}, *{-1,2).
б) Для того чтобы применить теорему [11.2], предварительно
выразим л; и у через х' и у'. Заметим, что определитель системы б) не
равен нулю, поэтому х и у однозначно выражаются через х' и у':
3, 1 / , 1 1/ 2 , ,2
Отсюда, применяя теорему [11.2], получаем:
°'(l'f), *{?• !}• е'А~~\' ""!}•
в) Легко видеть, что в данном случае условие (4) не выполняется,
так как определитель, составленный из коэффициентов при х и у',
равен нулю. Отсюда следует, что не существует такой системы
координат Ох'у', при переходе к которой уравнения в) являются
формулами преобразования.
6. Комплексная плоскость. Для дальнейшего изложения нам
необходимо ввести в рассмотрение так называемые
невещественные точки и векторы плоскости.
Если на плоскости дана общая декартова система координат, тс
каждая точка задается двумя координатами х, у и, наоборот, каждой
паре действительных чисел, взятых в определенном порядке,
соответствует некоторая точка плоскости. Таким образом,
устанавливается взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех
точек плоскости и совокупностью всех пар вещественных чисел, взятых
в определенном порядке. Теперь мы расширим понятие точки и при
выбранной системе координат точкой назовем любую пару к о м п л е к-
64
сны х чисел, взятых в определенном порядке (ху у). Точки (х1У ух)
и (jc2, у2) совпадают тогда и только тогда, когда хг = х2 и у1 = у2.
Если обе координаты точки вещественны, то она называется
действительной или вещественной, если же хотя бы одна
координата невещественна — комплексной или
невещественной. Если точка в системе Оехе2 имеет координаты (х, у),
то мы будем считать, что та же точка в системе 0'е\ е% имеет
координаты (х\ у'), которые определяются из соотношений (5). В этих
соотношениях коэффициенты при х, у и свободные члены выражаются через
данные числа х0, у0; а1у рх; <х2, Р2, характеризующие новую систему
координат, при помощи соотношений (6). Так как Oe±e2 и 0'е\ в2 —
обычные общие декартовы системы координат, то числа х0, у0, а/э fit
(i = 1,2) всегда действительны, поэтому числа х0, у0, ah р,- также
действительны. Отсюда следует, что понятие действительных и
комплексных точек не зависит от выбора системы координат. Например,
если точки А (/, 1), В (О, 5), С (/, i + 1) заданы в системе Оех е2, то
те же точки в системе 0'е\ в2, где О' ==0, е\ = 2е1У в2 =—?2,
имеют координаты: А / —, — 1 ), В (О, —5), С (—, —i— 1 ), так как
*=т.у=—у.
Две точки, у которых соответственные координаты являются
сопряженными комплексными числами, называются комплексно
сопряженными точками. Легко показать, что понятие комплексно
сопряженных точек не зависит от выбора системы координат.
Совокупность двух комплексных точек Л и В на комплексной
плоскости называется отрезком. Если точки А и В взяты в
определенном порядке, то такой отрезок называется направленным отрезком
или вектором и обозначается через АВ. Если в выбранной системе
координат точки А и В имеют соответственно координаты (а1э Ьг),
(а2, Ь2), то координатами вектора АВ называются числа {Ьг — а19
^2 — аг}- Вектор называется действительным или вещественным,
если обе его координаты действительные числа, в противном случае
он называется невещественным. Все понятия векторной алгебры,
рассмотренные в главе I (равенство векторов, свободный вектор, основные
действия, коллинеарность и т. д.), без особого труда
распространяются на векторы комплексной плоскости. Мы не будем
останавливаться на этом вопросе, так как это выходит за рамки настоящего
учебного пособия1.
Совокупность всех действительных и комплексных точек и
векторов плоскости называется комплексной плоскостью. Из предыдущего
изложения ясно, что комплексная плоскость содержит как действи-
1 В настоящем пункте дано схематическое изложение понятия комплексной
плоскости. Более полное и строгое изложение этого вопроса для пространства п
измерений читатель может найти в книге [4].
65
тельные, так и комплексные точки и векторы. Множество всех
действительных точек и векторов обычной плоскости содержится в комплекс-
ной плоскости.
Для точек комплексной плоскости нельзя ввести понятие «лежать
между», так как это понятие существенно связано со свойством
«упорядоченности» действительных чисел. Однако на комплексной
плоскости можно ввести понятие деления отрезка в данном
отношении. Пусть А, — некоторое отличное от нуля число (действительное
или комплексное!), а (х1У yj и (х2, у2) соответственно координаты
точек А и В на комплексной плоскости в системе Оехе2- Будем говорить,
что точка М (х, у) делит отрезок А.В в отношении К, если координаты
точки М в системе Ое^е^ выражаются через координаты точек А и В
следующим образом:
х=х1±Хх1 Уг + Ьу*ш (1б)
1+Х У 1 + А, V
Покажем, что это понятие является инвариантным, т. е. не
зависящим от выбора системы координат. В самом деле, пусть (*', у'),
(х'\, yi), (ль, У2) — координаты соответственно точек М, А и В
в новой системе координат 0'в\ #2, тогда согласно формул (5) имеем:
х =а,х + а2у + *а = °Ч \\ * + а2 у\ \ /2 + х0;
1 —I— л. 1 -|- к
у' = р^ + М + Уо = Pi "Т^Г + р2 i+x" + Уо'
Эти соотношения, как легко видеть, приводятся к следующему виду:
, __ х\ -\-\х2 , _ у\ + Ху2
Л , у .
1+А, \+Х
Таким образом, в новой системе координат координаты точки М
выражаются через координаты точек А и В с помощью тех же
формул (16).
Если точка М делит отрезок АВ в отношении X = 1, то говорят,
что М является серединой отрезка АВ. Координаты середины отрезка
АВ с концами А (хг, ух) и В (х2, у2), как следует из соотношений (16),
вычисляются по формулам:
*=*?*. У=^-- 07)
Из соотношений (17) непосредственно следует:
Теорема [11.4]. Середина отрезка, образованного комплексно
сопряженными точками, всегда является действительной точкой.
Это предложение в дальнейшем будет использовано при изучении
кривых второго порядка.
66
§ 12. Полярные координаты
В аналитической геометрии наряду с
общими декартовыми и прямоугольными
декартовыми координатными системами
рассматриваются и другие системы
координат. Одной из наиболее
распространенных является полярная система.
Настоящий параграф посвящен этому вопросу.
1. Определение полярных координат.
Возьмем на ориентированной плоскости
точку О и некоторую ось, проходящую через эту точку. Ось
может быть задана, например, единичным вектором / (рис. 38).
Точку О, вектор / и положительное направление обхода плоскости
будем называть полярной системой координат. Точка О называется
полюсом, а взятая ось 01 — полярной осью. Покажем, что если дана
полярная система координат, то каждая точка плоскости может быть
задана при помощи двух чисел. Пусть М — произвольная точка
плоскости, отличная от полюса О. Положение этой точки может быть
однозначно определено заданием длины отрезка ОМ и углом ф = (/, ОМ).
Угол (/, ОМ) определяет положение луча ОМ на плоскости, а
расстояние г = ОМ — положение точки М на этом луче. При этом,
так как задание полярной системы координат определяет ориентацию
/ч—>-
на плоскости, то угол (/, ОМ) в соответствии с соглашением,
введенным в п. 8, § 4, будет положительным, если поворот луча О/ полярной
оси вокруг точки О до совпадения с лучом ОМ совершается в
положительном направлении; в противном случае он считается отрица-
2
тельным. Например, при г = 3, аф = — я точка N, соответствующая
этим числам, лежит на луче h, составляющем с осью / угол — ,
о
и отстоит от О на расстоянии г = 3 (рис. 38). Сама точка О
характеризуется условием: г = 0. Для этой точки угол ф неопределен. Числа
г и ф называются полярными координатами точки. При этом г
называется полярным радиусом или первой полярной координатой, а ф —
полярным углом или второй полярной координатой. Если г и ф —
полярные координаты точки М в системе О/, то это обстоятельство
обычно записывают так: М (г, ф). Например, точки А, В, С, D, Е и
F на рисунке 39 имеют полярные координаты:
Л(2,^-), В(3, 0), C(l. ?), d(}, i
B(f«)- Ф-Т)-
Заметим, что полярный угол точки имеет бесчисленное множество
значений: если ф — какое-нибудь одно значение этой координаты, то
67
Ф ± 2я&, где k — любое
целое число, являются
значениями этой координаты.
Значение ф0 второй полярной
координаты данной точки,
удовлетворяющей условию
—я <с ф0< я,
называется главным,
2. Связь между
полярными и прямоугольными
декартовыми координатами точек.
Пусть 01 — данная полярная
система координат, Oij
—прямоугольная декартова систе-
Рис. 39. ма, причем -*?(*, /) = 90°.
Здесь предполагается, что
положительное направление
плоскости совпадает с положительным направлением данной системы.
Установим связь между прямоугольными декартовыми и полярными
координатами одной и той же точки. Пусть г, ф и х, у
соответственно полярные и прямоугольные декартовы координаты точки М.
Из теоремы [4.5] следует, что вектор ОМ
имеет координаты
яедует, что вектор
ОМ соэф, ОМ sin ф, гдеф= (/, ОМ). Учитывая, что ОМ=г
иф—полярный угол точки М, и принимая во внимание, что х, у суть
координаты вектора ОМ, получаем:
X = Г COS ф, у = Г Sin ф.
Отсюда можно выразить г и ф через х и у:
г = Ух2 + у2 , ф = arctg -7
(1)
(2)
Из второй формулы (2) по заданным х и у угол ф не определяется
однозначно. Поэтому при определении ф следует учесть, что
при у > 0, х > 0 0<ф<-у;
при х < 0, у > 0 — < ф < я;
Зя
при у < 0, х < 0 я < ф < — ;
Зя
при у < 0, х>0 —<ф<2я.
3. Обобщенные полярные координаты. При решении некоторых
задач, например при задании линий уравнением в полярных коор-
68
динатах, вводят в рассмотрение так называемые обобщенные полярные
координаты точки.
Из определения полярных координат вытекает, что каждая точка
плоскости имеет свои полярные координаты, причем полярные
координаты любой точки являются действительными числами (г, ф), из
которых второе может быть любым числом, а первое
неотрицательно. Отсюда следует, что не всякая пара действительных чисел
является полярными координатами точки. Например, на плоскости не
существует точки с полярными координатами I —3, —}. Это
обстоятельство создает определенные трудности в тех случаях, когда
рассматриваются уравнения линий в полярных координатах. Для устранения
этого неудобства обобщим понятие полярных координат так, чтобы
любая пара действительных чисел определяла на плоскости
некоторую точку.
Пусть (г, ф) — произвольная пара действительных чисел. Если
г ^ 0, то этой парой определяется точка с полярными координатами
г, ф так, как было указано выше, в п. 1. Если же г < 0, то будем
считать, что этой парой определяется точка М, которая симметрична
точке М' ( | г |, ф) относительно полюса О. Например, пара (—1, —)
определяет точку С, симметричную С, имеющей полярные координаты
1,—) (рис. 39). Такие координаты точки называются обобщенными
полярными координатами.
Легко видеть, что каждая точка плоскости имеет бесчисленное
множество обобщенных (так же, как и необобщенных) полярных
координат. Например, точка А на рисунке 39 имеет координаты:
И)' ИИ2'^) (-2'-тМ-2-?)
Но любая пара чисел, взятых в определенном порядке, определяет
единственную точку с данными полярными координатами.
Например, координаты ( —3, я) определяют единственную точку В,
изображенную на рисунке 39.
В заключение заметим, что формулы (1), определяющие
декартовы координаты через полярные, справедливы также и в том случае,
когда г и ф являются обобщенными полярными координатами. В
самом деле, пусть (/**, ф*) — обобщенные полярные координаты
точки М. Если г* >0, то они являются обычными полярными
координатами точки, поэтому соотношения (1) справедливы. Если /** < 0, то,
очевидно, обычные полярные координаты точки М будут числа
( —г*, ф* +я), поэтому
х = — г* cos (ф* + я), у = — г* sin (ф* + я),
или
х = г* cos ф*, у = г* sin ф*.
69
В § 9—12 мы подробно рассмотрели задание точек в общих
декартовых, прямоугольных декартовых и полярных системах
координат. Следует заметить, что в геометрии для задания точек
плоскости рассматривают многие другие системы координат,
которыми, однако, пользуются значительно реже, поэтому описание этих
координатных систем мы опускаем.
§13. Понятие уравнения множества точек.
Составление уравнения и его исследование
!. Понятие уравнения множества точек. В предыдущих
параграфах этой главы мы ввели понятие координат точек и тем самым
указали аналитический способ задания точек на плоскости. Однако в
геометрии, помимо точек, приходится рассматривать и другие
геометрические объекты, поэтому одной из основных задач этой дисциплины
является определение аналитических характеристик геометрических
образов, более сложных, чем точки. Конечно, каждую геометрическую
фигуру можно рассматривать как множество точек, и в принципе ее
можно задать координатами тех точек, из которых она состоит.
Однако практически это не всегда возможно, так как геометрическая
фигура в большинстве случаев содержит бесчисленное множество точек.
Поэтому для аналитического задания множества точек поступают
следующим образом. Записывают в координатах условие,
отражающее общее геометрическое свойство, присущее всем точкам данного
множества, и только им. По полученному аналитическому условию
определяют, принадлежит ли та или иная точка плоскости
рассматриваемому множеству.
Множества точек не всегда возможно охарактеризовать одним
геометрическим свойством. В отдельных случаях приходится
рассматривать несколько геометрических характеристик, определяющих точки
данного множества. Соответственно этому получается несколько
аналитических выражений, совокупность которых характеризует
полностью точки данного множества.
В этом случае говорят, что множество точек задано уравнениями.
Таким образом, под уравнениями множества точек мы будем понимать
такие аналитические условия, которым удовлетворяют координаты
всех точек данного множества и не удовлетворяют координаты точек,
не принадлежащих этому множеству.
Необходимо подчеркнуть, что термин «уравнение» при задании
множества точек использован не в обычном алгебраическом смысле,
так как множества точек не всегда задаются аналитически в виде
уравнений. Они могут быть заданы, например, и в виде неравенств
(см. ниже, пример 2). Кроме того, в геометрии не ставится задача
решения уравнений, как в алгебре. Здесь, как правило, интересуются
исследованием уравнения множества точек с целью выяснения
геометрических свойств последнего.
70
2. Примеры составления уравнений множеств точек. Рассмотрим
примеры составления уравнений множеств точек.
Пример 1. В прямоугольной декартовой системе координат
дана точка А (2, 5). Найти необходимые и достаточные условия,
которым удовлетворяют координаты множества всех точек, отстоящих от
точки А на расстоянии г = 3.
Решение. Пусть (х, у) — координаты произвольной точки М
рассматриваемого множества точек. Условие МА = 3 является
необходимым и достаточным для того, чтобы М принадлежала данному
множеству. Так как МА = У(х — 2)2 + (у — 5)2, то уравнением
данного множества точек является соотношение ]/"(#—2)2+(у—5)2~
= 3 или эквивалентное соотношение (х —2)2+ (у—5)2= 9. После
элементарных преобразований получаем:
х2+ у2 — 4х — 10у + 20 = 0.
Очевидно, рассматриваемое множество точек есть окружность с
центром в точке А (2,5) радиуса г = 3.
Полученное уравнение можно использовать для выяснения
вопроса о том, принадлежит ли та или иная точка плоскости
рассматриваемой окружности. Например, точки В (0,5 -f ]/5) и С (2,2)
принадлежат окружности, так как их координаты удовлетворяют ее
уравнению, в то время как точки D (1,1), Е (0, 1) не принадлежат
окружности.
Пример 2. Написать необходимые и достаточные условия,
которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих каждой
из заштрихованных фигур, изображенных на рисунке 40. При этом
предполагается, что точки, принадлежащие контурам фигур,
относятся к самим фигурам (система координат для каждой фигуры указана
на рисунке).
Решение. На рисунке 40,а изображен прямоугольник ОАВС,
измерения которого соответственно равны 5 и 3. Очевидно, первые
А (0,3) В
0 I м С(5,0) I
Рис. 40,
71
координаты всех точек, лежащих в полосе между параллельными
прямыми ОА и СВ, вместе с точками этих прямых, удовлетворяют
неравенствам 0 < х < 5, вторые же координаты этих точек
произвольны. Аналогично вторые координаты всех точек, лежащих в полосе
между параллельными прямыми ОС и АВ, вместе с точками этих
прямых, удовлетворяют неравенствам 0 < у < 3, а первые
координаты этих точек произвольны. Данный четырехугольник есть
пересечение рассматриваемых двух полос, поэтому координаты точек
четырехугольника удовлетворяют соотношениям 0 < х < 5, 0 < у < 3. Эти
соотношения могут быть названы «уравнениями» данной фигуры.
На рисунке 40, б изображена замкнутая полуплоскость1. Первые
координаты всех точек этой полуплоскости произвольны, а вторые
координаты не отрицательны. Таким образом, «уравнение» этой
фигуры запишется так: у >- 0.
На рисунке 40, в изображен сегмент, который может быть
рассмотрен как пересечение двух областей: круга с центром в точке О и
радиуса ОВ и полуплоскости А,, определяемой прямой АВ и точкой М.
Так как ОВ = 3, то координаты точек рассматриваемого круга
удовлетворяют условию х2 + у2 < 9. С другой стороны, координаты точек
полуплоскости X удовлетворяют условию: у > 1 (координаты х
произвольны!). Отсюда следует, что «уравнения» рассматриваемой фигуры
могут быть записаны в виде системы неравенств:
х2 +у2 < 9, у > 1.
На рисунке 40, г изображен первый координатный угол,
определяемый системой Ое^е^ Этот угол можно рассматривать как пересечение
двух замкнутых полуплоскостей: полуплоскости, определяемой осью
Ох и точкой В, и полуплоскости, определяемой осью Оу и точкой А.
Точки этих полуплоскостей характеризуются соответственно
условиями: х !> 0 (первая полуплоскость), у > 0 (вторая полуплоскость).
Отсюда следует, что «уравнениями» рассматриваемой фигуры будут
неравенства: х >- 0, у > 0.
3, Линия и ее уравнение. Для дальнейшего изложения необходимо
уточнить понятие линии и ее уравнения. Для этого напомним
некоторые понятия, известные учащемуся из курсов анализа и алгебры.
Пусть F (х, у) — аналитическое выражение, которое зависит от
двух переменных л: и у, принимающих действительные значения.
Например: 1) F (х, у) = ху + х\ 2) F (х, у) = —; 3) F (х, у) = sin (x, у);
У
4) F (х, у) = sin2 (х + у) + cos2 (х + у) — 1. Так как х и у —
произвольные действительные числа, то может случиться, что для
некоторых значений х или у выражение F (х, у) теряет смысл. Так, если в
выражение — подставить значения х = 1 и у = 0, то оно потеряет
У
1 Если со открытая полуплоскость, определяемая прямой /, то объединение
прямой / и полуплоскости со называется замкнутой полуплоскостью или просто
полуплоскостью.
72
смысл; в области действительных чисел потеряет также смысл и
выражение Ух + 1 — у2 при х = 1 и у = 2.
Введем следующее определение: будем говорить, что числа хну
являются допустимыми значениями переменных выражения F (х, у),
если после подстановки данных чисел х и у в F (х, у) получается
некоторое действительное число.
Рассмотрим соотношение
F(x,y) = Q. (1)
Если это равенство выполняется при всех допустимых значениях х и у,
то оно называется тождеством. Например, sin2 (х + у) + cos2(x +
-г У) — 1 = 0 есть тождество, так как оно справедливо при любых
значениях х и у. Обычно тождества обозначаются так: F (х, у) == 0.
В большинстве случаев соотношение (1) выполняется далеко не
для всех допустимых значений х и у. Например, соотношение 1 =
У
= 0 выполняется при х = 1, у = 1 и не выполняется при х = 2,
у = 1. В этом случае соотношение (1) называется уравнением, а пара
чисел х0, у0, обращающая соотношение (1) в правильное числовое
равенство, — его решением. Если числа х0, у0 являются решением
уравнения, то говорят также, что эти числа удовлетворяют
этому уравнению.
Записанные ниже равенства являются примерами уравнений:
х + у — 1 = 0, х2 + у2 = 4, 1 — 2х — у = 0.
Введем следующее важное определение. Пусть на плоскости дана
общая декартова система координат Оеге2и дано уравнение F (х, у) =
= 0. Множество всех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому уравнению, называется линией или кривой, on-
ределяемой данным уравнением1.
Таким образом, если (1) есть уравнение линии L, то L есть
множество тех и только тех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнению (1).
Понятие линии, определяемой уравнением, тесно связано с
понятием графика функции, хорошо известным из курса средней
школы. В самом деле, пусть (1) — уравнение линии L. Иногда это
уравнение удается разрешить относительно у, т. е. у выразить как
функцию от х:
У = / (*). (2)
Если уравнения (1) и (2) эквивалентны, т. е. если любая пара
чисел, удовлетворяющая уравнению (1), удовлетворяет уравнению (2) и
наоборот, то, как нетрудно видеть, линия L, определяемая уравнением
(1), будет графиком функции / (х).
1 В дальнейшем мы часто будем пользоваться термином «линия (1)» вместо
«линия, определяемая уравнением (1)*%
73
Определение линии, данное выше, является слишком широким,
и в ряде случаев в соответствии с этим определением можно получить
такие множества точек, которые никак не отвечают нашему наглядному
представлению о линии. Например, линия, определяемая уравнением
У — I У I = 0, как легко видеть, есть одна из замкнутых
полуплоскостей, определяемых осью Ох, так как это уравнение эквивалентно
соотношению у > 0. Обычно при определении тех или иных классов
линий на функцию F (х, у) накладывают дополнительные
ограничения. Наиболее естественным является следующее: если точка М0
принадлежит линии L, определяемой уравнением (1), то любая
окрестность1 этой точки содержит точки, не принадлежащие линии L.
Обычно на функцию F (х, у) накладывается более жесткое
ограничение, а именно требуется, чтобы существовала такая непрерывная
функция / (х), что уравнения (1) и (2) были бы эквивалентны. В
настоящем курсе мы всюду будем предполагать, что выполнено первое
из этих условий. Однако в большинстве случаев будем рассматривать
только такие кривые, которые определяются уравнением вида (1),
где F (х, у) — многочлен первой или второй степени от двух
переменных. Такие кривые называются алгебраическими кривыми
соответственно первого или второго порядка2.
В геометрии рассматриваются следующие две основные задачи:
а) зная множество точек, написать его уравнение; б) зная уравнение,
исследовать свойства множества точек, определяемого данным
уравнением. Рассмотрим примеры.
Пример. Исследовать множества точек,-заданных уравнениями:
а) х = у\ б) у (у — х) = 0.
Решение, а) Уравнение х—у может быть записано так:
х у
1 1
= 0. Очевидно, этому уравнению удовлетворяют координаты тех и
только тех точек плоскости, радиус-векторы г {х, у} которых колли-
неарны вектору р {1, 1}. Отсюда следует, что рассматриваемое
множество есть прямая т, проходящая через начало координат и
параллельная вектору р (рис. 41).
б) Если координаты точки (х, у) удовлетворяют уравнению
У (У — х) = 0, то либо у = 0, либо у — х = 0. Обратно, если
координаты точки плоскости удовлетворяют одному из условий у = 0 или
у — х = 0, то точка принадлежит рассматриваемому множеству.
Таким образом, исследуемое множество состоит из тех и только тех
точек, координаты которых удовлетворяют условиям у = 0 или
у — х = 0. Первым условием характеризуются точки оси Ох, а
вторым условием —точки прямой т (рис. 41).
Последний пример показывает, что даже при предположении, что
кривая является алгебраической кривой второго порядка, введенное
1 В плоскости я окрестностью точки М0, лежащей в этой плоскости, называется
любой открытый круг плоскости с центром в точке М0.
2 Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 38, п. 1.
74
выше определение кривой
является достаточно широким и
не всегда совпадает с обычным
представлением о кривой.
По аналогии с предыдущим
можно ввести понятие уравнения
кривой в полярных координатах.
Рассмотрим пример.
Пример. Исследовать
множества точек плоскости,
заданных уравнениями в
полярных координатах: а) р = 3;
б) ф = -*; в) psin ф = 10. Р'ис. 41.
Решение, а) Условие р = 3 определяет окружность радиуса 3
с центром в полюсе.
б) Если ф = —, то точка лежит на луче А, исходящем из полюса
о
и образующем с полярной осью угол —. Обратно, если точка при-
о
надлежит лучу /i, то ф = —. Таким образом, искомое множество
о
есть совокупность точек луча h. (Здесь предполагается, что полярные
координаты точек не являются обобщенными.)
в) В данном случае проще перейти к прямоугольной декартовой
системе. Если начало координат совместить с полюсом и вектор j взять
так, чтобы (/, J) =+ 90°, то, как известно (см. § 12), х=р соэф, у=
— psin ф. Таким образом, исследуемое множество точек в
прямоугольной декартовой системе координат задается уравнением у = 10. Этим
соотношением определяется прямая, проходящая через точку (0, 10)
и параллельная оси Ох.
4. Окружность. Из курса элементарной геометрии известно, что
окружность играет важную роль в геометрии. Применим предыдущую
теорию к изучению окружности. Окружность есть множество всех точек
плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой плоскости,
называемой центром. Пусть в прямоугольной декартовой системе 01 j
точка С (х0, у0) является центром окружности радиуса г. Для того
чтобы М (х, у) принадлежала окружности, необходимо и достаточно,
чтобы МС = г или, в координатах, У(х — х0)2 + (у — у0)2 = г. Так
как в левой части берется только арифметическое значение корня, то
предыдущее соотношение эквивалентно следующему:
(х - х0)2 + (у - у0)2 = Л (3)
или в развернутом виде:
Х2 + у2 _ 2х0х - 2у0 у + xl + yl — г2 = 0. (4)
75
В частности, если центр окружности совпадает с началом
координат, то х0 = у0 = 0 и уравнение принимает вид:
Х2 + у2 = Л (5)
Мы приходим к выводу, что в прямоугольной декартовой системе
координат окружность с центром в точке С (х0, у0) радиуса г имеет
уравнение (4). Если центр окружности совпадает с началом
координат, то ее уравнение имеет вид (5).
Этот вывод показывает, что уравнение любой окружности в
прямоугольной декартовой системе координат имеет вид:
х2 + у2 + Ах + By + С = 0. (6)
Возникает вопрос, при любых ли значениях коэффициентов А, В, С
этим уравнением определяется окружность? В следующей теореме мы
находим ответ на поставленный вопрос.
Теорема [13.1]. Множество действительных точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению (6), есть: а) окружность с центром в
точке {~, —1?) и радиусом г = VA*+B*-4C ^ есш ^2+В2_4с>0;
2 2) н™»*™™ 2
б) точка с координатами ( , ), если А2+ В2—4С=0; в)
пустое множество, если Л2+ В2 — АС < 0.
Доказательство. Уравнение (6) можно преобразовать
так:
х2 + Ах + ^ + у2 + Ву + ^+С-^-^=0
4 4 4 4
ИЛИ
Возможны следующие случаи:
а) А2 + В2 — 4С > 0. В этом случае соотношение (7), которое
эквивалентно соотношению (6), может быть записано так:
(-т)Г+["-(-1)Г-[^
?2—4С I2
Очевидно, этим уравнением определяется окружность с центром в
точке ( , ] и радиусом г = УА2+В2— 4С^
б) А2 + В2 — 4С = 0. Соотношение (7) принимает вид:
(*+тН»+!),-Л
Этому соотношению удовлетворяют координаты единственной точки
/——, 1. Таким образом, множество точек состоит из одной
76
точки. Для общности можно сказать, что в данном случае
рассматриваемое множество есть окружность нулевого
радиуса.
в) А2 + В2 — 4С < 0. В этом случае не существует на плоскости
ни одной действительной точки, координаты которой удовлетворяют
уравнению (7) или (6). Искомое множество не имеет ни одной точки.
Теорема доказана.
Заметим, что в последнем случае существуют комплексные числа,
удовлетворяющие уравнению (6) или (7), поэтому говорят, что
множество состоит из комплексных точек и является «мнимой
окружностью».
§ 14. Некоторые замечательные кривые 1
В этом параграфе рассмотрим некоторые важнейшие кривые, встречающиеся
на практике2.
1. Циклоида. Циклоидой называется траектория, описываемая
точкой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по данной прямой I.
Приняв прямую / за ось абсцисс, начальное положение точки М за начало
координат и выбрав координатные векторы так, как указано на рисунке 42, напишем
уравнение кривой. Сначала напишем параметрическое задание циклоиды, т. е.
выразим координаты произвольной точки (х, у) кривой как функции от некоторого
параметра: х = /г(ф), у = /2(ф) Далее, исключив из этих двух соотношений ф, получим
уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах.
Пусть М (х, у) — произвольная точка циклоиды, 5 — центр катящейся
окружности, а Я — основание перпендикуляра, опущенного из точки S на ось абсцисс
(рис. 42). Примем в качестве параметра угол, который образует луч SM с лучом SH,
т. е. ф = Z. MSH. Если М1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки М
на ось абсцисс, а М2 — основание перпендикуляра, опущенного из гой же точки на
ось ординат (точки М1 и М2 на рис. 42 не изображены), то М1 (х, 0), а М2 (0, у).
Если х > 0, то
х = ОМх = ОН — М^Н = гф — г sin ф = г (ф — sin ф);
у = ОМ2 — т — г cos ф = г (1 — cos ф).
Hi
0
Т t
F1^:
/ А х
Рис. 42.
1 Изучение материала этого параграфа не считается обязательным. Подробнее
о свойствах замечательных кривых можно прочитать в книге [7].
2 Все задачи этого параграфа рассматриваются на евклидовой плоскости, т. е«
являются метрическими, поэтому при решении каждой задачи мы выбираем
прямоугольную декартову или полярную систему координат,
П
В случае х < О мы приходим к тому же результату, так как в этом случае ф < О
и поэтому х = —ОМг = —ОН + МХН = гф — г sin ф. Таким образом, циклоида
имеет следующее параметрическое задание:
х = /-(ф — sin(p), (1)
У = Г (1 — СОБф).
Запишем уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе. Для этой
цели исключим из соотношений (1) параметр ф. Из второго уравнения (1) получим:
г—У г —у
cos ф = , ф = arccos .
Подставив это значение ф в первое уравнение (1) и учитывая, что
sin ф = у 1 - cos2<p = тД _ (yziY = У у & - у) ,
получаем:
г г — у
х -\-у у(2г — у) = г arccos .
Для построения циклоиды заметим, что она периодическая; период (базис
циклоиды) О А = 2яг Поэтому при построении кривой достаточно рассмотреть
только те точки, для которых 0 < х < 2пг. Кривая изображена на рисунке 42.
2. Эпициклоида. Эпициклоидой называется траектория,
описываемая точкой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по внешней стороне
другой окружности радиуса R.
Примем центр О неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой
системы координат, а любые две взаимно перпендикулярно направленные прямые,
проходящие через эту точку, — за координатные оси. Если за параметр принять
меру угла ф == ? СОХ, где С — центр катящейся окружности, а X — точка на
положительной полуоси Ох, то эпициклоида будет иметь следующее параметрическое
задание:
R+r
х = (R + г) cos ф — г cos ф,
R + r
у = {R+r) sin ф — г sin ф.
Предлагаем читателю по аналогии с выводом уравнения циклоиды вывести эти
уравнения.
В частном случае, когда г == R, предыдущие уравнения принимают вид:
х = 2г cos ф — r cos 2ф,
у = 2л sin ф — г sin 2ф.
В этом случае кривая называется кардиоидой. Кардиоида изображена на
рисунке 43.
3. Гипоциклоида. Гипоциклоидой называется траектория,
описываемая точкой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по внутренней
стороне окружности радиуса R.
Примем центр О неподвижной окружности за начало прямоугольной декартовой
системы координат, а любые две взаимно перпендикулярные направленные прямые,
проходящие через точку О —за координатные оси. Если за параметр принять угол
Ф = jL СОХ, где С — центр катящейся окружности, а X — точка положительной
полуоси Ох, то гипоциклоида будет иметь следующее параметрическое задание:
х = (R — г) cos ф + r cos ф;
78
Рис. 43.
Рис. 44.
у =(R — г) sin ф —^ г sin ¦
Предлагаем читателю по аналогии с предыдущим вывести эти уравнения.
В частном случае, когда г — — R, предыдущие уравнения принимают вид:
4
х = 3r cos ф + г cos Зф,
у = Зг sin ф — г sin Зф.
В этом случае кривая называется астроидой. Астроида изображена на рисунке 44..
4. Конхоида Никомеда. Дана прямая / и точка S, отстоящая от нее на
расстоянии а Ф 0. Через точку S проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых
от точки В пересечения с прямой / откладывается в обе стороны отрезок, равный Ь.
Множество концов этих отрезков называется конхоидой Никомеда. Приняв точку 5
за полюс полярной системы и направив полярную ось от точки S перпендикулярно к
/, напишем уравнение конхоиды Никомеда. Пусть 5В — произвольная прямая,
проходящая через 5 и пересекающая прямую / в точке В (рис. 45). Тогда точки Мх и
М2, лежащие на этой прямой и отстоящие от точки В на расстоянии 6, принадлежат
искомому множеству точек. Если (рх, ф) и (р2, ф) — обобщенные полярные
координаты точек Мх и М2 (см. § 12), то, очевидно,
Pl = SM,= SB + ВМХ = —— +b, р2 = SM2 = SB— ВМ0 = -2— — b.
^ С05ф " С05ф
Таким образом, в обобщенной полярной системе кривая задается следующим
уравнением:
а
р = ± Ь.
COS ф
Отметим, что это уравнение эквивалентно уравнению
cos ф
= Ь*,
(2)
(3)
поэтому уравнение (3) также является уравнением конхоиды Никомеда.
79
Теперь запишем уравнение
кривой в прямоугольной декартовой
системе координат Sxy (см. рис.
45). Для этого воспользуемся
соотношениями: х=р cosqp, y=p sinq),
х
откуда соэф = —. Подставив полу-
Р
ченное значение для соэф в
соотношение (3), получим:
или
(х2 + у2) (х — а)2 = ЬЧ2.
Кривая для случая ayb
изображена на рисунке 45, а, а для
случая а—Ь—на рисунке 45, б.
Отметим, что конхоидой
данной кривой называется кривая,
получающаяся при увеличении или
уменьшении полярного радиуса
каждой точки данной кривой на
постоянный отрезок Ь. Если р = /(ф)
есть уравнение данной кривой
в полярных координатах, то р =
=/ (ф) ± Ь — уравнение конхоиды.
Таким образом, конхоида Нико-
меда есть конхоида прямой линии.
5. Улитка Паскаля.
Улиткой Паскаля называется
конхоида окружности, если за полюс
О выбрана точка на окружности.
Пусть г — радиус данной
окружности и 6 — постоянный
отрезок, который откладывается на
полярном радиусе. Примем диаметр
окружности, проходящий через О,
за полярную ось, а угол ф между
этой осью и полярным радиусом —
за полярный угол (рис. 46). Если
М0 — произвольная точка
окружности, а Мг и М2 —точки улитки
Паскаля на прямой ОМ0, то
ОМг = ОМ0 + Ь;
ОМ2 = ОМ0 — Ь.
Пусть ф = /L СОМ0, а ф' =
/L СОМ'0, где m'q — произвольная
точка на продолжении луча OMQ.
Очевидно, ф' = ф + я, ОМг =
=ОМ0 + 6 = 2г cosy+b, —ОМ2=>
= Ъ — ОМ0 = Ь — 2г cos ф = Ь +
+ 2г cos ф'. Если р —
обобщенный полярный радиус точки, то из
полученных соотношений видно, что
р = 2 г cos ф + Ь. (4)
Рис. 47.
Эта формула позволяет вычислить полярный радиус как точки Мъ так и
точки М2. Таким образом, соотношение (4) является уравнением улитки Паскаля в
обобщенных полярных координатах.
Для того чтобы записать уравнение кривой в прямоугольной декартовой системе
Oij, возьмем вектор J так, чтобы (lj) = +90°, тогда
х = р cos ф, у = р sin ф, р = У х2 -\- у2.
Отсюда получаем:
X X
COS ф = — = , -.
^ р Ух2 + у2
Подставив эти значения в уравнение (4), получаем:
V& + У2 = 2г 1/-11—g + *,
или
*2 + У2 — 2га: = }/"** + у2 6.
Это уравнение эквивалентно следующему:
(х2 + у2 — 2гх)2 = (х2 + у2)Ь2.
6. Овал Кассини. Пусть Fx и F2 — две фиксированные точки, Ь —
постоянное число и FiF2 = 2с. Овалом Кассини называется множество точек М,
для которых
FXM • F2M = b2.
Приняв прямую FLF2 за ссь абсцисс, середину отрезка FXF2 за начало координат и
направив координатные оси ОХ и О К так, как указано на рисунке 47, напишем
уравнение кривой.
81
Рис. 48.
Пусть М (х, у) — произвольная точка данного множества. Так как FiF2 = 2с, то
точки " Fi и F* будут иметь координаты Рг (—с, 0), F2 (с, 0), поэтому соотношение
FiM - F2M = b2 в координатах запишется так:
I (х + с)2 4- У2 ' V(x — с)2 + у2 = о2.
Это уравнение эквивалентно уравнению:
1(х + с)2+ у2\{(х-с)2-\- у2} = ЪК
После элементарных преобразований получаем:
[(х2 + у2 + с2) + 2хс] [(х2 + у2 + с2) —2хс}= б4.
Отсюда имеем: (х2 + у2 + с2)2 — 4л:2с2 = Ь4, или
(Х2 + у2)2 + 2 (^2 + у2)с2 + с4 — 4.А2 = ЬК
Окончательно получаем следующее уравнение овала Кассини:
(х2 + у2)2 —2с2(х2— у2) = Ь4 — с4. (5)
Овал Кассини называется лемнискатой Берну'лли, если b = с. Из уравнения (5)
сразу получаем уравнение кривой:
(х2 + у2)2 — 2с2 (х2 — у2) = 0. (6)
Овалы Кассини и лемниската Бернулли изображены на рисунке 47.
7. Спираль Архимеда. Луч I, исходящий из неподвижной точки О, вращается
с постоянной угловой скоростью со. Точка М, имея начальное положение в точке О,
движется по лучу I равномерно со скоростью и. Траектория точки М называется
спиралью Архимеда.
Примем точку О за полюс, начальное положение луча / за полярную ось, а
направление движения луча / за положительное направление обхода. Если
р — полярный радиус точки, а ф — полярный угол, то в момент времени t
имеем: ф = (о?, а р = vt. Исключив из этих двух соотношений /, получаем уравне-
v
ние спирали Архимеда в полярных координатах: р = — ф (см. рис. 48).
со
82
§ 15. Приложение метода координат к доказательству теорем
и решению задач элементарной геометрии
Изложенная в этой главе теория может быть с успехом
применена для доказательства теорем и решения задач из курса
элементарной геометрии. В этом параграфе мы приведем некоторые примеры
приложения метода координат к решению геометрических задач.
1. Некоторые свойства треугольников.
Задача 1. Доказать теорему Стюарта: если дан треугольник
ABC и на его основании точка D, лежащая между точками В и С,
то справедливо равенство:
АВ2 • DC + АС2 • BD — AD2 - ВС = ВС - DC - BD. (1)
Доказательство. Систему прямоугольных декартовых
координат возьмем так, как показано на рисунке 49. Введем
обозначения для координат точек А, С и D: А (а, Р), С (v, 0), D (б, 0). При
данном выборе системы координат BD = б, ВС = v.
Теперь вычислим все величины, которые входят в соотношение (1):
АВ2 = а2 + Р2, ВС = v;
ЛС2 = (а — v)2 + Р2, BD = б;
AD2 = (а — б)2 + Р2, DC= v — б.
Подставив эти значения в левую часть соотношения (1), получаем:
АВ2 • DC + АС2 • BD — AD2 ¦ ВС = (а2 + Р2) (v — б) + [(а — v)2 +
+ Р2] б — [(а — б)2 + Р2] v = a2v — а2б + p2v —Р2б + а2б + v26 +
+ Р2б — 2av6 — a2v — 62v — P2v + 2a6v = v26 — 62v = v6 (v — 6) =
= ВС • BD - DC.
Теорема доказана.
Из соотношения (1) получаем формулу для вычисления длины
медианы произвольного треугольника через его стороны. В самом
деле, пусть AD — медиана, т. е. BD = DC. Если положить АВ =
= с, ВС = а, СА = bt AD = m, то
BD = DC = —. Подставив эти значе-
2
ния в (1), получаем: с2 • ~ -f Ь2 • — —
—т2 • а = а • — • — . Отсюда имеем
2 2
следующую формулу:
_ 4
83
m2 = ^±?2_fl. (2)
Мы пришли к выводу, что
квадрат медианы произвольного
треугольника выражается через
координаты сторон этого
треугольника при помощи соотно*
шения (2)1.
Задача 2. Доказать
теорему Менелая: для того
чтобы три точки А и Вг и С1э
лежащие соответственно на
сторонах ВС у С А, АВ
треугольника ABC (или на их
продолжениях), принадлежали одной и той же прямой, необходимо и
достаточно, чтобы
Jcx # вХ и св±_ = j
ВСг САХ ~АВХ
Решение. Возьмем точку А за начало координат, а векторы
А В и АС за координатные векторы общей декартовой системы
координат (рис. 50). Введем обозначения:
Рис. 50.
QB AJC ВУА
и определим координаты точек Alt Bx и Сх. В выбранной системе
координат вершины треугольника АВС\ очевидно, будут иметь координаты
Л (0, 0), В(1, 0), С(0, 1).
Если Аг (xlf ух), Вх (*2, у2) и Сг (х8, у3)> то
1 + М 1__ ч1 _ 0 + ^1 ___ \
Xs =
1 + х, 1 + к9
1
0 + ХЛ
Vi = —
*2 = 0, у2 =
ло —
1 + V
у3 = 0.
1 + V "• 1 + V
Для того чтобы точки Alt Bt и Cj лежали на одной прямой,
необходимо и достаточно, чтобы
X, yt 1
*2 v2 1
*з Уз 1
== 0 или
1 + *1
0
"1
1
0
1
1
1
1 + Ь3
= 0
1 Заметим, что формула (2) может быть также получена из формул задач 2
и4§8.
84
(см. (8) § 10). Отсюда получаем:
1 . ^з
+
*i
1
= 0.
После элементарных преобразований получаем: К1Х2'к3 + 1
ким образом,
Iq ^ вХ_ ^ св^ . лс^ вХ св^_ _ 1
0. Та-
Сф АгС BtA
BCY CAX ABL
Задача 3. На прямой / даны три точки Л, В, С так, что точка В
лежит между Л и С. По одну сторону от прямой / построены
равносторонние треугольники A MB и BNC. Доказать, что середина
отрезка МС, середина отрезка NA и точка В являются вершинами
равностороннего треугольника:
Решение. Пусть Р — середина отрезка МС, a Q — середина
отрезка AN (рис. 51). Требуется доказать, что треугольник PQB
равносторонний. Возьмем на плоскости прямоугольную декартову
систему координат, определим координаты вершин APQB, найдем длины
его сторон и убедимся в том, что PQ = QB = ВР.
Систему координат выберем следующим образом: начало О
совместим с точкой Л, за вектор / примем вектор ЛВ, а вектор J направим
так, чтобы его конец и точки М и N лежали по одну сторону от прямой
/. Если ВС = а, то легко убедиться в том, что вершины данных
треугольников в системе Oij имеют координаты:
Л (0, 0), В(1, 0), С(1 +а, 0),
Щ W(' + T'^»)
Определим координаты точек Р (хг, уг) и Q (х2, у2):
х, =
3+-2а
У1
уг
х% —
2 + а
У2
4
85
Пользуясь формулой для вычисления длины отрезка по
координатам концов, получаем: BQ = PQ =РВ = iJLJZ-1+A.
2. Задача на прямую и окружность.
Задача 4. Найти множество всех точек /И, для каждой из
которых разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В
есть постоянная величина а.
Решение. Прямоугольную декартову систему координат
возьмем так, чтобы ось Ох совпала с прямой Л В, а начало координат с
точкой А (рис. 52). Если А В = я, то в выбранной системе координат:
А (0, 0) и В (а, 0). Для того чтобы точка М (х, у) принадлежала
искомому множеству точек, необходимо и достаточно, чтобы AM2—
— ВМ2 = а или согласно теореме [10.1 ] х2 + у2 — 1(х — а)2 + у2] =
= а. После элементарных преобразований получаем уравнение
искомого множества точек в выбранной системе координат:
х = °±*. (3)
2а V '
Этим уравнением, как легко видеть, определяется прямая,
параллельная оси Оу (т. е. перпендикулярная прямой АВ) и отстоящая от
точки А на расстояние к = 'а . Эта прямая пересекает луч АВ,
2а
если а + а2 > 0, проходит через точку Л, если а + а2 = 0, и
пересекает дополнительный луч, если а + а2 < 0 (см. рис. 52, прямые
*1> *2> 'з/'
Интересно рассмотреть частный случай, когда а = 0, т. е. когда
AM2 — ВМ2 = 0. В этом случае, очевидно, предыдущее соотношение
эквивалентно условию AM = ВМ. Таким образом мы получаем
множество точек /W, равноудаленных от точек Л и Б, уравнение которого,
как следует из соотношения (3), имеет вид: х=—. Мы пришли к
известной из курса элементарной геометрии теореме: множество точек,
равноудаленных от двух точек Л и В, есть прямая, проходящая через
середину С отрезка АВ и перпендикулярная к нему (прямая /4 на
рис. 52).
*3
А
1
е<
с в
6f
h
Рис. 52.
Задача 5. Найти
множество всех точек, отношение
расстояний которых от двух
данных точек постоянно.
Решение. Пусть Л и
В — данные точки. Возьмем
прямоугольную декартову
систему координат так, чтобы
начало координат было в точке В,
а положительное направление
оси абсцисс совпало с направ-
86
лением вектора В А. Если АВ = а, то точка А будет иметь
координаты (а, 0), а точка В — координаты (0, 0).
Если М (х, у) — произвольная точка множества, то = X, где
AM и ВМ — расстояния от точки М до данных точек А и Б, а X —
данное постоянное число, причем А,>0.
Так как AM = У(х — а)2 + у2, МБ = ]/ *2 + у2 , то
]/"(* — а)2 + у2 = XVх2 + У2. (4)
Это соотношение является уравнением искомого множества точек.
Возведем обе части соотношения (4) в квадрат:
(х — а)2 + у2 = X2 (х2 + у2). (5)
Соотношения (4) и (5) эквивалентны, поэтому (5) есть также
уравнение искомого множества точек. Преобразуя это уравнение,
получаем:
Х2 (1 _ 12) + у* (1 _ Х2) __ 2ах + а2 = 0. (6)
Возможны два случая:
а) X = 1. Уравнение (6) принимает вид: — 2ах + а2 = 0, или
# = —. В этом случае искомое множество точек представляет собой
прямую, перпендикулярную к АВ и проходящую через середину А В.
Этот случай нами уже рассмотрен (см. задачу 4 настоящего параграфа).
б) ХФ 1. Разделив соотношение (6) на 1 — X2, получаем:
Х2 + у2 2^_ х + _^_ = о
Так как
4*2 +0з_^^= — >0
1-Х2
4аЧ2
(1_А2)« ' 1-Х2 (1-Х2)2'
то согласно теореме [13.1]. искомое множество точек представляет
собой окружность с центром на прямой АВ. Для построения этой
окружности достаточно построить две точки ее пересечения с прямой АВ.
Задача 6. Дана окружность радиуса г и на ней точка А.
Найти множество точек Q, делящих всевозможные хорды, проведенные
через Л, в одном и том же отношении X;
Хф—\.
Решение. Возьмем
прямоугольную декартову систему координат так,
чтобы центр данной окружности совпал
с началом координат, а точка А имела
координаты А (—г, 0) (рис. 53). Пусть
АВ — произвольная хорда, проходящая
через точку Л, а М — точка множества,
т. е. — = X. Обозначая координаты то-
Ш Рис. 53.
87
чек В я М соответственно через (хг, уг) и (х, у), будем иметь:
—г -f- Ххх Ху±
X =
1 + Х ' \+Х
Отсюда, учитывая, что ХФ— 1, X Ф О, получаем:
1 + fc / , г \ 1 + X
Так как точка В (х1? yL) лежит на данной окружности, то Х\ -f-
+ У1 = г2 , поэтому
i ±Х\2( „ , Г \2 ( /1. j- Х\2л2
* + 7T-J + y2 = UT^ (7)
Мы показали, что если М (х, у) — произвольная точка искомого
множества Q, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7).
Теперь возьмем произвольную точку М (х, у), координаты которой
удовлетворяют уравнению (7), и покажем, что она принадлежит
множеству Q. Уравнение (7) может быть записано в виде:
Рассмотрим на плоскости точку В с координатами:
г \ _ (1 + X) х + г _ (1 + Х)у .
ЦГ\) х ' у* Г~- (9)
Из (8) следует, что точка В лежит на данной окружности. С другой
стороны, из соотношений (9) получаем:
__ —г + Ххх _ ХУ1
Х~ \+Х ' У~~ \ + Х'
откуда следует, что М делит отрезок АВ в отношении X и,
следовательно, М принадлежит множеству 2.
Таким образом, соотношение (7) является уравнением искомого
множества точек. Этим уравнением определяется окружность радиуса
р = —— с центром в точке ( —, 0). Легко видеть, что эта ок-
г 1 + X * \ 1 + X )
ружность при любом X проходит через точку А. При X = 1 одним из
диаметров окружности будет отрезок АО.
Глава 111
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§16. Прямая в общей декартовой системе координат
1. Прямая и ее уравнение. При аксиоматическом построении курса
геометрии прямая, так же как точка и плоскость, рассматривается
как основной, неопределяемый объект. Основные свойства прямой
задаются аксиомами, а остальные выводятся из них логическим
путем. В нашем курсе термину «прямая» мы придадим несколько иной
смысл. Пусть / — некоторая прямая, определяемая аксиоматически.
В дальнейшем под термином «прямая /» будем понимать
геометрический образ, состоящий из множества всех точек, а также множества
всех векторов, принадлежащих I1. Для обозначения принадлежности
точки или вектора прямой I мы будем пользоваться обычными
символами теории множеств: М ? /, р ? I.
На первый взгляд может показаться, что такая точка зрения
усложняет исходное понятие прямой, однако по существу мы не ввели
ничего нового, мы лишь одно понятие заменили другим, эквивалентным
понятием. Эта замена, как мы увидим ниже, позволит, используя
схему, изложенную в § 13, дать аналитическую характеристику
координат всех точек и координат всех векторов прямой. Таким
образом, мы получаем возможность применить методы аналитической
геометрии к теории прямой.
Как известно (см. § 3), совокупность всех векторов прямой /
образует одномерное векторное подпространство. Это подпространство
будем называть векторным подпространством прямой I.
Положение прямой / на плоскости определяется однозначно в
каждом из рассмотренных ниже случаев, если даны следующие объекты,
принадлежащие прямой.
а) Точка М0 и ненулевой вектор р прямой. Точка М0 называется
начальной точкой, а р — направляющим
вектором. Очевидно, за начальную точку можно взять любую точку
прямой, а за направляющий вектор — любой ее ненулевой вектор.
б) Две различные точки М± и М2 прямой.
Если на плоскости выбрана общая декартова система координат, то
указанные выше объекты, определяющие положение прямой на плос-
1 Векторами прямой называются векторы, параллельные этой прямой (см.
§ 3, п. 3).
89
кости, задаются координатами. Одной из основных задач теории
прямой является следующая задача: зная координаты образов,
определяющих положение прямой / на плоскости, написать уравнение
множества всех точек прямой, или просто уравнение п р я-
м о й1 L Ниже рассмотрена эта задача при различных способах
задания прямой.
При решении этой задачи мы воспользуемся следующим
утверждением. Если М0— произвольная точка прямой /, а р — ненулевой
вектор этой прямой, то, очевидно, каждая точка М прямой
характеризуется условием: М0М || р. Обратно, если М0М || р , то точка М
принадлежит прямой I. Таким образом, точка М принадлежит I
тогда и только тогда, когда векторы М0М и р коллинеарны.
2. Уравнение прямой, определяемой точкой и ненулевым вектором.
Задача 1. Написать уравнение прямой /, заданной в
некоторой общей декартовой системе координат направляющим вектором
р{а, Р} и начальной точкой М0 (х01 у0).
Решение. Написать уравнение прямой — это означает
написать аналитическое условие, которому удовлетворяют координаты
произвольной точки прямой и не удовлетворяют координаты точки,
не принадлежащей прямой1. Выше было отмечено, что произвольная
точка М принадлежит прямой I тогда и только тогда, когда вектор М0М
коллинеарен вектору р. Если обозначить через х, у координаты точки
М, то М0М {х — х0, у — Уо} и условие коллинеарности векторов
М0М и р запишется так:
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М0 (х0, у0)
и содержащей вектор р{а, |3}. Если ни одна из координат вектора р
не равна нулю, то условие коллинеарности векторов MQM и р можно
записать так:
х — *о _У— У о
(2)
ел р
Очевидно, в случае а^О и Р^О уравнения (1) и (2) эквивалентны.
Рассмотрим частный случай: прямая I проходит через точку
М0 (х0, у0) и параллельна одной из координатных осей или совпадает
1 Строго говоря, под уравнениями прямой следует понимать такие
аналитические условия, которые характеризуют как совокупность всех точек прямой, так и
совокупность всех векторов прямой. Однако в аналитической геометрии этот термин
применяется только для аналитической характеристики множества точек прямой.
В дальнейшем мы будем придерживаться этой терминологии.
90
с ней. Пусть, например, е1 ? /. Так как ег имеет координаты {1, 0},
то уравнение (1) запишется так:
X — Xq
1
у—у0
о
0 или у = у0.
При у0 Ф О прямая / параллельна оси Ох, а при у0 = 0 совпадает с
ней. Аналогично получаем уравнение прямой, содержащей ег:
X —^ Хп»
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Задача 2. Написать уравнение прямой Z, проходящей через
две различные точки Мх (х1У ух) и М2 (х2, у2)» заданные своими
координатами в общей декартовой системе Oe±e2.
Решение. Так как Мг ? I и М±М2 ? /, то данную задачу
легко свести к задаче 1, если учесть, что вектор МгМ2 имеет
координаты {х2 — х19 у2 — Ух}. Согласно (1) уравнение прямой / имеет вид:
х — *i У — У4
Ч— х1 Уг— У±
Это соотношение эквивалентно следующему, которое легко запо
минается (см. § 10, п. 4):
х у II
xi У1 1=0.
Ч У2 1 I
Если х2 — х± ф 0 и у2 — уг Ф 0, то соотношение (3) эквивалентно
следующему:
х— xi _ У—Уг
= 0.
(3)
(4)
Уг — Ух
(5)
Соотношения (3), (4) и (5) называются уравнениями прямой, про-
ходящей через две точки. При решении задач можно пользоваться
любым из этих уравнений.
4. Уравнение прямой в отрезках. Пусть прямая / не проходит
через начало координат и не параллельна координатным осям. В этом
случае она пересекает координатные оси в точках Мх и М2. Если
Мг (а, 0), М2 (0, 6), то а Ф 0 и b ф 0. Числа а и 6, очевидно,
однозначно определяют положение прямой на плоскости. Поставим
следующую задачу.
Задача 3. Написать уравнение прямой 1У которая в общей
декартовой системе координат пересекает оси в точках М1 (а, 0) и
М2 (0, Ь), отличных от начала координат.
Решение. Воспользуемся предыдущей задачей. Так как хг =
= а, ух = 0, х2 = 0, у2 — 6, то соотношение (3) принимает вид:
х — а у — 0
— a b
= 0, или Ьх — ab +ау = 0.
91
Так как ab Ф О, то, разделив уравнение на ab, окончательно получим:
- + |=1. (6)
а о
Это соотношение называется уравнением прямой I в отрезках.
5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общей
декартовой системе Оеге2 вектор а имеет координаты {а, р} и если
а Ф О, то число k = —, как было отмечено в § 4, п. 6, называется уг-
а
ловым коэффициентом вектора а. Из теоремы [4.4] следует, что все
векторы прямой / имеют один и тот же угловой коэффициент k.
Число k называется угловым коэффициентом прямой I. Таким образом,
угловой коэффициент прямой равен угловому коэффициенту любого
его направляющего вектора. Прямые, параллельные оси Оу, не имеют
углового коэффициента.
Легко видеть, что положение прямой на плоскости однозначно
определяется заданием углового коэффициента k и некоторой ее
точки М0.
Задача 4. Написать уравнение прямой /, заданной в
некоторой общей декартовой системе точкой М0 (х0, у0) и угловым
коэффициентом k.
Решение. Прямая / имеет угловой коэффициент &, поэтому
р {1, k) ? L Задача сводится к написанию уравнения прямой,
проходящей через данную точку М0(х0, у0) и содержащей вектор р {1, k).
Из соотношения (1) получаем:
1 k
О, или (х — х0) k — (у — у0) = 0.
Мы получили уравнение прямой с угловым коэфрициентом:
У — Уо = k (x — х0). (7)
Если за начальную точку М0 принять точку В (0, Ь) пересечения
прямой с осью Оу, то это уравнение принимает вил: у — b = for, или
у = kx + Ъ. (8)
Заметим, что точка В всегда существует, так как прямая / имеет
угловой коэффициент, поэтому не параллельна оси Оу.
6. Параметрические уравнения прямой. В заключение рассмотрим
параметрическое задание прямой, т. е. выразим координаты
произвольной точки прямой через параметр t. Пусть в общей декартовой
системе координат прямая I задана начальной точкой М0(х0, у0) и
направляющим вектором р {а, р}. Точка М (х, у) принадлежит прямой тогда
и только тогда, когда М0М \\ р, т. е. существует такое число t, что
MQM = tp. Это соотношение в координатах запишется так:
(x-x0 = ta или |x = *o+ai (9)
(Хо.Уа)
Эти соотношения
называются параметрическими
уравнениями прямой. Их смысл
заключается в следующем: каково бы
ни было действительное число t,
точка с координатами х, у,
удовлетворяющая условиям (9),
лежит на прямой /. Обратно,
если (х, у) — точка прямой I, то
всегда найдется такое t, что х
и у выражаются через х0, у0,
а, р при помощи
соотношений (9).
7. Прямая как линия
первого порядка. В рассмотренных
выше способах задания прямой
все полученные уравнения являются алгебраическими уравнениями
первой степени, т. е. уравнениями вида Ах + By + С = 0.
Естественно, возникает вопрос: всякое ли уравнение первой степени
относительно переменных х, у определяет на плоскости прямую
линию? На этот вопрос отвечает следующая основная теорема.
Теорема [16.1 ]. Множество всех точек плоскости,
координаты которых в общей декартовой системе координат удовлетворяют
уравнению
Рис. 54.
Ах + By + С = 0,
(10)
где коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, есть множество
всех точек прямой, содержащей вектор р { — В, А} и проходящей
через точку М0(х0, у0). Здесь х0, у0 — какое-либо решение уравнения
(10).
Доказательство. Пусть G — множество всех точек,
координаты которых в данной системе координат удовлетворяют уравнению
(10) (рис. 54). Возьмем произвольную точку М0(х0, у0) этого множества.
Такая точка существует, так как А я В одновременно не равны нулю.
D
Если, например А Ф 0, то у0 можно взять произвольно, ах0= —-—у0—
Q
. Так как Ах0 + Ву0 + С = 0, то С = — Ах0 — Ву0.
Подставив это значение в уравнение (10), получаем:
А (х — х0) + В (у - у0) = 0.
(И)
Очевидно, уравнение (11) эквивалентно уравнению (10), поэтому
уравнение (11) есть уравнение того же множества G.
Теперь, воспользовавшись формулой (1), напишем уравнение
прямой /, проходящей через точку М0 (х0, у0) и содержащей вектор
р {— В, А} (см. рис. 54):
93
•В А
= О, или А (х — х0) + В (у — у0) = 0.
Мы получили то же уравнение (11). Если уравнения двух множеств
точек в одной и той же системе координат совпадают, то, очевидно,
эти множества совпадают. Теорема доказана.
Соотношение (10) называется общим уравнением прямой.
Доказанную теорему можно сформулировать несколько иначе,
если ввести следующее определение: алгебраической кривой первого
порядка называется множество всех точек, координаты которых в
некоторой общей декартовой системе координат удовлетворяют
уравнению Ах + By + С = 0, где коэффициенты А и В одновременно не
равны нулю.
Теорема [16. Г ]. Всякая алгебраическая кривая первого
порядка есть прямая линия.
Важно отметить, что в теореме [16.1] коэффициенты А и В
уравнения (10) одновременно не равны нулю. Это условие существенно.
В самом деле, если А = В = 0, то уравнение (10) принимает вид:
0-х + 0-у + С = 0. Если С ф 0, то на плоскости нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяли бы этому уравнению. Если
же С = 0, то уравнение имеет вид 0- л: + 0-у + 0 = 0и
координаты любой точки плоскости удовлетворяют уравнению (10).
Докажем одно вспомогательное предложение, которое в
дальнейшем будет неоднократно использовано.
Лемма [16.2]. Пусть в общей декартовой системе координат
дана, прямая (Щи вектор q{a, j3}. Для того чтобы вектор q
принадлежал прямой (10), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
Аа + ЯР = 0. (12)
Доказательство. Согласно теореме [ 16.1 ] вектор р {—В,
А} принадлежит прямой (10), поэтому вектор q будет принадлежать
той же прямой в том и только в том случае, когда р \\ q, т. е. при
выполнении следующего условия:
а р
•В А
0.
Раскрыв этот определитель, получаем соотношение (12).
8. Расположение прямой относительно системы координат. Пусть
в некоторой общей декартовой системе координат дана прямая (10).
Выясним, как она расположена относительно системы координат.
а) Условие, при котором прямая проходит
через начало координат. Если прямая (10) проходит
через начало координат, то Л-0 + В-0 + С = 0; отсюда С = 0.
Обратно, если в уравнении (10) С = 0, то начало координат
принадлежит прямой. В самом деле, уравнению Ах + By = 0 удовлетворяют
координаты точки О (0, 0). Итак, прямая (10) проходит через начало
94
координат тогда и только тогда, когда С = 0. Общий вид уравнения
прямой, проходящей через начало координат:
Ах + Ву== 0.
б) Условие, при котором прямая содержит
первый координатный вектор. Прямая (10) имеет
направляющий вектор р { — В, А}, поэтому условие, при котором
прямая (10) содержит первый координатный вектор, сводится к усло-
\—В А\
вию коллинеарности векторов р и ех : I " '1 = 0, или Л = 0.
Итак, прямая (10) содержит первый координатный вектор тогда и
только тогда, когда А = 0. Общий вид уравнения прямой, содержащей
первый координатный вектор:
By + С = 0.
Так как В Ф 0, то это уравнение можно разделить на В:
С С
у -\ = 0 или у = а, где а =
в
Если а Ф 0, то прямая не проходит через начало координат и,
следовательно, параллельна оси Ох. Итак, прямая (10) параллельна оси
Ох тогда и только тогда, когда Л = 0, С ф 0. Прямая совпадает с
осью Ох тогда и только тогда, когда Л = С = 0.
в) Условие, при котором прямая содержит
второй координатный вектор. Аналогично
предыдущему можно доказать следующие предложения. Прямая (10)
содержит второй координатный вектор тогда и только тогда, когда В =0.
Если при этом С Ф 0, то прямая параллельна оси Оу\ если же
В = С = 0, то она совпадает с этой осью.
Для построения прямой по ее уравнению достаточно знать два
элемента, определяющих ее. Этими элементами могут быть: а)
направляющий вектор и начальная точка; б) две точки, принадлежащие
прямой; в) координаты точек Мх (а, 0) и М2 (0, Ь) пересечения прямой
с осями координат, если она не проходит через начало координат и
Рис. 55,
95
пересекает оси. При этом числа а и Ь могут быть легко определены,
если уравнение прямой записать в отрезках (см. (6), стр. 92).
На рисунке 55 построена прямая х + 2у — 1 =0. Рисунок 55, а
соответствует случаю, когда в качестве определяющих элементов
выбраны направляющий вектор р {— 2, 1} и начальная точка М0(0, —) ,
а рисунок 55, б — случаю, когда определяющими элементами
являются точки А (1, 0) и В (2, -V
9. Прямая на комплексной плоскости. В § 11, п. 6 мы расширили понятие
плоскости путем введения комплексных точек. В настоящем пункте мы сделаем еще один
шаг в изучении комплексной геометрии — введем в рассмотрение комплексные
линии в частности прямые линии. Напомним определение линии, данное в § 13, п. 3.
Пусть на плоскости дана общая декартова система координат Оехе^ и уравнение
F(x, у) = 0. (13)
Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому
уравнению, называем линией, определяемой данным уравнением. Если
предположить, что в уравнении (13) переменные х, у могут принимать комплексные
значения, то легко распространить предыдущее определение на случай комплексной
плоскости. Линией комплексной плоскости, определяемой уравнением (13) в системе О ехе2,
мы будем называть множество всех точек плоскости (действительных или
комплексных!), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Так как координаты
точки меняются при изменении системы координат, то в новой системе О'ехе\
линия (13) будет иметь другое уравнение.
Теорема [16.1] позволяет ввести следующее определение: прямолинейным
рядом {1} на комплексной плоскости называется множество всех точек, координаты
которых удовлетворяют линейному уравнению
Ах+ Ву+С = 0, (14)
причем по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля. Будем
говорить, что вектор а параллелен прямолинейному ряду {/}, если найдутся две
такие точки Мг и М2, что М1 ? {/}, М2 ? {/} и а = УИ1М2. Множество всех точек
прямолинейного ряда {/}, а также всех векторов, параллельных ему, называется
прямой I комплексной плоскости, определяемой уравнением (14). Если
коэффициенты Л, В и С вещественны или могут быть сделаны вещественным путем умножения
на одно и то же число, то прямая называется вещественной, в противном
случае — невещественной. Например, прямая Ъх + у — 1 = 0 —
вещественная, a ix—у + 1 = 0 — невещественная. Вещественной прямой принадлежат
как вещественные, так и невещественные точки и векторы. Например, точка (/,—5/+1)
принадлежит вещественной прямой Ъх + у — 1 = 0. Предложение о том, что через
две точки проходит одна и только одна прямая, сохраняется и в комплексной
геометрии.
Прямые комплексной плоскости могут быть заданы также параметрически:
х = oU + х0, у = |3/ + у0. Здесь а, (3, х0, у0 — вообще говоря, комплексные числа.
Если они действительны, то прямая будет действительной. Для получения всех
точек прямой параметру t следует давать всевозможные значения, как
действительные, так и комплексные.
В заключение отметим, что в дальнейшем, если не будет специальных оговорок,
мы будем предполагать, что все рассматриваемые геометрические объекты (точки,
прямые, линии) являются действительными.
96
§ 17. Взаимное расположение прямых; пучок прямых
1. Условие, при котором два уравнения определяют одну и ту же
прямую. Выясним, при каких условиях, накладываемых на
коэффициенты, уравнения
А±х + Вгу + Сх = 0, (1)
А2х + В2у + С2 = 0 (2)
определяют одну и ту же прямую.
Если прямые, определяемые этими уравнениями, совпадают, то их
подпространства также совпадают. Отсюда следует, что направляющие
векторы этих прямых рг { — Вг, Аг} и р2{ —В2, А2} коллинеарны-
Согласно следствию теоремы [4.3] координаты векторов рх и р2
пропорциональны, т. е.
A2 = KAli B2 = XB1. (3)
Подставив эти значения в уравнение (2), получим:
KAtx + ХВгу + C2 = 0.
Возьмем произвольную точку (л:0, у0) на прямой (1):
А Л) + Вху0 + Сг = 0, или Сх = — Агх0 — Вху0. (4)
Эта точка принадлежит /2, так как прямые 1и 12 совпадают, поэтому
А2х0 + В2Уо + С2 = 0, или
к (Агх0 + Вы) + С2 = 0, С2 = — X (А±х0 + В&0). (5)
Сравнивая соотношения (4) и (5), получаем: С2 = ХС±. Мы
пришли к выводу: если прямые 1г и /2 совпадают, то коэффициенты в
уравнениях (1) и (2) пропорциональны.
Обратно, пусть коэффициенты в уравнениях (1) и (2)
пропорциональны, т. е. существует такое число X, что А2 = ХАХ, В2 = XBlt
С2 = ХСг. Уравнение (2) можно записать так:
ХАгх + ХВху + ХСХ = 0, или X (Агх + Вгу + Сг) = 0. (6)
Очевидно, всякое решение уравнения (1) является решением (6) и
наоборот, т. е. прямые /х и 12 совпадают. Мы доказали следующую
теорему.
Теорема [17.1 ]. Для того чтобы уравнения (1) и (2)
определяли одну и ту же прямую плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы
МАСЛ
UacJ
был равен единице или чтобы коэффициенты в этих уравнениях были
пропорциональны.
2. Взаимное расположение двух прямых. Выясним взаимное
расположение прямых 1Х и /2, заданных уравнениями (1) и (2), в
предположении, что эти прямые не совпадают. Согласно теореме [16.1]
97
вектор рг{ —Вг, Аг} принадлежит прямой 1г, а р2
прямой /2. Возможны два случая.
{-Bt, A,}-
а) Векторы plt p2 не коллинеарны. В этом случае,
очевидно, прямые пересекаются. Обратно, если прямые (1) и (2)
пересекаются, то векторы рг и р2 не коллинеарны. Условие
неколлинеарности векторов рх и р2 согласно теореме [4.3 ] запишется так:
В, А,
-В2А2
Ф 0, или
А, В,
л2в2
Ф 0.
Для определения координат точки пересечения этих прямых,
очевидно, необходимо совместно решить систему (1) и (2).
б) Векторы рг, р2 коллинеарны. В этом случае
прямые параллельны, так как по предположению они не совпадают.
Обратно, если прямые (1) и (2) параллельны, то векторы р1 и р2
коллинеарны. Условие коллинеарности векторов рх и р2 запишется так:
-В2А2\ U'
или
А, В,
л2в2
= 0.
Теорема [17.1] и полученные выводы позволяют сформулировать
следующую теорему о взаимном расположении двух прямых.
Теорема [17.2]. Пусть в общей декартовой системе
координат даны прямые уравнениями (1) и (2).
а) Прямые (1) и (2) пересекаются тогда и только тогда, когда
коэффициенты при текущих координатах в уравнениях (I) и (2) не
пропорциональны, т. е.
\A±Bt
А> В0
п*0.
б) Прямые (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все
коэффициенты в уравнениях (1) и (2) пропорциональны, т. е.
существует такое число X, что А2 = ХАг, В2 = KBlt C2 = ХС^
в) Прямые (1) и (2) параллельны тогда и только тогда, когда
коэффициенты при текущих координатах пропорциональны, но свободные
члены им не пропорциональны, т. е. существует такое число к, что
А2 = ХАг, В2 = ХВг, С2 Ф ХС±.
Если пользоваться понятием ранга матрицы, то теорему [17.2]
можно сформулировать следующим образом.
Теорема [17.2' ]. Пусть даны две прямые в общей декартовой
системе координат уравнениями (1) и (2). Обозначим через г и R
соответственно ранги матриц
(А, ВЛ (At Bi СЛ
а) Для того чтобы прямые (1) и (2) пересекались, необходимо и
достаточно, чтобы г = 2.
б) Для того чтобы прямые совпадали, необходимо и достаточно,
чтобы R = 1.
в) Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы г = 1, R = 2.
98
Рассмотренная нами задача о взаимном расположении двух
прямых, заданных уравнениями (1) и (2), по существу является
геометрической теорией хорошо известной алгебраической задачи об
исследовании системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Выше мы провели это исследование, пользуясь геометрическими
соображениями. Случай пересечения двух прямых соответствует
случаю, когда система уравнений имеет единственное решение.
Совпадение прямых соответствует случаю, когда система имеет
бесчисленное множество решений. Наконец, параллельность прямых
свидетельствует о том, что система уравнений вовсе не имеет решений, т. е.
несовместна. Это прекрасный пример того, как геометрические
соображения помогают решать чисто алгебраическую задачу.
3. Пучок прямых. Пучком пересекающихся п р я-
м ы х называется совокупность всех прямых плоскости, проходящих
через некоторую точку М0. Точка М0 называется центром пучка.
Пучком параллельных прямых называется
совокупность всех прямых плоскости, имеющих одно и то же векторное
подпространство, т. е. параллельных некоторому ненулевому вектору р.
Направление вектора р называется направлением пучка.
Пучок пересекающихся прямых может быть задан либо
координатами центра пучка (х0, у0), либо двумя пересекающимися прямыми,
принадлежащими пучку. В самом деле, две пересекающиеся прямые
определяют точку пересечения, т. е. центр пучка.
Пучок параллельных прямых может быть задан либо ненулевым
вектором, имеющим направление пучка, либо какой-либо прямой,
принадлежащей пучку.
4. Уравнение пучка пересекающихся прямых.
Теорема [17.3]. Если в общей декартовой системе координат
задан пучок Q с центром в точке (х0 , у0 ), то уравнение
а (х — х0) + р (у — у0) = 0, (7)
где а, р принимают всевозможные значения, не равные нулю
одновременно, определяет данный пучок.
Смысл теоремы заключается в следующем: каковы бы ни были
числа а, р, не равные одновременно нулю, уравнением (7)
определяется некоторая прямая пучка Q.Обратно, какова бы ни была прямая I
пучка Q, всегда найдутся такие коэффициенты а, Р, что (7) будет
уравнением прямой I. Поэтому соотношение (7) называется
уравнением пучка Q.
Доказательство. Пусть а, Р — произвольные числа, не
равные одновременно нулю. Тогда уравнение (7) определяет прямую,
проходящую через точку (х0, у0) и параллельную вектору { — Р, ос},
т. е. некоторую прямую пучка со.
Обратно, пусть I — некоторая прямая пучка Q, направляющий
вектор которой имеет координаты { —Р, а}. Тогда, так как / проходит
через точку (х0, у0 ), то уравнение этой прямой запишется в виде
соотношения (7). Теорема доказана.
99
В уравнении (7) х0 и у0 — постоянные числа, а а, Р — параметры
(т. е. величины, которые могут принимать различные, в данном случае
всевозможные, не равные одновременно нулю знчения). Обратим
внимание на то, что параметры а, р и tax, ?cP, где К Ф О, задают одну
и ту же прямую пучка, поэтому прямая пучка по существу
определяется отношением параметров а : р.
Теорема [17.4]. Если в общей декартовой системе координат
пучок пересекающихся прямых Q задан двумя различными прямыми
(1) и (2), то уравнение
а(А±х + Вху + Сх) + р (А 2х + В2 у+ С2) = 0, (8)
где а и Р принимают всевозможные значения, не равные одновременно
нулю, определяет данный пучок.
Доказательство. Прежде всего покажем, что при любых
значениях а и р, не равных одновременно нулю, соотношение (8)
является уравнением прямой. Для этого согласно теореме [16.1]
достаточно показать, что коэффициенты при х и у одновременно не
равны нулю. В самом деле, запишем уравнение (8) в виде:
(Аг* + А$)х + (В& + В2Р) у + Сга + С2р = 0.
Если положить Аха + Л2Р = 0 и Вха + В2Р = 0, то отсюда
немедленно получаем: а = р = 0, так как АХВ2 — ВХА2 Ф0 (прямые
(1) и (2) пересекаются).
Прямая (8) при любых знчениях аир проходит через точку
пересечения прямых (1) и (2). Так, если х0, у0 — координаты точки
пересечения прямых (1) и (2), то
АгХо + В{у0 + Сг = 0 и А2х0 + В2у0 + С2 = 0,
поэтому при любых значениях аир а (Агх0 + Вгу0 + Сх)+Р (Л2л:0+
+ В2у0 + С2) = 0. Отсюда следует, что при любых значениях а и Р
прямая (8) принадлежит пучку Q.
Обратно, пусть / — некоторая прямая пучка Q. Покажем, что
а и Р можно подобрать так, чтобы соотношение (8) было уравнением
прямой /. Прямая I определяется центром пучка (x0i y0) и другой
точкой (х19 ух). Прямая (8), как было показано выше, всегда
проходит через точку (х0, у0). Подберем а и р так, чтобы хг, ух удовлетворяли
уравнению (8): а (А1х1 + В{уг + Сх) + Р (А2хг + В2уг + С2) = 0.
Числа Аххг + Bxyx + Сг и А2 хг + В2у1 + С2 не могут равняться
нулю одновременно, так как точка (*lf уг) не совпадает с точкой (х0, yQ)
пересечения прямых (1) и (2). Если, например, А2хг + В2уг +С2Ф09
то а можно выбрать произвольно, а р определить равенством:
р = — AlXl + BlVl + Cl a.
Агхг + В2ух + С2
При выбранных значениях аир прямая, заданная уравнением (8),
проходит через точки (х0, у0) и (х19 у±), т. е. совпадает с /. Теорема
доказана полностью.
100
5. Уравнение пучка параллельных прямых. По аналогии с
предыдущим можно вывести уравнение пучка параллельных прямых.
Теорема [17.5]. Если в общей декартовой системе координат
задан пучок параллельных прямых, определяемый ненулевым вектором
р {а, Ь), то уравнение
Ьх — ау + а = 0, (9)
где а принимает всевозможные значения, определяет данный пучок.
Доказательство. Согласно теореме [16.1] прямая (9)
при любом а содержит вектор р {а, Ь), поэтому принадлежит данному
пучку.
Обратно, пусть / — произвольная прямая данного пучка.
Покажем, что а можно подобрать так, чтобы соотношение (9) было
уравнением прямой /. Пусть / проходит через точку (х0,у0). Подберем атак,
чтобы числа х0, у0 удовлетворяли уравнению (9): Ьх0 — ау0 + а = 0;
отсюда а = ау0— Ьх0. Подставив это значение в уравнение (9),
получаем:
Ьх — ау — bx0 + ау0 = 0, или
х~ ЧУ — Уо
а Ь
= 0.
Это уравнение прямой, проходящей через точку х0, у0 и параллельной
вектору р {а, Ь), т. е. уравнение прямой /. Теорема доказана.
6. Условие принадлежности трех прямых одному пучку. В
заключение этого параграфа докажем теорему, которая часто применяется
при решении задач.
Теорема [17.6]. Для того чтобы три прямые, заданные в
общей декартовой системе уравнениями:
Агх + В1У + Сг = 0, (10)
А2х+ В2у + С2 = 0, (11)
А3х + В3у + С3 = 0, (12)
принадлежали одному пучку пересекающихся или параллельных
прямых, необходимо и достаточно, чтобы1
\А,В,СЛ
Л2ВаСа =0. (13)
I ^з ^з ^з I
Доказательство. Пусть прямые (10), (11), (12)
принадлежат одному пучку. Рассмотрим матрицу:
/А ВЛ
[а2вА
\А3 В J
(14)
1 Мы не исключаем из рассмотрения случай, когда какие-либо две из прямых (10).
(11,) (12) или даже все три прямые совпадают.
102
Если ранг г этой матрицы равен единице, то имеет место соотношение
(13), поэтому предположим, что г = 2. Не нарушая общности, можно
п р едпо л ожить, что
|л;!;И <1б>
Согласно теореме [17.2] прямые (10) и (11) пересекаются. Пучок,
определяемый этими прямыми, согласно теореме [17.4] задается
уравнением (8). Так как прямая (12) принадлежит этому пучку, то
существуют такие значения а = а0 и Р = ро, что прямые (8) и (12) совпадают.
Согласно теореме [17.1 ] существует такое А,, что
Ав = Я (оо Аг + МЛ #з = *• («о Вг + Ро 52),
С3 = A, (a^ + fi0C2).
Отсюда следует соотношение (13).
Теперь предположим, что имеет место соотношение (13), и докажем,
что прямые (10), (11) и (12) принадлежат одному пучку. Рассмотрим
матрицу (14). Если ранг г этой матрицы равен единице, то наше
утверждение справедливо, так как согласно теореме [17.2] каждая
пара, образованная из трех прямых (10), (11) и (12), параллельна
или совпадает. Это означает, что все три прямые принадлежат одному
пучку параллельных прямых. Пусть г = 2. Не нарушая общности,
можно допустить, что имеет место неравенство (15). Это означает, что
первые две строки определителя левой части соотношения (13) не
пропорциональны, поэтому из соотношения (13) следует, что третья
строка этого определителя есть линейная комбинация первых двух
Ад = %А1 + (хЛ2, В3 = ^Bi + Л С3 = КСХ + [хС2.
Используя эти соотношения, запишем уравнение (12) в виде:
(Ыг + (хЛ2) х + (КВг + \iB2)y + (КСг + jxCa) = 0.
Из теоремы [17.4] следует, что эти прямые принадлежат пучку,
определяемому прямыми (10) и (11). Теорема доказана.
§18. Некоторые метрические задачи теории прямой
Теория прямой, изложенная в предыдущих двух параграфах,
справедлива как в общей декартовой, так и в прямоугольной декартовой
системах координат. В настоящем параграфе мы рассмотрим
некоторые метрические вопросы этой теории, т. е. вопросы, связанные с
понятиями длины отрезка и величины угла. Эти вопросы особенно
просто решаются в прямоугольной декартовой системе координат^
поэтому в данном параграфе всюду будем предполагать, что система
координат прямоугольная декартова.
1. Нормальный вектор прямой. Пусть I — прямая на плоскости.
Вектор п называется ортогональным к прямой, если он
ортогонален любому вектору прямой. Так как все векторы прямой
образуют систему коллинеарных векторов, то, чтобы п был
ортогонален прямой, достаточно, чтобы он был ортогонален некоторому
102
ненулевому вектору прямой.Очевидно, что все векторы, ортогональные
прямой, образуют систему коллинеарных векторов. Нормальным
вектором прямой называется любой ненулевой вектор, ортогональный
прямой.
Рассмотрим следующую лемму.
Лемма [18.1]. Если прямая I задана в прямоугольной
декартовой системе координат общим уравнением
Ах + By + С = О, (1)
то вектор п{А, В} является нормальным вектором прямой.
Доказательство. Вектор р {—В, А} согласно теореме
[16.1] принадлежит прямой. Но п перпендикулярен вектору р, так
как пр = А ( —В) + В А = 0. Таким образом, п перпендикулярен
прямой /, т. е. является нормальным вектором прямой.
2. Способы задания прямой в прямоугольной декартовой системе
координат. При решении метрических задач, помимо тех способов
задания прямой, которые были рассмотрены в § 16, пользуются также
следующими двумя способами: прямая / задается а) начальной
точкой М0 и нормальным вектором п (рис. 56, а)\ б) расстоянием р от
начала координат до / и единичным нормальным вектором п0. При этом
если О i I (т. е. если р^О), то направление вектора п0 определяется
ПИ
из соотношения п0 = , где Н — основание перпендикуляра, опу-
он
щенного из точки О на прямую (рис. 56, б). Если О ? /, то направление
вектора п0 произвольно (рис. 56, в).
3. Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.
Задача 1. Написать уравнение прямой, заданной в некоторой
прямоугольной декартовой системе координат нормальным вектором
п {а, Р} и начальной точкой М0 (х0> у0).
Решение. Произвольная точка М (х, у) плоскости
принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор М0М перпендикулярен
вектору п. Так как М0М имеет координаты {х — х0, у — у0}, то
условие перпендикулярности векторов п и М0М запишется так:
а (х — х0) + Р (у — у0) = 0.
103
Это и есть уравнение прямой, проходящей через М0(х0, у0) и перпенди*
кулярной вектору п {а, Р}.
4. Нормальное уравнение прямой.
Задача 2. Написать уравнение прямой /, заданной в
прямоугольной декартовой системе координат единичным нормальным
вектором п0 {соБф, БШф} и расстоянием р от начала координат до
прямой. Если р Ф О, то предполагается, что вектор п0 направлен от
начала координат к прямой /.
Решение. Пусть Н — основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на прямую (рис. 56, б). Очевидно, ОН — радиус-
вектор этой точки. По условию задачи ОН = р/г0. Пусть г— радиус-
вектор произвольной точки М прямой. Для того чтобы М лежала на
прямой /, необходимо и достаточно, чтобы векторы НМ и п0 были
ортогональны, т. е. НМ - п0= 0. Но НМ = г— ОН = г — ря0,
поэтому мы получаем:
(г — рп0) п0 = 0 или га0— р = 0.
Пусть (х, у) — координаты точки М. Тогда г {х, у} и предыдущее
соотношение запишется в координатах так:
х cos ф + у sin ф — р == 0. (2)
Это уравнение называется нормальным уравнением прямой I. Оно
существенно отличается от других уравнений тем, что все коэффициенты
имеют геометрический смысЛ: коэффициенты при х и у суть cos ф и
sin ф, где ф — угол, образованный единичным нормальным вектором
с осью Ох, свободный член есть расстояние от начала координат до
прямой, взятое со знаком «минус».
Задача 3. Написать нормальное уравнение прямой, заданной
в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1).
Решение. Пусть уравнение (2) — нормальное уравнение
прямой (1). Согласно теореме [17.1 ] коэффициенты в уравнениях (1) и (2)
пропорциональны, т. е.
А = X cos ф, В == К sin ф, С = — Яр. (3)
Отсюда получаем: А2 + В2 = Я2, К = ± ]/ОГ2+ В2, или
К = — V А2 + В2, (4)
8
где 8 = ± 1. Если С > 0, то из С = — Яр следует, что Я < 0,
следовательно, 8 = — 1. Если С < 0, то Я > 0, поэтому 8 = + 1. Если
же С = 0, то s можно выбрать произвольно. Подставив значение Я из
соотношения (4) в соотношения (3), а затем значения cos ф, $Шф, р
из соотношений (3) в уравнение (2), окончательно получаем:
гЛ гВ еС л /СЧ
г х Н _ у -\ = 0. (5)
104
Мы пришли к выводу: если
прямая в прямоугольной декартовой Мо(хо,Уо)
системе координат дана
уравнением (1), то нормальное уравнение
этой прямой имеет вид (5), где
е = —1 при С > О, г = + 1 при
С < 0 и 8 = ± 1 при С = 0.
Пример. Написать
нормальное уравнение прямой,
заданной в прямоугольной декартовой
системе уравнением: рис, 5?,
Зх + Ау — 8 = 0.
Решение. Так как С = — 8 <С 0, то 8 = + 1, поэтому из (5)
получаем:
5^5^ 5
5. Вычисление расстояния от точки до прямой.
Задача 4. В прямоугольной декартовой системе координат
дана прямая I общим уравнением (1) и точка М0(х0> у0), не лежащая на
этой прямой. Вычислить расстояние d от точки до прямой.
Решение. Пусть Я — основание перпендикуляра, опущенного
из данной точки на прямую I (рис. 57). Согласно лемме [18.1]
вектор п {Ау В} перпендикулярен прямой Z, следовательно, коллине-
арен вектору НМ0. По определению скалярного произведения имеем:
НМ0 • п = | НМ01) п | cos (ЯМ0, п) = ± d \n |.
Таким образом,
d = &lA (6)
Вычислим скалярное произведение НМ0 • п. Пусть х1У ух —
координаты точки Я, тогда вектор НМ0 имеет координаты: {х0 — х1У у0 — у1}1
поэтому НМ0 • п= (х0 — хг) А + (у0 — ух) 5 = Алг0 + Ву0— 04*i +
+ jByJ. Так как точка Я лежит на данной прямой, то Ахх + By* +
+ С = 0. Таким образом, ЯМ0 • /г = Ах0 + Ву0 + С. Учитывая,
что \п\ = VА2 + В2, окончательно получаем:
d = \Лх0 + ВУо + С\ 7)
УА* + В2 * 1
Формула (7) принимает простой вид, если прямая дана
нормальным уравнением (2). В этом случае А = cos ф, В = sin ф, С = — р, а
]Л42 + В2 = ]/со$2ф + sin^ = 1, и формула (7) принимает вид:
d = | х0 cos ф + y0sin ф — р |. (8)
105
6. Вычисление угла между прямыми. Пусть /jH/2 — две прямые
на плоскости. Углом между этими прямыми будем называть угол
между любыми двумя ненулевыми векторами, принадлежащими
соответственно прямым 1Х и /2. Легко видеть, что для данных двух прямых
существуют два углаах иа2, сумма которых всегда равна 180°. Прямые
называются ортогональными или перпендикулярными, если аг =
= а2 = 90°.
Задача 5. В прямоугольной декартовой системе координат
даны две прямые своими уравнениями:
Агх + Вгу + СХ = 0, (9)
А2х + В2у + С2 = 0. (10)
Вычислить угол между ними.
Решение. По теореме [16.1 ] векторы рх {— В1У Ax) и
р2{ —В2, ^2} принадлежат соответственно прямым (9) и (10), поэтому
угол а между этими векторами согласно определению равен одному
из углов между данными прямыми. По формуле (5), § 7 получаем:
ens п. = —— AiA* + В^ — (И)
Отсюда, в частности, получаем условие ортогональности двух
прямых: Две прямые, заданные в прямоугольной декартовой системе
уравнениями (9) и (10), перпендикулярны тогда и только тогда, когда
А1А2 + В1В2 = 0. (12)
Пример. Определить углы между прямыми в прямоугольной
декартовой системе координат: ]/3х + у — 3 = 0 их + ]/1$у+5==0.
Решение. По формуле (11) определяем: cos а = 2" 2— =
= ^_, аг = 30°, а2= 150°.
§ 19. Геометрический смысл линейных неравенств
с двумя переменными
1. Отношение, в котором прямая делит данный отрезок. Пусть / —
прямая, а М19 М2 — две различные точки, расположенные на
плоскости так, что прямые Мг М2 и I пересекаются. Будем говорить,
что прямая / делит отрезок М1М2 в отношении К, если К= х , где
РМ2
Р — точка пересечения прямых МгМ2 и I. Очевидно, это отношение
существует тогда и только тогда, когда точки Р и М2 различны, т. е.
когда заданная точка М2 не лежит на данной прямой.
Поставим следующую задачу.
106
Задача 1.В общей декартовой системе координат дана прямая /
Ах + By + С = 0 (1)
и две точки Мг (xl9 уг) и М2 (х2, у2)- Определить отношение А,, в
котором прямая /делит отрезок М±М2 в предположении, что прямые МгМ2
и / пересекаются и точка М2 не принадлежит данной прямой.
Решение. Пусть Р — точка пересечения прямых MtM2 и /,
а А,— отношение, в котором точка Р делит отрезок МгМ2. Если
(*о> Уо) — координаты точки Р, то они могут быть определены по
формулам (3) § 10:
_ хг + Ьх2 _ уг + Ху2
х°- 1+х * Уо~ \+х •
Точка Р принадлежит прямой /, поэтому Ах0 + Ву0 + С = 0;
подставляя сюда значения jc0, y0, получаем:
После элементарных преобразований это соотношение принимает вид:
(Ахг + Ву1 + С) + Х (Ах2 + Ву2 + С) = 0. (2)
Так как точка М2 не лежит на прямой /, то Лл:2 + Ву2 + С Ф 0,
поэтому, разделив равенство (2) на Ах2 + Ву2 + С, получим:
^ = - ^i + ^i + c (3)
Ах2 + Ву2 + С
Заметим, что Хф — 1. В самом деле, если X = — 1, то из (3)
будем иметь Ахг + Вуг + С = Ах2 + Ву2 + С, или А (х2 — х±) +
+ В (у2 — Ух) = 0. Геометрически это означает, что вектор
МгМ2 {х2 — х1У у2 — уг} принадлежит прямой / (см. лемму [16.2]).
2. Условие расположения двух точек по разные стороны от данной
прямой. Из формулы (3) вытекает одно важное следствие. Пусть точки
Мг (*i> У].) и Л^2 (х2> У г) не лежат на прямой /, определяемой
уравнением (1), тогда
8Х = Ах± + Ву1 + СфОи82 = Ах2 + Ву2 + СфО.
Легко видеть, что по знакам чисел 8г и б2 можно определить
расположение точек Мг иМ2по отношению к данной прямой. Имеет место
следующее предложение:
Теорема [19.1 ]. Для того чтобы точки Мг (хг, уг) и М2 (х2, у2)
лежали по разные стороны от прямой I, заданной уравнением (1),
необходимо и достаточно, чтобы числа
бх = Ахг + Ву± + С и 62 = Ах2 + Ву2 + С
имели разные знаки, т. е. чтобы имело место неравенство
(Ахг + Вуг + С) • (Ах2 + Ву2 + О < 0.
107
Доказательство. Пусть М1 и М2 лежат по разные
стороны от прямой /, тогда отрезок МгМ2 пересекает прямую / в
некоторой точке Р, лежащей между точками Ml9 М2, поэтому отношение к,
в котором точка Р делит отрезок МгМ2, положительно. Из
соотношения (3) вытекает, что X = —, поэтому бх и 62 имеют разные знаки.
Обратно, пусть бх и б2 имеют разные знаки. Из соотношения (3)
следует, что К= —> 0. Это означает, что точка пересечения пря-
62
мых МгМ2 и / лежит между точками Мг и М2 и, следовательно, М{ и
М 2 лежат по разные стороны от прямой /.
Следствие. Для того чтобы точки Мг (хг, у±) и М2 (х2, у2)
лежали по одну сторону от прямой (1), необходимо и достаточно,
чтобы числа 8г = Ахг + Вуг + С и б2 = Ах2 + Ву2 + С имели
один и тот же знак, т. е. чтобы имело место неравенство:
(Axt + Вуг + С) • (Ах2 + Ву2 + С) > 0.
Пример. Даны точки Мг (1, 2),М2 (3, 2), М3 (0, 4), М4 (5, 0)
и прямая х — 2у + 2 = 0. Среди указанных точек выбрать те,
которые лежат с началом координат по одну сторону от заданной прямой.
Решение. Для начала координат имеем: б0 = 0 — 2 • 0 +
+ 2 = 2 > 0. Вычислим значения чисел б для данных точек: 8г =
= 1—2-2 + 2 = —КО, 62 = 3 — 2 • 2 + 2 = 1 >0, 63 =
= 0 — 2- 4 + 2= —6<0, б4=5 —2 • 0 + 2 = 7>0. Таким образом,
искомыми точками являются М 2 и Мк.
3. Аналитическое задание полуплоскости. Для дальнейшего
изложения необходимо доказать следующее предложение.
Лемма [19.2]. Если в общей декартовой системе координат
прямая I дана уравнением (1), то вектор р {А, В}не параллелен этой
прямой, и если его приложить к некоторой точке прямой, то
координаты (xi ,уу) его конца удовлетворяют условию
Ах± + Вух + С> 0.
Доказательство. Из леммы [16.2[ непосредственно
следует, что вектор р не параллелен прямой /, так как АА + ВВ Ф 0.
Для доказательства второй части леммы приложим вектор р к
некоторой точке М0 (х0> у0) прямой I и обозначим через (хг, ух) координаты
его конца Мг. В этом случае р = М0М1У А = хг —х0, В = уг — у0,
поэтому xQ = хг — А, уо = у± — 5. Так как точка М0 (х0, у0) лежит
на прямой, то Л (х± — А) + В (yd — В) + С = 0 или Ахх + Вуг +
+ С = Л2 + Б2>0. Лемма доказана.
Теперь поставим следующую задачу.
Задача 2. В общей декартовой системе координат дана
прямая (1). Определить множество всех точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству:
Ах + By + С > 0. (4)
108
Решение. Возьмем точку Мг (хг, уг) , так, чтобы Ахг + Вуг +
+С>0. Очевидно, точка М1 всегда существует, так как
коэффициенты А и В одновременно не равны нулю. Из следствия теоремы [19.11
следует, что всякая точка М (ху у), для которой б = Ах + By + С >0,
лежит по ту же сторону от прямой /, что и точка Мг (хи yt). Обратно,
если координаты точки М (х, у) удовлетворяют неравенству (4), то
она лежит по ту же сторону от прямой, что и точка Мг (хи уг).
Таким образом, учитывая лемму [19.2], мы приходим к выводу:
множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству (4), есть та из открытых полуплоскостей, определяемых
прямой (1), в которой лежит конец вектора р {А, В}, если начало
этого вектора приложено к некоторой точке прямой (1). Из этого
предложения следует, что множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству
Ах + By + С < 0, (5)
есть другая открытая полуплоскость, определяемая прямой /.
Резюмируя все сказанное выше, приходим к следующему выводу.
Теорема [19.3]. Пусть в общей декартовой системе координат
дана прямая уравнением (1). Множества точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют соответственно неравенствам (4) и (5),
суть две открытые полуплоскости, определяемые прямой (1). В
полуплоскости, определяемой неравенством (4), расположен конец
вектора р {А, В}, если его начало приложено к некоторой точке прямой (1).
4. Аналитическая характеристика внутренних областей углов.
Доказанные выше предложения могут быть использованы для
аналитической характеристики некоторых областей, ограниченных
прямыми. Рассмотрим, например, следующую задачу.
Задача 3. Даны две пересекающиеся прямые
А±х + Вгу + С, = 0, (6)
А2х + В2у + С2 = 0. (7)
Составить аналитические характеристики внутренних областей
четырех углов, образованных данными прямыми.
Решение. Пусть ?2П и
Q12 — открытые полуплоскости,
определяемые прямой 1±, ай21и
Q22 — открытые полуплоскости,
определяемые прямой /2 (рис.
58). Из геометрических
соображений вытекает, что пересечение
каждой из следующих пар
открытых полуплоскостей: Q1X и Q21;
QuhQ22;Q12h Q21; Q12 hQ22—
совпадает с внутренними
областями четырех углов, образован- Рис. 58.
109
ных данными прямыми (см. рис. 58). Если ввести обозначения
Si (х, У) = А±х + В {у + Сг и б2 (х, у) = А2х + В2у + С2,
то из теоремы [19.3] следует, что внутренние области четырех
рассматриваемых углов характеризуются следующими системами
неравенств:
1. 6±(х, у)>0, б2(х, у)>0,
2. 6, (х, у) > 0, б2 {xt у) < 0, /оч
3. М*>У)<0, б2(х,у)>0, w
4. б, (*, у)<0, б2(х,у)<0.
Пользуясь этим результатом, можно решить следующую задачу.
Задача 4. Даны две пересекающиеся прямые /х и /2
уравнениями (6) и (7) и точка М0 (х0, у0), не лежащая на этих прямых.
Составить аналитическую характеристику внутренней области Q того
угла, в котором лежит точка М0.
Решение. Область Q, очевидно, совпадает с одной из областей,
заданных неравенствами (8). Для того чтобы выяснить, с какой
областью совпадает й, необходимо из (8) выбрать ту систему неравенств,
которой удовлетворяют координаты точки М0. Если, например,
6i fa, у0) < 0 и б2 (х0у у0)> 0, то Q совпадает с областью 3. Легко
понять, что, независимо от того, с какой из областей (8) совпадает S,
эту область можно задать следующей системой неравенств:
Si (х, у) • бх (х0, у0) > 0, б2 (х, у) • б2 (х0у у0) > О
или в развернутом виде:
(Агх + В1У + Сх) (Агх0 + В1Уо + Сг) > 0, ,9)
(А2х + В2у + С2) (А2х0 + В2у0 + С2) > 0. К)
Итак, точка М (х, у) принадлежит области Q тогда и только тогда,
когда ее координаты удовлетворяют одновременно двум
неравенствам (9).
Пример. Пусть Q — внутренняя область того угла,
образованного прямыми х — Зу+ 1=0 и х + у — 2 = 0, которому
принадлежит начало координат. Составить систему линейных неравенств,
характеризующих область S.
Решение. Так как в данном случае х0 = у0 = 0, то бх (х0, у0)=
= 1 и б2 (х0, у0) = —2, поэтому область 2, согласно (9),
характеризуется системой неравенств: х — Зу+ 1>0, х + у — 2 <С 0.
§ 20. Приложение теории прямой к решению задач
элементарной геометрии
Изложенная в этой главе теория прямой линии может быть с
успехом применена для доказательства теорем и решения задач из курса
элементарной геометрии. Рассмотрим некоторые примеры.
ПО
1. Примеры доказательства
теорем элементарной геометрии.
Задача I. Доказать, что
медианы любого треугольника
пересекаются в одной точке1.
Решение. Пусть ABC —
произвольный треугольник. Точку
А примем за начало общей
декартовой системы координат, а
векторы АВ и АС — за координатные
векторы. В этой системе вершины Рис. 59.
треугольника, очевидно, будут
иметь координаты: А (О, 0), В (1, 0), С (0, 1). Пусть Аг, Вг и Сх —
середины сторон ВС, СА и АВ. Легко определить координаты этих
точек:
МНИ0-МИ
Таким образом, медианы AAlf BBX и ССг задаются уравнениями:
(ААХ) х — у = 0, (ВВг) х + 2у—1 = 0, (ССг) 2х + у — 1 = 0. Эти
прямые согласно теореме [17.6] принадлежат одному пучку, так
как определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов
уравнений, как легко проверить, равен нулю. Из уравнений медиан
видно, что любые две из них пересекаются, поэтому все три
принадлежат пучку пересекающихся прямых. Задача решена.
Точно так же можно доказать, что высоты треугольника
пересекаются в одной точке и биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке2.
Задача 2. Доказать, что центр S описанной окружности,
ортоцентр Я и центр тяжести G треугольника лежат на одной прямой
(прямая Эйлера)3.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, S —
центр описанной окружности, G — центр тяжести, Н — ортоцентр
(рис. 59). Если О — основание перпендикуляра, опущенйого из
точки С на сторону АВ, то прямоугольную декартову систему координат
возьмем так, чтобы прямые ОН и ОС совпали с осями координат и
точка О была началом координат (см. рис. 59). В этой системе
абсцисса точки С и ординаты точек А и В равны нулю. Пусть А (а, 0),
В (р, 0), С (0, у). Определим координаты точек G, S и Н.
Точка G является точкой пересечения медиан, поэтому согласно
задаче 3 § 10 имеем:
<* + Р X
1 Доказательство этой теоремы с применением теории преобразований дано
в § 32 (задача 1).
2 Доказательство первой из этих теорем дано векторным методом в § 8 (задача 5)
и с применением теории преобразований в § 32 (задача 3).
3 Ср. § 32, п. 3, задача 3.
сШ)
АШ
Bfp.o)
111
Координаты точки Н можно определить как координаты точки
пересечения высот (прямых) СО и АОг. Прямая СО имеет уравнение
х = 0, а прямая A0lf как прямая, проходящая через точку А
и перпендикулярная вектору СВ, имеет уравнение: $(х — а) —
— ?(У — 0) = 0 или рх — уу —оф = 0. Решив совместно уравнения
прямых СО и AOif получим координаты точки Н: Я(0, ——).
Координаты точки S можно определить как координаты точки
пересечения серединных перпендикуляров. Уравнение прямой,
проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной ему, имеет вид:
х = ?L_l!^ Прямая, проходящая через середину отрезка АС и
перпендикулярная этому отрезку, имеет уравнение
х — —)— у (у — -2- j == 0, или ах -
а2
¦7У = 7-
2'
Решив совместно эти уравнения, получаем координаты точки 5:
S (а + -Р-
Т2 + оф
Теперь легко убедиться в том, что точки G, Н и S лежат на одной
прямой. Для этого достаточно проверить условие коллинеарности
этих точек, воспользовавшись соотношением (8) § 10:
а+р
3
!0
ос+р
? 1
3
ар j
У2 + оф
2?
2. Примеры решения задач.
Задача 3. Вычислить расстояние между противоположными
сторонами ромба, если длины его диагоналей равны а и Ь.
Решение. Пусть A BCD — данный ромб, а О — точка
пересечения диагоналей. Примем точку О за начало прямоугольной
декартовой системы координат, а оси направим вдоль диагоналей так,
чтобы точки С и В лежали на положительных лучах координатных осей.
В этой системе вершины ромба будут иметь координаты А I -, 0),
В (0, —), С I—, 0], D (0, 1. Задача сводится к определению расстоя-
нзш от точки А до прямой ВС. Уравнение прямой ВС легче всего запи-
2х
сать в отрезках: 1-
2у
1 или 2Ьх + 2ау — ab = 0.
112
Расстояние от точки А до этой
прямой равно:
d =
— 2b — — ab\
2
2ab
VAb2 + 4a2
2 /a2 + 62
/a2 + b*'
в/
M,
I
i
У
с
lp
I
ЧчХ °
A
Задача 4. Даны две
взаимно перпендикулярные прямые а и 6,
пересекающиеся в точке С, и две
точкиЛ и В на прямой а. На пря- Рис 60
мой Ъ берутся точки Р и Q так,
что СР = &CQ. Доказать, что множество всех точек М пересечений
прямых АР и BQ есть прямая.
Решение. Примем точку С за начало прямоугольной
декартовой системы координат, а прямые а и Ь — за координатные оси
(рис. 60). Если i = СА, то точка А будет иметь координаты (1, 0).
Пусть В (а, 0). Если X к X' — ординаты точек Q и Р, то из
условий задачи следует, что X' = kX. Таким образом, точки Р и Q будут
иметь координаты Р (0, &^), Q (0, X). При изменении положения
точек Р и Q параметр Я, очевидно, меняется.
Если М (х, у) — произвольная точка искомого множества, то,
выразив х и у через координаты точек Л, В и переменную величину X,
получим параметрическое задание множества G. Исключив А,, получим
уравнение этого множества в прямоугольных декартовых координатах.
Для осуществления этого плана найдем уравнения прямых АР
и BQ. Имеем: А (1, 0), Р (0, Щ% В (а, 0), Q (0, Я). Уравнения
искомых прямых имеют вид:
\х—1
{АР)
(BQ)
— 1
х — а
— a
У
kX
0, или kXx + у — /А = 0;
У = 0, или А* + ay — aA, = 0.
(1)
(2)
Для определения координат точки пересечения М (х, у) следует
совместно решить систему (1), (2):
х =
« №-1)
fca— l
У =
U(a— l)
/га—1
Так как выражение я не содержит X, то я = — есть
fca—1
уравнение искомого множества. Этим уравнением определяется прямая,
параллельная 6. На рисунке 60 она обозначена буквой /.
При решении задачи мы предположили, что прямые (1) и (2)
пересекаются. Аналитически это выразилось в том, что ka — 1 Ф 0
(теорема [17.2]). Если ka — 1 = 0, то искомого множества не существует.
ИЗ
Рис. 61.
Задача 5. Даны две прямые lt и /2, пересекающиеся в точке О,
и пучок {т} параллельных прямых, пересекающих прямые 1г и /2.
Пусть mh mk — две произвольные прямые пучка, которые
пересекают прямую 1г в точках At и Ak, а /2 — в точках Bt и Bk (рис. 61).
Определить множество точек пересечения М прямых ALBk и BtAk.
Решение. Пусть mQ — одна из прямых данного пучка, не
проходящая через точку О, а А0 и В0 — точки пересечения этой
прямой с прямыми /х, 12 (рис. 61). Точку О примем за начало, а ех = ОА0
и е2= ОВ0 — за координатные векторы общей декартовой системы
координат. Данный пучок определяется вектором р = Л0В0, который
в данной системе координат имеет координаты р {—1, 1}. Из теоремы
[17.5] следует, что пучок определяется уравнением х + у —а = О,
где —а— параметр пучка. Пусть ть и тк—произвольные различные
прямые пучка. Если at и ak — параметры, определяющие эти
прямые, то их уравнения запишутся так:
х + у — о^ = 0 и х + у — а^ = 0.
Определим координаты точек Ah Bt, Ak, Bk. Точка At есть точка
пересечения прямых ть и /1э поэтому ее координаты определяются
решением системы уравнений:
х + у — at = 0, у = 0.
Решая эту систему, получим At(ah 0). Аналогично получим
координаты остальных точек: Ak (ak, 0), Bt (0, at), Bk (0, ak), Далее легко
получить уравнения прямых AtBk и BtAk\
(AtBk) OLkx + aiy = aiak)
(ВA) a/x + afty = aiaft.
114
Если а? — скиф 0, то эти прямые пересекаются в точке С с
координатами:
поэтому для точек пересечения прямых (AtB^ и (BtAk) имеем:
х = у. (3)
Если а? — al=0, то at = —ak\ в этом случае прямые A,-Bk и
BLAk параллельны и точки М их пересечения не существует.
Итак, координаты любой точки множества удовлетворяют
уравнению (3), т. е. любая точка множества принадлежит прямой,
определяемой уравнением х — у = 0.
Теперь покажем, что каждая точка М0 (х0, у0) плоскости,
координаты которой удовлетворяют уравнению (3), принадлежит
множеству G. Из уравнения (3) получаем: х0 = у0. Выберем два различных
числа а0 и |30 так, чтобы а°Ро = х0. Рассмотрим далее следующие
«о+Ро
две прямые данного пучка параллельных прямых:
(la) х + у —а0 = 0 и (Zp) х + у — Р0 = 0,
и обозначим через Аа и Ва точки пересечения прямой 1а с прямыми 1Х и
/2, а через Ар, 5р —точки пересечения прямой Ц с теми же
прямыми. Из приведенных выше рассуждений следует, что точка
пересечения прямых Аа Вр и Ва Лв имеет координаты -^- , -^- ,
ао i Ро ао "г Ро
т. е. совпадает с М0.
Мы пришли к выводу, что рассматриваемое множество точек имеет
уравнение (3), т. е. является прямой, проходящей через точку О и
точку С0 (—¦ , --), где С0 — середина отрезка А0В0.
115
Глава IV
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
§ 21. Линейные преобразования векторов плоскости
В § 6, п. 1 было дано общее определение функции и было отмечено,
что в геометрии широко используются скалярные и векторные
функции от векторных аргументов. В первой главе мы рассмотрели
скалярные функции от векторных аргументов. В § 21 и 22 изучим основные
свойства линейных векторных функций от одного векторного
аргумента на плоскости. В последующем эти функции будут
использованы для изучения свойств точечных преобразований плоскости.
1. Линейные преобразования векторов. Пусть дана векторная
функция от одного векторного аргумента
x' = F{x). (1)
Это означает, что каждому вектору х плоскости по определенному
закону поставлен в соответствие некоторый вектор х' этой же
плоскости. Здесь х' называется образом вектора лг, ах —
прообразом вектора х\ При этом, конечно, предполагается, что если х =у,
то F(x) = F (у). Такие функции в геометрии называются преоброзо--
еаниями векторов плоскости. В дальнейшем нас будет интересовать
специальный класс линейных преобразований, аналогичный
классу линейных скалярных функций векторного аргумента (см. § 6).
Напомним, что преобразование (1) называется линейным1, если
для любых векторов й;,)1и любого нисла К имеют место следующие
соотношения:
F(x + y) = F(x) + F(y); (2)
F(Xx) = hF(x). (3)
Иногда в литературе линейные преобразования называются
линейными операторами или аффинорами.
Рассмотрим некоторые примеры линейных преобразований.
1°. х' = kx, где k — любое действительное число. Если k Ф О и
кФ 1, то это преобразование называется преобразованием гомотетии
и обозначается в дальнейшем так: х' = 1\ (х). При k = —1 оно
называется преобразованием отражения.
1 См. § 6, п. 1,
116
При k = О каждый вектор х
преобразуется в нуль-вектор. Это
преобразование называется
нулевым. Если, наконец, k = 1,
то х' = х. В этом случае каждый
вектор преобразуется в себя;
преобразование в этом случае
называется тождественным и
обозначается через Е.
2°. х' =V<p(x), где ]/ф
обозначает «поворот вектора на
ориентированной плоскости на угол ф»
(рис. 62). При этом предполагается,
что ф Ф О и ф Ф я. Это
преобразование называется
преобразованием вращения на угол ф.
3°.х ' = Se (х), где Se (х) —
преобразование, которое
определяется так: если векторы е и х
приложить к точке О и обозначить
через X конец вектора х, то х' =
= ОХ'', где точка X' симметрична
точке X по отношению к прямой
/, определяемой точкой О и
вектором е. На рисунке 63 построены
образы трех векторов х, у и z при
этом преобразовании. Se
называется преобразованием симметрии
относительно вектора е.
Линейность преобразования Г проверяется непосредственно, а
линейность остальных преобразований будет доказана ниже.
Из определения линейного преобразования непосредственно
следует: если F {х) — линейное преобразование, то:
Рис. 63.
1°. /7(0) = 0;
2°. Р(х, + х2 + ... +xk) =F(xt) + F(x2) + ... + F(xk)
(4)
(5)
для любого целого k.
В самом деле, полагая в (3) X = 0 и х = лг0, где х0
ный фиксированный вектор, получаем:
F(0-xQ) = 0 • F(x0) или F(0) = 0.
произволь-
Второе свойство легко выводится из (2) по индукции.
В дальнейшем линейные преобразования будем обозначать через
Л, В, С.
2. Основная теорема. Докажем следующую теорему о
существовании линейных преобразований.
117
Теорема [21.1]. Пусть на плоскости даны две системы
векторов: е^ е2 и ai9 а2, причем первая система линейно
независима, а вторая произвольна1. Существует одно и только одно линейное
преобразование х' = А (л:), удовлетворяющее условиям:
а± = А(е±)9 а2 = А(е2). (6)
Доказательство. Сначала докажем существование
линейного преобразования, удовлетворяющего условиям теоремы. Пусть
х — произвольный вектор плоскости. Поставим этому вектору в
соответствие вектор хгаг + х2а2, где х19 х2 — координаты вектора х
в базисе еъ е2у а а1э а2 — данные векторы. Итак, мы построили
функцию
х' = А (х) = х±а% + х2а2. (7)
Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы. В самом деле, если х и у — произвольные векторы, а К
— некоторое число и х = х^ех + х2е2, у = у^е^ + у2е2, то х+у =
= (*i +У\) ei + (х2 + Ун) е2 и Хл: = Kx^i + Хх2е2> поэтому А (х + у) =
= (*t + у4) а± + (х2 + у2) а2 = (xta + х2а2) + (у4а4 + у2а2) = А (х) +
+ А (у); А (Хх) = Хх^ + Хх2а2= X (х^ + х2а2) = ХА (х).
Мы видим, что построенная нами функция (7) является линейным
преобразованием векторов. Покажем, что эта функция будет искомой,
т. е. что для нее выполняются условия (6). В самом деле, так как
et= I • et + Q • е2, а е2 = О • et + 1 • e2t то А(е^ = 1 • at + 0 . а2 =
= ai9 А (е2) = 0 . ах + 1 . а2 = а2.
Остается доказать, что линейное преобразование,
удовлетворяющее условиям (6), единственное. Пусть В (х) — другое линейное
преобразование, удовлетворяющее условиям теоремы. Разлагая
вектор х по базису eXie2 и используя свойства (2) и (3) для В (х),
получаем:
В(х) = В (х±е± + х2е2) = х,В (е,) + х2В (е2).
Так как В (х) удовлетворяет условиям (6), то В (e±) = aly В(е2) =02-
Таким образом, В(х) = ххаг + х2а2. Сравнивая полученное
соотношение с соотношением (7), мы видим, что функции А (х) и В (х)
совпадают. Теорема доказана.
3. Линейное преобразование в координатах. Доказанная теорема
дает возможность записать аналитическое задание линейных
преобразований, т. е. установить связь между координатами вектора х и
координатами его образа х' в данном базисе. Рассмотрим следующую
задачу.
Задача. Пусть
х' = А (х) (8)
1 В частности, один вектор или даже два вектора второй системы могут быть
равны нулю.
118
— линейное преобразование, которое линейно независимые векторы
ех, е2 переводит соответственно в векторы а19 а2.
Принимая ег,е2 за базис и зная координаты векторов at, а2в этом
базисе: ах {аг1, а21}, а2 {а12, а22)— установить связь между
координатами векторов л: и л;' в базисе ег,е2.
Решение. Обозначим координаты векторов х и х' через
Х±, Х2 И Х\, Х2»
х = х1е1 + х2е2, х' = х\е1 + х2е2.
Подставив эти значения в соотношение (8) и воспользовавшись
условиями линейности (2) и (3), получим:
х' = x\ei + х'2е2= A {xiei + х2е2) = xtA (ej) + х2А (е2) = х±а± + х2а2 =
= *1 (^11^1+^21^2) +Х2 («12^1 + ^22^2)= (^11*1 + «12 ^)^1 + (^21*1 + ^22^)^2-
Согласно теореме [4.1] имеем:
х\ = аг1хг + а12х2, /д\
X2 == а2^х^ -р #22х2.
Соотношения (9) называются координатным
заданием линейного преобразования в базисе еие2.
Покажем, что соотношения (9) при любых значениях
коэффициентов аХ1, а12, а21, а22 определяют некоторое линейное
преобразование плоскости.
Теорема [21.2 ]. Пусть на плоскости дан базис ех, е2 и даны
соотношения (9), где а±1, а12, a2i a22 — произвольные постоянные
коэффициенты. Пусть, далее, каждому вектору х {х±, х2} поставлен в
соответствие вектор х' {х[, х2}, где х[, х2 определяется из
соотношений (9). Тогда данное преобразование является линейным
преобразованием, при котором векторы еи е2 переходят соответственно в
векторы aile1 + а21е2 и а12е1 + а22е2г.
Доказательство. Умножив первое из соотношений (9)
да е19 а второе на е2 и сложив, получим:
х[е± + х2е2= (aiiei + a2ie2) хх +(а12в4 + а22е2) х2.
Если ввести обозначения:
а1 = «11^1 + «21^2» а2 = «12^1 + «22^2»
то предыдущее соотношение можно записать так:
х' = а& + а2х2.
1 Другими словами, соотношения (9) являются координатным заданием этого
преобразования.
119
При доказательстве теоремы [21.1] было установлено (см.
соотношение (7)), что это преобразование является линейным и векторы е19 е2
переходят соответственно в а1э а2. Теорема доказана.
4. Координатное задание преобразований Fki Кф и &.
Преобразования гомотетии, вращения и симметрии, как будет видно из
дальнейшего изложения, играют особую роль в геометрических
приложениях, поэтому рассмотрим их координатные задания и, пользуясь
теоремой [21.2], покажем, что они являются линейными.
Г. Преобразование Гк. По определению имеем:
л:'= Гк {х) = kx, где к,фО к 1гФ \. Пусть в базисе еъ е2 векторы
х' п х имеют координаты х' {х'и #2}, x {хи х2}. Это означает, что
х' = х\ег + х2е2, х = ххех + х2е2. Подставив эти выражения в
предыдущее соотношение, получим: х[ег + х2е2 = kxlel + kx2e2*
Отсюда следует, что
х[ = kxt, X2 = kx2. (10)
Из теоремы [21.2] следует, что Гк есть линейное преобразование.
При k = —1 эти соотношения принимают вид:
х[ = —х19 х'2= —х2. (11)
Мы получили координатное задание отражения /\_1#
2°. Преобразование Кф. Пусть ij — прямоугольный
декартовый базис на ориентированной плоскости, причем базис взят
так, что ориентация плоскости, определяемая этим базисом, совпадает
с ориентацией, заданной на плоскости (см. § 4, п. 7).
Возьмем произвольный вектор х, повернем его на угол ср;
полученный вектор обозначим через х'. Если векторы /, j\ ху х' приложить
к некоторой точке О плоскости, то получим картину, изображенную
на рисунке 62. Если ввести обозначение: а = *4 (Л-*)» то согласно
теореме [4.5] получим следующие выражения для координат
векторов:
хх = | х | cos а, х2 = \ х\ sin а;
х\ = | х' | cos (а + ф), %2 = \х'\ sin (а + ф).
Но cos (а + ф) = cos а cos ф — sin а sin ф; sin (а + ф) = sin а cos ф +
+ cos а sin ф. Подставив эти значения в предыдущие соотношения и
учитывая, что | х' | — |л:|, окончательно получим:
Х\ = хг cos ф — х2 sin ф;1 ц2)
х2 = хх sin ф + х2 cos ф.)
Из теоремы [21.2] следует, что преобразование вращения является
линейным, причем вектор / при этом преобразовании переходит в
вектор {со5ф, $тф}, а вектор j — в вектор { —sin ф, созф}.
120
3°. Преобразование Se. Если прямоугольный декартовый
базис /, j взять так, чтобы / = е> то из определения преобразования
следует, что
Х\ = Xlt X2 = —Х2. (13)
Из теоремы [21.2] следует, что преобразование симметрии
является линейным и векторы /, j при этом преобразовании переходят
соответственно в векторы /, —j.
5. Матрица линейного преобразования. Составим матрицу из
коэффициентов координатного задания (9) линейного преобразования:
(аа а1г\ (14)
Она называется матрицей данного линейного
преобразования в базисе еие2, а определитель Д этой
матрицы — определителем линейного
преобразования в том же базисе. Геометрический смысл элементов матрицы (14)
легко усматривается из соотношений (9). В самом деле, элементы
столбцов суть координаты векторов А(ег) и А(е2) в базисе еие2.
Очевидно, матрица (14) существенно зависит от выбора базиса
еие2. Одно и то же линейное преобразование в различных базисах имеет,
вообще говоря, различные матрицы. Однако, как будет сейчас
показано, ранг р этой матрицы не зависит от выбора базиса, а характер
преобразования существенно зависит от р.
Теорема [21.3]. Ране матрицы линейного преобразования не
зависит от выбора базиса.
Доказательство. Пусть в базисе е1У е2 линейное
преобразование (8) имеет матрицу (14). Обозначим ранг этой матрицы
через р и рассмотрим всевозможные случаи: р = 0,1 и 2.
1°. р = 0. В этом случае все элементы матрицы (14) равны нулю.
Из соотношений (9) следует, что х\ = 0 и х2 = 0. Геометрически это
означает, что все векторы плоскости переходят в один и тот же
вектор 0, поэтому преобразование является нулевым (см. § 21, п. 1).
2°. р = 1. В этом случае не все элементы матрицы (14) равны нулю,
но определитель преобразования равен нулю. Это означает, что
векторы а1 {allf a2l}> а2 {а12, а22} коллинеарны (см. теорему [4.3].)
Если, например, а2=й=0, то аг = Ха2. Из соотношений (7)
получаем:
х' = А (х) = x^cii + х2а2 = (JjCi + x2) а2.
Мы видим, что образы х' всех векторов х плоскости коллинеарны
одному и тому же вектору а2.
3°. р = 2. Из соотношений (9) следует, что в этом случае
преобразование векторов является взаимно однозначным.
121
Таким образом ранг матрицы (14) имеет определенный
геометрический смысл. Отсюда легко показать, что ранг матрицы линейного
преобразования не зависит от выбора базиса. Допустим, что то же
линейное преобразование (8) в базисе в\, вч имеет матрицу
(Ьц bi2\
\Ь21 Ь22) '
ранг которой обозначим через р'. Очевидно, рассуждения,
проведенные выше (см. Г, 2°, 3°), в точности можно повторить и в этом
случае. Отсюда следует, что р' = р. В самом деле, если допустить
обратное и предположить, что, например, р = 1, а р' = 2, то согласно
3° преобразование А (х) является взаимно однозначным, так как
р' = 2, а согласно 2° то же преобразование не является взаимно
однозначным, так как, в силу того что р = 1, все векторы плоскости
переходят в систему коллинеарных векторов. Теорема доказана.
6. Ранг линейного преобразования; невырожденные
преобразования. Теорема [21.3] позволяет ввести следующее понятие:
рангом данного линейного преобразования называется ранг матрицы
линейного преобразования в любом базисе. Преобразование называется
невырожденным, если его ранг равен двум; в противном случае оно
называется вырожденным.
Преобразования Г^,, Кф и Se, рассмотренные в п. 4, в
выбранных там базисах имеют соответственно матрицы:
Ik 0\ /coscp —sinq>\ /l 0\ /ic\
[О kf \sincp coscpj' [0 —1]' к '
Тождественное преобразование в любом базисе имеет единичную
матрицу:
(¦ ?). ее,
Мы видим, что все эти матрицы имеют ранг два, поэтому
преобразования гомотетии, вращения, симметрии, а также тождественное
преобразование являются невырожденными.
Из теоремы [21.3] непосредственно следует:
Теорема [21.4]. Для того чтобы линейное преобразование
векторов плоскости было взаимно однозначным, необходимо и
достаточно, чтобы оно было невырожденным, т. е. чтобы матрица этого
преобразования в любом базисе имела ранг два.
7. Умножение линейного преобразования на число. Пусть А (х) —
данное линейное преобразование, а X — произвольное число. Если
каждому вектору х поставить в соответствие вектор X А(х), то
получаем новую векторную функцию от векторного аргумента, которая
называется произведением числа X на А и обозначается так: ХА. Легко
показать, что ХА есть линейное преобразование. Имеют место
следующие предложения, доказательство которых предоставляем читателю.
122
1°. Для произвольных чисел X, \х и произвольного линейного
преобразования А имеем: X (\iA) = (X\i) A.
2°. Если Фг = АХЛ, Ф2 == ?t2B, то для любого вектора х имеем:
Фг (х) Ф2 (х) = (ХгХ2) А (х) В (х). Здесь Фх (х) Ф2 (х) и А (х)В (х) —
скалярные произведения.
3°. Если А в данном базисе имеет матрицу (14), то ХА в том же
базисе имеет матрицу
ХаХ1 Ха12\
Ха21 Ха22)
4°. Преобразования А и ХА при X Ф О имеют один и тот же ранг.
8. Произведение линейных преобразований. Если на плоскости
даны два преобразования Фг и Ф2, то, пользуясь ими, можно
построить новое преобразование, которое называется произведением данных
преобразований. Возьмем на плоскости произвольный вектор х и
рассмотрим его образ у при преобразовании Фу\ у = Фг (х). Далее
рассмотрим образ вектора у при преобразовании Ф2: х' = Ф2 (у).
Вектору х поставим в соответствие вектор х'. Полученное
преобразование назовем произведением преобразований Фг и Ф2 и обозначим
так: Ф2ФХ. Итак, если х' = Ф2Ф1(х), то х' = Ф2[Фг (х)]. Таким
образом, вектор х' получен из х последовательным выполнением
сначала преобразования Ф19 а потом преобразования Ф2.
Так как в дальнейшем изложении нас будут интересовать только
линейные преобразования, то существенным является доказательство
следующих двух теорем.
Теорема [21.5]. Произведение двух линейных преобразований
есть линейное преобразование.
Доказательство. Пусть В(х) и А (х) — данные линейные
преобразования. Используя свойства линейности, получаем:
АВ(х+у) = А[В(х) + В(у)] = А[В(х)]+А[В(у)] =
= АВ(х) + АВ(у);
АВ(Хх) =А[В(Хх) ] = А[кВ(х) ] = ХА[В(х)] = ХАВ(х).
Теорема доказана.
Теорема [21.6]. Произведение двух невырожденных линейных
преобразований есть невырожденное линейное преобразование.
Доказательство. Пусть А и В — невырожденные
линейные преобразования. Из теоремы [21.4] следует, что каждое из
этих преобразований является взаимно однозначным. Отсюда,
очевидно, вытекает, что произведение АВ также является взаимно
однозначным преобразованием. Из той же теоремы [21.4] следует, что оно
невырожденное. Теорема доказана.
Понятие произведения двух линейных преобразований
естественным образом обобщается на конечное число сомножителей. Если,
например, Л, В и С — данные преобразования, то преобразование
х' — А[В[С(х)]] называется произведением С, В и А и обозна*
чается так: ABC. Из теоремы [21.5] немедленно следует, что про-
123
изведение нескольких линейных преобразований есть линейное
преобразование.
Важно подчеркнуть, что произведение нескольких преобразований,
так же как и произведение двух преобразований, вообще говоря,
зависит от порядка сомножителей. Но, с другой стороны, справедлив
сочетательный закон: каковы бы ни были преобразования Л, В и С,
имеет место соотношение:
А (ВС) = (АВ) С.
Имеют место также следующие равенства: ЕА = АЕ = А. Здесь
А — произвольное линейное преобразование, а? — единичное
преобразование.
9. Обратное преобразование. Пусть А — некоторое
невырожденное линейное преобразование. Из теоремы [21.4] следует, что
оно взаимно однозначное. Это означает, что каждый вектор имеет один
и только один образ. Это обстоятельство позволяет, имея Л, ввести в
рассмотрение новое преобразование следующим образом: вектору х
поставим в соответствие его прообраз у при преобразовании Л. Таким
образом, если при преобразовании Л вектору у ставится в соответствие
вектор х, то при новом преобразовании вектору х ставится в
соответствие вектор у. Это преобразование называется обратным данному и
обозначается через Л-1. Итак, если х = Л (у), то у = А~г(х).
Теорема [21.7]. Если А является невырожденным линейным
преобразованием, то обратное преобразование А~х также является
невырожденным линейным преобразованием.
Доказательство. Пусть в некотором базисе
преобразование Л имеет координатное задание (9). Так как
Д =
#11 #12
#21 #22
*о,
то из соотношений (9) величины хъ х2 однозначно выражаются через х[9
х\. По теореме Крамера получаем:
22 12
xi = —— Х\ — X2;
А Д (17)
у °21 у I «11 у'
Эти соотношения будут, очевидно, координатным заданием обратного
преобразования х = Л-1 (х'). Из теоремы [21.2] мы заключаем,
что это преобразование является линейным. Более того, оно также
будет невырожденным, так как его определитель не равен нулю. В самом
деле, непосредственный подсчет показывает, что определитель Д'
преобразования (17) равен —, т. е. Д' ф 0. Теорема доказана.
Из определения обратного преобразования непосредственно
следует:
А*1 • А = Е, А -Л-1 = Е, (Л"1)"1 = Л.
124
Если преобразование А имеет матрицу (14), то из соотношений
(17) получаем матрицу обратного преобразования А"1:
^22
А
(18)
§ 22. Собственные векторы и характеристические числа;
классификация линейных преобразований
Одним из важнейших вопросов теории линейных преобразований
является вопрос их классификации, который тесно связан с задачей
упрощения матрицы линейного преобразования. Настоящий параграф
посвящен этому вопросу.
1. Собственные векторы и характеристические числа. Ненулевой
вектор р называется собственным вектором линейного
преобразования
^' = 4(4 (1)
если А (р) || р, т. е. если существует такое действительное число X,
что
А(р) = %р. (2)
Число К называется характеристическим числом,
соответствующим вектору р, или просто характеристическим
числом вектора р.
Легко видеть, что если р — собственный вектор, то q — ap, где
а Ф О, также собственный вектор, которому соответствует то же
характеристическое число, что и вектору р. В самом деле, A{q) =A (ар) =
= аА (р) = аХр = Хар = Xq.
Таким образом, если р — собственный вектор, то все ненулевые
векторы одномерного векторного подпространства, определяемого р,
являются собственными векторами, причем все эти векторы имеют
одно и то же характеристическое число X. Поэтому целесообразно
говорить о собственном направлении линейного
преобразования, определяемом ненулевым вектором р и
имеющем характеристическое число X. Важно еще раз подчеркнуть,
что по определению собственный вектор ненулевой. Однако
характеристическое число X может быть любым действительным числом, в
частности нулем: если ненулевой вектор р удовлетворяет условию
А(р) = 0, то это соотношение можно записать в виде А(р) = 0 • р\
это означает, что р является собственным вектором преобразования А
и характеристическое число вектора р равно нулю.
2. Основные уравнения для определения собственных векторов и
характеристических чисел.
Задача. Пусть в некотором базисе е1У ег дана матрица
линейного преобразования (1):
125
(All <*u)
\fl«1 «22/
(3)
Найти все собственные векторы и соответствующие им
характеристические числа.
Решение. Запишем соотношение (2) в координатах. Если
обозначить через {ръ р2) координаты искомого собственного
вектора р, а через р\, р2 — координаты образа этого вектора, то согласно
(9), § 21 координаты вектора р'=А(р) определяются из соотношений:
Р\ = «llPl + «12р2>
Р2 = а21р1 + а22р2.
Для того чтобы записать соотношения (2) в координатах, учтем,
что р' = Хр, где X— характеристическое число вектора р. Отсюда
следует, что р\ = Хръ р2 = Хр2. В силу этого предыдущие
соотношения принимают вид:
«nPi + ai2p2 = ^Рь (4)
«2lPl + «22^2 = ^2»
ИЛИ
(«11 — %1 + «12? 2 = 0» (5)
«2lPl + («22— %2 = 0.
Мы получили систему уравнений для определения неизвестных ръ
р2и Ji, Решив эту систему, найдем все собственные векторы и
соответствующие им характеристические числа. Уравнения (4) или (5)
называются основными уравнениями для
определения собственных векторов и
характеристических чисел.
3. Характеристическое уравнение. Из геометрических
соображений следует, что в соотношениях (4) числа а1Ъ а12, а21, а22У рх и р2
действительные, поэтому X — действительное число. Итак, нас
интересуют только действительные корни X, рг и р2 уравнений (5),
причем числа рги р2 одновременно не должны обращаться в нуль.
Система (5) является однородной относительно р±, р2, поэтому
если числа р10, р20 удовлетворяют этой системе, то <х/?1а, ар2а при
любом а также удовлетворяют этой системе, т. е. система имеет
бесчисленное множество решений. Этот вывод вполне согласуется с
замечанием, сделанным в начале параграфа, о том, что любой ненулевой
вектор, коллинеарный собственному вектору, также является
собственным вектором.
Система (5) имеет нецулевые решения р1У р2 тогда и только тогда,
когда X удовлетворяет уравнению
1 ап — X а12 I = о (6)
I «21 «22 ^ I
ИЛИ
X2 — Х(а1г + а22) + а1Ха22 — а12а21 = 0. (6')
126
Это уравнение называется характеристическим уравнением линейного
преобразования (1).
Мы пришли к выводу, что если линейное преобразование, заданное
матрицей (3), имеет собственный вектор, то соответствующее ему
характеристическое число А, удовлетворяет уравнению (6). Покажем, что
имеет место обратное предложение.
Лемма [22.1 ]. Если Х0 — действительный корень уравнения (6),
то линейное преобразование (1) имеет по крайней мере один собствен*
ный вектор р {/?10, р20) с характеристическим числом Я0.
Доказательство. Подставив значение К0 в систему (5),
получим:
(а1г — К0\ рг + аХ2р2 = 0; а21рг + (а22 — К0) р2 = 0.
Так как определитель этой системы равен нулю, то система имеет по
крайней мере одно ненулевое решение: /?10, р2о- Очевидно, р {piQy р2о} —
собственный вектор с характеристическим числом Х0.
4. Определение собственных векторов линейного преобразования.
Наличие собственных векторов линейного преобразования (1)
существенно зависит от корней характеристического уравнения (6').
Исследуем этот вопрос более подробно. Так как (6') является квадратным
уравнением относительно К, то возможны следующие случаи.
1°. Уравнение (6') не имеет действительных
корней. В этом случае, очевидно, преобразование (1) не имеет ни
одного собственного вектора. В самом деле, если допустить, что
преобразование имеет собственный вектор /?, то характеристическое число
этого вектора согласно выводам предыдущего пункта удовлетворяет
уравнению (6'), что невозможно, так как уравнение (6') не имеет
действительных корней.
2°. Характеристическое уравнение (6')
имеет два различных действительных корня Хх и
Х2. Покажем, что в этом случае преобразование (1) имеет два и
только два собственных направления. Согласно лемме [22.1 ] каждому
корню Къ Х2 характеристического уравнения (6) соответствует
собственный вектор. Обозначим их через р и# и покажем, что эти векторы
не коллинеарны. Пусть, напротив, q= ар. Так как A (q) = X2q,
то А (ар) = К2ар или А(р) =Х2р. Но А(р) = %гр, поэтому Х1 = Х2У
что противоречит допущению.
Остается показать, что любой собственный вектор г
преобразования (1) коллинеарен р или q. Так как г — собственный вектор, то
А(г) = Хг. (7)
Разложим г по р и q: r= ap+$q. Подставив это выражение в (7),
получаем:
А (ар + $q) = l (ар + р?), аА (р) + рЛ (q) = Хар + X$qy
или aXrf) + §X2q= Хар +X$q. Отсюда следует, что а (Хг — X) =0,
Р (Х2 — X) = 0. Так как Хг Ф Х2, то хотя бы одна из этих разностей
отлична от нуля. Таким образом, приходим к выводу, что либо а = 0
и Р Ф 0, либо р = 0 и а Ф 0, т. е. вектор г коллинеарен р или q.
127
3°. Характеристическое уравнение (6') и м е-
ет единственный действительный корень.
Покажем, что в этом случае либо все ненулевые векторы плоскости
являются собственными векторами, имеющими одно и то же
характеристическое число Я0, либо имеется одно-единственное собственное
направление. По лемме [22.1] имеется по крайней мере один собственный
вектор р. Если все собственные векторы коллинеарны этому вектору,
то наше утверждение справедливо, поэтому рассмотрим случай, когда
имеется хотя бы один собственный вектор q, не коллинеарный р.
Пусть {<7i, q2} — координаты этого вектора, а Хг — его
характеристическое число. Числа qlt q2, К± удовлетворяют системе (5). Числа
q± и q2 одновременно не равны нулю, поэтому число Хх удовлетворяет
уравнению (6). Таким образом, согласно предположению Х± = Х0.
Теперь легко показать, что любой ненулевой вектор г плоскости
является собственным вектором. Пусть г = ар + Р<7,
А(г) = А (ар + fiq) = аА (р) + И (?) = аХ0р + $\0q = V-
Резюмируя все вышеизложенное, приходим к следующей важной
теореме.
Теорема [22.2]. Пусть (6) является характеристическим
уравнением преобразования (1). Если уравнение (6) не имеет
действительных корней, то преобразование (1) не имеет ни одного собственного
вектора\ если уравнение (6) имеет два различных действительных
корня Хг и X2i то преобразование (1) имеет два и только два собственных
направления, имеющих соответственно характеристические числа
%1и%2- Если, наконец, уравнение (6) имеет единственный
действительный корень Х0, то в этом случае либо любой ненулевой вектор
плоскости является собственным вектором, имеющим одно и то же
характеристическое число Х0, либо имеется одно-единственное собственное
направление, имеющее характеристическое число Х0.
5. Примеры. В заключение рассмотрим конкретные примеры
определения собственных векторов и характеристических чисел линейных
преобразований. Приведенные ниже примеры показывают, что
возможны все случаи, перечисленные в теореме [22.2].
Пример 1. Найти собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором общем декартовом базисе ег,е2
уравнениями:
Х[ — Х-^ ~\~ X2,
Х2 — kxz, где k ф 0.
Решение. Матрица данного преобразования в базисе et, e
имеет вид: (^ *), поэтому уравнения (5) и (6) запишутся так:
(1-Ь)Р1 + р2 = 0, \
0Pi + (k-K)p2 = 0j'
1-Я, 1
0 k — К
= 0.
128
Характеристическое уравнение имеет корни Кг = 1, Х2 = k.
Возможны два случая:
а) кФ 1. В этом случае Х± Ф %2 и линейное преобразование
согласно теореме [22.2] имеет два и только два собственных направления.
При Я? = 1 получаем: р2= О, /?Х — произвольное число. Векторы,
удовлетворяющие этому условию, сонаправлены с ег. При к2 = кФ 1
имеем: (1 — &) /?х + р2 = 0. Например, вектор р {1, &— 1} имеет
второе собственное направление.
б) k = 1. В этом случае соотношения, определяющие собственные
направления, имеют вид:
(1 — 1) Pl + р2 = 0, О/?! + (1 — 1) Ра = 0 или р2 = 0.
Линейное преобразование имеет только одно собственное
направление — направление вектора ег.
Пример 2. Найти собственные векторы линейного
преобразования гомотетии Гк.
Решение. В предыдущем параграфе было показано, что
преобразование Гк в любом базисе имеет первую из матриц (15), § 21.
Для этого случая характеристическое уравнение имеет вид: (X —
k)2 = 0, поэтому Kt = Х2 = k и уравнения (5) имеют вид:
0 • Pi + 0 • р2 = 0, 0 • Pl + 0 • р2 = 0.
Мы пришли к выводу, что для преобразования гомотетии Гк любой
ненулевой вектор является собственным вектором с
характеристическим числом k.
Пример 3. Найти собственные векторы линейного
преобразования вращения V .
Решение. Как было показано выше (см. § 21), в прямоугольном
декартовом базисе это преобразование имеет вторую из матриц (15),
В данном случае характеристическое уравнение имеет вид:
icoscp-b —sinq> [ = 0 или г--2^созф+1=0.
|Sinq) COS(p—A J
Найдем корни этого уравнения:
% = cos ф zfc "j/cos2 ф — 1 .
Так как ф =И= 0 и ф =#= я, то cos2 ф Ф 1, поэтому характеристическое
уравнение имеет комплексно сопряженные корни. Мы видим, что
преобразование вращения не имеет ни одного собственного вектора.
Этот вывод геометрически вполне очевиден, так как если вращение
совершается на угол ф, отличный от 0° или 180°, то все векторы
плоскости меняют свое направление.
Предлагаем читателю по аналогии с предыдущим показать, что
преобразование симметрии х' = Se (х) имеет два и только два
взаимно перпендикулярных собственных направления, одно из которых
совпадает с направлением вектора е.
129
6, Принцип классификации линейных преобразований. Теорема
[22,2] позволяет дать простую классификацию линейных
преобразований, основанную на наличии собственных направлений. Из этой
теоремы следует, что могут существовать четыре типа линейных
преобразований на плоскости.
Г. Линейные преобразования, имеющие два и только два
собственных направления.
2°. Линейные преобразования, имеющие единственное
собственное направление.
3°. Линейные преобразования, для которых любое направление
является собственным.
4°. Линейные преобразования, не имеющие ни одного собственного
направления.
Линейные преобразования, принадлежащие каждому из этих
типов, будем называть преобразованиями соответственно первого,
второго, третьего и четвертого типов.
Примеры, рассмотренные выше, показывают, что существуют
преобразования, принадлежащие каждому из перечисленных выше типов.
Так, линейные преобразования симметрии Se {x) и преобразование,
рассмотренное в примере 1, при k Ф 1 принадлежат первому типу,
так как эта преобразования имеют два различных собственных
направления. Преобразование примера 1 при k = 1 принадлежит второму
типу, так как имеет только одно собственное направление. Далее,
преобразование гомотетии Гк принадлежит третьему типу, а
преобразование вращения Кф — четвертому типу.
§ 23. Преобразования точек плоскости
1. Точечные отображения. В предыдущей главе были подробно
изучены линейные преобразования векторов плоскости, которые
являются векторными функциями векторных аргументов. В геометрии
особо важную роль играют функции у = Ф (х), где как х, так и у
являются точками плоскости или пространства. В этом случае по
аналогии с предыдущим слово «функция» обычно заменяют
выражением «геометрическое (точечное) отображение» или «преобразование».
Таким образом, геометрическое отображение представляет собой
определенный вид функции у=Ф (х), где как аргумент, так и значение
функции являются точками.
Для задания геометрического отображения, так же как и для
задания любой функции, необходимо указать область определения
функции — некоторое точечное множество Q, область значений функции—
некоторое, вообще говоря, другое точечное множество Q' и, наконец,
правило, которое позволяет каждой точке области Q ставить в
соответствие определенную точку области Q'. Если данное отображение
точке Л ставит в соответствие точку Л', то Л' называется образом
точки Л, а Л — прообразом точки Л'.
Отображение точек с областью определения Q и областью
значений Q' называется взаимно однозначным, если выполнены
следующие два условия:
130
а) каковы бы ни были ^
две различные точки А и s^ ^Ъч^1 f ^"^С*2
В области Q, их образы / /\ ( Иг
А' и В' в области Q'также "* ;
различны;
б) любая точка
области Q' является образом
некоторой точки области Q.
Другими словами,
отображение является
взаимно однозначным, если любая
точка области Q' имеет
один и только один
прообраз.
Рассмотрим примеры отображений.
Пример 1. Пусть Q — множество всех точек плоскости, а
Q' — множество всех точек прямой /, лежащей в этой плоскости.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие ее проекцию М'
на прямую /. Мы имеем отображение, где областью определения
является множество всех точек плоскости, а областью значений —
множество всех точек прямой /. При этом отображении каждой точке
прямой /, очевидно, ставится в соответствие та же точка этой прямой.
Пример 2. Рассмотрим два открытых круга 0г (гх) и 02 (га)1.
Построим отображение, для которого областью определения Q
является множество всех точек круга 01(г1)у а областью значений Qf
множество всех точек круга 02 (г2).
Пусть М — некоторая точка области Q, отличная от точки 0Х.
Рассмотрим радиус ОгМг, которому принадлежит точка М, и
проведем радиус 02М2 второго круга, сонаправленный с радиусом ОгМг
(рис. 64). Возьмем точку М' на отрезке 02М2 так, чтобы она делила
отрезок 02М2 в том же отношении, в котором точка М делит
отрезок 0ХМ х. Очевидно, этими условиями положение точки М' в области
Q' определяется однозначно. Точке М поставим в соответствие точку
М'. Если М совпадает с 01э то ей поставим в соответствие точку 02.
Пример 3. Пусть Q и Q' совпадают с множеством всех точек
плоскости. Возьмем на плоскости некоторую прямую I и каждой
точке М этой плоскости поставим в соответствие точку М',
симметричную точке М относительно прямой L Каждая точка N прямой I при
этом отображении, очевидно, переходит в ту же самую точку, cfro
отображение называется симметрией относительно прямой L
Прямая / называется осью данного преобразования.
Пример 4. Пусть О (г) — некоторая окружность с центром в
точке О и радиусом г. Обозначим через Q множество всех точек
плоскости, за исключением точки О. За область й' примем то же
множество Q.
1 Открытым кругом 0(г) называется множество всех точек М плоскости,
удовлетворяющих условию: МО < г'.
131
Каждой точке М области
Q поставим в соответствие
точку ЛГ по следующему
закону: рассмотрим луч,
исходящий из точки О и проходящий
через точку М\ на этом луче
возьмем точку М' так,
чтобы ОМ • ОМ' = г2 (рис. 65).
Очевидно, этим условием
положение точки М' определя-
/Ч* ется однозначно. Это
отобрало жение называется инверсией
с центром в точке О и
степенью г2. О (г) называется
окружностью инверсии.
Инверсия обладает рядом интерес*
ных свойств, которые будут
рассмотрены ниже в § 32.
Пример 5. Построим
отображение, для которого
область определения Q и область значений Q' совпадают с множеством
всех точек плоскости. Пусть на ориентированной плоскости
зафиксирована точка О и дан определенный угол ф, причем ф^О и ф=^=я.
Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О.
Повернем луч ОМ вокруг точки О на угол ф и обозначим через М'
точку, с которой совпадет М после рассматриваемого поворота. Мг
будем считать образом точки М. Если М совпадает с О, то ее образом
будем считать ту же точку О. Это отображение называется вращением
с центром в точке О на угол ф.
Легко видеть, что все рассмотренные выше примеры, за
исключением примера 1, являются примерами взаимно однозначных
отображений. Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.
2. Аналитическое задание точечных отображений. Задача
аналитического задания точечного отображения заключается в том, чтобы
в выбранной системе координат записать аналитические выражения
*' = h (*. V), У' = /2 (*, У), (!)
позволяющие по координатам (х, у) любой точки области Q
определить координаты ее образа в области Q'.
В качестве примера рассмотрим аналитическое задание инверсии
(см. пример 4). Возьмем прямоугольную систему координат 01 j так,
чтобы начало координат О совпало с центром инверсии (рис. 65).
Если г — радиус инверсии и точка М переходит в точку М', то
из определения инверсии следует, что ОМ\\ОМ' и ОМ • ОМ' = г2.
Обозначив координаты точек М и М' соответственно через (х, у)
и (*'* У')» будем иметь:
х' = U, у' = А,у, где К > О, (2)
132
хх' + уу' = г2.
(3)
Соотношения (2) выражают условие сонаправленности векторов ОМ
и ОМ', а выражение (3) есть не что иное, как координатная запись
равенства ОМ • ОМ' = г2. Подставив значения л: и у из соотношений (2)
в равенство (3), получаем А, (х2 + у2) = г2. Так как точка М (х, у)
не совпадает с началом координат, то х2 + у2 Ф 0, поэтому из преды-
/-2
дущего соотношения можно определить X: К — . Подставив
х2 +у2
найденное значение X в соотношения (2), получаем аналитическое
задание преобразования инверсии:
х2+у* ' У х2+У2 " V ;
3. Точечные преобразования. Как видно из приведенных выше
примеров, область значений Q' и область определения Q отображений
могут быть совершенно разными множествами точек. В первом из
приведенных в п. 1 примеров Q' принадлежит области Q, однако не
совпадает с этой областью. Во втором примере области Q и Q' не
имеют ни одной общей точки. Примеры 3 и 5 характерны тем, что
области QhQ' совпадают со множеством всех точек плоскости. В
примере 4 области ЙиЙ' совпадают, однако эти множества отличаются
ст множества всех точек плоскости. Для дальнейшего изложения
наиболее важную роль играют такие взаимно однозначные отображения,
для которых области QhQ' совпадают со множеством всех точек
плоскости. Введем следующее определение: взаимно однозначное
отображение, для которого области Q и Q' совпадают с множеством всех
точек плоскости, называется преобразованием точек
плоскости. Другими словами, если каждой точке плоскости
поставлена в соответствие некоторая другая точка плоскости так,
что различным точкам соответствуют различные точки и каждая точка
плоскости имеет свой прообраз, то говорят, что дано
преобразование точек плоскости.
В рассмотренных примерах (п. 1) преобразованиями точек
плоскости будут осевая симметрия и вращение (примеры 3 и 5); остальные
отображения не будут преобразованиями точек плоскости, так как
для них области QhQ' не совпадают с множеством всех точек
плоскости.
В дальнейшем, как правило, все рассматриваемые отображения
будут преобразованиями точек плоскости. В соответствии с общей
схемой мы примем для них следующие обозначения: М' = Ф (М),
М' = Г(М) и т. д., или просто Ф, Г и т. д. В этой главе наряду с
преобразованиями точек плоскости нам придется рассматривать также
преобразования векторов. Чтобы отличить их от точечных
преобразований, мы примем для них следующие обозначения: Ф, Гит. д., т. е.
будем снабжать соответствующие буквы чертой сверху.
133
4. Ассоциированные преобразования. Введем следующее основное
определение. Пусть
М' = Ф{М), (5)
* = Ф(х) (6)
— данные преобразования точек и векторов плоскости. Будем
говорить, что эти преобразования ассоциированы между собой, если
выполнено следующее условие: каковы бы ни были две точки плоскости
Мг и М2, их образы М[ и Мг при преобразовании (5) удовлетворяют
условию:
М[М2 = Ф{ЩМ?. (7)
Вместо выражения «преобразования (5) и (6) ассоциированы
между собой» мы будем пользоваться также выражениями
«преобразование (5) ассоциировано с преобразованием (6)» и «преобразование (6)
ассоциировано с преобразованием (5)». Если для данного точечного
преобразования (5) существует ассоциированное с ним векторное
преобразование, то будем говорить, что точечное преобразование (5)
допускает ассоциированное преобразование. Обратно, если для данного
векторного преобразования (6) существует ассоциированное с ним
точечное преобразование (5), то будем говорить, что векторное
преобразование (6) допускает ассоциированное преобразование.
Легко видеть, что если данное точечное или векторное
преобразование допускает ассоциированное преобразование, то уже одно это
обстоятельство накладывает определенные ограничения на данное
преобразование. Для дальнейшего изложения нам необходимо
выяснить, каковы эти ограничения.
5. Точечные преобразования, сохраняющие равенство векторов.
Будем говорить, что данное отображение сохраняет равенство
векторов, если для любых четырех точек М1У М2, М3, М4, удовлетворяющих
условию М±М2 = M3M4, их образы Mi, Мг, Мз и М\
удовлетворяют аналогичному условию:1 М[М.2 = М3М4. Образно говоря
отображение сохраняет равенство векторов тогда и только тогда,
когда при этом отображении вершины параллелограмма переходят
снова в вершины параллелограмма. При этом, конечно,
предполагается, что параллелограмм может также вырождаться.
В рассмотренных выше примерах 3 и 5 преобразования точек
обладают указанным свойством. Напомним из курса элементарной
теометрии, что при осевой симметрии и при вращении вокруг точки
параллелограмм преобразуется в параллелограмм, следовательно,
вершины параллелограмма всегда переходят в вершины параллело-
1 Необходимо подчеркнуть, что на точки Мъ М2> М3 и М4> кроме условия
МгМ2 = М3М±, никаких других ограничений не накладывается. В частности, мы
не исключаем из рассмотрения случая, когда некоторые из указанных точек совпадают
друг с другом.
134
грамма. Легко также показать, что инверсия (см. п. 1, пример 4) не
сохраняет равенства векторов. Для того чтобы это показать, возьмем
точки Л и В на окружности инверсии, а точку С так, чтобы В была
серединой отрезка АС (см. рис. 65). При преобразовании инверсии
точки А и В соответственно совпадают со своими образами Л7 и В',
а точка С не совпадает с С, поэтому АВ = ВС, а А'В' Ф В'С\
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [23.1 ]. Для того чтобы данное точечное
преобразование допускало ассоциированное преобразование, необходимо и
достаточно, чтобы оно сохраняло равенство векторов.
Доказательство. Пусть равенство (5) — данное точечное
преобразование. Сначала предположим, что оно допускает
ассоциированное преобразование (6). Если точки М±, М2, М3, М4 таковы, что
М1М2 = М3М4, то, обозначив через М[, М2, Мз, Ml их образы,
будем иметь: М[М'2 = Ф (МгМ2), ЩМ[ = Ф (М3М^). Отсюда,
учитывая, что МХМ2 = М3М^ имеем: М1М2 = 7И3М4.
Обратно, пусть преобразование (5) сохраняет равенство векторов.
Возьмем произвольный вектор х, приложим его к некоторой точке Мг
и обозначим через М2 конец этого вектора. Вектору х поставим в
соответствие вектор х' = М[М2, где М.\, Ш — образы точек М19
М2. Покажем, что построенное соответствие не зависит от случайного
выбора точки М±. В самом деле, пусть N±N2 — две другие точки
плоскости, удовлетворяющие условию N±N2 = х, a N\,N2 —
соответственно их образы. Так как NXN2 = МгМ2, то N[N'2 = М[М'2 =
= х'. Предлагаем читателю показать, что построенное соответствие
является преобразованием векторов, которое, очевидно, ассоциировано
с преобразованием (5). Теорема доказана.
6. Аддитивное векторное преобразование. Введем следующее
определение. Будем говорить, что векторная функция (6) является
аддитивной,если для любых двух векторов х и у имеет место соотношение:
Ф(х + у)=Ф (х) + Ф(у). (8)
В частности, линейные преобразования, очевидно, являются
аддитивными. Аддитивные векторные функции обладают следующими
почти очевидными свойствами.
Лемма [23.2]. Если Ф (х) — аддитивная векторная функция,
то:
а) Ф (0) = 0; б) Ф (— х) = —Ф (х).
Доказательство, а) Если х0 — некоторый вектор
плоскости, то Ф (лг0) = Ф (Аг0 + 0) = Ф (х0) +~Ф (0). Отсюда Ф ф) = 0,
б) Если х — некоторый вектор плоскости, то 0==_л: —х =
=х + (—х). Тогда_Ф (0) = Ф (* + (—х)) =~Ф(х) + Ф (—х). Но
Ф (0) = 0, поэтому Ф (— х) = —Ф (х).
135
Докажем следующую интересную теорему.
Теорема [23.3]. Пусть на плоскости дана аддитивная
взаимно однозначная векторная функция (6) и даны две произвольные точки
Мг и М\. Тогда существует одно и только одно точечное
преобразование, ассоциированное с данным векторным преобразованием, при
котором точка М± переходит в точку М[.
Доказательство. Сначала докажем существование
точечного преобразования, ассоциированного с данным векторным. Пусть
М — произвольная точка плоскости. Рассмотрим точку М',
удовлетворяющую условию: М'М\ = Ф (ММ±). Очевидно, какова бы ни была
точка Му точка М' всегда существует и последним условием
определяется однозначно. Поставим в соответствие точке М точку М'.
Получаем некоторое точечное отображение (5). Докажем, что оно искомое.
Прежде всего, покажем, что М[ = Ф (Мг). В самом деле,
пусть М*х= Ф (Мг). По нашему определению М\М[ = Ф (А^УИ^
= Ф(0). Согласно лемме [23.2]. Ф (0) = 0, поэтому точки М\ и М[
совпадают.
Теперь покажем, что отображение (5) ассоциировано с данным
векторным преобразованием (6). Пусть Р и Q — произвольные точки
плоскости, а Р' и Q' соответственно их образы. Это означает, что
Р%\ = Ф (PMi), (ZMl = Ф (QMi). Очевидно, Р^ = РМг — QMX,
поэтому Ф (PQ) = Ф (РМг — QMi). Из леммы [23.2] следует, что
Ф (РМ1 — QM±) = Ф {РМг) ~ Ф (QMi), поэтому Ф (PQ) =
= Ф (РМг) — Ф (QMJ = P'VWl — <?М[ = РЧ}'.
Покажем, наконец, что (5) является взаимно однозначным
отображением точек. Если Ыг не совпадает с N2i то NLN2 Ф 0,
следовательно, N\N\ — Ф (А^2) Ф 0, так как (6) по условию
является взаимно однозначным. Итак, образы двух различных точек
различны. Покажем, что произвольная точка ЬА' плоскости имеет
прообраз. Пусть х' = М[М', а х — прообраз вектора х' при
преобразовании (6). Легко видеть, что точка М, удовлетворяющая условию
МгМ = х, является прообразом точки М'.
Остается показать, что построенное точечное преобразование Ф
является единственным преобразованием, удовлетворяющим условиям
теоремы. Это утверждение немедленно следует из того обстоятельства,
что при любом точечном преобразовании, удовлетворяющем условиям
теоремы, точка М переходит в М! так, что М'М\ = Ф (MMJ.
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [23.4]. Для того чтобы данное векторное
преобразование допускало ассоциированное преобразование, необходимо и
достаточно, чтобы оно было аддитивным взаимно однозначным
преобразованием векторов.
13(3
Доказательство. Достаточность условия непосредственно
следует из предыдущей теоремы, поэтому докажем только
необходимость. Пусть равенство (5) — точечное преобразование,
ассоциированное с данным преобразованием (6). Возьмем два произвольных
вектора х и у и покажем, что для этих векторов выполняется условие
аддитивности (8).
В самом деле, возьмем произвольную точку Мг на плоскости и
приложим к ней вектор х\ обозначим конец этого вектора через М2\
приложим к точке М2 вектор у; обозначим конец полученного вектора
через М3. Таким образом, MtM2 = х\ М2М3 = у, поэтому М1М3 =
= х + у. Рассмотрим теперь образы М[, М^ Мз точек Mlf М2, М3
при ассоциированном преобразовании (5). Согласно определению
М[М'2= Ф(х), М'2М'3 = Ф (у), а М[М'3= Ф (х + у); так как
м\м2 + м[м3 = m\m'v то
Ф(х) + Ф(у) = Ф (х + у).
Теперь покажем, что векторное преобразование (6) является
взаимно однозначным преобразованием векторов плоскости. Пусть векторы
х и у приложены в точке Ми а М2 и М3 соответственно их концы.
Если хну — различные векторы, то точки М2и М3 различны, поэтому
Мг и Мз — различные точки. Отсюда мы приходим к выводу, что
образы векторов х и у различные. Далее, пусть х'—произвольный вектор
плоскости. Возьмем точки М[ и ЛЬ так, чтобы х' = М[Мг Так как
(5) — преобразование, то оно взаимно однозначное, поэтому точки
All и М.2 имеют прообразы: Мг и М2. Очевидно, Ф (МгМ2) = х'.
Теорема доказана полностью.
7. Преобразования плоскости. Резюмируя исследование,
проведенное в предыдущих двух пунктах, мы видим, что точечное
преобразование (5) может допускать не более чем одно ассоциированное векторное
преобразование. С другой стороны, если векторное преобразование
допускает ассоциированное точечное преобразование, то, как следует
из теоремы [23.3], оно допускает также бесчисленное множество
других точечных преобразований, ассоциированных с ним.
Таким образом, устанавливается некоторое (не взаимно
однозначное) соответствие между точечными и векторными преобразованиями
плоскости, допускающими ассоциированные преобразования. Это
обстоятельство позволяет стать на несколько иную точку зрения и
расширить понятие преобразования.
Будем говорить, что на плоскости задано преобразование,
если одновременно даны точечное преобразование (5) и
ассоциированное с ним векторное преобразование (6). Это определение вполне
согласуется с нашей точкой зрения на природу основных объектов
геометрии. Таковыми мы считаем точки и векторы. Задание
преобразования плоскости на языке функций означает, что мы рассматриваем та*
137
кую функцию, которая любому основному объекту плоскости (точка —
вектор) ставит в соответствие вполне определенный объект той же
природы. Из предыдущего изложения следует:
Для того чтобы точечное преобразование определяло
преобразование плоскости, необходимо и достаточно, чтобы оно сохраняло равен-
ство векторов.
Замечальным является то обстоятельство, что в элементарной
геометрии мы имеем дело именно с такими преобразованиями точек
плоскости.
§ 24. Аффинные преобразования плоскости
В этом параграфе теория, изложенная выше, применяется для
изучения весьма важного класса преобразований точек и векторов
плоскости — так называемых аффинных преобразований.
1. Определение аффинного преобразования точек. Пусть Mit M2 и
М3 — три различные точки прямой. Число К = —^—2 называется
простым отношением точек М±, М2, М3 и обозначается через
(MiMaMg). Другими словами, (М1М2М3) есть отношение, в котором
третья точка делит отрезок, образованный первыми двумя точками.
Пользуясь этим понятием, введем следующее основное определение.
Преобразование точек плоскости называется аффинным, если
любые три различные коллинеарные точки Мх, М2, М3 переходят в
коллинеарные точки М[, М\, М'3, причем (М± М2 М3) = (ЩМ^М^1.
Ниже будет показано, что в примерах, рассмотренных в § 23, п. 1,
аффинными преобразованиями будут осевая симметрия и вращение
(примеры 3 и 5).
2. Основные свойства аффинных преобразований. Предварительно
введем следующее определение: прямолинейным рядом точек будем
называть множество всех точек, принадлежащих некоторой
прямой. Прямолинейный ряд, определяемый прямой I, обозначается
так: {I}. Прямолинейные ряды {1} и {т} называются параллельными,
если прямые / и т параллельны.
Г. При аффинном преобразовании всякий прямолинейный ряд
точек преобразуется в прямолинейный ряд точек. В самом деле, пусть
{/} — прямолинейный ряд точек; возьмем две произвольные точки Mt
иМ2) принадлежащие прямой /, и рассмотрим их образы М\ и М'2т
Так как точки М\, М.2 различны, то они определяют некоторую
прямую V. Докажем, что {1} преобразуется в {/'}. Если М — произволь-
1 Из методических соображений мы включили в определение аффинного
преобразования избыточное условие: {М^М^М^) = (М{М2М3). Это условие может быть
выведено, если аффинное преобразование определить как преобразование, сохраняющее
коллинеарность точек. Однако доказательство этого предложения сложное и
выходит за рамки настоящего курса.
138
ная точка прямой /, то согласно определению ее образ М' лежит на
прямой Г. Обратно, пусть Р' — произвольная точка прямой Г.
Рассмотрим точку Р ? I и удовлетворяющую условию (М1М2Р) = К
где к = (М[М'2Р'). Из определения аффинного преобразования
следует, что Р — прообраз точки Р'.
2°. При аффинном преобразовании образы любых двух
параллельных рядов параллельны. Доказательство проведем рассуждением от
противного. Пусть на плоскости найдется такая пара параллельных
рядов {7} и {/п}, образы которых {Г} и {т'} не параллельны. Из этого
предположения следует, что прямые V и т' имеют по крайней
мере одну общую точку Р\ Прообраз этой точки согласно свойству 1°
должен лежать как на прямой /, так и на прямой /п, что невозможно в
силу того, что / и т параллельны.
3°. При аффинном преобразовании точек три неколлинеарные
точки переходят в три неколлинеарные точки. Пусть Ми М2и М3 —
неколлинеарные точки, а М[, М2 и М'3 соответственно их образы.
Обозначим через / прямую, проходящую через точки Мъ М2, и
рассмотрим прямую т, проходящую через М3 и параллельную I. Если
V и т' — образы прямых / и т, то, очевидно, М[ ? Г, М2 ? /',
Мз ? т'. Прямые f и т' согласно 2° параллельны, поэтому Мъ М2
и М3 не коллинеарны.
4°. Любое аффинное преобразование точек сохраняет равенство
векторов. Возьмем четыре точки Мъ М2, М3 и М4 так, чтобы М±М2 =
Рис.
139
66,
>. г г , г
= M3Mk (рис. 66). Докажем, что образы М\, М2, Л43, М4 этих
точек удовлетворяют условию
М^Л'2 = ЩМ[. (1)
Обозначим через / прямую МгМ2, а через m прямую М3Мк. Сначала
допустим, что прямые / и т не совпадают (рис. 66, а). Это означает, что
четырехугольник МгМ2М3Мк — параллелограмм, т. е. прямые М1М2
и M3M4 параллельны. Из свойства 2° немедленно следует, что прямая
М[М2 параллельна прямой М3М4. Точно так же можно показать,
что прямая М[м'з параллельна М2М4. Мы видим, что
четырехугольник М[МоМгМ1 является параллелограммом, т. е. выполняется
условие (1).
Теперь предположим, что прямые I и т совпадают (рис. 66, б).
Возьмем прямую п, параллельную этим прямым, и на этой прямой
точки М5, М6 так, чтобы М±М2 = М5М6. Если Мб, М'6 — образы
соответственно точек М5 и М6, то согласно доказанному выше имеем: M'VM'2 =
= М'5М'6 и М'3МГ4 = М'5М'6 (см. рис. 66, б). Отсюда снова
получаем соотношение (1).
5°. Пусть при данном аффинном преобразовании точки Мъ М2,
М3 прямой I переходят соответственно в точки М[, M'2, М'ъ
прямой V. Если точка М3 делит отрезок МгМ2 в отношении X, то Мз
делит отрезок М[М2 в том же отношении X.
Это свойство непосредственно следует из определения аффинного
преобразования. Отсюда, в частности, следует:
6°. Если точки Мъ М2 переходят соответственно в точки М[ ,
М2, то середина М отрезка МХМ2 переходит в середину М' отрезка
м[мг2.
Из свойства 5° следует также, что если точка М лежит между
точками Мь М2, то ее образ М' лежит между точками М[, М2 —
образами точек Мг и М2. Таким образом, мы приходим к следующему
свойству.
7°. При аффинном преобразовании сохраняется отношение «лежать
между».
Отсюда непосредственно вытекает:
8°. При аффинных преобразованиях отрезок,,луч, угол, п-угольник
переходят соответственно в отрезок, луч, угол, п-угольник.
3. Две основные теоремы. Наша ближайшая задача заключается
в том, чтобы выяснить, допускают ли аффинные преобразования
ассоциированные векторные преобразования, и в случае положительного
ответа изучить характер этих преобразований. Две теоремы,
доказанные в этом пункте, полностью отвечают на поставленные вопросы.
Теорема [24.1 ]. Любое аффинное преобразование точек
допускает ассоциированное векторное преобразование, которое является
невырожденным линейным преобразованием векторов.
НО
Доказательство. Из свойства 4° аффинных
преобразований, рассмотренных в предыдущем пункте, и теоремы [23.1 ]
следует, что любое аффинное преобразование точек допускает
ассоциированное векторное преобразование. Покажем, что оно удовлетворяет
условиям теоремы.
Пусть
М' = Ф (Л!) (2)
есть данное аффинное преобразование, а
г'=Ф(г) (3)
— ассоциированное с преобразованием (2) векторное преобразование.
Из теоремы [23.4] следует, что (3) является аддитивным взаимно
однозначным преобразованием векторов. Таким образом, наша задача
сводится к установлению следующего факта: для любого вектора х
и любого числа к векторная функция (3) удовлетворяет условию:
Ф(кх) = кФ(х). (4)
Если х = О или к = 0, то это соотношение непосредственно
следует из леммы [23.2], а поэтому доказательство проведем для случая,
когда х ф О и к Ф 0. При к = 1 соотношение (4) очевидно. Таким
образом, нам следует рассмотреть случай, когда х Ф 0, к Ф 0, к Ф 1.
Пусть Мх — произвольная точка плоскости, а М3 иМ2 выбраны так,
что M1MZ = кх, М3М2 = х. Отсюда следует, что МгМ3 = кМ3М2,
т. е. Ми М2 и М3 — три различные точки одной и той же прямой и
(М1М2М3) = к. Рассмотрим образы этих точек: M'v М2, M's. По
определению ассоциированных преобразований имеем:
ф(мГм3) = mJvj;, ф(л5и2) = м$г2,
поэтому Ф (кх) = M^A'V Ф (л:) = М^1'2. Так как (М±М2М3) =
= (М[М'2М3) = Я, то М[М3 = кМ'3М2. Отсюда следует, что
Ф (кх) = кФ (х). Теорема доказана.
Имеет место обратная теорема.
Теорема [24.2]. Любое точечное отображение, ассоциирован-
ное с линейным невырожденным преобразованием векторов, является
аффинным преобразованием точек.
Доказательство. Пусть точечное отображение (2)
ассоциировано с линейным невырожденным преобразованием векторов (3).
Сначала покажем, что отображение (2) является преобразованием.
Из теоремы [21.4] следует, что преобразование (3) является взаимно
однозначным преобразованием векторов, поэтому согласно теореме
[23.3] отображение (2) является преобразованием. Теперь докажем,
что оно аффинное. Возьмем три различные коллинеарные точки М1У М2>
М3, и рассмотрим их образы: М\} М'2, Мз. Пусть (МХМ2М3) =
141
= X, т. е. МхМг = ХМ3М2. Из определения ассоциированных
преобразований имеем: М[М'г = Ф {МХМ^) = ~Ф (ХМ3М2) = А,Ф(М3М2) —
= JiMgMg. Отсюда следует, что точки М[, М2, М'ъ коллинеарны и
(М[М2Мз) = А,. Теорема доказана.
Из доказанных двух теорем следует, что для того чтобы точечное
отображение плоскости было аффинным преобразованием, необходимо
и достаточно, чтобы оно допускало ассоциированное линейное
невырожденное векторное преобразование.
4. Примеры аффинных преобразований точек плоскости. По
существу все точечные преобразования, изучаемые в курсе средней школы,
являются аффинными преобразованиями. Рассмотрим некоторые из них.
1°. Тождественное преобразование. Наиболее
простым примером аффинного преобразования является тождествен-
ное преобразование, которое характеризуется тем, что каждая точка
плоскости переходит сама в себя, т. е. является неподвижной точкой
преобразования. При этом, очевидно, коллинеарные точки
преобразуются в коллинеарные и сохраняется сложное отношение, поэтому
преобразование является аффинным.
Найдем векторное преобразование, ассоциированное с данным
тождественным точечным преобразованием. Так как для любых двух
точек плоскости М^Мз их образы М [ и М'2 совпадают
соответственно с этими точками, то М[М2 = МгМ2. Отсюда следует, что при
ассоциированном преобразовании любой вектор переходит сам в себя,
т. е. оно является тождественным преобразованием векторов Е.
2°. Параллельный перенос. Пусть а0 — ненулевой
вектор. Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку ЛГ
так, чтобы ММ' = а0. Легко показать, что такое отображение точек
плоскости является аффинным преобразованием. Оно называется
параллельным переносом точек на плоскости, определяемым вектором
а0. В этом случае, как следует из определения преобразования,
МгМ[ = М2М'2 = а0, поэтому М[М'2 = МгМ2. Мы приходим к
тому же выводу, что и в предыдущем примере: векторное
преобразование, ассоциированное с параллельным переносом, является
тождественным.
3°. Симметрия относительно прямой. В §23,
п. 1 мы определили осевую симметрию относительно данной прямой /
как преобразование, которое каждую точку М плоскости переводит
в точку М\ симметричную М относительно / (см. пример 3 на стр. 133).
Из курса элементарной геометрии известно, что это
преобразование сохраняет коллинеарность точек и, кроме того, сохраняет
простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой. Отсюда следует,
что оно является аффинным преобразованием точек.
Пусть е — ненулевой вектор, принадлежащий оси I. Легко видеть,
что преобразование, ассоциированное с данным точечным преобразо*
142
ванием, есть преобразование симметрии Se относительно вектора е
(см. § 21, п. 1, пример 3°). Для того чтобы в этом убедиться,
достаточно произвольный вектор х плоскости приложить к некоторой точке
прямой / и рассмотреть образ х' этого вектора.
4°. Гомотетия. Пусть О — некоторая фиксированная точка.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку М' так,
чтобы
ОМ' = ХОМ, (5)
где X — данное число, отличное от нуля и единицы. Это отображение
называется гомотетией с центром в точке О и с коэффициентом X.
При гомотетии точка О переходит сама в себя, т. е. является
неподвижной точкой.
Из геометрических соображений очевидно, что гомотетия есть
аффинное преобразование. Из соотношения (5) следует, что
геометрическая структура этого преобразования очень простая —
радиус-вектор каждой точки «растягивается» на X. При X > О точка М и ее
образ ЛГ лежат на одном луче, исходящем из точки О, а при X < 0 они
лежат на дополнительных лучах. Если Х =—1, то мы получаем
центральную симметрию относительно точки О. На рисунке 67, а, б
и в изображены образы фигур соответственно в случаях X > 1, X < О,
Х = —1.
Векторное преобразование, ассоциированное с гомотетией,
является преобразованием гомотетии /\(см. § 21, п. 1, пример 1). Для того
чтобы в этом убедиться, достаточно взять произвольный вектор лг,
приложить к точке О и рассмотреть его образ х'.
5°. В р а щ е н и е. В § 23, п. 1, мы определили вращение с
центром в точке О на угол ср как отображение, которое каждой точке М
плоскости ставит в соответствие точку М' так, что -4 MOM' = ф.
При этом предполагается, что О является неподвижной точкой
отображения. Из определения вращения непосредственно следует, что
вращение является преобразованием точек плоскости. Из
геометрических соображений мы сразу заключаем, что вращение сохраняет
коллинеарность и простое отношение трех точек, т. е. является
аффинным преобразованием.
а) б) 6)
Рис. 67.
143
Векторное преобразование, ассоциированное с вращением,
является преобразованием вращения Кф, где ср — угол вращения (см.
§21, п. 1, пример 2°) Для того чтобы в этом убедиться, достаточно
взять произвольный вектор х, приложить к центру вращения О и
рассмотреть его образ х'.
Ниже, в § 25, будет строго доказано, что все рассмотренные здесь
преобразования являются примерами аффинных преобразований.
5. Аффинные преобразования плоскости. Из теоремы [24.1] следует,
что если дано произвольное аффинное преобразование точек (2), то оно
автоматически порождает линейное невырожденное векторное
преобразование (3), ассоциированное с ним. Другими словами, задание
точечного преобразования определяет не только соответствие точек
плоскости, но и соответствие векторов, т. е. каждому основному объекту
плоскости (точка, вектор) это преобразование ставит в соответствие
объект той же природы. Эти соображения, в соответствии с общей
схемой, намеченной в конце предыдущего параграфа, позволяют ввести
следующее определение: аффинным преобразованием
плоскости будем называть аффинное точечное преобразование
(2) и ассоциированное с ним линейное векторное невырожденное
преобразование (3).
Преобразования (2) и (3) называются соответственно точечными
и векторными преобразованиями данного аффинного преобразования.
В дальнейшем аффинное преобразование и его точечное и векторное
преобразования будем обозначать одной и той же буквой, снабжая
волнистой чертой букву, обозначающую аффинное преобразование, а
прямой чертой букву, обозначающую векторное линейное
преобразование. Таким образом, в соответствии с этим соглашением аффинное
преобразование Ф имеет точечное преобразование (3) — Фи
векторное преобразование (4) — Ф. При этом, например, запись М' = Ф(М)
означает, что М'—Ф (М), а запись ё = Ф (е) — что ё = Ф (е).
Общее определение аффинного преобразования, данное выше,
позволяет ввести понятие образа прямой при этом преобразовании.
Напомним, что в соответствии с определением, данным в § 16, п. 1,
прямая рассматривается как некоторое множество, состоящее из
точек и векторов.
Л е м м а [24.3]. Если при аффинном преобразовании
прямолинейный ряд {/} переходит в прямолинейный ряд {/'}, то совокупность всех
векторов прямой I переходит в совокупность всех векторов прямой V'.
Доказательство. В самом деле, если вектор а
принадлежит прямой /, то это означает, что на прямой / найдутся такие две
точки М± и М2, что а = М±М2. Пусть М\, Мъ — образы этих точек,
а А — векторное преобразование данного аффинного преобразования.
По определению М[М'2 = А (М1М2) = А (а). Мы видим, что
М\М'2 является образом вектора а. Этот вектор, очевидно,
принадлежит прямой Г. Обратно, пусть а'—некоторый вектор прямой /\
144
Это означает, что на прямой /' существуют такие две точки N'v N'v
что N[N'2 = а'. Если N± и N2 — прообразы точек N[ и N'v то
вектор N±N2 является прообразом вектора а\ Этот вектор принадлежит
прямой /.
Из доказанной леммы и свойства 1°, п. 2, немедленно следует:
Теорема [24.4]. При любом аффинном преобразовании
прямая преобразуется в прямую.
§ 25. Различные способы задания аффинных преобразований
1. Аналитическое задание аффинного преобразования. Применяя
теорему [23.3 ] к случаю линейных векторных преобразований и
учитывая теорему [24.2], мы приходим к следующему выводу.
Теорема [25.1 ]. Если на плоскости заданы любые две
фиксированные точки М0 и М'0 и невырожденное линейное преобразование Л,
то существует одно и только одно аффинное преобразование Л,
которое точку М0 переводит в точку М0 и для которого А является
векторным преобразованием.
Таким образом, для задания аффинного преобразования Л
необходимо выбрать пару соответственных точек М0 и М0 и линейное
векторное преобразование Л. Если эти объекты заданы, то мы будем
говорить, что аффинное преобразование А задано точками М0у Мо и
преобразованием Л.
Пользуясь этой теоремой, легко получить аналитическое задание
данного аффинного преобразования в выбранной системе координат.
Теорема [25.2]. Если в общей декартовой системе координат
Оехе2 аффинное преобразование задано точками О (О, 0), М0 (х0, у0) и
векторным преобразованием А с матрицей
a2i агг
(1)
то координаты точки М (х, у) и ее образа М' (х\ у') связаны
соотношениями:
х' = х0 + апх + а12у, ^
У' = Уо + a2ix + а22у.
Доказательство. По условиям теоремы точки О, М при
данном аффинном преобразовании переходят соответственно в точки
М0, М\ поэтому М0М' = А(ОМ). Если г0, г и г' радиус-векторы
соответственно точек 7W0, M и ЛГ, то из предыдущего соотношения имеем:
г' — г0 = Л (г), или
r' = r0+A(r). (3)
145
Векторы r0, г и г'имеют координаты: Го{л:0,у0}, г{лг,у}, г' {х',у'}.
Из формул (9), § 21 мы заключаем, что вектор А(г) имеет
координаты: {а1±х + а12у, a2i% + а22у}. Отсюда, пользуясь теоремой о
координатах линейной комбинации векторов, мы приходим к выводу,
что соотношение (3) эквивалентно соотношениям (2). Теорема доказана.
Следствие. Любое аффинное преобразование в выбранной
общей декартовой системе координат задается линейными
соотношениями (2), где определитель, составленный из коэффициентов при х и у,
отличен от нуля.
Матрица, составленная из коэффициентов при х и у в
соотношениях (2), совпадающая с матрицей ассоциированного линейного
преобразования, называется матрицей данного
аффинного преобразования. Ранг этой матрицы равен двум.
Соотношение (3), эквивалентное соотношениям (2), называется
векторным заданием аффинного преобразования.
Докажем теорему, обратную теореме [25.2].
Теорема [25.3]. Даны общая декартова система координат
Ое±е2 и соотношения (2), матрица (1) коэффициентов которых имеет
ранг два. Тогда точечное преобразование А, заданное соотношениями
(2), является аффинным. Оно определяется точками О (О, 0), М0 (х0, у0)
и векторным преобразованием А с матрицей (1).
Доказательство. Возьмем в системе Ое±е2 точку М0 с
координатами х0, у0 и линейное преобразование Л, определяемое
матрицей (1). Если записать аналитическое задание аффинного
преобразования А, определяемого точками О (0, 0), М0 (х0, у0) и
преобразованием А с матрицей (1), то согласно теореме [25.2] оно в точности
совпадает с соотношениями (2). Теорема доказана.
Из доказанных двух теорем мы заключаем, что данное точечное
преобразование будет аффинным тогда и только тогда, когда в общей
декартовой системе координат его аналитическое задание имеет вид (2),
где матрица коэффициентов при х и у является невырожденной.
Если в соотношениях (2) отбросить свободные члены х0 и у0, то они
в точности совпадут с соотношениями ?9), § 21, т. е. с аналитическим
заданием векторного преобразования А данного аффинного
преобразования. Отсюда следует, что соотношения (2) по существу определя-
ют само аффинное преобразование А (точечное и одновременно
векторное). Поэтому они называются аналитическим зада-
нием преобразования А.
2. Примеры. Запишем аналитические задания преобразований,
рассмотренных в п. 4, § 24.
Г. Тождественное преобразование. При этом
преобразовании каждая точка М (х, у) переходит в ту же самую
точку М (х\ у'), поэтому
Х' = Ху у' = у. (4)
146
2°. Параллельный перенос. Пусть данный
параллельный перенос в системе координат Оеге2 определяется вектором
а{а1У а2}. Если точка М (х, у) переходит в точку М\х\ у'), то ЛШ' =
= а, поэтому
х' = х + а1У у' = у + а2. (5)
Получили аналитическое задание параллельного переноса,
определяемого вектором а. Из теоремы [25.3] следует, что тождественное
преобразование и параллельный перенос являются аффинными
преобразованиями.
3°. Осевая симметрия относительно прямой/.
В данном случае прямоугольную декартову систему координат Oij
возьмем так, чтобы точка О и вектор / принадлежали прямой /. Если
М(х, у) — произвольная точка плоскости, а М'(х\ у') — ее образ, то
из определения данного преобразования непосредственно следует:
х' = х, у' = —у. (6)
Мы получили аналитическое задание осевой симметрии
относительно прямой /. Из соотношений (6) в силу теоремы [25.3] мы
заключаем, что осевая симметрия является аффинным преобразованием.
4°. Гомотетия. Общую декартову систему координат
выберем так, чтобы начало координат совпало с центром гомотетии. Если
точка М (я, у) переходит в точку М\х\ у'), то, так как ОМ {х, у},
ОМ'{х\ у'}, из соотношения (5), § 24 получаем:
х' = Хх, у' = Ху, (7)
где X — коэффициент гомотетии.
Из теоремы [25.3 ] следует, что гомотетия есть аффинное
преобразование.
5°. Вращение. Для того чтобы записать аналитическое
задание вращения, воспользуемся теоремой [25.3]. Если систему координат
выбрать так, чтобы начало координат совпадало с центром вращения,
то согласно [25.3 ] искомое аналитическое задание вращения совпадет
с аналитическим заданием ассоциированного преобразования Кф.
Таким образом, вращение на угол ф с центром в начале координат
определяется соотношениями (12), § 21:
хг = х cos ф — у sin ф,
(8)
у' = х sin ф + у cos ф.
Из теоремы [25.3] следует, что вращение есть аффинное
преобразование.
6°. С ж а т и е к прямой. Пусть / — некоторая прямая
плоскости, a k — постоянное положительное число, отличное от
единицы. Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку М'
так, чтобы
MJVL' = k Afjw, (9)
147
где М0 — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на
прямую /. Это соответствие называется сжатием к прямой I с
коэффициентом ft1.
Покажем, что сжатие к прямой является аффинным
преобразованием. Для этого запишем его аналитическое задание.
Прямоугольную декартову систему координат Oij выберем так, чтобы
начало координат О и вектор / принадлежали прямой /. Если в
выбранной системе координат точки Мг, М0 и ЛГ имеют соответственно
координаты (х, у), (х0, у0) и (х\ у'), то, очевидно, для любой точки М
плоскости имеем: х' = х = x0i y0 = 0. Записав соотношение (9) в
координатах и учитывая предыдущие равенства, получаем:
х' = х, у' = ky. (10)
Из теоремы [25.3] следует, что сжатие к прямой является
аффинным преобразованием.
3. Геометрические способы задания аффинного преобразования.
Рассмотрим геометрические способы задания аффинных
преобразований.
Теорема [25.4].. Каковы бы ни были две общие декартовы
системы координат Ое±е2 и 0'e\ev существует одно и только одно
аффинное преобразование плоскости, которое систему Ое±е 2 переводит
в систему O'eieL
Доказательство. Сначала докажем существование
искомого преобразования. Согласно теореме [21.1] существует линейное
преобразование Л, удовлетворяющее условиям: е\ = А(ег), e<i =
= А (е2)- По теореме [25.1] существует аффинное преобразование Л,
которое определяется точками О, О' и преобразованием А. Это
преобразование является искомым.
Теперь покажем, что любое аффинное преобразование /?,
удовлетворяющее условиям теоремы, совпадает с аффинным преобразова-
нием А. В самом деле, так как в\ = В (е^, в2 = В (?2)> то
ассоциированное преобразование В согласно [21.1] совпадает с Л. Но
О' = В (О), поэтому согласно теореме [25.1] преобразования В и Л
совпадают. Теорема доказана.
Теорема [25.5]. Если при аффинном преобразовании А
система Оеге2 переходит в систему 0'е\е2, то произвольная точка М
с координатами (х, у) в системе Ое±е2 переходит в точку М' с теми же
координатами в системе 0'е[е2.
Обратно, соответствие, при котором точка М с координатами
х, у, в системе Оеге2 переходит в точку М! с теми же координатами
1 Если 0< k < 1, то этот термин, как легко видеть, соответствует геометрической
картине. Однако для k > 1 мы имеем по существу растяжение, поэтому термин
«сжатие» надо понимать условно.
148
в системе 0'е\ё2, является аффинным преобразованием плоскости,
при котором система Ое±е2 переходит в систему 0'е\еТ
Доказательство. Сначала докажем первую часть теоре-
мы. По условию е\ = A(e^)y е2 = А(е2). Так как точка М в
системе Ое1е2 имеет координаты х, у, то ОМ = хе1+уе2. Если М' —
образ точки М, то согласно определению аффинного преобразования
О'М' = А (ОМ) = А {хе1 + уе2) = хА (ех) + уА (е2) = хе\ + уе2.
Мы видим, что точка М' в системе 0'е\е2 имеет те же координаты х, у.
Докажем вторую часть теоремы. Пусть П — данное соответствие.
Согласно теореме [25.4] существует аффинное преобразование А,
которое систему Оеге2 переводит в систему 0'е[е'2. Мы только что
доказали, что при преобразовании А любая точка М в системе Оеге2
имеет те же координаты, что ее образ М' в системе 0'е[е2. Отсюда
следует, что преобразования А и П совпадают. Теорема доказана.
Теорема [25.6]. Каковы бы ни были две тройки неколлинеар-
ных точек М1у М2, М3 и М[, М2, М'3, существует одно и только
одно аффинное преобразование, которое точки Mly M2i M3 переводит
соответственно в точки MJ, М2, М3.
Доказательство. Пусть МгМ2 = е1У МгМ3 = е2,
М[М2 = ev М[М'Ъ = е'2. Рассмотрим аффинное преобразование
Л, которое систему М1е1е2 переводит в систему Mie[eL Согласно
предыдущей теореме при этом преобразовании точки М1У М2У М3
переходят соответственно в точки М[у М2, М'г. Легко видеть, что
любое аффинное преобразование /?, удовлетворяющее условиям тео-
ремы, совпадает с преобразованием А. В самом деле, для преобразо-
вания В имеем: М\ = В (MJ, в\ = В (ег), е2 = В(е2). Из теоремы
[25.4] следует, что преобразования А и В совпадают.
§ 26. Инвариантные образы аффинных преобразований;
принцип классификации
1. Собственные направления аффинного преобразования. Если
А — линейное векторное преобразование данного аффинного
преобразования, то собственные векторы и характеристические числа этого
преобразования называются собственными векторами и
характеристическими числами данного аффинного преобразования. Если
характеристическое _число, соответствующее собственному вектору, равно
единице, то А(р)= р, поэтому в данном случае вектор р называется
инвариантным вектором преобразования.
Теорема [25.2] и лемма [22.1] дают возможность по аналитическому
заданию аффинного преобразования определить все характеристические
149
числа и собственные векторы аффинного преобразования. В частности,
из леммы [22.1] следует, что аффинное преобразование имеет
собственные направления тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы
одно действительное характеристическое число.
2. Неподвижные точки. Точка М называется неподвижной точкой
преобразования, если ее образ совпадает с ней. Поставим следующую
задачу:
Задача 1. Аффинное преобразование в некоторой общей
декартовой системе координат задано соотношениями:
х' = а1±х + а12у + х0,
(1)
у' = а21х + а22у + у0.
Найти все его неподвижные точки.
Решение. Из определения непосредственно следует, что для
того чтобы точка М (х, у) была неподвижной, необходимо и
достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли соотношениям:
х = а1±х + а12у + х0, у = а21х + а22у + у0
или
((#п — 1) * + а±2У + *о = О,
(2)
ш21х + (а22 — 1) у + у0 = 0.
Исследуем эту систему. Введем в рассмотрение матрицы:
#11 1 #12 \ /#11 1 #12 Хо\ (3)
#21 #22—!/ \ #21 #22—! У0/
и обозначим через рг и р2 соответственно ранги этих матриц.
Возможны следующие случаи:
а) Pi = Рг = 2. В этом случае система (2) имеет единственное
решение, поэтому данное преобразование имеет одну-единственную
неподвижную точку;
б) Pi = Р2 = Ь В этом случае одно из уравнений (2) является
следствием другого, поэтому система имеет бесчисленное множество
решений. Это означает, что аффинное преобразование имеет
бесчисленное множество неподвижных точек. Легко понять, что все эти
точки лежат на прямой, определяемой одним из уравнений (2).
В этом случае прямая называется неподвижной прямой
преобразования;
в) Рх = 1, р2 = 2. Система (2), очевидно, несовместна, поэтому
аффинное преобразование не имеет ни одной неподвижной точки.
Строго говоря, в нашем исследовании упущен случай, когда pt =
= р2 = 0. При рх = р2 = 0, Как следует из соотношения (3), имеем:
#и = 1> #22 = 1» #12 = #21 = хо = Уо = 0. Мы видим, что данное
преобразование является тождественным. Таким образом, мы
приходим к следующей теореме.
Теорема [26.1 ]. Пусть нетождественное аффинное
преобразование в общей декартовой системе координат задано уравнениями (1).
150
Точка М (х, у) будет неподвижной точкой тогда и только тогда,
когда ее координаты х и у удовлетворяют системе (2).
Если рх и р2 — ранги матриц (3), то при pt = р2 = 2 аффинное
преобразование имеет единственную неподвижную точку; при р± =
= р2 = 1 преобразование имеет неподвижную прямую и, наконец,
при Pi = 1, р2 = 2 преобразование не имеет ни одной неподвижной
точки.
Аффинные преобразования, имеющие единственную неподвижную
точку О, называются центро-аффинными с центром в точке О, а
имеющие неподвижную прямую / — перспективно-аффинными с осью I.
Из доказанной теоремы непосредственно следует
Следствие. Для того чтобы аффинное преобразование, задан-
ное соотношениями (1), было центро-аффинным, необходимо и
достаточно, чтобы ранг левой из матриц (3) был равен двум.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в следующем:
а) параллельный перенос не имеет ни одной неподвижной точки;
б) гомотетия и вращение имеют одну-единственную неподвижную
точку, т. е. являются центро-аффинными преобразованиями;
в) осевая симметрия и сжатие к прямой имеют прямую
неподвижных точек и являются перспективно-аффинными преобразованиями.
3. Неподвижные прямые аффинного преобразования. Выше было
дано определение неподвижной прямой. Неподвижной мы назвали
прямую, все точки которой неподвижны. Из теоремы [26.1 ] вытекает,
что любое нетождественное аффинное преобразование имеет не более
чем одну неподвижную прямую. Рассмотрим некоторые геометрические
свойства, характеризующие неподвижные точки и прямые.
Г. Если две различные точки Мг и М2 неподвижны, то прямая
Мх, М2 является неподвижной.
В самом деле, в этом случае, если (1) — аналитическое задание
преобразования, то система (2) имеет два различных решения,
поэтому Pi = P2 < 2. Здесь рх и р2 — ранги матриц (3). Если рх = р2 = 1,
то из теоремы [26.1 ] следует, что преобразование имеет неподвижную
прямую. Очевидно, точки М1У М2 лежат на этой прямой. Если рх =
= р2 = 0, то преобразование тождественное, поэтому наше
утверждение также справедливо.
2°. Аффинное преобразование, отличное от тождественного, не
может иметь трех неподвижных точек, не лежащих на одной прямой.
Пусть неколлинеарные точки М1У М2, М3 являются неподвижными
точками данного преобразования А. Если Е — тождественное
преобразование, то те же точки являются неподвижными для этого преобра-
зования. Из теоремы [25.6] сразу следует, что А и Е совпадают. Мы
пришли к противоречию.
3°. Если прямая I имеет одну неподвижную точку М0 и хотя бы
один инвариантный вектор р, то I является неподвижной прямой.
В самом деле, пусть А —данное аффинное преобразование.
Возьмем точку Мх так, чтобы М0М± = р, и обозначим через Mi образ
151
этой точки. Так как по условию А(р) = р, то А(М^М^) = М0Мг.
С другой стороны, А (М0Мг) = М0М\. Отсюда следует, что Мг и
М[ совпадают. Мы видим, что прямая / имеет две различные
неподвижные точки, поэтому согласно свойству 1° является неподвижной.
Интересно отметить, что все векторы неподвижной прямой
являются инвариантными.
4. Инвариантные прямые аффинного преобразования. Мы будем
говорить, что прямая / имеет собственное или
инвариантное направление, если все векторы этой прямой
являются собственными векторами данного аффинного преобразования.
Геометрически это обозначает, что образ Г прямой / инвариантного
направления параллелен данной прямой или совпадает с ней. Возможны
следующие три случая:
а) прямая V параллельна прямой 1\
б) прямая / целиком состоит из неподвижных точек и является
неподвижной прямой;
в) прямая / совпадает с /', но не все точки этой прямой являются
неподвижными. В этом случае мы будем говорить, что прямая /
является инвариантной.
Последний случай представляет для нас особый интерес, поэтому
рассмотрим его более подробно.
Выше было отмечено, что аффинное преобразование, отличное от
тождественного, не может иметь более чем одну неподвижную прямую,
однако, как следует из приведенных выше примеров, оно может иметь
более чем одну инвариантную прямую. В самом деле, легко убедиться
в том, что при параллельном переносе всякая прямая, соединяющая
соответственные точки, является инвариантной. Для гомотетии с
центром в точке О любая прямая, проходящая через точку О, является
инвариантной. Однако вращение не имеет ни одной инвариантной
прямой.
Рассмотрим следующий критерий инвариантности прямой.
Теорема [26.2 ]. Для того чтобы прямая I, не все точки кото-
рой неподвижны, была инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы
она имела собственное направление и чтобы образ некоторой точки MQ
этой прямой принадлежал той же прямой I1.
Доказательство. Необходимость очевидна, поэтому
докажем достаточность условия. Обозначим через V образ прямой /,
а через М'0 — образ точки М0. Так как прямая I имеет инвариантное
направление, то V либо совпадает с /, либо ей параллельна. С другой
стороны, прямая V проходит через точку M'Q, лежащую на прямой /.
Таким образом, прямые / и Г имеют общую точку М'0 и,
следовательно, совпадают. Теорема доказана.
1 Мы не исключаем из рассмотрения случая, когда образ точки М0 совпадает с
ней.
152
Рассмотрим некоторые свойства инвариантных прямых.
Г. Если две инвариантные прямые пересекаются, то их точка
пересечения является неподвижной точкой.
В самом деле, если инвариантные прямые 1г и 12 пересекаются в
точке М0, то образ М'0 этой точки лежит как на 119 так и на /2, т. е
совпадает с М0.
2°. Если инвариантные или неподвижные прямые 1Х, 12 и 13
аффинного преобразования А попарно пересекаются в трех точках, не
лежащих на одной прямой, то А — тождественное преобразование.
Это свойство непосредственно следует из свойства Г настоящего
пункта и свойства 2° предыдущего пункта.
3°. Если аффинное преобразование имеет три попарно различные
инвариантные прямые, принадлежащие пучку Q с центром в точке О,
то весь пучок Q состоит из инвариантных прямых.
Пусть 11у 12, 13 — инвариантные прямые, проходящие через центр
О, а рх, р2, р3— ненулевые векторы этих прямых. Из теоремы [26.2]
следует, что рг, р2, р3— собственные векторы преобразования. Эти
векторы попарно не коллинеарны, поэтому согласно теореме [22.2]
любой ненулевой вектор плоскости является собственным. Из
теоремы [26.2] следует, что любая прямая, проходящая через О, является
инвариантной.
Сформулируем еще два свойства, доказательства которых
предоставляем читателю.
4°. Если параллельные прямые 1Х и 12 инвариантны или одна из них
является неподвижной, а другая инвариантной, то параллельный
пучок, определяемый этими прямыми, целиком состоит из инвариантных
прямых, одна из которых может быть неподвижной.
5°. Если аффинное преобразование имеет инвариантную прямую I
и некоторую неподвижную точку О, не лежащую на I, то оно имеет
параллельный пучок инвариантных прямых, определяемый прямой I,
и неподвижную прямую, проходящую через О.
5. Перспективно-аффинное преобразование. Как было отмечено
выше, перспективно-аффинным преобразованием называется такое
нетождественное аффинное преобразование, которое имеет
неподвижную прямую /0, называемую осью преобразования. Применим
полученные выводы к изучению свойств перспективно-аффинных
преобразований. Из теоремы [26.1] непосредственно вытекает следующий
критерий для определения перспективно-аффинных преобразований.
Теорема [26.3]. Для того чтобы аффинное преобразование,
заданное соотношениями (1), было перспективно-аффинным, неодходи-
мо и достаточно, чтобы ранги матриц (3) были равны единице. В этом
случае ось преобразования определяется одним из уравнений (2).
Пусть /0 — ось перспективно-аффинного преобразования, М —
произвольная точка плоскости, не лежащая на /0, а М' — образ этой
точки. Так как М не является неподвижной точкой (свойство 2°, п. 3),
то М и М' — различные точки. Обозначим через / прямую,
определяемую этими точками.
153
Возможны два случая: а) / и 10 пересекаются; б) / и /0 не
пересекаются. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
а) Пусть L — точка пересечения прямых /0 и /. Точки М и L лежат
на прямой I и их образы L и М' также лежат на ней. Отсюда следует,
что I — инвариантная прямая. Из свойства 5°, п. 4 следует, что
параллельный пучок, определяемый прямой /, является пучком
инвариантных прямых. Геометрически это означает, что прямые, соединяющие
соответствующие точки, параллельны.
Итак, преобразование имеет параллельный пучок инвариантных
прямых и одну неподвижную прямую, пересекающую пучок. Из
свойства 2°, п. 4, следует, что этими прямыми исчерпываются все
инвариантные и неподвижные прямые. Отсюда, в частности, следует, что
преобразование имеет два и только два инвариантных направления.
б) В данном случае прямая / согласно теореме [26.2] является
инвариантной. Из свойства 4°, п. 4, мы заключаем, что параллельный
пучок, определяемый прямой I, является инвариантным. Мы пришли
к тому же выводу, что и в предыдущем случае: прямые, соединяющие
соответствующие точки, параллельны.
В данном случае, в отличие от предыдущего, преобразование имеет
параллельный пучок инвариантных прямых, которому принадлежит
ось. Очевидно, этими прямыми исчерпываются все инвариантные и
неподвижные прямые, так как в противном случае,согласно свойству Г,
п. 4 преобразование будет неподвижным. Отсюда следует, что
преобразование имеет единственное собственное направление. Мы доказали
теорему.
Теорема [26.4]. При любом перспективно-аффинном
преобразовании прямые, соединяющие соответственные точки, не лежащие
на оси, образуют параллельный пучок. Если ось преобразования не
принадлежит этому пучку, то преобразование имеет два и только два
инвариантных направления, совпадающих с направлениями пучка и
оси. Если ось преобразования принадлежит этому пучку, то
направление пучка является единственным инвариантным направлением
преобразования.
В первом случае преобразование называется
перспективно-аффинным преобразованием первого рода, а во втором случае —
перспективно-аффинным преобразованием второго рода. Направление
параллельного пучка называется направлением родства.
Теорема [26.4] дает возможность указать простой геометрический
способ построения образов точек при перспективно-аффинном
преобразовании. Рассмотрим эту задачу, предполагая, что преобразование
задано осью и двумя соответственными точками. Из теоремы [25.6]
следует, что этими данными однозначно определяется преобразование.
Задача 2. Пусть перспективно-аффинное преобразование
задано осью /0 и парой соответственных точек М0 и M'Q, не лежащих
на Z0. Построить образ произвольной точки М плоскости.
Решение. Проведем через М прямую т, параллельную M0MQ
(рис. 68, а). Образ М' точки М согласно [26.4] лежит на этой прямой.
154
а) 5)
Рис. 68.
Пусть т0 — прямая, соединяющая точки М и М0, а N — точка ее
пересечения с прямой /0. Так как N — неподвижная точка, то т0
переходит в ЛШ', поэтому М' есть точка пересечения /WW' и т.
Построение по существу не изменится, если т0 параллельна /0 (рис. 68, б).
В этом случае т0 имеет инвариантное направление, поэтому ее образ т\
проходит через М^ параллельно /0.
Если М лежит на M0M'Q, то наше построение неприменимо. В
этом случае следует взять вспомогательную точку Р, не лежащую
на этой прямой, построить ее образ, а потом, пользуясь точками Р
и Р\ вышеуказанным способом построить образ точки М.
6. О расположении неподвижных точек и инвариантных
прямых. Сопоставляя свойства неподвижных точек и инвариантных
прямых, рассмотренные в предыдущих трех пунктах, можно
перечислить все возможные случаи аффинных преобразований в
зависимости от наличия и расположения неподвижных точек и
инвариантных прямых.
В следующей таблице (см. стр. 157) приведены все эти случаи. В
таблице даны ссылки на рисунки 69—71, где схематически изобра-
а) б)
Рис. 69.
а)
Рис. 71.
жена геометрическая картина,
соответствующая каждому случаю. На
этих рисунках неподвижные точки
обозначаются отдельными светлыми
точками, а неподвижные прямые —
рядом светлых точек1.
В таблице перечислены все
случаи, которые априори могут иметь
место. Исследование, приведенное в
предыдущих трех пунктах,
показывает, что другие случаи невозможны.
Замечательным является то
обстоятельство, что все десять случаев
имеют место.
7, Принцип классификации аффинных преобразований. В §22, п. 6,
был изложен принцип классификации линейных векторных
преобразований. В соответствии с этой классификацией введем следующее
определение: будем говорить, что данное аффинное преобразование
принадлежит к fe-му типу, если линейное преобразование данного
аффинного преобразования принадлежит к й-му типу (k = 1, 2, 3, 4).
Таким образом, мы получаем четыре типа аффинных преобразований:
1) аффинные преобразования, имеющие два и только два
собственных направления;
2) аффинные преобразования, имеющие единственное собственное
направление;
3) аффинные преобразования, для которых любое направление
является собственным;
4) аффинные преобразования, не имеющие ни одного собственного
направления.
При изучении аффинных преобразований, в отличие от случая
линейных векторных преобразований, внутри каждого типа можно
провести дополнительную классификацию в зависимости от числа
неподвижных точек и инвариантных прямых. Выше было отмечено, что
аффинные преобразования делятся на четыре вида:
1 В приведенной таблице символ оо1 (оо2) означает, что рассматриваемое
множество точек или прямых является однопараметрическим (двупараметрическим).
156
ЛГ2
п/п
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
I 7
1 8
1 9
10
Неподвижные
точки
0
0
0
1
1
1
1
оо1
оо1
с»2
Неподвижные
прямые
0
0
0
0
0
0
0
1 1
1
оо2
Инвариантные
прямые
0
1
ОО1
0
1
2
со1
оо1
СО1
0
Рисунки
—
69, а)
69, б)
70, а)
70, б)
70, в)
70, г)
71, а)
71, б)
Характер инвариантных прямых
и неподвижных точек
Параллельный пучок
инвариантных прямых
Неподвижная точка
лежит на инвариантной
прямой
Две инвариантные
прямые пересекаются в
неподвижной точке
Пучок пересекающихся
инвариантных прямых с
центром в неподвижной
точке
Пучок параллельных
инвариантных прямых;
неподвижная прямая пересекает
пучок
Пучок параллельных
инвариантных прямых;
неподвижная прямая принадлежит
пучку
Все точки и прямые
плоскости являются
неподвижными. Тождественное
преобразование
а) аффинные преобразования, не имеющие неподвижных точек;
б) центро-аффинные преобразования, т. е. аффинные
преобразования, имеющие одну-единственную точку;
в) перспективно-аффинные преобразования, т. е. аффинные
преобразования, имеющие неподвижную прямую;
г) тождественное преобразование.
Отсюда следует, что, вообще говоря, внутри каждого типа могут
существовать четыре вида аффинных преобразований, т. е.
теоретически возможно 16 различных видов аффинных преобразований.
Однако, как видно из таблицы, существует десять и только десять
видов аффинных преобразований плоскости.
Глава V
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И ДВИЖЕНИЯ.
ГРУППА АФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
И ЕЕ ПОДГРУППЫ. ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 27. Ортогональные преобразования векторов
В § 21 и 22 мы изучили основные свойства линейных векторных
функций от одного векторного аргумента на плоскости. В настоящем и
следующем параграфах мы рассмотрим более подробно два
специальных типа линейных преобразований — ортогональные преобразования
и преобразования подобия. В последующих параграфах они будут
использованы при изучении точечных преобразований.
1. Ортогональное преобразование. Линейное преобразование
х = D(x) называется ортогональным, если для любого
вектора х имеем:
\x\ = \D(x)\.
Другими словами, ортогональное преобразование сохраняет длины
векторов. Очевидно, указанное соотношение эквивалентно следующему:
D\x\D\x\ = xx. (1)
Так как соотношение (1) имеет место для любого х, то при
х = у + z соотношение (1) принимает вид:
D(y + z) D(y + z) = (у + z)(y + z).
Отсюда, используя свойства скалярного произведения и условия
линейности функции D(x), будем иметь:
D(y)D(y) + 2D(y)D(z) + D(z)D(z) = уу + 2yz + zz.
Применяя соотношение (1) к у и z, окончательно будем иметь:
D(y)D(z) = yz. (2)
Из соотношений (1) и (2) следует:
1°. Ортогональное преобразование сохраняет углы между
ненулевыми векторами, т. е. *4 (У, %) = Л (D(y)f D (z)).
Два базиса ег,е2 и а1уа2 называются эквивалентными,
если \ех |= | аг |, | е2 \ = \ а2 [, 2} (е19 е2) = -? (аг, а2). Из
определения ортогонального преобразования и настоящего свойства
следует:
158
2°. Ортогональное преобразование любой базис переводит в
эквивалентный ему базис. Отсюда непосредственно следует:
3°. В любом базисе матрица ортогонального преобразования имеет
ранг два, т. е. ортогональное преобразование является невырожденным
линейным преобразованием.
2. Теоремы о задании ортогональных преобразований. Докажем
две важные теоремы, позволяющие аналитически задавать
ортогональные преобразования.
Теорема [27.1]. Если ех,е2 и аг,а2— два произвольных
эквивалентных базиса, то существует одно и только одно ортогональ*
ное преобразование D, для которого D (ej = ai9 D (е2) = а2.
Доказательство. Согласно теореме [21.1 ] существует
одно и только одно линейное преобразование D, которое векторы еъе2
переводит соответственно в ах,а2. Докажем, что D —
ортогональное преобразование. Пусть х— произвольный вектор. Разложив его
по базису ег,е2, получаем:
х = xtei + х2е2, D(x) = D (х^е^ + х2е2) =
Ч& (ед + Ч® (*2) = *i<*i + *2#2-
Отсюда следует, что D (x) D (х) = (х^ +х2а2) (х±а± + х2а2) =
= X^X^d^Ct^ "у- ZXjX2dj(i2 -\- X2X^CL2(t2»
С другой стороны, хх = (х^ + х2е2) (х^ + х2е2) = х^е^ег +
+ Zxix2ei62 -f~ х2х2е2е2»
Учитывая, что базисы eite2 и aifa2 эквивалентны, т. е. е^ =
= «!«!, е2е2 = а2а2, е^е2 = а^2, получаем: хх = D(x) D (х).
Теорема доказана.
Теорема [27.2]. Пусть в прямоугольном декартовом базисе
i,j линейное преобразование А(х) задано матрицей
ш <з)
Для того чтобы преобразование А(х) было ортогональным, необходимо
и достаточно, чтобы матрица (3) была ортогональной1.
Доказательство. Сначала докажем необходимость
условия. Пусть А(х) — ортогональное преобразование. Согласно
свойству 2° предыдущего пункта векторы A(i) и A(f) образуют
прямоугольный декартовый базис. Так как согласно § 21, п. 5 векторы A(i)
и A(j) имеют соответственно координаты {а1э рх} и {а2, fJ2}> T0 мат-
рица (3) является ортогональной.
Теперь докажем достаточность условия. Так как матрица (3)
ортогональная, то векторы А (/) {<х1э рх} и A (j) {a2, (52} образуют
прямоугольный декартовый базис, поэтому базисы /, j и A(i), A(J)
Э1 визалентны. Согласно теореме [27.1] преобразование А(х)
является ортогональным. Теорема доказана полностью.
Формулы (15) и (16), § 21 показывают, что преобразования Е, V<p
и 5е в прямоугольном декартовом базисе задаются ортогональными
1 См. § 11, п. 3.
Д59
матрицами, поэтому из доказанной теоремы следует, что
преобразования Е, Кф и Se являются ортогональными.
3. Классификация ортогональных преобразований. Пусть D —
ортогональное преобразование. Согласно теореме [27.2] матрица (3)
в любом прямоугольном декартовом базисе является ортогональной.
Из теоремы [11.1 ] следует, что матрицу (3) можно представить в виде:
cos ф — sin ф\ м\
вШф С05ф/,
или
/cosq> sin<p\ (5)
\sin ф —cos у J. v
Преобразования, заданные матрицами (4) и (5), называются
соответственно ортогональными преобразованиями
первого и второго рода.
Выясним, что представляет собой преобразование в каждом из этих
случаев.
Г. Ортогональное преобразование первого
рода. Если ф ф 0 и ф ф я, то преобразование (4) является
вращением Уф (см. (15), § 21). Если ф = 0, то матрица (4) принимает вид:
•\ ?). <*>
поэтому преобразование D является тождественным
преобразованием. Если же ф = п, то матрица (4) принимает вид:
(-j -?>. <7>
Эта матрица получается из первой матрицы (15), § 21, если k — —L
поэтому рассматриваемое преобразование есть симметрия Г_г. Мы
пришли к следующему выводу: всякое ортогональное преобразование
первого рода есть тождественное преобразование ?, или отражение
/\_х, или вращение Кф.
2°. Ортогональное преобразование второго
рода. Найдем собственные векторы и характеристические числа
преобразования, заданного матрицей (5). В этом случае
характеристическое уравнение имеет вид:
I cos ф — X sin ф
sin ф — cos ф -
= 0, или Л,2 — 1 = 0.
Это уравнение имеет два корня А,х = 1, К2 = —1. Пусть еи е2 —
единичные собственные векторы, соответствующие этим числам. Это
означает, что D(e^) = еъ D(e2) = —е2. Отсюда следует, что В(е^) D (е2)=
= — ефъ С другой стороны, из соотношения (2) следует, что
D(et) D(e2) = е^е2. Таким образом, — е±е2 = е±еъ поэтому е^ег = 0.
Итак, базис е^е2 является прямоугольным декартовым. В этом базисе
матрица преобразования имеет вид:
160
(J 4
(8)
Она совпадает с третьей матрицей (15), § 21, поэтому
рассматриваемое преобразование является симметрией Set. Мы пришли к
следующему выводу: всякое ортогональное преобразование второго рода
есть преобразование симметрии Se, где е — собственный вектор,
соответствующий характеристическому числу 1.
Матрицы (4), (6), (7) и (8) называются каноническими
матрицами соответствующих преобразований Уф, Е, Г_4 и Se-
Интересно отметить, что для преобразований Кф, Е и Г^ виды
матриц (4), (6), (7) по существу не зависят от выбора прямоугольного
декартового базиса.
Резюмируя приведенное выше исследование, приходим к
следующей теореме о классификации ортогональных преобразований векторов.
Теорема [27.3]. Существуют четыре и только четыре rtiuna
ортогональных преобразований векторов плоскости, перечисленных в
следующей таблице:
1
1 2
1 3
1 4
Преобразование
Тождественное преобразование Е
Преобразование отражения Г-г
Преобразование вращения Уф
Преобразование симметрии Se
Характеристические числа
А1 = А2=\
Л>1 = Л»2 = —— 1
Комплексно сопряжен-
1 ные числа
| ^ = 1, Ь2 = — 1
Каноническая 1
матрица 1
(6)
(7) J
(4)
(8)
Эта таблица показывает, что характеристические числа однозначно
определяют характер ортогонального преобразования, поэтому
фактически по аналитическому заданию преобразования легко определить,
к какому виду оно принадлежит.
4. Произведения ортогональных преобразований. Докажем
следующую лемму.
Лемма [27. 4]. Произведение любых двух ортогональных
преобразований есть ортогональное преобразование.
Доказательство. Пусть Dx и D2 — два ортогональных
преобразования. Это означает, что для любого вектора х имеем:
\Di(x)\=\x\, \D%{x)\ = \x\.
Если x'=D2Di{x\ то x'=D2(y), где у = D^x). Отсюда,
используя определение ортогональных преобразований, получаем: I х' I =
= | D2(y) | = | у | = | D,{x) | = | х \. Таким образом, \D2(x) D^x)] = |*|,
т. е. преобразование D2Di является ортогональным.
161
к
Из теоремы [27.3] следует,
что существуют всего четыре
типа ортогональных
преобразований:
«ч
Е, Г_4, 1/ф и Se-
(9)
Рис. 72.
Лемма [27.41 показывает,
что произведение любых двух
из этих преобразований есть од-
но из преобразований (9).
Предке' >^ ставляет определенный
практический интерес составление
«таблицы умножения» этих
преобразований, т. е. определение
их всевозможных произведений.
Определим, например, произведение 5еКф.
Пример. Пусть А = Se, В = Vq>. Найти преобразование
АВ = Se Кф.
Решение. Пусть х — произвольный вектор, а х' = Se V^ (лг).
Геометрически это означает, что х получен поворотом вектора х
на угол ср (вектор хг) с последующим отражением от вектора е (рис.72).
Покажем, что АВ есть симметрия Sm, где вектор га получен из
е поворотом на угол а = —2L. В самом деле, АВ есть согласно
лемме [27.4] ортогональное преобразование. Вектор га, как нетрудно
видеть, при этом преобразовании переходит в га, т. е. га есть
собственный вектор с характеристическим числом 1.
Из теоремы [27.3] следует, что АВ есть либо тождественное
преобразование, либо преобразование симметрии. Но так как АВ(е)Фе,
то АВ есть преобразование симметрии. Так как АВ(т) = га, то
АВ = Sm.
Предлагаем читателю самостоятельно доказать это утверждение
чисто геометрическим путем, исходя непосредственно из определения.
Точно так же могут быть рассмотрены другие попарные произведения
преобразований (9). В приведенной ниже таблице даны их
всевозможные произведения. При этом первым сомножителем является
преобразование, записанное в первом столбце, а вторым сомножителем —
преобразование, записанное в первой строке. Их произведением
является преобразование, расположенное на пересечении
соответствующих столбца и строки1.
Примечания. В этой таблице введены следующие
обозначения.
1°. га0 и е0 есть векторы, перпендикулярные соответственно
векторам га и е.
1 Эта таблица будет использована нами в § 33 при доказательстве теорем
элементарной геометрии.
162
J^\ll
E
F'1
%,
S°
E
E
Гч
Vo,
s.
Г-х
Г-,
?
^<p,—180°
Se„
VV,
V*
^ф2—180°
^Ф,+Ф2
'•(•?)
5m 1
m
tn \
mo
*-H?)
V*
2°. КФг+ф2 = ?, если ф4 + ф2 = 0; Кф1+Ф, = /\_lt если фА + ф2 = я
или —я. В остальных случаях Кф1+Фг — преобразование вращения.
3°. Sm(——) есть симметрия относительно вектора, который
получен из т поворотом на угол — -5*.
4°. Se (—) есть симметрия относительно вектора, который получен
Фа
из е поворотом на угол —.
5°. В преобразовании Уф ф = 2 ^с (е, т).
Если <4(е, т) = 0 или <4(е, т) = я, то Уф = ?; если -4(g, /я)=
= — или , то Уф = r^f, в остальных случаях Кф —
преобразование вращения.
Важно подчеркнуть, что произведение преобразований, вообще
говоря, зависит от порядка сомножителей. В этом легко
убедиться, если вернуться к примеру (см. стр. 162). В самом деле, так
как ф Ф 0 и ф ф я, то Se Vcp и V^Se—разные преобразования.
Например, на рисунке 73 видно, что
для вектора х имеем: х' — Se Уф (х)
и х" = V^Se (лг), где х' Ф х". /! \
§ 28. Линейные
преобразования подобия
1. Преобразования подобия
векторов. Линейное преобразование Р(х)
называется преобразованием
п о д о б и я, если для любого
вектора х имеем: | Р(х) | = k \ x |,
где k — положительное число,
которое называется коэффици-
163
еитом подобия данного преобразования. При k — \ это
определение совпадает с определением ортогонального преобразования,
поэтому ортогональное преобразование есть частный случай
преобразования подобия.
Заметим, что если q — произвольное число, отличное от нуля,
a D(x) — произвольное ортогональное преобразование, то q D(x)
является преобразованием подобия с коэффициентом подобия | q\ •
В самом деле, для произвольного вектора х имеем:
\qD(x)\ = \q\\D(x)\ = \q\\x\.
Докажем предложение, в некотором смысле обратное этому
предложению.
Лемма [28.1 ]. Для любого преобразования подобия Р(х)
с коэффициентом k существует ортогональное преобразование D (х),
удовлетворяющее условию
Р(х) = kD(x). (1)
Если Р(х) задано, то k и D(x) из соотношения (1) определяются
однозначно.
Доказательство. Пусть Р(х) — данное преобразование
подобия с коэффициентом k. Введем в рассмотрение преобразование
D(x)=±P{x). (2)
к
Из п. 7, § 21 следует, что оно является линейным, причем для
любого вектора х имеем:
1
k
D(x)\ = \±P(x)\ = ±\P(x)\=\x\.
k
Умножив соотношение (2) на k и учитывая свойство 1°, п. 7, § 21,
приходим к соотношению (1).
Теперь докажем вторую часть леммы. Допустим, что существует
ортогональное преобразование D'x и число k' > 0, удовлетворяющее
условию: Р(х) = krD'{x). Если хд — произвольный ненулевой
вектор, то из нашего предположения следует, что kD(x0) = k'D'(xQ)y
поэтому | kD(x0) | = | k'D'{xQ) \,k\D (x0) | = k'\D' {x0) |. Так как
D(x) и D'(x) — ортогональные преобразования, то отсюда следует, что
k\xQ\ = k' \x0\, поэтому k=k'. Таким образом, kD(x)=kD'(x). Так
как k Ф О, то D(x)= D'(x).
Преобразование D(x), удовлетворяющее соотношению (1),
называется ортогональным преобразованием данного
преобразования подобия Р{х).
Из соотношения (1), учитывая формулы (1), (2), § 27 и свойство 2°,
п. 7, § 21, получаем:
Р (х) Р (х) = №х • х, Р (х) Р (у) =-- k\xy.
164
k COS ф
k sin ф
Ik COS ф
\k sin ф
— k sin ф'
k COS фi
k sinq
—k COS Cf
Эти соотношения показывают, что преобразование подобия при
кф 1, в отличие от ортогональных преобразований, не сохраняет длин
векторов, но сохраняет углы между ненулевыми векторами.
Применяя свойство 3° п. 7 § 21, к соотношению (1), мы приходим
к выводу, что если матрица ортогонального преобразования D
данного преобразования подобия Р имеет вид (3), § 27, то матрица
преобразования Р в этом же базисе будет:
fc *Й. (3)
Из теоремы [11.1] следует, что матрицу ортогонального
преобразования можно представить в виде (4) или (5), § 27 , поэтому из
соотношения (3) мы приходим к следующей теореме.
Теорема [28.2]. Матрицу преобразования подобия в любом
прямоугольном декартовом базисе можно представить в виде:
(4)
или
(5)
Здесь k — коэффициент подобия данного преобразования.
Очевидно, имеет место и обратное предложение: любое линейное
преобразование, заданное в прямоугольном декартовом базисе
матрицей (4) или (5), является преобразованием подобия. Предлагаем
читателю самостоятельно доказать это предложение.
2. Классификация преобразований подобия. Лемма [28.1]
позволяет дать довольно простую классификацию преобразований подобия
в соответствии с классификацией ортогональных преобразований.
Принцип этой классификации заключается в следующем. Так как
каждое преобразование подобия Р {х) однозначно определяет согласно
лемме [28.1] ортогональное преобразование D(x), удовлетворяющее
соотношению (1), то Р(х) будем относить к тому или иному классу, в
соответствии с тем, к какому классу принадлежит его ортогональное
преобразование.
Рассмотрим этот вопрос более подробно. Будем говорить, что
преобразование подобия принадлежит к первому (втором у)
роду, если соответствующее ортогональное преобразование
принадлежит к первому (второму) роду. Из исследования, проведенного в п. 3,
§ 27, следует, что всякое преобразование подобия первого рода с
коэффициентом k есть kE или kr^v или k Кф Рассмотрим каждый из
этих случаев.
а) Преобразование kE. Каждый вектор х при этом
преобразовании переходит в вектор х' = kx, поэтому при k = 1
имеем тождественное преобразование, а при k ф 1 — гомотетию Гк с
положительным коэффициентом k (рис. 74, а).
165
Х=АХ)
xr^~kxL
xr=kv<p(x)
Рис. 74.
б) Преобразование kr_t. Каждый вектор х при этом
преобразовании переходит в вектор х' = — kx (рис. 74, б)).
Мы имеем гомотетию Г^к с отрицательным коэффициентом —к.
Преобразования Гк и Г_к в любом базисе, как следует из (15),
§ 21, имеют матрицу
G J). (6)
где К = ±k.
Матрица (6) называется канонической матрицей преобразования
гомотетии.
в) Преобразование &КФ. Каждый вектор х поворотом
на угол ф переводится в вектор Кф (х) и полученный вектор
умножается на положительное число к (рис. 74, в)):
Wv(x).
Это преобразование называется преобразованием
центрально-подобного вращения. При k = 1 получим частный случай этого
преобразования — вращение Кф. Если вращение Кф задается матрицей (4),
§ 27, то kVy, очевидно, будет задано матрицей
k cos ф — k sin ф'
k sin ф k cos ф
(7)
Эта матрица называется канонической матрицей преобразования
Резюмируя все сказанное выше, мы приходим к следующему
выводу: всякое преобразование подобия первого рода есть тождественное
преобразование ?, или гомотетия Г+k, или центрально-подобное ера-
щение kVy.
Из исследований, проведенных в п. 3, § 27 следует, что всякое
преобразование подобия второго рода есть kSe. При k = 1 получаем
преобразование симметрии (рис. 63). При k положительном, не
равном единице, оно называется преобразованием центрально-подобной
симметрии относительно е и обозначается через kSe. Геометрический
смысл этого преобразования состоит в следующем: каждый вектор X
\№
(8)
S*№
Г'
преобразованием симметрии переводится в
Se (лг) и полученный вектор умножается
на число k (рис. 75): kSe [x).
Так как преобразование Se имеет
каноническую матрицу (8), § 27, то kSe
имеет следующую каноническую матрицу:
(о -k).
Мы пришли к следующему выводу:
всякое преобразование подобия второго
рода есть преобразование симметрии Se , или
центрально-подобной симметрии1 kSe..
Резюмируя приведенное выше
исследование, приходим к следующей теореме о
классификации преобразований подобия
векторов плоскости.
Теорема [28.3 ]. Существуют пять и только пять типов
преобразований подобия векторов плоскости, перечисленных в следующей
таблице:
Рис. 75.
1
1 2
3
4
5
1
Преобразования
Тождественное преобразование Е
Преобразование гомотетии Г+к
Преобразование
центрально-подобного вращения /гУф
Преобразование симметрии Se
Преобразование
центрально-подобной симметрии kSe
Характеристические числа
^ = К2 = 1
ьх = я,2 = ± fc, /г =? 1
Комплексно
сопряженные числа
\ = 1, %2 = — 1
X1=kt k2=—/г, кф\
Каноническая |
матрица
(6), § 27
(6)
(7)
(8), § 27
(8)
В заключение отметим следующий интересный факт, который
непосредственно следует из соотношения (1). Если Р — данное
преобразование подобия, а В — его ортогональное преобразование, то
Р и D имеют одни и те же собственные векторы, причем если е —
1 На первый взгляд может показаться неестественным то обстоятельство, что
преобразование центрально-подобного вращения &7ф включает в себя как частный
случай вращение 7ф , а преобразование центрально-подобной симметрии kSe не
включает в себя преобразование Sе Это не случайно, так как Sе имеет
инвариантные векторы (т. е. векторы, не меняющиеся при этом преобразовании), a kSe при
к Ф 1 таковых не имеет.
По этой же причине тождественное преобразование и гомотетию мы отнесли к
разным классам.
167
характеристическое число данного собственного вектора при
преобразовании D, то sk — характеристическое число того же вектора при
преобразовании Р. Здесь е = ±1.
§ 29. Преобразования подобия и движения
В этом параграфе мы изучим два специальных класса аффинных
преобразований — преобразования подобия и преобразования
движения, которые особенно широко применяются в элементарной геометрии.
1. Точечное преобразование подобия. Отображение М' = Р(М)
точек плоскости, области определений и значений которого совпадают
со множеством всех точек плоскости, называется отображением
подобия, если отношение расстояния между двумя различными точками
М\ и Мч к расстоянию между их прообразами Мг и М2 есть
величина постоянная, равная k > 0, т. е. М\М2 = kM1M2. Число k
называется коэффициентом подобия. Если k = 1, то для любых пар точек
Mi, М?. и их прообразов М1э М2 выполняется условие М1М2 =
= МгМ2. Такие преобразования называются движениями.
Рассмотрим простейшие свойства отображения подобия. При
этом будем пользоваться следующей леммой, хорошо известной из
курса элементарной геометрии.
Лемма [29.1 ]. Пусть А и В — две различные точки плоскости.
Для того чтобы точка М, не совпадающая с А и В, лежала между А и
В, необходимо и достаточно, чтобы AM + MB = АВ.
Рассмотрим простейшие свойства преобразований подобия.
Г. Если точка В лежит между точками А и С, то образ В' этой
точки лежит между образами Л' и С точек А и С. В самом деле,
согласно лемме [29.1] имеем АВ + ВС = АС. Отсюда следует, что
kAB + kBC = kAC, где k — коэффициент подобия данного
преобразования. По определению преобразования подобия имеем: Л'.8' =
= kAB, А'С = kAC, В'С = kBC, поэтому А'В' + В'С = А'С.
х
Так как В' не совпадает с точками А* и С, то1 Л'Б'С Отсюда
следует:
2°. Если А, В и С — коллинеарные точки, то их образы также
коллинеарны.
3°. Если А, В и С не коллинеарны, то их образы А', В' и С также
не коллинеарны.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть
на плоскости найдутся три такие неколлинеарные точки А, В, С,
что их образы А', В', С коллинеарны.
х
Не нарушая общности, можно предположить, что А'В'С. Так как
точки Л, В и С образуют треугольник, то АВ + ВС > АС, отсюда
получаем: kAB + kBC> kAC, где k — коэффициент подобия данного
1 Здесь и в дальнейшем так оудем сокращенно обозначать соотношение «лежать
между».
168
преобразования. По определению преобразования подобия имеем:
А'В' = kAB, B'C = kBC, A'C = kACy следовательно,
А'В' + В'С > А'С.
Мы пришли в противоречие с леммой [29.1 ].
4°. Если М делит отрезок АВ в отношении X, то ЛГ делит
отрезок А'В' в том же отношении X.
В самом деле, пусть М — произвольная точка прямой АВ, не совпа-
х х
дающая с точками А и В. Возможны три случая: а) АМВ; б) МАВ;
х
в) MB А. Рассмотрим каждый из них в отдельности,
х х
а) АМВ. Согласно свойству 1° имеем: А'М'В'. Точка М делит
отрезок АВ в отношении X, поэтому X = ^^г = —. Отсюда получаем:
мв мв _^
^ = kAM = ?ЛГ ^ Так как Afcff TQ к ^ Л^ = Л^ Мы
kMB M'B' М'В' мв'
что точка Mf делит отрезок А'В' в отношении X.
х
б) МАВ. В этом случае имеем:
ЛЛ4 ЛМ kAM A'M'
MB MB kMB М'В'
Так как в силу свойства Г М'А'В', то Л'М' || М'В', поэтому
- = _ А'М' Л^М'
М'В' №%> '
Мы пришли к тому же результату.
Случай в) доказывается аналогично.
5°. Если различные точки А и В переходят в точки А' и В', то
любая точка прямой А'В' имеет прообраз на прямой АВ.
Действительно, пусть Q' — произвольная точка прямой А'В'.
Если Q' совпадает с одной из точек Л', В', то наше утверждение
очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда Л', В' и Q'—различные
точки. Возьмем на прямой АВ точку Q так, чтобы она делила отрезок АВ
в отношении X. Здесь X — отношение, в котором Q' делит отрезок
А'В'. Из предыдущего свойства следует, что Q — прообраз точки Q'.
2. Преобразование подобия как аффинное преобразование.
Рассмотренные выше свойства позволяют доказать следующую основную
теорему.
Теорема [29.2]. Отображение подобия есть аффинное
преобразование точек плоскости.
Доказательство. Достаточно показать, что подобие есть
преобразование, т. е. взаимно однозначное отображение. Если это
будет доказано, то из свойств 2° и 4° предыдущего пункта сразу
последует, что подобие является аффинным преобразованием. Из опре-
169
деления подобия вытекает, что две разлгршьге точки переходят в две
различные точки. Покажем, что любая точка Р' плоскости имеет свой
прообраз. Возьмем три точки Л, В, С, не лежащие на одной прямой,
и рассмотрим их образы Л', В', С. Согласно свойству 3° эти точки не
лежат на одной прямой. Если Р' лежит на прямых А'В'', В'С и
Л'С, то наше утверждение непосредственно следует из 5° п. 1, поэтому
допустим, что Р' не лежит на этих прямых. Проведем через Р' прямую
так, чтобы она проходила через одну из вершин треугольника А 'В'С
и пересекала прямую, соединяющую две другие вершины. Не
нарушая общности, можно допустить, что т есть прямая А'Р\
пересекающая ВГС в точке Q'. Согласно свойству 5° точка Q' имеет прообразом
точку Q, лежащую на ВС. Так как А и Q — различные точки, то
согласно свойству 5° точка Р\ лежащая на прямой A'Q\ имеет
прообраз.
Мы доказали, что любая точка плоскости имеет прообраз,
следовательно, рассматриваемое отображение подобия является
преобразованием.
Доказанная теорема показывает, что любое точечное
преобразование подобия является аффинным. Но обратное утверждение,
очевидно, не справедливо. В следующей теореме устанавливается простой
критерий, позволяющий из аффинных преобразований выделить
преобразования подобия.
Теорема [29.3]. Для того чтобы данное точечное
отображение было преобразованием подобия, необходимо и достаточно, чтобы
оно допускало ассоциированное линейное векторное преобразование
подобия.
Доказательство. Пусть данное отображение точек есть
преобразование подобия с коэффициентом k. Из теорем [29.2] и [24.1 ]
следует, что оно допускает ассоциированное линейное векторное
преобразование А. Покажем, что А является преобразованием подобия.
Пусть х — произвольный вектор плоскости. Возьмем точки Мг и
Ж2 так, чтобы х = МгМ2. Если Mi, М2 — образы этих точек, то
М\М2 = А (М$12) = А (х). Так как kM1M2 = М'\М2, то
k \x |= |Л(*)|.
Теперь докажем достаточность условия. Предположим, что данное
преобразование точек допускает ассоциированное преобразование
подобия Р с коэффициентом k. Если Мг и М2— произвольные точки
плоскости, а М[ и М2 — их образы, то М\М2 = РЩ^^.
Отсюда по определению преобразования подобия имеем:
М\М2 = kMxM2.
3. Преобразования подобия плоскости. В соответствии со схемой,
изложенной в п. 7, § 23, точечное преобразование подобия М! = Р (М)
и ассоциированное с ним векторное преобразование подобия х' =
= Р (х) определяют преобразование плоскости, которое называется
преобразованием подобия. Из теоремы [29.3 ] следует,
170
что аффинное преобразование плоскости будет преобразованием
подобия тогда и только тогда, когда его векторное преобразование является
преобразованием подобия.
Доказанные в предыдущем пункте теоремы позволяют
рассмотренные выше свойства аффинных преобразований распространить на
преобразования подобия. В частности, мы можем утверждать, что
при этом преобразовании прямые переходят в прямые, параллельные
прямые переходят в параллельные; отрезок, луч, угол, многоугольник
переходят соответственно в отрезок, луч, угол, многоугольник.
Из теоремы [29.3] и свойств линейного преобразования подобия
немедленно следует, что преобразование подобия плоскости сохраняет
величины углов, определяемых данными векторами. Отсюда, в
частности, следует, что перпендикулярные векторы переходят в
перпендикулярные векторы.
4. Аналитическое задание преобразования подобия. Докажем
следующую важную теорему.
Теорема [29.4]. Для того чтобы данное точечное
преобразование было преобразованием подобия, необходимо и достаточно, чтобы
в данной прямоугольной декартовой системе координат оно имело
следующее аналитическое задание:
х' = х0 + (k cos ф) х — (k sin ф) у,
у' = у0 + (k sin ф) х + (k cos ф) у (1)
или
х! = х0 + (k cos ф) х + (k sin ф) у,
у' = Уо + (k sin ф) х — (k cos ф)у. (2)
В этих соотношениях k есть коэффициент подобия (& > 0).
Доказате л_ь с т в о. Пусть Р — данное точечное
преобразование подобия, а Р — ассоциированное с ним векторное
преобразование. Допустим, что образ М0 точки О в данной системе Oij имеет
координаты (х0, у0). Так как Р согласно теореме [29.3] является
преобразованием подобия, то в базисе /, j матрицу этого преобразования
можно представить в виде (4) или (5), § 28 (теорема [28.2]). Из
теоремы [25.2 ] следует, что аналитическое задание преобразования Р
имеет вид (1) или (2).
Теперь докажем достаточность условий. Предположим,
например, что данное точечное преобразование Р задано уравнениями (1).
Из теоремы [25.3] следует, что линейное преобразование векторов
данного преобразования (1) имеет матрицу (4), § 28. Так как этой
матрицей определяется преобразование подобия, то по теореме [29.3]
преобразование Р есть точечное преобразование подобия.
5. Примеры. В п. 2, § 25 были рассмотрены шесть примеров
аффинных преобразований. Выясним, какие из них являются
преобразованиями подобия. Легко видеть, что тождественное преобразование,
параллельный перенос, осевая симметрия и вращение являются
подобными преобразованиями с коэффициентом k ¦=¦ 1, m. е. примерами
движений. В самом деле, перечисленные здесь преобразования анали-
ш
Рис. 76.
тически задаются
соотношениями (4), (5), (6) и (8), § 25. Все
эти соотношения удовлетворяют
условиям теоремы [29.4] при
k = 1.
Гомотетия с центром в точке
О и коэффициентом X в
прямоугольной декартовой системе О/ j
задается соотношениями (7),
§ 25. Из теоремы [29.4] следует,
что гомотетия также является
преобразованием подобия с
коэффициентом X. Как видно из
соотношений (10), § 25,
преобразование сжатия к прямой не
является преобразованием подобия.
Рассмотрим еще три примера преобразований подобия.
Пример 1. Центральн о-п сдобное вращение.
Пусть О — данная фиксированная точка ориентировочной плоскости,
Ф — данный угол, отличный от 0 и я, a k — положительное число.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку М' так, чтобы
< MOM' =фи = k. Легко видеть, что этими условиями поло-
ом
жение точки М' на плоскости определяется однозначно (рис. 76).
Если М совпадает с О, то образом точки О будем считать саму точку О.
Построенное преобразование называется центрально-подобным ера-
щением. Это преобразование, очевидно, характеризуется точкой О
(центр преобразования), углом поворота у и коэффициентом подобия k.
На рисунке 76 изображен образ F' фигуры F при этом
преобразовании. Здесь ф = 30°, k = 2.
Покажем, что центрально-подобное вращение есть преобразование
подобия. Для этого возьмем на плоскости прямоугольную декартову
систему координат 01 j так, чтобы начало совпало с точкой О, и
запишем аналитическое задание этого преобразования.
Пусть М (х, у) — данная точка плоскости, а Мг (х\ у') — ее образ.
Введем в рассмотрение еще одну вспомогательную точку М± (х1У ух),
которая получается путем вращения точки М на угол ф. Очевидно,
точки Мг и М' лежат на одном луче, исходящем из точки О.
Пользуясь соотношениями (8), § 25, выражаем координаты точки
Мг через координаты точки М:
хх = х cos ф — у sm ф,
у1 = х sin ф + у cos ф
(3)
Далее, так как ОМ' — kOMlt то xr = kxu у' = kyly поэтому,
подставив сюда выражения для хг и уг из (3), окончательно получаем:
х' — (k cos ф) х — (k sin ф) у,
у' = (k sin ф) х + (k cos ф) у.
(4)
172
Из теоремы 129.4] следует, что
рассматриваемое преобразование
является преобразованием подобия с
коэффициентом ft.
Пример 2. Центрально-
подобная симметрия. Пусть
/ — некоторая прямая плоскости,
О — точка на этой прямой, a ft —
положительное число, отличное от
единицы. Каждой точке М плоскости
поставим в соответствие точку М'
так, чтобы = ft и лучи ОМ' и
ОМ были симметричны относительно Рис* 77*
прямой I (рис. 77). Если точка М
совпадает с О, то ее образом будем считать саму точку О.
Построенное преобразование называется центрально-подобной
симметрией. Центрально-подобная симметрия характеризуется прямой /,
точкой О (ось и центр преобразования) и коэффициентом подобия ft.
На рисунке 77 изображен образ F' фигуры F при этом
преобразовании. Здесь ft = 2,5.
Если прямоугольную декартову систему координат Oij взять так,
чтобы начало координат совпало с точкой О, а вектор / принадлежал
прямой /, го данное преобразование будет иметь следующее
аналитическое задание:
х' = kx9 у' = —fty. (5)
Если в соотношениях (2) положить х0 = у0 = ф = 0, то они
принимают вид (5). Поэтому из теоремы [29.4 I следует, что это
преобразование есть преобразование подобия с коэффициентом ft.
Пример 3. Скользящая симметрия. Пусть / —
некоторая прямая плоскости, а а—ненулевой вектор этой прямой.
Каждой точке М поставим в соответствие точку М', которая
получается следующим образом. Построим точку Ml9 симметричную точке М
относительно прямой I. Возьмем, далее, точку М' так, чтобы М ХМ' =а.
Преобразование, полученное указанным выше способом, называется
скользящей симметрией с осью / и вектором
параллельного переносам. Запишем аналитическое выражение скользящей
симметрии, выбрав прямоугольную декартову систему координат Oij
так, чтобы точка О и вектор / принадлежали прямой / (рис. 78).
Введем в рассмотрение координаты точек М (х, у), М1{х1, yt)
и М'(х\у') и координаты вектора а{а1у 0}. Так как точки М и М1
симметричны относительно прямой I, то xt = х9 ух = —у. С другой
стороны, МХМ' = а, поэтому х' — хг = аг, у' — уг = 0. Подставив
сюда значения хх и уг , окончательно получаем:
х' = х + alt у' = —у. (6)
т
0 L
Отсюда, применяя теорему
[29.4], мы приходим к выводу,
^J1J й что скользящая симметрия есть
преобразование подобия с
коэффициентом k = 1, /п. е.
движение.
6. Геометрическое задание
преобразования подобия.
'MjJ V. 0/Vj Теорема [29.5 ]. Каковы
\у^ бы ни были два подобных
треугольника М1М2М3 и М\М'2М'3,
рис 78. существует одно и только одно
преобразование подобия, которое
точки М19 М2, М3 переводит соответственно в точки M'lt ЛГ 2, M'3.
Доказательство. Согласно теореме [25.6] существует од-
но и только одно аффинное преобразование Ф, которое точки М1У М2,
М3 переводит соответственно в точки M'l9 M' 2, М'3. Докажем, что
Ф — преобразование подобия. Для этого достаточно показать, что
ассоциированное векторное преобразование Ф есть преобразование
подобия (теорема [29.3 ]). Пусть еи е2 и е'г, ё2— векторы,
удовлетворяющие условиям:
et = Mjwlf e2 = MJA* ke\ = М\М\, ke2 = MyW'2. (7)
Так как kM3Mt = Af8M'i, kMJAz = M'JA'» ^¦MiM3M2=^.M\M,3Mf2y
то
1^1 = 1^1, ki| = |*'2|> <4(ei> e2)^^(eif ё2\
Мы видим, что базисы е19 е2 и е\, ё\ эквивалентны, поэтому согласно
теореме [27.1 ] существует ортогональное преобразование D,
удовлетворяющее условиям: е\ = D(e^), e'2= D(e2). Из соотношений (7)
следует, что М^А\ = kD (M$lt), Afji«'a = kD (АрИ2). С другой
стороны, для преобразования Ф имеем: М'3М\ = Ф(М3М^> МуИ'2 =
= Ф(М3М2). Из теоремы [21.1] следует, что преобразования Ф и kD
совпадают. Так как kD является преобразованием подобия, то Ф
также преобразование подобия.
Следствие. Если системы координат Oete2 и 0'е\ё2 подобны,
т. е. если \е\\ = Це^ \ё2\ = k\ е2\, 2$. (е\, ё2) = -4(elf e2)y то
существует одно и только одно преобразование подобия, которое
систему Ое±е2 переводит в систему Ое\ё2.
7. Движения. Выше было отмечено, что преобразование подобия
называется движением, если коэффициент подобия k равен единице.
Другими словами, отображение Р будет движением, если расстояние
между любыми точками Мъ М2 равно расстоянию между их
образами Mi, М'2.
174
Из этого определения следует, что движение сохраняет не только
величины углов, но и длины соответствующих векторов. Так как
движение есть частный случай преобразования подобия, то из теорем
[29.31 — [29.5 ] при k = 1 получаем соответствующие теоремы для
движений.
Теорема [29.6]. Для того чтобы данное точечное
отображение было движением, необходимо и достаточно, чтобы оно допускало
ассоциированное ортогональное преобразование.
Теорема [29.7]. Для того чтобы данное точечное
отображение было движением, необходимо и достаточно, чтобы его
аналитическое задание в прямоугольной декартовой системе координат имело вид:
х' = х0 + cos ф х — sin ф у,
У' = Уо + s*n Ф* + cos ФУ» (8)
или
х' = xQ + cos фх + sfn еру,
у' = Уо + sin Ф* — cos ФУо- (9)
Теорема [29.8]. Каковы бы ни были два равных треугольника
MLM2Mo и М\М'2М'3, существует одно и только одно движение,
которое точки М19 М2, М3 переводит соответственно в точки М\,
М'2, ЛГ3.
Следствие 1. Если системы координат Оеге2 и
0'е\в2эквивалентны, т. е. если | е[ | = | ех \, | е'21 = I е2 | , -^ {е'и ^) —
= 2$. (ех, е2), то существует одно и только одно движение, которое
систему Оехе2 переводит в систему 0'е\ё\.
Из этой теоремы вытекает еще одно следствие. Для того чтобы его
сформулировать, введем следующее определение: геометрический
образ, состоящий из точки О, исходящего из него луча h и
примыкающей к нему полуплоскости со, называется репером и
обозначается так: (О, h, со).
Следствие 2. Если (0lf hlf сох) и (02, h2, со2) — два
произвольных репера плоскости, то существует одно и только одно
движение, которое первый репер переводит во второй, т. е. при этом
движении 0Х, hx и ©! переходят соответственно в 02, h2, co2.
Предлагаем читателю самостоятельно обосновать эти следствия.
§ 30. Классификация преобразований подобия и движения
1. Принцип классификации. Для классификации преобразований
подобия и движений воспользуемся идеей, использованной нами при
классификации аффинных преобразований (см. § 26, п. 7), т. е. в
основу этой классификации положим проведенную уже классификацию
соответствующих векторных преобразований подобия и
ортогональных преобразований. Рассмотрим, например, эту схему для
преобразований подобия. Из теоремы [29.3] следует, что точечное
преобразование является преобразованием подобия тогда и только тогда, когда
оно допускает ассоциированное преобразование подобия. Согласно
175
теореме Г28.31 существует пять типов преобразований подобия
векторов, поэтому в принципе можно считать, что существует пять типов
точечных преобразований подобия. Однако внутри каждого типа
можно провести дополнительную классификацию, в зависимости от числа
неподвижных точек преобразования.
Точно так же, пользуясь теоремами [29.6] и [27.3], можно
классифицировать движения. Ниже этот вопрос рассмотрен подробно.
2. Классификация преобразований подобия. Пусть А —
преобразование подобия, а Л — ассоциированное векторное преобразование.
Согласно теореме [28.3] преобразование А принадлежит к одному из
пяти типов, перечисленных в этой теореме. Рассмотрим каждый из
этих случаев.
Г. Пусть А — тождественное преобразование Е. Матрица
преобразования в любом базисе является единичной, поэтому согласно
теореме [25.2] преобразование А имеет следующее аналитическое
задание:
х' = х + х0, у' = у + у0. (1)
Если х0 и у0 одновременно не равны нулю, то соотношения (1)
совпадают с (5), § 25, поэтому рассматриваемое преобразование является
параллельным переносом. При х0 = у0 = 0 преобразование является
тождественным (см. (4), § 25).
2Э. Пусть А — преобразование гомотетии Г. Матрица
преобразования Л согласно теореме [28.3] имеет диагональный вид, поэтому
рассматриваемое преобразование согласно теореме [25.2] имеет
следующее аналитическое выражение
х' = kx + хо, у' = ky + у0| (2)
где k Ф 1. Это преобразование, как легко видеть, имеет единственную
неподвижную точку —-—, Уо . Принимая эту точку за начало
координат, получаем аналитическое выражение преобразования в
виде:
х' = kx, у' = ky. (3)
Эти соотношения совпадают с соотношениями (7), § 25, поэтому
рассматриваемое преобразование является гомотетией.
3°. Пусть А — преобразование центрально-подобного вращения
kVq>. Матрица преобразования А согласно теореме [28.3] имеет вид
(7), § 28, поэтому рассматриваемое преобразование согласно теореме
[25.2] имеет аналитическое задание (1), § 29. Важно отметить, что в
этих соотношениях согласно определению преобразования kVy
имеем: k > 0, ф Ф 0, ф Ф л. Из теоремы [26.1 ], принимая во внимание
эти ограничения, мы приходим к выводу, что преобразование имеет
единственную неподвижную точку. Не нарушая общности, можно
считать, что начало координат является неподвижной точкой
преобразования. В этом случае соотношения (1), § 29 принимают вид (4), § 29,
176
поэтому рассматриваемое преобразование является
центрально-подобным вращением.
4°. Пусть А — преобразование симметрии Se . Если
прямоугольный декартовый базис /, j взять так, чтобы е = /, то в этом базисе
матрица преобразования А имеет вид:
(Г?)
(см. (15), § 21), поэтому согласно теореме [25.2] преобразование А
имеет следующее аналитическое задание:
х' = х + x0i у' = — у + у0. (4)
Если х0 = у0 = О» то эти соотношения совпадают с (6), § 25,
поэтому (4) является осевой симметрией. Если хотя бы одно из чисел
х0, у0 отлично от нуля, то преобразование не имеет неподвижных точек.
Однако в этом случае прямая у = —, как легко видеть, является
инвариантной, так как ее образ имеет уравнение: уг = —. Не
нарушая общности, можно считать, что она совпадает с осью Ох. В этом
случае предыдущие соотношения принимают вид:
х' = х + х0, у' = —у. (5)
Эти соотношения в точности совпадают с соотношениями (6), § 29,
поэтому рассматриваемое преобразование является скользящей
симметрией.
5°. Пусть А — преобразование центрально-подобной симметрии
kSe- Если прямоугольную декартову систему 01 j выбрать так, чтобы
е = /, то в этой системе координат рассматриваемое преобразование
согласно теоремам [28.3] и [25.2] будет иметь следующие
аналитические выражения:
х' = kx + х0, у' = — ky + y0, (6)
где k Ф 1. Это преобразование, как легко видеть, имеет единственную
неподвижную точку. Не нарушая общности, можно считать, что начало
координат является неподвижной точкой преобразования. В этом
случае соотношения (6) принимают вид (5), § 29, поэтому
преобразование является центрально-подобной симметрией.
Резюмируя проведенное выше исследование, мы приходим к
следующей теореме.
Теорема [30.1]. Любое точечное преобразование,
ассоциированное С_ векторным преобразованием:
а) С, есть параллельный перенос или тождественное
преобразование;
б) /\, есть гомотетия; при К = —1 преобразование является
центральной симметрией;
в) kV<p> есть центрально-подобное вращение; при k = 1
преобразование является вращением;
177
г) Sejcmb симметрия или скользящая симметрия*,
д) kSe , где k > 0, k ф 1, есть центрально-подобная симметрия.
Принимая во внимание эту теорему, а также теорему [28.3], мы
приходим к следующей важной теореме о классификации
преобразований подобия.
Теорема [30.2). Существует семь и только семь типов
преобразований подобия, перечисленных в следующей таблице.
1
2
3
4
5
6
7
Преобразсвание
Тождественное
преобразование
Параллельный
перенос
Гомотетия
Центрально-подобное
Осевая симметрия
Скользящая
симметрия
Централь
но-подобная симметрия
Ассоциированное
преобразование
?
Е
rk
Wv
Se
Se
kSe
Характеристические числа
A/j = A«2 = I
Л/j = Л2 = 1
\х = к2 = kt k ф \
Комплексно сопря
женные
\ = 1, Х2 = — 1
Хг = 1, %2 = — 1
Х1 = kt Х2 = — k,
Аналитическое задание
(1), где *0 = у0 = 0
(1), где х0 или у„
отлично от нуля
(2) 1
(4), § 29, где k > 0
х! = х, у' = —у
(5), где х0 ф0
(6), где кф 1, /г>0
Эта теорема может быть с успехом использована для определения
типа преобразования подобия, если оно задано в прямоугольной
декартовой системе общими уравнениями (1) или (2), § 29. Для этого,
как видно из приведенной выше таблицы, достаточно найти
характеристические числа преобразования и неподвижные точки.
3. Классификация движений. По аналогии с предыдущим
исследованием рассмотрим классификацию движений плоскости. Пусть
А — движение, А — ассоциированное ортогональное
преобразование. Согласно теореме [27.31 преобразование А принадлежит к
одному из четырех типов, перечисленных в этой теореме. Рассмотрим
каждый из этих случаев в отдельности.
Г. А — тождественное преобразование Е. Этот случай в
точности совпадает со случаем 1° предыдущего пункта, поэтому А является
параллельным переносом или тождественным преобразованием.
2°. А — преобразование отражения Г_±. Матрица
преобразования согласно теореме [27.3] имеет вид (7), § 27, поэтому согласно
178
теореме [25.2] преобразование А имеет следующее аналитическое
задание:
*' = — х + х0, у' = —у + у0. (7)
Эти соотношения являются частным случаем соотношений (2)
при k = — 1, поэтому рассматриваемое преобразование является
центральной симметрией (см. § 24, п. 4^
3°. А — преобразование вращения Кф . Это—частный случай
подпункта 3° предыдущего пункта, если считать, что k = —1,
поэтому рассматриваемое преобразование является вращением.
4°. А — преобразование симметрии Se . Этот случай в точности
совпадает со случаем 4° предыдущего пункта, поэтому
рассматриваемое преобразование является осевой симметрией или скользящей
симметрией.
Резюмируя проведенное исследование, мы приходим к следующей
теореме.
Теорема [30.3]. Всякое точечное преобразование,
ассоциированное с векторным преобразованием:
а) ?, есть параллельный перенос или тождественное
преобразование;
б) /"*_!, есть центральная симметрия]
в) Кф, есть вращение на угол ф;
г) Se , есть симметрия или скользящая симметрия.
Принимая во внимание эту теорему, а также теорему [27.3], мы
приходим к следующей важной теореме о классификации движений.
Теорема [30.4]. Существует шесть и только шесть типов
движений, перечисленных в следующей таблице.
1
2
3
4
5
6
Преобразование
Тождественное
преобразование
Параллельный
перенос
Центральная
симметрия
Вращение
Осевая симметрия
Скользящая
симметрия
Ассоциированное
преобразование
?
Ё
"Г-i
%
! ~**
*е
Характеристические числа
Х1 = Х2= \
Л«^ = л»2=== 1
^1 = ^2 = *
Комплексно
сопряженные числа
^ = 1, Ь2 = — 1
;ц = 1, А,2 = —i
Аналитическое задание
(1), где *0 = у0 = 0
(1), где *0 или у0
отлично от нуля
(7)
(4), § 29. где /г= 1
(5), где х0 = 0
(5), где х0 Ф 0
179
Эта теорема может быть с успехом использована для определения,
типа движения, если оно задано общими уравнениями (8) или (9)
§ 29. Для этого, как видно из приведенной выше таблицы,
достаточно найти характеристические числа преобразования и неподвижные
точки.
4. Общая схема классификации преобразований подобия и
движений. Выше дана классификация движений и преобразований подобия.
Так как каждое движение есть преобразование подобия, то мы
получаем следующую таблицу, характеризующую общую схему
классификации этих преобразований:
1
2
3
4
5
6
7
Преобразования подобия
Тождественное преобразование
Параллельный перенос
Гомотетия
Центрально-подобное вращение
Осевая симметрия
Скользящая симметрия
Центрально-подобная симметрия
j
Движения
Тождественное преобразование
Параллельный перенос
Центральная симметрия
Вращение
Осевая симметрия
Скользящая симметрия
Каждая строка этой таблицы содержит соответствующий класс
преобразований подобия и содержащийся в нем класс движений.
§ 31. Группа геометрических преобразований. Общее определение
геометрии
1. Произведение преобразований. Пусть Ф1 и Ф2— данные
точечные преобразования. Произведением точечных преобразований Фг и
Ф2 называется отображение, которое каждой точке М плоскости
ставит в соответствие точку М' = Ф2 [Фг (М)]. Оно обозначается
так1: Ф2Ф^ Другими словами, произведение точечных
преобразований Ф1 и Ф2 есть последовательное выполнение сначала
преобразования Фх, а потом Ф2. Легко показать, что произведение двух
преобразований Ф1 и Ф2 есть преобразование. В самом деле, так как каждое
из преобразований есть взаимно однозначное отображение, то их
1 Ср. соответствующее определение §21, п. 8 для линейных преобразований.
180
произведение является взаимно однозначным отображением, т.е.
преобразованием.
Легко доказать следующее предложение.
Теорема [31.1]. Произведение любых двух аффинных
преобразований точек есть аффинное преобразование.
Доказательство. Пусть Фг и Ф2 — точечные аффинные
преобразования. Мы только что показали, что Ф2Фг есть
преобразование. Так как каждое преобразование Фг и Ф2 сохраняет колли-
неарное расположение и простое отношение трех точек, то их
произведение Ф2Ф1, очевидно, обладает теми же свойствами, т. е. оно
является аффинным преобразованием. Теорема доказана.
Понятие произведения двух преобразований можно обобщить
на большее число сомножителей. Пусть, например, даны три точечных
преобразования Ф1У Ф2 и Ф3. Возьмем в плоскости произвольную
точку М и рассмотрим ее образ Мх = Фх (М), далее рассмотрим образ
точки Мх при преобразовании Ф2:
М2 = Ф2(Щ
и, наконец, рассмотрим образ точки М2 при преобразовании Ф3:
М'=Ф3(УИ2).
Точке М поставим в соответствие точку М'. Полученное
отображение, которое будет преобразованием, назовем произведением
преобразований Ф1у Ф2 и Ф3 и обозначим так: Ф3 Ф2ФХ. Другими словами,
если М' = Ф3Ф2Ф1 (М), то
М' = Ф3[Ф2[ФА(М)]].
Произведение нескольких преобразований, так же как и
преобразование двух преобразований, зависит от порядка сомножителей, но,
с другой стороны, справедлив сочетательный закон: каковы бы ни
были преобразования Ф1У Ф2 и Ф3, имеет место соотношение:
Ф1 (Ф2Ф3) = {Ф,Ф2) Ф3.
Это соотношение следует из определения произведения нескольких
преобразований.
2. Обратное преобразование. Тождественное преобразование.
Точечное преобразование, которое каждой точке плоскости ставит в
соответствие ту же точку, называется тождественным
преобразованием и обозначается через 7\ Используя определение
произведения преобразований, легко показать, что для произвольного
преобразования Ф имеем:
ФТ = ТФ = Ф.
Теперь введем понятие обратного преобразования. Пусть Ф—
некоторое преобразование точек плоскости. Это означает, что каждая
точка плоскости Мх имеет один и только один прообраз М2.
Отображение, которое точке Мх ставит в соответствие точку М2, называется
131
обратным по отношению к Ф и обозначается через Ф~\ Итак,
если М' = Ф~\М), то это обозначает, что М = Ф(М'). Нетрудно
видеть, что отображение Ф"1 является преобразованием.
Из определения следует, что
фф-* = Т, или Ф~гФ = Г.
Докажем следующее важное предложение.
Теорема [31.2]. Если данное точечное преобразование Ф
является аффинныму то обратное преобразование Ф"1 также является
аффинным.
Доказательство. Из определения обратного
преобразования следует, что оно взаимно однозначное. Пусть Мъ М2, М3 —
три коллинеарные точки, а М\, М'2 и М'3— их образы при
преобразовании Ф-1:
М\ = Ф-1 (7W,), М\ = Ф-\М2\ М'3 = Ф-ЧМз).
Отсюда следует, что
М, = Ф (М\), М2 = Ф (ЛГ2), М3 = Ф (М'3).
Так как точки Мъ М2 и М3 коллинеарны, то из свойства 3°, п. 2,
§ 24 аффинных преобразований следует, что точки М/, М2' и М3'
также коллинеарны. Далее, из определения аффинного
преобразования следует, что
(МгМ2М3) = {М\М\М'3).
Точно так же может быть доказана следующая теорема,
доказательство которой предоставляем читателю.
Теорема [31.3]. Если данное точечное преобразование
является преобразованием подобия с коэффициентом &, то обратное
преобразование является преобразованием подобия с коэффициентом —.
Из этой теоремы при k = 1 получаем:
Теорема [31.4]. Если данное преобразование является
движением, то обратное преобразование также является двиоюением.
3. Группа точечных преобразований. Введение в предыдущих
двух пунктах понятия произведения точечных преобразований,
тождественного преобразования и обратного преобразования позволяет
в ряде случаев отвлечься от конкретной природы тех или иных
преобразований и рассматривать их как некоторые алгебраические
объекты, обладающие определенными свойствами. В самом деле,
произведение точечных преобразований можно рассматривать как
операцию, которая двум точечным преобразованиям Фг и Ф2, взятым в
определенном порядке, ставит в соответствие третье преобразование
Ф-гФр Другими словами, объектам Фх и Ф2 ставится в соответствие
третий объект той же природы ФгФх. При этом выполняется
ассоциативный закон
Ф3(Ф2Ф1) = {Ф3Ф2) Ф^
182
но, вообще говоря, не выполняется коммутативный закон:
Ф{Ф2 ф Ф2Ф{
Далее, наличие тождественного преобразования можно
истолковать как существование объекта Г, обладающего тем свойством, что
Ф • Т = Ф, для любого Ф, т. е. по существу тождественное
преобразование Т играет роль единицы для нашего исчисления.
Существование обратного преобразования позволяет утверждать,
что, каков бы ни был объект Ф, всегда существует один и только
один объект ф-1, такой, чтоФ • ф-~г=Т. Объект Ф"1 выполняет как бы
роль обратного объекта — произведение Ф • Ф~* дает
«единицу» 7\ Таким образом, нам по существу удалось построить
своеобразное исчисление (алгебру) точечных преобразований. Для того
чтобы охарактеризовать алгебраические свойства операций над
точечными преобразованиями, напомним читателю весьма важное понятие
группы из курса алгебры.
Говорят, что конечная или бесконечная совокупность элементов
я, Ь, с, . . . образует группу, если:
1°. Каждой упорядоченной паре а, Ь этих элементов поставлен в
соответствие вполне определенный элемент с из этой же совокупности,
при этом с называют произведением а и & и пишут:
с = ab.
2°. Умножение элементов ассоциативно, т. е.
a (be) = (ab) с.
3°. Существует «единица», т. е. такой элемент е, умножение на
который не изменяет элементов группы, так что
ае = еа = а
для любого элемента а.
4°. Для всякого элемента а существует обратный элемент ат\
который при умножении на а дает «единичный» элемент е, так что
сшт1 = агха = е.
Рассмотрим множество всех преобразований точек плоскости.
Каждое из этих преобразований будем считать элементом множества.
Свойства, рассмотренные выше для линейных преобразований, по существу
означают, что имеет место следующая важная теорема.
Теорема [31.5]. Множество всех преобразований точек Q0
плоскости образует группу. Групповой операцией для этого множества
будет произведение преобразований.
Доказательство этой теоремы по существу сводится к
проверке всех четырех групповых свойств для элементов множества
Q0. Предоставляем читателю самостоятельно провести эту проверку.
Может случиться, что какое-то подмножество множества Q0 само
образует группу относительно операции умножения. В этом случае
183
эту часть множества называют подгруппой группы
преобразований точек плоскости.
Рассмотрим следующий критерий для определения подгрупп.
Лемма [31.6]. Пусть Q0 — множество всех преобразований
точек плоскости. Непустое подмножество Q множества Q0 будет
подгруппой группы Q0 относительно той же групповой операции1,
если выполнены следующие два условия:
а) преобразования Ф1У Ф2 принадлежат Q, то произведение Ф2Ф±
принадлежит Q\
б) Ф принадлежит Q, тогда и обратное ему преобразование Ф""1
принадлежит Q.
Доказательство. Для элементов множества Q выполнены
все четыре требования, предъявляемые к элементам группы. В самом
деле, условие а) леммы обеспечивает выполнение первого группового
условия. Выполнение второго группового условия — ассоциативности
умножения элементов Q очевидно, так как это условие выполняется
для элементов множества QQy ибо по условию Q0 — группа.
Покажем, что множество Q содержит единицу (тождественное
преобразование Т). Пусть Ф — произвольное преобразование этого
множества Q. Тогда согласно условию б) Ф"1 принадлежит Q, но тогда
согласно условию а) произведение ФФ*1 = Т принадлежит Q.
Выполнение последнего четвертого условия следует из условия б)
леммы. Лемма доказана.
Пользуясь этой леммой, на основании теорем [31.1] и [31.2] мы
приходим к выводу.
Теорема [31.7]. Множество всех точечных аффинных
преобразований образует группу.
Та же лемма [31.6] позволяет легко доказать следующие две
теоремы:
Теорема [31.8]. Совокупность всех точечных преобразований
подобия плоскости образует группу.
Теорема [31.9]. Совокупность всех движений плоскости
образует группу.
Множество аффинных преобразований называется аффинной
группой плоскости, множество преобразований подобия —
группой преобразований подобия или главной
группой, а множество движений — группой движений.
Так как каждое преобразование подобия является аффинным
преобразованием, то главная группа является подгруппой аффинной
группы, а группа движений — подгруппой как главной группы,
так и аффинной группы.
4. Общее определение геометрии. Теория геометрических
преобразований сыграла важную роль в формировании взглядов на предмет
геометрии. Если проанализировать основные теоремы и положения,
изучаемые в курсе элементарной геометрии, то нетрудно прийти к
1 То есть операция умножения преобразований, которая была введена выше,
184
выводу, что по существу в этой дисциплине изучаются такие свойства
геометрических фигур, которые остаются неизменными при
определенных геометрических преобразованиях. В большинстве случаев такими
преобразованиями являются преобразования подобия или движения.
В некоторых случаях рассматриваются свойства, которые остаются
неизменными при общих аффинных преобразованиях.
Эти наблюдения не случайны. Теория геометрических
преобразований лежит в основе общего определения геометрии, позволяющего
разобраться в сходствах и различиях между различными ветвями этой
математической дисциплины. В рамках настоящей книги мы, к
сожалению, не имеем возможности изложить этот вопрос подробно.
Рекомендуем читателю познакомиться с дополнительной литературой,
где он найдет подробное и обстоятельное изложение
теоретико-групповых принципов в геометрии1. Мы рассмотрим лишь общую схему,
лежащую в основе определения геометрии, которая впервые была
сформулирована известным немецким математиком Феликсом Клейном.
Пусть й — некоторая группа преобразований точек плоскости.
Фигуру2 F' будем называть эквивалентной фигуре F
относительно группы преобразований Q, если в множестве Q существует
такое преобразование, которое фигуру F переводит в фигуру F'.
Легко показать, что введенное нами понятие эквивалентности
фигур обладает следующими свойствами:
1. Каждая фигура эквивалентна сама себе (свойство
рефлективности).
2. Если фигура Fx эквивалентна фигуре F2, то фигура F2
эквивалентна фигуре Fx (свойство симметричности).
3. Если фигура Fx эквивалентна фигуре F2, а фигура F2
эквивалентна фигуре F3, то фигура Fx эквивалентна F3 (свойство
транзитивности).
Справедливость всех этих свойств по существу следует из того
обстоятельства, что множество Q образует группу. В самом деле, так
как в множестве Q содержится тождественное преобразование 7\
при котором любая фигура F преобразуется сама в себя, то любая
фигура F эквивалентна самой себе.
Далее, если фигура Fx эквивалентна фигуре F2, то в множестве Q
содержится такое преобразование Ф, которое фигуру Fx переводит в
фигуру F2\ но в этом же множестве Q содержится преобразование
Ф-1, которое фигуру F2 переводит в фигуру Fv Таким образом, если
фигура Fx эквивалентна фигуре F2J то F2 эквивалентна Fv Точно так
же доказывается свойство транзитивности.
Обычно слово «эквивалентность» заменяют словом «равенство» или
«конгруэнтность». В частности, эти термины используются в случае,
когда Q есть группа движений. Если Q — группа преобразований
подобия, то термин «эквивалентность» заменяется термином «подобие».
1 См., например, [22] и [24].
2 Под фигурой мы понимаем конечное или бесконечное множество точек
плоскости.
185
Теперь мы можем дать общее определение геометрии. Геометрия —
это наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются
неизменными при всех преобразованиях некоторой группы Q. Из этого
определения следует, что если две фигуры эквивалентны, то они
обладают одними и теми же свойствами, которые называются
геометрическими. Из этого определения вытекает также, что мы по
существу вводим понятие геометрии данной группы преобразований, а
не геометрии вообще, поэтому в принципе можно построить много
различных геометрий — столько, сколько имеется различных групп
преобразований. Среди этих геометрий наиболее распространенными
являются: аффинная геометрия, где в качестве группы Q
принимается группа аффинных преобразований; евклидова геометрия, где в
качестве группы преобразований принимается группа преобразований
подобия или главная группа, и метрическая геометрия, где за Q
принимается группа движений. Каждая из этих геометрий является
вполне содержательной самостоятельной наукой. В аффинной геометрии
можно говорить о точках и прямых, так как при любых аффинных
преобразованиях точка переходит в точку, прямая в прямую. Понятие
окружности, равнобедренного треугольника, прямоугольника
отсутствуют в этой геометрии. С другой стороны, аффинными понятиями
являются понятия многоугольника, параллелограмма, трапеции и т. д.
В следующей главе будет показано, что эллипс, гипербола и
парабола также являются аффинными понятиями. В качестве типичной
для этой геометрии теоремы отметим теорему о том, что три медианы
треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении
2:1. Или другой пример: средняя линия треугольника параллельна
основанию и равна его половине. В то же время хорошо известная из
курса средней школы теорема Пифагора не является теоремой
аффинной геометрии. Эта теорема относится к геометрии группы
преобразований подобия.
С точки зрения общего определения геометрии в обычном
школьном курсе в основном изучают геометрию главной группы, хотя
школьный курс геометрии нельзя отождествлять с последней. Некоторые
вопросы, рассматриваемые в школе (например, многие задачи на
построение), относятся к геометрии группы движений, а другие— к
аффинной геометрии.
Заканчивая изложение этого параграфа, мы еще раз рекомендуем
читателю познакомиться со статьей И. М. Яглома и Л. С. Атанасяна
«Геометрические преобразования» [24], где наряду с подробным
изложением принципов, лежащих в основе построения «обычных»
геометрий, рассмотрены примеры других, «необычных» геометрий.
§ 32. Инверсии. Применение теории преобразований к решению
геометрических задач
Теория геометрических преобразований, как мы видели выше,
играет важную роль в теоретическом обосновании геометрии. Она
лежит в основе теоретико-группового определения геометрии, помо-
186
гающего разобраться в сходстве и различии отдельных ветвей
геометрии. Однако изучение преобразований, помимо того, что оно
представляет большой принципиальный интерес, оказывается также
чрезвычайно полезным для приложений к элементарной геометрии.
Многие геометрические преобразования могут быть эффективно
использованы при решении содержательных геометрических задач, а
также для доказательства ряда теорем. Рамки настоящей книги не
позволяют со всей полнотой рассмотреть этот вопрос. В частности, мы
здесь совершенно не затрагиваем вопроса о применении геометрических
преобразований к решению задач на построение. Этот вопрос широко
известен и хорошо освещен в учебной литературе; ему будет
посвящена специальная глава в части II настоящего пособия. Здесь ограничимся
отдельными примерами приложения теории геометрических
преобразований к решению задач элементарной геометрии. Читателю,
желающему более полно познакомиться с этим вопросом, рекомендуем
воспользоваться специальной литературой1.
1. Определение и аналитическое задание инверсии. В
геометрических приложениях теории преобразований, помимо аффинных
преобразований, преобразований подобия и движений, часто
пользуются также инверсиями, которые не входят в группу аффинных
преобразований. Поэтому представляется целесообразным здесь
напомнить определение инверсии, данное в § 23, п. 1, и рассмотреть ее
основные свойства. Пусть О (г) — некоторая окружность, a Q —
множество всех точек плоскости, за исключением точки О. Каждой
точке М области Q поставим в соответствие точку М' так, чтобы МиМ'
лежали на одном луче, исходящем из точки О, и, кроме того,
ОМ • ОМ' = г2 (см. рис. 65 на стр. 132). Этими условиями
определяется некоторое преобразование точек множества Q. Оно
называется инверсией с центром в точке О и степенью г2.
Если начало прямоугольной декартовой системы координат Oij
совпадает с центром инверсии, то, как было показано в § 23, п. 2,
инверсия имеет следующее аналитическое задание:
*' =—, *--&-. а)
х2+у* У х2+у2 w
Для дальнейшего изложения нам необходимо из соотношений (1)
выразить координаты точки М (х, у) через координаты ее образа
М' (#', у'). Для этого возведем равенства (1) в квадрат и сложим:
г4*2 , г4у2 г4
у = =
(х2 + у2)2 (х* + у*)2 *2 + у2
Отсюда получаем:
х +у
Используя последнее равенство, из соотношений (1), после
элементарных преобразований, окончательно получаем:
1 См., например, [2], [22] или [24].
187
х - *V2 v - yVa (2)
* ,2 . ,2 > У T2~ ~« \Ч
x +y x +y
При выводе соотношений (2) нам приходилось алгебраические
выражения делить на х2 + у2 и х'*+ у'~. Так как М и М' не совпадают
с точкой О, то а:2 + у2 ф О и л;'2 + у'г =#= 0, поэтому деление на эти
выражения допустимо.
2. Основные свойства инверсии. Из самого определения инверсии
следует:
а) Каждая точка окружности инверсии переходит сама в себя,
т. е. является неподвижной точкой инверсии. Других неподвижных
точек инверсия не имеет.
б) Если точка М, при данной инверсии, переходит в точку М'у
то точка М', при той же инверсии, переходит в точку1 М.
в) Каждая точка, лежащая внутри окружности инверсии,
переходит в точку, лежащую вне окружности, и наоборот.
Пользуясь аналитическим заданием инверсии (1), найдем образы
прямых и окружностей при инверсии. Для сокращения записи мы
неоднократно будем пользоваться следующими условными
выражениями: «линия L переходит в линию Z/», или «линия V есть образ
линии L». Точный смысл этих выражений заключается в следующем:
образ каждой точки линии L, отличной от центра инверсии, лежит на
L'; в свою очередь прообраз любой точки линии V, отличной от
центра инверсии, лежит на L.
Напомним, как задаются окружности и прямые на плоскости. В
п. 4, § 13 мы показали, что в прямоугольной декартовой системе
координат окружность с произвольным центром и радиусом имеет
следующее уравнение2:
х2 + у2 + В'х + Су + D' = 0.
Это уравнение эквивалентно следующему
А (х2 + у2) + Вх + Су + D = 0 (3)
при А Ф 0. Если в уравнении (3) А = 0, а один из коэффициентов В
или С отличен от нуля, то оно, как нетрудно видеть, совпадает с
общим уравнением прямой. Следовательно, мы можем считать, что
уравнение (3) является одновременно уравнением окружности и прямой
(окружность — при А ф 0 и прямая — при А = 0).
Поставленная выше задача теперь может быть сформулирована
так: найти образ линии (3) при преобразовании инверсии. Найдем
уравнение образа линии (3). Для этого необходимо в уравнение (3)
вместо переменных х, у подставить их выражения через х' и у' из
соотношений (2). После элементарных преобразований получаем:
Лг4 + Br2x' + Cr2y' + D (х'2 + у'*) = 0. (4)
1 Отсюда термин «инверсия».
2 Формула (6), § 13. Здесь изменены обозначения коэффициентов.
188
Мы пока не можем утверждать, что линия (4) есть образ линии (3).
Нами показано, что если точка М (х, у), не совпадающая с О, лежит
на линии (3), то ее образ ЛГ (х\ у) принадлежит линии (4). Легко
доказать и обратное утверждение: каждая точка линии (4) является
образом некоторой точки линии (3). В самом деле, пусть М' (х\ у') —
точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4), а М (х, у) —
ее прообраз. Тогда (х\ у') выражаются через (х, у) при помощи
соотношений (1). Подставив эти значения в (4), после элементарных
преобразований получаем (3). Итак, соотношение (4) есть уравнение
образа линии, определяемой уравнением (3). Из этого утверждения сразу
вытекают следующие интересные выводы:
г) Прямая L, проходящая через центр инверсии, переходит сама
в себя (рис. 65). В самом деле, если (3) — уравнение прямой L,
проходящей через О, то в этом уравнении, очевидно, А = D = 0. Из
соотношения (4) следует, что образ L' прямой L имеет уравнение:
Вг2х'+ Сг2у' = 0 или Вх'+ Су'=0. Мы видим, что V совпадает с L.
д) Прямая L, не проходящая через центр инверсии, переходит в
окружность L', проходящую через центр инверсии. Центр С0
окружности V лежит на перпендикуляре, опущенном из точки О на L
(рис. 79, а), В самом деле, прямая L определяется уравнением (3)
при А = 0, D ф 0. При этих условиях линия V, определяемая
уравнением (4), как следует из теоремы [13.1 ], есть окружность с центром в
точке С0( —, — ). Так как в уравнении (4) отсутствует
свободный член, то окружность U проходит через О. Кроме того, век-
—*" { Вг2 Сг2 )
тор OCQ имеет координаты J , 1, поэтому согласно
лемме [18.1] перпендикулярен прямой L.
Рис. 79,
189
Предлагаем учащемуся,
пользуясь соотношениями (3) и (4),
проводя аналогичные
рассуждения, самостоятельно доказать
следующие предложения:
е) Окружность L, проходящая
через центр инверсии, переходит в
прямую V, не проходящую через
центр инверсии. При этом прямая
L' перпендикулярна прямой,
соединяющей центр окружности и
центр инверсии (рис. 79, а).
ж) Окружность L, не
проходящая через центр инверсии,
переходит в окружность V, также не проходящую через центр инверсии. При
этом линия центров окружностей L и V проходит через центр
инверсии (рис. 79, б).
3. Применение теории преобразований к доказательству теорем
о треугольниках. В качестве примеров приложения теории
геометрических преобразований к доказательству теорем рассмотрим
доказательства некоторых теорем о треугольниках, известных читателю из
курса средней школы.
Задача 1. Доказать, что в любом треугольнике медианы
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABC — данный треугольник, а А0, В0, С0 —
середины соответственно сторон ВС, АС и АВ (рис. 80). Рассмотрим
аффинное преобразование, которое точки А, В и С переводит
соответственно в Л, С и В. Согласно теореме [25.6] такое преобразование
существует. При этом преобразовании отрезок ВС переходит в
отрезок СВ и, следовательно, середина А0 отрезка ВС переходит в
середину А0 отрезка СВ. Мы видим, что преобразование имеет две
неподвижные точки А и А0, поэтому оно является перспективно-аффинным
преобразованием первого рода. Последнее утверждение следует из того
обстоятельства, что В переходит в С и прямая ВС не параллельна оси
АА0. При этом преобразовании, очевидно, В0 переходит в С0, поэтому
медиана ВВ0 переходит в медиану СС0. Так как соответственные
прямые пересекаются на оси родства, то СС0, ВВ0 и АА0
пересекаются в одной точке (см. рис. 80).
Докажем следующее вспомогательное предложение.
Лемма [32.1 ]. Если М0 — точка пересечения медиан АА0,
ВВ0, СС0 треугольника ABC, то гомотетия Г0 с центром в точке MQ
и коэффициентом Х= вершины А, В и С треугольника ABC
переводит соответственно в точки А0, В0, С0, а стороны АВ, ВС, АС —
в средние линии А0В0, В0С0, А0С0 (рис. 80).
Доказательство. Рассмотрим точечное преобразование
гомотетии Г с центром в точке М01 которая точку В переводит в точку
В0. При этой гомотетии образ прямой ВС параллелен ВС и проходит
190
через В0. Отсюда следует, что прямая ВС переходит в среднюю линию
В0С0, поэтому точка С переходит в С0. Рассуждая аналогичным
образом, мы приходим к выводу, что АС переходит в А0С0 и точка А в
точку Л0. Так как ВС и BQCQ — соответственные отрезки и В0С0 —
средняя линия треугольника ЛВС, то коэффициент подобия k преоб-
В С 1 1
разования Г равен —— = — . Это означает, что В0М0 = — ВМ0<
ВС 2 2
Учитывая, что М0 лежит между В и В0, окончательно получаем:
В~$10 = -±ВМ0.
Отсюда следует, что коэффициент X гомотетии Г равен , т. е. Г —
данная гомотетия1 Г0.
Эта лемма позволяет сразу доказать ряд важных свойств
треугольников. Для удобства дальнейшего изложения гомотетию Г0
будем условно называть центральной гомотетией
треугольника ABC.
Задача 2. Доказать, что каждая медиана треугольника в
точке их пересечения делится в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть ABC — данный треугольник, М0 — точка
пересечения медиан АА0, ВВ0 и CCQ (рис. 80). Рассмотрим централь*
ную гомотетию Г0 треугольника ЛВС. Так как
Л0 = Г0 (Л), В0 = Г0 (В), С0 = Г0 (С), М0 = Г0 (М),
то
А0М0 = 1 АМ0, В0М0 = |ВУИ0, С0М0 = 1СМ0.
Из курса элементарной геометрии известно, что центр описанной
окружности треугольника является точкой пересечения сере*
д и н н ы х перпендикуляров. Пользуясь этим предложением,
докажем теорему о пересечении высот треугольника.
Задача 3. Доказать, что высоты любого треугольника
пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник,
АА0, ВВ0, СС0 — его медианы, а ААг, BBt и ССг — высоты (рис. 81).
Рассмотрим центральную гомотетию Г0 треугольника ABC. При этом
преобразовании высота ААг перейдет в прямую, проходящую через Л0
и параллельную АА0, т. е. в серединный перпендикуляр а. Точно так
же можно показать, что высоты ВВ1 и ССг переходят соответственно в
серединные перпендикуляры Ь и с. Так как прямые a, b и с
пересекаются в одной точке О, то прообразы этих прямых, т. е. высоты AAlf
ВВг и ССЪ пересекаются в одной точке Я. Задача решена.
Из хода доказательства этой теоремы вытекает интересный вывод:
1 Заметим, что коэффициент подобия k и коэффициент К гомотетии, вообще
говоря, разные числа.
19!
^•^^г
с
^^
л.
*у>
л
/
/
н\с,
!/
в
Рис. 81.
так как О = Г0 (Я), то
Щ) = — 1 лЦ/. Отсюда
вытекает, что М0О к Н
лежат на одной прямой и
ОМ0 : М0Н = 1.
Таким образом, мы
усилили предложение,
сформулированное в задаче 2
§ 20: в любом треугольнике
точка пересечения медиан
лежит между центром
описанной окружности и
точкой пересечения высот и делит этот отрезок в отношении 1 : 2.
4. Применение инверсий к доказательству теорем. Идея
применения инверсий к решению элементарно-геометрических задач на
доказательство заключается в следующем. Пусть исходная задача
сформулирована для конфигурации S, содержащей несколько
окружностей. Пользуясь преобразованием инверсии, сначала преобразуем
эту конфигурацию так, чтобы ее образ S' имел более простой вид,
т. е. содержал больше прямых линий, чем конфигурация S. Далее,
исходя из условий данной задачи, сформулированной для
конфигурации S, формулируем соответствующую задачу для S' и тем самым
сводим решение исходной задачи к решению более простой задачи.
Рассмотрим следующий пример.
Задача 4. Даны четыре окружности ©1э
(О
2>
00.
>3 и со4,
расположенные так, что ©! касается со2 в точке А12, со2 касается со3
точке Л 23, со3 касается со4 в точке Л34 и, наконец, со4 касается (аг
в точке Л41. Доказать, что точки Л12, Л 23, Л34, Л4Х лежат на одной
окружности или на прямой (рис. 82, а), б)).
Решение. Данную конфигурацию S, состоящую из четырех
окружностей ©i, со2, со3 и со4 и четырех точек А12, Л23, Л34, Л4Х
подвергнем преобразованию инверсии с центром в точке Л12. При этом
точка Л12 не будет иметь образа, а окружности щ и со2 перейдут в
параллельные прямые, так как эти окружности имеют только одну
общую точку Л12, которая является центром инверсии. Мы получаем
конфигурацию S', изображенную на рисунке 82, б.
Докажем, что точки A'2V Л'34, А'41 лежат на одной прямой. Для
этой цели проведем общую касательную t окружностей со3 и о^.
Если t параллельна прямым со| и (й'2, то наше утверждение
очевидно, поэтому рассмотрим тот случай, когда прямая t пересекает
параллельные прямые coj и cog в точках Мх и УИ2. Так как треугольники
MxAa\Am и М2А2зАз4 равнобедренные и, кроме того, <4 АцМ1Аг4=
== -4 Л2зМ2Лз4, то они подобны. Последнее равенство следует из
условия параллельности прямых (о[ и (о2. Таким образом, ^А,А1А'гАМ1=
192
Рис. 82.
= ^ ^2з^з4М2, т. е. точки Л4ь Л34, А26 лежат на одной прямой.
Из свойств инверсии следует, что прообразы Л41, Л34, А23 этих точек
вместе с центром инверсии А12 лежат на одной окружности или на
одной прямой. Задача решена.
§ 33. Применение групповых свойств преобразований
к доказательству теорем о произведениях движений
1. Линейное преобразование, ассоциированное с произведением
точечных преобразований. Докажем следующую теорему, которая
неоднократно будет применена в этом параграфе.
Теорема [33.1 ]. Если линейные преобразования Фх и Ф2
ассоциированы соответственно с точечными преобразованиями Фг и
Ф2, то линейное преобразование Ф^Ф^ ассоциировано с точечным
преобразованием Ф2Ф^
Доказательство. Пусть Мх и М2 — произвольные точки
плоскости, а М\ и М2 — их образы при преобразовании Ф2 • Ф1в
Пусть, далее, N^ = 0t (M^, N2 = Ф± (М2). Так как м\ =
=Ф2Ф1(Мд, то М\ = ^2f^i(^i)l = ф2 (#i)- Точно так же М2 =
= Ф2ф2). Отсюда, пользуясь определением ассоциированных
преобразований, получаем:
ад=Ф^МИ42), ЩМ'2=Фг{Ы^г).
Таким образом, М[М2 = Ф^Ф^Л^Л^)] = 9>2^i(M1M2). Это
соотношение показывает, что линейное преобразование ^2Фг acc°e
циировано с точечным преобразованием Ф^Ф^
2. Общая схема доказательства теорем о произведениях
движений. Пользуясь теоремой [30.3], а также «таблицей умножения»
ортогональных преобразований, помещенной на стр. 163, можно
довольно просто доказать ряд интересных теорем о произведениях
193
двух движений1. При доказательстве этих теорем будем
пользоваться следующей схемой. Пусть Фх и Ф2 — данные движения. Пользуясь
теоремой [30.4], определяем линейные преобразования Фх, Ф2,
ассоциированные с 0t и Ф2. Далее, пользуясь таблицей на стр. 163,
определяем Ф2ФХ. Согласно теореме [33.1] произведение Ф2Ф1
ассоциировано с Ф2ФХ, поэтому, пользуясь теоремой [30.3] и зная
Ф2Фц определяем Ф^Ф\
3. Произведение двух параллельных переносов. Предварительно
рассмотрим следующую простую задачу.
Задача 1. Доказать, что произведение двух параллельных
переносов, определяемых векторами а и Ь, есть параллельный
перенос, определяемый вектором а + &, если а+Ь Ф0, и
тождественное преобразование, если а + Ь = 0.
Решение. Пусть Фг и Ф2—параллельные переносы,
определяемые соответственно векторами а и б. Возьмем произвольную точку М
плоскости и допустим, что М! = ФгФ± (М). Если Mt = Ф1 (М), то
М' = Ф2[Ф1(М)1 = Фг(^1)« По определению параллельного переноса
имеем: ММ{= а, М^г = &, поэтому ММ' = а + Ь. Отсюда и
следует искомый результат.
4. Произведение центральных симметрии и параллельных
переносов. Следующий пример иллюстрирует описанную выше схему.
Задача 2. Доказать, что произведение Ф = Ф^Ф^ двух
центральных симметрии Фг и Ф2 с центрами в точках Сх и С2 есть
параллельный перенос на вектор 2СХС2, если Сг и С2 не совпадают, или
тождественное преобразование, если Сг и С2 совпадают.
Решение. Если Ф1 и Ф2 — преобразования, ассоциированные с
Ф1 и Ф2, то согласно теореме [30.4] имеем: Ф1= Ф2= r_v поэтому
ф = ф2ф{= Г^Г^^Е. Из теоремы [30.3] следует, что Ф есть
параллельный перенос или тождественное преобразование. Если точки
Ci и С2 не совпадают, то Ф2Ф1 (Q) = Ф2 (Ct) = С'р где Cj — точка,
симметричная Ci относительно С2. Отсюда следует, что Cfi[ = 2CiC2
и преобразование Ф является параллельным переносом. Если же
точки Ci и С2 совпадают, то Ф2Ф1 (Q) = Ф2 (Q) = Ct. Мы видим, что
С4 — неподвижная точка преобразования Ф, поэтому Ф —
тождественное преобразование.
Задача 3. Доказать, что произведение Ф = Ф%Ф1
параллельного переноса Фх на вектор а и центральной симметрии Ф2 с центром
в точке С есть центральная симметрия с центром в точке С0,
определяемой из соотношения СС0 = а.
1 Многие из теорем, рассмотренных ниже, доказываются в курсах
элементарной геометрии (см., например, [18] или [22]). Однако изложенная нами выше
теория ассоциированных преобразований, позволяет дать доказательства, которые
значительно проще классических доказательств этих теорем.
194
Решение. Так как
преобразования Фх и Ф2 ассоциированы
соответственно с преобразованиями Е и Г_х, то
преобразование Ф2Фг ассоциировано с
преобразованием Г_1Е=Г__1. Из теоремы
[30.3 ] следует, что Ф2ФХ есть
центральная симметрия.
Легко видеть, что точка С0,
определяемая из условия СС0= а, является
неподвижной точкой преобразования, так
как если С0 = Фх (С0), то С0С0 = а, поэтому Ф2Ф1 (С0) = Ф2 (С'0)= С0.
На рисунке 83 показано построение точки С0 и образа произвольной
точки М при преобразовании Ф = Ф2Ф^
Пользуясь задачами 2 и 3, докажем следующую теорему.
Теорема [33.2]. Произведение четного числа центральных
симметрии есть тождественное преобразование или параллельный
перенос, произведение нечетного числа центральных симметрии есть
центральная симметрия.
Доказательство. В самом деле, пусть Ф1э Ф2, . . . , Фк—
данные центральные симметрии. Докажем, что Ф = Фк <Pk-i . . . Фг
есть тождественное преобразование или параллельный перенос при
четном k и центральная симметрия при нечетном k.
Если k четное, то преобразование Ф можно представить так:
Ф = (ФЙФ*_,) (Ф*-2Ф*-з) - (*a*i)-
Каждое из преобразований, заключенных в скобки, есть параллельный
перенос или тождественное преобразование (задача 2), поэтому их
произведение в соответствии с задачей 1 есть параллельный перенос
или тождественное преобразование.
Если k — нечетное число, то данное преобразование можно
представить следующим образом:
Ф = [(ФЙФ^) (ФЛ_2Ф,_3) ... (Фз*2)]*1-
Преобразование, заключенное в прямые скобки, согласно
предыдущему есть параллельный перенос или тождественное
преобразование, поэтому Ф согласно задаче 3 есть симметрия относительно точки.
5. Произведение двух вращений.
Задача 4. Пусть Фх и Ф2 — два вращения, заданные на
ориентированной плоскости, соответственно с центрами Сг и С2 и углами
поворота фх и ф2. Найти преобразования Ф2Фг.
Решение. Данные преобразования Фг и Ф2 ассоциированы с
векторными преобразованиями Кф1 и Кф2, поэтому преобразование
Ф2ФХ ассоциировано с векторным преобразованием У^+ф,. Здесь
возможны различные случаи, зависящие от значения фх + ф2 и
расположения центров Сх и С2. Рассмотрим их.
195
1. Фх + ф2 = 0. В этом случае Уф1+Ф, = Е (см. таблицу на
стр. 163), поэтому преобразование Ф2Фг есть параллельный перенос
или тождественное преобразование. Легко понять, что если Сх и С2 —
различные точки, то Ф2Фг — параллельный перенос, а если Сг и
С2 совпадают, то Ф2ФХ — тождественное преобразование.
2. фх + ф2 = зх или фх + ф2 = — я. В этом случае Кф1_{-Ф2 есть T_t
(см. табл. на стр. 163), поэтому согласно теореме [30.31 Ф2ФХ есть
центральная симметрия.
3. ф1+ф2=^=0. В этом случае Кф1-}_ф2 есть вращение на угол
Ф1 + Фг» поэтому согласно теореме [30.3] Ф2Фг есть точечное
преобразование вращения на угол фг + ф2.
Если центры Сг и С2 не совпадают, то в первых двух случаях для
определения вектора параллельного переноса или центра симметрии
достаточно построить пару соответственных точек. Удобнее всего
построить образ точки С1 при преобразовании Ф2ФХ. Так как
ф1 (ci) = С1У то Ф2Фг (Сх) = Ф2 (Сх) = С'1э где точка С\ получена
путем поворота точки Сх вокруг точки С2 на угол ф2. В первом
случае СгС[ есть вектор параллельного переноса преобразования Ф2ФХ
(рис. 84, а), а во втором случае середина отрезка С1С\ является
центром симметрии О преобразования Ф2ФХ (рис. 84, б).
В третьем случае, если точки Сг и С2 не совпадают, то для
определения центра вращения Ф2Фг необходимо иметь образы двух
точек. Пусть точка С\ получена поворотом точки Сг вокруг точки С2
на угол ф2, а точка Р получена поворотом точки С2 вокруг точки Сг
на угол—ФгСрис. 85). Легко видеть, что С[ = Ф2ФХ (Сх), а С2 =
= Ф2ФХ (Р). В самом деле, Ф2Фг (Сг) = Ф2(Сг) = С[. Точно
также Ф2ФХ (Р) = Ф2(С2) = С2. Центр вращения преобразования Ф2Фг
есть точка пересечения двух перпендикуляров, проведенных через
середины отрезков СХС[ и РС2. На рисунке 85 эта точка обозначена
через С0.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: если Ф1У
Ф2 — вращения, заданные на ориентированной плоскости,
соответственно с центрами С1У С2 и углами поворота ф1э ф2, то преобразование
Ф2Фг является:
196
а) тождественным преобразованием или параллельным переносом,
если ф! + ф2 = 0;
б) центральной симметрией, если фх + ф2 = п или фх + Фг = —к*
в) вращением в остальных случаях.
6. Задача о построении многоугольника по серединам сторон.
Используем предыдущие результаты для решения следующей задачи.
Задача 5. На плоскости даны п точек М12, М23, М34, ... ,
Мл-1 „, Mni. Построить многоугольник Ai A2 ... Ап так, чтобы
каждая из данных точек MLj была серединой стороны ALAj (рис. 86).
Решение. Мы решим эту задачу в общем виде, предполагая,
что MLJ — произвольные точки плоскости, среди которых могут быть
и совпадающие, но существует по крайней мере одна пара не
совпадающих между собой точек. Предположим, что задача решена и
АгА2 . . . Ап — искомый многоугольник. На рисунке 86 п = 5.
Рассмотрим п центральных симметрии, центрами которых
являются соответственно точки Л412, А423, . . . , Мп\. Обозначим
симметрию с центром в точке Мц через Ф/;.. Симметрия Ф12 точку Ах
переводит в точку А 2, симметрия Ф23 точку Л2 переводит в точку А3
и т. д. Симметрия Фп1 точку Ап переводит в точку А1У поэтому
произведение Ф = Фп1 . . . Ф23 Ф12 точку Аг переводит снова в точку Аг.
Другими словами, точка Аг есть неподвижная точка преобразования
Ф. Мы видим, что многоугольник АгА2 . . . Ап существует тогда и
только тогда, когда преобразование Ф имеет неподвижные точки.
Более того, любая неподвижная точка преобразования Ф будет
служить вершиной А± искомого многоугольника. Таким образом, задача
имеет столько решений, сколько неподвижных точек имеет
преобразование Ф.
Выясним характер этого преобразования. Для этого
воспользуемся теоремой [33.2]. Возможны три случая:
Рис, 86,
197
а) п — нечетное число. Из теоремы 133.2 ] следует, что Ф есть
центральная симметрия, поэтому Ф имеет одну и только одну
неподвижную точку. Задача в данном случае будет иметь одно и только
одно решение. Для построения точки Ах достаточно взять
произвольную точку плоскости 5 и построить ее образ S' при преобразовании Ф,
т. е. построить последовательно точку S2 — образ точки S при
преобразовании Ф12, затем точку S3 — образ точки S2 при преобразовании
Ф2г и т. д. Середина отрезка SS' есть точка Аг. На рисунке 86 показано
построение точки Ах при помощи двух точек, обозначенных через «S»
и «1»;
б) п — четное число, а преобразование Ф — параллельный перенос.
В этом случае преобразование не имеет ни одной неподвижной
точки, в силу этого задача не имеет ни одного решения.
в) п— четное число, а преобразование Ф—тождественное
преобразование. В этом случае задача имеет бесчисленное множество
решений. В качестве точки Ах можно взять любую точку плоскости.
Интересно выяснить, как отличить случаи б) и в) друг от друга
при четном /г. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, отметим,
что все зависит от характера заданного многоугольника М12, М23, . .
. . , Мп_г, Mnl. Можно показать, что если этот многоугольник
составной (см. § 46, п. 3), то имеет место второй случай; если он не
составной, то имеет место первый случай.
7. Группа симметрии данной фигуры. Пусть F — фигура
плоскости. Преобразованием симметрии этой фигуры назовем любое
движение плоскости, переводящее фигуру F в себя. При этом мы
вовсе не предполагаем, что все точки фигуры F остаются неподвижными.
Очевидно, всякая фигура допускает по крайней мере одно такое
движение — тождественное преобразование. Если, кроме
тождественного преобразования, она имеет другие преобразования симметрии,
то говорят, что фигура обладает симметрией.
Легко видеть, что совокупность Qf всех преобразований симметрии
данной фигуры F образует группу. В самом деле, если Фг и Ф2 —
два преобразования множества Qf, to, очевидно, Ф2Фг есть также
преобразование этого множества, так как при этом преобразовании
фигура F переходит в себя. Далее, если Ф является преобразованием
множества Qf, то, очевидно, Ф-1 принадлежит Q/?. Из леммы [31.6]
следует, что Qf является группой. Эта группа называется
группой симметрии данной фигуры.
В дальнейшем изложении мы будем предполагать, что фигура F
ограничена, т. е. расположена в ограниченной части плоскости,
скажем, внутри некоторого фиксированного круга. Легко показать,
что при этом предположении на преобразование группы Qf
накладываются ряд ограничений, а именно:
1°. Qf не содержит параллельных переносов и скользящих
симметрии;
2°. Если QF содержит вращения или центральные симметрии,
то центры всех этих преобразований совпадают.
198
3°. Если Qr содержит симметрии относительно прямых, то оси
всех этих симметрии пересекаются в одной точке.
4°. Если QF содержит вращение или центральные симметрии и
симметрии относительно прямых, то все оси симметрии проходят
через общий центр вращения и центральных симметрии.
Мы не будем доказывать все эти предложения. Докажем для
примера только первое из них.
Пусть множество Q/? содержит параллельный перенос S на
вектор а. Возьмем произвольную точку М0 данной фигуры и выполним
преобразование 5 несколько раз подряд. При этом мы получим
последовательность точек М0, М19 М2У . . ., принадлежащих фигуре F,
кроме того, М0Мг = а, МХМ2 = а и т. д. Для любого k
MQMk = ka.
Последнее равенство противоречит тому, что фигура F ограничена.
В качестве примера рассмотрим группу ЙЛ симметрии
треугольника. Если движение Ф, отличное от тождественного
преобразования, переводит треугольник ABC в себя, то, очевидно, каждая
вершина треугольника переходит в вершину и хотя бы одна вершина не
является неподвижной. Если, например, В = Ф (А), то возможны два
случая: а) С = Ф (С); б) А = Ф (С).
а) В этом случае отрезок АС переходит в отрезок ВС, поэтому
АС = ВС.
б) Во втором случае С= Ф (В), поэтому АС = АВ = ВС.
Отсюда приходим к выводу, что если треугольник обладает
симметрией, то по крайней мере его две стороны конгруэнтны. И здесь
возможны два случая:
1) Треугольник равнобедренный, но не равносторонний. При этом
пусть, например, АС = ВС, АВ^ АС. В этом случае группа 2Д
состоит из двух преобразований — тождественного преобразования
Т и осевой симметрии Se
относительно биссектрисы угла при
вершине С (рис. 87, а).
Других преобразований группа Йд
не имеет.
2) Треугольник
равносторонний. В этом случае группа QA
состоит из шести
преобразований: тождественного
преобразования, трех симметрии
относительно биссектрис и двух
вращений на углы +120° и +240°
с центром в точке пересечения
биссектрис (рис. 87, б). Рис. 87.
Глава VI
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 34. Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой
из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плос-
костиРх и F 2 есть величина постоянная, большая чем расстояние
между Fx и F2.
Точки Ft и F2 называются фокусами эллипса, а расстояние между
ними — фокальным расстоянием.
Обозначим через 2а сумму расстояний от любой точки эллипса до
фокусов, а через 2с фокальное расстояние; по определению а> с.
Если точки Fx и F2 совпадают, то в этом случае, очевидно, эллипс
есть окружность радиуса а. Таким образом, окружность является
частным случаем эллипса.
В этом параграфе выведем уравнение эллипса и изучим форму
эллипса по его уравнению.
I. Вывод уравнения эллипса. Возьмем на плоскости
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы начало совпало с
серединой отрезка FxF2y а ось абсцисс с прямой FXF2, при этом
направление этой оси выберем от точки О к Fx (рис. 88). Так как FXF2 = 2с,
• то в выбранной системе
"П
\
\
-** ^
фокусы будут иметь
координаты Fx (с, 0), F2 (—с,
0). Для произвольной
точки М (х, у) эллипса имеем:
MFi = Y(x — cf + у\
MF2= Y(x+c)*+y\
поэтому
Рис, 88.
V (x-cf+y* +
+ V(x+c)*+y2=2a. (1)
200
Обратно, если координаты некоторой точки плоскости
удовлетворяют уравнению (1), то точка принадлежит эллипсу. Таким образом,
соотношение (1) являегся уравнением эллипса в
выбранной системе координат.
Для того чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде:
V(x+c)*+ у2 = 2а — V(x—с)2+ у2
и обе части возведем в квадрат:
(х + с)2+ у2 = 4а2 — 4а V(x—с)2+ у2+ (х — с)2 + у2,
или
a V(x—с)2+у2 =а2 — хс.
Возведем это равенство в квадрат и после упрощения получим:
(а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2).
Если ввести обозначение, положив
Ъ2 = а2 — с2, (2)
то из предыдущего соотношения получаем:
г2 \;2
а2 я2
Из соотношения (1) мы получили соотношение (3), поэтому если
точка лежит на эллипсе, т. е. если ее координаты удовлетворяют
уравнению (1), то ее координаты удовлетворяют также уравнению (3).
Но обратное утверждение не очевидно. Однако оно справедливо, т. е.
если координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то точка лежит
на эллипсе. В самом деле, пусть координаты произвольной точки
плоскости М (х, у) удовлетворяют соотношению (3). Вычислим
расстояния рх = iHFx и р2 = MF2:
Pi = V(x—с)2+ у2 = Ух2— 2хс+ с2+ у2 =
= y#-2xe+*+b*(i-*\ = у^^Х2_2хс + с2 + Ь2 =
= /5,2-2^+a2=/pZ^.
Если х < 0, то а х > 0. Если же х > 0, то из соотношения
а
(3) следует, что *<а, поэтому а— — х>а—с-а=*а — с>0. Для
а а
любого х имеем: а —- х > 0, следовательно,
а
9v=a — ±x. (4)
а
201
Аналогичным образом можно показать, что
р2 = я+-*. (5)
а
Таким образом, если координаты точки М удовлетворяют
уравнению (3), то MFX + MF2 = la — — х] + la + — х\ = 2а, т. е. точка
принадлежит эллипсу. По существу мы доказали, что уравнения (1)
и (3) эквивалентны и уравнение (3) является уравнением эллипса.
Уравнение (3) называется каноническим уравнением, а
выбранная нами система координат — канонической
системой.
При выводе канонического уравнения эллипса мы попутно
вывели формулы (4) и (5) для вычисления длин отрезков FXM и F2M,
где М — любая точка эллипса. Эти отрезки называются фокальными
радиусами точки УИ, при этом F±M называется первым
фокальным радиусом, a F2M — вторым1.
Заметим, что если F± и F2 совпадают, то с = О и из (2) следует, что
а2 = Ь2, поэтому уравнение (3) принимает вид х2 + у2 = а2. Мы
снова пришли к выводу, что если фокусы эллипса совпадают, то
эллипс является окружностью. В этом случае фокальные радиусы
совпадают с радиусом окружности. В общем случае, когда с ф О,
как следует из (2), Ь < а и уравнение (3) не задает окружность,
поэтому возникает необходимость изучения свойств эллипса по
уравнению.
2. Схема изучения свойств кривой второго порядка по
каноническому уравнению. Для определения формы и изучения геометрических
свойств эллипса и других кривых второго порядка, заданных
каноническими уравнениями, исследуем особенности расположения кривых
относительно канонической системы координат, которая геометрически
тесно связана с кривыми. При этом целесообразно рассматривать
следующие вопросы.
а) Прохождение кривой через начало координат.
б) Определение точек пересечения кривой с осями координат.
в) Исследование кривой на симметрию относительно осей и
начала координат.
Кривая называется симметричной относительно
оси со, если выполнено условие: для каждой точки М кривой
точка М', симметричная М относительно оси со, также
принадлежит кривой. Аналогично определяется симметрия кривой
относительно некоторой точки.
Из определения эллипса следует, что фокусы Ft и F2 равноправны. Однако
если с эллипсом связана каноническая система координат, то FY и F2 и,
следовательно, MFL и MF2 отличаются друг от друга тем, что Fx лежит на положительном
луче оси Ox, a F2 — на отрицательном. Формулы (4) и (5) справедливы только в
канонической системе координат.
202
Пусть кривая задана уравнением:
F (*, у) = 0. (6)
Легко показать, что кривая симметрична относительно оси Оу,
если уравнение ее не изменится от замены х на —х. В самом деле, пусть
М (х*, у*) — точка кривой, тогда F (х*, у*) = 0. Точка М',
симметричная М относительно оси Оу, имеет координаты М'(—х*, у*). Но
так как уравнение (6) не меняется при замене х на —х, то координаты
точки ЛГ, очевидно, удовлетворяют этому уравнению, т. е. М!
снова лежит на кривой. В частности, если уравнение кривой
содержит х только в четной степени, то кривая симметрична относительно
оси Оу.
Аналогично можно показать, что кривая симметрична
относительно оси Ох, если уравнение ее не изменится от замены у на —у. В
частности, если в уравнение кривой у входит только в четной степени, то
кривая симметрична относительно оси Ох.
Кривая симметрична относительно начала координат, если ее
уравнение не изменится от замены х на —х и у на —у. В самом деле
пусть М (л;*, у*) — точка кривой, тогда F (я*, у*) = 0. Точка ЛГ,
симметричная М относительно начала координат, имеет координаты
М' (—л:*, —у*). Но так как уравнение (6) не меняется при замене х
на —х и у на —у , то координаты точки М' удовлетворяют этому
уравнению, т. е. точка М' так же, как и точка М, лежит на
кривой.
Заметим, что если кривая одновременно симметрична
относительно обеих координатных осей, то она симметрична также
относительно начала координат; обратное утверждение не всегда справедливо.
г) Пересечение кривой с прямыми,
проходящими через начало канонической системы
координат.
д) Определение области изменения
переменных, входящих в уравнение кривой, т. е.
определение той части плоскости, в которой расположена кривая. Если
кривая задана уравнением (6), то целесообразно сначала
преобразовать это уравнение, выразив у как функцию от х или х как функцию
от у. При этом, конечно, следует позаботиться о том, чтобы
преобразованное уравнение было эквивалентно исходному.
Допустим, что мы привели уравнение кривой к виду: у = f (x).
Далее следует определить область изменения х, т. е. определить те
значения ху при которых переменная у существует и является
действительным числом. При этом может оказаться, что область изменения
х состоит из нескольких участков. Если через конечные точки этих
участков, лежащих на оси абсцисс, провести прямые, параллельные
оси ординат, то на плоскости выделится область, в которой
расположена кривая.
После этого, следует перейти к определению области изменения
переменной у. По аналогии с предыдущим, проводя прямые, парал-
203
лельные оси абсцисс, выделяем ту часть плоскости, в которой
расположена кривая. Пересечения областей изменения переменных а: и у
дает часть плоскости, в которой расположена кривая.
3. Изучение свойств эллипса по уравнению. Применим схему,
изложенную в п. 2, для изучения свойств эллипса, заданного
уравнением (3).
а) Эллипс не проходит через начало канонической системы
координат, так как координаты точки О (О, 0) не удовлетворяют
уравнению (3).
б) Для определения координат точек пересечения эллипса (3) с
осью Ох следует совместно решить уравнения:
? + ?-1, у-о.
а2 Ь2 У
Решив эту систему, получаем две точки пересечения: А± (а, 0),
А 2(—а,0). Аналогично получаем точки пересечения эллипса с осью Оу:
Вг (0, Ь), В 2 (0, —Ь). Таким образом, эллипс с каждой осью координат
пересекается в двух точках, симметричных относительно начала
координат (рис. 88). Точки Л1э Л 2, В и В2 называются вершинами,
а отрезки АгА2 и В±В2 — осями эллипса. Очевидно, АгА2 =
= 2а, ВгВ2 = 2Ь. Из (2) следует, что Ь < а, поэтому отрезок АХА2
называется большой осью, а отрезок В1В2 — малой.
Числа а и Ъ называются полуосями эллипса1.
в) Так как переменные а: и у в уравнение эллипса входят только
в четных степенях, то эллипс симметричен одновременно
относительно обеих осей координат. Отсюда следует, что эллипс симметричен
также относительно начала координат.
г) Возьмем произвольную прямую, проходящую через начало
координат у = kxt и найдем точки пересечения этой прямой с
эллипсом (3). Для этого необходимо совместно решить уравнение (3) с
уравнением прямой. Подставив значение у из уравнения прямой в
уравнение эллипса, получаем:
X2 k2X2 __ -
а2 б2 ~~
Отсюда определяем абсциссы точек пересечений:
1 2 === ~"^ ~"— .
у ь2 -j- k2a2
Подставив эти значения в уравнение прямой, получаем ординаты
точек пересечений:
kab
У1,2 = ± . .
Yb2+k2a2
1 Заметим, что по традиции термины «ось» и «полуось» здесь употребляются не
в обычном смысле слова: оси — отрезки ЛХЛ2 и BXB2, а полуоси — числа а и Ь.
204
Таким образом, каждая прямая,
проходящая через начало координат,
пересекает эллипс в двух точках,
симметричных относительно начала:
Q
аЬ
каЪ
Yb2 + к2а2
— аЬ
Yb2+k2a2
— kab
\УЬ* + k2a2 Vb2 + k2a2
Мы снова пришли к выводу, что
эллипс симметричен относительно О,
поэтому начало канонической
системы координат называется центром
эллипса. Ниже будет доказано, что
других центров симметрии эллипс не
имеет (см. § 41).
д) Для определения области изменения переменной у решим
уравнение (3) относительно х2:
'l —
Рис. 89.
Так как х2 > О, то 1 — 2- > О, или у2 < б2, —Ъ < у < Ь. Ана-
Ь2
логично получаем область изменения переменной х: —а < х < а.
Мы приходим к выводу, что область изменения переменных
определяется неравенствами:
—а < х < а, —Ъ < у < Ъ.
Отсюда следует, что точки эллипса расположены внутри
прямоугольника М1М2М3Мк, изображенного на рисунке 88.
Для того чтобы иметь наглядное представление о расположении
эллипса на плоскости, следует построить несколько точек эллипса.
При этом можно ограничиться точками, лежащими в первой четверти,
так как кривая симметрична относительно осей координат. Эллипс
изображен на рисунке 88.
4. Параметрическое задание эллипса. Пусть Q± и fi2 — Аве кон"
центрические окружности с центром в точке О и радиусами а и Ъ (а>Ь),
а 1г и /2 — два взаимно перпендикулярных диаметра этих окружностей
(рис. 89). Возьмем произвольный луч й, исходящий из точки О, и
обозначим через Ах иА2 точки пересечения этого луча с окружностями
Qx и ?22. Проведем через Аг прямую, параллельную /2, а через А2 —
прямую, параллельную /1э и обозначим через М точку пересечения
этих прямых. Исследуем множество G точек М, которое получается
при вращении луча h вокруг точки О. Для этой цели введем
прямоугольную декартову систему координат, взяв прямые 1Х и /2 за оси
координат. Направления осей указаны на рисунке 89. Выразим
координаты точки М (х, у) через угол t, образованный лучом h с осью Ох,
205
и через радиусы данных окружностей. Если Аг {хг, ух) и А2(х2, у2)>
то, очевидно, х = хг, у = у2. Но хх = a cos t, уг = a sin t; x2 =
= 6 cos t, у 2 = 6 sin t, поэтому
x = a cos t, у = 6 sin ?. (7)
Мы получили параметрическое задание множества G точек.
Исключив параметр t, получим уравнение множества точек в
прямоугольных декартовых координатах. Для этой цели запишем предыдущие
соотношения в виде:
COS^== — , Sin/= — .
а Ь
Возведем эти соотношения в квадрат и сложим:
cos2;+sin2/=- +2L ,
а* Р
но так как cos2 t + sin2 t = 1, окончательно получаем каноническое
уравнение (3) эллипса с полуосями а и Ь. Таким образом, все точки
рассматриваемого множества G принадлежат эллипсу (3). Однако
отсюда еще не следует, что (3) есть уравнение множества G. Для того
чтобы это доказать, необходимо убедиться в том, что всякая точка
эллипса (3) принадлежит множеству G. Пусть N (хг, уг) — точка
эллипса (3). Рассмотрим числа —, —. Так как N принадлежит эл-
а Ь
липсу, то ( — ] +- (—) = 1, поэтому числа —, ~ можно считать
\а j \Ь J a b
координатами некоторого единичного вектора в системе Oij. Но в
этом случае ^ = cos ср, — = sin ср, где ф — угол, который об-
а Ь
разует этот вектор с вектором /. Таким образом, хх = a cos ф,
уг = b sin ф. Сравнивая эти выражения с соотношениями (7), мы
приходим к выводу, что точка N принадлежит множеству G, так как
при t = ф получаем х = хг, у = ух. Итак, множество G совпадает с
эллипсом (3). Соотношения (7) называются
параметрическим заданием эллипса.
5. Аффинная эквивалентность эллипсов и окружностей. Докажем
следующее вспомогательное предложение.
Лемма [34.1 ]. Если прямоугольная1 система координат Ое1е2
выбрана так, что О — центр эллипса, а ег = ОАг, е2 = 0Вг, где
Ахи Вг — вершины, то в этой системе эллипс имеет уравнение
х2 + у2 = 1. (8)
Обратно, если в некоторой прямоугольной1 системе координат
Оехе2 кривая задана уравнением (8), то она является эллипсом, для
которого О — центр, а точки Ах и Вг, определяемые соотношениями
ег = ОАг, ?2= ОВг — вершины.
1 Вообще говоря, не декартова.
206
Доказательство. Пусть эллипс в канонической системе
координат Oij имеет уравнение (3). Запишем уравнение этого же
эллипса в системе OeYe2, где ?х= 0АХ, е2 = 0Вг. Так как в системе
Oij векторы ех и е2 имеют координаты ех {а, 0}, е2 {0, &}, то
согласно (8) § 11 формулы преобразования координат точек при переходе от
системы Oij к системе OeLe2 имеют вид:
х = ах\ у = by'.
Уравнение эллипса в новой системе координат имеет вид:
1,
а2хг
а?
х'2
2 ^ б*/2
' ' 6*
+ /' =
или
1,
что совпадает с уравнением (8).
Обратно, пусть кривая в системе Ое1е2 имеет уравнение (8). Пусть,
далее, \ е1\ = a, j ^2 | = 6. Не нарушая общности, можно положить
а > Ъ. Запишем уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой
системе О/у, помня что / =— , у = — . Согласно (8), § 11 формулы
а Ь
преобразования координат точек при переходе от системы Оехе2 к
системе О/у имеют вид:
х= ±-х?, у = \у\
а о
поэтому кривая в системе Oij имеет уравнение
/2 /2
-^+ 2- = 1
а2 ^ б2 1в
Мы получили каноническое уравнение эллипса.
В § 31 было отмечено, что две фигуры называются аффинно
эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование,
которое одну фигуру переводит в другую. Докажем следующую
интересную теорему.
Теорема [34.2]. Любые два эллипса аффинно эквивалентны.
Доказательство. Пусть Эг и Эг — произвольные
эллипсы, каждый из которых в своей канонической системе координат
задан каноническим уравнением:
(5j) : - + ±- = 1, (Э2) : — + -^ = 1.
Выберем для каждого эллипса систему координат так, как указано
в условиях леммы [34.1 ]. Допустим, что 01а1Ь1 — система координат
для эллипса 3lf а 02а2Ь2 — система координат для эллипса Э2
(см. рис. 90). Согласно лемме [34.1] каждый из эллипсов в своей
системе задается уравнением (8). По теореме [25.4] существует
аффинное преобразование, которое систему ОхагЬх переводит в систему
207
02а2&2- При этом
преобразовании согласно теореме
[25.5 ] эллипс Эх переходит в
кривую, которая в системе
02афг определяется тем
же уравнением (8).
Отсюда следует, что образ
эллипса Эг совпадает с
эллипсом Э2.
Так как любая
окружность является частным
случаем эллипса, то из доказанной теоремы получаем:
Теорема [34.3]. Произвольный эллипс аффинно эквивалентен
произвольной окружности.
Можно доказать теорему, которая геометрически более
наглядно иллюстрирует аффинную эквивалентность окружности и
эллипса. Для этой цели напомним, что если выбрана прямоугольная
декартова система координат OiJ, то сжатие к оси Ох с коэффициентом k
аналитически задается следующими соотношениями1:
Рис. 90.
х' = х, у' = ky.
(9)
Теорема [34.4]. Любой эллипс, отличный от окружности,
может быть рассмотрен как образ некоторой окружности при
преобразовании сжатия к диаметру.
Доказательство. Пусть (3) — эллипс с осями АгА2 и
В1В2, гДе A-iA-ъ — большая ось. Построим окружность на диаметре
АгА2и обозначим через Сг и С2 точки пересечения этой окружности с
канонической осью Оу (рис. 91).
Рассмотрим преобразование сжатия к прямой А±А2, при
котором точка Сг переходит в Вх.
d Так как ОСг = а,
OBt = b9 то?=А=А.
1 ОСх а
Отсюда и из соотношений (9)
следует, что рассматриваемое
сжатие аналитически задается
равенствами:
х! = х, у = - у.
(10)
Рассмотрим образ
построенной нами окружности при
преобразовании (10). Окружность,
Рис. 91.
1 См. § 25, формулы (10).
208
очевидно, имеет уравнение х2+ у2 = а2. Для того чтобы получить
уравнение образа этой окружности, подставим в предыдущее
уравнение значения х и у из соотношений (10):
Мы получили уравнение исходного эллипса. Таким образом, этот
эллипс является образом построенной нами окружности при
преобразовании сжатия (10). Теорема доказана.
6. Эксцентриситет; зависимость формы эллипса от эксцентриситета.
Эксцентриситетом эллипса называется число 8 = —, где с — поло-
а
вина фокального расстояния, а а — длина большой полуоси. Из
определения следует, что эксцентриситет г эллипса всегда меньше
единицы.
Эксцентриситет равен нулю тогда и только тогда, когда эллипс
вырождается в окружность. Выше было отмечено, что две фигуры F и
F' называются подобными, если существует такое преобразование
подобия, при котором одна фигура переходит в другую. Докажем
теорему.
Теорема [34.51. Два эллипса, имеющие равные
эксцентриситеты, подобны.
Доказательство. Если эксцентриситеты эллипсов равны
нулю, то эллипсы являются окружностями. В этом случае теорема,
очевидно, справедлива, поэтому докажем теорему для того случая,
когда е Ф 0.
Пусть два эллипса, заданные каждый в своей канонической системе
уравнениями:
Рис. 92.
209
имеют один и тот же эксцентриситет е. Пусть Oij и O'i'j'—
канонические системы данных эллипсов. Рассмотрим движение, которое
переводит систему O'i'f в Oij. При этом эллипс (12) перейдет в равный
ему эллипс, который в системе Oij задается уравнением (рис. 92):
/X/ />у
^+^ = 1. (12')
а2 б2
т с с с а
Iак как — = 8 и — = е, то — = ~.
Если ввести обозначение k= — = —, то легко показать, что
с а
гч/
— = k. В самом деле, В2 = о2 — с2 = &2 (а2 — с2) = &262.
Отсюда, так как 6 > О, Ь > 0, k > 0, имеем: & = kb. Подставив зна-
чения а и b в уравнение (12'), получаем:
J^ + JL = i. (13)
fc2a2 fe2&2
Рассмотрим гомотетию с центром в точке О и коэффициентом ?.
Если точка М (х, у) при этой гомотетии переходит в М' (х\ у'), то
согласно (7) § 25, имеем: х' = kx, у' = ky. При этой гомотетии эллипс
(11) переходит в эллипс
/2 /2
который совпадает с эллипсом (13). Так как эллипс (13) равен
эллипсу (12), то эллипсы (11) и (12) подобны.
Выясним, какова зависимость формы эллипса от эксцентриситета.
Для этой цели выразим отношение — через эксцентриситет:
а
с = еа, Ь2 = а2 — с2 = а2 — е2а2 = а2 (1 — е2).
Отсюда, так как b > О, а > О, 1 — е2 > 0, получаем:
- = ]Л — е2. (14)
a
Рассмотрим систему эллипсов, имеющих одну и ту же большую ось,
но разные эксцентриситеты. Из соотношения (14) следует, что, чем
больше 8, тем меньше &, и при е, стремящемся к единице, число b
стремится к нулю. Из этого соотношения также следует, что, чем меньше
е, тем больше 6, и при 8, равном нулю, b = а, т. е. эллипс является
окружностью. Таким образом, с увеличением эксцентриситета
уменьшается «ширина» эллипса и он делается более продолговатым. На
рисунке 93 изображены эллипсы, эксцентриситеты которых
удовлетворяют неравенствам:
210
О = 8Х < 82 < 83 < 84 < 85.
7. Директрисы эллипса;
директориальное свойство.
Директрисами
эллипса называются прямые,
параллельные малой оси и
отстоящие от нее на
расстоянии —, где а — большая по-
8
луось, а & — эксцентриситет.
Директриса,
расположенная по ту же сторону от
малой оси, что и фокус Fly
называется первой, а
другая директриса — второй.
Очевидно, директрисы не
пересекают эллипс, так как
8<1
— > а.
8
Рис. 93.
Окружность как частный случай эллипса не имеет директрис, так
как для нее 8 = 0.
Любой эллипс, отличный от окружности, имеет две директрисы,
расположенные симметрично относительно оси Оу (см. рис. 88).
Рассмотрим следующее директориальное свойство эллипса.
Теорема [34.6 ]. Эллипс есть множество всех точек, отношение
расстояний от каждой из которых до фокуса F к расстояниям до
одноименной директрисы d постоянно и равно его эксцентриситету.
Доказательство. Пусть уравнение (3) — данный
эллипс, a Fad соответственно первый фокус и первая директриса.
Возьмем произвольную точку М (х, у) эллипса и вычислим расстояния
FM и МН, где Н — основание перпендикуляра, опущенного из
точки М на директрису d. Согласно формуле (4) FM = а — гх. С другой
стороны, М#= ——х при любом расположении точки М. Таким
образом,
FM
МН
а — гх
Обратно, пусть для точки М (х, у) плоскости = е, где Н—
основание перпендикуляра, опущенного из М на прямую d,
а
MF= V(x—cf+y\ МН =
х — ¦
поэтому
V(x—c)2+y* = e
а
X
8
211
Возведем обе части этого
соотношения в квадрат:
Рис. 94.
ИЛИ
х2 — 2хс + с2 + у2 = е2х2 —
— 2хаг + а2.
Отсюда, после элементарных
преобразований, получаем уравнение (3).
Мы пришли к выводу, что каждая
точка множества принадлежит
эллипсу.
8. Построение эллипса, а) Вы-
черчивание эллипса,
исходя из определения.
Определение эллипса дает
возможность указать очень простой
способ его построения. Возьмем кусок
нити длиной 2а и концы ее
закрепим в фокусах эллипса. Если
оттянуть нить кончиком карандаша,
как показано на рисунке 94, и
передвигать карандаш, держа все
время нить натянутой, то
карандаш начертит эллипс с данными
фокусами, длина большой оси
которого равна 2а.
б) Построение эллипса
по осям. При выводе
параметрического уравнения эллипса (см. п. 4) по существу был указан
способ построения точек эллипса, если даны полуоси эллипса. Начертим
оси эллипса и на них как на диаметрах построим две
концентрические окружности (рис. 95). Проведем ряд радиусов большой
окружности. Через их концы проведем прямые, параллельные малой оси, а
через точки пересечения этих радиусов с меньшей окружностью —
прямые, параллельные большой оси. Тогда точки пересечения
прямых, соответствующих одному и тому же радиусу, будут- точками
эллипса с заданными осями (рис. 95).
А\1
L L
У1
1
/| >К
—4i/»\
X
Рис. 95.
§ 35. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости,
для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до
двух данных точек той же плоскости Fx и F2 есть величина постоянная,
меньшая чем расстояние между F± и Fz.
212
Точки Fx и F2
называются фокусами
гиперболы, а длина отрезка
FiF2 — фокальным
расстоянием.
Обозначим через 2а
абсолютную величину
разности расстояний любой
точки гиперболы до
фокусов, а через 2с
—расстояние между фокусами. По
определению с > а. Мы
предполагаем, что а > О, поэтому с > 0 и Ft не совпадает с F2.
1. Вывод уравнения гиперболы. Возьмем на плоскости
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы начало О совпало с
серединой отрезка FXF2, ось абсцисс— с прямой F2Flt а направления осей
Ох и Оу возьмем так, как показано на рисунке 96. Так как F±F2 = 2с,
то фокусы будут иметь координаты Fx (с, 0), F2 (—с, 0). Для
произвольной точки М (х, у) гиперболы имеем:
MFi = V(x—с)2+у\ MF2= У(х+с)2+у2.
Воспользовавшись определением гиперболы, составим равенство:
| у(х+с)2+у2 _ у{х_с)2+у2 [ = 2а. (1)
Обратно, если координаты некоторой точки плоскости
удовлетворяют уравнению (1), то точка принадлежит гиперболе. Таким
образом, соотношение (1) является уравнением гиперболы
в выбранной системе.
Для того чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде:
У(х+с)2+У2 =± 2а + V(x—с)2+у2.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
(х -f с)2 + у2 = 4а2 ± 4а]/ (х — с)2 + у2 + (х — с)2 + у\
или
± а ]/(х~— с)2 + у2 = а2— хс,
Это соотношение возведем в квадрат:
а2 (х — с)2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х\
Если ввести обозначение
?2 = С2 _ а2^ Q)
213
то после элементарных преобразований предыдущее уравнение
приведем к виду:
1.
(3)
Из соотношения (1) получили соотношение (3), поэтому если точка
лежит на гиперболе, т. е. если ее координаты удовлетворяют
уравнению (1), то они же удовлетворяют и уравнению (3). Однако
отсюда еще не следует, что соотношение (3) есть уравнение гиперболы.
Так же, как и в случае эллипса, следует показать, что если
координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то точка принадлежит
гиперболе.
Пусть М (х, у) — точка плоскости, координаты которой
удовлетворяют соотношению (3). Вычислим расстояния рх = MFX и р2 =
= MF2:
Pi = V(* — с)2 + у2 = \гх2 — 2хс + с2 + у2 =
V
= 1/ х2 — 2хс + с2 + 6а
/ х*
1 =
j/il х*- 2хс + а* = У (^ х - а)2=
— х —а
а
Из соотношения (3) следует, что | х | ^ а, следовательно, если
х > 0, то — х — а>0й
а
р1 = — х — а.
а
(4)
Если х < 0, то — х — а < О, поэтому
а
р1== а х.
а
Аналогично можно показать, что если х > 0, то
р2 = —х + а;
а
если х < 0, то
р2 = х — а.
а
(4')
(5)
(5')
Таким образом, если координаты точки М (х, у) удовлетворяют
уравнению (3) их> 0, то
\MFt — MF2\ = I (- х— а\ — /-1 х + а]
= 2а,
т. е. точка принадлежит гиперболе. Если х < 0, то, пользуясь
соотношениями (4') и (5'), получаем аналогичный результат. Мы доказа-
214
ли, что соотношение (3) является уравнением гиперболы. Оно
называется каноническим уравнением, а выбранная нами
система — канонической системой.
2. Изучение свойств гиперболы по каноническому уравнению.
Применим общую схему изучения свойств кривой, изложенную в п. 2,
§ 34, к гиперболе, заданной уравнением (3). При этом во многом это
исследование будет аналогичным исследованию свойств эллипса (см.
п. 3, § 34).
а) Гипербола не проходит через начало канонической системы
координат.
б) Гипербола пересекает ось Ох в двух точках: Ах (а, 0), А 2 (—а, 0).
Однако в отличие от случая эллипса она не пересекает ось Оу, так как
система
а2 Ь2
не имеет действительных решений. Точки А±п А2 называются вершина-
ми, а отрезок АгА2— действительной осью гиперболы. Если на оси
Оу взять точки В± и В2 так, чтобы они были симметричны относительно
центра О и каждая из них отстояла от О на расстоянии &, то получим
отрезок ВХВ2, который называется мнимой осью гиперболы. Легко
видеть, что АгА2 = 2а, В1В2 = 26, число а называется действительной
полуосью, а число Ъ — мнимой1.
в) Гипербола симметрична относительно осей координат и начала
координат, так как переменные л; и у входят в уравнение гиперболы
только в четных степенях. Поэтому начало канонической системы
координат называется центром гиперболы, прямая А±А2 —
действительной осью симметрии, а ВгВ2 — мнимой осью симметрии.
г) Выясним вопрос о взаимном расположении прямой,
проходящей через начало координат, с гиперболой. Для этой цели достаточно
исследовать вопрос о существовании решений системы
iL_2-_l, y_te (6)
Подставив значение у из уравнения прямой в уравнение гиперболы,
получаем:
х2 k2x2
а2 Ь2
= 1, х2(62 — ?2а2)=а2Ь2. (7Х
Нас интересуют действительные решения этого уравнения.
Возможны три случая:
1) й2 — k2a2 > 0. Уравнение имеет два действительных решения:
ab ab
Хм = - И Х0 =
У& — k2a2 2 У Ь2 — к2а2
1 См. сноску на стр. 204.
215
В этом случае прямая у = kx пересекает гиперболу (3) в двух точках,
симметричных относительно начала координат:
М ( °Ь fca6 \ дд / — ab —kab \
1 \}/&2 —/г2а2~ Vb2 — k2a2 ')' 2 \Vb2 — /г2а2 "' ]/V — /г2а2 /
2) б2 — &2а2 = 0. В этом случае уравнение (7) не имеет ни
действительных, ни комплексных решений. Соответственно этому система
(6) несовместна. Геометрически это означает, что прямые у = kx в
этом случае не пересекаются с гиперболой.
3) б2 — k2a2 < 0. Система уравнений (6) имеет комплексные
решения, поэтому и в этом случае прямая у = kx не пересекает гиперболу.
Теперь выясним, как расположены прямые, соответствующие
каждому из этих случаев. Так как k = tga, где а — угол, образованный
прямой с осью Ох, то
1) k2a2<b\ ?2<4> --<*<-> --<tga<A;
(г а а а а
2) kW = Ь\ ft" = * k, = -, 62 = --, tg оц = A tg <х2 = —L
а1 а а а а
3) ?2a2>62, fc2>-^-, Л>-, ft< —-, tga>A tga<-A
a2 a a a a
Эти неравенства легко интерпретировать геометрически, если
построить прямоугольник со сторонами 2а и 26 так, чтобы стороны были
параллельны осям координат, а центр совпадал с началом. На рисунке
96 этот прямоугольник обозначен через MxM2M3Mk. Случаю 1)
соответствуют прямые, расположенные внутри вертикальных углов М^ОМ^
и Af3OM4. Случаю 2) соответствуют две прямые М1М3 и М2М4.
Случаю 3) соответствуют прямые, расположенные внутри вертикальных
углов М2ОМ3 и МгОМ^
Строго говоря, из нашего поля зрения выпала ось Оу, так как
она, как известно, не может быть задана уравнением с угловым
коэффициентом. Но выше было показано, что ось Оу не пересекает
гиперболу, точнее, пересекает ее в двух комплексных точках. Этот вывод
вполне согласуется с результатом исследования, проведенного выше,—
ось Оу относится к случаю 3).
Итак, только прямые, проходящие через начало координат и
расположенные внутри вертикальных углов М1ОМ2 и М3ОМ^ пересекают
гиперболу.
д) Предыдущее исследование в какой-то степени определяет
область расположения точек гиперболы. В самом деле, на прямых М2М4
и Мг М3 и внутри вертикальных углов М2ОМ3 и М±ОМ^ нет ни од-
ной точки гиперболы, поэтому гипербола всеми своими точками рас-
положена внутри вертикальных углов М±ОМ2 a M3OMk, Для того
чтобы уточнить область расположения точек, заметим, что из
уравнения (3) следует: | х | > а или х !> а, х < — а. Таким образом,
внутри полосы, ограниченной параллельными прямыми М1М2 и М3М^
нет ни одной точки гиперболы. Сопоставляя эти результаты, мы при-
216
Рис. 97. Рис. 98.
ходим к выводу, что гипербола всеми своими точками расположена
в области, заштрихованной на рисунке 97. Отсюда следует, что в
отличие от эллипса гипербола состоит из двух частей (ветвей), каждая
из которых симметрична другой относительно оси Оу.
3. Асимптоты гиперболы. Прямые, проходящие через начало
канонической системы координат и имеющие угловые коэффициенты — и
а
, называются асимптотами гиперболы. Асимптоты — это
те прямые, которые соответствуют случаю 2) пункта г) предыдущего
исследования. На рисунках S6 и 97 этими прямыми являются Af2Af4
и МХМ3. Они определяют границу области, в которой расположена
гипербола. Докажем следующую теорему, которая поясняет термин
«асимптота».
Теорема [35.1 ]. Точки гиперболы по мере удаления от оси Оу
неограниченно (асимптотически) приближаются к соответствующим
асимптотам, т. е. расстояние между точкой гиперболы и
соответствующей асимптотой при увеличении х уменьшается, стремясь к
нулю, но не достигая нуля.
Доказательство. Так как гипербола симметрична
относительно осей координат, то достаточно доказать теорему для точек,
лежащих в первой четверти. Пусть х = р — произвольная прямая /,
перпендикулярная оси Ох. Обозначим через М точку пересечения этой
прямой с гиперболой, а через N — с асимптотой (рис. 98).
Для нахождения координат точки М следует совместно решить
систему
х2 у2 -
— * !- *-p-
Имеем:
a2 b2 a
217
Таким образом, точка М имеет координаты:
М {р, ±Vffl-a*\.
Если р > а, то эти координаты действительны.
Координаты точки N определяются из системы:
а
решая которую, найдем:
"К4
ь ^ ь
Так как — р>>—-l/p2—а2, то точка N лежит выше точки М9
а а
поэтому
мм = А р _ А ]/^2—^г= А 5== в flfr
а а а р + /р2 —а2 р + У р2 — а2
Пусть LM — расстояние от точки М до соответствующей
асимптоты. Так как LM < ЛШ, то
LM < /6 (8)
При удалении точки М от оси ординат р растет, поэтому
выражение, находящееся в правой части неравенства (8), уменьшается. При
р, стремящемся к бесконечности, длина отрезка LM стремится к
нулю. Теорема доказана.
Предыдущее исследование дает полное представление о форме
гиперболы. Гипербола изображена на рисунке 96.
4. Равносторонняя гипербола. Гипербола, заданная каноническим
уравнением (3), называется равносторонней, если а = Ь.
В этом случае каноническое уравнение имеет вид:
Х2_у2 = a2t (9)
Равносторонняя гипербола характерна тем, что ее асимптотами
являются биссектрисы координатных углов, поэтому они взаимно
перпендикулярны. В самом деле, угловые коэффициенты асимптот
согласно определению равны:
&! = —=1, k2= = —1.
а а
Прямоугольник M1M2M3Mtk, построенный нами при исследовании
формы гиперболы (рис. 96), в данном случае является квадратом.
Равносторонняя гипербола изображена на рисунке 99. Она хорошо
известна учащемуся из курса средней школы.
Имеет место следующая теорема.
218
Теорема [35.2 ]. Если за
оси прямоугольной декартовой
системы координат взять
асимптоты равносторонней гиперболы
Г, заданной каноническим
уравнением
2а,
(Ю)
то в этой системе координат
гипербола Г является графиком
функции обратной
пропорциональности:
а
(И)
Рис. 99.
Доказательство. Пусть Oij — прямоугольная
декартова система координат, где векторы / и j принадлежат асимптотам ги-
перболы, a Oij — исходная каноническая система, в которой
гипербола имеет уравнение (10).
Мы предполагаем, что обе системы имеют одну и ту же ориентацию
и, кроме того, -*?(/, /) = —
Поэтому формулы преобразования
координат точек при переходе от системы Oi j к системе Oij
получаются из соотношений (14), §11, при ф = —, и имеют вид:
4
ТТ{х + у}'
У =
V2
(у — х).
Отсюда получаем: х + у = у 2 у, х — у = у2х. Подставив эти
значения в соотношение (10), получаем уравнение гиперболы Г в системе
Oij:
ху = а.
Так как для любой точки кривой Г переменная хфО, то это уравнение
эквивалентно уравнению (11). Теорема доказана.
5. Аффинная эквивалентность гипербол. Легко доказать лемму,
аналогичную лемме [34.1].
Лемма [35.3]. Если прямоугольная1 система координат Оеге2
выбрана так, что О — центр гиперболы, а векторы ег, е2
принадлежат соответственно действительной и мнимой осям симметрии и
имеют соответственно модули а и Ь, то в этой системе координат
гипербола имеет уравнение:
у2 = 1.
(12)
1 Вообще говоря, не декартова.
219
Обратно, если в некоторой прямоугольной системе координат Оеге2
кривая задана уравнением (12), то она является гиперболой, для
которой О — центр, прямые Ое1 и Ое2 — действительная и мнимая ось
симметрии, а | ег\ и \ е2 I являются длинами соответственно
действительной и мнимой полуосей.
Доказательство этой леммы мы опускаем, так как оно по существу
совпадает с доказательством леммы [34.1].
Пользуясь этой леммой, можно доказать теорему.
Теорема [35.4]. Любые две гиперболы аффинно эквивалентны.
Доказательство этой теоремы мы также опускаем, так как оно в
точности совпадает с доказательством теоремы [34.2].
Докажем теорему, аналогичную теореме [34.4].
Теорема [35.5]. Любая гипербола, отличная от
равносторонней, может быть рассматриваема как образ некоторой равносторонней
гиперболы при преобразовании сжатия к ее действительной оси
симметрии.
Доказательство. Пусть (3) — уравнение гиперболы Г
с действительной осью А1А2к мнимой осью ВгВ2, заданной в
канонической системе Oij (рис. 100). Рассмотрим равностороннюю гиперболу
Г0, которая в той же системе Oij имеет уравнение (9). Для гиперболы
Г0 отрезки АХА2 и СгС2 будут соответственно действительной и
мнимой осями. Мы видим, что гиперболы Г и Г0 имеют одну и ту же
действительную ось АХА2, но разные мнимые оси — B±B2 и СгС2.
Рассмотрим преобразование сжатия к прямой АХА2, при котором
точка С1 переходит в точку Вх. Так как ОС1 = а, ОВ± = Ъ, то k =
= —- = —. Отсюда и из соотношений (9), § 34 следует, что
ОСх а
рассматриваемое сжатие
аналитически задается
равенствами:
х' = х, у' = -у. (13)
а
Образ гиперболы Г0 при
этом преобразовании имеет
уравнение:
*¦-(*)•-*
или
г2 /2
Л__->_ = 1
а2 Ь2
Мы получили уравнение
гиперболы Г, поэтому Г
является образом гиперболы Г0
при преобразовании сжатия.
Теорема доказана.
Рис. 100,
220
6. Эксцентриситет гиперболы. Число 8 = — называется эксцен-
а
трисшпетом гиперболы. Здесь с половина фокального
расстояния, а а — действительная полуось. Так как с > а, то эксцентриситет
любой гиперболы больше единицы. По аналогии с теоремой [34.5]
может быть доказана следующая теорема.
Теорема [35.6]. Две гиперболы, имеющие равные
эксцентриситеты, подобны.
Доказательство теоремы предоставляем читателю.
Выясним, какова зависимость формы гиперболы от
эксцентриситета. Для этой цели выразим отношение— через эксцентриситет:
а
с = еа, Ь2 = с2 — а2 = е2а2 — а2 = а2 (&2 — 1),
A = ]/s2—1. (14)
а
Рассмотрим систему гипербол, имеющих одну и ту же
действительную ось, но разные эксцентриситеты. Из соотношения (14) следует,
что, чем больше эксцентриситет, тем больше —, т. е. угловой коэф-
а
фициент асимптот. Из этого же соотношения следует, что, чем меньше
ь ь
б , тем меньше —, и при е стремящемся к единице, отношение —
а а
стремится к нулю, т. е. асимптота стремится к оси Ох.
На рисунке 101 изображены гиперболы, эксцентриситеты которых
удовлетворяют неравенствам: г^ < г2 «< е3 < е4.
Рис, 101.
221
7. Директориальное свойство. Директрисами гиперболы
называются прямые, параллельные канонической оси Оу и
отстоящие от этой оси на расстоянии —. Здесь а длина действительной
8
полуоси, as — эксцентриситет гиперболы. Директриса,
расположенная по ту же сторону от оси Оу, что и фокус Fl9
называется п е р в о й, а другая директриса — второй.
Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие
фокальных радиусов точек гиперболы, аналогичное соответствующему
понятию для эллипса. Пусть М — точка гиперболы. Отрезки FXM и F2M
называются соответственно первым и вторым
фокальными радиусами гиперболы. Если длины этих
отрезков обозначить через рх и р2, то из формул (4), (4'), (5), (5') следует,
что
при х > 0
при х < 0
р{ == гх — а,
Pi = а — гх,
р2 = гх + а,
р2 = — гх — а.
(15)
(16)
Теорема [35.7]. (Директориальное свойство.)
Гипербола есть множество G всех точек, отношение расстояний от
каждой из которых до фокуса F к соответствующим расстояниям
до одноименной директрисы d постоянно и равно эксцентриситету.
Доказательство. Пусть (3) — данная гипербола, a F и
d — соответственно первый фокус и первая директриса. Возьмем
произвольную точку М (х, у) гиперболы и вычислим расстояния FM
и МН, где Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки М
на директрису d. Если х > О, то согласно формуле (15) FM = гх —
— а. С другой стороны, расстояние от точки М (х, у) до директрисы,
заданной уравнением х = —, равно:
МН
хг— а
\хг — а\
В данном случае х ;> а, г> 1, поэтому | хг — а | = хг — а. Таким
образом,
FM гх — а
= г.
МН гх — а
Если х<0, то согласно (16) FM = а — гх, МН = '——ii-
8
В этом случае х < а, \хг — а I == а — гх, = е. Мы показали, что
•^ ' ' МН
для каждой точки М гиперболы имеем:
FM
= 8.
МН
222
Обратно, пусть для точки
MF
М (х, у) плоскости —- = е , где
Мл
Н— основание
перпендикуляра, опущенного из М на
прямую d.
Имеем:
MF
МН =
У(х — с)*+у*>
&х — а I
Рис. 102.
поэтому
\гх — а\
]/(Х — С)2 -\- у2 =8
= \гх — а |.
По возведении обеих частей
этого соотношения в квадрат
получаем: х2 — 2хс + с2+ у2 =
= &2х2 —2хаг + а2. Отсюда,
после элементарных
преобразований, получаем соотношение (3).
Мы пришли к выводу, что каж- Рис шз
дая точка множества G
принадлежит гиперболе.
8. Построение гиперболы, а) Определение гиперболы дает
следующий способ ее вычерчивания при помощи линейки и нитки. Возьмем
линейку, длина которой больше действительной оси гиперболы, и к
концу К прикрепим нить такой длины, чтобы разность между
длиной линейки и длиной нити была равна длине действительной оси.
Второй конец линейки закрепим в одном фокусе так, чтобы линейка
могла вращаться около него, а второй конец нити закрепим
в другом фокусе. Если удерживать острием карандаша нить так, чтобы
она была всегда натянута и чтобы острие карандаша скользило вдоль
линейки (см. рис. 102), то при вращении линейки карандаш будет
перемещаться и его острие будет описывать часть ветви гиперболы. В самом
деле, разность между длиной линейки и длиной нити равна 2 а. С
другой стороны, длина линейки равна FXM + М/С, а длина нити MF2 +
+ КМ, поэтому F±M + МК — (F2M + МК) = 2а или FXM — F2M =
= 2а. Чем длиннее линейка, тем большая часть ветви будет вычерчена
данным способом. Заметим, что для точек N другой ветви F2N —F-lN =
= 2а, поэтому для ее вычерчивания следует конец линейки
прикрепить к фокусу F2i а конец нити — к фокусу Fx.
б) Пусть АХА 2 — действительная ось, a Fx и F2 — фокусы
гиперболы (рис. 103). Произвольным раствором циркуля начертим
окружность с центром в точке Flf а затем радиусом, большим на АХА2 = 2а,
223
начертим другую окружность с центром
в точке F2. Точки пересечения этих
окружностей, очевидно, лежат на
гиперболе. Выполнив это построение
различными растворами циркуля, получаем ряд
точек, принадлежащих гиперболе.
§ 36. Парабола
Параболой называется
множество всех точек плоскости, для каждой из
которых расстояние до данной точки F
равно расстоянию до данной прямой d,
Рис. 104. Не проходящей через точку F.
Точка F называется фокусом, а
прямая d — директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы
называется фокальным параметром параболы и обозначается через р.
1. Вывод уравнения параболы. Для вывода уравнения параболы
выберем систему координат следующим образом: проведем через
фокус F прямую U перпендикулярную директрисе d, и обозначим через А
точку пересечения этой прямой с директрисой (рис. 104).
Примем за начало координат О — середину отрезка AF, а за ось
Ох — прямую /, причем направление оси выберем так, чтобы точка F
лежала на положительном луче этой оси. За ось Оу возьмем прямую,
проходящую через О и параллельную директрисе d. Направление этой
оси можно взять произвольно. В этой системе координат
точка F имеет координаты (А 0 V а прямая d — уравнение х + у =
= 0. Пусть М (х, у) — произвольная точка плоскости. Если N —
основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую d, то
MN есть расстояние от М до прямой d, поэтому
MN =
х +
С другой стороны,
MF
-V
X —
+ у2
Для того чтобы точка М принадлежала параболе, необходимо и
достаточно, чтобы MF = MN или
у
'-¦?)*+»•-
* + 1
(1)
Соотношение (1) является уравнением параболы в выбранной системе.
224
С целью упрощения этого уравнения возведем обе его части в квадрат:
(x-^J + y2 = (x + f)2, или х2-рх + ^- + у2 = *24р*+А
После приведения подобных членов получаем:
у2 = 2рх. (2)
Если точка лежит на параболе, т. е. если ее координаты
удовлетворяют соотношению (1), то ее координаты удовлетворяют также
соотношению (2). Однако отсюда еще не следует, что (2) есть уравнение
параболы. Мы должны показать, что если координаты точки М (л;, у)
удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе, т. е.
MN = MF. Имеем:
MF = -J,/(* - |)2+ у2 = Y(x - |)2 + 2рх =
= yx2_px + PL+2px = У х2 4 рх 44 = у {х + I)' =
I 2 I
Мы получили выражение, равное расстоянию от точки М до
прямой d. Итак, точка М принадлежит параболе. Отсюда следует, что
соотношение (2) эквивалентно соотношению (1) и является уравнением
параболы. Оно называется каноническим уравнен и-
е м параболы, а выбранная нами система — канонической.
Если поменять ролями оси координат, то уравнение (2) примет вид:
х2 = 2ру. (2Л)
В этом случае ось Ох параллельна директрисе, а ось Оу
перпендикулярна ей и проходит через фокус.
2. Изучение свойств параболы по каноническому уравнению.
Применим общую схему изучения свойств кривой, изложенную в п. 2,
§ 34, к параболе, заданной уравнением (2).
а) Парабола проходит через начало канонической системы
координат, так как числа (0, 0) удовлетворяют уравнению (2).
б) Парабола пересекает оси координат только в начале координат
и других точек пересечений с осями координат не имеет. Эта точка
называется вершиной параболы.
в) Парабола симметрична относительно оси Ох, так как
переменная у в уравнение (2) входит только в четной степени. Но в отличие от
случаев эллипса и гиперболы парабола не симметрична
относительно оси Оу. Она не симметрична и относительно начала координат.
г) Изучим взаимное расположение прямых, проходящих через
начало координат, с параболой. Для этой цели необходимо
исследовать вопрос о существовании решений системы:
у2 = 2рх,
у = kx.
225
Подставив значение у из уравнения прямой в уравнение параболы,
получаем*
k2x2—2px = 0.
Если k = 0, то имеем одно решение: х = 0. Если k Ф 0, то два
решения: хг = 0 и х2 = —. В этом случае прямая у = kx пересека-
ет параболу (2) в двух точках Мг (0, 0) и Л42 (-^-, —). Отсюда
следует, что всякая прямая, проходящая через начало координат и не
совпадающая с осями координат, пересекается с параболой в двух
точках — в начале координат и еще в одной точке.
д) Из уравнения (2) следует, что для любой точки параболы х ]> 0,
поэтому парабола всеми своими точками расположена по одну
сторону от канонической оси Оу, а именно по ту же сторону, что и фокус F.
е) Для того чтобы иметь наглядное представление о
расположении параболы на плоскости, следует построить несколько точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению (2). При этом можно
ограничиться точками, заданными в первой четверти, так как кривая
симметрична относительно оси Ох. Парабола изображена на
рисунке 104.
3. Эксцентриситет параболы. При рассмотрении директориальных
свойств эллипса и гиперболы (теоремы [34.6] и [35.7]) мы по
существу выяснили геометрический смысл эксцентриситетов этих кривых:
эксцентриситет эллипса или гиперболы есть то постоянное число,
которому равно отношение расстояний от каждой точки кривой до
фокуса к соответствующим расстояниям до одноименной директрисы.
Из определения параболы видно, что ее точки обладают аналогичным
свойством, т. е. отношение расстояний от каждой точки параболы до
фокуса к соответствующим расстояниям до директрисы постоянно и
равно единице. Поэтому число «единица» называется эксцентриситетом
любой параболы.
Это определение вполне согласуется со следующей теоремой,
аналогичной теоремам [34.5] и [35.6].
Теорема [36.11. Любые две параболы подобны.
Доказательство. Пусть
У2 = 2рх, (3)
у'2 = 2рл/ (4)
— две параболы, заданные соответственно в канонических системах
Oij и O'Vj'. Рассмотрим движение, которое систему 07'/ переводит
в Oij. При этом парабола (4) перейдет в равную ей параболу, которая
в системе Oij задается уравнением
у2 = 2рх. (5)
226
Рассмотрим гомотетию с
центром в точке О и коэффициентом k=
= —. При этой гомотетии каждая
р
точка М (х, у) переходит в точку
М' (х\ у'),где х' =—х, у' = — у.
р Р
Найдем образ параболы (3) при
этой гомотетии. Для этой цели
определим х и у из предыдущих
соотношений и подставим в (3).
Имеем:
Отсюда после элементарных
преобразований получаем уравне-
ние кривой (5): у' = 2рх'. Таким
образом, парабола (3)
гомотетична параболе (5). Так как парабола
(5) равна параболе (4), то
параболы (3) и (4) подобны. Теорема
доказана.
4. Построение параболы, а)
Определение параболы дает
следующий способ ее вычерчивания при
помощи линейки, угольника и нити.
Пусть F — фокус, a d —
директриса параболы (рис. 105).
Возьмем угольник и нить, длина которой равна большему катету угольника.
Один конец нити прикрепим к фокусу, а другой конец — к вершине
острого угла /С, противолежащего меньшему катету. Закрепим вдоль
директрисы линейку и к ней приставим меньшим катетом угольник.
Если перемещать угольник вдоль линейки, удерживая нить
натянутой карандашом, как указано на чертеже 105, то острие карандаша
будет описывать часть параболы. В самом деле, КН=КМ + МН и КН=
= КМ + MF, поэтому МН = MF (относительно обозначений см.
рис. 105).
б) Пусть F — фокус, ad — директриса параболы. Проведем через
F прямую, перпендикулярную директрисе. Построим ряд прямых,
параллельных директрисе. Найдем две точки пересечения каждой из
прямых с окружностью, центр которой находится в фокусе параболы,
а радиус равен расстоянию от директрисы до соответствующей
прямой (рис. 106). Полученные точки, очевидно, будут принадлежать
параболе.
Рис. 105.
227
§ 37. Задачи на множества точек, приводящие к эллипсу,
гиперболе и параболе; их уравнения в полярных координатах
В этом параграфе рассмотрим ряд задач на множества точек,
которые приводят к эллипсу, гиперболе и параболе. Одна из этих задач
(директориальные свойства кривых) позволяет дать единое
определение этих кривых. Отсюда мы получаем возможность вывести в
полярной системе координат уравнение, определяющее эллипс, гиперболу
или параболу в зависимости от значения эксцентриситета, входящего
в это уравнение.
1. Задачи на множества точек, приводящие к эллипсу, гиперболе и
параболе.
Задача 1. Отрезок постоянной длины скользит своими
концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. На отрезке или
на его продолжении взята точка М; найти траекторию, которую
описывает точка М.
Решение. Данные взаимно перпендикулярные прямые
примем за координатные оси. Пусть в некоторой произвольный момент
времени концы скользящего отрезка А В имеют координаты А (ос, 0),
В (0, р). Если (х, у) — координаты произвольной точки М из
множества точек, / — длина отрезка АВ, а К — отношение, в котором
точка М делит отрезок ЛВ, то
-ТТ* >-lfi. " = <" + !* <¦>
Из этих соотношений, исключив а и Р, получаем:
P = (i+a,)*tf + ?Li^?y»
или в другом виде:
+
/2 А,2/2 (2)
(1 + Я)2 (\+Х)2
Таким образом, если точка М (ху у) принадлежит траектории, то
ее координаты удовлетворяют уравнению (2).
Докажем обратное предложение. Пусть М (х, у) — некоторая
точка плоскости, координаты которой удовлетворяют уравнению (2).
Положим,
a = x(l + X), ^ = ISL±R, (3)
где К — данное отношение, в котором точка, описывающая искомую
траекторию, делит отрезок АВ.
Из соотношений (3) следует:
ос + К • 0 0 + Я0
1+А, * 1 + Х,
228
Если обозначить через Мг и М2 точки с координатами (а, 0) и (0, Р),
то предыдущие соотношения показывают, что М делит отрезок МгМ2
в отношении К. Точки Мг и М2 лежат на осях Ох и Оу. Кроме того,
м4м2 = yX2{i+w)+yiy^l° = К? = г.
Отсюда следует, что /И принадлежит искомой траектории.
Уравнение (2) определяет эллипс, а в частном случае при К = 1 —
окружность.
Задача 2. Найти множество G центров всех окружностей,
которые касаются окружности радиуса г и проходят через точку Л,
лежащую внутри данной окружности.
Решение. Пусть О — центр данной окружности, аМ —
произвольная точка множества G (рис. 107). Если окружность1 М (МА)
касается данной окружности О (г) в точке R, то, очевидно,
г = OR = ОМ + MR = ОМ + МА. (4)
Докажем обратное предложение, т. е. докажем, что если для
некоторой точки М плоскости имеет место соотношение (4), то М
принадлежит множеству G.
Так как О А < г, то точка М не совпадает с точками О и А. В
самом деле, если бы, например, М и О совпали, то из (4) следовало бы,
что г = ОО + ОА =ОА. Таким образом, МА > 0 и ОМ < г, т. е. М
является внутренней точкой окружности.
Рассмотрим луч ОМ и обозначим через R точку пересечения этого
луча с данной окружностью. Так как ОМ + MR = г и ОМ + МА =
= г, то МА = MR. Это означает, что окружность М (MR), которая
касается окружности О (OR), проходит через точку А.
Таким образом, мы доказали, что искомое множество G совпадает
с множеством точек, удовлетворяющих условию (4). Этим условием
задается эллипс, фокусами которого являются точки А и О, а большая
ось равна г.
Задача 3. Через вершину
параболы проведены всевозможные хорды.
Составить уравнение множества середин этих
хорд.
Решение. Пусть у2 = 2рх— данная
парабола, вершина которой, очевидно,
совпадает с началом координат. Проведем
через вершину параболы произвольную
хорду у = kx и найдем точки пересечения
этой хорды с данной параболой. Для
этого необходимо решить систему: Рис. 107.
М(МА) — окружность с центром в точке М и радиусом, равным МА.
229
;2 = 2рх,
; = kx.
Имеем: xt = 0, уь = О, х2 —
= — , у2 = —. Мы
получили две точки пересечения:
О(0,0)иМ(-^, ^.Отсюда
видно, что положение точки
М зависит от &, т. е. от
направления хорды. Если N (х,у)
— середина хорды (Ж, то
—, у = ~. Исключив
соотношений k, по-
х =
Рис. 108.
ИЗ ЭТИХ
л у чаем:
у2 = рх. (5)
Таким образом, все точки искомого множества принадлежат
параболе (5). Вершина и ось этой параболы совпадают с вершиной и осью
исходной параболы, фокальный параметр равен — (рис.
108).
Докажем обратное утверждение, т. е. покажем, что каждая точка
параболы (5) является точкой искомого множества. В самом деле,
пусть N (x0i у0) — произвольная точка параболы (5), отличная от
вершины. Покажем, что она является серединой некоторой хорды
исходной параболы, проходящей через вершину О. Рассмотрим прямую
у = — х. Она проходит через начало координат и через точку N,
Уо
так как числа х0, у0 в силу соотношения (5) удовлетворяют уравнению
прямой. Прямая пересекает исходную параболу в точках О (0, 0) и
-ft .
записаны так: М (2х0, 2у0). Очевидно, точка N (х0 , у0) является
серединой отрезка ОМ. Мы доказали, что искомым множеством точек
является парабола (5).
2. Множество точек, имеющих постоянное отношение расстояний
до точки и до прямой.
Задача 4. На плоскости даны произвольная прямая I и точка
F, не лежащая на /. Найти множество G всех точек, отношение
расстояний от каждой из которых до точки F к соответствующим
расстояниям до прямой / постоянно и равно данному положительному
ЧИСЛу1 8.
2у0 ]. Но Уо = рх0 , поэтому координаты точки М могут быть
1 На первый взгляд может показаться, что эта задача нами уже решалась (см.
директориальные свойства эллипса, гиперболы и определение параболы). Однако
при рассмотрении директориальных свойств эллипса и гиперболы мы исходили из
того, что кривая задана, поэтому положение фокуса и одноименной директрисы не
230
Решение. Если е = 1, то
рассматриваемое множество точек
по определению есть парабола,
поэтому рассмотрим случай, когда
е ф 1. Проведем через точку F
прямую, перпендикулярную /, и
обозначим точку пересечения этой
прямой с прямой / через Н (рис. 109).
Возьмем на прямой FH точку О
так, чтобы OF=-
Jh
М
\
| 82-Ц
где т=
Н,
Н
Рис. 109.
= FH. При этом, если е>1, то О
возьмем на луче FH, а если е<
<Cl— на дополнительном луче (рис.
109, изображение точки О дано для случая 8< 1). Точку О примем
за начало прямоугольной декартовой системы координат, а прямую
OF — за ось абсцисс, направленную от точки О к точке F. Составим
уравнение рассматриваемого множества точек в выбранной системе
координат.
а) Пусть 8< 1. В этом случае OF =
me2
1 — 82'
ОН = OF + FH =
= + m = -, поэтому точка F имеет координаты F , 0),
1 — e2 1 — 82 \1 -— e2
а прямая / определяется уравнением х = . m . Если точка
1 —s2
M (x, у) принадлежит множеству точек, то MF = ер^^ где рл1 _ рас.
стояние от точки М до прямой /. Но
MF =
У
р«-|х-
те
2 \2
1 — е2
т
1-е2
поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению:
т
Y
1 — 82
+ У2 =8
X
1 — 82
Если мы возведем это соотношение в квадрат и приведем подобные
члены, то получим:
v ' ^у 1 - е2
являлось произвольным, а определялось самой кривой. Решение предложенной
задачи имеет целью установить, что любая прямая, любая точка, не лежащая на этой
прямой, и любое положительное число 8 могут служить директрисой, фокусом и
эксцентриситетом эллипса, гиперболы или параболы.
231
или
?1 + ^ = 1,
(&)
т*™ гЛ ™2S2 Л Ь2 "l2g2
где а* = , а сг = .
(1 — е2)2 1 — е2
Таким образом, любая точка множества принадлежит эллипсу (6)
с полуосями:
тг и тг
а =
1 — 82
, & =
/1 — 82*
Покажем, что каждая точка эллипса принадлежит рассматриваемому
множеству G. Найдем первый фокус, первую директрису и
эксцентриситет эллипса (6). Имеем:
c = Ya2 — 62= l/-^
Ш*&
тг*
(1—82)2 1 — 82 1— 82
, 0],
1 — 82 ]
поэтому совпадает с точкой F. Директриса отстоит от 0 на расстоянии
Ш282 I __ 82
(1 — е2)2
т&<
1— 82
Это означает, что директриса эллипса (6) совпадает с прямой Z.
Эксцентриситет эллипса равен
тг*
Из директориального свойства эллипса следует, что каждая точка
эллипса принадлежит искомому множеству. Мы пришли к выводу,
что эллипс (6) есть искомое множество.
б) 8 > 1. В этом случае OF =
&2 — 1
., OF — FH =
82 —1
— т =
82— 1
т
>0, поэтому OFyFH и прямая / имеет уравнение х =
. Если М (х, у) принадлежит множеству точек, то MF = грм>
82 — 1
где рм — расстояние от М до прямой I.
MF
-V{-
тг2 \2
8й
1
+ У2> Рм =
82—1
поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению:
У(-Я)'+*
\х —
82— 1
232
Отсюда так же, как и в предыдущем
случае, получаем:
(7)
б2
где
а- = ¦
62 =
тЧ2
! —1
Рис. ПО.
(Е2 _ 1)2 &
Мы показали, что каждая точка
множества G принадлежит гиперболе
(7). Точно так же, как и в
предыдущем случае, можно показать, что
каждая точка гиперболы (7)
принадлежит множеству G, т. е.
гипербола (7) есть искомое множество
точек. Резюмируя все сказанное,
приходим к теореме.
Теорема [37.1 ]. Пусть на плоскости дана произвольная
прямая I и точка F, не лежащая на ней. Множество всех точек, отношение
расстояний от каждой из которых до точки F к соответствующим
расстояниям до прямой I равно постоянному числу е Ф 1, есть эллипс,
если е < 1, и гипербола, если г > 1. Данные точка F и прямая I
являются односторонними фокусом и директрисой кривой. Полуоси
кривой равны:
а =
|е»-1 Г
6 =
Kle
-И
Здесь т — расстояние от точки F до прямой I.
3. Уравнение эллипса, параболы и гиперболы в полярных
координатах. Директориальные свойства эллипса и гиперболы,
определение параболы, а также теорема [37.1 ] позволяют дать единое
определение эллипса, параболы и гиперболы. В самом деле, все эти кривые
могут быть определены как множества всех точек М, отношение
расстояний от каждой из которых до данной точки F к соответствующим
расстояниям до данной прямой 1есть постоянная величина &. Если &<1,
то кривая является эллипсом; если 8=1 — параболой] если же е > 1 —
гиперболой.
На этом определении основан вывод уравнения кривых в полярных
координатах. Этот вывод мы и проведем. Для этого примем точку F
за полюс, а прямую, проходящую через F перпендикулярно /, — за
ось полярной системы; направление полярной оси указано на
рисунке ПО. Проведем через точку F прямую, параллельную /. На этой
прямой существуют две и только две точки Gx и G2, принадлежащие
кривой. Они расположены симметрично относительно точки F, Длину
отрезков GXF = G2F назовем фокальным параметром
кривой и обозначим через р. Если HF = т, то по определению
±i__ = _1— _= -Е- — 8 (относительно обозначений см. рис.
G1H1 FH т
ПО).
233
Отсюда получаем:
р = те. (8)
Обозначим через р и ф полярные
координаты произвольной точки М
множества. Тогда FM = eMN, где
А' — основание перпендикуляра,
опущенного из Мна прямую I. Но FM =
=р, MN = MP + PN=p cosy + m,
поэтому
р = е (р cos ф + т). (9)
Если М лежит между N и Я, то
ЛШ = iVP — РМ = m — ЛИ = /71+
+р cos ф. Мы приходим снова к
соотношению (9).
Обратно, если полярные
координаты точки М (р, ф) удовлетворяют
соотношению (9), то точка принадлежит
множеству. Если риф —
необобщенные координаты точки, то соотношение
(9) справедливо только для тех точек
множества, которые расположены по
ту же сторону от прямой /, что и F.
В самом деле, если точки М и F
расположены по разные стороны от /,
то р cos ф + т<0и соотношение (9)
не имеет смысла. Из соотношения (9)
имеем: р(1 — есоэф) = em.
Подставив сюда значение р из (8), получаем:
р(1 — е со$ф) = р. (10)
При 8 < 1 кривая представляет собой
эллипс. В этом случае при любом ф
имеем: 1 — 8 cos ф ^=0, поэтому
соотношение (10) можно записать в виде:
Если ф пробегает значения 0 < ф <
<2я, то соотношение (11) определяет
все точки эллипса (рис. 111, а).
При 8 = 1 кривая представляет со-
оой параболу и 1 — s cos ф ф 0, если
Ф Ф 0. Но, как известно, на
параболе нет точки, для которой ф = 0.
Таким образом, если ф пробегает
значения от 0 до 2л, то соотношение (И)
определяет все точки параболы (111, б).
При е > 1 соотношение (10) имеет смысл только для точек,
полярные углы которых удовлетворяют неравенству 1—есо5ф>0 или
cos ф <! — .
е
Еслиф0 — угол, для которого
cos ф0 = — , (12)
8
то предыдущее неравенство запишется в виде: cos ф0 > cos ф, откуда
Фо<ф<2я—ф0. В этом случае соотношение (11) определяет все
точки одной ветви гиперболы.
Легко показать, что ф0 = г|), где г|) — угол, который образует
каждая асимптота гиперболы с действительной осью. В самом деле, tg г|? =
= —= |Ле2 1 (см. (14), § 35), отсюда tg2\|) = s2 — 1, cos2\|) = — ,
cos гр = — , т. е. cos г|э = cos фс, if> = ф0 (см. рис. 111, в).
8
Интересно отметить, что если под ф и р понимать обобщенные
координаты точки, то при Ф0<ф<—ф0 соотношение (11)
определяет другую ветвь гиперболы. Доказательство этого утверждения
мы предоставляем читателю.
§ 38. Определение кривой второго порядка.
Главные направления
В главе III было показано, что всякая прямая на плоскости
задается при помощи линейного уравнения, если выбрана общая декартова
система координат. Была доказана также обратная теорема:
множество точек плоскости, координаты которых в некоторой общей
декартовой системе удовлетворяют линейному уравнению, есть прямая.
Следовательно, с алгебраической точки зрения прямая является
линейным образом. В настоящей главе мы изучаем более сложные,
квадратичные образы — так называемые кривые второго порядка.
1. Алгебраические кривые. Методы аналитической геометрии, как
было показано в п. 3, § 13, дают возможность определить различные
классы кривых, исходя из характера их уравнений. Алгебраические
кривые образуют один из таких классов.
Пусть / (х, у) — многочлен от двух переменных х, у, т. е. сумма
членов вида Axk у1 , где А — отличное от нуля действительное
число, a k и / не отрицательные целые числа. Сумма k + I называется
степенью члена, а наибольшее из чисел k + I — степенью многочлена.
Алгебраической кривой п-го порядка называется множество всех
точек плоскости, координаты которых в некоторой общей декартовой
системе координат удовлетворяют уравнению
f (*, у) = 0, (I)
где f (х, у) — многочлен п-ой степени. Уравнение (1) называется
алгебраическим уравнением п-ой степени.
23S
Покажем, что понятие алгебраической кривой /г-го порядка
носит геометрический характер, т. е. не зависит от выбора системы
координат. Пусть Ое1е2 — исходная, а О' е\е2 — новая системы
координат, при этом О (xQj у0), ?j{ai,Pi}, e2f{a2,^2}. Найдем уравнение
кривой (1) в новой системе координат. Для этого необходимо записать
формулы преобразования координат (см. § 11, формулы (3)) и
подставить в уравнение (1) вместо ху у их выражения через х\ у'.
f (агх' + а2у'+% М' + р2у' + у0) = 0. (2)
Так как / (ху у) — многочлен /г-ой степени, то легко показать, что
/ (a±xf + а2у' + х0, РэУ + Р2у' + Уо) также многочлен от
переменных х\ у', причем степень этого многочлена не выше, чем п. Это
утверждение непосредственно следует из того обстоятельства, что
выражение / (а{х' + а2у' + х0, P4x' + р2у' + у0) получено из
многочлена / (х, у) подстановкой вместо х> у линейных выражений от х\ у'.
Докажем, что степень этого многочлена в точности равна степени
многочлена / (л:, у). Для этого, как следует из приведенных выше
рассуждений, достаточно показать, что степень многочлена / (а±х' + а2у' + x0i
Pi*' + Р2У' + Уо ) не ниже степени многочлена / (х, у). Если
предположить обратное, то при переходе от системы Ое\е2 к системе
Ое1е2 степень многочлена должна повысится, что противоречит
предыдущему выводу. Таким образом доказана следующая теорема.
Теорема [38.1 ]. Если в некоторой общей декартовой системе
координат Ое1е2 множество точек задано алгебраическим уравнением
п-ой степени (1), то в любой другой общей декартовой системе
координат оно задается алгебраическим уравнением п-ой степени.
Приведем примеры алгебраических кривых п-го порядка:
а) хъ + ху + У — 1 = 0;
б) х2 + у2 — ху + 1 = 0;
в) хь + у6 + ху — 2 = 0;
г) х + у + 4 = 0.
Приведенные выше уравнения определяют соответственно
алгебраические кривые третьего, второго, шестого и первого порядков.
2. Кривые второго порядка. В курсе аналитической геометрии
обычно ограничиваются изучением алгебраических кривых первого
и второго порядка. Кривые первого порядка нами уже изучены в
главе III. В § 16 доказана основная теорема [16.1] о том, что всякая
алгебраическая кривая первого порядка есть прямая линия. Теперь
мы приступаем к систематическому изучению кривых второго
порядка. В соответствии с определением, данным в предыдущем пункте,
кривой второго порядка называется множество всех точек плоскости,
координаты которых в некоторой общей декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению
Ах2 + By2 + Сху + Dx + Еу + F = 0, (3)
где А, Б, С, D, E, F — действительные числа, причем хотя бы один из
коэффициентов Л, В или С не равен нулю.
236
Из теоремы [38.1] следует, что понятие кривой второго порядка
носит геометрический характер и не зависит от выбора системы
координат.
Эллипс, парабола и гипербола, рассмотренные нами выше,
являются примерами кривых второго порядка. Однако существуют и
другие кривые второго порядка. Например, кривая, определяемая
уравнением у2—ух=0, по определению является кривой второго порядка.
В § 13 (см. пример на стр. 74) было показано, что этим
уравнением задается пара пересекающихся прямых. Отсюда следует, что
понятие кривой второго порядка является достаточно общим и не
всегда совпадает с обычным представлением о кривой. В этом можно
убедиться также из следующих примеров:
а) х2 + у2 = 0; б) х2 + 2f + 1=0.
Легко видеть, что кривая, определяемая уравнением а), имеет
только одну действительную точку (0, 0), а кривая, определяемая
уравнением б), вовсе не имеет действительных точек.
Для удобства дальнейшего изложения введем следующие
обозначения для коэффициентов уравнения (3):
А = а119 В = а22, С = 2а12, D = 2а13, Е = 2а23, F = а33.
В новых обозначениях уравнение (3) принимает вид:
а1гх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13 х + 2а23у + а33 = 0. (4)
Условимся также считать, что а12 = а21, а13 = а31, а23 = а32. Члены
а1гх2, 2а12ху, а22у2 называются старшими членами уравнения (4).
Коэффициенты а11У а12, а22, а13, а23, а33 могут быть любыми
действительными числами, но а11э а12, а22 одновременно не равны нулю.
Матрица
(яц ai2\ ^ (5)
\«21 «22/
составленная из коэффициентов при старших членах, называется
матрицей уравнения кривой второго порядка. Очевидно, при переходе к
новой системе координат уравнение кривой изменяется, вместе с ним
изменяется и матрица (5).
3. Симметрические линейные преобразования. В § 21 и 22 были
изучены основные свойства линейных преобразований векторов,
которые были применены при изучении теории аффинных
преобразований. Рассмотрим некоторый специальный класс линейных
преобразований, которые ниже будут использованы для изложения некоторых
вопросов общей теории кривых второго порядка.
Линейное преобразование
х' = А (х) (6)
называется симметрическим, если для любых двух векторов л: и у
скалярные произведения хА{у) и уА (х) равны, т. е.
хА(у)=уА{х). (7)
237
Мы знаем, что любое линейное преобразование в данном базисе
задается при помощи матрицы второго порядка (см. п. 5, § 21).
Рассмотрим следующий критерий симметричности линейного
преобразования, заданного матрицей в прямоугольном декартовом базисе.
Теорема [38.2]. Пусть линейное преобразование (6) задано в
прямоугольном декартовом базисе ij при помощи матрицы (5). Для
того чтобы оно было симметрическим, необходимо и достаточно,
чтобы матрица (5) была симметрической, т. е. чтобы а12 = а21.
Доказательство. Пусть х и у — произвольные векторы.
Введем в рассмотрение их координаты в данном базисе и вычислим
выражение хА (у). Если x{xXi х2}, У {уi, у2}, то согласно (9), §21
вектор А (у) имеет координаты аг1уг + #i2yi, Я21У1 + ^ггУг» поэтому
хА (у) = хг (а11у1 + а12у2) + х2 (а21у4 + а22у2),
или
хА (у) = а11х1у1 + а12хгу2 + а21х2уг + а22х2у2. (8)
Из этой формулы следует справедливость теоремы. В самом деле, если
выражение (6) — симметрическое преобразование, то 1А (j) =jA (/).
Из (8) следует, что iA(J) = a12, jA (/) = а21, поэтому а12 = а21.
Обратно, если а12 = а21, то из (8) следует, чтол:Л(у) = уА(х) для
любых векторов л: и у.
Из доказанной теоремы следует, что существует бесчисленное
множество симметрических линейных преобразований. Теорема дает также
возможность рассматривать конкретные примеры таких
преобразований. Например, преобразования Гк, Se, Е, как следует из формул
(15) и (16) § 21, являются симметрическими.
Для дальнейшего изложения необходимо решить следующую
задачу:
Задача 1. Симметрическое линейное преобразование А в
прямоугольном декартовом базисе /, j имеет матрицу (5). Найти
матрицу этого же преобразования в прямоугольном декартовом базисе Г, у",
если
/' = с J + c2i/, f = cj + c22J. (9)
Решение. Пусть
I a\l a'l2) (10)
\ «21 Я22/
— матрица преобразования А в базисе /\у". Это означает, что
А (/') = а'ц V + 02\ /, А (/) = a'i2 i' + а&/. (И)
Так как матрица
(с" 'с1) (12)
\612 с22/
238
ортогональная, то из соотношений (9) получаем:
/ = cui' + cu /, j = с21Г + с22/'. (13)
Если
А (/') = У1/ + у2У, Л С/') = гх* + г2/, (14)
то из соотношений (9), а также (9), § 21 следует, что
У1 == ^ll^ll + Д12С21, 2Х = #n?i2 "Г #22^22»
У2 == ^21^11 "Г #22^21» ^2 == ^21^12 ~Т" #22^22*
Подставив эти соотношения в (14) и учитывая (13), мы получаем
разложения Л(/') и А (/") через /\у". Сравнивая полученное соотношение
с (11), легко определить элементы матрицы (10) через элементы
матриц (5) и (12):
an = aii^ii + 2а12с21с11 + аг2с\и (15)
й\2 = #21 = #11^1 А2 12^21 »" ^21^11^22 "Г #22^21^22» (*")
«22= ЛцС12 + 2а12с22с12 + а22с22. (17)
4. Линейное симметрическое преобразование кривой второго
порядка. Мы сейчас покажем, что с каждой кривой второго порядка
связано некоторое линейное симметрическое преобразование. Это
обстоятельство, как мы увидим ниже, существенно облегчает изложение
теории кривых второго порядка, так как позволяет использовать
полученные нами свойства симметрических линейных преобразований.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат Oij кривая
второго порядка задана уравнением (4). Составим матрицу (5) этого
уравнения и рассмотрим линейное преобразование Л, которое в
базисе ij имеет эту же матрицу. Из теоремы [21.2] следует, что,
какова бы ни была кривая (4), всегда существует преобразование Л,
удовлетворяющее указанному выше условию. Теорема [38.2 1 показывает,
что Л — симметрическое линейное преобразование. Так как элементы
матрицы (5) не могут обращаться в ноль одновременно, то Л —
ненулевое линейное преобразование.
Указанная выше схема построения линейного преобразования А
не позволяет пока утверждать, что Л не зависит от выбора системы
координат. В самом деле, выберем новую декартову систему
координат O'i'f и рассмотрим матрицу уравнения той же кривой в этой
системе:
(fc it m
Построим, далее, линейное преобразование /?, которое в базисе /', f
имеет матрицу (18). Можно ли утверждать, что В и Л совпадают?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, достаточно элементы
матрицы (18) выразить через элементы матрицы (5) и параметры,
определяющие новую систему координат (см. (1), § 11). Эта задача по существу
сводится к нахождению уравнения кривой в новой системе координат.
239
Если О' (#0, y0), a /' и f определяются из соотношений (9), то
формулы преобразования координат при переходе от системы Oij
к системе O'i'f согласно (3), § 11 имеют вид:
х = сг1х' + с12у' + х0, у = с21х' + с22у' + у0. (19)
Подставив эти соотношения в (4), получаем уравнение кривой в новой
системе координат:
Ь1гх'2 + 2Ь12х'у' + Ъ22у'2 + 2Ь13 х'+2Ь23у' + Ь33 = 0,
где коэффициенты bllt 612, b22, ... выражаются через коэффициенты
уравнения (4) и коэффициенты соотношений (19).
Предлагаем читателю самостоятельно провести выкладки и
убедиться в том, что формулы для получения коэффициентов 6П, Ь12, Ъ22
в точности совпадают с выражениями для а'п, а\2 и а\о в
соотношениях (15), (16) и (17), т. е^
Ьг1 = an, b12 ?= ai2, b22 = a22.
Отсюда следует, что в базисе /', j' преобразования А и В имеют
одну и ту же матрицу, поэтому они совпадают. Таким образом,
каждая кривая второго порядка, заданная уравнением (4), определяет на
плоскости некоторое симметрическое линейное преобразование А.
Однако заметим, что если (4) — уравнение данной кривой, то,
умножив это уравнение на число Я, отличное от нуля, мы получим снова
уравнение той же кривой в виде
tau х2 + 2Ха12ху + Ха22у2 + 2Ха13х + 21а2ву + Ха33 = 0. (4')
Линейное преобразование Л', соответствующее этому уравнению,
будет другое. В самом деле, в данном случае матрица кривой имеет
вид:
Ха1г taz12\ ^ (су)
ка21 Яа22/ '
поэтому А' = КА. Таким образом, кривая по существу определяет
линейное преобразование с точностью до числового множителя. Мы
пришли к следующей теореме.
Теорема [38.3]. Каждая кривая второго порядка определяет
с точностью до числового множителя некоторое симметрическое
линейное преобразование плоскости, матрица которого совпадает с
матрицей уравнения кривой в любой прямоугольной декартовой системе
координат1.
Это преобразование будем называть симметрическим
преобразованием данной кривой.
То обстоятельство, что заданием кривой второго порядка его
симметрическое преобразование определяется с точностью до числового
множителя, не является существенным, так как нас будут
интересовать собственные направления и ранг линейного преобразования. Мы
знаем, что преобразования А и КА при любом %, отличном от нуля,
имеют одни и те же собственные направления и один и тот же ранг.
1 Следует отметить, что в общей декартовой системе координат, матрица кривой,
вообще говоря, не совпадает с матрицей преобразования.
240
В заключение введем следующее определение: рангом кривой
второго порядка называется ранг ее симметрического линейного
преобразования. Из определения ранга преобразования следует, что ранг
кривой второго порядка, заданной уравнением (4), равен рангу
матрицы (5) этой кривой.
5. Главные направления. Характеристическое уравнение.
Собственные векторы симметрического преобразования данной кривой
второго порядка называются собственными векторами
к р и в о й, а направления этих векторов — главными
направлениями кривой.
Если кривая задана уравнением (4), то в соответствии с общей
схемой, изложенной в §22, координаты вектора собственного направления
Р {Ръ Р2} B прямоугольной декартовой системе координат
определяются из соотношений:
а11р1 + а12р2 = Xplt (20)
a2iPi + Я22Р2 = fy>2>
где А, есть корень уравнения
X2 — X (а1± + а22) + а^а22 — а12а21 = 0. (21)
Уравнение (21) называется характеристическим
уравнением м а т р и ц ы (5) кривой, а корни этого уравнения—
характеристическими числами матрицы этой кривой1.
Докажем следующую важную теорему.
Теорема [38.4]. Корни Хг и Х2 характеристического
уравнения матрицы кривой второго порядка являются действительными
числами. Если Хг Ф А,2, то кривая имеет два и только два взаимно
перпендикулярных главных направления; если же Хг = Х2, то любое
направление плоскости является главным.
Доказательство. Пусть (5) — матрица кривой второго
порядка в данном прямоугольном декартовом базисе, а (6) —
симметрическое преобразование кривой, имеющее ту же матрицу.
Так как а12 = а21, T0 характеристическое уравнение (21) в данном
случае имеет корни:
h9 = (Дц +Q22) ± У Кг—g22)2+4a212
2
Мы видим, что корни всегда действительные числа. Возможны два
случая:
а) (аи — я12)2 + 4а?2 ф 0. В этом случае ХгФ Х2 и
преобразование согласно теореме [22.2] имеет два и только два собственных
1 Уравнение (21), а также корни этого уравнения нельзя назвать
характеристическим уравнением и числами кривой второго порядка, так как если одна и та же
кривая задана не уравнением (4), а уравнением (4'), то матрица этой кривой будет иметь
вид (5'). Легко видеть, что матрицы (5) и (5') имеют разные характеристические
уравнения и характеристические числа.
241
направления. Покажем, что они взаимно перпендикулярны. Пусть р
к q — векторы этих направлений. Так как А(р) = Хгр, A (q) = X2q,
pA(q) =qA(p), то p (X2q) = q (Хгр). Ho Xt ф X2, поэтому pq = 0.
Таким образом, в данном случае кривая имеет два и только два
главных направления.
б) (#п — Л22)2 + 4а212 = 0. Отсюда следует, что а1Х = а22, а12 =
= 0. Матрица (5) в данном случае имеет вид:
(S3-
где aL1 = а22 = а Ф 0. При а = 1 преобразование (6) является
тождественным, а при а Ф 1 — преобразованием гомотетии. Для этих
преобразований, очевидно, любой ненулевой вектор плоскости
является собственным. В этом случае любое направление на плоскости
является главным направлением кривой.
Следствие. Любая кривая второго порядка имеет по
крайней мере одну пару взаимно перпендикулярных главных направлений.
Докажем следующую теорему, которая часто применяется при
решении задач.
Теорема [38.5]. Для того чтобы ненулевой вектор р{р±, р2}
был вектором главного направления кривой второго порядка, заданной
в прямоугольной декартовой системе уравнением (4), необходимо и
достаточно, чтобы координаты вектора р удовлетворяли соотношению:
(а22 — а11)р1р2 + а12 (рг2 — р22) = 0. (22)
Доказательство. Пусть вектор р {р1у р2} имеет главное
направление. Это означает, что координаты вектора р удовлетворяют
соотношениям (20), где X — корень уравнения (21). Умножив первое
из соотношений (20) на —р2, второе на рх и сложив, после элементарных
преобразований мы получаем соотношение (22).
Обратно, пусть координаты ненулевого вектора p{pi, p2)
удовлетворяют соотношению (22). Докажем, что р имеет главное направление.
Соотношение (22) можно записать следующим образом:
ДцА + а12р2 а21рх + а22р2
0.
Так как р Ф 0, то всегда существует такое число X, что имеют место
соотношения (20). А это и значит, что вектор р имеет главное
направление. Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно следует вывод:
Следствие 1°. Для того чтобы любой ненулевой вектор
плоскости был собственным вектором относительно кривой второго
порядка, заданной уравнением (4) в прямоугольной декартовой системе,
необходимо и достаточно, чтобы а1г = а22, а12 = 0.
Отсюда, принимая во внимание теорему [13.1 i, приходим к
следующему предложению.
242
Следствие 2°. Каждая кривая второго порядка, отличная от
окружности действительного, мнимого или нулевого радиуса, имеет
два и только два главных взаимно перпендикулярных направления. Для
окружности любое направление является главным.
§ 39. Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду и их классификация
Настоящий параграф посвящен одной из важнейших задач теории
кривых второго порядка — задаче классификации этих кривых. Для
решения этой задачи предварительно рассматривается вопрос об
упрощении уравнения кривой второго порядка путем преобразования
системы координат1. Другими словами, путем надлежащего выбора
новой системы координат уравнение данной кривой приводят к
простейшему, так называемому каноническому2 виду. Эта
задача имеет также самостоятельный интерес, так как она в ряде случаев
значительно облегчает изучение геометрических свойств кривой по
уравнению.
L Упрощение уравнения кривой второго порядка путем
преобразования системы координат. Пусть кривая второго порядка в
прямоугольной декартовой системе координат дана уравнением:
а1гх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33= 0. (1)
Поставим следующую задачу: путем надлежащего выбора новой
прямоугольной декартовой системы координат максимально
упростить уравнение кривой. В качестве первого шага к решению этой
задачи рассмотрим следующую теорему.
Теорема [39.1]. Для любой кривой второго порядка всегда
существует такая прямоугольная декартова система координат О/у,
в которой уравнение кривой имеет вид:
а1±х2 + a22f + 2ап х + 2а2з у + а33= 0. (2)
Здесь координатные векторы имеют главные направления.
Доказательство. Согласно следствию теоремы [38.4 ]
любая кривая имеет хотя бы одну пару взаимно перпендикулярных
главных направлений. Пусть система координат 01 j выбрана так, что
векторы / и у имеют главные направления. Согласно теореме [38.5], если
кривая задана уравнением (1), то координаты {1,0} вектора /
удовлетворяют соотношению (22), § 38. Из этого соотношения следует, что
а12 = 0, т. е. уравнение кривой имеет вид (2). Теорема доказана.
Мы видим, что путем преобразования системы координат
уравнение кривой можно привести к виду (2). Так как положение начала
координат при этом упрощении не играет никакой роли, то вторая система
1 Все вопросы в этом параграфе рассматриваются в прямоугольной декартовой
системе координат.
2 Такие уравнения кривых второго порядка рассматривались в § 34—36.
243
координат может быть получена из первой путем поворота системы
координат.
Дальнейшее упрощение уравнения (2) может быть выполнено
путем переноса начала координат. При этом возможны три случая:
а) Коэффициенты а1г и а22 не равны нулю, а остальные
произвольны. Сгруппируем члены левой части уравнения (2) относительно х и у
следующим образом:
4>/
а 23 __ Q
ИЛИ
aa(x+fJ+aa(y + ^t+(he
. U 23 __ Q
Возьмем новую прямоугольную декартову систему координат так,
чтобы формулы преобразования имели вид:
^ = х + ^ , / = у + S* .
аи а22
Согласно теореме [11.3] такая система существует. Она получена
из старой системы переносом начала координат в точку/——, — —)
\ Дц aw-
В этой системе уравнение кривой имеет вид:
(hi x'2 + «22 У'2 + «зз = О, (3)
где для сокращения записи свободный член обозначен через а!33.
б) «22 ^ 0> «2з ^ 0 или а1г = О, а1з ф 0. Эти случаи аналогичны,
так как путем преобразования х' = у, у' = х один из них можно
свести к другому. Рассмотрим первый случай. Так как коэффициенты
при старших членах одновременно не равны нулю, то аХ1 ф 0.
Учитывая, что а22 = 0, сгруппируем члены левой части уравнения (2)
относительно х, у следующим образом:
aJx^ + 2afx + ^)+2a23(y + ^-^)=0
\ аи а2п) \ 2а™ 2ana23;
или
«и(^+^)2 + 2а23(у + а') = 0.
Здесь для сокращения записи введено обозначение
2
аг _ Дэд g13
2а2з 2апа23
244
Возьмем новую систему координат так, чтобы
х' = х+^, у'=у+а'.
ап
В этой системе координат уравнение кривой принимает вид:
а^х'2 + 2а23у' = 0. (4)
в) ап = 0, а13 = 0 или а22 = 0, а23 = 0.
Эти случаи также аналогичны. Рассмотрим второй случай.
Уравнение (2) при этом принимает вид:
а1гх2 + 2а13 х + а33= 0,
где а1г ф 0. Аналогично предыдущему это выражение можно записать
в форме:
aJx2 + 2^x + ^)+a33-^=0,
или
а
Оц х + ^\ + а'=0,
где для сокращения записи введено обозначение:
а' = а — 13
и — азз —•
аи
Если взять новую систему координат так, чтобы хг = х + —,
у' = уу то в этой системе уравнение кривой принимает вид:
аи х'2 + а' = 0. (5)
Мы пришли к следующему выводу:
Теорема [39.2]. Если кривая второго порядка в
прямоугольной декартовой системе координат дана уравнением (1), то путем
надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы
координат уравнение этой кривой можно привести к одному из следующих
видов:
Ах2 + By2 + С = 0, где А Ф 0, В Ф 0; (6)
Ах2 + By = 0, где А Ф 0, В Ф 0; (7)
Ах2 + В = 0, где А Ф 0. (8)
2. Классификация кривых второго порядка. Теорема [39. 2] дает
возможность классифицировать кривые второго порядка. В
соответствии с этой теоремой мы рассматриваем три случая в зависимости от
того, к какому из уравнений (6), (7) или (8) приводится
первоначальное уравнение (1) после упрощения.
I. Классификация кривых, заданных
уравнением (6). В уравнении (6) коэффициенты А и В отличны от нуля,
а С произвольно. Рассмотрим два случая:
245
1. С Ф 0. Разделив (6) на — С, получаем:
-¦?х2~!у2 = 1- (9)
Возможны следующие случаи:
А В
а) — — >0, > 0. Если ввести обозначения
_Л__}_ 1 — L
С ~~ а2' С "" Ь2 '
то уравнение (9) принимает вид:
а2 Ь2
Мы получили каноническое уравнение эллипса.
А В А \
б) — ;> 0, < 0. Если ввести обозначения = —,
С С С а*
— —- = , то уравнение (9) принимает вид:
С Ь2
а2 Ь2
Мы получили каноническое уравнение
гиперболы.
А В
в) < 0, > 0. Этот случай легко свести к предыдуще-
с» о
му, если поменять ролями оси координат, т. е. рассмотреть
преобразование х' = у, у' = х. Таким образом, в этом случае кривая
представляет собой гиперболу.
А В А 1
г) <0, < 0. Если ввести обозначения — =—,
' С С С а2
— = —, то уравнение (9) принимает вид:
ь2
— 4- -3!1= _ 1
а2 Ь2
Эта кривая не имеет ни одной действительной точки. Она
называется мнимым эллипсом, а предыдущее уравнение
называется каноническим уравнением мнимого
эллипса.
2. С = 0. Уравнение (6) принимает вид:
Ах2 + By2 = 0. (10)
Возможны следующие случаи:
а) А > 0, В < 0. Если положить А = —, В = , то уравне-
а2 Ь2
ние (10) принимает вид:
il-^Q или (±+А(±_У\ = 0^
а2 Ь2 \а b]\a Ь]
246
Этим уравнением задается пара действительных
прямых
i + i-O, i-f-ft
а о а о
пересекающихся в начале координат.
б) А < О, В > 0. Этот случай легко свести к предыдущему, если
умножить соотношение (10) на —1. В этом случае кривая также
представляет собой пару пересекающихся действительных прямых.
в) А > 0, В > 0. Если положить А = —, В = —, то уравне-
а2 Ь2
ние (10) принимает вид:
a2 b2 \а ь)\а Ъ)
Этим уравнением задается пара комплексных прямых,
пересекающихся в действительной точке О (0, 0).
г) А < 0, ? <С 0. Этот случай сводится к предыдущему
умножением (10) на —1.
Резюмируя все вышеизложенное, мы приходим к следующему
выводу: кривая второго порядка, заданная в прямоугольной декартовой
системе координат уравнением (6), представляет собой:
А В
1. Эллипс, если С ф 0, — < 0, — <С 0.
с с
А В А
2. Гиперболу, если С Ф0, — >0, — <0 или С Ф 0, — < 0,
Су С С
?>»¦
А В
3. Мнимый эллипс, если С Ф 0, — > 0, — > 0.
С С
4. Пару действительных пересекающихся прямых, если С = 0,
Л?<0.
5. Пару комплексных прямых, пересекающихся в действительной
точке, если С = 0, А В > 0.
II. Классификация кривых, заданных
уравнением (7). Разделив уравнение (7) на А, получаем:
D D
х2 Н у = 0 или х2 — 2ру = 0, где 2р = . При р > 0 это
уравнение совпадает с уравнением (2'), §36, стр. 225, поэтому ею
определяется парабола.При /?<0 ею также определяется парабола,так как если
рассмотреть преобразование системы координат: х = х', у = — у',
то в новой системе кривая имеет уравнение: х — 21 р \ у' = 0.
Итак, кривая второго порядка, заданная уравнением (7),
представляет собой параболу.
247
III. Классификация кривых, заданных
уравнением (8), Рассмотрим два случая:
1. В Ф 0. Разделив уравнение (8) на В, получаем:
в
А Л 1
а) Если — < 0, то, положив = —, получаем следующее
уравнение:
i._I.0,M„(|_>)(i + I)=0.
Кривая представляет собой пару параллельных
прямых
а а
А А \
б) Если — > 0, то, положив — = —, получаем следующее
уравнение:
? + ,_о „(±+,)?_,)_а
Кривая представляет собой пару параллельных
невещественных прямых.
2. В = 0. Уравнение (8) принимает вид х2 = 0. Мы получили
уравнение оси Оу. В этом случае говорят, что кривая представляет собой
пару слившихся прямых. Мы пришли к выводу: кривая
второго порядка, заданная в прямоугольной декартовой системе
координат уравнением (8), представляет собой:
1. Пару вещественных параллельных прямых, если А В < 0.
2. Пару невещественных параллельных прямых, если А В > 0.
3. Пару слившихся прямых, если В = 0.
Резюмируя приведенное выше исследование, можно
сформулировать теорему.
Теорема [39.3]. Существуют девять и только девять типов
кривых второго порядка.
Эти девять типов кривых второго порядка представлены в виде
сводной таблицы на стр. 248.
Уравнения, записанные во втором столбце этой таблицы,
называются каноническими уравнениями соответствуюшдх
кривых.
3. Аффинные классы кривых второго порядка. Классификация
кривых второго порядка, рассмотренная выше, называется
аффинной. Мы показали, что каждая кривая второго порядка
принадлежит одному из девяти классов, которые называются аффинными
классами. Имеет место следующая важная теорема,
раскрывающая геометрический смысл нашей классификации.
248
Название кривей
1. Эллипс
2. Гипербола
3. Парабола
4. Мнимый эллипс
5. Пара пересекающихся
действительных прямых
6. Пара невещественных
пересекающихся прямых
7. Пара параллельных действительных
прямых
8. Пара параллельных невещественных
прямых
9. Пара слившихся прямых
Каноническое уравнение 1
х2 у2
а2 Ь2
х2 у2
о2" ~~ Ь2 =
у2 = 2рх
х2 у2
а2 Ь2
х2 у2
а2 ~" Ь'1 =
1 — у2 о
а2 + Ъ2 ~~
X2
7-'
X2
х2 = 0 '
1
Теорема [39.4 ]. При аффинном преобразовании любая кривая
второго порядка переходит в кривую второго порядка. При этом любые
две кривые, принадлежащие одному и тому же классу, аффинно
эквивалентны1, а кривые, принадлежащие разным классам, аффинно не
эквивалентны.
Доказательство. Первая часть утверждения теоремы
непосредственно следует из теоремы [25.5]. В самом деле, пусть кривая
второго порядка дана в системе Ое±ег уравнением (1). Если O'ele^ —
образ системы Oexe2 при данном аффинном преобразовании, то
согласно теореме [25.5 ] образ данной кривой в системе 0'е\е2 имеет то же
уравнение (1), т. е. является кривой второго порядка.
Теперь покажем^ что любые кривые, принадлежащие одному и
тому же классу, аффинно эквивалентны, т.е. всегда существует такое
аффинное преобразование, которое одну из них переводит в другую.
Из теоремы [34.21 следует, что любые две кривые, принадлежащие
первому классу (эллипсы), аффинно эквивалентны. Из теорем [35.4] и
[36.1] мы приходим к аналогичному выводу относительно кривых
второго и третьего классов.
По аналогии с доказательством теоремы [34.2] можно показать,
что любые два мнимых эллипса аффинно эквивалентны. Из теоремы
1 См. § 31, стр. 185.
249
[25.6] следует, что любые две кривые, принадлежащие к пятому
классу, так же аффинно эквивалентны. В самом деле, пусть a, b и
а , Ь' — две пары пересекающихся прямых. Обозначим соответственно
через С и С точки пересечений этих пар и возьмем точки Л, В, Л', В'
так, чтобы они не совпадали с точками С и С и лежали
соответственно на прямых а, Ь, а , Ь'. Очевидно, каждая из троек точек Л, В, С и
Л', В', С не коллинеарна.
Согласно теореме [25.6] существует аффинное преобразование Ф,
удовлетворяющее условиям: Л' = Ф(А), В' = Ф (В), С = Ф(С).
При этом преобразовании прямые а и 6 переходят соответственно в
прямые а', 6', т. е. пары а, & и а', Ь' аффинно эквивалентны. Точно
так же рассматриваются остальные четыре случая.
Теперь покажем, что любые две кривые, принадлежащие разным
классам, аффинно не эквивалентны. Строго говоря, для этого надо
рассмотреть Сд — 36 случаев. Однако нет необходимости
рассматривать все эти варианты, так как в ряде случаев аффинная
неэквивалентность кривых, принадлежащих разным классам, совершенно
очевидна. В самом деле, например, кривые, принадлежащие к пятому классу
(пара пересекающихся прямых), не могут быть эквивалентны кривым,
принадлежащим седьмому классу, так как при аффинном
преобразовании пересекающиеся прямые не могут перейти в параллельные
прямые. Кривые пятого класса не эквивалентны ни одной кривой
первых трех классов, так как любое аффинное преобразование прямые
переводит в прямые. Очевидно также, что, например, мнимый эллипс
(четвертый класс) неэквивалентен ни одной из кривых, принадлежащих
первым трем классам, так как он не имеет ни одной действительной
точки, а эллипс, парабола и гипербола имеют таковые.
Из теоремы [25.5] следует, что ранг кривой второго порядка не
меняется при аффинных преобразованиях. Отсюда, в свою очередь,
вытекает, что парабола и эллипс или парабола и гипербола аффинно
не эквивалентны. По аналогии могут быть рассмотрены все остальные
случаи. Несколько труднее показать, что кривые первого и второго
классов аффинно не эквивалентны. Рассмотрим этот случай более
подробно.
Доказательство проведем, рассуждая от противного. Пусть
существует эллипс 3, который при некотором аффинном преобразовании
переходит в гиперболу Г. При этом, очевидно, центр С эллипса
преобразуется в центр С гиперболы, а пучок прямых с центром в точке
С — в пучок прямых с центром в точке С. Так как каждая прямая
первого пучка пересекает эллипс в двух и только в двух точках, то
любая прямая пучка С должна пересекать гиперболу так же в двух
точках, что противоречиво.
Из теоремы [39.3], строго говоря, не следует, что одна и та же
кривая второго порядка не может принадлежать различным классам.
Но так как каждая кривая аффинно эквивалентна самой себе, то как
следствие из только что доказанной теоремы [39.4 ] и теоремы [39.3 ]
получаем:
250
Следствие. Каждая кривая второго порядка принадлежит
одному и только одному из девяти аффинных классов кривых второго
порядка, перечисленных в таблице на стр. 249.
4. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому
виду. В пунктах 1 и 2 по существу был показан способ приведения
уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Идея упрощения
уравнения кривой заключается в том, что сначала путем поворота
системы координат приводят уравнение к виду (2), не содержащему
члена с произведением переменных, далее переносом начала
координат добиваются дальнейшего упрощения (см. формулы (6), (7), (8)).
Выясним, как это практически осуществить. Пусть 01 j — система
координат, в которой кривая имеет уравнение (1). Мы предположим,
что в этом уравнении а12 Ф 0. Не меняя начала координат, возьмем
новую систему координат Oi'f так, чтобы векторы /', f имели
главные направления. Если 2$. (/, /') = а1э ^ (/, /') = а2, то согласно
следствию 1° теоремы [4.5] имеем:
/' = cos a± i + sin alt/, j' = cos a2i + sin a2j. (11)
Если А — линейное симметрическое преобразование кривой,
заданной уравнением (1), то в базисе /, j преобразование А имеет
матрицу (5), § 38, а в базисе /', f — матрицу
(о J'
где st и 52 — корни характеристического уравнения (21), § 38,
соответствующие векторам /' и у".
Отсюда следует, что в системе координат Oi j' кривая имеет
уравнение
sj* + s2y'2 + 2al3*' + 2я23у' + #аз = 0. (12)
Для определения а[з, а'2з запишем формулы преобразования
координат точек, воспользовавшись соотношениями (11) настоящего
параграфа и (8), § 11:
х = cos axx' + cos a2y', у = sin axx' + sin a2y'.
Подставив эти значения в уравнение (1), после соответствующих
преобразований получим (12). При этом легко видеть, что
#13 = #13 cos oct + a23 sin а1э]
#23 = #1з cos а2 + a2s sm a2>| (13)
#зз = #зз- J
Для определения координат векторов i'{cosal9 sinc^} и
jv{cos cc2,sin a2} воспользуемся первым из соотношений (5), § 22. Имеем:
(#и — sx) cos ах + al2 sin аг = 0,
(#ii — s2) cos a 2 + al2 sin а2 = 0.
251
Так как а12 Ф 0, то из этих соотношений следует, что cos ах ф 0 и
cosa2 Ф О, поэтому, разделив соответственно на coso^ и cosa2,
получаем формулы для вычисления угловых коэффициентов главных
направлений:
k = sinoCl = si —fln ? _ sina2 _ s2 —gn ,щ
coso^ a12 ' cosa2 al2
Дальнейшее упрощение уравнения (12) проводится путем
переноса начала координат так, как показано выше в п. 1, § 39. Заметим, что
если в уравнении (1) а13 = #2з = 0, то из (13) следует, что а\з = #23 = О,
Язз = а33 и уравнение (12) принимает вид:
sLx'2 + s2y'2 + а33 = 0. (15)
В заключение рассмотрим конкретные примеры упрощения
уравнений кривых второго порядка.
5. Примеры упрощения уравнений кривой второго порядка.
Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка 5х2 +
+ 8ху + 5у2 — 9 = 0 к каноническому виду.
Решение, а) Составим характеристическое уравнение данной
кривой и найдем его корни:
s2 — 10s + 9 = 0, sx = 1, s2 = 9.
б) Относительно новой системы координат данная кривая
определяется уравнением (15), которое в данном случае имеет вид:
х'г + д/2 —9 = 0.
Отсюда, разделив на 9, получаем каноническое уравнение эллипса:
,2 ,2
в) Для того чтобы написать формулы преобразования системы
координат, найдем угловые коэффициенты новых координатных осей
по формулам (14):
^=— = -1, k2 = — = 1.
1 4 2 4
Таким образом,
kx = tgax = —1, ах = —45°,
k2 = tga2 = 1, a2 = 45°.
Формулы преобразования будут иметь вид:
г) На рисунке 112 изображен данный эллипс.
Пример 2. Привести уравнение 2х2 — 8х + 4у + 9 = 0 к
каноническому виду.
?52
Решение, а) Сгруппируем члены
левой части данного уравнения
относительно х и у следующим образом:
2 (х2 — Ах + 4) + 4 (у + -М = О
Рис. 112.
или
2 (х — 2)2 + 4 (у + -\ = 0.
б) Введем обозначения: х' = х — 2,
у' = у + —. Отсюда получаем
формулы переноса начала координат в точку
°'(*¦-!>
х = х' + 2, у = у' .
в) Уравнение данной кривой относительно новой системы координат
имеет вид
2л/2 + 4у' = 0 или *'2 = — 2у\
Если положить х" = х\ у" = —у', то это уравнение принимает
вид:
х"г = 2у".
Получили каноническое уравнение параболы.
г) Для того чтобы начертить кривую, построим новую систему
координат, затем в этой системе построим параболу по уравнению
х"" = 2у" относительно новых канонических осей. На рисунке 113
дано изображение параболы.
Пример 3. Привести уравнение кривой 2ху + 4х + 2у + 5 =
= 0 к каноническому виду.
Решение, а) Составим характеристическое уравнение и
найдем его корни:
s2 — 1 =0, sx = 1, s2 = — 1.
б) Найдем единичные векторы
новой системы координат,
соответствующие полученным
характеристическим числам:
к
h —ar
= 1, *, = -!.
Отсюда будем иметь:
2 I'M 2 ' 2
лч-
Рис. 113.
в) Найдем коэффициенты ai3,
#2з> #зз, воспользовавшись формула-
253
i/*2 У2
ми (13). В данном случае cosocj = -t-j-, sina1 = ^-у- *
« ~—, 51па2 = -^—, поэтому
3/2" ]/"2" ' к
#и == —2~~, #23 = 2—» аз3 = °
Уравнение данной кривой в новой системе координат Ол:/у/ будет иметь
вид (12). Подставив сюда найденные значения коэффициентов,
получаем следующее уравнение:
х'2 — у'* + 3 Y2x' — ]/2~ /+5 = 0.
г) Выполним преобразование переноса начала координат:
(,¦ + »•*•-? + $-(/¦ + *>'-? + т)+»-Т + 7-*
Если ввести обозначения я = х + 3^3, у = у' + ^2 , то в новой си-
2 _ _ 2
стеме координат с началом в точке СП i±A f "ljL j уравнение кривой
примет вид: х2 — у2 + 1 = 0. Положив х* = у и у* = х, получим
каноническое уравнение равнобочной гиперболы х* — у* =1.
§ 40. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
Асимптотические направления и асимптоты
1. Определение точек пересечения кривой второго порядка с
прямой. Пусть в общей декартовой системе координат Оеге2 даны кривая
второго порядка
а1гх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0 (1)
и прямая своими параметрическими уравнениями
х = pj + ?lf (2)
У = Р4 + ?г>
где р {р1у р2) — направляющий вектор прямой, а М0 (?lf ?2) — на*
чальная точка (рис. 114). Найдем точки пересечения прямой (2) и
кривой (1). Для решения этой задачи подставим значения я, у из
соотношений (2) в уравнение (1) и определим корни полученного
уравнения относительно t. Тем самым мы определим параметры точек
пересечений прямой (2) с кривой (1). Имеем:
«и (Pit + бх)2 + 2a12 (Plt + Ъг) (p2t + g2) + а22 (p2t + U? +
+ 2а13 (pxt + 1г) + 2а23 (p2t + 12) + а^ = 0.
254
После раскрытия скобок и группи
ровки членов получаем:
Pt2 + 2Qt + R = 0, (3)
где для сокращения записи введены
обозначения:
Р = aiipipi + 2ai2ptp2 +a22P2P2=
2
= 2 aafipap (4)
и, (5=1 ' м
Q = «liPlil + ^12^1^2 + ^iflsSi +
Я22РЛ2 + ai3Pl +^23^2 = ^1(^11?! +
+ ai2l2 + а13) +P2 (a2iii+^22i2+
2 2
+a23)= 2 aap/?aip + 2aa3pa,(5)
a, 0=1 a=l
R = <*нЪЛ\ + 2ai2^2 + ^22^2 + 2al3?l + 2^23?2 + #3* =
2 2
= 2 aa36a6p +22 aa3?a + азз- (6)
a, 3=1 a=l
Определив из уравнения (3) значения параметров точек
пересечений и подставив в (2), получаем координаты точек пересечений.
Заметим, что каждому корню уравнения (3) соответствует точка
пересечения, причем различным корням соответствуют различные
точки. Существенно заметить, что действительным корням уравнения
(3) соответствуют действительные точки, а невещественным корням —
невещественные. Таким образом, для определения количества и
характера точек пересечений необходимо исследовать уравнение (3).
2. Исследование уравнения (3). Прежде чем перейти к
исследованию корней квадратного уравнения (3), сделаем несколько замечаний
относительно коэффициентов этого уравнения. Прежде всего заметим,
что коэффициент Р зависит от направления прямой (2) и не зависит
от выбора начальной точки. Отсюда следует, что если для всех
параллельных прямых взять один и тот же направляющий вектор, то
коэффициент Р будет иметь одно и то же значение. Далее, если для данной
прямой Р Ф О, то для всех прямых, параллельных этой прямой,
РФО.
Из соотношения (6) следует, что R есть значение левой части
уравнения (1), куда вместо х и у подставлены координаты начальной точки
прямой. R не зависит от направления прямой, а зависит только от
положения начальной точки. Если начальная точка лежит на кривой,
то R = 0, и наоборот. Отсюда, в частности, следует, что если кривая
имеет по крайней мере одну действительную точку, то, подходящим
образом выбрав систему координат, всегда можно добиться того,
чтобы R = 0.
Рис. 114.
255
Корни уравнения (3) существенно зависят от значений его
коэффициентов. Рассмотрим различные возможные случаи:
1. Р ф 0. Уравнение (3) имеет два корня:
4,2 — р V';
Возможны следующие случаи:
а) Q2 — PR > 0; уравнение (3) имеет два различных
действительных корня, поэтому прямая (2) пересекается с кривой (1) в двух
действительных различных точках (рис. 114, прямая lt).
б) Q2 — PR = 0; уравнение (3) имеет два совпадающих корня,
поэтому прямая (2) пересекается с кривой (1) в двух слившихся
точках. В этом случае мы будем говорить, что прямая (2) касается
данной кривой (рис. 114, прямая 12).
в) Q2 — PR < 0. Уравнение (3) имеет два комплексно
сопряженных корня. Обозначив их через tx = а + ф, t2 = a — фи подставив
в (2), получаем:
*i = (Р& + Si) + *PiP. Уг = {Р& + U) + ip&\
*2 = (Pia + 1г) — ip$, у2 = (р2а + 12) — ip2§.
Таким образом, прямая пересекается с кривой в двух комплексно-
сопряженных точках Мг (х±, ух), М2 (х2, у2), (рис. 114, прямая Z8).
2. Р = 0. В этом случае уравнение (3) имеет вид: 2Q? + R = 0.
При этом придется рассмотреть три случая:
а) Q ф 0, Я любое. Уравнение (3) имеет один-единственный ко-
рень: ? = , поэтому прямая (2) пересекает кривую (1) в одной
2x1
действительной точке (рис. 115, прямая /, или рис. 116, прямая /)•
б) Q = 0, R Ф 0. Уравнение (3) не имеет ни одного корня (ни
вещественного, ни невещественного), поэтому прямая не пересекает
кривую ни в одной точке (рис. 117, прямая т).
в) Q = 0, R = 0. Любое значение t удовлетворяет уравнению (3),
поэтому прямая всеми своими точками принадлежит кривой, т. е.
в этом случае кривая распадается на две прямые (рис. 117, прямые п
и я').
Прямые, направляющие векторы которых удовлетворяют условию
Р = 0, называются прямыми асимптотического
направления по отношению к данной кривой, а направляющие
векторы этих прямых — векторами
асимптотического направления или асимптотическими
векторами.
На рисунках 115, 116, 117 векторы р и q имеют асимптотические
направления.
Очевидно, понятие прямой асимптотического направления не
зависит от выбора общей декартовой системы координат, так как оно
имеет геометрический смысл. В этом можно убедиться также и из сле-
256
дующих соображений. Пусть
кривая задана уравнением (1) в
прямоугольной декартовой системе
координат. Сравнивая
соотношения (8), § 38 и (4) настоящего
параграфа, мы видим, что Р=рА (р),
где А — линейное преобразование
данной кривой. Поэтому условие
того, что вектор р имеет
асимптотическое направление,
запишется так:
рА (р) = О,
Рис. 115.
Рис. па
т. е. вектор р ортогонален
вектору А (/?).
Резюмируя проведенное
исследование, приходим к следующей
теореме.
Теорема [40.1 ]. Если
прямая (2) не имеет
асимптотического направления по отношению к
кривой второго порядка (1), то она
пересекается с ней в двух точках:
а) действительных и различных,
если Q2 — PR> 0;
б) комплексно-сопряженных,
если Q2 — PR<0;
в) совпадающих, если Q2 — PR
= 0.
Если прямая имеет
асимптотическое направление по отношению к
кривой второго порядка, то она
либо пересекается с ней в одной
точке (Р = 0, Q ф 0), либо не имеет
с ней ни одной общей точки (Р=0,
Q =0, R Ф 0), либо принадлежит
кривой (Р = Q = R = 0).
3. Асимптотические
направления. Выше было отмечено, что
вектор р {/?!, р2} называется
вектором асимптотического направления
относительно кривой второго порядка (1), если его координаты
удовлетворяют условию Р = 0 или в развернутом виде:
Рис. 117.
anPiPi + 2ai2Pip2 + a22p2p2 = 0.
(8)
Геометрически это означает, что всякая прямая, параллельная
вектору р, либо пересекает кривую в одной точке, либо не пересекает
257
ее, либо всеми точками принадлежит кривой. Отсюда вытекает, что
условие (8) не зависит от выбора общей декартовой системы
координат. Исследуем соотношение (8) и выясним, сколько асимптотических
направлений имеют те или иные кривые второго порядка.
Рассмотрим следующие два случая:
1) #22 Ф 0. Так как нас интересуют ненулевые решения
уравнения (8), то в данном случае рг Ф 0. Разделив соотношение (8) на р\ и
положив — = &, получаем:
Pi
a22k2 + 2a12k + аХ1 = 0. (9)
Здесь k — угловой коэффициент искомых векторов асимптотического
направления. Решив это уравнение относительно &, получаем:
k== -a12±V'
где
/,=
#11 #12
#21 #22
= апа22 — а\2. tlO)
Отсюда следует:
а) если /2 > 0, то кривая не имеет ни одного действительного
асимптотического направления;
б) если /2 <С 0, то кривая имеет два различных асимптотических
направления;
в) если /2 = 0, то кривая имеет одно асимптотическое направление;
2) #22 = 0. В этом случае уравнение (8) принимает вид:
аг1рх + 2а12ргр2 = 0
или
Pi (#nPi + 2a12pa) = 0, (80
г 2 2
1 2 ~ #11#22 #12 = #12-
Отсюда следует, что в этом случае /2 < 0. Если /2 < 0, то а12 Ф 0 л
уравнению (8') удовлетворяют координаты векторов двух различных
направлений:
a) pi = 0, р2 любое; б) k = -^- = — -^-.
Рг 2^12
Первое из них, очевидно, совпадает с направлением оси Оу. Если
12 = 0, то а12 = 0, и уравнение (8') определяет только одно
направление рх = 0, р2 — любое, которое совпадает с направлением оси Оу.
Таким образом, случаи а12 Ф 0 и а22 = 0 несущественно отличаются
друг от друга и мы приходим к следующей теореме.
Теорема [40.2]. Пусть дана кривая второго порядка (1) и
U
#11 #12
#21 #22
258
Если /2>0, то кривая не имеет действительных
асимптотических направлений (рис. 114); если /2= 0, то она имеет одно
асимптотическое направление (рис. 117); если же 12 <С О — два различных
асимптотических направления (рис. 115 и 116).
Вычислим /2 для всех девяти типов кривых второго порядка. Знак
/2, как следует из предыдущей теоремы, имеет геометрический смысл,
поэтому не зависит от выбора системы координат. В самом деле,
если, например, в какой-то системе Ое^ег для данной кривой /2 > О,
а в другой системе 0'в\ е2 имеем /2 < 0, то это означает, что в
первой системе кривая не имеет действительных асимптотических
направлений, а во второй системе имеет два направления. Этот вывод,
очевидно, противоречив, так как наличие асимптотических направлений
не зависит от выбора системы координат. Учитывая это обстоятельство
для вычисления /2, мы воспользуемся каноническими уравнениями
кривых, которые приведены в таблице на стр. 249. Непосредственный
подсчет показывает, что для эллипса, мнимого эллипса, пары
невещественных пересекающихся прямых /2 = > 0. Для гиперболы, пары
а2Ь2
пересекающихся действительных прямых /2 = <0, а для
а2Ь2
остальных кривых /2 = 0.
Таким образом, мы пришли к следующей теореме.
Теорема [40.3]. Действительный и мнимый эллипсы, пара
невещественных пересекающихся прямых не имеют действительных
асимптотических направлений. Гипербола и пара пересекающихся
действительных прямых имеют два асимптотических направления,
а парабола, пара параллельных действительных или невещественных
прямых и пара слившихся прямых имеют одно асимптотическое
направление (см. рис. 114—117).
Введем следующее определение. Если /2 > 0, то кривую будем
называть кривой эллиптического типа; если /2<0 —
гиперболического типа; если /2 = 0 — параболического типа.
4. Асимптоты. Асимптотой кривой второго порядка называется
всякая прямая, которая либо вовсе не пересекается с кривой (не имеет
с ней ни вещественных, ни невещественных точек), либо всеми точками
принадлежит кривой1.
Если кривая задана уравнением (1), то прямая (2) будет
асимптотой тогда и только тогда, когда Р = Q = 0, a R произвольное. Из
этого определения следует, что всякая асимптота имеет асимптотическое
направление, поэтому асимптоты могут существовать только для
кривых гиперболического и параболического типа. Возникает вопрос:
пусть вектор р {рг, р2} имеет асимптотическое направление
относительно кривой (1); существуют ли асимптоты, параллельные вектору
/?? На этот вопрос отвечает следующее предложение.
1 Это определение, вообще говоря, не совпадает с определением асимптот,
которое дается в курсе математического анализа. Оно заимствовано у А. М. Лопшица
[14].
259
Теорема [40.4 1. Если р {р^р^} является вектором
асимптотического направления относительно кривой (1), то для того, чтобы
точка М (х, у) лежала на некоторой асимптоте, имеющей направление
р, необходимо и достаточно, чтобы координаты точки М
удовлетворяли уравнению:
Pi (ацХ + а12у + а13) + р2 (а21х + а22у + а23) = 0. (11)
Доказательство. Пусть точка М (х, у) лежит на
асимптоте I, имеющей направление/; {р1У р2}. Запишем параметрическое
задание прямой /, приняв точку М за начальную:
X = Plt + x, Y = p2t + у. (12)
Уравнение (3) для прямой I запишется так:
РР + 2Qt + R = 0, (13)
где в выражении Q и R вместо ?i и ?а подставлены х и у (см.
соотношения (5) и (6)). Так как / является асимптотой, то Р = Q = 0. Но
условие Q = 0 в данном случае имеет вид (11).
Обратно, пусть координаты точки М (х, у) удовлетворяют
уравнению (11). Проведем через точку М прямую /, параллельную
вектору р, и докажем, что эта прямая является асимптотой. Если (12) есть
параметрическое задание прямой /, а (13) — условие, из которого
определяются параметры точек пересечений этой прямой с кривой (1),
то в силу (11) Q = 0 и в силу того, что р {/?!, р2) имеет
асимптотическое направление, Р = 0. Таким образом, / является асимптотой.
Теорема доказана.
Исследуем уравнение (11) для различных типов кривых.
1. /2 > 0. В этом случае кривая не имеет асимптотических
направлений и, следовательно, асимптот.
2. /2 <С 0. Кривая имеет два асимптотических направления. Пусть
Р (Pi> Р2} — одно из них- Согласно теореме [40.4] координаты всех
точек плоскости, лежащих на асимптотах направления /?,
удовлетворяют условию (11). Запишем это уравнение в виде:
(%iPi + ^12?2) х + (а21р1 + а22р2)у + а31р1 + а32р2 = 0. (1Г)
В этом уравнении коэффициенты при х и у одновременно не равны
нулю. В самом деле, если предположить, что alxpx + а12р2 = 0 и
a2iPi + а22р2 = 0, то отсюда следует, что
/, =
а.
12
221 ^22
= 0,
что противоречиво. Таким образом, уравнением (1Г) задается одна
прямая, поэтому кривая имеет одну и только одну асимптоту
направления р, которая задается уравнением (1Г). Очевидно, другому
вектору q асимптотического направления соответствует еще одна
асимптота. В этом случае кривая имеет две и только две асимптоты.
260
3. /2 = 0. В этом случае, как следует из исследования
асимптотических направлений, рг и р2 пропорциональны числам а22, —а12
(см. п. 3).
Не нарушая общности, можно положить: рх = а22, Ръ = — #12-
Подставив эти значения в (1Г)> получаем: 12х+0у + (аз1а22—аз2а12) =
= 0 или 0 • х + Оу + L = 0, где L = а31а22 — й32а12. Если L ф О,
то кривая не имеет асимптот, параллельных вектору р\ если же L = 0,
то все прямые, параллельные вектору р, являются асимптотами.
Других асимптот кривая не имеет. Отсюда видно, что условия L ф 0 или
L = 0 имеют геометрический смысл, поэтому они не зависят от
выбора системы координат.
Вычислим L для всех кривых параболического типа, заданных
каноническими уравнениями.
Для параболы у2 — 2рх = 0 имеем: L = — р • 1= — р ф 0.
Для пары параллельных прямых (действительных или
комплексных) или для слившихся прямых х2 Hz а2 = 0, поэтому L = 0 — 0 = 0.
Мы пришли к выводу, что парабола не имеет асимптот, а для пары
параллельных или слившихся прямых любая прямая, параллельная им,
является асимптотой.
Резюмируя все сказанное, мы приходим к следующей теореме:
Теорема [40.5 ]. Кривые эллиптического типа 12> 0 и
парабола не имеют асимптот. Каждая кривая гиперболического типа
(/2<<0) имеет две асимптоты, соответствующие двум различным
асимптотическим направлениям. Эти асимптоты задаются
уравнением (11) (рис. 115, прямые т и т! и рис. 116, прямые п и п). Кривые
параболического типа, отличные от параболы и являющиеся парой
слившихся или параллельных прямых, имеют пучок параллельных
асимптот, включающий данные прямые (рис. 117).
§ 41. Диаметры, центр и касательные кривой второго порядка
1. Диаметры кривой второго порядка. Пусть р [рь р2) —вектор
неасимптотического направления относительно кривой второго
порядка
а1Ха2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а2зу + а33 = 0. (1)
Из теоремы [40.1 ] следует, что все прямые, параллельные р,
пересекают кривую в двух точках — действительных и различных,
совпадающих или комплексно-сопряженных. В последнем случае, как
следует из теоремы [11.4], середина отрезка, соединяющего
комплексно-сопряженные точки, будет действительной точкой. Таким
образом, середина любой хорды неасимптотического направления есть
действительная точка.
Рассмотрим множество середин всех хорд, параллельных вектору р
(рис. 118). Обозначим через М (х, у) координаты произвольной точки
искомого множества. Напишем параметрическое задание прямой, про-
261
ходящей через М (х, у) и
параллельной вектору р{р1У р2}у
приняв точку М за начальную точку:
X = Plt + *, Y = p2t + у. (2)
Пусть Xlf Yt и Х2, 72 -
координаты точек пересечения
данной прямой с кривой (1), a tt
и t2 — параметры этих точек.
Тогда
*i = pJi + х,
Уг = Рък + У,
Х2 = P\t2 ~Ь я,
^2 = ^2 + У'
Так как М (х, у) — середина от*
резка (Х^), (Х272), то Хг +
+ Х2 = 2*, ^1+^2 = 2у, поэтому р! (*! + *2)=0 и р2 (tx + t2)=0.
Но рх и р2 одновременно не равны нулю, поэтому
h + t2 = 0. (3)
С другой стороны, tx и t2 являются корнями уравнения (3), § 40, где
Р = ЯцР? + 2а12ргр2 + a22pt Ф 0.
Сумма корней квадратного уравнения равна нулю в том и только
в том случае, когда коэффициент при неизвестном в первой степени
равен нулю. В данном случае в силу формулы (5), § 40 имеем:
Q = Pi fan* + Д12У + а13) + Рг (Р>2\Х + Я22У + ^23) = 0. (4)
Мы показали, что если (х, у) — координаты середины
произвольной хорды, параллельной вектору {/?1э р2}, то они удовлетворяют
уравнению (4).
Обратно, пусть координаты точки М (х, у) удовлетворяют
уравнению (4). Покажем, что М принадлежит рассматриваемому множеству
точек. Проведем через М прямую, параллельную вектору р{ри р2}.
Принимая М за начальную точку, напишем параметрическое задание
прямой в виде (2). Если (Хи Кг), (Х2, Y2), t и t2 соответственно
координаты и параметры точек пересечений прямой с кривой, то
в силу (4) получаем:
/»» + /?= о, tx = )/—f> к = - У~т] ^ + ^ = °>
поэтому
Хг + Х2 = pxtx + х + pxt2 + х = 2х,
У\ + Y2 = p2tx + у + p2t2 + у = 2y.
Отсюда следует, что М есть середина хорды, проходящей через эту
точку и параллельной вектору р. Таким образом, соотношение (4) есть
уравнение искомого множества точек.
Рис. 118.
262
Для того чтобы убедиться в том, что уравнение (4) является
уравнением прямой, необходимо показать, что в этом уравнении
коэффициенты при а; и у одновременно не равны нулю. В самом деле, если
предположить, что а1Хрх + а21р2 = 0 и а12рг + а22р2 -¦= 0, то,
умножив первое соотношение на рг, а второе на р2 и сложив, получаем
а1гр2[ + 2а12ргр2 + а22р\ = 0, т. е. вектор р {рх, p2} будет иметь
асимптотическое направление, что противоречит условию выбора
вектора р. Мы доказали теорему.
Теорема [41.1]. Множество середин всех хорд кривой (1),
параллельных вектору р{рц р2) неасимптотического направления, есть
прямая, заданная уравнением (4). Эта прямая называется
диаметром кривой, соответствующим (или сопряженным)
вектору р.
Таким образом, каждому вектору р неасимптотического
направления соответствует свой диаметр. Этот диаметр будем обозначать
через dp.
Уравнение диаметра (4) по виду тождественно с уравнением
асимптот (11), § 40. Однако следует помнить, что в уравнении (4) вектор
Р{ри Рч) не имеет асимптотического направления в то время как в
уравнении (11), § 40, р{р1? р2) является вектором асимптотического
направления.
2. Центр кривой второго порядка. Точка С плоскости называется
центром кривой второго порядка, если кривая
симметрична относительно С. Это означает, что для всякой точки /И,
принадлежащей кривой, точка М', симметричная М относительно С,
также принадлежит кривой. Другими словами, центром кривой
называется центр ее симметрии.
Выясним, каждая ли кривая второго порядка имеет центр, сколько
может существовать центров и как определить их координаты? На
все эти вопросы по существу отвечает следующая основная теорема.
Теорема [41.2]. Для того чтобы точка С (х0, у0) была центром
кривой второго порядка (1), необходимо и достаточно, чтобы
координаты точки С (х0, у0) удовлетворяли условиям:
ап*о + Я12Уо + а13 = 0, (5)
#21*0 + а22у0 + а2з = 0.
Доказательство. Пусть С (xQ, у0) — центр кривой (1).
Возьмем два неколлинеарных вектора р{рг, р2}, q{qlt q2}> не
имеющих асимптотических направлений относительно данной кривой.
Если через С (х0, у0) провести две прямые, параллельные векторам
р и q, то каждая из этих прямых пересекается с кривой
соответственно в двух точках М19 М2 и Nly N2. Очевидно, точка С как центр кривой
является серединой отрезков МгМ2 и Л^Л^2. Отсюда следует, что С
принадлежит диаметрам, соответствующим векторам р и q, и тогда
координаты точки С удовлетворяют их уравнениям:
Pi (011*0 + %2Уо + Я1з) + Р2 (021*0 "Г 022>'О + 023) = 0i
<?1 (011*0 + 012УО + 013) + <?2 (021*0 + 022^0 + 023) = °-
263
Так как векторы р и q не коллинеарны, то к7^2 U^O, поэтому
выражения в скобках равны нулю, т. е. выполняются условия (5).
Обратно, пусть координаты точки С (х0, у0) удовлетворяют
соотношениям (5). Возьмем произвольную (вещественную или
невещественную!) точку М1 (х1у уг) кривой (1) и докажем, что точка М2 (х2, у2),
симметричная точке М± относительно С, также лежит на кривой. В
самом деле, хг + х2 = 2х0, у1 + у2 = 2у0 , отсюда х2 = 2х0 — хи у2 =
= 2у0 — у1% Подставив эти значения в уравнение (1), получим:
«п (2х0 — *i) (2*о — *i) + 2«i2 (2х0 — хг) (2у0 — ух) + а22 (2у0 —
— Уг) (2у0 — Ух) + 2а13 (2%0 — *х) + 2а 2з (2у0 — у J + а33 =
= 4а:0 \alxxQ + а12у0 + а13) + 4у0 (а21х0+а22у0 + а23) — 4хг (а1Хх0 +
+ «12Уо + «13 ) — 4У1 (Я21*0 + «22Уо + «23) + «11*1*1 +
+ 2а12х1у1 + а22у1у1 + 2а13 хг + 2а2зух + а33.
Эта сумма равна нулю, так как точка Мг (х19 уг) принадлежит
кривой и координаты точки С (х0, у0) удовлетворяют уравнениям (5).
Теорема доказана.
Доказанная теорема позволяет исследовать вопрос о
существовании центров данной кривой. Задача сводится к исследованию системы
уравнений (5). Рассмотрим матрицы
.1 ai2\ (an ai2 ai3\ (6)
«12 «22/ \«21 «22 «23/
и обозначим соответственно через г и R их ранги. Очевидно, г < R.
Возможны следующие случаи.
1) г = R = 2. В этом случае система (5) имеет единственное
решение и соответственно этому кривая имеет один и только один центр.
Кривые, обладающие этим свойством, называются центральными.
2) г = R = 1. В этом случае система (5) имеет бесчисленное
множество решений; одно из уравнений системы (5) является следствием
другого. Кривая имеет прямую центров. Уравнение этой прямой
определяется одним из соотношений (5).
3) г = 1, R = 2. Система (5) не имеет ни одного решения и в
соответствии с этим кривая не имеет ни одного центра.
Кривые, не имеющие центров или имеющие больше чем один центр,
называются нецентральными. Из предыдущих рассуждений
следует, что кривая будет центральной тогда и только тогда, когда
/2 Ф 0. Таким образом, кривые эллиптического и гиперболического
типов являются центральными, а кривые параболического типа —
нецентральными.
Из приведенных рассуждений следует, что ранги г и R матриц (6)
имеют геометрический смысл, поэтому они не зависят от выбора
системы координат. Для выяснения вопроса о наличии числа центров
у кривых второго порядка достаточно взять их канонические
уравнения, выписать матрицы (6) и вычислить их ранги. Предлагаем
читателю самостоятельно убедиться в том, что для эллипса, мнимого
эллипса, гиперболы и пары пресекающихся вещественных и невещест-
264
венных прямых г = R = 2. Для параболы г = 1, /? = 2, а для пары
параллельных и слившихся прямых г = # = 1. Мы пришли к теореме.
Теорема [41.3]. Эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара
пересекающихся вещественных и невещественных прямых являются
центральными кривыми и каждая из них имеет единственный центр.
Парабола не имеет ни одного центра', пара параллельных или слившихся
прямых имеет прямую центров.
3. О расположении диаметров кривой второго порядка. Из
уравнения (4) диаметра следует, что независимо от направления вектора
P{Pi> Ръ) каждый центр кривой принадлежит всем диаметрам.
Поэтому если кривая центральная, то все диаметры кривой проходят через
центр С; если кривая имеет линию центров, то все диаметры совпадают
с этой линией. Рассмотрим более подробно этот вопрос для различных
типов кривых.
а) Кривые эллиптического типа (/2>0).
Покажем, что если С — центр кривой второго порядка эллиптического
типа, то совокупность всех диаметров кривой образует пучок прямых
с центром в точке С. В самом деле, совокупность всех диаметров
кривой (1) определяется уравнением (4) для всевозможных рг и р2, не
равных одновременно нулю. Так как прямые а±1х + а12у + а13 = О и
> 0 ), то урав-
'21
а
а0
12
а21х + а22у + а2з = 0 пересекаются |/2 =
нение (4) согласно теореме [17.4] определяет пучок
пересекающихся прямых. Утверждение доказано.
б) Кривые гиперболического типа (/2<0)-
Точно так же, как и в предыдущем случае, можно показать, что если С —
центр кривой второго порядка гиперболического типа, то
совокупность всех диаметров кривой вместе с двумя асимптотами образует
пучок прямых с центром в точке С.
в) Кривые параболического типа (/2 = 0)- Так
как пара параллельных, как вещественных, так и невещественных,
прямых и пара слившихся прямых имеют линию центров, то каждая
из этих кривых имеет один-единственный диаметр — линию центров.
Рассмотрим вопрос о расположении диаметров параболы. Запишем
уравнение (4) в предположении, что парабола дана уравнением
у2 = 2рх. В этом случае (4) принимает вид: —ргр + р2у = 0. Здесь
рх и р2 могут принимать всевозможные значения, за исключением
р2 = 0. В случае р2 = 0 вектор р {рх, р2} имеет асимптотическое
направление и не определяет никакого диаметра. Разделив
предыдущее уравнение на р2 и положив 2i?_ = а, получаем у +а = 0.
Р2
Согласно теореме [17.5] это соотношение задает пучок параллельных
прямых, определяемый координатным вектором /. Этот вектор, как
известно, имеет асимптотическое направление.
Мы пришли к выводу, что совокупность всех диаметров п&раболы
образует пучок параллельных прямых асимптотцческого направления.
265
4. Сопряженные диаметры. Докажем следующую теорему.
Теорема [41.4] Если диаметр d не имеет асимптотического
направления и является множеством середин хорд, параллельных
диаметру d , то d является множеством середин хорд, параллельных
диаметру d .
Доказательство. Диаметр dp сопряжен вектору р,
поэтому из условия теоремы следует, что р ? d . Согласно формуле (4)
диаметр dq имеет уравнение: qx (а1гх + а12у + а13) + q2 (а21х +
+ а22у + а23) = О, поэтому в соответствии с леммой [16.2] имеем:
Я\ teiiPi + а12Рг) + Чг^ггРг + ct22p2) = О
или
Pi (Дц<71 + ^1292) + Рч {cL21qx + a22q2) = 0. (7)
Учитывая, что диаметр имеет уравнение (4), отсюда согласно лемме
[16.2] мы заключаем, что q ? dp. Теорема доказана.
Два диаметра кривой второго порядка, каждый из которых
является множеством середин хорд, параллельных другому, называются
сопряженными. Соотношение (7) является условием
сопряженности диаметров dp и d , сопряженных соответственно векторам
Р {Рп Ръ) и Ч (<7i» Я*)- Эт° соотношение может быть записано так:
«iiPi?i + а\чР\Яч + a21p2qi + a22p2q2 =0. (7')
Векторы, координаты которых удовлетворяют этому условию,
называются сопряженными относительно данной кривой
второго порядка. Если исходная система координат прямоугольная
декартова, то соотношение (7') эквивалентно условию (см. (8), § 38):
pA{q) = 0, (7")
где А — линейное преобразование кривой второго порядка. Мы
получили условие сопряженности, выраженное через А.
На рисунке 119 изображены пары сопряженных диаметров для
некоторых кривых второго порядка: эллипса (рис. 119, а), пары
пересекающихся прямых (рис. 119, б) и окружности (рис. 119, в). Для
окружности А является преобразованием подобия или тождественным
преобразованием (следствие Г, теоремы [38.5]), поэтому соотношение
(7") в этом случае принимает вид: pq = 0, т. е. любая пара
сопряженных диаметров окружности взаимно перпендикулярна. Этот вывод
следует также и из элементарно геометрических соображений.
Так как все диаметры параболы, а также все диаметры пары
параллельных прямых, параллельны между собой и имеют
асимптотическое направление, то эти кривые не имеют сопряженных диаметров.
5. Главные диаметры. Диаметр кривой второго порядка называется
главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам.
Очевидно, всякий главный диаметр является осью симметрии
кривой.
266
Для определения главных
диаметров можно
воспользоваться следующей теоремой.
Теорема [41.5]. Для
того чтобы диаметр был глав-
ным, необходимо и достаточно,
чтобы соответствующий вектор
был вектором главного, но не
асимптотического направления.
Доказательство.
Пусть dp — главный диаметр,
имеющий в прямоугольной
декартовой системе координат
уравнение (4), которое можно
записать в форме:
(fhiPi + Я12Р2) х + (а21р± +
+ а22Р2)У+(^1зР1 + ^23Р2) = 0. (8)
По определению этот
диаметр перпендикулярен вектору
Р {РпРг}' т- е- Р является
нормальным вектором этой прямой.
Из леммы [18.1] следует, что
векторы р {р1у р2} и вектор
{(ЯцРх + cil2p2)y(a21p1 + а22р2)}
(9)
коллинеарны, т. е. имеют место
соотношения (20), § 38. Это
означает, что р имеет главное
направление. Наличие диаметра
dp показывает, что р не имеет
асимптотического направления.
Обратно, пусть р — вектор главного, но не асимптотического
направления. Рассмотрим диаметр dp , который в прямоугольной
декартовой системе координат имеет уравнение (8). Из условий (20), § 38
следует, что векторы (9) коллинеарны. По лемме [18.1] вектор р
является нормальным вектором прямой (8). Мы пришли к выводу, что р
ортогонален dp и, следовательно, dp—главный диаметр. Теорема
доказана.
Из следствия 2° теоремы [38.5] и из теоремы [41.5]
непосредственно следует:
а) Для окружности всякий диаметр является главным.
б) Эллипс (мнимый или действительный), гипербола, пара
пересекающихся действительных или комплексных прямых имеют два и
только два взаимно перпендикулярных главных диаметра.
в) Парабола имеет единственный главный диаметр.
г) Для пары параллельных и слившихся прямых единственный
диаметр является главным.
267
Рис. 119.
6. Оси симметрии кривой второго порядка. Осями симметрии
называются такие прямые, относительно которых кривая симметрична.
Это означает, что если точка М принадлежит кривой, то АГ,
симметричная М относительно оси, также принадлежит кривой.
Очевидно, всякий главный диаметр кривой является осью
симметрии. В самом деле, если главный диаметр d соответствует вектору
р, то р не имеет асимптотического направления, поэтому все прямые,
параллельные р , т. е. перпендикулярные d, пересекают кривую в
двух точках, причем середины отрезков, образованных из точек
пересечений, лежат на d. Это означает, что d является осью симметрии.
Отсюда и из изложенной выше теории следует, что всякая кривая
второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии.
Существуют ли у кривой второго порядка оси симметрии, отличные
от главных диаметров? Можно показать, что такие оси существуют:
а) для пары параллельных (действительных и комплексных) и
слившихся прямых всякая прямая, перпендикулярная данным
прямым, является осью симметрии. Эти прямые не являются главными
диаметрами;
б) для кривой распадающейся на две пересекающиеся взаимно
перпендикулярные прямые, сами прямые являются осями симметрии.
Таким образом, пара пересекающихся под прямым углом прямых dY и d2
имеет четыре оси симметрии, из которых только две — d3 и d4 —
являются главными диаметрами (рис. 120). В остальных случаях оси
симметрии совпадают с главными диаметрами. Мы не
останавливаемся на доказательстве этого предложения.
7. Касательные кривой второго порядка. Как известно, касательной
к кривой в данной точке М0 называется предельное положение
секущей М0М, проходящей через точку М0 при стремлении точки М к
точке М0. Однако в общей теории кривых второго порядка принято
другое, более формальное определение касательной, с которым мы
256): прямая
х = pxt + ll9 у = p2t + l2 (10)
называется касательной к
кривой, заданной уравнением (1),
если она пересекает кривую в двух
слившихся точках, т. е. если Q2 —
— PR = 0, где Р9 Q и R
определяются из соотношений (4), (5), (6)
§ 40. По этому определению
согласно теореме [40.1 ] прямая
будет касательной, если выполняется
одно из следующих условий:
а) прямая не принадлежит
кривой и пересекает ее в двух
слившихся точках;
б) прямая целиком
принадлежит кривой.
уже встречались в § 40 (см. стр.
<4
\
\
\
/
/d*
\
/
\
\
/
/
/
л\
/
/
\
\
/
/
\
\
/
\
Рис. 120.
268
Докажем следующую основную теорему о касательной к кривой
второго порядка.
Теорема [41.6]. Пусть точка M0(lv ?2) принадлежит кривой,
заданной в общей декартовой системе координат уравнением (1). Если
М0 не является центром кривой, то в этой точке существует одна и
только одна касательная, определяемая уравнением:
(«ilEl + ^12^2 + ^13) Х + KiSl + ^22^2 + Язз) У +
+ («31^1 + <Н<&Ъ + ^33) =0- 00
Если М0 — центр кривой (1), то любая прямая, проходящая через
эту точку, является касательной к кривой в этой точке1.
Доказательство. Пусть (10) — некоторая прямая,
проходящая через точку M0(?i, ?2) кривой (1). По определению она
будет касательной тогда и только тогда, когда Q2 — PR = 0. Так как
точка М0 принадлежит кривой, то в данном случае, как это следует
из (6), § 40, имеем R = 0. Поэтому предыдущее условие принимает
вид Q = 0, или согласно (5), § 40 в развернутом виде:
Pi (fluSi + ^2 + я13) + Р2 (a2iSi + <hlk + Огз) = °- (12)
Таким образом, для того чтобы прямая (10) была касательной к
кривой (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты {ри р2}
направляющего вектора этой прямой удовлетворяли соотношению (12).
Возможны два случая:
а) Точка Af0 не является центром кривой (1).
В этом случае согласно теореме [41.2] хотя бы один из коэффициентов
при рг и р2 не равен нулю. Записав соотношение (12) в виде:
Pi Рг
— (02l?i + ^22^2 + а2з) aii?l + а12^2 + ^13
0,
мы приходим к выводу, что направление вектора {рг, р2}
определяется однозначно (теорема [4.3]). Существует одна и только одна
касательная к кривой в данной точке М0. Для определения уравнения
касательной воспользуемся формулой (1), § 16:
(flub + ai2l2+ «и) (* — Si) + (a2i?i + <h?* + а23) (у — У = 0.
Учитывая, что точка (?1э ?2) лежит на кривой, после элементарных
преобразований получаем соотношение (11).
б) Точка MQ является центром кривой (1).
В этом случае согласно теореме [41.2] соотношение (12) обращается
в тождество, поэтому любая прямая, проходящая через точку М0,
является касательной к кривой (1). Теорема доказана.
8. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Так как ни одна
из точек эллипса, гиперболы или параболы не является центром
соответствующей кривой, то из доказанной теоремы следует, что через
любую точку эллипса, гиперболы или параболы проходит одна и только
1 Можно показать, что в первом случае прямая является касательной в обыч*
ном геометрическом смысле, а во втором случае она не является касательной в
геометрическом смысле.
269
одна касательная. Для определения уравнений этих касательных
необходимо воспользоваться соотношением (11). Запишем уравнения
касательных в предположении, что кривые заданы каноническими
уравнениями.
X2 V2
а) Касательная к эллипсу Ь — = 1 в точке
а2 о2
(х01 у0). В данном случае аг1 = — , а22 = — » #зз = — 1» a остальные
коэффициенты в уравнении (1) равны нулю. Так как 1г = х0, ?2 = у0,
то из (11) получаем:
**о + УУо = j (13)
а2 Ь2
б) Касательная к гиперболе —=1 в точ-
а2 ь2
к е (лг0, Уо)- По аналогии с предыдущим получаем:
х1± По _ j /^^\
а2 Ь2 К '
в) Касательная к параболе у2 — 2рх = 0в точке
(х0, у0). В данном случае а22 = 1, #i3 = аз1 = —Р» а остальные
коэффициенты в уравнении (1) равны нулю. Так как *0=li» y0 = ?2,
то из (И) получаем:
уу0 = р(х + х0). (15)
Используя полученные формулы, решим две геометрические задачи
на касательные к гиперболе и параболе.
Задача 1. Доказать, что отрезок любой касательной к
гиперболе, заключенный между асимптотами, делится в точке
соприкосновения пополам.
Решение. Пусть М0(х0, у0) — произвольная точка
гиперболы, заданной каноническим уравнением (3), § 35. Касательная в этой
точке имеет уравнение (14). Найдем точки пересечения этой прямой
с асимптотами и докажем, что середина отрезка, образованного этими
точками, совпадает с точкой М0.
Асимптоты гиперболы имеют уравнения:
У = -*, У= —-*, (16)
а а
поэтому координаты точек пересечений прямой (14) с асимптотами
определяются при совместном решении уравнения (14) с каждым из
уравнений (16):
(17)
(18)
иг и- и
270
а2 Ъ2
х*о УУо _ j
а2 Ь2
У=-Ху
а
_ Ь
а
Покажем, что прямые (17) всегда пересекаются. В самом деле,
ч
а2
b
а
— Ул.
Ь2
— 1
хо 1 Уо
a2 ab
= L/fo _Уо
а \ a b
Так как М0 (х0> у0) принадлежит гиперболе, то
1, или
а
__ Уо\ Ч + Уо
= 1.
Ч_ __Уо
а2 Ь2
Отсюда следует, что
т. е. Д Ф 0. Таким образом, для любой точки М0 прямые (17)
пересекаются. Если координаты точки пересечения прямых (17) обозначить
через хг, уг, то их легко получить из уравнений (17). Имеем:
a b
=*=0,
Уо
b
Л =
b
Аналогично можно показать, что прямые (18) пересекаются в точке
с координатами:
а — b
Уг =
Хо —
fo , Уо
a b
*о , Уо_
a b
Середина отрезка между точками (хг, уг) и (л:2, у2)> как легко
подсчитать, имеет координаты (х0> у0). Задача решена.
Рассмотренное свойство гиперболы имеет интересное практическое
применение. Если даны асимптоты гиперболы и некоторая ее точка
М0, то, применяя только что доказанное свойство, легко построить
циркулем и линейкой касательную к гиперболе в точке М0. Это
построение сводится к решению следующей хорошо известной задачи на
построение: даны две пересекающиеся прямые и точка М0, не
лежащая на них. Через точку М0 провести прямую так, чтобы отрезок
этой прямой, заключенный между данными прямыми, в точке М0
делился пополам.
Задача 2. Доказать, что всякая касательная к параболе
составляет равные углы с фокальным радиусом точки касания и с
лучом, проходящим через точку касания параллельно оси параболы.
Решение. Определим единичные векторы t0 и /0» направленные
вдоль касательной и фокального радиуса точки М0 (х0, у0) параболы,
заданной каноническим уравнением у2 = 2рх. Согласно (15) имеем:
/ I Уо_
>Л
,{
V
Уо + Р2
Уу1+р*
271
Далее,
f_ M0F
Jo— ¦
\m0f\
m>\-Y [**-¦$+я-
V
со~ f) +2Pxo = xo+\-
Отсюда, учитывая, что M0F j— — x0, — y0\. получим:
' p — 2*o — 2>'c
/o
p + 2x0 p + 2*0
Рассмотрим вектор ?х = /— /0. Этот вектор направлен вдоль
одной из биссектрис угла, образованного фокальным радиусом точки
касания и лучом, проходящим через точку касания параллельно оси
параболы. Вектор tt имеет координаты:
*i{l
Р — 2*о 2Уо
Р + 2*0 ' р + 2х0
1 ИЛИ ti
Ахп
2у0
Р + 2х0 Р + 2а:0
Определитель второго порядка, составленный из координат
векторов t0 и tlf как нетрудно проверить, равен нулю. Поэтому согласно
теореме [4.3] векторы tQ и tx коллинеарны. Задача решена.
На этом свойстве параболы основано важное свойство вогнутых
параболических зеркал — прожекторов, применяемых в технике.
Поверхность параболического зеркала образована вращением дуги
параболы вокруг оси. Если источник света поместить в фокусе
поверхности, т. е. в общем фокусе всех образующих парабол, то лучи,
отражаясь от внутренней зеркальной поверхности, пойдут параллельно оси.
Это свойство может быть также
применено для построения циркулем и
линейкой касательной к параболе в данной
точке М01 если известна ось I параболы
и фокус F (рис. 121). Соединим точку М0
с фокусом F и через М0 проведем
прямую 1Ъ параллельную оси /. Если точка
К на прямой 1Х взята так, что
направление КМ0 совпадает с положительным
направлением оси, то биссектриса
угла KM0F есть касательная к пароболе.
Мы видим, что задача сводится к
построению циркулем и линейкой
биссектрисы данного угла.
Рис. 121. ^ J
Раздел ПРЯМЫЕ ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ
второй. и КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВЫХ
И АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Глава VII
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ И ТРОЙНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 42. Координаты точек в пространстве. Решение простейших
задач в координатах
1. Общие декартовы координаты точек в пространстве.
Координатная система в пространстве вводится по аналогии с системой
координат на плоскости (см. § 9). Возьмем в пространстве три прямые а, Ь я
с, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в точке О, и базис
еъег,ег, векторы которого принадлежат соответственно прямым а, Ьис.
Построенный геометрический образ, состоящий из прямых а, Ь, с,
пересекающихся в точке О и не лежащих в одной плоскости, и базиса
?i, ?2, ?3 назовем общей декартовой системой
координат. Точка О называется началом координат, а направленные
прямые а, Ь, с — осями координат (рис. 122). Направления осей
определяются соответственно векторами ех, ег, е3, которые называются
координатными. Ось а называется первой координатной осью или
осью абсцисс, b — второй координатной осью или осью ординат, а
с — третьей координатной осью или осью аппликат. Оси координат
обычно обозначаются так: Ох, Оу, Ог, а система координат: Ое^е^
или Охуг. Плоскости Оху, Охг и Oyz называются координатными
плоскостями.
Легко видеть, что задание системы координат в пространстве
позволяет определять положение любой точки в пространстве при
помощи трех чисел. В самом деле,
пусть М — произвольная точка
пространства, а Оехегег—
данная система координат. По
аналогии с § 9 вектор ОМ назовем
радиус-вектором точки М (рис.
122). Очевидно, каждая точка
пространства имеет
радиус-вектор, различные точки имеют
различные радиус-векторы и
любой вектор пространства
является радиус-вектором некоторой
точки. Это означает, что
существует взаимно однозначное соот- Рис, 122.
273
ветствие между точками пространства и их радиус-векторами.
Последнее обстоятельство позволяет ввести следующее определение:
координатами точки М в общей декартовой системе координат
Ое1е2е3 называются координаты радиус-вектора ОМ этой точки в
базисе ехе2е3, т. е. числа х, у, г, удовлетворяющие условиям:
ОМ = хех 4- уе2 + ze3. (1)
Каждая точка пространства имеет три координаты, и, обратно,
любые три числа, взятые в определенном порядке, определяют
некоторую точку в пространстве. Последнее утверждение можно обосновать
точно так же, как и аналогичное утверждение для точек плоскости
(см. п. 1, § 9).
Число х в соотношении (1) называется первой координатой или
абсциссой точки М, у—второй координатой или ординатой, а число
г — третьей координатой или аппликатой. В дальнейшем
изложении, если система координат Ое1е2е3 заранее определена, для
координат точек будем пользоваться следующим обозначением: М (х, у, г).
Соотношение (1) позволяет выяснить геометрический смысл
координат точки. Так какхех || ех, уе2\\ в2, ze3 \\ в3, т0наосях координат Ох,
Оу и Ог существуют соответственно точки Мх, М2 и М3,
удовлетворяющие условиям:
OAft = xet, ОМ2= уе^ ОМ3= ze3
или
OMv ОМ2 ОМ3
х = —L , у = , 2 = —3- . (2)
вх в2 е%
Из соотношения (1) следует, что
ОМ = (Ж, + ОМ2 + ОМ3.
Пусть х ф О, у ф 0, 2 Ф 0. Если через точку М провести три
плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям Оху,
Oxz и 0у2, то из последнего соотношения следует, что проведенные
плоскости пересекают оси Oz, Оу и Ох в точках М3, М2п Мг (см. рис.
122). Соотношения (2) поясняют геометрический смысл координат
точки.
Если абсцисса х точки М равна нулю, то из соотношений (2)
следует, что Мг совпадает с началом координат, поэтому М лежит в
плоскости Oyz. Аналогично если у = 0, то точка лежит в плоскости Oxz, a
если 2 = 0, то в плоскости Оху. Из этих утверждений следует, что
точки оси Ох характеризуются условиями у = 0, 2 = 0, оси Оу —
условиями х = 0, 2 = 0, а оси Oz — условиями х = 0, у = 0.
Начало координат О имеет координаты (0, 0, 0).
Замечание. Пусть л±, я2 и я3 — координатные плоскости
Оуг, Oxz и Оху, Возьмем произвольную точку М в плоскости л3. Оче-
274
z
ЬЮМ)
A(3,1,3) j 0(2,-6,1)
\0 Щ VA, ?(5Ao) X
F(Q,Or1)
С (0,5,- 2)
Рис. 123.
Рис. 124.
видно, ее третья координата равна нулю, а первые две координаты
совпадают с соответствующими координатами той же точки, если мы
ее будем рассматривать как точку, лежащую в плоскости я3с
координатной системой Оехег. Аналогичная картина имеет место для
координат точек плоскостей ях и я2.
2. Прямоугольные декартовы координаты точек в пространстве.
Система координат Оехегеъ называется прямоугольной декартовой,
если координатные векторы elt e2, е3 образуют прямоугольный
декартовый базис, т. е. если \ ег \ = \ е 2 \ = \ е3 \ = 1 и векторы
elt e2> и е3 попарно ортогональны. В этом случае, очевидно, оси
координат взаимно ортогональны. На рисунке 123 изображена
прямоугольная декартова система координат, и в этой системе построены точки:
А (3,1,3), В (0,5, 4), С (О,5, -2),D (2, -6, 1), Е (5, О, 0),F (0, 0, -1).
Легко видеть, что прямоугольная декартова система координат
есть частный случай общей декартовой, поэтому все теоремы и
предложения, доказанные для общей декартовой системы координат,
справедливы и для прямоугольной декартовой. Обратное утверждение,
конечно, не справедливо. Поэтому в дальнейшем изложении во всех
случаях, когда это возможно, будем пользоваться общей декартовой
системой координат. В прямоугольной декартовой системе будем
рассматривать только такие вопросы, изложение которых существенно
упрощается в этой системе. Итак, во всем дальнейшем изложении, если
не будет специальных оговорок, мы предполагаем, что система
координат общая декартова.
3. Координатные октанты. Координатные плоскости Оху, Oxz и
Oyz общей декартовой системы разделяют пространство на восемь
частей, называемых координатными октантами. Введем нумерацию
для координатных октантов. Предположим, что координатные векто-
275
ры приложены к точке О. Прежде всего рассмотрим координатную
плоскость Оху и в этой плоскости введем нумерацию для
координатных углов, определяемых системой Оеге2. Пусть а — первый угол,
Р — второй, 7 — третий и б — четвертый (рис. 124). Плоскость Оху
делит пространство на два полупространства. Октанты, расположенные
по ту же сторону от Оху, что и е3, и примыкающие к углам а, Р, у, б,
называются соответственно первым, вторым, третьим и
четвертым. Октанты, расположенные по другую сторону от
плоскости Оху и примыкающие к углам а, р, 7> б, называются
соответственно пятым, шестым, седьмым и восьмым.
Если точка М (х, у, г) не лежит на координатных плоскостях, то
по знакам чисел х, у и г можно определить, в каком из восьми
координатных октантов она расположена. В самом деле:
если х > 0, у > 0, z > О, то точка лежит в первом октанте;
если х < 0, у > 0, г > О, то точка лежит во втором октанте;
если х < 0, у < 0, z > О, то точка лежит в третьем октанте;
если х > 0, у < 0, г > 0, то точка лежит в четвертом октанте;
если л: > 0, у > 0, 2 < 0, то точка лежит в пятом октанте;
если х <С 0, у > 0, г<0, то точка лежит в шестом октанте;
если а: < 0, у < 0, 2 < 0, то точка лежит в седьмом октанте;
если х > 0, у < 0, 2 <С 0, то точка лежит в восьмом октанте.
Очевидно, имеют место и обратные утверждения.
По этим критериям легко определить положение точки в
пространстве по ее координатам, не прибегая к рисунку. Так, например,
если А (2, 4, 1), В (2, -3, 4), С (-5, -/2, -1), D (-3, 5, -/3) ,
то из предыдущего изложения следует, что А лежит в первом октанте,
В — в четвертом, С — в седьмом, D — в шестом.
Перейдем к решению некоторых простейших задач аналитической
геометрии в координатах.
4. Определение координат вектора по координатам его концов.
Задача 1. Даны две точки А и В своими координатами в общей
декартовой системе: A (jclt у1э 2Х), В (х2, у2> г2). Определить
координаты вектора АВ.
Решение. Если О — начало системы координат, то АВ= О В —
— ОА. Но О А и ОВ являются радиус-векторами точек А и В, поэтому
их координаты нам известны: ОА {xlt ylf 2X}, OB {х2, у2, г2}. Таким
образом, АВ как разность векторов ОВ и ОЛ имеет координаты:
{х2 — х1у у2 — Ух, 22 — 2х}. Итак, каждая координата вектора,
заданного координатами начала и конца, равна разности соответствующих
координат конца и начала.
5. Вычисление расстояния между двумя точками.
Задача 2. Пусть в прямоугольной декартовой системе
координат даны две точки А (хг, уг, гг) и В (х2, у2, 22). Определить
расстояние АВ между данными точками.
276
Решение. Вычислим координаты вектора ЛВ и по этим
координатам определим АВ = | АВ |. Из результата задачи 1 следует, что
АВ {х2 — xlf у2 — У и z2 — zi}> поэтому согласно формуле (10), § 7,
получаем:
АВ = У(х2 - xtf + (у2 - у,)2 + (г2 - г,)2.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема [42.1 ]. Расстояние между двумя точками, заданными
своими координатами в прямоугольной декартовой системе, равно
корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных
координат данных точек.
6. Определение координат точки, делящей данный отрезок в
данном отношении. Напомним понятие деления отрезка в данном
отношении, которое было введено нами в п. 2, § 10. Говорят, что точка Л1,
лежащая на прямой АВ, делит направленный отрезок АВ в
отношении X, если Х= — . Рассмотрим задачу об определении коорди-
МВ
нат точки, делящей данный отрезок в отношении X.
Задача 3. Пусть в общей декартовой системе координат даны
две различные точки своими координатами A (xlt уг, гх) и В (х2, у2, z2).
Определить координаты точки М, которая делит отрезок АВ в
отношении X Ф—1.
Решение. Пусть rl9 г2 и г соответственно радиус-векторы
точек А, В и М. Так как X = — , то AM = ХМВ. Но AM = г —
MB
— гг, MB = г2 — г. Подставив эти значения в предыдущее
соотношение, получаем: г — *Ч = Мг2 — ri)- Отсюда, учитывая, что Хф
Ф —1, будем иметь:
П + Хг2
Г =
1 +\
Пользуясь теоремой [5.2] о координатах линейной комбинации
векторов, получаем:
х = х1 + Хх2 = У1 + Ху2 = гг + Xz2 ,~
\+Х ' У 1+Ь ' 1 -г-Х К '
В частности, если точка М делит отрезок АВ пополам, то X = 1,
поэтому
х = *!+*, = У1+У2 = ?l+i_2 (4)
2^2 2 W
Пример. Дана точка М (2, —4, 4) в прямоугольной
декартовой системе координат. Определить координаты точки ЛГ,
симметричной с точкой М:
271
а) относительно начала координат;
б) относительно координатных плоскостей Оху, Оуг, Oxz\
в) относительно координатных осей Ох, Оу, Ог.
Решение, а) Если М (х, у, г) и М' (х\ у', г') симметричны
относительно начала координат, то
?±? = 0, ^Ь/=0 и i±fl = 0f
2 2 2
отсюда я' = —я, у' = — у, г' = — г. Для данной точки М
получаем: М'( —2, 4, —4).
б) Если М (х, у, г) и М' (а:', у', г') симметричны относительно
координатной плоскости Оху, то отрезок ММ' перпендикулярен Оху
и его середина принадлежит этой плоскости, поэтому вектор ММ'
коллинеарен вектору к. Следовательно, х' — х = 0, у' — у = 0 (ус-
—>- у 1 z'
ловие коллинеарности: ММ' \\ к); —— = 0 (середина отрезка
ММ' лежит в плоскости Оху). Таким образом, х' = х, уг = у, г' =
= — г. Для данной точки получаем: М'(—2, —4, —4).
Если N и Р — точки, симметричные точке М относительно
плоскостей Oxz и Оуг, то аналогично предыдущему получаем: N (2, 4, 4),
Р ( -2, -4, 4).
в) Если М (х, у, г) и М' (х', у', г') симметричны относительно оси
Ох, то вектор ММ' параллелен плоскости Оуг, т. е. компланарен с
векторами j, к, и середина отрезка ММ' лежит на оси Ох.
Следовательно, х — х =0 (условие компланарности векторов MM, j и к),
2+JL = о, 2 + г = 0 (середина отрезка ММ' лежит на оси Ох). Та-
ким образом, а:' = я, у' = — у, г' = — г. Для данной точки
получаем: М' (2, 4, —4).
Если R и S — точки, симметричные точке М относительно осей
Оу и Ог, то аналогично предыдущему получаем: R ( —2, —4, —4),
S ( -2, 4, 4).
7. Условие коллинеарности трех точек.
Задача 4. Пусть в общей декартовой системе координат
Ое&фъ даны три точки A (xl9 ylf гг), В (х2, у2, г2) и С (х3, у3, z3).
Найти необходимое и достаточное условие коллинеарности этих точек.
Решение. Точки называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой. Для того чтобы А, В и С были коллине-
арны, необходимо и достаточно, чтобы векторы АВ и АС были колли-
неарны. Отсюда легко получить искомое условие. Согласно
результату задачи 1 имеем:
АВ {х2 — х1% у2 — у1э 22 — zj, AC {х3 — х1э уд — ух, гъ — г±}.
278
Согласно теореме [5.3] (см. (7), § 5) условие коллинеарности этих
векторов запишется так:
' =0. (5)
(6)
*i Уг— Л
*i Уз — У1
= 0,
х2 xt z2 zt
Ло ""~~* Л < &о ~~~~* ? \
= о,
Уз — У! г-2— Ч
Уз—У1 г3—zt
Эти условия означают следующее: ранг матрицы
(х2 — х1 уг—у1 г2— гЛ
1Л —*i Уз— У1 гз--21/
меньше двух.
§ 43. Ориентация упорядоченной тройки векторов
В § 6, п. 1 было дано общее определение линейных функций от
векторных аргументов. Линейные скалярные функции от двух
векторных аргументов были затем использованы для определения
скалярного произведения векторов. В этом параграфе нам понадобятся
линейные скалярные функции от трех векторных аргументов. При помощи
так называемых кососимметрических функций такого рода будет
введено важное понятие ориентации реперов и понятие тройного
произведения векторов.
1. Кососимметрические линейные функции. Пусть
а = / (х, у, г)
(1)
есть линейная скалярная функция от трех векторных аргументов.
Согласно определению это означает, что данная функция является
линейной относительно всех трех аргументов х, у и z.
Ниже приведены примеры линейных скалярных функций от трех
векторных аргументов:
1°. А (х, У> z) = ха + уЬ -Ь zc.
2°. f2(x, у, z) = xi y2 2g.
3°. /3 (•*. У» г) = *1Уз2з + 2x^2*
4°. М*. У> *) =
*i У1 Ч
Х2 У2 Z2
хг Уз гз
5°. f5(x, у, *) = ().
В примерах 2°, 3°, 4° предполагается, что выбран базис, и числа
{хг, х2, х3), (у1у у2, Уз) и (ги 22> 2з) являются в этом базисе
соответственно координатами векторов х, y,z\ в примере Га, Ь,
с—постоянные векторы.
Введем следующее определение: линейная скалярная функция (1)
от трех векторных аргументов называется кососимметри-
ческой, если в дополнение к условиям линейности она для любых
векторов х, у и z обладает следующими свойствами:
279
/(¦*, У, *)= — f(y, х, z\
fix, У, z)= — f(x, z, y), (2)
/(¦*, yy z)=—f(z, y, x).
Другими словами, линейная функция (1) называется кососиммет-
рической, если при перестановке любых двух аргументов значение
функции меняет свой знак или остается равной нулю. В примерах,
рассмотренных выше, кососимметрическими будут функции 4° и 5°.
Кососимметричность функции 4° непосредственно следует из свойств
определителей, а для функции 5° это свойство очевидно.
Функция примера 5°, которая любой тройке векторов ставит в
соответствие нуль, называется нулевой. Функция, которая хотя
бы одной тройке векторов ставит в соответствие число, отличное от
нуля, называется ненулевой.
2. Основные свойства кососимметрической линейной функции.
Пусть / (л:, уу z)— кососимметрическая линейная функция от трех
векторных аргументов. Рассмотрим ее основные свойства.
Г. Если среди векторов х0, у0, z0 содержатся хотя бы два колли-
неарных, то f (лг0, у0, z0) = 0.
Пусть, например, xQ \\ у0. Тогда существует такое число А,, что
у0 = Xx0i поэтому f (лг0, Уо, z0) = / (xQy Хх0, z0) = Xf {х0, лг0, z0).
Нетрудно показать, что / (лг0, лг0, z0) = 0. В самом деле, в силу (2)
имеем: / (лг0, лг0, zQ) = — / (лг0, лг0, z0), или 2/(лг0, х0, z0) = 0, откуда
/ (л:0, xQ, z0) = 0. Таким образом,
f(*o. Уо, *о) = 0-
2°. Если векторы а, б и с компланарны, то f (а, б, с) = 0.
По теореме [3.2] система а, б, с линейно зависима, поэтому
согласно п. 2, § 3 один из данных векторов линейно выражается через
остальные. Пусть, например, с = аа + Рб. Вычислим / (а, б, с).
Имеем:
/(а, б, c) = f(a, б, аа + рб)=/(а, б, аа) + Да, &, рб).
Из свойства 1° вытекает, что / (а, б, с) = 0.
3°. При циклической перестановке аргументов значение функции
f (*, У, 2) яе меняется, т. е. для любых векторов х, у и z имеет место
f(x, у, z) = f(y, z, х) = f(z, х, у). (3)
Для того чтобы убедиться в справедливости равенства / (х, yt z) =
= f (у, z, x), достаточно воспользоваться соотношениями (2):
f(x, У, г)=—f(y, х, z)=—[—f(y, z, x)] =f(y, z, x).
Аналогично доказывается равенство / (у, z, x) = f (z, л:, у).
4°. Пусть eif ?2, е3 — произвольный базис. Если векторы ху у,
z в данном базисе имеют соответственно координаты {xt, x2, хг},
{Ун У2> Уз}» {*!> *2> h)> т0
280
f(x, У> г)=
vi
У1 Уг Уз
zx z2 z3
f(ei9 e2i e3). (4)
Разложим векторы x, у, z по базису eif е2, е3: х = xiei +
+ х2е2 + ^з^з» У = У fix + У&г + Уз^з* * = г^ + г2е2 + z3e3.
Подставляя значения х, у, ? в выражение /(л:, у» ?)> получаем:
а = / {х& + х2е2 + х3е3, У& + у2е2 + у3е3, Z& + z2e2 + z3e3).
Преобразуем правую часть этого соотношения, пользуясь
свойством линейности функции / (х, у, z). При этом в правой части мы
получим 27 членов, среди которых, как следует из свойства Г, 21 член
обращается в нуль; остальные шесть членов выписаны ниже:
<* = /(*!*!. У2е2> 2зе3)+Л*1*1. Уз^З» *2*2) + / (*2*2. УЛ, 23^3) +
+ f (*2*2t 23^3» УА) + / (*3*3> УА> ^ + / С^З» У2*2> *l*i)-
Вынесем далее числовые множители за знак функции и используем
свойство (2). В результате после элементарных преобразований
получаем (4).
5°. Пусть f (х, у у z) — ненулевая линейная кососимметрическая
функция. Если а, Ь, с — не компланарны, то f {а, Ь, с) Ф 0.
Доказательство проведем, рассуждая от противного.
Пусть для некоторой некомпланарной тройки векторов ех, е2, е3 имеем:
/(^i, #2> е3)=0. Возьмем три произвольных вектора х, у, z и
рассмотрим их координаты в базисе ех, е2, в3:
х {xlt х2, х3), у {ylf у2, уз), *{*i, г29 z3}.
Из соотношений (4) следует, что / (х, у, z)= 0. Таким образом,
каковы бы ни были векторы х, у, z, имеем:
f(x, у, *) = 0.
Мы пришли к выводу, что функция f(x, у, z) нулевая, что
противоречит условию.
3. Основная теорема. Рассмотренные свойства функции f(x, у, z)
позволяют доказать следующую важную теорему.
Теорема [43.1 ]. Пусть ех, е2, е3,— произвольный базис, а а —
произвольное действительное число. Тогда существует одна и только
одна кососимметрическая линейная скалярная функция от трех
векторных аргументов, удовлетворяющая условию
f(eu e2> е3) = а.
Доказательство. Сначала докажем существование
функции, удовлетворяющей условиям теоремы. Возьмем произвольные
векторы х, у, z и разложим их по базису ех, е2, е3:
х{хъ х2, х3}, у{уъ у2, уз}, г{гъ г2, г3}.
281
Теперь построим следующую функцию:
f(x, у, г) =
(5)
х± х2 х$
У± Уз Уз
^1 ^2 ^3
* /1 (&1> &2> ^3/ —
Л/Л Л.-) /if Q
У1 Уг Уз
zi z2 z3
|У1 Уг УзЮ-
21 22 23
Легко убедиться в том, что построенная нами функция
удовлетворяет всем условиям теоремы. Условие линейности и
кососимметричности функции f(x, у, z) непосредственно следует из соответствующих
свойств определителей третьего порядка. Выполнение же условия
/(#i> е2» ^з) = а следует из определения функции /, так как
определитель, составленный из координат векторов ?i{l,0,0}, е2{0, 1, 0},
е2{0, 0, 1}, очевидно, равен единице. Докажем, что существует
единственная функция / (л:, у, z), удовлетворяющая условиям теоремы.
В самом деле, пусть f1 — произвольная функция, удовлетворяющая
условиям теоремы. Согласно свойству 4° для любых трех векторов
х, у, z имеем:
h(*> У. zY-
Сравнивая полученное соотношение с соотношением (5), мы видим,
что
/l(«*. 3>» Z)=f(X, у у Z).
Теорема доказана.
4. Ориентация репера. Пусть а, Ь, с — система трех
некомпланарных векторов. Эту систему будем называть упорядоченной тройкой
векторов или репером, если векторы системы заданы в определенном
порядке, т. е. указано, какой из них считается первым, какой вторым
и какой третьим. Если а, Ь, с— упорядоченная тройка векторов, то
будем считать, что порядок их задания совпадает с порядком записи,
т. е. первым вектором является вектор а, вторым — Ь и третьим — с.
Таким образом, abc, bac и cab— разные упорядоченные тройки
векторов. Легко видеть, что три некомпланарных вектора могут
образовывать шесть различных упорядоченных троек:
abc, bca, cab, bac, acb, cba.
Введем следующее определение. Будем говорить, что два репера
а1Ь1с1 и а2Ь2с2и м е ю т одну и ту же ориентацию,
если для некоторой ненулевой кососимметрической линейной функции
f (•*, У, z) числа f (аг, Ьх, сг) и f (a2, b2, с2) имеют один и тот же знак.
Если же числа f (аг, Ьг, сг) и f(a2, b2, c2) имеют разные знаки, то
будем говорить, что эти реперы имеют разные
ориентации. Покажем, что это определение является инвариантным, т. е.
не зависит от случайного выбора функции / (л:, у, z).
Разложим векторы а2, Ь2, с2 по базису а±, Ь1,с1 и обозначим через
А определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов
разложения этих векторов. Если f±(x, у, z) и /2 (л:, у, г)—две различ-
282
ные ненулевые кососимметрические линейные функции, то в силу
соотношения (4) имеем:
к (а2> Ь29 с2) = ДД (аъ Ъъ сх), (6)
М«2. &2, cj = bf%(ab Ъъ сО- (7)
Согласно свойству 5° числа/!(«!, &х, сг), /x(0 2» #2> ^г)> /2(^1» #i> ci)>
f2(a2, &2, с2) отличны от нуля. Если f^a^ b±J с±) и /х(я 2> &2, с2) имеют
один и тот же знак, то из соотношения (6) следует, что А > 0. Но
тогда соотношение (7) показывает, что числа /2(ах, Ьи сг) и /2 (а2, б2, с2)
также имеют один и тот же знак.
Из приведенного выше определения следует, что введенное нами
понятие ориентации транзитивно, т. е. если аг Ьгс1У a2b2c2i a3b3c3—
три репера и если как реперы ахЪхсхъ a3b3c3i так и реперы a2b2c2\i
а3Ь3с3 имеют одну и ту же ориентацию, то реперы aj)±cx и а2Ь2с2
имеют одинаковую ориентацию, С другой стороны, если те же
пары реперов имеют разные ориентации, то реперы a1blcl и а2Ь2с2
имеют одну и ту же ориентацию. Отсюда следует, что множество
всех реперов пространства естественным образом мо^кно разбить на
два класса, удовлетворяющих следующим условиям:
а) если два репера принадлежат одному классу, то они имеют одну
и ту же ориентацию;
б) если два репера принадлежат разным классам, то они имеют
разные ориентации.
Практически разбиение реперов на два класса можно осуществить
следующим образом: пусть а0Ь0с0 — некоторый репер; будем считать,
что он принадлежит первому классу; произвольный репер abc
отнесем к первому классу, если его ориентация совпадает с ориентацией
репера а0Ь0сОУ и ко второму, если их ориентации различны. Очевидно,
эти множества не пустые. Так, например, а0Ь0с0 и Ь0а0с0, как следует
из соотношений (2), принадлежат разным классам.
Изложенная выше теория имеет принципиальное значение: по
существу нам удалось понятию «ориентация тройки векторов» придать
математический смысл1.
5. Свойства ориентации реперов. Данное определение позволяет
установить следующие основные свойства ориентации упорядоченных
троек векторов.
а) При циклической перестановке векторов ориентация
упорядоченных троек векторов не меняется, т. е. если abc—данный репер,
то реперы abc, bca, cab имеют одну и ту же ориентацию.
б) При перестановке двух векторов репера ориентация меняется
на противоположную, т. е. abc и Ьсау или abc и cbay или abc и acb
имеют разные ориентации.
1 В учебниках аналитической геометрии, за редким исключением (см.,
например, учебник [16]), не дается логического обоснования понятия ориентации. Это
обстоятельство вызывает определенные трудности при изложении некоторых
разделов курса, так как при доказательстве целого ряда теорем приходится пользоваться
и понятием ориентации репера и свойствами ориентированных реперов.
283
Рис. 125.
в) Пусть аЬсх и аЬс2— два репера, все векторы которых
приложены к одной точке О пространства. Если при этом концы векторов
CjHC2 расположены по одну и ту же сторону от плоскости ОаЬ (см.
рис. 125, а), то реперы аЪсх и аЬс2 имеют одну и ту же ориентацию, а
если их концы расположены по разные стороны от плоскости ОаЬ,
то реперы аЬсх и аЬс2 имеют разные ориентации (см. рис. 125, б).
Свойства а) и б) можно легко доказать на основании свойств 3° и 4Э
кососимметрической линейной функции. Докажем свойство в).
Разложим вектор с2 по реперу аЬсг: с2 = аа+ (5& + y^i- Пусть,
например, векторы сх и с2 расположены по одну и ту же сторону от
плоскости ОаЬ. Это означает, что у > 0. Если/(дг, у, z)— некоторая
ненулевая кососимметрическая линейная функция, то
/(а, &, с2) = /(а, &, аа + рб + t^i) = if {a, b, сг).
Так как 7>0, то реперы аЬсх и аЬс2 имеют одну и ту же ориентацию.
Аналогично можно доказать второе утверждение.
6. Ориентированное пространство. Выше было отмечено, что все
реперы пространства естественным образом разбиваются на два
класса, удовлетворяющие условиям а) и б), сформулированным в п. 4
на стр. 283. Мы будем говорить, что пространство ориентирован
н о, если один из этих классов зафиксирован. Реперы, принадлежащие
этому классу, называются правыми или имеющими
правую (положительную) ориентацию. Реперы, принадлежащие
другому классу, называются левыми или имеющими
левую ориентацию. Следует подчеркнуть, что понятия
«правая» и «левая» ориентации условны. С математической точки зрения
не имеет смысла говорить отдельно об одном «правом» репере или об
одном «левом» репере. Можно говорить только об одинаковой или
противоположной ориентации двух реперов.
В векторной алгебре при обычной физической интерпретации
векторов понятиям «правая» и «левая» ориентации реперов придается
наглядный физический смысл, состоящий в следующем.
Пусть аЬс— упорядоченная тройка векторов. Перенесем эти
векторы в точку М пространства и концы их обозначим через Л, В и С.
284
м
м
а) б)
Рис. 126.
В силу некомпланарности векторов а, Ь и с точки М, А, В, С не
лежат в одной плоскости (рис. 126). Репер аЬс назовем правым или
имеющим правую ориентацию, если наблюдателю, глаз которого
расположен в точке М, направление движения по контуру треугольника ABC
от точки А к точке В, а затем к точке С кажется совпадающим с
направлением движения часовой стрелки. Репер аЬс назовем левым или
имеющим левую ориентацию, если это движение кажется
совершающимся против движения часовой стрелки. На рисунке 126, а репер
аЬс правый, а на рисунке 126,6 репер а'Ь'с' левый.
Можно указать другое правило для определения ориентации
репера. Репер аЬс будет правым (левым), если кратчайший поворот
вектора а к вектору Ь в плоскости векторов а и & виден из конца
вектора с совершающимся против движения (по движению) часовой
стрелки.
Рассмотрим, для примера, репер, составленный тремя векторами,
направленными вдоль первых трех пальцев правой руки; точнее,
первый вектор а направлен вдоль большого пальца, второй вектора Ь—
вдоль указательного пальца, а третий вектор с — вдоль среднего
пальца правой руки (рис. 127, а). Согласно нашему правилу этот
репер имеет правую ориентацию. Легко также усмотреть, что репер,
составленный тремя векторами, направленными вдоль
соответствующих пальцев левой руки, имеет левую ориентацию (рис. 127, б).
Рис. 127.
285
hk
*
4 . Изложенная выше теория
* позволяет, не прибегая к
наглядным соображениям,
определять ориентации реперов, если
известна ориентация какого-ли-
^о' 1' бо одного репера.
В дальнейшем изложении,
J если не будет специальных ого-
Рис. 128 ворок, мы будем предполагать,
что пространство ориентировано.
7. Ориентация системы координат. Примером упорядоченной
тройки векторов является тройка координатных векторов. В соответствии
с предыдущим определением система координат Оехегеъ, заданная в
ориентированном пространстве, называется правой (левой),
если упорядоченная тройка векторов ег,е2, ?3 является правой (левой).
Если придерживаться обычной физической интерпретации векторов,
то на рисунке 128 система Oijk правая, а система Oi'j'W левая.
В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, все
рассматриваемые прямоугольные декартовы системы координат будем считать
правыми. Аналогично можно ввести понятие правого или левого базиса.
Докажем следующую лемму.
Лемма [43.21. Пусть /0,/0» ^о—прямоугольный декартовый
правый базис, а /, j, k—другой прямоугольный декартовый базис, векторы
которого заданы своими координатами в базисе /0, j0, k0:
i{aly а2, а3}, /{Ръ Р2> Рз)> * {Ть Т2> ТзЬ
Если базис i, J, k правый, то А = 1, а если i, j, k левый, то Д= —1.
Здесь
А =
(8)
Доказательство. Так как базис /, у, k прямоугольный де-
картозый, то
а\ + at + а! = 1, а^ + а2р2 + а3Р3 = О,
Pi + Р2 + Рз = 1, atfi + а2Т2 + азТз = °>
Т? + Т? + Тз = 1, PiTi + P2T2 + РзТз = 0.
Из этих соотношений следует, что
/«1 а2 а3\ /аг pj Ti
( Pi 82 Рз I ( а2 Р2 Т2
\Ti T2 Тз/ \аз Рз ТзУ
Применяя к последнему равенству теорему об определителе
произведения матриц, получаем А2 = 1 или А = ± 1. Если f (х, у, z)—
некоторая ненулевая кососимметрическая линейная функция, то из
соотношения (4) следует, что
|«1
|Рх
1 Тх
«2
Р2
аз|
Рз
Тг Тз
286
f(i, у, k) = A[(i0, y0, *о). (9)
где А — определитель (8). Если базис /, у, ft правый, то /, у, ft и
Wo>*o имеет °ДНУ и ТУ же ориентацию, т.е. /(/, у, ft) и Д/0,Уо, *0)
имеют один и тот же знак. Из (9) следует, что А = + 1.
Если базис /, у, ft левый, то/(/, у, ft) и/(/0, у0, ft0) имеют разные
знаки, поэтому из (9) следует, что А = — 1. Лемма доказана.
Эта лемма позволяет практически определить ориентацию базиса
/, у, ft, если его векторы заданы координатами в прямоугольном
декартовом правом базисе /0, у0, ft0.
Рассмотрим пример.
Пример. Определить ориентацию базиса /, у, ft, если в
прямоугольном декартовом правом базисе векторы базиса заданы координатами
Решение. Вычислим определитель А, составленный из
координат векторов /, у, ft:
Д =
о -L-4
V2 V2
_1 1_ _]_
УТ 2 2
1 1 1
> ' ' +')+!,_ ¦_',„!.
V2 \21/Т 2|/"2 / К2 \ 2J/2 2/2
)/"2 2 2
Из леммы [43.2] следует, что базис /, у, ft левый.
§ 44. Тройное произведение векторов
1. Функция объема. Введем следующее определение. Кососим-
метрическую линейную функцию от трех векторных аргументов
/(•*, У, z) будем называть функцией объема, если существует такой
хотя бы один прямоугольный декартовый правый базис /0, у0, ft0, что
f Co. U *о) = 1-
Докажем следующую лемму.
Лемма [44.1 ]. Если f {x,y, z) — функция объема, а i, у, ft —
произвольный прямоугольный декартовый правый базис, то f (/, у, ft) =
= + 1.
Доказательство. Так как / (л:, у, z)— функция объема,
то существует такой прямоугольный декартовый правый базис /0, /0, ft0,
что /(/0, /0, ft0) = 1.
Рассмотрим координаты векторов /, у, ft в базисе /0, у0, ft0:
/{ах, а2, а3}, У {Pi, P2, P3}, ft {ti, Т2, Тз>
и обозначим через А определитель (8), § 43, составленный из координат
этих векторов.
Согласно свойству 4°, п. 2 § 43 имеем:
f{h У, *) = Д./(/0, У0, К) = А • Ь
287
Но векторы /, j, к образуют прямоугольный декартовый правый
базис, поэтому согласно лемме [43.2] имеем: Д = 1. Таким образом,
f (*\ J> k) = 1 • 1 = 1. Лемма доказана.
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [44.2]. В ориентированном пространстве
существует одна и только одна функция объема1.
Доказательство. Существование функции объема
непосредственно следует из теоремы [43.1 ]. В самом деле, пусть /0*/о> *о—
произвольный прямоугольный декартовый правый базис, тогда
согласно этой теореме существует одна и только одна функция, которая
удовлетворяет условию / (/0, у0, k0) = 1.
Единственность функции объема следует из леммы [44.1]. В самом
деле, пусть [г(х, у, z)—функция объема. Согласно лемме [44.1]
для любого прямоугольного декартова правого базиса, в том числе
для базиса /0, /0, k0, имеем: /х (/0, J0, k0) = 1. Из теоремы [43.1 ]
следует, что функции fl и / совпадают. Теорема доказана.
2. Тройное произведение векторов. Тройным или
смешанным произведением векторов х, yf z ориентированного
пространства называется значение функции объема для векторов ху у, z,
т. е. число f (л:, у, z).
Тройное произведение векторов в дальнейшем обозначается так2:
xyz.
Из свойств функции объема мы сразу получаем основные свойства
тройного произведения векторов.
Теорема [44.3]. Для произвольных векторов а, Ь, с,
duпроизвольного числа а имеют место следующие свойства тройного
произведения:
а) abc = Ьса == саЬ\
б) abc = —bac, abc =—cba> abc = — acb;
в) (аа) be = a (abc), a (ab) с = a (abc), ab (ас) = a (abc)\
г) (а + b)cd = acd + bed, a(b + c)d = abd + acd,
ab (c +d) = abc+ abd.
Доказательство. Свойство а) следует из свойства 3° косо-
симметрической линейной функции, сформулированного в п. 2, § 43.
Свойство б) есть следствие кососимметричности функции объема, а
свойства в) и г) непосредственно следуют из условий линейности
функции объема.
Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия:
Iе. Для произвольных векторов а, &, с и произвольных чисел
а, р, y имеет место соотношение:
(аа) фЬ) frc) = (аРт) abc.
1 Излагаемая здесь теория аналогична теории скалярного произведения
векторов (см. § 6); в частности, теорема [44.2] аналогична теореме [6.3].
2 По существу мы принимаем соглашение о том, что каждый раз, когда
вычисляется значение функции объема для конкретных векторов, знак функции объема
опускается, т. е. вместо / (х, у, z) записывается xyz (см. сноску на стр. 39).
288
2°. Каковы бы ни были векторы ах,а2, ...,akJ b, с, имеет место
соотношение:
(ах + а2 + ... + ak) be = агЬс + ajbc + ... + akbc.
Зэ. Если а, Ь, с — произвольные векторы, ар, &, с
компланарны1, то
(а + р)Ье = abc.
Пример. Вычислить произведения а = а (Ь + с) (а + b + с),
р = b (с + а) (Ь + 2с), если а&с = 5.
Решение. Пользуясь свойствами тройного произведения,
получаем:
а = а (Ь + с) [а 4- (& + с)] = а (Ь + с) а + а (Ь + с) (Ь + с) = О,
так как в каждом из слагаемых векторы компланарны. Аналогично
вычислим второе произведение:
р = b (с + а) (Ь + 2с) = &(с + a) b + b (с + а) (2с) =
= b (с + а) (2с) = be (2с) + Ьа (2с) = 2 {рас) =— 2 (а&с) =— 10.
Из свойства 4°, п. 2, § 43 кососимметрической линейной функции
непосредственно следует
Теорема [44.4]. Если векторы а, Ь, с в общем декартовом
базисе еъ е2, еъ заданы координатами а{аъ а2, а3}, б {Pi, P^ Рз}»
с{*1ъ Тг> 7з)> то а^с и е1еъеъ связаны соотношением:
I ai «2 аз I
а&с= рх р2 Щ(еге2е^ (1)
iTi Т2 Тз1
Если оюе базис е±, е2, е3 прямоугольный декартовый правый, то abc
вычисляется по формуле:
abc
<*1
Pi
Ti
а2
Р2
Тг
аз
Рз
Тз1
(2)
Формула (1) позволяет установить условие компланарности трех
векторов, заданных своими координатами в общем декартовом базисе.
В самом деле, векторы a, b и с компланарны тогда и только тогда,
когда abc= 0. Но в силу некомпланарности векторов ег, е2, et имеем:
^i^^s^O» поэтому из соотношения (1) вытекает
Следствие. Для того чтобы векторы а{а1,^1, yJ, b{a2, P2, у2},
с 1аз» Рз» Тз}» заданные в общем декартовом базисе, были
компланарны, необходимо и достаточно, чтобы
<*1
[Pi
111
а2
Р2
Ъ
аз
Рз
Тз
= 0.
(3)
1 Следствия 2° и 3° могут быть также записаны относительно остальных
сомножителей.
289
3. Геометрический смысл тройного произведения. Для того чтобы
выяснить геометрический смысл тройного произведения, введем
понятие объема ориентированного параллелепипеда, построенного на трех
векторах, и площади параллелограмма, построенного на двух данных
векторах. Пусть а, & и с — три произвольных вектора, заданные в
ориентированном пространстве. Возьмем любую точку М и перенесем
в эту точку данные векторы. Концы этих векторов обозначим через
А, В и С. Возможны два случая:
а) Точки М, А, В, С не лежат в одной плоскости. Этот случай
возможен тогда и только тогда, когда векторы а, Ъ и с не
компланарны. Проведем через точки А, В и С плоскости, соответственно
параллельные плоскостям МВС, MAC и МАВ. Эти плоскости совместно
с плоскостями МВС, MAC и МАВ образуют параллелепипед
MADBCAJ)^^ который называется ориентированным
параллелепипедом, построенным на векторах а, Ь, с (рис. 129). Пусть V — объем
этого параллелепипеда. Число ± V называется объемом
ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ, с, причем
знак плюс берется в том случае, когда репер а, Ь, с правый, а минус—
когда репер а, 0, с левый.
б) Точки М, А, В, С лежат в одной плоскости. Этот случай
возможен тогда и только тогда, когда векторы a, b и с компланарны. Мы
не исключаем из рассмотрения и тот случай, когда отдельные из
векторов а, Ь и с или даже все три вектора равны нулю. Из
геометрических соображений ясно, что параллелепипеда, построенного на
компланарных векторах а, & и с, не существует. Однако в целях
общности по аналогии с предыдущим мы будем считать, что на этих
векторах также построен параллелепипед, объем которого равен нулю.
Таким образом, каковы бы ни были три вектора, можно говорить об
объеме параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Введем, далее, понятие площади параллелограмма, построенного
на двух векторах.
Пусть а и Ь—два произвольных вектора. Возьмем в пространстве
любую точку С и перенесем в эту точку данные векторы. Концы этих
векторов обозначим через А и В. Возможны два случая.
а) Точки С, А, В не лежат на
одной прямой. Этот случай возможен
тогда и только тогда, когда а и & не
коллинеарны. Проведем через А и В
прямые, параллельные соответственно
СВ и СЛ, и их точку пересечения
обозначим через D. Мы получим
четырехугольник CADB, который
называется параллелограммом,
построенным на векторах а и &.
Очевидно, площадь S этого
параллелограмма не зависит от выбора
точки С. Из тригонометрии известно, что
Рис. 12У. эта площадь вычисляется по формуле:
290
S = I a | | b | sin {aCb). (4)
б) Точки С, А, В лежат на одной прямой. Этот случай возможен
тогда и только тогда, когда векторы а и & коллинеарны. Мы не
исключаем из рассмотрения и тот случай, когда один из векторов а и b или
оба нулевые. Перенесем вектор b в точку А и обозначим конец
полученного вектора через D. По аналогии с предыдущим
четырехугольник CADB называется параллелограммом, построенным на векторах
а и Ь. Все вершины этого параллелограмма лежат на одной прямой,
поэтому естественно считать, что его площадь S равна нулю. При этом
соглашении формула (4), очевидно, остается справедливой.
Мы приходим к следующему выводу.
Лемма [44.5 ]. Каковы бы ни были векторы а и Ь, площадь
параллелограмма, построенного на этих векторах, вычисляется по фор-
муле (4).
Теперь мы докажем теорему, которая раскрывает геометрический
смысл тройного произведения.
Теорема [44.6]. Тройное произведение abc есть объем
ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с>
если a, b и с не компланарны, и объем параллелепипеда, построенного
на этих же векторах, если они компланарны.
Доказательство. Если векторы а, Ь, с компланарны, то
утверждение теоремы непосредственно следует из свойства 2 кососиммет-
рических линейных функций (п. 2, § 43), поэтому рассмотрим случай,
когда векторы не компланарны. Перенесем векторы а, Ь и с в точку М0
и рассмотрим вспомогательный прямоугольный декартовый базис
/, j, k, векторы которого приложены к точке О и имеют следующие
направления: / сонаправлен с вектором a, j лежит в плоскости ab, пер-
пендикулярен / и направлен так, что углы (а, Ь) и (/, j) имеют одну
и ту же ориентацию, a k перпендикулярен плоскости ab и направлен
так, что /, j, k образуют правый базис (рис. 130). Если через ф
обозначить угол между а и Ь, то согласно теореме [4.5] имеем: b =
= I b | cos ф/ + \b | sin фу. В выбранном базисе /, j, k
векторы a, b и с, очевидно, имеют
координаты: а{\а |, 0, 0}, b{\b\ со$ф,
| b | sin ф, 0}, с {а, Р, у}. Если С есть
проекция точки С на ось МоК, то,
очевидно, \у\ = М0С. Из теоремы [44.4]
следует, что
I \а\ 0 0
abc = |&l cos ф |&| sin ф 0
la P T
= \a\ |&| sin ф-т-
Так как | а \ \ b \ sin ф согласно лемме
[44.5] есть площадь S параллелограмма,
построенного на векторах а и Ь, то Рис. 130.
291
|a»*l = Sh|=S. M0C' = \Vabc\,
где Vabc — объем ориентированного параллелепипеда,
построенного на векторах а, Ь, с. Но по определению знаки чисел аЬс и Vаьс
совпадают, поэтому
аЬС = Vabc.
Теорема доказана.
4. Вычисление объема тетраэдра по координатам его вершин.
Теорема [44.4] может быть использована для вычисления объема
тетраэдра по заданным координатам его вершин.
Рассмотрим следующий пример.
Пример. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого
даны в прямоугольной декартовой системе координатами: А (1, 1, 1),
В (4, 2, -1), С ( -3, 1, 4), D (2, 6, 0).
Решение. Из определения смешанного произведения следует,
что объем W параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС и-
AD, равен: W = \ АВ AC AD | . Отсюда вытекает, что объем V
тетраэдра ABCD определяется соотношением:
1/ = -|л5лслВ
6 {
(5)
Вычислим координаты векторов АВ, AC, AD по данным
координатам концов этих векторов:
АВ {3, 1, —2}, АС { —4, 0, 3}, AD (1, 5, —1}.
Из соотношения (5), воспользовавшись формулой (2), получаем:
V = — mod
6
3
1
—2
-4
0
3
= J_mod(—6)= 1.
6 v '
5. Условие компланарности четырех точек. Точки называются
компланарными, если они лежат в одной плоскости. Точки А(х1у уг, zx),
В (х2, Уг> гг)> С (х3, уд, 23), D (х4, у4> *д будут компланарны тогда и
только тогда, когда векторы АВ, AC, AD компланарны. Вычислив
координаты этих векторов по координатам их концов и
воспользовавшись следствием теоремы [44.4], мы приходим к условию
компланарности четырех точек, заданных своими координатами в общей
декартовой системе:
ч
у2-
ч
— xi хз
-Уг Уз
— Ч г3-
— *i
— У1
— ч
*4~
у4-
24-
-*1
У1
-Ч
0.
(6)
292
§ 45. Векторное произведение векторов
В этом параграфе введем еще одну, последнюю в нашем курсе,
операцию над векторами — векторное произведение. Так же, как и в
случае тройного произведения, мы будем здесь предполагать, что
векторы даны в ориентированном пространстве (см. § 43, п. 6).
1. Определение векторного произведения. Векторным
произведением вектора а на вектор Ь называется вектор р,
определяемый следующими условиями:
а) Модуль вектора р равен площади параллелограмма,
построенного на векторах а и Ь.
б) Вектор р перпендикулярен как к вектору а, так и к вектору Ь.
в) Если векторы а и Ь не коллинеарны, то вектор р направлен так,
что тройка упорядоченных векторов аЬр имеет правую ориентацию.
Векторное произведение вектора а на вектор Ь обозначается так:
[ab] или а Х&. Из условия а) приведенного выше определения
непосредственно следует:
Теорема [45.1 ]. Для того чтобы векторы были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось
нулю.
Если а ф О и ЬфО, то, очевидно, условие а) может быть записано
/\
так: \ р \ = \а\- | Ь | sin {а, &).
Важно подчеркнуть, что векторное произведение двух векторов в
отличие от скалярного произведения есть вектор. Сформулированные
выше условия однозначно определяют этот вектор. В самом деле, если
векторы а и & коллинеарны, то их произведение согласно условию
а) есть нуль-вектор. Если же они не коллинеарны, то условие а)
определяет модуль векторного произведения, а условия б) и в)
—направление этого вектора. Кроме того, отметим, что векторное произведение
существенно зависит от порядка сомножителей, т. е., вообще говоря,
[ab] =? [да].
2. Зависимость между тройным и векторным произведениями
векторов. Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между
тройным и векторным произведениями.
Теорема [45.2 ]. Если а, Ь, с— три произвольных вектора, то
abc = [ab]c. (1)
Доказательство. Возможны два случая: а) векторы a, b
и с компланарны; б) векторы a, b иене компланарны. Рассмотрим
каждый из этих случаев в отдельности.
а) Векторы a, b и с компланарны. Не нарушая общности, можно
считать, что векторы a, b и с лежат в одной плоскости я. Но тогда
согласно определению векторного произведения вектор [ab ]
перпендикулярен я, поэтому [ab ] перпендикулярен с и [ab ] с = 0.
С другой стороны, а, &, с есть объем параллелепипеда,
построенного на компланарных векторах, который по определению равен нулю.
293
р Следовательно, теорема в
д данном случае справедлива
Ф б) Векторы а, & и с не
\р компланарны. Приложим
их к точке М и построим
параллелепипед на этих
векторах так, как
изображено на рисунке 131.
Пусть $ = [ab] с = рс, где
р = [ab]. Обозначим
через ф угол, образованный
векторами рис. По оп-
Рис. 131. ределению скалярного
произведения имеем: р =
= \р\ \с\ соэф = ± | р | МН, где Н — основание перпендикуляра,
опущенного из конца вектора с на прямую MP. Так как по
определению \р\ есть площадь S параллелограмма, построенного на
векторах а и &, то | PI = S • МН = Vabc По определению тройного
произведения имеем: |р| = \аЬс\.
Теперь выясним, каков знак числа р. Очевидно, знак числа р
определяется углом между векторами рис, так как $=рс. Согласно
следствиям теоремы [6.51 число Р положительно тогда и только тогда,
когда ф < — , и отрицательно тогда и только тогда, когда ф ;> —.
Так как р _L я, где л— плоскость векторов а, б, то р > 0 тогда и
только тогда, когда/? и с расположены по одну сторону от плоскости л
и Р < 0 в противном случае. Но репер abp имеет правую ориентацию,
поэтому из свойства в), п. 5, § 43 следует, что Р > 0 тогда и только
тогда, когда репер аЬс правый, а Р<0 тогда и только тогда, когда
репер аЬс левый. Мы пришли к выводу, что знаки чисел аЬс и р, а
следовательно, и сами числа совпадают. Теорема доказана полностью.
Следствие. Каковы бы ни были векторы а, Ъ и с, имеет место
соотношение
[ab] с = [са] &. (2)
Доказательство. Согласно предыдущему аде = [ab ]с,
cab =[ca] Ь. По свойству тройного произведения аЬс = cab,
поэтому имеет место соотношение (2).
3. Выражение векторного произведения через координаты
сомножителей.
Задача 1. В прямоугольном декартовом правом базисе даны
векторы а{х±, у1э гг} и &{х2, у2, г2}. Определить координаты вектора
р = lab].
Решение. Пусть х% у, z — координаты вектора р, тогда р =
= xi + yj + zk. Умножая скалярно последнее равенство поочеред-.
но на /, у, ?, получаем: х = pi = [ab]i= abi.
У = Pj = [&Ъ\ j = abj, г = pk = [ab] k = abk.
294
Из теоремы [44.4 I (см. формулу (2), § 44) получаем:
х = аЫ =
х1 у, zi
х2 Уг г2
1 О О
Ух h
У2 г2
Аналогично получаем остальные координаты вектора р:
*i У1
х2 Уг1
к.
У =
Таким образом,
х, у, г4
х2 Уг 22
0 1 0
=
г4 л;,
^2 *2
, 2 =
*i У1 2i
*2 Уг z2
0 0 1
=
У1 «I
У222
/ +
2i *i
^2 *2
/ +
*i У1
•"•г Уг
(3)
Выведенную нами формулу (3) условно можно записать в
следующем, удобном для запоминания виде:
к
[а&] =
' J
*i У1 zi
*2 Уг гг
(4)
«Определитель» в правой части этого равенства не является,
конечно, определителем в обычном смысле слова. Эта условная запись
удобна тем, что если «определитель» правой части разложить по
элементам (векторным!) первой строки, пользуясь обычными правилами
разложения определителя, то получим формулу (3), которая уже имеет
вполне определенный смысл.
4. Свойства векторного произведения. В следующей теореме
сформулированы основные свойства векторного произведения векторов.
Теорема [45.3]. Для произвольных векторов а, Ь и с и
произвольного числа а имеют место следующие свойства векторного
произведения:
а) [ab] = — [Ьа]\
б) [a, ab]=a[ab]f [aab] = a[ab]\
в) [a, b + с] = [ab] + [ас], [а + Ь, с] = [ас] -f [be].
Доказательство. Возьмем прямоугольную декартову
правую систему координат и введем обозначения для координат векторов
a, b и с:
a {*i, Уъ г4}, b {x2, у2> г2}> с (*з> Уз> zzY
Тогда
ab{ax2, ау2, аг2}\
(Ь + с) {х2 + я-3, у2 + у3ч г2 + z3},
(а + b) {xi + х2, yi + у2, ^ + г2}.
Пользуясь, далее, формулой (3) для вычисления координат
векторного произведения, непосредственно можно убедиться в том, что
295
векторы, записанные справа и слева в соотношениях а), б) и в), имеют
одни и те же координаты. Отсюда последует справедливость этих
равенств. Проверим, например, соотношение [a, ah 1 =а \ab\. Имеем:
[а, ад]
¦а
\ау2 az2
У г V
/ +
г, xi
;аг2 ах2
J +
J +
ах2 ау2
fe\ =а[а&]
& =
Точно так же проверяются остальные свойства. Предоставляем
читателю проделать это самостоятельно.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекают два следствия.
Следствия. 1°. Для произвольных векторов а и Ь и
произвольных чисел а и Р имеет место соотношение:
[аа, р&1 = сф[#&1.
2°. Каковы бы ни были векторы а1У а2, .-•> ak, имеет место
соотношение:
[а, + а2 + ... + ak, b] = [a{b] + [a2b] -f- ... + [akb].
В заключение рассмотрим в качестве задач на доказательство
некоторые тождества, полезные при решении задач.
Задача 2. Доказать, что для любых векторов а, &, с и d имеют
место следующие соотношения:
а) I [ab] с] = b (ас) — а (Ьс)\ (5)
б) [ab] [cd] = (ас) (bd) — (ad) (be); (6)
в) [a [be] I + [b [ca] ] + [с [ab]} = 0; (7)
r) [ab]2 = a2b2 — (ab)*. (8)
Доказательство, а) Пусть [[ab]c] — p, Ь(ас) — a{bc) = q.
Если а — 0, то соотношение очевидно, так как в этом случае [ab] =
= 0, (ас) = 0, а (рс) = 0. Следовательно, р = 0 и q = (К
Теперь рассмотрим случай, когда а ф 0. Введем в рассмотрение
прямоугольный декартовый базис /,/, k так, чтобы а= /, b =ос1/-+-ргУ-
Очевидно, при а ф 0 это всегда возможно. Пусть в этом базисе с =
= сс2/ + Р2У + у2?.
Вычислим координаты векторов /? и q. Имеем: а{1,0,0}, Ь{<х1, (51? 0},
поэтому \ab 1 {0, 0, рх}. Вектор р есть векторное произведение
вектора [ab] на с, следовательно,
/>{-PiP2, Pi«* 0}.
Далее, ас = а2, &с = аха2 + PiP2> поэтому q
+ PiP2)a- Отсюда следует, что q имеет координаты:
<?{-PiP2, а2рг, 0}.
Мы пришли к выводу, что соответствующие
р и q совпадают, поэтому р = q.
а2& — (аха2 +
оординаты векторов
296
б) Запишем соотношение (5) для [[cd]b]. Имеем:
\\cd\b\ = d{cb)—c(db).
Поменяв местами сомножители в левой части, получаем:
[b[cd]\ = c(db) — d(cb)
Умножив скалярно обе части последнего равенства на а> будем иметь:
[b [cd] ] а = {db) (ca) — (cb) (da).
Воспользовавшись следствием теоремы [45.2] (см. формулу (2)),
окончательно получаем:
[ab] [cd] = (ас) (bd) — (ad) (be).
в) Воспользовавшись соотношениями (5), выразим тройные
векторные произведения через векторы-сомножители:
[a [be] ] = —[ [be]a] = —с(ab) + b (ca)y
[Ь [са] ] = — [ \ca\b\ = —а (be) + с (ab),
[с [ab] ] = — [ [ab] c] = —b (ca) + a (be).
Сложив все эти соотношения, получаем (7).
г) Соотношение (8) есть частный случай соотношения (6). В
самом деле, положив в (6) с = a, d = 6, получаем:
[ab] [ab] = (аа) (bb) — (ab) (6a),
т. е. соотношение (8).
5. Свойства векторного произведения, отличные от свойств произведения чисел.
Из предыдущего изложения видно, что формальные свойства векторного
произведения векторов в основном совпадают с соответствующими свойствами произведений
чисел. Однако так же, как и в случае скалярного произведения, нельзя любое
свойство произведения чисел автоматически переносить на векторное произведение.
Векторное произведение векторов имеет некоторые специфические свойства, не
присущие операции произведения чисел. Рассмотрим основные из этих свойств.
а) Прежде всего отметим, что векторное произведение есть операция, которая
двум векторам ставит в соответствие третий вектор, т. е. в отличие от скалярного
произведения оно аналогично операции умножения чисел. Однако в отличие от
произведения чисел векторное произведение существенно зависит от порядка
сомножителей, так как [ab] = —[ba].
б) Если а ф О, то числовое уравнение ajt = (3 всегда имеет единственное
решение. Аналогичное уравнение для векторного произведения [ах] = b далеко не
всегда разрешимо. Если b Ф 0, то легко видеть, что это уравнение имеет решение тогда
и только тогда, когда а и b перпендикулярны. В этом случае уравнение имеет
бесчисленное множество решений. В частности, уравнение [ах] — а при а Ф G не имеет
решения, поэтому нельзя ввести понятие вектора-единицы, т. е. вектора х,
удовлетворяющего предыдущему соотношению для любого а. Нельзя ввести также понятие
вектора, обратного данному вектору.
в) Так же как и в случае скалярного произведения, векторное произведение
обладает делителями нуля, т. е. существуют ненулевые векторы а, Ь, произведение
которых равно нулю: [ab] = 0. Такими векторами по теореме [45.1 ] будут коллинеар-
ные векторы.
г) Так как произведение коллинеарных векторов есть нуль-вектор, то [аа]= О,
поэтому [[аа]а]=0. Отсюда следует, что для векторного произведения
нецелесообразно вводить понятие степени.
297
д) Как известно, для чисел справедлив ассоциативный закон, т. е. для любых
трех чисел а, р, у имеем: (а(З)у =а(ру). Операция векторного произзедения не
обладает аналогичным свойством. В самом деле, пусть а, Ь и с — произвольные
векторы. Согласно задаче 2
[ \аЬ\ с\ = Ь (ас) — a (be), {a \Ьс\\ = — [\Ьс\ а\ = Ь{са) — с (ab).
Отсюда следует, что ( [ab\ с\ — [а \Ьс] ] = с {ab) — a (be).
Итак, [ [ab\ с\ — [а [Ьс\ \ = (ab) с — a (be).
Если, например, а и с не коллинеарны, то правая часть не равна нулю, поэтому
и левая часть отлична от нуля, т. е. в этом случае
\\аЬ\с\Ф\а\Ьс]\
§ 46. Приложение метода координат в пространстве и векторной
алгербы к элементарной геометрии
Изложенную в этой главе теорию можно применить к
доказательству теорем и решению задач элементарной геометрии. В этом
параграфе мы приведем несколько примеров приложений метода
координат, а также векторного и смешанного произведений векторов к
решению геометрических задач.
1. Свойства тетраэдра.
Задача 1. Доказать, что отрезки, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра1 пересекаются в одной точке и
делятся в ней пополам.
Решение. Пусть О А ВС — данный
тетраэдр, а А1У В1У CJ1G11 FlyE1
соответственно середины ребер ОА, 05, ОС, СА, СВ, АВ
(рис. 132). Принимая вершину О за начало
координат и полагая 0АХ =а, 0В1 = Ь и
0С± = с, выразим радиус-векторы середин
отрезков A±Fly B1G1 и С1Е1 через а, Ь, с.
Если середины отрезков AxFly BxGly С1Е1
обозначить соответственно через R, S, Т,
а их радиус-векторы соответственно через
rRi rs и Гт , то получим:
2Ь-\-2с
0At + 0F1
а + -
rs =
rT
rR
0В1+0Gl
2 ~"
бс1 + 0Е1 =
2 ~~
а+Ь+с
ь +
с +
2
2а + 2с
2
2
2а + 26
2
а + Ь + с
а-\-Ь + с
1 Здесь и в дальнейшем под тетраэдром понимается произвольная треугольная
пирамида.
298
Таким образом, Гц= rs =Гт, а это и означает, что точки /?, S, Т
совпадают, что и требовалось доказать.
Задача 2. Пусть SABC — тетраэдр, М — точка пересечения
медиан треугольника ABC, a Alt Bu Сг — три точки, лежащие
соответственно на ребрах SA, SB, SC. Доказать, что точка Мг
пересечения медиан треугольника А1В1С1 лежит на прямой SM тогда и
только тогда, когда плоскости ABC и А1В1С1 параллельны.
Решение. Возьмем точку S за начало, а ег = SA, е2 = SB,
ег = SC — за координатные векторы общей декартовой системы
координат в пространстве (рис. 133). В этой системе вершины тетраэдра и
точка М имеют координаты:
S (0, 0, 0), Л (1, 0, 0), В (0, 1, 0), С (0, 0, 1), М (1, 1, 1).
Так как точки А1У Вх, Сг лежат на координатных осях, то их
координаты можно обозначить так: Аг (х0, 0, 0,), Вх (0, у0, 0), Сх (0, 0, zQ).
Точка пересечения медиан треугольника А1В1С1 имеет координаты
Mi (f • f • t)-
Точка УИХ лежит на прямой SM тогда и только тогда, когда S, М и
М ! коллинеарны. Согласно выводам п. 7, § 42 будем иметь:
= 0, или х0 = у0 = zQ
-Ц- = -^ = 4^> т- е- плоскости ABC и ^ВД
SA SB SC
параллельны.
2. Свойства параллелепипедов.
Задача 3. Доказать, что диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
1 1
; 3 3
Jo _Ур
3 3
= 0,
1 1
3 3
_Ур ?о_
3 3
Таким образом,
Рис. 133.
299
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Примем
точку А за начало, а^ = АВ, е2 = AD, е3 = АА1 за координатные
векторы общей декартовой системы координат (рис. 134). В этой
системе координат вершины параллелепипеда имеют координаты:
А (О, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0), Аг (0, 0, 1), В, (1, 0, 1),
Сг(1, 1, 1), D^O, 1, 1).
Рассмотрим диагонали AC±i BDly DBU CAX. Непосредственным
вычислением легко убедиться в том, что середины этих четырех
отрезков имеют одни и те же координаты [—, —, —), поэтому диагонали
проходят через точку Ml—, - - и в этой точке делятся пополам.
Задача решена.
Задача 4. Доказать, что диагональ АСХ параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 проходит через центры тяжести треугольников AXBD
и BJ)^ (рис. 134).
Решение. Пусть общая декартова система выбрана так, как
в задаче 3 (рис. 134). В этой системе, как было отмечено выше,
вершины параллелепипеда имеют координаты: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1,0),
D (0, 1, 0), А1 (0, 0, 1), Вг (1, 0, 1), Сг (1, 1, 1), D± (0, 1, 1). Центр
тяжести G± треугольника A±BD имеет координаты Gx (—, —, —•), а
У О о О J
(2 2 2 *
—> —i т)-
О О О /
На рисунке 134 точки Gx и G2 не изображены. Используя условия (5),
/1 1 1\ /2 2 2\
§ 42, легко доказать, что точки А (0, 0, 0), G± —, --, —|, G2 (—, —, -I
и С1 (1, 1, 1) лежат на одной прямой.
3. Свойства пространственных многоугольников. Как известно из курса
элементарной геометрии, система отрезков АВ, ВС, CD, . . . , KL называется ломаной,
соединяющей точки А и L. Если точки А и L совпадают, то такая ломаная
называется многоугольником и обозначается так: ЛВС ... /С. Отрезки АВ, ВС, . . . ,
КА называются сторонами, а точки А, В, С, D, . . . , К — вершинами
многоугольника1.
Ниже, в § 55, мы подробно рассмотрим свойства так называемых простых
многоугольников. Здесь же решим одну задачу для многоугольника, заданного в самом
общем виде, т. е. без ограничений, накладываемых на расположение вершин или
сторон. Такие многоугольники мы называем пространственными. Очевидно, для
того чтобы ломаная ABC . . . KL была многоугольником, необходимо и достаточно,
чтобы А В + ВС + . . . + KL + LA = 0. Мы будем говорить, что из системы
направленных отрезков А±ВЪ А2В2, ...» Аф^ можно составить пространственный
многоугольник, если
А^В1 + Р^В2 + . . . + Афк = 0.
На рисунке 135 изображены направленные отрезки АХВЪ А2В2, А3В3 и Л4?4,
из которых можно составить четырехугольник MNLK.
Мы будем говорить, что многоугольник АгА2 . . . А2п (п > 1), имеющий четное
число вершин, является составным, если как из системы направленных отрезков
1 Относительно определения многоугольники см. сноску на стр. 352.
300
Л^а.ЛдЛ^..., А2п-х А2п, так и из
системы направленных отрезков А2А3,
Л4Л5,..., А2п-2 A2n-V A2nAl можно
составить многоугольники. Легко по
казать, что для того, чтобы много
угольник АгА2. . . А2п был
составным, необходимо и достаточно,
чтобы
AtA2+ Л3Л4 +
или
¦ ~т A2n_i_A2rl О,
А2АЪ + А±АЬ + . . . + А2пА, = 0.
В самом деле, если выполняется одно из этих условий, то в силу соотношения
АХА2 + А2А3 + . . . + ^2,^! = 0 будет выполняться также другое условие.
Отсюда, в частности следует, что четырехугольник A1A2A3Ai будет составным
тогда и только тогда, когда AYA2 + А3Л4 — °> т- е- АХА2 = А4А3. Этим условием
характеризуется параллелограмм.
Докажем следующее интересное предложение.
Задача 5. Доказать, что если Аъ А2,
.Лг
произвольный
пространственный многоугольник с четным числом вершин, то многоугольник, вершинами
которого служат середины сторон данного многоугольника, является составным.
Доказательство. Пусть М12, М23, ... , Мр1 соответственно середины
сторон АХА2, A2AZ, ... , АрАх. Требуется доказать, что многоугольник М12М23...Мр1
составной. Для этого достаточно показать, что
^12^23 + ^34^45 + ... + Мр-з, р-2^/7-2, р-1 + MP-1, pMpi = °-
(1)
Возьмем произвольную общую декартову систему координат и обозначим
координаты вершин исходного многоугольника следующим образом: А^х^ уъ zx),
Л2 (х2, у2, z2), . . . , Ар {Хр, Ур, Zp).
В этой системе координат середина стороны AiAi+1 будет иметь координаты
М
( Ч + 4+1 У'ь + У1+1 Ч + 4+1
hl+i у 2 2 2
где / = 1,2, ...,/? — 1, а середина Мр стороны ApAt — координаты
ХР -Mi Ур + У1 zp + zi \
М
РА
Векторы, входящие в соотношение (1), имеют координаты:
*з — *i Уз — Ух Ч — Ч
2*2*2
^12^ [J
МЗАМ#
*5 х3
2
Уь — Уз гъ — 23
2
М
p-Z, р-У
\л f хр-\ — хр-з У р-1 — Ур-з zP-i -~ гР-з )
Мр-2, p-i| 2 . g . 2 j>
Mr
-1, РтРЛ | ?
У1 — УР-1 4 — zp-\. \
Отсюда сразу усматривается справедливость соотношения (1).
301
4. Приложение векторного и тройного произведений к решению
задач.
Задача 6. Доказать, что во всяком треугольнике ABC
а b с
sin С
sin Л
sin В
(2)
(теорема синусов).
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, а
S — его площадь. Из определения векторного произведения
непосредственно следует, что площадь треугольника может быть
вычислена при помощи любого из следующих соотношений:
s = ±
2
[АВ • АС] | = -1 [ВА • ВС] | = -1 [СА • СВ] |.
Пользуясь определением векторного произведения, а также
соотношением (4) § 44, эти соотношения можно записать так:
S = — сЪ sin A =
2
— са sin В = — ab sin С.
Отсюда непосредственно следуют соотношения (2).
Задача 7. В основании пирамиды SOABC лежит
прямоугольник О АС В со сторонами О А = а, ОВ = Ь\ ребро OS перпендикулярно
плоскости основания и равно ft. На стороне АС основания пирамиды
взята такая точка /С, что АК = с. Найти угол ф между плоскостями
SBC и SOK.
Решение. Направленные прямые ОА, ОВ и 05 примем за оси
прямоугольной декартовой системы координат (рис. 136). В этой
системе вершины пирамиды и точка К имеют координаты: О (О, О, О),
А (а, О, 0), В (О, Ь, 0), С (а, Ь, 0), S (0, 0, ft), К (а, с, 0).
Угол ф между плоскостями SBC и SOK равен углу между двумя
векторами, перпендикулярными соответственно этим плоскостям. Для
нахождения таких векторов воспользуемся векторным произве-
р = [ВС • SB 1 и q = [OS • OK I
Очевидно, векторы р и q
перпендикулярны, соответственно,
плоскостям SBC и SOK, поэтому
Ф = (р, q). Вычислив координаты
векторов р и q, определим cos (р.
Векторы ВС, SB, OS и OK имеют
координаты: ~ВС{а, 0, 0}, SB {0, b, —ft},
OS {0, 0, ft}, OK {a, c, 0). Далее
определяем координаты векторов р и q\
ij k\
а0 0
Рис. 136. I 0 Ь—ft I
дением Рассмотрим векторы
-~ahj-\-abk, p{Q,ah,ab\<
302
Аналогично этому получаем координаты вектора д. Имеем:
q{—hc, ah, 0}.
Отсюда, пользуясь формулой (5), § 7, получаем:
a2h2 ah
C0S Ф ~~ Va2h2 + a*b* Vh2c2 + aW ~~~ Va2 + с2 /&2 + h2
Задача 8. Вершина параллелепипеда и центры трех
противоположных для данной вершины граней служат вершинами пирамиды.
Вычислить, какую часть объема параллелепипеда составляет объем
этой пирамиды.
Решение. Пусть О А, ОВ, ОС — ребра параллелепипеда,
исходящие из вершины О, а Р, Q и R — центры граней,
противоположных вершине О (рис. 137).
Если W — объем данного параллелепипеда, а V — объем
пирамиды OPQR, то из содержания п. 4, § 44 следует, что
W=\OA OB ОС\, V = ±\OPOQOR\.
Для того чтобы установить связь между W и V, выразим векторы
OP, OQ, OR через а = ОЛ, Ь = ОВ, с = ОС. Легко видеть, что
ОР = ОА + АР^а+-Ь + -су
2 2
OQ = OB + BQ
OR
Ъ+-а + -с,
2 2
2 2
Примем а, & и с за базисные
векторы пространства. Тогда
Из теоремы [44.4] следует, что
OPOQOR
Но
1
1
2
1
12
1
2
1
1
2
11
2
1
2
1
(а&с) = — (abc).
Рис. 137.
i I» 6 i ^ i 121 ' 12
Таким образом, объем пирамиды OPQR составляет — часть объема
исходного параллелепипеда.
Глава VII!
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 47. Плоскость в общей декартовой системе координат
1. Понятие уравнения поверхности. Во второй главе было введено
понятие уравнения множества точек плоскости. Там были
рассмотрены разнообразные примеры на составление уравнений этих множеств
точек и на их исследование по уравнениям. Понятие уравнения
множества точек, которое было введено для точек плоскости, по существу
без каких-либо принципиальных трудностей можно распространить
на трехмерное пространство. Ниже приводятся основные определения
для этого случая.
Пусть нам дано некоторое выражение F (х, у, z), зависящее от
трех переменных х, у и г. Будем говорить, что х0, у0, г0 являются
допустимыми значениями выражения F (х, у, z), если F (хОУ у0, г0)
—действительное число. Рассмотрим соотношение
F (*, у, z) = 0. (1)
Может случиться, что соотношение (1) выполняется для всех
допустимых значений х, у и г. В этом случае равенство (1)
называется тождеством.
Например, если
F (х, у, г) = sin2 (х + у + z) + cos2 (х + у + г) — 1,
то это соотношение выполняется для всех допустимых значений х, v и
2, т.е. в данном случае мы имеем тождество. В большинстве случаев
соотношение (1) выполняется далеко не для всех допустимых
значений х, у и z. В этом случае оно называется уравнением. Например,
если F (х, у, г) = Ъх — у + г, то, очевидно, любые числа х% у и z
являются допустимыми значениями выражения Ъх — у + г.
Соотношение (1) в данном случае имеет вид: Ъх — у + z = 0. Это соотношение
выполняется не для всех х, у и z, поэтому оно является уравнением.
Пусть в пространстве дана система координат Оегегег. Под
уравнением множества точек пространства мы будем понимать такие
аналитические условия, которым удовлетворяют координаты всех точек
данного множества и не удовлетворяют координаты точек, не
принадлежащих этому множеству.
304
Если аналитическая характеристика совокупности точек сводится
к одному уравнению F (х, у, г) = О, то такое множество точек
называется поверхностью, а соотношение (1)—уравнением поверхности.
Таким образом, если S — некоторая поверхность в пространстве,
где дана система координат Оеге2еъ, то соотношение (1) является
уравнением этой поверхности, если координаты каждой точки
поверхности S удовлетворяют уравнению (1) и координаты любой точки
пространства, не принадлежащей S, не удовлетворяют этому
уравнению.
Определение поверхности, данное выше, является слишком
широким, и в ряде случаев в соответствии с этим определением можно
получить такие множества точек, которые никак не отвечают нашему
наглядному представлению о поверхности. Например, поверхность,
заданная уравнением z — | z | = 0, как легко видеть, представляет
собой замкнутое полупространство, координаты всех точек которого
удовлетворяют условию z > 0. Обычно на функцию F (х, у, z)
накладывают дополнительные ограничения. Наиболее естественным
является следующее: если точка М0 принадлежит поверхности S,
определяемой уравнением (1), то любая окрестность точки М0 содержит точки,
не принадлежащие поверхности S. В дальнейшем всюду будем
предполагать, что это условие выполнено. Однако в большинстве случаев
будем рассматривать только такие поверхности, которые
определяются уравнением вида (1), где F (х, у, г) — многочлен первой или
второй степени от трех переменных. Такие поверхности называются
алгебраическими поверхностями соответственно первого или второго
порядка1.
В аналитической геометрии ставятся следующие две основные
задачи:
а) зная поверхность как множество точек, написать ее уравнение;
б) зная уравнение множества точек, исследовать его свойства.
В настоящей главе рассмотрим эти задачи для случая, когда
поверхность представляет собой плоскость.
2. Плоскость и ее уравнение. В § 16 было отмечено, что при
аксиоматическом построении курса геометрии плоскость, так же как точка
и прямая, считается как основным, неопределяемым объектом.
Основные свойства плоскости определяются аксиомами, а остальные
свойства выводятся из аксиом логическим путем. В настоящем курсе
термину «плоскость» мы придаем несколько иной смысл. Пусть я —
некоторая плоскость, определяемая аксиоматически. В дальнейшем
под термином «плоскость я» будем понимать геометрический образ,
состоящий из множества всех точек, а также множества всех векторов,
принадлежащих я 2.
Как известно (см. § 3), совокупность всех векторов данной
плоскости я образует двумерное векторное подпространство. Это подпро-
1 Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 60, п. 4
2 Векторами плоскости,как было отмечено в §4, называются векторы,
параллельные плоскости.
305
странство будем называть двумерным
подпространством плоскости я. Если неколлинеарные векторы р и q
являются векторами этого подпространства, то вектор г будет
принадлежать плоскости я тогда и только тогда, когда г, р и q компланарны.
Пользуясь этим замечанием, можно охарактеризовать множество всех
точек, принадлежащих плоскости. В самом деле, если М0 —
произвольная точка плоскости я, ар и q — неколлинеарные векторы этой
плоскости, то, очевидно, каждая точка М плоскости характеризуется
условием: М0М, р, q компланарны. Обратно, если М0М, р, q
компланарны, то точка М принадлежит плоскости. Таким образом, точка М
принадлежит плоскости я тогда и только тогда, когда векторы М0М,
р и q компланарны. Это условие можно использовать для того, чтобы
получить аналитическую характеристику всего множества точек М
плоскости я, или уравнение плоскости я.
Положение плоскости я в пространстве определяется однозначно,
если даны следующие объекты, принадлежащие плоскости:
а) Точка М0 и неколлинеарные векторы р и q плоскости. Точка М0
называется начальной точкой, а р, q —
направляющими векторами. Очевидно, за начальную точку можно
взять любую точку, а за направляющие векторы — любые
неколлинеарные векторы плоскости.
б) Три точки М1э М2 и Af3, не лежащие на одной прямой.
Если в пространстве выбрана общая декартова система
координат, то указанные выше объекты, определяющие положение
плоскости я в пространстве, задаются координатами. Одной из основных
задач теории плоскости является следующая задача: зная координаты
образов, определяющих положение плоскости я в пространстве,
написать уравнение множества точек плоскости я. Ниже рассмотрено
решение этой задачи при различных способах задания плоскости.
3. Уравнение плоскости, заданной начальной точкой и
направляющими векторами.
Задача 1. Написать уравнение плоскости я, заданной в
некоторой общей декартовой системе координат начальной точкой
М0(х0, у0, z0) и направляющими векторами р{а1? plf уг} и q {а2, р2, у2}.
Решение. Выше было отмечено, что произвольная точка М
принадлежит плоскости я тогда и только тогда, когда вектор М0М
компланарен с векторами р nq. Если л;, у, z — координаты точки М,
тс А10М {х — х0, у — у0, г — г0}. Условие компланарности векторов
MqM, р и q запишется соотношением:
=0. (2)
X
х0
а,
а2
У — Уо
Pi
Р2
г — г0
Yi
Y2
306
Это и есть уравнение плоскости я, так как координаты любой
точки плоскости я удовлетворяют этому уравнению, а координаты
точек, не принадлежащих плоскости я, не удовлетворяют данному
уравнению.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные
точки.
Задача 2. Написать уравнение плоскости я, проходящей через
три неколлинеарные точки М1 (хг, уг, zx)y М2(х2, у2> гг) и ^з (*з» Уз» гз)»
заданные своими координатами в некоторой общей декартовой системе
координат.
Решение. Плоскость я дана тремя точками, не лежащими на
одной прямой. Перейдем к первому способу задания плоскости и
воспользуемся уравнением (2). Точку Мг примем за начальную точку,
а векторы МгМ2 и МгМ3
М1М2 {х2
Ч>
у2
за направляющие векторы. Так как
гг}% МгМ3 {х3 — xlf уд — Ун Ч— zi)>
то уравнение (2) в данном случае принимает вид:
х — х1 у — ух z — гг
х2 Xi y2 — yj z2 — Zi
х3 Xi Уз — У1 гз — zi
= 0.
(3)
Соотношение (3) является уравнением плоскости,
проходящей через три неколлинеарные точки.
5. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость я не проходит
через начало координат и не параллельна координатным осям. В этом
случае она пересекает координатные оси в точках Ми М2 и М3,
отличных от начала координат. Если в данной системе координат эти
точки имеют координаты Мх (а, О, 0), М2 (0, 6, 0), М3 (0, 0, с), то
а Ф 0, Ъ ф 0, с Ф 0. Числа а, Ъ и с, очевидно, однозначно определяют
положение плоскости в пространстве.
Поставим следующую задачу.
Задача 3. Написать уравнение плоскости я, которая в общей
декартовой системе координат пересекает оси в точках Мг (а, 0, 0),
М2 (0, 6, 0), М3 (0, 0, с), отличных от начала координат.
Решение. Плоскость я проходит через точки Мг (а, 0, 0),
М2 (0, 6, 0), М3(0, 0, с), поэтому мы получим ее уравнение с помощью
соотношения (3):
х — а у z
0 — а Ъ 0
0 —а 0 с
0, или (л- — a) be + уас + zab = 0.
Так как а Ф 0, Ъ Ф 0 и с Ф 0, то, разделив полученное уравнение
на abcy получаем:
i + i + JL-l.
a b с
307
Последнее соотношение называется уравнением плоскости
в отрезках.
6. Параметрическое задание плоскости. В заключение рассмотрим
параметрическое задание плоскости, т. е. выразим координаты любой
точки плоскости через произвольные параметры. Пусть в общей
декартовой системе координат плоскость я задана начальной точкой
MQ(x0, у0, z0) и направляющими векторами p{ai,Pi, Yi} и q{a2l р2, Y2}-
Точка М (х, у, z) принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда
векторы М0М, р и q компланарны, т. е. когда
hxAyW + Ъ^р + 7i3q = О,
где К19 К2 и Х3 одновременно не равны нулю.
Поскольку векторы р и q по условию не коллинеарны, то КгфО.
Поэтому, разделив последнее соотношение на Хх и вводя обозначения
Я= -, [х= —-т5-, окончательно получим:
М0М = Хр + [л#.
Это соотношение в координатах запишется системой равенств:
1х — х0 = Juxjl + (ша, х = х0 + ^! + (Аа2,
У — Уо = *Pi + ^Р2> или у = у0 + *А + И02» (4)
z — z0 = A/Yi + [XY2, 2 = 20 + Л,у1 + №•
Очевидно, этим соотношениям удовлетворяют так же координаты
точки М0> так как при К = \i = 0 имеем: а: = х0, у = у0 и z = z0.
Этот способ задания плоскости называется параметрическим, а
уравнения (4) — параметрическими уравнениями
плоскости. Их смысл заключается в следующем: каковы бы ни
были действительные числа К и (i, точка с координатами х, у, г,
удовлетворяющая условиям (4), лежит в плоскости я. Обратно, если (х} у, г)—
точка плоскости я, то всегда найдутся такие числа К и (л, что х, у и
2 выражаются через координаты точки М0 и координаты векторов р и
# при помощи соотношений (4).
7. Плоскость как поверхность первого порядка. Для полученных
в предыдущем параграфе уравнений, соответствующих различным
способам задания плоскости, можно указать следующую характерную
особенность: все они являются алгебраическими уравнениями первой
степени, т. е. уравнениями вида:
Ах + By + Cz + D = 0. (5)
Естественно, возникает вопрос: всякое ли уравнение первой степени
относительно переменных х, у, z определяет в пространстве плоскость?
На этот вопрос отвечает следующая основная теорема.
Теорема [47.1 ]. Множество точек пространства, координаты,
которых в общей декартовой системе координат удовлетворяют
уравнению
308
Ж j
Ах + By + Cz + D = О, (5)
где коэффициенты А, В и С
одновременно не равны нулю, есть множество
всех точек некоторой плоскости,
содержащей векторы
р{В,—А, 0}, q{C, О, -А},
г{0, С, -В).
Доказательство. По
условию теоремы коэффициенты Л, В
и С одновременно не равны нулю.
Рассуждения проведем в
предположении, что А Ф 0. Пусть G — поверхность, заданная
уравнением (5) (рис. 138). Возьмем произвольную точку М0(х0, у0, z0) на этой
/ Г)
поверхности. Такая точка всегда существует, например ( , 0, 0) .
Согласно теореме [5.3] векторы р {В, —Л, 0} и q{C, 0, —Л} не
коллинеарны. В самом деле,
-Л 01
ег
Рис. 138.
0-АГА**°-
Напишем уравнение плоскости п, проходящей через точку Ма
содержащей векторы р и q:
В
С
о У—Уо
—А
0
2— 2С
о
-А
= 0
или
А\х — х0) + АВ (у — у0) + АС (г — г0) = 0.
Так как А Ф 0, то это уравнение равносильно уравнению
А (х - х0) + В (у — у0) + С (г — г0) = 0
или
0.
Ах + By + Cz — (Ах0 + Ву0 + Cz0)
Точка М0 лежит на поверхности (5), поэтому Ах0+ Ву0 + Cz0 —
= —D. Подставив это значение в предыдущее уравнение, мы
приходим к выводу, что уравнение плоскости л совпадает с уравнением
поверхности G. Следовательно, поверхность G есть плоскость л.
Нетрудно заметить, что вектор г также принадлежит этой
плоскости, так как векторы р, q и г компланарны:
IB —A 0
' = ВАС — САВ = 0.
0 —А
С —В
Теорема полностью доказана для случая, А ф 0.
Если А — 0, а какой-либо из коэффициентов В или С отличен от
нуля, то, как нетрудно видеть, доказательство несущественно отли-
309
чается от предыдущего. В этих случаях при доказательстве теоремы
вместо векторов р и q следует брать либо /?, г, либо q, г.
Уравнение (5) называется общим уравнением
плоскости.
Доказанную теорему можно сформулировать несколько иначе,
если ввести следующее определение: алгебраической по ее р х-
н о с т ь ю первого пор яд к а называется мнооюество всех точек,
координаты которых в некоторой общей декартовой системе
удовлетворяют уравнению (5), где коэффициенты А, В и С одновременно не
равны нулю.
Теорема [47.Г]. Всякая алгебраическая поверхность первого
порядка есть плоскость.
Важно отметить, что в условиях теоремы [47.1 I требуется, чтобы
коэффициенты Л, В и С одновременно не равнялись нулю. Это
требование существенно. В самом деле, если А = В = С = О, то
уравнение (5) принимает вид: 0- x + 0-y + 0-z+D=0. Если D ф О,
то в пространстве не существует ни одной точки, координаты которой
удовлетворяли бы этому уравнению. Если же D = О, то уравнение
имеет вид: 0-x-\-0-y + 0-z + 0 = 0. Этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки пространства.
8. Условие принадлежности вектора плоскости. Пусть в общей
декартовой системе координат дана плоскость уравнением (5) и вектор
р {а, р, у}. При каком условии вектор р принадлежит плоскости? На
этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема [47.2]. Для того чтобы вектор р, имеющий
координаты {а, р, у} в некоторой обилий декартовой системе координат,
принадлежал плоскости, заданной в той же системе уравнением (5),
необходимо и достаточно, чтобы
Аа + ВР + Су = 0. (6)
Доказательство. Пусть вектор р {а, Р, y} принадлежит
плоскости (5). Согласно определению (см. п. 4, § 3) в плоскости
найдутся две такие точки М1 и М2, что МХМ2 = р- Если в данной
системе точки ML и М2 имеют координаты Мх (хъ уъ гг) и М2 (х2, у2, г2),
то
Ахг + Вуг + Сгг + D = 0,
Ах2 + Ву2 + Cz2 + D = 0.
Отсюда получаем:
Л (х2 - хг) + В (у2 - уг) + С (z2 - zj = 0. (7)
> ——>>
Но М1М2 = р, а вектор М±М2 имеет координаты {х2 — х19 у2 — уи
г2 — г\}> поэтому х2 — х1 = а, у2 — ух = Р, z2 — гх = y« Подставив
эти значения в соотношение (7), получаем равенство (6).
Обратно, пусть выполняется соотношение (6). Возьмем
произвольную точку М1 (хх, yl9 zx) в плоскости (5) и приложим вектор р к этой
точке. Если М2 (x2i у2, 2г) — конец вектора р, то а = х2 — xl9 p ==
310
= Уг — У и У = z2 — zu поэтому соотношение (6) принимает вид (7).
Так как точка Mt (хг, yY, zj принадлежит плоскости (5), то
Axt + Byx + Czl 4- D = 0. (8)
Сложив соотношения (7) и (8), получаем: Ах2 + Ву2 + Cz2 + D = 0,
т. е. точка /VI2 принадлежит плоскости (5), поэтому вектор р
параллелен этой плоскости.
9. Расположение плоскости относительно системы координат. Пусть
в некоторой общей декартовой системе координат дана плоскость
уравнением (5). Выясним, как по этому уравнению узнать
особенности расположения плоскости относительно системы координат.
а) Условие прохождения плоскости через
начало координат. Учитывая, что начало О координат
имеет координаты (0, 0, 0), мы приходим к выводу, что плоскость (5)
проходит через начало координат тогда и только тогда, когда D = 0.
В этом случае плоскость имеет уравнение:
Ах + By + Cz = 0.
б) Условия, при которых плоскость
параллельна одной из координатных осей или
содержит ось. Ось Ох параллельна плоскости (5) или лежит в
этой плоскости тогда и только тогда, когда вектор е1 {1, 0, 0}
принадлежит плоскости. Согласно теореме [47.2] это условие сводится к
соотношению: А = 0. Если при этом и D = 0, то плоскость (5)
проходит через начало координат и, следовательно, содержит ось Ох,
если же D Ф 0, то плоскость параллельна оси Ох и не имеет с ней ни
одной общей точки.
Итак, плоскость (5) параллельна оси Ох тогда и только тогда, когда
Л=0, Вф 0, и содержит ось Ох тогда и только тогда, когда А =
= D = 0.
Совершенно аналогично определяются условия параллельности
плоскости осям Оу и Oz:
плоскость (5) параллельна оси Оу тогда и только тогда, когда
В = 0, D Ф 0, и содержит ось Оу тогда и только тогда, когда В = D =
= 0;
плоскость (5) параллельна оси Oz тогда и только тогда, когда
С = 0, D Ф 0, и содержит ось Oz тогда и только тогда, когда С =
= D = 0.
в) Условия, при которых плоскость
параллельна одной из координатных плоскостей.
Используя рассмотренные выше условия параллельности плоскости
одной из координатных осей, легко вывести условия, при которых
плоскость параллельна одной из координатных плоскостей. В самом деле,
плоскость (5) параллельна координатной плоскости Оху тогда и
только тогда, когда она параллельна как оси Ох, так и оси Оу, т. е. когда
А = 0, В — 0, D Ф 0. Если при этом и D = 0, то плоскость (5)
совпадает с координатной плоскостью Оху. Аналогично плоскость (5) па-
311
раллельна координатной плоскости Oyz (соответственно Oxz) тогда и
только тогда, когда В = О, С = О, D Ф О (А = О, С = О, D ф 0).
Если при этом D = 0, то плоскость (5) совпадает с соответствующей
координатной плоскостью.
Пример. Исследовать расположение следующих плоскостей:
а) Зх — z + 1 = 0; б) у + z = 0; в) 2х = 0; г) Зу — 4 = 0
относительно системы координат.
Решение, а) В уравнении плоскости отсутствует переменная у,а
свободный член отличен от нуля, поэтому плоскость параллельна
оси Оу, но не содержит ее.
б) Плоскость проходит через ось Ох, так как А = D = 0.
в) Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, так как В = С = D =
= 0.
г) Плоскость параллельна плоскости Oxz, так как А — С = 0.
§ 48. Взаимное расположение плоскостей. Пучок и связка
плоскостей
В этом параграфе рассмотрим задачу о взаимном расположении
двух и трех плоскостей, заданных общими уравнениями, а также
введем понятия пучка и связки плоскостей и рассмотрим их
аналитические задания.
1. Постановка задачи о взаимном расположении двух плоскостей.
Пусть в общей декартовой системе координат даны две плоскости
уравнениями:
А^х + ВхУ + Cxz + Dx = 0, (1)
А2х + В2у + C22+D2 = 0. (2)
Поставим следующую задачу: по уравнениям (1) и (2) определить
взаимное расположение этих плоскостей.
Из курса элементарной геометрии известно, что возможны
следующие три случая взаимного расположения двух плоскостей (1) и (2):
а) плоскости пересекаются по прямой;
б) плоскости параллельны;
в) плоскости совпадают, т. е. уравнения (1) и (2) определяют одну
и ту же плоскость.
Эта задача с алгебраической точки зрения сводится к исследованию
системы, состоящей из двух уравнений (1) и (2) с тремя неизвестными.
Очевидно, случаи а), б), в) сводятся к следующим утверждениям:
а) уравнения (1) и (2) независимы, и система совместна; б) система (1),
(2) несовместна; в) уравнения (1) и (2) эквивалентны (равносильны).
При решении поставленной выше задачи мы будем пользоваться
хорошо известной теоремой о совместности системы линейных
уравнений (теорема Кронекера — Капелли): система линейных уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы
системы равен рангу основной матрицы.
312
2. Теорема о взаимном расположении двух плоскостей.
Предварительно докажем следующее вспомогательное предложение.
Лемма [48.1 ]. Для того чтобы плоскости пх и я2, заданные
соответственно уравнениями (1) и (2), имели одно и то же двумерное
векторное подпространство, необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы
(А.В.СА
\А2В2С2) (3)
был равен единице.
Доказательство. Обозначим через Wx и W2 двумерные
векторные подпространства плоскостей лг и п2. Пусть Wx = W2.
Согласно теореме [47.1] векторы р {В^ —Аг, 0}, q {Сг, 0, —Аг},
г {0, Сг, —Вг) принадлежат подпространству Wx, поэтому в силу
предположения имеем также: р ? W2, q 6 W2, r ? W2. Применяя,
далее, теорему [47.2], получаем: А2Вг — А±В2 = 0, А2Сг — АХС2 =
= 0, В2СХ — С2ВХ = 0. Мы видим, что ранг г матрицы (3) равен 1.
Обратно, пусть г = 1. Это означает, что строки матрицы (3)
пропорциональны: А2 = %Аг, В2 — ХВи С2 = ХСг. В этом случае, как
следует из теоремы [47.2], каждый вектор, принадлежащий одной из
плоскостей, принадлежит другой плоскости, т. е. векторные
подпространства плоскостей совпадают.
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [48.2]. Пусть даны две плоскости в общей
декартовой системе координат уравнениями (1) и (2). Обозначим через г и R
соответственно ранги матриц
ААСЛ (AyB&DA
А2В2С2), \A2B2C2D2). (4)
а) Для того чтобы плоскости (1) и (2) пересекались, необходимо и
достаточно, чтобы г = 2.
б) Для того чтобы плоскости (1) и (2) были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы г = 1, R = 2.
в) Для того чтобы плоскости (1) и (2) совпадали, необходимо и
достаточно, чтобы R = 1.
Доказательство. Обозначим через зхх и п2 данные
плоскости, а через Wx и W2 их двумерные векторные подпространства.
а) Пусть плоскости ях и я2 пересекаются. Это означает, что
векторные подпространства Wx и W2 не совпадают. Согласно лемме [48.11
имеем: г Ф 1. Но так как г% I, то г — 2. Обратно, пусть г = 2.
Согласно лемме [48.1 ] подпространства Wx и W2 не совпадают.
Отсюда следует, что плоскости пг и я2 пересекаются.
б) Пусть плоскости пг ия2 параллельны. Это означает, что
векторные подпространства Wx и W2 совпадают. Согласно лемме [48.11
имеем: г=1. Но система (1)—(2) не совместна, поэтому r<R, т. е. R=2.
Обратно, если г= 1, R = 2, то по теореме Кронекера—Капелли
система (1) — (2) несовместна, т. е. плоскости кх и п2 параллельны, так
как не имеют ни одной общей точки.
313
в) Допустим, что плоскости яг ия2 совпадают. В этом случае,
очевидно, Wx и И/2 совпадают. Поэтому согласно лемме 148.1] имеем:
г = 1. Но система (1) — (2) совместна, поэтому г = R = 1. Обратно,
если г = R = 1, то согласно лемме [48.1 ] подпространства Wx и W 2
совпадают и по теореме Кронекера—Капелл и система (1), (2) совмеет-
на,т. е. плоскости пг ил2 имеют общую точку. Отсюда следует, что
они совпадают. Теорема доказана полностью.
3. Уравнение пучка пересекающихся плоскостей. Пучком
пересекающихся плоскостей с осью / называется совокупность всех
плоскостей пространства, содержащих прямую /.
Пучок пересекающихся плоскостей может быть задан двумя
различными плоскостями, принадлежащими этому пучку. В самом деле,
две различные плоскости, проходящие через /, определяют прямую /,
а тем самым и весь пучок. По аналогии с § 17 можно вывести
уравнение пучка пересекающихся плоскостей.
Теорема [48.31. Если в общей декартовой системе координат
пучок пересекающихся плоскостей Q задан двумя различными
плоскостями (1) и (2), то уравнение
а (Агх + Вгу + Сгг + Dx) + р (А2х + В2у + C2z + D2) = 0, (5)
где а и $ принимают всевозможные значения, не равные одновременно
нулю, определяет данный пучок.
Смысл теоремы заключается в следующем: каковы бы ни были
числа а, р, не равные одновременно нулю, уравнением (5) определяется
некоторая плоскость пучка Q. Обратно, для произвольной плоскости
п пучка ? всегда найдутся такие коэффициенты а, р, что
соотношение (5) является уравнением плоскости я. Поэтому уравнение (5)
называется уравнением пучка Q.
Идея доказательства этой теоремы по существу ничем не отличается
от идеи доказательства теоремы [17.4], поэтому предоставляем
читателю доказать ее самостоятельно.
4. Уравнение пучка параллельных плоскостей. Пучком
параллельных плоскостей называется совокупность всех плоскостей
пространства, параллельных данной плоскости, включая и эту плоскость.
По аналогии с предыдущим можно доказать следующую теорему.
Теорема [48.41. Если в общей декартовой системе координат
даны две параллельные плоскости (1) и (2), принадлежащие пучку Q,
то уравнение (5), где а и Р принимают всевозможные значения, не
обращающие одновременно в нуль выражения:
а (а, Р) = аАг +рЛ2, Ь(а, Р) = аВг+ рВ2, с (а, Р)= аСг +рС2, (6)
определяет данный пучок.
Доказательство. Плоскости (1) и (2) параллельны,
поэтому А2 = ХАг, В2 = ХВ1У С2 = ХСг. Подставив эти значения в
соотношение (5), получаем:
Ах (а + Щ к + В1 (а + Щ у + Сг (а + Щг + D1 (а + ЭД)= 0. (7)
314
Легко видеть, что в этом уравнении не все коэффициенты при ху у
и z равны нулю. В самом деле, в данном случае выражения (6) имеют
вид:
а (а, Р) = Л^а + ^Р),
Ь (а, р) = Вх (а + Щ,
с (а, р) = Сг (а + Хр),
откуда и следует утверждение, сформулированное выше.
Мы пришли к выводу, что уравнение (7) определяет плоскость,
которая в силу теоремы [48.2] параллельна плоскости (1) и поэтому
принадлежит пучку Q.
Обратно, пусть я — некоторая плоскость пучка S. Покажем,
что а и Р всегда можно подобрать так, чтобы соотношение (5) было
уравнением плоскости я. Пусть плоскость л проходит через точку (*<,,
у0, г0). Числа а и Р подберем так, чтобы хотя бы одно из них было
отлично от нуля и выполнялось равенство
а0(А1Хо + Вгу0 + Сгг0 + Di)+P0 042*о + В2у0 + C2z0 + D2) = 0. (8)
Это всегда можно сделать, так как выражения в скобках в силу
параллельности плоскостей (1) и (2) не равны одновременно нулю.
Покажем, что следующее соотношение, полученное из (5) при
а = а0, р = р0:
ад(Агх + Вху + Сгг + Dx) + ро(Л2х + В2у + C2z + D2) = 0,
является уравнением плоскости я.
Прежде всего покажем, что не все коэффициенты при х, у и z
равны нулю. Пусть, напротив,
ОсА + РЛ = 0, а0Вг + рп?2 = 0, а0 Сг + Р0 С2 = 0.
Учитывая эти соотношения, из (8) получаем:
a0D1+$0D2 = 0.
В силу теоремы [48.2] плоскости (1) и (2) совпадают, что
противоречит условиям теоремы. Последним уравнением согласно теореме
[47.1] задается плоскость. Выше было показано, что эта плоскость
принадлежит пучку Q. Кроме того, она проходит через точку (xQy y(„
г0), поэтому совпадает с я. Теорема доказана.
Пучок параллельных плоскостей, очевидно, однозначно
определяется, если дано уравнение одной из плоскостей этого пучка:
Ах + By + Cz + D = 0.
В этом случае уравнение пучка может быть записано так:
Ах + By + Cz + К = 0,
где X принимает всевозможные значения. При К = D получаем
уравнение данной плоскости.
Доказанные две теоремы [48.3] и [48.4] позволяют утверждать,
что если плоскости (1) и (2) не совпадают, то уравнение (5) всегда
определяет пучок плоскостей. Если плоскости (1) и (2) совпадают, то
315
А2 = ХАЪ В2 = ХВ^ С2 = ХСЪ D2 = ADX, поэтому уравнение (5)
при любых а и Р определяет ту же самую плоскость.
5. О взаимном расположении трех плоскостей. Пусть в общей
декартовой системе даны три плоскости уравнениями:
A1x + B1y + C1z+D1 = О, (9)
А2х + В2у + C2z + D2 = О, (10)
Asx + B3y + C3z+D3 = 0. (11)
Возможны восемь существенно различных случаев взаимного
расположения этих плоскостей (рис. 139):
1°. Плоскости имеют одну-единственную общую точку.
2°. Плоскости попарно пересекаются, но не имеют общей точки.
3°. Плоскости принадлежат пучку пересекающихся плоскостей,
но попарно различны.
4°. Две из плоскостей параллельны, а третья их пересекает.
5°. Все три плоскости попарно параллельны.
6°. Две плоскости совпадают, а третья их пересекает.
7°. Две плоскости совпадают, а третья им параллельна.
8°. Все три плоскости совпадают.
По аналогии с теоремой [48.2] можно было бы доказать
предложения, позволяющие по уравнениям трех плоскостей определить их
взаимное расположение. Однако мы не будем формулировать эти
предложения, так как они громоздки и не имеют особого практического
значения.
При решении задач часто пользуются следующей теоремой,
которая вместе с теоремой [48.2 ] дает возможность в каждом конкретном
Рис. 139.
316
случае определить, к какому из восьми случаев, перечисленных выше,
относится данный случай.
Теорема [48.5 1. Пусть даны три плоскости в общей
декартовой системе координат уравнениями (9), (10) и (11). Обозначим через
г и R соответственно ранги матриц:
А&СЛ /ЛАС^Л
А2В2С2) [A2B2C2D2\ (12)
AfifJ, VAAC3D3/.
а) Для того чтобы данные плоскости имели одну и только одну
общую точку, необходимо и достаточно, чтобы г = 3.
б) Для того чтобы данные плоскости принадлежали одному пучку
пересекающихся или параллельных плоскостей, необходимо и
достаточно, чтобы R < 3.
Доказательство. Утверждение а) непосредственно
следует из теоремы Крамера о совместности и определенности системы
трех линейных уравнений с тремя неизвестными, поэтому сразу
перейдем к доказательству предложения б).
Сначала докажем необходимость условия. Пусть данные плоскости
принадлежат пучку пересекающихся плоскостей. Из предложения
а) настоящей теоремы следует, что г < 3. Так как координаты любой
точки оси пучка удовлетворяют всем трем уравнениям (9), (10) и (11},
то система, состоящая из этих уравнений, совместна, поэтому г = R.
Таким образом, R < 3. Если данные плоскости принадлежат пучку
параллельных плоскостей, то все три плоскости имеют общее
двумерное векторное подпространство, поэтому согласно лемме [48.1] имеем:
г = 1. Отсюда следует, что все определители третьего порядка второй
из матриц (12) равны нулю, следовательно, R < 3.
Теперь докажем достаточность условия, т. е. допустим, что R < 3,
и покажем, что плоскости принадлежат одному пучку. Так как г < R,
то возможны два случая: г=\ или г=2. В случае г = 1 согласно лемме
[48.1] все три плоскости имеют общее двумерное векторное
подпространство, поэтому принадлежат пучку параллельных плоскостей. В случае
г = 2, очевидно, R = 2, так как г < R < 3. Мы видим, что г = R.
По теореме Кронекера—Капелли система (9), (10), (11) совместна.
Геометрически это означает, что все три плоскости имеют хотя бы
одну общую точку. Так как г < 3, то из предложения а) настоящ и
теоремы следует, что плоскости имеют более чем одну общую точку.
Это означает, что они принадлежат пучку пересекающихся
плоскостей. Теорема доказана.
Рассмотрим пример определения взаимного расположения трех •
плоскостей в пространстве.
Пример. Выяснить взаимное расположение трех плоскостей,
заданных следующими уравнениями в общей декартовой системе
координат: х + у — z — 1 = 0, х + 4у — 5 = 0и2х + 5з; — z — 6 = 0.
Решение. Согласно теореме [48.2], а) данные плоскости
попарно пересекаются. Так как R = 2, где R — ранг второй из матриц
(12), то согласно теореме [48.5], б) плоскости принадлежат одному
317
пучку. В данном случае, очевидно, они принадлежат пучку
пересекающихся плоскостей и, следовательно, имеет место случай 3°, стр. 316.
6. Связка плоскостей. В геометрии рассматривают два типа
связок — собственные и несобственные. Собственной
связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей
пространства, проходящих через М0. Точка М0 называется центром связки.
Если в пространстве выбрана общая декартова система координат,
то собственная связка плоскостей может быть дана либо
координатами центра, либо тремя плоскостями, пересекающимися в
единственной точке — центре связки.
Имеют место следующие две теоремы, доказательства которых мы
не приводим, так как они совершенно аналогичны доказательству
теорем [17.3] и [17.41.
Теорема [48.6]. Если в общей декартовой системе координат
дана связка плоскостей с центром в точке (л:0, у0, г0), то уравнение
а (х - х0) + р (у — у0) + у (г — г0) - О,
где а, Р и у принимают всевозможные значения, не равные одновременно
нулю, определяет данную связку.
Теорема [48.7]. Если в общей декартовой системе координат
собственная связка плоскостей дана тремя плоскостями (9), (10) и (11),
пересекающимися в единственной точке, то уравнение
а (Агх + Вгу + Сгг + Dx) + Р (А2х + В2у + C2z + D2) +
+ у (А3х + В3у + С3г + D8) = 0,
где а, Р, у принимает всевозможные значения, не равные одновременно
нулю, определяет данную связку.
Несобственной связкой плоскостей, определяемой ненулевым
вектором р, называется совокупность всех плоскостей пространства,
параллельных вектору р. Направление вектора р называется
направлением связки.
Если в пространстве выбрана система координат, то связка
плоскостей, определяемая вектором р, может быть задана одним из
следующих способов:
а) координатами вектора р;
б) двумя пересекающимися плоскостями, принадлежащими связке;
в) тремя плоскостями, принадлежащими связке, но не
принадлежащими одному пучку.
Имеются теоремы, которые позволяют записывать уравнения
связок, заданных одним из названных выше способов. Эти теоремы очень
громоздки и не имеют широкого практического применения, поэтому
мы их не приводим. Они приведены в книге [3] часть II, стр. 122—125.
§ 49. Метрические задачи теории плоскости
Теория плоскости, изложенная в предыдущих двух параграфах,
справедлива как в общей декартовой, так и в прямоугольной
декартовой системах координат. В настоящем параграфе мы рассмотрим неко-
318
торые метрические вопросы этой теории, т. е. рассмотрим задачи, в
постановку которых входят понятия длины отрезка и величины угла.
Эти задачи особенно просто решаются в прямоугольных декартовых
системах координат, поэтому в данном параграфе всюду будем
предполагать, что система координат прямоугольная декартова.
1. Нормальный вектор плоскости. Пусть я — некоторая
плоскость. Вектор п называется ортогональным к плоскости, если он
ортогонален любому вектору плоскости. Легко видеть, что все векторы,
ортогональные к плоскости, образуют систему коллинеарных
векторов. Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой
вектор, ортогональный к плоскости. Рассмотрим следующую лемму.
Лемма [49.1]. Если плоскость в прямоугольной декартовой
системе координат задана уравнением:
Ах + By + Cz + D = 0, (1)
то вектор п {А, В, С} является нормальным вектором плоскости.
Доказательство. Вектор п, очевидно, ненулевой,
поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что он
ортогонален плоскости (1), т. е. любой вектор, принадлежащий плоскости,
ортогонален к вектору п. Пусть р (а, р, у) принадлежит данной
плоскости. Согласно теореме [47.2]
Лес + Вр + Су = О,
но так как система координат прямоугольная декартова, то это
соотношение векторно можно записать в форме:
пр = 0.
Это означает, что пир ортогональны. Лемма доказана.
2. Способы задания плоскости в прямоугольной декартовой системе
координат. При решении метрических задач, помимо тех способов
задания плоскости, которые были рассмотрены в § 47, пользуются
также следующими двумя способами:
а) Плоскость я задается начальной точкой М0 и нормальным
вектором п.
б) Плоскость я задается расстоянием р от начала координат О до
плоскости я и единичным нормальным вектором /г0. При этом, если
О ? я, то направление вектора п0 определяется из соотношения #0=
ОН гт П
= —, где Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки и
ОН
на плоскость. Если О ? /, то направление вектора п0 произвольно.
Из п. 5, § 7 следует, что координаты вектора п0 являются
направляющими косинусами этого вектора — cosc^, cosa2, cosa3, поэтому
положение плоскости в этом случае однозначно характеризуется
числами: р, cosc^, cosa2, cosa3.
319
3. Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.
Задача 1. Написать уравнение плоскости, заданной в
некоторой прямоугольной декартовой системе координат нормальным
вектором п {а, р, у} и начальной точкой М0 (хОУ у0, г0).
Решение. Произвольная точка М (х, у, г) пространства
принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор М0М перпен-
дикулярен к вектору /г. Так как М0М имеет координаты
{х — х0, у — у0, z — 20}, то условие перпендикулярности векторов
п и М0М запишется равенством:
а (х — х0) + р (у - у0) + у (г — г0) = 0. (2)
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку
М0 (х0, у0, г0) и перпендикулярной к вектору п {а, р, 7}.
4. Нормальное уравнение плоскости.
Задача 2. Написать уравнение плоскости, заданной в
прямоугольной декартовой системе координат единичным нормальным
вектором n0{cosal9 cosa2, cosa3} и расстоянием р от начала
координат до плоскости.
Решение. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенно-
го из начала координат на плоскость, а ОН — радиус-вектор этой
точки. Так как ОН = рп0, то
ОН {р cos аъ р cos a2, p cos a3 }.
Таким образом, задача сводится к предыдущей: написать уравнение
плоскости, проходящей через точку Н(р cos al9 pcosa2, pcosa3) и
перпендикулярной к вектору n0{cosal9 cosa2, cosa3}. Подставив
координаты вектора п и точки Н в уравнение (2), получаем:
cos аг (х — р cos ах) + cos a2 (у — р cos a2) + cos а3(г — pcos a3)= 0.
Так как cos2^ + cos2a2 + cos2a3 = 1 (см. формулу (13), § 7), то
это соотношение сводится к следующему:
х cos аг + у cos a2 + z cos a3 — p = 0. (3)
Это уравнение называется нормальным уравнением
плоскости. Оно существенно отличается от других уравнений тем, что все
его коэффициенты имеют геометрический смысл: коэффициенты при
х, у и z есть направляющие косинусы любого вектора,
перпендикулярного к плоскости, а свободный член — расстояние от начала
координат до плоскости, взятое со знаком «минус».
Если плоскость задана общим уравнением (1), то по аналогии с
теорией прямой (см. задачу 3, § 18), умножив это уравнение на
Г , получаем нормальное уравнение плоскости. Здесь 8=
= + 1, если D < 0; 8 = — 1, если D >0, и е = ± 1, если D = 0.
320
Пример. Написать нормальное уравнение плоскости, заданной
в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Зх +
+ 4у — Уйг — 5 = 0.
Решение. Так как D = —5, то е = + 1, поэтому согласно
предыдущему получаем:
3 , 4 1/ТТ
6 6 ^ б
6
5. Вычисление расстояния от точки до плоскости.
Задача 3. В прямоугольной декартовой системе координат
дана плоскость своим общим уравнением (1). Вычислить расстояние d
от точки М0 (х0, у0, z0) до этой плоскости.
Решение. Пусть Н — основание перпендикуляра,
опущенного из данной точки на плоскость (рис. 140). Согласно предыдущей
лемме вектор п{А, В> С} перпендикулярен плоскости,
следовательно, коллинеарен вектору НМ0. По определению скалярного
произведения имеем:
н7лоп = \Ш0\.\п |cos(//M0,/«) =d\n\ -(±1).
Таким образом,
d =
НМ0 п\
(4)
Вычислим скалярное произведение НМ0п. Пусть хи у1э zx —
координаты точки Я; тогда НМ0{х0 — х19 у0 —yl9 z0 — zx}, HM0 n =*
= (*о — *iM + (Уо — Ух) в + (zo — Ч) С = Ах0 + Ву0 + Cz0 -^
— (Ахг + Буг + CzJ. Так как точка Н лежит в данной плоскости,
то Ахг + Вуг + Cz± + D = 0. Таким образом, НМ0 п = Ах0 +
+ Ву0 + Cz0 + D. Учитывая, что \п\ = ]/"Л2 + В2 + С2, оконча<
тельно получаем:
d=z \Ax0 + By0 + Cz0 + D\
У А2 + В2-}- С2
Формула (5) принимает простой
вид, если плоскость дана
нормальным уравнением (3). В этом случае
А = cos аъ В = cos а2, С = cos а3,
(5)
D=-
¦Р.
улг+в2+с* =
= V cos2 аг+cos2 а2+cos2a3 = 1.
Поэтому формула (5) принимает
вид:
Рис. 140.
d = | x0 cos аг -f y0 cos a2 + z0 cosa3 — p |. (6)
Пользуясь формулой (5), выведем формулу для вычисления
расстояния между двумя параллельными плоскостями.
Задача 4. Даны две параллельные плоскости в
прямоугольной декартовой системе координат:
Ах + By + Cz + Dx = 0, Ах + By + Cz + D2 = О,
где Dx Ф D2. Вычислить расстояние между ними.
Решение. Прежде всего отметим, что данные плоскости
действительно параллельны. В самом деле, согласно лемме [49.1 ] обе
плоскости перпендикулярны к одному и тому же вектору п {А, В, С}
и не совпадают. Идея решения задачи заключается в следующем:
возьмем некоторую точку на одной из плоскостей и вычислим
расстояние от этой точки до другой плоскости.
Очевидно, в уравнениях плоскостей хотя бы один из
коэффициентов А, В и С отличен от нуля. Если, например, А Ф О, то точка
—, 0, 0) лежит в первой плоскости. Вычисляя расстояние от
этой точки до второй плоскости, получаем:
|/Л2-Ь?2+С2 ]Л42 -f Я24-С2 К)
Если А = 0, а В Ф 0 или С Ф 0, то, поступая аналогично,
получаем тот же результат.
6. Вычисление угла между двумя плоскостями.
Задача 5. В прямоугольной декартовой системе координат
даны две плоскости своими уравнениями:
Ахх -Ь Вгу + С& + Д - 0, (8)
А2х + В2у + C2z + D2 = 0. (9)
Вычислить угол между ними.
Решение. Если плоскости пересекаются, то они образуют
четыре двугранных угла. Меры этих углов обозна-п м через а1э а2,а3 иа4
(рис. 141). Как известно, ах =а2, а3= а4 и аг + ос3 = 180°, поэтому
достаточно вычислить один из этих углов; этот угол определяет все
остальные углы. Согласно лемме [49.1] векторы nx{Ai, Въ Сг} и
п2 {А 2, В2, С2} соответственно перпендикулярны к данным
плоскостям, поэтому угол между ними равен одному из углов между
плоскостями. На рисунке 141 угол между векторами п1 и п2 равен о^. Если
Ф = (#!, /г2), то, как известно,
АгА2 + B,B2 + СХ2
cosш = — j^lx_i 2 у 1 2 ,jQ
Отсюда, в частности, получаем условие перпендикулярности двух
плоскостей, заданных уравнениями: для того чтобы две плоскости, за-
322
Рис. 141.
данные в прямоугольной системе координат уравнениями (8) и (9),
были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
АгА2 + В1В2 + С1С2 = 0. (11)
§ 50. Геометрический смысл линейных неравенств с тремя
переменными
1. Определение отношения, в котором плоскость делит данный
отрезок. Пусть я — плоскость, а Мх и М2 — две различные точки,
расположенные в пространстве так, что прямая МгМ2 не параллельна
плоскости я. Будем говорить, что плоскость я делит отрезок МгМ2 в
отношении к, если к = ——, где Р—точка пересечения прямой МгМ2
и плоскости я.
Поставим следующую задачу.
Задача 1. В общей декартовой системе координат дана
плоскость я уравнением
Ах + By + Cz + D = 0 (1)
и даны две точки Мг (xl9 yx, zx) и М2 (х2, у2, г2) своими координатами.
Определить отношение к, в котором плоскость я делит отрезок МгМ2 в
**
предположении, что М1М2 ? я и М2 (? я.
Решение. Пусть Р — точка пересечения прямой МгМ2 и
плоскости я. Очевидно, к есть отношение, в котором точка Р делит
отрезок МгМ2. Если Р имеет координаты x0i y0, z0, то
__ хг + кх2 _ уг + ку2 _ z1 + kz2
х°- 1+х ' Уо" 1+к • z°~ i + k "
323
Точка Р принадлежит плоскости (1), поэтому
Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = О
или
дХг+Хх2 в уг + Ху2 с г1-\-Кг2 р = Q
1+А, 1 +Л, 14-Я,
После элементарных преобразований получаем:
(Ахг + By, + Сгг + D) + К (Ах2 + Ву2 + Cz2 + D) = 0. (2)
Так как М2 (? я, то Лх2 + 5у2 + Cz2 + D #= 0; поэтому,
разделив соотношение (2) на Ах2 + Ву2 + Cz2 + D, определяем Я:
х== _ Ахг + Вуг + Сгд, + Д (3)
Л*2 + Ву2 + Cz2 + D ' '
Заметим, что %Ф— 1, так как в противном случае из формулы (3)
получаем: Ахг + Вуг + Сгг = Ах2 + Ву2 + Cz2 или А (хх — х2) +
+ В (уг — у2) + С (zx — z2) = 0, откуда в силу [47.2] следует, что
прямая МгМ2 параллельна плоскости я, что противоречит условию
задачи.
2. Условие расположения двух точек по разные стороны от
плоскости. Из приведенного выше исследования вытекает одно важное
следствие. Пусть точки Мх (хг, у1У гх) и М2 (х2, у2, г2) не лежат в
плоскости я. Тогда 8г = Ах± + Ву1 + Czx + D ф 0 и б2 = Ах2 +
+ Ву2 + Cz2 + D Ф 0. Поэтому имеет место следующая теорема.
Теорема [50.1]. Для того чтобы точки М1{х1, у1э zx) и
М- 2 (*2» Уг> 2г) лежали по разные стороны от плоскости я, заданной
уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы
8г = Ахг + Ву1 + Czx + D и б2 = Ах2 + Ву2 + Cz2 + D
имели разные знаки.
Доказательство. Пусть Мг и М2 лежат по разные
стороны от я. Тогда отрезок МгМ2 пересекает плоскость я в точке Р,
лежащей между Мг и М2, поэтому А,>0. Из формулы (3) вытекает, что Х=
= Ц следовательно, 8Х и б2 имеют разные знаки.
Обратно, пусть бх и б2 имеют разные знаки. Из соотношения (3)
вытекает, что К = > 0, т. е. точка пересечения плоскости я и
62
отрезка МгМ2 лежит между Мг и М2, поэтому точки Мг, М2 лежат,
по разные стороны от плоскости я.
Следствие. Для того чтобы точки М± (х±, у1У гг) и М2(х2, у2, г2)
лежали по одну сторону от плоскости (1), необходимо и достаточно,
чтобы бх = Ахх + Ву± + Czx + D и б2 = Ах2 + Ву2 + Cz2 + D
имели один и тот же знак.
Пример. Даны точки Мг (5, 0, 0), М2 (—1, 2, —3),
М3 (2, 1, 1), М4(0, 0, —1) и плоскость х — 2у + 4z — 1 = 0. Среди
324
указанных точек выбрать те, которые лежат по ту же сторону от
плоскости, что и начало координат.
Решение. Для начала координат 60 = 1 • 0 — 2-0 + 4 X
Х0 — 1= —1 < 0. Вычислим числа б для всех данных точек: 61 =
= 4, б2 = —18, б3= 3, б4 = —5. Таким образом, искомыми
точками являются М2иМ4.
3. Линейные неравенства, характеризующие области,
ограниченные плоскостями. Для дальнейшего изложения необходимо доказать
следующую теорему.
Теорема [50.2]. Если в общей декартовой системе координат
дана плоскость я уравнением (1), то вектор р{А, В, С} не параллелен
плоскости, и если его приложить к некоторой точке плоскости, то
координаты х±, yl9 z± его конца удовлетворяют условию:
Ахх + Вуг + Сг± + D > 0.
Доказательство. Из теоремы [47.2 ] непосредственно
следует, что вектор р не параллелен плоскости я, так как АА + ВВ +
+ ССФ0.
Для доказательства второй части теоремы приложим вектор р
к точке М0(х0, у0, г0) плоскости (рис. 142) и обозначим через
Мх (*i, yl9 z±) координаты его конца. В этом случае р = М0Ми
А = хг — х0, В = уг — у0, С = гх — z0 и х0 = хг — Л, у0 = у± — В,
г0 = zt — С. Так как точка М0 лежит в плоскости я, то
A(x1 — A) + B(y1 — B) + C(z1 — C)+D = 0
или
Ахг + Вух + Сг± + D = Л2 + В2 + С2 > 0.
Теорема доказана.
Проверим утверждение теоремы для плоскости 4х — Зу + z —
—25 = 0. Возьмем вектор /?{4, —3, 1} и приложим к точке М1(1, 1, 24).
Конец вектора, как легко подсчитать, имеет координаты Мг (5, —2, 25).
Для этой точки имеем 4-5 — 3 • (—2) + 1 • 25 — 25 > 0.
Утверждение теоремы [50.2] выполнено.
Поставим следующую задачу.
Задача 2. В общей
декартовой системе координат дана
плоскость Ах + By + Cz + D= 0.
Определить множество точек,
координаты которых удовлетворяют
условию
Ах + By + Cz + D > 0. (4)
Решение. Возьмем точку
Мг (хх, yl9 z±) так, чтобы Ахг +
+ Вуг + Сгг + D > 0. Из
теоремы [50.2] следует, что такая
точка всегда существует. Рис. 142.
325
Из следствия теоремы [50.1 ] следует, что всякая точка М (х, у, г),
для которой б = Ах + By + Cz + D >0, лежит по ту же сторону
от данной плоскости, что и точка Мг. Обратно, если для точки М (х, у, z)
имеет место неравенство (4), то она лежит по ту же сторону от данной
плоскости, что и точка Мг. Таким образом, мы приходим к выводу:
Множество точек пространства, координаты которых
удовлетворяют неравенству (4), есть то из полупространств, определяемых
плоскостью (1), в котором лежит конец вектора р{А, В, С}, если его
начало приложено к некоторой точке плоскости (1).
Отсюда следует, что множество точек, координаты которых
удовлетворяют условию
Ах + By + Cz + D < 0,
есть другое полупространство.
Если D ф 0, то плоскость (1) не проходит через начало координат,
поэтому для всех точек полупространства, в котором лежит начало
координат, знак выражения б = Ах + By + Cz + D совпадает со
знаком числа D.
Доказанные выше предложения могут быть использованы для
аналитической характеристики некоторых областей пространства,
ограниченных плоскостями. Решим, например, следующую задачу.
Задача 3. Даны две пересекающиеся плоскости
Агх + Вгу + Сгг + Dt = 0, К)
А2х + В2у + C2z + D2 - 0 (я2)
и точка М1 (хг, уг, 2Х), не лежащая на них. Пусть Q — внутренняя
область того двугранного угла, образованного данными плоскостями,
которой принадлежит точка Мг. Составить линейные неравенства,
характеризующие область 2.
Решение. Пусть М (х, у, z) — произвольная точка области Q.
Это означает, что: а) М и Мг лежат по одну и ту же сторону от
плоскости ях; б)Ми Мг лежат по одну и ту же сторону от плоскости я2.
Обратно, если для какой-то точки М пространства выполнены
условия а) и б), то эта точка принадлежит области 2. Пусть бх = Агхг+
+ ^l^i + Сггг + Dx и б2 = А2х± + В2у1 + C2zx + D2. Мы
приходим к выводу, что М (х, у, z) принадлежит области Q тогда и только
тогда, когда одновременно выполняются два условия:
а) Агх + Вху + Cxz + Dx и 8г имеют один и тот же знак;
б) А2х + В2у + C2z + D2 и б2 имеют один и тот же знак. Эти
условия, очевидно, эквивалентны следующим:
(Агх + Вгу + Схг + Dx) (AlXl + Вгуг + СЛ + D1)>0
и
(А2х + В2у + C2z + D2) (А2хг + В2ух + C2zt + D2) >0.
Пример. Пусть Я — внутренняя область того двугранного
угла, образованного плоскостями Зл; — у + 4г+1=0 и х + у +
326
+ z — 2 = 0, которой принадлежит
начало координат. Записать линейные
неравенства, характеризующие область 2.
Решение. В данном случае 81 = 1,
6 2 = — 2, поэтому область 2
характеризуется неравенствами:
Зх — у + 4z + 1 > 0, х + y+z— 2<0.
Используя рассмотренные выше
теоремы и задачи, можно записать «уравнения»
различных областей, ограниченных
многогранными поверхностями.
Пример. Записать линейные
неравенства, характеризующие внутреннюю
область 2 треугольной призмы АОВ A -fi-JB^
изображенной на рисунке 143, если
А (3, 0, 0), О (0, 0, 0), 5(0, 2, 0), Лх(3, 0, 5),
Ох (0, 0, 5), Вг (0, 2, 5).
Решение. Призма ограничена
пятью плоскостями: А^Вц АОВ, AA-ft-ft,
ВВгОгО и ЛВБИх.
Запишем уравнения всех этих плоскостей:
(^Afii) -> г = 5, (ВВ&О) ->
3 ^ 2
х = 0, (ЛОВ)
1, (ЛЛ1010)-
Рис. 143.
-> 2 = 0, (ЛЯВ^)
¦у = 0.
Область 2 расположена между параллельными плоскостями A-fi^x
и АОВ, поэтому для всех точек области 2 имеем: 0 < z < 5 или
г (г — 5) <С 0. Точка области 2 лежит по ту же сторону от плоскости
поэтому — + 1 < 0.
Аналогично получаем еще два неравенства: у > 0 и х>0. Итак, область
2 характеризуется неравенствами:
AA^iB, что и начало координат,
2(Z_5)<^0, у>0, х>0, ^- + ^_1<0.
§ 51. Прямая в пространстве
1. Прямая в пространстве и ее уравнения. В § 16, п. 1 было
отмечено, что под термином «прямая /» мы будем понимать геометрический
образ, состоящий из множества всех точек, а также всех векторов,
принадлежащих этой прямой, в предположении, что она определена
аксиоматически. Положение прямой I в пространстве определяется
однозначно, если даны следующие объекты:
а) Точка М0 и ненулевой вектор р, принадлежащие прямой
(рис. 144,а). Точка М0 называется начальной точкой, ар-
направляющим вектором прямой. Очевидно, за началь-
327
ную точку можно взять любую точку
прямой, а за направляющий вектор — любой
ненулевой вектор прямой.
б) Две различные точки Мг и М2 прямой
(рис. 144, б).
в) Две различные плоскости п1 и я2,
пересекающиеся по прямой / (рис. 144, в).
Одной из основных задач теории прямой
является следующая задача: имея
аналитические задания образов, определяющих
положение прямой в пространстве, написать
уравнения множества всех точек прямой, или
просто уравнения прямой1. При решении этой
задачи мы воспользуемся следующим
утверждением. Если М0— начальная точка, ар —
направляющий вектор прямой I, то каждая
точка М этой прямой характеризуется
условием: М0М || р. Обратно, если MQM \\ р,
то точка М принадлежит прямой /. Таким
образом, точка М принадлежит прямой I тогда
и только тогда, когда векторы MQM и р кол-
линеарны.
2. Уравнения прямой, заданной
начальной точкой и направляющим вектором.
Задача 1. Написать уравнения
прямой, заданной в некоторой общей декартовой
системе координат точкой М0(х0, у0, г0) и
направляющим вектором р {а, Р, у}.
Решение. Точка М пространства принадлежит прямой / тогда
и только тогда, когда векторы М0М и р коллинеарны. Если (х, у, г) —
координаты точки М, то вектор М0М имеет координаты {х — х0,
У — Уо» 2 — го}> поэтому условия коллинеарности векторов М0М и р
согласно формулам (7), § 5 запишутся следующим образом:
Рис. 144.
* — хо У — Уо
а Р
= 0,
У — Уо 2 —г0
о,
z zn х х*
0. (1)
Эти соотношения являются уравнениями прямой /, так как
координаты любой точки прямой I удовлетворяют этим соотношениям, а
координаты точек, не принадлежащих /, не удовлетворяют им.
В соотношениях (1) два уравнения являются независимыми, а
третье зависит от них. В каждом конкретном случае одно из
соотношений (1) можно отбросить.
1 См. примечание на стр. 90.
328
Выясним геометрический смысл каждого из соотношений (1). Пусть,
например, в первом из этих соотношений а и Р одновременно не равны
нулю. Тогда это соотношение принимает вид:
р(* — х0)— а (у — у0) = 0. (2)
Так как здесь отсутствует переменная г, то этим соотношением
определяется плоскость, параллельная оси Oz или содержащая ее. Так
как координаты любой точки прямой I удовлетворяют уравнению (2),
то прямая I лежит в плоскости (2). Другими словами, плоскость (2)
проектирует данную прямую на координатную плоскость Оху по
направлению оси Oz. Точно так же можно показать, что остальные
уравнения (1) проектируют данную прямую / на плоскости Oyz и Oxz
соответственно по направлениям осей Ох и Оу. Если система координат
прямоугольная декартова, то эти плоскости будут проектирующими
в обычном смысле слова.
Если ни одна из координат вектора р не равна нулю, то условие
коллинеарности векторов М0М и р можно записать также следующим
образом:
* — *о, _ У — Уо _ z — zo ,о\
« _ р " 1 • ()
В случае а=^=0, Р^Оиу^О уравнения (1) и (3) эквивалентны.
Соотношения (3) называются каноническими уравнениями прямой в
пространстве1.
3* Уравнения прямой, проходящей через две точки.
Задача 2. Написать уравнения прямой /, проходящей через
две точки М1 (хг, у1У гг) и М2 (x2i у2> г2), заданные своими
координатами в некоторой общей декартовой системе координат.
Решение. Прямую / можно задать начальной точкойМ^*!, у1у гг)
и направляющим вектором МгМ2 {х2 — хг, у2 — ylf z2 — гг},
поэтому мы можем сразу написать уравнения прямой в виде
соотношений (1):
X А]
Хп Хл
у-
у2-
¦У1
-У1
о,
Zo Z-i
X —
х2
у-
Уг-
-X,
- Ух 2 — гу
-У1 Ч — h.
= 0.
о,
(4)
1 В некоторых руководствах канонические уравнения (3) записываются и в том
случае, когда отдельные координаты равны нулю. Например:
х—\ у —2 г+ 3
0 = 2 = —5 '
С алгебраической точки зрения такая запись не имеет смысла. В данном случае эта
запись просто означает, что числители пропорциональны знаменателям, т. е.
у_2 г—3
х— 1=0, = .
329
Если х2 — хг ф О, у2 — уг Ф О, г2 — гх Ф О, то соотношения (4)
эквивалентны следующим:
х— xi = -V —У1 ^ г —*i /5ч
*2 хх у 2 У! г2 — гг
Соотношения (4) и (5) называются уравнениями прямой,
проходящей через две точки.
4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.
Задача 3. Прямая / является линией пересечения плоскостей
jtj и я 2, которые в некоторой общей декартовой системе координат
заданы уравнениями:
пх : Агх + Вху + Сгг + Dx = О, (6)
л2 : А2х + В2у + C2z + D2 = 0. (7)
Написать уравнения прямой I.
Решение. Координаты любой точки прямой /, очевидно,
удовлетворяют одновременно уравнениям (6) и (7). В самом деле, прямая I
лежит в плоскости п19 поэтому координаты всех ее точек
удовлетворяют уравнению (6). Прямая / лежит также в плоскости я2, поэтому
координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению (7). Обратно, если
координаты некоторой точки пространства удовлетворяют уравнениям
(6) и (7), то данная точка лежит на прямой /, так как эта точка лежит
одновременно на плоскостях ях и я2.
Мы приходим к выводу, что уравнения (6) и (7) являются
уравнениями прямой I. Заметим, что согласно теореме [48.2], а) в этих
уравнениях коэффициенты при х, у и z не пропорциональны.
Таким образом, для того чтобы составить уравнения прямой /,
заданной двумя плоскостями, проходящими через эту прямую,
достаточно написать систему из двух уравнений, определяющих данные
плоскости.
Имеет место обратное предложение.
Теорема [51.1 ]. Множество всех точек пространства,
координаты которых в некоторой общей декартовой системе координат
удовлетворяют уравнениям (6) и (7), где коэффициенты при х, у и z не
пропорциональны, есть прямая, параллельная вектору.
ВгСг
В?ч.
1
>
.4,8,
А,Вг
Доказательство. Пусть L — данное множество точек.
Если п1 — плоскость, заданная уравнением (6), а я2 — плоскость,
заданная уравнением (7), то, поскольку координаты любой точки L
удовлетворяют уравнениям (6) и (7), L целиком лежит в плоскостях
зхг и я 2- Значит, каждая точка множества L принадлежит прямой /,
по которой пересекаются плоскости пг и я2. С другой стороны,
координаты любой точки прямой / удовлетворяют уравнениям (6) и (7),
значит, любая точка прямой / принадлежит L. Отсюда следует, что L
и прямая / совпадают.
330
Остается доказать, что вектор р (см. соотношение (8)) является
направляющим вектором прямой I. Покажем, что р принадлежит я2.
Как известно из теоремы [47.2], условие принадлежности вектора
р (а, Р, у} плоскости п1 записывается так: А& + В$ + Сху = 0.
Для вектора р имеем:
л
В2С2
+ fll
ел
+ ск
А>Вг
АЛ,
= А1В1С2 — А1В2С1+ ВгСгА2 — ВХА гС2 + CV4L82 — C^B^A^ = 0
Аналогично можно доказать, что р ? я2. Таким образом, /?? я^,
р ^ л2 и р ( Kj П зх2, т. е. р ( /.
Теорема доказана.
Система уравнений (6) и (7) называется общими уравнениями
прямой в пространстве.
Доказанная теорема позволяет написать канонические уравнения
прямой, если она задана своими общими уравнениями (6) и (7). Для
этой цели достаточно найти координаты какой-либо точки М0 и
направляющего вектора р прямой. За начальную точку М0 можно,
очевидно, взять любую точку пространства, координаты которой
удовлетворяют уравнениям (6) и (7). Задача по существу сводится к
решению системы двух уравнений с тремя неизвестными. Координаты
направляющего вектора р непосредственно определяются из теоремы
151.1].
Пример. Дана прямая общими уравнениями:
(х — у + 22 — 3 = 0,
\2х + у — 2 4- 6 = 0.
(9)
Написать канонические уравнения этой прямой.
Решение. Определим координаты начальной точки М0.
Заметим, что в данном случае
А в,
Аг Вг
1 — 1
2 1
= 3 ф 0,
поэтому, придав z произвольное значение (например, г = 0),
определим л:0, у0 из соотношений (9) : х0 = —1, у0 = —4. Итак, точка М0
имеет координаты ( —1, —4, 0).
Координаты направляющего вектора определяются из
соотношений (8):
-1
2 1
— 1 2
или р { —1, 5,3}. Таким образом, конические уравнения прямой,
заданной уравнениями (9), имеют вид:
х+1_У+4
—1 5
331
5. Параметрические уравнения прямой. В заключение рассмотрим
параметрическое задание прямой в пространстве, т. е. выразим
координаты любой точки прямой через произвольный параметр.
Задача 4. Написать параметрические уравнения прямой,
заданной в общей декартовой системе координат точкой М0(х0, у0, z0)
и направляющим вектором р {а, р, у}.
Решение. Очевидно, точка М принадлежит прямой I тогда и
только тогда, когда векторы М0М и р коллинеарны, т. е. существует
такое число t, что М0М = tp. Это соотношение в координатах
запишется системой равенств:
( х — х0 = /а, [ х = х0 + а/,
\ У — Уо = Ф. или I у = у0 + р*, (10)
{ г — г0 == ty [г = z0+yt.
Эти соотношения называются параметрическими уравнениями
прямой. Их смысл заключается в следующем: каково бы ни было число t>
точка с координатами, определяемыми соотношениями (10), лежит на
прямой /. Обратно, если (х, у, г) — точка прямой /, то всегда найдется
такое число t, что х, у, z выражаются через х0, у0, z0 и а, Р, у при
помощи соотношений (10).
Пример. Написать параметрические уравнения прямой
х — Зу + z = 0, у = 0.
Решение. Сначала найдем координаты начальной точки
прямой. Поскольку для всех точек данной прямой у = 0, то, полагая в
уравнениях г0 = 1, получим х0 = — 1. Таким образом, точка
М0(—1, 0, 1) принадлежит прямой. Для отыскания направляющего
вектора прямой воспользуемся соотношениями (8):
—3 1
1 0
11 1
, |0 0
»
1 — 3!
0 Г
Теперь легко найти параметрические уравнения прямой:
х = — \—U У = 0, 2=1+*.
§ 52. Взаимное расположение прямых и плоскостей
В настоящем параграфе мы рассмотрим взаимное расположение
двух прямых, а также прямой и плоскости в пространстве.
1. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.
Пусть в некоторой общей декартовой системе координат даны две
прямые своими уравнениями. Выясним, при каком условии эти
прямые лежат в одной плоскости. Для решения этой задачи из уравнений
прямых определим координаты начальной точки и направляющих
векторов. Пусть 1± — прямая, проходящая через точку М1 (xlt yx, eL)
и содержащая вектор рх {аг, р1э у±}, а /2 — вторая прямая,
проходящая через точку М2 („*2, у2, г2) и содержащая вектор /?2{а2, |32, у2}.
Рассмотрим три вектора:
332
M1M2 {x2 — xlt У2 — У1, *2— zj,
Pi К, Pi, ?i}, Рг {a2, P2, T2}-
Очевидно, прямые /х и Z2 лежат в
одной плоскости тогда и только тогда,
—у
когда векторы М±М2, px и р2
компланарны (рис. 145). Условие
компланарности этих векторов в
координатах согласно следствию теоремы [44.4 ]
запишется так:
-Ха
«1
а*
= 0. (1)
U
Кг
Рис. 145.
Уг— Уг г2 — г1
Pi Yi
2 Р2 Y2
Таким образом, мы приходим к
следующей теореме.
Теорема [52.1 ]. Для того чтобы прямая 119 проходящая через
точку Мг (xv ylt Zi) и содержащая вектор р1 {alt рх, Yib и прямая /2,
проходящая через точку М2(х2, у2, г2) и содержащая вектор р2{а2, P2, y2},
лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
векторы МгМ2, р±, р2 были компланарны, т. е. чтобы координаты точек
Ми М2 и вектороврг, р2 удовлетворяли условию (1). Система координат
общая декартова.
2. Теорема о взаимном расположении двух прямых. Возможны
всего четыре различных случая взаимного расположения двух прямых
в пространстве:
Г. Прямые скрещиваются.
2°. Прямые пересекаются.
3°. Прямые параллельны.
4°. Прямые совпадают.
Предположим, что каждая из данных прямых 1г и /2 дана
начальной точкой и направляющим вектором. Пусть Мг и М2 — начальные
точки, aPi и р2 — направляющие векторы соответственно прямых
1г и /2. Легко видеть, что по векторам M±M2, рг и р2 можно определить
взаимное расположение данных прямых. Прежде всего заметим, что
из теоремы [52.1] сразу следует условие, что прямые скрещиваются.
Прямые 1Х и /2 называются скрещивающимися, если в пространстве
не существует плоскости, в которой лежат обе прямые. Поэтому
прямые /х и /2 будут скрещивающимися тогда и только тогда, когда
векторы МгМ2, рх и р2 не компланарны.
Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат
в одной плоскости и их направляющие векторы не коллинеарны.
Отсюда, учитывая теорему [52.1], мы приходим к выводу, что прямые
/х и /2 пересекаются тогда и только тогда, когда одновременно
выполняются следующие два условия:
333
а) (М^ъРгРЛ = 0; б) рг Ф р2. (2)
Две прямые в пространстве параллельны тогда и только тогда,
когда они не совпадают и их направляющие векторы коллинеарны.
Отсюда вытекает, что прямые 1г и /2 параллельны тогда и только тогда,
когда одновременно выполнены следующие условия:
а) Рх II /V, б) MjU2%pv (З)
Совершенно аналогично приходим к выводу, что прямые 1± и 12
совпадают тогда и только тогда, когда рх || р2 || М±М2.
Эти соображения с успехом могут быть использованы для
получения аналитических условий взаимного расположения прямых 1г и /2,
если точки Мх, M2 и векторы р19 р2 заданы координатами. Имеет
место теорема.
Теорема [52.2]. Пусть в пространстве с общей декартовой
системой координат даны координаты начальных точек и
направляющих векторов двух прямых: 1г — М±(х19 уг, z±), рг {а±, рх, Yi} и
12— М2 (х2, у2, z2), р2 {а2, р2, у2}. Обозначим соответственно через
R и г ранги следующих матриц:
(V Т Y) ®&
Для того чтобы прямые 1± и 12:
а) скрещивались, необходимо и достаточно, чтобы R = 3;
б) пересекались, необходимо и достаточно, чтобы R = г = 2;
в) бь/ла параллельны, необходимо и достаточно, чтобы R = 2,
г= 1;
г) совпадали, необходимо и достаточно, чтобы R = г = 1.
Доказательство, а) Если прямые скрещиваются, то они
не лежат в одной плоскости. Из теоремы [52.1] следует, что не
выполняется соотношение (1), поэтому R = 3. Обратно, если R = 3,
то не выполняется соотношение (1), поэтому согласно теореме [52.1]
прямые не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.
б) Выше было отмечено, что прямые 1г и /2 пересекаются тогда и
только тогда, когда выполняются условия (2). Из вида матриц (4)
следует, что условие а) эквивалентно условию R < 3, а б) — условию
г = 2. Эти два соотношения эквивалентны равенствам: R = г = 2.
в) Прямые 1г и /2 пересекаются тогда и только тогда, когда
выполняются условия (3). Из вида матриц (4) следует, что условие (3) а)
эквивалентно условию г = 1, а (3) б) — условию R > 1. Но в
силу условия Рх\\р2 ранг R первой из матриц (4) меньше трех,
поэтому г = 1, R = 2.
г) Прямые 1± и /2 совпадают тогда и только тогда, когда
>-
Pi II р2\\ МхМо. Из теоремы [5.3] следует, что эти условия
эквивалентны соотношениям: г = R = 1. Теорема доказана полностью.
334
Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых,
заданных в общей декартовой системе координат уравнениями:
± = y_±i = г-З ( Зх + 6у + г — 8 = О,
Ю _4 —б ' \ 2х + 5у = 0.
Решение. Обозначим первую прямую через 1г, а вторую —
через /2. Нетрудно видеть, что прямая 1± проходит через точку
Мх(0,—1,3) и параллельна вектору рг {10,—4,—6}, а прямая /2
проходит через точку М2 (0, 0, 8) и параллельна вектору р2 {—5, 2, 3}.
Для данных прямых вектор МгМ2 имеет координаты {0, 1, 5}.
Координаты векторов р1пр2 пропорциональны, поэтому векторы ргяр2
коллинеарны. Координаты вектора МгМ2 не пропорциональны
координатам векторов рхир2, следовательно, вектор MJS/l2 не коллинеа-
рен векторам рг и р2. Таким образом, прямые /х и 12 параллельны.
3. Взаимное расположение плоскости и прямой. Пусть в некоторой
общей декартовой системе координат даны прямая / и плоскость я
своими уравнениями. Выясним их взаимное расположение.
Для решения этой задачи найдем координаты начальной точки и
координаты направляющего вектора прямой L Пусть М0(х(], у0, г0) —
начальная точка, а р {а, р, у} — направляющий вектор прямой /.
Допустим, далее, что плоскость л задана своим общим уравнением
Ах + By + Cz + D = 0. (5)
Сначала рассмотрим взаимное расположение вектора р и
плоскости л. Возможны два случая:
а) Вектор р не принадлежит плоскости л. В этом случае, очевидно,
прямая / пересекает плоскость я. Обратно, если прямая / пересекает
плоскость я, то вектор р не параллелен плоскости я. Учитывая
теорему [47.2], мы приходим к выводу, что прямая / пересекает плоскость я
тогда и только тогда, когда
Аа + ?? + Су Ф 0.
б) Вектор р принадлежит плоскости я. В этом случае^ очевидно,
прямая I либо параллельна плоскости я, либо лежит в ней. Для того
чтобы установить, какой из этих случаев имеет место, рассмотрим
точку М0. Если точка М0 лежит в плоскости я, то прямая I целиком
лежит в плоскости я; если же точка М0 не лежит в плоскости я, то
прямая параллельна плоскости я.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме,
характеризующей взаимное расположение прямой и плоскости.
Теорема [52.3 ]. Пусть I проходит через точку М0 (х0, у0, г0)
и содержит вектор р {a, J3, у)» а плоскость я задана общим
уравнением (5). Кроме того у составлены соотношения:
6= Аа + ВР + Су и г) = Ах0 + Ву0 + Cz0 + D.
335
При этих условиях имеют место утверждения:
а) Для того чтобы прямая I пересекала плоскость я, необходимо и
достаточно, чтобы I ф 0.
б) Для того чтобы прямая I была параллельна плоскости я,
необходимо и достаточно, чтобы ? = 0 и х\ ф 0.
в) Для того чтобы прямая I лежала в плоскости я, необходимо и
достаточно, чтобы \ = г) = 0.
§ 53. Некоторые метрические задачи
на прямую и плоскость
Теория прямой, изложенная в двух предыдущих параграфах,
справедлива как в общей декартовой, так и прямоугольной декартовой
системах координат. В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые
метрические вопросы теории прямой и плоскости, т. е. вопросы,
связанные с понятиями длины отрезка и величины угла. Задачи такого
типа особенно просто решаются в прямоугольной декартовой
системе координат, поэтому в данном параграфе всюду будем предполагать,
то система координат прямоугольная декартова.
1. Вычисление угла между двумя прямыми. Пусть в пространстве
даны две прямые 1г и /2. Возьмем произвольную точку Р и проведем
через эту точку прямые 1\ и k, соответственно параллельные 1г и
/2 (рис. 146). Прямые 1\ и h образуют четыре угла ах, а2, а3 и а4.
Эти углы называются углами между прямыми /х и 12. Из курса
стереометрии известно, что понятие угла между прямыми не зависит от
выбора точки Р. Легко видеть, что если дан один из четырех углов а1э
а2, а3 и а4, то остальные углы определяются однозначно. В самом деле,
ах = а2,а3 = а4, как вертикальные углы, иах + а3 = а2 + а4 = 180°,
как смежные углы.
Поставим перед собой следующую задачу.
Задача 1. В прямоугольной декартовой системе координат
даны координаты направляющих
векторов прямых 1г и /2:
Pi fai, Pi, 7i> и Р2 {<Ч. Р2, Т2}-
Вычислить косинус угла между
прямыми.
Решение. Известно, что
угол между векторами рх и р2
равен одному из указанных выше
четырех углов, образованных
данными прямыми. На рисунке 146
угол между векторами рх и р2 равен
^;<f
Рис, 146,
336
углуах. Если а=(рг1р2), то согласно формуле (11), § 7 получаем
искомую формулу:
pnqry _ «1«а + PA + T1Y2
V*i + fi + -fiV <4 + %+$
Отсюда, в частности, получаем условие ортогональности двух
прямых в пространстве:
<*i(x2 + PiPa + T1Y2 = 0. (2)
Таким образом, для вычисления угла между двумя прямыми
необходимо предварительно по данным задачи найти направляющие
векторы этих прямых. Если прямые заданы своими каноническими или
параметрическими уравнениями, то координаты направляющих
векторов определяются непосредственно из уравнений. Если же обе прямые
или одна из них заданы общими уравнениями, то координаты
направляющих векторов определяются по теореме [51.1].
Заметим, что при решении задачи об определении угла между
двумя прямыми мы оставляем открытым вопрос о том, пересекаются ли
прямые или скрещиваются. В каждом конкретном случае, при
надобности, этот вопрос можно решить, пользуясь теоремой [52.2].
Пример. Доказать, что прямые
гх = 2 + 4/, \2х — у + z — 3 = 0,
у = —1 + 3/, и
\z = — t \х + 2у — г — 2 = 0
взаимно перпендикулярны.
Решение. Найдем направляющие векторы этих прямых и
воспользуемся условием (2). Направляющий вектор прямой /х имеет
координаты /?! {4, 3, —1}. В силу теоремы [51.1 ] направляющий вектор
прямой /2 имеет координаты р2 {—1, 3, 5}. Для рх и р2 выполняется
условие (2), поэтому прямые 1г и /2 взаимно перпендикулярны.
Пользуясь теоремой [52.2], легко показать, что данные прямые
скрещиваются.
2. Вычисление угла между прямой и плоскостью. Если прямая I
не перпендикулярна к плоскости я, то углом между прямой I и
плоскостью я называется угол между прямой I и ее проекцией на
плоскость я. При этом из двух углов, которые образует прямая с
плоскостью, выбирается меньший. Если прямая перпендикулярна к
плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным —.
Задача 2. В прямоугольной декартовой системе координат
даны плоскость я своим уравнением
Ах + By + Cz + D = 0 (3)
и координаты {а, Р, у} направляющего вектора р прямой /. Вычислить
угол между прямой / и плоскостью я.
337
Рис. 147.
Решение. Согласно лемме [49.1 ] вектор п {А, В, С}
перпендикулярен к плоскости п. Пусть ф — угол между прямой / и
плоскостью л, а г|)
Z (р, п). Если г|э < —, то, очевидно, ср = 90° — я|)
и sin ф = cos г|) (рис. 147^а). Если же г|) > —, то ф = г|? -
-и sin ф =
= —cos г|) (рис. 147,6). Так как sin ф >- 0, то для любого ф имеем:
sin ф = J cos г|) |.
Из определения скалярного произведения следует, что cos г|) =
— —¦— поэтому получаем следующую формулу:
1 Ад + В$ н- Су 1
\n\-\p\
smtp =
\ Л24-52-ЬС2 |/a2+p2+v2
(4)
Если прямая / задана своими общими уравнениями, то, для того
чтобы воспользоваться этой формулой, предварительно необходимо
определить координаты направляющего вектора р этой прямой.
Пользуясь леммой [49.11, легко получить условие
перпендикулярности прямой и плоскости. В самом деле, если плоскость задана
уравнением (3), то согласно лемме [49.1 ] вектор {A, В, С}
перпендикулярен плоскости, поэтому, для того чтобы прямая с направляющим
вектором р (а, |3, у) была перпендикулярна плоскости (3), необходимо
и достаточно, чтобы ранг матрицы
(АВС\
был равен единице.
3. Вычисление расстояния от точки до прямое.
Задача 3. Пусть в прямоугольной декартовой системе
координат дана точка М0 (х0, у0, г0) и прямая I каноническими уравнениями
x—*i = У— уг = г— гг
a p у
(5)
Вычислить расстояние от точки М0 до прямой /.
Решение. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного
из точки М0 на прямую /. Если d — искомое расстояние, то d = MQH.
338
Пусть Мг — начальная точка прямой /, ар— ее направляющий
вектор. Рассмотрим параллелограмм Mj^MqMN^ построенный на векто-
>¦
pax МгМ0 и р. Если S — площадь этого параллелограмма, то
\р\'
d =
M1N1
так как М0Н = d — высота этого параллелограмма. Из определения
векторного произведения вытекает, что S = | [МгМ0р\ |. Поэтому
предыдущее соотношение принимает вид:
1 [Мхм0р] 1
IPI
(6)
Чтобы получить окончательную формулу для вычисления d, за-
>¦
метим, что векторы МгМ0 и р имеют соответственно координаты:
МгМ0{х — хъ у0 —ух, г0 —Zj} и р {а, Р, у),
согласно формуле (3),
поэтому векторное произведение [МгМ0р
§ 45 будет иметь координаты:
ПУо — У12о — *i
Р Y
z0 зА х0 х^
у а
хо ^1 Уо Vi
а Р
Таким образом, соотношение (6) в координатах запишется так:
) — Ч
У
+
+
• Ч Уо — У1
Р
(7)
^a2 + P2 + V2
Если прямая задана не каноническими и не параметрическими, а
общими уравнениями, то для решения поставленной выше задачи
необходимо предварительно найти координаты начальной точки и
направляющего вектора прямой.
4. Вычисление расстояния между двумя скрещивающимися
прямыми. Пусть /i и /2 — две скрещивающиеся прямые. Возьмем
произвольные точки Мг и Мat соответственно лежащие на прямых 1г и /2,
и обозначим через р расстояние между ними. Число р зависит от
выбора точек Мг и УИ2. Расстоянием d между прямыми 1Х и /2 называется
кратчайшее из всевозможных расстояний р между любыми двумя тон-
ками прямых 1г и /2. Из курса элементарной геометрии известно, что
существует одна и только одна прямая #i#2, перпендикулярная к
прямым 1Х и /2 и пересекающая эти прямые соответственно в точках
Н1 и Я2. Легко видеть, что для любых точек Мг и М 2, удовлетворяющих
условиям Мг ? Zlf М2 ? /2, имеем: MiMa > #!#2- Поэтому d =
= НХН2.
Поставим следующую задачу.
Задача 4. Пусть в прямоугольной декартовой системе
координат даны две скрещивающиеся прямые 1г и /2 своими
каноническими уравнениями:
339
(к)
(У
. х
х-
— ч
аг
-ч
= У_
= У;
— У1_
Pi
-у2==
2—*1
Yi
1~~ 22
р2
V2
(8)
(9)
Вычислить расстояние между ними.
Решение. Из уравнений (8) и (9) определим координаты
начальных точек и направляющих векторов прямых 1Х и 12:
Mi (*lt Ух. ^), М2 (х2, y2l 22), px {alf pif Yi}, /?2 {a2, P2. Y2}-
Перенесем векторы рг и р2 в точку М t и построим параллелепипед на
векторахр1э р2 и М^а (рис. 148). Очевидно, если M1N1PlQ1M2N2P2Q2—
построенный нами параллелепипед и обозначения выбраны так,
что вектор р1 направлен вдоль ребра MxNl9 а вектор р2 — вдоль
ребра MjlQx, то прямая 1± совпадает с прямой МгЫ19 а прямая /2 —
с прямой M2Q2 (см. рис. 148). Пусть л1 — плоскость грани
Mi^jPiQi» а тс2 — плоскость параллельной грани M2N2P2Q2. Из
предыдущих рассуждений следует, что искомое расстояние d между
прямыми 1Х и /2 равно расстоянию между плоскостями пх и я2, а это
расстояние есть не что иное, как высота построенного нами
параллелепипеда. Итак, d = —, где V — объем параллелепипеда, а S — пло-
щадь грани MjNjPxQx. Из свойств смешанного и векторного
произведений следует, что V = | М^М2рхр2 |, а S = | \рхрг\ |, поэтому
d== iM^gp^l
I [plpd I
Остается выразить модули тройного и векторного произведений через
координаты рассматриваемых векторов. Очевидно, вектор MVM2 имеет
координаты {х2 — хъ у2 — уъ г2 — гх}, поэтому, воспользовавшись
формулами для вычисления тройного и векторного произведений,
окончательно получаем формулу:
mod
d =
У2 — Уг
Р2
Yi
Y2
(10)
У
IP2Y2I ^21 W2I
Рис. 148,
Заметим, что полученная нами
формула определяет расстояние между
двумя прямыми и в случае, когда они
пересекаются. В самом деле, в этом
случае векторы М1,М2, р19 и р2 будут
компланарными и числитель
рассматриваемого выше выражения обратится
в нуль, т. е. d = 0.
340
§ 54. Приложение теории плоскости и прямой к стереометрии
Изложенная в этой главе теория плоскости и прямой может быть
применена к доказательству теорем и решению задач элементарной
геометрии. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые
приложения теории прямой и плоскости к доказательству теорем и решению
задач стереометрии.
1. Теоремы стереометрии о взаимном расположении прямых и
плоскостей.
Задача 1. Доказать, что если прямая 1г и плоскость я
перпендикулярны к одной и той же прямой /2, то они параллельны или
1г с я.
Доказательство. Пусть в произвольно выбранной
прямоугольной декартовой системе координат данные прямые /1э 12 и
плоскость я имеют уравнения:
Ьх . = — = ,
ai Pi Yi
/ . * — х1 __ у — уг _z — z1
а2 Р2 72
(я) : Ах + By + Cz + D = 0.
Так как прямые 1г и 12 взаимно перпендикулярны, то согласно (2),
§ 53 имеем:
ai«2 + P1P2 + Y1Y2 = 0. (1)
С другой стороны, в силу того что плоскость я перпендикулярна
к прямой /2, имеем:
а2 = КА, Р2 = ^В, У'2 = ^С,
где К Ф 0. Подставив эти выражения в (1) и сократив на А,, получаем:
Аа± + ВРХ + Cyi = 0,
т. е. направляющий вектор прямой /х параллелен плоскости я. Таким
образом, прямая 1г либо параллельна плоскости я, либо принадлежит
этой плоскости. Предложение доказано.
Задача 2. Доказать, что если даны две скрещивающиеся
прямые, то через каждую из них можно провести одну и только одну
плоскость, параллельную второй прямой.
Доказательство. Пусть /х и 12 — данные прямые,
определяемые соответственно начальными точками Мъ M2 и
направляющими векторами рх, р2. Докажем, например, что существует одна и
только одна плоскость, содержащая 1г и параллельная /2. Так как
векторы рг и р2 не коллинеарны, то существует вектор ръ, такой, что
Р\р2рв — базис. В общей декартовой системе координат Мхргр2р^
прямая 1г совпадает с первой координатной осью, поэтому она имеет
уравнения: у = 0, z = 0.
341
Обозначим через я3 координатную плоскость Оху. Очевидно, 1г сгя3
и /2 параллельна я3. В самом деле, согласно теореме [47.2], р2 ? я3,
поэтому, в силу того, что 1Х и /2 скрещиваются, /2 параллельна я3.
Итак, я3 содержит 1г и параллельна /2. Докажем, что она
единственная.
Пусть я, заданная уравнением
Ах + By + Cz + D = 0, (2)
есть другая плоскость, удовлетворяющая условиям задачи. Так как
lY с: я и одновременно является осью Ох, то А = D = 0. С другой
стороны, /2 параллельна я, поэтому р2 ? я и согласно теореме
[47.2] имеем: В = 0. Мы пришли к выводу, что плоскость я имеет
уравнение Cz = 0, поэтому совпадает ся3. Точно так же можно
показать, что существует единственная плоскость, содержащая /2 и
параллельная 1±.
2. Некоторые свойства тетраэдров.
Задача 3. Показать, что в произвольном тетраэдре шесть
плоскостей, каждая из которых проходит через ребро и середину
непересекающегося с ним ребра, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть О А ВС — данный тетраэдр.
Примем за начало координат точку О, а за координатные векторы ег = О А,
е* = OB,ez = ОС.
Обозначив середины ребер ОЛ, Об, ОС, АВ, ВС, С А соответственно
через Ml9 M 2, М3, М4, М5 и М6, будем иметь:
м^! о,о), м2(о, 1 о), м3(о,о,1),
«•({•И M°'f?> M-(i'°'i)-
Запишем уравнения плоскостей:
(ОЛЛ15) : у — z = 0, (i4BMj) : х + у + 2г = 1,
(ОВМ6) : х — г = 0, (BCMJ : 2х + у + г = 1,
(ОСМ4) : х — у = 0, (СЛМ2) : к + 2у + г = 1.
Легко убедиться в том, что все эти плоскости проходят через точку
Q[—, —, — ]. Других общих точек плоскости не имеют.
В самом деле, координаты точки Q, как нетрудно убедиться
непосредственной подстановкой, удовлетворяют уравнениям всех шести
плоскостей. С другой стороны, плоскости
у — 2 = 0, х — 2 = 0, к +• у -\- 2z = I
имеют единственную общую точку, так как
0 1
1 0
1 1
—1
—1
2;
342
Отсюда вытекает, что все шесть плоскостей не могут иметь более
чем одну общую точку.
Задача 4. Доказать, что если в тетраэдре О А ВС ребра О А,
ОВ и ОС взаимно перпендикулярны, то имеет место соотношение
ОА2 ' ОВ2 ОС2 ОН2 '
где ОН — высота, опущенная из вершины О на грань ABC.
Доказательство. Точку О примем за начало, а
направленные прямые ОА, ОВ, ОС — за оси прямоугольной декартовой системы
координат. Пусть ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, ОН = h. Тогда в
выбранной системе координат плоскость ABC будет иметь следующее
уравнение «в отрезках».
— + —+---= 1 или Ьсх + асу + abz — abc = 0.
а Ь с
Вычислим расстояние h от начала координат до этой плоскости,
воспользовавшись формулой (5) § 49:
, [ — abc | abc
~~ У Ь2с2 + а2с2 + а2Ь2 ~~ )/ Ь2с2 + а2с2 + аЧ2 *
Отсюда получаем:
1 _ Ь2с2 + а2с2 + a2b2 __ j_ _1_ , J_
h2 ~ a2b2c2 ~ a2 b2 с2 '
3. Примеры решения задач стереометрии.
Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
боковая грань наклонена к основанию под углом а. Найти угол ф
между плоскостями АКС и SAB, если К — середина ребра SB.
Решение. Для решения задачи сначала необходимо выбрать
систему координат. За начало прямоугольной декартовой системы
координат возьмем основание Я высоты SH, опущенной из вершины S
на плоскость ABCD (рис. 149), а за координатные оси — диагонали
AC, BD и высоту SH.
Положительные направления осей выберем так, как указано на
рисунке 149. Если АС = BD = 2а, SH = /г, то вершины пирамиды и
точка К будут иметь координаты: А (а, 0, 0), В (0, а, 0), С (—а, 0, 0),
D(0, _a,0),S(0,0, К), К (О, |, А).
Запишем уравнения плоскостей SAB, ABC и АКС. Плоскость
ABC совпадает с координатной плоскостью Оху, поэтому она имеет
уравнение
г = 0. (3)
343
Плоскость SAB отсекает на
координатных осях отрезки a, а, h, поэтому она
имеет уравнение «в отрезках»
z
а а п
= 1.
(4)
Рис. 149.
cos а =
Уравнение третьей плоскости АКС
легко записать как уравнение плоскости,
проходящей через ось Ох и через точку /С:
_ hy + az = 0. (5)
По уравнениям (3), (4) определяем:
_]_
h a
А 1,1 -l/l+l Vw + a*
V а2 а2 + h2 У с2 /г2
По уравнениям (4) и (5) определяем:
h , a
a h
a2 — h2
СОБф =
У а2 /г2
V2h2 + a2 |/a2+/i2'
Если ввести обозначение k = —, то предыдущие соотношения
а
примут вид:
coscp =
cos a
1
1
]/2/г2 + 1 '
k2 1
-/г2
V2k2 + 1 • |/ 1 + k2 V 1 + &
Из соотношения (6) получаем:
cos a.
(6)
(7)
k2 =
1 — cos2a
2 cos2a
Подставив это выражение в соотношение (7), после элементарных
преобразований окончательно получаем:
3 cos2 a — 1
COS ф = — =^ .
^2(i+cos2a)
Задача 6. Пусть SABCD — правильная четырехугольная
пирамида. Доказать, что сумма расстояний от любой точки М,
лежащей внутри основания ABCD, до боковых граней есть величина
постоянная, не зависящая от выбора точки М.
Решение. Пирамида SABCD правильная, поэтому основание
344
ABCD является квадратом. Точку О
пересечения диагоналей примем за начало, а
векторы О А = /, OB = j\ OK = ? — за
координатные векторы прямоугольной
декартовой системы координат (рис. 150).
Здесь К — точка, лежащая на луче OS и
удовлетворяющая условию: ОК=ОА = ОВ.
Если h = — , то в выбранной системе
ОК '
координат боковые грани пирамиды будут
иметь следующие уравнения «в отрезках»:
(ABS)
(BCS)
(CDS)
{DAS) :
± + L
l l
+ 7-1-
—1 1ft
—1 —1 ft
±+JL + ± = U
l —l ft
или fix + hy + z — h = 0,
или —Ax + fty + z— ft=0,
или — fix — hy + г — h = 0,
или /a — fty + г — Л = 0.
Пусть M0 (a, b, 0) — произвольная точка, лежащая внутри
квадрата ABCD. Так как точки О и УИ лежат по одну и ту же сторону от
любой боковой грани, то согласно следствию теоремы [50.1] имеем:
ha + Kb — ft < 0,
ha + /i& — h < 0,
fta — hb — h < 0,
fta — ftb — /i < 0.
(8)
Вычислим расстояние от точки М до боковых граней пирамиды,
пользуясь формулой (5), § 49. При этом будем учитывать также
неравенства (8). Имеем:
| ha + hb — ft | ft — ha — ftft
^abs ~~
j/ft2 + ft2+ 1
К 2ft2 + 1
Аналогично получаем расстояния dBcs, dcDS , dD^s:
ft + fta + ftfc
*?CS
^CDS =
ha + hb + ft
]/2ft2-f 1 ' ~""~ ]/"2ft2+ 1
Сложив найденные расстояния, получим:
<1abs + decs + dcDS + dDAs =
^Ws =
ft — ha + hb
}/2ft2 + l
4ft
K2ft2 + 1 *
Мы видим, что полученная сумма не зависит от координат а, 6
точки М. Задача решена.
Глава IX
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ
§ 55. Выпуклые фигуры. Многоугольники
1. Геометрические фигуры. Напомним ряд понятий из курса
элементарной геометрии. Пусть А и В — две различные точки прямой.
Известно, что между ними лежит бесчисленное множество точек.
Множество этих точек вместе с точками А и В называется отрез-
к о м, определяемым точками Л и В, и обозначается через АВ или
ВА. Точки А и В называются концами отрезка, а все остальные
точки, лежащие между Л и В, — внутренними точками1.
Отрезок является примером геометрической фигуры. Под фигурой
в геометрии понимается любое множество точек. Фигура может
состоять как из конечного множества, так и из бесчисленного множества
точек. В дальнейшем мы будем преимущественно рассматривать
фигуры, состоящие из бесконечного множества точек. Фигура
называется плоской, если все ее точки принадлежат одной плоскости я.
Плоскость я называется плоскостью фигуры.
Плоская фигура F называется ограниченной, если
существует такой круг, которому принадлежат все точки этой фигуры.
В противном случае она называется неограниченной.
Например, фигура, изображенная на рисунке 151, а), является
ограниченной, а на рисунке 151, б) — неограниченной. Другим примером
неограниченной фигуры является полуплоскость, т, е. множество
всех точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой
фиксированной прямой.
По отношению ко всякой плоской фигуре F все точки плоскости я
этой фигуры делятся на три категории: внутренние, внешние и
граничные. Точки плоскости я, не принадлежащие фигуре F, называются
внешними точками для F. Точка фигуры F называется
внутренней, если существует хотя бы одна окрестность2 данной точки,
целиком принадлежащая фигуре. Точка М0 фигуры F называется
граничной, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы од-
1 В различных руководствах по геометрии мы встречаемся с разными
определениями отрезка. Например, в книге [18] отрезком АВ называется множество точек,
лежащих между А и В, а в книге [9] — система двух точек А и В.
2 См. подстрочное примечание на стр. 74.
346
ну точку, не принадлежащую
фигуре F. Граничная точка
MQ называется
изолированной, если существует хотя бы
одна окрестность этой точки,
которая не содержит ни
одной точки фигуры, за
исключением М0. На рисунке 152
точка А является внутренней
точкой фигуры, В —
внешней, а С — граничной.
Множество всех граничных точек
фигуры называется
границей. Вообще говоря,
граница фигуры образует некоторую линию. Однако существуют фигуры,
которые имеют конечное множество граничных точек, а в ряде
случаев вообще не имеют граничных точек. Например, если / — прямая
плоскости,то открытая полуплоскость, определяемая прямой /, не имеет
ни одной граничной точки; любая точка этой фигуры является
внутренней. Если рассмотреть замкнутую полуплоскость,
определяемую прямой, т.е. объединение открытой
полуплоскости и прямой /, то для этой фигуры все точки прямой будут
граничными.
2. Двумерные выпуклые фигуры. Фигура называется выпу к-
л о й, если она целиком содержит отрезок, концами которого служат
любые две точки фигуры. Так, на рисунке 153 фигуры а), б), в)
выпуклые, а фигура г) не является выпуклой. Примерами выпуклых
фигур являются также треугольник, круг и др.
Плоская выпуклая фигура называется двумерной, если она
имеет хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Покажем, что
всякая выпуклая двумерная фигура F имеет бесчисленное множество
внутренних точек. В самом деле, пусть Л, В и С — точки фигуры F,
не лежащие на одной прямой, г Р — произвольная точка
треугольника ABC, принадлежащая его внутренней области. Соединим точку
Рис. 152. Рис. 153.
347
Рис. 154.
Р с точкой А и обозначим через Н точку
пересечения этой прямой с отрезком ВС (рис. 154).
Так как F—выпуклая фигура, то Н
принадлежит F, следовательно, Р также принадлежит
F. Таким образом, все внутренние точки
треугольника ABC принадлежат F. Но точки этого
треугольника, принадлежащие внутренней его
области, являются внутренними. Они же
поэтому являются внутренними точками фигуры F.
Легко видеть также, что всякая плоская
выпуклая фигура, имеющая хотя бы одну
внутреннюю точку, является двумерной, так как
если, например, Р — внутренняя точка этой фигуры, то круг Qp,
целиком принадлежащий фигуре F, имеет по крайней мере три точки,
не лежащие на одной прямой. Эти выводы могут быть сформулированы
в виде теоремы.
Теорема [55.1]. Для того чтобы плоская выпуклая фигура была
двумерной, необходимо и достаточно, чтобы она имела хотя бы одну
внутреннюю точку.
Плоская выпуклая двумерная фигура имеет бесчисленное
множество внутренних точек.
В дальнейшем под выпуклой фигурой, если не будет специальных
оговорок, мы будем понимать плоскую двумерную выпуклую фигуру.
3. Некоторые свойства выпуклых фигур. Рассмотрим некоторые
простейшие свойства выпуклых фигур.
1°. Если А и В — внутргнние точки выпуклой фигуры F, то все
точки отрезка АВ являются внутренними точками данной фигуры.
Согласно определению внутренних точек существуют
окрестности сол и сов точек А и В, все точки которых принадлежат фигуре F
(см. рис. 155, а). Пусть MN и PQ —¦ общие внешние касательные этих
кругов. В силу того что/7 — выпуклая фигура, все точки
заштрихованной на рисунке 156, а) криволинейной фигуры F0 принадлежат
фигуре F. Пусть С — произвольная точка отрезка А В. Очевидно, всегда
можно построить такой круг Qq с центром в точке С, который цели-
Рис. 155.
348
ком принадлежит F0. Но так как фигура F0 принадлежит F, то все
точки круга Qc являются точками фигуры F.
2°. Если А — внутренняя, а В — граничная точка выпуклой
фигуры F, то все точки отрезка АВ, кроме точки В, являются
внутренними точками фигуры F.
Доказательство этого предложения почти не отличается от
доказательства предложения 1°. В этом случае окрестность QB придется
заменить одной точкой В и рассматривать криволинейную фигуру F0,
изображенную на рис. 155, б).
3°. Если А и В — граничные точки выпуклой фигуры F, то либо
все точки отрезка А В граничные, либо все точки отрезка, за
исключением точек А и В,— внутренние точки фигуры F.
В самом деле, если отрезок А В не имеет ни одной внутренней
точки, то это предложение справедливо, поэтому предположим, что точка
С, лежащая между А и В, является внутренней. Согласно
предложению 2° все точки отрезка АС, за исключением точки А, являются
внутренними точками фигуры. По этому же предложению все точки
отрезка СВ, за исключением точки В, являются внутренними.
Отсюда следует, что все точки отрезка АВ, за исключением точек А и В,
являются внутренними точками фигуры F.
4°. Если прямая I проходит через внутреннюю точку выпуклой
фигуры F, то она содержит не более чем две граничные точки фигуры.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямая
/, проходящая через внутреннюю точку М0, содержит более чем две
граничные точки. Из этого предположения следует, что существуют
по крайней мере две граничные точки А и В, лежащие по одну и ту
же сторону от точки М0. Но в этом случае одна из этих точек лежит
между точкой М0 и другой точкой. Пусть А лежит между В и М0.
Мы пришли в противоречие со свойством 2°, так как согласно этому
свойству все точки отрезка ВМ0 являются внутренними.
5°. Если на прямой I нет внутренних точек выпуклой фигуры F,
то все точки фигуры F принадлежат одной из замкнутых
полуплоскостей, определяемых прямой I.
Согласно теореме [55.1 ] существует хотя бы одна внутренняя
точка фигуры F. Пусть А — внутренняя точка, принадлежащая F. По
условию А (? /. Обозначим через со замкнутую полуплоскость,
определяемую прямой I и содержащую точку Л. Покажем, что F с со.
В самом деле, если допустить, что существует точка В, такая, что
В ? F, В <? со, то согласно свойствам 1° и 2° все точки отрезка ВА
являются внутренними. В силу условия В ? со отрезок АВ
пересекает прямую /, что невозможно, так как прямая I не имеет
внутренних точек фигуры F.
4. Пересечение выпуклых фигур. Пересечением двух фигур Fx
и F2 называется множество всех общих точек этих фигур (рис. 156, а).
Очевидно, не всякие две фигуры имеют пересечение, так как возможен
случай, когда на плоскости нет ни одной точки, принадлежащей
данным фигурам одновременно (см., например, рисунок 156, б).
34$
а) 6)
Рис. 156.
Докажем следующую теорему.
Теорема [55.2]. Пусть Рг и F2 — две фигуры одной плоскости
пу а фигура F — их пересечение. Если точка плоскости п является
внутренней точкой одновременно фигур F±uF\,mo она является внутренней
точкой фигуры F. Если же точка является внутренней точкой одной
из этих фигур или граничной точкой второй фигуры, или граничной
точкой как фигуры Fly так и фигуры F2i то она является граничной
точкой фигуры F.
Док аз ательство. Пусть Л является внутренней точкой
как фигуры Fl9 так и фигуры F2 (рис. 156, а). Это означает, что
существует круг (Oi с центром в точке Л, целиком принадлежащий фигуре
F^ и другой круг со2 с центром в той же точке Л, целиком
принадлежащий фигуре F2. Так как круги сох и со2 концентрические, то они
либо совпадают, либо один круг расположен внутри второго. Пусть,
например, все точки круга сох являются точками круга со2. Это
означает, что все точки круга ос^ принадлежат как фигуре Fx, так и
фигуре F2, т. е. принадлежат фигуре F. Это означает, что Л — внутренняя
точка фигуры F.
Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть В —точка,
принадлежащая фигурам F± и F2 и являющаяся граничной точкой хотя бы
одной из фигур, скажем фигуры F± (рис. 156, а). Очевидно, В
является точкой фигуры F. Рассмотрим произвольный круг с центром в
точке В. Так как В — граничная точка фигуры Fl9 то в этом круге
найдется хотя бы одна точка Р, не принадлежащая Fly отсюда следует,
что Р не принадлежит также и фигуре F. Таким образом, любой круг
с центром в точке В содержит хотя бы одну точку, не
принадлежащую фигуре F. Это означает, что точка В является граничной точкой
этой фигуры. Доказательство не изменится, если предположить, что
точка является граничной для обеих фигур Ft и F2 (см. точку С
на рис. 156, а).
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [55.3]. Если две выпуклые фигуры F1uF2 имеют хотя
бы одну точку Л, являющуюся внутренней как для F±, так и для F2,
то их пересечение является двумерной выпуклой фигурой.
Доказательство. Пусть F — пересечение данных
фигур Fx и F2. Согласно теореме [55.2] точка Л является внутренней
350
точкой фигуры F. Докажем, что F выпуклая фигура. Если Л и В —
две произвольные точки фигуры F, то эти точки принадлежат
одновременно фигурам F± и F2. По определению выпуклой фигуры
все точки отрезка АВ одновременно принадлежат фигурам F1 и F2f
поэтому все точки этого отрезка принадлежат фигуре F. Итак, мы
доказали, что F — выпуклая фигура, имеющая хотя бы одну
внутреннюю точку. Из теоремы [55.1] следует, что F — плоская выпуклая
двумерная фигура. Теорема доказана.
5. Многоугольники. Как известно из курса элементарной
геометрии, система отрезков МХМ2, М2М3, М3М^ . . . , МпМп+1
называется ломаной, соединяющей точки М1 и Мп+и Внутренние точки
отрезков МгМ2, M2M3t . . . , МпМп+и равно как и точки М1уМ2у ..., Mnib
называются точками ломаной. Если точки Ml9M2, ... , Мп+1
принадлежат одной плоскости и точка Мп+1 совпадает с точкой Ми
то такая ломаная называется плоской замкнутой
ломаной. Точки М1У М2, . . ., Мп называются вершинами, а
отрезки М±М2У М2М3, . . . , МпМх — ее сторонами.
В дальнейшем изложении нас будет интересовать частный случай
плоской замкнутой ломаной — простая замкнутая ломаная. Плоская
замкнутая ломаная МХМ2 . . .МпМи где п > 3, называется
простой замкнутой ломаной, если все вершины различны,
ни одна вершина не лежит на стороне и никакая пара его сторон не
имеет общей внутренней точки. В этом случае ломаную будем
обозначать так: yWt/W2 . . Mtl. Ломаные, изображенные на рисунках 157, а),
б), <5), являются простыми замкнутыми, а ломаные на рисунках 157, в),
а) б) ° б) D
^ 'О*
F .1 Я] D
г) д)
Рис. 157.
351
а) не простые. Всякая простая, замкнутая
ломаная L плоскости я разбивает все точки
плоскости я, не принадлежащие L, на две области
(множества) — внутреннюю и
внешнюю, обладающие следующими свойствами.
Г. Если точки А к В принадлежат
различным областям, то любая ломаная, соединяющая
эти точки и лежащая в плоскости я, имеет по
крайней мере одну общую точку с ломаной L,
если же они принадлежат одной и той же
области, то в плоскости я всегда существует
ломаная, соединяющая точки А и В и не
имеющая общих точек с L(cm. рис. 157, а) и 157, б).
2°. Если точка М0 принадлежит внутренней
области, то она является внутренней точкой этой области. Если
М0 ? L, то в любой окрестности этой точки существуют точки,
принадлежащие как внутренней, так и внешней области.
3°. В плоскости я существует хотя бы одна прямая, все точки
которой принадлежат внешней области, и не существует ни одной прямой,
все точки которой принадлежат внутренней области.
Сформулированные выше свойства являются почти очевидными,
если исходить из наглядных геометрических представлений, однако
их строгое доказательство требует кропотливых и длинных
рассуждений, которые мы опускаем1.
Введем следующее основное определение: объединение простой
замкнутой ломаной МгМ2 . . .Мп и ее внутренней области называется
многоугольником и обозначается так2: М±М2 . . . Мп.
Вершины и стороны ломаной МХМ2. . . Мп называются
соответственно вершинами и сторонами многоугольника
МгМ2 ...Мп.
Многоугольники классифицируются по числу вершин, или, что
то же самое, по числу сторон. Простейшим многоугольником является
треугольник, далее идут четырехугольники, пятиугольники и т. д.
(рис. 158).
Из свойства 2° следует, что все точки внутренней области ломаной
МгМ2 . . . Мп являются внутренними точками многоугольника
МгМ2 . . . Мп. Граничными будут те и только те точки, которые
принадлежат ломаной М1М2 . . . Мп.
1 См., например, [9], стр. 409—419.
2 Объединением двух или нескольких множеств точек называется множество
точек, состоящее из тех и только тех точек, каждая из которых принадлежит хотя
бы одному из данных множеств.
В некоторых руководствах по геометрии многоугольником называется любая
простая замкнутая ломаная или даже плоская замкнутая ломаная. См., например,
[9] или [18].
352
§ 56. Выпуклые многоугольники
1. Свойства выпуклых многоугольников. Из предыдущего
определения следует, что любой многоугольник является плоской фигурой,
содержащей по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
Если эта фигура выпуклая, то многоугольник называется выпуклым.
Рассмотрим два простых свойства выпуклых многоугольников.
Г. Любая прямая, содержащая сторону выпуклого многоугольника
(т. е. проходящая через две соседние вершины), не имеет ни одной
внутренней точки. Это утверждение непосредственно следует из § 55,
п. 3, свойства 4° выпуклых фигур, так как прямая, содержащая
сторону многоугольника, имеет бесчисленное множество граничных точек.
2°. Все точки выпуклого многоугольника расположены в одной и
той же замкнутой полуплоскости, определяемой любой прямой,
содержащей какую-либо сторону многоугольника. В самом деле, пусть
прямая /w+1 содержит сторону MiMi+l многоугольника МгМ2 . . .Мп.
Из предыдущего свойства следует, что 1и+1 не имеет ни одной
внутренней точки многоугольника. Из § 55, п. 3, свойства 5° выпуклых
фигур следует, что все точки многоугольника расположены в одной и
той же замкнутой полуплоскости, определяемой прямой /д+1.
Замкнутую полуплоскость, определяемую прямой lii+1 и содержащую все
точки многоугольника МгМ2 . . Мп, будем называть
полуплоскостью данного многоугольника, определяемую
стороной MLMi+1.
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема [56.1 ]. Выпуклый многоугольник F есть пересечение
всех его полуплоскостей, определяемых всеми его сторонами.
Доказательство. Пусть F — данный выпуклый
многогранник М1М2.--Мп\ со12, со23, .-., соп1—его полуплоскости,
определяемые соответственно сторонами МХМ2, М2М3,..., МпМг, a S —
пересечение всех этих полуплоскостей (рис. 159). Покажем, что F и S
совпадают. Если Р ? F, то согласно свойству 2° Р ? со12, P^cogg, ...,
Pd®ni> поэтому Р ? S. Если Q (t F, то Q принадлежит внешней
области многоугольника, поэтому согласно свойству Г, п. 5, § 55
отрезок PQ пересекает по крайней мере одну из прямых, содержащих
какую-либо сторону. Здесь Р — произвольная точка внутренней
области многоугольника. Пусть, например, PQ пересекает прямую
МгМ2 (рис. 159). Так как Р ? со12, то Q (? со12, поэтому Q(?S.
Теорема доказана.
Введем следующее определение. Простая замкнутая ломаная
называется выпуклой, если, какова бы ни была прямая, содержащая
сторону ломаной, все вершины ломаной лежат в одной и той же
замкнутой полуплоскости, определяемой этой прямой.
Теорема [56.2]. Для того чтобы многоугольник МХМ2 ... Mk
был выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы ломаная МгМ2 ...МЛ
была выпуклой.
Доказательство. Необходимость условия
непосредственно следует из свойства 2°, сформулированного выше в настоящем
353
пункте. Докажем достаточность
условия. Пусть МгМ2 .. . Mk — простая
замкнутая выпуклая ломаная.
Обозначим через о)!2, со23, ..., соА1 замкнутые
полуплоскости, определяемые
соответственно прямыми М1М2у М2М3 , ...,
МпМг и содержащие вершины ломаной.
Обозначим через 5 пересечение всех
этих полуплоскостей и докажем, что S
совпадает с данным многоугольником
F= МгМ 2.. Мп. Отсюда и будет следовать
утверждение теоремы. Прежде всего пока-
Рис 159 жем, что если М ? F, то М ? S. Для
этого надо показать, что М
принадлежит всем полуплоскостям со12, со23, ...,
юя1. Покажем, например, что М ? со12. Пусть, напротив, М (? ш12. Про-
ведем через М прямую /, параллельную МгМ2. Так как МгМ2 ...Мп —
выпуклая ломаная, то / не пересекает эту ломаную. Отсюда,
учитывая свойство 3°, п. 5, § 55, мы заключаем, что все точки прямой /
внешние, поэтому М (? F. Мы пришли к противоречию.
Теперь допустим, что М (? F, и покажем, что М (? S. Пусть N
принадлежит внутренней области многоугольника F. Так как М
принадлежит внешней области F, то отрезок MN пересекает какую-либо
прямую, содержащую сторону многоугольника. Если, например, ММ
пересекает прямую МгМ2, то М ^ со12, поэтому М (jf S. Теорема
доказана полностью.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что любой
треугольник является выпуклым многоугольником. Из этой же теоремы
легко прийти к выводу, что параллелограмм и трапеция являются
примерами выпуклых многоугольников.
2. Линейные неравенства, характеризующие треугольник. Теперь
рассмотрим следующую задачу. Пусть в некоторой системе
координат даны вершины многоугольника своими координатами. Записать
аналитические условия, характеризующие точки этого
многоугольника. Эту задачу довольно трудно решить, если рассмотреть ее для
произвольного многоугольника. Мы здесь рассмотрим эту задачу для
случая, когда многоугольник выпуклый. Начнем с треугольника.
Задача 1. Пусть в общей декартовой системе координат даны
вершины треугольника М1М2М3 своими координатами: Мг (хх, ух),
М2 Сч» У г)» МзС^з» Уз)- Записать линейные неравенства,
характеризующие данный треугольник.
Решение. Треугольник является выпуклым
многоугольником, поэтому согласно теореме [56.1], для того чтобы точка М
принадлежала треугольнику МгМ2М3, необходимо и достаточно, чтобы
М принадлежала одновременно трем полуплоскостям треугольника,
которые определяются сторонами МХМ2, М2МВ, М3Мг.
354
Прежде всего заметим, что прямые МгМ2, MXMZ, M2MS> как еле-
дует из (3), § 16, имеют уравнения:
х—хг у—yi
Х2— Л?! у2— Ух
= о,
х—хх у—yL
хз— Хх Уз—У!
о,
х— хг у— у2
¦^з *а Уз Уг
= о,
(1)
Из следствия теоремы [19.1 ] следует, что точка М (х, у)
принадлежит треугольнику МХМ2М3 тогда и только тогда, когда одновременно
выполнены следующие три неравенства:
x — xi у— ух
x1—xi у2— ух
x — xt у—ух
*з—*i Уз— У1
*—*г У—Уг
*з' *2 Уз Уг
% Уз —У1
хх у2—yi
>0,
*2—*i Уа — У1|>0,
*з~ *i Уз— Ух\
хх— xz ух — уа
хз хг Уз Уг
>0.
(2)
(3)
(4)
Отсюда непосредственно следует теорема.
Теорема [56.3]. Треугольник МгМ2Мг, вершины которого
в общей декартовой системе координат имеют соответственно
координаты (хг, yi),(A:2, y2),(*3» Уз), есть совокупность тех и только тех
точек плоскости, координаты которых одновременно удовлетворяют
неравенствам (2), (3) и (4).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение этой теоремы.
Пример. Пусть в некоторой общей декартовой системе
координат даны вершины треугольника Мг (0, 0), М2 (1, 0), М3(2, 2) (рис.
160). Записать аналитическую характеристику данного треугольника.
Решение. Пользуясь предыдущей теоремой, запишем
соотношения (2), (3) и (4) для данного треугольника:
X
2
X
1
х — 0 у — 01
2 — 0 2 — 01
— 1 у —0
— 1 2 — 0
-
•
10
12
0 у —0
0 0 — 0
•
2
1
1 — 0 0 — 0
2 — 0 2 — 0
— 1 0-
— 1 2-
-0
-0
— 0 2 — 0
-0 0 — 0
>о,
>0.
>0,
Эта система после соответствующих
преобразований принимает вид:
у > 0, х — у > 0, 2х — у — 2 < 0. (5)
3. Линейные неравенства,характеризую- - р
щие многоугольник. Обобщим теорему [56.3] Mi I
на случай любого выпуклого
многоугольника. Предварительно выясним условия, при
Рис. 160.
355
которых данный многоугольник, заданный координатами своих
вершин, является выпуклым. Пусть в общей декартовой системе
координат вершины многоугольника имеют координаты: Мг (хг, уг),
^2 (х2> Уг)»---» Mk (xk, yk). Для сокращения дальнейших
выкладок введем Обозначения:
М*- y) = \X~XJ l ~УЛ <". / = 1. 2. - > k- (б)
I Л/ Л/ У; У/ I
Очевидно, уравнения сторон в принятых обозначениях имеют
следующий вид:
6/,/+i (*» У) = 0, где i = 1, ... , ft — 1; бЛ1 (*, у) = 0. (7)
Из теоремы [56.2] следует, что многоугольник будет выпуклым
тогда и только тогда, когда, какова бы ни была прямая, проходящая
через две смежные вершины, все вершины лежат в полуплоскости,
определяемой этой прямой. Аналитически это означает, что среди
элементов каждой строки матрицы нет чисел, имеющих разные знаки.
/6i2(*3> Уз)» si2(*4> У4)> ••• > в1а(*Л> ук)
M*i> У0> б2з(*4> У4). • • > б2з(**> У к)
(8)
&k-l,k(xl> У1)» *k-l,k(x2> Уг)> ••• » uk-hk (Хк-2>Ук-2)
Al(*2> У2)> 6ftl(*3> Уз)* '•• » S*l(**-1> Ул-l)
Это утверждение непосредственно следует из следствия теоремы [19.11.
Пользуясь этим замечанием, мы можем сформулировать
предложение, которое по существу явится обобщением теоремы [56.3] на
случай любого выпуклого многоугольника.
Теорема [56.4 ]. Пусть в некоторой общей декартовой
системе координат многоугольник М± М2 ..., Mk задан координатами
своих вершин: (хъ у J, (х2, у2)> •••, (xk> Ук)- Для того чтобы этот
многоугольник был выпуклым и точка М (х, у) была точкой многоугольника,
необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли системе
неравенств:
Si2 (х, у) 61а (xj9 yj) > 0, / = 3, 4, ... , ft,
823(*> У) &23 (xj9 yj) >0, / = 1, 4, 5, ... , ft, (9)
8ki(x> У) s*i (*/> Уу) > 0, / = 2, 3, ... , ft — 1,
где через б/у- (х, у) обозначены выражения (6).
Доказательство. Из равенств (7) следует, что стороны
многоугольника М1М2МгМк... Mk имеют соответственно уравнения
*и (*. У) = 0, S23 (х, у) = 0, ... , 6А1 (х, у) = 0. (10)
Если данный многоугольник выпуклый, то среди элементов
каждой строки матрицы (8) нет чисел, имеющих разные знаки. Поэтому
если точка М (х, у) является внутренней, то число б12 (х, у) в
соответствии с теоремой [19.1 ] имеет тот же знак, что и все нулевые элементы
первой строки матрицы (8). Откуда следует, что
356
8i2 (*> У) 6i2 (Xj> Vj) > 0, / = 3, 4, ...
получаем
ft.
остальные
Рис. 161.
Аналогично
соотношения (9).
Обратно, если для некоторой точки
М (ху у) выполнены неравенства (9), то
это означает, что, например, среди чисел
Sisfoy). 612(^8. Уз)> 6i2fe Уд, ....
б12(л:й, yk) нет таких, которые бы имели
разные знаки. Из теоремы [19.1]
следует, что точки М (х, у), А3(хЗУ у3),
^4 (хыУд>-">Ак(хк>Уд лежат в одной
замкнутой полуплоскости, определяемой
стороной АгА2. Используя другие
неравенства из (9), мы приходим к выводу, что аналогичные
утверждения имеют место для всех сторон многоугольника. Из теоремы [56.21
следует, что данный многоугольник выпуклый и М принадлежит
этому многоугольнику.
Пример. Пусть в общей декартовой системе координат даны
четыре точки: Мг (0, 0), М2 (1, 0), Л43(2, 2) и М4(0, 1). Доказать, что
четырехугольник М±М2М3М^ является выпуклым, и записать
неравенства, характеризующие этот четырехугольник (рис. 161).
Решение. Вычислим для данного четырехугольника
выражения б12 (х, у), б23 (х, у), б34 (х, у), б41 (л:, у), определяемые
соотношениями (6):
б12 = — у, б23 = 2х — у — 2, 834= — х + 2у — 2, б41=— х.
Пользуясь ими, вычислим элементы матрицы (8). В данном случае
матрица имеет два столбца и четыре строки. Имеем:
6i2 (*з> Уз) = —2, 6i2 (*4> Уд = — 1. /—2
623 (хъ Уд = —2, Ь0
-2з (*4> Уд = —3, | —2
б34 К, УО = —2, 634 (*2> У2) = —3, \ —2
*4i (*2> У2) = —!• б41 (*8, Уз) = —2, \—1
Мы видим, что элементы каждой строки этой матрицы имеют один
и тот же знак, поэтому данный четырехугольник является выпуклым.
Неравенства (9), характеризующие точки данного четырехугольника,
имеют вид:
(-
Эти
неравенствам:
у > 0, 2х — у — 2 < 0, — х + 2у — 2 < 0, х > 0.
Рассматриваемый четырехугольник изображен на риснуке 161.
-у(—2)>0, —у(—1)>0,
(2х_у —2)(— 2)>0, (2л; — у — 2) (—3) > 0,
-х + 2у —2)(—2)>0, (—х + 2у— 2)(—3) > 0,
—х(—1)>0 (—х)(—2)>0.
эавенства, очевидно, эквивалентны следующим
четырем
357
Из геометрических соображений следует, что полученные
неравенства действительно характеризуют четырехугольник, так как
прямые МХМ2, М2М3, МВМ^ М^кМ1 имеют соответственно уравнения:
у = о, 2х — у — 2 = 0, — х + 2у — 2 = 0, х = 0.
§ 57. Многогранные поверхности
1. Цепочка многоугольников. В первых двух параграфах
настоящей главы мы рассматривали плоские фигуры, т. е. фигуры, все точки
которых лежат в одной плоскости. В настоящем параграфе переходим
к изучению пространственных фигур, т. е. таких точечных множеств,
которые расположены в трехмерном пространстве. В стереометрии чаще
всего рассматриваются фигуры, ограниченные многоугольниками,
поэтому предварительно введем ряд простых определений, связанных
с множеством многоугольников.
Конечную систему попарно различных многоугольников Fx, F2, ...,
Fk (где k > 2), заданных в определенном порядке, будем называть ц е-
почкой, соединяющей многоугольники Fx и Fk, если выполнены
следующие условия:
а) Любая сторона каждого из многоугольников является либо
стороной только этого многоугольника, либо стороной еще только
одного многоугольника.
б) Если стороны двух многоугольников имеют общую точку,
отличную от вершин, то эти стороны совпадают.
в) Любые два смежных многоугольника (т. е. Ft и Fi+1 при i = 1,
..., k— 1) имеют по крайней мере одну общую сторону. Любая их
общая вершина является концом их общей стороны.
г) Если многоугольники Ft и Fk при i < k — 1 имеют общую
вершину, то многоугольники F/+1, ..., Fk^x имеют ту же вершину.
Если мы для каждой пары смежных многоугольников цепочки Flf
..., Fk зафиксируем одну из общих сторон, то получаем k — 1
отрезков, которые называются системой связывающих сторон. Вообще
говоря, цепочки допускают одну систему связывающих сторон, однако
существуют цепочки, допускающие несколько таких систем, так как
смежные многоугольники могут иметь более чем одну общую
сторону. Крайние многоугольники Fx и Fk имеют по одной стороне,
входящих в систему связывающих сторон, а остальные — по две. На
рисунке 162 изображены примеры цепочек многоугольников. Эти цепочки
соединяют многоугольник, обозначенный цифрой 1, с
многоугольником, имеющим наибольший номер. На этом рисунке система
связывающих сторон в каждой цепочке выделена жирными линиями.
Цепочки, изображенные на рисунках б) и в), допускают более чем одну
систему связывающих сторон.
На рисунке 163 изображены системы многоугольников, которые не
образуют цепочек. В самом деле, для систем многоугольников,
изображенных на рисунках 163, а), б), в), г), не выполняются
соответственно условий а), б), в) и г) определения цепочки. Заметим,
358
Рис. 162.
что система, состоящая из двух многоугольников Fl9 F2,
изображенных на рисунке 163, д), также не образует цепочки, так как не
выполняется вторая часть условия в).
2. Многогранная поверхность. Многогранной поверхностью
называется множество точек, являющееся объединением конечного
числа k многоугольников, расположенных в пространстве так, что:
а) каждая сторона одного из многоугольников является стороной
либо только этого многоугольника, либо стороной еще только одного
многоугольника;
б) если fe>l и если F и F' — два многоугольника данной
совокупности, то всегда существует цепочка, состоящая целиком из
многоугольников данного множества и соединяющая многоугольники F и F'.
г) д)
Рис. 163.
359
При k = 1 многогранной поверхностью называется множество
всех точек данного многоугольника.
Мы не исключаем из рассмотрения случая, когда некоторые
многоугольники или даже все многоугольники данного множества лежат в
одной плоскости.
Смысл условия а) состоит в том, что рассматриваемое множество
многоугольников образует «гладкую» поверхность. Смысл условия
б) состоит в том, что многогранная поверхность состоит из одного
куска, т. е. поверхность не распадается на отдельные, не связанные
между собой части.
Вершины многоугольников, образующих многогранную
поверхность, называются ее в е р ш и н а м и; их стороны — ее ребра-
м и, а сами многоугольники — гранями поверхности.
Заметим, что если ребра двух многоугольников F и F' данной
многогранной поверхности имеют общую внутреннюю точку, то эти ребра
совпадают. В самом деле, согласно определению F и F' можно
соединить цепочкой. Из определения цепочки (см. условие б) ) вытекает
формулированное выше свойство.
Ребро многогранной поверхности называется внутренним, если
оно является стороной двух ее граней, и граничным, если оно
служит стороной одной грани. Объединение всех граничных ребер
называется границей многогранной
поверхности.
Самым простым примером многогранной поверхности является
поверхность, имеющая одну грань, т. е. состоящая из одного
многоугольника. В этом случае k = 1 и все ребра являются граничными. Другим
примером многогранной поверхности является любая цепочка.
Поверхность всякого многогранника, известного нам из курса средней
школы, является многогранной поверхностью. Например, поверхность
тетраэдра (см. рис. 132) является поверхностью, имеющей четыре
грани, четыре вершины и шесть ребер. При этом все ребра являются
внутренними и поверхность не имеет границы. Рассмотрим другие
примеры. Возьмем поверхность куба ABCDA'B'CD' и удалим одну
его грань А'В'СЪ' (рис. 164, а). Мы получим «коробку без крышки»,
которая, очевидно, является многогранной поверхностью. Границей
этой поверхности является квадрат A'B'C'D'. Ребра А'В', В'С\
А'
А
Z
\z
D'
D
'/•
О
J
сг
А'.
С
А
/
V.
D'
D
(
?
К
У 1
л'
О
А
/
V.
D'
D
^>f
В
у.
а)
6)
Рис. 164.
6)
360
CD', D' А' являются граничными, все остальные ребра являются
внутренними. Если у той же поверхности удалить две грани —
A'B'C'D' и АА'В'В, то получится новая многогранная поверхность
с границей AA'D'C'B'B (рис. 164, б). Если у исходного куба удалить
грани ABCD и A'B'C'D', то получим многогранную поверхность,
границей которой служат стороны двух изолированных квадратов.
с?га поверхность изображена на рис. 164, в).
Данное выше определение многогранной поверхности является
достаточно общим, поэтому ему могут удовлетворять поверхности весьма
сложной природы. В геометрии обычно рассматривают простые
многогранные поверхности, определяемые следующим образом.
Многогранная поверхность называется простой, если:
выполнены следующие условия:
1) если она имеет более чем одну грань, то пересечение любых
двух различных граней есть либо пустое множество, либо одно или
несколько внутренних ребер этих граней;
2) ее граничные ребра (если они существуют) образуют одну,
вообще говоря, неплоскую замкнутую ломаную.
Многогранная поверхность, имеющая одну-единственную грань,
считается простой.
На рисунке 164 многогранные поверхности а) и б) являются
простыми, а поверхность в) не простая.
В дальнейшем будем рассматривать только простые многогранные
поверхности.
3, Односвязные многогранные поверхности. Наша ближайшая
задача заключается в том, чтобы из класса простых многогранных
поверхностей выделить специальный класс так называемых односвязных
многогранных поверхностей. Для этого нам необходимо
воспользоваться понятием простой ломаной.Заметим,что в дальнейшем изложении,
вообще говоря, мы не предполагаем, что рассматриваемые ломаные
являются плоскими. Ломаная называется простой, если все вершины
различны, ни одна вершина не лежит на любой другой стороне и
никакая пара ее сторон не имеет общей внутренней точки.
Разрезом многогранной поверхности называется всякая простая
незамкнутая ломаная, у которой:
1) стороны (звенья) являются внутренними ребрами данной
многогранной поверхности;
2) концы лежат на границе этой поверхности;
3) нет других общих точек с границей, кроме концов.
Отсюда следует, что концы разреза являются несовпадающими
вершинами, лежащими на границе ловерхности. Например, на
рисунке 164, а) разрезом будет ломаная А АВСС, а на рисунке 164, б)
ломаная D'DCC.
Пусть Ф—данная многогранная поверхность с границей АгА2 ...
Ak, a AiB1B2 ... BsAj(i<j) — некоторый разрез этой поверхности
(рис. 165). Возможны следующие два случая:
1) Каковы бы ни были многоугольники F nFf, принадлежащие Ф,
всегда существует такая цепочка, соединяющая F с F', что ни одна из
361
связывающих ее сторон не
принадлежит разрезу А1В1В2 ... BsAj. В этом
случае мы будем говорить, что
данный разрез не разбивает
поверхность Ф на части.
2) Существуют хотя бы два
многоугольника F и F' поверхности Ф,
такие, что при любом выборе цепочки,
соединяющей эти многоугольники, и
любом выборе связывающих сторон в
каждой цепочке по крайней мере одна
связывающая сторона принадлежит
разрезу AiB1B2... BsAj. В этом
случае будем говорить, что данный
разрез разбивает поверхность Ф на части1. В этом случае можно
показать, что все многоугольники поверхности Ф разбиваются на два
класса так, что каждый из этих классов образует многогранную поверхность,
границей одной из этих поверхностей будет замкнутая ломаная Afi^^...
.. Al+1, а границей второй поверхности будет замкнутая
Рис. 165.
ЯИЛ-1
ломаная AiB1B2
ДИИ/+1
AkAx ... Ai_1 (см. рис. 165).
Многогранная поверхность, имеющая граничные ребра, называется
односвязной, если она либо не имеет ни одного разреза, либо
любой разрез разбивает ее на две многогранные поверхности.
Многогранная поверхность называется многосвязной, если она
имеет хотя бы один разрез, не разбивающий ее на части. Примерами
односвязной многогранной поверхности могут служить поверхности,
изображенные на рисунках 164, а) и б), рассмотренные нами выше.
Пример многосвязной поверхности можно получить следующим
образом. Отнимем от многогранника, изображенного на рисунке 166, одну
из его граней, например грань ВСС'В''. Получим многогранную
поверхность с границей ВСС'В'В, изображенной на рисунке 166
жирной линией. Эта поверхность будет многосвязной, так как,например,
разрез BB"Bf не разбивает данную поверхность на две части. Этот
разрез обращает ее в одну поверхность, ограниченную двумя
частично совпадающими контурами ВВ,ГВ'В и ВВ'ССВ.
Для односвязных поверхностей имеет место следующая важная
теорема.
Теорема [57.1 ]. Каждая из двух многогранных поверхностей,
на которые произвольный разрез разбивает односвязную многогранную
поверхность, также односвязна.
Доказательство. Пусть разрез AtB± ... BsAj делит
данную многогранную поверхность Ф с границей АхАг... Ak на две много-
1 Наглядный смысл этого предложения заключается в том, что данный разрез
разбивает поверхность на два куска, каждый из которых является многогранной
поверхностью. Строгое доказательство этого предложения сложно и выходит за рамки
нашего курса.
362
гранные поверхности Р и Q (рис. 167, а).
Доказательство теоремы проведем от
противного. Предположим, что одна из этих
поверхностей, например Р, многосвязна. Это
означает, что существует разрез ССг ... СрС\
который не разбивает поверхность Р на части.
Возможны два случая:
а) Точки Си С' принадлежат границе
исходной поверхности.
б) Хотя бы одна из вершин С и С не
принадлежит границе исходной поверхности Ф.
Рассмотрим каждый из этих случаев в
отдельности.
а) Если точки С и С принадлежат границе исходной поверхности
Ф, то это означает, что разрез ССХ ... СрС является одновременно
разрезом исходной поверхности Ф (см. рис. 167, а). Покажем, что этот
разрез не разбивает поверхность Ф на части. Другими словами, мы
должны показать, что, каковы бы ни были два многоугольника Fx и
F2> принадлежащие Ф, всегда существует такая цепочка, соединяющая
эти многоугольники, связывающие звенья которой не принадлежат
разрезу ССг ... СрС
Если многоугольники F± и F2 принадлежат многогранной
поверхности Р, то это утверждение следует из нашего допущения; если же
Fx и F2 принадлежат многогранной поверхности Q, то оно
непосредственно следует из того обстоятельства, что Q — многогранная
поверхность. Остается рассмотреть случай, когда один из
многоугольников, скажем Flf принадлежит Р, а другой — F2 принадлежит Q.
В этом случае возьмем звено ВгВ2 ломаной AiB1B2 ... BsAj и
рассмотрим многоугольники многогранной поверхности Ф,
примыкающие к этому звену. Так как В1В2 — внутреннее ребро многогранной
поверхности Ф, то существуют два и только два многоугольника fx и
/2, примыкающие к ВгВ2. С другой стороны, ребро В1В2 является
граничным ребром как для поверхности Р, так и для поверхности Q, по-
а) 6)
Рис. 167.
363
Рис. J 66.
этому един из этих многоугольников, скажем fx, принадлежит
поверхности Р, а другой многоугольник /2 — поверхности Q.
Так как Fx и /х принадлежат Р, то согласно вышеизложенному
существует цепочка FiR± ... /?m/i, звенья которой принадлежат
поверхности Р и связывающие стороны не принадлежат разрезу ССХ ... СрС'.
Точно так же, так как F2 и /2 принадлежат Q,to существует цепочка
/2Si...SnF2, звенья которой принадлежат Q и связывающие стороны
не принадлежат разрезу ССг ... СрС. Рассмотрим цепочку F^ ...
Rmf J 2$i • •• SnF2. Все ее звенья принадлежат Ф, и она
соединяет F-l с F2. С другой стороны, ни одна связывающая сторона этой
цепочки не принадлежит разрезу ССХ .... СрС. Мы пришли к выводу,
что Ф — многосвязная поверхность. Это противоречит условию
теоремы.
б) Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одна из точек С и С
совпадает с вершинами В1У В2 ..., Bs (рис. 167, б). Этот случай
несущественно отличается от предыдущего, так как и в данном случае
можно указать такой разрез поверхности Ф, который не разбивает эту
поверхность на части. В самом деле, если, например, С совпадает с одной
из вершин Ai+1 ... Лу_ь а С— с одной из вершин BiB2 ... Bs, скажем
с Ве, то ломаная СС1 ... СрС'Ве+1 ...BsAj является разрезом
поверхности Ф. Точно так же, как и в предыдущем случае, легко показать,
что этот разрез не разбивает поверхность Ф на части (см. рис. 167, б).
Теорема доказана.
4. Эйлерова характеристика многогранной поверхности. Пусть
Ф — многогранная поверхность, е — число вершин, / — число
граней, a k — число ребер этой поверхности. Число е + f — k называется
эйлеровой характеристикой поверхности Ф. Другими словами,
эйлерова характеристика есть избыток суммы числа вершин и числа
граней над числом ребер. Имеет место следующая интересная теорема.
Теорема [57.2]. Эйлерова характеристика всякой односвязной
многогранный поверхности равна единице, т. е.
e + f-k=l. (1)
Доказательство проведем методом математической
индукции. Теорема, очевидно, верна для поверхности, состоящей из
одной грани, так как в этом случае / = 1 и е = k. Предположим
теперь, что она верна для всех односвязных поверхностей с числом
граней, меньшим чем /, и докажем, что она верна для односвязных
поверхностей с/ гранями. Итак, пусть Ф — односвязная поверхность,
имеющая / граней, е вершин и k ребер
По предположению / > 2, поэтому всегда существует хотя бы один
разрез многогранной поверхности Ф. В самом деле, если, например,
g = А2А1В1В2В3В^В5 — грань, примыкающая к граничному ребру
АгА2, и вершина Ах выбрана так, что сторона АХВХ этой грани
является внутренней (рис. 168), то ломаная A-^B^^^BJBr.A^
состоящая из внутренних сторон грани g, является разрезом для Ф.
364
Рассмотрим какой-либо разрез данной
поверхности Ф и обозначим через к0
число его звеньев, а через еъ fu kx и е2у /2, k2
число вершин, граней и ребер тех двуход-
носвязных поверхностей, на которые
данный разрез разбивает исходную
поверхность Ф. По предположению индукции
имеем:
ч +/i — К = 1,
^2 + /з ko = 1.
2/2 2 Рис. 168.
Отсюда следует, что (б?х + е2) + (/i + /2)—
~ (?i + ^2) = 2.
Очевидно, имеют место соотношения:
ех + е2 = е + kQ + 1, f1 + f2=s ft К + k2 = k + ?0.
Подставляя эти соотношения в предыдущее равенство, мы
получаем соотношение (1). Теорема доказана.
§ 58. Многогранники
1. Геометрическое тело. В трехмерном пространстве наряду с
точками, одномерными и двумерными фигурами рассматриваются
также множества точек, являющиеся трехмерными фигурами. Такие
фигуры называются телами. Примерами трехмерных тел являются
шар, куб, тетраэдр, параллелепипед и т. д. Основные определения,
приведенные в § 55, полностью переносятся на тела. Тело F
называется ограниченным, если существует шар, которому
принадлежат все точки этого тела. В противном случае оно называется
неограниченным.
Например, любой многогранник, известный учащемуся из курса
геометрии средней школы, является примером ограниченного тела.
Открытое полупространство, т. е. множество всех точек
пространства, лежащих по одну и ту же сторону от некоторой фиксированной
плоскости, является примером неограниченного тела.
Понятия внешней, внутренней и граничной точек, введенные нами
для плоских фигур, почти автоматически переносятся на тела. Точка
тела называется внутренней, если существует хотя бы одна
окрестность этой точки, целиком принадлежащая телу1. Точка
называется граничной, если любая окрестность этой точки содержит
хотя бы одну точку, не принадлежащую телу. Множество всех
граничных точек тела называется границей. Вообще говоря, граница
тела образует некоторую поверхность. Однако существуют тела,
имеющие конечное множество граничных точек или вовсе не имеющие
граничных точек. Примером такого тела служит полупространство,
рассмотренное выше.
1 Окрестностью точки М0 в трехмерном пространстве называется любой
открытый шар с центром в этой точке.
365
Точка пространства, не принадлежащая данному телу, называется
внешней по отношению к телу.
2. Понятие многогранника. Одним из простых тел,
рассматриваемых в геометрии, является многогранник. Для того чтобы ввести
понятие многогранника, предварительно рассмотрим следующее
определение. Многогранная поверхность называется замкнутой, если все
ее ребра являются внутренними или, другими словами, если она не
имеет границы. Простые замкнутые многогранные поверхности будем
обозначать через F, G и т. д. Отметим, что простая замкнутая мно.-
гогранная поверхность обладает следующим свойством: не все ее
грани лежат в одной и той же плоскости. Мы не будем приводить
полное доказательство этого предложения. Заметим лишь, что если
предположить обратное, т. е. допустить, что все грани поверхности
принадлежат некоторой плоскости, то из условия замкнутости
поверхности легко прийти к выводу, что всегда найдутся такие две
грани, которые имеют общие внутренние точки.
Всякая простая замкнутая многогранная поверхность F разбивает
все точки пространства, не принадлежащие F, на две области
(множества) — внутреннюю и внешнюю, обладающие
следующими свойствами.
Г. Если точки А и В принадлежат различным областям, то любая
ломаная, соединяющая эти точки, имеет по крайней мере одну общую
точку с поверхностью^, если же они принадлежат одной и той же
области, то всегда существует такая ломаная, соединяющая точки А
и В и не имеющая общих точек с F.
2°. Если точка М0 принадлежит области, то она является
внутренней точкой этой области. Если М0 ? F, то в любой
окрестности точки М0 существуют точки, принадлежащие как внутренней,
так и внешней областям.
3°. Существует хотя бы одна прямая, все точки которой
принадлежат внешней области, и не существует ни одной прямой, все точки
которой принадлежали бы внутренней области.
Строгое доказательство этих предложений выходит за рамки
настоящего курса1.
Теперь введем следующее основное определение, которое является
обобщением определения многоугольника на случай трехмерного
пространства. Объединение простой замкнутой многогранной поверхности
F и ее внутренней области называется простым
многогранником, который будем обозначать через F.
Легко видеть, что все многогранники, известные учащемуся из
курса средней школы (тетраэдр, куб, призмы, параллелепипеды,
пирамиды и т. д.), являются простыми. Простым является также
«кольцеобразный» многогранник, изображенный на рисунке 166. Гранями
этого многогранника являются три прямоугольника и шесть трапеций.
Многогранники, изображенные на рисунке 169, не являются простыми.
1 См. сноску1 на стр. 352 об аналогичных свойствах многоугольников,
366
Рис. 169.
Так как в дальнейшем изложении мы рассматриваем
исключительно только простые многогранники, слово «простой» будем опускать и
их будем называть просто многогранниками.
Вершины, ребра и грани многогранной поверхности F называются
соответственно вершинами, ребрами и гранями
многогранника F. Сама многогранная поверхность F называется
поверхностью многогранника F. Многогранники классифицируются по
числу их граней. Простейшим многогранником является тетраэдр
(четырехгранник), далее идут пентаэдр (пятигранник), гексаэдр
(шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник),
икосаэдр (двадцатигранник) и т. д.
Из свойства 2°, сформулированного выше, следует, что все точки
внутренней области многогранной поверхности F являются
внутренними точками многогранника F. Граничными точками будут те и
только те точки, которые принадлежат поверхности F многогранника.
3. Многогранник нулевого рода. Разрезом поверхности
многогранника, или просто разрезом многогранника, будем называть всякую
простую замкнутую ломаную, все стороны которой являются ребрами
многогранника. Примером разреза служит совокупность сторон одной
грани многогранника. Более сложный пример изображен на рисунке
170. По существу все сказанное выше о разрезах
многогранных поверхностей можно повторить и о
разрезах многогранников. Не повторяя основные
определения, отметим, что разрез может разбивать,
но может и не разбивать поверхность на две
многогранные поверхности. Так, разрез, образованный
сторонами одной и той же грани, разбивает
многогранник на две многогранные поверхности: одна из
них представляет собой данную грань, а другая
состоит из всех остальных граней многогранника.
Например, разрез, изображенный на рисунке 170,
разбивает многогранник на две многогранные по- рИс. 170.
367
верхности, границами для каждой из которых является данный
разрез. Примером разреза, не разбивающего многогранник на две
многогранные поверхности, может служить разрез ВВ'В"',
представленный на рисунке 166.
Введем следующее основное определение, аналогичное определению
односвязной многогранной поверхности. Многогранник называется
многогранником нулевого рода, если всякий разрез разбивает его на
две многогранные поверхности, и многогранником ненулевого рода,
если существует хотя бы один разрез, не разбивающий
многогранник на две многогранные поверхности.
Многогранники, рассматриваемые в курсе средней школы (тетраэдр,
параллелепипед, призма, пирамида и т. д.), являются примерами
многогранников нулевого рода. Многогранник, изображенный на рис.166,
как было отмечено выше, не является многогранником нулевого рода.
Теперь сформулируем теорему, совершенно аналогичную теореме
[57.1].
Теорема [58.1 ]. Каждая из двух многогранных поверхностей,
на которые произвольный разрез делит многогранник нулевого рода,
односвязна.
Доказательство. Доказательство этой теоремы по
существу ничем не отличается от доказательства теоремы [57.11. В самом
деле, пусть разрез Лх, А2, ..., Ak делит многогранник Ф на две
многогранные поверхности Р и Q. Очевидно, разрез At, А2, ..., Ak
является границей как для поверхности Р, так и для поверхности Q.
Предположим, что одна из этих поверхностей, например Р, многосвязна.
Это означает, что существует разрез Аь Вг, В2, ..., BsAj многогранной
поверхности Р, не разбивающий ее на две поверхности (см. рис.165).
Рассмотрим замкнутую ломаную AtAi+1, ... , Aj, BS,BS^X, ..., BxAim
Очевидно, эта ломаная является разрезом исходного многогранника
Ф. Точно так же, как и при доказательстве теоремы [57.1],
можно показать, что этот разрез не разбивает многогранник
Ф на две многогранные поверхности, т. е., каковы бы ни были
многоугольники Fx и F2, всегда существует такая цепочка, соединяющая Fx и
F2, что ни одна из связывающих ее сторон не принадлежит
рассматриваемому разрезу. Мы приходим в противоречие с определением
многогранника нулевого рода. Теорема доказана.
4. Теорема Эйлера. Пусть е — число вершин, f — число граней,
k — число ребер данного многогранника. Число e + f — k называется
эйлеровой характеристикой многогранника. Имеет место следующая
замечательная теорема.
Теорема [58.2]. Эйлерова характеристика всякого
многогранника нулевого рода равна двум, т. е.
e + f — k = 2. (1)
Доказательство этой теоремы непосредственно следует
из теоремы [57.2]. В самом деле, пусть Ф—данный многогранник,
имеющий е вершин, / граней и k ребер.
368
Если мы отбросим одну из граней этого многогранника, то согласно
теореме [58.1] получим односвязную многогранную поверхность,
имеющую е вершин, (/ — 1) граней и k ребер. В силу теоремы [57.21 будем
иметь:
е + (/ — 1) — k = 1, или е + f — k = 2.
Впервые это свойство установил Эйлер, его именем и названа
теорема.
5. Топологически правильные многогранники. Прежде всего
заметим, что если А — произвольная вершина данного многогранника,
то множество 2 л всех его граней, имеющих эту вершину, образует один
многогранный угол. Это утверждение вытекает из определения
многогранника, как многогранной поверхности, не имеющей граничных
ребер. В самом деле, все ребра, исходящие из А, являются
внутренними, поэтому к каждому из них примыкают две и только две грани.
Далее, если Fx и F2 — любые две грани из множества 9л, то должна
существовать цепочка, соединяющая F1 и F2. Все звенья этой цепочки,
по определению, принадлежат 2 л . Отсюда следует, что 2 л есть
многогранный угол.
Многогранник нулевого рода будем называть топологически
правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все
многогранные углы — одно и то же число граней.
Определим все возможные типы топологически правильных
многогранников. Предварительно докажем следующее предложение.
Лемма [58.3]. В любом топологически правильном
многограннике числа s, n и k удовлетворяют соотношению:
1+1=1+1. (2)
s n 2 k w
Здесь s — число граней многогранного угла, п — число вершин
каждой грани, a k — число ребер многогранника.
Доказательство. Так как каждая грань содержит п
вершин, а следовательно, п ребер, то п • / == 2k, откуда
f= |. (3)
Аналогично подсчитаем число ребер многогранника, исходя из
многогранных углов. Так как каждый многогранный угол содержит
s граней, а следовательно, s ребер, то se =2&, откуда
*-т. (4)
Подставив значения е и / в формулу Эйлера (1), получим
соотношение (2).
Из доказанной леммы следует, что для топологически правильного
многогранника по крайней мере одно из чисел s или п равно трем.
Действительно, по геометрическому смыслу этих чисел s > 3 и п > 3.
Если допустить, что s !> 4 и п > 4, то отсюда немедленно следует, что
369
s n ^ 2 '
Полученное соотношение противоречит равенству (2). Таким образом,
мы приходим к следующему выводу.
Лемма [58.4]. У топологически правильного многогранника
хотя бы одно из чисел п илиэ равно трем. Здесь п — число вершин
каждой грани, as — число граней каждого многогранного угла.
6. Классификация топологически правильных многогранников.
Последняя лемма дает возможность установить все виды
топологически правильных многогранников. В самом деле, возможны
следующие случаи:
1. п = 3. Из соотношения (2) следует: — = —(—. Отсюда
S 6 k
получаем: s < 6. Возможны три подслучая:
а) п = 3, s = 3. Из соотношения (2) получаем: k = 6.
Из соотношений (3) и (4) определяем ей/. Имеем: е = 4, / = 4;
б) п = 3, s = 4. Из соотношений (2) получаем: k = 12, а из
соотношений (3) и (4) определяем ей/. Имеем: е = 6, / = 8;
в) п = 3, s = 5. Из соотношения (2) получаем: k = 30, а из
соотношений (3) и (4) находим е и /: е = 12, / = 20.
2. s = 3. Как и в первом случае, можно показать, что п < 6.
Возможны три подслучая:
а) s = 3, п = 3. Этот подслучай совпадает с подслучаем а) случая
1, поэтому мы его опускаем;
б) s = 3, п = 4. Из соотношения (2) получаем: k = 12, а из
соотношений (3) и (4) имеем: е = 8, / = 6;
в) s = 3, п = 5. Из соотношения (2) имеем: k = 30, а из
соотношений (3) и (4) находим: е = 20, / = 12.
Мы пришли к следующему результату.
Теорема [58.51. Любой топологически правильный
многогранник принадлежит к одному из тех пяти типов, которые
характеризуются следующей таблицей:
1
I
II
III
IV
1 v
п
3
3
3
4
5
•
3
4
5
3
3
е
4
6
12
8
20
f
4
8
20
6
12
*
6
12
30
12
30
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Из доказанной теоремы пока не следует, что существуют все пять
типов многогранников, перечисленных выше. Этот факт будет
установлен ниже.
§ 59. Выпуклые многогранники
1. Выпуклое геометрическое тело. Геометрическое тело называется
выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки тела, целиком
принадлежит этому телу. Под термином выпуклое тело мы понимаем
370
трехмерный образ, т. е. множество точек, которое содержит хотя бы
четыре точки, не лежащие в одной плоскости. По аналогии с теоремой
[55.1] может быть доказана следующая теорема.
Теорема [59.1 ]. Для того чтобы выпуклое множество точек
пространства было выпуклым телом, необходимо и достаточно, чтобы
оно имело хотя бы одну внутреннюю точку. Выпуклое тело имеет
бесчисленное множество внутренних точек.
Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно
принципиально ничем не отличается от доказательства теоремы [55.1 ].
Сформулируем некоторые свойства выпуклых тел.
Г. Если А к В — внутренние точки выпуклого тела F, то все
точки отрезка АВ являются внутренними точками данного тела.
2°. Если А — внутренняя, а В — граничная точка выпуклого
тела, то все точки отрезка АВ, кроме точки В, являются внутренними
точками этого тела.
3°. Если А и В — граничные точки выпуклого тела, то либо все
точки отрезка АВ граничные, либо все точки отрезка, за исключением
точек А и В, внутренние точки тела.
4°. Если прямая / проходит через внутреннюю точку выпуклого
тела, то она содержит не более чем две граничные точки тела.
5°. Если на плоскости я нет внутренних точек выпуклого тела F,
то все точки тела F принадлежат одному из замкнутых полупространств,
определяемому плоскостью я.
Доказательства этих свойств по существу ничем не отличаются от
доказательства соответствующих свойств выпуклых фигур (см. § 55,
п. 3), поэтому мы их опускаем. Для выпуклых тел имеет место еще
одно свойство, которое часто применяется при решении
геометрических задач.
6°. Если плоскость я проходит через внутреннюю точку
выпуклого тела, то пересечение данного тела и плоскости я есть выпуклая
фигура. Обобщением этого свойства является следующая теорема.
Теорема [59.2 ]. Если два выпуклых тела F± и F2 имеют хотя
бы одну точку А, являющуюся внутренней как для Fly так и для F2,
то Fx О F2 является выпуклым телом.
Свойство 5° и теорема [59.2] доказываются точно так же, как и
теорема [55.3], поэтому доказательства мы опускаем. Предлагаем
учащемуся самостоятельно провести все рассуждения,
предварительно вспомнив доказательство теоремы [55.3].
2. Выпуклый многогранник. Из определения следует, что любой
многогранник является пространственным телом. Если это тело
выпуклое, то многогранник называется выпуклым. Рассмотрим
два свойства выпуклых многогранников.
Г. Любая плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника,
не имеет ни одной внутренней точки. Доказательство проведем от
противного. Пусть я — плоскость, содержащая грань многогранника, а
М0 — его внутренняя точка, причем М0 ? я. Проведем прямую I в
плоскости я так, чтобы она проходила через точку М0 и имела с
гранью, расположенной в этой плоскости, более чем две общие точки. Та-
371
кая прямая, очевидно, существует. Мы пришли в противоречие со
свойством 4° предыдущего пункта.
Из этого свойства, принимая во внимание свойство 5°
предыдущего пункта, мы приходим к выводу.
2°. Все точки выпуклого многогранника расположены в одном и
том же замкнутом полупространстве, определяемом любой плоскостью,
содержащей какую-либо грань.
Замкнутое полупространство, определяемое плоскостью какой-
либо грани g и содержащее все точки многогранника, будем называть
полупространством данного многогранника, определяемым гранью g.
Докажем теорему, аналогичную теореме [56.1].
Теорема [59.3]. Выпуклый многогранник F есть пересечение
всех его полупространств, определяемых всеми гранями.
Доказательство. Пусть о)1? со2, ..., со^ являются
полупространствами данного многогранника, которые определяются
соответственно гранями g1,g2> •••, gf> a S—пересечение этих полупространств.
Покажем, что F и S совпадают.Если точка Р ? F,to согласно
свойству 2° имеем: Р ? ю1э Р ? со2, ..., Р ? со/7 поэтому Р? S. Если точка
Q (? F, то Q принадлежит внешней области многогранника, поэтому
согласно свойству Г п. 2 § 58 отрезок PQ пересекает по крайней мере
одну из плоскостей, содержащих грани. Здесь Р — произвольная
точка внутренней области многогранника. Пусть, например, PQ
пересекает плоскость грани gv Так как Р ? а^, то Q (? ю1э
поэтому Q (? S. Теорема доказана.
Введем следующее определение. Поверхность F многогранника F
называется выпуклой, если, какова бы ни была плоскость, содержащая
грань, все вершины поверхности F лежат в одном и том же замкнутом
полупространстве, определяемом гранью.
Имеет место теорема, которая является обобщением теоремы [56.2]
на случай многогранников.
Теорема [59.4]. Для того чтобы многогранник F был
выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы поверхность F этого
многогранника была выпуклой.
Необходимость условия непосредственно следует из свойства 2°
этого пункта. Достаточность условия доказывается точно так же, как
и достаточность аналогичного условия теоремы [56.2].
Из этой теоремы непосредственно следует, что тетраэдр является
выпуклым многогранником.
В заключение отметим, что любой выпуклый многогранник является
многогранником нулевого рода. Доказательство этого, с виду простого
предложения очень сложно и выходит за рамки настоящего курса.
Из этого предложения следует, что для выпуклых многогранников имеет
место теорема Эйлера (теорема [58.2]): эйлерова характеристика
всякого выпуклого многогранника равна двум.
3. Правильный многогранник. В п. 5 § 58 было доказано, что
множество всех граней, примыкающих к одной и той же вершине
многогранника, образует один многогранный угол. Многогранный угол на-
372
зывается правильным, если все его плоские углы конгруэнтны и
все двугранные углы конгруэнтны. Многогранник мы будем называть
правильным, если все его грани представляют собой конгруэнтные,
правильные многоугольники, а все многогранные углы —
конгруэнтные правильные многогранные углы. Обычно под правильными
многогранниками понимают выпуклые правильные многогранники. Так как
каждый выпуклый многогранник является многогранником нулевого
рода, то всякий правильный многогранник будет
топологически правильным. Отсюда, учитывая теорему [58.5],
заключаем, что любой выпуклый правильный многогранник принадлежит к
одному из пяти типов, перечисленных в таблице теоремы [58.5].
Доказательство существования всех пяти теоретически возможных
типов правильных многогранников, а следовательно, и существование
топологически правильных многогранников проводится обычно при
помощи описания способов их построений. Способы построения этих
многогранников мы не будем рассматривать.
На рисунке 171 изображены все эти многогранники. Желающих
познакомиться с этим вопросом более подробно мы отсылаем к книге
Д. И. Перепелкина, [18], т. II, § 168 или к статье «Многоугольники и
многогранники» в ЭЭМ, [24].
4. Линейные неравенства, характеризующие тетраэдр.
Задача. Пусть в общей декартовой системе координат даны
четыре точки, не лежащие в одной плоскости: Мх (х19 у1э 2Х),
М2 (*2> у2> z2)> М3(х3, у3, гз)> М4(*4» Уь> zd'• Записать аналитическую
характеристику тетраэдра S с вершинами в данных точках.
Решение. Из теоремы [59.3] следует, что точка М (х, у, z)
принадлежит тетраэдру S тогда и только тогда, когда она
принадлежит всем четырем полупространствам тетраэдра, которые
определяются гранями. Грани тетраэдра S имеют уравнения:
(MXM2MJ
(МХМ3М,)
(М2М3М4)
б123 (*> У> Z) = О,
Si24 (*» У> Z) = 0.
fil84(*. У- Z) = 0'
б234 (х, у, z) = 0,
где
6Uk =
У — У/ * — z>
zi
У* —У/ zk—z>
xj — xi У/ —У/ zj —
= 0.
В силу следствия теоремы [50.1] точка М (х, у, z) принадлежит
тетраэдру S тогда и только тогда, когда одновременно выполнены
следующие неравенства:
Sl23 (X> У у Z) S123 (*4> У4. Zd > 0»
в124(*> У> Z) б124(*3» Уз> Ч) > 0>
вш(*> У'. z) б1з4(% У2> z2)>0,
8*84 (*> У> z) *284(^i» Уь г0>0.
(2)
373
Рис. 171.
Пример. Записать аналитическую характеристику тетраэдра с
вершинами в точках Мг (0,0,0), М2 (1, 0, 0), М3 (0, 1, 0), М, (0,
0, 2) (рис. 172).
Решение. Вычислим выражения б123 (х, у, г), б124 (х, у, г),
^134 (*> У» z)> ^234 (*» У» z) Для данного тетраэдра.
Для этого напишем уравнения граней тетраэдра.
МХМ2М3
MxMJAk :
М2МзМ4:
2=0,
У = 0,
* + У + у =1.
Отсюда следует, что
6i23=2> е124=У> S134=a:, б234 = л:+у+
Рис. 172.
Легко видеть, что б123 (x4y4z4) =2>0,
"124 \Х3* Уз» г3/ == ^134 Vе2> У2» Z2) ==
= 1 > 0, б234 (х19 ух, zx) = — 1 < 0.
Неравенства (2) имеют вид:
z > 0, у > 0, * > 0; х + у +——1<0.
Аналогично тому, как это было
сделано в § 56, можно получить
аналитическую характеристику выпуклых
многогранников с произвольным числом
вершин. Однако решение этой задачи в
общем виде не представляет
практического интереса, поэтому мы его опустим.
Глава X
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 60. Поверхность и ее уравнение
1. Понятие уравнения поверхности. В § 47 было дано понятие
поверхности и ее уравнения. Пусть дано уравнение
F (*, у, г) = 0. (1)
Множество всех точек пространства, координаты которых в
некоторой общей декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
(1), называется поверхностью. Соотношение (1) называется
уравнением данной поверхностиS, если соблюдены следующие два условия:
а) координаты любой точки поверхности «S удовлетворяют
уравнению (1);
б) координаты любой точки, не принадлежащей поверхности S,
не удовлетворяют этому уравнению.
В главе VIII нами рассмотрен один частный, но весьма важный вид
поверхности — плоскость. Там доказано, что плоскость есть
поверхность, определяемая уравнением
Ах + By + Cz + D = 0,
где Л, В, С одновременно не равны нулю.
Рассмотрим другие примеры поверхностей.
Пример 1. Исследовать поверхность S, которая в
прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением
х2 + у2 + г2 — 9 = 0.
Решение. Если М (х, у, г) — произвольная точка
пространства, заданная в прямоугольной декартовой системе своими
координатами, то согласно теореме [42.1 ]
ОМ2 = х2 + у2 + z2,
где О — начало координат. Таким образом, точка М будет
принадлежать поверхности S тогда и только тогда, когда ОМ2 — 9 = 0 или
ОМ = 3. Л1ы видим, что все точки поверхности S отстоят от начала
координат на расстоянии г = 3.
375
Обратно, если некоторая точка М пространства удалена от начала
координат на расстояние г — 3, то для этой точки согласно теореме
[42.1] имеем: ]/х2 + у2 + г2 = 3 или х2 + у2 + г2 = 9, т. е. эта точка
принадлежит поверхности. Таким образом, данным уравнением
определяется сфера с центром в начале координат и радиусом,
равным трем.
Пример 2. Исследовать поверхность, заданную уравнением
х2 + у2 = 0. Система координат общая декартова.
Решение. Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю
только в том случае, когда каждое из чисел равно нулю, то заданному
уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек
пространства, для которых х = 0 и у = 0. Множество точек,
определяемое уравнениями х = 0, у = 0, есть ось Oz. Итак, уравнение х2 + у2=
= 0 определяет прямую — ось Oz.
Пример 3. Исследовать поверхность, заданную уравнением
х2 + 4у2 + z2 = 0.
Решение. Этому уравнению удовлетворяет только одна
тройка чисел (0, 0, 0), так как сумма квадратов трех чисел равна нулю
только в том случае, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким
образом, в данном случае вся поверхность, определяемая уравнением
х2 + 4у2 + z2 = 0, состоит из одной точки — начала координат.
Пример 4. Исследовать поверхность, определяемую
уравнением х2 — xz + ух — yz — х + z = 0.
Решение. Легко видеть, что это уравнение можно
преобразовать следующим образом: (х + у — 1) (х — г) = 0. Если точка
М (ху у, z) лежит на данной поверхности, то координаты этой точки
удовлетворяют по крайней мере одному из следующих уравнений:
х + у — 1=0, х — 2 = 0, так как произведение двух чисел равно
нулю только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Обратно,
если координаты некоторой точки пространства удовлетворяют
одному из этих уравнений, то, очевидно, такая точка лежит на данной
поверхности. Отсюда мы приходим к выводу, что рассматриваемая
поверхность есть множество всех точек пространства, координаты
которых удовлетворяют одному из уравнений х + у — 1 = 0 или х — z =
«= 0. Каждым из этих уравнений определяется в пространстве
плоскость, поэтому рассматриваемая поверхность есть совокупность двух
пересекающихся плоскостей:
л: + у — 1=0, л: — 2 = 0.
Пример 5. Исследовать поверхность, определяемую
уравнением
я2+ Зу2 + г2 + 1 = 0.
Решение. Не существует в пространстве ни одной точки,
координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению. В самом деле,
уравнение поверхности можно записать так: х2 + Зу2 + z2 = — 1.
Но сумма трех неотрицательных чисел не может равняться —1. Итак,
376
поверхность, определяемая данным уравнением, не имеет ни одной
действительной точки. Такие поверхности называются нулевыми.
Из рассмотренных примеров следует, что-введенное выше понятие
поверхности в ряде случаев не совпадает с обычным, интуитивным
понятием поверхности, известным нам из курса элементарной
геометрии. Однако в большинстве случаев, как мы увидим ниже, данное
нами определение приводит к обычным поверхностям.
2. Связь между координатами точек в различных общих
декартовых системах координат. Пусть Ое1е2е3 и 0'в\ ei вз — две общие
декартовы системы координат в пространстве, а М — произвольная
точка, имеющая координаты1^, х2, х3 в системе Ое1е2е3 и х\, *2, Хз
в системе О е\ е2 е:>. Установим зависимость между х19 х2, х3 и х\,
*2, Хз.
Предположим, что новое начало и новые координатные векторы в
исходной системе Оехе2е3 имеют координаты:
? 1 \?ш ^21» С31/' & 2 1^12» С22» С32/» ^ 3 \С13> С23» СЗЗЛ \гЧ
О' (аъ а2, а3).
Если г — ОМ — радиус-вектор точки М в старой системе, а г =
= О'М — радиус-вектор той же точки в новой системе, то,
рассматривая треугольник 00' М и применяя к нему правило треугольника
для сложения векторов, получаем: ОМ. — 00' + О'М, или
г = г'+00'. (3)
Из определения координат точек следует1, что
г = х^вх + х2е2 + хъе3 = 2j xLel9
г' = х\е[ + х2е2 + х3ез = 2 х)е] = 2 х)оие19
ч
00'= а&х + а2е2 + а3е3= 2ад.
Подставив эти значения в соотношение (3), получаем:
Из этого равенства, в силу теоремы о единственности разложения
вектора по базисным векторам, будем иметь:
*/ = Е *//*'/ + */'
1 В этом и последующем параграфах вместо обычных обозначений д:, у, z для
координат вектора или точки мы будем применять также индексные обозначения
Xj.i *2» *з« Это позволит в ряде случаев широко пользоваться знаком суммирования
2- Этим знаком будем пользоваться только для обозначения сумм, состоящих из
трех слагаемых, поэтому для сокращения записи мы не будем указывать значения,
которые принимают индексы суммирования. Например, для обозначения суммы
t=3
Piei + Р2е2 + P-dez вместо 2 Piei мы будем записывать так: 2 Pi^i или 2 Piei-
377
или в развернутом виде:
Х1 = С11Х) + CVlX2 ~^~ Cl3^3 "Ь аъ\
Л2 = С2\Х^ i ^22*^2 ' ^23"^3 • ^2»
*3 == ^31*^1 ~Ь C32-^2 "I" C33^3 » а3\
(4)
лл
Л^2
*з
= С21ХХ
= С31*1
й записи:
x't
+ ^и^г
~Г ^22-^2
+ С32*2
+
+
+
= 2j ciaXa
Cl3*3
^23^3
С33*3
+ а
/*
Формулы (4) называются формулами
преобразования координат точек в пространстве. В этих
формулах коэффициентами при х'и х^ х'з являются соответственно
координаты векторов е{, e<i, ?з. Свободными членами являются
координаты нового начала в исходной системе. Так как векторы ви #2, ?з
не компланарны, то \с^\Ф0, поэтому уравнения (4) разрешимы
относительно х[, х*2, хг :
(5)
(6)
а
3. Невещественные точки, линии и поверхности в пространстве.
В п. 6, § 11 было введено понятие невещественных точек плоскости.
Введем в рассмотрение аналогичное понятие для случая трехмерного
пространства.
Если в пространстве выбрана система координат, то каждой точке
сопоставляются три действительных числа х, у, г, взятых в
определенном порядке, — координаты точки; в свою очередь любой
упорядоченной тройке действительных чисел ставится в соответствие точка.
Таким образом, выбор системы координат позволяет установить
взаимно однозначное соответствие между точками пространства и
упорядоченными тройками действительных чисел. По аналогии п. 6, § 11
расширим понятие точки пространства. При фиксированной системе
координат точкой назовем любую упорядоченную тройку комплексных
чисел. Точки (х1у уг, гг) и (х2, у2, г2) совпадают тогда и только
тогда, когда хх = х2, у± = у2, zx = z2. Если все три координаты
точки являются вещественными числами, то точка называется веще-
ственной или действительной; если же хотя бы одна координата
невещественна — невещественной или комплексной. Если точка в
системе Ое1е2е3 имеет координаты (х±, х2, х3), то мы будем
считать, что та же точка в системе О'е\ е2 еъ имеет координаты xv xv xv
определяемые из соотношений (5). Важно отметить, что
коэффициенты, входящие в формулы преобразования (4) или (5), всегда
считаются действительными, поэтому понятия действительных и
комплексных точек не зависят от выбора системы координат.
378
Две точки, соответственные координаты которых являются
сопряженными комплексными числами, называются комплексно
сопряженными точками. Можно показать, что это понятие также не зависит
от выбора системы координат.
Поверхностью, определяемой уравнением F (х, у, г) = О,
будем называть совокупность всех точек (х, у, г), как действительных,
так и комплексных, координаты которых удовлетворяют этому
уравнению.
В частности, плоскостью называется множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению Ах + By + Cz + D = О, где
по крайней мере один из коэффициентов А, В или С отличен от нуля.
Если все коэффициенты А, В, Си D—действительные числа или
пропорциональны действительным числам (коэффициент
пропорциональности может быть и комплексным), то плоскость называется
вещественной или действительной, в противном случае она называется
невещественной. Нетрудно видеть, что вещественная плоскость содержит
как вещественные, так и невещественные точки. Например,
вещественной плоскости х + у — Зг — 2 = 0 принадлежит комплексная
точка (5, 3/, 1 + i).
Поверхность, определяемая уравнением F (х, у, z) = 0, содержит,
вообще говоря, бесчисленное множество как действительных, так и
комплексных точек. Однако существуют поверхности, которые
содержат конечное число действительных точек или вовсе их не содержат.
Например, поверхность 2х2 + 4у2 + Зг2 = 0 содержит только одну
действительную точку (0, 0, 0), все остальные точки — комплексные,
а поверхность х2 + Зу2 + 4z2 + 1 = 0 не содержит ни одной
вещественной точки.
4. Поверхности второго порядка. Данное выше определение
поверхности как множества точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению (1), приводит нас к естественной классификации
поверхностей по свойствам их уравнений. Поверхность называется
алгебраической, если она задается уравнением (1), где F (х, у, z) — целый
многочлен от переменных х, у и z, т. е. алгебраическая сумма конечного
числа членов вида Axmynzp, где А — постоянный коэффициент, а т,
пир — целые неотрицательные показатели. Сумма т + п + р
называется степенью данного члена, а наибольшая из степеней членов
многочлена называется степенью многочлена. Всякую неалгебраическую
поверхность называют трансцендентной. Алгебраические
поверхности различают по порядку их уравнений, т. е. по степеням
многочлена, стоящего в левой части уравнения (1). В главе VIII мы по существу
изучали поверхности первого порядка. Объектом нашего изучения в
настоящей и следующей главах будут алгебраические поверхности
второго порядка.
Поверхностью второго порядка называется множество всех точек
пространства, координаты которых в некоторой общей декартовой
системе координат удовлетворяют уравнению
Ах2+ Ву2+ Cz2+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Ну + Kz + L = 0, (7)
379
где Л, В, ..., L — действительные числа, причем по крайней мере один
из коэффициентов Л, 5, С, D, ?, F отличен от нуля. Другими
словами, поверхность второго порядка есть множество точек
пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где
F (х, у, г) — некоторый многочлен второй степени.
Покажем, что это определение носит геометрический характер,
т. е. не зависит от выбора системы координат в пространстве. Пусть
Ое1е2е3—исходная, а 0'е\ е2 еъ — новая системы координат, где
О', e'v e2 и еъ заданы в старой системе при помощи соотношений (2).
Найдем уравнение множества, заданного уравнением (7) в новой
системе координат. Для того чтобы упростить записи формул, перейдем
к индексным обозначениям как для координат точек пространства,
так и для коэффициентов уравнения (7). Для координат точек вместо
обычных обозначений х, у, z будем применять индексные обозначения
*i> *2> хз- Если, далее, положить А = а11У В = а22, С = а33 , D =
= 2а12 = 2а21, Е = 2а13 = 2а31, F = 2а23 = 2а32, G = 2а14, Я =
= 2а24, К = 2аз4, L = а44, то в новых обозначениях уравнение (7)
примет вид:
и^цХ* I ^22-^о I WggAo I ZiCl-^nX-^X2 I ^^1з 1 з I
+ 2а23х2х3 + 2aux± + 2a24x2 + 2a3kx3 + a44= 0. (7')
Или в сокращенной записи1:
^aijxixJ + 2^\aikxi + au=0. (8)
ц
Теперь легко записать уравнение поверхности в новой системе
координат. В самом деле, подставив в соотношение (8) вместо х1э х2, *>$
их выражения (4) через координаты точек в новой системе, получаем
искомое уравнение:
ц
Здесь а,-/, а'ц, а^ — действительные числа, подробные выражения
которых через а/у- нет надобности выписывать.
Мы пришли к выводу, что в новой системе координат исходная
поверхность определяется алгебраическим уравнением (9), степень
которого не выше степени уравнения (8), т. е. не выше двух.
Покажем, что степень этого уравнения не ниже степени уравнения (8).
В самом деле, если предположить, что степень уравнения (9) ниже
степени уравнения (8), то при обратном переходе от системы О'е\ е2 ёъ
к системе Ое1е2е3 степень уравнения должна повыситься, что
противоречит предыдущему выводу. Таким образом, нами доказана следующая
теорема.
1 См. сноску 1 на стр. 377.
380
Теорема [60.1 ]. Если в некоторой общей декартовой системе
координат Оехегеъмноо\сество точек задано алгебраическим уравнением
второй степени, то в любой другой системе 0'е\ е'2 ег это множество
также будет задаваться алгебраическим уравнением второй степени.
Тем самым доказано, что понятие поверхности второго порядка не
зависит от выбора системы координат.
Нашей ближайшей задачей является изучение отдельных видов
поверхностей второго порядка. В главе XI на основе классификации
квадрик в д-мерном пространстве будет дана классификация
поверхностей второго порядка трехмерного пространства.
5. Метод сечений для изучения формы поверхности. Для изучения
формы поверхности удобнее всего задавать ее в прямоугольной
декартовой системе координат. Пусть S — некоторая поверхность,
заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1).
Для изучения формы поверхности будем пользоваться так
называемым методом сечений. Сущность этого метода заключается в
следующем: поверхность S рассекается плоскостями, параллельными
координатным плоскостям, и определяются линии пересечения поверхности
с данными плоскостями. По виду этих линий судят о форме данной
поверхности.
Применение метода сечений основывается на следующей теореме.
Теорема [60.2]. Если S — поверхность, заданная в
прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1), a z — h —
плоскость я, параллельная координатной плоскости Оху, то проекция
линии пересечения поверхности S с данной плоскостью я на плоскость
Оху в системе Oij имеет уравнение
F (х, у, К) = 0. (10)
Доказательс т во.
Пусть L—линия пересечения
поверхности 5 с плоскостью
я, a L'—проекция этой линии
на координатную плоскость
Оху (рис. 173). Мы должны
доказать, что линия L' в
системе Оху имеет уравнение (10).
Для этой цели необходимо
показать, что координаты любой
точки линии V на плоскости
Оху удовлетворяют
уравнению (10), а координаты
точки плоскости Оху, не
лежащей на линии V, не
удовлетворяют этому уравнению.
Возьмем произвольную точку
М' на кривой Z/. Пусть в
плоскости Оху точка М' имеет ко-
Рис. 173.
381
ординаты (хг, у'). Эта же точка в пространстве будет иметь координаты
(х , у', 0). Так как точка М' лежит на кривой Z/, то она является
проекцией некоторой точки М кривой L. Точки М и М' лежат на одной
прямой, параллельной оси Oz, поэтому первые две координаты этих
точек совпадают. Так как, кроме того, точка М лежит в плоскости я,
то она имеет координаты М (х\ у', h). Точка М одновременно лежит
на поверхности (1), так что F (х\ у', К) = 0. Мы видим, что
координаты точки М! (х\ у') удовлетворяют уравнению (10). Возьмем,
далее, произвольную точку Р' (х*у*) в плоскости Оху, не лежащую
на кривой Z/, и покажем, что координаты этой точки не удовлетворяют
уравнению (10). Проведем через точку Р' прямую,
параллельную оси Ог, и обозначим через Р точку пересечения этой прямой
с плоскостью я. Так как точка Р' в пространстве имеет
координаты (х*, у*, 0), то точка Р будет иметь координаты (х*, у*, h). Но
точка Р' не лежит на кривой Z/, поэтому точка Р не лежит на кривой L,
т. е. координаты точки Р не удовлетворяют уравнению поверхности S,
F(x*, у*, к)Ф0.
Таким образом, мы показали, что если точка плоскости не лежит
на кривой Z/, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (10).
Следствие. Линия пересечения плоскости Оху с поверхностью
(1) в системе Oij имеет уравнение F (х, у, 0) = 0.
Аналогичные теоремы могут быть доказаны для случаев, когда
поверхность S подвергается сечению плоскостями, параллельными
координатным плоскостям Охг и Oyz.
Доказанная теорема позволяет построить так называемую карту
поверхности в горизонталях и с помощью карты
изучить ее форму. Пересечем поверхность S плоскостями ях, п2, ...,яЛ,
заданными уравнениями z = hlt z = /i2, ..., z = hk, где числа hn,
/i2, ..., hk следуют друг за другом через одинаковые, достаточно малые
числовые промежутки. Если для каждого сечения построить ее
проекцию на плоскость Оху, то получим множество кривых, которое
называется^ картой поверхности в горизонталях. Эта карта дает некоторое
представление как о всей поверхности, так и о некоторых ее участках.
Например, сгущение линий на карте означает возрастание крутизны
поверхности в соответствующем участке.
Пример. Дана поверхность в прямоугольной декартовой
системе координат Oij к уравнением х2 + у2 = г2. Построить карту
этой поверхности в горизонталях.
Решение. Определим проекции сечений этой поверхности с
плоскостями z = h при ht = 0, А2 = 1, А8 = 2> ^4 = 3, А5 = 4.
Согласно теореме [60.2] проекции этих сечений в системе Oij имеют
уравнения:
х2 + у2 = 0,
х2 + у2= 1,
Х2 + у2 = 22,
Х2 + / = 32f
Х2 + у2 = 42.
382
Уравнение х2 + у2 = 0
определяет на плоскости Оху единственную
точку — начало координат, а
остальные уравнения, как мы знаем,
определяют окружности
соответствующего радиуса. Таким образом,
карта данной поверхности в
горизонталях есть совокупность
концентрических окружностей. Позже
мы увидим, что уравнением
данного примера определяется
коническая поверхность,
образованная вращением вокруг оси Ог
прямой, проходящей через начало
координат (рис. 174).
§ 61. Поверхности вращения.
Сферические поверхности
1. Поверхность вращения. По- Рис. 174.
верхность, которая вместе с
каждой своей точкой содержит всю
окружность, полученную
вращением этой точки вокруг некоторой
фиксированной прямой /,
называется поверхностью
вращения (рис. 175). Прямая /,
вокруг которой производится
вращение, называется осью вращения.
Вращение точки вокруг оси
происходит в плоскости,
перпендикулярной к оси. В сечении
поверхности вращения плоскостями,
перпендикулярными к оси вращения,
получаются окружности, которые
называются параллелями. Рис 175#
Полуплоскости, определяемые
осью вращения, пересекают
поверхность вращения по кривым, называемым меридианами. Если взять
произвольный меридиан и вращать его вокруг оси вращения /, то
получим рассматриваемую поверхность. Следовательно, все
меридианы конгруэнтны между собой. Очевидно, поверхность вращения
можно получить вращением некоторой линии вокруг заданной
прямой — оси вращения.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Пусть Oxyz — прямоугольная декартова система
координат в пространстве. Вывести уравнение поверхности, образован-
N(otptz)
Ш.уа)
звз
ной вращением вокруг оси Ог линии, лежащей в плоскости Оуг и
заданной в ней уравнением
F (у, г) = 0. (1)
Решение. Пусть L — кривая, определяемая в плоскости Оуг
уравнением (1). Сначала рассмотрим случай, когда кривая L
симметрична относительно оси Ог или ординаты всех точек кривой не
отрицательны. Пусть М (х, у, z) — произвольная точка поверхности S,
образованной вращением кривой L вокруг оси Oz (рис. 175). Проведем
через эту точку параллель и обозначим через N точку, в которой
данная параллель пересекает кривую L, а через С — точку, в которой
плоскость параллели пересекает ось Oz. He нарушая общности,
можно предположить, что ордината точки N не отрицательна, поэтому
точка N будет иметь координаты О, р, г, где р = CN = СМ.
Так как точка N лежит на кривой L, то F (р, г) = 0. С другой
стороны, р = СМ = У х2 + у2 . Подставив значение р в предыдущее
соотношение, получаем:
F(y^Tf,z)=0. (2)
Итак, если точка принадлежит поверхности вращения, то
координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2).
Обратно, пусть Р (**, у*, г*) — произвольная точка пространства,
координаты которой удовлетворяют уравнению (2). Покажем, что
точка Р принадлежит поверхности S. Рассмотрим окружность с
центром в точке /С, которую опишет точка Р, вращаясь вокруг оси Oz.
Очевидно, радиус Р/С этой окружности равен ]/х*2 + у*2. Пусть Q —
та точка пересечения этой окружности с плоскостью Оуг, которая
имеет положительную ординату. Эта точка будет иметь координаты
(0, "jAx*2 + у*2, г*). Из соотношения (2) следует, что координаты
этой точки удовлетворяют уравнению (1), поэтому точка Q
принадлежит кривой L. Отсюда вытекает, что точка Р принадлежит
поверхности S.
Теперь рассмотрим общий случай, когда кривая, заданная
уравнением (1), является произвольной. Рассмотрим кривую Lx,
симметричную заданной кривой L относительно оси Ог (рис. 176). Обозначим
через L* множество точек плоскости Oyz, принадлежащих как кривой
L, так и кривой Lx. Легко видеть, что кривая L* определяется
уравнением F (± у, г) = 0. Это уравнение следует понимать следующим
образом: точка М ф, у) принадлежит кривой L* тогда и только тогда,
когда координаты точки М удовлетворяют уравнению F (Р, у) = 0,
или F ( —р, у) = 0. Так как кривая L* симметрична относительно
оси Ог, то, применяя результат, полученный выше, мы приходим к
уравнению поверхности, образованной вращением кривой L* вокруг
оси Ог:
F(±V^+ff г) = 0. (3)
834
Поверхности, образованные вращением
кривых L и L* вокруг оси Oz,
совпадают, поэтому уравнение поверхности S
имеет вид (3). Мы пришли к следующему
выводу: если кривая L расположена в
плоскости Oyz и в этой плоскости имеет
уравнение (1), то поверхность^ образованная
вращением этой кривой вокруг оси Oz, имеет
уравнение (3). В случае, если кривая
симметрична относительно оси Oz или не
содержит точек, для которых у <с 0,
уравнение поверхности имеет вид (2).
Докажем, что всякое уравнение вида
(2) или (3) определяет поверхность
вращения.
Теорема [61.1 ]. Пусть ф (?, ц) —
некоторая функция от двух переменных.
Множество точек пространства,
координаты которых в прямоугольной декартовой
системе координат удовлетворяют
уравнению ф (а:2 + у2, z) = 0, есть
поверхность вращения, для которой осью вращения является ось Oz.
Доказательство. Возьмем в плоскости Oyz кривую,
определяемую уравнением ф (у2, z) = О, и запишем уравнение поверхности,
образованной вращением этой кривой вокруг оси Oz. Пользуясь
выводом задачи 1, получаем:
Ф ([± Ух* + у2]2, г) = 0 или ф (х2 -Ь у2, г) = 0.
Таким образом, полученное нами уравнение совпадает с заданным
уравнением, значит, уравнением ф (х2 + у2, г) = 0 определяется
поверхность вращения.
2. Поверхности, образованные вращением некоторых кривых
второго порядка. Применим предыдущие результаты для определения
уравнений поверхностей, образованных вращением кривых второго
порядка. Напишем уравнения поверхностей, образованных
вращением вокруг оси Oz следующих кривых, расположенных в плоскости
Oyz:
Рис. 176.
1) эллипса-—|-
1;
V 22
2) гиперболы —
3) гиперболы
1L
а2
+
= 1;
¦=1;
4) параболы у2 — 2pz = 0.
385
Рис. 177.
Рис. 178.
Рис. 179.
Так как в данных уравнениях переменная у входит только в
четных степенях, то заданные кривые, расположенные в плоскости Оух,
симметричны относительно оси Ог, поэтому, воспользовавшись
формулой (2), получаем уравнения соответствующих поверхностей
вращения.
1)
—| = 1. Эта поверхность называется эллипсоидом
вращения (рис. 177). Если а = с, то, как легко видеть, получаем
уравнение сферической поверхности.
2)
х2 -Ь у2
= 1. Данная поверхность называется однопо-
лостным гиперболоидом вращения (рис. 178).
3)
х2+У2
Н—- = 1. Поверхность называется двуполостным
гиперболоидом вращения (рис. 179).
4) х2 + у2, — 2pz = 0. Поверхность называется параболоидом
вращения (рис. 180).
Рис. 180.
Рис. 181.
3§6
Все поверхности, полученные выше, являются поверхностями
второго порядка. Однако далеко не всякая поверхность, полученная
вращением кривой второго порядка, является поверхностью второго
порядка. Приведем пример.
Пример. Написать уравнение поверхности, образованной
вращением параболы г2 — 2ру = О, х = 0 вокруг оси Oz (рис. 181).
Решение. В данном случае кривая не симметрична
относительно оси вращения Oz, однако ординаты всех точек этой кривой
неотрицательны, поэтому уравнение поверхности вращения имеет вид (2):
г2 — 2рУх2 + у2 = 0, или z2 = 2p}/x2 + y2.
Если возвести обе части последнего равенства в квадрат, то получим
уравнение поверхности в следующем виде: г4 = 4р2 (х2 + у2). Легко
видеть, что это уравнение эквивалентно предыдущему, поэтому в
данном случае поверхность вращения является поверхностью четвертого
порядка.
3. Уравнение сферической поверхности. Сферическая поверхность,
или сфера, есть множество точек, равноудаленных от некоторой точки,
называемой центром. Пусть в прямоугольной декартовой системе
координат Oijk точка С (х0У у0, г0) является центром сферической
поверхности радиуса г. Для того чтобы точка М (х, у, z) принадлежала
сферической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы МС = г или
V(x - х0)2 + (у- у0)2 + (z- z0)2 = г.
Так как в левой части равенства выбирается арифметическое
значение корня, то предыдущее равенство эквивалентно следующему:
(х - *„)2 + (У - Уо)2 + (г - z0)2 = r\ (4)
или в развернутом виде:
x2+y2 + z2-2x0x-2y0y-2z0z + xl+yl + zl-r2 = 0. (5)
В частности, если точка С совпадает с началом координат, то
уравнение сферы имеет вид:
х2+ y2 + z2 = г2. (6)
4. Обратная задача. В предыдущем пункте было доказано, что
уравнение любой сферической поверхности имеет вид (5). Поскольку
уравнение (5) является алгебраическим уравнением второй степени,
то сферическая поверхность есть поверхность второго порядка.
Отметим некоторые особенности уравнения (5):
а) в уравнении отсутствуют члены с произведениями ху, xz и yz\
б) коэффициенты при х2, у2, z2 равны друг другу.
Таким образом, уравнение любой сферической поверхности имеет
вид:
х2 + у2 + z2 + А х + By + Cz + D = 0. (7)
Верно ли обратное утверждение, т. е. всегда ли уравнением (7)
определяется сферическая поверхность? Ответ на этот вопрос Aaet
следующая теорема.
387
Теорема [61.2]. Множество точек пространства, координаты
которых удовлетворяют уравнению (7), есть:
ч л l А в С\
а) сферическая поверхность с центром I , , и
радиусом г = |/Л2 + Б22+С2~4?*, если А2 + В2 + С2 — 4D > 0;
б) точка с координатами I , , ) , если А2+В2+С2—
— 4D = 0;
в) пустое множество, если А2 + В2 + С2 — 4D < 0.
Доказательство теоремы мы предоставляем читателю. Идея
доказательства совпадает с идеей доказательства теоремы [13.1 ].
5. Касательная плоскость к сферической поверхности в данной
точке. Из курса элементарной геометрии известно, что плоскость,
проходящая через точку М сферы и перпендикулярная к радиусу,
соединяющему данную точку с центром, является касательной
плоскостью к сфере в точке М.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 2. Пусть в некоторой прямоугольной декартовой
системе координат задана сферическая поверхность уравнением (7).
Написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке
Мг (*!, у1У гх), лежащей на данной поверхности.
Решение. Из теоремы [61.2] следует, что центр С0 этой
поверхности имеет координаты ( , , ). Таким образом,
вектор С0М имеет координаты 1хг + —, у±-\ , гг + —1. Задача
сводится к тому, чтобы написать уравнение плоскости, проходящей
через точку Мг (xl9 ylt z±) и перпендикулярной к вектору С0Мг.
Согласно § 49, п. 3 имеем:
(*-^(* + y) + (y-y0(* + f^
Учитывая, что точка Мг (х1У уи zL) лежит на сфере, после
элементарных преобразований, получаем уравнение касательной плоскости в
окончательном виде:
*i* + УхУ + V+ у (* + *) + f (у + Ух) + ?- (г + гО + D = 0. (8)
Если центр поверхности совпадает с началом координат, то это
уравнение принимает вид: хх± + ууг + zzx — г2 = 0.
В заключение применим предыдущую теорию к решению
следующей задачи элементарной геометрии.
Задача 3. Исследовать множество точек пространства,
отношение расстояний от каждой из которых до двух данных точек
постоянно.
Решение. Пусть А и В — данные точки. Возьмем
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы начало координат было
388
в точке В, а положительное направление оси абсцисс совпало с
направлением луча В А. Если АВ = а, то А (а, 0, 0), а В (0, 0, 0). Если
М (х, у, г) — произвольная точка множества, то = К,
где AM и ВМ — расстояния от точки М до данных точек А и В, а К —
данное постоянное положительное число. Так как
ЛМ= /(* —а)2 + у2+г2, ВМ = ]/л;2 + у2 + ^
то
]/(* — а)2+у2 + г2 = Я1Л8 + у* + А
Это соотношение является искомым уравнением множества точек,
Возведем обе части последнего соотношения в квадрат:
(х — а)2 + у2 + г2 = К2 (х2 + у2 + г2),
при этом полученное уравнение будет эквивалентно прежнему.
Преобразуя последнее соотношение, получаем:
х2(1 — X2) + у2(1 — К2) + г2(1 — Я2) — 2ах + а2 = 0. (9)
Возможны два случая:
а) К = 1. Уравнение (9) принимает вид:
— 2ах + а2= 0, или 2х — а = 0.
Как мы видим, в данном случае искомое множество точек
представляет собой плоскость, перпендикулярную к прямой АВ и проходящую
через середину отрезка АВ.
Мы пришли к известной из курса элементарной геометрии
теореме о том, что множество точек пространства, равноудаленных от двух
точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку, соединяющему
эти точки, и проходящая через его середину.
б) кФ I. Разделив соотношение (9) на 1 — А,2, получаем:
Х2 + у2 + г2 *°_ _?2_ = Q
^у 1 — № ^1 —*2
2а „ , а2
Так как для данного уравнения
Л2+В2 + С2_ D==_^ lgl= 4W >Q,
^ (1-Я2)2 1 — Ь2 (1— А2)2
то согласно теореме [61.2 ] искомое множество точек пространства пред-
ставляет собой сферическую поверхность с центром в точке ( —, 0,0).
Легко видеть, что эта точка лежит на прямой АВ. Задача решена.
§ 62. Цилиндрические и конические поверхности
1. Уравнение цилиндрической поверхности. Поверхность, обладаю*
щая тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю
прямую, проходящую через М, параллельную данному фиксированному
т
Рис. 182.
вектору ру называется цилиндрической поверхностью
или цилиндром.
Прямые, параллельные вектору р и принадлежащие
цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим
образом. Пусть L — некоторая линия, а р—ненулевой вектор.
Поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки
линии L и содержащими вектор р, будет цилиндрической. Прямые,
содержащие вектор р, будут образующими этой поверхности. В этом
случае линия L называется направляющей этой поверхности (см.
рис. 182).
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Пусть 0е1 е2 ег — общая декартова система
координат в пространстве. Даны кривая L, расположенная в плоскости
Ое±е2 и имеющая в этой плоскости уравнение
F(x, у) = 0, (1)
и вектор р {ос, р, у}, не параллельный плоскости Оехе2. Написать
уравнение цилиндрической поверхности, для которой образующие
параллельны вектору р, а кривая L является направляющей.
Решение. Пусть S — рассматриваемая цилиндрическая
поверхность, а М (х, у, г) — произвольная точка этой поверхности
(рис. 182). Обозначим через N точку пересечения образующей /,
проходящей через точку М, с плоскостью Оху. Очевидно, точка N лежит
на кривой L. По определению цилиндрической поверхности векторы
MN и р коллинеарны. Если (хъ у1у 0) — координаты точки N в
пространстве, то вектор MN имеет координаты (хг — х% ух — у, 0 — г).
390
Условие коллинеарности векторов MN и р запишется следующими
равенствами:
хг— х = tax, уг — у = Яр, 0 — г = Яу.
Вектор р не параллелен плоскости Оехег, поэтому уф§\ из
последнего соотношения получаем: К = .
7
Из первых двух соотношений следует, что
а В
хг = х — z—, ух = у — zА
7 7
Точка Л/" принадлежит кривой I, поэтому Z7^, ух) = 0. Подставив
сюда полученные выше значения хъ уь будем иметь:
jix—z-, у — z?] = 0. (2)
Таким образом, координаты точки М цилиндрической
поверхности удовлетворяют уравнению (2). Теперь покажем, что если точка
Р (л:*, у*, z*) не лежит на поверхности S, то ее координаты не
удовлетворяют уравнению (2). Для этого проведем через точку Р прямую
/*, параллельную вектору /?, и обозначим через Q (х2, у2, 0) точку
пересечения прямой Z* с плоскостью Оеге2 (рис. 182). Очевидно,
точка Q не лежит на кривой L, и поэтму ее координаты (x2, y2, 0) не
удовлетворяют уравнению кривой L:
F (*2. У г) ?= 0.
С другой стороны, из условия коллинеарности векторов р т PQ
аналогично предыдущему получаем:
х2 = х* — z* —, у2 = у* — z* —.
7 7
Подставляя эти значения в предыдущее соотношение, будем иметь:
Р !х* _ г* *_t у* _ г* ?\ ф 0f
\ 7 7/
т. е. координаты точки Р не удовлетворяют уравнению (2). Таким
образом, уравнение (2) является искомым.
2. Цилиндрическая поверхность, образующие которой имеют
направление оси Oz. Рассмотрим частный случай задачи 1, когда
образующие поверхности имеют направление оси Ог, т. е. когда вектор р
имеет координаты {0, 0, у}, где у Ф 0. Подставив значения
координат вектора р в соотношение (2), получим уравнение этой поверхности:
F 0с, у) = 0.
Мы пришли к весьма интересному выводу: уравнение
цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Oz, no
внешнему виду совпадает с уравнением направляющей L в плоскости Оху.
Этот вывод на первый взгляд кажется противоречивым, однако по су-
391
ществу здесь никакого противоречия нет.
В самом деле, уравнение (1) как уравнение
множества точек плоскости определяет
кривую L, в то время как то же самое
уравнение (1) как уравнение множества
точек всего трехмерного пространства
определяет цилиндрическую поверхность S.
Если, например, в плоскости Оху дана
окружность L уравнением х2 + у2 = г2, то
тем же уравнением определяется
цилиндрическая поверхность S, направляющей
которой является окружность L, а
образующие параллельны оси Oz (рис. 183).
Имеет место и обратное предложение.
Теорема [62.1 ]. Множество точек
Рис. 183. пространства, координаты которых в не-
которой общей декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению (1), есть
цилиндрическая поверхность, образующие которой имеют
направление оси Oz.
Доказательство. Пусть G —данное множество точек.
Нам необходимо доказать, что еслиМ0? G, то все точки прямой /,
определяемой точкой М0 и вектором е3, принадлежат G. Пусть точка М0
имеет координаты (xQ, у0, z0). Согласно условию F (х0, у0,) = 0.
Прямая I имеет параметрические уравнения:
х = х0, У = Уо» * = zo + *. (3)
Так как в уравнение (1) не входит переменная z, то согласно условию
F (*о» Уо) = 0 все точки прямой (3) принадлежат поверхности (1).
Теорема доказана.
3. Цилиндрические поверхности второго порядка. Рассмотрим
более подробно свойства цилиндрических поверхностей второго
порядка.
1°. Если образующие цилиндрической поверхности второго порядка,
заданной общим уравнением (8), § 60, имеют направление оси Oz, то в
уравнении поверхности отсутствует переменная z.
Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через
произвольную точку М0(%19 ?2> ?з) пространства и содержащей вектор е2,
х = Ei, У = 12> * = Ъз+ *.
Подставив эти соотношения в уравнение поверхности, мы получим
выражения для определения параметров точек пересечения данной
поверхности и прямой:
a3St2 + 2Qt + R = 0,
где
Q = Я31Е1 + «32^2 + «зз^з +я34> Я = 2uijlfcj + 22 а/4Е/ + а,
44'
392
Так как данная поверхность цилиндрическая, то полученное
уравнение либо не имеет ни одного решения относительно t, либо является
тождеством, т. е. любое t удовлетворяет этому уравнению. Отсюда
Q = 08lSl + 032^2 + Я3з?з + #34 = 0.
Так как (?1э %2, ?3) — произвольная точка пространства, то последнее
соотношение возможно тогда и только тогда, когда а31 = а32 — а33 =
= а34 = 0. Это означает, что уравнение поверхности не содержит г.
2°. Пусть L —кривая второго порядка, лежащая в плоскости я,
ар — вектор, не принадлежащий этой плоскости. Тогда
цилиндрическая поверхность S, образованная прямыми, проходящими через все
точки кривой L и содержащими вектор р, есть поверхность второго
порядка.
Возьмем систему координат Ое1е2е3 так, чтобы кривая L
лежала в плоскости Оехе2, а р = е3. Если кривая L в плоскости Ое&г
имеет уравнение
а1гх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13 х + 2а23у + а33 = 0,
то согласно выводам предыдущего пункта этим же уравнением
задается поверхность S. Мы видим, что S — поверхность второго порядка.
Теперь мы можем доказать следующую интересную теорему.
Теорема [62.2]. Любое сечение цилиндрической поверхности
второго порядка плоскостью, не параллельной образующим, является
кривой второго порядка, причем для одной и той же поверхности все
эти сечения принадлежат одному и тому же аффинному классу
кривых второго порядка.
Доказательство. Пусть S — данная цилиндрическая
поверхность второго порядка, образующие которой параллельны
вектору р. Возьмем произвольную плоскость я, не параллельную вектору
р, и докажем, что она пересекает поверхность S по кривой второго
порядка. Для этой цели выберем новую систему координат О'е\ё2ёъ
так, чтобы точка О' и векторы е[, е2 принадлежали плоскости пу
а вектор еъ был равен вектору р. Так как S — поверхность второго
порядка, то в этой системе координат она определяется уравнением
второй степени. Однако образующие нашей поверхности параллельны
вектору е'3, поэтому согласно свойству Г в уравнении поверхности
отсутствует переменная г' и это уравнение имеет вид:
аиХ'2 + 2а'12*У + а'22у>2 + 2а\3 х' + 2а'23у' + а33 = 0.
Очевидно, этим же уравнением на плоскости О'х'у' в системе
О7 е\ е2 определяется линия пересечения поверхности S и плоскости я.
Мы пришли к выводу, что это пересечение есть кривая второго порядка.
Теперь покажем, что для цилиндрической поверхности S все
сечения, не параллельные вектору р, принадлежат одному и тому же
аффинному классу кривых второго порядка.
В самом деле, пусть пг и я2 — две произвольные плоскости, не
параллельные образующим и пересекающие поверхность S по кривым
393
а)
J
|\
>
ч 1
\
г
1
0
ч
у/
/
ч^
/
1
ч
У
5)
Рис. 181.
второго порядка Lx и L2. Заметим, что по определению
цилиндрической поверхности кривая L2 является проекцией кривой Lx на
плоскость я2 по направлению вектора р. Возьмем в плоскости ях
произвольную систему координат и спроецируем эту систему на плоскость Оеге2
по направлению вектора р. Пусть О' е\е2 — проекция этой системы
на плоскость я2. Если произвольная точка М плоскости ях в системе
Оеге2 имеет координаты х, у, то легко видеть, что ее проекция на
плоскость я2 по направлению р в системе 0'е\ е'2 имеет те же координаты
х, у. Отсюда немедленно следует, что кривая L в системе Оехег имеет
то же уравнение, что и кривая L2 в системе О' е\ёт Но это означает,
что Lx и L2 принадлежат одному и тому же аффинному классу кривых.
Теорема доказана полностью.
Доказанная теорема позволяет классифицировать цилиндрические
поверхности второго порядка по виду сечений, не параллельных
образующим. Так как все сечения, не параллельные образующим, принад-,
лежат одному и тому же аффинному классу, то цилиндрические
поверхности классифицируют в соответствии с принадлежностью этих
сечений тому или иному классу кривых. Например, если все сечения
являются эллипсами, то поверхность называется эллиптической
цилиндрической поверхностью. Уравнение этой поверхности при
надлежащем выборе прямоугольной декартовой системы координат может
быть записано уравнением
i!_ + ^ = 1
а2 б2
Если все сечения, не параллельные образующим, являются
гиперболами, то такая поверхность называется гиперболической
цилиндрический поверхностью. Уравнение этой поверхности в специально
выбранной системе координат имеет вид:
х2 f_ __ .
а2 "б2" " '
394
Аналогично определяется параболическая цилиндрическая
поверхность, простейшее уравнение которой имеет вид: у2 = 2рх. На
рисунке 184 изображены эти поверхности. Полная классификация
цилиндрических поверхностей второго порядка будет дана в
следующей главе.
4. Конические поверхности. Поверхность, на которой имеется
точка М0, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М,
отличной от М0, поверхность содержит всю прямую М0 М, называется
конической поверхностью или к о н у с о м1.
Точка М0 называется вершиной, а прямые, проходящие через эту
точку и принадлежащие поверхности, — ее образующими. Важно
отметить, что мы, вообще говоря, не предполагаем, что точка М0 —
единственная точка, обладающая указанным свойством. Другими
словами, поверхность может иметь более чем одну вершину.
Коническая поверхность может быть образована следующим
образом. Пусть М0 — точка пространства, a L — кривая, не проходящая
через Mq. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из
которых проходит через М0 и некоторую точку кривой L, будет
конической. Точка М0 является вершиной, а прямые, проходящие через
нее, — образующими. В этом случае кривая называется направляющей
(рис. 185).
Докажем теорему, которая часто применяется при изучении
конических поверхностей. Предварительно напомним, что функция/7 (х, у, z)
называется однородной, если для любого t имеет место соотношение:
F (tx, ty, tz)= cp(t) F (x, y,z).
Например, функция х^ + y4+z* является однородной, так как
{txf + {tyf + {tzf = ft (x* + у4 + z4).
Теорема [62.3]. Если
F (x, у, z) — однородная
функция, то поверхность,
определяемая в общей декартовой
системе координат
уравнением
F (х, у, z) = О, (4)
является конической
поверхностью с вершиной в начале
координат.
Доказательство.
Пусть S — поверхность,
определяемая уравнением (4),
О — начало координат, а
Мг (хг, уъ гг) — некоторая
точка поверхности S, отлич- Рис. 185.
Mo^0,y0tz0)
/.У/.°А
1 Это определение пригодно как в действительном, так и в комплексном
пространстве. Однако во втором случае предполагается, что М0 —действительная точка.
395
ная от О. Покажем, что вместе с точкой Мг поверхности S
принадлежит любая точка М (х, у, г) прямой ОМг. Если М лежит на
прямой 0Mlt то векторы ОМ и 0Мг коллинеарны, поэтому
координаты точки М могут быть представлены в виде:
х = txl9 у = tyly z = tzx.
Так как Мг — точка поверхности S, то F (xlf уг, гг) = 0.
Подставив, далее, координаты точки М в уравнение (4), получим:
F (x, y,z) = F (txu tyu tzx) = ф (0 F (xl9 ylf zx) = 0,
т. е. точка М принадлежит поверхности S. Таким образом, поверхность
S образована прямыми, проходящими через точку О, значит, S — ко-'
ническая поверхность с вершиной в точке О.
В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную в
прямоугольной декартовой системе координат уравнением
х2 + у2 — a2 z2 = 0, а > 0. (5)
Согласно теореме [62.3] этим уравнением определяется
коническая поверхность с вершиной в начале координат. При а = 1 эту
поверхность мы уже рассматривали (см. § 60, п. 5). При
произвольном а поверхность несущественно отличается от частного случая
(а = 1) и имеет вид, изображенный на рисунке 174. Она называется
круговой конической поверхностью.
5. Конические сечения. Выше было показано, что пересечение
цилиндрической поверхности второго порядка с любой плоскостью,
не параллельной образующим, есть кривая второго порядка, причем
для данной поверхности все эти кривые принадлежат одному и тому
же аффинному классу. Картина несколько иная в случае конической
поверхности второго порядка. Рассмотрим эту задачу. Для простоты
изложения рассмотрим сечения круговой конической поверхности (5)
различными плоскостями. Возьмем плоскость я, проходящую через
ось Ох, и найдем сечения данной поверхности плоскостью л и
всеми плоскостями, параллельными п. Для этого возьмем новую
прямоугольную декартову систему координат так, чтобы новое начало О'
совпало с точкой О, вектор /' совпал с вектором /, а вектор f был
параллелен плоскости я. Если Z_(/, /') = а, то, очевидно,
У = j cos а + k sin а, a W = —j sin a + k cos a.
Тогда формулы преобразования координат имеют вид (см. (4), § 60).
X = X
у = у' cos a — z' sin a,
z = y' sin a + z' cos a.
Уравнение конической поверхности в новой системе координат
будет:
х'2 + {у' cos a — z' sin a)2 — a2 (yf sin a + z' cos a)2 = 0
396
или
х'2 + (cos2a —a2sin2a) у'2— (2 sin a cos a -f 2a2 sin a cos a) y'z +
+ (sin2 a — a2 cos2 a) z2 = 0.
Рассмотрим сечение этой поверхности плоскостью z = h.
Согласно теореме [60.21 проекция рассматриваемого сечения на
плоскость OVy', т. е. на плоскость я, в системе O'i'f имеет
уравнение:
х'2 + (cos2 a — a2 sin2a) у'2 — (2 sin a cos a +
+ 2a2 sin a cos a) hy'+ (sin2 a — a2cos2a) h2 = 0. (6)
Исследуем полученное уравнение.
При h = 0 уравнение (6) принимает вид:
х'2 _|_ (cos2 a —a2sin2a) у'2 = 0.
Этим уравнением определяется линия пересечения я с поверхностью S.
Возможны три случая:
а) cos2 a — a2 sin2a > 0. Кривая представляет собой пару
комплексных прямых, пересекающихся в действительной точке (0, 0).
В этом случае плоскость я не содержит образующих конуса и
пересекает конус в одной точке — вершине конуса (рис. 186, а).
б) cos2 a — a2sin2 a < 0. Кривая представляет собой пару
пересекающихся прямых. В этом случае плоскость я пересекает конус по
двум образующим (рис. 186, б).
в) cos2 a — a2 sin2 a = 0. Кривая представляет собой пару
слившихся прямых. В этом случае плоскость я касается конической
поверхности вдоль образующей (рис. 186, в).
При h Ф 0 уравнением (6) определяется проекция сечения,
параллельного плоскости я на эту плоскость. Вид кривой (6) существенно
зависит от значения числа ср = cos2 a — a2sin2 a. Так же, как и в
случае h = 0, рассмотрим три возможности.
а) cos2 a — a2sin2 a > 0. Плоскость я не содержит образующих
поверхности S. В этом случае уравнением (6) определяется эллипс,
поэтому сечение, параллельное плоскости я, представляет собой
эллипс (рис. 186, а).
б) cos2 a — a2 sin2 a < 0. Плоскость я пересекает поверхность S
по двум образующим. В этом случае уравнением (6) определяется
гипербола, поэтому сечение, параллельное плоскости я, представляет
собой гиперболу (рис. 186, б).
в) cos2 a — a2 sin2 a = 0. Плоскость я касается конической
поверхности вдоль образующей. Уравнением (6) в данном случае
определяется парабола, поэтому сечение, параллельное плоскости я,
представляет собой параболу (рис. 186, в).
Резюмируя полученное исследование, мы приходим к выводу.
397
Рис. 18G.
Теорема [62.4]. Всякая плоскость, проходящая через вершину
круговой конической поверхности, пересекает эту поверхность по паре
прямых (комплексных, пересекающихся в действительной точке,
действительных пересекающихся или слившихся).
Всякая плоскость, не проходящая через вершину круговой конической
поверхности, пересекает ее по эллипсу, гиперболе или параболе.
Таким образом, из девяти типов кривых второго порядка шесть
типов, в том числе эллипс, гипербола и парабола, являются плоскими
сечениями круговой конической поверхности. Поэтому они и
называются коническими сечениями.
§ 63. Эллипсоид и гиперболоиды
В настоящем и следующем параграфах мы изучим основные
поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды и
параболоиды. При этом, так же как и в случае кривых второго порядка, мы
сначала рассматриваем эти поверхности в специальных так называемых
канонических системах координат, геометрически связанных с
данными поверхностями.
Для определения формы и изучения геометрических свойств
поверхностей, заданных в канонических системах координат, будем
пользоваться следующей схемой, аналогичной той, которой
пользовались при изучении кривых второго порядка.
а) Прохождение поверхности через начало канонической системы
координат.
б) Определение точек пересечения поверхности с осями
канонической системы координат.
в) Исследование поверхности на симметрию относительно
координатных осей, координатных плоскостей и начала координат.
398
г) Пересечение поверхности с прямыми, проходящими через
начало канонической системы координат.
д) Определение области изменения переменных, входящих в
уравнение поверхности.
е) Изучение формы поверхности методом сечений.
1. Эллипсоид. Эллипсоидом называется мнооюество всех
точек пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
2 2 2
_fl + —Ч- — = !• (1)
а2 Ь2 с2
Система координат, в которой эллипсоид задан таким уравнением,
называется канонической системой, а само уравнение —
каноническим уравнением. Из этого определения
следует, что эллипсоид есть поверхность второго порядка.
Изучим геометрические свойства эллипсоида.
а) Эллипсоид не проходит через начало канонической системы
координат, так как координаты точки О (0, 0, 0) не удовлетворяют
уравнению (1).
б) Найдем точки пересечения эллипсоида (1) с осями координат.
Для определения координат точек пересечения с осью Охг следует?
совместно решить уравнения эллипсоида и оси Охг:
А+А + А=и *2 = о, *3 = о.
а2 Ь* с2
Решив эту систему, получаем точки пересечения: А1 (а, 0, 0),
А 2 (—а, 0, 0). Аналогично получаем точки пересечения с осью 0х2:
Вх (0, Ь, 0), В2 (0, — Ь, 0) и с осью Ох3: Сг (0, 0, с), С2 (0, 0, —с).
Таким образом, эллипсоид с каждой осью координат пересекается
в двух точках, симметричных относительно начала координат. Точки
Аи А2, Вг, В2, Си С2 называются вершинами, а отрезки АгА2, B±B2f
СгС2 — осями эллипсоида. Числа а, Ъ и с называются полуосями
эллипсоида1. Если все эти числа попарно различны, то эллипсоид
называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы
получаем эллипсоид вращения (см. § 61, п. 2). Если, наконец,
а = Ъ = с, то поверхность представляет собой сферу с центром
в начале координат.
в) Так как переменные хъ х2, х3 содержатся в уравнении
эллипсоида только в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно
всех координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
г) Легко показать, что любая прямая, проходящая через начало
координат, пересекает эллипсоид в двух точках, симметричных отно-
1 Заметим, что по традиции термины «ось» и «полуось» здесь употребляются не
в обычном смысле слова: оси — отрезки АгА2у BtB2t CiC2, а полуоси — числа а, Ь,
с. Ср. сноску на стр. 204.
899
Рис. 187.
cl ^
< 1, —< 1,
а2 ' b2
сительно точки О. Поэтому
начало канонической системы
координат является центром
симметрии поверхности и
называется центром эллипсоида.
Доказательство всех этих
предложений предлагаем
провести читателю самостоятельно по
аналогии с доказательством
соответствующих предложений
для эллипса (§ 34, п. 3).
д) Определим область
изменения координат точек
эллипсоида. Из уравнения (1)
следует, что
4 ,
— < 1, поэтому
2^.о 2^.*о 2 . о
Х\ < АГ, ЛГ2 < СГ, Хз < С , ИЛИ
— а < хх < а, —Ь < х2 < 6, — с < х3 < с.
Отсюда вытекает, что точки эллипсоида расположены внутри
параллелепипеда МХМ2М3МьМ[М2МзМь изображенного на рисунке 187.
е) В заключение изучим форму эллипсоида методом сечений (см.
п. 5, § 60). Построим карту поверхности в горизонталях, пользуясь
теоремой [60.2]. Если эллипсоид (1) пересечь плоскостью xz — ft,
параллельной плоскости Ох±х2, то проекция сечения1 на плоскость 0хух2
будет иметь уравнение:
х\ 4 №
— + — =! — —•
a2 Ь2 c
Возможны три случая:
а) —с <h <с. В этом случае в сечениях мы получаем эллипсы,
центры которых лежат на оси 0х3. В самом деле, проекции этих линий
на плоскость Ох±х2 имеют уравнения
А
+
*2
И) '(-?)
= 1.
1 Здесь проекция сечения рассматривается как кривая плоскости 0х±х2 и
определяется в системе Oij одним уравнением. Всюду в дальнейшем кривые, лежащие в
координатных плоскостях Оххх2, Ох2х3, Ох3хъ будут заданы аналогичным образом
одним уравнением.
400
Так как 1
h2
> 0, то последним уравнением определяется эллипс
с полуосями
a* = al/i_§, 6.-6/1-5.
При уменьшении | h | полуоси возрастают, и при | К \ = О имеем:
а* = а, 6* = Ъ. Таким образом, пересечение плоскости Охгх2 с эл<
липсоидом (1) образует эллипс с уравнением
2 2
а2 Ь2
= 1.
б) h = су h = — с. В данном случае уравнение проекции сечения
на плоскость Ох±х2 принимает вид:
ir+
*2
Т2
о.
Кривая представляет собой две мнимые прямые, пересекающиеся в
вещественной точке (0, 0).
в) h > с или h < — с. В этом случае в сечениях получаем мнимые
эллипсы, так как плоскость х3 = h при \h\ > с не имеет с
эллипсоидом общих вещественных точек.
Легко показать, что сечения, параллельные другим координатным
плоскостям, дают аналогичную картину.
Все выводы, сделанные выше, дают полное представление о
геометрической форме эллипсоида. Поверхность изображена на
рисунке 188.
2. Однополостный гиперболоид. Однополости, ым
гиперболоидом называется множество всех точек пространства,
координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению
У2 Y2 Г2
fi_ . *? Л. = 1. (2)
а2 ъ2 с2
Рис. 188.
401
Система координат, относительно которой однополостный
гиперболоид имеет уравнение (2), называется канонической
системой, а само уравнение каноническим
уравнением.
Изучение геометрических свойств однополостного гиперболоида
проведем по той же схеме, которая была применена при изучении
свойств эллипсоида. Многие свойства однополостного гиперболоида
аналогичны соответствующим свойствам эллипсоида, поэтому
доказательства этих свойств мы опустим.
а) Однополостный гиперболоид не проходит через начало
канонической системы координат, так как координаты точки О (0, 0, 0) не
удовлетворяют уравнению (2).
б) Точки пересечения однополостного гиперболоида с осями Охх и
Ох2 определяются точно так же, как и в случае эллипсоида. С осью
Охг однополостный гиперболоид пересекается в точках Ах(а, 0, 0) и
А2 (—а, 0, 0), а с осью Ох2 — в точках Вг (0, Ъ, 0) и В2 (0, — Ь, 0).
С осью Ох3 однополостный гиперболоид пересекается в двух
комплексно сопряженных точках. Таким образом, ось Ох3 не имеет с однополост-
ным гиперболоидом общих вещественных точек. Точки А1У А2, Вг, В2
называются вершинами, а отрезки АгА2, ВХВ2 — вещественными осями
однополостного гиперболоида. Числа а, Ь, с называются полуосями
однополостного гиперболоида.
в) Так же как и в случае эллипсоида, переменные хг, х2, х3
содержатся в уравнении поверхности в четных степенях, поэтому
однополостный гиперболоид симметричен относительно всех координатных
плоскостей, координатных осей и начала координат.
г) Исследуем вопрос о пересечении однополостного гиперболоида
с прямой, проходящей через начало координат. Пусть / — прямая,
определяемая параметрическими уравнениями
хх = ptt, х2 = p2t, х3 = p3t. (3)
Найдем параметры точек пересечения этой прямой с однополост-
ным гиперболоидом (2). Для этой цели, очевидно, необходимо
значения Хц х2, х3 подставить в уравнение (2). После элементарных
выкладок получаем:
(А + Р-1 fL)t2 — 1 = 0 или Pt2 — 1 = 0.
\ а2 Ь* с2 J
Возможны три случая:
9 2 Р
Р\ Pi Р\
1) Р = j >0. В этом случае квадратное уравнение
а2 Ь2 с2
относительно t имеет два вещественных корня:
поэтому при Р > 0 прямая пересекает однополостный гиперболоид
в двух точках, симметричных относительно начала координат.
402
2) Р = О, В этом случае прямая / не пересекает однополостный
гиперболоид. Она называется асимптотой поверхности.
3) Р < 0. Очевидно, в данном случае прямая пересекает
поверхность (2) в двух комплексно сопряженных точках. Вещественных точек
пересечения с однополостным гиперболоидом прямая / не имеет.
Выясним геометрическую картину полученных результатов.
Прежде всего определим множество точек, принадлежащих всем
асимптотам, проходящим через начало координат.
Направляющий вектор р {plt р2, р3) асимптоты удовлетворяет
условию
2 2 2
а2 + б2 с2
(4)
Точка М (хг, #2, х3) лежит на асимптоте тогда и только тогда, когда
вектор ОМ {xv хъ х3} принадлежит асимптоте. Таким образом,
искомое уравнение рассматриваемого множества точек, согласно
соотношению (4), имеет вид:
Л\ Хсу
-L+ — 1=0.
"б2 с2
(5)
Этим уравнением согласно теореме [62.3 J определяется
коническая поверхность, которая называется асимптотическим конусом с
вершиной в начале координат.
Если прямая, проходящая через
начало координат, проходит внутри этого
конуса, то можно показать, что для этой
прямой Р < 0, поэтому согласно
предыдущему выводу она не имеет с поверхностью
общих точек. Если же прямая проходит вне
конуса, то Р>0; при этом условии она
пересекает поверхность в двух и только в
двух точках, симметричных относительно
начала координат (рис. 189).
Мы приходим к интересному выводу:
все прямые, проходящие через начало
канонической системы координат и лежащие
внутри асимптотического конуса,
пересекают однополостный гиперболоид в двух
комплексно сопряженных точках;
прямолинейные образующие асимптотического
конуса вовсе не пересекают однополостный
гиперболоид, а прямые, расположенные вне
асимптотического конуса, пересекают его
в двух вещественных точках.
д) Определим область расположения Рис. 189,
точек однополостного гиперболоида по отношению к
канонической системе координат. Выше было отмечено, что все точки
однополостного гиперболоида расположены вне асимптотического конуса.
Из уравнения (2) следует, что если точка М (xv x2, *3) лежит на одно-
полостном гиперболоиде, то
А+
х2
> 1.
Отсюда следует, что точки однополостного гиперболоида расположены
также вне цилиндрической поверхности, заданной в канонической
системе координат уравнением
— + — = 1.
а2 Ь2
На рисунке 190 заштрихована та область, которой принадлежат точки
однополостного гиперболоида.
е) В заключение изучим форму однополостного гиперболоида
методом сечений. Прежде всего определим линии пересечения
поверхности с координатными плоскостями. Из теоремы [60.2] следует,
что плоскость Охгх2 пересекает однополостный гиперболоид (2) по
линии, имеющей в этой плоскости уравнение1
А 4 ,
—+ —= 1.
а2 Ь2
Это — уравнение эллипса, который
называется горловым эллипсом
однополостного гиперболоида. Далее,
плоскость Охгх3 пересекает гиперболоид
по линии, имеющей в этой плоскости
уравнение
х2 х2
а2 с2
а плоскость Ох2х3 — по линии,
имеющей в этой плоскости уравнение
4
3- — I
Рис. 190.
Эти линии называются главными
гиперболами однополостного
гиперболоида.
Если поверхность пересечь
плоскостью х3 = h, параллельной
плоскости Охгх2, то проекция сечения
на плоскость Оххх2 имеет уравнение
1 См. сноску на стр. 400.
404
А х\ « h2
— + — = l -f — •
a2 b2 c2
При любом значении ft этим
уравнением определяется эллипс с
полуосями
Рис. 191.
в чем легко убедиться, разделив
обе части последнего уравнения на
с2
Таким образом, карта поверхности в горизонталях представляет
собой систему эллипсов, имеющих общие главные оси, при этом
наименьшим из этих эллипсов является горловой эллипс (рис. 191). Чем
больше абсолютное значение ft, тем больше полуоси эллипса.
Если поверхность пересечь плоскостью хх = ft, параллельной
плоскости Ох2х3, то проекция сечения на плоскость Ох2х3 имеет уравнение
хз
I—»
h2
Возможны три случая:
а) —а < ft < а. В этом случае I — — > 0, поэтому проекции
а2
сечений на плоскость Ох2х3 являются гиперболами с мнимой осью Ох3.
На рисунке 192 эти гиперболы обозначены римской цифрой (I).
б) h = а и h = — а. В этом случае проекции сечений совпадают
и имеют уравнение
^2_
Ь2
0.
Этим уравнением определяются две прямые, пересекающиеся в
начале координат (рис. 192, прямые И), поэтому плоскости,
параллельные плоскости Ох2х3 и отстоящие от нее на расстоянии а,
пересекают поверхность по двум прямолинейным образующим.
И2
в) ft>a или ft < — а. В этом случае I < 0, поэтому в
а2
сечении получаем гиперболу, для которой ось Ох2 является мнимой
осью. На рисунке 192 эти гиперболы обозначены римской цифрой III.
Таким образом, карта поверхности на плоскости Ох2х3 имеет вид,
изображенный на рисунке 192. Легко показать, что карта
поверхности на плоскости Охгх3 имеет аналогичный вид.
Изученные выше геометрические свойства поверхности, а также
построенные карты дают полное представление об однополостном
гиперболоиде. Поверхность изображена на рисунке 193.
3. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
При исследовании формы однополостного гиперболоида методом
сечений мы обнаружили, что в отличие от эллипсоида на однополостном
405
*s
Рис. 192. Рис. 193.
гиперболоиде существуют прямолинейные образующие. Исследуем
более подробно этот вопрос. Запишем уравнение (2) однополостного
гиперболоида в следующем виде:
(t+fHT-vH'+tH'-t)- <6>
Рассмотрим две системы уравнений:
Чт+т)-Ч1+т)' Чт-тН'('-т) (7)
Чт+тЬ-Ч'-т)- 4^-tH(1+t)- <8)
В этих уравнениях А,ь А,2, \лъ |х2 — произвольные параметры,
причем как Хъ Л,2» так и M-i» Щ одновременно не равны нулю. Для
удобства дальнейшего изложения введем следующее соглашение: будем
говорить, что параметры Хъ Х2 (или \il9 ^2) принимают допусти-
м ы е значения, если они одновременно не равны нулю.
Из теоремы [51.1] следует, что при допустимых значениях
параметров кг и А,2 уравнения (7) определяют прямую линию в
пространстве, причем, если К1у Х2 и я!, h не пропорциональны, то прямые
с этими параметрами не совпадают. Легко видеть, что при любых
допустимых значениях параметров Х± и К2 каждая точка прямой (7)
принадлежит гиперболоиду, так как ее координаты удовлетворяют
уравнению (6). Аналогичные утверждения можно высказать относительно
уравнений (8). Таким образом, при всевозможных допустимых
значениях Къ А, 2 и \il9 |х2 уравнениями (7) определяется одно семейство
прямолинейных образующих^ а уравнениями (8) — другое.
406
Сформулируем основные свойства
семейств (7) и (8) прямолинейных образующих
однополостного гиперболоида:
а) Через произвольную точку
поверхности (2) проходит одна и только одна
прямолинейная образующая, принадлежащая
каждому из семейств (7) и (8).
б) Две различные прямолинейные
образующие, принадлежащие одному и тому же
семейству, не пересекаются.
в) Две прямолинейные образующие
различных семейств всегда лежат в одной
плоскости и параллельны тогда и только тогда,
когда проходят через диаметрально
противоположные точки горлового эллипса.
Доказательство всех этих свойств
предоставляем читателю.
Мы видим, что однополостный гиперболоид
является дважды линейчатой поверхностью. Поверхность с двумя
семействами прямолинейных образующих изображена на рисунке 194.
Линейчатый характер однополостного гиперболоида используется в
строительной технике. Знаменитый русский инженер В. Г. Шухов
предложил конструкции башен, сконструированных из
прямолинейных балок, расположенных так, как расположены прямолинейные
образующие однополостного гиперболоида вращения. Эти
конструкции оказались очень прочными и легкими. Они часто используются
при строительстве водонапорных башен, высотных радио-,
телевизионных мачт и т. д.
4. Двуполостный гиперболоид. Двуполостным
гиперболоидом называется множество всех точек пространства,
координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению
Рис. 194.
2 ^2
а2 б2
*з
1.
(9)
Система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид (9),
называется канонической, а само уравнение —
каноническим уравнением. Метод исследования геометрических
свойств двуполостного гиперболоида по существу ничем не отличается
от метода исследования свойств однополостного гиперболоида, хотя в
отдельных случаях мы приходим к другим выводам. Проведем обзор
этих свойств.
а) Двуполостный гиперболоид не проходит через начало
канонической системы координат,
б) Двуполостный гиперболоид пересекает ось 0х3 в двух точках
Сг (О, 0, с) и С2 (0, 0, — с). Оси 0хг и 0хг не пересекают поверхность
в вещественных точках. Точки С1 и С2 называются вершинами поверх-
407
Рис. 195.
ности, а отрезок СгС2 — действительной
осью. Числа a, b и с называются
полуосями двуполостного гиперболоида.
Если а = Ь, то согласно п. 2, § 61
поверхность представляет собой двуполостный
гиперболоид вращения.
в) Двуполостный гиперболоид
симметричен относительно всех координатных
плоскостей, координатных осей и начала
координат.
г) Исследование вопроса о пересечении
поверхности с прямыми, проходящими
через начало координат, в точности
совпадает с исследованием однополостного
гиперболоида. Так же как и в предыдущем
случае, множество точек, лежащих на
асимптотах, проходящих через начало
координат, является конусом, определяемым
уравнением (5). Этот конус — а с и м п т о-
тический конус с вершиной
в начале координат. Но в
отличие от предыдущего случая прямые, проходящие через О и располо-
оюенные внутри конуса, пересекают поверхность в двух точках,
симметричных относительно начала координат, а прямые, расположенные
вне конуса, не имеют с поверхностью общих действительных точек.
д) Можно показать, что двуполостный гиперболоид в отличие
от однополостного не имеет прямолинейных образующих.
е) Двуполостный гиперболоид, так же как и эллипсоид и однопо-
лостный гиперболоид, является центральной поверхностью с центром
в начале канонической системы координат.
ж) Определим область расположения точек двуполостного
гиперболоида относительно канонической системы координат. Выше было
отмечено, что все точки поверхности расположены внутри асмптоти-
ческого конуса. Из уравнения (9) следует, что — > 1, поэтому х3>
> с и х3 < — с. Таким образом, все точки двуполостного
гиперболоида лежат вне полосы, заключенной между двумя, параллельными
плоскостями х.6 = с и xs = — с.
Предлагаем читателю самостоятельно исследовать поверхность
методом сечений и убедиться в том, что сечения плоскостями лг3= ft,
где h > с, представляют собой эллипсы, а сечения плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Оххх3 и Ox^cz, —
гиперболы.
Двуполостный гиперболоид имеет вид, изображенный на рисунке
195.
408
§ 64. Параболоиды
В предыдущем параграфе мы рассмотрели геометрические
свойства эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов. В
настоящем параграфе изучим геометрические свойства параболоидов по
их каноническим уравнениям.
1. Эллиптический параболоид. Эллиптическим
параболоидом называется мнооюество всех точек пространства,
координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению
2 2
^L + ^L = 2x3. (1)
а2 Ь2 3
Система координат, относительно которой эллиптический
параболоид имеет уравнение (1), называется канонической, а само
уравнение — каноническим. Как видим, эллиптический
параболоид, так же как эллипсоид и гиперболоиды, является
поверхностью второго порядка. Изучение геометрических свойств
эллиптического параболоида проведем по той же схеме, по которой были
изучены поверхности предыдущего параграфа.
а) Эллиптический параболоид проходит через начало
канонической системы координат, так как координаты точки О (0, 0, 0)
удовлетворяют уравнению (1).
б) Найдем точки пересечения поверхности (1) с осями координат.
Для определения точек пересечения эллиптического параболоида с
осью Охг следует совместно решить уравнение (1) и уравнение оси
Охг:
а2 Ь2
Очевидно, эта система имеет единственное решение: хг = 0, х2 =
= 0, х3 = 0. Таким образом, эллиптический параболоид имеет с
осью Охг только одну общую точку — начало координат. Точно так же
можно показать, что начало координат является единственной точкой
пересечения поверхности (1) с осями Ох2 и Охг. Точка О называется
вершиной эллиптического параболоида.
в) Так как переменные хг и х2 содержатся в уравнении (1) в
четных степенях, то эллиптический параболоид симметричен
относительно плоскостей Охххъ и Ох2хъ. Поверхность не симметрична
относительно плоскости Оххх2. Отсюда следует, что эллиптический
параболоид симметричен относительно координатной оси Ох3 и не
симметричен относительно осей Охг и Ох2 и начала координат.
г) Вопрос о пересечении эллиптического параболоида с прямыми,
проходящими через начало канонической системы координат, решается
по аналогии с предыдущим. Легко показать, что если прямая не
лежит в плоскости Охгх2 и не совпадает с осью Ох3, то она пересекает
эллиптический параболоид в двух различных точках, одна из которых
409
совпадает с началом координат. Если прямая лежит в плоскости Ох±х29
то она имеет с поверхностью две слившиеся точки. Если прямая
совпадает с осью 0х3, то она пересекает поверхность в одной точке —
начале координат.
д) Эллиптический параболоид не имеет прямолинейных
образующих.
е) Определим область расположения точек эллиптического
параболоида относительно системы координат. Из уравнения
поверхности (1) следует, что для всех точек поверхности х3 > 0, причем х3 = О
тогда и только тогда, когда точка совпадает с началом координат.
Отсюда следует, что все точки эллиптического параболоида, за
исключением начала координат, расположены по одну и ту же сторону от
плоскости 0ххх2.
ж) В заключение изучим форму эллиптического параболоида ме*
тодом сечений. Построим карту поверхности в горизонталях. Если
эллиптический параболоид пересечь плоскостью х3 = h параллельно
плоскости Ох±х2, то проекция сечения на плоскость 0хгх2 будет иметь
уравнение
X2 X2
*- + lL = 2fi.
Рис. 196.
Из предыдущего
исследования следует, что имеет смысл
рассматривать только те сечения,
для которых h > 0. При h > 0
имеем:
х2 х2
2/ш2 2hb*
Таким образом, все
плоскости, параллельные плоскости,
Охгх2 и отсекающие от оси 0х3
отрезки h > О, пересекают
эллиптический параболоид по
эллипсам. Карта поверхности в
горизонталях имеет вид,
изображенный на рисунке 196.
Плоскости, параллельные
другим координатным плоскостям,
пересекают эллиптический
параболоид по параболам. В самом
деле, если в уравнении
эллиптического параболоида положить
410
х2 = К то в сечении получим параболу,
проекция которой на плоскость Охгх3
имеет уравнение1
-±- = 2х3 —
^1
62
На рисунке 197 изображена карта
поверхности на плоскости Охгх3.
Если в уравнение эллиптического
параболоида положить хх = h, то получим
аналогичную карту на плоскости Ох2х3.
Все выводы, сделанные выше, дают
полное представление о геометрической
форме эллиптического параболоида (рис.
198).
2. Гиперболический параболоид. Нам
остается изучить еще одну поверхность —
гиперболический параболоид. Так называется мно-
оюество всех точек, координаты которых в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
Рис. 198.
2 2
Хл Хо
а2 б2 3
(2)
Система координат, относительно которой поверхность имеет
уравнение (2), называется канонической, а само уравнение —
каноническим. Рассмотрим основные свойства этой поверхности.
а) Гиперболический параболоид проходит через начало
канонической системы координат.
б) Гиперболический параболоид пересекается с осями канонической
системы координат в единственной точке — в начале координат.
в) Гиперболический параболоид симметричен относительно
плоскостей Оххх3 и Ох2х3 и не симметричен относительно плоскости Оххх2.
Отсюда: поверхность симметрична относительно координатной оси
0х3 и не симметрична относительно осей 0хг и 0х2 и начала координат.
Все эти свойства доказываются точно так же, как и для
эллиптического параболоида, поэтому доказательства мы опускаем.
г) Исследуем вопрос о пересечении гиперболического
параболоида (2) с прямыми, проходящими через начало канонической системы
координат и заданными параметрическими уравнениями:
*i = pxU *2 = PiU x3 = p3t. (3)
Подставив значения хъ х21 х3 из соотношений (3) в уравнение (2),
получаем уравнение для определения параметра /:
.4-4)<,-2^=°- (4)
1 См. сноску на стр. 400.
411
Возможны четыре случая:
Р2 р1
1) —i — Ф 0, р3ф0. В этом, случае уравнение (4) имеет два раз-
а2 о2
личных корня, один из которых равен нулю, поэтому прямая
пересекает гиперболический параболоид в двух различных точках, одна
из которых совпадает с началом координат.
2 2
2) — Ф 0, /?3 = 0. Уравнение (4) имеет два совпадающих
а2 и0
корня, поэтому прямая (3) касается поверхности.
Ф 0. При этих условиях уравнение (4)
3) ^-^- = 0,
7 а2 б2
имеет единственный корень t = 0. В этом случае говорят, что прямая
(3) имеет асимптотическое направление. Она имеет единственную
общую точку с поверхностью. Однако в отличие от предыдущего
случая она не касается поверхности.
2 2
4) —[- = 0, рв = 0. Как видно из уравнения (4), пря-
а2 Ъ2
мая является прямолинейной образующей. В этом случае говорят, что
она также имеет асимптотическое направление.
Выясним геометрическую картину полученных результатов.
Сначала определим множество точек, принадлежащих всем прямым
асимптотического направления, проходящим через начало координат.
Уравнение этого множества точек можно вывести точно так же, как
и уравнение (5), § 63. Оно имеет вид
и определяет пару плоскостей,
Ь2
пересекающихся по оси Ох3:
Х1 *2_ Л
а Ь
¦ + ¦
Ъ
0.
(5)
(60
(62)
Рис. 199,
Обозначим плоскость (6^ через
silf (62) через я2, а Охгх2 через л.
Кроме того, через lx обозначим
линию пересечения плоскостей пг и я,
а через l2 — плоскостейя2 ил (рис.
199). Из полученных выше выводов
следует, что все прямые связки с
центром в точке О, не лежащие в
плоскостях пх, п2 ип, пересекают
поверхность в точке О и еще в одной точке,
отличной от О. Все прямые плоскости
д, отличные от 1ги /2, касаются
поверхности, а сами прямые 1г и /2
являются прямолинейными образующими.
412
Прямые плоскостей пг и
я2, не лежащие в плоскости
зт, пересекают поверхность
в единственной точке О и
не являются касательными.
Отсюда следует, что
плоскость Охгх2 является
касательной к поверхности в
точке1 О.
д) По уравнению (2)
трудно судить об области
расположения точек
поверхности относительно
системы координат. Для
изучения формы поверхности
применим метод сечений. Гиперболический параболоид пересекает
координатные плоскости соответственно по линиям:
Рис. 200.
а2 Ь2
7С\ — ?(JL A-Qj
х\= — 2b2x3
Первая кривая является парой прямых 1г и /2, рассмотренных
выше, а две другие —параболами. Они называются главными параболами
гиперболического параболоида. На рисунках 200, 201 эти кривые
выделены жирными линиями.
Предлагаем читателю по аналогии с п. 1 данного параграфа
самостоятельно убедиться в том, что карты поверхности на плоскостях
Рис. 201.
1 Можно доказать, что в общем случае, если М — точка поверхности, то
касательные ко всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через эту точку
лежат в одной плоскости. Она называется касательной плоскостью к поверхности в
данной точке М.
413
Iх*'
Рис. 202. Рис. 203.
Ох±х2, Охгх3 и Ох2х3 имеют вид, изображенный соответственно на
рисунках 200, 201, а) и 201, б). Гиперболический параболоид
изображен на рисунке 202.
3. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Для
исследования вопроса о наличии прямолинейных образующих
поступим так же, как в п. 3, § 63. Напишем уравнение поверхности (2):
(т+т)(т-тН** <7»
Рассмотрим две системы уравнений:
Здесь % и [х — произвольные параметры.
Точно так же, как в п. 3, § 63 можно показать, что при
всевозможных значениях параметров К и |х уравнениями (8) определяется одно
семейство прямолинейных образующих, а уравнениями (9) —другое.
Легко показать, что ни одна прямая первого семейства не совпадает
ни с одной прямой второго семейства. В самом деле, направляющие
векторы прямых (8) и (9) согласно теореме [51.1 ] имеют координаты:
[2 2 2JU Г 2 2 2рл
Р\ Ь' а ~7ъУ qW ~~a Ц>\
Эти векторы при любых значениях А, и и, не коллинеарны, поэтому
прямые (8) и (9) не могут совпасть.
Легко видеть, что вектор р при любом X параллелен плоскости
(б!), а вектор q при любом \л параллелен плоскости (62). Таким
образом, все прямолинейные образующие семейства (8) параллельны
плоскости (6Х), а прямолинейные образующие семейства (9)—плоскости (62).
Часть гиперболического параболоида с двумя семействами
прямолинейных образующих изображена на рисунке 203.
414
Глава XI
МНОГОМЕРНЫЕ АффИННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
§ 65. Многомерное векторное пространство
Настоящая глава посвящена изучению основ теории многомерного
пространства. В предыдущих главах мы изложили основные факты
аналитической геометрии двумерного и трехмерного пространств.
Изложение было основано на векторной алгебре трехмерного
пространства. При этом векторы были определены геометрическим путем
как направленные отрезки. Основные операции над векторами —
сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число также были
введены геометрическим путем. Однако это не помешало нам построить
теорию (векторную алгебру), в которой векторы играют роль
объектов, над которыми совершаются операции, подобные действиям над
числами.
При построении основ теории многомерной геометрии в настоящей
главе мы будем придерживаться той же схемы изложения, т. е.
сначала введем понятие многомерного векторного пространства, а затем
основные геометрические понятия. Но в отличие от предыдущего
многомерное векторное пространство будет введено аксиоматическим
путем.
Мы считаем, что учащемуся известны из курса алгебры основы
теории линейных векторных пространств. Однако для полноты
изложения ниже приведены аксиомы этого пространства и перечень
основных фактов, которыми мы будем пользоваться при построении
многомерной геометрии1.
1. Многомерное векторное пространство. Предположим, что даны
объекты двух видов — векторы и числа, которые
называются основными объектами. Относительно множества действительных
чисел известно, что оно удовлетворяет аксиомам действительных чисел.
Предположим, далее, что между числами и векторами установлены
определенные соотношения, а именно:
а) каждым двум векторам поставлен в соответствие третий вектор,
называемый суммой этих векторов;
1 Подробное изложение этих вопросов можно найти, например, в книге [4],
гл. I, или в книге [19], гл. I.
415
б) каждому вектору и каждому числу поставлен в соответствие
вектор, называемый произведением вектора на число или
произведением числа на вектор.
Эти основные соотношения вместе с основными объектами
называются основными понятиями.
Векторы и числа будем обозначать так же, как мы обозйачали их
в трехмерном пространстве; сумму векторов а и & обозначим через
а+ 6, а произведение вектора а и числа К через %а или а%. Знак
равенства для векторов означает, что разными символами обозначается
один и тот же вектор. Отсюда непосредственно следует, что если а — Ьу
то b = а и если а = Ь и & = с, то а = с.
Векторы, числа и соотношения сложения векторов и умножения
векторов на число удовлетворяют следующим аксиомам.
I. Аксиомы сложения:
1Х. Каковы бы ни были векторы а и &, имеет место соотношение:
а + b = b + a.
12. Каковы бы ни были векторы a, b и с, имеет место соотношение:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с).
13. Существует вектор 0, удовлетворяющий условию:
а + 0 = а,
где а — произвольный вектор.
14. Для каждого вектора а существует вектор —а,
удовлетворяющий условию:
а + (— а) = 0.
II. Аксиомы умножения:
Их. Для любого вектора а имеет место соотношение:
1 . а = а • 1 = а.
И2. Каковы бы ни были числа а, р и вектор а, имеет место
соотношение:
а фа) = (ар) а.
П8. Каковы бы ни были число а и векторы а и &, имеет место
соотношение:
а (а + 6) = аа + а&.
Н4. Каковы бы ни были вектор а и числа аир, имеет место
равенство:
(а + р) а = аа + Р# •
Совокупность векторов, удовлетворяющих перечисленным выше
аксиомам, называется линейным векторным пространством.
Необходимо подчеркнуть, что основные понятия — векторы, числа,
сложение векторов и умножение вектора на число являются в некотором
416
смысле неопределяемыми, исходными. Выводы из системы аксиом
делаются по правилам формальной логики, без использования каких
бы то ни было наглядных представлений, поэтому совершенно
безразлично, что именно подразумевать под основными объектами (вектор,
число) и основными соотношениями (сложение, умножение на число);
для нас важно лишь, чтобы основные понятия удовлетворяли
аксиомам, перечисленным выше.
Из сформулированных выше аксиом вытекает ряд следствий.
Отметим основные из них.
1°. Вектор О и вектор —а, о которых говорится в аксиомах 13 и
14, единственные.
2°. Для любого вектора а и любого числа X имеют место
соотношения:
а) — (— а) = а\
б) 0 • а = 0;
в) — а = — 1 (а);
г) X • 0 = 0;
д) если Ха = 0, то либо Я = 0, либо а =¦ 0.
3°. Для любых векторов а и & существует единственный вектор х%
такой, что а + х = &.
Вектор х, определяемый этим условием, называется разностью
векторов а и & и обозначается через Ь—а . Легко показать, что &—
— а = Ь + (— а).
Эти свойства мы не будем доказывать, предполагая, что они
известны из курса алгебры.
2. Линейная зависимость векторов. В линейном векторном
пространстве понятия линейной зависимости, линейной независимости и
линейной комбинации вводятся точно так же, как и в обычной
векторной алгебре (см. § 3, п. 1 и п. 2).
Отметим следующие свойства линейной зависимости векторов:
1) если система векторова19 а2, ..., ап линейно независима, то
любая ее часть также линейно независима;
2) система векторов, содержащая нуль, всегда линейно зависима;
3) если часть системы al9 a2i ..., ап линейно зависима, то вся
система линейно зависима,
4) для того чтобы система была линейно зависимой, необходимо и
достаточно, чтобы один из векторов данной системы являлся линейной
комбинацией остальных векторов.
Имеет место следующая теорема.
Теорема [65.1 ]. Если а1У а2, ..., ап — линейно независимая си-
стема векторов и каждый из них линейно выражается через Ь1У &2> •••>
Ьп , то система векторов Ь1У &2, ..., Ьп линейно независима и каждый
вектор этой системы линейно выражается через1 а1У а2У ..., ak.
3. я-мерное векторное пространство. Понятие линейной
зависимости векторов позволяет сформулировать третью группу аксиом:
См., например, [20], § 75.
I Hi. Существует n линейно зависимых векторов.
П12. Любая совокупность п + I векторов линейно зависима.
Система векторов, удовлетворяющая аксиомам 1х — I4, Hi — П4,
II1Х — III2, называется n-мерным линейным векторным
пространством и обозначается через Rn. Число п называется размерностью
этого пространства. Теоремы [1.2], [2.2] и [3.4] показывают, что
векторы обычного трехмерного пространства, рассмотренные нами в
главе I, удовлетворяют этим аксиомам при п = 3.
Всякая система п линейно независимых векторов называется
базисом пространства Rn. Следующая теорема в некотором смысле
оправдывает этот термин.
Теорема [65.2]. Если alt а2, ..., ап — базис пространства Rn,
то всякий вектор р этого пространства однозначно представляется в
виде:
р = %iai + %2а2 + ... + %пап. (1)
Доказательство. Рассмотрим систему а19 а2, •••» ап> Р-
Согласно аксиоме II12 эта система линейно зависима, т. е. существуют
такие числа а1У а2, ..., ап, Р, среди которых хотя бы одно отлично от
нуля, что ос1а1 + а2а2 + ... + апап + $р = 0. Очевидно, Р ф О,
так как в противном случае система alt а2,..., ап была бы линейно
зависимой. Разделив предыдущее соотношение на Р и вводя новые
обозначения, получаем:
р = \ах + Х2а2 + ... +Mir (2)
Мы показали, что вектор р линейно выражается через векторы
аг, а2, ..., ап. Остается показать, что коэффициенты этого выражения
определяются однозначно. Пусть, например, существуют другие
коэффициенты Х[, Х2, ..., Кп , такие, что
р = K[ai + Ua2 + ... + fknan. (3)
Вычитая из соотношения (2) соотношение (3), получаем:
(^ — %\) ах + (К2 —Х'2) а2 + ... + (1п — К)ап = 0.
Отсюда в силу линейной независимости векторов а19 а2У ..., ап будем
иметь:
\х = К\, Я2 = А#2» • • •» hn = kn.
Теорема доказана.
Доказанная нами теорема позволяет ввести понятие координат
вектора в пространстве Rn. Выражение (I) называется разложением
векторар по векторам alt a2y...,an, а коэффициенты этого разложения—
координатами вектора р в базисе а1У а2% ..., ап. Координаты вектора
обозначаются так:
р{аъ а2,... ,an}av ..%9aa.
418
Свойства координат векторов в пространстве Rn по существу
ничем не отличаются от свойств координат векторов в пространстве Rs,
рассмотренных в главе I. В частности, имеет место следующая теорема
о координатах линейной комбинации векторов.
Теорема [65.3]. Если вектор х является линейной
комбинацией векторов а, Ь, с, ..., й\
х = аа + $Ь + ус + ... + М,
то каждая координата вектора х в данном базисе равна той же
линейной комбинации координат соответствующих векторов, т. е.
х1 = aal + W + ус1 + ... + 8tf (*=!,..., п).
Здесь через {х\ х2, ..., хп), {а1, а2, ..., ап), ..., {rf1, d\ ..., dn)
обозначены координаты соответствующих векторов.
Доказательство этой теоремы по существу не отличается от
доказательства теоремы [4.2], поэтому мы его опускаем.
Так как сумма и разность двух векторов и произведение вектора
на число являются линейными комбинациями векторов, то из этой
теоремы вытекает, что следствия теоремы [4.2] (см. стр. 28)
справедливы для векторов пространства Rn.
В курсе алгебры доказывается так же следующая теорема.
Теорема [65.4]. Если дана система векторов аг, а2, ..., ап и
эти векторы в данном базисе имеют координаты:
<*! {flu, а12, ..., а1п), а2 {а21, а22, ..., а2п}, ..., ak {akl, ak2, ..., akn),
то ранг матрицы
/аи а12 ... а1п \
I a2i а22 ... а2п I
\akl ak2 • • • aktl J
равен максимальному числу линейно независимых векторов системы.
Из этой теоремы, в частности, вытекает
Следствие. Для того чтобы система п векторов в
пространстве Rn была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы
определитель, составленный из координат этих векторов, в любом
базисе был отличен от нуля.
4. Сокращенное обозначение суммирования. Условимся, что в
дальнейшем индексы i, j, k,... будут изменяться от 1 до п. Условимся
также, что во всех выражениях, в которых одинаковые индексы
встречаются и наверху и внизу, то по этим индексам предполагается
суммирование по всей области изменения этих индексов. Например,
выражение ai Ы понимается как сумма axbl + а2Ъ2 + ... + dn Ъп или
выражение а^ Ы с* понимается как сумма
ачЫс^\а^сК
4=1
419
Как будет видно из дальнейшего, это правило чрезвычайно удобно:
оно значительно сокращает записи формул1.
В дальнейшем вектор и его координаты будем обозначать одной и
той же буквой; координаты вектора будем отмечать индексами,
расположенными справа сверху. Например, координаты вектора х в
базисе еи е2, ... еп будем обозначать так: х1, х2, ..., хп.
Таким образом,
х = х^ех + х2е2 + ... + *пеп = х1ег
5. Преобразование координат векторов. Пусть еъ е2, • • • еп
и в\>, 02', ..., еП'—два базиса, а х — произвольный вектор
пространства Rn, имеющий в базисе е{ координаты {х1}, а в базисе е^
координаты {х{ }. Установим связь между числами х1, х2, ..., хп и хх\ х2\
..., хп\ Предположим, что известны координаты векторов еь' в базисе^:
е'{ = cV ei- (4)
По определению координат векторов имеем:
х= х*е(, х = х1'ev. (5)
Подставив во второе из этих соотношений выражение для е? из (4),
получаем: х = xl c1^ ev Сравнивая это соотношение с первым из
соотношений (5), в силу теоремы [65.2], будем иметь:
х1 = х1'с1?. (6)
В развернутом виде эти соотношения запишутся следующим
образом:
X1 = с\.Хк' + Oi'X1' + . . . + с\'Хп\
X2 = &Х1 ' + сЬх2' + . . . + Сп'Хп\ (6')
*« = cnvx{' + стх2' + ... + (%>хп\
Формулы (6) или (6') называются формулами
преобразования координат векторов.
Так как матрица, образованная из коэффициентов соотношений
(6'), невырожденная, то эту систему уравнений можно разрешить
относительно х1 и получить выражение координат х1 вектора х
в новом базисе через координаты х1 того же вектора в старом базисе.
6. Подпространства пространства Rn.
Подпространство м И? линейного векторного пространства Rn называется
совокупность векторов из Rn, которые сами образуют линейное векторное
пространство относительно уже введенных операций сложения и
умножения вектора на число. Очевидно, пространство, состоящее из
одного нулевого вектора, а также пространство Rn удовлетворяют
этому определению. Эти подпространства называются тривиальными.
1 Это правило впервые было введено Эйнштейном, поэтому называется
правилом суммирования Эйнштейна.
420
Остальные подпространства называются нетривиальными. Согласно
аксиоме III2 существует не более чем п линейно независимых
векторов. Отсюда следует, что размерность нетривиального
подпространства W меньше, чем п. В алгебре доказывается следующая теорема
о подпространствах.
Теорема [65.5]. Непустая совокупность векторов W
пространства Rn является подпространством, если выполнены следующие
два условия:
а) если вектор а принадлежит W, то вектор аа, где а —
произвольное число, также принадлежит W;
б) если векторы а и b принадлежат W, то вектор а + Ь
принадлежит W.
Следствие. Если at, а2, ..., ат — произвольные векторы
пространства Rn, то совокупность всех векторов вида
р = а1ах + а2а2 + ... + атат,
где а1, а2, ..., ат пробегают всевозможные действительные значения,
представляет собой подпространство пространства Rn, причем
размерность этого подпространства равна максимальному числу линейно
независимых векторов, содержащихся в системе alt а2, ..., ат.
Мы будем говорить, что подпространство W натянуто на векторы
aL, а2, ..., ат> гели W представляет собой совокупность- всех векторов,
являющихся линейной комбинацией данных векторов аг, а2, ...,^т-
Подпространство W, натянутое на эти векторы, будем обозначать так
{ах, а2, ..., ат).
Суммой подпространств W и W называется множество всех
векторов вида р = а + а', где а — произвольный вектор
подпространства W, а а' — произвольный вектор подпространства W. Сумма
подпространств обозначается так: W + W. В алгебре доказывается,
что сумма двух подпространств есть всегда подпространство, причем
если alf а2, ..., ат— базис подпространства W, а Ьг, Ь2, ..., Ьг— базис
подпространства W', то суммой этих подпространств является
подпространство, натянутое на векторы at, a2, ..., ат, Ьг, Ь2, ...&/.
Очевидно, сумма подпространств W и W есть подпространство
наименьшей размерности, содержащее как W, так и W.
Пересечением двух подпространств W и W называется
множество всех векторов, принадлежащих одновременно W и W.
Можно легко показать, что множества таких векторов образует
подпространство. Это подпространство обозначается так: W {] W.
Пересечением двух подпространств является подпространство наибольшей
размерности, содержащейся одновременно в подпространствах W и W.
Имеет место теорема.
Теорема [65.6 ]. Если Wt и Wm — два векторных
подпространства, a Wo и Wn соответственно сумма и пересечение этих
подпространств, то
I + tn = a + я,
где I, т, о,п — размерности соответствующих подпространств.
421
§ 66. Аффинное точечно-векторное пространство
Предыдущий параграф был посвящен обзору теории многомерных
векторных пространств. Там приведены основные теоремы и
определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Теперь мы
приступаем к изучению геометрии многомерного пространства.
1. Аксиоматика аффинного точечно-векторного пространства.
Основными объектами линейного векторного пространства являются
числа и векторы. Для построения точечно-векторного пространства
в число основных неопределяемых объектов мы включаем также т о ч-
к и, которые будем обозначать прописными буквами латинского
алфавита: Л, В, С, .... В число основных соотношений включаем
соотношение «инцидентности» или «принадлежности упорядоченной пары
точек и вектора». Введем аксиомы, описывающие основные свойства
вновь введенных основных понятий:
IVX. Существует по крайней мере одна точка.
IV2. Если две точки А и В заданы в определенном порядке, то
существует один и только один вектор а, такой, что пара Л, В
инцидентна вектору а.
Вектор а, инцидентный паре Л, В, обозначается так: АВ.
IV3. Если дана точка Л и произвольный вектор а, то существует
одна и только одна точка В, такая, что АВ = а.
IV4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, имеет место
соотношение1:
АВ +ВС = АС.
Эта аксиома называется «аксиомой треугольника».
Совокупность векторов и точек, удовлетворяющих аксиомам
\г — I4, Hi — И4, П11э HI2, IVi — IV4 , называется аффинным
n-мерным точечно-векторным пространством или просто п-мерным
аффинным пространством и в дальнейшем обозначается через2 Rn.
Сформулируем некоторые выводы, непосредственно вытекающие
из введенных выше аксиом.
Iе. В n-мерном аффинном пространстве существует бесчисленное
множество точек.
2°. Если точки А и В совпадают, то АВ = 0; если же А не совпа*
дает с В, то АВ ф 0.
1 В аксиомах IV2 — IV4 точки Л, в и С не обязательно различные.
2 Как было отмечено выше, числа, рассматриваемые в данной главе,
предполагаются действительными, поэтому пространство Rn является аффинным
действительным пространством. Если предположить, что числа комплексные, то мы получаем
аксиоматику аффинного комплексного пространства. Подробнее см. [4].
422
Зэ. (Свойство параллелограмма.) Если Л, В, С,
D — произвольные точки, удовлетворяющие условию А В = CD, то
BD = АС.
4°. Ясли пара точек А и В инцидентна вектору а, то пара точек
В и А инцидентна вектору — а.
5°. Если Аг, А2, ..., Ak — произвольные точки, a AtA2 = аг,
A^AZ = а2, ..., Ak^Ak = а^х, mo A^Ak = аг + ... + я^.
Все эти свойства непосредственно выводятся из
сформулированных выше аксиом. Для примера рассмотрим доказательство свойства
Зэ. Рассмотрим тройку точек В, С, D и применим к ним аксиому IV4.
Имеем:
вЬ + CD = BD,
или
CD +BC = BD.
Так как АВ = CD, то из этих равенств следует, что АВ + ВС =»
= BD, или АС = SD.
2. Координаты точек в /г-мерном аффинном пространстве. Теперь
перейдем к определению координат точек Rn.
Зафиксируем некоторую точку О пространства и назовем ее
началом координат. Если А — произвольная точка пространства, то
согласно аксиоме IV2 однозначно определяется вектор О А, называемый
радиус-вектором точки Л. Обратно, если а—произвольный вектор,
то согласно аксиоме IV3 существует одна и только одна точка Л,
удовлетворяющая условию ОА = а. Таким образом, устанавливается
взаимно однозначное соответствие между точками и векторами. Точке
О ставится, очевидно, в соответствие вектор 0.
Если в пространстве, кроме точки О, зафиксирован базис е1У ег,...,еп,
то в этом случае, как было показано выше, каждому вектору
ставится в соответствие п чисел, взятых в определенном порядке
(координаты вектора). И обратно: какова бы ни была система п чисел, взятая
в определенном порядке, существует вектор, имеющий эти числа
своими координатами.
Совокупность точки О и базиса еи е2, ..., еп называется системой
координат пространства Rn и обозначается так: Ое{. Точка О
называется началом координат, а векторы ег, е2, ..., еп — координатными
векторами. Координатами точки N в системе Ое] называются
координаты радиус-вектора ON в базисе е1У ег, .¦., еп> т. е. коэффициенты
разложения:
ON = х>ех + х2е2 + ... + хпеп
При этом пользуются обозначениями, обычными для трехмерного
пространства: N (я1,*2, ¦.., хп) или N (х1).
423
Имеется полная аналогия между понятиями координат точки в
трехмерном и /г-мерном пространствах. В частности, числа (0, 0, ..., 0),
(1, 0, ..., 0), ... (0, 0, ..., 1) являются координатами точки О и точек
Е19 Е2, ..., Еп, удовлетворяющих условиям:
ОЕх = ег, ОЕ2 = е2, ..., ОЕп = еп.
3. Преобразование координат точек. Рассмотрим вопрос о
преобразовании координат точек пространства Rn. Этот вопрос решается
точно так же, как и аналогичный вопрос в пространствах R2 и R3
(см. § 11, п. 1 или § 60, п. 2).
Пусть Oei и 0'ес. — две системы координат пространства Rn,
причем О' и векторы ?г,...,?п' заданы в системе Оеь своими
координатами: О' (лго, Хо, ..., xq), ее = 4'?/. Пусть точка М в системах Oet и
0'ev имеет соответственно координаты (л;') и (х). Установим связь
между этими координатами. Из аксиомы IV4 следует, что
ОШ = <УО + ОМ или г' — г = (УО, (1)
где г = (Ж и г' = O'/W. Так как г' = х eL, = x clrel9 r = х1е1У
О'О = — xo^t, то из соотношения (1) получаем:
х1' cret = л:^- — x\>et.
Отсюда, учитывая, что векторы е1% е2,..., еп линейно независимы,
получаем следующие соотношения:
Х1 = с1гхг + xq (t= 1, 2, ...,я). (2)
Эти формулы называются формулами
преобразования координат точек пространства Rn . При п =
= 2 они в точности совпадают с формулами (3), § 11, а при п = 3 —
с формулами (4), § 60.
В заключение этого пункта отметим, что невещественные образы в
пространстве Rn могут быть введены по аналогии с тем, как это
вводилось в /?2 и /?3 (см- п- 6, § 11 и п. 3, § 60). Здесь никаких
принципиальных трудностей не возникает, поэтому мы изложение этого
вопроса опускаем. Невещественные образы могут быть введены также
аксиоматически. Полную теорию этого вопроса читатель может найти
в книге [41.
4. Две простейшие задачи. Рассмотрим две задачи, аналогичные
задачам 1 и 2, § 10 или задачам 1 и 3, § 42.
Задача 1. Даны две точки своими координатами в системе OeL:
А (х1) и В (у1). Определить координаты вектора АВ.
424
Решение. Очевидно, АВ= ОВ — ОА. Но OAylOB — радиус-
векторы точек Л и В, поэтому их координаты известны: О А {х1} и
ОВ {у1}. Таким образом, вектор АВ как разность векторов ОВ и О А
имеет координаты:
АВ {у1 — х1, у2 — х2, ..., уп — хп}.
Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих
координат конца и начала вектора.
Совокупность двух различных точек А и В называется отрезком
с концами А и В и обозначается через АВ. Если концы отрезка
заданы в определенном порядке, то отрезок называется
направленным. Будем говорить, что точка М делит направленный отрезок А В
в отношении X, если AM = X MB. Так как точки А и В различны, то
Хф—1, поэтому из предыдущего соотношения получаем: AM =
X —**
= АВ. Отсюда следует, что для любого X, не равного — 1, сущест-
1 -f- A
вует одна и только одна точка, делящая отрезок АВ в отношении X.
Задача 2. Пусть в системе 0et даны две различные точки
своими координатами: А (х\) и В (xj). Определить координаты точки М,
которая делит отрезок АВ в отношении X Ф — 1.
Решение. Решение этой задачи ничем не отличается от реше-
ния аналогичной задачи для R2 (см. задачу 2 § 10). Если гъ г2кг
соответственно радиус-векторы точек А, В и М, то легко показать,
что r= -ri ~*~ Г2 . Пользуясь теоремой [65.3], получаем:
1 —)— А,
Хх2
1 +Х
(i=l, 2, ..., п). (3)
Мы получили обобщение соответствующих формул для R2 и R2.
При X = 1 точка М называется серединой отрезка АВ. Из
(3) следует, что координаты середины отрезка равны полусуммам
соответствующих координат концов отрезка.
5. Геометрия пространства Rn как геометрия группы аффинных
преобразований. В главах IV и V мы подробно изучили теорию
аффинных преобразований плоскости. Эта теория была построена на основе
изучения свойств линейных преобразований векторов. Основные,
принципиальные вопросы, рассмотренные в этих главах, по существу
не зависят от размерности пространства и могут быть полностью пе-
ренесены на пространство Rn. В этом читатель мог убедиться на
примере теории линейных преобразований векторов, которая изучается
в алгебре. В частности, весь материал § 23, за исключением
приведенных там конкретных примеров преобразований точек плоскости,
полностью переносится на пространство Rn. Например, определение
425
ассоциированных преобразований и преобразования, сохраняющего
равенство векторов, а также теорема [23.1], связывающая эти
понятия, имеют место в Rn.
Аффинным преобразованием точек пространства Rn называется
любое взаимно однозначное преобразование, обладающее следующим
свойством: если точка М делит отрезок АВ в отношении А,, то ее образ
М' делит образ А*В' отрезка АВ в том же отношении К
Мы видим, что это определение в точности совпадает с определением,
данным в п. I, § 24. Все свойства аффинных преобразований,
рассмотренные в § 24, имеют место для Rni так как при доказательстве этих
свойств мы нигде не пользовались тем, что векторы и точки
принадлежат пространству R2. To же замечание относится к содержанию § 31.
Из теоремы [31.7] следует, что множество всех точечных
аффинных преобразований пространства Rn образует группу, поэтому в
соответствии с определением геометрии, данным в § 31, мы можем
утверждать, что геометрия пространства Rn, построенная на
аксиомах 1^4, IIx-4» IHi-2 и IV1_4, есть геометрия группы аффинных
преобразований этого пространства.
§ 67. k -плоскость и ее уравнение
1. Система линейно независимых точек. Пусть дана система точек
М0, ML, M2i ..., Мп. Покажем, что если векторы
ЛУИХ, ЛУИ2, ..., ЛУИ„ (1)
линейно независимы, то векторы
М~М0> M~ML, ..., M~X-i> мД+1, ..., М$1т, (2)
где i > 0, также линейно независимы. Для этого покажем, что все
векторы системы (1) линейно выражаются через векторы системы (2).
В самом деле, согласно аксиоме IV4 имеем:
М^\х = мХ + ММ, = (—1)mJwo + М*МЪ
М^М2 = ЛСМ> + MtM2 = MJA2 + (-1) M*MQ,
м0м^(-1)мд
М0Мт = ММ + MLMm = MtMm + (-1) М,М0.
Из теоремы [65.1 ] следует, что система (2) линейно независима.
Доказанное предложение позволяет ввести следующее
определение. Система точек М0, М19 ..., Мт называется линейно независимой
или просто независимой, если система векторов (1) линейно независима.
42S
Система точек, не являющаяся линейно независимой, называется
линейно зависимой.
Из доказанной леммы следует, что в этом определении выбор точки
М0 не существен, т. е. в качестве начальной точки может быть взята
любая точка системы.
Если система точек УИ0, М1? ..., Мт линейно независима, то любая
ее подсистема также линейно независима. Кроме того, из аксиом II1L,
III2 вытекает, что в пространстве Rn существует п + 1 линейно
независимых точек, и всякая система, состоящая из большего числа,
чем п + 1, точек, линейно зависима. Система точек, состоящая из
двух точек, линейно независима в том и только в том случае, если
точки не совпадают. В трехмерном пространстве система, состоящая
из трех точек, линейно независима тогда и только тогда, когда точки
не лежат на одной прямой.
2. й-плоскость. Пусть А — некоторая точка пространства, а
Wk есть fe-мерное векторное подпространство. Совокупность всех
точек М пространства, удовлетворяющих условию AM a Wk, а также
всех векторов подпространства Wk, называется k-n ловкостью^
определяемой точкой А и подпространством Wk, и обозначается так:
{A, Wk}, или простоnk. При fe=l ^ называемой прямой, а при k=*
= п — 1 — гиперплоскостью. Точки этой совокупности, а также
векторы подпространства Wk называются точками и векторами fe-плос-
кости-, a Wk — векторным подпространством плоскости. Точка А
называется начальной точкой. Из определения следует, что начальная
точка принадлежит плоскости, так как АА = 0 принадлежит Wk.
Легко видеть, что плоскость nk имеет бесчисленное множество
точек, среди которых содержится хотя бы одна система (k + 1) линейно
независимых точек. В самом деле, если ненулевой вектор Ъ ? Wk, то,
очевидно, точка В, определяемая условием АВ = &, принадлежит
плоскости яА, причем линейно независимым векторам соответствуют
различные точки. Так как Wk имеет хотя бы один базис еи е2, ..., ekt
то точки Л, Еъ ..., Ek, где АЕХ = ег, ..., AEk = ek, линейно
независимы.
Легко показать, что в определении ^-плоскости выбор начальной
точки несуществен, т. е. любую точку плоскости nk можно считать
начальной. В самом деле, покажем, что если В с: {Л, Wk}, то
плоскости {В, Wk) и (Л, Wk} совпадают.
Обозначим через пк и nkf соответственно плоскости {Л, Wk) й
{В, Wk}. Пусть М — произвольная точка плоскости jv Это означает,
что вектор AM ? Wk. Но точка В ? {Л, Wk}, поэтому АВ также
принадлежит Wk. Применяя аксиому 1У4 к точкам Л, В и УИ, получаем:
Ж = АВ + ВМ, (3L)
ВМ = AM + EX. (3J
427
Так как АВ ? Wki то ВА ? B7fe. Из соотношения (32) заключаем,
что ВМ ? Й7А, т. е. Л4 является точкой плоскости я*'. Пусть теперь
М — точка плоскости пк'. Это означает, что ВМ ? ИРЛ, но из
соотношения (3А) следует, что AM ? И7Л, т. е. М — точка плоскости
{Л, Wk}.
3. Геометрические способы задания ^-плоскости. Для задания
fe-плоскости необходимо иметь некоторую ее точку А и
подпространство Wk. Так как подпространство Wk однозначно определяется
заданием k линейно независимых векторов е1У е2, ..., ek, принадлежащих
Wk, то плоскость однозначно определяется заданием некоторой точки
Л'и k линейно независимых векторов этой плоскости. Можно доказать
обратно предложение.
Теорема [67.1 ]. Каковы бы ни были точка Auk линейно
независимых векторов elt е2, ..., eki существует одна и только одна
k-плоскость, содержащая точку А и векторы еъ е2, ..., ek.
Доказательство. Рассмотрим подпространство Wk,
натянутое на векторы е1У е2, ..., ek. Очевидно, плоскость {Л, Wkj
является искомой. Докажем, что она единственная. Пусть, например,
плоскость {Bf Fk) содержит точку Л и векторы е1У е21 ..., ек. Эти
векторы принадлежат Fk и Wk, поэтому Fk совпадает с Wk. С другой
стороны, точка Л ? {В, Fk). Отсюда следует (см. п. 2), что эта
плоскость совпадает с плоскостью {Л, Wk}. Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно следует.
Теорема [67.2]. Каковы бы ни были k + 1 линейно
независимых точек М0, Мг, ..., Mki существует одна и только одна плоскость
ял, содержащая эти точки.
Доказательство. Введем в рассмотрение векторы ех —
= М0М1У е2 = М0М2, ..., ek = M0Mk. Пусть Wk —
подпространство, натянутое на эти векторы. Очевидно, плоскость (УИ0, Wk}
содержит все точки М0, Ми ..., Mk. Эта плоскость единственная, так
как любая другая плоскость, содержащая эти точки, должна
содержать точку М0 и векторы elt e2, ..., ek. Но согласно предыдущей
теореме этими данными плоскость определяется однозначно.
Следствие. Каковы бы ни были п линейно независимых точек,
существует одна и только одна гиперплоскость, проходящая через эти
точки.
4. Прямые пространства Rn. Понятие «лежать между». Выше
было отмечено, что прямой называется 1-плоскость, поэтому из
последних двух теорем следуют предложения:
Г. Если даны точка Л и ненулевой вектор е, то существует одна
в только одна прямая, содержащая точку Л и вектор е.
2°. Если даны две различные точки Мх и М2, то существует одна
в только одна прямая, содержащая эти точки.
Пусть Л и В — две различные точки прямой /. Покажем, что если
точка М делит отрезок АВ в отношении \Ф — 1,тоЛ1 ? /.В самом
428
деле, из соотношения AM = ХМВ после элементарных
преобразований получаем:
АМ = —АВ. (4)
Х + 1 v '
Так как АВ ^ /, то М ^ /. Предлагаем читателю самостоятельно,
пользуясь соотношением (4), показать, что имеет место обратное
предложение: каждая точка М прямой, за исключением точки В, делит
отрезок АВ в некотором отношении X.
Будем говорить, что точка М лежит между различными точками
А и В, если М делит отрезок АВ в отношении А,, где X > 0. Из
соотношения AM = К MB получаем: ВМ = — МЛ, т. е. если М делит
А.
отрезок АВ в отношении А,, то М делит отрезок ВА в отношении —.
а
Отсюда следует, что понятие «лежать между» не зависит от порядка
точек Л и В. Из соотношения (4) следует, что существует бесчисленное
множество точек, лежащих между Л и В. Эти точки называются
внутренними точками отрезка АВ.
5. Аналитическое задание ^-плоскости. Из теоремы [67.1] следует,
что плоскость nk однозначно определяется заданием точки Auk
линейно независимых векторов а1У а2, ..., ak, принадлежащих этой
плоскости. Если в пространстве выбрана система координат, то точка
Л и векторы аг, а2, ..., a>k будут иметь координаты:
А(х1 xl, ..., xg), ^{al al ..., а"},
a2{al, fl2, ..., я5}, ..., ak {ak, ak, ..., a*}.
Пусть M (a:1, x2, ..., xn) — произвольная точка плоскости. Она
принадлежит плоскости nk тогда и только тогда, когда вектор AM
принадлежит подпространству Wk этой плоскости, т. е.
AM = агР- + a2t2 + ...+- al
Запишем это условие в координатах.
Вектор AM имеет координаты: х1 — *о, я2 — *о» •••» *л— *о»
поэтому
(х1 = xlQ + Ра\ + t2a\ + ... + <*fli,
U2 = xl + Ы + Ы + ... + Ы,
хп = xl + ра« + t2an2 + ... + t*c&.
(5)
Эти соотношения называются «параметрическим заданием
плоскости». Их смысл заключается в следующем: если точка М (х1, х2, ..., хл)
принадлежит плоскости, то всегда найдутся такие параметры t1, t2...y tk,
что, подставив эти параметры в соотношение (5), мы получим
координаты точки М. Обратно, каковы бы ни были параметры t1, t2, ...
429
..., tk, подставив их в соотношения (5), получаем координаты
некоторой точки плоскости.
Так как векторы alt аъ ..., ak линейно независимы, то матрица-
составленная из коэффициентов при tl, ?2,..., tk в соотношениях (5)f
имеет ранг k. Если определитель, составленный из коэффициентов
первых k равенств, не равен нулю, т. е.
а\
1
а\ ..
а\ .
?=0,
(6)
то из равенств (5) можно однозначно определить параметры lx% Ру ...
...,/*. Подставив их значения в оставшиеся п — k соотношений, мы
получим п — k независимых линейных уравнений, связывающих
координаты точки М. Эти соотношения могут быть записаны в следующем
виде:
[ xk+1 — bixxl — b12x2 —... — blkxk — bl0 = 0,
n — k
k*fc+2.
^2\X ^22^ — ••• ^2k^ — ^20 — ^>
(7)
*n - bn-k,i xl - bn-k,2 *2 - - - &Л-Л, k*k - Ьл-м = 0.
Точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда
координаты ее удовлетворяют соотношениям (7). Они называются
уравнениями плоскости nk. Итак, мы пришли к следующему важному вы-
воду: каждая k-плоскость в пространстве Rn может быть определена
системой п —k независимых линейных уравнений. В частности,
гиперплоскость определяется одним уравнением:
аххх + а2х2 + ... + апхп + а0
0.
6. Общие уравнения плоскости Имеет место теорема, обратная
предыдущей.
Теорема [67.3 ]. Пусть
[ anxl + ci12x2 + ... + а1пх* + а10 = 0,
2i^ + а22х2 + ... + а2пх" + а20 = 0,
, (8)
I аЛ-Л,1 х1 + аа-м х2 + ... + an_kin x* + ая_л, 0 = 0
— совместная система п — k независимых линейных уравнений. Если
в пространстве выбрана система координат Ое1У то множество всех
точек пространства, координаты которых удовлетворяют этой сие-
теме, есть некоторая k-плоскость.
Доказательство. Так как данная система (8) совместна
и линейно независима, то матрица, составленная из коэффициентов
при х1, х2, ..., хп, имеет ранг п — k. He нарушая общности, можно
допустить, что определитель, составленный из коэффициентов при
xk+1, xk*2, ..., хп, отличен от нуля. Решив данную систему
относительно этих переменных, получаем:
430
х*" = Ьих* + .- + Ь1кх* + Ь..
**** = Ь21х* + ... + b2kx* + b,
х» = bn_ki lX* + ... + 6П_-Л>Л **+ &а_*,0.
Вводя обозначения: х1 = f1, ..., хк = **, получаем соотношения:
( х1 = **,
х2 = *2,
Xй = Я
**" = М1 + ... + 61Л*» + 610, (9)
Xk + 2 = М1 + - + b2ktk + &20>
I х- = b„_ft, ^ + ... + &nHkt ^ + &П-Л, 0.
Рассмотрим плоскость nk> начальной точкой которой является точка
М0 (0, 0,..., 0, bkQ,..., bn_kj 0), содержащую векторы я1? а2, ..., яй1
координаты которых определяются соответственно коэффициентами
при tl, t2, ..., tk в соотношениях (9). Эта плоскость согласно
соотношению (5) имеет параметрические уравнения (9). Из алгебраических
преобразований, приведенных выше, следует, что координаты точек
этой плоскости и только точек этой плоскости удовлетворяют
системе (8). Теорема доказана.
Соотношения (8) называются общими уравнениями &-
плоскости. ^
Следствие. Множество точек пространства Rni координаты
которых в некоторой системе координат Oet удовлетворяют
уравнению агх1 + а2х2 + ... + апхп + а0 = 0, где не все коэффициенты
alf a2> •••» ап одновременно равны нулю, есть гиперплоскость.
Рассмотрим простой пример составления уравнений плоскостей.
Если Oet — данная система координат, то согласно теореме [67.11
существуют прямые, содержащие точку О и соответственно векторы
е19 е2, ..., еп\ 2-плоскости, содержащие точку О и соответственно пары
векторов ег, е2\ ех, е3; ...; еп-19 еп\ (п — 1)-плоскости, содержащие
точку О и соответственно п— 1 векторов: elf е2> .¦., en-v •••"> еи
ег, ..., еп. Эти плоскости называются координатными
плоскостями. Координатная прямая Оеь имеет уравнения: х1 = 0, ...
..., х1~1 = 0, xi+i = 0, ..., хп = 0. Координатная гиперплоскость
Оег, е2, •.., еп-\ имеет уравнение хп= 0. Аналогично можно записать
уравнения остальных координатных гиперплоскостей: хп~* = 0;
X*-2 = 0; ...; х1 = 0.
В заключение сформулируем следующий критерий
принадлежности вектора плоскости, которым часто пользуются при решении задач.
Теорема [67.4]. Для того чтобы вектор р, заданный своими
координатами {р1, р2, ..., рп), принадлежал плоскости, заданной
общими уравнениями (8), необходимо и достаточно, чтобы координаты
вектора р удовлетворяли соотношениям:
431
anp' -j- аир" + ... + а1л/Я = О,
a2iP' + й22Р2 + •• • + а2пр« = О, (10)
«n-ft, хР\ + an-kt2p2 + ... + an_k>npn = 0.
Эта теорема является обобщением теоремы [47.2] на пространство
Rn. Ее доказательство мы опускаем, так как по существу оно
проводится точно так же, как и доказательство теоремы [47.21.
Отметим, что множество всех точек, а также всех векторов плос-
'"Чу
кости удовлетворяет всем аксиомам пространства Rn, поэтому можно
утверждать, что всякая k-плоскость есть k-мерное аффинное
пространство,
§ 68. Взаимное расположение многомерных плоскостей
1. Пересечение двух плоскостей. Для дальнейшего изложения
удобно считать, что каждая точка является нульмерной плоскостью. Это
соответствует общему определению плоскости, так как в данном
случае можно считать, что подпространством плоскости является
нульмерное подпространство.
Пусть nf и nk — две плоскости, имеющие хотя бы одну общую
точку Л. Если подпространствоо Ws принадлежит одновременно
подпространствам Wf и Wk данных плоскостей, то ns{A, Ws)
принадлежит плоскостям nf unk. В самом деле, пусть М? ns. Это означает,
что вектор AM принадлежит Ws. Так как Ws cz Wk, то AM ? Wk,
т. е. М ? nk. Аналогично доказывается, что М ? nf.
Пересечением двух плоскостей nk и пт называется множество всех
точек и всех векторов, принадлежащих одновременно плоскостям^ и
ят. Легко показать, что если две плоскости имеют хотя бы одну
общую точку Л, то пересечением этих плоскостей является некоторая
плоскость ns, где1 min (&, т) > s > 0. В самом деле, пусть Ws —
пересечение подпространств данных плоскостей Wk и Wm, Очевидно,
s заключено в пределах: min (?, m) > s > 0.
Плоскость {Л, Ws) согласно предыдущему принадлежит как nki
так и ят. Обратно, любая общая точка и любой общий вектор
плоскостей nk и ят, очевидно, принадлежит этой плоскости. Таким
образом, доказана следующая теорема.
Теорема [68.1 ]. Если плоскости nk и пт имеют по крайней
мере одну общую точку Л, то эти плоскости имеют общую плоскость
ns, определяемую точкой А и подпространством Ws, где
Ws=Wk()Wm.
Эта теорема, очевидно, справедлива также при s = 0. В этом случае
пересечением плоскостей будет одна точка.
1 Через min (k, m) обозначается наименьшее из чисел k или т.
432
2. Степень параллельности двух плоскостей. Пусть nk и пт—две
плоскости, где т ^ &, и Ws — векторное подпространство
максимальной размерности, принадлежащее их подпространствам Wk и Wm.
Подпространство Ws называется подпространством параллельности
плоскостей nk и ят, а размерность s этого пространства индексом па-
S
раллельности этих плоскостей. Число / = — называется степенью
s
параллельности данных плоскостей. Очевидно, / = — < 1. Если
k
плоскости не имеют ни одной общей точки и s = k, т. е. если / = 1, то
плоскости называются полностью параллельными; если же плоскости
не имеют ни одной общей точки и / = 0 — скрещивающимися.
Из предыдущих определений следует, что возможны следующие
случаи взаимного расположения двух плоскостей nk и пт (k < m) про-
странства Rn:
Г. Плоскости nk и лт имеют единственную общую точку А (I = 0).
2°. Плоскости nk и лт пересекаются по некоторой плоскости ns>
где k > s > 0 (0 < / < 1).
3°. Плоскость nk принадлежит плоскости пт (I = 1).
4°. nk и кт частично параллельны, т. е. не имеют общих точек и
0</< 1.
5°. nk и пт полностью параллельны, т. е. не имеют общих точек и
/ = 1.
6°. nk и пт скрещиваются, т. е. не имеют общих точек и / = 0.
Отметим, что в R3 для данной пары плоскостей все шесть случаев
не могут иметь места. Так, для прямой пх и двумерной плоскости л2
имеют место только случаи 1°, 3°, 5°; для двух прямых п1 и щ —
случаи Г, 3°, 5° и 6°; для двух двумерных плоскостей я2 и п'2 — случаи
2°, 3° и 5°.
3. Критерий пересечения двух плоскостей. При исследовании
вопроса о взаимном расположении двух плоскостей существенно иметь
критерий пересечения плоскостей и определения размерности
плоскости, по которой они пересекаются. Рассмотрим этот вопрос в
предположении, что плоскости заданы двумя способами: а) общими
уравнениями; б) точкой и подпространством.
а) Критерий пересечения двух плоскостей,
заданных общими уравнениями. Пусть в системе
Оеь плоскости nn_k и ппЫ заданы общими уравнениями:
(ЯЛ_Л)
(аих1 + а10 = 0,
\<*мх*+ам = 0;
М1 + ью = 0,
Щ^+Ь10 = 0.
Рассмотрим систему 2> состоящую из всех k + I уравнений двух
систем (1). Плоскости nn_k и ппЫ пересекаются тогда и только тогда,
433
когда система 2 совместна, т. е. когда г — R, где г и R — ранги
основной и расширенной матриц этой системы. В этом случае уравнения
системы 2 являются уравнениями плоскости я; пересечения плоскостей
зтп_? и лпЫ; размерность этой плоскости равна п — г. Мы пришли к
следующей теореме.
Теорема [68.21. Пусть в системе координат 0et плоскости
Jtn_ft и stn-i заданы системами уравнений (1). Если 2 — система
уравнений, состоящая из всех уравнений двух систем (1), а г и R — ранги
основной и расширенной матриц этой системы, то плоскости nn^k и
зхп_/ пересекаются тогда и только тогда, когда г = R. В этом случае
размерность плоскости пересечения равна п — г.
Пример. В пространстве /?4 заданы две плоскости размерности
два общими уравнениями:
Выяснить их взаимное расположение.
Решение. Основная и расширенная матрицы системы 2»
состоящей из всех четырех уравнений, имеют вид:
,0 0 2 К /0 0 2 10ч
0 0 1 —1\ /0 0 1—1 0\
1 —1 0 0 1-10 0 0
Ч 3 0 0/ \4 3 0 0 0/.
Легко видеть, что ранги этих матриц равны четырем, поэтому
плоскости пересекаются в точке. Этой точкой будет начало координат.
б) Критерий пересечения плоскостей,
заданных точкой и подпространством. Докажем
следующую теорему:
Теорема [68.3 ]. Пусть nmunk — две плоскости, Wm и Wk —
их векторные подпространства, a WG— сумма Wm и Wk. Для того
чтобы плоскости пт и nk пересекались, необходимо и достаточно,
чтобы существовали точки А и В, удовлетворяющие условиям:
Ас=пт, Бс=дА, AB?We. (2)
Если эти условия выполнены, то данные плоскости пересекаются по
некоторой плоскости размерности т + k — а.
Доказательство. Необходимость очевидна, так как, если
плоскости ят и Kk пересекаются, за точки А к В можно взять одну из
их общих точек. В этом случае АВ = 0, поэтому АВ ? W9.
Докажем достаточность условия. Так как АВ ? WQ, то
существуют векторы р и q, такие, что /?? Wm, q ? Wh и р + q = АВ.
Возьмем точки S1 и 52 так, чтобы ASX = р, S2B = q. Очевидно,
434
$i ? ят» S2 ? ял. С другой стороны, Л5Х + 52В = Л В или ASj ==»
= Л В + &S2 = AS2. Отсюда следует, что точки St и S2 совпадают,
поэтому плоскости Ji^ и ят пересекаются.
Перейдем к доказательству последней части теоремы. Если р —
индекс параллельности плоскостей ят и пк, то согласно теореме [68.11
пересечение данных плоскостей есть р-мерная плоскость; при этом
согласно той же теореме число р есть размерность пересечения Wm
и Wk, поэтому р = т + k — о (см. теорему [65.6]).
Следствия. Г. Если сумма подпространств Wa данных
плоскостей ят и nk совпадает с Rni то плоскости пересекаются..
В самом деле, в этом случае для любых двух точек А и В,
принадлежащих соответственно плоскостям ят и ял, имеем: АВ ? We.
2°. Пусть А и В — точки, принадлежащие соответственно
плоскостям ят и яА, a Wq — сумма подпространств этих плоскостей.
Если АВ $ Wa, то данные плоскости не пересекаются.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
существует такая точка М0, что М0 ? ят f) ял. Так как ЛМ0 ? №а,
М0В ? №<,, то АМ0 + М0В = АВ ? Wq. Мы пришли к
противоречию.
Пример. Выяснить взаимное расположение прямой ях и гипер-
плоскости я4 пространства R5:
К) х1 = t, х2 = 2t, x? = 4* — 1, х4 = —2, х5 = —3/ + 2,
(я4) З*1 — 2л:2 +*3 +Х5 + 1 = 0.
Решение. Прямая яг имеет направляющий вектор р {1, 2,4,0,-3}.
Из теоремы [67.4] следует, что р ? tt^4. Здесь ^ —
подпространство плоскости я4. Таким образом, WG совпадает с \F4. Так как
начальная точка прямой (0, 0, —1, —2, 2) не лежит в плоскости я4,
то согласно следствию 2° ях и я4 не пересекаются. В силу условия
р ? №4 они полностью параллельны.
4. Взаимное расположение двух прямых пространства Rn. Из
выводов п. 2 следует, что если / — степень параллельности данных двух
прямых, то возможны только два случая: / = 0 и / = 1. Поэтому для
двух прямых 1г и /2 в пространстве Rn возможны только четыре случая
взаимного расположения:
1°. Прямые пересекаются в единственной точке (/ = 0).
2°. Прямые скрещиваются (/ = 0).
3°. Прямые совпадают (/ = 1).
4°. Прямые полностью параллельны (1 = 1).
Важно отметить, что случай скрещивания прямых невозможен,
если п < 3. Это непосредственно следует из следствия Г теоремы
[68.3]. Таким образом, в плоскости R2 имеется три случая взаимного
расположения прямых. Этот факт хорошо известен из курса
элементарной геометрии.
435
В заключение предлагаем читателю доказать следующее интерес
ное предложение: каковы бы ни были две прямые 1Х и /2,
принадлежащие пространству Rn, всегда существует трехмерная плоскость,
которой принадлежат эти прямые (здесь п>3).
§ 69. Многомерное евклидово пространство
1. Аксиомы евклидова пространства. Аффинное пространство
Rn, рассмотренное в предыдущих параграфах, не аналогично
трехмерному евклидову пространству, так как в Rn отсутствуют такие
фундаментальные понятия, как длина отрезка, длина вектора, угол
между векторами, перпендикулярность и т. д. Введем несколько
дополнительных аксиом, которые совместно с предыдущими аксиомами
определят многомерное пространство, которое является
естественным обобщением трехмерного евклидова пространства.
Линейное векторное пространство называется евклидовым, если
каждым двум векторам а и Ь этого пространства поставлено в
соответствие число а, называемое скалярным произведением
этих векторов.
Скалярное произведение обозначается так: а = ab. Оно
удовлетворяет следующим аксиомам:
Vx. Для любых векторов а и b имеет место равенство: ab = Ьа.
V2. Для любых векторов а, & и с имеет место равенство: а ф + с) =
= ab + ас.
V3. Для любых векторов а, Ь и любого числа а имеет место
равенство: (аа) Ь = a (ab).
V4. Если а ф О, то аа > 0.
Евклидово векторное пространство будем обозначать через Еп.
Прежде всего отметим, что утверждение аксиомы V2 легко
распространить на любое конечное число слагаемых, т. е. для любых
векторов a, blt ..., bk имеем а(Ьг + ... + bk) = аЬг + ... + abk.
Далее, из аксиомы V3 для любого вектора а получаем: 0 • а =
= (0 • Ь) а = 0 фа) = 0. Поэтому 0 • а = 0. Из аксиомы V4 следует,
что аа >- 0, причем аа = 0 тогда и только тогда, когда а=0. Отсюда
следует, что число Yaa всегда действительное. Это число называется
модулем вектора а и обозначается так: | а |. Если а ф 0,
то аа > 0, поэтому | а \ ф 0. Вектор а называется единичным,
если | а | = 1.
Из сформулированных аксиом вытекает ряд простых следствий:
Г. Если а = 0, то | а \ = 0, если а ф 0, то \а \ф0.
2°. Если& = Яа,то \Ь\ = \Ц\а\.
Доказательства этих свойств мы опустим, так как они известны из
курса алгебры.
2. Ортогональность. Векторы а и b называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно нулю. Из этого определения
следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору
пространства.
436
Система ненулевых векторов ах, a2i ..., ап называется
ортогональной, если любые два вектора системы ортогональны. Базис называется
ортогональным, если любые два вектора базиса ортогональны. Из
курса алгебры известны следующие свойства ортогональных систем
векторов:
Г. Ортогональная система векторов линейно независима.
2°. Ортогональная система векторов в пространстве Еп состоит
не более чем из п векторов.
3°. В любом векторном подпространстве Wk> где I < k < /г,
существует ортогональный базис.
4°. В евклидовом пространстве Еп существует ортогональный
базис.
Базис называется ортоноржированным, если он является
ортогональным и все его векторы единичные. Векторы ортонормированного
базиса будем обозначать через gx, g2y ..., gn. Используя свойства 3° и
4°, легко показать, что в пространстве Еп всегда существуют ортонор-
мированные базисы.
В самом деле, согласно свойству 3° в Еп существует ортогональный
базис еи е2, ..., еп- Так как каждый из векторов базиса ненулевой,
то существуют векторы
giZ=zM,g2=M' "¦' *п = ки'
которые образуют ортонормированный базис.
Теперь введем понятие ортогональных подпространств. Вектор р
называется ортогональным подпространству W, если он
ортогонален любому вектору подпространства. Два подпространства Wk и
Wm называются ортогональными, если любой вектор первого
подпространства ортогонален любому вектору второго подпространства.
Например, если еи е2, ..., е5 — ортогональный базис пространства ?5,
то подпространства {elt е2) и {е3, ?4, еъ) ортогональны.
Известны следующие свойства ортогональных подпространств:
Г. Два ортогональных подпространства Wk и Wm не имеют
общих ненулевых векторов.
2°. Если Wk и Wm —- ортогональные подпространства, то k +
+ т < п.
3°. Совокупность всех векторов, ортогональных подпространству
Wk, образует подпространство Wn_k, ортогональное
подпространству Wk. Это подпространство называется ортогональным
дополнением подпространства Wk.
Если Wn„k является ортогональным дополнением подпространства
Wk, то подпространство Wk является ортогональным дополнением
3. Угол между двумя векторами. Величиной угла, образованного
двумя ненулевыми векторами а и &, называется действительное число
Ф, определяемое условиями:
coscp = —4—- и 0 < ф <л. (1)
437
В дальнейшем величину угла между векторами а и Ь будем называть
просто углом между ними и обозначать так: -4 (а, 6), или (а, 6).
Покажем, что угол между любыми двумя ненулевыми векторами
всегда существует. Для этого достаточно доказать следующую
теорему:
Теорема [69.1 ]. Каковы бы ни были ненулевые векторы X и у
в евклидовом пространстве Eni имеет место неравенство:
1ху{ <1 (2)
\х \у
Доказательство. Пусть хФО и у фО — произвольные
векторы. Очевидно, при любом t имеем:
или
(хх) — 2t (ху) + t2 (уу; > 0.
Взяв в качестве t число — и подставив в предыдущее соотношение,
УУ
получим:
(ХХ)-2*?- + 1??->0. или (хх)>Ш-.
(УУ) (УУ) (УУ)
Так как (хх) > 0, то, умножив неравенство на , получаем:
_^1_<1, или _JLHJ_<i.
(хх) (у у) \х\\у\
Из соотношения (1) непосредственно следует, что ab =
= | а 11 & | cos (ab). Мы видим, что введенное нами понятие угла
между векторами полностью согласуется с соответствующими
понятиями обычного трехмерного пространства (см. теорему [6.5]).
4. Вычислительные формулы. Выведем формулы для вычисления
скалярного произведения двух векторов, модуля вектора и угла
между векторами, заданного своими координатами.
Задача 1. В ортонормированном базисе gu g*2, ..., gn заданы
векторы а {а1, а2, ..., ап} и Ь {Ь1, б2, ..., Ьп). Вычислить их
скалярное произведение.
Решение. По определению координат векторов имеем:
а = a>gx + a2g2 + ... + angn,
b = Vg, + b*g2 + ... + b»gn.
Используя распределительный закон скалярного произведения, а
также принимая во внимание, что базис glf ...^„ортонормированный,
получаем:
ab = (a'g, + a2g, + ... + a*gn) (Vgx + 62g*a + ... + b"gn) =
= a'61 + d2b2 + ... + anbn.
438
Таким образом, мы пришли к следующей формуле:
аЬ = а>Ьх + а1Ь1 + ... + апЬп. (3)
Мы видим, что теорема [7.1], доказанная нами для векторов
двумерного и трехмерного пространств, имеет место для векторов
пространства Еп.
Из сформулированного выше результата, в частности, вытекает
следующее условие ортогональности двух векторов: для того чтобы
два вектора а {а1} и Ь {#}, заданные своими координатами в ортонор-
мированном базисе, были ортогональны, необходимо и достаточно,
чтобы сумма произведений одноименных координат равнялась нулю.
Если в соотношении (3) положить Ь =а, то получим выражение
для скалярного квадрата вектора:
а а = а>а} + а2а2 + ... + апап.
Из определения модуля вектора следует, что
| а | = Уаа = Уа>а> + а2а2 + ... + апап . (4)
Задача 2. В ортонормированном базисе даны два ненулевых
вектора а {а1, а2, ..., ап) и Ь {b1, Ъ2, ..., Ьп}. Найти косинус угла,
образованного данными векторами.
Решение. Пользуясь формулами (3) и (4), выразим ab,\a\
и | Ь\ через координаты векторов а и &. Подставив эти выражения в
соотношение (1), окончательно получаем:
cos(a,&) = ^ ^-_ ^ ==- (5)
Va>a> + ... + anan VbW + ... + b,lbn' v '
5. Точечно-векторное евклидово пространство. Точечно-векторное
пространство Rn называется евклидовым /г-мерным
пространством, если для векторов этого пространства дополнительно
выполняются аксиомы Vx — V4. Таким образом, евклидово я-мерное
пространство есть совокупность векторов и точек, для которых выполнены
аксиомы 1^4, Hi_4^ IHi, 2> Wi-4 и V j_4. Оно обозначается через ?Л.
Пространство Еп обладает всеми свойствами пространства Rn. Одна-
'Чу
ко Еп обладает также рядом метрических свойств, вытекающих из
аксиом Vx—V4. Ниже рассмотрены наиболее существенные из них.
Прежде всего заметим, что векторы пространства Еп принадлежат
векторному пространству Еп, поэтому все метрические свойства Еп,
рассмотренные выше, имеют место в Еп .
Длиной отрезка АВ называется | АВ |, т. е. У АВ- АВ. Длина
отрезка АВ называется также расстоянием между точками Л и В.
Отрезки АВ и CD называются равными или конгруэнтными, если их
длины равны.
439
Отрезок АВ по определению больше (меньше) отрезка CD, если
длина отрезка АВ больше (меньше) длины отрезка CD.
В пространстве Еп наряду с общими системами координат 0еь
пользуются прямоугольными декартовыми системами. Система
Оехе2 ... еп называется прямоугольной декартовой, если базис е19
е2, ..., еп ортонормированный. Прямоугольную декартову систему в
дальнейшем будем обозначать так: Ogtg2... gn, или коротко 0gt.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 3. Пусть в прямоугольной декартовой системе
координат 0gt даны две точки своими координатами А (х1, ..., хп) и
В (у1, у2, ..., уп). Вычислить расстояние между этими точками.
Решение. По определению АВ = \АВ |. Прежде всего
вычислим координаты вектора АВ. Так как координаты точек А и В
совпадают с координатами их радиус-векторов, то из соотношения
АВ = ОВ — ОА в силу теоремы [65,3] получаем:
ЛВ{У — х\ у2 — *2, ... , уп — хп).
Теперь легко еычислить длину вектора АВ. Применяя формулу (4),
будем иметь:
АВ = V{yi — *Ч2+(У2 — х2)2 + ... + (у* — хп)2. (6)
Мы пришли к выводу, что теоремы [10.1 ] и [42.1 ] имеют место для
пространства Еп.
6. Плоскости в евклидовом пространстве Еп. Очевидно,
определение плоскости и ее аффинные свойства, рассмотренные нами в § 67 и
68, сохраняются и в пространстве Еп. Однако в пространстве Еп
имеется ряд специфических задач метрического характера, при
решении которых мы сталкиваемся с существенными трудностями.
Например, известные нам понятия расстояния между плоскостями, прямыми
и плоскостями, а также понятия углов между ними не обобщаются
прямым образом на пространство Еп. Здесь возникает целый ряд
интересных результатов, изложение которых мы не приводим, так как
это выходит за рамки настоящего учебника1.
Следует, однако, отметить, что отдельные метрические задачи трех-
мерной геометрии полностью обобщаются на пространство Еп.
Рассмотрим одну из таких задач. Две плоскости nk и пт называются
ортогональными, если их подпространства Wk и Wm ортогональны.
В частности, гиперплоскость ля_1 называется ортогональной к прямой
я1э если подпространство гиперплоскости ортогонально какому-либо
ненулевому вектору прямой.
1 См., например, [4J или [19J.
440
Легко показать, что если nk — некоторая плоскость, а М0—
произвольная точка пространства, то существует одна и только одна (п— &)-
плоскость, проходящая через М0 и ортогональная nk. В самом деле,
если Wk — подпространство плоскости nk, то плоскость {М0, Wn_k}
является искомой. Здесь Wn_k — ортогональное дополнение
подпространства Wk. Покажем, что эта плоскость может быть
использована для определения расстояния от точки М0 до плоскости як. Так
как сумма подпространств плоскостей nk и zin_k есть все векторное
пространство Еп, то из следствия 1°, теоремы [68.3 ] следует, что nk и
я/2_й пересекаются. Но подпространства этих плоскостей
ортогональны, поэтому их пересечение есть нульмерное подпространство.
Используя теорему [68.3], получаем, что плоскости nk и nn^k
пересекаются в одной точке N. Точка N называется проекцией точки MQ
на плоскость^, а расстояние между точками М и N называется
расстоянием от точки М до плоскости nk. Можно показать, что это
расстояние является наименьшим из всех расстояний от точки М0 до
любой точки плоскости nk.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 4. В прямоугольной декартовой системе координат
задана гиперплоскость пп_л уравнением
а^ + а2х2 + ... + апх» + а0 = 0 (7)
и точка М0 (хо, х1, ..., хо). Вычислить расстояние d от точки М0 до
Решение. Обозначим через N0 проекцию точки М0 на
плоскость яя-1. Из теоремы [67.4 1 следует, что вектор а{а1>а2, ..., ап)
ортогонален любому вектору гиперплоскости яя_1э поэтому он кол-
линеарен вектору M0N0. Отсюда вытекает, что
M^0a=|Mjv0|l«|cos9== ±|tfjf0||a|,
поэтому
\MtN0a\ = MQN0\a\ = d\a\
и
\а\
Записав это соотношение в координатах и учитывая, что N0
принадлежит плоскости (7), после элементарных преобразований1, получим:
V о? + 4 + •- + а1
Мы обобщили формулы (5), § 49 на случай пространства Еп.
1 См. вывод формулы (5), § 49.
441
§ 70. Билинейные и квадратичные фушщки
1. Билинейные функции пространства /?я. Понятие билинейной
функции, введенное в § 6, по существу не зависит от размерности
пространства, поэтому оно может быть рассмотрено также в
пространстве Rn. Напомним, что скалярная функция от двух векторных
аргументов ф(л:,у) называется билинейной, если она линейна относительно
каждого аргумента (см. § 6, п. 1).
Теорема [70.11. Пусть в Rn дан некоторый базис ех, е2, ..-, ?я
и произвольная квадратная матрица1
Фи Ф12 - Ф1,Л
Фм Ф'22 - Ф2я 1 0)
ФЯ1 Ф/Х2 - Фяп/'
тогда существует одна и только одна билинейная функция ф (х, у)9
удовлетворяющая условиям:
ф(е* */) = Ф//- (2)
Доказательство. Сначала докажем существование
билинейной функции ф(л:; у), удовлетворяющей условиям теоремы. Пусть
{eL}—данный базис, ал? и у —произвольные векторы. Разложим
эти векторы по базису {et}\
х = xfe/f у = yfeif
и поставим в соответствие векторам х и у (порядок векторов важен!)
число
ф (¦*, У) = Ф,/*У• (3)
Предоставляем читателю убедиться в том, что построенная таким
образом функция является линейной и удовлетворяет условиям (2).
Теперь покажем, что построенная функция единственная. Пусть
Ф («*> У) — некоторая новая функция, удовлетворяющая условиям
теоремы. Разложив векторы х и у по базису {^} и учитывая, что \|з —
билинейная функция, получаем:
г|мл:, у) = х!у>Ц(е1У е,).
Так как ф, по предположению, удовлетворяет соотношениям (2), то
ф (*, у) = хуФ.,, (4)
Сравнивая соотношения (3) и (4), мы приходим к выводу, что
функции ф и а|) совпадают.
Правая часть соотношения (3), т. е. выражение yuxfy),
называется билинейной формой от переменных х1, ..., хп, у1, ..., уп.
Соотношение (3) показывает, что если в Rn выбран базис, то
билинейная функция от векторов л:, у определяется при помощи
билинейной формы от координат векторов х и у.
Матрица (1) называется матрицей билинейной функции ф (л:, у) в
базисе^}. При переходе от одного базиса к другому матрица
билинейной функции, вообще говоря, меняется. Выясним закон изменения
Мы не исключаем случая, когда все элементы матрицы (1) равны нулю.
442
матрицы (1) при преобразовании базиса. Пусть {et} и {#,} — два
базиса в пространстве Rn, a
(ф/;) и (ф/v) (5)
— матрицы билинейной функции ф (л:, у) в этих базисах. Если &> =
= Ci>elt то
%>>< = Ф (е^е,*) = ф (clrel9 ci.ej) = &.,с\,^ (efi,) = c\,^Vr
Таким образом,
Ф/'/' = 4 <^Ф//. (6)
Пользуясь этими соотношениями, легко получить условие,
связывающее матрицы (5). Введем следующие обозначения:
ф = i Vi\ VW — Ч*п I у ф
фп
ф21
фп1
/
¦
V
ф12 ...
ф22 ...
фп2 ••
с\, 4
с', 4- ¦
<¦ <V
ф1п
ф2л
¦ фго!
... С?,
.» ^
... с;.
ф1'1' ф1'2' ..
ф2'1' ф2'2' ..
фл'Г фя'2' ...
' Су С2, ...
С\, С?, ...
V cv cv -
. ф1'/г'
. ф2'л'
• фл'п'
¦ ъ)
С^ г г z , С=
Матрицы С и С являются транспонированными. Соотношение (6)
в матричной форме можно записать так:
q/ = С • ф • С\ (7)
Из этой формулы следует весьма важное следствие. Так как
матрицы С и С — неособенные, то ранг матрицы ф' равен рангу
матрицы ф.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема [70.2]. Ранг матрицы билинейной функции не
зависит от выбора базиса в Rn.
Эта теорема позволяет ввести следующее определение. Ранг
матрицы билинейной функции называется рангом билинейной функции.
Билинейная функция называется неособенной, если ее ранг равен п.
2. Квадратичная функция. В дальнейшем изложении особую роль
играют симметрические билинейные функции. Билинейная функция
Ф(л:, у) называется симметрической, если для любых векторов х и у
выполняется равенство:
Ф С*. У) = Ф (У, х).
Имеет место следующий критерий симметричности билинейной
функции:
Теорема [70.31. Для того чтобы билинейная функция ф (х,у)
была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы матрица (1)
этой функции в некотором базисе была симметрической, т. е.
%) = Ф;7
для всех значений i и /.
443
Доказательство. Необходимость условия очевидна, так
как из соотношения ф(л:, у)= ф(у, л:) для всех х и у следует ф (eh ej) =
= ф (eJt et) для векторов любого базиса. Докажем достаточность
условия. Пусть в базисе {?,} матрица (1) симметрическая. Возьмем
произвольные векторы х и у и разложим их по базису {е,}:
х = xlelt у = yJer
Далее имеем:
Ф (*, у) = ф (x*ei9 yJej) = xhfat, = ху Ф// =
= yJx^(ep ед = <р(у*е,, *^) = <р(у, х).
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы имеем
Следствие. Билинейная симметрическая функция в любом
базисе имеет симметрическую матрицу.
Возьмем симметрическую билинейную функцию ф (л:, у) и,
пользуясь ею, построим скалярную функцию от одного векторного
аргумента
/(*) = ф(*, X).
Эту функцию будем называть квадратичной функцией. Исходную
билинейную функцию будем называть полярной по отношению к функции
f(x). Ранг полярной функции называется рангом квадратичной
функции.
Пример. Пусть в R3 функция ф (л:, у) в некотором базисе
задана билинейной формой
Ф (х, у) = 2*у + Зху — 2*У + 3*Y — 2*у.
Тогда квадратичная функция в том же базисе задается формой:
/ (л:) = 2х*хг + 6х*х* — 4хгх2.
Очевидно, квадратичная функция не является линейной. В самом
деле,
/(* + У) = Ф (х + у, х + у) = ф (х, х) + 2ф (л:, у) + ф (у, у) =
= /(*)+/(У)+ 2<р(*. У). (7)
f (Хх) = ф (Кх, Кх) = ?Ар (х, х) = Щ (х).
Если в пространстве Rn выбран базис, то квадратичная функция
/ (х) аналитически может быть задана так:
/(*) = / {eLxl) = ф (е(х^ ejXJ) = х'хЛр (efij) = х1х%,
т. е.
/(*)==л^Лр/у. (8)
444
Правая часть этого соотношения называется квадратичной формой
от переменных л;1, ..., хп . Это соотношение показывает, что если в Rn
выбран базис, то квадратичная функция от вектора х определяется
при помощи квадратичной формы от координат этого вектора.
Очевидно, заданием билинейной симметрической функции
соответствующая квадратичная функция определяется однозначно.
Интересно отметить, что обратное предложение также имеет место: если
дана квадратичная функция f (л:), то полярная функция по
отношению к ней определяется однозначно. В самом деле, пусть f (x) —
данная квадратичная функция, а ф (х>у) — билинейная функция,
полярная по отношению к / (л:). Тогда из соотношения (7) следует, что
Ф(*. y)=\lf(* + y)-f(*)-f(y)].
Таким образом, полярная функцияф (х, у) определяется однозначно.
Отсюда следует, что задание квадратичной функции эквивалентно
заданию симметрической билинейной функции, поэтому
квадратичная функция (8) в данном базисе согласно теореме [70.1]
однозначно определяется симметрической квадратной матрицей (1), которая
называется матрицей квадратичной функции. Ее
ранг называется рангом функции.
3. Сопряженные и асимптотические направления. Будем говорить,
что ненулевой вектор р имеет асимптотическое направление
относительно данной квадратичной функции ф (хух), если ф (ру р) = 0.
Векторы асимптотического направления называются асимптотическими.
Ненулевые векторы р и q называются сопряженными относительно
данной квадратичной функции ф (х,х), если ф (р} q) =0. Рассмотрим
следующие два свойства сопряженных направлений, которые будут
использованы ниже.
Г. Если любой действительный вектор подпространства Wk
является асимптотическим вектором относительно квадратичной функции
f (х) = ф (л:, л:), то для любой пары векторов подпространства Wk
полярная функцияу(х, у) обращается в нуль. В самом деле, пусть х,у—
произвольные действительные векторы, принадлежащие \Vk. Если
один из векторов х или у равен нулю, то, очевидно, ф(.*,з0 = 0,
поэтому предположим, что х и у — ненулевые векторы. По условию
любой действительный вектор подпространства Wk является
асимптотическим поэтому
ф(* + У> х + у) = 0
или
Ф (*, х) + ф (л:, у) + <р (у, х) + <р (у, у) = 0.
Отсюда получаем:
Ф (х, у) = 0.
2°. Если вектор р подпространства Wk не имеет
асимптотического направления относительно квадратичной функции ф (х, дг), то
445
совокупность всех векторов из Wk, удовлетворяющих условию у{хр)=0>
есть (k — I)-мерное подпространство, вложенное в Wk. В самом деле,
Еозьмем в Wk базис е1У е2 ... ek, так, чтобы ег= р. Если х —
произвольный вектор подпространства, то
х = х1еЛ + х2е2 + ... + xkek = **ех,
поэтому согласно (3) имеем:
Ф («*./>) = Ф (*х е« >ег) = Лрп + х2фи + ... + xkykl = 0. (9)
Так как р не имеет асимптотического направления, то
фивф(М1)вф(Р, Р) =?0
Подпространство Й7Л можно рассматривать как линейное &-мер-
вое векторное пространство. Соотношение (9) является линейным
однородным уравнением. Известно, что множество решений этого
уравнения есть (k — 1)-мерное векторное подпространство.
4. Сопряженный базис квадратичной функции. Матрица
квадратичной функции зависит от выбора базиса в Rn, поэтому естественно
поставить вопрос: при каком выборе базиса матрица квадратичной
функции имеет наиболее простой вид. Так как эта матрица
симметрическая, то наиболее простым видом будет матрица, у которой все
элементы, кроме элементов, находящихся на главной диагонали,
равны нулю. В этом случае говорят, что матрица имеет диагональный
вид.
Покажем, что для любой квадратичной функции существует
базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид.
Теорема [70.4 ]. Пусть Wm — некоторое векторное
подпространство, причем 1 < т < п. Тогда в этом подпространстве
существует базис еи е2,...,ет, любые два вектора которого сопряжены от-
носительно данной квадратичной функции ф (л:, л:).
Доказательство. Теорему будем доказывать по индукции
относительно размерности подпространства Wm. Сначала убедимся
в справедливости теоремы для случая, когда т = 2.
Если все векторы подпространства W2 являются асимптотическими
Еекторами относительно ф (лг,лг), то по свойству 1°, п.З любой базис
подпространства \V2 удовлетворяет условию теоремы, поэтому
достаточно рассмотреть случай, когда в W2 существует хотя бы один
ненулевой вектор, удовлетворяющий условию:
ф (е19 ег) ф 0
Дополним вектор ег до базиса в W2 вектором е2 и подберем к так,
чтобы ф (ех,е2 + ^L)= 0. Для этого достаточно положить
X =—Ф^' е*> . Действительные векторы ег и е2 + ^i линейно
Ф(*1. *i)
независимы, поэтому они образуют искомый базис.
446
Теперь предположим, что теорема доказана для всех We , где е <
< т — 1, и докажем ее для Wm. Если все векторы подпространства
Wm являются асимптотическими векторами относительно ф (л:, л:),
то по свойству 1°, п. 3 любой базис подпространства Wm
удовлетворяет условию теоремы поэтому достаточно рассмотреть случай,
когда в Wm существует хотя бы один ненулевой действительный
вектор/?» удовлетворяющий условию:
Ф(А Р)^0. (10)
По свойству 2°, п. 3 совокупность векторов в Wm,
удовлетворяющих условию / (л:) = у(р,х) = 0, есть подпространство Fm_lf
вложенное в Wm. По предположению индукции в F т_х существует
действительный базис еи е2, ••• , ?т-ь любые два вектора которого
сопряжены относительно квадратичной функции ф (х,х). Система
векторов
р, еъ ег, ... , ет-г (11)
линейно независима, так как в противном случае вектор р
принадлежит Fm^u что противоречит условию (10). Векторы (11) образуют
базис в Wm и удовлетворяют всем условиям теоремы.
5. Канонический вид квадратичной формы. Система линейно
независимых векторов пространства Rn называется сопряженной
относительно данной квадратичной функции ф (ху х), если любые два
вектора этой системы сопряжены относительно рассматриваемой функции.
Если сопряженная система векторов содержит п векторов, то в этом
случае она является базисом и называется сопряженным или
каноническим базисом.
Из теоремы [70.4] следует весьма важный вывод. При т = п
эта теорема сводится к предложению:
Следствие. Любая квадратичная функция ф (л:,.*) ранга г в
пространстве Rn имеет сопряженный базис, т. е. базис, в котором
матрица данной квадратичной функции имеет вид:
Ф22 |
о
ф„ <12>
о °
I * I
V, о у-
447
Эта матрица называется канонической матрицей квадратичной
функции. Если функция ф(лг,л:) дана в каноническом базисе, то
квадратичная форма (8) в силу (12) имеет вид:
Ф (х, х) = фцл;1*1 + <р22х2х2 4- ... + фгг*г*г- (13)
В этом случае говорят, что квадратичная форма имеет канонический
вид.
§ 71. Сигнатура. Приведение квадратичной формы
к нормальному виду
Выше было показано, что для любой квадратичной функции
существует такой базис, в котором ее матрица имеет вид (12), § 70.
Возникает вопрос, нельзя ли произвести дальнейшее упрощение этой матрицы
путем надлежащего выбора базиса. Очевидно, как бы ни выбрали
сопряженный базис, число элементов главной диагонали, отличных
от нуля, всегда равно рангу г данной квадратичной функции. Отсюда
следует, что дальнейшее упрощение матрицы (12) может быть
произведено только за счет приравнивания друг к другу элементов,
отличных от нуля. Выясним, возможно ли такое упрощение.
1. Векторы положительного и отрицательного направлений.
Действительный вектор а называется вектором положительного
(отрицательного) направления относительно квадратичной функции ф (х,х), если
Ф(а, а)>0 (ф(а, а)< 0). (1)
Легко видеть, что если а имеет положительное (отрицательное)
направление относительно функции ф (л:, л:) и если К Ф 0, то Ха
также имеет положительное (отрицательное) направление
относительно той же функции.
Теорема [71.11. Пусть а1У a2, --Am — сопряженная система
векторов относительно квадратичной функции ф (х,х). Если каждый
вектор этой системы имеет положительное направление
относительно ф(лг,дг), то любая нетривиальная линейная комбинация этих
векторов также имеет положительное направление относительно той же
функции ф(лг, л:).
Доказательство. Пусть
р = о1о1 + ааа2+ ... +атят (2)
есть нетривиальная линейная комбинация векторов данной системы.
В силу сопряженности этой системы имеем:
Ф (А Р) = Ф (a'tfi + -.. + <*mtfm> ахяi + .- + <*<mam) =
= (а1)2 Ф (агаг) +(а2)2Ф (а2а2) + ... + (a*)2 <p (amam).
Так как не все коэффициенты а? в (2) равны нулю и ф (аИ aL) > 0
для всех i = 1, ..., m, то ф(р, р) > 0.
448
2. Теорема о сигнатуре квадратичной функции.
Теорема [71.2]. Пусть
еъ е2, ... еп, (3)
ех„ е2„ ... ,еп, (4)
есть два сопряженных базиса относительно квадратичной функции
Ф (л:, л:). Если обозначить через р, q и s число векторов соответственно
положительного, отрицательного и асимптотического направлений
системы (3), а через /?', q\ s' — аналогичные числа для векторов
системы (4), то р = р\ q = q' и s = s'.
Доказательство. Обозначим через (ф/у) и (фг/,)
матрицы данной квадратичной функции соответственно в базисах (3) и (4).
Так как эти базисы сопряженные, то ф/;. = ф = О при i Ф /,
i' ф f. Отсюда следует, что рассматриваемые матрицы имеют
диагональный вид:
1 ' 6 "fr!:.'..°) m
'О" О' '%':¦/
Согласно теореме [70.2] эти матрицы имеют один и тот же ранг г,
поэтому число нулевых элементов главной диагонали первой матрицы
равно числу нулевых элементов главной диагонали второй матрицы.
Принимая во внимание, что ф (е0 et) = ф^ и ф (ег, ег) = уГ1,,
получаем: s = п — г, s' = п — г. Отсюда следует, что s = s'. Так как
р + q + s = п и р' + qr + s' = /г, то р + q = р' + q'. Если р =
= /?', то q = q', и теорема доказана. Предположим, что р Ф р'. Не
нарушая общности, можно предположить, что р > р' и что первые р
векторов системы (3) и первые р' векторов системы (4) являются
векторами положительного направления. Рассмотрим систему
еъ е2> ... ер, е(р^Х), , е{р+2у » • • • > еП" (6)
Число векторов этой системы больше, чем п. В самом деле,
Р + (п — р') = п + (р — р')>п.
Отсюда следует, что система (6) линейно зависима, поэтому один из
векторов этой системы линейно выражается через предыдущие. Но
векторы ely e2i ..., ер линейно независимы, поэтому
Vwr=tf«1 + aeet+ ... +arep + peip+l), + ... +p-1e(p+l_ly
или
*<,+*>' - Р*"1 Vk-i>- - ... - pe{p+l), = а>ех + ... + <*Per (7)
Из этого соотношения в силу линейной независимости векторов
е(р+1У> • • •» e(p+iy слеДУет> что н^ все коэффициенты а1, ... , ар
равны нулю.
449
Согласно теореме [71.11 вектор а=а1е1 + ... +а/)ер имеет
положительное направление, т. е.
Ф(а, а)>0. (8)
С другой стороны, в силу (7) получаем:
Ф(а, а) =ф(е(р+(Г -P^(p+i._1K- ... -рХ+п-,
е(р+0' — Р' е(р+г-1)' — • • • — Р eiP+iy ) =
B?(«PwW+<l1''1),?(Wir«w-<i')+ ••• +
+ <P1>,9(«W. VM)')-
Правая часть этого соотношения не положительна, так как
ф (Vh>' ^(Р+1)') < °' Ч> Цр+2)' *<Р+2>') < О И Т. Д. МЫ
пришли в противоречие с соотношением (8). Итак, р = р' п q = q' и
теорема доказана.
3. Сигнатура. Нормальный вид квадратичной формы. Мы только
что доказали, что если р, q и г соответственно число векторов
положительного, отрицательного и нулевого направлений сопряженного
базиса, то они не зависят от выбора сопряженного базиса Доказанная
теорема позволяет ввести следующее определение. Инвариант о =
= р — q называется сигнатурой квадратичной функции. Очевидно,
—п < а < п.
Теперь мы можем снова вернуться к вопросу о дальнейшем
упрощении матрицы (12), § 70 путем надлежащего выбора канонической
системы координат. Теорема [71.2] о сигнатуре показывает, что,
вообще говоря, не существует базиса, в котором все ненулевые элементы,
расположенные по главной диагонали канонической матрицы
квадратичной формы, имеют один и тот же знак. Однако следующая
теорема показывает, что канонический базис всегда можно выбрать так,
чтобы модули всех ненулевых элементов главной диагонали были
равны единице.
Теорема [71.3]. Если квадратичная функция ф (х,х) имеет
ранг г и сигнатуру а, то в Rn всегда существует такой базис, в
котором матрица данной функции имеет вид:
Л
450
(9)
гдег1,г2, ...,гГ равны +1 или —1 и, кроме того, гг+ г2 + ... + ег= а.
Доказательство. Согласно следствию теоремы [70.4 ]
существует базис ах,а2, ...,ап, в котором матрица функции ср (х,х) имеет
вид (12), § 70. Перейдем к новому базису ех, е21 ..., еп так, чтобы
е1 = к1а1, е2 = Х2а2, ... , er = Xfan er+1 = ar+v ..., ?/г=#Л
и |ф(еъег)\ = |ф(е2, *а)| = ... =\ц>(епеГ)\ = 1.
Для этого достаточно подобрать коэффициенты А,1? А,2, ..., й,г так, чтобы
К = — , гДе фи = Ф (a,, at).
К I Фи I
В самом деле, в этом случае ф (е^е^ = №q>(ai,(ii)= \ \ |2 Ф,7 = =Ы.
Теорема доказана.
Если в данном базисе матрица квадратичной функции имеет вид
(9), то квадратичная форма (13), § 70 в этом случае имеет вид:
Ф (х, х) = гхх1х1 + г2х2х2 + ... + ?Гхгх\ (10)
В этом случае говорят, что квадратичная форма имеет нормальный
вид.
4. Положительно-определенная квадратичная функция. Пусть
а — сигнатура квадратичной функции ф (х,х), заданной в
пространстве Rn. Если а = /г, то квадратичная функция называется
положительно-определенной, а если о = — п — отрицательно-определенной.
Имеет место следующая теорема.
Теорема [71.4]. Для того чтобы квадратичная функция была
положительно-определеннойt необходимо и достаточно, чтобы любой
ненулевой вектор пространства Rn имел положительное направление.
Доказательство. Если ф (л;, л:) —
положительно-определенная функция, то все векторы любого сопряженного базиса имеют
положительное направление, поэтому согласно теореме [71.1]
всякий ненулевой вектор пространства будет иметь положительное
направление. Достаточность очевидна.
Из теоремы [71.3] непосредственно следует предложение. Если
у(х,х)— положительно-определенная квадратичная функция в Rn, то
существует такой базис, в котором матрица функции имеет вид:
'1 0 ... 0'
0 1 ... 0
,0 0
(И)
5. Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Одной
из важных практических задач, связанных с теорией квадратичных
форм, является задача приведения формы к нормальному виду (10).
Для этого пользуются различными методами, наиболее
распространенным из которых является метод Лагранжа. Идея этого метода за-
451
ключается в том, что, выполняя алгебраические преобразования,
квадратичную форму (8\ § 70 приводят к виду:
q. (л:, х) = фи (х1 + а21х2 + аз1х3 + ... + ^nixn)2 + ф22 (х2 + а32х3 +
+ ... + ап2х«)2 + ... + Фгг (хг + а,+1> г^+1+ ... + аПуГх»)\
Далее, вводя новые переменные у1,..., у", эту форму записывают
в компактном виде:
ф (х Х) = ггу1у1 + е2у2у2 + ... + егу'уг.
Здесь г — ранг функции ф (х, лг), а е1э ..., ег равны + 1 или —1.
Следующий пример поясняет эту идею.
Пример. Привести к нормальному виду и найти
соответствующий канонический базис квадратичной формыф (л:, л:) = х1х1 — х2х2 —
— 6,5 аг*а:3 —2х1х:2 +2х1х3+6х2х3, заданной в базисе еъ е2, е3
пространства R3.
Решение. Сгруппируем все члены, содержащие я1, и
дополним их до полного квадрата:
Ф (х, х) = [х{х1 — 2 (х2 — а:3) х1 + (х2 — х3)2] — (х2 — х3)2— х2х2 —
— 6,5 х3 х3 + 6х2х3 = (х{ — х2 + х3)2 — 2х2х2 — 7,5 х3х3 + 8х2х*.
Аналогично поступим с членами, содержащими х1. В результате
получим:
Ф (х, х) = (х1 — х1 + х3)2 — 2 (г2*2 — 4а:2а:3 + 4а:3а:3) + - х*х? =
= (х1 — х1 + х3)2 — 2 (х2 — 2х3)2 + — х3х3 =
= (х1 — а:2 + *3)2— (1/2~*2 —2]/2" а:3)2+ (-L- x3Y\
Рассмотрим, далее, следующее преобразование переменных и
соответственно базисных векторов:
у1 = х1 — х2 + х3, ех == аъ
У2 = ]/2 а;2 — 21/2" а:3, е2 = — аг + ]/2 а2,
У3 = yf x3> e3 = a1—2VJ a2+ -у~а3.
В новом базисе а1э я 2, #3 функция ф имеет нормальный вид:
ф = у*у* — у2у2 -[- y3y3.
Векторы соответствующего канонического базиса в старом базисе
ег, е2,е3 имеют координаты: ах{19 0, 0}, a J -^=г, —?=-, OJ,
а3{1/2; 2/2; 1/2"}.
452
§ 72. Квадрики в аффинном пространстве
1. Определение квадрики. Квадрикой, или гиперповерхностью
второго порядка, называется множество точек пространства Rn,
координаты которых в некоторой системе координат Oat
удовлетворяют уравнению
а^х! + 2btxl +c = 0, (1)
где ац = ап и хотя бы один из коэффициентов ац не равен нулю.
Из этого определения видно, что при п = 2 квадрика есть кривая
второго порядка на плоскости, а при п = 3 — поверхность второго
порядка в трехмерном пространстве.
Если 0'ег — новая система координат, то согласно (2), § 66
координаты точки М в этих системах связаны соотношениями:
* = 4*;" +хо (f = 1, 2, ... , п). (2)
Подставив эти выражения в уравнение (1), получаем уравнение
квадрики в новой системе 0'ег:
а1Ч<х1'х)' + 2ЬгХ*' + С = 0, (3)
где
аП, = c\,c\,aljy (4)
br =aucr xi0 + brt» d = auK xl0 + 2bixlQ + c- (5)
Из этих соотношений точно так же, как и в п. 4, § 60 (теорема
[60.1]), можно показать, что определение квадрики носит
геометрический характер, т. е. не зависит от выбора системы координат.
2. Квадратичная функция квадрики. Выражение aif xlxJ в
уравнении (1) является квадратичной формой. При преобразовании
координат (2) коэффициенты этой формы меняются по формулам (4). Эти
формулы в точности совпадают с формулами (6), § 70, поэтому, как
следует из содержания § 70, этой форме соответствует квадратичная
функция у(х,х), которую будем называть квадратичной функцией
данной квадрики. Важно отметить, что заданием квадрики ее
квадратичная функция не определяется однозначно. В самом деле, умножив
соотношение (1) на некоторое число К, отличное от нуля, мы получаем
уравнение той же квадрики в виде:
1аих1х^ + 2Щх* + Кс = 0.
Квадратичная форма Xa^xi определяет другую квадратичную
функцию Ку(ху х). Таким образом, с каждой квадрикой связана
некоторая квадратичная функция с точностью до числового множителя,
т. е. совокупность квадратичных функций, отличающихся друг от
друга постоянным числовым множителем, отличным от нуля. Отсюда
следует, что для квадрики геометрический смысл будут иметь только
те инварианты квадратичной функции, которые являются общими для
всех этих функций. К таким инвариантам относятся асимптотические
направления, сопряженные направления, ранг функции, абсолютная
величина сигнатуры. Эти инварианты называются соответственно
453
асимптотическими направлениями, сопряженными направлениями,
рангом и сигнатурой квадрики.
Матрица (aLj) квадратичной функции квадрики в данном базисе
называется матрицей уравнения квадрики. Ранг этой матрицы равен
рангу квадрики.
Квадрика называется невырожденной, если г = п\ в противном
случае (г < п) квадрика называется вырожденной.
3. Пересечение квадрики с прямой. Найдем точки пересечения
прямой /, заданной параметрически
х* = РЧ + *<, (6)
с квадрикой (1). Эта задача решается точно так же, как задача
пересечения прямой с кривой второго порядка (см. § 40). Подставив
значения х1 в уравнение (1), получаем следующее уравнение для
определения параметров точек пересечений (ср. с формулой (3), § 40):
Pt2 + 2Qt + R = 0, (7)
где
Р = аИ№, (8)
Q=aupixfQ+b^ (9)
R = aijxi)xiQ+2b:Xli+c. (Ю)
Соотношение (8) показывает, что
*>=ф(А Р)> (8')
где ф (х, х) — квадратичная функция данной квадрики.
Мы будем говорить, что вектор р имеет асимптотическое
направление относительно данной квадрики (1), если он имеет
асимптотическое направление относительно квадратичной функции
Ф (х, х), т. е. если ф (р, р) = 0 (п. 3, § 70).
В соответствии с этим, по аналогии с теорией кривых, введем
следующую терминологию. Будем говорить, что прямая имеет
асимптотическое направление, если любой ее ненулевой вектор имеет
асимптотическое направление. Если все точки прямой
принадлежат квадрике, то прямая называется прямолинейной образующей', если
же она не имеет ни одной общей точки с квадрикой — асимптотой.
Исследование уравнения (7) по существу ничем не отличается от
исследования уравнения (3), § 40 (см. п. 2, §40), поэтому его опускаем
и формулируем только результат, который аналогичен теореме [40.11.
Теорема [72.11. Если прямая (6) не имеет асимптотического
направления по отношению к квадрике (1), то она пересекается с ней
в двух точках: а) действительных, если Q2 — PR > 0; б) комплексно-
сопряженных, если Q2 — PR < 0; в) совпадающих, если Q2 — PR = 0.
Если прямая имеет асимптотическое направление по отношению
к квадрике, то она либо пересекается и ней в одной точке (Р = 0, Q Ф 0),
либо является асимптотой (Р = 0, Q = 0, R Ф 0), либо
прямолинейной образующей (Р = Q = R = 0).
454
4. Диаметральная гиперплоскость квадрики. Диаметральная
гиперплоскость квадрики является прямым обобщением понятия диаметра
кривой второго порядка на пространство Rn (см п. 1, § 41). Это
понятие основано на следующей теореме, являющейся обобщением
теоремы [41.1] на пространство Rn.
Теорема [72.2 ]. Если в системе 0еь дана квадрика (1) и вектор
р неасимптотического направления, то множество всех точек,
являющихся серединами хорд квадрики, параллельных вектору р, есть
гиперплоскость, определяемая уравнением'.
aj^xJ + b^^Q. (11)
Доказательство теоремы опускаем, так как оно по
существу ничем не отличается от доказательства теоремы [41.11.
Эта теорема позволяет ввести следующее определение. Множество
середин всех хорд квадрики, параллельных вектору р
неасимптотического направления, называется диаметральной гиперплоскостью
квадрики, соответствующей (или сопряженной) вектору р.
5. Центр квадрики. Точка С пространства Rn называется центром
квадрики, если выполнено следующее условие: пусть точка М
принадлежит гиперповерхности, тогда точка М', симметричная ей
относительно точки С, также принадлежит поверхности. Другими словами,
центром поверхности называется центр симметрии поверхности.
Можно доказать теорему, которая является обобщением теоремы
[41.2] на случай Rn при произвольном /г.
Т е о р е м а [72.3]. Для того чтобы точка С (с1) была центром
квадрики (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты точки С
удовлетворяли условиям:
апс1 + Ь; = 0, /= 1, ... , /г. (12)
Доказательство этой теоремы мы опустим, так как по
существу оно не отличается от доказательства теоремы [41.2].
Теорема [72.3] позволяет исследовать вопрос о
существовании центров данной квадрики. Задача сводится к
исследованию системы (12), которую в развернутом виде можно записать так:
ацс1 + а12с2 + ... + сцпсп + Ъх = О,
а2Х& + а22с2 + ... + а2псп + Ь2 = О,
а,^+ап2с2 +".'+ апУ+К= 0.'
Матрица V этой системы и расширенная матрица W имеют вид:
апа12 ... а1п\ / апа12 ... а1пЬх
п а21а22...а2п\ I а^...^^ ^
anlan2 • - • Япп/ \ anlan2 - • - 0>апЬп;
455
Если г — ранг матрицы V, a R — ранг расширенной матрицы W,
то г < /? < г + 1 и возможны следующие три случая:
1°. г = R = п, т. е. квадрика невырожденная. В этом
случае система (12) или (12') имеет единственное решение. Квадрика
имеет один и только один центр. Такая квадрика называется
центральной. Если г < п, то квадрика не имеет единственного центра, и она
называется нецентральной.
2°. г =¦ R < п. Система (12) или (12') совместна и имеет п — г
независимых решений. Квадрика имеет плоскость я,г_г центров,
которая определяется уравнениями (12';..
3°. г < R — система (12') не совместна и квадрика не имеет ни
одного центра.
Следствие. Для того чтобы у квадрики, заданной
уравнением (1), центр или один из центров совпадал с началом координат,
необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Ь. были равны
нулю.
§ 73. Цилиндрические и конические квадрики
В настоящем параграфе мы рассмотрим два специальных класса
квадрик, являющихся прямым обобщением на Rn цилиндрических и
конических поверхностей второго порядка в ^3 — цилиндрические и
конические квадрики.
1. Асимптотическое подпространство квадрики. Введем
следующее определение: ненулевой вектор р называется вектором данной
квадрики, если любая прямая, содержащая этот вектор, является
прямолинейной образующей или асимптотой квадрики. Нулевой
вектор называется вектором любой квадрики1. Из теоремы [72.1 ] следует,
что ненулевой вектор квадрики имеет асимптотическое направление
по отношению к данной квадрике. Однако обратное предложение,
очевидно, не имеет места. Например, асимптотические векторы одно-
полостного гиперболоида не являются векторами поверхности.
Примером вектора квадрики может служить любой вектор, имеющий
направление образующих цилиндрической поверхности второго порядка.
Имеет место следующая теорема, позволяющая определить
векторы данной квадрики,
Теорема [73.11. Для того чтобы вектор р (р1) был вектором
квадрики, заданной уравнением (1), § 72, необходимо и достаточно,
чтобы удовлетворялись соотношения:
atJ р* = О и bjt = О, / = 1, 2 ..., п. ф
Доказательство. Пусть вектор р является вектором
квадрики (1), § 72. Если р = 0, то соотношения (1), очевидно, удовлетво-
1 Термин «вектор квадрики» аналогичен термину «вектор плоскости». В самом
деле, вектор плоскости можно определить, как ненулевой вектор, обладающий тем
свойством, что любая прямая, содержащая этот вектор, либо лежит в плоскости,
либо параллельна ей. Ниже увидим, что эта аналогия распространяется еще дальше (см,
следствие 1°, теоремы [73.1],
456
ряются, поэтому доказательство проведем для случая, когда рфО.
Пусть х1 = pl t + хо— произвольная прямая, содержащая вектор
р. Так как она является прямолинейной образующей или асимптотой,
то согласно [72.1 I Q = 0, где Q определяется из условия (9), § 72. :
аир% + Ь,р1 = 0.
Оно имеет место для любой точки (х0, хо, ..., xq), поэтому
адр* = 0, а,2р<'= 0,..., a^ = 0, 6^ = 0. (2)
Обратно, пусть имеют место соотношения (1), или, что то же самое,
соотношения (2). Умножив первые п соотношений соответственно на
р\ р2, ..., рп и сложив, получаем:
аир1р* = 0.
Мы видим, что р имеет асимптотическое направление. Если к1 = рЧ +
+ х1о — произвольная прямая, содержащая р, то, учитывая
соотношения (2) и из теоремы [72.11, заключаем, что данная
прямая есть прямолинейная образующая или асимптота квадрики.
Следствие Г. Множество всех векторов квадрики образует
векторное подпространство. Если квадрика задана уравнением (1),
§ 72, то размерность этого подпространства равна п — R, где R —
ранг матрицы W (см. (13), § 72).
Это подпространство называется асимптотическим
подпространством квадрики.
Следствие 2°. Квадрика, заданная уравнением (1), § 72,
имеет ненулевые векторы тогда и только тогда, когда ранг матрицы W
меньше п.
Эти выводы непосредственно следуют из условий существования
решений системы однородных линейных уравнений (2).
2. Цилиндрическая квадрика. Квадрика называется
s-цилиндрической, если она имеет s-мерное асимптотическое подпространство, где
s >> 0. Квадрика, не имеющая ненулевых векторов, называется нецилинд-
рической.
Геометрическая структура s-цилиндрической квадрики выясняется
из следующих двух теорем.
Теорема [73.21. Если Ws — асимптотическое подпространство
s-цилиндрической квадрики, то всякая плоскость, имеющая
подпространство Ws, либо целиком принадлежит данной квадрике, либо не
имеет с ней ни одной общей точки.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
'показать, что если некоторая точка М плоскости ns, имеющей Ws
своим подпространством, принадлежит цилиндрической квадрике, то
всякая точка N плоскости ns, отличная от М, также принадлежит
квадрике. В самом деле, прямая MN имеет направление вектора
квадрики, поэтому она является либо асимптотой, либо
прямолинейной образующей данной квадрики. Но точка М принадлежит
квадрике, поэтому MN — прямолинейная образующая и N также
принадлежит данной квадрике.
457
Если Ws — асимптотическое подпространство
s-цилиндрической квадрики, а я(п_5) — некоторая
плоскость, не имеющая ни одного ненулевого
вектора из Ws, то можно показать, что
сечение плоскости щп_5) с исходной квадрикой
есть нецилиндрическая квадрика плоскости n{n_s).
Эта квадрика называется полным не цилиндрическим
сечением исходной квадрики. На рисунке 204
показано полное нецилиндрическое сечение
эллиптической цилиндрической поверхности
пространства $з-
Теперь докажем теорему, которая по существу
Рис. 204. является обобщением свойства 2°, п. 3, § 62
цилиндрической поверхности трехмерного пространства.
Теорема 173.3]. Пусть Ws —асимптотическое
подпространство s-цилиндрической квадрики, a G — некоторое полное нецилинд-
рическое сечение, расположенное в плоскости Щп-s), которая не имеет
ни одного ненулевого вектора из Ws. Тогда исходная цилиндрическая
квадрика представляет собой множество точек, принадлежащих всем
s-мерным плоскостям, проведенным через точки G параллельно Ws.
Замечание, s-мерные плоскости, проведенные через точки G
параллельно Ws, называются образующими данной цилиндрической
квадрики.
Доказательство. Обозначим через Г исходную
цилиндрическую квадрику второго порядка, а через Г' — множество точек,
принадлежащих всем плоскостям я5, проведенным через все точки G
параллельно Ws. Из теоремы [73.2] следует, что каждая точка
множества Г' принадлежит квадрике Г . Обратно, пусть М — точка
квадрики Г. Проведем через эту точку плоскость ns, параллельную Ws.
Так как пересечение подпространства Ws с подпространством
плоскости яя_5 есть нулевое подпространство, то их сумма имеет
размерность /г, поэтому согласно свойству Г теоремы [68.3] плоскости ns и
л;7_5 имеют общую точку Р.
По теореме [73.2] все точки плоскости ns, в том числе и точка Р,
принадлежат Г. Отсюда Р ? G и М ? Г'. Теорема доказана.
Данное нами определение цилиндрической поверхности для про-
странства Rn полностью согласуется с определением цилиндрической
поверхности для трехмерного пространства. Если, например, в про-
странстве R3 рассмотреть поверхность, заданную уравнением
х2 v2
- + -= I (3)
а2 Ъ2 w
то из теоремы [73.1] вытекает, что эта поверхность имеет ненулевые
векторы, причем все эти векторы образуют одномерное векторное
подпространство, поэтому поверхность (3) является 1-цилиндрической
458
квадрикой пространства R3 Точно так же можно убедиться в том,
что пара пересекающихся плоскостей, заданных уравнением
а2 Ь2
является 1-цилиндрической квадрикой, а пара слившихся плос-
костей х2 = О является 2-цилиндрической квадрикой в R3.
Из следствия Гдеоремы [73.11 получаем аналитический критерий
для определения цилиндрической квадрики, заданной уравнением.
Этот критерий выражается следующей теоремой:
Теорема [73.4 I. Для того, чтобы квадрика, заданная
уравнением (1), § 72, была s-цилиндрической, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы W (см. (13), § 72) был равен п — s, где s > 0.
Следствие. Если ранг квадрики меньше п — 1, то она
является цилиндрической квадрикой.
3. Конические квадрики. Квадрика называется конической, если
имеет хотя бы один центр, принадлежащий самой квадрике. Центр
квадрики,принадлежащий ей,называется вершиной конической квадрики.
Рассмотрим некоторые свойства конических гиперповерхностей
второго порядка.
Г. Если С — вершина конической квадрики, а М — некоторая
точка этой поверхности, отличная от С, то прямая МС целиком
принадлежит данной конической квадрике. В самом деле, так как С —
центр данной квадрики, тоМ\ симметричная М относительно С, также
принадлежит данной квадрике. Из теоремы [72.11 следует, что все
точки прямой СМ принадлежат данной квадрике.
Из этого свойства следует, что коническая квадрика состоит из
прямолинейных образующих, проходящих через вершину и имеющих
асимптотические направления.
2°. Любой центр конической квадрики принадлежит этой квадрике.
Доказательство. Пусть С — вершина конической
квадрики, а М — некоторый центр этой квадрики, отличный от С. Так как
С принадлежит данной квадрике, то С, симметричная с С по
отношению к М, также принадлежит данной квадрике. Но С и С —
различные точки, поэтому согласно свойству 1° все точки прямой СМ
принадлежат данной квадрике.
Мы показали, что все центры конической квадрики являются ее
вершинами.
Очевидно, данное нами определение конической квадрики
является обобщением понятия конической поверхности, введенного нами в
п. 4, § 62. В частности, поверхность, заданная в R3 уравнением
а1гх2 + а22у2 +Озз22 +2а12л:у 4- ^(ЧъУ2 + 2а13 хг = 0,
является конической квадрикой, так как начало координат является
центром этой поверхности, принадлежащим самой поверхности.
Выведем аналитический критерий для определения конической
459
квадрики. Пусть Х0—вершина конической квадрики, заданной
уравнением
a-^xi + 2b ^ + с = 0. ,4)
Так как x1q—центр данной квадрики, то аих10 + bf = 0. С
другой стороны, точка хо принадлежит квадрике (4), поэтому
аих1о х'о + 2bixl0 + с = 0 или (аих0 + bj)xlQ + btx[ + с = 0.
Отсюда: 6/ х1о + с = 0. Таким образом, если квадрика (4)
является конической и точка х1о — одной из вершин этой квадрики, то
координаты этой точки удовлетворяют системе (п + 1) уравнений
|в|/*0 + bj = 0, ГДе / = 1, ... , /2, /дч
\Ь4 + с = 0.
Очевидно, справедливо также и обратное утверждение, т. е. если
система (5) имеет хотя бы одно решение дсо, то квадрика (4) является
конической, а точка х10 — одной из вершин этой квадрики. Мы
пришли к следующей теореме.
Теорема [73.5]. Для того чтобы квадрика (4) была конической,
необходимо и достаточно, чтобы система (5) была совместной, т. е.
чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширенной
матрицы.
§ 74. Аффинная классификация квадрик
В настоящем параграфе рассмотрим аффинную классификацию
квадрик в Rn, т. е. выясним, сколько существует различных аф-
финно неэквивалентных квадрик в пространстве Rn. Другими
словами, здесь будет обобщен материал, изложенный в § 39. Однако в
отличие от теории кривых здесь системы координат предполагаются
общими декартовыми, поэтому уравнения квадрик получаются более
простыми, чем в § 39.
1. Принцип классификации квадрик. Пусть квадрика дана в
системе Oet уравнением
cLyxW + 2b ^ + с = 0. (1)
Рассмотрим задачу: путем надлежащего выбора новой системы
координат максимально упростить уравнение квадрики.
В качестве первого шага к решению этой задачи воспользуемся
следствием теоремы [70.4]. В соответствии с этим предложением
всегда существует такой канонический базис, в котором квадратичная
форма а^х* уравнения (1) имеет канонический вид (13), § 70. Если
Ое{ — исходная система координат, а аъ а2>-•> ап — новый
канонический базис, то уравнение квадрики в системе Оаь имеет вид:
dnff + .- + ЬгУУ + 2Ь\ у1 + ... + 2b'ny» + с = 0. (2)
Отсюда вывод: путем перехода от системы координат Ое1 к новой
системе Оаь (поворот системы координат) уравнение любой квадрики
460
можно привести к виду (2). При этом новые координатные векторы
образуют канонический базис квадратичной функции квадрики.
Дальнейшее упрощение уравнения (2) может быть выполнено
путем переноса начала координат в новую точку. При этом упрощение
уравнения (2) существенно зависит от того, имеет ли квадрика центры.
Докажем две леммы, пользуясь которыми уравнение (2) можно
подвергнуть дальнейшему упрощению.
Лемма [74.11. Если квадрика, заданная уравнением (2), имеет
хотя бы один центр, то путем надлежащего выбора новой системы
координат ее уравнение можно привести к виду:
ь^х1 + е2х2х2 + ... + егх'хг = е0, (3)
где г — ранг квадрики, в0 — единица или нуль, а \ег\ = |е2| =
= ... = | ej = 1, причем \ el ¦+¦ е2 4- ... 4- ег | есть сигнатура
квадрики.
Доказательство. Пусть С — один из центров квадрики.
Выполним перенос начала координат в точку С. Если С в исходной
системе имеет координаты (х[0, ..., Xq), то формулы преобразования,
как следует из (2), § 66, имеют вид:
у = г1 + Хо у2 = г2 + х20,..., уп = гп + xg.
Учитывая следствие теоремы [72,31, мы приходим к выводу, чго в
новой системе координат уравнение квадрики будет:
a'nz^1 4- anz4l 4-... 4- drrzTzr 4- d = 0.
г
Если ввести обозначения аа = — при с ф 0 и аа = ац при с = 0,
то предыдущее уравнение можно записать так:
a[[Zlzl 4- ci22Z2z2 + ... 4- arrzrzr = е0,
где su = 1 или 0.
Из теоремы [71.31 следует, что всегда существует такой
канонический базис, в котором квадратичная форма последнего уравнения
имеет вид (10), § 71. Если ех, е^, .... еп — рассматриваемый базис, то
в системе Cet квадрика имеет уравнение (3). Предложение доказано.
Лемма [74.21. Если квадрика, заданная уравнением (2), не имеет
ни одного центра, то путем надлежащего выбора новой системы
координат ее уравнение можно привести к виду:
ex*1*1 4- г2х2х2 4-... +&rxrxr 4- xr+i = 0, (4)
где г — ранг квадрики, а \ вг | = | е2 | = ... = | &Г \ = 1, причем
i8i+82 + --+8rl ecmb сигнатура квадрики.
Доказательство. Из теоремы [71.3] следует, что всегда
существует такой канонический базис, в котором квадратичная
форма уравнения (2) имеет вид (10), § 71. Если Oat —исходная
система координат, в которой квадрика имеет уравнение (2), а ег, е2, ...>еп—
новый канонический базис, то в системе Oet квадрика будет иметь
уравнение
е^1*1 4- sa22z2 + - + *tzTzT + 2cizi + - + 2спг'г + с = °> (5)
461
где через г\ г2, ..., гп обозначены координаты точек в системе Оеь.
Так как квадрика не имеет ни одного центра, то г < R < /г, где г и
R — ранги матриц (13), § 72. Это означает, что хотя бы один из
коэффициентов сг+1, ..., сп отличен от нуля. Пусть сг+1 ф 0. В
соотношении (5) сгруппируем члены соответственно с переменными г1, г2, ..., гг,
дополним каждую группу до полного квадрата и при надобности
добавим свободный член так, чтобы уравнение (3) не изменилось. Тогда
полученное уравнение можно записать в виде:
*i (г1 + е^г)2 4- е2 (г2 + г2с2)2 + ... -f- еГ (zr + ercr)r + 2cr+1z^ + ... +
+ 2cnz« + с* = 0, (6)
где через с* обозначен свободный член. Введем в рассмотрение новую
систему координат 0'е[, так, чтобы формулы преобразования имели
вид:
*i = г1 + еЛ, х'+1 = 2cr+1z'+1 + ... + 2cnz* + с*,
у2 -2 I о г W+2 7Г+2
хг = гг + еЛсг, х" = г".
Здесь х* — координаты точек в новой системе. Заметим, что новая
система всегда существует, так как матрица коэффициентов этих
соотношений имеет ранг /г. Подставив выражения (7) в (6), получаем
уравнение квадрики в виде (4). Лемма доказана.
Для удобства дальнейшего изложения классификацию квадрик
проведем для каждого из следующих случаев в отдельности: а)
центральные квадрики; б) нецентральные нецилиндрические квадрики;
в) цилиндрические квадрики, имеющие центры; г) цилиндрические
квадрики, не имеющие центров.
2. Классификация центральных квадрик. Из п. 5, § 72 следует,
что в данном случае квадрика имеет ранг /г, поэтому согласно лемме
[74.1] существует такая система координат, в которой уравнение
квадрики имеет вид:
г^х1 + г2х2х2 + ... + епхпхп = в0. (8)
Рассмотрим каждый из случаев е0 = 1 и е0 = 0 в отдельности,
а) е0 = 1. В зависимости от знаков коэффициентов е1э е2, ..., гп
возможны п + 1 видов квадрик:
х^х1 + х2х2 + ... -\-хп~1хп-1 + хпхп = 1, (8Х)
xW + х2х2 + ... + хп~* хп-^ — хпхп = 1, (82)
xixi — х2х2 —... — л;"-1 хп~1 — хпхп = 1, (8Я)
—хх xi — х2х2 — ... — хп~г хп~1 — хпхп = 1. (8Л+1)
Квадрики (8Х) и (8Л+1) называются эллипсоидами, а остальные —
гиперболоидами. Эллипсоид (8л+1) в отличие от остальных квадрик
462
не имеет ни одной действительной точки, поэтому
называется мнимым. Уравнения (8) называются нормальными уравнениями
рассматриваемых квадрик.
б) е0= 0. Из теоремы [73.5 ] следует, что квадрика, заданная этим
уравнением, представляет собой центральную коническую квадрику.
В зависимости от знаков e1? e2, ..., гп получаем следующие уравнения:
а:1 л:1 + х2х2 + ... + х'*"1 хп~1 4- хпхп = 0, (9t)
л:1*1 + х2х2 + ... + хп~1 х^1 — хпхп = 0, (92)
х*х1 — х2х2 — ... — хп~* х'1-1 — хпхп = 0, (9Я)
—х1х1 — х2х2 — ... — хп~1 хп~1 — хпхп == 0. (9я+1)
Умножив последние1 — уравнений на —1, мы приведем их к
первым — уравнениям, поэтому при п четном получаем — +1, а при
п нечетном получаем —f— различных типов конических квадрик.
Уравнения (9) называются нормальными- уравнениями конических
квадрик.
Резюмируя все сказанное выше, приходим к следующей теореме.
Теорема [74.3]. Б аффинном пространстве Rn при четном п
существует п -f 1 4- (-7 + 1) = -^Ч а при п нечетном (п + 1) +
-+- *—^~ = —^- видов центральных квадрик.
Можно показать, что если две квадрики принадлежат одному и
тому же виду: то существует аффинное преобразование точек,
переводящее одну квадрику в другую. Если квадрики принадлежат
различным типам, то такого преобразования не существует2.
3. Классификация нецентральных нецилиндрических квадрик. В
соответствии с леммой [74.2] существует такая система координат,
относительно которой уравнение данной квадрики имеет вид (4). Так
как квадрика нецентральная и нецилиндрическая, то г + I = п.
В самом деле, если /• + 1 < л, то г < п - 1 и согласно следствию
теоремы [73.4 ] квадрика будет цилиндрической.
Таким образом, в данном случае уравнение (4) принимает вид:
е^х1 + ... +&п-г хп~1 хп~1 + хп = 0.
В зависимости от знаков чисел ех, ..., &п_г получаем следующие
уравнения:
1 Здесь число, заключенное в прямоугольные скобки, равно целой части
данного числа. Например: [3,6] = 3.
2 Доказательство этого предложения мы опускаем. См. [4], глава V,
463
xlxl + x2x2 + ... + xn~l x»-1 + xn = 0, (lOi)
xlxl + x2x2 + ... — xn~l xn~l + xn = 0, (102)
—xlxl — x2x2 — ... — xfl~l xn~l + xn = 0. (10л)
Так же, как и в случае конической квадрики, умножив
соответствующие уравнения на —1, получаем при п четном — и при п нечетном
2i- различных групп квадрик. Эти поверхности называются
параболоидами, а уравнения (10) — их нормальными уравнениями.
4. Классификация цилиндрических квадрик, имеющих центры.
В соответствии с леммой [74.1] в данном случае существует такая
система координат, в которой уравнение квадрики принимает вид (3).
Так как квадрика цилиндрическая, то г < п и поэтому согласно
теореме [73.4] она является п — г цилиндрической квадрикой.
Уравнение (3) можно истолковать как уравнение центральной
квадрики в плоскости 0, ех, е2, ..., ег. Очевидно, эта поверхность
является одним из полных нецилиндрических сечений данной
цилиндрической квадрики.
Из выводов п. 2 следует, что если г дано, то при четном г
существует (г + 1) + /— + 1) = -^t_ , а при г нечетном (г + 1) +
. г+1 Зг+3
Н—— = —— различных видов цилиндрических квадрик ранга
г, имеющих центры.
5. Классификация цилиндрических квадрик, не имеющих центров.
В соответствии с леммой [74.2] всегда существует такая система
координат, в которой уравнение квадрики имеет вид (4). Данная квадрика
является цилиндрической, поэтому г+1 < п.
Из выводов п. 3 следует, что если г дано, то при г нечетном суще-
г4-1 г 4-2
ствует —!— , а при г четном —1— различных квадрик, не имеющих
центров.
6. Классификация квадрик в R2. Рассмотрим классификацию
кривых второго порядка на плоскости (п=2).
а) Неконические центральные кривые (/г + 1 = 3 вида):
х1х1 + х2х2 = 1 — эллипс,
х1х1 — х2х2 = 1 — гипербола,
—хгхх — х2х2 = 1 — мнимый эллипс.
б) Конические центральные кривые 1^- = 2 вида):
хгхг + х2х2 — 0 — пара пересекающихся мнимых прямых,
хгхх — х2х2 = О — пара пересекающихся действительных прямых.
464
в) Нецентральные нецилиндрические кривые 1А- = 1 вида):
х1хх + х2 = 0 — парабола.
г) Цилиндрические кривые, имеющие центры (-^— = 3 вида):
хгхг = 1 — пара параллельных прямых,
х1*1 = — 1 — пара параллельных мнимых прямых,
х1х1 = О — пара слившихся прямых.
В случае п = 2 цилиндрических квадрик, не имеющих центров,
нет, так как в последнем случае г + 1 < 2 и поэтому г < 1. Таким
/>/
образом, в /?2 существует девять различных аффинно неэквивалентных
видов кривых второго порядка.
Полученные выводы полностью согласуются с теоремой 139.31
о классификации кривых второго порядка на плоскости. Однако
заметим, что нормальные уравнения кривых, полученные здесь,
отличаются от соответствующих канонических уравнений § 39.
Нормальное уравнение кривой проще, чем каноническое уравнение той же
кривой. Это объясняется тем, что здесь в отличие от § 39 мы
пользуемся общей декартовой системой координат, что позволяет лучше
«приспособить» систему координат к кривой.
7. Аффинные инварианты квадрик. Из исследования,
проведенного в п. 5, § 72 о центрах квадрики,следует, что ранги г и R матриц
(13), § 72 имеют геометрический смысл, поэтому не зависят от выбора
системы координат. Учитывая, что основная матрица системы (5), §73
совпадает с матрицей W (см. (13), § 72), из теоремы [73.51 мы
заключаем, что ранг р расширенной матрицы системы (5), § 73 также имеет
геометрический смысл и потому не зависит от системы координат.
Сигнатура а квадрики, как было отмечено выше, не зависит от выбора
системы координат. Величины г, R, р и о являются аффинными
инвариантами квадрики. Если квадрика дана уравнением (1), то по
этим инвариантам можно определить тип квадрики, не приводя ее
уравнение к нормальному виду. Ниже дана таблица этих
инвариантов для всех нецилиндрических квадрик.
Если квадрика цилиндрическая, то по теореме [73.4] определяем
размерность образующих, а по таблице, приведенной ниже, —
характер полного нецилиндрического сечения.
Тип квадрики
1. Эллипсоиды
2. Гиперболоиды
3 Мнимая центральная коническая квадрика
4 Действительная центральная коническая
квадрика
5. Параболоиды
г
п
п
п
п
/1 — 1
R
п
п
п
п
п
/»
п+ 1
п + 1
п
п
п + 1
а
п
<п
п
<п
465
§ 75. Квадрики в евклидовом
пространстве
В предыдущих трех параграфах мы изучили квадрики в простран-
стве Rn. Очевидно, все эти выводы имеют место и в пространстве Е Л.
Однако благодаря метрическим свойствам пространства Еп мы можем
рассмотреть некоторые новые, так называемые метрические свойства
квадрик. Настоящий параграф посвящен этому вопросу.
1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Нам
необходимо рассмотреть некоторые свойства квадратичных функций,
заданных в евклидовом пространстве Еп. В § 70 мы рассмотрели
основные свойства квадратичных функций в линейном векторном
пространстве Rn . В частности, там было показано, что в пространстве /?Л
существует канонический базис, т.е. базис, в котором матрица
квадратичной функции имеет диагональный вид. Здесь мы докажем важную
теорему о том, что в пространстве Еп всегда существует ортонормиро-
ванный канонический базис. Предварительно рассмотрим ряд
вспомогательных понятий.
2. Собственные векторы и характеристические числа. Ненулевой
вектор р называется собственным вектором квадратичной функции
Ф (лг, х), если существует такое число А,, что для любого вектора х
пространства Еп имеем:
Ф(*,р) = Х(х,р). (1)
Здесь хр—скалярное произведение векторов. Число X называется
характеристическим числом квадратической функции,
соответствующим вектору р, или просто характеристическим числом вектора р.
Легко видеть, что если р — собственный вектор, то все ненулевые
векторы одномерного подпространства, определяемого вектором р,
являются также собственными векторами и имеют одно и то же
характеристическое число. Поэтому, так же как и в случае линейных
преобразований, целесообразно говорить о собственных направлениях
квадратичной функциии.
Мы видим, что имеется некоторая аналогия между собственными
векторами и характеристическими числами квадратичной функции и
линейного преобразования (см. п. 1, § 22). Это не случайно. Можно
доказать, что в пространстве Еп существует взаимно однозначное
соответствие между квадратичными функциями и симметрическими
линейными преобразованиями. При этом собственные векторы и
характеристические числа соответствующих функций совпадают. Для
пространства Е2 мы этот вопрос по существу рассматривали в п. 4, §38.
Доказательство этого предложения для общего случая пространства
Еп выходит за рамки настоящего учебника1.
1 См. например, [4], § 27,
4G6
3. Основные уравнения для определения собственных векторов
и характеристических чисел. Пусть в ортонормированном базисе
ёъ • • • » ёп Дана квадратичная функция матрицей
/ ФИ Ф12 • • • Ф1Я\
ф21 Ф22 • • • Ф2п (2)
Ч«1 ФЛ2 ••• Ф/ш'"
Из определения, данного выше, следует, что для того, чтобы
вектор р{рг, р2, ..., рп) был собственным вектором с характеристическим
числом А,, необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора р
удовлетворяли соотношениям:
Ф/ур> = А,р' (/ = 1,2, ... ,п). (3)
В самом деле, если р — собственный вектор с характеристическим
числом X, то выполняются соотношения (1). Подставляя сюда вместо
х базисные векторы glt ... , gn и записав разложение вектора /?, мы
получаем соотношения (3). Обратно, если выполняются соотношения
(3), то, умножая эти соотношения последовательно на х1, х2, ..., хп
и складывая, получаем соотношение (1). Таким образом, задача
определения всех собственных векторов и характеристических чисел
сводится к решению системы уравнений (3). Эта задача совершенно
аналогична той, какую мы рассматривали в § 22. Сейчас мы
сформулируем теорему, которая позволит определить все характеристические
числа данной квадратичной функции. Подставив каждое из
полученных характеристических чисел в систему (3), получаем систему
однородных уравнений, из которой определяем координаты вектора,
соответствующего данному характеристическому числу,
Теорема [75.11. Если квадратичная функция ф (х, х) в
ортонормированном базисе g*i, g*2> •••» gn определяется матрицей (2), то все
характеристические числа являются корнями следующего уравнения:
Фи — ^ Фи • • • Ф1Л
ф21 ф22 — ^ • • • Ф2*
S(X)
Фл1 Ф/г2 ¦•• фял— К
О- (4)
И обратно, всякий корень этого уравнения является
характеристическим числом данной квадратичной функции.
Доказательство. Пусть X — характеристическое число
данной квадратичной функции. Это означает, что существует такой
ненулевой вектор р, что для любого вектора х имеет место
соотношение (1).
Разложив вектор р по базису glf g2, ..., gn,будем иметь:
Р = Plgf
Подставив эти выражения для р в (1), получаем:
467
Так как это соотношение имеет место для любого вектора х1 то,
подставив вместо л: последовательно векторы базиса g'i,gr2i««->fipn и
принимая во внимание, что этот базис ортонормированный, получим
соотношения (3):
(Фи - Ь) Р1 + Ф12Р2 + • - • + ЧхпРп = О,
Ф21Р1 + (Ф22 — ^ Р2 + • • • + Ч>2ПРП = 0. (3'Ч
фшр1 ' + фл2р2+ •-¦ +(фяя —я)рл='о!
Так как {/?'} — ненулевой вектор, то определитель системы (3')
равен нулю, поэтому имеет место соотношение (4).
Обратно, пусть К — корень уравнения (4). Это означает, что
система (3') имеет ненулевое решение р1. Подставим это решение в си-
ситему (3) и запишем ее в виде:
Ф1/Р' = Ьр1. ФмР* = *Ра, • • • , VniP1 = hPn- (5)
Возьмем произвольный вектор х и рассмотрим его координаты в
базисе gl9 g2, ...,ga:
х{х\ х2, ... , хп\.
Умножив каждое из соотношений (5) на соответствующий х\
получаем:
п.
х1уир> = А, 2 х*Р1 или ф (х% р) = Цх, /?),
1=1
т. е, вектор р является собственным вектором квадратичной фун-кции
ф (х, х).
Эта теорема позволяет определить все собственные векторы
квадратичной функции. В самом деле, решив уравнение (4), мы найдем все
характеристические числа квадратичной функции. Подставив каждое
из полученных чисел в систему (3'), определяем все собственные
векторы, соответствующие этому характеристическому числу. При этом
следует учесть, что одному и тому же характеристическому числу
могут соответствовать различные линейно независимые собственные
векторы.
Многочлен, находящийся в левой части уравнения (4), называется
характеристическим многочленом квадратичной функции ф (х, лг).
4. Теорема о корнях характеристического уравнения. Прежде всего
докажем следующую важную теорему.
Теорема [75.2]. Характеристический многочлен (4)
квадратичной функции не имеет комплексных корней.
Доказательство. Пусть а + ф — комплексный корень
уравнения (4). Так как S (к) — многочлен, то а — ф также является
корнем этого уравнения. Этим комплексным корням, очевидно,
соответствует две системы комплексно сопряженных чисел, являющихся
решением уравнения (3'):
pi = а> + ib\ р2 = а2 + ib2, ... ,рл = ап + ibn.
qi = a1 — ib\ q2 = а2 •— ib2, ... ,qn = an — ib\
468
Подставив эти значения в соотношения (3), получаем:
<рЛ, (о/ + 1Ы) = (а + ф) (а* + ib%
ФЛ/ (а' —i&0 = (а — Ф) (ak — rb*).
Умножив первые из этих соотношений на ak — ibk и суммируя по &,
а вторые соотношения на ак + / bk и суммируя по k, будем иметь:
п
{а* _ #*) ф^ (ау + ДО) = (а + ф) 2 (а*а* + bkb%
п
(ak + ibk) cpft/ (a> — Й>0 = (a — »P)2 (aftflft + 6*6*).
k=-\
Так как функция фй/ симметрическая, то левые части этих
уравнений равны, тогда правые части также равны. Легко видеть, что
п
2 (aka* + bkbk) Ф О,
так как /?\ р2, ..., рк одновременно не равны нулю. Таким образом,
a 4- ф = a — ф и |3 = 0. Мы пришли к выводу, что корень а + ф —
действительный. Теорема доказана.
5. Основные свойства собственных векторов. Теорема [75.2]
позволяет легко доказать ряд предложений о наличии и характере
собственных векторов квадратичной функции.
Г. Квадратичная функция в пространстве Еп имеет по крайней
мере один собственный вектор.
В самом деле, характеристический многочлен (4) является
алгебраическим уравнением /г-й степени, поэтому имеет хотя бы один
корень, который в силу доказанной теоремы является действительным.
Согласно теореме [75.1] этому корню соответстует собственный
вектор.
2°. Если собственным векторам р и q соответствуют различные
характеристические числа, то они ортогональны.
Обозначим через Х1 и Х2 характеристические числа векторов puq.
По определению для любого вектора х имеем:
g (х, р) = Хх (хр), g {х, q) = Х2 (xq).
Положив в первом из этих соотношений х = qt а во втором х = р
и учитывая, что g (p, q) = g (q, /?), будем иметь:
KiPQ) = ЧЯР)-
Так как А,х Ф А,2, то pq = 0, т. е. р и q ортогональны,
3°. В npocmpanctnee Е2 любая квадратичная функция имеет по
крайней мере два взаимно перпендикулярных собственных вектора1.
Запишем характеристическое уравнение для данного случая:
|фц — к ф12 I
1Ф21 Ф22— Ц
S(K)
= 0.
1 Эго свойство по существу совпадает со следствием теоремы [38.4].
Так как ср12 = ф21, то это уравнение принимает вид:
№ — Ь (Фи + Ф22) + Фи ф22— Ф212 = 0.
Дискриминант этого уравнения имеет вид:
J = (Фи — Ф22)2 + 4ф212-
Если J Ф 0, то характеристическое уравнение имеет два
различных корня, поэтому наше утверждение непосредственно вытекает из
свойства 2°.
Если J = 0, то фи = ф22 и Ф12 = 0. В этом случае
характеристическое уравнение имеет единственный корень к0 = фи = ф22.
Подставив это значение в уравнения (3'), мы видим, что они обращаются в
тождество, т. е. любой ненулевой вектор пространства Е2 является
собственным.
Теперь докажем следующую основную теорему, которая является
обобщением свойства 3° на произвольное пространство Еп.
Теорема [75.3]. Квадратичная функция ф (х,х) в
пространстве Еп имеет по крайней мере одну ортонормированную сопряженную
систему п собственных векторов.
Доказательство. Рассуждения приведем методом
математической индукции. В силу свойства 3° это утверждение
справедливо для п = 2. Предположим, что оно справедливо для всех
пространств Ek при k < п — 1, и докажем для Еп. Согласно свойству 1
квадратичная функция ф (х,х) имеет хотя бы один собственный вектор р0.
Не нарушая общности, можно считать, что этот вектор единичный.
Обозначим через А,0 характеристическое число, а через Еп_1 —
подпространство, ортогональное вектору р0. В силу предположения
индукции в этом подпространстве существует ортонормированная
система #1, <72, ..., qn-i собственных векторов квадратичной функции
Ф (х,х) относительно подпространства Еп_^ т. е. для каждого из этих
векторов qK (х= 1, 2,..., п — 1) и соответствующего
характеристического числа А,х имеет место соотношение
?WsW» (6)
где у — любой вектор подпространства Еп^г. Покажем, что эти же
векторы qv q2, ..., qn^ являются собственными векторами функции
ф(лг, л:) относительно всего пространства Еп. Другими словами,
ненеобходимо показать, что соотношения (6) имеют место для любого
вектора х пространства Еп. Система р0, qlt q2t ..., qn
—i
ортогональная, поэтому она является базисом пространства Еп. Разложим
произвольный вектор х пространства Еп по этому базису:
х = х?р0 + x*qK = x0p0 + г,
где г ? ?„_!. Тогда
Ф (¦*» #*)= Ф (*°А> +г, #н)= *° Ф (А)>?и)+Ф (Л #*).
Так как г ? Еп^ , то
?г. **) = КС я*У
470
поэтому
ф (¦*. ян) = *%>шк ) + к( r<iv) = к и*) = К№ро + г, <7j =
= М* qK).
Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что
если #!, q2, ..., qn — ортогональный базис, состоящий из
собственных векторов, то этот базис сопряжен относительно квадратичной
функции ф (хух). В самом деле, из соотношения (1), положив x=gi,
Р = Sj (* ^ /)» получаем: ф (gi9 gj) = 0. Теорема доказана.
6. Главные направления и главные диаметральные плоскости
квадрики. Собственные направления квадратичной функции данной
квадрики называются главными направлениями квадрики1. Если
квадрика в ортонормированной системе задана общим уравнением (1),§ 74,
то для определения главных направлений можно воспользоваться
формулами (3), которые в данном случае запишутся так: atJpJ = Хр1. Из
теоремы [75.31 немедленно следует:
Теорема 175.41. Каждая квадрика в пространстве Еп имеет
по крайней мере одну систему п взаимно перпендикулярных главных
направлений. Векторы этих направлений попарно сопряжены
относительно данной квадрики.
Понятие главных направлений тесно связано с понятием главных
диаметральных гиперплоскостей, являющимся прямым обобщением
понятия главных диаметров кривых второго порядка (см. п. 5, § 41).
Диаметральная гиперплоскость квадрики называется главной, если она
ортогональная вектору, соответствующему ей. Отсюда следует, что
всякая главная диаметральная гиперплоскость квадрики является
гиперплоскостью симметрии.
Для определения главных диаметральные гиперповерхностей
квадрики можно воспользоваться следующим предложением, которое яв-
ляется обобщением теоремы [41,5] на Rn : для того чтобы
диаметральная гиперплоскость квадрики была главной, необходимо и
достаточно, чтобы соответствующий вектор был вектором главного, но не
асимптотического направления.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
§ 76. Классификация квадрик в трехмерном евклидовом
пространстве
В настоящем параграфе рассмотрим вопрос о приведении уравне-
ния квадрики к каноническому виду в пространстве Еп при помощи
преобразований прямоугольных декартовых координат. Сначала рас-
1 Выше было отмечено, что заданием квадрики квадратичная функция не
определяется однозначно, однако легко видеть, что все квадратичные функции данной
квадрики имеют одни и те же собственные направления, поэтому понятие
собственных направлений имеет геометрический смысл. В отличие от этого характеристические
числа различных квадратичных функций данной квадрики различны, поэтому они
не имеют геометрического смысла.
471
смотрим принцип упрощения уравнения квадрики для произвольного
/г, а далее, пользуясь этой схемой, дадим классификацию квадрик в
обычном трехмерном пространстве.
I. Упрощение уравнения квадрики в пространстве Еп. Пусть
прямоугольная декартова система координат 0gt выбрана в
соответствии с теоремой [75.3 1. В этом базисе, очевидно, матрица квадрики
имеет диагональный вид, поэтому уравнение квадрики запишется так:
апх1х1 + а22х2х2 + ... + аггхгхг + 2Ьххх + ... +- 2Ьпхп = с. (1)
Здесь аХ1 ф О, а22ф0, ..., агг ^0 и г—ранг квадрики.
Дальнейшее упрощение уравнения (1) может быть выполнено путем переноса
начала координат в новую точку. При этом упрощение существенно
зависит от того, имеет ли квадрика центры. Заметим,,что путем
выбора прямоугольной декартовой системы координат пространства Еп,
вообще говоря, нельзя привести уравнение квадрики к нормальному
виду (3) или (4), § 74, однако можно получить уравнения более
простые, чем уравнение (1).
а) Упрощение уравнения квадрики,
имеющей центр. Если начало координат поместить в центр квадрики,
то согласно следствию теоремы [72.3] уравнение квадрики (1) в новой
системе будет иметь вид:
anxlxl + а22х2х2 + ... + аггхгхг = с. (2)
Здесь х1, л:2, ..., хг — координаты точек в новой системе координат1.
Не нарушая общности, можем считать, что в этом уравнении
свободный член с равен 1 или 0, так как если с ф 0, то, разделив это
уравнение на —су получаем уравнение той же квадрики, удовлетворяющее
этому условию. Уравнение (2) называется каноническим уравнением
квадрики.
б) Упрощение уравнения нецентральной
нецилиндрической квадрики. В этом случае, очевидно,
R = п, где R— ранг матрицы W (см. (13), § 72). Так же как и при
доказательстве леммы [74.2], можно путем переноса начала
координат перейти к новой прямоугольной декартовой системе координат
так, чтобы уравнение в новой системе имело вид:
апх1х1 + а22х2х2 + ... + ап^ п_х х^ х^ + 2Ьпх» = 0. (3)
Очевидно, Ьп ф 0, так как R = п. Разделив полученное уравнение
на —Ьп, получаем каноническое уравнение данной квадрики в виде:
axlxlxx -f а22х2х2 + ... + ап_х л-1 xll~l хп~1 = 2хп. (4)
В этом пункте нас интересует только идея преобразований уравнений квадрик,
а не конкретные выкладки. Поэтому здесь и в дальнейшем при переходе от одной
системы координат к другой будем применять одни и те же обозначения как для
координат точек, так и для коэффициентов уравнений. Это значительно облегчит
способ изложения.
472
в) Упрощение уравнения цилиндрической
квадрики, не имеющей центров. В этом случае, очевидно,
г < R < п. Из теоремы [73.4 ] следует, что квадрика п — R
цилиндрическая. Если прямоугольную декартову систему координат Ogh
взять так, чтобы последние п — R векторов принадлежали
асимптотическому подпространству квадрики, то из теоремы [73.11 следует,
что aia = 0, Ьа = О, (i = 1, ..., п\ а = п — k + I, ..., /г), поэтому
исходное уравнение (1), § 74 будет иметь вид:
а^х* + 2Ьххк + с = О, (5)
где X, \х = 1, 2, ..., R. Рассматривая плоскость Oglg2 ... gR как
самостоятельное /?-мерное евклидово пространство и учитывая, что
г < R, в этой плоскости можно выбрать ортонормированный базис
Чъ <?2> •••> Qr так* чтобы уравнение (5) приняло вид (4), при п = /?,
т. е. вид:
anxlxl + a22x2x2 -J- ... + аггхгхт = 2хг+К (6)
Так как плоскости Oq±q2...qR и OgR+1...gn ортогональны, то система
векторов ql9 q2, ... qR, gR+i... убудетортонормированным базисом
пространства Еп, Уравнение (6) называется каноническим.
Пользуясь этой схемой, проведем классификацию и запишем
канонические уравнения квадрик пространства Е3
2. Классификация центральных квадрик в Е3. ^ данном случае
уравнение (2) принимает вид:
апх1х1 + а22 х2х2 + а.33 х3хг = с. (7)
Рассмотрим две возможности: с = 1 и с = 0.
Г. с = 1. Так как аи • а22 • ад3 =И= 0, то можно ввести обозначе-
V
и учитывая различные возможности для знаков коэффициентов,
получаем следующие канонические уравнения поверхностей второго
порядка, изученных нами в главе X:
ч х1х1 . х2х2 . A3 ,
а) 1 1 = 1 — эллипсоид;
а2 Ь2 с2
yly»l X. X XX
б) 1 = 1 — однополостный гиперболоид;
а2 Ь2 с2
xSxS х2х2 х^х
в) 1 = — 1 — двуполостный гиперболоид;
а2 Ь2 с2
х^~х\ х2х2 х^х
г) =1 — мнимый эллипсоид.
а2 Ь2 с2
2°. с = 0. Если ввести обозначения, аналогичные предыдущим: [аи|=
= —, Iо,* I = —, а31=-, то в данном случае из уравнения (2)
ь2 \ \ с2
473
ния:
ап
~Т> #22
— . Подставив эти значения в (7)
получаем всего два существенно отличных друг от друга типа
поверхностей второго порядка.
х^х1 х2х2 х?х*
д) 1 = 0 — действительная коническая поверхность;
а2 Ь2 с2
х^х^ х2х2 х^х^
е) 1 1 = 0 — мнимая коническая поверхность.
а2 Ь2 с2
/>^
3. Классификация нецентральных нецилиндрических квадрик в Е3.
Уравнение (4) принимает вид:
аах1х1 + а22х2х2 = 2х3. (8)
Так как коэффициенты а1± и я22 не равны нулю, то возможны
следующие два случая:
а) оба коэффициента ап и а22 имеют один и тот же знак. Если
положить ап = —, а22 = —, то уравнение (8) принимает вид:
а2 Ь2
%\уЛ Х2Х2
• 1 = 2хъ — эллиптический параболоид.
G2 Ъ2
б) Коэффициенты ап и а22 имеют разные знаки. Пусть, например,
ап > 0, а22 < 0. Если ввести обозначения а11=—, «22 = >
а2 Ь2
то уравнение (8) принимает вид:
д-1д-1 Х2Х2
= 2х3 — гиперболический параболоид.
4 Классификация цилиндрических квадрик в Е3. Так как г <#<3,
то в пространстве Е3 возможны следующие три типа цилиндрических
квадрик: а) цилиндрические квадрики ранга два, имеющие центры;
б) цилиндрические квадрики ранга один, имеющие центры; в)
цилиндрические квадрики ранга один, не имеющие центров. Рассмотрим
каждый из этих случаев в отдельности.
а) Цилиндрические квадрики ранга два,
имеющие центры. Уравнение (2) в данном случае принимает
вид: ацХ^-х1 + а22х2х2 = с.
1
Вводя обозначения
fli
я,
22
1
= — и учитывая раз-
а2
личные возможности для знаков коэффициентов аг1 и а22, получаем
следующие канонические уравнения поверхностей второго порядка:
известных нам из предыдущего изложения,
а) UL _| =- 1 — эллиптическая цилиндрическая квадрика;
а2 Ь2
д4д;1 Х2Х2
б) = 1 — гиперболическая цилиндрическая квадрика;
а2 Ь2
474
tf.%1 JC2JC2
в) =1 — мнимая эллиптическая цилиндрическая
квадрика;
г) =0—пара действительных пересекающихся плоскостей;
д) 1 = 0 — пара мнимых пересекающихся плоскостей.
а2 б2
б) Цилиндрические квадрики ранга один,
имеющие центры. В данном случае уравнение (2) принимает
вид:
Вводя обозначение I ап 1 = —, получаем следующие канониче-
1 ' а2
ские уравнения поверхностей второго порядка:
а) = 1 — пара параллельных плоскостей;
lyl
XLX
б) = — 1 — пара мнимых параллельных плоскостей;
1*1
ХХХ}
в) = 0 — пара слившихся плоскостей,
в) Цилиндрические квадрики ранга один,
не имеющие центров. Уравнение (6) в данном случае
принимает вид:
С1цХ X == АХ ш
Если положить ап = —, то получаем каноническое уравнение па-
р
раболической цилиндрической квадрики:
х1х1 = 2рх2
/^
5. Теорема о классификации квадрик в Е3. Резюмируя все
приведенные выше выводы, мы можем сформулировать следующую
фундаментальную теорему:
Теорема [76.11. Существуют семнадцать и только семнадцать
видов поверхностей второго порядка, приведенных в следующей
таблице1.
1 В этой таблице символ оо1 означает, что поверхность имеет прямую центров,
а оо2 —плоскость центров.
475
№ п/п
Название поверхности
Каноническое уравнение
1 Эллипсоид
2 Однополостный гиперболоид
3 I Двупол остный гиперболоид
4 | Мнимый эллипсоид
5 | Вещественная коническая
поверхность
Мнимая коническая
поверхность
Эллиптический параболоид
8 | Гиперболический параболоид
9 | Эллиптическая
цилиндрическая квадрика
10 I Гиперболическая
цилиндрическая квадрика
11 Мнимая эллиптическая
цилиндрическая поверхность
12 Пара вещественных
пересекающихся плоскостей
13 Пара мнимых плоскостей,
пересекающихся по вещественной
прямой
14 Пара вещественных
параллельных плоскостей
15 Пара мнимых параллельных
плоскостей
16 Пара слившихся плоскостей
17 Параболическая
цилиндрическая поверхность
х1х1 х?х*
а2 Ь2 с
.2
а2
Ь2
х1хх х*хл
Х3Х*
xlxl xlx2 хлх*
+ ¦
Х3Х3
XLXV Х'Х2 ХЛХ*
1 **1 Х2Х2
+ = 2х*
^ Ь2
а
хЧс[
а
х1х1
~~&
Х1Х]
а'
х1х1
1 У1 Х2Х2
— — = 2jc3
Ь2
х*х*
а'
xLxl х*хй
"X + Ъ2
а2
а-
xW
а2
xhc1
а
х'х*
Ь2
х1х1 х2х2
XW — а2 = 0
XW + а2 = 0
х1*1 = 0
х1х1 = 2рх3
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П. С Лекции по аналитической геометрии. М.,
«Наука», 1968.
2. А р г у н о в Б. И. и Б а л к М. Б. Геометрические построения на
плоскости. М., Учпедгиз, 1957.
3. Атанасян Л. С Аналитическая геометрия. М., «Просвещение», т. I,
1967, т. И, 1970.
4. А т а н а с я н Л. С. Основы многомерной геометрии. М., Изд-во МГПИ
им. В. И. Ленина, 1963.
5. Бахвалов СВ., Бабушкин Л. И., Иваницкая В. П.
Аналитическая геометрия. Изд. 5. М., «Просвещение», 1970.
6. Болтянский В. Г., Я г л о м И. М. Векторы в курсе геометрии
средней школы. М., Учпедгиз, 1962.
7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, изд. 10. M.t
«Наука», 1972.
8. Выгодский М. Я. Аналитическая геометрия. М., Физматгиз, 1963.
9. Гильберт Д. Основания геометрии. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
10. Д е л о н е Б. Н. и Райков Д. А. Аналитическая геометрия. М.—Л.,
Гостехиздат, т. I, 1948, т. II, 1949.
11. Дубнов Я. С. Основы векторного исчисления. М., Гостехиздат, 1948.
12. Е ф и м о в Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, изд. 10. М.,
«Наука», 1969.
13. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и
многомерная геометрия. М., «Наука», 1970.
14. Л о п ш и ц А. М. Аналитическая геометрия. М., Учпедгиз, 1948.
15. Л ю с т е р н и к Л. А. Выпуклые тела. М.—Л., Гостехиздат, 1941.
16. М о д е н о в П. С. Аналитическая геометрия. Изд. 2. М., Изд-во МГУ, 1969.
17. Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. Изд. 4, М.
«Высшая школа», 1967.
18. П е р е п е л к и н Д. И. Курс элементарной геометрии. М.—Л.,
Гостехиздат, т. I, 1948, т. II, 1949.
19. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М., «Наука», 1966.
20. Тышкевич Р. И., Ф е д е н к о А. С. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия. Минск, «Вышэйная школа», 1968.
21. Ш и л о в Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Изд. 2. М.,
Гостехиздат, 1956.
22. Я г л о м И. М. Геометрические преобразования. М., Гостехиздат, т. [,
1955, т. II, 1956.
23. Яглом И. М. и Болтянский В. Г. В ыпуклые фигуры. М.—Л.,
Гостехиздат, 1951.
24. Энциклопедия элементарной математики, т. IV. М. Физматгиз, 1963.
25. Атанасян Л. С, Атанасян В. А. Сборник задач по
аналитической геометрии1, М., «Просвещение», 1968.
26. А т а н а с я н Л. С., Васильева М. В., Г у р е в и ч Г. Б.,
Ильин А. С, Козьмина Т. Л., Редозубова О. С Сборник задач по
элементарной геометрии, изд. 2. М., «Просвещение», 1964.
27. Бахвалов СВ., Моденов П. С, Пархоменко А. С.
Сборник задач по аналитической геометрии, изд. 3. М., «Наука», 1964.
28. К л е т е н и к Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии, изд. И.
М., «Наука», 1972.
29. М а й о р о в В. М., Скопец 3. А. Векторное решение геометрических
задач, М., «Просвещение», 1968.
30. Скопец 3. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по элементарной
геометрии, М., Учпедгиз, 1962.
31. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии, изд. 30. М., «Наука», 1970.
1 В 1973 г. выйдет из печати новое издание—«сборник задач по геометрии, ч. I»
Оно полностью соответствует содержанию настоящей книги.
477
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел первый. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Элементы векторной алгебры в пространстве
§ 1. Понятие вектора; сложение и вычитание векторов 5
§ 2. Умножение вектора на число; деление коллинеарных векторов ... 14
§ 3. Линейная зависимость; векторные подпространства 20
§ 4. Координаты вектора на плоскости 24
§ 5. Координаты вектора в пространстве 32
§ 6. Скалярное произведение векторов 35
§ 7. Вычисление скалярного произведения, длины вектора и угла между
векторами по их координатам 42
§ 8. Приложение векторной алгебры к элементарной геометрии 45
Глава II. Координаты точек на плоскости. Уравнение множества точек
§ 9. Координаты точек на плоскости 51
§ 10. Решение простейших задач аналитической геометрии в координатах 55
§ 11. Формулы преобразования координат. Комплексная плоскость ... 60
§ 12. Полярные координаты 67
§ 13. Понятие уравнения множества точек. Составление уравнения и его
исследование 70
§ 14. Некоторые замечательные кривые 77
§ 15. Приложение метода координат к доказательству теорем и решению
задач элементарной геометрии 83
Глава III. Прямая линия на плоскости
§ 16. Прямая в общей декартовой системе координат 89
§ 17. Взаимное расположение прямых; пучок прямых 97
§ 18. Некоторые метрические задачи теории прямой 102
§ 19. Геометрический смысл линейных неравенств с двумя переменными Ю6
§ 20. Приложение теории прямой к решению задач элементарной
геометрии ПО
Глава IV. Аффинные преобразования плоскости
§ 21. Линейные преобразования векторов плоскости 116
§ 22. Собственные векторы и характеристические числа; классификация
линейных преобразований 125
§ 23. Преобразования точек плоскости 130
478
§ 24. Аффинные преобразования плоскости • • . 138
§ 25. Различные способы задания аффинных преобразований U5
§ 26. Инвариантные образы аффинных преобразований; принцип
классификации . 149
Глава V. Преобразования подобия и движения. Группа аффинных
преобразований и ее под(руппы. Приложение к решению задач
элементарной геометрии
§ 27. Ортогональные преобразования векторов ..«.....*.. 153
§ 28. Линейные преобразования подобия •••••••••• 163
§ 29. Преобразования подобия и движения ........ 168
§ 30. Классификация преобразований подобия и движения 175
§ 31. Группа геометрических преобразований. Общее определение
геометрии , 18Q
§ 32. Инверсии. Применение теории преобразований к решению
геометрических задач 183
§ 33. Применение групповых свойств преобразований к доказательству
теорем о произведениях движений ••••••• 193
Глава VI. Кривые второго порядка
§ 34. Эллипс 203
§ 35. Гипербола 212
§ 36. Парабола 224
§ 37. Задачи на множества точек, приводящие к эллипсу, гиперболе и
параболе; их уравнения в полярных координатах 228
§ 38. Определение кривой второго порядка. Главные направления .... 235
§ 39. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому
виду и их классификация 243
§ 40. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические
направления и асилттоты , . 254
§ 41. Диаметры, центр и касательные кривой второго порядка .••••• 261
Раздел второй. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ
И КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВЫХ
И АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Глава VII. Метод координат в пространстве. Векторное и тройное
произведения векторов
§ 42. Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в
координатах 273
§ 43. Ориентация упорядоченной тройки векторов 279
§ 44. Тройное произведение векторов ¦ 287
§ 45. Векторное произведение векторов 293
§ 46. Приложение метода координат в пространстве и векторной алгебры
к элементарной геометрии 293
Глава VIII. Плоскость и прямая в пространстве
§ 47. Плоскость в общей декартовой системе координат 304
§ 48. Взаимное расположение плоскостей. Пучок и связка плоскостей . . 312
§ 49. Метрические задачи теории плоскости . . 313
§ 50. Геометрический смысл линейных неравенств с тремя переменными 323
§ 51. Прямая в пространстве 327
§ 52. Взаимное расположение прямых и плоскостей .......... 332
4/9
§ 53. Некоторые метрические задачи на прямую и плоскость 336
§ 54. Приложение теории плоскости и прямой к стереометрии 341
Глава IX. Выпуклые многоугольники и многогранники
§ 55. Выпуклые фигуры. Многоугольники 346
§ 56. Выпуклые многоугольники 353
§ 57. Многогранные поверхности 358
§ 58. Многогранники 365
§ 59. Выпуклые многогранники 370
Глава X. Поверхности второго порядка
§ 60. Поверхность и ее уравнение 375
§ 61. Поверхности вращения. Сферические поверхности ........ 383
§ 62. Цилиндрические и конические поверхности 389
§ 63. Эллипсоид и гиперболоиды 398
§ 64. Параболоиды 409
Глава XI. Многомерные аффинные и евклидовы пространства
§ 65. Многомерное векторное пространство 415
§ 66. Аффинное точечно-векторное пространство 422
§ 67. /С-плоскость и ее уравнение 425
§ 68. Взаимное расположение многомерных плоскостей 432
§ 69. Многомерное евклидово пространство 436
§ 70. Билинейные и квадратичные функции 442
§ 71. Сигнатура. Приведение квадратичной формы к нормальному виду 448
§ 72. Квадрики в аффинном пространстве 453
§ 73. Цилиндрические и конические квадрики 456
§ 74. Аффинная классификация квадрик 460
§ 75. Квадрики в евклидовом пространстве 466
§ 76. Классификация квадрик в трехмерном евклидовом пространстве . . 471
Лшпгратура • 477
Атанасян Левой Сергеевич
ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ I
Редакторы В. Г. Долгополое и Г. С. Уманский
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. И. Смирнова
Корректоры Т. М. Графсвская и К. А. Иванова
Сдано в набор 5/VII 1972 г. Подписано к печати 13/XII 1972 г. 60X90"/ie- Бумага тип. № 2
Шч. л. 30. Уч.-изд. л. 30. 20. Тираж 72 000 экз. А07422.
Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Минисгров РСФСР по лелам
издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского полиграфического комбината на Калининском поли-
графкомбинате детской литературы Росглавполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Калинин, проспект 50-летия Октября, 46. Зак. № 258.
Цена 95 icon.