И. В. МАТВЕЕВ
ФУНКЦИИ
И ИХ ГРАФИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1970

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ
ПО ЗАОЧНОМУ И ВЕЧЕРНЕМУ ОБУЧЕНИЮ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
И. В. МАТВЕЕВ
ФУНКЦИИ
И ИХ ГРАФИКИ
Учебное пособие
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1970

В настоящем пособии излагаются вопросы,
относящиеся к построению графиков функций
элементарными приемами и с помощью произ-
производной. Пособие предназначается для студентов-
заочников I курса механико-математических и
физико-математических факультетов государствен-
государственных университетов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие состоит из трех глав:
I.	Общие сведения о функциях;
II.	Построение графиков функций;
III.	Построение графиков функций с помощью произ-
производной.
В главе I особое внимание обращено на понятие функции,
а также рассматриваются общие свойства функций и их гра-
графиков, проводится анализ некоторых основных элементарных
функций.
В главе II, наряду с общими рассуждениями о построении
графиков функций, рассматривается много примеров, иллю-
иллюстрирующих эти рассуждения. При изучении математического
анализа приходится встречаться с некоторыми простыми не-
неэлементарными функциями и их графиками. В параграфе 7
данной главы приведены примеры таких функций и их гра-
графиков; в параграфе 8 рассматривается построение графиков
предельных функций.
Глава III посвящена построению графиков с помощью
производной. В параграфах 1, 2, 3 этой главы без доказа-
доказательств формулируются теоремы, которые лежат в основе
исследования функций и построения графиков с помощью
производной. Эти теоремы иллюстрируются примерами, пояс-
поясняющими их смысл. Параграф 4 посвящен построению гра-
графиков конкретных функций с помощью производной.
Выражаю благодарность доцентам кафедры математиче-
математического анализа механико-математического факультета МГУ
А. М. Полосуеву и А. Д. Соловьеву, прочитавшим рукопись
и сделавшим ценные замечания.
Автор

Глава I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ
1. Переменные величины
В различных областях знаний приходится иметь дело с
самыми разнообразными величинами: температура, время,
вес, длина и т. д. При определенных условиях одни из этих
величин могут изменяться, другие — оставаться неизменными.
Первые из них называются переменными величинами, вто-
вторые— постоянными величинами. Так, скорость неравномерно
движущегося тела может служить примером переменной ве-
величины, а скорость равномерно движущегося тела — приме-
примером постоянной величины.
В математике изучаются величины и зависимости между
ними без учета их физического содержания. Если х обозна-
обозначает конкретное фиксированное число, то говорят, что х —
постоянная величина и пишут #=const. Если х обозначает
произвольное число из некоторого числового множества X,
то говорят, что х — переменная величина, изменяющаяся на
множестве X. Постоянную величину удобно рассматривать
как частный случай переменной, считая, что множество X
состоит из одного единственного числа.
Все числа, с которыми мы будем иметь дело, явдяются
действительными. Поэтому ради краткости в дальнейшем
вместо выражения «действительное число» условимся грво-
рнть просто «число».
2. Аналитическое выражение. Интервал, отрезок, промежуток
В элементарной математике рассматриваются четыре
арифметических действия над числами, извлечение корня,
а также операции х" (а— действительное число), ах, loga*
(а — положительное число), sin x, cosx, tgx, ctgx, arc sin x,
arccosx, arctgx, arcctgx. Пусть указанные операции приме-
применяются в определенном порядке, и каждая из них встречает-
4

ся конечное число раз. Тогда говорят, что задано аналитиче-
аналитическое выражение. В качестве примеров аналитических выраже-
ний могут служить следующие: loga*, sinCx — 2), arctg —-,
sin (arctg 2x) и т. д.
Мы будем рассматривать только такие аналитические вы-
выражения, которые при действительных значениях х, принад-
принадлежащих некоторому множеству действительных чисел, при-
принимают действительные значения. Число х в дальнейшем бу-
будет принимать, как правило, значения, удовлетворяющие
неравенствам:
1)	а<С.х<Ь\ a, b — действительные числа, или символы
а=—оо, Ь—+оо. Совокупность чисел х, удовлетворяющих
указанному двойному неравенству, называют интервалом и
обозначают через (а, Ь);
2)	множество точек, удовлетворяющих неравенству
&^.х<Ь или а<л^Ь, называют полуинтервалом и обозна-
обозначают соответственно через [а, ft) или (a, ft];
3)	множество точек, удовлетворяющих неравенству
а^.х^Ь, называют отрезком (или сегментом) и обозначают
через [a, ft].
Если при рассмотрении того или иного факта безразлич-
безразлично, что иметь в виду — интервал, полуинтервал, отрезок,— то
эти три понятия объединяют в одно — промежуток.
3. Функции одной переменной
Пусть каждому значению некоторой переменной величи-
величины х из множества (совокупности) Ех действительных
чисел по некоторому закону, (правилу) поставлено в соответ-
соответствие одно вполне определенное действительное значе-
значение другой переменной величины у. Тогда говорят, что у есть
функция от х, и пишут: y — f(x) (читается: игрек равно эф
от икс). Буква f в этом обозначении является символом (име-
(именем) установленного закона соответствия. Переменная вели-
величина х называется аргументом, а совокупность ее значений
Ех — областью существования (определения)
функции. Множество значений Ev переменной у называет-
называется областью значений функции (или областью из-
изменения функции).
Понятие области существования функции является очень
важным, и нам постоянно придется иметь с ним дело. По-
Поэтому еще раз обратим на него внимание. Совокупность (мно-
(множество) всех действительных значений х аргумента, при ко-
которых функция принимает действительные значения, назы-
называется областью существования (определения) функции.
Рассмотрим примеры функций.

1. y = log2*. Пусть аргумент х -принимает все положитель-
положительные значения. Тогда каждому значению х>0 ставится в соот-
соответствие вполне определенное число у, равное логарифму
числа х. Например, при х — 8 у = 3. Если же лс<0, то Iog2*
не есть действительное число и, следовательно, отрицатель-
отрицательные значения х не принадлежат области существования этой
функции. Значит, область существования рассматриваемой
функции есть интервал @, +оо).
Замечание. В этом примере функция определена с по-
помощью аналитического выражения. Вместо термина «функ-
«функция определена с помощью аналитического выражения» чаще
говорят, что «функция определена» или «функция задана
формулой».
2.	у = ~/х—1. С помощью этой формулы каждому значе-
значению аргумента х, которое больше или равно единице, ставит-
ставится в соответствие вполне определенное значение функции.
Например, при * = 5 y=V^b—1=2;прих=1 y = V^\—1=0
и т. д. Если же аргументу х придать любое значение, меньшее
1, то под корнем получим отрицательное число, квадратный
корень из которого есть число мнимое. Значит, при значениях
х<\ функция не определена, и областью существования
функции будет промежуток [1, +оо).
3.	Пусть тело с начальной скоростью, равной нулю, сво-
свободно падает в пустоте и через Т секунд достигает поверхно-
поверхности земли. Тогда путь s, пройденный точкой за время t и от-
отсчитываемый от начала падения, определяется формулой
где g — ускорение силы тяжести. Формула определяет закон,
по которому каждому значению / соответствует определенное
значение s. Значит s есть функция t, причем, учитывая физи-
физическое содержание примера, аргумент t должен изменяться
на множестве ?(=[0, Т\ (или O-^.t<Z.T), as — на множестве
-[•• ? ]¦
В этом примере множество Et=[0, T\ называют областью
определения функции, а не областью существования функции.
Если, однако, забыть о физической сущности формулы
gt2
Smm-S—n рассматривать ее самое по себе, то она имеет смысл
для всех значений t без исключения: —оо<^<оо. В этом
случае вместо термина «область определения функции» упо-
употребляют термин «область -существования функции», подчер-
подчеркивая этим, что речь идет о тех значениях t, при которых
соответствующие значения функции s существуют. В этом
6

примере термины «область определения функции» и «область
существования функции» не равнозначны. Поскольку в даль-
дальнейшем будут рассматриваться функции без их физического
содержания, то мы будем пользоваться термином «область
существования функции».
4.	г/ = 5 для —оо<;дс<; +°о. Эту функцию называют кон-
константой. Здесь мы имеем дело с функцией, принимающей од-
одно и то же значение при изменении аргумента в промежутке
—оо-<д:< + оо. Этот пример не противоречит определению
функции, так как в определении важным является лишь то,
чтобы каждому значению аргумента соответствовало одно
определенное значение функции. В нашем примере каждому
значению аргумента соответствует значение функции, рав-
равное 5. Область значений функции состоит из одного числа 5.
5.	у = х\ Так как понятие «факториал» связано с натураль-
натуральными числами, то областью существования функции будет
множество натуральных чисел: х=п (ге=0, 1, 2, 3, ...) @! = 1
по определению).
6.	y=V—sin2 яде. Подкоренное выражение ни при каком
значении х не может быть положительным. Следовательно,
область существования функции находится из равенства
sin2n.*=0, откуда пх=яп, т. е. областью существования функ-
функции будет совокупность значений х=п (ге=0, ±1, ±2, ...).
Замечание. Следует обратить внимание на то, что не
всякая формула определяет функцию. Есть такие формулы,
которые не определяют никакой функции. Например,
У = УГ—sin jc — 3, t/ = arccos7^4 + jc2 не имеют смысла ни при
каком значении аргумента.
В рассмотренных примерах функций закон соответствия
между переменными определялся одной формулой. Часто
приходится встречаться со случаями, когда функция задается
с помощью нескольких формул — разными формулами для
разных частей области существования. Например,
7 у = I *2 для *<°>
\ х для х > 0.
Здесь область существования функции — промежуток
— оо<лс<+оо. Область значений функции — промежуток
0-< х < + оо.
/ х	для х> 0,
8. у= 1	для х = 0,
/4— хг для — 2<х<0.
Здесь область существования функции *— промежуток
¦—2^ х < + оо. Область значений функции — промежуток
o^x< + oo.
Мы рассмотрели примеры, в которых функции определя-
7

лись либо одной либо несколькими формулами. Может по-
показаться, что и любая функция определяется одной или
несколькими формулами. Однако это не так.
Функция не всегда определяется формулой, и этого/не
требует определение. В определении функции сказано, /что
должен быть задан закон соответствия между значениями
двух переменных, а каким способом задан этот закон — в ви-
виде формулы нлн другим способом — роли не играет.
Рассмотрим примеры.
9. Принято обозначать через
функцию, которая для каждого значения х равна наиболь-
наибольшему целому числу, не превосходящему х. Другими словами,
если х = п + г, где п — целое число и 0^г<1, то [лс]=ге. На-
пример, [—1,2]	2; [-1]=-1; [-0,3]=-1; [0] = 0; [1,2]= 1;
[/2]=1 и т. д. Запись функции i/=[jc] читается так: игрек
равно целой части от икс. Рассматриваемая функция обозна-
обозначается также н через у = Е(х) (читается: игрек равно антье
от икс).
10.	у—{х). Так обозначается функция, называемая дроб-
дробной частью числа х. Более точно, по определению,
у = Ы = х —[х],
где [х] — целая часть числа х (см. предыдущий пример).
Из определения этой функции следует, что область ее су-
существования — все значения х. Если х — любое значение, то,
представив его в виде х = п + г (п=[х]), где п — целое число
н 0^[г<1, получим: {дс}=ге + г — п = г. Значит, область зна-
значений функции определится неравенством: 0-^iy<il. Возьмем
несколько частных значений функции: {0} =0; {1} = {2} = ...
= {ге} = ... = 0; {—1} = {_2}=...= {—п) = ... = 0; {0,99} == 0,99;
{1,35} =0,35; {—1,2}=—1,2 + 2=0,8. Позднее мы покажем, что
эта функция —периодическая с периодом Т= 1.
( 1, если х больше двухсотого знака числа я,
11.	/(*) =
( 0, если х не больше двухсотого знака числа я.
Мы имеем функцию, заданную описанием закона соответст-
соответствия. В самом деле, пусть число А равно двухсотому знаку чис-
числа я. Тогда f(x) можно переписать в виде:
1 для х>А,
0 для jc< A.
Область существования функции — интервал —<х><Сх<С+ оо.
12.	Так называемая функция Дирихле определяется
следующим образом: значения функции равны 1 для рацио-
рациональных н равны 0 для иррациональных значений аргумента.
8
/<*)-{

Более коротко,
{1, если х — рациональное число,
О, если х—иррациональное число.
Здесь функция определяется не формулой, а непосредствен-
непосредственным!! описанием закона соответствия. Область существова-
существовання — интервал —оо<х< + со.
В начале параграфа 3 сказано, что для краткой записи
функциональной зависимости у от х употребляется символ:
y=f(x). Наряду с этой записью употребляются и другие.
Например, z=F(t), r=<p(a) н т. п. Буквы /, F, ср... являются
символами того закона, в силу которого каждому значению
аргумента ставится в соответствие значение функции.
Для обозначения частного значения функции y = f(x), ко-
которое соответствует конкретному значению Х\ аргумента х,
употребляется запись \{х\) [или f(x)\x=Xl , или у\х=хх ,
или у(Х\)\. Приведем примеры частных значений функций.
2.
F @) = 2°-3 == i- ;
8
lb
(q — любое число ^.0) и т. д.
4. Нахождение области существования функций
Знание областн существовання функцин является важней-
важнейшим элементом исследования ее и построения ее графика.
Рассмотрим ряд примеров на отыскание областн существо-
существования функции.
2х
1. t/ = arcsin	—. Область существования функции
1 +х
У — атс&тх определяется неравенством 1*1-^1 (или

1-^ * ^ !)• В нашем примере под знаком арксинуса стоит
2х
. Следовательно, нахождение области существования
1+*
2х
сводится к решению неравенства
!. Возводя в кйад-
+ Х
рат это неравенство, получим эквивалентное неравенство:
4х2^,1+2х+х2, или Зх2— 2х— 1<;0. Решая это неравенство,
видим, что областью существования функции будет отрезок:
2-	У = Ы (cosл:). Область существования есть совокупность
значений х, для которых cos#X). Решая это неравенство,
получим:
2я? — — <х<— +2nk,
где? = 0, ±1, ±2,...
3-	# = lg[sin (lgAr)]. Так как д: и sin (lg#) находятся под
знаком десятичного логарифма, то должно быть х~>0 и
sin(lg#)>0. Последнее неравенство удовлетворяется значе-
значениями х, для которых 2nk<lgx<.n + 2nk (& = 0, ±1, ±2, ...)
или
(k = 0, ±1, ±2,...).
Эти неравенства и определяют область существования
функции, потому что оба неравенства лг>0 и sin(lg#)>0
удовлетворяются одновременно. Геометрически область суще-
существования функции состоит из бесконечного числа непересе-
непересекающихся интервалов.
4.	y=VЬ— \х\. Решая неравенство 4— \х\^-0, получим
область существования: —4^д;<:4.
5.	у=у'\х\ —х. Если х^О, то \х\—х=0. При х<0
\х\— х=—х—х=—2д;>0*. Значит, областью существования
будет совокупность всех значений х: — °° < х < + °°.
6.	„-- *,
/\x\~x
Из предыдущего примера следует, что область существова-
существования функции определяется неравенством д:<0.
* Здесь мы пользуемся понятием абсолютной величины действитель-
действительного числа х. По* определению, абсолютной величиной (модулем) дейст-
действительного числа х называется число, обозначаемое через ]*| и равное
самому числу х, если оно не отрицательно, и равное —х, если x<0, т. е.
. . [ х, если х >0;
(. —х, если х<0.
10

7. i/ = arccos/3 — 2x — x2. Область существования arccosx
¦определяется неравенством |#|<^1. В нашем примере область
существования функции определится как совокупность
значений х, удовлетворяющих двойному неравенству:
0:^; /3 — 2х — х2^ 1, или 0^: 3—2х — х2 <: 1. Решая это
двойное неравенство, найдем, что область существования
функции будет определяться двумя отрезками:
1 V% и/"з —	1
5. Способы задания функций
Из рассмотренных ранее примеров видим, что способы за-
задания функций могут быть разные. Отметим четыре из них,
которые наиболее часто встречаются.
Аналитический способ. В этом способе функция
задается формулой. Функции в примерах 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
-параграфа 3 — примеры рассматриваемого способа задания.
Можно привести сколько угодно и других примеров:
2. у = cosEл: — 2);
3 у-= 3*~2.
4л: -+¦ 5 '
4. у =\х\ и т.д.
Табличный способ. В самых различных задачах
встречаются такие функции, когда закон соответствия между
аргументом и функцией неизвестен (но он заведомо сущест-
существует!). Для практических целей, однако, бывает вполне до-
достаточно знать значения функции для конечного числа зна-
значений аргумента (хотя бы приближенно с определенной сте-
степенью точности). Беря ряд значений аргумента и сопоставляя
их путем измерений или вычислений значения функции, полу-
получим таблицу, которая и будет представлять собой табличное
задание функции:
У
Уг
Уп
Табличным способом часто пользуются для записи резуль-
результатов эксперимента, когда нужные формулы заранее неиз-
неизвестны или сложны. Таблицы логарифмов и таблицы величин
тригонометрических функций могут служить примерами таб-
табличного способа задания функции.
11

Графический способ. В этом способе функция за-
задается графически, в виде плоской кривой — графика данной
функции. Выберем в плоскости, в которой расположен гра-
график, прямоугольную систему координат так, чтобы абсциссы
различных точек кривой имели различные значения. Тогда
абсциссе каждой точки кривой ставится в соответствие орди-
ордината той же точки. Таким образом, при помощи графика
устанавливается вполне определенный закон соответствия
между х и у.
Отметим, что указанные способы задания функции экви-
эквивалентны между собой в следующем смысле:
1)	если функция задана формулой, то, исходя из нее, мы
может составить таблицу ее значений в зависимости от зна-
значений аргумента, т. е. получить табличный способ ее задания.
Исходя же из формулы, можно построить ее график, и функ-
функция тем самым будет задана графически;
2)	обратно, если функция задана графически, то путем
измерений нетрудно получить таблицу значений функции и
аргумента, т. е. получить табличный способ задания. Полу-
Получить формулу по заданному графику не всегда возможно.
В случае необходимости можно получить «приближенную»
формулу;
3)	по заданному табличному способу можно получить
приближенно график функции и найти точную или прибли-
приближенную формулу для функции, которая была задана табли-
таблицей.
Описательный способ. В этом способе функция
задается непосредственным описанием закона соответствия
между значениями аргумента и значениями функции. Кроме
уже рассмотренных функций в примерах 9, 10, 11, 12 пара-
параграфа 3, приведем еще примеры функций, заданных указан-
указанным способом.
1.	Каждому значению х^.0 поставим в соответствие зна-
значение у, равное числу всех четных положительных чисел, не-
непревышающих числа х. В результате мы получаем функцию,,
область существования которой 0-^х<Г + оо, а область зна-
значений 0, 1, 2, 3, 4, ..., п, ...
2.	Так называемая функция Римана определяется сле-
следующим образом *:
I	m
—, если х = —, где т и п—взаимно простые числа;:
я	п
0, если х иррационально.
Здесь функция задана описанием закона соответствия меж-
ду х и f(x).
* Натуральные числа тип называются взаимно простыми, если онш
не имеют никаких других положительных общих делителей, кроме 1.
12

6. Четные и нечетные функции
Пусть область существования функции f(x) есть множе-
множество, симметричное относительно начала координат. Пусть,
кроме того, значения функции не меняются при замене х на
—х, т. е. /(—x)=f(x). Тогда говорят, что f(x) —четная функ-
функция. Примерами четных функций могут быть функции:
1) f(х) = У 1 — х2; область существования: —1
(_*) = V 1 - (_
2)	f(x) = cosx; f(—x) = cos(—x)=cosx=f(x);
3)	}(x) = С; С — константа, не равная нулю, —оо<х<
+ oouf(x)f(x)
<	f()f()
Если точка М(хо, г/о) лежит на графике четной функции
y=f(x), т. е. yo=f(Xo), то и точка М'(—х0, у0), симметричная
относительно оси Оу, также будет принадлежать графику
функции y = f(x), так как yo = f(xo)=f(—#о)- Отсюда следует,
что график четной функции симметричен относительно оси
ординат. Поэтому при построении графика четной функции
достаточно его построить для значений х^.0 из области су-
существования, а затем зеркально отразить относительно
оси Оу.
Введем понятие нечетной функции.
Пусть f(x) определена на симметричном относительно на-
начала координат множестве и пусть значения функции для
значений аргумента х и —х равны по модулю, но по знаку
противоположны, т. е. f(—д;) =—f(*). Тогда говорят, что f(x) —
нечетная функция. Приведем примеры нечетных функций:
1)	*Ъ\	/() (M3(K()
())
2)	f(x) = sinh>x (w — любое постоянное число); область
существования: —«>¦<#¦<+ °°;
f(—л:) =sinoj(—х) =sin (—©х) =—sincoA;=—f{x);
3)	f(x) = lg (x+у l+x2); область существования:
lg	J	lg( +
a* + /l +.
4) /(x)=lg- ' ; область существования: — 1
1-х
f(-x) = \g——	— = lg-	=-lg-
: — 1 < л:< 1;
л	* ~Т~ X
= lg-	=-lg-L-,
1 — (—х)	l+x	1-х
13

Если точка М(х0, уо) лежит на графике нечетной функции,
то и точка М(—х0, —уо), симметричная относительно начала
координат, также будет принадлежать графику, так как
Уо — f (Хо) =—f(—Хо). Отсюда следует, что график нечетной
функции симметричен относительно начала координат и, сле-
следовательно, построив его для значений х^.0 из области су-
существования, пользуясь затем симметрией относительно нача-
начала координат, можно продолжить график и на отрицатель-
отрицательную часть оси.
Наряду с четными и нечетными функциями существуют
функции, которые не являются ни четными, ни нечетными.
Рассмотрим примеры таких функций:
1. f(x) = \gx; область существования: #>0. Функция оп-
определена на множестве, не симметричном относительно нача-
начала координат. Следовательно, из определения, функция не
может быть ни четной, ни нечетной (более того, f(—х) =
= lg(—х) не имеет вообще смысла при #>0);
2. f(x) = 2*; область существования: —oo<#<-f- oo;.
f(—х)=2~х; 2х Ф 2~х ни при каком значении х, кроме нуля.
Следовательно, функция не может быть четной. Далее,,
2ХФ—2~х ни при каком значении х; следовательно, функция
не может быть нечетной.
Замечание. В определении четности и нечетности функ-
функции не требуется, чтобы областью существования функция
был промежуток конечный или бесконечный, с центром в на-
начале координат. Например, функция y = Vcosx—1 — четная,,
хотя область существования функции состоит из бесконечно-
бесконечного множества точек хп—2пп, где п=0, ±1, ±2, ...
В заключение отметим, что всякую функцию, определен-
определенную на множестве, симметричном относительно начала коор-
координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной
функций. Это следует непосредственно из тождества
f(x\ - /(*)+/(-*) /(*)-/(-*)
в котором первое слагаемое — функция четная, а второе сла-
слагаемое — функция нечетная.
7. Периодические функции
Функция f(x) называется периодической с периодом Г
(Т — число т^О), если для всех значений аргумента х из об-
области существования функции справедливо равенство
f(x+T)=f(x).
Наименьшее положительное число, удовлетворяющее этому
условию (если такое существует), называется основным пе-
периодом.
14

Примерами периодических функций могут служить три-
тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx Для sinx и
cosx, как известно, основным периодом является числа
Г = 2я: sin (х+2я) =sinx; cos (х+2я) =cosx (для всех значе-
значений х). Ясно, что периодами этих функций являются также
числа 4я, 6я, ...; —2я, —4я, ..., т. е. числа вида 2яп, где
л = ±1, ±2, ±3, ...
Функции tgx и ctgi: имеют основным периодом число
Г=я:
я
tg (х+я) =tg# для всех д;, кроме х=	Ьяп (я = 0, ±1Г
±2, ...);
ctg (#+я) =ctgx для всех х, кроме х=яп (п=0, ±1,
±2, ...).
Периодами этих функций будут также числа вида пп, где
л = ±1, ±2, ±3, ...
Приведем еще примеры периодических функций.
1. f(x) = A sin (юя + ф); Л, и, ф — постоянные числа. Об-
Область существования: —°с<д;< + 00. Эта функция называется
гармоникой. Покажем, что ее периодом будет 7"=	, т. е.,
(О
что для всех х имеет место равенство f(x-\- —] =/(#).
v	и /
В самом деле,
f(x+ 2пЛ = A sin Го) (х + — )+ф|=Л8Ш[(ид;+ф)-Ь2п] =
Утверждение доказано. Можно было бы показать, что число
	 — наименьший положительный период.
2. Для функции Дирихле
., если х рационально;
), если х иррационально
любое^ рациональное число Т является периодом, т. е.
гч/ ¦ r"s\=D(x) для всех х:
1, если х рационально (х -f- T—рациональное
число);
О, если х иррациональное число (х-\-Т—ир-
(х-\-Т—иррациональное число).
Здесь мы считаем известным, что сумма двух рациональных
15

чисел есть число рациональное, а сумма чисел рационального
и иррационального есть число иррациональное. Отсюда и сле-
следует утверждение.
3.	f(x) = x3—Зх+1. Область существования: —оо<х<
-< + оо. Покажем, что функция непериодическая. Предполо-
Предположим обратное, пусть Т — ее период. Тогда для всех х должно
быть справедливо равенство f(x + T) = /(л:), т. е.
(лг+ГK —3(лг+Г) + 1=х3 — Зх+1, или х*+ЗТх+Т2—3=0.
Это равенство может иметь место либо при двух действи-
действительных значениях х либо не существует ни одного действи-
действительного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению.
Следовательно, наше предположение неверно, и функция не-
непериодическая.
4.	f(x) = {x) = x — [х]. Эта функция имеет период Г=1.
В самом деле, f(х + 1) = {x+l) = x+l — [*+1]; но [х+1]=
= [х]+1. Значит, {д;+1}=л;+1 — (jc] — 1 =х—[х]= М для лю-
любого х. Периодичность функции W, таким образом, показана.
Замечание. Для определения основного периода функ-
функции в некоторых случаях бывает целесообразно функцию
предварительно преобразовать, после чего нахождение перио-
периода не вызывает затруднений.
Рассмотрим пример
Предварительно преобразуем нашу функцию:
sin* х ¦+- cos* х = (sin2 х + cos2 хJ — 2 sin2 х cos2 x =
i 1 , ,„ , 1 — cos4x 3,1 .
= 1	sin2 2x = 1	¦	 =	cos 4x.
2	4	4 4
Отсюда следует: период рассматриваемой функции равен —
Zi
Чтобы построить график периодической функции, доста-
достаточно построить его на любом отрезке по длине, равном пе-
периоду Т (причем не все точки отрезка могут входить в об-
область существования, например, для tgx), а затем получен-
полученный график сдвигать шагами, равными Т, влево и вправо.
В результате получим график рассматриваемой функции.
8. Возрастающие, убывающие и ограниченные функции
1.	Функция f(x) называется возрастающей в промежутке
(а, Ь)у если для любой пары значений х\ и хг из этого про-
промежутка из неравенства Xi<x2 вытекает неравенство f(xi)<.
<f(x2). Ордината графика такой функции возрастает с воз-
возрастанием х.
2.	Функция f(x) называется убывающей в промежутке
(а, Ь), если для любой пары значений xi и х2 из этого про-
промежутка из неравенства Х\<х2 вытекает неравенство
16

f(xi)>f(x2)., Ордината графика такой функции убывает с
возрастанием х.
3.	Функция f(x) называется невозрастающей в промежут-
промежутке (а, Ь), если для любой пары значений х\ и х2 из этого про-
промежутка из неравенства xx<ix2 следует, что f(xi)^.f(x2).
4.	Функция f(x) называется неубывающей в промежутке
(а, Ь), если для любой пары значений хх и х2 из этого про-
промежутка из неравенства х,<х2 следует, что f(xt)^f(x2).
5.	Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубы-
неубывающие функции называют монотонными функциями. Прия-
Приятие монотонности функций имеет большое значение при ис-
исследовании функций. Покажем, что все простейшие из эле-
элементарных функций являются функциями монотонными или
на всей области своего существования или на отдельных ее
промежутках.
1)	y=kx+b. При й>0 мы имеем возрастающую, а при
й<ГО— убывающую функцию на всей числовой оси.
2)	у = х\ п — натуральное число. При п нечетном функ-
функция возрастает на всей числовой оси. При п четном на
(—оо, 0) функция убывает, а на @, + оо) —возрастает.
3)' У = У х, п — натуральное число. При п нечетном функ-
функция определена при всех х и возрастает на всей области су-
существования. При п четном функция определена при х^.0 н
в этой области возрастает.
¦ k	i	¦	¦
4)	у— — . При й>0 в промежутках (—оо, 0) и @, + со)
функция убывает, и на всей числовой оси (—оо<х<+оо)
}она не является ни возрастающей, ни убывающей. При й<0
в промежутках (—оо, 0) и @, + со) функция возрастает, а
на всем промежутке (—оо<*<+«>) она не является ни
'возрастающей, ни убывающей.
5)	г/ = аж. При а>1 функция будет возрастающей, а при
0<а<1—убывающей на всей числовой оси —оо<х<+оо.
6)	y=\ogax. При а>1 функция возрастает, а при 0<
<а<1 —убывает в промежутке @, +оо).
7)	y = sinx. Функция является возрастающей в каждом
из промежутков, определяемых неравенствами
2nk	— <х<— + 2nk
2	2
(k — 0, ±1, ±2, ...), и убывающей в промежутках
<<яB?+1) +
— возрастающая функция в каждом из проме-
промежутков
яп-у <д;<-|-+яя (я=0, ±1, ±2,...).
2 Заказ 348!'КИКТ1МПТС1Г , „.I1."""	1	17

9)	j/ = arcsinA: — возрастающая функция на всей области
существования —1<;#^;1.
10)	«/=агссо«л: — убывающая функция на всей области
существования—1-^x^1.
11)	j/ = arctgA; — возрастающая функция на всей области
существования —оо<;л:<Г+оо.
12)	z/ = arcctg#— убывающая функция на всей области
существования —оо<;л:<г+ со.
Таким образом, все простейшие из элементарных функций
являются функциями монотонными или на всей области
своего существования или на отдельных ее промежутках.
При построении графиков может оказаться полезным по-
понятие ограниченности функции. Функция f(x), определенная
на некотором множестве Ех, называется ограниченной на этом
множестве, если существуют постоянные числа т и М такие,
что для всех значений х из Ех выполняется неравенство
m^f(x)^.M. Смысл этого понятия заключается в том, что
область значений функции представляет ограниченное мно-
множество, лежащее на отрезке [т, М].
Из условия ограниченности функции следует, что ее гра-
график не может выходить из горизонтальной полосы, ограни-
ограниченной сверху прямой у — М, а снизу — прямой у = т.
Приведем примеры ограниченных функций.
2х
1. у =	. Из неравенства A—|х|J>0 следует, что
1(ДГ
2х
1+х
2х
1, или — 1 <	<; 1, т. е. т = — 1, М= 1.
1+д;2
2.	у = е-*'; 0<е-*"<1; значит, т = 0, М=*1.
3.	y = arctg.r, — ¦— <arctg;c-< — ; следовательно,
Я д. Я
2	2
Замечание. Можно дать и другое определение ограни-
ограниченности функции, эквивалентное приведенному выше: функ-
функция f(x), определенная на множестве Ех, называется ограни-
ограниченной, если существует постоянное положительное число С
такое, что для всех х из Ех \f(x) | <С.
9. Асимптоты графиков функций
Пусть задана функция y = f(x) и ее график. Если точка
графика, удаляясь в бесконечность, приближается при этом
сколь угодно близко к некоторой прямой (т. е. если расстоя-
18

ние от этой точки до прямой стремится к нулю), то эта пря-
прямая называется асимптотой графика.
Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и на-
наклонные. График функции y = f(x) имеет вертикальную асимп-
асимптоту с уравнением х=х0 в том случае, если с приближением
х к х0 (х—>~х0) соответствующая точка кривой, неограниченно
удаляясь вверх или вниз, как угодно близко приближается
к вертикальной прямой х=х0, т. е. расстояние от этой точки
до прямой стремится к нулю. Более точно, если- Hm ffx) = oo,
х-»ха
то х=х0 и будет вертикальной асимптотой. Отсюда следует
способ отыскания асимптот.
Находятся значения х0, Х\, х%, ..., при подходе к которым
f(x) неограниченно возрастает по модулю (относительно са-
самих точек говорят, что в них функция обращается в беско-
бесконечность). Тогда прямые с уравнениями х=х0, х=хи х=*х2, ...
и будут вертикальными асимптотами.
Рассмотрим примеры.
1.	у = —. х = 0— вертикальная асимптота, так как
х
hm— = оо.
jt-»O X
2.	y=]ogax. x = О— вертикальная асимптота, так как
limlog х= — оо.
3.	y = igx. x=Bk+l)— (k = 0, ± 1, ±2,...)- верти-
вертикальные асимптоты, так как limtgA: = oo.
Начертите графики функций и их вертикальные асимптоты
в примерах 1, 2, 3.
Может быть и так, что при х—>-+оо или при х—>-—оо
точка графика функции y=f(x) сколь угодно близко прибли-
приближается к некоторой прямой y = kx+b. Если ?=?^0, то эту пря-
прямую называют наклонлой асимптотной кривой (черт. 1). При
k = 0 асимптота у — Ь будет горизонтальной (черт. 2).
Дадим более тачное определение асимптоты. Прямая
y = kx+b называется асимптотой графика функции y=f(x)
при х—»-+оо (или при х—>— оо), если lim [f(x) —
— (kx+b)] = O.
Из определения следует, что при х—>-+оо график функции
y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту у=Ь, если
19

и горизонтальную асимптоту у — В при а—*—оо, если
Приведем примеры функций, графики которых имеют го-
горизонтальные асимптоты.
5	5
1.1/ = —f- Hm — =0. Следовательно, у—О — горизонталь-
х *-¦« х
ная асимптота графика функции
Черт. 1
Черт. 2
2.	у=2х. Нт2* = 0. Следовательно, у=0 — горизонтальная
х-*— »
асимптота при х—*¦—оо. lim 21 не существует (или, как го-
годе -++=»
ворят, равен +оо). Следовательно, горизонтальной асимпто-
асимптоты при х—>- + оо не существует;
3.	у = 2~х. В этом примере, наоборот, при х—>-+оо суще-
существует горизонтальная асимптота г/ = 0, а при х—*~—оо асимп-
асимптоты нет.
п	я
4.	y = arctgx. limarctg* = —. Следовательно, У— п
х-»+ оо	2	2
асимптота при х—v-4-oo; limarctgr
Х
j
-. Значит,
2
л
л
у=	—горизонтальная асимптота при х—>—оо.
Начертите трафики функций и их горизонтальные асимп-
асимптоты в примерах 1, 2, 3» 4.
Покажем теперь, как находятся наклонные асимптоты
k b
1. Пусть при х—>- + оо такая. асимптота существует. Тогда
lim (f(x) — kx + b] = 0. Предел функции
-kx-.Ь ^ f(x) k b
20

также будет равен.нулю при х—> +оо. Из, равенства
=к , (№ k- ь) \ -
¦ ¦ \ х	х ' х
, (	) \
х ¦ ¦ \ х	х ' х.
и теоремы о пределе суммы функций получим
iW.^jfe.	A)
Из условия
\[f(
[
и равенства f(x) — kx<=[f(x)— kx — b] + b, no теореме о пре-
пределе суммы функций, получим
\imlf(x)~kx]=b.	B)
Таким образом, из предположения, что существует асимп-
асимптота y = kx+b, следуют равенства A) и B).
2. Наоборот, пусть существуют конечные пределы A) и
B). Тогда из равенства B), переписывая его в виде
lim [f(x) — kx — Ь] = 0, получаем, что прямая y = kx+'b—
асимптота.
Из проведенных рассуждений следует, что для существо-
существования наклонной асимптоты y = kx+b необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовали конечные пределы A) и B).
Замечания. 1. Если хотя бы один из пределов не су-
существует, то не существует и асимптоты.
2.	Могут существовать и две асимптоты: одна при
х—»- + оо, а другая при х—»—эо . Поэтому при нахождении
k и b надо рассматривать два случая: один, когда х—>-+<х>,
и другой, когда х—>— оо.
3.	Если пределы A) и B) для k и b соответственно оди-
одинаковы как при х—>-+.оо, так и при *—*—оо, то y = kx+b
будет асимптотой графика как при х—>-+оо, так и при
х—>-— оо, и формулы A) и B) записывают в виде:
1^ = к, \\m\f (х) - kx} = Ь.
Примеры.
	— =lim 1 + ' — = 1,
X	*-»~ \	X21
Ъ — lim( х+ — — х) =lim — = 0.
*-»~\ х I *-»°° х
21

Следовательно, как при х—>-+оо, так и при х—>-—<» , т. е.
при х—>-оо, существует асимптота у — х. На черт. 3 пунктиром
изображен график функции у——, а сплошной линией —
х
график рассматриваемой функции.
Черт. 3
Замечание. Если функцию f(x) можно представить в
виде f(x)=kx+b + e,(x) и е,(х)—>-0 при х—>~оо (или при
х—> + <»), то y = kx + b будет асимптотой; Это следует из оп-
определения асимптоты. Поэтому в рассматриваемом примере
у=х-\	=х + е(х), где г(х)— -	>-0 при х—*-оо, не находя
по формулам A) и B) k и Ъ, сразу видно, что у= х — асимп-
асимптота графика. Пользуясь этим замечанием в частном случае,
если функция f(x) представляет отновдение двух целых отно-
относительно х многочленов, причем степень числителя или равна
степени знаменателя или превосходит ее на единицу, асимп-
асимптота находится выделением целой ОДстй функции путем деле-
деления числителя на знаменатель по правилу деления многочле-
многочлена на многочлен *.	¦ .-. ,
Если степень числителя больше на единицу степени зна-
знаменателя, то
(
где е(х)—>-0 при х—>-оо, и график имеет асимптоту вида
y — kx+b. В случае, если степени'числителя и знаменателя
р (Х)
одинаковы, т. е. f(x)= п , то целая часть равна постоян-
* Многочлены располагают по убывающим степеням х.
22

ной, и асимптотой будет прямая, -параллельная оси Ох:
f(x) = b + е(х) [г(х)—>-0 при х—>-оо], у — b — асимптота.
В случае, если степень числителя меньше степени знаменате-
знаменателя, то асимптотой будет ось Ох, так как в этом случае
/(H
2 »
х2 4- 2х - 3 "
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления
многочлена на многочлен, получим
17* -И
О	А
х*+2х— 3
17jc	11	' ¦ ' ""\	'"-'к
При *-чн" i^=r	: ч-
и, следовательно, у=2х — 4 — асимптота.
3. i/=j
Переписав функцию в виде у — х-\	- + (arctgx	),
имеем arctgx — ¦	>-0 при х—>- + оо. Следовательно,
у — х-\	—асимптота. Представив функцию в виде
2
получим: (—+arctgx)—*0 при х—>-—оо. Следовательно,
у~х	'— есть также асимптота. Более сложно асимптоты
2
в примерах 2 и 3 можно было бы найти, определяя k и Ь по
формулам A) и B).
10. Обратные функции
Пусть задана функция y = f(x) и пусть множество Ех —
ее область существования, а множество Еу — область ее зна-
значений. Это значит, что задан закон, по которому каждому
значению х из Ех соответствует одно значение у из Еу.
Будем теперь устанавливать соответствие в обратном по-
порядке. Возьмем какое-нибудь значение у из Еу. Поставим
ему в соответствие те значения (одно или несколько) х из Ех,
которым в данной функции y=f(x) соответствовало значе-
значение у.
23

В результате этого, если каждому значению у соответст-
соответствует одно значение х, получим функцию х=у(у), которая бу-
будет обратной для функции y=f(x) *.
Область существования обратной функции будет Еу, а об-
область ее изменения Ех, т. е. Ех и Еу поменялись ролями.
/
Черт. 4
Черт. 5
Так как функцию обозначают обычно через у, а аргу-
аргумент — через х, то, меняя обозначения в обратной функции
x=q>(y) на общепринятые, получим для нее запись у — у(х),
которая обычно и имеется в виду, когда речь идет об обрат-
обратной функции.
Функции y—f(x) и х=у(у) имеют один и тот же график
в одной и той же системе координат, так как они определяют
одну и ту же функциональную зависимость между х и у
(черт. 4).	:
Геометрически переход от х = у(у) к у=ч>(х) равносилен
изменению наименования осей (черт. 5). Делая затем пово-
поворот координатной плоскости вместе с графиком функции
у = (р(х) (в пространстве) относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов на 180°, получим обычное по-
положение координатных осей вместе с графиком г/=<р(Х)
(черт. 6).
Резюмируя рассуждения, можно сказать, что для получе-
получения графика обратной функции у=-у(х) из графика прямой
функции y=f(x) последний надо зеркально отразить относи-
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов,
оставляя координатные оси в неизменном положении.
Рассмотрим несколько примеров.
1. 0-~*+1.
* Если каждому значению у соответствуют несколько значений х, то
иногда говорят, что обратная' функция многозначна.
24

Решая уравнение относительно • х, получим х — 2у— 2.
Функция, обратная данной, будет у = 2х— 2 (после смены
обозначений).
Прямая и обратная функции — возрастающие на всей чис-
числовой оси (черт. 7).
2. у = х\
Черт. 6
Область существования: —оо<;х<;+ оо; область измене-
изменения: —оо<Гу<+|». Функция возрастающая. Решая урав-
3
нение относительно х, получим x=V~y. Следовательно, функ-
3
ция, обратная данной, будет у = Ух. Она однозначная и
возрастающая. График изображен на черт. 8.
Черт. 7
Черт. 8
3. у = —Хъ.
Область существования: —оо<гх<-1- оо ; область измене-
изменения: —оо<гх< + оо. Функция убывающая. Решая уравнение
25

относительно х, получим х=—-/у. Следовательно, функция,
з _
обратная данной, будет у =—Vх. Она однозначная и убы-
убывающая.
з _
Начертите графики функций у = —х3 и у =—Vx.
В примерах 1, 2 функции возрастающие. Обратные им
функции — также возрастающие. В примере 3 функция убы-
убывающая. Обратная ей функция — также убывающая.
Имеет место общее предложение: если функция y — f(x)
возрастающая (убывающая) на всей области существования
Ех, то обратная ей функция х=у(у) будет однозначной и воз-
возрастающей (убывающей) на множестве Еу [Еу — область
значений функции y=f(x)\ Справедливость этого утвержде-
утверждения нетрудно усмотреть на графиках только что рассмотрен-
рассмотренных функций (черт. 7 и 8-).
Предположим теперь, что функция y=f(x) не является
возрастающей (или убывающей) на всей области ее сущест-
существования, а на одном промежутке (или нескольких) она обла-
обладает этим свойством. Тогда, рассматривая функцию y — f(x)
только на этом промежутке, получим, что обратная для нее
функция будет возрастающей (или убывающей) и одно-
однозначной.
П. Графики простейших функций*
Линейная функция—функция вида
у = kx + b,
где k, b — постоянные числа. Область определения функции—
все значения х. Графиком функции является прямая линия:
а)	наклоненная к оси Ох под углом <р, для которого
tgq> = k;
б)	пересекающаяся с осью Ох в точке
в) пересекающаяся с осью Оу в точке (О, Ь).
Угол ф= /.CAB называется углом наклона прямой к оси
Ох. Если прямая параллельна оси Ох, то угол ее наклона
считается равным нулю. Для любой прямой угол наклона
определяется неравенством 0^ф<л (черт. 9).
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угло-
угловым коэффициентом прямой и обозначается через k. У пря-
* Графики функций у = ах3 + Ьх ¦+- с и у =	рассматриваются в
следующем параграфе.
26

йых, параллельных оси Оу, угловые коэффициенты не суще-
существуют (tg<p= °°). Поэтому уравнениями вида у = kx + b оп-
определяются прямые, не параллельные оси Оу.
При Ь — 0 получим функцию у — kx, график которой про-
проходит через начало координат.
При к — 0 уравнение у = b определяет прямую, параллель-
параллельную оси Ох и отстоящую от нее на расстоянии, равном |Ь|,
причем прямая будет расположена над осью Ох, если Ь>0,
и ниже оси Ох, если Ь<ГО.
Черт. 9
Черт. 10
Для построения прямой, являющейся графиком конкрет-
конкретной линейной функции, выбирают две лежащие на ней точки
и проводят через них прямую. В качестве таких точек берут,
как правило, точки пересечения графика с осями координат,
если прямые не параллельны осям координат.
Рассмотрим два примера.
1.	у = — 2х+1.
Точки пересечения графика этой функции с осями Ох к Оу
соответственно будут А (— ,0) и В @, 1). Проведя через
них прямую, получим график рассматриваемой функции [ли-
[линия G) на черт. 10].
2.	у = 4*-2.
О
Точки пересечения графика этой функции с осями Ох и
Оу соответственно будут Ах(—, 0) и Bi@, —2). Проведя
через них прямую, получим график рассматриваемой функции
[линия B) на черт. 10].
Показательная функция — функция вида
27

где а—положительное число, не равное единице; показатель
х — независимое переменное, принимающее любое значение.
()
Показательная функция обладает следующими свойст-
свойствами:
а)	ах^>0 при всех значениях х;
б)	а°=1;
в)	если а > 1, то а* > 1 при х > 0; если 0< а < 1, то
ах<.\ при х>0;
г)	при а> 1 а* — возрастающая функция; при 0< а < 1
а* — убывающая функция;
д)	если а>1, то Цт а*= + оо и Пта*=0. Если
х-»+°»	*-*¦ •~°°
, то Пта* = 0 и Нт ах = + <ю.
Черт. II
При построении графика показательной функции следует
отдельно рассмотреть два случая: а>1 и 0<а<1. Остано-
Остановимся на случае а>1 (черт. 11).
Пользуясь свойствами показательной функции, отметим
некоторые особенности, которыми будет обладать график.
Из свойства а) следует, что график расположен выше оси
абсцисс и ее ие пересекает.
Так как а°= 1, то ось ординат график пересекает в точке
@, 1).
По свойству г), ординаты точек графика возрастают с
возрастанием х, а по свойству д), при х—>-+ оо соответст-
соответствующие ординаты ах—>- +оо.
По свойству д), lim а* = 0. Следовательно, у = 0 — асимп7
Х-*—<х>
тота графика (при х—>-—оо).
Для построения графика берут ряд значений аргумента
Х\, х2, ..., хп и вычисляют соответствующие им значения функ-
функции у\, у2, ..., уп. Каждая пара значений (хи у\), (х2, Уг), ....
(хп, Уп) определяет точку на плоскости. Построив эти точки
28

и соединив их плавной кривой (с использованием рассмот-
рассмотренных выше свойств функции), получим график функции
(>1)
у ()
При построении графика функции в случае 0-<а<1 рас-
рассуждения аналогичны. График такой функции см. на,черт. 11.
Замечание. Если 0<й<1, то, представив функцию
у = ах в виде
получим, что при изучении показательной функции можно
ограничиться случаем, когда основание больше единицы.
Логарифмическая функция — функция вида
y = \ogax,	A)
где а—постоянное положительное число, отличное от 1.
Написанное равенство можно переписать в виде х=аУ;
заменяя у на logo*, получим тождество
' .	al08«x = x.	B)
Логарифмируя это тождество по осиованию х, получим дру-
другое важное тождество (относительно а>0 и 0)
\ogax-\ogxa=\,	C)
которое встречается при решении логарифмических урав-
уравнений.
Часто возникает необходимость перехода в логарифмиче-
логарифмической функции от одного основания к другому, которое, на-
например, обозначим через Ь. Записывая логарифмическую функ-
функцию в виде av = x и логарифмируя это равенство по основа-
основанию Ь, получим
откуда
¦	logujc	.	log/,*	...
У = -г-зв- , или logajc = -?2- .	D)
logs a	l°g»a
Формула D) определяет логарифм числа х при основании
а через логарифм того же числа при основании Ь. Число
	 называется модулем перехода от логарифмов по ос-
logfta
нованию Ь к логарифмам по основанию а.
В элементарной математике подробно изучаются десятич-
десятичные логарифмы. В высшей математике рассматриваются пре-
преимущественно натуральные логарифмы, т. е. логарифмы с ос-
основанием, равным иррациональному числу 6 = 2,718281828...
Это объясняется тем, что многие формулы, связанные с ло-
29

гарифмами, в случае натуральных логарифмов выглядят
проще, чем для логарифмов по другим основаниям и в част-
частности — десятичных.
Из формулы D) следует связь между десятичными и на-
натуральными логарифмами
lg* =	In х.	E)
S In 10	v
Так как, в силу равенства C),-——• =lge, то равенство
1п 10
E) можно записать в виде
lgx=lge- In*.	E')
Число lge = 0,43429... называется модулем перехода от лога-
логарифмов натуральных к логарифмам десятичным.
Исходя из свойств показательной функции, можно гово-
говорить о свойствах логарифмической функции. Уравнение
y=logax, определяющее логарифмическую функцию, пред-
представим в виде х = ау«. Каждому значению у о отвечает одно
значение лг0 = av. Так как в случае а> 1 показательная функ-
функция—^возрастающая функция (убывает в случае 0<fl<Tl),
то справедливо и обратное: каждому значению Хо>0 отве-
отвечает одно значение уо (см. параграф 10).
Логарифмическая функция обладает следующими свойст-
свойствами:
а)	loga 1=0;
б)	в случае а> 1 logo* — возрастающая функция.
В случае 0<а<:1 logo* — убывающая функция;
в)	если с>1, то Нт1о^*= + оо, Нт1о&,л: = — оо;
*->•+••	*-»о
г)	из свойств а) и б) следует, что в случае а>1 логариф-
логарифмы чисел, которые больше единицы, положительны, а лога-
логарифмы чисел, которые меньше единицы, отрицательны. В слу-
случае 0<а<\—наоборот.
Замечание. Если 0<а<1, то, представив функцию
y=\ogax в виде
loga*=— logi* (—
Т v a
получим, что при изучении логарифмической функции и по-
построении ее графика можно ограничиться случаем, когда ос-
основание больше единицы. Например,
и т. д. Пол'ьзуясь свойствами логарифмической функции, не-
нетрудно начертить ее график (черт. 12).
30

Тригонометрические функции:
a) y=sinx.
В данной функции аргумент х принимает численные зна-
значения, которые можно рассматривать как меры некоторых
углов, выраженных в радианах.
. У
Черт. 12
Область существования функции — все значения х. Функ-
Функция нечетная, так как sin (—д:) = ^—sin л;, и периодическая с
основным периодом Т = 2л.
Построив график функции на отрезке [0, я] и пользуясь
свойством нечетности синуса, продолжим (достроим) его на
отрезок [—л, 0] симметрично относительно начала координат.
Затем, пользуясь свойством периодичности синуса, гра-
график, построенный на [—л, л], сдвигами, равными периоду,
продолжаем на всю числовую ось. Полученный график
(рис. 13) называется синусоидой [ линия A) на черт. 13].
Асимптот график не имеет.
б)	y=cosx.
Область существования функции — все значения х. Функ-
Функция четная, так как cos (—х) = cosa:. Основной период Т=2п.
График функции называется косинусоидой [линия B) на
черт. 13] и представляет собой синусоиду, сдвинутую на -—
влево параллельно оси Ох. Это следует непосредственно из
/ я \
формулы cos.? = sin [х -(	I.
в)	y=tgx.
Область существования — все значения х, кроме хп —
= —	Л (я = 0, ±1, ±2, ...).Функция нечетная, так как

ig (—x) =—tg*, и график, следовательно, симметричен отно-
относительно начала координат. Функция возрастает в интервале
я я \	т
• — ,—1 . Число 1 =я является основным, периодом
функции. Построив график на промежутке 0, — \ и
У
у=соз J-
продол*
Черт. 13
жив его симметрично относительно начала на интервал
(	, 0), затем сдвигами, равными периоду Т, влево и
вправо продолжаем график на всю числовую ось.
<У	1
Так как при значениях хп=
<Уп I 1
я {п — 0, ±1, ±2, ...) тан-
тангенс обращается в бесконечность, то график имеет бесконеч-
ное множество асимптот с уравнениями * =	л (« = 0, ±1,
±2, ...). Других асимптот не существует. График изображен
на черт. 14.
г) y = \
Черт. 14
Черт. 15
Область существования — все значения х, кроме хп =
= 0, ±1, ±2, ...). Функция нечетная, так как ctg (—х)
32

= —ctg*, и график, следовательно, симметричен относительно
начала координат. Число Т — п-—основной период функции.
При возрастании * от 0 до я ctg* убывает от +°о до — °о.
х=лп (п = 0, ±1, ±2, ...) —асимптоты графика.
Замечание. Исходя из равенства ctg* =—tg (*	),
график ctg* можно получить из графика tg* следующим об-
разом: построить график tg*; сдвинуть его на — вправо,
т. е. построить график tg (*	 ); полученный график зер-
зеркально отразить относительно оси Ох. В результате получим
график ctgх (черт. 15).
Обратные тригонометрические функции:
а) t/=arc sin*.
Рассмотрим функцию y = s'\nx не на всей области сущест-
Г я я и
вования, а только на отрезке	, — . Из определения
следует, что на этом отрезке sin*—возрастающая функция.
Значит, функция, обратная sin*, будет однозначной и
возрастающей (см. параграф 10). Ее обозначают через
* = arcsiny \— 1 <у<1, — —
или, переходя к обычным обозначениям (аргумент — через *,
а функцию — через у), через у = arc sin*.
Из определения следует, что областью существования
функции будет отрезок —1.^x^1, а областью изменения —
я	я
отрезок.	-<</<• — •
Функция нечетная. В самом деле, имеем:
/(*)=arcsin*. je=sln/(*) (--|
/(~A;)=arcsin(-*) (- ~ </(-jc)<-|j, -x = sin/(-*);
т. e. * = sin [—/(—x)]. Следовательно, sin[— /(— x)] = siaf{x).
Отсюда: —/(—*) = / (x).
При построении графика функции */ = arcsin* можно по-
поступать по-разному.
_ Г я я -1	.
Во-первых, на отрезке	,— построить график
3 Заказ 348	33

функции y=sinx. Так как </ = arcsinJi: — функция, обратная.
для y—sinx, то ее график будет зеркальным отражением
графика y=sinx (см. параграф 10) относительно биссектрисьь
первого и третьего координатных углов.
Во-вторых, в силу определения функции, равенство
у =* arc sin x I
означает, что: 1) x=siny,
2) - —
2
Поэтому график функции x=siny при условии, что у изме-
Г я я I	.
няется «а отрезке	, — , и будет графиком */=arcsin х,..
изображенным на черт. 16 линией A).
Замечания. 1. Функцию у = arc sin x мы определили
как обратную для y=smx при условии, что	-С х-%. —.
Можно было бы рассматривать функцию y=sinx и на дру-
других промежутках, где она является возрастающей или убы-
вающеи. Например, в промежутке — , — я она убыва-
убывает. Тдгда обратная для нее функция будет однозначной и
имеет вид
у=п — arc sin x.
Эту функцию можно было бы принять за определение обрат-
обратной функции для
у = simt (— <*< — я).
\ 2	2 /
2. Часто на вопрос, что такое arc sin x дают неверный от-
ответ, утверждая, что это есть дуга, выраженная в радианах,.,
синус которой равен х, забывая при этом, что дуга заклю-
Г те я 1
leHai в Промежутке	, —. .
L 2 2iJ
б) j/=arccosji: (—1^х<1; 0<г/<л).
34

Н*)
Черт. 16
По существу дела определение этой функции аналогично
определению функции
# = arc sin*.
Рассмотрим функцию y = cosx на отрезке [0, я]. На этом
отрезке cosx — убывающая функция. Обратная ей функция
будет, однозначной и убывающей и обозначается через
у = arc cos x.
Более точно: сначала определяют х как функцию от у и.
записывают эту зависимость в виде *=== arc cos*/ (
—l^f/-^l). Затем, принимая обычные обозначения;
аргумента и у для функции, получают рассматриваемую функ-
функцию */=arccos.*: с областью существования —1<*-«С1 и
областью значений 0^(/^я.
При построении графика функции справедливы те же рас-
рассуждения, что и для г/= arc sin л:. График рассматриваемой
функции изображен на чёрт. 16 линией B). Имеют место и
здесь замечания, сделанные ранее при рассмотрении функции
у = arc sin x.
(
в) j/=arctgx I— с
Рассуждения, связанные с определением этой функции,
аналогичны тем, которые имели место при определении функ-
функций </=агс sin л: и */=arccosx В интервале
3*	35
2' 2j

рассматриваем функцию y—tgx. Так как она является воз-
возрастающей, то обратная для нее функция будет однозначной
и возрастающей. Обозначим ее через
t/ = arctg*,
нричем область существования и область значений функции
определяются соответственно неравенствами
-со<дс<
и -
2.
Черт. 17
Графиком функции будет ветвь кривой x = tgy, соответст-
1 Я Я \	_
вующая интервалу (	,—) изменения у. Так же, как
и в случае у = arc sin x, можно показать, что arctg* — функ-
функция нечетная, т. е. arctg(—л;) =—arctgx. График функции
изображен на черт. 17 линией A). Его можно было бы по-
получить как зеркальное отражение ветви графика y=tgx
относительно биссектрисы первого и третьего координатных
углов.
г) t/ = arcctgjt (—оо<л:< + оо; 0<у<я).
Эта функция определяется аналогично функции t/ = arctg#,
и ее график изображен на черт. 17 линией B).

Г лава II
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1. Построение графиков функций у = Af(kx+m)+b
по графику функции у = f(x)
I.
= f(x)+b
Пусть дана функция y=f(x),' график которой известен.
Спрашивается, как, исходя из графика этой функции, по-
построить график функйий t/=*/(X) + &> где 6 —постоянное
число.
Черт. 1»
Ясно, что при одних и тех же значениях х ординаты соот-
соответствующих точек графиков отличаются на Ь. Поэтому
график функции' y—f(x) + b можно получить из графика
y = f(x) параллельным (без поворота) смещением его вдоль
оси Оу на Ъ единиц вверх, если Ь>0, и на \Ь\ единиц вниз,
если Ь<0. На черт. 18 изображен произвольный график при
Ь= 1.
П. График функции y=f(x — а)
Пусть известен график функции y=f(x). Спрашивается,
как по этому графику построить график функции y=f(x — а),
где а — постоянное число.
Покажем, что график функции у—]{х — а) можно полу-
получить из графика функции y=f(x) сдвигом его вдоль оси Ох
на а единиц вправо, если а>0, и на |а| единиц влево, если
а<0. Возьмем произвольную, но фиксированную точку
37

(хь У\) графика функции y = f(x): yi=f(xl). Если эту точку
переместить параллельно оси Од; в точку (хх + а, yt) (вправо,
если а>0, и влево, если а<0), то эта точка будет принад-
принадлежать графику функции у=\(х— а), так как ее координаты
удовлетворяют этому уравнению:
Следовательно, график функции y—f(x), смещенный парал-
параллельно оси Ох вправо или влево на расстояние, равное \а\,
будет целиком лежать на графике функции
y=f(x — а).
Наоборот, если точка (xi + a, yi) принадлежит графику
функции y=f(x — a), т. е. */i=ft(*i + a) — a]=f(xx), то точка
(х\ ух) будет принадлежать графику функции y — f(x). Из
прямого и обратного рассуждений следует, что график функ-
функции y=f(x — а) не имеет других точек, кроме тех, которые
получаются из графика у=1(х) сдвигом его на |а| вправо
или влево параллельно оси Ох.
HI. График функции y=f(x — a)+b
Численное значение каждой из ординат графика рассмат-
рассматриваемой функции отличается от ординат графика функции
y = f(x—а) на значение, равное Ь. Следовательно, если 6>0,
то график функции y=f(x — a)+b получается из графика
y—f(x — а) сдвигом его вверх параллельно оси Оу на рас-
расстояние Ь, если 6<0, то — bi:ms на расстояние Ь>0. Отсюда
делаем вывод: график функции y—f(x — а) + Ь получается
из графика функции */ = /(*) сдвигом его вправо или влево
параллельно оси Ох на расстояние, равное |fl|, и сдвигом
вверх или вниз на расстояние, разное \Ь\.
Примеры.
1.	#=sin (х — 2).
График — синусоида, сдвинутая на 2 единицы вправо
вдоль оси Ох (черт. 19).
2.	*/ = co A)
Черт. 19
График — косинусоида (y = cosx), сдвинутая на единииу
влево вдоль оси Ох.
3. */=1
38

График получается из графика y=\ogax сдвигом его на
•единицу вправо вдоль оси Ох. Асимптотой будет прямая
х = 1.
4.	у — а 2.
График получается из графика у = ах сдвигом его "на —
влево вдоль оси Ох.
Начертите графики функций в примерах 2, 3, 4.
5.	В качестве примера рассмотрим дробно-линейную
функцию
ах + Ь
cx+d	¦
где а, Ь, с, d— постоянные числа, причем сфО (иначе мы
а Ь
имели бы линейную функцию), и — Ф — (иначе получили
с d
•бы функцию у = const).
Область существования — все значения х, кроме х =	.
с
По правилу деления многочлена на многочлен, приведем
функцию к виду:
be — ad
а
с
+
b —
ex 4
ad
с
-d
a
с
d
Для краткости положим:
Тогда
х — а
Если обозначить
k	k
/(х) = —, то у =
X	х — а
Следовательно, график дробио-линейной функции получается
из соответствующего графика обратной пропорциональной за-
зависимости сдвигом его на |а| влево или вправо параллельно
¦оси Ох и сдвигом на |р| вверх или вниз параллельно оси Оу.
Так как графиком обратной пропорциональной зависимости
39

является равнобочная гипербола, то, следовательно, и графи-
графиком дробно-линейной функции является равнобочная гипер-
гипербола.
График функции у = — симметричен относительно начала
координат, а график дробно-линейной функции симметричен
относительно точки (а, |3). д:=0 — вертикальная, у=0— го-
ризонтальная асимптоты графика функции у=— . Для гра-
X
\
—-
/
r 1
1
I
о S
1
X
Черт. 20
Черт. 21
фика дробно-линейной функции вертикальной асимптотой
будет прямая х=а, а горизонтальной асимптотой — прямая
г/=р. На черт. 20 изображен график дробно-линейной функ-
функции в предположении, что а>0, р>0 и &>0.
6. В качестве примера рассмотрим теперь квадратичную
функцию у=ах2+Ьх+с, где а, Ь, с — постоянные и афО.
Область существования — все значения х. Перепишем
уравнение, определяющее функцию, так:
Ь_
о
Дополняя выражение в скобках до полного квадрата,членом.
	и вычитая	, получим:
4а	4а
у = а(,
Обозначая для краткости
Ъ \* , 4ас — i
х + —] Н
2а)	Аа
-Р.
2а	4а
будем иметь у=а(х—аJ+р. Следовательно, график квад-
квадратичной функции получается из графика у = ах2 сдвигом его
40

на \а\ влево или вправо параллельно оси Ох (вправо, если
а>0, и влево, если а<0) и сдвигом его на |р| вверх или
вниз параллельно оси Оу (вверх, если р>0, и вниз, если.
Р<0).
Координаты вершины параболы будут определяться по
формулам:
Ь а 4ас — Р
а=— —-, р = —	.
2а	4а
Запоминать эти формулы нецелесообразно. В каждом ков-
кретном примере вышеуказанными преобразованиями а и f$
определяются непосредственно.
Если а>0, то парабола ветвями обращена вверх, если,
а<0, то парабола ветвями обращена вниз (черт. 21).
Рассмотрим два конкретных примера.
а)	#=3х2 — 6*+5.
Представим функцию в виде:
у=Ъ{х — 1J+2.
Отсюда следует, что вершина параболы находится в точке
A, 2); а=3>0, значит, ветви параболы направлены вверх.
Так как парабола однозначно определяется заданием трех
точек на ней, то для построения графика достаточно взять,
кроме вершины, еще две точки: одну на левой ветви параболы,
например @, 5), другую — на правой, например B, 5). Для
придания графику более правильной формы можно взять еще
несколько дополнительных точек, принадлежащих графику. Как
правило, находят точки пересечения графика с осями координат.
Полагая в уравнении параболы г/ = 0 и решая уравнение
Зх2 — 6*+5 = 0, можно сказать, что оно не имеет действи-
действительных корней, значит парабола не пересекает ось Ох и не
касается ее. Полагая в уравнении параболы х=0, найдем, что
У~Ъ. Значит, в точке @, 5) парабола пересекает ось Оу.
На основании проведенного исследования без труда можно
было бы построить график функции.
б)	у= — —х* — 2х+\.
Представим функцию в виде:
(x+2)* + 3
Отсюда следует, что вершина параболы — точка (—2, 3).
Точки пересечения графика с осью Ох будут: (—2+ тЛ>;
0) и (—2—VlF, 0). Ось Оу график пересекает в точке @, 1).
Так как а — —— <0, то парабола ветвями направлена вниз.
41!

Построение графика так же, как и в примере а), не вызывает
•затруднений.
Как следствие наших прежних рассуждений, легко полу-
получается решение задачи о нахождении наименьшего значения
¦квадратного трехчлена ах2+Ьх + с при а>0 и наибольшего
*его значения при а<0.
Имеет место равенство:	¦
I
= а[х-\
b \а

2а I
2а/	4а
,D	4ас - ft2
Второе слагаемое 	 — постоянная величина, не за-
4а
/ Ь »
висящая от х. Первое слагаемое а(*Н	\ обращается в
яуль при х =	.положительно при всех остальных значе-
значениях х в случае а>0 и отрицательно при а<0. Следователь-
Следовательно, при х =	,в случае а>0, квадратный трехчлен прини-
2а
4ас—Ь*
мает наименьшее значение, равное — — , а в случае
4а
4ас — Ь2 _
;а<0 — наибольшее значение, равное 	 . Другими
4а
-словами, значение ординаты вершины параболы при а>0
равно наименьшему значению, а при а<0 — наибольшему
значению квадратного трехчлена.
Рассмотрим примеры.
1. Найти наименьшее значение функции т..
Имеем: у = 2(х+1J— 1. Следовательно, при х = — 1 функ-
ащя принимает наименьшее значение, равное —1.
2. Найти наибольшее значение функции
у=—Зх2+\2х — 8.
Преобразуя, получим: у = —3(х — 2J + 4. При х = 2 функ-
¦ция принимает наибольшее значение, равное 4.
Замечание. Не имеет смысла ставить задачи о нахож-
нахождении наибольшего значения квадратного трехчлена при
«а>0 и наименьшего значения при а<0, так как при х—>-оо
if—>-+оо, если а>0, и у—*- —с», если а<0.
42

IV. График функции y=f(kx), где k — постоянное
число
Требуется построить график этой функции по график7
функции у=!(х).
Рассмотрим два случая: k>0 и k<0.
1) k>0. Пусть точка (хи ух) принадлежит графику функ-
функции y=f(x), т. €. У\=!(х\). Тогда точка с координатами
/—, Ух\ будет лежать на графике функции у = /(«.*.), так
как
В случае k> 1 про точку (—, уЛ говорят, что она полу-
получилась изЧочки (х\, у\) —ординаты одни и те же — сжатием
ее в k раз вдоль оси Ох, с центром сжатия в начале коорди-
координат. Если происходит сжатие всех точек графика в k раз, то
говорят о сжатии всего графика. В случае 0<&<1 про точку
( —» Уг )говорят, что она получилась из точки (Х\, у{) ра-
k '
стяжением ее в — раз вдоль оси Ох. Таким образом, график
к
функции у = f(x), будучи сжат вдоль оси Ох в k раз или ра-
растянут в — раз, целиком лежит на графике функции у=
k
= f(kx). Нпсборот, если точка (xh y{) лежит на графике
у = f(ki), т. е. у\ =}(kxi), то точка (kxu y{), растянутая в
k раз вдоль оси-Од: или сжатая в — раз (&<1), будет при-
k
надлежать графику функции y=f(x).
Из прямого и обратного рассуждений следует, что график
функции у = f (kx) не имеет других точек, кроме тех, которые
получаются из графика y=f(x) сжатием или растяжением
-Ю вдоль оси Ох, с центром в начале координат.
2) &<0. Мы уже знаем, как строится график функции
•и .= f(—kx) (—k>0) по графику у = f(x).
Нетрудно убедиться в справедливости следующего утвер-
утверждения: график функции y = f(kx) является зеркальным
отражением графика функции у = f(—kx) относительно
оси Оу.	¦
В самом деле, пусть точка (хи у\) лежит на графике
y = f(~kx), т.е. yi=f(—kxi). Зеркальное ее отражение
("~*ь У\) относительно оси Оу будет принадлежать графику
y=}(kx), так как f[k(—*i)]=f(—kx{) =yh Справедливо и об-
43

ратное: если точка (хи у\) принадлежит графику функции?
y = f(kx), т. е. !{кхЛ=уи то точка (—хи у{) будет принадле-
принадлежать графику у = /(—kx), так как Д—Н~*i)] = f(kxi) = У^-
Значит, чтобы при k < 0 построить график функций
y-f(kx) по графику y=f(x), надо сначала построить график
функции y=f(—kx) (—k>0), а затем отразить его зеркаль-
зеркально относительно оси Оу.
Черт. 22
В частном случае, при k = — 1, график функции y=f(—x}
является зеркальным отражением графика y=f(x) относиг
тельно оси Оу.
Рассмотрим примеры.
1	i2
Сжимая график функции «/ = arcsin* вдоль оси Ох в дв*
раза с центром сжатия в начале координат, получим график
рассматриваемой функции. Область существования:
2.	y = arccos — .
Область существования: —2^x^:2. График получается
из графика «/=arccosx растяжением его в два раза вдоль оси
Ох (черт. 23).
3.	у=\п(—х).
Область существования: х<0. График этой функции по-
получится зеркальным отражением относительно оси Оу гра-
графика функции у = \пх (черт. 24).
44

4. г/=1п(— 2х).
Область существования: х<0. Сжимая график функции
у = In х в два раза вдоль оси Ох, получим график функции
у=1п2х. Затем, зеркально отражая его относительно оси Оу,
лолучнм график рассматриваемой функции.
Начертите этот график.
ч
V
i i
-2 -1
I-',*)'
\
У
cosj-
Х_
\ V
0 / 2
Черт. 23
Черт. 24
V. График функции y—f[k(x—а)], где ank —
постоянные числа
При построении графика рассматриваемой функции по
графику y=f(x) можно поступить двояко.
1.	Строим сначала, как об этом было сказано раньше, гра-
график функции у = f(kx) (по графику у = f(x)). Затем получен-
полученный график сдвигаем вдоль оси Ох на |а| единиц вправо, если
а>0, и влево, если а<0, что аналитически эквивалентно за-
замене х на я — а в функции у =f(kx). В результате получим
график рассматриваемой функции.
2.	Можно было бы сначала построить график функции
y = f(x — а), что равносильно сдвигу на \а\ единиц вдоль
фи Ох графика функции y=f(x), а затем уже производить
операцию сжатия или растяжения, с центром в точке а, а в
случае k<0 — еще и операцию зеркального отражения отно-
относительно прямой х—а.
Замечание. Если функция задана уравнением у =
= f(kx + т), то, записывая его в виде
и введя обозначение
т
45

получим:
= Kk(x-a)l
Рассмотрим примеры.
1. z/ = sin2(x— 1).
Строим синусоиду у = sin х. Сжимая ее вдоль оси Ox б
два раза, получим график функции y — sm2x. Сдвигая этот
график на единицу вправо, получим график данной функци»;
(черт. 25).
2. у = cos
х+1
Черт. 25
Строим график функции y=cosx. Растягивая его вдоль-
оси Ох в два раза, получим график функции y = cos — ; за-
затем, сдвигая этот график влево на единицу, получим график,
рассматриваемой функции (черт. 26).
Черт. 26
3.	у = 1п2(х—1)..
Строим график функции у = 1пх. Сжимая его в два раза:
вдоль оси Ох, получим график функции у = \п2х. Сдвигая
полученный график параллельно оси Ох на единицу вправо,
получим график рассматриваемой функции (черт. 27). Пря-
Прямая х=1 является асимптотой.
4.	г/ = 1п A — х).
Перепишем функцию в виде У=1п[—(х—1)]. Построим
сначала график функции г/=1п (—х) (который будет зер-
зеркальным отражением графика у=\пх относительно оси Оу),.
46

а затем сдвинем его на единицу вправо. Получим график,
рассматриваемой функции.
Начертите этот график.
Черт. 27
Можно было бы и так поступить: сначала строим график,
функции у=1п (х—1), а затем зеркально отражаем его от-
относительно прямой х— 1.
5. г/ = 2-^+]).
Строим график функции у = 2~х как зеркальное отражение
графика у—2х относительно оси Оу, а затем сдвигаем его на
единицу влево параллельно оси Ох.
Начертите этот график.
VI. График функции y=Af(kx+m)+b, где
A, k, m, b — постоянные числа
Преобразуем функцию к виду у = Af[k(x—a)]+b, где а =¦
^ т
На основании ранее рассмотренного график функции по-
построить нетрудно. Сначала строим график функции г/=
= f[k(x—а)]. Затем этот график при А > 1 растягиваем па-
параллельно оси Оу (от оси Ох) в А раз. При 0<Л<1 график
сжимаем в — раз. В результате получим график функции
у — Af[k(x—а)]. При А < 0 представим функцию в виде
у =-{-Af[k(x-a)]}.
Так как А >0, то, по
сказанному выше, строим график функции у = —Af[k(x—а)],
а затем отражаем его зеркально относительно Ох.
Если теперь полученный график сдвинуть параллельно
оси Оу на расстояние, равное \Ь\, вверх, если Ь>0, и вниз,
если 6<0, то получим график рассматриваемой функции.
47

Остановимся на частных случаях.
1.	У=Н~х).
Графиком этой функции будет зеркальное отражение гра-
графика функции y=f(x) относительно оси Оу.
2.	y=-f(x).
Зеркальное отражение графика функции y=f.(x) относи-
относительно оси Ох даст график рассматриваемой функции.
3.	у=Ч(-х).
\
\
у \
"о
У 1
о *-- —
-1 ,
Черт. 28
График этой функции будет симметричен с графиком
M=f(x) относительно начала координат. Его можно построить
и так: построить график y = f(—х) как зеркальное отражение
относительно оси Оу. Отражение полученного графика отно-
относительно оси Ох и будет графиком данной функции.
Рассмотрим несколько примеров.
1.	у = 1—е~х. Строим график функции у = е~х как зер-
зеркальное отражение графика у = ех относительно оси Оу. За-
Затем строим график у = —е~х, который будет зеркальным от-
отражением графика у = е~х относительно оси Ох. Сдвигая
построенный график параллельно оси Оу на единицу вверх,
получим искомый график (черт. 28).
2.	у=А sinco(* — а), где А, со, а — постоянные числа.
Такую функцию называют гармоникой с амплитудой \А\,
частотой со и начальной фазой ср. Из тождества
пх-\	 ) = A sin со (дс Н	а ) = A sin (со* — а + 2я) =
\	СО '	^	СО	' <
= A sin (со* — а) = / (*)
следует, что функция имеет период Т =
2л
со
Из синусоиды
(y = smx) график этой функции можно получить следующим
образом. Сожмем синусоиду в со раз, если со>1, и растянем
в ¦— раз, если 0<со<1. В результате получим график функ-
со
ции y—sirudx. Сдвигая полученный график вправо, если а>0,
или влево, если а<0, параллельно оси Ох на расстояние.

ное \а\, получим график функции y=sma>(x— а). Растяги-
Растягивая полученный график в А раз, если Л>1, и сжимая в
-— раз, если О<Л<Г1, параллельно оси Оу, получим график
/л
рассматриваемой функции.
Замечание. График можно было бы построить и так.
Находим значения х, при которых со (а—а) = 0 и со(д;—а) =
= — (находим один нуль функции и значение х, соответст-
соответствующее ближайшей к нулю вершине). Далее, пользуясь ха-
характером изменения синуса на периоде, строим график функ-
функции.
3. «/=asincox+bcoscox, где а, Ъ, со — постоянные числа.
Обращаем внимание, что под знаком синуса и косинуса
стоит один и тот же аргумент. Нетрудно эту функцию пре-
преобразовать к виду г/=Л sin to (x — ср) (откуда и будет следо-
следовать, что она является гармоникой). В самом деле, предста-
представим ее в виде
у = V Ьг + «а I
cos сод; ]
Так как
то существует аргумент q>0 такой, что
7=—
V Ьг 4- аа
-I- аа
= ski ф0; обозначая также V^a-f аа = Л, получим
или
у = A (cos ф0 sin сод; + sin ф0 cos сох) = A sin (cox -f Фо).
у = A sin со (х — ф), где ф = —
со
Рассмотрим пример.
Построить график функции
— /3"cos2x.
* Справедливо и обратное: всякую гармонику можно представить
в виде у = a sin шдг + Ь cos ах, где а = A cos фо, Ь = —A sin ф0.
4 Заказ 348
49

Преобразуя уравнение так же, как было указано выше*
получим
у = Y\* + (-/3 У( — sin 2х - YLcos2x) =
\ 2	2	)
=2lsin 2х • cos — — cos2x-sin — \ = 2sin B* - — ^ =
I	3	3)	{	3
=-2sta2fx-—V
V Ч
График этой функции изображен на черт. 29.
SJ
Черт. 29
2. Локальное поведение функции
В исследованиях функций, связанных с построением гра-
графиков, весьма важным моментом является выяснение харак-
характера поведения функции в окрестности особых точек, т. е.
точек хо, в которых функция не определена, но в любой окрест-
окрестности которых содержатся точки как принадлежащие области
существования, так и не принадлежащие ей (например,
точка Хо).
Необходимо также исследование поведения функции при
х—>¦ + оо и при х—>—оо, без которых невозможно
«квалифицированно» строить графики функций. Рассмотрим
несколько примеров, из которых видно, как практически осу-
осуществляется это исследование. Прежде чем переходить к
примерам, сделаем следующее замечание. Если х—>-а, оста-
оставаясь все время меньше а, то кратко записывают: х—иг — 0;
если х—±а, причем всегда х>а, то кратко записывают:
50

х—wj + O. Аналогично н для функций: если при х—>~а, или
х—^а — 0, или х—*а + 0 f(x)j—>-A, оставаясь все время боль-
больше А (или меньше А), то записывают: f(x)—>~А+0 (f(x)—>-
_+Л—0).
Рассмотрим примеры.
\_
1. у = ех.
а)	область существования: х~>0 и х<0; х = 0 — особая
точка;	ч
б)	у>0 на всей области существования;
в)	при#>0 —, а следовательно, ие* — функции убы-
1	±
вающие; аналогично при х<0 как —, так и ех также
Л/
функции убывающие;
г)	исследуем поведение функции в окрестности особой
точки х = 0, при #-»4-°° и х-* — оо. Пусть х->0— 0;
1	i.	1
тогда — _» —оо, аеЛ-»0 + 0. При х->0 + 0 — ^- + оо,
_1_
а ех->+ оо. Отсюда следует, что х = 0 является асим-
асимптотой графика.
1	_L
При х-*—схз —->0 — 0, а е* -»1—0; при j:-»-j-°°
1	1.
— ->0 + 0, a e-'-^l+O. Отсюда следует, что у=1 яв-
Л/
ляется асимптотой графика. Теперь нетрудно построить
график функции (черт. 30).
2 и.^(х-2)(х+3)
х* - 1
а)	область существования — все значения х, кроме
х=±1;
б)	нули функции: #i = 0, х2=2, х3 = —3;
в)	определим знаки функции в интервалах (—оо, —3),.
(—3, —1), (—1, 1), A, 2) и B, +оо), т. е. в интервалах, об-
образованных корнями числителя и знаменателя.
Для определения знака функции в указанных интервалах
проще поступить так: расположим на числовой оси Ох корни
числителя и знаменателя, соответствующие множителям с
нечетными степенями. Корни, соответствующие множителям
с четными степенями, исключаются из рассмотрения.
При каждом значении х из интервала (—оо, —3) все мно-
множители, стоящие в числителе и знаменателе, отрицательны
4*	51

(х2 исключаем из рассмотрения). Число этих множителей
равно числу корней числителя и знаменателя, т. е. равно че-
четырем. Значит, в интервале (—оо, —3) функция положитель-
положительна. В интервале (—3, —1) множитель (#+3) положителен,
а остальные множители — отрицательны, значит и функция
отрицательна.
Черт. 30
Черт. 31
Аналогично рассуждая, получим, что в интервале (—1, 1)
функция положительна (кроме х=0, где функция равна 0),
в интервале A, 2) —отрицательна и в интервале B, +оо) —
положительна. Другими словами, определив знак функции в
крайнем левом (или в крайнем правом) интервале, в после-
последующих за ним слева направо интервалах (или справа на-
налево) знаки будут чередоваться;
г) выясним поведение функции в окрестности особых то-
точек X = 1 И Х = — 1, При X	*-+ ОО И X	i	оо.
При х—>—1—0 знаменатель —»-0+0, числитель —*¦—6,
а у—»—оо; аналогично рассуждая, получим, что при х—*¦
— 1+0 у—* + оо; при х—>-1+0 у—>—оо; при л:—>-1 — 0
у-^- + оо. При х—>-+оо и х—у— оо у—>-+со. Это нетрудно
видеть, если функцию представить в виде
д) найдем асимптоты. Вертикальные асимптоты: х = 1 и
=—1. Невертикальных асимптот нет, так как не существует
52

равный угловому коэффициенту асимптоты. Это видно и не-
непосредственно из вида самой функции, а именно: степень чис-
числителя на две единицы больше степени знаменателя.
График функции изображен на черт. 31.
х3
3. у*с-=— .
4-х3
а)	область существования — все значения, кроме х=2 и
ж=-2;
б)	#=0 — нуль функции;
в)	f(—х) =—f(x), т. е. функция нечетная, следовательно,
график симметричен относительно начала координат;
г)	при х>2 функция отрицательна, а при 0<#<Г2 — по-
положительна;
д)	при х—>-2 —0 у—v+oo; при #—>-2 + 0 у—>-—оо. Сле-
Следовательно, х=2 и х — —2 — вертикальные асимптоты. Для
невертикальных асимптот у = kx+b; k и b определяются по
формулам:
k = lim -L№-, b = lim (/ (x) — kx).
Проще можно определить невертикальные асимптоты, если
функцию представить в виде
у	Х + Ц	Х+(*) ((*)	Ц
4 —х2	V	4 —х
при х—v±oo г(х)—уО, а следовательно, у неограниченно
приближается к прямой у=—х; значит у=—х и есть асимпто-
асимптота (см. параграф 9 гл. I). Отсюда следует также, что при
X	v + ОО у	>	оо ; при X—*¦—оо у—*-+оо.
График функции изображен на черт. 32.
Черт. 32
53

3. График сложной функции
Пусть задана функция у от аргумента и: y=f(u). Если
вместо аргумента и подставить функцию u = q>(x) нового ар-
аргумента х, то получим функцию от х: y=f((f(x)), которая и
называется сложной функцией аргумента х. Говорят и так:
задана функция f от функции щх) или произведена «супер-
«суперпозиция» функций / и ф.
Примеры.
1.	у=и2; полагая и = 3х—1, получим сложную функцию
аргумента х: у = (Зх—IJ.
2.	у=\пи; полагая u=s'mx, получим у = \п (s'mx).
2	А	.2
3.	y=arcsm—; полагая u=tgx, получим */=arcsin —.
и	tg*
Область существования функции y=f(y(x)) состоит толь-
только из тех значений х из области существования функции
u — (f(x), для которых соответствующие значения u=q>(x)
входят в область существования функции y=f(u). Так, в при-
примере 1 областью существования сложной функции будут все
значения х; в примере 2 область существования функции
состоит из тех значений х, для которых sin#>0, т. е. из зна-
значений х, удовлетворяющих неравенствам 2я?<#<я+2я&
(& = 0, ±1, ±2, ...). При рассмотрении той или иной сложной
функции надо всегда помнить о ее области существования,
так как иначе формальная операция взятия функции от функ-
функции может привести к выражению, которое не имеет смысла.
Например, y = arccosV2+x2 не имеет смысла, так как
/~2+х2>1 при всех х.
При построении графика сложной функции */=Яф(Х)]
в тех случаях, когда функция и=у(х) имеет относительно
сложный вид, целесообразно сначала построить график
функции u = q>(x) (благодаря чему ее свойства делаются бо-
более обозримыми), а затем, используя полученный график и
свойства функции y=f(u), уже строить график рассматривае-
рассматриваемой функции. При этом весьма полезно иметь в виду сле-
следующие соображения. Если и=ц>(х) есть функция, возра-
возрастающая или убывающая на всей области своего существова-
существования (или на некотором промежутке изменения х), а функция
y=f(u) есть также возрастающая или убывающая на всей
области своего существования (или на некотором промежутке
изменения и, соответствующем промежутку изменения х), то
У=Н.Ч>(Х)]=Р(Х) будет функцией также возрастающей или
убывающей. Более подробно об этом можно сказать так:
а)	если y=f(u) и и=<р(х)—функции возрастающие, то
#=Яф(Х)]=^(Ч) — функция возрастающая;
б)	если y=f(u) — функция возрастающая, а и = у(х) —
функция убывающая, то y=f[q>(x)] = F(x)—функция убы-
убывающая;
54

в)	если y — f(u)—функция убывающая, а м=<р(Х)—
функция возрастающая, то y=[<f(x)] = F(x)—функция убы-
убывающая;
г)	если y = f(u) и « = ф(х)—функции убывающие, то
У—Яф(ХI — функция возрастающая.
Приведем примеры на исследование сложных функций и
построение их графиков.
1. у = 2**.
Имеем сложную показательную функцию y=f(u) — 2u, где
u(x)=tgx. Поскольку эта функция хорошо известна, график
ее можно было бы не строить, а сразу приступить к построе-
построению графика рассматриваемой функции:
1)	область существования функции — все значения х,
кроме х= — +яп (ге=0, ±1, ±2, ...);
2)	функция периодическая, с периодом Г=я;
3)	и(х)—возрастающая в интервале!	-, —] функ-
\ 2 2 у
ция, а у = 2и— возрастающая функция на всей числовой оси
—оо<«<г+о°. Значит, y = 2igx — возрастающая функция
в интервале (	, —] изменения х\ г/ @) = 1;
4) x =	«- их =	особые точки функции. При х ->
я я
—>	(-0, tgх-»- — оо 2*« *—*0 +0; при х-»	0, tg x -*
я
-* -f- оо 2* * -» + оо. Значит, х =	асимптота графика
функции.
Из периодичности функции следует, что асимптот вида
у — кх+b не существует.
г- л.	/ Я	Л \
1 рафик функции на интервале I	, — 1, равном по
длине периоду функции, изображен на черт. 33, б. На
черт. 33, а изображен график функции u = tgx.
2. y=arcsin— .
х
Имеем сложную функцию y=f(u)= arc sin и, где и — —.
Л/
Построим ее график:
1) область существования функции определяется нера-
неравенством — -<;i,t. e. ,_
55

2) функция ограничена:
; значит, ее график не
выйдет из этой полосы;
3) функция нечетная, так как arc sin* — нечетная функ-
функция;
•*?
Черт. 33
1
Н)
Черт. 34
4)	в промежутке [1, +оо) и=	убывающая функция,
a */=arcsinu—возрастающая функция на отрезке —1^ц<;
<:1. Значит, у = arc sin	убывающая функция в проме-
х
жутке [1, +оо);
5)	при х-* + со,	»0 + 0 arc sin	*0-f-0. Значит,
х	х
у —Q—асимптота графика функции. График функции и =
= — (М>1) изображен на черт. 34, а, а график функции
X
у = arc sin	на черт. 34,5. Оба графика очень схожи
х
между собой.
56

3. y=arcctg(\gx).
Имеем сложную функцию y=arcctgu1 где u=\gx.
Построим ее график:
1)	область существования функции — интервал 0<#<Г
< + оо;
2)	функция ограниченная: 0<г/<Гя; значит, график функ-
функции не выйдет из-указанной полосы;
3)	u = \gx — возрастающая функция в интервале 0<Г#<
<С + оо, а у= arc ctg и — убывающая функция в интервале
—оо<ы< + оо. Значит, y=arcctg (\gx) есть убывающая
функция на всей области своего существования;
4)из графика функции u = \gx (черт. 35, а) и убывания
функции y=arcctgx в интервале (—оо, оо) следует, что
при х—>-0 u=\gx—>—оо, а у—*-п — 0. При х—»-+ о©
\gx—>-+оо, а у—>-0+0. Значит, у=0 и у=п — асимптоты
графика функции, изображенного на черт. 35, б.
Черт. 35
4. у = arc cos —
1
Имеем сложную функцию y=arccos«, где и=—¦.
X
Исследуем функцию.
1)	область существования функции определяется неравен-
неравенством: |—'Is^l или \х\^Л (что эквивалентно двум нера-
х
венствам х^Л и ^^ — 1;
2)	функция ограничена: 0<с;«/<;я;
3)	в каждом из промежутков [1, + оо) и (—оо, —1] функ-
функция ы= —убывает; функция #= arc cos u убывает на отрез-
отрезке —1^м^1. Значит, в каждом из промежутков [1, +оо) и
(—оо, —1] рассматриваемая функция есть функция возра-
возрастающая;
1	1 я
4)прих-»+<»,	»0-4-0 arc cos	*	0; при#->
х	х 2
57

—*—-оо,	»0 — 0 arccos	»	h 0. Значит, у —— —
х	х 2	2
асимптота графика данной функции.
На основании проведенного исследования функции по-
построение ее графика не вызывает затруднений.
Начертите самостоятельно графики функций
1	1
ы = — и у = arc cos—.
X	X
5. у = log2
2х-3
Имеем сложную функцию y=\og2U, где «=
2х — 3
Исследуем функцию:
1)	построим сначала график дробно-линейной функции
1_
2 + х	14,
& =	, которую запишем в виде ы =	\- _1_(см.
2.x — о	¦	2	3
параграф 1 гл. II). Графиком этой функции будет гипербо-
7_
ла, которая получится из графика функции и = — парал-
х
3
лельными сдвигами его вдоль оси Ох на — вправо и на
— вверх вдоль оси Оу (черт. 36, а).
Из этого графика видно, что областью существования
рассматриваемой функции у — log2——— будут два интер
ZX — о
—, -f °°), так как график функцш
и =	!	для этих интервалов расположен выше оси Ох
2х — Ъ
2)	из графика функции видно, что в каждом из этих ин
тервалов функция и(х) убывает. Так как y = log2« есть функ
ция возрастающая, то в каждом из интервалов (—оо, —2) ]
~, + оо J функция у, как функция от х, будет убывающей
58

3)	при —	 =1, т. е. при х=5 график функции пере-
ЛХ ~~~¦ о
секает ось Ох;
4)	из графика функции и(х) видно, что при х—>— 2 — О
и—>-0 + 0, у—)—оо; при х—>-	(-0, и—>- + оо, у—>-+оо. Зна-
Значит, х = —2 и х=	асимптоты графика;
5)	из графика функции и(х) также видно, что при х-*
2 4- у у 1	/ 1
-> 4- оо и —	ггх 	-*	hO («>•-- при всех х>
2х-Ъ 2_±_ 2	V 2
3	\
> —, так как числитель больше 1, а знаменатель меньше 2J,
_2_ j
а у-* — 1+0; при х-* — оо и—	>-	0, а у-¦
2	L 2
-¦ — 1—0. Следовательно, у = — 1 — асимптота графика
как при #->-+оо, так и при #->—оо. График функции
изображен на черт. 36, б.
6. y = arctg	:	.
1
Имеем сложную функцию у = arc tgw, где «
2 + л: —2
Строим сначала график функции v{x)=xi-\-x—2 (черт. 37, а).
Затем по этому графику строим график функции и(х) =
—	 =	(черт. 37, б), из которого видно, что в
v (х) х2 4- х — 2
интервалах (—оо, —2), f—2,	) функция и (х) возрас-
возрастает, а в интервалах!	, 1 1 и A, +оо)—убывает. Так как
V 2 /
функция у ==¦ arctgw есть функция возрастающая в интервале
— оо <;«<-j_ со, то, следовательно, y = arctg
х2 + х — 2
как функция от х возрастаете тех же интервалах (—оо,—2),
— 2,	J, что и функция и(х), и убы-
59

вает в тех же
интервалах (	, 1 J, A, + со), что и и(х).
График рассматриваемой функции изображен на
черт. 37, в.
х (х-2) (у+3)
7 у — 2<*+2> <**-')'
Черт. 36
Черт. 37
Имеем сложную функцию
У-2'И, где «(*)-*<* 7^.*+3)
есть в свою очередь сложная функция. Построим сначала
график функции и(х):
1)	область существования функции — все значения хг
кроме *= 1, х= — \ и х=— 2;
2)	определим интервалы знакопостоянства функции. Так,
как это сказано в предыдущем параграфе (пример 2), рас-
рассмотрим интервалы, образованные корнями числителя и
знаменателя и символами —с» и +°о: (—со, —3)t (-—3, — 2),
60

Правее интервала (—оо, —3) лежат 4 корня (четное чис-
число): —3, —2, 0, 2. Значит, в интервале (—оо, —3) функция
положительна.
Аналогично рассуждая, получим, что в интервале (—3,
—2) функция отрицательна, в интервале (—2, 0) — положи-
положительна (при х = —1 функция не определена), в интервале
@, 2) — отрицательна (при х= 1 функция не определена) и
в интервале B, оо) — положительна;
Черт. 38
3)	так как степень числителя меньше степени знаменателя,
то при х—»-+оо и при х—у—оо и(х)—>-0+0. Значит, ы=0—
асимптота графика;
4)	и(х) обращается в бесконечность при х=—2, х= 1 и
х = — 1. Значит, прямые х=—2, х = — 1 и х=1—асимптоты
графика.
График функции и(х) изображен на черт. 38, а. По этому
графику с учетом того, что функция у = 2и — возрастающая,
нетрудно построить график рассматриваемой функции
(черт. 38, б).
4-х2
Имеем сложную функцию у— Yulx), тд,еи(х) =	.
4-х2
61

График функции и(х) был построен в параграфе 2 на-
настоящей главы.
1)	из графика видно, что для х>2 и —2<*<0 u(x)<0.
Следовательно, график рассматриваемой функции будет оп-
определяться на промежутках 0<Сл:<2 и — оо<л;<—2;
2)	и(х) возрастает в промежутке 0^д;<2 (в этом про-
промежутке с возрастанием х растет числитель и(х), а знамена-
знаменатель уменьшается; значит, с возрастанием х и(х) будет воз-
возрастать), а у = Vru(x) возрастает в промежутке 0^и< + оо.
Значит, рассматриваемая функция в промежутке 0<;л:<2 —
функция возрастающая;
3)	вертикальные асимптоты х = 2 и х = —2 графика функ-
функции и(х) будут асимптотами и для графика рассматривае-
рассматриваемой функции.
Асимптота у ——х для графика функции и(х) не будет
асимптотой для графика рассматриваемой функции. В этом
можно убедиться, находя пределы:
=lim( — 1/
4л:2 — х*.
4-х2
=0;
= + со.
Ь = \im(f(x)-Kx) = Ural/ -=- = +
х-»-~	jr-»-~ Г 4 —X2
т. е. предела для Ь не существует. Значит, не существует
асимптоты вида у=кх+Ь. Теперь нетрудно построить график
рассматриваемой функции (черт. 39).
— ?
Z .
Черт. 39
W
4W
Имеем сложную функцию
у = log 1 и(х), где и(х) =
Г
Г	(Jc— 1J
Построим сначала график этой функции и(х):
1) область существования — все значения х, кроме х—1;
62

2)	нули функции: *i = 0 и Х2=—1;
3)	так, как сказано в предыдущем параграфе 2 (при-
(пример 2), определим знаки функции в интервалах: (—оо, —1),.
(~ 1> °)> (°. 1) и A, +оо), т. е. в интервалах, образованных
корнями числителя и знаменателя.
В интервалах (—оо, —1), @, 1) и A, + оо ) функция по-
положительна; в интервале (—1, 0) функция отрицательна;
4)	выясним поведение функции в окрестности особой точ-
точки *=1, при х—>-+оо и при х—у—оо . Если х—»-1, то зна-
знаменатель (х— IJ—Ю, числитель х(х+1)—>-2, а и(х)~*¦
—^+оо. Отсюда следует, что *= 1 — асимптота. Для выяс-
выяснения поведения функции при х—>-+оо и х—>—оо перепи-
перепишем ее в виде:
и(х)-
х2—27+1
Черт. 40
Отсюда видно, что при х—>-+оо у—И+0, а при х—»-— °с
"W—>-1—0. Следовательно, прямая и=\ — асимптота гра-
графика.
Теперь нетрудно построить график функции и(х). Для
этого проводим асимптоты, фиксируем Точки пересечения'
графика с осями координат, отмечаем интервалы знакопо-
стоянства функции; принимая далее во внимание поведение
функции в окрестности точки х=1, при х—у+сх> и х—»—со,
без труда строим график функции и(х) (черт. 40, а). По это-
этому графику нетрудно построить график рассматриваемой
6?

¦функции. Так как z/ = log 1 и — функция убывающая в интер-
2"
вале 0<ы< + оо, то
в интервалах —оо<х<г—1 и 1<*< + °° возрастает, а в ин-
интервале 0<х<1 убывает. В интервале —К#<0 функция
у не определена, так как и(х)<0.
График функции у изображен на черт. 40, б.
В параграфе 1 главы II мы подробно остановились на по-
построении графика сложной функции у = Af(kx+m) +b no
графику функции y = f(x). Рассмотрим некоторые другие
частные виды сложных функций и построение их графиков.
4. Построение графиков функций у = \f(x)\
I. График функции y=\f(x)\
По определению имеем:
[ /(*) для значений х, при которых fix) > 0;
[ —/(х) для значений х, при которых /(х)<0.
Отсюда следует, что для промежутков, где f(x)^.O, график
\f(x)\ остается таким же, что и для f(x). Для промежутков,
где f(x)<0, график |/f;t)| будет зеркальным отражением
графика f(x) относительно оси Ох. Поэтому, если построен
график функции y=f(x), то построение графика y=\f(x)\
не вызывает затруднений. Схематично графики функций
y=f(x) (пунктирно) и y=\f(x)\ (сплошной линией) изобра-
изображены на черт. 41. Кроме того, рассмотрим еще несколько
Черт. 41
конкретных примеров на построение графиков функций.
Пунктирными линиями будем обозначать графики функций
y=f(x), а сплошными линиями — графики функций у= \f(x) |.
1 \2	2\
Строим сначала график функции у = х2+х — 2, а затем —
его модуль (черт. 42).
64

2.	y=|ga|
Строим сначала график функции y = logax, а затем его
модуль. При а>1 график изображен на черт. 43. При 0<
<а<1 пусть читатель построит график самостоятельно
3.	у=\2х+3\.
ч
Черт. 42
Черт. 43
Сначала надо построить график линейной функции
у — 2х+3, а затем по нему построить график рассматриваемой
функции. Конечно, можно рассуждать и так: из определения
модуля действительного числа имеем:
у == 12д: + 31 =
2* +3 при *>— —-;
-2х — 3 при х<С	.
2
Построив графики функций у = 2х+3 при х~>.	и
2
3
У = —2х — 3 при х<——- , можно получить график рассмат-
рассматриваемой функции.
Начертите этот график самостоятельно.
4. у= |2— |*| |.
Строим сначала график функции
2-х при х >0;
2-\- х при х<0
(пунктирно), а затем график рассматриваемой функции
(черт. 44).
5 Заказ 348	65

Конечно, можно оыло бы построить график, исходя, на-
например, из того, что функция — четная, т. е. сначала по-
построить график для *^0, а затем его зеркально отразить
относительно оси Оу.
Черт. 44
II. График функции y=f(\x\)
Рассматриваемую функцию можно записать в виде:
/(*), если *>О;
/(-*), если *<О.
Отсюда следует, что областью ее существования является
множество, состоящее из значений *^0 из области существо-
существования функции f(x) и множества, ему симметричного относи-
относительно начала координат. Далее, так как f(|—*|)=/(|*|),
то fd^l) —есть Функция четная, и график ее симметричен
относительно оси Оу.
Следовательно, график функции у = f(x) для * > 0 из об-
области существования вместе с его зеркальным отражением
относительно оси Оу даст нам график рассматриваемой
функции y=f(\x\). Если область существования функции
f(x) состоит из множества Ех, каждое значение которого от-
отрицательно, то ff|*|,) не определяет функции. Например,
пусть f(*) = lg(—*) (*<0). Тогда f(\x\) = lg (—1*|) лише-
лишено смысла.
Рассмотрим примеры.
1. Построить график функции y = sin |*|.
Строим сначала график функции y = s'mx для *^0, а за-
затем этот график зеркально отражаем относительно оси Оу.
В результате получаем график рассматриваемой функции
y = sin |*| (черт. 45).
о и= I v 13
Область существования функции у=*3 — все значения *.
Строим ее график для *^0, а затем зеркально отражаем его
относительно оси Оу. В результате получаем график рассмат-
рассматриваемой функции.
Начертите этот график самостоятельно.
3. y = \0ga \x\.
€6

График функции y = \ogax при х>0 и его зеркальное
отражение относительно оси Оу дадут в совокупности график
рассматриваемой функции.
Начертите этот график.
4- У = /|ТГ
Черт. 45
График функции ,# = /* при х^О и его зеркальное отра-
отражение относительно оси Оу дадут в совокупности график рас-
рассматриваемой функции (черт. 46).
5. у -21".
Черт. 46
Черт. 47
График функции у = 2* при х^О и его зеркальное отра-
отражение относительно оси Оу дадут в совокупности график
рассматриваемой функции.
Начертите этот график самостоятельно.
6.	у = arc sin |*|.
График функций у = arc sin x для Jt^O и его зеркальное
отражение относительно оси Оу дадут в совокупности график
рассматриваемой функции.
Начертите этот график сами.
7.	«/=И2+И — 2.
Строим сначала график функции у~х2+х — 2 для ^QsO,,
который вместе со своим зеркальным отражением относи-
относительно оси Оу даст график рассматриваемой функции
(черт. 47).

5. Построение графика функции у = (p
по графикам функций у = (р(х) и у = ty(x)
(правило сложения графиков)
Пусть известны графики функций y=<f(x) и y = ty
буется по этим графикам построить график функции
). Тре-
ТреИногда построение можно легко осуществить по правилу
сложения графиков, которое заключается в следующем. Возь-
Возьмем на оси Ох произвольную точку А с абсциссой х: А(х).
Значению абсциссы х соответствуют значения ординат у =
=<$(х) и y=ty(x)> которые на черт. 48 изображаются отрез-
Черт. 48
ками АВ и АС, причем если ординаты точек положительны,
то отрезки расположены выше оси абсцисс; если отрицатель-
отрицательны, то — ниже оси абсцисс.
Складывая алгебраически отрезки, соотретствующие ор-
дииатам графиков функций ср(х) и ty(x), получим отрезки,
соответствующие ординатам графика функции y=<p(x)+ty(x).
Понятие алгебраического сложения отрезков надо пони-
понимать в данном случае так.
Если отрезки расположены выше (ниже) оси абсцисс, то
к концу одного из отрезков АВ или АС (А\В\ или A\Ci), не
лежащему на оси абсцисс, прикладывается одним из концов
другой отрезок, направленный вверх (вниз). Тогда конец D
(или D\) этого приложенного отрезка и будет лежать на гра-
графике y=tp(x)+ty(x) (AB = CD; AC=BD).
Если один из отрезков, например А2С2, лежит выше оси
абсцисс, а отрезок А2В2 — ниже оси абсцисс, то отрезок А2В2
переносим так, чтобы точка А2 совпадала с точкой С2. Тогда
точка В2 попадет в точку D2, которая и будет лежать на гра-
графике y=<p(x)+ty(x). Можно поступить и так. Опустим от-
отрезок А2С2 вниз так, чтобы точка А2 попала в точку В2, тогда
конец С2 отрезка попадет в точку D2.
Из проведенных рассуждений следует, что в промежутках,
68

где один из графиков У=у(х), у=Мр(х) расположен выше,
а другой — ниже оси абсцисс, график функции у — (р(х) +
-\-ty(x) будет расположен между графиками у = ц>(х) и
y = ty(x). В тех промежутках, где (р(х)>0 и Мр(х)>0, график
y = q>(x)+ty(x) будет расположен выше графиков y = q>(x) и
Черт. 49
У=^(х), а там, где <р(Х)<0 и г|)(л:.)<0, график у=ц>(х) +
+у!р(х) будет расположен ниже графиков у—(р(х) и y=ty(x)-
Рассмотрим примеры.
1.	y = x+sinx. ;
Строим графики функций у=х и y = sinx. Затем, склады-
складывая отрезки, соответствующие ординатам графиков функций
у=х и y = sinx, без труда начертим эскиз графика рассмат-
рассматриваемой функции. График функции будет заключен в полосе
между прямыми у=х+1 и у=х—1. Функция нечетная, по-
поэтому достаточно построить график для х>0 (черт. 49).
2.	y=arctg;t+2*.
Построим сначала графики функций y = arctgx и у=2*.
Затем, по правилу сложения графиков, строим график дан-
данной функции (черт. 50).
3. W =
1
1
x—l x+l
69

Строим сначала пунктиром графики функций
1
х—1
и у =
1
Х+1'
Черт. 51
а затем (сплошной линией), по правилу сложеиия графиков,
строим график данной функции (черт. 51).
Остановимся специально на построении графика функции
по графику функции y=f(x).
1. у——[|/(я) | +f(x)]. Область существования функции
70

та же, что и для f(x). Переписав рассматриваемую функцию
в виде
_ 1 г I ff 11 4- /7 \1 — I f(x^' если ^*) ^^'
2	| 0, если /(х) < О,
можно заключить, что в промежутках, где график f(x) рас-
расположен не ниже оси абсцисс, график рассматриваемой функ-
Черт. 52
ции будет совпадать с графиком f(x). В промежутках, где
график f(x) расположен ниже оси абсцисс, график рассмат-
рассматриваемой функции будет совпадать с осью Ох. На черт. 52
сплошной линией схематично изображен график рассматри-
рассматриваемой функции, пунктирной линией изображен график
функции y=f(x).
2- *--±
2
|, если/(х)<0.
Отсюда следует, что в промежутках, где f(x)^.O, график
рассматриваемой функции совпадает с осью Ох, а в проме-
промежутках, где f(x)<zO, график совпадает с графиком \f(x)\,
Черт. 53
т. е. является зеркальным отражением графика f(x) относи-
относительно оси Ох. На черт. 53 сплошной линией нарисован гра-
график рассматриваемой функции, а пунктиром — график функ-
функции y=f(x).
71

Рассмотрим примеры.
*• У1** -g- [| arc tgх Л- arc tgxj.
При x^O «/=arctgx; при х<0 г/=О.
График рассматриваемой функции сплошной линией
изображен на черт. 54.
Черт. 54
J.,-1
— 2].
Строим сначала график функции у=х2+х — 2. При х>\
и х<Г—2 этот график совпадает с графиком рассматривае-
рассматриваемой функции, а для —2<х<1 график рассматриваемой
функции совпадает с осью Ох. График рассматриваемой
функции сплошной линией изображен на черт. 55.
Черт. 56
3. у = —(| sin х | — sin x)
А*
период функции).
График рассматриваемой функции на интервале @, 2я)
изображен на черт. 56 сплошной линией; пунктирной линией
изображен на чертеже график функции у—ъ\пх.
4- У= у[|*« + *-2|-(х« + *-2)].
72

Строим сначала график функции у=х2+х— 2 (он изобра-
изображен пунктиром на черт. 57). При х>\ и x<z—2 график рас-
рассматриваемой функции будет совпадать с осью Ох, а при
2^1 — будет зеркальным отражением графика функ-
Черт. 57
ции у=х2+х — 2 (изображенного сплошной линией на
черт. 57) относительно оси Ох.
6. Построение графика функции у = ц>(х) • ty(x)
по графикам функций у = ц>(х) и у = г|)(я)
Пусть известны графики функций у=у(х) и у=^(х). Тре-
Требуется по этим графикам построить график функции
г/=<р(х)-г|)(Х). Сделаем это по правилу умножения графиков,
которое заключается в «перемножении» отрезков, соответст-
соответствующих ординатам У~ц>(х) и у=^(х) графиков функций
v
<\
ч
А
/
/
. /
У
ч
У
^ //-
/ 1
р
'My
X
Черт. 58
(черт. 58). «Умножение» понимается так, что должны быть
перемножены ординаты у=ц>(х) и y='ty(x), а затем должен
быть взят отрезок-ордината, соответствующий этому произ-
произведению, с учетом его знака и абсолютной величины.
Мы не будем описывать процесс «перемножения». Он бу-
будет ясен непосредственно из чертежей и примеров.
7$

же у-- —
4 \
	-I и произведя в уме „перемножение* орди-
нат этих графиков, нетрудно нарисовать и график рассмат-
рассматриваемой функции (черт. 59).
2. у = е~х sin х.
y-cosx
Черт. 59
Построим (пунктиром) сначала графики функций у = е~х
я
и у — %\х\х (черт. 60). При значениях х =	\-2nn (п = 0, ±1,
±2, ...), для которых sinx:=l, график рассматриваемой функ-
функции снизу касается графика функции у — е~х. При х =	[-
+ 2 пп (п = 0, ±1, ±2, ...) sinx = — 1, и график рассматривае-
рассматриваемой функции будет касаться графику у = —е'х сверху.
Таким образом, график функции y = e~xsinx будет «зажат»
между кривыми у = е~х и у = —е~х и периодически (Т = 2я)
Черт. 60
75

4 \
же у —	-I и произведя в уме „перемножение* орди-
ординат этих графиков, нетрудно нарисовать и график рассмат-
рассматриваемой функции (черт. 59).
2. у = е~х sin х.
Черт. 59
Построим (пунктиром) сначала графики функций {/ = <
я
и y = sinx (черт. 60). При значениях х=	Ь2лл (п = 0, ±1,
±2, ...), для которых sinx=l, график рассматриваемой функ-
зх
ции снизу касается графика функции у = е~х. При л: =	\-
+ 2 пп (п = 0, ±1, ±2, ...) sinx = — 1, и график рассматривае-
рассматриваемой функции будет касаться графику у — —е~х сверху.
Таким образом, график функции y = e-*smx будет «зажат»
между кривыми у = е~х и у = —е~х и периодически (Т = 2л)
Черт. 60
75

касаться их. В точках х = пп, для которых sinx=0, график
функции пересекает ось Ох и имеет, следовательно, общие
точки с графиком функции y=s'mx.
Начертив графики функций у = sin х, у = е~х (а также
г/=—е~х) и произведя в уме «перемножение» ординат этих
графиков, нетрудно будет, с учетом ранее сказанного, начер-
- *
z
У
4
0
&
/
/-
Черт. 61
тить (сплошной линией) и график рассматриваемой функции"
(черт. 60).
3. у=хе~№.
Функция нечетная, ее график симметричен относительно*
начала координат.
Построим сначала (пунктиром) графики функций у — х
и j/ = e-i*i (черт. 61). Так как 0<e~w <1 (при хфО), то-
график рассматриваемой функции при х > 0 будет целиком^
расположен под прямой у = х и над осью Ох (х>0 и'
0<е-1*' <1). Далее,
lim у = lim хе~^ = lim
= 0
(здесь мы воспользовались пределом lim
а*
— 0, если
а>1). Значит, ось Ох — асимптота графика. Линия, изобра-
изображающая график, проходя через начало координат, с возра-
возрастанием х сначала будет подниматься, а затем опускаться,,
приближаясь неограниченно к оси Ох при х—>-+оо. С по-
помощью производной можно найти значение х=1, при котором
функция принимает наибольшее значение: t/(l)=^~'. График
рассматриваемой функции изображен на черт. 61 сплошной
линией.
76

7. Построение графиков некоторых функций
1. t/=sgnx или г/ = sign л: (читается так: «игрек равно сиг-
сигнум икс»).
По определению, при каждом значении х>0 значение
функции равно 1; при х=0 значение функции равно нулю;
при каждом значении х<0 значение функции равно —1. Бо-
Более кратко эта функция записывается в виде тройного ра-
равенства:
1, если х>0;
у = sgn* = { 0, если х = 0;
— 1, если
/
0
I
-1
Черт. 62
График функции изображен на черт. 62. Он состоит из
двух полупрямых и точки @, 0). Стрелки на графике озна-
означают, что точки @, 1) и @, —1) не принадлежат графику.
2.	у = [х] (читается так: «игрек равно целой части икс»).
Эту функцию мы определили в параграфе 3 главы I. Крат-
Кратко напомним, что эта функция определена при всех х; при
значении аргумента, равном х, значение функции равно наи-
наибольшему целому числу, не превосходящему х. Исходя из
определения, построение графика функции не вызывает за-
затруднений (черт. вЗ).
3.	у = {х} (читается так: игрек равно дробной части икс»).
Эту функцию мы определили в параграфе 3 главы I. Ее
можно записать в виде: у = {х)=х — [х]. Очень просто можно
построить график функции, исходя из графиков функций
у—х и у=[х], определяя ординаты графика графически как
разность ординат графиков функций у=х и у=\х\ начерчен-
начерченных пунктиром.
График этой функции изображен на черт. 64 наклонными
отрезками прямых, со стрелками на концах.
Исходя из рассмотренных функций, построим еще несколь-
несколько графиков.
4. t/ = sgn(tgx).
1) область существования — все значения х, кроме
*=-| +пп (п=0, ±1, ±2, ...);
77

2)	функция периодическая, с периодом Г=л;
3)	функция ограничена, так как сигнум любого числа не
превосходит 1 и не меньше— 1: \у\ ^ 1;
4)	из ограниченности функции следует, что график не
имеет вертикальных асимптот; из периодичности функции
следует, что не может быть асимптот и вида у=кх + Ь. Это
±
и-о
(-2,-2)
B,2)
(if)
Черт. 63
-г
3
Черт. 64
можно проверить непосредственно, находя к и Ь по форму-
формулам A) и B) параграфа 9 главы I. Получим:
к = lim
Sgn(tg*}
=0,
а предела для 6 = limsgn (tgx) не существует, так как если
устремить х к оо , заставляя его пробегать значения
х„= —+пп (п = 0, ±1, ±2, ...), то получим для Ь значение»
4
равное 1; если же х будет стремиться к оо, принимая значе-
значения хп —	Ьяп (п = 0, ±1, ±2, ...), то для Ъ получим
4
т.
2
Я,
2
Черт. 65
У*1>
X
2
lx -гя
Черт. 66
значение, равное —1. Значит, предела для Ь не существует,
а следовательно, не существует и асимптоты вида у—кх + Ь.
График функции изображен на черт. 65.
78

5. y=[cosx].
1)	область существования — все значения х;
2)	Т = 2п — период функции;
3)	функция ограничена: |#|^1;
4)	асимптот нет.
Из определения целой части числа на промежутке [0, 2я\
функцию можно записать следующим образом:
1 при х = 0;
0 при 0< х<— ;
-1 при -*-<*<--я;
0 при —я<х<'2я.
v 2
График изображен на черт. 66 (на промежутке [0, 2я),
функцию можно записать следующим образом:
Область существования функции — все значения х. Ра-
зобъем ее на промежутки (—оо, —1), {—1, 1) и [1, + °°V
В каждом из. этих промежутков, освобождаясь от модулей,
функцию можно представить уравнением первой степени от-
относительно х. Следовательно, в промежутках (—оо, —1] и
[1, +оо) график будет представляться в виде полупрямых,
выходящих соответственно из точек (—1, 2) и A, —4). В ин-
интервале (—1, 1) графиком будет отрезок, соединяющий ука-
указанные точки (—1, 2) и A, —4). Для построения графика не
надо освобождаться от модулей, через которые определяется
функция, и заниматься определением линейных функций в
промежутках (—оо, —1) [—1, 1] и A, + °° ).
Проще график строится следующим образом. Определяем
точки графика при х=—1 и х=\: у(—1)=2, у(\)——4. Оп-
Определяем еще одну любую точку графика при х<—1 и одну
любую точку при х> 1 (например, у(—2) = 1 и уB)=—5).
Теперь точки (—2, 1) и (—1, 2) соединим отрезком прямой,,
продолжив при этом его неограниченно в левую сторону, т. е.
в сторону убывания х.
Точки (—1, 2) и A, —4) соединим отрезком прямой;
точки A, —4) и B, —5) также соединяем отрезком прямой,
продолжив его неограниченно в правую сторону, т. е. в сто-
сторону возрастания х. В результате получим график рассмат-
рассматриваемой функции (черт. 67).
В рассмотренном примере мы складывали ординаты гра-
графиков функций у=\х—1| и у=—2|*+1|, соответствующие
четырем значениям х: хх = —2, х2= — 1, *з=1, •*ч=2, а затем,
79

пользуясь линейностью функции в промежутках (—оо, 1],
(—1, 1) и [1, +оо), без труда построили график функции.
Совершенно аналогично строится график функции
у = kl\axx+bl\+k2\a2x+b2\ + ... +kn\anx+bn\,
где кь к2, ..., кп; аи а2, .... ап; Ьь Ь2, ..., Ьп — постоянные чис-
числа. Определяем значения функции при
х, = — ¦
ах
У1=У(хО,
, .... Уп=У(хп)-
\
-3\х\*\х-1\-\х4
Черт. 67
Черт. 68
В результате получим точки: (хи ух), (х2, у2), ..., (хп, уп).
Для определенности будем считать, что Xi<x2<....<.xn.
Возьмем теперь любое значение х*, меньшее значения хи
и значение х**, большее значения хп. Определяем значения
¦функции при х=х* и х=х**: у*=у(х*), у** = у(х**). Теперь
соединим точку (х*, у*) с точкой (хи у{) отрезком прямой
и продолжим его неограниченно за точку (х*, у*) в сторону
убывания х; затем последовательно соединим точки (хи ух) и
(*2, у2), (х2, у2) и (х3, Уз), -, (хп-и Уп-i) и (хп, уп) отрезка-
отрезками прямых. Точку (хп, уп) соединяем с точкой (***, у**) от-
отрезком прямой и продолжаем его неограниченно за точку
(х**, у**) в сторону возрастания х. В результате получим
график функцни. Рассмотрим конкретный пример.
7. у=\х+2\+2\х+1\ _

Определяем значения х, при которых обращается в нуль
соответственно каждая из функций:
Х\ =—2, Х2 = — 1, Хз = 0, #4= 1» #5 = 2.
Находим значения функции при каждом из этих значений:
У1=У(х1)=У(—2) =-5; Уз(—1)=—3; t/3=#@)=3; #4=
=УA)=3; #5=#B)=5. Отмечаем точки (—2, —5); (—1, —5);
(О, —1); A, —3); B, —3), принадлежащие графику. Возь-
Возьмем теперь х* = —3 и определим значение функции в этой точке:
у*=у(—3)=—5. Возьмем также х**=3 и определим значе-
значение функции в этой точке: #**=#C)=—5. Соединив теперь
построенные точки так, как об этом было сказано раньше и
как это видно из чертежа, получим график рассматриваемой
функции (черт. 68).
8. ,_
1)	область существования: х^>—1;
2)	#@)=0; при л:>0 у>0, при — 1<л:<0 у<0;
3)	при х—»-— i; д;+1—^0+0, In (лг+1)—у— с», х2+1—у2,
а у—>—ее. Следовательно, х~ — 1 — вертикальная асимп-
асимптота.
Известно, что
hm	= 0,
хп
где п может быть любым положительным числом, Поэтому
и, следовательно, у = 0 — асимптота графика.
Теперь нетрудно построить график функции (черт. 69)
9. у = х]пх.
1) область существования: х>0;
¦2) #A)=0; при 0<дг<1 у<0, при дг>1 У>0;
6 Заказ 348	81

3) преобразуем функцию:
у = х\пх —
X
Обозначим -~t, тогда м=	. При х—И)+0 t=	>-+оо,
X	t	X
а следовательно, как было замечено в предшествующем при-
примере, у =	»-0 — 0. При х—>-+оо у—" + оо. Верти-
г/
о ¦
Черт. 69
>У
1 '
Черт. 70
кальных асимптот нет, так как lfrn# = 0 — 0, а все остальные
*-»о+о
значения *>0 входят в область существования функции.
Асимптот вида у = кх+Ь также иет, так как предела
lim
которым должен определяться угловой коэффициент к, не су-
существует. График функции изображен на черт. 70.
8. Построение графиков предельных функций
Часто в самых различных задачах приходится иметь дело
с функциями, которые задаются как пределы последователь-
последовательностей функций, имеющих одну и ту же область существова-
существования. Для уточнения сказанного рассмотрим несколько при-
примеров.
1 _|- *2в
1. /(х)-Шп/„(*), ГдеМ*)=-~7— (я-1,2,...).
82

Про функции fi(x), /г(Х), /з(Х), ... говорят, что они оора-
зуют последовательиость функций.
Сначала покажем, что функцию f(x) можно записать
в виде:
/(*)-
у при |*|<1;
2	I.,
— при \х\- 1;
о
О при \х\ > 1.
»'
Черт. 71
Черт. 72
В самом деле, при каждом значении х, удовлетворяющем
условию \х\<1 и п—м», х2п—>-0 и хАп—*-0 и, следовательно,
f(x)= —. При 1*| = 1 и любом п х2п=\ и х*п=\; следова-
тельно, f (x) = — .
о
При каждом значении х, для которого
п—>-оо х2п—»- + оо и х*п->+оо. Тогда
1 . ,
и при
f (х) = lim
х2"
= lim
х2п
я— 2 + х*п »-~ 2
О,
i-2n
так как числитель стремится к I, а знаменатель — к +оо.
График функции f(x) изображен на черт. 71.
2.	^
Покажем, что эту функцию можно записать в виде:
О, если |х|< 1;
/U) =
1
, если \х\= 1;
I, если
6*
83

При х = — 1 функция не определена, так как при нечетных п
знаменатель обращается в нуль.
При каждом значении х, удовлетворяющем условию
|^|<1, и при п—>-оо, хп—>-0, \+хп—*- 1.
При х= 1 , *"= 1 при любом п, а 1 +*п = 2.
При каждом значении х, удовлетворяющем условию
\х\ > 1, и при п—>- оо, хп—>- + оо ; тогда
хп	1
	 _	,. 1 При П-» ОО.
1+х« 1
График функции изображен на черт. 72.
3. /(x)	i
+
Покажем, что эту функцию можно представить в виде;
I -r(*+I). если—
I
'' ' i 2 arc tg—, если x — 1;
О, если |*|> 1.
В самом деле, при каждом значении х, удовлетворяю-
удовлетворяющем условию М<1, и при л-ч-оо, х2п-*0,	> 1, а сле-
хгп -f 1
довательно, при |х|< 1 /(х) =—(х+ 1).
4
При каждом значении х, удовлетворяющем условию
\х\ >1, и при п-» оо
а следовательно, f(x) = O; очевидно, что /(—1)=0.
График функции f(x) изображен на черт. 73.
4. f{x) = lim ft(x), где /,(*) = —Е—¦.
Покажем, что эту функцию можно представить в виде:
(ха, если *>0;
1, если х<0;
при х = 0 не определена.
84

t
При каждом значении *>-0 и i-* — оо —-»— оо,
J_	±_	*_
2*~»0, х2-\-2х-*х2, 14-2*-»1. При х<0 и t-* — оо
— ~» -f с». Тогда, разделив числитель и знаменатель вы-
ражения
4- 2
—
на 2х , получим:
-л:2+1
1 +2"
1 при t-* — оо.
2 *
>
У
-t
У
/ж
h
0
у
/
1
П-~ во
2пгс1о -я )
X
Черт. 73
Черт. 74
В этом примере /(л:) является непредельной функцией
для последовательности функций f\{x), f2{x), ..., fn(x), ... как
это было в первых трех примерах, а предельной функцией по
переменному t для функции ft(x). График функции 7(х)
изображен на черт. 74.

Глава III
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
В настоящей главе сначала мы формулируем без дока-
доказательств теоремы, которые лежат в основе исследования
функций и построения графиков с помощью производных,
а затем разбираем примеры построения графиков функций
с помощью производной.
1. Нахождение экстремумов функций
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности
точки х0. Говорят, что функция f(x) в точке х0 имеет макси-
максимум (минимум) (или локальный максимум, локальный ми-
минимум), равный f(xo), если для всех точек х, принадлежащих
некоторой окрестности точки х0, выполняются неравенства:
f(x)<^f(xo)—для максимума и f(x)^f(x0)—для минимума.
Ради краткости вместо наименований «максимум» и «ми-
«минимум» употребляется объединяющее наименование «экстре-
«экстремум».
Теорема 1 (необходимое условие существования экстре-
экстремума). «Если f(x) в точке хо имеет производную и принимает
максимум или минимум, равный f(xQ), то f'(xo) = O».
В более общем виде необходимое условие экстремума
можно сформулировать так: если функция f(x) определена
на промежутке (интервале или отрезке) и достигает экстре-
экстремума во внутренней точке хо этого промежутка, то: 1) либо
в этой точке производная не существует, 2) либо f'(xo)=O.
Примеры.
1.	у=Ч — х2; при *0 = 0 функция имеет максимум, рав-
равный 2. Производная при хо = О обращается в нуль.
2.	у=\х—!|; при *о=1 функция имеет минимум, рав-
равный 0. Производной функции в точке хо = 1 не существует.
Это видно из графика функции (черт. 75): производная функг
86

ции справа в точке хо=] равна 1, а слева — равна —1. Зна-
Значит, производной не существует.
3. у =
|= i х при 0<д:<1;
I 3-х при 1 <л:<2.
При *о=1 функция принимает максимум, равный 2.
Черт. 75
Черт. 76
Производной в точке *о= 1 не существует (функция раз-
рывиа). График функции изображен на черт. 76.
Из теоремы 1 следует, что если в некотором промежутке
функция дифференцируема и f'(х)ф§, то экстремумов в этом
промежутке функция не имеет. В этом случае функция воз-
возрастает (если f'(x)>0) или убывает (если f'(x)<0) в рас-
рассматриваемом промежутке.
Теорема, обратная теореме 1, вообще говоря, не имеет
места. В этом нетрудно убедиться на примерах:
I. f(x) = х3; /'@) = 0, а экстремума в точке х = 0 функ-
функция не имеет;
I*2 sin— при х Ф 0;
х
0	при л: = 0.
/'@) = 0; в любой окрестности х0 = 0 f(x) принимает и поло-
положительные и отрицательные значения. Следовательно, Хо = О
не является ни точкой возрастания, ни точкой убывания, ни
точкой экстремума функции.
Теорема 2 (достаточное условие нахождения экстремума
функции по знаку первой производной). «Если функция f(x)
непрерывна в окрестности точки xq и имеет производную как
справа, так и слева от точки х0, то:
1)	если /'(Х)>0 при х<.х0 и f'(x)<.0 при х>хо, то в
точке *о функция имеет максимум, равный f(x<>);
2)	если /'(Х)<0 при х<х0 и f'(x)>0 при х>ха, то в
точке х0 функция имеет минимум, равный f(x0);
87

3) если f'(x) не меняет знака в окрестности точки х0, то
экстремума нет».
Замечания. 1. Существование производной в точке
х0 не предполагается. Конечно, если f'(xo) существует, то, по
теореме Ферма, она равна нулю.
о
IV
Черт. 77
2. Требование непрерывности функции в точке сущест-
существенно. Если от него отказаться, то теорема, вообще говоря,
неверна. Это нетрудно видеть, например, из графического
задания функции (черт. 77). В точке хо функция разрывна, и
f(xa) не является ни максимумом, ни минимумом функции, в
то время как слева от Л'о /'(х)>0, а справа от Хо f'(x)<0.
Достаточное условие экстремума по первой производной
(правило нахождения экстремума по первой производной)
практически не всегда удобно, так как его применение свя-
связано с решением неравенств. Во многих случаях удобнее для
отыскания экстремумов пользоваться вторым достаточным
условием, связанным со знаком второй производной.
Теорема 3 (второе достаточное условие нахождения экст-
экстремума по знаку второй производной). «Пусть функция f(x)
в точке Xq имеет производные первого и второго порядков.
Тогда, если f'(xo) = O, а Г'(хо)ф0, то в точке хо функция при-
принимает экстремум: максимум, если /"(*<*) <0> и минимум,
если /"(хо)>О».
В случае, если в точке хо обращается в нуль и первая, и
вторая производные и существуют производные более высо-
высокого порядка, имеет место следующая теорема.
Теорема 4. «Если f(x) имеет в точке х0 п производных,
причем f(x0) = f"(x0) = ... = /<"-'> (*о) = 0, а М(х0) ф О, то:
1)	если п — четное число, то экстремум в точке х0 сущест-
существует, причем будет минимум, если рп)(хо)~>О, и будет мак-
максимум, если fn)(xo)<O;
2)	если п — нечетное число, то экстремума нет. В этом
случае, как увидим далее, в точке (xq, f(x0) ) график функции
имеет перегиб».
Для иллюстрации сформулированных теорем рассмотрим
примеры.
88

j ^х\=х*. f'(x)
= 24; f'(O)=f"(O)=f'"(O), f<lV>@)=24>0; следовательно, при
x = 0 функция имеет минимум.
= 120*/ ~*р)(х) = 12*0;' )'@) =Г@) =/'"@) =f<IV>@) =0;
^(V)^o)^=O. Следовательно, экстремума в точке х~0 нет.
2. Выпуклость графиков функций
Пусть в точке хо существует f'(xo)- Говорят, что кривая,
определяемая уравнением y=f(x), выпукла вверх в точке х0,
если касательная к кривой в точке (хо, f(x0)) расположена
выше графика функции, рассматриваемого в достаточно ма-
малой окрестности точки х0. Говорят также, что кривая, опре-
определяемая уравнением y = f(x), выпукла вниз в точке х0, если
касательная к кривой в точке (xQ, f(x0)) расположена ниже
графика функции, рассматриваемого в достаточно малой
окрестности точки хо-
Теорема 1 (достаточные условия выпуклости функции в
точке). «Пусть в точке хо существует вторая непрерывная
производная функции y = f(x). Тогда:
1)	если f"(xo)<.O, то кривая y = f(x) выпукла вверх в
точке х0;
2)	если f"(xo)>O, то кривая y = f(x) выпукла вниз в точ-
точке х0».
Эти условия достаточны, но не являются необходимыми
для выпуклости графика функции в точке. Имеются функции,
которые в точке х0 имеют производные второго порядка, рав-
равные нулю, а график функции имеет выпуклость (вверх или
вниз) в этой точке. Например, вторая производная функции
у = х* равна нулю при *=0, а график данной функции имеет
выпуклость вниз в этой точке. Имеются также функции, ко-
которые в точке х0 не имеют второй производной, а кривая,
определяемая этой функцией, выпукла в точке (х0, f(x0)).
Например,
__ ( х3 при х>0;
\ ж2 при ж<0.
Производная справа в точке *=0 у'+{0) и производная
слева в той же точке у'~@) равны между собой, т. е.
У+@) = У- @), и функция непрерывна в точке х=0. Следо-
Следовательно, у'@) = 0, и касательная в точке @, 1/@)) к графику
существует.
Вторая производная справа в точке х=0 равна нулю:
{/"+@)=0; вторая производная слева в той же точке равна
двум: t/"_@)=2. Следовательно, вторая производная функ-
функции в точке х = 0 не существует, а график функции в точке
@; #@)) выпуклостью обращен вниз.
7 Заказ 348	89

При построении графиков функций приходится, как пра-
правило, иметь дело с понятием выпуклости не в точке, а иа от-
отрезке. Дадим определение этого понятия. Пусть функция
y—f(x) имеет производную в каждой точке отрезка [а, Ь].
Если касательная в любой точке графика лежит ниже всего
графика, то говорят, что функция выпукла вниз на [а, Ь]; если
Черт. 78
касательная в любой точке графика лежит выше всего гра-
графика, то говорят, что функция выпукла вверх на отрезке
[а, Ь].
Теорема 2 (достаточные условия выпуклости кривой на
отрезке [а, Ь\). «Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и имеет вторую производную в каждой внутренней точке
этого отрезка. Тогда:
1)	если f"(x)>0 на (а, Ь), то кривая «/=/(*) выпукла
вниз на [а, Ь\\
2)	если f"(x)<0 на (а, Ь), то кривая y=f(x) выпукла
вверх на [а, Ь]-».
Замечания. 1. Если существует вторая производная
функции y — f(x) и соответствующая ей кривая выпукла в
каждой точке вверх (вниз), то кривая будет выпукла вверх
(вниз) на всем отрезке. Таким образом, из выпуклости вверх
(вниз) в каждой точке следует выпуклость вверх (вниз) на
всем отрезке [а, Ь].
2. Из выпуклости в точке х=х0 не следует, вообще говоря,
выпуклости ни в какой окрестности этой точки. Например,
кривая, определяемая уравнениями
у ~ хг -\	х2 sin — при х Ф О и у = 0 при х = О
2	х
выпукла вниз в точке х = 0. Однако эта кривая невыпукла
ни в какой окрестности данной точки, так как вторая произ-
производная в любой окрестности этой точки сколько угодно раз
меняет знак.
В самом деле, производная в точке х=0 равна нулю. Сле-
Следовательно, касательная существует (она совпадает с осью
Ох) и расположена ниже кривой (черт. 78).
90

Найдем вторую производную при х=/=0:
у' = 2х + xsin	cos — ;
х 2 х
у" = 2 + sia	cos	sin —
xxx 2x% x
.= — Bx*+ xs sin— — x cos-	-sin— W
x2 \	x	x 2 x }
— — I a (x)	sin — I ;
x*\	2 x )
при x—*0 a(x)—*0, а sin— неограниченное число раз ме-
меле
ияет знак. Значит, неограниченное число раз меняет знак
и вторая производная.
3. Точки перегиба графика функции
Пусть в точке х0 существует производная f'(x0)- Проведем
касательную к кривой y=f(x) в точке (х0, f(x0)). Если в до-
достаточно малой окрестности значения х0 для лс<С*о кривая
расположена по одну сторону от касательной, а для х>хо —
по другую сторону от нее, то точка (х0, f(x0)) называется
точкой перегиба кривой *.
Теорема 1 (необходимое условие существования точки пе-
перегиба). «Если хо — точка перегиба и в этой точке сущест-
существует вторая производная f"(Xo), то f"(xo) — Q*.
Замечания. 1. Из необходимого условия следует, что
точки перегиба надо искать среди тех значений, х, в которых
f"(x) обращается в нуль, или не существует.
2. Необходимое условие не является достаточным, т. е.
из равенства f"(xo) = O не следует еще, что в точке х0 график
имеет перегиб. Например, f(x)=^x*; f"@)=0, а точка @, 0)
не является точкой перегиба графика.
Теорема 2 (первое достаточное условие существования
точки перегиба). «Пусть f(x) определена и имеет непрерыв-
непрерывную производную в окрестности точки х0, а вторая производ-
производная f"(x) существует в этой окрестности за исключением,
быть может, самой точки х0. Тогда, если:
]) f"(x)>0 при х<хо и f"(X)<0 при х>хо или f"(x)<0
при х<ха и f"(x)>0 при х>хо, то-Хо — точка перегиба;
* f'(xo) может быть равна +оо нли —оо, но не может равняться оо
(по определению).
7*	91

2) если f"(x) имеет один и тот же знак как слева, так и
справа от точки х0, то точка xq не является точкой перегиба».
Рассмотрим простые примеры:
—	^ —	in —— 1П 1
а) /(*) = *»; f'(x)-±x*, Г(х)=?х 3=^
о	У
f"@+e)>0, Г@ — е)<0 (е>0). Следовательно, в точке
(О, /@)) график имеет перегиб.
4Х, /Чд)=
3	9
/х2
Вторая производная положительна как слева, так и справа
от точки хо=0. Следовательно, точка @, 0) не является точ-
точкой перегиба графика функции.
Теорема 3 (второе достаточное условие точки перегиба
кривой). «Если вторая производная функции f(x) в точке х0
обращается в нуль, а третья производная непрерывна и не
обращается в нуль в точке хь, то точка (х0, f(x0)) — есть точ-
точка перегиба графика функции».
Пример.
у=х*; (/' = 3x2, у" = бх, у'"=6; г/"@)=0, у'"@)=6ф0.
Следовательно, @, 0) — точка перегиба графика.
Теорема 4 (третье достаточное условие точки перегиба
кривой). «Если f(x) имеет в точке х0 п производных, причем
Г(*о) =Г(хо) = ... =/<"-')(хо) = 0, а р>(*о) Ф 0, тогда:
а)	если п — нечетное, то в точке (х0, f(x0)) кривая имеет
перегиб;
б)	если п — четное, то кривая в точке (х0, f(x0)) обраще-
обращена выпуклостью вниз при /<п)(*о)>О, и вверх при /(n)(*o) <0».
Примеры.
1.	f(x)=x5, f'(x)=5x\ f"(x)=20xs, /"'(*) =60х2, f(W)(x) =
= 120х, pi(x) = 120 Ф 0. Следовательно, в точке @, 0) кри-
кривая имеет перегиб.
2.	у^Х6; у'=6х5, у" = ЗОх4, у'"=120х3, j/flV) = 360x2,
= 720х, y(vi)=720; y"@) =y'"@) =^v)@) =y<v>@), i()
— 720 Ф 0. Следовательно, график в точке @, 0) перегиба
не имеет.
4. Исследование функций и построение их графиков
.: : с помощью производной
Исследование функций с целью построения их графиков
можно проводить примерное следующем плане:
а) определяем область существования функции; .
92	*V

б)	исследуем функцию на четность, нечетность и перио-
периодичность;
в)	определяем нули функции и значение функции при
х=0 (определяем точки пересечения графика с осями коор-
координат) ;
г)	исследуем поведение функции в окрестности особых
точек (см. стр. 50);
д)	ищем асимптоты;
е)	находим максимумы и минимумы функции и участки
монотонности функции, которые, как правило, определяются
максимумами и минимумами;
ж)	находим точки перегиба и участки выпуклости вверх
и вниз графика функции.
Мы указали на примерный план исследования функции.
В зависимости от функции он может частично меняться, при-
причем в некоторых случаях такие вопросы, как ограниченность
функции, интервалы знако-постоянства функции и др., яв-
являются существенными для построения графика функции.
5. Примеры построения графиков функций
с помощью производной
а)	область существования — все значения х, кроме
X =	^	 И X = 	л
б)	точки пересечения с осями координат
) з\ и (_1>0);
в) исследуем функцию на экстремум:
х(х+1)*(х + 2)
2
х2 + 2х + ^5-
*i = 0, *2=—1 и х3 — —2 — стационарные точки. Рассмотрим
окрестность точки х=0. В качестве такой окрестности можно
взять любой интервал (а, 0), не содержащий других критиче-
критических точек и точек разрыва функции *. Слева от точки х—0
* Во всех последующих примерах при исследовании точек на экстре-
экстремум, окрестности точек должны удовлетворять этому требованию.
93

в окрестности (а, Р) */'<Г0, справа от точки х=0— </'>0
Следовательно, в точке х=0 функция имеет минимум:
В окрестности (а, 0) точки х2 =— 1 (за такую окрестность
можно взять интервал
— 3+/3~\
как слева, так и справа от нее, у'<0 и, следовательно, экст-
экстремума функция не имеет. Слева от точки х3=—2 из неко-
некоторой ее окрестности у'>0, справа— (/'<Г0. Следовательно,
в точке Хз = —2 функция принимает максимум:
Утах(~ 2) =	— ;
г)	найдем точки перегиба:
Ч8(*+1),(* + 2хЧ-2). „(_1) = 0
Cx2-f-6x + 2K	V
В некоторой окрестности точки х=—1 слева от нее #"<С0,
справа— (/">0. Следовательно, в точке (—1, 0) график
имеет перегиб. (За окрестность исследуемой на перегиб точки
можно брать любой интервал, содержащий эту точку и не со-
содержащий других точек, подозрительных на перегиб, а также
точек разрыва функции);
д)	найдем асимптоты.
Если функция есть отношение целых относительно х мно-
Р (х)
гочленов, т. е. у=—т , не имеющих общих корней, то,
Qn(*)
найдя корнн знаменателя хи х2, .... хк (к^п; речь идет о дей-
действительных корнях), получим вертикальные асимптоты:
X X[f X Яд, ..., X Хк.
В нашем примере корни знаменателя
— 3 — VT _ -3+/3"
х4	3	и xt	^ ,
а следовательно, вертикальные асимптоты будут
_3-/3~	-3+/3"
х-	3	их- 3
Невертикальные асимптоты можно получить делением числи-
94

теля на знаменатель по правилу деления многочлена на мно-
многочлен. Получим: у=х+\ + г(х), где г(х)—М) ,яри х—»оо.
Следовательно, (/=х+1 — асимптота (см. параграф 9 гл. I).
График функции изображен на черт. 79).
2. у =
а)	область существования — все значения, кроме х=—1;
б)	точки пересечения с осями координат @, 0) и A, 0);
Черт. 79
Черт. 80
в) найдем экстремум:
, _ х3 + Зх2 — 2х
критические точки:
_3— VT?
х 0; х
—3 + /Т7
Исследуем каждую из этих точек на экстремум по второй
производной:
У" =
10х —2
1) *i = 0; у"@)<0. Следовательно, при Jti = O функция
принимает максимум: ymai(O) =0;
95

2. х2 —	 	. у"(х2)<0. В точке х—х2 функция также
принимает максимум: г/Шах(*2) ~—8,8;
3) x = xz; у"(х3)>0 и, следовательно, при х = х5 имеет ми-
минимум: ymia(x3) да—0,1;
* „ // Юх-2
г) найдем точки перегиба. Из у =	- следует, что
1
х =	единственная точка, в которой возможен перегиб.
5
и	•	!
В достаточно малой окрестности точки х= — слева от нее
D
у"<0, а справа— у">0. Следовательно, в точке
L
график имеет перегиб;
д) найдем асимптоты. Вертикальные: х— — 1; невертикаль-
невертикальные:
у = кх + Ь; к = lim -- = 1; b = lim (у — х) =
следовательно, г/ = л: — 3 — асимптота. График изображен на
черт. 80.
3- y = tgx+sin;e.
а)	область существования функции — все значения х, кро-
кроме х=	Ья/г (п=0, ±1, ±2, ...);
б)	функция нечетная и периодическая с периодом Т=2л>
поэтому достаточно построить график на отрезке @, я];
в)	исследуем функцию на экстремум:
, 1 ,	1 + cos3 х
у =	f- cos x =	;
COS2X
в Промежутках [о,— | и /—, —я) у'>0, кроме одно-
одного значения х = л, при котором производная равна нулю.
Значит, на отрезке [0, я] { х ф —) функция не имеет ни
максимумов, ни минимумов;
г) исследуем график на точки перегиба:
y" = sinx(—
\cos3x
96

Откуда при #=0 и х=я вторая производная равна нулю,
справа и слева в достаточно малых окрестностях этих точек
у" имеет разные знаки. Значит, точки @, 0) и (я, 0) яв-
являются точками перегиба графика функции;
д) прямые *=—+яп (п = 0, ±1, ±2, ...)—вертикальные
асимптоты графика.
График функции на отрезке {—я, я] по длине,, равном пе-
периоду, изображен на черт. 81.
Черт. 81
Черт. 82
4. у =
а)	область существования:—оо<сх<; +оо ;
б)	л:=0 и х—6 — нули функции;
в)	при дс-^6 функция неотрицательна, а при л:>6— отри-
отрицательна; при х—*+оо у—i—оо, а при х—>-— °° у—»-+ °°;
г)	исследуем функцию на экстремум. Найдем производ-
производную
х D — х)
У
Fх2 —
х{ = 0, х2 = 4 и дез = 6 — критические точки функции, так как
(/'@) = оо, у'D)= 0, у'F)= — оо. Исследуем эти точки на
экстремум:
1)	#1 = 0; слева от нуля у' отрицательна, а справа от нуля
у' положительна (в достаточно малой окрестности точки
jc=O). Следовательно, в точке л: = 0 функция принимает ми-
минимум, равный нулю, а саму точку @, 0) на графике назы-
называют точкой заострения (или точкой возврата);
2)	при #2=4 функция принимает максимум, так как уг
слева от точки #2=4 положительна, а справа от нее — отри-
отрицательна (в достаточно малой окрестности этой точки, на-
97

пример, в интервале @, 6)). Этот максимум равен
3) при х3 = 6 функция экстремума не имеет, так как у'
в достаточно малой окрестности точки х3=6 не меняет знака,
будучи отрицательной;
д) исследуем на точки перегиба график функции. Для
этого определим у". После упрощений для у" будем иметь:
х3 F-хK
у" обращается в бесконечность при х=0 и х=6. При х=0,
как мы уже выяснили, функция имеет минимум и, следова-
следовательно, перегиба в точке @, 0) график не будет иметь. Слева
от точки х = 6 у"<0, справа— у >0 (в достаточно малой
ее окрестности). Значит, при х=6 график функции будет
иметь перегиб. Определим ординату точки перегиба:
Упер. F) = 0. При х<0 и 0<х<6 у"<0 и, следовательно,
выпуклостью график обращен вверх. При х>6 у">0 и гра-
график обращен выпуклостью вниз;
е) определим асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так
как функция определена при всех значениях. Найдем невер-
невертикальные асимптоты:
у — кх + Ь,
где
. у .. у 6х2—х3 .. 17 6х2 — х3	,
к = llm — =hm	=hm У 	 = — 1;
= lim (У?1*2 ~- xs + х) =
= limx 1 —1 + 2
х-»~ l	x
Итак, у — —х+2 — асимптота графика как при х—*-+<»,
так и при х—>—оо. На основе проведенного исследования
нетрудно построить график функции (черт. 82).
2х
5. у = arc cos	 .
1+х2
а) область существования: —оо<х<+оо, так как при
всех х
2х
1+х2
(это следует из неравенства A —
1
98

б) точки пересечения с осями координат:
).f ]; О.»);
в) исследуем на экстремум. После небольших упрощений
1-х2	п 1-х2
у примет вид:
у'= -2
или
У' =
1 + х2
2
:= 2A+Х2)|1_д.2|
при |х|<1;
при |х|>1.
При х—±1 производная не существует. Имеем две кри-
критические точки *i = l и *2=—1- Исследуем их на экстремум.
Рассмотрим точку Xi=l. В достаточно малой окрестности,
слева от нее у'<0, а справа— t/>0. Следовательно, при
Xj=l функция имеет минимум t/min(l)=0. Производная спра-
справа в точке Х\ = 1 будет равна:
2
у'+A) = lim у' = lim	=1;
I0	*-»I+0 1 -f- X2
производная слева в точке xt = 1 равна:
-2
r/'_(l)= lim r/' = lim
*-м-о 1+х2 .
Таким образом, точка A, 0) является угловой точкой гра-
графика функции.
При х%——1 функция принимает максимум, так как слева
от этой точки у'>0, а справа — t/'<0, причем г/шах(—1) =—•
Так же, как и при Xi = l, можно убедиться в том, что точка
/	. «\	.	-д.
1 — 1, -— I является угловой точкой графика;
г) найдем точки перегиба:
4л-
A+х2J
A+х2J
при |х|<1;
при |х|> 1.
99

у"@)=0. В некоторой окрестности точки х=0, например, в-
окрестности (—1, 1), слева от точки х=0 у"<0, справа —
у">0. Следовательно, в точке @, 0) график имеет перегиб;
д) найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так
как функция определена при всех значениях х. При х—>-оо
2х
0, а у = arc cos ¦
2х
Черт. 83
1+Х2
Л
причем при х—>-+оо у
	0; при х -* — оо у-» —
2	F	У 2
Теперь нетрудно построить график функции (черт. 83).
6. у = /1 — е~х\
•oo<x< + oo ;
а)	область существования:
б)	у@)=0;
в)	/(—x)=f(x), т. е. функция четная;
г)	исследуем на экстремум:
У'=°
хе~*
хе
-хг
VY
Первая производная в нуль не обращается. При х=0 про-
производная не существует. Слева от х=0 у'<0, а справа —
у'>0. Следовательно, при х — 0 функция принимает мини-
минимум: #min@)=0. Производные слева и справа в этой точке
существуют, причем
у'+ @) = J«n 0' (х) = 1, у'_ @) = Игл у' (х) = - 1
Отсюда следует, что точка @, 0) является угловой точкой
графика;
д) найдем точки перегиба:
У"
2х2)е
-Xs
100

Покажем, что у"<0 при всех значениях х, кроме х=0
(при х = 0 у" не существует). Обозначим числитель у" через
Ф(Х):
<р(*) = (х*-1)+A— 2х*)е-*°; <р@)=0; ф'(хН
При х>0 ф'(л;)<0 и, следовательно, при
убывает; при —оо<х<0 ц>'(х)>0 и, следовательно, <р(х)
возрастает. Так как <р@)=0, то ц>(х)<0 при всех значениях
х (исключая 0).
Таким образом, у"<0, и график не имеет точек перегиба.
Выпуклостью график обращен вверх;
е) найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет;
Нтг/=1; у=1 — асимптота. График изображен на черт. 84.
7. у = (х — 2)е х.
а)	область существования — все значения х, кроме х=0;
б)	уB) =0, т. е. х=2 есть нуль функции;
в)	исследуем функцию на экстремум. Находим производ-
производную
у' = е~т	2	•
Критические точки: хх—\ и х2 = —2. Исследуем их на экстре-
экстремум по второй производной:
Следовательно, г/"A)>0, и функция в точке Xi = I прини-
принимает минимум: Уш1пA) = 0—2)е-1; у"(—2)<0, и функция
при Х2=—2 принимает максимум: уЮах(—2)=—4е2 ;
г)	определим точки перегиба графика, у" обращается в
2
нуль при х= — и меняет знак с «—» на « + » при переходе
5
2	2
от значении х<— к значениям х>— в достаточно малой
о	э
2	2
окрестности точки х= —, причем при 0<х<?— график вы-
5	5
2
пуклостью обращен вверх, а при х~>— —вниз. При x<Z0
5
y"(x)<zQ и, следовательно, при х<0 график обращен вы-
выпуклостью вверх;
д)	исследуем поведение функции в окрестности особой
точки х = 0:
101

_2		1.
lim (x — 2)e x = 0, lim (х — 2) е * = — «>.
д:-»0+0	я-»0—О
Следовательно, х=0— асимптота графика функции. Других
вертикальных асимптот нет, так как при всех значениях х,
кроме *=0, функция определена;
е) определим асимптоты вида у=кх + Ь.
Пользуясь формулой Тейлора, представим функцию в виде:
— | -»0 при х ¦* со .
X )
Следовательно, у~х — 3 — асимптота графика;
ж) при х—*-0 + 0 у'(х)—>-0. Следовательно, справа от на-
начала координат график касается оси Ох в точке @, 0). На ос-
основании проведенного исследования построим график функ-
функции (черт. 85).
8. у = A + х)х.
а)	область существования — все значения х>—1, кроме
*=0; у>0;
б)	исследуем функцию на экстремум. Находим производ-
производную
, -
У =е
Покажем, что <р(х) = х—A+jc) In A + л;)<0 при всех х
из области существования. В самом деле,
<р' (к) = 1 - 1пA + х) - \±-К = - 1пA + х).
1 +х
ф'(л;)>0 в интервале (—1, 0). Следовательно, в этом интер-
интервале ц>(х) возрастает. Отсюда и так как <р@) =0 следует,
что ф(дс) <0 в (—1, 0). Аналогично, из условий <р'(л;) <0
в интервале @, +оо) и <р@) = 0, следует, что <р(х) <0 при
х > 0. Таким образом, у' < 0 и, следовательно, функция убы-
убывает на всей области существования и экстремума не имеет;
в)	исследуем на выпуклость и точки перегиба. Находим
у". После упрощения получим
хЦХ + xf
Обозначим числитель в у" через ty(x) и исследуем его на
экстремум:
102

^Wt() In (l+x) — x] = — 4q(x). По предыдущему,
q>(X)<0, а следовательно, я|/(Х)>0 и ^(х) — функция воз-
возрастающая. Так как г|з(О)=О, то г|>(*)<0 при —1<х<0 и
|)(x)>0 при х>0. Принимая во внимание знак знаменателя,
-2
'2/3
6
~1
Черт. 85
Черт. 86
получим, что у">0 при всех хфО. График функции, таким
образом, выпуклостью обращен вниз и не имеет точек пере-
перегиба;
г) исследуем поведение функции в граничных точках об-
области существования Х\ = — 1 и х2=0 и при х—»- + оо:
J	1
х-*-1
(I+x)"
так как знаменатель стремится к нулю. Следовательно,
х = —1 — вертикальная асимптота.
_L	Urn — In (l+x)
-4-x)* = e*-+~*	= е°=1,
откуда следует, что у— 1 есть асимптота.
Теперь нетрудно построить график функции (черт. 86).
В настоящем пособии не рассмотрены примеры на по-
построение графиков неявно заданных функций и функций, за-
заданных параметрическими уравнениями. Интересующиеся
этими вопросами могут обратиться к соответствующим кур-
курсам по математическому анализу (например, Фихтен-
гольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального ис-
исчисления, т. I) или к курсам по дифференциальной геомет-
геометрии (например, Бюшгенс С. С. Дифференциальная геомет-
геометрия).
103

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 		^
Глава I. Общие сведения о функциях		4
1.	Переменные величины		4
2.	Аналитическое выражение. Интервал, отрезок, промежуток	4
3.	Функции одной переменной		5
4.	Нахождение области существования функций		9
5.	Способы задания функций	• •	*1
6.	Четные и нечетные функции		'13
7.	Периодические функции		'4
8.	Возрастающие, убывающие и ограниченные функции ...	16
9.	Асимптоты графиков функций		18
10.	Обратные функции		23
11.	Графики простейших функций		26
Глава II. Построение графиков функций ........	37
1.	Построение графиков функций у — Af (kx+m) +b по графику
функции у = f(x)		37
2.	Локальное поведение функции		50
3.	График сложной функции		54
4.	Построение графиков функций y=\f(x)\ и«/ = /(|*|) . .	64
5.	Построение графика функции у = <р(лс)+ф(*) по графикам
функций у = <р(х) н у = $(х) (правило сложения графиков)	68
6.	Построение графика функции у = (р(х) • ф(лс) по графикам
функций </ = <р(лс) и 1/ = ф(лс)		73
7.	Построение графиков некоторых функций		77
8.	Построение графиков предельных функций		82
Глава III. Построеиие графиков функций с помощью производной	86
1.	Нахождение экстремумов функций		86
2.	Выпуклость графиков функций		89
3.	Точки перегиба графика функции		91
4.	Исследование функций и построение их графиков с помощью
производной		92
5.	Примеры построения графиков функций с помощью произ-
производной 	 		93
Автор: Иван Васильевич Матвеев
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Редактор Н. В. Сысоева
Тех. ред. 3. С. Кондрашова
Корректор JI. Н. С а г а ч
Сдано в набор 29/VIII 1969 г.	Подписано к печати 29/VII 1970 г.
Л-37258	Формат 6ОХ9ОЛ6	Бумага тип. № 1	Физ. печ. л. 6,5
Уч.-нзд. л. 5,69 Заказ 348 Тираж 3000 экз. Цена 15	коп.
Издательство Московского университета. Москва, ул. Герцена, 5/7
Типография Изд-ва МГУ (филиал). Москва, проспект Маркса, 20