о.
ЛАНЬ4*
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ ■
• МОСКВА •
• КРАСНОДАР •
2013

Ю. П. ШЕВЕЛЕВ
Л. А. ПИСАРЕНКО
М. Ю. ШЕВЕЛЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ В ГРУППАХ)
РЕКОМЕНДОВАНО
Сибирским региональным учебно методическим центром
высшего профессионального образования
для межвузовского использования
в качестве учебного пособия для студентов.
обучающихся по направлению подготовки бакалавров 010400.62
«Прикладная математика и информатика»
xli
ЛАНЬ"
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР
2013

ББК22.176я73
Ш37
Шевелев Ю. П., Писаренко Л. А., Шевелев М. Ю.
Ш 37 Сборник задач по дискретной математике (для
практических занятий в группах): Учебное пособие. — СПб.:
Издательство «Лань», 2013. — 528 с: ил. — (Учебники для
вузов. Специальная литература).
ISBN 978-5-8114-1359-1
В сборнике отражено содержание пяти разделов дискретной
математики, таких как теория множеств, булева алгебра логики, теория
конечных автоматов, комбинаторика и теория графов, изложенных в учебном
пособии Ю. П. Шевелева «Дискретная математика» (СПб.: Лань, 2008).
Для данного сборника это пособие является базовым. Однако базовым
может быть и любое другое учебное пособие, где соответствующие темы
рассматриваются достаточно полно.
В сборнике 14 глав. Каждая глава состоит из нескольких тем (от 2
до 8). Общее число тем во всех 14 главах равно 54. По каждой теме
приведено 50 дидактически эквивалентных заданий. Даны образцы их
выполнения. Пятидесяти вариантов заданий достаточно для того, чтобы
проводить аудиторные занятия в группах и выдавать индивидуальные
задания для самостоятельной работы во внеаудиторное время. Всего в
сборнике 7450 задач и 112 вопросов. Предусмотрено два вида контроля:
автоматизированный и при помощи открытых ответов (они приведены
ко всем задачам и вопросам).
Для студентов технических специальностей вузов и техникумов.
ББК22.176я73
Рецензенты:
С. Я. ГРИНШПОН — доктор физико-математических наук, профессор
кафедры алгебры Томского государственного университета; А. В.
ВОРОНИН — кандидат технических наук, доцент кафедры интегрированных
компьютерных систем управления Томского политехнического
университета; Я.Н.НУЖИН — доктор физико-математических наук,
профессор кафедры математического обеспечения дискретных устройств и
систем Института фундаментальной подготовки Сибирского федерального
университета.
Обложка
Е. А. ВЛАСОВА
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
О Издательство «Лань», 2013
© Ю. П. Шевелев, Л. А. Писаренко,
М. Ю. Шевелев, 2013
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ
При изучении дискретной математики вопросы и задачи
играют важнейшую роль. Ими закрепляется пройденный
теоретический материал, задается глубина его усвоения и
обеспечивается возможность непрерывного контроля учебного
процесса. Поэтому большинство авторов учебных пособий по
дискретной математике не ограничиваются одними
теоретическими сведениями и в конце каждой главы, а иногда и после
каждого подраздела (параграфа) приводят перечни вопросов
и задач, позволяющих глубже изучить соответствующие
темы.
Если обучающийся индивидуально работает над
материалом пособия, то содержащихся в нем вопросов и задач в
большинстве случаев вполне достаточно. Иное дело практические
занятия с группой студентов. Если ориентироваться только
на традиционную методику, когда преподаватель вызывает
к доске кого-либо из студентов и с ним решает задачу, а вся
группа следит за ходом ее решения, то вполне можно
ограничиться только теми задачами, которые приводятся в
существующих пособиях. Однако подобная методика, хоть и проста
и необременительна для преподавателя (провел занятия —
и свободен), недостаточно эффективна с точки зрения
качества обучения, так как на подобных занятиях активны
только те студенты, которые работают у доски. Остальным же
нет необходимости активизировать интеллект, поэтому они
находятся в состоянии созерцательности, т. е. занимают
позицию пассивного наблюдателя.
Очевидно, что для повышения эффективности обучения
каждому студенту необходимо выдать индивидуальное
задание, причем все задания должны быть бесповторными,
чтобы активно работали все студенты. Идея этой методики не
нова, но массовостью применения в учебном процессе она до
5

сих пор не отличается, так как для ее практической реализации необходимо
преодолеть две главные трудности.
Во-первых, откуда брать задачи для подготовки десятков вариантов
индивидуальных заданий? Это очень трудный вопрос, особенно если учесть,
что над индивидуальными заданиями студенты должны работать на каждом
занятии, а если аудиторного времени недостаточно, то по некоторым темам
подобные задания должны быть выданы и для домашней работы. В
существующих изданиях этот аспект отражен крайне слабо. Содержащиеся в них
задачи представлены, как правило, в одном варианте каждая. Лишь изредка
встречаются учебные пособия, например [1], [4], [5], [43], где по некоторым
темам приводятся задачи с одинаковыми формулировками, но с различными
исходными данными. В частности О. Е. Акимов в [1] сформулировал 15
таких задач. Из них 7 — по логике Буля, 3 — по логике высказываний и 5 — по
логике предикатов, при этом каждая из 15 задач представлена 24
вариантами. В [43] приведен раздел под названием «Контрольные работы». В этом
разделе все задания состоят из 20 неповторяющихся вариантов. Однако, как
показывает опыт, для эффективного проведения самостоятельной работы
количество вариантов заданий необходимо увеличить не менее чем в два раза.
Во-вторых, каждое выполненное студентами задание должно быть
проверено и оценено в какой-либо системе (иначе студенты работать над заданиями
не будут). Это также очень непростая задача. Ручная проверка слишком
трудоемка, на нее требуется неприемлемо много времени: столько же, сколько и
на проведение занятий, а во многих случаях и более. Обычно в подобных
случаях рекомендуется применять технические средства контроля: компьютеры
или специализированные устройства. Однако автоматизация контроля
предъявляет особые требования к формулировкам задач. Каждая задача должна
быть так сформулирована, чтобы обеспечивалось однозначное представление
ответа. Это требование почти полностью исключает возможность подготовки
индивидуальных заданий на основе существующих учебных пособий, так как
их авторы не учитывали требования компьютеризации. Например, в [4] по
различным разделам комбинаторики приведено 536 задач. На первый взгляд
такого числа вполне достаточно для подготовки 30-40 вариантов заданий. Но
большинство формулировок этих задач таковы, что автоматизированный
контроль ответов либо вообще невозможен (в основном это задания типа:
докажите, что...), либо трудно реализуем из-за неоднозначности ответов и
громоздкости их представления. Доставшихся задач, т. е. поддающихся
компьютерному контролю, недостаточно для того, чтобы составить из них
необходимое количество заданий одинаковой дидактической сложности.
В [5] по основным разделам дискретной математики содержится более
тысячи задач. Но среди них доминируют задачи на доказательство, которые с
позиций автоматизации обучения интереса не представляют.
Таким образом, для повышения эффективности обучения необходимо не
только подготовить достаточное количество задач, но и сформулировать их
так, чтобы обеспечивалась возможность компьютерной проверки
правильности ответов. Эти два требования составили основу при разработке данного
сборника задач.
6
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

В отличие от существующих публикаций по дискретной математике
данный сборник изначально ориентирован на аудиторные занятия не только с
отдельными студентами, но и с группами студентов. В нем отражено
содержание пяти разделов дискретной математики, таких как теория множеств,
булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и
теория графов, изложенных в учебном пособии [43], которое является базовым
для данного сборника. Материал этих пяти разделов представлен 14
главами. Каждая глава состоит из нескольких тем (от 2 до 8). Общее число тем
равно 54. По каждой теме приведено 50 дидактически эквивалентных
заданий, причем большинство из них содержат несколько задач (например,
число задач в каждом задании по комбинаторике равно 8, по комбинаторике в
теории вероятностей — 6). Пятидесяти вариантов заданий вполне
достаточно для того, чтобы не только проводить аудиторные занятия в группах,
причем практически с любым количественным составом (в пределе — до 50
человек в группе), но и выдавать индивидуальные задания для
самостоятельного их выполнения во внеаудиторное время, т. е. для домашней работы.
Варианты заданий, относящиеся к одной и той же теме, по трудоемкости
их выполнения мало отличаются одно от другого, но задания из разных тем
по трудозатратам не все одинаковы. Например, на решение задач из таких
тем, как «Нормальные формы булевых функций», «Эйлеровы графы»,
«Кодирование деревьев методом Пруфера» при хорошо усвоенной теории
достаточно 15-20 минут. На выполнение заданий по другим темам может
потребоваться гораздо больше времени. Например, решить все 8 задач из заданий
по комбинаторике за два академических часа студенты обычно не успевают.
В таких случаях следует выдавать задания с требованием частичного их
выполнения. При дефиците аудиторного времени задания можно сократить и
до одной задачи из каждой темы, и перенести основной объем работ на
внеаудиторные занятия, выдав всем студентам индивидуальные задания без
сокращения их объемов.
Теоретический материал, относящийся к индивидуальным заданиям,
студенты могут получить, прежде всего, из своих лекционных конспектов, а
при их отсутствии — из учебного пособия [43]. Минимально необходимую
информацию студенты найдут и в самом сборнике, где перед каждой темой
приведены соответствующие теоретические сведения, такие как понятия,
определения, теоремы, формулы, и др. и показаны образцы решения задач.
В принципе можно пользоваться любыми учебниками и учебными
пособиями по дискретной математике, если соответствующие темы в них изложены
достаточно полно. При этом необходимо иметь в виду, что система понятий,
определений и обозначений в современной дискретной математике является
крайне неустоявшейся. Например, если А — логическая переменная, то в
литературных источниках ее отрицание можно встретить в виде следующих
обозначений:
ТА, 1а, -пА, A, NA, -А, А', А, !А.
И другие логические операции (дизъюнкции, конъюнкции,
неравнозначно, импликации) в различных публикациях могут иметь неодинаковые
ПРЕДИСЛОВИЕ
7

обозначения. Это значит, что прежде чем решать задачи из сборника,
пользуясь не соответствующим ему учебником, необходимо сначала определить
все расхождения в обозначениях и понятиях, сопоставить их с
обозначениями, принятыми в сборнике, и лишь затем приступать к решению задач.
Данный сборник, как и учебное пособие [43], входит в дидактический
фонд системы «Символ», основанной на идее интеграции электронных и
традиционных (полиграфически издаваемых) учебников. Электронная
составляющая сборника представлена возможностью автоматизации контроля и
самоконтроля с применением компьютеров, а при их отсутствии —
специализированных устройств «Символ-Тест» (разработка ТУ СУ Ра),
обеспечивающих возможность проведения занятий в режиме оперативного
самоконтроля с любым числом студентов в группе и в любом помещении.
Главная особенность, отличающая систему «Символ» от других
разработок того же назначения, состоит в том, что массивы эталонной информации
рассредоточены по отдельным задачам, каждой из которых ставится в
соответствие определенный код задания в виде упорядоченной
последовательности нескольких шестнадцатеричных цифр (чаще всего это 2-4 знака). В коде
задания представлен не эталон правильного ответа, а критерий, на основе
которого ответ оценивается дихотомически по принципу
«Правильно-неправильно» (дихотомия — от греч. dichotomia — разделение надвое [31]).
Благодаря дихотомическому принципу оценки ответов любая, даже самая простая
задача становится дидактически состоятельной.
Действия при самоконтроле крайне просты. Студент, желающий узнать,
верным ли является найденный им ответ, набирает на клавиатуре
компьютера или устройства «Символ-Тест» ответ и код задания. Получив сообщение
«Неправильно», он продолжает работу над задачей, находит новый ответ и
снова обращается к техническим средствам. После нескольких итераций
студент либо найдет правильный ответ, либо обратится за помощью к
преподавателю. В системе «Символ» предусмотрен режим работы, когда вся
информация, набираемая на клавиатурах компьютера или устройства «Символ-
Тест» , автоматически фиксируется в электронном журнале.
Благодаря автоматизации самоконтроля не только повышается
активность студентов, но и возрастает отдача труда преподавателя, так как на
занятиях, где все студенты самостоятельно работают над своими заданиями,
обеспечивается возможность индивидуальных бесед преподавателя с теми
студентами, которые не могут правильно решить задачу. При этом в целом
трудозатраты преподавателя остаются теми же, что и в случае традиционной
образовательной системы, где доминирующей является работа студентов у
доски.
Коды заданий приведены ко всем задачам сборника. Этим
обеспечивается возможность работы в режиме самоконтроля над каждой задачей. Однако
кроме кодов заданий решено привести и открытые ответы. Такое решение
объясняется тем, что автоматизация самоконтроля в учебных заведениях
России массовостью пока не отличается, а благодаря открытым ответам
самоконтроль обеспечивается и при отсутствии технических контролирующих
средств, хотя и со сниженной дидактической эффективностью по сравнению
8
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

с автоматизированным дихотомическим принципом оценки ответов.
Разумеется, и в этом случае возможно существенное повышение качества
обучения, если в индивидуальном плане работы преподавателя предусмотреть
проверку выполнения самостоятельной работы студентов.
В большинстве случаев задачи сборника являются авторскими, но при
подборе дидактического материала использовались и литературные
источники, приведенные в библиографическом списке. Из них выбирались не сами
задачи, а только темы, поэтому ссылки на источники не приведены. По темам
выбранных задач формулировались их варианты с различными исходными
данными и с учетом возможностей автоматизированного самоконтроля.
В основном задачи, включенные в сборник, отличаются умеренной
сложностью, так как и данный сборник, и базовое пособие [43] рассчитаны на
студентов, впервые знакомящихся с дискретной математикой.
Сборник прошел частичную апробацию в Томском государственном
университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) во время
аудиторных занятий по дискретной математике с несколькими группами
студентов (всего более 100 человек). Занятия проводились с применением
устройств «Символ-Тест». Как и ожидалось, благодаря индивидуальным
заданиям активно работали все. В результате апробации были уточнены
формулировки заданий, показавшиеся некоторым студентам недостаточно
четкими, и удалены те задачи, которые никому не удалось решить без помощи
преподавателя. Кроме того, было выявлено несколько случаев проявления
информационного шума, когда правильный ответ, полученный студентом в
результате решения задачи, не совпадал с указанным в разделе «Ответы»
эталоном.
Завершим предисловие замечанием о государственном образовательном
стандарте (ГОС). В сборник включены наиболее важные в прикладном
отношении темы, которые находят отражение и в ГОС. Хотя стандарты
периодически обновляются, но на прикладных аспектах изменения скорее всего не
отразятся. Поэтому можно надеяться, что дидактические материалы
сборника будут востребованы и в дальнейшем при разработке учебных планов,
основанных на обновленных государственных образовательных стандартах.
ПРЕДИСЛОВИЕ
9

ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
l.i.
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
НАД МНОЖЕСТВАМИ
Обычно в теории множеств используется пять операций:
пересечение, объединение, дополнение, разность и
симметрическая разность. Но основными из них являются только
пересечение, объединение и дополнение, а оставшиеся две
могут быть выражены через основные. Поэтому в данной работе
все внимание сосредоточено только на основных операциях.
Напомним понятия из теории множеств, необходимые
для выполнения данной работы.
Пересечением множеств А19 А2, А3, ..., Ап называется
множество Р, содержащее только те элементы, которые
входят в каждое из п множеств:
Р=А1ПА2ПА3П...ПАП,
где П — знак, обозначающий операцию пересечения.
Например, если
Аг = {1, 2, 3, 4, 5}, А2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, А3 = {3, 4, 5, 7, 8}, (1)
то
Р = Ai П А2 П А3 = {1, 2, 3, 4, 5} П {2, 3, 4, 5, 6, 7} П
П {3,4, 5, 7, 8} = {3,4, 5}.
Объединением множеств А19 А2, А3, ..., Ап называется
множество Р, в которое входят все элементы множества А19
все элементы множества А2, все элементы множества А3 и
так далее до множества Ап:
P=A1UA2UA3U...UA/a,
где U — знак, обозначающий операцию объединения.
Например, в случае множеств (1):
Р = Ai U A2 U А3 = {1, 2, 3, 4, 5} U {2, 3, 4, 5, 6, 7} U
U {3,4, 5, 7, 8} = {1,2, 3,4, 5, 6, 7,8}.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Все элементы, участвующие в данном рассуждении, образуют
множество, называемое универсальным. Условимся обозначать его буквой /.
Дополнением множества А называют множество А (читается: дополнение
множества А), в котором содержатся все элементы универсального множества
/, не входящие в множество А. Допустим, что универсальным является
множество десятичных цифр
/={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)
Тогда для множеств (1) дополнения примут вид:
Ах = {0, 6, 7, 8, 9}, А2 = {0,1, 8, 9}, А3 = {0,1, 2, 6, 9}.
Прежде чем приступать к выполнению задания, рекомендуется
внимательно рассмотреть решение задач следующего примера.
Пример. Найдите элементы множеств, полагая, что универсальным
является множество (2),
а)Р = БПСиАПСПДиАПБПС,
б)Р = БПСП^иАПСПДиАПБПС,
в)Р = БПДиАПБПДиАПСП1>иАПБПС,
если А = {1, 2, 4, 5}; Б = {2, 3, 4, 5, 9}; С = {0, 3, 4, 5, 6, 9}; D = {3, 4, 5, 6, 7}.
Решение.
а) сначала находим дополнения множеств А, В, С и D:
А ={0,3,6,7,8,9}; В = {0,1, 6, 7, 8}; С ={1,2,7,8}, D = {0,1, 2, 8, 9}. (3)
Для выражения
Р = БПСиАПСП1>иАПБПС
находим элементы пересечений:
БПС={0,6}; АПСПД ={3,6}; АПБПС={1}.
Применив операцию объединения, получаем
P = {0,6}U{3,6}U{1} = {0,1,3,6}.
Ответ: Р = {0, 1,3,6};
б) воспользовавшись дополнениями (3), для выражения
Р = БПСП5иАПСП1>иАПБПС
находим элементы пересечений:
БПСП5 ={9}; АПСПД = {4,5}; АПБПС=0.
Объединим эти множества:
P = {9}U{4,5}U0 = {4,5,9}.
Ответ: Р = {4, 5,9};
в) для множества
Р=БП5иАПБПДиАПСПДиАПБПС
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
11

находим элементы пересечений на основе множеств (3):
Bf]D ={2,9}; АП5ПХ>={3}; Af]Cf]D=0; АПВПС={1}.
В результате применения операции объединения получаем
Р = {2, 9} U {3} U 0 U {1} = {1, 2, 3, 9}.
Ответ: Р = {1,2, 3, 9}.
Задания
для самостоятельной работы
Найти элементы множества Р. Универсальным считать множество
десятичных цифр. При самоконтроле элементы множества Р упорядочить по
возрастанию.
1. Найдите элементы множеств:
а)Р = ВПСиАПБП1)иАПСПХ>иАП|ПС; (98)
б)Р = ВПСиАП5П1)иАПСПХ>иАПБПС; (ГЗ)
в)Р = ВПС1МПВПД1МПСПДиАПВПС. (КИ)
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; D = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}.
2. Найдите элементы множеств:
а) Р = ВПГ>иАПБПСиАПСП1>иАП|П1>; (ВЛ)
б) р = вП^иАПВПС11АПСП1>иАПБПЯ; (ОЛШ)
в)р = впл1МПвПЛ1МПСПЛ1МПвПл. (нпв)
А = {0, 1, 3, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; D = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}.
3. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПВиВПСП5иВПСПХ>иАПВПС; (ТАГ)
б) Р = АП|иВПСП5иВПСП^иАП|ПС; (НАШ)
в) р = АПяивПСП1>ивПСП1>иАПвПС. (СУХ)
А = {0,1,2,4,8}; В = {1, 2, 3, 7, 9};
С = {2, 4, 5, 6, 7, 9}; Я = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}.
4. Найдите элементы множеств:
а) Р = АГ\1)иАГ\ВГ\СиАГ\ВГ\ВиВГ\СГ\В; (9А6)
б)Р = АПВиВПСП^и£ПСП1>иАПВПС; (НЕЯ)
в) P = Ar\BUBf]Cf]D\jBf]Cr\D\jAr\Bf]C. (ГУТ)
А = {0, 1, 3, 5, 7, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3,4, 5, 9}; Л = {0, 1,4, 5,6, 7}.
5. Найдите элементы множеств:
а) Р = ВГ\ВЦАГ\ВГ\1)иАГ\ВГ\ВиАГ\ВГ\В; (ЛАС)
б)р = АПвивпсп^ивПСП^иАПвпс; (ПДН)
в) Р = АПЯиАПСП1>иВПСП1>иАПВПС. (ОКК)
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3,4, 6, 9}; £ = {1,3,4,5,6,7}.
6. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПХ>иАПВПС11АПВП1>иАПСП5; (НТП)
12
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б)Р = АПБилПСП£>иБПСП^иАПБПС;
в) P = Ar\B\jBr\Cr\D\jBr\Cf]DUAf]Bf]C.
А = {1,2, 4, 7, 8}; В = {1, 2, 4, 5, 7, 9};
С = {2, 3,5,6,9}; # = {3,4, 5,6, 7}.
7. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП5иАП5П1>иАПБПСиАПСП5;
б) P = Af]BUBf]Cf]D\jBf]Cr\D\jAr\Bf]C;
в) P = Ar\C\jBf]Cf]D\jAr\Cf]D\jAf]Br\C
Л = {2, 3,4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 5, 7, 9};
С = {3, 4, 5, 6, 7, 9}; D = {0, 1, 3, 4, 5, 7}.
8. Найдите элементы множеств:
а) P = Ar\Br\C\jAr\Br\D\jAf]Br\D\JCr\D;
б) P = Af]Br\C\jBf]D\jBf]C_r\D\jAr\Bf]C;
в) P = Ar\D\jBr\Cr\D\jBr\Cf]D\jAf]Bf]C.
Л = {0,1, 3,4, 5, 6}; В = {0,3, 6, 7, 9};
С = {1,2, 4, 6, 8}; D = {0,1,6,7,8}.
9. Найдите элементы множеств:
а) Р = АГ\ВГ\Г>1)АГ\ВГ\СиВГ\СГ\ОЦАГ\р;
б) р = лПяияПСПяивПСП1>1МПяПС;
в)р = АПВП1>ивПСП1>ивПСП1>иАПВПС.
Л = {0,2, 3,4, 6, 9}; В = {0,3, 4, 7};
С = {2, 3,4, 5, 6, 7}; D = {0,1,6,8}.
10. Найдите элементы множества
а) P = Af]Cr\D\jBr\Cr\D\jBr\Cr\D\jAr\D;
б) P = Af]C_r\D\jBr\Cr\D\jBr\Cf]D\jAf]Br\C;
в) P = Ar\B\jBf]Cr\D\jBr\Cf]DUAf]Bf]D.
Л = {0,3, 5, 6}; В = {0,1, 2, 3,5, 7};
С = {1,4, 5, 6, 7}; D = {0,6, 7, 8}.
11. Найдите элементы множеств:
а) Р = ВПСиАПВП1>иА"ПСП1>иАП|ПС;
б) Р = СП#иВПСПХ>иАПСП#иАПБПС;
в)Р = АП£иВПСП1>иАПСП1>иАП£ПС.
А = {0,3, 4, 5, 6}; В = {0,3, 5, 7};
С = {1,2, 3,6, 8}; D = {0,1,3,7,8}.
12. Найдите элементы множеств:
а) р = БПяиАПЯПсиАПСП1>иАП|П1>;
б)р = лпяиАпсп£>иБпсп1>иАПБгт
в)р = впсияПСП1>иАПСП1>иАПЯПС.
А = {0,3, 4, 5, 6}; В = {3,5, 6, 7, 8};
С = {1,2, 3,5, 7}; D = {0,6, 7, 9}.
13. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПЯ_иЯПСП5_иБПСП1>иАПБПС;
б)Р = (АП5иЯПСПЯ)_П(БПСП^иАП5ПС);
в) P = (Af]B\jB)f](Cr\D\jBr\Cf]D\jAr\Bf]C).
А = {0,3, 4, 6}; В = {0,3, 5, 7};
С = {1,2, 3,6, 7}; D = {0,1,6,7,8}.
(ОЕЛ)
(ТЫР)
(ЛЫЧ)
(АЖГ)
(СБА)
(ДПЕ)
(БУЛ)
(ЕЖИ)
(ЗОЕ)
(УЦД)
(ИКЦ)
(УПЧ)
(АБО)
(ЛВО)
(ТДШ)
(ЕАЗ)
(81Э)
(8Т2)
(704)
(828)
(ВШМ)
(ААМ)
(СОР)
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
13

14. Найдите элементы множеств:
а)Р = ЛПС_иАПВПСиАПВП5ивПСП5;
б) р = (АПвивпс)П(_ливпспдиАПвпс);
в)р = (АПвивПСПХ>ив)П(СП1>иАПВПС).
А = {0,3, 4, 5, 6}; В = {1,3,5,7,8};
С = {3,6, 7, 8}; В = {0,1, 6, 7, 8}.
15. Найдите элементы множеств:
а)р = сП5_иАПВПДуАПВПХ>иАПВП^;
б) Р = (ЛПВU В)П_(СПDUВПС)П(ВU А_ПBJ]С);
в)р = АПвивПСПХ>ивПСП1>иАПВПС.
А = {0,1,3,4,6}; В = {0,3, 5, 7};
С = {1,2, 5, 6, 7}; В = {0,1, 6, 7, 8}.
16. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП^иАПВПС_иА_ПВПХ>иАПСП5;
б)р = лПви(ВПСП:ривПС)П_(1>иАПВПС);
в)р = АПвивПСПХ>иАПСП1>иАПВПС.
А = {0,3, 4, 6}; В = {0,3, 5, 7};
С = {1,2, 3,6, 7}; В-= {0,1, 6, 7, 8}.
17. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП5_иАПВП#иАПВПС11АПСП5; _
б)р = (АПВП:рив)П(СПХ>ивПСПХ>)иА_ПВ_ПС;
в) P = Af]Cf]D\jBf]Cf]D\jBf]Cf]D[jAr]Bf]C.
А = {0,3, 4, 6}; В = {0,3, 5, 7};
С = {1,2, 3,6, 7}; В-= {0,1, 6, 7, 8}.
18. Найдите элементы множеств:
а) P = Ar\Bj]C\jAf]B(]D\jAf]BC\D\JCf]p;
б)р = (лПвивпс)П(вувпс)П(В1иА_Пвпс);
в)р = АПВПсиАПСПвивПСПвиАПВПС.
А = {1,4, 6, 7, 9}; В = {1,2, 3,5, 6};
С = {0,1, 3,6, 7, 9}; В = {0,1,3,4,7}.
19. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПВ_ПСиАПВПСиВПСПВи_АПВ;
б) P = (Af]B\jBf]C)fnD\JBf]CqD)\jAf]C;
в)р = АПвивпсПвивпспвиАПвпв.
А = {1,5, 7, 9}; В = {1,3, 4, 6, 7};
С = {0,3, 6, 7, 8}; В = {0,1,3,4,5}.
20. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПСП5ивПС_ПВ_иВПСПВ11АПВ;
б) р = лПвивП(СПвивпспв)иАПвпс;
в)р = АПвивП(сивпспв11АПвпс).
А = {0,3, 6, 7, 9}; В = {1,3, 4, 6};
С = {1,2, 4, 5, 6, 7}; В = {1,3,4,5}.
21. Найдите элементы множеств:
а)Р = ВПС_иАПВПВиАПСПВиАПВПС;
б)р = (АП:ривПС)П_вивПСП:риАПВПС;
в)р = АПвивпсПвивпсП(виАПвпс).
(6КС)
(8ГП)
(РЦЫ)
(029)
(7ХД)
(ВЫР)
(Н84)
(КГЦ)
(ЛБЦ)
(ДЗМ)
(422)
(ИОЖ)
(НИЖ)
(ОЛТ)
(УЗУ)
(ПКИ)
(ГИН)
(ШХМ)
(704)
(9Я6)
(ЧИО)
(ЭЛЯ)
(МЫП)
(РХД)
14
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

A = {1,2, 6, 7, 9}; В = {1,2, 3,5, 6};
С = {0,1,2,4,6,7}; D = {0,2, 3,4, 5}.
22. Найдите элементы множеств:
a) P = Bf]D{jAf]Bf]C_\jAf]Cf]D\jAf]Br\D;
б)Р = лПЯ_ияП(СП^ия)ПСП1>1МПБПС;
в)Р = АП(вивпсП1>ивПСП1>иАПВПС).
А = {1,5, 9}; В = {1,2, 3,6, 8};
С = {0,1,2,3,5,7}; D = {0, 1, 3, 4, 5}.
23. Найдите элементы множеств:
а) Р = АПЯиЯПСП5иВ_ПС_П1>иАПВПС;_
б)р = АПВ_ПФивПСПдивПСПЛ)иАПВпс;
в) Р = АП(БиБПСП1))иБП(СПХ>иАП5ПС).
А = {1,2, 3,6, 7,9}; В = {3,4, 6};
С = {2, 3,6, 7}; D = {0,1,3,4,5}.
24. Найдите элементы множеств:
а)р = АПсиАПВПсиАП£П5иБПСГ\р;
б)Р = АПфивПС)ПфивПСП_Д)иАПВПС;
в)Р = АПБиБПСП(Х>и5ПСП1))иАПБПС.
А = {1,2, 5, 6, 7,9}; В = {2, 3,4, 6};
С = {2, 4, 6, 7}; D = {0,1,2,3,4,5}.
25. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП511АПВП^иАПВП1>иАПВ_П5;
б) p = Bf](C\jBr\cr\D_UBr\C)r\D\jAr\Bj]q
в) P = Af]B\jBr\Cr\(D\jBf]Cf]D\jA)\jBr\C.
А = {4, 5, 6, 7, 9}; В = {1, 2, 3, 4, 9};
С = {2, 5, 6, 7}; D = {0,1,3,4,8}.
26. Найдите элементы множеств:
а)Р = СПХ>_иАПВПС_иА_ПВПХ>иАПСП5;
б) P = (A.r\B\jBf]Cf]D\jB)f]Cf]D\jAf]Br\C;
в)Р = АПБиБП(СПХ>иВ)ПСПХ>иАПБПС.
А = {1,3, 6, 8, 9}; В = {1,2, 3,5, 6};
С = {0, 1, 2, 5, 6, 7}; D = {0, 1, 3, 4, 6, 7}.
27. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП5иАПВП1)иАП|ПСиАПСП5;
б)Р = А_П£_П(СиВПСП1>иБПС_ПЯиА_ПВ_ПС);
в)р = (АПБивПСПХ>ивПС)ПХ>иАПБПС.
А = {3, 4, 5, 6, 7, 9}; В = {1, 3, 4, 6, 7, 9};
С = {0,1, 3,6, 7}; D = {3,4,5}.
28. Найдите элементы множеств:
а) р = АпяпсиАпяпяиА.пвп1>исгт
6)p = Bnc_n(DUsncni>Usncni>)UA_nB_nc;
в) р = АП(Б11БПС)П(1>ияПСП1>иАПЯПС).
А = {0,1, 2, 6, 8}; В = {0,1, 3,4, 7};
С = {2, 3,4, 5, 9}; D = {0, 2, 4, 5, 7, 8}.
29. Найдите элементы множеств:
а) р = АПВПсиАПЯПсияПСП1>иАП1>;
(МФИ)
(ЖЛХ)
(ВЖТ)
(БАА)
(ГАЗ)
(Л15)
(7ЩИ)
(ЛИЧ)
(ДЫЛ)
(89К)
(ОФХ)
(88У)
(КОС)
(Д83)
(8РУ)
(НБП)
(РОИ)
(ЭУЗ)
(87Б)
(СЫР)
(5ПЕ)
(НТМ)
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
15

б)Р = ЛПБиБПСП^иЯПСП^иАПБПС;
в) P = Ar\B\jBf]Cf]D\jBf]Cr\D\jAf]Br\C.
А = {3,4, 5, 6, 8}; В = {О, 1, 3, 4, 7};
С = {1,3, 4, 5, 9}; £ = {2,3,5,7,8}.
30. Найдите элементы множеств:
а) P = Ar\C_r\D\JBr\Cf]DUBr\Cr\D\jAr\D;_
б) P = Ar\Bf](D\jBf]Cf]D\jB)f]Cf]D\jAf]Br\C;
в)р = АПВ11ВПСПФивПСП1>иАПВ).
А = {2, 6, 7, 8}; В = {0,1,3,4,7};
С = {2, 3,4, 5, 6}; £ = {0,1,4,5,7,8}.
31. Найдите элементы множеств:
а)Р = ВПСиА"ПБП£_иА_ПСПХ>иАПБПС;
б) P = Af]B\jBr\Cr\(D\jBf]Cf]D\jA)f]Br\C;
в) P = Bf]Cr\(D\jBf]Cf]DUBf]C)f]D\jAr\Bf]C.
А = {1,2, 6, 7, 8}; В = {0,1,2,4,7};
С = {2, 3,4, 6, 9}; D = {0, 2, 3, 5, 7,8}.
32. Найдите элементы множеств:
а) P = Br\D\jAr\Br\C\jAj]Cr\D\jAr\Bf]D;_
б)р = АПВ_ПяивП(СПдив)ПСПФиАП_вПС);
в)Р = АП(5иБПСП1)иБПСПХ>иА)ПБПС.
А = {3,4, 5, 6, 8}; В = {0, 1, 3, 6, 7};
С = {3,4, 5, 9}; £ = {4,5,6,7,8}.
33. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПБиБПСП5и5ПСПХ>иАП5ПС;_
б)Р = АП(СПЯиЯПС)П1>иЯПСП^иАП5ПС;
в)Р = АП5П(Х>и5ПСПХ>)и5ПСП1)иАП5ПС.
А = {0,1,4,6,8}; В = {0,1,2,3,7};
С = {0,1, 2, 3,4}; £ = {0,3, 4, 5, 7, 8}.
34. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПСиАП5_ПС_иАПБП5и5ПСП5;
б)Р = А_П(БПСП^иБПС_П^)иАП5ПС;
в) P = (B\jBr\Cf]D\jB)r\Cf]D\jAf]Br\C.
А = {0,1,5,6,8}; В = {1,3, 4, 6, 7};
С = {1,3, 4, 5, 9}; £ = {0,2,4,5,7,8}.
35. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП5_иАПЯП1>иАП5П1>иАПБП_5;
б)р = АП(вивПС)ПФивПСП1>)и_АПВПС;
в) P = (Af]D\jBr\C)f]D\jBf]Cr\D\jAf]Bf]C.
А = {3,4, 5, 6, 8}; В = {1,3, 4, 7};
С = {0,3, 4, 5, 9}; £ = {4, 5, 7, 8}.
36. Найдите элементы множеств:
a)P = cnmjAnSQCU_Ansni>UAncn5;
б) P = (Af]p\jB)r\(Cr\D\jBf]Cr\D)\jAf]Bj]C;
в) P = Ar\B\jBf]Cf]D\jBf]Cr\D\jAf]Br\C.
А = {0,1,5,6,7,8}; В = {1,3, 5, 7};
С = {3,4, 5, 7, 9}; £ = {0, 2, 4, 5, 6, 8}.
(ТШО)
(7ЯМ)
(ЭЯШ)
(КУВ)
(1ЕМ)
(ОРС)
(ИДП)
(НЦШ)
(ДИЗ)
(ГОШ)
(СУФ)
(9ПИ)
(Ж20)
(ПЛУ)
(ГПК)
(BOX)
(РЭН)
(ГИД)
(НЗЗ)
(64У)
(7УС)
(АЙС)
(ПКС)
16
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

37. Найдите элементы множеств:
а)Р = СП5иАПЯПД_иАПБПС11АПСП5;
б) P = (C_f]D\jBf]Cjr\DU(Bf]Cf]D\jAr\B)r\C;
в)р = (АПяияПСП1>ия)ПСП1>иАПЯПС.
А = {0,1, 2, 4, 8}; В = {1, 3, 4, 5, 6, 7};
С = {1,3, 4, 6, 7}; £ = {4,5,7,8}.
38. Найдите элементы множеств:
а) P = Af]Br\C\jAf]Bf)D\jAr\Br\DUCr\_D;
б) Р = Aj](D\jBr\C)f]D\J(Br\Cr\p\jA)r\_BC\_C;
B)p = (Af]i>U5)ncni>Usncni>UAnsnc.
А = {2, 4, 7,8,9}; В = {2, 3, 5, 6, 7, 8};
С = {1,5, 6, 7}; D = {2,4,5}.
39. Найдите элементы множеств:
а)р = АПБПсилПЯПС11ЯПСП1>иАП1>;_
б) P = Aj](Bf]C\jB)f]Cr]DU(Br\CJ]D\jA)r\Br\C;
в) P = (Af]B\jB)r\(Cr\D\jBf]Cf]D)\jAf]Br\C.
А = {2, 4, 5, 7, 9}; В = {0,1, 2, 3, 7, 8};
С = {1,3, 5, 6, 7}; D = {0,1,2,4,5}.
40. Найдите элементы множеств:
а) Р = А П СП DU БП С_П DU 5ПСП Х>U А П D;
б) P = Af](B\jBf]Cf]D\jBf]Cr\D)\jAj]Br\Ci
в) P = Br\Cr\(DUBr\Cf]D)\jBr\Cf](D\jAf]Bf]C).
А = {1,4, 6, 7, 9}; В = {0,1, 3,5, 7,8};
С = {2, 3,5, 6, 7}; D = {0,1,2,4,5}.
41. Найдите элементы множеств:
а) P = Bf]C\jAr\Br\D_\jA[]Cr\D\jAr\B(}C;
б) P = Aj](BUBf]Cf]D)\jBf]Cf](D\jAr\Bf]C);
в) P = (Af]B\jBr\C)r\D\jBr\Cf](D\jAf]Bf]C).
А = {3,4, 5, 8, 9}; В = {0,1, 2, 3, 7, 8};
С = {1,4, 5, 6, 9}; Л-{1, 2,4,5}.
42. Найдите элементы множеств:
а)Р = В_ПЯиАП£_ПСиАПСП1>иАПБП1>;
б) P = (B\jBr\C)f]D\jBr\C_f](D\jAf]B); _
в)Р = (АПБиС)ПСПХ>иБП(СПХ>иАП5ПС).
А = {2, 4, 6, 7, 9}; В = {0,1, 2, 5, 7, 8};
С = {1,4, 5, 6, 7}; D = {0,1,2,4,5}.
43. Найдите элементы множеств:
а) P = A_f]B\JB_r\Cr\D\jBr\Cr\D\jAf]Bf]C;
б) P = (B\JC_f]D)r\A\jBr\(Cn_DUAf]Br\C);
в) P = Af](B\JCr\D\jBr\Cf]D)\jAf]Bf]D.
А = {1, 3, 4, 5, 7, 9}; В = {0,1, 4, 6, 7, 8};
С = {1,3, 6, 7, 8}; D = {0,1,2,4,5}.
44. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПС_иАПБПСиАПВП5иБПСП5;_
б) P = (A.r\B\JCf]D)f]Cr\p\jBr\(Cf]_D\jAf]Br\C);
в) P = Ar\Bf](D\jBf]Cr\D\jBr\Cr\D)\jAf]Cf]D.
(МАИ)
(ИКА)
(НПК)
(8ПГ)
(УЗИ)
(НТЛ)
(Я58)
(ТКН)
(ТЯП)
(ВЫР)
(ВЮР)
(УЗА)
(ВЦФ)
(НТВ)
(ИОС)
(АОЕ)
(ОЗФ)
(ДЭБ)
(ИМЩ)
(ЧЕШ)
(РЕО)
(ЫЛЗ)
(8БО)
(МАВ)
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
17

A = {3,4, 5, 7, 9}; В = {0, 1, 2, 5, 7, 8};
С = {1,2, 5, 6, 8}; D = {0,1,2,4,6}.
45. Найдите элементы множеств:
a) P = Cf]D\jA_r\Bf\D\jAf]BC\D\jAqBf]D; (МБП)
б)р = АП(СПяия)илПСПСриАПБПС); _ <лшз)
в) р = АП(вивПСГИ>)ивПСПФиАПВПС). <ШЭД)
А = {0,4, 5, 7, 9}; В = {1, 2, 3, 7, 8};
С = {1,4, 5, 7, 8}; D = {0, 1, 2, 4, 5}.
46. Найдите элементы множеств:
а)Р = СПХ>иАПБПСиА_ПВПХ>иАПСП5; (ШУН)
б)Р = АПБиБП(СПЯиЯПСПЯ)_иАПБ_ПС; (Г36)
в) P = Af]Cf](D[jBf]C)[jBf]Cf](D\jAf]Bf]C). (НЦН)
А = {3,4, 5, 6, 9}; В = {1, 2, 3, 7, 8};
С = {1,3, 5, 6, 8}; D = {0,1,3,4,5}.
47. Найдите элементы множеств:
а) P = cr\Dl}A_r\Bf]D\jAr\BqC\jAr\Cf\D; (66Б)
б) P = (Af]B\jD)f]Cf]D[jBf](Cf]D\jAf]Bf]C); (НШО)
в) P = Bf](D\jBf]C)\jBf]Cf](D\jAf]Bf]C). (ИРШ)
А = {5, 7, 9}; В = {0,1,2,3,6,8};
С = {1,3, 5, 6, 7, 9}; D = {0,1,2,3,5}.
48. Найдите элементы множеств:
а) P = Af)Bj)C\jA_r\B[)D\jAr\Br\D\JCr\D; (ПЕН)
б) Р = A_r[(B\JCf]D){jBf](Cf]p\jA)[jBr\C; (ОПГ)
в) P = (Af]D\jBf]Cf]DUB)f]Cf]D[jAf]Bf]D. (ЛЦФ)
А = {0,1, 3,4}; В = {2, 3,4, 8};
С = {0,1, 2, 4, 5, 6}; £■ = {1,3, 4, 5, 7}.
49. Найдите элементы множеств:
а)Р = АПВПС_иАПВ_ПС_иВПСПХ>иАПХ>; (ТЗУ)
б)Р = (АПВиВПСПХ>иВ)ПСП^иАПВПС; (АЕС)
в)Р = (АПСПВП1>ПВП(СП1>ПАПВПС). (МЦХ)
А = {0,1,3,4,5,6}; В = {3,4, 8};
С = {0,1, 4, 5, 6}; £ = {1,3,4,5,7}.
50. Найдите элементы множеств:
а)р = АПСП5ивПС_П£>_ивПСП1>иА_П1>; <ЮЛЕ)
б) P = Af]D\jBf]Cf](D{jBf]C_f]DUAf]Bf]Cy, _ (B95)
в) р = АПвП(Х>ивпсП1)ивпспх>иАПвпс). (иля)
А = {0,1,2,3,4}; В = {2, 3,5, 8};
С = {2, 3,4, 5, 6}; £■ = {1,2, 4, 5, 7, 9}.
1.2.
ПОДМНОЖЕСТВА
Пусть даны множества Р и Q. Если все элементы множества Р
одновременно являются и элементами множества Q, то множество Р называют
подмножеством множества Q. Обратимся к диаграмме Венна, изображенной на
рис. 1.1, где кругами обозначены множества Р и Q. Из диаграммы видно, что
18
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 1.1
Рис. 1.2
если область Р П Q пуста, то множество Р окажется внутри множества Q
(рис. 1.2).
Для выяснения того, является ли множество Р, заданное некоторой
формулой, подмножеством множества Q, также представленного формулой,
можно найти элементы множеств Р и Q и проверить, все ли элементы множества
Р являются в то же время элементами множества Q.
Пример 1. Пусть множества Р и Q заданы формулами:
где
Р = АПВПСЦАПВПС,
<? = АПЯиВПС11АПВПС;
А = (0,2, 4, 5, 9);
В = (0,1,5,6,8);
С = (0,1, 3,4, 8),
/ = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Выясним, является ли множество Р подмножеством множества Q.
Сначала найдем элементы пересечений, из которых состоит
множество Q:
АПВ = {0,5}; Р = БПС = {5,6}; АПБПС = {3}.
Находим элементы множества Q, объединив полученные множества:
Q = {0,3, 5, 6}.
Точно так же найдем элементы множества Р:
АПБПС = {0}; АПБПС = {6}; Р = {0,6}.
Элементы множеств Р и Q найдены. Из записей множеств Р и Q видно,
что элементы 0, 6 е Р одновременно являются и элементами множества
Q. Следовательно, Р a Q, т. е. множество Р есть подмножество множества
Q.
Пример 2. Определить, является ли множество R подмножеством
множества Q, если Q задано выражением (2), а множество R представлено
формулой вида
R = Af]B\jAf]Cf (6)
где множестваА, Б, С заданы выражениями (3), (4) и (5).
Элементы множества Q уже найдены (см. предыдущий пример): Q =
= {0,3,5,6}.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
19

Находим элементы множества R:
АПБ = {0,5}; АПС = {1,3,8}; Д = {0, 1, 3, 5, 8}.
Из выражения R = {0, 1,3, 5, 8} видно, что в множество R входят
элементы 1 и 8, которых нет в множестве Q, т. е. не все элементы множества R
являются элементами множества Q, следовательно, множество R не
является подмножеством множества Q.
Пример 3. Элементы множеств А, Б, С, образующих формулы Р и Q,
могут быть не заданы. В этом случае для определения того, что Р a Q,
необходимо упростить множество Р П Q, применяя теоремы поглощения, склеивания
и де Моргана. Если получится пустое множество, то Р a Q.
Проиллюстрируем это на примере выражений (1) и (2):
РПС = (АПБП_СиАП_БПС)ПАПБ_иБПСиАПБПС= (7)
= (АПБП_СиАП_БПС)П(АЦ_Б)П(БиС)_П(АиБиС)= _ (8)
= (АПБПСиАПБП_С)П(А_ПБ1^АПСиБиБПС)П(АиБиС)= (9)
= (АПБПСиАПБПС)П(БиАПС)П(АиБиС) = 0. (10)
В формуле (7) множества Р и Q представлены в развернутом виде
согласно выражениям (1) и (2). В (8) применена теорема де Моргана. В (9) частично
раскрыты скобки выражения, полученного в результате применения
теоремы де Моргана. В (10) применена теорема поглощения. Если в (10) раскрыть
скобки, то получим пустое множество. Отсюда вывод: так как Р f| Q = 0, то
множество Р является подмножеством множества Q: P a Q.
Этот результат получен при отсутствии сведений о том, из каких
элементов состоят множества А, Б и С. Очевидно, что множества А, Б и С могут
состоять из любых элементов — результат будет тот же самый. Информация
о содержании множеств А, Б и С, может потребоваться только в том случае,
если в результате упрощения выражения Р П Q окажется, что Р П Q * 0.
Однако в данной главе такие случаи не рассматриваются.
В нижеприведенных заданиях множества Р и Q заданы только
формулами, в которых операциями объединения, пересечения и дополнения связаны
множества А, Б, С и D, а из каких элементов состоят множестваА, Б, С и D, не
указано. Поэтому во всех случаях, когда в результате упрощения выражения
Р П Q получается пустое множество, необходимо считать, что Р a Q. Если
же Р П Q * 0, то множество Р не является подмножеством множества Q.
Все нижеприведенные задания с дидактической точки зрения
эквивалентны. Поэтому для разъяснения того, как их выполнять, вполне
достаточно одного примера.
Пример 4. Укажите номера множеств, которые являются
подмножествами множества
Q = Af]D[jBf]C[jAf]Bf]C.
1)Р = АПБиБПСиБП£>; 2) р = Af]Cf]D\JBf]Cf]D;
3)Р = АПБПС_иБПСП1>; _ 4)Р=АПБиБПС_;
5)Р = АП#иБПСиБПСП1>; 6)P = AUBnCUBr)D;
7)Р = АПСП£>иБПС11БПСП1>; 8)Р = A\J Bf]C[j Bf]D.
20
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Решение. Сначала по теореме де Моргана находим множество Q:
Q = (A\jD)f](B\JC)f](A[jB\JC).
Раскроем скобки и упростим:
Q = Af]Bf]D[jAf]Bf]C\jBf]Cf]D[jAf]Bf]C.
Находим множество Pf]Q для каждого из восьми заданных множеств:
*) Pf]Q = (Af]B[jBf]C[jBf]D)f]
f](Af]Bf]5\jAf]Bf]C\jBf]Cf]5\jAf]Bf]C).
Раскроем скобки и упростим:
Pf]Q = Af]Bf]C\jAf]Bf]D.
Это выражение получено в результате упрощения с применением
теоремы поглощения. Далее упростить его невозможно, следовательно Р П Q * 0,
т. е. первое множество не является подмножеством множества Q;
2> РП$ = (АПсП#ивПсПЯ)П
П(АПБП5иАПБПсиБПСП5иАПБПС).
Раскроем скобки. В результате получим: Р П Q = 0, следовательно, Р a Q,
т. е. второе множество из восьми заданных является подмножеством
множества Q;
3) РП$ = (АПвПсиБПсПЯ)П
П(АПБП5иАПБПсиБПСП5иАПБПС).
И в этом случае, если раскроем скобки, то получим пустое множество.
Следовательно, третье множество также является подмножеством множества Q;
4) РГ)Я = (АПвивПС)П
f](Af]Bf]D\jAf]Bf]C\JBf]Cf]D\JAf]Bf]C).
Здесь первый же этап в раскрытии скобок дает выражение вида
(АПБ)П(АПБП5) = АПБП5*0,
откуда следует, что четвертое множество не является подмножеством
множества Q;
5) (АП#11БПсивПсП5)П
П(АПБП5иАПБПсиБПСП5иАПБПС).
Раскрыв скобки, получим выражение А П В П С П D. Отсюда следует, что
пятое множество не является подмножеством множества Q;
6)(АиБПСиБП1>)П(АПБП5иАПБПСиБПСП5иАПБПС).
Здесь, как и в случае четвертого множества, первый же шаг в раскрытии
скобок приводит к выводу о том, что шестое множество не является
подмножеством множества Q;
7) (АПсПдивПсивПсПД)П
П(АПвП5иАПБПси5ПСП5иАПвПС).
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
21

Раскрыв скобки, получим пустое множество, следовательно, седьмое
множество является подмножеством множества Q;
8) (АивПсивП2>)_П
П(АПБП^иАПБПСиБПСП^иАПБПС) = АПБП5.
Так как А П В П D ф О, то данное множество не является подмножеством
множества Q.
Таким образом, множества 2, 3 и 7 есть подмножества множества Q.
Ответ: 2, 3, 7.
Задания
для сймостпоятпслъной р&ботпы
1. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = A\jBr\C\jBf]D. (8A6)
1) P=Af]B\jBf]C[jBf]D; 2) P=A\jBf]D;
3) P = Ar\B\JBC\C\jBf)D; 4) P =A\JBf]C;
5) P = A\JBClC\jBr\D; 6) P = AUBDCUBftD;
7) P = Ar\C\JBf]C\jBf]D; 8) P = A\jBf)C \jBf)D.
2. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Af]Bf]D\jAC]CUCf]D\jAf]Bf]D. (ПГ5)
1) P = Af]B\JAC]C; 2)P = Af]B\jAf]CUCJ]D;
3) P = Af]Bf]D{jAf]C; 4) P = Af]Cf]D \jAf]Bf]D;
5)P = Af]BC]D\JA.r\C; _ 6)P = A.r\Bf]D\JAr\Bf]C;
7) P = Af]Bf]D{jAf]Bf]D; 8) P = Af]C\JAf]B.
3. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Ar\B\JBnC\jAr\D\JCf)D. (73E)
1) P = Af]Bf]C_{jAf]Cf]D; 2) Р = А П fillAC\C\JCT\D;
3) P = Af]B\jAf]C; 4)Р = СПХ>иАП5П^;
5)Р = АПВПСП^и4ПХ>; 6) P = Af]Bf]D\jAf]Bf]C;
7)P = Bf)D\jAf]Bf]D; 8) P = Af]Cf]D\JBf]Cf]D.
4. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Bf]CUAf]DUCf]DUAr]B. (A52)
1) P = Af)C\jAC)CC)D; 2) P = Bf]CC]D\JAf]CC]D;
3)Р = АПВ11АПС; _ 4) P = Cf]DUAC]Bf]D;
5)Р = АПВПСиАПБПХ>; 6) P = Af]Bf]Cf]DUAC]Bf]D;
7) P = Bf)D\jAf]Bf]D; 8) Р = Af]Cf]D\JBf]Cf]D.
22
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

5. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Af]C\jAr\D\jAf]B\jAC\B. (70У)
1)Р = АПСиАПСП1>; 2) P = Bf]CC]D\jAf]Cr]D;
3)Р = АПВЦАГ)С; _ _ 4) p = Cf]DUAC]Bf]D;
5)P = Af)Bf)C_\jAf]Bf]D; 6) Р = Af)BC)CC)D\JAftBOD;
7)P = Bf]D\jAf]Bf]D; 8) P = Af]Cf]D\J Bf]Cf]D.
6. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Af]B\jAf]C\jAr\D\JCC\D. (ИЗК)
l)P = Af]CUAC]Cf]D; 2)P = Br\Cf]D\jAf]Cf]D;
3)P = Af)B{jAf]C; _ _ 4) p = Cf]DUAC]Bf]D;
5) P = Af)Bf)C_\jAf]Bf]D; 6) p = Af)BC)CC)D\JAf]BC]D;
7)P = Bf]D{jAf]D; 8) p = Af]Cf]D\J Bf]Cf]D.
7. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Af]D\jAf]C\jBnC\JBr\D. (МБО)
l)P = Af]C{jAf]Cf]D; 2) P = Bf]Cf]D\jAC]Cf]D;
3)Р = АП-ВПС1МПС; _ 4) P = Cf]DUAf]B_f]D;
5) P = Af)Bf)C_\jAf]Bf]D; 6) Р = Aft D\J AftBC) D;
7)P = Bf]D{jAf]Cf]D; 8) p = Af]Cf]D\J Bf]Cf]D.
8. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = AC\C[jBf]D[jAf]D{jBf]C. (СЫБ)
1) P = Af]C\jAf]Cf]D; 2) p = Bf]CC]D\jAr)Bf]D;
3)Р = АПВПСиАПС; _ 4) P = Bf]Cf]D_\jAC]Bf]D;
5) P = Af)Bf)C_\jAf]Bf]D; 6) Р = Af]D\J Af]BC] D;
7)P = Bf]D{jAf]D; 8) P = Af]Cf]D\J Bf]CC] D.
9. Укажите номера множеств, которые являются подмножествами
множества
Q = Af]B[jBf)C\jAf]Cf)D{jAr]Cf]D. (HPP)
1) P = Af]C\jAf]Cf]D; 2)р = ВПСП1>иАПВП1>;
3)Р = АПВПСиАПС; 4) p = Bf]Cf]DUA_C]Cf]D;
5) P = Af]Bf]C{jAr]Bf]D; 6) р = AftDUAf]Bf]D;
7) P = Bf]D{jAf]D; 8) P = Af]Cf]D\J Bf]D.
10. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами
множества
Q = Af]C\JBf]D\JBf]C[jAf]Br]C. (ЛТР)
1) P = Af]C\jAf]Cf]D; 2) p = Bf]Cf]DUAC]Bf]C;
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
23

3)Р = АПВПСиАПС;
5)P = Af]BC]C\jAf]Bf]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]Bf]D;
4) P = Bf]CJ]D_\jA_r]Cf]D;
6) P = Af]D\jAC]Bf]D;
8) P = AC)CC)D\JBC)D.
11. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]Bf]C{jCf)D[jAf]Br]D. (ОВБ)
1) P = Af]CC]D\JAf]Cr\D; 2) Р = BnCf]I>U АПБПС;
3) P = Af]Bf]Cf]D{jA.f]Cf]D; 4) Р = BftCUAf]Cf]D;
5)P = Af)Bf]C\jAf]Bf]D; 6) P = Af]Bf]DUAf]Bf]D;
7)P = Bf)Cf)D\jAf]Bf]D; 8) P = AftCftDUBf)D.
12. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af)B\JBr\C(jAr\D(jAr\Br\C. (СЮР)
1)Р = АПСПЛ1иПСПД
3)Р = АПВП1>иАПСП1);
5)Р = АПСПДиАПВПД
7)Р = ВПСПХ>иАП5П1);
2)Р = ВПСП1>иАПБПС;
4)Р = ВПСиАПС_ПД
б)р = АПВПД11АПБПД;
8)Р = АПСПД11ЯПД.
13. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\C\JBr\D\jAf]D\JBC\C.
(ШУЧ)
1)Р = АПСПЛ1МПСПД
3)P = Af]Bf]D\jA.r]Cf]D
5) P = Af]CC]D\jAf]Bf]D
7)Р = БПСПДиАПВПД
2)Р = ВПСП1>иАПВПС;
4)Р = ВПСиАПС_ПД;
6)Р = АПВПД1МПВПД
8)Р = АПСП1>иБП1>.
14. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]C\JBf]D\jAr\D\JBC\C. (ОПК)
1) P = Af]Cf]D\jAf]Cr\D
3) P = Af]Bf]D\jAf]Cf]D
5) P = Af]CC]DUAf]Bf]D
7)Р = БПСПДиАПВПД
2)Р = ВПСПХ>иАПВПС;
4)Р = ВПСиАПС_ПД;
6)р = АПЯПДиАПВПД;
8)Р = АПСПХ>иВП1>.
15. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\C\JBr\D\jAf]D\JBr\C. (ЦВМ)
1)Р = АПСП1>иАПБПС; 2)Р = ВПСП1>иАПВПС;
3)р = АПБП1>иАПСП1>; 4)р = вПСиАПС_ПД;
5)р = АПСПДиАПВПД; 6)р = АПВПД11АПЯПД;
7)Р = БПСПДиАПВПД; 8) Р = АПСП2>иБП1>.
16. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]C\JBr\D\jAr\D\jBf]C (H3A)
1)Р = АПСП1>иАПБПС; 2)Р = БПСП1>иАПБПС;
3)Р = АПВПДиДПСПД; 4)P = Bf)C\jA_f]Cf]D;
5)р = АПСПДиАПВПД; 6)р = АПБПХ>иАПСП1>;
7)Р-БПСПДиАПВПД; 8)р = АПСП1>иБП5.
24
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

17. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]B\JCf]D\jAf]D\jBf]C. (7УД)
1)Р = ВПСПХ>иАП5ПС; 2)P = Bf]Cr\D\jAf]Br\C;
S) P = Af]Bf]D\jAf]Cr\D; 4) Р = Bf]C[jAf]Cf]D;
5) P = Ar\Cr\D\jAr\Br\D; 6) Р =Ar\Bf]D\jAf]Cr\D;
7)P = Br\Cf]D\jAf]Bf]D; 8) p = AflCfl DU^flCf] Л
18. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = An5UCnX>UAflCU5nX>. (7Щ2)
1)Р = ВПСПХ>иАП5ПС; 2)р = ВПСПХ>иАП5ПС;
3)Р = АПБП1)иАПСПХ>; 4)Р = ВПСиАПСПХ>;
5) P = Ar\Cr\D\jAr\Er\D; 6) P=Aj]Bf]D_[jAj]Cr\D;
7) P = Br\Cr\D\jAC\Br\D; 8) р = АПСП DU^flCR D.
19. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\B\JCr\D\jAr\C\jBf]D. (KEO)
1)Р = ВПСПХ>иАПВПС; 2)р = ВПСПХ>иАПВПС;
3)р = АПБП1)иАПСП^; 4)Р = ВПсиА_ПС_П^
5)Р = АПСПриАПВПС; 6)Р = АПВП1>иАПСП1>;
7) P = Bf]Cf]DUAf]Bf]D; 8) р = Af]Cf]D[jBf]Cf]D.
20. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]CUCf]D\jAf]Bf]DUAf]Bf]D. (51Д)
1)Р = ВПСПХ>иАП5ПС; 2)р = ВПСПХ>иАП5П5;
3)р = АПБП1)иАПСП^; 4)Р = ВПсиА_ПС_ГШ
5)Р = АПСП1)иАПВПС; 6)р = АПВП1>иАПСП1>;
7)Р = ВПСП1)иАП5ПС; 8) Р = АПСП 1>иВПСП A
21. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]DUCf]DUAf]Bf]D\jBf]Cf]D. (ГЭП)
1)Р = ВПСПХ>иАП5ПС; 2)p = Br\Cr\D\jBf]Cr\D;
S) P = Af]Bf]D\jAr\Cr\D; 4) Р = Bf]C[jAj]Cf]D;
5) Р = АГ\СГ\0(1АГ\ВГ\С; 6) р = АПЯПДиАПСПЯ;
7)Р = ВПСП1)иАП5ПС; 8) р = АПСП 1>иВПСП A
22. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Br\C\JCr\D\jAr\Br\D\jBr\C. (2РИ)
1)Р = ВПСПХ>иАП5ПС; 2)р = ВПСПХ>и5ПСП5;
3)Р = АПБП1)иАПСП^; 4)р = ВПСиАПС_ПХ>;
5)Р = АПСП1)иАП5ПС; 6)р = АП5П1>иАПСП1>;
7)Р = ВПСП1>иАПЯПС; 8)р = АПСП1)иБПСП1).
23. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Br\D\jBr\C\jAf]C\jBr\D. (23K)
1)Р = ВПСПХ>иАПБПС; 2)p = Bf]Cf]D\jBf]Cf]D;
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
25

3) P = Af]Bf]DUAC]Cf]D; 4) P = Bf]CUAf]Cf]D;
5) Р = АГ\СГ)1>иАГ\ВГ\С; 6) P = Af]Bf]D{jA_f]Cf]D;
7) P = Bf]Cr\D\jAf]Bf]C; S) P = Af]CC]D\JBC]Cf]D.
24. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\Bf]D\jBf]Cr\D\jAf]BC\D\jAC\Bf]C. (ГГМ)
1) P = Br\Cr\D\jAf]BC\C; 2) P = Bf]Cf]D\jBf]CC\D;
3) P = Af]Bf]DUAf]Cf]D; 4) Р = Bf]CUAf]Cf]D;
5) P = Af]Bf]DUAr]Bf]C; 6) P = Af]Bf]D{jA_f]Cf]D;
7) P = Br\Cr\D\jAf]Bf]C; 8)Р = АПСП1>иАПВП1>.
25. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Bf]DUBf]DUAC]Bf]CUAC]Bf]C. (88П)
1) P = Bf]Cr\D\jAf]BC]C; 2) Р = Bf)Cf)D\JBf)Cf)D;
3) P = Af]Bf]DUAC]Cf]D; 4) P = Bf]CUAf]Cf]D;
5) Р = АГ\ВГ)1>иАГ\ВГ\С; 6) P = Af]Bf]D{jA_f]Cf]D;
7) P = Bf]Cr\D\jAf]Bf]C; S) P = Af]CC]D\JAf]Bf]D.
26. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = BnD\JAf]D\jAnC\jAf]B. (900)
1) P = Bf]CJ]D\jAf]Bf]C; 2) Р = Bf]Cf]D\J Bf]CC]D;
3)Р = АПБПХ>иАПСПХ>; 4) P = Bf]CUAf]Cf]D;
5) Р = АП|П^иАПБПС; 6) Р = АПВПХ>11АПС_П1>;
7)Р = ВПСПХ>иАПВПС; S) р = Af]CC]D\jAf]BC]D.
27. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Bf]D\jAf]CUCf]DUBC]Cf]D. (37M)
1) P = Bf]C_r\D\jAf]Bf]C; 2) P = Bf]Cf]D\jBf]CC]D;
3) P = Af]Bf]DUAf]Cf]D; 4) P = Bf]CUAf]C_f]D;
5)Р = АПБПХ>иАПВПС; 6) P = AC]BC]D\JAf]Cf]D;
7) P = Bf]Cf]DUAr]Bf]C; 8) P = Af]CC]DUAf]Bf]D.
28. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]C{jBf]D{jAf]B. (Ж69)
1) P = Bf]CJ]D\jAf]Br]D; 2) Р = Bf]Cf]D\jBf]Cf]D;
3)Р = АПБПХ>иАПСПХ>; 4) P = Bf]CUAf]Cf]D;
5) Р = АГ\ВГ)1>иАГ\ВГ\С; 6) Р = АПВПХ>11АПС_П1>;
7) P = Br\Cr\D\jAf)Bf)C; 8)Р = АПСП£>иАПБГт
29. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]CUCf]D\jAf]Bf]DUAf]Bf]D. (7ЖУ)
1) P = Br\C_r\D\jAf]Bf]C; 2) P = Bf]Cf]D\jBf]Cf]D;
3)Р = АПБПХ>1МПСПХ>; 4) P = Bf]CUAf]C_f]D;
5) P = Af]Bf]D[JAf]Bf]C; 6) Р = Af]Bf]D\JAf]Cf]D;
7) Р = ВПСПХ>илПБПС; 8) Р = АПСПД11АП-ВГШ
26
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

30. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Cf]D\JCC]D\jBC]DUAr\Bf]D. (37E)
l)P = Bf]C_r\D\JAf]Bf]C; 2)Р = |ПСП^и|ПСПР;
3)p = A0B0DUA0C_0D; 4)р = впсиАПС_ПР;
5)P = Af]Bf]DUAf]Bf]D; 6) р = Af]Bf]D\jAC]Cf]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]Br]C; 8) р = Af]C f]D\J АО BOD.
31. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Bf)C\JBC)C\JAC)B\jAC)Br\D. (5ПП)
l)P = Bf]C_r\D\JAf]Bf]C; 2) р = ВС)СC)D\JВС)COD;
3) P = A0B0D\JA0C_0D; 4) р = ВС)С U Af)BJ) Dj
5) P = AC]BC]DUAf)BC]D; 6) Р = Af] Bf)D\J A.0C0D;
7)P = B0Cf)D\jA0BC]C; S) p = AC)CC]D\JAC]BC]D.
32. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = B0D{jA0D\jA0BC]CUA0Bf)C. (ЛОР)
l)P = Bf)C_C)DUAr\BC]C; 2)P = B0C_0D\JB0C0D;
3) P = AC]Bf]D\jAOC_C]D; 4) Р = ВС\С U АО BJ) Dj
5) P = AC]B0p\jA0B0C; 6) р = A0B0D\JA0C0D;
7) P = B0Cf)DUA0BC]C; 8) р = A0CC]D\J АО BOD.
33. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = B0D\JA0D\JA0C\JC0D. (8УФ)
1) Р = B0C_0D\JA0B0C; 2) p = B0C0D\JB0C0D;
3)P = A0B0D\JA0C0D; 4) Р = ВОСЦ АО B_0D}
5)P = A0B0D\JA0B0C; 6)Р = АПБП1>иАПСП1>;
7) P = B0C0D\JA0B0C; 8) Р = A0C0D\J A0B0 D.
34. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = B0C{JC0DVA0C0D\JA0D. (0ЦБ)
1)P = B0C_0D\JA0B0C; 2) р = БОС ODD БОС О D;
3)P = A0B0D\JA0C_0D; 4) р = ВОС U AOBJOD;
5)P = A0B0D\JA0B0C; 6) р = A0B0DUA.0C0D;
7)P = B0C0D\JA0B0C; 8)Р = АПСПХ>иАПБПХ>.
35. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = B0C\JC0D\JA0C\JA0B0D. (8Ф0)
1)P = B0C_0D\JA0B0C; 2)р = |ПСП^иВПСП5;
3)P = A0B0D\JA0C0D; 4) р = ВОС U AOBJ) D}
5) P = A0B0D\JA0B0C; 6) Р = АО BOD\J А.0С 0D;
7)P = B0C0D\JA0B0C; 8) р = A0C0DUA0B0D.
36. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = A0D\JC0D{jA0B\jA0B0C. (ДЗО)
1)P = B0C0D\JA0B0C; 2)р = ВПСПДиВПСП5;
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
27

3)P = Af)Bf]D{jAf]C_f]D; 4) P = Bf]C U Af]B_C] Dj
5)P = Af)Bf]D{jAf]Bf]C; 6) P = Af]BC)D\JAf]Cf]D;
7)P = Bf)Cf]D\jAf]Bf]C; 8) P = Af]CC)D\JAf]BC]D.
37. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]D\JBf]C[jAf)Bf]D{jAf]C. (731)
1) P = Bf]C_C]D\JAC]Br\C; 2) P = Br\Cr\DUBf]Cf]D;
3) P = Af]Bf]D\jAf]C_f]D; 4) P = BftC U Aft Bj\Dj
5)P = Af)Bf]D{jAf]Bf]C; 6) P = Af]Bf)DUAf]Cf]D;
7)P = Bf)Cf]D{jAf]Bf]C; 8) P = Af]CC)D\JAf]BC]D.
38. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]D\jBr\D\jAf]Bf]C\JBf)C\jAr]Br]Cr]D. (8БГ)
1) P = Bf]C_f]D\JAC]Br\C; 2) P = Br\Cf]DUBf]Cf]D;
3) P = Af]Bf]D\jAf]C_f]D; 4) Р = Bf]C\J Af] BJ] Dj
5) P = Af]Bf]D\jAf]Bf]C; 6) P = Af]Bf]DUAftCOD;
7) P = Bf]Cf]D{jAf]Bf]C; 8)Р = АПСП£>11АПВГт
39. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]B\jAf)B\jAf)C\jAf)Cf]D. (70A)
1) P = Br\Cf]D\jAf]B_r\C; 2)Р = ВГ\СГ\Е>1)ВГ\€Г)Б;
3)P = Af)C_f]D\jAf]Bf]D; 4) Р = Bf]C\J Af]Bj Dj
5) P = Af]Bf]D\jAf]Bf]C; 6) P = AftBC) D U AC)CC)D;
7) P = Bf]Cf]D{jAf]Bf]C; 8) p = AftC C)D\J AftBOD.
40. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\C[jAf]B\jAf]C[jAf)Bf]D. (58B)
1) P = Bf]C_f]D\jAf]Br\C; 2)P = Br\Cf]D\JBf]Cf]D;
3)P = Af]C_f]D{jAf]Bf]D; 4) Р = Bf]CU Af] BJ] Dj
5)P = Af)Bf]D{jAf]Bf]C; 6) P = Af]BC)D\JAf]Cf]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]Bf]C; 8) P = AC)CC)D\JAC)BC)D.
41. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = A\jBf]C\JCr\D. (ПБУ)
1)Р = ВПСП£>11АПБПС; 2) Р = Bf]Cf]D\J Bf)Cf)D;
3) P = Af]C_f]D{jAf]Bf]D; 4) i> = Bf]CU Af] BJ) D;
5)P = Af)Bf]D{jAf]Bf]C; 6) P = Af]Bf]DUAf]Cf]D;
7)P = Bf)Cf]D\jAf]Bf]C; 8) P = Af]CC)D\JAf]BC]D.
42. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af)B\JCf)D[jAf)Bf)D\JCr\D. (7ТШ)
1)Р = ВПСП1>иАП5ПС; 2) P = Bf]Cf]D\jBf]CC]D;
3)Р = АПСПХ>114П5П1>; 4) P = Bf]C\jAf]Bj]D;
5) P = Af]Bf]D\jAf]Bf]C; 6) Р = Af]Bf]DUAC]Cr]D;
7) P = Bf)Cf)D{jAf]Bf]C; 8)Р = АПСП£>11АПВП1>.
28
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

43. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Bf]CUBC]DUAf]D\jBf]Cf]D. (ГУБ)
l)P = Bf]Cr\D\JAf]Bf]C; 2)P = BC]CC]D\JBf]Cr\D;
3)Р = АПСПХ>114ПВПХ>; 4)р = впсиАПВП^;
5)P = Af]Bf]DUAf]Bf]C; 6) р = Af]Bf]D\jAC]Cf]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]Br]C; 8) р = Af]C f]D\J AC]Bf]D.
44. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = ВПСи ВС) DU AOBU ВОС f]D. (79Л)
l)P = Bf]Cr\D\JAf]Bf]C; 2)p = B0C0D[jBC]Cr\D;
3) P = Af]C_OD\jAf]Bf]D; 4) p = Bf]C\JAf]BJ]Dj
5) P = Af]BODUAf]Br]C; 6) P = AC]Br\D\jAf]Cf]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]B0C; 8) p = AC]Cf]D\jAf]Bf]D.
45. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = BnC\JBf]C\jBnD\jAr\B. (35B)
1)Р = ВПСПХ>иАПВПС; 2)Р = ВПСП^иВПСП5;
3) P = Af]Cf]DUAf]Bf]D; 4) Р = Bf]C\JAf]BJ]Dj
5) P = Af]BOD\jAf]Br]C; 6) р = Af]Br\D\J Af]C f]D;
7) P = Bf]CC]D\jAf]Bf]C; 8) p = AC)Cf]D\JAf]Bf]D.
46. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = AOC\JCr\D\jAf]E. (BOB)
1) P = Bf]CC]D\jAf]BC]C; 2) p = Bf]Cr\D\JBf]Cr\D;
3)P = Af]Cf)DUAf)Br]D; 4) Р = Bf]C\JAf]BJ]Dj
5)P = Af]Bf]D\jAf]B0C; 6) P = Af)BC]D\JAC]Cf]D;
7) P = Bf]Cf]DUAf]Bf]C; 8) P = Af]CC]D\JAC)Bf]D.
47. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]C\JCf]D\jAf]Bf]D. (778)
l)P = Br\Cr\DUAr\Bf]C; 2)p = Bf]Cf]D\JBf]Cf]D;
3)р = АПСП^и4ПВПХ>; 4)р = вПсиАПВП^;
5)P = Af]Bf]DUAf]Bf]C; 6) р = Bf]Cf]D\jA.r)Cr\D;
7)P = Bf]Cf]DUAf]BC]C; 8) Р = Af]Cf]D\JAC]Bf]D.
48. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Ar\B(jAf)C\JCr\D(JBf)D. (ОГ2)
l)P = Br\Cr\D\JAf]Bf]C; 2)p = BC\CC\D[jBr\Cf)D;
3)Р = АПСП£>11АПВП1>; 4) P = BC)C\jAr\BC)D;
5) P = Af]Bf]CUAf]Bf]C; 6) P = Bf]C f]D\jAf]C f]D;
7)P = Bf]Cf]D\jAf]Bf]C; 8) p = AC]Cf]D\jAf]Br\D.
49. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
<? = АПСПХ>11АПСП1>иАПЯиБПС. (КОТ)
l)P = Br\Cr\D\JAr\Bf]C; 2)р = ВПСП^иВПСП5;
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
29

3) P = Af]C_f]D\jAr\Bf]D;
5) P = Af]Bf]C\jAr\C_r\D;
7) P = Br\Cr\D\jAf]Bf]C;
4)Р = ВПСиАП5П^;
6)р = впсПХ>иАПСПХ>;
8) P = Af]Cf]D\jAr\Br\D.
50. Укажите номера множеств, являющихся подмножествами множества
Q = Af]CUAf]Bf]D\jAf]Cf]DUAf]Bf]D. (КПД)
1) Р = ЯПСПДиАПСПХ); 2)P = Br\Cr\D\jBf]Cr\D;
3) P = Af]C_f]D\jAr\Br\D; 4) Р = Bf]C\J Af) Bf)D;
5) P = Af]Bf]C\jAf]C_f]D; 6) P = Bf]C_f]D[JAf)Cf]D;
7) P = Br\Cr\D\jAf]Bf]C; 8) P = Af]Cf]D\JAf]Bf]D.
1.3.
ДИАГРАММЫ ВБННА
Диаграммы Венна обеспечивают возможность наглядного представления
отношений между множествами и во многих случаях позволяют
значительно сократить трудозатраты при выполнении теоретико-множественных
операций. Проиллюстрируем это на примере.
Найти элементы множества
р=АПЯПсиАПБПсилПЯПсиАПБПС
при условии, что
(1)
А-{1,4, 5, 8}; Б = {1,2, 3,5, 7};
С = {2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Эту задачу можно решить способом, изложенным в подразделе 1.1.
Однако с применением диаграмм Венна решение можно получить гораздо быстрее.
Построим диаграмму Венна и нанесем на нее элементы заданных
множеств (рис. 1.3).
Элемент 0 не входит ни в одно из заданных множеств. Записываем его вне
кругов, но в пределах квадрата. Цифра 1 входит в множества А и Б, но не
входит в множество С. Находим область на пересечении множеств А, Б и С, и
записываем в нее цифру 1. Элемент 2 записываем в область на пересечении
множеств А, Б и С, и т. д. до цифры 9, которую записываем на пересечении
множеств А, Б и С.
Рис. 1.3
Рис. 1.4
30
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Теперь обращаемся к множеству (1). В области А П В П С находятся
элементы 4 и 8, область АГ\ВГ\С пуста, в области А П-В ПС находится
элемент 7, в области А П В П С — элементы 6 и 9. Таким образом, ответом
является выражение
Р = {4, 6, 7,8,9}.
Рассмотрим еще один пример. Найдем элементы множества
P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Br]C\jAf]Bf]C
при условии, что
А = {0,4, 6, 7, 8}; В = {1,4, 5, 7};
С = {0, 2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Диаграмма Венна приведена на рис. 1.4. По этой диаграмме находим ответ:
Р = {0,2, 3, 5, 6,8, 9}.
Задания
для самостоятельной работы
1. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСи4ПВПСиАП|ПС; (ГЭП)
б) Р = АГ)ВГ\СиАГ\ВГ\СиАГ\ВГ\СиАГ)ВПС. (894)
2. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПС11АПВПС; (2ИГ)
б)Р = АП£ПСиАП£ПС1МПВПСиАПВПС. (ЗРН)
3. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АГ\ВГ)С1)АГ\ВГ\СиАГ)ВГ)СиАГ)ВГ\С; (9ТЫ)
б)Р = АПВПС1МПВПСиАПБПС11АПБПС. (1УН)
4. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9};
С = {2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАП|ПС; (ЕЕХ)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАП£ПС11АП£ПС. (82С)
5. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
31

При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АПВПСиАПБПСиАПБПСиАПБПС; (ОУВ)
б) Р = Af]Bf]C[jAf]Bf]C[jAf]Bf]C[jAf]Bf]C. (8ШЦ)
6. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 5}; В = {1, 2, 3, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = ЛПВПСиАП|ПСиАП|ПСиАПВПС; (8СЯ)
б) Р = АП-ВПСиАП£ПС1МП£ПСиАП£ПС. (ЛКА)
7. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {1,2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7};
С = {2, 3, 4, 5, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАП|ПСиАП|ПСиАПБПС; (РАД)
б) P = Af]Bf]CUAf]Bf]C\jAf]Bf]CUAf]Bf]C. (ЛИД)
8. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПБПС; (ГТВ)
б) Р = АП5ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС. (ШАХ)
9. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 7}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 8};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АП5ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС; (83П)
б)Р = АП5ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС. (420)
10. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АП|ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС; (88Ж)
б)Р = АП5ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС. (ОПФ)
11. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АП|ПСиАП5ПСиАП|ПСиАП5ПС; (8УЛ)
б) P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]CUAf]Bf]C. (OX8)
12. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,2, 3,4, 5, 8}; В = {1, 2, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 7}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АП5ПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС; (7ДА)
б) Р = АПЯПСиАПЯПСиАПБПСиАПЯПС. (ГОК)
32
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

13. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСилПБПС11АП5ПС; (ОАО)
б) Р = АГ\ВГ\СиАГ\ВГ)СиАГ\ВГ\С1)АГ)ВГ\С. (ЧАП)
14. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {О, 1, 2, 4, 5, 9}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 8};
С = {2, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) P = Af]Bf]CUAf]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]C; (ВНИ)
б)Р = АПВПС1МПВПСиАПЯПС1МПВПС. (ИДМ)
15. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 6, 8}; В-{1, 2,4, 7,9};
С = {2, 3, 4, 5, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
ь)Р = АГ\ВГ\СиАГ\ВГ)СиАГ\ВГ\СиАГ)ВГ\С; (НП5)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАП£ПС11АП£ПС. (ОПЛ)
16. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 6, 8}; В-{1, 3,4, 7,8};
С = {0, 2, 3, 4, 5, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС1МПВПСиАПВПС; (ИХС)
б)Р = АПВПС11АП.ВПС1МПВПС1МПВПС. (Ш91)
17. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 3, 5, 8}; В = {0, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 4, 5, 6, 7, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АП!ПСиАПВПС1МПВПС1МПВПС; (006)
б) Р = АП£ПС1МПВПСиАПВПС11АПВПС. (НЭК)
18. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 9}; В = {1, 3, 4, 7, 8, 9};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПС; (РОЙ)
б)Р = АПВПСиАПВПС1МПВПС11АПВПС. (ЯСЫ)
19. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 8}; В = {1,2, 3,4, 7};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПС11АПВПС; (537)
б)Р = АПВПС11АПВПСиАПВПСиАПВПС. (СОЯ)
20. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,4,5}; В = {1, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 5, 6, 7, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
33

При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПБПС1МПБПС; (ТНЯ)
6) P = Af)Bf]C\jAf)Bf]C{jAf]Bf]C{jAf]Bf]C. (МЭС)
21. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {О, 1, 2, 4, 7, 8}; В = {1, 2, 3, 5, 7, 9};
С = {1, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
a.)P = Ar\Bf]CUAr\Bf]CUAf]Bf]CUAf]Bf]C; (OXO)
б)Р = АПВПС1МПВПС1МПЯПС11АПБПС. (ИДЗ)
22. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 3,4, 5, 9}; В = {1, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 7, 9}; / = {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПБПС11АПБП£; (АУр)
б) P = Af]Bf]C{jAf]Bf]C\jAf]Bf]C\jAr]Bf]C. (ЛУД)
23. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 8}; В = {1,2, 3,4, 5, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 9}; / = {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСилПБПС11АПВПС; (8АИ)
б) Р = АГ\ВГ\СиАГ\ВГ\СиАГ\ВГ\С1)АГ)ВГ\С. (ЧАЛ)
24. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,4,5,8}; В = {1, 2, 3, 4, 7};
С = {2, 3, 4, 5, 6}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
a)P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]CUAr]Bf]C; (P53)
б) Р = АПВПС11АПВПСиАП£ПС1МПБПС. (ТОК)
25. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,4,8}; В = {1, 2, 3, 4, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 9}; / = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС1МП!ПС11АПБПС; (ЛУА)
б) P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]C{jAf]Bf]C. (КЦТ)
26. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,5,8}; В = {1, 2, 3, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС11АП5ПС1МПЯПС; (РОС)
б) Р = АПВПСиАПВПСиАПБПС11АПБПС. (жв0)
27. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,4,5,8}; В = {1, 2, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС11АП5ПСиАПЯПС; (ЭВЫ)
б) Р = АПВПСиАПВПСиАПЯПС11АПВПС. (6ХИ)
34
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

28. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,4, 5, 8}; В = {1, 2, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСи4П-ВПС11АП5ПС1МПБПС; (7ЧА)
б) Р = АГ\ВГ\СиАГ\ВГ\СЦАГ\ВГ\С. (5АН)
29. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАП5ПС1МПБПС; (ЗГН)
б) P = Af]Bf]C\jAf)Bf]C{jAf]Bf]C\jAf]Br\C. (6ТИ)
30. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {1,2, 4, 5, 8}; В = {2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПЯПСиАПЯПС1МП|ПСиАПБПС; (НЕТ)
б)р = АП-ВПС1МП.вПсиАПВПсиАПВПС. (МАХ)
31. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 3,4, 5, 8}; В = {2, 3, 4, 7, 8};
С = {3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС1МП5ПС11АПЯПС; (МЖС)
б)Р = АПВПСиАПВПС1МПЯПС1МПЯПС. (ОЕФ)
32. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 6, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 8, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС1МП5ПС1МПБПС; (ААП)
б)Р = АП-ВПС1МПВПСиАПЯПС11АПБПС. (8НЗ)
33. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 5, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 8, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПС11АПБПСиАПЯПС; (СИП)
б)Р = АПВПС1МПВПС11АПЯПС1МПВПС. (ЧОУ)
34. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 7, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
a) P = Ar\Bf]CUAr\Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Br\C; (НЫО)
б)Р = АП-ВПСиАПВПС1МПВПС11АПЯПС. (ШШ1)
35. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 5, 8}; В = {0, 1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
35

При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = ЛП|ПСиАПБПСиАП5ПСиАПБПС; _ (093)
б) Р = АГ\ВГ\СЦАГ\ВГ\СиАГ\ВГ\СЦАГ\ВГ\СЦАГ\ВГ\С. (ИЯР)
36. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 8};
С = {2, 3, 4, 5, 7}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АП|ПСиАПБПСиАП5ПСиАП|ПСиАПБПС; (653)
б) P = Af]Bf]C\jAf]Bf]CUAf]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]C. (6ЯЩ)
37. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 6}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 8};
С = {2,3,4,5,6,9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АП|ПСиАПБПСиАП5ПСиАП5ПСиАП5ПС; (ОЖК)
б)Р = АПБПСиАПБПСиАП5ПСиАП5ПСиАПБПС. (Н59)
38. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,4,5,8}; В = {1, 2, 3, 4, 5};
С = {0, 2, 3, 4, 5, 7}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПБПСиАПБПСиАП5ПСиАПБПСиАПБПС; (ПДН)
б)Р = АПБПСиАПБПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС. (АИЛ)
39. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,5,8}; В = {1, 2, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АП|ПСиАПБПСиАП|ПСиАП5ПСиАПБПС; (ЕЯН)
б)Р = АПБПСиАПБПСиАПБПСиАП5ПСиАП5ПС. (ОТП)
40. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 9}; В = {1, 2, 4, 5, 7, 9};
С = {2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АП|ПСиАП5ПСиАП|ПСиАП5ПСиАП5ПС; (НИЦ)
б) P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C\jAf]Bf]CUAf]Bf]C\jAf]Bf]C. (879)
41. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 7, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) Р = АПБПСиАПБПСиАП|ПСиАП5ПСиАПБПС; (8РЛ)
б) Р = Af]ВПСиАПВГ\СиАГ\ВГ\СЦАГ\ВПСЦАГ\ВПС. (ЯТМ)
42. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 5, 8}; В = {1,2, 3,4, 7, 9};
С = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПС; (ВДР)
б)р = АПВПсиАПВПсиАПВПсиАПВПсиАПБПС. (ИШЗ)
36
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

43. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2, 4, 5, 8, 9}; В = {3,4, 7, 9};
С = {2, 3, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПСиАПБПС; (ЮЛА)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАП£ПС11АПВПСиАПВПС. (нос)
44. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,4,6,8}; В = {0, 3, 4, 7, 9};
С = {1, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАП5ПСиАПБПСиАП5ПС; (ШОА)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАПЯПС11АПБПСиАПБПС. (ДАЛ)
45. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 3, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 4, 8, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПБПСиАПВПСиАПВПС; (8МХ)
б) P = Af]Bf]C\jAf)Bf]C{jAf]Bf]C{jAf]Br\C\jAf]Br\C. (944)
46. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 5, 8}; В = {1, 2, 3, 5, 6, 9};
С = {2, 4, 5, 6, 7, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПБПСиАП|ПСиАПВПС; (ИМЕ)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАПЯПС11АПЯПСиАПБПС. (ПЯН)
47. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0, 1, 3, 4, 5, 9}; В = {1, 2, 3, 4, 8, 9};
С = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАП5ПСиАП|ПСиАП5ПС; (ОЧВ)
б) Р = АПВПСиАПВПСиАП5ПСиАПБПСиАПБПС. (ВЫО)
48. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,4,5,9}; В = {1, 2, 3, 4, 7};
С = {2, 3, 4, 5, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАПБПСиАП5ПСиАПБПС; (ИПК)
б)Р = АПВПСиАПВПСиАПЯПС11АПБПСиАПБПС. (сзз>
49. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1, 2, 4, 8}; В-{1, 3,4, 7,9};
С = {2, 4, 5, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а)Р = АПВПСиАПВПСиАП|ПС11АПВПСиАПВПС; (ПЫБ)
б) P = Af)Bf]C{jAf]Bf]C{jAf]Bf]C{jAf]Br\C\jAf]BnC. (AMT)
50. Построить диаграмму Венна для множеств вида
А = {0,1,2,5,8}; В-{1, 2, 3,4, 7,9};
С = {2, 3, 4, 6, 9}; / = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
37

При помощи полученной диаграммы найдите элементы множества Р.
а) P = Af]Bf]C[jAf]Bf]C[jAf]Bf]C[jAf]Bf]C\jAf]Bf]C; (ИНЛ)
б) р = АПВПсиАГ)ВПсиАПВГ)С. (В31)
1.4.
ОТНОШЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
Упрощение теоретико-множественных формул обычно осуществляется с
применением теорем поглощения и склеивания. Однако во многих случаях
упрощение может быть продолжено, если между множествами заданы
какие-либо отношения: равенства, включения и др. Проиллюстрируем это на
примере множества, заданного следующей формулой:
P = Af]Bf]C[jBf]Cf]D[jAf]Cf]D[jAf]Bf]C[jBf]Cf]D. (1)
Упростим формулу (1) с применением теорем поглощения и склеивания:
P = Bf]C[jBf]D[jAnBf]C[jAf]Cf]D. (2)
Это множество состоит из четырех составляющих:
1)БПС; 2)Bf]D; 3) Af]Bf]C; 4) Af]Cf]D.
Предположим, что множества А, Б, С, D связаны отношениями
включения следующим образом:
AczEczCcDcz/,
(3)
где I — универсальное множество (рис. 1.5).
Рассмотрим первую составляющую В П С множества (2). Если В cz С, то
БПС = Б.
Это видно из рис. 1.6, где показано, что множество Б (с вертикальной
штриховкой) является подмножеством множества С, обозначенного
горизонтальной штриховкой. Множество Б П С заштриховано и горизонтальной
и вертикальной штриховками. Двойная штриховка одновременно
обозначает и множество Б, следовательно, Б П С = Б.
Аналогичное утверждение справедливо и для второй составляющей
множества (2), т. е. еслиВс£),то
БПД = Б,
Рис. 1.5
Рис. 1.6
Рис. 1.7
38
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а также для четвертой: если С cz D, то
Cf]D = C и Af]Cf]D = Af]C
Более сложным является случай с третьей
составляющей А П В П С Выделим из нее
пересечение А П-В. На рис. 1.7 горизонтальной
штриховкой обозначено множество А, вертикальной —
множество Б. Из рис. 1.7 видно, что если A cz Б, то
А П В = 0, Рис. 1.8
поскольку области множеств А и Б не
пересекаются (не пересекаются и области множеств А и С). Но если А П В = 0, то и
АПБПС=0.
Таким образом, для всех четырех составляющих множества (2) найдены
упрощенные представления. Подставим их в (2):
P = BnC\jBnD\jAnBnC\jAncnD = B\jB\J0\jAf]C = B\jAf]C.(4)
Нанесем это выражение на диаграмму Венна (рис. 1.8). Область Б на
диаграмме обозначена вертикальной штриховкой, область А П С —
горизонтальной. Заштрихованной является вся область С, следовательно,
Б11АПС = С.
Такой же результат из выражения (4) можно получить и алгебраически.
Прежде всего, отметим, что, так как A cz Б cz С, то
Af)C = Af]B[jBf]C. (5)
Тогда выражение (4) преобразуется следующим образом:
B\jAf]C = B\jAf]B\jBf]C = B\jAf]B\jBf]C\jBf]C =
= Bf](I\JA)\JCf](Bf]B) = B\JC = C.
Таким образом, минимальное выражение (2) с учетом (3) имеет вид Р = С.
Пример. Пусть требуется упростить выражение
Р = АПБПСиБПСПДиАПСПД (6)
с учетом отношений включения (3).
Решение. Так как A cz Б cz С, то первая составляющая множества (6)
примет вид
АПБПС=А.
Так как Б cz С, то
Bf)Cf)D = Cf]D.
Аналогично, поскольку A cz С, то
AnCf]D = Cf)D.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
39

Подставим полученные выражения в (6):
P = Ar\BC\C\jBr\Cr\D\jAf]Cr\D = A\JCr\D\JCr\D = A\JCr\D.
Это и есть минимальное выражение для множества (6), полученное с
учетом отношений включения (3).
Ответ: A U С П D.
Задания
для самостоятельной работы
Упростить нижеприведенные формулы при условии, что множества А, В,
С и D связаны отношениями вида
A<^B<^C<^D<^I,
где J — универсальное множество. При автоматизированном самоконтроле
буквы в формулах (в ответах) упорядочить по алфавиту. Знак П
(пересечение) не набирать. Вместо знака U (объединение) можно набирать знак +
(плюс). Знак дополнения ставить перед буквой.
1. а)Р = АП5П^иАП|ПСиАП|ПСиАП5ПС; (6К1)
б)Р = АПЯПЯиАПБПСиАП5ПСиАПЯПС. (НЕМ)
2. а)Р = АПСП1>иАПБПСиАПБПСиАПБПС; <РАС)
б) P = Af]Bf]CUAf]Bf]D\jAf]Bf]C[jAf]Bf]C. (НВШ)
3. а) Р = АПВГ\С1)АГ\ВГ\С1)А_Г\ВГ\С1}АГ\В_Г\1>, (ОСЯ)
б) Р = АГ\ВГ\ОиАГ\ВГ\01}АГ\ВГ\С1}АГ\ВГ\С. (ЕВ6)
4. а)Р = АПСП^иАПБПСиАПБПСиАПБПС; _ (ДАИ)
б)р = АП5ПсиАПВПСП1>иАПВПсиАПВПС. (ВКН)
5. а) Р = АП5ПСиАПВПСиАПЯПСПЯиАПВПС; (ИХТ)
б) Р = ВПСП^иАПБПСиАП5ПСиАП5ПС. (МЛУ)
6. а)Р = АПВПСП^иАПВПСиАПВПСиАПБПС; (ИВР)
б) Р = АП5ПСиАПБПСиАПС_П1)иАПБПС. (ММШ)
7. а) Р = АП5ПСиАПВП1>иАПЯПСиАПЯПС; (ПЬЯ)
б)Р = АП5иАП5ПСП1)иАП5ПСиАП5ПС. (Ш8Г)
8. а)Р = ВПСП^иАПБПСиАПБПСиАП5ПС; (ОЦК)
б) P = Af]Bf)CUAf]Bf]CUAf]Bf]C\jAf]Bf]D. (1ДК)
9. а)Р = АПВПСиАПБПСП1>иАП£ПСиАПВПС; (2Д8)
б)Р = АП5ПСиАПБПСиАПБПСП1)иАПБПС. (ЗУО)
10. а) Р = АПБП^иАПБПСиАПБПСиАПБПС; (1ЛУ)
б) Р = АП5ПСи5ПСП^иАПБПСиАП5ПС. _ (ЧУР)
11. а)Р = АП5ПСиАПБПСП^иАПБПСПХ>иАП5ПС; (1УЛ)
б)Р = АП5ПСиАПБП_СГи>иАП_ВПСиАП5ПС._ (1ДИ)
12. а)Р = АПВПС_иА_ПВПС_П£>иАПБПСП1)иАПБПСПД(ЖУН)
б)Р = АП5ПСиАПБПСП^иАПБПСП1)иАПБПС. (2ДО)
13. а) Р = АП5ПСиАПВПСПЯиАПБПСиАП5ПС; _ (ЗУМ)
б)Р = АП5ПСиАПВПСиАПБПСПЯиАПЯПСПЯ. (5КК)
14. а)Р = АП5ПСиАПБПСиАПБПСП^иАПБПС; (668)
б)Р = АП5ПСиАПБПСиАПБПСП1)иАПБПС. (ЗЖМ)
40
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Р = АПВПсиАПВПсиАПВПСПХ>иАПВПСП1>; (7К0)
р = АПВПсиАПВПсиАПВПСПХ>иАПВПС. (ИЖГ)
Р = АПВП^иАПВПСиАПВПСиАПВПС; _ (2Г1)
р = АПВПСП^иАПВПсиАПВПсиАПВПС. (ныв)
Р = ВПСиАПВПСП^иАПВПСПХ>иАПВПС; (ЧУТ)
P = Br\Cf]D\jAr\Bf]C\jAr\Bf]C\jAr\BC\C. (ИФ2)
р = АПВПХ>иАПВПСП^иАПВПСП^иАПВПСПХ>; (827)
P = Af]Bf]C\jAf]Bf]C^\JAf]Bf]C\JAf)Bf)C. (ФАК)
Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПС; _ (ЖАМ)
P = Af]Bf]Cf)D\jAf]Bf]C[jAf]Bf]Cf]D[jAf]Bf]C. (ЗАЮ)
Р = АПВПсиАПВПСП^иАПВПсиАПВПСПХ>; (15Д)
р = АПВПСП^иАПВПСП1)иАПВПсиАПВПС. (НИЛ)
р = АПВПсиАПВПСП^иАПВПсиАПВПСПХ>; (мий)
р = АПВПсиАПВПСП1)иАПВПСП1)иАПВПС. (21Л)
Р = АПВПГ>иАПВПСиАПВП1>иАПВПС; (ШКГ)
Р = АПВП1>иАПВПСиАПВПСиАПВПХ>. (НЦМ)
р = АПВПСПДиАПВПСПдиАПВПсиАПВПХ>; (ШЕД)
Р = АПСП1)иАПВПСиАПВ_ПС_иАПВПС. _ (НАЛ)
Р = АПВПХ>иАПВПХ>иАПВПСиАПВПСП1); (МВШ)
Р = АПВПСП^иАПВПСиАПВПСиАПВПС. (17А)
Р = АПВПСиАПВП^иАПВП^иАПВПС; (ЧАБ)
P = Af]Br\C\jALr\Br\C_r\D\jAr\Bj]Cr\D\jAr\Br\C. (BET)
Р = АПВП1)иАПВП1)иАП:ВПСиАПВПС; _ (ШЗУ)
Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСиАПВПСПХ>. (74Ц)
Р = АПВПСиАПВП^иАПВПСиАПВПС; (КЕС)
Р = АПВП1)иАПВПСиАПВПСиАПВП1). (ТЗР)
Р = АПВПсиАПВП1>иАПВПсиАПВПСП^; (ЛЕА>
р = АПВПСП^иАПВПсиАПВПсиАПВПХ>. (ИЖБ)
Р = АПВПСПХ>иАПВПСиАПВПСиАП_ВПС; (029)
р = АПВПСПДиАПВПСПХ>иА_ПВПСП1)иА_ПВПС. (2ГР)
Р = АПВПСП^иАПВП^иАПВПСиАПВПС; (Р2С)
Р = АПВП^иАПВПСП1)иАПВПСиАПВПС. (37Б)
Р = АПВПСиАПСП1)иАПВПСиАПВПС; _ (2Р1)
р = АПВПСП1>иАП_вПсиАП_вПсиАПВПС. (тхх)
р = АПВПсиАПВ_ПС_ПРиАПВПСПРиАПВПСПХ>;(ЕША)
Р = АПВП^иАПВПСиАПВПСиАПВПСПХ>. (ИВВ)
Р = АПВПХ>иАПВПСиАПВПСиАПВПС; (ОРТ)
р = АПВПХ>иАПВПсиАПВПсиАПВП1). (СЦГ)
Р = АПВПСПЯиАПВПС11АП£ПСиАП£ПСПХ>; (8ГС)
р = АПСП^иАПВПСП1)иАПВПсиАПВПС. (351)
Р = АПВПСП1)иАП_ВПСиАПВПСиАПВПС;_ (НШВ)
Р = АПВП1)иАПВПСиАПВПСиАПВ_ПС_иАПВПС1 (Д24)
Р = АПВ_П1)иАПВПСиА_ПВ_ПСиАПВПСиАПВПС; (ВВД)
P = Af]Bf]Cr\D\jAf]Bf]C\jAf]Bf]Cr\D\jAr\Br\C\jAC]B.
(ЧАЖ)
, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
41

Р = АПБПХ>иАП£ПСиАПвиАПВПСиАПВПС; (ЛВЦ)
P=Af]C[jAf]Bf]C\jAf]Br]D[jAf)Bf]C\jAf]Br]C. (5ИЖ)
Р = АПСП1>иАПВПСПХ>иАПВПСиАПВПСиАПВПС;
(ШАГ)
Р = АП5ПсиАПвПСПХ>иАПВПсиАПВПсиАПВПС.
(МФО)
Р = АП5П1>иАПБП5иАПВПСиАПВПСиАПВПС;
(ЗЗШ)
Р = АП|ПСиАПВПСиАПВП^иАПБПХ>иАПС. (КА1)
Р = АПБПСиАПВП1>иАПВ_ПСиАПВПСиАПВПС;(КАЦ)
Р = АПБПСиАПБПСиАПСиАПВПСПХ>иАПВПС.
(ЛИЗ)
Р = АПБПСП£ШАПСиАПВПС_иА_ПВПСиАПВПС; (315)
Р = АП5ПСиАПБПСПХ>иАПВПСиАПВПСиАПВПС.
(БХС)
Р = ВПСПДиАПВПСиАП|ПСиАПВПСиАПВПС; (5КВ)
р = вПСПХ>иАПв_ПС_иАПВПсиАПВПсиАПВПС. (6ВТ)
Р = АПБПСиАПВПХ>иАПВПСиАПВПСиАПВПС;
(7КТ)
Р = АПБПСП5иАПВПсиАПВПСиАП£ПсиАПВПС.
(ЛЫЦ)
Р = АП|ПСиАПВПС_ПХ>иАПВ_ПСиАПВиАПВ_ПС; (7УЗ)
Р = АПСиАПСП1>иАПВПСиАПВПСиАПВПС. (5ДТ)
P = Af]C\jAf]BC]Cf]D\jAf]Bf]Cf]D\jAr\Bf]C\jAf]Br\C;
(7ДЦ)
Р = ВПС_иА_ПБПС_П1)иА£1ВПСиАПБПСиАПБПС.(ПКЖ)
Р = ВП1>иАПВПСП1>иАПВПСП1>иАПВПСиАПВПС;
(ГИП)
Р = АПСиАПВП5и_АП_ВПСиАПВПеи_АП£ПС._ (5ЖБ)
Р = АПВПСиАПВПСиАПВПСПХ>иАПВПСиАПС; (СКН)
Р = АПсиАПВП1>иАПВ_ПСП#иАПВПсиАПВП1>. (Л2Е)
Р = АПВПсиАПВПсиАПВП1>иАПВПсиАП1>; (6X3)
Р = вПсиАПВП1)иАПВПсиАПВПсиАПВПСПХ>.
(ТКП)
Р = АПсиАПВП1>иАПВПсиАПВПсиАПВПХ>; (7ЖФ)
Р = АПвПсиАПСПХ>иАПвПСП1>иАПВПсиАПВПС.
(КУФ)
Р = АПБП5иАПвПсиАПВПХ>иАПсиАП£ПСПХ>;
(9ЖШ)
Р = АПвП5иАПвП1>иАПВПсиАПВП^иАПВПС.
(САР)
42
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

БУЛЕВЫ
ФУНКЦИИ
2.1.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
rv нормальным формам булевых функций относятся все те
формулы, которые представлены в дизъюнктивной
нормальной форме (ДНФ), т. е. заданы дизъюнкцией конъюнкций
(суммой произведений), либо в конъюнктивной нормальной
форме (КНФ), т. е. в виде конъюнкции дизъюнкций. При этом
в ДНФ кроме конъюнкций могут входить и отдельные
буквы. То же самое относится и к КНФ, т. е. в формулах,
представленных в КНФ, наряду с дизъюнкциями могут
находиться и отдельные переменные, не связанные знаками
дизъюнкции с другими переменными. Примеры нормальных форм:
1) f(A, Ву С) = АВ + АВ + С (дизъюнктивная нормальная
форма);
2) f(P, Q, R) = (Р + Q)R (конъюнктивная нормальная
форма);
3) f(A, B,C,D) = (B + C + D)(C + D)(A + С + В)
(конъюнкция дизъюнкций, т. е. КНФ);
4) f(Ay В) = А-\- В (эта форма является одновременно и
ДНФ и КНФ);
5) / = В (и эта форма является одновременно и ДНФ и
КНФ);
6) / = 1 (функция константа единица относится к
нормальным формам);
7) / = 0 (функция константа нуль также относится к
нормальным формам).
Не относятся к нормальным формам:
1) f(A, В9 С) = АВ + АВ + С. Первое слагаемое не является
конъюнкцией. Функция задана в форме третьего порядка;
2) f(A, В, С, D) = (BD + С + D)(C + D)(A + С + D). К
нормальным формам эта функция не относится, так как она
имеет третий порядок: в первом скобочном выражении кроме
I отдельных аргументов находится конъюнкция;
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ 43

3) /(А, Б, С) = АВ + А(В + С). Второе слагаемое не является
конъюнкцией отдельных переменных. Эта функция также представлена в форме
третьего порядка;
4) /(А, В) = АВ. К нормальным формам это выражение не относится, так
как, хоть оно имеет второй порядок, не является дизъюнкцией конъюнкций
и не является конъюнкцией дизъюнкций;
5) /(А, В) = А + В. Как и в предыдущем случае к нормальным формам это
выражение не относится;
6) f(A, В, С, D) = АВ + АС + ACD. Если удалить знак инверсии, то
останется ДНФ. Со знаком же инверсии это выражение относится к формам
третьего порядка.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции п
переменных называется такая форма, когда все входящие в нее конъюнкции есть
минтермы, где под минтермом понимается такая конъюнкция п переменных,
в которую каждая переменная входит один раз в прямой или в инверсной
форме. Например: _ _
/(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
Эта функция зависит от четырех переменных. Каждая конъюнкция
является минтермом, так как содержит по одному разу все переменные, от
которых зависит функция. Следовательно, функция представлена в СДНФ.
Функция, заданная одиночной конъюнкцией, например, вида
f(A, Б, С, D) = ABCD,
также относится к классу СДНФ. Хотя она состоит лишь из одной
конъюнкции, но эта конъюнкция является минтермом.
В отличие от этого выражения функция
/(А, Б, С, D) = ABD
к СДНФ не относится, так как в нее входит фиктивный аргумент С. Она
представлена в минимальной ДНФ.
Функция вида _ _ _ _
ДА, Б, С, D) = ABC + ABC + ADC + ABC
внешне напоминает СДНФ, поскольку все конъюнкции состоят из одних и
тех же букв с инверсиями или без инверсий. Но к СДНФ это выражение не
относится, поскольку функция зависит от четырех переменных, а в
конъюнкции входят только по три аргумента.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) функции п
переменных называется такая форма, когда все входящие в нее конъюнкции
есть макстермы, где под макстермом понимается такая дизъюнкция п
переменных, в которую каждая переменная входит один раз в прямой или
инверсной форме. Например, функция
/(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D),
зависящая от четырех переменных, представлена в СКНФ. Ее скобочные
выражения представляют собой макстермы, так как все переменные входят
в каждое из этих скобочных выражений по одному разу.
44
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

К классу СКНФ относится и выражение
ДА, B,C,D) = A + B + C + D,
хотя в нем нет скобок. В дизъюнкцию А + В + С + D входят все переменные
заданной функции, следовательно, эта дизъюнкция является макстермом.
Функция вида
ДА, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C)
к СКНФ не относится, так как последнее скобочное выражение содержит
только три переменные, следовательно, макстермом оно не является.
Задания
для самостоятельной работы
1. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ЕНЯ) б) в СКНФ; (ЕОЧ)
в)вДНФ; (НЭИ) г)вКНФ. (ТСБ)
1) f(A, В,С) = А + В + С;
2)f(A,B,C) = ABC;
3) ДА, В) = АВ + АВ;
4)f(A,B,C)=AB+AC + BC;
5) ДА, В, С) = (А +_В + С)(А + В + С)(А + В + С);_
6) f(A, В, С, D) = (А + В + С + D)(B + C + D)(A + C + D);
7) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD.
2. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ПАУ) б) в СКНФ; (СОХ)
в)вДНФ; (БРО) г)вКНФ. (ВДФ)
1) f(A, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
3) ДА, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
4) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
5) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C);
6) f(A, B, C) = ABC + ABC;
7) f(A, B,C,D) = AB + CD + AD.
3. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (Г2Ф) б) в СКНФ; (КЖЗ)
в)вДНФ; (РСЕ) г)вКНФ. (П25)
1) f(A, В) = АВ + АВ;
2) /(А, В, С) = АВ + АС + ВС;
3) ДА, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
4) ДА,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
5) ДА, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
6) ДА, В, С) = ABC + ABC + ABC;
7) ДА,B,C,D) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C).
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
45

4. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ОДК) б)вСКНФ; (ДГМ)
в)вДНФ; (ТХ5) г)вКНФ. (ШРД)
1) f(A, Б, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
2) f(A, Б, D) = ABD + ABD + ABD;
3) /(А, Б, C, D) = (A + Б + C)(A + Б + C)(A + Б + С);
4) /(А, Б, С, Z>) = 5 + АБС;
5) /(А, Б, С, Z>) = АБ + CD + AD;
6) /(А, Б, С, Z>) = ABCD;
7) /(А, Б, C, Z>) = A + Б + С + Z>.
5. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (СОС) б)вСКНФ; (САШ)
в)вДНФ; (Д57) г) в КНФ. (НБЦ)
l)f(A,B,C)=A+ABC;
2) /(A, B,C,D)=AB + CD + AD;
3) /(А, Б, D) = ABD;
4) /(А, Б, С, D) = А + Б + С + £>;
5)/(C,D) = CZ> + C5;
6) А А, Б, С, D) = (А + Б + C)D;
7) А А, Б, С, £>) = АБС(С + D).
6. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ВДС) б)вСКНФ; (РЮД)
в)вДНФ; (Ц2С) г) в КНФ. (882)
1) A A, B,CyD) = AB + CD + AD;
2) А А, Б, С, £>) = ABCD;
3) A A, B,C,D) = A + B + C + D;
4) f(B, С, D) = BCD + БС5;
5) /(А, Б, С, D) = (А + Б + C)D;
6) f(A, Б, С, D) = АВС(С + D);
7) /(А, Б, С, £>) = AD(A + С)(С + £>).
7. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ВОЗ) б)вСКНФ; (ЦХШ)
в)вДНФ; (ЖИН) г) в КНФ. (СИБ)
1) А А, Б, С, D) = ABCD + ABCD;
2) /(А, Б, С, D) = AD(A + С)(С + D);
3) А А, Б, С, D) = А + Б + С + D;
4) /(А, Б, С, D) = (А + 1>)(Б + С + D)(D + AC);
5) A A, B,C,D)=(A + B + С)(А + С + Б1>)(С + D);
6) АД С, D) = (Б + С + D)(B + С + Б1>);
7) А А, С, D) = ACD + ACD + ACD.
46
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

8. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ШОЕ) б)вСКНФ; (МТО)
в)вДНФ; (ЛЛБ) г)вКНФ. (МПШ)
1) f(A, В, С, D) = (АВ + C)D + АС;
2) f(A, B,C,D) = A + BCD(C + D);
3) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
5) f(C, D, E) = CDE;
6)f(A,B,C,D) = AB;
7)f(A,B) = (A + B)(A + B).
9. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (СХС) б)вСКНФ; (76М)
в)вДНФ; (9НЧ) г)вКНФ. (ОЙЛ)
1) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
2) f(A, В, С, D) = ABC + ABC + ABC;
3) f(A, B, C, D, F) = ABCDF;
4) f(C, D, E, F) = CDEF + CDEF;
5) f(A, B,D) = (A + B + D)(A + B + D)(A + B + D);
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
7) f(A, B,C,D) = A + B + C + D.
10. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (50У) б)вСКНФ; (ЯШП)
в)вДНФ; (ЕИР) г)вКНФ. (ДБ4)
1) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C);
3) f(B, C, F) = BCF + BCF + BCF;
4) f(A,B,C,D) = (A + B + C)D;
5) f(A, B, C, D) = ABC(C + D);
6) f(A,B,C,D) = A + B + C + D;
7) f(P, Q, R) = PQR + PQR.
11. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (СПФ) б)вСКНФ; (ВУГ)
в)вДНФ; (Л52) г)вКНФ. (АБХ)
1) f(B, С, D) = BCD + BCD + BCD;
2) f(A, B,C,D) = A + B + C + D;
3) f(A, B, D) = ABD + ABD;
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
5) f(A, B, C, D) = (AB + C)D + AC;
6) f(A,C,D) = (A + C + D)(A + C + D);
7) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
47

12. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ЕРМ) б)вСКНФ; (ИЖХ)
в)вДНФ; (ГПЕ) г)вКНФ. (7КВ)
1) НА, В,С) = А + ABC;
2) f(A, С, D) = ACD;
3) f(A, B,C,D) = A + B + C + D;
4) f(A, В, F) = ABF + ABF;
5) НА,B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
6) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
7) НА,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
13. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (КИО) б)вСКНФ; (ШОЖ)
в)вДНФ; (НИЧ) г)вКНФ. (ИЭД)
1) НА, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + D);
3) HA, B,C,D) = A + B + C + D;
4)HP,Q) = PQ + PQ + PQ;
5) HA, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
6) HA, B, C, D) = (AB + C)D + AC;
7) HA, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
14. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ГИЙ) б)вСКНФ; (НПС)
в)вДНФ; (НБТ) г)вКНФ. (А5Б)
1) f(A, В, С, D) = А + В + С + D;
2) НА,B,C,D) = (A + B + C)D;
3) f(A, В, С, D) = AD(A + С)(С + D);
4) НА, B,C,D) = A + BC + D;
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
6) НА, В, К) = АВК + АВК + АВК;
7) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
15. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (РЫФ) б)вСКНФ; (ВВШ)
в)вДНФ; (ТИФ) г)вКНФ. (ДОК)
1) НА,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
2) НА, В, Е) = ABE + ABE + ABE;
3) НА, В,С) = А + ABC;
4) НА,B,C,D) = AB + CD + AD;
5) НА,B,C,D) = A + B + C + D;
6) НА, B,C,D) = A + BCD{C + D);
7) НА, В, С, М) = АВСМ + АВСМ + АВСМ + АВСМ.
48 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

16. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (УУП) б)вСКНФ; (1ПА)
в)вДНФ; (99А) г)вКНФ. (ЕОШ)
1) f(A,В,С) = А + В + С;
2) f(A, В) = АВ + АВ;
3) НА, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
4) HA, B,C,D) = A + BC + D;
5) НА, В, С, D) = (A + D)(B + C + D)(D + AC);
6) HA, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
7)f(A,B,C,D) = A.
17. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ВАЙ) б)вСКНФ; (ЭСА)
в)вДНФ; (КВХ) _ г)вКНФ. (РВШ)
1) НА, В, С, D) = ABC + ABD;
2) НА, B,C,D) = A + BC + D;
3) НА, В, С, D) = (А + D)(B + C + D)(D + AC);
4) НА, В, С, N) = ABCN + ABCN + ABCN;
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D);
6) НА, В,С) = А + В + С;
7) НА, В, D) = ABD + ABD.
18. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ЧАЮ) б)вСКНФ; (2ЦБ)
в)вДНФ; (ЖУЛ) г)вКНФ. (877)
1) f(A, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
2) НА, B,C,D) = AB + CD + AD;
3) f(A, В, С, D) = (B + D)(B + C + D)(B + AC);
4) HA, B,C,D) = A + BCD(C + D);
5) HA,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
6) f(A, D) = AD;
7) HA, B, C, D) = ABCD + ABCD.
19. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (BOX) б)вСКНФ; (НИА)
в)вДНФ; (НУК) г)вКНФ. (93А)
1) НА, В, Q, R) = ABQR + ABQR;
2) НА,B,C,D) = A + BC + D<±. +ABD;
3) НА, В, С, D) = (A + D)(B + C + D)(D + AC);
4) HB, C,D) = (B + C + D)(B + C + D)(B + C + D);
5) HA, C, D, P) = ACDP + ACDP + ACD? + ACDP;
6) HA, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
7) HA, E,F) = (A + E + F)(A + E + F).
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
49

20. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (СЭБ) б)вСКНФ; (ГОФ)
в)вДНФ; (562) г)вКНФ. (7КА)
1) f(A, В,С) = (А + В + С)(А + B + С)(А + В + С);
2) f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC;
3) f(A, В, С, D) = ABCD;
4) f(A, В, С, D) = АВС(С + D);
5) НА, В, С, D) = AD(A + С)(С + £>);
6) НА, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD){C + D);
7) НА,B,C,D) = A + B + C + D.
21. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (КУС) б)вСКНФ; (ИЮТ)
в)вДНФ; (453) г)вКНФ. (МИО)
1) НА,В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
2) НА, D) = AD + AD;
3) НА, B,C,D) = (A + B + C)D;
4) НА, В, С, D) = (А + D)(B + C + D)(D + AC);
5) НА,B,C,D,E) = A + B + C + D + E;
6) НА, С, D) = ACD + ACD + ACD + ACD;
7) НА,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
22. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (КПУ) б)вСКНФ; (ДЕД)
в)вДНФ; (50С) г)вКНФ. (ИС2)
1) НА, В, С) = ABC;
2) НА, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
3) НА, В, С) = ABC + ABC + ABC;
4) НА, B,C,D) = AB + CD + AD;
5) НА, В, С, D) = АВС{С + D);
6) НА, В, С, D) = AD(A + С)(С + D);
7) НА,B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D).
23. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ОТЯ) б)вСКНФ; (623)
в)вДНФ; (С93) г)вКНФ. (ЛОЦ)
1) НА, В, С, D) = ABC + ABC + ABC;
2) НА, В,С) = А + ABC;
3) f(A,B,C,D) = A + B + C + D;
4) НА, B,C,D) = AB + AB;
5) НА, В, С, D) = (А + D)(B + C + D)(D + AC);
6) НА, B,C,D) = A + BCD{C + D);
7) HA, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
50
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

24. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (АХА) б)вСКНФ; (АУЗ)
в)вДНФ; (КВШ) г)вКНФ. (ВУТ)
1) f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC;
2) f(A, B,Q,R) = A + B + Q + R;
3) f(A, B, C, D) = ACD + BC + D;
4) f(A, B, C, D) = (AB + C)D + AC;
5) f(A, B,C,D) = AD + BCD{C + D);
6) f(A, B,E) = A + B + E;
7) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC.
25. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (КАЯ) б)вСКНФ; (ЭЧА)
в)вДНФ; (АЯГ) г)вКНФ. (ОЦХ)
1) f(A, В, С, Е, F) = ABC + ABC + ABC;
2) f(A, B,C) = A + ABC;
3) HA, B,C,D) = AB + ABC + CD;
4) f(A, B,C,D) = A + B + C + D;
5) HA, B,C,D) = A + BCD(C + D);
6) HA, B, E, F) = ABEF;
7) HA, B) = (A + B)(A + B)(A + B).
26. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (П5П) б)вСКНФ; (ИЗА)
в)вДНФ; (64А) г)вКНФ. (ЛА2)
1) НА, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
2) НА, B,D,E) = A + B + D + E;
3) НА,B,C,D) = AB + ACD + BD;
4) НА, В, С, D) = (В + D)(A + C + D)(D + AC);
5) НА, B,C,D) = A + BCD{C + D);
6) HA, B, K) = ABK + ABK + ABK + ABK;
7) HA,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
27. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ОГП) б)вСКНФ; (ОЦМ)
в)вДНФ; (ОЛБ) г)вКНФ. (ЦХС)
1) НА, В,С) = (А + В + С)(А + В + СНА + В + С);
2) f(A,B,C,D)=A + B + C + D;
3) f(A, В, С, D) = АВС(С + D);
4) НА,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
5) f(A, B,C)=AB+AC + ВС;
6) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
7) f(D, E, F) = DEF + DEF + DEF + DEF.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
51

28. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (5ЖД) б)вСКНФ; (УМО)
в)вДНФ; (76А) г)вКНФ. (ОКО)
1) f(A, В, С, D) = АВ + CD + AD;
2) f(A,В,C,D) = (A+_B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D);
3) f(A, В, С, D) = ABCD;
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
5) f(A, C, D, N) = A + C_+ D + N;
6) f(A, T, K) = ATK + ATK;
7) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D.
29. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (308) б)вСКНФ; (ЭНО)
в)вДНФ; (ОУМ) _ г)вКНФ. (7КУ)
1) f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC;
2)f(A,B,C,D)=A + B + C + D;
3) f(A,C,D,E) = (A + C + D + E)(A + C + D + E)(A + C + D + E);
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
5)f(A,N) = AN;
6) HA, B, C, D) = (A_+ B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
7) HA, B,C,D) = AB + AB.
30. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (5КК) б)вСКНФ; (ЩУС)
в)вДНФ; (6ДД)_ г)вКНФ. (ИТХ)
1) НВ, С, D) = ВС + ВС + ВС;
2) НА, D,F) = A + D + F;
3) НА, D, Е) = ABE + ADE;
4) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D);
5) НА, М, N) = AMN + AMN;
6)HA,B) = (A + B)(A + B);
7) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
31. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ВА5) б)вСКНФ; (820)
в)вДНФ; (60Д) г)вКНФ. (227)
1) НА, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
2) f(A, В, С, D) = (AB + C)D + AC;
3)f(A,C,D)=A + C + D;
4) HA, B, C) = ABC + ABC;
5) f(A, B,C,D) = (A + D)(B + C + D)(D + AC);
6) HA, F,R) = (A + F + R)(A + F + R)(A + F + R);
7) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D).
32. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (242) б)вСКНФ; (033)
в)вДНФ; (964) г)вКНФ. (ЮН)
1) НА, В, С, D) = (АВ + C)D + AC;
2) НА, B,C,D)=AB + CD + AD;
3) НА, B,D) = A + B + D;
52 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
5) f(A, В, Е) = ABE + ABE;
6)f(A,B,C)=AB+AC + BC;
7) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
33. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ОЦТ) б)вСКНФ; (2ТН)
в)вДНФ; (ААЛ) г)вКНФ. (АКЛ)
1) f(A, В) = АВ + АВ;_
2) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
3) f(A, В, С, D) =A + BCD(C + D);
4) f(A, B,C,D) = AB + AB;
5) f(A, B, C, D) = ABC(C + D)j
6) f(A, B, C, D) = ABC_+ ABC + ABC;
7) f(A,B,C,D) = A + B + C + D.
34. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ШИО) б)вСКНФ; (566)
в)вДНФ; (860) г)вКНФ. (256)
1) f(A, В, С, D, Е) = ABCE + BCDE + ACDE + ABDE;
2) НА, B,C,D) = (A + B + С)(А + В + С)(А + В + С);
3)f(A,B,C,D)=AB;
4) f(A, В, С, D) = (АВ + C)D+AC;
5) f(A, B,C,D,E) = AjrB + C + D + E;
6) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD; _
7) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D).
35. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (9ДК) б)вСКНФ; (359)
в)вДНФ; (ЖАЛ) г)вКНФ. (1ДН)
1) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
2)f(A,B)=AB;
3) HA, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
4)f(A,B,C)=A+ABC;
5) HA, B, C) = ABC + ABC + ABC;
6) HA, B, C, D) = A+_В + С + D;
7) HA, B,C,D) = AB + CD.
36. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (14Р) б)вСКНФ; (19У)
в)вДНФ; (2РК) г)вКНФ. (482)
1) НА, B,C,D) = (A + B + С)(А + В + С)(А + В + С);
2) НА, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
3) НА, В, С, D)_= AB + CD+AD;
4)f(P,Q) = PQ + PQ;
5) f(A, B,C,D) = AB + AB + CD;
6)HA,B,C,D)=A + BCD(C + D);
7) HA, B, C, D) = ABCD.
37. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (263) б)вСКНФ; (403)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

в)вДНФ; (247) г)вКНФ. (44С)
1) f(A, B,C,D)=AB + CD + AD;
2) f(A, B,C,D)= ABC(C + D);
3) f(A, B,C,D) = A + B + C + D;
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
5) /(A) = A;
6)/(A, B, C, D) = AD(A + C)(C + D);
7) f(A, B, N, K) = ABNK + ABNK.
38. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (379) б)вСКНФ; (58Ж)
в)вДНФ; (462) г)вКНФ. (473)
1) /(A, B,C,D)=A + BCD(C + D);
2)f(A,D,F)=A + D + F;
3)f(A,B,C)=A+ABC;
4) f(A, B,C)=AB+AC + ВС;
5) /(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
7) /(A, B, C) = ABC.
39. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (2Г5) б)вСКНФ; (560)
в)вДНФ; (365) г)вКНФ. (58У)
1) /(A, B,C,D) = AB + AB;
2) /(А, В, С, D) = (А + В + C)D;
3) /(A, B,C,D)=AB + CD+AD;
4)f(A,B,C) = AB+AC + BC;
5) /(А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
6) /(А, В, С, D) = А + BCD(C + D);
7) /(А, В, С, D) = А + В + С + D.
40. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ИВА) б)вСКНФ; (35Э)
в)вДНФ; (ЗВН) г)вКНФ. (22Л)
1) /(А, В, С) = АВС + ABC + ABC + ABC + ABC;
2) f(A, В) = AB + AB;
3) f(A, B, C,D) = (A + B+_C + D)(B + С+ D)(A + C + D);
4) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
5) /(A, C, D, E) = ACDE + ACDE;
6)f(D) = D;
7) f(A, B,C,D)=A + BCD{C + D).
41. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (КСП) б)вСКНФ; (ЧАК)
в)вДНФ; (2ПХ) _ г)вКНФ^ (702)
1) /(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
2) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D);
3) f(A, B, C, D) = AD(A + C)(C + D);
4) f(A, B,C,D)=A + B + C + D;
5)f(A,B,C)=A+ABC;
54 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

6) f(A, B,C,D) = (AB + C)D + AC;
7) f(A, E) = AE + AE.
42. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (087) б)вСКНФ; (82Л)
в)вДНФ; (53Е) г)вКНФ. (2ТО)
1) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + С + D)L
2) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
3) f(A, B,C,D) = A + (ВС + D)A;
4) f(A,B,C,D) = A + B + C + D;
5) f(B, C, D) = BCD + BCD;
6) f(A, B, C, D) = AD(A + C)(C + D);
7) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D).
43. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (Ш82) б)вСКНФ; (ШОВ)
в)вДНФ; (НЗН) _ г)вКНФ. (НБГ)
1) f(A, В, С) = (А_+ В + С)(А +_В_+ С)(А + В + С);
2) f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC;
3) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D);
4)f(A,B,C,D)=A;
5)f(A,B,C)=A+ABC;
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
7) HA, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD.
44. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (800) б)вСКНФ; (АА8)
в)вДНФ; (181) _ г)вКНФ^ (ОГШ)
1) НА, В, C,D) = (A + B+_C + D)(B + C + D)(A + C + D);
2) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
3) f(A, В, С, F) = ABCF + ABCF + ABCF + ABCF;
4) НА, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
5)f(A,B,C,D)=A;
6) f(A, B,C,D)=A + B + C + D;
7) НА, Р) = АР + АР.
45. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ЗЖН) б)вСКНФ; (ОЮК)
в)вДНФ; (ЦАФ) _ г)вКНФ. (50Д)
1) НА, С, К) = АСК + АСК + АСК + АСК;
2)f(A,B,C) = AB + AB + AC; _
3) НА, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
4) f(A, В, С, D) = (АВ + C)D+AC;
5) НА, B,C,D)=A + BCD(C + D);
6) НА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
7) f(A,C,D) = A + C + D.
46. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (2БШ) б)вСКНФ; (76М)
в)вДНФ; (7ЩУ) г)вКНФ. (85Я)
l)f(A,B,C)=A + ABC;
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

2) f{A,B,C,D) = A + BCD(C + D);
3)f(A,B,C,D)=AB;
4)f(A,B,C) = ABC + ABC + ABC;_
5) f(A,B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C);
6)f(A,B,C)=AB+AC + BC;
7) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C).
47. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ГОД) б)вСКНФ; (Ц97)
в)вДНФ; (Д2Т) г)вКНФ. (856)
1) f(B, С, D) = BCD;
2)f(A,B,C,D)=A + B + C + D;
3) f(A, В, С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
4) f(A, В, С, D) = AD(A + С)(С + D);
5) f(A, В, С, К) = АВСК;
6)f(A,B,C)=A+ABC;
7) f(A, В, С, D) =АВ + CD +AD.
48. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (70В) б)вСКНФ; (Я5П)
в)вДНФ; (8ПО) г)вКНФ. (ГУР)
1) f(A, B,C,D)=AB + CD + AD;
2) /(С, D, E) = CDE;
3) f(A, B) = AB + AB;
4) f(A, B,C,D) = A + BCD(C + D); _
5) f(A, B, E, F) =JlBEF + ABEF + ABEF + ABEF;
6)/(A,D) = A + Dj_
7) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD.
49. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ЧАЩ) б)вСКНФ; (90М)
в)вДНФ; (ШГФ) г)вКНФ. (ЭНА)
1) f(A, В, С, D) = АВС(С + D);
2) f(A, В, С, D) = AD(A + С)(С + D);
3) f(A, D,K) = A + D +_K;
4) f(B, С, D) = BCD + BCD + BCD + BCD;
5)f(A,B,C,D) = (A + D)(B + C+ D)(D + AC);
6)f(A,B,C,D)=A;_
7) f(A, S) = (A + S)(A + S)(A + S).
50. Укажите номера функций, представленных:
а)вСДНФ; (ОР7) б)вСКНФ; (АМЗ)
в)вДНФ; (КАШ) г)вКНФ. (ФА7)
l)f(A,B,C,D)=AB;
2)f(A,S,T,)=A + S+T±
3) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
4) f{A, В, Е) = ABE + ABE + ABE;
5)f(A,B,C)=A+ABC;
6) f(A, B,C,D) = AB + CD + AD;
7) HA, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D).
56 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2.2.
РАЗЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
ПО ТЕОРЕМЕ ШЕННОНА
Всякую булеву функцию /(А, Б, С, ..., L) в соответствии с теоремой
Шеннона [8, с. 145] можно разложить по любой из ее переменных. При
разложении по переменной А получаем следующее выражение:
/(А, Б, С, ..., L) = А/(1, Б, С, ..., L) + А/(0, Б, С,..., L),
где /(1, Б, С, ..., L) и /(О, Б, С, ..., L) — остаточные функции, получающиеся
из заданной, если в нее вместо переменной А подставить единицу и нуль
соответственно.
Например, разложим по переменной А функцию
/(A, B,C,D) = CD + AB + BD.
Согласно теореме Шеннона:
/(А, Б, С, D) = А/(1, Б, С, D) + А/(0, Б, С, D).
Находим остаточные функции:
/(1, B,C,D)= CD + B + BD = CD + Б; /(О, Б, С, D) = CD + 5D.
В результате разложения по переменной А получаем
/(А, Б, С, D) = A(CD + Б) + A(CD + 5D) = ACD + AB + ACD + ABD.
Это выражение можно разложить по другой переменной. Разложим его,
например, по переменной Б:
/(А, Б, С, D) = 5(ACD + ACD) + Б( ACD + А + ACD + AD) =
= B(ACD + ACD) + 5(ACD + А + AD) = ABCD + ABCD + ABCD + AB + ABD.
Если эти операции продолжить, то после разложения по всем
переменным получим СДНФ заданной функции. По переменным А и Б разложение
уже выполнено. Последнее выражение разложим по переменной С:
/(А, Б, С, D) = C(ABD + ABD + ABD + AB + ABD) + C( AB + ABD) =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABC + ABCD + ABC + ABCD =
= ABCD + ABCD + ABC + ABCD + ABC + ABCD.
Осталось разложить по переменной D:
/(А, Б, С, D) = D( ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC) + D( ABC + ABC) =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD =
= (15,7,11,3,9,1,10, 8) = (1,3,7,8,9,10,11,15).
Таким образом, в результате разложения заданной функции по всем
переменным получили следующую СДНФ:
/(A,B,C,D) = CD + AB + BD= (1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15).
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
57

Задания
для самостоятельной работы
Разложите по всем переменным заданные функции. В результате
получится СДНФ. При самоконтроле номера минтермов упорядочить по
возрастанию (числа набирать без запятых).
f(A,B,C,D)=AB; (ЭНА)
f(A, В, С, D, Е) = ABC; (ПКШ)
f(A, В, С) = ВС+ ABC; (АОЗ)
f(A,B,C,D) = C + AB + BD; (КЛЗ)
f(A, B,C,D) = AC + AB + AB + BD. (ТЗЕ)
f(A, В, С, D) = АВ; (УПИ)
f(A, В, С, D, Е) = ABC; (МЕГ)
f(A,B,C) = AB + AC; __ __ (ЭЧА)
f(A, B,C,D) = A + BD + BD + CD; (ТПП)
f(A, B,C,D) = C + BD + AD. (BX2)
f(A, В, С, D) = AB;_ (ОМИ)
f(A, В, С, D, El = ABC; _ _ (МИС)
f(A, B, C) = AC + ABC + А ВС; (PBH)
f(A, B, C, D) = AC + BD + AD + BCD; (KHT)
f(A, B,C,D) = D + AB + BC. (ЕОЛ)
f(A, B, C,D) = AB; (ВТБ)
f(A, B, C, D, E) = ABC; (ШТК)
f(A,B,C) = AB+_BC; _ (347)
f(A,B,C,D) = AC + AD + BC + BD; (3MA)
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + ABD + ABC. (УЧА)
f(A,B,C,D)=AC; (7MO)
f(A, B, C, D, E) = ABC; (ЛЭМ)
f(A,B,C) = AB + ABC-L_ _ _ (80M)
f(A, B, C, D) = ABD + ACD + ABD + ABC + ABD + BCD; (8CX)
f(A, B, C, D) = BCD + ABCD + AB + BCD + BCD. (5БО)
f(A, B, C, D) = AC;_ _ (P69)
f(A, B, C, D, El = ABC; (ЛЫС)
f(A,B,C) = AC+_ABC; _ (MT7)
f(A, B, C, D) = BD + ACD + ABC + ABC + AD; (ПЕЯ)
f(A, B, C, D) = ACD + B + ACD. (3AA)
f(A, B, C, D) = AC-L _ (BKP)
f(A,B,C,D,El=ABC; (8ЯШ)
f(A,B,C) = BC + ABC; (ЛИС)
f(A, B, C, D) = ABD + CD_+ AB + AC + BD.; (ЛЫЗ)
f(A,B,C,D) = B + C + AD + AD. (ОДЕ)
f(A, B, C, D) = AC-L (HOE)
f(A, B, C, D, El = ABC;_ (РГЗ)
f(A, B, C) = ABCj- ABC + ABC; (62Д)
f(A, B, C, D) = CD_+ AB + ВС + AD;_ (Г67)
f(A, B,C,D) = BD + AD + ACD + BCD. (8AK)
f(A,B,C,D)=AD; (6ЛС)
58
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A,B,C,D,E)=ABDj
f(A,B,C) = AB + ABC;
f(A, B, C, D) = ABCD + CD + ABC_+_AD;
f(A, B, C, D) = CD + CD + ABD + ABC.
f(A, B, C, D) = AD;
f(A,B,C,D,E) = ABD;
f(A, B, C) = ABC + AB.; _
f(A, B, C, D) = ABCD + AC + AB +_RD + CD;
f(A, B, C, D) = ABD + BC + AD + AB + CD.
f(A, В, С, D) = AD;_
f(A,B,C,D,E) = ABD;
f(A, B, C) = ABC + AC + ВС;
f(A, В, С, D) = AC^+BC + CD + CDj_
f(A, B,C,D) = AB + AD + AC + ACD + BCD.
f(A,B,C,D) = AD;
f(A, B, C, D, E) = ABD;
f(A, B, C) = AB + ABC;
f(A,B,C,D) = AD + CD + ABCj
f(A, B,C,D) = BD + AD + ABC + ACD + BCD.
f(A, B, C, D) = ВС;
f(A, B, C, D, El = ABD;
f(A,B,C) = AC+^C + ABC; _
f(A, B, C, D) = AC_+ AD^+ACD + BD + ВС;
f(A, B,C,D) = AD + AB + ABD + BCD + ACD.
f(A,B,C,D) = BC^
f(A, B, C, D, E) = ABD;
f(A, B, C) = AB + AC;
f(A, B,C,D) = A + BD + BD + CD;
f(A, B,C,D) = C + BD + AD.
f(A,B,C,D) = BCi_
f(A,B,C,D,El=ABD;
f(A, B, C) = АС+_ВС+^АВС;_
f(A, B, C, D) = AC +_B_D + AD + BCD;
f(A, B, C, D) = D + BC + AB.
f(A,B,C,D) = BCi
f(A, B, C, D, E) = ABD;
f(A, B, C) = AC +J^BC;_
f(A, B, C, D) = ACD_ + AC + ABD + BD + AB + CD;
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + BCD + AD.
f(A, B, C, D) = BD;
f(A,B,C,D,E)_=ACD;
f(A,B,C) = AC + AB + ABC;
f(A, B, C, D) = ABC +BCD + ABCD + BCD;
f(A, B, C, D) = AC + AC + BCD + BCD + ABD.
f(A, B, C, D) = BD;
f(A, B, C, D, E) = ACD;
(64C)
(KTC)
(У28)
(2PE)
(ФИН)
(ЧАЛ)
(TEA)
(88E)
(3TT)
(KCB)
(500)
(968)
(487)
(НЕШ)
(ЧАО)
(861)
(3PH)
(334)
(677)
(651)
(ИМИ)
(ИВС)
(363)
(631)
(2M2)
(868)
(СИЯ)
(СЯН)
(925)
(ДЯН)
(764)
(ОСВ)
(РЭД)
(40А)
(К26)
(СОК)
(П7Б)
(УАЙ)
(ПЕТ)
(ЕДО)
(7ПВ)
(КТ1)
(АОИ)
(К60)
(ВВА)
(Р35)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
59

НА,В,С) = АВС+^АВ + АВС^_
ДА, В, С, D) = АВС_ + BCD + ABCD + ABCD;
ДА, В, С, D) = ACD + ABC + BCD + BD.
ДА, В, С, D) = BD; _
f(A,B,C,D,El=ACD;_
ДА, В, С) = АС + АВ + ВС; _
ДА, В, С, D) = АВ + ABC + BD + ACD;
ДА, В, С, D) = BCD + BCD + ABCD + ABCD.
ДА, В, С, D) = BD;
ДА, В, С, D, Е) = ACD;
>f(A,B,C)=AC + BC;
f(A,B,C,D) = AB(l+ABp + BC + AC;
f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ACD + ВС.
i f(A, В, С, D) = CD;
f(A,B,C,D,El=ACD;
f(A,B,C) = BC + BC;
ДА, В, С, D) = ABCD + BCD + ABD + CD;
f(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + BCD.
f(A,B,C,D) = CD;_
ДА, В, С, D, E)_ = ACD;_
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC;_
ДА, В, С, D) = ABD +_ABC_+_ABCD + BCD;
f(A, B,C,D) = AB + AC + CD + ABCD.
f(A,B,C,D) = CD;__
f(A,B,C,D,El=ACD;_
f(A, B, C) = AC + BC + ABC; _
ДА, В, С, D) = ABC + ACD_ + BCD + ABCD;
f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + BD + AC.
f(A,B,C,D) = CD;_
ДА, В, С, D, El= ACD;
f(A,B,C) = AB + AB;
ДА, В, С, D) = ABC_ + BCD + ACD + ABCD;
f(A, B, C, D) = BCD + BCD + AB + CD.
f(A,B,C,D)=ACD;
f(A,B,C,D,E)_=ADE;
ДА, B,C) = AB + ABC + ABC; _
f(A, B, C, D) = ABC + BCp + AC + BD;
f(A, B, C, D) = BCD + ACD + BCD + ABD.
ДА, В, С, D) = ACD;
ДА, В, С, D, E) = ADE;
ДА, В, С) = АВС + АВС + ABC;
ДА, В, С, D) = BCD + ABCD + ABCD + АС;
f(A, В, С, D) = ABD + ABD + CD + CD.
ДА, В, С, D) = ACD-L
f(A,B,C,D,E) = ADE;
ДА, В,С) = АВ + ВС + АС + ABC;
(МБФ)
(40Д)
(МП1)
(441)
(ТУЛ)
(БТХ)
(ЛКП)
(ШВИ)
(ИЛШ)
(МК1)
(55Ф)
(ВЫФ)
(АТП)
(СИМ)
(М55)
(МВО)
(С68)
(13А)
(РЗФ)
(ЧПУ)
(НАИ)
(ВЖН)
(МОС)
(609)
(Т88)
(Е41)
(ВДС)
(311)
(ИЛК)
(ИХО)
(МОЮ)
(МУЛ)
(АА7)
(СЫР)
(АА6)
(ОКГ)
(ДТН)
(СПУ)
(БЖД)
(НИТ)
(ЗИГ)
(ЕДЗ)
(ЛЕА)
(СБ8)
(ЭШУ)
(ДЗД)
60
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A, В, С, D) = ABC + ABD + BC + CD;
f(A, B, C, D) = ABD + BCD + ABCD + CD.
f(A, B, C, D) = ACD\_
f(A,B,C,D,El=ADE;_
f{A,B,C) = AB+_BC + AC;
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + ABCD + ABC;
f(A, B, C, D) = BCD + ACD + ACD + CD + CD.
f(A, B, C, D) = ACD; _
f(A,B,C,D,El=ADE;
f(A, B, C) = ABC +_AC_+_AB; _ _
f(A, B, C, D) = ABC + BCD_+ ABD + CD + CD; _
f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
f(A, B, C, D) = ACD; _
f(A,B,C,D,El=ADE;
f(A, B, C) = ABC + ВС + АС + AB;_
f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
f(A, B,C,D) = BD + ВС + AC + AB + CD.
f(A,B,C,D) = ACD-L_
f(A,B,C,D,El=ADE;
f(A, B, C) = ABC + BC + AC + AB;
f(A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABC;
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ACD + ABD.
f(A,B,C,D) = ACD-L_
f(A, B, C, D, E) = ADE;
НА,В,С) = АВС+^АВС + АВС;_
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + ACD + ABC;
f(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABC + BCD.
f(A,C,D,E)=ACD;
f(B, C, D, E, F) = CDE;
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
f(A, B, C, D) = AC J- ABD + CD;
f(A, B, C, D) = ACD + BD + ACD.
f(A, C, D, E) = ACD;
f(B, C, D, E, F) = CDE;
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
f(A, В, С, D) = AC + ACD + ABD;
f(A, B, C, D) = BC + ACD + BCD + ACD.
f(A, C, D, E) = ACD;
f(B,C,D,E,F)_=CDE;
f(A,B,C) = AB + ABC + ABCL_
f(A, B, C, D) = ABC +_ACD + ABC + ABC;
f(A, B, C, D) = BD + ABC + ABC.
f(A, C, D, E) = ACD;
f(B,C,D,E,F)_=CDE; _
f(A, B, C) = BC + AB + ABC;
f(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + ABCD;
(ХЛЫ)
(ЯМУ)
(СБЫ)
(A33)
(58A)
(ГБМ)
(Г51)
(70A)
(0T3)
(ГУЖ)
(АЛЯ)
(P27)
(7ДА)
(HOT)
(994)
(ШЕЛ)
(НЭВ)
(ГОУ)
(862)
(588)
(ГП2)
(КОР)
(7ДШ)
(87С)
(8РО)
(ВЦФ)
(ФОЕ)
(ЗЕШ)
(67Д)
(94К)
(184)
(РЖМ)
(США)
(ШП)
(ПТШ)
(КНЯ)
(5СА)
(ВНВ)
(БАО)
(ЛКС)
(ГША)
(ЯП)
(НЭР)
(ГЕМ)
(КМУ)
(У7Б)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
61

f(A, В, С, D) = BCD + ABCD + BCD + ABD + ABC.
f(A,C,D,E) = ACD;_
f(B, C, D, E, F) = CDE;_
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
f(A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABC;
f(A, B, C, D) = ACD + BCD + ABCD.
f(A,C,D,E) = ACD;_
f(B, C, D, E, F) = CDE\_
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC-L
f(A, В, С, D) = BCD + BCD + ABCD;
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD.
f(A,C,D,E) = ACD;_
f(B, C, D, E, F) = CDE;_
f(A, B, C) = ABC + ABC +_ABC-L_
f(A, B, C, D) = ACD + BCD_+ ABCD;
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCD.
f(A,C,D,E) = ACD±_
f(B, C, D, E, F) = CDE;_
f(A, B, C) = ABC + ABCj- ABCi_
f(A, B, C, D) = ABCD + BCD + BCD;
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCD.
f(A,B,D,E)=ADE;
f(A, B, C, D, E) = BDE;
f(A, B,C) = AB + ABC + ABC+_BC;
f(A, B, C, D) = ABD + BCj) + BCJl + ABCD;
f(A, B, C, D) = ACD_ + ABC + ABCD + BCD.
f(A, B, D, E) = ADE;
f(A,B,C,D,El=BDE;
f(A, B,C) = AB +jABC + ABC + ВС;
f(A, B, C, D) = ABD + BCJl + BCJl + ABCD + BCD;
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCD + BCD + ABD.
f(A, B, D, E) = ADE-L
f(A,B,C,D,E) = BDE;
f(A, B, C) = ABC + ABC + ВС;
f(A,B,C,D) = BCDj- BCDj- ABCD_+ BCD + BCD;
f(A, B, C, D) = ABC_+ ABCD + BCD + ABD + BD.
f(A, B, D, E) = ADE-L
f(A,B,C,D,E) = BDE;
f(A, B, C) = ABC + ABC + ВС + АВС;
f(A, B, C, D) = CD_±BCD_+ ABCD + BCD + BCD;
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + BCD + ABD + BCD.
f(A, B, D, E) = ADE; _
f(A,B,C,D,El=BDE;
f(A, B, C) = ABC + BC + ABCi _
f(A, B, C, D) = CD^+BCD + BCD + BCD;
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + BCD.
(MAT)
(НИД)
(ЛУШ)
(ИГО)
(УМБ)
(963)
(ВИО)
(В5У)
(АЙО)
(ЧТЧ)
(30Ж)
(ЛЭВ)
(КЫФ)
(65T)
(УИР)
(ГЕС)
(СНИ)
(9АИ)
(ТЛА)
(BMK)
(ИШЕ)
(582)
(ОЦЖ)
(Н8У)
(3P8)
(АОД)
(521)
(ГЗВ)
(C39)
(КИЦ)
(OKB)
(ПРЗ)
(H55)
(Г61)
(ВБП)
(ИНА)
(ИРШ)
(BK1)
(Д7У)
(E77)
(ЧИЖ)
(TOP)
(ГДО)
(871)
(ВКП)
(ИИЖ)
62
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

46. a) f(A, В, D, E) = ADE;
6) f(A, B, C, D, E) = BDE;
в) f(A, B, C) = ABC + BC + ABC;
r) f(A, B, C, D) = CD + BCD + BCD + ВС D;
д) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + BCD.
47. a) f(A, B, D, E) = ADE;
6) f(A, B, C, D, E) = BDE;
в) f(A, B, C) = ABC + BC + AC;
r) f(A, B, C, D) = CD + BCD + BCD + CD;
д) f(A, B, C, D) = ABD + BCD + ABD + BCD + BCD.
48. a) f(A, B, D, E) = ADE;
6) f(A, B, C, D, E) = BDE;
в) f(A, B, C) = AC + BC + AC;
r) f(A, B, C, D) = ACD + BCD + BCD + ACD;
д) f(A, B, C, D) = ABC + ABCD + ABD + ВС + BCD.
49. a) f(A, B, D, E) = BDE;
6) f(A, B, C, D, E) = ВСЕ;
в) f(A,B,C) = AC + AB + AC;
r) f(A, B, C, D) = ABD + ACD + BCD + ACD + BD;
д) f(A, B, C, D) = ABD + ABD + ABC + ВС + BCD + BCD.
50. a) f(A, B, D, E) = ADE;
6) f(A, B, C, D, E) = ВСЕ;
в) f(A, В, С) = AB + AB + AC;
r) f(A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABCD + BD;
д) f(A, B, C, D) = ABD + ABC + ABC + BCD + BCD.
ТУР)
(CJIA)
(9AA)
(ЯР6)
(5ШГ)
(ОЮП)
(НЕШ)
(ШЛЯ)
(5ГО)
(KEO)
(ЧУЯ)
(OTA)
(НУМ)
(КТП)
(АЖН)
(ЧЕШ)
(ОНЦ)
(МУО)
(650)
(У85)
(СБМ)
(C31)
(МИП)
(ГУЧ)
(ЗЖИ)
2.3.
СОВЕРШЕННЫЕ ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Булеву функцию можно представить в СДНФ при помощи теоремы
разложения Шеннона (как в предыдущем подразделе). Однако нередко для
нахождения СДНФ функции проще воспользоваться таблицей истинности.
Пример 1. Представить функции в СДНФ. Номера минтермов
упорядочить по возрастанию.
1) f(A,B,C) = A + ВС;
2) f(A, B,C,D)=A + BC + D;
3) f(A, B,C,D)= AB(D_+ CD +AC);
4) f(A, B, C, D) = A(BCD + ABCB + ABCD);
5) f(A,B,C,D) = AD + AC + ВС.
Решение. Первая функция зависит от трех переменных, следовательно,
строим таблицу с тремя колонками А, В, С и в строках записываем двоичные
наборы значений переменных (см. табл. 2.1). Слева расположим колонку R
для записи десятичных эквивалентов двоичных наборов.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
63

R
0
1
2
3
4
5
6
7
A
0
0
0
0
1
1
1
1
Таб
В
0
0
1
1
0
0
1
1
л и ц
С
0
1
0
1
0
1
0
1
а 2.1
f
1
1
1
1
0
0
1
0
Заполняем колонку Д Первое слагаемое А
равно единице при А = 0. Следовательно, в колонке
/ставим единицы в строках с номерами 0-4, т. е. там, где
А = 0. Второе слагаемое ВС равно единице при В = 1
и С = 0. Находим в таблице строки, в которых В = 1,
С = 0. Это строки с номерами 2 и 6. Единицы,
расположенные в колонке U показывают, какие номера
минтермов из колонки R образуют искомую СДНФ.
Ответ к первой функции: 0, 1, 2, 3, 6.
Строим таблицу истинности для второй функции
(табл. 2.2). Первое слагаемое этой функции имеет
вид А, следовательно, колонку / заполняем
единицами на пересечении со строками 8, 9, 10,11,12,13,
14 и 15, т. е. там, где А = 1.
Слагаемое ВС равно единице при В = С = 1.
Дополняем колонку / единицами на пересечении со
строками 6 и 7 (в строках 14 и 15 уже стоят
единицы, поэтому вторично их не ставим). Дополнив
единицами колонку / в соответствии с третьим
слагаемым получим ответ ко второй функции.
Ответ: ДА, B,C,D)=A +ВС + D = (1, 3, 5, 6, 7, 8,
9,10,11,12,13,14,15).
Аналогичным образом находим номера
минтермов, образующих СДНФ оставшихся трех функций.
Третья функция представлена не в ДНФ, поэтому
сначала раскроем скобки.
Ответ к третьей функции: f(A, Б, С, D) =
= АБф + С#+АС)=АБ#+АБС1>+АБС = (13,14,15).
Четвертая функция также представлена не в
ДНФ. Раскрываем скобки и получаем ответ к
четвертой функции.
Ответ: /(А, Б, С, D) = A(BCD + ABCD + ABCD) = ABCD = (5), т. е. эта
функция состоит из единственного минтерма с номером 5.
Ответ к последней функции: /(А, Б, С, D) = AD + АС + ВС = (6, 7, 8, 9,
11,12,13,14,15).
В некоторых случаях, когда формула проста, можно ограничиться только
тождественными преобразованиями, т.е. обойтись без таблицы истинности.
Пример 2. Найти СДНФ функции
/(А, Б, С) = А(В + АС + ВС).
Решение. Раскроем скобки и преобразуем выражение:
ДА, Б, С) = А(В + АС + ВС) = АВ + ABC = АВ(С + С) + ABC =
= ABC + ABC + ABC = (0,1,2).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
0
0
0
0
0
0
0
0
T
в
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
а 6 л
С
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
и ц о
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2.2
f
0
0
0
Ответ: 0, 1,2.
64
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Пример 3. Найти СДНФ функции
f(B, С, N) = BCN + BCN + BCN + BCN.
Решение. Это выражение задано в СДНФ. Поэтому чтобы найти ответ,
достаточно минтермы заменить соответствующими номерами:
f(B, С, N) = BCN + BCN + BCN + BCN = (3,6,2,5) = (2,3,5,6).
Ответ: 2, 3, 5, 6.
Задания
для самостоятельной работы
Нижеприведенные задания содержат по пять
необходимо представить в СДНФ с обязательным
от которых зависят функции. При самоконтроле
дочить по возрастанию (запятые не набирать).
f(A,B,C,D)=A + BC + D;
f(A,B,C,D)= AB(D + CD+ AC);
f(A, B,C,D)=A + BCD;
f(A, B, C, D) = A(BCD + ABCD + ABCD);
f(A, B,C)=AB+AC + BC.
f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;_
f(A, B,C,D) = A + BCD + ВС;
f(A,B,C,D)=AB(C + D);
f(A, B) = AB + AB; _
f(A, B,C) = AB + AC + ВС.
f(A, B,C) = AB + AC + ВС;
f(A,B,C,D)=ABD;
f(B, C, N) = BCN + BCN + BCN + BCN;
f(A, В, С, D) = AC + AC;
f(C,D,N) = CDN.
f(A, C, D) = ACD + ACD + ACD + ACD;
f(A, B, C,D) = A +_B +_C + D;
f(A, B, C, D) = (AD + BC + C)AD;
f(A,B,C)=A + ABC;
f(A, B, C, D) = ABC(C + D).
f(A, B, C,D)=A +_BCD(C + D);
f(A, B, C, D) = (AC + BD +_CD)AD;
f(A, B, C, E) = ABCE + ABCE;
f(A, B,C,D) = AB + CD + AD;
f(A,B,C,D)=A(BC + D).
f(A, B, C, D) = ABC + ABCD;
f(A, B, C,D) = (A + B+_C + D)ABCD;_
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
f(A, B,C,D) = A + BCD(C + D).
функций. Каждую из них
учетом числа аргументов,
номера минтермов упоря-
(1УЭ)
(20В)
(ЗАЛ)
(ИСК)
(55Я)
(63Ю)
(ЛЕИ)
(803)
(936)
(ФТО)
(ВЕЧ)
(АМУ)
(ПШТ)
(РПН)
(РОД)
(ОКС)
(ЛЫП)
(ДД1)
(СПУ)
(Ж17)
(НАЩ)
(НИЩ)
(ИМД)
(СТА)
(МАЛ)
(ИРН)
(ТЯЗ)
(БКД)
(ОРО)
(ОДА)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
65

А, Б, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
А, Б, C, D) = (A + B + C + D)ACD;
C, D, E) = CD + CDE;
А, Б, M) = АБМ_+_АБМ + ABM;
AyByC) = A + ABC + AC.
AyB) = AB + AB + AB;
A, ByCyD) = AB + CD;
[А, Б, С, D) = (AB + C)D + AC;
А, Б) = АБ + АБ; _
А, Б, C, Z>) = A^BC(B + D)^
А, Б, #, L) = AfiKX + ABKL;
AyByC)=A;
А, Б, C, Z>) = (A_+ Б + C)D;
А, Б, C, D) = ABC + D;
А, Б, C, Z>) = AB +JiBCD. _
А, Д, T) = ART + ART + ART + ART + ART;
AyB9CyD9E)=ABCD;
ByCyD) = A + B + C + D;
[А, Б, C, Z>) = (A + Б + C)(A + С + Б1>)(С + Z>);
[А, Б, C, D)=AC + D(AB + C).
А, Б, C, A £) = ABCDE_ + ABCDE;
AyByCyD) = ABC(C + D);
А, Б, C, Z>) = (A + C)(C + Z>) AD;_
А, Б, C, Z>) = ABC + BCD + ACD + ABD;
A, C, D) = ACD + ACD +_ACDL
А, Б, C, Z>) = АБС + ABC + АБС;
А, Б, C, Z>) = (Б + С + D)(A + £>)(£> + AC);
А, Б, C, Z>) = (A + Б + C)( A + С + BD)(C + Z>);
А, Б, C, Z>) = (AB + C)Z> + AC;_
А, Б, C, Z>) = (A + Б + C)(A + Б + C)(A + Б + С).
А, Б, С, D) = (A + B + C + D)(B + С + D)(A + С + Z>);
Б, C, P) = BCP + BCP + БСР;
А, Б, C, Z>) = (A + Б + С + D)ABD;
AyByCyD)=A;
А, Б, C, Z>) = А(БС + SCD) + A(CD + АБ1>).
А,Б,C,Z>) = (A_+ Б + C)(A + Б + C)(A -^B-^C);
A, C, D, £) = ACDE + ACZ>£;
А, Б, C, D) =_(A + AD + 1>)(Б + С + £>)(£> + AC);
А, Б, C) = AC + A_+ АБС;
А, Б, C, Z>) = ABD + AB + CD + AZ).
А, Б, C, Z>) = A_+ Б + С + 1>(Б + С + D)(A + С + D);
CyDyPyQ) = CDPQ; _
А, Б, С, Z>) = АБС + BCD + ABCD + ABCD;
А, Б, C, Z>) = АБ + БС + D);
AyByC) = A + B + C.
А, Б, C) = AC + ABC + АБС + ABC;
(108)
(285)
(ЗОЛ)
(45T)
(5ЯТ)
(6ТШ)
(7ШЕ)
(781)
(M34)
(9УВ)
(004)
(ЕЯК)
(CAB)
(АИП)
(ПЬЯ)
(БЫН)
(093)
(777)
(ДЭМ)
(B82)
(ЭКН)
(ЯЭШ)
(ВОТ)
(РЕЯ)
(СШС)
(ИРД)
(М62)
(87Я)
(44Ж)
(ТНП)
(РЫБ)
(Ю57)
(ЭМП)
(НАО)
(ИЭЙ)
(88А)
(ФИС)
(22Ф)
(ЗЯО)
(ИЯТ)
(53А)
(934)
(76Р)
(ККП)
(819)
(966)
66
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

») НА,
0 ПА,
) ДЛ
0 НА,
0 HR,
») ДА,
0 /(А,
)/(А,
0 НА,
0 НА,
') ДА,
0 ДА,
) ДА,
0 ДА,
0 ДА,
') ДА,
0 НА,
) ДА,
0 ДА,
0 НА,
в,
в,
Q)
в,
S,
в,
в.
в,
в,
в,
в,
в,
в,
в.
в,
в,
в,
в,
в,
в,
<)f(D,E,
0 ДА,
) ДА,
0 ДА,
0 ДА,
') ДА,
в,
в,
в,
в.
в.
ОДА, С,
) ДА,
О ДА,
0 ДА,
)ДА,
') НА,
в,
в,
в.
в,
в,
)НА,В,
О ДА,
i) ДА,
) ДА,
•) ДА,
) ДА,
1) ДА,
i) ДА,
) ДА,
•) ДА,
) ДА,
1) ДА,
i) ДА,
) ДА,
•) ДА,
в,
в,
в,
в,
в.
в,
в,
в,
в.
в,
в.
в,
в,
в.
C,D) = (A + B + С)(А + В + С)(А + В + С); (8МА)
С, D, F) = ABDF; (ЦЖУ)
= PQ + PQ; (ВЭБ)
С, D) =JA + B + С)(А + С + BD)(C + D). (УНА)
Т) = RST + RST; _ (ТЯЖ)
C,D) = A + BC + BD; (568)
С, D) = (А + Р)(В + С + D)(D + АС); (ЦРК)
С) = А(В + АС) + ВС; _ _ (ВЯЖ)
С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С). (К60)
С, D) = ABCD + ABCD; (ЗИХ)
С) = АВ + АС + ВС; _ (43М)
С, D) = (А + В + С_+ D)ABC; (РШ2)
С, D) = AC(D + ВС); (6МА)
С, D) = ABC + А(ВС + ABC). _ _ (Ю54)
С) = (А + В + С)(А + В + С) + ABC; (НВЛ)
С, D) = (А + В)(В + С + D)(D + АС); (П75)
С, D) = (АВ + C)D + AC; (АЗЯ)
С) = А(В + АС) + ВС; (В5М)
С, D) = АС + BCDjC + D). (ДК2)
С, D) = AB + CD + AD; (ИСУ)
F) = DEF;_ _ _ _ (РКИ)
С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С); (Т34)
С) = А + В + С; (ПЗФ)
C) = АВС. _ _ _ _ (СВШ)
С, D) = (А_+ В + С + D)(B + C + D)(ABC + BCD); (СДФ)
С, D) = АВС(С + D); _ _ (НБ7)
D) = ACIl + ACD + ACD + ACD; (ОЙР)
C,D) = (A + B + C + D)ABCD; (ЭПК)
C, D) = AD(A + C)(C + D) + ВС. (ТБМ)
С) = ВС + ABC; _ _ (Ю57)
C) = (A +_B + C)(A + В + С)(А + В + С);_ (28В)
С, D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D); (РАО)
D) = ABD + ABD; (ЛЮБ)
C,D) = AD. _ _ (ВСТ)
C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D); (КСУ)
С, D) = (А + В)(В + С +_D)(D + AC); (НУМ)
С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD; (ИОЗ)
С, D) = AB + ABCD;_ (Д89)
С) = АВ + АВС + АВС. _ _ (ИГЕ)
С, D) = (А + D)(B + C + D)(D + AC) + ACD; (C9T)
С, D) = (A + В + C)(A + C + BD)(C + D)C; (ШЕМ)
C) = AB + AC + BC± _ _ (66C)
C) = B(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C); (7PA)
C, D) = (AB + CD)D + AC. (КИХ)
C) = A + B + C;_ (ЕФО)
C, D) = ACD + B(BC + D); (ИЦП)
C) = ABC + ABC; (6ЖС)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
67

)HA,B,
ОНА, В,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
ОНА, В,
OHC,D,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, В,
OHC,D,
)НА,В,
0 НА, в,
ОНА, В,
)НВ,С,
ОНА, в,
)НА,В,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, в,
)HA,D,
ОНА, в,
ОНА, в,
ОНА, В,
OHE,F)
)НА,В,
ОНА, в,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, В,
)НА,В,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, В,
ОНА, В,
)НА,В,
С) = (А + В + С)(А+_В+_С)(А + В + С); (8НГ)
С, D) = (A + BCD)(B + С + D)(D + АС). (6Б7)
С, D) = (А + ВС)( АВ + С)(А + В + С); (5ЭЧ)
С) = АС + ABC; _ (РНИ)
С, D) = ABD + BD(CD + AD); _ _ (ЗЕХ)
С, D) = (ACD + D)(BCD + C + D)(D + ABC); (СЯД)
C,D) = A + B + C(A + C + BD)(C + D). (СНИ)
С) = (AC + АВ)С;_ _ _ (МГО)
С, D) = ABC + BCD + ABCD; _ _ (ВЦТ)
С, D) = (A_+_B)CD + АВ(С + D)(C + D); (ЕЗЯ)
С, D) = ABCD + ABCD; (ШС7)
С, D) = AD(AB + С)(С + D). (ОЮК)
С, £>)_= (AC + BD + ABC)D; (KHO)
Р) = CDP + CDP + CDP + CDP; (ЭЩУ)
С, D) = AD(A + С)(С + D); (840)
С, D) = АВС(С + D)(C + BD); (ВЭС)
С, D) = (А +_В + С + D)(A + C + BD)(C + В). (С38)
С, D) = ABCD + ABCD + ABC; (PEC)
С, D) = ABC_+АВ; _ _ (KMA)
F) = CDF + CDF + CDF + CDF; (85E)
C) = AB + ВС + ABC; (6ИЖ)
C, D) = (A. + В + ACD)(A + B + C)(A + B + C). (68M)
C, D) = (A + B + С + D)ABCD; (НЯК)
D) = BCD + BCD + BCD; (453)
C, D) = ABCD + ABCD + ABCD; (ЛТС)
C, D) = (A_+ В + C)(A + Б + C)(ABC + BCD + ACD); (ВАЗ)
С, D) = (A_+ B)(Bj^ D)BCD. (41Ш)
C) = (A+_B + C)(A + B + C)(A + B + C); _ (OKX)
C, D) = (AB + B + C + D)(B± C + D)(A + C + D); (92B)
C, D) = ABCD_+ ABCD_+ ABCD;_ _ _ (УРП)
F) = (ADF + ADF + AD)F + ADF + ADF; (ЕРЫ)
C, D) = ACD + BD(BC + D). (УРЖ)
C, D) = ABCD_+ B + C + Di (ТИН)
С, D) = AC(ABCD + ABCD); (ЕНЫ)
= EF + EF + EF; (55B)
C) = A(B + AC) + ВС; (H33)
С) = B(A + B + C) + (A + B + C)(A + B + C). (ГПЛ)
C) = AB(C + ABC); _ (744)
C, D) = ACD + BCD(A + C + D)j (ЭКШ)
C, D) = ABCD + A(BCD + ACD);_ (АУЗ)
C, D) = ABCD + C(CD + ABD + ABC); (Л53)
C, D) = ABD(A +_C)(C + D). (ВАП)
C) = A(BC + ABC + AC); (361)
C, D) = (AB + BCD + ABC)D; (ОБХ)
C, D) = ABC(ABD + C + D); (ОЙШ)
C, D) = AD(AB + C)(C + D); (ДОП)
68
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ОДА
ОДА
)НА
ОДА
) ДА,
О HP)
ОДА
ОДА
ОДА
)/(А,
ОДА
ОДА
ОДА
ОДА
) НА,
ОДА
ОДА
)/(А
ОДА
)/(А,
ОДА
ОДА
)НА
ОДА
) НА,
О ДД
ОДА
)НА
ОДА
)/(А,
ОДА
ОДА
) НА
ОДА
)ДА,
ОДА
ОДА
)НА
ОДА
) НА,
ОНА
ОДА
) ДА
ОДА
) НА,
ОДА
,£,
,я,
,в,
,в,
в,
= J
.-В,
,-В,
,-В,
в,
.в,
,.в,
,.в,
,.в,
в.
,в.
,в,
,в,
,.в,
в,
,в,
,D,
,в,
,в,
в.
С)
,в.
,в,
,в.
в.
,-В,
,в,
,в,
.в,
в,
,в,
.-В,
в,
,-В,
в.
,в,
в,
в.
.в,
в,
,-В,
F) = A(EF + EF).
C,D
C,D
C,D
CD
P.
E,F
C,D
CD
CD
CD
CD
CD
C) =
C,D
CD
C) =
CD
CD
CD
D) =
E) =
CD
CD
CD
= (A + В + C_+ D)(B -И? + D)(A + С + D);
= AB(BC + BCD + ACD) + ABD;
= ABC + B(ABC + ABC + ABD);
= ABC(A + B + C)(A + B + C) + B(AC + BD);
= AB(EF + ABEF); _
= (ACD + BD +AC)D;
= ABC(A + ACD + BD);
= (A + B + C)(A + С -^BD)(C + D);
= (ABCD + CD)D + ABC.
= (A_+ В + C + D)BCD;
= ABC + B(ABC + CD);
AB(C_+ ABC);
AD(B + C + D)(D + AC);
ABC(A + C + BD)(C + D).
A + B + ABC;
= A+_B + C(A + C + BD)(C + D);
= (ABD + C)BD + ABCD;
= ABCD + BCD(C + D);
AB(A + D).
AD(E + ADE + ADE);
= ABC(C + D);
= ABD(A +_C)(C + D);
= (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)D;
= B(B + C).
C) =
C,D,
CD
CD
CD
CD
D,K
CD
CD
CD
CD
CD.
CD
CD
C) =
CD.
CD
CD
CD
CD
ABC ABC + ABC + ABC;
= (AB + BC)(AC + BD)(C + BD);
= (AB + ABC)D+_ABC;
= (AB + ABC)(AB + C)(AB + C);
= ABC + B + (l+D.
= ABCD(B + C + D)(A + C + D);
= AB(DK + DK);
= AD(AB + C + D)(D + AC);
= ABC(C + D);
= ABD(A + C)(C + D).
= A(BCD + BCD); _
= (A + B + C + D)BCD;
(A_+ В + C)(A + B + C)(A + B + C + D);
AC;
A±B + C)(A_+ В + C)(A + B_+ C).
= AB(BC + BCD + ACD) + ABD;
= ACD + AD(BC + D)i
= AB(CD + ABC) + ABC;
= (ACD)(B + С + D)(D + AC);
= (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D).
(63У)
(66Ю)
(ГЕН)
(ВЭЯ)
(ЮМУ)
(ЯНП)
(РЭУ)
(К2Т)
(ВНВ)
(РЕЛ)
(9СУ)
(ВЕМ)
(ЛЕЖ)
(842)
(К2Т)
(ЛИЧ)
(СОИ)
(МЭЯ)
(СИИ)
(ЛУД)
(ВИЛ)
(МИХ)
(ТБ2)
(СХФ)
(ЮЮР)
(СХБ)
(НАЗ)
(Г78)
(УБК)
(ИНЗ)
(АУР)
(ДГИ)
(ЮС1)
(КРИ)
(ВРД)
(Н70)
(7К8)
(УФА)
(РИД)
(СКВ)
(493)
(НЯР)
(АТН)
(ФОК)
(ОМЧ)
(548)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
69

i) f(A, C) = AC + AC;
) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C);
•) f(A, B, C, D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
) f(A,B,C,D) = (A + B + BC)D;
{) f(A, B, C, D) = ABC{C + D) + BCD.
i) f(A, B,C,D) = (A + B + QBCD;
) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + В + С);
i) f(A, B, C, D) = ABC(BC + ACD);
) f(A,B) = A+B;
l) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD.
i) f(A, B, C) = AB(C + ABC) + ABC;
) f(A, B, F) = A(BF + ABF);
.) f(A, B, C, D) = ACD + AB(BC + D);
) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(A + C + BD)(C + D);
l) f(A, B, C, D) = (AB + QABD + ACD.
i) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + C + D);
) f(A, B, C, D) = ABC + A(BCD + ACD + ABD);
i) f(A, B, C) = A(BC + ВС);
) f(A, B, C, D) = AB(CD + ACD + ВС);
\) f(A, B, C, D) = AB(C + BCD) + BCD.
l) f(A,B,C) = (A + B + C)(A + B + C);
) f(A, B, C) = AC + ABC;
i) f(A, B, C, D) = (AB + CD + ABD)(AD + ВС);
) f(A, B) = AB + AB;
\) f(A, B, C) = A(B +AC + ВС).
i) f(A, B, C, D) = D(ABC + ABC + ABC) + ACD;
) HD) = D;
i) f(A, B, C, D) = A(B + D) + ABCD;
) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD;
0 f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D).
i) f(A,B,C,D) = (A + BD + C + D)BCD;
) f(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
i) f(A,B,C,D) = (A + B + C)CD;
) f(A, B, C, D) = ABC(ABC + D);
{) f(A, B, C, D) = A(BCD + CD + ABD).
2.4.
МЕТОД КВАЙНА.
СОКРАЩЕННЫЕ ДНФ
(ТЭГ)
(838)
(1КЗ)
(ИСЕ)
(ЗОЯ)
(ОАШ)
(ОХР)
(79Р)
(ДРД)
(ЯФИ)
(АЯР)
(062)
(ОЛА)
(7ПМ)
(ИЭТ)
(ЕФИ)
(АШМ)
(ВВП)
(90Е)
(ИВГ)
(ЗИТ)
(5ЛЕ)
(КГЖ)
(39Г)
(718)
(УЦК)
(Б88)
(6ЯЗ)
(ОУЛ)
(ЛЫГ)
(41Ш)
(927)
(ЦФР)
(ЕЯС)
(АЙС)
Нахождение сокращенной ДНФ методом Квайна проиллюстрируем на
примере:
f(A, В, С, D) = BCD + ACD + ABC + BCD + ACD + ACD + ABCD. (1)
Решение. Сначала функцию (1) необходимо представить в С ДНФ (по
теореме Шеннона или при помощи таблицы истинности). В данном случае ее
СДНФ имеет вид
70
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A, В, С, D) = (О, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15) =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD. (2)
Поочередно сравниваем каждый минтерм со всеми другими. Если два
минтерма являются сравнимыми, т. е. отличаются один от другого
инверсией только одного аргумента, то общую часть их записываем в отдельную
строку, а минтермы подчеркиваем. Начнем с минтерма ABCD. Он не
сравнивается ни с одним из минтермов выражения (2). Переходим к минтерму
ABCD. Он является сравнимым с минтермом ABCD:
ABCD + ABCD = ACD.
Минтермы ABCD и ABCD подчеркиваем:
f(A, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ABCP + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD,
а конъюнкцию ACD записываем в отдельную строку, обозначив ее буквой ср:
y = ACD.
Переходим к минтерму ABCD. Он сравнивается с минтермами: ABCD и
ABCD :
ABCD + ABCD = ABD; ABCD + ABCD = BCD.
Минтермы ABCD, ABCD и ABCD подчеркиваем, а конъюнкции ABD
и BCD записываем в строку ф, где уже находится найденная ранее
конъюнкция ACD: _
Ф = ACD + ABD + BCD.
Следующим в (2) является минтерм ABCD. Он сравнивается с двумя
минтермами: ___ _ __ _ _
ABCD + ABCD = ABC; ABCD + ABCD = BCD.
Минтермы ABCD, ABCD и ABCD подчеркиваем и пополняем строку ф:
Ф = ACD + ABD + BCD + ABC + BCD.
После выполнения всех операций сравнения строка ф примет вид
Ф = ACD + ABD + BCD + ABC + BCD + BCD + ACD + ACD + ABD + ABC, (3)
а в (2) все минтермы окажутся подчеркнутыми за исключением минтерма
ABCD.
Точно так же сравниваем конъюнкции списка (3), подчеркивая те из них,
которые отличаются только инверсией одной из букв, а из их общих частей
составляем список у:
Ф= ACD + ABD + BCD + ABC + BCD + BCD + ACD + ACD + ABD + ABC, (4)
vj/ = BD + ВС.
Если к списку vj/ добавить все неподчеркнутые конъюнкции из
выражений (2) и (4), то получим искомую сокращенную ДНФ:
f(A, Б, С, D) = ABCD + ACD + ACD + ACD + BD + ВС.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
71

Каждая конъюнкция сокращенной ДНФ называется простой импликантой.
В данном примере сокращенная ДНФ состоит из 6 простых импликант и 17 букв.
Ответ: 6, 17.
Приведем еще два примера сокращенных ДНФ:
f(A, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15) =
= ABD + CD + ABC + ACD + BD +ВС + АС + АВ;
f(A, В, С, D) = (0, 1^2, 5, 6, 7_, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) =
= A + BC + BD + CD + CD + BD + BC.
В первом выражении 8 простых импликант и 19 букв, во втором — 7
простых импликант и 13 букв.
Задания
для самостоятельной работы
Все задания содержат по три функции, представленные в СДНФ, т. е.
наборами номеров минтермов. Методом Квайна найдите их сокращенные
формы. Для самоконтроля укажите число простых импликант, из которых
состоит сокращенная форма каждой из функций, и число вхождений
переменных (запятые не вводить).
1. a) f{A, В, С, D) =
б) f(A, В, С, D) =
в) f(A, В, С, D) =
2. a) f(A, В, С, D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
3. a) f(A, В, С, D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
4. a)f(A,B,C,D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
5. a) f(A, В, С, D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
6. a) f(A, В, С, D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
7. a) f(A, В, С, D) =
б) f(A, В, С, D) =
в) f(A, В, С, D) =
8. a) f(A, В, С, D) =
6)f(A,B,C,D) =
в) f(A, В, С, D) =
9. a) f(A, В, С, D) =
0,3,6,7,9,11,12,13,14);
1,3,7,8,9,10,11,12,14,15);
0,2,3,4,11,12,13,15).
2,3,4,5,6,9,11,13,15);
1,2,3,6,7,8,9,10,13,15);
0,2,4,5,7,8,9,10,13,14,15).
0,2,3,4,7,11,12,13,14,15);
0,1,3,5,7,8,10,12,13,15);
0,3,4,6,7,8,9,11,13,14,15).
1,3,4,5,6,8,11,14,15);
1,2,3,5,6,7,9,10,11,14);
0,1,3,7,8,12,14,15).
0,1,3,4,7,11,12,13,15);
0,1,2,4,5,7,9,10,11,15);
0, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15).
0,1,3,5,6,7,8,12,14,15);
1,2,5,7,8,9,10,13,14,15);
1,3,4,5,6,7,8,10,11,12,15).
1,3,4,6,7,9,10,12,13);
0,1,2,3,4,5,6,9,11,13);
1,3,5,7,8,9,12,14,15).
0,2,3,5,7,8,9,11,12,13);
0,2,3,4,5,7,8,10,13,14,15);
1,4,5,6,7,8,9,10,13,14).
0,2,5,6,7,9,10,11,13,15);
(ЮГ)
(2ЖД)
(ЗУЦ)
(408)
(5СК)
(65М)
(ЛЫ7)
(МАФ)
(12БТ)
(ООУ)
(ЦХХ)
(ДУБ)
(КОИ)
(ЕСТ)
(НВШ)
(ГЫЩ)
(ШАП)
(13ББ)
(АОШ)
(ЯЖЗ)
(РЮП)
(ОСУ)
(7ШО)
(ДМД)
(ЧАН)
72
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)/(A,B,C,D) = (l
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (2
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (2
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (2,
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (2
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
)f(A,B,C,D) = (l
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (0
)f(A,B,C,D) = (l
)f(A,B,C,D) = (l
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (2
) f(A, B, C, D) = (2
) f(A, B, C, D) = (0
) f(A, B, C, D) = (2
2
2
1
5
,1
1
4
,2
1
3
2
2
2
3
3
1
3
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1
,5
2
2
,1
3
1
1
2
1
1
1
5
2
1
3
4
1
3
3
,4
3
6
,3
2
5
,3
2
4
,3
5
3
,4
4
2
,4
2
2
,3
,3
,4
,2
3
2
,3
2
2
,6
3
3
,3
4
2
,5
4
,3
,2
3
6
,3
4
5
,6
,3
,4
4,
,5,
4,
7,
,5,
5,
6,
.4,
5,
7,
,8,
6,
6,
,5,
5,
3,
.5,
5,
3,
,4,
4,
6,
, 3,
6,
3,
.5,
4,
3,
.7,
4,
4,
.5,
6,
3,
,6,
5,
7,
,4,
4,
7,
.4,
6,
6,
,9,
6,
6,
5,7,9,10,12,13,14);
9,11,12,14,15).
8,9,11,12,13,15);
9,10,11,13,14);
8, 10, 11, 13, 14, 15).
6,7,8,10,12,13,15);
9, 10, 11, 12, 13, 15);
5,7,8,11,13,15).
6,9,11,12,13,14,15);
8,9,10,13,15);
10,11,12,13,14,15).
7,8,9,10,11);
7,8,9,11,12,14);
6,8,9,11,12,14,15).
6,9,10,11,13,15);
4,9,11,12,13,14);
7,8,9,10,11,12,15).
7,10,11,12,15);
6,7,8,10,14,15);
5,9,10,11,13).
5,6,8,10,11,14);
7,9,10,11,12,13,14);
4,7,11,12,13,15).
8,9,11,12,14,15);
5,7,10,11,12,13,14);
7,8,9,13,14).
5,6,7,8,9,10);
8,11,12,13,15);
8, 9, 10, 14).
6,8,9,10,12,13);
5,6,9,11,12,14,15);
7,8,9,12,14,15).
7,8,9,10,11,14);
5,6,8,9,13,14,15);
8,10,11,13,15).
8,9,10,11,12,13);
8,9,10,14,15);
9, 10, 11, 12, 14, 15).
6,7,9,11,12,13,14);
8,9,10,11,13,14);
5,6,9,10,11,12).
7,8,9,10,11,13,15);
8,9,11,12,14);
10,11,12,13,14,15).
7,8,10,12,14);
7,8,10,12,13,15);
(14PO)
(ИОЧ)
(T20)
(РОЯ)
(РВЛ)
(15Г)
(28A)
(ЗАВ)
(25ЦМ)
(50Щ)
(629)
(70K)
(8BA)
(9ШС)
(ОМБ)
(ЦАВ)
(2636)
(КОМ)
(ЕХС)
(НОХ)
(ГСП)
(556)
(ЗЫВ)
(ХАА)
(2734)
(ВОН)
(АЖИ)
(ПОС)
(РУЛ)
(ОВД)
(Л50)
(СМИ)
(УАД)
(31ФЕ)
(ДОР)
(82Б)
(СОЙ)
(НВС)
(ЕШТ)
(ПЫТ)
(ФАХ)
(331Р)
(НОС)
(К29)
(ТОЛ)
(7СО)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
73

в) ДА, В, С, D) = (0
25. a)/(A,B,C,D) = (l
6)/(A,B,C,D) = (l
в) f(A, В, С, D) = (0
26. a) f(A, В, С, D) = (0
б) f(A, В, С, D) = (2
B)f(A,B,C,D) = (l
27. a) f(A, В, С, D) = (0
б) f(A, В, С, D) = (0
в) f(A, В, С, D) = (0
28. a) f(A, В, С, D) = (0
б)ДА,В,С,1>) = (1
в) f(A, В, С, D) = (0
29. a) f(A, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) f(A, В, С, D) = (0
30. a) f(A, В, С, D) = (0
б) f(A, В, С, D) = (0
в) f(A, В, С, D) = (0
31. а)ДА,В,С,1>) = (1
б) f(A, В, С, D) = (0
в) f(A, В, С, D) = (0
32. a) f(A, В, С, D) = (0
б) f(A, В, С, D) = (0
в) f(A, В, С, D) = (0
33. a)/(A,B,C,D) = (l
б) /(А, В, С, D) = (5
в) ДА, В, С, D) = (0
34. а) /(А, В, С, D) = (2
б) /(А, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
35. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (2
36. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
b)/(A,B,C,D) = (1
37. a)/(A,B,C,Z>) = (l
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
38. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
39. а) ДА, В, С, D) = (4
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
,1
,2
2
,1
,2
,4
,2
,1
,2
,2
1
,2
,1
,2
,2
,1
,1
,1
,1
,4
,2
,4
,2
,1
,3
,2
6
,2
,3
,1
,1
,1
,2
,3
1
,1
,2
,2
,2
,2
,2
,2
,1
,5
,2
,1
2
5
3
3
3
5
,4
2
3
,3
2
3
,3
4
5
,2
2
2
4
5
3
5
3
3
,4
6
7
3
5
3
3
2
4
4
5
3
,3
4
4
4
4
5
,2
6
3
,2
5,7,
6,7,
5,6,
4,6,
4,6,
6,9,
,5,6,
4,5,
5,7,
,4,5,
3,4,
4,6,
,4,5,
6,9,
6,7,
,5,6,
3,4,
4,6,
7,9,
6,8,
4,8,
6,8,
4,5,
7,8,
5,7,
7,8,
8,9,
,4,7,
6,7,
4,6,
,6,7,
6,7,
5,7,
5,6,
6,7,
4,5,
,4,6,
5,6,
5,6,
,7,8,
5,6,
6,7,
,3,4,
7,8,
5,7,
,5,6,
8,10,11,12,13,15).
8,9,10,11,14);
8,10,11,12,13,14);
10, 11, 13, 14).
7,11,12,14,15);
10,11,13);
8,9,10,14).
7, 10,12,14, 15);
8,9,10,13,14,15);
6,9,10,11,13).
6,9,10,13,14,15);
8,9,12,15);
6,7,8,12,14).
10, 11, 12, 13);
8,9,12,13,14);
7,8,10,11,13,15).
8,11,12,13,15);
7,8,9,11,12,15);
10,11,12,14).
9, 10, 12, 13, 14);
11,12,14,15);
10,11,13,14,15).
7,8,9,10,13,15);
9, 10, 12, 14, 15);
8,9,10,11,12,14).
10, 12, 13, 15);
10,11,13,14,15);
12,13, 14,15).
9,11,12,13,14);
9, 10, 11, 12, 13, 14);
8, 10, 12, 14, 15).
9, 10, 12, 13, 14, 15);
9, 10, 14, 15);
7,10,11,13,15).
8,12,14,15);
6,11,13,14,15);
8,9,11,12,14,15).
7,8,9,10,14);
8,9,10,13,15);
10,11,12,13,15).
7,8,9,11,14,15);
8,11,12,13);
5, 7, 12, 13, 15).
9, 10, 13, 14);
8, 10, 12, 14, 15);
7,8,10,13,14).
(АИШ)
(УМУ)
(4460)
(ЮОД)
(И25)
(КУМ)
(НОЖ)
(НВС)
(ЮШУ)
(ВЫЧ)
(48К2)
(БОЛ)
(УХА)
(ГОЛ)
(КВМ)
(353)
(881)
(50ИС)
(ТОП)
(425)
(ООА)
(КС8)
(ЕШТ)
(78 Л)
(55ИМ)
(608)
(МХБ)
(МОД)
(КС8)
(ВШН)
(ЕМХ)
(600С)
(ИЮЧ)
(021)
(90Ж)
(6С8)
(ИШЧ)
(88Ф)
(ЛАЛ)
(ГАК)
(62ЮГ)
(ЕОГ)
(УЖА)
(ТЮЛ)
(5АП)
(ИАН)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

i) f{A, В, С, D) = |
) f(A, В, С, D) = |
) f(A, В, С, D) =
i) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C,D) = {
) f(A, B, C, D) =
i) f(A, B, C,D) = {
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C,D) = {
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = (
) f(A, B, C, D) = |
) f(A, B, C, D) = |
(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10, 11, 12, 13);
(0,3,4,5,8,10,13,14,15);
(0,1,5,7,8,9,12,13,14,15).
(2,4,5,6,10,11,12,13,15);
(1,3,4,6,7,8,9,12,13,15);
(1,4,5,6,7,8,9,11,12,14).
(0,2,3,4,5,6,9,11,13,14);
(2,3,4,5,6,8,10,11,13,15);
(1,4,5,7,9,10,11,12,14,15).
(0,1,2,3,4,7,10,12,13,15);
(0,1,2,5,7,8,9,12, 14,15);
(3,4,5,6,9,10,11,12,13,14).
(0,5,6,7,8,9,10,11,13,14);
(1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 14, 15);
(0,1,3,4,6,8,11,12,13,15).
(1,3,4,7,8,9,10,12,14,15);
(0,2,4,5,6,9,10,11,12,13);
(1,2,5,6,7,9,10,11,12,14).
(1,2,4,5,6,7,8,9,10,15);
(0,2,4,5,7,9,10,11,12,13);
(0, 1, 3, 4, 6, 7, 9,10,11, 12, 14).
(0,2,3,5,8,11,12,13,14,15);
(1,2,3,4,6,11,12,13,14,15);
(0,1,3,6,7,8,10,13,14,15).
(0,1,3,5,6,7,8,11,12,14);
(1,3,4,5,6,8,9,10,13,14);
(0, 1,3,4,6,7,9,12,14,15).
(1,2,4,6,9,10,11,12,13,15);
(0,2,3,4,8,11,12,13,14,15);
(1,2,3,4,5,6,8,9,11,12,14).
(0,2,3,4,7,9,11,12,14,15);
(2,4,5,6,7,10,11,12,13,15);
(1,3,5,6,7,9,10,11,13,14).
2.5.
МЕТОД ПЕТРИКА
(660K)
(80A)
(42Ш)
(СОШ)
(ЗСЗ)
(9АЗ)
(678)
(СЛЭ)
(АС5)
(ЕЛГ)
(ПЛ2)
(САЧ)
(К78)
(77ЫЧ)
(474)
(УЛБ)
(КЫЙ)
(ВЛН)
(АЛШ)
(ОЛУ)
(Е5Г)
(ГЛЯ)
(МА1)
(А75)
(ЭЛС)
(5ЛК)
(ЕАЖ)
(576)
(ХМА)
(В5Э)
(У7Р)
(ТВК)
(НВЦ)
Метод Квайна позволяет найти сокращенную ДНФ. Но сокращенная
форма может содержать лишние простые импликанты. Если все лишние
импликанты удалить, то получится тупиковая форма. Тупиковых ДНФ может быть
несколько, и они могут содержать различное число вхождений переменных.
Тупиковая форма, содержащая наименьшее число букв, называется
минимальной формой.
Пример. Определить число всех тупиковых ДНФ и указать, сколько
среди них минимальных форм:
f(A, В, С, D) = (0,1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
75

Та б л и ца 2.3
А
ВС
BD
CD
CD
BD
ВС
0
1
1
i
1
1
2
1
1
5
1
1
6
1
1
7
1
1
8
1
1
1
9
1
1
1
10
1
1
1
11
1
12
1
13
1
1
1
14
1
1
1
15
1
1
1
• •••••••
Сокращенная ДНФ этой функции имеет вид (она взята из предыдущего
подраздела):
/(A, B,C,D)= A + BC + BD + CD + CD + BD + ВС.
Решение. Сначала строим импликантную матрицу (табл. 2.3). Ее
строкам ставим в соответствие простые импликанты, а колонкам — номера мин-
термов заданной функции. Единицами отмечаем минтермы, из которых
состоят соответствующие простые импликанты. Например, в импликанту А
входят минтермы 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, поэтому в строке, где находится
импликанта А, эти минтермы отмечены единицами.
В колонке с номером 0 стоят две единицы, соответствующие простым
импликантам ВС и BD. Это значит, что в тупиковую форму нет
необходимости вводить их обеих, достаточно одной. Но и удалить_их нельзя, так как
вместе с ними из функции будет удален и минтерм ABCD.
То же самое относится и ко всем другим колонкам, где содержится более
одной единицы.
Та б л и ца 2.4 Иное ДвЛО — КОЛОНКИ 11 И 12. В НИХ СТОИТ
только по одной единице. Это значит, что
простая импликанта А является обязательной и
удалять ее нельзя. Так как простая
импликанта А войдет во все тупиковые формы (если их
будет несколько), то в функции будут
присутствовать и минтермы с номерами 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15. На этом основании
импликантную матрицу можно упростить, оставив в ней
только те колонки, где число единиц две или
более (табл. 2.4).
Составляем логическое уравнение:
(Ф1 + Ф2)(Ф1 + Фз)(Ф2 + Ф4>(ФЗ + Фб)(Ф4 + Фб)(ф5 + Фб) = 1,
где знаками Фх-фб обозначены логические аргументы, принимающие
единичное значение, если соответствующие простые импликанты входят в
функцию. Например, если
ФХ + Ф2 = 1,
Простые

импликанты
(pi = ВС
ф2 = BD
ф:< = CD
ф.| = CD
фз = BD
Фс = ВС
0
1
1
1
1
1
2
1
1
5
1
1
6
1
1
7
1
1
76
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

то это значит, что в тупиковую форму входит простая импликанта ВСУ
или BD (или обе вместе), благодаря чему в функцию вводится нулевой
минтерм.
Точно так же интерпретируются все остальные скобочные выражения.
Уравнение представлено в конъюнктивной нормальной форме. Чтобы
найти все тупиковые формы в явном виде, уравнение необходимо
представить в ДНФ. Для этого достаточно раскрыть скобки и выполнить все
операции поглощения:
(Ф1 + Ф2)(Ф1 + Фз)(Ф2 + Ф4)(ФЗ + Ф5)(Ф4 + Фб)(ф5 + Фб) =
= (ф1 + ф2ф3)(ф4 + Ф2Фб)(ф5 + ФзФб) =
= (фхф4 + Ф1Ф2Ф6 + Ф2ФЗФ4 + Ф2ФзФб)(ф5 + ФзФб) =
= фхф4ф5 + Ф1Ф2Ф5Ф6 + Ф2ФЗФ4Ф5 + Ф1ФЗФ4Ф6 + Ф2ФзФб = 1.
В этом выражении пять конъюнкций, следовательно, для данной
функции существует пять тупиковых форм. Расшифруем конъюнкции и
запишем все сокращенные формы, включив в каждую обязательную простую
импликантуА.
Первая тупиковая форма получается при
ф!ф4ф5=1.
Она состоит из четырех простых импликант и содержит 7 вхождений
переменных:
f(A,B,C,D)= A + BC + CD + BD.
Вторую тупиковую форму получаем при
Ф1Ф2ФоФб= 1.
В ее ДНФ пять простых импликант и 9 вхождений переменных:
/(A, B,C,D) = A + BC + BD + BD + ВС.
Находим третью тупиковую форму, полагая, что
Ф2ФзФ4Ф5= 1.
Она содержит, как и предыдущая форма, 5 простых импликант и 9
вхождений букв:
/(A, B,C,D)= A + BD + CD + CD + BD.
Четвертой тупиковой форме соответствует случай, когда
Ф1ФзФ4Фб= 1.
По сложности она равна предыдущему выражению.
/(A, B,C,D)= A + BC + CD + CD + ВС.
Последняя (пятая) форма получается, если принять
Ф2ФзФб= 1.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
77

По сложности эта форма проще трех предыдущих. Она состоит из
четырех простых импликант и содержит семь вхождений переменных:
/(A, B,C,D)= A + BD + CD + ВС.
Таким образом, получили пять тупиковых форм, из них две
минимальные.
Ответ: 5, 2.
Существуют функции, у которых имеется
л и ца .о только одна тупиковая форма, совпадающая с
минимальной, но не совпадающая с
сокращенной. Примером может служить функция
Л(А, Б, С, D) = (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).
Ее сокращенная ДНФ имеет вид
/(А, Б, С, D) = BD + CD + AD + ABC.
Представим функцию в виде импликантной матрицы (табл. 2.5). Из
таблицы видно, что обязательными являются три простые импликанты: ABC,
BD и AD у так как в колонках 2, 5 и 9 находится по одной единице. Импли-
канта CD является лишней.
Таким образом, рассмотренная функция сдержит только одну
тупиковую форму, она же является минимальной, но не совпадающей с
сокращенной ДНФ.
Существуют и такие функции, у которых нет склеивающихся минтер-
мов. В таких случаях СДНФ, сокращенная, тупиковая и минимальная
формы совпадают.
Задания
для самостоятельной работы
Методом Петрика найти все тупиковые формы. Для самоконтроля
указать число всех тупиковых форм и число минимальных форм (запятые не
вводить).
a) f(A, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
в) f(A, В, С, D) -
а) ДА, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
*)f(A,B,C,D)-
а) f(A, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
*)f(A,B,C,D)-
а) f{A, В, С, D) -
б) НА, В, С, D) -
в) НА, В, C,D)-
= (2,3,4,5,6,9,10,11,13,15);
= (0,1,2,3,4,9,11,12,13,14);
= (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15).
= (0,1,2,5,7,10,11,12,15);
= (0,1,2,3,6,7,8,10,14,15);
= (0,2,3,4,5,9,10,11,13).
= (0,1,3,4,5,6,8,10,11,14);
= (1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
= (0,1,2,3,4,7,11,12,13,15).
= (0,1,3,6,8,9,11,12,14,15);
= (0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14);
= (0,2,3,5,7,8,9,13,14).
(ИПД)
(5АШ)
(6ПА)
(77У)
(ЭПЛ)
(МВГ)
(ОПЕ)
(ЕЕА)
(ВПР)
(ВАО)
(АЯФ)
(ПЛЫ)
ЛВС
CD
BD
AD
2
1
3
1
1
5
1
7
1
1
9
1
11
1
1
13
1
1
15
1
1
1
78
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)f(A,B
) ДА, В
) ДА, В
)f(A,B
) /(А, В
) /(А, В
)ДА,В
) f(A, В
) /(А, В
)f(A,B
) ДА, В
)f(A,B
)f(A,B
) ДА, В
)f(A,B
)f(A,B
) ДА, В
) /(А, В
)ДА,В
) f(A, В
) /(А, В
)f(A,B
) ДА, В
) /(А, В
)ДА,В
) ДА, В
) ДА, В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
) ДА, В
)ДА,В
)ДА,В
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
1>) = (0
D) = (0
Д) = (1
Я) = (1
D) = (l
Д)-(о
D) = (l
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (l
£>) = (!
D) = (0
D) = (2
I>) = (2
D) = (0
D) = (2
I>) = (0
D) = (l
D) = (l
I>) = (0
D) = (0
D) = (2
!>) = (!
D) = (0
I>) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (l
I>) = (0
D) = (0
D) = (0
I>) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (l
D)-{0
D) = (0
D) = (0
I>) = (0
D) = (0
D) = (l
1
1
5
2
2
1
3
1
1
2
1
1
1
5
2
1
3
4
1
3
1
2
2
1
2
4
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
4
2
4
2
1
3
2
2
2
6
3
3
3
4
2
5
4
3
2
3
6
3
4
5
6
3
4
2
5
3
3
3
5
4
2
3
3
2
3
3
4
5
2
2
2
4
5
3
5
3
3
4
6
4
3
,7
4
4
,5
6
3
6
5
7
4
4
7
4
6
6
9
6
6
5
6
5
4
4
6
,5
4
5
4
3
4
,4
6
6
,5
3
4
7
6
4
6
4
7
,5
7
5,
8,
8,
6,
5,
7,
7,
5,
8,
8,
8,
9,
6,
8,
5,
7,
8,
10
7,
7,
7,
7,
6,
6,
6,
9,
6,
5,
7,
5,
4,
6,
5,
9,
7,
6,
4,
6,
9,
8,
8,
8,
5,
8,
7,
8,
6,7,8,9,10);
11,12,13,15);
9, 10, 14).
8,9,10,12,13);
6,9,11,12,14,15);
8,9,12,14,15).
8,9,10,11,14);
6,8,9,13,14,15);
10,11,13,15).
9,10,11,12,13);
9, 10, 14, 15);
10,11,12,14,15).
7,9,11,12,13,14);
9,10,11,13,14);
6,9,10,11,12).
8,9,10,11,13,15);
9,11,12,14);
,11,12,13,14,15).
8, 10, 12, 14);
8, 10, 12, 13, 15);
8,10,11,12,13,15).
8,9,10,11,14);
8,10,11,12,13,14);
10,11,13,14).
7,11,12,14,15);
10,11,13);
8,9,10,14).
7,10,12,14,15);
8,9,10,13,14,15);
6,9,10,11,13).
6,9,10,13,14,15);
8,9,12,15);
6,7,8,12,14).
10,11,12,13);
8,9,12,13,14);
7,8,10,11,13,15).
8,11,12,13,15);
7,8,9,11,12,15);
10,11,12,14).
9,10,12,13,14);
11,12,14,15);
10,11,13,14,15).
7,8,9,10,13,15);
9, 10, 12, 14, 15);
8,9,10,11,12,14).
10, 12, 13, 15);
(РЯС)
(РВИ)
(ОЛО)
(ЛПП)
(ДЕС)
(ХПШ)
(ЭАР)
(1ПП)
(ЯЛЫ)
(ИЯР)
(ВСЮ)
(8ПБ)
(41Л)
(РЯЗ)
(ЮАЗ)
(1ЯЯ)
(27П)
(ЦПО)
(ИВ7)
(4ЯШ)
(515)
(ЛЯС)
(8ПЫ)
(974)
(ЮЯН)
(Ц79)
(УСС)
(6ПЭ)
(ФЕА)
(СЯР)
(АЯ1)
(ЯЛЬ)
(ЮЯН)
(ДСВ)
(ЭЯТ)
(ЯФЕ)
(СПР)
(8ЯМ)
(47С)
(ТЯЖ)
(БВ4)
(ЮП1)
(1ФА)
(ТПТ)
(АПФ)
(47С)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
79

6) f(A, В, С, D) = (5
в) ДА, В, С, D) = (0
21. а) ДА, В, С, D) = (2
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
22. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (2
23. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в)ДА,В,С,1)) = (1
24. а)ДА,В,С,£>) = (1
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
25. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
26. а) ДА, В, С, D) = (4
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
27. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
28. а) ДА, В, С, D) = (2
б)ДА,В,С,£>) = (1
в)ДА,В,С,1>) = (1
29. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (2
в) ДА, В, С, D) = (1
30. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (3
31. а) ДА, В, С, D) = (0
б)ДА,В,С,£>) = (1
в) ДА, В, С, D) = (0
32. а)ДА,В,С,1)) = (1
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (1
33. а)ДА,В,С,2)) = (1
б) ДА, В, С, D) = (0
в) ДА, В, С, D) = (0
34. а) ДА, В, С, D) = (0
б)ДА,В,С,£>) = (1
в) ДА, В, С, D) = (0
35. а) ДА, В, С, D) = (0
б) ДА, В, С, £>) = (!
6
,2
3
1
,1
1
2
,3
1
1
,2
2
2
,2
2
2
,1
5
2
,1
3
3
,1
4
3
,4
2
3
,4
1
1
,4
5
2
,1
3
2
,2
2
2
,1
2
2
,1
1
3
7
3
5
3
3
2
4
4
5
3
,3
4
4
4
4
5
,2
6
3
,2
4
4
5
5
4
,5
3
4
5
2
2
5
6
3
3
4
4
5
4
4
,3
3
3
,3
3
4
8,9,
4,7,
6,7,
4,6,
6,7,
6,7,
5,7,
5,6,
6,7,
4,5,
4,6,
5,6,
5,6,
7,8,
5,6,
6,7,
3,4,
7,8,
5,7,
5,6,
5,6,
5,8,
7,8,
6,10
6,7,
6,7,
4,5,
5,6,
7,9,
3,4,
5,7,
6,9,
7,8,
4,5,
4,6,
7,8,
5,6,
6,7,
5,6,
5,7,
4,6,
5,8,
4,6,
6,7,
5,6,
5,6,
10,11,13,14,15);
12,13,14,15).
9,11,12,13,14);
9,10,11,12,13,14);
8, 10, 12, 14, 15).
9,10,12,13,14,15);
9, 10, 14, 15);
7,10,11,13,15).
8,12,14,15);
6,11,13,14,15);
8,9,11,12,14,15).
7,8,9,10,14);
8,9,10,13,15);
10,11,12,13,15).
7,8,9,11,14,15);
8,11,12,13);
5, 7, 12, 13, 15).
9, 10, 13, 14);
8, 10, 12, 14, 15);
7,8,10,13,14).
7,8,10,11,12,13);
10,13,14,15);
9, 12, 13, 14, 15).
,11,12,13,15);
8,9,12,13,15);
8,9,11,12,14).
6,9,11,13,14);
8,10,11,13,15);
10,11,12,14,15).
7,10,12,13,15);
8,9,12,14,15);
10,11,12,13,14).
9,10,11,13,14);
8, 10, 12, 13, 14, 15);
8,11,12,13,15).
9,10,12,14,15);
9,10,11,12,13);
9,10,11,12,14).
7,8,9,10,15);
9,10,11,12,13);
7,9,10,11,12,14).
11,12,13,14,15);
11,12,13,14,15);
8,10,13,14,15).
7,8,11,12,14);
8,9,10,13,14);
(РЯВ)
(КСП)
(ШВ)
(2ЕЖ)
(ЗП7)
(ЧПУ)
(ИЛС)
(5ЯГ)
(КСЯ)
(7ПЯ)
(НЕБ)
(ЭПО)
(ОАЦ)
(ФАА)
(СПБ)
(В73)
(АПА)
(ЭВБ)
(ВАО)
(ПАФ)
(6ЯА)
(С73)
(ДЯЧ)
(ПВФ)
(ТПО)
(УАС)
(УВС)
(ЕВА)
(КП9)
(ОСЦ)
(ВВО)
(МАГ)
(ТВ8)
(БПЗ)
(ГС8)
(8СТ)
(ТПГ)
(5ВШ)
(ЛВ9)
(ИВ7)
(ОЕЗ)
(ЕСА)
(САЮ)
(ДСС)
(8СГ)
(9ВР)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)f(A,B
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
)f(A,B
)f(A,B
) f(A, В
)f(A,B
)f(A,B
) f(A, В
)f(A,B
)f(A,B
) f(A, В
) ДА, В
)f(A,B
) /(А, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
)f(A,B
) f(A, В
) f(A, В
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
D) = (0
D) = (l
D) = (0
Я) = (1
D) = (0
D) = (2
Я) = (1
D) = (0
D) = (l
D) = (0
D) = (2
£>) = (!
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (0
D) = (l
D) = (l
Z>) = (0
D) = (0
D) = (0
Z>) = (0
D) = (0
D) = (l
£>) = (!
D) = (l
D) = (0
D) = (l
D) = (0
D) = (0
D) = (l
D) = (0
D) = (l
D) = (l
D) = (0
D) = (l
Z>) = (0
D) = (0
D) = (2
D) = (0
D) = (0
D) = (2
Z>) = (0
D) = (l
D) = (0
D) = (l
1
2
2
2
2
4
3
3
3
2
3
2
2
2
1
3
3
2
1
1
1
2
1
2
3
3
1
3
2
2
4
2
2
2
1
5
1
1
4
2
1
3
2
2
2
3
3
4
3
3
3
5
5
6
7
3
4
3
4
3
3
4
4
3
3
3
2
5
3
5
4
4
2
5
3
3
5
5
3
4
3
6
3
2
5
3
2
4
3
5
3
4
4
6
4
4
4
6
6
7
8
4
5
6
5
4
5
,6
5
5
7
4
4
6
5
7
,5
6
3
7
5
4
6
6
4
5
4
7
5
5
6
4
5
7
8
6
6
,5
6,
9,
8,
5,
7,
7,
7,
9,
9,
11
6,
7,
7,
7,
7,
7,
6,
6,
8,
7,
5,
7,
6,
8,
6,
7,
4,
8,
7,
5,
7,
7,
5,
9,
8,
9,
8,
6,
9,
5,
6,
8,
10
7,
7,
6,
7,9,12,14,15).
10,11,12,13,15);
11,12,13,14,15);
6,8,9,11,12,14).
9,11,12,14,15);
10,11,12,13,15);
9,10,11,13,14).
11,12,13,14);
10,11,12,14,15);
,12,13,15).
9,11,13,15);
8,9,10,13,15);
8,9,10,13,14,15).
11,12,13,14,15);
8, 10, 12, 13, 15);
8,9,11,13,14,15).
8,11,14,15);
7,9,10,11,14);
12,14,15).
11,12,13,15);
7,9,10,11,15);
8,10,11,12,13,15).
7,8,12,14,15);
9, 10, 13, 14, 15);
7,8,10,11,12,15).
9,10,12,13);
5,6,9,11,13);
9,12,14,15).
8,9,11,12,13);
7,8,10,13,14,15);
8,9,10,13,14).
9,10,11,13,15);
7,9,10,12,13,14);
11,12,14,15).
9, 11, 12, 13, 15);
10,11,13,14);
10,11,13,14,15).
7,8,10,12,13,15);
10,11,12,13,15);
7,8,11,13,15).
9,11,12,13,14,15);
9,10,13,15);
,11,12,13,14,15).
8,9,10,11);
8,9,11,12,14);
8,9,11,12,14,15).
(2A2)
(7B9)
(ОПИ)
(A16)
(КВП)
(CTH)
(4ГИ)
(175)
(2П8)
(37Э)
(4ВЛ)
(5ЯЛ)
(61Я)
(7ПС)
(8AT)
(НЯЮ)
(070)
(ЦПО)
(УЛ7)
(КВЯ)
(ЕЯВ)
(HEP)
(ГПТ)
(ШАЙ)
(ЗЯЛ)
(Ф75)
(ВПУ)
(АВЩ)
(ППЗ)
(PE4)
(ЮПИ)
(ЛАН)
(ДЯН)
(Э74)
(2ПМ)
(ЯСЕ)
(ИПШ)
(CEO)
(МЯМ)
(ИАЛ)
(ТЯГ)
(БЛБ)
(ОПН)
(1CA)
(2ПУ)
(ЗФД)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
81

2.6.
СОКРАЩЕННЫЕ КНФ
Чтобы найти сокращенную КНФ функции /, сначала находим СДНФ ее
инверсии. Затем к функции / применяем метод Квайна, и результат
инвертируем по теореме де Моргана.
Пример. Найти сокращенную КНФ. Определить число скобочных
выражений и число вхождений переменных:
/(А, Б, С, D) = ABC + ABD + ABC + ABD + BCD + ABCD.
Решение. Представляем заданную функцию в СДНФ:
/(А, Б, С, Я) = (1,4, 5, 6, 11,12, 14).
Инвертируем это выражение и получаем СДНФ функции / :
/(А, Б, С, D) = (0, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 15) =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + АБС5 + ABCD + АБСЯ.
Попарно сравниваем минтермы так же, как в подразделе 2.4. Минтерм
ABCD отличается от минтерма ABCD инверсией только одной буквы,
следовательно,
ABCD + ABCD = ABD.
Минтермы ABCD и ABCD подчеркиваем, а их общую часть записываем
в отдельную строку, обозначив ее буквой (р:
Ф= ABD.
Минтерм ABCD является сравнимым и с минтермом ABCD:
ABCD + ABCD = BCD.
Минтерм ABCD подчеркиваем, а их общую часть BCD добавляем в
строку ф:
Ф = ABD + BCD.
Минтерм ABCD является сравнимым с минтермами: ABCDy ABCD и
ABCD. Получаем две новые конъюнкции ABC и BCDy и так далее.
После завершения операций сравнения все минтермы заданного
выражения окажутся подчеркнутыми, а строка ф примет вид
Ф = ABD + BCD + ABC + BCD + ACD +
+BCD + ABD + ABC + ACD + ABD.
Над конъюнкциями этой строки снова выполняем операции сравнения.
Конъюнкции ABD и ABD являются сравнимыми:
ABD + ABD = BD.
Кроме того, сравнимыми являются и конъюнкции BCD и BCD:
BCD + BCD = BD.
82
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

В результате двух сравнений получилась одна и та же конъюнкция BD.
Других сравнимых конъюнкций нет. В строке ср подчеркнуты четыре
конъюнкции:
Ф = ABD + BCD + ABC + BCD + ACD + BCD + ABD + ABC + ACD + ABD.
Все неподчеркнутые конъюнкции образуют сокращенную ДНФ функции
f (А, Б, C,D):
Т(А, Б, С, D) = BD + ABC + ACD + БС£> + ABC + ACD + ABD.
Инвертируем это выражение и получаем искомую сокращенную КНФ:
/(А, Б, С, D) = (Б + D)(A + Б + С)(А + С + В)(В + С + 5) х
х(А + Б + С)(А + С + 5)(А + B + D).
В этом выражении 7 скобочных выражений и 20 вхождений переменных.
Ответ: 7, 20.
Задания
для самостоятельной работы
Найти сокращенные КНФ заданных булевых функций. Для
самоконтроля указать число скобочных выражений и общее число вхождений
переменных.
a) f(A, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
в) ДА, В, С, D) -
a) f(A, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
в) f(A, В, С, D) -
a) f(A, В, С, D) -
б) f(A, В, С, D) -
в) f(A, В, С, D) -
a) f{A, В, C,D)-
б) НА, В, С, D) -
в) НА, В, С, D) -
а) НА, В, C,D)-
б) НА, В, С, D) -
в) НА, В, С, D) -
а) НА, В, C,D)-
б) НА, В, С, D) -
в) НА, В, С, D) -
а) НА, В, C,D)-
б) НА, В, С, D) -
в) НА, В, С, D) -
а) НА, В, C,D)-
б) НА, В, С, D) =
в) НА, В, С, D) -
= (2,3,5,12,14);
= (0,1,4,7,10,13,15);
= (0,1,3,5,7,8).
= (2,4,5,9,11,13,15);
= (0,1,5,9,11,14);
= (3,4,6,9,14).
= (0,3,4,12,13,15);
= (0,4,7,9,15);
= (2,5,7,8,9,12,15).
= (1,5,8,9,10,13);
= (0,1,3,7,8,12,14,15);
= (0,3,7,11,12,13,15).
= (3,6,8,9,11,13);
= (1,4,6,11,12);
= (1,7,8,12,14,15).
= (5,7,8,11,12);
= (0,5,7,10,11,13,14);
= (2,9,10,11,13,15).
= (1,3,5,7,8,14,15);
= (1,3,4,10,11,15);
= (3,4,9,12,14).
= (5,6,7,9,10,14);
= (3,5,10,13,14);
= (2,3,5,6,8,13,14).
(ЦЗЕР)
(201)
(322)
(40М)
(5ВЩ)
(КШМ)
(787)
(ЧИКО)
(80А)
(021)
(ЦУЗ)
(УЮФ)
(ВСН)
(658)
(КЫШ)
(ИМКХ)
(НОС)
(ТХО)
(ШОО)
(ЗВЗ)
(65Ы)
(ФЫХ)
(ШОИВ)
(А05)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
83

9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = 1
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = |
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = 1
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = |
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = I
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = I
б) ДА, В, С, D) = I
в) ДА, В, С, D) =
а) ДА, В, С, D) = I
(0
[1
(1
[1
(2
(1
(0
(0
(1
(0
[2
(2
(3
[1
(0
[2
[2
(0
(0
[1
(1
[1
[1
(6
(0
[1
(3
[1
[1
(2
(0
(0
(0
[1
(0
(0
(5
(3
(0
[1
(0
(2
(0
[1
(0
(0
2
5
,2
6
4
,2
3
1
,5
1
5
,4
4
3
,1
3
7
,5
3
3
,3
3
3
,8
1
4
,4
2
2
,3
1
2
,2
7
1
,2
6
4
,1
2
6
,5
2
3
,3
3
3,7,11,15);
6,7,9,10,13);
.3,7,9,12).
11,12,14);
5,6,11,13);
6, 13, 15).
4,5,9,11,14);
2,3,4,12);
6,8,9,10,11).
4,8,10,15);
7,8,15);
5,9,11,13).
5,8,11);
6,8,11,12,13);
8,9,12,14).
4,9,10,11,13);
8,9,10,12);
7, 10, 13).
11,12,13,15);
7,11,12,14);
,5,6,9,14).
10,12,13);
4,9,10,14,15);
9,10,11,14).
2,3,11,12,15);
6,9,11,13);
9,11,12,15).
9, 14, 15);
6,7,9,11,12);
4,6,10,11).
3,7,8,9,14);
5,10,11,14);
3, 10, 13, 15).
8, 10, 12, 15);
7,9,12,14);
,3,6,8,13).
8,9,11,14);
6,10,11,13);
,2,7,8,15).
3,4,12,15);
7,9,11);
7, 9, 10, 14).
5,6,11,13);
7,8,14,15);
4,8,13,15).
11,12,13,14);
(П23)
(РОП)
(ЮВД)
(750)
(У8Д)
(ШШИМ)
(ДОР)
(22Д)
(902)
(1195)
(2258)
(3334)
(КОЮС)
(50Щ)
(021)
(Н02)
(ККС2)
(ЮРИС)
(88АЯ)
(САИ)
(ВВПП)
(К20Т)
(Н083)
(ОЛ2Д)
(1158)
(21ЦБ)
(НААЛ)
(К60К)
(РОФЗ)
(МАВТ)
(ВА32)
(КАСГ)
(МАВ7)
(ЧАУД)
(РОЗ 5)
(ГОРО)
(КОАШ)
(Л70)
(ШАИЛ)
(ВУР8)
(Л784)
(МОМ5)
(ПОКШ)
(СУ90)
(Н005)
(ДАНУ)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

) ДА, В, С, D) = I
) ДА, В, С, D) =
) f(A, B, C,D) = {
) ДА, В, С, D) = I
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, С, D) = 1
) ДА, В, C,D) = {
) ДА, В, С, D) =
) ДА, В, C,D) = {
) ДА, В, С, D) = l
(1
(2
(1
(0
(2
(2
(0
(2
(0
(1
(0
(1
(0
(0
(1
(0
(1
(0
(0
(1
(1
(2
(1
(0
(0
(2
(2
(3
(1
(2
(0
(0
(0
(7
(0
(1
(1
(0
(1
(0
(0
(2
(0
(2
(3
0,
3
5
4
5
4
4
2
5
3
5
7
5
1
2
2
2
5
1
4
3
5
4
2
2
4
4
5
6
3
4
3
2
2
8
2
4
6
2
3
6
3
5
2
4
4
1,
6,8,14,15);
,8,13,15).
6, 7, 9, 10);
7,8,9,10);
,5,9,11,12).
9, 10, 13, 15);
7,11,12,15);
,8,10,11,13).
5,7,8,14);
6, 7, 9, 10);
10,13,15).
6,8,10,13);
3,8,9,14);
,4,8,12,15).
4,5,8,10,15);
4,5,6,13);
,6,7,8,9,10,14).
7,8,10,12,14);
5,11,12,14);
,6,11,12).
6,8,9,10);
6,9,11,14);
,5,10,12).
7,9,10,12,13);
8, 12, 13, 15);
5,6,9,10,11,13)
6,8,9,10,14);
8, 12, 13, 14);
,4,9,14).
9,10,11,13);
4,6,11,12);
,9,13,14).
5,8,11,14,15);
10, 12, 14, 15);
,4,6,10,11,13).
6, 10, 14, 15);
9,11,12);
,3,11,12,15).
4,8,12,14);
8,11,15);
,6,7,8,10,13).
6,7,10,14);
3,4,8,12,15);
,6,7,9,12).
9,11,14);
3,7,8,14);
(НАОД)
(НЕОК)
(РАЦУ)
(5АП)
(ИАДУ)
(ЛАВУ)
(КОАЙ)
(ГАН7)
(БУЗЫ)
(П02Л)
(СИБР)
(СУБ8)
(ИС9)
(1ВХ)
(3457)
(253А)
(78СС)
(57АБ)
(8806)
(2855)
(14ТЗ)
(24ЦК)
(Ф2РТ)
(9083)
(10РО)
(ВУ9)
(НИИЦ)
(1ВГ)
(25Ф)
(ЕМЖ)
(416Р)
(ФЦРБ)
(20ЛЗ)
(82Р)
(902)
(КВЫ)
(05У)
(Р077)
(ПАУЛ)
(ФИРО)
(ЗА)
(Л1)
(ПОС)
(АВШ)
(И)
(5Ш)
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
85

) f(A, В, С, D) =
) f(A, В, С, Я) = I
) f(A, В, С, Я) = 1
) f(A, В, С, D) =
) f(A, B, С, D) = 1
) f(A, В, С, D) = I
) f(A, В, С, D) =
) f(A, В, С, D) = 1
) f(A, В, С, Я) = 1
)f(A,B,C,D) =
) f(A, B, C, D) = 1
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C,D) = [
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) =
) f(A, B, C, D) = I
) f(A, B, C, D) = I
)/(A,B,C,D) =
(1,6,9,10,12,14).
(3,4,7,8,10);
(0,1,5,6,11,12,14);
(1,4,5,6,7,9).
(0,3,4,12,13,14,15);
(1,4,5,10,13,15);
(0,2,7,10,13).
(0,1,7,8,12,14);
(5,6,7,8,10,15);
(0,1,6,13,14).
(3,4,6,8,9,13,14);
(4,5,9,11,12,13);
(1,6,7,8,12,14,15).
(2,7,9,12,13,15);
(0,2,5,8,15);
(5,6,8,9,10,14).
(2,4,5,7,10,13);
(4,6,8,9,15);
(1,4,6,10,11,12,15).
(3,11,12,13,14,15);
(4,5,6,7,9,10,14);
(0,2,3,4,11,12,13,15)
(0,5,7,11,14,15);
(0,7,8,10,13);
(2,4,6,10,11,13).
(0,2,5,12,13,15);
(4,7,10,11,12);
(2,3,4,7,9,12,14).
(1,3,6,7,14,15);
(2,4,5,6,11,12,13);
(3,5,6,7,8,13).
(2,5,8,10,15);
(0,2,3,4,12,15);
(9,7,8,13,14,15).
(ГОЭХ)
(X538)
(ГАРК)
(ГУН 7)
(0X06)
(ВАТТ)
(ВАРА)
(САЭХ)
(HOAX)
(2КЦК)
(МА06)
(7Е)
(9047)
(ЕННИ)
(МИМБ)
(55)
(ЛЗ)
(ХЛЦИ)
(ЦА)
(ДОТО)
(ГА)
(НАОЛ)
(НИМС)
(55К)
(С84)
(73)
(ЗЕЕЕ)
(ЮТ)
(32Ж)
(70К)
(ВВ9)
(ФЕ)
(5Ш)
(ПОД2)
86
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА
ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ
БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
3.1.
МИНИМИЗАЦИЯ
В КЛАССЕ ДНФ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ В СДНФ
.Минимизация булевых формул при помощи карт Вейча
сводится к визуальному отысканию простых импликант, но не
всех возможных, а только тех, которые в совокупности
покрывают все единицы на карте, и при этом количество букв,
входящих во все найденные простые импликанты, должно
быть наименьшим по сравнению с любыми другими
формулами, представляющими заданную булеву функцию в ДНФ. На
рис. 3.1-3.3 изображены карты Вейча трех, четырех и пяти
переменных соответственно, в клетках которых записаны
номера минтермов, и указаны области действия логических
аргументов. Этими картами можно пользоваться при
нанесении на них булевых функций, заданных перечнями
номеров минтермов.
6
4
7
5
->
1
2
0
В
с
Рис. 3.1
1 12
13
9
| 8
14
15
11
10
6
7
2
4 1
5
1
0 |
D
С
Рис. 3.2
В
р5
27
19
| 17
29
31
23
21
13
15
7
5
9
11
->
:>
1
24
26
18
16
28
30
22
20
12
14
6
4
~~8~1
10
2
о 1
С
Рис. 3.3
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
87

На рис. 3.4-3.33 приведены примеры минимизации булевых формул.
f = AB + BC+BC
Рис. 3.4
1
11
1
1
I
1
f = C + AB + AB
Рис. 3.7
11
1
1
f=AC+BC
Рис. 3.10
pi
1
1
1
1
1
I
1
1
1
iH
1
1
1
f = C+D + AB+ AB
Рис. 3.13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ll
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/=A+BC+BD+BCD
Рис. 3.16
/ = А + С
Рис. 3.5
1
1
1
1
iH
1
/= АВ + ВС+АС
Рис. 3.8
п~
1
1
1
1
1
f=A+BC+BC
Рис. 3.11
ПП
1
1
гт
1
1
1
1 1
1
1
1
/ = ABD + ABD +
+ BCD+CD + AC
Рис. 3.14
1 1
1
1
1 |
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
f = AB + AC +
+ BD + CD + ABC
AB + AC + ВС + ABC
Рис. 3.6
\\
1
1
"П
1
f= AC +BC + BC
Рис. 3.9
Ml
1
1
1
1
1
1
1
1
ll
1
1
1
f = C + AB + BD + AB
Рис. 3.12
Ml
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f = AD + BC +
+ CD+AD+BC
Рис. 3.15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ll
1
1
Рис. 3.17
f = AC+BD + AD + BC
Рис. 3.18
88
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1
1
1
1
1
1
1
1
Им
1
1
1
\\
\\
fl
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
~T\
1 1
1 1
f = D + BC + AC +ABC
Рис. 3.19
f = ACD+BCD +
+ ACD + BCD
Рис. 3.20
f = AC + BD +
+ BD + BC
Рис. 3.21
\\
|~T
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Hi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f = BD + BC + AC+ f = CD + ABC + ABD + ABC + f = AB+AC + BCD +
+ AD + ABCD +ABD + ABCD+ABCD +ACD+BCD
Рис. 3.22 Рис. 3.23 Рис. 3.24
[l
1
1
1
1
1
1
Им
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ll
1
1
1
\l
1
1
1
1
1
ll
1
1
f = ABD + BCD +
+ BC+CD + AD
Рис. 3.25
f = AD + CD +
+AC+BD
Рис. 3.26
f = CD+ABCD +
+ AD + ABC+ABC
Рис. 3.27
pi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Hi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/ = D + AE + ABC + ABCE + ABC
Рис. 3.28
f = BD + AB + BE + CDE + ADE +
+ ADE + ABCDE + ACDE
Рис. 3.29
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
89

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/ = CD + ABD + ADE + ВСЕ + ABE
Рис. 3.30
/ = BD + CE + ADE + ADE +
+ ABCE + ACD
Рис. 3.31
Hi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/ = BCDE + ACDE+ ACDE + ACDE+ f = ACE + BDE + ACE+ADE +
+ ABCD + BCDE + ABCDE + BCDE + ABC + ABCE + А ВСЁ + BDE
Рис. 3.32 Рис. 3.33
В заданиях для самостоятельной работы все функции заданы в СДНФ.
Каждое задание состоит из четырех функций. Требуется найти их
минимальные ДНФ. Для самоконтроля необходимо указать число знаков дизъюнкции
минимальной ДНФ и число вхождений переменных. Проиллюстрируем это
на примере следующего задания:
а)/(А, Б, С) = (1,2, 4, 6, 7);
б) /(А, Б, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 15);
в) /(А, Б, С, D) = (5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15);
г) /(А, Б, С, D, Е) = (7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 22, 23, 26, 27, 30, 31).
Решение. Минимизируем первое выражение: f(A,B,C) = AB + АС +
+ ВС + ABC.
В его минимальной ДНФ три знака дизъюнкции и девять вхождений
букв.
Ответ: 3, 9.
Минимизируем второе выражение: /(А, Б, С, D) = АС + ABD + ABD +
+ ACD + ВС.
Здесь четыре знака дизъюнкции и 13 букв.
Ответ: 4, 13.
Минимизируем третье выражение: /(А, Б, С, D) = BD + ABC + ABC + ABC.
Ответ: 3, 11.
Минимизируем последнее выражение: /(А, Б, С, D, 2£) = Б!) + ABE +
+ CD£ + ADE + АБС.
Ответ: 4, 14.
90
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Задания
для самостоятельной работы
Найти минимальные ДНФ. Для самоконтроля указать число знаков
дизъюнкции минимальной ДНФ и число вхождений переменных.
1. а) ДА, В, С) = (0,3, 4, 7); (ЗИИТ)
б) fiA, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15); (78ЛЯ)
в) fiA, В, С, D) = (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15); (ЕЕН8)
г) f(A, В, С, D, Е) = (2, 6, 7, 9,10,11,14, 15, 18, 22, 23, 26, 27, 30, 31).
(55ММ)
2. a) f(A, В, С) = (1,3, 6, 7); (ССВХ)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15); (23С5)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13); (881П)
г) ДА, В, С, D, Е) = (2, 3, 5, 8, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31). (12ФО)
3. а) ДА, В, С) = (0,2, 4, 7); (1325)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 12, 14, 15); (14ГД)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15); (23АИ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 20). (25ЕР)
4. а) ДА, В, С) = (2, 3,6); (78БЛ)
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15); (12ЭК)
в) ДА, В, С, D) = (2, 3, 5, 7, 9, 11, 14, 15); (13ЕТ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23).
(16ТЗ)
5. а) ДА, В, С) = (2, 3,5); (15ДР)
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15); (14РК)
в) ДА, В, С, D) = (0, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15); (34ЕЦ)
г) ДА, В, С, D, £) = (10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 30, 31).
(78УН)
6. а) ДА, В, С) = (1,4, 6); (7955)
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 14, 15); (700И)
в) ДА, В, С, D) = (0, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15); (89ЕМ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (0, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 22, 24, 30). (90КК)
7. а) ДА, В, С) = (0, 2, 3,6); (88НО)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15); (НГГ)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14); (820)
г) ДА, В, С, D, Е) = (4, 5, 6, 7, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26).
(5Р)
8. а) ДА, В, С) = (1,2, 4); (ЕЕ38)
б) ДА, В, С, D) = (0, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15); (67СБ)
в) ДА, В, С, D) = (0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 15); (6862)
г) ДА, В, С, D, Е) = (10,11,12,13,14,16,17,19, 20, 21, 25, 27, 29, 31).
(ГТ)
9. а) ДА, В, С) = (2, 6, 7); (47ЦФ)
б) ДА, В, С, D) = (1, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 15); (Т1С)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 11, 12 14, 15); (СВ77)
г) ДА, В, С, D, £) = (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 20, 21, 22, 23, 30, 31).
(КЫН)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
91

10. а) ДА, В, С) = (3, 4, 5); (59ЭЙ)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 15); (5043)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 14, 15); (46ЧА)
г) ДА, В, С, D, Е) = (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22).
(И9ЧА)
11. а) ДА, В, С) = (1,3, 5,6); (ЗОСК)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14); (304К)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 15); (39ЦК)
г) ДА, В, С, D, Е) = (2, 5, 10, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 28, 29, 30, 31).
(ЗОЭЙ)
12. а) ДА, В, С) = (1,6, 7); (НГ1У)
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15); (20АК)
в) ДА, В, С, D) = (2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15); (ШХ)
г) ДА, В, С, D, £) = (10, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 26, 27, 29). (ЯЗ)
13. а) ДА, В, С) = (1,2, 4, 6); (ДЫП)
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 15); (НТТ)
в) ДА, В, С, D) = (3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14); (Б36)
г) ДА, В, С, D, Е) = (4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 24, 28, 30).
(90КВ)
14. а) ДА, В, С) = (2, 4, 5, 6); (0771)
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15); (5С)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 10, И, 12, 13, 14, 15); (ШД)
г) ДА, В, С, D, Е) = (3, 4, 5, 7, 10,11,13,14,15,17, 21, 23, 24, 26). (РЫ)
15. а) ДА, В, С) = (2, 4, 5); (РОМП)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15); (88ЮП)
в) ДА, В, С, D) = (5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15); (80ХС)
г) ДА, В, С, D, £) = (5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26).
(56АФ)
16. а) ДА, В, С) = (0, 5, 7); (УК23)
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15); (УКТП)
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14); (81АР)
г) ДА, В, С, D, Е) = (2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 20, 21, 23, 25, 29).
(92ИА)
17. а) ДА, В, С) = (3,4, 5,6); (МЗ)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15); (СГМ)
в) ДА, В, С, D) = (3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15); (852Е)
г) ДА, В, С, D, Е) = (3, 4, 7, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27).
(НАЖ)
18. а) ДА, В, С) = (3, 4, 6, 7); (65ТБ)
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14); (43ИЯ)
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14); (51АЕ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (3,4, 5,11,13,14,15,16,17,20,21,22,23,26,30,31).
(Р8)
19. а) ДА, В, С) = (1,4, 5,6); (ВВСХ)
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15); (КТ5А)
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13); (ТНБН)
92
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

30
г) f(A, В, С, D, Е) = (3, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 20, 25, 29, 30, 31).
(ГУЛ)
3, 5, 7); (83ЯМ)
= (1,2,3,4,6,7,9,12,15); (ОИВА)
= (2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14); (ТНПО)
Е) = (6, 7, 13, 14, 15, 21, 25, 26, 30, 31). (БОРХ)
1,2,5,6); (НОНП)
= (1,3,4,6,7,9,11,13,15); (ОПВ5)
= (3,5,6,7,8,9,12,13,15); (КА6Я)
Е) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 26, 27).
(55МО)
1,2,4,7); (440М)
= (2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15); (05ДШ)
= (3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (8304)
Е) = (3, 4, 7, 14, 15, 16, 18, 20, 28, 29, 30, 31). (780С)
0,3,4,6); (77ЛА)
= (1,2,3,4,6,7,8,11,15); (МААК)
= (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15 ); (ОРСУ)
Е) = (7, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 29,
(ЙШ)
2,3,4,5); (3643)
= (3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15); (7344)
= (0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15 ); (84АА)
Е) = (8, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 21, 23, 25, 26, 27).(9743)
20. a) f(A, В
б) f(A, В
в) f(A, В
г)/(А, Я
21. a)f(A,B
б) f(A, В
в) f(A, В
г) f(A, В
22. a) f(A, В
б) f(A, В
в) f(A, В
г) НА, В
23. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
31).
24. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
25. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
26. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В,
27. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
28. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
29. а) НА, В
б) НА, В
в) НА, В
г) НА, В
С) =
C,D
C,D
CD
С) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
C,D,
C) =
CD
CD
C,D,
C) =
CD
CD
CD
C) =
CD
CD
C,D,
0,1,4,7); (9432)
= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 14); (8199)
= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15 ); (5Ш)
E) = (0, 1, 4, 8, 12, 15, 17, 19, 20, 21, 30, 31). (Щ)
0, 3, 6); (H027)
= (2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 14, 15); (КУМС)
= (1,3,5,6,7,8,9,11,14); (ИВФ)
E) = (9,11,13,15, 16, 17, 18,19, 20, 21, 22, 29, 31). (5Л)
3, 4, 5, 6, 7); (85XC)
= (1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12); (УМ32)
= (3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15); (НЕСП)
E) = (10,11,12,13,15,17,19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27).
(Д5Б)
1,3,4,5); (94HT)
= (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15); (ТДО)
= (0, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15 ); (40ЧА)
E) = (1, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 29, 30, 31). (БО)
0, 2, 3, 4); (АОХП)
= (0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15); (ВИНА)
= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 15); (РИМХ)
E) = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 14, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31).
(ОТОИ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
93

30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
a) f(A, В,
6) f(A, В,
s)f(A,B,
г) f(A, В,
a) f(A, В,
6) f(A, В,
s)f(A,B,
г) f(A, В,
a) f(A, В,
6) f(A, В,
s)f(A,B,
г) f(A, В,
a) f(A, В,
6) f(A, В,
s)f(A,B,
г) f(A, В,
a) f(A, В,
6) f(A, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
в) ДА, В,
г) ДА, В,
а) ДА, В,
б) ДА, В,
, С) = (1,2, 3,4, 7); (ДА32)
, С D) = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15); (КА62)
, С D) = (2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14); (ЭИГ)
, С, D, Е) = (1, 3, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 27, 31).
(РАТП)
,С) = (2,5, 6, 7); (ЛАРС)
, С D) = (0, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 15); (ОЛВБ)
, С, D) = (1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14); (56МГ)
, С, D, Е) = (14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 29, 30, 31). (АСПЭ)
, С) = (3,6, 7); (81ПИ)
, С, D) = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11); (СОНИ)
, С D) = (0, 2, 3, 5, 6, 8, 13, 15); (ДУБ2)
, С, D, Е) = (4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 25, 26, 27).
(ЗАНУ)
, С) = (0, 3, 7); (30АЯ)
, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (3443)
, С, D) = (1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15); (ГОРЛ)
C,D,E) = (3,9,11,13,15,17, 23,24, 25,26, 27, 28,29,30,31).
(ПА2В)
, С) = (3, 4, 6); (ПЕРИ)
, С, D) = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 15); (ЛЕМЕ)
, С D) = (2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15); (ЛАОР)
, С, D, Е) = (3, 4, 5, 6, 7, 14, 15,16, 17, 18,19, 20, 24, 26). (ГУ)
, С) = (0,1,2,7); (Г066)
, С D) = (2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15); (24ФА)
, С D) = (1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (КАМЭ)
, С, D, Е) = (6, 7,11, 12, 13,15,17, 18,19, 20, 21, 24, 26). (РУ)
, С) = (0,1,3,4); (88П7)
, С D) = (0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (10ГО)
, С, D) = (0, 1, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15); (4540)
, С, D, Е) = (0,1, 2, 3, 4, 7,14,15,16,17,18,19, 20, 21, 22, 31).
(БГ)
, С) = (0, 6, 7); (ОЮЯ)
, CD)-(3,4, 5, 7, 14); (ЭАП)
, С, D) = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11); (70БП)
, С, D, Е) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25). (655У)
, С) = (0,5, 6); (77КБ)
, CD) = (3,4, 7, 14, 15); (992Д)
, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, И, 14); (953Д)
, С, D, Е) = (3, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 24). (ЮОМТ)
, С) = (0, 4, 7); (ТОИП)
, CD)-(3,4, 5, 6, 7, 9, 10); (ВАЛШ)
, С, D) = (2, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (ЛОИЛ)
, С, D, Е) = (7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 30, 31). (ЛИХИ)
, С) = (0, 4, 6); (УДОК)
, С, D) = (6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15); (18X0)
94
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A,B,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
f(A, В,
CD) = (3,4, 5
C,D,£) = (6, 7.
C) = (0,4,5, 7)
CD) = (0,1,4
CD) = (2, 3,4
C,D,£) = (3,8
C) = (0,4,5,6)
CD) = (3,5, 7
CD) = (0,1,4
C,D,£) = (0, 1
C) = (0, 3, 5);
CD) = (3,4, 5
CD) = (6, 8, 9
C,D,£) = (3,4
C) = (0,3,4);
CD) = (2, 3,4
CD) = (0,4, 6
C,D,£) = (6, 7
C) = (0,3,6, 7)
CD) = (4, 5, 6
CD) = (0,4, 5
C,D,£) = (3,4
C) = (0,1,2,6,
CD) = (2, 3,4
CD) = (0,1,2
CD, £) = (3, 5
6,8,9,10,14,15);
8,13,14,15,16,17,18,19,21).
(ЛГ)
(БСК)
(THAT)
6, 7, 8, 12, 15); (ОГВЗ)
5, 6, 7, 9, 10); (44ЮА)
9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19, 25, 27, 31). (РБ)
(P02K)
8,9,10,13,14);
6,7,8,9,10,14);
4, 5, 10, 14, 17, 18, 19, 20, 25, 26).
7,8,9,10,12);
10,11,13,14,15);
5,6,7,10,11,17).
5,6,7,11,12,13,15);
8,9,10,12,13,14,15);
8,9,10,11,13,15).
(РИЭМ)
(P098)
(T3)
(ШИЮЗ)
(ЛООТ)
(РОЮК)
(5589)
BAKC)
(P026)
(UIAKT)
(РАПП)
(ОЛРА)
(НАДХ)
(ОНДЭ)
7,8,9,11,12,13,14);
7,8,11,14);
5, 10, 11, 12, 13, 25, 26, 27, 28, 29, 30). (5P)
7); (8ДО)
5, 6, 7, 9, 10, 12); (РОЛЗ)
3,4,6,8,10,12); (ЛУАЮ)
15, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30).
(МИИН)
C)-(0,1,2,4,7); (СОЛЛ)
С D) = (2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15); (ВИ73)
С D) = (0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13); (НЕВА)
С D, E) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 22).
(ДА39)
C)-(0,1,2,3,5); (ТИША)
С D) = (0, 1, 2, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13); (ЗИ13)
С D) = (1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (90МЛ)
С D, E) = (3,10,11,14,15,17,19, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31).
(ЯО)
C) = (0, 2, 5, 6); (ЦУВП)
С D) = (0, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15); (ИРОУ)
С D) = (1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (7355)
С D, E) = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 21, 22).
(КЛУЧ)
C) = (0,1,3,4,6); (СЛАА)
С D) = (3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (ПРАД)
С D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15); (СНИН)
С D, E) = (0, 1, 2, 3, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 30). (ГЕ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
95

3.2.
МИНИМИЗАЦИЯ
В КЛАССЕ КНФ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ В СДНФ
Минимизация булевых формул в классе КНФ с
применением карт Вейча осуществляется в основном так же,
как и в случае ДНФ, но с дополнительными операциями.
1. Наносим на карту Вейча заданную функцию /.
2. Строим карту Вейча для ее инверсии (т. е. для /).
3. Находим минимальную ДНФ функции /.
4. Результат инвертируем по теореме де Моргана.
Например, найдем минимальную КНФ функции
/(А, Б, С, D) = (0, 1, 2, 6, 7, 8, 12, 15).
Решение. Наносим ее на карту Вейча (рис. 3.34).
Инвертируем функцию (рис. 3.35). Находим минимальную
ДНФ инверсии:
/(А, Б, С, D) = ABC + BCD + ACD + ACD.
Полученное выражение инвертируем по теореме де
Рис. з.35 Моргана:
/(A, B,C,D) = (A + B + С)(В + С + D)(A + С + D)(A + С + В).
В минимальную КНФ входит 8 знаков дизъюнкции и 12 букв.
Ответ: 8, 12.
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 3.34
1
1
1
1
1
1
1
1
Задания
для самостоятельной работы
Все нижеприведенные задания содержат по 4 функции: одна зависит от
трех аргументов, две — от четырех и одна — от пяти. Все функции заданы
списками номеров минтермов. Требуется найти их минимальные КНФ. Для
самоконтроля укажите число знаков дизъюнкции и число вхождений
аргументов (как в вышерассмотренном примере).
1. а) ДА, В, С) = (0, 4, 7); (НПНИ)
б) f(A, В, С, D) = (0, 1, 5, 7, 8, 13, 15); (ННТА)
в) f(A, В, С, D) = (4, 5, 7, 8, 9, 12, 15); (СДИ)
г) f(A, В, С, D, Е) = (2, 6, 7, 9, 18, 22, 23, 26, 27, 30). (П7)
2. а) ДА, В, С) = (1,3, 7); (9ЯК)
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 5, 6, 7, 12, 15); (ШДЕ)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 5, 10, 13); (ЛХ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (2, 3, 5, 23, 26, 27, 31). (Л063)
3. а) ДА, В, С) = (2, 4, 7); (Р053)
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 5, 7, 14, 15); (НААК)
в) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 15); (ГПЕФ)
г) ДА, В, С, D, Е) = (0, 3, 4, 15, 16, 20). (ВАЯР)
96
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

i) f(A, В, С) = (2,3);
) ДА, В, С, D) = (0, 2, 10, 11, 13, 15);
.) ДА, В, С, D) = (2, 3, 5, 7, 15);
) /(Л, В, С, D, Е) = (6, 7, 11, 20, 21, 22, 23).
i) f(A, В, С) = (2, 5);
) ДА, В, С, D) = (1, 2, 4, 10, 11, 15);
.) ДА, В, С, D) = (0, 2, 4, 10, 12, 15);
) ДА, В, С, D, Е) = (10, 11, 14, 16, 18, 20, 24, 30, 31).
i) ДА, В, С) = (1,4);
) ДА, В, С, D) = (0, 6, 11, 12, 15);
.) ДА, В, С, D) = (0, 4, 5, 7, 12, 15);
) ДА, В, С, D, Е) = (0, 1, 8, 9, 20, 22, 24, 30).
i) ДА, В, С) = (0,2);
) ДА, В, С, D) = (0, 1,4,5, 12, 14);
.) ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 8, 9, 13, 14);
) ДА, В, С, D, Е) = (4, 5, 6, 7, 10, 20, 21, 22, 26).
i) ДА, В, С) = (1,2);
) ДА, В, С, D) = (0, 4, 10, 11, 12, 15);
.) ДА, В, С, D) = (0, 2, 4, 8, 11, 15);
) ДА, В, С, D, Е) = (10, 11, 12, 13, 21, 25).
i) ДА, В, С) = (6, 7);
) ДА, В, C,D) = (1,3, 7,8, 15);
.) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 11, 15);
) ДА, В, С, D, £) = (4, 5, 6, 10, 13, 21, 22, 31).
i) ДА, В, С) = (3,4);
) ДА, В, C,D) = (2, 3,6, 7, И);
.) ДА, В, С, D) = (0, 1, 3, 5, 14, 15);
) ДА, В, С, D, Е) = (5, 10, 11, 13, 20, 21, 22).
i) ДА, В, С) = (1,3, 5);
) ДА, В, С, D) = (0, 1,5,6,9, 14);
.) ДА, В, С, D) = (0, 1,2, 7,8);
) ДА, В, С, D, Е) = (0, 1, 10, 11, 16, 17).
i) ДА, В, С) = (1,7);
) ДА, В, C,D) = (0,4, 6, 15);
.) ДА, В, С, D) = (2, 12, 13, 15);
) ДА, В, С, D, £) = (10, 16, 18, 20, 29).
i) ДА, В, С) = (1,2, 6);
) ДА, В, С, D) = (1, 5, 6, 8, 9,15);
.) ДА, В, С, D) = (6, 7, 12, 14);
) ДА, В, С, D, Е) = (12, 14, 15, 16, 17, 18).
i) ДА, В, С) = (2, 4, 6);
) ДА, В, С, D) = (4, 5, 8, 11, 15);
.) ДА, В, С, D) = (0, 10, 11, 15);
) ДА, В, С, D, £) = (3, 11, 23, 24, 26).
i) ДА, В, С) = (2, 5);
) ДА, В, С, D) = (0, 1,7,9, 15);
(78ВУ)
(23Д1)
(11JIA)
(2339)
(77РА)
(УКЗП)
(НОЛИ)
(ТЪ)
(КА52)
(ПЕНТ)
(331Д)
(С34)
(УК94)
(1287)
(ШР)
(52)
(НЫН)
(Р076)
(КАЧ1)
(ЛАИС)
(22ШБ)
(ЭНАР)
(ОН 78)
(СМ)
(ДАОЗ)
(КИ53)
(КОЧИ)
(КУОН)
(87ХХ)
(БИЯД)
(ФАГ5)
(ООК)
(ЭРЗУ)
(ГОЗЗ)
(48КТ)
(84ВА)
(79РЫ)
(97ДН)
(Л077)
(НЕАП)
(НУУ5)
(ВАП1)
(84ИЛ)
(МАСБ)
(БОД6)
(ГА36)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
97

в) f(A, В, С, D) = (5, 6, 7, 12, 13);
г) ДА, В, С, D, Е) = (5, 12, 14, 21).
16. а) ДА, В, С) = (0, 7);
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 6, 7, 14, 15);
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 6, 7, 8, 13);
г) ДА, В, С, D, Е) = (2, 3, 5, 11, 12, 17,
17. а) ДА, В, С) = (3, 6);
б) ДА, В, С, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 11, 15);
в) ДА, В, С, D) = (3, 6, 7, 12, 15);
г) ДА, В, С, D, Е) = (4, 5, 6, 12, 20, 28).
18. а) ДА, В, С) = (3, 4, 6);
б) ДА, В, С, D) = (1,4, 5, 9, 14);
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 3, 12, 13);
г) ДА, В, С, D, Е) = (3, 4, 5, 14, 21, 22,
19. а) ДА, В, С) = (1,4);
б) ДА, В, С, D) = (0, 2, 6, 10, 15);
в) ДА, В, С, D) = (1, 4, 5, 10, 12, 13);
г) ДА, В, С, D, Е) = (3, 8, 10, 13, 17, 20
20. а) ДА, В, С) = (3, 7);
б) ДА, В, С, D) = (1, 2, 7, 9, 15);
в) ДА, В, С, D) = (2, 6, 7, 12, 14);
г) ДА, В, С, D, Е) = (13, 14, 15, 26, 30,
21. а) ДА, В, С) = (1,6);
б) ДА, В, C,D) = (1,3, 4, 6, 11);
в) ДА, В, С, D) = (3, 8, 13, 15);
г) ДА, В, С, D, Е) = (1, 3, 5, 11, 13, 16,
22. а) ДА, В, С) = (1,2, 7);
б) ДА, В, С, D) = (2, 4, 8, 9, 15);
в) ДА, В, С, D) = (4, 6, 10, 14, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (7, 14, 18, 29, 31).
23. а) ДА, В, С) = (0, 3);
б) ДА, В, C,D) = (1,3, 4, 7, 15);
в) ДА, В, С, D) = (0, 2, 7, 9, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (2, 6, 18, 19, 26, 27
24. а) ДА, В, С) = (2, 3);
б) ДА, В, С, D) = (3, 11, 12, 15);
в) ДА, В, С, D) = (0, 2, 8, 15);
г) ДА, В, С, D, Е) = (8, 13, 17, 21, 27).
25. а) ДА, В, С) = (1,4);
б) ДА, В, С, D) = (0, 1,4,8, 14);
в) ДА, В, CD) = (1,5, 6, 15);
23).
30, 31).
, 29, 30, 31).
31).
18,26,27).
,30).
г) ДА, В, С, D, Е) = (4, 5, 12, 13, 14, 31).
26. а) ДА, В, С) = (3, 6);
б) ДА, В, CD) = (2, 7,9, 15);
в) ДА, В, CD) = (1,8, 14);
г) ДА, В, С, D, Е) = (4, 5, 12, 16, 17, 18
,19).
(КАТЗ)
(ЛУОС)
(80ЯК)
(ША46)
(13)
(ЕФА)
(ЧИ93)
(ЛИОЖ)
(ТОПУ)
(7В)
(ЗИ42)
(ЦАФК)
(РЕША)
(СКП)
(МУФО)
(ХИ14)
(ШИ62)
(РИФУ)
(60АА)
(НИВИ)
(ДУЙС)
(БАЛК)
(ПЕЙН)
(РЕГА)
(КОМУ)
(ЦИЕД)
(ЧИКЛ)
(КУКС)
(РИГ7)
(Л053)
(НА32)
(ВАЭЙ)
(РАЙФ)
(РОШО)
(ВИРЫ)
(НЕКА)
(ТИЭЛ)
(ЛЮР)
(ЛИ73)
(ТИЯЧ)
(ШИ64)
(ДЕТ5)
(БООЛ)
(КИ84)
(96АХ)
(25ЦА)
98
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
НА, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
НА, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С) =
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
f(A, В, С, D
НА, В, С) =
НА, В, С, D
(3,4); (95НУ)
) = (1,6, 7, 12); (788М)
) = (4, 5, 6, 13, 14); (90ЭК)
, Е) = (6, 15, 22, 23, 30). (20ФД)
(1,5); (88МУ)
) = (0, 1,7,8, 11, 15); (87АА)
') = (0, 3, 10, 11, 15); (КУМБ)
,£) = (14, 21,29, 30). (ЛУЮС)
(2, 3, 4); (НЕ99)
) = (0, 7, 8, 15); (ГЕАН)
) = (0, 1,5, 6, 13, 15); (БОШИ)
, Е) = (2, 10, 14, 15, 18, 23, 26, 31). (Р053)
(1,2,7); (УИГЛ)
) = (1,6, 7, И); (УЯРХ)
) = (2, 7, 14); (98АК)
,£) = (1,3, 11, 13, 17, 18). (ОГВУ)
(2, 5, 6); (90ЭК)
) = (0,4, 8, И); (РИТЛ)
)-(1,10,11,12); (БАЛШ)
,£) = (14, 15, 17, 29, 30, 31). (ШАКТ)
(3,6); (НУЗО)
) = (1,2,7,11); (НЕДИ)
) = (0, 2, 8, 13); (35ПШ)
,£) = (4, 6, 12, 13, 18, 25). (ЛЯОХ)
(3,7); (КААН)
) = (0,8, 9, 13, 15); (НОЭК)
) = (1,2, 11,12); (ТВА)
, Е) = (16, 17, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 29). (НЮМ)
(4,6); (АНЕХ)
) = (1,7, 8, 15); (НУСБ)
) = (10, 11, 12, 14, 15); (РОЮЛ)
, Е) = (5, 6, 13, 14, 21, 22, 29, 30). (ШЕЯМ)
(1,2); (ВА42)
) = (2, 7, 8, 14, 15); (САЯФ)
) = (5, 11, 12, 15); (РА75)
,£) = (1,4, 11, 14, 17, 20, 30). (БАЛШ)
(0,4); (74ВЫ)
) = (3,9, 10, 11, 14); (ЛУ2В)
) = (5, 11,12, 13); (ОЧХС)
,£) = (4, 5, 7, 12,20, 23,28). (КУИС)
(0,6); (ШОЯЛ)
) = (3, 4, 14); (82АФ)
)-(2, 3,4, 10, 11); (65ДШ)
, Е) = (10, 13, 14, 26, 29, 30, 31). (12ЛХ)
(0, 5, 6); (13РУ)
) = (3,4, 15); (313Т)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
99

39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
в)/(Л, В, C,D) = (2,3, 7, 11,14);
г) ДА, В, С, D, Е) = (14, 15, 16, 20, 24).
а) ДА, В, С) = (0, 4, 7);
б) f(A, В, С, D) = (4, 5, 6, 10);
в) ДА, В, С, D) = (10, 11, 14, 15);
г) ДА, В, С, D, Е) = (7, 11, 13, 18, 31).
а) ДА, В, С) = (0, 4, 6);
б) ДА, В, С, D) = (6, 7, 11,15);
в) ДА, В, С, D) = (6, 8, 9, 15);
г) ДА, В, С, D, Е) = (6, 7, 14, 15, 16, 19, 21).
а) ДА, В, С) = (0, 4, 5, 7);
б) ДА, В, С, D) = (0, 7, 8, 12);
в) ДА, В, C,D) = (2, 6, 7,9);
г) ДА, В, С, D, £) = (3, 11, 13, 15, 25, 27, 31).
а) ДА, В, С) = (0, 4, 5, 6);
б) ДА, В, С, D) = (3, 9, 10, 14);
в) ДА, В, CD) = (4, 6, 7,8, 14);
г) ДА, В, С, D, Е) = (10, 14, 17, 18, 25, 26).
а) (ДА, В, С) = (0,3, 5);
б) ДА, В, С, D) = (5, 7, 10, 12);
в) ДА, В, С, D) = (6, 8, 13, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (3, 6, 7, 10, 11, 17).
а) ДА, В, С) = (0, 3, 4);
б) ДА, В, CD) = (2, 3,7, 11,12);
в) ДА, В, С, D) = (0, 9, 10, 14, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (6, 7, 11, 18).
а) ДА, В, С) = (0,3, 6, 7);
б) ДА, В, CD) = (4, 12, 13, 14);
в) ДА, В, CD) = (4, 11,14);
г) ДА, В, С, D, £) = (3, 4, 11, 12, 13, 28, 29, 30).
а) ДА, В, С) = (0,1,6,7);
б) ДА, В, CD) = (3,4, 5, 9, 12);
в) ДА, В, CD) = (2, 3,4, 10, 12);
г) ДА, В, С, D, Е) = (3, 5, 15, 18, 20, 26, 28).
а) ДА, В, С) = (0, 4, 7);
б) ДА, В, CD) = (2, 5, 9, И, 15);
в) ДА, В, CD) = (6, 7, 8, И, 13);
г) ДА, В, С, D, £) = (1, 3, 11, 12, 15, 17, 22).
а) ДА, В, С) = (0, 3, 5);
б) ДА, В, CD) = (1,2, 10, 13);
в) ДА, В, С, D) = (1, 2, 5, 10, 11, 14, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (3, 10, 17, 19, 25, 28).
а) ДА, В, С) = (0,2, 6);
б) ДА, В, С, D) = (0, 3, 10, 15);
в) ДА, В, С, D) = (4, 9, 10, 14, 15);
г) ДА, В, С, D, £) = (3, 4, 7, 8, 10, 12, 13, 21, 22).
(14ТЖ)
(41ИТ)
(5119)
(15ЛШ)
(61АЦ)
(16ЕК)
(7147)
(17ХБ)
(18ГА)
(81ТШ)
(1909)
(91АА)
(10РЗ)
(01УГ)
(23К5)
(23ЕЦ)
(2710)
(35ФА)
(36ФЯ)
(83АЦ)
(94СИ)
(86СУ)
(38ИО)
(47МС)
(39ФО)
(57КС)
(88БВ)
(77ША)
(90АО)
(440П)
(46ЕГ)
(ЕНРО)
(8043)
(729П)
(3345)
(448Д)
(ЭВН)
(386)
(ХЛЖ)
(Й2)
(ПУТ)
(НШ)
(39БК)
(66ИЯ)
(88ДМ)
(Л1)
100
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

50. а)/(А, Б, С) = (0,1, 3,6);
б) ДА, Б, С, Я) = (3,4, 11,12, 15);
в) ДА, Б, С, D) = (0, 1,2,3, 15);
г) ДА, Б, С, D, Е) = (11, 14, 19, 20, 30).
(ЭЧА)
(80ВЦ)
(87ИН)
(36РЦ)
3.3.
МИНИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ
НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
В предыдущих подразделах упражнения по минимизации
рассматривались либо только в классе ДНФ, либо только в классе КНФ. В данном же
случае каждую булеву функцию необходимо представить в двух
минимальных формах — дизъюнктивной и конъюнктивной. Эти упражнения можно
рассматривать как дополнительные задания по минимизации нормальных
форм булевых функций.
Минимальные ДНФ и КНФ могут быть представлены несколькими
формами. Находить их все не требуется. Достаточно ограничиться одной
минимальной ДНФ и одной минимальной КНФ.
Пример 1. Найти минимальные ДНФ и КНФ функции четырех аргументов
/ = (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15)
и определить число вхождений букв в минимальную ДНФ и минимальную КНФ.
Решение. Находим минимальную ДНФ (рис. 3.36). Она содержит 7
вхождений переменных: _ _ _
Находим минимальную ДНФ ее инверсии (рис. 3.37):
/ = ABD + ABCD.
Инвертируем это выражение и получаем минимальную КНФ. В ней 7 букв:
/ = (А + В + D)(A + B + C+D).
Ответ: 7, 7.
Пример 2. Для минимальных ДНФ и КНФ найти число вхождений букв:
/(А, Б, С, D) = (0, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13).
Решение. Находим минимальную ДНФ. Она содержит 8 вхождений букв
(рис. 3.38): _ _ _
pi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
lj
1
1
1
1
1
[l
1
1
1
1
1
1
lj
1
Рис. 3.36
Рис. 3.37
Рис. 3.38
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
101

По карте Вейча (рис. 3.39) находим минимальную ДНФ инверсии
заданной функции: _ _
/ = ВС + AD.
После инвертирования получаем минимальную КНФ:
f = (B + C)(A + D),
содержащую четыре буквы.
Ответ: 8, 4.
Пример 3. Для функции
/(А, Б, C,D) = (0,2, 4, 5, 8, 9, 10)
найти минимальные ДНФ и КНФ и для обеих форм определить число
вхождений букв.
Решение. Находим минимальную ДНФ (рис. 3.40):
/ = ABC + ABC + BD.
В нее входит восемь букв.
Находим минимальную ДНФ инверсии (рис. 3.41):
7 = АВ + ВС + CD + ABD.
Инвертируем и получаем минимальную КНФ:
/ = (А + В)(В + С)(С + В)(А + В + D).
Ответ: 8, 9.
Пример 4. Найти минимальную ДНФ и минимальную КНФ функции
/=(1,3,7,11,12,13,14,15).
Для обеих форм определить число вхождений букв.
Решение. Эта функция имеет единственную минимальную ДНФ (рис. 3.42):
/ = AB + CD + ABD.
1
1
1
1
1
1
1
[\
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 3.39 Рис. 3.40 Рис. 3.41
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Hi
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 3.42 Рис. 3.43 Рис. 3.44
102 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Находим минимальную ДНФ инверсии (рис. 3.43):
/ = AD + BD + ABC + ABC.
Инвертируем это выражение и получаем минимальную КНФ. Она
содержит 10 вхождений переменных:
/ = (А + D)(B + D)(A + В + С)(А + Б + С).
Ответ: 7, 10.
Пример 5. Найти минимальную ДНФ и минимальную КНФ:
/ = (0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15).
Решение. В минимальной ДНФ (рис. 3.44) восемь букв:
f = AC + AC + BD + ВС.
В минимальной ДНФ инверсии (рис. 3.45) девять букв:
/ = ABC + ABC + ACD.
Столько же букв содержит и минимальная КНФ:
/ = (А + В + С)(А + В + С)(А + C + D).
Ответ: 8,9.
Пример 6. Найти минимальную ДНФ и минимальную КНФ:
/= (0, 1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
Решение. Эта функция имеет четыре минимальные ДНФ (рис. 3.46).
Запишем одну из них (поскольку, как сказано выше, при выполнении данного
задания находить все минимальные формы не требуется):
/ = АВ + CD + АВ + AD + ВС.
Минимальная ДНФ содержит 10 букв.
Находим минимальную ДНФ инверсии (рис. 3.47):
/ = ABD + ABC + ABCD.
Инвертируем это выражение. Минимальная КНФ содержит 10 букв:
/ = (А + В + D)(A + В + С)(А + B + C + D).
Ответ: 10, 10.
пг
1
1
1
1
[l
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
iH
1
рис. 3.45 Рис. 3.46 Рис. 3.47
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ 103

Задания
для самостоятельной работы
Найдите минимальные ДНФ и КНФ булевых функций, зависящих от
аргументов А, Б, С, D. Для самоконтроля укажите число вхождений букв
для ДНФ и КНФ.
)/-(2
)/-(!
)/=(!
)/-(!
)/=(0
)/-(0
)/=(!
)/-(0
)/=(0
)/-(2
)/=(0
)/-(!
)/=(0
)/-(0
)/=(5
)/-(!
)/=(0
)/-(0
)/=(!
)/-(0
)/=(!
)/=(!
)/=(0
)/=(!
)/=(0
)/=(0
)/=(0
)/-(!
)/=(0
)/-(0
)/=(!
)/-(0
)/=(0
)/-(!
)/=(!
)/-(!
)/=(!
)/-(0
)/=(0
)/-(!
)/=(0
3
2
2
2
1
1
2
1
1
3
1
2
1
1
6
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
4
4
3
3
2
2
3
2
2
4
2
3
2
2
7
5
2
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
3
2
5,6,7,
5,6,7,
5,6,7,
4,6,7,
3,4,5,
3,4,5,
4,5,6,
3,4,5,
3,4,5,
5,6,7,
4,5,6,
4,5,6,
3,4,5,
3,4,5,
10,11,
6,7,8,
3,4,5,
3,7,8,
4,5,6,
3,4,5,
4,5,6,
4,5,7,
3,5,6,
4,5,7,
3,5,6,
4,5,6,
3,4,5,
4,6,7,
3,4,5,
4,6,7,
4,6,7,
3,4,5,
3,4,5,
4,6,7,
5,6,7,
4,5,9,
4,6,7,
4,5,6,
3,4,5,
5,6,7,
3,4,5,
8,9,11,12,13,14,15);
8,9,10,11,12,13,15).
8,9,10,11,12,14,15);
8,9,10,11,13,14,15).
7,9,10,11,12,13,15);
6,8,9,10,11,12,13,14,15).
7,9,10,12,13,14,15);
6,7,8,10,11,13,14,15).
6,7,8,9,11,12,14,15);
8,9,10,12,13,15).
10,11,13,14,15);
7,8,9,11,12,14,15).
6,7,8,9,10,12,15);
6,7,8,10,11,12,13,14).
12,13,14,15);
9,10,11,12,13,14,15).
6,7,8,9,10,11,12,13,14,15);
9,10,11,12,13,14,15).
7,8,9,10,13,14,15);
6,7,8,11,13,14,15).
7,9,10,11,12,13,14,15);
8,9,10,11,12,13,15).
7,8,9,11,14,15);
8,10,11,12,13,14,15).
7,8,9,10,12,13,14,15);
7,8,9,10,11,12,13,14).
6,7,8,9,10,11,13,14);
8,9,11,12,13,14,15).
6,8,9,10,11,12,14,15);
8,9,10,11,12,13,15).
8,9,10,11,12,13,14,15);
6,8,9,10,11,13,14,15).
6,7,8,10,11,12,14,15);
9,10,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,15);
10,12,13,14,15).
8,10,11,12,13,14,15);
7,8,9,10,11,13,14,).
6,7,8,9,10,11);
8,10,11,12,13,15).
6,7,8,10,11,12,13);
(Ш68)
(НГО)
(5656)
(54БЛ)
(89ГУ)
(РОВЗ)
(42ЛТ)
(12ЛВ)
(13ША)
(31ДЯ)
(14ЕЛ)
(2323)
(3487)
(45АН)
(56ПО)
(67ПИ)
(78СХ)
(89ША)
(90РУ)
(ЭЛЭ)
(13ЕЛ)
(24X0)
(НО)
(ЕЛЬ)
(35Л5)
(46АЛ)
(57В5)
(57РН)
(79X1)
(90БУ)
(14ЛЯ)
(21ЯУ)
(31БП)
(42ЛТ)
(53ШЛ)
(СКА)
(УЛО)
(8ЛЯ)
(64АУ)
(83ТЛ)
(72НТ)
104
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)/-(0
)/ = (!
)/ = (0
)f=a
)f-(0
)f=a
)f=(0
)f=a
)/=(!
)/ = (0
)/-(!
)/ = (!
)/-(2
)/ = (0
)/=(3
)/ = (0
)/-(0
)/ = (0
)/-(2
)/ = (0
)/-(!
)/-(0
)/ = (0
)/=(!
)/-(0
)/-(0
)/-(0
)f=(2
)/-(0
)/ = (0
)/-(0
)/ = (0
)/-(2
)/-(0
)/-(0
)/ = (0
)/-(0
)/ = (0
)/-(0
)/ = (0
)/-(0
)/-(0
)/-(!
)/ = (0
)/-(0
)/ = (0
1
,3
1
,2
1
,2
1
4
2
1
2
,2
3
1
4
1
,3
1
3
1
2
,1
1
2
1
,1
,1
,3
3
,1
,1
,1
3
1
1
,3
,1
1
3
,1
,1
,2
2
1
,1
,1
2
4
2
3
3
3
2
5
4
2
3
3
4
2
5
2
4
2
4
3
3
2
2
3
2
2
3
4
4
4
2
,2
4
2
2
,4
2
2
4
,3
3
,3
3
2
4
3
4
,5
3
,6
4
,4
3
6
5
,6
4
,4
5
6
6
3
,5
4
5
,4
4
,4
4
4
,3
,3
,4
,5
5
,5
,3
,3
5
5
3
,5
,3
,5
5
,4
,4
,4
4
,4
,5
,4
5
6
4
7
6
5
,4
7
6
7
6
5
6
7
7
4
6
5
6
5
5
,5
5
6
4
,4
,5
6
6
6
,4
,4
7
6
5
,7
5
6
6
5
,5
,5
6
5
6
6
6
7
6
8
7
6
6
8
7
8
7
7
7
8
8
5
7
6
7
7
8
6
6
7
5
6
6
7
7
7
5
6
8
7
6
8
6
7
7
6
6
6
7
6
9
8
7,9, 10, 11, 12, 13,14,15).
8,9,11,12, 13, 14,15);
7,8,9,11,12,13,14,15).
9, 10, 11, 12, 14, 15);
8,9,10,11,13,14,15).
7,8,10,11,12,13,14);
7,8,10,11,12, 13,14, 15).
9,10,11, 12,13, 14, 15);
8,10, 11, 12,13,14,15).
9,10,11,12,13, 14, 15);
8,9,12,13,14,15).
8,9,10,11,13,14,15);
8,10,11,12,13,14,15).
9,11,12,13,14,15);
9,10,11,12,13,15).
6,7,9,10,11,13,14,15);
8, 10,11, 12, 13, 14, 15).
7,8,9,11,12,13,14,15);
9, 10, 11, 13, 14, 15).
8,9,10, 11,12,13,14,15);
9, 10, 11, 12, 14, 15).
,7,8,9,11,12,15);
7,8,11,12,13,14,15).
8,9,10, 11, 12,13,15);
6,7,8,10,11,12,13).
7,8,10,11,12,13,15);
,7,8,10, 12, 13, 14, 15).
9, 10,11,12,14, 15);
10,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,14,15);
7,9,11,12,13,15).
,7,9,10,11,14,15);
9,11,12,13,14,15).
9,10,11,13,14,15);
7,9,10, 11,12, 14,15).
9, 10,11,13,14, 15);
,7,8,10,11,12,13,15).
8,9,11,12,13,15);
8,9,11,13,14,15).
7,9,10, 11,13, 14,15);
,7, 10, 12,13,14,15).
,7,8,10,11,12,13,14);
8,9,10,11,12,13).
7,8,9,11,12,14);
, 10, 14, 15).
9,11, 12,13,14,15);
(96ИЛ)
(70ЦХ)
(62AX)
(9052)
(39УВ)
(6033)
(ГОЦТ)
(ПОПХ)
(ЕНИР)
(TOMC)
(НАРФ)
(ЛАЕК)
(ГИ26)
(ВАОФ)
(ДОФО)
(УА31)
(КАПП)
(НУ62)
(НЕЙР)
(ВИДУ)
(КИПУ)
(ТЕМП)
(87ЛЭ)
(ЛИНИ)
(НАРЯ)
(ГА85)
(ПАШ)
(РИПС)
(КИИС)
(БУОГ)
(РЕАБ)
(НИ56)
(РЕИП)
(ЛУИЛ)
(ГОУЗ)
(ЛАНФ)
(УКСЬ)
(83ГЛ)
(92Р5)
(94РО)
(5602)
(93РБ)
(4074)
(ТИМУ)
(6025)
(ПЕЛЕ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
105

48.
49.
50.
б)/-
а)/-
б)/ =
а)/-
б)/-
а)/-
■(1,
= (0,
■(1,
= (0,
= (0,
= (0,
2,
1,
2,
1,
2,
1,
3,
2,
3,
3,
3,
2,
4
4
5
4
4
4
б)/-(2, 3,4, 5, 6, 7,8, 10, 11, 12, 13, 14). (ОЧАВ)
45. a)f-(0, 1,3,4,6, 7,8,9, 10, 11, 12); (ШОМО)
б) / = (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15). (2544)
46. a) f- (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15); (2202)
б) / = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15). (69МЕ)
47. a) f= (0, 1, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (7794)
.6,7,8,10,11,12,14,15). (45МА)
5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (ВАЛЕ)
6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (ПЕЕФ)
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (22ПС)
5,6,7,8,9,10,12,13,15). (ПОЭЗ)
5,6,8,9,11,12,13,14,15); (НИРО)
б) / = (0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15). (ЧАТК)
3.4.
ДНФ, КНФ И ФОРМЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Всякая булева функция может быть задана неограниченным числом
аналитических выражений. Среди них — нормальные формы и формы
высших порядков. В классе нормальных форм функции могут быть
представлены в произвольных ДНФ и КНФ, куда входят совершенные, сокращенные,
тупиковые и минимальные формы. В некоторых случаях минимальные ДНФ
и КНФ могут совпадать. Это необходимо учитывать при выполнении
нижеприведенных заданий.
Пример. Укажите номера функций, представленных:
а) в минимальной ДНФ; б) в минимальной КНФ:
1) f(A, B,C,D) = AB + BC_+ D;
2) f(A, В, С, D) = ABD + CD + АС;
3) f(A, В, С, D) = BCD + А;
4) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
5)f(A,B,C) = AB+_AC + BC;
б) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + ЩВ + C + D);
7) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + С)(А + B + D).
Решение. Первая, третья и пятая функции представлены в минимальных
ДНФ, в чем нетрудно убедиться, если их нанести на карты Вейча и
минимизировать.
Вторая функция представлена в ДНФ, но не является минимальной.
После минимизации она принимает вид
f(A, В, С, D) = BD + CD + AC,
т. е. ее минимальная форма содержит шесть вхождений переменных, в то
время как в заданную форму входит семь букв.
Четвертая функция не относится к нормальным формам, так как в нее
входит конъюнкция со знаком инверсии над двумя буквами: АВ.
Шестая и седьмая функции представлены в минимальных КНФ.
106
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Таким образом, из семи выражений заданного списка минимальными
ДНФ являются: первая, третья и пятая функции, а минимальными КНФ —
шестая и седьмая. Остальные выражения не относятся ни к минимальным
ДНФ, ни к минимальным КНФ.
Ответы: а) 1,3, 5; б) 6, 7.
Задания
для самостоятельной работы
Задания, представленные в данном подразделе, состоят из семи булевых
функций каждое. Во всех заданиях присутствуют как минимальные ДНФ и
КНФ, так и прочие формы. Задача состоит в том, чтобы найти все
минимальные ДНФ и все минимальные КНФ и указать их номера. При самоконтроле
номера необходимо упорядочить по возрастанию.
1. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (МКГС) б) в минимальной КНФ: (23УР)
1) ДА, B,C,D)=A + BC + D;
2) ДА, В, С, D)=ABD + CD + АС;
3) ДА, В, С, D) = А + BCD;
4) /(А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
5) ДА, В, С) = АВ + АС + ВС;
б) ДА, B,C,D) = (A + B + С)(А + В + D)(B + С + D);
7) ДА, В, С, D) = (А + В + С)(А + В + С)(А + B + C + D).
2. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ККК) б) в минимальной КНФ: (45ПБ)
1) ДА, B,C,D) = (A + B + C)DL
2) ДА, В, С, D) = А + BCD + ВС;
3) ДС, D, E, F) = CDEF + CDEF + CDEF;
4) ДА, В, С, D) = (А + В + С + D)ABCD;
5) ДА, В, С, D) = АВ(С + D);
б) ДА, В) = АВ + АВ;
7) ДА, В,С)=АВ+АС + ВС.
3. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (СТС) б) в минимальной КНФ: (87Б8)
1) ДА, В, С, D) = (АВ + C)D + AC;
2) ДА, В,С)=АВ+АС + ВС;
3) ДА, В, С, D) = А + BCD(C + D);
4)f(A,B,C,D)=ABD;
5) ДВ, С, N) = BCN + BCN + BCN + BCN;
б) ДА, В, С, D) = AC + AC;
7) ДС, D, N) = CDN.
4. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (5581) б) в минимальной КНФ: (88ДМ)
1) ДА, С, D) = ACD + ACD + ACD + ACD;
2) ДА, В, С, D) = А + В + С + D;
3) ДА, B,C,D) = (A + B + C)D;
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
107

4)f(A,B,C)=A+ABC;
5) /(А, Б, С, D) = (A + Б_+ С + £>)(Б + С + D)(A + С + D);
6) /(А, Б, С, D) = АВСфС + ZO;
7) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
5. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (22УЦ) б) в минимальной КНФ: (ПРЭФ)
1) /(А, Б, С, D) = А + БС£>(С + D);
2) /(А, Б, С, D) = (А + Б + C)D;
3) /(А, Б, С, Я) = АБСЯ + АВСЕ;
4) /(А, Б, С, D) = АБ + CD + AD;
5) /(А, Б, С, D) = АБ + АВ;
б) /(А, Б, С, D) = AD(A + C)(C + D);
7) /(А, Б, С, D) = А + БС + D.
6. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ГОУХ) б) в минимальной КН: (67РБ)
1) /(А, Б, С, D) = ABCD + АБС1);
2) /(А, Б, С) = (А +_Б + С)(А + Б + С)(А + В + С);
3)f(A,B,C,D) = (A + B + C_ + D)ABCD;
4) /(А, Б, CyD) = (A + B+_C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D);
5) /(А, Б, С, D) = АВС + БСЯ^ьАБЯ;
б) /(А, Б, С) = АБС + ABC + АБС;
7) /(А, Б, С, D) = А + BCD{C + D).
7. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (98ЦП) б) в минимальной КН: (90НО)
1) /(А, Б, С, D) = (AjjB +_С)(А + С + !))(А + Б + С + D);
2) /(А, Б, С, D) = ABC + 5CZ) + ABCD + ABD;
3) /(А, Б, С, Р) = (А + В + С + D)ABCD;
4) /(С, D, Я) = CDE + CD£; _
5) /(А, Б, М) = АБМ + АВМ + АБМ;_
б) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + Б + С);
7)/(А,Б,С)=А+АБС.
8. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (64ХХ) б) в минимальной КН: (765Т)
1) /(А, Б, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + АС);
2) /(А, Б) = АБ + АВ + АБ;
3) /(A, B,C,D)=A + B + C + D;
4) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + Б£>)(С + D)±
5) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + Б + С);
б) /(А, Б, С, D) = (АВ + C)D + AC;
7) /(А, Б, С, D) = А + БС£>(С + D).
9. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (76А) б) в минимальной КНФ: (IT)
1) /(А, Б, #, L) = ABKL + AB#L; _
2) /(А, Б, С) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + В + С);
3)/(А,Б,С,Я)=А;
4) /(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
108
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

5) ДА, B,C,D)=A + B + C + D;
6) f(R, S, T) = RST;
7) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD.
10. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ИВ) б) в минимальной КНФ: (БКП)
1) /(A, R, Т) = ART + ART + ART + ART + ART;
2) ДА, B, C, D, E) =ABCD;
3) f(A, B,C,D)=A + B + C + D;
4) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
5) f(A, B, C, D) = (AB + C)D + AC;
б) f(A, B, C, !>)_= AB + CD + AD;
7) f(B, С, Е) = ВСЕ.
11. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (80ГЖ) б) в минимальной КНФ: (44ВП)
1) f(A, В, С, D, Е) = ABCDE + ABCDE;
2) ДА, В, С, D) =АВС(С + D);
3) f(A, В, С, D) = AD(A + C)(C + D);
4) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
5) f(A, С, D) = ACD + ACD + ACD;
б) f(A, B,C,D) = (AB + C)D+AC;
7)f(A,B,C)=A + B + C.
12. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (322Г) б) в минимальной КНФ: (81ТА)
1) f(A, В, С, D) = ABC + ABC + ABC;
2) ДА, B,C,D) = (A + D)(B + C + D)(D + AC);
3) ДА, B,C,D) = (A + B + C)(A + C + BD)(C + D);
4) ДА, В, С, D) = (AB + C)D_+AC;
5) /(A, B, C, D) = (A + B + C)(A +_B +_D)(A + B + C);
б) /(A, R, S) = ARS + ARS + ARS + ARS;
7) ДА, В, С, D) =AB + CD+AD.
13. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (43Б7) б) в минимальной КНФ: (И7)
1) /(А, В, C,D) = (A + B + C + ЩВ + С + D)(A + C + D);
2) /(В, С, Р) = ВСР + ВСР + ВСР;
3)/(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
4)ДА,В,С,1>)=А;
5) /(А, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
б) ДА, В, С, D)=AB + CD+AD;
7) /(А, В, С, D) = ABCD.
14. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (Р069) б) в минимальной КНФ: (89ПИ)
1) /(А, В, С, D) = (А + В + С)(А + В + С)(А + B + D);
2) f(A, С, D, Е) = ACDE + ACDE;
3) ДА, В, С, D) = (A + D)(B + C + D)(D+AC);
4) /(А, В,С) = А + ВС;
5) /(A, B,C,D) = AB + CD + AD;
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
109

6) ДА, Б, С, D, F) = ABCDJ1;
7) ДА, Б, С, D) = AD(A + С)(С + D).
15. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (77ИД) б) в минимальной КНФ: (3355)
1) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + Б)(В + С + D)(A + Б + С + 5);
2)f(C,D,P,Q) = CDPQ; _
3) ДА, Б, С, D) = ABC + БС£> + ABD;
4) ДА, Б, С, D) = А + ВС + D;
5)ДА,Б,С)=А + Б + С;
б) ДА, Б, С, D) = (А + £>)(Б + С + D)(D + AC);
7) /(С, D) = CD + CD + CD.
16. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ПХ) б) в минимальной КНФ: (ВЭР)
l)f(A,B,C) = ABC + ABC + ABC;
2) ДА, B,C,D) = (A + B + С)(В + С + D)(B + С);
3) ДА, Б, С, AF) = ABDi^;
4)/(P,Q) = PQ + PQ;
5) ДА,B,C,D) = (A + B + C)(A + С + BD)(C + D);
6)ДА,Б,С)=А+АБС;_
7) ДА, B,C,D) = AB + CD + AD.
17. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ДР) б) в минимальной КНФ: (39ДА)
1)ДД, S,T) = RST^ + RST;
2) ДА, B,C,D) = A + BC + D;
3) ДА, Б, С, D) = (А + £>)(Б + С + D)(D + AC);
4)f(A,B,C) = AB + AC + BC;
5) ДА, Б, С) = (А +_Б + С)(А + Б + СИ А + Б + С);
б) ДА, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
7)ДБ) = Б.
18. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (НАОЛ) б) в минимальной КНФ: (54ГК)
1) ДА, Б, С, D) = ABCD + ABCD;
2) ДА, В,С) = АВ + АС + ВС;
3) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + D)ABCD;
4)ДА,Б,С,Д)=А;
5) ДА, Б, С, Z>) = ABC + АБС + ABC;
6)ДА,Б) = АБ;
7) /(А, Б, С, D, £) = ABCDE + ABCDE.
19. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ХАУЛ) б) в минимальной КНФ: (81ЯШ)
1) ДА, ВУС) = (А + В + С)(А + Б + С)(А + В + С);
2) ДА, Б, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + AC);
3) ДА, Б, С, D) = (AB + C)D +AC;
4) ДА, Б, С) = АБС + АВ + АС + БС;
5) ДА, B,C,D)=A + BCD{C + D);
б) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + D)(A + Б + 5);
110
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

7) f(D, Ey F) = DEF + DEF + DEF + DEF.
20. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ХС) б) в минимальной КНФ: (ЦП
1) /(А, В, С, D) = АВ + CD + AD;
2)f(D,E,F) = DEF;
3) /(А, Б, С) = (А + Б + С)(А + В + С)(А + В + С);
4)/(А,В,С)=А + В + С;
5)f(A,B,C) = ABC±
б) /(А, Б, C,D) = (A + B + C + D)(B + С + D)(A + В + С);
7) /(Б, С, D) = BCD + 5CZ) + BCD + BCD.
21. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (760В) б) в минимальной КНФ: (453А)
1) /(А, Б, С, D) = (А_+ Б + С_+ D)(A + Б + С + D)(A + Б + С + D);
2) /(А, Б, С, D) = АВС(А^-В + С -^D); _
3) /(А, С, D) = ACD_+ ACD + ACD + ACD;
4) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С + D)ABCD;
5) /(А, Б, С, D) = AD(AL+ С)(С + D);
б) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + D)(C + В);
7) /(А, Б, С, D) = (АБ + C)D +AC.
22. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (340Й) б) в минимальной КНФ: (79ЛЦ)
l)f(A,B,C) = A + BC;
2) /(А, Б, С) = (А +_В + С)(А + Б +_С)(А + В + С); _
3) /(А, Б, С, D) НА + В_+С + D){B + С + D)(A + С + D);
4) /(А, Б, D) = ABD + ABD;
5)/(A,B,C,D)_=A;
6)/(B,D) = BD;
7) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD.
23. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (НАТЛ) б) в минимальной КНФ: (84ЯС)
1) /(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + С + D)(A + B + C);
2) /(А, Б, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + AC);
3) /(А, Б, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
4) /(А, Б, С, D) = АВ + BCD;
5) /(А, Б, С) = АВС + ABC + АВС;_
б) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + В + С)(А + В + С);
7)/(А,В,С) = АВ + АВС.
24. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (96ПТ) б) в минимальной КНФ: (82ПО)
1) /(А, Б, С, D) = (А + £>)(Б + С + D)(A + С + D);
2) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + BD)(C + D);
3) /(А, Б, С) = ABC + АС + ВС;
4) /(А, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
5) /(А, Б, С, D) = (АВ + C)D + AC;
б) /(А, Б, С, D) = А + BCD(C + D);
7) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
111

25. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (50ДР) б) в минимальной КНФ: (590Й)
1)/(А,Б,С)=А + Б + С;
2) /(А, Б, CyD) = AB +JSC + ACD;
3) /(А, Б, С) = ABC + АБС;_
4) /(А, Б, С) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + В + С);
5) /(А, Б, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + АС);
б) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + Б£>)(С + D);
7) /(А, Б, С, D) = А + БС£>(С + D).
26. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (84УУ) б) в минимальной КНФ: (4721)
1) /(А, Б, С, D) = (А_+ Б + С)( А + Б + С)(А + Б + С);
2) /(А, В,С) = А + ВС;
3)f(A,B,C,D) = AB + CD + AD; _
4) /(А, Б, С, D) = (А + Р)(В + С + 5)(D + AC);
5) /(А, Б, С, D) = (А_+ Б_+ С)(А + С + Б£>)(С + D);
б) /(А, Б, С, D) = АВС(АС + Z));
7) /(А, Б, D, Р) = ABDF + ABDP + АБЯР.
27. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (85УЧ) б) в минимальной КНФ: (НИ12)
1) /(А, Б, С) = А + АВС;
2) /(А, Б, С, D) = АВ + CD + AD;
3) /(А, Б, С, D) = А + Б + С + D;
4) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD;
5) /(А, Б, С, D) = AD(A + С)(С + D);
б) /(А, Б, С, D) = D + А(ВС + D);
7) /(А, Б, D, Я) = ABDE.
28. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (47НА) б) в минимальной КНФ: (32АО)
1) /(А, Б, С, £)_= (А + Б + C)D;
2) /(С, D,P) = CDP + CDP + CDP + С#Р;
3) /(А, Б, С, D) = AD(A + С)(С + D);
4) /(А, Б, С, D) = АВС(С + Z));
5) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(Б + С + D)(C + 5);
б) /(А, Б, С, D) = CD(A + C)(C +_D);
7) /(А, Б, С, D) = А + ВС + D + ВС.
29. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (78АК) б) в минимальной КНФ: (РИЧ)
1) /(А, Б, С, D) = ABC + АБС + АБС;
2)f(A,B,C,D) = ABC_+AB;
3) /(С, D, Р) = CDF + CDP + CDP + CDP;
4)/(А,Б,С)=А + Б + С;
5) /(А, Б, С, D) = (А + В + С)(Б + С + 5)(Б + С + D);
б) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + БР>)(С + Р>);
7)/(А,Б,С) = Б + АБС.
30. Укажите функции, представленные:
112
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а) в минимальной ДНФ; (ЛОФИ) б) в минимальной КНФ: (57ШМ)
1) ДА, Б, С, D) = (А + В + С + D)ABCD\
2) ДБ, С, D) = BCD + БСР + БС£>;
3) /(А, Б, С, D) = ABCDF + ABCD*1 + ABCDF;
4) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + Б + С);
5) ДА, Б, С, D) = А + Б 4- С 4- D;
6)ДА,Б,С,1)) = АБ + АБ;
7) f(E) = E.
31. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (76КО) б) в минимальной КНФ: (НОНО)
1) /(А, Б, С) = (А +^В + С)(А + Б +^)(А + В + С);_
2) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + Р)(Б + С + D)(A + С + D);
3) Д А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
4) /(A, D, ^) = AZ>F + ADF + AOF + AOF + AOF;
5) ДА, B,C,D) = A + BC + D;
б) ДА, Б, С, D) = (А 4- D)(B 4- С 4- D)(A 4- С);
7) ДА, Б, С, D) = (А + В)(А + С + 5D)(C + D).
32. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ТАРГ) б) в минимальной КНФ: (РОМО)
1) ДА, ByCyD) = A + B + C + D\_
2) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD;
3) Д£, F) = EF + EF + EF;
4) ДА, Б, С) = АВ 4- АС 4- ВС;
5) ДА, Б, С) = (А + Б + С)(А + Б + С)(AjkB + CD)^
б) ДА, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + С + D);
7) ДА, Б, С, D) = (А 4- Б 4- C)D.
33. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (83ЯХ) б) в минимальной КНФ: (47А5)
1) ДА, ВУС) = А + АВС + ABD;
2) ДА, Б, С, D) = BCD(C + D) + А;
3) /(А, Б, С, D) = ABCD -kABCZ) + ABCD + ABCD;
4) /(A, B,C,D) = AB + CD + AD + ACD;
5) ДА, Б, С, D) = AD(A + C)(Cj- i)](A + Б + С + D);
б) ДА, Б, С, D) = (А + D)(B +_С + 25)( А_+ Б + С);
7) /(А, Б, С, D) = АБ + ВС + AD + ACD.
34. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (25СБ) б) в минимальной КНФ: (36ВТ)
1) ДА, ByC)=AB + BC + CD + АС;
2) ДА, B,C,D) = (A + B + C)D;
3) ДА, ByCyD)= ABC(C 4- D);
4) ДА, Б, С, D) = AD(A + С)(С + 5);
5)/(A,JE,F) = i4£F; _
6) ДА, B,C,D) = A + BCD(C_+ D);
7) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD.
35. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (338Е) б) в минимальной КНФ: (ФЦ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
113

1) /(А, Б, C,D) = (A + B+_C + D)(B + С ±D)(A + С + £>);_
2) /(А, Б, C, D) = ABC + BCZ) + ACD + ABD + ABD + AC;
3) /(А, Б, C, D) = ABC + ABC + ABC + ABCD;
4) /(А, B,^, D) = (A + Б + C)(A + В + C)(A + Б + С);
5)/(i>) = i>;
6)/(B,Z)) = BZ>;
7) /(А, Б) = AB + AB + AB.
36. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (843С) б) в минимальной КНФ: (67УА)
1) /(А, Б, Е, F) = ABEF + ABEF;
2) /(А, Б, С, D) = (А + B)CD;
3) /(А, Б, С, D) = АВС(С + D);
4) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А_+ С + BD)(C + D);
5) /(А, Б, С, D) = (АВ + C)D + AC;
б) /(A, B,C,D) = A + BCDip +_D);
7) /(Б, С, D) = BCD + Б С 5 + BCD + BCD.
37. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (82ЭЕ) б) в минимальной КНФ: (465К)
1) /(A, B,C,D) = (A + B + C +_D)ABCD;
2) /(А, Б, С, D) = АВ + ВС + ABC;
3) /(А, Б, С) = ABC + ABC + ABC + ABC;
4) /(А, Б, С, D) = (A + Z))(B + С + D)(Z) + AC);
5) /(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + С + BD)(C + D);
6)/(A,B,C,D)=A;
7) /(C, D, K) = CDK.
38. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ЛЕ) б) в минимальной КНФ: (ТОУ)
1)/(А,В,С)=А + В + С;
2) /(A, B,C,D) = (A + B + С)(А + С_+ BD)(C + D)(C + D);
3) /(А, Б, С, D) = (АВ + Ср + АС(А + Б);
4) /(А, Б, С, D) = А_+ ВС5(С + В);
5) /(А, Б, D) = ABDi
б) /(А, Б) = АВ + АВ; _
7) /(А, Б, С) = АВ + АС + ABC.
39. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (46ЯЗ) б) в минимальной КНФ: (35X5)
1) /(A, D, Е) = ADE + ADE + ADE^
2) /(А, Б, С, D) = АВС(С + D)(C + 5)(А +_В +_С);
3) /(А, Б, С, D) = AD(А + С)(С + D)(А + Б + С + D);
4) /(А, Б, C)j= (А^-В-^ С)(А + В + С)(А + В + С)(А + B + C + D);
5)/(В, С) = ВС;
6) /(А, Б, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + АС)(А + В + D);
7) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + BZ))(C + D)(A + В + С + D).
40. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (817Р) б) в минимальной КНФ: (ГАОК)
1) /(А, Б, С) = ABC + ABC + ABC;
114
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2) ДА, B,C,D) = (A + B + C)(A + С + BD){C + D)(A + B + C + D);
3) /(А, Б, С, D) = (АВ + C)D + АС + Б£> + CD;_
4) ДА, B,C,D) = (A + B + С)(А + Б + D)(A + Б + D)(A + B + C + D);
5) /(А, Б, С, D) = А 4- Б 4- С 4- D;
6) ДА, D) = AD + АВ\
7) ДА, Б, С) = А + АБС + ABCD.
41. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ОТК) б) в минимальной КНФ: (83ЭЦ)
1) ДА,Б,С,£>) = (А + Б + С + D)(S + С + D)(A + С + D)(A + Б + С + Б);
2) ДА, Б, D, К) = ABDK; _
3) ДА, Б, С, D) = (А + Л)(В + С + D)(D + AC)(A + B + C + D);
4) ДА, Б, С, D) = ABqC + D)(A + Б + СКА -^Б + В);
5) ДА, Б, С, D) = AD(A + С)(С + D)(A + С + 5)(Б + С + 5);
6)/(A,B,C,Z)) = Z>; _
7) ДА, Б, С, D) = ABC.
42. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (7ТЕ) б) в минимальной КНФ: (ЕМЬЕ)
1) ДА, Б, С, Z>) = ABCD + ABCD + ABCD + АБС5;
2) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + D)ABCD;
3) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + Б + С)(А + B + C + D);
4)/(А,Б,С,Я)=А;
5) ДА, В,С) = (А + В + С)(А + Б + С)(А + Б + С);
6)f(B,D) = BD; _ _
7) /(А, Б, С, D) = ACDJE + ACDE + ACDE + ABCD.
43. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (81ЦН) б) в минимальной КНФ: (35ШО)
1) /(А, Б, С, D) = ABC + БС1) + ACD + ABD + ABCD;
2) ДА, Б, С, D) = А + АБС + ВС + #;_
3) /(А, Б, С, D) = АБС + ABC + АБС5;
4) ДА, Б, С, D) = (А + £>)(Б + С_+ D)(D_ + АС)(А +_Б + С -кб);_
5) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + 5)(Б + С + Z>)(A + С + D)(A + С + D);
б) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + С + D)(C + D);
7) ДА, Б, D) = ABD + АБЯ.
44. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (79ПД) б) в минимальной КНФ: (65БФ)
1) ДА, С) = АС + АС;
2) ДА, Б, С) = (А +_Б + С)(А + Б +^)(А + Б + С)(А + Б + С);
3) /(А, Б, С, D) = (А + Б + С + Я)(В + С + D)(A + С + D)(A + Б + С + 5);
4) ДА, Б, С, D) = (А_+ Б + С)25;
5) ДА, Б, С, D) = АВС{С + 5);
б) /(А, В) = АВ + АВ; _
7) ДА, Б, D) = АВ + AD + BD.
45. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (Р062) б) в минимальной КНФ: (5А)
1) ДА, Б, С, D) = (А + Б + C)D;_
2) ДА, С, D) = (А + С + D)(A + С + D)(A + С + 5)(А + С + 5);
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
115

3) /(A, B,C,D)= AB(C + D);
4)ДА,Б) = АБ; _ _ _
5) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + A5CD;
6) ДА, Б, С, D) = AD(A + C)(C + D)(A + B + C + D);
7) /(А, Б, C, D) = AC + AD + ABD + 5CD.
46. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (75КЖ) б) в минимальной КНФ: (54КП)
1) ДА, Б, С) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC;
2) ДА, Б, Л = ABF + ABF;
3) ДА, Б, С, D) = АС + БС + AD + BD;
4) ДА, Б, С, D) = (А_+ Б + D)(A + С_+ 5D)(C + D)(C + 5);
5) /(А, Б, С, D) = BCD + ACD + (АВ + C)D + АС; _
б) ДА, Б, С, D) = (А + В)(А +_С + D)(Z) + AC)(A + B + C + D);
7) ДА, B,C,D) = (A + B + C)D.
47. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (6Р1) б) в минимальной КНФ: (ЖФ)
1) ДА, Б, C,D) = (A + B + C + D)(B + С-^D)(A + Cjh 1>)(А_+ Б + С + D);
2) /(А, Б, С, D) =_АВС + BCD + ACD + ABD + ABC + ACD;
3) ДА, Б, С) = ABC;
4)/(A,5,C,D)=A;
5)/(А,Б,С,1))=АБ;
6) /(А, Б, С, D) = CD АВ + ABCD;
7) ДА, Б, ЛГ) = АВЛГ + АВЛГ.
48. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (886) б) в минимальной КНФ: (25ЦС)
1) ДА, Б, С) = АВС^
2) ДА, Б, С) = Б + ABC;
3) ДА, ВУС, D) = АВ_+ BD + CD + ACD;
4) ДА, Б) = АВ + АВ;
5) ДА, Б, С) = АВ + АС + ВС;
б) /(А, Б, С, D) = АВ + ABCD + ABCD + ABCD;
7) ДА, В,С) = {А + В + С)(А + В + С)(А + Б + С).
49. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (НЕ2Р) б) в минимальной КНФ: (КЕЧ5)
1) ДА, Б, С, D) = ABC + ABC + ABC;
2)f(D) = D;
3)f(A,B,C,D)=AB; _ _
4) /(А, Б, C, D) = АБС + 5CD + ABCD + ABCD; _
5) ДА, B,C,D) = (A + B + C)(A + Б + C)(A + Б + С)(А + B + C + D);
б) ДА, Б, С) = ABC + A + ABC;
7) ДА, Б, С, D) = АВ + CD + AD.
50. Укажите функции, представленные:
а) в минимальной ДНФ; (ГИ86) б) в минимальной КНФ: (85РИ)
1) ДА, Б, С, D) = (А + 5D + С + D)ABCD;
2) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С -^D)(5 + С + D)(A + С + D)(A + Б + С + D);
3) ДА, B,C,D) = (A + B + C)CD;
116
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4) /(А, Б, С, D) = АВ(С + Z>);
5) /(А, Б, С, D) = ABC + АБ +_CZ^+ AD;
6) /(А, Б, С) = ABC + АВС + ABC + АБС;
7) /(А, Б, С, D) = BCD.
3.5.
МИНИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ ДНФ
С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Минимизация в классе ДНФ неполностью определенных булевых
функций при помощи карт Вейча сводится к выбору такого способа
доопределения, при котором формула содержит наименьшее число букв по сравнению с
другими вариантами ДНФ.
На рис. 3.48-3.75 приведены примеры минимизации булевых формул.
1
1
X
1
X
/ = АВ + ВС
Рис. 3.48
1
X
X
1
X
1
/ = ВС + ЛВ
Рнс. 3.51
гп
X
X
1
X
Т1
1
f = A + C
Рис. 3.49
| 1
X
1
X
X
1
f=BC+A
Рис. 3.52
1
X
1
1
X
/=АВ + AC+BC
Рис. 3.50
1
X
1
X
X
1
/ = АС + В
Рис. 3.53
X
1
X
X
X
1
1
1
X
1
X
1
1
/ = с
Рнс. 3.54
X
X
1 1
1
1
1
1
X
1
1
1
1
f = CD + ACD +
+AC+AD+AB
Рис. 3.57
f = C + AB + AB
Рис. 3.55
1
1
| X
1
1
X
1
X
X
X
1
X
1
/ = А + CD + CD
Рис. 3.58
р|
1
X
1
X
1
X
X
1~1
1
1
1
f = BD+BD + AC + AC
Рнс. 3.56
1
1
1
X
X
X
1
1
X
X
1
1
/ = D + АВ + АС
Рис. 3.59
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
117

1
1
1
1
X
X
1
ll
X
1
X
f = AC+CD +
+ ABC + BD+ BCD
Рис. 3.60
Hi
X
1
1
X
1
X
1
1
1
1
f=CD+AD+
+ BC+ABD
Рис. 3.63
Hi
1
1
X
1
X
X
1
1
X
f = BCD + AC +
+ BCD + ABCD
Рис. 3.66
Hi
X
1
X
X
1
1
1
1
ll
1
1
1
/ = AB + С + D
Рис. 3.69
V\
1
1
1
X
X
1
1
1
X
ll
X
1
1
f = A+C
Рис. 3.61
Hi
1
1
1
1
X
X
1
X
f = ACD+ACD +
+ ACD + ACD
Рис. 3.64
1
1
1
X
1
X
X
1
X
ll
1
f = CD + AC + ABD +
+ ABD + ABD + ABD
Рис. 3.67
X
1
X
1
1
X
1
X
l]
X
1
f = CD + AC+BD
Рис. 3.70
\\
1
X
X
X
1
X
1
X
1
X
1
X
/ = D + AB + ABC
Рис. 3.62
1
1
X
X
X
1
1
1
1
1
1
1
f = AC + BCD +
+AB+BD
Рис. 3.65
[l
1
X
1
X
X
1
X
1
X
1
X
1
/ = A + С + BD
Рис. 3.68
Hi
X
1
1
1
X
X
1
1
iH
1
X
1
f=A+C+BD
Рис. 3.71
118
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

X
1
1
1
1
1
X
1
1
X
1
X
1
X
1
1
1
1
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
X
1
1
1
X
1
X
1
1
1
1
1
1
X
X
X
1
X
1
1
f = BD + A D + А В С + ABE + ABC f = В + ACD +ADE + AC DE + AC D E + ACDE
Рис. 3.72 Рис. 3.73
jl
X
X
1
X
1
1
1
1
1
I
X
1
X
X
1
1
1
]
1
X
1
1
X
X
1
X
1
1
1
X
X
X
1
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
/ = ABD + ACD + BD + ACE+BCE + BDE f = BD + ABC + ACDE + CDE + ADE + ACD
Рис. 3.74 Рис. 3.75
Задания
для самостоятельной работы
Найдите минимальные ДНФ с учетом неопределенных состояний (они
указаны в квадратных скобках). Для самоконтроля укажите сначала число
знаков дизъюнкции, а затем — число вхождений переменных.
1. а) /(А, Б, С) = ВС + ABC [6, 7]; (КАА9)
б) /(А, Б, С, D) = С + АВ + BD [6, 7, 10, 12, 15]; (АНЦК)
в) /(А, Б, С, D) = АС + АВ + АВ +_БЯ_[3^6, 10]; (ГГВБ)
г) /(А, Б, С, D, E) = BD + CD + DE + ABC [0, 1, 3, 5, 19]. (ЯФА7)
2. а) /(А, В,С) = АВ+АС [0, 5]^ __ (ПЕАЛ)
б) /(A, B,C,D) = A + BD + BD + CD [10, 11, 15]; (ШМЕ)
в) /(A, B,C,D) = C + BD + AD [3,7, 14, 15]; (СПЕ)
г) /(А, Б, С, D, Е) = AD + BCD + ABCDE + ABCDE [0,1,9,10,11,17,21].
(НОЦК)
3. а) /(А, Б, С) = AC +JLBC + АВС_ [3, 5]; (КДВ)
б) /(А, Б, С, D) = AC + BD + AD + BCD [6, 7, 9, 11]; (КЫГ)
в) /(A, B,C,D) = D + AB +_ВС_ [2^4,6, 11]; (ВАЛБ)
г) f(A,B,C,D,E) = AB + BDE + BCD + ACDE + ACDE [0, 10, 15, 21,
24,26,28,29,30,31]. _ (Г066)
4. а) /(А, Б, С) = АВ+ВС [1,4,5]; (ВИСТ)
б) f(A, B,C, D) = АС + AD + ВС + BD [0,4,7, 15]; (НИЭГ)
в) f(A, B,C, D) = ABC + ABD + ABD + ABC [0, 1, 2, 4, 5, 10];
(ДЕ8Н)
г) f(A,B,C,D,E) = ABE + ABE + BCD + ABCD + ABC [18,24,25,27,
29,31]. (ЙЙ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
119

5. a) f(A,B,C) = AB + ABC_[1,4,6]; __ (2368)
б) f(A, B, C, D) = ABD + ACD + ABD + ABC + ABD + BCD [0,1,2,6,9,14];
(ЛОГ6)
в) f(A, B, C, D) = BCD + ABCD + AB + BCD + BCD [0, 1, ЗД4]; (ТУО)
r) f(A, B, C, D, E) = ABCD + ABCD + ACDE + ABE + BCDE [0, 1, 3, 8,
9, 15, 23, 26, 27, 31]. (ЛУ43)
6. a) f(A, B, C) = AC + ABC [0, 3,5]; (78ИЧ)
б) f(A, B, C, D) = BD + ACD + ABC + ABC + AD [1, 7, 9, 10]; (АРУД)
в) f(A, B, C, D) = ACD + B + ACD. [ 1,3,8,_10]; (ПАТХ)
r) f(A, B, C, D, E) = ACD + ABCD + ABC + BCDE + ACDE + ABDE + АВСЁ
[2,3,4,16,19,23,27,28,31]. (ЭСЯ)
7. a) f(A, B,C) = ВС + ABC [2,5]; (ОРЛА)
б) f(A, B, C, D) = ABD + CD_+ AB + AC + BD [6, 9, 14]; (KA52)
в) f(A, B, C, D) = £ +_C + AD + AD [2,_3, 7Л0,_11]; (ИВОФ)
г) f(A, В, С, D, E) = ВС + ABDE + ABCE + ABCD + ABCD [12, 14, 16,
17,18,28,30]. _ _ (ЭЗГ)
8. a) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC [3, 5, 7]; (ОПР5)
б) f(A, B, C, D) = CD + AB + BC + AD [1, 6, 7, 8, 15]; (ЛИЧА)
в) f(A, B, C, D) = BD + AD + ACD + BCD [1, 3,7]; _ (ДИ22)
r) f(A, B, C, D, E) = ABD + ACE + ABE + ABCD + ABDE + BCDE [0,1,
2,3,4,5,6,7,9,15]. _ (ТОПО)
9. a) f(A,B,C) = AB + ^BC [0, 4, 5]; _ _ (ВИТА)
б) f(A, B, C, D) = ABCD + CD + ABC + AD [0, 2, 6, 9, 14]; (РОЮЛ)
в) f(A,B,C,D) = CD + CD + ABD + ABCJ.5,6, 9,10]; (ГОСК)
r) f(A, B, C, D, E) = ВС + ACD + ACE + ABCE + ABCD [0,2,9,11,25,
27,29]. (ЛОИС)
10. a) f(A, B, C) = ABC + AB [0, 1,6]^ _ (СИЛА)
б) f(A, B, C, D) = ABCD + AC + AB + BD + CD [4, 5, 6, 12]; (K057)
в) f(A, B, C, D) = ABD + BC + AD + AB + CD_[0,_1, 3_, 4, 5, 9]; (КУБЯ)
r) f(A, B, C, D, E) = ABC + ABCE + ACE + ABCD + BCDE [6, 8, 10, 22,
23]. _ (ВОЛА)
11. a) f(A, B, C) = ABC + AC + ВС [О, 4]; (РИОЗ)
б) f(A, B,C,D) = AC_ + BC + CD + CD_[2, 3, 6, 7, 10, 11]; (РОУК)
в) f(A, B, C, D) = AB + AD + AC + ACD + BCD [0, 2, 6, 9^13]; _ (ЯРЛЕ)
r) f(A, B, C, D, E) = ACDE + ABC + ABC + BCDE + ACDE + ABCDE [3,
6, 7, 13, 22, 23, 27]. (HABC)
12. a) f(A, B, C) = AB + ABC [0, 2,_3_, 5]; (44XA)
б) f(A,B,C,D) = AD + CD + ABC_ [5,^0, 12, 13]; (КИБЖ)
в) f(A, B, C, D) = BD + AD + ABC + ACD + BCD [2, 6, 10, 14]; (ЛЮТК)
r) f(A, B, C, D, E) = BCD + ABE + ABCE + ABCDE [5,7,8,9,13,15,21,
23,31]. _ _ (МАХП)
13. a) f(A, B, C) = AC + BC + ABC [3, 5]| _ (УВЫТ)
б) f(A,B,C,D) = AC_ + AIl + ACD + BD + BC_ [1,4,6, 10, 12]; (ЛОАЛ)
в) f(A, B, C,D) = AD + AB + ABD + BCD + ACD [1^2, 3]; (ГИРЗ)
r) f(A, B, C, D, E) = ABCD + ABCD + ВСЁ + ACE + АВЁ + АЗЕ + АВСЁ
[4, 5, 13, 16,18, 20, 21, 29, 31]. (НУСС)
120
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

14.
15.
25,27,
16.
17.
18.
19.
16,17,
20.
18,19,
21.
26, 30]
22.
a) /i
6)/
в)/,
r)/i
a) fi
6)/
в)/,
r)/i
29,
a) f<
6)/
в)/,
r)/i
a) fi
6)/
в)/,
r)/,
a) fi
6)/
в)/,
r)/,
a)/i
6)/
в)/,
r)/i
22,
a)/!
6)/
в)/,
r)/i
25,
a) f<
6)/
в)/,
r)/,
a)/i
6)/
в)/,
(А, В, С) = АВ + AC [0, 5fc _ (ДЕЗЛ)
(A,B,C,D) = A + BD + BD + CD [1, 3, 5, 6, 7]; (1УН)
(A, B,C,D) = C + BD + AD [ЬЗ, 5, 7, 9ЛЗ]^ (1ЯЛ)
(A, B, C,D,E) = AD + BCD + ABCDE + ABCDE [1,6,10,14,17,21].
(ЭГП)
(A, B, C) = AC + ВС + ABC [1, 3]; (2MK)
(A, B, C, D) = AC + BD + AD + BCD [1, 6, 7, 15]; (ЗЯЯ)
(A, B, C,D) = D + BC +_AB^ [415,_6, 7, 10, 14]^ (ГОЙМ)
(A, B, C,D,E) = AB + BDE + BCD + ACDE + ACDE [15, 21, 23, 24,
30,31]. _ (H036)
(A, B, C) = AC + ABCJ2, 4,_6J; _ (45XB)
(A, B, C, D) = ACD + AC + ABD + BD + AB + CD [1, 2, 3, 4, 11];
(34CX)
(A, B, C, D) = ABC + BCD + BCD + AD [0, 1,5, 8, 13]; (44ЭХ)
(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ACDE + BDE [0, 8, 9, 12, 13, 16].
(550Ф)
(A,B,C) = AC + AB + ABC [0,2,6]; (НИНТ)
(A, B, C, D) = ABC +JBCD_+ ABCD + BCD [2, 3, 4, 6, 7]; (TAB3)
(A, B, C, D) = AC + AC + BCD + BCD + ABD [1, 8, 9, 14, 15];
(5УЗО)
(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ВСЕ + ACDE + BDE [0,1,2,3,4,8,18].
(ГИПП)
(A, B, C) = ABC + AB + ABCJO, 1J; _ _ (90НП)
(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD + ABCD [4, 5, 6, 7, 9]; (88ПЛ)
(A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD + BD [0, 1,_5, 11, 12]; (ШИЕГ)
(A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCDE + BCD + ACDE [4,5,6,7,15,20,22].
(БАЯХ)
(А, В, С) = АС + АВ + ВС [2, 3]; (45ЦБ)
(A,B,C,D) = AB + ABC + BD + ACD [0,2, 10, 14, 15]; (76РЦ)
(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABCD + ABCD_[0, 4, 6, 8, 14]; (ГОТЛ)
(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ABDE + BCDE [3, 4, 6, 10, 14, 15,
23,25]. (РИПА)
(A,B,C)=AC + BC[2,4,6]; _ (ПИША)
(A, B, C, D) = ABC^ + ABD + BC + AC [4,5, 8,10,14]; (КИРХ)
(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ACD + BC [1, 2, 3, 7, 8]; (ФА23)
(A, B, C, D, E) = ABDE + ABCE + BCDE + ACE [4, 5,10,11,14,15,
26,31]. _ (ИАМП)
(А, В, С) = ВС + BC_[0,_7]; _ (ИИЗГ)
(A, B, C, D) = ABCD + BCD + ABD + CD [4, 5, 6, 10, 11]; (СИ6Г)
(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + BCD [3, 4, 6, 10, 14, 15];
(МУ36)
(A, B, C, D, E) = ABDE + ABE + BCDE + ACE [6, 10, 18, 19, 24,
(ЯРЛ)
(A, B, C) = ABC + ABC + ABC +^АВС_[3,_5]; (ЭТЗА)
(A, B, C, D) = ABD +_ABC_+_ABCD + BCD [0, 5, 14, 15]; (ХИИХ)
(A,B,C,D) = AB + AC + CD + ABCD [2, 3, 6, 7]; (OXK)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕИЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
121

г) f(A,
25].
18
21
18
14
11
22
14
15
23. a) f(A,
б) f(A,
в) НА,
г) НА,
.31].
24. а) НА,
б) НА,
в) НА,
г) НА,
.25].
25. а) НА,
б) НА,
в) ДА,
г) /(А,
.31].
26. а) НА,
б) НА,
в) ДА,
г) ДА,
.18].
27. а) /(А,
б) НА,
в) ДА,
г) /(А,
,18,19,25,
28. а) НА,
б) НА,
в) ДА,
г) /(А,
,23,26,27]
29. а) НА,
б) ДА,
в) НА,
г) /(А,
,16,18,21,
30. а) НА,
б) ДА,
в) ДА,
г) НА,
.16,17,21,
31. а) ДА,
В, С, D, Е) = BCD + ACD + BDE + АСЕ + АЕ [3,5,6,7,14,17,19,
(ЧИУЗ)
В, С) = АС + ВС + ABC [2, 5]; _ _ (ЗИРА)
В, С, D) = ABC + ACD_+BCD_ +ABCD [0,1, 4, 5, 6, 7, 9]; (54ЯЗ)
В, С, D) = ABCD + ABCD + BD + АС_[4, 5,13, 14]; (ЦАРБ)
B,C,D,E) = ABC + ABE + ACD + CDE [6,7,10,14,15,16, 17,
(70РО)
B,C) = AB + AB[0,_l,l\L _ (ЗОЙМ)
В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABCD [0, 4, 5, 7, 15]; (ХИТА)
В, С, D) = BCD + BCD + АВ +^D [1, 5, 6, 14, 15]; (54ЕГ)
В, С, D, Е) = ABCD + АСЕ + АСЕ + BDE [5,14,16,17,18,19,20,
(493)
В,С) = АВ + АВС + ABC [2, 6]; (Т067)
В, С, D) = ABC + BCD + AC + BD [2, 4, 5, 6, 10]; (ЯИШТ)
В, С, D) = BCD + ACD + BCD + ABD [0, 4, 8, 9, 12, 13];
(НИЯХ)
В, С, D, Е) = ABE + АВСЕ + BCDE + ACDE + CD [0,4,13,14,
(РЫК)
В, С) = АВС+^АВС + ABCJl^ 5]; _ (ЗИСЗ)
В, С, D) = BCD + ABCD + ABCD + AC [1, 2, 3, 5, 7, 14];
(ВОЛЫ)
В, С, D) = ABDjr ABD_+ CD + CD [1, 9, 10]; (УКМВ)
В, С, D, Е) = BDE + ACD + ABE + BCDE [6,7,8,9,10,11,12,13,
(ЧЕФ)
В,С) = АВ + ВС + АС_+ ABC [0,2]; (СУГШ)
В, С, D) = ABC + ABD + BC_ + CD [1, 2, 3, 9, 11]; (ЛОГ6)
В, С, D) = ABD + BCD + ABCD + CD [0, 1,4, 9, 10,12]; (77ТА)
В, С, D, Е) = ABCDE + ABE + ACDE + BCDE + BCDE [2, 8, 10,
26,28]. (5A3)
£,C) = AB+_BC + AC_[2,_6]; _ _ _ (ГИАГ)
В, С, D) = ABC + ABD + ABCD + ABC [0, 1,3,7, 8, 15]; (90ПК)
B,C,D) = BCD + ACD + ACD + CD_ + CD_[l, 5,_9]; (ЦИЙЗ)
B, C, D, E) = ABCDE + ACE + BDE + ACE + BDE [10,11,14,18,
(УК38)
B, C) = ABC + AC + AB [5, 7J; _ _ (ТОАП)
B, C, D) = ABC + BCD + ABD + CD + CD JO, 3, 7, 11]; (44ЕЖ)
B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD [2, 6, 7, 9,11]; (7277)
B,C,D,E) = ABCD + BCD + ACE + ACE + BCDE [5, 8, 11, 12,
22]. _ (822Б)
B, C) = ABC + ВС + AC_+ AB_ [1, 2, 3]j _ (ЗИАГ)
B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD [2, 4, 6, 7, 14, 15];
(ЭИ32)
В, С, D) = BD + ВС +_АС + AB + CD [1,2, 4, b,J\, (39KM)
B, C, D, E) = ABC + BCD + ABE + BCDE + ACE [8,9,10,11,13,
24]. _ (ФОТЗ)
B, C) = ABC + BC + AC + A [1, 2, 3]; (1299)
122
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

25,
a
f(A, В, С, D) = ABCD + ACD + ABC [4^5, 7, 8, 10]; (88ПК)
/(A, B, C, D) = ACD + ABC + ACD + ABD [2, 3,6, 7L8, 10]; (26ИС)
r) f(A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCE + ABCDE + ACDE + ABCE [2,3,
10, 18, 26, 27]. _ (9830)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC JO, 1 ,_4];_ (ДИ0Г)
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + ACD + ABC [4, 5, 7, 8, 10]; (77ШЕ)
f(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABC + BCD [2, 4^ 7,10, 11,_12];(ЗЗРП)
f(A, B, C, D, E) = ABDE + ABDE + ABCDE + ABDE + ABDE [7, 15,
28, 29, 31]. (КИТС)
A, B, C) = ABC + ABC + ABC [0, 2]; (71ИЛ)
f(A, B, C, D)=AC_+ABD + CD_. [1, 2, 5, 6, 8]; (СОЛЬ)
f(A, B, C, D) = ACD + BD + ACD [1, 3L5, 6,12^14, 15]; (8Г03)
r) f(A, B, C, D, E) = BCDE + ABCE + ABCE + ABDE [1, 3, 4, 6, 10, 13,
28,29,30]. _ _ (РИХХ)
A,B,C) = ABC + ABC + ABC [1,2, 7]; (ПЕАЛ)
A, B, C, D) = AC + ACD + ABD [3, 6, 7, 10, 13, 14]; (ЦИБА)
A, B, C, D) = BC+^ACD + BCD + ACD [0, 1, 4, 15]; (ШИ32)
A, B, C, D, E) = ABCD + CDE + BCDE [0, 6, 8, 12, 13, 18, 19, 20,
(304Я)
A,B,C) = AB + ABC + ABC[4, 5]; (УИДЗ)
A, B, C, D) = ABC + ACD + ABC + ABC [1, 5, 6, 10, 11]; (KHKK)
A, B, C, D) = BD + ABC + ABC [0, 2,3, 6,8, 12]; (ЛИТХ)
A, B, C, D, E) = ABCE + BCD + ACDE + ABDE [2, 4, 12, 21, 30].
(РУПО)
A, B, C) = BC + AB + ABC [5, 6J; _ (ЛУИШ)
A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + ABCD [2, 3, 4, 9, 10, 14 ];
(98УП)
A, B, C, D) = BCD + ABCD + BCD + ABD + ABC [1,3,9,10,12,14];
(25АФ)
A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCDE + ABCE + ВСЕ [2, 3, 5, 7,10,11,
23,27,29].
A, B, C) = ABC + ABC + ABC [1, 3, 4];
(450E)
(413И)
A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABC [2, 3, 6, 7,10,11, 13,14 ]; (26АГ)
A, B, C, D) = ACD + BCD + ABCD [0,2, 3, 5L6, 8];
A, B, C, D, E) = ABCDE + ABE + ABC + ВСЕ
(27ЧА)
[2,3,5,7,10,11,16,
(15EC)
A, B, C) = ABC + ABC + ABC_[2,_3, 4];
A, B, C, D) = BCD + BCD + ABCD [0, 1, 4, 6, 12 ];
A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD [0^3, 4, 5, 6, 13, 14];
A, B, C, D, E) = ABCE + ABCD + BCDE + ВСЕ [4, 6, 10,
A, B, C) = ABC + ABC + ABCJ2, 4];
A, B, C, D) = ACD + BCD + ABCD [0, 1,3,5, 12 ];
A, B, C, D) = ACD + ABC +_ABCD_[A, 5, 6, 12, 14];
A, B, C, D, E) = ACD + ABCD + ACDE [0, 2,3, 5,6, 7,8,13,14,15].
(3945)
(32PH)
(7277)
(56ЕЦ)
20, 22,
(9027)
(ЛОРП)
(K47T)
(67ГД)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
123

40. a) f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC [2, 4, 6]; (0378)
б) f(A, B, C, D) = ABCD + BCD + BCD [0, 3, 5, 12]; (92ФО)
в) f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCDJ4, 5, 6, 7, Щ;_ (766Т)
r) f(A, B, C, D, E) = ACE + ABCD + BCDE + ВСЕ + DE [4,6,10, 20, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 28, 30]. _ (39ВЫ)
41. a) f(A, B,C) = AB + ABC + ABC + ВС [2, 6]; (ШАМБ)
б) f(A, B, C, D) = ABD + BCD + BCD + ABCD [0, 3, 5, 6, 12]; (ДА92)
в) f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCD + BCD [2, 5,6, 7, 15]; (70PO)
r) f(A, B, C, D, E) = CE + ABCD + CDE + ВСЕ + DE [22, 23, 24, 25, 26,
27,28]. _ (325K)
42. a) f(A, B,C) = AB + ABC + ABC + ВС [2, 7]; __ (51УЛ)
б) f(A, B, C, D) = ABD + BCD + BCD + ABCD + BCD [0, 2, 5, 6, 12];
(73ТШ)
в) f(A, B, C, D) = ACD + ABC + ABCD + BCD + ABD [2, 4, 6, 8, 15];
(8724)
f(A, B, C, D, E) = CDE + ABCDE + CDE + ВСЕ + ABDE [0, 1, 3, 4, 5,
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31].
43. a
б
в
г
10, 22
44. a
б
г
10, 14
45. а
б
в
г
10, 14
46. а
б
в
16,18,22,29,31].
47. а
б
в
(КААХ)
(28ТИ)
f(A, В, С) = ABC + ABC + ВС [1, 7];
f(A, В, С, D) = BCD + BCD + ABCD + BCD + BCD [0, 1, 4, 6, 12];
(43Ф5)
f(A, B, C, D) = ABC + ABCD + BCD + ABD + BD [1, 4, 5, 8, 15];
(77ГА)
f(A, B, C, D, E) = ACDE + ACDE + CDE + CE + ABDE [0, 1,3,4, 5,
23,24,25,29,30,31]. _ (73ЛШ)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ВС + АВС [1,5]; (77Б1)
f(A, B, C, D) = CD + BCD + ABCD + BCD + BCD [0, 4, 6, 12, 15];
(НОЯК)
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + BCD + ABD + BCD [1, 2, 3, 8, 15];
(КЕЛИ)
f(A, B, C, D, E) = ADE + ACDE + CDE + BCDE + ABD [0, 1,3,4, 5,
15, 18, 22, 29, 30, 31]. (67АБ)
f(A,B,C) = ABC + BC + ABC[l,4\\ _ (ГАЙР)
f(A, B, C, D) = CD + BCD + BCD + BCD [0, 4, 7, 14, 15]; (УКОЗ)
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + BCD [1,2,5,8,15]; (РУОП)
f(A, B, C, D, E) = ABDE + ACD + CDE + BCDE + ABD [0, 1,3,4, 5,
15, 16, 17, 18, 22, 29L30, 31J. (ДИБД)
f(A, B, C) = ABC + BC_+ ABC_[1, 4]^_ (ГОРЫ)
f(A, B, C, D) = CD + ACD + ACD + BCD [0_, 4, 7, 8, 9,10, 15]; (ДУМП)
f(A, B, C, D) = ABD + BCD + ABD + BCD [1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 15];
(OMK)
f(A, B, C,D,E) = AE + ACD + СЁ + BCDE + ABD [0, 1, 4, 5, 10, 14,
(90УС)
f(A, B, C) = ABC + BC + AC [l._3];__ (EM94)
f(A, B, C, D) = CD + BCD + BCD + CD [0, 4, 12, 13, 14, 15]; (4107)
f(A, B, C, D) = ABD + BCD + ABD + BCD [1, 2, 5, 8, 9, 10, 15];
(36CB)
124
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

г) f(A, В, С, D, Е) = ACDE + ACD + CE + BCDE + ABD [О,1, 3, 5, 7,10,
14, 15, 16, 22, 29, 30, 31]. _ (63КБ)
48. a) f(A, В, С) = АС + ВС + АС [1, 6]^ _ (83П8)
б) f(A, В, С, D) = ACD + BCD + BCD + ACD [0, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15];
(62Б7)
в) f(A, В, С, D) = ABC + ABCD + ABD + ВС + BCD [1, 2, 5, 10, 13, 14,
15]; _ (КОТЯ)
г) f(A, В, С, D, Е) = АСЕ + ACDE + ВСЁ + BCDE + ABD [0, 1,5,7, 10,
14, 15, 16, 18, 19, 22, 29, 30, 31]. (61ЛИ)
49. a) f(A, В, С) = АС + АВ + АС [1, 4];_ _ _ (16НУ)
б) f(A, В, С, D) = ABD + ACD + BCD + ACD + BD [0, 4, 8, 13, 14, 15];
ОДЕК)
в) f(A, В, С, D) = ABD + ABD + ABC + ВС + BCD + BCD [l, 5, 10, 13,
14, 15]; _ (45ЭЕ)
г) f(A, В, С, D, Е) = ACDE + АСЕ + ВСЁ + BDE + ABD [0, 1,5,7, 10,
14,15,16,18,19,21,29,30,31]. _ (ЭКЦС)
50. a) f(A, В, С) = АВ + АВ_+ АС_ [1, 5]; _ _ (ВАТР)
б) f(A, В, С, D) = ABCD + ACD + ABCD + BD [0, 4, 8, 9, 13, 14, 15];
(36АЗ)
в) /(А, В, С, D) = ABD + ABC + ABC + BCD + BCD [1, 5, 11, 12, 13,
14, 15]; _ _ (70TK)
г) f(A, В, С, D, E) = ADE + АВСЕ + ВСЁ + BDE + ABD [0, 2, 3, 5, 7,10,
14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 30, 31]. (84ПТ)
о п
МИНИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ КНФ
С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Каждое из 50 нижеприведенных заданий содержит четыре функции: одна
зависит от трех аргументов, две — от четырех и одна — от пяти. В задания с
номерами 1-12 входят функции двух видов: ДНФ и КНФ. Функции
остальных заданий представлены только в ДНФ. Требуется найти минимальные
КНФ функций и определить число входящих в них знаков дизъюнкции и
число вхождений аргументов.
Минимизация в классе КНФ с учетом неопределенных состояний
состоит из четырех этапов:
1) наносим на карту Вейча функцию / и отмечаем на ней неопределенные
состояния;
2) строим карту Вейча для функции /. Отмечаем на ней те же
неопределенные состояния;
3) находим минимальную ДНФ функции J;
4) функцию / инвертируем по теореме де Моргана. Получим
минимальную КНФ.
Пример 1. Найти минимальную КНФ:
/(А, Б, С) = ABC + ABC + AC [0, 1, 3].
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
125

Решение. Наносим функцию на карту Вейча (рис. 3.76).
Неопределенные состояния, указанные в квадратных
скобках, на карте обозначены крестиками.
Строим вторую карту, наносим на нее инверсию
заданной функции (рис. 3.77) и для инверсии f(A,B,C)
находим минимальную ДНФ:
/(А, Б, С) = ВС.
После инвертирования получаем
/(А, В,С) = В + С.
Ответ: 1, 2 (т. е. в минимальную КНФ входит один
знак дизъюнкции и две буквы).
Пример 2. Пусть функция
/(A, B,C,D)= AB + ABD + BCD + ACD
не определена на наборах 1,2,3,4,6,8. Требуется найти
ее минимальную КНФ.
Решение. Наносим функцию на карту Вейча (рис. 3.78).
Строим карту для ее инверсии (рис. 3.79).
Находим минимальную ДНФ инверсии: /(А, Б, С, D) =
= ACD + BC + ACD.
Инвертируем это выражение и получаем искомую
минимальную КНФ:
/(A, B,C,D)= (A + C + D)(B + C)(A + С + D).
Ответ: 5, 8 (т. е. в минимальной КНФ содержится пять
Рис. 3.79 „ ч
знаков дизъюнкции и восемь вхождении переменных).
Пример 3. Найти минимальную КНФ функции пяти переменных:
/(А, Б, С, D, Е) = ABE + ABDE + CDE + BCDE
не определенную на наборах [2, 10, 12, 17, 24, 28, 31].
Решение. На карту Вейча наносим функцию и неопределенные
состояния (рис. 3.80).
Находим минимальную ДНФ функции /(А, Б, С, D> E) (рис. 3.81):
J (А, Б, С, D, E) = BD + CD + BE + AD.
1
1
1
X
X
~г\
X
Рис. 3.76
1
X
X
X
Рис. 3.77
1
1
X
1
X
1
X
X
X
1
X
1
Рис. 3.78
1 1
| X
1
1
1
X
X
X
X
X
в
А
1
1
1
X
1
X
1
1
X
1
X
X
X
X
с
D
А
X
X
1
1
1
1
1
1
1
1
А
X
1
1
X
1
1
1
X
1
1
1
1
X
X
1
D
Рис. 3.80
Рис. 3.81
126
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Это выражение инвертируем по теореме де Моргана и получаем
минимальную КНФ:
f(A, В, С, D, E)= (B + D)(C + D)(B + E)(A + D).
Ответ: 4,8.
Если функция задана в КНФ, то сначала инвертируем ее по теореме де
Моргана, затем инверсию минимизируем с учетом неопределенных
состояний и результат вторично инвертируем по теореме де Моргана.
Пример 4. Найти минимальную КНФ с учетом неопределенных
состояний 1, 5, 9, 11:
f(A, В, С, D) = (А + В)(А + С + D)(B + C + D).
Решение. Инвертируем по теореме де Моргана: f (А, В, С, D) = АВ + ACD +
+ BCD.
Инверсию минимизируем: f(A, В, С, D) = АВ + BD.
Инвертируем вторично и получаем минимальную КНФ:
f(A, В, С, D)= (A + В)(В + В).
Ответ: 2,4.
Задания
для самостоятельной работы
Найдите минимальные КНФ с учетом неопределенных состояний
(неопределенные состояния указаны в квадратных скобках). Для самоконтроля
укажите сначала число знаков дизъюнкции, а затем — число вхождений
аргументов минимальной КНФ.
2.
21].
3.
а)/(
б)/
в)/,
r)/i
a)/i
б)/
в)/,
r)/i
a)/i
б)/
B)/l
r)/i
А, В, С) = ABC + ABC + АС) [0, 1, 7];
А, В, С, D) = С(А +_В)(В +_D)_[6, 7, 10, 12, 15];
А, В, С, D) = (А + С)(А + В)(А + В)(В +_D) [3, 6, 10];
А, В, С, D, E) = (B + D)(C + D)(D + E)(A + В + С) [0, 1
А, В, С) = (А + £)( А + С) [015]^
А, В, С, D) = А(В + ЩВ + D)(C + D) [10, 11,15];
A, B,C,D) = C + BD +JW [317, 14, 15];
А, В, C,D,E) = AD + BCD + ABCDE + ABCDE [0,
А, В, С) = (A + C)(A + В + C)(A + B + C) [3, 5];
A, B, C, D) = AC + BD +_AD_+ BCD [6, 7, 9, 11];
A, B, C, D) = D(A_+ B)(B_+ C| [2L4,_6, 11]; _
A, B, C, D, E) = (A + B)(B + D + E)(B + C + D)(A + С + D + E) [0, 10,
(ОУЛ)
(ЭМ9)
(ИЖХ)
3, 5, 19].
(779)
(САЛБ)
(HOEK)
(120K)
1,9, 10,11,17,
(ОБР)
(ГОИЛ)
(ВАУЛ)
(КАЙХ)
15,21,24,26,28,29,30,31].
24,
(ГЕФА)
4. a) f(A,B,C) = (A + B)(B + C) [1,4,5]; _ _ (ЛИВО)
б) f(A, B, C, D) = (A + C)(A + D)(B + C)(B + D) [0, 4, 7, 15]; (ЦА62)
в) f(A, B, C, D) = BC + ABD + ABD + ABC [0, 1, 2, 4,5, 10]; _ (КИРЦ)
r) f(A, B,C,D,E) = (A + B + E)(B + C + D)(A + В + C)(A + В + С + D) [18,
25,27,29,31]. (ДУБЖ)
5. a) f(A,B,C) = (A + B)(A + B + C) [1,4, 6]; (Д087)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
127

8
f(A, В, С, D) = ABD + ACD + ABD + ABC + ABD + BCD [0,1, 2,6, 9,
(СОКЛ)
A,B,C,D) = (B + C + D)(A + B + C + D)(A + B)(B + C + D)(B + C) [0,
12, 14]; _ _ _ _ (ЗОВЛ)
A, B,C,D,E) = (A + B + D)(A + B + C + D)(A + C + D + £)(A + B+E)
, 15, 23, 26, 27,_31|. _ (ДИГИ)
A, B, C) = (A + C)(A + B + C) [0, 3± 5]; (ЧИЯЗ)
A, B, C, D) = BD + ACD + ABC + ABC + AD [1, 7, 9, 10]; (КИ16)
A, B, C, D) = (A +_C + D)(B +_A + C + D)_[l, 3, 8, 10]; (ДОИХ)
A, B, C, D, E) = (A + D)(A + B + C + D)(A + B + C)(B + C)(A + C + D +
f
1
,9
/<
/i
/<
h
,4
, 16, 19, 23, 27, 28, 31]. (УЧТИ)
f(A, B,C) = (B + C)(A + B + С)_[2,_5]; (ЗА62)
f(A, B, C, D) = ABD + CD + AB + AC + BD [6, 9, 14]; (ЗУОГ)
f(A, B, C, D) - BC(A + D)(A + D) [2^3, 7,10^ 11]; (ЛУЛО)
f(A, B, C, D, E) = ВС + ABDE + ABCE + ABCD + ABCD [1, 2, 5, 7,
16,17,18,28,30]. _ _ (ЦИПЛ)
f(A, B, C) = (A +_B +_C)(A + B + C)[A + B + C) [3, 5, 7]; (УЧПА)
f(A, B, C, D) = (C + D)(A + B)(B + C)(A + D) [1, 6, 7, 8, 15]; (ГУ55)
f(A, B, C, D) = BD + AD + ACD + BCD [1, 3,7]; _ (НУЛТ)
f(A, B, C, D, E) = ABD + ACE + ABE + ABCD + ABDE + BCDE [0,1,
6,7,9,15]. _ (УК1У)
f(A, В, С) = (А + ЩА + В + C)[0± 4, 5]; (23PC)
f(A, B, C, D) = ABCD + CD + ABC + AD [0, 2,6, 9, 14]; (65ЛЕ)
f(A, B, C, D) = (C + D)(C + D)(A + B + D)(A + B + C) [5, 6, 9, 10];
(HEHH)
f(A, B, C, D, E) = BC + ACD + ACE + ABCE + ABCD [0,2,9,11,25,27,
(ОББ)
f(A, B, C) = (A + B + C)(A + B)_[0, h 6]; (327P)
f(A, B, C, D) = ABCD + AC + AB + BD + CD [4,5, 6^ 12]; (ТУСО)
f(A, B,C,D) = (A + B + D)(B + C)(A + D)(A + B)(C + D) [0,1, 3,4, 5, 9];
(ОКШТ)
f(A, B, C, D, E) = ABC + ABCE + ACE + ABCD + BCDE [6, 8, 10, 22,
(ОЛ29)
f(A, B, C) = (A +_B + C)(A +_C)(B + C) [0, 4]; (ИРОГ)
f(A, B, C, D) = (A + C)(B + C)(C + D)(C + D) [2, 3, 6, 7, 10, 11];
(ОДИЗ)
f(A, B, C, D) = AB_+ AD + AC + ACD + BCD [0, 2, 6,9, 13]; (ИС5П)
f(A, B, C, D, E) = CDE + ABC + ABC + BCDE + ACDE + ABCDE [3, 6,
23,27]. (ФКП)
f(A, B, C) = (A +_B)(A + B + C) [0, 2, 3L5]; (ИНОК)
f(A, B, C, D) = (A + D)(C + D)(A + B+_C) £5ДО, 12, 13]; (ИКЦС)
f(A, B, C, D) = BD + AD + ABC + ACD + BCD [2, 6, 10, 14]; (ОНЛЫ)
f(A, B, C, D, E) = BCD + ABE + ABCE + ABCDE [5,7,8,9,13,15,21,
(УСТН)
ДА, В, С) = AC + ABC + ABC [3, 4]; _ (ИТЗР)
f(A, B,C,D) = AC + AD + ACD + BD + BC [1, 4, 6, 10, 12]; (ИМВТ)
128
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f(A, В, C,D) = AD + AB + ABD + BCD + ACD_[1,_2, 3]; (ОЙНИ)
f(A, B, C, D, E) = ABCD + ABCD + ВСЕ + ACE + ABE + ADE + ABCE
15. a
б
в
г
25, 27, 29, 30, 31].
16. a
б
в
г
17. а
б
в
8, 18].
18. а
б
в
г
20, 22].
19. а
б
в
г
16,17,22,23,25].
20. а
б
в
г
2
21. а
б
в
(ЧУГЭ)
(УРМУ)
(ОТГА)
(ОБСТ)
(АИОЗ)
(КИРЗ)
(ГОС7)
[4, 5, 13, 16, 18, 20, 21, 29, 31].
14. а) f(A, В, С) = АВ + АС [0, 5];
б) f(A,B,C,D) = A + BD + BD + CD [1,3,5,6,7];
в) f(A, B,C,D) = C + BD + AD [1^3, 5J 7, 9ДЗ_]^ _
г) f(A, В, C,D,E) = AD + BCD + ABCDE + ABCDE [1,6,10,14,17,21].
(ИДОС)
f(A, B, C) = AC + ВС + ABC [1, 3];
f(A, B, C, D) = AC + BD + AD + BCD [1, 6, 7, 15];
f(A, B, C,D) = D + BC +_AB_ [4^5,6, 7, 10, 14]|
f(A, B, C,D,E) = AB + BDE + BCD + ACDE + ACDE [15, 21, 23, 24,
(34П7)
f(A, B, C) = AC + ABC[2, 4L6J; _ (45XC)
f(A, B, C, D) = ACD + AC + ABD + BD + AB + CD [1, 2, 3, 4, 11];
(87ПА)
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + BCD + AD [0, 1,5, 8,13]; (4432)
f(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ACDE + BDE [0, 8, 9, 12, 13, 16].
(ИЖКФ)
f(A, B,C) = AC + AB + ABC [0, 2, 6]; (ТУСО)
f(A, B, C, D) = ABC +_BCD_+ ABCD_+_BCD [2, 3, 4, 6, 7]; (РИДХ)
f(A, B, C, D) = AC + AC + BCD + BCD + ABD [1, 8, 9, 14, 15];
(РУМО)
f(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ВСЕ + ACDE + BDE [0, 1, 2, 3, 4,
(ЛОЯ)
f(A, B, C) = ABC + AB + ABC[0, 1J;
f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD + ABCD [4, 5, 6, 7, 9]
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD_ + BD [0, \,b± 11, 12];
f(A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCDE + BCD + ACDE [4, 5, 6, 7, 15,
(ИВАО)
f(A, В, С) = АС + АВ + ВС [2, 3];
f(A,B,C,D) = AB + ABC + BD + ACD [0,2, 10, 14, 15];
f(A, B, C, D) = BCD + BCD^ABCD + ABCD_[0, 4, 6, 8, 14]; (АЛИМ)
f(A, B, C, D, E) = ABCD + BCD + ABDE + BCDE [3, 4, 6, 10, 14, 15,
(AMUIA)
f(A,B,C)=AC + BC[2,4,6]; _ (AC31)
f(A, B, C, D) = ABC_ + ABD + BC + AC [4,5, 8, 10, 14]; (ОРТУ)
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ACD + BC [1,2,3,7,8]; (ОДЕГ)
f(A, B, C, D, E) = ABDE + ABCE + BCDE + ACE [4, 5,10,11,14,15,
18, 19,25,26,31]. _ (СЕЭТ)
f(A, B,C) = ВС + BC_ [0,7]; _ (ЕКОГ)
f(A, B, C, D) = ABCD + BCD + ABD + CD [4, 5, 6, 10, 11]; (65ГУ)
f(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + BCD [3, 4, 6, 10, 14, 15];
(99ЦН)
r) f(A, B, C, D, E) = ABDE + ABE + BCDE + ACE [6,10,18,19, 24, 26,
30]. (КВГ)
(ИНЕН)
(ИКЕТ)
(553Ф)
(ИМЕП)
(ОВШВ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
129

25]
31]
21,
18,
13,
11,
22,
14,
15,
22.
I-
23.
•
24.
25]
25.
31]
26.
14,
27.
18,
28.
23,
29.
16,
30.
16,
a)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
.
а)
б)
в)
г)
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
НА,
18].
а)
б)
в)
г)
НА,
НА,
НА,
НА,
19,25,
а)
б)
в)
г)
26
я)
б)
в)
г)
НА,
НА,
НА,
НА,
i, 27]
НА,
НА,
НА,
НА,
18,21,
а)
б)
в)
г)
НА,
НА,
НА,
НА,
17,21,
В,С) = ABC + ABC + ABC + ABC [3,5]; (ИГРЭ)
В, С, D) = ABD +_ABC_+_ABCD + BCD [0,5,14,15]; (ОТТА)
B,C,D) = AB + AC + CD + ABCD [2,_3_, 6, 7]; (5758)
В, С, D, E) = BCD + ACD + BDE + ACE + AE [3,5,6,7,14,17,19,
(ИДТН)
B, C) = AC + BC + ABC [2, 5]; _ _ (ЛИГЗ)
B, C, D) = ABC + ACD_ + BCD_ + ABCD [0,1, 4, 5, 6, 7, 9]; (80НЛ)
B, C, D) = ABCD + ABCD + BD + ACJ4, 5, 13, 14]; (66БГ)
B, C, D, E) = ABC + ABE + ACD + CDE [6,7,10,14,15,16,17,18,
(ДООЩ)
B,C) = AB + AB[0,_1,1\L _ (492K)
B, C, D) = ABC + BCD + ACD + ABCD [0, 4, 5, 7, 15]; (ЛИГЗ)
B, C, D) = BCD + BCD + AB + CD [1,5,6,14,15]; (45ФФ)
B, C, D, E) = ABCD + ACE + ACE + BDE [5,14,16,17,18,19,20,
(ЭШ)
B, C) = AB + ABC + ABC [2, 6]; (K571)
B, C, D) = ABC + BCD + AC + BD [2, 4, 5, 6, 10]; (7АГ2)
B, C, D) = BCD + ACD + BCD + ABD [0± 4, 8, 9, 12, 13]; (22ИК)
B, C, D, E) = ABE + ABCE + BCDE + ACDE + CD [0, 4, 13, 14,
(9A)
B,C) = ABC+_ABC + ABC [1,4, 5]; _ (HHEH)
B, C, D) = BCD + ABCD + ABCD + AC [1, 2, 3, 5, 7, 14]; (KKPT)
B, C, D) = ABD_+ ABD_+ CD + C_D[1, 9, 10];
B, C, D, E) = BDE + ACD + ABE + BCDE [6,
(ВИУК)
7,8,9, 10, 11, 12,
(ДРД)
(CBT1)
11]; (ЛЕЙМ)
B,C) = AB + ВС + AC_+ ABC [0,2];
B, C, D) = ABC + ABD + BC_ + CD [1, 2, 3, 9
B, C, D) = ABD + BCD + ABCD + CD [0, 1,4, 9, 10,_12];(ОРЭШ)
В, С, D, E) = ABCDE + ABE + ACDE + BCDE + BCDE [2, 8, 10,
26,28]. (ВУНР)
B,C) = AB + BC + AC_[2,&\, _ _ _ (8H99)
B,C, D) = ABC + ABD + ABCD + ABC [0,1,3,7,8,15]; (7959)
B,C,D) = BCD + ACD + ACD + CD_ + CD_[1, 5,_9]; (5АГ7)
B, C, D, E) = ABCDE + ACE + BDE + ACE + BDE [10,11,14,18,
(50Ш7)
B, C) = ABC + AC + AB [5, 7J; _ _ (АКУТ)
В, С, D) = ABC + BCD + ABD + CD + CD [0, 3, 7, 11]; (AHOH)
B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD [2, 6, 7, 9, 11]; (ИВЗГ)
B, C, D, E) = ABCD + BCD + ACE + ACE + BCDE [5, 8, 11, 12,
22]. _ (ОЙАХ)
B, C) = ABC + ВС + AC_+ AB_[1, 2, 3]j_ (Л077)
B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD [2, 4, 6, 7, 14, 15];
(78ПС)
B, C, D) = BD + ВС + АС + AB + CD [1,2, 4, b,J\, (65ЛЕ)
B, C, D, E) = ABC + BCD + ABE + BCDE + ACE [8,9,10,11,13,
24]. (6ТОГ)
130
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f
/I
/I
18
/i
/
25
28
18, 24,
33. a
б
в
г
14,26,
34. а
б
в
г
22, 29].
35. а
б
в
г
36. а
б
16,18,
37. а
б
в
г
27, 29].
38. а
б
в
г
30].
39. а
б
21
f(A, В, С) = ABC + ВС + АС + А_[1, 2, 3]; (ОККД)
(А, В, С, D) = ABCD + ACD + АВС [±,_Ь, 7, 8, 10]; (ЕНЫМ)
(А, В, С, D) = ACD + ABC + ACD + ABD [2, 3, 6, 7, 8, 101^ (98ТВ)
(А, В, С, D, Е) = АВСЕ + АВСЕ + ABCDE + ACDE + АВСЕ [2, 3, 4,
26,27]. _ (77М9)
(А, В, С) = ABC + ABC + ABC [0, 1 ,_4];_ (548А)
(А, В, С, D) = ABC + ABD + ACD + ABC [4, 5, 7, 8, 10]; (66ТЦ)
(А, В, С, D) = BCD + BCD + ABC + BCD [2, 4, 7, 10, 11, 12];
(АКДТ)
f(A, B, C, D, E) = ABDE + ABDE + ABCDE + ABDE + ABDE [7, 15,
28, 29, 31]. (КИУЛ)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC [0,2]; (B4 7A)
f(A, B, C, D) = AC_ + ABD + CD [1, 2, 5, 6, 8]; (80ЭЛ)
f(A, B, C, D) = ACD + BD + ACD [1^5, 6,_1211_4, 15]; (ПЛИХ)
f(A, B, C, D, E) = BCDE + ABCE + ABCE + ABDE [1, 3, 4, 6, 10, 13,
29,30]. _ _ (Л7РА)
f(A,B,C) = ABC + ABC + ABC [1,2, 7]; (Г5В1)
f(A, В, С, D) = AC + ACD + ABD [3J 6, 7, 10, 13, 14]; (К6БТ)
f(A, B, C, D) = ВСЧ ACD + BCD + ACD [0,1,4,15]; (П53И)
f(A, B, C, D, E) = ABCD + CDE + BCDE [0, 6, 8, 12, 13, 18, 19, 20,
(B874)
f(A, B, C) = AB + ABC + ABC [4, 5]; (ГИИЗ)
f(A, B, C, D) = ABC + ACD + ABC + ABC [1, 5, 6, 10, 11]; (M5HE)
f(A, B, C, D) = BD + ABC + ABC [0, 2,3, 6,8, 12]; (Г344)
f(A, B, C, D, E) = ABCE + BCD + ACDE + ABDE [2, 4, 12, 21, 30].
(Г8ПА)
f(A, B, C) = BC + AB + ABC [5, 6J; _ (EKOT)
f(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABCD + ABCD [2, 3, 4, 9, 10, 14 ];
(K427)
f(A, B, C, D) = BCD + ABCD + BCD + ABD + ABC [1,3,9,10,12,14];
(Н81Я)
f(A, B, C, D, E) = ABCDE + ABCDE + ABCE + ВСЁ [2, 3, 5, 7,10,11,
23,27,29]. _ _ (Д7Г9)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC [1,3, 4]; (АГДА)
f(A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABC [2, 3, 6, 7, 10, 11, 13, 14 ];
(88ЦП)
Я A, B, C, D) = ACD + BCD + ABCD [0^2, 3, 5J 6, 8]; (8НЦ9)
f(A, B, C, D, E) = ABCDE + ABE + ABC + ВСЕ [2, 3, 5, 7, 10, 11, 16,
(7P01)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC_[2,_3, 4]; (8999)
f(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABCD [0, 1, 4, 6, 12 ]; (УШАЧ)
f(A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD [0, 3, 4, 5, 6, 13, 14]; (АИДЗ)
f(A, B, C, D, E) = ABCE + ABCD + BCDE + ВСЕ [4,6, 10, 20, 22, 28,
(7K)
f(A, B, C) = ABC + ABC + ABCJ2, 4]; (6МАУ)
f(A, B, C, D) = ACD + BCD + ABCD [0, 1,3,5, 12 ]; (МИЯХ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
131

в) f(A, В, С, D) = ACD + ABC + ABCDJ4, 5, 6, 12, 14]; (ГОЗЗ)
г) f(A, В, С, D, Е) = ACD + ABCD + ACDE [0, 2, 3, 5,6, 7,8,13,14,15].
(СИАЗ)
40. a) f(A, В, С) = ABC + АВС + ABC [2, 4, 6]; (КОРЛ)
б) f(A, В, С, D) = ABCD + BCD + BCD [0, 3, 5, 12 ]; (ОДЛЯ)
в) f(A, В, С, D) = ACD + ABC +_ABCD_ [4,5,6,7,15]^ (Г2ЦХ)
г) f(A, В, С, D, Е) = АСЕ + ABCD + BCDE + ВСЕ + DE [4,6,10, 20, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 28, 30]. _ (8Т68)
41. a) f(A, В,С) = АВ + АВС + ABC + ВС [2, 6]; (СОЛМ)
б) f(A, В, С, D) = ABD + BCD + BCD + ABCD [0, 3, 5, 6, 12 ]; (СИЯЛ)
в) f(A, В, С, D) = ACD + ABC + ABCD + BCD [2,_Ъ, 6, 7, 15]; (САВС)
г) f(A, В, С, D, E) = CE + ABCD + CDE + ВСЕ + DE [22,23,24,25,26,27,
28]. _ (И7)
42. a) f(A, В,С) = АВ + АВС + ABC + ВС [2, 7]; __ (СОТЫ)
б) f(A, В, С, D) = ABD + BCD + BCD + ABCD + BCD [0, 2, 5, 6, 12 ];
(790Ф)
в) f(A, В, С, D) = ACD + ABC + ABCD + BCD + ABD [2, 4, 6, 8, 15];
(КИЖЛ)
r) f(A, B, C, D, E) = CDE + ABCDE + CDE + ВСЕ + ABDE [0, 1,3,4, 5,
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. (МВБП)
43. a) f(A, B, C) = ABC + ABC + ВС [1, 7]; __ (5КЦТ)
б) f(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABCD + BCD + BCD [0, 1,4,6, 12 ];
(60TK)
в) f(A, B, C, D) = ABC + ABCD + BCD + ABD + BD [1, 4, 5, 8, 15];
(HOHK)
(A, B, C, D, E) = ACDE + ACDE + CDE + CE + ABDE [0, 1,3,4, 5,
, 24,25,29,30,31]. _ (ГОЗЗ)
(A, B, C) = ABC + ABC + ВС + АВС [1,5]; _ _ (МИХА)
(A, B, C, D) = CD + BCD + ABCD + BCD + BCD [0, 4, 6, 12, 15 ];
(ЛИЯК)
в) f(A, B, C, D) = ABC + ABD + BCD + ABD + BCD [1, 2, 3, 8, 15];
(КУТЯ)
(A, B, C, D, E) = ADE + ACDE + CDE + BCDE + ABD [0, 1,3,4, 5,
, 18, 22, 29, 30, 31]. (НУАС)
(A,B,C) = ABC + BC + ABC[1,4];__ (Т8СЯ)
(A, B, C, D) = Cp+BCp + AC_D + BCD [0, 4, 7, 14, 15 ]; (47EP)
(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + BCD [1,2,5,8,15]; (ОГЕН)
(A, B, C, D, E) = ABDE + ACD + CDE + BCDE + ABD [0, 1,3,4, 5,
,16,17,18,22,29,30,31]. (OP27)
(A, B, C) = AB + BC + ABC [0L4]; (СИТА)
(А, В, С, D) = CD + BCD + BCp+ABD [0, 3, 7, 12, 15 ]; (РОХЛ)
(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + ACD [1, 2, 5, 8, 10, 13, 14];
(ОСЕП)
r) f(A, B, C,D,E) = AE + ACD + СЁ + BCDE + ABD [0,1,2,4, 6, 7, 10,
14,15,16,17,29,30,31]. _ (ПАПЛ)
47. a) f(A, B, C) = ABC + ВС + AC [1, 3]; (СГГЗ)
23
r)/
7,10,22,
44. a) /
6)/
15
r)/
7, 10, 14,
45. a) /
6)/
B)/i
r)/
7, 10, 14,
46. a) /
6)/
B)/i
15
132
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) f(A, В, С, D) = CD + BCD + BCD + CD [О, 4, 12, 13, 14, 15 ]; (78ГП)
в) f(A, В, С, D) = ABD + BCD + ABD + BCD [1,2,5,8,9,10,15];
(76PB)
г) f(A, В, С, D, E) = ACDE + ACD + CE + BCDE + ABD [0,1, 3, 5, 7,10,
14, 15, 16, 22, 29, 30, 31]. _ (223Ф)
48. a) f(A, В, С) = АС + ВС + AC [1, 6]^ _ (ЛЛТБ)
б) f(A, B, C, D) = ACD + BCD + BCD + ACD [0, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15 ];
(HOTX)
в) f(A, B,C, D) = ABC + ABCD + ABD + ВС + BCD [1,2, 5, 10, 13, 14,
15]; _ (ВИАЗ)
r) f(A, B, C, D, E) = ACE + ACDE + ВСЁ + BCDE + ABD [0, 1,5,7, 10,
14, 15, 16, 18, 19, 22, 29J 30, 31]. (КИТХ)
49. a) f(A, B, C) = AC + AB + AC [1, 4];_ _ _ (ДЕЯЛ)
б) f(A, B, C, D) = ABD + ACD + BCD + ACD + BD [0, 4, 8, 13, 14, 15 ];
(ЛУРЯ)
в) f(A, B, C, D) = ABD + ABD + ABC + BC + BCD + BCD [1,5,10,13,14,
15]; __ _ __ _ _ (02)
r) f(A, B, C, D, E) = ACDE + ACE + ВСЕ + BDE + ABD [0, 1, 5, 7, 10,
14,15,16,18,19,21,29,30,31]. _ (ТДОГ)
50. a) f(A, B,C) = AB + AB_+AC_[1,5]; _ _ (УМЯЧ)
б) f(A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABCD + BD [0, 4, 8, 9, 13, 14, 15 ];
(УНОМ)
в) f(A, B, C, D) = ABD + ABC + ABC + BCD + BCD[1,5,11,12,13,14,15];
(УКАО)
r) f(A, B, C, D, E) = ADE + ABCE + ВСЁ + BDE + ABD [0, 2, 3, 5, 7,10,
14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 30, 31]. (ЛИГЗ)
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
133

СИММЕТРИЧЕСКИЕ
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
4.1.
РАСПОЗНАВАНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
В данном разделе рассматриваются функции,
симметричность которых задается только относительно неинверсных
переменных.
Булева функция называется симметрической, если она
инвариантна относительно всякой перестановки аргументов.
Иными словами, если при всех возможных перестановках
аргументов функция остается неизменной, то она входит в
класс симметрических функций.
Рассмотрим, например, функцию двух аргументов:
f(A, В) = АВ + АВ. (1)
Из двух букв можно составить две перестановки: АВ и
ВА. В заданной функции аргументы записаны в
последовательности АВ. Переставив местами буквы А и В (заметим,
что меняются местами только буквы, а логические
операции остаются на своих местах), получим выражение
f(B, А) = ВА + ВА,
полностью совпадающее с (1), следовательно, функция (1)
является симметрической.
В случае трех аргументов А, Б, С существует шесть
перестановок:
ABC, АСВ, ВАС, CAB, ВСА, СВА,
и при каждой из них симметрическая функция остается
неизменной.
Если функция зависит от п переменных, то в общем
случае число перестановок букв равно
п\ = 12 3 ....-п.
Всякая симметрическая функция характеризуется одним
или несколькими а-числами [16], называемыми также ра-
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

бочими числами [39]. Рабочее число показывает, при каком числе
аргументов, равных единице, симметрическая функция принимает единичное
значение. Если п — число аргументов, от которых зависит симметрическая
функция, то а-число может принимать п + 1 значений: 0, 1, 2, ..., п.
Понятие а-числа находится в основе способа распознавания
симметрических функций. Поэтому прежде чем рассматривать этот способ, необходимо
разобраться в вопросе нахождения а-чисел.
При л = 1 существует два а-числа: 0 и 1. Следовательно, существует две
симметрические функции с одиночными а-числами:
S0W = A;S1(A) = A.
Если п = 2, то существует три а-числа: 0,1, 2 и каждому из них
соответствует свой набор номеров минтермов. Следовательно, существует три
симметрические функции с одиночными а-числами:
1) при а = О симметрическая функция имеет вид S0(A, В) = АВ = (0);
2) если а = 1, то Sx (А, В) = АВ + АВ = (1,2)
3) если а = 3, то S3(A, Б) = АВ = (3).
Здесь и далее в скобках записаны номера минтермов, из которых состоит
соответствующая функция.
При л = 3 существует четыре а-числа: 0, 1, 2, 3. Им соответствуют
следующие симметрические функции с одиночными а-числами:
1) если а = 0, то симметрическая функция имеет вид S0(A,B,C) =
= АВС=(0);
2) если а = 1,то Sl{A9B9C) = ABC + ABC + АВ(^ = (1,2,4);
3) если а = 2, то S2(A, Б, С) = ABC + ABC + ABC = (3, 5, 6);
4) если а = 3, то S3(A, Б, С) = ABC = (7).
При /г = 4 существует пять а-чисел: 0, 1, 2, 3, 4. В соответствии с этим
существует пять симметрических функций с одиночными а-числами:
1) если а = 0, то S0(A, Б, С, D) =_ABCD = (0)^
2)еслиа = 1,toS! (А, Б, С, D) = ABCD + АБС5 + ABCD + ABOD = (1, 2^4,8);
З^если а = 2, то S2 (А, Б, С, D) = АБС1) + ABCD + АБС5 + ABCD + АБС5 +
+АБС5= (3,5,6, 9,10,12);
4) если а = 3, то S3(A, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = (7,11,
13,14);
5) если а = 4, то S4(A, Б, С, D) = ABCD = (15).
Аналогичным образом можно найти наборы минтермов для
симметрических функций большего числа аргументов.
Симметрическая функция может содержать несколько а-чисел.
Например:
S0,i(A, Б, С, D) = S0(A, Б, С, D) + SX(A, Б, С, D).
Эта функция состоит из двух а-чисел: 0 и 1.
Чтобы определить, из каких а-чисел состоит заданная симметрическая
функция, сначала ее следует представить в СДНФ, записав минтермы числами,
а затем выявить все группы номеров минтермов, соответствующих тем или
иным а-числам. Проиллюстрируем это на примерах.
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
135

Пример 1. Найти а-числа симметрической функции
/(A, B,C,D)=A + B + C + D. (2)
Представим ее в СДНФ:
/(А, Б, С, D) = А + В + С + D =
= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (3)
Набору минтермов 1,2,4,8 соответствует а-число, равное 1. Удалим эти
числа из выражения (3). Тогда останутся номера:
(3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (4)
Среди оставшихся чисел находим номера минтермов, соответствующие
а-числу, равному 2. Это числа 3, 5, 6, 9, 10, 12. Удалим их из списка (4).
Останутся числа:
(7,11,13,14,15). (5)
В этом списке номера 7, 11, 13 и 14 соответствуют а-числу, равному 3.
Если их удалить из перечня (5), то останется одно число: 15. Ему
соответствует а-число, равное 4.
Таким образом, функция (2) представляет собой симметрическую
функцию с набором а-чисел вида 1,2,3,4:
f(A, B,C,D)=A + B + C + D = Slt2>3,4(A, Б, С, D).
Эта функция принимает единичное значение в четырех случаях: если
единице будет равен точно один аргумент из четырех (когда а = 1), либо
точно два из четырех (при а = 2), либо точно три (если а = 3), либо все четыре
аргумента (при а = 4).
Ответ: а = 1,2,3,4.
Пример 2. Найти а-числа функции
f(P,Q,R) = PR + QR + PQ;
В отличие от предыдущего примера эта функция зависит только от трех
переменных, соответственно для проверки симметричности необходимо
ориентироваться на а-числа трех переменных.
Представим функцию в СДНФ:
f(P,Q,R) = PR + QR + PQ = (l, 2, 3, 4, 5, 6).
Группа минтермов с номерами 1,2,4 соответствует а-числу, равному 1,
а оставшиеся номера — а-числу, равному 2. Следовательно,
f(P,Q,R) = PR + QR + PQ = ^(P&R).
Ответ: а = 1, 2.
В данном подразделе каждое задание представлено списком семи
пронумерованных булевых функций, среди которых есть как симметрические, так
и несимметрические. В списках приведены булевы функции различных форм:
ДНФ, КНФ и высших порядков. При этом среди форм высших порядков
могут находиться и симметрические функции.
136
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Цель работы состоит в отыскании симметрических функций.
Как выполнять эту работу, проиллюстрируем на примере следующего
задания.
Укажите симметрические функции:
а) /(А, ВУС) = А + В + С\ _
б) f(V,XyYyZ) = V + X(V + Z) + ZV;
в) /(А, Б, CyD) = ABCD + A + B + C + D;
г) /(Р, Q, Я, Т) = PQRT_ + PQRT + PQRT +J>QRT;
д) f(A, Б, С, D) = А(ВС + АБС) + А(ВС + БС);
е) /(А, Б, C,D) = (А + Я_+_С)(А +jB + с)<А + Б + С)(А + Б + С);
ж) f(E, F, К, L) = EF + EF + К + L + KL.
Решение:
а) представим функцию /(А, Б, С) = А + Б + С в СДНФ:
/(А, Б, С) = А + Б + С = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).
В этом перечне номеров нет только минтерма с номером 7, которому
соответствует симметрическая функция S3(A, Б, С). Все остальные номера
являются минтермами, образующими инверсию функции S3(A, Б, С). Так как
S3(A, Б, С) — симметрическая функция, то симметрической является и ее
инверсия. Таким образом, первая функция относится к классу
симметрических.
Этот же результат можно получить более коротким путем: первая
функция есть дизъюнкция трех переменных, и все они инверсные. Дизъюнкция —
операция коммутативная, вследствие чего аргументы могут быть записаны в
любом порядке, функция от этого не изменится. Следовательно, функция
/(А, В, С) = А + В + С; является симметрической (заметим, что
симметричность функции (2) можно установить такими же рассуждениями);
б) представим в СДНФ функцию
f(V, X,Y,Z) = V + X(V + Z) + ZV;
HV, X, У, Z) = V + X(V + Z) + ZV =
= (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
В этом списке можно выделить а-числа: а = 4 (минтерм 15) и а = 3 (мин-
термы 7, 11, 13 и 14). Удалим их, тогда в списке останутся номера: 4, 5, 6, 8,
9, 10, 12, которым не соответствуют никакие а-числа. Следовательно,
вторая функция к классу симметрических функций не относится;
в) в третьей функции сначала освобождаемся от большой черты, т. е.
знака инверсии:
/(А, Б, С, D) = ABCD + A + B + C + D = ABCD + ABCD.
Эта функция является симметрической, так как конъюнкции ABCD
соответствует а-число, равное 4, а конъюнкции ABCD — а-число, равное 0;
г) запишем СДНФ четвертой функции:
f(P, Q, Я, Т) = PQRT + PQRT + PQRT + PQRT =(7,11, 13, 14).
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
137

Эти номера соответствуют а-числу, равному 3. Следовательно, функция
является симметрической;
д) пятая функция зависит от четырех переменных, но в ее правой части
нет буквы D. Это значит, что аргумент D является фиктивным, функция от
него не зависит. Если не учитывать аргумент D, то функция будет
симметрической, характеризующейся двумя а-числами: 0 и 2. Однако не учитывать
букву D нельзя, так как она указана в левой части. Следовательно, при
нахождении СДНФ необходимо считать, что функция зависит от четырех
переменных:
/(А, Б, С, D) = А(ВС + ABC) + А(ВС + ВС) =
= ABC + ABC + ABC + ABC =
= (0,1,6,7,10,11,12,13).
Здесь можно выделить только одно а-число. Оно равно 0. Остальным же
номерам минтермов не соответствуют никакие а-числа. Следовательно, пятая
функция симметрической не является.
К этому же выводу приходим, если для определения симметричности
воспользоваться перестановками переменных. Запишем функцию в СДНФ:
/(А, Б, С, D) = (0, 1, 6, 7, 10, 11, 12, 13).
Выразим ее через логические переменные А, Б, С, D:
/(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD +
+ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
Переставим местами, например, буквы Б и D:
/(А, Б, С, D) = ADCB + ADCB + ADCB +
+АОСБ + ADCB + АбСБ + ADCB + ADCB.
Запишем буквы в алфавитном порядке:
/(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD +
+ABCD + ABCD + ABCZ) + ABCD + ABCD.
Заменим минтермы номерами:
/(А, Б, С, D) = (0, 4, 3, 7, 10, 14, 9, 13).
Упорядочим номера минтермов по возрастанию:
/(А, Б, С, D) = (0, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14).
Получилось выражение, не совпадающее с заданным. Это значит, что
остальные 23 перестановки проверять нет необходимости: хватило одной
проверки, в результате которой оказалось, что функция
/(А, Б, С, D) = ABC + ABC + ABC + ABC
симметрической не является;
138
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) шестая функция задана в КНФ. Представим ее в СДНФ:
/(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + С)(А + Б + С)(А + В + С) =
= (6,7,8,9,10,11,12,13).
Здесь невозможно выделить ни одного из а-чисел. Следовательно, шестая
функция не является симметрической;
ж) минимальная ДНФ функции равна единице. Это говорит о том, что
все ее переменные являются фиктивными. Но число переменных задано и
можно найти СДНФ:
f(E, F, К, L) = EF + EF + К + L + KL =
= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (6)
Из этих минтермов симметрическую функцию с а-числом, равным нулю,
образует нулевой минтерм:
SQ(E, F, К, L) = (0).
Удалим его из списка (6). Тогда останется выражение, равное (3),
представляющее собой симметрическую функцию. Следовательно, седьмая
функция является симметрической.
Ответ: а, в, г, ухС.
Таким образом, отметим еще раз, чтобы определить, является ли
заданная функция симметрической, ее сначала необходимо представить в СДНФ,
перечислив номера соответствующих минтермов, а затем выяснить, какие
группы минтермов образуют симметрические функции с одиночными а-чис-
лами. Если после удаления этих групп останется хотя бы один минтерм, то
данная функция симметрической не является.
Задания
для самостоятельной работы
1. Укажите номера симметрических функций (ЛА2):
а) f(D, Ey F) = BEF + DEF + DEF;
б) /(А, Б, С) = АВС + АВС + АВС + ABC;
в) f(C,D,E,F)= CDEF + (С + D + Е + F)(C + D + Е + F);
г) /(А, Б, С, D) = А[В(С + D) + CD] + BCD;
д) f(DyEyF) = EF + DE + DEF + DEF;
е) /(С, D, Еу F) = D(C + С F) + E(DF + С) + DF + DF(CE + СЕ);
ж) /(А, Б, С, D) = А(Б + С + D) + A(DC + CD + Б!)).
2. Укажите номера симметрических функций (7АХ):
а) /(С, D, Я, Л_= CDF + CDF + CD£ + DEF + СДЯ*1 + СЯЯ*1 + CDEF;
б) /(А, Б, С) = ABCjbA5C^+ АБС;
в) /(А, Б, С, D) = А + БС# + A(DC + CD + Б!));
г) /(D, Я, Л = DF + DE + Я*1;
д) /(С, D, Я, Л = C + Z5 + E + .F + C + D ЖТ7;
е) /(Б, С, D) = BD + С^ + БС;
ж) f(С, D, Е, F) = CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF.
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
139

3. Укажите номера симметрических функций (Т2С):
a) f(V, X, У, Z) =VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
б)/(А, Б, С) = ABC;
в) /(С, D, Я, F) = CDEF + С5 + СЁ + CF + DF + EF;
г) /(А, Б, С) = АБ + АС + ВС;
д) /(А, Б, С, D) = ACD + ABCD + ABD + ABC + ACD + ABD + АБС + BCD;
е) /(А, Б, C) = AB + BC + AC + ABCjh ABC;
ж) /(C, D, Я, P) = CDEF + (C + D + Я + F)(C + D + £ + P).
4. Укажите номера симметрических функций (СКУ):
а) /(А, Б, С, D) = А(Б + С + Р|+ А(БС_+ CD_+ БР); _
б) /(Р, Q, Я, S) =_р§д + PQ.RS + PQRS + PQilS + PQ.RS;
в) /(Б, С, D) = ВС + CD + Яр^
г) /(V, X, У, Z) = VXZ + FX Z + VXYZ + VXYZ + VXyZ;
д) /(С, D, JB, Р) = D(C + С Р) + £(DP + С) + CF + Z)F(CJE + СЕ);
е) f(AyByC) = (A + B + C)(A^_B + C);_
ж) /(С, D, Я, F) = CD£P + CDEF + CD£P + CD£P + CDEF + CD£P + CDEF.
5. Укажите номера симметрических функций (РЭС):
а) /(А, Б, С) = АБС + АБС + ABC;
6)f(AfBfCfD)= АСр^АВС^ВСр^АЫ^^АВС;
в) /(А, Б, С, D) = A5CD +_АВр_ + ABC + АЙ>_+ ABZH- ABC + БС5;
г) /(С, D, Я, Р) = CD + CD + С£ + CF + DE + DP + ЯР;
д)/(А, Б, С) = АБС;
е) /(V, X, У, Z) = V(XyZ + XYZ+JCYZ) + V(XyZ + VXyZ);
ж) /(А, Б, С) = АВ + АС + ВС + АБС.
6. Укажите номера симметрических функций (ОКМ):
а) /(А, Б, С, D) = B(CD + ABD) + A(CD + АБС) + S(CD + A5D) + АБС;
б) /(А, Б, С, D) = ^ +J*CD + А(БС -hCD-h BD);
в) /(А, Б, D) = AD + АБ + BD; _
г) /(V, х, у, z) = vxyz + vxyz + vxyz + vxyz + vxyz;
д) /(С, D, Я, P) = CTDTPTP + C + DITP;
е) /(P, Q, Д, S) = PQRS + PQi?S + PQilS + PQilS + PQibS;
ж) f(v, x, y, z) = vxyz + vxyz + vxyz + vxyz + vxyz.
7. Укажите номера симметрических функций (НСК):
а) /(А, Б, С) = АВ + БС + АС;
б) /(С, D, Я, Р) = CDPP; _ _
в) /(А, Б, С, D) = АС + AD + CD + ABC + 5CD + ABD + ABC;
г) /(А, Б, С) = (A + С)(А + В)(В + С);
д) /(А, Б, С, D) = АБСР) + AD + ABC + ACD + ABD + АБС + BCD;
е) /(D, Я, Р) = D + Я + Р;
ж) /(А, Б, С, D) = ABC(D + ABD + ACD) + A5C(BCD + ABD + АБС).
8. Укажите номера симметрических функций (ТИЛ):
а) /(А, Б, С, D) = АВф + ACD + АБС) + B(CD + A5D + АС);
б) f(A,B,C) = AB+_BC_+AC;_
в) /(А, Б, С, D) = (А + Б + ^(AjKBiC. + D)(A + С + D)(A + Б + С + D);
г) /(С, D, Я, Р) = CDEF + C+D + Е+ F;
д) /(С, D, Я, Р) = CEF + CD + CE + CF + DE + DF + EF;
140
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) f(D, E, F) = DE + DF + EF + DEF;
ж) f(P, Q, R, S) = PQRS + PQRS + PQRS + PQRS.
9. Укажите номера симметрических функций (ААФ):
а) ДС, D, E, F) = CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF;
б) f(V, X, У, Z) =VXY + VXYZ + XYZ + VXYZ + VXYZ;
в) f(A, B, C) = ABC + ABC; _ _ _
r) /(A, B, C) = ABC + AB + BC + AC + AB;
д) f(A, B,C,D)= (A + B + C)(A_+ В +_C + D)(A + C + D)(A + B + C +_D);
е) f(A, B, C, D) = AB(CD_ + ABD + ACD + ABC) + BC(D + ABD + ABC);
ж) f(C, D, E, F)= CF + CD + CE + CF + DE + DF + EF.
10. Укажите номера симметрических функций (ПУЛ):
а) ДА, В, С, D) = (ABCD + ABD + ACD)(ABC + BCD + ABD + ABC);
б) f(A, В, С, D) = BCD + ABCD + АВВ_+_АВС + ACD + ABD + ABC + BCD;
в) f(R, S, T) = RST + RST + RST + RST; _
г) /(Я, S, T) = (R + S)(R_+ S + T)(R + S + T)(R + S + T);
д) f(A,B,C) = A+_B + C; __=
е) f(P, Q, R, S) =_ PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
ж) f(P, Q, R) = PQR + PQR + PQR.
11. Укажите номера симметрических функций (НЯЛ):
а) f(V, X, У, Z) = VXYj- VYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
б) f(D, E, F) = EF + DF + DE;
в) f(V, X, Y, Z) = VYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
r) f(D,E,F) = D + E + F;__
д) ДС, D,E,F) = CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF;
е) f(A, B, C, D) = ABCD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
ж) f(V, X, Y, Z) = VXYZ VXYZ VXYZ + VXYZ + VXYZ.
12. Укажите номера симметрических функций (ПТЛ):
а) /(С, D,E,F) = CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF;
б) ДА, В, С, D) = (A_+ В + С + D)(A +_B + D)(A + C + D) + ABD + ABC;
в) ДР, Q, R, S) = PQR + PQRS + PQRS + PQRS +^QRS;
r) f(C, D, E, F) ^CDjr С DF + DEFjJJE + CF + CDEF + CDEF;
д) f(R, S, T) = (RS)(R + S + T)(R + ST)(R + S + T);
е) ДА, В, С, D) = A(BCD + ABD) + A(CD + ВС) + B(CD + AD) + ABC;__
ж) f(C, D, E, F) = CDF + CDEF + CDEF + DEF + CDEF + CDEF + CDEF.
13. Укажите номера симметрических функций (ТУЗ):
а)ДА,В,С)=А + В + С;
б) f(V, X, У, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZj- VXYZ + VXYZ + VXYZ;
в) f(V, X,Y,Z)= VYZ + VXYZ + XYZ + VXYZ + XYZ;
г) ДС, D, E, F) = CDF + DEF + CDF + CDEF + DEF + CEF + CEF;
д) f(P, Q, R, S) = QRS + PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
е) ДА, В, С, D) =_ BCD + CD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
ж) f(D, E, F) = DEF + DEF + DEF + DEF.
14. Укажите номера симметрических функций (АНБ):
а) f(V, X, У, Z) = VXZ + VYZ +_XYZ_+ VXYZ_+ VXY;
б) ДС, D, E, F)= CD + CDE + CE + CEF + DE + DF + EF;
i. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
141

B)f(D,E,F) = D + E + F;
г) /(А, Б, С, D) = AB{CD + ABD + ACD) + АБ(С + Б£>) + ABD + ABC;
д) f(DyE,F) = F + EF + DE + DF;
е) /(А, Б, C, D) = А[БС£> + B(CD_ + С5Д + A[5(CD + CD) + BCD];
ж) /(Я, S, Г) = RT + ST + RS + ДГ + Д5.
15. Укажите номера симметрических функций (ОИМ):
а) f(D, E, F) = DEF + DEF;
б) /(А, Б, С, D) = А + Б_+ С_+ 5;
в) /(А, Б, С, D) = ABCD + АБЯ + ACD + АБС + 5CD + ABD + АБС;
r)f(C,D,E,F)= CDEF + С^Е^ CDEi^ + CDEF + С5Ё^ С5£^ + CDEF;
д) /(У, X, У, Z) = FxyZ + гагё + VXYZ + VXyZ;
е) /(С, D, Я, Р) = CDEF + СДЕ + С£ + CF + DEF + 5F + EF;
ж) ДА, Б, С, D) = BCD + ACD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + 5CD.
16. Укажите номера симметрических функций (ЕОЩ):
а) /(А, Б, С, D) =_АБС -^ACD + ABD + ACD + ABC + BCD + ABD + ABC;
б) /(А, Б, C) = ABC + ABC + ABC + ABC;
в) /(С, D,E,F)= (C + D + E + F)(C + D +_£)(C + D + f)(C + D + E + P);
r) f(V, X, У, Z) = VXYZj- VXYZ + VXyZ + VXyZ;
д) /(Д, S, T) = (R + S + Г)(Д_+ S + T); __
е) /(P, Q, Д, S) = PQRS + PQflS + PQRS + PQflS + РД5;
ж)/(D,£,P) = DЯP.
17. Укажите номера симметрических функций (ГБТ):
а) /(С, D, E, F) = CD£P + CDEF + CDEF + C2M7F + CDEF_ + CDEF^__
б) /(С, D, £, P) = C(DP + CDEF + CD£P) + DE(F + CD£P + CD£P + CDEF);
в) /(А, Б, C, D) = JTHC + ABD ACD + 5CD;
г) /(А, Б, C, D) = AB + BCD_+ ABD + ACD + ABC + BCD + A5D + ABC;
д) /(P, Q, Д, S) = P(Q.RS + QAS + QRS) + PQS + PQ.RS; _
е) /(А, Б, C, D) = AC(D + ABD + ACD) + AB(C + BCD + ABD) + ABC;
ж) f(D, Ey F) = DE + DF + EF.
18. Укажите номера симметрических функций (МКИ):
а) /(С, D, Я, F) = CD(F + CDEF +_CDEF) + DE(F + СДЁР + CDEF);
6)f(A,B,C,D)= A + B(C + D)±C + D(A + B);
в) /(А, Б, C, D) = ABC(D + ABD + AC) + АБ(С + BD + ABD) + ABC;
r)f(C,D,E,F)= C + D + CDF + DEF + CE + CF + CDEF CDEF;
д) /(V, X, У, Z) = VXZ + FXJZ +yX?Z + VXYZ + VYZ;
e)f(C,D,E9F)= CDEF + CE + CF + DE + DF + EF;
ж) f(A,B, C,D) = CD + ABD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD.
19. Укажите номера симметрических функций (ЛУГ):
а) /(А, Б, С, D) = (А_+ Б + D + А)(Б5_+ ACD)A5C + .BCD + A5D + АБС;
б) /(Р, Q, Я, S) = PQS + PQ/^S + PQRS + P^S + Qi?S;
в) f(R, S, T) = ST + RS + RT + RT;
г) /(А, Б, С, D) =_А(БТС + Б+1)) + C(A + D + ВТЪ);
д) /(А, Б, С) = АС + АБ + ВС + АБС;
е) f(V, X,Y,Z)=_ VXYZj- VXYZ + VXFZ + VXYZ + VXYZ;
ж) f(D, E, F) = DE + DF + EF.
142
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

20. Укажите номера симметрических функций (МАИ):
а) /(С, D, E, F)= CF + CEF + DEF + DEF + DEF + CDEF + CDEF;
б) f(CyDyEyF) = (CD + DF + EF + CE + CF + DE + CDEF)(C + D + E + F);
в) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABD + ACD_+ ABC + BCD + ABD + ABC;
r) /(P, Q, Д, S) = PQ(i?S + RS) + PQ/?S + P(QRS + Qi?S);
д) /(A, C, D) = ACD + AD + CZ^+ ACD;
е) f(R, S, T) = RST + RST + ST + ST;
ж) /(V, X, Y, Z) = VXYZ + VXyI VXTz + VXYZ + VXYZ.
21. Укажите номера симметрических функций (875):
a) /(A, B,C,D)= AB + CD + BD + AC + BD + BD + ABC;
6)/(C,D,F,F) = CD + CDF DEF + CE + CF + CDEF + CD(E + F);
в) /(V, X, У, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
г) /(А, Б, C, D)= BC + AD + ABD +_ABC + ACD + ABDj- ABC + BCD;
д) /(C, D,E,F)= CDEF + CDFF + CDEF + CDEF + CDFF + CDEF;
е) /(А, Б, C, D) = (AjhJTf C_+_D)(A + B + C + D)j^ _
ж) /(P, Q, Д, S) = PQRS + PQRS + PQiJS + PQR S + PQflS.
22. Укажите номера симметрических функций (ЛТЗ):
а) /(А, Б, С, D) = ABD + ACD + ABC + BCD + ABD + ABC;
б) /(D, £, F) = DEF + D£P + DEF;
в) /(V, X, Y, Z) = VXYZ + V(XYZ + XYZ + XY Z + XYZ);
r)/(C,D,F,F) = EF + CD + CF + DE + DF + EF;
д) /(C, D, F, F) = CDFF + CDEF + C + D+_E + F;
е) ДА, Б, C, D) = BCD + ACD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + 5CD;
ж) /(С, D, F, F) = CDF + CDFF + CDEF + CD(FF + CDFF + CDEF).
23. Укажите номера симметрических функций (5СТ):
а) f(R, S, Т) = RST + RST + RST + ASf;
б) f(C, D,E,F)= CDE(F + CDJEF +/)£F + CDFF) + C(DEF + DFF);
в) /(P, Q, Д, S) =_PQRS + PQibS + PQilS + PQibS + PQRS;
г) /(А, Б, C) = ABC + ABC + ABC + ABC;
д) /(V, X, Y, Z) = JX 4- VZ +_VY + XY 4- XZ + YZ;
е) /(A, BfC) = AC^AB^- ВС;
ж) /(А, Б, С, D) = ^CD + ABD + ACD + ABC + BCD + A5D + ABC.
24. Укажите номера симметрических функций (ЗУЯ):
а) /(А, Б, С, D) = (ЗЦ + сБ)(А + В_+С + D);
б) /(D, Я, F) = DE + DF + EF + DEF;
в) /(А, Б, С, D) = ABC -^AD + AC + АВС + Б£> + АБ + АБС;
г) /(С, D, £, Р) = CD_+_CEjr_CF + DE + DP + EF + D£P;
д) f(V, X, Y, Z) = VXY + VXZ + VYZ ^XYZ + VXYZ^
е) /(А, Б, C, D) =jBCD + ABD + AD_+ АБС + ACD + A5D + АБС + BCD;
ж) /(А, Б, C) = (A-h C)(B + C)(A + Б).
25. Укажите номера симметрических функций (ГИФ):
а) f(V, X, Y, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ+^XYZ;
б) /(С, D,E,F)= CD(F + CDP + CDEF) + D£(F +_D£ + CEF + CDEP);
в) /(А, Б, C, D) =_ABCD + ABD + ACD + ABC + BCD + ABD + ABC; _
r) f(AyBy CyD) = ABC + ACD + ABD + ACD + ABC + BCD + ABD + ABC;
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
143

д) /(A, BfCfD)= ADj- BD_+CD + ABC + BCD + ABD + AB;
е) ДР, Q, Д, S) = PQRS + PQ^S + PQRS + PQtfS + PQibS;
ж) ДУ, X, У, Z) = УХУ + VXZ + VYZ + XyZ + XyZ.
26. Укажите номера симметрических функций (PAT):
а) /(А, Б, С, D) = 5CD + Б5 + АС + А(БС + BCD + 5D) + ABC;
б) /(А, Б, С, D) = (А 4- Б 4- С)(А 4- С 4- D)(A 4- Б 4- D)(5 4- С 4- D);
в) /(У, X, У, Z) = УХ + VXZ + ХУ +JTZ + yxyZ;
г) /(А, Б, С, D) = ABC + ABD ^jACD + ACD +_ВЙ) + BCD; _
д) /(А, Б, С, D) = AD + ABD + АБС + ACD + ABD + АБС + BCD;
е) ДР, Q, Д, S) = pq^s + pQtfS + pqrs + PQttS + PQRS;
ж) /(А, Б, C, D) = abc + A5D + ACD + АБС + BCD + A5D + АБС.
27. Укажите номера симметрических функций (САД):
а) /(А, Б, С, D) = ABCD + ACD + ABC + ABD +^АВС;
б) ДА, Б, С, D) = ABCD + BCD + ABD + ABC + ACD +^45D + ABC + BCD;
в) /(С, D, £, F) = £P + CD + C£ -^CP_+ DE + DF + £P;
г) ДА, Б, C, Z>) = AD + ABDjh БС + ACD + ABCD + ABCD;
д) f(V, X, У, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + FXyZ;
е) ДР, Q, Д, S) = PQRS + PQRS + PQRS_+PQRS^+ PQRS;
ж) /(С, D,E,F)= CDE + С D£P + CD£P + CD£P + CDEF + CD£P.
28. Укажите номера симметрических функций (АВЧ):
а) ДА, Б, С, D)= ABCD;
б) ДА, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + A5CD + AACD + ABCD;
в) ДР, Q, Я, S) = PQ.RS + PQRS;
г) ДА, Б, С, D) = (АБС!) + ABD + ACD)ABC + 5(CD + AD + ABC);
д) ДУ, X, У, Z) = yxyZ + yX?Z + yxyZ + yxyZ;
е) ДА, BfCtD) = BCD + ABD + ABCD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
ж) ДР, Q, Я, S) = PQA + PQS + PQAS + PQRS + PQAS.
29. Укажите номера симметрических функций (64У):
а) ДА, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
б) ДА, Б, С, D) = A(5CD + BD + CD + ABC) + B{CD + AD + AC);
в) ДА, Б, С, D) = CD ^AD^ + AD + AB + BC + BD;
г) ДУ, X, У, Z) = УХУ + XyZ + VXYZ +JXYZ + VXYZ;
д) ДС, D, JB, F) = CDjh C£ + CF_+ DE+ DF + EF_+ DF;
е) ДР, Q, Я, S) = PQRS + PQtfS + PQ^S + PQRS + PQtfS;
ж) ДА, Б, С, D) = BCD + АБ5 + АБС + ACD + A5D + ABC + BCD.
30. Укажите номера симметрических функций (ЗОГ):
а) ДА, Б, С, D) = BD + AB + АБСР + ABD + AB + ABCD;
б) ДР, Q, Я, S) = PQ.RS PQi?S;
в) ДА, Б, С, D) = ABC + ABC-D_+ 4^^+ ACI^ + ACD + BCD + 5CD;
г) ДР, Q, Я, S) = PQRS^PQRS + PQttS + PQ^S + PQRS;
д) ДА, Б, С, D) = ABCD + ABD + ACD + ABC + 5CD + ABD + ABC;
е) ДУ, X, У, Z) = УХУ + yxyZ 4 yxyZ + XyZ;
ж) ДР, Q,R,S) = (P + Q + R)(P 4- Q 4- S)(P + R 4- S)(Q + Я + S).
31. Укажите номера симметрических функций (УТУ):
а) ДС, D, E, F) = CDF + CDP + CDE + DEF + DEP + CDEF + CDEP;
б) ДУ, X, У, Z) = yyz + ХУ^ + VXYZ + УХУ^ + VXFZ;
144
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) ДА, В, С, D) = CD + ABD + ABD + АВС + ACD + ABD + ABC + BCD;
r)f(A,B,C,D)= ABD + AB + ABCD + ABD + AB + ABCD;
д) ДА, В, С, D) = (A + B + C + DMB + 5)(A + C)D + ABC + BCD + ABD + ABC;
е) f(P, Q, R, S) = pQRS PQRS^ + PQRS + PQRS + PQRS;
ж) f(C, D,E,F)= CDEF + C DE + CE + CF + DE + DF + EF.
32. Укажите номера симметрических функций (766):
а) ДА, B,C,D)= ABC +ABD + ACD + BCD;
б) ДА, B,C,D)= ABCD + ABD + ABC + BCD + ABD;
в) ДА, В, С, D) = ABCD + BCD + ABC + ACD + ABC + ABC + ABD + BCD;
r) f(P, Q, R, S) = PQR + PQS-^PRS +_QRS_+ PQRS;
д) f(V, X, Y, Z) = VYZ + VXYZ + VXYZ + VYZ + VYZ;
е) ДА, В, С, D) = ABCD;
ж) ДС, D, E, F) = CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDEF.
33. Укажите номера симметрических функций (ТПТ):
а) ДА, В, С, D) = ABCD + ABB + ACD + ABD + ABC;
б) ДР, Q, R, S) = PQRS + PQRS_+ PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
в) f(V, X, Y, Z) = V(XYZ + XYZ) + V(XYZ + XYZ + XYZ);
r) f(V, X, Y, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
д) ДА, В, С, D) = BD + AD + AC + ВС;
е) f(P, Q, R, S) = pQRS + PQRS PQRS + PQRS PQRS;
ж) ДА, В, С, D) = ABC + ABD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + BCD +
+ ACD.
34. Укажите номера симметрических функций (940):
а) ДА, В, С, D)= BD + ABCD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCDL
б) ДС, D, E, F)= CD_+EF + CD + EF +_DEF + CDEF + CDEF + CDEF;
в) ДА, В, С, D) = BD + ABD + ACD + ABD + ABC + ABCD + ABCD;
г) ДА, B,C,D)= AB + CD_+ ACD_+_ABC_+_ABD_+ ABC;
д) ДА, В, С, D) = ACD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
е) ДС, D, E, F)= CF + CD + CE + CF + BE + DF + EF;
ж) f(V, X, Y, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ.
35. Укажите номера симметрических функций (ВДР):
а) ДС, D, E, F) = (С + D + F)(C + D + Е + F)(C + В + Е + F) + DEF + CDEF;
б) ДР, Q, R, S) = PQR + PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
в) ДА, В, С, D) = BCD + ABCD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
г) ДА, В, С, D) = ABCp_+_ABD_+ ACD + AB + BCD + ABC;_
д) ДА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ ABCB;
е) ДС, D, E, F) = CDF + (C + D_+ E_+ F)(D + E +/)(C + D + E + F) + CDEF;
ж) f(V, X, Y, Z) = VYZ + VYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ.
36. Укажите номера симметрических функций (ОДШ):
а) ДА, В, С, D) = АВСВ + ABB + ACD + ABC + ВСВ + ABD + ABC;
б) f(V, X, У, Z) = VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ +_VXYZi
в) ДА, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ ABCD + ABCD;
г) ДА, В, С, D) = ABC + ABD + BCD + BCD + ABD + ABC;
д) f(P, Q, R, S) = PQRS + PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
i. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
145

е) /(С, D, Ey F) = FjCDE + CP£ + CPE) + C(D£P + D£^ + D£^);
ж) /(P, q, я, s) = Jq^^qrsVpqRs^pqrs~pqrs.
37. Укажите номера симметрических функций (ДОА):
а) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ ABCD; _
б) /(A, BtCfD) = A + BC + D;
в) /(А, Б, C, D) = BD + AC + CD + AB;
г) /(А, Б, C, D) = ABC + ABD ACD + 5CD;
д) /(V, X, У, Z) = VXY_+ VXZ + FfZ + XyZ + YZ;
е) /(P, Q, Д, S) = PQtfS + PQS + A?AS_+ P^J? + P9RSJ-
ж) /(С, D, £, F) = CD£P + С D + C£ + CP + DE + DP + EF.
38. Укажите номера симметрических функций (015):
а) /(А, Б, С, D) = ABD + ABCD + ACD_+ ABCjJSCDj^ABD +_ABCj_
б) /(А, Б, С, D) = BD_ + ACD + ABD + АБС + ACD + ABD + АБС + БС5;
в) /(А, Б, C, D) = ACD + БСр +_ABD + ABC + ABD + ABC;
r) /(P, Q, Д, S) = PQflS + PQRS + PQtfS + PQflS + PQR;
д) /(V, X, У, Z) = yyz + FXyZ + VXZ + VXYZ + VYZ;_
е) /(P, Q, Д, S) = РД + PQS + QS + QRS + PQS + PQiiS;
ж) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD ABCD + A5CD A5CD + ABCD + ABCD.
39. Укажите номера симметрических функций (75Т):
а) /(С, D, Я, Р) = CDP + CDEF + CD(EF + DEF + CDEF + CD£P);
б) /(А, Б, С, D) = АВС^ Б£> + CD + АБ + ВС + ABD + АБС;
в) /(А, Б, С, D) = ABD + ACD-^-ABC + BCD + ABD + ABC;
г) f(V, X, У, Z) = VXYZ + F XyZ_+ V(XYZ + XyZ + XJZ);
д) /(А, Б, C, D) = C_+ 5 + ACD + ABD + ABC + AD + ABD + ABC + БС5;
е) f(P, Q, Д, S) = PQRS + PQRS + PQRS + PQRS + PQRS;
ж) /(С, D, £, P) = CDP + CP + CD£(P + DEF + CD£P + CD£P) + CD£P.
40. Укажите номера симметрических функций (ВЕД):
а) /(А, Б, С, D) = ВС + АС + ACD + AB25 + ABCD + ABCD;
б) /(V, X, У, Z) = FxyZ + VXYZ + FXFZjh FXyZ +_VXyZ;
в) /(А, Б, С, D) = AB(CZ>j^AD + ACD) + ABC_ + БС5 + ABD + ABC;
r) /(P, Q, Д, S) = PQS + PQRS + PQS + PQRSj- PQRS;
д) /(C, D, £, P) = CP + CD + CE + CP + DE + DP + £P;
е) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD;
ж) /(А, Б, C, D) = abc + ACD + ABC + BCD + A5D + ACD.
41. Укажите номера симметрических функций (ЖБИ):
а) /(С, D, Я, Р) = CDP + CDF_+ DEF + D£ + CDEF^r CEF + CDEP;
б) /(A, ByCyD)= ABCD + ACD + ABC + ABD + ABC;
в) /(А, Б, C, D) = БС5 + АБ1^+ ABC + ACD + A5D + ABC + BCD;
r) /(V, X, У, Z) =_Vl(yZ_-^Xyz4 XY)Zjb_VXYZ + VXYZ;
д) /(D, £, P) = D£P + D£P + DEF + D£P;
е) f(C, D, £, P) = CDE + C£P + СЁР -^CDF + CDEF_ + CDEF + CDEP;
ж) f(P, Q, Я, S) = PQ(,RS + RS) + PQRS + PQtfS + PQi?S.
42. Укажите номера симметрических функций (НОНА):
а) /(А, Б, С, D) = ABCD + Х7бП5 + ACD + АБС + BCD + ABC;
146
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) /(Р, Q, Я, S) = QRS + PQ^S + PQRS + PQBS + PQibS;
в) f(V, X, Y, Z) = VXY + VXY + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
г) /(А, Б, С, D) = BCD + АБС + АСР + АБС + ABC + ABD + BCD;
Д) f(R, S, Г) = (Я +_S)Il + S + Г Я + S + T(R + S + Г);
е) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABC + ABD + ACD + BCD;
ж) /(А, Б, С, D) = ABCD + (A + B + C + D)(A + B + C + D) + ABCD.
43. Укажите номера симметрических функций (КАЮА):
а) /(С, D, JE, F) = CDF + CDJEF + DE + CDF_+ CDJE_F + CDJEF; __
б) /(А, Б, С, D) = АБС + BCD + ABD + ABC + BCD + ABC + BCD;
в) /(А, Б, С, D) = (ABC + ABD +_ACD)(ABC + BCD + ABD + ABC);
г) /(V, X, Y, Z) = VYZ + YZ + XYZ + VXYZ + YZ;
д) /(P, Q, Д, S) = ^QS + PQRS + PQRS + PQtfS + PQJUS;
е) /(А, Б, C, D) = BCD + ABCD + ABD + ABC + ACD + ABD + ABC + BCD;
ж) /(С, D, JE, F) = CDF + CDF + CDF + DEF + D£F + CDF + CDEF.
44. Укажите номера симметрических функций (ВИДА):
а) /(A, BtCfD)= АВ + CD + AB + CD + ACD + ВС + BCD + ABD + ABC;
б) /(С, D, JE, F) = CF + CDJEF + CDF + DJEF + CDEF + CDF + CDFF;
в) /(А, Б, С, D) = BCD + ABCD + ABD + ABC + ACD + АБр + АВ<7;
г) /(С, D, JE, F) = CEF + CDEF^CDEF + CDEF + CDEF + CDEF + CDFF;
д) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD +^ABCD + ABCD;
е) /(P, Q, Д, S) = PQR + PQS + QjfcS + PQi?S + PQAS;
ж) f(V, Xy Y, Z) = VXYZ + XYZ + V(XYZ + XYZ + XYZ).
45. Укажите номера симметрических функций (КУХМ):
а) /(V, X, Y, Z) = VX + YZ + VX + YZ + VX_+ YZ + VX + YZ;
б) /(А, Б, C, D) = ABC + ABCD + ACD + ABC + BCD + ABD + ACD;
b)/(A,5,C,D)= A + 5 + C + D;_
г) /(А, Б, C, D) = BCD + ABCD + ABD + АБС + ACD + ABD + ABC + BCD;
д) /(Б,5,Т) = Я + 5_+Т^
е) /(А, Б, C, D) = 5CD + ABC + ABCD + ACD + ABC + ABC + ABD + BCD;
ж) /(P, Q, Д, S) = QRS + PQi? + PQflS + PQRS + PQttS.
46. Укажите номера симметрических функций (РОКМ):
а) /(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD^ABCD + ABCD + ABCD;
б) /(А, Б, С, D) = CD + ABD + ACD + ABC + BCD + ABD + ABC;_
в) /(C, D, JE, F) = JDF + CDF + D£F + D£ + CDEF + CDEF + CDEF;
r) /(D, JE, F) = DJEF; _
д) f(P, Q, Д, S) = PQtfS + P(QRS -^QRS)* PQRS + PQRS;
е) f(V, X, Y, Z) = VXY + VXZ + YZ + VXYZ + FXYZ + VXYZ;
ж) /(С, D, JE, F) = CDJE(F + CDJEF + DJEF) + CDF(F + CDJEF + CDEF).
47. Укажите номера симметрических функций (СИОА):
а) /(С, D, JE, F) = С1^ + CJEF^+ CDF -kEF + CDFlF_+ CDEF + CDEF;
б) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
в) /(А, Б, C, D) = ABD + A(CD + BC +_BCD_+_ABD_+ ABC;
г) ДС, D, JE, F) = CDJEF + CD + CE + CF + DE +_5F^ FF;
д) /(V, X, Y, Z) = VYZ + FXYZ+yXYZ + VXYZ + VXYZ;
е) /(А, Б, C, D) = яр + ABD +jADjb ABC + A^D + ABD + ABC + BCD;
ж) f(P, Q, Я, S) = PRS + PQBS + PQB + PQRS + PQtfS + PQRS.
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
147

48. Укажите номера симметрических функций (РИЛБ):
а) f(V, X, У, Z) = XYZ + XYZ +J(XYZ + XYZ) + VXYZ;
б) /(С, D, Ey F) = CD(F + EF + DEF) + DE(F + CS*1 + СЯ*1) + CDEF;
в) /(У, X, У, Z) = VXZ +_FXyZ + VXYZ + VYZ + XyZ;
r) f(D, Ey F) = DEF +_DE + EF + DE;
д) /(A, C, D) = AD + AC + CD + ACD;
е) /(У, X, У, Z) = VXFZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ + VXYZ;
ж) /(А, Б, C, D) = ACD + ABD + ACD + ABC + BCD + ABD.
49. Укажите номера симметрических функций (ЛОКУ):
а) /(С, D, Я, J1) = CDF^CDE + CZ>£ + CDF + СДЁ*1 + CD£F + CDEF;
б) /(У, X, У, Z) = VXyZ + VXYZ +_VXYZ_+ VXYZ + VXYZ;
в) /(А, Б, С, D) = ABCD + ACD + ABC + ABD + ABC;
r) /(P, Q, Д, S) = Q(flS + ДЙ_+ PRS)jr PQRS + PQflS;
д) /(А, Б, C, D) = AD + A5jh_AJ9 + AC + ВС;
е) /(А, Б, C, D) = АБ^р_^АБС5 + ABC25_+ ABCD +_ABCDjr ABCD; _
__ж) /(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ ABCD ^ ABCD.
50. Укажите номера симметрических функций (МИЛЕ):
а) f(V, X, У, Z) = VX_ + yZ + VXyZ + УХ + ?Z + VXYZ + VXYZ;
б) f(ALB, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + A5CD + ABCD + ABCD +
-^ ABCD-h ABCD;
в) /(А, Б, C, D) = AC + BCD +_A5D + BCD + ABC + ABD;
r) /(P, Q, Д, S) = QRS_+ PQRS + PQilS + PQRS +_PQRSL _
д) /(А, Б, C, D) = БСр + ABCD + ABD + ABC + ACD + ABD + BCD;
_e)/(A, Б, С, D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B +
+ C + D);
ж) /(С, D, £, P) = CDP + CDEF + CDE*1 + DEF + CDEYTCDEF + CDEF.
4.2.
ОПЕРАЦИИ НАД
СИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Операции над симметрическими функциями выполняются в основном
так же, как и над любыми другими функциями булевой алгебры. Поясним
это примерами.
Пример 1. Найти минимальную ДНФ:
S0,2(A, Б) • S0,3(A, Б, С, D) + S0ili2(A, Б, С).
Выразим симметрические функции через их аргументы и упростим:
So,2 (A,jB)_= Si(A, Б) = АБ + АБ; _
S0,3(A, BLC,_D) = ABCD +_ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
S0iii2(A, Б, C) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = A + B + C.
Находим конъюнкцию vj/ = S0 2(A, Б) • S0 3(A, Б, С, D):
У = (АБ + AB)(ABCD + A5CD + ABCD + ABCD + ABCD) = ABCD + ABCD.
148
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Находим дизъюнкцию этого выражения и симметрической функции
S0ili2(A, Б, С): -^(^ в) s^^ ^ с D) + Sqд 2(А> Б> С) =
= ABCD + ABCD + А + В + С = А + В + С.
Пример 2. Найти минимальную ДНФ функции (р:
Ф = S0X2(At В, С) • SU(A, Б, С, D) + 50Д,2,4(А, Б, С, D).
Находим конъюнкцию:
S0X2(A, В, С) • SM(A, B,C,D) = (A + B + C)x
х (АБС5 + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD) =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
Дизъюнкция этого выражения и симметрической функции S0l2t4(A, £>
С, D) после минимизации дает искомый результат:
Ф = CD + AB + AC + AD + BC + BD + ABCD.
Задания
для самостоятельной работы
Выполните операции над симметрическими функциями. Для
минимальных ДНФ укажите число знаков дизъюнкции и число вхождений букв.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
s2(A,B)>
%(A,B,C,D) + S3(A,B,C,D).
St(A, В) St(A, В, С, D) + SX(A, В, С).
St(A, В) S2(A, В, С, D) + 50Д(Л, В, С).
^(А, В) S3(A, В, С, D) + S4(A, В, С, D).
St(A, В) S0,i(A, В, С, D) + S2(A, В, С).
S0,i(A,B)
S0,i(A,B)
So,! (А, В)
S0,i(A,B)
So,i(A,B)
S0,2(A,B)
So,2(A,B)
So,2(A,B)
S0,2(A,B)
So,2(A,B)
S,,2(A, B)
Sh2(A,B)
S,,2(A,B)
Sh2(A, B)
S0,2(A, B, C, D) + Soa(A, В, С).
S0X2(A, B, C, D) + S0<2(A, В, С).
S0,3(A, B, C, D) + S^A, В, С).
S^iA, B, C, D) + S0X2(A, В, С).
S0X3(A, B, C, D) + S0i3(A, В, С).
S2,3(A,B,C,D) + S1<3(A,B,C).
S0X3(A, B, C, D) + S0X3(A, В, С).
SlX3(A, B, C, D) + S2i3(A, В, С).
S0A(A, B, C, D) + S0X3(A, В, С).
SlA(A, B, C, D) + S0X3(A, В, С).
S0XAA, B, C, D) + Sli2i3(A, В, С).
S2A(A,B,C,D) + S1{A,B,C).
S0,2A(A, B, C, D) + S0il(A, В, С).
Sl,2A(A,B,C,D) + S2(A,B,C).
St(A, B) ■ S3A(A, B, C, D) + Soa(A, В, С).
SU(A, B, C) ■ S^A, B, C, D) + Su.stA, В, С).
S0,3(A,B,C) + S1A(A,B,C,D) ■ S0X4(A,B,C,D).
SU(A, B, C) + SoA(A, B, C, D) ■ S^A, В, С, D).
So,i,2(A, В
, C) S4(A, B, C, D) + S4(A, В, С, D).
(ИЕЗ)
(КУВ)
(П1Р8)
(5H)
(Г60)
(HAAB)
(СЕЛЗ)
(ГОЙ7)
(34ТУ)
(САФИ)
(ШИ83)
(70ИЛ)
(ДЕЦЕ)
(414)
(ДОРЫ)
(ГОНХ)
(H065)
(КИМЗ)
(POHA)
(ВИИЗ)
(КИКТ)
(ЛИРС)
(ЛОЮГ)
(П453)
i. СИММЕТРИЧЕСКИЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
149

25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
S0,i,3(A, В, С) • S0,2,4(A, В, С, D) + S1>3(A, В, С, D).
S0i3(A, В, С) S2A(A, В, С, D) + S3A(A, В, С, D).
S2i3(A, В, С) • S1,2,4(A, В, С, D) + S0,i,3,4(A, В, С, D).
S1X3(A, В, С) ■ S1>3,4(A, В, С, D) + S0,2,3,4(^ В, С, D).
S0X3(A, В, С) • S0,3,4(A, В, С, D) + S0X3(A, В, С, D).
S0X2(A, В, С) • S2,3,4(A, В, С, D) + S2<3(A, В, С, D).
Sh2(A, В) ■ S0A(A, В, С, D) + S3(A, В, С, D).
S0,2(A, В) ■ S0A(A, В, С, D) + S0,i(A, В, С, D).
Sx(A, В) ■ S0.2(A, В, С, D) + S1,2(A, В, С, D).
Sx(A, В, С) • S0,3(A, В, С, D) + S0>2(A, В, С, D).
Sh3(A, В, С) ■ S1>4(A, В, С, D) + S0X2(A, В, С, D).
S0,i(A, В) ■ S0X3(A, В, С, D) + Sh2A(A, В, С, D).
S2(A, В) ■ S1>3,4(A, В, С, D) + SoX4(A, В, С, D).
S0,i(A, В, С) ■ SU(A, В, С, D) + S0,i(A, В, С, D).
S0i3(A, В, С) • SiA4 (А, В, С, D) + S0<2(A, В, С, D).
Sh2(A, В, С) S0,i(A, В, С, D) + S3A(A, В, С, D).
S0i3(A, В, С, D) ■ S2(A, В, С) + ^(А, В, С, D).
S^iA, В, С, D) • S0,2(A, В, С) + S3A(A, В, С, D).
Sh2(A, В, С) ■ S0X2A(A, В, С, D) + S2(A, В, С, D).
S1X4(A, В, С, D) • S!,2(A, В, С) + S0t3A(A, В, С, D).
S2A(A, В, С, D) ■ S0>1(A, В, С) + S0X2(A, В, С, D).
S3A(A, В, С, D) ■ S0X3(A, В, С) + S2<3(A, В, С, D).
S2(A, В) ■ S1,2,3(A, В, С) + S2,3(A, В, С).
S0,i(A, В, С) ■ S3A(A, В, С, D) + S0,i(A, В, С, D).
S0,i(A, В) ■ S^A, В, С) + S0X2(A, В, С, D).
S0i2(A, В) ■ S0,2(A, В, С) + S0,2(A, В, С, D).
(ПОД5)
(СОНТ)
(РИБО)
(ФИТЗ)
(ФОУК)
(ВОВ7)
(ГОРЛ)
(ГИЙО)
(ВАЛХ)
(223С)
(78ШО)
(77РА)
(882У)
(26ИС)
(99КА)
(32ЕН)
(2463)
(БЫ)
(ТУ)
(18С)
(80АЛ)
(73МЕ)
(508 Л)
(УВ1)
(БОНА)
(НИАК)
150 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

АЛГЕБРА
ЖЕГАЛКИНА
5.1.
ОПЕРАЦИЯ «НЕРАВНОЗНАЧНО»
(СУММА ПО МОДУЛЮ 2)
Операция «неравнозначно» (сумма по модулю 2)
определяется аксиомами вида:
0Ф0 = 0; 0Ф1 = 1; 1Ф0 = 1; 1 Ф 1 = 0.
Они применяются при нахождении значений полинома
Жегалкина на заданных наборах значений переменных.
Проиллюстрируем это на следующем примере.
Сколько в списке функций, равных 1 на наборе 3, и
сколько на наборе 10 (десять)?
1) f(A, B,C,D)=A®B ®ACD®ABD®AC ® ВС;
2)f(A,B,C,D)=A®BC®C®CD®AB®AC;
3)f(A,B,C,D)=A®ABCD®BC®AB®ACD®BCD®l;
4) f(A, B,C,D) = B®BC®C ®ABC®ACD ® BCD ® 1;
5) f(A, B,C,D)=AC®BD®C®D®AB® ВС® ABC;
6)f(A,B,C,D)=ABC®C®AC®ACD®BC®ABCD®l;
7) f(A, B,C,D) = C®AD®BC ®ACD®ABC ®BD®\;
S)f(A,B,C,D)=A®C®D®ABC®BD®ABC®l.
Набор З в двоичном виде имеет вид ООН. Отсюда
А = В = 0, С = £>=1.
Вычисляем все полиномы на этом наборе:
1) до, о, 1,1) = о е о е о 1 1 ф о о 1 е о 1 © о 1 = 0;
2) /(0, 0,1,1) = 0 Ф 0 1 Ф 1 Ф 1 1 Ф 0 0 Ф 0 1 = 0;
3) ДО, 0, 1, 1) = 0 © 0 0 1 1 © 0 1 © 0 0 © 0 1 1 ©
©О 1 1®1 = 1;
4)4)A0,0,1,1) = 0©0 1®1©0 О 1Ф0 1 1Ф0 1 1©
©1 = 0;
5)Д0,0,1,1) = 0 1©0 1Ф1Ф1Ф0 О®О 1Ф0 0 1 = 0;
6)Л0,0,1,1) = 001©1®01©011©01©011©
©1 = 0;
7)/(0,0,1,1) = 1©01Ф01©011Ф001Ф01©
©1 = 0;
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
151

8) f(0, о, l, i) = о © l e 1 е о о i © о i © о о i e i = i.
Набор 10 (десять) в двоичном виде имеет вид 1010. Отсюда
А=1, В = 0, С=1, £> = 0.
Находим значения функций на этом наборе:
1) /(1, 0,1,0) = 1 Ф 0 © 1 1 0 © 1 0 0 © 1 1 Ф 0 1 = 0;
2) f{\t 0,1,0) = 1 Ф 0 1 Ф 1 Ф 1 О Ф 1 0 © 1 1 = 1;
3)/(1,0,1,0) = 1Ф1010Ф01Ф10Ф110Ф010Ф1 = 0;
4)/(1,0,1,0) = 0Ф01Ф1Ф101Ф110Ф010Ф1 = 0;
5)/(1,0,1,0) = 11Ф00Ф1Ф0Ф10Ф01©101 = 0;
6)/(1,0,1,0) = 101©1Ф11Ф110Ф01Ф1010Ф1 = 1;
7)/(1,0,1,0) = 1Ф10Ф01Ф110Ф101Ф00Ф1 = 0;
8) /(1, 0,1,0) = 1 Ф 1 Ф О Ф 1 0 1 Ф О О Ф 1 0 1 © 1 = 1.
Таким образом, на наборе 3 две функции равны единице, а на наборе 10
единице равны три функции.
Ответ: 2,3.
Задания
для самостоятельной работы
Каждое из нижеприведенных заданий содержит 8 функций,
представленных в виде полинома Жегалкина. Требуется найти значения этих
функций на двух наборах значений переменных. Наборы заданы в десятичной
системе.
1. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 12? (СЕР)
1) /(А, В, С, D) = А Ф В © CD Ф ABD © АС Ф ВС © ABC Ф ABCD;
2) /(А, В, С, D) = А Ф В © С Ф CD Ф АВ ФАС Ф ВС Ф BCD;
3) /(А, В, С, D) = А Ф BCD Ф C®ABC®ACD Ф ВС Ф 1;
4) /(А, В, С, D) = АВ © ВС Ф С Ф ABD © ACD © BCD © 1;
5) /(А, В, С, D) = А Ф BD Ф С Ф D Ф АВ Ф ACD Ф ВС Ф ABC;
6) /(А, В, С, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® BC®ABCD ® 1;
7) /(А, В, С, Z>) = А Ф BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) /(А, В, С, Z>) = А © В ® D ® ВС ® BD®ABC ® 1.
2. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 10? (КИЯ)
1) /(А, В, С, D) = А Ф С Ф £> Ф ABCZ) Ф АС Ф BCD Ф ABC;
2) /(А, В, С, £>) = А Ф ВС Ф CD ® ABCD ® ACD ® BCD;
3) /(А,В,С,Z>) = ACDФABD® С®ABC® AC®BD®1;
4) /(А, В, С, Z>) = АС Ф BCD ® CD®AB®AD ® ВС ® 1;
5) /(А, В, С, £>) = ABCZ) © BZ> © CZ) Ф ABD ®AC ® BCD® ABC;
6) f(A, B,C, D) =A®AC ®ABC ®ACD ® ВС ®ABD ®ABCD ® 1;
7) /(А, В, С, D) =A®BD® D®ABCD® ABC ® BCD ®CD®1;
8) /(А, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ®CD®1.
3. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 9? (РБЛ)
1) /(А, В, С, D) = А Ф В © CZ) Ф ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) /(А, В, С, D) = А Ф В © С © С£> Ф АВ ® AC ®BC® BCD ® 1;
3) /(A, B,C,D)=A® BCD ® С®ABC®ACD ® ВС;
152
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4) ДА, B,C,D) = AB®BC®C ®ABD®ACD ® BCD;
5) ДА, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB ®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D)=ABD ®B® C®ABC ®ACD ® BC®ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD® ВС®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
4. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 8? (56ЖА)
1) ДА,В, С, D)=ABC®CD® D®ACD®AC® BCD®ABCD®A® 1;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD ®ACD®ABCD®A® D®BD®1;
3) f(A, B, C, D) =ACD ®ABD ® С ®ABCD®AC ®BD®B;
4) ДА, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD ® ВС;
5) ДА, B, C, D) =ABCD ®BD®CD ®ABD®AC ® В ®ACD®ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) = A ® AC ® ABC ® ACD ® В ® С ® ABD ® ABCD;
7) ДА,B,C,D) =A®BC® D®ABD® CD®ABC® BCD® ACD® 1;
8) ДА, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
5. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 12? (Б508)
1) ДА,В,С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD®A;
2) ДА, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD® A® D ® BD;
3) ДА,B,C,D) = ACD® ABD® С® ABCD®AC®BD®B®1;
4) ДА, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС ® 1;
5) ДА,B,C,D) =ABCD®BD® CD® ABD®AC® В® ACD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®B®C®ABD®ABCD®l;
7) ДА, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD® ACD;
8) ДА, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® C®BD ®ABD ® BCD ® 1.
6. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 10? (ЭЛСО)
1) ДА, B,C,D)=A®C® D®ABCD ®AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD® ABCD ®ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD® С®ABC® AC® BD;
4) f(A, B, C, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD® ВС;
5) ДА,B,C,D) =ABCD®BD® CD® ABD®AC® BCD® ABC® 1;
6) ДА,B,C,D) =A®AC®ABC® ACD® ВС®ABD® ABCD;
7) ДА,B,C,D)=A®BD®D®ABCD® ABC® BCD® CD;
8) ДА, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC ® BD®ABD ® CD.
7. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 13? (4477)
1) ДА, B,C,D)=A®B® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) ДА, B,C,D)=A®B®C® CD®AB®AC ® ВС ® BCD;
3) ДА,B,C,D)=A® BCD® С® ABC® ACD® ВС® 1;
4) ДА, B,C,D)=AB®BC®C ® ABD® ACD ® BCD ® 1;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C® D®AB®ACD ® ВС ®АВС;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® С ® ABC® ACD ® ВС® ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = A 0 BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
8. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 9? (77Ц5)
1) f(A, В, С, D)=ABC ®CD® D® ACD® AC ® BCD ® ABCD® A® 1;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD ® ACD® ABCD® A® D®BD®\;
3) f(A,B, C,D) =ACD®ABD® С®ABCD® AC®BD®B;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС;
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
153

5) f(A, В, С, D) = ABCD ®BD®CD ®ABD®AC ® В ®ACD ®ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A® AC® ABC®ACD®B® C®ABD®ABCD;
7) /(A, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD®ACD ® 1;
8) /(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
9. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 12? (КЕОГ)
1) /(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD ®ABC;
2)f(A,B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3) /(A,B,C, D) =ACD®ABD® С®ABC® AC®BD®1;
4) /(A, B, C, D)=AC® BCD ® CD ®AB ®AD ® ВС ® 1;
5) /(A, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD ®AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7) /(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ®CD®1;
8) /(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ®CD®1.
10. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 7? (64МИ)
1) /(А, В, С, D) = А ® В ® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) /(A, B,C,D)=A®B®C®CD ® AB ® AC ®BC® BCD;
3) /(A, B,C,D)=A® BCD ® С ® ABC® ACD ®BC®1;
4) /(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD ® 1;
5) /(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC;
6) /(A, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC ®ACD ® ВС® ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = А Ф BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
11. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 11?
(64КУ)
1) f(A, В, С, D) = А © В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C®CD ® AB ® AC ®BC® BCD ® 1;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® С®ABC® ACD® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® С® ABD® ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® С ® ABC® ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® BC®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
12. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 9? (44Б7)
1) f(A,В,С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD®A;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD® A® D ® BD;
3) f(A,B,C,D) = ACD® ABD® С® ABCD® AC®BD®B®1;
4) /(A, B, C, D) = AC ® С ® D ® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) /(A, B, C, D) = ABCD ®BD®CD ®ABD ®AC ® В ® ACD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®B®C®ABD®ABCD®l;
7)/(A,B, C,D) =A®BC® D®ABD® CD®ABC® BCD® ACD;
8) /(A, B, C, D) = В ® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD ® 1.
13. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 12?
(НТТМ)
1) /(А, В, С, D) = А © С © D ® ABCD® AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ® ABCD® ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B,C, D) =ACD ®ABD ®C ®ABC ®AC ® BD;
154
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4) f(A, В, С, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD® ВС;
5) f(A,В,С,D) =ABCD®BD® CD®ABD®AC® BCD® ABC® 1;
6) f(A, B, C, D) = A ®AC ®ABC®ACD ® ВС ® ABD ® ABCD;
7) f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABCD® ABC® BCD® CD;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC ® BD®ABD ® CD.
14. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 10?
(70ДД)
1) f(A, B,C,D)=A®B® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C® CD®AB®AC ® ВС ® BCD;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® C®ABC®ACD® ВС® 1;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC®C ®ABD®ACD ® BCD ® 1;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C® D®AB®ACD ® ВС ®АВС;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® ВС® ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = A 0 BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
15. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 11?
(Г5ЯК)
1) f(A, B,C,D)=A®C®D ®AC ® BCD ®ABC ® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3)f(A,B,C,D)=AD®ABD®CD®ABC®AC®BD®ACD®l;
4)f(A,B,C,D)=A®B®C®D®CD®AB®AD®BC® ABC ® 1;
5) f(A, B,C,D) = BD® CD® ABD® AC® BCD® ABC ® A;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®BD®l;
7) f(A, B, C, D)=A®BD®D ®ABC ® BCD ® CD ®AD ® 1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC®ABD®ACD®AB® CD.
16. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 8? (ИК5Я)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD® ABC;
2) f(A, B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3) f(A, B, C, D) = ACD® ABD ® C®ABC®AC®BD®\;
4) f(A, В, С, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) f(A, B, C, D)=ABCD ®BD® CD® ABD® AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7) f(A, B,C,D)=A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ®CD®1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC ® BD®ABD ®CD®1.
17. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 8? (Н65П)
1) f(A, B,C,D)=A®C®D ®AC ® BCD ®ABC ® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3) f(A,B,C,D) = AD® ABD® CD® ABC® AC® BD®ACD® 1;
4) f(A, B, C, D) = A ® В ® С ® D ® CD ® AB ® AD ® ВС ® ABC ® 1;
5) f(A,B, C, D) = BD® CD® ABD® AC® BCD® ABC ® A;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®BD®l;
7) f(A, B, C, D)=A®BD®D ®ABC ® BCD ® CD ®AD ® 1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD®ABC®ABD®ACD®AB® CD.
18. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 10?
(ОТАГ)
1) f(A,В,С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD® A® 1;
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
155

2) f(A, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD ®A®D®BD®1;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD ® C®ABCD®AC ®BD®B;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD ® ВС;
5) f(A, B, C, D) = ABCD ®BD®CD ®ABD®AC ® В ®ACD ®ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A® AC® ABC®ACD®B® C®ABD®ABCD;
7)f(A,B,C,D)=A®BC®D®ABD®CD®ABC®BCD®ACD®l;
8) /(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
19. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 8? (ОТУЛ)
1) /(А, В, С, D) = А Ф В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) /(А, В, С, D) = А Ф В ® С ® CD ® АВ ® АС ® ВС ® BCD ® 1;
3) f(A, B,C,D)=A® BCD ® С®ABC®ACD ® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® BC®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
20. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 9?
(КАЭК)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ®ABCD®ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B, C, D) = ACD ® ABD ® С ® ABC ® AC ® BD;
4) f(A,B, C,D)=AC® BCD®CD®AB®AD® ВС;
5) f(A, B, C, D) = ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A®AC®ABC® ACD® ВС® ABD® ABCD;
7)/(A,B, C,D)=A®BD®D®ABCD® ABC® BCD® CD;
8)/(A,B,C,D) = В ® С® D® BCD® ABC® BD®ABD® CD.
21. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 11?
(ОН5Б)
1)/(А,В,С,D) = ABC®CD®D®ACD®AC® BCD®ABCD®A® l;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD ®A®D®BD®1;
3) f(A,B,C,D) = ACD® ABD® С® ABCD® AC®BD®B;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD ® ВС;
5) f(A,B,C,D) = ABCD®BD®CD®ABD® AC® В ®ACD®ABC® 1;
6) f(A,B,C,D) = A® AC® ABC®ACD®B® С® ABD® ABCD;
7) /(A, B, C, D) = A 0 ВС ® D®ABD ® CD® ABC ® BCD® ACD ® 1;
8) /(A, B, C, D) = В ® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
22. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 13?
(5К7Я)
1) /(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD ®AC ® BCD ®ABC;
2)f(A,B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3)/(А,В,С, D) =ACD®ABD® С®ABC® AC®BD®1;
4) /(А, В, С, D)=AC® BCD ® CD ®AB ®AD ® ВС ® 1;
5) /(А, В, С, D) =ABCD ®BD® CD® ABD ®AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7) f(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ®CD®1;
8) /(A, B, C, D) = В ® С ® D ® BCD® ABC ® BD®ABD ®CD®1.
156
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

23. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 12?
(8ГАП)
1) ДА, B,C,D)=A®C®D ®АС ® BCD ®ABC ® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3)f(A,B,C,D)=AD®ABD®CD®ABC®AC®BD®ACD®l;
4)f(A,B,C,D)=A®B®C®D®CD®AB®AD®BC®ABC®l;
5) f(A,B,C,D) = BD® CD®ABD®AC® BCD® ABC® A;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®BD®l;
7) f(A, B, C, D)=A®BD®D ®ABC ® BCD ® CD ®AD ® 1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC®ABD®ACD®AB® CD.
24. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 8?
(8А5П)
1) f(A, В, С, D) =ABC ®CD®D ®ACD®AC ® BCD®ABCD®A;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD®ACD ®ABCD®A® D ® BD;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD ® C®ABCD®AC ®BD®B®1;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) f(A, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD ®AC ® B®ACD®ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®B®C®ABD®ABCD®l;
7) f(A, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD®ACD;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® C®BD ®ABD ® BCD ® 1.
25. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 14?
(8УРС)
1) f(A, B,C,D)=A®B® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C® CD®AB®AC ® ВС ® BCD;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® C®ABC®ACD® ВС® 1;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC®C ®ABD®ACD ® BCD ® 1;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C® D®AB®ACD ® ВС ®АВС;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® ВС® ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = A 0 BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
26. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 13?
(8ЛА0)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD ®ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD® ABCD ®ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD® С®ABC® AC® BD;
4) f(A, B, C, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD® ВС;
5) f(A,B,C,D) =ABCD®BD® CD®ABD®AC® BCD® ABC® 1;
6) f(A, B, C, D) = A® AC® ABC®ACD ® ВС®ABD®ABCD;
7) f(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD ®ABC ® BCD ® CD;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ® CD.
27. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 10?
(65ПШ)
1) f(A,B,C,D)=A®C®D®AC® BCD® ABC® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3) f(A, B,C, D) =AD ®ABD ® CD ®ABC ®AC ® BD ®ACD ® 1;
4) f(A, B, C, D) = A ® В ® С ® D ® CD ® AB ® AD ® ВС ® ABC ® 1;
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
157

5) f(A,В,С,D) = BD® CD®ABD®AC® BCD® ABC® A;
6) f(A,B,C,D) = A® AC® ABC®ACD® ВС®ABD®BD®1;
7)f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABC®BCD®CD®AD®l;
8) /(A, B,C,D) = B®C®D® BCD®ABC®ABD ®ACD®AB ® CD.
28. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 14?
(ЗЗРЛ)
1) /(А, В, С, D) = А Ф В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) /(А, В, С, D) = А ® В ® С ® CD ® АВ ® АС ® ВС ® BCD ® 1;
3) f(A, B,C,D)=A® BCD ® С®ABC®ACD ® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® BC®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
29. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 14? (64ЕК)
1) f(A, В, С, D) = А Ф С Ш D ® AC ® BCD ® ABC ® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3) f(A,В,С,D) = AD® ABD® CD® ABC®AC® BD®ACD® 1;
4) f(A, B, C, D) = A © В ® С ® D ® CD ® AB ® AD ® ВС ® ABC ® 1;
5) f(A,B,C,D) = BD® CD®ABD® AC® BCD® ABC® A;
6) f(A, B, C, D) =A®AC®ABC®ACD ® ВС® ABD ®BD®1;
7) f(A, B, C, D) =A®BD® D®ABC ® BCD ®CD®AD®1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC® ABD ®ACD®AB® CD.
30. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 11?
(903К)
1) /(А, В, С, D) = А © С © D ® ABCD® AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ®ABCD®ACD ® BCD ® 1;
3)f(A,B,C,D)=ACD®ABD®C®ABC®AC®BD;
4) /(A, B, C, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD® ВС;
5) /(A, B, C, D) = ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A®AC®ABC®ACD® ВС® ABD® ABCD;
7) /(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ® CD;
8)/(A,B,C,D) = В ® С® D® BCD® ABC® BD®ABD® CD.
31. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 9?
(ДЛШО)
1) /(А, В, С, D) = А © С © D ® AC ® BCD® ABC ® BD;
2) /(А, В, С, D) = А ® ВС ® CD®ACD ® BCD ®BD®AD®AB;
3) /(А, В, С, D) =AD®ABD ® CD® ABC ®AC ® BD ®ACD ® 1;
4) f(A, В, С, D) = А Ф В ® С ® D ® CD ® АВ ® AD ® ВС ® ABC ® 1;
5) f(A,В,С,D) = BD® CD®ABD® AC® BCD® ABC® A;
6) f(A, В, С, D) = А® АС® ABC®ACD ® ВС®ABD ®BD®1;
7)f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABC®BCD®CD®AD®l;
8)/(A,B,C,D) = В® С® D® BCD® ABC® ABD®ACD®AB ® CD.
32. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 12?
(8740)
1) /(А, В, С, D) = ABC ®CD®D ®ACD®AC ® BCD® ABCD © A © 1;
158
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2) f(A, B,C,D)=AD® BCD ® ACD® ABCD® A® D®BD®1;
3) f(A, B, C, D) =ACD ®ABD ® С ®ABCD®AC ®BD®B;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС;
5) f(A, B, C, D)=ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® В ®ACD®ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =A®AC®ABC®ACD ®B® C®ABD®ABCD;
7) f(A, B, C, D) =A®BC® D®ABD ® CD ®ABC ® BCD®ACD ® 1;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
33. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 13?
(77ИС)
1) f(A, В, С, D) =ABC ®CD® D®ACD®AC ® BCD®ABCD®A;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD®ACD®ABCD®A® D ® BD;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD® C®ABCD®AC®BD®B®1;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС ® 1;
5) f(A, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD ®AC ® B®ACD®ABC;
6) f(A, B,C, D) =A®AC®ABC®ACD ® В ® С®ABD ®ABCD ® 1;
7) f(A, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD®ACD;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® C®BD ®ABD ® BCD ® 1.
34. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 11?
(09УЗ)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD® ABC;
2) f(A, B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD ® С ® ABC® AC®BD®1;
4) f(A, В, С, D) = AC® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) f(A, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7)f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABCD®ABC®BCD®CD®l;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ®CD®1.
35. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 12?
(71ЦБ)
1) f(A, В, С, D) = А ® В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C®CD ® АВ ® AC ®BC® BCD ® 1;
3) f(A, B,C,D)=A® BCD ® С® ABC® ACD ® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB ®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D)=ABD ®B® C®ABC ®ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® ВС®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
36. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 10?
(43ША)
1) f(A, В, С, D)=ABC ®CD®D ® ACD® AC ® BCD® ABCD® A;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD® ACD ® ABCD® A® D ® BD;
3) f(A,B,C,D) = ACD® ABD® С® ABCD® AC®BD®B®\;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) f(A,B,C,D) =ABCD®BD® CD® ABD®AC® В® ACD® ABC;
6) f(A, B,C, D) =A®AC®ABC®ACD ® В ® С®ABD ®ABCD ® 1;
7) f(A, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD® ACD;
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
159

8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD ®AB ®C® BD®ABD ® BCD ® 1.
37. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 13?
(ГИНИ)
1) /(А, В, С, D) = А ® С ® D ® AC ® BCD® ABC ® BD;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD®ACD ® BCD ® BD®AD®AB;
3) /(A, B, C, D) =AD®ABD ® CD ® ABC® AC® BD®ACD ® 1;
4) /(A, B, C, D) = А Ф В ® С ® D ® CD ® AB ® AD ® ВС ® ABC ® 1;
5) /(A, B, C, D) = BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC® A;
6) /(A, B, C, D) = A® AC® ABC®ACD ® BC®ABD ®BD®1;
7)f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABC®BCD®CD®AD®l;
8) /(A, B,C,D) = B®C®D® BCD®ABC®ABD ®ACD®AB ® CD.
38. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 14?
(ШИЕХ)
1) /(А, В, С, D) = А ® С ® D ®ABCD®AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ®ABCD®ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B, C, D) = ACD ® ABD ® С ® ABC ® AC ® BD;
4) f(A,B, C,D)=AC® BCD®CD®AB®AD® ВС;
5) f(A, B, C, D) = ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A®AC®ABC® ACD® ВС® ABD® ABCD;
7) f(A,B,C,D)=A®BD®D®ABCD® ABC® BCD® CD;
8) /(A, B, C, D) = В ® С ® D ® BCD ®ABC ® BD®ABD ® CD.
39. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 14?
(К8НТ)
1) f(A,В,С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD® A;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD® A® D ® BD;
3) f(A,B,C,D) = ACD® ABD® С® ABCD® AC®BD®B®1;
4) /(A, B, C, D) = AC ® С ® D ® BCD ®CD®AB®AD®BC®1;
5) /(A, B, C, D) = ABCD ®BD®CD ®ABD ®AC ® В ® ACD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®B®C®ABD®ABCD®l;
7) /(A, B, C, D) =A®BC® D®ABD® CD® ABC® BCD ®ACD;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD ® 1.
40. Сколько функций, равных 1 на наборе 5, и сколько на наборе 13?
(5К68)
l)f(A,B,C,D)=A®B®CD®ABD®AC®BC®ABC®ABCD®l;
2)f(A,B,C,D)=A®B®C®CD®AB®AC®BC® BCD ® 1;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® С®ABC® ACD® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® С ® ABD® ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® С ® ABC® ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® BC®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
41. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 11?
(76ЯЯ)
1) f(A, B,C,D)=A®B® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C® CD®AB®AC ® ВС ® BCD;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® С® ABC® ACD® ВС® 1;
160
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4) ДА,B,C,D)=AB®BC®C®ABD®ACD® BCD® 1;
5) ДА, B,C,D)=A®BD®C® D®AB®ACD ® ВС ®АВС;
6) ДА, B, C, D) =ABD ®B® C®ABC®ACD ® BC®ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = A 0 BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
42. Сколько функций, равных 1 на наборе 2, и сколько на наборе 9? (87АЮ)
1) ДА, B,C,D) = A®C® D®ABCD®AC ® BCD® ABC;
2)f(A,B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD ® С® ABC® AC®BD®1;
4) ДА, B, C, D)=AC® BCD ® CD®AB®AD ® ВС ® 1;
5) ДА, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7) f(A, B,C,D)=A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ®CD®1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD ®ABC ® BD®ABD ®CD®1.
43. Сколько функций, равных 1 на наборе 3, и сколько на наборе 13?
(56ШП)
1) ДА,В, С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD® A® 1;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD ® ACD® ABCD® A® D®BD®\;
3) f(A,B, C,D) =ACD®ABD® С®ABCD® AC®BD®B;
4) ДА, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС;
5) ДА, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD®AC ® В ® ACD® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =A® AC® ABC® ACD ®B® C®ABD®ABCD;
7) f(A, B, C, D)=A®BC®D ®ABD ® CD ®ABC ® BCD® ACD ® 1;
8) ДА, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
44. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 11?
(И7ЕР)
1) ДА,В,С,D) =ABC®CD® D® ACD® AC® BCD® ABCD®A;
2) ДА, B,C,D)=AD® BCD® ACD® ABCD® A® D ® BD;
3) ДА, B, C, D) =ACD®ABD® С ® ABCD®AC®BD®B®1;
4) ДА, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD® ВС ® 1;
5) ДА,B,C,D) =ABCD®BD® CD®ABD®AC® В® ACD® ABC;
6) ДА, B,C, D) =A®AC®ABC ®ACD ® В ® С®ABD ®ABCD ® 1;
7) ДА, B,C,D)=A®BC® D®ABD ® CD® ABC ® BCD® ACD;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD ® 1.
45. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 10?
(ЗСМП)
1) ДА, В, С, D) = А ® В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) ДА, B,C,D)=A®B®C®CD ®AB®AC ®BC® BCD ® 1;
3) f(A, B,C,D)=A® BCD ® С® ABC® ACD ® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB ®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D)=ABD ®B® C®ABC ®ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® ВС®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
46. Сколько функций, равных 1 на наборе 7, и сколько на наборе 14?
(9РВЛ)
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
161

1) f(A,В, С,D) = ABC®CD® D®ACD ®AC® BCD® ABCD® A® 1;
2) f(A, B,C,D)=AD® BCD®ACD®ABCD ®A®D®BD®1;
3) f(A, B, C, D) =ACD®ABD ® C®ABCD®AC ®BD®B;
4) f(A, B,C,D)=AC®C®D® BCD ® CD®AB®AD ® ВС;
5) f(A, B, C, D) = ABCD ®BD®CD ®ABD®AC ® В ®ACD ®ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) = A® AC® ABC®ACD®B® C®ABD®ABCD;
7)f(A,B,C,D)=A®BC®D®ABD®CD®ABC®BCD®ACD®l;
8) f(A, B,C,D) = B® CD®ABCD®AB® С ® BD®ABD ® BCD.
47. Сколько функций, равных 1 на наборе 6, и сколько на наборе 14?
(8ГИП)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD ®AC ® BCD ®ABC;
2)f(A,B,C,D)=A®BC®CD® ABCD ® ACD ® BCD;
3) f(A,В,С, D) =ACD®ABD® С®ABC® AC®BD®1;
4) f(A, B, C, D)=AC® BCD ® CD®AB®AD ® ВС ® 1;
5) f(A, B, C, D) =ABCD ®BD® CD®ABD ®AC ® BCD® ABC;
6)f(A,B,C,D)=A®AC®ABC®ACD®BC®ABD®ABCD®l;
7) f(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ®CD®1;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ®CD®1.
48. Сколько функций, равных 1 на наборе 8, и сколько на наборе 9? (46ГО)
1) f(A, B,C,D)=A®B® CD®ABD®AC ® ВС® ABC® ABCD;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C® CD®AB®AC ® ВС ® BCD;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® С® ABC® ACD ® ВС® 1;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC®C ®ABD®ACD ® BCD ® 1;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C® D®AB®ACD ® ВС ®АВС;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® С ® ABC® ACD ® ВС® ABCD ® 1;
7) f(A, B, C, D) = A ® BCD ® ВС ® AD ® ABC ® BD ® 1;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC ® 1.
49. Сколько функций, равных 1 на наборе 4, и сколько на наборе 14?
(6562)
1) f(A, В, С, D) = А © В ® CD ® ABD ® АС ® ВС ® ABC ® ABCD ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®B®C®CD ® АВ ® AC ®BC® BCD ® 1;
3) f(A,B,C,D)=A® BCD® С®ABC® ACD® ВС;
4) f(A, B,C,D)=AB®BC® C®ABD®ACD ® BCD;
5) f(A, B,C,D)=A®BD®C®D ®AB®ACD ® ВС® ABC ® 1;
6) f(A, B, C, D) =ABD ®B® С ® ABC® ACD ® ВС® ABCD;
7) f(A, B,C,D)=A® BCD ® BC®AD®ABC ® BD;
8) f(A, B,C,D)=A®B®D®BC® BD®ABC.
50. Сколько функций, равных 1 на наборе 1, и сколько на наборе 8? (90УЧ)
1) f(A, B,C,D)=A®C® D®ABCD®AC ® BCD® ABC ® 1;
2) f(A, B,C,D)=A®BC® CD ® ABCD® ACD ® BCD ® 1;
3) f(A, B, C, D) = ACD ® ABD ® С ® ABC ® AC ® BD;
4) f(A, B, C, D)=AC® BCD ®CD®AB®AD® ВС;
5) f(A, B, C, D) = ABCD ®BD®CD ® ABD® AC ® BCD® ABC ® 1;
6) f(A,B,C,D) =A®AC®ABC® ACD® ВС® ABD® ABCD;
7) f(A, B, C, D) =A®BD® D®ABCD®ABC ® BCD ® CD;
8) f(A, B,C,D) = B®C®D® BCD® ABC ® BD®ABD ® CD.
162
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

5.2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
В ВИДЕ ПОЛИНОМА ЖЕГАЛКИНА
Для перевода логических выражений из булевой алгебры в алгебру
Жегалкина и наоборот применяются формулы:
А + Б = А® В® АВ;
А ® В = АВ + АВ,
и их частные случаи:
а) если АВ = 0, то А 4- В = А ® В;
б) если А = Б, то А © А = 0;
в) если В = 1,то А®1 = А
Чтобы булеву функцию /, зависящую от некоторых аргументов,
представить в виде полинома Жегалкина, эту функцию необходимо преобразовать к
виду
/=Л + /2 + /з + .-+Л>
где fl9 f2, /3» •••> fn— импликанты заданной функции, удовлетворяющие
условиям: ft • /■ = 0, i*j; i>j = 1, 2, 3,..., п; п — число импликант, где каждая
импликанта — это некоторая конъюнкция, зависящая от тех же
аргументов. При выполнении этих условий все знаки дизъюнкции можно заменить
знаками суммы по модулю 2:
/ = h + h + h + ••• + fn - U © h ® h © ... © fn-
Пример 1. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию
/= (1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15).
Определить число знаков сложения по модулю 2 и общее число букв
полинома.
Решение. Выразим минтермы через переменные А, Б, С, D:
f = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + АБС5 +
+ABCZ) + ABCZ) + ABOD + ABCD =
= ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ®
®ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD.
Освобождаемся от знаков инверсии:
/ = (А © 1)(Б © 1)(С © 1)D © (А © 1)(Б © 1)CD © (А © 1)Б(С © 1)(D © 1) ©
© (А © 1)BCD ® А(В ® 1)(С © 1)(D © 1) ®А(В ® 1)(С © 1)D ®
®А(В ® 1)C(D ® 1) ®А(В ® 1)CD ®АВ(С ® 1)D®ABC(D ® 1) © ABCD.
Раскрываем скобки:
/ = ABCD ® ABD ®ACD ® BCD ®AD®BD®CD®D ®ABCD ®ACD ®
® BCD ® CD ®ABCD ®ABC ®ABD ® BCD®AB® BC®BD®B ®ABCD ®
®BCD®ABCD®ABC®ABD®ACD®AB®AC®AD®A®ABCD®
®ABD ®ACD ® AD® ABCD ®ABC ®ACD ® AC® ABCD ®ACD ®ABCD ®
®ABD ® ABCD® ABC ®ABCD.
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
163

Удаляем пары одинаковых конъюнкций и в результате получаем
искомый полином Жегалкина:
f = AD®D®BC®B ®ABD ® A® ABCD.
Ответ: 6, 14.
Этот же результат можно получить быстрее, если минтермы
предварительно сгруппировать так, чтобы получились более короткие конъюнкции.
Проще всего это сделать при помощи карты Вейча.
Нанесем функцию на карту (рис. 5.1). Сгруппировать единицы не ней
можно различными способами. Один из вариантов показан на рис. 5.2. В
соответствии с этой картой записываем:
f = BD + ABD + ABD + ABCD + ABCD + ABCD.
Так как группы единиц на рис. 5.2 не пересекаются, то знаки
дизъюнкции можно заменить знаками сложения по модулю 2:
f = BD® ABD ® ABD ® ABCD ® ABCD ® ABCD.
Освобождаемся от знаков инверсии:
f=(B® 1)D ®А(В ® 1)(D ® 1) ® ABD ®ABC(D © 1) ©
© (А © 1)BCD © (А © 1)В(С ® 1)(D © 1).
Раскрываем скобки:
/ = BD © D ® ABD ® AB ® AD ® A ® ABD ® ABCD ® ABC ©
© ABCD ® BCD ® ABCD® ABC ®ABD ® BCD®AB ®BC®BD®B.
Удаляем пары одинаковых конъюнкций и получаем тот же результат:
/ = D ® AD ® A ® ABCD ® ABD ® ВС ® В.
Пример 2. Представить функцию в виде полинома Жегалкина:
/= (О, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15).
Решение. Записываем выражение с непересекающимися конъюнкциями
(рис. 5.3):
f = AC + AC + ABC + ABCD + ABCD + ABCD.
Заменяем знаки дизъюнкции знаками суммы по модулю 2:
f = AC®AC® ABC ® ABCD ® ABCD ® ABCD.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
[Г
[ 1
Е
ш
Т)
1
~~п
□
1
ш
~Г)
гл
1
1
1 1J
(Tj
Lu
г
гл
1
1
Lu
Р
П~|
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Рис. 5.3
164
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Освобождаемся от знаков инверсии:
f = А(С© 1)© (АФ 1)СФABC®(А® 1)В(С © 1)Z>©А(В © 1)С£>Ф
Ф (А Ф 1)(В Ф 1)(С Ф 1)ф Ф 1).
Раскрываем скобки:
/ = АС ©А ФАС Ф С ФABC ФABCD ФABD Ф BCD Ф BZ) Ф
Ф ABCD Ф ACD Ф А Ф В Ф С Ф D Ф АВ Ф АС Ф AD Ф ВС Ф
®BD®CD ®АВС ®ABD®ACD ® BCD ®ABCD ® 1.
Удаляем пары одинаковых конъюнкций и получаем искомый полином:
f = ABCD ® В ® D ® АВ ® AC ® AD ® ВС ® CD ® 1.
Ответ: 8,16 (единица буквой не является, поэтому в ответе ее не учитываем).
Задания
для самостоятельной работы
Представьте булеву функцию, зависящую от аргументов А, В, С, D, в
виде полинома Жегалкина. Для самоконтроля укажите число знаков суммы по
модулю 2 и общее число букв всего полинома (единицу буквой не считать и
при самопроверке в ответе не учитывать).
4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15); (5Ш)
1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15). (НТ)
1,2,6,7,8,9,10,12,14,15); (Н13)
2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15). (ОИР)
0, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 15); (ЗЗС)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (72Я)
1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15); (К65)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15). (Р10)
0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15); (ВОИ)
2,3,6,7,8,9,10,12,13,15). (УДА)
0, 1, 2, 3, 4, 7, 8,10, И, 13,14,15); (ДИД)
1,2,3,4,5,6,11,12,14,15). (НОХП)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,12,15); (Я1СЕ)
0, 1, 4, 5, 6, 7, 8,10,11,12,13,14). (ИРКД)
5,6,7,10,11,13,14,15); (658В)
2, 5, 6, 710, 11, 12, 13, 14, 15). (ЛИОЗ)
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15); (ВАНХ)
0, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15). (ДЕРШ)
1,2,3,4,5,8,9,10,14,15); (7Ш)
0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 15). (КИМП)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15); (НУХО)
1,2,3,4,5,7,8,9,12,13,15). (КЛЯ)
0,1,2,3,5,6,7,11,14,15); (Б66)
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15). (6643)
= (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15); (85АБ)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
>/ч
I/O
(А, Б, С, D)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, D)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, D)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, D)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, D)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
(А, Б, С, Z>)
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
= (
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
165

14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) =
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) =
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)/(A,B,C,D) = l
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
6)f(A,B,C,D) = {
a)f(A,B,C,D) = {
(0
(2
(4
(5
(0
(6
(3
(2
(6
(5
(2
(2
(2
(0
(1
(0
(0
(1
(2
(1
(0
(1
(0
(1
(1
(0
(1
(1
(2
(0
(3
(0
(0
(0
(2
(0
(1
(0
(0
(1
(0
(0
(0
(2
(0
(0
1
3
6
6
1
7
4
3
7
6
3
3
4
1
2
1
1
3
3
2
1
2
1,
4
2
1
2
2
3
1
4
1
3
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
3
3
1
2,4,
4,5,
7,8,
8,9,
6,7,
8,9,
5,6,
4,5,
9,10
7,8,
4,5,
4,6,
5,6,
2,3,
3,5,
2,3,
2,4,
.6,7,
4,6,
3,6,
3,4,
3,4,
2,3,
5,6,
4,5,
2,6,
6,7,
3,4,
4,5,
2,6,
5,8,
4,5,
4,5,
2,4,
4,5,
3,4,
3,4,
2,4,
2,4,
3,4,
2,3,
2,3,
3,4,
4,7,
4,7,
5,6,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14). (HE88)
6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14); (ГОНЮ)
9, 11, 12, 13, 14, 15). (ТОГП)
10, 11, 12, 14, 15); (ТЕЯ7)
8, 9, 10, 11, 12, 13, 15). (HOC8)
10, 11, 12, 13, 14, 15); (КДС)
8,9,10,11,13,14,15). (ГОК)
6,7,8,10,11,12,14,15); (HKT)
10, 11,12, 13, 14, 15). (ЛА7)
9, 10, 11, 12, 15); (РОЛМ)
10, 12, 13, 14, 15). (НЕГ)
7,8,10,11,12,13,14,15); (Ц7У)
7, 8, 9, 10, 11, 13,14). (КЛЫ)
4,5,9,10,11,12,13,14,15); (527)
6,7,8,11,12,13,15). (Б60)
4,8,10,11,12,13); (332)
5,6,10,11,12,13,14,15). (КИМА)
8, 9, 11, 12, 13, 14, 15); (ОРИЛ)
7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15). (ЛОК2)
7,8,9,10,11,12,14,15); (НОХЛ)
6,8,9,10,11,13,14,15). (45МЕ)
5,6,7,8,11,12,13,14); (НЕУФ)
4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,15). (ТОПО)
7,8,9,10,11,13,14,15); (ЛЮК2)
6, 7,10,11,12, 13,14, 15). (ВАНЕ)
7,8,10,11,12,13,14,15); (6544)
8, 9, 12, 13, 14, 15). (88АИ)
5, 7,10, 11,13, 14,15); (РИПК)
6,7,8,11,12,13,14,15). (КУ89)
9, 11, 12, 13, 14, 15); (НЕ28)
9, 10, 11, 12, 13, 15). (88АЗ)
6,7,9,10,11,13,14,15); (99СО)
6,7,8,10,11,12,13). (КАЮК)
5,6,7,8,11,12,13,15); (331А)
6, 7, 9, 10, 11, 14, 15). (900Р)
5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15); (ШОКЗ)
5, 8, 10, 11, 12, 14, 15). (44ЯЛ)
5,6,7,8,9,11,12); (КИОЛ)
5,6,7,8,11,12,13). (ЛИМК)
6,7,8,9,10,11,13,15); (ЛЕ58)
6,7,8,10,11,12,13). (НОАП)
4,8,10,11,12,13,15); (БОЛЛ)
5, 7, 8,10,12,13, 14, 15). (ФАТР)
9, 10, 11, 12, 14, 15); (ВАЭК)
10, 11, 12, 13, 14, 15). (ГД6)
7,8,9,10,11,12,14,15); (ГОЯД)
166
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

6) f (А, В, C,D)
37. a) f (А, В, C,D)
б) f (А, В, CD)
38. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
39. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
40. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
41. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
42. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
43. a) f(A, В, CD)
б) f (А, В, CD)
44. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
45. а) /(А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
46. а)/(А, В, С,£>)
б) f (А, В, CD)
47. а)/(А, В, С,£>)
б) /(А, В, CD)
48. а) /(А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
49. a) f(A, В, CD)
б) f (А, В, CD)
50. a) f (А, В, CD)
б) f (А, В, CD)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(0,1,4,5,7,9,11,12,13,15).
(0,1,2,3,4,6,7,9,11,14,15);
(2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11,13,14,15).
(0,1,2,5,6,7,9,10,11,14,15);
(0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10, 11,12,14,15).
(0, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15);
(0,1,2,3,5,6,7,11,12,13,15).
(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9,11, 12,13,15);
(0,3,4,5,6,7,8,13,14,15).
(0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11,13,14,15);
(0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15).
(0, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10, 11, 12, 13, 14);
(1,2,3,7,8,9,10,11,12,13).
(0,1,2,4,5,6,7,8,9,11,12);
(0,1,3,4,5,6,7,11,13,14,15).
(0,1,6,8,9,11,12,13,14,15);
(2,3,6,7,8,10,11,12,13,14).
(0,1,3,4,6,9,10,11,12);
(0,1,4,7,8,10,11,12,14,15).
(0, 1, 2, 4, 5, 7, 8,11,12, 13,14, 15);
(3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15).
(0,1, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15).
(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9,10, 11,12,13);
(1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13).
(0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9,10,11,12,14,15);
(0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,12,13,15).
(0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15);
(0, 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 14, 15).
(НКГ)
(ЗЗЗУ)
(4344)
(5591)
(79)
(5599)
(Н420)
(Р8ЯЯ)
(КОИЛ)
(ГОЛХ)
(22Ф5)
(ШОЭЛ)
(ЗЗБР)
(788Г)
(9022)
(7702)
(ЭРАГ)
(ЛОР7)
(648А)
(ШИКП)
(99СБ)
(00УЗ)
(НИ17)
(РОФЛ)
(РИЕР)
(СИЙО)
(НИ2К)
(КОМЦ)
(ГЕЛИ)
5.3.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛИНОМА ЖЕГАЛКИНА
В МИНИМАЛЬНОЙ ДНФ
Перевод полинома Жегалкина в булеву алгебру осуществляется при
помощи следующей формулы:
А®В = АВ + АВ. (1)
Пример 1. Найти минимальную ДНФ функции, заданной полиномом
Жегалкина:
/(А, Б, С, D) = АВ © ABC © D.
Для минимальной ДНФ найти число знаков дизъюнкции и число
вхождений букв.
Решение. В заданном выражении два знака сложения по модулю 2, а в
формуле (1) только один. В связи с этим введем обозначение:
К=АВ®АВС.
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
167

Тогда заданная формула примет вид
f(K, D) = K®D = KD + KD. (2)
Преобразуем выражение К:
К = АВ® ABC = АВ ■ ABC + АВ ■ ABC = АВ(А + В + С) + (А + В)АВС = ABC.
Находим К: _ _ _
К = ABC = A + B + C.
Подставляем К и К в (2) и минимизируем:
ДА, В, С, D) = ABCD + (А + В + C)D = ABCD + AD + BD + CD.
Ответ: 3, 10 (т.е. в минимальной ДНФ три знака дизъюнкции и десять
букв).
Пример 2. Найти минимальную ДНФ функции, заданной полиномом
Жегалкина:
f = AB®ACD®ABC®D. (3)
Решение. Рассмотрим другой способ решения. Представим в СДНФ
каждую конъюнкцию заданного выражения, т. е. в виде дизъюнкции
соответствующих минтермов, зависящих от переменных А, В, С, D:
АВ = АВ(С + C)(D + D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
ACD = ACD(B + B) = ABCD + ABCD;
ABC = ABC(D + D) = ABCD + ABCD;
D = D(A + A)(B + B)(C + C) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +
+ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
Если функция представлена в СДНФ, то безразлично, какими знаками
соединены минтермы — знаками дизъюнкции или сложения по модулю 2,
функция от этого не изменится. В связи с этим конъюнкции выражения (3)
можно записать в виде:
АВ = АВ(С + C)(D + D) =_ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD;
ACD = ACD(B + B) = ABCD ® ABCD;
ABC = ABC(D + D) = ABCD ® ABCD;
D = D(A + A)(B + B)(C + C) = ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ®
®ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD.
Подставим эти выражения в заданную функцию:
f = АВ ® ACD ® ABC ® D =
_ = ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ®
®ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ® ABCD ®
®ABCD ® ABCD. (4)
Удалим из них все пары одинаковых минтермов и заменим суммы по
модулю 2 дизъюнкциями:
/ = АВ Е ACD E ABC E D =
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
168
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Наносим это выражение на карту Вейча четырех переменных (рис. 5.4) и
получаем искомую минимальную ДНФ:
f = AD + BCD + ABCD.
Ответ: 2, 9 (т. е. минимальная ДНФ состоит из двух знаков дизъюнкции
и девяти вхождений переменных).
Эту задачу можно решить еще более коротким путем, если заданный
полином Жегалкина нанести на карту Вейча, отмечая на ней каждую
конъюнкцию полностью, независимо от других конъюнкций (тогда в клетках
может быть по нескольку единиц).
На рис. 5.5 приведена карта, на которую нанесена конъюнкция АВ. На
эту же карту наносим конъюнкцию ACD из выражения (3). Получим рис. 5.6.
Заметим, что в клетке минтерма тхъ стоят две единицы. Это значит, что 15-й
минтерм входит и в конъюнкцию АВ, и в конъюнкцию ACD. На карту
(рис. 5.6) наносим конъюнкцию ABC из (3). Получим новую карту (рис. 5.7).
На карту (рис. 5.7) наносим последнюю конъюнкцию из выражения (3). Это
переменная D. Получили карту, содержащую полную информацию о
заданной функции (рис. 5.8).
На рис. 5.8 всего 16 единиц, где каждая единица обозначает
соответствующий минтерм, входящий в заданную функцию. В выражении (4) также
16 минтермов. Из них минтерм ABCD встречается четыре раза. И на рис. 5.6
показано, что минтерм ABCD входит в выражение (3) четыре раза
(поставлено четыре единицы). Упрощение выражений в алгебре Жегалкина основано
на соотношении Q©Q = 0, где Q— некоторое логическое выражение. На
этом основании все четыре единицы можно удалить, так как их сумма по
модулю 2 равна нулю. То же самое относится и к другим клеткам карты
Вейча. Удалим из каждой клетки карты единицы, встречающиеся четное
число раз. Тогда получим карту Вейча, приведенную на рис. 5.4, при
помощи которой была найдена минимальная ДНФ заданной функции.
1
1
1
И
1
\\
1
1
1
[\
1
1
1
1
1
Рис. 5.4 Рис- 5.5 Рис. 5.6
1
1
11
111
1
1
11
1
11
1111
и
1
1
1
1
Рис. 5.7 Рис. 5.8
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
169

Задания
для самостоятельной работы
Представьте полином Жегалкина в минимальной ДНФ. Для
самоконтроля укажите число знаков дизъюнкции и число вхождений i
f = AC®BC®ABD;
f = AB®BC®ABD;
f=C®BC®ABD;
f = B®BC®ABD.
f = A®BC®ABD;
f = AB®AD®ABC;
f = C®AD®ABC;
f = B®AC®ABC®D.
f = A®AC®ABCD;
f = C®AB®ABD;
f = B®ABD®ABC;
f = A®AB®ABCD.
f = B®C®ABCD;
f = A®C®ABD;
f = A®B®ABD;
f = AC®BC®AB®D.
f = C®BC®AC®D;
f = B®BC®AC®BD;
f = A®BC®AC®AD;
f = C®BC®AB.
f = B®BC®AB®CD;
f = A®BC®ABD;
f = B®C®BC®BD;
f = A®C®BC®AD.
f = A®B®BCD;
f = C®AB®AC®AD;
f = AC®B®AB®D;
f = AC®A®AB®BD.
f = AC®B®C®ACD;
f = AC®C®AD®BD;
f = AC®B®AD;
f = C®B®AB®AD.
f = A®C®ABD;
f = A®B®AB®BD;
f = A®B®C®ACD;
f = A®B®C®AD.
f = A®B®C®AD®BD;
f = A®B®AD®AC;
f = A®C®AB®ACD;
f = C®B®ABD®AC.
f = B®AB®C®BCD;
f = A®B®AB®BD;
; переменных.
(ГНА)
(ОТАШ)
(ЛОЕ)
(ГОЛС)
(OE5)
(H420)
(ВИЛА)
(ТИША)
(HAEC)
(НИДО)
(ГОТЛ)
(667Ц)
(ШИЯХ)
(Ш088)
(ЛУТЯ)
(РОШХ)
(ГОЯЯ)
(ДОЗУ)
(882А)
(ПИШТ)
(ДА35)
(ЛИЧА)
(77Б1)
(ТЕЙЗ)
(99Д6)
(НИОЗ)
(ГАШЕ)
(5688)
(8722)
(НОУД)
(77ЮФ)
(К06А)
(ВОЛЬ)
(ЛИРГ)
(ГОПП)
(КИХТ)
(НУСК)
(УЕРЧ)
(95УС)
(НУЖО)
(ДАРС)
(ГААС)
170
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
в,
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в]
г
а]
б)
в]
г
а]
б)
в]
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
)f-
1=
if-
\f=
)f-
f=
>/=
\f=
\f-
f=
>/=
\f=
)f=
f=
)f-
\f=
)f-
f=
)f-
\f=
)f=
f=
>/=
\f=
)f-
f=
)f-
\f=
)f=
f=
)f=
\f=
)f-
f=
)f-
\f=
)f=
f=
)f-
\f=
)f-
f=
)f-
\f=
)f=
f=
= A®C®AB®BCD\
-C®B®AB®BCD.
-A®B®AC®BCD;
-A®C®ACD®BC\
= C®B®AD®BC;
-A®BC®AB®D.
°AC®B®AB®BD;
-C®BC®AB®D;
= AC®BC®ABD®1;
-AB®BC®ABD®\.
°C®BC®ABC®D\
-B®BC®ABC®D\
= A®BC®ABD®1;
-AB®AC®AD®D.
-C®AC®ABD®\;
-B®AC®ABCD®\;
-A®AC®ABD®D;
-C®AB®ABCD®\.
-C®BC®ABD®D;
-C®AB®AD®\\
= B®C®ABCD®D;
-C®AB®ABCD®\.
°A®B®ABCD®D\
-AC®BC®ABD®\;
-C®BC®ACD®D;
*B®BC®ACD®1.
°A®BC®ACD®1;
= C®BC®ABD®1;
= B®BC®ABCD®1;
-A®BC®ABD®\.
-B®C® BCD ® D;
-A®C®BC®AD;
-A® B® BCD® AD;
-C®AB®ACD®\.
°A®B®BD®D;
-C®AB®ABD®D;
= AC®B®C®ACD;
-AC®C®A®BD.
°AC®B®AD®BD®1;
-C®B®ABCD®\;
-A®C®ABD®D®1;
*A®B®AB®CD®D.
°A®B®C®CD®1;
-A®B®CD®AB;
= A®B®C®AD®1;
-A®B®AB®AD®D.
(90ХЛ)
(НОУМ)
(70КЛ)
(ГУ55)
(B894)
(EHEX)
(93УЗ)
(65KO)
(89X9)
(Г8РП)
(ВОЛЫ)
(98ДИ)
(ПО)
(ЛИСЦ)
(НИПХ)
(НА02)
(7742)
(ФАЯЖ)
(ЩНТ)
(МИАГ)
(44ЮИ)
(МА82)
(УХ31)
(90УЛ)
(89X6)
(БА23)
(450В)
(ФИОХ)
(Ш7ЯР)
(ФОЕМ)
(Г87П)
(КУ61)
(РОЯЛ)
(9НУК)
(77ЛА)
(25ТВ)
(ШАМБ)
(Р078)
(К884)
(МИМЗ)
(К985)
(БОЛЬ)
(РОРП)
(МААР)
(БОРЯ)
(46НТ)
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
171

23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
a)/-
б)/-
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/-
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/-
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/ =
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/-
в)/-
г)/-
а)/-
б)/ =
в)/-
г)/-
а)/-
б)/-
в)/-
г)/-
а)/-
б)/ =
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/-
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/ =
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/-
в)/-
г)/ =
а)/-
б)/ =
= А©С©АО©АЯО©1;
= C®B©AD©ACZ>©1;
= А©ВФС©ЯО©1;
= АФВФАОФВСФ1.
= A©C©AB©BCD©1;
= C®B©AB©D©1;
-A®B®AC®BD®1;
= A®C®AD©BZ>©1.
= С£>®ВФАСФВС©1;
= A®BD®AB®AC®1;
= AC©D®AB©BC©1;
= СФВСФАВ®АС®1.
-AC®BC®ABD;
= AB®BC®ABD;
-C®BC®ABD;
--B®BC®ABD.
-A®BC®ABD;
-AB®AD®ABC;
-C® AD® ABC;
--B®AC®ABC®D.
-D®AC®ABCD;
= D®AB®ABD;
-BD®ABD®ABC;
-A®AD®ABCD.
-B®C®ABC®AD;
-A®C®ABC®AD;
= A®B®ABCD®D;
--ACD®BC®ABD.
-CD® BCD® AC;
= BD®BCD®AC;
°AD®ABCD®AC;
--CD®BCD®ABD.
°BD®BC®ABD;
°AD®BC®AB®D;
= B®CD®BC®D;
--A®C®BCD®D.
-AD® B® BCD;
= CD®ABD®AC;
= AC®BD®AB®D;
-ACD®AD®AB.
~AC®BD®C®D;
~ACD®C®A®D;
= ACD®B®A®CD;
--CD®BD®AB®D.
°AD®C®AB®ABD;
= AD®B®AB®D;
(PAHP)
(ГОШЬ)
(TAEC)
(НАСБ)
(MA22)
(602Я)
(ПАХР)
(704 A)
(ГОТ7)
(44ЧА)
(ИМКС)
(5830)
(ГУ70)
(83УР)
(657Б)
(ЛИКО)
(5ИМА)
(МИДО)
(НУУШ)
(66ЩУ)
(НОУЛ)
(АКПД)
(ИКЗХ)
(АЙОР)
(444T)
(ОЙСВ)
(68KA)
(7РВУ)
(5606)
(АФОИ)
(77КБ)
(КАГГ)
(88УХ)
(68KA)
(5ИЕВ)
(МИАТ)
(84XA)
(РИЯЦ)
(СИЛИ)
(ТУЛЗ)
(POHA)
(МИУЦ)
(430Я)
(8628)
(89ЖК)
(73БН)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ

35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
в,
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в]
г
а]
б)
в
г
а]
б)
в,
г
>/-
/■
>/-
»/ =
>/ =
/■
>/-
»/ =
if-
/■
>/-
»/ =
»/ =
1-
\1-
\f-
if-
f =
if-
\f-
)f-
1-
if-
if-
if-
1-
if-
if-
if-
f-
if-
if-
if-
f-
if-
if-
if-
f-
if-
if-
if-
f =
if-
if-
if-
f-
= A®B®C®AD®D;
-AD®B®CD®AB.
= AD® B® CD® ACD;
= AD®BD®AB®AC;
= A®CD®ABD®ACD;
-C®BCD®AD®AC.
= A®B®C®BD;
= AD®B®ABD®BC;
-AD®CD®AB®BC;
-ABCD®B®AB®BC.
= AD®BD®AC®BC;
* AD® C® ACD® ВС;
= CD® B® AD® ВС;
-D®BD®AB®AC.
-ACD®B®AB®BCD;
= C®BCD®AB®AC;
= ACD ® BCD ®ABC ® 1;
-AD®BC®ABD®\.
~CD®BC®ABCD®\;
= D®BCD®ABC®1;
= ACD®BCD®AB®\;
-AD®AC®ABC®\.
-C®ACD®ABC®\;
= BD®AC®ABC®D;
•D® ACD® ABC® 1;
= D®ABD®ABC®1.
= AD®CD®ABC®1;
= CD®C®ABCD®1;
= B®CD®ABCD®1;
-CD®D®ABCD®\.
-D®BD®ABCD®\;
= ABCD®BCD®AB®1;
-C®BC®ACD®D;
-ABD®BC®AC®D.
= A®BC®AC®AD;
= CD® BCD® AB® 1;
= BD®BCD®AB®D;
-A®D®BC®AB®\.
= B®C®BC®D®1;
= А® С ® ВС® AD;
-A®D®BCD®1;
-D®ABD®AC®1.
= ABD®D®ABCD®1;
= BD®ABD®AC®D;
= AC®B®C®CD;
-ACD®C®AD®\.
(7ИУГ)
(75ЧК)
(80XM)
(РОНД)
(ЛАЛЗ)
(76КГ)
(60ХП)
(КОЛЯ)
(400T)
(МИЦС)
(704T)
(КУЛК)
(50MK)
(РЕНГ)
(706B)
(МОУЛ)
(81Ц9)
(563C)
(5830)
(ПИТХ)
(ЛИОС)
(НИМЦ)
(НОЦК)
(4480)
(84ЕЖ)
(HH38)
(55M1)
(ШАЯХ)
(ГУГО)
(КУШО)
(Л077)
(РИОЗ)
(ФИФА)
(Н5ВЕ)
(С474)
(Е908)
(ШИМА)
(И604)
(НН38)
(ЛИИМ)
(5РЫТ)
(97ДХ)
(ШИЕТ)
(ОГАА)
(ПИХТ)
(0771)
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
173

46. a)f = ACD®BD®A®D;
6)f = C®B®D®AB®l;
B)f = A®C®AB®D®BD;
r)f = A®B®D®ABD®l.
47. a) / = A ® В ® С ® CD ® D ® 1;
6)f = A®B®C®AD®D;
B)f = A®B®C®AD;
r)f = A®BD ®ABD ®AC ® 1.
48. a)f = A®D®ABD®AC®l;
6)f = CD®BD®AB®AC®l;
B)f = A®B®C®BC®l;
r)f = AD®D®AB®BC®l.
49. a)f = A®C®ABD®BC®l;
6)f = C®B ®AD ®BC®1;
B)f = AD®D®ACD®BC®l;
r)f = A®C ®AD ® BCD ® 1.
50. a)f = C®BCD®AC®D®l;
6)f = A® BCD ®AD ®ACD;
B)f = ACD®B®ABD®BC®l;
r)f = D®BD®AB®AC®l.
(98ДИ)
(AHT5)
(ЛИЮТ)
(АЙПЕ)
(ЮОД)
(ОЙОР)
(СИЗГ)
(ПИЛХ)
(АКЯД)
(УНЯН)
(7870)
(546A)
(8027)
(C972)
(ТОЙЛ)
(МИ23)
(32PH)
(80УЛ)
(66KT)
(КУ85)
174
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ОПЕРАЦИЯ
ИМПЛИКАЦИИ
ел.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛ,
СОДЕРЖАЩИХ ОПЕРАЦИЮ
ИМПЛИКАЦИИ
/|,ля преобразования формул, содержащих операцию
импликации, применяется следующее соотношение:
А -> Б = А + Б.
Поясним это примером. Найдем минимальные ДНФ и
КНФ выражения:
у = {[(АС + Б) -> BD] -> (CD -> Б1>)} -> (АВ -> ВС).
Освобождаемся от знаков импликации (т. е. от стрелок):
у = АС + Б + Б1> + (CZ) + Б1>) + (АВ + ВС).
Применяем теорему де Моргана: устраняем большую
черту и инвертируем конъюнкцию АВ:
\|/ = (АС + Б + Б1>) CZ> + Б1> + А + Б + БС.
Приводим выражение к ДНФ:
у = (АСВ + BD)CDBD + A + B + C =
= [(А + С)Б + Б#]С1>(Б + 5) + А + Б + С =
= (АВ + БС + BD)BCD + A + B + C =
= ABCD + BCD + A + B + C.
Минимизируем полученное выражение. Минимальная
ДНФ имеет вид
у = А + В + С.
КНФ в данном случае совпадает с ДНФ.
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
175

Задания
для самостоятельной работы
Найдите минимальные ДНФ и КНФ. Для самоконтроля укажите число
вхождений аргументов для минимальной ДНФ и число вхождений
аргументов для минимальной КНФ.
1. а) у = [(А ->В)->(С^ D)] -> [(А -> ВС) -> BD]; (46Л)
б) у = {[(AD -> В) -+ С](АС -> D)}_-> (АВ -> ВС). (ОЕС)
2. а) у = [(ACD -> B)(CZ)_-> D)] + (AD -> ВС); (ЛФИ)
б) у = [(АВ -> ВС) -> £»)]_-> [(А -> ВС) © D]. (ОАФ)
3. а) у - [(ABC -> BZ>) -> (OD_-> D)](AB ->^ВС); _ (ВАРФ)
б) \]/ = {[(А + В) -> BD] -► (CD -+D)} -» (АВ -> ВС). (СИБД)
4. a) v - [(АС -» B)(pD -> BZ))](AD -► ВС); _ (45ЛХ)
б) \]/ = [(ABD -+BC)(CD_ -> AD)] -> (ABD -> ВС)._ (ГОГВ)
5. а) у = (ACD -> BD)[(AC -> В) -> (С -> £>)](А -» ВС); (905В)
б) v - {[(AD -> BC)(CD -> AD)] -> (АС -> ВС)} -> D. (ГАХЛ)
6. a) v - [(ACD -> В)(ВС -> D)] -> [(АВ -> ВС) -> В£>]; (НАТО)
б) у - {[(AD -> В) ->_ВС](АС -> D)}_-> (АВ -> ВС). (ВИРО)
7. a) v - {[(ACZ) -> B)(CD-± D)] + (AD -> ВС)} -> Cj_ (ГИЙБ)
б) \]/ = {[(АВ -> ВС) -> D] -> [(А -> ВС) © D]} -> В£>. (КАСН)
8. a) v - {[(ABC -> BDKCD -> Щ + В} -> (АВ_ -> ВС); (80МИ)
б) у = {[(АС + В) -> BD] -> (С£> -> D)} -> (АВ -> ВС). (44УД)
9. а) у = [(AC ->^В) ->^CD -> BZ))][(A_+ D) ->_ВС]; _ (Е5МИ)
б) v - [(А_+ BZ>)_-> ВС][(С + D) -> AD] -> (BD -> ВС). (44Р7)
10. a) v - (АСр -> В£>)^ {[(АС_-> Б) -> (С -» £>)](А -> ВС)}; (РИФР)
б) у = [(AD -> BC)(CD -> AD)(AC -> ВС) + В] -> CD. (50TB)
11. а) у = [(AD_-> B)C -> (С -^В] -> [(А ->_ВС)А -> BD]; (COPC)
б) v - {[(4Р -> 5)# "1 СКАС -> CZ))} -> JA(B -> ВС) -> С]. (Н073)
12. a) v - [(ACD -+_AB)(CD -> D)] -► [(А + D) -> ВС]; (ИИРО
б) у = [(АВ -> ВС)А_-> CD] -> [(AD -► ВС) + D]. (56ТП)
13. а) у = [А(В ФС)^ BDJ -> [(CZ) -> D)(AB -> ВС) -> В]; _ (ПАЯЛ)
б) у = {[(А + В)С -> (АВ -> D)] -> (CD -> BD)} ->(AB -> В). (ЛИСУ)
14. а) у = {(АС -> В) -> [(С ®_D) -> BD]} -> (AD -> ВС); _ (ЕР65)
б) у = {[(АВ + £)_-> BC](CD-> AD) -> А) -> (ABZ) -> ВС). (РУЗЗ)
15. а) у = (АС^ -> BZ))[(AC_^ В) ->_(С -> D)J(A -> ВС); (50БВ)
б) v - {[(AD -> ВС) -> (CD -» AD)] -» (АС -> ВС)} -► Z). (56ЕГ)
16. a) v - [(ACZ) -> В)(ВС -> Z>)][(_AB -> BCJ -» В£>](А Ф В); (0063)
б) у = {ре £>) -> BJ -► ВС}(АС -+_D)(AB -> ВС). (ГИИК)
17. а) у = {[(ACD -> B)(CD-+ D)] +_(AD -► ВС)} -> С;_ (ГОЙ9)
б) у = {[(А Ф B) -> BCp -> [(AC -► ВС) Ф £>]}_-^ BD. (АЙК5)
18. а) у = {[(ABC -> BD)(CD -*■ D)] + B}_-> [(A © В) -> ВС]; (ОГ14)
6) v|/ = {[(AC -> B) -> (B -> D)J -> [(C ®D) -> Z)]} -> А. (САУЛ)
19. а) у = [(AC ^-^B) © (CZ) -> BD)][(A + D)^> ВС]; _ (54РЛ)
б) у = [(A_+ BD) -» BC][(C © Z))_-^ AD] -» (ВГ> Ф ВС)._ (56ГО)
20. а) у = [ACZ) -► (B ©_£>)] -> {[(AC -► BJ(C -> D)](A -> ВС)}; (НАЧ)
б) у = [(AD -► BC)(CD_-^- AD)(AC Ф ВС) + В] -> CD. (E41)
21. а) у = [(А ФВ)-> (ABC -> D)] -► [(АВ -> ВС) -> BD]; (90ЛЗ)
176
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б
22. а
б
23. а
б
24. а
б
25. а
б
26. а
б
27. а
б
28. а
б
29. а
б
30. а
б
31. а
б
32. а
б
33. а
б
34. а
б
35. а
б
36. а
б
37. а
б
38. а
б
39. а
б
40. а
б
41. а
б
42. а
б;
43. а
у = {[(AD ФВ)-> С][(А ФС)^ D]} ->_( АВ_-> ВС). (ОАХ)
V = [(АС © D) -> B](ACD -> D) -+ (AD -> ВС); (СИЛД)
V = [(АВ ->(ВФ С)]£> -> [(А -► ВС) Ф D]. _ (08НВ)
V = {[(ABC -> (В Ф D)] ->_(CD -► D)} -> (АВ -> ВС); (ВИРД)
V = {[(А Ф В) ^_В£>] -> (pD Ф 2))} -> (АВ -> ВС). (885Г)
V = [(АС_ -> B)(CD -> BZ))] ©_(AD -> ВС); _ (ЛИЕЛ)
V = [(ABZ) ->_ВС) Ф (CD -+AD)] -> (АВ£> -> ВС). (УХ42)
V = (ACD Ф BD) + [(АС -> В)_-> (С -> £>)](А -> ВС); (Г053)
V = {[(BZ) -> ВС) © (С£> -> AD)] -> (АС -> ВС)} -> D. (МИШК)
V = [(ACD -+_В)(ВС Ф D)] ^_[(АВ -> ВС) ->_(В + £>)]; (СА71)
V = {[(AD ФВ)-> (В_-> С)](АС -> BD)} -> (АВ -> ВС). (РУ99)
V = {[(BCD -> В) Ф (CD ->_D)] + (CD -+ВС)} -> С; _ (СКЛЕ)
V = {[(АВ -> ВС) ->(В6D)] -> [(А -> BCD)ФD]} -> BD. (ПИЯЛ)
V = {[(ВС -> BD)(C_-> D)] Ф В} -> (ABC -> ВС); _ (ЦУРН)
V = {[(4е ®В)^>(В® D)] -> (BCD -> D)} -> (А£[_-► BCD). (ЦА71)
V = {[(AC -MB Ф AD)] -> (С -> BD)}[(A + D) -> BC]|^ (77ПШ)
V = [(A + BD) ->(B9 C)][(C © D) -> AD] -> (B£>_-> ВС). (6562)
V = (CD-+ BD)-+ {[(AC -> B) -MC Ф D)](A -> ВС)}; (УЛКН)
V = [(CD -> B)(CD Ф AD)(AC -> ВС) + B]-+ (C_© D). (ОЛАН)
V = [(ACD -+BC)C -> (CD Ф D)B] -> [(AD -> BC)A -> BD]; (ВИУЛ)
у = {[(AD -> B)D ®_C](AC -> CD)} -> [ADJB ->_BC) -> С]. (885Т)
v|/ = [(ACD -> AB)(CD Ф ВС)] -> [(АВ -> D) -> ВС]; (ЯРЦН)
V = [(АВ -> C)A -> (С Ф D)] -> [(BD -> BC) + D]. (ВАУК)
V = [(A(AD ®C)^>(B® D)] -> [(C-> D)(AB -> B)-+ B\,_ (ГИЗЯ)
V = {[(А Ф B)C -> (ABC -> D)] -> (CD -> BD)J -> (AB Ф В). (ША21)
V = {(AC © B_) -> [(C ®D)^(B ->_D)]} -> (CDj> ВС); (568А)
V = {[(AB + D) -> (BeC)](CD -> ADJA} -> (АВ -> ВС). (АСАО)
V = {(AD -+BD)[(AC ®B)->(C -+D)]} ->(A ® ВС); (ЛОЭХ)
V = {[(D -> ВС) -> (pD -> D)] -> (ACD -> ВС)} Ф D. (БОЭН)
V = [(AD -+B) Ф|ВС -> D)I(B -> BQ -> BD](A -> В); (ЧИРП)
V = {[(А Ф D) -> B] -+_BC}(AC -> D)(AB-> ВС). (М032)
V = {[(AC © D) -> B](CD -+D) + (AD -> ВС)} -► С; _ (ШИАП)
V = {[(А Ф ВС) -+_(B® C)]D -> [(ACD -> BC)_® D]} -»(ВФ D). (УСИО)
V = {[(AC -> D)(CD -+_D)AC] ® B}_+ [(A 9B)-» ВС]; (34ЛУ)
V = {[(AC -> B)D ->(B® D)]_-> [(С Ф D) -► D]} -> А. (23КИ)
V = [(AC -> B)D Ф (CD -► BD)][(A ®D)^>(B® С)]; _ (МИС2)
у = {[(A + BD)CD -> BC][(C ФС)->И0 D)]} -► (BD © ВС). (РАЙО)
V = [AC -+(B®_D)] -*■ {[AC -> (ВФD)(C -► D)](A -*■ ВС)}; (ВО50)
V = [(D -► B_C)(CD_^ AD)(AC Ф_ВС)А ФВ]-> CD. _ (60ПЗ)
V = [(AB -► C) -»(B -► D)]^ {[AC -+_(B ® DKC © D)](A -> ВС)}; (Р044)
V = [(CD-+ BD)(CD -> AD)(BC_® BC)A ®_B] -> AC. (60K3)
V = {[(AC ®D)^>(B® AC)](AD -+D) + (BD -> ВС)} -> (AB + C);
(ИКЛЯ)
у = {[(А Ф ВС)(ВФ C)]D -» [(CD -> ВС) Ф(A -> D)]} ->(B9D). (79Д1)
V = [(AC -> BD) Ф (ВС -► D)][(B -> ВС) -► (AB -► D)](AC -► B);
(98ШГ)
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
177

6) v|/ = {[(АВ © В) -+(С © АВ)] -> (В + С)}(АС -> А)(Б5 -> С). (ЧАОН)
44. а) у = [АБ( AD © CD) -> (АВ © £>)] -> [(БС -> D)(АВ -> Б) -> Б];
(ВАРФ)
б) v|/ = {[(ACi) -+ Б)С -> (БС © D)] -+ (AD_-> D)} -+ (АС © Б)._ (ПЕЕЕ)
45. а) у = [(БС -> С) © (Б -> £>)] -> {[АС -> (Б -> ЩАС © 5)](АВ -> БС)};
(7033)
б) у = [(АС^-> БС)(АО -> Б5)(С ®ВС)А © Б] -> АС. (К61П)
46. а) у = [(C(AD © С) + (Б_-> £>)]_-> [(С ->_£>)( АБ © Б) -+ Б]; _ (43РФ)
б) у = {[[АС © Б)С -> (ВС -> D)] -> (ACD -> BD)} + (АБ © Б). (ГСГ7)
47. а) у = (АВ -> Б1>) + {[(АС © Б) -> (БС -> 5)] -> (А © БС)}; (ВА71)
б) v|/ = {[(AD -> Б) © (CD -> 5)^-> (AD -> ABC)} © D. (ЯН59)
48. a) v|/ = (ABC -> ABZ>) -> {[(ABC -> Б) -> (C + D)](A -> БС)}; (ОГВМ)
6) v|/ = [(AC5 -> Б)(СО © D)(AC -> ВС) © Б] ->_(C © D). (ЛИЛК)
49. a) v|/ = {[АБ -> (Б © AD)] -> (CD-+ BD))[(A® D) -+ABC]; (ФИАУ))
6) v|/ = [(A © BD) -> (AB© C)][(C ©AD) -> AD] -> (ВС -> AC). (90УЧ)
50. а) у = [(ABC -> Б) © (ABC -> #)][(БС -> БС) -> (ABD -> D)](AC -> Б);
(ВДУС)
6) v|/ = {[(AB © I>) -> (AC © Б)] -> (ВС + C)}(ABC -> A)(ABi) -> C).
(ОГАФ)
в 2
ТАВТОЛОГИИ
Чтобы определить, является ли тавтологией заданная формула,
необходимо проверить ее значение на всех возможных наборах значений
аргументов. Для этого можно построить таблицу истинности. Если не найдется ни
одного набора, на котором формула принимает нулевое значение, то эта
формула есть тавтология. Во всех остальных случаях исследуемая формула к
классу тавтологий не относится.
Возможен и другой способ определения тавтологии. Его основу
составляют алгебраические преобразования, в результате которых получается
минимальная ДНФ или минимальная КНФ. Если в результате минимизации
получится единица, то исследуемая формула есть тавтология. Если же
минимальная ДНФ содержит хотя бы одну букву, то исследуемая формула в класс
тавтологий не входит.
В данной работе тавтологии определяются методом минимизации.
Пример. Укажите номера формул, являющихся тавтологиями:
1) (BCD + BD + AD)_-> [(AB + ABD) -> (CD + Б)];
2) (AD + AB)^> [(AD + AB) -> (С + BD)];
3) [АВ + (Б -> А)] -> [(АС + ABC + ВС) -> (BD + CD)];
4) [(ВС + ACD + BD) -> AD] -> {(А -> £>) + [1> -> (А + Б)]};
5) {(ABi) + ACD) -> [(АС + AD) -> (А + С1>)]} -> (А -> С);
6) {[(Б -> D) -> (Я -> С)] -> (С -> А)} + AD.
Решение. Сначала необходимо освободиться от знаков импликации по
формуле: _
А -> В = А + В.
178
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Выполним эту операцию и минимизируем все шесть выражений:
1) BCD + BD + AD + AB + ABD + CD + B = BD + AB + ACD + B + AD + CD +
+ В = 1;
2) AD + AB + AD + AB±C + BD = AB + AD + AB + AD + C + BD = 1;
3) [АВ + (В-> А)] -> [(АС + ABC + ВС) -> (BD + CD)] =
= АВ + В + А + АС + ABC + ВС + BD + CD)] =
= AB + C + BD + CD = AB + C + D*1;
4) ВС + ACD + BD + AD + (A + D) + [D + (A + B)] = 1;
5) {(ABD + ACD) + [(AC + AD) + (A + CD)]} + (A + C) =
= D + AC + AB + A + CD + A + CD + A + C = A + C*l;
6) {[(B + D) + (D + C)] + (C + A)} + AD = A + С * 1.
Таким образом, тавтологиями являются формулы с номерами 1, 2, 4.
Ответ: 1, 2, 4.
Задания
для самостоятельной работы
Укажите номера формул, являющихся тавтологиями. При
самоконтроле номера формул упорядочить по возрастанию.
1. 1) {(AD + АВ)^> [(АВ + AD) -> (В + CD)]} -> (ВС + AD);
2) АВ -> [(А_+ В) -> CD];
3) {(BD + АВ)^> [(BD + АВ)^> (А_+ CD)]} -> (BCD + АВ);
4) {(AD + В) -> [(ABD + AB) -+CD]} -> [(ВС + D) -> А)];
5) (АВ + С)_-> [(ВС_+_АС) -> ВС];
6) (AD + АВ) -> [(AD + АВ) -> (С + BD)]. _ (E58)
2. 1) {(AD + BD) -> [(AD + BD) -> (AC + CD)]} -> (BCD + AB);
2) (AC_+ ВС) -+[(AC + BC)_-+ (A -> £>)]; _
3) {(BD + CD + BD) -> [(BD + BCD) -> AB]}BZ> + C;
4) {(AD + AD + AB) -> [(ABD + AD) -> (C + AC)]}B -> CD;
5) A + ВС + [(ВС -> £>)_-> (A -> £>)];
6) [(АВ + ВС) -> (В + С)] ->_(A + В + С). (65Г)
3. 1) (A-+BD)(BD_^> C) ^> (A ^C);
2) {(AZ> + BD + AB) -> [(AB + BD + AD) -> (C + £>)]}A + ВС;
3) {AB -> [(A + B)_-> CD]} -> (AB +^);
4) (AB + C) -> [(AC + ВС) -> (B + CD)];
5) (AB + D) -> [(BD + AD) -> (C + BD)];
6) {(BD + AB + AD)-* [(AD + AB) -> CD]} -> CD. (ИЕТ)
4. 1) (AB + AC) -+[(AC + AB)_^> C)];
2) {(BD + AD + AB) -> [(BD + AB) -► CD]}(A -► ВС);
3) {(AD + BD + AB) -> [(AB + AD) -+CD]} -+ (BD + AC);_
4) {(AC + ВС + AB) -> [AD -> (AB + AC + BC)]}(BC -» BD);
5) (AB + AB) -> [(AB + AB)C -> (CD + A)];
6) {[(A_+ B) -> C](C -> BD)} -> [(A + B) -► В£>]. (ОЛЯ)
5. 1) {(AB + C)_-> [(ВС + AC) ->BC]}^>(A + ВС);
2) {(AD + AB + AD) -> [(AD + ABD) -> AC]} -> (AC + D);
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
179

ajraxvwaxvw ионхалнэиИ ou hvffve нинлозэ
081
(VJJ,) КЭУ + ff) <- (QV + ЯУ)] <- (Off + ffy + ЭУ) (9
'•(ay *- я) <- {э <- у[(ая <- у) + (эу *- ff)]} (s
'•[(ЭУ + (7ff) <- (7(ffy + Э)] <~ (ЭЯ + ЭУ) (f
•[(ЭУ + ЭЯ) <- (ЭУ + ЭЯ)] <- (Э + ЯУ) (8
•(а + я)<г- {[яу <- (дя + аэя)] <- (gff + gff + сто)} (z
'•аэ *- На <- (эяу + эя)] <- [<т <- (ffy + э^у)]} (т гт
(якк) '[(off + у) <- ff] <- {[(эя + у) <- g](g <- ff)} (9
•[(эя + эу) <- (дэ + эя)] <- а? (9
•(яу *- а) <- {э +- я[(ау <- ff) + (off <- а)]} (ъ
•э 4- {[(ая + ff) <- эяу] 4- [(я 4- эяу) + (а <- эяу)]} (г
•[(эя 4- (яу + яу)] 4- (эя + эя + яу) (z
•[av 4- (эу + я)] 4- (эя + яу) (I и
(нкл) [ff + (аэу 4- я)] 4- [аэ <- (я <- эу)] (9
•[э 4- (аэ + я)] 4- {(э 4- а)[а *- (аэ + я]} (9
•а 4- {[эя 4- (яу + у)] 4- (эя + яу)} (f
•(ЭЯ + У)4- {(Э 4- QV) 4- [(ЭЯ 4- ЭУ) + (ЭЯ 4- ЭУ)]} (8
•(off + (7){[(go + ff) 4- (эя + эу)] 4-(э + яу)} (z
•[(ая + о) <- (яу + яу + эя)] 4- (яу + эяу) (i oi
(иэн) {(о <- яу) 4-(яу4- э)(э 4- яу)} 4- (av + эя + яу) (э
'(ая + v)4- [(аэ 4- я) <- (эя <- у)] (е
'[(аэ <- у) 4- {[аэ 4- (эя + аШа + эя) <- у]} (f
'{[аэ 4- (gv + яу)] 4-(яу + ая + ау)}я + v (2
'•{[(а + эу) 4- (ая + av)] <- яу} *- (а + эя) (z
'•[(а + эу) 4- у(дэ + дя)] <- (эя + а) (т в
(vchit) ая + {[(д + эу) <- (ая + av)] *- яу}эяу (э
'[(а + эу) 4- (эяу + яу)] 4-(яу + эя + яу) (9
'•[(а + эя) 4- у(эя + дя)] <- (эя + ая) (f
'•{[(у + дэя) 4- (эя + яу)] 4- эу} *- (яу + эя) (8
•{[(эу + эя) 4- (эу + off)] 4- (о + яу)} 4- (дэя 4- у) (z
•(дэя + у) 4- {[(а <- у) <- (эя + эу)] <- (эя + эу)} (т 8
(9SJM) аэ 4- {[(аэ + я) <- у] <- [(ff <- у) + (аэ *- у)]} (9
•{[(э + ая) 4- (эя + эу)] 4-яу}4- (эя + у) (9
'[(э + я) 4- (эу + яу)] 4- (эу + яу) (f
•{[(av + ff) 4- (gv + эу)] 4- аэ} <- [а *- (эя + у)] (8
'[(аэ + v)4- (эя + яу)] <- (ff + эу) 4-(э4- дя) (z
'•[(я + эу)4-у(эя + д)]4-(аэ + ая)(\ ч
(oiod) '(av + аэя) <- {[(о <- у) <- (о <- ая)(ая + у)} (э
'•(эу + ая) 4- {[(a + off) <- (эу + ду)] <- (ау + эу + аэ)} (9
'•(аэу 4- ая) 4- [(аду <- эу)(эу <- aff)] (*-
'•(аэ + ff) <- {[(av + ff) <- (д + gv)] *- (яу + ая)} (s
'•{[ay 4- (эу + ff)] <- (off + яу)} 4-(а + эя) (z
'[(аэя 4-(э + яу)] 4- (эу + эя) (i 9
(.ьхэ) [(а + о) 4- у] <- {[(а + э)4- аэя](аэя <- у)} (э
'•(э + аяу) 4- {[(ая + о)«- (яу + ду)] <- (яу + ау)} (9
'•(ая 4- у)э + я{[(аэя <- о) <- а(эя + яу)] <- (эу + я)} (f
'•[(а + э)4- (эя + эу)] 4- (эя + эу) (8

(AB + D) -+[(BD + AD) -> (C + 5i))]} -> BCD;
AD + Ci) + CD) -> [(AD + AD) ->_BCD];
ВС + AC + AB) -> [(ВС + AB + AC) -> C]|_
ABC -> D) -> [(ВС -^А)(АС -> D) + BCZ))];
ABC + C) -> [(AC + BC)D -> (AC +1))];
(AC + AD) -> [(AC + AD) -> (AB + C)]} -> (AB + AD). (МИЗЗ)
(ВС + AB) -> [(B + AB) -> ВС]} -> J); _
(AB -> C) -> BDJ -> [(A -> Б) + AC + ВС];
BCD -> A) -> [(_BC_-> D)(CD -> A) + ABC)];
AC + B)_-> [(AB + ВС) -> (A + CD)];_
ВС -> (AD -> CZ))] -> [(A -> D) + BD + AD];_
(AB + ВС) -> [(Б + AC)D -> (С + BZ))]}_^ (AB + CD). (КИБР)
(AB + AC) -> [(AC + AB) -> C)]} -> (CD + Б);
AB + AC) -> [(AB + AC)_-> BD];
(AB + BD + AD) -> [(BD +^AD) -> C]} -> (A + В + С);
AB + BD + BD) -> [(AB + AB)-> BD];
(CD -> B)[B -> (C + AD)]} -> [CD -> (C + AD)];_
(A -> B) + AB]_-> [(AB + CD + AD) -> (ABC + ACD)]. (СИИЦ)
ВС + CD) -> JXBC + CD) -> ^CD + B)]^
(AC + AB + BC)^> [(AB + ВС) -> (AB + CD)]} -> AD;
AB + (A -> B)]-> [(AD^ + AB + CD) -> (ABC + ACD)];
AB + ВС) -> [(AB + ВС) -> (AC + B)];
AB -> C)(C -> AB) -> (AB ->_C)} -> [D -> (AC)];
ABC -> D) -> [(AC -> B)(BC -> D) + ACD)]. (КОТЯ)
AB -> [(AD + BD) -> (AC + D)];
[(A -> ВС) + (В -> AD)]B -> С} -> (А -> BD);
A + (B -> CD)] + [(AC +_(B_-> C) + AB)J;
[(ВС + AD) -> (BD -> BCD)] -> [(В + С + D) -> A];
AB + ВС) -> [(AB + ВС) ->_(C + BD)]; _
AB + BC)_-> [(AB + AC + ВС) -> (В + CD)]._ (ЛОЮХ)
(A_-> B)(B -> C) -> B] -> [(A -> C) + AB + BC]^
(AC + ВС) -> [(AC + ВС) ->_(C + D)]} -> (CD + AB);
(B -> A) -кАВ] -> [(ABC + BC + AC) -> (BD + CD)];
CD -> [(AC + AD) -> (B + AD)];
[(AB + CD) -> D)](D -> ВС)]} -> [(CD + AB) -> ВС];
(A + ВС) -> CD] -> [(AB -► C) -► (BCD -> D)]. (КИЕЙ)
(AC + ВС) -> [(С + AB) ^JB + AD)]}B_+ CD;
BC_+ AB + AC)^> [(ВС + AB) -> (A + CD)];
(AB ^_BC) + AC] -+[(A^>C) + AB + ВС];
(AB + AB) -> [(AB + AB)C -> (CD + A)]} -> BD;
К A + B) -► C] -> (C -► ВС)} + AC;
AB -> [(AC + ВС) -► (BD +_C)]. (ВАЯЯ)
[(AC + BD) j» (AD ^^1CD)J -► [(A +_C + D) -> B];
ВС + ВС + AC) -> [(ВС + АВС) -> (AB + D)];
AC^> [(AB + ВС) -► (BCD + A)];
{(ВС + AC) -> [(AB + C) -> BCD)]} -> (BD + C);
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
181

[(AB + (В -> A)] -> [(AC + ВС + ABC) -+_(CD + BD)];
[(AC + ВС) -> D)] ->_[(BC + AB + (A -> С)]. (ФАЗЯ)
(AC + D) -> [(CD + AD) -> (A + C)];
(C + AB^-> [(ВС + AC) -> (B + CD)];
ВС -> {AB -> [(A +_B) -> CD]};
{[(A + D) -> C] -> (CD -> B)} -► [A + (B -► C)];
[(B_-> CD) -> (A -> C)] -> {[D -> (A + Б)] +_(A -> D)};
{AB -> [(AC + БС) -> (5D + C)J}_-> [A -> (SD + С)]. (УУСП)
{[(A + D) -> C] -^(C + CD)} + AC;
{(5D + CD) -> [(D + BC)A -> (AC + B)]} -> (CD -> ВС);
[(БС + AD) -> Б] -> [(AC -> D) -> (A + С + D)];
{[(Б -> A)_-> (A -> C)] -> (C -> D)} 4-ABCD;
(AD + AC + AD^-> [(AD + CD) -> ABCD];
(Cj-ABJ^KAC + BC^CC^BD)]. (РЕЛБ)
{(ВС + АБ + AC) -> [(ВС + AB) -> (A +^D)]} -> (CD + AB);
{[(A -> Б) -> (Б -> C)] -> (C -> D)} + CD;
{[С -> (Б + ACD)][( ACD + Б) -> D]} -> (C -> D);
[(A + БС) -> D] + {[(A + D) -> C] + (CD + B)};
{[(A + B) -> D] -> (D + BD)) + D;
(AC + AB_+ ВС) -> [(AB + ВС) -> (AB + CD)]. (ОКО)
[(ABC + ABD) -> C]_-> {(A -+D) + [D^>(A + B)]};
(AC + ВС) -> [(C + AB) -> (B + AD)];
[(AC ->_D) ->_(A + C + D)] ->J(A -> BCD) -> BD]; _
{(ВС + ВС + AC) -> [(ВС + ABC) -> (AB_+D)]} -> (AB -> CD);
[(AB -> D) -> C] -> {[(A_+ D) -> C] -> (AC -> B)};
(AD + AB) -> [(AB + AD) -> (B + CD)]. (ЭВЫ)
(BD + AB± -> [(AD + B) -> (B_+ AD)];
{AB -> [(AD + BD) -> (AC + D)]} -> [B -> (C+_BD)];
[(B -> CD| -> (A + CD)2 -> [(B -> D) + ВС + CD];_
{[(BD -> AC)(AC -> ACD)] -> (BD -> ACD)} -> ABC;
(AB -> C)(C -> AB) -+(AB^> C);
{[(A -> B) -> C)] 4- [(B -> C) -> D]} 4- AC. (770M)
(AD_+ B) -> [(ABD + AB) -> C5];_
[(ABC -> D) +_(^BC_^> B)] ->JABC -> (B + BD)];
(B + AC) -> [(AB +_BC)D -> (C -> BCD)];
{[(BD -> CD) + (BD ^_CD)] -> (BD -> D)}B + D;
{(AC + CD) -> [(AC + CD)^>(A + ВС)]} -> (D + AC);
{(BD + ВС) -> [(BD + BC)A_-^ (ВС + D)J} -> (BD + С). _ (66В5)
{(AB + ВС) -> [(AB + AC + BC)j> (B + CD)]} -+_(ACD + BCD);
{[|C ->_A) + (C -> B)] ->_[C -> (A + AB)]} -> (ACD + BD);
(AB + BD) -> [(AB + BD) -> (CD + B)];
[A 4- (B -> CD)] -> {[(B -> D) 4- [(C 4- D) -> ВС]};
{(AB + ВС) -> [(AB + ВС) -> (AC -^B)]}BD + AC;
{(ACD -> BD) + [ACD -► (ABD + ABD)]} ->_(ACD -► В). _ (КУТУ)
{[(AC -> D) + (AC -> B)]_^ [AC -> (BD + BD + BD)]}B + C;
{(A -> BD)[BD -> (A + ВС)]} -> [A -> (A + ВС)];
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

AB^[(A_+B)D^>(C^>_D)];
(BD + AD +^AD) -> [(AD + ABD) -+ (CD + B)]} -+ (CD -> BD);
BD + AB + AD) -> [(AD + AB) -> CD];
AB + ВС) -> [(В + AC)D -> (С + 5D)].
AB + ВС) -> [(B + AC)D -+ (A + BD)J;
[(ABC -> AB) + (ABC -> AB)] -> (ABC -+_B)}BD;
(AB -+C)(BC -> D)] -> [(A_^> C) + AD + CD\
AD + BD + AB) -> [(AB + BD + AD) -> (C + D)];
[(BD -> БС) + (5D ^_БС)] -> (BD -> В)}_-> Б;
(АС + D)_-> [(CD + AD) -> (A + C)]}D + (А -> В)._
(АБ + АС) -> [(АБ + АС) -> (Б + С)]} ->_(А + BCD);
(В_-> CD) -> AB] -> [(Б -> D) + БС_+ CD];
AB + AD) -> [(AB + AD) -^ (CD + AC)];
(AB -+ С) -> Бр] ->j;(C -> D) + CD];
БС + AC) ->_[(C + AB) -> (A + CD)];
■K^ ->_ABC)+ (^ J±C)] "* [AP "^ (^Б + С)>БС + AD'
BD_+ AB) -> [(5Djb AB) -»(A + CD)];
(ABC -> AB)_+ (ABC -> AB)] -> (ABC -+ Б);
(B -+D) + CD + ВС] -> [(В -> CD) -> ABD];
(A -> B) + AB] -> [(A -> BC)_-> D];
(5D + ВС + SD) -> [(Бр + BCD) -> (AB + C)]}BD + C;
AD + Бр + AB) -> [(AB + AD) -> CD].
[(Б -> BD) + (B_-> CD)]_-> [Б -> (Бр + CD)]}C + SD;
AD + Бр) -> [(AD + SD) -> (AC + CD)];__
ВС + CD + (B_-> D)] -+[(A-> BCD) -> BCD];
(AB + BC + AB) -+_[(AB + ABC) -> (AC +_D)]} -> C;
ABC -> D) -> [(AB -> C)(AC -> D) + ABD)];
[DC -> (Б + C)][(B + C)_-> (БС + CD)]} -> [CD -> (БС + CD].
(ABC + AB) -> [(ВС -^AB + AB) -> (C + BD)]} -> AC;
(BC + BD) ->_[(BC + BD) -> (A + AC)]} -+&D;
(AD + BD + AB) -> [БС -> (AB + AD + BD)]} -+(B + CD);
(AC -> D) +_(AC -> B)]_-> [AC -> (BD_+ BD + BD)];
BD + CD + BD) -> [(BD + BCD) -> AB];
(C -> D) + CD] -> [(A_-^ B)_-^ D].
(AD + AC + CD) -> [(CD + AC) -> AB]} -> (AB + C);
BD_+ AB + AD) -> [(AD + AB) ->_CD];
(BD -> CD) +JBD -> CD)] -> (BD -> D);
AB -> [(A + B)D -> (C -> D)]} -> (BD + AC);
(AB -> ВС) -> A] -^_[(A -+B) + (AB -> D)]; _
(AB + ВС) -> [(B + AC) -> AD]} -> (BCD + AB).
[A ^_(B + CD)][(pD^_B) -> D]} -> (A -> D];
(D_+ BC)_-^ [(BD + CD)A -> (AC + D)]}AD;
ABC -> D) -> [(ВС -+A)(AC -> D) + BCD)];
[(A + B) -> C] + [(A + B) -> D]} -> [(A + B) -> (CD + D)];
BD + AD + AB)_-^ [(BD + AB) -> CD];
(AC -> D) -> ВС] -> [(В -> D) + (В -> С)].
(МИВО)
(КУКЛ)
(КОС)
(НВК)
(ГИСХ)
(НОТЗ)
(НА2Т)
(К8ЕР)
. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
183

ajraxvwaxvw ионхалнэиИ ou hvffve нинлозэ
(dUOS)
•{[(ov + ая) <- а(яу + э)] <-
•[эу <- (аэ <- ffy)] <•
'[(я + аэ) <- (ffffy + gv)] «
40ffy + ffy) <-t(ff <-
[ffy <- (ая + аэя)]
(эя + jv))a + эя
- [gv + (a <- оу)
- (оу + gy + ая
у)(э <- ff)]} + яу
<- (gff + dff + <тэ
("moos)
(vtis*-)
(OH8S)
(AOSS)
(НКИИ)
(9НИН)
•(gv + я) <- g] <- {[(y + ffy) <- g] + [(ff + y) <- g]
Kffy + эяу) <- (Off <- y)toff <- (ff + эу)]
:оу + {(дэу + av) <- [О + д)(а <- v)l
•Кэ + ffy) <- (gy + эу)] <- (gy + эу
•яу + {(v <- э) <- [О <- ff) <- (ff <- <т)]
'{[ffy <- (off + дя)] <- (gff + off + аэ)}я + а
•(a <- y) <- {[g <- (gff + у + э)Н(э + gff + у) <- у]
:g + я{[э <- (эу + ffy + 3ff)] <- (ffy + эу + эя)
•(эу + эяу) <- {(эя <- y)Off <- to + ffy)]
•[(э + эу) <- ffy] <- {[(э + v)<- яу] + (э<- яу)
•[яу <- (эу + дэ)] ^(аэ + эу + av
Кэя + у) <- gff] <- {[Off + у) <- стэКаэ <- ая)
•а <- {[(эу + аэ) +- (av + яу)] <- (gv + яу)
•{[(ая + у) <- а(эу + я)] <- Off + яу))э + яу
•{[(я + аэ) *- (дэ + эя)] <- (аэ + эя))яу
•[у(аэя <- у)] <-{&<- [(эу <- я)(ау <- э)]
•[э <- (gy + gff)] <- (gy + дя + яу
э + ff{[(ff + дэ) <- (дя + яу)] <- (gff + яу)
•[(а + э) <- э&] <- {[(д + э) <- у](у <- э?)
•О <- эу) <- [(эя <- эу) + Off <- эу)
i[(ffy + э) <- (gffy + gy)] <- (gy + ау + ая
'[а(я <- у)] <- [(ff *- (av *- э)Оу <- ff)
Off <- {[(gff <- э) <- Off + эу)] <- (ffy + э)
'{[Off + эу) <- (дэ + эя)] <- <7&}э <- (ff + у
•О + у) <- {[(дэ + ff)«- (эу + gy)] <- (gy + эу)
^[Off + у) <- (дэ + эу)] <- (дэ + эу
Ч(аэ *- яу) <- [(э *- яу)(а *- яу)]} <- (ая <- v
'•{[(а + эу) <- а(эя + эу)] <- О + эяу)} <- Off + у
•<тэд <- {[(аэ + у) <- (яу + э)] <- (эу + эя)
[эу <- (аду + gv)] <- (gv + яу + ду
•аэя + яу[(эя <-v) + (аэ <- я) + (av <- э)]
•(э + яу) <- сту] <- [О <- av) + (эяу <- ду)
5[(ffy + дэ) <- эу] <- {[(дэ + ffy) <- ff](ff <- эу)
i<j <- {(э + ff + у) *- [(эяу <- ffy) <- (ду <- э&)]
:Off + у) <- {[(эу + эя) <- (эу + эя)] <-(э + яу)
[(эу + э) <- (ду + аяу)] ^(яу + av + gv
•[яу + (я *- v)] <- [эу <- (аэ <- ff)
^у <- <j{ffy <- [(ду <- э) + (дэ <- ff) + Off <- у)]
Кдд <- у) <- {[<7ff <- (эу + ffy)] <- (эу + ffy)
•ffy + {Offy <- ffy) <- [(Э <- ff)(ff <- У)]
•(ff <- gff) <- [Off *- ая) + (эя <- ая)

(B_-> D) + BD] -► [(AC + В) -► AD];
AC + ВС + AB) -+ [AD -> (AB_+ AC + ВС)]. (1293)
(С -+A) + (C^ В)] ->[C4(i + AB)];
(AB-+ C)^>(A + B + C)]^> [(AC_ -> BD)-± A];
[(BD + C) -> BC](£> -> ВС)} -► (BCD + CZ>);_
t(B + C) -> A] +_[(_BC + C) -> D]} -> [(В + ВС) -> (A + D)];
AC + AD) -> [(AD + AC) -> (_B + CD)];
(AC -+B) -> BD] -> [(A -> C) + AC)]. (66EH)
AB + BC + D{(BD + CD) -> [(BD + CZ)) -> (A + B)]};
ВС + BD| -> [(ВС + BD) -> (A + AC)];
[(AC -> BCD)(BCD -> B)]} -> (AC -> B)];
(ABC -► D) + BD] -> [(CD -+AB)^> ACD];
(D -> B)(B -> C) -► (BD + BCD)] + BD;_
(ABC -> CD) -> B] -> £(ABC -> D) + BD]. (РЕЙФ)
CD + ВС + BD) -► [(BD + ВС) -> AB];
[B -» (A + CD)]J(A + CD) -> C]} -> (B -> C)];
(AB -► D) -> (A + В + D)] -> [(AC -> D)_-> BD];
[(AD + C) -> CD](A -> CD)} -► (ACD + AC);
(A -> CD) + (A -> B)] -> [A -> (B + CD)];
(ABC -> D) -> B] -► [(ABC -► D) + BD]. (56CO)
BD -> AC) + A{CD -> [(AC + AD) -> (B + AD)]};
[(AB -> D)(AB -► C)] ->_(AB -> CD)} -► C;
[B_-> (AB + C)]_+_(B -> AB)} -► [B -► (B + C)];
BD + CDl^>[(BD + CD)_^>(A + B)];
(AD + AC + AD) -> [(AD + CD)_-+ ABCD]}C + B;
ABC + BD{(AC + B) -> [(AB + ВС) -> (A + CD)]}. (РИЯЖ)
AC -> [(AB + ВС) -+_(BCD + A)]} -> BCD^
(C + AB) ->J(BC + A£)_-+ (B + CD)]}_-+ (A + B);
CDjr AC + AD) -> [(AD + AC) -► (ВС + D)];
(AB -+_D)(AB -> C)] -> (AB -> CD);
(B -+ BD) + (B -> CDJj] -> [B -> (BD + CD)];_
A + BD{(BD + AB + AD) -> [(AD + AB) -► CD]}. (ИК31)
[(ABCj- AB)^> D] -> [(BC_+_ABC) -> D]} -► D;
BD + ВС + BD) -> [(BD + BCD) -» (AB + C)];
(A -> BD)[BD -> (AB_+ C)]} -> [A -> (AB + C)];
(AB + ВС) ->_[(AB + BO ->^C + BD)]} -> BL
A + B{(BD + AD + AD) -> [(AD + ABD) -► (C_+ AB)]};
AB + CD + {[(A -> CD)_+ (A -> B)] -> [A -> (B + CD)]}. (5802)
(AB + C) ->_[(BC + AC)^^ (ВС + AC)]} -> BD;
[A_^ (В + БСХ[А -► (ВС + D)]} -> [A ^BD + ВС)];
AD + BD + AB) -> [ВС -> (AB + AD + BD)];
(ABC + AB) -+D] -» [(ВС + АВС) -> D];
A -> C)_-> {(AC + B)^-> [(AB + ВС) ^_(A + CD)]};
(AB + ВС) -> [(В + АС) -> AD]}BC + А. (ЛУЧ7)
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
185

БУЛЕВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1.
ОСТАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Подстановка в заданную функцию вместо ее аргументов
других функций называется суперпозицией. В общем
случае на выбор функций для подстановки никаких
ограничений нет. Однако один вариант подстановок имеет особое
значение. Это константы 0 и 1. В результате их подстановки
всегда получаются функции, зависящие от меньшего числа
переменных. Такие функции называются остаточными.
Нахождение остаточных функций рассмотрим на примере
следующего задания.
Пример 1. На основе булевой функции вида
/(А, Б, С, D) = (0, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 14, 15)
найти минимальные ДНФ остаточных функций, если
а)А = 0; б)Б = 0; в)С = 0; г)£> = 0;
д)А=1; е)Б=1; ж)С=1; 3)D=1.
Для каждой из минимальных ДНФ остаточных
функций указать число вхождений переменных и число знаков
дизъюнкции.
Решение. Функция задана перечислением номеров мин-
термов, а требуется найти алгебраические выражения.
Поэтому функцию переводим в аналитическую форму,
например, при помощи карты Вейча. Результат целесообразно
представить в минимальной ДНФ (но это не обязательное
требование, так как минимизировать необходимо лишь
остаточные функции):
/(А, Б, С, D) = BD + ACD + ABC + ABC + AD.
После этого приступаем к выполнению задания:
а) согласно условию А = 0. Буква А в заданной функции
встречается четыре раза. В соответствии с правилом
суперпозиции всюду ее необходимо заменить нулями:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ДО, Б, С, D) = BD + OCD + ОБС + ОБС + (Ш = Б1> + БС + ВС + Я.
Минимизируем получившееся выражение (карта Вейча приведена на
рис. 7.1):
/(О, BfCfD) = D + BC + ВС.
Ответ: 5, 2 (т. е. в минимальной ДНФ содержится пять вхождений
переменных и два знака дизъюнкции);
б) согласно условию Б = 0. Здесь буква Б встречается три раза. Заменяем
ее нулем во всех трех случаях:
/(А, 0, С, D) = 05 + ACD + АОС + АОС + AD = ACD + АС + AD.
Минимизируем это выражение (рис. 7.2):
/(А, 0, С, 1>) = CD + AD.
Ответ: 4, 1;
в) принимаем С = 0. В заданном выражении буква С встречается три раза.
Всюду ее заменяем нулями:
/(А, Б, 0, D) = BD + А(Ш + АБО + АБО + AD = BD + AB + AD.
Это минимальная ДНФ (рис. 7.3).
Ответ: 6, 2;
г) при D = 0 остаточная функция принимает вид
/(А, Б, С, 0) = Бб + ACQ + АБС + АБС + АО = Б + ABC + АБС + А.
В результате минимизации получаем (рис. 7.4):
/(А, Б, С, 0) = А + Б.
Ответ: 2, 1;
д) во всех четырех предыдущих случаях для подстановки использовалась
функция константа нуль. Теперь же найдем остаточные функции, применяя
к заданной функции подстановку константа единица.
В
с
в
1 1
1
/
1
1
Б
Рис.7
4
1 '
1
1
1
(
Рис.7
.4
1
1
1
1
с\
с\
1
1
L
Ри(
В
1 1
1 1
1
:.7.2
1
L
Ри<
)
:.7.5
1
1
в\
с\
1 1
1
L
Рис.7
А
1 1
1 1
1
)
.3
1
L
Рис.7
.6
1
1
1
1
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
187

Находим остаточную функцию при А = 1 (см. рис. 7.5) и минимизируем ее:
/(1, Б, С, D) = BD + 1CD + 1БС + ТБС + ID = BD + Ci).
Ответ: 4, 1;
е) при Б = 1 остаточная функция принимает вид
/(А, 1, С, £>) = 15 + ACD + А1С + АТС + AD = 5 + ACD + АС + AD.
В результате минимизации получаем (см. рис. 7.6):
/(А, 1, С, £>) = D + АС + АС.
Ответ: 5, 2;
ж) принимаем С = 1. Остаточная функция имеет вид
/(А, Б, 1, £>) = Б5 + AID + АБТ + АБ1 + А0 = Б5 + А£> + АБ + А5.
В результате минимизации этого выражения получаются две
минимальные ДНФ. Но найти достаточно одну из них. Например (рис. 7.7):
А /(А, Б, 1, D) = BD + AD + АБ.
2?|| 1 I 1 I 111 Ответ: 6,2;
з) при D = 1 остаточная функция принимает вид
/(А, Б, С, 1) = БТ + АС1 + ABC + АБС + AT =
= АС + ABC + АБС.
В результате минимизации получаем (рис. 7.8):
/(А, Б, С, 1) = АС + БС + АБС.
Б|| 111 111 Ответ: 7,2.
Пример 2. В результате минимизации остаточных
функций могут получаться выражения,
тождественно равные нулю, а также тождественно равные
единице (а не только в виде формул, содержащих
логические переменные). Например, если
гг
1
1
1
1
1
D
Рис. 7.7
1
1
1
1
с
Рис. 7.8
/(А, Б, С, D) = (8, 9, 10, 11, 13, 14, 15) = АС + AD + АБ,
то при А = 0 остаточная функция тождественно равна нулю (т. е. принимает
нулевое значение при всех наборах значений переменных Б, С и D):
f (0, Б, С, D) = 0 С + 0 D + 0 Б = 0.
Если
/(А, Б, С, £>) = (3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13,14, 15) = Б 4- CD 4-АС,
то при Б = 1 остаточная функция принимает единичное значение
независимо от того, какие значения принимают аргументы А, С и D:
/(А, 1, С, D) = 1 4- CZ) 4-АС = 1.
188
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Задания
для самостоятельной работы
Каждая из нижеприведенных функций, представленных перечислением
номеров минтермов, зависит от четырех переменных А, Б, С, D. Подставляя
вместо них нули и единицы, найдите минимальные ДНФ соответствующих
остаточных функций.
При самоконтроле для каждой из остаточных функций сначала
необходимо указать число вхождений переменных, а затем - число знаков
дизъюнкции (как в вышерассмотренном примере 1).
1. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (54) б) Б = 0; (9У) в) С = 0; (ШИ) г) D = 0; (ЗТ)
д) А = 1; (НД) е) Б = 1; (ЛИ) ж) С = 1; (БН) з) D = 1. (ЯУ)
/(А, Б, С, D) = (1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14).
2. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (ГЭ) б) Б = 0; (ТН) в) С = 0; (Г9) г) D = 0; (1ГЗ)
д) А = 1; (1РЗ) е) Б = 1; (2РБ) ж) С = 1; (ЗБТ) з) D = 1. (ИРЫ)
ДА, Б, С, £>) = (0, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14).
3. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (557) б) Б = 0; (659) в) С = 0; (75П) г) D = 0; (ЛШП)
д) А = 1; (051) е) Б = 1; (15С) ж) С = 1; (25У) з) D = 1. (35Х)
/(А, Б, С, £>) = (0, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 15).
4. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (ЮРА) б) Б = 0; (Ф5С) в) С = 0; (Б56) г) D = 0; (ВШМ)
д) А = 1; (ЮЗО) е) Б = 1; (ГРЛ) ж) С = 1; (ДБФ) з) D = 1. (ЕГГ)
/(А, Б, С, £>) = (2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 15).
5. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (АПУ) б) Б = 0; (ЖРР) в) С = 0; (ЗБГ) г) D = 0; (К5Э)
д) А = 1; (ИБМ) е) Б = 1; (1ШВ) ж) С = 1; (4ГИ) з) D = 1. (ХБР)
/(А, Б, С, £>) = (1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15).
6. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а) А = 0; (ЕРЗ) б) Б = 0; (1ЯО) в) С = 0; (ЗРТ) г) D = 0; (1ГГ)
д) А = 1; (ИР8) е) Б = 1; (2ТЕ) ж) С = 1; (КБИ) з) D = 1. (ФПО)
/(А, Б, С, £>) = (0, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15).
7. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
189

а)А = 0;(ЛБ6) б) В = 0; (15В) в)С = 0;(ЕЙС) г)£> = 0;(МРУ)
д)А=1;(ЕЯО) е)В=1;(2ГЕ) ж)С=1;(ЖГ1) з)£>=1.(ШЮ)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
8. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(6ПР) б)В = 0;(НБЖ) в) С = 0; (ОБА) г)£> = 0;(ПБС)
д)А=1;(9Р2) е)В-1;(ШО) ж)С=1;(ЦГТ) з)£>=1.(ХНЧ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15).
9. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(РБЯ) б) В = 0; (СРШ) в)С = 0;(ТРЛ) г)£> = 0;(УБ1)
д)А=1;(ЖТЕ) е)В=1;(2Г1) ж)С=1;(ПЭЛ) з)£>=1.(ЖНИ)
/(А, В, С, D) = (0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15).
10. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ФРЦ) б)В = 0;(1ГЦ) в)С = 0;(ЖТР) г)£> = 0;(ФТЗ)
д)А=1;(2ТР) е)В=1;(ХРБ) ж)С=1;(ЦРГ) з)£>=1.(2ББ)
/(А, В, С, D) = (1, 3, 4, 5, 6, 8, И, 14, 15).
11. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(2ЭЧ) б)В = 0;(ЯН7) в)С = 0; (1ШС) г)£> = 0;(ЦГ)
д)А=1;(ЕШВ) е)В=1;(Ф5С) ж)С=1;(1ЦП) з)£>=1.(П9Л)
ПА, В, С, D) = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14).
12. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(Е5В) б) В = 0; (9ШГ) в)С = 0;(Э5Т) г)£> = 0;(15С)
д)А=1;(95Т) е)В=1;(ОЙФ) ж) С =1; (051) з) £> = 1. (ЭШГ)
f(A, В, С, D) = (0, 1, 3, 7, 8, 12, 14, 15).
13. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ШРО) б) В = 0; (ОШ1) в)С = 0;(КРИ) г)£> = 0;(ЮЙЕ)
д)А=1;(П53) е)В=1;(ЭРЖ) ж)С=1;(9ЦИ) з)£>=1.(ЕГТ)
НА, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 15).
14. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЖГЕ) б)В = 0;(ЯРВ) в)С = 0;(КПР) г) £> = 0; (ЯШЦ)
д)А=1;(1БЗ) е)В=1;(ПШЗ) ж)С=1;(2ББ) з)£>=1.(ЗБТ)
ПА, В, С, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 15).
15. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
190
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а)А = 0;(ЧБЫ) б)В = 0;(6ПБ) в)С = 0;(5БО) г)£ = 0;(ФГГ)
д)А=1;(5РЮ) е)В = 1;(2ГФ) ж)С=1;(6БИ) з)£=1.(КПБ)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15).
16. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(2Т1) б)В = 0;(ЮЙ1) в)С = 0;(7БЩ) г)# = 0;(8БД)
д)А=1;(Я5Ц) е)В = 1;(ЧГИ) ж)С=1;(6ЯР) з)#=1.(1ЯЮ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 15).
17. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЕТЦ) б)В = 0;(9Р2) в)С = 0;(ФЯО) г)£> = 0;(ЧБМ)
д)А=1;(ЭРХ) е)В = 1;(7ПТ) ж)С=1;(БРП) з)£>=1.(П97)
ДА, В, С, D) = (1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15).
18. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(Я97) б)В = 0;(ТБ7) в)С = 0;(ГРЛ) r)Z> = 0;(EP3)
д)А=1;(ЖББ) е)В = 1;(ХТФ) ж)С=1;(ЖТ1) з)£>=1.(ПНЛ)
/(А, В, С, D) = (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15).
19. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ИР8) б)В = 0;(1ТЗ) в)С = 0;(КРЧ) г)£> = 0;(ФГЦ)
д)А=1;(2ГР) е)В = 1;(6РИ) ж)С=1;(ЖТБ) з)£)=1.(КБИ)
/(А, В, С, D) = (1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13).
20. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЕЦП) б)В = 0;(1ЭО) в)С = 0;(19Ю) г)£> = 0;(НЦИ)
д)А=1;(Я53) е)В = 1;(Н5Г) ж) С = 1; (ЕШС) з)#=1.(ФЭ0)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13).
21. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(Э34) б) В = 0; (ОШФ) в)С = 0;(ЛРК) г) D = 0; (СШ8)
д)А=1;(7БЩ) е)В = 1;(ЛБ6) ж)С=1;(Ф5В) з)£> = 1.(ФТТ)
f(A, В, С, D) = (1, 3, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 15).
22. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(МРД) б)В = 0;(8БД) в)С = 0;(ФТГ) г) D = 0; (ЮШ1)
д)А=1;(7ЯГ) е)В=1;(П5Ц) ж)С=1;(НРЖ) з)£>=1.(4Р8)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13).
23. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(НРХ) б)В = 0;(6ПР) в)С = 0;(ЯРВ) г)# = 0;(1ГТ)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ 191

д)А=1;(ЧБМ) е)В=1;(ХТ1) ж)С=1;(4Р8) з) D = 1. (ЩПР)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 15).
24. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(КПБ) б)В = 0;(ОЙ1) в)С = 0;(ЖТФ) г)£> = 0;(ЭБЖ)
д)А=1;(4Б8) е)В=1;(ЕТГ) ж)С=1;(В58) з)£>=1.(ЕП0)
f(A, В, С, D) = (1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14).
25. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЭБХ) б)В = 0;(ПБС) в)С = 0;(1ТЦ) г)£> = 0;(ЧБМ)
д)А=1;(УПМ) е)В=1;(ДП8) ж)С=1;(4РМ) з)£>=1.(Ф90)
f(A, В, С, D) = (0, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15).
26. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ФГТ) б)В = 0;(НБХ) в)С = 0;(1НЮ) г)£> = 0;(9Б2)
д)А=1;(4БМ) е)В=1;(4ТЧ) ж)С=1;(ЧР8) з)£>=1.(ФН0)
/(А, В, С, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 14).
27. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЕГЗ) б)В = 0;(ХТБ) в)С = 0;(9Р2) г)£> = 0;(ЖГР)
д)А=1;(ЭБ2) е)В=1;(ПРВ) ж)С=1;(1ГЗ) з)£>=1.(ЯРС)
f(A, В, С, D) = (1, 2, 4, 5, 9, 11, 12, 14, 15).
28. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЯШЗ) б)В = 0;(ЕНО) в)С = 0;(ЕЦП) г)£> = 0;(Н34)
д)А=1;(1ЭЮ) е)В=1;(НШТ) ж)С=1;(ФШС) з)£>=1.(Е90)
f(A, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 8, 9, 11, 12, 13, 15).
29. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЮЙФ) б)В = 0;(С5М) в) С = 0; (934) г) D = 0; (ВШ8)
д)А=1;(ПРС) е)В=1;(РБП) ж)С= 1; (СРШ) з)£>=1.(ЕГТ)
/(А, В, С, D) = (1, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14).
30. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЯРВ) б)В = 0;(ББП) в)С = 0;(СР5) г) D = 0; (ФШВ)
д)А=1;(ЧТЧ) е)В=1;(В58) ж)С=1;(УП8) з)£>=1.(ПБС)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 3, 5, 8, 10, 11, 13, 14, 15).
31. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(РРП) б)В = 0;(ДЯ8) в)С = 0;(ВР5) г)£> = 0;(ФГТ)
192
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

д)А=1;(ЧБ8) е)В = 1;(4Т4) ж)С=1;(БРЯ) з)£>=1.(ФПЮ)
/(А, В, С, D) = (О, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15).
32. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(95Г) б)В = 0;(ОЙЕ) в)С = 0;(ЛПТ) г)£ = 0;(ТБЛ)
д)А=1;(ХГФ) е)В = 1;(НТС) ж)С=1;(ТБ7) з)£>=1.(7ЯТ)
/(А, В, С, D) = (2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15).
33. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ТРЛ) б)В = 0;(ГБЛ) в)С = 0;(УРЕ) г)£> = 0;(ЧБ8)
д)А=1;(ХТР) е)В = 1;(ЛПГ) ж)С=1;(ЛЯТ) з)£>=1.(Х94)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 15).
34. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ТР7) б)В = 0;(ГБ7) в)С = 0;(9ГС) г)£> = 0;(УРФ)
д)А=1;(294) е)В = 1;(9ТВ) ж)С=1;(УР1) з)£>=1.(2НИ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 15).
35. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(2ГБ) б)В = 0;(ГРЛ) в)С = 0;(ЗТТ) г)£> = 0;(ЦГТ)
д)А=1;(УБЕ) е)В = 1;(ФТЦ) ж)С=1;(ДРЕ) з)£>=1.(4Р8)
/(А, В, С, D) = (2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13, 15).
36. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(НШГ) б)В = 0;(29И) в)С = 0;(ЮШЕ) г)£> = 0;(ЕНЮ)
д)А=1;(13Я) е)В = 1;(9ЦИ) ж)С=1;(ФЭЮ) з)£>=1.(95Г)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
37. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ГР7) б)В = 0;(9ГС) в)С = 0;(15С) г) D = 0; (ОШЕ)
д)А=1;(ЭЗИ) е)В = 1;(9ШТ) ж)С=1;(УБФ) з)£>=1.(ФБЗ)
ПА, В, С, D) = (1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11).
38. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(КПР) б)В = 0;(УБ1) в)С = 0;(9БХ) г)£> = 0;(1РЦ)
д)А=1;(ДРФ) е)В = 1;(Н5Т) ж)С=1;(ЭТВ) з)£>=1.(Е5С)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14).
39. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЭРХ) б)В = 0;(6ПБ) в)С = 0;(ЯРВ) г)Я = 0;(КЯР)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ 193

д)А=1;(ДР1) е)В=1;(ЭТС) ж)С=1;(5Б0) з)£>=1.(1ТТ)
ДА, В, С, D) = (1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15).
40. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ФБЦ) б)В = 0;(6ЯР) в) С = 0; (Я5Ц) г)В = 0;(ЮШФ)
д)А=1;(7ПГ) е)В=1;(ХБР) ж) С =1; (НТВ) з)£=1.(ЕТТ)
/(А, В, С, D) = (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15).
41. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЕЯЮ) б)В = 0;(2НЧ) в) С = 0; (ХББ) г)£> = 0;(2РР)
д)А=1;(ФРЗ) е)В=1;(НРХ) ж)С = 1;(ЦТТ) з)£> = 1?(ЩПБ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 14).
42. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ФРЦ) б)В = 0;(ХНИ) в) С = 0; (ХРР) г)£> = 0;(1РЗ)
д)А=1;(НГС) е)В=1;(1БЗ) ж)С = 1;(Ж94) з)£>=1.(ЧГЧ)
/(А, В, С, D) = (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15).
43. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(1БЦ) б)В = 0;(ЖБР) в)С = 0;(ЗТГ) r)D = 0;(IHT)
д)А=1;(2ТБ) е)В=1;(ЖГБ) ж)С = 1;(2ББ) з)£=1.(ЦБТ)
ДА, В, С, D) = (0, 1, 2, 5, 7, 10, 11, 12, 15).
44. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(Е9Ю) б)В = 0;(2ЭИ) в)С = 0;(Э5Г) r)Z> = 0;(X94)
д)А=1;(П53) е)В=1;(НЦЧ) ж)С = 1;(ФЗЯ) з)Я=1.(0Й1)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 14, 15).
45. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(2БР) б) В = 0; (ЧТИ) в)С = 0;(ЦБГ) г)£> = 0;(С58)
д)А=1;(В5М) е)В=1;(ЭШТ) ж)С = 1;(93И) з)£>=1.(ЗРТ)
/(А, В, С, D) = (0, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 13).
46. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ИГЧ) б)В = 0;(ЖРР) в)С = 0;(ДПМ) г)£> = 0;(ЗРГ)
д)А=1;(5РЮ) е)В=1;(ОШЕ) ж)С = 1;(ПРС) з) D = 1. (ВШМ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14).
47. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
194
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а)А = 0;(ЖББ) б)В = 0;(УЯМ) в)С = 0;(ИР8) г) D = 0; (СПА)
д)А=1;(4БМ) е)В = 1;(4ГИ) ж)С=1;(ЭРЖ) з)£>=1.(ИГЧ)
/(А, В, С, D) = (1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14).
48. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ИТ4) б)В = 0;(ВПА) в)С = 0;(ЗБТ) г) Z> = 0; (СШМ)
д)А=1;(95Г) е)В = 1;(ЧР8) ж)С=1;(ЩПБ) з)£>=1.(ИГИ)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 15).
49. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(ЕТЗ) б)В = 0;(1НО) в)С = 0;(СЯА) r)Z> = 0;(4PM)
д)А=1;(ЦРТ) е)В = 1;(НБЖ) ж)С=1;(5РО) з)1>=1.(ХПИ)
f(A, В, С, D) = (0, 1, 3, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15).
50. Сколько букв и сколько знаков дизъюнкции в минимальной ДНФ
функции, если:
а)А = 0;(190) б)В = 0;(ЯНЛ) в)С = 0;(ЗБГ) г)# = 0;(ЧБ8)
д)А=1;(ЦРГ) е)В = 1;(ЧБМ) ж)С=1;(4ТИ) з)£>=1.(ЛТ0)
/(А, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14).
7.2.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ПОДСТАНОВКОЙ НАБОРОВ
ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННЫХ
Производная от булевой функции /(А, В,..., К, L) по переменной L
показывает, при каких условиях изменение аргумента L вызывает изменение
значения функции f(A, В, ...,К, L). Эти условия можно найти путем
сплошного перебора остаточных функций, получаемых подстановкой в функцию
f(A, В, ..., К, L) всех возможных наборов значений переменных А, В, ..., К.
В результате подстановок возможны следующие исходы:
/-1; / = 0; f = L; f = L.
Всенаборы, некоторых/ = £или/= L, образуют функцию <р(А, В, ...,К).
Очевидно, что если (р(А, В, ..., К) = 1, то функция /(А, В К, L) зависит
только от аргумента L. Следовательно, функция ср(А, В, ...,К)есть
производная от функции f по переменной L:
df(A,B,...,K,L) _
— ф(А, Ву ..., Л).
Заметим, что в минимальной ДНФ (а также в минимальной КНФ) произ-
„ df(A,B,...9K9L)
водной -~j всегда отсутствует та переменная, по которой осу-
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ 195

ществлялось дифференцирование. Кроме того в некоторых случаях в
результате минимизации могут обнаружиться фиктивные переменные.
Пример. Найти производную по переменной D от функции
/ = АВ + ACD + ABD + AD + БОО.
Ответ представить в виде четырех составляющих: на скольких наборах
f=0?f=l?f = D? Сколько вхождений переменных в минимальной ДНФ
производной?
Решение. Найдем функцию ф(А, Б, С). Для этого в выражение /
подставим все наборы значений переменных А, Б, С и для каждого набора найдем
остаточную функцию:
/(0,0,0,1>) = 0 0 + 0 О D + 0 О D + 0 D+ 0 0 D = D;
/(0,0, 1,#) = 00 + 01# + 00# + 05 + 015 = 1;
/(0,1,0,D)=01 + 60D + 6ID + 0B + I0B = 0;
/(0,l,l,D)=01 + 6lD + 6lD + 0-5 + Il5 = i);
/(1,0,0,D)=10 + I0D + I0D + 15 + 00B = B;
/(l,0,l,D)=10 + Il-i) + I6i) + l-5 + 01-5 = S;
/(l,l,0,i))= 1 1+1 0 D + l 1 D + l D+l 0 D = l;
f(l, 1,1,D)= 1-1+1-1-D+1-T-D + l-D+ 1-1-D = l.
Согласно этому списку функция / на одном наборе значений
переменных А, Б, С равна нулю, на трех наборах равна единице и на двух наборах
равна!).
На четырех наборах 0,3,4,5 функция / равна D или D. Эти наборы
образуют С ДНФ искомой производной:
§ = (0,3,4,5).
Ее минимальная ДНФ имеет вид (в данном примере фиктивных
переменных нет, т. е. производная существенно зависит от всех переменных, к
которым применены подстановки):
-^- = АВ + ВС + ABC.
3D
Ответ: 1, 3, 2, 7.
Задания
для самостоятельной работы
Найдите производную по переменной D. Ответ представьте в виде
следующих четырех составляющих: на скольких наборах / = 0? /= 1? f = D?
Сколько вхождений переменных в минимальной ДНФ производной?
1. а) / = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15); (НЯО)
б) / = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). (РНФ)
2. а) / = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15); (ТЕФ)
196
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)/ = (!
)/ = (!
)/=(0
)/ = (0
)f=a
)f = (0
)f = (0
)f=a
)/ = (0
)/ = (!
)/ = (0
i)/=(l
)/=(0
)/ = (!
)/ = (!
)/ = (0
)f=a
)/ = (!
)/ = (2
)/ = (0
)/=(3
i)/ = (0
)/=(0
)/ = (0
)/ = (2
i)/ = (0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (!
)/=(0
i)/ = (0
)/=(0
)/ = (2
)/ = (0
i)/ = <0
)/ = (0
)/ = (0
)/=(2
i)/ = (0
)/=(0
!)/=(0
)/ = (0
i)/ = (0
)/ = (0
i)/ = <0
2
2
1
1
2
1
1
3
1
2
1
2
1
4
2
1
2
2
3
1
4
1
3
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
3
3
1
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
3
2
2
3
2
2
4
2
3
3
3
2
5
4
2
3
3
4
2
5
2
4
2
4
3
3
2
2
3
2
2
3
4
4
4
2
2
4
2
2
,4
2
2
4
3
4
,4
4
3
5
,3
4
5
3
6
4
,4
3
6
5
6
4
4
5
.6
6
,3
5
,4
5
,4
4
4
,4
,4
,3
,3
4
5
5
,5
3
,3
5
,5
3
,5
3
,5
5
,4
5
7
5
4
6
4
,5
6
4
7
6
,5
4
7
6
7
,6
5
6
7
7
,4
6
5
6
,5
5
5
5
,6
,4
,4
5
6
6
,6
,4
4
7
,6
5
,7
5
6
6
,5
9
8
6
7
7
5
6
7
6
8
7
6
6
8
7
8
7
7
7
8
8
5
7
6
7
7
8
6
6
7
5
6
6
7
7
7
5
6
8
7
6
8
6
7
7
6
10, 12, 13, 14, 15).
10, 11, 12, 13, 14, 15);
7,8,9,10,11,13,14).
8,9,10,11,12,14,15);
8, 10, 11, 12, 13, 15).
6,7,8,10,11,12,13);
7,9,10,11,12,14,15).
8,9,11,12,13,14,15);
7, 11, 12, 13, 14, 15).
9, 10, 11, 12, 14, 15);
8,9,10,11,13,14,15).
7,8,10,11,12,13,14);
7,8,10,12,13,14,15).
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
8,11,12,13, 14,15).
9,11,12,13,14,15);
8,9,12, 13, 14,15).
8,9,10,13,14,15);
8, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
9, 11, 12, 13, 14, 15);
9, 10, 11, 12, 13, 15).
7,9,10,11,13,14,15);
8, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
7,8,9,11,12,13,15);
9,10,11,13,14,15).
8,9,10,11,12,14,15);
9, 10, 11, 12, 14, 15).
7,8,9,11,12,15);
7,8,11,12,14,15).
8,9,10,11,12,13,15);
6,7,8,10,11,12,13).
7,8,10,11,12,15);
7,8,10,12,14,15).
9, 10, 11, 12, 14, 15);
10, 11, 12, 13, 14, 15).
8, 9, 10, 11, 12, 15);
,7,9,11,12,13,15).
7,9,10,11,14,15);
9, 11, 12, 13, 14, 15).
9, 10, 11, 13, 14, 15);
7,9,10,11,14,15).
,9,10,11,13,14,15);
7,10,11,12,13,15).
8,9,11,12,13,15);
8,9,11,13,14,15).
7, 10, 11, 13, 14, 15);
(ГОЙ9)
(ПИВН)
(РИЛШ)
(ГАЯМ)
(УСРД)
(ШЕОД)
(66M9)
(11ЛХ)
(223У)
(600Ф)
(3372)
(50КФ)
(4425)
(77УШ)
(87ДМ)
(88BC)
(90 A2)
(45АЯ)
(766Л)
(89BA)
(11ЭВ)
(52СУ)
(54KH)
(60AP)
(016P)
(5322)
(02ЖД)
(49M3)
(70ЖБ)
(034Ж)
(71КУ)
(50C5)
(04M9)
(72МЦ)
(85ВЧ)
(12БЦ)
(51ЕЖ)
(486P)
(79 AT)
(13ГО)
(472Я)
(80AH)
(1495)
(81AK)
(46ИФ)
(ИЛХП)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
197

)/ = (0
i)/ = (0
)/ = (!
i)/=(0
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (2
i)/ = (0
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (3
)/=(0
)/ = (!
)/=(0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (4
)/ = (2
)/=(!
)/ = (!
)/ = (!
)/ = (0
i)/ = d
)/ = (0
i)/ = d
)/ = (4
)/=(2
)/ = (!
)/=(0
)/ = (0
)/=(5
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (!
)/ = (l
)/=(!
)/ = (!
)/=(0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (0
)/ = (0
,1
,2
,2
,1
,1
,1
3
,1
,1
,1
4
,1
,2
,1
2
,1
2
,1
1
,5
4
,2
3
,2
1
,2
,1
,2
,5
4
,2
,1
,1
6
2
,1
1
2
2
,3
2
1
2
,1
4
1
,3
3
,3
,2
,3
3
,4
,3
,4
2
5
,2
3
2
3
3
3
2
3
6
5
5
4
3
2
3
2
3
6
5
3
2
2
7
5
2
2
3
3
4
3
2
3
2
5
4
4,5,6,
4, 5, 7,
4, 6, 7,
4,5,6,
4,5,6,
4, 6, 8,
5,6,7,
4,6,7,
5,6,7,
4,5,7,
6, 7, 8,
6, 7, 8,
4,6,7,
4,5,6,
5,8,9,
4,6,7,
4,5,6,
4,5,6,
4,5,6,
7,8,9,
6,7,8,
6,7,8,
6,7,8,
4, 5, 7,
3,6,8,
4,5,9,
4,5,6,
4,5,6,
7,8,9,
6,7,8,
4, 6, 7,
3,5,6,
3,4,5,
10,11,
6,7,8,
3,6,7,
7,8,9,
5,6,7,
4,5,6,
5,6,7,
4,5,7,
3,5,6,
4,5,7,
3,5,6,
6,7,8,
5,6,7,
7, 10, 12, 13, 14, 15).
8,10,11,12,13,14);
8.9.10, 11,12,13).
7,8,9,11,12,14);
7,9,10,13,14,15).
9,11,12,13,14,15);
8,10,11,12,13,14).
8,9,10,11,12);
8,10,11,12,14,15).
8,9,12,13,14,15);
10, 11, 12, 14, 15).
9,10,11,12,14,15);
8,10,11,12,14,15).
8,9,10,11,12,14,15);
10,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,13,14,15);
7,9,10,12,13,15).
8,9,11,12,14,15);
9, 10, 12, 13, 14, 15).
11,12,13,14,15);
9,10,11, 12,13,15).
9,10,11,12,14,15);
9,10,11,13,14,15).
9,11,12,13,15);
9,10,11,12,13,14,15).
10, 12, 13, 14, 15);
7,8,10,11,13,14,15).
7,8,9,11,12,14,15);
10, 12, 13, 15).
10,11,13,14,15);
8.9.11, 12,14,15).
7,8,9, 10, 12, 15);
6,8,10,11,12,13,14).
12, 13, 14);
9,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,13,14,15);
10,11,12,13,14,15).
8,9,10,13,14,15);
7,8,11,13,14,15).
9,10,11, 12,13,14,15);
9,10,11,12,13,15).
7,8,9,11,14,15);
8, 11, 12, 13, 14, 15).
7,8,10,12,13,14,15);
9,10,11,12,13,14).
8,9,10,11,13,14);
198
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) / = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15). (9927)
49. а) / = (О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 15); (3071)
б) / = (0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15). (62АЕ)
50. а) / = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12,13, 14, 15); (31ЛВ)
б) f= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14,15). (64АИ)
7.3.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
8f(A,B,...,L)
Производная первого порядка ~-т от функции ДА, В, ..., L) в
общем случае записывается в виде следующего соотношения:
EMij^iiiR = f(itB,...,L)®f(0,B,...,L), (I)
где /(1, Б, ..., L) — единичная остаточная функция (будем обозначать ее fx),
получающаяся на основе функции /(А, Б, ..., L), если в ней все вхождения
аргумента А заменить единицами; /(0, Б, ..., L) — нулевая остаточная
функция (будем обозначать ее /0), получающаяся на основе функции /(А, Б,..., L),
если в ней все вхождения аргумента А заменить нулями; © — знак сложения
по модулю 2, операция «неравнозначно».
Выражение (1) в базисе И, ИЛИ, НЕ записывается следующим образом:
d/(A'aA"''L) = ft1' в> -'L)'т В> -'L) + /(1' В> -'L)' ft0, в> -'L)- (2)
Пример. Найти производную по переменной D от функции
f = AB + ACD + БС5.
df
Для минимальной ДНФ производной тут определить число знаков
дизъюнкции и число вхождений переменных.
Решение. Находим остаточные функции /0 и Л:
/о = АБ + БС; Л = АБ + АС.
Я/
Запишем производную ^=7 в виде (2):
CJJ
-^- = АВ + ВС(АВ + АС) + (АВ + ВС)АВ + АС.
Выполняем операции инвертирования (по теореме де Моргана),
раскрываем скобки и находим минимальную ДНФ:
df
^L- = AB + BC(AB + АС) + (АБ + ВС)АВ + АС =
cD
= (А + Б)(Б + С)(АБ + АС) + (АБ + ВС)(А + Б)(А + С) =
= (АВ + АС + ВС)(АВ + АС) + (АВ + ВС)(АС + АВ + ВС)-
= АБС + ABC.
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
199

в
1 1
1
1
1
с
Рис. 7.9
гт
1
1
1
Таким образом, производная по переменной D имеет
вид: |£- = ABC + ABC.
3D
Ответ: 1, 6 (т. е. в найденной производной имеется
один знак дизъюнкции и содержится шесть вхождений
переменных).
Тот же результат можно получить, если
воспользоваться картами Вейча. На рис. 7.9 изображена карта для
остаточной функции fQ = АВ + ВС> на рис. 7.10
приведена карта для функции Д = АВ + АС.
На третьей карте (рис. 7.11) представлен результат
дифференцирования. Единицы в ней записаны в соответствии
с операцией «неравнозначно»: если в одних и тех же
клетках на рисунках 7.9 и 7.10 стоят только нули или только
единицы, то в тех же клетках на рис. 7.11 записываем нули.
В остальных двух случаях на рис. 7.11 ставим единицы.
Задания
для самостоятельной работы
Найдите производную по переменной D. Производную представьте в
минимальной ДНФ. Для контроля укажите число знаков дизъюнкции в
минимальной ДНФ и число вхождений переменных.
Рис. 7.10
1
1
Рис. 7.11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
а]
б)
а]
б)
а]
б)
а]
б)
&]
б)
&]
б)
&]
б)
а]
б)
а]
б)
&]
б)
&]
б)
а]
б)
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/=(
/ = (
/ = (
f = (
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/=(
/ = (
/=(
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/ = (
/=(
/=(
5,
4,
2,
3,
2,
1,
2,
1,
2,
5,
4,
2,
0,1,
0,1,
5,6,
1,2,
0,1,
0,1,
1,2,
1,2,
1,3,
1,2,
0,1,
6,7,8,9,11,12,13,14,15);
5,6,7,8,9,10,11,12,13,15).
6,7,8,9,10,11,12,14,15);
6,7,8,9,10,11,13,14,15).
4,5,7,9,11,12,13,15);
3,6,8,9,10,11,12,13,14,15).
4,5,9,10,12,13,14,15);
4,5,6,7,8,10,11,13,14,15).
4,5,6,7,8,9,11,12,14,15);
6,7,8,9,10,12,13,15).
5,6,7,8,10,11,13,14,15);
4,6,7,8,9,11,12,14,15).
3,5,6,7,8,9,10,12,15);
3,4,5,6,8,10,11,12,13,14).
10,11,12,13,14);
6,7,8,9,11,12,13,14,15).
3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
7,8,9,10,11,12,13,14,15).
5,6,7,8,9,10,13,14,15);
3,4,5,6,7,8,11,13,14,15).
4, 5, 6, 7, 9,10,11,12, 13, 14, 15);
3,4,5,7,9,10,11,12,13,15).
2,3,5,6,7,8,9,11,14,15);
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12,13, 14, 15).
(00АА)
(05 7А)
(206П)
(21КИ)
(44Е2)
(01АЗ)
(22КО)
(52НО)
(68ЧП)
(71ВЗ)
(5398)
(851У)
(2368)
(549Т)
(86П2)
(24КГ)
(8784)
(72ВР)
(45ЭД)
(8890)
(25КБ)
(26КЗ)
(0672)
(89ЕМ)
200
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)/ = (0
)/ = (0
)/ = (0
)/=(!
)/ = (0
)/=(0
)f=a
)f = (0
)f = (0
)/ = (!
)f=a
)/=(!
)/ = (!
)/=(0
)/=(0
)f=a
i)/ = (0
)/ = (0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (!
)/=(0
)/ = (!
)f=a
i)/ = (0
)/ = (!
)/ = (!
)/=(2
i)/ = (0
)/=(3
)/=(0
)/ = (0
i)/ = (0
)/ = (2
i)/ = (0
)/ = (!
)/ = (0
)/ = (0
i)/ = (l
)/=(0
)/=(0
)/ = (0
i)/ = (2
)/ = (0
,1
4
,1
2
,1
1
,2
1
,1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
3
1
2
,1
,2
1
4
,2
1
2
,2
3
,1
,4
,1
3
,1
3
,1
2
1
1
,2
,1
1
1
3
,3
2
5
4
3
2
3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
3
2
2
4
2
3
3
3
2
5
4
2
3
3
4
2
5
2
4
2
4
3
3
2
2
3
2
2
3
4
4
,3
6
5
4
,3
4
,4
3
4
4
5
4
4
4
,3
5
3
4
5
3
6
4
4
,3
,6
5
6
4
,4
5
,6
6
,3
5
,4
5
,4
4
4
4
,4
,3
,3
4
5
5
5
7
6
6
4
6
6
4
5
6
6
5
7
5
4
,6
4
5
6
4
,7
6
5
4
7
6
,7
6
5
6
7
7
4
6
5
6
,5
5
5
5
,6
,4
4
5
,6
6
6,
8,
7,
8,
5,
7,
7,
5,
6,
7,
7,
9,
8,
6,
7,
7,
5,
6,
7,
6,
8,
7,
6,
6,
8,
7,
8,
7,
7,
7,
8,
8,
5,
7,
6,
7,
7,
8,
6,
6,
7,
5,
6,
6,
7,
7,
7,8,10,12,13,14,15);
9,10,11,12,13,14).
8,9,10,11,13,14);
9,11,12,13,14, 15).
6,10,11,12,14,15);
8,9,10,11,12,13,15).
8,9,11,12,13,14,15);
6,8,9,11,13,14,15).
7,8,10,11,12,14,15);
9, 10,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,15);
10,12,13,14,15).
10,11,12,13,14,15);
7,8,9,10,11,13,14).
8,9,10,11,12,14,15);
8,10,11,12,13,15).
6,7,8,10,11,12,13);
7,9,10,11,12,14,15).
8,9,11,12,13,14,15);
7,11,12,13,14,15).
9,10,11,12,14,15);
8,9,10,11,13,14,15).
7,8,10,11,12,13,14);
7,8,10,12,13,14,15).
9,10,11,12,13,14,15);
8,11,12,13,14,15).
9, 11, 12, 13, 14, 15);
8,9,12,13,14,15).
8,9,10,13,14,15);
8, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
9,11,12,13,14,15);
9,10,11,12,13,15).
7,9,10,11,13,14,15);
8,10,11,12,13,14,15).
7,8,9,11,12,13,15);
9,10,11,13,14,15).
8,9,10,11,12,14,15);
9,10,11,12,14,15).
7,8,9,11,12,15);
7,8,11,12,14,15).
8,9,10,11,12,13,15);
6,7,8,10,11,12,13).
7,8,10,11,12,15);
7,8,10,12,14,15).
9,10,11,12,14,15);
10,11,12,13,14,15).
(90ФП)
(07ЛУ)
(73BT)
(46ЭВ)
(08ЛК)
(69ИН)
(559Б)
(706Л)
(5693)
(27KE)
(28K7)
(2965)
(30ЧП)
(5791)
(3144)
(9139)
(92ХБ)
(5897)
(3240)
(09ЛИ)
(1080)
(59H5)
(60ЛП)
(61ЛИ)
(02AP)
(932C)
(74BM)
(75CO)
(96ДИ)
(03AT)
(76СИ)
(118Ш)
(62ЛО)
(3348)
(94ЭГ)
(77CK)
(6378)
(12МП)
(34ИТ)
(35ИР)
(64ЛТ)
(04A8)
(98ПО)
(364Ц)
(78СД)
(79BX)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
201

)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
l)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
)/=
l)/=
)/=
)/=
)/=
(0,1,4,5,6,7,
(0,1,2,3,4,5,
(0,1,2,3,4,6,
(2,3,4,5,7,8,
(0,1,2,5,6,7,
(0,1,2,3,5,6,
(0,3,4,5,7,8,
(0,1,2,3,5,6,
(0,1,2,5,6,7,
(0,3,4,5,6,7,
(0,1,3,4,5,6,
(0,1,3,4,5,6,
(0,2,3,4,5,7,
(1,2,3,4,6,7,
(0,1,2,4,5,6,
(0,1,3,4,5,6,
(0,1,3,4,6,8,
(2,3,4,5,6,7,
(0,1,3,4,6,7,
(0,1,4,5,6,7,
(0,1,2,4,5,7,
(3,4,5,6,7,8,
(0,1,2,6,7,8,
(1,2,3,4,6,7,
(0,1,2,4,5,6,
(1,2,3,5,8,9,
(0,1,3,4,6,7,
(0,2,3,4,5,6,
(0,1,2,4,5,6,
(0,1,3,4,5,6,
8,9,10,11,12,15);
7,9,11,12,13,15).
7,9,10,11,14,15);
9,11,12,13,14,15).
9, 10, 11, 13, 14, 15);
7,9,10,11,14,15).
9,10,11,13,14,15);
7,10,11,12,13,15).
8,9,11,12,13,15);
8,9,11,13,14,15).
7,10,11,13,14,15);
7, 10, 12, 13, 14, 15).
8, 10, 11, 12, 13, 14);
8,9,10,11,12,13).
7,8,9,11,12,14);
7,9,10,13,14,15).
9,11,12,13,14,15);
8, 10, 11, 12, 13, 14).
8,9,10,11,12);
8,10,11,12,14,15).
8,9,12,13,14,15);
10,11,12,14,15).
9, 10, 11, 12, 14, 15);
8,10,11,12,14,15).
8,9,10,11,12,14,15);
10,11,12,13,14,15).
8,9,10,11,12,13,14,15);
7,9,10,12,13,15).
8,9,11,12,14,15);
9, 10, 12, 13, 14, 15).
(80MA)
(37ИЕ)
(13ЫН)
(148B)
(47HA)
(15MA)
(48HO)
(1682)
(4998)
(50ЯК)
(17МУ)
(81МЦ)
(38ИЛ)
(82МБ)
(39ИШ)
(40ЦП)
(413И)
(16MX)
(657P)
(83ЫТ)
(9902)
(66ЛЗ)
(188K)
(952Я)
(67ЛЕ)
(8488)
(19МИ)
(4230)
(51ПН)
(433M)
7.4.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Если дана функция / (Ах, А2, ..., А,-,..., Ал), то проинтегрировать ее можно
по формуле
jf(Al9A29 ...,А„ ...,An)dAj =
= Aif(Ai9A2, ...,Ai9 ...,Ал)@ф(А1,А2, ...,ДЧ,А/+1...,АЙ), (1)
при условии, что
с//(Aj, А2,..., А,,..., Ап)
о,
где ф(А19 А2, ..., At_l9 А/+1..., Ап) — произвольная функция аргументов А1?А2,
..., Ai_lf Ai+ly ..., Ал, не содержащая переменной А,, т. е. той переменной,
относительно которой осуществляется интегрирование.
202
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Условие (2) говорит о том, что функция f(AlfA2f ..., Al9 ..., Ап) зависит от
аргумента А, несущественно, поскольку производная по переменной,
отсутствующей в минимальной форме заданной функции, равна нулю.
Пример. Пусть требуется проинтегрировать по переменной D функцию
/(А, Б, С) = АВ + ABC + ВС
при условии, что функция ф(А, Б, С) задана и имеет вид
Ф(А,Б,С) = (2,3, 7).
Для контроля указать число знаков дизъюнкции и число вхождений
переменных минимальной ДНФ выражения
J( АВ + ABC + BC)BD.
Решение. Представим функцию ф(А, Б, С) в аналитическом виде:
Ф(А, В,С) = АВ + ВС.
Согласно формуле (1)
j(AB + ABC + BC)dD = D(AB + ABC + ВС) © (АВ + ВС) =
= (ABD + ABCD + BCD) ® (АВ + ВС). ( *
В выражении (З) освобождаемся от знака суммы по модулю 2:
(ABD + ABCD + BCD) © (АВ + ВС) =
= ABD + ABCD + BCD(AB + ВС) + (ABD + ABCD + BCD)AB + ВС) =
= (A + B + D)(A + B + C + D)(B + С + D)(AB + ВС) +
+ (ABD + ABCD + BCD)(A + B)(B + C).
Раскроем скобки и минимизируем:
J( АБ + АБС + BC)dD = ABD + ABC + SCD + АБС + BCD.
Ответ: 4, 15.
Задания
для самостоятельной работы
Проинтегрировать нижеприведенные функции, зависящие от трех
переменных. В каждом упражнении функция ф задана. Для контроля указать
число знаков дизъюнкции и число вхождений переменных минимальной
ДНФ выражения
jf(A,B,C)dD.
1. а) \(АВ + ВС + ABC)dD\ Ф(А, Б, С) = (1,2, 3,4, 5,6, 7); (11ФМ)
б) \(АВ + ВС + AC)dD; ф(А, Б, С) = (1, 3, 4, 5, 7). (14ФО)
2. а) |(АБ + АС + БС)д£>; Ф(А, Б, С) = (0,1, 3,4, 5, 6, 7); (179Р)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ 203

б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
J(AC + АС + БС)д£>; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 3, 5, 7).
J(AB + АВ + BC)3D; ф(А, Б, С) = (0, 2, 3, 4, 5, 6,
J(AB + АВ + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 7)
J(AC + АС + АВ)д£>; ф(А, Б, С) = (0,1, 2, 4, 5, 6,
|(АВ + ВС + ABC)dD; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 5, 7).
J(ABC + BC + AB)3D; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 2, 3, 5, (
j(BC + АВ + AC)£D; ф(А, Б, С) = (0, 1, 6, 7).
J(AC + АВ + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 6,
J(AB + BC + AC)dD; ф(А, Б, С) = (2, 3, 4, 5).
\(ВС + АВ + АС)д£>; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 5,
J(AB + АВ + AC)3D\ ф(А, Б, С) = (1, 3, 4, 6).
J(AC + АВ + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 5,
J(AC + ВС + АВ)д£>; Ф(А, Б, С) = (0, 2, 5, 7).
J(C + АВ + AB)dD; Ф(А, Б, С) = (2, 4, 5, 6, 7);
J(A + БС + БС)^; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 6).
J(C + АВ + AB)8D; Ф(А, Б, С) = (3, 4, 5, 6, 7);
\{С + АВ + AB)dD; Ф(А, Б, С) = (2, 5, 6, 7).
J(A + БС + БС)д£>; Ф(А, Б, С) = (0, 4, 5, 6, 7);
J(A + BC + BC)dD; ф(А, Б, С) = (0, 4, 5, 7).
J(C + АВ + AB)dZ>; Ф(А, Б, С) = (1, 4, 5, 6, 7);
j(B + АС + AC)aD; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 5, 6).
|(Б + АС + AC)aD; Ф(А, Б, С) = (2, 3, 4, 6, 7);
J(S + АС + AC)dD; Ф(А, Б, С) = (0, 3, 4, 7).
|(Б + АС + AC)dD; Ф(А, Б, С) = (2, 3, 5, 6, 7);
J(AC + BC + AB)dD\ Ф(А, Б, С) = (0, 3, 5, 6).
J(AC + BC + AB)dD; ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 6, 7);
J(AB + BC + AC)dD\ Ф(А, Б, С) = (1, 2, 4, 7).
J(AB + BC + AC)dD; ф(А, Б, С) = (0, 2, 3, 6, 7);
UA + BC + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (0, 1, 3, 6, 7).
7);
.
7);
5,7);
7);
7);
6);
(18ФИ)
(19ГК)
(20ЦП)
(2117)
(22ТЭ)
(231Э)
(24ФЯ)
(257Е)
(26Е7)
(277Р)
(28ЕЦ)
(2919)
(303Т)
(31Б7)
(32Ц2)
(ЗЗРТ)
(3473)
(3535)
(36ЦП)
(ЦЛРИ)
(38РД)
(39БК)
(420Р)
(4545)
(48АХ)
(5187)
(НОКС)
(558В)
(5ККЛ)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

(AB + AC + BC)3D; Ф(А, Б, С) = (1, 3, 5, 6, 7); (5782)
(ВС + АС + ABC)3D; ф(А, Б, С) = (0, 2, 3, 4, 7). (58МЧ)
(ABC + АВ + BC)3D\ Ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); (12ЕК)
(АС + АВ + BC)3D; Ф(А, Б, С) = (1, 3, 4, 5, 7). (1518)
(БС + АВ + AC)3D; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 3, 4, 5, 6, 7); (ЕЛ9Б)
(ВС + АС + AC)8D; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 3, 5, 7). (ЕМФИ)
(БС + АВ + AB)8D; Ф(А, Б, С) = (О, 2, 3, 4, 5, 6, 7); (Е9ТК)
(ВС + АВ + AB)3D; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 2, 3, 4, 7). (ХОЗЯ)
(AB + AC + AC)8D; ф(А, Б, С) = (О, 1, 2, 4, 5, 6, 7); (ЖЕЕЛ)
(ABC + AB + BC)8D; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 5, 7). (ХХГН)
(АВ + ABC + BC)3D; ф(А, Б, С) = (О, 1,2,3, 5, 6, 7); (ХЦЕН)
(AC + BC + AB)dD\ Ф(А, Б, С) = (О, 1, 6, 7). (ХИШ)
(БС + АС + AB)dD; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 2, 3, 4, 6, 7); (2ШЛЕ)
(АС + AB + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (2, 3, 4, 5). (2КФ7)
(АС + ВС + AB)dD; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 2, 3, 4, 5, 7); (ХЛЛБ)
(АС + АВ + АБ)д£>; ф(А, Б, С) = (1, 3, 4, 6). (2МФЗ)
(ВС + АС + AB)3D; Ф(А, Б, С) = (О, 1, 2, 3, 4, 5, 6); (2НЕН)
(АВ + АС + BC)dD; Ф(А, Б, С) = (О, 2, 5, 7). (ЦОЗТ)
(АВ + С + AB)5i); ф(А, Б, С) = (2, 4, 5, 6, 7); (ЗЕРЛ)
(ВС + А + БС)д£>; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 3, 6). (ЦХЦХ)
(АВ + С + AB)aD; Ф(А, Б, С) = (3, 4, 5, 6, 7); (ЦЦБТ)
(АВ + С + AB)£D; Ф(А, Б, С) = (2, 5, 6, 7). (ЗИЛЗ)
(ВС + А + BC)3D; Ф(А, Б, С) = (О, 4, 5, 6, 7); (Ц5ЦШ)
(ВС + А + BC)3D; Ф(А, Б, С) = (О, 4, 5, 7). (ЦКЦП)
(АВ + С + АБ)д£>; Ф(А, Б, С) = (1, 4, 5, 6, 7); (37БИ)
(АС + В + AC)8D; Ф(А, Б, С) = (1, 2, 5, 6). (ЦМРД)
(AC + B + AC + ABC)8D; Ф(А, Б, С) = (2, 3, 4, 6, 7); (4008)
(АС + В + AC)8D; Ф(А, Б, С) = (О, 3, 4, 7). (430Г)
(АС + Б + AC)UD; Ф(А, Б, С) = (2, 3, 5, 6, 7); (46ИЯ)
7. БУЛЕВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
205

{AB + AC + BC)8D; <p(A, B, C) = (0, 3, 5, 6). (49АУ)
(AB + AC + BC)8D; <p(A, B, C) = (1, 2, 3, 6, 7); (5289)
(AC + AB + BC)8D; <p(A, B, C) = (1, 2, 4, 7). (5ИСО)
(AC + AS + BC)dD; <p(A, В, С) = (0, 2, 3, 6, 7); (5ШМС)
(BC + A + BC)8D; <p(A, B, C) = (0, 1, 3, 6, 7). (Ш667)
(ВС + АВ + AC)8D; <p(A, B, C) = (1, 3, 5, 6, 7); (Ш78Х)
(ABC + BC + AC + ABC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 2, 3, 4, 7). (5ММИ)
(ВС + AB + ABC)8D; <p(A, B, C) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); (1314)
(ВС + AB + AC)8D; <p(A, B, C) = (1, 3, 4, 5, 7). (16EK)
(AC + AB + BC)8D; <p(A, В, С) - (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7); (ФЛЭР)
(AC + AC + BC)8D; <p(A, B, C) = (0, 1, 3, 5, 7). (1МЕЧ)
(AB + AB + BC)8D; Ф(А, B, C) = (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7); (1HTK)
(AB + AB + BC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 7). (203Я)
(AC + AC + AB)8D; <p(A, В, С) - (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7); (2ЕФ7)
(ВС + АВ + ABC)8D; Ф(А, В, С) = (1, 2, 3, 5, 7). (2XT9)
(ВС + ABC + AB)8D; <p(A, В, С) - (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7); (ЖЦ19)
(AB + BC + AC)8D; <p(A, В, С) - (0, 1, 6, 7). (ЖИ1Я)
(AB + AC + BC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7); (ХШ71)
(ВС + AB + AC)8D; Ф(А, В, С) = (2, 3, 4, 5). (2617)
(AB + BC + AC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7); (Ж77Б)
(AB + AB + AC)8D; Ф(А, В, С) = (1, 3, 4, 6). (ХМ13)
(AB + AC + BC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); (ЖН19)
(ВС + АС + AB)8D; Ф(А, В, С) = (0, 2, Ъ, 7). (30ЦГ)
(АВ + С + AB)8D; Ф(А, В, С) = (2, 4, 5, 6, 7); (ЦФР7)
(ВС + А + BC)8D; Ф(А, В, С) = (1, 2, 3, 6). (3X32)
(AB + C + AB)8D; Ф(А, В, С) = (3, 4, 5, 6, 7); (ЗЦРГ)
(AB + C + AB)8D; Ф(А, В, С) = (2, 5, 6, 7). (Ц4ЛЗ)
(ВС + А + BC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 4, 5, 6, 7); (ЗШЦ5)
(ВС + А + BC)8D; Ф(А, В, С) = (0, 4, 5, 7). (363Я)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

j(AB + C + AB)8D; <p(A, B, C) = (1, 4, 5, 6, 7);
J(AC + B + AC)8D; <p(A, B, C) = (1, 2, 5, 6).
J(AC + В + AC)8D; Ф(А, В, С) = (2, 3, 4, 6, 7);
J(AC + В + AC)5D; Ф(А, В, С) = (О, 3, 4, 7).
J(AC + В + АС)ЭЯ; ф(А, В, С) = (2, 3, 5, 6, 7);
j(BC + AC + AB)dD; Ф(А, В, С) = (О, 3, 5, 6).
J(BC + АС + AB)5D; Ф(А, В, С) = (1, 2, 3, 6, 7);
\(ВС + АВ + AC)8D; ф(А, В, С) = (1, 2, 4, 7).
J(BC + АВ + AC)aD; Ф(А, В, С) = (0, 2, 3, 6, 7);
j(BC + A + BC)8D; Ф(А, В, С) = (О, 1, 3, 6, 7).
(37РИ)
(ЗЫРУ)
(4107)
(440М)
(4749)
(50ВС)
(538П)
(54СО)
(Ш58С)
(566Л)
7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
207

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА
СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
(ТЕОРЕМА ПОСТА)
8.1.
ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Основу понятия функциональной полноты составляют
следующие пять замечательных классов булевых функций:
линейных, монотонных, самодвойственных, сохраняющих
нуль и сохраняющих единицу.
Функция называется линейной, если в алгебре Жегал-
кина она может быть представлена в виде полинома первой
степени (т. е. без конъюнкций). Например, функции
Д=А@Б, /2=А@Б©С©1, /з = Я©1, /4 = 1, /з = 0
являются линейными. Функция
f=AC®B
содержит конъюнкцию, поэтому к классу линейных не
относится.
Линейные функции образуют функционально замкнутый
класс, т. е. в результате суперпозиции линейных функций
всегда будут получаться только линейные функции.
Булева функция п аргументов называется монотонной,
если при любом возрастании наборов значений переменных
функция не убывает.
Всякая монотонная функция имеет единственную
минимальную ДНФ, которая совпадает с сокращенной ДНФ, и
единственную минимальную КНФ, совпадающую с
сокращенной КНФ, причем обе формы не содержат инверсных
аргументов. Например, в результате минимизации
монотонной функции
/ = (3,5,7,10,11,12,13,14,15)
получаем минимальные ДНФ и КНФ без инверсий:
/ = АВ 4- АС 4- BD 4- CD; /=(A + D)(B 4- С).
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Верно и обратное утверждение: если в аналитической записи функции
отсутствуют инверсные аргументы, то функция является монотонной. Эти
свойства можно использовать в качестве критерия при исследовании
функций на монотонность.
Монотонные функции образуют функционально замкнутый класс. Это
значит, что никакая система монотонных функций не обладает
функциональной полнотой, т. е. в результате суперпозиции монотонных функций
всегда будут получаться только монотонные функции.
Булева функция называется самодвойственной, если имеет место ра-
венство
f(AlfA2f ...,A„)= J(Al9A29...9An).
Согласно этому определению самодвойственная функция на
противоположных наборах значений аргументов принимает противоположные
значения. Два набора называются противоположными (взаимно инверсными), если
их арифметическая сумма в десятичном представлении есть число 2п - 1, где
п — число разрядов в каждом наборе. Чтобы по заданному набору найти ему
противоположный, достаточно в заданной двоичной последовательности нули
заменить единицами, а единицы — нулями. Например, если 01100 —
заданный набор, то противоположный ему — 10011.
Класс самодвойственных функций функционально замкнут. Это значит,
в результате применения операции суперпозиции к самодвойственным
функциям всегда будут получаться только самодвойственные функции.
Булева функция сохраняет единицу, если на единичном наборе значений
аргументов она принимает единичное значение. Набор называется
единичным, если он состоит только из единиц. Примером функции, сохраняющей
единицу, может служить выражение
/ = ABC + BCD + ACD.
Если в этом выражении принять А = В = С = D = 1 (набор имеет вид 1111),
то функция примет единичное значение. Функция
/ = ABC + BCD + ACD
не сохраняет единицу, так как она равна нулю при А = В = С = D = 1.
Функции, сохраняющие единицу, образуют функционально замкнутый
класс, т. е. если в этом классе применять операцию суперпозиции, то всегда
будут получаться только функции, сохраняющие единицу.
Булева функция сохраняет нуль, если на нулевом наборе она принимает
нулевое значение. Нулевой набор состоит из п нулей, где п — число
аргументов булевой функции. Например, функция
/ = AB + BC + ACD
сохраняет нуль, так как она равна нулю на наборе 0000, т. е. когда А =
= B = C = D = 0.
Функция _
f = AB + AC + ACD
не сохраняет нуль, поскольку на нулевом наборе она равна единице.
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 209

Функции, сохраняющие нуль, образуют функционально замкнутый класс,
т. е. в результате применения операции суперпозиции к функциям,
сохраняющим нуль, всегда будут получаться только сохраняющие нуль функции.
Приведенные понятия используются при выполнении заданий данного
подраздела.
В некоторых заданиях встречаются операции импликации и суммы по
модулю 2. При их выполнении следует пользоваться формулами:
P^>Q = P + Q,
где стрелка « -> » обозначает операцию импликации;
P + Q = P®Q®PQ; Р = Р®1; ЮР= 0,
где Р и Q — некоторые булевы формулы; знак © обозначает сложение по
модулю 2.
Пример. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, Б, С, D) = ABC + BCD + ABD + CD;
2) /(А, Б, С) = (ABC + ABC) -> С;
3) /(А, Б, С, D) = (АВ + CD) -> ABCD;
4) /(А, Б, С, I>) = AS + ICD + Ш5;
5) /(А, Б, C, Z>) = (3, 6, 7, 10,_11, 13, 14, 15);
6) /(А, Б, C, D) = (A + BXB + CXA + В + C)A;
7) /(А, Б, C, I>) = А(Б + AC + БС).
Решение.
1. Первая функция этого списка содержит знаки инверсии над
конъюнкциями и дизъюнкциями, т. е. не относится к классу нормальных форм.
Поэтому прежде чем исследовать ее на принадлежность к замечательным классам,
необходимо применить теорему де Моргана, и результат представить в ДНФ:
/(А, Б, С, D) = (ABC + BCD)ABD + CD =
= (A + B + C + BCD) ABD + С + D =
= ABCD + ABCD + С + 5.
Минимальная ДНФ этого выражения имеет вид
/(А,Б,С,1>)= АВ + С + Л
Определяем принадлежность к замечательным классам:
а) находим полином Жегалкина. Для этого заданную функцию
представим в виде дизъюнкции непересекающихся конъюнкций (две конъюнкции
не пересекаются, если в них содержится хотя бы одна буква, входящая в
одну конъюнкцию с инверсией, а в другую - без инверсии. Логическое
произведение непересекающихся конъюнкций равно нулю):
210
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

/(A, ByC,D) = C + CD + ABCD.
Так как произведение каждой пары конъюнкций равно нулю, то знаки
дизъюнкции можно заменить знаками сложения по модулю 2:
/(A, B,C,D) = C + CD + ABCD = C®CD® ABCD.
Освобождаемся от знаков инверсии:
/(A, B,C,D) = C®CD® ABCD = С © 1 © C(D © 1) © ABCD.
Раскрываем скобки и получаем полином Жегалкина:
/(А, Б, С, D) = С Ф 1 © CD © С © ABCD.
Так как полином содержит конъюнкции, то исследуемая функция
является нелинейной;
б) функция не относится к классу монотонных, поскольку в ее
минимальной ДНФ содержатся переменные со знаками инверсии;
в) чтобы выяснить, является ли заданная функция самодвойственной,
сначала представим ее в СДНФ:
/(А, Б, С, D) = (О, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15).
СДНФ функции содержит 13 минтермов, а всякая самодвойственная
функция четырех переменных состоит из 8 минтермов (так как на половине
всех наборов значений переменных она принимает единичное значение и на
половине — нулевое). Следовательно, функция является несамодвойственной;
г) подставим нулевой набор в минимальную ДНФ функции:
/(0,0,0,0) = 0 0 + 0 + 0 = 1.
На нулевом наборе функция равна единице, следовательно, нуль она не
сохраняет;
д) подставим в минимальную ДНФ функции единичный набор:
/(1Д, 1,1) = 11 + Т + Т = 1.
На единичном наборе функция равна единице, следовательно, она
сохраняет единицу.
2. Вторая функция имеет вид
/(А, Б, С) = (ABC + ABC) -> С.
К выражению в скобках применима теорема склеивания:
/(А, Б, С) = (ABC + ABC) -+C = AB^>C.
Выполнив операцию импликации, получаем:
/(А, В,С) = АВ^>С = АВ + С = А + В + С.
а) представим это выражение в алгебре Жегалкина:
/(A, B9C) = A^B^-C = A^AB^- ABC = A®AB® ABC =
= А©1©А(Б©1)©АБ(С©1)=А©1©АБФА©АБС©АБ.
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 211

Удалив пары одинаковых слагаемых, получаем полином Жегалкина:
/(А, Б, С) = А © 1 ©АВ ©А ©АВС ©АВ = 1 ©ABC.
Заметим, что в данном частном случае этот же результат можно получить
более простым путем:
/(А, В,С) = А + В + С = ABC = 1 © ABC.
Полином содержит конъюнкцию, следовательно, функция является
нелинейной;
б) функция не относится к классу монотонных, так как ее минимальная
ДНФ содержит инверсные переменные;
в) С ДНФ функции состоит из семи минтермов:
/(А, Б, С) = (0,1, 2, 3,4, 5, 6),
а самодвойственная функция трех переменных всегда содержит четыре мин-
терма. Отсюда следует, что данная функция является несамодвойственной;
г) функция не сохраняет нуль, так как на нулевом наборе она равна
единице;
д) на единичном наборе функция равна нулю, следовательно, единицу
она не сохраняет.
3. Третья функция имеет вид
/(А, Б, С, D) = (АВ + CD) -> ABCD;
Выполним операцию импликации и освободимся от знаков инверсии:
/(А, Б, С, D) = (АВ + CD) -> ABCD =
= AB + CD + ABCD = ABCD + А + Б + С + 5 = 1.
Минимальная ДНФ функции равна единице. Определим ее
принадлежность к замечательным классам:
а) в алгебре Жегалкина функция имеет вид / = 1. Эта функция является
линейной, так как в ней нет конъюнкций;
б) функция / = 1 на любых наборах остается неизменной, следовательно,
она входит в класс монотонных функций. Монотонность следует также из
того, что минимальная ДНФ функции не содержит инверсных переменных;
в) функция /=1 к классу самодвойственных не относится, так как на
противоположных наборах не принимает противоположных значений;
г) функция / = 1 на нулевом наборе равна единице, следовательно, нуль
не сохраняет;
д) функция / = 1 сохраняет единицу, так как на единичном наборе она
равна единице.
4. Четвертая функция из заданного списка имеет вид
/(А, Б, С, D) = АВ + ACD + BCD.
Представим ее в минимальной ДНФ:
/(А, Б, С, D) = А§ + ACD + BCD = (АЁ + ACD)BCD =
= (А + В + А + С + D)BCD = BCD.
212
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Эта функция не входит ни в один из замечательных классов. Она не
является линейной, так как полином Жегалкина содержит конъюнкции:
/(А, Б, С, D) = BCD = (Б © 1)(С © 1)(D © 1) =
= BCD ®BC®BD®CD®B®C®D®1.
Функция /(А, Б, С, D) = BCD не является монотонной, так как ее
минимальная ДНФ содержит инверсные переменные.
Функция /(А, Б, С, D) = BCD не входит в класс самодвойственных, так
как зависит от четырех переменных и ее СДНФ содержит менее восьми мин-
термов:
/(А, Б, С, D) = (0, 8).
Функция /(А, Б, С, Z>) = БС15 не сохраняет нуль, поскольку на нулевом
наборе она равна единице, и не сохраняет единицу, так как на единичном
наборе она равна нулю.
5. Пятая функция задана в СДНФ:
/(А, Б, С, D) = (3, 6, 7, 10, И, 13, 14, 15);
а) представим ее в виде дизъюнкции непересекающихся конъюнкций:
/(А, Б, С, D) = AC + ABCD + ACi) + ABCD.
Заменяем знаки дизъюнкции знаками сложения по модулю 2 и
освобождаемся от инверсий:
/(А,Б, С,£>) = AC ®ABD®ABCD ® CD ®ACD ® ВС® ABC ® BCD ®ABCD.
Удаляем пары одинаковых конъюнкций и получаем полином Жегалкина:
/(А, Б, С, £>) = АС © CD ®ACD ®BC® BCD®ABD®ABC.
Полином содержит конъюнкции, следовательно, пятая функция
является нелинейной;
б) находим минимальную ДНФ:
/(А, Б, С, D) =ABD 4- АС 4- БС 4- CZ>.
Так как минимальная ДНФ не содержит инверсных переменных, то
функция является монотонной;
в) в СДНФ функции содержится восемь минтермов. Не всякая функция
четырех переменных, состоящая из восьми минтермов, является
самодвойственной, следовательно, требуется проверка. Всего необходимо рассмотреть
восемь пар противоположных наборов:
/(0,0, 0,0) = 0, /(1,1,1,1) = 1;
/(0,0, 1,0) = 0, /(1,1,0,1) = 1;
/(0,1, 0,0) = 0, /(1,0, 1,1) = 1;
/(0, 1,1,0) =1, /(1,0,0,1) = 0;
Отсюда видно, что на всех противоположных наборах функция принимает
противоположные значения, следовательно, она является самодвойственной;
/(0,0,0, 1) = 0, /(1, 1, 1,0)= 1
/(0,0, 1,1)= 1, /(1,1, 0,0) = 0
/(0,1,0,1) = 0, /(1,0,1,0)=1
/(0, 1,1,1) =1, /(1,0,0,0) = 0.
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 213

г) из предыдущего списка видно также, что функция сохраняет нуль, так
как на наборе 0000 она равна нулю;
д) на наборе 1111 функция принимает единичное значение,
следовательно, она сохраняет единицу.
6. Шестая функция представлена в КНФ:
/(А, Б, С, D) = (А + В)(В + С)(А + Б + С)А.
Переведем ее в ДНФ и упростим:
/(А, Б, С, D) = 0.
Эта функция линейна, монотонна, сохраняет нуль, но не является
самодвойственной и не сохраняет единицу.
7. Последняя функция задания имеет вид
/(А, Б, С, £>) = А(В + АС + БС).
В результате минимизации получаем выражение
/(A,B,C,D) = A.
Инверсия переменной — это линейная функция, самодвойственная, но
не монотонная, не сохраняющая нуль и не сохраняющая единицу.
Таким образом, ответы к заданию имеют вид:
а) 3, 6, 7 (т. е. функции с номерами 3, 6 и 7 заданного списка являются
линейными);
б) 3, 5, 6 (функции с номерами 3, 5 и 6 являются монотонными);
в) 5, 7 (функции с номерами 5 и 7 являются самодвойственными);
г) 5, 6 (функции с номерами 5 и 6 сохраняют нуль);
г) 1, 3, 5 (функции с номерами 1,3,5 сохраняют единицу).
Задания
для самостоятельной работы
Все задания выполняются по аналогии с вышерассмотренным примером.
Для контроля числа, образующие ответы, необходимо упорядочить по
возрастанию. При автоматизированном контроле пустое множество (т. е. когда
в списке нет ни одной функции, относящейся к рассматриваемому классу),
обозначать цифрой 9.
1. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными? (РИЧ)
б) относятся к классу монотонных? (КИВ)
в) входят в класс самодвойственных? (ПИ1)
г) сохраняют нуль? (УМТ)
д) сохраняют единицу? (С97)
1) /(A,B,C,D) = A + BC + D;
2) /(А, Б, С, D) =ABD 4- CD 4-AC;
3) /(A, B,CfD) = D + BCD;
4) /(А, Б, С, D) = BC + CD + AC + ABC;
214
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

5) f(A, В, С, D) = ABC + BD + AP + CD;
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B_+ D)(B_+ C_+ D);
7) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C).
2. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 15);
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;_
3) f(A, В, С, D) = А + BCD + ВС;
4) f(C, D, E, F) = CDEF + CDEF + CDEF;
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
6) f(A, B, C, D) = AB(C + D);
7) f(A, B) = AB + AB.
3. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (AB + C)D + AC;
2)f(A,B,C)=AB+AC + BC;
3) f(A, B,C,D)=A + BCD(C + D);
4)f(A,B,C,D)=ABD;
5) f(B, C, N) = BCN + BCN + BCN + BCN;
6) f(A, В, С, D) = AC + AC;
7) f(C, D, N) = CDN.
4. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, С, D) = ACD + ACD + ACD + ACD;
2) f(A, B,C,D)=A + B + C + D;
3) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
4)f(A,B,C) = A+ABC;
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D);
6) f(A, B, C, D) = ABC(C + D);_
7) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
5. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
(ГОЕ)
(ГУР)
(ЛЮГ)
(ВАНТ)
(РСО)
(МИРП)
(РОИС)
(НИ39)
(ЛЮОЙ)
(ВАОП)
(АБХА)
(АРЕС)
(СЗС8)
(УАОЛ)
(УРС9)
(АГВО)
(СФ55)
(Д5ЮР)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 215

г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABD + BCD + ABC;
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
3) f(A, B, C, E) = ABCE + ABCE;
4) f(A, B, C, D) = BCD + AB + AC + AD;
5) f(A, B,C,D) = AB + AB;
6) f(A, B, C, D) = AD(A + C)(C + D);
7) f(A, B,C,D) = A + BC + D.
6. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD;
2) f(A, В, С) = (А +_В + С)(А + В + С)(А + В + С);
3) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
4) f(A, B,C,D) = (,A + B+_C + D)(B + C + D)(A + C + D);
5) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
6) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
7) f(A, B,C,D) = A + BCD{C + D).
7. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (А +_В + С)(А + С + BD)(C + D);
2) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD_+ ABD;
3) f(A, В, С, D) = (A + B + C + D)ABCD;
4) f(C, D, E) = CDE + CDE;
5) f(A, B, M) = ABM + ABM + ABM;
6) f(A, B,C, D) = A + В + С;
7)f(A,B,C) = A+ABC.
8. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (А + D)(B + C + D)(D + ~АС);
2) НА, В) = АВ + АВ; _
3)НА, B,C,D) = A + B + C + D;
4) НА, В, С, D) = (А + В + С)(А + С + BD)(C + D);
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + C);
(УВСП)
(ЧААД)
(АТХО)
(С165)
(Д435)
(УГОФ)
(ИРЫШ)
(АУИТ)
(СХЧА)
(ДЗТВ)
(УТ01)
(КА5А)
(С246)
(Д2АИ)
(АДСА)
(УДКМ)
(КОМШ)
216
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

6) f(A, В, С, D) = (АВ + C)D_+ AC;
7) f(A, B,C,D) = A + BCD(C + D).
9. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, К, L) = ABKL + ABKL; _
2) f(A, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
3)f(A,B,C,D) = A;
4) /(A, B,C,D) = (A + B + C)D;
5) f(A, В, C,D)=_A + B + C + D;
6)f(R,S,T) = RST;
7) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD.
10. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, R, Т) = ART + ART + ART + ART;
2) f(A, В, С, D, E) = ABCD;
3) f(A, B, C, D) = A + B + C + D;
4) f(A, B, C, D) = (A + В + C)(A + C + BD)(C + D);
5) f(A, B, C, D) = (AB + C)D + AC;
6) f(A, В, С, £>)_= AB + CD + CD;
7) f(B, С, Е) = ВСЕ.
11. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С, D, Е) = ABCDE + ABCDE;
2) ДА, В, С, D) = АВС(С + D);
3)f(A,B,C,D) = CD(A + C)(C + D);_
4) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
5) f(A, С, D) = ACD + ACD + ACD;
6) f(A, В, С, D)=J,AB + C)D + AC;
7) f(A, B,C) = BC + AB + AC.
12. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
(А120)
(СЦХЛ)
(Д130)
(УУ9Г)
(КБ09)
(АФ25)
(СТАР)
(ДЭЗ 7)
(УЕ5Р)
(КРЯН)
(АХ24)
(СДТУ)
(Д8Т1)
(УФЭК)
(КВУП)
(СУМЗ)
(Д7ДА)
(УХАТ)
(КСУЛ)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 217

д) сохраняют единицу?
1) ДА, Б, С, D) = ABC + ABC + ABC;
2) /(А, Б, С, /)) = (А + 1>)(Б 4- С 4- £>)(£>+АС);
3) ДА, Б, С, 1>) = (А + Б + C)(A_t_C + Б#)(С + D);
4) ДА, Б, С, £>) = (АБ + C)D + AC;
5) ДА, Б, С, 1>) = JA + Б + С)(А +_Б + С)(^ + В + С)'
6) ДА, Л, S) = AjRS + ARS + AjRS + ARS;
7) /(А, Б, С, 1>) = АБ + АБ1> + BCD + БОО.
13. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, Б, С, D) =_(А + В + С + ЩВ + С + D)(A + C + D);
2) /(Б, С, Р) = ВС +JBCP + БСР;
3) ДА, Б, С, D) = (А + Б + С + D)ABCD;
4) /(А, Б, С, 1>) = АВ + AD + ACjb ACD\_
5) /(А, Б, С, D) = ABC + БС1> + ACDjf- ABD;
6) /(А, Б, С, 1>) = АБ + ВС + BD + ACD;
7) ДА, Б, С, £>) = АБС5.
14. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, Б, С, D) = АВС(А + В + С) + B(CD + CD);
2) /(А, С, D, Е) = ACDE + ACDE; _
3) ДА, Б, С, D) = (А + D)(B + С + £>)(£> + АС);
4) ДА, Б, С) = А + АБС; _
5) /(А, Б, С, 1>) = ABC + AC + ABD + ABCD;
6) /(А, Б, С, D, F) = ABCDF + АБСЯ^;
7) ДА, Б, С, 1>) = AD(A + С)(С + £>).
15. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, Б, С, D) = (А + В + С + D)(B_ + С + 1>)(А + С + 5);
2) ДС, А Р, Q) = CDPQ +_С + £> + Р + Q;
3) /(А, Б, С, 1>) = АБС_+_БС1) + ACD_ + АБ1>; _
4) /(А, Б, С, 1>) = B(ACD + ACZ)) + B(AD + С5 + АС);
5) ДА, Б, С) = А 4- Б + С;
6) ДА, Б, С, 1>) = (А + 1>)(Б + С + D)(D + AD);
(АЖЦТ)
(СЕАМ)
(Д6БН)
(УЦЧ1)
(КТХБ)
(АЦ22)
(АЗУВ)
(Д391)
(УЗАЮ)
(КДДЛ)
(СБЕН)
(АИД1)
(СРСК)
(ДИР5)
(УИКД)
(КИИС)
218
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

7) f(C, D) = CD + CD + CD.
16. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С) = ABC + ABC + ABC;
2) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + CJ(A + В + С);
3) f(A, В, D, F) = ABDF + A + B + D + F;
4)f(P,Q) = PQ + PQi
5) f(A, B, C, D) = D(B + AC) + B(A + C);
6) f(A, B,C) = B+ ABCj_
7) f(A, B,C,D) = AB + CD + CD.
17. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(R, S, Т) = RST^ + RST;
2) f(A, B,C,D) = A + (ВС + D)CD;
3) f(A, В, С, D) = (А + D)(B + С + D)(D + AC) AD;
4) f(A, B,C) = AB + AC + BC + ABC;
5) f(A, B, C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)AC;
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD + ABD;
7) f(A, B, C, D) = (3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15).
18. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С, D) = ABCD + ABCDj
2)f(A,B,C) = AB+_AC + BC + A + B;
3) f(A, В, С, D) = (А + В_+_С + D)ABCD + BCD;
A)f(A,B,C,D) = A + ABCD;_
5) /(А, В, С, D) = ABC + ABC + ABC + ABC;
6) /(A, B, C) = AB + ABC;
7) f(A, B, C, D, E) = ABODE + ABCDE.
19. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
(А485)
(СВСН)
(Д466)
(УЛАЗ)
(КДВП)
(АШЦВ)
(ДКОЖ)
(УМПХ)
(66АХ)
(ДНДЦ)
(СГАХ)
(ДОМЕ)
(УНРГ)
(АЙФИ)
(90ШЕ)
(ДУОЛ)
(В85К)
(УОГР)
(ЦОГО)
(ВНПУ)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 219

1) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)ABC;
2) f(A, B, C, D) = (A + D)(B + CJ^DKA + AC);
3) f(A, B, C, D) = (AB + C)D + AC-L
4) f(A, B,C) = AB + AC + BC + AB;
5) f(A, B,C,D) = A + ВСЩС + D); _
6) f(A, B, C, D) = (A + B + C)(A + B + C)A + B + C;
7) f(D, E, F) = DEF + DEF + DEF + DEF.
20. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = AB + CD + AD;
2) f(D, E, F) = DEF + EF; _
3) /(А, В, С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
4) f(,A, В, С) = А + В + С±
5)f(A,B,C) = ABC + ABC;__
6) f(,A, В, С, D) = ABC + ABC + ABC + ABC;
7) f(B, С, D) = BC + CD + BD.
21. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, В, С, D) = CD + АСр + BCD;
2) /(А, В, С, D) = ABC + ABD + BCD + ACD;
3)f(A,C,D) = (l,2,4,7);
4) f(B, С, D) = BCD + BCD + BCD + BCD;
5) f(A, B, C, D) = (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
6) f(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8);
7) f(A, B, C, D) = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
22. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(P, Q, R) = PQR + PQR + PQR + PQR;
2) /(А, В, С) = (AB + AB) ® 1;
3) f(A, В, С, £>) = (3,5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15);
4) f(A, B,C) = A + B + C;
5) f(A, В, С, D) = (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
6)f(B,D) = B + D;
7) f(A, В, С, D) = ABCD.
(ВЭАХ)
(ДЕТХ)
(АК46)
(УПТД)
(НИ99)
(ДФОС)
(АЛЦА)
(В9ЛА)
(У1СН)
(60ЯК)
(ВОГ6)
(Д22Д)
(АМОЛ)
(У2БТ)
(ЛИ21)
220
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

23. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, B,C,D) = (A®B® C)D;
2) f(A, В, С, D) = BCD + BD + BCD;
3) f(A, B, C, D) = (0, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14);
4) f(A, B, C, D) = (3, 5, 7, 11, 13, 15);
5) f(A, B, C, D) = (0, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14);
6) f(A, B, C, D) = (2, 3, 4, 7, 9, 10, 14, 15);
7) f(A, B, C) = (AB^>C) + A.
24. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (0, 1, 6, 7, 10, И, 12, 13);
2) f(A, В, С, D) = (0, 3, 5, 6, 9,10,12,152;
3) ДА, В, С, D) = ABC + ABC + BCD + BCD;
4) f(A, В, С, D) = AC + ABD + BD + ACD;
5) /(A, B, C, D) = (ABD + C)CD + AC;
6) /(A, B,C,D) = A + BCD(C +_D);
7) f(A, B,C,D) = A + B + C + D.
25. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, B,C) = A + В + С^
2) f(A, В, С, D) = А_+ ВС + BD + CD + ВС;
3) ДА, В, С) = (ABC + АВС)АВ; _
4) /(А, В,С) = А + В + С(А + В + С)(А + В + С);
5) f(A, В, С, D) = (0, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14);
6) /(А, В, С, D) = (А + В + С + D)ABCD + AD;
7) /(А, В, С, D) = А + BCD(C + D).
26. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
(ВП64)
(ДЦМХ)
(ЕРРН)
(ВАРЛ)
(САЙЛ)
(ВИГ6)
(ДВАО)
(ЕСЕП)
(ГОАН)
(В57А)
(АН90)
(ВКША)
(ДСГ8)
(ЕЕДН)
(МОЕК)
(В5УЖ)
(ДГЯН)
(ЕФЛС)
(ОП73)
(В6ТО)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 221

2) f(A, В, C,D) = A + ABC + BCD + (AB + C)D;
3) f(A, B,C,D) = AB + CD + AD;
4) f(A, B,C,D) = A + D(B + C + D)D + AC;
5) f(A, B, C, D) = (0L5, 6,7, 11, 12, 13,14);
6) f(A, B, C, D) = ABC(AC + D) + BC + BD + AB + ACD;
7) f(A, B, D, F) = (ABDF + ABDF + ABDF)A.
27. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, B,C) = A + ABC + BC + АС + ВС;
2) НА, В, С, D) = (AB +_CD_+ AD)A + B + C + D;
3) f(A, В, С, D) = (А_+В + С + D)ABCD;
4) f(A, В, С, D) = ABCD + ABCD + ВС;
5) f(A, В, С, D) = (1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 14);
6) f(A, В, С, D) = (0L4,7, 9, 10, 12, 13, 14);
7) f(A, В, D, Е) = ABDE(A + B)(D + E).
28. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) НА, В, С, D) =_( А + В + С + 1>)(Л_+ В + D)(A + B + 5)(Л + В
2)f(C,D,P) = CDP + CDP + CDP + CDP; _
3) f(P, Q, R, S) = (P_+Q + R +_S)(P + Q + S)(P + Q + S)(P + Q
4) f(A, B, C, D) = A(ABC + A);
5) f(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6^7, 8, 9, 10, 11);
6) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)ABCD;
7) f(A, B, C, D) = (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
29. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (ABC + ABC + ABC)ABD;
2) f(P, Q, R, S) = (PQ +_RS)(PQ_+ PQ + PQ + PQ);
3) f(C, D, F) = CDF + CDF + CDF + CDF;
4) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + В + С) + AB + AB;
5) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD;
(ДТ9Б)
(АОЗО)
(BJIAK)
(ЕИ23)
(OH73)
(В7РЦ)
(ДДМБ)
(14AC)
(ВМШН)
(OC37)
+ D)(A + B + C + D);
+ S)(P + Q + R + S);
(B283)
(T856)
(ЕКУВ)
(ВИЛА)
(АЮПО)
6) НА, В, С, D) = B + C + A + D;
7) f(A, B,C) = A + ABC.
222
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

30. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С, D) = (А + В + С + D)ABCD + А(В + АВ + АВ);
2) f(B, С, D) = (BCD + BCD + BCD)BCD; _
3) f(A, В, С, D, F) = ABCDF + ABCDF + ABCDF;
4) f(A, B, C, D) = (0,1,2,3, 4,5,6,7,8, 9, 10, 11, 12);
5) /(A, B, C,D) = A +_B +_C + (A + B)CDi_
6) /(A, B, C, D) = (AB + AB)AB + AB + BCD;
7) f{E) = E.
31. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14);
2) ДА, В, С) = АВ(В + С) + ABC;
3) ДА, В, С, D) = ABCD_+ ABCD_+ ABCD + BCD,_
4) /(A, D, F) = ADF + ADF + ADF + ADF + ADF + ADF;
5) f(A, B, C, D) = (0,1,2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13);
6) /(A, B, C, D) = ABCD + ABC + B;
7) f(A, B, C, D) = (1, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15).
32. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С, D) = А + В + C + D + AB + CD;
2) f(A, В, С, D) = (ABCD + ABCD)(AB + AB) + ABC;
3) f(E, F) = EF + EF + EF;
4) /(А, В, С) = AB + AC + ВС;
5) ДА, В, С) = (0, 1,6, 7);
6) f(A, В, С, D) = (0, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14,);
7) f(A, В, С, D) = (1, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15).
33. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С) = [А + А(ВС + ВС)]В;
(ВЗКВ)
(Т949)
(ЕМУК)
(СИЖУ)
(ДА22)
(АОХК)
(ЕНЕД)
(ВЦСГ)
(ДБ8К)
(0666)
(ВИСИ)
(ДР32)
(АПИА)
(ЕОДК)
(ЛЕЙС)
(ВУВР)
(Т205)
(Е1СЕ)
(МИОК)
(ТЗАЙ)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 223

2) f(A, В, С, D) = (А_+ BCDC + D)(A + CD);
3) ДА, В, С, D) = ABCD + (ABCD + AB + AC)D;
4) ДА, B, C, D) = (AB + CD + AD + AD)CD;
5) f(A, B, C, D) = AD(A + C)(C + D) + ABC;
6) f(A, B, C, D) = (2, 3, 4, 5,8, 9_, 14, 15); _
7) f(A, B, C, D) = (AB + ABCD)A + (C + D)C + CD.
34. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, В, С) = (1,2, 5, 6); __
2) f(A, В, С, D) = (A + B + OD + ABC;
3) f(A, В, С, D) = АВС(С + РУСР:
4) f(A, В, С, D) = AD(A + C)(C + D);
5) f(A, E, F) = AEF + AEF;
6) f(A, В, С, D) = (0, 6,7,10,11, 12, 13, 14);
7) ДА, В, С, D) = ABDCD + ABC + ABCD.
35. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (2, 3, 4,5, 8, 9^4, 15);
2) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABD;
3) f(A, В, С, D) = ABC + ABC + ABC;
4) f(A, B, C, D) = (0, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14);
5) f(P) = P;
6)f(B,D) = BD;
7) f(A, B) = AB + AB + AB.
36. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) ДА, В, Е, F) = ABEF + ABEF + АВЁ; _
2) /(А, В, С, D) = (А + В + C)D + A + B + CD + AD;
3) /(А, В, С, D) = АВСС + D;
4) ДА, В, С, D) = (А + В + С)(А + С + BD)C + D;
5) f(A, В, С, D) = (ОЛ.^9,10, И, 12, 13);
6) ДА, В, С, D) = ABCABCD;_
7) ДВ, С, D) = BCD + BCD + BCD + BCD.
37. Какие из нижеприведенных функций:
(ВЕХЛ)
(АЯ84)
(Т448)
(Е2ЛГ)
(ХААЗ)
(ВФ59)
(БАОД)
(Т5АЗ)
(Е389)
(ХАЛМ)
(В1ГХ)
(Т686)
(ББ45)
(ЕЧУХ)
(ННМУ)
224
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15);
2) f(A, В, С, D) = (0, 3, 5, 6^8, 11, 13, 14);
3) f(A, В, С) = [(ABC + ABC) -> ВС] + АВ;
4) f(A, В, С, D) = ABC + ABC + BCD;
5) /(А, В, С, D) = [(А + В + С)(А + С + BD)] -► (А + В);
6)f(A,B,C,D) = A;
7) f(C, D, К) = CDK + CDK.
38. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С) = А + В + С + АВС + А + В +_С;
2)/(A, B,C,D) = (A + B + C + BCD) -> (A + В + С + D);
3) f(A, В, С, D) = [(АВ + C)D + АС] -> (А + В);
4) f(A, В, С, D) = (3, 4,5, 7, 9, 13, 14, 15);
5) /(А, В, D) = ABD + В;
6) /(А, В) = АВ + АВ + АВ + АВ)_^ АВ;
7) /(А, В, С) = (АВ + АС + ВС)АВС.
39. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(A, D, Е) = ADE + ADE + АРЕ;
2) f(A, В, С, D) = \АВС(С + D)] -> АВ;
3) ДА, В, С, D) = AD(A + С)(С + D) + А + В + С;
4) f(A, В, C,D) = (3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15);
5) f(B, С) = ВС;
6) /(A, B,C,D) = AB + C + D;
7) f(A, В, С, D) = (0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15).
40. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1)/(А, Б, С)-(2, 3,4, 5);
2) f(A, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
(ВХПГ)
(БРЭФ)
(Т7ВА)
(Е5УА)
(КА63)
(ВРТН)
(ТМБЖ)
(БВИМ)
(Е6ВО)
(БАИГ)
(ТН68)
(ВСТЕ)
(Е75П)
(БСУА)
(ФАЯЯ)
(ТОЙХ)
(Е84С)
(ВГВК)
(Г425)
(БТАС)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 225

3) f(A, В, С, D) = BCD + A + B;
4) f(A, В, С, D) = (1, 5, 6, 7, И, 12, 13, 15);
5) f(A, В, С, D) = (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
6) f(A, D) = AD + AD;
7) f(A, B,C) = A + ABC -» ВС.
41. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
(ТПОК)
(ВТВ7)
(БДУП)
(Е903)
(ЗУОН)
1) f(A, В, С, D) = (А + В + С + D)(B + C + D)(A + C + D);
2) f(A, В, D, К) = (ABDK -> В) -» AD;
3) f(A, В, C,D) = A + D(B + C + D)(D + AC) ® В;
4) f(A, В, С, D) = ABC(C + D)_±_B;
5) f(A, B, C, D) = [AD(A + C)C + D] -» ABCCD;
6) f(A, B, C, D) = (1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15);
7) f(A, B, C, D) = (1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15).
42. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (ABCD + ABCD)AC + AB + АВ^_
2) f(A, B,C,D)^(A + B + C + D)ABCD ® (CD + CD + CD);
3) f(A, B,C) = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C);
4)f(A,B,C, D)=A;
5) f(A, B,C) = A + B + CA + B + C(A + B + C) + ABC + ABC;
6)f(B,D) = BD; _^ _ ___
7) f(A, C, D, E) = ACDE + ACDE + ACDE.
43. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = ABC + BCD + (ACD + ABD)AD + AB + CD;
2) f(A, В, С, D) = [A + (ВС + D)AB]_-+ С;
3) f(A, В, С, D) = (ABC + ABC + ABC)D;
4) f(A, B, C, D) = (A + D)(B_+ С + D)D + ~AC;
5) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(A + C + D)(B + C + D);
6) f(A,B,C) = (0,2, 4, 6);
7) f(A, B, C, D) = (5, 6, 7, 12, 13, 14, 15).
44. Какие из нижеприведенных функций:
(Т1А2)
(ВДМТ)
(ФА54)
(БУСТ)
(ХОФ2)
(БЯИГ)
(С8СУ)
(ФБ50)
(ЦУ28)
(БЕИР)
226
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, С) = АС + АС;
2) f(A, В,С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С)(А + В + С);
3) f(A, В, С, D) = (0,1,2, 3, 5, 6, 7,9,10, 13, 14);
4) f(A, В, С, D) = (А + В + C)D + (В + С + D)A + (А + С + D)B;
5) f(A, В, С, D) = АВС(С + D) + BCD(A + С);
6) f(A, B) = AB + AB;
7) f(A, B,C)=AB+AC + BC.
45. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С, D) = А + В + С + B + C + D + A + C + D;
2) ДА, В, С, D) = (2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15);
3) ДА, В, С, D) = (0, 2, 5, 7, 9, И, 12, 14);
4)f(A,B) = AB; _
5) /(А, В, С, D) = ABCD + ABCD;
6) /(А, В, С, D) = AD(A + С)(С + D);
7) /(А, В, С, D) = А + (ВС + D)ACD + D.
46. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) /(А, В, С) = (ABC + ABC + АВС)АВС;_
2) f(A, В, F) = (ABF + ABF)(ABF + ABF);
3) f(A, В, С, D) = (АВ + CD)(AB + CD) + ABCD;
4) f(A, B,C, D) = (A + В + C)A + С + BD(C + D);
5)f(A,B,C,D) = (0, 1,3,7, 12, 15);
6) f(A, B, C, D) = (5, 6, 8, 11, 12,13,14,15);
7) f(A, B,C, D) = (A + В + C)D + A + В + CD.
47. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (А + В)(С + D)(B + С + Щ(А + С + D)±
2) f(A, В, С, D) = (ABC + BCD + ACD + ABD) ®(A +B + C + D);
(ВАТЛ)
(CMTX)
(ФРУБ)
(ШОВХ)
(БФОХ)
(ВБ61)
(T365)
(ФСПА)
(НУЗО)
(БЗОЙ)
(ВВИТ)
(ТИК2)
(БЦКР)
(ФТ39)
(ХАОФ)
(БОВИ)
(СИУУ)
(БИК5)
(ФЕИР)
(ЛЕЦХ)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 227

3) f(A, В, С) = [(ABC -+ А) -+В] -> С;
4) f(A, В, С, D) = А(В + С) + А(С + D) + C(B + В);
5) f(A, В, С, D) = ((6,JM0, 11, 12, 13^4, 15);
6) f(A, В, С, D) =_(CDAB + ABCD)(ABCD + ABCD)(A + В + С);
7) f(A, В, N) = ABN + ABN + ABN.
48. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С) = А(ВС + ВС)_+ В(АС + АС) + С(АВ + АВ) + ABC;
2) f(A, В, С) = (А + АВС)(В + АВС)(С + ABC);
3) f(A, В, С, D) = (АВ + CD +_ ADHAC + BD + AD)(AD + ВС + CD);
4) f(A, В) = [АВ + (АВ + А)В + (АВ + В)А] -► В;
5) f(A, В, С, D) = (4^, 6, 8, 12, 13, 14, 15);
6) f(A, В, С, D) = (АВ + ABCD)(AB + ABCD);
7) f(A, В, С) = (А + В + С)(А + В + С)(А + В + С)(А + В + С).
49. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (ABC + ABC + ABC)(ABD + ABD + ABD);
2)f(D) = D;
3) f(A, B, C, D) = (3,^_6, 7, 9^0, 11Л2, 13, 14, 15);
4) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ACD + ВС + BD;
5) f(A, B, C, D) = (3^4, 5, 6, 8^3, 14, 15);
6) f(A, B, C) = (A + ABC)(B + ABC);
7) f(A, B,C,D) = AB + CD + AD + AC.
50. Какие из нижеприведенных функций:
а) являются линейными?
б) относятся к классу монотонных?
в) входят в класс самодвойственных?
г) сохраняют нуль?
д) сохраняют единицу?
1) f(A, В, С, D) = (A + BD + C + D)ABCD;
2) f(A, B,C,D) = (A + B + C + D)B + C + DA + C + D);
3) f(A, B,C,D) = (A + B + CCD) -» CD;
4) f(A, B, C, D) = ABCC + D;
5) f(A, B, C, D) = (4, 8, 9, 10, 12,13, 14_L15);
6) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC;
7) f(A, B, C, D) = (BCD + BCD)A + B + C.
(СИВТ)
(БЛ47)
(ФЕМО)
(МИЛД)
(С5П8)
(СКИВ)
(ФОМУ)
(БМОП)
(ГЕЯР)
(CKAH)
(СЛВА)
(ФИЛ1)
(БНАА)
(ДУДО)
(С7КБ)
228
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

8.2.
ФУНКЦИОНАЛЬНО
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ
Функциональная полнота системы булевых функций определяется на
основе следующей теоремы Поста, в которой сформулированы необходимые
и достаточные условия функциональной полноты.
Для того чтобы система булевых функций была функционально полной,
необходимо и достаточно, чтобы она содержала:
1) хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 1;
2) хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 0;
3) хотя бы одну несамодвойственную функцию;
4) хотя бы одну нелинейную функцию;
5) хотя бы одну немонотонную функцию.
Применение теоремы поясним на примерах.
Пример 1. Выяснить, является ли функционально полной следующая
система, состоящая из трех функций:
Д(А, Б, С, D) = (4, 5, 7, 10, И, 12, 13, 14);
/2(А, Б, С, D) = (5 Л, 11,13, 14, 15);
/3 (А, Б, С, D) = ABC + CD + ACD.
Решение. Рассмотрим первую функцию. Она не сохраняет единицу, так
как на единичном наборе значений переменных равна нулю. Об этом говорит
отсутствие в СДНФ минтерма с наибольшим индексом. Функция зависит от
четырех переменных, следовательно, максимальным является индекс 15 (это
минтерм т15). На наборе 1111 только минтерм т1Ъ принимает единичное
значение, но его нет в перечне минтермов данной функции, вследствие чего
при А = Б = С = D = 1 она равна нулю.
Функция fi(A, By С, D) сохраняет нуль, так как на нулевом наборе
значений переменных принимает нулевое значение. Об этом говорит отсутствие в
записи функции минтерма т0. На наборе 0000 только минтерм т0
принимает единичное значение, но его в записи функции нет, следовательно, при
А = В = С = D = 0 функция равна нулю.
Функция fi(A, Б, С, D) является несамодвойственной, так как
существуют противоположные наборы значений переменных, на которых функция
не меняет своего значения. Например, на противоположных наборах 0000 и
1111 она равна нулю.
Функция fi(A, Б, С, D) является нелинейной, так как представленная в
виде полинома Жегалкина, она содержит конъюнкции:
Д(А, B,C,D)=AC®B®BC® BCD.
Функция fi(A, Б, С, D) является немонотонной, так как ее минимальная
ДНФ содержит инверсные переменные:
Д(А, Б, С, D) =BC + ABC + ABD + ABD.
Представим эти сведения в виде таблицы (см. табл. 8.1).
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 229

Та б л и ца 8.1
Функция
/i(A, Д С, D) = (4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14)
/2(Л, Д С, £>) = (5, 7, 11, 12, 13, 14, 15)
/з(А, Д С, £>) = ABC + CD + ACD
Сохр. 1
Нет
Да
Нет
Сохр. 0
Да
Да
Да
Сам.
Нет
Нет
Нет
Лин.
Нет
Нет
Нет
Мон.
Нет
Да
Нет
Переходим ко второй функции. Она сохраняет единицу (поскольку в нее
входит минтерм т15) и сохраняет нуль (она не содержит минтерм т0), является
несамодвойственной, так как существуют противоположные наборы
значений переменных, на которых функция f2(A> Б, С, D) является неизменной
(например, на противоположных наборах ОНО и 1001 она равна нулю).
Представим ее в виде полинома Жегалкина:
/2(А, Б, С, D) = АВ ® BD ®ABD ®ACD®ABCD.
Так как полином содержит конъюнкции, то функция является
нелинейной.
Представим функцию f2(A> В, С, D) в минимальной ДНФ:
/2(А, Б, С, D) = АВ + BD + АСЯ.
В ней нет инверсий, следовательно, функция является монотонной.
Эти сведения заносим в ту же таблицу (табл. 8.1).
Третья функция представлена в ДНФ. Переведем ее в СДНФ:
/3(А, Б, С, D) = (1, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14).
Эта функция не сохраняет единицу, так как на единичном наборе равна
нулю: /3(1> 1> 1> 1) = 0» но сохраняет нуль: f2(Q, 0, 0, 0) = 0. Она является
несамодвойственной, так как существуют противоположные наборы
(например, 0000 и 1111), на которых функция является неизменной.
Полином Жегалкина содержит конъюнкции:
/3(А, Б, С, D) = CD® D®AC®ACD ® ВС ©ABC,
следовательно, функция является нелинейной.
Минимальная ДНФ содержит инверсные переменные:
/3(А, Б, С, D) = CD + ACD + ABC,
следовательно, функция не является монотонной.
Полученные сведения о третьей функции заносим в ту же таблицу.
Анализируем таблицу. Среди трех функций исследуемой системы
функции /i(A, Б, С, D) и f2(A, Б, С, D) не сохраняют единицу и не являются
монотонными, все три функции не относятся ни к линейным, ни к
самодвойственным, и все три сохраняют нуль. Так как в системе нет ни одной функции,
не сохраняющей нуль, то в класс функционально полных систем она не
входит, т. е. функционально полной не является. Физический смысл этого
состоит в том, что если каждую из функций реализовать в виде микросхемных
элементов, то построить из них логическую схему на основе функции, не
сохраняющей нуль, не удастся.
230
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Ответ: система функций не является функционально полной.
Пример 2. Определить, является ли функционально полной система
функций:
Л(А, Б, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 13, 14);
f2(A, Б, С, D) - (3, 4, 5, 7_, 12, 13, 14,_1_5);
/3(А, Б, С) = ABC + ABC + ABC + ABC.
Решение. Первая функция не сохраняет единицу (^(l, 1, 1, 1) = 0), не
сохраняет нуль (^(0, 0, 0, 0) = 1), не является самодвойственной (так как
существуют противоположные наборы, на которых функция неизменна: ОНО
и 1001, ООН и 1100 и др.).
Полином Жегалкина содержит конъюнкции:
Л(А, BfCfD)=A®AB®BC ©ABC ® BCD © 1,
следовательно, функция fx(A> Б, С, D) нелинейна.
Минимальная ДНФ функции /2(А, Б, С, D) содержит инверсные
переменные: _
Д(А, B,C,D) = BC + AB + AD + ABD,
следовательно, эта функция немонотонна:
Заносим все сведения о первой функции в таблицу (табл. 8.2).
Вторая функция сохраняет единицу (/2(1> 1» 1» 1) = 1)» сохраняет нуль
(/2(0, 0, 0, 0) = 0), не является самодвойственной (не меняет значения на
противоположных наборах, например ОНО и 1001), нелинейна, так как
полином Жегалкина содержит конъюнкции:
/2(А, Б, CD) = В®ВС ©ABC © CD ®ACD,
и не является монотонной, так как минимальная ДНФ содержит инверсные
переменные: _ _
/2(А, B,C,D) = BC + AB + ACD.
Сведения об этой функции заносим в ту же таблицу (табл. 8.2).
Переходим к третьей функции. Ее С ДНФ имеет вид
/3(А, Б, С) = (0, 3, 5, 6).
Функция f3(A, Б, С) не сохраняет единицу. Об этом говорит отсутствие в
ней минтерма т7, т. е. минтерма с наибольшим индексом. В данном случае
функция зависит от трех переменных, следовательно, наибольшим
индексом является число 7.
Функция f3(A, Б, С) не сохраняет нуль (f3(Q, 0, 0) = 1, так как в нее входит
минтерм т0) и является самодвойственной (на всех противоположных
наборах значений переменных она принимает противоположные значения).
Таблица 8.2
Функция
/i(A, Д С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 13, 14)
ПА, В, С, D) = (3, 4, 5, 7, 12, 13, 14, 15)
h(A,B,C) = ЛВС + ABC + ABC + ABC
Сохр. 1
Нет
Да
Нет
Сохр. 0
Нет
Да
Нет
Сам.
Нет
Нет
Да
Лин.
Нет
Нет
Да
Мон.
Нет
Нет
Нет
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 231

Представим функцию в виде полинома Жегалкина:
/з(А,Б,С)=А©Б0С.
Полином не содержит конъюнкций, следовательно, функция является
линейной.
Минимальная ДНФ функции содержит инверсные переменные:
/3(А, Б, С) = ABC + ABC + ABC + АБС,
следовательно, третья функция не относится к классу монотонных.
Занесем эти сведения в таблицу 8.2 и проанализируем ее. Так как в кале-
дой колонке содержится хотя бы одно слово «Нет», то система является
функционально полной. При этом заметим, что система содержит избыточные
функции. Если удалить из нее функции /2(А, Б, С, D) и /3(А, Б, С), то полнота
от этого не нарушится, так как первая функция полностью удовлетворяет
всем требованиям теоремы Поста и сама по себе образует функционально
полную систему.
Ответ: система функций является функционально полной.
Задания
для самостоятельной работы
Все нижеприведенные задания представляют собой списки, содержащие
по семь систем булевых функций, где каждая система состоит из трех
функций. Некоторые системы в списках являются функционально полными, но
не все: в каждом списке наряду с полными содержатся и функционально
неполные системы.
Задание состоит в следующем: исследуйте на функциональную полноту
каждую из семи систем и укажите номера тех систем, которые не являются
функционально полными.
При контроле числа, образующие ответ (т. е. номера функционально
неполных систем), необходимо упорядочить по возрастанию.
1. 1) Л(А, Б, С, D) = (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, С, D) = (2^3, 9,10,11, 12);
/3(А, B,C,D) = AB + CD + ACD;
2) Д(А, Б, С, D) = (2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13);
f2(B,D) = B®D®l;
/3(А, Б, С) = (0, 2, 4, 6);
3) Д(А,Б,С,1)) = ABD + ABC + AC;
/2(А, Б, С, D) = (2, 4, 5,10, 11^12);
/3 (A, B,C,D) = A + BCD + ACD;
4) Л(А, Б, С, D) = (8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15);
f2(A,C,D)=AC+AD;
/3(А, Б, С, D) = АС + ВС + CD;
5) Л(А, Б, C,D) = (13 Л 4, 15);
/2 (А, Б, С) = АВ + АВ +JlC\
/3 (А, Б, С, D) = АБС + BCD + ACD;
232
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

6) Л(А, Б, С, D) = (4, 5, 6,7, 9, 11, 12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, С, D) = АВ + ВС + ABZ);
/3(А, Б, С, D) = (А + B)(Cjt D)(A + С + D);
7) Д (А, Б, С, D) = АБС5 + ABCD + AD;
/2(А, Б, С, D) = ABD + ABD + АС;
/3(А, Б, С, Я) = (О, 1,4,7, 10)._
2. 1) Д(А,Б,С,1)) = AB + ACD + ABC;
f2(A,B,C,D) = BCD + AC + BC;
/3(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + 5)(А + С + D);
2) Л(А, Б, С, Я) = (5, 7, 10,11, 12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, С, D) = ABC + BCD + БС;
/3(А, Б, С, D) = А(Б + С + Z))(A + Б + С + 5);
3) Л(А, Б, С, D) = (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(B,C,D) = B®C®D®l;
/3(А,Б,С) = (0,3,5,6);
4) Д (А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A,B,C,D) = A + BC+_BD;
/3(А, Б, С, D) = (А + В)(В + С + 5)(А + Б + D);
5) Л(А,Б,С) = (4^5,6,7);
/2(Б, С, D) = BCD + CD;_
/3(А, Б, С, D) = АБ + ABD + ВС + ACD;
6) Л(А, Б, С, Д) = (0, 2, 3, 5, 6, 8, И, 14);
/2(А, Б, С, D) = (0, 6, 7, 10, И, 12, 13, 14);
/3(А, Б, С, Я) = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 15)^
7) Д(А, B,C,D) = AB + BC + AD + ABCD;
/2(А, Б, С, D) = АВ + БС + AD + ARD;
/3(А, Б, С, Я) = (О, 3, 7, 10, 11,12).
3. 1) Л(А, Б, С, Я) = (О, 3, 4, 7Л1, 14, 15);
/2(А, Б, С, D, Я) = (BD + Б1> + С)(А + БЕ);
/3(А, Б, С, Я, Я) = (0, 5, 7, 11,^6, 25, 30, 31);
2) Д (А, Б, С, D) = АС + ABD + ACD;
/2(А, Б, С, D) = ABC + BCD + AD;
/3(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(Б + С + 5)(Б + 5);
3) Д (А, Б, С, D) = (A + Б_+ С)( А_+_Б)( А + Б + D);
/2(А, Б, С, D) = BD + ВС + ABCD;_
/3(А, Б, С, D) = В{С_+ D)(A + В + С);
4) Д (А, Б, С, D) = А(А_+ В)(В + C + D);
/2(А, Б, С, D) = ABC + BD + АС;
/3(А, Б, С, D) = (О, 1, 2, 7, 10, 11, 12, 13, 14); _
5) Д(А, B,C,D) = (A + B + С)(А + Б + ЩА + Б + С);
/2(А, Б, С) = (0, 1,3,4, 7);
/3(А, Б, С, Я) = (0, 1,7,10, 11,14);
6) Л(А, Б, С, Я) = (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A,B,C) = AB + ABC + ABC;
/3(А, B,C,D) = AB + ABC + AC + ABCD + ABCD;
7) Л(А, Б, С, Я) = (3, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
(ТДА)
(Н7Н)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
233

J. с
J. с
,c
,c
J, с
i, С
,c
J, с
i,C
J. с
,c
,c,
,C)
,c
,c
i,C
J. с
i, с
,c,
i,C
i,C
,c
J, с
i, С
,c
i,C
,c
,c
,c
,c,
,c,
i,C
i,C
,c,
i,c
i,C
,c
i,C
,c
he
?,c
,c
,c
J, С
*, с
i,C
,D) =
,D) =
D) =
D) =
,D) =
D) =
D)-
,D) =
D) =
,D) =
£») =
D) =
l = (2,
D) =
D)-
,D) =
,D) =
D) =
D)-
,D) =
D) =
£■) =
,D) =
D) =
.£>) =
,D) =
,D) =
£>) =
£>) =
£>) =
£>) =
,D) =
D) =
£>) =
,D) =
D) =
£>) =
,D) =
£■) =
,£>) =
.£) =
.D) =
D)-
,D) =
D) =
,D) =
(A + B)(B + CXC + D);
A + BCD + ACD. (0Ж0)
(1,2,5,6,9,10,13,14);
(0,3,4,7,8^11,12,15);
AD + AC + AB + ABC;
ABC + AC + ACD;
(1, 2, 3, 6, 7,10);
AB + BC + CD + ВС;
ACD + ABCD + ABD + ABC;
(A + B)(A + C + D)(B + D);
(0, 1, 7,10, 11, 12);
A®B®C®D;
, 3, 4, 5);
(1,3,5,7,8,10,12,14);
(3, 6, 7, 9, 10,11,13,14,15);
(A + B)(C_+ D)(A + B + C);
(A + B)(C + D)A;
(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B);
(1,3,4,8,9,10,12);
AB + AB + BC + AD;
(A + BCD);
(2^3,4,7,10,11,14,15);
ВС + А.С + BD + CD. _ (ГБД)
(A + B + D)(A + C)(B + C)(A + B + C + D);
(3^4, 5, 7, 11,14);
BD + BC + A;
(5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
(5,6,7,8,11,14,15);
(0,4,7,10,11,12,13,14);
AC+AD;
AB+AC + BC + CD;
CD + ABCD + ABCD±
BCD + CD + AD + ABCD;
(2,3, 4_, 8,12, 13,14);
BD + ABCD + AC; _
AB + BD + ACD + BCD + AB;
(1,2,4^8,10,11);
B(A + C)(B + D);
(7, 11 12, 13, U, 15);
AB + AC + BCD;_
(A + B + C)(B + D)(B + C + D);
(2,4,5,6,7,12,14,15);
(0,5,6,7,11,12,13,14);
ABC + ABC + BCD + ABC + ABCD. (006)
(A + B_+ C)(A + B)(B + C + D)(A + C)(A + D);
AB + BCD + ABCD;
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2)
3)
4)
5)
6)
7)
7. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8. 1)
2)
/з(А, В
/i(A, В
М А, В
ЫА,В
Л(А,Д
/г(А, Д
f3(A,B
/i(A, В
/2(А, В
f3(B,C)
fx(A,B,
/2(А, В
f3(A,B
А(А,В,
f2(A, В
f3(A,B
/i(A, В
/2(A, В
/з(А, В
/i(A, В
Ш.Д
/з(А, В
Д(А,Д
/2(А, В
/з(А,В
/i(A, В
/2(А, В
/з(А,В
А(Л,В
/2(А, В
/з(А,В
/i(A, В
/г(А, В,
/з(А, В
А(А,В
f2(A,B
/з(А,В
/i(A, В
/2(А, В
/з(А,В
/i(A, В
/г(А,Д
/з(А, В
Д(А,Д
/2(А, В
/з(А,Д
C,D) = (0, 1,2,4,7, 10, 14);
С, £)-(3,5, 7, 10,14^15);
С, D) = АВ + CD + BCDL
С, D) = (А + В)(С + D)(A_+ B + D); _
С, D) = (С + £>)(А +_С + D)(A + B + C + D);
С, D) = ACD_+ BCD + BD;
C,D) = A + B + CD + ACD;
С, D) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15);
С) = (0,1,2,3);
= ДФСФ1;
С, D) = AC + BD + ACD + BCD + ABC;
С, D) = (0, 6,7, 11, 12, 13, 14);
C,D) = (A + C + D)(B +_C + D)D;
C, D) = BD + BCD + ABD;
C,D) = AC + ABC + ABD + ACD;
C, D) = BCD + ABCD + ABCD;
C, D) = (3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
C,D) = (5, 6, 7,8,9, 10);
C, D) = (0, 1, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14).
С D) = (1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 15);
C, D) = AD + BCD + ABD + ACD;
C,D) = (0, 1,2,3, 7, 9, 10, 11);
C, D) = (B + D)(A + B + C + D)(A + B + C);
CD) = (7, 8, 9, 11, 13, 14);
C, D) = ABC + BCD + D;
C,D) = (7, 9, 11,13, 14, 15);
C,D) = (4, 8, 9, 10,11,15);
C, D) = (A+_B + C)(C + ВЩ+ С + D);
C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
C, D) = (2, 3,9, 12, 13, 14);
C,D) = ABCD + AB + ABCD;
C, D) = (3, 7, 8, 9, 10, 11_, 12, 13, 14, 15);
C, D) = AB + ABCD + BCD;
C,D) = (0, 5, 6, 7,8, 9, 10);
C, D) = ABCD + ABCD + ABCD +_ABCD±
CD) = ABC + ACD + BCD + ABD + ABC;
C,D)=AB+AC+AD + BC + CD;
C, D) = (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15);
C, D) = (1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,);
C, D) = BCD + ABC + AD + ABC.
C,D) = (3L4, 7, 11, 14,15);
С D) = AD + ABCD + BCD + ABD + ACD;
C, D) = (1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10,11, 12);
C, D) = AC + ABC + BCD + ACD + BCD + ABC;
C, D) = (2L3, 4, 5, 8, 9, 14, 15);
C, D) = ACD + BCD + ABCD + CD;
(ЦБИ)
(УР7)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
235

3) /j(A, В, С, D) = (C + D)(A + C + D)(A + C + D)(B + D)(A + B + C);
f2(A,B, C,D) = (0,7, 8, 10,11);
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 6, 7, 10);
4) /j(A, B, C, D) = ABC + AB + ACD + AC;
f2(A,B,C,D) = (3,4, 5,6, 8,U); _
f3(A, B,C,D) = AB + AC + BCD + D;
5) f№, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
f2(A,B,C) = А® В ® С® 1;
f3(A,B,C) = (0,1,2,3);
6) fx(A, B, C, D) = (7, 11, 13,_15);_
f2 (A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD;
f3(A, B,C,D) = (A + B + C)(B + C + D)(A + C);
7) fx(A, B, C, D) = (6Л, 9, 11, 12, 13^14, 15);
f2(A, B,C,D) = AB + AB + CD + CD;
f3(A, B, C, D) = (0, 4, 8, 9, 10, 11, 12). (КДУ)
1) fx(A, B, C, D) = (5, 6,7, 9± 10, 11,13,14, 15);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABD;
f3(A, B, C, D) = (0, 8L9,_10, 11,12); _
2) /i(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC;
f2(A, В, С, D)_= (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15);
f3(A,C) = AC + AC;
3) /j (A, B, C, D) = ABC + ACD + ABD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (4, 6, 8, 10, 11, 14);
f3(A, B,C,D) = (B + C + D)(A + B + D)A±
4) /i(A, B, C, D) = (A + С + D)(A + B + D)(A + B + C)D;
f2(A, B, C, D) = (5L8, 9, 10Л1, 15);_
f3 (A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABCD + D;
5) fyiA, B, C, D) = (3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABD + BCD + ABD + ACD;
f3(A, B, C, D, E) = (1, 2, 3, 12, 18, 25, 26);
6) /j(A, B, C, D) = (A + В + D)(A + C + D)(A + D);
f2(A, B, C, D) = (6J 7, 8, 9, 10, 14);
f3(A, B,C,D) = (A + B + C)(B + C + D)(B + D);
7) fM,B,C) = (1,3, 517)-L_
f2(A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD + AC;
f3(A,B,C) = (0,3,5,6). (ЕЛМ)
1) MA, B, C,D) = (3,5, 7,9,11,13,15);
f2 (A, B, C, D) = ABC + ABC + ABC + ABCD;
/3(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 11);
2) fx(A, B, CD) = (3, 6_, 7, 10L11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B, C, D) = ABC + ABCD + ABD±_
f3 (A, B,C,D) = AB + ACD + BCD + AC;_
3) /j (A, B, C, D) = ABC + AC + ACD + BCD + ВС;
f2(A, B, C, D) = (1L2, 4, 5^8, 9, 10, 11, 12, 14^5);
f3 (A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABCD + ABCD + ВС;
4) /j (A, B, C, D) = BCD + ACD + AB;
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

11. 1)
/2(А, В
f3(A,B,
5) /j(A, В
f2(A,B,
ЫА, В
6) А(А,В,
f2(A, В
f3(A,B
7) /j (А, В
f2(A, В
ЫА, В
А(А,В.
ЫА, В
ЫА, В
2) ЫА< В
/2(А,Д
f3(A,B,
3) Д(А,Д
/2(А, В
f3(A,B,
4) А(А,Д
/2(А, В
ЫА, В
5) /,(А,В,
/2(А, В
f3(A,B,
6) /,(А,Я
ЫА, В
f3(А, В,
7) /j(A,B,
ЫА, В
ЫА, В
12. 1) /j(A,B,
/2(А, Д
/з(^. В
2) МА.Д
/з(ЛД
3) А(А,Д
/2(А,Д
f3(A,B
4) А(А>В,
ЫА, В
ЫА,В
5) ЫА< В
f2(A, В
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
\D).
,D)
,D)-
,D)
,D)
,D)
,D)-
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)-
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
,D)
- (2, 3, 6, 7_, 8Л0,11,12ДЗЛ4);
-(B + C + D)(A + B + D)(A + B + C + D);
- (4, 5, 6, 7,10, 11_, 12, 13, 14, 15);
= ABD + ABC + ABD + ABCD;
= (3,5,7,9,11,12,13,14,15);
: ВС + BCD + ABC + BD;
- (5, 7, 8, 11, 12, 13,14)^
(A + B + C)(B + C)(Cj¥ D)(C + D);
(A + C)(A + B + C + D)(B + D);
= (3,4,6,7,10,12);
= (0, 5, 7, 11Д2,13,14).
= ABC + BCD + CD + ABC;
= (3,5,8,9,10,13);
= (0,1,2,3,4,6,8,10);
(7,14,15); _
-(A + B + q)(A + В + D)(B +_C + D);
-- (A_+ В + C)(B + D)(B + D)C±
■- ABCD + ACD + ACD + BCD + ABC;
- (1,3, 4,_6Л, 8,9,10, 11,12, 14, 15);
= ABD + ACD + ACD + ABCD + ABCD + ВС;
■- ABCD + ABCD + ABD + BCD + ABC;
= (3,4,5,7,9,13,14,15);
= (0, 7, 9,10, 11,12,13,14);
-- ABD + BCD + AD;
= (3,7,9, 11Д4, 15);
= A(B_+ С + D)(A_+ В + D)(C + D);
-- BCD + BD + ABC + ACD;
(1^,4,6,7^10,14^
ZBC+_BD + ACD + BC; _
ABCD + ABC + ABD + ABC + ABC;
= (3,4,6,7,10,12);
= (0, 5,7, 11, 12, 13, 14)._
(A + B + C)(A + B + D)(A + B + C)(B + C + D);
= (3,4,6,8,11,15);
= (0,1,4,7,11,12);
= (4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15);
-(A + B + C)(B + C + D)(A + C);
-A + B + CD + ACD;
-- (A +_D)(A_+ С + D)(B + D)(A + B + C);
- ABCD + ABCD+ CD;
-- (A_+_B +_C)(B + Д)(Д + С +J))-L
-- ABD + ABC + AD + CD + ABC;
- (2, 3, 7, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
= (3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
= (5^6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
= ABCD + ABCD + BCD;
(НОЭ)
(ГБА)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
237

/3(А, В, С, D) = (0,1, 2,5, 6, 10);_
6) /j(A, В,С,D) = АС + АВ + ВС + AD + АВ;
/2(A,B,C,D) = (10, 11,12, 13,14, 15); _
f3 (А, В, С, D) = AC + BD + ABCD + ABCD + ABCD;
7) /j(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ABCD;
/2(A, В, С, D) = (5, 8, 9,10, 12, 14);
f3(A,B,C,D) = ABC + AB + ABCD + ABCD. _ _ (ШАЧ)
1) /j(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(B + D);
/2(A, B, C, D) = (3, 6, 7, 9, 10, 11, 13);_
f3(A, B,C,D) = (A + B + C)(A + B + D)C;
2) /i(A, B, C, D) = (3, 5, 6, 7, 11, 12,13, 14, 15);
f2(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD;
f3(A,B, C,D) = (0,1,3,4,7^8,9);
3) /j (A, B, C, D) = (A + C)(B + C)(A + С + £>)(A + В + D)(B + D);
/2(A, B, C, D) = (1L2, 5,6, 7, 9L15);
/з (A, B, C, D) = ABC + ACD + BCD + AB; _
4) /j(A, B, C, D) = ABD + BC + AB + BD + ABCD;
/2(A, B, C, D) = (ЗЛ, 7, 9, 10, 11, 13);
,D) = CD + BCD + ACI>;
5) /j(A, B, C, I>) = (A + В + D)(B + C + D)(B + D);
D) = (2, 5, 6, 8, 11, 13, 14);
D) = (0, 6, 7, 8, 9, 10,12, \ZY,
6) /j(A, B, C, D) = ABC + ABCD + BCD + AD + AB;
, D) = (3, 4, 6, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15);
,D) = AC + BCD +_ABCD_+ ABD + ABCD;
7) f1(A,B,C,D) = BD + AB + AC + ABC + ABCD;
/2(A, B, C, £>) = (5, 7, 10, 11, 13, 14,15);
f3(A,B,C,D) = BD + BC + ABCD + AD. _ (Ф41)
1) ^(A, B,C,D) = (A + C + D)(B + C + D)(B + C + D)(A + B);
/2(A, B, C, £>) = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12);
/3(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 10, 11, 12, 14);
2) MA, B, C,D) = (1,2, 3,4^8, 9, 10, 15);
f2(A, B, C, D) = BD + ABC + ACD + ABC + ACD;
/3(A, B, C, D) = (0, 4, 7, 9, 10, 12, 13, 14);
3) Л(А, В, С, D) = (3, 5, 7,j), И, 13Л5);
/j (A, B, C, D) = ABD + ABD + BCD;_
f3 (A, B, C, D) = ABC + BCD + AB + D;
4) /j(A, B, C, D) = AC + ВС + AB + ABC;
/2(A, B, C, D) = (3, 7, 8,9, 10Л1, 12, 13, 14, 15);
f3 (A, B, C, D) = ABC -^BD + AD + ABCD;
5) /j (A, B, C, D) = AC + ABC + BD + ABCD;
/2(A, B, C, D) = (0, 1,4, 7, 10L14);_
/з (A, B, C, D, £) = AB + BCDE + АБ + BD;
6) /j(A, B, C, D) = (A + В + C)(B + C + D)(A + B);
/2(A, B, CD) = (6, 7_, 8,10, 11,12,14,15);
/a (A, B, C, D) = ABC + ABE + E + CD;
f3(A,B,
/i(A,B,
/2(A, B,
/з(А, В,
/i(A,B,
/2(Л B,
/з(А,В,
С
с,
с
с
с
с
с
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

7) Д (А, В, С) = ABD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
/2(A, В, С, D) = (^5,7, 9,10,11 13, 14,15);
/з(А, В, С,D) = ABD + ABCD + ABCD +_ABCDL _ (BTC)
15. 1) f1(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(B + C + D)(A + B);
/2(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 2,3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 14, 15);
2) Д (A,B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B)(A + B + C);
/2(A, B, C, D) = (3, 4, 7, 12, 13, 14, 15);
/3(A, В, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 15);
3) /j(A, В, С, D) = (1, 3, 5, 719,_11,_13, 15); _
f2 (A, B, C, D) = ABD + ABCD + ABD + ABCD + ABD;
/з(А, В, С, D) = ABD + ABD + ABCD + ABCD + ABCD + ABD;
4) /j(A, B, C, D) = (6, 7, 9, 10Л1, 12, 13, 15);
Д.(А, B, C, D) = ABCD ^АВС_+ ABD;
f3(A, B, C, D) = ABC_ + BD + ABCD + ABCD + ABCD;
5) Д (A, B, C, D) = ABD + CD + ACD + ABCD + ABCD;
/2(A, B, C, D) = (0, 1,_2_, 3, 4, 7,9, 10, 12, 13, 14);
f3 (A, B, C, D, E) = ABC + BCDE + AE + BD;
6) Д (A, B, C, D) = ABC + ABCD + BCD + ACD;
/2(A, B, CD) = (1, 2_, 4, 6Л, 8, 10 11, 12, 14, 15);
f3(A,B,C,D) = ABCD + ABE+ AE +BCD;
7) Д(А, В, C,D) = ABD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
/2(A, B, C, D) = (1,2, 4, 5, 7, 9, 10_, 11, 12, 14, 15);
f3 (A, B, C, D) = ABD + ABCD + ВС + ABCD + ABCD. _ (АПР)
16. 1) f^A,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D)(B + C + D)(,A + B);
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15);
2) Л(А, В, С, D) = (3L7, 9, 11, 12^13, 14,^5);
f2(A, B, C, D) = AC + BCD + BCD + BCD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 14);
3) Л(А, В, С, D) = (5, 7, 8, 11,14);
/г(А, В, С, D) = АВ + АС + ABC + ACD + ACD;_
/з(А, В, С, D) = ABCD + ABD + ABD + BCD + AD + ABD + ABCD;
4) Л(А, В, С, D) = (6, 7, 9, 10, 11L12, 13, 15);
f2(A,B,C,D) = ACD+_ABC + ABD+_ABCD;
f3(A, B,C,D) = AB + BD + ABCD + ABCD + ABCD;
5) Д (A, B, C, D) = AD + CD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1,_4_, 7,j), 10, 12J 13, 14);
f3(A, B, C, D, E) = ABC + ABCD + AD^ +BD + ABCD;
6) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + BCD + ACD;
f2(A, В, С D) = (1L2, 4,6, 7, 8,10, 11^12, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = BCDj- ABD + AB + BCD + ABCD; __
7) fx(A,B, C,D) = ABCD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (1:2, 4, 5J 7L9, 10,11,^2, 14, 15); _
/з(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + BC_+ ABCD + ABCD. (ПТН)
17. 1) Д(А, B,C,D) = BCD + ABCD + ABCD;
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 239

f2(A, В, С, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14);
f3(A, В, С, D) = (1, 4, 5, 6, 8, И, 14);
2) fx(A, В, С, D) = (0L1, 3, 6, 7, 9^11, 12, 13, 14, 15);
f2 (А, В, С, D) = АС + BCD + BCD + BCD + ABCD + AD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
3) Л(А,Б,С,1>) = (1,2,3,5, 7,8L11,14,15); _
f2(A, B, C, D) = ABC + ACD + ABC + ACD_+ ACD;
f3(A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABD + BCD + AD + ABD + ABCD;
4) Л(А, В, С, D) = (1, 2, 3,4, 8, 9^10, 15);__
f2(A,B,C,D) = ABC + ABC + ABC + ABC;_
f3(A,B,C,D) = ACD + ABCD + ACD + ABC + ACD;_
5) /j (A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (3, 6,_7_, 9, 10, 11 12^ 13, 14 Л 5); _
f3 (A, B, C, D, E) = ABCD + ABCDj- AD + BCD + BCD;
6) /j (A, B, C, D) = ACD + BCD + BCD + ACD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0L2, 4,6, 8, 9, 10, 11, 12);
f3(A, B, C, D) = BCD + ABCD + AB + BCD + ABCp;__
7) /j (A, B, C, D) = ABCD + ABD + ACD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0Л, 2, 3J 4L5, 7,_9, 10, 11, 12, 14, 15);
/з (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ВС + ABCD + ABCD. (РЫЗ)
1) /j(A, B, C, D) = ВС + AB + BD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (0, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
f3(A, B, C, D) = (0, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
2) fx(A, B, C, D) = (3, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B,C,D) = (A + B + C)(B + C + D)(A + B + D);
f3(A, B, C, D) = (0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13);
3) /1(A,B,C,JD) = (5L7,8,_9,10111,14,15); _
f2(A, B, C,D) = AB + ACD + ABC + ACD + AC;
f3(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + AD + ABD;
4) fyiA, B, C, D) = (0, 2, 5, 6, 7,8, 10, 11, 13)^_
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABC + ABC;
f3(A, B, C, D) = ACD + ABCD + ACD + ABC + ACD;_
5) /j (A, B, C, D) = CD + ACD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1L3, 6,9, 10, 11, 12, 13)2
f3(A, B, C, D,E) = ABD +_ABCD + A3 + BCD + BCD; _
6) /j (A, B, C, D) = ACD + BC + BCD + ACD + ACD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (2,4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14);
f3(A, B, C, D) = ACD + ABCD + ABCD + BCD + ABC;
7) /j (A, B, C, D) = BCD + ABD + ACD + CD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0Л, 2, 3, 4, 10,11, 12, 14, 15)^
/з (A, B, C, D) = ABD + BCD + ВС + BCD + ABCD. (OPO)
1) Л(А, В, С, D) = (4, 5, 6, 7, 12, 13, 14,^5);
f2 (A, B, C, D) = ABC + ACD + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
2) Л(А, В, С, D) = (5, 6, 7,12, 13^4, 15);
f2 (A, B, C, D) = ABC + BCD + ACD;
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

/3(А, Б, С, D) = (О, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 14);
3) Л(А, Б, С, D) = (3L5, 7, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + 4БС1А(1^ + Щ
/3(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + AD + ABD;
4) Д(А, Б, С, D) = (Б + С + D)(A + В + С + D)(A + Б)(А + С + D);
/2(А, Б, С, D) = (3L4, 6, И, 12^13, 14);
f3(A,B,C,D) = AB + BCD + BCD + BD;
5) Д(А, Б, С, D) = (А + Б + С)(А + Б + D)(A + Б + С + 5)(А + Б + С + D);
/2(А, Б, С, D) = (2, 5, 6, 7,12,13, 14);
/3(А, Б, C,D,E) = A + 5CD + 5CD;
6) Л(А, Б, С, D) = (3^7, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, C,D) = ABC + ABC + BCD + SCD;
/3(A, Б, С, D) = (0, 4,5, 6, 8, 10, И, 12);
7) f1(A,B,C,D) = ABCD + ABCD+_ABCD;
/2(А, Б, C,D) = ABD + BCD + AC + CD;
/3(A, Б, С, D) = (0, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14). (КВКЕ)
20. 1) Л(А, Б, С, D) = (0, 2, 4, 5, 6, 7,_12, 13,14);
/2(А, Б, С, D) = ABC + ACD + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
/3(A, Б, С, D) = (1, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
2) Л(А, Б, С, D) = (0, 1,2, 3, 5, 6, 7,12, 13, 1_4);_
/2(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ACD + ABCD + BCD;
/3(A, Б, С, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, И, 12, 14);
3) Л(А, Б, С, D) = (3L7,_9, 10, 11, 12, 13, 14,15);
/2(А, Б, С, D) = ABCD -^AB^ t^8? + 4^ + АС;
/3(А, Б, С, D) = BCD + ABCD + ABCD +_5CD + AD_+ ABD;
4) Д(А, B,C,D) = (B + C + D)(A + B + C + D)(A + Б + C)(A + С + D);
/2(A, Б, C, D) = (0L1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14);
/3(A, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BD;
5) f1(A,B,C,D) = ABC + AB + CD + ACD;
/2(A, Б, C, D) = (5, 7,9, 11, 13,14, 15);
/3(A, Б, C, D, £) = ABC + ABCD + ABCD + ABCD;
6) Л(А, Б, С, D) = (3^4, 5, 6, 7, 10, 11^ 12, 13, 14, 15);_
/2(A, Б, C,D) = ABCD + ABCD + BCD + BCD + ABCD;
/3(A, Б, С, D) = (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, И, 12);
7) f1(A,B,C,D) = ABD-^ABC^BC^ABD;
/2(A, Б, C,D) = SCD + BCD + ABC + BD;
/3(A, Б, С, D) = (4, 5, 7, 8, 11, 14). (ЛОРК)
21. 1) Л(А, Б, С, D) = (0, 1,2,4, 5, 6,_12, 13Л4);
/2(А, Б, С, D) = ABC + ACD + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
/3(A, Б, С, D) = (1, 2, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
2) Л(А, Б, С, D) = (0, 2,3, 5, 6, 7, 12, 13, 14)^
/2(А, Б, С, D) = ABCD + ABCD + ACD + ABCD + BCD;
/3(A, Б, С, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 10, И, 12, 14);
3) Л(А, Б, С, D) = (3L4, 5, 7, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15);
/2(А, Б, С, D) = ABCD -^AB^ tA3^ + 4^ + АС;
/3(А, Б, С, D) = BCD + ABCD + ABCD + BCD + AD + ABD;
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
241

4) /j(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C)(A + C + D);
f2(A, B, C, D) = (0L1,_2, 3, 4, 6, 7, 11L12, 13^ 14);
f3 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BD;
5) /j(A, B, C, D) = ABC + AB + CD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (4, 5,_7_, 9,11, 13, 14^ 15);
f3(A, B, C, D, E) = ABC + ABCD + ABCD + ABCD;
6) f^A, B, C, D) = (3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14,15);
f2(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + BCD + BCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (1, 2,3, 4, 5^6, 7, 8,10, 11, 12);
7) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABC + ВС + ABD;
f2(A, B, C,D) = BCD + ABCD + ABC + BD;
f3(A, B, C, D) = (1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13,14). (POMK)
1) /j (A, B, C, D) = BCD + ACD + BCD + AD + CD;
f2(A,B,C,D) = (4,7, 10, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12);
2) fx(A, B, C, D) = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 12,13, 14);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ACD + ABCD + BCD;
f3(A, B, C, D) = (3, 4,7, 8, 10, 11, 12, 14);
3) /j (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + CD;
f2(A, B, C, D) = (3, 5, 8, 11, 13, 15);
/3(A, B, C, D) = (0, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
4) A(A, B, C, D) = (3, 5, 6, 7, 9111113, 14^ 15);
f2(A, B, C, D) = (A_+ В + CJ(B +_C + D)(A + C + D);
f3(A, B, C, D) = ACD + ABC + ACD + ABC + ABD;
5) /j (A, B, C, D) = ACD + ABD + AC;
f2(A, B, C, D) = (6, 7L8_, 9, 13, 14,15);
/3(A, В, С, D, E) = BCD + ACD + ABC + BCD;
6) fx(A, B, C, D) = (3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + BCD + BCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
7) Л(А, В, CD) = (5, 6, 7, 10,11, 13, 14, 15);
/2(A, B, C,D) = ABD + ABD + ВС + CD;
f3(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 14). (НЭП8)
1) Л(А, В, С, D) = (5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, В, С, D) = (2L3, 4,5, 9, 10, 11, 12);
/3(A, В, С, D) = АВ + CD + ACD;
2) /j (А, В, С, D) = ACD + ACD + ABCD + ABCD + ABCD + ABC;
f2(A,D)=A®D®l;
f3(A, В, С, D) = (0, 1_, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
3) /j (А, В, С D) = ABD + ABC + AC;
f2(A, B, C, D) = (2, 3, 4,5, 10, 11, 12);
/з(А, В, С, D) = A + BCD + ACD + ABD;
4) fx(A, В, С, D) =J6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15);
f2 (A, C, D) = AC + AD; _
f3(A, В, С, D) = AC + BC + CD;
5) /1(A,B,C,D) = (11, 13, 14, 15);
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

к
к
л
к
к
А
к
к
к
к
к
Л
к
к
Л
к
к
к
к
к
Л
к
к
к
к
к
к
к
к
Л
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
Л
к
(А,В,С) =
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(B,C,D) =
(А,В,С) =
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С) =
(ДС,£>) =
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(A,B,C,D)
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С, Д
(А, В, С, Д
(А, В, С, Д
(А, В, С, Д
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А, В, С) =
(А, В, С, D
(А, В, С, D
(А,В,С) =
АВС + АВ + АС;
= ABC + ABCD + ABCD;
= (3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14,15);
= AB + BC + ABD;
= (A + D)(A + B)(C + D)(A + C + D);
= ABCD + ABCD + AD;
= ABD + ABD + AC;
= (0Д, 5, 7, 10)._
= ACD + AB + ABC;
= BC + BCD + AC;
= (A + C + D)(A + B + C)(A + B + D);
= (5,7,10,11,12,13,14,15);
= BC + ABC + BCD;
= (B + C + D)(A + B + C + D)A;
= (8,9,10,11,12,13,14,15);
B®C®D®1;
0,3,5,6);
= ABCD_+ ABCD + ABCD;
=BC+A+ВД
= (A + B)(B + C + D)(A + B + D);
4, 5, 6,7);
CD + BCD;
= BC + AB + ABD + ACD; _
= ABD + BCD + BCD + BCD + ABCD;
= (0, 2, 4, 6, 7,10,11, 12, 13, 14, 15);
= (1,2,3,4,5,8,9,15);
= BC + AB + AD + ABCD;
= AD + AB + BC + ABD;
= (0,3,7,10,11,12).
= (0,3,4,7,11,14,15);
E) = (0, 5, 7_, 11, 16, 25, 30, 31);
E) = (C + BD + BD)(A + BE);
= ACD + ABD + ACD + ACD;
= AD + ABC + BCD;
= (A + B + C)(B + C + Д)(В + D);
= (A + B + C)(Ajh_B)(A + B + D);
= BCjt BD + ABCD;
= B(C + D + BC)(A + B + C);
= (ACj- AC)(A + B)(B + C + D);
= ABC + BD + ACD + ACD;
= (0,1,2,7,10,11,12,13,14);
= (A + B + CD + CD)(A + B + D)(A + B + C);
0, 1, 3, 4, 7);
= (0,1,7,10,11,14);
=_(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
ABC + ABC + ABC + ABC;
(ШЕФК)
(МОЕЛ)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
243

f3(A,B,
7) Л(А, В,
f2(A,B,
f3(A,B,
1) Л(А, 5,
/2(A, В,
/з(А,В,
2) /j(A,B,
4 (А, В,
Ш, В,
3) /j(A,B,
/г (А, В,
/з(А, В,
4) h(A, В,
f2(A, В,
f3(A, В,
5) Л(А, В,
/2 (А, В,
f3(A,B,
6) А(А,В,
f2(A,B,
f3(A, В,
7) А(А,В,
f2(A,B,
f3(A, В,
1) Л(А, В,
/2(А, В,
f3(A, В,
2) /j(A,B,
f2(A, В,
f3(A,B,
3) /j(A,B,
f2(A, В,
f3(A,B,
4) /j(A,B,
f2(A, B,
f3(A,B,
5) /j(A,B,
f2(A, B,
f3(A,B,
6) Л(А, В,
/2(А,В,
/з(А,В,
7) Л(А, В,
f2(A, В,
Ш,в,
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
с
с
С)
с,
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с,
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
,D) =
D) =
,D) =
,D) =
.D) =
.£) =
,D) =
D) =
,D) =
.£) =
D) =
,D) =
D) =
l = (2,
D) =
.£) =
.i>) =
,D) =
,D) =
D) =
,D) =
D) =
D) =
,D) =
.D) =
D) =
.D) =
.D) =
D) =
.D) =
,D) =
D) =
D) =
,D) =
D) =
D) =
,D) =
D) =
D) =
,D) =
D) =
,D) =
,D) =
.D) =
.D) =
,D) =
ABCD + AB + ABC + AC + ABCD;
>(3, 7,10, 11,_12, 13,14, 15);
(A + B +_ABC)(B + C)(C + D);
A + BCD + ACD + ACD. (КИИВ)
(0,3,4,7,8,11,12,15);
(1L2, 5,6, 9, 10, 13, 14);
AC + AB + ABC + AD;
AB + BC + CD_+BC;
ABC + AC + ACD + ABCD;
(1,2,3,6,7,10);
ACD + ABCD + ABD + ABC + ABCD;
(A + BC + BC)(A + C + D)(B + D);
(0,1,7,10,11,12);
2,3,4,5);
-A®B®C®D;
(1,3,5,7,8,10,12,14);
(3,6,7,9,10,11,13,14,15);
(A + B)(C_+ D)(A + B + C);
(A_+B)(C + D)A;
AB + AB + BC + AD + ABCD;
(A + B + C + D + BCD)(A + B + C + D)(A + B);
(1,3,4,8,9,10,12);
A + BCD + AB + AC + ABC + ACD;
BC + AC + BD + CD + BCD;
(2,3,4,7,10,11,14,15). (K034)
(0,4,7,10,11,12,13,14);
(5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
(5,6,7,8,11,14,15);
(A + B + D + AC)(A + C)(B + C)(A + B + C + D);
(3L4, 5, 7, 11, 14);
BD + BC + A;_
AC + AD + ABCD + ABCD;
AB+AC + BC + CD;
CD + ABCD + ABCDi
BCD + CD + AD + ABCD + ABCD;
(2,3, 4, 8, 12, 13, 14);
BD + ABCD + AC + ABCD;
ACD + AB + BD + BCD + AB;
(1,2,4^8,10,11);
B(A + C)(B + D)(BCD + B);
(7, 11L12, 13,U,15)£
AB + AC + BCD_ + ABCD + ABCD;
(A + B + C + ABCD)(B + D)(B + C + D);
(2,4,5,6,7,12,14,15);
(0,5,6,_7,11,12, 13, 14);
ABC + ABC + BCD + ABC + ABCD. (ДИУЗ)
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

28. 1) А (А, В,
f2(A, В,
Ш, В,
2) Л(А, В,
f2(A, В,
f3(A,B,
3) А (А, В,
f2(A, В,
UA, В,
4) Л(А, 5,
Ш. 5,
/з(5,С)
5) А (А, В,
Ш, В,
/з(А,В,
6) А (А, В,
f2(A, В,
f3(A,B,
7) Л(А, В,
Ш> 5,
/з(А, В,
29. 1) Л(А, В,
f2(A, В,
Ш, В,
2) А (А, В,
f2(A, В,
Ш, В,
3) Л(А, В,
Ш> В,
/з(ЛВ,
4) А(-А.Д
Ш> В,
/з(А,В,
5) Л(А, В,
f2(A, В,
Ш, В,
6) А(А,В,
f2(A,B,
f3(A,B,
7) Л(А, В,
Ш. 5,
/S(A,B,
30. 1) А (А, В,
Ш, в,
МА,В,
2) Л(А, В,
, С, £>) = (А + В_+ С)(А + В + АВС)(В + С_+ D)(A + С)(А + D);
,C,D) = AB + BCD + ABCD + ABCD + ABCD;
,C,D) = (0, 1,2,4,7, 10,14);
, CD) = (3,5, 7, 10, 14^5);
,C,D) = AB + CD + BCD + ABCD + ABCD + ABCD;
,C,D) = (A + B + ABC + BCD)(C + D)(A_+ B + D); _
, C, D) = (C + D + ACD + BCD)(A + С + D)(A + B + C + D);
, C, D) = ACD_+ BCD + BD + ABCD + ABD;
,C,D) = A + B + CD + ACD + BCD + BCD;
,C) = (0,1,2,3);
, C, D) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15);
= B©C©1;
, C, D) = AC + BD + ACD + BCD + ABC;
,C,D) = (0, 6,7, 11, 12, 13, 14);
,C,D) = (A + C + D)(B +_C + D)DL
, C, D) = BD + BCD + ABD + ABCD + ABD;
, C,D) = AC + ABC + ABD + ACD + ACD + ABC;
, C, D) = BCD + ABCD + ABCD;
,C,D) = (5,6, 7,8,9, 10);
, C, D) = (3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
, C, D) = (0, 1, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14). (РИОХ)
, CD) = (1,2,3, 7,9, 10, 11, 15);
, C, D) = AD + BCD + ABD + ACD + ABCD + ABD;
,C,D) = (0, 1, 2,3, 7, 9L10, 11);
, C, D) = ABC + BCD + D;
, C, D) = (B + D)(A + B + C + D)(A + B + C);
, CD) = (7, 8, 9, 11, 13, 14);
,C,D) = (7,9, 11,13, 14, 15);
, CD) = (4, 8, 9, 10, 1Ь15);_
,C,D) = (A + B + C + ABCpXC + D)(B + C + D);
, C, D) = BCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
,CD) = (2, 3,9, 12, 13, 14);
, C,D) = ABCD + AB + ABCD + ABCD + ABCD;
, С D) = (3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15);
, C, D) = AB + ABCD + BCD + ABC + ABD;
, С, D) = (0, 5, 6, 7, 8, 9, 10);
, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD +_ABCD^
,C,D) = ABC + ACD + BCD + ABD + ABC;
,C,D) = AB + AC + AD + BC + CD + ABC + ABD;
, C, D) = (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15);
, С D) = (1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,);
, C, D) = BCD + ABC + AD + ABC + ABD + ACD. (КУК5)
, C, D) = ACD + ABC + BCD + AC + BCD + ABC;
, С D) = (2L3, 4, 5, 8, 9L14,25);
, C, D) = ACD + BCD + ABCD + CD;
,C,D) = (3,4, 7, 11, 14, 15);
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
245

ЫА,
ma,
3) А(А,
ш>
ш,
4) А(А,
ма,
f3(A,
5) MA,
MA,
Ш,
6) MA,
f2(A,
f3(A,
7) MA,
f2(A,
f3(A,
1) fi(A,
f2(A,
f3(A,
fi(A,
fz(A,
f3(A,
A(A,
fz(A,
f3(A,
fi(A,
fz(A,
f3(A,
5) MA,
fz(A,
MA,
6) A(A,
MA,
f3(A,
7) MA,
fz(A,
MA,
1) MA,
fz(A,
MA,
2) MA,
fz(A,
f3(A,
3) f,(A,
MA,
Д
2)
3)
4)
C, D) = AD + ABCD + BCD + ABD + ACD;
B, C, D) = (1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12)^
B, C, D) = (C + D + ABC)(A + C + D)(A + C + D)(B + D)(A + B + C);
B,C,D) = (0, 7,8, 10, 11);
B,C,D) = (0, 1,4,5,6,7, 10);
B, C, D) = ABC + AB + ACD + AC + ABC + ACD;
B,C,D) = (3,4, 5, 6, 8, 11); _
B,C,D) = AB + AC + BCD + D + ABD + BCD;
B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
B,C) = (0,1,2,3);
B,C)=A®B®C®1;
B,C,D) = (7, 11, 13, 15);
B, C,D) = ABC + BCD + ACD + ABCD±
B,C,D) = (A + B + C)(B + C + D + ACD)(A + C);
B, C, D) = (6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15);
B,C,D) = AB + AB + CD + CD + ABCD + ABCD;
B, C, D) = (0, 4, 8, 9, 10, 11, 12). (ЛОР7)
B, C, D) = (5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15);
B, C, D) = ABCD + ABCD + ABD + ABCD;
B,C,D) = (0, 8, 9, 10, 11, 12);
B, C,D) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABCD;
В, С, D)j= (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15);
C) = AC + AC;
B, C, D) = ABC + ACD + ABD + ACD + ABCD;
B,C,D) = (4, 6,8, 10, 11, 14);
B,C,D) = (B + C + D + ABC + Cp)(A + В + D)A;
B,C,D) = (A + C + D)(A + B + D + ABC)(A + B + C)D;
B, C, D) = (5, 8, 9, 10111, 15);_
В, С, D) = ABCD + ACD + ABCD + D + BCD + AD;
B, C, D) = (3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14);
B, C, D) = ABD + ABCD + ABD + BCD + ACD;
B, C, D, E) = (1, 2, 3, 12, 18, 25, 26);
B, C, D) = (ABD + A + B + D)(A + C + D)(A + D)
B,C,D) = (6, 7,8, 9, 10, 14);
B, C, D) = (A + В + С + AD + BC)(B + C + D)(B + D);
B,C) = (1,3,5,7)L_
B, C, D) = ABC + BCD + ACD + AC + ABCD;
B,C) = (0,3,5,6). (EHXH)
B, C, D) = (3, 5, 7, 9, 11, 13,15);
В, С, D) = ABC + ABC + ABC + ABCD + ABCD;
B,C,D) = (0, 1,4,5,6, 7,8, 11);
B, CD) = (3, 6_, 7, 10L11, 12, 13, 14,_15);
B, C, D) = ABC + ABCD + ABD + ABCD±_
B, C, D) = ABCD + AB + ACD + BCD + AC;_
B, C, D) = ABCD + ABC + AC + ACD + BCD + ВС;
В, С, D) = (1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15);
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

33.
34.
4)
/з(А, Д
А (А, В,
/г(А, Д
/з(А, В,
5) Л(А, В,
6)
7)
1)
/г(А, Д
/з(А, Д
Л (А, В,
/2(А, В,
/з(А,В,
А(А,В,
НА, В,
НА, В,
А(А,В,
НА, В,
hiA, В,
2) Л(А, В,
3)
4)
5)
6)
7)
1)
f2(A, В,
f3(A,B,
Д (А, Я,
НА, в,
f3(A,B,
Л (А, В,
НА, в,
НА, В,
А(А,В,
НА, В,
/з(А,Д
Л (А, В,
НА, В,
/з(А,В,
А (А, В,
/2(А, В,
/з(А, В,
А(А,В,
НА, В,
НА, В,
2) Л(А, В,
3)
4)
f2(A, В,
f3(A,B,
Д (А, В,
/г(А, В,
/з(А,В,
Л (А, В,
/2(А, В,
НА, В,
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
CD) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C) = (7,
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
CD) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
C,D) =
ABCD + ACD + ABCD + ABCD_+_BC;
BCD + ACD+ AB +ABCD+ ABCDL
(B + C + D + ABC)(A + B + D + ABD)(A + B + C + D);
(2,3,6,7,8,10,11,12,13,14);
(4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);_
ABD + ABC + ABD + ABCD + ABCD;
(3,5,7,9,11,12,13,14,15);
ВС + BCD + ABC + BD + ABCD + BCD;
(5,7,8,11,12,13,14);
(A + B + C)(B + C + ABC)(C + D)(C + D);
(A + C + ABD)(A + B + C + D)(B + D);
(3,4,6,7,10,12);
(0, 5, 7, 11, 12, 13, 14). (МОП)
ABC + BCD + CD + ABC + ABCD + BCD;
(3, 5, 8, 9, 10, 13);
(0,1,2,3,4,6,8,10);
,14,15);
(A + В + С + AB + CD)(A + В + D)(B + С + D);
(A + B + C)(B + D + ABC + BCD)(B + D)C;
ABC + ABCD + ACD + ACD + BCD;
(1, 3, 4, 6, 7, 8L9, 10, 11, 12, 14, 15);
B<1 + ABD + ACD + ACD + ABCD + ABCD;
ABCD + ABCD + ABD + BCD + ABC;
(3,4,5,7,9,13,14,15);
(0,7,9,10,11,12,13,14);
ABD + BCD + AD + ABD + ACD;
(3,7,9^11,14,15)^
(AB_+ AB)(B + C + D)(A + B_+ D)(C + D);
BCD + BD + ABC + ACD + ABD + ABCD;
(1^,4,6,7^10, 14)^
BC + BD + ACD + BC_+ ABCD + ABC;
ABCD + ABCD + ABC + ABD + ABC + ABC;
(3,4,6,7,10,12);
(0, 5, 7, 11, 12, 13, 14). (СИЛА)
(A + B + C)(A + B + D)(A + B + C)(B + C + D);
(3,4,6,8,11,15);
(0,1,4,7,11,12);
(4,5,6,7,11,12,13,14,15);
(A + B + Cj¥AB + AC)(B + C + D)(A + C);
A_+ B + CD +_ACDjt ABD +_ ABCD±
(A +_D + ABC + ВСЩА + C + D)(B + D)(A + B + C);
ABCD + ABCD_+ CD + ABCD;
(A_+_B +_C_+ BD + CD)(B +_X>)(B + C_+ D);
ABD + ABC + AD + CD + ABC + ABD;
(2, 3, 7, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
(3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
247

5) fyiA, В, С, D) = (5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2 (А, В, С, D) = ABCD + ABCD + BCD + ABCD;
f3iA,B,C,D) = (0Ll,2,_5,6,10);_
6) /j(A, B, C, D) = AC + AB + ВС + AD + AB + ABD + ACD;
hiA, B, C, D) = (10, 11, 12, 13, 14, 15);_
/з(А, В, С, D) = ABDj- AC + BD + ABCD + ABCD + ABCD;
7) /j (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD;
hiA, B, C, D) = (5, 8, 9,10, 12, 14);
f3(A,B,C,D) = ABC+ AB +ABCD + ABCD + ABCD. _ (РАУД)
1) /j(A, B,C,D) = (A + B + C + D)iA + B + C + D)(A + B + C + D)(B + D);
hiA, B, C, D) = (3, 6, 7, 9, 10, 11, 13)j_
/з(А, B,C,D) = (A + B + C + ABC + BCD)(A + B + D)C;
2) fxiA, B, C, D) = (3, 5, 6, 7, 11, 12,13, 14, 15);
f2 (A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD + ABCD + ABCD;
hiA, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 7^8, 9);
3) /j (А, Б, C, D) = (A + C)(B + C)iA + C + £>)(A + В + D)(B + D);
hiA, B, C, D) = (1L2, 5,6, 7, 9L15);
/з(А, В, С, D) = ABC + ACD + BCD + AB + ABCD + ABCD±
4) /j(A, B, C, D) = ABD + BC + AB + BD + ABCD + ABC + BCD;
hiA, B, C, D) = (3^4, 7, 9, 10, 11, 13)^
/з(А, В, С, D) = CD + BCD + ACD + ABCD; _
5) /j(A, B, C, D) = (A + В + D)iB + C + D + ABC)(B + D);
hiA, B, C, D) = (2, 5, 6, 8, 11, 13, 14);
hiA, B, C, D) = (0, 6, 7, 8, 9, 10,12, 13);
6) /j(A, B, C, D) = ABC + ABCD + BCD + AD + AB + ABCD;
hiA, B, C, D) = (3, 4, 6, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14^5);
f3 (A, B, C, D) = AC + BCD + ABCD + ABD +_ ABCD;_
7) /j(A, B, C,D) = BD + AB + AC + ABC + ABCD + ABC + ACD;
hiA, B, C, D) = (5, 7, 10, 11, 13, 14, 15);
f3(A,B,C,D) = ABD + BD + BC + ABCD + AD. _ (АКПУ)
1) /j(A, B, C, D) = (A + С + D + BC)iB + C + £>)(B + C + D)(A + B);
hiA, B, C, D) = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12);
hiA, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 10, 11, 12, 14);
2) ЛСА, B, C, D) = (1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 15);
f2(A, B, C, D) = ABD + BD + ABC + ACD + ABC + ACD;
hiA, B, C, D) = (0, 4, 7, 9, 10, 12, 13, 14);
3) ЛСА, B, C, D) = (3, 5, 7,j), 11, 13,^5);
f2 (A, B, C, D) = ABD + ABD + BCD + ABCD + ABCD;
/з(А, В, С, D) = ABC + BCD + AB + D + ABD + BCD;
4) /j(A, B,C,D) = AC + BC + AB + ABC + BCD + ACD;
hiA, B, C, D) = (3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15);
/з(А, В, С, D) = ABD + ABC + BD + AD + ABCD;
5) /j(A, B, C, D) = ABD + AC + ABC + BD + ABCD;
hiA, B, C, D) = (0, 1,4, 7, Ю,_Щ_
f3 (A, B, C,D,E)=_AB + BCDE + АБ + BD + ABD;
6) /j(A, B,C,D) = (A + B + C)(B + C + D)(A + B);
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f2(A, В, С, D) = (6, 7, 8,10, 11,12,14, 15);
/з (А, В, С, D) = ABC + ABE + D + CD;
7) Д (А, В, С, D) = ABD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (^5,7, 9,10,11,13, 14,15);
f3(A, B, C,D) = ABD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD. _ (OHT5)
37. 1) f1(A,B,C,D) = (A + B + C + D)(B + C + D + CD)(B + C + D)(A + B);
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 2,3, 4, 5, 7, 8, 11, 12,14, 15);
2) Д (A, B, C, D) = (A + В + С + D)(A + B + ACD)(A + B + C);
f2(A, B, C, D) = (3, 4, 7, 12, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 15);
3) Л(А, В, С, D) = (1, 3, 5, 7 9,11, 13^5);__
Д>(А, В, С, D) = ABCD + ABD + ABCD + ABD + ABCD + ABD;
f3(A, В, С D) = ABD + ABD + ABCD + ABCD + ABCD + ABD;
4) fx(A, B, C, D) = (6, 7, 9, 10Л1, 12, 13, 15);
f2(A,B,C,D) = ABCD + ABC + ABD + ABCD;
f3(A, В, С D) = ABC + BD + ABCD + ABCD_+ ABCD; _
5) Д (A, B, C, D) = BCD + ABD + CD + ACD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4L7, 9, 10, 12, 13_, 14);_
/з(А, В, С, D, E) = ABD + ABC + BCDE + АБ + BD;
6) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABCD + BCD + ACD;
f2(A, В, С D) = (1, 2_, 4, 6, 7,8, 10,11, 12, ^4, 15);
/з(А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABE + AE + BCD;_
7) Д(А, В, CD) = ABD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 5Л, 9, 10, 11, 12^ 14^5);
f3(A,B,C,D) = ABCD + ABD + ABCD + BC + ABCD + ABCD.(AKblT)
38. 1) Д(А,В,С,£>) = (А + В + С + 1> + ВС£>)(В + С + £>)(В + С + 1>)(А + В);
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15);
2) Л(А, В, С, D) = (ЗЛ, 9, И, 12ЛЗ, 14, .15); _
f2 (A, B, C, D) = AC + BCD + BCD + BCD + ACD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 14);
3) MA,B,C,D) = (5, 7,8, 11,14);
f2(A, В, С, D) = ABC + AB + AC + ABC + ACD + ACD; _
f3(A, В, С D) = ABCD + ABD + ABD + BCD + AD + ABD + ABCD;
4) Л(А, В, С, D) = (6L7, 9, 10, 11, 12, 13, 15)^
f2 (A, B, C, D) = ABCD_+ ACD + ABC + ABD + ABCD;
f3(A,B,C,D) = AB + BD + ABCD + ABCD + ABCD;
5) Д (A, B, C, D) = ACD + AD + CD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 4J 7, 9L10, 12, 13, 14)^
/3(A, В, С, А £) = ABD + ABC_+ABCD +AD + BD + ABCD;
6) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + ACD;
f2(A, В, С D) = (1L2, 4,6, 7, 8,10, 11^12, 14, 15);
/з(А, В, С, D) = BCDj- ABD + AB + BCD + ABCD; __
7) Д(А, В, C,D) = ABCD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15);
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 249

/з (А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ВС + ABCD_ + ABCD. (ИММО)
1) /j (А, В, С, D) = ABCD + BCD + ABCD + ABCD;
f2(A, В, С, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14);
f3(A, В, С, D) = (1, 4, 5, 6, 8, 11, 14);
2) Л(А, В, С, D) = (О, 1, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14,15);
f2 (А, В, С, D) = ACD + AC + BCD + BCD + BCD + ABCD + AD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
3) ЛСА, B, C, D) = (1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 14, 15);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABC + ACD_ + ABC + ACD + ACD;
f3(A, B, C, D) = ABCD + ACD + ABD + BCD + AD + ABD + ABCD;
4) Л(А, В, С, D) = (1, 2,3, 4, 8, 9, 10, 15);
f2(A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABC + ABC_+ABC;
f3(A, B, C, D) = ACD + ACD + ABCD + ACD + ABC;_
5) /j (A, B, C, D) = ACD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (3, 6, 7, 9,10L11,12,13,14Л5); _
f3 (A, B, C, D, E) = BCD +_ABCD + ABCD + AD + BCD;
6) /j (A, B, C, D) = ACD + BCD + BCD + ACD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0L2, 4,6, 8, 9, 10, 11, 12);
f3(A, B, C, D) = BCD + ABCD + AB + BCD + ABCp;__
7) /j(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + ABD + ACD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4L5, 7,9, 10, 11,12, 14, 15);
/з (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ВС + ABCD. (ОЙЕТ)
1) /j(A, B, C, D) = ABC + ABD + BC + AB + BD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (0, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
f3(A, B, C, D) = (0, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
2) fx(A, B, C, D) = (3, 6, 7, 11, 12, 13, 14^ 15);
f2(A, B,C,D) = (A + B + C + ABD + BCD)(B + C + D)(A + B + D);
f3(A, B, C, D) = (0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13);
3) ЛСА, B, C, D) = (5, 7, 8, 9, 10, 11, 14_, 15);
f2(A, B, C, D) = ABC + AB + ACD + ABC + ACD + AC;
f3(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + AD + ABD;
4) ЛСА, B, C, D) = (0L2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13)^_
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABC + ABC;
f3(A,B,C,D) = ACD + ABCD+ ACD +ABC+ ACD;
5) /j (A, B, C, D) = ACD + CD + ACD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1,3, 6, 9, 10_, 11, 12, 13)^
f3(A, B, C, D, E) = ABD + ABCD + AD + BCD + BCD; _
6) /j (A, B, C, D) = ACD + ACD + ВС + BCD + ACD + ABCD;
f2(A, B, CD) = (2L4, 5, 6^8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
f3(A, B, C, D) = BCD + ACD + ABCD + ABCD + ABC;
7) /j (A, B, C,D) = CD + BCD + ABD + ACD + BCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1,2, 3, 4, 10, 11, 12114, 15)^
f3 (А, В, С, D) = ABCD + ABD + BCD + ВС + BCD. (XTK)
1) Л(А, В, С, D) = (4, 5, 6, 7, 12, 13, 14,^5);
f2 (A, B, C, D) = ABC + ACD + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13);
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

2) Л(А, В,
f2(A, В,
f3(A, В,
3) Л(А, 5,
Ш. Д
Й(ЛД
4) А (А, В,
w. д
f3(A, В,
5) А (А, В,
f2(A, В,
ЫА,В,
6) Л(А, В,
/2(А,Д
/з(А, В,
7) А (А, В,
М-А, Д
/з(А, В,
42. 1) Л(А, В,
/г(Л Д
/з(А, В,
2) Л(А, В,
/г(Л Д
/з(А, В,
3) Л(А, В,
/ИЛ Д
/з(А,Д
4) А (Л В,
f2(A, В,
f3(A,B,
5) А (А, В,
w. д
/з(Л Д
6) Л(А, В,
/2(А,Д
/з(А, В,
7) АС-А.Д
А>(Л Д
Ш, в,
43. 1) Л(А, В,
f2(A, В,
Ш, В,
2) Л(А, В,
/ИЛ Д
/з(А, В,
3) Л(А, В,
,С,£>) = (5, 6, 7, 12, 13, 14, 15);
, С, D) = ABC + BCD + ACD + ABCD + ABCD;
,C,D) = (0, 1,2,3,4, 7, 10,14);
, C, D) = (3, 5, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15);
, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABC + ACD + AC;
, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD_+ BCD + AD + ABD;
,C,D) = (B + C + D + ABD)(A + B + C + D)(A + B)(A + C + D);
,C,D) = (3, 4, 6, 11, 12, 13, 14);_
,C,D) = ABCD+ AB +BCD + BCD+ BD;
,C,D) = (A + B + C)(A + B + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D);
,C,D) = (2, 5, 6, 7, 12, 13, 14);
, C, D) = A + BCD + BCD + ABCD;
,C,D) = (3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
, C,D) = ABCD + ABC + ABC + BCD + BCD;
,C,D) = (0, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12);
, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD; _
, C,D) = ABCD + ABD + BCD + AC + CD;
,C,D) = (0, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14). (АПМЗ)
, C, D) = (0, 2, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14);
, C, D) = ABC + ACD + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
, CD) = (1,4, 5,8,9, 12, 13);
, C, D) = (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 13, 14);
, C, D) = ACD + ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
,C,D) = (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 14);
, C, D) = (3, 7, 9, 10, 11, 12,_13, 14, 15);
, C, D) = ABC + ABCD + ABCD + ABC + ACD + AC;
, C, D) = BCD + ABCD + ABCD +_BCD + AD + ABD;
,C,D) = (B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C)(A + C + D);
,C,D) = (0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14);
, C, D) = ABD + ABCD + ABCD + ABCD + BD;_
, C, D) = ABCD + ABCD + ABC + AB + CD + ACD;
,C,D) = (5, 7, 9_, 11, 13,14, 15);
, C, D, E) = ABCD + ABC + ABCD + ABCD;
,C,D) = (3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
, CD) = ABCD + ABCD + BCD + BCD + ABCD;
,C,D) = (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12);
, C,D) = ABCD_+ ABCD + ABD + ABC + ВС + ABD;
, C, D) = ABCD + BCD + BCD + ABC + BD;
,C,D) = (4, 5, 7,8, 11,14). (CHAH)
, C, D) = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14);
, C, D) = ACD + ABC + ACD + ABC + ABCD + ABCD;
, CD) = (1,2, 4, 5,8, 9, 12, 13);
, C, D) = (0, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 13, 14);
, C, D) = ACD + ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
,C,D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 14);
, C, D) = (3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
251

f2 (А, В, С, D) = ABC +_ABCD+_ABCD + ABC + ACD + AC;
f3(A, B, C,D) = AD + BCD + ABCD + ABCD + BCD + ABDL
4) /j(A, B,C,D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C)(A + C + D);
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2,_3, 4L6, 7, 11, 12, 13^ 14); _
f3(A, B, C, D) = BCD + ABCD + ABCD + ABCD + BD;_
5) /j(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABC + AB + CD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (4, 5, 7_, 9, 11 1_3, 14, 15);
f3(A, B, C, D, E) = ABCD + ABC + ABCD + ABCD;
6) fx(A, B, C, D) = (3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B, C,D) = BCD + ABCD + ABCD + BCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (1, 2, 3, 4_, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12);
7) /j (A, B, C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABC + ВС + ABD;
f2(A, B, C,D) = ABCD + BCD + ABCD + ABC + BD;
f3(A, B, C, D) = (1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12L13, 14). (XOTO)
1) /j (А, В, С, D) = ABCD + BCD + ACD + BCD + AD + CD;
f2(A,B,C,D) = (A,l, 10, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12);
2) Л(А, В, С, D) = (1, 2, 3,5, 6, 7, 12, 13, 14);
f2 (A, B, C, D) = BCD + ABCD + ABCD + ACD + ABCD;
f3(A, В, С, D) = (3L4, 7, 8, 10, 11, 12, 14);
3) /j (А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + CD;
f2(A, В, С, D) = (3,5,8, 11,13, 15);
f3(A, B, C, D) = (0, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
4) Л(А, В, С, D) = (3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);_
f2(A, B, C, D) = (A_+ B + C_+ AD)(B + C_+ D)(A + C + D);
f3(A,B,C,D) = ACD + ABC + ACD + ABC_ + ABD;
5) /j (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ACD + ABD + AC;
f2(A, B, C, D) = (6, 7,8, 9,13, 14,15); _
f3(A, B, C, D) = ABCD + BCD + ACD + ABC + BCD;
6) f^A, B, C, D) = (3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + BCD;
f3(A, B, C, D) = (5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
7) f^A, B, CD) = (5, 6, 7, 10,11, 13, 14, 15);
f2(A, B, C,D) = ABCD + ABCD + ABD + ABD + ВС + CD;
f3(A,B, C,D) = (1,2, 4, 5, 7, 8, 11 ,_12, 14). __ (ХАДД)
1) b(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + BC + AB + BD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (0, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
f3(A, B, C, D) = (0, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
2) fx(A, B, C, D) = (3, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, B, C, D) = (ABD + A + B + C)(B + C + D)(A + B + D);
f3(A, B, C, D) = (0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13);
3) fx(A, B, C, D) = (5, 7, 8, 9, 10, 11, 14_, 15);
f2(A, B, C, D) = ABC + AB + ACD + ABC + ACD + AC;
f3(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD + AD + ABD;
4) fx(A, B, C, D) = (0L2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13)^
f2 (A, B, C, D) = ABC + ABCD + ABCD + ABC;
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f3(A, В, С, D) = ACD + ACD + ABCD + ACD + ABC;_
5) Д (A, B, C, D) = CD + ACD + ABCD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 6, 9Л0, 11, 12, 13)^
f3(A, B, C, D, E) = BCD + ABD +_ABCD_+ AD + BCD; _
6) Д (A, B, C, D) = ACD + ACD + ВС + BCD + ACD + ABCD;
f2(A, B, CD) = (2,4, 5, 6^8, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
f3(A, B, C, D) = BCD + ACD + ABCD + ABCD + ABC;__
7) Д(Л, B, C,D) = BCD + BCD + ABD + ACD + CD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0^ 1, 2, 3_, 4, 10,11, 12^ 14, 15)^
f3(A,B,CD) = BCp + ABD + BC + BCD + ABCp. _ _ (BAK2)
46. 1) Д (А, В, С, D) = ABCD + ABC + BCD + CD + ABC + ABCD + BCD;
f2(A, В, С, D) = (3, 5, 8, 9, 10, 13);
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10);
2) f1(ArB,CD) = (7,M, 15);
f2(A, B, C, D) = (AB + A+_B + C + CD)(A + B + D)(B + C + D);
f3(A, B,CD) = (A + B + C)(B + D + ABC + BCD)(B + D)C; _
3) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABC + ABCD + ACD + ACD + BCD;
f2(A, B, C, D) = (1, 3,4, 6, 7, 8, 9, 10Л1, 12,_14115);__
f3(A, В, С, D) = ABCD + BC + ABJl + ACD + ACD + ABCD;
4) Д (А, В, С, D) = ABD + ABCD + ABCD + BCD + ABC;
f2(A, В, С, D) = (3, 4, 5, 7, 9, 13, 14, 15);
f3(A, B, C, D) = (0Л, 9, 10, 11, 12, 13, 14);
5) Д(А, В, С, D) = ABCD + ABD + BCD + AD + ABD + ACD;
f2(A, В, С, D) = (3,7, 9^ 11, 14, 15)^
f3(A, B, C, D) = (AB + AB)(B_+ С + D)(A + В + D)(C +_D);
6) Д (А, В, С, D) = ABCD + BCD + BD + ABC + ACD + ABD + ABCD;
f2(A, B, CD) = (1, 2_, 4, 6Л, 10, 14);
f3 (А, В, С, D) = ABC + BC + BD + ACD + BC_+ ABCD;
7) Д(А, В, C,D) = ABC + ABCD + ABCD + ABC + ABD + ABC;
f2(A, В, С, D) = (3, 4, 6, 7, 10, 12);
f3(A,B,CD) = (0, 5, 7, 11, 12, 13, 14). _ (И334)
47. 1) f1(A,B,C,D) = (BD + A + B + C + D)(B + C + D)(B + C + D)(A + B);
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15);
f3(A, В, С, D) = (5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15);
2) Л(А, В, С, D) = (3L7, 9, 11L12L13, 14, 15);
f2(A, В, С, D) = ABCD + AC + BCD + BCD + BCD + ACD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (0, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 12, 13, 14);
3) f1(A>B,C,D) = (5, 7,8, 11,14);
f2(A, В, С, D) = ABCD + ABC + AB +_AC + ABC + ACD + ACD;
f3(A, В, С D) = ABCD + AB + AD + BCD + AD + BD + CD;
4) Л(А, В, С, D) = (6, 7, 9, ЮЛ 1, 12, 13, 15)^
f2 (А, В, С, D) = ABCD + ABCDj ACD + ABC + ABD;
f3(A,B,C,D) = ABCD + AB + BD + ABCD + ABCD; _
5) Д (А, В, С, D) = ABCD + ACD + AD + CD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (0, 1, 4, 7, 9, 10_, 12, 13, 14);
f3(A, В, С, D, E) = ABCD + ABD + ABC + ABCD + AD + BD;
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 253

6) /j (А, В, С, D) = ACD + ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
f2(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 6, 7, 8L10, 11 12, 14J 15);
f3 (A, B, C, D) = ABC + BCD + ABD + AB + BCD + ABCD;_
7) /j (A, B, C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + ACD + ABC + ABCD;
f2(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 11Л2, 14, 15); _
f3(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ВС + ABCD + ABCD. _ (Б0Н8)
48. 1) f1(A,B,C,D) = (AD + A + B + D)(A + C)(B + C)(A + B + C + D);
f2(A, B, C, D) = (3, 4, 5, 7, 11, 14); _
f3(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + BD + BC + A;
2) fx(A, В, С, D) = (5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
f2(A, В, С, D) = (5, 6, 7, 8, 11, 14, 15);
/3(A, B, C, D) = (0, 4, 7, 10, 11, 12, 13,14); _
3) /j(A, B,C, D) = AC_+ AD + ABC + ABCD + ABCD;
f2(A, В, С, D) = ABC + ABCD + AB + AC + BC + CD;
f3(A, B,C, D) = BCD + ACD + CD + ABCD + ABCD;
4) /j (А, В, С D) = ABCD + ABCD + BCD + CD + AD + ABCD;
f2(A, B, CD) = (2, 3, 4, 8, 12, 13, 14); __
f3(A, B, C, D) = ABCD + BD + ABCD + AC; _
5) /j(A, В, С D) = ABCD + AB + BD + ACD + BCD + AB;
f2(A,B, CD) = (1,2,4,8, 10, 11);
f3(A, B, C, D) = B(ABC + BCD + A + C)(B + D);
6) fyiA, B, C, D) = (7, 11, 12, 13,14,15); _
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + AB +_AC + BCD;
f3(A, B, C, D) = (BD + A + B + C)(B + D)(B + C + D);
7) Л(А, В, С, D) = (2, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15);
f2(A, В, С, D) = (0, 5, 6, 7 И, 12,13, 14);
/з (А, В, С, D) = ABCD + ABC + ABC + BCD + ABC (РИФ9)
49. 1) ^(A, В, С, D) = (5, 6, 7,9, 10, 11,13, 14, 15);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABD;
f3(A, B, C, D) = (0, 8,9, 10 Л1, 12);
2) /j(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABC + ABC + ABC + ABC;
f2(A, В, С, D)j= (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15);
f3(A,C) = AC + AC;_
3) /j (A, B, C, D) = ABCD + ABC + ACD + ABD + ACD;
f2(A, B, C, D) = (4, 6L8, 10, 11, 14);_
f3(A, B, C, D) = (ABD + B + C +_D)(A + В +_D)A;
4) /j(A, B, C, D) = (AB + A + C + D)(A + B + D)(A + B + C)D;
f2(A,B,C,D) = (5,8,9, 10, 11, 15);
f3(A, B, C, D) = ABD + ABCD + ACD + ABCD + D;
5) fx(A, B, C, D) = (3L5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14);
f2 (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABD + BCD + ABD + ACD;
f3(A, B, C, D, E) = (l, 2, 3, 12, 18, 25, 26);
6) /j(A, B, C, D) = (ABD + A + B + D)(BCD + A + C + D)(A + D);
f2(A, B, CD) = (6, 7, 8L9, 10, 14); _
f3(A, B, C, D) = (BD + A + B + C)(AC + B + C + D)(B + D);
7) fx(A, B, C) = (1, 3, 5, 7);
254
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

f2 (А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABC + BCD + ACD + AC;
f3(A,B,C) = (0,3,5,6). (ТОКЛ)
50. 1) ^(A, В, С, D) = (0, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 14);
f2(A, В, С, D) = (5, 6, 7, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15);
f3(A, В, С, D) = (5,6, 7, 8, 11, 14, 15);
2) Д(А, В, С, D) = (BD + A + B + D)(A + С)(В + С)(А + B + C + D);
f2(A, В, С, D) = (3, 4,5, 7, И, 14); _
/з(А, В, С, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BD + BC + A;_
3) Д (A, B, C, D) = ABCD + ABCD + AC + AD + ABCD + ABCD;
f2(A, B, C, D) = ABC + ABCD + AB +AC + ВС+ CD;
f3(A,B,C,D) = ABCD + CD + ABCD+ ABCD±
4) Д (A, B, C, D) = ABCD + BCD + CD + AD + ABCD + ABCD;
/2(A,B, CD) = (2, 3,4, 8, 12, 13, 14); __
/з(А, В, С, D) = ABCD + BD + ABCD + AC + ABCD;
5) Д(А, В, С, D) = ABCD + ACD + AB + BD + BCD + AB;
f2(A, B, C, D) = (1, 2, 4, 8, 10,11);
/з(А, В, С, D) = B(A + BCD + C)(B + D)(BCD + B);
6) Л(А, В, С, D) = (7, И, 12_, 13, 14, 15); _
/2(A, В, C,D) = ABCD + AB + AC + BCD_+ ABCD + ABCD;
f3(A, B, C, D) = (ABD + A + B + C)(B + D)(B + C + D);
7) Л(А, В, С, D) = (2, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15);
f2(A, В, С, D) = (0L5, 6,7, 11, 12,13,14);
f3(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABC + BCD + ABCD. (КИС2)
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА) 255

ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
9.1.
ИЗОБРАЖАЮЩИЕ ЧИСЛА
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть дана некоторая функция трех аргументов, например:
f = АВ + ВС + ВС.
Представим ее в виде набора номеров минтермов:
/=(0,3,4,5,7).
Всего существует восемь минтермов трех аргументов.
Расположим их в один ряд, начиная с т0, и единицами
отметим минтермы, входящие в заданную функцию, а
остальные минтермы обозначим нулями:
то пи т> т-л тл m.-> nir, пи
10 0 1110 1
Единицы и нули образуют восьмизначное двоичное
число, которое называют изображающим числом функции / и
обозначают знаком # [9]:
ЩАВ + ВС + ВС) = 1001 1101.
Если та же функция зависит от четырех аргументов, то
#(АВ + ВС + ВС) = 1100 ООН 1111 ООН.
Таким образом, одна и та же функция может быть
представлена различными изображающими числами в
зависимости от числа фиктивных переменных.
Изображающее число можно рассматривать как особый
вид карты Вейча с линейным расположением минтермов. На
рис. 9.1 приведена линейная карта четырех переменных, в
клетках которой записаны номера соответствующих
минтермов, а на рис. 9.2 изображена та же карта с нанесенной на нее
функцией
/ = ABC + BCD + BC = (0,1, 7,8, 9,10,11,15),
изображающее число которой имеет вид
#(ABC + BCD + BC) = 1100 0001 1111 0001.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 9.1
Рис. 9.2
В
В
С
С
D_
0 | 1 | 2
D
D
D_
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
D
9
D
10| 11
12
D
13|14
D
15
| 1
1
0
|о_
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
В данной работе требуется найти изображающие числа трех функций, из
которых первая функция в каждом задании зависит от трех аргументов, а
остальные две — от четырех. Полученное изображающее число необходимо
представить в двоично-шестнадцатеричной системе счисления, пользуясь
следующим представлением шестнадцатеричных цифр (слева указано
двоичное число, а справа соответствующая ему шестнадцатеричная цифра):
0000 — 0, 0001 — 1, 0010 — 2, ООН — 3, 0100 — 4, 0101 — 5, ОНО — 6,
0111 — 7, 1000 — 8, 1001 — 9, 1010 — А, 1011 — В, 1100 — С,
1101 — D, 1110 — Е, 1111 — F.
Пример 1. Найти шестнадцатеричное изображающее число функции
/(А, Б, С) = ABC + АС + ABC.
Эта функция зависит от трех переменных, следовательно,
#(АВС + АС + ABC) = 0010 1110 = 2Е.
Ответ: 2Е.
Пример 2. Найти шестнадцатеричное изображающее число функции
f(A, BfC,D) = AB + ACD + BCD.
Функция зависит от четырех переменных, следовательно,
изображающее число удлинится вдвое по сравнению с предыдущим примером:
ЩАВ + ACD + BCD) = 0010 1111 ОНО 0100 = 2F64.
Ответ: 2F64.
Задания
для самостоятельной работы
Представить в виде изображающих чисел нижеприведенные функции.
Ответы записать в шестнадцатеричной системе счисления.
1. а) /(А, В. С) = АВС + ABC + АВС;___ (ПДУ)
б) /(А, Б, С, D) = BCD + BCD + ABCD; (63A)
в) f(A, Б, С, D) = ACD + ABC + BCD. (P73)
2. a) f(A, Б, C) = ABCjK ABC + АБС;__ (78Р)
б) /(А, Б, C, D) = ACD + BCD + ABCD; (НОДИ)
в) /(А, Б, C, D)_= ACD + ABC +_ABCD. (КАСЛ)
3. а) /(А, Б, C) = ABC + ABC + ABC; (ПИЙВ)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
257

НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
\№,В,С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
НА, В, С,
НА, В, С)
НА, В, С,
= ABCD + BCD + BCD;
= ACD +_АВС + ABCD.
АВ + АВС + ABC + ВС;
= ABD + BCD + BCD + ABCD;
=_ACD +_ABC + ABCD + BCD.
АВ + АВС + ABC + ВС;
= ABD + BCD + BCD + ABCD + BCD;
= ACD + ABC + ABCD + BCD + ABD.
ABC + ABC + ВС;
= BCD + BCJl + ABCD + BCD + BCD;
= ABC + ABCDJ BCD + ABD + BD.
ABC + ABC + ВС + АВС;
= CD_ + BCD + ABCD_ + BCD;
=_ABC + ABD + BCD + ABD + BCD.
ABC + BC + ABC;__
= CD_+ BCD + BCD + BCD;
=_ABC + BCD + ABD + BCD.
ABC + BC + ABC;_ _
= CD_ + BCD +jACD + ABD;
=_AB + BD + ABD + BCD.
ABC + ВС + AC;
= CD_ + BCD + BCD + CD; _
=_ABD_+ BCD + ABD + ВС + BCD.
AC + BC + AC;
= ACD + BCD + BCD + ACD;
=_ABC + ABCD + ABD + ВС + BCD.
AC + AB + AC;
= ABD + ACD + BCp + ACD + BD;
=_ABD + ACD + ABC + ВС + BCD + BCD.
AB + AB + AC;
= ABCD + ACD + ABCD + BD; _
= ABD + ABC + ABC + BCD + BCD.
= BC+ABC;
D) = C + AB + BD;
D) = AC + AB + AB + BD.
= AB + AC;
D) = A + BD + BD + CD;
D) = C + BD + AD._
= AC + ABC + ABC;
D) = AC + BD + AD + BCD;
D) = D + AB + BC.
= AB + BC;
D) = AC + AD + BC + BD;
D) = ABC + ABD + ABD + ABC.
= AB+_ABC; _
D) = AC + ABD + BC + BD;
(ГИНЫ)
(ХАФО)
(37AA)
(ГА26)
(TABO)
(ДИХТ)
(ИХЦБ)
(ГОША)
(КЕЛЬ)
(ФИОД)
(90ДИ)
(27АА)
(ТИЛЗ)
(ВИЗО)
(56ЯС)
(ОЛБС)
(ИС77)
(УМОО)
(ОЙТ8)
(ЕКНО)
(ШИЯХ)
(ГОТН)
(ИСЯШ)
(ЦУ27)
(ЗИРК)
(77СК)
(СС83)
(88НП)
(29Г1)
(98ТН)
(3379)
(10РД)
(ОЗВО)
(6ЯГС)
(ЕКСЕ)
(КЗОЗ)
(96УШ)
(8А25)
(МИ2Т)
(ИВЭР)
(ВЧТТ)
(МИЮД)
(СОВС)
(Г80С)
(ВЗВ4)
(70РЕ)
258
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

) f(A, В, С, D) = BCD + ABCD + AB + BCD + BCD.
) f(A, B, C) = AC + ABC;
) f(A, B, C, D) = BD + ACD + ABC + ABC + AD;
) f(A, B, C, D) = ACD + B + ACD.
) f(A, B, C) = BC + ABC;
) f(A, B, C, D) = ABD + CD + AB + AC + BD;
) f(A,B,C,D) = B + C + AD + AD.
) f(A, B, C) = ABC + ABC + ABC;
) f(A, B,C,D) = CD + АВ + ВС + AD;
) f(A, B,C,D) = BD + AD + ACD + BCD.
) f(A, B,C) = AB + ABC;
) f(A, B, C, D) = ABCD + CD + ABC + AD;
) f(A, B, C, D) = CD + CD + ABD + ABC.
) f(A, B, C) = ABC + AB;
) f(A, B, C, D) = ABCD + AC + AB + BD + CD;
) f(A, B, C, D) = ABD + BC + AD + AB + CD.
) f(A, B, C) = ABC + AC + ВС;
) f(A, В, С, D) = AC + BC + CD + CD;
) f(A, B,C, D) = AB + AD + AC + ACD + BCD.
) f(A, B,C) = AB + ABC;
) f(A, B,C,D) = AD + CD + ABC;
) f(A, B,C,D) = BD + AD + ABC + ACD + BCD.
) f(A, B, C) = AC + BC + ABC;
) f(A, B,C,D) = AC + AD + ACD + BD + ВС;
) f(A, B,C,D) = AD + AB + ABD + BCD + ACD.
) f(A, B,C) = AB + AC;
) f(A, B,C,D) = A + BD + BD + CD;
) f(A, B,C,D) = C + BD + AD.
) f(A, B, C) = AC + BC + ABC;
) f(A, B,C, D) = AC + BD + AD + BCD;
) f(A, B,C,D) = D + BC + AB.
) f(A, B, C) = AC + ABC;
) f(A, B, C, D) = ACD + AC + ABD + BD + AB + CD;
) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + BCD + AD.
) f(A, B,C) = AC + AB + ABC;
) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD + BCD;
) f(A, B, C, D) = AC + AC + BCD + BCD + ABD.
) f(A, B, C) = ABC + AB + ABC;
) f(A, B, C, D) = ABC + BCD + ABCD + ABCD;
) f(A, B, C, D) = ACD + ABC + BCD + BD.
) f(A, B,C) = AC + AB + ВС;
) f(A, B,C,D) = AB + ABC + BD + ACD;
) f(A, B, C, D) = BCD + BCD + ABCD + ABCD.
)f(A,B,C)=AC + BC;
) f(A, B, C, D) = ABC + ABD + BC + AC;
) f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ACD + ВС.
(ШИУС)
(РИС5)
(9CHA)
(ШОЛА)
(СИТУ)
(ООЕЧ)
(ЛИМБ)
(СИФП)
(ЖИНД)
(3374)
(65ИЖ)
(В459)
(44ЭТ)
(СИВА)
(ТИЯЗ)
(РИЕЖ)
(МИ76)
(НЕПА)
(РОПШ)
(ВМНА)
(1980)
(ГРУШ)
(ТВ24)
(УХ38)
(ОЙ2А)
(ЛИМИ)
(РОНБ)
(ЛА45)
(МИАГ)
(8215)
(ГАРС)
(К457)
(4484)
(ЕКГ5)
(4320)
(ПИНЦ)
(93ВК)
(76ШЕ)
(НОРС)
(ТЕГГ)
(8041)
(ЕКОЙ)
(ДИЯН)
(ГУИК)
(КНЯуК)
(РЕВЖ)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
259

f(A,B,C) = BC + BC±
/(А, Б, С, D) = ABCD + BCD + ABD + CD;
А, Б, C, DH_ABC_+ ABC + ABCD + 5CD.
/(А, Б, C) = АБС + ABC + ABC +^ABC;_
/(А, Б, C, D) = ABD +_ABC_+_ABCD + £CD;
/(А, Б, C, D) =jAB_+_AC_+ CD + ABCD.
/(А, Б, C) = AC + ЯС + ABC; _
/(А, Б, C, D) = ABC + ACD_ + BCD + ABCD;
А, Б, C, D) =_ABCD + ABCD + BD + AC.
/(А,Б,С) = АБ + АБ; __
/(А, Б, C, D) = ABC + BCD + ACD + ABCD;
/(А, B, C, D)=_BCD + BCD+_AB + CD.
А, Б, С) = AB +_ABCjK ABC; _
А, Б, C, D) = ABC + BCD + AC + BD;
А, Б, C, D) = BCD^ ACD^BCD + ABD.
А, B, C) = ABCjkABC + ABC;____
/(А, Б, C, D) = BCD_+ ABCD + ABCD + AC;
А, Б, C, D) = ABD + ABD + CD_+ CD.
A, B,C) = AB + BC + ACjh ABC; __
А, Б, C, D) = ABC + ABD + BC + CD;
А, Б, C, D) =jABD + BCD + ABCD + CD.
f(A,B,C) = AB + BC + AC±
А, Б, C, D) = ABC + ABD + ABCD + ABC;
А, Б, C, D) =_BCD+_ACD + ACD + CD + CD.
А, Б, C) = ABC + AC+JLB; _ _
А, Б, C, D) = ABC + BCJl+ABD + CD + CD; _
А, Б, C, D) =^ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
/(А, B, C) = ABC + ВС +^АС_+ АБ^ _
/(А, Б, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + BCD;
/(А, Б, C, D) =_5D + ВС + AC + AB + CD.
/(А, Б, С) = ABC +J3C + AC + AB^
/(А, Б, C, D) = ABCD H-ACD + ABC;
/(А, Б, C, D) = ACD + ABC_+ ACD + ABD.
/(А, Б, C) = ABCjkABC + ABC;_
/(А, Б, C, D) = ABC + ABD + ACD + ABC;
А, Б, C, D) = BCD + BCD^ ABC + BCD.
/(А, Б, C) = ABC + ABC + ABC;
А, Б, C, D) = AC_+ ABDjf CD;_
/(А, Б, C, D) = ACD + BD + ACD.
/(А, Б, C) = ABCjK ABC + ABC;
A,B,C,D) = AC + ACD + ABD;
А, Б, C, D) = EC + ACDjK BCD + ACD.
/(А, Б, C) = AB + ABCjK ABC,^ _
/(А, Б, C, D) = ABC + ACD + ABC + ABC;
/(А, Б, C, D)=_BD_+_ABC + АБС.
А, Б, С) = БС + AB + ABC;
(6616)
(ЗАЯЛ)
(УС53)
(HHC1)
(НООП)
(ЧИУТ)
(5619)
(K426)
(ЦУГА)
(314П)
(BBHP)
(Г0Г5)
(ТАЯХ)
(Э755)
(ВАЯС)
(65C6)
(БЕЯМ)
(P478)
(ХИТР)
(ЕУЕФ)
(ЖАФО)
(ЮЛПО)
(ЧИЙН)
(802H)
(95ИР)
(ЛИММ)
(34БЖ)
(ДИТЯ)
(54ЛА)
(KB75)
(Д026)
(EMOO)
(КИГЭ)
(BM74)
(ЖУАК)
(НУВУ)
(ГНЭГ)
(ЗИ8Я)
(KPEC)
(ГТА2)
(BOBH)
(ЗУНД)
(23PO)
(HAM5)
(66ДО)
(0909)
260
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) f(A,B,C,D) = j№C + ABC + ABCD + ABCD; _ _ (55ПУ)
в) /(А, Б, С, D) = BCD+^ABCD + £CD + ABD + ABC. (5544)
50. а) /(А, Б, C) = ABC + ABC + АБС; __ (КУИР)
б) /(А, Б, C, D) = ABCD ^АБС + ABC; (4392)
в) /(А, Б, С, D) = ACD + BCD + ABCD. (Д47А)
9.2.
МИНИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ ДНФ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ
ИЗОБРАЖАЮЩИМИ ЧИСЛАМИ
В предыдущем подразделе приведены задачи по нахождению
изображающих чисел для булевых функций, заданных в ДНФ. При этом найденные
изображающие числа требовалось представить в двоично-шестнадцатеричной
системе. Данный же подраздел посвящен обратной задаче: по двоично-шестнадца-
теричным изображающим числам требуется найти минимальные ДНФ функций,
полагая, что они зависят от переменных А, Б, С, D. При переводе шестна-
дцатеричных цифр в двоичные пользоваться следующим соответствием:
0000 — 0, 0001 — 1, 0010 — 2, ООН — 3, 0100 — 4, 0101 — 5, ОНО — 6,
0111 — 7, 1000 — 8, 1001 — 9, 1010 — А, 1011 — В, 1100 — С,
1101 — D, 1110 — Е, 1111 — F.
Пример. Дано двоично-шестнадцатеричное изображающее число 3AF7.
Найти минимальную ДНФ булевой функции, соответствующей этому числу.
Определить число знаков дизъюнкции и число букв минимальной ДНФ.
Решение. Переводим заданное изображающее число в двоичную систему:
ООН 1010 1111 0111.
Согласно записи этого двоичного числа получаем СДНФ функции:
/= (2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15).
Ее минимальная ДНФ имеет вид
/ = А0 + БС + АВ + С5 + ABD.
Ответ: 4, 11 (т. е. минимальная ДНФ содержит четыре знака
дизъюнкции и 11 вхождений переменных).
Задания
для самостоятельной работы
Найти минимальные ДНФ булевых функций, заданных
изображающими числами. Для контроля указать число знаков дизъюнкции и число букв
минимальной ДНФ.
б) 7ВА2 (ГИО).
б) Е57А (КАМО).
б) 752Е (НАДР).
б) ED9B (КУОК).
1.
2.
3.
4.
а)1774
a) F50F
a) FBB5
а)8934
(НКТ)
(НД8)
(23ЕГ)
(МИ23)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
261

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
a) 7FA5
a) FDCD
a) FDB9
a) D77D
a) CBFA
a) 0DF3
a) 77EE
a) FF65
a) 7FE7
a) 1DBD
a) 3375
a) 5FF5
a) 7157
a) 33A7
a) 3FB7
a) 3D77
a) 7F7A
a) 73E0
a) 7E33
a) 73D2
a) 3CDE
a) 9B9F
a) 7A9D
a)E377
a) EEB2
a) 5FE4
a) 75FB
a) 6127
a)7784
a) 6FA1
a) 5D6C
a)E373
a) 2DDC
a) D9DC
a) 7767
a) 3EF3
a) D99D
a) E9E9
a) 3795
a) AEF8
a) F325
a) 9433
a) D89D
a) EFAB
a) 85B6
a) C5B7
(ЛИОМ)
(6551)
(ЛИАЗ)
(УРРЗ)
(ДОЗЛ)
(ШИ80)
(2442)
(23ЛИ)
(ВИНЬ)
(54ЯХ)
(ПИ72)
(ЕРЖУ)
(УКРУ)
(МИХО)
(И521)
(ВЕ97)
(05КЕ)
(572Р)
(УЛЗИ)
(КАКП)
(23Ф7)
(78АП)
(ЗЗЕЕ)
(80Ж7)
(ААПХ)
(НВУС)
(94СВ)
(ЛЕОЧ)
(В078)
(УКРЯ)
(УК36)
(ИГОШ)
(УМРТ)
(774Б)
(ДЕЯН)
(КИ88)
(ДОЗС)
(ТОЙ7)
(ДИЗО)
(802Л)
(НИДО)
(400Д)
(20ТМ)
(ООР7)
(08УЗ)
(ТИЙО)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
9DB9
2EF4
F83D
ЕВ98
BC9D
Е57А
ВС9Е
C79D
69D5
3DEB
EDDE
3553
773С
3695
B1DD
7CFD
5679
866D
77F7
7FBA
6997
7СЕ7
CFEF
77AD
В6В5
1Е71
5592
3769
73А7
В2А9
177В
DDD8
795А
77Е5
3DE7
7DB6
6295
CFED
9С74
6AF6
2614
651D
F894
70F3
7867
0375
(К06В)
(ИКИП)
(ИЛОЧ)
(НУСС)
(БУЭЦ)
(ХАЕХ)
(НЦГ)
(МИАЛ)
(ГИНО)
(БИЙК)
(НЕСП)
(К468)
(ЖИГО)
(ЕНТШ)
(ВЕИН)
(ИСИЗ)
(ОИХО)
(55ВМ)
(66РГ)
(9989)
(32ЭВ)
(77ЮН)
(44ЕС)
(УУРШ)
(ОНДО)
(ОКХО)
(ПИАЧ)
(РОЙС)
(ТОЯЧ)
(ЕРТ8)
(ЕНРЕ)
(ФТОР)
(ТУЯС)
(99Д9)
(ЛЕОА)
(ГАНС)
(90ВЛ)
(НОМ7)
(КЕМУ)
(6084)
(500С)
(ЗОЗГ)
(10ТТ)
(096Н)
(07УФ)
(064Г)
262
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

9.3.
РЕШЕНИЕ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ИЗОБРАЖАЮЩИХ ЧИСЕЛ
В данном подразделе рассматриваются булевы уравнения вида
щХ + ф2Х = /,
где ф1? ф2, /— явно заданные функции; X — неизвестная функция,
зависящая от тех же аргументов, что и функции ц>19 ф2, f; X — инверсия
неизвестной функции.
Все подобные уравнения могут быть решены с помощью изображающих
чисел. Поясним это на примере.
Пример. Решить булево уравнение для случая, когда функции ц>19 ф2 и /,
зависящие от четырех переменных А, В, С, D, имеют вид
ф1 = (3,4, 5, 9, И, 13, 14,15);
ф2 = (0,1, 3,6, 8, 10, И, 12);
/ = (0,3,4,6,9,11,12,14).
Определить:
а) наборы (в десятичной системе), на которых функция Х(А, В, С, D)
равна единице;
б) наборы (в десятичной системе), на которых функция Х(А> Б, С, D) не
определена;
в) число знаков дизъюнкции и число вхождений переменных для
минимальной ДНФ функции Х(А, В9 С, D).
Представим заданное уравнение изображающими числами, как
показано на рис. 9.3.
Решение уравнения начнем с нулевого минтерма (первая слева колонка).
На наборе 0000 (когда A = B = C = D = 0) имеем
0 х0+1 *о =1-
В этом выражении первое слагаемое, содержащее нуль, равно нулю
независимо от значения переменной х0. Чтобы равенство выполнялось, второе
слагаемое должно быть равно единице. Для этого необходимо принять х0 = 0.
Точно такая же ситуация имеет место еще в двух колонках, где находятся
переменные х6 и х12. Следовательно, х0 = х6 = х12 = 0.
J
&\
+
&<
Г#ф, = 0 0
[#Х = хо *i
\Щ = 1 1
\#Х = х0 х,
0 1
*2 *Э
0 1
х2 х,
110001010111
Л4 -*5 *6 Х1 *8 Х9 Х\0 Х\\ Х\2 X\l XU Х}5
00101011 1000
*4 *5 ХЬ Х1 ХЪ Х9 Х\0 Х\\ Х\2 Х\1 Х\А Х\5
#/=1001 10100101 1010
Рис. 9.3
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 263

Согласно второй колонке (ей соответствует переменная хх):
О хг +1 хх = 0.
Чтобы выполнялось это равенство, необходимо принять хх = 1. То же
самое относится к колонкам х8 и jc10, т. е. хх = х8 = х10 = 1.
Из третьей слева колонки получаем
О • х2 + 0 хг = 0.
Очевидно, что это равенство сохраняется при любом значении jc2. To же
самое имеет место и колонке х7, т. е. на наборах 2 и 7 функция Х(А, Б, С, D)
не определена.
Согласно четвертой слева колонке получаем
1-дг3 +1-Зс3 =1.
Это равенство сохраняется, как и в предыдущем случае, независимо от
значений переменной х3, т. е. на наборе 3, а также на наборе 11 функция
Х(А, Б, С, D) не определена.
Переходим к пятой слева колонке:
1-Хл + 0 -Хл =1.
Л
Это равенство справедливо только при хА = 1. То
же самое имеет место еще в двух колонках, где
находятся переменные х9 и х14.Следовательно, полу-
£) чаем еще три значения:
В
1
1
1
X
1
X
X
X
1
1
с
Рис. 9.4
х4 ~ х9 ~ х14 ~ !•
Остались колонки, относящиеся к переменным
хЪу jc13, х1Ъ. Для первой из них:
1 х5+0 х5 =0.
Чтобы выполнялось это равенство, необходимо принять хъ = 0.
Аналогично принимаем х13 = х1Ъ = 0.
Таким образом, функция Х{АУ Б, С, D) равна единице на наборах 1, 4, 8,
9, 10, 14 и не определена на наборах 2, 3, 7, 11. В результате минимизации
получаем решение (рис. 9.4):
Х(А, B,C,D) = AB + BD + ACD + ABCD.
Ответы: а) 1, 4, 8, 9, 10, 14; б) 2, 3, 7, 11; в) 4, 11.
Проверим, действительно ли полученное выражение является решением
заданного уравнения. Для этого переведем функции ц>19 ф2, / в
аналитическую форму:
Ф! = AD + ABC + BCD + ABC;
ф2 = ACD + ABC + BCD + ABC + ABCD;
f = BD + ABD + БС1) + ACS.
264
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подставим их в заданное уравнение:
(AD + ABC + BCD + ABC)(AB + Ш) + ACS + АВС5) +
+(ACD + ABC + SCD + ABC + ABC5)(BZ) + ABC + ABC + ARD) =
= Б5 + ABD + BCD + ACS.
Раскроем скобки в левой части этого равенства и минимизируем.
Получим выражение, совпадающее с правой частью равенства, т. е. с
минимальной ДНФ функции /. Следовательно, найденная функция Х(А, Б, С, D)
является решением заданного уравнения.
Задания
для самостоятельной работы
Решить уравнение вида _
ц>гХ + ф2Х = /,
где cpj, ф2, / — заданные функции, зависящие от аргументов А, Б, С, D; X —
неизвестная функция, зависящая от тех же аргументов А, Б, С, D; X —
инверсия неизвестной функции.
1. ф1 = (0, 1, 3, 6, 9, 10, 14); ф2 = (2, 4, 5, 6, 8, И, 12, 14, 15);
/=(0,4,6,11,12,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ПС)
б) на каких наборах функция X не определена? (НД7)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ДЕО)
2. ф1 = (2, 3, 6, 7, И, 12, 15); ср2 = (0, 1, 4, 5, 8, 10);
/=(3,5,6,7,8,10).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЛИК)
б) на каких наборах функция X не определена? (ИТМ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЦНЧ)
3. ф1 = (0,1,4,7,10,11); ф2 = (2,6,8,11,12);
/=(0,7,8,10,11).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (УПА)
б) на каких наборах функция X не определена? (ККТ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЕДН)
4. ф1 = (2, 5, 7, 10, И, 12); ф2 = (0, 3, 8, 9, 10, 13, 14);
/=(0,3,5,7,10).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (КИН)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЕЛЗ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(Н88)
5. ф1 = (0, 1, 6, 8, 10, 11, 14); ф2 = (3, 4, 5, 12, 14, 15);
/=(0,1,3,4,8,10,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ГМТ)
б) на каких наборах функция X не определена? (507)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
265

в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЗД5)
6. Ф,-(3,4, 5, 8, 10, 11,13,14); ф2 = (0, 1, 6, 7, 12, 14);
/ = (0,1,5,7,8,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ФЭД)
б) на каких наборах функция X не определена? (В89)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ГР79)
7. ф1-(3,4,8, 10, 11); Ф2-(2,4, 12, 13, 14, 15);
/ = (2,3,4,10,11,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (АИД)
б) на каких наборах функция X не определена? (ПИР)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(РЫФ)
8. Ф,-(5, 6, 7, 10, 11, 14); ф2 = (0, 1, 9, 12, 13, 15);
/ = (0,1,9,10,11,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (Л9У)
б) на каких наборах функция X не определена? (ОДК)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(Д8П)
9. Ф1 = (2,5,6, 7,8, 12, 15); Фа-(0,4, 6, 10, 11, 12);
/ = (0,2,4,5,6,11,12).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЖРП)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЭЭФ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(Ф24)
10. Ф, = (2, 5, 6, 7, 10, 11, 14); ф2 = (0, 4, 8, 10, 11, 15);
/ = (0,2,5,6,8,10,11,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ВЯЛ)
б) на каких наборах функция X не определена? (АЦБ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(Я29)
11. Ф, = (3, 4, 7, 10, 11, 14, 15); ф2 = (3, 4, 5, 6, 12);
/ = (3,4,5,6,7,10,11).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (РЕБ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЛХП)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ДДП)
12. Ф, = (3, 5, 8, 11, 14); Ф2 = (4, 8, 9, 10, 12, 13);
/ = (3,5,8,10,11,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЖЗМ)
б) на каких наборах функция X не определена? (НИИ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЯЗО)
13. ф1 = (3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13); ф2 = (0, 1, 2, 5, 14);
/ = (0,1,2,4,7,8,9,12).
266
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (414)
б) на каких наборах функция X не определена? (С64)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(880)
14. ф1 = (3, 7, 8, 10, 11, 14); Ф2 = (0, 1, 2, 9, 12, 13);
/=(0,1,2,7,8,11,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ИСЯ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ТРЕ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(БМД)
15. ф1 = (5, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 11); ф2 = (0, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 15);
/=(0,1,3,5,7,10,11,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЮХТ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЦЗС)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(У27)
16. ф1 = (4, 8, 9, 10, И, 14, 15); ср2 = (3, 5, 6, 7, 12, 14);
/=(3,5,6,9,10,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (К8Д)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЕВШ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЭРЯ)
17. ф1 = (0,1, 2, 3, 4, 5, 8, 9,10); ф2 = (1, 3, 6, 7, 12, 13, 14, 15);
/=(0,1,3,4,5,6,7).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (Г74)
б) на каких наборах функция X не определена? (Ш13)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(88ЯЛ)
18. ф1 = (1, 2, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14); ср2 = (4, 5, 6, 7, 10, И, 12, 15);
/=(1,2,8,9,10,11,12,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЗОР)
б) на каких наборах функция X не определена? (ХТ7)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(44ХА)
19. ф! = (5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); ф2 = (0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 15);
/=(0,2,10,11,12,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (СМА)
б) на каких наборах функция X не определена? (АХП)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(КИЛГ)
20. ф1 = (2, 4, 6, 8, 10, И, 13, 15); ср2 = (2, 7, 8, 12, 13, 15);
/=(2,4,6,8,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ОСТ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЛАФ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(458П)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
267

21. Ф, = (3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); q>2 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8);
/ = (0,3,8,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (67С)
б) на каких наборах функция X не определена? (НЦМ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(Н087)
22. Ф, = (3, 4, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15); ф2 = (0, 2, 5, 7, 8, 9, 10);
/ = (0,2,3,10,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (61 А)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЛОИХ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ИЕНН)
23. ф1 = (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13); ф2 = (0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12);
/ = (1,4,9,10,11,12,13).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (984)
б) на каких наборах функция X не определена? (ШАА)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЛОЛК)
24. ф! = (5, 6, 8, 10, 11, 12, 15); ф2 = (4, 7, 9, 10, 12, 13, 15);
/ = (4,6,7,10,12,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (СЦП)
б) на каких наборах функция X не определена? (8П8)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(559Р)
25. ф! = (3, 8, 10, 11, 12, 13, 15); ф2 = (0, 1, 2, 4, 5, 6, 14, 15);
/ = (0,1,11,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (9ЧУ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ЗИФ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ШИ83)
26. Ф, = (1, 2, 6, 8, 9, 10, 11, 13); ф2 = (0, 3, 7, 14, 15);
/ = (0,1,6,8,11,13).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ОТС)
б) на каких наборах функция X не определена? (УУЗ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(880П)
27. Ф, = (3, 5, 10, 11, 14, 15); ф2 = (0, 1, 2, 12);
/ = (0,1,10,11).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (6ТО)
б) на каких наборах функция X не определена? (ИД5)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(55ЯУ)
28. Ф, = (3, 5, 8, 11, 13, 14, 15); ф2 = (0, 1, 2, 3, 5, 14);
/ = (1,3,5,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ГОГА)
б) на каких наборах функция X не определена? (4Б8)
268
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЛИСМ)
29. ф! = (3, 5, 6, 8, 11, 14); Ф2 = (0, 1, 5, 6, 10, 12, 13, 15);
/ = (0,1,5,6,11,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (УРО)
б) на каких наборах функция X не определена? (ОЕ5)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(НУУ5)
30. ф! = (5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14); ф2 = (0, 1, 5, 6, 15);
/ = (2,3,4,5,6).
а) на каких наборах функция X принимает единичое значение? (ООД)
б) на каких наборах функция X не определена? (554)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ГУИЛ)
31. Ф, = (8,10, 11, 14, 15); ф2 = (2, 3, 4, 5, 10, 13);
/ = (2,3,8,10,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (МАМ)
б) на каких наборах функция X не определена? (ТОО)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(УКЦД)
32. Ф, = (2, 5, 8, 11, 12); Ф2 = (1, 3, 6, 9, 11, 14, 15);
/ = (1,2,3,9,11,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (935)
б) на каких наборах функция X не определена? (ИТФ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(901П)
33. Ф, = (5, 8, 9, 10, 11, 13); Ф2 = (0, 1, 2, 5, 8, 14, 15);
/ = (5,8,11,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (КИЖ)
б) на каких наборах функция X не определена? (88Ю)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ОЗВП)
34. Ф, = (0, 2, 5, 6, 7, 11, 13, 14); ф2 = (1, 3, 8, 11, 12, 15);
/ = (0,1,2,3,6,11,12,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (48Х)
б) на каких наборах функция X не определена? (64А)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(44ЦГ)
35. Ф, = (1, 2, 3, 5, 8, 10, 11); ф2 = (4, 6, 8, 12, 14);
/ = (1,2,3,4,8,10,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (7ЕЮ)
б) на каких наборах функция X не определена? (КЫШ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(65В1)
36. ф! = (3, 6, 7, 9, 10, 14, 15); ф2 = (2, 5, 8, 11, 12, 13, 15);
/ = (2,3,6,11,13,15).
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
269

а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (5РЕ)
б) на каких наборах функция X не определена? (780)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ОСШ)
37. ф1 = (2, 5, 6, 10, 11, 14); ср2 = (0, 1, 3, 4, 8, 9, 12, 14);
/=(0,5,6,8,9,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (99Т)
б) на каких наборах функция X не определена? (7РУ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(63КП)
38. q>! = (5, 7, 8, 9, 11, 13, 15); ф2 = (0, 1, 2, 3, 6, 12, 13);
/=(0,3,6,9,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (8ТЗ)
б) на каких наборах функция X не определена? (2С7)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(285Я)
39. ф! = (1, 5, 9, 10, 11, 12, 15); ф2 = (0, 2, 3, 4, 8, 11, 12);
/=(0,1,3,5,8,11,12).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ОДО)
б) на каких наборах функция X не определена? (9ВУ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(66АГ)
40. ф1 = (3, 5, 7, 10, 13, 14, 15); ф2 = (2, 4, 6, 9, 12, 13);
/=(2,3,5,9,13,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (855)
б) на каких наборах функция X не определена? (КАЖ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(548А)
41. ф1 = (3, 5, 8, И, 12, 13); ф2 = (0, 1, 2, 6, 7, 14);
/=(0,1,8,11).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (329)
б) на каких наборах функция X не определена? (5Б2)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(91ПН)
42. ф1 = (6, 7, 8, 14, 15); Ф2 = (0, 1, 3, 4, 5, 9, 12, 13);
/=(0,1,3,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (1ПА)
б) на каких наборах функция X не определена? (5МС)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(66РС)
43. ф1 = (7, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15); ф2 = (0, 1, 2, 4, 8);
/=(1,2,4,10,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (49А)
б) на каких наборах функция X не определена? (70ШБ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЗЗТБ)
270
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

44. Ф, = (3, 4, 5, 6, 7, 9, 10); q>2 = (2, 3, 8, 13, 14);
/ = (2,3,4,6,7,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (4НВ)
б) на каких наборах функция X не определена? (РКУ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ТУГО)
45. Ф, = (2, 5, 6, 10, 11, 14); Ф2 = (3, 4, 7, 12, 13, 15);
/ = (2,3,4,10,11,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ИЯ2)
б) на каких наборах функция X не определена? (528)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(ЗАРЯ)
46. Ф, = (5, 7, 8, 11, 15); Ф2 = (3, 4, 6, 7, 12, 13);
/ = (3,5,7,8,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (Л5В)
б) на каких наборах функция X не определена? (5П7)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(8804)
47. Ф, = (3, 8, 9, 10, 14); Ф2 = (0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10);
/ = (0,1,2,4,8,9,10,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ЗОД)
б) на каких наборах функция X не определена? (Л24)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(УДЗШ)
48. ф! = (3, 10, 11, 12, 13, 14); ф2 = (6, 8, 9, 12, 15);
/ = (3,6,10,11,12,14).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (65Т)
б) на каких наборах функция X не определена? (876)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(568У)
49. ф! = (2, 3, 5, 8, 10, 14, 15); ф2 = (3, 8, 9, 11, 12, 13);
/ = (2,3,8,11,13).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (7РД)
б) на каких наборах функция X не определена? (КЕГ)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(НАЯЗ)
50. Ф, = (5, 8, 9, 10, 11, 14); Ф2 = (0, 1, 2, 7, 10, 15);
/ = (0,1,2,7,10,14,15).
а) на каких наборах функция X принимает единичное значение? (ТААС)
б) на каких наборах функция X не определена? (Р67)
в) сколько знаков дизъюнкции и букв в минимальной ДНФ функции X?
(НИОМ)
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
271

ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ
10.1.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
В ВИДЕ ДНФ
Пусть даны п логических аргументов А19 А2, ..., Ап.
Поставим в соответствие этим аргументам натуральные числа аг,
а2> ..., ап> называемые весами, и зададим некоторое
неотрицательное число Ту которое будем называть порогом.
Условимся считать, что если на каком-либо наборе логических
аргументов А1,А2, ..., Ап выполняется условие
п
Ахах +А2а2 + ... + А,ая = £Да, > Г, (1)
где знак « + » обозначает операцию арифметического
сложения, то булева функция f(Al9 A2, ..., Ап) на этом наборе
принимает единичное значение. Если же на каком-либо наборе
выполняется условие
п
то функция f(A1,A2, ..., Ап) на этом наборе принимает
нулевое значение [41].
Функция, представленная описанным способом,
называется пороговой функцией. Записывать ее условимся в виде
f = [alfa2, ...,an; Г].
Пример. Дана пороговая функция пяти переменных
/=[4,2, 1,3, 5; 8].
Найти минимальную ДНФ этой функции. Определить
число входящих в нее знаков дизъюнкции и число
вхождений переменных.
Решение. Веса и порог равны:
аг = 4, а2 = 2, а3=1, а4 = 3, а = 5; Г = 8.
Обозначим буквами А, В, С, D, Е двоичные
переменные, от которых зависит заданная пороговая функция.
В данном случае необходимо найти 32 суммы, так как все-
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

го существует 32 набора значений пяти переменных. На тех наборах, на
которых в соответствии с формулой (1) выполняется неравенство
A4 + £2 + Cl+D3+£5>8, (2)
функция принимает единичное значение, а на всех остальных — нулевое.
Например, выясним, чему равна функция на наборе 01101. Согласно этому
набору
А = 0, Б=1, С-1, D = 0, E=l.
Подставим его в (2):
04 + 12 + 11 + 03 + 15 = 2 + 1 + 5 = 8.
Условие (2) не выполняется, следовательно, на наборе 01101 функция
принимает нулевое значение.
Выберем другой набор, например, 10101. В этом случае
А=1, Б = 0, С-1, D = 0, E=l.
Подставим его в (2):
14 + 02 + 11 + 03 + 15 = 4+1 + 5 = 10 > 8.
Условие (2) выполняется, следовательно, на наборе 10101 функция равна
единице. В результате поочередной подстановки всех 32 наборов в (2)
получаем СДНФ искомой функции:
/= (7, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31).
Ее минимальная ДНФ имеет вид
f = ABD + BDE + CDE + FE.
Ответ: 3, 11 (т. е. в минимальной ДНФ содержится три знака
дизъюнкции и 11 вхождений переменных).
Задания
для самостоятельной работы
Для минимальной ДНФ найдите число знаков дизъюнкции и число
вхождений букв.
1. а) [1,2, 3,5, 8; 18]
2. а) [1,1,4,3,6;14]
3. а) [3,8, 2, 1,5; 11]
4. а) [1,2, 3, 5, 8; 12]
5. а) [1,1,4,3,6;4]
6. а) [3,8, 2, 1,5; 10]
7. а) [1,2, 3, 5, 8; 14]
8. а) [3,8, 2, 1,5; 4]
9. а) [1,1,4, 3, 6; 6]
10. а) [3,8, 2, 1,5; 18]
11. а) [5,3, 1, 7, 9; 24]
12. а) [1,2, 3, 5, 8; 17]
13. а) [5, 3, 1,7, 9; 20]
14. а) [3,8, 2, 1,5; 6]
15. а) [5, 3, 1, 7, 9; 18]
(13ХА)
(28АЗ)
(074Б)
(03ТМ)
(5060)
(08СИ)
(0974)
(22ИК)
(49ИИ)
(06РЛ)
(04РП)
(46ЕЛ)
(05АО)
(38ВП)
(3040)
б) [5, 3,1, 7, 9;
б) [6, 1,4,3,8;
б) [6, 1,4,3,8;
б) [6, 1,4,3,8;
б) [2, 4,1,5, 9;
б) [2, 4, 1,5,9;
б) [2, 4,1,5, 9;
б) [2, 4,1,5, 9;
б) [6, 1,4,3,8
б) [5, 3,1,7,9
б) [6, 1,4,3,8
б) [5, 3,1,7,9
б) [6, 1,4,3,8
б) [6, 1,4,3,8
б) [6, 1,4,3,8
16]
21]
15]
7]
18]
8]
14]
17]
;5]
;15]
;20]
;5]
;14]
;12]
;б]
(19ЕХ)
(14ХП)
(20РС)
(1591)
(2378)
(21Т7)
(27ТК)
(ООАА)
(39КН)
(16ЦГ)
(2647)
(0179)
(29Т2)
(470Ж)
(480Я)
10. ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ
273

)[1
)[1
)[3
)[1
)[1
)[3
)[5
)[1
)[1
)[3
)[1
)[3
)[1
)[1
)[1
)[3
)[1
)[1
)[1
)[3
)[1
)[3
)[1
)[1
)[5
)[3
)[1
)[1
)[1
)[5
)[1
)[5
)[3
)[5
)[1
2,
1,
8,
2,
1,
8,
3,
2,
1,
8,
2,
8,
1,
1,
2,
8,
1,
2,
1,
8,
2,
8,
1,
2,
3,
8,
2,
1,
2,
3,
2,
3,
8,
3,
2,
3
4
2
3
4
2
1
3
4
2
3
2
4
4
3
2
4
3
4
2
3
2
4
3
1
2
3
4
3
1
3
1
2
1
3
5,
3,
1,
5,
3,
1,
7,
5,
3,
1,
5,
1,
3,
3,
5,
1,
3,
5,
3,
1,
5,
1,
3,
5,
7,
1,
5,
3,
5,
7,
5,
7,
1,
7,
5,
8;
6;
5;
8;
6;
5;
9;
8;
6;
5;
8;
5;
6;
6;
8;
5;
6;
8;
6;
5;
8;
5;
6;
8;
9;
5;
8;
6;
8;
9;
8;
9;
5;
9;
8;
16]
13]
14]
13]
7]
16]
22]
15]
12]
7]
И]
17]
И]
5]
10]
9]
3]
8]
10]
12]
7]
15]
9]
9]
23]
8]
6]
8]
5]
21]
4]
19]
13]
17]
3]
(32ШО)
(3751)
(4339)
(450K)
(444Д)
(34ШГ)
(42EC)
(35AA)
(183У)
(36KB)
(5324)
(64РП)
(843C)
(859У)
(892K)
(97ДР)
(63ТШ)
(52ИЖ)
(734Ц)
(57H1)
(62РЛ)
(569X)
(65АФ)
(5588)
(69БФ)
(88CT)
(50П7)
(960T)
(92СП)
(60СП)
(70ТЛ)
(59НИ)
(7648)
(9420)
(83ЯШ)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
6)
[5,3,1,7,9;
[5,3,1,7,9;
[5,3,1,7,9;
[6,1,4,3,8;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
[6,1,4,3,8;
[5,3,1,7,9;
[2,4,1,5,9;
[6,1,4,3,8;
[2,4,1,5,9;
[5,3,1,7,9;
[6,1,4,3,8;
[6,1,4,3,8;
[5,3,1,7,9;
[5,3,1,7,9;
[5,3,1,7,9;
[5,3,1,7,9;
[6,1,4,3,8;
[6,1,4,3,8;
[2,4,1,5,9;
[6,1,4,3,8;
[5,3,1,7,9;
[2,4,1,5,9;
[5,3,1,7,9;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
[6,1,4,3,8;
[6,1,4,3,8;
[6,1,4,3,8;
[2,4,1,5,9;
[2,4,1,5,9;
9]
4]
9]
19]
13]
16]
6]
7]
12]
18]
8]
19]
17]
20]
10]
10]
13]
12]
13]
7]
3]
9]
16]
15]
4]
И]
9]
6]
5]
И]
8]
3]
И]
10]
4]
10.2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
В ВИДЕ КНФ
Для минимальной КНФ найдите число знаков дизъюнкции и число вхо-
ждений букв.
1. а) [1,1, 4, 3,6; 13]
2. а) [3,8, 2, 1,5; 14]
3. а) [1,2, 3,5, 8; 13]
4. а) [1,1, 4, 3,6; 7]
(15ДБ);
(76РЦ);
(83ВИ);
(560А);
б) [5, 3,1, 7, 9; 4]
б) [5, 3,1, 7, 9; 9]
б) [6, 1,4, 3,8; 19]
б) [2, 4, 1,5, 9; 13]
(64ЧУ)
(00УГ)
(23ЧА)
(51ЕН)
274
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

)[3
)[5
)[1
)[1
)[3
)[1
)[3
)[1
)[1
)[1
)[3
)[1
)[1
)[1
)[3
)[1
)[3
)[1
)[1
)[5
)[3
)[1
)[1
)[1
)[5
)[1
)[5
)[3
)[5
)[1
)[1
)[1
i)[3
)[1
)[1
i)[3
)[1
i)[3
)[1
i)[3
i)[5
)[1
i)[5
i)[3
i)[5
)[1
8
3
2
1
8
2
8
1
1
2
8
1
2
1
8
2
8
1
2
3
8
2
1
2
3
2
3
8
3
2
2
1
8
2
1
8
2
8
1
8
3
2
3
8
3
2
2,1
1,7
3,5
4,3
2,1
3,5
2,1
4,3
4,3
3,5
2,1
4,3
3,5
4,3
2,1
3,5
2,1
4,3
3,5
1,7
2,1
3,5
4,3
3,5
1,7
3,5
1,7
2,1
1,7
3,5
.3,5
.4,3
.2,1
.3,5
.4,3
.2,1
.3,5
.2,1
.4,3
.2,1
.1,7
.3,5
.1,7
.2,1
.1,7
.3,5
5;
9;
8;
6;
5;
8;
5;
6;
6;
8;
5;
6;
,8;
,6;
.5;
.8;
5;
.6;
.8;
.9;
5;
.8;
.6;
.8;
9;
,8;
.9;
5;
,9;
.8;
.8;
,6;
.5;
,8;
.6;
.5;
,8;
.5;
.6;
.5;
.9;
,8;
.9;
.5;
,9;
.8;
16]
22]
15]
12]
7]
И]
17]
И]
5]
10]
9]
3]
8]
10]
12]
7]
15]
9]
9]
23]
8]
6]
8]
5]
21]
4]
19]
13]
17]
3]
18]
14]
H]
12]
4]
10]
14]
4]
6]
18]
24]
17]
20]
6]
18]
16]
(8935)
(4519)
(8890)
(77K6)
(8262)
(097M)
(224C);
(72T7)
(73ДУ);
(193Б)
(99AP)
(37УМ)
(0526)
(4060)
(8017)
(682Г)
(85НУ)
(1086)
(92A5)
(74ГП)
(788A)
(06ГГ)
(2934)
(862A)
(901П)
(691A)
(543Ж)
(17РУ)
(91CA)
(5351)
(01РУ)
(605Г)
(591M)
(625K)
(812Я)
(87BB)
(9693)
(1263)
(612A)
(943П)
(95Ц9)
(441П)
(500A)
(7551)
(551P)
(04ГТ)
6) [2
6) [2
6) [2
6) [2
6) [6
6) [5
6) [2,
6) [6
6) [2
6) [5
6) [6
6) [6
6) [5
6) [5
6) [5
6) [5
6) [6
6) [6
6) [2
6) [6
6) [5
6) [2
6) [5
6) [2
6) [2
6) [6
6) [6
6) [6
6) [2
6) [2
6) [5
6) [6
6) [6
6) [6
6) [2
6) [2
6) [2
6) [2
6) [6
6) [5
6) [6
6) [5
6) [6
6) [6
6) [6
6) [5
4
4
4
4
1
3,
4
1
4
3
1
1
3
3
3
.3
1
1
4
1
3
4
3
4
4
1
1
1
4
4
,3
,1
,1
,1
,4
,4
,4
,4
,1
,3
,1
,3
,1
,1
,1
,3
1
1
1
1
4
1
1
4
1
1
4
4
1
1
1
1
4
4
1
4
1
1
1
1
1
4
4
4
1
1
1
4
4
4
1
1
1
1
,4
1
4
1
,4
,4
4
1
5
5
5
5,
3
7,
5,
3,
5,
7
3
3
7
7
7
.7
3
3
5
.3
7
5
7
5
5
3
3
3
5
.5
,7
,3
,3
,3
,5
,5
,5
,5
.3
,7
,3
,7
,3
,3
,3
,7
9;
9;
9;
9;
8;
9;
9;
8;
9;
9;
8;
8;
9;
9;
9;
9;
8;
8;
9;
8;
9;
9;
9;
9;
9;
8;
8;
8;
9;
9;
9;
8;
.8;
.8;
9;
9;
9;
9;
.8;
9;
8;
9;
8;
8;
.8;
9;
16]
6]
7]
12]
18]
8]
19]
17]
20]
10]
10]
13]
12]
13]
7]
3]
9]
16]
15]
4]
И]
9]
6]
5]
И]
8]
3]
H]
10]
4]
16]
21]
15]
7]
18]
8]
14]
17]
5]
15]
20]
5]
14]
12]
6]
9]
(130И).
(35TB).
(165П).
(528Э).
(657P).
(418Л).
(39K1).
(0850).
(31ВД).
(84C4).
(201K).
(93C7).
(716П).
(67УН).
(301K).
(078Ш).
(48KA).
(66ГЦ).
(4242).
(18AC).
(98TC).
(47KO).
(97Л8).
(2830).
(ЗЗТУ).
(14ТП).
(7921).
(466A).
(708Ц).
(32УЗ).
(38ПГ).
(112У).
(02УХ).
(27PX).
(21СИ).
(583П).
(49AP).
(36ГИ).
(2680).
(2512).
(63PA).
(5758).
(038Д).
(2414).
(4365).
(3434).
10. ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ
275

КОМБИНАЦИОННЫЕ
СХЕМЫ
li.i.
ДИОДНО-РЕЗИСТОРНЫЕ СХЕМЫ —
ОСНОВА ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
При анализе работы нижеприведенных диодно-резистор-
ных схем необходимо учитывать идеализацию,
заключающуюся в том, что:
1) электрическое сопротивление соединительных линий
принимается равным нулю. В реальности же таких
проводников не существует (за исключением явления
сверхпроводимости). Например, сопротивление медного провода
длиной в 1 м и сечением в 1 мм2 при комнатной температуре
равно 0,017 Ома;
2) так как сопротивление соединительных линий
принимается равным нулю, то и падение напряжения на них
равно нулю независимо от величины протекающего по ним тока;
3) если диод включен в проводящем направлении
(говорят: диод открыт), то его сопротивление и падение
напряжения на нем принимаются равными нулю;
4) если диод включен в непроводящем направлении
(говорят: диод заперт), то считается, что сопротивление его
бесконечно велико и ток через него не протекает;
5) вольтметр имеет бесконечно большое входное
сопротивление. Это значит, что при подключении его к схеме, ни
один из ее параметров не изменяется.
Пример 1. Вольтметр, подключенный к точкам k и т
(рис. 11.1), покажет напряжение, равное нулю, так как
диод, соединяющий эти точки, включен в проводящем
направлении.
Пример 2. Диод, соединяющий точки с и Ъ на рис. 11.3,
заперт. Ток через резистор, соединяющий точки с и d> не
протекает. А так как ток через резистор не протекает, то
падение напряжения на нем равно нулю, следовательно,
вольтметр, если его подключить к точкам с и d> покажет 0
вольт.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Задания
для самостоятельной работы
Сопротивление резисторов во всех схемах дано в омах.
1. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.1):
1)а-Ь, а-с, а-е; (1ЛЦ) 2)a-f,b-f,b-m; (ЗПП)
3) Ь-с, b-d, a-d; (БЖИ) 4) d-f, k-e, k-f. (ВЖГ)
2. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.1):
l)b-e,c-k,d-k; (АИП) 2) a-k, e-f, d-m; (92П)
3)c-d,b-k,d-e; (24Г) 4) e-m, a-m, c-m. (ПА1)
3. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.2):
1) а-b, а-с, а-е; (ДЧЦ) 2) a-f, b-f, b-m; (7ГК)
3) b-c, b-d, a-d; (НИУ) 4) d-f, k-e, k-f. (ЕТУ)
4. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.2):
l)b-e,c-k,d-k; (ГИЙ) 2) a-k, e-f, d-m; (6ГБ)
3)c-d,b-k,d-e; (НИД) А) е-т, а-т, с-т. (РТП)
5. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.3):
1)а-Ь,а-с,а-е; (ИЛИ) 2)a-f,b-f,b-m; (ЛТК)
3) b-c, b-d, a-d; (СБИ) 4) d-f, e-k, k-f. (KPT)
6. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.3):
l)b-e,c-k,d-k; (86Б) 2) a-k, e-f, d-m; (ИРН)
3)c-d,b-k,d-e; (ЖАЛ) A) e-m, a-m, c-m. (5Б2)
a^J^V
П40 ¥
зов
-о 40
/
*C
m
Рис. 11.1
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
277

7. Сколько вольт покажет
(см. рис. 11.4):
1) а-Ьу а-с, а-е; (1РТ)
3) Ь-су b-dy a-d; (EP6)
8. Сколько вольт покажет
(рис. 11.4):
l)b-eyc-kyd-k; (ЗКЖ)
3) c-dy b-ky d-e; (ЭАМ)
9. Сколько вольт покажет
(рис. 11.5):
\)а-Ъу а-су а-е; (2РИ)
3) Ъ-су b-dy a-d; (ЯЛЩ)
10. Сколько вольт покажет
(рис. 11.5):
l)b-eyc-kyd-k; (ATP)
3)c-dyb-kyd-m; (HPO)
11. Сколько вольт покажет
(рис. 11.6):
1)а-Ьу а-су а-е; (ЗРО)
3) b-cy b-dy a-d; (ВЛБ)
12. Сколько вольт покажет
(рис. 11.6):
l)b-eyc-kyd-k; (ЧПШ)
3) c-dy b-ky d-e; (ГПО)
13. Сколько вольт покажет
(рис. 11.7):
1)а-Ьу а-су а-е; (ВЛБ)
3) Ь-су b-dy a-d; (НБЦ)
10
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-fyb-fyb-m; (ДГА)
4) d-fy e-ky f-k. (ЖИГ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-ky e-fy d-m; (ЮИР)
4) е-ту а-ту с-т. (ИИЗ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-fy b-fy b-m; (КЗЫ)
4) d-fy e-ky k-f. (KT3)
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-kye-fyd-m; (7РП)
4) е-ту а-ту с-т. (БЛЖ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-fyb-fyb-m; (6РИ)
4) d-fy e-ky k-f. (ЛББ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-ky e-fy d-m; (ШГЛ)
4) е-ту а-ту с-т. (ДБШ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-fyb-fyb-m; (ЕЧИ)
4) f-dy e-ky f-k. (МБН)
я <
+■ <
40
Н Hf—1>
1 *Т-ч>
в Пю
? ю М
Рис. 11.5
b
И с Г-
Пю Мю
зов 10П
„t-Ki T к
" т
Рис. 11.7
ю[
ю|
IF
\d
П ю
^ е
,d
I10
I е
4
Рис. 11.6
Рис. 11.8
278
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 11.9
14. Сколько вольт покажет
(рис. 11.7):
l)b-e,c-n,d-k; (РГП)
3)c-d,b-k,d-n; (ИЛФ)
15. Сколько вольт покажет
(рис. 11.7):
l)a-n,d-n,f-c; (5PC)
3) с-е, е-п, f-m; (ИРЕ)
16. Сколько вольт покажет
(рис. 11.8):
1)а-Ь, а-с, а-е; (ТБ2)
3) Ь-с, b-d, a-d; (КИЯ)
17. Сколько вольт покажет
(рис. 11.8):
l)b-e,c-n,d-k; (ОРД)
3)c-d,b-k,d-n; (ХТИ)
18. Сколько вольт покажет
(рис. 11.8):
l)a-n,b-n,f-c; (APP)
3) с-е, е-п, f-m; (ЛБГ)
19. Сколько вольт покажет
(рис. 11.9):
1)а-Ь, а-с, а-е; (1ЛТ)
3) Ъ-с, b-d, a-d; (ГБТ)
20. Сколько вольт покажет
(рис. 11.9):
l)b-e,c-n,k-d; (ЗРД)
3) c-d, b-k, n-d; (ИГЕ)
21. Сколько вольт покажет
(рис. 11.9):
l)a-n,b-n,c-f; (ЗПХ)
3) с-е, е-п, f-m; (КИП)
22. Сколько вольт покажет
(рис. 11.10):
1) а-b, а-с, а-е; (ИЛИ)
3) Ь-с, b-d, a-d; (НБО)
-Q Ю
Рис. 11.10
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-k,f-e,d-m; (ПРС)
4) е-т, а-т, f-n. (СББ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) k-m, c-k, k-n; (8ИЯ)
4) т-п, с-т, d-e. (ЦГ2)
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-f,f-b,b-m; (УЛЭ)
4) f-d, e-k, f-k. (9РП)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-k, f-e, d-m; (ЖББ)
4) е-т, а-т, f-n. (ФРЯ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) k-m, c-k, k-n; (БИД)
4) т-п, с-т, d-e. (МТБ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2)a-f,b-f,b-m; (УРЧ)
A) f-d, e-k, f-k. (24A)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-k, e-f, m-d; (ЕРЫ)
4) е-т, а-т, n-f. (ЖГУ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) k-m, c-k, k-n; (ЛКП)
4) п-т, с-т, e-d. (МРШ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-f, b-f, b-m; (РБС)
4) f-d, e-k, f-k. (СИЧ)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
279

23. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(см. рис. 11.10):
1) b-ey c-n, k-d; (ПРЕ) 2) a-ky e-fy m-d; (5PE)
3)c-dyb-kyn-d; (5T3) 4) e-my a-my f-n. (ЦГЖ)
24. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.10):
l)a-nyb-nyc-f; (6ЯН) 2) k-my c-ky k-n; (УКА)
3)c-eye-nyf-m; (ТИМ) 4) n-my c-my e-d. (ФБК)
25. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.11):
1) а-Ьу а-су а-е; (ХРА) 2) a-fy b-fy b-m; (ЦРВ)
3) b-cy b-dy a-d; (ЧГБ) 4) f-dy e-ky f-k. (ШПЛ)
26. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.11):
l)b-eyc-nyk-d; (ЭЛС) 2)a-kye-fy m-d; (ЩГ9)
3) c-dy b-ky n-d; (7ТЯ) 4) e-my a-my f-n. (ЮГ1)
27. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.11):
l)a-nyb-nyc-f; (ЯГЦ) 2) k-my c-ky k-n; (ДАЯ)
3) с-еу е-пу f-m; (8АО) 4) т-пу с-ту e-d. (ФЛЯ)
28. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.12):
1) а-Ьу а-су а-е;
3) Ь—с, b—dy a—d;
ю
(ОЛУ)
(АБЫ)
^г-W—х"
2) a-f, b-f, b-m; (9ИН)
4) f-d, e-k, f-k. (БРУ)
Рис. 11.11
Рис. 11.12
21 d
СИ—re
W—\
Of-\e
Ж d
J°*io ,0
} 1=]
I
Рис. 11.13
Рис. 11.14
280
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

29. Сколько вольт покажет
(рис. 11.12):
l)b-e,c-n,d-k; (АТЧ)
3)c-d,b-k,d-n; (В7Б)
30. Сколько вольт покажет
(рис. 11.12):
l)a-n,b-n,f-c; (ЕРГ)
3) с-е, е-п, f-m; (ГГС)
31. Сколько вольт покажет
(рис. 11.13):
1)а-Ь, а-с, а-е; (373)
3) b-c, b-d, a-d; (ОБР)
32. Сколько вольт покажет
(рис. 11.13):
l)b-e,c-n,k-d; (БРЗ)
3) d-c, b-k, d-n; (ГИА)
33. Сколько вольт покажет
(рис. 11.13):
l)a-n,b-n,c-f; (EPT)
3) с-е, е-п, m-f; (9TT)
34. Сколько вольт покажет
(рис. 11.14):
1)а-Ь, а-с, а-е; (1ЛТ)
3) b-c, b-d, a-d; (TPK)
35. Сколько вольт покажет
(рис. 11.14):
l)b-e,c-n,d-k; (7ГП)
3)d-c,b-k,d-n; (Л7В)
36. Сколько вольт покажет
(рис. 11.14):
1) а-п, b-n, c-f; (6РЫ)
3) с-е, е-п, m-f; (HTT)
37. Сколько вольт покажет
(см. рис. 11.15):
1)а-Ь, а-с, а-е; (ОИВ)
3) с-Ъ, d-b, a-d; (АИП)
38. Сколько вольт покажет
(рис. 11.15):
l)b-e,c-n,d-k; (ГАА)
3)d-c,b-k,d-n; (БИА)
39. Сколько вольт покажет
(рис. 11.15):
l)a-n,b-n,c-f; (УЯР)
3) с-е, е-п, m-f; (КЕН)
40. Сколько вольт покажет
(см. рис. 11.16):
вольтметр, если его подключить к точкам
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
2
4
вольтметр
a-fc, /-e, d-m; (БРО)
е-т,а-т, f-n. (BP5)
, если его подключить к точкам
k-m, c-k, k-n; (ЖРЖ)
т-п, с-т, d-e. (ДПА)
, если его подключить к точкам
a-f, b-f, b-m; (ИГА)
d-f, k-e, k-f. (ВРД)
, если его подключить к точкам
a-k, e-f, d-m; (AA3)
т-е, а-т, f-n. (PJIJI)
, если его подключить к точкам
k-m, k-c, k-n; (ДРЫ)
т-п, т-с, d-e. (ЖИА)
, если его подключить к точкам
a-f, b-f, b-m; (2Г9)
d-f, e-k, k-f. (8БП)
, если его подключить к точкам
(609)! a-k, e-f, d-m; (ИПШ)
(609)! т-е, а-т, f-n. (K78)
, если его подключить к точкам
m-k, c-k, k-n; (5ИФ)
т-п, с-т, d-e. (ПИГ)
, если его подключить к точкам
a-f, b-f, m-b; (Д28)
d-f, e-k, k-f. (Ц25)
, если его подключить к точкам
a-k, e-f, d-m; (ЖАХ)
т-е, а-т, f-n. (BXO)
, если его подключить к точкам
2) k-m, k-c, k-n; (348)
4) т-п, с-т, d-e. (469)
вольтметр, если его подключить к точкам
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
281

1) a-b, a-c, a-e; (1КП)
3) c-by d-by a-d; (E5A)
41. Сколько вольт покажет
(рис. 11.16):
1)е-ау с-пу k-d; (HAP)
3) d-cy k-by d-n; (ЗЯФ)
42. Сколько вольт покажет
(рис. 11.16):
l)a-nyb-nyc-f; (СГ8)
3) е-су е-пу m-f; (B14)
43. Сколько вольт покажет
(рис. 11.17):
1) а-Ьу а-су а-е; (491)
3) с-Ьу d-by a-d; (ЭРГ)
44. Сколько вольт покажет
(рис. 11.17):
l)p-byc-nyk-d; (НАЙ)
3) с-р, k-by d-n; (OAM)
2) a-fy b-fy m-b; (593)
4)d-fye-kyk-f. (88Я)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-ky e-fy m-d; (K27)
4) е-ту а-ту f-n. (К5Я)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) m-ky k-cy k-n; (MXT)
4) т-пу т-су e-d. (ЯЭХ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-fy b-fy m-b; (ИАТ)
4) d-f, k-ey k-f. (ЛЕМ)
вольтметр, если его подключить к точкам
2) a-ky e-fy m-d; (ЮОЗ)
4) т-су а-ру р-п. (ЩТИ)
Рис. 11.15
Рис. 11.16
Рис. 11.17
Рис. 11.18
Рис. 11.19
282
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

45. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.17):
1) а-п, b-n, c-f; (6ДМ) 2) k-m, k-c, k-n; (МЯО)
3) e-c, e-n, m-p; (ИТШ) 4) m-n, m-c, e-d. (ПРП)
46. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.18):
1) a-b, k-p, а-е; (Р57) 2) а-р, b-f, m-b; (ЦОА)
3) с-Ь, d-b, a-d; (7ЯЛ) 4) d-f, k-e, k-f. (52C)
47. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.18):
1) Ь-п, с-п, k-d; (УРЭ) 2) a-k, e-f, m-d; (МАУ)
3)c-p,k-b,d-n; (X18) 4) т-е, а-р, р-п. (СЯР)
48. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.18):
l)a-h,b-n,c-f; (9ПЗ) 2) m-k, k-c, k-n; (Ф77)
3) e-c, e-n, h-p; (РГК) 4) m-n, h-c, e-d. (T63)
49. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.19):
1) а-b, а-с, а-е; (125) 2) a-f, b-f, m-b; (АЯР)
3) c-b, d-b, a-d; (ВДО) 4) d-f, e-k, k-f. (РАЖ)
50. Сколько вольт покажет вольтметр, если его подключить к точкам
(рис. 11.19):
1) e-h, с-п, d-k; (ЧАД) 2) a-k, e-f, m-d; (ЗУЯ)
3) с-р, k-b, d-n; (ГЭЙ) 4) т-е, а-р, р-п. (ДЫХ)
11.2.
СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ
Задача синтеза комбинационной (логической) схемы, работающей
согласно заданным условиям, в общем случае сводится к построению таблицы
истинности и нахождению минимальных ДНФ и КНФ соответствующих
булевых функций. Если ДНФ и КНФ отличаются по числу вхождений
переменных, то для построения схемы выбирается форма с наименьшим числом букв.
Если же обе минимальные формы по сложности являются одинаковыми, то
комбинационная схема строится на основе ДНФ, при этом без повышения ее
порядка, т. е. без вынесения букв за скобки.
Комбинационные схемы обычно содержат несколько
выходов. Однако в данной работе рассматриваются схемы
лишь с одним выходом, как наиболее простые (рис. 11.20).
На входы схемы подаются двоичные уровни напряжения,
низкие или высокие, обозначаемые нулями и единицами г схема I /
соответственно, снимаемые с выходов четырех триггеров
А, В, С, D. Выходы триггеров являются парафазными, т. е.
каждый триггер имеет прямой выход и инверсный: А и А,
В и В, С и С, D и D (как показано на рис. 11.20). Выход
схемы обозначен буквой /.
А —
А —
в —
в —
с -
с —
D —
D —
i
Лог.
схема
>нс. 11.20
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
283

Пример 1. Построить комбинационную схему, выходной сигнал которой
принимает единичное значение в следующих шести случаях:
1) триггеры Б и С находятся в состояниях единицы, т. е. Б = С = 1, а
триггеры А и!) — в состояниях нуля, т. е. А = D = 0;
2) триггеры Б и D находятся в состояниях нуля: В = D = 0;
3) состояния триггеров В и С: В = С = 0;
4) состояния триггеров А, Б и D: А = 0, Б = D = 1;
5) триггеры Б, С и D находятся в состояниях единицы;
6) состояния триггеров А, Б и D: А = D = 1, Б = 0.
Для контроля указать, сколько в схеме элементов И, сколько элементов
ИЛИ и сколько всего букв в минимальной форме булевой функции,
описывающей работу схемы.
Решение.
1. Согласно первому условию: Б = С=1 и А = D = 0. Запишем буквы в
алфавитном порядке. Тогда соответствующие им значения образуют набор
значений переменных ОНО:
ABCD
ОНО.
На этом наборе выходной сигнал комбинационной схемы должен быть
равным единице:
/(0, 1,1,0) = 1.
В соответствии с этим в таблице 11.1 на пересечении колонки / со
строкой 6 ставим единицу.
2. Во втором условии говорится, что / = 1 при Б = D = 0. Триггеры А и С
не упоминаются. Следовательно, получаем четыре набора:
ABCD
0000
0010
1000
10 10,
так как переменные А и С могут
принимать следующие значения:
А = 0, С = 0; А = 0, С-1;
А=1, С = 0; А=1, С-1.
Переводим двоичные коды 0000,0010,
1000, 1010 в десятичную систему: 0, 2,
8, 10 соответственно. В таблице на
пересечении колонки / с этими числами
ставим единицы.
3. По аналогии с предыдущим
случаем получаем еще четыре набора, на
которых^ 1: 0000, 0001,1000,1001. В
десятичной системе: 0, 1, 8, 9 соответст-
Та 6 л и и, а 11.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
"~А
0
0
0
0
0
0
0
0
в
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
с~~
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
_/_
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
284
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

венно. Отмечаем в таблице эти наборы. В строках 0 и 8
(в колонке /) единицы уже стоят, вторично их не
ставим, отмечаем только строки 1 и 9.
4. Согласно четвертому условию А = О, В = D = 1.
Триггер С в условии не упоминается, следовательно, функция
/принимает единичное значение на двух наборах: 0101
и 0111, т. е. 5 и 7. В строках 5 и 7 ставим единицы.
5. Пятое условие: / = 1, если В = С = D = 1. Триггер
А не упоминается, поэтому в таблице отмечаем два
набора: 0111 и 1111, т. е. 7 и 15. В строке 7 единица уже
стоит, вторично ее не ставим.
6. В последнем условии не упоминается триггер С.
Соответственно получаем два набора, на которых / = 1:
9 и 11. В строке 9 единица уже стоит. Отмечаем только
строку 11.
Таким образом, таблица заполнена следующим
образом: / = 1 на наборах: 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15.
Все остальные наборы, не удовлетворяющие ни одному
из заданных условий, в колонке /отмечаем нулями.
Согласно таблице СДНФ искомой функции имеет вид
f(A,B,CfD) = (0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15).
Наносим ее на карту Вейча (рис. 11.21) и
минимизируем. Минимальная ДНФ имеет вид
/ = АВ + ВС + ACD + BCD + ACD.
Эта форма содержит 13 вхождений переменных.
Находим минимальную КНФ. Для этого сначала
строим карту Вейча для инверсии той же функции
(рис. 11.22). Система расположения букв вокруг этой
карты не указана. Она такая же, как на рис. 11.21. По этой
карте находим минимальную форму для функции / :
/ = ABC + ABD + BCD + BCD + ABCD.
Инвертируем полученное выражение по теореме
де Моргана и находим минимальную КНФ:
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
D
С
Рис. 11.21
гг
1
1
1
Т]
Рис. 11.22
в А
В-\8с
С J
А _Г
С А
D-\
В -[
С А
D-i
&
&
А -[
С J
&
/
Рис. 11.23
/ = (А + В + С)(А + В + D)(B + С + D)(B + С + D)(A + Б + С + D).
Эта форма также содержит 13 вхождений переменных. Поскольку обе
формы (ДНФ и КНФ) по числу вхождений букв одинаковы, то, как было
условлено выше, схему строим на основе минимальной ДНФ.
Схема приведена на рис. 11.23. Согласно этому рисунку в
комбинационной схеме 5 элементов И, один элемент ИЛИ, а минимальная форма
содержит 13 вхождений переменных. Логические элементы могут содержать
различное число входов. Например, на рис. 11.23 два элемента И содержат
по два входа и три элемента — по три входа. Однако в данной работе при
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
285

A -\
В -
В -
С -
А -
С -
5-
В -
с-
D-
А-
с-
D-
&
&
&
&
&
т\
Рис. 11.24
подсчете числа элементов на число входов схем И и ИЛИ
внимания не обращаем.
Схему, приведенную на рис. 11.23, можно изобразить в более
компактном представлении, так, как она изображена на рис. 11.24.
Ответ: 5, 1, 13 (т. е. схема содержит пять элементов И, один
элемент ИЛИ; в минимальную ДНФ входит 13 букв).
f Пример 2. Построить комбинационную схему, работающую
"" в соответствии со следующими условиями. Выходной сигнал
принимает единичное значение в пяти случаях, когда:
1)А = Б=1,С = 0 (триггеры А и В находятся в состоянии
единицы, а триггер С — в состоянии нуля);
2) С = D = О, Б = 1 (триггеры С и D находятся в состоянии
нуля, а триггер D — в состоянии единицы);
3)A = C = D=1,B = Q (триггеры А, С и D находится в
единичном состоянии, а триггер В — в нулевом);
4)А = С=1,Б = 1) = 0 (триггерыАиС находятся в
состоянии единицы, а триггеры В и D — в состоянии нуля);
5) А = В = D = О, С=1 (триггеры А, В и D находятся в состоянии нуля,
а триггера С — в состоянии единицы).
Решение.
1. Как и в предыдущем примере, буквы располагаем в алфавитном
порядке. В первом условии триггер D не упоминается, следовательно, его
состояние является безразличным. В соответствии с этим получаем два набора,
на которых/ = 1: 1100 и 1101. Это числа 12 и 13. В таблице 11.2 на
пересечении колонки / и строк с номерами 12 и 13 ставим единицы.
2. Согласно второму условию получаем также два набора, на которых
/= 1: 0100 и 1100, т. е. 4 и 12. Эти строки в таблице 11.2 отмечаем единицами.
3. В третьем условии представлен только один двоичный набор: 1011,
в десятичной системе — число 11. Отмечаем его в таблице.
4. Четвертое условие также дает один набор: 1010. Это десятичное число 10.
5. Последнее (пятое) условие дает еще один набор: 0010. В десятичной
системе — это число 2.
СДНФ искомой функции имеет вид
/=(2,4,10,11,12,13).
Находим минимальную ДНФ (рис. 11.25):
/ = ABC + BCD + ABC + BCD.
В этом выражении 12 букв.
Находим СДНФ инверсии найденной функции, наносим ее на карту Вей-
чай минимизируем (рис. 11.26):
J = BC + AD + BC.
Применив теорему де Моргана к выражению J9 получаем минимальную КНФ:
/ = (Б + С)(А + 5)(Б + С).
В минимальной КНФ шесть вхождений переменных, т. е. эта форма
экономичнее минимальной ДНФ, поэтому на ее основе строим логическую схе-
286
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Таблица 11.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
А
0
0
0
0
0
0
0
0
в
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
с
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
/
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
му (рис. 11.27). На рис. 11.28 приведена та же схема, но в более компактном
представлении.
Ответ: 1, 3, 6 (т. е. комбинационная схема содержит один элемент И, три
элемента ИЛИ; в минимальную КНФ входит шесть букв).
Задания
для самостоятельной работы
Построить комбинационную схему, работающую согласно заданным
условиям. Найти минимальные ДНФ и КНФ булевой функции, описывающей
работу схемы. Для построения схемы выбрать форму с наименьшим числом
букв. Если минимальные ДНФ и КНФ по числу вхождений переменных
одинаковы, то схему строить на основе ДНФ. Для контроля указать, сколько в
схеме элементов И, сколько элементов ИЛИ и сколько всего букв в
минимальной форме, на основе которой построена схема.
Выходной сигнал принимает единичное значение в случаях, когда:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1)А = £>=1,С = 0;
4)В = 0,С = 1;
1)А = В = 1;
4)А = 1,£ = £> = 0;
1)А = В = С = 1>=1;
4)А = £> = 1;
1)А = В = 0;
4)А = 0,С = £>=1;
1)А=1,£ = 0,С = 0;
4) С = 1>=1;
1)А = 1>=1;
2)A = £ = C = D=1;
5)В = 0,£>=1.
2)А = 0,В = £>=1;
5)А = С=1.
2)А = В = 0,С = £>=1;
5)A = 0,C = D=1.
2)£ = 0,С = 1;
5)£ = С = £>=1.
2)C = D = 0;
5)A = £ = C = 0,D=1
2)£ = D = 1;
3)A = B = 0,D=1;
(АШУ)
3)A = D=1,£ = C = 0;
(ДОЗА)
3)A = D = 1,B = 0;
(Ф41М)
3)A = C = 1,D = 0;
(33PA)
3)A = D=1,£ = 0;
(E69C)
3)A = C=1,D = 0;
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 287
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 11.25
Рис. 11.26
гг
т
гг
&]
в-
с-
А-
D-
в-
с-
1
1
1
&
/
Рис. 11.27
Рис. 11.28

4)Б = С=1,А = 0;
7. 1)A = B = 1,C = D = 0;
4)A = D=1,C = 0;
8. 1)B = D = 1;
4)C = D=1;
9. 1)A = D=1,5 = C = 0;
4)5 = D = 0,C = 1;
10. 1)C = D = 0,A=1;
4)5 = C=1,D = 0;
11. 1)A = 5 = 1,D = 0;
4)А = Б=1;
12. 1)A = 5 = 1,C = D = 0;
4)C = D=1;
13. 1)B = C = 1;
4)5 = 0,D=1;
14. 1)B = C=1,A = D = 0;
4)A=1,B = C = 0;
15. 1)A = C = 0;
4)A=1,B = D = 0;
16. 1)A = B = 1,D = 0;
4)A = 5 = D = 0;
17. 1)5 = 1,A = D = 0;
4)B = D = 0,A=1;
18. 1)A = 5 = 1,C = 0;
4)B = C = D=1;
19. 1)C=1,A = D = 0;
4)А = Б=1;
20. 1)A = B = C=1,D = 0;
4)A = B = 0,C=1;
21. 1)5 = D = 0,C = 1;
4)A = C=1;
22. 1)B = C=1,D = 0;
4)A = D=1,B = 0;
23. 1)5 = C=1,D = 0;
4)A = C=1,B = 0;
24. 1)A = C = D = 0,5 = 1;
4)C = D = 1,A = 0;
25. 1)A = 5 = 1,D = 0;
4)C = D = 1,A = 0;
26. 1)A = B = 0;
4)A = C=1,D = 0;
27. 1)A = B = C = D = 1;
4)C = D = 0,A=1;
28. 1)5 = 1,C = 0;
4)A = C = 0,D=1;
29. 1)A=1,C = 0;
5)A = B = 0,D = 1.
2)A = D = 0,5=1;
5)B = C = 0,A = 1.
2)A = 0,D=1;
5)B = 0,C=1.
2)A = D = 0,C=1;
5)B = C = 0,D=1.
2)B = C = 0,A=1;
5)A = D = 0,B = 1.
2)A = B = C = D=1;
5)A = C = D=1.
2)A = B = C=1;
5)A = 0,D=1.
2)A = £ = D=1;
5)A = C = 1,B = 0.
2)C = D=1;
5)A = C = 1,5 = D = 0.
2)B=1,A = D = 0;
5)B = D = 0.
2)B = 1,C = D = 0;
5)A = C = 0.
2)A = C = D = 0;
5)А=1,Б = С = 0.
2)A=1,B = D = 0;
5)A = 0,B = C=1.
2)A = B = 0,D=1;
5)B = C = 1,D = 0.
2)A = C = 0,B = 1;
5)A = £ = 0,D = 1.
2)5 = D=1;
5)B = C=1,A = 0.
2)B = C = 1,A = 0;
5)A = B = D = 0.
2)A = £ = 0;D=1;
5)A = D = 0;C=1.
2)A = D=1,B = C = 0;
5)A = B = 0,C=1.
2)A = B = C = D=1;
5)A = £ = 0,D = 1.
2)B = D=1,A = C = 0;
5)A = B=1,C = 0.
2)B = D = 0,A = C = 1;
5)B=1,C = 0.
2)C = D=1;
5)C = D = 0.
2)C = 1,B = 0;
3)A =
3)A =
3)B =
3)A =
3)C =
3)A =
3)A =
3)A =
3)B =
3)B =
3)A =
3)A =
3)A =
3)A =
3)A =
3)C =
3)A =
3)A =
3)A =
3)B =
3)A =
3)A =
3)A =
(B250)
= C = 0,B = 1;
(K86C)
= 5 = D = 0;
(Б119)
= C = 1,D = 0;
(ХЗБМ)
= B=1,D = 0;
(Г270)
= D=1,A = 0;
(Ж9РН)
= B = 0,C=1;
(31СШ)
= 0,C=1;
(И08Я)
= B = D=1;
(558P)
= C = 0,A=1;
(046B)
= 1,A = C = 0;
(Ш2М7)
= D=1,C = 0;
(П383)
•D-l;
(Э7У1)
= D=1,C = 0;
(P604)
= C = D = 0;
(Ю8СО)
= D=1,C = 0;
(Л8АО)
= D= 1,5 = 0;
(C942)
-B = D = l;
(К7ШУ)
■B = C = D=1;
(489T)
-B = C = D = 0;
(Н6ИС)
= D = 0,C=1;
(Ф428)
= C = 0,D=1;
(M510)
= D=1,5 = 0;
(T572)
-B = C = D=1;
288
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4)5=1,A = 0;
30. 1)A = 1,C = 0;
4)B = D = 0,C = 1
31. 1)A = C=1;
4)Б = 0,С=1;
32. 1)A = 5 = 1,D = 0
4)A = B = 0,C=1;
33. 1)A = D=1,C = 0
4)A = D = 0,C=1
34. 1)A = D=1,C = 0
4)A = C = 1,B = 0;
35. 1)B = C=1,A = 0;
4)A = D=1;
36. 1)A = £ = 1,D = 0
4)A = C = D=1;
37. 1)A= 1,5 = 0;
4)A = 5 = 1,D = 0
38. 1)A = D = 1,C = 0
4)B = D=1,A = 0
39. 1)A = 5 = C=1,D
4)А = С = 0,Б = 1;
40. 1)5 = C = 1,A = D
4)B = C = 0,A=1;
41. 1)A = B = 1,C = D
4)A = C = 0,D=1
42. 1)A = C = 0,5 = 1;
4)A = C = D=1;
43. 1)A = 5 = 1,C = 0;
4)D=1,A = 0;
44. 1)A = 5 = 1;
4)A = C = D=1;
45. 1)A = D=1;
4)5 = 1,C = 0;
46. 1)A = C = 0,D=1
4)A = C = 1;
47. 1)A = B = C = D =
4)5 = D=1;
48. 1)5 = C = D=1,A
4)B = C = D = 0;
49. 1)B = D = 0,A=1
4)C = D=1;
50. 1)A = B = 1,D = 0
4)A = 0,C = 1;
5)D=1,A = 0.
2)C = D=1;
; 5)A = B = 0.
2)A = D=1;
5)A = C = 0,D=1.
; 2)5 = C = D=1;
5)B = D = 0.
2)A = D=1,B = 0;
5)A = D = 0,B = 1.
2)A = D = 0,B = 1;
5)A = B = 0.
2)A = 5 = 0,D=1;
5)Б = С = 0,А=1.
; 2)А = Б = 1,С = 0;
5)5 = C = D=1.
2)C = D=1,A = 0;
; 5)A = 0,B = 1.
2)A = £ = D = 0;
; 5)B = C=1.
= 0; 2)C = D = 0,B=1;
5)A = 5 = C = D = 0.
= 0; 2)A = C = D = 0,5 = 1;
5)B = D = 0,A=1.
= 0; 2)B = C=1,A = 0;
5)A = 5 = D=1.
2)A = C = 0,D=1;
5)A=1,B = 0.
2)A = D=1,B = 0;
5)A = C = D = 0,B = 1.
2)A = D = 0;
5)B = D=1,A = 0.
2)A = B = 0,C=1;
5)A = D = 0,B = 1.
2)А = Б = С = 0;
5)A = B = 1,C = 0.
0; 2)5 = D=1,A = 0;
5)A = B = C = 1,D = 0.
= 0; 2)A = C = 1,5 = D = 0;
5)B = D = 0,A=1.
; 2)A = 5 = 0,D=1;
5)A = £ = D=1,C = 0.
; 2)Б = С = 0,А=1;
5)A = 5 = 0,D=1.
(У739)
3)A = C = 0,D=1;
(Я6АЗ)
3)C = D=1,
A = B = 0;
(A830)
3)A = C = 0,D=1;
(Б97У)
3)A = 5 = C = D = 0;
(Д430)
3)C = D=1,5 = 0;
(C191)
3)5 = D = 0,C=1;
(02ДЦ)
3)А = Б = 0;
(Г755)
3)A = B = C = D=1;
(УОРХ)
3)B = 0,C = 1;
(ПИАХ)
3)A = B = 1,
C = D = 0;
(Е38П)
3)B = D=1,
A = C = 0;
(B574)
3)A = C = D=1;
(ЖОАМ)
3)5 = D=1,A = 0;
(M41M)
3)B = C=1,A = 0;
(Л7АА)
3)Б = С = 0;
(Т9ЛЕ)
3)A = C = 0,D=1;
(К38Б)
3)B = D = 0,C=1;
(Н6ДТ)
3)A = C = 1,B = 0;
(C472)
3)A = C = 1,D = 0;
(314Я)
3)B = C = 1;
(Р2ИГ)
3)B = D = 0,C=1;
(И505)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
289

11.3.
СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ КОДОВ
На вход комбинационного преобразователя (рис. 11.29) при помощи
триггеров Ау By Су D подаются десятичные цифры в виде двоичных кодов. Эти
цифры по заданному закону преобразуются в двоичные числа и поступают на
выход преобразователя, представленного булевыми функциями fl9 f2, /3» /4-
Требуется найти и минимизировать функции fl9 f2, /3 и Л» гДе Л
соответствует старшему разряду, и построить логическую схему преобразователя.
Пример 1. Построить комбинационную схему, преоб-
л разующую десятичные цифры в выходные числа по зако-
с ну: 3, 6, 8,13, 9, 5,4,1, 7,12, где первому выходному числу
соответствует входная цифра 0, второму — 1, третьему — 2
h и так далее до числа 12, которому соответствует входная
/4 цифра 9. Для контроля найти число вхождений
переменных для каждой из четырех функций fl9 /2> /з и f*> пРеД~
ставленных в минимальных ДНФ.
Решение. Сначала установим соответствие между входными и выходными
кодами. Для этого пронумеруем, начиная с нуля, все коды выходной
последовательности:
0123456789 —десятичные цифры, (1)
368 13 9541 7 12 — выходные числа, (2)
где в (1) приведены десятичные цифры, а в (2) — соответствующие им
выходные числа.
Все числа, входные и выходные, необходимо представить в двоичном виде,
так как преобразователь работает в двоичной системе. Соответствие между
Таблица 11.3 Таблица 11.1
д
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
А
0
0
0
0
0
0
0
0
в
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
с
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
и
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
X
X
X
X
X
X
h
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
X
X
X
X
X
X
Л
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
X
X
X
X
X
X
и
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
X
X
X
X
X
X
Гц"
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
А
0
0
0
0
0
0
0
0
в
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
с
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
и
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
X
X
X
X
X
X
h
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
X
X
X
X
X
X
и
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
X
X
X
X
X
X
~7П
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
X
X
X
X
X
X
290 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
В Ч
с А
D А
Л —\

национный
преоб-
| разова-
тель

ними зададим таблицей (табл. 11.3). Буквой Д в таблице обозначена колонка
с десятичными цифрами. В колонках А, Б, С, D записаны входные двоичные
числа, а в колонках flf f2> /3» /4 приведены выходные коды.
Рассматривая таблицу как таблицу истинности для четырех функций,
зависящих от одних и тех же переменных А, Б, С, D, находим СДНФ этих функций:
Л =(2, 3,4, 9); /2 = (1,3, 5, 6, 8, 9);
/з = (0,1,8); /4 = (0,3, 4, 5, 7,8).
Во всех колонках flf f2> /з> Л в строках 10-15 крестиками отмечены
неопределенные состояния. С их учетом минимальные ДНФ имеют вид (карты
Вейча приведены на рис. 11.30-11.33):
Д = BCD + ВС + AD\ f2=A + BCD + CD + BD\
/з = ABC + AD; f4=CD + BD + CD.
Схема преобразователя кодов изображена на рис. 11.34.
Ответ: 7, 8, 5, 6 (т. е. первая функция содержит 7 вхождений
переменных, вторая — 8, третья — 5 и четвертая — 6).
Пример 2. Построить схему, преобразующую десятичные цифры в
выходные числа по закону: 13, 9, 11, 6, 2, 4, 15, 5, 3, 8. Для контроля найти
число вхождений переменных для каждой из четырех функций flf f2> /3 и Л-
Решение. Как и в первом примере, сначала устанавливаем соответствие
между входными десятичными цифрами и выходными кодами:
0123456789
13 9 11 6 2 4 15 5 3 8
десятичные цифры,
выходные числа.
Строим таблицу истинности (табл. 11.4). Неопределенными остаются те
же состояния, что и в таблице 11.1.
Находим СДНФ функций fl9 f2f f3 и fA:
Л = (0,1,2,6,9); /2 = (0,3, 5, 6, 7);
/3 = (2, 3, 4, 6, 8); /4 = (0, 1, 2, 6, 7, 8).
/4
/.=
X
X
1
X
X
X
X
1
1
1
Рис. 11.30
X
X
1
X
X
X
X
1
1
Т1
1
1
/2 =
X
X
1
1
X
X
X
X
1
1
1
1
А =
X
X
1
X
X
X
X
1
1
А -
D-
в -
с-
в-
С-
D-
#
~&
&
1
Рис. 11.31
В-
с-
D-
А с-
D-
в-
D-
А-
#
&
&
1
А
Рис. 11.32
А -
в-
с -
А "
D-
&
~&
1
в-
D-
— D-
С-
D-
1
т
&
и
Рис. 11.33
Рис. 11.34
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
291

Минимизируем их в классе ДНФ:
/, = CD + ABC + AD; f2=BD + BC + CD + ABCD;
f3=AD + BC + BD; f4 = BD + ВС + ABC.
На основе этих функций строим комбинационный преобразователь. В
отличие от первого примера в данном случае система функций содержит
повторяющиеся конъюнкции: ABC (первая и четвертая функции), ВС (третья и
четвертая функции). При построении схемы их можно изобразить по одному
разу, а использовать по два раза.
Ответ: 7, 10, 6, 7.
Задания
для самостоятельной работы
Построить комбинационную схему, преобразующую десятичные цифры
в выходные числа по заданному закону. Для контроля найти число
вхождений переменных для каждой из минимальных ДНФ функций flt f2, f3 и fiy
описывающих работу преобразователя.
1.4,6,2,12,0,9,11,8,13,14.
2.12,5,1,9,10,7,13,4,15,11.
3.10,11,4,8,13,6,1,7,2,14.
4.5,14,12,2,10,8,11,1,9,3.
5.3,9,10,5,6,7,14,8,12,13.
6.3,12,6,8,1,13,7,2,9,5.
7.9,12,2,7,3,5,4,1,13,6.
8.1,3,2,9,0,12,14,8,13,11.
9.9,12,4,5,3,14,13,8,15,7.
10.3,11,4,2,14,5,8,13,1,7.
11.10,13,9,4,5,1,7,2,3,6.
12.6,10,12,3,5,7,13,8,9,11.
13.9,6,3,4,8,14,11,1,12,10.
14.10,6,1,13,9,12,4,8,14,5.
15.4,6,2,5,0,9,11,1,13,7.
16.10,9,1,3,6,13,11,8,15,7.
17.6,14,1,2,11,5,8,13,4,7.
18.12,11,9,2,3,1,7,4,5,6.
19.12,5,9,6,10,14,11,1,3,7.
20.5,10,6,8,1,11,7,4,9,3.
21.12,6,1,11,9,10,2,8,14,3.
22. 2, 6, 4, 10, 0, 9, 13, 8, 11, 14.
23. 9, 3, 2, 10, 12, 7, 11, 1, 15, 14.
24.12,13,2,8,11,6,1,7,4,14.
25.6,11,10,1,9,8,13,4,12,5.
26.6,12,10,5,3,7,11,8,9,13.
27.10,5,9,4,2,7,11,8,6,3.
28.9,10,4,7,5,3,2,1,11,6.
29.4,12,8,5,0,3,11,1,7,13.
292
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

30. 9, 5, 4,12,10, 7, 13, 1, 15, 14.
31.10, 11, 4, 2, 7, 12,1, 13, 8, 14.
32.10,7,3,4,5,1,13,8,9,12.
33. 5, 3, 6, 9, 12, 13, 14, 2, 10, 11.
34.12, 3, 5, 2, 8, 11, 13, 4, 10, 9.
35.10,3,4,13,12,9,1,8,11,5.
36.1,5,4,3,0,10,14,2,11,7.
37.5,6,2,3,9,14,7,4,15,11.
38.12, 14, 1, 4, 7, 9, 2, 11, 8, 13.
39. 3, 14, 10, 4, 12, 8, 13, 1, 9, 5.
40.10,3,9,6,12,14,13,1,5,7.
41.9,6, 12,2,1,7, 13,8,3,5.
42.6,5,8,11,10,3,1,2,7,9.
43.2,10,8,3,0,5,13,1,7,11.
44.3,6,4,5,9,14,7,2,15,13.
45.5,13,2,4,14,3,8,11,1,7.
46.12,7,6,1,3,2,11,8,10,9.
47. 6, 5, 3, 12, 10, 14,11,1, 9, 13.
48. 9, 6, 5, 2, 8, 14, 13, 1, 10, 12.
49.11,9,13,6,4,2,15,3,5,8.
50.14,10,11, 5, 1, 4,15,12, 9, 2.
(П15)
(ВАЧ)
(67Б)
(ЗГЗ)
(6ЛИ)
(КБМ)
(ГЭС)
(КОН)
(УГР)
(1Т6)
(045)
(НЕВ)
(ШТЗ)
(НДГ)
(УЗЫ)
(У91)
(7РЯ)
(2БЕ)
(4РЫ)
(ЗАК)
(ПЕН)
11.4.
АНАЛИЗ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ
Одна из задач анализа логических схем сводится к нахождению тех
наборов значений переменных, на которых выходной сигнал принимает
единичное значение. Если схема представлена «черным ящиком», когда
доступными являются только входы, куда можно подавать сигналы, и выход /, откуда
можно считывать сигналы, а логическая структура схемы неизвестна, то
найти наборы значений переменных, на которых /= 1, можно лишь одним
способом: поочередно подавать на входы двоичные комбинации сигналов и
для каждой из них записывать значение /.
Если же логическая схема известна, то задачу можно решить не только
методом «черного ящика», но и другим способом: найти булеву функцию, на
основе которой построена схема, и представить найденную функцию в СДНФ.
Номера входящих в нее минтермов и дадут искомые наборы значений
переменных, на которых выходной сигнал принимает единичное значение.
Задания
для самостоятельной работы
В нижеприведенных заданиях структуры логических схем известны, они
построены на основе КНФ, в большинстве случаев не являющихся
минимальными. Требуется выполнить операции анализа схем (любым методом),
т. е. определить все наборы, на которых /= 1, найти минимальные КНФ и
ДНФ и на основе минимальной ДНФ построить логическую схему.
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
293

Ответы к п. а) в нижеприведенных заданиях представить в десятичной
системе.
1. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.35);
(1Ж7)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.35)?
(ТТ38)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(К35)
2. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.36);
(37П)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.36)?
(ЕК8В)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(Г077)
3. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.37);
(ЮПА)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.37)?
(П85)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(900Л)
4. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.38);
(РИО)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.38)?
(78ХТ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ГГБ8)
5. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.39);
(БРП)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.39)?
(УКОЗ)
А-
в-
с-
D-
А-
D-
А -
С-
В-
с-
&
£4
сА
А\
вА
~ D\
с А
вА
А А
сА
А-
В-
с-
В-
в-
D-
А-
с-
В-
с-
1
1
1
1
1
&
А Ч
вА
сА
dA
f Bi
— dA
A A
с А
в А
с А
Рис. 11.35 Рис. 11.36 Рис. 11.37 Рис. 11.38
294
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

A-
в-
A-
c-
B-
c-
A-
D-
B-
D-
&]
/
c-
D-
B-
D-
A -
D-
B-
C-
A-
C-
1
1
1
1
1
&1
B-
c-
A-
C-
A-
B-
B-
C-
B-
c-
1
1
1
1
1
&]
A-
c-
5-
c-
^ -
D-
B-
C-
c-
D-
1
1
1
1
1
&]
Рис. 11.39
Рис. 11.40
Рис. 11.41
Рис. 11.42
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ВАРХ)
6. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.40);
(УМО)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.40)?
(НАЭЗ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(РОЯЛ)
7. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.41);
(BET)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.41)?
(ЗОТА)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(КИИХ)
8. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.42);
(ЦОГ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.42)?
(К453)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(НИОЗ)
9. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис.
11.43); (ЮМВ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.43)?
(Н016)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(К444)
10. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1 (рис.
11.44); (883М)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
295

A -
в-
A -
в-
A-
c-
A-
D-
B-
D-
Pi
AA
DA
cA
da
bA
cA
AJ
cA
aA
bA
cA
ГГ
l
ГГ
i
\T
Щ
ic. 11.43
1
1
1
1
1
&
/
/
Рис. 11.47
B-
c-
A-
D-
c-
D-
A-
B-
B-
c-
Pl
A -
B-
A -
C-
B-
D-
C-
D-
A-
C-
D-
1
1
1
1
T
&]
ic. 11.44
1
1
1
1
1
&~|
/
Рис. 11.48
A _
B-
C-
D-
B-
D-
A-
C-
A -
B-
C-
1
1
1
1
1
&П
/
Рис. 11.45
B-
D-
B-
и -
A-
c-
A-
C-
B-
c-
D-
1
1
1
1
1
&]
/
Рис. 11.49
A _
C-
B-
c-
B-
D-
A-
C-
A-
B-
C-
1
T
i
i
l
&1
Рис. 11.46
A-
B-
A-
B -
A -
C-
A -
D-
A-
C-
D_
1
1
1
1
1
~&\
f
Рис. 11.50
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.44)?
(443Т)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(143)
11. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/= 1(рис. 11.45);
(25Н)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.45)?
(4338)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ИКДГ)
12. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/= 1(рис. 11.46);
(58Е)
296
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.46)?
(8БТ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ТЛЛБ)
13. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.47);
(СКЕ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.47)?
(665Т)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ЛИСЗ)
14. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.48);
(ВЫЗ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.48)?
(98КГ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(УК99)
15. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.49);
(998)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.49)?
(ЧУК7)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(5ВХХ)
16. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.50);
(НТВ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.50)?
(2ИНЛ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(7НСТ)
17. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1 (см.
рис. 11.51); (ПРП)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.51)?
(ЦУЯС)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ЦОТУ)
18. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (см.
рис. 11.52); (32Щ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.52)?
(ТИАХ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить, сколько
в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И. (ОЙА1)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
297

B-
С-
А -
С-
В-
С-
А-
С-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
&]
/
Я-
D-
Я-
С-
С-
D-
А-
С-
Я-
С-
D_
1
1
1
1
1
&п
/
А-
D-
С-
D-
В-
5-
А-
С-
А-
С-
D-
1
1
1
1
1
&]
Л_
D-
В-
D-
А-
С-
С-
D-
Я-
С-
D-
1
1
1
1
1
&]
/
Рис. 11.51
Рис. 11.52
Рис. 11.53
Рис. 11.54
А -
В-
с-
D-
А -
D-
А -
я-
с-
А -
В-
D-
1
1
1
1
1
&]
Я-
с-
I-
с-
я-
с-
А-
с-
D-
А-
с-
D-
1
1
1
1
1
"&]
/
Л-
D-
J-
D-
С-
D-
I-
с-
Г)
Я"
с-
D-
1
1
1
1
1
"&]
Л-
л —
в-
С-
с-
Я-
г*
1>* —
я-
с-
D-
1
1
1
Т
1
"&]
/
Рис. 11.55
Рис. 11.56
Рис. 11.57
Рис. 11.58
19. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1(рис. 11.53);
(727)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.53)?
(70БП)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ЛОСЛ)
20. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1(рис. 11.54);
(К069)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.54)?
(5КВП)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(РОЗЕ)
298
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

21. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.55);
(8МУ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.55)?
(56СЯ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ШИОЗ)
22. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.56);
(6ВЛ2)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.56)?
(У510)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(УНЕМ)
23. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.57);
(ЛБ5)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.57)?
(1СБО)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(74КЗ)
24. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.58);
(РЯЛ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.58)?
(5ИЕЖ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ШАХ2)
25. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.59);
(КУПП)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.59)?
(ЗАПК)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(83ДИ)
26. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.60);
(ГШН)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.60)?
(НУКС)
вЩостроить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(БУЗО)
27. а) Найдите наборы значений переменных, на которых/ = 1(рис. 11.61);
(ВКБ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.61)?
(ИКАЛ)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
299

в -
с-
А-
D-
А-
D-
В-
с-
D-
А-
в-
D-
1
1
1
1
1
&"]
А-
П -
в-
с-
С-
D-
А-
С-
D-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
&1
/
А-
в-
А-
В-
Г)
и —
А -
В-
D-
А -
I-
С-
1
т
1
т
1
"&]
В-
с-
А-
С-
В-
D-
В-
С-
D-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
П
/
Рис. 11.59
Рис. 11.60
Рис. 11.61
Рис. 11.62
А-
D-
С-
D-
А-
В-
А-
С-
D-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
"&1
/
Рис. 11.63
В-
с-
А-
С-
В-
D-
В-
С-
D-
в-
С-
D-
1
1
1
1
1
"&1
/
Рис. 11.64
А -
С-
С-
5-
А-
В -
А -
с-
D-
А-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
П
/
Рис. 11.65
в-
с-
А-
с-
С-
D-
А-
в-
с-
А-
В-
С-
D-
1
1
1
1
1
П
Рис. 11.66
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(КИАЙ)
28. а) Найдите наборы значений переменных, на которых / = 1 (рис. 11.62);
(КИУЖ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.62)?
(Е880)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(НИУК)
300
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

29. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.63);
(ГИВ5)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.63)?
(ПАГ2)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ГЕТМ)
30. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.64);
(РЫД)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.64)?
(74БХ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(982П)
31. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.65);
(НЕТ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.65)?
(КН59)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(8В8В)
32. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.66);
(ИЧК)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.66)?
(ЧУЯЯ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(654Щ)
33. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.67);
(В79)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.67)?
(40АЦ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ЦИГИ)
34. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.68);
(БОМ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.68)?
(БОМК)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(550К)
35. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.69);
(7ВО)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.69)?
(82ВХ)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
301

c-
D-
B-
D-
A-
c-
A-
B-
D-
A-
B-
C-
D-
1
1
1
1
1
H
B-
c-
A-
D-
A-
D-
A-
c-
D-
A-
B-
c-
D-
I
1
1
1
1
H
/
c-
D-
A-
c-
B-
c-
B-
c-
D-
A-
B-
C-
D-
1
1
1
1
1
П
B-
c-
c-
D-
B-
C-
A-
B-
D-
A -
B-
c-
D~
1
1
1
1
1
*H
/
Рис. 11.67
Рис. 11.68
Рис. 11.69
Рис. 11.70
А-
с-
А -
с-
в-
5-
в-
с-
D-
А-
в-
с-
D~
1
1
1
1
1
*\
f
Рис. 11.71
А-
в-
с-
D-
в-
D-
А-
с-
D-
А-
в-
С-
D-
1
1
1
1
1
П
/
Рис. 11.72
А-
с-
в-
С-
с-
D-
А-
в-
D-
А-
В-
с-
D-
1
1
1
1
1
П
Рис. 11.73
А-
в-
А-
в-
с-
D-
А-
с-
D-
А-
в-
с-
D-
1
1
1
1
1
П
Рис. 11.74
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(ЗЗТ4)
36. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.70);
(436)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.70)?
(7НХБ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(40УЛ)
37. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f = 1 (рис. 11.71);
(ТКБ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.71)?
(59СБ)
302
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(У7ЭП)
38. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.72);
(СДЗ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.72)?
(108К)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(9Т2А)
39. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.73);
(ОРС)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.73)?
(ГУЗВ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить, сколько
в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И. (4484)
40. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.74);
(МИЧ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.74)?
(МЕЧА)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(6ДАА)
41. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.75);
(ИОД)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.75)?
(УС50)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(КИАЙ)
42. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.76);
(ИАЗ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.76)?
(ЖАЕЙ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(Н72С)
43. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.77);
(КАР)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.77)?
(488Д)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(9С2Г)
44. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.78);
(1ТЛ)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
303

A-
B-
c-
A-
c-
B-
D-
C-
D~
A-
c-
D-
1
1
1
1
1
*\
f
Рис. 11.75
A-
B-
c-
B-
D-
A-
B-
c-
D-
B-
blHI
1 1
1
1
1
1
1
&
Рис. 11.79
в А
с А
D-\
b-\
cA
aA
DA
-П
cA
dA.
&
/
Рис. 11.76
A-
B-
c-
A -
5-
C-
D-
c-
D-
B-
C-
D-
1
1
1
1
1
&
Рис. 11.80
A-
c-
и
B-
c-
c-
D-
B-
D-
A-
B-
D-
1
1
1
1
1
П
вА
cA
cA
dA
bA
dA
bA
c-
B-
c-
D-
Tl
l
Tl
Tl
1
&l
Рис. 11.77
AA
bA
cA
aA
cA
cA
dA
bA
dA
a A
cA
dA
Ph
B-
c-
D-
C-
D-
c-
D-
B-
D-
A-
B-
C-
1
Tl
Tl
1
71
&
с 11.81
jl
U
{T
j 1
IT
&
/
/
A~\
bA
cA
dA
aA
cA
aA
dA
bA
cA
dA.
&
/
Рис. 11.78
A-
B-
D"
А-
c-
А-
D-
B-
D-
A-
C-
D-
1
1
1
1
1
&
/
Рис. 11.82
Рис. 11.83
Рис. 11.84
304
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.78)?
(МКЧП)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(34ГИ)
45. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.79);
(8Б9)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.79)?
(7АЙЦ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(П8ВП)
46. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.80);
(КПД)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.80)?
(5ИВЛ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(КЗА2)
47. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.81);
(ДНА)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.81)?
(КЦ54)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(РОЗЛ)
48. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f = 1 (рис. 11.82);
(7ГИ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.82)?
(344Г)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить, сколько
в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И. (9А02)
49. а) Найдите наборы значений переменных, на которых /= 1(рис. 11.83);
(МКГ)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.83)?
(СИЯЛ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(КУ69)
50. а) Найдите наборы значений переменных, на которых f=l (рис. 11.84);
(ИИ5)
б) Сколько знаков дизъюнкции и сколько букв в КНФ (рис. 11.84)?
(ЛИВЬ)
в) Построить схему на основе минимальной ДНФ. Определить,
сколько в ней двухвходовых, трехвходовых и четырехвходовых элементов И.
(472Я)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
305

11.5.
АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
ДВОИЧНЫХ КОДОВ
В данном подразделе рассматривается логическая схема, преобразующая
входной пятизначный двоичный код а в выходной шестизначный двоичный
код Ь. Задание состоит в следующем. На вход преобразователя подается код
а. Требуется определить, какой ему соответствует выходной код Ь.
Как выполнять это задание, проиллюстрируем на примере
преобразователя, схема которого представлена на рис. 11.85.
Буквами А, В, С, Dy Е на схеме обозначены двоичные входы
преобразователя, символами fl9 f2, /з> Л» /^5» /б — его выходы (также двоичные). При этом
букве А соответствует старший разряд входного двоичного кода а, а букве
Е — младший разряд. Выходу fx кода Ь соответствует старший разряд, f6 —
младший.
Пусть на вход преобразователя поступил код а = 6, представленный в
десятичной системе. Переведем число 6 в двоичную систему:
6|10=И0|2.
В коде 110 три знака, а на вход должны
подаваться пятизначные двоичные числа, так как
преобразователь содержит пять входов. Это значит, что
код 110 необходимо удлинить добавлением слева от
него двух нулей:
6|10 = 00110|2.
\fi_ Отсюда получаем:
А = 0, В = 0, C=l, D=l, £ = 0.
Переходим к схеме преобразователя (рис. 11.85).
Все элементы на схеме пронумерованы: номерами
Уз от 1 до 13 обозначены элементы И, номерами от 14
до 19 — элементы ИЛИ.
Так как А = 0, то схема И2 (логический элемент
И с номером 2) заперта, т. е. на ее выходе поддержи-
f вается низкий уровень напряжения. Следовательно,
на второй вход (при счете сверху вниз) элемента 14
подан логический нуль. С выхода элемента 2 на вход
элемента 12 подается низкий уровень, эта схема И
/з заперта и на первый вход элемента 15 подан логи-
ческий нуль. Кроме того, запертой является схема
И с номером 8, вследствие чего на втором входе эле-
/ь мента 17 поддерживается низкий уровень
напряжения. Запертым является и элемент 13,
благодаря чему на первом входе элемента 18 напряжение
Рис. И.85 равно нулю.
В А
с-|
А -
Ё-
В-\
D
С-
и
Е-
с-
D-
В -
F-
л-
в-
А -
о-
А-
Е-
&
&
&
&
&
&
&
л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
/г
А-
D-
В-
с-
&
&
IV
11
г
<
1—,i:
>
13
0-
14
ГП
>
16
ГП
17
ТТЛ
18
]~П
19
"ГП
306
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Продолжим анализ состояния схемы при В = 0. Запертыми являются
элементы 3, 6 и 11. На третьем входе элемента 14, на втором входе
элемента 16 и на втором входе элемента 19 — низкие уровни. Элемент 7
открыт, т. е. на его выходе поддерживается высокий уровень напряжения
(так как А = В = 0). Этот уровень подается на третий вход элемента 16, на
первый вход элемента 17 и на второй вход элемента 18. Следовательно,
получаем
/8-Л-/5-1.
В дальнейшем элементы 16, 17 и 18 можно не рассматривать, поскольку
их состояние уже полностью определено.
Значение аргумента С равно единице: С = 1. Запертыми являются схемы
И, номера которых 1 и 5. Отсюда получаем значение еще одного разряда
выходного кода: fx = 0 (поскольку на всех трех входах элемента 14 — низкие
уровни). Кроме того, низкий уровень с выхода элемента 1 поступает на
первый вход элемента 19. Так как на обоих входах элемента 19 низкие уровни,
то/е = 0.
Следующий аргумент D. Так как D = 1, то запертой является схема И с
номером 4. С ее выхода на второй вход элемента 15 подается низкий уровень,
вследствие чего f2 = 0.
Значение Е = 0 на состояние выходов никакого влияния не оказывает,
так как выходные уровни всех элементов 14,15,16,17,18,19 определены на
основе значений аргументов А, В, С, D. В результате получаем:
/i-0, /2 = 0, /3=1,
/4-1, /5 = 1, /в-о.
Таким образом, выходным является шестизначный двоичный код 001110.
Представим его в десятичной системе:
001110|2 = 14|10.
Ответ: 14.
Задания
для самостоятельной работы
На вход преобразователя подан код а, выраженный в десятичной
системе. Найти соответствующий ему выходной код Ьу представив его также в
десятичной системе.
1. а = 29 (рис. 11.85).
3. а = 23 (рис. 11.85).
5. а = 21 (рис. 11.85).
7. а = 20 (рис. 11.85).
9. а = 4(рис. 11.85).
11. а- 10(рис. 11.86).
13. а = 12 (рис. 11.86).
(10ЖК)
(77ИМ)
(91МИ)
(8043)
(ИМИ)
(1371)
(3945)
2. а = 13 (рис. 11.85).
4. а = 17 (рис. 11.85).
6. а = 26 (рис. 11.85).
8. а = 14 (рис. 11.85).
Ю.а = 8(рис. 11.85).
12.а = 6(рис. 11.86).
14. а = 28 (рис. 11.86).
(664Т)
(45ИЛ)
(561С)
(68ЛП)
(26НО)
(60ЛЛ)
(16ЛП)
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
307

c-
D-
A -
E-
DA
EA
D
B-
С
E-
B-
c-
D-
E-
A-
D~
A -
B-
A-
F -
&
&|
&|
&
&
&
&
&
&
A
Л
A-
BA
c-
D~
&
Г
|&
\.
1
_[&
71
71
71
71
71
7]
Л
л
A
Л
B-
c-
A A
EA
В А
EA
D
c-
D
E-
EA
B-
c-
D-
1A
b-
A -
DA
A-
f -
Л
&
&
&
&
&
&
&
Л
A-
DA
c-
B-
&
&
Ф
L ^
^
4
&
I
[&
71
71
71
71
71
7]
h
л
л
л
Рис. 11.86
Рис. 11.87
15. а
17. а -
19. а
21. а
23. а
25. а ■
27. а ■
29. а ■
31. а
33. а
35. а
37. а ■
39. а
41. а ■
43. а ■
45. а ■
47. а =
49. а ■
18(рис
:15(рис
29(рис
29(рис
31(рис
7 (рис.
30(рис
2 (рис.
31(рис
23(рис
5 (рис.
0 (рис.
12(рис
:25(рис
9 (рис.
5 (рис.
30(рис
4 (рис.
. 11.86).
. 11.86).
. 11.86).
. 11.87).
. 11.87).
11.87).
. 11.87).
11.87).
. 11.88).
. 11.88).
11.88).
11.88).
. 11.88).
. 11.89).
11.89).
11.89).
. 11.89).
11.89).
(9297)
(1939)
(2975)
(125Д)
(28Л7)
(550Ф)
(65Д5)
(249Щ)
(3556)
(958Р)
(37ТБ)
(73X1)
(62ЛК)
(14ЛК)
(71КМ)
(58ДЛ)
(64Т2)
(90КЦ)
16. а
18. а
20. а
22.61
24.61
26.61
28.61
30. а
32. а
34. а
36. а
38. а
40. а
42.61
44.61
46. а
48.61
50. а
21(рис
31(рис
25(рис
27(рис
23(рис
16(рис
4 (рис.
14(рис
19(рис
21(рис
24(рис
6 (рис.
22(рис
13(рис
7 (рис.
21(рис
О (рис.
10(рис
. 11.86).
. 11.86).
. 11.86).
. 11.87).
. 11.87).
. 11.87).
11.87).
. 11.87).
. 11.88).
. 11.88).
. 11.88).
11.88).
. 11.88).
. 11.89).
11.89).
. 11.89).
11.89).
. 11.89).
(63АФ)
(943Х)
(720Д)
(700Е)
(757Д)
(2066)
(579Р)
(88Я7)
(61МС)
(99ЦМ)
(979А)
(96НЗ)
(36ПП)
(38ВО)
(335Ц)
(740Ш)
(158Р)
(34АЦ)
308
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

&
&
&l
С-Г
dA
A-\
-~f
£-L
D-
B-\
c-\
ЕЛ
В А
cA
D-\
ЕЛ
^1&
A-f~
B_-l
A A
&
&
&
&
ЕЛ
A —
A A
&
BA
&
da
&
TU
Iй
&h
4i
1A
/3
/4
&Lr
11Л
A-
D-
L -
E-
B-\
D-
В
A-
D~
E-
B-
E-
B-
C-
c-
n-
A-
C
E-
&
&
&
&
&
&
&
&
r*
1 ^
f r
&h
<
С
c-
dA
&
>
JTj
J71
171
0-
171
^i
e-
^i
д-
&
&
71
A
A
A
Л
A
Рис. 11.88
Рис. 11.89
11.6.
ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
НА ЭЛЕМЕНТАХ ШЕФФЕРА
В данном подразделе приведены логические схемы, построенные на двух-
входовых элементах Шеффера. Булева функция, описывающая работу
двухвходового элемента Шеффера, имеет вид
f(A,B) = AB.
Согласно теореме Поста о функциональной полноте эта функция
образует функционально полную систему, т. е. любая булева функция может быть
реализована в виде логической схемы, состоящей только из двухвходовых
элементов Шеффера. При этом если соединить между собой оба входа
элемента Шеффера, то получим инвертор.
Можно рассматривать две задачи, относящиеся к подобным схемам.
Первая из них сводится к построению логической схемы на элементах
Шеффера, если задано алгебраическое выражение (ДНФ, КНФ или некоторая
форма высшего порядка) какой-либо булевой функции. Вторая задача
является обратной по отношению к первой: требуется найти все наборы значений
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
309

15
— ,i о 12 14 I —.
В_
D
J&1 |Tfr—J&j-U
Рис. 11.90
переменных, которым на выходе схемы
соответствует высокий уровень
напряжения (т. е. логическая единица). В
результате получится СДНФ,
являющаяся основой для нахождения любых
других алгебраических форм (например,
минимальных ДНФ или КНФ). Решить
ее можно либо алгебраическими
преобразованиями с применением теорем де
Моргана, либо подачей на входы схемы
наборов значений переменных и
определением значения выходного сигнала.
Данный подраздел посвящен второй
задаче, но в упрощенном виде.
Упрощение состоит в том, что булеву функцию, описывающую работу всей схемы,
находить не требуется. В схеме отмечены точки, обозначенные символами
f\> /2» fs> fi> fb- Необходимо определить значение сигнала в этих точках для
заданного набора значений переменных. Обозначать наборы будем буквой а.
Как выполнять задания данного подраздела, проиллюстрируем на
следующем примере.
Пример. На вход схемы (рис. 11.90) подан набор а = 5 (т. е. набор
значений переменных, выраженный числом 5 в десятичной системе). Найти
значения fijf2>f3>fi> fb на этом наборе. Ответ представить в виде упорядоченной
последовательности найденных значений.
Решение. Число 5 переводим в двоичную систему:
5|10 = 0101|2.
Следовательно, А = 0,B=1,C = 0,D=1.
Элементы на рис. 11.90 пронумерованы. Так как А = 0иС = 0, тона
выходах элементов 1 и 2 высокие уровни напряжения (т. е. логические
единицы). На обоих входах элемента 6 высокие уровни, следовательно, на его
выходе низкий уровень, а на выходе инвертора 10 — высокий уровень. Таким
образом, одно из искомых значений найдено: /^ = 1.
На выходе элемента 3 высокий уровень, так как С = 0. На обоих входах
элемента 7 высокие уровни, следовательно, на его выходе низкий уровень,
а на выходе инвертора 11 — высокий. Найдено еще одно значение: /2 = 1.
Так как В = 1, то В = 0. Следовательно, на выходе элемента 4 высокий
уровень, а на выходе инвертора 8 — низкий. Выходной сигнал элемента 12
равен единице. Таким образом, найдено третье значение из искомых: /3 = 1.
Находим значение f4. Так как В = 1 и А = 1 (поскольку А = 0), то на
выходе элемента 5 низкий уровень, а на выходе элемента 9 — высокий. Этот
высокий уровень подан на первый (при счете сверху вниз) вход элемента 13.
На второй его вход подан низкий уровень (так как если D = 1, то 5 = 0).
Следовательно, на выходе элемента 13 высокий уровень и f4 = 1.
Осталось определить значение fb. На первом входе элемента 15 высокий
уровень (поскольку f2 = 1). На выходе элемента 14 низкий уровень, так как
310
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

/з = fi = 1, а на выходе инвертора 16 — высокий. На обоих входах элемента
15 высокие уровни, следовательно, /5 = 0.
Таким образом, на наборе 5 значения / j, /2» /3» /4» '5 имеют вид!
Л = 1, /2=Ь /8-1, /4-1, /5 = 0.
При записи ответа знаки /^ f2, /3, Л, /s не указываем, так как ответ
согласно условию необходимо представить только их значениями: 11110.
Ответ: 11110.
Задания
для самостоятельной работы
На вход схемы подается набор значений переменных а, заданный
десятичным числом. Определить для этого набора уровни сигналов в точках fx,
/2, /3, /4, /5- Ответ представить упорядоченной последовательностью их
двоичных значений (как в рассмотренном примере).
1. а = 12 (рис. 11.90). (АЗЕ)
3. а = 7(рис. 11.90). (М6Г)
5. а = 14 (рис. 11.90). (ЕКА)
7. а = 2(рис. 11.90). (1ИМ)
9. а = 11 (рис. 11.90). (ЯК1)
11.а = 4(рис. 11.90). (САЯ)
13. а = 3(рис. 11.91). (ОСК)
15.а = 4(рис. 11.91). (ЦХ4)
17. а = 14 (рис. 11.91). (БВЕ)
19. а = 2(рис. 11.91). (НЯТ)
21. а = 12 (рис. 11.91). (ЭЮО)
23. а = 13 (рис. 11.91). (ВП8)
25. а = 3(рис. 11.92). (УАТ)
27. а = 11 (рис. 11.92). (БЕФ)
29. а = 9 (рис. 11.92). (ЛЕА)
З1.а = 8(рис. 11.92). (К1В)
2. а = 3(рис. 11.90). (ОЦЧ)
4. а = 9(рис. 11.90). (РУЧ)
6. а = 8(рис. 11.90). (ПКЕ)
8. а = 10 (рис. 11.90). (Х6Х)
10. а = 13 (рис. 11.90). (532)
12.а = 6(рис. 11.90). (66Р)
14.а = 7(рис. 11.91). (7ЯЯ)
16. а = 9(рис. 11.91). (ЧС2)
18. а = 8 (рис. 11.91). (2ПД)
20. а = 10 (рис. 11.91). (ИС2)
22. а = 5(рис. 11.91). (344)
24. а = 6(рис. 11.91). (НПТ)
26. а = 7 (рис. 11.92). (ДЕП)
28. а = 4(рис. 11.92). (315)
30. а = 14 (рис. 11.92). (217)
32. а = 2 (рис. 11.92). (ГАН)
С
В
gb&jS^
4c^&-{lh№
Рис. 11.91
A_-\
с
D
И. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
311

-~f
&
с
D
В
AB J&J—pi^)—j&^-l/3
Рис. 11.92
-~f
с
Ps-GK
Рис. 11.93
33. a = 10 (рис
35. a = 5 (рис.
37. a = 6 (рис.
39. a = 7 (рис.
41. a = 4 (рис.
43.a = 14(рис
45. a = 2 (рис.
47. a = 12 (рис
49.a= 13(рис
. 11.92).
11.92).
11.92).
11.93).
11.93).
11.93).
11.93).
. 11.93).
11.93).
(ВАЯ)
(ЮФК)
(Я14)
(1АП)
(УЦТ)
(8ИР)
(40У)
(4ИЙ)
(Щ30)
34.a= 12(рис
36. а = 13(рис
38. а = 3 (рис.
40.a = 11(рис
42. а = 9 (рис.
44. а = 8 (рис.
46.a = 10(рис
48. а = 5 (рис.
50. а = 6 (рис.
11.92).
. 11.92).
11.93).
11.93).
11.93).
11.93).
11.93).
11.93).
11.93).
(Г68)
(ЗЕЙ)
(83В)
(Ш34)
(5КЦ)
(ФИВ)
(9ЖН)
(ТЗН)
(93А)
312
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

МНОГОТАКТНЫЕ
АВТОМАТЫ
12.1.
АСИНХРОННЫЙ АВТОМАТ
НА ТРИГГЕРАХ ТИПА Т
D данном подразделе рассматриваются асинхронные
автоматы на Т-триггерах. Эти триггеры содержат один счетный
вход и два установочных: R (нулевой) и S (единичный).
Установочные входы в нижеприведенных автоматах не
используются, управление триггерами осуществляется только
по их счетным входам.
Т-триггер имеет два выхода. Один из них —
неинверсный (прямой), обозначается буквой без знака инверсии,
а второй — инверсный, обозначается той же буквой, но со
знаком инверсии. Считается, что триггер находится в
нулевом состоянии, если на его прямом выходе поддерживается
низкий уровень напряжения, а на инверсном — высокий.
Если же на прямом выходе поддерживается высокий
уровень (а на инверсном — низкий), то триггер находится в
единичном состоянии.
С каждым входным импульсом триггер меняет свое
состояние на противоположное. При этом смена состояния
происходит только под действием отрицательного фронта
входного импульса, т. е. в момент перехода входного
напряжения с высокого уровня на низкий. На положительный фронт,
когда входное напряжение переходит с низкого уровня на
высокий, триггер не реагирует, т. е. остается в том же
состоянии, что и до прихода положительного фронта.
Анализ работы асинхронного автомата сводится (в
данном случае) к выяснению вопроса о том, в какое состояние
перейдет автомат, если на его вход подать заданное число
импульсов. Проиллюстрируем это на примере автомата,
изображенного на рис. 12.1.
Пусть автомат находится в состоянии 7. Переведем это
число в двоичную систему:
7|10-1П|2.
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
313

Ill — это трехзначное двоичное число, а в схеме автомата семь
триггеров, следовательно, к двоичному числу 111 слева необходимо добавить
четыре нуля:
7|10 = 0000111|2.
Таким образом, заданным является состояние, когда А = В = С = 1) = 0и
Е = F = К = 1,т. е. первые четыре триггера автомата на рис. 12.1 находятся в
состоянии нуля, а остальные три — в состоянии единицы (весовые
коэффициенты указаны над каждым триггером).
Выясним, в какое состояние перейдет автомат под действием четырех
входных импульсов. Подадим на его вход (р один прямоугольный импульс.
Этот импульс переведет в нулевое состояние триггер F. С его прямого выхода
поступит отрицательный перепад напряжения на вход триггера С,
вследствие чего триггер С перейдет в единичное состояние. С прямого выхода
триггера С на вход триггера В поступит положительный перепад напряжения.
Так как на положительный фронт входного импульса Т-триггеры не
реагируют, то триггер В останется в нулевом состоянии. Прямой выход триггера В
присоединен ко входу триггера А. Так как триггер В не изменил свое
состояние, то триггер А не получил никакого перепада, ни положительного, ни
отрицательного. Следовательно, он останется в том же состоянии, в каком
находился до прихода импульса на вход (р. По этой же причине и все
остальные триггеры не изменят свои состояния. Таким образом, под действием
первого прямоугольного импульса, поданного на вход ф, автомат перейдет в
состояние 0010101. В десятичной системе это число 21.
Подадим на вход ф автомата второй импульс. Триггер F перейдет в
единичное состояние. С его прямого выхода на вход триггера С поступит
положительный фронт, на который триггер С не реагирует, т. е. останется в
нулевом состоянии. Все остальные триггеры также останутся в прежних
состояниях, в тех, в каких они находились до прихода на вход ф второго импульса.
Таким образом, после второго импульса, поступившего на вход ф, автомат
окажется в состоянии 0010111. В десятичной системе — 23.
После третьего импульса автомат перейдет в состояние 0100101
(десятичное 37), после четвертого 0100111 (десятичное 39). Таким образом, после
подачи на вход автомата четырех импульсов, автомат из состояния 7
перейдет в состояние 39.
Ответ: 39.
7ти;
штЗ
24
с
77р.
23
7У
\TT\-
\TTV
2°
\тту
\с\
Ы
\с\
Ш
\с\
Ш
\с\
Ш
я
ф
Рис. 12.1
314
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Задания
для самостоятельной работы
Асинхронный автомат из семи триггеров Л, В, С, D, E, F, К находится в
состоянии, заданном десятичным числом а. Определить, в какое состояние
перейдет автомат, если на его вход ср подать четыре прямоугольных
импульса? Ответ представить также в виде десятичного числа.
1. а
2. а
3. а
4. а
5. а
6. а
7. а
8. а
9. а
10. а
11. а
12. а
13. а
14. а
15. а
16. а
17. а
18. а
19. а
20. а
а = 24 (рис. 12.2); (АЕ2)
а = 102 (рис. 12.2); (Ж2К)
а = 78 (рис. 12.2); (Н34)
а = 22 (рис. 12.2); (ДБЧ)
а = 45 (рис. 12.2); (ЛЛК)
а = 25 (рис. 12.2); (ВНВ)
а = 103 (рис. 12.2); (ИОЗ)
а = 79 (рис. 12.2); (ППП)
а = 23 (рис. 12.2); (ОТ9)
а = 44 (рис. 12.2); (ЗГТ)
а = 32 (рис. 12.3); (226)
а = 24 (рис. 12.3); (1УН)
а = 55 (рис. 12.3); (Т58)
а = 61 (рис. 12.3); (35Т)
а = 11 (рис. 12.3); (ФРУ)
а = 96 (рис. 12.3); (Х32)
а = 110 (рис. 12.3); (4ХВ)
а = 87 (рис. 12.3); (Ф9В)
а = 125 (рис. 12.3); (ПАО)
а = 75 (рис. 12.3); (ЕЙЧ)
2" 25 24 2
б) а = 20 (рис. 12.2).
б) а = 46 (рис. 12.2).
б) а = 26 (рис. 12.2).
б) а = 101 (рис. 12.2).
б) а = 77 (рис. 12.2).
б) а = 21 (рис. 12.2).
б) а = 47 (рис. 12.2).
б) а = 27 (рис. 12.2).
б) а = 100 (рис. 12.2).
б) а = 76 (рис. 12.2).
б) а = 12 (рис. 12.3).
б) а = 42 (рис. 12.3).
б) а = 33 (рис. 12.3).
б) а = 47 (рис. 12.3).
б) а = 118 (рис. 12.3).
б) а = 124 (рис. 12.3).
б) а = 122 (рис. 12.3).
б) а = 97 (рис. 12.3).
б) а = 111 (рис. 12.3).
б) а = 22 (рис. 12.3).
22 21 20
(ГОХ)
(КС7)
(БЗФ)
(ЗЯЛ)
(037)
(ЕМК)
(МКЦ)
(ПУ)
(ИЗУ)
(194)
(РХА)
(СОТ)
(403)
(УША)
(5ГГ)
(ЦСП)
(ШИТ)
(ЭПБ)
(ОДО)
(ХХП)
7TU1
\TTVL
\ггу
-\с\ |—\с\
ш «г1 Ы
Ф'
D\
\ttV-
\тту
\с\
Ы
п
Рис. 12.2
]С\
\ТТ\
лпл
ТТ\^-
V
^
m-i
Ф
\тт
]с\
Ы
I ' I г\
ТТ\
\rn£i
\гт1
\тту
ч
]С\
ы
\с\
Ы
Б
]С\
Ы
7TUU
Рис. 12.3
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
315

-)Ь
23
2°
7Th-l
\ТТ
II i\ \
I—I Л» *—\ Г
TT\
Г
\tty
r~l£j
Ф
Рис. 12.4
7TP
7T
пт
з
v
7тр
7TF-
Ш I bd
га «г1 га
7TL-:
з
7УР
Н LrH
га ф-1 га
тт\
ф
77
77Ц^
2>
Рис. 12.5
2> 22
[5
\с
Tfl
J
S3
7ТР,
77
гг
з
7Т
ТТ\
h
Рис. 12.6
21. а
22. а
23. а
24. а
25. а
26. а
27. а
28. а
29. а
30. а
31. а
32. а
33. а
34. а
35. а
36. а
37. а
38. а
39. а
= 8 (рис. 12.4);
= 122 (рис. 12.4);
= 55 (рис. 12.4);
= 45(рис
= 77 (рис
=12(рис
= 70(рис
:51(рис
= 41(рис
=107(рис
12.4);
12.4);
12.4);
12.4);
12.4);
12.4);
12.4);
О (рис. 12.5);
= 30 (рис. 12.5);
= 54 (рис. 12.5);
= 102 (рис. 12.5);
= 91 (рис. 12.5);
= 1 (рис. 12.5);
= 29 (рис. 12.5);
= 53 (рис. 12.5);
= 103 (рис. 12.5);
(1ББ)
(9ВЕ)
(ЖГ9)
(6ЯМ)
(ДЫЛ)
(ЗАУ)
(БЛБ)
(ЛОЗ)
(89Т)
(ЗУШ)
(МЕВ)
(02Я)
(РЗУ)
(ТЛЫ)
(ФЩУ)
(ЦНХ)
(ШПС)
(ЭОМ)
(ЯГЕ)
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
б) а
82 (рис. 12.4).
98 (рис. 12.4).
5 (рис. 12.4).
117(рис. 12.4).
54 (рис. 12.4).
84 (рис. 12.4).
110 (рис. 12.4).
1(рис. 12.4).
121 (рис. 12.4).
24 (рис. 12.4).
96 (рис. 12.5).
108 (рис. 12.5).
6 (рис. 12.5).
41 (рис. 12.5).
49 (рис. 12.5).
97 (рис. 12.5).
15 (рис. 12.5).
5 (рис. 12.5).
26 (рис. 12.5).
(50Т)
(Г9Г)
(207)
(А50)
(КАП)
(7ЩЗ)
(Е8Н)
(4ЯД)
(ВЛШ)
(НВА)
(НБУ)
(ПТ2)
(СУП)
(УНШ)
(ХПШ)
(459)
(КОП)
(ЮМЗ)
(ЮЗО)
316
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

40. a) a = 122 (рис. 12.5); (УВ7)
41. a) a = 3 (рис. 12.6); (1ПЮ)
42. a) a = 23 (рис. 12.6); (9ПШ)
43. a) a = 43 (рис. 12.6); (ЕЯМ)
44. a) (a = 63 (рис. 12.6); (67Я)
45. a) a = 51 (рис. 12.6); (АЛО)
46. а) а = 93 (рис. 12.6); (ЗНД)
47. а) а = 81 (рис. 12.6); (Б8Б)
48. а) а = 101 (рис. 12.6); (ИОК)
49. а) а = 121 (рис. 12.6); (845)
50. а) а = 13 (рис. 12.6); (ГОЙ)
б) а = 74 (рис. 12.5). (ФЗИ)
б) a = 25 (рис. 12.6). (5НЦ)
б) а = 45 (рис. 12.6). (ДША)
б) a = 32 (рис. 12.6). (2РТ)
б) а = 53 (рис. 12.6). (ЮЙЦ)
б) а = 73 (рис. 12.6). (НШФ)
б) a = 91 (рис. 12.6). (788)
б) а = 111 (рис. 12.6). (САЗ)
б) а = 99 (рис. 12.6). (4АА)
б) а = 119 (рис. 12.6). (КМЕ)
б) a = 11 (рис. 12.6). (КСЯ)
12.2.
СИНТЕЗ СИНХРОННЫХ АВТОМАТОВ
НА Г ТРИГГЕРАХ
Триггер типа Т имеет три входа: R и S и вход Г. Входы Rn S являются
установочными. На них подаются уровни напряжения: при R = 0 и S = 1
триггер переходит в нулевое состояние, при Я = 1 и S = О — в единичное.
Состояние R = S = 1 — это режим хранения информации. Состояние R = S = 0
является запрещенным. По входу Т, называемому счетным входом, триггер меняет
свои состояния под действием отрицательных фронтов входных
прямоугольных импульсов (но только при R = S = 1).
В схеме синхронного автомата, состоящего из нескольких триггеров,
тактовый импульс непосредственно управляет каждым триггером, как показано
на рис. 12.7. Тактовые импульсы поступают на один из входов элементов И,
выходы которых подключены к счетным входам триггеров Av A2, ..., Ап. Ко
вторым входам схем И присоединены выходы комбинационной схемы,
представляющей собой преобразователь входного двоичного кода в выходной код,
разряды которого обозначены символами fv f2, ..., fn. Буквой У обозначена
шина установки автомата в нулевое состояние.
Зафиксируем какой-либо момент времени
между тактовыми импульсами, когда G = 0.
Триггеры находятся в некоторых состояниях.
Им соответствует определенный набор
значений аргументов Ах, А2, ..., Ап. На этом наборе
выходы f\yf2>--->fn комбинационной схемы
образуют набор высоких и низких уровней
напряжения. Низкими уровнями соответствующие
схемы И будут заперты, высокими — открыты
(по своим входам). Когда на вход G поступит
импульс, он пройдет только через открытые
схемы И, и соответствующие триггеры сменят свои
состояния.
Задача синтеза автомата в основном
сводится к построению комбинационной схемы, Рис. 12.7
&
&
&
ПЯ
тт\
тт\
А
Л
А
А
54
771
Л
/i
h
fn
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
317

Дес
10
1
8
9
0
3
12
2
6
7
14
4
15
11
5
13
А
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
в
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
с
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
т
D
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
J 6.
71
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1 U 1
~h
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
а 12.1
fc fo\
~1 l\
0 1
0 1
0 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 1
0 0
1 0
0 0
1 1
распределяющей тактовые импульсы по входам
триггеров так, чтобы автомат менял свои
состояния согласно заданной последовательности.
Пример. Построить схему, меняющую свои
состояния по замкнутому циклу в
последовательности
10, 1, 8, 9, 0, 3, 12, 2, 6, 7, 14, 4, 15, 11, 5, 13.
Для контроля указать, сколько букв
содержится в минимальных ДНФ каждой из функций,
описывающих работу комбинационной схемы.
Решение. Так как всего состояний 16, то для
построения схемы необходимо четыре
триггера. Обозначим их буквами А, Б, С, D и составим
таблицу, в которой отразим все переходы
автомата из одного состояния в другое (табл. 12.1).
В левой части таблицы, где расположены
колонки, озаглавленные буквами А, Б, С, D,
перечислены двоичные состояния автомата
согласно заданной последовательности. В
колонке, обозначенной «Дес.», указаны те же
состояния, но в десятичной системе.
Правая часть таблицы содержит четыре колонки, озаглавленные
знаками: fA> fB, fc, fD. Это функции, описывающие состояния входов триггеров А,
B,ChD.
Заполняется правая часть следующим образом. В верхней строке в левой
части записано двоичное число 1010, т. е. А = С = 1, Б = D = 0. Под
действием входного импульса (точнее — по его отрицательному фронту) автомат
должен перейти в состояние 0001, согласно двоичному числу, записанному
слева во второй строке. Это произойдет в том случае, если тактовый импульс
поступит на вход триггера А, на вход триггера С, и на вход триггера D, но не
пройдет на вход триггера Б. В связи с этим в строке с кодом 1010 в правой
части таблицы записываем 1011.
Предположим, что после первого тактового импульса автомат перешел в
состояние 0001. Второй импульс должен пройти только на входы триггеров А и
D. Под действием этого импульса триггер А перейдет в единицу, триггер D —
в нуль, а триггеры Б и С останутся в прежних состояниях, т. е. в нулевых.
В результате автомат окажется в состоянии 1000, и так далее до конца таблицы.
Когда автомат дойдет до состояния 1101 (это десятичное число 13),
следующий тактовый импульс переведет его в состояние 1010 и начнется повтор
того же цикла работы автомата.
Находим минимальные ДНФ булевых функций fA> fB, fc, fD (карты Вейча
приведены на рис. 12.8-12.11 соответственно):
fA=BD + AD + ACD + BCD;
fB = ABC + ACD + ABC;
318
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

fc = ABC + BCi^+ ACD + ACD;
fD = ACD + ABD + ABC + ACD + AB15.
Каждое из этих выражений необходимо
умножить на букву G, обозначающую генератор
синхроимпульсов. Тогда получим:
ТА = (BD + AD + ACD ±BCD)G\
Тв = (ABC + ACD + АБС)ф_
Тс =_(АВС + ^C^)_t4CI)_+ ACI)_)GL
Гд = (ACD + ABD + ABC + ACD + ABD)G.
Это окончательный список всех тех булевых
функций, в соответствии с которыми работает
разработанный автомат. Полная схема его приведена
на рис. 12.12.
Согласно условию задачи необходимо
определить, сколько вхождений переменных
содержится в каждой из четырех булевых функций,
описывающих работу комбинационной схемы, но без
учета импульсов генератора. Без учета
генератора G функция fA состоит из 10 букв, функция fB —
из 9, fc — из 12 и функция fD — из 15.
Ответ: 10, 9, 12, 15.
А —
В —
С —
А —
С —
D —
А —
В —
С —
А —
В —
С —
В —
С —
D —
А —
С —
Z) —
А —
С —
О—
&
&
&
71
&
&
&
&
1
в —\
А —\
D—\
f A -\
J В (7
В_—|
С ■
0 —I
&
&
&
&
/а
fc
А —
С —
D —
А —
В —
D —
А —
В —
С —
А —
с —
D —
А —
в —
D —
&
&
&
&
&
71
/о
&
Га С \-\
&
fBG
&
fcG
&
fDG\
тт\
А
7TL
TT\L-
тт\
D
У2-
В
/а-
В
fa =
В
fo =
С
Рис. 12.10
С
Рис. 12.11
1
1
l|
1
1
1
1
l|
1
1
с
Рис. 12.8
А
1 1
1
1
1
1
1
С
Рис. 12.9
А
1 1
1
1
1
1
1
l|
1 |
1
1
| 1
1
1
1
1
l|
1
1 |
Рис. 12.12
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
319

Задания
для самостоятельной работы
Построить автомат на Т-триггерах, меняющий свои состояния в
заданной последовательности под действием синхроимпульсов. Функции fA, fB, fc
и fD представить в минимальных ДНФ. Порядок их не повышать, т. е.
никакие буквы не выносить за скобки. Для контроля укажите число
вхождений переменных для каждой из функций fA, fB, fc и fD, как в вышерассмот-
ренном примере.
1. 13, 8, 14, 6, 15, 7, 9, 10, 5, 11, 12, 3, 1, 0, 2, 4. (12Э)
2. 5, 11, 1, 2, 8, 4, 0, 13, 10, 7, 3, 15, 6, 14, 9,12. (ОЛУ)
3. 3, 4, 1, 8, 10, 2, 11, 9, 14, 15, 5, 13, 12, 0, 6, 7. (ЯЗЗ)
4. 9, 10, 5, 11, 12, 3,1, 0, 2, 4, 13, 8, 14, 6, 15, 7. (ГХБ)
5. 5, 13, 15, 0, 8, 1, 14, 2, 6, 7, 3, 12, 4, 11, 9, 10. (7СО)
6. 6, 14, 9, 12, 5, 11,1, 2, 8, 4, 0, 13, 10, 7, 3, 15. (Л70)
7. 7, 8, 9, 15, 0, 1, 10, 14, 2, 3, 4, 13, 5,12, 6, 11. (С53)
8. 11, 5, 13, 10, 1, 8, 9, 0, 3, 12, 2, 6, 7, 14, 4, 15. (2ТА)
9. 4, 10,1, 15, 0, 2, 11, 3, 8, 14, 9, 5, 13, 6, 7,12. (Ц50)
10.12,1, 2, 13, 0,10,11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 14, 15. (ФЯР)
11. 9, 11, 0, 5,10,12,13, 4, 8, 3, 14, 15, 2,1, 7, 6. (115)
12. 7, 0, 1, 2, 8,10,13, 3, 4, 14,11, 9, 15, 12, 5, 6. (ЮЩЕ)
13. 7,14, 4, 15, 11, 5, 13, 10,1, 8, 9, 0, 3, 12, 2, 6. (5ТП)
14. 7,12, 4, 10, 1, 15, 0, 2, 11, 3, 8, 14, 9, 5,13, 6. (Е56)
15. 5,12, 6, 11, 7, 8, 9, 15, 0, 1, 10,14, 2, 3, 4, 13. (Т5Ф)
16.14, 6,15, 7, 9, 10, 5,11,12, 3, 1, 0, 2, 4,13, 8. (ШХД)
17. 7, 6, 9, 11, 0, 5, 10, 12, 13, 4, 8, 3, 14,15, 2, 1. (71Д)
18.12, 5, 6, 7, 0,1, 2, 8,10, 13, 3, 4, 14, 11, 9, 15. (БК6)
19. 2, 4,13, 8, 14, 6, 15, 7, 9, 10, 5, 11,12, 3, 1, 0. (ЩХВ)
20. 6, 7, 3, 4, 1, 8, 10, 2,11, 9, 14, 15, 5,13,12, 0. (435)
21.11, 9, 10, 5, 13, 15, 0, 8, 1,14, 2, 6, 7, 3, 12, 4. (9ВВ)
22.13, 10, 7, 3, 15, 6, 14, 9, 12, 5, 11, 1, 2, 8, 4, 0. (Д7Б)
23. 9, 5, 13, 6, 7, 12, 4, 10, 1,15, 0, 2, 11, 3, 8, 14. (К5Ф)
24. 4, 13, 5, 12, 6, 11, 7, 8, 9,15, 0, 1, 10, 14, 2, 3. (Р5Б)
25. 9,14, 15, 12, 1, 2,13, 0, 10, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8. (ВПП)
26. 2, 6, 7,14, 4, 15, 11, 5, 13, 10, 1, 8, 9, 0, 3, 12. (ЧТН)
27. 9, 15, 12, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 8, 10, 13, 3, 4, 14, 11. (Т60)
28. 3, 1, 0, 2, 4, 13, 8, 14, 6, 15, 7, 9, 10, 5, 11, 12. (32Ш)
29.15, 2, 1, 7, 6, 9, 11, 0, 5,10,12, 13, 4, 8, 3, 14. (БЕР)
30.14, 2, 3, 4, 13, 5,12, 6, 11, 7, 8, 9, 15, 0, 1, 10. (ОШО)
31. 7, 3, 12, 4, 11, 9, 10, 5, 13, 15, 0, 8, 1, 14, 2, 6. (ОСД)
32. 4, 0, 13, 10, 7, 3, 15, 6, 14, 9, 12, 5, 11, 1, 2, 8. (Ж7Е)
33. 8, 14, 9, 5,13, 6, 7, 12, 4,10, 1, 15, 0, 2, 11, 3. (Н57)
34. 3, 4, 14, 11, 9,15,12, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 8, 10, 13. (ИК5)
35. 2, 6, 7, 3, 12, 4, 11, 9, 10, 5, 13, 15, 0, 8, 1, 14. (6С8)
36. 5, 13, 12, 0, 6, 7, 3, 4, 1, 8, 10, 2, 11, 9, 14, 15. (СЦМ)
37.15, 0, 1, 10,14, 2, 3, 4, 13, 5,12, 6,11, 7, 8, 9. (Н54)
38. 5, 7, 6, 8, 9, 14, 15, 12, 1, 2,13, 0, 10, 11, 3, 4. (АЯ7)
320
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

39. 13, 4, 8, 3, 14, 15, 2, 1, 7, 6, 9, 11, 0, 5, 10, 12.
40. 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 14, 15, 12, 1, 2, 13, 0, 10.
41. 1, 2, 8, 4, 0, 13, 10, 7, 3, 15, 6, 14, 9, 12, 5, 11.
42. 15, 0, 2, 11, 3, 8, 14, 9, 5, 13, 6, 7, 12, 4, 10, 1.
43. 9, 14, 15, 5, 13, 12, 0, 6, 7, 3, 4, 1, 8, 10, 2, 11.
44. 11, 12, 3, 1, 0, 2, 4, 13, 8, 14, 6, 15, 7, 9, 10, 5.
45. 5, 10, 12, 13, 4, 8, 3, 14, 15, 2, 1, 7, 6, 9, 11, 0.
46. 9, 0, 3, 12, 2, 6, 7, 14, 4, 15, 11, 5, 13, 10, 1, 8.
47. 8, 10, 13, 3, 4, 14, 11, 9, 15, 12, 5, 6, 7, 0, 1, 2.
48. 2, 13, 0, 10, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 14, 15, 12, 1.
49. 8, 10, 2, 11, 9, 14, 15, 5, 13, 12, 0, 6, 7, 3, 4, 1.
50. 0, 8, 1, 14, 2, 6, 7, 3, 12, 4, 11, 9, 10, 5, 13, 15.
(ГФ1)
(ППУ)
(ЭЛС)
(У54)
(МЗР)
(Х27)
(Д17)
(ЗГС)
(МКР)
(РП5)
(И35)
(8СА)
~\S
Н J
Не
к
-|д
тт
о
Рис. 12.13
12.3.
СИНТЕЗ СИНХРОННЫХ АВТОМАТОВ
НА JK-ТРИГГЕРАХ
Сначала рассмотрим некоторые исходные теоретические
положения, необходимые для синтеза автомата.
Триггер типа JK имеет синхронизирующий вход,
обозначаемый буквой С русского алфавита (в дальнейшем будем называть
его синхровходом), и два управляющих входа: J — единичный,
К — нулевой (рис. 12.13). Управление Jif-триггером по
управляющим входам осуществляется следующим образом:
1) если J = К = 0, то триггер находится в режиме хранения информации
независимо от того, поступают на его вход С синхронизирующие импульсы
(синхроимпульсы) тактового генератора или не поступают;
2) при J = lyK = 0 синхроимпульс переводит триггер в единичное
состояние независимо от того, в каком состоянии он находился до подачи
импульса. Смена состояния триггера происходит по отрицательному фронту
синхроимпульса;
3) если J = 0, К = 1, то синхроимпульс переводит триггер в нуль
независимо от предыдущего состояния (по отрицательному фронту);
4) при J = К = 1 триггер меняет свое состояние на противоположное с
каждым синхроимпульсом (также по отрицательному фронту).
Кроме того, Jif-триггер имеет установочные входы R и S. Эти входы
используются в инициальных автоматах для установки их в исходное
состояние. В процессе логического расчета входы R и S не учитываются. Лишь
после того как будет построен автомат (не являющийся инициальным), в нем
необходимо предусмотреть вход для его установки в исходное состояние.
Тогда автомат перейдет в разряд инициальных.
В синхронных многотактных автоматах импульсы генератора, подаются
на синхровход каждого триггера (см. рис. 12.14). Этот вход автомата
условимся обозначать буквой ср.
В простейшем случае автомат реализует одну или несколько
последовательностей своих внутренних состояний, где под состоянием автомата
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
321

понимается двоичное число, которое в данный
момент находится в его внутренней памяти.
На рис. 12.14 внутренняя память
представлена регистром из триггеров А, Б, С, ..., L. К их
выходам подключена комбинационная схема,
преобразующая состояния регистра в код,
поступающий на управляющие входы триггеров.
Синтез многотактного автомата сводится
к разработке комбинационной схемы, т. е.
преобразователя его состояний в выходной код.
Число выходов преобразователя в два раза
больше числа триггеров (так как
J7f-триггеры двухвходовые).
Строится преобразователь по очень
простому принципу: для каждого входного кода
выходной код выбирается таким, чтобы
синхроимпульс переводил автомат в заранее заданное состояние. Как выбирать эти
выходные коды, поясним на примере.
Пример. Построить автомат на J7f-триггерах, реализующий две
последовательности:
1) если А = 0, то последовательность имеет вид 0, 2, 5, 3, 1, 4, 6, 7;
2) если А = 1, то последовательность имеет вид 1, 6, 4, 0, 3, 2, 7, 5,
где десятичные цифры обозначают состояния автомата. Обе
последовательности являются циклически замкнутыми. Это значит, что при А = О после
очередного тактового импульса автомат из состояния 7 переходит в
состояние 0, а при А = 1 после состояния 5 автомат переходит в состояние 1 (также
под действием синхроимпульса). Для контроля указать число вхождений
переменных для каждой из минимальных ДНФ функций, описывающих
работу комбинационной схемы.
Решение. Всего в каждой последовательности 8 состояний,
следовательно, для автомата необходимо предусмотреть три триггера. Эти триггеры
образуют регистр, обеспечивающий хранение любого двоичного числа из
заданной последовательности. Так как последовательностей две, то
необходимо добавить еще один триггер. Таким образом, для построения автомата
необходимо четыре триггера. Обозначим триггеры автомата буквами А, Б, С,
D. Триггеру А отведем роль переключателя с одной последовательности на
другую в соответствии с заданным условием.
Строим таблицу переходов состояний автомата. Последовательности
состояний, представленных в двоичных кодах, указаны в колонках Б, С, D
(табл. 12.2).
Таблица по горизонтали разделена линией на две равные части,
отделяющие один цикл от другого. В верхней части, где А = 0, в колонках Б, С,
D приведена первая замкнутая последовательность трехзначных
двоичных кодов. Слева записаны те же коды, но в десятичном представлении
(колонка не обозначена). Во второй части — вторая последовательность,
также замкнутая в своем цикле.
га
ПС
771
i j *Ал
у\Т1\
о^
771
и
п и*
х
ю
о
ш
322
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Правую половину таблицы
заполняем на основе сведений, представленных
выше о логике работы J7f-триггера. Пусть
А = 0 и допустим, что автомат находится
в состоянии 000, т.е. В = С = D = 0. Под
действием синхроимпульса должно
установиться состояние 010.
Следовательно, триггер С необходимо перевести в 1, а
триггеры В и D оставить в состоянии нуля.
Чтобы триггер С перешел в единицу,
на его единичный вход необходимо
подать высокий уровень. В связи с этим в
колонке Jc в первой сверху строке (с
нулевым номером) ставим единицу, а в
колонке Кс той же строки ставим крестик,
обозначающий неопределенное
состояние. Если при минимизации функции Кс
крестик будет заменен единицей, то
триггер перейдет в единицу, так как при
J = К = 1 он меняет состояние на
противоположное. Если крестик будет заменен нулем, то триггер также перейдет в
единицу, поскольку при J = 1, К = 0 триггер, как сказано выше, переходит в
единицу независимо от предыдущего состояния.
Триггер В останется в нулевом состоянии, если на его единичный вход
подать низкий уровень. В связи с этим в колонке JB ставим нуль, а в колонке
Кв — крестик. Если при минимизации крестик будет заменен нулем, то
триггер останется в нуле, так как при J = К = 0 триггер находится в режиме
хранения информации. При доопределении единицей триггер также останется
в нуле, поскольку при J = 0, К = 1 он переходит в нуль независимо от
предыдущего состояния. То же самое относится и к триггеру D.
Предположим теперь, что синхроимпульс прошел на вход автомата и
установил его в состояние 010. Следующим является состояние 101, т. е. все
триггеры должны свои состояния сменить на противоположные. Триггеры В
и D переводятся в единичное состояние так же, как это показано в
предыдущем такте. Поэтому рассмотрим только триггер С, который из единичного
состояния должен перейти в нулевое. Выше сказано, что для этого на
нулевой вход необходимо подать высокий уровень. Следовательно, в строке с
номером 2 на пересечении с колонкой Кс ставим единицу, а в колонке Jc
записываем крестик, который при минимизации можно заменить нулем или
единицей. Если при минимизации функция Jc будет доопределена нулем, то
триггер С перейдет в нуль, поскольку согласно логике работы Jif-триггера
он переходит в нулевое состояние при J = 0, К = 1. Если же при
доопределении крестик будет заменен единицей, то получим: J = К= 1. Этот случай
уже рассматривался: при J = К = 1 триггер под действием синхроимпульса
меняет свое состояние на противоположное.
Аналогичным образом заполняется вся таблица.
Го"
2
5
3
1
4
6
7
пг
14
12
8
11
10
15
13
А
0
0
0
0
0
0
0
0
~г
1
1
1
1
1
1
1
в
0
0
1
0
0
1
1
1
~0~
1
1
0
0
0
1
1
"с"
0
1
0
1
0
0
1
1
~
1
0
0
1
1
1
0
~5~
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
Jb
0
1
X
0
1
X
X
X
~г
X
X
0
0
1
X
X
Кв
X
X
1
X
X
0
0
1
X
0
1
X
X
X
0
1
Jc
1
X
1
X
0
1
X
X
"l"
X
0
1
X
X
X
0
Кс
X
1
X
1
X
X
0
1
X
1
X
X
0
0
1
X
Jd
0
1
X
X
X
0
1
X
X
0
0
1
X
1
X
X
Ко
X
X
0
0
1
X
X
1
~г
X
X
X
1
X
0
0
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
323

Находим СДНФ функций JB, Кв, Jc, Кс, JD, KD и для каждой из них
отмечаем неопределенные состояния (они указаны в квадратных скобках):
JB = (1,2,9, 10);
tfB = (5, 7,12,13)
Jc = (l,2,9, 10);
tfc = (5, 7,12,13)
JD- (1,2, 9,10);
#„ = (5, 7,12, 13)
[4,5,6,7,12,13,14,15]
[0,1,2,3,8,9,10,11];
[4,5,6,7,12,13,14,15]
[0,1,2,3,8,9,10,11];
[4,5,6,7,12,13,14,15]
[0,1,2,3,8,9,10,11].
Минимизируем эти функции (карты Вейча приведены на рис. 12.15-12.20):
JB=CD + CD;
Кв = AC + AD;
Jc = АВ + АВ + AD;
Kr
Kr
AB + BD + АВ;
АВ_+ ACj
-АВ + ВС + ABC.
Jb =
г*~
X
1
X
X
1
X
X
1
"хП
X
1
Кс
Рис. 12.15
Гх
X
X
X
1
1
1
1
1
X
X
X
X
Рис. 12.18
[s_
\7
[с
\к_
тт
о—
ф-
Y-
СА&
DA
С\
DA
11
С- I
А А
dA
&
К
гЛК
Кв
гг
1
X
X
X
X
1
X
X
1
X
X
Jb =
тт
в
о—
А-
В-
А-
В-
А-
DA
&
&
&
11
Рис. 12.16
X
X
1
X
X
1
1
X
X
1
X
X
Рис. 12.19
А1&
DA__
5-L
к
r\R
ТТ
0-С
1Н&
с-Г
в-\_
Jc =
Jb =
к
AR
ТТ
Рис. 12.20
D
О-
А-
в-
В-
С-
А-
в-
с-\
&
&
&
11
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1~|
1
1
Рис. 12.17
1 Х
1
X
X
1
X
X
1
X
X
1
_х
Рис. 12.21
324
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Схема автомата приведена на рис. 12.21. Напомним, что ф — это вход
автомата, на который подаются импульсы генератора.
Переключающий триггер А на рис. 12.21 изображен изолированно от всей
схемы и на первый взгляд является лишним. На самом деле это не так. Его
участие в работе схемы отражено в булевых функциях JB> Кв> Jc> Kc> JD> KD>
представляющих собой уравнения входов для триггеров В, С и D. У него
свободными являются только входы. Это объясняется тем, что перевод
триггера А в нулевое или единичное состояние осуществляется извне, поэтому
для управления его входами не предусмотрены никакие логические схемы.
Букой У на схеме обозначен установочный вход. По этому входу автомат
переводится в исходное состояние. В данном случае исходным принято
состояние 000, поэтому шина У подключена к нулевым установочным входам
R всех трех триггеров.
Согласно условию для контроля необходимо указать число вхождений
переменных для каждой из минимальных ДНФ функций JB> Кв> Jc> Kc> JD>
KD. В данном случае это числа соответственно: 4, 4, 6, 6, 4, 7.
Ответ: 4, 4, 6, 6, 4, 7.
Задания
для самостоятельной работы
Построить автомат на J7f-триггерах, реализующий две заданные
циклически замкнутые последовательности, содержащие по восемь состояний. Для
контроля указать число вхождений переменных для каждой из
минимальных ДНФ функций JB> Кв> Jc> Kc> JD> KD> описывающих работу
комбинационной схемы. В этой последовательности необходимо записывать числа,
образующие ответ: первое число показывает, сколько букв входит в
минимальную ДНФ функции JB> второе — сколько букв входит в минимальную ДНФ
функции Кв> и так далее до функции KD (как это показано в вышерассмот-
ренном примере).
1. Если А = 0, то 3, 5, 4, 6, 0, 2, 1, 7; если А = 1, то 1, 2, 5, 6, 0, 4, 3, 7. (5СН)
2. Если А = 0, то 2, 0, 4, 6, 7, 3, 5,1; если А = 1, то 3, 7, 2, 6, 1, 0, 5, 4. (ЗЦП)
3. Если А = 0, то 5, 2, 7, 3, 0, 4, 6,1; если А = 1, то 5, 6, 0,1, 7, 4, 3, 2. (ЕСУ)
4. Если А = 0, то 4, 0, 6, 1, 7, 2, 3, 5; если А = 1, то 7, 5, 3, 0,1, 2, 4, 6. ПЫЛ)
5. Если А = 0, то 5, 0, 6,1, 7, 2, 4, 3; если А = 1, то 6, 0,1, 7, 2, 3, 4, 5. (ЖБ2)
6. Если А = 0, то 3, 7, 1, 0, 5, 2, 4, 6; если А = 1, то 4, 1, 2, 6, 3, 7, 0, 5. (УУ4)
7. Если А = 0, то 5, 0, 1, 6, 2, 3, 7, 4; если А = 1, то 1, 3, 6, 0, 2, 4, 5, 7. (М91)
8. Если А = 0, то 3,1, 5, 0, 7, 2, 4, 6; если А = 1, то 7, 5, 4, 2, 1, 0, 3, 6. (1БФ)
9. Если А = 0, то 7, 6, 0, 5, 1, 4, 3, 2; если А = 1, то 1, 2, 4, 5, 0, 6, 3, 7. (НА2)
10. Если А = 0, то 5, 0,1, 2, 6, 3, 7, 4; если А = 1, то 2, 0,1, 4, 7, 3, 5, 6. (1ЧА)
11. ЕслиА = 0, то 7, 4, 5, 0,1, 6, 2, 3; еслиА = 1, то 2, 4, 5, 7,1, 3, 6, 0. (ИЭН)
12. ЕслиА = 0, то 4, 6,1, 5, 2, 7, 3, 0; если А = 1, то 3, 2, 5, 6, 0,1, 7, 4. (НВ1)
13. ЕслиА = 0, то 4, 6, 3,1, 5, 0, 7, 2; если А = 1, то 0, 3, 6, 7, 5, 4, 2,1. (ЗРБ)
14. ЕслиА = 0, то 1, 7, 3, 5, 4, 6, 0, 2; если А = 1, то 4, 3, 7,1, 2, 5, 6, 0. (8СЦ)
15. ЕслиА = 0, то 6, 3, 7,1, 0, 5, 2, 4; если А = 1, то 7, 0, 5, 4,1, 2, 6, 3. (ЕУК)
16. ЕслиА = 0, то 5,1, 2, 0, 4, 6, 7, 3; если А = 1, то 6,1, 0, 5,4, 3, 7, 2. (ХЦН)
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
325

17. Если А =
18. Ее ли А --
19. Если А *
20. Ее ли А --
21. Если А --
22. Если А =
23. Если А --
24. Ее ли А --
25. Если А --
26. Если А --
27. Если А =
28. Ее ли А --
29. Ее ли А --
30. Если А =
31. Если А =
32. Если А =
33. Ее ли А =
34. Если А =
35. Если А =
36. Ее ли А =
37. Если А =
38. Если А =
39. Если А =
40. Ее ли А =
41. Если А =
42. Если А =
43. Если А *
44. Ее ли А =
45. Если А =
46. Если А =
47. Если А =
48. Ее ли А =
49. Если А =
50. Если А =
0, то 3
О, то 3
0,то1
О, то 7
О, то 3
: 0, то 4
О, то О
О, то 5
= 0, то О
= 0, то 7
= 0, то 2
: 0, то 6
0,то3
О, то 7
= 0, то 7
О, то О
О, то 6
О, то 7
О, то 7
О, то 1
= 0, то 2
О, то О
О, то 5
О, то 6
О, то 1
О, то 5
О, то 1
О, то 1
О, то 1
= 0, то О
О, то 2
О, то О
О, то 4
: 0, то 6
7, 6, 0, 5,1, 4; еслиА =
4,0,6,1, 7, 2; еслиА =
3,2, 7,6,0, 5; если А =
5, 0,1, 2, 6, 3; еслиА =
4, 6,1, 5, 2, 7; если А =
5, 0, 6,1, 7, 2; если А =
1, 4, 3, 2, 7, 6; если А =
4, 6, 3, 7,1, 0; еслиА =
3, 5, 4, 6; если А =
3,1, 5, 0; еслиА
5, 0,1, 6; еслиА
4, 3, 2, 7; еслиА
4, 5, 0,1, 2, 6; если А
5,1, 2, 0, 4, 6; если А
3, 5, 4, 0, 6,1; еслиА
2, 4, 6, 3,1, 5; еслиА
2,1, 7, 3, 5, 4; еслиА
0, 4, 6,1, 5, 2; еслиА =
4, 3, 5, 0, 6,1; еслиА =
2,3,7, 4, 5, 0;еслиА
3, 7, 4, 5, 0, 1; еслиА
2, 4, 6, 3, 7,1; еслиА =
7, 2, 4,6, 3,1; еслиА
3, 5,1, 2, 0, 4;еслиА
2, 3, 5, 4, 0, 6; еслиА
6,0, 2,1,7, 3;еслиА
2, 4, 3, 5, 0, 6; если А
5, 2, 4, 6, 3, 7; еслиА:
6, 3, 7, 4, 5, 0; если А
1, 7, 2, 4, 3, 5; еслиА
3, 0, 4, 6,1, 5; еслиА =
6, 2, 3, 7,4, 5; еслиА =
7, 3,5,1,2,0;еслиА =
7, 2, 3, 5, 4, 0; еслиА
= 1,
= 1,
1, то 4, 5, 0, 6, 3,7,1,2. (КАЧ)
1, то 0,1, 2,4,6, 7, 5, 3. (РЫЖ)
= 1, то 3, 7,1, 2, 4, 5, 0, 6. (ЧА8)
= 1, то 7, 3, 5, 6, 2, 0,1, 4. (54Ш)
= 1, то 0,1, 7, 4, 3, 2, 5, 6. (ГВИ)
= 1, то 3, 4, 5, 6, 0,1, 7, 2. (ЭРР)
= 1, то 0, 6, 3, 7,1, 2, 4, 5. (8АУ)
= 1,то0,5,4,1,2,6,3,7.(ЦДО)
= 1,то2, 5,6,0,4,3, 7,1. (2СВ)
= 1, то 3,6, 7, 5,4,2, 1,0. (2РГ)
то 6, 0, 2, 4, 5, 7,1,3. (ТЭК)
1, то 5, 0, 6,3, 7,1,2,4.(5АО)
1, то 6, 2, 0,1,4, 7,3,5. (6ИЯ)
1, то 1,0, 5, 4,3, 7,2,6.(Ф38)
то 6, 7, 5,3,0,1,2,4.(085)
= 1, то 4, 2,1, 0, 3, 6, 7, 5. (7РИ)
= 1, то 5, 6, 0, 4, 3, 7,1, 2. (4ВП)
= 1, то 4, 3, 2, 5, 6, 0,1, 7. (ШС9)
= 1, то 5, 6, 0,1, 7, 2, 3, 4. (ЯРФ)
= 1, то 5, 7,1, 3, 6, 0, 2, 4. (БЭО)
= 1, то 1,4, 7, 3,5,6,2,0.(743)
= 1, то 1, 2, 6, 3, 7, 0, 5, 4. (НУЛ)
то 1,0, 3,6, 7, 5, 4, 2. (ББН)
1, то 7, 2, 6,1,0, 5,4,3. (АЦБ)
1, то 5, 3,0,1,2,4,6,7.(ЛМТ)
1, то 6, 0, 4,3, 7,1,2, 5.(ЗВА)
1, то 1,7, 2, 3,4,5,6,0.(467)
1, то 6, 3,7, 0, 5, 4,1,2. (КУФ)
1, то 3,5, 6, 2, 0,1,4, 7. (9ИР)
то 2, 3,4, 5,6,0,1,7. (СБО)
1,то1,7,4,3,2,5,6,0.(ЩВ7)
1, то 0, 2, 4, 5, 7,1, 3,6. (ЮНБ)
= 1, то 5, 4, 3, 7, 2, 6,1, 0. (ВЦФ)
= 1, то 2, 4, 6, 7, 5,3,0,1.(Д88)
= 1
= 1,
12.4.
АНАЛИЗ СИНХРОННОГО АВТОМАТА,
ПОСТРОЕННОГО НА Jtf-ТРИГГЕРАХ
На следующих пяти рисунках приведены логические схемы автоматов.
Каждый из них построен на пяти триггерах типа JK. Под действием
синхроимпульсов, подаваемых на вход ф, автоматы меняют свои состояния в
некоторой последовательности.
Пусть автомат находится в состоянии а. Если на его вход ф подать один
прямоугольный импульс, то автомат перейдет в состояние Ь. Если после
этого подать еще один импульс, то автомат перейдет в состояние с.
326
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Задания
для самостоятельной работы
Автомат находится в состоянии а. Найдите состояние, в котором
окажется автомат после подачи на его вход двух импульсов (т. е. требуется найти
состояние с).
1. а = 5(рис. 12.22).
3. а = 3(рис. 12.22).
5. а= 15 (рис. 12.22).
7. а = 9(рис. 12.22).
9. а = 23 (рис. 12.22).
11. а = 6(рис. 12.23).
13. а = 23 (рис. 12.23).
15. а = 24 (рис. 12.23).
17. а = 4(рис. 12.23).
19. а = 27 (рис. 12.23).
21. а =10 (рис. 12.24).
(ОРП)
(8УП)
(9ЯС)
(2ЕЛ)
(6ПБ)
(ДГМ)
(БММ)
(АЖТ)
(ИДЖ)
(ГЗЕ)
(ЛОЦ)
2. а-
4. а-
6. а--
8. ci-
lO. а-
12. а-
14. а-
16. а-
18. а-
20. а-
22. а-
= 18 (рис. 12.22).
= 4 (рис. 12.22).
= 29 (рис. 12.22).
= 7 (рис. 12.22).
= 10 (рис. 12.22).
= 14 (рис. 12.23).
= 30 (рис. 12.23).
= 25 (рис. 12.23).
= 17 (рис. 12.23).
= 28 (рис. 12.23).
= 22 (рис. 12.24).
(48Ц)
(ЗД5)
(1ЕМ)
(7ЕС)
(593)
(БМЧ)
(Ж39)
(ЦПЕ)
(ВЕГ)
(КПЦ)
(ННЖ)
ТТ
<А
!1&
с-Г
сА
А -|&
dA
£-|
сА&
dA
ёА
DA_
АА&
DA
еА
1 г"
сА
£-1
1А&
DA
£-L_|
аА&
сА
DA
Ё-\
5;
j_
гАс_
к_
R
и
еА
1 |&
в А
dA
вА&
DA
еА_
аА&
dA
еА
&
А i
в Л
dA
в-Ь
DA
£~Н
вА&
DA
еА_
а А&
dA
Ё_А_
А_А&
в А
£-L
ТТ
1 |&
вА
£-[_
А-\&
вА
сА
11&
с А
еА
*Ч&
сА
£-М
в4&
с_А
еА
В-№
-1
£-М
А А&
в А
ёА
ТТ
D
*2
А-\&
с-[_
i. r
сА
dA
а А&
вА
dA
11&
вА
с А
Л-\&
вА
c-L
14&
сА
dA
а4&
вА
s_
J_
Н£
к
тт
(^
Рис. 12.22
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
327

ф
DA_
с-I
eA
d4&
ёА
в1£
D-\_
с А
еА
? I*
DJ
е\
сА&
ёА
ы
ш
щ
тт\
6^
с_-\&
dA
c-U
dA
еА_
аА&
ёА
с-\&
еА_
сА&
dA
*-\&
dA
ёА
dA&
dl
cJ&
ёА
|5l
Ш
Щ
M
7T
Ф*
23. a = 1 (рис. 12.24).
25. a = 20 (рис. 12.24).
27. a = 18 (рис. 12.24).
29. a = 21 (рис. 12.24).
31. a = 18 (рис. 12.25).
33. a = 19 (рис. 12.25).
A -
A -
Я-
£-
Л -
B-
D-
A-
D-
E-
A-
B-
D-
Ё-
&
&
&
&
&
1
в J
5-1
j_A&
dA
eA
aA&
в А
dA
A A&
в А
ёА_
aA&
dA
£-1
bA
eA
\s\
{71
tt\
11&
cA
eA
aA&
в А
cJ_
£-|
£-|
A-\&
c-L
ЛЧ
c1
ёА
b-\&
cA
£-L|
ЛЧ&
cA
bA&
cA
&
\s\
Гл
\c\
rr
D
6-
A -
B-
c-
B-
c-
A -
B-
D-
B-
c-
D-
A-
B-
e-
&
&
&
&
&
7]
ЛЧ
dA
dr
с-I
[s\
r-\C\
Гл|
77
Рис.
(РЫФ)
(МПШ)
(ОЕЛ)
(УЗИ)
(РОУ)
(УРЧ)
12.23
24.
26.
28.
30.
32.
34.
а = 8(рис. 12.24).
а = 13 (рис. 12.24).
а = 31 (рис. 12.24).
а = 23 (рис. 12.24).
а = 27 (рис. 12.25).
а = 24 (рис. 12.25).
(СУН)
(ПМШ)
(ФЖИ)
(ТКШ)
(ФПЛ)
(ХПМ)
328
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ш
тт\
\S\TT\B
\s\tt\c
с А
&
&
С А
d4
л-[
D-\
Е-\
С-J
D I
£4
D4&
Ё_А_
1 г
£Н
£-1
C-J
£-1
С1
D 1
ЕА
Ы
r-fc]
35. а = 30(рис. 12.25).
37. а = 6(рис. 12.25).
39. а = 1(рис. 12.25).
41. а = 3(рис. 12.26).
ёА
АА&
DA
ЁА
А-\&
dA
еА
А-\&
вА
еА
вА
5А
еА
Н&
dA_
аА&
вА
еА
аА&
dA
Е I—
лА&
dA
ё-\
аА&
вА
DA
ёА
сА
Е-\
в-{&
сА
Ё-\
Ё-\
вА&
сА
! Г
сА
еА_
аА&
сА
еА_
яч&"
сА
ёА_
вА&
сА
ёА_
аА&
ёА
тт
\D
[D
в-
D-
А-
С-
А-
в-
А-
D-
А-
В-
С-
&
&
&
&
&
71
5-1
вА
с_А&
dA
аА&
сА
d-{_
0
■Чч
Щ
тт\
Рис.
(Ц39)
(СХШ)
(ШЕФ)
(ЗХМ)
12.24
36. а = 8(рис. 12.25).
38. а = 12 (рис. 12.25).
40. а = 7(рис. 12.25).
42. а = 19 (рис. 12.26).
(ЧЕХ)
(ТЭС)
(ЩОЗ)
(ЛЮЛ)
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
329

в-
D-
с-
£-
в-
с-
£-
с-
D-
£-
В-
С-
D-
&
&
&
&
&
1
с-
D-
£-
В-
С-
С-
£-
&
&
&
&
1
[Я
{71
|с]
77
77
6-
1 Г
с4&
£-1
с-к
D А
Е-\
А
С
С
£Н
А
СЧ
&
&
\J\
ш
щ
в
О-
#-
D-
£-
А-
D-
Е-
в-
D-
£-
А-
в-
Е-
В-
D-
Е-
&
&
&
&
&
1
11*
в 1
£-|
51
£-]
1|*"
dA
eA
аА&
вА
еА
аА&
вА
£-L
|5J
щ
Гл1
77
с-
£-
Д-
С-
Е-
А-
в-
С-
А-
с-
Ё-
А-
в-
Е-
&
&
&
&~
&
71
вА
ёА
щ
А
в
В
С-\
dA.
А
В-\
dA
В
С
DA
77
D
ID
6-
&
&
&
вА
сА
А-\&
сА
dA
вЛ&
с А
dA
11*
вА
сА
оА
\s\
щ
77
Рис. 12.25
43. а = 26 (рис. 12.26). (КУП)
45. а = 8 (рис. 12.26). (ЧАЩ)
47. а = 27 (рис. 12.26). (МЭП)
49. а = 28(рис. 12.26). (ОЦК)
44. а = 24 (рис. 12.26).
46. а = 13 (рис. 12.26).
48. а = 21 (рис. 12.26).
50. а = 12 (рис. 12.26).
330
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

frii b СИ с*ц С
i i 1 i
*l
Э1 П Ъ
1 . 1
Rp |
1 1
t*5| СО Щ to
1 i i I
Rp I Rp | й»
t*il
1
1
1
*
t*ll
1
Co
1
*
1
1
fcp
bl
, 1
1
fr
—
^imi bi
i . i
fr| a» | fr
tn r>i *ч t*i
J ll.l
I ,1 I L_l L
|*I*M'
1^1
Ъ b
i i
b coi Co ^i
i i i i
9?\ fc>| fc>
| —
r*> bl coi £
till
M
3 Co| ^ С
1 1
*
Э CO ^1 t>5| CO
1 1 1 1
M *l
Ы^| o|<
icoi
mi r>
.J L
Col ^l t^l Ol со
_J 1,1 I L
^1 t*a
Rp
^ с*э о
_UJ L
fc>
fc>
Co ^| t*i C0| ^ Oi О Col Oil ГЦ ^
_J l__l I 1,11 L_l I L
fr | Sp| fr | Sp I
* * П
'Ш
bl &ol =4 ^
ii ii
»l
0 ^1 Ol со С
1 I I I
Rp | fc>|
Dl Щ
1 1 .
&>
bl О со X on о toi ^l b ^| b coi b Oi
i i i i i i i i i i i i i i
*
—I
»r*M'
Ibi
»|*| o|'
lt*ll
д]

КОМБИНАТОРИКА
13.1.
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ
ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
КОМБИНАТОРИКИ
В данном подразделе приведено 50 заданий для
индивидуальной работы, содержащих по 8 комбинаторных задач.
Дидактически все задания эквивалентны: в каждом из них
представлены как простые задачи, так и те, которые могут
показаться трудными.
Для успешного выполнения заданий необходимо знать
следующие исходные положения комбинаторики.
Правило произведения: если один элемент некоторого
множества можно выбрать п способами, а второй после него —
т способами, то выбор двух элементов в заданном порядке
возможен тп способами.
При помощи этого правила выводятся основные
формулы для комбинаторных конфигураций, где учитывается
порядок записи элементов:
1) число перестановок без повторений:
Рп = П\,
где п - число элементов, из которых состоят перестановки;
2) число перестановок с повторениями:
р = п\ (пг +n2+tt3+-+ttfe)!
п n1!.n2!-n3I...n*I nlln2lnzl...nkl
где л, — число неразличимых элементов (I = 1, 2, 3, ..., k);
п — число всех элементов, участвующих в перестановках;
k — число групп элементов, в которых элементы
неразличимы;
3) число размещений из п элементов по т без
повторений: А* = п! ;
(п-т)\
4) число размещений из п элементов поте
повторениями: А™ =пт.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Кроме них в комбинаторике рассматриваются еще две формулы для
комбинаторных конфигураций, где порядок записи элементов значения не имеет:
п I
5) число сочетаний из п элементов по т без повторений: С™ = '——г;
(п - т)\т\
6) число сочетаний из п элементов поте повторениями: С™ = С^т_1 =
Примеры.
Пример 1. Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел,
в каждом из которых сначала идут цифры, кратные двум (не менее одной),
а затем цифры, кратные трем (также не менее одной), если числа с нуля не
начинаются и возможны повторы цифр?
Решение. Кратными двум являются восьмеричные цифры 0, 2, 4, 6,
а кратными трем — 0, 3, 6.
Разобьем задачу на ряд подзадач:
а) пусть кратной двум является только первая цифра, тогда после нее
идут три цифры, кратные трем. Так как с нуля числа не начинаются, то на
первое место можно поставить одну цифру из трех: 2,4,6. Повторы
разрешены, следовательно, на каждом из остальных трех мест можно ставить по
одной из трех цифр: 0, 3, 6. По правилу произведения: 3 • З3 = 81;
б) теперь пусть кратные двум цифры занимают два первых разряда. На
первое место можно поставить одну цифру из трех, а на второе — одну цифру
из четырех, так как нулю запрещено стоять только на первом месте. На третье
и четвертое места можно ставить по одной цифре из трех. Следовательно,
получаем 3 -4 ■ З2 = 108;
в) остался один случай, когда цифры, кратные двум, занимают три
первых места, а последнее место занимает цифра, кратная трем: 3 • 42 • 3 = 144.
Сложим полученные частные результаты: 81 4-108 4-144 = 333.
Ответ: 333.
Пример 2. Десятизначное двоичное число Ъ (условимся называть его Ь-чис-
лом) разделили на две части: число Ъх шестизначное (Ьх-число) Ь2 —
четырехзначное (Ь2-число). Сколько существует двоичных Ь-чисел, для каждого из
которых выполняется условие: в числе Ьг столько же единиц, сколько и в числе Ь2?
Решение. Всего необходимо рассмотреть пять частных случаев:
а) в обоих числах нет единиц. Такое десятизначное Ь-число существует
только одно. Оно состоит из последовательности десяти нулей;
б) в обоих числах Ьг и Ь2 содержится по одной единице. Существует 6
Ьх-чисел, каждое из которых представляет собой шестизначное двоичное
число, содержащее одну единицу и пять нулей: 000001, 000010,000100, 001000,
010000,100000. Для Ь2 существует четыре числа: 0001, 0010, 0100,1000. По
правилу произведения: количество искомых Ь-чисел равно 6 4 = 24;
в) в числах Ьг и Ь2 содержится точно по две единицы. Существует С\ - 15
Ьх-чисел, где каждое из них представляет собой двоичное шестизначное
число, содержащее две единицы и четыре нуля. Существует С| = 6 Ь2-чисел,
т. е. четырехзначных чисел, содержащих две единицы и два нуля каждое.
По правилу произведения искомое количество Ь-чисел равно 15 6 = 90;
13. КОМБИНАТОРИКА
333

г) в числах Ьх и Ь2 содержится точно по три единицы. Рассуждая, как и в
предыдущих случаях, находим, что искомое количество Ь-чисел равно
С63 С£ = 20 4 = 80;
д) в числах ЬгиЬ2 содержится точно по четыре единицы. Тогда С£ С* =
= 15 1 = 15.
Просуммируем все эти частные результаты: 1 4- 24 4- 90 4- 80 4-15 = 210.
Ответ: 210.
Пример 3. Сколько существует четных трехзначных чисел пятеричной
системы счисления, если числа могут начинаться с нуля, и в каждом числе
возможны повторы цифр? Например: 012, 224, 110 и др.
Решение. В последовательности натуральных чисел, представленных в
пятеричной системе, четные и нечетные числа чередуются, начиная с числа
000, которое является четным, и кончая числом 444, которое также
является четным. Следовательно, четных пятеричных чисел на единицу больше,
чем нечетных. По формуле числа размещений с повторениями находим, что
всего существует 53 = 125 трехзначных пятеричных чисел. Отсюда вывод:
существует 62 нечетных трехзначных пятеричных числа и 63 — четных.
Ответ: 63.
Пример 4. Из цифр множества {1,2,3,4,5,6,7} выбирают четыре цифры
и записывают ими семизначное число. Сколько возможно таких чисел, если
одна из выбранных четырех цифр входит в семизначное число точно четыре
раза, а все остальные — по одному разу? Например, если выбрали цифры 2,
3, 6, 7, то искомыми являются числа 2222376, 7727637, 6663267 и т. д.
Решение. Пусть выбранными являются цифры 1, 2, 3, 4. Рассмотрим
частные случаи.
Сначала предположим, что повторяется цифра 1. Одно из чисел имеет
вид 1111234. Все остальные числа с повтором цифры 1 могут быть получены
перестановкой цифр этого числа. Количество таких чисел находим по
формуле числа перестановок с повторениями
7*
Р? = 4! 1!1М! = 21°-
Очевидно, что столько же существует чисел, если повторяется цифра 2,
а также 3 и 4. Следовательно, из цифр 1, 2, 3, 4 можно образовать 840
семизначных чисел, в записи которых одна из цифр повторяется точно 4 раза.
Если выберем другие четыре цифры, то получим еще 840 чисел. Из семи
цифр четыре можно выбрать
С74 = ^ = 35
7 (7-4)!4!
способами. Таким образом, всего искомых чисел существует 840 • 35 = 29400.
Ответ: 29400.
Пример 5. Сколько существует 15-значных двоичных чисел, в каждом из
которых содержится точно четыре единицы, причем эти единицы нигде
рядом не стоят? Числа могут начинаться с нуля.
334
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Решение. В 15-значном двоичном числе, содержащем четыре единицы,
имеется 11 нулей. Запишем эти нули в ряд, поставив между нулями, а также
слева и справа от них по одной точке:
.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.
Если выберем какие-либо четыре точки и заменим их единицами, то
получим 15-значное число, в котором не будет рядом стоящих единиц. Всего
точек 12. Следовательно, выбрать четыре из них можно
Г4 _ 12! _9101112_ 9
42 "(12-4)! 4!" 12 3 4 "4 *
способами. Столько же существует искомых чисел.
Ответ: 495.
Пример 6. Известно, что существует 2925 л-значных двоичных чисел,
в каждом из которых содержится точно три единицы (и соответственно
л — 3 нулей). Числа могут начинаться с нуля. Требуется найти л.
Решение. Запишем условие с применением формулы числа сочетаний (без
повторений) из л элементов по 3:
Сократим дробь на (л - 3)!:
п(п - 1)(л - 2)
2925.
12 3
Умножив левую и правую части на 6, получаем уравнение
л(л-1)(л-2) = 2 3 2925.
Это уравнение третьей степени. Его можно решить с применением
формул Кар дано. Однако в данном случае решение можно найти другим, более
простым путем. Левая часть полученного уравнения — это произведение трех
натуральных чисел, из которых большее число отличается от среднего на
единицу и среднее отличается от меньшего также на единицу, т. е. они идут
непосредственно один за другим в последовательности натурального ряда.
Следовательно, задача сводится к тому, чтобы правую часть представить в
виде произведения трех таких чисел.
Разложим число 2925 на простые множители:
2925 = 3 3 5 5 13.
Тогда уравнение примет вид
п(п - 1)(л - 2) = 2 3 3 3 5 5 13.
Сгруппируем простые множители так, чтобы получились три числа с
вышеприведенными свойствами:
2 3 3 3 5 5 13 = (3 3 3) (2 13) (5 5) = 27 26 25.
13. КОМБИНАТОРИКА
335

Подставим этот результат в уравнение:
п(п-1)(п-2) = 27 26 25.
Отсюда непосредственно следует, что п = 27.
Ответ: 27.
Пример 7. Из алфавита выбрали первые семь различных букв и каждую
из них записали на отдельной карточке. Из карточек составляют 4-буквенные
слова. Сколько существует таких слов, буквы в которых идут в алфавитном
порядке?
Решение. Расположим все карточки в алфавитном порядке. Тогда любые
4 карточки, если не менять их порядок, дадут искомое слово. Всего таких
выборок:
С4 7! _ 5-6-7
Ответ: 30.
Кроме правила произведения в комбинаторике широко применяется
правило суммы, известное также под названием принципа
включения-исключения. Пусть даны множества Рг и Р2. Если Рг П Р2 = 0> то
l^iUPj-lPil + lPd,
т. е. если элемент первого множества может быть выбран |РХ| способами,
а элемент второго множества — |Р2| способами, то выбор «либо элемент
множества Рг, либо элемент множества Р2» может быть осуществлен |РХ| 4- |Р2|
способами.
Пример 8. В тарелке 7 яблок и 5 груш. Сколькими способами можно
выбрать один плод?
Решение. Если Рг — множество яблок, Р2 — множество груш, то
|Рх1 + |Р2|-7 + 5 = 12.
Ответ: 12.
Если же Рг П Р2 * 0 (т. е. множества Рг и Р2 имеют общие элементы), то
правило суммы записывается в виде более сложной формулы:
\Pll\P2\-\Pl\ + \P2\-\Pir\P2\.
Пример 9. Даны множества:
Pj-{1,2, 4, 7, 9}; Р2-{1,4,5,6,8}.
Сколько элементов во множестве Рх U Рг?
Решение. По правилу суммы \РХ (J Р2| = 5 + 5 - 2 = 8.
Ответ: 8.
В случае трех множеств правило суммы записывается в виде
|Pi U P2 U Pal = |Pi U Р2\ + |Ра1" \(Pi U Рг) П Р3| =
= |Pj| + |Р2| - \РХ П Р2| + |Ра| " \Рх П Р3 U Р2 П Р3| =
= |Р,| + |Р2| - \Рг П Р2\ + |Рз1" (|Pi П Р3| + \Р2 П Р3|" \Рх П Р2 П Ра|) =
= |Pil + |Р2| + |Рз| " |Pi П PJ " |Pi П Pal " |P2 П P8| + \Pt П Р2 П Pj.
336
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Для четырех множеств получаем аналогично:
|Pi U P2 U Р3 U Р4| - \Рг\ + \Р2\ + |Р8| + |Р4| - \РХ П Р2\ -
- \РХ П Р8| - \Рг П Р4| " 1*2 П Р8| " 1*2 П РА\ - \Р* П Р4| + 1*1 П *2 П Р8| +
+ |Р1ПР2ПР4| + 1*1ПРзПР4| + 1*2ПРзПР4|-|*1ПР2ПРзПР4|.
Пример 10. Из 100 студентов английский язык знают 28 человек,
немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский
и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают
3 человека. Сколько студентов не знают ни одного из этих трех
иностранных языков [21, с. 15]?
Решение. Обозначим: \РХ\ — число студентов, знающих английский язык;
|Р2| — число студентов, знающих немецкий язык; |Р3| — число студентов,
знающих французский язык.
Согласно условию:
|РХ| = 28; |Р2| = 30; |Р3| = 42,
\РХ П Р2\ = 8 — число студентов, знающих два языка — английский и
немецкий; \РХ Г\Рз\ = Ю — число студентов, знающих два языка — английский и
французский; |Р2 П ^з1 = 5 — число студентов, знающих два языка —
немецкий и французский; \РХ П Р2 П *з1 = 3 — число студентов, знающих три языка.
По правилу суммы:
\РХ U P2 U Р3| = 28 4- 30 4- 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80.
Таким образом, знают хотя бы один иностранный язык 80 студентов, а ни
одного иностранного языка не знают 20 человек.
Ответ: 20
Задания
для самостоятельной работы
1. а) Сколько существует восьмизначных двоичных чисел, в которых
единиц больше, чем нулей? Числа могут начинаться с нуля. Например, одно из
искомых чисел имеет вид 01101111. В нем шесть единиц и два нуля, т. е.
единиц больше чем нулей. (6ПМ)
б) Сколько существует восьмизначных двоичных чисел, в каждом из
которых единицы нигде не стоят рядом и каждое число начинается с
единицы? (ОНШ)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых нет нулей, и в каждом числе содержится точно две четные цифры,
причем эти четные цифры нигде рядом не стоят? Цифры в числе могут
повторяться. (8БГ)
г) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
цифры могут повторяться? (067)
д) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 2 встречается точно два раза, а все остальные цифры — не
более чем по одному разу, и при этом каждое число начинается с цифры 2?
(НАЙ)
13. КОМБИНАТОРИКА
337

е) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе содержится точно две четные цифры? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (КТ6)
ж) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых четных цифр меньше, чем нечетных? С нуля пятизначные числа
начинаться не могут. Повторы цифр возможны. (ШАХ)
з) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел,
начинающихся с двух различных цифр, если с нуля числа начинаться не могут?
Повторы цифр возможны. Например, 2300, 5695, 9000 и т. д. (НАЧ)
2. а) В n-значном двоичном числе содержится точно две единицы,
которые нигде рядом не стоят. Числа могут начинаться с нуля. Известно, что
существует 946 таких чисел. Найдите п. (ШИЙ)
б) В л-значном двоичном числе содержится точно три единицы,
которые нигде рядом не стоят. Числа могут начинаться с нуля. Известно, что
существует 2925 таких чисел. Найдите п. (Е98)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых нет нулей, в каждом числе нет повторяющихся цифр (т. е. все
цифры разные) и в каждом числе точно две четные цифры? (ООЛ)
г) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, в каждом
из которых цифра 8 встречается точно два раза, цифра 6 встречается точно
два раза, а все остальные десятичные цифры — не более чем по одному
разу? Числа могут начинаться с нуля. Например: 066288, 886162, 668890.
(НОВ)
д) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе содержится точно три четные цифры и при этом с
четной цифры начинается каждое число? Числа могут начинаться с нуля.
Повторы цифр возможны. Например: 034613. Здесь три четные цифры 0, 4, 6 и
начинается число с нуля, т. е. с четной цифры. (ЛК2)
е) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе содержится точно три четные цифры и при этом с
четной цифры начинается каждое число? С нуля числа начинаться не могут.
Повторы цифр возможны. (ПБШ)
ж) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых содержится точно три различные цифры, при этом одна из цифр
повторяется, например, 3384, 8322, 4008 и т. д.? С нуля числа начинаться не
могут. (MOM)
з) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
если в каждом числе нет повторяющихся цифр, и каждое число начинается с
четной цифры и оканчивается нечетной цифрой? (ВХТ)
3. а) Восьмизначное двоичное число разделили на две равные части —
левую и правую. Сколько существует восьмизначных двоичных чисел, в
каждом из которых слева единиц больше, чем справа, если числа могут
начинаться с нуля? (ДПР)
б) Сколько существует девятизначных двоичных чисел,
начинающихся с единицы, и оканчивающихся нулем, если в каждом числе нет рядом
стоящих единиц? (РЭХ)
338
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых нет нулей, в каждом числе все цифры разные за исключением цифры
6, на повторы которой ограничений нет (она может и отсутствовать)? (ПОО)
г) Сколько существует пятизначных десятичных чисел,
оканчивающихся тремя цифрами, идущими в порядке возрастания? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (МРТ)
д) Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых цифры 3 нигде рядом не стоят? С нуля числа не
начинаются. Повторы цифр возможны. Например: 11004, 30130, 30313 и т. д.
(НЫН)
е) Из цифр множества {1,2,3,6,7, 8} выбирают три цифры и
записывают ими шестизначное число. Сколько возможно таких чисел, если каждая
из выбранных трех цифр входит в шестизначное число не менее одного раза?
Например, если выбрали цифры 2, 3, 6, то искомыми являются числа 223336,
632226, 666323 и т. д. (ВШМ)
ж) Сколько существует пятизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых четных цифр больше, чем нечетных? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (И87)
з) Сколько существует пятизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых четных цифр больше, чем нечетных? С нуля
числа начинаться не могут. Повторы цифр возможны. (ДШО)
4. а) Девятизначное двоичное число разделили на две части аиЬ так, что
в левой части точно четыре знака. Сколько всего существует различных
девятизначных чисел, для которых справедливо: а> Ь? Числа могут
начинаться с нуля. (ЖКН)
б) Двоичное число с разделили на две части аиЬ, где а — пятизначное
число, аЬ — шестизначное. Сколько всего существует различных чисел с,
для которых выполняется условие: а = Ь? Числа могут начинаться с нуля.
(СЗР)
в) Сколько пятизначных чисел можно составить из трех цифр 0, 3, 8,
если пятизначные числа с нуля не начинаются? Повторы цифр возможны.
Например: 80000, 80830, 88888 и т. д. (М66)
г) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, в которых
цифра 5 встречается точно два раза, цифра 6 — точно один раз, а все
остальные цифры — не более чем по одному разу? С нуля числа начинаться не
могут. Например: 556018, 123556 и др. (Ц93)
д) Сколько пятизначных чисел можно составить из нечетных
десятичных цифр, если в каждом числе содержится точно три одинаковые
цифры, а остальные цифры встречаются не более чем по одному разу? (УМЗ)
е) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых нет нулей, нет цифры 8, и в каждом числе содержится точно две
четные цифры и точно две нечетные? Повторы цифр возможны. (УВП)
ж) Сколько существует пятизначных десятичных чисел,
оканчивающихся тремя различными цифрами? На повторы первых двух цифр
ограничений нет. С нуля числа начинаться не могут. Например: 22560, 56951, 90028
и т. д. (КОА)
13. КОМБИНАТОРИКА
339

з) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых содержится не менее чем две четные цифры? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. Например: 24333, 32281, 02021, 88688
и т. д. (ЕЙД)
5. а) Сколько существует девятизначных двоичных чисел, в каждом из
которых единиц меньше, чем нулей? Числа могут начинаться с нуля. (НШН)
б) Десятизначное двоичное число разделили на две равные части —
левую и правую. Сколько существует десятизначных двоичных чисел, в
каждом из которых слева единиц больше, чем справа? Числа могут начинаться
с нуля. (ТСА)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 2 содержится точно два раза, а все остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу? Считать, что числа могут начинаться с
нуля. (ЦОЗ)
г) Сколько существует семизначных чисел десятичной системы
счисления, в каждом из которых цифра 9 встречается точно три раза, цифра 1
встречается точно один раз, а все остальные десятичные цифры — не более
чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля. (ФОТ)
д) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе четные и нечетные цифры чередуются и с нуля числа не
начинаются? Повторы цифр возможны. (ВТЛ)
е) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, содержащих
точно по две четные цифры каждое, но эти цифры в записи числа нигде
рядом не стоят? Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны.
(ЯКО)
ж) Сколько шестизначных чисел можно составить из 1,2, 3,4, 5, 6,
если в каждом числе четных цифр больше, чем нечетных? Цифры могут
повторяться. (РУМ)
з) Сколько существует восьмизначных троичных чисел, в каждом из
которых четные и нечетные цифры чередуются? Числа могут начинаться с
нуля. Например: 10121210, 21210101 и т. д. (ИЦУ)
6. а) Из множества всех возможных четных девятизначных двоичных
чисел удалили все те числа, в которых содержится хотя бы одна пара рядом
стоящих единиц. Сколько чисел осталось? Двоичные числа могут
начинаться с нуля. (Т68)
б) Известно, что существует 969 n-значных двоичных чисел, в каждом
из которых точно три единицы. Найдите л, если числа могут начинаться с
нуля. (РПА)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 2 содержится точно два раза, а все остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу? Считать, что начинаться с нуля числа не
могут. (Б5В)
г) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 3 встречается точно три раза, цифра 5 встречается точно
один раз, а все остальные десятичные цифры — не более чем по одному разу?
С нуля числа начинаться не могут. (162)
340
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

д) Сколько пятизначных чисел можно составить из четных
десятичных цифр, если в каждом числе содержится точно две одинаковые цифры, а
все остальные цифры встречаются не более чем по одному разу? С нуля числа
не начинаются? (273)
е) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, которые
одинаково читаются как слева направо, так и справа налево, и в каждом нет
четных цифр? (ИДА)
ж) Сколько существует шестизначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых числа одинаково читаются как слева направо,
так и справа налево, но при условии, что более двух раз ни одна цифра не
повторяется, и что числа не могут начинаться с нуля? (5Б5)
з) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых любые две рядом стоящие цифры различны, если с нуля числа не
начинаются? Повторы цифр возможны. Например, 12135,10234, 30303 и т. д.
(679)
7. а) Сколько существует восьмизначных двоичных чисел,
начинающихся с двух единиц, и оканчивающихся нулем, если в каждом числе нет рядом
стоящих нулей? (787)
б) Сколько существует девятизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 01 и оканчивающихся нулем, если в каждом из этих
чисел нет рядом стоящих единиц? (8ПИ)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, каждое из
которых начинается с цифры 3, и в каждом числе цифра 2 встречается точно
два раза, а все остальные цифры — не более чем по одному разу? (ЭКО)
г) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе содержится точно две четные цифры? С нуля числа
начинаться не могут. Повторы цифр возможны. (005)
д) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных
цифр, если в каждом числе содержится не менее двух четных цифр и не
менее двух нечетных? Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр
возможны. (13И)
е) Сколько существует четырехзначных чисел пятеричной системы
счисления, если каждое число начинается с нечетной цифры и в каждом
числе содержится точно одна четная цифра? Повторы цифр возможны.
(ЖТР)
ж) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых четное число четных цифр? Числа могут начинаться с нуля.
Повторы цифр возможны. (310)
з) Сколько трехзначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если четные цифры в числах встречается нечетное число раз (т. е. один или
три раза)? С нуля числа не начинаются. Повторы цифр возможны.
Например: 121 (здесь одна четная цифра), 240, 444, 268 (каждое из этих чисел
состоит из трех четных цифр) и т. д. (ЧЕЛ)
8. а) Сколько существует девятизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 010 и оканчивающихся нулем, если в каждом числе
нет рядом стоящих нулей? (6ВЛ)
13. КОМБИНАТОРИКА
341

б) Сколько существует восьмизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 01 и оканчивающихся нулем, если в каждом числе
нулей больше, чем единиц? (52А)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 3 встречается точно два раза, цифра 5 встречается точно один
раз, а все остальные цифры — не более чем по одному разу? Числа могут
начинаться с нуля. (773)
г) Сколько семизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе содержится не менее двух четных цифр и не менее двух
нечетных? С нуля числа начинаться не могут. Повторы цифр возможны.
(9ИС)
д) Сколько существует семизначных троичных чисел, если в каждом
из них нет единиц, а цифр 0 больше, чем цифр 2 (т. е. нулей больше, чем
двоек)? Числа могут начинаться с нуля. (ОАГ)
е) Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова
«километр», если каждая из этих букв входит в четырехбуквенное слово не
более одного раза? (Ц70)
ж) Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом
из которых четные цифры нигде не стоят рядом? Числа могут начинаться с
нуля. Повторы цифр возможны. (УМШ)
з) Сколько существует трехзначных чисел семеричной системы
счисления, в которых первая цифра является нечетной, а вторая и третья
четными, причем, цифры в каждом числе идут в порядке возрастания? (ЧАК)
9. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Оба они могут начинаться с нуля.
Число а пятизначное, число Ь трехзначное. Эти числа приставили одно к
другому: слева а, справа Ь. Получилось восьмизначное число. Сколько
существует восьмизначных чисел, в которых нечетное число единиц, если в числе
а нечетное число единиц, а в числе Ь — четное? (КА7)
б) Даны два двоичных числа а иЬ. Оба они могут начинаться с нуля.
Число а шестизначное, число Ь трехзначное. Эти числа приставили одно к
другому: слева а, справа Ь. В результате получилось девятизначное число с.
Сколько существует девятизначных чисел, для которых выполняется
условие а > Ь? Например, если а = 001101, Ь = 011, то с = 001101011. Здесь а = 13,
Ь = 3, т. е. выполняется заданное условие: 13 > 3. (19Б)
в) Сколько существует семизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифра 3 встречается точно два раза, цифра 4 встречается точно два
раза, а все остальные десятичные цифры — не более чем по одному разу?
Числа могут начинаться с нуля. (НИО)
г) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число начинается с
четной цифры? С нуля числа начинаться не могут. (ТАН)
д) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
если в каждом числе точно две одинаковых цифры, а остальные цифры не
повторяются? (551)
е) Из множества всех возможных пятизначных чисел четверичной
системы счисления удалили все те числа, в которых хотя бы один раз встречает-
342
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ся цифра 2. Сколько чисел осталось? Числа могут начинаться с нуля. Цифры
могут повторяться. (ЦКИ)
ж) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых точно две одинаковые цифры, причем, обе они четные, и одна
цифра может быть как четной, так и нечетной? С нуля числа не начинаются.
Например: 224, 166, 400, 454 и т. д. (ФКБ)
з) Из множества всех возможных трехзначных семеричных чисел,
которые могут начинаться с нуля, удалили те числа, в которых первая
цифра является четной, а вторая и третья нечетными, причем, цифры в каждом
числе идут в порядке возрастания. Сколько чисел осталось? (ВДБ)
10. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а шестизначное, число Ь
четырехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь.
В результате получилось десятизначное число. Сколько существует
десятизначных чисел, в каждом из которых слева столько же единиц, сколько и
справа? Числа аиЬ могут начинаться с нуля. (ААУ)
б) Сколько целых двоичных чисел находится в диапазоне от 01000101
до 11101010? Границы диапазона в искомое число не включать. (ПЗМ)
в) Сколько шестизначных чисел можно составить из десятичных
цифр, если в каждом числе содержится точно три четные цифры и при этом с
четной цифры начинается каждое число? С нуля числа начинаться не могут.
Повторы цифр возможны. (РБД)
г) Дано множество: {2, 3, 4, 6, 8}. Из его цифр составляют
пятизначные числа. Повторы цифр возможны. Сколько существует таких чисел, если
в каждом из них число четных цифр четно? Например: 22333 (здесь две
четные цифры), 44344 (четыре четные цифры), 28364 (четыре четные цифры)
и т. д. (ОМ9)
д) Сколько существует пятизначных чисел шестеричной системы
счисления, в каждом из которых четных цифр больше, чем нечетных?
Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ЛОВ)
е) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых одна цифра четная и две — нечетные, причем, нечетные цифры
являются одинаковыми? Числа могут начинаться с нуля. Например: 141, 033,
255 и т. д. (Д2Я)
ж) Сколько существует пятизначных пятеричных чисел, в каждом
из которых содержится точно две одинаковые цифры, причем, эти
одинаковые цифры нигде рядом не стоят? Числа могут начинаться с нуля. (ХОР)
з) Сколько существует четырехзначных чисел, которые можно
составить из цифр 1, 2, 7, 8, если каждое число оканчивается нечетной
цифрой, если в каждом числе повторов цифр нет (т. е. все цифры разные)?
(НЦК)
11. а) Известно, что существует 1771 л-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно три единицы. Числа могут начинаться с нуля.
Найдите л. (ЯНК)
б) Сколько существует семизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 11 и оканчивающихся одним нулем, если в каждом
числе четное число единиц? (ИДК)
13. КОМБИНАТОРИКА
343

в) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых четных цифр столько же, сколько и нечетных? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (СТФ)
г) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, которые
одинаково читаются как слева направо, ток и справа налево, и в каждом из
которых нет нулей? (МИД)
д) Сколько пятизначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если в каждом числе четные и нечетные цифры чередуются, и числа могут
начинаться с нуля? Повторы цифр возможны. (ИМК)
е) Дано пятизначное десятичное число 74982. Если в этом числе одну
или несколько четных цифр заменить нечетными, то получим новые числа.
Например: 71982 (цифру 4 заменили цифрой 1), 74975 (цифры 8 и 2
заменили цифрами 7 и 5 соответственно), 71911 (все четные цифры заменены
нечетными) и т. д. Сколько различных новых чисел можно получить таким
способом, если цифры в новых числах могут повторяться? (ТОВ)
ж) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых четное число четных цифр? С нуля числа не начинаются. Повторы
цифр возможны. (БОТ)
з) Сколько трехзначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если каждая четная цифра в числах встречается нечетное число раз? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ЛЮМ)
12. а) Сколько существует семизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 101 и оканчивающихся единицей, если в каждом
числе четное число нулей? (Н56)
б) Сколько существует четных девятизначных двоичных чисел,
одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево? Числа могут
начинаться с нуля. (В23)
в) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых четных цифр столько же, сколько и нечетных? С нуля числа
начинаться не могут. (ЮМХ)
г) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, в каждом
из которых нет рядом стоящих цифр 2? Числа могут начинаться с нуля.
Повторы цифр возможны. (БН2)
д) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых первая цифра меньше последней? С нуля числа начинаться не
могут. Повторы цифр возможны. Например: 12227 (в этом числе 1 < 7), 38018
(здесь 3 < 8), 80609 (8 < 9) и т. д. (ШАП)
е) Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых четные цифры нигде рядом не стоят? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (КБ9)
ж) Сколько существует трехзначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке убывания, например: 654, 320, 731 и т. д.?
(8ВВ)
з) Сколько существует пятизначных пятеричных чисел, если числа
не начинаются с нуля и каждое число одинаково читается как слева направо,
так и справа налево? Повторы цифр возможны. (866)
344
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

13. а) Десятизначное двоичное число, в каждом из которых нет рядом
стоящих единиц, разделили на две равные части — левую и правую. Сколько
существует десятизначных двоичных чисел, в каждом из которых слева
единиц больше, чем справа? Числа могут начинаться с нуля. (КАЮ)
б) В десятизначном двоичном числе нет рядом стоящих единиц. Это
число разделили на две равные части — левую и правую. Сколько
существует десятизначных двоичных чисел, в каждом из которых слева единиц
столько же, сколько и справа? Числа могут начинаться с нуля. (ВТ9)
в) Сколько всего существует четырехзначных десятичных чисел, в
каждом из которых четных цифр больше, чем нечетных? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ТМ7)
г) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число начинается с
нечетной цифры? (РУШ)
д) Сколько существует трехзначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке возрастания, и ни в одном числе нет цифр
2 и 3? С нуля числа не могут начинаться. (836)
е) Сколько существует семизначных десятичных чисел, в каждом из
которых все цифры разные, нет цифр 0, 6, 7, и чередуются четные и
нечетные цифры? (ВЦХ)
ж) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел,
начинающихся с нечетной цифры, и оканчивающихся нечетной цифрой, если в
каждом из чисел нет одинаковых цифр? (ЛВО)
з) Сколько существует шестизначных четверичных чисел, в каждом
из которых нет стоящих рядом цифр 2? Числа могут начинаться с нуля.
Повторы цифр возможны. (Т85)
14. а) Из множества всех возможных нечетных восьмизначных
двоичных чисел удалили все те числа, в которых содержится хотя бы одна пара
рядом стоящих единиц. Сколько чисел осталось? Числа могут начинаться с
нуля. (ТЭС)
б) В восьмизначном двоичном числе нет ни одной пары рядом
стоящих единиц. Это число разделили на две равные части — левую и правую.
Сколько существует восьмизначных двоичных чисел, в каждом из которых
слева нулей больше, чем справа? Числа могут начинаться с нуля. (ООО)
в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых содержится три цифры 4,5,6, причем, точно по одному разу
каждая? На повторяемость остальных цифр ограничений нет. С нуля числа не
начинаются. Например: 40506, 65481, 45677 и т. д. (ЛАО)
г) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых содержится хотя бы одна из цифр 3, 7, 9? Повторы всех цифр
возможны. Числа могут начинаться с нуля. (АРШ)
д) Десятичное число 4697 удлинили до пяти знаков добавлением
одной десятичной цифры. Эту цифру разрешается записывать слева, справа,
а также между цифрами заданного числа 4697. Сколько различных
пятизначных чисел можно получить таким способом, если с нуля числа не
начинаются, и если ни в одном числе нет одинаковых цифр? (ИНЗ)
13. КОМБИНАТОРИКА
345

е) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых сначала идут нечетные цифры (не менее одной), а затем —
четные (также не менее одной). Повторы цифр возможны. Например: 1280, 3528,
9974 и т. д.? (ЧУН)
ж) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 3,4,5,6,
если каждое число начинается с цифры 4 и в каждом числе цифра 4
встречается точно 4 раза? На повторяемость остальных цифр ограничений нет.
(ВЦП)
з) Сколько существует семизначных троичных чисел, в каждом из
которых четное число цифр 2? Повторы других цифр возможны. Числа
могут начинаться с нуля. (У28)
15. а) Десятизначное двоичное число, в котором нет рядом стоящих
единиц, разделили на две равные части — левую и правую. Сколько существует
десятизначных двоичных чисел, в каждом из которых слева содержится
четное число единиц, а справа — нечетное? Числа могут начинаться с нуля.
(Э28)
б) Из множества всех семизначных двоичных чисел удалили все те
числа, в которых нет рядом стоящих единиц. Сколько чисел осталось?
Числа могут начинаться с нуля. (В20)
в) Сколько существует семизначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых содержится не менее двух цифр 4 и каждое число начинается с
нечетной цифры? Повторы цифр возможны. (МИЛ)
г) В трехзначном семеричном числе точно две одинаковые цифры,
причем, обе они нечетные, и одна цифра, которая может быть как четной,
так и нечетной. Сколько существует таких чисел, если с нуля числа не могут
начинаться? (ЛЛП)
д) Из множества всех возможных четырехзначных десятичных
чисел удалили все те числа, в которых содержится хотя бы одна из цифр 2,3,5,
7. Сколько чисел осталось? Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр
возможны. (8СП)
е) Из цифр множества {2, 3, 6, 7, 8} выбирают три цифры и
записывают ими пятизначное число. Сколько возможно таких чисел, если каждая из
выбранных трех цифр входит в пятизначное число не менее одного раза?
Например, если выбрали цифры 2,3,6, то искомыми являются числа 22336,
63222, 66632 и т. д. (БТЛ)
ж) Сколько трехзначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если каждая четная цифра в числах встречается четное число раз, а на
повторы нечетных цифр ограничений нет? С нуля числа не начинаются. (ЮВП)
з) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых нет нулей и нет цифры 2, и четные цифры нигде не стоят рядом?
Повторы цифр возможны. (ухухуК)
16. а) Из множества всех возможных восьмизначных двоичных чисел,
начинающихся с единицы, удалили все те числа, в каждом из которых
единиц больше, чем нулей. Сколько чисел осталось? (ЧАП)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Оба могут начинаться с нуля.
Число а пятизначное, число Ь трехзначное. Эти числа приставили одно к друго-
346
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

му: слева а, справа Ь. В результате получилось восьмизначное число.
Сколько существует восьмизначных чисел, если в числе а четное число единиц, а в
числе Ь — нечетное? (БАМ)
в) Сколько существует шестизначных семеричных чисел, в каждом из
которых одна из цифр повторяется точно два раза, а все остальные
встречаются не более чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля. (МАФ)
г) Сколько существует трехзначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке возрастания, и ни в одном из чисел нет
цифр 1 и 5? Числа могут начинаться с нуля. (ТЕР)
д) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых точно две одинаковые четные цифры, и одна цифра, которая может
быть как четной, так и нечетной? Числа могут начинаться с нуля. (МТУ)
е) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в которых
нет нулей и нет цифры 2, и нечетные цифры нигде не стоят рядом? Повторы
цифр возможны. (ОБА)
ж) Из множества всех возможных трехзначных семеричных чисел,
которые могут начинаться с нуля, удалили те числа, в которых первая
цифра является четной, а вторая и третья нечетными, причем, цифры в каждом
числе идут в порядке убывания. Сколько чисел осталось? (РУЗ)
з) Сколько существует пятизначных пятеричных чисел, не
содержащих цифры 4, в каждом из которых цифра 3 встречается точно два раза, а на
повторяемость других цифр ограничений нет? Числа могут начинаться с нуля.
(ВРТ)
17. а) Сколько целых двоичных чисел находится между двоичными
числами 00010101 и 10001010? Границы диапазона в искомое число не
включать. (КК1)
б) Известно, что существует 3060 n-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно четыре единицы. Найдите число л, если числа могут
начинаться с нуля. (Н35)
в) В десятичном числе 45680 каждую четную цифру заменили нечетной
цифрой. Получилось множество пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых все цифры нечетные. Сколько чисел в этом множестве? (СВШ)
г) Сколько трехзначных чисел можно составить из десятичных цифр,
если каждая четная цифра в числах встречается четное число раз?
Например: 137 (каждая четная цифра встречается 0 раз), 665 (четная цифра 6
встречается два раза) и т. д. Числа могут начинаться с нуля. На повторы нечетных
цифр ограничений нет. (442)
д) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых четных цифр больше, чем нечетных? С нуля числа не могут
начинаться. Повторы цифр возможны. (354)
е) Сколько существует пятизначных троичных чисел, если числа не
могут начинаться с нуля и в каждом числе содержится точно три
одинаковые цифры? (МЕС)
ж) Сколько существует четных пятизначных десятичных чисел,
начинающихся с одной из цифр 3, 4, 5, если в каждом числе нет одинаковых
цифр? (20Е)
13. КОМБИНАТОРИКА
347

з) Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом
из которых нет нулей и четные цифры нигде не стоят рядом? Повторы цифр
возможны. (ТПП)
18. а) Сколько существует семизначных двоичных чисел, в которых
содержится не менее трех единиц и не менее двух нулей? Числа могут
начинаться с нуля. (НЯТ)
б) Сколько существует восьмизначных двоичных чисел, одинаково
читающихся как слева направо, так и справа налево, в каждом из которых
содержится не менее двух единиц и не менее двух нулей? Числа могут
начинаться с нуля. (В22)
в) Сколько существует шестизначных троичных чисел, в каждом из
которых точно три нуля? Остальные цифры могут повторяться. Числа могут
начинаться с нуля. (4ЛВ)
г) Сколько существует шестизначных десятичных чисел, не
содержащих цифр 0, 1, 2, 3, в каждом из которых одна цифра повторяется точно
два раза, а все остальные - не более чем по одному разу? (ВШМ)
д) Сколько существует пятизначных троичных чисел, в каждом из
которых единиц больше, чем нулей? Числа могут начинаться с нуля. (П2Д)
е) Сколько существует трехзначных пятеричных чисел, в каждом из
которых четные цифры нигде не стоят рядом? Числа могут начинаться с
нуля. (ЕРЦ)
ж) Сколько существует пятизначных чисел шестеричной системы
счисления, в каждом из которых точно четыре различные цифры
(следовательно, одна из них повторяется)? Числа могут начинаться с нуля.
(172)
з) Сколько существует четырехзначных пятеричных чисел, в
каждом из которых содержится хотя бы одна четная цифра и хотя бы одна
нечетная? Числа могут начинаться с нуля. Например: 1234, 0001, 4113 и т. д.
(8КА)
19. а) Сколько существует семизначных двоичных чисел, в каждом из
которых содержится хотя бы две рядом стоящие единицы? Числа могут
начинаться с нуля. (729)
б) Условимся называть инвертированием двоичного числа операцию
замены всех нулей единицами и всех единиц нулями. Например, инверсией
числа 0010101 является число 1101010. Сколько существует
восьмизначных двоичных чисел, после инвертирования которых получаются числа с
тем же количеством единиц, что и в исходном числе? Числа могут
начинаться с нуля. (ГТ5)
в) Сколько существует пятизначных чисел шестеричной системы
счисления, в каждом из которых точно две одинаковые цифры, а остальные
цифры в числе встречаются не более чем по одному разу? С нуля числа не
могут начинаться. (НКЦ)
г) Сколько существует четырехзначных пятеричных чисел, в
каждом из которых содержится хотя бы одна четная цифра и хотя бы одна
нечетная? С нуля числа не могут начинаться. Повторы цифр возможны.
Например: 1234, 1001, 4113 и т. д. (ШУК)
348
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

д) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, не
начинающихся с нуля, в которых четные и нечетные цифры чередуются?
Повторы цифр разрешены. (98К)
е) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из
нечетных цифр, а правая — только из четных. Правое число может начинаться с
нуля. Повторы цифр возможны. Сколько существует таких шестизначных
чисел? (НИЖ)
ж) Четырехзначное десятичное число а разделили на две равные
части аг и а2, где аг и а2 — двузначные десятичные числа. Каждое их них может
начинаться с нуля. Сколько существует чисел а, если аг кратно 7, а а2 кратно
5? Повторы цифр возможны. (76А)
з) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых сумма первых двух цифр равна сумме двух последних?
Например: 3562, где 3 + 5 = 6 +2. С нуля числа не начинаются. Повторы цифр
возможны. (Н78)
20. а) Семизначное двоичное число разделили на две части аиЬ, где
число а — четырехзначное число, Ь — трехзначное. Сколько всего существует
семизначных чисел, если в числе а содержится не менее двух единиц, а в
числе Ь — не менее одной? Числа могут начинаться с нуля. (РКН)
б) Девятизначное двоичное число разделили на две части — левую и
правую. В левой части — 4 знака, в правой — 5 знаков. Сколько существует
девятизначных двоичных чисел, в которых слева единиц на 2 больше, чем
справа? Числа могут начинаться с нуля. (52Д)
в) Сколько существует четырехзначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится точно три пятеричные цифры
(тогда две из них одинаковые)? Числа могут начинаться с нуля. (7ЛА)
г) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых четные и нечетные цифры чередуются? Повторы цифр
запрещены. С нуля числа не могут начинаться. (ЭРУ)
д) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из
нечетных цифр, а правая — только из четных. Повторы цифр запрещены.
Сколько существует таких шестизначных чисел? (К2С)
е) Четырехзначное десятичное число а разделили на две равные
части аг и а2, где аг и а2 — двузначные десятичные числа. Сколько существует
чисел а, если аг кратно 17, а а2 кратно 5? Оба числа а1иа2с нуля не
начинаются. Повторы цифр возможны. (ОЦХ)
ж) Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел, в
каждом из которых точно два нуля, если на повторы других цифр ограничений
нет, и с нуля числа не начинаются? (БРА)
з) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, в каждом из
которых все цифры четные и каждое число превосходит 325? Повторы цифр
возможны. (ОКТ)
21. а) Двенадцатизначное двоичное число разделили на три равные части а,
Ь и с. Сколько существует двенадцатизначных двоичных чисел, содержащих
13. КОМБИНАТОРИКА
349

по восемь нулей, если в каждой его части а,Ьис содержится не менее одной
единицы? Каждое из чисел а,Ьис может начинаться с нуля. (УМО)
б) Известно, что существует 406 n-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно две единицы. Найдите число п, если числа могут
начинаться с нуля. (Г9А)
в) Сколько существует четырехзначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых точно две одинаковые цифры, а остальные
две цифры не повторяются? Например: 1214, 2003, 4014 и т. д. С нуля числа
не могут начинаться. (У80)
г) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых четные и нечетные цифры чередуются? Повторы цифр
разрешены. Числа могут начинаться с нуля. (ШКА)
д) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили на
две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из четных
цифр, а правая — только из нечетных. Повторы цифр разрешены. Числа могут
начинаться с нуля. Сколько существует таких шестизначных чисел? (ОЧА)
е) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых сумма первых двух цифр равна сумме двух последних цифр?
Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ПТН)
ж) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в
которых каждая цифра кратна 3 (т. е. делится на 3 без остатка), если повторы
цифр возможны и числа могут начинаться с нуля? (Е58)
з) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых содержится хотя бы две четные цифры, если на повторы всех
цифр ограничений нет, и числа могут начинаться с нуля? Например: 0462,
2150, 4024 и т. д. (БОТ)
22. а) Сколько существует десятизначных двоичных чисел, в каждом из
которых цифры идут в неубывающем порядке? Например: 0000111111,
0000000111 и т. д. (ВПУ)
б) В восьмизначном двоичном числе сначала идут единицы (не
менее одной), затем — нули (не менее одного), и снова единицы (не менее
одной). Например: 11000111, 10000011 и т. д. Сколько всего существует
таких чисел? (СНА)
в) Сколько существует шестизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых точно две одинаковые четные цифры,
другие четные цифры могут встречаться не более чем по одному разу, а из
нечетных цифр повторов нет? Числа могут начинаться с нуля. Например: 235240
(повторяется цифра 2), 130250, 30*5661 и т. д. (ИКО)
г) Сколько существует четырехзначных пятеричных чисел, в
каждом из которых четные и нечетные цифры чередуются? Повторы цифр
запрещены. Числа могут начинаться с нуля. (ЕУМ)
д) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из
четных цифр, а правая — только из нечетных. Повторы цифр разрешены. С
нуля шестизначные числа не начинаются. Сколько существует таких
шестизначных чисел? (ОУЗ)
350
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, которые
начинаются с четной цифры и превышают 280? Повторы цифр возможны. (ДДМ)
ж) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, каждое из
которых начинается с четной цифры и не превышает 380? Повторы цифр
возможны. Числа с нуля не начинаются. (БКР)
з) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых первая цифра на единицу меньше второй? Повторы цифр
разрешены. Числа могут начинаться с нуля. (ВКП)
23. а) Десятизначное двоичное число разделили на две неравные части: в
левой — четыре знака, в правой — шесть знаков. Сколько существует
десятизначных чисел, в которых слева столько же единиц, сколько и справа?
Числа могут начинаться с нуля. (КАР)
б) Десятизначное двоичное число разделили на две неравные части: в
левой — четыре знака, в правой — шесть знаков. Сколько существует
десятизначных чисел, в каждом из которых слева больше единиц, чем справа?
Числа могут начинаться с нуля. (М76)
в) Сколько существует пятизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых точно две одинаковые четные цифры, другие
четные цифры могут встречаться не более чем по одному разу, а из нечетных
цифр повторов нет? Например: 23524, 30250, 35661, 24660 и т. д. Числа
могут начинаться с нуля. (Д85)
г) Шестизначное число четверичной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Сколько существует шестизначных
чисел, в каждом из которых слева больше четных цифр, чем справа? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (4Я4)
д) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили на
две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из четных
шестеричных цифр, а правая — только из нечетных. Цифры в левой части
идут в порядке возрастания, а в правой — в порядке убывания. С нуля числа не
могут начинаться. Сколько существует таких шестизначных чисел? (МЕО)
е) Сколько существует восьмизначных десятичных чисел, в каждом
из которых одна из цифр повторяется точно два раза, а все остальные цифры
встречаются в числе не более чем по одному разу, если числа могут
начинаться с нуля? (РВГ)
ж) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в
каждом из которых первая цифра на единицу меньше второй? Повторы цифр
разрешены. Числа с нуля не начинаются. (ГИН)
з) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел,
состоящих только из четных цифр, в каждом из которых точно два нуля, если на
повторы других цифр ограничений нет, с нуля числа не начинаются и
каждое число не превышает 2000? (ЭНО)
24. а) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а пятизначное, число Ь
трехзначное. Оба могут начинаться с нуля. Эти числа приставили одно к
другому. В результате получилось восьмизначное число. Сколько существует
восьмизначных чисел, если в числе а единиц не более трех, в числе Ь — не более
двух, а в восьмизначном числе точно три единицы? (262)
13. КОМБИНАТОРИКА
351

б) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а пятизначное, число Ь
четырехзначное. Оба могут начинаться с нуля. Эти числа приставили одно к
другому: слева — а, справа — Ь. Получилось девятизначное число. Сколько
существует девятизначных чисел, в которых точно пять единиц, если в
числе а четное число единиц, а в числе Ь — нечетное? (ГР5)
в) Сколько существует шестизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых точно два нуля, а другие четные цифры
могут встречаться не более чем по одному разу, и запрещены повторы
нечетных цифр? Например: 200534, 150260, 135600, и т. д. Числа с нуля не
начинаются. (47Э)
г) Шестизначное число четверичной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Сколько существует шестизначных
чисел, в каждом из которых слева столько же четных цифр, сколько и
справа? Повторы цифр возможны. Числа могут начинаться с нуля. (06П)
д) Шестизначное число шестеричной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Левая часть состоит только из
четных цифр, а правая — только из нечетных. Цифры в левой части идут в
порядке возрастания, а в правой — в порядке убывания. Числа могут
начинаться с нуля. Например: 024531. Сколько существует таких шестизначных
чисел? (НПВ)
е) Сколько существует трехзначных десятичных чисел,
начинающихся с двух нечетных цифр, если в каждом числе повторов цифр нет, числа
могут оканчиваться как четной, так и нечетной цифрой, и каждое число
превышает 400? (32Е)
ж) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом
из которых сумма первых двух цифр равна сумме двух последних? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (НБН)
з) Двузначное десятичное число а разделили на две части аг и а2.
Сколько существует чисел а, если число аг делится на число а2 без остатка?
Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ВЗР)
25. а) Сколько целых двоичных чисел находится в диапазоне от 00110101
до 11001010? Границы диапазона в искомое число не включать. (2ЯО)
б) Известно, что существует 2300 л-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно три единицы. Числа могут начинаться с нуля.
Найдите число п. (ПЫШ)
в) Сколько существует шестизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых точно две четные цифры, причем, обе они
одинаковые, а на нечетные цифры ограничений нет. С нуля числа не
начинаются. (ТТ6)
г) Шестизначное число четверичной системы счисления разделили
на две равные части — левую и правую. Сколько существует шестизначных
чисел, в каждом из которых справа больше четных цифр, чем слева? Числа
могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (НЯС)
д) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра является простым числом? Повторы цифр возможны.
(АХ6)
352
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, в каждом из
которых все цифры нечетные и каждое число меньше 521? Цифры в числах
могут повторяться. (УКВ)
ж) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых сумма первых двух цифр равна последней цифре? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. Например: 32455 (3 + 2 = 5),
01771(0 +1 = 1) и т. д. (ГЗЗ)
з) Сколько существует четырехзначных чисел восьмеричной
системы счисления, в каждом из которых точно два нуля, если повторы других
цифр запрещены, и числа могут начинаться с нуля? (ЕАМ)
26. а) Девятизначное двоичное число разделили на две части: в левой —
четыре знака, в правой — пять знаков. Сколько существует девятизначных
чисел, в каждом из которых слева больше нулей, чем справа? Числа могут
начинаться с нуля. (НВК)
б) Десятизначное двоичное число вида 1111111111 разделили на три
части так, что в каждой части оказалось не менее одной единицы. Например:
111-111111-1,111111-11-11 и т. д. Сколькими способами это можно сделать?
(ИЖ2)
в) Шестизначное число четверичной системы счисления разделили на
две равные части - левую и правую. Сколько существует шестизначных
чисел, в каждом из которых слева столько же нечетных цифр, сколько и
справа? С нуля шестизначные числа не начинаются. Повторы цифр возможны.
(ШЛИ)
г) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра является простым числом? Повторы цифр запрещены. (П9П)
д) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, каждое из
которых начинается с четной цифры и не превышает 380? Повторы цифр
возможны. Числа могут начинаться с нуля. (6ИС)
е) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых первая цифра на два меньше второй? Повторы цифр запрещены.
С нуля числа не могут начинаться. (СГС)
ж) Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел, в
каждом из которых содержится две единицы и две неповторяющиеся четные
цифры, если числа могут начинаться с нуля? (ВТШ)
з) Сколько существует шестизначных чисел шестеричной системы
счисления, в каждом из которых абсолютная величина разности двух первых цифр
равна последней цифре? Числа с нуля не начинаются. Повторы цифр
возможны. Например: 253003 (здесь |2 - 5| = 3), 402514 (|4 - 0| = 4) и т. д. (Е93)
27. а) Сколько существует десятизначных двоичных чисел,
начинающихся с последовательности 100, в каждом из которых четное число единиц?
(ЗАА)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а — пятизначное, число Ь —
шестизначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось одиннадцатизначное число. Сколько существует
одиннадцатизначных чисел, если в числе а точно две единицы, а в числе Ь точно
два нуля? Числа могут начинаться с нуля. (БТА)
13. КОМБИНАТОРИКА
353

в) Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра является простым числом? Повторяться может только цифра
2. Повторы других цифр запрещены. (ЕЩЛ)
г) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых первая цифра на три больше последней и в каждом числе нет
повторов цифр? Например: 7124, 3190, 8095 и т. д. (КГГ)
д) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых точно два нуля, если повторы других цифр запрещены и с нуля
числа не начинаются? Например: 71300, 10307, 25001 и т. д. (ФКБ)
е) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра кратна 3 (т. е. делится на 3 без остатка), если повторы цифр
запрещены и с нуля числа не начинаются? (230)
ж) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в
которых первая цифра на 4 меньше второй? Повторы цифр запрещены. Числа
могут начинаться с нуля. Например: 0429, 2610, 5903 и т. д. (1КП)
з) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых сумма первых двух цифр равна сумме двух последних цифр?
С нуля числа не начинаются. Повторы цифр возможны. (7УХ)
28. а) Восьмизначное двоичное число разделили на две части — левую и
правую. В левой части содержится три знака, в правой — пять знаков.
Сколько существует нечетных восьмизначных двоичных чисел, в каждом из
которых слева единиц на 3 меньше, чем справа? Числа могут начинаться с нуля.
(7НГ)
б) В девятизначном двоичном числе сначала идут единицы (не менее
одной), затем — нули (не менее одного), и снова единицы (не менее одной).
Сколько существует таких чисел, в каждом из которых точно четыре единицы?
(ЦП1)
в) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых точно два нуля и точно одна цифра 5, если на повторы других
цифр ограничений нет, числа могут начинаться с нуля? (865)
г) Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел, в
каждом из которых точно две одинаковые цифры, если повторы других цифр
запрещены, и числа могут начинаться с нуля? (ЧАТ)
д) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра кратна 4 (т. е. делится на 4 без остатка), если повторы цифр
запрещены, и числа могут начинаться с нуля? (КАП)
е) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в
каждом из которых первая цифра на 6 больше последней и повторы цифр
разрешены? (788)
ж) Сколько существует четырехзначных чисел, которые можно
составить из цифр пятеричной системы счисления, если повторы разрешены
только для цифры 0 и числа могут начинаться с нуля? (Н08)
з) Сколько существует пятизначных чисел четверичной системы
счисления, в каждом из которых точно 3 одинаковые цифры, а остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля.
(05Л)
354
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

29. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а пятизначное, Ъ —
трехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось восьмизначное число. Сколько существует восьмизначных
чисел, в каждом из которых нечетное число единиц, если в числе а единиц
больше, чем в числе Ь? Числа могут начинаться с нуля. (9ПР)
б) Известно, что существует 1540 n-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно три нуля. Найдите число п, ели числа могут
начинаться с нуля. (ЖЕЙ)
в) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
шестеричной системы счисления, если повторы разрешены для всех цифр за
исключением цифр 0 и 1, из которых каждая содержится в числе точно по
одному разу (т. е. в каждом числе имеется одна цифра 0 и одна цифра 1)?
Числа могут начинаться с нуля. (9Т5)
г) В десятичном числе 32541каждую четную цифру заменили
нечетной, а каждую нечетную — четной. Сколько получится новых чисел, не
начинающихся с нуля и не содержащих повторов цифр? (57И)
д) Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых точно 3 одинаковые цифры, а остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля.
(882)
е) Сколько существует четырехзначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится хотя бы одна четная цифра и
хотя бы одна нечетная? С нуля числа не могут начинаться. Повторы цифр
возможны. (КЭФ)
ж) Двузначное семеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось пятизначное число а. Сколько
существует чисел а, в каждом из которых часть аг содержит столько же четных
цифр, сколько и часть а2, если числа могут начинаться с нуля, и в обеих
частях а1иа2 возможны повторы цифр? (РАН)
з) Из множества трехзначных девятеричных чисел, в которых
возможны повторы цифр, и которые могут начинаться с нуля, удалили все
числа, содержащие хотя бы одну цифру, являющуюся простым числом.
Например, в числе 012 цифра 2 — простое число, следовательно, число 012
удалено. В числе 225 все цифры — простые числа, следовательно, число 225 также
удалено и т. д. Сколько чисел осталось? (ВДЕ)
30. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а пятизначное, число Ь
четырехзначное. Эти числа приставили одно к другому; слева а, справа Ь. В
результате получилось девятизначное число. Сколько существует
девятизначных чисел, если в числе а четное число единиц, а в числе Ь — нечетное?
Числа могут начинаться с нуля. (8ЮИ)
б) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а пятизначное, в нем три
единицы, которые нигде рядом не стоят. Число Ь шестизначное, в нем
содержится точно две единицы, которые также нигде не стоят рядом? Эти числа
приставили одно к другому; слева а, справа Ь. Получилось
одиннадцатизначное число. Сколько существует одиннадцатизначных чисел, если в каждом
из них нет рядом стоящих единиц? Числа могут начинаться с нуля. (КАЯ)
13. КОМБИНАТОРИКА
355

в) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
восьмеричной системы счисления, если в каждом из них содержатся точно по
одному разу цифры 3, 4 и 5 (т. е. в каждом числе присутствуют все эти цифры)?
Числа могут начинаться с нуля. Например: 0345, 4375, 5413 и т. д. (068)
г) В десятичном числе 94561 каждую четную цифру заменили
нечетной, а каждую нечетную — четной. Сколько получится новых чисел, которые
могут начинаться с нуля и в каждом из которых все цифры разные? (ОКЗ)
д) Сколько существует пятизначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится точно две четные цифры, нечетные
цифры могут повторяться, а четные встречаются не более чем по одному
разу? Числа могут начинаться с нуля. (365)
е) Двузначное семеричное число аг приставили слева от трехзначного
восьмеричного числа а2. Получилось пятизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в них нет повторов цифр, в числе аг нет четных цифр, а в
числе а2 нет нечетных цифр? (АЦВ)
ж) Из множества трехзначных восьмеричных чисел, в которых нет
повторов цифр, и которые могут начинаться с нуля, удалили все числа,
содержащие хотя бы одну цифру, являющуюся простым числом. Например,
в числе 031 цифра 3 — простое число, следовательно, число 031 удалено.
В числе 732 все цифры — простые числа, следовательно, число 732 также
удалено и т. д. Сколько чисел осталось? (ЧУЗ)
з) Семеричное трехзначное число аг слева приставили к семеричному
двузначному числу а2. В результате получилось пятизначное число а.
Например, если аг = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько существует
семеричных чисел а, если числа аг и а2 не начинаются с нуля, и в каждом из них нет
повторов цифр? (Г97)
31. а) Десятизначное двоичное число 1111111111 разделили на три
части так, что в каждой части оказалось не менее двух знаков. Например,
11-11-111111, либо 1111-1111-11, либо 111-111-1111 и т. д. Сколькими
способами это можно сделать? (КОЗ)
б) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а пятизначное, число Ь
четырехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось девятизначное двоичное число. Сколько существует
девятизначных чисел, если а> Ь? Числа могут начинаться с нуля. (ШЛУ)
в) Сколько трехзначных чисел можно составить из восьмеричных
цифр, если повторы разрешены только для цифры 3 и числа могут
начинаться с нуля? (ТЗА)
г) В десятичном числе 18567 каждую четную цифру заменили
нечетной, а каждую нечетную — четной. Сколько получится новых чисел, не
начинающихся с нуля, в каждом из которых повторы цифр возможны? (НРХ)
д) Из множества трехзначных девятеричных чисел, в которых
возможны повторы цифр, и которые не начинаются с нуля, удалили все числа,
содержащие хотя бы одну цифру, являющуюся простым числом. Например,
в числе 154 цифра 5 — простое число, следовательно, число 154 удалено.
В числе 337 все цифры— простые числа, следовательно, число 337 также
удалено и т. д. Сколько чисел осталось? (РКР)
356
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) Трехзначное семеричное число ах слева приставили к семеричному
двузначному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например, если
ах = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько существует чисел а, если числа ах и
а2 не начинаются с нуля, в числе ах нет повторов, а в числе а2 цифры могут
повторяться? (У38)
ж) Трехзначное восьмеричное число ах слева приставили к
двузначному десятичному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например,
если ах = 245, а2 = 69, то а = 24569. Сколько существует чисел а, если числа
ах и а2 не начинаются с нуля, в числе ах нет повторов, а в числе а2 на повторы
цифр нет ограничений? (37Г)
з) Сколько существует четырехзначных девятеричных чисел, в
каждом из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число
начинается с нечетной цифры и оканчивается четной цифрой? (ОЦК)
32. а) Десятизначное двоичное число 1111111111 разделили на две
неравные части а и Ь. Сколькими способами это можно сделать, если в каждом
из чисел а и Ь содержится не менее двух знаков? Например: 111111-1111,
т. е. а = 111111, Ь = 1111. (УРМ)
б Даны два двоичных числа аиЬ. Число а двузначное, число Ь
восьмизначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось десятизначное число. Количество единиц в этом числе
равно числу а. Сколько существует таких десятизначных чисел? Числа
могут начинаться с нуля. (КЗЗ)
в) В восьмеричном числе 52436 каждую четную цифру заменили
восьмеричной нечетной цифрой, а каждую нечетную — четной цифрой
шестеричной системы счисления. Сколько получится новых чисел, в каждом из
которых повторы цифр возможны и числа могут начинаться с нуля?
(ЛЯМ)
г) Из множества четырехзначных десятичных чисел, в которых нет
повторов цифр, и которые не могут начинаться с нуля, удалили все числа,
содержащие хотя бы одну цифру, являющуюся простым числом. Например,
в числе 179 цифра 7— простое число, следовательно, число 179 удалено.
В числе 235 все цифры — простые числа, следовательно, число 235 также
удалено и т. д. Сколько чисел осталось? (И62)
д) Дано множество {1, 2, 3, 4, 5}. Из цифр этого множества образуют
четырехзначные числа. При этом одна из цифр встречается в числе точно два
раза, а другие цифры не повторяются. Например: 1152 (повторяется только
цифра 1), 1223 (повторяется цифра 2), 3234 (повторяется цифра 3) и т. д.
Сколько получится таких чисел? (МЛО)
е) Трехзначное восьмеричное число ах слева приставили к
двузначному десятичному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например, если
ах = 212, а2 = 29, то а = 21229. Сколько существует чисел а, не
начинающихся с нуля, если в числе ах возможны повторы цифр, а в числе а2 повторы цифр
зпарещены, при этом число а2 может начинаться с нуля? (ТБУ)
ж) Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел,
начинающихся с четной цифры и оканчивающихся нечетной цифрой, если в
числе нет повторов и если числа не начинаются с нуля? (БЛФ)
13. КОМБИНАТОРИКА
357

з) Сколько существует четырехзначных девятеричных чисел, в
каждом из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число
начинается с четной цифры и оканчивается нечетной цифрой и с нуля не начинается?
(ЮЕЛ)
33. а) Семизначное двоичное число разделили на две части а и Ь> где а —
двузначное число, Ь — пятизначное. Сколько всего существует семизначных
чисел, для каждого из которых выполняется условие: а < Ь. (0X9)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а пятизначное, число Ь
шестизначное. Эти числа приставили одно к другому. В результате получилось
одиннадцатизначное число. Сколько существует одиннадцатизначных чисел,
если в числе а единиц не более трех, а в числе Ъ — не более двух? (ВХП)
в) Трехзначное число аг семеричной системы счисления слева
приставили к семеричному двузначному числу а2. Получилось пятизначное
семеричное число а. Например, если аг = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько
существует чисел а, если числа аг и а2 не начинаются с нуля, в числе аг нет
повторов, а в числе а2 только цифра 3 может повторяться без ограничений?
(ТЭТ)
г) Трехзначное восьмеричное число аг слева приставили к
двузначному десятичному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например, если
аг = 545, а2 = 71, то а = 54571. Сколько существует чисел а, не
начинающихся с нуля, если в числе аг может повторяться только цифра 5 (другие цифры
не повторяются), а число а2 может начинаться с нуля и в нем возможны
повторы цифр? (9ДД)
д) Сколько существует трехзначных восьмеричных чисел,
начинающихся с четной цифры и оканчивающихся нечетной цифрой, если в числе
нет повторов, и если числа могут начинаться с нуля? (ЯЖД)
е) Сколько существует четырехзначных девятеричных чисел, в
каждом из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число
начинается с четной цифры, оканчивается четной цифрой и с нуля не начинается?
(Е25)
ж) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел, в каждом
из которых содержится две нечетные цифры и три раза повторяется одна и та
же четная цифра? Числа могут начинаться с нуля. На повторы нечетных
цифр ограничений нет. Например: 11444, 01030, 36366 и т. д. (19Д)
з) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых четные цифры встречаются четное число раз, при условии, что
повторы цифр возможны и с нуля числа не могут начинаться? (ЛЭБ)
34. а) В девятизначном двоичном числе сначала идут единицы (не менее
одной), затем — нули (не менее одного), и снова единицы (не менее одной).
Сколько всего существует таких девятизначных двоичных чисел, в каждом
из которых точно пять единиц? Например: 111000011, 100001111 и т. д.
(ВАШ)
б) Известно, что существует 465 л-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно два нуля. Найдите число п. (ОЯШ)
в) Семеричное трехзначное число аг слева приставили к семеричному
двузначному числу а2. Получилось пятизначное семеричное число а. Напри-
358
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

мер, если ах = 442, а2 = 62, то а = 44262. Сколько существует чисел а, если
числа ах и а2 не начинаются с нуля, в числе ах только цифра 4 может
повторяться без ограничений (другие цифры не повторяются), а в числе а2 нет
повторов? (ЖС5)
г) Трехзначное число ах восьмеричной системы счисления слева
приставили к двузначному десятичному числу а2. Получилось пятизначное
число а. Например, если ах = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько существует
чисел а, не начинающихся с нуля, если в числе ах нет повторов цифр, и в
числе а2 цифры не повторяются, при этом число а2 может начинаться с нуля?
(Р7П)
д) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел,
начинающихся с четной цифры и оканчивающихся цифрой 5, если в числе повторы
цифр возможны и если числа не начинаются с нуля? (В77)
е) Сколько существует четырехзначных девятеричных чисел, в
каждом из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число
начинается с нечетной цифры, оканчивается нечетной цифрой? (125)
ж) Сколько существует пятизначных чисел восьмеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится точно три нечетные цифры,
причем, все они одинаковые, а на повторяемость четных цифр
ограничений нет? Числа могут начинаться с нуля. Например: 11212 (здесь три
единицы, т. е. три одинаковые нечетные цифры), 50455 (три раза повторяется
цифра 5) и т. д. (ФЭД)
з) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых четная цифра встречается четное число раз, если на повторяемость
четных и нечетных цифр ограничений нет, и числа могут начинаться с нуля?
(ИКА)
35. а) В двоичном одиннадцатизначном числе разряды пронумеровали
слева направо в последовательности 1, 2, 3, ..., 11. Затем из цифр,
расположенных на местах с четными номерами, не меняя порядка цифр, образовали
пятизначное число а. Точно так же получили число Ь из цифр,
расположенных на местах с нечетными номерами. Сколько всего существует
одиннадцатизначных двоичных чисел, для которых выполняется условие а>Ьу если
числа могут начинаться с нуля? (РМИ)
б) В двоичном одиннадцатизначном числе разряды пронумеровали
слева направо в последовательности 1, 2, 3, ..., 11. Затем из цифр,
расположенных на местах с четными номерами, не меняя порядка цифр, образовали
пятизначное число а. Точно так же получили число Ь из цифр,
расположенных на местах с нечетными номерами. Сколько существует
одиннадцатизначных чисел, для которых выполняется условие: а = Ь? Числа могут
начинаться с нуля. (ВЗР)
в) Трехзначное семеричное число ах слева приставили к семеричному
трехзначному числу а2. В результате получилось шестизначное семеричное
число а. Например, если аг = 242, а2 = 300, то а = 242300. Сколько
существует чисел а, если числа ах и а2 не начинаются с нуля, в числе ах только
цифра 2 может повторяться, а в числе а2 повторяться может только цифра
нуль? (ОМТ)
13. КОМБИНАТОРИКА
359

г) Трехзначное шестеричное число ах слева приставили к
двузначному десятичному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например, если
аг = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько существует чисел а, если в обоих
числах аг и а2 возможны любые повторы цифр, при этом числа аг и а2 не
могут начинаться с нуля? (ДВА)
д) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел,
начинающихся с четной цифры и оканчивающихся нечетной цифрой, если числа
могут начинаться с нуля, и если повторяться могут все цифры, кроме нуля
(т. е. нуль может входить в число не более одного раза)? (ЮЯХ)
е) Сколько существует четырехзначных восьмеричных чисел, в
каждом из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число
начинается с четной цифры, оканчивается нечетной цифрой и может начинаться с
нуля? (ВЦГ)
ж) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом
из которых содержится хотя бы одна четная цифра и хотя бы одна нечетная,
и с нуля числа не начинаются? Повторы цифр возможны. (ЯР5)
з) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, каждое из
которых не является симметричным (симметричное число одинаково
читается как слева направо, так и справа налево, например: 23432, 44044, 26662
и т. д.), при условии, что на повторы цифр ограничений нет, и числа могут
начинаться с нуля? (ШЕК)
36. а) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а трехзначное, число Ь
четырехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось семизначное число. Сколько существует семизначных
чисел, если а> Ь? Числа могут начинаться с нуля. (ВЕС)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а трехзначное, число Ь
четырехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось семизначное число. Сколько существует семизначных
чисел, если а <Ь? Числа могут начинаться с нуля. (ВЗН)
в) Трехзначное семеричное число аг, в котором ни одна из цифр не
повторяется, слева приставили к девятеричному двузначному числу а2,
также не содержащему повторов цифр. Получилось пятизначное число а.
Например, если аг = 045, а2 = 64, то а = 04564. Сколько существует чисел а,
если оба числа аг и а2 могут начинаться с нуля? (ИЖ6)
г) Трехзначное шестеричное число аг слева приставили к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а.
Например, если аг = 145, а2 = 65, то а = 14565. Сколько существует чисел а, если в
числе аг столько же четных цифр, сколько и в числе а2? Числа могут
начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (КЭЙ)
д) Сколько существует трехзначных девятеричных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке возрастания и каждое число начинается с
четной цифры, оканчивается четной цифрой и может начинаться с нуля?
(938)
е) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых нет цифры 4 и в каждом содержится точно две четные цифры?
Числа могут начинаться с нуля. Повторы цифр возможны. (ПШУ)
360
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ж) Сколько существует семизначных семеричных чисел, каждое из
которых не является симметричным (симметричное число одинаково
читается как слева направо, так и справа налево, например: 23432, 44044, 26662
и т. д.), при условии, что на повторы цифр ограничений нет, и числа с нуля
не начинаются? (ДЕР)
з) В числе 12345 каждую четную цифру заменили десятичной
нечетной цифрой, а каждую нечетную — четной шестеричной цифрой. Сколько
существует таких чисел, если каждое из них не начинается с нуля, и на
повторы цифр ограничений нет? (ЛЕН)
37. а) Сколько существует девятизначных двоичных чисел, в каждом из
которых сначала идут единицы (не менее одной), затем — нули (не менее
трех), и снова единицы (не менее двух). Например: 110001111, 111000011
и т. д.? (ОЗО)
б) Сколько существует десятизначных двоичных чисел, в каждом из
которых четное число единиц и эти единицы нигде рядом не стоят? Числа
могут начинаться с нуля. Например: 1010010001, 0010101010 и т. д.? (ИГ8)
в) Сколько существует двухзначных десятичных чисел, в каждом из
которых нет ограничений на повтор цифр 4 и 5, а остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля. (РЦЛ)
г) трехзначное шестеричное число аг слева приставили к
двузначному восьмеричному числу а2. Получилось пятизначное число а. Например,
если аг = 245, а2 = 65, то а = 24565. Сколько существует чисел а, если в числе
аг нет повторов цифр, а в числе а2 возможны любые повторы, при этом числа
аг и а2 могут начинаться с нуля? (СПИ)
д) Сколько существует трехзначных девятеричных чисел, в каждом
из которых нет нечетных цифр, а все четные цифры идут в порядке
возрастания, и с нуля числа не начинаются? (ИАК)
е) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, не
начинающихся с нуля, в каждом из которых цифра 3 встречается точно два раза,
а на повторяемость остальных цифр ограничений нет? (827)
ж) Дано число 12345. Каждую четную цифру в этом числе заменили
нечетной пятеричной цифрой, а каждую нечетную — четной цифрой
девятеричной системы счисления. Сколько получилось таких чисел, если каждое из
них может начинаться с нуля, и на повторы цифр ограничений нет? (ФОР)
з) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел,
начинающихся с четной цифры, и оканчивающихся четной цифрой, если числа
могут начинаться с нуля, и на повторы цифр ограничений нет? Например:
0344, 2100, 0054 и т. д. (УХ9)
38. а) Сколько существует одиннадцатизначных двоичных чисел, в
каждом из которых единицы встречаются только парами, где пары
отделены одна от другой не менее чем одним нулем? Например: 11011000110,
00000110000 и т. д. (ЕЛА)
б) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а четырехзначное, оно
может начинаться с нуля. Число Ь трехзначное, оно также может начинаться с
нуля. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В результате
получилось семизначное число. Сколько существует таких семизначных
13. КОМБИНАТОРИКА
361

чисел, в каждом их которых нечетное число единиц, если в числе а единиц
меньше, чем в числе Ь? (АЕФ)
в) Трехзначное шестеричное число аг слева приставили к
шестеричному же трехзначному числу а2. Получилось шестизначное шестеричное
число а. Сколько существует чисел а, если число аг состоит из тех же цифр, что
и число а2? Число аг может начинаться с нуля, но повторы цифр в нем
запрещены. То же самое относится и к числу а2, т. е. оно может начинаться с нуля,
но повторяющихся цифр в нем нет. (ТОЛ)
г) Трехзначное шестеричное число аг слева приставили к
двузначному семеричному числу а2. Получилось пятизначное число а. Сколько
существует чисел а, если цифры в числе аг идут в порядке возрастания, а в числе
а2 - в порядке убывания? Число а может начинаться с нуля. Например, если
аг = 045, а2 = 65, то а = 04565. (БЫЛ)
д) В пятизначном восьмеричном числе цифра 3 может повторяться,
но не более чем 3 раза. Остальные цифры не могут повторяться. Сколько
существует таких чисел, если они могут начинаться с нуля? (ЭКА)
е) Сколько существует трехзначных девятеричных чисел, в каждом
из которых цифры идут в порядке возрастания, числа могут начинаться с
нуля и в каждом числе содержится цифра 4? (ДЕО)
ж) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, если они
могут начинаться с нуля, в них нет двоек, цифра 3 встречается точно два
раза, а на повторяемость остальных цифр ограничений нет? (БТА)
з) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых сумма двух крайних цифр равна сумме двух средних цифр,
если повторы цифр разрешены, и числа могут начинаться с нуля? Например:
0235 (в этом числе: 0 + 5 = 2 + 3). (ТТУ)
39. а) Известно, что существует 2380 n-значных двоичных чисел, в
каждом из которых точно четыре нуля. Найдите число л, если числа могут
начинаться с нуля. (ЛОД)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а пятизначное, число Ь
шестизначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь. В
результате получилось одиннадцатизначное число. Сколько существует
одиннадцатизначных чисел, если в числе а столько же единиц, сколько и в числе Ь>
и если число а начинается с двух единиц, а число Ь может начинаться с нуля?
(ЕВЛ)
в) Трехзначное десятичное число аг может начинаться с нуля. Его
слева приставили к трехзначному десятичному числу а2, которое также
может начинаться с нуля. Получилось шестизначное десятичное число а.
Сколько существует чисел а, для которых выполняется условие аг - а2 = 4, если в
числе а возможны любые повторы цифр? (ОКЗ)
г) В девятеричном трехзначном числе повторы цифр возможны.
Сколько существует таких чисел, в каждом из которых двоек больше, чем
троек, если числа могут начинаться с нуля? (ЭСИ)
д) В пятизначном десятичном числе цифра 5 может повторяться, но
не более чем 3 раза. Остальные цифры не повторяются. Сколько существует
таких чисел, если они могут начинаться с нуля? (ШАП)
362
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) Сколько существует четырехзначных чисел семеричной системы
счисления, в которых каждая следующая цифра больше предыдущей, если
числа могут начинаться с нуля и в каждом числе содержатся цифры 3 и 4?
(ГЗЕ)
ж) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел,
начинающихся с четной цифры, и оканчивающихся четной цифрой, если числа
могут начинаться с нуля, и ни в одном числе нет цифры 4? Цифры могут
повторяться. (ТКФ)
з) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых сумма двух крайних цифр равна сумме двух средних цифр,
если повторы цифр разрешены, и числа не начинаются с нуля? Например:
1346 (в этом числе 1 + 6 = 3 + 4). (ВЛТ)
40. а) Десятизначное двоичное число разделили на две равные части а и
Ь. Сколько существует десятизначных двоичных чисел, для которых
выполняется условие: а + Ь = 11111,т. е. арифметическая сумма двоичных чисел а
и Ъ есть пятизначное двоичное число, не содержащее нулей? Числа могут
начинаться с нуля. (ВЦБ)
б) Девятизначное двоичное число может начинаться с нуля. Его
разделили на три равные части а, Ъ и с. Сколько существует девятизначных
двоичных чисел, если в каждой его части а, бис содержится хотя бы одна
единица? (ДИО)
в) В девятеричном четырехзначном числе, которое может
начинаться с нуля, повторы цифр возможны. Сколько существует таких чисел, в
каждом из которых двоек больше, чем троек? (AAA)
г) Сколько существует четырехзначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится точно одна цифра 3, но при
этом нет цифры 2, или содержится точно одна цифра 2, но при этом нет
цифры 3 (т. е. вместе цифры 2 и 3 ни в одном числе не встречаются). На
повторяемость других семеричных цифр ограничений нет. Числа могут
начинаться с нуля. (ЛКП)
д) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых сначала идут только четные цифры (не менее одной), а все
остальные — нечетные (также не менее одной), если с нуля числа не начинаются?
Повторы цифр возможны. (ФЭХ)
е) Из всех возможных не начинающихся с нуля двухразрядных
девятеричных чисел удалили все те числа, в которых содержится хотя бы одна
цифра 5. Сколько чисел осталось? Повторы цифр возможны. (ТВН)
ж) Сколько существует трехзначных чисел десятичной системы
счисления, в которых цифры идут в порядке возрастания, и каждое число
оканчивается четной цифрой? С нуля числа не начинаются. (ТЖА)
з) Дано семизначное число 2250077. Сколько новых чисел можно
получить путем перестановки цифр в этом числе, если числа не могут
начинаться с нуля (заданное число не учитывать)? Например: 7700522, 2020757,
7225007 и т. д. (Л79)
41. а) Девятизначное двоичное число может начинаться с нуля. Его
разделили на три равные части а, Ъ и с. Сколько существует девятизначных
13. КОМБИНАТОРИКА
363

двоичных чисел, если в каждой его части а, Ъ и с содержится точно две
единицы? (880)
б) двенадцатизначное двоичное число начинается с единицы. Его
разделили на три равные части а,Ьис. Сколько существует двенадцатизначных
двоичных чисел, если в каждой его части а, Ъ и с содержится четное число
единиц? (93Т)
в) Трехзначное пятеричное число аг, цифры которого идут в порядке
возрастания, приставили слева к трехзначному семеричному числу а2, в
котором цифры также идут в порядке возрастания. Получилось шестизначное
число а. Сколько существует чисел а, не начинающихся с нуля, если число
а2 с нуля может начинаться? (07Я)
г) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в каждом
из которых содержится точно одна цифра 5, но при этом нет цифры 1, или
содержится точно одна цифра 1, но при этом нет цифры 5. На повторяемость
других цифр ограничений нет. С нуля числа не могут начинаться. (7БН)
д) Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы
счисления, в каждом из которых ни разу не встречается цифра 4, и в каждом
числе содержится не менее одной цифры 3? Повторы других цифр
возможны. Числа могут начинаться с нуля. Например: 00003, 21133, 33333, 43433
и т. д. (55Н)
е) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, в каждом из
которых сначала идут только четные цифры (не менее одной), а все
остальные — нечетные (также не менее одной), если числа могут начинаться с нуля?
(6А6)
ж) Из всех возможных двухразрядных девятеричных чисел, которые
могут начинаться с нуля, удалили все те числа, в которых содержится хотя бы
одна цифра 3. Сколько чисел осталось? Повторы цифр в числах возможны.
(МАЗ)
з) Сколько существует пятизначных девятеричных чисел, в каждом
из которых содержится точно одна цифра 0 и точно одна цифра 3, и
остальные цифры в каждом числе встречаются не более чем по одному разу? Числа
могут начинаться с нуля. Например: 10346, 02368, 40236 и т. д. (88Л)
42. а) Двенадцатизначное двоичное число разделили на две неравные
части а, и Ь: часть а представляет собой пятизначное число, часть Ъ —
семизначное. Сколько существует двенадцатизначных двоичных чисел,
начинающихся с единицы, и оканчивающихся тремя нулями, если в числе а столько же
единиц, что и в числе b? (KBO)
б) Шестизначное двоичное число 100101 арифметически сложили с
двоичным числом а. Сумма 100101 + а оказалась семизначным числом, т. е.
с единицей в старшем разряде. Например, если а = 011111, то 100101 +
+ 011111 = 1000100; если а = 011111, то 100101 + 1000110 = 1101011.
Сколько всего существует значений а, при которых сумма 100101 4- а является
семизначным числом с единицей в старшем разряде? (ШАН)
в) Трехзначное пятеричное число аг, цифры которого идут в порядке
возрастания, может начинаться с нуля. Его приставили слева к трехзначному
семеричному числу а2, в котором цифры идут в порядке возрастания, и оно
364
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

также может начинаться с нуля. Получилось шестизначное число а.
Сколько существует таких чисел а? (8ТП)
г) Сколько существует четырехзначных пятеричных чисел, в
которых цифр 3 больше чем цифр 4? Например: 3324. Здесь троек больше, чем
четверок. Сколько возможно таких чисел, если с нуля они не начинаются и
если повторы цифр возможны? (ВЭЗ)
д) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
семеричной системы счисления, если в каждом числе содержится точно две
четные цифры и обе они являются одинаковыми? С нуля числа не начинаются.
Повторы нечетных цифр возможны. Например: 1001 (здесь два раза
записана цифра 0, нечетная цифра 1 повторяется), 3414 (здесь две цифры 4 и две
нечетные цифры: 1 и 3) и т. д. (НЫШ)
е) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел,
оканчивающихся тремя различными цифрами, если на повторы первых двух цифр
ограничений нет, и числа с нуля не начинаются? Например: 44462, 52156,
40541 и т. д. (8РО)
ж) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых содержится хотя бы две четные цифры, если на повторы всех
цифр ограничений нет, и числа могут начинаться с нуля? Например: 0442,
2150, 4024 и т. д. (6ЦП)
з) Сколько существует пятизначных девятеричных чисел, в которых
содержится точно одна цифра 0 и точно одна цифра 5, а остальные цифры
встречаются не более чем по одному разу, если числа не могут начинаться с
нуля? Например: 10546, 58230 и др. (6В6)
43. а) Если в коде вида 1**10*** вместо звездочек подставлять единицы
или нули, то будут получаться восьмизначные двоичные числа. Сколько
среди них четных чисел? (42С)
б) Сколько существует двенадцатизначных двоичных чисел, каждое из
которых без остатка делится на 128? Числа могут начинаться с нуля. (532)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в числе аг столько же четных цифр, сколько и в числе
а2, при этом числа аг и а2 могут начинаться с нуля и в обоих нет
повторяющихся цифр? (820)
г) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
семеричной системы счисления, если в каждом числе содержится точно две четные
цифры, и числа могут начинаться с нуля? На повторяемость цифр
ограничений нет. (5ФИ)
д) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых четных цифр на 2 больше, чем нечетных, если числа не могут
начинаться с нуля? Повторы цифр возможны. (ЧА8)
е) Дано семизначное число 2250077. Сколько новых чисел (кроме
заданного) можно получить перестановкой цифр в этом числе, если числа
могут начинаться с нуля? (962)
ж) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел,
оканчивающихся тремя различными цифрами, если на повторы первых двух цифр
13. КОМБИНАТОРИКА
365

ограничений нет и числа могут начинаться с нуля? Например: 03462, 22150,
04045 и т. д. (7ЩИ)
з) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
каждом из которых содержится точно две четные цифры, если на повторы всех
цифр ограничений нет, и ни в одном числе нет нулей? (ЛИТ)
44. а) Десятизначное двоичное число может начинаться с нуля. В этом
числе разряды пронумеровали слева направо: 1, 2, 3, ..., 10. Затем из цифр,
расположенных на местах с четными номерами, не меняя порядка цифр,
образовали пятизначное число а. Точно так же из остальных цифр получили
число Ь. Сколько существует десятизначных чисел, для которых
выполняется условие: а> Ь? (МЫТ)
б) Сколько существует двенадцатизначных двоичных чисел, в
каждом из которых единицы встречаются только парами, при этом между
парами стоит хотя бы один нуль? Числа могут начинаться с нуля. Например:
110001100110, 000000110000 и т. д.? (ОМ2)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили к трехзначному
восьмеричному числу а2 слева. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в числе аг столько же четных цифр, сколько и в числе
а2, при этом в числе аг нет повторов цифр, а в числе а2 повторы возможны,
и оба числа агиа2с нуля не начинаются? (ОЛА)
г) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
семеричной системы счисления, если в каждом числе одна из нечетных цифр
повторяется точно два раза, а все остальные (четные и нечетные) - не более
чем по одному разу, и числа с нуля не начинаются? Например: 1143, 2331,
4055 и т. д. (86Т)
д) Сколько существует четырехзначных чисел семеричной системы
счисления, в каждом из которых четных цифр больше, чем нечетных, если
числа могут начинаться с нуля? Повторы цифр возможны. (ИЖЛ)
е) Сколько существует пятизначных чисел, которые можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе содержится точно три
различные цифры? Например: 13233 (это число состоит из трех цифр: 1, 2 и 3).
(7ГО)
ж) Сколько существует пятизначных шестеричных чисел, в каждом
из которых содержится хотя бы две четные цифры, если на повторы всех
цифр ограничений нет, и числа могут начинаться с нуля? Например: 04521,
21500, 40243 и т. д. (MAP)
з) Семеричное четырехзначное число состоит из четырех различных
цифр. Сколько существует таких чисел, если все они не могут начинаться с
нуля? Например: 1462, 2150, 4521 и т. д. (902)
45. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а трехзначное, оно может
начинаться с нуля. Число Ъ семизначное, оно также может начинаться с
нуля. Эти числа приставили одно к другому. Получилось десятизначное
число. Количество единиц в этом числе равно числу а. Сколько всего существует
таких десятизначных чисел? (673)
б) Даны два двоичных числа аиЬ. Число а пятизначное, оно может
начинаться с нуля. Число Ъ шестизначное, оно также может начинаться с
366
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

нуля. Эти числа приставили одно к другому. В результате получилось
одиннадцатизначное число. Сколько существует одиннадцатизначных чисел, если
в числе а единиц не более трех, в числе Ь — не более двух, а всего в
одиннадцатизначном числе точно четыре единицы? (ЮАЙ)
в) Трехзначное число ах пятеричной системы счисления
приставили слева к трехзначному восьмеричному числу а2. В результате получилось
шестизначное число а. Сколько существует чисел а, если в числе ах столько
же троек, сколько и в числе а2, при этом в числах ах и а2 повторы цифр
возможны, и оба числа ах и а2 с нуля не начинаются? Например, если
ах = 334, а2 = 303, то а = 334303. Здесь в обеих частях по две цифры 3.
(87Н)
г) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
семеричной системы счисления, если каждое число образовано точно двумя
цифрами — четной и нечетной с повторами, и числа могут начинаться с нуля?
Например: 0003 (в этом числе две цифры, из них цифра 0 повторяется три
раза), 2252 (цифра 2 повторяется три раза), 2332 (цифра 2 повторяется два
раза и цифра 3 повторяется два раза) и т. д. (ШПА)
д) Сколько существует шестизначных восьмеричных чисел, в
которых каждая цифра встречается точно два раза, и числа могут начинаться с
нуля? Например: 011033 (здесь всего три цифры и каждая из них
встречается по два раза). (50К)
е) Сколько существует четырехзначных шестеричных чисел, в
которых точно три различные цифры (очевидно, что одна из них повторяется),
если числа могут начинаться с нуля? Например, 0120 (повторяется цифра 0),
1322 (повторяется цифра 3) и т. д. (408)
ж) Сколько существует трехзначных чисел девятеричной системы
счисления, в каждом из которых содержится точно две одинаковые цифры?
С нуля числа не начинаются. Например: 101, 220, 828 и т. д. (ИТТ)
з) Дано шестизначное число 332504. Сколько новых чисел (т. е. без
учета заданного) можно получить путем перестановки цифр в этом числе,
если числа не могут начинаться с нуля? Например: 402533, 540323, 402533
и т. д. (82Я)
46. а) Десятизначное двоичное число 1111111111 разделили на две
неравные части, в каждой из которых содержится не менее трех единиц.
Сколькими способами это можно сделать? Например: 111-1111111. (ЖРШ)
б) В двоичном одиннадцатизначном числе разряды пронумеровали
слева направо в последовательности: 1, 2, 3, ..., 11. Затем из цифр,
расположенных на местах с четными номерами, не меняя порядка цифр, образовали
пятизначное число а. Точно так же из остальных цифр получили число Ь.
Сколько существует одиннадцатизначных чисел, для которых выполняется
условие: а = Ь? (930)
в) Трехзначное число ах четверичной системы счисления приставили
слева к трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное
число а. Сколько существует чисел а, если в числе ах столько же четных
цифр, сколько и в числе а2, при этом в обоих числах ах и а2 повторы цифр
возможны, и оба числа с нуля не начинаются? (ИЙН)
13. КОМБИНАТОРИКА
367

г) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
если в числах нет рядом стоящих нулей, с нуля числа не начинаются и
возможны повторы цифр? (7ГЦ)
д) Сколько существует восьмизначных десятичных чисел, в которых
каждая цифра встречается точно два раза, и числа могут начинаться с нуля?
Например: 00112277, 01043314, 32728738 и т. д. (635)
е) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых точно две различные цифры, если числа с нуля не могут
начинаться? Например: 1010, 2332, 6006, 5000 и т. д. (6АГ)
ж) Сколько существует трехзначных девятеричных чисел, в каждом
из которых сумма цифр есть четное число, если числа могут начинаться с
нуля и на повторы цифр ограничений нет? Например: 020, 112, 208, 888
и т. д. (51Д)
з) Восьмеричное четырехзначное число состоит из четырех
различных цифр. Сколько существует таких чисел, если они могут начинаться с
нуля? (ЭЛЛ)
47. а) Двенадцатизначное двоичное число k разделили на четыре равные
части а, Ь> с и d. Сколько существует чисел k> если каждое из чисел а, Ь> с и d
есть простое число? Число k может начинаться с нуля. (ЗШИ)
б) Двенадцатизначное двоичное число k разделили на четыре равные
части а, Ь> с и d. Сколько существует чисел k> если в каждой его части а, Ь> с и d
содержится не более двух единиц? Число k может начинаться с нуля. (ЮЗ)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если каждая его цифра является простым числом?
Повторы цифр возможны. (23Д)
г) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
при условии, что в каждом числе нет рядом стоящих нулей, и числа могут
начинаться с нуля? Повторы цифр возможны. (588)
д) Сколько существует четырехзначных семеричных чисел, в
каждом из которых содержится точно две различные цифры, если числа могут
начинаться с нуля? Например: 0001, 0505, 6366 и т. д. (483)
е) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых цифры идут в порядке возрастания и каждое оканчивается четной
цифрой. Числа могут начинаться с нуля. (21Ш)
ж) Дано шестизначное число 336504. Сколько новых чисел можно
получить, если в нем каждую четную цифру заменить десятичной цифрой,
являющейся простым числом, а нечетные цифры оставить без изменения?
Например: 332532 (цифры 6, 0, 4 заменены цифрами 2,3,2, соответственно),
045323, 402533 и т. д. (ГАИ)
з) Восьмеричное четырехзначное число состоит из четырех
различных цифр. Сколько существует таких чисел, если все они с нуля не
начинаются, и ни в одном из них нет цифры 3? Например: 2465, 2650, 4567 и т. д.
(ОЮА)
48. а) Двенадцатизначное двоичное число k может начинаться с нуля.
Это число разделили на четыре равные части а, Ь> с и d. Сколько существует
368
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

чисел k, для которых выполняются условия: а> Ь, О d? Например,
рассмотрим число 100010110001. Разделим его на четыре равные части:
100 010 110 001, где а = 100, b = 010, с = 110, d = 001. Двоичные числа а, Ь,
с, d запишем в десятичной системе: а = 4, b = 2, с = 6, d = 1. Так как 4 > 2,
6 > 1, то число 100010110001 является одним из искомых. (ИВП)
б) Двенадцатизначное двоичное число k может начинаться с нуля. Это
число разделили на четыре равные части а, Ь> с и d. Сколько существует чисел
ky для каждого из которых выполняются условия: a = b>c = d? (6AJI)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в числе аг столько же четных цифр, сколько и в
числе а2, при этом в числе аг нет повторяющихся цифр (т. е. все цифры
разные), а в числе а2 повторы возможны, и оба числа аг и а2 могут
начинаться с нуля? Например, если аг = 041, а2 = 007, то а = 041007. (41Д)
г) Сколько существует пятизначных восьмеричных чисел, одинаково
читающихся как слева направо, так и справа налево, при условии, что каждая
цифра в числе встречается не более двух раз за исключением цифры 5, которая
встречается точно один раз, и числа могут начинаться с нуля? (ИРИ)
д) Сколько существует восьмизначных чисел восьмеричной системы
счисления, одинаково читающихся как справа налево, так и слева направо,
если числа не могут начинаться с нуля и каждая цифра в числе встречается
точно четыре раза? (ИРТ)
е) Сколько существует трехзначных семеричных чисел, в каждом из
которых сумма цифр есть нечетное число, если числа не могут начинаться с
нуля и на повторы цифр ограничений нет? Например: 120 (1 + 2 + 0 = 3 —
нечетное число), 555 (5 + 5 + 5 = 15 — нечетное число) и т. д. (7Б1)
ж) Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом
из которых сумма цифр не превышает 8, если числа могут начинаться с нуля
и на повторы цифр ограничений нет? Например: 020, 203, 431 и т. д. (58С)
з) Сколько существует шестизначных четверичных чисел, в которых
четные и нечетные цифры чередуются, если числа не начинаются с нуля, и
на повторы цифр ограничений нет? Например: 230101,101010, 210103 и т. д.
(620)
49. а) Двенадцатизначное двоичное число k разделили на три части:
число а — двузначное, b и с — пятизначные. Сколько существует чисел k> для
которых выполняется условие: в числе b содержится а единиц, в числе с
также содержится а единиц? Число k может начинаться с нуля. (ШАХ)
б) Двенадцатизначное двоичное число k разделили на две части: а и Ь>
где число а — трехзначное, b — девятизначное. Сколько существует чисел k>
для которых выполняется условие: в числе b число нулей равно а. Число k
может начинаться с нуля. (2ЯЗ)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в обоих числах аг и а2 содержится точно одна цифра 3,
в каждом из чисел повторы запрещены и оба числа аг и а2 могут начинаться с
нуля? (69В)
13. КОМБИНАТОРИКА
369

г) Сколько существует пятизначных чисел восьмеричной системы
счисления, одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево,
при условии, что каждая восьмеричная цифра в числе встречается не более
двух раз за исключением цифры 0, которая встречается точно один раз?
(2РЕ)
д) Сколько существует восьмизначных чисел шестеричной системы
счисления, одинаково читающихся как справа налево, так и слева направо,
если числа могут начинаться с нуля и каждая цифра в числе встречается точно
четыре раза? Например: 22444422, 05055050,10022001 и т. д. (73М)
е) Сколько существует пятизначных семеричных чисел, не
начинающихся с нуля, и оканчивающихся двумя различными цифрами, если на
повторы первых трех цифр ограничений нет? Например: 11231, 33332, 10004
и т. д. (ЛГД)
ж) Сколько существует трехзначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифры идут в порядке возрастания, и в каждом числе содержится
цифра 8? С нуля числа не начинаются. (МЕП)
з) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел,
начинающихся с одной из цифр 1, 2, 3, и оканчивающихся одной из цифр 5, 7, 8, если в
каждом числе точно две четные цифры? Повторы цифр возможны. (6ДА)
50. а) Даны два двоичных числа а и Ь. Число а - четырехзначное, число
Ь — трехзначное. Эти числа приставили одно к другому: слева а, справа Ь.
В результате получилось семизначное число. Сколько существует
семизначных чисел, если число а четное, а число Ъ — нечетное? Числа а и Ъ могут
начинаться с нуля. (5ЦХ)
б) Двенадцатизначное двоичное число разделили на четыре равные
части а, Ь> с и d. Сколько существует двенадцатизначных двоичных чисел,
если все числа а, Ь> с и d являются нечетными? (354)
в) Трехзначное пятеричное число аг приставили слева к
трехзначному восьмеричному числу а2. Получилось шестизначное число а. Сколько
существует чисел а, если в числе аг столько же четных цифр, сколько и в числе
а2, при этом в обоих числах аг и а2 повторы цифр возможны, и оба они могут
начинаться с нуля? (9ДА)
г) Сколько существует семизначных восьмеричных чисел, одинаково
читающихся как слева направо, так и справа налево, при условии, что
каждая цифра в числе встречается не более двух раз, и числа могут начинаться с
нуля? (ЕЛК)
д) Сколько существует пятизначных семеричных чисел,
оканчивающихся двумя различными цифрами, если на повторы первых трех цифр
ограничений нет, и числа могут начинаться с нуля? Например: 11231, 03332,
11114 и т. д. (5РК)
е) Сколько существует шестизначных чисел шестеричной системы
счисления, которые могут начинаться с нуля, если в каждом из них точно две
четные цифры, и эти две четные цифры не стоят рядом, и если на повторы
цифр ограничений нет? Например: 030113, 112301, 301013 и т. д. (ЮОЗ)
ж) Сколько существует трехзначных чисел девятеричной системы
счисления, в каждом из которых цифры идут в порядке возрастания, в каж-
370
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

дом из них нет цифры 2, и числа могут начинаться с нуля? Например: 035,
456, 167 и т. д. (КСО)
з) Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом
из которых сумма цифр превышает 10? Числа не могут начинаться с нуля.
На повторы цифр ограничений нет. Например: 551 (сумма 5 + 5 + 1 = 11
превышает 10), 544, 435 и т. д. (403)
13.2.
КОМБИНАТОРИКА
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Согласно классическому определению вероятность случайного события —
это правильная дробь, знаменатель которой показывает, сколько всего
существует исходов данного эксперимента, а числитель — сколько из этих
исходов удовлетворяет заданным условиям. Например, пусть монету
подбрасывают два раза. Вероятность того, что оба раза выпадет герб, равна 1/4.
Здесь знаменатель равен 4. Столько всего существует исходов такого
эксперимента, как двукратное подбрасывание монеты: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, где
буквой Г обозначено падение монеты гербом вверх, а Ц — падение монеты
цифрой вверх. Числитель равен 1, так как существует только один исход
эксперимента, когда оба раза монета упадет гербом вверх.
Если рассматривается два случайных события Аг и А2, и требуется найти
вероятность того, что состоятся они оба, то сначала необходимо определить
вероятности каждого из событий, а затем найти их произведение. При этом
необходимо различать зависимые и независимые события. Если события
независимы, то вероятность их произведения определяется по формуле
Р(А1А2) = Р(А1)Р(А2),
а в случае п случайных событий Аг, А2, А3, ..., Ап:
Р(АХ • А2 • А3 • ,..., Ап) = Р(АХ) • Р(А2) • Р(А3) ■ ... • Р(Ап).
Если же события Аг иА2 являются зависимыми, то говорят об условной
вероятности:
(А1А2) = Р(А1)Р(А2/А1),
где Р(А2/Аг) — условная вероятность, т. е. вероятность события А2 при
условии, что событие Аг состоялось.
Например, пусть в урне находятся 4 белых шара и 3 черных. Наугад
вынимают один шар (событие Ах), записывают его цвет, шар возвращают в урну
и снова наугад вынимают один шар (событие А2). Какова вероятность того,
что в обоих случаях будут вынуты только черные шары?
Эти события независимы. Вероятность того, что первый шар будет черным,
равна: Р(Аг) = 3/7. Вероятность того, что и второй шар будет черным, также
равна Р(А2) = 3/7. Следовательно, искомая вероятность равна Р(АгА2) = 9/49.
Изменим условие эксперимента: из урны вынимают один шар (событие
Аг), после чего не возвращая его в урну, наугад вынимают второй шар (событие
13. КОМБИНАТОРИКА
371

А2). Какова вероятность того, что оба вынутых шара будут черными?
Очевидно, что при первом извлечении вероятность вынуть черный шар равна
Р(Аг) = 3/7. Так как шар не возвращается в урну, то теперь в ней не 7 шаров,
а только 6. Кроме того, состоялось событие: вынут черный шар.
Следовательно, в урне осталось два черных шара и условная вероятность вынуть
черный шар равна: Р(А2/Аг),) = 2/6. После сокращения Р(А2/АХ)>) = 1/3.
Искомая вероятность равна:
(А1)Р(А2/А1)=| ± = 1.
Рассмотрим еще ряд примеров.
Пример 1. Игральную кость подбрасывают 2 раза. Найти вероятность того,
что второе выпавшее число будет в 2 раза больше первого (грани
пронумерованы: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Решение. Первый бросок может закончиться шестью исходами, и второй
шестью. Следовательно, число всех исходов равно 36. Это знаменатель
искомой вероятности. Числитель равен 3. Это исходы 1и2,2и4,3и6. Искомая
вероятность равна 1/12.
Ответ: 1/12.
Пример 2. Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля
двузначные числа не начинается). Найти вероятность того, что если каждую
цифру представить в двоичном коде 8421, то в восьмизначном
двоично-десятичном коде будет точно две единицы.
Решение. Знаменатель искомой вероятности равен 90 — столько
существует двузначных десятичных чисел, не начинающихся с нуля. Это числа 10,
11, 12, ..., 99. Определим числитель. В двоично-десятичном коде каждая
десятичная цифра заменяется тетрадой — четырехзначным двоичным
кодом. Например: 35|10 = 00110101|2_10, где 35|10— десятичная запись числа
35, a 00110101|2_io — двоично-десятичное изображение того же числа. Здесь
десятичная цифра 3 заменена тетрадой ООН, а цифра 5 — тетрадой 0101.
Если две единицы находятся в первой тетраде, то во второй их нет (так
как во всем коде должно быть 2 единицы). Всего существует шесть тетрад с
двумя единицами. Четырьмя из них кодируются цифры 3, 5, 6 и 9,
следовательно, существует четыре двоично-десятичных кода, оканчивающихся
четырьмя нулями: 00110000,01010000,01100000,10010000.
Если в первой тетраде одна единица, то и во второй одна. Это тетрады
вида: 0001, 0010, 0100, 1000. Из них можно составить 16
двоично-десятичных кодов:
00010001,00100001,01000001,10000001,
00010010,00100010,01000010,10000010;
00010100,00100100,01000100,10000100,
00011000,00101000,01001000,10001000.
Случай, когда две единицы находятся справа, а слева их нет,
невозможен, поскольку согласно условию с нуля десятичные числа не начинаются.
372
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Таким образом, всего существует 20 двоично-десятичных кодов, в
каждом из которых точно две единицы. Искомая вероятность равна 20/90.
После сокращения: 2/9.
Ответ: 2/9.
Пример 3. Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля
двузначные числа не начинается). Найти вероятность того, что в задуманном
числе нет ни одной цифры 5. Повторы цифр возможны.
Решение. Существует 90 двузначных десятичных чисел, не
начинающихся с нуля. Среди них 18 чисел содержат хотя бы одну цифру 5. Это числа:
15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95.
Следовательно, всего существует 90 - 18 = 72 числа, в каждом из которых
нет ни одной цифры 5. Таким образом, искомая вероятность равна: 72/90.
После сокращения: 4/5.
Ответ: 4/5.
Пример 4. В тире три мишени. Перед мишенями пять стрелков. Каждый
стрелок самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и
производит один выстрел без промаха. Найти вероятность того, что поражена
будет только одна мишень (пятью выстрелами).
Решение. Пронумеруем мишени цифрами троичной системы 0, 1, 2 и
закодируем исходы выбора мишеней пятизначными троичными числами, где
каждому троичному разряду соответствует один из стрелков. Например, код
10021 обозначает: первый стрелок выбрал первую мишень, второй и
третий — нулевую, четвертый — вторую, пятый — первую. Всего существует
З5 = 243 пятизначных троичных кодов, которые могут начинаться с нуля.
Столько же существует и вариантов выбора мишеней. Это знаменатель
искомой вероятности. Определим числитель. Существует только три варианта
выбора мишеней, когда поражена одна мишень из трех. Это коды: 00000 —
все пули попали в нулевую мишень, 11111 — все пули попали в первую
мишень, 22222 — все пули попали во вторую мишень. Искомая вероятность
равна 3/243. После сокращения на 3 получаем 1/81.
Ответ: 1/81.
Пример 5. В тире четыре мишени. Перед мишенями пять стрелков.
Каждый стрелок самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и
производит один выстрел без промаха. Найти вероятность того, что будут
поражены точно две мишени (каждая не менее чем одним выстрелом).
Как и в предыдущем примере пронумеруем мишени: 0,1, 2, 3 и
закодируем все варианты выбора мишеней 5-значными числами четверичной
системы счисления. Всего существует 45 = 1024 пятизначных четверичных кодов,
которые могут начинаться с нуля. Столько же существует и вариантов выбора
мишеней. Это знаменатель искомой вероятности. Определим числитель.
Сначала предположим, что будут поражены мишени с номерами 0 и 1.
Этому соответствуют пятизначные двоичные коды, в каждом из которых
содержится хотя бы один нуль и хотя бы одна единица. Число таких кодов
равно 30, так как всего существует 32 пятизначных двоичных числа, среди
которых код 00000 не содержит единиц, а код 11111 не содержит нулей, а все
13. КОМБИНАТОРИКА
373

остальные коды содержат и нули и единицы. Если предположить, что
пораженными будут другие две мишени, то и в этом случае возможно 30
вариантов выбора мишеней. Всего возможно С\ - * = 6 случаев, когда
пораженными являются точно две мишени из четырех. Следовательно,
числитель равен: 30 • 6 = 180. Тогда искомая вероятность равна 180/1024. После
сокращения на 4 получаем: 45/256.
Ответ: 45/256.
Пример 6. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что
если наугад извлечь 4 шара, то два из них будут белыми и два черными.
Решение. Всего шаров 12. Из них 4 шара можно выбрать
с* =JgL=» -ю-1Ы2д495
12 8! 4! 12 3 4
способами. Это знаменатель искомой вероятности. Для выбора двух черных
шаров из восьми существует С* = 28 вариантов. Выбор двух белых шаров из
четырех возможен С\ = 6 способами. Тогда искомая вероятность равна:
28 6 _ 56
Р 495 165'
Ответ: 56/165.
Пример 7. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал составленное из букв
разрезной азбуки слово «искусство», выбрал из них четыре карточки и
расположил их в один ряд. Найти вероятность того, что у него получится слово
«куст».
Решение. Рассмотрим четыре события: А — выбрана буква «к», Б —
выбрана буква «у», С — выбрана буква «с», D — выбрана буква «т». Найдем их
вероятности. Вероятность события А равна: р(А) = 1/9. Так как событие А
состоялось, то среди рассыпанных осталось 8 карточек. Следовательно,
вероятность события В равна: р(В) = 1/8. Теперь осталось 7 карточек, поэтому
вероятность события С равна: р(С) = 3/7. Осталось 6 карточек. Вероятность
события D равна: p(D) = 1/6. По правилу произведения вероятностей получаем
^9876 1008
Ответ: 1/1008.
Пример 8. Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты.
Найти вероятность того, что обе они будут пиковой масти.
Решение. Две карты из 36 можно извлечь С%6 = 630 способами.
Знаменатель найден. Пиковой масти в колоде 9 карт. Две из них можно извлечь
Сд = 36 способами. Искомая вероятность равна 36/630. После сокращения
получаемр = 2/35.
Ответ: 2/35.
Пример 9. Некто задумал 10-значное двоичное число (числа могут
начинаться с нуля). Найти вероятность того, что в числе содержится хотя бы один
нуль и хотя бы одна единица.
374
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Решение. Всего возможно 1024 десятизначных двоичных чисел.
Существует одно число, состоящее из десяти нулей, и одно число, состоящее из десяти
единиц. Во всех остальных 1022 числах содержится хотя бы один нуль и хотя
бы одна единица. Следовательно, искомая вероятность равна р = 1022/1024.
После сокращения на 2: р = 511/512.
Ответ: 511/512.
Пример 10. В инструментальный ящик положили 14 напильников. Из
них 7 круглых, 3 плоских и 4 треугольных. Из ящика наугад берут 4
напильника. Найти вероятность того, что среди них хотя бы два напильника будут
круглыми.
Решение. Четыре напильника из 14 можно выбрать Сх44 способами. Это
знаменатель искомой вероятности, равный
С4 - 14! .11 12 13 14 .„ п 1Э _1001
Cl4"l0!4!" 1234 "7 " 13-1001-
Переходим к числителю. Условие «хотя бы два» говорит о том, что в
выборке будет либо два напильника, либо три, либо четыре. Сначала
предположим, что в выборке содержится два круглых напильника. Два напильника
из семи можно выбрать Cf = ^у-^т = j—^ = 21 способом. Кроме того, к каж-
дой паре круглых напильников надо добавить по два напильника из
некруглых. Число некруглых напильников равно 7 (так как в ящике 3
плоских напильника и 4 треугольных). Выбрать два из них можно также
21 способами. Следовательно, одна составляющая числителя,
соответствующая выборке двух круглых (и двух некруглых) напильников, равна
21 21 = 441.
Теперь предположим, что в выборке содержится три круглых напильни-
п% с r> rr
ка. Существует С3 = = = 35 вариантов выбора трех круглых
напильников из семи. К каждой тройке круглых напильников необходимо
добавить по одному из некруглых. Следовательно, вторая составляющая
числителя, соответствующая выбору трех круглых напильников (и одного некруглого),
равна 35 7 = 245.
Остался один случай, когда все напильники в выборке являются
круглыми. Число таких выборок равно Cf =35.
Просуммируем полученные три числа: 441 + 245 4- 35 = 721. Искомая
вероятность равна 721/1001. После сокращения получаем: 103/143.
Ответ: 103/143.
Пример 11. Каждая из 33 букв русского алфавита записана на отдельной
карточке. Из этих 33 букв наугад выбирают три. (Среди 33 букв русского
алфавита 10 букв являются гласными, 21 — согласными, твердый и мягкий
знаки не являются ни гласными, ни согласными.) Найти вероятность того,
что на выбранных трех карточках гласных букв будет больше чем согласных
и будут отсутствовать твердый и мягкий знаки.
Решение. Знаменатель равен CL = ттттт-ттт = —„' ^ ^— = 31 • 16 • 11 = 5456.
F 33 30! 3! 12 3
13. КОМБИНАТОРИКА
375

Числитель состоит из двух слагаемых:
а) в выборке три гласных буквы (согласных букв нет). Число выборок,
- гз Ю! 8 9 10 19П.
состоящих только из гласных букв, равно Cf0 = = = 120;
7!• о! 1 • А ' о
б) в выборке одна согласная буква (существует С\х =21 вариант ее
выбора) и две гласные буквы (число вариантов их выбора равно С?0 = 45).
Следовательно, второе слагаемое числителя равно 21 • 45 = 945.
Сумма чисел 120 и 945 есть числитель искомой вероятности, равной
120 + 945 _ 1065
5456 5456*
Ответ: 1065/5456.
Задания
для самостоятельной работы
1. а) Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что герб
выпадет точно 3 раза. (НВВ)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что N — четное число. (УЛИ)
в) Грани кубика пронумерованы следующим образом: -3,-2,-1,1,2,
3. Кубик подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что сумма
выпавших чисел — неотрицательное число. (ШПК)
г) Из букв слова «цивилизация» случайно выбрали 4 буквы и
расположили их в ряд. Найти вероятность того, что получится слово «виза». (ДЭР)
д) В урне 4 красных шара, 3 синих и 3 зеленых. Наугад вынимают
3 шара. Найти вероятность того, что все они будут одного цвета (т. е. все три
красные, либо все три синие, либо все три зеленые). (ТКП)
е) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных не
будет тетрадей ни с синей обложкой, ни с зеленой. (В60)
2. а) Найти вероятность того, что при десятикратном подбрасывании
монеты герб выпадет точно 5 раз. (РЕЛ)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что цифры в числе N одинаковы. (8К8)
в) Два раза подбрасывают игральную кость. Первый раз выпадет
число а, второй — число Ь. Числа а и Ь представили в виде трехзначных
двоичных кодов и приставили их один к другому. Получилось 6-значное число.
Например, если а = 3, Ь = 1, то в двоичном коде а = 011, Ь = 001.
Шестизначное число имеет вид 011001. Найти вероятность того, что шестизначное
число одинаково читается как слева направо, так и справа налево. (ЕСК)
г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит
точно один выстрел без промаха. Найти вероятность того, что будет поражена
только одна мишень (всеми тремя выстрелами). (ПЬЯ)
д) В урне 4 красных шара, 3 синих и 3 зеленых. Наугад вынимают
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых синих шаров будет
больше, чем зеленых. (Л53)
376
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) В тарелке 9 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будет одна конфета «Весна», одна конфета «Пилот» и одна конфета
«Снежинка». (ПЕ5)
3. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
среди выпавших чисел хотя бы одно будет простым числом. (62Б)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
могут начинаться). Найти вероятность того, что в числе N содержится хотя бы
одна цифра 5. (ВДД)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что хотя бы одна из них — карта пиковой масти. (ШТШ)
г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что все стрелки выберут
первую мишень. (УАР)
д) В инструментальный ящик положили 13 напильников: 3 круглых,
3 плоских и 7 треугольных. Из ящика наугад берут 4 напильника. Найти
вероятность того, что все они будут однотипными (либо все круглые, либо
все плоские, либо все треугольные). (ВИК)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
две книги. Найти вероятность того, что это будут два справочника. (НАП)
4. а) Найти вероятность того, что герб и цифра будут чередоваться, если
монету подбросить 10 раз. (Ц97)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что обе цифры в числе N — простые
числа. (Е2А)
в) Грани кубика пронумерованы следующим образом: -3, -2, -1, 1, 2,
3. Кубик подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что первое
выпавшее число меньше второго. (КПЧ)
г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что будут поражены все три
мишени. (ГОС)
д) В инструментальный ящик положили 13 напильников. Из них
3 круглых напильника, 3 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4
напильника. Найти вероятность того, что среди них будет точно 2 круглых. (ВЦГ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и 4
желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них все листы
будут одного цвета (например, все желтые). (ТЯШ)
5. а) Игральную кость подбрасывают 2 раза. Найти вероятность того, что
выпавшие цифры будут одинаковыми. (ЭВЛ)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что первой в числе N является цифра 6,
а вторая — цифра 8. (7КА)
в) Найти вероятность того, что если монету подбросить 10 раз, то
сначала 5 раз выпадет герб, а затем 5 раз выпадет цифра. (ЕНШ)
13. КОМБИНАТОРИКА
377

г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что в двух мишенях не будет
пробивок. (П8П)
д) В урне 4 красных шара, 3 синих и 3 зеленых. Наугад вынимают
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых красных шаров будет
больше, чем синих. (ОТБ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и 4
желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них будет хотя
бы один синий лист. (ВЖН)
6. а) Игральную кость подбрасывают 2 раза. Найти вероятность того, что
обе выпавшие цифры будут четными. (5ЖГ)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что обе цифры в числе нечетные.
(ФКЗ)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 5 карт. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одного короля, и будет точно
два туза. (НИН)
г) В корзине 3 белых гриба, 5 подосиновиков, 2 подберезовика и 4
сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того, что три из них
будут белые. (ВЭГ)
д) В коробку, где было 7 исправных диодов, случайно попали 5
неисправных диодов. Из коробки с этими диодами наугад вынимают 3 диода.
Найти вероятность того, что среди них точно один будет неисправный.
(ПНШ)
е) В тарелке 9 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будет хотя бы одна конфета «Пилот». (ДЭИ)
7. а) Подбрасывают две игральные кости. Их грани пронумерованы
числами 1,2,3,4,5,6. Найти вероятность того, что сумма выпавших цифр будет
равна 5. (ЛЫЗ)
б) Некто задумал двузначное десятичное число N (с нуля двузначные
числа не начинаются). Найти вероятность того, что каждая цифра в числе не
превышает 4. (СОА)
в) Грани кубика пронумерованы числами: -3, -2, -1, 1, 2, 3. Кубик
подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших чисел
не равна нулю. (629)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, что остались, наугад берут 4 карты. Найти вероятность
того, что среди них будет точно два туза. (ШУУ)
д) В коробке случайно оказались 7 острых сверл и 5 тупых. Из
коробки наугад берут 4 сверла. Найти вероятность того, что два из них — острые
сверла. (У53)
е) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных
будет точно две тетради с желтой обложкой. (564)
378
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

8. а) Подбрасывают две игральные кости, грани которых
пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что сумма выпавших
цифр будет равна 10. (ЗЛЛ)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются, повторы цифр возможны). Найти вероятность того, что в числе N
все цифры — простые числа. (НТН)
в) Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что среди
первых семи бросков точно 3 раза выпадет герб. (8ВД)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся карт наугад берут 4 карты. Найти вероятность того,
что среди них не будет ни одного туза. (КТШ)
д) В урне 4 красных шара, 3 синих и 3 зеленых. Наугад вынимают
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых не будет красных шаров.
(ЕС6)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
три книги. Найти вероятность того, что это будут три учебника. (62Г)
9. а) Найти вероятность того, что если монету подбросить 10 раз, то герб
выпадет четное число раз. (370)
б) Некто задумал 5-значное десятичное число N (с нуля пятизначные
числа не могут начинаться, повторы цифр возможны). Найти вероятность
того, что в этом числе N содержится хотя бы одна цифра 5. (41Б)
в) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Наугад берут два шара. Найти
вероятность того, что оба они будут черными. (855)
г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что во второй мишени
окажется две пробивки. (503)
д) В коробке случайно оказались 7 острых сверл и 5 тупых. Из
коробки наугад берут 4 сверла. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них —
тупое. (99Ф)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
4 желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них хотя
бы один лист будет желтого цвета. (7ХД)
10. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших цифр не превысит 3. (ИЛУ)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что цифры в числе идут в порядке
возрастания. Например: 1247, 2789, 1469 и т. д. (ФИН)
в) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Наугад берут два шара. Найти
вероятность того, что оба они будут белыми. (62Д)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, которые остались, наугад берут 4 карты. Найти
вероятность того, что среди них будет точно один валет и точно один король.
(ЧАЦ)
д) В инструментальный ящик положили 13 напильников. Из них 3
круглых напильника, 3 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4 напильника.
13. КОМБИНАТОРИКА
379

Найти вероятность того, что среди них будет точно один плоский и точно
один круглый. (ОДИ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
4 желтых. Наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что все они не
желтые. (НЯН)
11. а) Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что в
результате трех последних бросков ни разу не выпадет герб. (МОЙ)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются, повторы цифр возможны). Найти вероятность того, что в числе N
содержится точно две цифры 5. (7ПО)
в) Ребенок, не умеющий читать, рассыпал составленное из букв
разрезной азбуки слово «трансформатор». Затем наугад взял из них две
карточки. Найти вероятность того, что на них будут одинаковые буквы. (35Л)
г) В тире три мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый
стрелок самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит
один выстрел без промаха. Найти вероятность того, что третья мишень будет
поражена точно одним выстрелом. (ЭКГ)
д) В коробку, где было 7 исправных диодов, случайно попали 5
неисправных диодов. Из коробки с этими диодами наугад вынимают 3 диода.
Найти вероятность того, что среди них точно один будет исправный. (ИЯД)
е) В тарелке 9 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будет хотя бы одна конфета «Снежинка». (ИЭЛ)
12. а) Найти вероятность того, что в результате десятикратного
подбрасывания монеты герб выпадет не менее одного раза. (Н58)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются). Найти вероятность того, что в числе N каждая следующая цифра
меньше предыдущей, например, 7641, 9320 4310 и т. д. (ЭТМ)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что среди них будет пиковая дама. (5ЮЖ)
г) Группа студентов в период сессии обратилась в деканат с
предложением сдавать экзамены в следующей последовательности: математика,
физика, география, история. Но деканат к этому времени уже составил свой
вариант сдачи экзаменов, о котором студенты ничего не знали. Найти
вероятность того, что вариант расписания группы полностью совпадет с
расписанием, составленным деканатом. (6ЖМ)
д) В урне 5 красных шаров, 2 белых, 4 синих и 1 черный. Наугад
берут 3 шара. Найти вероятность того, что все они будут одного цвета. (57К)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
три книги. Найти вероятность того, что это будут три справочника. (ГПЗ)
13. а) Подбрасывают две игральные кости, грани которых
пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что сумма выпавших
цифр будет равна 2. (ИВМ)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются, повторы цифр возможны). Найти вероятность того, что число N
состоит только из четных цифр (т. е. в нем нет нечетных цифр). (ОЮЧ)
380
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) В партии, состоящей из 10 деталей, три детали являются
дефектными. Из этой партии наугад взяли 4 детали. Найти вероятность того, что
точно одна из деталей будет дефектной. (ЕЛК)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся наугад берут 4 карты. Найти вероятность того, что
среди них будет хотя бы один валет и хотя бы один король. (РОС)
д) В коробке случайно оказались 7 острых сверл и 5 тупых. Из
коробки наугад берут 4 сверла. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них —
острое сверло. (ЗНТ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
4 желтых. Наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди них не
будет листов одного цвета (т. е. все цвета разные). (583)
14. а) Игральную кость, грани которой пронумерованы числами 1,2,3,
4, 5, 6, подбрасывают 2 раза. Найти вероятность того, что первое выпавшее
число будет четным, а второе — нечетным. (52Г)
б) Некто задумал 4-значное десятичное число N (с нуля числа не
начинаются, повторы цифр возможны). Найти вероятность того, что в числе N
нет четных цифр. (2ПК)
в) В ящике 6 исправных диодов. Случайно туда положили 5
неисправных диодов. Из ящика наугад берут 4 диода. Найти вероятность того, что все
эти 4 диода будут исправными. (271)
г) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика,
3 белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что хотя бы один из них будет белый. (9ВА)
д) В урне 5 красных шаров, 2 белых, 4 синих и 1 черный. Наугад
берут 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых точно один будет
красный шар и один черный (следовательно, третий шар будет синий или
белый). (Г77)
е) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных
будет точно две тетради с синей обложкой. (ЛЕП)
15. а) Грани игральной кости пронумерованы числами 1,2,3, 4, 5, 6. Эту
кость подбрасывают 2 раза. Найти вероятность того, что выпавшие цифры
будут разными. (629)
б) Задумано 5-значное троичное число (с нуля числа не начинаются).
Найти вероятность того, что на месте старшего разряда окажется цифра 2.
(5ЛГ)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что среди них будет один туз и один король. (570)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся наугад берут 4 карты. Найти вероятность того, что
среди них будет хотя бы один туз, хотя бы один король и хотя бы один валет.
(069)
д) В коробку, где было 7 исправных диодов, случайно попали 5
неисправных диодов. Из коробки с этими диодами наугад вынимают 3 диода.
Найти вероятность того, что все вынутые диоды будут исправные. (5СЭ)
13. КОМБИНАТОРИКА
381

е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 2 зеленых, 2 красных и
4 желтых. Из пачки наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что из
них хотя бы один лист будет желтым. (ИЛЛ)
16. а) Подбрасывают две игральные кости, грани которых
пронумерованы числами 1,2,3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что оба выпавших номера
будут простыми числами, и сумма их не превысит 8. (90Я)
б) Наугад записано десятичное число а, причем: 9 < а < 100. Найти
вероятность того, что в числе а нет цифры 4. (ШС7)
в) В магазине 6 видов шоколадных конфет. Четыре покупателя
независимо один от другого выбирают по одной конфете. Найти вероятность того,
что все они купят разные конфеты. (766)
г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, которые остались, наугад берут 4 карты. Найти
вероятность того, что все выбранные карты будут бубновой масти. (ОЦП)
д) В инструментальный ящик положили 14 напильников. Из них
3 круглых напильника, 4 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4
напильника. Найти вероятность того, что среди них не будет круглых. (186)
е) В пачке цветной бумаги 5 синих листов, 1 зеленый, 2 красных и
3 желтых. Наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди них
будет зеленый лист и хотя бы один синий. (45Р)
17. а) Подбрасывают две игральные кости, грани которых
пронумерованы числами 1,2,3,4,5,6. Найти вероятность того, что абсолютная величина
разности выпавших чисел не превысит 4. (АХХ)
б) Наугад записано десятичное число а, причем: 9 < а < 100. Найти
вероятность того, что в числе а содержится точно одна цифра 3 (и какая-либо
другая, например: 38, 30, 93 и т. д.). (ГСС)
в) В магазине 5 видов шоколадных конфет. Четыре покупателя
независимо один от другого выбирают по одной конфете. Найти вероятность того,
что все они выберут одинаковые конфеты. (ИРЧ)
г) В корзине четыре вида грибов: 2 подосиновика, 2 подберезовика,
3 белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что среди них не будет ни одного белого. (59С)
д) В урне 4 красных шара, 2 белых, 3 синих и 1 черный. Наугад
берут 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых не будет красных
шаров. (8ВШ)
е) В тарелке 6 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будет хотя бы одна конфета «Весна». (ЧАИ)
18. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
оба выпавших числа не являются простыми числами. (ИЖР)
б) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Наугад берут два шара. Найти
вероятность того, что они будут разного цвета. (РХП)
в) В коробке 4 красных карандаша, 5 зеленых и 3 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы
один красный карандаш, хотя бы один зеленый и хотя бы один синий.
(2ЛЕ)
382
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

г) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся карт наугад берут 5 карт. Найти вероятность того, что
среди них точно одна карта будет бубновой масти. (128)
д) В коробке случайно оказались 7 острых сверл и 5 тупых. Из
коробки наугад берут 4 сверла. Найти вероятность того, что все четыре сверла —
тупые. (287)
е) В пачке цветной бумаги 1 синий лист, 1 зеленый, 3 красных и 4
желтых. Из пачки наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них
будет хотя бы два листа желтого цвета. (ЗТП)
19. а) Два раза подбрасывают игральную кость, грани которой
пронумерованы числами 1,2, 3,4, 5, 6. В результате первого броска выпадет число а,
в результате второго — число Ь. Найти вероятность того, что число а - Ь
будет положительным, не равным нулю. (4ЯМ)
б) В урне 3 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти
вероятность того, что все они будут черные. (56С)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 5 карт. Найти
вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз и хотя бы один
король. (661)
г) В тире 4 мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что поражена будет только
одна мишень из четырех (тремя выстрелами). (7СС)
д)В инструментальный ящик положили 10 напильников. Из них
1 круглый, 3 плоских и 6 треугольных. Наугад берут 4 напильника. Найти
вероятность того, что среди них один будет круглый напильник и не будет
плоских. (8ПУ)
е) На полке 3 учебника, 5 справочников и 2 словаря. Наугад берут три
книги. Найти вероятность того, что среди выбранных не будет ни одного
словаря. (9АС)
20. а) Два раза подбрасывают игральную кость. В результате первого
броска выпадет число а, в результате второго — число Ь. Найти вероятность
того, что абсолютная величина разности чисел а и Ь (т. е. число \а - Ь\) будет
не равной нулю и не равной единице. (ОИФ)
б) В урне 4 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти
вероятность того, что среди вынутых будет хотя бы один белый шар. (1ТП)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что это будут два короля. (2БЗ)
г) Группа студентов в период сессии обратилась в деканат с
предложением сдавать экзамены в следующей последовательности: математика,
физика, география, история. Но деканат к этому времени уже составил свой
вариант сдачи экзаменов, о котором студенты ничего не знали. Найти
вероятность того, что вариант расписания группы совпадет с расписанием,
составленным деканатом, только по одному предмету из четырех. (25М)
д) В урне 3 красных шара, 1 белый, 4 синих и 1 черный. Наугад берут
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых не будет ни черных
шаров, ни синих. (393)
13. КОМБИНАТОРИКА
383

е) В пачке цветной бумаги 2 синих листа, 3 зеленых, 2 красных и
4 желтых. Наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди них
будет хотя бы один желтый лист и хотя бы один красный. (5ЯГ)
21. а) Три раза подбрасывают игральную кость. Найти вероятность того,
что во всех трех исходах выпадет одна и та же цифра. (6СИ)
б) Из букв разрезной азбуки составлено слово « автоматизация ». Это слово
рассыпали. Затем, случайно выбирая рассыпанные буквы, составили слово из
четырех букв. Найти вероятность того, что получится слово «вата». (6ИС)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что среди вынутых будет точно один туз. (404)
г) На полке 8 учебников. На эту полку поставили двухтомник А. П.
Чехова. Место для каждого тома определялось случайно. Найти вероятность
того, что оба тома окажутся рядом. (ВУД)
д) В коробку, где было 6 исправных диодов, случайно попали 5
неисправных диодов. Из коробки наугад вынимают 3 диода. Найти вероятность
того, что все вынутые диоды будут неисправные. (770)
е) В пачке цветной бумаги 4 синих листа, 2 зеленых, 1 красный и
4 желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них не
будет синих листов. (ГНЗ)
22. а) Игральную кость, грани которой пронумерованы числами 1, 2, 3,
4,5,6 подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что каждая из
выпавших цифр делится на 3 без остатка. (РЫС)
б) В урне 7 шаров с номерами 1,2, 3,4, 5, 6, 7. Из урны наугад
вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают в урну и все шары
перемешивают. Точно так же поступают еще два раза, последовательно
записывая номера шаров. Получится 3-значное число. Найти вероятность того,
что цифры в числе образуют возрастающую последовательность, например,
135,267, 146 и т. д. (НИР)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, что остались, наугад берут 4 карты. Найти вероятность
того, что среди выбранных точно две карты будут бубновой масти. (66Н)
г) В стопе 7 тетрадей с желтой обложкой и 4 — с синей. Из стопы
случайно берут две тетради. Найти вероятность того, что обе тетради будут с
желтой обложкой. (НПШ)
д) В коробке случайно оказались 8 острых сверл и 3 тупых. Из
коробки наугад берут 4 сверла. Найти вероятность того, что из них два сверла
острых и два тупых. (НУП)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттных, 5 — 60-ваттных и 4 — 100-ваттных. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что все они будут 100-ваттные. (ЕУМ)
23. а) Игральную кость подбрасывают два раза. Найти вероятность того,
что хотя бы одна из выпавших цифр будет четной. (ИЖ1)
б) Из букв разрезной азбуки составлено слово «автоматизация». Это
слово рассыпали. Затем, случайно выбирая рассыпанные буквы, составили
слово из пяти букв. Найти вероятность того, что получится слово «томат».
(735)
384
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, что остались, наугад берут 3 карты. Найти вероятность
того, что среди них не будет ни королей, ни тузов. (9Д9)
г) В корзине четыре вида грибов: 1 подосиновик, 2 подберезовика, 3
белых и 3 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того, что
среди них будет подосиновик. (РКК)
д) В урне 3 красных шара, 2 белых, 4 синих и 1 черный. Наугад берут
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых не будет ни одного
белого шара, но будет хотя бы один красный. (6БК)
е) На полке 3 учебника, 4 справочника и 2 словаря. Наугад берут три
книги. Найти вероятность того, что среди выбранных не будет ни одного
учебника. (854)
24. а) Монету подбрасывают 9 раз. Найти вероятность того, что в третьем
броске выпадет герб, а в четвертом — цифра. (52Т)
б) В урне 3 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти
вероятность того, что они будут разного цвета. (МХС)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что среди вынутых будет хотя бы один туз. (425)
г) На 25 экзаменационных вопросов студент знает ответы, а на 5
вопросов — не знает. На экзамене студент получил три вопроса. Найти
вероятность того, что на все три вопроса студент знает ответы. (ОДУ)
д) В инструментальный ящик положили 10 напильников. Среди
них 1 круглый, 2 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4 напильника.
Найти вероятность того, что среди них не будет круглого напильника.
(6УР)
е) В тарелке 5 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будут хотя бы две конфеты «Весна». (СЛУ)
25. а) Найти вероятность того, что при семикратном подбрасывании
монеты герб выпадет точно три раза, и при этом первой выпадет цифра.
(1ЯЯ)
б) В урне 6 шаров с номерами 1,2, 3,4, 5, 6. Из урны наугад
вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают в урну и все шары
перемешивают. Точно так же поступают еще два раза, последовательно
записывая номера шаров. Получится 3-значное число. Найти вероятность того,
что цифры в нем идут в порядке уменьшения. (УС2)
в) В корзине четыре вида грибов: 3 подосиновика, 2 подберезовика,
3 белых и 2 сыроежки. Наугад вынимают 3 гриба. Найти вероятность того,
что среди них не будет ни одного подосиновика. (4ВУ)
г) В тире 4 мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что все стрелки выберут
разные мишени. (503)
д) В коробке 5 острых сверл и 3 тупых. Из коробки наугад берут 4
сверла. Найти вероятность того, что среди них острых сверл будет больше, чем
тупых. (Г72)
13. КОМБИНАТОРИКА
385

е) В пачке цветной бумаги 2 синих листа, 2 зеленых, 3 красных и
4 желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них не
будет ни одного листа желтого цвета. (Н96)
26. а) Найти вероятность того, что в результате 8-кратного
подбрасывания монеты герб выпадет точно 4 раза, и при этом первый и последний раз
выпадет герб. (АВХ)
б) В урне 7 шаров с номерами 1,2, 3,4, 5, 6, 7. Из урны наугад
вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают в урну и все шары
перемешивают. Точно так же поступают еще два раза, последовательно
записывая номера шаров. Получится 3-значное число. Найти вероятность того,
что в числе нет одинаковых цифр. (П96)
в) Из букв слова «цивилизация» случайно выбрали 4 буквы и
расположили их в ряд. Найти вероятность того, что получится слово «заяц».
(ОЭМ)
г) В стопе 5 тетрадей с желтой обложкой и 3 — с синей. Из стопы
случайно выбирают две тетради. Найти вероятность того, что выбранные
тетради будут с обложками разных цветов. (72М)
д) В урне 4 красных шара, 2 белых, 4 синих и 1 черный. Из урны
наугад берут 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых будет хотя бы
один синий и хотя бы один белый. (ЛДД)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттные, 4 — 60-ваттные и 4 — 100-ваттные. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что хотя бы одна из них будет 100-ваттная. (МЛТ)
27. а) Найти вероятность того, что если монету подбросить 6 раз, то
подряд два раза герб не выпадет ни разу. (ИЭП)
б) Найти вероятность того, что в результате шестикратного
подбрасывания монеты герб выпадет не менее одного раза. (С5Т)
в) Из колоды, в которой 36 карт, наугад вынимают две карты. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одного короля. (ИМА)
г) На 20 экзаменационных вопросов студент знает ответы, а на 5
вопросов — не знает. На экзамене студент получил три вопроса. Найти
вероятность того, что на два вопроса студент знает ответы, а на один — не знает.
(ТЛ2)
д) В ящике 5 круглых гаек, 2 квадратные и 3 шестигранные. Наугад
берут 4 гайки. Найти вероятность того, что все они круглые. (Б7А)
е) В пачке цветной бумаги 2 синих листа, 1 зеленый, 3 красных и
5 желтых. Наугад выбирают 3 листа. Найти вероятность того, что среди них
не будет ни синих листов, ни зеленых. (ЮДО)
28. а) Монету подбрасывают 7 раз. Найти вероятность того, что первым
выпадет герб, а в результате трех последних бросков герб не выпадет ни разу.
(БСЦ)
б) В урне 7 шаров с номерами 1,2, 3,4, 5, 6, 7. Из урны наугад
вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают в урну и все шары
перемешивают. Точно так же поступают еще два раза, последовательно
записывая номера шаров. Получится 3-значное число. Найти вероятность того,
что в числе ни разу не встретится цифра 1. (ИЛЕ)
386
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) Найти вероятность того, что в результате двукратного
подбрасывания игральной кости, грани которой пронумерованы числами 1,2, 3,4, 5, 6,
сумма выпавших чисел не превысит 7. (ФПТ)
г) В корзине четыре вида грибов: 4 подосиновика, 2 подберезовика, 3
белых гриба и 3 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что среди них будет два подберезовика и хотя бы один подосиновик. (ПЛ2)
д) В инструментальный ящик положили 11 напильников. Среди них
2 круглых, 2 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4 напильника. Найти
вероятность того, что среди них хотя бы один будет треугольный. (РШИ)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттные, 6 — 60-ваттные и 4 — 100-ваттные. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что хотя бы одна из них будет 60-ваттная. (ТКБ)
29. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
среди выпавших чисел точно одно будет простым числом. (М75)
б) Ребенок, не умеющий читать, рассыпал составленное из букв
разрезной азбуки слово «аксиома», и все карточки снова расположил в один
ряд. Найти вероятность того, что у него получится то же самое слово
«аксиома» (НЫР)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из тех карт, что остались, наугад берут 4 карты. Найти вероятность
того, что среди них будет точно одна дама и не будет ни одного туза. (ББС)
г) В коробке 2 красных карандаша, 4 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них не будет синих
карандашей. (СТТТТТТ)
д) В урне 5 красных шаров, 2 белых, 3 синих и 1 черный. Наугад
берут 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых будет точно 2
красных шара. (ЛЛ6)
е) В тарелке 7 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 2 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных будут только конфеты «Весна». (ЕЭЛ)
30. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших чисел есть простое число. (СЯЙ)
б) Слово «авиация», составленное из букв разрезной азбуки,
рассыпали, после чего наугад берут две карточки. Найти вероятность того, что
среди выбранных согласных букв нет. (ИМ7)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают две карты.
Найти вероятность того, что обе они не вальты. (187)
г) В стопе 7 тетрадей с желтой обложкой и 4— с синей. Из стопы
случайно выбирают две тетради. Найти вероятность того, что тетради будут
одного цвета (обе желтые или обе синие). (АЮР)
д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных. Наугад
берут 4 гайки. Найти вероятность того, что все они квадратные. (ВЭЦ)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттных, 8 — 60-ваттных и 4 — 100-ваттных. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что среди них будет хотя бы одна 15-ваттная лампа и хотя бы
одна 60-ваттная. (ЛАД)
13. КОМБИНАТОРИКА
387

31. а) Подбрасывают две игральные кости, грани которых
пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что сумма выпавших
чисел делится на 3 без остатка. (350)
б) Некто произвольно записал три десятичные цифры (они могут
повторяться). Получилось трехзначное число, которое может начинаться с нуля.
Найти вероятность того, что среди них одна цифра четная и две нечетные. (90Я)
в) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика, 3
белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того, что
среди них будут все четыре вида грибов (т. е. по одному каждого вида). (ДДХ)
г) В коробке 3 красных карандаша, 5 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них не будет зеленых
карандашей. (ЕМИ)
д) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных все
тетради будут с обложками желтого цвета. (А66)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
три книги. Найти вероятность того, что среди выбранных не будет ни одного
справочника. (1ЯШ)
32. а) Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что
абсолютная величина разности выпавших чисел есть простое число. (ОКЕ)
б) Из букв слова «автобус» случайно берут 4 буквы. Найти
вероятность того, что среди выбранных не будет буквы «с». (TAB)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают две карты.
Найти вероятность того, что хотя бы одна из них — валет. (ПХЦ)
г) На полке 12 книг: 7 справочников и 5 учебников. Наугад берут
4 книги. Найти вероятность того, что среди выбранных будет один
справочник и три учебника. (ТМТ)
д) В инструментальный ящик положили 13 напильников. Из них
3 круглых напильника, 3 плоских и 7 треугольных. Наугад берут 4
напильника. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один круглый и
хотя бы один плоский. (ГПП)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттных, 8 — 60-ваттных и 4 — 100-ваттных. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одной 100-ваттной лампы. (ОДЯ)
33. а) Монету подбрасывают 7 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 7-значное двоичное число. Найти вероятность того, что в этом числе
единиц больше, чем нулей. (87Ш)
б) На четырех карточках разрезной азбуки записаны по одной из букв
А, Б, В, Г, а на четырех других карточках записаны по одной из цифр 1,2,3,
4. Все 8 карточек перемешали и случайно выбрали 4 карточки. Найти
вероятность того, что среди выбранных две карточки будут с цифрами, и две —
с буквами. (5ЕМ)
в)Два раза подбрасывают игральную кость. Первый раз выпадет
число а, второй — число Ь. Числа а и Ь представили в виде трехзначных
двоичных кодов и приставили их один к другому. Получится 6-значное двоичное
388
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

число. Например, если а = 3, Ь = 1, то в двоичном коде а = 011, Ь = 001.
Шестизначное число имеет вид 011001. Найти вероятность того, что в нем четное
число единиц. (С7Д)
г) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика,
3 белых и 1 сыроежка. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что точно 2 из них будут подосиновики. (С5Ш)
д) В урне 5 красных шаров, 3 белых и 1 черный. Наугад берут 3 шара.
Найти вероятность того, что среди вынутых будут шары точно двух цветов
(например, два красных и один белый, либо черный и два белых, либо один
красный и два белых и т. д.). (ПАЛ)
е) В пачке цветной бумаги 4 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
1 желтый. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них не
будет ни желтых листов, ни красных. (СЭФ)
34. а) Монету подбрасывают 7 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 7-значное двоичное число. Найти вероятность того, что в этом числе
единиц меньше, чем нулей. (27М)
б) Наугад записано 7-значное двоичное число, которое может
начинаться с нуля. Найти вероятность того, что в записи этого числа содержатся
хотя бы две единицы и хотя бы три нуля. (ГГФ)
в) В пакете 5 репродукций с картин Шишкина, 2 — с картин Пластова
и 3 — с картин Саврасова. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что все они будут репродукциями с картин Шишкина. (В7Р)
г) В коробке 13 цветных карандашей. Среди них 3 красных
карандаша, 4 зеленых и 6 синих. Наугад берут 4 карандаша. Найти вероятность того,
что среди выбранных не будет красных карандашей. (ИКИ)
д) В коробку, где было 7 исправных диодов, случайно попали 4
неисправных диода. Из коробки с этими диодами наугад вынимают 3 диода.
Найти вероятность того, что среди них хотя бы один будет исправный диод и
хотя бы один неисправный. (МТХ)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттные, 4 — 60-ваттные и 4 — 100-ваттные. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одной 60-ваттной лампы. (МЭИ)
35. а) Монету подбрасывают 7 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 7-значное двоичное число. Найти вероятность того, что это число
начинается с единицы, и в нем нет рядом стоящих единиц. (ИТ7)
б) Задумано 8-значное двоичное число (числа могут начинаться с
нуля). Найти вероятность того, что в нем 4 единицы и две из них занимают
два старших разряда. (1С8)
в) В коробке 3 красных карандаша, 5 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один
синий карандаш. (2ЯН)
г) В пакете 5 репродукций с картин Ромадина, 5 — с картин
Нестерова и 2 — с картин Юона. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что все они будут репродукциями с картин Нестерова. (ИЛИ)
13. КОМБИНАТОРИКА
389

д) В инструментальном ящике 3 круглых напильника, 3 плоских и
2 треугольных. Наугад берут 4 напильника. Найти вероятность того, что
среди них будет два круглых и два плоских. (6КГ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 1 зеленый, 2 красных и
4 желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них
будет точно один желтый лист. (ДЛИ)
36. а) Монету подбрасывают 10 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — если гербом вниз. Получится 10-знач-
ный двоичный код. Найти вероятность того, что число единиц в этом коде
делится на 3 без остатка. (50Т)
б) Из букв слова «автобус» случайно берут 4 буквы. Найти
вероятность того, что среди выбранных не будет букв «т» и «о». (ЛАЗ)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся карт случайным выбором извлекают 3 карты. Найти
вероятность того, что среди них будет один туз, один король и один валет. (5ШО)
г) В корзине четыре вида грибов: 2 подосиновика, 2 подберезовика,
3 белых и 2 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что 2 из них будут подберезовики. (6ВЕ)
д) В урне 3 красных шара, 3 белых, 3 синих и 1 черный. Наугад берут
3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых все шары будут разного
цвета. (ОКМ)
е) В тарелке 9 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 1 конфета
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных не будет ни одной конфеты «Весна». (НТВ)
37. а) Игральную кость подбрасывают 3 раза. После первого броска
выпадет число а, после второго — число Ьу после третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнится условие: а + Ь > с. (ЯРК)
б) Слово «авиация», составленное из букв разрезной азбуки,
рассыпали и наугад берут две карточки. Найти вероятность того, что одна из букв
будет гласная, а другая — согласная. (58Ш)
в) В коробке 3 красных карандаша, 1 зеленый и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один
красный карандаш. (62Н)
г) В пакете 5 репродукций с картин Куинджи, 2 — с картин Серова и
6 — с картин Грицая. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что все они будут репродукциями с картин Грицая. (682)
д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных. Наугад
берут 4 гайки. Найти вероятность того, что все они не шестигранные. (КМ1)
е) На полке 3 учебника, 5 справочников и 3 словаря. Наугад берут три
книги. Найти вероятность того, что среди выбранных будет точно два
справочника. (ДЛЕ)
38. а) Игральную кость подбрасывают 3 раза. После первого броска
выпадет число а, после второго — число Ьу после третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнится условие: 2а > Ь + с. (ЧПИ)
б) Каждая из 33 букв русского алфавита записана на отдельной
карточке. Из этих 33 букв наугад выбирают две. (Среди 33 букв русского алфа-
390
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

вита 10 букв являются гласными, 21 — согласными, твердый и мягкий
знаки не являются ни гласными, ни согласными.) Найти вероятность того, что
на обеих выбранных карточках будут гласные буквы. (60Л)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся карт случайным выбором извлекают 4 карты. Найти
вероятность того, что среди них — точно три короля. (ШЕР)
г) На полке 12 книг. Из них 7 справочников и 5 учебников. Наугад
берут 4 книги. Найти вероятность того, что все выбранные книги —
справочники. (94А)
д) В инструментальном ящике 2 круглых напильника, 3 плоских и
1 треугольный. Наугад берут 3 напильника. Найти вероятность того, что
среди них круглых напильников будет больше, чем плоских. (ДДИ)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттные, 8 — 60-ваттные и 4 — 100-ваттные. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одной 15-ваттной лампы. (УЛЕ)
39. а) Игральную кость подбрасывают 3 раза. После первого броска
выпадет число а, после второго — число Ьу после третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнятся условия: а = Ь; с = 3. (КСИ)
б) Каждая из 33 букв русского алфавита записана на отдельной
карточке. Из этих 33 букв наугад выбирают две. (Среди 33 букв русского
алфавита 10 букв являются гласными, 21 — согласными, твердый и мягкий
знаки не являются ни гласными, ни согласными.) Найти вероятность того,
что на одной карточке будет гласная буква, а на другой — согласная.
(8X8)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, удалили все карты пиковой
масти. Из оставшихся карт случайным выбором извлекают 4 карты. Найти
вероятность того, что среди них нет карт одинаковой масти. (РЫМ)
г) В пакете 2 репродукции с картин Айвазовского, 5 — с картин
Васнецова и 6 — с картин Левитана. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что точно две из них будут репродукциями с картин
Васнецова. (ШКИ)
д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных.
Наугад берут 4 гайки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них
квадратная. (ВПФ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
4 желтых. Наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди них
будут листы всех цветов из четырех перечисленных. (58Ц)
40. а) Игральную кость подбрасывают 3 раза. После первого броска
выпадет число а, после второго — число Ьу после третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнится условие: 2а = Ь = с. (ОЛГ)
б) Из букв разрезной азбуки составлено слово «автоматизация». Это
слово рассыпали. Затем, случайно выбирая рассыпанные буквы,
составили слово из четырех букв. Найти вероятность того, что получится слово
«зима». (4ШИ)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 5 карт. Найти
вероятность того, что среди них будут все четыре масти. (МВП)
13. КОМБИНАТОРИКА
391

г) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика,
3 белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что среди них будут два подберезовика и точно один подосиновик. (64Я)
д) В урне 5 красных шаров, 2 белых, 4 синих и 1 черный. Наугад
берут 3 шара. Найти вероятность того, что все они будут разного цвета,
например, красный, белый, синий, либо красный, синий, черный, и т. д.
(ОЗЬ)
е) В тарелке 8 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных не будет ни одной конфеты «Пилот». (ККО)
41. а) Игральную кость, грани которой пронумерованы числами 1, 2, 3,
4, 5, 6, подбрасывают 3 раза. В результате первого броска выпадет число а, в
результате второго — число bf в результате третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнится условие: 2а - Ь — с. (БЛЦ)
б) Из букв разрезной азбуки составлено слово «автоматизация». Это
слово рассыпали. Затем, случайно выбирая рассыпанные буквы, составили
слово из шести букв. Найти вероятность того, что получится слово «цитата».
(ШДК)
в) В коробке 3 красных карандаша, 4 зеленых и 3 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один
зеленый карандаш. (8ЯН)
г) В пакете 4 репродукции с картин Рылова, 5 — с картин
Кустодиева и 6 — с картин Бакшеева. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что хотя бы две из них будут репродукциями с картин
Бакшеева. (РУБ)
д) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных хотя
бы одна тетрадь будет с синей обложкой. (ЩАД)
е) В коробке три типа осветительных ламп. Из них 3 лампы
15-ваттных, 8 — 60-ваттных и 4 — 100-ваттных. Наугад берут 3 лампы. Найти
вероятность того, что хотя бы одна из них будет 15-ваттная. (НГЦ)
42. а) Монету подбрасывают 8 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — если гербом вниз. Получится 8-знач-
ный двоичный код. Найти вероятность того, что в этом коде единиц столько
же, сколько и нулей. (ОСА)
б) В урне 8 шаров, пронумерованных числами 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8. Из
урны наугад вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают
в урну и все шары перемешивают. Точно так же поступают еще один раз.
Найти вероятность того, что первый номер больше второго. (ЕЖТ)
в) В коробке 14 цветных карандашей. Из них 3 красных карандаша,
5 зеленых и 6 синих. Наугад берут 4 карандаша. Найти вероятность того,
что в выборке будет не менее двух зеленых карандашей. (756)
г) В пакете 5 репродукций с картин Васнецова, 5 — с картин
Поленова и 6 — с картин Левитана. Наугад вынимают три репродукции. Найти
вероятность того, что одна из репродукций будет с картин Поленова и две — с
картин Левитана. (73С)
392
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных. Наугад
берут 4 гайки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них круглая. (УА5)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
три книги. Найти вероятность того, что среди выбранных будет точно два
словаря. (АДН)
43. а) Монету подбрасывают 9 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 9-значное двоичное число. Найти вероятность того, что это число
начинается с двух нулей и оканчивается тремя единицами. (ВЛШ)
б) Каждая из 33 букв русского алфавита записана на отдельной
карточке. Из этих 33 букв наугад выбирают три. (Среди 33 букв русского
алфавита 10 букв являются гласными, 21 — согласными, твердый и мягкий
знаки не являются ни гласными, ни согласными.) Найти вероятность того,
что на двух выбранных карточках будут согласные буквы, и на одной —
гласная. (59Т)
в) В коробке 3 красных карандаша, 5 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет не менее двух
синих карандашей. (ВЗО)
г) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика,
3 белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что точно 3 из них будут подосиновики. (НУР)
д) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных не
будет тетрадей с желтой обложкой. (ЛЖВ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 3 зеленых, 3 красных и
5 желтых. Из пачки наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди
них будет хотя бы два листа желтого цвета. (СТТТТТТ)
44. а) Монету подбрасывают 8 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 8-значное двоичное число. Найти вероятность того, что в левой половине,
состоящей из четырех знаков, столько же единиц, что и в правой, также
состоящей из четырех знаков. (ГС7)
б) В урне 6 шаров, пронумерованных числами 1,2, 3,4, 5, 6. Из урны
наугад вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают в урну
и все шары перемешивают. Точно так же поступают еще один раз. Найти
вероятность того, что номера вынутых шаров будут разными. (ИХ5)
в) В коробке 3 красных карандаша, 5 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет точно один
красный и не менее двух зеленых карандашей. (ИМЖ)
г) В пакете 5 репродукций с картин Остроухова, 5 — с картин
Степанова и 6 — с картин Крымова. Наугад вынимают 4 репродукции. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одной репродукции с картин
Степанова. (М2Э)
д) В ящике 1 круглая гайка, 6 квадратных и 3 шестигранных.
Наугад берут 4 гайки. Найти вероятность того, что хотя бы две из них будут
квадратные. (БТЗ)
13. КОМБИНАТОРИКА
393

е) В пачке цветной бумаги 1 синий лист, 3 зеленых, 1 красный и 6
желтых. Наугад берут 3 листа. Найти вероятность того, что среди них будет хотя
бы два листа зеленого цвета. (ТЭТ)
45. а) Монету подбрасывают 10 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 10-значное двоичное число. Найти вероятность того, что в левой
половине, состоящей из пяти знаков, единиц больше, чем в правой, также
состоящей из пяти знаков. (ТОГ)
б) Найти вероятность того, что если монету подбросить 11 раз, то
сначала 4 раза выпадет герб, а затем 7 раз выпадет цифра. (ТЕЦ)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 5 карт. Найти
вероятность того, что среди них будут точно две дамы и точно два короля.
(ТЛИ)
г) В пакете 16 репродукций с картин известных художников. Из них
5 репродукций с картин Поленова, 5 — с картин Сурикова и 6 — с картин
Верещагина. Наугад вынимают 4 репродукции. Найти вероятность того, что
среди них не будет ни одной репродукции с картин Сурикова и ни одной —
с картин Верещагина. (АЛ6)
д) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных не
будет тетрадей с синей обложкой. (ЮМП)
е) В тарелке 9 конфет «Весна», 2 конфеты «Пилот» и 3 конфеты
«Снежинка». Наугад берут три конфеты. Найти вероятность того, среди
выбранных не будет ни одной конфеты «Снежинка». (ЮЖЖ)
46. а) Монету подбрасывают 8 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 8-значное двоичное число (которое может начинаться с нуля). Найти
вероятность того, что в левой половине, состоящей из четырех знаков, четное
число единиц, а в правой, также состоящей из четырех знаков, — точно две
единицы. (ВСЕ)
б) Некто задумал 10-значное двоичное число (числа могут
начинаться с нуля). Найти вероятность того, что четыре средних разряда в этом числе
занимают единицы. Например: 1011111100, 0001111011 и т. д. (Я2Е)
в) Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вынимают 5 карт. Найти
вероятность того, что среди них не будет ни одного вальта, ни одного короля
и ни одного туза. (СЕИ)
г) В пакете 5 репродукций с картин Нестерова, 5 — с картин Крымова
и 6 — с картин Васильева. Наугад вынимают 4 репродукции. Найти
вероятность того, что среди них будет хотя бы две репродукции с картин Нестерова.
(ИСЕ)
д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных. Наугад
берут 4 гайки. Найти вероятность того, что точно две из них квадратные.
(ОКС)
е) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Всего 15 книг.
С этой полки наугад берут три книги. Найти вероятность того, что среди
выбранных будет хотя бы один справочник. (ЛЖК)
394
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

47. а) Игральную кость, на гранях которой проставлены цифры 1,2,3,4,
5, 6, подбрасывают 3 раза. При первом броске выпадет число а, при
втором — число Ьу при третьем — число с. Найти вероятность того, что
выполнится условие: За < Ь + с. (Д61)
б) Каждая из 33 букв русского алфавита записана на отдельной
карточке. Из этих 33 букв наугад выбирают две. (Среди 33 букв русского
алфавита 10 букв являются гласными, 21 — согласными, твердый и мягкий знаки не
являются ни гласными, ни согласными.) Найти вероятность того, что на обеих
выбранных карточках не будет ни гласных букв, ни согласных. (ДИБ)
в) В корзине четыре вида грибов: 5 подосиновиков, 2 подберезовика,
3 белых и 4 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что среди них не будет ни одного подберезовика. (8ГУ)
г) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 5 тетрадей. Найти вероятность того, что среди выбранных не
будет тетрадей с зеленой обложкой. (МЭЙ)
д) В ящике 5 круглых гаек, 6 квадратных и 3 шестигранных, всего —
14 гаек. Из этого ящика наугад берут 4 гайки. Найти вероятность того, что
среди взятых имеются все три типа гаек, т. е. хотя бы одна круглая гайка,
хотя бы одна квадратная и хотя бы одна шестигранная. (ДГФ)
е) В пачке цветной бумаги 3 синих листа, 5 зеленых, 1 красный и
2 желтых. Из пачки наугад берут 4 листа. Найти вероятность того, что среди
них не будет ни одного синего листа. (ЗНП)
48. а) Игральную кость, грани которой пронумерованы числами 1,2,3,
4, 5, 6, подбрасывают 3 раза. В результате первого броска выпадет число а, в
результате второго — число Ьу в результате третьего — число с. Найти
вероятность того, что выполнится условие: а> Ь> с. (ИСП)
б) В урне 7 шаров, пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Из
урны наугад вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают
в урну и все шары перемешивают. Затем наугад вынимают еще один шар и
также записывают его номер. Найти вероятность того, что оба номера —
четные числа. (9МБ)
в) В коробке 3 красных карандаша, 5 зеленых и 6 синих. Наугад
берут 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них будет один красный
и не менее двух синих карандашей. (1ЖУ)
г) В корзине четыре вида грибов: 4 подосиновика, 1 подберезовик, 3
белых гриба и 3 сыроежки. Наугад вынимают 4 гриба. Найти вероятность того,
что среди них будет хотя бы два подосиновика и хотя бы один белый гриб.
(68А)
д) В ящике 9 гаек. Из них 5 круглых гаек, 2 квадратных и 2
шестигранных. Из ящика наугад берут 3 гайки. Найти вероятность того, что в этой
выборке будет хотя бы одна круглая гайка. (803)
е) Некто наугад записал 3-значное восьмеричное число, случайно
выбирая цифры. Найти вероятность того, что в числе точно две четные цифры
(числа могут начинаться с нуля). (8ЮН)
49. а) Игральную кость, грани которой пронумерованы числами 1,2,3,
4, 5, 6, подбрасывают 3 раза. После первого броска выпадет число а, после
13. КОМБИНАТОРИКА
395

второго — число bf после третьего — число с. Найти вероятность того, что
выполнится условие: a- b = с. (5ПЕ)
б) В урне 8 шаров, пронумерованных числами 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8. Из
урны наугад вынимают один шар, записывают его номер, а шар возвращают
в урну и все шары перемешивают. Точно так же поступают еще один раз.
Найти вероятность того, что один из номеров — четное число, а другой —
нечетное число. (ЕЛК)
в) В пачке 4 тетради с синей обложкой, 8 — с желтой и 2 — с зеленой.
Наугад берут 2 тетради. Найти вероятность того, что среди выбранных хотя
бы одна тетрадь будет с желтой обложкой. (ИШ5)
г) На полке 3 учебника, 10 справочников и 2 словаря. Наугад берут
две книги. Найти вероятность того, что это будут два словаря. (5РИ)
д) В тире 4 мишени. Перед мишенями три стрелка. Каждый стрелок
самостоятельно, независимо от других, выбирает мишень и производит один
выстрел без промаха. Найти вероятность того, что будут поражены точно три
мишени. (809)
е) Из букв разрезной азбуки составлено слово «трансформатор».
Ребенок, не умеющий читать, рассыпал это слово, после чего выбрал 4
карточки и расположил их в ряд. Найти вероятность того, что у него получится
слово « фара ». (ОШУ)
50. а) Монету подбрасывают 8 раз. При этом записывают единицу, если
монета падает гербом вверх, и нуль — в противоположном случае.
Получится 8-значное двоичное число. Найти вероятность того, что в левой половине,
состоящей из трех знаков, столько же единиц, сколько и в правой,
состоящей из пяти знаков. (5ПВ)
б) Монету подбрасывают 20 раз. Найти вероятность того, что среди
первых шести бросков герб выпадет точно три раза. (6ЖИ)
в) Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад вынимают 4 карты.
Найти вероятность того, что все они будут одной масти, например, только
пиковой, либо только червонной и др. (ПБК)
г) Перед мишенью стрелок. Вероятность его попадания в мишень при
одном выстреле равна 4/5. Найти вероятность того, что мишень будет
поражена только вторым выстрелом. (ШСВ)
д) Некто, случайно выбирая двоичные цифры, записал 6-значное
двоичное число (очевидно, что оно может начинаться с нуля). Найти
вероятность того, что в этом числе окажется точно две единицы, причем, эти
единицы нигде рядом не стоят. (2ЯШ)
е)Из букв разрезной азбуки составлено слово «барбарис». Ребенок,
не умеющий читать, рассыпал это слово, после чего выбрал 4 карточки и
расположил их в ряд. Найти вероятность того, что у него получится слово
«арба». (ЕГП)
396
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ТЕОРИЯ ГРАФОВ
14.1.
МАТРИЦА СМЕЖНОСТИ
НЕОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА
Приводим основные понятия, необходимые для
выполнения задания:
1) число ребер, выходящих из вершины, называется
степенью этой вершины;
2) вершина называется четной, если из нее выходит
четное число ребер. Если же из вершины выходит нечетное
число ребер, то такая вершина называется нечетной;
3) вершина называется висячей, если степень ее равна
единице;
4) граф называется полным, если в нем каждые две
различные вершины соединены точно одним ребром;
5) дополнением графа G называется граф G, содержащий
все вершины графа G, все ребра полного графа, которых нет
в графе G, и не содержащий ни одного ребра из графа G;
6) две вершины простого графа называются смежными,
если они соединены точно одним ребром;
7) в матрице смежности номера колонок и строк
обозначают вершины графа. На пересечении строк и колонок
ставят числа, показывающие, сколько ребер соединяют
соответствующие вершины.
Как выполнять задание данного
подраздела, поясним на примере матрицы,
приведенной на рис. 14.1.
Задание состоит в следующем.
Изобразить граф и ответить на контрольные
вопросы:
а) укажите степени вершин 2 и 7;
б) укажите вершины, степень
которых равна 3;
в) сколько четных вершин в графе?
Укажите их номера;
г) укажите висячие вершины; Рис. ыл
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
397

д) сколько ребер содержит дополнение графа?
е) укажите вершины, смежные относительно вершины 4;
ж) из заданного графа удалили вершину 7. Сколько в получившемся
подграфе ребер?
Решение. Граф изображен на рис. 14.2:
а) вершина 2 — висячая, ее степень равна единице.
Из вершины 7 выходит 5 ребер, следовательно, ее
степень равна 5. Ответ: 1,5;
б) степень, равную 3, имеют вершины 4 и 8. Ответ: 4,8;
в) степени вершин, начиная с первой, равны
соответственно: 4, 1, 4, 3, 1, 1, 5, 3. Четными из них являются
две вершины 1 и 3. Ответ: 2,1, 3 (т. е. в графе две четные
вершины, их номера 1 и 3);
г) степени вершин 2, 5 и 6 равны единице. Это висячие вершины. Ответ:
5,6;
д) в графе 8 вершин. Число ребер полного графа на восьми вершинах равно:
8! 7-8
а =
(8-2)! 2! 12
= 28.
В заданном графе 11 ребер. Следовательно, дополнение графа содержит
17 ребер. Ответ: 17;
е) из вершины 4 выходит три ребра. Они ведут к вершинам 1, 7 и 5. Эти
вершины являются смежными по отношению к вершине 4. Ответ: 1, 5, 7
(номера вершин необходимо упорядочить по возрастанию);
ж) в заданном графе 11 ребер. Из вершины 7 выходит 5 ребер. Если из
графа удалить вершину 7, то вместе с вершиной будут удалены и выходящие
из нее ребра. Следовательно, в получившемся подграфе останется 11-5 = 6
ребер. Ответ: 6.
Все эти ответы можно найти, анализируя лишь матрицу смежности, но так
как построение графа входит в задание наряду с контрольными вопросами, то
при подготовке ответов на вопросы можно пользоваться как матрицей
смежности, так и графом.
Задания
для самостоятельной работы
По заданной матрице смежности постройте граф и
дайте ответы на вопросы.
1. (Рис. 14.3):
а) укажите степени вершин 3 и 6; (НПП)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (СЭР)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (КМБ)
г) укажите висячие вершины; (ТЛТ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа?(095)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (РЗА) Рис. 14.з
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
2
1
1
1
3 4
1
1
1
1
1
5
1
6
1
7
1
8
1
398
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.4
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.5
ж) из заданного графа удалили вершину 1. Сколь- 12 3 4 5 6 7
ко в получившемся подграфе ребер? (П77) 1
2. (Рис. 14.4): 2
а) укажите степени вершин 1 и 4; (1ПП) 3
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (2ЭП) 4
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их но- 5
мера; (ЗНН) 6
г) укажите висячие вершины; (47К) 7
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (5ЯР) 8
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 7; (6МА)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (74Я)
3. (Рис. 14.5):
а) укажите степени вершин 2 и 4; (898)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (94А)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (Б53)
г) укажите висячие вершины; (АС7)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (В1Г)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 2; (ГИМ)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ДБМ)
4. (Рис. 14.6):
а) укажите степени вершин 2 и 8; (ЕРТ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ЖТО)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЗЫЛ)
г) укажите висячие вершины; (ИШЗ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (КПЦ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (ЛГА)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (МГ6)
5. (Рис. 14.7):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (Н5В)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (062)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ПМК)
г) укажите висячие вершины; (РОЙ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (СЕТ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 5; (ТРА)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (УТМ) Рис. 14.7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
1
1
1
1
л
1
4
1
1
1
5
1
6
1
1
1
7
1
8
1
1
Рис. 14.6
12 3 4 5 6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
399

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.8
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6. (Рис. 14.8): 12 3 4 5 6 7
а) укажите степени вершин 1 и 7; (ФОМ) 1
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ГТУ) 2
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их 3
номера; (Д79) 4
г) укажите висячие вершины; (БГИ) 5
д) сколько ребер содержит дополнение графа? 6
(ЕЮШ) 7
е) укажите вершины, смежные относительно вер- 8
шины 2; (ЖИГ)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (В25)
7. (Рис. 14.9):
а) укажите степени вершин 7 и 8; (Л50)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (МЗЕ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (НТН)
г) укажите висячие вершины; (КДЗ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ООЯ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 5; (ИЯГ)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЗЦП)
8. (Рис. 14.10):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (ПАФ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (Т45)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (СТК)
г) укажите висячие вершины; (УЭП)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (РОБ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (ФРШ)
ж) из заданного графа удалили вершину 5.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ХТН)
9. (Рис. 14.11):
а) укажите степени вершин 2 и 4; (ЦЖ8)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ШМК)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЩРП)
г) укажите висячие вершины; (473)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ЭЦШ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 3; (ОХО)
ж) из заданного графа удалили вершину 6.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЯШП) Рис. i4.ii
Рис. 14.9
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.10
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
400
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рос. 14.12
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10. (Рис. 14.12): 12 3 4 5 6 7
а) укажите степени вершин 2 и 8; (ЗЛ2) 1
б) укажите вершины, степень которых равна 3; 2
(502) 3
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их 4
номера; (6Б1) 5
г) укажите висячие вершины; (230) 6
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (4ЦГ) 7
е) укажите вершины, смежные относительно вер- 8
шины 7; (7ЭВ)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (1ЛИ)
11. (Рис. 14.13):
а) укажите степени вершин 1 и 5; (15С)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (5КО)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (6ЭП)
г) укажите висячие вершины; (ЧМЗ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (806)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (7ХД)
ж) из заданного графа удалили вершину 6.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (2Р9)
12. (Рис. 14.14):
а) укажите степени вершин 2 и 5; (328)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (94А)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ОРТ)
г) укажите висячие вершины; (АФ2)
д) сколько ребер содержит дополнение графа?(В32)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 3; (ГШО)
ж) из заданного графа удалили вершину 7.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (БКМ)
13. (Рис. 14.15):
а) укажите степени вершин 1 и 5; (ДША)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(Ж47)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЗКК)
г) укажите висячие вершины; (ИТЛ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (КЗЗ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины!; (ЛЭЛ)
ж) из заданного графа удалили вершину 1.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЕШМ) Рис. 14.15
Рис. 14.13
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рее. 14.14
12 3 4 5 6 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
401

14. (Рис. 14.16):
а) укажите степени вершин 3 и 5; (САО)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (TEA)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (РЗИ)
г) укажите висячие вершины; (НИД)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? ПОМ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (ОЗЛ)
ж) из заданного графа удалили вершину 5.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (МТО)
15. (Рис. 14.17):
а) укажите степени вершин 2 и 4; (УШУ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ХБЛ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЦЫЛ)
г) укажите висячие вершины; (ФЕИ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ИОС)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 6; (ШД2)
ж) из заданного графа удалили вершину 2.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЩС7)
16. (Рис. 14.18):
а) укажите степени вершин 3 и 4; (85Р)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(АСИ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ВЕЦ)
г) укажите висячие вершины; (2РО)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ГПУ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 8; (ЭДН)
ж) из заданного графа удалили вершину 3.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (375)
17. (Рис. 14.19):
а) укажите степени вершин 3 и 4; (ИПФ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ДСД)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (016)
г) укажите висячие вершины; (МЧТ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (КПЗ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 8; (БМУ)
ж) из заданного графа удалили вершину 1.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (158)
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рос. 14.16
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рее. 14.17
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.18
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.19
402
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

18. (Рис. 14.20):
а) укажите степени вершин 4 и 7; (Р2Д
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ЭАА]
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЮШЛ
г) укажите висячие вершины; (СОС
д) сколько ребер содержит дополнение графа?
(ШОА
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 8; (70Д
ж) из заданного графа удалили вершину 2. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ОГП
19. (Рис. 14.21):
а) укажите степени вершин 6 и 7; (ЧЖГ
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ЗЫН
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЖС5
г) укажите висячие вершины; (ЕРУ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ПЗН
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (640
ж) из заданного графа удалили вершину 7. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ЛИП
20. (Рис. 14.22):
а) укажите степени вершин 1 и 3; (55Л
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ХБ5
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ФЗЧ
г) укажите висячие вершины; (Н39
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (УПК
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ЦА1
ж) из заданного графа удалили вершину 6. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (Т65
21. (Рис. 14.23):
а) укажите степени вершин 1 и 7; (4ЯЕ
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (АГД
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ГЫТ
г) укажите висячие вершины; (ДОП
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ЕПЧ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ЖАЗ
ж) из заданного графа удалили вершину 5. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (540
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рос. 14.20
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.21
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рве. 14.22
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.23
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
403

22. (Рис. 14.24):
а) укажите степени вершин 1 и 4; (ЗУЧ
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (703
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (БЦИ
г) укажите висячие вершины; (ИЛК
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (6ЯЗ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 3; (ВТС
ж) из заданного графа удалили вершину 4. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ОГЛ
23. (Рис. 14.25):
а) укажите степени вершин 1 и 4; (137
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ЛУВ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (МЗП
г) укажите висячие вершины; (КРХ
д) сколько ребер содержит дополнение графа?
(НПШ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 4; (ОФЛ
ж) из заданного графа удалили вершину 5. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (2Г5
24. (Рис. 14.26):
а) укажите степени вершин 1 и 8; (ПХШ
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (РОА]
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЯЕМ
г) укажите висячие вершины; (ТЩН
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (СЦ2
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 4; (УЕО;
ж) из заданного графа удалили вершину 8. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (359
25. (Рис. 14.27):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (8Я9
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ФХ5
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЗАЛ
г) укажите висячие вершины; (9КА
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ШЗБ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ЭАА
ж) из заданного графа удалили вершину 4. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ХГН
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.24
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.25
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.26
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.27
404
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

26. (Рис. 14.28):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (ЗПК
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ВХЧ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (Г9Р
г) укажите висячие вершины; (ЕКБ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ИЦГ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 8; (ЗХШ
ж) из заданного графа удалили вершину 8. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (КУЛ
27. (Рис. 14.29):
а) укажите степени вершин 2 и 7; (2ЯН
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (АРП
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (БГХ
г) укажите висячие вершины; (ДМО
д) сколько ребер содержит дополнение графа?
(МЗЛ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ЛИЯ
ж) из заданного графа удалили вершину 3. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (1НЧ
28. (Рис. 14.30):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (ОХП
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (КЦУ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЛПТ
г) укажите висячие вершины; (ОЖК
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (НОИ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 3; (МТО
ж) из заданного графа удалили вершину 1. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ИДК
29. (Рис. 14.31):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (577
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (Н56
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЮХП
г) укажите висячие вершины; (Ж87
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (РЗА]
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 5; (ПХ9
ж) из заданного графа удалили вершину 3. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (6ВЛ
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.28
12 3 4 5 6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.29
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.30
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.31
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
405

30. (Рис. 14.32):
а) укажите степени вершин 1 и 4; (807
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (СА9
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ТФБ
г) укажите висячие вершины; (905
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ФПИ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (УВГ
ж) из заданного графа удалили вершину 4. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (747
31. (Рис. 14.33):
а) укажите степени вершин 1 и 4; (ОПШ
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ГКБ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ABE
г) укажите висячие вершины; (ЗРУ
д) сколько ребер содержит дополнение графа?
(9ЦШ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ДОК
ж) из заданного графа удалили вершину 2. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ЕНИ
32. (Рис. 14.34):
а) укажите степени вершин 2 и 4; (ИНД
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (355
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ИЗУ
г) укажите висячие вершины; (БТИ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (КПЦ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ВАЯ
ж) из заданного графа удалили вершину 6. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (154
33. (Рис. 14.35):
а) укажите степени вершин 1 и 8; (2МК
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ЦРШ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ХРИ
г) укажите висячие вершины; (ЛИН
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ЖЗО
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины1; (ЕЗЬ
ж) из заданного графа удалили вершину 8. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ОТ7
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.32
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
1
1
3 4 5
1
1
1
1
1
1
1
6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.33
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.34
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.35
406
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

34. (Рис. 14.36):
а) укажите степени вершин 2 и 5; (СШМ
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ФИР
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ТМТ
г) укажите висячие вершины; (ПИФ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (БЗА]
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 8; (У26
ж) из заданного графа удалили вершину 8. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (586
35. (Рис. 14.37):
а) укажите степени вершин 2 и 3; (7ЛЯ
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (8РО
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (077
г) укажите висячие вершины; (МЖК
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (43Т
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 1; (Н9Ж
ж) из заданного графа удалили вершину 2. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (6В7
36. (Рис. 14.38):
а) укажите степени вершин 2 и 6; (655
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(АЖВ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЛЛВ
г) укажите висячие вершины; (77В
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (Н35
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 4; (МШИ
ж) из заданного графа удалили вершину 2. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ЧАК
37. (Рис. 14.39):
а) укажите степени вершин 2 и 7; (5ЖР
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (БТУ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (РКЖ
г) укажите висячие вершины; (ОЕ7
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ПЗН
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 6; (С7С
ж) из заданного графа удалили вершину 6. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ВВН
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.36
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.37
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.38
1
2
"»
J
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
2
1
3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.39
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
407

38. (Рис. 14.40):
а) укажите степени вершин 3 и 6; (200
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ДБИ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЕШУ
г) укажите висячие вершины; (ЗОЙ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ГОФ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (ЗХН
ж) из заданного графа удалили вершину 6. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (ОРП
39. (Рис. 14.41):
а) укажите степени вершин 3 и 7; (1ШС
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(456
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЖГИ
г) укажите висячие вершины; (ТЛА
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (УЦК
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 2; (КЖТ
ж) из заданного графа удалили вершину 3. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (8РЮ
40. (Рис. 14.42):
а) укажите степени вершин 3 и 4; (ФЯО
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ХВ9
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЦТ5
г) укажите висячие вершины; (ОЭЛ
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ШПБ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 6; (4ПА
ж) из заданного графа удалили вершину 7. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (9ЛК
41. (Рис. 14.43):
а) укажите степени вершин 2 и 6; (40Т
б) укажите вершины, степень которых равна 4; (ЛЗУ
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (МЭП
г) укажите висячие вершины; (ДЗО
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (НОИ
е) укажите вершины, смежные относительно вер
шины 3; (ЕРУ
ж) из заданного графа удалили вершину 7. Сколь
ко в получившемся подграфе ребер? (379
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.40
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.41
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.42
1
2
"»
J
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
2
1
3 4 5
1
1
1
1
6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.43
408
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

42. (Рис. 14.44):
а) укажите степени вершин 2 и 6; (ТЭВ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ОИЩ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (2ДШ)
г) укажите висячие вершины; (ВР6)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (9ЯШ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 2; (1АБ)
ж) из заданного графа удалили вершину 7.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (8БО)
43. (Рис. 14.45):
а) укажите степени вершин 2 и 3; (ЮХО)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ТЕД)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (УКН)
г) укажите висячие вершины; (РЭФ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (СЦХ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 7; (БОД)
ж) из заданного графа удалили вершину 3.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (5ИЩ)
44. (Рис. 14.46):
а) укажите степени вершин 2 и 3; (АХС)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ЦПК)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ХИШ)
г) укажите висячие вершины; (78А)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ФОЙ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 1; (ЧПХ)
ж) из заданного графа удалили вершину 6.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЖТН)
45. (Рис. 14.47):
а) укажите степени вершин 2 и 3; (6ЯД)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(ЯИМ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (580)
г) укажите висячие вершины; (ЗЕС)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ЧЕХ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 3; (ЩРХ)
ж) из заданного графа удалили вершину 1.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (КВЛ)
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.44
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.45
1
2
"»
J
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
1
3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.46
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.47
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
409

46. (Рис. 14.48):
а) укажите степени вершин 2 и 7; (8П9)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(АВТ)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (9ДО)
г) укажите висячие вершины; (БКШ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ВЯХ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 3; (1АР)
ж) из заданного графа удалили вершину 3.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ОТП)
47. (Рис. 14.49):
а) укажите степени вершин 2 и 7; (2ПИ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ГУК)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (ЕРМ)
г) укажите висячие вершины; (ДГ2)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ЖЗО)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (ЗМШ)
ж) из заданного графа удалили вершину 6.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ЧАО)
48. (Рис. 14.50):
а) укажите степени вершин 2 и 3; (ЗОМ)
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (КСО)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (МУ9)
г) укажите висячие вершины; (ОГЛ)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (НЗШ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 8; (ЛПХ)
ж) из заданного графа удалили вершину 3.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ИВК)
49. (Рис. 14.51):
а) укажите степени вершин 3 и 8; (ПХН)
б) укажите вершины, степень которых равна 3;
(РЖР)
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их
номера; (СКГ)
г) укажите висячие вершины; (501)
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (ТПУ)
е) укажите вершины, смежные относительно
вершины 4; (УОЛ)
ж) из заданного графа удалили вершину 8.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (ФЛИ)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
1
1
1
3 4 5
1
1
1
1
1
1
6 7
1
1
1
1
8
1
1
Рис. 14.48
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
1
1
1
3 4 5
1
1
1
1
1
1
1
1
6 7 8
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.49
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
2
1
3 4 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6 7 8
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.50
12 3 4 5 6 7 8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.51
410
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
г
Рис. 14.52
50. (Рис. 14.52): 12 3 4 5 6 7 8
а) укажите степени вершин 2 и 8; (6ПУ) 1
б) укажите вершины, степень которых равна 3; (ХПК) 2
в) сколько четных вершин в графе? Укажите их 3
номера; (Ц66) 4
г) укажите висячие вершины; (7ШР) 5
д) сколько ребер содержит дополнение графа? (4ЯТ) 6
е) укажите вершины, смежные относительно вер- 7
шины 1; (ШЗФ) 8
ж) из заданного графа удалили вершину 7.
Сколько в получившемся подграфе ребер? (Э76)
14.2.
МАТРИЦА ИНЦИДЕНТНОСТИ
В данной теме используются следующие понятия (хотя некоторые из них
приведены в предыдущем подразделе 14.1, но для удобства работы с
пособием приведем их повторно):
1) вершина и ребро называются инцидентными, если ребро выходит из
этой вершины. Например, ребро 1-4 на рис. 14.54 является инцидентным
вершине 1 и вершине 4;
2) граф называется полным, если в нем каждые две различные вершины
соединены точно одним ребром;
3) дополнением графа G на п вершинах называется граф G, содержащий
все п вершин графа G, все ребра полного n-вершинного графа, которых нет в
графе G, и не содержащий ни одного ребра из графа G;
4) число ребер, выходящих из вершины, называется степенью вершины;
5) вершина называется висячей, если степень ее равна единице;
6) вершина называется четной, если из нее выходит четное число ребер.
Если же из вершины выходит нечетное число ребер, то такая вершина
называется нечетной;
7) в матрице смежности номера строк обозначают вершины графа. В
каждой колонке стоят две единицы. Они показывают, какие вершины соединены
ребром.
Рассмотрим образец выполнения задания на примере матрицы,
приведенной на рис. 14.53.
Требования к заданию: построить граф по
заданной матрице инцидентности и ответить на
следующие вопросы:
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 5?
б) укажите вершины со степенью 2;
в) укажите номера висячих вершин;
г) укажите номера четных вершин;
д) сколько ребер в дополнении графа?
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 5? Рис-14-53
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
411

0
1 ,
8 (
p y^ /
^
/ •
i 4
Рис. 14.54
Рис. 14.55
Решение. Так как матрица состоит из 8
пронумерованных строк, то соответствующий граф
содержит 8 вершин. Всего в матрице 10 колонок.
Столько же ребер содержится в графе. Граф,
построенный на основе заданной матрицы, приведен
на рис. 14.54. Согласно этому графу:
а) вершина 3 инцидентна четырем ребрам,
вершина 5 инцидентна одному ребру. Ответ: 4, 1;
б) граф содержит две вершины, степени
которых равны 2. Это вершины 1 и 2. Ответ: 1,2;
в) степени вершин 5 и 6 равны единице. Это
висячие вершины. Ответ: 5, 6;
г) степени вершин (нумерация с единицы)
равны соответственно: 2, 2, 4, 3,1,1,3, 4. Среди них
четыре вершины имеют четную степень: 1, 2, 3 и
8. Ответ: 1,2, 3,8;
д) число k ребер полного графа определяется по
п(п-1)
формуле k
-у где п — число вершин.
Согласно этой формуле k = 28. Вычтем из них 10 ребер заданного графа.
Оставшиеся 18 ребер войдут в дополнение. Ответ: 18;
е) дополнение графа приведено на рис. 14.55. Вершина 4 дополнения
инцидентна четырем ребрам, вершина 5 инцидентна шести ребрам. Ответ: 4, 6.
Задания
для самостоятельной работы
Постройте граф по заданной матрице
инцидентности и дайте ответы на вопросы.
1. (Рис. 14.56):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (ЗПК)
б) укажите вершины со степенью 3; (95К)
в) укажите номера висячих вершин; (ОГХ)
г) укажите номера четных вершин; (8АС)
д) сколько ребер в дополнении графа? (АЕЦ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (БКИ)
2. (Рис. 14.57):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 7? (2ПШ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ВКБ)
в) укажите номера висячих вершин; (Е7Б)
г) укажите номера четных вершин; (ЖХО)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ИЭ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 6? вершине 7? (ОАТ)
гг
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.56
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.57
412
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

3. (Рис. 14.58):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 7? (УДО)
б) укажите вершины со степенью 4; (7КП)
в) укажите номера висячих вершин; (ГЭР)
г) укажите номера четных вершин; (ДИЛ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ЗЕЙ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ИВЩ)
4. (Рис. 14.59):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 4? (ИЗУ)
б) укажите вершины со степенью 3; (НПВ)
в) укажите номера висячих вершин; (СШС)
г) укажите номера четных вершин; (МНЕ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (Т9В)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 3? (ШАЧ)
5. (Рис. 14.60):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 5? (КЛЫ)
б) укажите вершины со степенью 3; (Р64)
в) укажите номера висячих вершин; (ООЖ)
г) укажите номера четных вершин; (ПИУ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ЛЕА)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 5? (КУГ)
6. (Рис. 14.61):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 8? (7ПГ)
б) укажите вершины со степенью 4; (ЕОЙ)
в) укажите номера висячих вершин; (ЗТУ)
г) укажите номера четных вершин; (ЛИМ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (МЦЛ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 7? (У7Б)
71
1
71
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.58
[ 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.59
71
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
и
1
1
1
1
Рис. 14.60
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.61
Рис. 14.62
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
413

7. (Рис. 14.62):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 6? (85А)
б) укажите вершины со степенью 4; (623)
в) укажите номера висячих вершин; (ГМЕ)
г) укажите номера четных вершин; (УИЛ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(20Я)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 2? (5ЖУ)
8. (Рис. 14.63):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (ВЯР)
б) укажите вершины со степенью 3; (48А)
в) укажите номера висячих вершин; (49Х)
г) укажите номера четных вершин; (НИА)
д) сколько ребер в дополнении графа? (КЕС)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ЗВЕ)
9. (Рис. 14.64):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 4? (ОДЛ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ФЯЙ)
в) укажите номера висячих вершин; (178)
г) укажите номера четных вершин; (ПХШ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (2ПО)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 5? вершине 6? (ТАЧ)
10. (Рис. 14.65):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 4?(9РВ)
б) укажите вершины со степенью 3; (А2Д)
в) укажите номера висячих вершин; (РЯР)
г) укажите номера четных вершин; (БГС)
д) сколько ребер в дополнении графа?(СЯХ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 5? вершине 7? (007)
11. (Рис. 14.66):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 6? вершине 8? (АЛИ)
б) укажите вершины со степенью 5;(БИМ)
в) укажите номера висячих вершин; (Д10)
г) укажите номера четных вершин;(ЕЖИ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ЖЗО)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 3? (92Н)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.63
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.64
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.65
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.66
414
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

12. (Рис. 14.67):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вер
шине 5? вершине 8? (ОП5)
б) укажите вершины со степенью 3; (70Б)
в) укажите номера висячих вершин; (8ФЯ)
г) укажите номера четных вершин; (ГРЮ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (BET)
е) сколько в дополнении графа ребер, инци
дентных вершине 3? вершине 8? (ЗАЕ)
13. (Рис. 14.68):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вер
шине 1? вершине 6? (КЗА)
б) укажите вершины со степенью 3; (4ПА)
в) укажите номера висячих вершин; (ИГЛ)
г) укажите номера четных вершин; (5ТЯ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (6ЕВ)
е) сколько в дополнении графа ребер, инци
дентных вершине 1? вершине 6? (ЛИ9)
14. (Рис. 14.69):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вер
шине 1? вершине 8?
б) укажите вершины со степенью 3;
в) укажите номера висячих вершин;
г) укажите номера четных вершин;
д) сколько ребер в дополнении графа?
11
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.67
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
| 1
Рис. 14.68
(МША)
(НТР)
(ТИЙ)
(СХИ)
(УЗК)
е) сколько в дополнении графа ребер, инцидентных вершине 1?
вершине 8? (1X8)
15. (Рис. 14.70):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вершине 3? вершине 5?(ОЭЙ)
б) укажите вершины со степенью 3; (РИМ)
в) укажите номера висячих вершин; (ЗЕМ)
г) укажите номера четных вершин; (ПДУ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ОЗЯ)
е) сколько в дополнении графа ребер, инцидентных вершине 2?
вершине 6? (220)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.69
Рис. 14.70
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
415

16. (Рис. 14.71):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 5? (ВРН)
б) укажите вершины со степенью 4; (62Ц)
в) укажите номера висячих вершин; (ЕРИ)
г) укажите номера четных вершин; (73Л)
д) сколько ребер в дополнении графа? (Ж 17)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 6? (108)
17. (Рис. 14.72):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 5? (ОЯШ)
б) укажите вершины со степенью 3; (АПР)
в) укажите номера висячих вершин; (8Г5)
г) укажите номера четных вершин; (ББМ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (396)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 5? (2АЗ)
18. (Рис. 14.73):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (ЗЯК)
б) укажите вершины со степенью 3; (9ЖК)
в) укажите номера висячих вершин; (ИЛЗ)
г) укажите номера четных вершин; (КГЛ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ОПП)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ЧАЩ)
19. (Рис. 14.74):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 6? (УПЫ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ЛБГ)
в) укажите номера висячих вершин; (ОРТ)
г) укажите номера четных вершин; (ПНК)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ТЯД)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 8? (ГС9)
20. (Рис. 14.75):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 6? (УПШ)
б) укажите вершины со степенью 3; (РАЙ)
в) укажите номера висячих вершин; (МУК)
г) укажите номера четных вершин; (СОЦ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (НЕМ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 3? (ФХ9)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.71
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.72
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.73
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.74
416
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

21. (Рис. 14.76):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вершине 4? вершине 5? (6НА)
б) укажите вершины со степенью 3; (701)
в) укажите номера висячих вершин; (ГОР)
г) укажите номера четных вершин; (Е9Ж)
д) сколько ребер в дополнении графа? (810)
е) сколько в дополнении графа ребер, инцидентных вершине 2?
вершине 6? (ЕКА)
22. (Рис. 14.77):
а) сколько в графе ребер, инцидентных вершине 4? вершине 5? (ОЯШ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ВМБ)
в) укажите номера висячих вершин; (97А)
г) укажите номера четных вершин; (ДОЛ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ОЕК)
е) сколько в дополнении графа ребер, инцидентных вершине 3?
вершине 7? (ЖИХ)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
L
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.75
Рис. 14.76
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.77
Рис. 14.78
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.79
Рис. 14.80
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
417

23. (Рис. 14.78):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 7? (ФПО)
б) укажите вершины со степенью 3; (РУС)
в) укажите номера висячих вершин;(ХРЯ)
г) укажите номера четных вершин; (АИЩ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (ЕЯЧ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ЗВ1)
24. (Рис. 14.79):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 8? (ЧУЗ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ЗЯР)
в) укажите номера висячих вершин; (76П)
г) укажите номера четных вершин; (5ВЧ)
д) сколько ребер в дополнении графа? (СЦХ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 8? (ТШП)
25. (Рис. 14.80):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 5? (МЭН)
б) укажите вершины со степенью 3;(ЭХИ)
в) укажите номера висячих вершин;(ИКК)
г) укажите номера четных вершин;(ПУЧ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(КЦЦ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 5? (РАШ)
26. (Рис. 14.81):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (ЧП1)
б) укажите вершины со степенью 3;(ГКФ)
в) укажите номера висячих вершин; (ФКР)
г) укажите номера четных вершин; (АЕХ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ДЯК)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ФАА)
27. (Рис. 14.82):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 6? (ОЯМ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ББ8)
в) укажите номера висячих вершин; (ВЫС)
г) укажите номера четных вершин;(НИЧ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ХПО)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.81
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.82
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.83
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.84
418
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) сколько в дополнении графа ребер, ин- j
цидентных вершине 3? вершине 7? (262) 2
28. (Рис. 14.83): 3
а) сколько в графе ребер, инцидентных 4
вершине 1? вершине 5? (397) 5
б) укажите вершины со степенью 3; (ИМЗ) 5
в) укажите номера висячих вершин; (026) j
г) укажите номера четных вершин; (РЯО) g
д) сколько ребер в дополнении графа? (338)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (5ХД)
29. (Рис. 14.84):
а) сколько в графе ребер, инцидентных j
вершине 3? вершине 7? (ПЛЦ) 2
б) укажите вершины со степенью 3; (747) 3
в) укажите номера висячих вершин; (КМВ) ^
г) укажите номера четных вершин; (С38) ^
д) сколько ребер в дополнении графа? ^
(633) ?
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- g
цидентных вершине 2? вершине 8? (ДИХ)
30. (Рис. 14.85):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 7? (ТРЯ)
б) укажите вершины со степенью 4; (8РК) j
в) укажите номера висячих вершин; ->
(ЛЮФ) з
г) укажите номера четных вершин; (МОХ) ^
д) сколько ребер в дополнении графа?(918) ^
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- ^
цидентных вершине 2? вершине 7? (ЭКБ) j
31. (Рис. 14.86): g
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 4? (6ЭР)
б) укажите вершины со степенью 3; (ГОД)
в) укажите номера висячих вершин; (7БН)
г) укажите номера четных вершин; (ДКЦ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ХПЮ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 4? (OCX)
32. (Рис. 14.87):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 8? (190)
б) укажите вершины со степенью 3; (Б54)
в) укажите номера висячих вершин; (8ТТ)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

г) укажите номера четных вершин; (ЗАВ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ИЯТ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 5? вершине 8? (2АГ)
33. (Рис. 14.88):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 7? (РЯЗ)
б) укажите вершины со степенью 3; (ЗБШ)
в) укажите номера висячих вершин;(УЕЩ)
г) укажите номера четных вершин;(НЕН)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ЕЗИ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 3? (ИВЛ)
34. (Рис. 14.89):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 6? (ЭКЗ)
б) укажите вершины со степенью 3; (БАО)
в) укажите номера висячих вершин;
(КИП)
г) укажите номера четных вершин; (АБО)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(СПХ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 5? (ШАИ)
35. (Рис. 14.90):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (Я29)
б) укажите вершины со степенью 3;(Я5Я)
в) укажите номера висячих вершин; (СХЦ)
г) укажите номера четных вершин;(МКС)
д) сколько ребер в дополнении графа?(ТЗУ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ЛАЙ)
36. (Рис. 14.91):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 5? вершине 6? (АПА)
б) укажите вершины со степенью 3;(БОА)
в) укажите номера висячих вершин;
(ВЛБ)
г) укажите номера четных вершин; (ПХШ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(НПШ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 7? (ОДК)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.89
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.90
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.91
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.92
420
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

37. (Рис. 14.82): 1
а) сколько в графе ребер, инцидентных 2
вершине 1? вершине 5? (15С) 3
б) укажите вершины со степенью 3; (ЕЖМ) 4
в) укажите номера висячих вершин; 5
(МЫП) 6
г) укажите номера четных вершин; (ГПЛ) 7
д) сколько ребер в дополнении графа? 8
(338)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 4? вершине 6? (ДИС)
38. (Рис. 14.93):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 5? (РЗЗ)
б) укажите вершины со степенью 5; (УБЫ)
в) укажите номера висячих вершин; (ФОЭ)
г) укажите номера четных вершин; (305)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ХОП)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 6? (2ГЕ)
39. (Рис. 14.94):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (С5М)
б) укажите вершины со степенью 3;(К50) 1
в) укажите номера висячих вершин; (473) 2
г) укажите номера четных вершин;(5ЯС) з
д) сколько ребер в дополнении графа? 4
(ИЗГ) 5
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- б
цидентных вершине 4? вершине 6? (НАР) j
40. (Рис. 14.95): 8
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 8? (МЯЙ)
б) укажите вершины со степенью 3;
(ДЫШ)
в) укажите номера висячих вершин; (69Г)
г) укажите номера четных вершин; (ЛИЧ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(7ЯФ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 5? вершине 7? (Т5Я)
41. (Рис. 14.96):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (АЙЧ)
б) укажите вершины со степенью 3;(Б84)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

в) укажите номера висячих вершин; 1
(ЖЗК) 2
г) укажите номера четных вершин; (ИИК) з
д) сколько ребер в дополнении графа? 4
(ВЦХ) 5
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- 5
цидентных вершине 4? вершине 6? (ОША) j
42. (Рис. 14.97): 8
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 4? (ЩП)
б) укажите вершины со степенью 3; (КИС)
в) укажите номера висячих вершин;
(ЗБА)
г) укажите номера четных вершин; (СУВ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ГПУ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 1? вершине 6? (2АЦ)
43. (Рис. 14.98):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 5? (ЗЯЛ)
б) укажите вершины со степенью 3; (МЕЛ)
в) укажите номера висячих вершин;
(ТНБ)
г) укажите номера четных вершин; (ЛОА)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ДЦК)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 5? вершине 6? (ЧАЩ)
44. (Рис. 14.99):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 2? вершине 5? (5ПС)
б) укажите вершины со степенью 3; (8П9)
в) укажите номера висячих вершин; (Е89)
г) укажите номера четных вершин; (Н28)
д) сколько ребер в дополнении графа? (904)
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- 1
цидентных вершине 3? вершине 4? (6ЖГ) 2
45. (Рис. 14.100): 3
а) сколько в графе ребер, инцидентных 4
вершине 1? вершине 5? (УП8) 5
б) укажите вершины со степенью 3; (ПХН) 6
в) укажите номера висячих вершин; (ФФ2) 7
г) укажите номера четных вершин; (РОФ) 8
д) сколько ребер в дополнении графа?
(Ю95)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.97
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.98
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.100
422
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

е) сколько в дополнении графа ребер, ин- \
цидентных вершине 4? вершине 6? (7АМ) 2
46. (Рис. 14.101): з
а) сколько в графе ребер, инцидентных 4
вершине 1? вершине 8? (337) 5
б) укажите вершины со степенью 3; (ЧВВ) ^
в) укажите номера висячих вершин; (8KB) j
г) укажите номера четных вершин; (А32) g
д) сколько ребер в дополнении графа?
(9ПШ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 2? вершине 3? (043)
47. (Рис. 14.102):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 3? вершине 7? (1ПО)
б) укажите вершины со степенью 3;(6ДШ)
в) укажите номера висячих вершин; (БТ8)
г) укажите номера четных вершин; (5АИ)
д) сколько ребер в дополнении графа?
(ЕЗИ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 6? (2Ш1)
48. (Рис. 14.103):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 4? вершине 5? (ЗПП) 1
б) укажите вершины со степенью 3; (ВВП) 2
в) укажите номера висячих вершин; (ДГО) з
г) укажите номера четных вершин; (ГЦУ) 4
д) сколько ребер в дополнении графа? 5
(73Е) 6
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- j
цидентных вершине 2? вершине 4? (ЖАТ) g
49. (Рис. 14.104):
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 1? вершине 5? (ИЯФ)
б) укажите вершины со степенью 3; (Л2У)
в) укажите номера висячих вершин; 1
(НОН) 2
г) укажите номера четных вершин; (КНН) 3
д) сколько ребер в дополнении графа? 4
(ППН) 5
е) сколько в дополнении графа ребер, ин- 6
цидентных вершине 4? вершине 5? (ЧВК) 7
50. (Рис. 14.105): 8
а) сколько в графе ребер, инцидентных
вершине 6? вершине 7? (Щ7)
1
2
3
4
5
6
7
8
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

б) укажите вершины со степенью 3; (УЮШ)
в) укажите номера висячих вершин; (МЕП)
г) укажите номера четных вершин; (ОИС)
д) сколько ребер в дополнении графа? (РЕФ)
е) сколько в дополнении графа ребер,
инцидентных вершине 3? вершине 7? (ТИМ)
14.3.
ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 14.105
Напомним основные понятия, необходимые для успешного выполнения
нижеприведенных заданий (некоторые из них приведены в двух
предыдущих подразделах):
1) число выходящих из вершины ребер называется степенью этой вершины;
2) вершина называется четной, если из нее выходит четное число ребер.
Если же число выходящих из вершины ребер нечетно, то эта вершина
называется нечетной. Например, висячая вершина является нечетной, так как из
нее выходит только одно ребро;
3) граф называется связным, если для каждых двух его вершин
существует соединяющая их простая цепь;
4) связный граф называется эйлеровым, если в нем нет ни одной
нечетной вершины. В любом эйлеровом графе существует замкнутая уникурсаль-
ная линия (замкнутая эйлерова цепь), т. е. такая линия, которую можно
провести, не отрывая карандаш от бумаги и проходя точно по одному разу по
всем ребрам графа. Начинается и оканчивается замкнутая уникурсальная
линия в одной и той же вершине;
5) связный граф называется полуэйлеровым, если в нем точно две
нечетные вершины. В любом полуэйлеровом графе существует разомкнутая
уникурсальная линия (разомкнутая эйлерова цепь). Начинается она всегда в
одной из двух нечетных вершин и оканчивается в другой. В четной вершине
разомкнутая уникурсальная линия начинаться (и оканчиваться) не может;
6) граф, в котором число нечетных вершин превышает 2, не является
эйлеровым и не является полуэйлеровым;
7) если граф содержит кратные ребра, то уникурсальная линия должна
проходить через каждое ребро.
Задания
для самостоятельной работы
Укажите сначала номера всех эйлеровых графов в порядке возрастания,
а затем — номера всех полуэйлеровых графов (также в порядке возрастания).
1. а) рис. 14.106
2. а) рис. 14.108
3. а) рис. 14.110
4. а) рис. 14.112
(ОЯН)
(ЛИГ)
(бич)
(СХП)
б) рис. 14.107.
б) рис. 14.109.
б) рис. 14.111.
б) рис. 14.113.
(РИН)
(ПЕФ)
(НАД)
(МХЩ)
424
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
а) рис.
14.114
14.116
14.118
14.120
14.122
14.124
14.126
14.128
14.130
14.132
14.134
14.136
14.138
14.140
14.142
14.144
14.146
14.148
14.150
14.152
14.154
14.156
14.158
14.160
14.162
14.164
14.166
14.168
14.170
14.172
14.174
14.176
14.178
14.180
14.182
14.184
14.186
14.188
14.190
14.192
14.194
14.196
14.198
14.200
14.202
14.204
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
(1ФД)
(РТР)
(УКИ)
(КИН)
(2ЯС)
(ИОД)
(ФЗШ)
(ЦМА)
(ЧТЗ)
(ИЖФ)
(ХНО)
(5С5)
(7АЛ)
(ЭУД)
(817)
(ЕВК)
(ОУТ)
(Д35)
(ЭВЕ)
(В26)
(БАА)
(2БГ)
(ЯВЫ)
(ВИГ)
, (АЖХ)
(ГЛИ)
(6Я5)
> (ДВШ)
(УНО)
(БВН)
(858)
(ВНТ)
(ЖОЛ)
(ЛЭЗ)
(ЗАН)
(КОА)
(ЧУО)
(МТ9)
(КЗЛ)
(ЖОГ)
(ЗГУ)
(МЗО)
(Р5Б)
(2ПП)
(ОЗШ)
(1АЮ)
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
рис.
4.115.
4.117.
4.119.
4.121.
4.123.
4.125.
4.127.
4.129.
4.131.
4.133.
4.135.
4.137.
4.139.
4.141.
4.143.
4.145.
4.147.
4.149.
4.151.
4.153.
4.155.
4.157.
4.159.
4.161.
4.163.
4.165.
4.167.
4.169.
4.171.
4.173.
4.175.
4.177.
4.179.
4.181.
4.183.
4.185.
4.187.
4.189.
4.191.
4.193.
4.195.
4.197.
4.199.
4.201.
4.203.
4.205.
(УЗЫ)
(ТВЧ)
(ТЖИ)
(ФТМ)
(С77)
(ХАХ)
(ЗЯХ)
(ЖХЩ)
(ЗАЩ)
(ШС8)
(ШЗВ)
(ЩНГ)
(6ПЕ)
(ЗАЛ)
(ЗУЛ)
(90А)
(Щ73)
(АТТ)
(ЯКП)
(14С)
(ЮЖТ)
(ГОГ)
(ВЗР)
(437)
(5ЛЛ)
(954)
(НАМ)
(ФЭУ)
(8ЮС)
(725)
(ЕЯК)
(ТВИ)
(6ВЖ)
(7ХС)
(ФАИ)
(Д76)
(ИЯШ)
(519)
(ЭВУ)
(ЛЯЦ)
(ИВА)
(ПИФ)
(НВЗ)
(СЭН)
(ТЫГ)
(ПРП)
425

егашЕз
Рис. 14.106
В # #
§И11
Рис. 14.107
n^t
от
lJ kvsl
Рис. 14.108
ш# # #
шш
Рис. 14.109
426
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ш
Рис. 14.110
ФЖШЖ
я #
Рис. 14.111
^^швз
#^
Рис. 14.112
огажи
#^^
Рис. 14.113
0Ий«
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
427

12 3 4
X
Рис. 14.114
• * •
»жиш
Рис. 14.115
12 3 4
Рис. 14.116
Kfi># *
Рис. 14.117
428
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 14.118
#ккжкз
п ® &
Рис. 14.119
#хажк^
Рис. 14.120
И© ф ф
#ж
Рис. 14.121
* -D
ФК^ШКЗ
И. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
429

® ® %
^rWTKW
Рис. 14.122
MB % #
12 3 4
№'М"МЖ
##$
§ижм
Рис. 14.123
Рис. 14.124
М# Ф •*
#жх^
Рис. 14.125
430
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 14.126
Рис. 14.127
12 3 4
Ы© Ф Ч
Рис. 14.128
WMW
М$ Ф •£
Рис. 14.129
Ц-МЧ1Ж
И. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
431

k3^ i> $•
12 3 4
Рис. 14.130
ы& & 4£
■®РУЫ^
Рис. 14.131
M£>^f #
й/ИЖЕ
Рис. 14.132
4J- <^кЯ&
в>г1>Н
Рис. 14.133
432
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

л
й^^е
Рис. 14.134
^fSPK
#
Рис. 14.135
■^{3
MM i№
5 6 7 8
Рис. 14.136
^si
ж
«I Ф ^м
Рис. 14.137
#^крг
И. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
433

^0^1-Й-
ММ ¥сШ
Рис. 14.138
Ж
в*
0га
ж
Рис. 14.139
ж® # #
ra^<z>
Рис. 14.140
®%myt
НОШ
Рис. 14.141
434
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

## w#
Рис. 14.142
ж
От
Рис. 14.143
жжжо
&& о
Рис. 14.144
жтто
yto о
Рис. 14.145
ЖКАЖО
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
435

## ж#
ЙИЙ»
Рис. 14.146
0# NC-»
ш
^ <з>ж
Рис. 14.147
€>-Х- Ж 04-
ШЖ^ И
Рис. 14.148
## Ш^
жи#и
Рис. 14.149
436
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

*&#к
Рис. 14.150
• Ф-
Рис. 14.151
*-а> <&
#^ХЖ1^
Рис. 14.152
€> Ф У-
•»ЖЖт
Рис. 14.153
М©^ #
1Ж#
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
437

%г> ®
Рис. 14.154
W^fTK^
Рис. 14.155
#© ^ м
ЖМ~М№
Рис. 14.156
## ®
МК*1Ш«>
Рис. 14.157
438
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

^# м*
Рис. 14.158
Рис. 14.159
Рис. 14.160
5 6 7 8
12 3 4
5 6 7 8
tee фы
Рис. 14.161
WWM
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
439

•&&&M
жмчйи
Рис. 14.162
<Я ® ЬЯ*
:^чз
Рис. 14.163
№&&*&
WW Ж $
Рис. 14.164
#0XHvt
ШМ #М
Рис. 14.165
440
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 14.166
ИфИЙ
©
# #
Рис. 14.167
<2>
ф Ф
0#
Рис. 14.168
га п
та
#о
Рис. 14.169
#1ИШ
1<1. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
441

Шйй 0
Рис. 14.170
Ю"3> О 4£
<$М Шй
Рис. 14.171
# #
о
Рис. 14.172
# *
© ш
Рис. 14.173
442
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

# о<з>
Рис. 14.174
#m
x
m
ж
#£*>
Рис. 14.175
*ЖИЙ
ФЙ1- #
Рис. 14.176
ж#
©кс^ *
Рис. 14.177
Н
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
443

12 3 4
Рис. 14.178
т® щ-
#ж
¥■
Рис. 14.179
РК## ф
©жм
К*1Ф
^ШЙ^К<1
Рис. 14.180
Рис. 14.181
444
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

w® ® #
Рис. 14.182
%жж
'мшт &
Рис. 14.183
Рис. 14.184
шжж
12 3 4
w® ® •&
Рис. 14.185
вмжw
И. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
445

X3#^f #
M^IX
12 3 4
Рис. 14.186
Рис. 14.187
Ф Ф- %
&MMW
Рис. 14.188
12 3 4
Рис. 14.189
446
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ж^я- и ®
Рис. 14.190
>И® Ш'хЛ
W& Ф И
Рис. 14.191
^HHf
MM-ft #
Рис. 14.192
{3 it-Ч^Е
т® ® ф
Рис. 14.193
*ШИЙ
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
447

ш
Рис. 14.194
О^
тотт
Рис. 14.195
ШО№
®жжт
Рис. 14.196
# И-
Ш<2>ШЖ
Рис. 14.197
448
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

да* ® 4*
Рис. 14.198
га>#и
Рис. 14.199
т® # *
VAtKQ
м& -й- *
Рис. 14.200
ю^е
Рис. 14.201
зш
<з>» *
ж
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
449

m* w
#ж
к
Рис. 14.202
12 3 4
жШж#
^ ^
Рис. 14.203
ж# sc^
Рис. 14.204
Рис. 14.205
450
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

14.4.
ДВОЙСТВЕННЫЕ ГРАФЫ
Граф называется плоским, если он изображен на плоскости так, что его
ребра пересекаются только в вершинах. Например, граф, приведенный на
рис. 14.206, является плоским, но тот же граф, представленный на рис. 14.207,
плоским не является, так как его ребра {1, 3} и {2, 4} пересекаются вне вершин.
Всякий граф, изоморфный плоскому, называется планарным (т. е. у него
есть плоское изображение). Пример планарного графа приведен на рис. 14.207
(его плоское изображение показано на рис. 14.206). Всякий плоский граф
одновременно является и планарным.
Часть плоскости, ограниченная со всех сторон ребрами и не содержащая
внутри себя ни вершин, ни ребер, называется гранью. Граф, изображенный
на рис. 14.206, имеет три внутренние грани - а, Ь, с, и одну внешнюю
(бесконечную), обозначенную буквой d. Внешнюю грань имеет любой плоский граф.
Кратные ребра также образуют грани. Например, на рис. 14.208 граф
содержит пять граней. Из них грани Ъ и с, а также d образованы кратными
ребрами, е — внешняя грань.
Двойственным по отношению к связному плоскому графу G называется
граф G*, построенный следующим образом:
1) в каждой грани графа G ставится вершина графа G*;
2) если какая-либо вершина графа G* отделена ребром графа G от другой
вершины графа G*, то эти вершины соединяются ребром, относящимся к
графу G*.
Поясним это на примере.
Пусть исходным является граф G, изображенный на рис. 14.209. Этот
граф содержит четыре грани (из них одна, обозначенная буквой d —
бесконечная). Построим для графа G двойственный граф G* и определим, сколько
в нем ребер, вершин и граней.
В каждой грани графа G поставим вершины графа G*. Обозначим их
буквами а, Ь, с, d.
Находим ребра графа G*. Вершина а отделена от вершины d ребром (1,2)-
проводим ребро {a, d) (на рис. 14.209 оно обозначено пунктиром). Вершина Ь
отделена от вершины d ребром {2, 4} - соединяем вершины b и d
пунктирным ребром {b, d}. Кроме того, вершина Ь отделена от вершины d еще одним
Рис. 14.207 Рис. 14.208 Рис. 14.209
Рис. 14.206
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
451

ребром (4, 7) — вершины Ъ и d соединяем еще раз. Вершина
а отделена от вершины Ь ребром {2, 3} — проводим
пунктирное ребро {а, Ъ) и т. д.
Проведя таким же образом через каждое ребро
заданного графа G пунктирное ребро, получим новый граф G*,
являющийся двойственным по отношению к исходному.
Изобразим двойственный граф, представленный на
рис. 14.209 пунктиром, в виде отдельного графа, заменив
Рис 14 2Ю пунктирные линии сплошными. Получим граф,
представленный на рис. 14.210.
Из рис. 14.210 видно, что двойственный граф состоит из восьми ребер,
четырех вершин и шести граней. В нем имеются кратные ребра. Два ребра
соединяют вершины Ь и d, и два ребра соединяют вершины Ьис. Ответ: 8,4,6.
Если для графа, приведенного на рис. 14.210, построить двойственный
граф, то снова получим исходный граф, изображенный на рис. 14.209
сплошными линиями.
Задания
для самостоятельной работы
Постройте граф, двойственный по отношению к заданному графу,
представленному множеством (набором) ребер. В фигурных скобках указаны пары
чисел. Это номера вершин, соединенных ребрами. Для двойственного графа
определите число ребер, число вершин и число граней.
1. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {1, 7}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 7}, {5, 6},
{6, 7}}. (РАН)
2. {{1, 2}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {1, 7}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 6}, {4, 7},
{5, 6}, {6, 7}}. (Н45)
3. {{1, 3}, {1, 7}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 7}, {2, 8}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {6,
7}, {7, 8}}. (МЧИ)
4. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 7}, {4, 2}, {4, 6}, {5, 6},
{6, 7}}. (ОАС)
5. {{1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 7}, {4, 8}, {5, 6},
{6, 7}, {7, 8}}. (КОК)
6. {{1, 2}, {1, 7}, {2, 4}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 8}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 7},
{7,8}}. (ЛОМ)
7. {{1, 2}, {1, 7}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 8}, {5, 6},
{6, 7}}. (СОЯ)
8. {{1, 3}, {1, 4}, {1, 7}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6}}.
(НАО)
9. {{1, 6}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 7}, {3, 8}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 8},
{7,8}}. (ДОГ)
10. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 6}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6},
{5, 8}, {6, 8}}. (С27)
11. {{1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {3, 5}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 8}, {7, 8}}.
(Г2А)
452
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

12. {{1,2},
13. {{1,5},
,6}, {7, 8}}.
14. {{1,3},
,8}}.
15. {{1,6},
16. {{1,3},
л».
17. {{1,2},
л».
18. {{1,7},
19. {{1,3},
Л}, {7, 8}}.
20. {{1,4},
Л}, {7, 8}}.
21. {{1,5},
22. {{1,6},
,8}}.
23. {{1,4},
,8}, {7, 8}}.
24. {{1,3},
,8}}.
25. {{1,2},
26. {{1,4},
,9}}.
27. {{1,2},\
28. {{1,2},
29. {{1,2},
30. {{1,7},
31.{{1,4},{
32. {{1,6},
33. {{1,4},
,9}, {7, 9}}.
34. {{1,2},\
35. {{1,2},
(1,6},{,
{1,7},{
Я,6},{
(1Л},{-
Я,6},{
Я,5},{
(1,8},{,
Я,6},{
(1,5},{
(1,6},{,
(1,8},{
(1Л},{
(1,8},{
(1,3}, {
(1,8},{
[1,3}, {
U,5},{
U,4},{
(1,8},{.
l,5},{i
(1,7}, {.
(1,5},{
(1,6},{
(1,8},{
{7, 9}, {8, 9}}.
{2, 3}, {2, 4}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}}.
(6К7)
{2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {2, 7}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 6},
(ОХВ)
{2, 3}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 8}, {6, 7},
(708)
{2, 6}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {3, 8}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}}.
(Н2Э)
{2, 3}, {2, 5}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 8}, {4, 8}, {5, 6}, {5, 7}, {5, 8},
(Л08)
{2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 7},
(7А4)
{2, 7}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}}.
(9X9)
{1, 8}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},
(ИХО)
{1, 8}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 7}, {4, 8}, {5, 6},
(Е2Е)
{2, 3}, {2, 4}, {2, 7}, {3, 7}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}}.
(Р44)
{2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 7}, {4, 8}, {5, 6}, {6, 7},
(ПОУ)
{2, 3}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {3, 8}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7},
(К2К)
{2, 4}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 8}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}, {6, 8},
(УЮТ)
{1, 6}, {2, 4}, {2, 6}, {3, 5}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 7}}.
(34Д)
{2, 5}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 9},
(А83)
{1, 7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {5, 7}}.
(СИО)
{2, 4}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 7}, {6, 7}}.
(ВАР)
{1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}}. (ИЛ7)
{2, 3}, {2, 4}, {2, 8}, {3, 5}, {4, 5}, {5, 7}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 8}}.
(М2Я)
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}}. (ТАТ)
{2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}}.
(БИЧ)
{1, 8}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 7}, {4, 8}, {5, 6}, {5, 7},
(ФУР)
{1, 7}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}}.
(ЯИФ)
{2, 3}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {3, 8}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7},
(0У2)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
453

36. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6},
{6, 7}}. (НАУ)
37. {{1, 2}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 8}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 7}, {7, 9},
{8,9}}. (Ш8У)
38. {{1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}}.
(242)
39. {{1, 2}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {6, 9},
{7, 8}, {7, 9}}. (ЗУ1)
40. {{1, 2}, {1, 7}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 8}, {7, 8}}. (40А)
41. {{1, 2}, {1, 7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}}. (6АА)
42. {{1, 2}, {1, 6}, {1, 8}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 7}, {3, 8}, {4, 5}, {4, 8}, {5, 6}, {5, 7},
{5,8}}. (708)
43. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}}.
(ТАГ)
44. {{1, 2}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 9},
{8,9}}. (58У)
45. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 3}, {1, 8}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7},
{7,8}}. (ВОЯ)
46. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {2, 8}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 7}, {4, 6}, {5, 6}, {5, 7},
{6, 7}, {6, 8}}. (822)
47. «1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}}. (9АО)
48. {{1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 8}, {3, 5}, {4, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {6, 8}}.
(70Х)
49. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 7}, {1, 8}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},
{6, 7}, {7, 8}}. (92У)
50. {{1, 2}, {1, 3}, {1, 7}, {2, 3}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}}.
(ЗИД)
14.5.
НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ,
СОЕДИНЯЮЩИХ ДВЕ ВЕРШИНЫ ГРАФА
Нахождение всех простых цепей, соединяющих две заданные вершины
графа, проиллюстрируем на двух примерах.
Пример 1. Найти все простые цепи, соединяющие вершины 1 и 5 графа,
заданного следующим множеством ребер:
G = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}.
Определить числа а, Ъ, end, где а — число простых
цепей, содержащих по два ребра, b — содержащих по
три ребра, с — по четыре ребра, d — по пять ребер.
Для решения задачи сначала построим граф (рис.
14.211).
На первом этапе найдем все варианты выхода из
первой вершины:
1-2, 1-3, 1-4, 1-5.
454
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Одна простая цепь найдена (подчеркнута).
На втором этапе найдем все простые цепи, содержащие точно по два
ребра и выходящие из вершины 1:
1-2-3, 1-3-2, 1-3-4, 1-4-2,
1-2-4, 1-4-3, 1-3-5, 1-4-5.
Получены еще две искомые цепи (подчеркнуты).
На третьем этапе находим все простые цепи, ведущие из вершины 1 и
содержащие точно по три ребра. Для этого воспользуемся результатами
второго этапа:
1-2-3-4, 1-2-4-5, 1-2-4-3,
1-2-3-5, 1-3-4-2, 1-3-4-5,
1-3-2-4, 1-4-2-3,
1-4-3-2, 1-4-3-5.
На третьем этапе получено еще четыре искомых цепи. Все они подчеркнуты.
Четвертый этап в случае данного графа является последним:
1-2-3-4-5, 1-3-2-4-5, 1-4-2-3-5,
1-2-4-3-5, 1-3-4-2-?, 1-4-3-2-?
На последнем этапе получено четыре простые цепи из искомых. Это
самые длинные простые цепи. Они проходят через все вершины графа.
Две последние цепи оканчиваются вопросительным знаком. Это значит,
что они являются тупиковыми, так как любое движение из вершины 2
приводит к повтору номеров вершин, в результате чего появляется цикл. Все
подобные цепи удаляем.
Таким образом, в графе (рис. 14.211) содержится 11 простых цепей,
соединяющих вершины 1 и 5. Из них одна цепь состоит из одного ребра, две —
из двух, четыре — из трех, четыре — из четырех и 0 — из пяти ребер. Ответ:
2, 4, 4, 0 (т. е. а = 2, Ъ = 4, с = 4, d = 0).
Пример 2. Найти все простые цепи, соединяющие вершины 1 и 6 графа,
заданного следующим множеством ребер:
G = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}}.
Определить числа a,b,cnd (см. первый пример).
Как и в предыдущем случае, сначала
строим граф (рис. 14.212).
Первый этап, из вершины 1 ведут два пути: \
1-2, 1-4.
Второй этап:
1-2-3, 1-2-5, 1-4-3, 1-4-5.
Третий этап:
1-2-3-4, 1-2-3-6, 1-2-5-4, 1-2-5-6,
1-4-3-2, 1-4-3-6, 1-4-5-2, 1-4-5-6.
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
455

Здесь найдено четыре цепи (подчеркнуты). Переходим к четвертому этапу:
1-2-3-4-5, 1-2-5-4-3, 1-4-3-2-5, 1-4-5-2-3.
На этом этапе нет новых цепей. Завершающим является пятый этап:
1-2-3-4-5-6.1-2-5-4-3-6.1-4-3-2-5-6.1-4-5-2-3-6.
Найденные на этом этапе простые цепи проходят через все вершины графа.
Таким образом, всего в графе существует восемь простых цепей,
соединяющих вершины 1 и 6: четыре цепи состоят из трех ребер и четыре — из
пяти. Ответ: 0, 4, 0, 4.
Задания
для самостоятельной работы
Найдите все простые цепи, соединяющие вершины 1 и 6 графа. Для
самоконтроля укажите числа а, Ь, с, d, где а — число простых цепей, содержащих
по 2 ребра, Ь — число простых цепей, содержащих по три ребра, с — по четыре
ребра, и d — по пять ребер.
{4, 5}, {5, 6}};
(026Р)
{4, 6}, {5, 6}}.
(12У8)
{4, 5}, {5, 6}};
(423А)
{4, 5}, {5, 6}}.
(715Б)
{4, 6}, {5, 6}};
(2219)
{4, 5}, {5, 6}}.
(57ПП)
{4, 5}, {5, 6}};
(255И)
{4, 6}, {5, 6}}.
(826П)
{4, 6}, {5, 6}};
(45АУ)
{4, 5}, {4, 6}}.
(13С6)
{4, 6}, {5, 6}};
(43Я1)
{4, 6}, {5, 6}}.
(7855)
{4, 6}, {5, 6}};
(90НС)
{4, 6}, {5, 6}}.
(002В)
1. a) G = {
6)G = {
2. a) G = {
6)G = {
3. a) G = {
6)G = {
4. a) G = {
6)G = {
5. a) G = {
6)G = {
6. a) G = {
6)G = {
7. a) G = {
6)G = {
{1,2},{1,4Ы
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,4Ы
{1,2},{1,4Ы
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2}, {1,3},
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,4Ы
{1,2},{1,5Ы
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,ЗЫ
{1,2},{1,ЗЫ
[2,3},
[1,5},
[2,3},
[1,5},
[1,4},
[1,4},
[2, 3},
[1,4},
[2,3},
[2,3},
[1,5},
[1,4},
[2,3},
[1,5},
(2,4},
(2,4},
(2,4},
(2,3},
(1,5},
(2,3},
(2,4},
(2,3},
(2,4},
(2,4},
(2,3},
(2,4},
(2, 6},
(2, 5},
(2,5},
(2,5},
(2,5},
(2,4},
(2,6},
(2,4},
(2,5},
(2,6},
(2,5},
(2,5},
(2,4},
(2,5},
(3,4},
(2,6},
(3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
(3,4},
{2,5},
(3,4},
{3,4},
(3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,5},
{3,4},
{3,5},
{3,4},
(3,4},
(3,4},
{3,6},
(3,4},
{3,5},
(3,6},
{3,5},
{3,4},
(3,4},
(3,4},
{3,6},
{3,6},
{3,6}
{3,5}
{3,6}
{3,6}
{4,5}
{3,6}
{3,6}
{4,5}
{4,5}
{3,6}
{3,5}
{3,5}
{4,5}
(4,5}
456
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

8. a) G = {
6)G = {
9. a) G = {
6)G = {
10. a) G = {
6)G = {
11. a)G = {
6)G = {
12. a) G = {
6)G = {
13. a) G = {
6)G = {
14. a) G = {
6)G = {
15. a) G = {
6)G = {
16. a) G = {
6)G = {
17. a) G = {
6)G = {
18. a) G = {
6)G = {
19. a) G = {
{1,2},
{1.2Ы
{1.2},
{1,3}, I
{1.2Ы
{1.2Ы
{l,2},j
{l,2},j
{1.2Ы
{l,2},j
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1,2}J
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1.2Ы
{1,2}J
{1.2Ы
(1.3},
[1,3},
(1,4},
(1.6},
(1.3},
(1.4},
(1,4},
(1,3},
(1,4},
!1,4},
(1,3},
(1,3},
(1,3},
(1,3},
(1,4},
(1,5},
(1,3},
(1,3},
(1,3},
(1,3},
(1,3},
(1,4},
(1,3},
{1,4},
{1,4},
{2,3},
{2,3},
{1,5},
{2,3},
{2,3},
{1,5},
{2,3},
{1,5},
{1,4},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{2,3},
{2,3},
{1,5},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{2,3},
{2,3},
{2,4},
{2,4},
{2,4},
{2,5},
{2,4},
{2,4},
{2,4},
{2,3},
{1,5},
{2,3},
{2,4},
{2,3},
{2,4},
{2,4},
{2,3},
{2,4},
{2,4},
{1,5},
{2,3},
{2,4},
{2,3},
{2,5},
{2,4},
{2,5},
{2,5},
{2,5},
{2,6},
{2,5},
{2,5},
{2,5},
{2,4},
{2,3},
{2,4},
{2,5},
{2,6},
{2,5},
{2,5},
{2,4},
{2,5},
{2,6},
{2,6},
{2,5},
{2, 5},
{2,4},
{3,4},
{2,5},
{3,4},
{2,6},
{3,4},
{3,5},
{3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{2,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{2,5},
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,6},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{4,5},
{4,5},
{3,5},
{3,6},
{4,5},
{3,6},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{4, 5},
{3,6},
{3,5},
{3,5},
{3,6},
{4,5},
{4,5},
{4,5},
{4,5},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,5}
{4,6},
{4,6}
{4,5},
{4,6},
{4,5}
{4,5},
{4,6}
{4,5},
{4,5}
{4,6}
{4,6},
{4,5}
{4,6},
{4,6}
{4,6}
{4,6}
{4,6}
{4,6},
{4,6}
{5,6}};
(687B)
{5,6}}.
(9416)
{5,6}};
(441P)
{4,6}}.
(69СУ)
{5,6}};
(06T1)
{5,6}}.
(5547)
{5,6}};
(0766)
{5,6}}.
(23CO)
{5,6}};
(4611)
{5,6}}.
(617P)
{5,6}};
(0105)
{5,6}}.
(777П)
{5,6}};
(0544)
{5,6}}.
(145B)
{5,6}};
(2146)
{4,6}}.
(24У1)
{5,6}};
(9213)
{5,6}}.
(5895)
{5,6}};
(043B)
{5, 6}}.
(86АУ)
{5,6}};
(47ПЗ)
{5,6}}.
(76T1)
{5,6}};
(6670)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
457

6)G = {
20. a) G = {
6)G = {
21. a)G = {
6)G = {
22. a) G = {
6)G = {
23. a) G = {
6)G = {
24. a) G = {
6)G = {
25. a) G = {
6)G = {
26. a) G = {
6)G = {
27. a) G = {
6)G = {
28. a) G = {
6)G = {
29. a) G = {
6)G = {
30. a) G = {
6)G = {
{l,2},j
{l,2},i
{1,2}, I
{1,2},|
{l,2},i
{1.2Ы
{1,2}, I
{1,2}J
{l,2},i
{1,2},|
{1,2},|
{1,2}, j
{l,2},i
{1.2},
{1,2},|
{1,2},
{1,2}, {
{1,2},
{l,2},i
{1,2},
{1,2},|
{1,2},
{l,2},i
!1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,4},
[1,3},
[1,4},
[1,4},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,5},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,3},
[1,4},
[1,3},
[1,4},
{1,4},
{1,5},
{2,3},
{2, 3},
{1,5},
{2,3},
{1,5},
{1,5},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{2,3},
{2,3},
{1,5},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{1,5},
{1,5},
{2,3},
{1,5}
{2,4}
{2,5}
{2,4}
{2,4}
{2,4}
{2,3}
{2,3}
{2,3}
{2,4}
{2,3}
{2,4}
{2,4}
{2,3}
{2,4}
{2,6}
{1,5}
{2,3}
{2,4}
{2,3}
{2,3}
{2,4}
{2,5}
,{2,3},
,{2,5},
,{2,6},
,{2,5},
,{2,5},
,{2,5},
,{2,4},
,{2,6},
,{2,4},
,{2,5},
,{2,6},
,{2,5},
,{2,5},
,{2,4},
,{2,5},
,{3,4},
,{2,5},
, {2, 5},
,{2,5},
,{2,4},
,{2,6},
,{2,5},
,{2,6},
{2,6},
{3,4},
{3, 5},
{3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{2,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,5},
{2,6},
{3, 4},
{3,4},
{2,5},
{3,4},
{3,4},
{3,5},
{3,4},
{3,5},
{3, 6},
{3,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3, 6},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,6},
{3,6},
{3, 6},
{3,6},
{3,6},
{3, 6},
{3,5},
{3,6},
{3,6}
{3,6}
{4,5}
{3,6}
{3,5}
{3,6}
{3,6}
{4,5}
{3,6}
{3,6}
{4,5}
{3,6}
{3,6}
{3,5}
{3,5}
{4,5}
{4,5}
{4,5}
{4,5}
{4,5}
{4,5}
{3,6}
{4,5}
,{4, 6}, {5, 6}}.
(98СИ)
,{4, 6}, {5, 6»;
(03ГО)
,{4, 6}, {5, 6}}.
(93A2)
,{4, 5}, {5, 6}};
(8706)
,{4, 6}, {5, 6}}.
(48П5)
,{4, 5}, {5, 6»;
(97ПЗ)
,{4, 5}, {5, 6}}.
(41ПР)
,{4, 6}, {5, 6}};
(88B2)
,{4, 5}, {5, 6}}.
(499T)
,{4, 5}, {5, 6}};
(65A4)
,{4, 6}, {5,6}}.
(40B0)
,{4, 6}, {5, 6}};
(26УР)
, {4, 5}, {4, 6}}.
(5376)
,{4, 6}, {5, 6}};
(08ГС)
,{4, 6}, {5, 6}}.
(6370)
,{4, 6}, {5, 6»;
(72PT)
,{4, 6}, {5, 6}}.
(2712)
, {4, 6}, {5, 6}};
(951Г)
,{4, 6}, {5, 6».
(1661)
,{4, 6}, {5, 6»;
(37A8)
,{4, 6}, {5, 6}}.
(80BB)
, {4, 6}, {5, 6}};
(853T)
,{4, 6}, {5, 6».
(381Б)
458
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

31. a)G = {
6)G = {
32. a) G = {
6)G = {
33. a) G = {
6)G = {
34. a) G = {
6)G = {
35. a) G = {
6)G = {
36. a) G = {
6)G = {
37. a) G = {
6)G = {
38. a) G = {
6)G = {
39. a) G = {
6)G = {
40. a) G = {
6)G = {
41. a) G = {
6)G = {
42. a) G = {
{1,2},|
{l,2},i
{l,2},i
{1.2},
{1,2},|
{1.2},
{l,2},i
{l,2},i
{1.2},
{1,2},|
{1,2}J
{l,2},i
{1,2},|
{1,2},|
{1,2}J
{l,2},i
{l,2},i
{1,2},|
{1,2},|
{l,2},i
{l,2},i
{1,2},|
{1,3}, I
[1.4},
[1,3},
[1,4},
[1,4},
[1.4},
[1.3},
[1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,5},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,3},
[1,4},
[1,4},
[1,4},
{2,3},
{1,5},
{2,3},
{1,5},
{1,5},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{2,4},
{2,3},
{1,5},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{1,4},
{2,3},
{1,4},
{1,4},
{1,4},
{1,5},
{2,3},
{1,5},
{1,5},
{2,4},
{2,4},
{2,4},
{2,3},
{2,3},
{2,3},
{2,4},
{2,3},
{2,5},
{2,4},
{2,3},
{2,4},
{2,4},
{1,5},
{2,3},
{2,4},
{2,3},
{1,5},
{1,5},
{1,6},
{2,4},
{2,3},
{2,3},
{2,5},
{2,5},
{2,5},
{2,4},
{2,6},
{2,4},
{2,5},
{2,6},
{3,4},
{2,5},
{2,4},
{2,5},
{2,6},
{2,6},
{2,5},
{2,5},
{2,4},
{2,5},
{2,4},
{2,4},
{2,5},
{2,4},
{2,6},
{3,4},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{2,5},
{3,4},
{3,4},
{3,5},
{2,6},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{2,5},
{2,6},
{2,5},
{2,5},
{2,6},
{2,6},
{3,4},
{3,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,6},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{3,4},
{3,4},
{2,6},
{3,4},
{3,4},
{3,6},
{3,6},
{3,5},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{4,5},
{3,6},
{3,5},
{3,5},
{3,6},
{4,5},
{4, 5},
{4,5},
{4,5},
{3,6},
{3,5},
{3,4},
{3,6},
{3,6},
{4,5},
{4,5},
{4,6},
{4,5},
{4,5},
{4,6},
{4,5},
{4,5},
{4,6},
{4,6},
{4,5},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,6},
{4,5},
{3,6},
{3,5},
{4,5},
{4,5},
{4,6},
{5,6}};
(9183)
{5,6}}.
(09T7)
{5,6}};
(70T9)
{5,6}}.
(5293)
{5,6}};
(96A6)
{5,6}}.
(625У)
{5,6}};
(8486)
{5,6}}.
(155A)
{5,6}};
(10C5)
{4,6}}.
(28У9)
{5,6}};
(5456)
{5,6}}.
(8136)
{5,6}};
(39У4)
{5,6}}.
(99B6)
{5,6}};
(5691)
{5,6}}.
(1106)
{5,6}};
(30A2)
{4,6}}.
(3111)
{4,6}};
(3244)
{4,6}}.
(33TC)
{5,6}};
(2947)
{5,6}}.
(7351)
{5,6}};
(74УС)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
459

6)G = {
43. a) G = {
6)G = {
44. a) G = {
6)G = {
45. a) G = {
6)G = {
46. a) G = {
6)G = {
47. a) G = {
6)G = {
48. a) G = {
6)G = {
49. a) G = {
6)G = {
50. a) G = {
6)G = {
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,4},
{1,2}, {1,5},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,3},
{1,3}, {1,4},
{1,2}, {1,4},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,4},
{1,2}, {1,3},
{1,2}, {1,4},
{1,2}, {1,4},
{1,2}, {1,3},
В ОРИ
{1,4}, {2,3}, {2,4}, {2, 5},
{2,3}, {2, 4}, {2, 5}, {3,4},
{1,4}, {2,3}, {2, 6}, {3,4},
{2,3}, {2, 4}, {2, 5}, {3,4},
{2,3}, {2,4}, {2, 5}, {2, 6},
{1,5}, {2,3}, {2, 4}, {2, 6},
{1,4}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6},
{2, 3}, {2, 6}, {3,4}, {3,5},
{1,5},{2,5},{2,6}, {3, 4},
{2,3}, {2, 4}, {2, 5}, {3,4},
{1,4}, {2,3}, {2, 5}, {3,4},
{1,4}, {2,3}, {2,4}, {2,5},
{1,5}, {2,3}, {2, 6}, {3,4},
{1,5}, {2, 4}, {2, 5}, {3,4},
[2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 5},
{1,5}, {2, 4}, {2, 6}, {3,4},
{1,4}, {2,3}, {2, 6}, {3,4},
14.6.
ПРОСТЫЕ ЦЕПИ
ЕНТИРОВАННОМ ГР
{3,4},
{3,5},|
{3,6},
{3,5},
{3,4},
{3,4},
{3,4},
{3, 6},
{3,6},
{3,5},i
{3,6},
{3,6},
{3,6},
{3,5},
{3,6},
{3,5},
{3,6},
АФЕ
(3,6},
[3,6},
(4, 5},
(4, 5},
(3,6},
(3,5},
(3,5},
(4, 5},
(4, 5},
(3,6},
(4, 5},
(4, 5},
(4, 5},
(3,6},
(4, 5},
(3,6},
(4, 5},
{4, 5}, {5, 6}}.
(83Р2)
{4, 5}, {5, 6}};
(17П8)
{4, 6}, {5, 6».
(59УЧ)
{4, 6}, {5, 6}};
(67УА)
{4, 5}, {4, 6}}.
(362Б)
{4, 6}, {5, 6»;
(5092)
{4, 6}, {5, 6}}.
(755Г)
{4, 6}, {5, 6}};
(60ГС)
{4, 6}, {5, 6}}.
(1856)
{4, 5}, {5, 6»;
(79А2)
{4, 6}, {5,6}}.
(34 7У)
{4, 6}, {5, 6}};
(519Б)
{4, 6}, {5, 6».
(89СУ)
{4, 6}, {5, 6»;
(19У7)
{4, 6}, {5, 6}}.
(6405)
{4, 5}, {5, 6}};
(20С2)
{4, 6}, {5, 6».
(355А)
В ориентированном графе (орграфе) вершины соединяются ребрами,
каждому из которых при помощи стрелки задается ориентация. Такие
ориентированные ребра называют дугами. Обозначается дуга, как и
неориентированное ребро, парой номеров вершин. При этом первая цифра в обозначении
дуги является ее началам, а вторая — концом.
Чтобы записать аналитическое выражение ориентированного графа,
вместо фигурных скобок, где указаны пары вершин, следует поставить круглые
460
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Рис. 14.213
скобки для обозначения того, что записанные в них пары
чисел являются упорядоченными. Например:
G = {(1,2), (1,3), (1,4), (5,1),
(2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}.
Построим для этого выражения граф. Согласно
упорядоченной паре (1,2) вершина 1 — это начало дуги, а
вершина 2 — ее конец. Соответственно проводим дугу от
вершины 1 к вершине 2. Согласно паре (1, 3) проводим дугу от вершины 1 к
вершине 3 и т. д. (рис. 14.213).
В данном подразделе рассматривается задача отыскания всех простых
цепей, соединяющих две заданные вершины графа. Эта задача решается так
же, как в случае неориентированных графов, но с учетом того, что движение
навстречу стрелке запрещено.
Пример 1. Найти все простые цепи, соединяющие вершины 1 и 5 орграфа
(рис. 14.213). Определить числа а, Ь, с, где а — число простых цепей,
состоящих из двух дуг, b — из трех дуг, с —из четырех.
Решение. Первый этап. Из вершины 1 выходит три дуги:
1-2, 1-3, 1-4.
Второй этап. Находим цепи, выходящие из вершины 1 и состоящие из
двух дуг:
1-2-3, 1-2-4, 1-3-4, 1-3-5, 1-4-5.
Получены две искомые цепи (подчеркнуты).
Третий этап:
1-2-3-4, 1-2-3-5, 1-2-4-5, 1-3-4-5.
Найдены три цепи. На четвертом этапе получаем еще одну простую цепь:
1-2-3-4-5.
Таким образом, всего в орграфе содержится 6 простых цепей, ведущих от
вершины 1 к вершине 5. Среди них: а = 2,Ь = 3,с=1.
Ответ: 2,3, 1.
Пример 2. Найти все простые цепи,
соединяющие вершины 1 и 6 орграфа (рис. 14.214).
Определить числа а, Ь, с, d, где а — число
простых цепей, состоящих из двух дуг, Ъ — из трех,
с — из четырех и d — из пяти.
Решение. Первый этап:
1-2, 1-4.
Второй этап:
1-2-3, 1-2-4, 1-2-6, 1-4-3,
Третий этап:
1-2-3-5, 1-2-3-6, 1-2-4-3,
1-4-3-5, 1-4-3-6, 1-4-5-6.
Рис. 14.214
1-4-5.
1-2-4-5,
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
461

Четвертый этап:
1-2-3-5-6, 1-2-4-3-5, 1-2-4-3-6,
1-2-4-5-6, 1-4-3-5-6.
На пятом этапе получаем одну простую цепь наибольшей длины: 1 - 2 -
4-3-5-6.
Таким образом, в орграфе (рис. 14.214): а = 1, Ъ = 3, с = 4, d = 1.
Ответ: 1, 3, 4, 1.
Задания
для самостоятельной работы
Найдите все простые цепи, соединяющие вершины 1 и 6 заданного графа,
считая, что граф является ориентированным. В нижеприведенном списке
графы представлены множествами упорядоченных пар вершин, где каждая
пара является дугой. Первая цифра в записи дуги обозначает ее начало. Для
контроля укажите числа а,Ь,си dy где а — число простых цепей, состоящих
из двух дуг, Ъ — число простых цепей, состоящих из трех дуг, с — из четырех
и d — из пяти.
1. a)G = {
6)G = {
2. a)G = {
6)G = {
3. a)G = {
6)G = {
4. a)G = {
6)G = {
5. a)G = {
6)G = {
6. a)G = {
6)G = {
7. a)G = {
6)G = {
(l,2),l
(1,2), <
(1,2), <
d,2),l
(l,2),l
(1,2), <
(1,2), <
(l,2),l
(1,2), J
(1,2), <
(1,2), <
(l,2),l
(l,2),l
(1,2), <
(1,4), <
(1,4) J
(1,3), 1
(1,3), I
(1,3), 1
(1,3), I
[1,4), <
(1,5), J
(1,3), I
(1,3), I
(1,3), 1
(1,3), I
(1,3), 1
(1,4) J
(2,3),
(1,5),
(1,4),
(1,4),
(2,3),
(1,4),
(2,3),
(2,3),
(1,5),
(1,4),
(2,4),
(1,4),
(1,4),
(2,3),
(2,4),
(2,3),
(2,3),
(2,3),
(2,4),
(2,3),
(2,4),
(2,4),
(2,3),
(2,4),
(2,6),
(1,5),
(2,3),
(2,4),
(2, 5),
(2,4),
(2,6),
(2,4),
(2, 5),
(2,6),
(3,4),
(2,5),
(2,4),
(2,5),
(3,4),
(2,5),
(2, 5),
(2,5),
(2,6),
(2,6),
(3,4),
(2, 5),
(3,4),
(3,4),
(3,5),
(2,6),
(2,6),
(2,6),
(3,5),
(3,4),
(3,4),
(3,4),
(3,4),
(3,4),
(3,6),
(3,4),
(3,5),
(3,6),
(3,6),
(3,4),
(3,4),
(3,4),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(4, 5),
(3,6),
(3,6),
(4, 5),
(4, 5),
(3,6),
(3,5),
(3, 5),
(4, 5),
(4,5),
(4, 5),
(4, 5),
(4, 5), (5, 6)};
(17АГ)
(4, 5), (5, 6)}.
(39ЮЛ)
(4, 6), (5, 6)};
(64TP)
(4, 5), (5, 6)}.
(63TK)
(4, 5), (5, 6)};
(18ИН)
(4, 6), (5, 6)}.
(01ЛК)
(4, 6), (5, 6)};
(97ШТ)
(4, 5), (4, 6)}.
(40T3)
(4, 6), (5, 6)};
(98ЯЗ)
(4, 6), (5, 6)}.
(65KO)
(4, 6), (5, 6)};
(41ФД)
(4, 6), (5, 6)}.
(44ЛЯ)
(4, 6), (5, 6)};
(19ЦЧ)
(4, 6), (5, 6)}.
(68KO)
462
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

8. a)G =
6)G =
9. a)G =
6)G =
{(1,2), (1,3), (1,4),
{(1,2), (1,3), (1,4),
{(1,2), (1,3), (1,5),
{(1,2), (1,4), (2,3),
10. a
б
11. a
б
12. a
б
13. a
б
14. a
б
15. a
б
16. a
б
17. a
б
18. a
б
19. a
)G^
)G^
)G<
)G<
)G
)G
)G'
)G
)G
)G
)G
)G
)G
)G
)G
)G
)G
)G
(1,2),
(1.2),
(1.2),
(1,2),
(1.3),
(1.2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1.2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,4
(1,3
(1,4
(1,4
(1.4
(1,3
(1,3
(1,3
(1,4
(1,5
(1,3
(1,3
(1,3
(1,3
(1,3
(1,4
(1,3
(1,3
(1,3
(2,3
(1,5
(3,2
(1,5
(1,5
(1,4
(3,2
(1,4
(3,2
(3,2
(1,5
(1,4
(3,2
(1,4
(1,4
(3,2
(1,4
(1,4
(1,5
(2, 3),
(1,5),
(2,4),
(2,5),
, (2, 4)
, (2, 4)
,(2,4)
,(3,2)
,(2,3)
,(3,2)
.(2,4)
.(3,2)
,(2,4)
,(2,4)
,(3,2)
,(2,4)
,(2,4)
,(1,5)
,(3,2)
, (2, 4)
,(2,3)
,(3,2)
,(2,4)
(2,4),
(2,3),
(2,5),
(2,6),
(2,5),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(2,6),
(2,4),
(2,5),
(2,6),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(2,5),
(2,6),
(2,5),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(2,6),
(2,5),
(2, 5), (3,6), (4, 5), (■
(2, 6), (3,6), (4, 5), (-
(3,4),(3,5),(3,6),(-
(3,5),(3,6),(4,5),(.
(3,4),(3,5),(3,6),(
(2,6),(3,4),(3,5),(
(2,6),(3,4),(3,6),(
(2,6),(3,4),(3,6),(
(3, 4), (3,6), (4, 5), (
(2,5),(3,4),(3,6),(
(3,4),(3,5),(3,6),(
(3, 4), (3,6), (4, 5), (
(3,4),(3,5),(3,6),(
(2,6),(3,4),(3,6),(
(2,6),(3,4),(3,5),(
(2,6),(4,3),(3,5),(
(3, 4), (3,5), (4, 5), (
(2, 6), (3,4), (4, 5), (
(3, 4), (3,6), (4, 5), (
(3, 4), (3,6), (4, 5), (
(2, 5), (3,6), (4, 5), (
(3, 4), (3,6), (4, 5), (
(4,3),(3,5),(3,6),(
,(4, 6), (5, 6)};
(66ДИ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(21ЖИ)
,(4, 6), (5, 6)};
(04ВЫ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(43ФА)
,(4, 5), (5, 6)};
(94ПШ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(00ВА)
,(4, 5), (5,6)};
(20ЖХ)
,(4, 5), (5, 6)}.
(95TM)
,(4, 6), (5, 6)};
(96ШЛ)
,(4, 5), (5, 6)}.
(99РП)
,(4, 5), (5, 6)};
(67НП)
,(4, 6), (5, 6)}.
(22ЖС)
,(4, 6), (5, 6)};
(42ЭХ)
,(4, 5), (4, 6)}.
(69PA)
,(4, 6), (5, 6)};
(45АЮ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(91ЭК)
,(4, 6), (5, 6)};
(23ЦШ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(25ЖН)
,(4, 6), (5, 6)};
(90ЯТ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(02ЦХ)
,(4,6), (6, 5)};
(70ШГ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(72ЭВ)
,(4, 6), (5, 6)};
(93ГО)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
463

6)G = {
20. a) G = {
6)G = {
21. a)G = {
6)G = {
22. a) G = {
6)G = {
23. a) G = {
6)G = {
24. a) G = {
6)G = {
25. a) G = {
6)G = {
26. a) G = {
6)G = {
27. a) G = {
6)G = {
28. a) G = {
6)G = {
29. a) G = {
6)G = {
30. a) G = {
6)G = {
(1,2) J
(1,2), <
(1,2), <
(1,2),|
(1,2),|
(l,2),l
(l,2),l
(2,l),l
(1,2), (
(1,2), (
(1,2), J
(1,2), (
(1,2),|
(1,2), <
(l,2),l
(1,2) J
(1,2),|
(1,2), (
(1,2), <
(l,2),l
(1,2), (
(1,2), (
(l,2),l
(1,4),
[1,4),
(1,3),
(1,4),
(1,4),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(3,1),
(1,4),
(1,5),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(1,4),
(2,3),
(2,3),
(1,5),
(2,3),
(1,5),
(1,4),
(1,4),
(2,3),
(1,4),
(2,3),
(2,3),
(1,5),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(1,4),
(1,5),
(1,5),
(2,3),
(1,5),
(2,5),
(2,4),
(2,4),
(2,4),
(2,3),
(3,2),
(3,2),
(2,4),
(2,3),
(2,5),
(2,4),
(2,3),
(4,2),
(2,4),
(1,5),
(3,2),
(2,4),
(2,3),
(1,5),
(4,2),
(2,4),
(4,2),
(3,2),
(2,6),
(2,5),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(2,6),
(2,4),
(2,5),
(2,6),
(4,3),
(2,5),
(2,4),
(2,5),
(3,4),
(2,5),
(2,5),
(2,5),
(4,2),
(3,2),
(2,5),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(3,5),
(4,3),
(2,6),
(2,6),
(2,6),
(4,3),
(2,5),
(3,4),
(3,4),
(3,5),
(2,6),
(2,6),
(2,6),
(3,5),
(4,3),
(4,3),
(4,3),
(2,5),
(2,6),
(3,4),
(2,6),
(2,6),
(2,6),
(3,6),
(3,5),
(4, 3),
(4,3),
(4,3),
(3,6),
(4,3),
(3,5),
(3,6),
(3,6),
(3,4),
(4,3),
(3,4),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(4,3),
(3,5),
(4,3),
(4,3),
(3,4),
(5,4),(
(3,6),(
(3,5),(
(3,6),(
(3,6),(
(4,5),(
(3,6),(
(3,6),(
(4,5),(
(4,5),(
(3,6),(
(3,5),(
(3,5),(
(4,5),(
(5,4),(
(4,5),(
(4,5),(
(4,5),(
(4,5),(
(3,6),(
(3,5),(
(3,6),(
(3,6),(
(4, 6), (5, 6)}.
(47НЦ)
(4, 5), (5, 6)};
(71PP)
(4, 6), (5, 6)}.
(92НЫ)
(4, 5), (5, 6)};
(46ЮМ)
(4, 5), (5, 6)}.
(73ГА)
(4, 6), (5, 6)};
(03ЦА)
(4, 5), (5, 6)}.
(48ГБ)
(4, 5), (5, 6)};
(24УХ)
(4, 6), (5, 6)}.
(26ME)
(4, 6), (5, 6)};
(49ЮВ)
(5,4), (4,6)}.
(29КБ)
(4,6), (5, 6)};
(27МЦ)
(4, 6), (5, 6)}.
(51ЮЙ)
(4,6), (5, 6)};
(87ШП)
(4, 6), (5, 6)}.
(86ЯФ)
(4, 6), (5, 6)};
(06НЛ)
(4, 6), (5, 6)}.
(05ВД)
(4, 6), (5, 6)};
(74KM)
(4, 6), (5, 6)}.
(75ФН)
(4, 6), (5, 6)};
(50EH)
(4, 6), (5, 6)}.
(88ПШ)
(4, 5), (5, 6)};
(89ЮС)
(4, 5), (6, 5)}.
(07БП)
464
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

31. a) G = {
6)G = {
32. a) G = {
6)G = {
33. a) G = {
6)G = {
34. a) G = {
6)G = {
35. a) G = {
6)G = {
36. a) G = {
6)G = {
37. a) G = {
6)G = {
38. a) G = {
6)G = {
39. a) G = {
6)G = {
40. a) G = {
6)G = {
41. a)G = {
6)G = {
42. a) G = {
(1,2), <
(1.2),
(1,2), <
(1,2),
(1,2), <
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(l,2),l
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(2,1),
(1,2),
(1,2),
(1,2),
(l,2),l
(1,2),
(1,2), (
(1,2),
(1,2),|
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(1,5),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(3,1),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(3,1),
(1,3),
(1,4),
(1,3),
(1,4),
(1,4),
(1,4),
(1,4),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(2,4),
(3,2),
(1,5),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(2,3),
(1,4),
(4,1),
(1,4),
(1,5),
(2,3),
(1,4),
(1,5),
(2,3),
(5,1),
(2,3),
(1,5),
(5,1),
(1,5),
(2,3),
(2,4),
(2,3),
(2,5),
(2,4),
(2,3),
(2,4),
(2,4),
(2,5),
(2,4),
(2,3),
(2,3),
(5,1),
(2,4),
(5,2),
(2,4),
(3,2),
(2,4),
(2,4),
(4,2),
(2,3),
(2,3),
(3,2),
(4, 2),
(5,2),
(6,2),
(3,4),
(2,5),
(4,2),
(5,2),
(6,2),
(6,2),
(5,2),
(2,5),
(2,4),
(2,3),
(2,5),
(6,2),
(2,6),
(2,6),
(5,2),
(2,5),
(2,5),
(2,4),
(2,6),
(4,3),
(2,5),
(3,4),
(3,4),
(5,3),
(2,6),
(2,6),
(2,6),
(3,5),
(4,3),
(4,3),
(3,4),
(2,5),
(2,6),
(3,4),
(3,5),
(3,4),
(4,3),
(3,4),
(2,6),
(2,6),
(6,2),
(3,4),
(3,6),
(3,4),
(3,5),
(3,6),
(3,6),
(3,4),
(3,4),
(3,4),
(3,6),
(3,6),
(3,5),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,5),
(3,6),
(3,5),
(3,6),
(3,5),
(3,4),
(4,3),
(3,4),
(3,6),
(5,4),(
(3,6),(
(3,6),(
(4,5),(
(4,5),(
(6,3),(
(5,3),(
(3,5),(
(4,5),(
(4,5),(
(3,6),(
(4,5),(
(4,5),(
(4,5),(
(3,6),(
(4,5),(
(3,6),(
(4,5),(
(3,6),(
(3,5),(
(3,6),(
(3,6),(
(4,5),(
(4, 6), (5,6)};
(28ЮЗ)
(5, 4), (5, 6)}.
(52ЭИ)
(4, 5), (5, 6)};
(08ЦМ)
(4, 6), (5, 6)}.
(30КЭ)
(4,6), (5, 6)};
(31МЮ)
(4, 5), (4, 6)}.
(55ЦЧ)
(4, 6), (5, 6)};
(76ЦД)
(4, 6), (5, 6)}.
(12CM)
(4, 6), (5, 6)};
(09ТП)
(4,6), (5, 6)}.
(78БЦ)
(4, 5), (5,6)};
(84ЖФ)
(4, 6), (5, 6)}.
(ЗЗУК)
(4, 6), (5, 6)};
(10A3)
(4,6), (5, 6)}.
(85ЦН)
(4, 6), (5,6)};
(32AC)
(4,6), (5, 6)}.
(11ИО)
(4, 5), (5, 6)};
(53ШЕ)
(4, 6), (5, 6)}.
(56ЦК)
(4, 5), (5,6)};
(77ЛГ)
(4,6), (6, 5)}.
(79ЛБ)
(4, 5), (5, 6)};
(54УЧ)
(4, 5), (5, 6)}.
(34МФ)
(4, 6), (5, 6)};
(80ШН)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
465

,(4, 5), (5,6)}.
(60ФЛ)
,(5, 4), (5, 6)};
(35ИЛ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(37КШ)
,(4, 6), (5, 6)};
(57ИА)
,(4, 5), (4,6)}.
(15МУ)
,(4, 6), (5, 6)};
(13K0)
,(4,6), (5, 6)}.
(83ПК)
,(4, 6), (5, 6)};
(81ШК)
,(4, 6), (5, 6)}.
(61ЕУ)
,(4, 6), (5, 6)};
(58ПТ)
,(4,6), (5, 6)}.
(82ТИ)
,(4, 6), (5, 6)};
(14ЧШ)
,(4, 5), (4, 6)}.
(16ЮС)
,(4, 6), (6, 5)};
(36МБ)
,(4, 6), (5, 6)}.
(62ШМ)
,(4, 5), (5, 6)};
(59МП)
,(4, 6), (5, 6)}.
(38КЦ)
14.7.
КОДИРОВАНИЕ ДЕРЕВЬЕВ
МЕТОДОМ ПРУФЕРА
Чтобы найти код дерева методом Пруфера, следует действовать
следующим образом:
1) находим висячую вершину с наименьшим номером;
2) удаляем эту вершину вместе с выходящим из нее ребром;
3) номер вершины, инцидентной удаленному ребру, — это первый знак
искомого кода;
4) над получившимся новым графом повторяем действия первых трех
пунктов.
6)G = \
43. a) G = \
6)G = \
44. a) G = \
6)G =
45. a) G = \
6)G =
46. a) G =
6)G =
47. a) G =
6)G =
48. a) G =
6)G =
49. a) G =
6)G =
50. a) G =
6)G =
[(1.2),
i(l,2),
((1,2),
1(1.2),
((1,2),
1(1,2),
((2,1),
((1,2),
((2,1),
((1,3),
((1,2),
((1,2),
((1,3),
((1,2),
((1,2),
((1,2),
((1,2),
(3,1),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(1,5),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,3),
(1,4),
(3,1),
(1,4),
(6,1),
(1,3),
(1,4),
(1,4),
(1,3),
(1,4),
(2,3),
(1,4),
(2,3),
(3,2),
(1,5),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(3,2),
(1,4),
(2,3),
(2,3),
(1,5),
(2,3),
(2,3),
(1,5),
(3,2),
(2,4),
(2,3),
(2,4),
(2,4),
(2,3),
(4,2),
(4,2),
(2,5),
(5,2),
(2,3),
(4,2),
(4,2),
(2,4),
(^» 5),
(2,4),
(4,2),
(2,4),
(2,5),
(2,6),
(4,3),
(2,5),
(2,4),
(2,5),
(2,6),
(6,2),
(3,4),
(2,4),
(5,2),
(5,2),
(5,2),
(2,6),
(5,2),
(5,2),
(2,5),
(4,3),
(4,3),
(5,3),
(6, 2),
(6,2),
(2,6),
(3,5),
(3,4),
(3,5),
(5,2),
(3,4),
(2,6),
(3,4),
(3, 5),
(4,3),
(2,6),
(3,4),
(3,5),
(3,6),
(3,6),
(3,4),
(4,3),
(3,4),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,6),
(3,4),
(3, 5),
(3, 6),
(3, 5),
(3,4),
(3,6)
(3,6)
(4,5)
(4,5)
(3, 6)
(3,5)
(3,5)
(5,4)
(4,5)
(4,5)
(4,5)
(4,5)
\0 у О)
(3,6)
(5,4)
(3, 6)
(о, о)
466
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

i^i^i^CO&9COC000CC00C0COC0tOtOtOtd(dtd(OtOtO(dHHHHHHHHHH ffi
Se
43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 i-j
ssssssssssssssssssssssssss
pppppppppopppppppppppppppppppppppppppppppp^
*>_i м м м м м м м и-* н-t м м м м м м и- м м м м м м м и- м м м м м м м и- м м м м м м м и- м °
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to §
сосососооооооооооо^^^^^0505050505елелелелел^^^^^сососососо10101010101^1^1-^43
и
J»
ф
iiiiiiisiiiiiiisBisiiiiipiiiiiiiiiiiiiiiil
43
Ф
43
о\
рис.
rf^
298.
о\
рис.
rf^
'962
о\
рис.
4^
294.
о\
рис.
*ь
•262
о\
рис.
4^
290.
о\
рис.
^
'882
о\
рис.
4^
'982
о\
рис.
4^
284.
о\
рис.
*ь
'282
о\
рис.
rf^
280.
о\
рис.
4^
278.
о\
рис.
4^
276.
о\
рис.
rf^
274.
о\
рис.
4^
272.
о\
рис.
4^
270.
о\
рис.
rf^
'892
о\
рис.
rf^
266.
о\
рис.
rf^
264.
о\
рис.
*ь
'292
о\
рис.
4^
260.
о\
рис.
rf^
258.
о\
рис.
^
256.
о\
рис.
rf^
254.
о\
рис.
4^
252.
о\
рис.
4^
250.
о\
рис.
rf^
248.
о\
рис.
4^
246.
о\
рис.
4^
244.
о\
рис.
*ь
242.
о\
рис.
^
240.
о\
рис.
4^
'882
о\
рис.
rf^
236.
о\
рис.
4^
234.
о\
рис.
*ь
'282
о\
рис.
rf^
230.
о\
рис.
4^
'822
о\
рис.
4^
'922
о\
рис.
^
224.
о\
рис.
*ь
'222
о\
рис.
rf^
'022
о\
рис.
rf^
218.
о\
рис.
4^
216.
ft
ft
Э
*
3
ft
;э
о*
©I
Э
со

43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
а) рис. 14.299
а) рис. 14.301
а) рис. 14.303
а) рис. 14.305
а) рис. 14.307
а) рис. 14.309
а) рис. 14.311
а) рис. 14.313
(ЩИ2)
(ХТИ)
(658)
(СЛЯ)
(Т5Л)
(Ф28)
(НОМ)
(АГИ)
б) рис. 14.300.
б) рис. 14.302.
б) рис. 14.304.
б) рис. 14.306.
б) рис.14.308.
б) рис.14.310.
б) рис. 14.312.
б) рис. 14.314.
(ОДГ)
(532)
(Я52)
(7ЖН)
(УАЗ)
(8ПП)
(9ПИ)
(РКК)
1
10
7*
Z
11
7 8 9
Рис. 14.215
2
3
10
1>
X
11
7 8 9
Рнс. 14.216
ю.
v
•5Л
7 8 9
Рис. 14.217
N
ю
^
11
7 8 9
Рис. 14.218
*лл
10'
7 8 9
Рис. 14.219
10^ ^11
5 6
11
7 8 9
Рнс. 14.220
Тч^
.5 6.
И
и
7 8 9
Рис. 14.221
1
I >10
4 .5 6
11
ы
Рис. 14.222
YL
5 6
11
Л
4
7
8
Рис. 14.223
ю>
Рис. 14.224
1
11 •
Рнс. 14.225
4
^*-
!Ы
7 8 9
Рис. 14.226
2
f f Т 10 *
лх
Рис. 14.227
к^
Рнс. 14.228
%10 \\*Г \
• +
9 8 7
Рис. 14.229
^
и
КГ*
• in
в
Рис. 14.230
468
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

.4 6
11
X
9 8 7
Рис. 14.231
10.
ИГ
9 8 7
Рис. 14.232
2 3 5
•
J ." «,
|0У"
9 8 7
Рис. 14.233
3
5
10«
4 6
i
>11
9 8 7
Рис. 14.234
3
к—"
•10 1
4 6
10 11
^Ы
9 8 7
Рис. 14.235
V\w
YL
Рис. 14.236
4 6
Рис. 14.237
i—V
,'°Ч^П. ^Ы
9 8 7
Рис. 14.238
4
5 8
^
11
6 9
Рис. 14.239
4
т^
£Ы
1
3 6 9
Рис. 14.240
»10
К1
3 6 9
Рис. 14.241
7Г
10
V.
11
Рис. 14.242
1 4 7
• *
3 6 9
Рис. 14.243
^1
5 8
Рис. 14.244
1 4
>»10
.5 8
ЛЫ
Рис. 14.245
1
3 6 9
Рис. 14.246
4
ТЪГ:
8+
10
^Ы
Рис. 14.247
1 ^
# 1
1 7
<<
ч,,1
> •
10
6 9
Рис. 14.248
КГ [
5 8
И1
3 6 9
Рис. 14.249
7
^
П*
6 9
Рис. 14.250
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
469

9
.5 81
10'
V/"
Рис. 14.251
6
ы
к^
Рис. 14.252
К
>11 *П
1 4 7
Рис. 14.253
Рис. 14.254
6
9
*10 ПК
• •—-4
1 4 7
Рис. 14.255
•о. ■
^V
1 4 7
Рис. 14.256
КГ
6 9
>10 I
5
8
1 4 7
Рис. 14.257
>10
2 5
11
И
Рис. 14.258
К
ю
КГ
4 7
Рис. 14.259
9
10
V-
и
Рис. 14.260
кг*
и
ы
Рис. 14.261
Л.
^7\
1 4 7
Рис. 14.262
7 8 9
• * *
5 6
10*. 11
Рис. 14.263
1U
И
11
Рис. 14.264
Рис. 14.265
8
КЛ
5 1
Nn 6
1 2
Рис. 14.266
КГ-
4 5
• 6
К
II
Z
II
Рис. 14.267
1 2 3
Рис. 14.268
7 8
I Nio
и
11
1 2 3
Рис. 14.269
[4
К7
Рис. 14.270
470
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

7 8 9
•
т^—• 6*
1 2 3
Рис. 14.271
3 4 5
9 6
10
УК
11
1 8 7
Рис. 14.275
3 4 5
-s;
2 А9
7
7 8 9
•10
10
4 5
к^ лы
1 2 3
Рис. 14.272
3 4 5
•
1 2 3
Рис. 14.273
3 4 5
2 ^__6
К
Г/11, И1 1
10
^-9 6t
1 8 7
Рис. 14.276
3 4 5
Ч
10
1 8 7
Рис. 14.277
3 4 5
*10 о '
*е—»у в\ «с—* 6t t Л бФ *—-*
Nil »П П« 11*
8 9
КГ 1 V"
^
t5 *
и
2 9
^
10
1 8 7
Рис. 14.279
3 4 5
Тч—* t
* т
1 8 7
Рис. 14.283
8 1 2
•
\
9 3
10 .11
Z
1 8 7
Рис. 14.280
3 4 5
•
10
1 8 7
Рис. 14.281
3 4 5
NT" T
I >ю I
2 9
И1 ^
1 8
Рис. 14.284
• •
1 8 7
Рис. 14.285
8 1 2
No*
^
9
>11
7 9
6 5 4 6 5 4
Рис. 14.287
Рис. 14.288
6 5 4
Рис. 14.289
1 8
Рис. 14.282
3 4
•—
\
10
2 9
• f 6
г
11
1 8
Рис. 14.286
8 1
•
9
к— з
*11
7 9
* •
6 5 4
Рис. 14.290
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
471

к
1 2
-•
10
£L
6 5 4
Рис. 14.291
8
•-
1
\^
11
К\
6 5 4
Рнс. 14.295
3 2 1
VT 1
4 [56
• 4
11
х
9 8 7
Рнс. 14.299
9 8 7
Рнс. 14.303
1 2 3
ч
10
КГ
• •—
9 8
Рнс. 14.307
8 1
7
10
6 5 4
Рис. 14.292
Рис. 14.296
т ч
4 _5
10
Ч
11
9 8 7
Рис. 14.300
3 2 1
ч
и
ю
Ч.
9 8 7
Рис. 14.304
8 1
КГ
ГГ' 1
• 11
6 5 4
Рнс. 14.293
1
у*
7 9
6 5 4
Рис. 14.297
3 2 1
ч
О
1ч-^5 <*
9 8 7
Рис. 14.301
3 2 1
—* t
Ю
9 8 7
Рис. 14.305
3 2 1
9 8 7
Рис. 14.309
8 1
)£L
Л
6 5
Рис. 14.294
1
• •-
<0
ч¥5
-• • •
6 5
Рис. 14.298
3 2
ч
ю
И .5
И
11
\п1 N
9 8
Рис. 14.302
3 2
•
10
4 5
£
И
9 8
Рис. 14.306
3 2
^
2U: /
.10
4 5
• f 6
11
9 8 7
Рис. 14.310
472
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

г.
О \ц
3 2 1
Рнс. 14.311
6
К
Ю #11
3 2 1
Рис. 14.312
5 6 7
« •
кг
10
4 9
3 2 1
Рис. 14.313
^
10
к:
Рис. 14.314
14.8.
ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА ПО ЕГО КОДУ
По коду графическое изображение дерева восстанавливается
однозначно. Проиллюстрируем это на двух примерах.
Пример 1. Изобразить граф G по его коду, заданному последовательностью
вершин, пронумерованных шестнадцатеричными цифрами, где G — граф,
являющийся деревом:
566 732 511. (1)
Для контроля:
а) определить число ребер графа G, соединяющих вершины 1 и 9, а также
4 и А;
б) указать степени вершин 5 и 8.
Решение. В коде девять цифр, следовательно, в графе 11 вершин,
номерами которых являются шестнадцатеричные цифры
1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, (2)
где А и Б — шестнадцатеричные цифры, обозначающие десятичные числа 10
и 11 соответственно (другие шестнадцатеричные цифры в данном примере не
используются). В коде нет номеров висячих вершин. Чтобы их найти,
достаточно из (2) удалить все цифры заданного кода (1). Это цифры 4, 8, 9, А, Б.
Запишем цифры заданного кода (1) и висячие вершины в две строки —
код дерева вверху, висячие вершины — внизу, отделив их чертой:
566732511
489АБ ' ( }
Левая верхняя цифра и наименьшее нижнее число дают первое ребро
искомого графа: 5-4. Удаляем цифры 5 и 4 из (3). Тогда получим:
66732511
8 9А В ' ( '
Из (4) точно таким же образом, взяв левую цифру из верхних цифр и
наименьшую из нижних, получаем второе ребро: 6-8. Удалим цифры 6 и 8 из (4):
6732511 (5)
9АБ '
Отсюда получаем третье ребро: 6-9. Из (5) удаляем цифры 6 и 9. При этом
заметим, что из верхних цифр мы удалили последнюю цифру 6, т. е. вверху
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
473

она больше не повторяется. Следовательно, вершина 6 стала висячей и ее на
этом основании записываем под чертой:
732511
АВ6
(6)
Четвертым является ребро 7-6. Оно получено следующим образом:
вверху берем левую цифру, а внизу - наименьшую. Удаляем из (6) цифры 6 и 7.
Как и в предыдущем случае, цифра 7 над чертой больше не повторяется,
следовательно, она стала висячей и ее необходимо записать под чертой:
32511
Вверху слева записано цифра 3. Внизу наименьшей является цифра 7.
Эти цифры образуют пятое ребро: 3-7. Из (7) удаляем цифры 3 и 7, а цифру 3
записываем внизу:
У 2511
АБЗ* (8)
Следующее ребро: 2-3. Из (8) удаляем цифры 2 и 3, а цифру 2 записываем
под чертой:
511
АБ2* (9)
Очередное ребро согласно (9): 5-2. Удаляем из (9) цифры 5 и 2, а цифру 5
записываем под чертой, так как она вверху больше не встречается:
11
АВ5' (Ю)
Цифры 1 и 5 образуют ребро 1-5. Удаляем из (10) цифры 1 и 5, но цифру
1 под черту не переносим, так как она вверху повторяется. В результате
получаем: л
-J-. (И)
АВ
Из (11) берем цифру 1, расположенную над чертой, и наименьшую из
цифр, записанных внизу (наименьшей из шестнадцатеричных цифр А и Б
является цифра А). Из цифр 1 и А получаем ребро 1-А. Над чертой цифр нет,
т. е. цифра 1 вверху больше не повторяется, следовательно, она стала
висячей. Цифру 1 записываем под чертой, где осталась цифра Б. Эти цифры 1 и Б
образуют последнее ребро 1-Б.
Таким образом, получаем следующее множество ребер искомого графа G:
G = {(5-4), (6-8), (6-9), (6-7), (3-7),
(2-3), (2-5), (1-5), (1-А), (1-Б)}.
Соответствующее дерево приведено на
рис. 14.315. Вершины 1 и 9 этого дерева соеди-
8f няет простая цепь, состоящая из 6 ребер.
Вершины 4 и А соединяют 3 ребра. Степени вер-
—*+ шин 5 и 8 равны соответственно 3 и 1.
д.
в
Т 6
Рис. 14.315 Ответ: а) 6, 3; б) 3, 1.
474
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Пример 2. Изобразить дерево G по коду 222 732 6LA.
Для контроля:
а) определить число ребер графа G, соединяющих вершины 9 и Б, а также
4 и 8;
б) указать степени вершин 2 и 3.
Решение. В коде 9 знаков, следовательно, в искомом графе содержится
11 вершин. Удалим из (2) все цифры, входящие в заданный код. Оставшиеся
цифры 4, 5, 8, 9, Б — это номера висячих вершин заданного дерева.
Запишем цифры кода и все номера висячих вершин в две строки:
22273261А
4589Б '
Первые четыре ребра имеют вид: 2-4, 2-5, 2-8, 7-9. После этого цифра 7
переходит вниз. Удалив четыре верхние и четыре нижние цифры, получаем:
3261А
Б7 '
Далее действуем так же, как и в предыдущем случае. Все оставшиеся
вверху цифры не повторяются, поэтому каждая из них окажется под чертой.
На этом этапе получаем еще шесть ребер: 3-7, 2-3, 6-2, 1-6, 1-А, А-В.
Таким образом, получаем следующее множество ребер искомого графа:
G = {(2-4), (2-5), (2-8), (7-9),
(3-7), (2-3), (2-6), (1-6), (А-1), (А-В)}.
Дерево изображено на рис. 14.316. Из этого
дерева видно, что вершины 9 и Б соединяют 7
ребер, вершины 4 и 8-2 ребра. Степени вершин 2 и 3
равны соответственно 5 и 2.
Ответ: а) 7, 2; б) 5, 2.
Рис. 14.316
Задания
для самостоятельной работы
Построить графическое изображение дерева по заданному коду. Для
контроля приведите ответы по пунктам а) и б).
1.156 776 566:
а) сколько ребер соединяют вершины 2 и 8? 4 и 9? (ДОС)
б) укажите степени вершин с номерами 5 и 6. (ФОМ)
2.157 6Б5 366:
а) сколько ребер соединяют вершины 2 и 8? 4 и 9? (БИМ)
б) укажите степени вершин с номерами 6 и Б. (КРЫ)
3.547 552 637:
а) сколько ребер соединяют вершины 1 и 8? 1 и Б? (ИСО)
б) укажите степени вершин с номерами 7 и Б. (ОПШ)
4.667 767 677:
а) сколько ребер соединяют вершины 4 и 5? 1 и 6? (ГПВ)
б) укажите степени вершин с номерами 6 и 7. (ЛВМ)
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
475

5.567 867 667:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
6. 555 765 9ВА:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
7.668 633А37:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
8. 586Б66 237:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
9. 666 767 667:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
10. 53А 7А5 26А:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
11.59А799 7АА:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
12.716 762 377:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
13.537 337Б77:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
14.667 937 7А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
15.666 667 667:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
16. 582 933 6А6:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
17. 229 344 8БА:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
18.257 769 777:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
19.556 776 556:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
20.566 76Б667:
вершины 8 и 9? 1 и 4?
с номерами 3 и 6.
вершины 1 и 8? 2 и 4?
с номерами 5 и В.
вершины 4 и 5? 9 и В?
с номерами 6 и 7.
вершины 1 и 4? 8 и 9?
с номерами 5 и В.
вершины 3 и 4? 1 и В?
с номерами 6 и 4.
вершины 1 и 3? 8 и 9?
с номерами 5 и А.
вершины 1 и 4? 2 и 8?
с номерами 9 и А.
вершины 4 и 5? А и В?
с номерами 6 и 7.
вершины 1 и В? 5 и 6?
с номерами 5 и 7.
вершины 1 и 5? 2 и В?
с номерами 2 и 7.
вершины 1 и В? 2 и А?
с номерами 4 и 6.
вершины 1 и 4? 2 и 8?
с номерами 5 и 6.
вершины 1 и 6? 5 и 7?
с номерами 2 и 4.
вершины 5 и 6? 1 и 4?
с номерами 6 и 7.
вершины 8 и 9? 1 и В?
с номерами 5 и 7.
(ХОК)
(BOX)
(АВК)
(МТА)
(ОАЗ)
(НБВ)
(ЗУФ)
(215)
(9ЯО)
(УЛУ)
(ФСБ)
(ХХ6)
(ПВЕ)
(ТАМ)
(ИРМ)
(Ш01)
(РБЛ)
(ЗЫИ)
(ВАК)
(40Т)
(Ц37)
(ЩЗЩ)
(88Т)
(Э90)
(ЗЫФ)
(5П2)
(Ю2Ю)
(ПДИ)
(15Т)
(2ЛЕ)
476
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
21.263А33 7А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
22. 667 674 SBA:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
23.567 776 566:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
24.388 111666:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
25.557 375 3А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
26.293 936 977:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
27.267 676 37А:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
28.567 767 667:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
29.266 667 648:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
30. 228 222 666:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
31.566 26Б677:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
32.888 161666:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
33.171ААВА37:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
34.232 272 6А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
35.577 297А6А:
а) сколько ребер соединяют
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
вершины 2 и А? 1 и 8?
с номерами 6 и 7.
вершины 1 и 5? 2 и Б?
с номерами ЗиЛ.
вершины 2 и 9? 1 и А?
с номерами 6 и 7.
вершины 1 и 4? 2 и Б?
с номерами 7 и А.
вершины 2 и Б? 1 и 9?
с номерами 5 и 7.
вершины 4 и 5? 1 и Б?
с номерами 5 и 7.
вершины 3 и 9? 1 и 8?
с номерами 1 и 9.
вершины 1 и Б? 5 и 8?
с номерами 2 и А.
вершины 1 и 8? 2 и А?
с номерами 9 и 7.
вершины 1 и Б? 2 и А?
с номерами 6 и 7.
вершины 5 и Б? 4 и 9?
с номерами 2 и 7.
вершины 1 и 8? 3 и 9?
с номерами 2 и 6.
вершины 1 и А? 4 и 5?
с номерами 6 и 7.
вершины 5 и 8? 6 и 7?
с номерами 1 и 2.
вершины 4 и 8? 1 и Б?
с номерами 2 и 3.
вершины 1 и Б? 4 и 8?
(78Б)
(85Д)
(ЧАП)
(658)
(ВВЛ)
(Б57)
(9РС)
(75П)
(5ТК)
(АПА)
(ГИМ)
(ОАЗ)
(ПЫШ)
(РЖА)
(ЖАС)
(УЕН)
(ТРЯ)
(СОХ)
(ЕЛГ)
(МБД)
(УЖО)
(Н53)
(ЕРЦ)
(ФЫМ)
(ЭНО)
(ХЛУ)
(ЮША)
(ЛПГ)
(СИЩ)
(КТМ)
(ЗРТ)
477

б) укажите степени вершин
36. 777 1АА 7А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
37. 526 775 56А:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
38. 582 973 777:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
39.969 799 979:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
40. 577 276Б6А:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
41.555 75А7АА:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
42. 232 333 6АА:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
43.666 767 677:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
44. 239 993 29А:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
45. 577 269 7А7:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
46. 56Б6Б6А37:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
47.556 775 667:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
48.678 859А78:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
49. 292 366 789:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
50.117 856 921:
а) сколько ребер соединяют
б) укажите степени вершин
с номерами 5 и 7.
(1Д8)
вершины 1 и 9? 4 и 5?
с номерами 6 и 7.
вершины 3 и Б? 4 и 9?
с номерами 2 и 4.
вершины 1 и 4? 2 и Б?
с номерами 4 и 7.
вершины 1 и Б? 8 и А?
с номерами 8 и 9.
вершины 3 и 9? 1 и 8?
с номерами 5 и 7.
вершины 1 и 4? 2 и Б?
с номерами 3 и 5.
вершины 3 и 8? 5 и 9?
с номерами 7 и А.
вершины 2 и 9? 1 и 8?
с номерами 6 и 9.
вершины 5 и А? 4 и Б?
с номерами 2 и 9.
вершины 3 и Б? 1 и 4?
с номерами 5 и 7.
вершины 2 и 9? 1 и 4?
с номерами 6 и 7.
вершины 1 и 9? 2 и 4?
с номерами 5 и 6.
вершины 2 и А? 1 и 4?
с номерами 6 и 7.
вершины 5 и Б? 1 и 4?
с номерами 5 и 9.
вершины 1 и Б? 4 и А?
с номерами 8 и 9.
(ЯУШ)
(22П)
(РАИ)
(79Г)
(ИЛЫ)
(ЦОМ)
(397)
(ПОМ)
(ИОХ)
(ЧУЗ)
(658)
(СЮЖ)
(ШОР)
(6ЯД)
(ДЭН)
(ЕШХ)
(Ж8К)
(304)
(ХЫЛ)
(НЫН)
(ММО)
(ЛРО)
(ИДЗ)
(ГАМ)
(КЫС)
(898)
(СКЛ)
(НЯЩ)
(АВЦ)
(БЕЗ)
478
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
15.1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Чем отличается потенциальная бесконечность от
актуальной?
2. Перечислите виды множеств.
3. Какие числа называют натуральными?
4. Что такое натуральный ряд? Какие числа в него входят?
5. Является ли натуральным число нуль?
6. Какие числа называются простыми?
7. Является ли простым число 1?
8. Как задать множество прямым перечислением?
Приведите пример.
9. Что такое кардинальное число конечного множества?
10. Что такое синглетон?
11. Как задать множество при помощи формы?
Приведите пример.
12. В чем суть интуитивного принципа объемности?
13. В чем суть интуитивного принципа абстракции?
14. Как записать: данный элемент принадлежит
заданному множеству?
15. Какое выражение верно: 0 ф {0} или 0 = {0} и почему?
16. Чему равно кардинальное число пустого множества?
Синглетона?
17. Какие множества называют подмножествами?
Поясните примером.
18. Что такое булеан множества? Сколько элементов
содержит булеан синглетона? Сколько элементов содержит
булеан пустого множества?
19. Перечислите основные операции над множествами.
20. Что такое универсальное множество?
21. Дайте определение понятию «дополнение
множества». Приведите пример.
22. Запишите формулы для теорем склеивания и
поглощения.
23. Сформулируйте законы де Моргана.
15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
479

15.2.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ (БУЛЕВА АЛГЕБРА)
24. Какие предложения называются высказываниями?
25. Запишите аксиомы алгебры логики.
26. Перечислите девять основных теорем одной переменной.
27. Для ДНФ и КНФ запишите формулы алгебры логики, выражающие
теоремы склеивания и поглощения.
28. Сформулируйте дизъюнктивную и конъюнктивную теоремы де
Моргана.
29. Охарактеризуйте понятие булевой функции.
30. В чем суть табличного способа представления булевой функции?
31. Что такое набор значений переменных?
32. Сформулируйте понятия минимального терма (минтерма) и
максимального терма (макстерма).
33. Что такое совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)?
Приведите пример.
34. Что такое совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)?
Приведите пример.
35. На каких операциях основан алгебраический способ упрощения
булевых формул?
36. Что такое импликанта булевой функции?
37. На каких логических операциях основан метод Квайна?
38. Поясните понятие простой импликанты булевой функции
39. В каких формах может быть представлена ДНФ булевой функции?
40. В каких формах может быть представлена КНФ булевой функции?
41. Какие функции называются неполностью определенными?
42. Сколько существует СДНФ функции п переменных при р
неопределенных состояниях?
43. Какие формы булевых функций относятся к формам высшего порядка?
44. Что такое абсолютно минимальная форма?
45. Дайте определение симметрической функции?
46. Какими способами может быть задана симметрическая функция?
47. Всякая ли симметрическая функция может быть минимизирована в
смысле Квайна?
48. Как выполняются логические операции над симметрическими
функциями с применением а-чисел?
49. Что такое изображающее число булевой функции? Приведите пример.
50. Как выполняются логические операции над изображающими числами?
51. Что такое пороговая функция?
52. В каких пределах может изменяться пороговая величина при
заданных весах переменных? Приведите пример.
53. Верно ли, что всякая пороговая функция однозначно представима
наборами весов и значением пороговой величины? Приведите примеры.
54. Верно ли, что всякая пороговая функция в минимальной ДНФ не
содержит инверсий?
480
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

55. Верно ли, что минимальная КНФ всякой пороговой функции не
содержит инверсий?
56. Что такое мажоритарная пороговая функция? Приведите пример.
57. Существуют ли мажоритарные пороговые функции, минимальные
ДНФ которых содержат инверсные переменные?
58. Сколько существует наборов значений п переменных, на которых
мажоритарная функция принимает единичное значение?
15.3.
ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
59. Что такое комбинационная схема?
60. Является ли комбинационной логическая схема, имеющая один
выход и несколько (т. е. более одного) входов?
61. В чем физический смысл операции суперпозиции применительно к
логическим элементам?
62. Как задаются весовые коды?
63. Как задается невесовой код?
64. Что такое код « 2 из 5 » ?
65. Назовите главный признак, которым характеризуется рефлексный
код (другие названия: циклический, прогрессивный, код Грея)?
66. Дайте контактную интерпретацию булевых функций.
67. Что такое многотактный автомат и в чем его отличие от
комбинационной схемы?
68. Какое состояние входов R и S триггера типа RS, построенного на
элементах Шеффера, является запрещенным?
69. Какую главную роль играют ibS-триггеры в комбинационных схемах?
70. Какие по форме импульсы применяются в многотактных автоматах?
71. В чем отличие синхронного принципа работы от асинхронного?
72. В какие моменты Т-триггер меняет свои состояния, если
прямоугольные импульсы подаются на его счетный вход?
73. При каких условиях JK-триггер меняет свои состояния под
действием синхроимпульсов?
74. Что представляет собой основная модель конечного автомата?
75. В чем отличие автомата Мили от автомата Мура?
15.4.
КОМБИНАТОРИКА
76. Что такое факториал?
77. Какое равенство является правильным: 0! = 0 или 0! = 1?
78. Сформулируйте основное правило комбинаторики (правило
произведения).
79. Сформулируйте правило суммы в комбинаторике.
80. Запишите формулы для основных комбинаторных конфигураций:
перестановок, размещений, сочетаний с повторениями и без повторений.
15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
481

81. Какие из предыдущих формул соответствуют случаям, когда порядок
записи элементов в выборках не имеет значения?
82. Верно ли, что формула для числа перестановок без повторений есть
частный случай формулы для числа перестановок с повторениями?
83. Верно ли, что формула для числа перестановок без повторений есть
частный случай формулы для числа размещений без повторений?
84. Пусть т — число единиц в л-значном двоичном числе. Сколько
существует таких чисел, если они могут начинаться с нуля?
85. Сколько существует л-значных двоичных чисел, в каждом из
которых содержится точно т единиц, которые нигде рядом не стоят?
86. В урне п белых шаров и т черных. Наугад вынимают k шаров.
Запишите формулу для вычисления вероятности того, что среди выбранных
окажется q белых шаров и k - q черных.
15.5.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
87. Охарактеризуйте такие понятия, как простой граф, псевдограф, муль-
тиграф, надграф, подграф, пустой граф, частичный граф, нуль-граф.
88. Охарактеризуйте понятия смежности, инцидентности, степени
вершины, четной вершины, нечетной вершины.
89. Какие графы называются однородными, полными?
90. Что такое дополнение графа?
91. Что такое изоморфизм?
92. Что такое маршрут, цепь, простая цепь, простой цикл в графе?
93. Какие графы называются связными?
94. Что такое степень связности графа?
95. Какие графы называются эйлеровыми и полуэйлеровыми?
96. Что такое уникурсальная линия?
97. Какие графы называются гамильтоновыми?
98. Приведите две формулировки задачи о коммивояжере.
99. Какие графы называются двудольными, полными двудольными?
100. Какие графы называются планарными и какие — плоскими?
101. Сформулируйте теорему Эйлера о плоских графах.
102. Что такое гомеоморфизм?
103. В чем суть критерия Понтрягина-Куратовского?
104. Какие графы называются деревьями и какие — лесом?
105. Что такое хроматическое число графа?
106. В чем суть гипотезы четырех красок?
107. Какие графы называются ориентированными (орграфами)?
108. Как определяется степень вершины орграфа?
109. Как определить число дуг орграфа?
110. Охарактеризуйте понятия: основание орграфа, слабая связность
орграфа, сильная связность орграфа.
111. Сколько существует турниров (т. е. полных орграфов на п вершинах)?
112. Сколько существует полных двудольных орграфов?
482
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ОТВЕТЫ
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1. Основные операции над множествами. 1. а) 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9; б) 3, 4, 5,
6, 7; в) 0, 1, 3, 7, 8. 2. а) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9; б) 0, 5, 6, 7; в) 2, 6, 7, 9. 3. а) 0, 2, 3, 7, 8, 9;
б) 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9; в) 0, 2, 5, 6, 8, 9.4. а) 0,1, 2, 5, 7, 9; б) 0, 5, 6, 8; в) 0, 2, 3, 6, 8, 9.
5. а) 0, 2, 3, 7, 8, 9; б) 0, 2, 5, 6, 8, 9; в) 0, 2, 5, 6, 8.6. а) 4, 5, 7, 9; б) 2, 8; в) 1, 2, 5, 9.
7. а) 1, 2, 4, 7, 8; б) 2, 3, 4, 5, 8; в) 2, 6, 7, 8, 9.8. а) 1, 6, 7, 8; б) 0, 1, 3, 4, 7, 9; в) 0,1,
4, 7, 8. 9. а) 1, 2, 6, 8; б) 2, 5, 6, 9; в) 1, 3, 4, 7, 8, 9.10. а) 0, 5, 6, 7, 8; б) 0, 4, 6; в) 1,
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.11. а) 1, 3, 4, 7, 8; б) 0, 2, 6; в) 0, 4, 5, 6, 7.12. а) 6, 7, 9; б) О, 3, 4, 5;
в) 0,1, 2, 4, 6, 8.13. а) 3, 4, 5, 7, 8; б) 6; в) 2, 3, 5.14. а) 1, 3, 5, 6; б) 3, 4, 6; в) 0, 4, 5.
15. а) 1, 2, 3, 5, 6, 7; б) 1, 6; в) 0, 2, 3, 4, 8, 9. 16. а) 0, 2, 7, 8; б) 1, 4, 6; в) 3, 4, 5, 7.
17. а) 3, 4, 5, 6, 7, 9; б) 3, 6; в) 2, 3, 4, 5. 18. а) О, 1, 3, 4, 6, 7; б) 7, 9; в) 2, 5, 6, 9.
19. а) 1, 3, 5, 6; б) 0, 3, 6, 7, 8, 9; в) 0, 2, 5, 6, 7, 8. 20. а) 1, 3, 4, 5, 6, 7; б) 0, 6, 7, 9;
в) 1, 2, 4, 5, 6, 8. 21. а) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9; б) 0,1, 4, 6, 7, 9; в) 0,1, 4, 6, 8. 22. а) 0,1,
2, 3, 4; б) 5, 9; в) 0, 2, 4, 6, 7, 8. 23. а) О, 1, 4, 5, 6, 9; б) 1, 2, 7; в) 0, 5, 8. 24. а) 2, 3, 6,
7; б) 6, 7; в) 0,1, 5, 6, 8, 9. 25. а) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9; б) 5, 6, 7; в) 0, 2, 8. 26. а) 2, 3, 4, 5;
б) 0, 7; в) 0, 4, 7, 8, 9. 27. а) 2, 6, 7, 8, 9; б) 0; в) 0,1, 2, 5, 6, 7,8, 9.28. а) 2, 4, 5, 7,8;
б) 2, 3, 4; в) 3, 9. 29. а) 1, 2, 3, 5, 8; б) 1, 4, 5, 6, 8; в) О, 1, 2, 4, 6, 8, 9. 30. а) О, 1, 2, 4,
5, 6, 7; б) 2, 6; в) 3, 5, 9.31. а) 0, 2, 3, 4, 8; б) 0, 4; в) 1, 8. 32. а) 6, 7; б) 0; в) 2.33. а) 1,
2, 3 ,5 ,6 , 7, 8; б) 1, 4; в) 5, 6, 8. 34. а) 1, 5, 6, 7, 9; б) 1, 5; в) 0, 6, 8 35. а) О, 3, 5, 7, 8,9;
б) 3, 5, 6, 8; в) 1, 3, 7. 36. а) 0, 2, 3, 6, 8, 9; б) 1, 5, 7; в) О, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 37. а) О,
1, 2, 5, 7, 9; б) 1, 3, 6; в) 9. 38. а) 4, 5, 7; б) 0; в) 3, 4, 6, 7, 8, 9. 39. а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 5,
7; в) 3, 6, 7,8.40. а) 0,1, 2, 5, 6, 7; б) 2, 3, 5; в) 3, 5, 7,8.41. а) 1, 2; б) 4, 5, 9; в) О, 3, 6,
7, 8.42. а) 0,1, 2, 5; б) 3,4, 6, 7, 9; в) 3, 6, 7, 9.43. а) 0, 2, 5, 6, 7, 8, 9; б) 3, 5, 7, 9; в) 2,
5, 6, 8. 44. а) 0, 5, 7; б) 6; в) 4, 6. 45. а) О, 1, 2, 4, 5, 7, 8; б) 0, 4, 5, 7, 9; в) 2, 6, 8.
46. а) 0,1,4, 8; б) 3, 5, 6, 8; в) 3, 5, 8. 47. а) О, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9; б) 5, 6, 7, 9; в) 5, 7,
8, 9. 48. а) 1, 4, 5; б) О, 1, 2, 5, 6, 7, 9; в) 1, 8. 49. а) О, 1, 3, 4, 5, 6, 7; б) 1, 4, 5; в) 3.
50. а) 3,4, 5, 7, 9; б) О, 3; в) 7, 9.
1.2. Подмножества. 1. 1,2,4,7. 2.3,4,6. 3. 1,5,8. 4.2,5,6. 5. 1,2,4,8. 6.4,6,7.
7.3,6,7. 8.2,3,4. 9.4,8. 10.2, 4, 7. 11.1,2,3,6. 12.2,3,5. 13.2,3,7,8. 14.3,6,8.
15.1,4,7.16. 4,6,7.17. 2,3,5,8.18.1,3,6.19. 5,6,7.20. 2,7,8.21. 2,6,7,8.22. 1,4,5,7.
23. 2,4,5.24. 5,8.25. 2,5.26. 2,3,5.27.1,5,6.28.1,3,6.29.1,6.30. 5,6,8.31.1,4,7,8.
32. 3,5.33.1,2,3,5.34. 3,5,6,8.35. 2,7,8.36. 3,5,8.37. 1,8.38. 4,8.39. 3,7.40.1,3,5.
41. 4,7,8.42. 7,8.43. 2,3,4,8.44. 2,4,6,8.45. 1,4,5,7,8.46. 3,5.47. 5,6,8.48. 5,7,8.
49. 3,5. 50. 1,3. 51. 2,3,6,8. 52. 1,8. 53. 4,8. 54. 3,7.
1.3. Диаграммы Венна. 1. а) 3,6,7,9; б) 0,6,7,8. 2. а) 6,7; б) 1,6,7. 3. а) 2,6,7;
б) 0,3,4,6,9.4. а) 3,5,6,9; б) 1,3,4,6,9.5. а) 2,3,4,6,9; б) 6,9.6. а) 0,1,5,6,8; б) 0,2,5,6,8.
ОТВЕТЫ
483

7. a) 0,1,5,6,9; 6)0,2,4,5,6,9. 8. a) 1,4,5,6; 6)0,2,3,7,8,9. 9. a) 3,5,8; 6)1,3,7,8
10. a) 2,3,4,6,7,9; 6) 3,5,6,7,9.11. a) 0,1,7,8; 6) 0,1,2,4,7,8.12. a) 1,3,5,9; 6) 1,2,3,4,5,9
13. a) 1,2,4,7; 6)0,3,5,8,9. 14. a) 0,1; 6)0,2,4. 15. a) 1,9; 6)2,4,9. 16. a) 1,3,4,8;
6) 0,1,2,6,8.17. a) 1,2,5,8; 6) 0,1,2,3,8.18. a) 1,2,4,6,9; 6) 0,3,5,7,8.19. a) 3,4,6,7,9;
6)1,3,4,6,7,9. 20. a) 3,6,7,9; 6)0,2,3,5,6. 21. a) 0,2,6,7,8; 6)0,1,6,8. 22. a) 1,2,5;
6) 2,3,4,5,9. 23. a) 1,2,7; 6) 0,3,4,5,8,9. 24. a) 0,1,2,3,6,8; 6) 0,2,3,4,6,8. 25. a) 1,3
5,9; 6)2,4,5. 26. a) 1,2,3,4,6,9; 6)0,1,4,5,6,8. 27. a) 0,3,5,6,8; 6)0,1,3,4,6,8
28. a) 1,3,4,5,6; 6) 0,2,7,8,9. 29. a) 0,1,3,5,7,8,9; 6) 0,1,2,3,4,7,8,9. 30. a) 3,5,7,9:
6)2,3,4,5,7,9. 31. a) 2,3,4,7,8; 6)2,5,7,8. 32. a) 0,2,4,6; 6)0,1,2,4,8. 33. a) 1,2,4,
5,7,8; 6) 0,1,2,5. 34. a) 0,2,3,4,8,9; 6) 1,2,3,4,7,8,9.35. a) 0,1,2,5,8; 6) 3,4,5,6,7,8,9
36. a) 0,1,3,7,8; 6)0,2,3,4,7. 37. a) 1,3,5,6,7,8,9; 6)1,2,3,4,7,8,9. 38. a) 0,1,7,8;
6)1,2,4,5,7,8. 39. a) 1,2,3,5,6; 6)0,1,3,4,5,6,7,8,9. 40. a) 0,2,3,5,6,9; 6)0,1,2,3
4,5,6,9.41. a) 0,1,2,4,5,6,8; 6) 0,1,3,5,7,8,9.42. a) 0,2,3,4,5,7,8,9; 6) 1,2,3,4,7,8,9
43. a) 0,1,2,3,4,5,8,9; 6) 0,1,3,6,7,8. 44. a) 1,3,5,6,7,9; 6) 0,3,5,7,9. 45. a) 2,3,4,6
7,9; 6) 0,2,5,7,9.46. a) 0,1,3,6,8,9; 6) 0,2,3,5,6,8,9.47. a) 1,2,5,7,8; 6) 2,3,4,5,7,8,9,
48. a) 1,2,3,4.6,7,8;6)0,1,3,5,6,8,9.49. a)0,2,4,8,9;6) 1^2,4,9.50. a)^),l,2,5,8;6) 1,2
1.4. Отношения включения. 1.1. а) Б_П D ; 6)_A иДПС.2.а)АГ)С;б)АиД.
3.a)AUB; б)_АПЯ._4.а) А ПС; б) A_[] B\j С . _5. a) B\j_ С ; б| А П В U С П D
6. а) АП D ; 6) Б_. 7. а) В ;6) В . 8. a)_ A U В П D ; 6) A . 9. a) A ; 6) A . 10. a) D; 6) A
11. a) C_; 6) A U C_. 12. а) С ; 6) A U С . 13. a) A U С ; б) А П В U С . 14. а) А П В U С ;
6) В U С . 15. a) A_f] В U С ; 6) В U С . 16. a) D; 6) D . 17. a) AJJ С ; 6) A U В П С
18. a) A UD ; 6) А ПС . 19. а) А П_С ; 6) А ПС . 20._а) С; 6) Б ПС . 21. а) ВП С ;
б) A U £ П С .22. а) Б П Я ; 6) A U £ П Я . 23. а)_А U В П Cj 6) А П С . 24. а) А П D ;
6) Б. 25. а) А П С ; 6) A U В П С . 26. a) A U Б П D ; 6) Б П С . 27. а)_А U В П С :
6) AUSflX). 28. а) А11ЯПС; б) Af)B . 2SLa) AflS; 6) Б. 30. a) Af)B±6)B
31. а) С^б) А П Б . 32. а) А; б) Б. 33. а) А; б) А Ц£ П D . 34. а) Б; 6) С. 35. а) А; 6) Af]B
36. а) А П Я ; 6) С. 37. а) А П Я ; б) С. 38. а) А Г) С ; 6) A U В П С . 39. a) A U Б П D :
б) АПС. 4CLa)C; б) С. 41.а) A U В_ П С ; б) А П Б . 42.а)Б; б_)Б. 43.а)Б; 6) Б
44. а) А; б) А .45. а)_А ;б)^ А П Б U С .46. a) A()B\J D;6) B{JC Л7.а) Af)B{JC :
6) Б U С . 48. а) Б U С ; б) А П Б U С . 49. а) Б U С ; 6) А . 50. a) A U D ; б) А.
2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
2.1. Нормальные формы булевых функций. 1. а) 2, 3; б) 1, 5; в) 1, 2, 3, 4, 7
г) 1, 2, 5, 6. 2. а) 4, 6; 6) 1, 5; в) 3, 4, 6, 7; г) 1, 2, 5. 3. а) 1, 6; б) 3; в) 1, 2, 5, 6; г) 3, 4
4. а) 2, 6; 6) 7; в) 1, 2, 4, 5, 6, 7; г) 3, 6, 7. 5. а) 3, 5; б) 4; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3, 4, 6, 7
6. а) 2, 4; 6) 3; в) 1, 2, 3, 4; г) 2, 3, 5, 6, 7. 7. а) 1, 7; б) 3, 6; в) 1, 3, 7; г) 2, 3, 6.8. а) 3
5; 6) 7; в) 3, 5, 6; г) 4, 5, 6,7. 9. а) 3, 4; б) 5, 7; в) 1, 2, 3, 4, 7; г) 3, 5, 7.10. а) 3, 7; 6) 6
в) 1, 3, 6, 7; г) 2, 4, 5, 6.11. а) 1, 3; б) 2, 6; в) 1, 2, 3; г) 2, 4, 6.12. а) 2, 4, 6; 6) 3; в) 1
2, 3, 4, 6; г) 2, 3, 7. 13. а) 4, 7; б) 3; в) 1, 3, 4, 7; г) 2, 3. 14. а) 6, 7; 6) 1; в) 1, 4, 6, 7
г) 1, 2, 3.15. а) 2, 7; б) 5; в) 2, 3, 4, 5, 7; г) 1, 5.16. а) 2, 6; 6) 1; в) 1, 2, 3, 6, 7; г) 1, 7
17. а) 4; б) 5, 6; в) 1, 2, 4, 6; г) 5, 6. 18. а) 6; 6) 1; в) 2, 6; г) 1, 5, 6.19. а) 1, 5; б) 4, 7
в) 1, 2, 5; г) 4, 6, 7. 20. а) 2, 3; 6) 1, 7; в) 2, 3, 7; г) 1, 3, 4, 5, 7. 21. а) 2, 6; б) 1, 5; в) 2
5, 6; г) 1, 3, 5, 7. 22. а) 1, 3; 6) 2; в) 1, 3, 4; г)1, 2, 5, 6. 23. а) 7; б) 3; в) 1, 2, 3, 4, 7
г) 3. 24. а) 1; 6) 2, 6; в) 1, 2, 3, 6; г) 2, 6. 25. а) 6; б) 4, 7; в) 1, 2, 3, 4, 6; г) 4, 6, 7
26. а) 6; 6) 1, 2; в) 2, 3, 6; г) 1, 2, 7. 27. а) 7; б) 1, 2; в) 2, 5, 6, 7; г) 1, 2, 3, 4. 28. а) 3
6; 6) 2, 5; в) 1, 3, 5, 6; г) 2, 3, 5, 7. 29. а) 1, 5; б) 2, 3; в) 1, 2, 5; г) 2, 3, 4, 5, 6. 30. а) 5
6) 2, 6; в) 1, 2, 5; г) 2, 6, 7. 31. а) 4; б) 3, 6; в) 1, 3, 4; г) 3, 6. 32. а) 4, 5; 6) 3; в) 2, 3, 4
5, 6; г) 3, 7. 33. а) 1; б) 7; в) 1, 2, 6, 7; г) 5, 7. 34. а) 6; 6) 5; в) 1, 3, 5, 6; г) 3, 5, 7
35. а) 1, 2, 5; б) 6; в) 1, 2, 4, 5, 6; г) 2, 6. 36. а) 4, 7; 6) 2; в) 3, 4, 7; г) 2, 7. 37. а) 5, 7
б) 3, 5; в) 1, 3, 5, 7; г) 2, 3, 5, 6. 38. а) 7; 6) 2; в) 2, 3, 4, 7; г) 2, 5, 7. 39. а) 5; б) 7; в) 1
3, 4, 5, 7; г) 2, 7. 40. а) 1, 2, 6; 6) 6; в) 1, 2, 4, 6; г) 3, 6. 41. а) 7; б) 4; в) 4, 5, 7; г) 1, 3
484
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4. 42. a) 2, 5; б) 1, 4; в) 2, 4, 5; г) 1, 4, 6. 43. а) 2; б) 1; в) 2, 4, 5; г) 1, 4, 6, 7. 44. а) 3,
7; б) 6; в) 2, 3, 5, 6, 7; г) 1, 4, 5, 6.45. а) 1, 6; б) 3, 7; в) 1, 2, 6, 7; г) 3, 7. 46. а) 4; б) 5,
7; в) 1, 3, 4, 6; г) 3, 5, 7.47. а) 1, 5; б) 2, 3; в) 1, 2, 5, 6, 7; г) 1, 2, 3, 4, 5. 48. а) 2, 3, 5;
б) 6; в) 1, 2, 3, 5, 6; г) 2, 6. 49. а) 4; б) 3, 7; в) 3, 4, 6; г) 1, 2, 3, 6, 7. 50. а) 4; б) 2, 7;
в) 1,2, 3,4, 5, 6; г) 1,2, 7.
2.2. Разложение булевых формул по теореме Шеннона. 1. а) 12, 13, 14, 15;
б) 28, 29, 30, 31; в) 3, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15; д) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 15. 2. а) 4, 5, 6, 7; б) 24, 25, 26, 27; в) 1, 3, 6, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10,
12,13,15; д) 0,1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,10,12,13. 3. а) 8, 9,10,11; б) 20, 21, 22, 23; в) 0,
2, 4, 7; г) 0,1, 2, 4, 5, 7, 8,10, 12, 14, 15; д) 0,1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15. 4. а) 0,
1, 2, 3; б) 16,17,18,19; в) 2, 3, 6; г) 0, 2, 3, 8, 9,10,11,12,13,15; д) 2, 3, 5, 7, 9,11,
14,15. 5. а) 10,11,14,15; б) 12,13,14,15; в) 2, 3, 5; г) 1, 2, 4, 5, 6, 8,10,11,13,15;
д) 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15. 6. а) 2, 3, 6, 7; б) 8, 9, 10, 11; в) 1, 4, 6; г) 0, 2, 3, 4, 5, 6,
11, 12, 14,15; д) 0, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13,14,15. 7. а) 8, 9,12,13; б) 4, 5, 6, 7; в) 2, 3,
6; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15; д) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
8. а) 0, 1, 4, 5; б) 0,1, 2, 3; в) 1, 2, 4; г) 0, 4, 5, 8, 9, 10,11, 12,13,15; д) 0, 2, 4, 5, 6,
8, 10, 11, 13, 15. 9. а) 9, 11, 13, 15; б) 26, 27, 30, 31; в) 2, 6, 7; г) 1, 3, 4, 5, 7, 8, 11,
15; д) 0,1, 3, 4, 7, 8,11,12,14,15.10. а) 1, 3, 5, 7; б) 24, 25, 28, 29; в) 3, 4, 5; г) 0,1,
2, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 15; д) 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15. 11. а) 8, 10, 12, 14; б) 18,
19, 22, 23; в) 1, 3, 5, 6; г) 0,1, 2, 4, 5, 6, 8, 9,10,13,14; д) 0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 8,12,15.
12. а) 0, 2, 4, 6; б) 16, 17, 20, 21; в) 1, 6, 7; г) 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9,11,15; д) 2, 5, 6, 7,
9, 10, 11, 12, 13, 15.13. а) 6, 7, 14, 15; б) 10, 11, 14, 15; в) 1, 2, 4, 6; г) 1, 2, 3, 4, 5,
6, 8, 9, 11, 12, 13, 15; д) 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.14. а) 2, 3, 10, 11; б) 8, 9, 12,
13; в) 1, 3, 6, 7; г) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15; д) О, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,
12, 13.15. а) 4, 5, 12, 13; б) 2, 3, 6, 7; в) 0, 2, 4, 7; г) О, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15;
д) О, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15. 16. а) О, 1, 8, 9; б) О, 1, 4, 5; в) 0, 5, 7; г) 1, 2, 3,
4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15; д) 0, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15. 17. а) 5, 7, 13, 15; б) 22,
23, 30, 31; в) 3, 4, 5, 6; г) 1, 5, 9, 12, 13, 15; д) О, 1, 2, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
18. а) 1, 3, 9, 11; б) 20, 21, 28, 29; в) 3, 4, 6, 7; г) 2, 3, 10, 11, 12, 13; д) 2, 5, 6, 7, 10,
13, 14, 15.19. а) 4, 6,12,14; б) 18, 19, 26, 27; в) 1, 4, 5, 6; г) 1, 3, 4, 5, 9,11,12, 13,
14,15; д) 1, 3, 5,11,13,15. 20. а) 0, 2, 8,10; б) 16,17, 24, 25,; в) 3, 5, 7; г) 0,1, 2, 3,
4, 5, 6, 10, 11, 14, 15; д) 2, 4, 5, 6, 11, 12, 13. 21. а) 3, 7, 11, 15; б) 6, 7, 14, 15; в) 1,
2, 5, 6; г) 0, 3, 4, 6, 8, 11, 12; д) 4, 5, 11, 13, 14, 15. 22. а) 1, 5, 9, 13; б) 4, 5, 12, 13;
в) 1, 2, 4, 7; г) 2, 4, 6, 7,10,13,15; д) 0,1, 4, 5, 8, 9,10,11,12,15. 23. а) 2, 6,10,14;
б) 2, 3, 10, 11; в) 0, 3, 4, 6; г) 3, 8,10, 11, 12, 13; д) 1, 2, 3, 6, 7, 9, 11, 15. 24. а) 0, 4,
8,12; б) 0,1, 8, 9; в) 2, 3, 4, 5; г) 1, 2, 6, 8, 9, 12,13; д) О, 1, 4, 6, 8, 9, 10,11, 12,14.
25. а) 11, 15; б) 19, 23, 27, 31; в) О, 1, 4, 7; г) 3, 5, 7, 8, 9,11,12,13,15; д) 2, 3, 5, 6,
7,11,15. 26. а) 10,14; б) 3, 7,11,15; в) 0, 3, 6; г) 0, 4, 8, 9,12,13,15; д) О, 3, 4, 5, 7,
8, 11, 12, 14, 15. 27. а) 9, 13; б) 17, 21, 25, 29; в) 3, 4, 5, 6, 7; г) 0, 4, 6, 7, 8, 12, 13,
14, 15; д) 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15. 28. а) 8, 12; б) 1, 5, 9, 13; в) 1, 3, 4, 5; г) 4, 5, 6, 10,
11, 12,14; д) 0,1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10,11, 12,14,15. 29. а) 3, 7; б) 18, 22, 26, 30; в) О,
2, 3, 4; г) 1, 2, 4, 5, 6, 9,10, 12, 13,14; д) 3, 5,10,15. 30. а) 2, 6; б) 2, 6, 10,14; в) 1,
2, 3, 4, 7; г) 1, 3, 5, 9,10; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,13,14. 31. а) 1, 5; б) 16,
20, 24, 28; в) 2, 3, 5, 6, 7; г) 2, 3, 7, 12; д) 1, 4, 5, 9, 11, 15. 32. а) 0, 4; б) 0, 4, 8, 12;
в) 3, 6, 7; г) 1, 4, 5, 8, 9, 11; д) О, 1, 6, 8, 9, 14. 33. а) 14,15; б) 14, 15, 30, 31; в) 1, 3,
7; г) 3, 7,10,11,13,14,15; д) 0, 2, 4, 8, 9,10,13.34. а) 12,13; б) 6, 7, 22, 23; в) 3, 4,
6; г) О, 1, 4, 5, 9, 11, 15; д) 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14. 35. а) 10, 11; б) 10, 11, 26, 27;
в) О, 1, 2, 7; г) 2, 3, 7, 8, 9,14,15; д) 4, 5, 7, 10,11,13, 15. 36. а) 8, 9; б) 2, 3,18,19;
в) О, 1, 3, 4; г) О, 1, 6, 7, 11, 13; д) 0, 4, 5, 7, 8, 11, 13. 37. а) 6, 7; б) 12, 13, 28, 29;
в) 0, 6, 7; г) 4, 5, 8, 9, 15; д) 1, 7, 9,10,14. 38. а) 4, 5; б) 4, 5, 20, 21; в) 0, 5, 6; г) 3, 5,
8,11,13; д) 1, 9,10,11,15.39. а) 2, 3; б) 8, 9, 24, 25; в) 2, 5, 6; г) 2, 9,10,13; д) 3, 7,
8, 9. 40. а) О, 1; б) О, 1, 16, 17; в) 3, 5, 6; г) 1, 2, 9, 10, 13; д) 2, 6, 8, 9, 11. 41. а) 11,
15; б) 11, 15, 27, 31; в) 2, 3, 5, 6, 7; г) 1, 2, 8, 9, 10,15; д) 2, 6, 8, 9,10. 42. а) 10,14;
ОТВЕТЫ
485

б) 3, 7, 19, 23; в) О, 1, 2, 3, 5, 7; г) 1, 3, 4, 8, 9, 11, 12, 15; д) 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10.
43. а) 9, 13; б) 9, 13, 25, 29; в) 2, 3, 5, 7; г) 1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 14, 15; д) 1, 2, 3, 5, 7,
8, 9, 10, 11. 44. а) 8, 12; б) 1, 5, 17, 21; в) 2, 5, 6, 7; г) 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14,
15; д) 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11. 45. а) 3, 7; б) 10, 14, 26, 30; в) 2, 5, 6, 7; г) 1, 3, 4, 5, 7,
9,11,12,13,15; д) 2, 3, 4, 6, 8, 9,10,11. 46. а) 2, 6; б) 2, 6,18, 22; в) 1, 2, 6, 7; г) 0,
I, 3, 6, 7, 8, 9,11,14,15; д) 2, 4, 6, 7, 8, 9,10, 15. 47. а) 1, 5; б) 8, 12, 24, 28; в) 2, 5,
6, 7; г) 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14; д) 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14, 15. 48. а) 0, 4; б) 0, 4, 16,
20; в) 0, 2, 5, 6, 7; г) 2, 6, 7, 9, 13, 14, 15; д) 0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 14. 49. а) 5, 13;
б) 12, 14, 28, 30; в) 0, 2, 5, 6, 7; г) 1, 3, 4, 6, 9, 11, 13, 14, 15; д) 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9,
II, 14. 50. а) 8, 12; б) 4, 6, 20, 22; в) 0,1, 4, 6, 7; г) 1, 3, 6, 9,11,13, 14; д) 3, 4, 5, 6,
8,9,11,14.
2.3. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы булевых функций.
I. а) 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15; б) 13,14,15; в) 7, 8, 9,10,11,12,13,14,
15; г) 5; д) 3, 5, 6, 7. 2. а) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; б) 0, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15;
в) 13,14, 15; г) 1, 2; д) 1, 4, 5, 6. 3. а) 2, 4, 5, 6, 7; б) 13,15; в) 3, 5, 6, 7; г) 2, 3, 6, 7,
10,11,14,15; д) 3.4. а) 2,3, 6, 7; б) 0; в) 9,11,13; г) 4, 5, 6, 7; д) 14,15. 5. а) 7, 8, 9,
10,11, 12,13,14, 15; б) 1, 3, 7; в) 11,15; г) 3, 7, 8, 9, 10,11,12,14, 15; д) 9,11,13,
14, 15. 6. а) 10, 11, 15; б) 13; в) 3, 5, 6, 7, 11; г) 1, 6, 7; д) 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15. 7. а) 3, 4, 5, 6, 7,11; б) 11,15; в) 2, 3, 5; г) 1, 5, 7; д) 4, 5, 6, 7.8. а) 0,1, 3; б) 1, 5,
9, 12, 13, 14, 15; в) 3, 7, 10, 11, 13, 14, 15; г) 1, 2; д) 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
9. а) 11, 14; б) 4, 5, 6, 7; в) 0, 2, 4, 6,10,12,14; г) 1, 3, 5, 7, 9,10, 11,13,15; д) 8, 9,
10,11,15.10. а) 2, 3, 5, 6, 7; б) 30, 31; в) 0,1, 3, 5, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15; г) 2,
3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15; д) 3, 7, 10, 11, 13, 14, 15. 11. а) 28, 29, 30, 31; б) 10,
11; в) 3,7; г) 2, 3,4, 5, 6, 7,11; д) 3, 5, 7.12. а) 2, 3,12,13,14,15; б) 1, 3, 5, 7, 9,11,
12, 13, 15; в) 1, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15; г) 2, 6, 8, 10, 11, 14, 15; д) 0, 1, 6, 7, 10, 11,
12, 13, 14, 15. 13. а) 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15; б) 3, 5, 7; в) 13, 15; г) 8, 9, 10,
II, 12, 13, 14, 15; д) 3, 6, 7, 11, 15.14. а) 10, 11, 14, 15; б) 3, 7, 11, 15; в) 1, 3, 5, 7,
9, 10, 11, 13, 14, 15; г) 4, 5, 6, 7; д) 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14,15.15. а) 10; б) 10; в) 3, 5,
6, 7, 11; г) 4, 5, 6, 7, 12; д) 0, 4, 5, 6, 7.16. а) 1, 3, 6; б) 10, 11, 14, 15; в) 27, 31; г) 2,
3; д) 9,10,11,13,14,15.17. а) 4, 5, 6, 7; б) 1, 2, 3, 9,11; в) 1, 3, 5, 7, 8, 9,11,13,15;
г) 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7; д) 1, 3, 4, 6, 7. 18. а) 5, 15; б) 0, 1, 2, 3, 4, 7; в) 12, 13; г) 11, 15;
д) 4, 5, 14,15.19. а) 1, 2, 3, 4, 6, 7; б) 5, 6, 7, 9,11, 13,15; в) 1, 3, 5, 7, 9, 10,11,14,
15; г) 1, 5, 6, 7; д) 3,10,11,14,15. 20. а) 0,1, 2, 4, 5, 6, 8, 9,10,11,13,15; б) 5; в) О,
1, 3, 4, 7; г) 0, 1, 3, 5, 7; д) 5. 21. а) 3, 11, 13; б) 2, 3, 6, 7, 10, 11; в) 3, 5, 6, 7; г) 13;
д) 2, 3, 7,10,11. 22. а) 3, 5, 7; б) 0, 5; в) 0,1, 3, 4, 7, 9,10,11,15; г) 3, 5; д) 8,10,12,
14. 23. а) 0,1, 3, 4, 8, 9,11,12; б) 2, 6; в) 3, 4, 5, 6, 7,11; г) 8, 9,10, 11; д) 1, 4, 5, 6.
24. а) 3, 7, 9, 11,12,13,15; б) 5, 9,13; в) 1, 3, 4, 5, 7; г) 3, 6, 7; д) 10,11,13,14,15.
25. а) 0, 4, 5, 6, 7; б) 1, 3, 9,11, 15; в) 3, 6; г) 4, 5, 6; д) 7, 9,10,11,13, 15. 26. а) 12,
13, 14, 15; б) 4, 5, 6; в) 9, 11; г) 11; д) О, 1. 27. а) 7; б) 5, 10, 11, 13; в) 5, 9, 13, 14;
г) 9,10; д) 3, 7. 28. а) 6, 8, 12; б) 2, 3, 6, 7; в) 1, 3, 5, 7; г) 10, 11; д) 8,10, 11, 12, 14,
15. 29. а) 2, 3, 5, 13; б) 8, 9, 10, 11; в) 3, 5, 6, 7; г) 2, 3, 5, 6; д) 10, 11, 14, 15.
30. а) 13; б) 3, 5, 7; в) 1, 3, 5, 7, 9,11,13; г) 7,11,14,15; д) 5, 13. 31. а) 1, 3, 4, 6, 7;
б) 1, 3, 5, 7, 9, 10,11,13, 14,15; в) 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8,10,11, 12, 14; г) 2, 4, 6; д) 1, 3,
6, 9,10, 11,14. 32. а) 0, 8,10; б) 10,11; в) 1, 2, 3; г) 3, 4, 5, 6, 7; д) О, 1, 2, 3, 5, 6, 7.
33. а) 6, 7; б) 2, 6, 13; в) 9, 10, 13, 14; г) 5, 7, 10, 11; д) 4, 6. 34. а) 5, 7; б) 7, 9, 11;
в) 12, 13; г) 3, 7; д) 1, 2. 35. а) 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15; б) 5, 6, 7; в) 12, 13, 14,
15; г) 10, 11, 14, 15; д) 0. 36. а) 10, 11; б) 10, 14; в) 10, 11; г) 7, 13, 15; д) 4, 5, 11.
37. а) 5,13; б) 5, 6, 7,10,11,13; в) 6, 7; г) 10,14; д) 6, 7. 38. а) 0,1, 5; б) 10,11; в) 7,
15; г) 3, 5, 11; д) 6, 7. 39. а) 6, 7; б) 2, 3, 6, 7, 10, 11; в) 3; г) 1, 7, 9, 13, 15; д) 1.
40. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6; б) 6, 7, 15; в) 5, 10, 11,13, 15; г) 10, 11; д) 0, 8,10, 11. 41. а) 5;
б) 9, 10; в) 9, 13, 15; г) 2, 3, 6, 7, 10,11; д) 7. 42. а) 5, 7; б) 5,13; в) 0, 10,11,14, 15;
г) 8, 9,12,13; д) 10,11.43. а) 4, 5, 7; б) 9,13,14; в) 2, 3,15; г) 11,15; д) 1, 3, 5, 7, 9,
10,11,13,15.44. а) 2, 3; б) 0,1, 2, 3, 6, 7; в) 2, 6, 9,10,11,14; г) 1, 3, 7,15; д) 3,10,
486
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

11. 45. a) 2, 10; б) 1, 3, 7, 9, 11, 13, 15; в) 10, 11; г) 0, 1, 2; д) 2, 6, 10, 12, 13, 14.
46. а) 1, 3; б) 5, 7; в) 2, 6,12,13,14; г) 0, 8,10,11,12,14,15; д) 3, 7,15.47. а) 9,10,
11,13, 15; б) 3, 5, 6, 7; в) 5, 6,; г) 13,14,15; д) 3, 6, 7,11. 48. а) 0,1, 3, 4, 6, 7; б) 2,
5, 7; в) 3, 5, 7,15; г) 0, 3; д) 5, 6, 7.49. а) 3, 7, 9,13; б) 0; в) 3, 7, 9,11,12,13,14,15;
г) 0,1, 2,12,13,14; д) 13,15. 50. а) 5,13; б) 1, 2, 3, 5, 6, 7; в) 5, 9,13; г) 3, 7,10,11;
Д)1,5,7.
2.4. Метод Квайна. Сокращенные ДНФ. 1. а) 9, 28; б) 5,10; в) 8, 24. 2. а) 7, 20;
б) 9, 26; в) 8, 22. 3. а) 6, 16; б) 7, 19; в) 7, 18. 4. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 8, 24. 5. а) 7, 20;
б) 9, 26; в) 8, 22. 6. а) 6, 16; б) 7, 19; в) 7, 18. 7. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 7, 20. 8. а) 9, 26;
б) 8, 22; в) 6, 16. 9. а) 7, 19; б) 7, 18; в) 9, 28. 10. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 9, 26. 11. а) 8,
22; б) 6, 16; в) 7, 19. 12. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 13. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8, 22.
14. а) 6,16; б) 7, 19; в) 7,18.15. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 7, 20. 16. а) 9, 26; б) 8, 22; в) 6,
16. 17. а) 7, 19; б) 7, 18; в) 9, 28. 18. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 8, 24. 19. а) 9, 26; б) 8, 22;
в) 6, 16. 20. а) 7, 19; б) 7, 18; в) 9, 28. 21. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 9, 26. 22. а) 8, 22; б) 6,
16; в) 7, 19. 23. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 24. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8, 22. 25. а) 6, 16;
б) 7,18; в) 9, 28. 26. а) 5, 10; б) 8, 24; в) 7, 20. 27. а) 9, 26; б) 8, 22; в) 6, 16. 28. а) 7,
18; б) 9, 28; в) 5, 10. 29. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8, 22. 30. а) 6, 16; б) 7, 18; в) 9, 28.
31. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 9, 26. 32. а) 8, 22; б) 6, 16; в) 7, 18. 33. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 7,
20. 34. а) 9,26; б) 8, 22; в) 6, 16. 35. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 36. а) 7, 20; б) 9, 26;
в) 8, 22. 37. а) 6, 16; б) 7, 19; в) 7, 19. 38. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 39. а) 7, 20; б) 7,
19; в) 7, 19. 40. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 41. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 7, 19. 42. а) 8, 23;
б) 8, 23; в) 9, 26. 43. а) 8, 23; б) 8, 23; в) 7,19. 44. а) 8, 23; б) 7,18; в) 8, 23. 45. а) 8,
23; б) 6, 16; в) 8, 23. 46. а) 8, 23; б) 8, 23; в) 8, 22. 47. а) 8, 23; б) 7, 19; в) 8, 23.
48. а) 8, 23; б) 8, 23; в) 7,19.49. а) 8, 23; б) 6,16; в) 8, 22. 50. а) 8, 23; б) 7,18; в) 7,18.
2.5. Метод Петрика. 1. а) 3, 3; б) 4, 4; в) 3, 3. 2. а) 10, 2; б) 1,1; в) 5, 4. 3. а) 9,1;
б) 8, 8; в) 3, 3. 4. а) 4, 4; б) 3, 3; в) 10, 2. 5. а) 1, 1; б) 5, 4; в) 10, 2. 6. а) 9, 1; б) 8, 8;
в) 3, 3. 7. а) 4, 4; б) 3, 3; в) 10, 2. 8. а) 1, 1; б) 5, 4; в) 9, 1. 9. а) 8, 8; б) 3, 3; в) 4, 4.
10. а) 3, 3; б) 10, 2; в) 1, 1. 11. а) 5, 4; б) 9, 1; в) 8, 8. 12. а) 3, 3; б) 3, 3; в) 10, 2.
13. а) 1, 1; б) 10, 2; в) 5, 4. 14. а) 9, 1; б) 8, 8; в) 3, 3. 15. а) 3, 3; б) 10, 2; в) 1, 1.
16. а) 5, 4; б) 9, 1; в) 8, 8. 17. а) 3, 3; б) 3, 3; в) 10, 2. 18. а) 1, 1; б) 5, 4; в) 9, 1.
19. а) 8, 8; 6)3, 3; в) 3, 3. 20. а) 10, 2; 6)1, 1; в) 5, 4. 21. а) 9, 1; 6)8, 8; в) 3, 3.
22. а) 3, 3; 6) 10, 2; в) 1, 1. 23. а) 5, 4; б) 9, 1; в) 8, 8. 24. а) 3, 3; 6) 4, 4; в) 4, 4.
25. а) 3, 3; б) 10, 2; в) 1, 1. 26. а) 5, 4; 6) 4, 4; в) 4, 4. 27. а) 3, 3; б) 10, 2; в) 1, 1.
28. а) 5, 4; 6) 9,1; в) 4, 4. 29. а) 5, 4; б) 5, 4; в) 9,1. 30. а) 5, 4; 6) 5, 4; в) 4, 4. 31. а) 5,
4; б) 3, 3; в) 5, 4. 32. а) 5, 4; 6) 3, 3; в) 5, 4. 33. а) 5, 4; б) 5, 4; в) 8, 8. 34. а) 5, 4; 6) 5,
4; в) 5, 4. 35. а) 5, 4; б) 5, 4; в) 4, 4. 36. а) 5, 4; 6) 3, 3; в) 8, 8. 37. а) 5, 4; б) 5, 2; в) 5,
2. 38. а) 10, 2; 6) 1, 1; в) 10, 2. 39. а) 5, 4; б) 9, 1; в) 8, 8. 40. а) 3, 3; 6) 4, 4; в) 3, 3.
41. а) 10, 2; б) 1, 1; в) 10, 2. 42. а) 5, 4; 6) 9, 1; в) 8, 8. 43. а) 3, 3; б) 4, 4; в) 3, 3.
44. а) 10, 2; 6) 1, 1; в) 5, 4. 45. а) 9, 1; б) 8, 8; в) 3, 3. 46. а) 4, 4; 6) 3, 3; в) 10, 2.
47. а) 1, 1; б) 5, 4; в) 9, 1. 48. а) 8, 8; 6) 3, 3; в) 4, 4. 49. а) 3, 3; б) 10, 2; в) 1, 1.
50. а) 5, 4; б) 9, 1;в)8, 8.
2.6. Сокращенные КНФ. 1. а) 7, 18; 6) 9, 28; в) 5, 10. 2. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8,
22. 3. а) 6, 16; 6) 7, 18; в) 9, 28. 4. а) 5, 10; б) 8, 24; в) 7, 20. 5. а) 9, 26; 6) 8, 22; в) 6,
16. 6. а) 7,18; б) 9, 28; в) 5, 10. 7. а) 7, 20; 6) 9, 26; в) 8, 22. 8. а) 6, 16; б) 7,18; в) 9,
28. 9. а) 5, 10; 6) 7, 20; в) 9, 26. 10. а) 8, 22; б) 6, 16; в) 7, 18. 11. а) 7, 28; б) 5, 10;
в) 7, 20.12. а) 9, 26; 6) 8, 22; в) 6, 16.13. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10.14. а) 7, 20; 6) 9,
26; в) 8, 22. 15. а) 6, 16; б) 7, 19; в) 7, 19. 16. а) 7, 18; 6) 9, 28; в) 5, 10. 17. а) 7, 20;
б) 7,19; в) 7, 19.18. а) 7, 18; 6) 9, 28; в) 5, 10.19. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 7,19. 20. а) 8,
23; 6) 8, 23; в) 9, 26. 21. а) 8, 23; б) 8, 23; в) 7, 19. 22. а) 8, 23; 6) 7, 18; в) 8,23.
23. а) 8, 23; б) 6, 16; в) 8, 23. 24. а) 8, 23; 6) 8, 23; в) 8, 22. 25. а) 8, 23; б) 7,19; в) 8,
23. 26. а) 8, 23; 6) 8, 23; в) 7, 19. 27. а) 8, 23; б) 6, 16; в) 8, 22. 28. а) 8, 23; б) 7, 18;
в) 7, 18. 29. а) 9, 28; 6) 5, 10; в) 8, 24. 30. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8, 22. 31. а) 6, 16; 6) 7,
19; в) 7, 18. 32. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 8, 24. 33. а) 7, 20; 6) 9, 26; в) 8, 22. 34. а) 6, 16;
ОТВЕТЫ
487

б) 7, 19; в) 7, 18. 35. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 7, 20. 36. а) 9, 26; б) 8, 22; в) 6, 16. 37. а) 7,
19; б) 7, 18; в) 9, 28. 38. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 9, 26. 39. а) 8, 22; б) 6, 16; в) 7, 19.
40. а) 7, 18; б) 9, 28; в) 5, 10. 41. а) 7, 20; б) 9, 26; в) 8, 22. 42. а) 6, 16; б) 7, 19; в) 7,
18. 43. а) 9, 28; б) 5, 10; в) 7, 20. 44. а) 9, 26; б) 8, 22; в) 6, 16. 45. а) 7, 19; б) 7, 18;
в) 9, 28. 46. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 8, 24. 47. а) 9, 26; б) 8, 22; в) 6, 16. 48. а) 7, 19; б) 7,
18; в) 9, 28. 49. а) 5, 10; б) 7, 20; в) 9, 26. 50. а) 8, 22; б) 6, 16; в) 7, 19.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ ВЕЙЧА
ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛ
3.1. Минимизация в классе ДНФ функций, заданных в СДНФ. 1. а) 1, 4; б) 2,
5; в) 3, 8; г) 3,10. 2. а) 1, 4; б) 3, 7; в) 2, 5; г) 3,15. 3. а) 2, 7; б) 4,13; в) 2, 5; г) 4, 16.
4. а) 1, 4; б) 3, 8; в) 3, 12; г) 4, 16. 5. а) 1, 5; б) 5, 18; в) 5, 17; г) 5, 23. 6. а) 1, 5; б) 4,
13; в) 2, 7; г) 6, 26. 7. а) 2, 6; б) 4, 11; в) 3, 6; г) 4, 18. 8. а) 2, 9; б) 3, 8; в) 3, 10; г) 5,
21. 9. а) 1, 4; б) 3, 11; в) 3, 10; г) 4, 16. 10. а) 1, 5; б) 5, 14; в) 4, 13; г) 4, 18.11. а) 2,
7; б) 3, 6; в) 4,12; г) 5, 23.12. а) 1, 5; б) 2,7; в) 4,13; г) 3,15.13. а) 2, 7; б) 4,11; в) 4,
13; г) 6, 24.14. а) 1, 4; б) 4, 11; в) 4, 12; г) 6, 24.15. а) 1, 5; б) 3, 8; в) 3, 10; г) 5, 22.
16. а) 1, 5; б) 5, 14; в) 6, 19; г) 5, 21. 17. а) 2, 7; б) 4, 11; в) 3, 9; г) 6, 24. 18. а) 1, 4;
б) 4, 12; в) 7, 24; г) 6, 24.19. а) 1, 4; б) 2, 5; в) 3, 8; г) 6, 26. 20. а) 1, 4; б) 3, 11; в) 4,
13; г) 5, 24. 21. а) 1, 4; б) 3, 9; в) 3, 10; г) 3, 12. 22. а) 3, 12; б) 4, 14; в) 3, 8; г) 4, 18.
23. а) 2, 7; б) 4, 14; в) 3, 9; г) 4, 14. 24. а) 1, 4; б) 3, 9; в) 4, 12; г) 5, 22. 25. а) 2, 7;
б) 2, 6; в) 4,14; г) 5, 23. 26. а) 2, 9; б) 4,14; в) 3,10; г) 4,15. 27. а) 1, 3; б) 3,10; в) 4,
13; г) 5, 21. 28. а) 1, 4; б) 4, 10; в) 4, 11; г) 6, 25. 29. а) 1, 4; б) 4, 12; в) 3, 7; г) 7, 28.
30. а) 3, 9; б) 3, 9; в) 4,14; г) 6, 24. 31. а) 1, 4; б) 3, 9; в) 3, 9; г) 3, 13. 32. а) 1, 4; б) 4,
13; в) 4, 15; г) 5, 23. 33. а) 1, 5; б) 3, 4; в) 3, 8; г) 4, 16. 34. а) 1, 5; б) 5, 19; в) 4, 12;
г) 5, 20. 35. а) 2, 7; б) 4, 12; в) 4, 11; г) 6, 28. 36. а) 1, 4; б) 4, 10; в) 4, 11; г) 6, 23.
37. а) 1, 5; б) 2,10; в) 1,4; г) 2, 7. 38. а) 2, 9; б) 2,10; в) 2, 7; г) 6, 28. 39. а) 1, 5; б) 3,
13; в) 3, 9; г) 6, 28. 40. а) 1, 4; б) 3, 11; в) 3, 11; г) 6, 22. 41. а) 1, 4; б) 2, 5; в) 3, 8;
г) 6, 22. 42. а) 2, 6; б) 3, 12; в) 3, 11; г) 5, 23. 43. а) 2, 9; б) 4, 15; в) 2, 7; г) 3, 16.
44. а) 1, 5; б) 2, 6; в) 4, 10; г) 2, 10. 45. а) 2, 7; б) 3, 9; в) 4, 17; г) 4, 18. 46. а) 2, 6;
б) 4, 14; в) 3, 8; г) 4, 21. 47. а) 3, 9; б) 3, 9; в) 4, 14; г) 3, 12. 48. а) 1, 3; б) 5, 17; в) 3,
8; г) 3, 11. 49. а) 2, 7; б) 3, 9; в) 3, 7; г) 6, 24. 50. а) 2, 6; б) 3, 9; в) 2, 5; г) 5, 22.
3.2. Минимизация в классе КНФ функций, заданных в СДНФ. 1. а) 3, 6; б) 4,
7; в) 6,10; г) 9,15. 2. а) 1, 3; б) 10,15; в) 7, 11; г) 8,14. 3. а) 5, 9; б) 5, 9; в) 5, 8; г) 7,
13. 4. а) 0, 2; б) 4, 7; в) 4, 8; г) 5, 10. 5. а) 3, 6; б) 9, 14; в) 7, 12; г) 13, 21. 6. а) 2, 5;
б) 10, 16; в) 5, 9; г) 7, 12. 7. а) 0, 2; б) 3, 6; в) 6, 10; г) 6, 11. 8. а) 2, 5; б) 6, 10; в) 8,
13; г) 9, 16. 9. а) 0, 2; б) 5, 9; в) 3, 6; г) 15, 23. 10. а) 3, 6; б) 2, 5; в) 8, 13; г) 7, 12.
11. а) 1, 3; б) 8,13; в) 6,11; г) 3, 7.12. а) 2, 5; б) 4, 8; в) 5, 9; г) 7,13.13. а) 3, 6; б) 9,
14; в) 2, 5; г) 7,12.14. а) 1, 3; б) 7,12; в) 4, 8; г) 7, 13.15. а) 3, 6; б) 4, 8; в) 3, 6; г) 4,
9.16. а) 3, 6; б) 5, 9; в) 11,17; г) 16, 25.17. а) 2, 5; б) 6, 10; в) 6,11; г) 5,11.18. а) 3,
6; б) 5, 9; в) 5, 9; г) 14, 22.19. а) 2, 5; б) 6, 11; в) 6, 10; г) 17, 25. 20. а) 0, 2; б) 6, 11;
в) 4, 8; г) 4, 9. 21. а) 3, 6; б) 4, 8; в) 6, 11; г) 7, 12. 22. а) 5, 9; б) 9, 14; в) 4, 8; г) 12,
20. 23. а) 2, 5; б) 6,11; в) 7, 12; г) 5, 10. 24. а) 0, 2; б) 4, 8; в) 5, 9; г) 10, 18. 25. а) 2,
5; б) 6, 11; в) 6, 11; г) 5, 10. 26. а) 2, 5; б) 6, 11; в) 5, 10; г) 5, 10. 27. а) 3, 6; б) 7, 12;
в) 3, 6; г) 6,11. 28. а) 0, 2; б) 6,10; в) 6,11; г) 4, 9. 29. а) 3, 6; б) 3, 6; в) 7,12; г) 5, 9.
30. а) 5, 9; б) 6, 11; в) 5, 10; г) 9, 16. 31. а) 3, 6; б) 4, 8; в) 6, 11; г) 5, 10. 32. а) 2, 5;
б) 9, 16; в) 4, 8; г) 6, 11. 33. а) 0, 2; б) 3, 6; в) 10, 16; г) 3, 7. 34. а) 0, 2; б) 6, 11; в) 2,
5; г) 2, 5. 35. а) 2, 5; б) 7, 12; в) 6, 11; г) 6, 11. 36. а) 0, 2; б) 4, 8; в) 5, 10; г) 8, 14.
37. а) 2, 5; б) 6, 11; в) 4, 8; г) 4, 8. 38. а) 5, 9; б) 6, 11; в) 6, 10; г) 6, 11. 39. а) 3, 6;
б) 4, 8; в) 0, 2; г) 14, 23. 40. а) 1, 3; б) 2, 5; в) 6, 11; г) 11, 18. 41. а) 2, 4; б) 5, 9; в) 5,
9; г) 6, 11. 42. а) 3, 6; б) 6, 11; в) 6, 11; г) 5, 10. 43. а) 5, 9; б) 6, 11; в) 6, 11; г) 7, 13.
44. а) 3, 6; б) 8, 13; в) 7, 12; г) 6, 12. 45. а) 4, 7; б) 3, 7; в) 5, 10; г) 9, 15. 46. а) 2, 4;
488
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) 7, 12; в) 4, 8; г) 11, 18. 47. а) 3, 6; б) 8, 13; в) 10, 16; г) 12, 19. 48. а) 5, 9; б) 6,11;
в) 6,10; г) 8,14.49. а) 1, 3; б) 8,14; в) 8,13; г) 18, 27. 50. а) 4, 7; б) 5, 9; в) 4,8; г) 9,16.
3.3. Минимизация в классе нормальных форм. 1. а) 7, 7; б) 11, 12. 2. а) 7, 7;
б) 10, 12. 3. а) 7, 7; б) 4, 4. 4. а) 7, 7; б) 6, 8. 5. а) 7, 8; б) 11, 11. 6. а) 9, 9; б) 11, 12.
7. а) 10,12; б) 6, 8.8. а) 8, 7; б) 7, 7. 9. а) 0, 0; б) 4, 6.10. а) 11,12; б) 10,12.11. а) 3,
3; б) 7, 7. 12. а) 10, 10; б) 10, 12. 13. а) 8, 8; б) 6, 8. 14. а) 6, 8; б) 10, 12. 15. а) 6, 8;
б) 11, 12. 16. а) 6, 8; б) 7, 8. 17. а) 3, 3; б) 7, 7. 18. а) 11, 11; б) 12, 10. 19. а) 10, 12;
б) 10, 12. 20. а) 2, 2; б) 11, 11. 21. а) 7, 7; б) 7, 8. 22. а) 4, 6; б) 8, 8. 23. а) 5, 6;
б) 11,12 . 24. а) 10, 12; б) 6, 8. 25. а) 4, 6; б) 10, 12. 26. а) 7, 7; б) 11, 11. 27. а) 10,
12; б) 4, 6. 28. а) 11, 11; б) 8, 10. 29. а) 3, 3; б) 7, 7. 30. а) 6, 8; б) 5, 6. 31. а) 3, 3;
б) 11, 11. 32. а) 11, 11; б) 10, 12. 33. а) 11, 12; б) 7, 7. 34. а) 11, 12; б) 7, 7. 35. а) 8,
10; б) 8, 10. 36. а) 8, 7; б) 5, 6. 37. а) 5, 6; б) 11, 11. 38. а) 9, 10; б) 10, 12. 39. а) 11,
11; б) 11,12.40. а) 11,11; б) 11,11.41. а) 7, 7; б) 8,10.42. а) 7, 7; б) 11,11.43. а) 11,
11; б) 14, 15. 44. а) 8, 6; б) 8, 10. 45. а) 9, 10; б) 8, 6. 46. а) 10, 12; б) 6, 9. 47. а) 7, 7;
б) 8, 10. 48. а) 3, 3; б) 7, 7. 49. а) 7, 8; б) 10, 12. 50. а) 7, 7; б) 10, 12.
3.4. ДНФ, КНФ и формы высших порядков. 1. а) 1, 2, 3, 5; б) 6, 7. 2. а) 2, 3, 6,
7; б) 1, 5. 3. а) 2, 4, 7; б) 4, 7. 4. а) 2; б) 2, 3. 5. а) 4, 7; б) 2. 6. а) 5, 6; б) 2, 4. 7. а) 2, 5;
б) 1, 6.8. а) 3; б) 3, 5. 9. а) 1, 3, 5, 6; б) 3, 4, 5, 6.10. а) 2, 3, 6, 7; б) 2, 3, 7.11. а) 5, 7;
б) 7.12. а) 6, 7; б) 5.13. а) 4, 6, 7; б) 4, 7.14. а) 4, 5, 6; б) 1, 6.15. а) 2, 3, 4, 5; б) 1, 2,
5.16. а) 1, 3, 7; б) 2, 3.17. а) 2, 4, 7; б) 5, 7.18. а) 1, 2, 4, 6; б) 4, 6.19. а) 4, 7; б) 1, 6.
20. а) 1, 2, 4, 5; б) 2, 4, 5, 6. 21. а) 3; б) 1, 6. 22. а) 1, 4, 5, 6; б) 2, 5, 6. 23. а) 4, 7; б) 1,
6. 24. а) 3; б) 1, 4. 25. а) 1, 2, 3; б) 1. 26. а) 2, 3; б) 1. 27. а) 2, 3, 7; б) 3, 7. 28. а) 2, 7;
б) 1, 5. 29. а) 1, 2, 4; б) 4, 5. 30. а) 5, 6, 7; б) 5, 7. 31. а) 5; б) 1, 6. 32. а) 1, 2, 4; б) 1, 7.
33. а) 3, 4, 7; б) 6. 34. а) 1, 5; б) 2, 5. 35. а) 5, 6; б) 1, 4, 5, 6. 36. а) 1, 7; б) 2. 37. а) 2,
6. 7; б) 6, 7. 38. а) 1, 5, 6, 7; б) 1, 5. 39. а) 1, 5; б) 4, 5.40. а) 5, 6; б) 4, 5.41. а) 2, 6, 7;
б) 2, 6, 7. 42. а) 1, 4, 6; б) 3, 4, 6. 43. а) 3, 7; б) 6.44. а) 6, 7; б) 2, 4. 45. а) 4, 7; б) 1, 2,
3, 4. 46. а) 2, 3; б) 7. 47. а) 3, 4, 5, 7; б) 3, 4, 5.48. а) 1, 3, 4, 5; б) 1. 49. а) 2, 3, 7; б) 2,
3,5. 50. а) 5, 7; б) 4, 7.
3.5. Минимизация в классе ДНФ с учетом неопределенных состояний. 1. а) 0,
2; б) 1, 2; в) 2, 6; г) 1, 3. 2. а) 1, 3; б) 2, 5; в) 1, 3; г) 2, 7. 3. а) 2, 6; б) 2, 5; в) 1, 3; г) 2,
7. 4. а) 1, 4; б) 1, 4; в) 2, 6; г) 4, 14. 5. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 4, 10; г) 3, 10. 6. а) 1, 3; б) 2,
4; в) 2, 5; г) 3, 10. 7. а) 1, 4; б) 2, 5; в) 1, 3; г) 4, 13. 8. а) 2, 5; б) 1, 3; в) 3, 7; г) 4, 10.
9. а) 1, 2; б) 2, 5; в) 2, 6; г) 3,10.10. а) 1, 3; б) 2, 5; в) 2, 6; г) 3,12.11. а) 2, 5; б) 3, 6;
в) 2, 6; г) 4, 16.12. а) 1, 2; б) 2, 6; в) 2, 6; г) 3, 10.13. а) 2, 6; б) 3, 8; в) 3, 8; г) 4, 14.
14. а) 1, 3; б) 2, 6; в) 1, 3; г) 3,12.15. а) 2, 5; б) 1, 3; в) 1, 3; г) 2, 7.16. а) 1, 2; б) 2, 7;
в) 2, 7; г) 2, 9. 17. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 2, 4; г) 4, 15. 18. а) 1, 4; б) 1, 4; в) 1, 4; г) 2, 9.
19. а) 1, 4; б) 1, 4; в) 2, 8; г) 2, 11. 20. а) 1, 2; б) 2, 6; в) 2, 7; г) 2, 10. 21. а) 1, 4; б) 1,
5; в) 1, 5; г) 3, 13. 22. а) 2, 5; б) 2, 6; в) 3, 6; г) 2, 8. 23. а) 1, 3; б) 2, 5; в) 1, 3; г) 1, 6.
24. а) 1, 2; б) 1, 3; в) 1,4; г) 2, 9. 25. а) 2, 5; б) 1, 4; в) 2, 6; г) 4,16. 26. а) 2, 5; б) 1, 3;
в) 2, 6; г) 3, 11. 27. а) 1, 2; б) 2, 6; в) 2, 6; г) 2, 10. 28. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 3, 8; г) 3, 13.
29. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 2, 7; г) 3, 12. 30. а) 1, 5; б) 2, 7; в) 2, 6; г) 4, 14. 31. а) 1, 2; б) 1,
6; в) 2, 6; г) 2, 7. 32. а) 1, 4; б) 1, 5; в) 1, 3; г) 1, 6. 33. а) 1, 3; б) 1, 3; в) 1, 2; г) 2, 6.
34. а) 1, 3; б) 1, 3; в) 2, 6; г) 1, 4. 35. а) 2, 5; б) 1, 3; в) 2, 6; г) 2, 9. 36. а) 1, 3; б) 3, 9;
в) 2, 5; г) 3, 9. 37. а) 1, 4; б) 2, 5; в) 2, 6; г) 3, 11. 38. а) 1, 3; б) 2, 7; в) 1, 4; г) 2, 9.
39. а) 1, 4; б) 1, 5; в) 1, 6; г) 1, 4. 40. а) 1, 4; б) 1, 5; в) 2, 9; г) 2, 7. 41. а) 1, 3; б) 2, 8;
в) 1, 6; г) 3, 8. 42. а) 1, 2; б) 2, 6; в) 3, 10; г) 2, 8. 43. а) 1, 3; б) 2, 6; в) 2, 6; г) 2, 7.
44. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 1, 5; г) 2, 8. 45. а) 1,3; б) 1, 4; в) 2, 7; г) 4, 13. 46. а) 1, 2; б) 2, 6;
в) 2, 7; г) 3, 10. 47. а) 1, 2; б) 1, 3; в) 2, 7; г) 3, 10. 48. а) 1, 4; б) 2, 6; в) 1, 4; г) 1, 5.
49. а) 1, 2; б) 1, 5; в) 2, 5; г) 2, 7. 50. а) 1, 2; б) 1, 5; в) 2, 6; г) 1, 4.
3.6. Минимизация в классе КНФ с учетом неопределенных состояний. 1. а) 2,
4; б) 2, 5; в) 3, 6; г) 5, 9. 2. а) 1, 3; б) 3, 7; в) 2, 4; г) 7,11. 3. а) 3, 5; б) 4, 6; в) 2, 5; г) 5,
8. 4. а) 0, 0; б) 2, 4; в) 2, 4; г) 6, 9. 5. а) 2, 4; б) 3, 5; в) 2, 5; г) 7, 11. 6. а) 3, 5; б) 4, 6;
в) 4, 6; г) 7, 11. 7. а) 2, 4; б) 4, 6; в) 2, 5; г) 4, 8. 8. а) 1, 2; б) 1, 3; в) 4, 6; г) 8, 12.
ОТВЕТЫ
489

9. a) 0, 1; б) 3, 5; в) 3, 6; г) 7, 11. 10. а) 0, 2; б) 2, 4; в) 2, 4; г) 5, 9.11. а) 1, 3; б) 0, 0
в) 4, 7; г) 11, 16. 12. а) 1, 3; б) 3, 6; в) 3, 6; г) 7, 11. 13. а) 3, 6; б) 5, 8; в) 4, 6; г) 10
15. 14. а) 2, 4; б) 3, 5; в) 1, 3; г) 9, 14. 15. а) 3, 5; б) 2, 4; в) 2, 4; г) 4, 8. 16. а) 1, 2
б) 3, 6; в) 3, 6; г) 7, 11. 17. а) 2, 4; б) 3, 6; в) 3, 5; г) 9, 14. 18. а) 2, 4; б) 2, 4; в) 2, 4
г) 4, 8. 19. а) 2, 4; б) 2, 4; в) 4, 7; г) 6, 11. 20. а) 1, 2; б) 3, 5; в) 4, 7; г) 6, 11. 21. а) 2
4; б) 3, 6; в) 2, 5; г) 10, 16. 22. а) 4, 6; б) 3, 5; в) 5, 7; г) 10,15. 23. а) 2, 4; б) 2, 4; в) 2
4; г) 3, 6. 24. а) 1, 2; б) 2, 4; в) 2, 4; г) 8, 14. 25. а) 3, 5; б) 2, 4; в) 2, 4; г) 10, 15
26. а) 3, 5; б) 2, 4; в) 4, 6; г) 7, 11. 27. а) 1, 2; б) 3, 5; в) 4, 6; г) 6, 11. 28. а) 2, 4; б) 3
5; в) 4, 6; г) 12, 18. 29. а) 2, 4; б) 3, 5; в) 3, 6; г) 8, 13. 30. а) 2, 5; б) 4, 7; в) 3, 5; г) 7
12. 31. а) 1, 2; б) 3, 6; в) 4, 7; г) 5, 9. 32. а) 1, 3; б) 1, 4; в) 2, 4; г) 4, 8. 33. а) 1, 3; б) 2
4; в) 1, 2; г) 3, 6. 34. а) 2, 4; б) 2, 4; в) 4, 7; г) 1, 3. 35. а) 3, 5; б) 2, 4; в) 3, 5; г) 6, 11
36. а) 2, 4; б) 5, 8; в) 3, 5; г) 5, 9. 37. а) 2, 4; б) 3, 5; в) 3, 5; г) 6, 10. 38. а) 2, 4; б) 4, 7
в) 2, 4; г) 5, 9. 39. а) 0, 2; б) 3, 6; в) 4, 8; г) 2, 4. 40. а) 2, 4; б) 3, 6; в) 4, 8; г) 5, 8
41. а) 1, 3; б) 5, 9; в) 1, 4; г) 4, 7. 42. а) 1, 2; б) 6, 9; в) 5, 8; г) 4, 7. 43. а) 2, 4; б) 3, 6
в) 3, 6; г) 4, 8. 44. а) 1, 3; б) 4, 7; в) 3, 6; г) 5, 9. 45. а) 2, 4; б) 2, 4; в) 4, 7; г) 7, 11
46. а) 1, 2; б) 2, 4; в) 4, 7; г) 4, 6. 47. а) 1, 2; б) 2, 4; в) 3, 6; г) 7, 11.48. а) 2, 4; б) 4, 7
в) 2, 4; г) 3, 6. 49. а) 1, 2; б) 3, 6; в) 3, 5; г) 4, 7. 50. а) 1, 2; б) 3, 6; в) 4, 7; г) 2, 4.
4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
4.1. Распознавание симметрических функций. 1. а, г, д. 2. б, г, е. 3. б, г, е, ж.
4. а, в, д, е. 5. а, д, ж. 6. б, в, д. 7. а, г, е. 8. б, в, г, е. 9. в, г, д. 10. в, г, д, ж. 11. б, д,
ж. 12. г, д. 13. а, г, ж. 14. в, д, е, ж. 15. а, г. 16. б, в, д, ж. 17. в, ж. 18. б, г. 19. в, г,
д, ж. 20. б, д, е. 21. б, е. 22. б, д. 23. а, г, д, е. 24. а, б, д, ж. 25. в. 26. б, г, е. 27. б, г,
д, е. 28. а, б, в, е. 29. а, в, д. 30. б, в, г, ж. 31. г. 32. а, в, г, е. 33. б, д, е, ж. 34. в, г.
35. д. 36. в, г, д, ж. 37. а, б, в, г. 38. в, е, ж. 39. в, е. 40. а, е, ж. 41. в, д. 42. г, д, е, ж.
43. б, е. 44. д. 45. б, в, д, е. 46. а, г. 47. б, г. 48. в, г, д, е. 49. д, е, ж. 50. б, в, е.
4.2. Операции над симметрическими функциями. 1. 2, 8. 2. 2, 6. 3. 2, 5. 4. 4,
16. 5. 4, 15. 6. 5, 16. 7. 3, 12. 8. 3, 9. 9. 2, 3. 10. 6, 21. 11. 3, 9. 12. 3, 9. 13. 3, 10.
14. 4,14.15. 4,12.16. 5,18.17. 6, 22.18. 6,16.19. 3,12. 20. 2, 5. 21. 3,15. 22.1, 6.
23. 4, 15. 24. 3, 4. 25. 7, 32. 26. 4, 15. 27. 7, 24. 28. 6, 16. 29. 3, 7. 30. 3, 4. 31. 3, 8.
32. 3, 10. 33. 3, 9. 34. 5, 15. 35. 3, 7. 36. 3, 6. 37. 3, 12. 38. 2, 6. 39. 6, 25. 40. 5, 12.
41. 3, 4.42. 6, 24.43. 7, 28.44. 4,16.45. 6,16.46. 5,18.47. 3, 9.48. 7, 24.49. 3,12.
50. 5,18.
5. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА
5.1. Операция «неравнозначно» (сумма по модулю 2). 1. 2, 2. 2. 4, 5. 3. 4, 2.
4. 2, 2. 5. 0, 6. 6. 4, 3. 7. 5, 5. 8. 6, 4. 9. 5, 3.10. 4, 3. 11. 3, 3.12. 4, 4. 13. 4, 5.14. 5,
2.15. 4, 3.16. 4, 5.17. 5, 4.18. 3, 2.19. 6, 3. 20. 4, 5. 21. 8, 4. 22. 4, 5. 23. 4, 3. 24. 6,
6. 25. 4, 5. 26. 4, 3. 27. 5, 5. 28. 3, 3. 29. 4, 6. 30. 2, 7. 31. 4, 2. 32. 4, 2. 33. 3, 3. 34. 6,
1.35. 4, 6. 36. 6, 5.37. 5, 3. 38. 3, 6. 39. 4, 5.40. 4, 3.41. 4, 5.42. 4, 3.43. 5, 5.44. 2,
4. 45. 5, 6. 46. 4, 3. 47. 4, 2. 48. 5, 6. 49. 3, 3. 50. 4, 3.
5.2. Представление булевых формул в виде полиномаЖегалкина. 1. а) 6,16;
б) 8, 19. 2. а) 6, 12; б) 6, 14. 3. а) 6, 13; б) 8, 19. 4. а) 6, 15; б) 6, 12. 5. а) 6, 17; б) 4,
10. 6. а) 6, 14; б) 8, 16. 7. а) 8, 19; б) 7, 16. 8. а) 4, 12; б) 6, 16. 9. а) 6, 16; б) 4, 10.
10. а) 10, 21; б) 6, 14.11. а) 8, 17; б) 10, 22.12. а) 8,17; б) 8, 16.13. а) 6,17; б) 3, 8.
14. а) 5, 10; б) 8, 20. 15. а) 4, 12; б) 6, 13. 16. а) 2, 6; б) 6, 17. 17. а) 8, 17; б) 6, 18.
18. а) 4, 12; б) 4, 12.19. а) 10, 22; б) 9, 22. 20. а) 8, 19; б) 6, 15. 21. а) 5, 12; б) 6, 13.
22. а) 8, 20; б) 8, 18. 23. а) 8, 17; б) 8, 17. 24. а) 9, 19; б) 4, 10. 25. а) 8, 18; б) 6, 12.
26. а) 8, 18; б) 6, 13. 27. а) 8, 18; б) 6, 12. 28. а) 8, 17; б) 6, 14. 29. а) 6, 12; б) 7, 15.
490
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

30. a) 6, 15; б) 8, 21. 31. a) 4, 9; б) 10, 22. 32. a) 5, 14; б) 7, 19. 33. a) 10, 21; б) 7, 17
34. a) 6, 16; б) 6, 13. 35. a) 6, 15; б) 6, 10. 36. a) 6, 11; б) 8, 17. 37. a) 6, 15; б) 6, 16
38. a) 10, 21; б) 10, 23. 39. a) 10, 23; б) 8, 19. 40. a) 8, 17; б) 8, 17. 41. a) 8, 18; б) 6,
12. 42. a) 3, 5; б) 9, 19. 43. a) 5, 14; б) 8, 18. 44. a) 6, 13; б) 5, 12. 45. a) 11, 25; б) 6,
13. 46. a) 6, 14; б) 6, 15. 47. a) 6, 15; б) 10, 22. 48. a) 3, 8; б) 9, 22. 49. a) 8, 19; б) 6
12. 50. a) 6, 15; б) 8, 16.
5.3. Представление полинома Жегалкина в минимальной ДНФ. 1. а) 2, 9; б) 2
10; в) 1, 5; г) 2, 10. 2. а) 3, 11; б) 2, 10; в) 3, 11; г) 3, 11. 3. а) 1, 5; б) 3, 10; в) 2, 8
г) 1, 5. 4. а) 2, 7; б) 3, 11; в) 2, 6; г) 5, 18. 5. а) 4, 16; б) 3, 13; в) 3, 13; г) 1, 4. 6. а) 3
13; б) 3, 11; в) 1, 4; г) 3, 12. 7. а) 3, 11; б) 2, 8; в) 3, 12; г) 3, 13. 8. а) 3, 11; б) 3, 13;
в) 4, 16; г) 3, 12. 9. а) 3, 11; б) 1, 4; в) 4, 16; г) 5, 20. 10. а) 4, 16; б) 4, 16; в) 3, 11;
г) 2, 9. 11. а) 4, 16; б) 1, 4; в) 2, 9; г) 3, 11. 12. а) 2, 9; б) 3, 11; в) 4, 12; г) 3, 12
13. а) 3, 13; б) 3, 12; в) 3, 9; г) 3, 8. 14. а) 3, 11; б) 3, 11; в) 3, 11; г) 2, 8. 15. а) 2, 6
б) 2, 8; в) 3, 11; г) 2, 8. 16. а) 2, 9; б) 4, 16; в) 3, 13; г) 2, 8. 17. а) 3, 13; б) 3, 9; в) 3
11; г) 2, 6. 18. а) 3, 11; б) 2, 6; в) 2, 5; г) 3, 11. 19. а) 2, 9; б) 3, 12; в) 2, 9; г) 3, 11
20. а) 2, 7; б) 3,11; в) 3,11; г) 4,12. 21. а) 4,12; б) 2, 8; в) 4,16; г) 4,12. 22. а) 5, 20
б) 4, 12; в) 5, 20; г) 2, 5. 23. а) 3, 11; б) 3, 11; в) 5, 20; г) 4, 12. 24. а) 3, 9; б) 5, 20
в) 4, 12; г) 3, 12. 25. а) 2, 8; б) 4, 12; в) 5, 18; г) 2, 6. 26. а) 2, 9; б) 2, 10; в) 1, 5; г) 2
10. 27. а) 3, 11; б) 2, 10; в) 3, 11; г) 3, 11. 28. а) 3, 9; б) 1, 3; в) 1, 6; г) 1, 5. 29. а) 4
16; б) 3, 11; в) 3, 13; г) 2, 8. 30. а) 2, 10; б) 1, 5; в) 2, 9; г) 1, 6. 31. а) 2, 10; б) 3, 13;
в) 1,6; г) 4,16. 32. а) 3,11; б) 2, 9; в) 3,13; г) 2,10. 33. а) 3,12; б) 2, 9; в) 3,11; г) 3
13. 34. а) 3,11; б) 1, 6; в) 5, 20; г) 3,13. 35. а) 3,11; б) 3, 13; в) 2, 7; г) 2, 9. 36. а) 5
20; б) 1, 5; в) 3, 16; г) 1, 7. 37. а) 3, 16; б) 1, 5; в) 3, 13; г) 3, 13. 38. а) 2, 10; б) 2, 9
в) 3, 7; г) 2, 6. 39. а) 2, 6; б) 2, 7; в) 4, 10; г) 3, 8. 40. а) 2, 7; б) 2, 10; в) 2, 7; г) 2, 7
41. а) 3, 9; б) 2, 5; в) 2, 8; г) 2, 5. 42. а) 2, 5; б) 2, 5; в) 3,11; г) 4,17.43. а) 3,13; б) 2
6; в) 3, 11; г) 3, 12. 44. а) 2, 7; б) 3, 12; в) 3, 11; г) 3, 11. 45. а) 1, 4; б) 2, 9; в) 4, 16;
г) 1, 4. 46. а) 3, 11; б) 5, 20; в) 4, 16; г) 3, 9. 47. а) 5, 20; б) 5, 20; в) 5, 20; г) 2, 6
48. а) 3, 11; б) 3, 8; в) 2, 7; г) 4, 12. 49. а) 3, 9; б) 3, 12; в) 3, 9; г) 3, 9. 50. а) 3, 11
б) 2, 9; в) 3,9; г) 4, 12.
6. ОПЕРАЦИЯ ИМПЛИКАЦИИ
6.1. Преобразование формул, содержащих операцию импликации. 1. а) 5, 5;
б) 0, 0. 2. а) 0, 0; б) 8, 10. 3. а) 2, 2; б) 2, 2. 4. а) 11, 11; б) 0, 0. 5. а) 7, 6; б) 4, 6.
6. а) 6, 5; б) 0, 0. 7. а) 1, 1; б) 10, 7. 8. а) 2, 2; б) 2, 2. 9. а) 9, 6; б) 4, 4. 10. а) 10, 8;
б) 6, 6. 11. а) 0, 0; б) 4, 4. 12. а) 6, 6; б) 4, 4. 13. а) 4, 6; б) 2, 2. 14. а) 4, 6; б) 0, 0.
15. а) 7, 6; б) 3, 4. 16. а) 9, 8; б) 9, 7. 17. а) 1, 1; б) 5, 5. 18. а) 6, 5; б) 4, 6. 19. а) 12,
10; б) 4, 6. 20. а) 10, 7; б) 6, 7. 21. а) 4, 4; б) 4, 6. 22. а) 3, 3; б) 4, 6. 23. а) 2, 2; б) 4, 4.
24. а) 10, 12; б) 4, 4. 25. а) 9, 9; б) 4, 6. 26. а) 3, 3; б) 3, 3. 27. а) 1, 1; б) 4, 4. 28. а) 3,
3; б) 2, 2. 29. а) 6, 5; б) 3, 3. 30. а) 12,10; б) 8, 9. 31. а) 4, 4; б) 4, 4. 32. а) 6, 7; б) 4, 4.
33. а) 6, 8; б) 2, 2. 34. а) 3, 3; б) 4, 4. 35. а) 11, 10; б) 1, 1. 36. а) 6, 4; б) 9, 7. 37. а) 7,
8; б) 4, 4. 38. а) 2, 2; б) 3, 4. 39. а) 7, 10; б) 15, 13. 40. а) 8, 10; б) 5, 5. 41. а) 11, 11;
б) 9, 9. 42. а) 5, 5; б) 7, 8. 43. а) 12, 10; б) 9, 11. 44. а) 2, 2; б) 7, 7. 45. а) 4, 4; б) 4, 4.
46. а) 4, 6; б) 0, 0. 47. а) 3, 3; б) 3, 4. 48. а) 9, 9; б) 8, 7. 49. а) 11, 11; б) 3, 3. 50. а) 4,
4; б) 8, 10.
6.2. Тавтологии. 1. 2, 5, 6. 2. 2, 5, 6. 3. 1, 4, 5. 4. 1, 5, 6. 5. 3, 6. 6. 1, 2, 4. 7.1, 2,
3, 4, 5. 8. 2, 3, 4, 5. 9. 1, 2, 4, 6.10. 1, 5, 6. 11. 1, 5, 6.12. 3, 4, 6.13. 3, 5. 14. 2, 4, 5.
15. 2, 5. 16.1, 4. 17. 1, 3, 5, 6. 18. 1, 4, 5, 6. 19. 2, 3, 5, 6. 20. 2, 3, 6. 21. 1, 2, 3, 5.
22. 1, 3, 5, 6. 23. 2, 3, 4, 5, 6. 24.1, 2, 5, 6. 25. 1, 3, 5, 6. 26.1, 2, 3. 27. 3, 4, 6. 28. 2,
3, 5, 6. 29.1, 3, 4. 30. 2, 3, 4, 5. 31.1, 2, 6. 32. 2, 6. 33. 4, 5. 34. 2, 3, 5. 35.1, 4, 5, 6.
36.1, 2, 5,6.37.3,4, 6.38. 2, 3,4. 39. 3,4, 5.40.1, 6.41.1, 2, 5.42. 2, 5,6.43.1, 2, 6.
44.1, 4, 5, 6.45. 2, 3, 5, 6.46.1, 2, 5, 6.47. 2, 3, 4.48. 3,4, 5.49. 2, 3, 6. 50. 2, 3, 4, 5.
ОТВЕТЫ
491

7. БУЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
7.1. Остаточные функции. 1. а) 4, 1; б) 2, 1; в) 4, 1; г) 1, 0; д) 2, 1; е) 5, 1; ж) 6,
2; з) 3,1. 2. а) 7, 2; б) 7, 2; в) 7, 2; г) 7, 2; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 6, 2; з) 6, 2. 3. а) 4,1; б) 4,
1; в) 4,1; г) 4,1; д) 4,1; е) 4,1; ж) 4,1; з) 4,1.4. а) 6, 2; б) 4,1; в) 4,1; г) 4,1; д) 1, 0;
е) 6, 2; ж) 6, 2; з) 5, 2. 5. а) 3, 1; б) 6, 2; в) 6, 2; г) 4, 1; д) 6, 2; е) 4, 1; ж) 5, 2; з) 6, 2.
6. а) 6, 2; б) 3,1; в) 6, 2; г) 5, 2; д) 6, 2; е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 3,1. 7. а) 6, 2; б) 4,1; в) 4,1;
г) 6, 2; д) 3, 1; е) 5, 2; ж) 5, 2; з) 3, 1. 8. а) 3, 1; б) 6, 2; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 3, 1;
ж) 7, 2; з) 2,1. 9. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 5, 2; е) 5, 2; ж) 2,1; з) 2,1.10. а) 6,
2; б) 7, 2; в) 7, 2; г) 7, 2; д) 7, 2; е) 6, 2; ж) 6, 2; з) 6, 2.11. а) 2,1; б) 2, 1; в) 4,1; г) 1,
0; д) 4,1; е) 4, 1; ж) 3, 2; з) 2,1.12. а) 4,1; б) 4, 1; в) 4, 1; г) 4, 1; д) 4,1; е) 4, 1; ж) 4,
1; з) 4, 1. 13. а) 6, 2; б) 4, 1; в) 6, 2; г) 4, 1; д) 4, 1; е) 6, 2; ж) 1, 0; з) 5, 2. 14. а) 5, 2;
б) 6, 2; в) 3, 1; г) 4, 1; д) 6, 2; е) 4, 1; ж) 6, 2; з) 6, 2.15. а) 6, 2; б) 3, 1; в) 6, 2; г) 5, 2;
д) 6, 2; е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 3,1.16. а) 5, 2; б) 4,1; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 4,1; е) 5, 2; ж) 3, 1;
з) 3,1.17. а) 7, 2; б) 6, 2; в) 3,1; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 3,1; ж) 6, 2; з) 2,1.18. а) 2,1; б) 6,
2; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 5, 2; ж) 5, 2; з) 2, 1.19. а) 6, 2; б) 7, 2; в) 6, 2; г) 7, 2; д) 7,
2; е) 6, 2; ж) 7, 2; з) 6, 2. 20. а) 3, 2; б) 2, 1; в) 2,1; г) 1, 0; д) 4, 1; е) 4,1; ж) 4,1; з) 2,
1. 21. а) 1, 0; б) 4, 1; в) 6, 2; г) 4, 1; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 4, 1; з) 5, 2. 22. а) 6, 2; б) 6, 2;
в) 5, 2; г) 4, 1; д) 3, 1; е) 4, 1; ж) 6, 2; з) 6, 2. 23. а) 6, 2; б) 3,1; в) 6, 2; г) 5, 2; д) 6, 2;
е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 3,1. 24. а) 3,1; б) 4,1; в) 5, 2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 5, 2; ж) 4,1; з) 3,1.
25. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 7, 2; г) 6, 2; д) 3,1; е) 3,1; ж) 6, 2; з) 2,1. 26. а) 5, 2; б) 6, 2; в) 2,
1; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 2,1. 27. а) 7, 2; б) 7, 2; в) 6, 2; г) 7, 2; д) 6, 2; е) 6,
2; ж) 7, 2; з) 6, 2. 28. а) 4, 1; б) 2, 1; в) 3, 2; г) 1, 0; д) 2, 1; е) 4, 1; ж) 4, 1; з) 2, 1.
29. а) 4,1; б) 4,1; в) 1, 0; г) 4,1; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 6, 2; з) 5, 2. 30. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 6,
2; г) 4, 1; д) 5, 2; е) 4, 1; ж) 3, 1; з) 6, 2. 31. а) 6, 2; б) 3, 1; в) 6, 2; г) 5, 2; д) 6, 2; е) 5,
2; ж) 6, 2; з) 3, 1. 32. а) 4, 1; б) 4, 1; в) 3, 1; г) 6, 2; д) 5, 2; е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 3, 1.
33. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 7, 2; е) 3,1; ж) 3,1; з) 2,1. 34. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 5,
2; г) 6, 2; д) 2, 1; е) 5, 2; ж) 6, 2; з) 2, 1. 35. а) 7, 2; б) 6, 2; в) 7, 2; г) 7, 2; д) 6, 2; е) 7,
2; ж) 6, 2; з) 6, 2. 36. а) 4, 1; б) 2, 1; в) 4, 1; г) 2, 1; д) 3, 2; е) 1, 0; ж) 2, 1; з) 4, 1.
37. а) 6, 2; б) 5, 2; в) 4,1; г) 4,1; д) 1, 0; е) 4,1; ж) 6, 2; з) 6, 2. 38. а) 3,1; б) 6, 2; в) 6,
2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 4,1; ж) 5, 2; з) 4, 1. 39. а) 6, 2; б) 3, 1; в) 6, 2; г) 3, 1; д) 6, 2; е) 5,
2; ж) 6, 2; з) 5, 2. 40. а) 6, 2; б) 3, 1; в) 4, 1; г) 4, 1; д) 3, 1; е) 6, 2; ж) 5, 2; з) 5, 2.
41. а) 3,1; б) 2,1; в) 6, 2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 7, 2; з) 3,1.42. а) 6, 2; б) 2,1; в) 6,
2; г) 6, 2; д) 5, 2; е) 6, 2; ж) 2, 1; з) 5, 2. 43. а) 6, 2; б) 6, 2; в) 7, 2; г) 7, 2; д) 7, 2; е) 7,
2; ж) 6, 2; з) 6, 2. 44. а) 2, 1; б) 2, 1; в) 4, 1; г) 2, 1; д) 4, 1; е) 1, 0; ж) 3, 2; з) 4, 1.
45. а) 6, 2; б) 5, 2; в) 6, 2; г) 4,1; д) 4,1; е) 4,1; ж) 1, 0; з) 6, 2. 46. а) 5, 2; б) 6, 2; в) 3,
1; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 4, 1; ж) 6, 2; з) 4,1. 47. а) 6, 2; б) 3, 1; в) 6, 2; г) 3, 1; д) 6, 2; е) 5,
2; ж) 6, 2; з) 5, 2. 48. а) 5, 2; б) 3, 1; в) 6, 2; г) 4, 1; д) 4, 1; е) 6, 2; ж) 3, 1; з) 5, 2.
49. а) 7, 2; б) 2,1; в) 3,1; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 6, 2; з) 3,1. 50. а) 2,1; б) 2,1; в) 6,
2; г) 6, 2; д) 6, 2; е) 6, 2; ж) 5, 2; з) 5, 2.
7.2. Дифференцирование булевых функций подстановкой наборов значений
переменных. 1. а) 0, 5, 0, 5; б) 0, 5, 2, 4. 2. а) 0, 4, 3, 4; б) 1, 4, 2, 4. 3. а) 0, 4, 2, 4;
б) 0, 5,1, 5.4. а) 0, 5,1,4; б) 0, 4, 3, 7. 5. а) 1, 6, 0, 3; б) 0, 5,1, 5. 6. а) 0, 5, 3, 4; б) 1,
5, 1, 6. 7. а) 1, 5, 1, 6; б) 0, 5, 2, 5. 8. а) 0, 5, 1, 5; б) 0, 5, 0, 5 9. а) 1, 6,1, 3; б) 0, 4, 2,
1.10. а) 1, 5,1, 2; б) 1, 5,1, 2.11. а) 0, 4, 3,12; б) 1, 6, 0, 3.12. а) 1, 5,1, 2; б) 1, 5, 2,
6.13. а) 0, 5, 3, 5; б) 0, 5, 1, 4. 14. а) 0, 5, 2, 4; б) 1, 5, 2, 2.15. а) 0, 5, 2, 5; б) 1, 5, 1,
6. 16. а) 0, 4, 2, 4; б) 0, 4, 1, 4. 17. а) 0, 5, 2, 5; б) 1, 6, 0, 3.18. а) 0, 4,1, 6; б) 0, 4, 1,
4.19. а) 1, 5, 1, 2; б) 1, 5, 1, 2. 20. а) 1, 5, 1, 2; б) 0, 4, 4, 4. 21. а) 1, 5, 1, 6; б) 1, 5, 2,
6. 22. а) 0, 4, 3, 7; б) 1, 5, 2, 6. 23. а) 0, 4, 3, 7; б) 1, 5, 2, 6. 24. а) 0, 4, 3, 7; б) 0, 4, 3,
7. 25. а) 1, 5, 2, 6; б) 1, 5, 1, 2. 26. а) 0, 4, 1, 4; б) 1, 5, 1, 2. 27. а) 0, 4, 1, 4; б) 0, 4, 3,
4. 28. а) 0, 4, 2, 4; б) 1, 5, 0, 6. 29. а) 1, 4, 1, 5; б) 1, 5, 0, 2. 30. а) 1, 5, 1, 2; б) 1, 4, 1,
5. 31. а) 1, 5, 0, 6; б) 0, 4, 1, 1. 32. а) 0, 5, 0, 5; б) 1, 5, 2, 2. 33. а) 0, 6, 1, 6; б) 0, 4, 2,
492
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

4. 34. a) 0, 4, 1, 7; б) 0, 4, 2, 4. 35. а) 2, 5, 1, 3; б) 1, 5, 1, 6. 36. а) 0, 4, 2, 4; б) 0, 4, 3,
4. 37. а) 0, 3, 5, 6; б) 1, 6, 0, 3. 38. а) 1, 4, 2, 4; б) 0, 5, 1, 5. 39. а) 0, 5, 2, 9; б) 2, 4, 1,
2. 40. а) 1, 4, 1, 5; б) 0, 4, 2, 7. 41. а) 0, 4, 2, 4; б) 0, 5, 0, 5. 42. а) 3, 3, 1, 6; б) 0, 4, 3,
4. 43. а) 1, 7, 0, 0; б) 1, 5, 1, 2. 44. а) 0, 4, 3, 7; б) 0, 4, 3, 6. 45. а) 0, 5, 3, 4; б) 0, 4, 4,
4. 46. а) 1, 5, 2, 6; б) 0, 4, 3, 7. 47. а) 0, 5, 1, 5; б) 1, 5, 0, 6. 48. а) 1, 5, 1, 2; б) 0, 4, 2,
7. 49. а) 1, 5, 0, 6; б) 0, 5, 2, 9. 50. а) 0, 5, 2, 5; б) 0, 5, 2, 9.
7.3. Аналитическое дифференцирование булевых функций. 1. а) 0, 3; б) 1, 6.
2. а) 1, 4; б) 1, 4. 3. а) 2, 6; б) 0, 3. 4. а) 1, 4; б) 1, 5. 5. а) 2, 9; б) 0, 2.6. а) 1, 5; б) 2, 7.
7. а) 1, 4; б) 1, 5. 8. а) 1, 6; б) 1, 4. 9. а) 0, 0; б) 0, 2.10. а) 2, 7; б) 2, 6.11. а) 1, 4; б) 1,
4. 12. а) 1, 6; б) 2, 7.13. а) 1, 5; б) 1, 6. 14. а) 0, 2; б) 2, 7.15. а) 1, 6; б) 2, 9.16. а) 1,
5; б) 2, 9. 17. а) 1, 5; б) 1, 4. 18. а) 1, 4; б) 1, 4. 19. а) 1, 4; б) 1, 5. 20. а) 1, 4; б) 2, 7.
21. а) 0, 3; б) 1, 5. 22. а) 1, 4; б) 1, 6. 23. а) 1, 6; б) 1, 5. 24. а) 1, 5; б) 1, 5. 25. а) 0, 3;
б) 0, 1. 26. а) 0, 2; б) 0, 2. 27. а) 3, 12; б) 0, 3. 28. а) 0, 2; б) 1, 6. 29. а) 1, 5; б) 1, 4.
30. а) 1, 4; б) 0, 2. 31. а) 1, 5; б) 1, 6. 32. а) 1, 4; б) 1, 4. 33. а) 1, 5; б) О, 3. 34. а) 2, 6;
б) 1, 4. 35. а) 0, 2; б) 0, 2. 36. а) 0, 2; б) 1, 4. 37. а) 1, 6; б) 1, 6. 38. а) 2, 7; б) 1, 6.
39. а) 2, 7; б) 1, 6. 40. а) 2, 7; б) 2, 7. 41. а) 1, 6; б) 0, 2. 42. а) 1, 4; б) 0, 2. 43. а) 1, 4;
б) 1, 4. 44. а) 1, 4; б) 1, 6. 45. а) 1, 5; б) 0, 2. 46. а) 0, 2; б) 1, 5. 47. а) 1, 6; б) О, 1.
48. а) 1, 5; б) 0, 2. 49. а) 1, 6; б) 1, 4. 50. а) 2, 7; б) 1, 4.
7.4. Интегрирование булевых функций. 1. а) 3, 9; б) 3, 10. 2. а) 3, 8; б) 3, 11.
3. а) 4, 12; б) 5, 16. 4. а) 4, 12; б) 3, 11. 5. а) 4, 10; б) 4, 15. 6. а) 3, 8; б) 4, 15. 7. а) 3,
8; б) 4, 15. 8. а) 6, 16; б) 4, 15. 9. а) 3, 11; б) 4, 14. 10. а) 3, 12; б) 2, 8. 11. а) 4, 14;
б) 4, 14. 12. а) 3, 10; б) 3, 12. 13. а) 3, 11; б) 3, 12. 14. а) 4, 14; б) 6, 24. 15. а) 3, 11;
б) 6, 24.16. а) 3,11; б) 4, 15.17. а) 3,11; б) 3,11.18. а) 3, 9; б) 3,10.19. а) 3, 8; б) 3,
11. 20. а) 4,12; б) 5,16. 21. а) 4,12; б) 3,11. 22. а) 4,10; б) 4,15. 23. а) 3, 8; б) 4,15.
24. а) 3, 8; б) 4, 15. 25. а) 6, 16; б) 4, 15. 26. а) 3, 11; б) 4, 14. 27. а) 3, 12; б) 2, 8.
28. а) 4, 14; б) 4, 14. 29. а) 3, 10; б) 3, 12. 30. а) 3, 11; б) 3, 12. 31. а) 4, 14; б) 6, 24.
32. а) 3, 11; б) 6, 24. 33. а) 3, 11; б) 4, 15. 34. а) 3, 11; б) 3, 11. 35. а) 3, 9; б) 3, 10.
36. а) 3, 8; б) 3, 11. 37. а) 4, 12; б) 5, 16. 38. а) 4, 12; б) 3, 11. 39. а) 4, 10; б) 4, 15.
40. а) 3, 8; б) 4, 15. 41. а) 3, 8; б) 4, 15. 42. а) 6, 16; б) 4, 15. 43. а) 3, 11; б) 4, 14.
44. а) 3, 12; б) 2, 8. 45. а) 4, 14; б) 4, 14. 46. а) 3, 10; б) 3, 12. 47. а) 3, 11; б) 3, 12.
48. а) 4, 14; б) 6, 24. 49. а) 3, 11; б) 6, 24. 50. а) 3, 11; б) 4, 15.
8. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОЛНОТА
СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ (ТЕОРЕМА ПОСТА)
8.1. Функционально замкнутые классы булевых функций. 1. а) 4; б) 2, 3, 4, 6:
в) 4, 5; г) 2, 3, 4, 5, 6, 7; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 2. а) 1, 7; б) 2, 6, 8; в) 1, 8; г) 1, 2, 4, 5, 6
7, 8; д) 1, 2, 3, 6, 8. 3. а) 6; б) 1, 2, 3, 4, 5, 6; в) 2, 5, 6; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; д) 1, 2, 3, 4
5, 6.4. а) 1, 4; б) 1, 2, 3, 4, 6; в) 1, 4; г) 1, 2, 3, 4, 6, 7; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6. 5. а) 5; б) 2, 3
5; в) 1, 4; г) 1, 2, 3, 6; д) 1, 2, 3, 5, 7. 6. а) 0; б) 1, 7; в) 0; г) 1, 2, 3, 5, 6, 7; д) 1, 2, 4
6, 7. 7. а) 4, 7; б) 1, 4, 6, 7; в) 7, ; г) 1, 2, 3, 5, 6, 7; д) 1, 4, 5, 6, 7. 8. а) 2, 5; б) 4, 5, 7
в) 5; г) 4, 5, 6, 7; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 9. а) 3; б) 3; в) 3; г) 1, 3, 4, 6, 7; д) 2, 3, 4, 5, 7
10. а) 1, 6; б) 2, 6; в) 1; г) 1, 2, 4, 5, 7; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6.11. а) 3; б) 1, 2, 3; в) 7; г) 1, 2
3, 4, 6; д) 1, 2, 5, 6. 12. а) 6, 7; б) 2, 7; в) 6, 7; г) 1, 2, 5, 7; д) 1, 2, 7. 13. а) 2, 4; б) 4
в) 4, 6; г) 2, 3, 4, 5, 6, 7; д) 1, 4, 6.14. а) 2, 4, 6; б) 1, 2, 4, 6; в) 4, 5, 6; г) 1, 3, 4, 5, 6
7; д) 1, 2, 4, 5,6.15. а) 2; б) 2, 5,6, 7; в) 4; г) 5, 6, 7; д) 1, 2, 5,6, 7.16. а) 3, 4, 6, 7; б) 3
6, 7; в) 5, 6; г) 4, 5, 6; д) 2, 3, 5, 6, 7. 17. а) 1; б) 1, 6; в) 1, 2, 7; г) 1, 3, 5, 6, 7; д) 1, 4
6, 7.18. а) 2, 4, 5; б) 2, 4, 7; в) 4; г) 1, 3, 4, 6, 7; д) 2, 4, 5, 7.19. а) 1, 6; б) 1, 2, 5, 6, 7
в) 7; г) 1, 2, 5, 6, 7; д) 2, 3, 4, 5, 7. 20. а) 6; б) 7; в) 6, 7; г) 2, 3, 5, 7; д) 1, 4, 7. 21. а) 3
4, 7; б) 1, 2, 5; в) 2, 3, 4, 7; г) 1, 2, 3, 5; д) 1, 2, 3, 5. 22. а) 1, 2, 5; б) 3, 5, 7; в) 1, 5
г) 1, 3, 5, 7; д) 1, 2, 3, 5, 7. 23. а) 3, 7; б) 2, 4, 7; в) 2, 3, 5, 6; г) 1, 2, 4, 6; д) 1, 2, 4, 6, 7
24. а) 1, 2, 6; б) 4, 5; в) 1, 3, 6; г) 3, 4, 5; д) 2, 3, 4, 5. 25. а) 2, 3; б) 2, 3; в) 5; г) 3, 7
ОТВЕТЫ
493

д) 2, 7. 26. а) 2; б) 1, 2, 6; в) 5; г) 1, 4, 6; д) 1, 2, 6. 27. а) 1, 2, 4, 5; б) 1, 2, 4; в) 6; г) 2,
5; д) 1, 4, 7. 28. а) 1, 2, 3, 4, 6; б) 2, 6, 7; в) 1, 2, 3, 4; г) 1, 2, 3, 6, 7; д) 1, 2, 3, 7.
29. а) 4, 7; б) 1, 3, 4; в) 3, 7; г) 1, 3; д) 1, 3, 4. 30. а) 1, 5, 7; б) 3, 5; в) 1, 7; г) 3; д) 3, 5.
31. а) 3, 6; б) 2, 3, 4, 6; в) 7; г) 2, 4, 7; д) 2, 3, 4, 6, 7. 32. а) 5; б) 3; в) 6, 7; г) 3, 7; д) 3,
5. 7. 33. а) 3, 6, 7; б) 3; в) 6, 7; г) 1, 2, 6; д) 3, 6. 34. а) 1; б) 2, 7; в) 6; г) 1, 2, 5, 7; д) 2,
7. 35. а) 1, 3, 4, 5; б) 3; в) 1, 4, 5; г) 1, 6; д) 1, 2, 3. 36. а) 1, 2, 3; б) 1, 2, 3, 7; в) 5, 7;
г) 3, 7; д) 1, 2, 7. 37. а) 2, 3, 5, 6; б) 1, 3, 5; в) 2, 6; г) 1, 7; д) 1, 3, 5. 38. а) 1, 2, 7; б) 1,
2, 7; в) 4; г) 4, 7; д) 1, 2, 3, 4. 39. а) 2, 7; б) 1, 2; в) 4; г) 1, 4, 5; д) 1, 2, 4, 7. 40. а) 1, 3,
6; б) 5, 6; в) 3, 4, 6; г) 1, 4, 5, 6; д) 4, 5, 6, 7. 41. а) 3; б) 7; в) 3, 6; г) 1, 5, 6, 7; д) 4, 6,
7. 42. а) 1, 4, 7; б) 4, 7; в) 4; г) 4, 6; д) 1, 3, 4, 5, 7. 43. а) 6; б) 7; в) 6; г) 4, 5, 7; д) 5, 7.
44. а) 1, 2, 6; б) 1, 2, 7; в) 1, 7; г) 1, 2, 4, 5, 7; д) 1, 4, 6, 7. 45. а) 3, 7; б) 2, 7; в) 3; г) 2,
5; д) 2, 7. 46. а) 2, 7; б) 2, 7; в) 6, 7; г) 1, 2, 4, 6, 7; д) 5, 6, 7. 47. а) 4, 6, 7; б) 4, 6, 7;
в) 5; г) 5, 6; д) 1, 4, 5, 7. 48. а) 1, 4; б) 6; в) 1, 4, 5; г) 5, 6, 7; д) 2, 3, 5, 6. 49. а) 2, 7;
б) 3, 6, 7; в) 2, 5; г) 1, 3, 5, 6; д) 3, 5, 6, 7. 50. а) 3, 6; б) 3; в) 5, 6; г) 2, 5; д) 3, 5.
8.2. Функционально полные системы. 1. 2, 4. 2. 3, 5, 6. 3. 1, 6.4. 1, 4, 7. 5. 3, 7.
6. 2, 4, 6. 7. 1, 6, 7. 8. 1, 2, 5. 9. 2, 5, 7. 10. 3, 5.11. 3, 4, 7.12. 4, 6.13. 6, 7. 14. 2, 4,
7. 15.1, 3.16. 1, 4, 6.17. 2, 3, 4.18.1, 6, 7. 19.1, 3. 20. 3, 6. 21. 3, 7. 22. 2, 6. 23. 2,
4. 24. 3, 5, 6. 25. 1, 6. 26. 1, 4, 7. 27. 3, 7. 28. 2, 4, 6. 29. 1, 6, 7. 30. 1, 2, 5. 31. 2, 5, 7.
32. 3, 5. 33. 3, 4, 7. 34. 4, 6. 35. 6, 7. 36. 2, 4, 7. 37. 1, 3. 38. 1, 4, 6. 39. 2, 3, 4. 40. 1,
6, 7. 41. 1, 3. 42. 3, 6. 43. 3, 7. 44. 2, 6. 45. 1, 6, 7. 46. 1, 3. 47. 2, 3, 4. 48. 3, 7. 49. 2,
5,7.50.2,5.
9. ЧИСЛОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
9.1. Изображающие числа булевых функций. 1. а) 8, 6; б) 1, 4, 9, 4; в) 4, 0, 7,
1. 2. а) 2, 5; б) 2, 0, 6, 4; в) 1,1, С, 0. 3. а) 1, 6; б) 6, 0, 6, 4; в) 2, 2, D, 0.4. а) 3, 7; б) 6,
0, Еу 1; в) 2, 2, Я, 0. 5. a) Fy 5; б) 5, 8, Fy 9; в) 3, 5, Еу 0. 6. а) 3, 5; б) 5, С, 5, D; в) 7, 5,
Fy 0. 7. а) 2, 7; б) 5, 9, 5, D; в) 3, A, J\ 0. 8. а) 2, 7; б) 5, D, 5, D; в) 3, A, f\ 0. 9. а) 3, 6;
б) 5, 1, Fy 9; в) Б, A, f\ 0.10. а) 2, 7; б) Я, А, Я, А; в) D, A, D, 2. 11. а) А, 7; б) 2, 3, 4,
7; в) С, A, Fy 2. 12. а) А, 7; б) 5, А, 5, 7; в) D, Я, D, 6. 13. а) С, Б; б) 5, 2, 5, 6; в) 1, Я,
D, 2. 14. а) 1, 1; б) Fy Dy С, D; в) О, Я, F, D. 15. а) 5, 3; б) Fy Fy A, D; в) F, D, Я, С.
16. а) А, 9; б) Еу DyAy Б; в) D, F, D, 5.17. а) 3, 2; б) Б, 0, F, D; в) 3, 5, 5, 3.18. а) 3, 4;
б) By О, Я, Е; в) 2, F, 6, 9.19. а) 4, А; б) Б, Я, 1, Б; в) 8, Я, 1, Я. 20. а) 3, 2; б) Я, D, 5,
Б; в) Я, Dy Fy E. 21. а) 6, 8; б) 8, С, Fy D; в) А, Я, Б, 5. 22. а) 2, 3; б) 5, D, 9,1; в) D, 9,
9, Б. 23. а) 1, С; б) Fy 3, 5, 9; в) Fy 7, 2, Б. 24. а) 5, 6; б) Еу Еу Еу 6; в) Fy 7, 8, 9.
25. а) 4, 3; б) Б, Б, D, 1; в) 2, 7, 7, D. 26. а) 6, А; б) 7, Я, D, D; в) 1, 7, Я, А. 27. а) 5, 3;
б) Fy FyAy D; в) Я, D, Еу С. 28. а) А, 9; б) Я, D, А, Б; в) D, Я, D, 5. 29. а) 8, 5; б) 7, Б, 9,
Я; в) 8, 2, D, Я. 30. а) 1, Е; б) 4, 4, 4, D; в) Я, С, 3, Я. 31. а) 1, Б; б) 3, О, 3, С; в) 2, 7, 2,
7. 32. а) 4, Я; б) 5, С, 5, Я; в) 5,4,1, 5. 33. а) 1, 5; б) Я, Еу 3, 3; в) 2, Еу 1, С. 34. а) 6,
6; б) 9, А, 9, 8; в) О, С, 1, 7. 35. а) 6, 9; б) 2, Б, 2, 5; в) С, С, Я, 9. 36. а) 9, А; б) 1, О, Б, С;
в) 7, 3, 5, 1. 37. а) 3, С; б) 6, 2, С, С; в) С, A, Я, А. 38. а) С, 9; б) 1, 5, D, D; в) 3, 7, 1, 1.
39. а) 9, 2; б) 8,8, С, D; в) 9, D, 9, Б. 40. а) 1, F; б) 8, Б, 8, Я; в) 1, 7, 9, 3.41. а) 5, С; б) О,
Еу 3, А; в) D, Я, Б, Б. 42. а) Б, 8; б) 6, Еу 6, Е; в) 1, 4, 2,1.43. а) 7, 9; б) 5, 4, 6,0; в) 7, Я,
Я, Я. 44. а) 3, 7; б) 3,1, 0, 8; в) 4, С, 5,1.45. а) 1, 3; б) 4, С, D, 0; в) С, 2, С, 2.46. а) 5,1;
б) 1, 1, 3, 7; в) А, 8, Еу 4. 47. а) 1, А; б) С, С, 5, 1; в) 3, 5, 3, 6. 48. а) Еу 1; б) 3, 1, С, 3;
в) 0, Dy 3, 5. 49. a) D, 8; б) С, 3,1, 4; в) 8, D, 9, 4. 50. а) 8, 3; б) О, С, С, 1; в) 4,1,6, 2.
9.2. Минимизация в классе ДНФ булевых функций, заданных
изображающими числами. 1. а) 4, 15; б) 4, 14. 2. а) 2, 6; б) 4, 15. 3. а) 4, 11; б) 3, 114. а) 3, 14;
б) 5, 16. 5. а) 4, 11; б) 3, 10. 6. а) 2, 5; б) 4, 14. 7. а) 3, 8; б) 3, 10. 8. а) 4, 13; б) 4, 14.
9. а) 3, 9; б) 3,10.10. а) 3,10; б) 4,17.11. а) 2, 6; б) 4,13.12. а) 3, 8; б) 4,14.13. а) 4,
11; б) 5, 19. 14. а) 2, 7; б) 5, 18. 15. а) 2, 6; б) 4, 13. 16. а) 2, 5; б) 3, 12. 17. а) 4, 12;
494
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

б) 3, 10. 18. а) 3, 10; б) 4, 16. 19. а) 3, 8; б) 2, 7. 20. а) 4, 12; б) 4, 10. 21. а) 3, 8; б) 5,
19. 22. а) 2, 8; б) 6, 24. 23. а) 3, 10; б) 2, 4. 24. а) 3, 10; б) 3, 8. 25. а) 4, 13; б) 7, 28.
26. а) 3, 8; б) 4,14.27. а) 5,18; б) 2, 4. 28. а) 3, 9; б) 4,12. 29. а) 3, 9; б) 4,13. 30. а) 3,
9; б) 5,18. 31. а) 4,10; б) 3,13. 32. а) 4,16; б) 5,19. 33. а) 3,11; б) 4,13. 34. а) 4,14;
б) 4,15. 35. а) 3,10; б) 5,15. 36. а) 3,10; б) 2, 6. 37. а) 4,14; б) 4,14. 38. а) 3, 9; б) 3,
9. 39. а) 3, 8; б) 4, 14. 40. а) 4, 11; б) 5, 16. 41. а) 3, 10; б) 4, 17. 42. а) 3, 9; б) 3, 8.
43. а) 3, 10; б) 4, 15. 44. а) 3, 9; б) 4, 13. 45. а) 3, 10; б) 2, 10. 46. а) 3, 13; б) 4, 15.
47. а) 3, 11; б) 4, 15. 48. а) 2, 5; б) 3, 8. 49. а) 4, 15; б) 4, 16. 50. а) 3, 10; б) 2, 8.
9.3. Решение булевых уравнений с помощью изображающих чисел. 1. а) 0, 2,
5, 8, 15; б) 6, 7, 13, 14; в) 2, 8. 2. а) 0, 1, 3, 4, 6, 7; б) 9,13, 14; в) 2, 9. 3. а) 0, 2, 6, 7,
10,12; б) 3, 5, 9,11,13,14,15; в) 2, 6.4. а) 5, 7, 8, 9,13,14; б) 1,4, 6,10,15; в) 2, 7.
5. а) 0,1, 5, 8,10,12,15; б) 2, 7, 9,13,14; в) 2, 6. 6. а) 5, 6, 8,12; б) 2, 9,14,15; в) 2,
10. 7. а) 3,10,11, 12, 12,14; б) 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9; в) 2, 7. 8. а) 10, 11,12, 13, 14; б) 2,
3, 4, 8; в) 2, 7. 9. а) 2, 5,10; б) 1,3, 6, 9,12,13,14; в) 1, 4.10. а) 2, 4, 5, 6,14; б) 1, 3,
9,10,11,12,13; в) 1, 4.11. а) 7,10,11,12; б) 0,1, 2, 3, 4, 8, 9,13; в) 2, 6.12. а) 3, 4,
5, 9, 11, 12, 13, 14; б) 0, 1, 2, 6, 7, 8, 15; в) 1, 2. 13. а) 4, 5, 7, 8, 9, 12, 14; б) 6, 15;
в) 2, 7.14. а) 7, 8, 9,11,12,13,14; б) 4, 5, 6,15; в) 2, 5.15. а) 5, 7,12; б) 2, 4,10,11,
14; в) 1, 6. 16. а) 7, 9, 10, 12; б) 0, 1, 2, 13, 14; в) 3, 13. 17. а) 0, 4, 5, 12, 13, 14, 15;
б) 1, 3, 11; в) 1, 4. 18. а) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0, 3, 10, 11, 12; в) 1, 2. 19. а) 1, 3, 4,
14; б) 6, 7,10,11,12,15; в) 1, 5. 20. а) 4, 6, 7,12; б) 0,1, 2, 3, 5, 8, 9,13,14,15; в) О,
1. 21. а) 1, 2, 4, 5, 6, 14, 15; б) 3, 7, 8; в) 3, 8. 22. а) 3, 5, 7, 8, 9,13, 15; б) 1, 10; в) 2,
7. 23. а) 0, 2, 3, 9,13; б) 10, 11,12,14,15; в) 2, 7. 24. а) 6, 9,13; б) 0,1, 2, 3,10, 12,
14,15; в) 1, 5. 25. а) 2, 4, 5, 6,11,13,14; б) 7, 9,15; в) 3, 9. 26. а) 1, 3, 6, 7, 8,11,13,
14, 15; б) 4, 5, 12; в) 3, 8. 27. а) 2, 10, 11, 12; б) 4, 6, 7, 8, 9, 13; в) 2, 7. 28. а) 0, 2;
б) 3, 4, 5, 6, 7, 9,10,12,14; в) 0, 2. 29. а) 10,11,12,13,14,15; б) 2, 4, 5, 6, 7, 9; в) 1,
3. 30. а) 0,1, 15; б) 5, 6, 9; в) 1, 7. 31. а) 4, 5, 8, 13,15; б) О, 1, 6, 7, 9,10, 12; в) 1, 3.
32. а) 2, 6,15; б) 0, 4, 7, 10,11, 13; в) 1, 5. 33. а) О, 1, 2, 11,15; б) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12;
в) 1, 3. 34. а) 0, 2, 6, 8; б) 4, 9, 10,11; в) 1, 4. 35. а) 1, 2, 3, 6, 10,12; б) 0, 7, 8, 9, 13,
15; в) 3, 8. 36. а) 3, 5, 6, 8, 12; б) О, 1, 4, 15; в) 3, 10. 37. а) 1, 3, 4, 5, 6, 12; б) 7, 13,
14,15; в) 1, 3. 38. а) 1, 2, 9,12,15; б) 4,10,13,14; в) 2, 8. 39. а) 1, 2, 4, 5; б) 6, 7,11,
12, 13, 14; в) 2, 8. 40. а) 3, 4, 5, 6, 12, 15; б) О, 1, 8, 11, 13; в) 3, 11. 41. а) 2, 6, 7, 8,
11,14; б) 4, 9,10,15; в) 2, 6.42. а) 4, 5, 9,12,13,14,15; б) 2,10,11; в) 2, 6. 43. а) О,
8, 10,15; б) 3, 5, 6; в) 2, 10. 44. а) 4, 6, 7, 8,13; б) О, 1, 3, 11, 12, 15; в) 2, 8. 45. а) 2,
7, 10, 11, 12, 13; б) О, 1, 8, 9; в) 3, 10. 46. а) 4, 5, 6, 8, 12, 13, 15; б) О, 1, 2, 7, 9, 10,
14; в) 1, 2. 47. а) 6, 7, 9,14; б) 5, 8,10,11,12,13,15; в) 1, 3.48. а) 3, 8, 9,10,11,14,
15; б) О, 1, 2, 4, 5, 7, 12; в) 1, 3. 49. а) 2, 9, 12; б) О, 1, 3, 4, 6, 7, 8; в) 2, 6. 50. а) 14;
6)3,4,6,8, 10, 12, 13; в) 0, 2.
10. ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ
10.1. Представление пороговых функций в виде ДНФ. 1. а) 0, 5; б) 3,12. 2. а) О,
5; б) 0, 5. 3. а) 2, 8; б) 2, 10. 4. а) 1, 5; б) 3, 8. 5. а) 4, 10; б) 1, 8. 6. а) 3, 11; б) 1, 3.
7. а) 1, 6; б) 3, 12. 8. а) 2, 4; б) 0, 3. 9. а) 4, 10; б) 2, 4. 10. а) 0, 5; б) 2, 9. 11. а) 0, 5;
б) 0, 4. 12. а) 0, 4; б) 3, 6. 13. а) 0, 3; б) 3, 12. 14. а) 2, 5; б) 3, 11. 15. а) 1, 6; б) 3, 9.
16. а) 1, 8; б) 3,11.17. а) 1, 8; б) 2, 3.18. а) 1, 6; б) 5,12.19. а) 3,13; б) 0, 4. 20. а) 4,
13; б) 2, 8. 21. а) 1, 8; б) 1, 7. 22. а) 0, 4; б) 3, 8. 23. а) 1, 7; б) 2, 6. 24. а) О, 3; б) 1,4.
25. а) 2, 6; б) 1, 8. 26. а) 2, 8; б) 3, 8. 27. а) 0, 4; б) 0, 4. 28. а) 1, 7; б) 1, 7. 29. а) 2, 6;
б) 0, 5. 30. а) 3, 11; б) 4, 11. 31. а) 3, 9; б) 4, 12. 32. а) 3, 6; б) 2, 9. 33. а) 5, 14; б) 4,
13. 34. а) 3, 13; б) 2, 7. 35. а) 1, 5; б) 4, 9. 36. а) 2, 6; б) 3, 5. 37. а) 1, 7; б) 4, 11.
38. а) 2, 8; б) 1,6. 39. а) 3,10; б) 1,10. 40. а) 0, 4; б) 3, 6. 41. а) 5,14; б) 3, 8. 42. а) 2,
5; б) 5, 14. 43. а) 2, 8; б) 2, 4. 44. а) 4, 10; б) 4, 9. 45. а) 1, 8; б) 3, 11. 46. а) 2, 4; б) 5,
12. 47. а) 1, 7; б) 3, 5. 48. а) 3, 13; б) 3, 10. 49. а) 2, 10; б) 3, 9. 50. а) 3, 6; б) 3, 6.
ОТВЕТЫ
495

10.2. Представление пороговых функций в виде КНФ. 1. а) 1, 5; б) 2, 3. 2. а) 1,
4; б) 6, 9. 3. а) 5, 10; б) 0, 4. 4. а) 8, 13; б) 3, 6. 5. а) 1, 5; б) 2, 6. 6. а) 0, 4; б) 8, 12.
7. а) 2, 6; б) 5, 8. 8. а) 0, 3; б) 1, 3. 9. а) 5, 8; б) 1, 5. 10. а) 3, 6; б) 8, 12. 11. а) 0, 4;
б) 0, 4.12. а) 2, 6; б) 2, 6.13. а) 5, 8; б) 0, 5.14. а) 8, 14; б) 7, 11. 15. а) 5, 9; б) 6, 10.
16. а) 5, 7; б) 6, 12. 17. а) 7, 11; б) 8, 13. 18. а) 5, 10; б) 4, 8. 19. а) 2, 5; б) 7, 10.
20. а) 5, 8; б) 6, 8. 21. а) 2, 6; б) 7, 11. 22. а) 3, 6; б) 1, 4. 23. а) 7, 12; б) 4, 9. 24. а) О,
4; б) 5, 7. 25. а) 7,11; б) 4, 7. 26. а) 3, 5; б) 7,11. 27. а) 5,10; б) 4, 6. 28. а) 9,13; б) 7,
10. 29. а) 1, 5; б) 8, 14. 30. а) 4, 6; б) 6, 9. 31. а) 2, 6; б) 6, 8. 32. а) 5, 10; б) 7, 12.
33. а) 4, 9; б) 5, 9. 34. а) 5, 7; б) 5, 7. 35. а) 0, 5; б) 4, 8. 36. а) 0, 5; б) 0, 5. 37. а) 3, 6;
б) 4, 9. 38. а) 2, 5; б) 8, 12. 39. а) 9, 13; б) 1, 5. 40. а) 7, 12; б) 2, 4. 41. а) 1, 4; б) 4, 8.
42. а) 4, 6; б) 0, 3. 43. а) 5, 8; б) 4, 6.44. а) 0, 5; б) 6,12.45. а) 0, 5; б) 0, 4. 46. а) 0, 4;
б) 5, 7. 47. а) 0, 3; б) 4, 8. 48. а) 3, 5; б) 6, 11. 49. а) 1, 4; б) 7, 10. 50. а) 1, 5; б) 6, 11.
11. КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
11.1. Диодно-резисторные схемы — основа логических элементов. 1.1)15,15,
15; 2) 30,15, 0; 3) 0, 0,15; 4) 15, 0,15. 2. 1) 0, 0, 0; 2) 15,15, 0; 3) 0, 0, 0; 4) 0,15, 0.
3. 1) 0, 0, 0; 2) 20, 20, 20; 3) 0, 0, 0; 4) 20, 0, 20. 4. 1) 0, 0, 0; 2) 0, 20, 20; 3) 0, 0, 0;
4) 20, 20, 20. 5. 1) 0, 10, 10; 2) 20, 20, 20; 3) 10, 10, 10; 4) 10, 0, 10. 6. 1) 10, 0, 0;
2) 10, 10, 10; 3) 0, 10, 0; 4) 10, 20, 10. 7. 1) 10, 20, 20; 2) 20, 10, 10; 3) 10, 10, 20;
4) 0, 0, 0. 8. 1) 10, 0, 0; 2) 20, 0, 0; 3) 0, 10, 0; 4) 0, 20, 0. 9. 1) 10, 10, 30; 2) 40, 30,
20; 3) 0,10, 20; 4) 20, 0,10.10. 1) 20, 20,10; 2) 30,10,10; 3) 10, 20,10; 4) 0, 30, 20.
11. 1) 10,10, 20; 2) 30, 20, 20; 3) 0,10, 20; 4) 10, 0,10.12. 1) 10,10, 0; 2) 20,10,10;
3) 10, 10, 0; 4) 10, 30, 20. 13. О, 10, 20; 2) О, О, 30; 3) 10, 10, 10; 4) 10, 10, 30.
14. 1) 20, 20, 20; 2) 30, 20, 20; 3) 0, 30, 20; 4) 10, 30, 30.15. 1) 30, 20,10; 2) 0, 20, 0;
3) 10, 10, 30; 4) 0, 20, 10. 16. 1) 10, 10, 20; 2) 0, 10, 20; 3) О, О, 10; 4) 10, 10, 30.
17. 1) 10, 20, 20; 2) 30, 20, 20; 3) 0, 20, 20; 4) 10, 30, 30.18.1) 30, 20,10; 2) 0, 20, 0;
3) 10, 10, 30; 4) 0, 20, 10. 19. 1) 0, 10, 10; 2) 10, 10, 20; 3) 10, 30, 30; 4) 20, О, О.
20. 1) 10, 0, 20; 2) 10, 0, 10; 3) 20, 10, 20; 4) 10, 20, 0. 21. 1) 10, 10, 0; 2) 10, О, О;
3) 0, 0, 10; 4) 10, 10, 20. 22. 1) 0, 10, 10; 2) 10, 10, 20; 3) 10, 30, 30; 4) 20, О, О.
23. 1) 10, 0, 20; 2) 10, 0, 10; 3) 20, 10, 20; 4) 10, 20, 0. 24. 1) 10, 10, 0; 2) 10, О, О;
3) 0, 0, 10;4) 10, 10, 20. 25. 1) 10, 10, 10; 2) 20, 10, 10; 3) 0, 20, 30; 4) 10, 10, 0.
26. 1) 0, 10, 10;2) 20, 10, 10; 3) 20, 10, 10; 4) 10, 20, 0. 27. 1) 20, 10, 10; 2) 0, 10, 0;
3) 0,10, 0; 4) 0,10, 20. 28. 1) 0,10,10; 2) 0, 0, 20; 3) 10,10,10; 4) 10, 0,10. 29. 1) 10,
20, 0; 2) 10, 10, 10; 3) 0, 10, 20; 4) 10, 20, 30. 30. 1) 30, 30, 10; 2) 10, 0, 20; 3) 0, 20,
20; 4) 10, 10, 0. 31. 1) 0, 10, 10; 2) 20, 20, 10; 3) 10, 10, 10; 4) 10, 10, 20. 32. 1) 10,
20,10; 2) 0,10, 0; 3) 0, 0, 20; 4) 0,10,10. 33. 1) 30, 30,10; 2) 10,10, 30; 3) 0, 20,10;
4) 20, 0, 0. 34. 1) 0, 10, 10; 2) 20, 20, 10; 3) 10, 10, 10; 4) 10, 0, 10. 35. 1) 10, 20, 0;
2) 10, 10, 0; 3) 0, 10, 20; 4) 0, 10, 10. 36. 1) 30, 30, 10; 2) 0, 0, 20; 3) 0, 20, 10; 4) 20,
О, 0. 37. 1) 0, 0, 0; 2) 15, 15, 0; 3) 0, 0, 0; 4) 15, 0, 15. 38. 1) 0, 30, 0; 2) 0, 15, 0; 3) О,
О, 30; 4) 0, 0, 15. 39. 1) 30, 30, 15; 2) 0, 0, 30; 3) 0, 30, 15; 4) 30, 0, 0. 40. 1) 10, 5, 0;
2) 15, 5, 5; 3) 5, 5, 5; 4) 10, 5, 10. 41. 1) 0, 15, 0; 2) 5, 15, 0; 3) 0, 5, 15; 4) 5, 5, 5.
42. 1) 20,10,10; 2) 0, 0,15; 3) 5, 20,10; 4) 15, 0, 5. 43. 1) 15, 5, 5; 2) 20, 5,15; 3) 10,
10, 5; 4) 15, 5, 20. 44. 1) 5, 20, 5; 2) 0, 15, 5; 3) 5, 15, 20; 4) 5, 10, 15. 45. 1) 25, 10,
15; 2) 0, 5, 25; 3) 0, 20, 10; 4) 25, 5, 0. 46. 1) 25, 15, 15; 2) 20, 5, 20; 3) 10, 10, 15;
4) 15, 10, 25. 47. 1) 10, 20, 10; 2) 5, 15, 10; 3) 5, 20, 20; 4) 10, 20, 15. 48. 1) 10, 10,
15; 2) 0, 10, 30; 3) 0, 20, 10; 4) 30, 5, 0. 49. 1) 12, 4, 4; 2) 16, 4, 8; 3) 8, 8, 4; 4) 12, О,
12. 50. 1) 0,12, 0; 2) 4,12, 0; 3) 4, 8,12; 4) 0, 8, 8. 51. 1) 4, 4,12; 2) 0, 0,12; 3) 0,12,
4; 4) 12, 0, 0. 52. 1) 24, 8, 0; 2) 32, 8, 0; 3) 16, 16, 8; 4) 24, 8, 24. 53. 1) 0, 24, 0; 2) 8,
32, 16; 3) 8, 16, 24; 4) 24, 16, 16. 54. 1) 0, 8, 24; 2) 16, 0, 24; 3) 8, 32, 16; 4) 8, 8, 8.
11.2. Синтез комбинационных схем. 1. 3, 1, 6. 2. 1, 1, 3. 3. 1, 1, 3. 4. 3, 1,6.
5. 1, 2, 5. 6. 2, 1, 5. 7. 1, 3, 6. 8. 1, 2, 5. 9. 2, 1, 5.10. 2, 1, 5.11. 2, 1, 4. 12. 4, 1, 10.
496
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

13. 2,1, 5.14.1,3,8.15.1, 2,4.16. 3,1,8.17.1,4,10.18.1, 3,8.19. 4,1,11.20. 3,1,
8. 21. 1, 2, 5. 22. 4,1,11. 23. 4,1,10. 24. 4,1,14. 25.1, 4,11. 26. 4, 1,11. 27. 4,1,11.
28. 0,1, 2. 29. 3,1, 7.30.1,1,4.31.1, 2, 5.32. 4,1, 9.33.1, 3, 7.34. 4,1,9.35. 4,1, 8.
36. 3,1, 6. 37. 4,1, 8.38. 3,1, 8.39.1,4, 8.40.1,3,6.41. 4,1,12.42. 4,1,11.43.1, 2,
5. 44. 2, 1, 6. 45. 4, 1, 9. 46. 1, 3, 9. 47. 3, 1, 8. 48.1, 4, 9. 49. 3, 1, 10. 50. 3, 1, 7.
11.3. Синтез комбинационного преобразователя кодов. 1. 7, 4, 5, 8. 2. 8, 8, 3,
7. 3. 5, 9, 4, 8.4. 9, 6, 4, 6. 5. 8, 8, 4, 7. 6. 8, 4, 5, 7. 7. 5, 8, 7, 6. 8. 7, 8, 5, 4. 9. 8, 7, 3,
8. 10. 8, 9, 5, 4. 11. 6, 4, 6, 9. 12. 8, 4, 7, 8. 13. 7, 8, 4, 5. 14. 6, 8, 5, 7 15. 8, 4, 5, 7.
16. 8, 3, 8, 7. 17. 8, 4, 5, 9. 18. 6, 6, 4, 9. 19. 4, 7, 8, 8. 20. 8, 5, 4, 7. 21. 6, 5, 8, 7.
22. 7, 5, 4, 8. 23. 8, 3, 7, 8. 24. 5, 4, 9, 8. 25. 9, 6, 6, 4. 26. 8, 7, 4, 8. 27. 5, 8, 7, 4.
28. 5, 7, 8, 6. 29. 5, 4, 8, 7. 30. 8, 7, 3, 8. 31. 4, 9, 5, 8. 32. 6, 4, 6, 9. 33. 8, 4, 8, 7.
34. 7, 5, 8, 4. 35. 6, 7, 5, 8. 36. 8, 5 , 7, 4. 37. 3, 8, 7, 8. 38. 4, 5, 8, 9. 39. 9, 4, 6, 6.
40. 4, 8, 7, 8. 41. 5, 4, 8, 7. 42. 7, 5, 6, 8. 43. 5, 8, 4, 7. 44. 3, 7, 8, 8. 45. 8, 5, 9, 4.
46. 6, 6, 9, 4. 47. 8, 7, 4, 8. 48. 7, 4, 8, 5. 49. 7, 6, 10, 7. 50. 7, 10, 7, 6.
11.4. Анализ логических схем. 1. а) 3,11,12; 6)4,8; в) 0,1,1. 2. а) 7,8,9,11,15;
6)3,6; в) 0,3,0. 3. а) 0,4,8,9; 6)2,5; в) 0,2,0. 4. а) 2,4,6,10,14,15; 6)4,8; в) 1,2,0.
5. а) 9,13,15; 6) 1,4; в) 0,2,0.6. а) 2,5,6,7,13; 6) 3,6; в) 0,3,0.7. а) 14,15; 6) 0,3; в) 0,1,0.
8. а) 1,9,10,11; 6) 2,5; в) 0,2,0.9. а) 4,8,10; 6) 3,7; в) 0,1,1.10. а) 1,5,9; 6) 1,4; в) 0,2,0.
11. а) 3,11,15; 6)1,4; в) 0,2,0. 12. а) 2,3,6,8,9; 6)4,8; в) 0,3,0. 13. а) 0,1,3,7; 6)2,5;
в) 0,2,0.14. а) 0,10,11,15; 6) 4,8; в) 0,2,1.15. а) 3,6,9; 6) 5,10; в) 0,0,3.16. а) 0,1,3,15;
6)4,8; в) 0,2,1. 17. а) 2,3,12; 6)4,8; в) 0,1,1. 18. а) 6,9,12,13,14; 6)3,6; в) 0,3,0.
19. а) 10,14,15; 6) 1,4; в) 0,2,0.20. а) 5,7,8,13; 6) 4,8; в) 0,2,1.21. а) 3,7,12,14,15; 6) 3,6;
в) 0,3,0. 22. а) 1,5; 6) 0,3; в) 0,1,0. 23. а) 3,5,7,8,12; 6) 5,9; в) 0,3,0. 24. а) 3,4,11,12;
6)3,6; в) 0,2,0. 25. а) 0,2,9,11,13; 6)4,8; в) 0,3,0. 26. а) 0,4,7,15; 6)4,8; в) 0,2,0.
27. а) 5,9,10,11; 6) 4,8; в) 0,2,1.28. а) 0,4,6,7,14,15; 6) 3,6; в) 1,1,0.29. а) 7,12,14,15;
6)2,5; в) 0,2,0. 30. а) 2,5,6,7,13; 6)3,6; в) 0,3,0. 31. а) 2,6,14,15; 6)2,5; в) 0,2,0.
32. а) 7,9,15; 6) 3,7; в) 0,1,1.33. а) 0,11,15; 6) 4,8; в) 0,1,1.34. а) 4,6,13; 6) 3,7; в) 0,1,1.
35. а) 2,4,5,10,14; 6)5,9; в) 0,3,0. 36. а) 7,8,9,15; 6)4,8; в) 0,2,0. 37. а) 4,10,11,14;
6)4,8; в) 0,2,1. 38. а) 0,1,2,10,14; 6)3,6; в) 0,3,0. 39. а) 6,7,8; 6)4,8; в) 0,1,1.
40. а) 6,9,10,11; 6) 4,8; в) 0,2,1.41. а) 5,9,10,13; 6) 4,8; в) 0,2,1.42. а) 1,7,8,10; 6) 6,11;
в) 0,1,2.43. а) 2,10; 6) 0,3; в) 0,1,0.44. а) 2,13,15; 6) 4,8; в) 0,1,1.45. а) 1,4,5,7; 6) 3,7;
в) 0,3,0. 46. а) 0,8,12,15; 6) 4,8; в) 0,2,1. 47. а) 0,4,5,8; 6) 2,5; в) 0,2,0. 48. а) 8,9,13;
б) 1,4; в) 0,2,0. 49. а) 0,4,7,8,12,14; б) 5,9; в) 1,1,1. 50. а) 3,7,11,15; б) 0,2; в) 1,0,0.
11.5. Анализ преобразователя двоичных кодов. 1. 27. 2. 29. 3. 4. 4. 41. 5. 18.
6. 36. 7. 48. 8. 35. 9. 14. 10. 40. 11. 40. 12. 35. 13. 14. 14. 48. 15. 36. 16. 4. 17. 29.
18. 27.19. 18.20. 41.21. 4. 22. 41.23.18.24. 27. 25. 29. 26. 36. 27. 48. 28. 35.29. 40.
30.14.31. 4. 32. 41. 33.18. 34. 27.35. 29.36. 36.37. 40. 38.14. 39. 35.40. 48.41. 40.
42. 27. 43. 29. 44. 4. 45. 18. 46. 41. 47. 36. 48. 14. 49. 48. 50. 35.
11.6. Логические схемы на элементах Шеффера. 1.11110. 2.11110. 3. 00111.
4. 00011. 5. 00111. 6. 00111. 7.10111. 8. 00111. 9. 00111. 10. 11110. 11. 11101.
12. 00101.13. 01101.14.10100.15.10011.16. 01101.17. 01101.18.10100.19.10100.
20. 01101.21.11011.22.10111.23.10100.24.10100.25.11101.26. 01100.27.01100.
28. 01100.29.01100.30. 01100.31. 01100.32.11101.33.11101.34.00111.35.01100.
36.01100.37.01100.38.11100.39.11111.40.11100.41.11100.42.00101.43.10101.
44.10101.45.11011.46.10011.47.10101.48.11100.49.11100.50.11100.
12. МНОГОТАКТНЫЕ АВТОМАТЫ
12.1. Асинхронный автомат на триггерах типа Т. 1. а) 28; б) 114. 2. а) 34; 6) 74.
3. а) 10; б) 30. 4. а) 113; 6) 33. 5. а) 73; б) 9. 6. а) 29; 6) 115. 7. а) 35; б) 75. 8. а) 11;
6) 31. 9. а) 112; б) 32.10. а) 72; 6) 8.11. а) 34; б) 14.12. а) 26; 6) 37.13. а) 49; б) 35.
14. а) 63; 6) 41.15. а) 68; б) 112.16. а) 98; 6) 126.17. а) 104; б) 117.18. а) 81; 6) 99.
ОТВЕТЫ
497

19. a) 127; б) 105. 20. a) 4; б) 16. 21. a) 40; б) 114. 22. a) 74; б) 23. 23. a) 7; б) 37.
24. a) 93; б) 69. 25. a) 109; б) 6. 26. a) 44; б) 116. 27. a) 102; б) 27. 28. a) 3; б) 33.
29. a) 89; 6)73. 30. a) 26; 6)56. 31. a) 80; 6)60. 32. a) 14; 6)52. 33. a) 38; 6)86.
34. a) 59; 6) 121. 35. a) 75; 6) 33. 36. a) 81; 6) 61. 37. a) 13; 6) 95. 38. a) 37; 6) 85.
39. a) 58; 6) 10. 40. a) 106; 6) 18. 41. a) 31; 6) 21. 42. a) 19; 6) 41. 43. a) 39; 6) 60.
44. a) 59; 6) 49. 45. a) 79; 6) 69. 46. a) 89; 6) 87. 47. a) 109; 6) 107. 48. a) 97; 6) 127.
49. a) 117; 6) 115. 50. a) 9; 6) 7.
12.2. Синтез синхронных автоматов на Т-триггерах. 1. 9,15,12,12. 2. 17,15,
18,11. 3. 14,13,12,15.4. 9,15,12,12. 5. 10,16,11,16.6. 17,15,18,11. 7. 7, 9,13,
7.8. 10, 9,12,15. 9. 5,13,18, 7.10. 13,12,15,16.11. 16,16, 8,11.12. 10, 9, 8,13.
13. 10, 9, 12, 15. 14. 5, 13, 18, 7. 15. 7, 9, 13, 7. 16. 9, 15, 12, 12. 17. 16, 16, 8, 11.
18. 10, 9, 8,13.19. 9,15,12,12. 20. 14,13,12,15. 21. 10,16,11,16. 22. 17,15,18,
11.23. 5,13,18, 7.24. 7, 9,13, 7. 25. 13,12,15,16. 26. 10, 9,12,15.27. 10, 9,8,13.
28. 9,15,12,12.29. 16,16, 8,11.30. 7, 9,13, 7.31. 10,16,11,16.32. 17,15,18,11.
33. 5, 13, 18, 7. 34. 10, 9, 8, 13. 35. 10, 16, 11, 16. 36. 14, 13, 12, 15. 37. 7, 9, 13, 7.
38. 13, 12, 15, 16. 39. 16, 16, 8, 11. 40. 13, 12, 15, 16. 41.17, 15, 18, 11. 42. 5, 13,
18, 7.43. 14,13,12,15.44. 9,15,12,12.45. 16,16, 8,11.46. 10, 9,12,15.47.10, 9,
8, 13. 48. 13, 12, 15, 16. 49. 14, 13, 12, 15. 50. 10, 16, 11, 16.
12.3. Синтез синхронных автоматов на /if-триггерах. 1.6,3,6,5,5,4.2. 6,6,
5, 5, 4, 4. 3. 6, 6, 3, 9, 6, 6. 4. 7, 7, 6, 9, 7, 4. 5. 2, 2, 6, 6, 6, 3. 6. 2, 5, 5, 5, 6, 3. 7. 4,
7, 6, 4, 4, 7. 8. 7, 7, 1, 7, 6, 6. 9. 5, 6, 5, 9, 6, 6. 10. 4, 6, 5, 5, 3, 3. 11. 4, 7, 6, 4, 4, 7.
12. 6, 6, 3, 9, 6, 6. 13. 7, 7, 1, 7, 6, 6. 14. 6, 3, 6, 5, 5, 4. 15. 2, 5, 5, 5, 6, 3.16. 6, 6, 5,
5, 4, 4. 17. 5, 6, 5, 9, 6, 6. 18. 7, 7, 6, 9, 7, 4. 19. 5, 6, 5, 9, 6, 6. 20. 4, 6, 5, 5, 3, 3.
21. 6, 6, 3, 9, 6, 6. 22. 2, 2, 6, 6, 6, 3. 23. 5, 6, 5, 9, 6, 6. 24. 2, 5, 5, 5, 6, 3. 25. 6, 3, 6,
5, 5, 4. 26. 7, 7, 1, 7, 6, 6. 27. 4, 7, 6, 4, 4, 7. 28. 5, 6, 5, 9, 6, 6. 29. 4, 6, 5, 5, 3, 3.
30. 6, 6, 5, 5, 4, 4. 31. 7, 7, 6, 9, 7, 4. 32. 7, 7, 1, 7, 6, 6. 33. 6, 3, 6, 5, 5, 4. 34. 6, 6, 3,
9, 6, 6. 35. 2, 2, 6, 6, 6, 3. 36. 4, 7, 6, 4, 4, 7. 37. 4, 6, 5, 5, 3, 3. 38. 2, 5, 5, 5, 6, 3.
39. 7, 7,1, 7, 6, 6.40. 6, 6, 5, 5, 4, 4.41. 7, 7, 6, 9, 7, 4. 42. 6, 3, 6, 5, 5, 4. 43. 2, 2, 6,
6, 6, 3. 44. 2, 5, 5, 5, 6, 3. 45. 4, 6, 5, 5, 3, 3. 46. 2, 2, 6, 6, 6, 3. 47. 6, 6, 3, 9, 6, 6.
48. 4, 7, 6, 4, 4, 7. 49. 6, 6, 5, 5, 4, 4. 50. 7, 7, 6, 9, 7, 4.
12.4. Анализ синхронного автомата, построенного на Jif-триггерах. 1. 6. 2. 25.
3. 24. 4. 26. 5. 1. 6. 28. 7. 20. 8. 22. 9. 31. 10. 21. 11. 7. 12. 8. 13. 0. 14. 12. 15. 16.
16. 3. 17. 2. 18. 20. 19. 10. 20.19. 21. 3. 22. 2. 23. 27. 24. 0. 25. 11. 26. 25. 27. 28.
28. 14. 29. 9. 30. 5. 31. 3. 32. 13. 33. 4. 34. 11. 35. 10. 36. 20. 37. 9. 38. 21. 39. 28.
40. 15. 41. 14. 42. 9. 43. 0. 44. 25. 45. 4. 46. 22.47. 29. 48. 1.49. 30. 50. 18.
13. КОМБИНАТОРИКА
13.1. Задачи на применение основных формул комбинаторики. 1. а) 93; б) 21:
в) 12000; г) 243; д) 2016; е) 234375; ж) 46875; з)8100. 2. а) 45; 6)29; в) 7200;
г) 20160; д) 156250; е) 125000; ж) 3888; з) 36. 3. а) 93; б) 21; в) 19081; г) 12000
д) 2144; е) 10800; ж) 10624; з) 8736.4. а) 120; 6) 32; в) 162; г) 18900; д) 600; е) 1350
ж) 64800; з) 81250.5. а) 256; б) 386; в) 5040; г) 47040; д) 28125; е) 156250; ж) 16038
з) 32. 6. а) 55; 6) 19; в) 4704; г) 3220; д) 960; е) 125; ж) 48; з) 59049. 7. а) 8; б) 13
в) 336; г) 218750; д) 781250; е) 72; ж) 50000; з) 450.8. а) 5; 6) 16; в) 1680; г) 7875000:
д) 64; е) 1680; ж) 135; з) 4.9. а) 64; б) 476; в) 70560; г) 46; д) 240; е) 243; ж) 57; з) 339
10. а) 210; 6)164; в) 125000; г) 1441; д) 3888; е) 36; ж) 720; з) 12. 11. а) 23; 6)8:
в) 3750; г) 729; д) 6250; е) 215; ж) 45000; з) 500. 12. а) 4; 6) 16; в) 3375; г) 954261
д) 36000; е) 812; ж) 56; з) 100.13. а) 46; б) 52; в) 3125; г) 86; д) 10; е) 144; ж) 1120;
з) 3105. 14. а) 21; 6) 17; в) 2772; г) 7599; д) 29; е) 1875; ж) 90; з) 1094. 15. а) 36;
б) 94; в) 174612; г) 51; д) 1296; е) 1500; ж) 190; з) 93.16. а) 64; 6) 64; в) 37800; г) 20
д) 72; е) 62; ж) 339; з) 270. 17. а) 116; б) 18; в) 625; г) 200; д) 8736; е) 80; ж) 5040:
з) 93. 18. а) 91; 6) 14; в) 160; г) 10800; д) 96; е) 62; ж) 3600; з) 528. 19. а) 94; б) 70
498
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

в) 2640; г) 430; д) 135; е) 729; ж) 300; з) 203. 20. а) 77; б) 36; в) 360; г) 60; д) 36;
е) 90; ж) 147; з) 75. 21. а) 288; б) 29; в) 288; г) 162; д) 729; е) 146; ж) 256; з) 1888.
22. а) 11; б) 21; в) 21600; г) 24; д) 486; е) 319; ж) 100; з) 900. 23. а) 210; б) 176;
в) 4800; г) 1408; д) 0; е) 16934400; ж) 800; з) 0. 24. а) 55; б) 60; в) 3600; г) 1280;
д) 1; е) 96; ж) 1617; з) 32. 25. а) 148; б) 25; в) 4455; г) 1408; д) 1024; е) 55; ж) 5500;
з) 252. 26. а) 130; б) 36; в) 960; г) 0; д) 200; е) 392; ж) 72; з) 6480. 27. а) 64; б) 150;
в) 136; г) 392; д) 1260; е) 18; ж) 336; з) 125. 28. а) 21; б) 3; в) 1080; г) 2016; д) 6;
е) 400; ж) 209; з) 240. 29. а) 99; б) 22; в) 192; г) 960; д) 600; е) 1785; ж) 8256;
з) 125. 30. а) 128; б) 6; в) 120; г) 1200; д) 3240; е) 144; ж) 24; з) 6480. 31. а) 15;
б) 376; в) 358; г) 2500; д) 100; е) 7560; ж) 26460; з) 30. 32. а) 6; б) 18; в) 576;
г) 300; д) 360; е) 40320; ж) 360; з) 8. 33. а) 118; б) 572; в) 6660; г) 31500; д) 96;
е) 16; ж) 640; з) 7203. 34. а) 4; б) 31; в) 7128; г) 26460; д) 1536; е) 16; ж) 640;
з)8403. 35. а) 496; 6)32; в) 36828; г) 16200; д) 7252; е) 30; ж) 13395; з) 16464.
36. а) 28; б) 92; в) 15120; г) 34560; д) 30; е) 2430; ж) 703836; з) 450. 37. а) 10; б) 72;
в) 92; г) 7680; д) 4; е) 198; ж) 500; з) 324. 38. а) 59; б) 22; в) 720; г) 420; д) 9240;
е) 28; ж) 150; з) 146. 39. а) 17; б) 126; в) 996; г) 172; д) 36000; е) 10; ж) 100; з) 203.
40. а) 32; б) 343; в) 1783; г) 1000; д) 1575; е) 56; ж) 34; з) 449.41. а) 27; б) 512; в) 140;
г) 850; д) 781; е) 2100; ж) 64; з) 4200.42. а) 56; б) 64; в) 350; г) 175; д) 189; е) 18816;
ж) 891; з) 3360. 43. а) 16; б) 32; в) 7920; г) 864; д) 624; е) 629; ж) 21504; з) 216.
44. а) 496; б) 87; в) 7488; г) 495; д) 1024; е) 1500; ж) 6318; з) 720. 45. а) 156; б) 210;
в) 19653; г) 168; д) 5040; е) 720; ж) 192; з) 299. 46. а) 4; б) 32; в) 6784; г) 2457;
д) 529200; е) 252; ж) 365; з) 1680. 47. а) 256; б) 2401; в) 512; г) 3105; д) 294; е) 22;
ж) 64; з) 720. 48. а) 784; б) 64; в) 10752; г) 42; д) 147; е) 147; ж) 135; з) 96.49. а) 226;
б) 502; в) 4536; г) 42; д) 90; е) 12348; ж) 28; з) 325. 50. а) 32; б) 256; в) 19520; г) 1680;
д) 14406; е) 7290; ж) 56; з) 35.
13.2. Комбинаторика в теории вероятностей. 1. а) 15/128; б) 1/2; в) 7/12; г) 1/
1980; д)1/20;е) 4/143.2. а)63/256;б)1/10;в)1/6;г)1/9; д)1/3;е) 27/182.3. а)3/
4; б) 1/5; в) 31/70; г) 1/27; д) 7/143; е) 3/7. 4. а) 1/512; б) 8/45; в) 5/12; г) 2/9; д) 27/
143;е) 7/286.5. а)1/6; б) 1/90; в) 1/1024;г) 1/9; д) 13/30;е) 83/143.6.а)1/4;б)5/
18; в)39/748;г) 1/91; д)21/44;е)36/91.7.а)1/9; б)2/9; в)5/6; г) 46/975; д)14/
33; е)40/143. 8.а)1/12; 6)32/1125; в)35/128; г) 1771/2925; д)1/6; е)1/455.
9.а)1/2;б)521/1250; в)1/3;г) 2/9; д) 92/99; е) 101/143.10.а)1/12;6)7/500;в)2/
15;г)7/65; д)189/715;е)126/715.11.а)1/8;б)51/1000;в)1/13;г)4/9; д)7/22;
е) 199/364.12. а)1023/1024;б)7/300;в)1/18;г) 1/24; д) 7/110;е) 24/91.13. а) 1/
36; б) 1/18; в)1/2; г) 761/5850; д)98/99;е)108/715. 14.а)1/4; 6)5/72; в)1/22;
г) 61/91;д)3/22;е) 360/1001.15.а)5/6;б)1/2;в) 8/315;г) 21/650;д)7/44;е) 26/
33.16.а)2/9;6)4/5;в) 5/18;г) 7/975; д) 30/91;е) 1/3.17. а) 17/18;б) 17/90;в)1/
125;г)7/33;д)1/6;е) 31/33.18.а)1/4;6) 8/15;в)6/11;г) 102/299;д)1/99;е)17/
42.19. а) 5/12; б) 5/28; в) 1295/6732;г)1/16;д)2/21;е)7/15.20.а)5/9;6) 37/42;
в)1/105;г) 1/3; д)1/21;е) 29/55. 21. а) 1/36;б) 1/1430;в)64/315;г)1/5;д)2/33;
е) 7/33. 22. а)1/9; б) 5/49; в)102/325;г)21/55; д)14/55;е)1/55. 23.а)3/4; б)1/
25740; в) 266/585;г) 4/9; д)23/60;е) 5/21. 24. а) 1/4; б) 15/28; в) 67/315;г)115/
203; д) 3/5; е) 1/2. 25. а) 5/32; б) 5/54; в) 7/24; г) 3/8; д) 1/2; е) 7/33. 26. а) 15/
256;б) 30/49; в) 1/3960;г) 15/28; д)56/165;е) 26/33.27. а)21/64;6)63/64;в)248/
315;г)19/46; д)1/42;е)56/165. 28.а)1/16; б)216/343; в)7/12; г)2/33; д)329/
330;е) 251/286.29.а)1/2;б) 1/2520;в)133/585;г)1/33;д)4/11;е) 7/33. 30. а) 5/
12;6) 10/21; в) 248/315;г) 27/55; д) 15/1001;е) 204/455.31.а)1/3;б) 3/8; в) 120/
1001; г) 18/143; д)4/143; е)2/91. 32.а)4/9; б)3/7; в)67/315;г)14/99;д) 6/13;
е)33/91.33.а)1/2;б)18/35;в)1/2;г) 5/11; д)29/42;е)7/33.34. а)1/2;6) 91/128;
в)1/12;г) 42/143; д)42/55;е)7/33. 35. а)13/128; б)15/256;в)133/143;г)1/22;
д)9/70;е) 1/2.36. а) 341/1024;6)1/7;в)3/325;г)1/6;д)9/20;е) 1/220.37. а)181/
216;б) 10/21;в)5/6; г) 10/143; д)30/91;е) 4/11.38. а) 11/24;6) 15/176;в)4/2925;
г) 7/99; д) 1/5; е) 44/91. 39. а) 1/36; б) 35/88; в) 0; г) 40/143; д) 133/143; е) 108/
ОТВЕТЫ
499

715. 40.a)1/72; б)1/2860; в)729/2618;г)5/143; д)39/110;е)15/26. 41. а)1/12;
б)1/51480;в)13/14;г)31/91;д)125/143;е)47/91.42. а) 35/128; б) 7/16; в) 5/11;
г) 15/112; д)125/143;е)1/35.43. а) 1/32; б) 525/1364;в)85/143;г) 90/1001;д)3/
1001;е) 5/11.44. а) 35/128;б)5/6; в) 30/143;г) 33/182;д)37/42;е)5/33.45. а)193/
512;б) 1/2048;в)1/374;г) 1/364; д)18/143;е) 165/364.46.а)3/16;б)1/64;в)23/
204;г)19/52; д)60/143;е)89/91. 47.а)5/18; б)1/528; в)45/91; г)36/91; д)45/
91;е) 7/33.48. а) 5/54; б) 9/49; в) 285/1001;г) 17/55;д)20/21;е)3/8. 49. а) 5/72;
б) 1/2; в)76/91; г) 1/105; д)3/8; е) 1/2860. 50.а)7/32; б)5/16; в)8/935;г)4/25;
д)5/32;е) 1/210.
14. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
14.1. Матрица смежности неориентированного графа. 1. а) 3, 1; б) 2, 3; в) 2,
1, 4; г) 5, 6, 7, 8; д) 21; е) 1, 8; ж) 5. 2. а) 3, 3 ; б) 1, 2, 3, 4, 7; в) 0; г) 5, 6, 8; д) 19;
е) 2, 3, 4; ж) 6. 3. а) 2, 3; б) 4, 7; в) 4, 1, 2, 3, 8; г) 5, 6; д) 20; е) 4, 5; ж) 6. 4. а) 4, 2;
б) 1, 4, 6; в) 2, 2, 8; г) 3, 5, 7; д) 19; е) 2, 6, 7; ж) 5. 5. а) 4, 3; б) 5, 7; в) 2, 3, 4; г) 1, 2,
6, 8; д) 20; е) 3, 4, 7; ж) 7. 6. а) 3, 5; б) 1, 4, 6; в) 2, 2, 3; г) 5, 8; д) 17; е) 6, 7; ж) 9.
7. а) 4, 3; б) 3, 5, 6,8; в) 2, 4, 7; г) 2; д) 15; е) 1, 4, 8; ж) 12.8. а) 4, 4; б) 4; в) 4,1,3, 5,
7; г) 2, 6, 8; д) 17; е) 1, 6, 7; ж) 7. 9. а) 1, 4; б) 8; в) 4,1, 3, 4, 6; г) 2, 5, 7; д) 18; е) 1, 6;
ж) 6.10. а) 5,1; б) 3; в) 4, 4, 5, 6, 7; г) 1, 8; д) 18; е) 2, 3; ж) 5.11. а) 4,1; б) 7; в) 4,1,
3, 4, 8; г) 2, 5; д) 17; е) 1, 6; ж) 6.12. а) 1, 4; б) 4, 7; в) 4,1, 3, 5, 6; г) 2, 8; д) 18; е) 1,
5, 6, 7; ж) 7.13. а) 4,1; б) 2, 3, 4, 6; в) 2,1, 7; г) 5, 8; д) 18; е) 2, 4, 6, 8; ж) 6.14. а) 4,
4; б) 2, 8; в) 4,1, 3, 4, 5; г) 6, 7; д) 17; е) 3, 8; ж) 7.15. а) 6,1; б) 3, 6, 7; в) 2, 2, 8; г) 1,
4, 5; д) 17; е) 2, 3, 8; ж) 5.16. а) 4,1; б) 5; в) 4, 2, 3, 6, 8; г) 1, 4, 7; д) 19; е) 2, 4; ж) 5.
17. а) 3,1; б) 1, 2, 3, 6; в) 2, 7, 8; г) 4, 5; д) 19; е) 2, 5; ж) 6.18. а) 3, 4; б) 4, 6; в) 4,1,
2, 7, 8; г) 3, 5; д) 17; е) 1, 7; ж) 7.19. а) 1, 4; б) 1, 3, 4, 5; в) 2, 2, 7; г) 6, 8; д) 18; е) 4,
7; ж) 6. 20. а) 4,1; б) 4; в) 4,1, 2, 6, 7; г) 3, 5, 8; д) 19; е) 4, 6; ж) 5. 21. а) 3,1; б) 1, 4,
5, 6; в) 2, 2, 8; г) 3, 7; д) 19; е) 4, 6; ж) 6. 22. а) 2, 4; б) 3; в) 4, 1, 2, 4, 7; г) 5, 6, 8;
д) 19; е) 2, 4, 7; ж) 5. 23. а) 1, 2; б) 2, 3, 8; в) 2, 4, 5; г) 1, 6, 7; д) 19; е) 2, 8; ж) 5.
24. а) 3, 4; б) 1; в) 6, 2, 3, 4, 5, 6, 8; г) 7; д) 18; е) 2, 8; ж) 6. 25. а) 3, 1; б) 1, 3, 4, 8;
в) 2, 2, 6; г) 5, 7; д) 18; е) 4, 6; ж) 7. 26. а) 3, 1; б) 1, 2, 3, 4; в) 2, 6, 8; г) 5, 7; д) 18;
е) 3, 6; ж) 8. 27. а) 1, 3; б) 6, 7, 8; в) 2,1, 3; г) 2, 5; д) 18; е) 6; ж) 8. 28. а) 1, 4; б) 1, 2;
в) 4, 4, 5, 7, 8; г) 3, 6; д) 17; е) 7; ж) 8. 29. а) 5, 1; б) 4; в) 4, 1, 5, 6, 8; г) 2, 7; д) 18;
е) 1, 4; ж) 5. 30. а) 1, 5; б) 6; в) 4, 2, 3, 7, 8; г) 1, 5; д) 19; е) 5, 6; ж) 4. 31. а) 3,1; б) 1,
3, 5, 6; в) 2, 2, 7; г) 4, 8; д) 18; е) 1, 5; ж) 8. 32. а) 2, 3; б) 4; в) 4, 1, 2, 3, 7; г) 5, 8;
д) 19; е) 4, 6; ж) 4. 33. а) 2, 5; б) 3, 6, 7; в) 2, 1, 2; г) 4, 5; д) 18; е) 3, 8; ж) 5. 34. а) 4,
1; б) 1, 3, 6, 7; в) 2, 2, 8; г) 4, 5; д) 18; е) 1,4; ж) 8. 35. а) 5,1; б) 6; в) 2, 5, 7; г) 1, 3, 4,
8; д) 18; е) 2; ж) 5. 36. а) 6, 1; б) 1, 4; в) 2, 2, 3; г) 5, 6, 7, 8; д) 18; е) 1, 2, 3; ж) 4.
37. а) 1, 4; б) 3, 4, 6; в) 2, 1, 7; г) 2, 5, 8; д) 18; е) 2, 5, 7; ж) 7. 38. а) 1, 5; б) 4; в) 4,1,
2, 5, 8; г) 3, 7; д) 17; е) 1, 6; ж) 6. 39. а) 4, 1; б) 4, 6, 8; в) 2,1, 3; г) 2, 5, 7; д) 18; е) 1;
ж) 6. 40. а) 3,1; б) 1, 3, 5; в) 2, 6, 7; г) 2, 4, 8; д) 19; е) 1, 3; ж) 5. 41. а) 1, 5; б) 1, 7, 8;
в) 4, 1, 3, 7, 8; г) 2, 4, 5; д) 17; е) 6, 8; ж) 7. 42. а) 2, 1; б) 1, 3, 5, 7; в) 2, 2, 4; г) 6, 8;
д) 19; е) 4, 6; ж) 6. 43. а) 1, 6; б) 1, 4, 5; в) 2, 3, 7; г) 2, 6, 8; д) 18; е) 3, 5; ж) 4.
44. а) 1, 4; б) 1, 4, 5, 8; в) 2, 3, 6; г) 2, 7; д) 17; е) 3, 6, 8; ж) 7. 45. а) 1, 3; б) 1, 3, 4, 7;
в) 0; г) 2, 5, 6, 8; д) 20; е) 1, 6, 7; ж) 5. 46. а) 3, 1; б) 1, 2, 4, 6; в) 2, 3, 8; г) 5, 7; д) 19;
е) 4, 6; ж) 7. 47. а) 3, 1; б) 1, 2, 3, 5; в) 2, 4, 6; г) 7, 8; д) 18; е) 2, 7; ж) 6. 48. а) 1, 5;
б) 5, 6; в) 2,1, 8; г) 2, 4, 7; д) 18; е) 1, 3; ж) 5.49. а) 1,4; б) 1,6; в) 4, 2, 4, 7, 8; г) 3, 5;
д) 19; е) 1, 7; ж) 5. 50. а) 1, 3; б) 3, 4, 8; в) 2, 1, 7; г) 2, 5, 6; д) 19; е) 3, 8; ж) 5.
14.2. Матрица инцидентности. 1. а) 3, 1; б) 1, 2, 3; в) 5, 7, 8; г) 4, 6; д) 20; е) 5,
5. 2. а) 3, 3; б) 2, 3, 7; в) 5, 6, 8; г) 1, 4; д) 20; е) 6, 4. 3. а) 2, 4; б) 7; в) 5, 6, 8; г) 1, 3,
4, 7; д) 20; е) 5, 6. 4. а) 3, 2; б) 1; в) 3, 5, 7; г) 2, 4, 6, 8; д) 21; е) 4, 6. 5. а) 5, 3; б) 5;
в) 1, 2, 6, 8; г) 4, 7; д) 20; е) 2, 4. 6. а) 3, 1; б) 1, 7; в) 5, 8; г) 1, 3, 6, 7; д) 18; е) 5, 3.
500
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

7. a) 4, 3; б) 1, 4; в) 2; г) 1, 3, 4, 7; д) 17; е) 3, 6. 8. а) 3, 3; б) 1, 3, 5; в) 2, 6, 8; г) 4, 7;
д) 20; е) 5, 6. 9. а) 2, 4; б) 1, 6, 8; в) 2, 5, 7; г) 3, 4; д) 19; е) 6, 4.10. а) 4, 2; б) 3; в) 1,
6, 8; г) 2, 4, 5, 7; д) 19; е) 3, 5.11. а) 5, 1; б) 6; в) 2, 5, 8; г) 1, 4; д) 18; е) 3, 4.12. а) 3,
1; б) 3, 5; в) 2, 8; г) 1, 4, 6, 7; д) 20; е) 4, 6. 13. а) 3, 2; б) 1, 3; в) 5, 8; г) 2, 4, 6, 7;
д) 20; е) 4, 5.14. а) 4, 3; б) 5, 8; в) 6, 7; г) 1, 2, 3, 4; д) 18; е) 3, 4.15. а) 2,1; б) 6; в) 1,
4, 5; г) 2, 3, 7, 8; д) 18; е) 1, 4. 16. а) 4, 2; б) 3; в) 1, 4, 7; г) 3, 5, 6, 8; д) 20; е) 3, 5.
17. а) 3, 1; б) 1, 3; в) 2, 4, 5, 7; г) 6, 8; д) 21; е) 4, 6. 18. а) 3, 1; б) 1, 2, 4; в) 3, 5, 6;
г) 7, 8; д) 19; е) 4, 6. 19. а) 3, 1; б) 1, 4, 5, 7; в) 6, 8; г) 2, 3; д) 19; е) 5, 6. 20. а) 1, 3;
б) 4, 6; в) 2, 3, 5, 8; г) 1, 7; д) 20; е) 3, 6. 21. а) 2, 3; б) 1, 5; в) 3, 7; г) 2, 4, 6, 8; д) 20;
е) 5, 5. 22. а) 3, 1; б) 2, 3, 4; в) 5, 6, 8; г) 1, 7; д) 20; е) 4, 5. 23. а) 3, 1; б) 2, 3, 8; в) 1,
6, 7; г) 4, 5; д) 19; е) 5, 6. 24. а) 2, 4; б) 1; в) 7; г) 2, 3, 4, 5, 6, 8; д) 18; е) 4, 3. 25. а) 2,
1; б) 1, 3, 4, 8; в) 5, 7; г) 2, 6; д) 18; е) 4, 6. 26. а) 3, 1; б) 1, 3, 4, 6; в) 5, 7; г) 2, 8;
д) 19; е) 4, 4. 27. а) 1, 3; б) 6, 8; в) 2, 5; г) 1, 3, 4, 7; д) 19; е) 5, 5. 28. а) 2, 3; б) 2, 5;
в) 3, 6; г) 1, 4, 7, 8; д) 18; е) 3, 6. 29. а) 5, 1; б) 4; в) 2, 7; г) 1, 5, 6, 8; д) 18; е) 6, 5.
30. а) 4, 2; б) 4; в) 1, 5; г) 2, 3, 4, 6, 7, 8; д) 20; е) 5, 5. 31. а) 2, 1; б) 1, 5; в) 4, 8; г) 2,
3, 6, 7; д) 19; е) 5, 6. 32. а) 2,1; б) 4; в) 5, 8; г) 1, 2, 3, 7; д) 19; е) 6, 6. 33. а) 3, 3; б) 3,
6, 7; в) 1, 4, 5; г) 2, 8; д) 18; е) 5, 4. 34. а) 1, 2; б) 1, 2, 3, 7; в) 4, 5; г) 6, 8; д) 19; е) 4,
6. 35. а) 1, 4; б) 6; в) 1, 3, 4, 8; г) 5, 7; д) 18; е) 6, 4. 36. а) 1, 1; б) 1; в) 5, 6, 7, 8; г) 3,
4; д) 19; е) 2, 6. 37. а) 4, 1; б) 3, 4; в) 2, 5; г) 1, 6, 7, 8; д) 18; е) 4, 5. 38. а) 3, 2; б) 6;
в) 3, 7; г) 1, 2, 5, 8; д) 17; е) 5, 2. 39. а) 4, 1; б) 4, 6, 8; в) 2, 5, 7; г) 1, 3; д) 18; е) 4, 4.
40. а) 1, 1; б) 1, 3, 5; в) 2, 4, 8; г) 6, 7; д) 19; е) 4, 3. 41. а) 4, 1; б) 8; в) 2, 4, 5; г) 1, 3,
6, 7; д) 18; е) 6, 3.42. а) 3, 2; б) 1, 3, 5, 7; в) 6, 8; г) 2, 4; д) 19; е) 4, 6. 43. а) 3, 3; б) 1,
4, 5; в) 2, 6, 8; г) 3, 7; д) 18; е) 4, 6. 44. а) 1, 3; б) 1, 4, 5, 8; в) 2, 7; г) 3, 6; д) 17; е) 3,
4. 45. а) 3, 1; б) 1, 4; в) 2, 5, 6, 8; г) 3, 7; д) 21; е) 4, 6. 46. а) 3, 2; б) 1, 2, 4, 6; в) 5, 7;
г) 3, 8; д) 19; е) 4, 5. 47. а) 3, 1; б) 1, 2, 3, 5; в) 7, 8; г) 4, 6; д) 18; е) 4, 3. 48. а) 1, 3;
б) 5, 6; в) 2, 4, 7; г) 1, 8; д) 18; е) 6, 6. 49. а) 3, 1; б) 1, 6; в) 3, 5; г) 2, 4, 7, 8; д) 19;
е) 5, 6. 50. а) 2, 2; б) 1, 3, 4; в) 2, 5, 8; г) 6, 7; д) 20; е) 4, 5.
14.3. Эйлеровы графы. 1. а) 3,4,5,8; б) 8,3,4,5,7.2. а) 2,5,3,4,8; б) 2,4,6,1,3,5,8.
3. а) 3,4,5,6,1,2,7; б) 1,3,5,7,8.4. а) 6,7,8,3,4,5; б) 4,5,2,3. 5. а) 5,6,1,7; б) 3,5,4,8.
6. а) 1,3,2,4,6; б) 3,6,1,2,4. 7. а) 2,3,5,1,4; б) 4,7,1,3. 8. а) 1,3,4,2,6; б) 6,7,1,2,3.
9. а) 1,7,3,4; б) 1,4,7,3,5. 10. а) 3,7,1,4,6; б) 1,7,2,3. 11. а) 3,5,1,8; б) 3,4,7,8.
12. а) 4,6,1,2; 6)6,7,2,3. 13. а) 5,6,3,4; 6)2,8,4,6. 14. а) 4,2,3,7; 6)5,8,1,4.
15. а) 2,6,1,8; 6) 4,1,2,3. 16. а) 7,1,5,8; б) 4,7,3,6. 17. а) 1,2,5,3,4; б) 3,4,5,8.
18. а) 1,3,4,7,8; 6) 2,7,1,4,8. 19. а) 2,4,6,1,3,7,8; б) 1,3,6,8,2,4,7. 20. а) 3,4,8,5,7;
6) 5,6,7,1,3,8. 21. а) 4,7,1,2; б) 6,7,3,5. 22. а) 1,7,4,8; 6) 1,3,2,4,6. 23. а) 3,6,1,2,4;
б) 2,3,5,1,4. 24. а) 4,7,1,3; 6) 1,3,4,2,6. 25. а) 6,7,2,3,4; б) 4,7,1,3. 26. а) 1,4,7,3,8;
6)3,7,1,4,6. 27. а) 3,5,1,2; 6)3,7,4,8. 28. а) 1,3,5,7; 6)1,6,2,4. 29. а) 6,7,2,3;
6) 7,4,5,8. 30. а) 1,7,3,6; б) 2,4,8,1,3. 31. а) 3,4,6,8; 6) 7,3,4,6,8. 32. а) 1,6,3,4,8;
6)2,5,6,1,3,4,8. 33. а) 3,4,6,8,2,5,7; 6)2,3,6,7,8. 34. а) 5,7,8,3,4,6; 6)4,7,1,3.
35. а) 4,6,7,8; 6) 3,4,5,8. 36. а) 2,3,1,4,6; б) 3,6,1,2,4. 37. а) 2,3,5,4,6; 6) 7,8,3,4.
38. а) 3,4,7,5,6; б) 1,7,3,5,6. 39. а) 7,8,3,5; 6) 4,6,7,2,3. 40. а) 3,7,1,4,6; б) 6,7,3,5.
41. а) 2,3,6,8; 6)3,4,7,8. 42. а) 1,4,5,6; 6)1,6,3,5. 43. а) 1,6,3,4; 6)5,8,1,4.
44. а) 4,3,5,7; б) 3,4,5,8.45. а) 8,1,3,4,5; 6) 1,6,3,4,8.46. а) 1,4,6,2,3,5,8; б) 3,4,5,6,
1,2,7. 47. а) 3,5,7,1,8; б) 1,6,7,3,4,8.48. а) 4,8,2,3; 6) 2,6,7,8.49. а) 3,5,4,8; б) 3,6,
2,4,5. 50. а) 3,5,2,4,7; 6) 3,4,5,7.
14.4. Двойственные графы. 1. 12,7,7.2. 13,8,7.3. 13,7,8.4. 12,7,7.5. 13,7,
8. 6. 12, 6, 8. 7. 12, 6, 8. 8. 10, 5, 7. 9. 12, 6, 8. 10. 13, 7, 8. 11. 11, 5, 8.12. 11, 7, 6.
13. 13, 7, 8.14. 12, 6, 8.15. 11, 5, 8.16. 12, 6, 8.17. 12, 7, 7.18. 11, 5, 8.19. 13, 7, 8.
20. 13, 7, 8. 21.11,6, 7.22. 12, 6, 8.23.13, 7, 8.24. 12, 6, 8. 25. 11, 6, 7.26. 12, 5, 9.
27. 11, 6, 7. 28. 10, 5, 7. 29. 9, 5, 6. 30. 11, 5, 8. 31.10, 5, 7. 32. 11, 6, 7. 33. 13, 6, 9.
34. 11, 6, 7. 35. 13, 6, 9. 36. 12, 7, 7.37. 12, 5, 9.38. 11, 6, 7. 39. 13, 6, 9.40. 10, 4, 8.
41. 10, 5, 7.42. 12, 6, 8.43. 10, 5, 7.44. 12, 5, 9.45. 12, 6, 8.46. 13, 7,8.47. 10, 5, 7.
48. 10, 4, 8. 49. 13, 7, 8. 50. 11, 6, 7.
ОТВЕТЫ
501

14.5. Нахождение всех простых цепей, соединяющих две вершины графа
1. а) 0, 4, 8, 8; б) 2, 5, 4, 5. 2. а) 0, 5, 6, 4; б) 2, 4, 6, 3. 3. а) 4, 4, 2, 0; б) 1, 4, 6, 6
4. а) 1, 3, 6, 6; б) 3, 5, 3, 1. 5. а) 1, 2, 5, 5; б) 1, 4, 7, 5. 6. а) 2, 4, 6, 3; б) 2, 5, 4, 5
7. а) 2, 4, 4, 2; б) 3, 4, 3, 2. 8. а) 2, 5, 4, 3; б) 2, 4, 6, 3. 9. а) 1, 5, 6, 4; б) 2, 5, 4, 5
10. а) 2, 5, 4, ; б) 2, 3, 5, 3. 11. а) 0, 4, 8, 8; б) 2, 5, 4, 5. 12. а) 1, 5, 6, 4; б) 2, 4, 6, 3
б) 3, 5, 3, 1.15. а) 1, 5, 6, 4; б) 1, 4, 7, 5.
б) 4, 4, 2, 0.18. а) 2, 5, 4, 5; б) 1, 5, 6, 4.
б) 2, 3, 5, 3. 21. а) 0, 4, 8, 8; б) 2, 5, 4, 5.
б) 1, 4, 6, 6. 24. а) 1, 3, 6, 6; б) 3, 5, 3, 1.
б) 2, 5, 4, 5. 27. а) 2, 4, 4, 2; б) 4, 4, 2, 0.
б) 3, 4, 3, 2. 30. а) 2, 5, 4, 5; б) 2, 3, 5, 3.
б) 2, 4, 6, 3. 33. а) 3, 4, 3, 2; б) 1, 4, 6, 6.
б) 1, 4, 7, 5. 36. а) 2, 4, 7, 3; б) 2, 5, 4, 5.
б) 1, 5, 6, 4. 39. а) 2, 4, 6, 3; б) 3, 4, 3, 2.
б) 2, 4, 6, 3. 42. а) 3, 5, 3, 1; б) 1, 4, 7, 6.
б) 1, 4, 7, 5. 45. а) 2, 4, 6, 3; б) 2, 5, 4, 5.
б) 2, 5, 4, 5. 48. а) 2, 4, 6, 3; б) 3, 4, 3, 2.
6)3,5,2,1.
13. а) 3, 5, 3, 1; б) 1, 4, 6, 6.14. а) 1, 3, 6, 6
16. а) 2, 4, 6, 3; б) 2, 5, 4, 5.17. а) 2, 5, 5, 1
19. а) 2, 4, 6, 3; б) 4, 4, 2, 0. 20. а) 2, 5, 4, 5
22. а) 1, 5, 6, 4; б) 2, 4, 6, 3. 23. а) 3, 4, 3, 2
25. а) 1, 4, 7, 5; б) 1, 4, 7, 5. 26. а) 2, 4, 6, 3
28. а) 2, 5, 4, 5; б) 1, 5, 7, 4. 29. а) 2, 4, 6, 3
31. а) 0, 4, 8, 8; б) 2, 5, 4, 5. 32. а) 1, 5, 6, 4
34. а) 1, 3, 6, 6; б) 3, 5, 3, 1. 35. а) 1, 4, 7, 5
37. а) 2, 5, 5, 1; б) 4, 4, 2, 0. 38. а) 2, 5, 4, 5
40. а) 2, 4, 4, 4; б) 1, 3, 4, 3. 41. а) 1, 5, 6, 4
43. а) 1, 3, 6, 6; б) 3, 5, 2, 1. 44. а) 1, 2, 5, 5
46. а) 2, 4, 4, 2; б) 3, 5, 3, 1.47. а) 0, 4, 8, 8
49. а) 2, 5, 4, 5; б) 2, 3, 5, 3. 50. а) 2, 4, 6, 3, ^, «, „, ^, х.
14.6. Простые цепи в ориентированном графе. 1. а) 1, 3, 1, 1; б) 2, 2, 1, 1
2. а) 3, 3, 2, 1; б) 1, 3, 2, 1. 3. а) 1, 3, 3, 1; б) 3, 3, 2, 1. 4. а) 1, 3, 3, 1; б) 1, 2, 1, О
5. а) 2, 3, 2, 0; б) 2, 4, 0, 0. 6. а) 2, 3, 2, 0; б) 3, 3, 1, 0. 7. а) 2, 4, 2, 1; б) 1, 4, 2, 1
8. а) 2, 4, 1, 0; б) 4, 2, 0, 0. 9. а) 2, 4, 0, 0; б) 2, 3, 2, 0. 10. а) 0, 3, 2, 1; б) 2, 4, О, О
11. а) 1, 1, 1, 0; б) 2, 1, 1, 0.12. а) 3, 2, 1, 0; б) 1, 2, 3, 1.13. а) 0, 2, 3, 1; б) 3, 3, 1, О
14. а) 1, 2, 0, 0; б) 1, 1, 0, 0.15. а) 2, 4, 1, 0; б) 2, 3, О, 1.16. а) 1, 4, 3, 1; б) 3, 3,1, О
17. а) 2, 3, 2, 0; б) 1, 3,1, 0.18. а) 2, 2, 0, 0; б) 3, 3,1, 0.19. а) 2, 3,1,1; б) 2, 2, 2,1
20. а) 0, 4, 4, 1; б) 2, 3, О, 1. 21. а) 1, 4, 2, 0; б) 2, 3, 2, 0. 22. а) 3, 3, 1, 0; б) 1, 3, 3, 2
23. а) О, 1, 1, 0; б) 2, 2, 1, 1. 24. а) 1, 4, 2, 0; б) 1, 3, 2, 0. 25. а) 2, 2, 1, 1; б) 2, 4, 2, 1
26. а) 0, 3, 3, 1; б) 3, 3, 2, 1. 27. а) 2, 2, 10; б) 1, 4, 2, 1. 28. а) 2, 4, 2, 0; б) 3, 2, 1, О
29. а) 2, 3, 0,1; б) 2, 3, 0,1. 30. а) 1, 5, 2, 0; б) 1, 0, 0, 0. 31. а) 3, 2,1, 0; б) 1, 2, 2,1
32. а) 1,1,1,1; б) 2, 3, 2,1. 33. а) 1, 3, 3,1; б) 1,1, 0, 0. 34. а) 2,1, 3,1; б) 2, 3,1,1
35. а) 1, 2, 2, 1; б) 2, 3, 0, 0. 36. а) 0, 3, 4, 2; б) 1, 3, 1, 1. 37. а) 1, 3, 1, 0; б) 2, 2, О, О
38. а) 2, 2, 0, 0; б) 1, 2,1,1. 39. а) 1,1,1, 0; б) 3,1, 0, 0. 40. а) 0, 2, 2, 2; б) 1, 2, О, О
41. а) 1, 5, 2, 0; б) 1, 2, 1, 1. 42. а) 2, 2, 1, 1; б) 0, 2, 1, 0. 43. а) 1, 3, 2, 2; б) 3, 3, О, О
44. а) 1, 4, 3, 1; б) О, 1, 0, 0. 45. а) 2, 2, 1, 1; б) 1, 3, 2, 1. 46. а) 2, 2, 1, 1; б) 2, 2, 10
47. а) 2, 3, 1, 0; б) 1, 3, 1, 1. 48. а) 1, 2, 1, 2; б) О, 1, 2, 0. 49. а) 1, 2, 1, 1; б) 2, 2, 2, 1
50. а) 0, 3,4, 2; б) 2, 3,2,0.
14.7. Кодирование деревьев методом Пруфера. 1. а) 256585698; б) 436587745
2. а) 474126236; 6)432181478. 3. а) 489641236; 6)258963255. 4. а) 164987147
6)321881458. 5. а) 449641236; 6)265588258. 6. а) 146558855; 6)258892369
7. а) 434684678; 6)156489419. 8. а) 169112356; 6)153891123. 9. а) 123585678
6)438765344. 10. а) 211967888; 6)532148844. 11. а) 171123567; 6)434688648
12. а) 214648888;6) 435678848.13. а) 456598855;б) 278632852.14. а) 238741123
6)274634123. 15. а) 629821478; 6)456987455. 16. а) 128912369; 6)674165125
17. а) 229214789;б) 456586585.18. а) 612585656;б) 456789655.19. а) 456588744
6)294188521. 20. а) 122896332; 6)241296632. 21. а) 472236987; 6)456569874
22. а) 287412632;б) 445963325.23. а) 272896332;б) 456548554.24. а) 434853254
6)456987455. 25. а) 258566236; 6)214965441. 26. а) 146987455; 6)214498874
27. а) 236498774;б)585896321.28. а) 476321741;б) 225498774.29. а) 436498774
6)225856552. 30. а) 227657452; 6)278963254. 31. а) 894967699; 6)256982118
32. а) 654312321;б)543281299.33. а) 876542432;б) 876543492.34. а) 678124329
6)854894329. 35. а) 276542432; 6)894968698. 36. а) 369832981; 6)948456781
37. а) 351979345;б)239567876.38. а) 321677187;б) 215677187.39. а) 788123456
6)543218197. 40. а) 834567787; 6)218577956. 41. а) 432171876; 6)395919459
502
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

42. a) 839559799;б)591234599.43. a) 625825678;б) 489421654.44. a) 461294234;
6)412892349. 45. a) 484321678; 6)528876123. 46. a) 647894432; 6)123834589.
47. a)476324214;6)658853254.48. a) 635834589;6) 258216789.49. a) 969832189;
6)247894432.50.a) 834765454;6) 237646543.
14.8. Построение дерева по его коду. 1. а) 5, 4; 6) 3, 5. 2. а) 6, 5; 6) 4, 2. 3. а) 7,
6; 6) 3,1.4. а) 3,1; 6) 5, 6. 5. а) 3, 5; 6) 1, 5.6. а) 5, 4; 6) 5, 2. 7. а) 4, 4; 6) 4, 2.8. а) 8,
6; 6) 2, 2. 9. а) 3, 3; 6) 7, 1. 10. а) 5, 6; 6) 3, 4. 11. а) 5, 4; 6) 4, 4. 12. а) 6, 2; 6) 3, 5.
13. а) 4, 2; 6) 2, 5.14. а) 6, 4; 6) 1, 5.15. а) 3, 2; 6) 1, 8.16. а) 8, 5; 6) 2, 3.17. а) 8, 7;
6) 3, 3. 18. а) 1, 6; 6) 2, 6. 19. а) 4, 3; 6) 5, 3. 20. а) 2, 5; 6) 6, 3. 21. а) 6, 4; 6) 4, 3.
22. а) 7, 6; 6) 4, 3. 23. а) 4, 2; 6) 4, 1. 24. а) 5, 2; 6) 1, 1. 25. а) 4, 5; 6) 4, 4. 26. а) 2, 5;
6) 1, 4. 27. а) 6, 4; 6) 2, 2. 28. а) 4, 2; 6) 1, 5. 29. а) 5, 3; 6) 6, 2. 30. а) 3, 4; 6) 6, 1.
31. а) 6, 2; 6) 2, 5. 32. а) 2, 3; 6) 5, 1. 33. а) 6, 3; 6) 3, 1. 34. а) 6, 5; 6) 5, 2. 35. а) 6, 2;
6) 2, 4. 36. а) 2, 4; 6) 1, 6. 37. а) 4, 4; 6) 2, 1. 38. а) 7, 3; 6) 1, 5. 39. а) 2, 3; 6) 1, 7.
40. а) 3, 7; 6) 2, 4. 41. а) 4, 3; 6) 1, 5. 42. а) 1, 5; 6) 1, 3. 43. а) 2, 3; 6) 6, 1. 44. а) 2, 5;
6) 3, 5. 45. а) 2, 7; 6) 2, 5. 46. а) 2, 7; 6) 4, 2. 47. а) 2, 4; 6) 4, 4. 48. а) 2, 7; 6) 2, 3.
49. а) 7, 7; 6) 1, 3. 50. а) 1, 8; 6) 2, 2.
15. ОТВЕТЫ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
15.1. Элементы теории множеств
1. В несколько упрощенном виде актуальную бесконечность можно соотнести
с множеством, содержащим бесконечно много элементов и рассматривать это
множество как вполне определенный объект. Потенциальная же бесконечность
рассматривается как процесс неограниченного увеличения числа элементов
множества.
2. Обычно множества делят на конечные и бесконечные. Среди конечных
множеств выделяют пустое множество (в нем нет ни одного элемента), обозначаемое
знаком 0.
3. Натуральными называют целые положительные числа, образующиеся в
процессе счета каких-либо объектов: 1, 2, 3, ...
4. Натуральный ряд — это упорядоченная последовательность натуральных
чисел, расположенных в порядке возрастания слева направо. Каждое следующее
число в натуральном ряду на единицу больше предыдущего: 1,2,3,4, 5,6, ...
5. Обычно счет с нуля не начинается, поэтому число нуль к натуральным не
относится. Однако в литературе можно встретить публикации, авторы которых
полагают, что нуль является натуральным числом.
6. Простыми называются натуральные числа, имеющие два различных
делителя: самого себя и единицу. Например: 2, 3, 5, 7 и т. д.
7. Множество всех неотрицательных целых чисел можно разделить на
четыре непересекающихся класса. Первый класс образует единственное число
нуль: у него бесконечно много делителей. Второй класс образует также
единственное число. Это единица. К третьему классу относятся числа, каждое из
которых имеет точно два различных делителя. Это простые числа. В четвертый
класс входят все остальные целые числа. Они характеризуются тем, что
каждое из них имеет более двух делителей. Таким образом, число 1 простым не
является.
8. Обычно, когда требуется задать множество перечислением его элементов,
применяют фигурные скобки, в которых записывают элементы множества,
отделяя их одно от другого запятыми. Например: {1, 11, 123}.
9. Кардинальным числом конечного множества называется число,
показывающее, сколько элементов содержит это множество. Для обозначения кардинального
ОТВЕТЫ
503

числа обычно применяют две вертикальные черты, между которыми указывают
множество. Например:
|Р| = |{0,а,ав,122}| = 4.
10. Синглетон — это множество, содержащее точно один элемент. Например:
{а}, {3}, {май}, {3257} и др. Кардинальное число синглетона равно единице:
|{а}| = |{3}| = |{май}|-|{8257}| = 1.
11. При помощи формы множество обычно записывают следующим образом:
А = {х\Р(х)},
где х — не является элементом множества А. Это переменная, которая может
принимать любые значения, а Р(х) — правило (форма), указывающее, какие
значения х принадлежат множеству А и какие не принадлежат. Например,
множество десятичных цифр можно задать следующим образом:
А = {х\0 < х < 9 л х — целое положительное число},
где справа от вертикальной черты указано правило Р(х). Читается запись так:
«множество А — это все те значения лс, которые больше нуля или равны ему, но не
превышают 9 и являются целыми положительными числами». Знак л обозначает союз И.
12. Принцип объемности заключается в том, что два множества считаются
равными только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов [26,
с. 28]. При этом порядок записи элементов не имеет значения. Например: {1,7,
16} = {16, 1,7}.
13. Принцип абстракции состоит в том, что форма Р(х) в записи множества
А = {х | Р(х)} определяет множество тех и только тех элементов, для которых Р(х)
является истинным утверждением [26, с. 29]. Например, формула вида
А = {х 12х л х — натуральное число}
задает множество четных натуральных чисел. Здесь запись справа от черты
обозначает форму Р(х). Переменная х может принимать любые значения, целые,
дробные, положительные, отрицательные, но согласно заданной форме в
множество А войдут только четные натуральные числа.
14. Когда требуется указать, что элемент а принадлежит множеству Р,
применяют знак принадлежности е: а е Р. Читается: «а есть элемент множества Р»,
или «элемент а принадлежит множеству Р». Если элемент а не принадлежит
множеству Р, то пишут: а £ Р.
15. Запись 0 * {0} верна, так как слева приведено пустое множество (не
содержащее ни одного элемента), в то время как справа записан синглетон. Он
содержит один элемент и этим элементом является пустое множество. Запись 0 = {0}
является неправильной.
16. Кардинальное число пустого множества равно нулю: |0| = 0.
Кардинальное число синглетона равно единице, например: |{0}| = 1.
17. Множество Р называется подмножеством множества Q, если все элементы
множества Р одновременно являются и элементами множество Q. Например, если
Р = {1,2,3} и Q = {1,2, 3,4, 5},
то Р cz Q (множество Р является подмножеством Q), где «а» — знак включения.
18. Булеан множества Р это множество всех его подмножеств. Например, бу-
леан множества Р = {1, 2, 3, 4} имеет вид:
В(Р) = {0, {4}, {3}, {3, 4}, {2}, {2, 4}, {2, 3}, {2, 3, 4},
{1}, {1, 4}, {1, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}},
где В(Р) — булеан множества Р = {1, 2, 3, 4}.
504
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Если п — число элементов множества Р, то число элементов его булеана
равно 2п. Синглетон — это одноэлементное множество. Так как п = 1, то 21 = 2, т. е.
булеан синглетона состоит из двух элементов: пустого множества и самого синг-
летона. Пустое множество содержит 0 элементов (п = 0). Следовательно, его
булеан состоит из одного элемента — пустого множества.
19. Ответ приведен в подразделе 1.1 данного сборника.
20. Универсальным называют такое множество, все элементы которого
участвуют в данном рассуждении. Обычно универсальное множество считается
заданным.
21. Ответ приведен в подразделе 1.1 данного сборника.
22. Формулы поглощения и склеивания имеют вид соответственно:
P\JPClQ = P; PnQUPf1Q = P.
23. Законы (теоремы) де Моргана:
а) дополнение пересечения есть объединение дополнений: Р f] Q = Р |J Q;
б) дополнение объединения есть пересечение дополнений: Р U Q = Р П Q-
15.2. Алгебра логики (булева алгебра)
24. Высказывание — это повествовательное предложение, по смысловому
содержанию которого можно сказать, истинно оно или ложно.
25. Аксиомы алгебры логики:
а) для конъюнкции: 0*0 = 0; 0*1 = 0; 1-0 = 0; 1*1 = 1;
б) для дизъюнкции: 0 + 0 = 0;0 + 1 = 1; 1 + 0=1; 1 + 1 = 1;
в) для инверсии: Т = 0; 0 = 1.
26. Теоремы одной переменной:
А + 0=А; А+1 = 1; А+А=А± А + А==1;
А 0 = 0; А1=А; АА = А; А • А = 0; А = А.
27. Теоремы склеивания в булевой алгебре:
а) для ДНФ: АВ + АВ = А; для КНФ: (А + В)(А + В) = А.
Теоремы поглощения:
а) для ДНФ: А + АВ = А; для КНФ: А(А + В) = А.
28. Дизъюнктивная форма теоремы де Моргана А + В = АВ; конъюнктивная
форма теоремы де Моргана А • В = А + В.
29. В общем случае функция — это некоторое правило (закон), согласно
которому каждому элементу множества X, представляющего собой область значений
независимой переменной х, ставится в соответствие определенный элемент
множества F, где под множеством F понимается область значений зависимой
переменной /.
В булевой алгебре правилом, при помощи которого задается функция, может
служить любая логическая формула, например:
/(А, Б, С) = АВ + С.
Символом /(А, Б, С) здесь обозначена двоичная функция, в скобках указаны
двоичные переменные, от которых эта функция зависит. Аргументы —
независимые переменные, они могут принимать значения либо 0, либо 1. Функция же
/ — зависимая переменная. Ее значение определяется значениями переменных и
логическими связями между ними.
30. Всякая булева функция п переменных может быть представлена в виде
таблицы истинности (соответствия), в которой перечислены 2п наборов значений
ОТВЕТЫ
505

переменных, и в отдельной колонке для каждого набора указано, чему равна
функция, нулю, единице или не определена.
31. Если в заданную логическую формулу вместо всех ее букв подставить нули
или единицы, то после выполнения соответствующих логических операций
получим результат также в виде нуля или единицы. Такие наборы нулей и единиц
обычно называют наборами значений переменных или просто наборами. Если
п — число переменных, то всего существует 2п наборов их значений. При записи
наборов буквы можно не указывать, если заранее договориться о порядке
расположения переменных. Обычно применяется алфавитный порядок букв. Тогда
вместо громоздкой записи
А=1, Б = 0, С = 0, D=\
можно ограничиться двоичной последовательностью 1001, которая легко
расшифровывается, если двоичным разрядам поставить в соответствие переменные в
алфавитном порядке:
1001
ABCD,
откуда видно, что А = 1,Б = 0,С = 0,1>=1.
Вместо двоичных записей можно пользоваться десятичными числами, если
двоичные л-значные последовательности, обозначающие наборы, рассматривать
как двоичные числа. По десятичному номеру также легко найти значения
переменных. Для этого десятичное число достаточно представить в виде двоичного
кода длины п, где п — число переменных. Например, если п = 4, то пятый набор
имеет вид 0101, шестой — ОНО, седьмой — 0111 и т. д.
32. Минимальный терм (сокращенно минтерм) это такая конъюнкция п
переменных, в которую каждая переменная входит один раз в прямой или
инверсной форме. Если минтерм нанести на карту Вейча п переменных, то на ней
окажется точно одна единица, а все остальные 2" - 1 клеток будут заняты нулями.
Обозначаются минтермы буквой т с десятичным индексом — номером минтер-
ма. Двоичный эквивалент номера минтерма — это набор значений аргументов,
на котором минтерм равен единице. Всего существует 2" минтермов п
аргументов, столько же, сколько строк содержится в таблице истинности п
переменных. Например, в случае трех аргументов А, В, С всего существует восемь мин-
термов:
jtiq = ABC, тх = ABC, т2 = ABC, т3 = АВСУ
тА = ABC, тъ = ABC, т6 = ABC, т7 = ABC.
Максимальный терм (сокращенно макстерм) — это дизъюнкция п
переменных, в которую каждая переменная входит один раз в прямой или инверсной
форме. Если макстерм нанести на карту Вейча, то на ней окажется 2п - 1 единиц
и один нуль. Число возможных макстермов равно 2" (как и минтермов).
Обозначаются макстермы знаком Mt, где i - индекс, определяемый так же, как и в
случае минтерма (i = 0, 1, 2, ..., 2" - 1).
33. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это
представление булевой функции в виде дизъюнкции минтермов. Например, пусть в
таблице истинности трех переменных А, Б, С единицы стоят в строках с номерами 0,
1, 3, 5 и 6. Это значит, что:
т0 = ABC, mY = АВСУ т3 = ABC, тъ = ABC, т6 = ABC.
Их дизъюнкция есть искомая СДНФ:
f(A, В, С) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC.
506
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

34. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это
представление булевой функции в виде произведения макстермов. Обратимся к
предыдущей функции. СДНФ ее инверсии имеет вид
Т(А, Б, С) = ABC + ABC + ABC.
Проинвертируем это выражение и в результате получим СКНФ:
/(А, Б, С) = (А + В + С)(А + Б + С)(А + Б + С).
35. Алгебраическое упрощение булевых функций, заданных в ДНФ или КНФ,
сводится к применению теорем одного аргумента, а также теорем склеивания и
поглощения.
Например, упростим функцию:
f = A+ АВ +ВС+АС.
Слагаемое А поглощает конъюнкцию АС, следовательно, дизъюнкцию А + АС
можно заменить буквой А. Тогда число вхождений аргументов уменьшается до
пяти:
f = А + АВ + ВС + АС = А(1 + С) + АВ + ВС = А + АВ + ВС.
Аргумент А умножимна единицу, тождество от этого не нарушится. Затем
единицу заменим на Б + Б и аргумент А умножим на дизъюнкцию В + В. После
этого раскроем скобки и добавим конъюнкцию АВ:
f = A + AB + BC = Al + AB + BC =
= А(В + В) + АВ + ВС = АВ + АВ + АВ + ВС =
= АВ + АВ + АВ + АВ + ВС.
Первая и вторая конъюнкции последнего выражения склеиваются, а также
третья и четвертая:
/ = А(В + Б) + В(А + А) + ВС = А + В + ВС.
К сумме Б + ВС применима теорема поглощения. Окончательно получаем
/ = А + Б + БС=А + Б(1 + С)=А + Б.
Это минимальная форма заданной функции.
36. Пусть булева функция представлена в СДНФ. Всякое подмножество ее
минтермов, объединенных знаками дизъюнкции, называется импликантой этой
функции. Если k — число минтермов, то число импликант равно 2*.
37. Основу метода Квайна составляет теорема (операция) склеивания,
применяемая к каждой паре минтермов. Если минтермы склеиваются, то их общую
часть записывают в отдельный список. Все минтермы, к которым применимой
оказалась теорема склеивания, каким-либо образом отмечаются. К полученному
отдельному списку снова применяется теорема склеивания и в нем отмечаются
конъюнкции, к которым теорема склеивания оказалась применимой. Если
конъюнкции склеиваются, то их общую часть записывают во второй список. К
конъюнкциям второго списка снова применяется теорема склеивания и т. д.
Операции заканчиваются, когда не останется ни одной пары склеивающихся
конъюнкций. Все не отмеченные минтермы, а также не отмеченные конъюнкции второго,
третьего и других списков соединяем знаками дизъюнкции. Получится
сокращенная ДНФ заданной функции.
38. Всякая конъюнкция сокращенной ДНФ называется простой импликантой.
39. Функция, заданная в ДНФ, может быть представлена в совершенной,
сокращенной, тупиковой и минимальной формах.
ОТВЕТЫ
507

40. Функция, заданная в КНФ, может быть представлена, как и в случае ДНФ,
в совершенной, сокращенной, тупиковой и минимальной формах.
41. Неполностью определенными называются функции, содержащие наборы
значений переменных, на которых значение функции является безразличным.
42. Если булева функция не определена на р наборах, то существует 2Р
различных способов ее аналитического представления в СДНФ. Столько же
существует способов представления функции в СКНФ.
43. Формы называются нормальными в следующих случаях:
а) если они имеют вид / = 0 или / = 1;
б) если они представлены отдельным аргументом или его инверсией, при этом
аргумент не является функцией других аргументов. Например:
/ = А, / = Б, / = a, / = р
и т. д.;
в) если они представлены в виде суммы (дизъюнкции) отдельных аргументов,
взятых в прямой или инверсной форме, например:
/ = А + В + С;
г) если они представлены в виде конъюнкции нескольких аргументов,
взятых в прямой или инверсной форме, например:
/ = ABCD;
д) если они представлены в виде дизъюнкции конъюнкций, например:
/ = АВ + BD + С,
или конъюнкции дизъюнкций:
/ = (А + В + С)(А + B)D.
Во всех остальных случаях выражения относятся к формам высших порядков.
44. Если в минимальной ДНФ содержатся повторяющиеся переменные, то их
можно вынести за скобки. Число вхождений переменных при этом уменьшается
и в болынтнстве случаев повышается порядок записи функции. Та форма,
которая среди форм высших порядков содержит наименьшее число вхождений
переменных, называется абсолютно минимальной.
45. Булева функция п аргументов называется симметрической, если она
инвариантна относительно всякой перестановки этих аргументов (симметричность
здесь рассматриваются только относительно неинверсных переменных).
Примеры симметрических функций:
fi(A, Б, С) = AC + BCj АВ\__
/2(А, Б, С) = АВС_+ ABC + ABC;
/3(А, Б, С) = ВС + АВ + АС;
/4(А, Б, С) = (А + В + С)(А + В + С).
46. Симметрическая функция может быть задана любым из способов,
которыми задаются вообще все булевы функции. Но, кроме того, всякая
симметрическая функция может быть задана перечислением а-чисел (рабочих чисел), где а-
число показывает, сколько переменных должны быть равными единице, чтобы
функция приняла единичное значение. Например, а-числа функции /i(A, Б, С)
из предыдущего списка равны 1 и 2;
47. Если в перечне а-чисел содержится хотя бы два числа, разность которых
равна единице, то соответствующая симметрическая функция, представленная в
СДНФ, может быть минимизирована в смысле Квайна, т. е. в ней имеются
склеивающиеся минтермы и ее минимальная ДНФ содержит меньшее число вхожде-
508
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ний переменных по сравнению с СДНФ. При отсутствии же а-чисел с разностью,
равной единице, СДНФ соответствующей симметрической функции совпадает с
сокращенной, тупиковой и минимальной формами.
48. Пусть даны две симметрические функции Д и /2, зависящие от одних и
тех же переменных, и заданные множествами а-чисел Р и Q соответственно.
Тогда дизъюнкцией функций /\ и /2 является симметрическая функция с а-числами
из множества Р U Q, а конъюнкция этих функций есть симметрическая функция
с а-числами из множества Р П Q. Инверсию функции /\ образуют а-числа из
множества Р. Аналогично инверсию функции /2 образуют а-числа из множества Q,
Например, пусть
/i = Slt2,*(A> Б, С, D), h = S2,3,4(A, Б, С, D),
где буквой S обозначена симметрическая функция, а ее индексами являются а-
числа. Тогда
Р = {1,2,3}; Q = {2,3,4}; P\J Q = {1, 2, 3, 4};
PflQ = {2,3}; Р={0,4}; Q={0,1},
и в результате выполнения операций над симметрическими функциями
получаем следующие выражения:
Slt2,3(A, Б, С, D) + S2,3,4(A, Б, С, D) = S^-j^A, Б, С, D);
Slt2,3(A, В^С, D) S2tSA(A, Я, С, D) = S2t3(A, Б, С, D);
S12t3(A, Б, С, D) = S0i4(A, Б, С, D);
52Д4(А, Б, С, D) = S01(A, Б, С, D).
49. Пусть дана функция п переменных. Запишем в строку все возможные
минтермы, которые можно составить из этих п переменных, упорядочив минтермы
по возрастанию их индексов. Отметим единицами минтермы, входящие в
заданную функцию, а все остальные минтермы обозначим нулями. Получим число из
2" двоичных знаков. Это число называется изображающим числом заданной
функции. Например, пусть дана функция
/(А, Б, С) = АВ + ABC + ABC.
Найдем ее изображающее число:
01234567 — номера минтермов трех переменных;
01010011 — изображающее число заданной функции.
Таким образом, изображающее число имеет вид 0101 ООН. Его можно
представить в шестнадцатеричной системе счисления: 53.
50. Логические операции над изображающими числами выполняются
поразрядно на основе системы аксиом булевой алгебры (см. подраздел 15.2 раздела
«Ответы»). Например, пусть даны две функции /\(А, Б, С) и /2(А, Б, С),
представленные изображающими числами:
#Д(А, Б, С) = 1 0 1 0 1 1 0; #/2(А, Б, С) = 0 0 1 1 0 1 0,
где знак # обозначает изображающее число. Найдем изображающие числа
дизъюнкции, конъюнкции и инверсии этих функций:
а) сложим поразрядно знаки соответствующих разрядов изображающих
чисел согласно аксиомам дизъюнкции:
1010110 — изображающее число функции /\(А, Б, С);
0011010 — изображающее число функции /2(А, Б, С);
1011110 — изображающее число функции /i(A, Б, С) + /2(А, Б, С);
б) аналогично выполним операции для конъюнкции:
1010110 — изображающее число функции fi(A9 Б, С);
0011010 — изображающее число функции /2(А, Б, С);
ОТВЕТЫ
509

0010010 — изображающее число функции f\(A, Б, C)-f2(A> Б, С);
в) выполним операцию инверсии для функции/^А, Б, С):
1010110 — изображающее число функции /\(А, Б, С);
0101001 — изображающее число функции /Х(А, Б, С).
51. Ответ см. в подразделе 10.1 данного сборника.
52. Если известны веса а19 а2, ..., ап пороговой функции, то в общем случае
пороговая величина Т может меняться в пределах от нуля до суммы всех весов:
л
0 <Т < X а,,
п '=1
и может принимать X а, + 1 различных значений.
53. Нет. Представление пороговой функции наборами весов и значением
пороговой величины является неоднозначным. Это следует из того, что
[alf а2, ..., ап; Г] = [kaly ka2, ..., kan; kT],
где k - натуральное число.
54. Да. Все пороговые функции относятся к классу монотонных функций,
характеризующихся тем, что их минимальные ДНФ не содержат инверсных
переменных.
55. Да. Всякая пороговая функция, представленная в минимальной КНФ, так
же как и в случае минимальной ДНФ, не содержит инверсных переменных.
56. Функция называется мажоритарной, если ее веса а19 а2> ..., ап равны
единице, а порог определяется формулой
т - п~^
2 '
где п — число аргументов мажоритарной функции. Из этого определения
следует, что мажоритарная функция равна единице в том случае, если большинство ее
аргументов принимают единичное значение. Пусть п = 3. Тогда мажоритарная
функция принимает вид
/=[1,1,1;1].
Она равна единице на четырех наборах значений аргументов: 011, 101, 110,
111 и равна нулю на остальных четырех наборах: 000, 001, 010, 100.
Минимальная ДНФ ее имеет вид
/{А^, А2у А3) = AYA2 + AYA3 + A^^.
57. Нет. Все мажоритарные пороговые функции являются монотонными, а
всякая монотонная булева функция, представленная в минимальной ДНФ, не
содержит инверсных переменных.
58. Мажоритарная функция п переменных принимает единичное значение
на 2Л-1 наборах значений переменных.
15.3. Теория конечных автоматов
59. В цифровой вычислительной технике комбинационной называется схема
(структура) из логических элементов (главными из них являются элементы И,
ИЛИ, НЕ, реализующие операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии
соответственно), предназначенная для преобразования входных двоичных кодов в
выходные. Выходные коды логической структуры полностью определяются
комбинациями входных двоичных сигналов. Это значит, что в самой структуре нет
никаких запоминающих элементов, которые могли бы привести к различной
реакции логической схемы на одни и те же комбинации входных сигналов. Именно
этот факт и отражен в названии «комбинационная схема».
510
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

60. Логическая схема с одним выходом, не содержащая в своей структуре
запоминающих элементов, является частным случаем преобразователя входных
двоичных кодов в выходные, поэтому также относится к классу
комбинационных схем.
61. Физический смысл операции суперпозиции применительно к логическим
элементам И, ИЛИ, НЕ состоит в том, что их входы можно подключать не только
к выходам триггеров, моделирующих логические переменные, но и к выходам
любых логических элементов.
62. Весовые коды задаются при помощи следующего полинома:
N = anqn + an_iqnl + an_2q"~2 + ... + axql + a0q°.
Коэффициенты апУ an-l9 ..., a0, стоящие перед степенями, изображают цифры
системы счисления, число q — ее основание, д' — вес i-ro разряда (i = 0, 1, 2, ...,
п). Количество цифр при основании q равно д, т. е. каждый из коэффициентов
может принимать значения 0, 1, 2, 3, ..., q - 1. Если q= 10, то коэффициенты
могут принимать десять значений 0, 1, 2, 3, ..., 9 (десятичная система).
Основание двоичной системы равно двум, следовательно, в ней имеется только две
цифры: 0 и 1.
В общем случае весами двоичных кодов могут быть любые числа, а не только
степени числа 2. Перевод таких кодов в привычную для нас десятичную систему
основан на суммировании весов, которым соответствуют единицы в двоичных
кодах. Например, пусть пятизначные веса заданы числами 1, 4, 1, 3, 6. Тогда
двоичный код 10010 в десятичной системе равен: 1 + 3 = 4, коду 01011
соответствует десятичный эквивалент 4 + 3 + 6 = 13ит.д.
63. В отличие от весовых невесовые коды задаются таблицами, где
перечисляются двоичные комбинации и каждой из них ставится в соответствие
кодируемое десятичное число, либо при помощи какого-либо правила (функции),
однозначно ставящего каждому входному коду определенный выходной код.
64. Код «2 из 5» — это название способа кодирования десятичных цифр
невесовыми пятизначными двоичными кодами, в каждом из которых содержится две
единицы и три нуля. Кодирование десятичных цифр осуществляется при
помощи таблиц.
65. Главная особенность рефлексного кода: если ими закодировать,
например, десятичные цифры, расположенные в порядке возрастания, то каждые два
соседних кода будут отличаться один от другого только в одном разряде.
Примером может служить последовательность вида 0000, 1000,1001,1101,1100,1110,
ОНО, 0100, 0101, 0001. Эта последовательность замкнута: первый и последний
коды отличаются также в одном разряде.
66. При построении контактных структур на основе булевых функций
логические операции и двоичные переменные интерпретируются следующим образом:
а) контактным элементам (это могут быть электромагнитные реле, кнопки,
тумблеры и др.) ставятся в соответствие логические переменные;
б) операции конъюнкции соответствует последовательное соединение
контактов;
в) операции дизъюнкции соответствует параллельное соединение контактов;
г) операции инверсии соответствует нормально замкнутый контакт. Слово
«нормально» говорит о том, что контакт замкнут при не нажатой кнопке. То же
самое относится к реле: в выключенном состоянии его контакт замкнут.
67. В комбинационных схемах выходные сигналы меняются практически
одновременно с входными, так как время, которое проходит с момента изменения
входного сигнала до соответствующего изменения выходного сигнала,
определяется лишь переходными процессами. В этих схемах информация не
запоминается и не участвует в преобразовании сигналов, поступающих на вход схемы в более
ОТВЕТЫ
511

поздние моменты времени, поэтому всякая комбинационная схема на один и тот
же сигнал реагирует одинаково независимо от того, какая информация
поступала на вход схемы до подачи данного сигнала.
В многотактных автоматах содержатся запоминающие элементы. В
определенные моменты времени (называемые тактами) они меняют свои состояния с
приходом входных сигналов и совместно с ними участвуют в преобразовании
входной информации. Это значит, что одним и тем же входным сигналам могут
соответствовать различные выходные коды в зависимости от того, какая информация
поступала на вход схемы в прежние такты.
68. Простейший триггер типа RS, построенный на элементах Шеффера,
имеет два установочных входа: R — нулевой и S — единичный. При R = О и S = 1
триггер устанавливается в нулевое состояние (на прямом выходе - низкий
уровень напряжения). При R = 1 и S = 0 триггер устанавливается в единичное
состояние (на прямом выходе — высокий уровень напряжения). При R = 1 и S = 1
триггер хранит свое состояние. Случай, когда R = 0 и S = 0 является
запрещенным, так как при этом на обоих выходах — прямом и инверсном — будут высокие
уровни. Это нерабочее состояние AS-триггера.
69. Главное назначение AS-триггеров — физическое моделирование
логических переменных. В комбинационных схемах из них строят двоичные регистры,
при помощи которых на входы комбинационной схемы подаются значения
логических переменных, т. е. комбинации нулей и единиц.
70. В многотактных автоматах обычно применяются прямоугольные по
форме импульсы. При этом следует иметь в виду, что прямоугольность импульсов —
это только теоретическая идеализация, так как на практике прямоугольные
импульсы невозможны, поскольку фронты, т. е. моменты перехода напряжения с
одного уровня на другой, также занимают какое-то время, которое в принципе
невозможно свести к нулю.
71. В синхронных автоматах триггеры меняют свои состояния не
произвольно, а только в определенные моменты времени, задаваемые генератором
тактовых (прямоугольных по форме) импульсов. Если в соответствии с логикой
работы автомата в противоположное состояние должны переходить два и более
триггеров, то происходит это строго одновременно. В асинхронных автоматах
смена состояний триггеров не строго задается тактовым генератором, вследствие
чего триггеры меняют состояния не одновременно, а последовательно, один за
другим.
72. Если на установочные входы R и S триггера типа Т поданы высокие
уровни напряжения, то триггер меняет свои состояния под действием отрицательных
фронтов входных прямоугольных импульсов (т. е. в моменты перехода
напряжения входного импульса с высокого уровня на низкий). На положительные
фронты (т. е. на переходы напряжения входного импульса с низкого уровня на
высокий) триггер не реагирует.
73. Триггер типа J К имеет установочные входы R и S, два управляющих
входа: J — единичный вход, К — нулевой вход, и вход С для подачи
синхронизирующих импульсов (синхровход). Если R = S = 1, то:
а) при J = 1, К = 0 синхроимпульс переводит триггер J К в единичное
состояние независимо от того, в каком состоянии находился триггер до подачи импульса;
б) если J = 0, К = 1, то синхроимпульс переводит триггер в нулевое состояние
независимо от предыдущего;
в) если J = К = 0, то при подаче импульсов на синхровход триггер не меняет
свое состояние. Это режим хранения информации;
г) при J = К = 1 триггер превращается в Г-триггер, счетным входом которого
является синхровход, т. е. при J = К = 1 с каждым импульсом триггер меняет
свое состояние на противоположное.
512
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

74. В общем случае конечный автомат А — это множество вида
A = {X9Y9Q,q(t)9y(t)}.
В этой формуле обозначено: X — множество букв входного алфавита. Обычно
в автоматах дискретного действия информация представляется в двоичном коде.
При этом входные сигналы могут поступать в виде л-разрядных двоичных чисел
(п = 1, 2, 3, ...) одновременно по п двоичным входам. Всего существует 2п таких
чисел. В связи с этим говорят, что множество X, насчитывающее N <2п двоичных
чисел, образует входной алфавит:
А = {Х^у Х2У Х3у ..., Xtffy
где х{ — i-я буква входного алфавита (i = 1, 2, 3, ..., N); У — множество букв
выходного алфавита. Если выходным является m-значное двоичное число, то
выходной алфавит образует множество У, содержащее М < 2т чисел:
где у} — у-я буква выходного алфавита (у = 1, 2, 3, ..., М).
Закон, по которому изменяется состояние выхода, называют функцией вы-
ХОД°В: y(t) = 4>[q(t-l),x(t)],
где t — дискретное время (t = 0, 1, 2, ...), представляющее собой моменты
тактовых импульсов, совпадающие, например, с отрицательным фронтом; x(t) —
состояние входного сигнала в момент времени t; q(t - 1) — состояние автомата в
предыдущий такт; q — множество внутренних состояний, если автомат имеет
память в виде некоторого набора триггеров. Под действием синхроимпульсов
триггеры переходят из одного состояния в другое. Закон q(t), по которому триггеры
меняют свои состояния, называют функцией переходов:
q(t) = f[Q(t- 1), *(*)]-
75. Общей моделью автоматов Мили и Мура является множество
A = {XyYyQ,q(t)yy(t)}y
где X — множество букв входного алфавита; У — множество букв выходного
алфавита; Q — множество внутренних состояний; q(t) — функция переходов; у (t) —
функция выходов. Отличаются автоматы друг от друга только элементом y(t).
Если для автомата Мили выражение y(t) имеет вид
y(t) = 4>[q(t-l),x(t)]y
то в случае автомата Мура
y(t) = 4>[q(t-l)]y
т. е. функция выходов y(t) автомата Мура определяется только его внутренними
состояниями.
15.4. Комбинаторика
76. Факториалом называют произведение первых п чисел натурального ряда
1-2-3-4-5-...- л и обозначают:
1 2 3 4 5 ... п = п\
11, Правильным является выражение 0! = 1.
78. Основное правило комбинаторики: если один элемент множества А может
быть выбран п способами, а после него второй элемент — т способами, то выбор
ОТВЕТЫ
513

того и другого элемента в заданном порядке может быть осуществлен N
способами, где
N = пт.
В общем случае если один элемент множества Ах можно выбрать [Aj
способами, элемент множества А2 - \А2\ способами и так далее до множества Ап, один
элемент которого можно выбрать \Ап\ способами, то выбрать п элементов в
заданном порядке можно К способами, где
К = \А1\-\А2\:..-\АЛ\.
79. Если элемент множества Рх может быть выбран |РХ| способами, а элемент
множества Р2 - |Р2| способами, то при Рх П Р2 = 0 выбор «либо элемент множества
Pi, либо элемент множества Р2» может быть осуществлен |РХ| + |Р2| способами.
Если Pi П Рг * 0» то правило суммы принимает вид
1ЛиР2| = 1Л1 + 1^2НЛПР2|.
В случае трех множеств правило суммы имеет вид
|Pi U Р2 U Р3\ = 1Л U Р2\ + \Рз\ ~ 1(Л U Р2) П Р,| =
= |Р,| + \Р2\ - |р, П Р2\ + \Рз\ - 1Л П Р3 U Р2 П Р3\ =
= |Р,| + |Р2| - |Р, П Р2| + |PJ - (|Р, П Р3| +1^2 П Р,| - 1Л П Р2 П Р,|) =
= |Р,| + |Р2| + |Р3| - 1Л П Р2| - 1Л Л Р3\ - \Р2 П Р3| + |Л П Р2 П Pal-
Для четырех множеств получаем аналогично:
1Л U Р2 U Р3 U Р4| = |Р,| + |Р2| + \Рз\ + W -
- |Pj П Р2| - |Pj П Р3| - |Р, П Р41 - |Р2 П Р3| - |Р2 П Р4| - \Р, П Л1 +
+ |Р1ПР2ПРз1 + |Р,ПР2ПР4| + |Р1ПРзПР41 + |Р2ПРзПР4|-
-|p,np2np3np4|.
В случае п множеств правило суммы имеет вид
1Л U P2 U... U Р„\ = |Р,| + |Р2| + ... + |РП| - (|Р, П Р2| + |Pi П Р3| +
... + |Р„_, ПР„|) + (|Р, ПР2 ПР3| + |Pi ПР2 ПР4| +
... + |Р„_2ПРп-1ПР„|)-... + (-1)"-,|Р1ПР2П...ПРл|.
80. Основные формулы комбинаторики:
а) Рп = л! — число перестановок без повторений;
б) число перестановок с повторениями: Рп = —-—^—% =-*—, где л. — число
Л1!л2!...лл!
неразличимых элементов, входящих в выборку; (i = 1, 2, 3, ..., &);
в) А?1 = т г-г — число размещений из п элементов по т без повторений;
(п — т)\
г) А™ = пт — число размещений из п элементов по т с повторениями;
д) С™ = п—- — число сочетаний без повторений;
(п - т)\т\
/ , 1 \ f
е) С™ = С^+ш_1 = C^lm-i = —( уг-г—j- — число сочетаний с повторениями.
81. Порядок записи элементов безразличен в формулах для числа сочетаний
без повторений и числа сочетаний с повторениями. В формулах для числа
перестановок и размещений с повторениями и без повторений порядок записи
элементов учитывается.
82. Да. Если в формуле для числа перестановок с повторениями Рп =
(7*1 + Л2 +... + Пк)\ л „ (1 + 1 + ... + 1)! ,.
= —Г~1 ! принять /*! = п2 = ... = nk = 1, то получим: Рп = у ——L- = k\y
Щ ! 7Ц !.. .Tlh I 11 11 ... 1!
514
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

где k — число единиц в числителе и в знаменателе. Так как в этом случае п = ky то
получаем формулу для числа перестановок без повторений: Рп = п\
83. Да. Если в формуле для числа размещений без повторений А™ = -—-——
(п - т)\
принять п = Шу то получим формулу для числа перестановок с повторениями:
лгп = п\ =rd = n].= l
^ (т-т)\ О! 1
84. Если т - число единиц в л-значном двоичном числе, то всего существует
п\
С" = СГ
(п - т)\т\
таких чисел, которые могут начинаться с нуля.
85. Пусть в л-значном двоичном числе содержится т единиц, нигде рядом не
стоящих, и при этом числа могут начинаться с нуля. Тогда общее количество
таких чисел можно определить по формуле
Ст = (п-т + 1)1
n"m+1 ml(n-2m + l)\'
86. Если в урне п белых шаров и т черных и наугад вынимают k шаров, то
вероятность того, что среди наугад выбранных будет q белых шаров и k - q
черных равна:
15.5. Теория графов
87. Граф называется простым, если любые две его вершины соединены не
более чем одним ребром и каждое ребро соединяет различные вершины, т. е. в
графе нет петель.
Граф, содержащий петли или кратные ребра (или то и другое), называется
псевдографом.
Псевдограф без петель называется мультиграфом.
Если к простому графу G добавить одну вершину и соединить ее каким-либо
образом с вершинами заданного графа, то получится надграф графа G.
Если из графа G удалить одну или несколько вершин, то будут удалены и
выходящие из них ребра. Оставшиеся вершины и ребра образуют подграф G'графа G.
Удалить из графа G можно и все вершины. Граф, не содержащий вершин,
называется пустым графом.
Если в графе G все вершины оставить на своих местах и удалить одно или
несколько ребер, то получится частичный граф.
Из графа G можно удалить и все ребра. Тогда останется граф, состоящий
только из изолированных вершин. Граф, в котором нет ни одного ребра, называется
нуль-графом.
88. Две вершины графа называются смежными, если они соединены
ребром. Два ребра графа называются смежными, если выходят из одной и той же
вершины.
Вершина и ребро называются инцидентными, если ребро выходит из этой
вершины.
Число ребер, выходящих из вершины, называется степенью этой вершины.
Вершина называется четной, если из нее выходит четное число ребер. Если же
из вершины выходит нечетное число ребер, то такая вершина называется
нечетной.
ОТВЕТЫ
515

89. Граф называется однородным, если в нем одинаковы степени всех его
вершин.
Граф называется полным, если в нем каждые две вершины соединены точно
одним ребром.
90. Пусть дан некоторый граф G. Построим на его вершинах полный граф,
а затем из полного графа удалим все те ребра, которые входят в заданный граф G.
Получившийся граф G называют дополнением заданного графа до полного.
91. Пусть даны два помеченных графа Gx и G2 (т. е. с пронумерованными
вершинами). Если вершинам и, и vjy соединенным ребром в графе Gl9 соответствуют
те же вершины, соединенные ребром в графе G2, и если вершинам v( и Vj, не
соединенным ребром в графе Glf соответствуют те же вершины, не соединенные ребром
в графе G2(i, j = 1, 2, ..., л, где п — число вершин), то такие графы называются
изоморфными. Иначе говоря, графы Gx и G2 являются изоморфными, если между
множествами их вершин существует взаимно однозначное соответствие и при
этом сохраняется смежность.
92. Согласно [38, с. 26] маршрутом в графе G называется чередующаяся
последовательность вершин и ребер, начинающаяся и оканчивающаяся вершиной,
где каждое ребро инцидентно двум вершинам, одна из которых непосредственно
предшествует ребру, а другая непосредственно следует за ним. Маршрут
называется цепью, если все входящие в него ребра различны. Цепь называется простой,
если в вершинном ее представлении в ней нет повторяющихся вершин.
Замкнутая простая цепь, состоящая не менее чем из трех ребер, называется простым
циклом.
93. Граф называется связным, если каждые две его вершины соединены
простой цепью.
94. Компонентой связности графа G называется несобственный связный
подграф G', который не является собственным подграфом никакого другого
связного подграфа графа G. Число компонент графа G называется степенью
связности.
95. Граф называется эйлеровым, если в нем нет нечетных вершин. Граф
называется полуэйлеровым, если в нем содержится точно две нечетные вершины.
96. Линия называется уникурсальной, если ее можно провести, не
отрывая карандаш от бумаги и проходя по каждому участку точно по одному
разу. Применительно к эйлеровым графам провести уникурсальную линию - это
значит пройти по всем ребрам графа по одному разу, не отрывая карандаш от
бумаги. Разомкнутая уникурсальная линия всегда начинается с нечетной
вершины и заканчивается в другой нечетной вершине.
97. Граф называется гамильтоновым, если в нем содержится цикл,
проходящий точно по одному разу через каждую вершину графа.
98. Согласно [34] задача о коммивояжере формулируется следующим
образом: «Коммивояжер желает посетить п определенных городов; как он должен
двигаться, чтобы заехать в каждый из них хотя бы один раз, проделав путь
наименьшей общей длины». По второй формулировке «он обязан побывать в каждом
пункте в точности по одному разу и заинтересован затратить на поездку как
можно меньше времени [2]. Отличие этих формулировок в том, что в первом случае
коммивояжер может посещать города неоднократно, а во втором — точно по
одному разу.
99. Пусть множество V вершин графа G состоит из двух непустых множеств Vx
и V2 так, что V =V1{jV2nV1f]V2 = 0. Если каждое ребро графа G соединяет
некоторую вершину множества Vx с какой-либо вершиной множества V2> то такой
граф называется двудольным. Двудольный граф называется полным, если
каждая вершина множества V1 соединена с каждой вершиной множества V2.
516
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

100. Граф называется плоским, если его ребра пересекаются только в
вершинах. Граф называется планарным, если у него есть плоское изображение.
101. Теорема Эйлера о плоских графах: если п — число вершин связного
плоского графа, г — число его ребер ид — число граней, то
л+ д = г+2.
102. Гомеоморфизм (грен, homois — подобный, одинаковый и morphe — вид,
форма) — это взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между
двумя топологическими пространствами. Например, гомеоморфными являются
такие геометрические фигуры, как окружность, квадрат, треугольник,
прямоугольник, эллипс, трапеция, многоугольник, так как путем деформации (без
разрывов) каждая из них может быть преобразована в другую: скруглив углы
квадрата, можем получить круг, эллипс или овал; изогнув под некоторым углом
стороны треугольника, получим многоугольник и т. д. Гомеоморфными являются
поверхности шара, параллелепипеда, пирамиды, призмы, додекаэдра,
эллипсоида и др.
Гомеоморфными могут быть и графы. Два графа являются гомеоморфными,
если в результате применения операции надразбиения ребер получаются
изоморфные графы. Операция надразбиения заключается в замене двух ребер,
инцидентных какой-либо вершине со степенью 2, одним ребром. Иначе говоря, если
вершина имеет степень, равную двум, то в результате операции надразбиения эта
вершина удаляется, а инцидентные ей ребра соединяются и превращаются в одно
ребро.
103. Критерий Понтрягина—Куратовского: граф является планарным только
в том случае, если он не содержит подграфов, гомеоморфных графам G5 и G33.
Здесь G5 — это полный граф на пяти вершинах, G33 — полный двудольный граф
на шести вершинах, где каждая доля состоит из трех вершин.
104. Связный граф без циклов называется деревом. Несвязный граф без
циклов называется лесом.
105. Пусть требуется раскрасить вершины графа так, чтобы каждое ребро
соединяло вершины разного цвета. Наименьшее число красок, удовлетворяющих
этому условию, называется хроматическим числом графа.
106. Гипотезой четырех красок называется утверждение о том, что
хроматическое число всякого планарного графа без петель не больше четырех.
107. Дугой называется ориентированное ребро в виде линии,
оканчивающейся стрелкой. Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным
графом или орграфом.
108. Степени вершин орграфа определяются с учетом того, сколько дуг
входит в каждую вершину и сколько выходит. Степень входа p(i)BX i-й вершины
равна числу входящих в нее дуг. Степень выхода р(0вых 1-и вершины равна числу
выходящих из нее дуг.
109. Если в орграфе п вершин, то число К его дуг равно:
п п
I Р(0вх + I Р(0вых
v - Ы Ы
Степени входа и выхода орграфа обладают свойством: сумма степеней входа
всех вершин равна сумме степеней выхода всех вершин, т. е.
п п
XpWbx =Xp(0ew.r-
1=1 г=1
ОТВЕТЫ
517

110. Если в орграфе все дуги заменить ребрами, то получится граф,
называемый основанием данного орграфа. Орграф называется слабо связным, если его
основанием является связный граф. Орграф называется несвязным, если число
компонент его основания превышает единицу.
Орграф на п вершинах называется сильно связным, если существует
простая ориентированная цепь, соединяющая любые две его вершины vt и Vj ( iy
у =1,2, ...,л).
111. Турнир — это полный ориентированный орграф. Два турнира с одним и
тем же числом вершин отличаются один от другого только ориентацией дуг.
Поставим в соответствие каждой дуге двоичный разряд. Тогда всякому турниру
будет соответствовать двоичное число длины С% . Следовательно, общее число S
турниров равно числу всех возможных С% -значных двоичных кодов:
9 л(л-1)
S = 2е* = 2"з~,
где п — число вершин турнира. Например, если п = 4, то турниров существует
2е? = 26 = 64.
112. Если п — число вершин первой доли орграфа, т — число вершин второй
доли, то всего существует 2пт полных двудольных орграфов.
518
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ЛИТЕРАТУРА
1. Акимов О. Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О. Е. Акимов. —
М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. — 376 с.
2. Березина Л. Ю. Графы и их применение / Л.Ю. Березина. — М.: Просвещение,
1979.— 143 с.
3. БохманнД. Двоичные динамические системы /Д. Бохманн, X. Постхоф. — М.:
Энергоатомиздат, 1986. — 400 с.
4. Виленкин Н. Я. Комбинаторика / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, П. А.
Виленкин. — М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. — 400 с.
5. Гаврилов Г. П. Сборник задач по дискретной математике / Г. П. Гаврилов,
А. А. Сапоженко. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
6. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах / С. Г. Гиндикин. — М.: Наука,
1972.— 288 с.
7. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов / В. М. Глушков. — М.: Физматгиз,
1962. —476 с.
8. Горбатов В. А. Дискретная математика / В. А. Горбатов, А. В. Горбатов,
М. В. Горбатова. — М.: ACT: Астрель, 2003. — 447 с.
9. Горелик А. Л. Методы распознавания / А. Л. Горелик, В. А. Скрипкин. — М.:
Высшая школа, 1977. — 222 с.
10. Ежов И. И. Элементы комбинаторики / И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Яд-
ренко. — М.: Наука, 1977. — 80 с.
11. Ершов Ю. Л. Математическая логика / Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. — СПб.:
Лань, 2005. — 336 с.
12. Ивин А. А. Логика: Элементарный курс /А. А. Ивин. — М.: Гардарики, 2001. —
224 с.
13. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех / Е. И. Игнатьев. —
Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995. — 616 с.
14. КалбертсонД. Т. Математика и логика цифровых устройств /Д. Т. Калбертсон. —
М.: Просвещение, 1965. — 267 с.
15. Клини С. К. Математическая логика / С. К. Клини. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. —
480 с.
16. Колдуэлл С. Логический синтез релейных устройств / С. Колдуэлл. — М.: ИЛ,
1962.— 737 с.
17. Курбатов В. И. Логика в вопросах и ответах / В. И. Курбатов. — Ростов н/Д:
Феникс, 1997. — 384 с.
18. Лавров И. А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов / И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. — М.: Физматлит, 2002. — 256 с.
ЛИТЕРАТУРА
519

19. Магазинчиков Л. И. Курс лекций по теории вероятностей (для
автоматизированной технологии обучения) / Л. И. Магазинников. — Томск: Изд-во Том. гос.
ун-та, 1989. — 212 с.
20. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций / С. С. Марченков. — М.:
Физматлит, 2000. — 128 с.
21. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для менеджера в
примерах и упражнениях / Г. И. Москинова. — М.: Логос, 2003. — 240 с.
22. Нефедов В. Н. Курс дискретной математики / В. Н. Нефедов, В. А. Осипова. —
М.: Изд-во МАИ, 1992. — 264 с.
23. Пешков К. И. Множества. Отношения. Числа. Величины / К. И. Нешков,
А. М. Пышкало, В. Н. Рудницкая. — М.: Просвещение, 1978. — 63 с.
24. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов / Ф. А. Новиков. —
СПб.: Питер, 2003. — 304 с.
25. Оре О. Графы и их применение / О. Оре. — М.: Мир, 1965. — 174 с.
26. Палий И. А. Дискретная математика. Курс лекций / И. А. Палий. — М.: Экс-
мо, 2008. — 352 с.
27. Плотников А. Д. Дискретная математика / А. Д. Плотников. — М.: Новое
знание, 2005. — 288 с.
28. Романовский И. В. Дискретный анализ / И. В. Романовский. — СПб.: Невский
диалект, 2000. — 240 с.
29. Сборник упражнений по логике / Под ред. А. С. Клевчени. — Минск: Изд-во
БГУ, 1977. — 128 с.
30. Смыслова З.А. Математическая логика и ее приложения / 3. А. Смыслова. —
Томск: Изд-во Том. гос. акад. систем упр. и радиоэлектроники, 1994. — 111с.
31. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Сов.
энциклопедия, 1985. — 1600 с.
32. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории / Р. Р. Столл. — М.:
Просвещение, 1968. — 231 с.
33. Судоплатов С. В. Математическая логика и теория алгоритмов / С. В. Судоплатов,
Е. В. Овчинникова. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-воНГТУ, 2008. — 224 с.
34. Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р. Уилсон. — М.: Мир, 1977. — 207 с.
35. ФистерМ. Логическое проектирование цифровых вычислительных машин/
М. Фистер. — Киев: Техника, 1964. — 384 с.
36. Фор Р. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени-Папен. — М.:
Мир, 1966. — 271 с.
37. Фудзисава Т. Математика для радиоинженеров: Теория дискретных структур /
Т. Фудзисава, Т. Касами. — М.: Радио и связь, 1984. — 240 с.
38. Харари Ф. Теория графов / Ф. Харари. — М.: КомКнига, 2006. — 296 с.
39. Харари Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер. — М.: Мир, 1977. —
324 с.
40. Чебурахин И. Ф. Синтез дискретных управляющих систем и математическое
моделирование: теория, алгоритмы, программы / И. Ф. Чебурахин. — М.:
Физматлит, 2004. — 248 с.
41. ШалытоА. А. Логическое управление. Методы аппаратной и программной
реализации алгоритмов / А. А. Шалыто. — СПб.: Наука, 2000. — 780 с.
42. Шевелев М. Ю. Технические средства контроля знаний для систем
автоматизированного обучения / М. Ю. Шевелев, Ю. П. Шевелев. — Томск: Изд-во Ин-та
оптики атмосферы СО РАН, 2006. — 234 с.
43. Шевелев Ю. П. Дискретная математика / Ю. П. Шевелев. — СПб.: Лань, 2008. —
592 с.
44. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. — М.:
Высш. шк., 2003. — 384 с.
45. Яшин Б. Л. Задачи и упражнения по логике / Б. Л. Яшин. — М.: Гуманит. изд.
центр ВЛАДОС, 1996. — 224 с.
520
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
1. Элементы теории множеств 10
1.1. Основные операции над множествами 10
1.2. Подмножества 18
1.3. Диаграммы Венна 30
1.4. Отношения включения 38
2. Булевы функции 43
2.1. Нормальные формы булевых функций 43
2.2. Разложение булевых формул по теореме Шеннона 57
2.3. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы
булевых функций 63
2.4. Метод Квайна. Сокращенные ДНФ 70
2.5. Метод Петрика 75
2.6. Сокращенные КНФ 82
3. Применение карт Вейча для минимизации булевых формул 87
3.1. Минимизация в классе ДНФ булевых функций,
заданных в СДНФ 87
3.2. Минимизация в классе КНФ булевых функций,
заданных в СДНФ 96
3.3. Минимизация в классе нормальных форм 101
3.4. ДНФ, КНФ и формы высших порядков 106
3.5. Минимизация в классе ДНФ
с учетом неопределенных состояний 117
3.6. Минимизация в классе КНФ
с учетом неопределенных состояний 125
4. Симметрические булевы функции 134
4.1. Распознавание симметрических булевых функций 134
4.2. Операции над симметрическими функциями 148
5. Алгебра Жегалкина 151
5.1. Операция «неравнозначно» (сумма по модулю 2) 151
5.2. Представление булевых формул
в виде полинома Жегалкина 163
521

5.3. Представление полинома Жегалкина
в минимальной ДНФ 167
6. Операция импликации 175
6.1. Преобразование формул, содержащих операцию
импликации 175
6.2. Тавтологии 178
7. Булевы дифференциальное и интегральное исчисления 186
7.1. Остаточные функции 186
7.2. Дифференцирование булевых функций
подстановкой наборов значений переменных 195
7.3. Аналитическое дифференцирование
булевых функций 199
7.4. Интегрирование булевых функций 202
8. Функциональная полнота системы булевых функций
(теорема Поста) 208
8.1. Функционально замкнутые классы булевых функций 208
8.2. Функционально полные системы 229
9. Числовое представление
булевых функций 256
9.1. Изображающие числа булевых функций 256
9.2. Минимизация в классе ДНФ булевых функций,
заданных изображающими числами 261
9.3. Решение булевых уравнений
с помощью изображающих чисел 263
10. Пороговые функции 272
10.1. Представление пороговых функций в виде ДНФ 272
10.2. Представление пороговых функций в виде КНФ 274
11. Комбинационные схемы 276
11.1. Диодно-резисторные схемы —
основа логических элементов 276
11.2. Синтез комбинационных схем 283
11.3. Синтез комбинационного преобразователя кодов 290
11.4. Анализ логических схем 293
11.5. Анализ преобразователя двоичных кодов 306
11.6. Логические схемы на элементах Шеффера 309
12. Многотактные автоматы 313
12.1. Асинхронный автомат на триггерах типа Т 313
12.2. Синтез синхронных автоматов на Т-триггерах 317
12.3. Синтез синхронных автоматов на Jif-триггерах 321
12.4. Анализ синхронного автомата,
построенного на JiiL-триггерах 326
13. Комбинаторика 332
13.1. Задачи на применение основных формул комбинаторики. . . . 332
13.2. Комбинаторика в теории вероятностей 371
522
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

14. Теория графов 397
14.1. Матрица смежности неориентированного графа 397
14.2. Матрица инцидентности 411
14.3. Эйлеровы графы 424
14.4. Двойственные графы 451
14.5. Нахождение всех простых цепей,
соединяющих две вершины графа 454
14.6. Простые цепи в ориентированном графе 460
14.7. Кодирование деревьев методом Пруфера 466
14.8. Построение дерева по его коду 473
15. Дополнительные вопросы 479
15.1. Элементы теории множеств 479
15.2. Алгебра логики (булева алгебра) 480
15.3. Теория конечных автоматов 481
15.4. Комбинаторика 481
15.5. Теория графов 482
Ответы 483
Литература 519
СОДЕРЖАНИЕ
523

Юрий Павлович ШЕВЕЛЕВ
Людмила Анатольевна ПИСАРЕНКО
Михаил Юрьевич ШЕВЕЛЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(для практических занятий в группах)
Учебное пособие
Зав. редакцией физико-математической
литературы О. Ю. Краснокутская
Верстка М. И. Хетерели
Выпускающие Н. В. Черезова, О. И. Смирнова
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5.
Тел./факс: (812) 412-29-35, 412-05-97, 412-92-72.
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
Подписано в печать 24.12.12.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 70 '100 '/„
Печать офсетная. Усл. п. л. 42,90. Тираж 1500 экз.
Заказ N°
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных материалов в ГУП ЧР "ИПК "Чувашия"
Мининформполитики Чувашии
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, д. 13
Тел.:(8352)56-00-23