Author: Лихтарников Л.М. Сукачева Т.Г.
Tags: физико-математические науки математика
ISBN: 5-8114-0082-9
Year: 1999
Text
Л.М. Лuхтарнuков
Т. r. Сукачева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
!
.,
КУРС ЛЕКЦИЙ
.,
ЗАААЧНИК ПРАКТИКУМ
И РЕШЕНИЯ
.,
O
#
a
"
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ, Т. r. СУКАЧЕВА
МА ТЕМА ТИ Ч ЕСКАЯ
лоrИКА
.
КУРС ЛЕКЦИЙ
.
ЗАДАЧНИК ПРАКТИКУМ
И РЕШЕНИЯ
.
Рекомендовано Мннистерством
общеrо и профессионопьноrо оброзовония
Российской Федероции
в кочестве учебноrо пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучаЮЩИХСR по Математическим специальностям
dJIIb
Санкт Петербурr
1999
ББК 22
Л55
Лихтарников Л. М.. Сукачева Т. r.
Л 55 Математическая лоrика. Курс лекций. 3адачник црактикум
и решения. Серия 4 Учебники для вузов. Специальная литерату
раl) / Оформление обложки С. Л. Шапиро. А. А. алексенко.
СПб.: Издательство 4Ланы. 1999. 288 с.
ISBN 5 8114 0082 9
Vчебное пособие предназначено дли студентов университетов и педа-
rоrических институтов, изучающих курс математической лоrики.
ББК22
Охраняется 38коиом рф об авторском праве.
Воспроизведение всей кииrи или .пюбой ее части
38прещаетсл без письмениоro разреmения издатеJШ.
Любые иопьrrки нарymеНИЯ38КОиа
будут преCJIедоваТЬCJI в судебном порядке.
@ Издательс'1'ВО «Ланы, 1999
@ Л. М. ЛИХ'1'арников
Т.r.Сукачева,1998
@ Издательс'l'ВО .Лань.,
художественное оформление, 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие .Математическая лоrИКIJ
Курс лекций и задачник практикум. предназначено дл
студентов университетов и педаrоrических ИНСТИТУТОЕ
изучающих математическую лоrику.
Оно состоит из двух частей.
Часть первая .Курс лекций по математической лс
rике. включает в себя теоретическ:ий материал по pa
делам:
1. Алrебра лоrики.
2. Исчисление высказываний.
3. Лоrика предикатов.
4. Математические теории.
5. Алrоритмы.
Часть вторая .Задачник-практикум по математичес
кой лоrике. содержит набор упражнений почти по все!
перечисленным разделам.
В зависимости от содержания проrрамм курса маТЕ
матической лоrики на конкретных специальностях, 01
дельные разделы пособия Moryт быть исключены из рас
смотрения (например. исчисление высказываний, маТЕ
матические теории), а из друrих разделов использован
лишь часть материала.
Учитывая, что в отдельных случаях студентам треб
ется лишь .Задачник-практикум., в каждом ero раздел
при водится минимум теоретических сведений необходи
мых для решения предлаrаемых задач.
Студенты математических специальностей универ
ситетов и педаrоrических институтов материалы разде
лов 1, 3 и 5 MOryт впоследствии использовать в подrОТОБ
ке школьноrо факультативноrо курса .Элементы мате
матической лоrики..
6
Курс лекций по математической ЛО2ике
малодоступных человеческому мышлению. и это. Ко-
нечно. расширило область лоrических исследований.
К концу XIX столетия актуальное значение для мате-
матИКИ приобрели вопросы обоснования ее основных по-
нятий И идей. Эти задачи имели лоrическую природу
и. естественно. привели к дальнейшему развитию мате-
матической лоrики. В этом отношении показательны
работы немецкоrо математика r. Фреrе (1848 1925) и
итальянскоrо математика д. Пеано (1858 1932), кото-
рые применили математическую лоrику для обоснова-
ния арифметики и теории множеств.
Особенности математическоrо мышления объясняют-
ся особенностями математических абстракций и MHoro-
образием их взаимосвязей. Они отражаются в лоrичес-
кой систематизации математики, в доказательстве ма-
тематических теорем. В связи с этим современную мате-
матическую лоrику определяют как раздел математи-
ки, посвященный изучению математических доказа-
тельств и вопросов оснований математики.
Одной из основных причин развития математической
лоrики является широкое распространение аксиоматичес-
KOro метода в построении различных математических те-
орий, в первую очередь, reометрии, а затем арифметики,
теории rрупп и т. д.
В аксиоматичесКОМ построении математической тео-
рии предварительно выбирается некоторая система неоп-
ределяемых понятий и отношения между ними. Эти по-
нятия и отношения называются основными. Далее без
доказательства принимаются основные положения рас-
сматриваемой теории аксиомы. Все дальнейшее содер-
жание теории выводится лоrически из аксиом. Впервые
аксиоматическое построение математической теории бы-
ло предпринято Евклидом в построении rеометрии_
Изложение :этой теории в .Началах. Евклида не без-
упречно. Евклид здесь пытается дать определение исход-
ных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказатель-
стве теорем используются Ниrде явно не сформулирован-
ные положения. которые считаются очевиДНЫМИ. Таким
образом. в этом построении отсутствует необходимая
лоrическая cTporocTb, хотя истинность всех положений
теории не вызывает сомнений.
ВВЕДЕНИЕ
7
Отметим, что такой подход.к аксиоматическому пос-
троению теории оставался единственным до XIX века.
БольшУЮ роль в изменении TaKoro подхода сыrpали pa
боты Н. И. Лобачевскоrо (1792 1856).
Лобачевский впервые в явном виде высказал убежде-
ние в невозможности доказательства пятоro постулата Ев-
клида и подкрепил это убеждение созданием новой reoMeT-
рии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849 1925)
доказал непротиворечивость rеометрии Лобачевскоrо. чем
фактически была доказана и невозможность доказатель-
ства пятоrо постулата Евклида.
Так возникли и были решены в работах Н. И. Лоба-
чевскоro и Ф. Клейна впервые в истории математики про-
блемы невозможности доказательства и непротиворечи-
вости в аксиоматической теории.
Непротиворечивость аксиоматической теории явля-
ется одним из основных требований, предъявляемых к
системе аксиом данной теории. Она означает. что из дан-
ной системы аксиом нельзя лоrическим путем вывести
два противоречаIЦИХ дрyr друry утверждения.
Доказательство непротиворечивости аксиоматических
теорий можно осуществить различными Методами. Одним
из них является метод моделирования или интерпретаций.
Здесь в качестве основных понятий и отношений выбира-
ются элементы HeKoтoporo множества и отношения между
ними. а затем проверяется. будут ли выполняться для выб-
ранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то
есть строится модель для данной теории. Так. аналитичес-
кая reометрия является арифметической интерпретацией
reометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сво-
дит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме
непротиворечивости дрyroй теории.
Большинство интерпретаций для математических
теорий (и. в частности, для арифметики) строится на
базе теории множеств. в связи с этим важно доказать
непротиворечивость теории множеств.
Однако в конце XIX века в теории множеств были
обнаружены противоречия (парадоксы теории мно-
жеств). Ярким примером TaKoro парадокса является
парадокс Б. Рассела. Разобьем все мыслимые множества
на два Класса. Назовем множество снормальным., если
8
Курс лекций по математической лоеике
оно не содержит себя в качестве cBoero элемента и 4He
нормальным. в противном случае. Например, множе-
ство всех книr 4нормалъное. множество. а множе
ство всех мыслимых вещей 4ненормальное. множе-
ство. Пусть L множество всех 4нормальных. мно-
жеств. К какому классу относится множество L?
Если L 4нормалъное множество». то L Е L. т. е.
содержится в классе 4НОРМальных. множеств. но тоrда
оно содержит себя в качестве cBoero элемента, и поэтому
4ненормально,..
Если L .ненормальное,. множество, то L L. т. е.
не содержитсЯ среди 4НОРМальных. множеств. но тоrда
L не содержит себя в качестве cBoero элемента. и поэто-
му оно 4НОРМально,.. Таким образом, понятие 4НОРМаль-
Horo» множества приводит к противоречию.
Попытки устранить противоречия в теории множеств
привели Цермело к необходимости построить аксиома-
тическую теорию множеств. Последующие видоизмене-
ния и усовершенствования этой теории привели к СОЗДа-
нию современной теории множеств. Однако средства этой
аксиоматической теории не позволяют доказать ее He
противоречивость.
Дрyrие методы обоснования математики были развиты
Д. I'ильбертОм (1862 1943) и ero школой. Они основывают-
ся на построении математических теорий как синтаксичес-
ких теорий, в которых все аксиомы записываются форму-
лами в некотором алфавите и точно указываются правила
вывода одних формул из дрyrих. то есть в теорию как со-
ставная часть входит математическая лоrика.
Таким образом, математическая теория. непротиво-
речивость которой требовалось доказать. стала предме-
том друrой математической теории, которую rильберт
Назвал метаматематикой, или теорией доказательств.
В связи С этим возникает задача построения синтакси-
ческой. то есть формализованной аксиоматической тео-
рии самой математической лоrики. Выбирая по разному
системы аксиом и правила Вывода одних формул из дру-
rих. получают различные синтаксические лоrические тео-
рии. Каждую из них называют лоrическим исчислением.
В данном курсе будет рассмотрено классическое ис-
числение высказываний.
r ЛАВА 1
АлrЕБРА лоrики
1. Понятие высказывания
Основным (неопределяемым) понятием математичес
кой лоrики является понятие 4простоrо высказывания..
Под высказыванием обычно понимают всякое повество
вательное предложение, утверждающее что либо о чем
либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или
ложно в данных условиях места и времени. Лоrически
ми значениями выскаЗЫЕ.аний являются .истина» и
.ложь'».
Приведем примеры высказываний.
1) Новrород стоит на Волхове.
2) Париж столица Анrлии.
3) Карась не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
5) Если юноша окончил среднюю школу, то он полу-
чает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны. а высказывания
2) и 3) ложны.
Очевидно, предложение 4Да здравствуют наши спорт
смены!,» не является высказыванием.
Высказывание, представляющее собой одно утверж-
дение, принято называть простым или элементарным.
При мерами элементарных высказываний Moryт служить
высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных
с помощью rpамматических связок 4пе,». 4И.. 4ИЛИ., .если
.... то ..... 4тоrда и только тоrда.. принято называть слож
ными или составными. Так, высказывание 3) получается
из простоrо высказывания 4Карась рыба. с помощью
отрицания 4не>,. высказывание 4) образовано из элемен-
тарных высказываний 4 Число 6 делится на 2., 4 Число 6
делится на 3'», соединенных союзом 4И.. Высказывание 5)
получается из простых высказываний 4Юноша окончил
10
Курс лекций по математической ЛО2ике
среднюю ШКОЛУ.. .Юноша получает аттестат зрелости. с
помощью rрамматической связки .если ..., то ..... Aнa
лоrично сложные высказывания MorYT быть получены из
простых высказываний С помощью rрамматических свя
зок .ИЛИ., .тоrда и только тоrда..
В алrебре лоrики все высказывания рассматривают
ся только С точки зрения их лоrическоrо значения. а от
их житейскоrо содержания отвлекаются. Считается, что
Каждое высказывание либо истинно. либо ложно и ни
ОДНО высказывание не может быть одновременно истин-
HЫM и ложным.
И Дальнейшем будем элементарные высказывания
обозначать малыми буквами латинскоrо алфавита: х. у,
Z, .... а, Ь. с, ...; истинное значение высказывания бук-
вой и или цифрой 1, а ложное значение буквой Jl ИЛИ
цифрой О.
Если высказывание а истинно. то будем писать а = 1 ,
а если а ложно, то а = О .
* 2. Лоrические операции над высказываниями
1. Отрицание. Отрицанием высказывания х называ
ется новое высказывание, которое является истинным.
если высказывание х ложно. и ложным. если высказы-
вание х ИСТЩIНО.
Отрицание высказывания х обозначается х и чита-
ется .не х. или .неверно, что х..
Лоrические значения высказывания х можно опи-
сать с помощью таблицы
х х
1 О
О 1
Таблицы TaKoro вида принято называть таблицами
истинности.
Пусть х высказывание. Так как х также являет-
ся высказыванием. то можно образовать отрИцание
высказывания Х, то есть высказывание Х, которое
АлrЕБРА лоrики
11
называется двойным отрицанием высказывания х. Ясно,
что лоrические значения высказываний х и х совпада-
ют.
Например. для высказывания 4Река Волхов вытеКа-
ет из озера Ильмень,» отрицанием будет высказывание
4Неверно. что река Волхов вытекает из озера Ильмень.
или 4Река Волхов не вытекает из озера Ильмень.. а двой-
ным отрицанием будет высказывание .Неверно. что река
Волхов не вытекает из озера Ильмень.
2. Конъюнкция (лоrическое умножение). Ко1t'оЮ1t"
цией двух высказываний х, у называется новое высказы-
вание. которое считается истинным, если оба высказы-
вания х. у истинны. и ложным, если хотя бы одно из них
ложно.
Конъюнкция высказываний х. у обозначается сим-
волом х&у или (х л у). читается 4Х и У.. Высказывания
х. у называются членами конъюнкции.
Лоrические значения конъюнкции описываются сле-
дующей таблицей истинности:
х у х&у
1 l' 1
1 О О
О 1 О
О О О
Например, для высказываний .6 делится на 2., .6 де-
лится на 3. их конъюнкцией будет высказывание. 6 делит-
ся на 2 и 6 делится на 3'», которое, очевидно, истинно.
Из определения операцИИ конъюнкции видно. что союз
.и. в алrебре лоrики употребляется в том же смысле, что
и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято со-
единять союзом .и'» два высказывания далеких дрyr от
дрyrа по содержанию. а в алrебре лоrики рассматривается
конъюнкция двух любых высказываний.
Из определения операции конъюнкции и отрицания
ясно, что высказывание х& х всеrда ложно.
12
Курс лекций по математической Л02ике
3. ДИЗЪЮНКЦИЯ (лоrическое сложение). Д иЗЪЮllкцией
двух высказываний х. У называется новое высказывание,
которое считается истинным, если хотя бы ОДНО из BЫC
казываний х, У истинно. и ложным, если они оба
ложны.
Дизъюнкция высказываний х, У обозначается сим-
волом х v у, читается . х или У.. Высказывания х, У
называются членами дизъюнкции.
Лоrические значения дизъюнкции описываются сле
дующей таблицей истинности:
х У хуу
1 1 1
1 О 1
О 1 1
О О О
Например. высказывание .В треуrольнике DFE уrол
D или уrол Е острый. истинно, так как обязательно
истинно хотя-бы одНо из высказываний: .В треуrольни-
Ее DFE yroл D острый., .В треyrольнике DFE yroл Е
острый. .
В повседневной речи союз .или. употребляется в
различном смысле: исключающем и не исключающем.
В алrебре лоrики союз .или. всеrда употребляется в не
исключающем смысле.
Из определения операции дизъюнкции и отрицания
ясно, что высказывание х v х всеrда истинНо.
4. Импликация. Импликацией двух выскаЗываний
х. У называется новое высказывание. которое Считается
ложным, если х истинно, а У ложно. и истинным во
всех остальных случаях.
Импликация высказываний х. У обозначается сим-
волом х у, читается .если х, то У. или .из х Следует
У.. Высказывание х называют условием или посылкой,
высказ!.:вание У следствием или заключением. выска-
зывание х У следованием или импликацией."
АлrЕБРА лоrики
13
Лоrические значения операции импликации описы
ваются следующей таблицей истинности:
х У X Y
1 1 1
1 О О
О 1 1
О О 1
Например. высказывание «Если число 12 делится на
6, то оно делится на 3., очевидно. истинно, так как здесь
истинна посылка «Число 12 делится на 6. и истинно
заключение «Число 12 делится на 3..
Употребление слов «если .... то .... в алrебре лоrики
отличается от употребления их в обыденной речи, rде мы,
как правило. считаем, что. если высказывание х ложно,
то высказывание «Если Х, то У. вообще не имеет смысла.
Кроме Toro, строя предложение вида «если Х, то У. в обы-
денной речи. мы всеrда подразумеваем, что предложение
У вытекает из предложения х. Употребление слов «если
..., то .... в математической лоrике не требует этоrо, по-
скольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
Импликация иrрает важную роль в математических
доказательствах. так как мноrие теореМЫ формулиру-
ются в условной форме «Если х. то У». Если при этом
известно, что х истинно и доказана истинность импли-
кации х.....) У. то мы вправе сделать вывод об истинности
заключения У.
5. Эквиваленция. Э1Свивалеnцей (или эквивалентно-
стью) двух высказываний х, У называется новое выска-
. зывание, которое считается истинным. коrда оба выска-
зывания х, У либо одновременно истинны. либо одновре-
менно ложны, и ложным во всех остальных сдучаях.
Эквиваленция высказываний х, У обозначается сим-
волом х у' читается «для Toro. чтобы х. необходимо
и достаточно. чтобы У. или «х тоrда и только тоrда,
коrда У.. Высказывания х, У называются членами экви-
валенции.
14
Курс лекций по математической лоеике
ЛОl'ические значения операции эквиваленции опи
сываются следующей таблицей истинности:
х у x y
1 1 1
1 О О
О 1 О
О О 1
Например, эквиваленция .ТреуI'ОЛЬНИК SPQ с Bep
шиной S и основанием PQ равнобедренный ТОl'да и толь-
ко ТОl'да, КОl'да LP = LQ.. является истинной. так как
высказывания .ТреуI'ОЛЬНИК SPQ с вершиной S и oc
нованием PQ равнобедренный. и .В треУl'ольнике SPQ
с вершиной S и основанием PQ LP = LQ. либо .OДHO
временно истинны. либо одновременно ложны.
Эквивалентность Иl'рает важную роль в MaTeMa
тических доказательствах. Известно, что значитель-
ное число теорем формулируется в форме необходи-
мых и достаточных условий, то есть в форме эквива-
лентности. В этом случае, зная об истинности или
ложности ОДНОI'О из двух членов эквивалентности и
доказав истинность самой эквивалентности. мы зак-
лючаем об истинности или ложности BTOpOI'O члена
эквивалеНТНОСТИ.
5 3. Формулы алrебры лоrики
с помощью ЛОl'ических операций над высказывания
ми из заданной совокупности высказываний можно стро-
ить различиые сложные высказывания. При этом поря-
док выполнения операций указывается скобками. Напри-
мер. из трех высказываний х, у, z можно построить выс-
казывания
(x&y)vz и x.....)(yv(x&z)).
Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции Х. у и
отрицания выказывания z, а второе высказывание есть
импликация. ПОСЫЛКОЙ которой является высказывание Х,
АлrЕБРА лоrики
15
а заключением отрицание дизъюнкции высказывания у
и КЩ:lЪЮНКЦИИ высказываний х, z.
Всякое сложное высказывание, которое Может быть
получено из элементарных высказываний посредством
применении ЛОl'ических операций отрицания, конъюн
кции. дизъюнкции. импликации и эквиваленции, Ha
зывается формулой алzебры ЛОZUICU.
Формулы алl'е6ры ЛОl'ики будем обозначать больши
ми буквами латинскоl'О алфавита А, В, С, ...
Для упрощения записи формул принят ряд соrлаше
пий. Скобки можно опускать. придерживаясь следую
щеl'О порядка действий: конъюнкция выполняется paHЬ
ше. чем все остальные операции. дизъюнкция выполня
ется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если
пад формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже
опускаются.
В связи с этим формулы
(x&y)vz и x (yv(x&z))
MOI'YT быть записаны так:
х& у v z и х у v х& z .
ЛОl'ическое значение формулы алl'ебры ЛОI'ИКИ пол-
ностью определяется ЛОl'ическими значениями входящих
в нее элементарных высказываний. Например, ЛОl'ичес-
ким значением формулы х& у v z в случае, если х = 1,
у = 1, z = О будет истина, то естЬ х& у v z = 1 .
Все возможные ЛОl'ические значения формулы, в за
ВИСимости от значений входящих в нее элементарных
высказываний, MOI'YТ быть описаны полностью с помо-
щью таблицы истинности.
Например, для формулы х v у х& У таблица ис-
тинности имеет вид:
х у х у хуу х&у xvy x&y
1 1 О О 1 О О
1 О О 1 О 1 1
О 1 1 О 1 О О
О О 1 1 1 О О
16
Курс лекции по математической лоеике
Леrко ВИдеть. что, если формула содержит n элемен
тарных высказываний. то она принимает 2 П значений,
состоящих из нулей и единиц, или. что то же. таблица
содержит 2 П строк.
4. Равносильные формулы алrебры лоrики
Определение. Две формулы алrебры лоrики А и В
называютсяравносильны.ми, если они принимают оди-
наковые ЛОl'ические значения на любом наборе значе-
ний входящих в формулы элементарных высказыва-
ний.
Равносильность формул будем обозначать знаком
==, а запись А == В означает. что формулы А и В рав-
носильны.
Например, равносильны формулы:
х== х,
х v х == х.
(x&x)vy==y.
Формула А называется тождественно истинной (или
тавтолоzией) , если она принимает значение 1 при всех
значениях вхqдящих в нее переменных.
Например, тожественно истинны формулы х v х ,
х (у х).
Формула А называется тождественно ложной. если
она принимает значение О при всех значениях входящих
в нее переменных.
Например. тождественно ложна формула х& х .
Ясно. что отношение равносильности рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Между Понятиями равносильности и эквивалентно
сти существует следующая связь: если формулы А и В
равносильны, то формула А В тавтолоrия. и обрат-
но. если формула А В тавтолоl'ИЯ. то формулы А и
В равносильны.
Важнейшие равносильности алl'ебры лоrики можно
разбить на три I'руппы.
АлrЕБРА лоrики
17
1. Основные равносильности:
1. x&x x }
2. х v х == х законы идемпотентности.
3. х&и==х
4. х v и == и
5. х& л == л
6. х v л == х
7. х& х == л закон противоречия.
8. х v х == и закон исключенноl'О TpeTbel'O.
9. х == х закон снятия ДВОЙНОI'О отрицания.
10. Х&(У v х) == Х }
11. х v (у&х) == х законы ПОl'лощения.
Докажем один из законов ПОl'лощения. Рассмотрим
формулу А == Х&(У v х). Если в этой формуле Х = 1 то,
очевидно, у v Х = 1 и ТОl'да х&(у v х) = 1 как конъюнк
ция двух истинных высказываний. Пусть теперь в фор
муле А х = О. Но ТОl'да по определению операции KOHЪ
юнкции будет ЛОЖной и конъюнкция х&(у v х). Итак,
во всех случаях значения формулы А совпадают со зна
чениями Х, а поэтому А == х .
2. Равносильности, выражающие одни JJоrические
Dперации через дрyrие:
1. x y==(x y)&(y x)
2. x y==xvy
3. х&у == xvjj
4. xvy==x&jj
5. х& у == х v jj
6. х v у == х& jj
Ясно. что равносильности 5 и 6 получаются из равно-
сильностей Э и 4 Be если от обеих частей
последних вIять отрйцааи ВОСDол зоватъся законом
18
Курс лекций по математической лоеике
снятия двойноrо отрицания. Таким образом, в доказатель
стве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем
две из них: первую и третью.
Так как при одинаковых лоrических значениях х и
у истинными являются формулы х у, х.....) у. у.....) х ,
то истинной будет и конъюнкция (х.....) у)& (у .....) х). Сле
довательно, в этом случае обе части равносильности
имеют одинаковые истинные значения.
Пусть теперь х и у имеют различные лоrические значе-
ния. Тоrда будут ложными эквивалентность х у и одна
из двух импликаций х у или у х. По при этом
будет ложной и конъюнкция (х.....) у)&(у х). Таким
образом. в этом случае обе части равносильности имеют
одинаковые лоrические значения.
Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принима-
ют одновременно истинные значения, то будет истинной
конъюнкция х& у и ложным отрицание конъюнкции
х& у. В то же время будут ложными их, и у, а поэто
му будет ложной и дизъюнкция х v у .
Пусть теперь хотя бы одна из Переменных х или у
принимает значение ложь. Тоrда будет ложной конъюн-
кция х& у и истинной ее отрицание. В то же время от-
рицание хотя бы одной из переменных будет истинным,
а поэтому будет истинной и дизъюнкция х v у .
Следовательно, во всех случаях обе части равносиль-
ности 3 принимают одинаковые лоrические значения.
Аналоrично доказываются равносильности 2 и 4.
Из равносильностей этой rруппы следует, что вся-
кую формулу алrебры лоrики можно заменить равно-
сильной ей формулой. содержащей только две лоrичес
кие операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнк-
цию и отрицание.
Дальнейшее исключение лоrических операций Не-
возможно. Так. если мы будем использовать только
конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х
не може'i' быть выражена с помощью операции конъ-
юнкции.
АЛrEБРА лоrики
19
Однако существуют операции. с помощью которых
может быть выражена любая из пяти ЛОl'ических опера-
ций. которыми мы пользуемся. Такой операцией являет-
ся. например. операция .Штрих Шеффера.. Эта опера-
ция обозначается символом хl у и определяется следую
щей таблицей истинности:
х у xly
1 1 О
1 О 1
О 1 1
О О 1
Очевидно, имеют место равносильности:
l)x==xlx.
2) х&у == (xly)l(xly).
Из этих двух равносильностей следует. что всякая
формула аЛl'ебры ЛОl'ИКИ может быть заменена равно-
сильной формулой, содержащей только операцию
.Штрих Шеффера..
Отметим, что х I у == х& у .
АналОl'ично может быть введена операция tJ>( х, у) == х v у .
3. РавносIfJlЪИОСТИ, выражающие основные законы
алl'ебры JIОrики:
1. х& у :;; у& х коммутативность конъюнкции.
2. х v у :;; у v х коммутативность дизъюнкции.
3. х& (у& z) == (х& у)& z ассоциативность конъюнк-
ции.
4. х v (у v z) == (х v у) v z ассоциативность дизъюнк-
ции.
5. х&(у v z):;; (х& у) v (х& z) дистрибутивность конъ-
юнкции относительно дизъюнкции.
6. х v (у& z) == (х v у)& (х v z) дистрибутивность дизъ-
юнкции относительно конъюнкции.
20
Курс лекций по математической лоеuке
Докажем последний из перечисленных законов. Если
х = 1, то будут истинными формулы х v (y&z) , х v у.
х v z . Но тоrда будет истинной и конъюнкция (х v у)& (х v z) .
Таким образом. при х = 1 обе части равносильности 6
принимают одинаковые лоrические значения (истинные).
Пусть теперь х = О. Тоrда х v (у& z) == у& z, х v у :; у и
х v z == z. а поэтому и конъюнкция (х v у)& (х v z) == у& z .
Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равно-
сильны одной и той же формуле у& z, и поэтому прини-
мают одинаковые лоrические значения.
5. Равносильные преобразования формул
Используя равносильности 1. 11 и 111 rрупп можно часть
формулы или формулу заменить равносильной ей форму-
лой. Такие преобразования формул называютсяравnосuль-
nы.мu.
Равносильные преобразования используются для
доказательства равносильностей, для при ведения формул
к заданному виду. для упрощения формул.
Формула А считается проще равносильной ей фор-
мулы В. если она содержит меньше букв, меньше ло-
rических операций. При этом обычно операции экви-
валентность и импликация заменяются операциями
дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к
элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд при-
меров.
1. Доказать равносильность х у == х&у v х&у.
Используя равносильности 1, II и 111 rрупп запишем
цепочку равносильных формул:
х у :; (х у)& (у х) :; (х v у)& (у v х) ==
== х& У v х& х v у& У v у& х ==
== х&уу OvOv у&х == x&yv у&х= х&уу х&у.
2. Упростить формулу ( х v у х v у)&у.
АЛrEБРА лоrики
21
Запишем цепочку равносильных формул:
( х v у v х v у )& у == (х v у v х v у)& у == (х v у)& у == у.
3. ДОlCазать тождественную истинность формулы
(х.....) у).....) ((у z) (х v у z)).
Запишем цепочку равносильных формул:
(х.....) у).....) (у.....) z) (х v у z)) ==
== (xvy) v WVZ V XVY V ==X&YVY&ZVX&yvz==
== x&yv y&zvx&yv Z== (x&YVx&y)v(y&zvz) ==
== y&(xv х) v(y v z)&(zv z) == у&1 v(y v z)&1 ==
== у v у v z == (у v у) v Z == 1 v z == 1.
6. Алrебра Буля
Равносильности 111 rpуппы I'оворят о том, что алreбра
ЛОl'ики обладает коммутативными и ассоциативными за
конами Относительно операций конъюнкции и дизъюнк-
ции и дистрибутивным законом конъюнкции Относитель-
но дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алl'ебре
чисел. Поэтому над формулами алl'ебры ЛОl'ИКИ можно
производить те же преобразования. которые проводятся В
алl'е6ре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки.
вынесение за скобки общеl'О множителя).
Но в алl'ебре ЛОl'ИКИ возможны и ДРУl'ие преобразова-
кия, основанные на использовании равносильностей:
(х&у) v z == (х v z)&(y v z
х& (у v х) == х.
xv (у&х) == х.
х& у == х v у,
х v у == х& У и т.д.
Эта особенность позволяет прийти и к далеко иду-
щим обобщениям.
22
Курс лекций по математической Л02ике
Рассмотрим непустое множество М элементов любой
природы {x.Y.z....}. в котором определены отношение
(I . (равно) и три операции: (1+. (сложение), (1.» (YMHO
жение) и (I . (отрицание), подчиняющиеся следующим
аксиомам:
Коммутативные законы:
lа. х + У = У + х, 16. х. У = У . х.
Ассоциативные законы:
2a.x+(y+z)=(x+y)+z, 2б. x'(y'z)=(x'Y)'Z'
Дистрибутивные законы:
За. (x+y).z=(x.z)+(y.z) 36. (x.y)+z=(x+z).(y+z).
Законы идемпотентности:
4а. х + х = х, 46. х. х = х.
Закон двойноrо отрицания:
5. х = х.
Законы де Морrана:
ба. х + У = х . у , 66. х. У = х + у .
Законы поrлощения:
7а. х+(у.х)=х, 7б. х.(у+х)=х.
Такое множество М называется булевой алtеброй.
Если под ОЩIОВНЫМИ элементами х, У, z, ... подразу.
мевать высказывания, под операциями (1+., (1... (I .
дизъюнкцию. конъюнкцию, отрицание соответственно,
а знак равенства рассматривать как знаlC равносильнос
ти, то, как следует из равносильностей 1, 11 и 111 rрупп,
все аксиомы булевой алrебры выполняются.
В тех случаях. коrда для некоторой системы аксиом
удается подобрать конкретные объекты и конкретные
соотношения между ними TalC. что все аксиомы выпол
няются, rоворят. что найдена интерпретация (или MO
дель) данной системы аксиом.
Значи'Т', алrебра лоrики является интерпретацией бу.
левой алrебры. Алrебра Буля имеет и друrие интерпрета-
ции. Например, если под основными элементами х, У. z,
... множества М подразумевать множества. под операци
ями (1+., (1'., (I » объединение. пересечение. дополнение
соответственно, а под знаком равенства Знак равенства,
мrЕБРА лоrики
23
множеств, то мы приходим К алrебре множеств. Нетруд-
но убедиться. что в алrебре множеств все аксиомы алrеб-
ры Буля выполняются.
Среди различных интерпретаций булевой алrебры
имеются интерпретации и техническоrо характера. Одна
из них БУДdТ рассмотрена ниже. Как будет показано. она
иrрает важную роль в современной автоматике.
f 7. Функции алrебры лоrики
Как уже отмечалось. значение формулы алrебры ло-
rики полностью зависит от значений входящих в эту фор-
мулу высказываний. Поэтому формула алrебры лоrики
является функцией входящих в нее элементарных выска-
зываний.
, Например, формула (х& у) z является функцией
трех переменных '( х. у. z). Особенностью этой функции
является то обстоятельство, что ее apryмeHTbl принима-
ют одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом
функция также принимает одно из двух значений: ноль
IИЛ Е:!ДИНИЦУ.
. Определение. Фун"цией алzебры лоzи"и n перемен-
ных (или фун"цией Буля) называется функция n пере-
менных, rде каждая переменная принимает два значе-
ния: О и 1, и при этом функция может принимать толь-
ко одно из двух значений: О или 1.
Ясно, что тождественно истинные и тождественно
ложные формулы алrебры лоrики представляют собой
постоянные функции, а две равносильные формулы вы-
ражают одну и ту же функцию.
Выясним. каково число функций n переменных. Оче-
видно. каждую функцию алrебры лоrики (как и формулу
алrебры лоrики) можно задать с помощью таблицы ис-
тинности, которая будет содержать 2 n строк. Следователь-
но. каждая функция n переменных принимает 2 n значе-
ний. состоящих из нулей и единиц. Таким образом. фун-
кция n переменных полностью определяется набором зна-
чений из нулей и единиц длины 2 n . Общее же число на-
боров, состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно
24
Курс лекций по математической лоеи«е
2 2n . Значит, число различных функций алrебры лоrики
n переменных равно 2 2n .
В частности, различных функций одной переменной
четыре, а различных функций двух переменных шест-
надцать. Выпишем все функции алrебры лоrики одной и
двух переменных.
Рассмотрим таблицу истинности для различных
функций одной переменной. Она, очевидно. имеет вид:
I I
tr(x)
1
1
'2(Х)
1
О
Iз(х)
о
1
f' X )l
Из этой таблицы следует, что две функции одной пе
ременной будут постоянными: tr(x) == 1. '4(Х) == О. а
'2(Х) == Х. и fз(х) == х.
Таблица истинности для всевозможных функций двух
переменных имеет вид:
f. == t;(x.y)
х У !. !а ! !. ! !" ! !" !n !". !.. !.n !.n !. '.. !.д
1 1 1 1 1 1 О 1 1 О О О 1 О О О 1 О
1 О 1 1 1 О 1 1 О О 1 1 О О О 1 О О
О 1 1 1 О 1 1 О О 1 1 О 1 О 1 О О О
О О 1 О 1 1 1 О 1 1 О 1 О 1 О О О О
.ясно, что аналитические выражения этих функций
MorYT быть записаны следующим образом:
11 == 1.
!2 := х V у.
fз := У Х.
14 := х у.
15 == х&у,
fб == х.
17 == Х У.
18:= Х.
19 == х у.
110 == у,
111 == lf.!...........
112 == х v У,
I1З := у Х.
114 := х у,
115:= Х&У.
11б == О.
АлrЕБРА лоrики
25
i 8. Представление произвольной ФУНКЦИIf
алrебры лоrики в виде формулы алrебры лоrики
Пусть р(Х 1 .Х 2 .....Х п ) произвольная функция алrеб-
ры лоrики n переменных.
Рассмотрим формулу
Р(1.1,... ,1)& Хl & Х2& '" & Х п V
V p(1.1.....1.0)&Xl&X2&...&Xп 1&Xп V
V р(I,I,....1.0,I)&Хl& X2&"'&Xп 2& Xп l& Х п V...V
v р(0,0,....0)&Хl&Х2&...&Х п
(1)
которая составлена следующим образом: каждое слаrае-
мое этой лоrической суммы представляет собой кон'Ъюн
кцию, в которой первый член является значением функ-
ции F при некоторых определенных значениях перемен-
ных Х 1 . Х 2 ,..., Х п , остальные же члены кон'Ъюнкции пред-
ставляют собой переменные или их отрицания. При этом
под знаком отрицания находятся те и только те пере-
менные, которые в первом члене кон'Ъюнкции имеют зна-
чение О.
Вместе с тем формула (1) содержит в виде лоrичес-
ких слаrаемых всевозможные кон'Ъюнкции указанноrо
вида.
Ясно, что формула (1) полностью определяет функ
ЦИЮ р(х 1 .Х 2 .....Х п ). Иначе rоворя, значения функции F
и формулы (1) совпадают на всех наборах значений пере-
менных Х 1 , Х 2 ,..., Х п .
Например, если Х 1 принимает значение О, а осталь-
ные переменные принимают значение 1, то функция F
принимает значение р(О.1.1....1). При этом лоrическое
слаrаемое р(0.1....1)&Хl& Х2&"'&Х п ' входящее в форму-
лу (1), принимает также значение р(0.1....1) , все ос-
тальные лоrические слаrаемые формулы (1) имеют зна-
чение О. Действительно, в них знаки отрицания над
26
Курс лекции по математическои Л02ике
переменными распределяются иначе. чем в paCCMOTpeH
ном слаrаемом, но тоrда при замене переменных теми же
значениями в конъюнкцию войдет символ О без знака от-
рицания. символ 1 под знаком отрицания. В таком слу
чае один из членов конъюнкции имеет значение О. а по-
этому вся конъюнкция имеет значение О. В связи с этим
на основании равносильности Х v О == Х значением фор-
мулы (1) является F(0.1,....1).
Ясно. что вид формулы (1) может быть значительно
упрощен. если в ней отбросить те лоrические слаrаемые,
в которых первый член конъюнкции имеет значение О
(и, следовательно. вся конъюнкция имеет значение О).
Если же в лоrическом слаrаемом первый член конъюнк-
ции имеет значение 1, то. пользуясь равносильностью
1& Х == Х, этот член конъюнкции можно не выписывать.
Таким образом, в результате получается формула (1),
которая содержит только элементарные переменные выс-
казывания и обладает следующими свойствами:
1) Каждое лоrическое слаrаемое формулы содержит
все переменные, входящие в функцию F(X 1 'X 2 ....,X n ).
2) Все лоrические слаrаемые формулы различны.
3) Ни одно лоrическое слаrаемое формулы не содер-
жит одновременно переменную и ее отрицание.
4) Ни одно лоrическое слаrаемое формулы не содер-
жит одну и ту же переменную дважды.
Перечисленные свойства будем называть свойства-
.ми совершенства или. коротко. свойствами (С).
Из приведенных рассуждений видно. что каждой не
тождественно ложной функции соответствует единствен-
ная шормула указанноrо вида.
Если функция F(X 1 .X 2 .....X n ) задана таблицей ис-
тинности. то соответствующая ей формула алrебры ло-
rики может быть получена просто. Действительно. для
каждоrо набора значений переменных, на котором фун-
кция F(X 1 .X 2 ....,X п ) принимает значение 1. запишем
конъюнкцию элементарных переменных высказываний,
АЛrЕБРА лоrики
27
взяв за член конъюнкции Х", если значение х" на ука-
занном наборе значений переменных есть 1 и отрицание
х". если значение х" есть О. Дизъюнкция всех записан-
ных конъюнкций и будет искомой формулой.
Пусть. например, функция F(Xl.X2'X3) имеет следу-
ющую таблицу истинности:
Х 1 Х 2 Ха F(Xl' Х 2 . Ха)
1 1 1 О
1 1 О 1
1 О 1 1
1 О О О
О 1 1 О
О 1 О 1
О О 1 О
О О О 1
Для наборов значений перемеIШЫX (1,1,0), (1.0.1), (0.1.0),
(0.0.0). на Которых функция принимает значение 1. запишем
конъюнкции Х 1 &Х 2 &Х З ' х 1 &х 2 &х з , х 1 &х 2 &х з ,
Х 1 &Х 2 &Х З ' а искомая формула, обладающая свойствами
(С) . имеет вид:
& & y & & y & & y & & .
i 9. Закон двойственности
Пусть формула А содержит только операции конъ-
юнкции, дизъюнкции и отрицания.
Будем называть операцию конъюнкции двойствен-
ной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции
двойственной операции конъюнкции.
Определение. Формулы А и А * называются двой-
ственными, если формула А * получается из формулы А
путем замены в ней каждой операции на двойственную.
Например, для формулы А Е (х V y)&z двойственной
формулой будет формула А * == (х& у) v z .
28
Курс лекций по ма ематической лоеике
Теорема. Если формулы А и В равносильны, то
равносильны и им двойственные формулы, то есть
А* ;: В * .
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если для формулы A(x 1 ,x z ....x,,) двoйcтвeH
ной формулой является А *(xl.xz....x,,), то справедлива
равносильность
А(Хl' x z .... х,,) ;: А * (Хl' х 2 .... х,,).
Доказательство. Для элементарной формулы утвер-
ждение леммы очевидно. Действительно, если А(Хl) ;: х 1 .
то А * (х 1 ) ;: Х 1 ,А(Хl);: х 1 . А * (х 1 ) ;: Х 1 И А(Хl) ;: А * (хl)'
Пусть теперь утверждение леммы справедливо для
всяких формул, содержащих не более k операций. Дока-
жем, что при этом предположении утверждение справед-
ливо и для формулы. содержащей k + 1 операцию.
Пусть формула А(хl.х2....х,,) содержит k+l опера-
цию. Тоrда ее можно представить в одном из трех видов:
1) А(Хl' х2.... х п ) ;: А 1 (Хl. х2.... х п ).
2) А(х р х 2 .... х,,);: А 1 (х 1 . х 2 .... х,,) V A.z(xpx z . ... х,,),
3) А(Хl' х 2 .... х,,);: А 1 (х 1 . х 2 .... х,,)& Az(X 1 . х 2 .... х,,),
rде формулы А 1 (х 1 .х 2 ,...х,,) и А 2 (х 1 .х 2 ....х,,) содержат
не более k операций. и. следовательно. для них утверж-
дение справедливо. то есть
А.(х 1 .х 2 ....х,,);: А;'(х 1 .х 2 ....х,,),
Az(X 1 . х 2 .... х,,);: А;(х р х 2 .... х,,).
в случае 1) имеем А * ;: А: ' а поэтому
А(Хl' Х 2,"'Х п ) == А 1 (Хl'Х2''''Х п ) == Ai(Xl,X2'."X n ) == А*(Хl'Х2""Х п )
АЛrЕБРА лоrики
29
в случае 2) имеем А* '" (Al V А 2 )* '" А: &А;. а поэтому
A(Xl'X ""Xn) == А 1 {Х р Х 2 ....Х п )у (XpX2....Xп) ==
== Al(Xl'X2....Xп)& (Xl.X2'...Xп);:
== A{(Xl.X2.... Х n )& A;(Xl' Х2.... Х n ) == А *(Xl.X2.... Х п ).
Аналоrичное доказательство проводится и в случае 3).
Докажем теперь закон двойственности.
Пусть формулы А(Х 1 .Х 2 ....Х п ) И В(Х 1 .Х 2 ....Х п ) равно-
сильны:
А(Х 1 .Х 2 ....Х п ) == В(Х 1 .Х 2 ....Х п ).
Но тоrда. очевидно.
А(Х р Х 2 ....Х п ) == В(Х 1 .Х 2 ....Х п ).
В то же время, соrласно лемме,
(1)
А(Х 1 'Х 2 ....Х n ) : A: P 2'... п), }
В{Х р Х 2 ....Х п )== В (Хl'х 2 ,...х п ).
(2)
Из равносильностей (1) и (2) получаем
А*(х р х 2 ....х п );: B*{Xl'X2""Xп
И. следовательно.
А*{Х 1 .Х 2 ....Х п );: В*(Х р Х 2 ,...х п ).
i 10. Дизъюнктивная нормальная форма и
совершенная дизъюнктивная нормальная
форма (ДНФ и СДНФ)
Определение 1. Элементарной "он'Ою1t1щией п пере-
менных называется конъюнкция переменных или их от-
рицаний.
Элементарная конъюнкция п переменных может быть
записана в виде: x & X & ... & X . .
30
Курс лекций по математической лоеu«е
{ X k , если tJ k ::= 1,
rде x k ::=
x k ' если tJ k ::= О.
Определение 2. ДU3'ОЮlштuвной нормальной формой
(ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму
ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных
конъюнкций.
Для любой формулы алrебры лоrики путем paBHO
сильных преобразований можно получить ее ДНФ. при-
чем не единственную.
Например, для формулы А == х&(х у) имеем:
A==x&(xvy)==(x&x)v(x&y)==x&y. то есть
ДНФ А == (x&x)v(x&y),
ЛНФА == х&у.
Среди мноrочисленных ДНФ А существует единствен-
ная ДНФ А, дЛЯ которой выполняются перечисленные
выше четыре свойства совершенства (свойства (С».
Такая ДНФ А называется совершенной дuз'Оюн"тuв
ной нормальной формой формулы А (СДНФ А ).
Как уже 'указывалось, СДНФ А может быть получе
на с помощью таблицы истинности.
Друrой способ получения СДНФ формулы А основан
на равносильных преобразованиях формулы и состоит в
следующем:
1. Путем равносильных преобразований формулы А
получают одну из ДНФ А.
2. Если в полученной ДНФ А входящая в нее эле
ментарная конъюнкция В не содержит переменную Х;'
то, используя равносильность В&(х; v х;) == В, элемен-
тарную конъюнкцию В заменяют на две элементарных
конъюнкции (В& Х;) и (В& х;). каждая из которых со-
держит переменную Х;'
3. Если в ДНФ А входят ДВе одинаковых элементар-
ных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользу-
ясь равносильностью В v В == В .
АЛrЕБРА лоrики
31
4. Если некоторая элементарная конъюнкция В, вхо-
дящая в ДНФ А. содержит переменную Х; и ее отрица-
ние Х;, то В == О, и В можно исключить из ДНФ А. как
нулевой чл(:н дизъюнкции.
5. Если некоторая элементарная конъюнкция, вхо-
дящая в ДНФ А, содержит переменную Х; дважды, то
одну переменную можно отбросить. пользуясь равносиль-
ностью X j & Х; == Х; .
Ясно. что после выполнения описанной процедуры
будет получена СДНФ А .
Например. для формулы А == Х v у& (х v 11) ДНФ А ==
== Х V х& у v у& 11 .
Так как элементарная конъюнкция В == Х , входящая
в ДНФ А, не содержит переменной у. то, пользуясь
равносильностью В == В& (у v 11) == х& (у v 11) == х& у v х& 11 ,
заменим ее на две элементарных конъюнкции х& у и х& 11 .
в результате получим ДНФ А == х& у v х& 11 v х& у v у& 11 .
Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых
элементарных конъюнкции х& у . то лишнюю отбросим,
пользуясь равносильностью х& у v х& у == х& у . в резуль-
тате получим ДНФА == x&yv x&11v у&у.
Так как элементарная конъюнкция у& 11 содержит
переменную у и ее отрицание 11 , то у& У == О, и ее можно
отбросить как нулевой член дизъюнкции.
Таким образом, получаем
СДНФА= x&yvx&y.
i 11. Конъюнктивная нормальная форма
и совершенная конъюнктивная нормальная форма
(КИФ и СКИФ)
Определение 1. Элементарной дU3'йЮ1t1щuей n пере-
менных называется дизъюнкция переменных или их от-
рицаний.
32
Курс лекций по математической лоеике
Элементарная дизъюнкция п переменных может быть
записана в виде:
q X Х Н.
Х 1 V 2 v...v 11'
{ X k . если Ok = 1,
rде х;. =
x k . если Ok = о.
Определение 2. 1Сон'Ъю1t1сmивной нормальной формой
(КНФ) формулы А называется равносильная ей форму
ла, представляющая собой конъюнкцию элементарных
дизъюнкций.
Для любой формулы алrебры лоrики путем равносиль-
ных преобразований можно получить ее КНФ. причем не
единственную.
Например, для формулы А == х v у х& у имеем:
А == ( х v у ----» х& у)& (х& У ----» х v У) ==
== (х v у v х&у)& (х&у v х v У ) ==
==(xvxvy)&(xvyvy)&(xvyvx)&(xvyvy). то есть
КНФ А == (х v x.v у)&(х v у v y)&(xv yv х)&(х vy v у).
НО так как х v х == х. у v у == у, х v х == х, у v у == у,
то КНФ А == (х v у)&(х v у)&(х v у)&(х v у).
А так как (xvy)&(xvy)==(xvy). (xvy)&(xvy)==(xvy),
то КНФА==(хvу)&(хvу)..
Определение 3. КНФ А называется совершенной
кон'Ъюнктивной нормальной формой формулы А
( СКНФ А). если для нее выполнены условия:
1. Все элементарные дизъюнкции. входящие в
КНФ А. различны.
2. Все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФ А. содержат все переменные.
3. Каждая элементарная дизъюнкция. входящая в
КНФ А, не содержит двух одинаковых переменных.
4. Каждая элементарная дизъюнкция. входящая в
КНФ А, не содержит переменную и ее отрицание.
АлrЕБРА лоrики
33
Можно доказать. что каждая не тождественно истин-
ная формула имеет единственную СКИФ.
Один из способов получения СКИФ состоит в исполь-
зовании таблицы истинности для формулы А.
Действительно. получив с помощью таблицы истин-
ности СД НФ А , мы получим СКИФ А, взяв отрицание
СДИФ А , то есть СКИФ А == СДИФ А .
Дрyrой способ получения СКИФ, использующий рав-
носильные преобразования, состоит в следующем:
1. Путем равносильных преобразований формулы А
получают одну из КИФ А .
2. Если в полученной КИФ А входящая в нее эле-
ментарная дизъюнкция В не содержит переменную X j '
ТО. используя равносильность В V (Xj& х;) == В. элементар-
ную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъ-
юнкции В V x i И В V Х;. каждая из которых содерЖИТ
переменную X i .
3. Если в КИФ А входят две одинаковых элементар-
ных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить,
пользуясь равносильностью В& В == В .
4. Если не которая элементарная дизъюнкция, вхо-
дящая в КИФ А. содержит переменную X i дважды, то
лишнюю можно отбросить. пользуясь равносильностью
Х ; V Х ; == Х ; .
5. Если не которая элементарная дизъюнкция, вхо-
дящая в КИФ А . содержит переменную X i и ее отрица-
ние. то Х ; V Х; == 1 и. следовательно. вся элементарная
дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно от-
бросить. как единиЧНЫЙ член конъюнкции.
Ясно, что после описанной процедуры будет получе-
на СКИФА.
Иапример. для формулы А == Х V у&(х V у) КИФ А ==
== (х V у)&(х V Х V у).
2 3ак. 1229
34
Курс лекций по математической лоеике
Так как обе элементарные дизъюнкции различны и
содержат все переменные (х и у), то первое и второе усло-
вия СКИФ А выполнены.
Элементарная дизъюнкция Х v х v fi содержит пере-
менную х дважды. но х v х == Х, и поэтому КНФ А ==
== (х v у)& (х v у); причем ни одна из элементарных дизъ-
юнкций не содержит переменную и ее отрицание. Зна-
чит, теперь выполнены все условия СКИФ А, и, следо-
вательно, СКНФ А == (х v у)& (х v у) .
12. ПроБJIема разрешимости
Все формулы алrебры лоrики делятся на три класса:
1) тождественно истинные,
2) тождественно ложные и
3) выполнимые.
Определения тождественно истинной и тождествен-
но ложной формул даны выше.
Формулу А называют выполнимой, если она прини-
мает значение «истина. хотя бы на одном наборе значе-
ний входящих в нее переменных и не является ТОЖде-
ственно истинной.
В связи с этим возникает задача: к какому классу
относится данная формула?
Эта задача носит название проблемы разрешимости.
Очевидно, проблема разрешимости алrебры лоrики
разрешима.
Действительно, для каждой формулы алrебры лоrи-
ки может быть записана таблица истинности, которая и
даст ответ на поставленный вопрос.
Однако практическое использование таблицы истин-
ности для формулы A(X 1 .X 2 .....X п ) при больших п зат-
руднительно.
Существует друrой способ. позволяющий, не исполь-
зуя таблицы истинности, определить, к какому классу
относится формула А. Этот способ основан на приведе-
нии формулы к нормальной форме (КНФ или ДНФ) и
использовании алrоритма, который позволяет определить,
является ли данная формула тождественно истинной или
мrЕБРА лоrики
35
не является. Одновременно с этим решается вопрос о
том, будет ли формула А выполнимой.
Предположим, что мы имеем критерий тождествен-
ной истинности для формул алrебры лоrики. Рассмот-
рим механизм ero применения.
Применим критерий тождественной истинности к
формулеА. Если окажется, что формулаА тождественно
истинная. то задача решена. Если же окажется, что фор-
мула А не тождественно истинная, то применим крите-
рий тождественной истинности к формуле А. Если ока-
ркется. что формула А тождественно истинная, то ясно,
TO формула А тождественно ложная, и задача решена.
Если же формула А не тождественно истинная, то оста-
ется единственно возможный результат: формула А вы-
ПQ1WiИма.
у становим теперь критерий тождественной истин-
ности произвольной формулы алrебры лоrики. С этой
целью предварительно сформулируем и докажем кри-
терий тождественной истинности элементарной дизъ-
юнкции.
Теорема 1. Для mozo, чтобы элементарная ди3'ОЮ1t1С-
ция была тождественно истинной, необходимо и доста-
точно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отри-
цание.
Доказательство. Необходимость. Пусть элементарная
дизъюнкция тождественно истинна. но в нее одновремен-
но не входит не которая переменная и ее отрицание. При-
дадим каждой переменной, входящей в элементарную
дизъюнкцию без знака отрицания. значение ложь, а каж-
дой переменной, входящей в элементарную дизъюнкцию
под знаком отрицания значение «истина.. Тоrда, оче-
видно. вся элементарная дизъюнкция примет значение
ложь. что противоречит условию.
Достаточность. Пусть теперь элементарная дизъюн-
кция содержит переменную и ее отрицание. Так как
Х; V Х; == 1 . то и вся элементарная дизъюнкция будет тож-
дественно истинной.
Критерий тождественной истинности элементарной
дизъюнкции позволяет сформулировать и доказать
36
Курс лекций по математической лоеике
критерии тождественной истинности произвольной фор-
мулы. алrебры лоrики.
Теорема 2. Для mozo. чтобы формула алzебры лоzи-
Ки А была тождественно истинн-а. н-еобходимо и дос-
таточно. чтобы любая элементарн-ая диЗЪЮн.1сция, вхо-
дящая в КНФ А. содержала nеременн-ую и ее отрица-
ние.
'Доказательство. Необходимость. Пусть А тожде-
ственно истинна. Тоrда и КНФ А тождественно истин-
на. Но КНФ А;: A1&A.:a&...&A,.. rде А; элементарные
дизъюнкции (i = 1.2,....п). Так как КНФ А;: 1, то А; =о 1
(i = 1'2..... п). Но тоrда по теореме 1 каждая элементар-
ная дизъюнкция А; содержит переменную и ее отрица-
ние.
Достаточность. Пусть любая элементарная дизъ-
юнкция А; , входящая в КНФ А, содержит переменную и
ее отрицание. Тоrда по теореме 1 А;;: 1 (i = 1.2..... п).
При этом и КНФ А Е 1.
Например, выясним, является ли формула А;:
;: у v у& х v х& У тождественно истинной.
Так как А =о у V у&(х v х) =о (у V у)&(у V Х V х). то
ясно. что каждая элементарная дизъюнкция у v у и
у v х v Х . входящая в КНФ А. содержит переменную и ее
отрицание. Следовательно, А;: 1 .
Аналоrично можно установить критерий тожде-
ственной ложности формулы алrебры лоrики, исполь-
зуя ее ДНФ.
Теорема 3. Для mozo. чтобы элементарная "онъюн-
кция была тождествен-н-о ложной, н-еобходимо и доста-
точн-о, чтобы в ней содержалась пере.м.енн-ая и ее отри-
цание.
Теорема 4. Для mozo, чтобы формула алzебры лоzи"и
А была тождественно ложн-ой, необходимо и достаточ-
н-о, чтобы любая конъюн-кция. входящая в ДНФ А. coдep
жала переменную и ее отрицание.
АлrЕ!5РА лоrИКИ
37
13. Некоторые приложения алrебры лоrики
1. Приложения алrебры лоrики в технике (релейно
коп;хактные схемы).
Среди технических средств автоматизации значитель
ное место занимают устройства релейно контактноrо
действия. Они широко используются в технике автома-
тическоrо управления, в электронно вычислительной
технике и т.д.
Эти устройства (их в общем случае называют пере-
ключательными схемами) содержат сотни реле. элект-
ронных ламп. полупроводников и электромаrнитных
элементов. Описание и конструирование таких схем в
c их rромоздкости весьма затруднительно.
Еще в 1910 rоду физик П. С. Эренфест указал на воз-
можность применения аппарата алrебры лоrики при
исследовании релейно контактных схем (РКС). Однако
ero идеи стали реализовываться значительно позже, коrда
создание общей теории конструирования РКС стало OCT
ро необходимым.
Использование алrебры лоrики в конструировании
РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой
схеме можно поставить в соответствие некоторую фор
мулу алrебры лоrики, и каждая формула алrебры лоrи-
ки реализуется с помощью не которой схемы.
Это обстоятельство позволяет выявить возможности
заданной схемы. изучая соответствующую формулу, а
упрощение схемы свести к упрощению формулы.
С друrой стороны, до построения схемы можно зара
нее описать с помощью формулы те функции. которые
схема должна выполнять.
Рассмотрим. как устанавливается связь между фор
мулами алrебры лоrики и переключательными схемами.
Под переключательной схемой понимают схематичес
кое изображение HeKoToporo устройства, состоящеrо из
следующих элементов:
1) пере"лючателей. которыми MorYT быть механичес-
кие действующие устройства (выключатели, переключа
ющие ключи. кнопочные устройства и т. д.). электромаr
НИтные реле. электронные лампы, полупроводниковые
элементы и т.п.;
38
Курс лекций по математической лоеике
2) соединяющих их проводпиков;
3) входов в схему и выходов из нее (клемм. на KOTO
рые подается электрическое напряжение). Они называ
ются полюсами схемы.
Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не
изображаются.
Пере ключа тельной схемой принимается в расчет
только два состояния каждоI'О переключатедя, которые
называют .замкнутым. и .разомкнутым..
Рассмотрим простейmую схему. содержащую один
переключатель Р и имеющую один вход А и один выход
В. Переключателю Р поставим в соответствие высказы-
вание р, rласящее: .Переключатель Р замкнут.. Если р
истинно, то импульс, поступающий на полюс А. может
быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в
этом случае I'оворить, что схема проводит ток. Если Р
ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не
проводит или на полюсе В снимается минимальное напря-
жение при подаче на полюс А максимальноI'О напряже-
ния.
Если принять во внимание не смысл высказывания,
а только eI'o значение, то можно считать, что любому
высказыванию может быть поставлена в соответствие
переключательная схема 1.
.
р
.
в
А
Схема 1.
Формулам, включающим основные ЛОI'ические опе-
рации, также MOI'YТ быть поставлены в соответствие пе-
реключательные схемы.
1Сон:ъюпкцuя двух выскаЗЫВdНИЙР и q будет представ-
лена двухполюсной схемой с последовательным соедине-
нием двух переключателей Р и Q (схема 2) .
р На
.
.
в
А
Схема 2.
АлrЕБРА лоrики
39
Эта схема пропускает ток тоrда и только тоrда. коrда
истинны и р, и q одновременно, то есть истинна конъюн-
кция p&q.
Дuз'Оююсцuя двух высказываний р и q изобразится
двухполюсной схемой с параллельным соединением двух
переключателей р и Q (схема 3).
А
Схема 3.
Эта схема пропускает ток в случае. если истинно
высказывание р или истинно высказывание q, то есть
истинна дизъюнкция р v q .
Если высказывание р есть отрицание высказывания
р, то тождественно истинная формула р v р изображает-
ся схемой. которая проводит ток всеrда (схема 4). а тож-
дественно ложная формула р& р ИЗО,бразится схемой,
которая всеrда разомкнута (схема 5)..,
А
Схема 4.
р н р
.
.
в
А
Схема 5.
40
Курс лекций по математической лоеике
Из схем 1. 2 и 3 путем последовательноrо и парал-
лельноrо их соединения MorYT быть построены новые
двухполюсные переключательные схемы. которые назы-
вают П-схемами.
Как было ПОК 13ано. всякая формула алrебры лоrики
путем равносильных преобразований может быть пред-
ставлена в виде формулы, содержащей только две опера-
ции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и от-
рицание. Из этоrо следует, что всякая формула алrебры
лоrики может быть изображена П-схемой и. обратно,
для любой П-схемы может быть записана формула. ко-
торая изображается этой схемой.
Пример 1. Формуле L;; (x&y)v(x&y) соответствует
схема 6:
А
в
Схема 6.
Пример 2. Для П-схемы 7
А
Схема 7.
АлrЕБРА лоrики
41-
соответствующая формула алrебры лоrики имеет вид:
L == (x&y&z) v(x&y&z) v (x&y&z) v (x&y&z).
Упростим эту формулу следующим образом:
L:; ((x&y&z) v (x&y&z») v ((X&y&z) v (x&y&z») v
v ((x&y&z) v (x&y&z»):; ((y&z)&(x v х») v
v ((x&z)&(y v у») v ((x&y)&(z v z»):;
= (y&z) v (x&z) v (х&у) = ((х v y)&z) v (х&у).
Последней формуле соответствует П-схема 8:
А
Схема 8.
Из примера 2 следует, что для некоторых РКС путем
равносильных преобразований соответствующей форму
лы алrебры лоrики можно получить РКС, содержащую
меньшее число переключателей. Проблема решения этой
задачи нОСит название проблемы мuпuмuзацuu.
При ведем пример построения РКС по заданнЫм усло
виям с оценкой числа контактов.
Пример 3. Построить контактную схему для оценки
результатов HeKoToporo спортивноrо соревнования Tpe
мя судьями при следующих условиях: судья. засчитыва
ющий результат, нажимает имеющуюся в ero распоря
жении кнопку. а судья, не засчитывающий результат,
кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не
менее двух судей, должна заrореться лампочка (положи
тельное решение судей принято простым большинством
rолосов).
42
Курс лекций по математической лоеике
Решение. Ясно, что работа нужной РКС описывается
функцией Буля трех переменных F(X,y,z) , I'де пере мен-
ные высказывания х, У, z означают:
х судья х rолосует .за.,
У судья У rолосует .за.,
z судья z rолосует .за..
Таблица истинности функции Р(х,у, z) , очевидно,
имеет вид:
х У z F(x,y,z)
1 1 1 1
1 1 О 1
1 О 1 1
1 О О О
О 1 1 1
О 1 О О
О О 1 О
О О О О
в связи с этим СКНФ формулы (функции) F(X,y,z)
запишется в виде
F(x,y,z) == x&y&zv x&y&zv x&fj&zvx&y&z.
А этой формуле соответствует РКС, изображенная на
схеме 7, которая содержит двенадцать переключателей.
Но как было показано, в результате равносильных
преобразований формула F(x,y,z) может быть приведеиа
к виду:
F(x,y,z) == (х v у)& z v (х&у) ,
которому соответствует РКС, изображенная на схеме 8,
содержащей Пять переключателей.
АЛrЕБРА лоrики
43
2. Решение лоrических задач
методами aлreбры JIОrики.
Суть применения методов алrебры лоrики к решению
лоrических задач состоит в том, что, имея конкретные
условия лоrической задачи, стараются записать их в виде
формулы алrебры лоrики. В дальнейшем путем равносиль-
ных преобразований упрощают полученную формулу.
Простейший вид формулы. как правило, приводит к от-
вету на все вопросы задачи.
Покажем на ряде конкретных примеров, как исполь-
зовать возможности алrебры лоrики для решения элемен-
тарных лоrических задач.
Пример 1. Пытаясь вспомнить победителей прошло-
rоднеrо турнира, пять бывших зрителей турнира зая-
вили:
1. Антон был вторым, а Борис пятым.
2. Виктор был вторым, а Денис третьим.
3. rриrорий был первым. а Борис третьим.
4. Антон был третьим, а Евrений шестым.
5. Виктор был третьим. а Евrений четвертым.
Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошиб-
ся в одном из двух своих высказываний. Каково было
истинное распределение мест в турнире?
Решение. Будем обозначать высказывания зрителей
Символом Ху. rде Х первая буква имени участника
турнира. а у номер места, которое он занял в турнире.
Так как в паре высказываний каждоrо зрителя одно
истинно. а второе ложно. то будут истинными дизъюнк-
ции этих высказываний
v L v L v L v L v L
Но тоrда будет истинной и формула
L (А2 v В5)&(В2 v дз)&(r 1 v Вз)&(А з v Е 6 )&(В з v Е4)'
Путем простых равносильных преобразований леrко
показать. что L А з &в 5 &в 2 &r 1 &Е... Но L 1 и, зна-
чит. 1. В5 1, В 2 1, r 1 1, Е.. 1 , что и дает от-
вет на вопрос задачи.
44
Курс лекций по математической лоеuке
Пример 2. Жили четыре мальчика: Альберт, Карл,
Дидрих и Фридрих. Фамилии друзей те же. что и имена,
толь'Ко так. что ни у Koro из них имя и фамилия не были
одинаковы. Кроме Toro, фамилия Дидриха не была Аль
берт. Требуется определить фамилию каждоrо из мальчи
ков. если известно. что имя мальчика. у KOToporo фами
лия Фридрих, есть фамилия Toro мальчика, имя KOTOpO
ro фамилия Карла.
Решение. Поставим в соответствие каждому маль-
чику символ Х у , rде Х имя, а У фамилия мальчика.
Тоrда по условию задачи ложны высказывания:
АА' Кк, Дд, Фф, ДА'
но есть мальчик Ух такой, что истинна конъюнкция
Хф&Ух&К у .
Очевидно, что Х =1= Ф, Х =1= К, У =1= Ф, У =1= К.
Тоrда возможны два случая:
1) Х == А и У == Д ,
2) Х == Д и У == А.
Но первый случай невозможен, так как здесь
Ух == ДА, а по услО/зию ДА == О .
Следовательно. имеет место RТОРОЙ случай. Значит,
Дидрих имеет фамилию Фридрих, Альберт имеет фами
лию Дидрих, Карл имеет фамилию Альберт, а Фридрих
имеет фамилию Карл.
Пример 3. ПО подозрению в совершенном преступле
нии задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них
был уважаемым в rороде стариком. друrой был малоиз
вестНЫМ чиновником, третий известным мошенником.
В процессе следствия старик rоворил правду, мошенник
лrал. а третий задержанный в одном случае rоворил
правду, а в друrом ложь. Вот, что они утверждали:
Браун: «Я совершил это. Джон не виноват».
Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил
Смит».
Смит: (,Я не виноват. виновен Браун.).
Определите имя старика. мошенника и чиновника и
кто из них виноват, если известно. что преступник один.
АЛrEБРА лоrики
45
Решение. Обозначим буквами В, Д и С высказывания:
виноват Браун, виноват Джон, виноват Смит соответст-
венно. Тоrда утверждения, высказанные задержанными,
можно записать в вР.:де конъюнкций: В& Д. в & С, В& С,
из которых, по условию задачи, две ложны, а одна ис-
тинна.
Поэтому будет истинной формула
L = (В& Д) v( В& С)v(В&С).
Таблица истинности этой формулы имеет вид:
в Д с В& Д С&В В &С L
1 1 1 О О О О
1 1 О О 1 О 1
1 О 1 1 О О 1
1 О О 1 1 О 1
О 1 1 О О 1 1
О 1 О О О О О
О О 1 О О 1 1
О О О О О О О
Отсюда видно. что формула L истинна в пяти из
восьми занумерованных случаев. Случай 4 следует ис
ключить из рассмотрения, так как здесь оказываются
истинными две конъюнкции, а это противоречит усло-
вию задачи. В случаях 2, 3 и 5 оказываются истинными
по два высказывания: В иД, В и С. Д и С соответственно,
что также противоречит условию задачи. Следователь-
но. справедлив случай 7, то есть преступник Смит.
Он известный мошенник. и оба ero высказывания лож-
ны: В& С = О. При этом высказывания В и Д ложны.
Значит. истинна пара высказываний Джона, а у Брауна
первое высказывание ложно. а второе истинно. Отсюда
ЯСНо, что Джон уважаемый в rороде старик. а Браун
малоизвестный чиновник.
rЛАВА 11
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКА3ЫВАНИЙ
Давая описание алrебры высказываний. мы пользо-
вались лоrическими значениями высказываний (истина,
ложь). Но понятия истинности и ложности не математи-
ческие. Эти понятия во мноrих случаях субъективны и
скорее относятся к философии.
В связи с этим желательнО построить математичес-
кую лоrику, не пользуясь понятиями Истинности И лож-
ности. Необходимо также при этом построении не приме-
нять самих законов лоrики.
Исчисление высказываний это аксиоматическая ло-
rическая система. интерпретацией которой является ал-
rебра высказываний.
f 1. Понятие формуJIЫ исчисления высказываний
Описание всякоrо исчисления включает в себя опи-
сание символов этоro исчисления (алфавита). формул,
являющихся конечными конфиrурациями символов, и
определение выводимых формул.
Алфавит исчисления высказываний состоит из сим-
волов трех катеrорий:
1. Символы первой 'Катеrории: Х. У. Z, .... Х 1 , Х 2 , ....
Эти символы будем называть переменными высказыва-
ниями.
2. Символы второй катеrории: v. &, , . Они
носят общее название лоrических Связок. Первый из
них знак дизъюнкции или лоrическоrо сложения,
второй знак 'Конъюнкции или лоrическоrо умноже-
ния. третий знак импликации или лоrическоrо сле-
дования и четвертый знак отрицания.
3. Третью катеrорию составляет пара символов ( ),
называемая скобками.
Друrих символов исчисление высказывания не име-
ет. ФОРМУЛЫ исчисления высказываний представляют со-
исЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
47
бой последовательности символов алфавита исчисления
высказываний. Для обозначения формул будем пользо-
ватьсЯ большими буквами латинскоrо алфавита. Эти бук
ВЫ не являются символами исчисления. Они представля
ют собой только условные обозначения формул.
Определение формуJIЫ исчисления высказываний.
1. Всякая переменная х, у, Z, ... является формулой.
2. Если А и В формулы, то слова (А&В), (А v В).
(А в). А также формулы.
3. Никакая друrая строчка символов не является
формулой.
Переменные высказывания будем называть элемен-
тарнымИ формулами.
Приведем примеры формул исчисления высказыва-
ний.
Переменные высказывания х, у. z являются форму-
лами соrласно п. 1 определения формулы. Но тоrда слова
(х&у) , (х v z), (у z), х являются формулами соrласно
п. 2 определения. По этой же причине будут формулами
СЛова: (х&у ), ((xvz)&(y z)), ((x&y) (y z)).
Очевидно. не являются формулами слова:
ху, &х. (х&у, хуу.
(в третьем из этих слов содержится не закрытая скобка,
а в четвертом нет скобок).
Одновременно с понятием формулы вводится поня-
тие подформулы или части формулы.
1. Подформулой элементарной формулы является
только она сама.
2. Если формула имеет вид А , то ее подформулами
являются: она сама. формула А и все подформулы фор-
мулы А.
3. Если формула имеет вид (А * В) (здесь и в дальней-
Шем под символом * будем понимать любой из трех сим-
волов v, &, ), то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул А и В.
48
Курс лекций по математической лоеике
gапр мер. для формулы ((х&у) (z v У) ) ее подфор
мула И будут:
((х&u) (zv у) ) подформула нулевой rлубины,
(,X&Y ) , (zv У) подформулы первой rлубины.
:f' У. (z v у) подформулы второй rлубины.
11' z подформулы третьей rлубины,
z подформула четвертой rлубины.
<?чев ,дно. что на самой большой rлубине находятся
лишv элем:ентарные формулы. Однако элементарные фор
мул}} MO:ryT быть и на дрyrих rлубинах.
}3ведеr4 в запись формул некоторые упрощения. Бу
дем рпус ать в записи формул скобки по тем же прави-
лам, что в алrебре высказываний.
J3 свSlЗИ с этими правилами формулы ((А&В) v С),
( ), ((А v В) (C&D)) будем писать А& В v С,
А v Jj , л v В С& D соответственно.
f 2. Определение ДОRазуемой формулы
Следующим этапом в построении исчисления BЫC
Rаз:vIваНIIЙ является выделение класса доказуемых
формул.
Определение доказуемых формул имеет тот же xa
paKfep, что и определение формулы.
СнаЧаЛа определяются исходные доказуемые форму
лы (aKC OMЫ). а затем определяются правила Вывода,
KOTt>pble позволяют из имеющихся доказуемых формул
пол,тчить новые доказуемые формулы.
Образование доказуемой формулы из исходных дo
Rазiемых формул путем применения правил вывода, Ha
зываетсSl выводом данной формулы из аксиом.
1. СистеМа аксиом исчисления ВЫСRазываний.
Система аксиом исчисления высказываний состоит
из 1 аItсИОМ, которые делятся на четыре rруппы.
исчИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
49
Первая I'руппа аксиом:
11 х (у х) .
12 (х (у z)) ((х у) (х z)).
Вторая rруппа аксиом:
111 х&у х.
112 х&у у.
113 (z х) ((z у) (z х&у)).
Третья rруппа аксиом:
1111 х Х V у .
1112 У х v у ,
1113 (х z) ((у z) (х v у z)).
Четвертая rруппа аксиом:
IV 1 (х у) (у х).
IV 2 Х Х .
IV a х х.
2. Правила вывода.
1. Правило подстановки.
Если формула А доказуема в исчислении высказыва
ний, х переменная, В произвольная формула исчисле
ния высказываний. то формула. полученная в результате
замены в формуле А переменной х всюду. rде она входит,
формулой В, является также доказуемой формулой.
Операция замены в формуле А переменной х форму
лой В носит название подстановки и символически запи
сывается так:
в
J(A).
х
Уточним сформулированное правило.
а) Если формула А есть переменная х. то подстановка
в
НА) дает В.
"
50
Курс Лекций по математической лоеике
б) Если формула А есть переменная у. отличная от х,
в
то подстановка f (А) дает А
"
в) Если А формула. для которой подстановка уже
определена. то подстановка В вместо х в отрицание А
в
[( Х )
есть отрицание подстаНОВRИ, то есть подстановка
"
дает [(А).
"
r) Если А 1 и А 2 формулы, для которых подстановки
в
уже определены, то подстановка [(А1 * ) дает
"
в в
f(A 1 )* f(A 2 ).
" "
Если А доказуемая формула, то будем писать A.
Тоrда правило подстановки можно записать схематичес-
ки следующим образо'м:
A
[(А)
"
и читается эта запись так: .Если формула А доказу
в
ема. то доказуема формула [(А)..
"
2. Правило заключения.
Если формулы А и А В доказуемы в исчислении
высказываний, то формула В также доказуема.
Схематическая запись этоrо правила имеет вид:
A; A B
B
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
51
3. Определеиие доказуемой формулы.
а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.
б) Формула, полученная из доказуемой формулы пу-
тем применения под тановки вместо переменной х Про-
извольной формулы В есть доказуемая формула.
в) Формула В. полученная из доказуемых формул А
и А В путем применения правила заключения, есть
доказуемая формула.
r) Никакая друrая формула исчисления высказыва-
ний не считается доказуемой.
Процесс получения доказуемых формул будем назы-
вать доказательством.
При ведем примеры доказательств.
1. Доказать, что A А (рефлексивность имплика-
ции).
Воспользуемся аксиомой 12:
Нх (у z)) ((х у) (х z))
х
И выполним подстаноВКу J(12)' Тоrда получим
z
Нх (у х)) ((х у) (х х)). (1)
Применяя правило заключения к аксиоме 12 и фор-
муле (1). получим
Нх у) (х х).
В формуле (2) осуществим подстановку
(2)
х
J(2) .
у
в результате получим доказуемую формулу
Нх х) (х х).
(3)
Применим правило заключения к аксиоме IV 2 и форму-
ле (3). ЭТо приводит к доказуемой формуле
x х. (4)
52
Курс лекций по математической лоеике
Наконец, осуществив подстановку в формуле (4) вме-
сто х формулы А. получим
A A.
2. Доказать. что x v у х&у.
Возьмем аксиому П З и выполним в ней последова-
тельнО две подстановки, заменяя сначала х на х . а затем
у на у. В результате получим доказуемую формулу
Hz x) ((z y) (z x&y)). (1)
xvy
В формуле (1) выполним подстановку J(I). получим
z
Hxv у x) ( (xv у y) (XVy х&у)). (2)
Докажем, что формулы
х v у х (3)
и
xvy y
(4)
доказуемы.
Возьмем аксиому IV}и выполним подстановку
xvy
J(IV 1 ). получим
у
Нх Xv y) (XVy х).
(5)
Применяя к формуле (5) и аксиоме III} правило зак-
лючения. получаем доказуемость формулы (3). Анало-
rично устанавливается доказуемость формулы (4).
При мени м правило заключения к формулам (3) и
(2). получим доказуемую формулу
Hxv y y) (xv y х&у).
Применяя правило заключения к формулам
(6). получаем доказуемость исходной формулы.
(6)
(4) и
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
53
3. Производные правила вывода
Производные правила вывода. как и рассмотренные
правила подстановки и заключения, позволяют получать
новые доказуемые ф()рмулы. Они получаются с помощью
правил подстановки и заключения. а поэтому являются
производными от них.
1. Правило одновременной подстановки.
Пусть А доказуемая формула; X 1 , Х 2 . ..., Х п перемен
ные. а Bl' В2' .... В п любые формулы исчисления
высказываний. Тоrда результат одновременной подста
новки в А вместо X 1 , Х 2 . .... Х п соответственно формул Bl'
В2' ..., В п является доказуемой формулой.
Для доказательства этоrо правила выберем перемен
ные Zl' Z2' .... Z. попарно различные и отличные от всех
переменных. входящих в формулы А. В 1 , В 2 . ..., В п ' Теперь
последовательно сделаем в формуле А n подстановок. за
меняя сначала Х 1 на Zl' затем Х 2 на Z2 и так далее и. HaKO
нец. Х п на Zn' Эти подстановки дают доказуемые формулы:
ZI Z2
f... J(A) дает f...A 1 . f... J(A 1 ) дает f...A 2 , ....
Х 1 Х 2
Zn
f... J(Aп l) дает f...A п .
х n
Далее. проведем последовательно еще n подстановок
в формулу А п . заменяя сначала Zl на Bl' затем Z2 на В 2 и
так далее и, наконец. Z. на В п ' Эти подстановки дают
доказуемые формулы
В 1 В 2 ВN
J(An) дает Cl' J(c 1 ) дает C2' .... f... J(Cn l) дает Cn.
z, Z2 zn
Ясно. что доказуемая формула Сп получается в pe
Зультате одновременной подстановки в формулу А BMec
то переменных Х 1 . Х 2 . .... Х п формул В 1 . В 2 . ..., В п '
Схематично операция одновременной подстановки
записывается в виде:
54
Курс лекций по математической лоеике
A
,B2,...,Bп .
f (А)
X'1'X2'...'X'n
2. Правило сложиоrо заКJIЮчеиия.
Второе производное правило применяется к форму
лам вида
А 1 (А2 (Аз (...(А п L)...)))
и формулируется так:
Если формулы А 1 . А2' ..., А п и
А 1 (А2 (Аз (...(А п L)...))) доказуемы, то и
формула L доказуема.
Это утверждение леrко доказывается последователь-
ным применением правила заключения.
Действительно. если формулы
А 1 И Al (А2 (Аз (...(А п L)...)))
доказуемы, то по правилу заключения доказуема фор
мула
А 2 (Аз (...(А п L)...)).
Но так как формулыА 2 и А 2 (Аз (...( L)...))
доказуемы. то доказуема формула .Аа (...( L)...).
Продолжая эти рассуждения, мы докажем наконец,
что формула L доказуема.
Правило сложноrо заключения схематично записы-
вается так:
Al' A2"'" An, Al (А2 (Аз (...(А п L)...)))
L
иСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
55
3. Правило силлоrизма.
Если доказуемы формулы А В и В С, то дока-
зуема формула А С, то есть
f--- А в, f--- в С
f---A C
ДЛЯ доказательства этоrо правила сделаем следую-
щие одновременные подстановки:
А,В,С
J (12) и
В---)С,А
J (11) .
x,y,z
х,у
Получим доказуемые формулы
HA (B C)) ((A B) (A C)), (1)
НВ С) (А (в С)). (2)
Кроме Toro. по условию доказуемы формулы
f--- А В , (3)
f---B C. (4)
Из формул (4) и (2) по прав илу заключения получаем
f---A (B C). (5)
Но тоrда из формул (5) , (3) и (1) по правилу сложно-
ro заключения имеем f--- А С .
.4. Правило контрпозиции.
Если доказуема формула А В , то доказуема фор-
f---A B
мула в А, то есть f--- в А .
Для доказательства этоrо правила сделаем одновре-
менную подстановку:
А,В
J (IV 1 ) ,
х,у
получим доказуемую формулу
НА в) H B Х).
(1)
56
Курс лекций по математической лоеине
Но по условию доказуема формула
f...A B. (2)
Из формул (2) и (1) по правил у заключения имеем
f... B A .
5. Правило снятия двойноrо отрицания.
а) Если доказуема формула А В, то доказуеМа
формула А В .
б) Если доказуема формула А В. то доказуема
формула А В .
f...A B f...A B
ТО есть f... А В и f... А В .
Для доказательства этоrо правила выполним подста-
новки
А В
J(IV 2 ) и J(IV з ),
х х
получим доказуемые формулы
I---A A ,
f... B B.
Но по условию а) доказуема формула
f...A B .
а по условию б) доказуема формула
f... A В. (4)
Таким образом. если выполнено условие а). то из
формул (3) и (2) по правилу силлоrизма получаем
f...A B.
Если же выполнено условие б). то из формул (1) и (4)
получаем f... А В .
(1)
(2)
(3)
4. Понятие выводимости формулы
ИЗ совокупности формул
Будем рассматривать конечную совокупность фор
мул Н = {А 1 .А 2 ,....А п }.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
57
Определение формулы. выводимой ИЗ совокупиос-
тиН.
1) Всякая формула А ё Е Н является формулой, вы-
водимой из Н.
2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.
3) Если формулы С и С В выводимы из совокуп-
ности Н. то формула В также выводима из Н.
Если некоторая формула В выводима из совокупно-
сти Н, то записывают H В .
Нетрудно видеть. что класс формул. выводимых из
совокупности Н. совпадает с классом доказуемых фор-
мул в случае, коrда совокупность Н содержит только
доказуемые формулы, и в случае, Коrда Н пуста.
Если же совОкупность формул Н содержит хотя бы
одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводи-
мых из Н. шире класса доказуемых формул.
Пример. Доказать, что из совокупности формул
Н = {А. В} выводима формула А&В.
Доказательство. Так как А Е Н И В Е Н , то по оп-
ределению выводимой формулы
H A,
П В.
(1)
(2)
Возьмем аксиомы П З и 11 И выполним подстановки
x,y,z
В,А
[(11). В результате получим доказуемые
х,у
А,В,А
J (п з ) и
формулы, которые выводимы из Н по определению вы-
водимой формулы. то есть
ННА А) ((А В) (А А&В)). (3)
H В (А В) . (4)
Так как формула А > А доказуема, то
H A A.
(5)
58
Курс лекций по математической лоеике
Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем:
ННА --+ в) --+ (А --+ А&В). (6)
Из формул (2) и (4) по правилу заключения получаем:
Hf---A В. (7)
Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем:
Hf---A --+ А& В. (8)
И. наконец, из формул (1) и (8) получаем
Hf---A& В. (9)
Ясно, что при доказательстве выводимости формулы из
совокупности формул можно пользоваться не только основ-
ным правилом заключения, но и правилом сложноrо зак-
лючения. Тоrда. пользуясь этим правилом, предложение (9)
можно получить из предложений (5). (7). (1) и (3).
5. Понятие вывода
Определение. Выводо,м. из конечной совокупности фор-
мул 11 называется всякая конечная последовательность
формул Bl' В2' .... В'" всякий член которой удовлетворяет
одному из следующих трех условий:
1) он является одной из формул совокупности 11,
2) он Является доказуемой формулой.
3) он получается по правилу заключения из двух лю-
бых предшествующих членов последовательности Bl' В2'
..., B k -
Как было показано в предыдущем примере. выводом
из совокупности формул 11 = {А.В} является конечная
последовательность формул:
А,В.(А --+ А) --+ ((А --+ в) (А --+ А& в)). В --+ (А B
А --+ А. (А --+ в) --+ (А --+ А& в),А --+ В,А --+ А&В.А&В.
Если же здесь ВОспользоваться правилом сложноrо
заключения. то вывод можно записать так:
А,В.(А --+ А) --+ ((А --+ В) --+ (А --+ А& в)). В --+ (А --+ в).
А --+ А.А --+ В.А& В.
иСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
59
ИЗ определений выводимой формулы и вывода из
совокупности формул следуют очевидные свойства вы-
вода:
1) Всякий начальный отрезок вывода из совокупнос-
ти Н есть вывод из Н.
В самом деле, все формулы началъноrо отрезка выво-
да удовлетворяют определению вывода.
2) Если между двумя соседними членами вывода из
Н (или в начале, или в конце ero) вставить некоторый
вывод из Н, то полученная новая последовательность фор-
мул будет выводом из Н.
Действительно. например. если совокупности формул
В 1 . В2' ..., В,. В , +1' .... В" И С 1 . С 2 , ..., С т являются выводами
из Н. то совокупностьВ 1 . В 2 . .... В,. С 1 . С 2 . ..., С т , В , +1' .... В'"
по определению вывода. является выводом из Н.
3) Всякий член вывода из совокупности Н является
формулой, выводимой из Н.
Всякий вывод из Н является выводом ero последней
формулы.
4) Если Н с W , то всякий вывод из Н является вы-
водом из W.
5) Для Toro. чтобы формула В была выводима из
совокупности Н, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовал вывод этой формулы из Н.
6. Правила выводимости
Пусть Н И W две совокупности формул исчисления
высказываний. Будем обозначать через Н, W их объеди-
нение. то есть Н. W = HUW.
В частности. если совокупность W состоит из одной
формулы С. то будем записывать объединение HU{C} в
виде Н.С.
Рассмотрим основные правила выводимости.
H A
1. H.W A'
Это правило следует непосредственно из определе-
ния вывода из совокупности формул.
60
Курс лекций по математической лоаике
11 Н.С А,нf---с
. Hf---A .
Доказательство. Так как по условию из совокупности
формул Н, С выводима формулаА. то существует вывод из
Н, С. последней формулой KOToporo является А:
В 1 . В2' .... В Н ' А. (1)
Так как по условию из совокупности формул Н BЫBO
дима формула С. то существует вывод из Н. последней
формулой KOToporo является с:
с 1 . с 2 . ..., Ст' С. (2)
Если в выводе (1) отсутствует формула С. то он
является выводом только из совокупности Н, и, значит,
из Н выводима А.
Если в выводе (1) одна из формул есть формула С (напри
мер. формула В,). то вставим между формулами В и и В/Н вы-
ВОД из Н (2). В результате получим вывод только из Н:
В1' В2' .... B/ 1' с 1 ' с 2 . .... Ст' С. В н1 , .... Bk 1' А.
И. следовательно. формула А выводима из Н.
III. H,Cf---А. W C .
H,W A .
Доказательство. Так как H.q...A, то по правилу (1)
Н, W,C A.
Так как W C, то также по правилу 1 Н. W C.
Используя теперь правило 11, получаем Н, W A.
IV. Hf---C А .
H,cf---A
Доказательство. Так как из Н выводима формула
С А, то существует вывод из Н. на конце KOToporo
стоит формула С А :
В 1 . В 2 . ..., В н , С А. (1)
Присоединим теперь к совокупности формул Н фор
мулу С. Получим совокупность формул Н, С. При этом,
добавляя к выводу (1) формулу С, мы получим вывод
исЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
61
Bl' В 2 . .... В Н ' С А. с. (2)
который является выводом из Н. С.
Но в конце вывода (2) можно записать формулу А.
которая получается l!З формул С А и С по правилу
заключения.
Следовательно. имеем вывод из совокупности Н. С
Вр В2' ..., Bk l' С А, с, А.
последней формулой KOToporo является формула А. то
есть H,q...A.
V. Теорема дедукции: H.C A
H C А'
Доказательство. Предварительно докажем, что для
любоrо вывода Вl' В 2 . ..., Bk ИЗ совокупности Н. С спра-
ведливо утверждение: H C Bk' Доказательство про-
ведем методом математической индукции.
1. При k = 1 утверждение справедливо. Действитель-
но, если В 1 есть вывод из Н. с, то ВОЗМОжны три случая:
а) BIEH.
б) В 1 доказуемая формула,
в) В 1 есть С.
В случаях а) и б) можно записать вывод из Н: Вl'
Bl (с В 1 ). С Bl и. следовательно. H C .
в случае в) фактически нужно доказать, что
H C С. Но формула С С доказуема и поэтому вы-
водима из любой совок.упности.
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливо для любоrо вывода длины i < k и докажем что оно
справедливо для вывода длины k.
Пусть Bl' В2' ..., Bk вывод из Н. С. Ясно, что здесь
k > 1. и поэтому относительно формулы Bk возможны
четыре случая: .
а) Bk Е Н ,
б) Bk доказуемая формула.
с) Bk есть С.
r) Bk получается по правилу заключения из двух
формул, преДШествующих ей в выводе.
82
Курс лекцuii по математическоii лоеuке
Для первых трех случаев доказательство утвержде
пия H e Bk полностью совпадает с доказательством,
проведенным при k = 1.
Рассмотрим четвертый случай. Так как здесь фор-
мула Bk получается из двух формул В; и Bj при i < k и
j < k и , то формула Bj должна иметь вид B Bk' при-
чем справедливы утверждения
H e Вр
(1)
H e (В; B k ).
(2)
Воспользуемся аксиомой 12' выполнив в ней подста-
новку
C.Bi. B .
J(12)'
x.y,z
Получим доказуемую формулу
Не (В; B k )) ((с В;) (с B k )). (3)
Формулы (2) , (1) и (3) выводимы из Н. Применяя к
ним правило сложноrо заключения. получим H e Bk'
Вернемся теперь к общему случаю. Пусть H,e A.
Тоrда существует вывод Bl' В 2 . ..., Bk l' А из Н, е. При
этом по доказанному справедливо утверждение H e А.
Важным следствием из теоремы дедукции является
Обобщенная теорема дедукции:
{el'e2....,ek} A
el (е 2 (Са ...(ek А)...))'
Доказательство. Обозначим через Hk совокупность
формул
Hk = {e 1 ,e 2 ....,e k }.
По условию Hk A или Hk l t ek A. Но тоrда по те-
ореме дедукции справедливо утверждение Hk l ek А.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
63
Так как Hk l;;: Hk 2'Ck l' то справедливо утверж-
дение
Hk 2,Ck 1 Ck А.
Используя и здесь теорему дедукции, получим
Hk 2 Ck 1 (C k А).
Проделав эту процедуру k раз, мы придем к утверж-
дению:
Но ;;: 0 Cl (С 2 (Са ",(Ck А)...)).
Но из пустоI'О множества выводимы только доказуе-
мые формулы. то есть
Cl (С 2 (Са .,,(Ck А)...)).
в частном случае при k;;: 1, очевидно, имеем
C A
C А .
H A.H B
VI. Правило введения конъюнкции: H A&B .
Доказательство. По условию
H A,
H B.
(1)
(2)
Как было доказано ранее, из совокупности формул
{А. В} выводима конъюнкция А&В, то есть
{A.B} A&B .
(3)
Используя правило 1 выводимости, можно записать
H,A,B A&B. (4)
H.A B. (5)
Теперь. используя правило 11 выводимости, из (4) и
(5) получаем
H,A A&B. (6)
Также по правилу 11 из (1) и (6) получаем H A&B.
64
Курс лекций по математической лоеике
H.Af---С;Н.Вf---С
УН. Правило введения дизъюнкции: Н. А v Bf---C
Доказательство. Из условия H.Af---С;Н.Вf---С по те-
ореме дедукции имеем
Hf---A С.
Hf---B C.
(1)
(2)
Возьмем аксиому 1113. Она выводима из совокупнос-
ти Н как доказуемая формула. то есть
ННА с) ((в с) (А v В с)). (3)
Применяя к формулам (1) . (2) и (3) правило сложно-
1'0 заключения, получим
hf---АvВ С.
(4)
Используя теперь правило IV выводимости, получим
H.Avbf---с.
7. Доказательство некоторых законов лоrики
Правила выводимости, и особенно теорема дедукции.
позволяют доказать, ряд законов ЛОl'ики.
1. Закон перестановки посылок:
f---(x (у z)) (у (х z)).
(1)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н = {х (у z).y.x} следует вывод х (у z). у. х,
у z. z. то из совокупности Н выводима формула z.
ТОl'да по обобщенной теореме дедукции доказуема фор-
мула (1).
Из закона перестановки посылок вытекает nравuло
перестанов"и посыло'/С в доказуемых формулах:
Нх (у z))
Hy (x z))'
Действительно. если
f---x (у z).
(2)
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
65
то ИЗ формул (1) и (2) по правил у заключения следует
y (х z).
ll. Закон соединения посылок:
Нх (у z)) (х&у z). (3)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н=:: {х (у z).x&y} следует вывод х (у z). х&у,
х&у х, х&у у, х, у. у z, z, то из совокупности
Н выводима формула z. Тоrда по обобщенной теореме
дедукЦИИ доказуема формула (3).
Из закона соединения посылок вытекает правило
соединения посыло" в доказуемых формулах:
Нх (у z))
x& у z
Действительно. если
x (y z) (4)
то из формул (3) и (4) по правилу заключения следует
x&y z.
m. Закон разъединения посылок:
Нх&у z) (х (у z)).
(5)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н=:: {х.у.х&у z} следует вывод х, у. х&у z, х&у.
z. то из совокупности формул Н выводима формула z.
Тоrда по обобщенной теореме дедукции доказуема фор-
мула (5).
Из закона разъединения посылок вытекает правило
раЗ'hединения ПОСЫЛО" в доказуемых формулах:
x& у z
х (у z)'
Действительно, если
x&y z, (6)
то из формул (5) и (6) по правилу заключения следует
x (у z).
66
Курс лекций по математической лоеике
IV. x (x y). (7)
Доказательство. Сделаем подстановки в аксиомы 11 и
IV 1
у
J(1 1 ) и
у,х
J( IV 1) .
у х,у
В результате получим доказуемые формулы
x (y x). (8)
НУ х) (х у). (9)
Из формул (8) и (9) по правилу СИЛЛОI'изма следует
x (x y).
Используя закон соединения посылок, получим
x&x у.
Используя правило снятия ДВОЙНОI'О отрицания. по-
лучим
х& х у .
И. наконец, применяя закон разъединения посылок,
получим формулу (7).
5. Закон исключенноrо TpeTLero: x v х
Доказательство. Воспользуемся доказуемой формулой
x v у х&у (10)
ж
и. сделав в ней подстановку /(10), получим
у
xyx x&x. (11)
Также сделаем подстановку в формуле (7), заменяя х
на х, а у на у:
x (х у). (12)
Используя закон соединения посылок. будем иметь
x&x у. (13)
Из формул (11) и (13) по правилу СИЛЛОI'изма полу
чаем
x v х у . (14)
Из формулы (14) по правил у контрпозиции следует
y xyx .
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
67
Используя оба правила снятия Двойноl'О отрицания.
получаем
y xvx. (15)
Пусть теперь у любая доказуемая формула R . ТОl'да
из формул R. R х v х по правилу заключения по-
лучаем
xvx.
VI. x&y xvy .
Доказательство. Сделаем подстановку в аксиоме 111з,
заменяя в ней z на х& У :
Нх х&у) ((У х&у) (х v у х&у)) . (16)
Из аксиом 111 и 112 имеем:
x&y x, (17)
x&y у. (18)
При меняя к формулам (17) и (18) правило контрпо-
зиции. получим
x x&y .
H/ X&Y '
(19)
(20)
Используя правило снятия ДВОЙНОI'О отрицания, бу-
eM иметь:
x x&y ,
(21)
y Х&У ' (22)
При меняя к формулам (16). (21) и (22) правило слож-
HOI'O заключения, получаем
xvy X&Y .
(23)
Применяя к формуле (23) правило контрпозиции, а
затем правило снятия двойноrо отрицания, получаем
x&y--+ xvy .
68
Курс лекций по математической лоеике
8. Связь между алrеброй высказываний
и исчислением высказываний
Формулы исчисления высказываний можно интер..
претировать как формулы алrебры высказываний. Для
этоrо будем трактовать переменные исчисления BЫCKa
зываний как переменные алrебры высказываний, то есть
переменные в содержательном смысле. принимающие два
значения: истина и ложь (1 и О).
Операции &. V, и определим так же. как в
алrебре высказываний. При этом всякая формула ис-
числения высказываний при любых входящих в нее пе-
ременных будет принимать одно из значений 1 или О,
вычисляемое по правилам алrебры высказываний.
Введем понятие значения формулы исчисления выс-
казываний.
Пусть А формула исчисления высказываний. Х l'
Х 2 , ..., Х" попарно различные переменныс. среди кото-
рых находятся все переменные. входящие в формулу А.
Обозначим через ар а 2 . .... а" набор значений этих пере-
менных, состоящий из 1 и О, длины п. Очевидно. что
вектор (аt.а2.....аn)имеет 2" значений.
Определим значение формулы А на одном таком набо-
ре значений переменных, обозначая ero через RfXta 2 . ..ал (А):
1. Если для формулы А ее подформула самой боль-
шой rлубины есть X j . то RfXtlX:!...a" (Xi) = ai'
2. Если определены значения всех подформул rлуби-
ны k + 1 , то подформулы rлу6ины k, полученные в ре-
зультате операций & Aj' v Aj. Aj. будут'
иметь значения:
R ( А.&А. ) = R ( A. )& R ( А. )
аl".а п 1 а}".а п al...a n /'
R ( А V А. ) = R ( A. ) V R ( А. )
((,...а п J аl... а п аl... а 1l J'
R ( А. А. ) = R ( A. ) R ( A j)
аl... а п J аl.. . а п аl...ап '
R ( A'. ) =R ( А. ) .
аl... а п аl... а п
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
69
Например. формула X 1 v Х 4 Х 2 & Ха на наборе зна
ченИЙ (О, 1, 1. О ) пере менпых Х 1 , Х 2 . Хз, Х 4 имеет значение
R 0 \1o(X 1 v Х 4 Х 2 &Х а ) = 1.
Действи тельно . эта формула имеет:
Х 1 v Х 4 ? Х 2 & Ха подформулы первой rлубины.
X 1 . Х 4 ' X 1 & Ха подформулы второй rлубины.
Х 4 . Х 2 . Ха подформулы третьей rлубины.
Ха поДформула четвертой rлубин ы.
Orсюда R о1l0 (х з ) = 1. R о110 (х з ) = Roll0(Х З ) = о, R Ol1O (X2) = 1,
В оl1о (Х 4 ) = о. R01l0(X2& XS) = RoI10(X2)&Rollo(xs) = о,
RoIlО(Х 4 ) = R OllO (X4) = 1, R 01l0 (x 1 ) = О.
R OllO (Xl V Х 4 ) = В оll0 (Х 1 ) v В оll0 (х 4 ) = 1.
RОltО( Х2&ХЗ) = R0110(X2&XS) = 1,
ROltO(Xl V Х 4 .-..) х 2 &х з ) = R OllO (X 1 УХ 4 ).-..) RollО( Х 2 &Х З ) = 1.
Докажем три теоремы, которые устанавливают связь
между основными фактами алrебры высказываний и ис
числен ия высказываний.
Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в исчисле
нии выс"азываний, является тождественно истинной
в алzебре выс"азываний.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы,
очевидно. следует доказать три положения:
1) Каждая аксиома исчисления высказываний тож
дественно истинная формула в алrебре высказываний.
2) Правило подстановки. примененное к тождествен
но истинным формулам. при водит к тождественно ис
тинным формулам.
3) Правило заключения, примененное к тождествен
но истинным формулам. при водит к тождественно ис-
тинНым формулам.
1) Тождественная истинность аксиом исчисления BЫC
казываний может быть проведена перебором всех воз-
можных значений входящих в них переменных, то есть с
помощью таблиц истинности, которые имеют вид:
а) для аксиом, содержащих одну переменную
Х IV 2 IV s
1 1 1
О 1 1
70
Курс лекций по математической лоеике
б) для аксиом, содержащих две переменные
Х у 11 111 112 1111 1112 IV 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 О 1 1 1 1 1 1
О 1 1 1 1 1 1 1
О О 1 1 1 1 1 1
в) для аксиом. содержащих три переменные
Х у z 12 Нз IН з
1 1 1 1 1 1
1 1 О 1 1 1
1 О 1 1 1 1
1 О О 1 1 1
О 1 1 1 1 1
О 1 О 1 1 1 ,
О О 1 1 1 1
О О О 1 1 1
2) Лемма. Пусть 1' Х 2 . .... Хп' Х neречень пере.менных,
который содержит все neре.меnnые. входящие в фор.мулы А и
В, и пусть а 1 , а2' .... а п , а произвольnый фиксированный
набор из О и 1. Tozaa. если Ra 1 a 2 ...a.a(B) == Р. то
в а , а ,на.а(I(А)) = В",а,.а'р(А).
Доказательство леммы про ведем по индукции, учи-
тывающей построение формулы.
8) Пусть А есть переменная X j ' отличная от х. Тоrда
х
( В J
R А =а.
1Xt ...a.a 1 () 1 ,
R ( х. ) == а.
а 1 а 2 ...а.а j 1 ,
в
f(Xi) == Xi;
RIXt ...a.p(A) == ai, то есть утверждение леммы справедливо.
исЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
71
б) Пусть А есть переменная Х. Тоrда подстановка
}tA) дает В, R".....a"a(I(A)) = R".....a"a(B) = р, то ест'
утверждение леммы справедливо.
в) Пусть теперь формула А имеет вид: Al * . 11 для
формул Al И А 2 утверждение леммы справедливо. Ее
справедливость для формулы А следует из цепочки ра-
венств:
На,а....а.{l(А») = Ra,a....a.a[1(A 1 * А 2 ») = Ra,a....a.a[1(A 1 ) * 1( ») =
в в
= На,а....а.а f(A 1 ) * На,а....а.а [(А 2 ) = Ra,a....a..В(A 1 ) * На,а....а..В (А 2 ) =
:JC
:JC
= Ra,a....a.p(Al * А 2 ) = На,а....а.Р(А).
Аналоrично проводится доказательство леммЫ в слу-
чае. коrда формула А имеет вид Al '
Докажем теперь утверждение п. 2 теоремы.
Пусть А даnnая формула. Х перемеnnая, а В
любая формула исчислеnия выс"азываnий. Если А тож-
В
дествеnnо истиnnая формула. то и J(A) тождествеn-
по истиnnая формула. х
Доказате.льство. Пусть Х 1 , Х 2 . .... Х п ' Х полный пере-
чень переменных. входящих в формулы А и В. Нужно по-
казать, что на всех наборах значений Переменных
В
(а р а 2 ....,а п .а) формула J(A) принимает значение 1. Пред-
в х
Положим. что J (А) не тождественная истина. Тоrда су-
х u ( О О О О )
Ществует набор значении переменных a 1 ,а 2 ,.... а п , а
такой, что R о о о O ( B J( A ) = О. Но тоrда соrласно лемме
€li a.i . ..а,; а
х
72
Курс лекций по математической лоеике
R о о О р( А ) == О. а это противоречит тому. что А тож
а,: а 2 .. .а п
дественно истинная формула.
3) Если формулы С и С А тождественно иc
тинные, то и формула А тождественно истиНllая.
Доказательство проведем методом от противноro. Пусть
X 1 ' Х 2 ' ..., Х п полный набор переменных. входящих в фор
мулы С и А. Предположим. что А не тождественно истин
ная формула. Torдa существует набор значений переменных
( af.ag...,a ) такой, что R о о О ( А ) == О. Но при этом
а,: a J . . .а п
Ra,:o ...a::(C А) == Ra,:0 ...a::(C) Ralo ...a::(A) == 1 О == О.
что противоречит тождественной истинности формулы
C A.
Теорема 2. (о выводимости). Пусть А некоторая
формула исчисления высказываний; Хl' Х 2 ' ..., Х п набор
nеременных, содержащий все nеременные, входящие в
формулу А; a 1 , а2....' а п nроизвольный фиксированный
набор значений этих nеременных. Обозначим через Н
Ф Н { al а2 а п } д
конечную совокупность ормул == X 1 'Х 2 .....Х п ,: е
tlj { Xi. если ai == 1,
Х.
xi' если ai == О.
1) Если Ra,:a....a,. (А) == 1, то H A.
2) Если Ra,:a....a,.(A) == О, то H A .
Доказательство. Доказательство теоремы проведем по
индукции (индукция по построению формулы).
1. Пусть формула А есть переменная X j '
а) Если Ra,:a....a,.(Xi) == ai == l,то, очевидно. Xi Xi' или,
что то же X Х р то есть X А, и тем более, H А .
б) Если Ra,:a....a,.(Xi) == ai == О/то, очевидно. xi Xi. или,
что то же xr' Xi, то есть X А. и тем более. H А .
2. Предположим теперь, что формула А имеет один
из следующих четырех видов: 1. Bl & В 2 . 11. В 1 V В 2 ,
111. В 1 В2' IV. 1h и для формул Bl И В 2 теорема спра-
ведлива. Рассмотрим каждый из четырех случаев.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
73
1. Пусть А имеет вид В 1 & В 2 .
а) Если R a1 ...a.,(B 1 &B 2 ) == 1, 1'0 Ral...a.,( ) == 1 и
Rщ...а п (В 2 ) == 1, но тоrда по предположению H Bl и H B2'
ОтСЮда по правилу введения конъюнкции H В 1 & В2' то
есть H A.
I
б) Если Ral".an ( &B2) == О, то либо Ral...an (В 1 ) == о, либо
Ral'..an (В 2 ) == О. Пусть. например, Ral".an (В 1 ) == О. Тоrда по
предположению
H Bl '
(1)
Воспользуемся аксиомой II 1 : & В 2 В 1 . Отсюда
по правилу контр позиции
&B2' (2)
Из форму л (1) и (2) по правилу заключения получа
ем H &B2' то есть H A.
П. Пусть А имеет вид В 1 V В 2 .
а) Если Ral'..an ( v В 2 ) == 1, то истинно хотя бы одно из
значений Ral'..an (В 1 ) или Ral...an (в 2 ). Пусть Ral...an (В 1 ) == 1.
Тоrда по предположению
H Bl' (3)
Воспользуемся аксиомой III 1 :
Et Et v В 2 . (4)
Из формул (3) и (4) по правилу заключения получа-
ем H v В 2 . то есть H A.
б) Если Ra1...a п ( v В 2 ) == О, то Ra1...a п ( ) == о и
Ral'..a.,( В 2 ) == О. Отсюда следует, что H В 1 И H В 2 . Но
тоrда по правилу введения конъюнкции
H & B2 ' (5)
Воспользуемся доказуемой формулой
Bl & B2 В 1 V В 2 .
(6)
74
Курс лекций по математической лоеике
Из фо рмул (5) и (6) по правил у заключения имеем
H B1 v В2' то есть H A.
llI. Пусть А имеет вид В 2 .
а) Если В а1 ...а n (В1 В 2 ) == 1. то либо В а1 ...а n (В 1 ) =: О,
либо R a1 ...a n (В 2 ) =: 1.
Если Rщ...аJ ) == О. то
H B1 ' (7)
Воспользуемся доказуемой формулой В 1 ( В1 в 2 ).
Из этой формулы по правилу перестановки посылок по-
лучим
B1 ( в 2 ). (8)
Из формул (7) и (8) по правилу заключения получим
H B1 В 2 . то есть H A.
Если R a1 ...a n (В 2 ) == 1. то
H B2'
Воспользуемся аксиомой 11:
B2 (В1 В 2 ) (10)
Из формул (9) и (10) по правилу заключения имеем
H В 2 . то есть. H А .
б) Если Ral'..an ( В 2 ) == О. то В а1 ...а n ( ) == 1. а
в а1 "' аn (В 2 ) =: О. Отсюда по предположению
(9)
H Bl
(11)
и
H B2 '
Воспользуемся доказуемой формулой:
(12)
НВ 1 В 2 ) (В1 в 2 ).
Из этой формулы по правилу перестановки посылок
получаем
B1 ((В 1 В 2 ) в 2 ). (13)
Из формул (11) и (13) по правилу заключения получим
HH( В 2 ) в 2 ).
(14)
исчИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
75
ИЗ формулы (14) по IIр авИЛУ кон тр позиции имеем
Hf--- B 2 (В1 в 2 ). (15)
Из ф ормул (12 ) и (15) по правилу заключения полу
чаем ННВ 1 В 2 ), то есть Hf---A.
IV. Пусть А имеет вид В 1 .
а) Если R a1 ...a n ( В 1 ) = 1. то R a1 ...a n (В 1 ).= О, и, значит,
Hf--- В1' то есть Hf--- А .
б) Если R a1 ...a n ( В 1 ) = О, то R a1 ...a n (В 1 ) = 1, и значит,
Hf---B 1 . (16)
Воспользуемся аксиомой IV 2:
Hf---B 1 В 1 . (17)
Из формул (16) и (17) по правилу заключения полу
чаем Hf--- Bl ' то есть Hf--- А .
Теорема 3. Каждая тождественно истинная фор-
мула алzебры высказывании доказуема в исчислении выс-
казываниц.
Доказательство. Пусть А тождественно истинная в
алrебре вь сказываний формула. а Х 1 ' Х 2 ' .... Х N перечень
всех переl\tенных, входящих в формулу А.
Возьмreм любой набор значений этих переменных
(а 1 . а 2 ..... О(n)'
Так как формула А тождественно истинная, то
R a1 ...a n (А) '= 1. Отсюда по теореме 2 следует, что
Hnf---A,
(1)
H { al а2 а n }
rде n Х 1 'Х2 ,....х п .
Так как Bcero наборов (а р а 2 ....,а n ) 2\ то соотноше-
ние (1) справедливо в 2 п случаях.
Ehпи
Н { аl а2 an 1 }
n 1 = Х 1 'Х 2 ....'xn 1 ,
то,
очевидно,
Нn 1.Хnf---А и Нn 1.Хnf---А. Тоrда по правилу введения
ДИЗЪЮНКЦии Hn I'Xn v xn A. Но формула Х п V Х N дока-
зуема и e можно опустить из совокупности формул
Hn 1'Xn V Xn. Значит, Hn lf---A.
76
Курс лекций по математической лоеике
Аналоrично. обозначая через Н n 2 = {xfl. x 2 ,..., Х:':2 2 } .
..., Н 2 = {X 1.X 2}, Н 1 = {xfl}, последовательно докажем.
что Hn 2f---A, щ, H 2 f---A, H 1 f---A. Но соотношение Н 1 =
= {x }f--- А справедливо при а 1 = 1 и при аl = О, то есть
Х 1 r:-- А и x 1 f--- А, Отсюда по правилу введения дизъюнкции
имеем Х 1 v x 1 f---A, Но формула Х 1 v Х 1 доказуема, и по
этому ее можно опустить. Следоuательно, gf---A, а это
означает, что формула А доказуема.
9, Проблемы аксиоматическоrо Ilсчисления
высказыв ании
Всякая аксиоматическая теория для ее обоснования
требует рассмотрения четырех проблем:
1) проблемы разрешимости.
2) проблемы непротиворечивости,
3) проблемы полноты.
4) проблемы независимости.
1. Проблема разрешимости исчисления выска-
зываний.
Проблема разрешимости исчисления высказываний
заключается в доказательстве существования алrорит
ма. который позволил бы для любой заданной формулы
исчисления высказываний определить. является ли она
доказуемой или не является.
Теорема. Проблема разрешимости iJля исчисления
высказываний разрешима.
Доказательство. Любая формула исчисления BЫCKa
зываний может рассматриваться как формула алrебры
высказываний. и, следовательно. можно рассма'l'ривать
ее лоrические значения на различных наборах значений
входящих в нее переменных.
Пусть А любая формула исчисления высказываний.
а Х 1 , х 2 ' .... Х п перечень входящих в нее переменных.
Вычислим R lX:!...a,.(A) на всех наборах значений
a 1 ,a 2 ,....a n входящих в нее переменных. Если при этом
R lX:!...a,.(A)=1 на всех наборах а1.а2.....аn' то формула
А тождественно истинная. и. значит, по теореме о ДOKa
зуемости тождественно истинной формулы она доказуема.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
77
Если же существует набор значений переменных
а 1 0.а 2 0.....а п О такой, что R о о о(А) = О, то формула А
аl ,а2 ,...,а n
не тождественно истинная. и. значит по теореме 1 8
она не доказуема.
2. Проблема непротиворечивости исчисления выс-
казываний. Лоrическое исчисление называется непро-
тиворечивым. если в нем не доказуемы никакие две фор-
мулы. из которых одна является отрицанием друrой.
Иначе rоворя, аксиоматическое исчисление называ-
ется не противоречивым, если в нем не существует такая
формула А. что доказуема А и доказуема А.
Проблема непротиворечивости заключается в выяс-
нении вопроса: является данное исчисление непротиво-
речивым или нет?
Если в исчислении обнаруживаются доказуемые фор-
мулы вида А и А . то такое исчисление называется npo
тиворечивы.м.
Если бы в исчислении высказываний некоторые фор-
мулы А и А оказались доказуемы. то в нем бы оказалась
оказуемой любая формула В. Докажем это.
Будем в дальнейшем обозначать через R любую до-
казуемую формулу, а через F формулу R .
Во первых, докажем, что для любой формулы В до-
казуема формула
f---B R. (1)
Действительно. подстановка в аксиому 11 дает:
f---R (B R). (2)
Но по условию
f---R. (3)
Из формул (2) и (3) по правилу заключения получа-
ем справедливость (1).
Докажем теперь, что для любой формулы В доказу-
ема формула
f---F В. (4)
Действительно. Подстановка в аксиому lV 1 дает:
H B R) ( R B ). (5)
Но по доказанному
f--- B R.
(6)
78
Курс лекций по математической лоеuке
Из формул (6) и (5) по правилу заключения получаем
f--- R В . (7)
Используя правило снятия двойноrо отрицания и за-
меняя R на р. получим (4).
И. наконец. докажем. что для любой формулы А
доказуема формула
f---A& A F. (8)
Соrласно аксиомам 11 и IV 1 доказуемы формулы
f---A (R А),
HR А) ( А р).
(9)
(10)
Из формул (9) и (10) по правилу силлоrизма получаем
f---A (А р).
Отсюда по правилу соединения посылок приходим к
формуле (8).
Из формул (4) и (8)по правилу силлоrизма имеем
f---A& A В.
(11)
Но так как по предположению A и f---A. то A&A,
и. следовательно. доказуема формула В.
Теорема. Исчисление высказываний непротиворечиво.
Доказательство. Докажем, что в исчислении выска-
зываний нет такой формулы А. для которой доказуемы
А и А .
Пусть А любая формула исчисления высказыва-
ний. Если А доказуема, то по теореме 1 8 она тожде-
ственно истинна, и, значит, А тождественно ложная
формула. а поэтому не доказуема.
3. Проблема полноты исчисления высказываний.
Определение 1. Аксиоматическое исчисление назы-
вается ПОЛНЫМ в узком смысле, если добавление к спис-
ку ero аксиом любой недоказуемой в исчислении форму-
лы в качестве новой аксиомы приводит к противоречи-
вому исчислению.
Определение 2. Исчисление высказываний называ-
ется ПОЛНЫМ в широком смысле, если любая тожествен-
но истинная формула в нем доказуема.
иСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
79
Из этих определений следует, что проблема полНОты
исчисления высказываний должна решить два вопроса:
1) Можно ли расширить систему аксиом аксиомати-
ческоrо исчисления путем добавления к ней в качестве
новой аКСИОМЫ какой нибудь недоказуемой в этом ис-
числении формулы?
2) Является ли всякая тождественно истинная фор-
мула алrебры высказываний доказуемой в исчислении
высказываний?
Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.
Теорема 1. Исчисление вЫС1(;азываний' полно в уз-
1(;ОМ смысле.
Доказательство. Пусть А любая недоказуемая фор-
мула исчисления высказываний, а Х р Х 2 . .... Х N полный
перечень входящих в формулу А переменных.
Так как А недоказуемая формула. то она не явля-
ется тождественно истинной. Следовательно, существу-
ет набор значений переменных llt,a 2 ....,a n таких, что
Ra,.lX:!...aJA(Xl.X2....Xn)) = О. (1)
Пусть В1' в 2 . ..., ВN любые тождественно истинные фо{r
мулы, зависящие от тех же переменных Х 1 , Х 2 , ..., Хn' Рассмот-
а { B j . если а ; = 1.
рим набор ВУ1. В;2 ...., В:" , rде В; 1 = В О
j' если а ; .
Осуществим следующую подстановку в формулу А:
tZJ. ,В:2,". .,в:n
J(A) Цолучим формулу
X 1 .X 2 ,...X n
A(Bf1.B;2 .....В:.).
(2)
Докажем. что формула (2) тождественно ложная.
Возьмем любой набор O''t. 0"2' .... О"п значений переменных Х 1 ,
Х 2 . .... Хn' Так как формулы В1' В2' .... В п тождественно
истинные. то R0"1.0"2....'0". (в;) = 1. Но тоrда R0"1'0"2'....O"n (В;'''! ) = а;,
и. следовательно,
RO"l.0"2....'O"nA(Bfl. В;2..... В:' ) = А( a 1 . а 2 ..... Cln) = о.
80
Курс лекций по математической лоеике
Отсюда следует, что формула A(Bfl.B:2.....B:n) тожде
ственно истинная. и, значит. по теореме 3 8 является
доказуемой.
С друrой стороны. если к списку аксиом исчисления
высказываний присоединить в качестве новой аксиомы
формулу А(х 1 .х 2 .....х n ). то она в новом исчислении будет
доказуемой как аксиома. В то же время в новом исчисле-
нии будет доказуемой и формула А( Bfl . В:2,.... в:n) как
формула. полученцая из доказуемой в результате подста-
новки.
Итак, в новом исчислении ок азываются доказу емы-
ми формулы А(.Б:1.в:2....,в:n) и A(Bfl.B:2,...,B:n). что
при водит К противоречивому исчислению.
Теорема 2. Исчисление высказывании полно вши.
роком смысле.
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 3 8.
4. Проблема независимости аксиом исчисления выс-
казываний.
Для всякоrо аксиоматическоrо исчисления возника-
ет вопрос о независимости ero аксиом. вопрос этот ста-
вится так: можно ли какую нибудь аксиому вывести из
остальных аксиом, при меняя правила вывода данной
системы?
Если для некоторой аксиомы системы это возможно,
то эту аксиому можно исключить из списка аксиом сис-
темы, и лоrическое исчисление при этом не изменится. то
есть класс доказуемых формул останется без изменения.
Определение. Аксиома А называется независимои
от всех остальных аксиом исчисления. если она не MO
жет быть выведена из остальных аксиом.
Система аксиом исчисления называется независи-
мои, если каждая аксиома системы независима.
Теорема. Система аксиом исчисления высказывании
независима.
Доказательство. Для доказательства независимости
аксиомы А исчисления проведем некоторую интерпрета-
цию исчисления высказываний. Будем интерпретировать
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
81
переменные исчисления как переменные. принимающие
два значения. которые будем обозначать буквами а, р,.
rде а иrрает роль истины. а р лжи.
Операции &. v. , определим с таким расчетом,
чтобы соблюдались следующие условия:
1. Все аксиомы. кроме аксиомы А. при всех значени-
ях переменных принимают значение а.
2. Каждая формула. выводимая из совокупности всех
отличных от А аксиом системы, также принимает значе-
ние а при всех значениях входящих переменных.
3. Аксиома А принимает значение р при некоторых
значениях входящих в нее переменных.
Ясно, что. если удается провести такую интерпрета-
цию. то независимость аксиомы А от друrих аксиом
исчисления будет доказана. Действительно. если бы ак-
сиома А была выводима из остальных аксиом исчисле-
ния. то она соrласно пункту 2 принимала бы значение а
при всех значениях переменных, а это бы противоречило
пункту 3.
Условимся. что формулы. в которых вместо пере-
менных подставлены некоторые их значения, также име-
ют смысл. Например. а& р, а А и т.д.
Формулы. которые принимают одинаковые значения
при всех заменах входящих в них переменных на значе-
ния а. р, будем считать равными: А = В .
При этом будем считать. что знак равенства связы-
вает слабее лоrических связок &, v, .
Теперь докажем независимость аксиомы I1 1 .
С этой целью определим все лоrические операции,
кроме конъюнкции. как в алrебре высказываний. Опе-
рацию конъюнкции определим равенством х& у = у.
Выпишем эту интерпретацию подробно:
a a= p p= p a= a p=A
ava= avp= pva= pvP=A
а=р;
р =а;
а&р= р;
р& а = а;
р& Р = р.
а&а = а;
82
Курс лекций по математической лоеике
Покажем теперь, что три перечисленные условия
(см. выше) при этой интерпретации выполняются.
Леrко видеть. что все аксиомы исчисления BЫCKa
зываний. кроме аксиомы 111' при этой интерпретации
принимают значение а.
Действительно. во все аксиомы rрупп 1, 111 и IV
операция конъюнкция не входит; остальные же опера-
ции определены так же. как в алrебре высказываний.
Так как в алrебре высказываний эти формулы явля
ются тождественно истинными. то и в данной интерпре-
тации они принимают значение а при всех значениях
переменных.
Рассмотрим аксиомы 111' 112' 113.
Аксиомы 112 И 113 В данной интерпретации принима-
ютвид у----+у и (x----+y)----+((x----+z)----+(x----+z)). Эти фор-
мулы не содержат операцию конъюнкции и являются
тождественно истинными в алrебре высказываний. По-
этому они всеrда принимают значение а.
Аксиома 111 не равна тождественно а, так как в дан-
ной интерпретации она равносильна формуле у ----+ х,
которая при х = р, у = а принимает значение р.
Теперь остается доказать, что формулы, получен-
ные путем правил вывода из таких, которые тожде-
ственно равны а, сами равны а. Но ранее было дока-
зано, что правила пор;становки и заключения. приме-
ненные к тождественно истинным формулам. при водят
нас к тождественно истинным формулам.
Следовательно, условие пункта 2 выполняется.
Таким образом, независимость аксиомы 111 доказана.
По аналоrичной схеме доказывается независимость
остальных аксиом исчисления высказываний rрупп 11,
111 и IV. Несколько сложнее доказывается независи-
мость аксиом rруппы 1.
r ЛАВА 111
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
f 1. Понятие предиката
в алrебре лоrики высказывания рассматриваются как
нераздельные целые и только с точки зрения их истинно-
сти или ложности. Ни структура высказываний. ни. тем
более, их содержание не затраrиваются. В то же время и
в науке, и в практике используются заключения. суще-
ственным образом зависящие как от структуры. так и от
содержания используемых в них высказываний.
Например. в рассуждении .Всякий ромб паралле-
лоrрамм; AВCD ромб; следовательно, AВCD парал-
лелоrрамм. посылки и заключение являются элемен-
тарными высказываниями лоrики высказываний и с
точки зрения этой лоrики рассматриваются как целые,
неделимые, без учета их внутренней структуры. Следова-
тельно, алrебра лоrики. будучи важной частью лоrи-
ки. оказывается недостаточной в анализе мноrих рас-
суждений.
В связи с этим возникает необходимость в расширении
лоrики высказываний. в построении такой лоrической
системы. средствами которой можно было бы исследовать
и структуру тех высказываний, которые в рамках лоrики
высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой лоrической системой является лоrика Преди-
катов, содерЖащая всю лоrику высказываний в каче-
стве своей части.
Лоzu"а nреди"атов, как и традиционная формаль-
ная лоrика. расчленяет элементарное высказывание на
суб'Ое"m (буквально подлежащее, хотя оно и может
иrрать роль дополнения) и nреди"ат (буквально ска-
зуемое. хотя оно может иrрать и роль определения).
Суб'Ое"m это то, о чем что-то утверждается в выс-
казывании; nреди"ат это ТО, что утверждается о
субъекте.
84
Курс лекций по математической лоеиllе
Например, в высказывании .7 простое ЧИCv'lо.. ..7.
субъект. «простое число. предикат. Это высказывание
утверждает, что .7. обладает свойством .быть простым
числом..
Если в рассмотренном примере заменить конкретное
число 7 переменной х из множества натуральных чисел,
то получим выс"азывательную форму .х простое чис
ло.. При одних значениях х (например. х = 13, х = 17)
эта форма дает истинные высказывания, а при друrих
значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает
ложные высказывания.
Ясно, что эта высказывательная форма определяет
функцию одной переменной х, определенной на множе-
стве N, и принимающую значения из множества {1.0}.
Здесь предикат становится функцией субъекта и Bыpa
жает свойство субъекта.
Определение. Одноместным nреди"атом Р(х) Ha
зыаетсяя произвольная функция переменноrо х, опреде
ленная на множестве М и принимающая значения из
множества {1.0}.
Множество М, на котором определен предикат Р(х).
называется областью оnределенuя nреди"ата.
Множество всех eMeHТOB х е М , при которых преди-
кат принимает значение . истина. . называется множеством
истинности предиката Р(х) , то есть множество истиннос
ти предиката Р(х) это множество Iр = {х: х еМ, Р(х) = 1}.
Так. предикат Р(х) .х простое число. определен
на множестве N, а множество 1 р для Hero есть множест-
во всех простых чисел. Предикат Q(x) . sin х = о.
определен на множестве R, а ero множество истинности
IQ = {kл-. k е z}. Предикат F(X) .Диаroнали паралле-
лоrpамма х перпендикулярны. определен на множестве
всех параллелоrраммов, а ero множеством истинности
является множество всех ромбов.
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
85
Приведенные при меры одноместных предикатов BЫ
ража ют свойства предметов.
Определение. Предикат Р(х) , определенный на MHO
жестве М, называется тождественно истииным (тож-
дественно ЛОЖНЫМ). если Iр = М (I p = 0).
Естественным обобщением понятия одноместноrо
предиката является nонятuе MuoZOMecmHOZO nреди"а-
та, с помощью KOToporo выражаются отношения меж
ду предметами.
Примером бинарноrо отношения (отношения между
двумя предметами) является отношение .меньше». Пусть
это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно
может быть охарактеризовано высказывательной фор
мой « Х < у » . rде х. У Е Z, то есть является функцией
двух переменных Р(х.у). определенной на множестве
Z х Z с множеством значений {1,0}.
Определение. Двухместным nреди"атом Р(х.у) Ha
зывается функция двух переменных х и У. определенная
на множестве М = М 1 Х М 2 И принимающая значения
из множества {1.о}.
в числе примеров двухместных предикатов можно
назвать предикаты: Q(x. У) . х = У. предикат равенства,
определенный на множестве R 2 = R х R; Р(х.у) . х//у.
прямая Х параллельна прямой У, определенный на множе
стве прямых, лежащих на данной ПЛОСКОС'fИ.
Аналоrично определяется n местный предикат.
f 2. Лоrические операции над предикатами
Предикаты, так же. как высказывания. принимают
два значения u и Л (1. О). поэтому к ним применимы все
операции лоrики высказываний.
Рассмотрим применение операций лоrики высказьша-
ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Пусть на некотором множестве М определены два
предиката Р(х) и Q(X).
86
Курс лекций по математической лоеике
Определение 1. Кон'Оююсцией двух предикатов Р(х)
и Q( х) называется новый предикат Р(х)& Q( х), который
принимает значение истина» при тех и только тех зна-
чениях Х Е М, при которых каждый из предикатов при-
нимает значение «истина.. И принимает значение «ложь.
во всех остальных случаях.
Очевидно, что областью истинности предиката
p(X)&Q(X) является общая часть областей истинно-
сти предикатов Р(х) и Q(X) , то есть пересечение I р nIQ.
Так. например. для предикатов Р(х): .Х четное
число. и Q(X): X кратно 3. конъюнкцией p(X)&Q(X)
является предикат X четное число и Х кратно 3.. то
есть предикат .Х делится на 6».
Определение 2. Ди3'Оююсцией двух предикатов Р(х)
и Q(X) называется новый предикат Р(х) v Q(x), который
принимает значение «ложь» при тех и только тех значе-
ниях Х Е М. при которых каждый из предикатов при-
нимает значение ложь. и принимает значение .исти-
на. во всех остальных случаях.
Ясно. что область истинности предиката Р( х) v Q( х)
является объединение областей истинности предикатов
Р(х) и Q(x). то есть объединение Iр UIQ.
Определение 3. Отрицанием предиката Р(х) назы-
вается новый предикат Р(х). который принимает значе-
ние .истина. при всех значениях Х Е М. при которых
предикат Р( х) принимает значение .ложь., и принима-
ет значение .ложь. при тех значениях Х Е М, при кото-
рых предикат Р(х) принимает значение .истина..
. Из этоrо определения следует, что 1 р = м \ 1 р = СI р .
лоrиКА ПРЕДИКАтов 87
Определение 4. Имnли"ацией предикатов Р(х) и
Q(x) называется новый предикат Р(х) Q(x). который
является ложным при тех и только тех значениях х Е М ,
при которых одновременно Р(х) принимает значение
.истина.. а Q(x) зн чение .ложь. и принимает значе
ние . истина. во всех остальных случаях.
Так как при каждом фиксированном х Е М спра-
ведлива равносильность Р(х) Q(x) == Р(х) V Q(x) , то
Ip Q = IpUI Q = ClpUI Q .
3. Кванторные операции
Пусть имеется предикат Р(х). определенный на мно-
жестве М. Если а некоторый элемент из множества М,
то подстановка ero вместо х в предикат Р(х) превращает
этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказыва-
ние называется единичным. Наряду С образованием из
предикатов единичных высказываний в лоrике преди-
катов рассматривается еще две операции. которые пре-
вращают одноместный предикат в высказывание.
1. :Квантор всеобщности. Пусть Р(х) предикат,
определенный на множествеМ. Под выражением Vx Р(х)
понимают высказьшание. истинное. коrда Р(х) истинно
для каждоrо элемента х из множества М и ложное в про-
тивном случае. Это высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее ему словесное выражение будет .Для
всякоrо х Р(х) истинно.. Символ V называют "ванто-
ром всеобщности.
Переменную х в предикате Р(х) называют свободной
(ей можно придавать различные значения из М), в
высказывании V х Р( х) переменную х назьшают связанной
квантором V .
88
Курс лекций по математической лоеике
2. :Квантор существования. Пусть Р(х) предикат.
определеШIЫЙ на множестве М. Под выражением 3х Р( х)
понимают высказывание. которое является истинным. если
существует элемент х Е М, для котороro Р(х) истинно. и
ложным в противном случае. это высказывание уже не зави
сит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет:
«Существует х. при котором Р(х) истинно». Символ 3 назы-
вают "ваптором существовапuя. В высказывании 3х Р( х) пе
ременная х связана квантором 3.
Приведем пример употребления кванторов. Пусть на
множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х):
Число х кратно 5.. Используя кванторы. из данноrо
предиката можно получить высказывания: V х Е N Р( х)
.Все натуральные числа кратны 5»; 3х Е N Р(х) Cy-
ществует натуральное число, кратное 5.. Очевидно. пер-
вое из этих высказываний ложно, а второе истинно.
Ясно, что высказывание V х Р( х) истинно только в
том единственном случае, коrда Р(х) тождественно
истинный предикат. а высказывание 3х Р(х) ложно толь-
ко в том единственном случае, коrда Р(х) тождествен-
но ложный предикат
:Кванторные операции применяются и к MIIoroMeCT-
ным предикатам. Пусть, например, на множестве М за-
дан двухместный предикат Р( х, у). Применение квантор-
ной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ста-
вит в соответствие двухместному предикату Р(х.У) од-
номестный предикат Vx р(х.У) (или одноместный пре-
дикат 3х Р(х, У)) , зависящий от переменной у и не за-
висящий от переменной х. :К ним можно применить кван-
торные операцИИ по переменной У. которые приведут уже
к высказываниям следующих видов:
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
89
Vyvxp(x.y). 3yVxP(x.y). Vy3xP(x,y), 3у3хР(х,у).
Например. рассмотрим предикат Р( х, у): . х: у .. оп
ределенный на множестве N. Применение кванторных
операций к предикату Р( х. у) при водит К восьми воз
можным высказываниям:
1. VyVxp(x.y) .Для всякоrо у и для всякоrо х у
является деЛhтелем х..
2. 3yVxP(x,y) .Существует у. которое явл.яется
делителем вс.якоrо х..
3. vy3xP(x.y) .Для всякоrо у существует х такое,
что х делится на у..
4. 3у3хР(х.у) .Существует у и существует х Ta
кие, что у .является дслителем х..
5. VxVyp(x.Y) .Для всякоrо х и для всякоrо у у
является делителем х..
6. vхзур(х.У) .Для всякоrо х существует такое у,
что х делится на У..
7. зхзур(х.У) .Существует х и существует у та-
кие, что у является делителем х..
8. 3xVyP(x.Y) .Существует х такое. что для вся-
Koro у х делится на У..
Леrко видеть, что высказывания 1. 5 и 8 ложны. а
высказывания 2. 3, 4, 6 и 7 истинны.
Из рассмотренных примеров видно, что в общем слу-
чае изменение порядка следования кванторов изменяет
смысл высказывания. а значит, и ero лоrическое значе-
ние (например, высказывания 3 и 8).
Рассмотрим предикат Р( х), определенный на мно-
жестве М = {аl.а2.....ап} , содержащем конечное число
элементов. Если предикат Р( х) является тождественно
истинным, то истинными будут высказывания Р( аl) ,
Р(а2). ..., Р(а п ). При этом истинными будут высказыва
ние V хР( х) и конъюнкция Р( аl)& Р( а2)& ... & Р( а п ) .
90
Курс лекций по математической лоеике
Если же хотя бы для одноrо элемента ak Е М Р( ak)
окажется ложным. то ложными будут высказывание
'v'xp(x) и конъюнкция Р(аl)& Р(а2)&'" & Р(а п ). Следова-
тельно, справедлива равносильность
'v'xp(x) == Р(аl)& Р(а2)&"'& Р(а п ).
Нетрудно показать, что справедлива и равносиль-
ность
3х Р(х) == Р(аl) v p(a2)v...vp(a n ).
Отсюда видно. что кванторные операции можно рас-
сматривать как обобщение операций конъюнкции и
дизъюнкции па случай бесконечных областей.
4. Понятие формулы лоrики предикатов
В лоrике предикатов будем пользоваться следующей
символикой:
1. Символы р, q, r, ... переменные высказывания,
принимающие два значения: 1 истина, О ложь.
2. Предметные переменные х. У. Z. ..., которые про-
беrают значения из HeKOТoporo множества М; ;хО, 1/, zO, ...
предметные константы. то есть значения предметных пере-
менных.
3. Р(.). F(.) одноместные предикатные перемен-
ные; Q( .........). R(--..,.....) п-местные предикатные
переменные.
рО(.). QO( ...,.....) символы постоянных предика-
тов.
4. Символы лоrических операций: &. v. , .
5. Символы кванторных операций: 'v'x, 3х.
6. Вспомоrательные символы: скобки. запятые.
Определение формулы лоrики предикатов.
1. Каждое высказывание как переменное. так и по-
стоянное, является формулой (элементарной).
2. Если F( .,.....,.) п местная предикатная пе-
ременная или постОЯННый предикат. а x 1 ' х 2 . .... Х" пред-
метные переменные или предметные постоянные (не обяза-
тельно все различные) , то р(хl.х2....'хп) есть формула.
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
91
Такая формула называется элементарной. в ней пред-
метные переменные являются свободными. не связанны-
ми кванторами.
3. Если А и В формулы. причем такие. что одна и
та же предметная переменная не является в одной из них
связанной, а в друrой свободной. то слова А v В . А& В ,
А В есть формулы. В этих формулах те перемепные.
которые в исходных формулах были свободными. явля-
ются свободными, а те, которые были связанными. яв-
ляются связанными.
4. Если А формула. то А формула. и характер
предметных переменных при переходе от формулы А к
формуле А не меняется.
5. Если А(х) формула. в которую предметная пере-
менная х входит свободно. то слова V ХА( х) и 3хА( х) яв-
ляются формулами, причем предметная переменная
входит в них связанно.
6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы
формулами в пунктах 1 5. не является формулой.
Например. если Р( х) и Q( х. у) одноместный и двухме-
стный предикаты. а q. r переменные высказывания. то
формулами будут слова: q. Р( х). Р( х)& Q( х О . у), V хР( х)
3xQ(x.y). (Q(x,y) v q) r.
Не является формулой слово: VxQ(x.y) Р(х). Здесь
нарушено условие п.3, так как в формулу VxQ(x,y) пе-
ременная х входит связано. а в формулу Р(х) перемен-
ная х входит свободно.
Из определения формулы лоrики предикатов ясно,
что всякая формула алrебры выСКазываний является
формулой лоrики предикатов.
92
Курс лекций по математической лоаине
5. Значение формулы лоrики предикатов
О лоrическом значении формулы лоrики преди а
тов можно rоворить лишь тоrда. коrда задано множе-
ство М. на котором определены входящие в эту форму-
лу предикаты. Лоrическое значение формулы лоrики
предикатов зависит от значений трех видов пере
менных: 1) значений входящих в формулу переменных
высказываний. 2) значений свободных предметных
переменных из множества М, 3) значений предикат
ных псременных.
При конкретных значениях каждоrо из трех видов
переменных формула лоrики предикатов становится
высказыванием. имеющим истинное или ложное зна
чение.
В качестве примера рассмотрим формулу
Зу 'v'z(p(x.y) p(y.z)). (1)
в которой двухместный предикат Р(х.у) определен на
множестве М хМ. rде М = {О,1,2.....n....} .
В формулу (1) входит переменный предикат Р(х.у) ,
предметные переменные х, у. z, две из которых у и z
связанные кванторами, а х свободная.
Возьмем за конкретное значение предиката Р(х.у)
фиксированный предикат рО(х.у): (, х < у.. а свобод
ной переменной х придадим значение х О = 5 Е М . Тоrда
при значениях у, меньших х О = 5 предикат рО(х О . у ) при
нимает значение ложь. а импликация Р(х.у) p(y.z)
при всех z Е М принимают значение истина. то есть
высказывание ЗУ'v'Z(РО(х.у) PO(y.z)) имеет значение
.истина..
,1l0rИКА ПРЕДИКАТОВ
93
6. Равносильные формулы лоrики предикатов
Определение 1. Две формулы лоrики предикатов А
и В называются равносильными на области М, если они
принимают одинаковые лоrические значения при всех
значениях входящих в них переменных, отнесенных к
области М.
Определение 2. Две формулы лоrики предикатов А
и В называются равносильными. если они равносильны
на всякой области.
Здесь. как в алrебре высказываний, для равносиль-
ных формул принято обозначение А == В .
Ясно. что все равносильности алrебры высказыва-
ний будут верны. если в них вместо переменных выска-
зываний подставить формулы лоrики предикатов. Но,
кроме Toro. имеют место равносильности самой лоrики
предикатов. Рассмотрим основные из этих равносиль-
ностей. Пусть А(х) и В(х) переменные предикаты. а О
переменное высказывание. Тоrда
1. УхА(Х) == 3х А(х) ,
2. 3хА(х) == УхА(х) ,
3. УхА(х) == зх А(х) ,
4. 3хА(х) == У хА(х) .
5. УхА(х)& УхВ(х) == Ух[А(х)& в(х)] ,
6. 0& УхВ(х) == ух[о& в(х)].
7. О V УхВ(х) == Ух[о v В(х)] ,
8. О УхВ(х) == Ух[о в(х)].
9. Ух[В(х) о] == 3ХВ(х) О.
10. зх[А(х) v В(х)] == 3хА(х) v 3хВ(х) ,
11. 3х[о v В(х)] == О v 3хв(х) ,
94
Курс лекций по математической лоеике
12. зх[с&в(х)];: с&зхв(х).
13. 3хА(х)&3уВ(у);: ЗхЗу[А(х)&В(у)] ,
14. зх[с В(х)];: С зхв(х).
15. 3Х[В(Х) с];: V'xB(x) С.
Равносильность 1 означает тот простой факт. что,
если не для всех Х истинно А(х) , то существует Х. при
котором будет истиной Х( х) .
Равносильность 2 означает тот простой факт, что,
если не существует Х. при котором истинно А(х) , то для
всех х будет истиной А( х).
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей
1. и 2. соответственно. если от обеих их частей взять отри-
цания и воспользоваться законом двойноro отрицания.
Докажем равносильность 5. Если предикаты А(х) и
в( х) одновременно тождественно истинные. то будет тож-
дественно истинным и предикат А( х)& в( х). а поэтому
будут истинными высказывания:
V'xA(x) , .V'xB(x). V'X[A(x)&B(x)]
То есть в этом случае обе части равносильности 5
принимают значение истина..
Пусть теперь хотя бы один из предикатов. напри-
мер. А( х). будет не тождественно истинным. Тоrда не
тождественно истинным будет и предикат А(х)& В(х) , а
поэтому ложными будут высказывания
V'xA(X), V'xA(x)& V'xB(x). V'X[A(X)&B(X)] ,
то есть и в этом случае обе части равносильности 5 при-
нимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчерпы-
вается доказательство равносильности 5.
Докажем равносильность 8. Пусть переменное высказыва-
ние С принимает значение .ложь.. Тоrда тождественно
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
95
истинным будет предикат С В(х) и. очевидно, истин-
ными будут высказывания С V хВ( х) и V х[ С В( х)] ,
то есть в этом случае обе части равносильности 8 прини-
мают одинаковые (истинные) значения.
Пусть теперь переменное высказывание С принимает
значение .истина.. Если при этом переменный предикат
является тождественно истинным. то будет тождественно
истинным и предикат С В(х). и. значит, истинными
будут высказывания УхВ(х), С УхВ(х) , ух[с В(х)] ,
то есть и в этом случае обе части равносильности 8 при-
нимают одинаковые (истинные) значения.
Если же предикат В(х) не является тождественно
истинным, то не будет тождественно истинным и преди-
кат С В( х), а поэтому ложными будут высказывания
УхВ(х), с УхВ(х) , ух[с В(Х)].
Следовательно, и здесь обе части равносильности 8
принимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчер-
пывается доказательство равносильности 8.
Аналоrично доказывают остальные из перечислен-
ных равносильностей.
В заключение отметим. что формула Ух[А(Х)у В(х)]
не равносильна формуле УхА(Х) V УхВ(х). а формула
3х[А(Х)&В(х)] не равносильна формуле ЗхА(х)&зхВ(х).
Однако, справедливы равносильности
УхА(Х)У УхВ(х):; УхА(Х)У УуВ(у):;
:; Ух(А(х) V УуВ(у)):; VxVy(A(x) V В(у)) ,
3хА(х)&зхВ(х):; 3хА(х)&ЗуВ(у):;
:; 3х(А(х)&ЗуВ(у)) == ЗхЗу(А(х)&В(у)).
96
Курс лекций по математической Л02ике.
7. Предваренная нормальная форма
Определение. rоворят. что формула лоrики преди
катов имеет нормальную форму. если она содержит толь
ко операции конъюнкции. дизъюнкции и кванторные
операции, а операция отрицания отнесена к элементар-
ным формулам.
Очевидно, что. используя равносильности алrе6ры
высказываний и лоrики предикатов. каждую формулу
лоrики предикатов можно привести к нормальной фор
ме. Например. приведем к нормальной форме формулу
(зхР(х) \iyQ(y)) R(z).
Пользуясь равносильными преобразованиями. получим
(зх Р(х) \i yQ(y)) R(z);: 3хР(х) v \iyQ(y) v R(z);:
;: зхР(х)&\iУQ(У) V R(z);: 3xP(x)&3y Q(y) V R(z).
Среди нормальных форм формул лоrики предикатов
важное значение имеют так называемые предваренные
нормальные формы (п.н.ф.). В них кванторные операции
либо полностью отсутствуют. либо они используются после
всех операций алrебры лоrики. то есть предваренная нор-
мальная форма формулы лоrики предикатов имеет вид:
(ОХl)(ОХ2)...(охп)А(хl,х2....'хт). n т.
rде под символом ( OXi) понимается один из кванторов
\iXi или 3Xi' а формула А кванторов не содержит.
Теорема. Всякая формула лоеики предикатов может
быть nриведена к предваренной нормальной форме.
Доказательство. Будем считать. что формула уже
приведена к нормальной форме и покажем, что ее можно
привести к предваренной нормальной форме.
Если данная формула является элементарной. то она
кванторов не содержит, и. следовательно. уже имеет пред-
варенную нормальную форму.
Предположим теперь. что теорема справедлива для
формул. содержащих не более k операций, и докажем.
что при этом предположении она будет справедлива и
для формул. содержащих ровно k+ 1 операцию.
лorИКА ПРЕДИКАТОВ
97
Пусть формула А содержит k+ 1 операцию и имеет
вид ох L( х), rде ох обозначает один из кванторов.
Так как L(x) содержит k операций. и. следователь-
но. ее можно считать приведенной к предваренной нор-
мальной форме. то у нее все кванторные операции стоят
впереди. Но тоrда формула ох L(x) , очевидно. имеет преk
варенную нормальную форму.
Пусть формула А имеет вид L, rде формула L при-
ведена к предваренной нормальной форме и содержИТ k
операций. Тоrда с помощью равносильностей 1 и 2 отри-
цание можно ввести под знак кванторов, и это приведет
формулу А к предваренной нормальной форме.
Пусть формула А имеет вид Lt. v L 2 . rде Ll и L 2 при-
ведены к предваренной нормальной форме.
Переименуем в формуле L 2 связанные предметные
переменные так. чтобы в формулах Ll и L 2 все связанные
предметные переменные были различными. При этом
формулы Ll И L 2 Moryт быть записаны в виде
Lt. = ( ОХ l)( ОХ 2)...(ох т )аl(Хl,Х2..... Х п). т n;
L 2 = (оуl)(оу2)...(оур)а2(Уl.У2'....Уп), р q.
Используя равносильности 7 и 1, запишем формулу А,
вводя формулу L 2 под знаки кванторов (ОХl). (ОХ2). ( ):
А == (ОХl)(ОХ2)...(ОХт)(аl(Хl.Х2.....Хп) v
v (йУl)( йУ2)'.' (йУ Р )а2(Уl' У2,'" .yq)).
Затем введем под знаки кванторов (ОУl) , (ОУ2) ....,
(ОУр) формулу щ(Хl'Х2.....Хп). Тоrда для формулы А
получим предваренную нормальную форму:
А == ( ОХ 1)( ОХ 2)'.. (ОХ т )(ОУl){ОУ2)". (ОУр хаl(Хl,Х2.....хп) v
v а2(Уl' у2,.... Yq)).
98
Курс лекций по математической лоеике
алоrично проводится доказательство и в случае,
коrда формула А имеет вид L 1 & L 2 .
Замечание. Если в процессе приведения формулы ло-
rики предикатов к п.н.ф. приходится рассматривать вы-
ражение 3хА( х) v 3хВ( х) или выражение V ХА( х)& V хВ( х) ,
то следует воспользоваться равносильностями 5 и 10.
Например, приведем к пред варенной н ормальной
форме формулу А == зхVуР(х,у)vvх3уQ(х,у).
А == 3xVy p(x,y)v 3xVy Q(x,y) ;: зx[VY Р(Х, у) v vy Q(X,y)] ;:
;: 3X[V Y Р(Х, у) v Vz Q(X,z)] ;: vxvyvz(P(x,y) v Q(X,z))
5 8. Общезначимость и выпоJIИИМОСТЬ формул
Определение 1. Формула А лоrики предикатов на-
зывается выполнимой в области М, если существуют
значения переменных, входящих в эту формулу и отне-
сенных к области М, при которых формула А принимает
истинные значения.
Определение 2. Формула А называется выполнимой,
если существует область, на которой эта формула вы-
полнима.
Из определения 2 следует, что, если формула выпол-
нима, то это еще не означает, что она выполнима в лю-
бой области.
Определение 3. Формула А называется тождествен-
но истинной в области М, если она принимает истин-
ные значения для всех значений переменных, входящих
в эту формулу и отнесенных к этой области.
Определение 4. Формула А называется общезначи-
мой, если она тождественно истинная на всякой области.
Определение 5. Формула А называется тождествен-
но ложной в области М, если она принимает ложные
значения для всех значений переменных, входящих в эту
формулу и отнесенных к этой области.
Из приведенных определений следует:
1. Если формула А общезначима, то она и выполни-
ма a всякой области.
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
9,
2. Если формула А тождественно истинная в области
М, то она и выполнима в этой области.
3. Если формула А тождественно ложная в области
М, то она не выполнима в этой области.
4. Если формулаА не выполнима, то она тождественно
ложна на всякой области.
В связи с данными определениями естественно выде-
лить два класса формул лоrики предикатов: выполни-
мых и не выполнимых формул.
Отметим, что общезначимую формулу называют ло-
еичесн:им зан:оном.
При ведем соответствующие примеры:
Пример 1. Формула vхзуР(х.у) выполнима. Дей
ствительно. если Р(Х,У) предикат 4 х < У.. определен-
ный в области М = Е х Е. rде Е = {О,1.2,....n....} , то фор
мула vхзуР(х.у) тождественно истинная в области М,
и. следовательно, выполнима в этой области. Однако,
если предикат 4 х < у. рассматривается в конечной об-
ласти М 1 = Е 1 х Еl' rде Е 1 = {O,1.2.....k}. то формула
УхзуР(х.У) будет тождественно ложной в области М 1 . и,
следовательно. не выполнима в области м 1 . При этом
ясно. что формула УхзуР(х.У) не общезначима.
Пример 2. Формула 3Х3 У [Р(х)& р(у)] выполнима.
Действительно. если р( х) предикат . Число х чет-
но», определенный в области М = Е х Е, r де
Е = {О,I.2,.... n,...}. то эта формула тождественно истин-
ная в области М. и. следовательно, выполнима в области
М. Однако. если предикат .Число х четно. рассматри-
вать в области М 1 = Е 1 х Еl' rде Е 1 множество четных
чисел. то формула 3х3 у [ р( х)& Р(У) ] будет тождественно
ложной в области Мl' и, следовательно, не выполнимой.
100
Курс лекций по математической лоеике
Пример 3. Формула \iX[p(x) V Р(Х) ] тождественно ис
тинная в любой области М. Значит, она является обще
значимой. то есть является лоrическим зан:оном (закон
исключенноrо TpeTbero).
Пример 4. Формула Ух [Р(Х)& Р(х) ] тождественно
ложная в любой области М. и поэтому она не выполнима.
Леrко установить связь между общезначимостью и
выполнимостью формул лоrики предикатов.
Теорема 1. Для тоео, чтобы формула А была обще-
значима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрица-
ние было не выполнимо.
Доказательство. Необходимость. Пусть формула А
общезначима. Тоrда. очевидно. А тождественно лож-
ная формула в любой области, и поэтому формула А не
выполнима.
Достаточность. Пусть формула А не выполнима в
любой области. Тоrда по определению невыполнимой
формулы А тождественно ложная в любой области.
Значит. формула А тождественно истинная формула в
любой области. и, следовательно. она общезначима.
Теорема 2. Для тоео, чтобы формула А была eblnOk
нuмой, необходимо и достаточно, чтобы формула А была
не общезначима.
Доказательство. Необходимость. Пусть формула А
выполнима. Это означает. что существует область М и
набор значений переменных. входящих в формулу А. при
которых формула А принимает истинное значение. Оче
видно. что на этом наборе значений переменных форму-
ла А принимает ложное значение. и. следовательно.
формула А необщезначима.
Достаточность. Пусть формула А не общезначи
ма. Тоrда существует область М и набор значений пере
менных. входящих в формулу, при которых формула А
принимает ложное значение. На этом наборе значений
переменных формула А принимает значение истина». и
поэтому формула А выполнима.
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
101
5 9. Пример формулы, выполнимой
в бесконечной области иневыполнимой
ни в какой конечной области
Покажем, что формула
'v'x'v'y'v'z (Р(х, х)&( Р(х,у) (Р(У, z) Р(х, z )) )& Р(х, и)) (1)
выполнима в бесконечной области и невыполнима ни в
какой конечной области.
Допустим, что формула (1) выполнима внекоторой
области М. В таком случае должен существовать фикси-
рованный предиН:ат Р*(х, у) , для KOToporo формула (1)
принимает значение 1. Тоrда для всех элементов х, у, z и
хотя бы для одноrо элемента и из области М формула
Р*(х, х)&( Р*(х,у) (P*(Y,Z) Р*(х, Z)) ) & Р*(х,и)
принимает значение 1. Но в этом случае принимают зна-
чение 1 и фо рмулы
Р*(х,у) (p*(y,Z) P*(X,Z)) , (2)
Р*(х,х). (3)
Кроме Toro, для любоrо х из области М существует
хотя бы один элемент и, для KOToporo
Р*(х,и)
(4)
тоже принимает значение 1.
Нетрудно убедиться, что в таком случае предикат
Р*(х,у) представляет собой предикат, устанавливающий
отношение порядка между элементами области М. Дей-
ствительн о, из ис тинности формул (2). и (З) следует, что
предикат Р*(х,у) удовлетворяет аКсиомам порядка:
1. Р*(х,х) л ожь.
2. Р*(х,у) (p*(y,Z) P*(x,Z))
истина.
102
Курс лекций по математической лоеuке
в связи с этим условимся Р*(х,у) выражать слова
ми «Х предшествует У.. Как видно из истинности форму
лы (4). для каждоrо Х должно существовать такое и. что
истинно Р*(х.и), то есть «Х предшествует и.. Бозьмем
произвольный элемент области X 1 ; среди элементов обла
сти должен найтись такой элемент Х 2 ' что «Х 1 предше
ствует Х 2 . . Точно также должен найтись такой элемент
Ха' что «Х 2 предшествует Хз. и т. д. Получаем последова-
тельность элементов
Х 1 ' Х 2 . .... Х п .... (5)
В силу аксиом 1 и 2 каждый элемент этой последова-
тельности отличен от каждоrо элемента с меньшим ин
дексом, так как будет иметь место «X 1 предшествует Х II ..
НО это означает, что любые два элемента последователь-
ности (5) различны и область М бесконечна.
Покажем. что существует область. на которой фор-
мула (1) выполнима. Пусть М = {О,1.2.....n....} , а р(х.У)
означает «Х;;:: У., Тоrда Р(х.у) означает. Х < У.. При
такой замене предиката р(х.У) формула (1) принимает
вид
'v'Х'v'У'v'zзu[ Х < х &((х < у) (У < z Х < z))&(x < и)].
Очевидно. что на множестве М = {О,1,2.....n....} эта
формула истинна.
Из доказанноrо ясно. что, если область, на которой
рассматривается формула (1), конечна, то формула (1)
тождественно ложна на М, и. значит, не выполнима.
10. Проблема разрешимости для общезначим ости
и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае
(без доказательства)
Проблема разрешимости в лоrике предикатов ставит-
ся так же. как и в алrебре лопши: существуют ли алrо
ритмы, позволяющие для любой формулы А лоrики пре-
дикатов установить, к какому классу она относится. то
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
103
есть является ли она или общезначимой. или выполнимой,
ПЛИ тождественно ложной. Если бы такой алrоритм су-
ществовал, то. как и в алrебре высказываний, он сво-
дился бы к критерию тождественной истинности любой
формулы лоrики предикатов.
Отметим, что в отличие от алrебры лоrики, в лоrике
предикатов не применим метод перебора всех вариантов
значений переменных. входящих в формулу, так как
таких вариантов может быть бесконечное множество.
Б 1936 rоду американский математик А.Черч дока-
зал. что проблема разрешимостu лоzики предикатов в
общем виде алzоритмичес"u не разрешима, то есть не
существует алrоритма. который бы позволил установить,
к какому классу формул относится любая формула ло-
rики предикатов.
11. Aлrоритмы распознавания
общезначим ости формул в частных случаях
1. Проблема разрешимости в случае конечных об-
ластей.
Очевидно. что проблема разрешимости в случае
конечных областей разрешима. Действительно, в этом
случае кванторные операции можно заменить опера-
циями конъюнкции и дизъюнкции и тем самым све-
сти формулу лоrики предикатов к формуле алrебры
лоrики, для которой проблема разрешимости разре-
шиМа.
Например. формула 'v' х3у [ Р( х. у) v Р( х, х)] в области
М = {а,Ь} , состоящей из двух элементов. приводится К
виду:
'v'X3 Y [P(x. y ) v Р(х.х)] == 'v'x[p(x.a) v p(x,x) v Р(Х.Ь)] ==
== [Р(а.а) v Р(а,а) v Р(а, Ь)]&[Р(Ь, а) v Р(Ь.Ь) v Р(Ь, Ь)].
Так как каждый член последней конъюнкции явля-
ется ДИзъюнкцией, содерЖащей высказывание и ero от-
Рицание. то формула истинна.
104
Курс лекции по математической лоеике
2. Проблема разреIШIМОСТИ для формул. содержащих
в предваренной нормальной форме кванторы одноrо типа.
Определение 1. Формула лоrики предикатов назы
вается замкнутой. если она не содержит свободных преk
метных переменных.
Определение 2. Если формула лоrики предикатов С
содержит свободные переменные Хl' Х 2 ' .... Х", то формула
А = VXIVX2'" VX n С(Хl.Х2.....Хn)
называется за.мьщанием общности формулы С. а формула
В = 3Х13Х2'" 3Х n С(Хl.Х2.....Хп)
называется замыканием существования формулы С.
Теорема 1. Если замкнутая формула лоzики преди-
катов в предваренной нормальной форме содержит толь-
ко кванторы существования, число которых равно n, и
тождественно истинна на любой области, состоящей
из OaHOZO элемента, то она общезначима.
Доказательство. Пусть формула лоrики предикатов
в предваренной нормальной форме имеет вид
В = 3Х13Х2'" 3Х n C(ql' q2....' Р 1 . Р 2 ..... Ql. Q2. ...), (1)
rдс С кванторов не 'содержит; q; лоrические пере мен-
ные. Р; одноместные предикаты. Q; двухместные пре-
дикаты.
Значение истинности этой формулы зависит от вхо-
дящих в нее переменных ql' q2' .... предикатов P 1 . Р 2 . ...,
Ql' Q2' ... И так далее.
ПО условию теоремы на любой области М = {а}. со-
держащей только один элемент а. данная формула тож-
дественно истинна. то есть тождественно истинной явля-
ется формула
C(Ql' Q2"", Р 1 (а). Р 2 (а .... Ql(a. а). Q2(a. а ...) (2)
Формула (2). очевидно. является формулой алrебры
лоrики.
Предположим. что формула (1) не является общезна-
чимой. Тоrда существует такая область M 1 и такой набор
значений переменных Qf. Q . .... РI 0 , pI. .... Qf. Q , ....
на котором формула (1) принимает значение .ложы.
то есть
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ 105
3ХI3Х2'.' 3x n c(qf, q . ..., РI 0 , p ..... Qf. Q . ...) :::; о (3)
Рас смотрим отрицание формулы (3).
3Х13Х2'" ЗХ п С(qf. q ..... РI 0 , P .. ... Qf, Q , ...) ==
== УХIУХ2... vxnc(qf.q ,....Pf,P ....,Qf.Q ....):::; 1
Отсюда сл едует, что формула
с( qf. q . .... pf. p .... .Qf, Q . ...) (4)
тождественно истинна. независимо от выбора предмет
ных переменных из области М l'
Возьмем из области М 1 какой нибудь элемент хо и
подставим ero в формулу (4) вместо всех предметных
переменных. Тоrда
с( qf, q . .... N(xo),P (xo),... . Qf(xo. хо). Q (xo. Хо)....) :::; 1
И. значит,
c(qf.q ..... р 1 о (х о } p (Xo)'.'" Qf(x o . хо). Q (xo, хо),".) :::; о,
а это противоречит тождественной истинности форму
лы (2).
Теорема 2. Если зам"nутая формула лоzи"и nреди-
"атов в nредвареnnой nормальnой форме содержит толь
"о "ваnторы общnости, Число "оторых равnо n, и тож-
дествеnnо истиnnа па вся"ом мnожестве, содержащем
nе более, чем n элемеnтов, то оnа общезnачима.
Доказательство. Пусть формула лоrики предикатов
в предваренной нормальной форме имеет вид
А == УХIУХ2." VX п C(ql.q2.....l\.P2.....Ql.Q2,...). (1)
rде. как и раньше. Ql' q2' ... лоrические переменные. P 1 ,
Р2' ... одноместные предикаты. Qp Q2' ... двухместные
предикаты и т.Д.
Предположим, что формула (1) не является общезна
ЧИМОй. Тоrда существует область М 1 с числом элементов.
большим n. на которой она не является тождественно
106
Курс лекций по математичесно/1 лоеике
истинной, то есть существует набор значений переменных
q , q . ..., 1\0, Рl. .... Qf. Q , .... на котором формула
'VXl 'v Х2'" 'V хnс( qf, q ,.... РI 0 , рl,.... Qf. Q , ...) (2)
прини мает ложное значение. Отсюда
'VXl 'VX2." 'V хnс( qf. q ,..., 1\0, P ,.... Qf, Q ....) ==
== 3ХI3Х2'" зх n с( q , q . ..., РI 0 , Рl. .... Qf. Q . ...) = 1
Таким образом. существует набор предметных пере-
менны х xf, x , .... x из области M 1 . при котором фор-
мула c(qf.q ,....pt,Pl.....Qf.Q ....) имеет значение 1. а
формула с( qf. q ,.... p . Рl,.... Qf. Q ,...) имеет значение О.
Значит, из облаети M 1 можно выделить область Mz,
содержащую не более n элементов, на которой данная
формула не является тождественно истинной, а это про-
тиворечит условию теоремы.
12. Применение языка лоrики предикатов
для записи математических предложений,
определений, построения отрицания предложений
1. Запись математических предложений в виде фор-
мул лоrики предикатов.
Язык лоrики предикатов удобен для записи матема-
тических предложений. Он дает возможность выражать
лоrические связи между понятиями. записывать опреде-
ления, теоремы, доказательства. Приведем ряд приме-
ров таких записей.
1. Определение предела числовой последовательности.
а = Нт а n {:} 'V С> О 3по 'Vn Е N(n по lan аl < с)
n oo
Здесь использован трехместный предикат Q(C.n.nO):
(п ПО la n аl < с) .
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
107
2. Определение предела ФУ1l1щии в точ"е.
ь= liт f(x)<:::>\le>030>O\lx E E(O<lx xol<o=>lf(x) bl<e )
х.....хо
Здесь использован трехместный предикат Р(с.б.х):
(о < \х хоl < б If(x) Ь\ < с).
3. Определение непрерывности фун"ции в точ"е.
Функция '(х). определенная на множестве Е, непре-
рывна в точке хо Е Е , если
Vc > о 3б > О Vx Е E(lx хоl < б If(x) '(Xo < с).
Здесь также использован трехместный предикат Р(с,б,х).
4. Определение возрастающей фун"ции.
Функция ,(х). определенная на множестве Е, возра-
стает на этом множестве. если
VXl Е Е VX2 Е Е(Хl < Х2 '(хl) < '(Х2)),
Здесь использован двухместный предикат W{Xl'X2):
(хl < Х2 '(хl) < '(Х2)),
5. Определение оераниченной фун"ции.
Функция '( х). определенная на множест:ве Е. orpa
ничена на этом множестве, если
зм Е R+ V х Е Е (If( х)\ :::; м) .
Здесь использован двухместный предикат L(x, м) :
(If(x :::; м).
Как известно. мноrие теоремы математики допускают
формулировку в виде условных предложений. Например,
рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на
биссектрисе yrла, то она равноудалена от сторон этоrо yrла..
Условием этой теоремы является предложение .Точка ле-
Жит на биссектрисе yrла., а заключением предложение
108
Курс лекций по математической лоеuке
.Точка равноудалена от сторон уrла.. Видим. что и усло
вие, и заключение теоремы представляют собой предика
ты, заданные на множестве R2. Обозначая эти предикаты
соответственно через Р( х) и Q( х), rде х Е R 2 . теорему
можем записать в виде формулы:
'Чх Е R 2 (Р(х) Q(x)).
В связи с этим, rоворя о строении теоремы. можно
выделить в ней три. части: 1) условие теоремы: предикат
Р( х). заданный на множестве R2; 2) заключение теоре-
мы: предикат Q(x) , заданный на множестве R2; 3) разъяс-
нительная часть: в ней описывается множество объек-
тов, о которых идет речь в теореме.
2. Построение противоположных утверждений.
Пусть дано некоторое математическое утверждение А.
Ему противоположным будет утверждение А.
Лоrика предикатов позволяет путем равносильных
преобразований формулы А придать ей хорошо обозри
мый вид.
Так. например. определение оrраниченной функции
дается формулой
зм Е R+ V х Е Е (If( х м) .
Определение неоrраниченной функции мы получим. беря
отрицание этой формулы и проводя равносильные пре
образования:
зм Е R+ V х Е Е (If ( х)1 м) ;: V м Е R+ V х Е Е (If( х м) ;:
;: 'Чм Е R+ 3х Е Е (If(x м);: 'Чм Е R+ 3х Е Е (If(x > м).
Последняя формула дает не неrативное, а положитель
ное определение неоrраниченной функции.
Из приведенноrо определения видно, что для постро
ения противоположноrо утверждения к утверждению.
заданному формулой лоrики предикатов. содержащей все
кванторы впереди. необходимо заменить все кванторы
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
109
на противоположные и взять отрицание от предиката,
стоящеrо под знаком кванторов.
Так, утверждение, что Ь * Нт '(х). даст формула:
X XO
V & > О 38 > О V Х Е Е ( о < Ix хоl < 8 => If( х) Ь\ < 6') ;;
= 3& > О V8 > О 3х Е Е(О < Ix хоl < 8 => If(x) bl < &) =
= 3& > О V8 > О 3х Е Е(О < Ix хоl < 8&\f(x) Ь\ &).
Особый интерес представляет построение утвержде
ния. отрицающеrо справедливость некоторой теоремы:
Vx Е Е(Р(х) Q(X )). ЭТО будет утвер ждение:
Vx Е Е(Р(х) Q(x)) '" Эх Е Е (Р(х) Q(x)) '" Эх Е E(P(X)& Q(X) ).
Следовательно, чтобы доказать. что теорема
VX(p(x) Q(x)) неверна. достаточно указать такой эле-
мент Х Е Е . для KOToporo Р( х) истина. а Q( х) ложь,
то есть привести контрпример.
3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Рассмотрим четыре теоремы:
Vx Е Е (Р(х) Q(x)). (1)
Vx Е Е (Q(x) Р(х)). (2)
Vx Е Е (Р(х) Q (x)) , (3)
Vx ЕЕ ( Q( x) Р(х)). (4)
Пара теорем. у которых условие одной является зак
лючением второй. а условие второй является заключени-
ем первой. называются взаимно обратными дpyr дрyrу.
Так. теоремы (1) и (2) , а также (3) и (4) взаимно
обратные теоремы. При этом. если одну из них называ
ют прямой теоремой. то вторая называется обратной.
Пара теорем, у которых условие и заключение одной
является отрицанием соответственно условия и заключе-
ния друrой. называются взаимно противоположными.
110
Курс лекций по математической лоеuке
Так. теоремы (1) и (3). а также теоремы (2) и (4)
являются взаимно противоположными теоремами.
Например, для теоремы «Если в четырехуrольнике
диаrонали равны. то четырехуrольник является прямоу-
rольником. (1) обратной является теорема .Если четы-
рехуrольник является прямоyroльником. то ero диаrо-
нали равны. (2). Для теоремы (1) противоположной яв-
ляется теорема .Если в четырехуrольнике диаrонали не
равны, то четырехуrольник не является прямоуroльни-
ком. (3). а для теоремы (2) противоположной является
теорема «Если четырехуrольник не является прямоуrоль-
ником. то ero диаrонали не равны. (4).
В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являют-
ся одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновре-
менно истинными. Контр при мер ом к теореме (1) являет-
ся равнобочная трапеция.
Ясно, что прямая и обратная теоремы. вообще rOBo-
ря. не равносильны, то есть одна из них может быть
истинной, а друrая ложной. Однако леrко показать, что
теоремы (1) и (4). а также теоремы (2) и (3) всеrда равно-
сильны. Действительно.
'r/X Е Е (Р(Х) Q(X)) == 'r/x Е Е (Р(х) V Q(X)) ==
== 'r/x Е Е ( Q (x) V Р(х)) == 'r/x Е Е ( Q (x) Р(х)).
Аналоrично доказывается равносильность
'r/X Е Е (Q(x) Р(х)) == 'r/x Е Е (Р(х) Q( X)).
ИЗ этих равносильностей следует, что, если доказа-
на теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказа-
на теорема (2), то доказана и теорема (3).
4. Необходимые и достаточцые условия.
Рассмотрим теорему
'r/x Е Е (Р(х) Q(x)).
(1)
Как отмечалось. множество истинности предиката
Р(х) Q(X) есть множество Cl p UIQ. НО тоrда множест-
вом ложности этоrо предиката будет C(Cl p UI Q ) =
= 1 р n СI Q' Последнее множество будет пустым лишь в
случае, коrда Iр с: IQ.
Итак. предикат Р(х) Q(X) является истинным для
всех Х Е Е в том и только в том случае. Коrда множество
истинности предиката Р(х) содержится в множестве ис
тинности предиката Q(X). При
этом rоворят, чТо Предикат
Q(X) лоrически следует из пре
диката Р(х) , и предикат Q(X)
называют необходимым усло
вием для предиката Р(х), а
предикат Р(х) достаточным условием для Q(X). Так. в
теореме .Если Х число натуральное. то оно целое. пре-
дикат Q(X): .Х число целое. лоrически следует из пре
циката Р(х): .Х число натуральное., а предикат .Х
число натуральное. является достаточным условием для
предиката .Х число целое..
Часто встречается ситуация. при которой истинные
взаимно обратные теоремы
Vx Е Е (Р(х) Q(x))
Vx Е Е (Q(x) Р(х)).
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
Е
CI Q
IQ
и
111
(1)
(2)
Это. очевидно, возможно при условии. что 1 р == 1 Q .
В таком случае из теоремы (1) следует. что условие
Р(х) является достаточным для Q(X). а из теоремы (2)
следует. что условие Р( х) является необходимым дЛЯ Q( х) .
Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2). то
условие Р(х) является и необходимым. и достаточным
для Q(X). Аналоrично в этом случае условие Q(X) явля-
ется необходимым и достаточным для Р(х).
Иноrда вместо лоrической связки (lнеобходимо и дo
статочно. употребляют лоrическую связку .тоrда и толь-
ко тоrда..
112
Курс лекций по математической лоеике
Так как здесь истинны высказывания (1) и (2). то
истинно высказывание
\;/Х Е Е (Р(Х) Q(x))& \;/х Е Е (Q(x) > Р(х)) == \;/х ЕЕ (Р(х) Q(x))
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Теорема .Если число f. делится на 12, то
оно делится на 3. истинна. Поэтому здесь делимость
числа f. на 12 является достаточным условием для дели-
мости числа f. на 3, а делимость числа f. на 3 является
необходимым условием для делимости числа f. на 12. В
то же время обратная теорема .Если число f. делится на
3. то оно делится на 12. не верна. Поэтому делимость
числа f. на 3 не является достаточным условием делимо-
сти числа f. на 12, а делимость числа f. на 12 не явля-
ется необходимым условием делимости числа f. на 3.
Пример 2. Теоремы .В описанном четырехуrольнике
суммы длин противоположных сторон равны между со-
бой. и .Если в четырехуrольнике суммы длин противо-
положных сторон равн.ы между собой, то в этот четыреху-
rольник можно вписать окружность. взаимно обратны.
Обе они истинны. и, следовательно, здесь можно употре-
бить лоrическую связку .необходимо и достаточно.:
.Для Toro. чтобы в четырехуrольник можно было
вписать окружность. необходимо и достаточно, чтобы
суммы длин ero противоположных сторон были равны
между собой..
5. Доказательство методом от противноrо.
Доказательство методом от противноrо обычно прово-
дится по следующей схеме: предполаrается. что теорема
\:fx Е Е (Р(х) Q(x))
(1)
не верна, то есть существует такой объект х. что условие
Р(х) истинно, а заключение Q( х) ложно. Если из этих
предположений путем лоrических рассуждений приходят
К противоречивому утверждению. то делают вывод о том.
что исходное предположение не верно. и верна теорема (1).
Покажем. что такой подход дает доказательство ис-
тинности теоремы (1).
лоrИКА ПРЕДИКАТОВ
113
Действительно, предположение о том. что теорема
(1) не справедлива. означает истинность формулы
\:fx Е Е (Р(х) Q(X)).
Противоречивое утверждение. которое получается из
допущенноrо предположения. есть конъюнкция С&С,
rде С некоторое высказывание. Таким образом, схема
доказательства от противноrо сводится к доказательству
истинности формулы
\:fx Е Е (Р(х) Q(x)) С&С .
Леrко видеть, что эта формула равносильна фор
муле (1).
Действительно,
Ух Е Е (Р(х) Q(x)) С&С == Ух Е Е (Р(х) Q(x)) v С&С ==
== Ух Е Е (Р(Х) Q(x)).
13. Заl\1ечание об аксиоматическом исчислении
предикатов
Аналоrично тому. как была построена аксиомати
ческая теория высказываний, может быть построена и
аксиоматическая теория предикатов. При этом необхо
димо отметить следующее:
1. Определение формулы исчисления предикатов co
впадает с определением формулы лоrики предикатов,
которое вводилось нами ранее.
2. Выбор системы аксиом исчисления предикатов,
как и в случае ИСчисления высказываний. может осуще
Ствляться по разному. Одной из таких систем аксиом
Может быть система. в которую включены одиннадцать
аксиом исчисления высказываний. использованные нами,
и две дополнительные аксиомы:
\:fx(F(X) F(y));
F(t) 3х F(x).
rде t не содержит переменной х.
114
Курс лекций по математической Л02ике
3. К правилам вывода. которые использовались в ис-
числении высказываний. добавляются еще два правила:
а) Правило введения квантора общности
F а(х)
F V'xa(x);
б) Правило введения квантора существования
а(х) F
зхЩх) F '
если F не зависит от х.
4. Понятие вывода и доказуемой формулы определя-
ются аналоrично этим понятиям в исчислении высказы-
ваний.
5. Как и во всякой аксиоматической теории. рас-
сматриваются проблемы:
а) разрешимости,
б) непротиворечивости,
в) полноты,
r) независимости.
rЛАВАIV
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
в алrебре высказываний и исчислении высказыва
ний использование таблиц истинности давало достаточ
но эффективный способ решения вопроса о том. являет
ся ли данная формула тавтолоrией.
Ситуация принципиально меняется при переходе к
лоrике предикатов. Здесь нет эффективноrо способа. по-
зволяющеrо для каждой формулы решить вопрос о том,
является ли она общезначимой. В связи с этим в матема-
тических теориях, которые используют понятие преди-
ката и связанные с ним понятия кванторных операций,
необходимым становится аксиоматический метод.
Имеются и друrие доводы в пользу аксиоматическо-
ro метода, и они состоят в следующем: аксиоматический
метод базируется на простых отношениях между симво-
лами и выражениями точных формальных языков и ис-
пользует достаточно простые арифметические методы.
ЭТо обстоятельство обеспечивает HaдejКHOCTЬ аксиома-
тическоrо метода.
В этой rлаве рассматривается CYIЦHOCTЬ аксиомати
чеСкоrо метода и те проблемы. которые возникают при
ero использовании.
Под а1Ссиоматичес1СОй теорией. построенной на осно-
ве данной системы аксиом. понимается совокупность всех
теорем. доказываемых исходя из этой системы аксиом.
Аксиоматические теории делятся на формальnые и
nеформальnые.
Неформальnые a1CCUOMamUlf,eC1Cue теории наполнены
теоретико-множественным содержанием, понятие BЫBO
Димости в них довольно расплывчато и в значительной
степени опирается на здравый смысл.
Формальnая а1СсиоматичеС1Сая теория считается оп
ределенной, если выполнены следующие условия:
1. Задан язык теории.
2. Определено понятие формулы в этой теории.
116
Курс лекций по математической лоеике
3. Выделено некоторое множество формул. называе
мых аксиомами.
4. Определены правила вывода в этой теории.
Среди математических теорий выделяют теории nер-
воео порядка. Они отличаются от теорий высших поряд
ков тем, Что не допускают в своем изложении предика
ты. которые имеют в качестве возможных значений сво-
их aprYMeHToB друrие предикаты и функции. Кроме Toro,
они не допускают кванторные операции по предикатам
или функциям.
Теорий первоrо порядка достаточно для выражений
большинства известных математических теорий.
В нашем курсе математической лоrики мы оrрани
чимся только математическими теориями первоrо ПОРЯk
ка. которые называют иноrда элементарными теорuя.м.и.
1. Язык первоrо порядка
Определение 1. Алфавитом А называется всякое He
пустое конечное множество символов. Символы алфави-
та называются букв;э.ми.
Определение 2. Словом в алфавите А называется вся
кая конечная последовательность букв алфавита А. Пу-
стая последовательность букв называется пустым сло
вом И обозначается через Л.
Будем rоворить. что два конкретных слова a t a 2 ... а п
и Ь 1 Ь 2 ... Ь ,. алфавита А равны и писать а 1 а 2 ... а п == Ь 1 Ь 2 ... Ь"
если n = k и аl = Ь 1 , а2 = Ь 2 . .... а п = Ь п . При этом число
n называют длиной этоrо слова.
Пусть Т некоторая теория. Обозначим через А(Т)
алфавит этой теории. Множество Е(Т) слов алфавита
А(Т) называют множеством выражений теории Т.
Пару (А(Т), Е(Т)). состоящую из алфавита А(Т) и
множества выражений Е(Т) теории Т называют языком
теории Т.
Языки первоrо порядка обслуживают теории первоrо
порядка. В алфавит всякой теории Т первоrо порядка вхо-
дят по существу те же символы. которые были введены
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
11/
ранее. Это символы лоrических операций &, V. . ;
символы кванторных операций \:f. 3; вспомоrательные
символы скобки, запятые; счетное множество n MeCT-
ных предикатных букв Aj(n.j 1), rде верхний индекс
указывает на число мест, а НИЖний номер предикатной
буквы; конечное (возможно, и пустое) или счетное
множество функциональных букв fjn (n. j 1), rде верх-
ний индекс указывает на число переменных. входящих в
функцию, а нижний номер функциональной буквы;
конечное (возможно пустое) или счетное множество пред-
метных констант ai{i 1).
В частности. под функциональной буквой может по-
ниматься цепочка лоrических операций.
Множество предикатных букв вместе с множеством
функциональных букв и констант называетСЯ cиeHaтy
рой языка данной теории и является ero специфической
частью.
Таким образом. в теории Т первоrо порядка MorYT
отсутствовать некоторые или даже все функциональные
буквы и предметные константы. а также некоторые, но
не все предикатные буквы.
Различные теории первоrо порядка Moryт отличать-
ся друr от друrа по составу букв в алфавите.
2. Термы и формулы
Дальнейшее описание теории Т требует прежде все-
ro индуктивных определений терма и формулы. Термы
и формулы это два класса слов множества Е(Т).
Определение терма. 1. Предметная переменная и
предметная константа суть термы.
2. Если r 1 , r 2 . .... r п термы и А символ n местной
операции. то Af(rl.r2.....rп) терм.
3. Никаких друrих термов, кроме определенных в
п. 1 и п. 2 , в Т нет.
Соrласно естественной интерпретации. терм это имя
HeKoToporo предмета. Кроме переменных и предметных
118
Курс лекций по математической лоеике
констант, термами являются цепочки. образованные из
переменных и предметных констант посредством симво
лов операций, т. к. В подразумеваемой интерпретации он
истолковывается как значение некоторой функции.
Определение формулы. 1. Если А символ n MeCTHO
ro отношения (предикат или функция ), а r 1 , r 2 . ..., r,.
термы, то A(rl.r2.....rn) формула. В частности. если А
предикатная буква Af. то A i n (rl' r2..... r n ) называется
элементарной формулой.
2. Если А и В формулы, то А& в, А v в, А в, А
формулы.
3. Если А формула, а у предметная переменная,
которая входит в А свободно или не содержится в А. то
выражения \:fyA. 3уА формулы. При этом А называет-
ся областью действия квантора.
4. Никаких дрyrих формул. кроме определенных в
п. 1 3 , нет.
i 3. Лоrические и специальные аксиомы.
Правила вывода
Аксиомы теории первоrо порядка Т разбиваются на
два класса: лоzичес"ие а"сиомы и специальные (нелоrи-
ческие или собственные аксиомы).
Лоrические аксиомы. Каковы бы ни были формулы
А, В и С теории Т, следующие формулы являются лоrи-
ческими аксиомами теории Т :
1) А (в А);
2) (А (в с)) ((А в) (А с));
3) ( в :4) (( в А) в);
4) \:fXiA(Xi) A(t). rде A{Xi) есть формула теории Т
и t есть терм теории Т. свободный в A(Xi)' Отметим. что
t может совпадать с X i . и Тоrда мы приходим к аксиоме
\:f Xi A ( Xi) A(Xi) ;
5) \:fxi(A в) (А \:fXiB), если Х ; не входит сво-
бодно в формулу А.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
119
Замечание. Ранее в rлаве 11 было построено класси-
ческое исчисление высказываний. содержащее 11 акси-
оМ. Однако может бы'l'Ь построено ИСЧИСление высказы-
ваний с меньшим числом аксиом (в частности, с лоrи-
ческиМИ аксиомами 1) 3).
Специальные аксиомы. Они не Moryт быть сформу-
лированы в общем случае. так как меняются от теории
к теории.
Теория первоrо порядка, не содержащая собствен-
ных аксиом. очевидно, представляет собой чисто лоrи-
ческую теорию. Она носит название исчисления преди-
катов первоrо порядка.
Во мноrих теориях, которые Moryт быть аксиомати-
зированы как теории первоrо порядка, используется по-
нятие равенства. Оно вводится путем добавления двухме-
CTHoro предиката . х = У. и в связи с этим добавляются
две специальные аксиомы: 1) V'x(x = х); 2) Если х. У. z,
различные предметные переменные и F(z) формула. то
V'XV'y(x = У F(x) = F(y)).
Правила вывода. Как и в исчислении высказыва-
ний. будем пользоваться понятиями вывода из совокуп-
ности формул (высказываний) Н. Высказывания. входя-
щие в Н. будем называть допущениями (или посылка-
ми). Если последним высказыванием в выводе из Н сто-
ит высказывание А, то будем rоворить, что предложение
А выводимо из Н и записывать: H А. В частном слу-
чае, если Н = 0, то пишут A.
В число правил вывода теории первоrо порядка вклю-
чаются два правила:
1. Правило заключения (или modus ponens):
A. A в
B
2. Правило связывания квантором всеобщности (или
правило обобщения):
A
V'xiA .
120
Курс лекций по метематической Л02ике
4. ПрИI\ШрЫ математических теорий
из алrебры. анализа. rеометрии
1. Теория чаСТИЧllоrо упорядочения.
Пусть теория Т содержит одну предикатную букву
А; и не содержит функциональных букв и предметных
констант. Вместо формул Af(Xl.X2) и АР(Хl'Х2) обычно
пишут Хl < Х2 и Хl 1:. Х2 .
Пусть Т содержит две специальные аксиомы:
а) V'Xl(Xl I Хl) ирр флективность;
б) V' X l V'Х 2 V' Х з ((Хl < Х2)&(Х2 < Хз) (Х1 < Хз)) TpaH
зитивность.
Всякая модель этой теории называется частично yno
рядочеН1l0Й стру"турой.
2. Теория rрупп.
Пусть теория Т содержит одну предикатную букву
Ар . одну функциональную букву 112 и одну предметную
константу a 1 . Пользуясь принятыми в алrебре обозначе-
ниями, будем писать:
t = s вместо Ar(t.s) ,
t+s вместо 11 2 (t,S),
О вместо a 1 .
Специальными аксиомами теории Т здесь являются
формулы:
а) V'Х 1 V' Х 2V' Х З(Хl +(Х2 +ХЗ))=((Х1 +Х2)+ХЗ) ассоци-
ативность;
б) V'Xl(O + Хl = Хl) свойство нуля;
в) V'Xl:3X2(Xl + Х2 = о) существование обратноrо эле-
мента;
r) V'Xl(Xl = Хl) рефлексивность равенства;
д) V' X l V' X 2((Xl = Х2) (Х2 = Хl)) симметричность pa
Венства;
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
121
'lt Х l'1tХ 2 '1tХЗ((Хl = Х2) ((Х2 = хз) (Хl = хз)))
транзитивность равенства;
ж) 'lt x l 'lt Х 2'1tХЗ((Х2 = хз) ((хl + Х2 = Хl + ХЗ)&(Х2 + хl =
= хз + хl)) подстановочность равенства.
Всякая модель этой теории называется zpynnoa. Если
в rруппе истинна формула 'ltx 1 '1tx2(Xl + Х2 = Х2 + хl), то
rруппа называется абелевой или коммутативной.
Примерами rрупп являются:
1) множество всех взаимно однозначных отображе
ний множества М на себя, рассматриваемое вместе с
операцией суперпозиции отображений;
2) множество Z всех целых чисел, рассматриваемое
вместе с операцией сложения целых чисел;
3) множество V 2 всех векторов плоскости, paCCMaT
риваемое вместе с операцией сложения векторов по пра
вилу треуrольника или параллелоrрамма;
4) пространство R всех векторов n MepHoro простран
ства с операцией сложения векторов, определяемоЙ как
покоординатное сложение;
5) С[а,ь] пространство непрерывных на [а.Ь] Функ
ций f с нормой IItII = шах If(X и обычной операцией сло
I . а:5х:5Ь
жения.
Теория частичноrо упорядочения и теория rрупп
вляются эффективно аксиоматизированными. то есть
меется возможность для любой данной формулы эф
фективно выяснить. принадлежит ли она к числу лоrи
ческих аксиом.
3. Аффинная rеометрия.
Первичными терминами этой теории являются: MHO
жество :р (элементы KOToporo, называемые точками, бу
дут обозначаться прописными латинскими буквами Р.
Q. ...). множествоL' (элементы KOToporo. называемые пря
мыми, будут обозначаться строчными латинскими бук
вами R. т. ...) и множество J, называемое отношением
ИНЦИдентности.
122
Курс лекций по математической лоаике
Специальными аксиомами теории Т здесь являются
формулы:
а) J Р х L« P,J! >е J) читается .Р лежит на J!..
или «J! содержИТ Р., или «J! проходит через Р.. или .Р
и J! иНцидентнЫ. .
б) Для любых двух различных точек Р и Q существу
ет в точности одна прямая. проходящая через Р и Q.
(Будем обозначать такую прямую через Р + Q ).
в) Для любой точки Р и любой прямой J! существует
в точности одна прямая т. проходящая через Р и парал-
лельная прямой J! (т.е. либо m = J! . либо не существует
точек. лежащих на обеих прямых J! и т).
r) Если А, В, С, D, Е, и F шесть различных точек,
причем А + В параллельна С + D, С + D параллельна
Е + F, А + С параллельна В + D и С + Е параллельна
D + Е . то А + Е параллельна и В + F .
д) Существует три различных точки, не лежащие на
одной прямой.
4. rеометрия (теория равенства отрезков).
Первичные термины: множество S множество всех
отрезков. и «==. отношение равенства, так что выраже-
ние «Х = у . читается так: «отрезок Х равен отрезку У..
Специальные аксиомы:
а) Vx еВ(х=х);
б) VXVyVz((x = z)&(y = z) (х = у)).
5. Аксиоматическая теория натуральных чисел. по
строенная итальянским математиком Дж.Пеано.
Первоначальные понятия: непустое множество N,
отношение следования « ' . и выделенный элемент 1.
Специальные аксиомы:
а) Vx eN(X'"* 1);
б) VxVy eN(x = у х' = у');
в) Vx\fy eN(x' = у' х = у);
r) Пусть М с N. Torдa (1 еМ)& (vx еМ x' eM)
M=N.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
123
i 5. Доказательство в теории
Доказательство в широком смысле этоrо слова есть
способ обоснования истинности HeKoToporo суждения.
Степень убедительности доказательства решающим об-
разом зависит от средств, используемых для обоснова-
ния истинности.
Так. в точных науках выработаны определенные тре-
бования к эксперименту. при которых факт. получен-
ный в результате эксперимента, может считаться дока-
занным. В математике. для которой характерен аксио-
матический метод, взt'ляд на доказательство определя-
ется взrлядом на аксиоматическую теорию. Слово tTeo-
рия. понимается здесь в определенном специальном смыс-
ле. Термин .теория. применяют по отношению к двум
множествам высказываний, одно из которых есть соб-
ственное подмножество друrоrо. Большое (объемлющее)
множество высказываний определяет предметную область
теории. элементы же меньшеrо (охватывающеrо) множе-
ства высказываний это высказывания теории. кото-
рые считаются в ней истинными или доказуемыми (или
теоремами). Они определяются как высказывания, вы-
водимые чисто лоrическим путем из некоторых заранее
выбранных и фиксированных высказываний, называе-
мых аксиомами.
В аксиоматической теории понятию истинности нет
места понятие истинноrо высказывания имеет смысл
лишь в связи с возможными приложениями теории.
Определение 1 (доказательства). Доказательством
называют конечную последовательность 81' 82' .... 8k выс-
казываний рассматриваемой теории. каждое из которых
либо является аксиомой. либо выводится из одноrо или
более предыдущих высказываний этой последовательно-
сти по лоrическим правилам вывода.
Определение 2 (теоремы). Теоремой или доказуемым
высказыванием называется высказывание. являющееся
последним высказыванием HeKoToporo доказательства.
Ясно. что любая аксиома является теоремой. при-
чем ее доказательство состоит из одноrо шаrа.
Вывод высказывания С из пустоrо множества посы-
лок есть. очевидно, доказательство высказывания С.
124
Курс лекций по математической лоеике
i 6. Доказуемость частных случаев тавтолоrий
Теорема. Если формула А теории nервоzо порядка Т
есть частный случай тавтолоzии. то А есть теорема
в Т и может быть выведена с уnотреблеllием схем лоzи
ческих аксиом (1). (2) и (8) и правила заключения.
Доказательство. Пусть формула А получена из HeKO
торой тавтолоrии В с помощью подстановок. и х 1 ' х 2 . ....
Х п набор переменных. входящих в В. Как известно. в
этом случае существует вывод В из совокупности
Н = {Хl.Х2.....Хn}. Сделаем в этом выводе всюду подста
новки по следующим правилам:
1) если какая нибудь переменная х, входит в В. то на
места всех ее вхождений в каждую формулу вывода под
ставляем ту формулу теории Т, которая подставлялась в
В на места вхождения той же буквы при построении А.
2) если некоторая переменная X k не входит в В, то на
места всех ее вхождений в формулы вывода подставляет
произвольную (одну и ту же для данной буквы) формулу
теории Т.
Полученная таким .образом последовательность фор
мул и будет выводом формулы А в теории Т. При этих
рассуждениях использовались только аксиомы (1). (2), (3)
и правило заключения.
i 7. Теорема дедукции
Как известно. в исчислении высказываний справед-
лива
H.C A
Теорема дедукции: H C А .
Эта теорема без соответствующих изменений не спра
ведлива для произвольных теорий первоrо порядка Т.
Например. в любой теории первоrо порядка всеrда
A VxA. но не всеrда доказуема формула А VxA. Дей
ствительно. рассмотрим область. содержащую по край
ней мере два элемента М = {а.Ь,...}.
Пусть Т исчисление предикатов, и пусть формула
А есть АНх). Проинтерпретируем А} каким нибудь
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
125
свойством, которым обладает только элемент а. Тоrда
АНх) выполнима на 2'.1:ножестве, которое содержита. при
этом формула VXA(X) не выполнима на множестве М.
Однако теорема дедукции в теории первоrо порядка
имеет место. но в несколько ослабленной форме. Преж-
де. чем формулировать теорему дедукции для теорий
первоrо порядка. уточним понятие вывода из совокупно-
сти формул в этом случае и докажем одно вспомоrательное
предложение.
Рассмотрим совокупность формул Н, А и вывод из
этой совокупности Вl' В 2 . .... В п ' Будем rоворить. что
формула Bk зависит от формулы А в этом выводе в двух
случаях:
1) формула Bk есть А, и она включена в вывод как
формула, содержащаяся в совокупности Н. А;
2) формула Bk получена по правилам заключения и
связывания квантором из формул. предшествующих ей
в выводе, из которых по крайней мере одна зависит от А.
Например, из совокупности формул {Vx А....). С. А}
можно получить вывод
А. VxA, VxA....).C,C, VxC,
каждая формула KOToporo зависит от А.
Лемма. Если в выводе В 1 , В 2 , ..., Bn 1' В из совокупнос-
ти Н. А формула В не зависит от А, то H B.
Доказательство леммы проведем методом математи-
ческой индукции.
1. При n = 1 утверждение справедливо. Действительно.
если В есть вывод из Н. А и не зависит от А. то либо В Е Н ,
либо В доказуемая формула. и в обоих случаях H В .
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливо для любоrо вывода длины k < n и докажем ero для
вывода длины n. Если при этом В Е Н или В доказуе-
мая формула. то H В . Если же В получена из каких то
(одной или двух) формул, предшествующих ей в выводе.
то она не зависит от формулы А. так как по индуктивно-
му предположению не зависят от А все формулы. пред-
шествующие ей в выводе. Следовательно, H B.
126
Курс лекций по математической лоеике
Теорема дедукции. Пусть Н, A B, и при это-м пусть
существует такой вывод В из Н, А, в котором ни при
каком применении правила связывания квантором к
фор-мулам, зависящим в этом выводе от А, не связыва
ется кванторо-м никакая свободная nере-менная, входя-
щая в А. Tozaa H A....). В.
Доказательство. Пусть в 1 . в 2 . .... Bп l' В есть вывод
из Н, А удовлетворяющий условию теоремы. Доказа
тельство проведем методом математической индукции.
1. При n = 1 утверждение справедливо. Действитель
но, если В есть вывод из Н, А. то
а) либо В Е Н .
б) либо В доказуемая формула,
в) либо В есть А.
В случаях а) и б) так как H B , и формула В....). (А ....). в)
доказуема. то по правилу заключения получаем H А ....). В .
В случае в) формула А....). В есть формула А....). А, то
есть доказуема. и поэтому выводима из Н.
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливО для любоrо вывода длины k < n и докажем ero спра
ведливость для вывода длины n. Так как Вl' В2' ..., Bп l'
В есть вывод из Н, А. то возможны пять случаев:
а) В Е Н .
б) В доказуемая формула,
в) В есть А.
r) В получается из предшествующих ей в выводе
формул B i . и Bj (i < j < n) по правилу заключения,
д) в получается из формулы B i , предшествующей ей
в выводе (i < n) по правилу связывания квантором.
Для первых трех случаев доказательство утвержде
нил полностью совпадает с доказательством. проведен-
ным для n = 1. Рассмотрим четвертый случай. Так как
здесь формула В получается из двух формул в.. и В. при
. 1
i < j < n , то Bj должна иметь вид B i ....). В, причем спра-
ведливы утверждения
н\--- А ---t B i
Hj...A....). (Bt ---t в).
(1)
(2)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
121
Используя аксиому 2). получим
ННА....). (Bi jo в))....). ((А....). B i )....). (А....). в)). (3)
Из формул (3). (2), (1) по правилу сложноrо заключе
ния получаем Н\-- А ....). в .
Рассмотрим, наконец. пятый случай. Пусть в выво-
де из Н, А есть формула B i (i < n) такая. что В есть
'v'XIBi' По предположению Н\--А....). B i и либо В! не зави-
сит от А, либо Х 1 не является свободной переменной фор-
мулы А.
Если В! не зависит отА. то соrласно лемме, H\--Bi' и
тоrда, применяя правило связывания квантором, полу-
чаем H\--VХ1.ц, т. е. Н\--В. Далее, используя аксиому 1),
имеем Н\--В....). (А ....). в) и, следовательно. Н\--А....). В .
Если Х 1 не является свободной переменной формулы
А. то используем аксиому 5): VX1(A....). B i )....). (А....). VXIBi)'
Так как Н\-- А ....). Bi' то по правилу связывания кванто-
ром получаем H\--VX1(A....). в) и тоrда по правилу заклю-
чения имеем: Н\--А....). VXIBi или Н\--А....). В.
Следствие. Если Н. А\--В и существует вывод, для
получения котороео не исnользовалось правило связыва-
ния квантором к свободным nеременным, входящим в
формулу А, то Н\-- А ....). в .
* 8. Интерпретация языка теории
Под интерпретацией языка теории Т понимают вся-
кую систему, включающую в себя:
1. Непустое множество М. называемое областью
интерпретации.
2. Какое либо соответствие, которое каждому эле-
менту языка теории Т ставит в соответствие единствен-
ный элемент множества М, то есть функцию f с облас-
:тью определения (А(Т).Е(Т)) и множеством значений,
содержащимся в М.
128
Курс лекциii по математическоii лоеике
в частности. каждой предикатной букве Aj Е
Е (А (Т), Е(Т)) ставится в соответствие некоторое n MeCT-
ное отношение в М. каждой функциональной букве
'Р Е (A(T Е(Т)) ставится в соответствие некоторая n Me-
стная операция в М. то есть функция М П ....). М и каж
дой предметной постоянной a j некоторый элемент из М.
При заданной интерпретации предметные перемен-
ные рассматриваются как переменные, пробеrающие
область М, а символам лоrических и кванторных опера-
ций придается их обычный смысл.
Для такой интерпретации всякая формула без сво-
бодных переменных. т. е. замкнутая формула, представ
ляет собой высказывание. которое истинно или ложно, а
всякая формула со свободными переменными выражает
некоторое отношение на области интерпретации. Это
отношение может быть .истинно для одних значений из
области интерпретации и ло»(но для друrих.
Например, если взять в качестве области интерпретации
множество целых положительных чисел и интерпретировать
Af(Xl.X2) как отноше ие Хl::;; Х2. то Al(Xl'X2) истинно
для всех упорядоченных пар (а, ь) положительных чисел
таких. что а::;; Ь. а формула 'ItХ2Аf(Хl'Х2)представляет с()..
бой отношение .для каждоrо целоrо положительноrо Х2
Хl ::;; Х2 t. которое истинно только для одноro числа 1.
И, наконец. формула 3Хl VX2Ar(Xl. Х2) утверждает
суп ествование наименьшеrо положительноrо числа и явля
ется истинной на множестве целых положительных чисел.
f 9. Истинностные значения формул
в интерпретации. Модель теории
Пусть дана некоторая интерпретация с областью М,
а G множество всех счетных последователь.ностей эле
ментов из М. Определим понятие выполнимости форму
лы А на последовательности S = (bt,b 2 ,...,b п ....) Еа.
Функция s* одной переменной. определенная на MHO
жестве всех термов со значениями в М, определяется
индуктивно следующим образом:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
129
1. Если терм t есть предметная переменная X j , то
S*(t)::: b i .
2. Если терм t есть предметная константа. то S*(t)
совпадает с интерпретацией этой константы в М.
3. Если fP есть функциональная буква. интерпрети
руемая операцией g в М и t 1 . t 2 . ..., t" термы. то
S*(fP(tl. t 2,...,t n )) = g(S*(tl).....S*(t n )).
*
Таким образом. S это функция. определяемая
последовательностью S и отображающая множество всех
термов в М.
Просто rоворя. для любой последовательности S =
= (b 1 ,b 2 ,...,b п ....) и для любоrо t S*(t) есть элемент MHO
жества М. который получается в результате подстанов
ки при каждом i элемента Ь, на места всех вхождений
переменной Х . в терм t и затем выполнения всех опера-
ций интерпретации, соответствующий функциональным
буквам терма t.
Например. t есть li(хз.f12(Х1.а1))' областью интер
претации служит множество целых чисел. 122 интерпре-
тируется как обычное умножение. 112 как сложение. а
а 1 как число 5. Тоrда для всякой последовательности
S = (Ь 1 .Ь 2 ,...,Ь п ....) целых чисел S*(t) представляет co
бой целое число Ь з х (bt + 5) .
Определим теперь понятие выполненной формулы,
следуя индуктивному определению формулы.
1. ЕслиА есть элементарная формула Aj(tl.t2'....tn)
и В] есть соответствующее ей отношение в интер-
претации. то формула А считается выполненной на
последовательности S тоrда и только тоrда. коrда
Bj(S*(tl).S*(t2)'....S*(t n )) принадлежит отношению Bj.
130
Курс лекций по математической лоеике
2. Формула А выполнена на S тоrда и только тоrда.
коrда формула А не выполнена на S.
3. Формула А....). В выполнена на S тоrда и только
тоrда, коrда формула А не выполнена на S или Iюrда
формула В выполнена на S.
4. Формула \f XiA выполнена на S тоrда и только
тоrда. коrда формула А выполнена на любой последова-
тельности из G. отличающейся от. S не более, чем своей
i ой компонентой.
Отсюда ясно, что формула А выполнена на последо
вательности S = (Ь 1 .Ь 2 ,....Ь n ....) тоrда и только тоrда,
коrда подстановка при каждом i символа. представляю-
щеrо b j . на места всех свободных вхождений Х ; в А при во-
дит К истинному В данной интерпретации предложению.
Определение 1. Формула А называется истинной (в
данной интерпретации) тоrда и только тоrда. коrда она
выполнена на всякой последовательности из G.
Определение 2. Формула А называется ложной (в
данной интерпретации). если она не выполнена ни на
одной последовательности из G.
Модель теории. .
Моделью теории называется интерпретация языка
этой теории.
Проще rоворя, имея некоторую теорию Т, мы при-
писываем первоначальным понятиям этой теории неко-
торый новый смысл. Если некоторая совокупность пред-
метов и отношений между ними, выбранных в качестве
значений первоначальных понятий аксиоматической те-
ории. т. е. в качестве ее интерпретации. удовлетворяет
всем аксиомам теории. то она называется моделью дан-
ной аксиоматической теории.
Так. ранее мы определили алrебру Буля и получили
две ее модели: алrебру лоrики и алrебру множеств. Или
в 4 были рассмотрены различные модели теории rрупп.
i 10. Изоморфизм интерпретаций.
Катеrоричность теории
Определение 1. Интерпретация [1 данной теории Т
первоrо порядка изоморфна друrой интерпретации [2
теории Т, если существует такое взаимно однозначное
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
1
отображение g (называемое изо-морфиз-мо-м) области .м
интерпретации 11 на область М 2 интерпретации 12' чт(
1. Если (Aj)1 и (Aj)2 интерпретации предикатной БYl
вы А] соответственно в 11 и 12' то каковы бы ни были Ь
Ь 2 . ....Ь п изМ 1 , (Aj)1 (Ь 1 ,Ь 2 .....Ь n ) выполненотоrдаитол:
ко Torдa. коrда выполнено (Aj)2 (g(bt} (g(b 2 } "', g(b п ))
2. Если (fp У и (fP)2 интерпретации функциональн(
буквы fp соответственно в 11 И 12' то для любых Ь 1 ' Ь 2 ' ....
из М 1 (fp)\bt.b2....,bn) = (fp)\g(bl).g(b 2 }...,g(b n ));
3. если а} и а: интерпретации предметной пост
янной соответственно в 11 и 12' то а: = g(a}).
Ясно, что если интерпретации 11 и 12 изоморфны,
их области имеют одинаковую мощность.
Определение 2. Математическая теория Т называЕ
ся катеzорич1tой, если все ее модели изоморфны.
Определение 3. Пусть J.i мощность HeKoToporo МБ
жества. Теория Т первоrо порядка называется J.i -кате,
рич1tой, если
1) теория Т имеет хотя бы одну модель мощности,
2) всякие две модели теории Т, имеющие мощное
Р, изоморфны.
Например, теория rрупп некатеrорична, т.к. (
ществуют неизоморфные rруппы. Однако можно ro]
рить, что теория rрупп катеrорична в некоторых мо
ностях. в частности. в мощности J.i = 3 .
rеометрия Евклида является катеrоричной ма'
матической теорией. Любые ее две модели ИЗОМОI
ны. Действительно, нетрудно показать, что любая
дель rеометрии Евклида изоморфна арифметичеСI<
Модели.
132
Курс лекций по матаматической ЛО2ике
Возьмем в данной модели прямую и на ней фиксиру
ем точку О. затем на этой прямой выбираем точку е. от-
личную от точки О. Отрезок О е примем за единицу. Вы-
бирая положительное направление на прямой, получим
числовую ось.
Две взаимно перпендикулярные числовые прямые
(прямоуrольная декартова система координат) позволя-
ют каждой точке плоскости поставить во взаимно одно-
значное соответствие координаты этой точки. а каждой
прямой на плоскости уравнение этой прямой. Точно
также поступаем и в друrой модели rеометрии Евклида
на плоскости.
Установить изоморфизм между разными моделями
rеометрии Евклида позволяет однозначное введение aHa
литической rеометрии.
11. Проблемы непротиворечивости,
полноты, разрешимости теории
1. Проблема непротиворечивости.
Теория Т называется противоречивой (или несов-
.местной). если она содержит такое высказывание S. что
и S. и ero отрицание'8 являются теоремами. В против-
ном случае теория Т называется непротиворечивой. Та-
ким образом. теория Т называется непротиворечивой,
если в ней нет TaKoro высказывания S. что и S. и 8
являются теоремами.
Так как теория Т одним из правил вывода содержит
правило заключения, то в противоречивой теории любое
предложение такой теории является теоремой. Действи-
тельно. для любоrо предложения А теории Т S ----) (8 ----) А)
есть теорема. т.к. это высказывание тавтолоrия. Учиты-
вая. что здесь S и S теоремы и пользуясь дважды пра-
вилом заключения. приходим к выводу, что А теорема.
Для аксиоматических теорий вопрос об их непроти-
воречивости во мноrих случаях удается решить с помо-
ЩЬЮ понятия модели. В самом деле. если теория Т про-
тиворечива. то каждая ее модель содержит противоре-
чие. Т.к. пара противоречащих дрyr дрyrу теорем тео-
рии пере водится в два противоречащих друr дрyrу выс-
казывания о модели. Значит. теория непротиворечива.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
1ЗЗ
если для нее можно указать свободную от противоречий
модель. Именно так доказывалась нами непротиворечи
вость исчисления высказываний.
Если для теории Т можно найти такую интерпрета
цию, что интерпретацией Т является конечное множе
ство. то вопрос об отсутствии противоречий в интерпрс
тации решается прямым рассмотрением конечноrо MHO
жества. Так. одноэлементное множество, содержащее
единственный элемент (, вместе с определенной на нем
операцией (. f = f является моделью теории rрупп. ли
шенной противоречий, и, следовательно, теория rрупп
непротиворечива. Однако часто доказательство непроти
воречивости модсли требует очень сложных рассужде
ний. В частности. это бывает в случае. коrда теория Т
имеет только бесконечные модели.
Так, вопрос о непротиворечивости rеометрии Лоба
чевскоrо можно свести к вопросу о непротиворечивости
rеометрии Евклида, если использовать для интерпрета-
ции rеометрии Лобачевскоrо средства rеометрии Евкли
да. или к вопросу о непротиворечивости множества дей-
ствительных чисел. если использовать соответствующую
интерпретацию.
Кстати сказать. что непротиворечивость rеометрии
Евклида и непротиворечивость теории действительных
чисел до сих пор не доказана.
2. Проблема полноты. В предположении. что непро-
тиворечивость некоторой теории доказана (или считает-
ся, что может быть доказана) имеет смысл поставить
проблему полноты теории.
Определение 1. Теория Т называется абсолютно пOk
нои. если для любоrо высказывания S этой теории или S
или S есть теорема.
ЭТО определение учитывает то обстоятельство, что
любое высказывание S теории Т будучи интерпретиро-
ванной в некоторой модели оказывается или истинным.
или ложным. Но тоrда или S. или S должно быть тео-
ремой в теории Т.
Теория. являющаяся одновременно непротиворечивой
и полной. будет максимальной в отношении непротиворе
чивости в том смысле. что добавление к такой теории в
качестве аксиомы любоrо предложения, которое можно
134
Курс лекций по математической лоеике
сформулировать в этой теории. но не являющеrося ее Te
оремой, приводит к противоречивой теории.
Отметим, что для мноrих математических теорий Ha
личие одновременно обоих качеств (непротиворечивости
и полноты) не имеет места.
Определение 2. Аксиоматическая теория называет-
ся полной в узком смысле, если добавление к ее аксио
мам любоrо недоказуемоrо в ней утверждения с coxpaHe
нием в ней всех правил вывода приводит к противоречи-
вой теории. Всякая абсолютно полная теория будет пол-
на и в узком смысле. Действительно, пусть некоторая
абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Tor-
да найдется такое утверждение и этой теории, недоказу-
емое в ней. что новая теория. построенная на основе пре
жних аксиом и утверждения и в качестве новой аксио-
мы, непротиворечива. Тоrда и принадлежит новой тео-
рии. Кроме Toro, в связи с абсолютной полнотой исход-
ной теории и недоказуемостью в ней утверждения и будет
доказуемо утверждение и . Таким образом, в новой тео-
рии оказались доказуемыми и и и , Т.е. получили про
тиворечие.
3. Проблема разрешимости.
Проблема разрешимости является алrоритмической
проблемой, в которой для заданноro множества А требу-
ется построить алrоритм, разрешающий А относительно
дpyroro множества В, включающеrо А(А с в), Т.е. такой
алrоритм и, который применим ко всякому элементу из
В. причем U(х) = 1. если х Е А и U(х) = О. если х Е В \ А.
Простейшим примером проблемы разрешимости яв-
ляется проблема разрешимости алrебры лоrики, в кото-
рой она состоит в отыскании алrоритма. позволяющеrо
для каждой формулы алrебры лоrики установить. явля
ется ли она или тождественно истинной. или тождествен-
но ложной. или выполнимой. Важным классом алrорит-
мических проблем является проблема разрешимости для
формальных теорий. то есть проблема разрешимости для
множества всех доказуемых (выводимых) в теории фор
мул (множество А) относительно множества всех формул
теории (множество в). Выше она была рассмотрена для
аксиоМатической теории исчисления высказываний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
135
12. Непротиворечивость исчисления предикатов
(теории без специальных аксиом)
Теорема. Всякое исчисмние предикатов nервоео по-
рядка Т неnротиворечиво.
Доказательство. Для произвольной формулы А обозна.
чим через Н(А) выражение, которое получается из форму.
лы А путем следующеro ее преобразования: в формуле А
опускаются все кванторы и термы вместе с соответствую.
щими скобками и запятыми. Так, например. формула
'v'xAr(x.y) Af(z) в результате TaKoro преобразования
примет вид А; А} , Т.е. Н(У хАР(Х. У ) Af(z)) есть
Ар А}, а формула H(3tAf(x, У. t) A!(Z)) есть Af Аl
и т.д. Ясно, что Н(А) == Н(А) и Н(А В) == Н(А) Н(В).
Леrко видеть. что для формулы исчисления преДИКатов А
формула Н(А) есть формула исчисления высказываний. а
для всякой аксиомы А, полученной по какой нибудь из схем
с помощью аксиом 1) 5), Н(А) является тавтолоrией. Это
очевидно для аксиом 1) 3). Для аксиомы УхА(х) A(t)
формула Н(УхА(х) A(t)) есть А А. Т.е. тавтолоrия, а
для аксиомы УХ(А В(Х)) (А 'v'XB(X)) формула
н(Ух(А в(х)) (А 'v'хв(х))). есть (А в) (А В).
то есть таКже тавтолоrия.
Как известно, в исчислении высказываний правило зак-
люч ния, примененное к тавтолоrиям А, А В приводит
к тавтолоrии В. Таким образом. если Н(А) и Н(А В)
являются тавтолоrиями, то Н( В) тавтолоrия.
И, наконец, если Н(А) тавтолоrия, то и H('v'xA)
тавтолоrия, так как результаты применения операции
Н к А и 'v'xA совпадают.
136
Курс лекций по математической лоеике
Следовательно, если А есть теорема в исчислении
предикатов. то Н(А) тавтолоrия.
Из сказанноrо следует, что если бы в исчислении
предикатов сущеСТВОВ8.i'Iа формула В такая. что в этой
теории были бы доказуемы В и В . то выражения н( В)
и Н(В) были бы тавтолоrиями в исчислении высказы
ваний. то есть доказуемыми формулами. что невозможно.
Значит, исчисление предикатов непротиворечиво.
Замечание. Операция Н равносильна интерпрета
ции исчисления предикатов в области, состоящей из
одноrо элемента. Все теоремы исчисления предикатов
истинны в такой интерпретации.
13. Теория натуральных чисел
В построении теории натуральных чисел обычно pac
сматривается два подхода: первый из них основан на pac
смотрении натуральных чисел как мощностей конечных MHO
жеств. а во втором используется аксиоматический метод.
Аксиоматическое построение арифметики натураль
ных чисел обычно связывают с именем Пеано, хотя aK
сиоматическая характеристика натуральноrо ряда He
MHoro ранее (в 1888 r.) была дана Дедекиндом.
Язык наиболее употребимоrо варианта аксиомати-
ки натуральных чисел содержит константу О, числовые
переменные. символ равенства, функциональные симво-
лы +. . . ' (прибавление единицы) и лоrические связки.
Термы строятся из константы О и переменных с помо
щыo функциональных символов. В частности. натураль-
ные числа изображаются термами вида О, О'. О". ....
Элементарными формулами здесь являются равен-
ства термов, остальные формулы строятся из элементар-
ных с помощью лоrических связок &. v, , . V, 3.
Формулы в аксиоматичеСIСОЙ теории натуральных чисел
называют арифметическими формулами.
Таким образом. эта теория первоrо порядка имеет
одну предикатную букву Ар. единственную предметную
КОlIстанту О и три функциональных буквы 111. 112. li.
Но пользуясь привычными В арифметике обозначения-
ми. будем писать:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
137
t = s вместо Ar(t.s),
t' вместо fll(t).
t + s вместо f12(t. в) .
t.s вместо fi(t.s).
Специальные аксиомы.
Системы аксиом Пеано вместе с некоторыми поло
Iжениями теории множеств вполне достаточно не только
для построения теории натуральных чисел, но и теории
рациональных. действительных и комплексных чисел.
Однако в аксиомах Пеано содержатся интуитивные по
нятия, такие, как например. .свойство., что лишает
систему cTpororo формальноrо подхода. В связи с этим
будем рассматривать теорию натуральных чисел. KOTO
рая основана на системе аксиом Пеано. но несколько более
конкретизирована. Эта теория содержит следующие спе
циальные аксиомы:
1. Хl = Х2 (Хl = Хз Х2 = хз);
2. Хl = Х2 xi = Х2 ;
,
3. O:;t (хl) ;
4. xi = Х2 хl = Х2 ;
5. хl + О = хl ;
,
6. хl + Х2 = (хl + Х2)
7. Хl' О = О ;
8 " , +
. Хl' Х2 = хl . Х2 хl ;
9. А(О) (УХ(А(Х) А(х')) VxA(X)).
rде А(х) произвольная формула теории натуральных
чисел.
Отметим, что аксиомы 1 8 являются конкретными
формулами, а аксиома 9 является схемой аксиом, по
рождающей бесконечное множество аксиом. Ее обычно
называют принципом математической индукции.
138
Курс лекций по математической лоеике
Акс,ИОМЫ 1-2 обеспечивают некоторые необходимые
свойства равенства (в исходной системе аксиом Пеано
Дедекинда эти свойства равенства предполаrались инту
итивно очевидными).
Аксиомы 5 8 представляют собой рекурсивные pa
венства. служащие определениями операций сложения
и умножения (в исходной системе аксиом Пеано Деде-
кинда подобные аксиомы не формулировались, Т.к. дo
пускалось интуитивное ИСПОЛЬЗОвание теории множеств,
в которой существование операций + и " удовлетворяю-
щих аксиомам 5-8, выводимо).
Из аксиомы 9 можно ПОЛУЧИТЬ и следующее правило
индукции: Если А(О) и 'v'x(A(x) А(х')) , то УхА(х).
Средства сформулированной теории натуральных чи
сел оказываются достаточными для вывода теорем. уста-
новленных в стандартных курсах элементарной теории
чисел. В настоящее время неизвестно ни одной содержа-
тельной теоретико числовой теоремы, которая не была
бы выводима в аксиоматической теории натуральных
чисел.
14. Теорема rёделя о иеПОJIНоте
Под теоремой rёделя о неполноте пони мается обычно
общее название двух теорем rёделя.
Первая теорема rёделя (о неполноте). В любой
неnротиворечивой формальной системе, содержащей
минимум арифметики, а, следовательно, и в теории
натуральных чисел, найдется формально неразрешимое
суждение, т.е. такая замкнутая формула А, что ни А,
ни А не являются выводимыми в системе.
Вторая теорема rёделя (о неполноте) утверждает,
что при выполнении естественных дополнительных ус-
ловий в качестве А МОЖно взять утверждение о непроти-
воречивости рассматриваемой системы.
Первая теорема rёделя означает. что какая бы сис-
тема аксиом для арифметики ни была выбрана, всеrда
найдется такое высказывание о натуральных числах,
выраженное на языке ЭТОй формальной теории, которое
в данной теории не может быть ни доказано, ни опро-
BeprHYTO.
r ЛАВА V
Алrоритмы
1. Понятие аЛl'оритма и ero характериые черты
Понятие алrоритма принадлежит к числу основных
понятий математики. Оно прошло большой путь разви
тия. Еще в период зарождения математики в ней стали
возникать различные вычислительные процессы чисто
механическоrо характера, с помощью которых искомые
величины целоrо класса задач вычислялись последовательно
из данных исходных величин по определенным правилам.
со временем такие процессы в математике получили на-
звание алrоритмов. Примерами алrоритмов являются:
1. Правила выполнения арифметических действий
над числами.
2. Правило отыскания наибольшеrо общеrо делителя
(алrоритм Евклида).
3. Правило извлечения квадратноrо корня.
4. Правило отыскания решений KBaдpaTHoro уравне-
ния.
5. Правило отыскания производной мноrочлена n-ой
степени.
6. Правило интеrрирования рациональной функции.
В каждом из приведенных примеров приходится иметь
дело с классом однотипных задач, или. как rоворят. С
.массовой nроблемой. Задачи TaKoro класса отличаются
дру!' от друrа значениями входящих в них параметров.
Так. в задаче отыскания решения KBaдpaTHoro уравнения
ах 2 + Ьх + с = О участвует три параметра а, Ь и с; меняя
их. получаем различные задачи одноrо класса.
В связи со сказанным можно дать следующее опреде-
ление понятия алrоритма.
Алzорuт,мо,м называется общий единообразный. точ-
но определенный способ решения любой задачи из дан-
ной массовой проблемы.
Такое определение нельзя считать строrим. Действи-
тельно, в нем встречаются слова, точный смысл которых
140
Курс лекциii по математическоii лоеuке
не установлен. В частности. это касается слова «способ..
В связи с этим это не стросое определение алrоритма Ha
зывают интуитивным.
Отметим характерные черты понятия алrоритма.
1. Дискретность алrоритма. Алrоритм это процесс
последовательноrо построения величин таким образом.
что в начальный момент задается исходная конечная
система величин, а в каждый следующий момент систе
ма величин получается по определенному закону из сис
темы величин. имевшихся в предыдущий момент.
2. Детерминироваиность алrоритма. Система вели
чин. получаемых в какой то не начальный момент, OДHO
значно определяется системой величин. полученных в
предшествующие моменты времени.
3. Элементарность шаrов алrоритма. Закон получе
ния последующей системы величин из предшествующей
должен быть простым.
4. Массовость алrоритма. Начальная система вели
чин может выбираться из некоторосо потенциально бес
конечноrо множества.
5. Результативность алrоритма. Последовательный
процесс построения величин должен быть конечным и
давать результат, то есть решение задачи. I
Алrоритмы. в которых основную роль иrрают MaTe
матические действия. называются численными алrорит
мами. От численных алrоритмов отделяют лоrические
алrоритмы иrр. В качестве при мера. дающеrо лоrичес-
кий алrоритм. рассмотрим следующую иrру.
Имеется 15 предметов. В иrре участвуют двое: начи
нающий и противник. Каждый иrрок по очереди берет
один. два или три предмета. Выиrрывает тот. кто берет
последний предмет. Какой стратеrии в иrре должен при
держиваться начинающий, чтобы выиrрать?
Выиrрышная стратеrия начинающеrо может быть
описана в форме следующей таблицы:
Номер хода Ход начинающеrо Ход противника
1 3 п
2 4 п т
3 4 т Р
4 4 p О
AI1rоРитмЫ
141
Действительно. в итоrе такой стратеrии начинающий
возьмет 3 + (4 n) + (4 т) + (4 -:-- Р) == 15 (n + т + р) пред
метов, а противник возьмет n + т + р предметов, Т.е. в
сумме они возьмут 15 предметов. и последний предмет
будет взят начинающим.
Слово алrоритм. происходит от имени узбекско-
ro математика ХН! века Абу Абдалла Мухаммед ибн
Муса ал Хорезми ал Меджуси. Оно претерпело эволю-
цию: ал Хорезми ал rорезми алrоритм.
2. Разрешимые и перечислимые множества
Пусть имеется некоторый алфавит. Обозначим через
S множество всех сЛов в данном алфавите. а через М
подмножество множества S.
Определение 1. Множество М называется разреши-
,мы,м. если для Hero существует алrоритм, решающий
проблему вхождения слова х в М.
Определение 2. Множество М называется эффектив
но nеречисли,мы,м. если существует алrоритм, позволяю-
щий перечислить все зле менты этоrо множества (возмож-
но с повторениями).
Теорема 1. Если ,множества М и L эффективно nе-
речисли,мы, то эффективно nеречисли,мы ,множества
MUL и MnL.
Доказательство. Пусть множества М и L эффектив-
но перечислимы. Тоrда для каждоrо из них существует
свой алrоритм. позволяющий перечислить все элементы
данноrо множества. Алrоритм для эффективноrо пере-
числения множеств М U L и М n L получается путем
одновременноrо применения алrоритмов для эффектив-
Horo перечисления множеств М и L.
Теорема 2 (Поста). Множество М разреши,мо тоеда
и только тоеда, коеда оно са-мо и еео дополнение эффек-
тивно nеречисли-мы.
ДORaзательство. Пусть множество М и ero дополнение
см эффективно перечислимы. то есть существуют алroрит-
мы А и В. с помощью которых можно перечислить элемен-
ты этих множеств. Но тоrда при перечислении элементов
множеств М и см в их списке встретится элемент Х. Следо-
вательно. существует алrоритм С, позволяющий узнать,
Принадлежит элемент х множеству М или не принадлежит.
142
Курс лекций по математической лоеике
Пусть множество М разрешимо. Тоrда существует
алrоритм. решающий проблему вхождения х в М. Пользу-
ясь этим алrоритмом. составим список элементов. вхо-
дящих в М, и список элементов, входящих в СМ. Следо-
вательно. мы получим два алrоритма А и В. позволяю-
щих перечислить множества М и СМ. Примерами эф-
фективно перечислимых множеств являются:
1) множество М = {1.4,9....,n 2 ....} квадратов нату-
ральных чисел,
2) множество упорядоченных пар натуральных чи-
сел.
Действительно, множество М = {n 2 } перечислимо,
т.к. для получения ero элементов нужно последователь-
но брать натуральные числа и возводить их в квадрат.
Более Toro, это множество является также и разреши-
мым: для проверки Toro, принадлежит ли некоторое на-
туральное число х множеству М. нужно разложить чис-
ло на простые множители. и это даст возможность уста-
новить. является ли .оно точным квадратом.
Множество упорsщоченных пар натуральных чисел
может быть эффективно перечислено с помощью так
называемоrо диаrональноrо метода. Действительно. вы-
пишем все упорядоченные пары натуральных чисел в
следующем виде:
(0.0), (0.1). (0.2). (0.3), (0,4).
(1.0). (1.1). (1.2), (1,3). (1.4).
(2.0). (2,1). (2,2), (2.3). (2.4).
(3.0) (3.1) (3.2). (3.3). (3.4).
Перечисление осуществляется последовательным про-
хождением по диаrоналям. начинаЯ" с BepxHero левоrо
уrла. Начальный список этих пар запишется так:
(0.0), (1.0). (0.1). (2.0). (1.1). (0.2). (3.0). (2.1). (1.2),
(0.3). (4.0). ...
Теорема 3. Существует nеречисли.мое, но неразре-
шимое множество натуральных чисел.
AJlrоРитМЫ
143
Для доказательства теоремы. как это следует из те-
оремы Поста. достаточно привести пример TaKoro мно-
жества натуральных чисел и. которое само было бы пе-
речислимым. а ero дополнение си перечислимым не было.
Пусть Мо' M 1 . М2' ... эффективное перечисление
всех перечислимых множеств натуральных чисел. т.е.
такое перечисление. что по любому n Е N можно восста-
новить само множество М п .
Рассмотрим теперь алrоритм А. который последова-
тельно перечисляет все элементы множества и. На шаrе
с номером (т. n) этот алrоритм вычисляет элемент с но-
мером m множества М n ' и если этот элемент совпадает с
n, то он относит ero в множество и, т.е. n Е и n Е М п .
Отсюда ясно, что множество си отличается от любо-
1'0 перечислимоrо множества хотя бы одним элементом.
т.к. си состоит из всех таких элементов n. что n !i1: М п .
Поэтому си не является перечислимым. Следовательно,
оrласно теореме Поста и не разрешимо.
Доказанная теорема фактически включает в себя в
еявном виде теорему fёделя о неполноте формальной
","рифметики. приведенную ранее без доказательства.
3. Уточнение понятия алrоритма
В истории математики накопил ось MHoro случаев дли-
тельных и часто безрезультатных поисков тех или иных
алrоритмов. При этом естественно возникало сомнение в
существовании алrоритма.
Одним из ярких примеров TaKoro случая является ис-
Тория решения десятой проблемы Д. fильберта.
В 1900 rоду на втором международном математичес-
ком KOHrpecce в Париже немецкий математик Давид
rильберт оrласил список 23 трудных проблем. на важ-
ность решения которых он обращал внимание математи-
ческой общественности. Среди них была и следующая
10-ая проблема fильберта: требуется выработать алrо-
ритм, позволяющий для любоrо диофантова уравнения
ВЫяснить. имеет ли оно целочисленное решение.
Рассмотрим всевозможные диофантовы уравнения,
Т.е. уравнения вида Р = О, rде Р является мноrочленом
144
Курс ленцuu по математuчесноu лоеUке
с целочисленными коэффициентами. Такими будут. Ha
пример. уравнения
х 2 + у2 2xz = О,
10х 5 + 7х 2 + 5 = О,
из которых первое с тремя неизвестными, а второе с oд
ним неизвестным. В общем случае рассматривают ypaB
нения с любым числом неизвестных. Такие уравнения
MOI'YT иметь целочисленные решения. а MOI'yT и не иметь.
Так, уравнение х 2 + у2 2xz = О имеет бесконечное
множество целочисленных решений. а уравнение
10х 5 + 7 х 2 + 5 = О таких решений не имеет.
Для частноI'О случая диофантова уравнения с одним
неизвестным давно известен алI'ОРИТМ. позволяющий
найти все eI'o целочисленные решения. Установлено. что
если уравнение
Рп(х) = аох п + alxп l+...+aп IX + а п = О
с целочисленными коэффициентами имеет целый корень.
то он обязательно является делителем а n . В связи с этим
можно предложить такой алI'ОрИТМ:
1) Найти все делители числа а n : d 1 , а 2 . ..., а п .
2) Вычислить Р п (х) для каждоI'О из делителей чис
ла а.
п
3) Если при некотором i из совокупности 1,2,.... k
Pn(d i ) = О. ТО d j корень уравнения. Если при всех
i = 1.2..... k Р п (d i ) i О. то уравнение не имеет целочис
ленных решений.
Поиски решения десятой проблемы l'ильберта привлек
ли внимание МНОI'их математиков и длились около 70 лет.
Только в 1968 I'оду молодым математиком Ю. Матиясеви
чем было доказано. что нет алI'оритма. дающеI'О решение
поставленной задачи.
Интуитивное определение аЛI'оритма хотя и не CTpO
I'oe. но настолько ясное. что не дает оснований для co
мнений в тех случаях. КОI'да речь идет о найденном алI'о
ритме решения конкретной задачи.
мrоРитмЫ
145
Положение существенно меняется, коrда возникает
алrоритмическая проблема, решение которой не найде
но, и требуется устаIiОВИТЬ. имеет ли она решение.
Действительно. в этом случае нужно либо доказать
существование алrоритма. либо доказать ero отсутствие.
В первом случае достаточно дать описание факти
ческоrо процесса. решающеrо задачу. В этом случае дo
ста точно и интуитивноrо понятия аЛI'оритма. чтобы yдo
стовериться в том, что описанный процесс есть алrоритм.
Во втором случае нужно доказать несуществование
алI'оритма. а дЛЯ ЭТОI'О нужно точно знать. что такое алI'о-
ритм. Между тем для общеI'О понятия алrоритма точноrо
определения до тридцатых rодов хх века не было. и поэто
му выработка TaKOI'O определения стала одной из важных
задач современной математики. При формулировке этоrо
определения пришлось преодолеть МНОI'ие трудности.
Во первых. такое определение должно было правильно
отражать сущность ИНТУИТИВНОI'о определения алrоритма.
BO BTOpЫX, оно ДОЛЖIIО было быть совершенным с
точки зрения формальной точности.
И наконец. различные исследователи этой проблемы
исходили из разных технических и ЛОI'ических соображе-
ний. и вследствие ЭТОI'О было выработано несколько опре-
делений алI'оритма. Однако со временем выяснилось. что
все эти определения равносильны. Т.е. определяют одно и
то же понятие. Это и есть современное понятие алrоритма.
В подходах к определению понятия алI'оритма мож-
но выделить три осnовnых nаnравлеnuя.
Первое nаnравлеnuе связано с уточнением понятия
эффективно вычислимой функции. Этим занимались
А. Черч. К. rедель, с. Клини. В результате был выделен
класс так назывемыыx частично рекурсивных функций.
имеющих cTporoe математическое определение. Анализ
идей, приведших к этому классу функций. дал им воз-
можность выСказать I'ипотезу о том. что класс эффек-
тивно вычислимых функций совпадает с классом час-
тично рекурсивных функций.
Второе nаnравлеnuе связано с машинной математи-
кой. Здесь сущность понятия аЛI'оритма раскрывается
путем рассмотрения процессов, осуществляемых в ма-
ШИне. Впервые это было сделано ТЬЮРИНI'ом, который
146
Курс лекций по математической лоеике
предлоЖИЛ самую общую и вместе с тем самую простую
концепцию вычислительной машины. Ее описание было
дано ТЬЮРИНI'ОМ в 1937 I'оду. При этом ТЫОрИНI' исходил
лишь из общей идеи работы машины как работы вычис
лителя. оперирующеI'О в соответствии с некоторым CTpO
I'ИМ предписанием.
Третье направление связано с понятием нормальных
алI'ОРИТМОВ. введенным и разработанным российским ма-
тематиком А. А. Марковым.
4. Вычислимые функции.
Частично рекурсивные
и общерекурсивные функции
Для аЛI'оритмических проблем типичным является
то обстоятельство. что требуется найтиалI'ОРИТМ для
решения задачи. в условия которой входят значения
некоторой конечной системы целочисленных парамет
ров Х 1 . Х 2 , ..., Хn' а искомым результатом также является
целое число у. Следовательно. стоит вопрос о существо
вании аЛI'оритма для вычисления значений числовой
функции у. зависящей от целочисленных значений ар-
ryмeHToB Х 1 . Х 2 . .... Хn'"
Определение 1. Функция g = {(Хl.Х2.....Хn) называ-
ется эффективно вычислимой. если существует алI'оритм,
позволяющий вычислить ее значения.
Так как в этом определении алI'ОРИТМ понимается в
интуитивном смысле. то и понятие эффективно вычис-
лимой функции является интуитивным.
Однако переход от алI'оритма к эффективно вычис-
лимой функции дает определенные преИмущества. Дело
в том. что те требования. которые предъявляются к ал-
I'оритму в eI'o характерных чертах, выполняются для
совокупности всех вычислимых функций. которая но-
сит название совокупности рекурсивных функций.
rёдель впервые описал класс всех рекурсивных фун
кций как класс всех числовых функций, определяемых
в некоторой формальной системе. Черч в 1936 I'оду при-
шел к тому же классу функций, исходя из ДРУI'их пред-
посылок. Здесь построение класса вычислимых функций
строится следующим образом.
А/1rоритмы
147
Выбираются простейшие фующии
л(х) = Х + 1 (оператор сдвиrа).
о(х) = О (оператор аннулирования),
I:-(Хl.Х2.....Хп) = Хт.l т n (оператор проектиро
вания).
Ясно, что все три простейшие функции всюду опре-
делены и интуитивно вычислимы.
Далее вводятся операции над функциями.
1. Суперпозиция функций.
Рассмотрим функции {l(Хl' Х2..... Х n)' {2(Хl. Х 2....' х п ),
.... {т(Хl,Х2.....Хп) и функцию qJ(Xl.X2.....Xm); функцию
f/(Xl' Х2..... х п ). определяемую равенством
f/(Xl. X 2..... X n) =
= q{fl(Xl. Х2" .., х п ), { 2 ( Хl. х2'.... Х п )..... {т( Хl. Х2'.... Х п )) .
Будем rоворить. что функция f/ получена из функ-
ций qJ и {l' (2' ..., { т суперпозицией.
Если мы каким либо образом умеем вычислять фун-
кции {l' {2' .... { т и 'Р, то функция f/ может быть вы-
числена так: придадим переменным X 1 ' Х 2 ' .... Х n некото-
рые значения a 1 , а 2 , .... а n . Вычисляя все Ji(al.a2....,au) ,
найдем b i = Ji(al'a2..... а п ). Вычисляя теперь qJ(bt, b 2'''' .Ь т )
найдем с = f/(al.a2'....an).
Ясно. что если все функции f 1 , { 2 . .... ' т и qJ всюду
определены. то функция f/ всюду определена. Функция
f/ будет не всюду определенной, если хотя бы одна из
функций { 1 . { 2 , .... { т не всюду определена. или если мож-
но найти такие значения apryMeHToB а 1 , а 2 . .... а п , что
b i = Ji(al,a2'....a n ), но qJ(bt.b2....'bm) не определено
(i = 1. т) .
148
Курс лекций по математической лоеине
Таким образом. если функции 11' 12' .... 1т' q> интуи-
тивно вычислимы. то будет интуитивно вычислима и фун-
кция If/.
Отметим. что возможны случаи. корда не все функ-
ции 11' 12' .... 1т зависят от всех п аррументов Х 1 ' х 2 . .... Х п '
В этих случаях для получения суперпозиции использу-
ются фиктивные аррументы и функции IJ:1(Xl.X2.....Xn).
Например. функция If/(X,у, z) = q>(fl(X),12(X,y.Z).Y.X) по-
лучается суперпозицией из функций q>(Xl'X2'X3'X4). и
Fl(X,y.z) = Il(X). F2(X,y,Z) = 12(X'Y'Z)' Fз(X,y.Z) = I (x.y.z),
F4(X,y,Z) = Il(x.y.z).
2. Схема ПРИМIIТИВНОЙ рекурсии.
Пусть имеется две функции q>(X2.X3.....Xn) и
If/(Xl.X2'....Xn.Xn+l) (п > 1). Рассмотрим новую функ-
цию. которая удовлетворяет следующим равенствам:
1(0.Х2. Х з..... Х n) = fJ(Х2.Хз.....Хn }
(1)
'(У + I.Х2. Х 3..... Х n) = If/(Y.f(.If. X 2..... X n).X2'....X n ).
Отметим. что функция q> зависит от п 1 аррумен-
тов. функция If/ от п + 1 аррументов. а функция I от
п аррументов.
Если функция I(Хl'Х2.....Хn) получается из функ-
ций q> и If/ с помощью равенств (1). то rоворят. что функ-
ция I получена из функций q> и If/ по схеме пpиMиmив
ной рекурсии.
Если функции q> и If/ интуитивно вычислимы. то
будет интуитивно вычислима и функция 1. Действи-
тельно. пусть а 1 . а 2 . .... а n набор значений аРРументов
Х 1 . Х 2 . .... Хn' Торда последовательно находим
1(0. а2' аз. .... а n ) = q>(a2' а3..... а n ) = Ь о .
1(I.а2. а з..... а n) = 1f/(0.b O .a2. a 3'....a n ) = bt..
1(2.а2. а з..... а n) = 1f/(I.Ь 1 .а2. а з....,а n ) = Ь 2 и т.д.
АЛrоРИТМЫ
149
Очевидно. что если функции rp и '1/ всюду определе-
ны, то будет всюду определена и функция 1.
Рассмотрим примеры получения функций по схеме
примитивной рекурсии.
Пример 1. Пусть функция I(У. х) задана равенствами:
I(О.х) = х. }
I(У + l.х) = I(у.х) + 1.
Здесь функция rp{x) = х, а 'I/(x.y.z) = У + 1.
Вычислим значение функции I(у, х) при У = 5. х = 2 .
Т.к. 1(0,2) = rp(2) = 2. то из BToporo равенства последова
тельно имеем:
1(1.2) = '1/(0.2.2) = 2 + 1 = 3
1(2.2) = '1/(1.3.2) = 3 + 1 = 4
1(3.2) = '1/(2.4.2) = 4 + 1 = 5
1(4.2) = Vf(3.5, 2) == 5+ 1 = 6
1(5.2) = '1/(4,6.2) = 6 + 1 = 7
Нетрудно показать, что I(У. х) = У + х. Действитель
но. I(У + Z. х) = I(у, х) + z . Полаrая в этом равенстве У = О,
получим I(z. х) = I(О.х) + z или I(z, х) = х + z.
Пример 2. Пусть функция I(У. х) задана равенствами:
'( О. х) = О, }
I(У + 1, х) = I(У. х) + х.
Здесь rp(x) = О. 'I/(x.y.z) = У + z.
Вычислим значение функции I(У. х) при У = 2. х = 2.
Так как I(О.х) = tp(x) = О, то 1(0.2) == О, а значения 1(1.2)
и 1(2,2) находим последовательно:
1(1,2) = '1/(1.0,2) = 0+2 = 2 }
1(2.2) = '1/(2.2.2) = 2 + 2 = 4 .
150
Курс лекций по математической лоеике
Леrко показать. что в этом примере {(У.Х) = Х. у .
Действительно, {(У + z, х) = {(У. х) + z. х. Полаrая в этом
равенстве у = О . получим {( z. х) = {( О. х) + z . Х или {( z. х) =
== z. Х.
3. Операция минимизации (11 оператор).
Пусть задана некоторая функция {( Х. у). Зафикси-
руем значение Х и выясним. при каком у {( Х. У) = о .
Более сложной задачей является отыскание для дан-
ной функции {( Х. У) и фиксированноrо Х наu.меньшеzо
из тех значений У. при которых функция {(х.У) = О. Так
как результат решения задачи зависит от Х, то наимень-
шее значение У. при котором функция {(х.У) = о есть
функция Х. Принято обозначение
qJ(X) == I1Y[f(x. у) == о].
(Читается: «наименьшее у такое, что {(х.У) == о ..)
Аналоrично определяется функция мноrих перемен-
ных:
qJ(Xl. X 2....'X n ) == I1Y[f(Xl.X2....'Xn,Y) == о]
Переход от функции {(Хl.Х2....'Хn,У) К функции
qJ(Xl' Х2..... Х n ) принято называть nри.менение.м l1-one-
ратора.
Для вычисления функции qJ можно предложить сле-
дующий алrоритм:
1. Вычислим {(Хl.Х2.....Хn'0). Если это значение f
равно нулю. то полаrаем tp(Xl.X2.....Xn) == О. Если
{(Хl.Х2'....Хn.0) #= О, то переходим к следующему шаry.
2. Вычислим {(Хl.Х2.....Хn.1). Если {(Хl.Х2.....Хn.1) = о,
то полarаем tp(Xl'X2.....Xn) == 1. Если же {(Хl.Х2.....Хn.1) #= О,
то переходим к слеДующему шаry. И т.д.
rutrоритмы
151
Если окажется, что для всех у функция
'(хl.х2'....хn,У)"# О, то функцию qJ(Xl.X2,''',Xn) в этом слу-
чае считают неопределенной. Но возможно, что существует
такое У о ' что '(хl.х2.....хn.Уо) == О и. значит. есть и наи-
меньшее У. при котором '(хl'х2.....хn. У) == о; и в то же вре-
мя может случиться, что при некотором z( О < z < Уо) значе-
jlие функции f(Xl.X2.....Xn.z) не определено. Очевидно. что
в этом случае процесс вычисления наименьшеro У. при кото-
ром '(Хl.Х2.....Хn.У) == О не дойдет до Уо' И здесь функцию
(Xl.X2.....Xn) считают неопределенной.
Пример. Рассмотрим функцию ,(х.У) == Х У, ко-
торая может быть получена с помощью оператора мини-
мизации
'(Х. У) == jLZ(Y + z == х) == jLz[Ii(x. У, z) + I:(x. У. z) == IA(x, У. z)].
Вычислим. например, ,(7, 2) . то есть значение функции
при У == 2, х == 7 . Для этоrо положим У == 2 и будем при-
aвaTЬ х последовательно значения:
z == О. 2 + О == 2 1= 7,
z == 1. 2 + 1 == 3 1= 7,
z == 2. 2 + 2 == 4 1= 7,
z == 3, 2 + 3 == 5 1= 7,
z == 4, 2 + 4 == 6 1= 7,
z == 5, 2 + 5 == 7 == 7.
Таким образом, ,(7, 2) == 5.
Определение 2. Функция '(хl.х2.....хn) называется
частично рекурсивной. если она может быть получена в
Конечное число шаrов из простейших функций при по-
мощи операций суПерпозиции. Схем примитивной рекур-
сии и .и -оператора.
152
Курс лекций по математической лоаике
Определение 3. Функция '(хl.х2....'хп) называется
общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всю-
ду определена.
Примерами общерекурсивных функций являются
функции:
1) л(х). 2) о(х), 3) I::Z(x).
4)f(Y,x)=y+x. 5) ,(у,х)=х'у, 6) ,(у.х)=х+n.
Тезис А. Чёрча. Каждая интуитивна вычислимая
функция является частично рекурсивной.
Этот тезис нельзя доказать, т.к. он связывает не-
cTporoe математическое понятие интуитивно вычисли-
мой функции со строrим математическим понятием ча-
стично рекурсивной функции.
Но этот тезис может быть опроверrнут, если постро-
ить пример функции интуитивно вычислимой, но не
являющейся частично рекурсивной.
5. :Машины ТЬЮрИНl'а
Если для решения некоторой массовой проблемы из-
вестен алrоритм. то для ero реализации необходимо
лишь четкое выполнение предписаний этоrо алrоритма.
Автоматизм. необходимый при реализации алrоритма
естественно приводит к мысли О передаче функции чело-
века. реализующеrо алrоритм. машине. Идею такой
машины предЛОЖИЛИ в тридцатые rоды американский
математик Э. Пост и анrлийский математиК А. Тьюринr.
Рассмотрим один из вариантов указанной машины,
которая носит название машины Тьюринzа.
Устройство машины Тьюринrа включает в себя:
1. Внешний алфавит. то есть конечное множеСтво
символов А = {ао.аl'а2.....ап}. В этом алфавите в виде
слова кодируется та информация, которая подаетсЯ в
машину. Машина перерабатывает информацию. подан-
ную в виде слова. в новое слово.
2. Внутренний алфавит машины. состоящий из сим-
волов qo' ql' q2' .... qm' П. Л. н. Символы Qo. Ql' Q2' ..., Qm
выражают конечное число состояний машины. Для лю-
бой машины число СОСтояний фиксировано. Два состояния
АЛrОРИТМЬI
153
имеют особое назначение: ql начальное состояние Ma
I1IИНЫ. % заключительное состояние (стоп состояние).
символы п, л, н это с;имволы сдвиrа (вправо, влево. на
месте).
3. Бесконечная в обе стороны лента (внешняя па
мять машины) . Она разбита на клетки. В каждую клет-
ку может быть записана только одна буква. Пустую
клетку будем обозначать символом а о .
4. Управляющая I'оловка. Она передвиrается вдоль
ленты и может останавливаться напротив какой либо
клетки. Т.е. воспринимать символ. В одном такте работы
машины управляющая rоловка может сдвиrаться только
на одну клетку (вправо. влево) или оставаться на месте.
Каждое сведение. хранящееся на ленте, изображает-
ся конечным набором символов (букв) внешнеrо алфави-
та. отличноrо от а о . К началу работы машины на ленту
подается Ha
чальное CBC
дение (Ha
чальная ин
qt формация).
В этом случае
Рис..1 управляю-
щая rоловка.
как правило. находится у крайнеrо левоrо знака с ука-
занием начальноrо СОСТОЯния qt (рис. 1) (начальная KOH
фиrурация). Работа машины складывается из тактов. по
ходу которых происходит преобразование начальной ин-
формации в промежуточные информации.
В качестве начальной информации на ленту можно
подать любую конечную систему знаков внешнеrо алфа-
вита (любое слово в этом алфавите). расставленную произ
вольным образом по ячейкам. Но в зависимости от Toro.
какая была подана начальная информация, возможны
два случая:
1. После конечноrо числа тактов машина останавли
вается (переходит в Стоп состояние qo)' и при этом на
ленте оказывается изображенной информация В. В Ta
Ком случае rоворят. что машина применима к началь-
ной информации А и перерабатывает ее в результирую
щую информацию В.
154
Курс лекций по математическоi1 Л02ике
2. Машина НИКоrда не останавливаетсЯ (не переходит
в стоп состояние). В таком случае rоворят, что машина не
применима к начальной информации А.
В каждом такте работы машины она действует по
функциональной схеме, которая имеет вид:
п
aiqj:::::> аулqs.
н
Здесь a i . ау буквы внешнеrо алфавита; qj' qs
состояния машины; п. л, н символы сдвиrа.
В зависимоСТИ от Toro. какая буква на ленте обозре-
вается управляющей rоловкой (в нашей записи a i ) и в
каком состоянии (в нашей записи q.) находится машина,
I
в данном такте вырабатывается команда, состоящая из
трех элементов:
1) Буква внеШнеrо алфавита, на которую заменяется
обозреваемая буква (ау)'
2) Адрес внешней памяти для следующеrо такта (:) .
3) Следующее Состояние машины (qs).
Совокупность всех команд образует пpozpaMMY :ма-
шuпы Тьюрuпzа. Проrрамма представляется в виде дву-
мерной таблицы и называется Тьюринrовой функцио-
нальной схемой.
Пример такой схемы изображен на рис. 2 (машина
Тьюринrа 1).
а о а 1 а 2
ql а2 л qз аl n q2 а2 л ql
q2 ао н q2 a2 H ql аl н q2
qa ао n qo аl n q4 а2 н ql
<4 аl н qз ао n q4 а2 n q4
Рис. 2
Ясно, что работа машины Тьюринrа полностью оп-
ределяется ее проrраммой. Иными словами, две машинЫ
Тьюринrа с общей функциональной схеМОЙ неразличи-
мы, и различные машины Тьюринrа имеют различные
проrраммы.
А/1rоритмы
155
Для простоты изображения различных конфиrураций
машины Тьюринrа будем в дальнейшем записывать ин
формацию в виде слова. не изображая ленты и ее раз-
бивки на клетки. а вместо изображения управляющей
rолОВКИ и состояния машины записывать только состо-
яние машины.
Рассмотрим, как работает маШина Тьюринrа. задан-
ная функциональной схемой 1.
Пример 1. Пусть начальная конфиrураци.я имеет вид:
ао а2 а2 ао.
ql
Так как управляющей rоловкой обозревается буква
а2. а машина находится в состоянии ql' то машина вы-
рабатывает команду а2 л ql. и в результате получаем
вторую конфиrурацию
ао а2 а2 ао.
ql
Очевидно. следующие конфиrурации имеют вид:
ао а2 а2 ао третья конфиrурация,
ql
ао а2 а2 а2 ао четвертая конфиrурация,
qз
ао а2 а2 а2 ао пятая конфиrypация.
qo
Так как при пятой конфиrурации машина находит-
ся в состоянии qo, то Слово а2 а2 а2 является результа-
том.
Пример 2. Пусть начальная конфиrурация имеет вид:
ао аl аl а2 а2 ао
ql
Используя функциональную схему 1. мы придем к
следующим конфиrурациям:
ао аl аl а2 а2 ао вторая конфиrурация, .
ql
156
Курс лекций по математической лоеuке
ао аl аl а2 а2 ао третья конфиrурация.
ql
ао аl аl а2 а2 ао четвертая конфиrурация.
q2
ао аl аl аl а2 ао пятая конфиrурация.
q2
ао аl аl а2 а2 ао шестая конфиrурация.
ql
Кю видно из второй и шестой конфиrураций. про-
цесс работы машины начал повторяться, и. следователь-
но. результата не будет.
Реализация алrоритма в машине ТЬЮРИНl'а.
На ряде примеров покажем, как строятся тьюринrо-
вы машины, реализующие некоторые простые арифме-
тические алrоритмы.
Пример 1. Реализация в .машине Тьюринzа алzорит-
.ма nерехода от n " n+ 1 в десятичной системе счисления.
Пусть дана десятичная запись натуральноrо числа n
и требуется указать Десятичную запись числа n+l. Т.е.
вычислить функцию '( n ) = n + 1 .
Ясно. что здесь внешний алфавит машины должен
содержать все цифры О. 1. 2. 3. 4, 5. 6. 7, 8, 9 и символ
пустой клетки а о . Число n будем записывать в десятич-
ной системе на ленте. причем цифры будут помещаться
по одной в каждой клетке подряд без пропусков.
Чтобы решить поставленную задачу. машина долж-
на в первом такте работы стереть последнюю цифру чис-
ла n. заменить ее цифрой на единицу большей и перейти
в стоп состояние, если последняя цифра была меньше
цифры 9.
Если же последняя цифра числа n была 9, то машина
должна, стерев цифру 9. записать в освободившуюся клет-
ку цифру О и произвести сдвиr влево к Соседнему более
высокому разряду. оставаясь в том же начальном состоя-
нии. Здесь во втором такте работы машина должна при-
бавить еДИНИЦУ к цифре более BblcoKOro разряда.
Очевидно. что в случае сдвиrа ВЛево, управлявшая ro-
ловка машины может выйти на пустую клетку в случае,
АЛrоритмы
157
коrда цифры более BblcoKoro разряда нет. При этом Ma
шина вписывает в пустую клетку цифру 1.
Из сказапноrо следует. что при реализации алrорит
ма вычисления функции '( n) == n + 1 машина может пре-
бывать лишь в двух состояниях ql И qo'
Таким образом. машина Тьюринrа. реализующая
алrоритм перехода от n к n+ 1 в десятичной системе счис-
ления будет иметь вид:
а о О 1 I 2 3 4 5 6 7 8 9
ql 111 qo lн qo 2н qOl3H qo 4н qo 5н qo 6н qo 7н qo 8н qo 9н qo Ол ql
Рис. 3
На рис. 4 и 5 выписаны соответствующие конфиrу
рации для n == 183 и n == 399:
Рис. 4
ао 399 ао
ql
ао 390 ао
ql
ао 300 ао
ql
ао 400 ао
qo
Рис. 5
ао 183 ао
ql
ао 184 ао
qo
Пример 2. Аиорит.м сложения натуральных чисел.
Пусть на ленту подается два числа, заданных набо-
рами палочек; например. 2 и 3. Нужно сложить эти
числа.
Будем обозначать символ сложения звездочкой. Та-
НИМ образом. на ленте машины будет записано СЛОБО
aoll*lllao.
(1)
Требуется предложить функциональную схему, ко-
торая будучи примененной к слову (1), давала бы в ре-
зультате сумму чисел 2 и 3. то есть слово
aolll//ao.
(2)
158
Курс лекций по математической лоаике
Опишем процесс работы машины для решения зада-
чи. Пусть в начальный момент обозревается самая левая
палочка. Ее НуЖНо сдвинуть вправо, минуя все палочки
и звездочку до тех пор. пока не будет достиrнута первая
пустая клетка. В эту пустую клетку вписывается первая
палочка. Затем нужно вернуться за второй палочкой и
ее перенссти вправо так же. как это делал ось с первой
палочкой. После этой процедурЫ нужно вернуться к зве
дочке. стереть ее и остановиться. Изобразим вСе такты
работы машины в виде соответствующих конфиrураций:
aoll*lllao aol*llllao ao*llllao
1) ql 11) 21) q2
qз
aol*lllao 12) aol*llllao llQ*lllllllQ
2) q2 qз 22) qз
aol*lllao aol*llllao llQ *lllIlllQ
3) q2 13) 23) qз
qз
aol*lllao aol*llllao ао *lllllao
4) q2 14) 24)
qз qз
aol*lllao aol*llllao ao*lllllao
5) q2 15) 25)
ql qз
aol*lllao аоао * 1111 ао ао * 11111 ао
6) q2 16) 26)
q2 qз
aol*lllao ao*llllao ао *lllllao
7) q2 17) 27) qз
q2
aol*llllao ao*llllao ao*lllllao
8) 18) 28)
qз q2 qз
aol*llllao ao*llllao ao*lllllao
9) qз 19) 29) ql
q2
aol*llllao . ao*llllao aoaolllll a o
10) 20) 30)
qз q2 qo
АЛrоРИТМЫ
159
Этот процесс позволяет записать алrоритм в виде дву-
мерной таблицы. изображенной на рис. 6.
а о * I
ql ао н qo ао n q2
q2 I н qз * n q2 I n q2
qз ао n ql * л qз I л qз
Рис. 6.
Таким образом. здесь использован внешний алфавит
(ао.*, 1) и состояния машины qO' ql' q2. qз.
Пример 3. Алzорит.м Евклида.
Алrоритм Евклида решает задачи вида: для двух дaH
ных натуральных чисел найти их общий наибольший
делитель.
Как известно. алrоритм Евклида сводится к построе-
нию убывающей последовательности чисел. из которых
первое является большим из двух данных чисел. второе
меньшим. третье получается как остаток от деления пер-
Boro на второе. четвертое как остаток от деления вто-
poro на третье и так далее. пока не будет совершено де-
ление без остатка. Делитель в этом последнем делении и
будет результатом решения задачи.
Нам требуется задать алrоритм Евклида в виде про-
rpaMMbl машины Тьюринrа. Эта проrрамма должна обес-
печить попеременное чередование циклов сравнения и
циклов вычитания чисел.
Будем использовать внешний алфавит, состоящий
из четырех букв: (ao.l.a.p). Здесь а о символ пустой
клетки. I палочка. а и р буквы. иrрающие роль
временных палочек. Пусть. для конкретности. требует-
ся найти НОД чисел 4 и 6 при начальной конфиrурации
ао 1111111111 ао.
ql
160
Курс лекций по математической лоеuке
Сначала машина должна сравнить числа. изображенные
на ленте. С этой целью она должна заменять палочки,
изображающие первое число. буквами а. а палочки.
изображающие второе число. буквами {3. При этом
конфиrурации. соответствующие первым четырем так-
там работы машины. будут иметь вид:
1)
ао 1111111111 ао,
ql
3)
ао Illallllll ао,
q2
2)
ао 111 а 111111 ао.
q2
ао 111 а {311111 ао.
4) ql
После этих четырех тактов управляющая rоловка
должна двиrаться влево в поисках еще не отмеченной
ближайшей палочки первоrо числа, которая должна быть
заменена на а, а затем начинается движение управляю-
щей rоловки вправо в поисках ближайшей палочки вт 0-
poro числа. которая должна быть заменена на {3. После
соответствующеrо числа тактов работы машины на лен-
те возникнет конфиrурация
ао аааа {3 {3 {3 {311 ао.
ql
На этом заканчивается цикл сравнения исходных чисел
и начинается цикл вычитания. в результате KOToporo
меньшее число должно быть стерто целиком. палочки
BToporo числа. помеченные буквой {3, заменяются на
обычные палочки, и. следовательно. большее число 6
будет разбито на два числа 4 и 2.
Этим операциям соответствует ряд конфиrураций.
Выпишем некоторые из них. пропуская очевидные кон-
фиrурации.
ао а а а а {3 {3 {3 {311 ао
ql
ао а а а а {3 {3 {3 {311 ао
qз
AЛrOРИТWIЫ
181
00 00 аааРРРрl 1 00
qз
aOOoOoaOOoppppllOo
qз
00 аоОо 00 Oolpp pll ао
qз
aoaoaoaoaollllllOo
qз
OoOoaoaoaolllll1 ао
q2
На этом заканчивается первый цикл вычитаПИJl. Те-
перь машина должна сравнить числа 4 и 2, Цикл сравне-
ния этих чисел приводит к конфиrypации:
00 IlaappOo,
q4
а цикл вычитания к конфиrурации:
001/11 ао.
ql
Третий цикл сравнения чисел 2 и 2 приводит К кон-
фиrурации
ао а ар р 00,
qз
а цикл вычитания к заключительной конфиrурации
00 Ilao.
qo
182
Курс лекций по матеметической лоеике
в связи с этим функциональная схема Тьюринrа име
ет вид:
а о I а Р
ql а о n qз а н q2 а лql Р лql
q2 ао л q4 PHql а n q2 рп q2
qa ао н qo I н q2 ао n qз I n qз
q4 ао н qo I н ql I л q4 ао л q4
Рис. 7
Основная rипотеза теории алrоритмов.
Машина Тьюринrа дает один из путей уточнения по-
нятия алroритма. В связи с этим возникают вопросы:
насколько общим является понятие машины Тьюринrа?
Можно ли считать, что способ задания алrоритмов с
помощью машины Тьюринrа является универсальным?
Может ли всякий алroритм задаваться таким образом?
На эти вопросы современная теория алrоритмов пред-
JIaraeт ответ в виде. следующей rипотезы:
Всякий алrоритм может быть задан посредством тью-
ринrовой функциональной схемы и реализован в соот-
ветствующей машине Тьюринrа.
Эта rипотеза называется тезисом Тьюриuzа. Ее нельзя
доказать, так как она связывает HecTporoe определение
понятия rоритма со строrим определением понятия
машины Тьюринrа.
Эта rипотеза может быть опроверrнута, если удастся
привести пример алroритма, который не может быть реа-
лизован с помощью тьюринroвой функциональной схемы.
Однако все известные до сих пор алroритмы Moryт
быть заданы посредством тьюринroвых функциональных
схем.
Напомним также, что дрyrие способы уточнения по-
нятия алrоритма (понятие нормальноrо алrоритма
А. А. Маркова, понятие рекурсивноrо алrоритма (рекур-
сивнОй функции), введенноro Чёрчем. rёделем и Клини)
оказались равносильными.
Этот факт является важным доводом в пользу сфор-
мулированной rипотезы.
Allroритмы
183
Кроме Toro. следует сказать, что внутри самой Teo
рии алrоритмов эта rипотеза не применяется. то есть
при доказательстве теорем теории алroритмов никаких
ссылок на rипотезу не делается.
* 6. Нормальные алrоритмы Маркова
Как и ранее, будем называть алфавитом А всякое
непустое конечное множество символов, а сами символы
алфавита будем называть буквами.
Словом в алфавите А называется всякая конечная
последовательность букв алфавита А. Пустая последова
тельность букв называется пустым словом и обознача-
ется через J2( Л.
t-
Если Р обозначает слово SASj2",Sjk и Q обознача-
ет слово S S ... Sr. ,то PQ обозначает объединение
'1 '2 т
Si1"'Sjk Sr 1"' Sr m' в частности, РЛ = ЛР = Р. Кроме тоro,
(Р 1 Р 2 )Р з = Р 1 (Р 2 Р з ).
АлфавитА называетсярасширениемалфавитаВ. если
В с А. Очевидно, что в этом случае всякое слово в алфа-
вите В является словом в алфавите А.
A.пzopuтMOM в алфавите А называется эффективно вы-
ЧИCJ'IИМая функция. областью определения которой слу-
жит какое-нибудь подмножество множества всех слов в
алфавите А и значениями которой являются также слова
в алфавите А. Пусть Р есть слово в алфавите А; roворят,
что алroритм и nрименим к слову Р, если Р содержится в
области определения U. Если алфавит В является расши
рением алфавита А, то всякий алroритм в алфавите В
называется алzоритмом над алфавитом А.
Большинство известных алroритмов можно разбить
на некоторые простейшие шаrи. Следуя А. А. Маркову,
в качестве элементарной операции. на базе которой стро-
ятся алroритмы. выделим nодстановку одноrо слова BMe
сто друrоrо. Если Р и Q слова в алфавите А, то выраже-
ния Р Q и Р . Q будем называть формулами под-
становки в алфавите А. При этом предполаrается, что
символы стрелка и точка . не являются буквами
164
Курс лекций по математической лоеUК8
алфавита А. а каждое слово Р и Q может быть и пустым
словом. Формула подстановки Р Q называется прос-
той. а формула подстановки Р . Q называется за".пю
чuте.пЬ1tОй.
Пусть Р (.)Q обозначает одну из формул подст8.-
новки Р Q или Р . Q . Конечный список формул под
становки в алфавите
1l (')'h }
2. ! 2
р,. (. )Qr
называется схемой a.пzopumMa и порождает следующий
алrоритм в алфавите А.
Принято rоворить. что слово Т входит в слово Q,
если существуют такие (возможно пустые) слова W, У,
что Q=WTV.
Пусть Р слово в алфавите А. Здесь может быть одно
из двух:
1. Ни одно из слов P 1 ,P 2 "",P r не входит в слово Р
(обозначается: И: Р :::> ).
2. Среди слов P 1 ,P 2 "",P r существуют такие, кото-
рые входят в Р. Пусть т наименьшее целое число та-
кое, что 1 т r, и Р т входит В Р, и R слово, которое
получается, если самое левое вхождение слова Р т В слово
Р заменить словом Qm' Тот факт, что Р и R находятся в
описанном отношении, коротко запишем в виде
И: PI--- R ,
(а)
если формула подстановки Р т (,)Qm простая, или в
виде
И:Р .Л
(Ь)
если формула Р т (,)Qm заключительная.
В случае (а) rоворят, что алrоритм U просто перево-
дит слово Р В слово Л; в случае (ь) rоворят, что алrоритм
U заключительно переводит слово Р в слово Л.
. мrОРИТМЫ
165
Пусть далее, и: Р\=Л означает, что существует такая
[10следовательность Ro,Rl....,Rk слов в алфавите А. что
Р=ЛО, R=Rk' U:RA--R j + 1 l1)IЯ j=O,I,...,k 2 и либо
и: Rk l Rk' либо и: Rk l . Rk (в этом последнем случае
вместо и: Р\=Л пишут и: р\= .Л ).
Положим теперь и(Р) = R тоrда и только тоrда, Kor
да либо и:р\=.л, либо и:р\=л и и: R :::>.
Алrоритм. определеН:RЫЙ таким образом, называет
си нормальным. алzорuтмом. или алzорuтм.ом. Маркова.
Работа aлroритма U может быть описана следующим об-
разом. Пусть дано слово Р в алфавите А Находим первую в
схеме aлroритма U формулу подстаноDКИ Р т (.)Qm, та-
кую, что Р т входит в Р. Совершаем подстановку слова Qm
вместо caмoro левоro вхождения слова Р т В слово Р. Пусть
Rl результат такой подстановки. Если Р т (,)Qm зак-
лючительная формула подстановки, то работа алrорит-
ма заканчивается, и ero значением является Rl' Если
формула подстановки Р т (,)Qm простая. то приме-
ним к Rl тот же поиск, который был только что приме-
нен к Р и т.д. Если на конечном этапе будет получено
такое слово Rt' что и: л , :::>. то есть :RИ одно из слов Рl'
..., Pr не входит в R i . то работа алrоритма заканчивает-
ся, и Л! будет ero значением.
Если описанный процесс на конеЧ:ROМ этапе не заканчи-
вается, то roворят, что aлroритм U не примеlШМ к слову Р.
Пример 1. Пусть А есть алфавит {ь. с} . Рассмотрим
схему
Ь 'Л } .
c c
Определяемый этой схемой нормальный алrоритм и
перерабатывает всякое слово Р в алфавите А, содержа-
щее хотя бы одно вхождение буквы Ь, в слово, которое
Получается вычеркиванием в Р caмoro левоrо вхождения
буквы Ь.
166
Курс лекций по математической лоаике
Действительно, всякая буква с, нахОДЯЩаяся в слове
левее самой левой буквы Ь, простой подстановкой с с
переводится в букву с, а самая левая буква Ь заключи
тельной подстановкой переводится в пустое слово D.
Например, если Р = ссЬЬс, то Р .Q, rде Q = ссЬс .
Пустое слово U перерабатывает в само себя.
U не применим к непустым словам. не содержащим
вхождения буквы Ь . Действительно, если слово Р содер-
жит только буквы с, то простой подстановкой с с оно
будет перерабатываться в себiJ, но тоrда всеrда Р Р, и
. и
мы не приходим к заключительнои подстановке, Т.е.
процесс будет продолжаться бесконечно.
Пример 2. Пусть А есть алфавит {ао,аl,...,ап}' Рас-
CJ/[отрим схему
Vi (ai л) (щ еА).
Эта схема определяет нормальный алrоритм и, пере-
рабатывающий всякое слово в алфавите А в пустое сло-
во. Например,
и: аlа2аlазаоl---аlа2аlазl---а2аlазl---а2азl---азl---л,
и, наконец, u:л:::>. Следовательно, U(аlа2аlазао) = Л.
5 7. Неразреmимые аJIrOритмические проблемы
(обзор)
Переход от ивтуитивноrо понятия алrоритма к точ-
ному понятию машины Тьюринrа позволяет уточнить и
вопрос 06 алrоритмической разрешимости данной мас-
совой проблемы. Теперь этот вопрос можно сформулиро-
вать так: существует ли машина Тьюринrа, решающая
данную массовую проблему или же такой машины не
существует?
На этот вопрос теория алrоритмов в ряде случаев
дает отрицательный ответ. Один из первых результатов
TaKoro типа получен американским математиком Чёр-
чем в 1936 rоду. Он касается проблемы распознавания
выводимости в математической лоrике.
AJI/"OРИТlfЫ
187
1. Неразрешимость проблемы распозиававии выво-
димости В математической ЛОI'ИRе.
как известно. аксиоматический метод в математике
заключается в том, что все предложения (теоремы) дан-
ной теории получаются посредством формально-лоrичес-
Koro вывода из нескольких предложений (аксиом), при-
mrмaeмыx в данной теории без доказательства.
В математической лоrике описывается специальный
язык формул, позволяющий любое предложение мате-
матической теории записать в виде вполне определенной
формулы, а процесс лоrическоrо вывода из посылки А
следствия В может быть описан в виде процесса фор
мальных преобразований исходной формулы. Это дости
rается путем использования лоrическоro исчисления, в
котором указана система допустимых преобразований,
изображающих элементарные акты лоrическоrо умозак-
лючения, из которых складывается любой, как yrодно
сложный формально-лоrический вывод.
Вопрос о лоrической выводимости предложения В
из посылки А в избранном лоrическом исчислении RВЛя
ется вопросом о существовании дедуктивной цепочки,
ведущей от формулы А к формуле В.
В связи с этим возникает nробле.ма распознавания
выводи.мости: для любых двух формул А и В в лоrичес-
ком исчислении узнать, существует ли дедуктивная цe
почка, ведущая от А к В, или нет.
Решение этой проблемы понимается в смысле вопро-
са о существовании алrоритма, дающеrо ответ при лю-
бых А и В. Результат Чёрча формулируется следующИМ
образом:
Теорема Чёрча. Проблема распознавания вывoдU.мo
r:тu алzорит.мически неразреши.ма.
2. Неразрешимость проблемы распозиававия само--
Примеиимости.
Введем предварительно понятие шифра машины Тью-
рИнrа. До сих пор мы записывали проrрамму машины
Тьюринrа в виде двумерной таблицы т х n. Однако ее
можно изобразить в одномерном варианте, записывая
последовательно пятерки символов так, что первый сим-
вол пятерки указывает столбец таблицы, второй строч
ку таблицы, а последующие три символы той тройки,
168
Курс лекций по математичесиой Л U«e
которая располаrается в таблице на пересечении УКа-
занных строки и столбца.
Так, например, вместо схемы, изображенной На
рис. 7, будет получена одномерная строка:
aOql a O n qзl qla н q2aqla л qlfJqФ л QlaOq2aO л Q4'" (1)
Поступая аналоrично, можно при рас<;мотреиии кон-
фиrypаций условиться О том, чтобы букву состояния писать
не под обозреваемой буквой, а непосредственно левее ее.
Например, ранее встречающуюся конфиrypацию
1/1/"
Q4
будем записывать в виде 1111 Q4 11.
Ясно, что каждую букву строки (1) можно переи.ме-
новать. Сделаем это, <;облюд8Я следующие условия:
1) строка (1) должна однозначно разбиваться на от-
дельные кодовые rруппы;
2) кодовые символы должны быть трех видов:
а) для букв л, П, н;
б) для букв BHemHero алфавита;
в) для букв, изображающих состояния машины.
В связи с этим будем пользоваться следующей таб-
лицей кодирования:
10001
Внешний а 100001 4 нуля
алфавит а 1 10000001 6 нулей
. . . . . . . . .
а п 10...01 2(п+2) нулей
Внутрен- q 1000001 5 нулей нечетное число ну-
ний ал- q2 100000001 7 нулей лей, большее трех
фавит . . . . .
q 10...01 2(п+1)+1 нуле U
Если в строке (1) считать 1. а. р соответственно
буквами a 1 , а 2 , аз, то при такой системе кодирования
строка (1) запишеТС$! так:
1000011000001100001100011ООООООООО1100000о110000011ОООООООО1... (2)
AJ1rоРитмы
169
Подобную строчку из единиц и нулей, составленную для
функциональной схемы или для отдельной конфиrypа
ции lIазывают шифрvм функциональной схемы или шиф
ром "онфиzурации.
Пусть теперь на ленте машины Тьюринrа изображен
ее же собственный шифр, записанный в алфавите маши
нЫ. Возможны два случая:
1. Машина применима к своему шифру, Т.е. она
перерабатывает этот шифр и после конечноrо ЧИСла так-
тов останавливается.
2. Машина не применима к своему шифру, Т.е. ма-
шина никоrда не переходит в стоп-состояние.
Таким образом, сами машины (их шифры) разбива-
ются на два КЛасса: класс самоприменимых и класс He
самоnримени'мых тьюринrовыХ машин. Поэтому возни-'
кает следующая массовая проблема: проблема распозна-
ваемости самоnрименимости. По любому заданному
шифру установить, к какому классу относится машина,
зашифрованная им: к классу самоприменимых или не-
самоприменимых?
Теорема. Проблема распознавания самоnpименимо-
сти алzоритмически не разрешима.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
такая машина А существует. Тоrда в А всякий самопри-
меНИмый шифр перерабатывается в какой-то символ (j
(имеющий смысл утвердительноrо OTB Ta на поставлен-
ный вопрос о самоприменимости), а всякий несамопри-
менимый шифр в дрyrой символ f' (имеющий CMЫC
отрицательноrо ответа на поставленный вопрос). В та-
ком случае можно было построить и такую машину В,
коТОрая по-прежнему перерабатывает несамоприменимые
шифры в Т, в то время как к самоприменимым шифрам
В уже не применима. Этоro можно было добиться путем
Taкoro изменения схемы машины В, чтобы после появле-
ния символа (j вместо появления стоп-состояния, маши-
на Начала бы неоrраниченно повторять этот же символ.
Таким образом, В применима ко всякому несамопри-
менимому шифру (вырабатывается при этом символ '() И
не применима к самоприменимым шифрам. Но это приво-
дит К противоречию. Действительно:
170
Курс лекций по математической лоеике
1) пусть машина В самоприменима. тоrда она приме-
нима к своему шифру В и перерабатывает ero в символ
1:; но появление этоrо символа как раз и должно озна-
чать. что В несамоприменима;
2) пусть В несамоприменима. тоrда она не примени-
ма к В, что должно означать как раз, что В самоприме-
нима. Полученное противоречие доказывает теорему.
3. ПроБJJема эквиваJJеитиости МОВ ДJJИ ассоциатив-
ных ИСЧИСJJений.
Первые результаты об алrоритмической неразреши-
мости были установлены для проблем, возникающих в
самой математической лоrике и в теории алrоритмов. Сюда
относ,ятси и рассмотренные проблемы .Проблема выводи-
мостИ!'t._ и .Проблема самоприменимости.. Но позже вы-
яснилось,. чтО аналоrичные проблемы возникают в самых
различных специальных разделах математики. Сюда от-
носятся, в первую очередь, алrебраические проблемы,
приводящие к различным вариантам проблемы слов.
Рассмотрим некоторый алфавит А = {а.Ь.с....} и мно-
жество слов в этом алфавите. Если слово L является ча-
стью МОва М, то rоворят, что слово L входит в слово М.
Так, слово аса входит в слово ЬсасаЬ, начиная с буквы а.
Будем рассматривать преобразование одних МОВ в дру-
rие с помощью некоторых допустимых подстановок вида
P Q или P Q,
rде Р и Q два слова в том же алфавите А.
Применение ориентированной подстановки Р Q к
слову R возможно в том случае. коrда в нем имеется
хотя бы одно вхождение левой части Р; оно заключается
в замене любоrо одноrо TaKoro вхождения соответствую-
щей правой частью Q.
Применение неориентированной подстановки Р Q
допускает как замену вхождения левой части правой,
так и замену вхождения правой части левой.
Будем рассматривать. в основном. неориентирован-
вые подстановки.
Пример. Подстановка ас аса применима к слову
ЬсасаЬ двумя способами; замена вхождения аса в это слово
дает слово ЬсасаЬ, а замена вхождения ас дает слово
ЬсасааЬ.
АЛrоритмы
171
к слову аЬсаЬ эта подстановка не применима.
ОпредеJIеиие. Ассоциативным исчислением называ-
ется совокупность всех слов в некотором алфавите вмес-
те с какой-нибудь конечной системой допустимых под-
становок.
Дли задания ассоциативноrо исчисления достаточно
указать соответствующие алфавит и систему подстановок.
Если слово R может быть преобразовано в слово S
посредством однократноrо применения допустимой под-
становки, то и S может быть преобразовано в R такИ!l
же путем. В таком случае R и S называют смеЖНЫМl
словами. Последовательность слов
Rl' Л2' ..., RR l' Л п
таких, что каждая пара слов Л, и Ri+l (i = 1'2....' n 1)
являются смежными, называют дедуктивной цепочкой,
ведущей от слова R к слову В.
Если существует дедуктивная цепочка, ведущая от
слова R к слову В, то, очевидНО, существует и дедуктив-
ная цепочка, ведущая от слова S к слову Л. в этом слу-
чае слова R и S называют эквивалентными и обознача-
ют: Л В.
ДЛЯ каждоrо ассоциативноrо исчисления возникает
своя специальная проблема эквивалентности слов:
Для любых двух слов в данном исчислении требует-
ся узнать, эквивалентны они или нет.
Проблема эквивалентности слов для ассоциативных
исчислений была сформулирована в 1911 roдy. Тоrда же
был предложен алrоритм для распознания эквива.лент-
ности слов в некоторых ассоциативных исчислениях
СПециальноrо вида.
Естествев:но возникла задаЧа об отыскании Taкoro
общеrо алrоритма, который был бы применим к любому
ассоциаТИВНОМУ исчислению.
В 1946 и 1947 rодах российский математик А. А. Мар-
ков и американский математик Э. Пост, независимо один
от дрyrоrо, построили конкретные примеры ассоциатив-
ных исчислений, для каждоrо из которых проблема экви-
валентности слов алrоритмически не разрешима, и, сле-
довательно. Не существует алrоритма для распознания
эквивалентности слов в любом исчислении.
172
Курс лекции по матеметическои лоеике
в 1955 roдy российский математик П. С. Новиков ДOKa
зал алrоритмическую неразрешимость проблемы тожде
ства rрупп, формально эта проблема представляет собой
частный случай проблемы эквивалентности слов в ассо-
циативном исчислении.
Примеры. построенные А. А. Марковым и П. С. Ho
виковым для опровержения алrоритмической разреши-
мости исследуемых проблем были rромоздКИМИ и насчи-
тывали сотни допустимых подстановок.
Петербурrскому математику r. с. Цейтину удалось
построить пример алrоритмически неразрешимоrо ис
числения, в котором используется лишь семь допусти-
мых подстановок.
4. Неразрешимость десятой проБJlемы rиJlьберта о
диофантовых уравнениях.
Сущность этой проблемы излаrалась нами выше в
3 и там же указывалось, что доказательство алrорит-
мической неразрешимости этой проблемы было дано в
1960 rоду молодым Петербурrским математиком Ю. Ма-
тиясевичем.
Часть 11
3адачиик-практикум
u
по математическои
лоrике
rЛАВА 1
AJIrEВPA JlОrиRИ
I 1. Выс ка 1ПI И . .1Iоrические операции над IIJIМIL
ФоРМ)'.JIЫ aяreбры .1I01'111CR
Понятие высказывания является ocHoBвыM неопре
ДeJШеМЬDI повятием математической JIОrики. ПОД BЫC
казывaJlJle. ПOIIRII8JD'I JDDбoe П предло-
жение, о котором можно сказать истивво оно ИJIИ J10ЖВО
В д8JIиых JIeCIa . вpe-.e . .1Icn'. oe значе-
ние высказывания .иствиаt (..JIOЖЬ.) обозначается ИJIИ
буквой и, (А) ИJIИ цифрой 1, (О). ВЫС КЯm.mA 1ПI я обычно
обозначают 1IIaлы1Iш J1атинскими буквами.
OтpицaHиeJ' выс ка3J.IRЯ1ПIИ а называется высказы-
вание а, которое исти но, если а J10ЖВО, н J10ЖНО, если
а истинно. Высказьmaвие а читается так: .Не а.. Таб-
J1ица истинности ДЛИ а И1\Iеет вид:
а а
1 о
О 1
КОН?1ЮН1Сцuей высказываний а,Ь называется BЫCKa
зывание а л Ь (а&Ь), которое истинно, если а и Ь истин
ны И J10ЖНО, если хотя бы одно из них J10ЖНО. Высказы
ванне а л Ь читается: .а и Ь..
ДuпЮН1Сцuей высказываний а,Ь называется BЫCKa
зываиие а v Ь, которое истинно, если хотя бы одно из
высказываний а или Ь истинно, и J10ЖВО, если оба они
J10ЖВЫ. Читается: .а или Ь..
НJlCплU1Сацuей высказываний а,Ь называется выска-
зывание а --+ Ь , которое J10ЖНО, если а истинно и Ь лож
НО, и истинно во всех остальных случаях. Читается: .Если
а, то Ь..
ARl'&PAЛOПfКII
175
ЭIUШ8lUен.тн.остью (ИJIИ ЭКВИВ8JIенцией) высказы-
ваний а,Ь называется выс казыван ие а ++ Ь, которое ис-
тииво, если оба высказывания а и Ь одновреМенно ис-
тиивы ИJIи J10ЖВЫ, И J10ЖВО во всех ост8JIыIых случаях.
Читается: .а тorдa и ТОJlЬКО тorдa, Korдa Ь..
ТаБJlИца истиивости для этих J10rических операций
такова:
а Ь алЬ ауЬ а--+Ь а++Ь
1 1 1 1 1 1
1 О О 1 О О
О 1 О 1 1 О
О О О О 1 1
все 1I'RJl1IOZИО pasдeJIИ'I'Io на простые (ИJIИ
ме.евтарвые) и соетавиые (JDПI CJIOЖИЫ е).
всякое CJlOЖIIOe выска81'J11A иv е, которое lIOаеет быть
по.пучено из 8Л8l18В'1'ариых вьlcк88ы88.IпIй DOCpeAC'I'ВOM
пpIIIIевеlПlll выше oпpeдeJJe!ПIЬП[ ПЯ'I'И JlОrических опера-
ЦИЙ, называется фор.м.у.яой tuzetJpw .я0Zfl"".
ФормуJIЫ aлreбpы Jlorвки будем обозиачать бoпьmи-
ми J1атинскими буквами. Лоrические значения форму-
J1Ы при разJIичвых комбиваци.ях значений входящих в
нее высказываний можво описать посредством таблицы,
которая вааывается таБJlицей истинности ФОРМУJlЫ.
Форму.иа А, всеrда истиииая, называется тожде-
ствен.но истин.н.04 фор.м.уJUJй или тавтОJlоеией и запи-
сывается А Е 1. ФоРМУJlа В, всеrда J10ЖНая, называется
тождествен.но .яожн.ой фор.м.у.яой и записывается В а О .
Пример 1. Средн следующих предложений выдеJlИТЬ
высказывания, установить, ИСТИВВЫ они ИJIИ J10ЖВЫ:
1) река Волхов впадает в озеро Ильмень;
2) всякий человек имеет брата;
3) пейте томатный сок!;
4) существует человек, который моложе CBoero отца;
5) который час?;
6) ни один человек не весит более 1000 Kr;
7) 23<5;
171
31IOaчНUlt-npaIIтUItpI по _IJNI lI08IIIl8
.8) для всех ,цействRТeЛЬвьtX ЧИСМ "И 11 верно равен-
ство ,,+ 11 = 11 + " ;
9) ,,2 7" + 12 ;
10) ,,2 7" + 12'" о.
Решевве. Леrко видеть. что высказывания 4), 6).
8) истинные. а высказывания 1), 2). 7) ложные. Пре,ц-
ложения 3). 5), 9). 10) не ЯВЛ$lIOТC$l высказывавJDПIИ.
Првмер 2. Пусть а высказывание .Сту,цент Иванов
изучает aиr.пиЙCIOlЙ ЯЗЫК.. Ь BЫC K "l' e .CтyдeВ'l'
Иванов успевает по JII8.'feJll8.тической Jlоrике.. дать CJI
весную форму.пировку высказываний:
1) а лЬ; 2) а Ь ; 3) Ь ++ а .
Решевве. а) .Студент Иванов иаучает анrлllЙСКИЙ
ЯЗЫК и не успевает по ма'feматической лоrике.; б) .EcJIи
студент Иванов и3)"l8.e'1' aвrJIИЙскиi ааых. то он FCпева-
вт по ма'feматической лоrике.; в) .CтyдeВ'l' Иванов не
успевает по математической ло тorAl1 и 'fOJIЬКO тor-
да. Korдa он ие изучает анrлийский .яаыхt.
ПpllJlер 3. .9оотавнть таблицу истинности ДJI$I выс-
К8З1.J'AARAR а v Ь .
!'ешевве. Таблица истинности ДЛЯ высказывания
а v Ь имеет вид:
а Ь Ь ауЬ'
1 1 О 1
1 О 1 1
О 1 О О
О О 1 1
1.1. Какие ИЗ следующих предложений являются
высказываниями:
1) Москва столица России;
2) студент физико-математическоrо факультета;
3) .JЗ + 2../7 28;
4) Луна есть спутник Марса;
5) а > О .
AlJl!&PA IIDI'IIItIf
177
1.2.ПрJlВ&.ците JlplDl8рь1 иpeдJI t а) DJIЯЮЩИХ
с.я ВЫСК83 Ы1J8ниями ; б) ие явл.яющихс.явыс кааываи Dми.
1.3. Верны JIИ утверждения:
1) сумма корней приве.цеввoro квадратноro уравне.-
вия равна свободному члену;
2) сумма корней :moбoro привеАениоl'О квадратноro
уравнения равна свобо,цвому Ч.JIеву;
3) существуeor приведениое квадратное уравиение.
сумма корней котороro равна свобоАВому члеву?
1.4. l"cтaвoВВ'N, ИCТlППlо IUUI J1ОЖВо вы1lc8.3ьlв8вJle::
1) 2 е {xI2x' зх 2 + 1 =0, х е в} ;
{ Х'1 }
2) 3 е хl ,жа: 2 < 2, х е В ;
{ 2n+1 1 }
3) 3е neH ;
- an. 2
4){1} е н-;
5) {1} е р(н). I'де Р(н) множество всех поДllllоЖеств
мвожества н;
6) r2J е r2J ;
'1) r2J е {r2J} :
8) {1. 1,2}c{xlx8+xl x 1=0, xeZ};
9) {xlx8+xl x 1=0. xeZ}c{1, 1.2};
10) r2J с Н;
11) {0} с {0} ;
12) {r2J} с {r2J, {r2J}} .
1.5. . Является J1И высказыванием следующее- преДJf()..
жение: .э-ro предложение ложно.?
1.6. Среди следующих высказываний указаТЬЭJlе
ментарные и составные. В составных высказываниях
выделить rpaмматические свазки:
1) число 27 не деJlИТСЯ на 3;
2) число 15 делится на 5 и на 3;
3) если число 126 деJI'ИТC$l на '9, то оно делится на 3:
4) ЧИСJlО 7 ЯDJJЯетса делителем числа 42:
178
RO IIOeu.
5) ЧИCJIо 1269 деJlИТС.& на 9 тоrда и тOJIЪХО тоrда,
коrда 18 делитс.& на 9.
1.7. Обозначьте элементарные высказывавия буква-
ми и заПИШите CJIедylOщие высказывания с помощью
символов алreбры JlОrики:
1) 45 кратно 3 . 42 кратно 3;
2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
3) J25 = 5 ИJIИ J25 = ;
4) 2 5 ;
5) ecJIИ число 212 ДеЛИ'1'СЯ на 3 и 4, '1'0 оно дeJlИ"1'CЯ на 12;
6) число 212 трехзначное. кратно 3 ИJIИ 4.
1.8. Пусть Р и q обозначают высказывавия:
р .я учусь в шко.пе.,
q .я люблю математику..
Прочтите следующие сложиые вы clcазы.вl'и я::
1) р; 2) р; 3) p&q; 4) p&q; 5) jj&q; 6) jj&q; '1) p&q .
1.9. Какие из следующих ИllПJlИкациА иcти1шы:
1) если 2 х 2 = 4, то 2 < 3 ;
2) если 2х2=4,то 2>3;
3) если 2 х 2 = 5 ,ТО 2 < 3 ;
4) если 2 х 2 = 5 ,ТО 2 > 3 ?
1.10. Выясните, в каких с.луча.их приведенные ниже
данные противоречивы:
1) а = 1, а & Ь = о; 2) а = 1, а v Ь = о;
3) а = 1, а & Ь = 1; 4) а = 1, а v Ь = 1;
5) а = о, а & Ь = 1; 6) а = о, а v Ь = 1;
1) а = о, а & Ь = о; 8) а = о, а v Ь = О.
1.11. Пусть %, %',1/, 1/' означают соответственно .7
простое число., .7 составное число., .8 простое чис-
по., .8 составное число.:
1) какие из предложений %&1/, Х&1/', х'&1/, %'&1/'
истинны и какие nожны?;
2) то же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию;
3) то же для предложений Х, у, ж', 1/'.
1.12. Проверить, не составляя таблиц истинности,
являются ли следующие формулы тождественно иетии. .
ными:
AllrJ:'liМIIOfJII(II
171
1) р--+у ; 2) pVPi
3) Р л Р ; 4) Р ++ Р ;
5) Р--+ Р; 6) Р++ Р;
7) (pvp)--+p; 8) р&(р++р);
9) (Р --+ Р) V Р; 10) Р ++ !. &(Р --+ р& Р);
11) Р V (Р ++ Р); 12) Р --+ р;
13) Р ++ р; 14) (Р V Р) --+ (Р л р).
1.13. Найдите J10rические значенiUI % и 1/, при кото-
рых вьmОЛВ$llOТСЯ равенства:
1) (1 --+ %) --+ 1/ = о; 2) % V 1/ = Х .
1.14-
1) Известно, что ИМIJJIИКaЦИЯ % --+ 1/ истинна, а эк-
вивапевтвость % ++ 1/ J10ЖВа. ЧТО можно сказать о зна-
чении lDIПЛИК8ЦИИ 1/ --+ % ?
2) Известно, что эквивалевтвость % ++ 1/ истинна.
Что можно сказать о значении Х ++ у и % ++ 1i ?
3) Известно, что % имеет значение 1. Что можно ска-
за'I'Ь о значеви.ях IDIIIЛИК&ЦИИ Х Л 1/ --+ z; Х --+ (1/ V z) ?
4) Известно, что % --+ 1/ имеет 3Вачевие 1. ЧТО можно
сказать о значеви.ях z --+ (% --+ 1/); % --+ 1/ --+ 1/; (% --+ 1/) --+ z?
1.15. Пусть % = О, 1/ = 1, z = 1. ОпреДeJIИТЬ J10rичес-
кие значения нижеследующих сложных высказываний:
1) %л(улz);
3) % --+ (у --+ z);
5) (%ЛУ) (zvii);
2) (% Л у) Л у;
4) % Л У --+ z ;
6) (%vу)лz) (%лz)v(улz)).
1.16. Показать, что J10rические связки Ь --+ а,
а& Ь --+ а, а& Ь --+ Ь, а& Ь --+ л, , rдe л, фиксированное
ложное высказывание, имеют ту же таблицу истиннос-
ти, что и импликация а --+ Ь .
1.17.
1) Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции
формулу, таблица истинности для которой совпадала бы
с таблицей для импликации.
180
3aiJачнult-пpalt1llUКУII по lIатеllaтuчесlfOD noaU1t8
2) Аиалоrично этому постройте с помощью отрица-
ния и импликации формулу, таблица для которой co
впадает с таблицей для дизъюнкции, и вторую формулу
с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции.
1.18. Составить таблицы истинности для формул:
1) Х 1 V Х 2 ;
2) (х v у) (х л у v х у) ;
3) (хl Л х 2 ) v ха;
4) х л у --+ (у v х z);
5) (хl --+ х 2 ) --+ (х. v Х 2 Л ха) ;
6) (х v z) л (у --+ (и --+ х));
7) Х 1 --+ (Х2 --+ (...--+ х,.}..);
8) Х 1 V х 2 у...ух.. --+ Уl ЛУ2Л".лу...
1.19. Установить, какие из следующих ФОРМУJJ
являются тождественно истинными, тождественно лож
ными:
1) х v у --+ х&у ;
2) (х --+ у) (у х) ;
З) Рl --+ (Р2 Рl);
4) Рl --+ (Рl --+ Р2) ;
5) ((Р л q) q) (q Р);
6) ((Р --+ q)&(q r)) (Р r);
7) (х z) «у z) (х v у --+ z» ;
8) (Pl Р2) --+ ((Pl V Р) --+ (Р2 V Р));
9) ( Рl --+ (Р2 Ра)) --+ ((Pl --+ Р2) ( Pl --+ Ра)) ;
10) (Рl --+ Р2) «Рl л Р) --+ (Р2 л р» .
AЛrE6М1IOпIКII
1.1
I 2. PaвHOCllJUdlble форму.вы a.пreбры aorRКJI
Опредuевие. две форму.пы алreбры JJоrики А и В
ваэываются равн.оСШJьКЫAtи, ecJIи они прини1ilают оди-
наковые .поrические значения на .пюбом наборе значений
входящих в них высказываний (А. в).
Важнейшие равносильности можно разбить на три
rpуппы:
1. Основные равВОСJШЬИOCТJl.
L х&х;;;; х (х&х&...&х;;;; х) } законы
2. х v х == х (х v XV...vx. х) идемпотевтности.
3. х&1 . х.
4. xvl.L
5. х&О = О.
6. х v О == х.
7. х& х . о 38Кон противоречия.
8. х v х ;;;; 1 38Кон ИСКJIIOчевноro тpeтьero.
9. х == х 38Кон снятия двойноro отрицания.
10. х&(у v х). Х }
lL х v (у& х) s х 38Коны поrлощения.
П. РавВОСИJJЪВОСТR, выражающие оДRИ аоrические
операции через дрyrие.
L x y==(x y)&(x y}
2. х --+ у := Х V у.
3. X&y := v }
законы де MopraHa.
4. xvy:=x&y
5. х & 1/ := х v у.
6. х v у := х& у.
ПI. РаВИОСИJJЬИОС'l'И, выражающие основные зако-
ны 8мебры JlОrRКИ.
1. х&у:= у&х.
2. х v у := у V х.
3. x&(y&z):= (x&y)&z.
182
ЗafJaчнult-nptllt1tJulryll па атll'l8ClCOD лоаи-
4. ж v (у v z) а; (ж v у) v z.
5. ж&(у v z) а; (ж&у)v(ж&z}
6. ж v (y&z) а; (ж v у)&(ж v z}
Используя равносильности rpупп 1, П, Ш, можно
часть ФОРКУJIbl мreбры JJОrики ИЛИ всю формулу заме-
нить равносильной ей формулой. Т8.Rие преобразовавия
называются равносильиыми. Равносильные преобразо-
вакИЯ формул примеияlOТСЯ 1l,11Я .цоказатеJIЬCТБа равно-
сильностей, 1l,11Я приве.цеиия ФОРМУJl R аад8ШIому виду,
ДJlЯ упрощеJПIЯ ФОРМУJl.
ПрlDlер 1. Доказать равносильность ж у . z& 11 .
Решение. Для доказательства равносильности под-
верrием ее левую часть равиОСИJIЬИЫМ преобрааовавиям:
III
ж 11. ж v 11. Ж&II. ж&у .
Пример 2. 'Упростить формулу А = (ж v у % v у)& у .
Решение. Подверrием формулу А равносильиым пре-
образованиям:
А а; (жv у %v у)&у а; (жv y V%V У)&У а;
а; (ж v у v%v у)&у а; ((жv%) v (у v у»)&у а;
= (1 v у)&у а; l&у а; у.
ПРlDlер з. Доказать, что формула А а; ж (у ж)
тождественно истииная.
Решение. Подверrием формулу А равносильным пре-
образованиям
А а; ж (у ж) а; ;- v (У v ж) а; ;- v (ж v У) а;
= (;- v ж) v ii а; 1 v ii = 1.
1.20. Доказать равносильность:
1) (ж v у)&(ж v У) а; ж;
2) жv(;-&у)а;жvу;
3) ж ++ у Е Ж ++ у;
АЛr&PAлorикн
111
1
4) %у V ху V % У == % ---+ у ;
5) % ---+ у а у ---+ %;
6) % ---+ (у ---+ z) == %& У ---+ z;
7) % == (%&Y&Z)V(%&Y&Z)V(%& Y& Z)V(%& Y& Z)
8) (% v y)&(zv t) == %zv yzv xt V yt;
9) %у v zt == (%v zXy V ZX%V tXy v t}.
10) Х 1 А Х 2 А...АХ,. ---+ У == Х 1 ---+ (Х2 ---+ (...---+ (%,. ---+ у}..)}
1.21. 'Упростить формулу:
1) (% ---+ х) ---+ х;
2) х ---+ (х ---+ у}.
3) ;.iiv(x---+у).Х;
4) (х ++ у)&(х v у}.
5) (х ---+ у)&(у ---+ z) ---+ (z ---+ х}.
6) (х v ii ---+ {z ---+ у v ii v х))&(х v х ---+ (х ---+ х )) ---+ у;
7) (х&х&х ---+ у&у ---+ z) v х v (y&z) v (y&z}.
8) (%&(у v z ---+ у v Z))v(y&%&ii)v % V(y& X&;) ;
9) (х ---+ У)&(У ---+ z) ---+ (х ---+ z}.
10) (х А z)v(x AZ)V(Y AZ)V(; АУ А z}
1.22. Доказать тождествеRВy10 истинность или тож-
дественную ложность формул:
1) х А У ---+ Х;
2) % ---+ (х v у}.
3) (% ---+ у) ---+ (;; ---+ х)
4) (;; ---+ х) ---+ (х ---+ у);
5) (% ---+ у)&(% ---+ У) ---+х;
I Здесь и в дальвelmек аапвсъ Х1/ (х . 1/) озвачает х & 11 , подобно тому,
как в амебре не пиmетеа эвах умиожевиа (1I.J1В ПИ1Пе'!С8 х", вместо z )( 11).
ш
3ai1aчНUlНlplllllfluq" по 1flll8ffIOlflOi лоа.....
6) х&(х --+ у)&(х --+ У)
7) XVX--+YAY;
8) (х --+ (У --+ z)) --+ ((х ...+. У) --+ (х --+ z)
9) (z --+ х) --+ ((z --+ У) --+ (z --+ х А Y)
10) (х --+ z) --+ ((У --+ z) --+ ((х V У) --+ z))
11) (х --+ (У --+ z)) --+ (ХА У --+ z);
12) (х А У --+ z) --+ (х --+ (У --+ z))
13) (XIA...AXп)&( V"'VX. --+ ii)&y;
14) --+ ( --+...--+ (X. 1 --+ (х. --+ У V ii)}.);
15) (х А Х --+ Уl --+ У2 --+...--+ YII l --+ У.) --+ (z А z}
1.23. Пусть F тождественно .пожива форму.n. до.-
казать, что х&у --+ F а х --+ У.
1.24. Найдите х, ecJIИ V ( Х V а) Е! Ь .
1.25. ПOCJlедовате.пьиость выскцываиий (4.) опреде-
JlЯeтcs: СЛедующим peкyppellтllыM COO'l'Иоmением:
4. = 4п 1 А (4п 2 V 4. 8 п > 8.
Высказываиия 41' 42" 48 аа,цавы, причем 41 и 48 ио-
ТИВИЫ, а 42 JlОЖRО. Истинно ИJIИ ЛОЖНО высказывание
4,,1 Как выражается 4. через 41' 42" 4.1
1.26. В разить все основиые операции:.
1) через операции дизъlOlIКЦИJO, коныoкциlo .OТ
рицание;
2) через коныoкциIo и отрицание;
3) через дизъlCЩКЦИIO и отрицание;
4) через импликацию и отрицание.
AЛ1'&JPАROпIItII
185
1.27.
1) Выразить отрицание ИМПJIИКации через осиовные
операции так, чтобы отрицаиия стояли только иад apry-
меитами.
2) Выразить операцию дизъюикцию через ИМПJIика-
цию.
1.28. ИCJCЛючающеА дизъюикцИей двух высказыва-
ИИЙ 4 И Ь иазывается иовое выcRaзыв8.llи,' обозиачаемое
4 V Ь (ЧИТ8JO'1' .JIИбо 4, .пибо ь.). которОе, цстииио, Korдa
одно в только одно из Д8IПIЫX высказываний истииио, и
JJОЖВО В ocтMьвых CJJyЧux. Составить таблицу иC'l'ИВ-
иости ИСКJIючающей дизъюикции и выразить ее через
осиовиые операции иад высказываииями.
1.29. Штрихом Шеффера двух высказываиий 4 И Ь
иазывается иовое высказываиие, обозиачаемое 4 lb .(1ЦITa-
ют .4 ие совмество С ь.), которое ложно только '!'Orдa,
Korдa оба давиые высказыв8.IIия ИСТИlПlы. Составить таб-
JJRЦY ИCТJПIИОСТВ . штриха Шеффера и выразить el'O через
осиовиые операции иад высказывавиями. Доказать, ч'!'О
все осиовные операции иад высказываниями можно вы-
разить через пrrpих Шеффера.
1.30. Штрихом Лукасевича двух высказываний 4 и Ь
иазывается иовое выскааываиие 4 J, Ь (чИ'1'8lOТ .иа 4, ии
ь.), которое истивво в '!'Ом И только В ТОМ CJIy1Iae, Korдa
оба Д8Ииые высказываиия ложиы. Составить таблицу ис-
тиииости пrrpиха Лу:касевича и выразить el'O через осиов-
иые операции иад высказыв8.IIими.. Доказать, что все
осаовиые операции иад ВЫСка8ываввями можно выраЗить
через Ш'l'pВХ Лукасев:iiча.
1.31. Доказать, что операция ОТРIЩания ие может
быть выражеиа через осиовиые операции (бииариые) иад
высказываииями.
1.32. Можио Jlи для каждой формулы иайти равио-
сильиую, ие содержащую зиака отрицания?
1.33. Мальчик решил в воскресеиье закончить чте-
иие кииrи, сходить в музей ИЛИ киио, .а если будет хоро-
шая поroда пойти иа реку выкупаться. В каком случае
можно сказать, что решеиие мальчика ие ВЫПOJIиеио? В
ответе отрицания ДОJlЖНЫ содержаться лишь в простых
высказываииях.
_..
3а8ачнUlНlpuтulfYll па _IIWCМ)/I л--
f 3. фувкции 8Ш'ебры JlО1'lПQL
Соверmеивые вор ма,JП.Rbl е формы
Опре.цеJlевие 1. ФУН1щией ал.zеtJры Jtоzин:и п пере;мен,-
н,ых называется любая функция п перемениых
F( Х 1 ' Х 2 "'" х,,), apryмeвты которой привимают два aвa
чения 1 и О, и сама функция принимает одно иа двух
значений: 1 ИJIи О.
Всякая ФОРМУJlа алreбpы Jlоrики есть фymcция ал
reбры лоrики. Тождественно ИСТИlПlая и тождествеlПlО
ложная формулы есть постояJшые функции.
Можно показать, что всякую фyиRцию aлreбры JlО-
rики можно представить в виде ФОРМУJlЫ алreбры JlОrи
ки, и зто представление таково:
F(%I' х 2 ,... ,х.) = F(l,l,..., 1)& %1& х 2 & ...& %. v
V F(1,1,...,O)&Xl&X2&...&X" I& X,, V ...V
v F(0,O,...,O)& %I&X 2 & ...& %. . (*)
Формулу (*) можно преобразовать к формуле, ко-
торая содержит только элемеитариые перемениые BЫC
казывания и обладает СJlедующими свойствами COBep
meHCTBfI. (ИJIи свойствами (с»:
1) каждое JlОrическое слarаемое формулы содержит
все перемеlПlые, входящие в функцию Р(%1'Х 2 '''''Х.);
2) все лоrические слarаемые фоРМУJlЫ различиы;
3) ни одно лоrическое слarаемое формулы не coдep
жит одновременно перемеивую и ее отрицание;
4) ни одно Jlоrическое слarаемое формулы не содер-
жит одну и ту же перемеивую дважды.
с помощью таблицы истииности, определяющей фун
IЩИЮ F( %1' %2"'" %.), Jlеrко получить соответствующую
формулу алreбры лоrmtИ, обладающую свойствами (С).
Действительно, ,цJIя каждоro набора значений перемен-
ных, на котором функция Р(%1'Х 2 ""'Х.) принимает зна-
чение 1, запишем конъюнкцию элементарных перемен
ных высказываиий,. взяв за член КОНЪЮИRЦИИ х", есла;
ARrESМJЮrIIКII
187
значение %" на укааавв:ом вабореавачевий пере:мевиых
есть 1, и отрицаиие %". ecJIИ аиаЧ8llИe %" есть О. ДиЗЪЮВ-
кция всех получеввых таким образом ковъюнкций и
будет искомой ФОРМУJlОЙ.
ОпреДeJIeВJlе 2. ЭUJUнmtJрной leОН7IЮН1Щией 11 пере-
мевиых вазываетса ХОВЪJOвхцlUI перекеввых JIJIИ их
отрицавий.
Oпpeдuевв:е 3. ДипюшеmU8НОЙ ШJp.IUUЬ1IOй ФОРJIWй
(ДНФ) формулы А вазываетса равВОСИJIЬJWI ей форму-
Jlа, преДСТaвляIOщая собой ДИЗЪЮНКЦИЮ мемевтарвых
ковъювкций.
Опредe.ueВRe 4. Совершенной диnЮНleтивной нор-
AUJAЬНОЙ форAtой (СДНФ) формулы А вазываетса ДНФ А,
обладающая свойствами (С).
СДНФ А можво получить двумя способами: а) с по-
мощью таб.пицы иc'l'ивиости (см. вьппе); б) с помощью
равВОСИJIьвых преобразовавий.
Пр8ВJШо ПCШ)"l8IIIDI едн. в3 ФОРМУJIЫ А с помо-
щью раввосиJIыIьIx преобразоВ8ВИЙ.
1. ДJIя формулы А пOJIyЧ8.eМ любую ДНФ.
2. из ДНФ А путем раввосlшьиых преобразоВ8.ВИЙ
получаем СДНФ, последовательво добиваясь выполвения
четырех свойств СДНФ:
1) Пусть В есть слarаемое ДНФ, ве содержащее %,.
Тоrда вадо заменить слarаемое В в ДНФ А ва слarаемое
в&(%, v == (B&%,)V(B& .
2) Если в ДНФ А встретится два одиваковых слarа-
емых В V в, то лишвее вужво отбросить, так как
BvB==B.
3) Если ввекоторое слarаемое В в ДНФ А перемев-
вая %, входит дважды, то лИIПВIOЮ перемеввую вадо от-
бросить, так как %, & %, == %, .
4) Если слarаемое В в ДНФ А содержит ковъювк-
цию %,& %, , то это слarаемое можво отбросить, так как
%,& %, == О, и следовательво, В 51! О, а JJОЖВое высказыва-
вие из дизъювкции можво выбросить (в СИJIУ равВОСИJIь-
вости С v О == С ).
m
э.в.., нurнrрмтultYll lfO lID8f.8
Опреде.вевие б. ЭJU!Jltентарной дипюнн:цueй 11 пере
. менных называется дизъюнкции перемеlпlых или их OT
рицаиий.
Опреде.вевве 6. КОН'1Jюнн:тивной норм.альной форJltой
(КНФ) формулы А называетси равНОСИJIЬная: ей форму
Jlа, представлиющая: собой RОII'ЪЮIIКЦИIO элементариых
дизъюнкций.
ОпредеJlевве 7. Совершенной Н:ОН'1Jюнн:тивной нор-
Jltал:ьной форJltОЙ фОрJltулы А (СКИФ А), называетси
КНФ А, удовлетВОpslющая: четырем свойствам:
1) все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФ А, содержат все перемеlпlы;;
2) все элементарные дизъюнкции, входищие в
КНФ А, различиы;
3) каждая элементарная: дизъюнкции, входищая: в
КНФ А, содержит переменlIyIO одии раз;
4) ни одна элементарная: дизъюнкции, входищая: в
КНФ А, не содержит переменlIyIO и ее отрицание.
СКНФ А можно получить двумя способами: а) с по
мощью таблицы истинности (используи закон двойствен
ности СКИФ А == СДНФ А, получаем с помощью табли
цы истинности СДНФ А, и, ВЗ$Iв отрицание СДНФ А,
получаем СКИФ А); б) с помощью равносилыlblx преоб-
разований.
ПравИ.JiО по.пучеввSl СКИФ из формуJIЫ А с помо
щью равносильных преобразоваиий.
1. Для формулы А получаем Jlюбую КИФ.
2. из КИФ А путем равносильных преобразоваиий
получаем СКНФ А, последовательно добиваись выпол-
нения четырех свойств СКИФ.
1) Если ементарная: дизъюнкции В, входищаи В
КНФ А, не содержит перемеШlyIO %" тorдa заменяем В
на Bv(%,&%;)-(Вv%,)&(вv%;).
2) ЕсJIИ в некоторую элемеитариую дизъюнкцИIO В
перемеlПl8Sl %, входит дважды, то JlИшнюю перемеlПlyJD
нужно отбросить, так как, %, V %, == ж,.
МlC'E6РАЛorики
..
3) Если КНФ А содержит две оди аковых ЭJjемен
тариых дизъюнкции, то одну можно отбросить, так как
В&В==В.
4) Если в элементарную дизъюнкцию входит пара
,'х, v х, , то ее можно отбросить, так как х, v х, == 1, а ис-
тинное высказывание из конъюнкции можно выбросить
(в силу равНОСИJIЫlости С &1 == С).
Пример 1. Найти ФОРМУJIУ, определяющую функ-
цию Ф(х,у,z), по задаиной таблице истииности:
х у z ф(х,у,z)
1 1 1 1
1 1 О О
1 О 1 О
1 О О О
О 1 1 1
О 1 О 1
О О 1 1
О О О 1
Решение. ИСПОJIЬЗУИ правиJIО получения ФОРМУJIЫ
а.пrебры лоrики из таблицы истинности дли функции
Ф(х,у,z), по.лучим:
Ф(х,у,z) = xyz vxyz v xyzvx у z vx у "Е.
Упростив эту формулу, получим:
yz(x v х) v х "Е(у v fi) v х у z Е yz V Х i v х у z ==
== yzvx(i vyz) Е yzv x(i vii)(Zvi) == yzv x(i v fi) а;
== (yz vX)&(yzvzv fi) == (у v x)(z vX)(y vzvfi)(z viv j) ==
== (у v x)(z v х) == х v yz а; х --+ yz .
Таким образом, искомой формулой, определиющей
функцию Ф(х,у,z), можно считать x--+yz., или xvyz,
ИJlИ какую-нибудь дрyryю из равносильных им ФОРМУJI.
Првмер 2. Следующую формулу привести к СДНФ,
предварительно приведи ее равносильными преобразова-
ниими к ДНФ: А ==.a(bc--+ аЬ).
..
3а8ачllUlt-tlраlllDUИУ" по lIlШIfWатll'l8ClЮil Л08I88
Решеиие. А а; а(Ьс --+ аЬ) а; а(Ьё v аЬ) а; а(Ь v с v аЬ) а;
а; аЬ v аё v аЬ а; ДНФ А.
А а; ДНФ А а; ab(cvC)v аё(Ь vb)v аЬ(с vC) ==
а; аЬс v аЬё v аЬё v аЬё v аЬс v аЬё а;
== аЬс v аьё v аЬё v аЬс == СДНФ А.
Ответ: СДНФ А == аЬс v аЬё v аЬё v аЬс.
Пример З. Для формулы из примера 2 найти СДНФ
путем составления таблицы истинности.
Решеиие. Составим таблицу истинности для форму
лы А == а(Ьс --+ аЬ).
а Ь с Ьс аЬ с --+ аЬ А
1 1 1 1 1 1 1
1 1 О О 1 1 1
1 О 1 О О 1 1
1 О О О О 1 1
О 1 1 1 О О О
О 1 О О О 1 О
О О 1 О О 1 О
О О О О О 1 О
Тоrда СДНФ А а; аЬс v аЬё v аЬс v аЬё .
Првмер 4. для формулы из примера 2 найти СКНФ
путем равносильных преобразований, предварительно
приведя ее к КНФ.
Решение. Из примера 2: А а; аЬ v аё v аЬ. Далее
А а; а(Ь vcvb) а; 0&1 а; а а;КНФА.
А == КНФА а; а v(b&b) а; (а vb)&(a vb) ==
== ((а v b)v С&ё)&{(а v b)v С&ё) а;
а; (а vbvc)&(a vbvc)&(a vb v с)&(а vb vc) == СКИФА.
Ответ: СКИФА а; (а vbvc)&(avbvc)&(a vb vc)&
&(avbvc).
AIJI'ВiPA /IOIJII(If
111
П]JJDIер 5. ДJIя формулы и3 прИ1\lера 2 найти СКНФ,
записав предварите.пьно СДIIФ ее отрицания, а потом
воспользовавшись формулой двойствеJDIОСти.
Решение. СКНФ А == 'iiЬcv'iiЬcva Ь cva Ь ё.
СКИФА == СДIIФ А == abcvabcvabcvabc ==
== vbv & vbV & vbv & vbv .
Все формулы алreбры лоrики делятся на три КJIac-
са: 1) тождественно истинные; 2) тождественно Jlожные;
3) выполнимые.
Формулу А называют выпо.янимой, если ока прини-
мает значение 1 хотя бы на одном наборе значений вхо-
дящих в нее переменных и не является тождественно
истинной.
Теорема. Для moео. чтобы форму.я4 а.л.zеtJры .яоzин:и
бы.яа тождественно истинна (.яожна). необходимо и
достаmoчно. чтобы дюtJая э.яиеентарная диз'Ъюнн:ция
(н:он'Ъюнн:ция). входящая в КНФ А (ДIIФ А). содерЖаАа
переменную и ее отрицание.
Првмер 6. Будет ли формула (х --+ У) --+ ху v fj тож-
дественно истинной, тождественно ложкой ИJlи выпол-
нимой?
Решение. Приведем формулу к какой-либо нормаль-
ной форме:
(х --+ У) --+ ху vfj == xv у --+ ху vfj == xv у vxy vfj==
== xfj v ху v fj .
Полученная ДНФ не является тождественно ложной,
так как каждая элементарная коиъюнкция не содержит
переменную и ее отрицание. Следовательно, исходная
формула тождественно истинна или выполнима. Преоб-
разуем данную формулу R КНФ.
(х ---+ у) ---+ ху v fj == ху v ху v fj == (ху v fj) v ху == fj v ху ==
== (jj v Х)&Ш v У) == fj v х.
это произведение не авляется тождественно истин-
ным, так как элементарная сумма fj v х не тождествеиво
182
3adaчНUlНlplltrmUIfYII по JlalJJ8ll8тIl'hlCd. ___
истивва. Таким образом, исходная ФОРМУJll1 ве тождествеи.
во ложва и не тождественно истивна, CJIедователь.
во, ова выполвима.
1.34. По таблицам истиввости вайдите формулы, оп.
ределяющие функции F 1 (X,y,z), F.(x,y,z). Fa(X,y,z),
F.(x,y,z) , и придайте им более простой вид:
х у z Р,(х, у, z) Р,.<х ,у, z) Ра(х, у, z) Р.(х, у, z)
1 1 1 О 1 1 1
1 1 О 1 1 1 О
1 О 1 1 О О 1
1 О О 1 О О 1
О 1 1 О О О О
О 1 О О 1 1 О
О О 1 1 О 1 1
О О О О О О О
1.30. Пусть F(lt,l:t,la) булева функция, которая
привим:ает значевие 1 тorдa и только тorдa, Korдa точно
одна из переменвых принимает значение 1. Составьте
таблицу ДJIЯ функции Р( ,'-,lэ) и выразите 8ТУ функ.
ЦИЮ через освоввые лоrичеекие операции.
1.36. Назовем функцией большинства 1'- lla булеву
функцию от трех переменных' значевие которой совпа.
дает с тем значением, которое привим:ает большивство
переменных.
а) Составьте таблицу, определяющую функцию боль.
шинства и выразите 8ТУ фувкцию через освовные опера.
ции.
б) Упростите выражение I lla .
1.37. Булева функция F"( ,,-....,lll) называется двой.
ственной по Отношевию к булевой функции F( ,l.,...,lll)'
если
F"( ,,-,...,lll) а F( , ,...,lll)'
Для каждой булевой функции от двух переменВЬQt
вайдите двойственную ей булеву ф )7lP(ЦJI1D . '
iМJ"ESPA JЮпIItII
183
1.38. Булева функция F(,,-,12,...,I,,) называется:
а) сохраняющей О, если р(о.о,...,о) = о;
б) сохраняющей 1, если Р(1.1,...,1) = 1.
Среди булевых функций от одной и двух перемен
ных найти все функции, сохраняющие 1, и все функ
дин, сохраняющие О.
1.39. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ,
каждую двумя способами (путем равносильных преобра
зований и ИСПОJIЬЗУЯ таблицы истиввости):
1) х&(х y
2) (ху х)&( ху у) ;
з)(х y) (у х);
4)(ХУ y&z;
5) (х v у х л z) (х х) v у л z;
6)(00 Ьc) ((а ь) (с ь)
7) (о с) ( ь о}
8) (о ь) (Ьс ac
9) х. ....(х2 (... (x,, . x,,}..)
10) х. v Xzv...vx" .... у. л уzл...лу".
1.40. Найдите СДНФ дЛЯ всякой тождественно ис
тинной формулы, соДержащей: 1) одно переменное,
2) два переменных, 3) три переменных.
1.41. Найдите СКНФ дли всякой тождественно лож-
ной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два
перемеввых, 3) три переменных.
1.42 . Докажнте равносильность формул ху (у х)
и х у v Х v у сравнением их совершенных нормальных
форм (конъюнктивных или дизъюнктивных). .
1N
3адачник-практиКУII по IIlIтеll8lllUЧ8ClfOil1lO8UlliJ
1.43. Найдите более простой вид формул, имеющих
следующие совершенные нормальные формы:
1) ху v ху v ху;
2) (х v у)(х v у)(х v и)
3) xyz v xyz v xyz;
4) (xv yvzXxv у v zXxv yvz).
1.44. Используя критерий тождественной истиннос-
ти и тождественной JIОЖНОСТИ формулы, установить бу-
дет ли данная формула тождественно истинной, тожде-
ственно ложной или выполнимой:
l)xy xvxy;
2)(х y)&(xyv xy
3) ху (х у);
4) х v У (х у);
5) х v у z;
6) (х z)(y z) (х у}
5 4. ПРRJIожевия anreбры JIОrики
1. ПРИJIожение а.лrебры высказываний к реJIейво-
контактпым схемам (РКС).
Релейно-контактные схемы (их часто называют пе-
реключательными схемами) широко используются в тех-
вике автоматическоrо управления.
Под переключательной схемой понимают схемати-
ческое изобраасение HeKOToporo устройства, состоящее
из следующих ЭJIементов:
1) nереКJl.ючатеАей, которыми Moryт быть механи-
ческие устройства, ЭJIектром:arвитвые реле, полупровод-
!Шки и т.д.;
2) соединяющие их nроводкики;
3) входы в схему и выходы из нее (клеммы, на кото-
рые подается электрическое напряасевие). Они называ-
ЮТСЯ полюсами.
Простейшая схема содержит одив переключатель Р и
имеет один вход А и один выход В. Переключателю Р
поставим в соответствие высказывание р, rласящее: .Пе-
реключателъ Р эамквут.. Если р истивно, то импульс,
поступающий ва полюс А, может быть снят ва полюсе В
AllrESPAJЮпfКИ
115
без потери вапряжеиия, Т.е. схема пропуCRaет ток. ЕCJIИ
р JIОЖНО, то переключатель разомкнут, и схема тока не
проводИ'1'. Таким образом, если принять во внимание не
смым высказывания, а только ero значение, то можно
считать, что JIюбому высказыванию может быть постав-
лена в соответствие переключательная схема с двумя
полюсами (двухполюсная схема).
.
I р I
.
в
А
Формулам, включающим OCHOВllыe лоrические оп
рации, также MOryт быть поставлеllы в соответствие пе-
реключательные схемы.
Так, КОНЪЮНIЩИИ двух выказываний p&q ставит-
ся в соответствие схема:
.
I р н Q
.
в
А
а дизъюнкции схема:
А
Т.к. .пюбая формула 8.lm!бры лоrики может быть запи-
сана в Д1IФ или КНФ, то ясно, что каждой формуле
ры JIОrики МОЖIIО поставить в соответствие некоторую Р:КС,
а каждой РКС МОЖВ:О поставить в соответствие некоторую
ФОРМУJIУ aJIrебры JIОrики. Поэтому возможности схемы
можно выявить, изучая соответствующую ей формулу, а
упрощение схемы можв:о свести к упрощеlШЮ формулы.
Пример 1. Составить РКС дЛЯ ФОРМУJIЫ
(х Л у).... (z v х).
Решение. Упростим данную формулу с помощью
равносильных преобразований:
х л у.... (z v х) == х л у v z v х == х v fi v z v х == х v 'fi v z.
1.,
э.&tчнuк-практuqll по l18тelllllRЦ .1f08IIf(8
TorAa РКС дЛЯ данной ФОРМУЛЫ имеет ВИД*:
A E3 B
Пример 2. Упростить РКС:
A zr B
у
Решение. Составим по данной РКС формулу (функ-
цию проводимости) И упростим ее:
(х&у) v Z v (х v ii)&z == х&у v z
(к последним двум слarаемым применили закон поrло-
щения).
TorAa упрощенная схема выrлядит так:
A-С:z В
П. Решение ЖОl'IIЧесRИХ задач с помощью 8JП'ебры
жоrиlCИ.
Условие лоrической задачи с помощью соответству-
ющих обозначений записывают в виде фоРМУЛЫ алrебры
JIоrики. После равНОСИЛЬНЫХ преобразоваиий ФОРМУJIЫ
получают ответ на все ВОПРОСЫ задачи.
Пример 3. ПОСJIе обсуждения состава участников
предполarаемой экспедиции было решено, что ДОЛЖНЫ
выполняться два условия:
а) если поедет Арбузов, то ДОЛЖНЫ поехатъ еще Брюк-
вин или Вишневский;
б) если поедут Арбузов и Вишневский, то поедет и
Брюквин.
Требуется:
1) ввести краткие обозначения для сформулирован-
ных условий и составить JIоrическую формулу, выража-
ющую принятое решение в символической форме;
* Для ПРОСТQТы часто переключатель изображают в виде
p .
JtIfrI!ВI'A lIOf'JIItIf
1'7
2) для полученной' ФОРМУJIЫ найти возможно более
простую равносильную ФОРМУJIУ;
3) ПOJIьзуясь найдевиой более простой ФОРМУJIОЙ, дать
новую и более простую словесную формулировку приня-
Toro решения о составе участников эксп е.ци u .
Решение. Назначение в экспедицию Арбузова, Брюк-
вина и Вишневскоro обозначим буквами А, В, В соответ-
ственно. TorAa условие а) можно записать в виде
А В v В, а условие б) в виде А& В В . Так как оба
УСJIОВИЯ ДOJIжны ВЫПOJIняться одновременно, то они дOJI-
жны быть соединены лоrической связкой .и.. Поэтому
принятое решение можно записать в виде СJIедующей
символической формулы:
(А.... В v В)&(А&В в).
2. (A BvB)&(A&B в)== (Х v BvB)&( A v B vB)==
== ( А v B)V(B& B) == А В.
3. СИМВOJIическую формулу читаем так: .Если по-
едет Арбузов. то поедет и Брюквин.. Это и есть наиболее
простая словесная формулировка принятоrо решения о
составе экспедиции.
1.40. Составить РКС дЛЯ формулы:
1) x(yzvxvyy,
2) xyz v xyz v ху;
3) x(yz v yi) v x(yz v yzy,
4) xvy)&(zyvx}vи;
5) х у)&(у.... z);
6) х у) (x&(y v z)
7) (х у) л СУ z)) (х z}.
8) x (y z)) (y x).
1.46. Построить схемы, реализующие следующие
булевы операции:
1) импликацию х у ;
2) эквивалентность х ++ у ;
3) альтернативу (см. задачу 1.28);
4) штрих Шеффера (см. задачу 1.29);
5) штрих Лукасевича (см. задачу 1.30).
1.47. Построить РКС дЛЯ F(X,y,z) , если известно. что:
F L =F =F L =
2) F(I,O.I) = F(I, 1, о) = 1;
1. 3адачнuк-npumuq" no IIIUтIIIIМNI'I8CIfOiJ лое....
3) р(о.о,1) = Р(О,1,1) = Р(1,О.1) = Р(1, 1, 1) = 1;
4) F(l,1,O) = F(1,1,l) = 1;
5) Р(О.О,1) = Р(1, О. 1) = Р(1, О, о) = 1;
6) Р(о. О. 1) = 11(0,1,0) = Р(о.1,1) = F(1,O,l) = 1,
а остальвые звачевия функции F раввы пулю.
1.48. Упростить ркс:
1) А .ri Yh х .........В
7 7
2)
z i
А ........... ш r ' z.........B
x Y y
3) А
х у
в
z
i z
У .
4)
А х""""""z""""""L.rУ""""""L.r z'----------..8
V i z..J"""L y z
x
x
в
: z
ARr&PAЛOfJIItИ
f.
6) А
x y...........a
у...........а
X y a
ь
в
7) А
в
8)
A X X:]-----'" . ;
1.49. По давной схеме найти функцию проводим:оети
и условия работы:
1) A --[ X ., B
z x
i У
2) A y Z WrB
3) А
; ;rB
20f 31I011чНUlНlpнтuq" по иwн:IfOI1J,oau.
4) A Z :J---.s
5) A : B
6) A : у rB
1.50. Проверить равносильность схем:
1)
h
А . ' jB
-t i
А i В
i
2)
А . ; } B A ;t.в
3)
х х х i i
A----Е3--f:ТЕ ffitEI В A y{:J.B
4)
A X у Y B A Y------B
y z
AllCUPAJJOrIIItIt
201
1.61. Электрическая цепь, изоб р'-ЙИW U-ва рие. 1,
содержит тo.nько. .ц.yxuoaицJIoJlвыe ВblКJIЮЧ8теJIИ (при
одном. еостоании верек;иЮ-'I'eJI8 токчереа 1181'0 прохо
дит, при дpyroM не прохоДВ'l'). Можно ли 8'I'Y цепь заме
нить более простой цепыо, иаображеииой иа рис. 2?
A ;
Aj
рис. 1
A B
А э А 2
рис. 2
1.52. В школе, перешедmей на самообслуживаиие, че.-
тырем старmeклаCCВИI<aМ: Андрееву, Костииу, савельеву и
i
'Давыдову поручили убрать 7 -ОЙ, s..oй, 9-ый и 100ый клас
сы. При проверке оК838ЛОСЬо что 10 ый класс убрав ПJlохо.
Не ymедшие домой учеввки сооБЩИJШ о CJIeДYIOщем:
1. Авдреев: .$1 убиpaJl9 ый класс, а Саве.пьев 7-ой..
2. 1Состии: .$1 убирал 9 ый класс, а Аццреев 8-ой..
3. Савельев: .$1 убиpaJI 8 ой класс, 8 Костин 10
ый..
Давыдов уже ytПeJI домой. В дальнейшем выясни-
ЗIОСЬ. что каж.цый учевик в одном из двух высказыв8иий
roворил правду, а во втором ложь. Какой класс убирал
каждый ученик?
1.53. ПяТь школьников из пяти ра3JIИЧJIЫХ roродов
Брянской области прибьши для участия в областной
олимпиаде по математике. На вопрос: .OrKYAa Вы? каж-
дый дал ответ:
Иванов: .$1 приехал из Клинцов, а Дмитриев из
Новозыбковаt.
Сидоров: .$1 приехал из Клинцов, а Петров из Труб
чевска..
Петров: .$1 приехал из Клинцов, а Дмитриев из
Дятькова. .
. Дмитриев: .$1 приехал из Новозыбкова, а Ефимов
из Жуковки..
Ефимов: .$1 приехал из Жуковки, а Иванов жИвет в
Дятькове..
202
311дачнUll-nраllmШlY" по "aтeIIМIfIII8CII JI08U8
Откуда приеХaJl каждый из Ш lCQJП.JJ'Jll(O В, ecJIИ одно
ero утверждение верно. а дpyroe ложно?
1.54. семья, COC'l'OВЩU и3 отца А, матери В и трех
дочерей С, D, Е купи.па те.певиэор. }7СJlОВи.пись. что в
первый вечер бyдy.r смотреть передачи в таком порядке:
1. Коrда отец А смотрит передачу, то мать В делает
то же.
2. Дочери D и Е, обе или одна из НИХ, смотрят пере-
дачу.
3. Из двух членов семьи мать В и дочь С смотрят
передачу одна и только одна.
4. Дочери С и D или обе смотрят, или обе не смот-
рят.
5. Если дочь Е смотрит передачу, то отец А и дочь D
делают то же.
Кто из членов семьи в этот вечер смотрит передачу?
1.55. на вопрос: .К'I'O из трех етудевтов и3yЧ8JI ма-
тематическую лоrику? получен верный ответ .Если
ИЗУЧaJl первый. то изyчaJI и третий. но неверно. что ecJIИ
изyчaJI второй. '1'0 иаучав И третий... К'I'O иаyчaJI М:ате-
мат:аческ}'JO лоrику?
1.56. Определите, кто из четырех етудевтов сдал эк-
замен. ecJIИ известно:
1. Если первый сдал, '1'0 и второй сдал.
2. Ес.пи второй сдал, '1'0 третий СДaJI ВJIИ первый не
сдал.
3. Если четвертый не сдал, то первый сдм, а 'l'p&сиА
не CAaJI.
4. Если четвертый cД8Jl, '1'0 и первый сдал.
1.57. Известно следующее: если Петя не видел Ко.пю
на улице, то либо Коля ходил в кино, либо Петя сказал
правду; если Коля не ходил в кино, то Петя не видел
Колю на улице. и Коля сказал правду; еCJIИ Коля сказал
правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солrал.
Выясните, ходил ли Коля в КИIIО.
1.58. Четыре студентки, имена которых начина-
ются буквами А. Е. С, Р посещают институт по очере-
ди и ведут общий конспект лекций. Необходимо со-
ставить rрафик посещения на ближайшую неделю,
учитывая, что:
14ЛrE6РАЛОrики
203
1. Понедельник день самостоятельной работы на
курсе, и в институт не ходит никто, а в субботу необхо..
димо быть всем.
2. С и р не cMoryт пойти на занятия во вторник в
связи с большой зarpуженностью В понедельник.
3. Если С выйдет в среду или Р в четверr, то Е
соrласится побывать на заиsтиях в пятницу.
4. Если А не пойдет в ВУЗ в четверr, то Е позволит
себе сходить туда в среду.
5. Если А или Р будут в институте в среду, то С
сможет пойти в пятницу.
6. Если Р в пятницу вместо института пойдет на
свадьбу подрyrи, то А придется сходить в институт во
вторник, а С в четверr.
1.59. Четыре друта Антонов (А), Вехов (В), Сомов
(С). Деев (д) решили провести каникулы в четырех раз
личных rородах Москве, Одессе, Киеве и. ТaIПкенте.
Определите, в какой rород должен поехать каждый из
них, если имеются следующие оrpаничения:
1. Если А не едет в Москву, то С не едет в Одессу.
2. Если В не едет ни в Москву, ни в Ташкевт, то А
едет в Москву.
3. Если С не едет в ТaIПкент, то В едет в Киев.
4. Если Д не едет в Москву, то В не едет в Москву.
5. Если Д не едет в Одессу, то В не едет в Москву.
1.60. Однажды следователю пришлось одновременно
допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их
показания противоречили друт друту, и каждый иа них
обвинял коro-иибудь во лжи.
1. Клод утверждал, что Жак лжет.
2. Жак обвинял во лжи Дика.
3. Дик yroвариВ8JI следователя не верить ни Клоду,
НИ Жаку.
Но следователь быстро вывел их на чистую ВОДУ, не
задав им ни одиоrо вопроса. Кто из свидетелей rоворил
правду?
rЛАВА 11
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Алфавит исчисления высказываний состоит из сим-
волов трех катеroрий:
1. х, у, z, ..., Х 1 ' Х 2 ' Ха' ... переменные.
2. , &, У, --+ лоrические связки.
3. ( ) скобки.
Попятие формуJIы ИСЧИCJIевия высказываний
1. Всякое переменное высказывание Х есть формула.
2. Если А формула, то А формула.
3. Если А и В формулы, то А * В формулы, rде *
обозначает один из символов: &, У, --+.
4. Никакая дрyrая строчка символов не является
формулой.
Поиятие ПОДФОРМУJlЫ
1. Если формула А есть переменная Х, то ее подфор
мулой является х.
2. Если А формула. то ее подформулами являются
А , А и все подформулы формулы А.
3. Если А * В формула, то ее подформулы А * В ,
А. В и все подформулы формул А и В.
Пример 1. Выписать все подформулы формулы
А == Х --+ у &(х V у).
Решение. Формула А подформула нулевой rлуби-
ны; Х --+ у , х V у подформулы первой rлубины; Х --+ у ,
х , у подформулы второй rлубины; х. у подформулы
третьей rлубины.
Аксиомы исчисления высказываний
11 Х --+ (у --+ х);
12 (х --+ (у --+ z)) --+ ((х --+ у) --+ (х --+ z));
111 х& У --+ х;
IICЧIICJIЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 205
П 2 х&у --+ у;
Па (z --+ х) --+ ((z --+ у) --+ (z --+ х&у)}.
Ш 1 х--+хуу;
Ш 2 у --+ х v у;
Ша (х --+ z) --+ ((у --+ z) --+ (х v у --+ z)}.
VI 1 (х --+ у) --+ (17 --+ X
VI 2 х --+ Х;
VI a Х --+ х.
Аксиомы исчисления высказываний определяют ис
ходвый класс доказуемых формул. Доказуемая формула
А обозначается А .
Правила вывода
1. ПравИJIо подстаиовlCИ. Пусть А доказуемая фор
мула исчисления высказываний, х переменнав, В
любав формула исчисления высказываний; тоrда фор
мула, которая получается из формулы А путем подста
новки в нее вместо х формулы В, доказуема.
Подстановка обозначается так:
в
НА).
z
Коротко правило подстановки записывается так:
A
в
НА)
z
2. Правило закточевия. Если формулы В, В --+ С
доказуемые формулы исчисления высказываний, то фор-
мула С доказуема.
Коротко это правило записывается так:
B, B --+ С
C
20t
З.iJaчНUtt-пра"",utryltl по л-и-
В дальнеЙIIIем условимся для краткости правило
заключения записывать как ПЗ.
Определение. До1tаэуе.м.ой формулой называется вся
кая формула, которая или является аксиомой, или по
лучается из доказуемых формул с помощью правил под
становки и заключения.
Будем обозначать любую доказуемую формулу сим-
волом В, а ее отрицание символом Р.
ПрJDIер 2. Доказать. что х --+ х.
Решение. Возьмем аксиому 12 и сделаем в ней под-
Jt
становку J (12)' Получим
"
(x --+ (у --+ х)) --+ ((х --+ у) --+ (х --+ х)} (1)
Возьме.м аксиому 11: x --+ (у --+ х). (2)
Из (1) и (2) по пз:
(x --+ у) --+ (х --+ х). (3)
В формуле (3) сделаем подстановку нз):
11
Нх --+ х) --+ (х --+ х).
Запишем аксиому IV 2:
j.-.x --+ х.
(4)
(5)
Из (4) и (5) по пз
j.-.x --+ х. (6)
ПРlD.fер 3. Доказать, что j.-. x v у --+ х&у.
z
Решение. Возьмем 118 и сделаем HII8):; А. В полу-
2:
i
ченной формуле А сделаем подстановку НА):; В. Далее
11
2:VIJ
В полученной формуле В сделаем подстановку НВ).
"
IICЧIICЛEНИEВЫСКА3blВAНИЙ
201
в итоrе
Нх v у ---+ х) ---+ ((х v у ---+ У) ---+ (х v у ---+ Х&У)} (1)
ZVII
Запишем J(IV 1 }.
/1
Нх ---+ х v у) ---+ (х v у ---+ х).
Запишем Ш 1 :
x ---+ х v у.
Из (2) и (3) по пз:
х v у ---+ Х.
Из (1) и (4) по ПЗ:
НХ v у ---+ У) ---+ (х v у ---+ х&у}
(2)
(3)
(4)
(5)
2
Запишем J(IV 1 }.
Z
Hz ---+ у) ---+ (у ---+ z)
(6)
/I.ZV/I
И Н6}.
2./1
Нх v у ---+ У) ---+ (х v у ---+ у).
Запишем IП 2 : у ---+ х v у .
Из (7) и (8) по ПЗ:
хvУ ---+ii.
Из (9) и (5) по ПЗ: x v у ---+ х& у.
Производиые правила вывода
(7)
(8)
(9)
I A u
. в...... В . правило одновремеииои ПОДСТ8Вовки.
НА)
оЖl..... оЖ ,.
A ---+ B, B ---+ С
П. А ---+ С правило силлоrизма.
208
3tнJaчник-праllmflltYll по __иЧ8C8llld__
A ---+ В
111. В ---+ А правило ковтрпозиции.
A ---+ В A ---+ В
IV. а) A ---+ в' б) A ---+ В правило СНЯТИЯ двой-
Horo отрицания.
V.
Al' ""' A,., ---+ ( ---+ (Аа ---+ (...(А,. ---+ L}..)))
L
правило сложноro заключения.
Поиsтие выводимости ФОРМУJlЫ ИЗ совокупнос'1'Jl
ФОРМУJl
Пусть имеется конечная совокупность формул
Н = { , ,...,A,.}. rоворят, что формула В выводима из
совокупности H(H B), если
а) либо В е Н ,
б) либо В доказуемая формула исчисления выска-
зываний.
в) либо В получается по ПЗ из формул С и С ---+ В,
которые выводимы из совокупности Н.
Также roворят, что конечная совокупность формул
Вl' В 2 ,...,В.есть вывод из Н, если для каждой формулы В,
(Ё=-1, 2, ..., k) этой совокупности
а) либо В, еН,
б) либо В, доказуема,
в) либо получается по ПЗ из формул С, С ---+ В,. кото-
рые находятся в выводе, предшествуя В,.
Пример 4. Доказать. что из совокупности Н = {А,В}
можно вывести А&В. Записать полученный вывод.
Решение. 1. н}.-А, так как А е Н;
2. H В , так как В е Н ;
3. ННА ---+ А) ---+ ((А ---+ В) ---+ (А ---+ А&В)) , как дока-
А,В,А
зуемая формула (получается подстановкой J{п а );
%,y,Z
1ICЧIICIIEНИE 8ItЮItA3Ы8AНИЙ
-
4. А --+ А как доказуемая формула;
5. (A --+ в) --+ (А --+ А& в) из 3.и 4 по нз;
6. B --+ (А --+ В) (:[(11));
7. A --+ В из 2. и 6. по нз;
8. A--+A&B по на из 5. и 7;
9. A&B папа из 1. и 8.
Запишем вывод:А, В, (А А) (А в) (А А&В)) ,
А--+А, (А--+В)--+(А--+А&В), В--+(А--+В). А--+В,
А--+А&В, А&В.
Правила вывода
1. HI---A .
Н,*А
П. H,q..A, HI---C .
HI---A
ПI. H,q..A, *С .
Н,*А
C --+ А
IV.
H,CI---A
V. ,q..A теорема дедукции.
С--+А
'C2'''''Cп I---A
VI. обобщенная
I---c 1 --+ С 2 --+ (Са --+...--+ (Сп --+ А))
теорема дедукции.
Hf--A, B
VП. Hf-- А& В правило введения конъюнкции.
H,Af--С; H,bf--С
VШ. H,Avbf--С
правило введения ДИЗЪЮUIЩИИ.
210
Зааачн ".""..., uкум по lilalrffМlflmuчесlIOilлоеuire"
\---А ---+ (в ---+ С
\---В ---+ (А ---+ С
\---А ---+ (в ---+ с)
Х. \---А&В ---+ с
\---А&В ---+ с
\---А ---+ (в ---+ с )
IX.
правило перестаноБКИ посылок.
правило соединения посылок.
XI.
правило разъединения посылок.
Теорема (о выводимости). Пусть А не1tоторая фор-
мула; Х 1 . Х 2 . ..., Х" набор nеременных. содержащихся 8
формуле А; а 1 . а 2 . ..., а" nроиз80ЛЬНЫЙ набор значений
nеременных. Tozaa
а) если Ra,a....a.(A) == 1. то Н == {X ',X:-,...,X:. }\---А.
б) если Ra,a,...a. (А) == О. то Н == {X ',x?...,x:, }\---А.
Пример 5. Пусть А == Х 1 & Х 2 ---+ Ха и наборы значений
переменных (1. О. 1) и (1. О. О). Torдa {Xl'X2'Xa}\---А, а
{Хl' Х 2 . Ха}\---А .
Записать выводы в обоих случаях.
Решение. а) Покажем, что {Xl'X2.Xa}\---А.
иl--х 1 .х 2 .х а . Xa (Xl&X2 Xa)' Xl&X2 Xa=A.
б) Покажем. что {X 1 ,X 2 ,X a }I--А.
H\---Хl'Х2,Ха'Хl&Х2'(Хl&Х2 ---+ Ха)---+ (Х 1 &Х 2 ---+ Ха), по
правилу перестановки посылок &x, ---+(( &x, ---+Ха) ---+Ха)':"
по П З (Х 1 &Х 2 ---+ Ха) ---+ Ха , по прав илу контрпозиции
Ха ---+ Х 1 &Х 2 ---+ Ха' по ПЗ Х 1 &Х 2 ---+ Ха == А .
2.1. Какие из следующих выражений ЯВJUlются фор-
мулами исчисления высказываний:
1) (Рl Л Р2) ---+ (Рl v P2
2) {(Рl v Р2) v (РIР2)) ---+ Ра;
IICЧIICЛEНIIE ВЫCКA3ЫВAНIIЙ
211
3) (Рl ---+ (Р2 v Ра)) ---+ Ра;
4) (Рl ---+ Р2) ---+ ((Рl ---+ Р2) ---+ Рl}.
5) (Pl Л (---+ Р2)) ---+ (Р2 ---+ Pl}.
6) (Рl ---+ Ра) ---+ ((Р2 ---+ Ра) ---+ ((Рl v Р2) ---+ Ра));
7) ((Pl ---+ Р2) л (Рl ---+ Ра») ---+ {Рl (Р2 Л Ра)}.
8) ((Pl Л Р2) ---+ (Pl v VP2)) (v Pl V Р2)'
2.2. Выписать все подформулы формул:
1) х---+(у---+х); 2) avb ---+c;
3) а&суЬ; 4) х ---+ y&z;
5) х v yz ---+ х ; 6) х ---+ у v х& у ;
7) ((х ---+ у) л (у ---+ z») ---+ (х v z);
8) (х ---+ у) ---+ ((х ---+ у) ---+ у).
2.3. Для формул = (А ---+ в) ---+ ( в ---+ А) . 4 = А v В ,
4 = А ---+ В v С записать результаты каждой из следую.-
щих подставовок:
В.С
1) 1 ( ).
А.В
A B
2) Н4}.
А
B A&B.B
3) J(La)
А,С
А&В,АУВ В.А А&А,С.А
4) H }' 5) H }' 6) j(La}
А.В А,В А,В,С,
2.4. Применяя праВИJIО подставовки, доказать, что
доказуема формула:
1) (А ---+ в)&в ---+ В;
2) А&В ---+ A&BvC;
3) (:4 ---+ в) ---+ ((с ---+ в) ---+ ( А v С ---+ в)}.
======
4) С v D ---+ С v D;
5) (А&В (с В&С) ((А&В с) (А&В В&С)).
212
38iJaчнuк-nраltlDulfYl/l по 1COd.....
2.5. Примевая правило п становки и правило зак-
лючения, установить доказуемость формул:
1) AyA-4А; 2) А-4А&А;
3) А&В-4В&А; 4) АУВ-4 ВуА;
5) (А -4 В) -4 (А -4 А); б) А -4 А .
2.6. Применяя производные правила вывода, пока-
зать, что доказуемы формулы:
1) А v В -4 А& В; 2) А -4 В;
3) (А -4 В) -4 (А -4 А v В) ; 4) F -4 А;
5) (А -4 В}-4 (А -4 А); б) А& А -4 Р;
7) (А-4В)& В -4А; 8) А& В АуВ.
2.7. Доказать, что
1) Н = {A} B -4 А;
2) H={A-4B,B-40} A-40;
3) Н = {А -4 о} C -4 А ;
4) H={A-4B, B } A ;
5) Н = {А, А -4 B} B;
б) Н = {А -4 B} A&O -4 В&О;
7) Н = {А -4 В} Но -4 А) -4 (о -4 в);
8) Н = {А -4 В}НВ -4 о) -4 (А -4 о);
9) Н = {А -4 (В -4 O)} B -4 (А -4 о);
10) Н = {А -4 B} A v О -4 В v О.
2.8. Показать доказуемость формулы, используя обоб-
щенную теорему дедукции:
1) (х -4 у) -4 (у -4 z) -4 (х -4 z»);
2) (А -4 В) -4 (А v О -4 В v о) ;
3) (А -4 В) -4 (о -4 А) -4 (о -4 В») .
flCЧИCI1EНIIEВЫCКA3blВАНИЙ
213
2.9. Показать, что справедливы законы лоrики (ДOKa
зуемы формулы):
1) х......(Х......у); 2) ХУХ; 3) Х&у......Хуу.
2.10. Используя правила перестановки посылок, co
единения посылок и разъединения посылок, доказать,
что
1) X...... (у ...... х& у) ;
2) НА...... В)& В ...... А ;
3) A ...... (А...... В).
2.11. Доказать производные правила вывода:
B .
4) А...... В '
2) А ; 3) А .
AYB A"""B'
5) A&B . 6) B
A ' A&B
7) A...... B, B . 8 ) A. B . 9 ) A, B ;
A ' A&B' AYB
10) A, B ; 11) A......A . 12) A......A .
A...... В A' A'
13) A...... B, A...... В 14) A...... B, A...... В .
B A
1) A .
A&B'
2.12. Дана формула А = xt V Х2 ...... Ха и наборы значе-
ний переменных 1) (О, О, 1), 2) (1, О, О). Записать вывод
формулы А или ее отрицания из соответствующей сово-
купности формул.
2.13. Дана формула А = Х 1 V Х 2 ...... Ха и наборы значе
ний переменных 1) (1, 1, 1); 2) (1, О, 1); 3) (О, 1, О).
Записать вывод формулы А или ее отрицания из cooтвeT
ствующей совокупности формул.
2.14. Дана формула А = (х v у) ...... х& z и наборы зна
чений переменных 1) (1, О, О); 2) (О, 1, 1). Записать вы-
вод формулы А или ее отрицания из соответствующей
совокупности формул.
r ЛАВА 111
JIоrИКА ПРЕДИКАТОВ
1. Понятие предиката. JIоrические
и квавторвые операции над предикатами
Определение 1. Одноместныж предикатом Р(х) на-
зывается всякая функция одноrо переменноrо в кото-
рой apryмeHT х пробеrает значения из HeKOТoporo мно-
жества М, а функция при этом принимает одно из двух
значений: истина или ложь.
Множество М, на котором задан предикат, называ-
ется областью определения предиката.
Множество 1 р с М , на котором предикат принима-
ет только истинные значения, называется областью ис-
тинности предиката Р(х).
Предикат Р(х) называется тождественно истин-
НЫЖ (тождественно ЛОЖНЫМ) на множестве М, если
lр=М(lр=0).
ОпреДeJIение 2. n-MeCтHЫAt предикатом называется
всякая функция n переменных Q(X 1 'X 2 .....X,.), опреде-
ленная на множестве М = М 1 Х М.х...хМ,. и принимаю-
щая на этом множестве одно из двух значений: истина
или J10жь.
как И для одноместных предикатов. для n-местных
предикатов можно определить область истинности, по-
нятие тождественно истинноrо и тождественно ложноrо
предиката.
rоворят. что предикат Р(х) ЯВJIяется следствием
предиката Щх) (щх) => Р{х)) , если lQ с l р ; и предика-
ты Р(х) и Q(X) равносUJI.ЬНЫ (Щх) <=> Р(х)). если lQ = l р .
Пример 1. Среди следующих предложений выделить
предикаты и для каждоro иа них указать область истин-
ности, если М = R для одноместных предикатов и
М = R х R для двухместных предикатов:
lIOfJfКA 1IPEДIIКAТOВ
216
1) х + 5 = 1 ;
2) при х = 2 ВЫПОJIВяется равенство х 2 1 = О;
3) х 2 2х + 1 = О ;
4) существует такое число х, что х 2 2х + 1 = О ;
5) х + 2 < 3х 4 ;
6) однозначное число х кратно 3;
7) (х+2) (зх 4);
8) х 2 + у2 > О.
Решение.
1) Предложение является одвоместиым предикатом
Р(х), I р = { 4} ;
2) предложение не является предикатом. это JIОЖНое
высказывавие;
3) предложение является одвомecтвьпI преДИRl1том
Р(х), I р = {1};
4) предложение не является предикатом. это истив
ное выскааывавие;
5) предложение является oдвoMecтвым предикатом
Р(х), 1 р = (з;+ со);
6) предложение является одвоместным предикатом
Р(х),1 р ={0;3;6;9};
7) предложение не является предикатом;
8) предложение является ДВYXMeCТJIЬDI предикатом
Q(X,y), 1Q = R х R \ {(о, о)} .
ПрlDlер 2. ВЫЯСИИ'1'ь, какие И3 CJIе,цующих предика
тов явля:ются тождественно истиннЬUOI:
1) r2 + у2 о; 2) %2 +,i > о;
3) sin 2 Х + сов 2 х = 1 ; 4) (х + 1)2 > х 1 ;
5) х 2 + 1 (х + 1)2 .
Решевие. Очевидио, предикаты 1), 3), 4) я:в.пя:ются
тождественно истинными. В предикате 2) при х==о, 1FO
неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство
нарушается при всех положительJIых значени.вх %. Сле-
довательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.
218
Эsaачниlf-o пpмtlUlltYК по IIanf_...UWCмНJ ...
Так как предикаты MOryт пpIDIJIмать -два auач8Виа 1
и О, то к ним примеНИl\Iывсе операции алrебры выска-
зываний.
Например, конъюнкцией двух предикатов Р(х) и
«х) назьшается новый предикат p(x)&Q(x), который
принимает значение 1 при тех и только тех значениях
Х Е М, при которых:каждый из преди-тов Р(х) И «Х)
принимает. значение 1 и принимает значение О во всех
остальных случаях. Очевидно, что l p lt.Q = lр nlQ'
Аналоrично определяются операции дизъюнкция,
импликация, эквивалентность двух предикатов и отри-
цание предиката. Леrко видеть, что 1 PvQ = 1 р U lQ , '
lp=Clp,lp--+Q=СlрUIQ'
Ясно, что при выполнении ЛОJ1llЧеских операв;вйнад-
предикатами к ним применимы и равносильности ал
ры лоrики.
Пример 3. Пусть даны предикаты: Р(х): .Х чет-
ное число. и Q(X): .Х кратно 3., определенные на
множестве N. Найти области истинности предикатов:
1) p(x)&Q(x). 2) p(x)vQ{x). 3) Р'(х). 4) р(Х)..... Q(x).
Решение. Так как
lр = {2, 4. 6, ..., 2n, ...}, l Q :::: {3,6, 9, .... 3n, ...}, то
1) l p "Q :::: 1р n1Q = {6, 12, ..., 6n, ...};
2) 1 pvQ = l р U1Q = {2, з, 4, 6, ..., 2n, 3n, ...};
3) 1р = Сl р = N \ 1 р = {l, 3, 5, ..., 2n 1, ...};
4) l p --+Q = Cl p UIQ = {l, 3, 5, ..., 2n 1, ...} u{з. 6. 9, .... Зп, .. .
Сказанное позволяет находить области истинности
более сложных предикатов, полученных в результате при-
менения к исходным предикатам JIОrических операций. .
Пример 4. Пусть даны предикаты А(х,у) и B(x,y) PI
определенные на множестве М = М 1 Х М 2 С R х а. Най-
ти множество истинности предиката А(х, у) # В(х, у) и
изобразить ее с помощью KpyroB Эйлера-Венва.
Решевие. Так как А(х,у) # в(х,у) = (А(х,у)..... в(х,у»)&
& (в(х,у) ..... A(x,y) то l А ++ В = (I A --+ в )n(l в --+ А ) = ((СI А U1 B )n
n(CI B UI A ») = (IА n1 B )U{ C .f A nCI B } 1 А # 1 в изображена
заштриховавиой Ч88'1'Ью рисунка.
1IOIWКA nРЕДИКАтов-
217
if/,
l д ( 18
/
'lh
Можно рассматривать и обратную задачу: Зная об
ласть истинности предиката, полученноro в результате
применения лоrических операций к некоторьпw преди-
катам, Э8Писать этот предикат.
Пр_ер 5. Записать предикат, полученный в резуль-
тате лоrических операций над предикатами Р(%), Q(%)
И R( %) , область истинвости Koтoporo 1 заmтрихована на
рисунке.
м
РeJPевие. Так как здесь 1 = 1 р n lQ n 1 в' то искомый
предикат имеет вид P(X)&Q(%}&R(x).
Пусть имеется предикат Р(х), определенный на мно-
жeorве М. Если а еМ, то подстановка а вместо % в
предикат Р(х)превращает этот предикат в высказыва-
ние Р(а). Такое высказывание называется единичным.
Наряду с образованием из предикатов единичных выс-
казываний в лоrике предикатов рассматривается еще
две операции, которые превращают одноместный пре
дикат в высказывание.
218
э.8ачнUlНlpllItlllШfYII по ...т-атll'l8CiIoD лоеи-
Опре,цеJIеиие 3. Пусть Р(х) предикат, определен-
ный на множестве М. Под выражением Vxp(x) понима-
ют высказывание, истинное, кorдa Р(х) тождественно
истинный на множестве М предикат и JIОЖНое в против-
ном случае. это высказывание уже не аависит от х. Со-
ответствующее ему словесное выражение будет .Для вся-
коro х Р(х) истинно.. Символ V называют квантОРОAl
всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называ-
ют свободной (ей можно придавать РaзJlичные значения
из М), в высказывании V х р( х) переменную х называют
свя:занной квантором V.
Опре,ц е.певве 4. Пусть Р(х) предикат, определенный
на множестве М. Под выражением 3х Р(х) п оJПIМЯТnТ выс-
казывание, которое я:вляется: И CТIПППJV , если существует
хотя бы один элемент х Е М , для: KOТOporo Р( х) истинно,
и ложным в противном с.лучае. это высказывание уже не
зависит ar х. Соответствующее ему CJIoвecвoe выражение
будет: .Существует х, при котором Р(х) истинно.. Сим-
ВWI 3 'R'А..'П..m8ЮТ KвaHтo]IOJlC существования. В высказы-
вании 3х Р(х) переменная х CJUI'!UI'R'A JtВ8В'I'OpoM 3.
Пример 6. Даны предикаты Р(х): хl + х + 1 > О и
Q( х): х 2 4х + 3 = О , опреде.пенные на множестве R. Тре-
буется установить, какие из CJIедyJOЩИХ высказываний
истинны и какие ложны:
1) Vx Р(х); 2) 3х Р(х); 3) Vx «х); 4) 3х «х).
( 1 ) 2 3
Решение. Тах ках хl + х + 1 = х + '2 + "4 > о при
всех х, '1'0 будут истинны высказывания Vx Р(х) и
3х Р( х). Так как уравнение хl 4х + 3 = О имеет ТOJIЫCO
два действительных КОрВЯ: Х 1 = 3 и Х 1 = 1, то предика
Q(x) принимает значение 1 только при х = 3 и х = 1 и О
в остальных случаях. Но Torдa высказывание Vx Q(x)
JIОЖНО, а высказывание 3х «х) истинно.
Нетрудно видеть, что Korдa предикат Р(х) опреде-
лен на конечном множестве М = {а 1 ,а 2 ,...,а,,} , то
Vx Р(х) = Р(а 1 )&.р(а 2 )&... & Р(а,,), а
RDf'ИКАЛРЕДИКАТОВ
21.
3х Р(х) = P(iIt)v p(a.)v...vp(a,,) ,
то есть кванторные операции обобщают операции конъ-
юнкции и дизъюнкции на случай бесконечных облас-
тей.
Кванторные операции применяются и к MHoroMecT-
ным предикатам. Так, применение к двухместному пре-
дикату Q(x. у) квантора всеобщности по переменной х
дает одноместный предикат '<Ix Q(x.y), зависящий от у.
К этому предикату можно применить Кванторную опе-
рацию по переменной у. В результате получим или выс-
казывание '<Iy '<Ix «х.У) или высказывание 3у '<Ix Q(x.y),
Таким образом, может быть получено одно из восьми
высказываний: '<Iy'<lx Q(X,y), 3g'<lx «х,у) , '<Iy3x Q(x.y) ,
3у3х Q(x, у) , '<Ix '<Iy Q(x, у) , '<Ix3y Q(x, у) , 3x'<ly Q(x, у) ,
3х3у Q(x,y).
Леrко показать, что перестановка любых кванторов
местами, вообще roворя, изменяет лоrическое значение
высказывания.
Пр_ер 7. Пусть предикат Q( х. у): . х: у . определен
на множестве N х N. Показать, что высказывания
'<Iy3x Q(x,y) и 3x'<ly «х.У) имеют различные лоrичес-
кие значения.
Решение. Так как высказывание '<Iy3x Q( х, у) озна-
чает, что для вся:коro натуральноrо числа у существует
натуральное число х такое, что у является делитеJIем х,
то это высказывание истинно.
Высказывание 3x'<ly «Х,У) означает, что есть на-
туральиое число х, которое делится на JIIOбoe натураль-
ное число у. это высказывание, очевидно, JIОЖНО.
3.1. Среди следующих предложений выделите пре-
дикаты, для каждоrо из предикатов укажите одну из
возможных областей определения и в соответствии с ней
область истинности:
1) Луна есть спутник Венеры;
2) ПЛанеты х и упринадлежат Со.пв:ечв:ой системе;
3) 5+ >150;
4) r + 3х + 2 = о;
5) x. 3x+8;
220
з.daчНUIl-прмтuf/tYll по ... ..п....
6) Любое простое число р не имеет делителей, отлич-
ных от себя и 1;
7) Натуральное число n не меньше 1;
8) Треyroльник АВС равен треyrольиику А 1 В 1 С 1 ;
9) х 2 + 2х + 1 > О ;
2 1
10) l+tg X= '
сов 2 х '
11) ln х < Bin х .
3.2. Даны предикаты Р(х): . х 2 4 = О . и Q(x):
. 3х 2 < 17.. Найдите области истинности этих преди
катов, если их область определения есть: 1) R; 2) N.
3.3. На множестве М = {3,4.5,6, 7,8} заданы два преди
ката Р(х): .х простое число., Q(x): .х нечетиое чис-
ло.. Составьте их таблицы истиннОСТИ. Равносильвы ли
предикаты Р(х) и «х) на множестве L = {2. 3,4, 5,6, 7,8} ,
К = {3.4,5.6, 7,8,9} ?
3.4. Будут ли следующие предикаты равносильны
или один из них является следствием дpyroro? (Пред
метные переменные в предикатах принадлежат R).
1) Б."/у = 15 и ..j;Y = 15 ;
2) 19 аЬ = 1 и 19 а + 19 Ь = 1 ;
221
3) Bin 2 х + сов х = 1 и tg х + 1 = ;
сов 2 Х
4) 210&.% = У и У = Х;
5) х 2 О И 2/ xI = СОВХ;
6) x+y=z и (x+yXx z)= zy;
7) ха + уа = О И х 2 у2 = О .
3.5. Найти области ИСТиннОСТИ предикатов:
х 2 +3х+2
1) . 2) VX2 1 = 3;
х 2 + 4х + 3 '
3) { х 2 13x+04 0. х 2 5x+6 О
2х 2 + х 30 < О' 4) х 2 2х 3 < .
3.6. Изобразите на декартовой плоскости области
истинности предикатов:
1) х + у = 1; 2) х + 3у = 3; 3) х у2 о;
4) BinX=Biny; 5) (х 2)2+(у+з)2 =0 6) 19x=lgy.
lI.011IКA ПРЕДИКАТОВ
221
3.7. На множестве М = {l, 2, 3,...,20} заданы преди
каты:
А(х): tx не делится на 5.;
в(х): tX четное число.;
с(х): tX число простое.;
D(X): tX кратно 3..
Найдите множества истинности следующих преди
катов:
1) А(х)&в(х); 2) с(х)&в(х);
З) C(x)&D(x); 4) B(x)&D(x);
5) B( x)&D(x); 6) A(x)& D( x);
7) B( x)& D (x); 8) A(x)&B(x)&D(x);
9) А(х) v в(х); 10) в(х) v с(х);
11) C(x)vD(x); 12) B(x)vD(x);
13) в( х)у D(x); 14) в(х)у D( x);
15) А(х) v в(х) v D(x); 16) с(х) ---+ А(х);
17) D(x) --+ С(х); 18) А(х) --+ в(х);
19) (A(x)&C(x))--+ D( Х); 20) (A(x)&D(x))--+с(х).
3.8. Изобразите на диarpаммах Эйлера-Венна облас
ти истинности для следующих предикатов:
1) p(x)& Q( x);
2) Р(х) ++ Q( x);
3) (Р(х) ---+ Q(х)) v R(x)& Q( x);
4) Р(х) --+ (Q(х) v Q( x));
5) Р(Х)&Q(х) --+ В (х).
3.9. Изобразите на координатной плоскости области
истинности предикатов:
1) (х > 2)& (х < у);
2) (х:!> y)v(lxl:!> 1);
3) ! Х 3) --+ (у < 5 ,
4) (x>2)&(и 1) ((x< 1)y(y< 2));
5) (x>2)Y(Y>I)&((x< I)y(y< 2)).
222
3ааачник-практиИУII по I18IJ181181DU'l8C8JD ROaUII8
3.10. Записать предикаты, получеиRыe в результате
лоrических операций над предикатами Р(.х), Q(.x) и В(.х) ,
области истинности которых (1) заштрихованы на следу
ющих рисунках:
ffi О
4)
5) 6)
..
7)
*
8)
w
9)
3.11. 'Установить, какие из следующих высказыва-
ний ИСТИНJIы, а какие JlОЖНЫ, при УCJIовии, что область
определения предикатов М совпадает с К:
1) 3.х (.х + 5 = .х + 3);
2) 3.х (.х2 +.х + i = о);
3) У.х (.х2 +.х + 1 > о);
4) У.х (.х2 5.х + 6 о);
5) 3.х ((.х2 5.х + 6 0)&(.х 2 2.х + 1> о));
6) 3.х ((.х2 5.х + 6 0)&(.х 2 6.х + 8 s о));
7) У.х ((.х2 6.х + 8 о) v (.х2 6.х + 8 < о));
8) 3.х ((.х Е {2, 5}) (.х2 6.х + 8 = о));
9) У.х ((.х Е {3, 5}) (.х2 6.х + 8 < 0))-
3.12. Приведите примеры таких значений а, для
которых .данное высказывание: а) истинно; б) ложно.
(м = R).
ROпIКA пРЕДИКАТОВ
223
1) 3Х < О ( + ах + а = о);
2) УХ Е [о, l](х2 + Х + а < о);
3) УХ > 7 (х2 + ах + 1> о);
4) 3XE[a,a+l](x2 x 2<0).
i 2. Понатие ФОРМУJJЫ JlОrики предикатов.
РавИОСИJlЬвые ФОРМУJJЫ JlОrики предикатов
В лоrике предикатов используется следующая сим
волика:
1. СИМВОЛЫ р, q, Т. ... переменные высказывания,
принимающие два значения: 1 истина, О ложь.
2. Предметные переменные Х. у, Z, ..., которые про-
беrают значения из HeKoтoporo множества М: х О , уО,
ZO , ... предметные константы, то есть значения пред-
метных переменных;
3. Р(.). F(.) одноместные предикатные перемен-
вые; «.,.,.....). R("......,.) п-местные предикатные пе-
ременные. рО(.), QO( .,.,.....) СИМВОЛЫ постоянных
предикатов.
4. Символы лоrических операций: &, v. ---+, .
5. Символы ква.иторных операций: 'V Х, 3Х.
6. Вспомоrательные симВOJIЫ: скобки, запятые.
ОпредеJlевие 1. (формулы лоrики предикатов).
1. Каждое высказывание как переменное, так и по-
стоянное, является формулой.
2. Если F( ...,.....) п-местная предmcатная перемен-
ваа или постояввый предИRaт. а X l . Х 2 , .... Х" предмет-
вые перемеввые или предметные постояввые. не обяза-
тельно все pa3JIИЧВые, то F(X l ,X 2 ,...,x,,) есть формула. В
этой формуле предметвые переменные являются свобод-
выми. Формулы вида 1 и 2 называются элементарными.
3. Если А и В формулы, причем такие, что одна и та
же предметная перемеввая не.JIВЛЯется: в одной из них св.и-
заввой. а в дрyroй свободной, то А v В . А& В. А ---+ В есть
формулы. В этих формулах те перемеввые, которые в ис-
ходных формулах БЫJIИ свобоДВЬ1ХИ. ЯВJUIЮ'1'CЯ свободвы-
ми, а те, которые БЫJIИ cвя38Iшыми' ЯВJIЯIOТCЯ cвя38Iшыми.
4. Если А формула, то А формула, и характер
предметвь.цс переменных при переходе от формулы А 1с
формуле А не меняется.
214
3aiJ8'lншнrраlllnU"УМ по м amе-тич 8Cll'OiJ л--
5. Если А(х) формула, в которую предметная пере-
менная х входит свободно, то слова V х А(х) и 3х А(х)
являются формулами, причем предметная перемейная в
них входит связанно.
6. Никакая друrая строка символов формулой не
является.
Пример 1. Какие из следующих выражений явля-
ются формулами лоrики предикатов? В каждой форму-
ле выд елите свободные и свя занные переменные.
1) 3х Vz(p(x,y) ----+ P(y,z));
2) (р ----+ q)&(r v р);
3) p(x)&Vx «х);
4) Vx (Р(х) ----+ «х)) (3х Р(х) ----+ Vx R(x,y));
5) (Р(х) «х)) v Зу(vу R(y));
6) Зхvz(р(х,у) ----+ P(y,z)).
Реmение. Выражения 1), 2), 4), 6) являются форму-
лами, так как записаны в соответствии с определением
формулы лоrики предикатов. Выражения 3) и 5) не яв-
ляются формулами. В выражении 3) оп ерация конъюн-
кция применена к формулам Р(х) и VXQ(.x); в первой из
них переменная х свободна, а во второй связана кванто-
ром общности, что противоречит определению форму-
лы. В выражении 5) квантор существования по перемен-
ной У навешен на формулу Vy R(y) , в которой перемен-
нан У связана квантором общности, что также противо-
речит определению формулы.
В формуле 1) переменная У свободна, а переменные %
и z связаны. В формуле 2) нет предметных перемеиных.
В формуле 4) переменная х связана, а переменная У сво-
бодна.
О лоrическом значении формулы лоrики предика'l'QВ
можно roворить лишь тorдa, кorдa задано множество М, на
котором определены входящие в wry формулу предикаты.
Лоrическое значение формулы лоrики предикатов зависит
от значения трех видов переменных, входящих в формулу:
а) переменных высказываний;
б) свободных предметных переменных из множества М;
в) предикатных переменных.
При конкретных значениях этих переменных фор-
мула принимает конкретное лоrическое значение.
ЛОntКА ПРЕДИКАТОВ
225
Пример 2. Дана формула \fx(p(x)&Q(x) В(х)) , rде
предикаты Р( х), Q(X) и В(х) определены на множестве N.
Найти ее значение, если
1) 1>(х): tЧИСЛО Х делится на 3., Q(X): tЧИСЛО Х дe
лится на 4., В(х): tЧИСЛО Х делится на 2.;
2) Р(х): tЧИСЛО Х делится на 3., Q(X): tЧИСЛО Х де-
лится на 4., В(х): tЧИСЛО Х делится на 5..
Реmеиие. В обоих случаях конъюнкция Р( х)& Q( х)
есть утверждение, что число Х делится на 12. Но Torдa
при всех Х, если число Х делится на 12, то оно делится и
на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.
Так как из делимости числа Х на 12 не при всех Х сле.-
дует делимость числа Х на 5, то в случае 2) формула ложна.
Пример 3. Вычислить значение формулы
\fx3y 1>(х,у) 3x\fy Р(Х,У), если предикат Р(Х, у)
имеет значение рО(х,у) tЧИСЛО Х меньше числа У. и
определен на множестве М = N х N .
Реmеиие. Так как при указанном значении предика
та 1>(х,у) высказывание \fx3y Р(Х, у) означает утвержде.-
ние, что для любоro натуральноrо числа Х найдется нату-
Р8ЛЪное число У, большее числа х, то это высказывание
истинно. В то же время высказывание 3х \fy 1>( Х, у) оз
начает утверждение, что существует натуральное число
Х, которое меньше любоro натуральноrо числа У, которое
ложно. При этом исходная формула, очевидно, ложна.
ОпредеJlеиие 2. Две формулы лоrики предикатов А
и В называются равносильны.ми на об.ласти М, если они
принимают одинаковые значения при всех значениях
входящих в них переменных, отнесенных к области М.
Две формулы лоrики предикатов А и В называются
равносильны..м.и, если они равносильны на всякой области.
Здесь, как и в алrебре высказываний, для равносиль
ных формул принято обозначение А == В .
Ясно, что все равносильности алrебры высказыва
ний будут верны, если в них вместо переменных BЫCKa
зываний подставить формулы лоrики предикатов. Но,
кроме Toro, имеют место равносильности самой лоrики
предикатов. Сюда, в первую очередь, следует отнести
равносильности:
\fxA(x) == з хА(х) ,
3хА(х) == \f XA(X) .
221
3аdачнuк-практuиум по матellaтUЧ8ClCOй лоаU1f8
Они широко используются в лоrике предихатов при
равиосильиых преобраэованиях, если приходится иметь дело
с выражениями, содержащими операцию отрицания.
Пример 4. Найти отрицание следуЮЩИХ формул:
1) vx(p(x)&Q(x));
2) 3Х(Р(Х) V Q(x));
3) Vx 3у(В(х,у) ---) L(X,y)).
Решение.
1) vx(p(x)& Q(x)) == 3 P(X)& Q(x)) == 3X(PW V QW);
2) зх(Р(х) V Q(x)) == vx(p( x) V Q(x)) == V*)&QW );
3) vX3 y(R(x,y) ---) L(x, у )) == 3х3 у(В(х,у) ---) L(x, у )) ==
== 3xVy(R(x,y) ---) L(x, у)) == зхV R(х,у) v L(x, у)) ==
== 3XV R(X,y)& L(x,y))
Доказательство равносильиостей лоrики предикатов
требует или детальноrо рассмотрения значений формуя
или использования извест равносильностей.
Првмер 5. Доказать равносильность
зх(А(х) V в(х)) == 3х А(х) V 3х в(х).
Решение. Для доказательства равносильности дос-
таточно рассмотреть два c aa:
1. Пусть предикаты А(х} и в(х) тождественно лож-
ны. Тоrда будет тождественно ложным и предикат
А(х)у в(х). При этом будут ложными высказывания
зх(А(х)у в(х)) и 3х А(х) V 3х в(х).
2. Пусть теперь хотя бы ОДИН из предикатов (напри-
мер, А(х)) не тождественно ложный. Тоrда будет не тож-
дественно ложным и предmcат А(х)у в(х). При этом бr-
дут истинными высказывания зхА(х) и зх(А(х)у в(х)}о
а, значит, будут истинными и исходные формулы.
Следовательно, зх(А(х) V в(х)) == 3х А(х) V 3х в(х).
Пример 6. Доказать равносильность
с& Vx А(х) == Vx(c& А(х)).
Решение. Рассмотрим два случая:
lIOI1fКA пРЕДИКАТ08
227
1. Пусть высказывание с JIОЖНО. Torдa для любоrо
предиката А(х) будет тождественно ложным высказы-
вание с& Ух А(х) и предикат с& А(х) , и, следовательно,
высказывание Ух(с& А(х)). Значит, в этом случае обе
исходные формулы тождественно JIОЖНЫ.
2. Пусть теперь высказывание с истинно. Тоrда, оче-
видно, значения исходных фор л будут целиком зави-
сеть от значеllИЙ предиката А( Х J. Если А( х) тожде-
ственно истинный предикат, то будет тождественно ис-
тинным и предикат с& А(х). и, следовательно, будут тож-
дественно истиввыми высказывания 'V Х .А( х), с& 'V Х А( х) ,
Ух(с& .А(х)). то есть тождественно истинны исходные
формулы. Если же предикат А(х) не тождественно ис-
тинный. тоrда будет не тождественно ИСТИНRЪUI преди-
кат с& А(х) , а высказывания Ух А(х) , с& Ух А(х) ,
'V Х (с& А( х)) будут JIОЖИЫМИ, то есть ложные значения
принимают обе исходные формулы, что в итоre доказы-
вает их равносильность.
3.13. Укажите, какие из следующих выражений
являются формулами лоrики предикатов. В каждой
формуле выделите свободные и связанные переменные:
1) 3х 3у Р(х, у);
2) 3х,у Р(х,у);
3) Ух Р(х) v Уу Q(X, у);
4) Ух3у Р(х,у);
5) р Ух Р(х, у);
6) 3х p(x,y)&Q(y,z).
3.14. Даны утверждения А(n): .число n делится на
3., В(n): .число n делится на 2., С(n): .число n делит-
ся на 4., D(n): .число n делится на 6.. Е(n): .число n
делится на 12.. Укажите, какие из следующих утверж-
дений истинны, какие ложны:
1) Уn (А(n)& В(n) Е(n ));
2) Уn (В(n )& D(n ) Е(n ));
3) 3n(C(n)&D(n) Е(n));
4) Уn (Е(n) С(n)& D(n ));
5) Уn (Е(n) В(n )& D(n ));
228
Заdaчни«-праитuкум по математической лоаике
6) 3n (В(n)& С(n ) D(n ») ;
7) Vn {А(n) Е(n »).
3.15. Пусть предикат Р(х,у) определен на множе-
стве М = N х N и означает . Х < У ..
1) Какие из следующих предикатов тождественно
истинные и какие тождественно ложные:
а) зхр(х,у); б) Vx Р(х,у); в) 3у Р(х,у); r) Vy Р(х, у)?
2) Для тех предикатов из 1), которые не являются
ни тождественно истинными, ии тождественно ложны-
ми, указать область истинности и область ложности.
3) Какие из следующих предложений истинны и
какие ложны:
а) 3xVy Р(х,у); б) Vx3y Р(Х,У);
в) Vy3xP(x,y); r) VxVyp(x,Y);
д) VyVxp(x,Y); е) 3yVxp(X,Y);
ж) 3Х3УР(Х,У); з) 3У3ХР(Х,У)?
3.16. Показать, что кванторы общности и существо-
вания не перестановочны, то есть высказывания
Vx3y Р(х, у) и 3yVx Р(х, у) MOryт, вообще roворя, иметь
различные значения.
3.17. среди следующих пар предикатов выберите те,
в которых предикаты являются отрицаниями дpyr дрyrа:
1) .а<Ь. и .Ь<а.;
2) .Треyroльник АВС прямоyrольный. и .Треyroль-
ник АВС тупоyrольный.;
3) .Целое число k четно. и .Целое число k нечетно.;
4) .Функция f нечетна. и .Функция f четна.;
5) .Натуральное число n простое. и .Натуральное
число n составное..
3.18. Доказ ать след ующие равносильности:
1) Vx А(х) == 3х Ай ;
2) 3х А(х) == Vx А(х) ;
3) с& VXA(x) == VX(C&A(x»);
4) с v Vx А(х) == Vx(c v А(х»);
5) 3Х(А(Х) v В(х») == 3х A(x)v 3х В(х);
6) 3х(с v А(х») == с v 3х А(х);
norиКАпРЕДИКАТОВ
229
7) 3х(с&А(Х)) == с&зхА(х);
8) 3хА(х)&3уВ(у) == 3Х3у(А(Х)&В(у));
9) УХ(А(Х) с) == 3хА(х) с;
10) 3х{с А(х)) == с 3х А(х);
11) 3х(А(х) с) == УхА(х) с.
3.19. Найти отрицания следующих формул:
1) зх(А(х)&В(х)&с(х));
2) У Х ! А(Х) Уу В(У)) ;
3) Ух А(х) V 3у В(У));
4) Ух(А(х) B(X))&3X(S(X)& R(X)) ;
5) 3х(В(х) «х));
6) 'Vx3y'Vz(1)(x.y,z) Q(x,y,z)).
3.20. Пусть А( х) и В(х) любые предикаты. Каки е из
следующих формул равносильны формуле А(х) В(х) (*)?
I)А(х)уВ(х); 2) AWvщ;} ; 3) AW B(x );
4) B(x) A(x); 5) А(х)& В(х); 6) А(х)& В(х) ;
7) В(х) А(х) .
3.21. Доказать, что для любой формулы лоrики пре
дикатов можно построить ей равносильную формулу, не
содержащую:
1) кванторов существования;
2) кванторов общности.
3.22. Доказать, что формулы 3x(1)(x)&Q(x)) и
зхР(Х)&3ХQ(Х) не равносильны.
3.23. Доказать, что формулы Ух(Р(х) V «Х)) и
'V х Р( х) V 'V Х Q( х) не равносильны.
3.24. Доказать, что
1) 3х Уу (F(x)&G(y)) == Уу 3х (F(x)&G(Y));
2) то же с заменой & на У;
3) можно ли в 1) и 2) заменить Р( х) и G(y) ДBYXMeCT
ными предикатами, зависящими от Х и у?
3.25. Пусть А(х) и В(х) два одноместных предика-
та. определенных на мно жестве М так их, что высказы-
вание 3X(A(X) (A(X) Y (B(X) A(X) )) ) истинно. Дока-
зать, что высказывание Ух А(х) лоЖIIО.
230
3адачник-пракmикум по маmемаmuчеснос1 лоаике
3.26. Даны два преДИlCата Щх,у) и R(y,z), опреде
ленные на множестве М хМ, rде М = {а,Ь,с}. Для сле
дующих предложений записать их выражения без ис-
пользования кванторных операций:
1) 3xQ(x.y)&VzR(y,z);
2) Ух 3у (Q(x,y) v R(y, z») ;
3) VX3yQ(x,y)----+ 3yVxR(x,y);
4) VxVyQ(x.y) VyVxR(x,y).
3.27. Каким условиям будут удовлетворять области
истинности предикатов А(х) и В(х), опредеJlеивых на
множестве М, если истинны высказывания:
1) Ух(А(Х) ----+ В(х ») & 3Х (А(Х) & В(х»);
2) 3Х(А(Х)&В(Х»)&(УХ(А(Х) ----+ В(х»));
3) 3х(А(х)&в(х») ----+ (Ух(А(х) ----+ В(х»))?
i 3. Общезиачим:ость и ВЫПОJlИИМоеть ФОРМУJl.
Предваренвая ИОРМaJIЬвая форма (п.н.ф.)
ОпредеJlение 1. Формула лоrики предикатов назы-
вается выполнимой в области М, если существуют зна-
чения переменных, входящих в эту формулу и отнесен-
ных к области М, при которых формула принимает ис-
тинные значения.
ОпредеJlевие 2. Формула А называется выполнимой,
если существует область, на которой эта формула вы-
полнима.
Опреде.певие 3. Формула лоrики предикатов называ-
ется тождественно ucтипной в области М, если она при
нимает истинные значения для всех значений переменных,
входящих в rпy формулу и отнесенных к этой области.
ОпредеJl8Иие 4. Формула А называется общезначи-
мой, если она тождественно истинная во всякой области.
ОпредеJlевие 5. Формула А называется тождествен-
по ложной в области М. если она принимает ложные
значения для всех значений переменных. входящих в эту
формулу и отнесенных к этой области.
Из приведевиых определений следует:
1. Если формула общезначима, то она и выполнима
на всякой области.
2. Если формула тождественно истинна в облас и,
то она выполнима в этой области.
JIOI1IКA 1JPEДJIКAТ08
23f
3. Если формула невыполнима. то она тождественно
JIОЖна в .побой обл:асти.
ПplDllер 1. Докааать. что форМyJ18. А!!! 3.х \7'У 1>(.х,у)
выполнима.
Реmевие. Для доказательства ВЫПОJППIмости форму-
лы А достаточно найти область определения ДВYXMecTH
ro предиката 1>(.х,у) и такое ero значение, что в этой
области формула принимает истинные значения. Такой
обяастью определения предиката, в частности, будет МН
жество М = N х N. Действительно, ecJIИ 1>(.х.и) преди-
кат . у:.х ., то формула А тождественно истинна в обла-
сти М, и. следовательно, выполнима в этой области. Од-
нако, если в качестве предиката Р(.х, у) в3я'ть предикат
. и < .х .. то формула А будет тождественно ложной в
области М, и, следовательно, невыполнимой в области
М. При этом ясно, что формула А не общезначима.
Пример 2. Дока зать, что формула А == (1)(.х) Q(.x»)
3х Р(.х)& \7'.xQ(x) является общезначимой.
Решение. Считая. что формула А определена на ЛJO-.
бой области М, проведем равн осильные преобр азования:
А == \7'х(1)(.х) QW) 3.х Р(.х)& \7'.xQ( .x) ==
== \7'.х( Р(.х) ) v 3.х 1>(.х )& \7'.xQ(.x) ==
== 3х (Р(.х) v Q(.x» v 3.х Р(.х) v У.х «.х) ==
== 3х (1)(.х) & «.х» v 3.х 1>(.х) v 3.xQW :;
== 3х (Р(.х) & «.х» v з.х Q(.х» v 3.х 1>( .х) а
== з.х(Р(.х)& Q(x) V Q(.x» V 3.х Р (.х) !!!
а з .х(Р(.х) V «.х» V 3.х Р(.х) ==
!!! (3х Р(.х) V 3.х Р(.х» V з.х Q(.х) == 1 V з.х Q(.х) :; 1.
Т.е. формула А тождественно истинна для любых одно-
местных предикатов 1>(.х) и Q(.x) и в любой области.
Пример 3. (( )
Доказать, что формула А == 3.х F(.x) F(.x) &
& (F(.x) F(.x»)) тождественно ложна.
232
3адачник-практиНУII по lIат8Afатической лови..
Решение.
Так как формула (F(X) F(X)) & (F(X) F(X)) ==
== F(X) F(X). а формула F(x) F(X), очевидно, тож
дественно ложна. то тождественно ложна и формула А.
rоворят, что формула лоrики предикатов имеет нор-
мальную форму, если она содержит только операции конъ-
юнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а опера-
ция отрицания отнесена к элементарным формулам.
Среди нормальных форм формул лоrики предикатов
важное значение имеют так называемые предваренные
нормальные фОРМЫ. В них кванторные операции либо
полностью отсутствуют, либо используются после всех
операций алrебры лоrики.
Справедливо утверждение о том, что всякая форму-
ла лоrики предикатов путем равносильных преобразова-
ний может быть приведена к предваренной нормальной
форме (п.н.ф.). При этом следует использовать paBHO
сильности лоrики предикатов, которые позволяют вы-
носить за скобки кванторы существования и всеобщнос-
ти. Т.е. равносильности:
УхР(х)& VxQ(x) == Ух (Р(х) & «Х))
р& Ух Р(Х) == У Х ! Р&Р(Х))
pvVxp(x)== Ух pvp(x)
Р УхР(х) == Ух Р Р(х))
3xP(x)v зхQ(х) == зх(Р(х) v Q(X))
с v 3х Р( х) == зх \ с v Р( х))
с&3хР(х) == 3х с&Р(х))
с 3х Р( х) == 3х с Р( х))
3xp(x)&3xQ(x) == 3хЗу(Р(Х)&Q(у)),
Пример 4.
Привести к п.н.ф. формулу А '" Vx3y P(x,y)&3xvyQ(x.y).
Решение. Проводя равносильные преобразования,
получим:
А == VX3yP(x.y)&Vx3y Q(x,y) ==
== vх(зу p(x,y)&3z ==
== vхзу(р(х,у)&зz Q(х,z) ==
== VX3Y3Z(P(x,y)&Q(x,z).
лorиКА ПРЕДИКАТОВ
233
3.28. Выполнимы ли следующие формулы:
1) А == 3хР(х); 2) А == УхР(х).
3.29. Можно ли привести пример формулы А(х) Ta
кой. что в ыполнима фор мула:
1) В;: Ух А(х) A(t); 2) В;: A(t) УхА(х).
3.30. Доказать. что формула зх(Р(х)&(r Q(x))
(УХ (Р(Х) «Х)) r) является общезначимой.
3.з1. Какие из нижеприведенных формул являются
общезначимыми:
1) ЗХ( (Х)&Р2(Х)) (3х (Х)&ЗХР2(Х));
2) ЗХ{ (Х)&Р2(Х)) {3х (x)&3x (x));
3) (Ух (x) V Ух Р2(Х)) Yx( (x) V Р2(Х));
4) (Ух (x) V Ух (x)) Yx{ (x) V Р2(Х));
5) Y x ! q (x)) (q YX (X));
6) Ух (x) Р2(Х)) (УХ (x) Ух Р2(Х));
7) 3x( (x) (x)} (3х (x) 3х (x));
8) Yx{ (x) Р 2 (х)) (3Х (x) Ух Р2(Х));
9) Ух (Ф)(х) Ф2(Х)) (УХ Ф)(х) Ух Ф2(Х));
10) Ух (Ф)(х) Ф2(Х)) (3хФ)(х) ЗХФ2(Х));
11) ЗХ(Фl(Х) Ф2(Х)) (УХФ)(х) ХФ2(Х));
12) 3х Я(х} Ух Я(х};
13) Ух Я(х) 3х Я(х);
14) Ух Я(х) & Ух Q(x) YX(R(X)&Q(x));
15) Ух Я(х) V YxQ(x) Ух (Я(х) V «х));
16) 3xR(x)&3xQ(x) # 3х (Я(х) & «х));
17) 3х я(х) V зхQ(х) 3х(Я(х) V Q(x)).
3.32. Доказать тождественную JIОЖИОСТЬ формулы
3Х3У((Р(Х) Р(у)) & (Р(Х) Р(У) )&Р(Х)).
3.33. Привести к п.н.ф. следующие формулы лоrики
предикатов:
1) В == 3xYy3z Yи p(x,y.z,и);
2) В;: Ух Я(х) V 3x Q(x.y);
3) В == Р 3хЯ(х);
2н
3адачнuк-праltlllUНУII по llam8llllШJllЧeй лоаU1f8
4) В:!; vхзу( х) ++ А(у});
5) В:!; VX(A(x) 4 3у B(yJ};
6) в == 3xVyp(x,y)&3xVyQ(x,y);
7) В == 3х Vy Р(х, у) v 3х Vy Q(x,y);
8) В:!; 3xVyP(x,y) 4 3xVyQ(x,y).
f 4. Примеиеиие J10rики предикатов в математике
1. ПримеиеИJIе 8зыка .JIОI'IПCИ ире.цикатов ДJIJ1 38ПIIеи
математическ.их пpeдJlожеlПl'ii, опреДe.JIeииii.
Язык лоrики предикатов удобен для записи матема-
тических предложений. Он дает возможность выражать
лоrические связи между понятиями, записывать опреде-
ления, теоремы, доказательства.
Пример 1. Записать на языке лоrики предикатов
определение предела числовой последовательности.
Решеиие. Число а является пределом числовой после-
довательности (а,,) тоrда и только тоrда, коrда ДЛJl лю-
боro положите.льиоro числа & существует такой номер
по' что для всех натуральных чисел, больших или рав-
ных по' справедливо неравенство la.. аl < & .
Используя язык лоrики предикатов, можно записать
это определение в компактной форме:
а = Нт а.. (::) V& > О 3no е N Vn е N ( n nц ::) la.. аl < & ) .
........
Как известно, мноrие теоремы допускают формули-
ровку в виде условных предложений: .ЕCJIИ любой эле-
мент Х из множества М обладает свойством Р(х) , то он
обладает свойством «х)., Т.е. vx(1)(x) 4 «х)).
Например, ecJIИ {х} множество всех треyroпьни-
ков на плоскости, Р( х) свойство х бьrrь прямоyroль-
ным, Q(X) свойство Х иметь rипотенузу, квадрат дли-
ны которой равен сумме квадратов длин катетов, то фор-
мула Vx(p(x) 4 «х)) дает запись формулировки теоре-
мы Пифаrора.
Пример 2. Записать на языке лоrики предикатов
формулировку теоремы о необходимом признаке сходи-
мости числовоrо ряда.
Решение. Пусть М = {х} множество всех число-
вых рядов, Р(х) свойство х быть сходящимся рядом,
Q(X) Нта.. = О, rде a ll общий iшен ряда х. Тоrда
11.....
лorиКА ПРЕДИКАТОВ
235
формула Ух (Р(х) Q(x)) представляет собой формули
ровку указанной теоремы.
11. Построение ПРОТИВОПОJfОЖИЫХ утверждеlDlЙ.
Пусть дано некоторое математическое утверждение
А. ПРОТИl!.оположным утверждением дли А будет YТBep
ждение А. Лоrика предикатов поз вол яет путем равио
сильных преобразований формулы А придать ей хоро-
шо обозримый вид.
Пример 3. Определение предела чис.повой ПOCJIедова-
тельности дано в примере 1. Ему противоположным ут-
верждением б уд ет:
а * a" <:) \1& > О 3nо е N Vn е N (n по => \а" aJ < &) ==
== 3& > О Уn о Е N 3n Е N ((n nо)&(lа" аl &)).
Очевидно, если теорема Ух е М(Р(х) Q(X)) не-
справедлива, то будет истинным утверждение
Ух еМ(Р(х) Q(х)) == 3х е M(P(x)& Q(xj) . Следователь-
но, чтобы доказать, что теорема \lx(p(xJ Q(x)) неспра-
ведлива, нужно указать хотя бы один элемент из М, при
котором условие теоремы Р(х) истинно, а значение Q(X)
ложно Т.е. привести контрпример.
Пример 4. Докажите, что не верна теорема: .Ес.пи
фymщия '( х) оrpаничена на cerмeHTe [а, Ь ], то она и
интеrpируема на этом cerMeHTe..
Решение. Пусть М множество всех функций, оп-
ределенных на cerмeHтe [а. Ь ], р( х) свойство f быть
оrpaниченной на [а,ь], Q(x) свойство f быть иитеrри
руемой на [а,ь]. Чтобы доказать несправедливость тео-
ремы У/ е M(P(f) Q(I)) нужно Аоказать СПpaвeдJlивость
утверждения 31 eM(p(I)& Q(I) ). Нужным контрприме-
ром здесь может быть функция Дирихле, рассматривае-
мая на [а, Ь ]. Она, как известно, оrpаничена на любом
cerMeHTe, но неинтеrрируема на этом cerMeHTe.
Ш. Прямая, обратная и ПРОТИВОПOJlожи&я теореМы.
Рассмотрим четыре теоремы:
Ух E E P(X) Q(X));
Ух Е Е Q(x) Р(х»)" ;
Ух еЕ Р(х) -4 «х));
(1)
(2)
(3)
236
3IЮeчнuк-nраranulfYU по ."""..,атичectCOi1 ЛОВU"
Ух е Е (Q(X) --+ Р(Х)) . (4)
Определение 1. Пара теорем, у которых условие
одной является заключением второй, а условие второй
является заключением первой, называются взаимно об
ратными дpyr дрyry.
Так, теоремы (1) и (2), а также (3) и (4) взаимно
обратные теоремы. При этом, если одну из них называ-
ют прямой теоремой, то вторую называют обратной.
Определение 2. Пара теорем, у которых условие и
заключение одной являются отрицанием соответствую-
щеrо условия и заключения дрyrой, называются взаим.
но противоположными.
Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются
взаимно противоположными.
Пример б. Для теоремы: .Если четырехyrольник
является прямоyrольником, то в четырехyrольнике диа-
roнали равны. сформулируйте теоремы (2) (4).
Решеине. Пусть Е = {х} множество всех четыреху-
roльников на плоскости, Р( х) свойство Х быть прямоу-
roльником. Q(X) свойство Х иметь равные диaroнали.
В сформулированной теореме Р(х) является условием,
а Q(X) заключением. Поэтому теорема (2), обратная дан-
ной. формулируется так: .Если в четырехyroльнике диaro-
нали равны, то четырехyroльвик является прямоyroльни-
ком.; теорема (3), противоположная прямой, формулирует-
ся так: .Если четырехyroльник не является прямоyroльни-
ком, то В четырехyroльнике диarонали не равны.. И, нако-
нец, теорема (4). противоположная обратной, формулирует-
ся так: .Если в четырехyroльнике диaroнали не равны, то
четырехyroльиик не является прямоyroльником..
Нетрудно видеть, что первая и последняя теоремы ис-
тинны, а вторая и третья теоремы ложны (приведите KO
примерt). Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще
roворя, не равносильны (одна из них может быть истин-
ной, а вторая ложна). Однако ЛerRО показать, что теоремы
(1) и (4), а также теоремы (2) и (3) вcerдa равносильны.'
лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
237
IV. Необходимые и достаточиые условии.
Рассмотрим теорему
Ух еЕ (Р(Х) Q(X)). (1)
Множество истинности предиката Р(х) Q(X) есть
множество CI р U I . Но тоrда множество ложности этоrо
предиката будет С\ CI р U IQ) = 1 р n CI Q . Последнее множе-
ство будет пустым лишь в случае, коrда 1 р с IQ' Отсюда
следует, что предикат Р(х) Q(X) является истинным
для всех Х е Е тоrда и только тоrда, коrда множество
истинности предиката X) содержится в множестве ис-
тинности предиката Q(x , Т.е. предикат Q(X) является
следствием предиката Р х). При этом предикат «Х) на-
зывают необходимым условием для предиката Р( х) , а пре-
дикат Р(х) достаточным условием для «х).
Пример 6. Рассмотрим утверждение: .Если число Х
делится на 6, то число Х делится на 3.. Здесь предикат
Р(х): .Число Х делится на 6., а предикат Q(X): .Число
Х делится на 3.. Предикат Q(X) лоrически следует из
предиката Р(х) (1'(Х) => «х)). Предикат Р(х) (делимость
числа х на 6) является достаточным условием для преди-
ката «х) (делимость числа хна 3). Предикат Q(x) (де-
лимость числа х на 3) является необходимым условием
для предиката Р(х) (делимость числа х на 6).
Часто встречается ситуация, при которой истинны
взаимно обратные теоремы
Ух еЕ l 1'(x) Q(x));
Ухе Е «x) 1'(x)).
Это, очевидно, возможно при условии, что 1 р = IQ ,
Т.е. коrда предикаты 1'(х) и Q(x) равносильны
(1'(х) <:) «х)). В таком случае из теоремы (1) следует,
что условие Р( х) является достаточным для Q( х), а из
теоремы (2) следует. что условие 1'(х) является необхо-
димым для Q(X). Таким образом, в этом случае условие
Р( х) является и необходимым, и достаточным условием
для Q(X). Аналоrично, условие Q(x) является необходи-
мым и достаточным для Р(х).
Пример 7. Рассмотрим теоремы: .В описанном четы-
рехyroльнике суммы д.цин противоположных сторон рав-
между собой..и .Если в четырехyroльнике суммы длин
(1)
(2)
238
3aiJaчНUIt-nрактиКУII по II IIt»IIIf8
противопoJlожиых сторон равИЪ1 между собой, то в этот
четырехyroльник можно вписать окружность.. эти теоремы
взаимно обратны. обе они иcтиIшы. Следовательно. каждое
из условий .В четыреxyroлыmкe суммы длив противополож
иых C'l'OpOH равИЪ1. И .В чeтыpexyroJIЬИИК можно вписать
окружность. murseтcя и иеобходиl\lым. и д0СТ8.ТОЧВ:ЫМ.
3.34. Запишите на я3ыre JlОrики преДИRатов опреде.-
ления:
1) линейно упорядочеиноro :множества (упорядочен-
ное множество называется линейным, если для любых
элементов этоrо множества х и у либо х = у , либо х < у ,
либо х > у);
2) оrpaииченной функции (функция ,(х) называет-
ся оrpаниченной на :множестве М, ecJIи существует та-
кое неотрицательное число L. что для всех х е М спра-
ведливо неравенство "( х L );
3) четной функции (функция , называется четной,
если область ее определеиия: симметрична относительно
начала координат и для каждоrо х из области определе-
ния справедливо равенство ,( х) = '( х)) ;
4) периодической функции (функция f называется
периодической, если существует такое число Т =1: О, что
при любом х из области определения' элементы х Т и
х + Т также при надлежат этой области, и при этом вы-
полнено равенство '(х:!: т) = '(х));
Б) возрастающей функции на множестве М (функция
, называется возрастающей на множестве М, если для
любых чисел Х 1 и Х 2 t приН8ДЛежащих :множеству М, из
неравенства Х 1 < Ха следует неравенство '(х.) < '(х 2 )).
3.35. ПOJlЬЗуясь полученИЪ1МИ в задаче 3.34 формула-
ми, ответьте на следующие вопросы. Что значит:
1) Упорядоченное множество не является линейным?
2) Функция не является оrраниченной?
3) Функция не является четной?
4) Функция не является периодической?
5) Фymcция не является возрастающей на множестве м?
3.36. Доказать весправедливость утверЖдений:
1. .Если функция непрерывна в точке хо то она и
дифференцируема в этой точке..
2. .Если предел n-ro члена ЧИСJlОВОro ряда равен нулю,
то ряд сходится..
лOrJtlКА ПРЕДИКАТОВ
239
3. .Если в четырехyrольнике диаrонали равны, то
четырехyrольник является прямоyrольником..
4. .Если функция интеrpируема на [ а, Ь J ' то она He
прерывна на нем..
5. .Если функция интеrрируема на [а,Ь]. то она
монотонна на нем..
6. .Если числовая последовательность имеет предел,
то она монотонна..
7. .Если числовая ПOCJIедовательность оrpавичена, то
она имеет предел..
8. .ЕCJlИ формула лоrики предикатов вьmОJlВИМll, то
она общезачима..
9. .Если дифференцируемая функция у = {(х) имеет
в точке Xg первую производнylO равную кулю (У'(Хо) = о),
то точка Хо точка экстремум:а фунIЩIПI..
10. .Если дифференцируемая функция V = '(Х) имеет
в точке Хо вторую производную, равную нулю (У"(Хо) = о),
то точка Хо точка переrиба rpафика функции..
3.37.
1) Докажите paвHOCWIЬHOCТЬ теорем (1) и (3) (см. п.lП).
2) Докажите равносильность теорем (2) и (4) (см. п. Ш).
3.38. Для каждоro из следующих условий выяните,'
является ли оно необходимым и является ли оно достаточ
ным для тoro, чтобы ВЫП01ПШ1IОСЬ неравенство х2 2х 8 О
1) Х = о; 2) Х 3; 3) Х > 2;
4) Х 1 и x:S 3; Б) Х 1 и Х < 10; 6) 2 :s x:S 10.
3.39. В следующих предложениях вместо MHoroTo
чия ПОставьте слова .необходимо, но недостаточно. или
.достаточно, но не необходимо. или же .не необходимо
и недостаточно., а rде возможно .необходимо и доста-
точно. так, чтобы получилось истинное утверждение:
1. Для Toro, чтобы четырехyrольник был прямоyrоль-
ным ..., чтобы длины ero диarоналей были равны.
2. Для Toro, чтобы х2 Бх + 6 = О ..., чтобы Х = 3.
3. Для Toro, чтобы сумма четноrо числа натуральных
чисел была четным ЧИCJIом, ..., чтобы каждое CJlaraeMOe
было четным.
4. Для Toro, чтобы функция '(Х) была интеrpируема
на cerMeHTe [а,Ь], ..., чтобы '(Х) была оrpаничена.
240
Задачнuк-nрактuку.. no математической nови"
Б. Для тoro, чтобы функция '( х) была интеrpируема на
cerMeHTe [а.Ь], ..., чтобы '(Х) была непрерывна на [а.Ь] о
'"
6. Для Toro, чтобы числовой ряд :L a . сходился, ...,
.=1
чтобы Нт а.. = О .
n....'"
7. Для Toro, чтобы окружность можно было вписать
в четырехyrольник, .... чтобы суммы длин ero противо-
положных сторон были равны.
8. Для тoro, чтобы множество А было счетным. ...,
чтобы ero элементы можно было записать в виде зануме
рованной последовательности.
9. Для TOro, чтобы числовая последовательность имела
предел, ..., чтобы она была оrpаниченной.
10. Для тoro, чтобы ЧИCJIовая последовательность име
ла предел, "0' чтобы она была монотонна и оrpaничена.
3.40. Сформулируйте:
1. Необходимый и достаточный признак параллелоr-
рамма.
2. Необходимый, но недостаточный признак парал
лелоrpаммао
3. Достаточный, но не необходимый признак парал
лелоrрамма.
4. Необходимое, но недостаточное условие 'l'oro, что
бы уравнение sin Х = а имело решение.
5. Достаточное. но не необходимое условие для Toro,
чтобы уравнение sin Х = а имело решения.
6. Достаточное, но не необходимое условие для Toro,
чтобы уравнение х2 + рх + q = о имело вещественные
корни.
3.41. Папа сказал детям: .Если мы с мамой поедем
летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лаrерьо.
В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя
ответил: .Если мы поедем в лаrерь, то родители поедут
в дом отдыха.. rаля сказала: .Если папа с мамой не
поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лаreрь.. .Нет, не
так, вмешался Коля. Если мы не поедем в лаreрь, то
KTO TO из родителей не поедет в дом отдыха..
Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?
rЛАВАIV
Алrоритмы
Понятие алrоритма принадлежит к числу основных
понятий математики. Можно дать следующее ero нефор-
мальное описание.
ААеоритм.ом. называется общий единообразный, точно
определенный способ решения любой задачи из данной
массовой проблемы, Т.е. из HeKOТoporo класса однотип
ных задач.
Такое определение нельзи считать строrим, т.к. в нем
встречаются слова, точный СМЫCJI которых не установлен.
В частности. это касается CJlОва .способ.. В СВSl3и с этим это
Hecтporoe определение aлroритма называется интуитивным.
Интуитивное определение алrоритма хотя и нестро-
roe. но настолько ясное, что не дает оснований для co
мнений в тех случаях. коrда речь идет о найденном алro-
ритме решения конкретной задачи. Положение суще
ственно меняется, коrда идут поиски алrоритма нере-
шенной задачи и требуется установить, имеет ли она
решение. В этом случае, очевидно, нужно либо доказать
существование алroритма, либо доказать ero отсутствие.
Для доказательства существования aлroритма доста-
точно дать описание фaRтическоro процесса, ДaIOщеro ре-
шение задачи. Здесь достаточно и интуитивноro понятия
aлrоритма. При доказательстве несуществования aлrорит
ма, очевидно, нужно точно знать, что такое aлroритм.
В тридцатые rоды ХХ века. шли поиски cTpororo
определения понятия aлropитма. В подходе к решению этой
задачи можно выделить три основных направления.
Первое направление св.изано с yroчнением понятия эф-
фективно вычислимой фymщии. этим занИМ8ЛИсь А. Чёрч,
К. rёдель, С. Клини. В результате был выделен класс частич
но рекурсивных функций, имеющих cтporoe математичес-
кое определение. Частично рекурсивная функция эффек-
тивно вычислима (или просто вычислима), Т.е. существует
алroритм для ее вычисления. Поэтому выдвиrается rипоте-
за о том. что каждая интуитивно вычислимая функции есть
функция частично рекурсивна.я (тезис Чёрча).
Второе направление связано с машИННОй математи-
кой. Здесь сущность понятия алrоритма раскрывается
242
3адачник-nрактику" по "ате"атической лоаике
путем рассмотреRИЯ процессов, осуществляемых в маши-
не. Впервые это было сделано Тьюринrом в 1937 roдy. Он
исходил лишь из общей идеи работы машины или работы
вычислителя, оперирующеrо с некоторым строrим пред-
писанием, Т.е. с алrоритмом.
Третье направление связано с понятием нормальных
алroритмов, введеииым и разработанным российским ма-
тематиком А. А. Марковым.
5 1. Частично рекурсиввые
и общерекурсиввые фymщии
Частично рекурсивные функции это lCЛасс число-
вых функций, который строится следующим образом.
Выбираются простейшие функции
1) Л(Х = Х + 1, оператор сдвиrа,
2) о{ Х = О, оператор аннулирования,
3) 1: Х.,Х 2 ,...,Х.) = Х т (1 s т S п), 1: оператор
проектирования.
Ясно; что все три простейmие функции всюду опре-
делены и интуитивно вычислимы.
Далее вводятся операции над функция:ми.
1. Суneрпозиция функций.
Рассмотрим функции (.(Х.,х 2 ,...,х.), (а(Х.'Х 2 ""'Х.),
..., (т(х.'Х2'''''Х'') и функцию 9'(х.,х 2 ,...,х т ). Функцию
V'(X J , Х 2 ' ..., х,,) , определеииую равенством V'(X., Х 2 '"'' х,,) =
= ,,\h.(X., Х 2 ' .... X. ( 2 (Х 1 , Х 2 ' ..., X. .. .,fm(x 1 , х 2 ,...,х,,)) назы-
вают функцией, полученной суперпозицией из функций
tp и h., ( 2 , ..., ( т '
Например, постоянные функции 1 и 2 получаются
суперпозицией из простейших функций л(х) и о(х) сле-
дующим образом:
л(о(х)) = л(о) = 1; л(л(о(х))) = л(л(о)) = л(l) = 2.
2. Схема при.митивной рекурсии.
Пусть имеются две функции q{Х 2 .Х з ....,Х,,) и
V'(X 1 ,X 2 ,X a "",X",X,,+1) (п > 1). Рассмотрим новую функ-
цию f(X 1 .X 2 .X a ,...,x"J, которая удовлетворяет следующим
равенствам:
'(о.Х 2 .....Х,,) = 9'(X2.Xa.....X" }
(1)
'(У + 1. Х 2 ' Х З ...., х..) = V'(y, ,(у, Х 2 ' Ха'.... Х" Ха' Ха....' х,,) .
AЛrOPfIТIIЫ
N3
Orметим, что функция tp зависит 0'1' п 1 apryмeH
. тов, функция '" 0'1' n + 1 apryмeH"I'OB. а фуmщия 1 0'1'
п арryмеиroв.
Если фyиRЦИЯ '(Х.,Х 2 ....,Х,,) получае'1'СЯ из фуик
ций tp и '" с помощью равенств (1), то roворят, что
функция 1 получена из функций tp и '" по схеме прими-
"I'ивной реКурсИIL
Пример 1. Функция двух переменных S(X,Y) = Х + У
может бьrrь получена по схеме примитивной рекурсии.
Действительно, для функции Х + У верны тождества
Х +0 = Х;
Х + (У + 1) = (х + У) + 1;
которые можно записать в виде
s(x,o) = Х,
S(x.y + 1) = S(x,y) + 1.
S(x,O) = [:(х) }
S(x, у + 1) = A.(S(x + у») .
Из равенств (1') видно, Ч"l'о функция двух перемен-
иых s( х. у) получается по схеме примитивной рекурсии
из функции одной переменной tp(x) = [:(х) и функции
трех переменных 'l'{x,y,z) = A.(s(x.y»).
3. Операция жuнuжuзацuu (р -оператор).
Пусть задана некоторая функция '(х.у). Зафикси-
руем значение х и выясним. при каком у '( х, у) = о .
Более сложной задачей является отыскание для дан-
ной функции '( х, у) и фиксироваиноro х наuженьшеzо
из тех значений у, при которых функция '( х, у) = о .
т .к. результат решенWI задачи зависит 0'1' х, "1'0 иаи
меньшее значение у, при KO"I'OpoM функция l(х.У) есть
функция х. Принято обозначение
или
(1')
tp(x) = JI,[ '(х, у) = о].
Аналоrично определяется функция мноrих перемен
ных:
tp(x.,x 2 ,...,x,,) = р,[ '(Х.,х 2 ,...,х.,у) = о].
Здесь предполarается выполнение условия: для лю
бых Х.'Х 2 '''''Х. существует по крайней мере одно значе
ние у, для KOТOporo '(х.,х 2 ....,х",у) = о.
244
3адачнuи-nрантUКУII по IIат....атuЧ8СИОй nоаuие
Определение 1. Функция I(Х.,Х 2 ,...,Х,,) называется
частично рекурсивной, если она может быть получена
за конечное число шаrов из простейших функций при
помощи операций суперпозиции, схем примитивной ре-
курсии и /l-оператора.
Определение 2. Функция I(х..х 2 ,...,х,,) называется
обще рекурсивной, если она частично рекурсивна и всю-
ду определена.
Пример 2. Простейшие функции л(х) , о(х) ,
1:(х.,х 2 ,...,х,,) частично рекурсивны, а т.к. они всюду
определены на множестве всех натуральных чисел, то
они и общерекурсивны.
Пример З. Функция с.(х) (постоянная и С.(х) = k) по-
лучается как суперпозиция функций л(х) и о(х). Дей-
ствительно. л(о(х)) = 1, л(л(о(х))) = 2 и т. д. Значит, фун-
кция с. частично рекурсивна. Но функция С.(Х) всюду
определена, а поэтому она и общерекурсивна.
Пример 4. Функция S(x, у) = х + у получается по cx
ме примитивной рекурсии из функций 1:(х) и A.(s(x,y)),
которые общерекурсивны. Поэтому функция S(x, у) = х + у
общерекурсивна.
Пример 5 . Функция Р.(х) = х + k получается как сум-
ма функций 1:(х) = х и С. = k, каждая из которых об-
щерекурсивна, а поэтому и функция Р.(х) = х + k обще-
рекурсивна.
Будем roворить, что функция I(х.,х 2 ,...,х.) является
nримитивно рекурсивной, если она может быть получена
из простеЙПIИx функций с помощью конечноro числа при-
мевеви:я оператора суперпозиции и примитиввой рекурсии.
4.1. Доказать, что любая примитивно рекурсивная
функция всюду определена.
4.2. Доказать, что если функция I(Х 1 ,Х 2 ,...,Х,,) при-
митивно рекурсивна, то следующие функции примитив-
но рекурсивны:
1) 8(х.'Х2.х8....'х") = I(х 2 ,х 1 ,х 8 ....,х,,) (перестановка
apryмeHToB);
2) 9'(х..х2.х8....'х") = I(х 2 .х 8 ,..., Х", х 1 ) (циклическая
переставовка apryмeHToB);
3) V'(X 1 .X 2 'X 3 '....x"'X"+I) = l(х.,Х 2 ,....Х,,) (введение
фиктивноrо apryMeHTa);
;, . ,
АЛIТJPIfТМЫ
245
4) h(%.'%2""'%" .) = '(%.'%2'....%" .) (отожествление
apryмeHToB).
4.3. Доказать, что из функций 0(%) И I:{%.,...,%,,) с
помощью суперпозиции и схем примитивнои рекурсии
нельзя получить функции % + 1 и 2%.
4.4. Доказать, что следующие функции общерекур-
сивны:
1) Р(%,у) = %. у;
2) G(%,y) = %";
3) 0(%) = { % 1. если % > О,
О. если % = о;
4) . { % у. если % > О,
% У (усеченная разность)
О, если % = О.
5) 1% yj;
б) sgп(%) = { l, если % i:- О.
О, если % = о;
7) зgn( % ) ;
8) % 1.
I 2. Машина Тьюривrа
Устройство жашины Тьюринrа включает в себя:
1. Внешний алфавит, то есть конечное множество
символов А = {а о ,а.,а 2 ....,а,,}. В этом алфавите в виде
слова кодируется та информация, которая подается в
машину. Машина перерабатывает информацию, подан
ную в виде слова, в новое слово.
. 2. Внутренний алфавит машины, cocтomций: из сим
волов qo.q..q2,...,qm' П, Л, Н. Символы QO.Q..Q2....'qlll BЫ
ражают конечное число состояний машины. Для каждой
машины число состояний фиксировано. два состояния име-
ют особое назначение: Q. начальное состояние машины,
Qo заключительное состояние (сТОП сОСТО$ПIИе). С:имволы
П, Л, н это символы сдвиrа (вправо, влево, на месте).
3. Бесконеч.ная в обе стороны лента (внешняя па-
мять машины). Она разбита на клетки. В каждую клет-
ку может быть записана только одна буква. Пустая клет-
ка обозначается символом а о .
4. Управляющая zоловка. Она передвиrается вдоль лен-
ты и может останавливаться напротив какой либо клетки,
т.е. воспринимать символ. В одном такте работы машины
246
3ад8ЧНUК-nрактuкум по математи'lесllOii лов,..
управляющая roловка может сдвиrаться только на одну
клетку (вправо, влево) или оставаться на месте.
Каждое сведение, хранящееся на ленте, изображает
ся конечным набором символов (букв) внешнеrо алфави
та, отличноrо от а о . К началу работы машины на ленту
подается начальное сведение (начальная информация).
в этом случае управляющая rоловка может обозревать лю-
бую букву слова. записанноrо на ленте. Например. левую
крайнюю букву (ql начальная конфиrypация):
ql
rоворят, что непустое слово а в алфавите А \ {а о } =
= {a 1 ,a 2 ,....a п } воспринимается машиной в cтaHдapт
ном положении, если оно записано в последовательных
клетках ленты, все дрyrие клетки пусты, и машина обо
зревает крайнюю справа клетку из тех. в которых запи
сано слово а.
Стандартное положение называется начальным (зак'
лючительным), если машина. воспринимающая слово в
стандартном положении, находится в начальном состоя
нии ql (в состоянии qo).
Работа машины складывается из тактов. по ходу KO
торых происходит преобразование начальной информа
ции в промежуточные информации.
В качестве начальной информации на ленту можно
подать любую систему знаков внешнеro алфавита (любое
слово в этом алфавите), расставленную по клеткам. Но в
зависимости от тоro, какая была подана начальная ин-
формация а, возможны два случая:
1. После конечноrо числа тактов машина останавли-
вается (переходит в стоп состояние qo), и при этом на
ленте оказывается изображенной информация р. в та-
ком случае rоворят, что машина применима к началь-
ной информации а и перерабатывает ее в результирую-
щую информацию р.
2. Машина никоrда не останавливается (не перехо
дит в стоп-состояние). В таком случае rоворят, что ма-
шина неприменима к начальной информации а.
В каждом такте работы машины она действует по
функциональной схеме, которая имеет вид:
AЛrOPIIТ-Ы
247
п
ал} --+ а" Лq..
н
Здесь а" а.. буквы внешнеrо алфавита; q}, q.
состояния машины, П, Л, н символы сдвиrа.
В зависимости от Toro, какая буква на ленте обозре-
вается управляющей roловкой (в нашей записи а,) и в
каком состоянии (в нашей записи qj) находится маши-
на, в данном такте вырабатывается команда, состоящая
из трех элементов:
1) буквы внешнеro алфавита, на которую заменяет-
ся обозреваемая буква (а..); ( П ]
2) адреса внешней памяти для следующеro такта : ;
3) следующеrо состояния машины (q.).
Совокупность всех команд образует npozpaMJ/f.Y Jltаши
ны Тьюринzа. Проrpамма представляется в виде двумер-
ной таблицы и называется Тьюринzовой функциональной
схемой.
Ясно, что работа машины Тьюринrа полностью оп-
ределяется ее проrpаммой. Иными словами, две машины
Тьюринrа с общей функциональной схемой неразличи-
мы, и различные машины Тьюривrа имеют различные
проrpаммы. .
для простоты изображения различных конфиrypаций
аmи"J.Т Тьюринra обычво записывают ивфор N'А IO В виде
слова, не изображая ленты и ее разбивки на к.петки, а
вместо изображения управляющей roловки и состояния
машины записывают только состояние машины в пози-
ции управляющей rоловки.
Так как рассматриваются вычислимые функции на-
туральноrо apryмeнтa, то обычно натуральные числа на
ленте машины Тьюривrа записываются в виде соответ-
ствующих наборов палочек, и результат вычисления фун-
кции будет так же записан в виде набора палочек.
Пример 1. Определить какую функцию вычисляет
машина Тьюривrа со следующей проrpaммой команд:
248
3адачник-праитику" по "ате"атической лоеике
а о I
ql IHqo IПql
проrрамма 1.
Решение. Пусть число n записано на ленте машины
в виде набора n палочек.
ql
Тоrда для любой начальной конфиrypации. при кото-
рой управляющая rоловка обозревает одну из палочек,
машина Тьюринrа будет работать так: в каждом такте она
будет оставлять обозреваемую палочку на месте и сдви-
rаться вправо на одну клетку. Этот процесс будет продол
жаться до тех пор. пока управляющая rоловка не выйдет
на пустую клетку. Здесь. соrласно проrpамме, в пустую
клетку будет вписана палочка, и машина перейдет в стоп
состояние. В результате на ленте будет записана n + 1
палочка.
Таким образом, машина Тьюринrа по проrpамме 1
вычисляет функцию IJ'( n ) = n + 1 .
Выпишем все конфиrypaции для частноro случая n = 3.
1) а о I I I а о , 2) tlo I I I а о , 3) а о I I I а о ,
ql ql ql
4) а о I I I а о , 5) а о I I I I tlo .
ql ql
Конечно, можно предложить машину Тьюринrа, K
рая бы при вычислении функции натуральноro apryмeHтa
пользовалась аппаратом десятичной системы счисления.
Пример 2. Построить машину Тьюринrа реализую-
щую алrоритм вычисления функции IJ'( n ) = n + 2 .
Реше_е. Возьмем за внешний алфавит множество
символов {а о .О,I,2,3.4,5.б, 7.8,9} и будем заDВСЬ1ва'l'Ь чис-
ло n на ленте машины в десятичной системе СЧИСJlения.
Тоrда для реализации указанноrо алrоритма необходи-
мо, чтобы машина, находясь в стандартном состоянии,
заменяла последнюю цифру числа n (если эта цифра мень-
ше 8) цифрой. на две единицы большей. и переходила
АЛroРИТМЫ
249
в стоп-состояние. Если последняя цифра числа n равна 8,
то ее нужно заменить на О и перейти влево в новое состо-
яние q2' которое добавляло бы к следующему разряду 1.
Аналоrично, если последняя цифра числа n равна 9, то ее
нужно заменить на 1 и перейти влево в состояние q2'
Ясно, что эта машина имеет три состояния: qo, ql'
q2 . а проrрамма машины имеет вид:
а. О 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q. 2Hq. ЗНq. 4Hq. 5Hq. 6Hq. 7Hq. 8Hq. 9Hq. ОЛq2 1Лq2
q2 lHq. lHq. 2Hq. ЗНq. 4Hq. 5Hq. 6Hq. 7Hq. 8Hq. 9Hq. ОЛq2
Например, при вычислении /р(98) будем иметь следу-
ющие конфиrypации:
1) а о 9 8 а о
ql
3) а о О О а о
q2
,2)а о 90а о ,
ql
, 4) а о 1 О О llo
q2
4.5. Реализовать на машине Тьюринrа алrоритм вы-
числения функции 9'( n ) = n + 4 .
4.6. Реализовать на машине Тьюринrа алrоритм вы-
числения функции IJ'( n) = о .
4.7. Построить машину Тьюринrа, которая из n запи-
санных единиц оставляла бы на ленте n 2 единицы; так
же записавных подряд, если n 2, и работала бы вечно,
если n=О или n=1.
4.8. Построить машину Тьюринrа, которая приме-
нима ко всем словам в алфавите {а о ,а 1 .а 2 } и делает сле-
дующее: любое слово %.%2'''%", rде %! = а 1 или %! = а 2
(i = 1,2....,n) , преобразует в слово %2%8'''%''%.'
4.9. Построить машину Тьюринrа для вычисления
функции
{ О. если % = О,
sgn% =
1, если % :F: О.
250
ЭааачНUIl-правтикум по математическоО JfOВfМ8
4.10. Построить :мamиuy Тьюрииra для вычис.певия
{ l. если %=0,
фуикции sgn % =
О, если % о.
4.11. Убедиться, что машина с алфавитом {ao,l} и
проrpаммой:
а о I
IЛqz
ql а о Пq2
q2 аоПq2 IЛq.
q. аоПqа \Лql
ql aolIqo aoHq.
q. аоПql
q2 IHqo aoHqo
q/j а о Пq2
qa IHq1 lloHqs
qs аоПqа
q1 IHqo IПq.
каждое слово ДJIИВЫ n алфавита {а о , J} перерабатывает В
слово длины r (т остаток от деления числа n на 3).
4.12. Построить машину Тьюринrа для реализации
алrоритма (вычисления функции) tp(n) = 2n.
4.13. Записать в алфавите {ao,l} проrpамму машины
Тьюринrа для вычисления функции
l () { l. если n делится на р,
р n = о, если n не делится на р.
ОТВЕТЬI,УКАЗАНИЯ,РЕШЕНИЯ
rЛЛВА 1
1.1. Высказываниями SВJIяются 1) и 4).
1.3. 1) утверждение не является высказыванием, на
заданный вопрос ответить нельзя;
2) утверждение является высказыванием, оно лож-
но, что показывает ковтрпример %2 1 = О ;
3) утверждение является высказыванием, причем
u 2 2 9 О
истинным, сумма корнеи уравнения % "9 х + 2' = рав-
на свободному члену.
1.4. Высказывания 1). 4), 6), 8) ложны, а остальные
истинны.
1.5. Нет. Указание. Предположение об истинности
или ложности данноrо предложения пр:иводит к проти-
воречию.
1.10. Противоречивы данные 2) и 5).
1.12. Тождественно истинными являются формулы
1). 2), 3), 6) 10). 13), 14).
1.13.1) %=1, у=о; 2) %=0, у=l.
1.15. Истинны высказывания 3). 4), 6). а осталь-
ные ложны.
1.19. Тождественно ложны формулы 1), 3), 7), 10), а
остальные тождественно истинны.
1.21.1) %; 2) хуу; 3) %уу; 4) %&у; 5) %уЕ;
6) х у; 7) 1; 8) % V у; 9) 1; 10) % V yz.
1.22. Формулы 6). 7), 13), 15) тождественно ложны,
а остальные тождественно истинны.
1.24. % == Ь .
1.25. Используя законы алrебры лоrики, получаем
а б == а.&(а з v а 2 ) == (а з &(а 2 v а 1 ))&(аа v а 2 ) ==
== (аа&(аа v а 2 ))&(а 2 v а 1 ) == аа&(а 2 v а 1 ) == а. .
Аналоrично можно показать, что а 6 == а.. Докажем. что
а" == а. (n > з) . Для n = 4. 5,6 утверждение верно. Предпо-
ложим, что оно верно для всех номеров. не превосходящих
252
3aiJaчнuк-пpattтUltY" по ,,-тeмsтическоu лoaиIl8
n, тorдa а п + 1 = aп&(aп l у aп 2) == а"&(а,, у а 4 ) == а". Выска-
зывание а", очевидно, истинно, следовательно. истинно
и а п . Итак, а п =1 и aп==a8&(a2Y )'
1.26. 1) a Ь== aYЬ. а (.+Ь ==(ауЬХЬ уа);
2) a Ь==a&Ь, ауЬ==а&Ь, а(.+Ь== а&Ь&Ь&а;
3) а&Ь== ауЬ , a Ь==aYЬ, а(.+Ь ==НУН ;
4) ауЬ == а Ь, а&Ь == а Ь, а (.+Ь==(а ь) (ь a) .
1.27. 1) a Ь ==a&Ь
2) а у Ь == (а ь) Ь .
1.28. a Ь == а (.+ Ь.
1.29. а\Ь; а&Ь , а==а\а. a&b==(a\b)l(a\b).
aYb:=(ala)l(blb).
1.30. а,1.. Ь := а у Ь. а:= а ,1.. а. а у Ь == (а ,1.. ь) ,1.. (а ,1.. Ь}
а&Ь:= (а,1.. а),1.. (ь,1.. ь).
1.33. Решение мальчика не выполнено, если он не
закончил чтение книrи, или не сходил ни в музей. ни в
кино. или. хотя была хорошая поrода, он не купался.
1.34. F 1 (X,y,z):= XZ у yz; F 2 (x,y,z) == у(х у z);
Fз(х.у,z) == ху у x(yz у yz); F,,(x,y.z) == xz у y(xz у xz).
1.35. F( ,12.18):= ч у 412) У 4 18.
1.36. 112118 := 11(12 у 18) У 1218'
1.39.1) СДИФА:=ху. СКИФА == (хууХхууХхуу);
2) см. п. 1);
3) СДНФА == хуу ху ух у, СКНФА == хуу;
4) СДНФА == xyz у xyz у х у z .
СКИФА == (ху У у ZXXY У YZXXyyy ZXXY У у ZXXyyy z);
5) СД):J.ФА;: xyz у xyz у ху Zy xYZyxyz yxfiz уху z.
СRНФА == xyyyz;
6) СДНФА == аЬс у аЬё у аЬс у аЬё у аЬс у tiЬё у аЬё ,
СКИФА == (а уЬ уё);
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
253
7) СДНФА == аЬс v аЬс v аЬс v аЬс ,
СКНФА == (а уЬусХауЬ усХауЬ усХауЬ ус);
8) СДНФА == аЬс v аЬс v аЬс v аЬс v аЬ с v аЬс v аЬс v аЬс ,
СКНФА == 1 ;
9) СДНФА содержит все слarаемые вида x x ...X "
......... ...... ...............
кроме одноrо X1X2"'Xп lXп ' СКНФА == Х 1 v X2y",YXп 1 V Х п '
1.40. 1) х v х; 2) х у v х у v х у v х у;
3)xyzvxyzvxyzvxyzvxyzvxyzvxyzvxyz.
1.41.1) х&х; 2) (хууХхууХхууХхуу);
3) (ху yvzXxvyv zXxv у vzXxv у v zXx vyvz)&
&(хууу zXxv у vzXxv у v z).
1.43.1) хуу; 2) ху; 3) z(xvy); 4) x(yvz)vz(xvy).
1.44. Формула 1) тождественно истинна, 2) тожде-
ственно ложна. а остальные выполнимы.
1.45. 1)
д .
х
· в
2)
1: Y :l.
А y В
3)
x{Y Z
y........... ::;.
А В
x{Y
y z
- 3a8Itчнuк-праитu/tYll по 118тfМ111mU'IeCffOO 1108
4)
U
Д В
х
K y
5)
А :}[:} в
6) А {: : у
в
7)
Д 8 · В ипи A : в
х
8)
A ; B
1.46. 1)
A : в
2)
А : : в
x y
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
3)
4)
5)
1.47. 1)
2)
3)
4)
5)
255
А :}[; в
A ;rB
Д 8
х............ у
8 В
i Y Z
Д x y z В
X Y
А x y : В
X Y Z
i Y z
i Y z
А
в
x V z
x Y z
Д X y Z В
X Y Z
i y....... r
д x ! в
X Y
258
3аiJачник-праитuкум по "aт."",ти.,ecкoiJ .II08шre
6)
i Y Z
д
x y Z
1.48. 1)
Д I
x y
I В
2\
Д ...............x i I В или Д.........
3)
Д :
...,F в или Д '
х
4)
А [ : : в
x y z
5)
Д В
b-----[x y
c x
6)
А SI В
7)
Д . х............. В
в
.......В
· в
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
257
8)
д . x В
1.49. 1) 1(1.1,1) = 1(1.1,0) = 1(0,1,1) = 1(0,0,1) = 1,
2) 1(0,0.1.1) = 1(0,0,0,1) = 1(0,0.1,0) = 1(0,0,0,0) =
= 1(1,1,1.1) = 1(0,1.1,1) = 1.
3) 1(0,0,1) = 1(1.1,0) = 1(0.1,0) = 1(1,1,1) = 1(0.1.1) =
= 1(1,0.1) = 1,
4) 1(1,1.1,1) = 1(1,0,1.1) = 1(0,1,1,1) = 1(0,1,0.1) = 1,
5) I(x,y,z,и) == о,
6) функция проводимости имеет вид:
Xvи v z уу v ху v zи.
1.50. В случае 1) схемы не равносильны, в остальных
случаях равносильны.
1.51. Можно.
1.52. Андреев убирал 8-й класс, Давыдов 9-й, Koc
тип 10-й, Савельев 7 -й.
1.53. Ефимов из Жуковки, Дмитриев из Дять-
кова, Петров из Трубчевска, Иванов из Клинцов,
Сидоров из Новозыбкова.
1.54. Передачу смотрят дочери С и D.
1.55. Лоrику изучает второй студент.
1.56. Экзамены сдали все студенты.
1.51. Коля ходил в Кино.
1.58. !'рафик посещения такой: А во вторник, Е
в среду, С в четверr, Р в пятницу.
1.59. С учетом обозначения Ху .х должен поехать
в rород У.".ответ запишется так:
АмВкСтДо v АмВоСтДк v АмВкСоДт,
1.60. Правду rоворил Жак.
Указа_е. Обозначить показания свидетелей соот-
ветственно ж, К, Д. Тоrда условие задачи можно запи-
'сать в виде:
1. (Кл Ж) v( К лЖ),
2. (ЖЛ Д) v( Ж лД),
3. (Д л К л Ж) v( Д л(КvЖ)).
Каждая из этих формул истинна, поэтому истинной
будет и их конъюнкция. Результат находится путем
равносильных преобразований.
26.
3а{Jа"ник-праитиqм по lIIВID8Мeти".ClfDiJ Л08UfIII8
r ЛАВА 11
2.1. Формулы 1), 3), 4). 6), 7).
A B.в А&В.С м.в
2.4. 1) /(п 2 ); 2) J(1I1 1 ); 3) J(IП з ); 4)
х.у
х.у
%,11.%
CVD
J(IV з ) ;
х
А&В,С.в&с
5) 1(12).
%,1/,%
2.5. 1) Возьмем аксиому 1113 и сделаем в вей подста-
А.АА
новку /(1113). Получим доказуемую формулу
%.1/.1
НА А) ((А А) (А v А А)). (1)
Но
A А. (2)
Применяя к формулам (2) и (1) правило сложноrо
заключения (ПСЗ), получим А v А А .
2) Возьмем аксиому 113 и сделаем в ней подстановку
А.А.А
f (11з). Получим
%,I/,а
НА А) ((А А) (А А&А)), (1)
но
А А . (2)
Применяя к (1) и (2) ПСЗ, получим A A&A.
3) Возьмем аксиому 113 и сделаем в ней подстановку
В.А.А&В
f (11з). Получим
%,1I,а
НА&В В) ((А&В А) (А&В В&А)). (1)
Но
A&B B, (2)
A&B A. (3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим
A&B B&A.
0т'8Eты, УКАЗАНИЯ, PEIIIEНJI1I
251
4) Возьмем: аксиому Щ и сделаем в ней подстаиовку
А.В.в"А
J(Пl а ).
S,1J..
Получим
HA BYA) (B BYA) (AYB ВуА)) (1)
Но
A ByA, (2)
B ВуА. (3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим
AyB ByA.
5) Возьмем аксиому 12 и сделаем в ней подстановку
А.В.А
J(1 2 ). Получим
HA (B А)) (A B) (A А)).
%,f/,Z
(1)
Но
A (B A). (2)
Из (1) и (2) по ПЗ получим НА в) (А А).
6) Возьмем аксиому IV а и сделаем в ней подстановку
А
f(IV з ). Получим A А.
%
А,В. А&В
J(III з ) .
2.6. 1) В аксиоме IlI з делаем подстановку
Получим
НА А&В ) ( В ( А&В) ) (А v В А&В ). (1)
BO MeM аксиомы 111 и 112 И при мени м к ним прави-
ло контрпозиции. Получим:
A A&B ,
B A&B .
Из (1). (2). (3) по ПСЗ A v В А&В .
x,y,z
(2)
(3)
В.А
2) В аксиоме 11 сделаем подстановку J(Il)' Получим
R (А R). %,11 (1)
Но по условию
R.
Из (1) и (2) по ПЗ A R.
(2)
280
ЗаiJa.,ник-пракmшryм по ....т-raтuчecкoiJ ЛIНlflf18
3) Т.к. A (А v в) (аксиома 1111)' а формула
А В есть некоторая формула С, то исходная формула
имеет вид С R, которая доказуема.
4) Возьмем доказуемую формулу
A R. (1)
Применим K I) правило контрпозиции. Получим фор-
мулу R А или
F А . (2)
Применяя к формуле (2) правило снятия двойноrо
отрицания, получим F А .
5) Т.к. A А, то исходная формула имеет вид
С R, которая доказуема.
6) Т.к. A ( А в), rде В любая формула, то
используя правило соединения посылок и подставляя F
вместо в, получим A& A F.
(A B)&B.в.A
7) В аксиоме 12 сделаем подстановку J(1 2 ) . По-
%,1J,Z
лучим:
H(A в)& в ( B A)) ((A в)& в B)
((A B)& B A). (1)
А....В.В
В аксиоме 112 сделаем подстановку НП 2 ) :
%.g
НА в)& в в ,
HA B) ( B A) .
(2)
(3)
В аксиоме 111 сделаем подстановку
A B.B
нп.) :
%./1
HA B)& B (A B). (4)
Из (3) и (4) получим
НА в)& в ( в А). (5)
Из (1), (2), (5) по ПСЗ НА в)& В А.
8) Указание. См. 57 rлавы 2 части 1.
2.7. 1) Запишем вывод из Н: А, А (в А), В А.
2) Запишем вывод из Н:
. ''ОТВЕТЫ, УКА3АНИIl, РЕШЕНИIl
281
А.....В. B C, (B C) (A (B C)), A (B C);
. (А (8 C)) ((A B) (A с)), (A B) (А c),
A C.
3) Запишем ВЫВОД из Н:
А С, (А с) (с А) , ё А .
4) Запишем ВЫВОД из Н:
А В, В , А В ( в Х). в А, А .
5) Зап ишем ВЫВОll из Н:
А. А В. А А , А В , В.
6) Докажем, что из Н 1 = {А B,A&C} B&C. Tor
да останется применить теорему дедукции. Запишем
. вывод:. A B, А&С, A&C A. A&C C, А, В, С,
В & С. Тоrда по теореме дедукции
{А В,А&С} B&C
{А B} A&C В&С .
7) Запишем вывод из Н:
А в, (А в).... (с (А в)}, с (А в) ,
(с (А в)} ((с.... А).... (с .... в)}, (с А) (с в).
8) Из Н 1 = {А В,В C} A С. Тоrда по теореме
дедукции {А B} {B с} (А с).
9) Запишем вывод из Н: А (В с),
(А (в с)) (в (А С)), В (А с).
10) Сначала докажем, что
НА B) (А вус). (1)
Для этоro докажем, чТо Н 1 = {А B,A} B v С. За-
пишем ВЫВОД из Н 1 : A В, А, В, В вус, вус.
Отсюда по обобщенной теореме дедукции справедливо
(1). Теперь докажем 10). Запишем ВЫВОД из Н:
A B, (A B) (A BYC), А..... ВуС,
(А (ВуС)) ((с В уС)...... (АуС вус)).
С В v С, (с "B v c) (А v С В v с),
AyC ByC.
2.8. 1) Возьмем совокупность формул
Н = {х...... у, у z,x}.
262
Задачнuк-практuкум по liIlIIDfIIIIImической лоа.,.
Докажем, что H z. Запишем вывод из Н: х у ,
у z, х, у, z. Тоrда по обобщенной теореме дедукции
Нх y) ((у z) (х z)).
2) Из Н = {А B} A v С В v С (см. N! 2.7. 10».
Тоrда по теореме дедукции НА в) (А v С В v с).
3) Из Н = {А в} Не А) (с в) (см. N!2.7. 7».
Тоrда по теореме дедукции НА в} ((с А) (с в}).
2.9. Указание. См. 7 rлавы 2 части 1.
2.10. 1) x&y х&у. Используя правило разъеди-
нения посылок, получим x (у х& у).
2) (A в) ( в А) . Используя правило соеди-
нения посылок, получим НА в)& В А .
3) x (x y). (1)
А.В
Используя подстановку Н1), получим
%.11
A ( А в).
Используя правило перестановки посылок, получим
A (А в).
2.11. 1) По условию
A . (1)
Используем аксиому 111:
A&B А. (2)
Применим к формуле (2) правило контрпозиции.
Получим:
A А&В . (3)
Из формул (1) и (3) по ПЗ получим A&B .
2) По условию
A. (1)
Используя аксиому IП 1 :
A А v В. (2)
Из формул (1) и (2) по ПЗ получаем A v В.
3) По условию
A . (1)
Запишем доказуемые формулы:
A ( B A) , (2)
Н в A) ( A B ). (3)
ОТВЕТЫ, иrA3АННJf, РЕШEНIIR
2u
Применяя правило силлоrизма к формулам (2) и (3),
получим
A B . (4)
ПримеWIЯ оба правила снятия двойноrо отрицания
к формуле (4), получим A В.
4) По условию
B.
Воспользуемся аксиомой 11:
B (A B).
(1)
(2)
Из формул (1) и (2) по ПЗ получаем A В.
5) По условию
A&B. (1)
Используем аксиому 111:
A&B A. (2)
Из (1) и (2) по пз A.
6) По условию
B . (1)
Используем аксиому 112:
A&B B. (2)
Применим к формуле (2) правило контрпозиции.
Получим
B A&B . (3)
Применяя к формулам (1) и (3) ПЗ. получим A&B .
7) По условию
A B. (1)
B . (
Воспользуемся аксиомой IV 1:
HA B) ( B A). (3)
Применяя к формулам (1). (2) и (3) ПС3. получим A .
8) По условию
A,
B.
(1)
(2)
2f4
Задачнuк-практuкум по "",тематической лоаи-
Возьмем аксиому Па и сделаем в ней подставовку
А,В,А
1 (Па). получим
НА A) ((А в) (А А&В)).
Воспользуемся доказуемыми формулами:
x,y,z
(3)
A A. (4)
B (A B). (5)
Из (3) и (4) по IIЗ
HA B) (A A&B). (6)
Из (5) и (6) по правилу силлоrизма
B (A А&В). (7)
Из (1), (2) и (7) по псз A&B.
9) По условию
A, (1)
В . (2)
Как было доказано при условиях (1) и (2)
A & B . )
Воспользуемся доказуемой формулой
A & B AvB . (4)
Из (3) и (4) по пз AvB .
10) По условию
A, (1)
B . (2)
Воспользуемся доказуемой формулой
HA B) (A B). (3)
По правил} перестановки посылок из формулы (3)
получаем
A ((А в) в) .
Из формул (1) и (4) по пз
HA B) B.
(4)
(5)
JImJQы, 'умЭ I"'. РЕШIiiНИR
285
Из формулы (5) по прав ил у к ов.трповиции
B A B. (6)
Из (1) и (6) по ПЗ A B.
11) УказаиRе. В аксиоме I1Ia выполнить ПОДС'rанов.
А.А.А
ку J{ПI а ) и затем воепользоватьсSI ПСЗ.
z,goZ
12) Решение аИ8JIОrично пувкту 11).
13) По условию
A В,
A В.
ВОСПOJIьзуемсSl доказуемой формулой
(A B) ( в А).
ИЗ (1) и (3) по ПЗ
B А.
ИЗ (4) и (2) по правилу силлоrизма
B B.
Из (5) по ранее доказанному B.
14) по уuовию
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A В.
A В .
ВосncmьзуемсSl доказуемой формулой.
(A B) ( B A) .
Из (1) и (3) по ПЗ
B A .
Из (2) и (4) по правилу силлоrизма
A А.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Из формулы (5) по ранее доказанному A .
2.12. 1) НООl(А) = 1 =) Н = {х 1 ,х а ,Х а } A. Вывод:
Х 1 ,Х а , Ха' Ха (Хl V Ха Х а )'Х 1 v Ха Ха'
288
Заi1aчник-практиlfYlllпо 1I08IIJI8
2) Н100(А) = о => н = {%1'%2'%a}l A . Вывод: Xt. , Ха,
(Xt V%2 %a) (Xt vX:J %a)' xt V%2 (Xt V %2 %a) %a}'
xt Xt V X:J, xt V , (Xt V %2 %3) X:J. (Xt V %2 X:J),
%1 V %2 %а .
2.13. 1) l1(A) = О => Н = {Xt'%2'%a} A. Щ-Xt. ,X:J,
(Х1 V %2 ха) (X1 V %2 Ха)' ( V %2) (Xl V %2 Xa)
Ха), х2 V Х2. V Х2, ( V х2 Xa) Xa. V х2 Xa,
%а (%1 V %2 Ха). Х 1 V %2 %а' Т.е. H A.
2) Н 101 (А) = 1 => Н = {%pX2'%a} A. H %pX2'%a'
Х 1 V %2 (Х1 V %2 Х з )' Х 1 V %2 (Х1 V %2 Ха). %1 Х 1 '
х;., х;. & Х 2 . Х 1 & Х 2 Х 1 V %2' Х 1 V %2 Ха .
3) НО10(А) = 1 => Н = {ХР%2.Ха} A.
Н Х1'%2'ХЗ'
Ха (Х1 V Х 2 Ха). Х 1 v Х 2 Ха'
2.14. 1) Н100(А) = О => Н = {x.y.z} A. ННх V у
x&y) (xvy x&y). xvy (%vy х&у) x&y.
% % V у. % V У , (% V У Х & у) Х & у. Х & У
(х v у Х & у). х х V у. х v у. х v у Х & у,
%vy х&у.
2) НОll(А) = 1=> Н = {х.у. z} A.
H x.y.z, х V У
(xvy x&z), х&у. х&у xvy . xvy. xvy x&z.
oTвEты, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
287
rЛАВА 111
3.1. Предикатами являются предложения 2), 4), 7) 11).
3.2. 1) Ip = { 2.2}. IQ = ( OO, 1:);
2)I p = {2}. IQ = {l. 2.3.4,5.6}.
3.3. Предикаты Р(х) и Q(x) равносильны на множе
стве М, а на множествах L и К не равносильны.
3.4. 1) Предикат..j;jj = 15 ЯВJIяется следствием пре
диката Б. JY = 15 ;
2) предикат 19 аЬ = 1 является следствием предиката
19 а + 19 Ь = 1 ;
3) предикат sin 2 х + соа 2 х = 1 является следствием
2 1
предиката tg х + 1 = ;
соа 2 х
4) предикат у == х является следствием предиката
2 10 ,.r .
у,
5) данные предикаты равносильны;
6) предикат (х + уХх z) = zy является следствием
предиката х + у = z ;
7) предикат х 2 у2 = О является следствием преди-
ката х 3 + у3 = О .
3.5. 1) Ip = { 2}; 2) Ip = 0; 4) Ip = ( 1;2).
3.7. 1) IA&B = {2, 4. 6. 8. 10, 12. 14, 16, 18};
2) IB&c = {2};
3) IC&D = {3};
4) IB&D = {в. 12. 18};
5) IB&D = {з. 9, 15};
6) IA&D = {1, 2, 4, 7, 8.11, 13, 14, 16.17. 19};
26'
Заi1aчнuк-практuItYII no IIат-атuЧfЮffOi1 лоаUI(8
7) IВ&D = {1. 5. 7. 11. 13, 17. 19};
8) IA&B&D = {6. 12, 18};
9) I AvB = М \ {5 15};
10) I Bvc = М \ {9, 15};
11) I cvD = {2, 3. 5, 6, 7. 9, 11, 12. 13. 15. 17. 18, 19};
12) I BvD =I B U{3. 9. 15};
13) IBvD =(M\I B )U{6. 12. 18};
14) I BvD =I B U{I. 5, 7, 11.13.17, 19};
15) IAvBvD = М \ {5};
16) IC A = I cvA = М \ {5};
17) ID c = I Dvc = М \ {3};
18) IA B = I AvB = М \ {1, 3, 7. 9. 11, 13. 17. 19};
19) I(A&BHD = IAvlJvD = {1, 2. 3. 4. 5. 6};
20) 1 A&D C = 1 A&D vC = 1 A&D&C = С 1 A&D&C = М \ {3}.
3.10. 1) p(x)& Q (x);
2) p(x)&Q(x);
3) p(x)& Q( x) V p(x)&Q(x);
4) Р(х) V Q(x);
5) Р(х) v Q(x) ;
6) Р(х) v Q(x);
7) (p(x)&Q(x)) v(P(X)&R(X)) V (Q(X)&R(x));
8) (p(x)&Q(x)) V ( Р(х)&Н(х));
9) Р(х) V «х) V В(х) v (p(x)&Q(x) v Р(х)& В(х) v «х)& R(x));
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ
2fl9
3.11. Истинны высказывания 3). 5). 6), 7), 8), а ос-
тальные высказывания ложны.
3.12. 1) Данное высказывание истинно при
а E( oo.0]U[4,+oo) и ложно при а Е (0,4);
15
2) например, при а = данное высказывание ис-
4
тинно, а при а = О ложно;
3) например, при а = 4 данное высказывание ис-
тинно, при а = 20 ложно;
3
4) например, при а = данное высказывание ис-
2
тинно. а при а > 2 или а < 2 ложно.
3.13. Выражения 1), 4), 5), 6) являются формулами,
а остальные нет.
3.14. Истинные утверждения 1), 3), 4), 6), 7). а
ложные 2) и 5).
3.15. 1) а) не тождественно истинный и не тожде-
ственно ложный предикат;
6) тождественно ложный предикат;
в) тождественно истииный предикат;
r) тождественно ложный предикат.
2) Для предиката а) зхР(х.У) = Q(y) IQ = {2,3.4,...}.
3) иcтиIшы предложения 6). ж), з), а остальные ложны.
3.16. См. решение задачи 3.15. п. 3) (6) и е».
3.17. Парой предикатов, из которых одии является
отрицанием дpyroro, является только пара пункта 3).
3.19. 1) V'x(X(x) v В (х) v ё(х)),
2) 3х А(х) & 3у В( у),
3) 3х :А(х)& V'y В (у),
4) 3х (А(х) & в(х)) v V'x(S(x) v н(х)),
5) V'x((R(x)& Q (x)) v (Q(x) & н( х))) ,
б) 3хV'узz(р(х,у,z)& Q (х,у,z)).
DtJ
Заi1aчник-праttmflllYllllO ..._r I .-
3.20. Формуле (*) p Jn.tn.'I фщ-у.1lЬt 2) И 7). а
остальные ие равносилып.L
3.21. 1) Справе.цяиво сть y.rв еpждeIIШI cпeдy _ paB
носильности 3х F(x) == Vx F(r);
2) справедливость утверждения следует из равносиль
ности Vx Р(х) == 3х Р(х).
3.22. Приведем контрпример: Пусть Р(х) J1Юбой
не тождественно истинный и не тождественно ложный
предикат. а Q(X) тоже не тождественно истинный и не
тождественно ложный предикат. Тоrда 3х Р(х) = 1.
3XQ(x) = 1, 3х Р(х) & 3х Q(x) ::: 1, а 3x(p(x)&Q(x)) = О
(Q == р).
3.23. Доказательство аналоrично 3.22.
3.24. 1) Равносильность справедлива. ".К.
3х Vy(F(x)& G(y)) == 3х(Р(х)& VyG(y)) == 3хР(х) & VyG(y).
Vy зх(Р(Х)&О(у)) == Vу(Зх Р(х)&о(у)) == 3х Р(х) & Vy о(у);
2) доказательство аналоrично п. 1);
3) см. Решение задачи 3.16.
3.25. )"казаиие. Для доказательства достаточно дaH
ную формулу упростить С помощью равносильных пре
образований.
3.27. 1) 1 А С 1 в ;
2) 1 А = 0. I в любое подмножество М;
3) 1 А С 1 в или 1 А n 1 в = 0.
3.28.1) выполнима. если Р(х) не тождественно лож
ный предикат;
2) выполнима. если Р(х) тождественно истинный
предикат.
3.29. 1) нельзя;
2) можно.
eJВDЫ. WA.3AIIИЯ, PEIIJEНIISI
271
3.30. )7казaJlJle. Путем равНОСИЛЬНЫХ преобразовавий
доказать, что данная форму.па sв.пяетси тож,цествевво ис
тинной.
3.31. Общезначимыми являются формулы 1), 3), 5),
9). 10), 11), 13), 14). 17).
3.32. Указание. Подвеprвуть данную ФОРМУJlУ рав-
носильным преобра:ю:ваиия:м.
3.33.1) \fx3y\fz3иP(%,y,z.и);
2) 3x( R( x)vQ(x.y»);
3) \fx(P& R{ x»);
4) зx\fy{A(x)&A{y)v А(у)& А( х»);
5) \fx3Y(A{x) v В{у»);
6) 3x3z\fy(p(x.y)&Q(z.y»);
7) 3х \fy \fz(p(x. у) v «х, z»);
8) \fx3Y\fz(P'{x.y)vQ(y.z»).
3.34. 1) \fx Е M\fy Е М«х = у)" > y)v (х < у»);
2) 3LER+\fXEM(V(X L);
3) \fx Е M[ % Е М)& (f( х)= t{Х)Я;
4) 3Т Е R \ {o}\fx Е M[(x:t Т Е М)& (r(x:t Т)= t(x»)L
5) \fx 1 Е М \fx 2 Е М({Х 1 < х 2 ) =) (t(x 1 ) < t(x 2 »)).
3.35. 3х Е М3у Е м ((х = у )& (х > у )& (х < у )}.
2) \fL Е R+ 3х Е Maf(x > L);
3) 3х Е м[ ( x м) v (/(%)'" ,( х»)};
4) \fT ER\{0}3x EM((x:tT M)v(f(x:tT)*f(X»));
5) 3Х 1 Е М3Х 2 Е М«Х 1 < х 2 )& (1(х 1 ) > ,(х 2 ))).
272
3адачнuк-праиmuRyll по "ат....тuЧ8Clt04поаи-
3.36. Доказательством иесправедливости утвержде-
ний являются контрпримеры:
1) l(x)=lxl, ха =0;
2) rармонический ряд;
3) равнобочная трапеция;
4) функция У = sgn(x) на [ 1.1];
5) функция у = х 2 на cerмeHTe [1,1];
6) числовая последовательность с оБIЦИМ членом
a,.=( 1)"'!;
n
7) числовая последовательность с общим членом
а п = ( I)п;
8) формула зхР(х), очевидно. является выполнимой,
но необщезначимой;
9) функция У = ха, ха = О ;
10) функция у = х", Ха = О .
3.38. 1) Условие х = О является достаточным. но не
является необходимым;
2) условие х 3 является необходимым. но не яв-
ляется достаточным;
3) условие х > 2 является необходимым. но не яв-
ляется достаточным;
4) условие х 1 и х 3 является достаточным, но
не является необходимым;
5) условие х 1 и х < 10 не является ни необходи-
мым, ни достаточным;
6) условие 2 х 10 является необходимым. но не
является достаточным.
3.39. 1. Необходимо. но не недостаточно.
2. Достаточно, но не необходимо.
3. Достаточно. но не необходимо.
4. Необходимо. но недостаточно.
5. Достаточно. но не необходимо.
6. Необходимо, но недостаточно.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
273
7. Необходимо и достаточно.
8. Необходимо и достаточно.
9. Необходимо, но недостаточно.
10. Достаточно, но не необходимо.
3.40. 1. Для TOrO, чтобы четырехуroльник был па-
раллелоrраммом, необходимо и достаточно одно из усло
вий: противоположные стороны четырехyrольника по-
парно параллельны или две противоположные стороны
равны и параллельны.
2. Необходимыми, но недостаточными признаками
параллелоrрамма являются: а) пара противоположных
сторон четырехyrольника параллельна, б) две противо
положные стороны четырехyrольника равны.
3. Достаточными, но не необходимыми признаками
параллелоrpaммa являются: а) в четырехyroльнике все yrлы
прямые, б) в четырехyrольнике диaroнали взаимно-пер
пепдикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
4. lal < 2 .
1
5. а='2'
6. q =0.
3.41. Ответ Коли равносилен тому, что сказали po
дители.
rЛАВАIV
4.1. Любая примитивно рекурсивная функция полу
чается из простейших функций с помощью конечноrо
числа применения операций суперпозиции и примитив-
ной рекурсии. Но простейшие функции А(Х) , О(х) и
l:{хl'''''Х'.) всюду определены, а применение к ним опе
рации суперпозиции и схемы примитивной рекурсии
ПрИDОДИТ к функциям, которые всюду определены.
4.2. Функции g(Xl' Х 2 ' Ха"'" Xп 9'(Х 1 , Х 2 'Х а '''' 'Xп
\V(Xl'X 2 .X a ....,X".X"+1) и h(Xl'X2'Xa'....Xп 1) получа:ются из
функций /(х 1 .х 2 .х а ,...,Х,,) и l;:'(х 1 ,х 2 ,...,х п ) (т = 1,2,...,n)
суперпозициями:
274
3ada.,huk-nракml/llYfl no ."""...",.,ческoU ЛNUIIIIt
1 ) g(Xl' х 2 . ха..... Х.) = t[1 (Xl'"'' х.
1: (х 1 , ..., Х ,. .... 1: (Х 1 ,.... хп>);
2) ,,( . Х 2 ' Ха'''' .х,,) = / ;(Xl'"'' %.. ..., 1:(Х 1 ..... хп>,
1 (X1' ..., x,J;
1 (x......Xn
3 ) "(%1' %2' Ха' ..., Х п ' %нl) = A1 +1 (Х 1 ..... Х п + 1 }
1:+1 ( ...., Х.+1)};
4) h(X1.X2.Xa'....X.. 1)= N 1(X1.....Xn 1 1 I(x;.....x. I)'
.... 1: 1(Xl.....%n 1)].
4.3. Пусть /(х 1 .х 2 .....х..) получена из функций о(х) и
... ,
т: (х 1 . .%'2' ... ,х п ) С помощью операций суперпозиции и схем
примитивной рекурсии. Тоrда /(0'....0) = О. и из условия
Х 1 S 1, Х 2 S 1, ..., Х ,. S 1 следует. что /(х 1 ,..., хп> S 1 . Функ
ции х + 1 и 2х зтим двум условиям одновременно не удов-
летворяют.
4.4. 1) Функция Р(х, у) = Х . у может быть получена
из простейmих фymcций с ПОIlОЩЫD схемы примитив-
ной рекурсии. Действительно. т.к. для функции Р(х, у)
верны тождества
Р(О.х)= х.О = 0= о(х1 }
р(у + %) = х' (g + 1) = х . у + х = х + Р(х, у) = В(х, Р(х, у)}
то функция Р(х, у) получается по схеме примитивной
рекурсии из функций О(х) и В(х. у) = х + у , которые яв-
ляются общерекурсивными и, значит, функция Р(х. у)
общерекурсивна.
2) Функция G(x, у) = хll удовлетворяет соотношениям:
х О = 1' } а(о.х)= C;(x 1
х ll + 1 = хll . Х. или G(g + 1, х) = p(G(x. у x)S' Следова-
тельно, функция G(x. у) может быть получена по схеме
0I1ISЬI, 1'EШEНIf1I
иs
прИ1\Ol'l'ИВRОЙ рекурсии 113 общерекурсllВ1lЫХ функций С.
и р и DOЭ'I'OIIY lIВJUfe'I'C8 общерекурсиввой.
1:1 ) { % 1, ecJIиz>О
3) Функция "\ z = удовлетворяет
О, ecJIИ Z = О
8(0)=0 } 8(0)= о(у) 1
соотношениям: 8(у + 1) = У или б{у + 1) = 1: (8(у у)! .
Значит. функция 8(х) получается по схеме примитив
ной рекурсии из общерекурсивных функций и поэтому
сама ямяМ'Ся общерекурсивной.
4) Чтобы доказать, что усеченная разность является
общерекурсивиой функцией, докажем предварительно, что
06щерекурсивной функцией является функция одной пере
менной Х 1, которая получается из усеченной разности
путем фиксирования BТOporo apryмeнтa. Действительно,
фymщия Х 1 удовлетворяет CJJeдyIOIЦШI соотношениям:
О 1 = О = О(х }
(х + 1) 1 == х = IНх, у 1
и. значит. может быть получена из простейших функ
ций по схеме простейшей рекурсии и поэтому является
общерекурсивной.
Теперь ясно, что функция х у при любых х и у
удовлетворяет равенствам:
x O=x=IHx,y), }
х.:.. (у + 1) = (х у) .:..1.
Эти тождества показывают, что усеченная разность
lIожет быть получена из функций fJ(x) = I;{х.у) и
\V(Z, х. у) = A(Z) по схеме примитивной рекурсии и, зна
чит. является обще рекурсивной.
5) Функция Ix yl может быть представлена в виде:
= +(y =S y.:.. ,
278
3aiJa.,ник-nрактиИУII по IIаmellатuческoii noatnte
Т.е. функция Ix yl получается из общерекурсивных фун-
кций В. х --'- у, у --'- х с помощью операции суперпозиции
и, следовательно, является общерекурсивной.
б) Функцию sgn(x) можно определить с помощью
простейшей рекурсии, используя равенства:
sgn(O)= О } sgn(O) = О(х) 1
sgn(y + 1) = 1 или sgn(y + 1) = С 1 (y)f'
{ О, если х "#; О
7) Функция sgn( х) = и, следовательно,
1, еслих=О
sgn (x) = 1 --'- sgn(x). Таким образом, функция sgn (x) полу-
чается с помощью операции суперпозиции из функций
--'- и sgn(x), каждая из которых общерекурсивна и по-
этому функция вgn (х) общерекурсивна.
8) Функция х! удовлетворяет равенствам
or=1. } Or=Cl(X), }
(у + 1)! = yr(y + 1), или (у + 1)! = IНР(у!,А(У)).Х,у),
Т.е. функция х! может быть получена по схеме примитив-
ной рекурсии из общерекурсивных функций С 1 и
IН Р(У!, у + 1). х. у) и поэтому функция х! 06щерекурсивна.
4.5. Проrрамма реализации на машине Тьюринrа
алrоритма вычисления функции имеет вид:
ао О 1 2 3 4 Ii 6 7 8 9
q1 o4Hqo 5Hqo 6Hqo 7HQo 8HQo 9HQo ОЛQ2 lЛQ2 2ЛQ2 ЗЛQ2
92 1HQo 1HQo 2HQo ЗН90 4HQo 5HQo 6HQo 7HQo 8HQo 9HQo ОЛq2
4.6. Проrрамма реализации на машине Тьюринrа
алroритма вычисления функции 9'(п) = О имеет вид:
,ОТВЕТЫ, УКА3АНИЯ, РЕШЕНИЯ
%т1
а о I
ql a o Hq2 Iп%
q2 аоЛqа
qa aoHqo аоЛqа
Здесь внешний алфавит машины есть множество
символов {ao.I}, а начальная конфиrypация может быть
любой, при которой управляющая rоловка обозревает
клетку, содержащую палочку.
4.7. Внешний алфавит машины, очевидно, состоит из
двух символов ,I J. Пусть при начальной конфиrypа
ции запись на ленте воспринимается машиной в CTaндap
тном положении. Своевременной остановки машины можно
добиться путем смены состояний машинЫ после каждоro
такта. Это и учтено проrраммой машины, внутренний
алфавит которой содержит три состояния ql' q2' qa'
00 I
ql aolIql aoJIqz
qz аоПqz ао Л q8
q8 IJoIIqo IHqo
4.8. Очевидно. для решения задачи машине в началь-
ном состоянии при коифиrypации
а о %1 %а ... %" а о
ql
необходимо заменить букву Х 1 на ао и, двиrаясь вправо
до первой пустой клетки, вписать в нее букву Х 1 . Т .К. В
алфавите вcero две буквы и а 2 , то ДЛЯ правильноrо
решения задачи необходимо еще два состояния: q2 впи-
сывает букву ,если Х 1 = а 1 , rI. ВПИСЫвает букву а 2 ,
если Х 1 = а 2 . Поэтому проrpамма машины имеет вид:
278
3ада.,нuк-nрактuqll no IIIJт8tIIImtIЧ8CIfODл
4.9. Ясно. что в начальной конфиrypации управляю-
щая rоловка машины должна обозревать пустую клетку,
первую от слова х справа. если х "#; О , и любую, если х = о:
00
ql
в первом такте работы машины необходим сдвиr ее
влево и переход в новое состояние q2' Если и здесь обо-
зревается пустая клетка, то х = О. и машине необходим
сдвиr вправо и переход в стоп-состояние. Если в состоя-
нии q2 управляющая rоловка обозревает символ 1, то
х "#; О, и палочку следует оставить, переходя ВJleBO в H<r
вом состоянии qa' Если при этом обозревается пустая
клетка, то процесс вычисления закончен, и нужно пе-
рейти вправо в стоп состояние. Если же в состоянии qз
обозревается вновь символ 1, то ero нужно стереть и пе-
рейти влево в том же состоянии qз. В этом состоянии
машина должна работать до тех пор, пока управляющая
roловка не выйдет на пустую клетку. На этом процесс
вычисления заканчивается и необходимо для оформле-
ния результата перейти в состояние q., которое будет
совершать сдвиrи машины до единственноrо оставшеro-
ся символа 1, на котором и следует перейти в стоп-состо-
яние. Т .0.. проrpамма машины имеет вид:
00 1
% а о Лq2
q2 аоПqо IЛqз
q" аЛq.. аnЛq,.
q. ОоПq. IHqo
4.10. Нетрудно видеть, что, проводя рассуждения как и
в задаче 4.9., можно оrpаничиться тремя активными состо-
яниями ql' q2' qз И получить проrpaммy машины в виде:
МIIE7bl, YКA3AННR, РЕШEНIISI
m
а о I
ql IЛq2
q2 aoJIqo IНqa
qa a o Hq4 аоЛqа
4.12. для решеmm поставленной задачи работу маши-
ны Тьюринrа можно представить следующим образом: во
внешний алфавит машины включены четыре буквы:
o.l,a.p}. Символ I (палочка) обозначает единицу, а а и
р иrpают роль временных палочек. Число записано на
ленте в виде набора n палочек. Это слово воспринимается
машиной в стандартном положении. Например,
aolll lIo'
ql
В первом такте работы машины осуществляется сдвиr
вправо и машина остается в состоянии ql' При этом маши-
на вписывает в пустую клетку букву а. сдвиrается влево и
переходит в состояние q2' В состоянии q2 машина в каж-
дом такте сдвиrается влево. оставляя без изменений буквы
а ир. При достижении буквы I в состоянии q2 буква I
заменяется на р, осуществляется сдвиr влево и переход в
состояние qз. Если при этом управляющая roловка обозре-
вает пустую клетку, то машина переходит в состояние q4'
Если же управляющая roловка в состоянии машины qa обо-
зревает букву 1, то. оставаясь на месте. машина переходит в
состояние ql' В состоянии ql машина движется вправо до
первой пустой клетки. оставляя при этом на месте буквы 1,
а. р. Достиrнув пустой клетки в состоянии ql машина
вписывает в нее букву а и далее процесс повторяется.
280
Заае......ит UllJl"'O -т-мIJlU',.. ей. rlM
Машина будет работать до теХ'" ПОР; пока все папочки не
будут заменены на буквы р (столько же букв а будет впи-
сано в пустые клетки).
При зтом.. машина перейдет в состояние q... в состоя-
нии q.. машина двиrается вправо, заменяя буквы а и р на
палочки. Достиrнyв пустой клетки в состоянии q.. машина
переходит в стоп-состояние. Следовательно, проrpaмма ма-
шины имеет вид:
а о I а р
ql aJIq 2 IПql aПql fJПql
q2 fJЛqа aJIq2 fJЛq2
qa aJIq.. IHql
q.. aJlqo IПq. IПq..
4.13. Будем записывать число n на ленте в виде набо-
ра n палочек. Работу машины Тьюринrа можно предста-
вить следующим образом. Пусть начальная конфиrypа-
ция совпадает со стандартным положением машины
Тоrда машина начинает двиrаться влево, меняя состоя-
ния ql на q2' q2 на qa и Т.д., qp l на qp' а qp на ql' Тоrда
возможны два случая:
1) машина увидит пустую клетку в состоянии ql
(это значит, что число непустых клеток было кратно р).
Тоrда машина переходит в состояние qp+l И далее .сти-
рает. все .ПaJIОЧКиt, ставит одну палочку и переходит в
стоп-состоsние.
2) машина увидит пустую клетку в состоянии qll(k -ф 1)
(это значит, что число непустых ячеек было не кратно
р). Тоrда машина переходит в состояние qp+a И далее
.стираетt все . ии . И останавливаетоя.
f1I'ВEТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
281
в связи со сказанным nporpaмMa машины запишется
так:
ае I
ql а о Пqр+l IЛq2
q2 aJIqp+a IЛqа
.. . ... ...
qp 1 аоПqр+а IЛqр
qp aoJIqp+l IЛql
qp+l IHqo aoHq р+2
qp+2 ао П qр+l
qр+з aoНqo aoHq р+"
qP+4 аоПq р+3
в частном случае при р = 3 эта проrрамма будет
иметь вид:
a n I
ql IПq.. IЛq2
q2 aJIq8 IЛqа
qa aJIq8 IЛql
q.. IHqo аоНqб
qб aJIq..
q8 aoHqo IHq1
q1 ао П q8 aJIq8
ЛИТЕРАТУРА
1. Иаошин В. И. Математическая лоrика и теория алrорит
мов. Саратов: Издательство CapaToBcKoro университета, 1991.
2. Иаошин В. И. Задачник практикум по математической лоrи
ке. М.: Просвещение, 1986.
3. Кейслер r., Чен Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.
4. Лавров И. А., Максимова л.л. Задачи по теории множеств,
математической лоrике и теории алrоритмов. М.: Наука, 1975.
5. Лихтарников Л. м., Задачи мудрецов: Книrа для уча
щихся. М.: Просвещение: АО "Учебная литература", 1996.
6. Мальцев А.и. Алrоритмы и рекурсивные функции. М.: Ha
ука, 1965.
7. Математическая.лоrика (Под общей редакцией А. А.
Столяра и др.). Минск: Высшая школа, 1991.
8. Мендельсон Э. Введение в математическую лоrику. М.:
Наука, 1976.
9. Михайлов А. Б., Плоткин А. И. Введение в алrебру и
математический анализ. Сборник задач 1. Высказывания. Пре
дикаты. Множества. Санкт Петербурr, 1992.
10. Новиков П. С. Элементы математической лоrики. М.:
Наука, 1973.
11. Черч А. Введение в математическую лоrику. М.: Мир, 1960.
12. Яблонский С. 8., Таврилов r. п., Кудрявцев В. Б. Функции ал
rебры лоrики и классы Поста. М.: Наука, 1966.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ...................................................................................... 3
Часть I
Курс лекций по математической лоrике
Введение. ...... ... '" ..... ................. ..... .............. .................... ............... .... 5
rЛАВА 1. АлrЕБРА лоrики
1. Понятие высказывания ......................................................... 9
2. Лоrические операции над высказываниями...................... 10
3. Формулы алreбры лоrики.................................................... 14
4. Равносильные формулы алrебры лоrики .......................... 16
5. Равносильные преобразования формул ........................... 20
6. Алreбра Буля ....................................................................... 21
7. Функции алrебры лоrики ..................................................... 23
8. Представление произвольной функции алrебры лоrики
в виде формулы алreбры лоrики ........................................ 25
9. Закон двойственности .................................................,....... 27
10. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная
дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ) ...... 29
11. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная
конъюнктивная нормальная форма (КНФ и СКНФ) ........ 31
12. Проблема . разрешимости................................................. 34
13. Некоторые приложения алrебры лоrики ......................... 37
rЛАВА 11. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
1. Понятие формулы исчисления высказываний ................. 46
2. Определение доказуемой формулы .................................. 48
3. Про из водные правила вывода ........................................... 53
4. Понятие выводимости формулы
из совокупности формул ................................................... 56
5. Понятие вывода .. ................................................................. 58
6. Правила выводимости ........................................................ 59
7. Доказательство некоторых законов лоrики ....................... 64
8. Связь между алrе6рой высказываний
и исчислением высказываний .......................................... 68
9. Проблемы аксиоматическоro исчисления
высказываний ..... .... ................ .., .............. ..... ....... .................. 76
тАВд 111. лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
1. Понятие предиката .............................................................. 83
2. Лоrические операции над предикатами ............................ 85
3. Кванторные операции ......................................................... 87
4. Понятие формулы лоrики предикатоВ ............................... 90
284
5. Значение формулы лоrики предикатов ............................. 92
6. Равносильные формулы лоrики предикатов .................... 93
7. Предваренная нормальная форма .................................... 96
8. Общезначим ость и выполнимость формул ....................... 98
9. Пример формулы, выполнимой в бесконечной области
и невыполнимой ни в какой конечной области ............. 101
10. Проблема разрешимости для общезначимости
и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае
(без доказательства) ....................................................... 102
11. Алroритмы распознавания
общезначимости формул в частных случаях................ 103
12. Применение языка лоrики предикатов для записи
математических предложений, определений,
построения отрицания предложений ............................. 106
13. Замечание об аксиоматическом
исчислении предикатов ..................................................; 113
rЛАВд IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
1. Язык nepBoro порядка ........................................................116
2. Термы и формулы ..............................................................117
3. Лоrические и специальные аксиомы.
Правила вывода ................................................................... 118
4. Примеры матемаТических теорий
из алreбры. анализа, reометрии ........................................ 120
5. Доказательство в теории .................................................. 123
6. Доказуемость частных случаев тавтолоrий ..................., 124
7. Теорема дедукции ............................................................. 124
8. Интерпретация языка теории ........................................... 127
9. Истинностные значения формул
в интерпретации. Модель теории ...................................... 128
10. Изоморфизм интерпретаций.
Катеroричность теории ...........................................,........ 130
11. Проблемы непротиворечивости,
полноты, разрешимости теории ..................................... 132
12. Непротиворечивость исчисления предикатов
(теории без специальных аксиом) ................................. 135
13. Теория натуральных чисел ............................................. 136
14. Теорема rеделя о неполноте ......................................... 138
rЛАВА V. АЛroРИТМЫ
1. Понятие алroритма и ero характерные черты ................. 139
2. Разрешимые и перечислимые множества ...................... 141
3. Уточнение понятия алroритма.......................................... 143
4. Вычислимые функции. Частично рекурсивные
и общерекурсивные функции ............................................. 146
285
5. Машины Тьюринrа . ............................................................ 152
6. Нормальные алrоритмы Маркова .................................... 163
7. Неразрешимые: алrоритмические проблемы
(обзор) .., .... ............ ... .......................... ... .... ... ...... ...... ....... ..... 166
Часть 11
Задачник-практикум по математической лоrике
rЛАВА 1. АлrЕБРА лоrики
1. Высказывания и лоrические операции над ними.
Формулы алreбры лоrики ................................................... 174
2. Равносильные формулы алrебры лоrики ........................ 181
3. Функции алreбры лоrики.
Совершенные нормальные формы................................... 186
4. Приложения алreбры лоrики ............................................ 194
rЛАВА 11. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Исчисление высказываний ...................................................... 204
rЛАВА 111. лоrиКА ПРЕДИКАТОВ
1. Понятие предиката.
Лоrические и кванторные операции над предикатами... 214
2. Понятие формулы лоrики предикатов.
Равносильные формулы лоrики предикатов .................... 223
3. Общезначимость и выполнимость формул.
Предваренная нормальная форма (п.н.ф.) ..................... 230
4. Применение лоrики предикатов в математике ............... 234
rЛАВА IV. АЛrоРитмы
1. Частично рекурсивные и общерекурсивные функции .... 242
2. Машина Тьюринrа .............................................................. 245
Ответы, указания, реmения
rЛАВА 1 ... '" ... ... ... .... ...... .... .., ....... ............ ... ........... ..... ....... ... ...... 251
rЛАВА 11 ... '" ...... ... ...... .... ......... ............... ........ ........ .............. ...... 258
rЛАВА 111 .......... ..... ... ...... ......... '" ......... ....... ..... ...... ... ............ ...... 267
rЛАВА IV .... ...... ........... ... ...... .... .............. ........ .... .......... ..... ......... 273
Литература ................................................................................ 282
Л. М. Лuxтарнu"ов
Т. r. Сg1Шчева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ лоrикА
К,ре яеJЩШi
3ада'ШuJC-nр4JCJrШ"1IМ u решенUJf.
rевep8JIЫIЫЙ ЮJPeКТOP А Л. Кноп. ДиpeК'I'op И3ДIIIТeJIJoCrI О. В. CJIIUpl108(J
rJIIuIuый редактор Ю.А. CaнiJyJW8. художествеlпlый редактор С. Л. Шапиро
ICoрректорА М. I'poccJw.n. IIepcтaJIьщики П. Н. КIIJIeIUW8.Д.А Поmpe"ии
ЛР N2 065466 т: 21.10.97
1'10-..,............-1 оер...ф.....ат 78.10.07 .952.Т .11668.01.99
т: 19.01.99, выдав цrcэн вСПб
Издатеаr.cтво .ЛАНЬ.
Савкт-Петербурr, пр. ОбуховCROЙ обороны, 277
Д1IS1l1Исем: 103029, Савкт Петер6урr, пр. Еи8аарова, 1
Тел.: 262-2495, 262'1178, 267-1368, 267-2792, 265-0088, 567 5493
фи.пим в Москве: Москва, 7-8 уп. ТекCТИдЬЩIIКОВ, Д. 5, теа.: (095) 919-96 OO
Фiшим в Красиодаре: 360072, Краснодар, уп. 8вnoвская:, д.1, теа.: (8612)57-91-81
e-mai1: lan@lpbl.spb.ro.root@lanpbl.spb.ru.
рbl@lpbl.sрЬ.ru(ИIlДIIТ8JIЪCКВЙт:щш), tradе@lрь1.spь.ru(тоprollыйтдеп),,
post@lрbl.sрЬ.ro(КJD!II'aПОЧТОЙ)
Подписано в печать 01.02.09.
Бумаra маетна.. Формат 84Х108 1 / в2 ,
Печать высока.. Уч. п. д. 9. Тираж 3000 ака. Закаа :N!! 594.
Отпечатано с фотоформ в rпп .печатвый Двор.
rосударствеввоro комитета РФ по печатИ.
197110, Савкт Петербурr, Чка.повский пр., 15.
d "b