/
Author: Лихтарников Л.М. Сукачева Т.Г.
Tags: физико-математические науки математика
ISBN: 5-8114-0082-9
Year: 1999
Text
Л.М. Пихтарников
Т.Г. Сукачева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
’I
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
И РЕШЕНИЯ
Л. М. ЛИХТАРНИКОВ, Т. Г. СУКАЧЕВА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
♦
КУРС ЛЕКЦИЙ
♦
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
И РЕШЕНИЯ
♦
Рекомендовано Министерством
общего и профессионального образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по математическим специальностям
ь
rirtHh
Санкт-Петербург
1999
ББК 22
Л 55
Лихтарников Л. М., Сукачева Т. Г.
Л 55 Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум
и решения. Серия «Учебники для вузов. Специальная литерату-
ра» / Оформление обложки С. Л. Шапиро, А. А. Олексенко. —
СПб.: Издательство «Лань», 1999. — 288 с.
ISBN 5—8114—0082—9
Учебное пособие предназначено для студентов университетов и педа-
гогических институтов, изучающих курс математической логики.
ББК 22
Охраняется заковом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 1999
© Л. М. Лихтарников
Т. Г. Сукачева, 1998
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие «Математическая логик!
Курс лекций и задачник-практикум» предназначено дл
студентов университетов и педагогических институте!
изучающих математическую логику.
Оно состоит из двух частей.
Часть первая «Курс лекций по математической лс
гике» включает в себя теоретический материал по pas
делам:
1. Алгебра логики.
2. Исчисление высказываний.
3. Логика предикатов.
4. Математические теории.
5. Алгоритмы.
Часть вторая «Задачник-практикум по математичес
кой логике» содержит набор упражнений почти по все:
перечисленным разделам.
В зависимости от содержания программ курса мате
матической логики на конкретных специальностях, от
дельные разделы пособия могут быть исключены из рас
смотрения (например, исчисление высказываний, мате
матические теории), а из других разделов использован
лишь часть материала.
Учитывая, что в отдельных случаях студентам требу
ется лишь «Задачник-практикум», в каждом его раздел
приводится минимум теоретических сведений необходи
мых для решения предлагаемых задач.
Студенты математических специальностей универ
ситетов и педагогических институтов материалы разде
лов 1, 3 и 5 могут впоследствии использовать в подготов
ке школьного факультативного курса «Элементы мате
матической логики».
6 Курс лекций по математической логике
малодоступных человеческому мышлению, и это, ко-
нечно, расширило область логических исследований.
К концу XIX столетия актуальное значение для мате-
матики приобрели вопросы обоснования ее основных по-
нятий и идей. Эти задачи имели логическую природу
и, естественно, привели к дальнейшему развитию мате-
матической логики. В этом отношении показательны
работы немецкого математика Г. Фреге (1848-1925) и
итальянского математика Д. Пеано (1858-1932), кото-
рые применили математическую логику для обоснова-
ния арифметики и теории множеств.
Особенности математического мышления объясняют-
ся особенностями математических абстракций и много-
образием их взаимосвязей. Они отражаются в логичес-
кой систематизации математики, в доказательстве ма-
тематических теорем. В связи с этим современную мате-
матическую логику определяют как раздел математи-
ки, посвященный изучению математических доказа-
тельств и вопросов оснований математики.
Одной из основных причин развития математической
логики является широкое распространение аксиоматичес-
кого метода в построении различных математических те-
орий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики,
теории групп и т. д.
В аксиоматическом построении математической тео-
рии предварительно выбирается некоторая система неоп-
ределяемых понятий и отношения между ними. Эти по-
нятия и отношения называются основными. Далее без
доказательства принимаются основные положения рас-
сматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содер-
жание теории выводится логически из аксиом. Впервые
аксиоматическое построение математической теории бы-
ло предпринято Евклидом в построении геометрии.
Изложение этой теории в «Началах» Евклида не без-
упречно. Евклид здесь пытается дать определение исход-
ных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказатель-
стве теорем используются нигде явно не сформулирован-
ные положения, которые считаются очевидными. Таким
образом, в этом построении отсутствует необходимая
логическая строгость, хотя истинность всех положений
теории не вызывает сомнений.
ВВЕДЕНИЕ 7
Отметим, что такой подход к аксиоматическому пос-
троению теории оставался единственным до XIX века.
Большую роль в изменении такого подхода сыграли ра-
боты Н. И. Лобачевского (1792-1856).
Лобачевский впервые в явном виде высказал убежде-
ние в невозможности доказательства пятого постулата Ев-
клида и подкрепил это убеждение созданием новой геомет-
рии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925)
доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем
фактически была доказана и невозможность доказатель-
ства пятого постулата Евклида.
Так возникли и были решены в работах Н. И. Лоба-
чевского и Ф. Клейна впервые в истории математики про-
блемы невозможности доказательства и непротиворечи-
вости в аксиоматической теории.
Непротиворечивость аксиоматической теории явля-
ется одним из основных требований, предъявляемых к
системе аксиом данной теории. Она означает, что из дан-
ной системы аксиом нельзя логическим путем вывести
два противоречащих друг другу утверждения.
Доказательство непротиворечивости аксиоматических
теорий можно осуществить различными методами. Одним
из них является метод моделирования или интерпретаций.
Здесь в качестве основных понятий и отношений выбира-
ются элементы некоторого множества и отношения между
ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выб-
ранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то
есть строится модель для данной теории. Так, аналитичес-
кая геометрия является арифметической интерпретацией
геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сво-
дит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме
непротиворечивости другой теории.
Большинство интерпретаций для математических
теорий (и, в частности, для арифметики) строится на
базе теории множеств, в связи с этим важно доказать
непротиворечивость теории множеств.
Однако в конце XIX века в теории множеств были
обнаружены противоречия (парадоксы теории мно-
жеств). Ярким примером такого парадокса является
парадокс Б. Рассела. Разобьем все мыслимые множества
на два класса. Назовем множество «нормальным», если
8 Курс лекций по математической логике
оно не содержит себя в качестве своего элемента и «не-
нормальным» в противном случае. Например, множе-
ство всех книг - «нормальное» множество, а множе-
ство всех мыслимых вещей - «ненормальное» множе-
ство. Пусть L - множество всех «нормальных» мно-
жеств. К какому классу относится множество L?
Если L - «нормальное множество», то LeL, т. е.
содержится в классе «нормальных» множеств, но тогда
оно содержит себя в качестве своего элемента, и поэтому
« ненормально ».
Если L - «ненормальное» множество, то L <z L, т. е.
не содержится среди «нормальных» множеств, но тогда
L не содержит себя в качестве своего элемента, и поэто-
му оно «нормально». Таким образом, понятие «нормаль-
ного» множества приводит к противоречию.
Попытки устранить противоречия в теории множеств
привели Цермело к необходимости построить аксиома-
тическую теорию множеств. Последующие видоизмене-
ния и усовершенствования этой теории привели к созда-
нию современной теории множеств. Однако средства этой
аксиоматической теории не позволяют доказать ее не-
противоречивость.
Другие методы обоснования математики были развиты
Д. Гильбертом (1862-1943) и его школой. Они основывают-
ся на построении математических теорий как синтаксичес-
ких теорий, в которых все аксиомы записываются форму-
лами в некотором алфавите и точно указываются правила
вывода одних формул из других, то есть в теорию как со-
ставная часть входит математическая логика.
Таким образом, математическая теория, непротиво-
речивость которой требовалось доказать, стала предме-
том другой математической теории, которую Гильберт
назвал метаматематикой, или теорией доказательств.
В связи с этим возникает задача построения синтакси-
ческой, то есть формализованной аксиоматической тео-
рии самой математической логики. Выбирая по-разному
системы аксиом и правила вывода одних формул из дру-
гих, получают различные синтаксические логические тео-
рии. Каждую из них называют логическим исчислением.
В данном курсе будет рассмотрено классическое ис-
числение высказываний.
ГЛАВА I
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
§ 1. Понятие высказывания
Основным (неопределяемым) понятием математичес-
кой логики является понятие «простого высказывания».
Под высказыванием обычно понимают всякое повество-
вательное предложение, утверждающее что-либо о чем-
либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или
ложно в данных условиях места и времени. Логически-
ми значениями высказываний являются «истина» и
«ложь».
Приведем примеры высказываний.
1) Новгород стоит на Волхове.
2) Париж - столица Англии.
3) Карась не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
5) Если юноша окончил среднюю школу, то он полу-
чает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания
2) и 3) ложны.
Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спорт-
смены!» не является высказыванием.
Высказывание, представляющее собой одно утверж-
дение, принято называть простым или элементарным.
Примерами элементарных высказываний могут служить
высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных
с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если
..., то ...», «тогда и только тогда», принято называть слож-
ными или составными. Так, высказывание 3) получается
из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью
отрицания «не», высказывание 4) образовано из элемен-
тарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6
делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5)
получается из простых высказываний «Юноша окончил
10
Курс лекций по математической лоаике
среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с
помощью грамматической связки «если то ...». Ана-
логично сложные высказывания могут быть получены из
простых высказываний с помощью грамматических свя-
зок «или», «тогда и только тогда».
В алгебре логики все высказывания рассматривают-
ся только с точки зрения их логического значения, а от
их житейского содержания отвлекаются. Считается, что
каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни
одно высказывание не может быть одновременно истин-
ным и ложным.
В дальнейшем будем элементарные высказывания
обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у,
г, .... а, Ъ, с, ...; истинное значение высказывания - бук-
вой и или цифрой 1, а ложное значение - буквой л или
цифрой 0.
Если высказывание а истинно, то будем писать a = 1,
а если а ложно, то а = 0.
§ 2. Логические операции над высказываниями
1. Отрицание. Отрицанием высказывания х называ-
ется новое высказывание, которое является истинным,
если высказывание х ложно, и ложным, если высказы-
вание х истинно.
Отрицание высказывания х обозначается х и чита-
ется «не х» или «неверно, что х».
Логические значения высказывания х можно опи-
сать с помощью таблицы
X X
1 0
0 1
Таблицы такого вида принято называть таблицами
истинности.
Пусть х высказывание. Так как х также являет-
ся высказыванием, то можно образовать отрицание
высказывания х , то есть высказывание х , которое
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 11
называется двойным отрицанием высказывания х. Ясно,
что логические значения высказываний х и х совпада-
ют.
Например, для высказывания «Река Волхов вытека-
ет из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание
«Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень»
или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двой-
ным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река
Волхов не вытекает из озера Ильмень»
2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнк-
цией двух высказываний х, у называется новое высказы-
вание, которое считается истинным, если оба высказы-
вания х, у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них
ложно.
Конъюнкция высказываний х, у обозначается сим-
волом х&у или (хлу), читается «хиу». Высказывания
х, у называются членами конъюнкции.
Логические значения конъюнкции описываются сле-
дующей таблицей истинности:
X У х&у
1 1' 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 де-
лится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делит-
ся на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз
«и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что
и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято со-
единять союзом «и» два высказывания далеких друг от
друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается
конъюнкция двух любых высказываний.
Из определения операции конъюнкции и отрицания
ясно, что высказывание х&х всегда ложно.
12 Курс лекций по математической логике
3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией
двух высказываний х, у называется новое высказывание,
которое считается истинным, если хотя бы одно из выс-
казываний х, у истинно, и ложным, если они оба
ложны.
Дизъюнкция высказываний х, у обозначается сим-
волом xvj, читается «х или у». Высказывания х, у
называются членами дизъюнкции.
Логические значения дизъюнкции описываются сле-
дующей таблицей истинности:
X У xvy
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Например, высказывание «В треугольнике DFE угол
D или угол Е острый» истинно, так как обязательно
истинно хотя бы одно из высказываний: «В треугольни-
ке DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол Е
острый».
В повседневной речи союз «или» употребляется в
различном смысле: исключающем и не исключающем.
В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не
исключающем смысле.
Из определения операции дизъюнкции и отрицания
ясно, что высказывание х v х всегда истинно.
4. Импликация. Импликацией двух высказываний
х, у называется новое высказывание, которое считается
ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во
всех остальных случаях.
Импликация высказываний х, у обозначается сим-
волом х -> у , читается «если х, то у* или «из х следует
у». Высказывание х называют условием или посылкой,
высказывание у - следствием или заключением, выска-
зывание х —> у - следованием или импликацией. -
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 13
Логические значения операции импликации описы-
ваются следующей таблицей истинности:
X У х -» у
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Например, высказывание «Если число 12 делится на
6, то оно делится на 3», очевидно, истинно, так как здесь
истинна посылка «Число 12 делится на 6» и истинно
заключение «Число 12 делится на 3».
Употребление слов «если то ...» в алгебре логики
отличается от употребления их в обыденной речи, где мы,
как правило, считаем, что, если высказывание х ложно,
то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла.
Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обы-
денной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение
у вытекает из предложения х. Употребление слов «если
..., то ...» в математической логике не требует этого, по-
скольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
Импликация играет важную роль в математических
доказательствах, так как многие теоремы формулиру-
ются в условной форме «Если х, то у». Если при этом
известно, что х истинно и доказана истинность импли-
кации х —> у, то мы вправе сделать вывод об истинности
заключения у.
б. Эквиваленция. Эквиваленцей (или эквивалентно-
стью) двух высказываний х, у называется новое выска-
зывание, которое считается истинным, когда оба выска-
зывания х, у либо одновременно истинны, либо одновре-
менно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
Эквиваленция высказываний х, у обозначается сим-
волом х <-> у , читается «для того, чтобы х, необходимо
и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда,
когда у». Высказывания х, у называются членами экви-
валенции.
14 Курс лекций по математической логике
Логические значения операции эквиваленции опи-
сываются следующей таблицей истинности:
X У ХОг/
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Например, эквиваленция «Треугольник SPQ с вер-
шиной S и основанием PQ равнобедренный тогда и толь-
ко тогда, когда ZP = ZQ » является истинной, так как
высказывания «Треугольник SPQ с вершиной S и ос-
нованием PQ равнобедренный» и «В треугольнике SPQ
с вершиной S и основанием PQ ZP = Z.Q » либо .одно-
временно истинны, либо одновременно ложны.
Эквивалентность играет важную роль в матема-
тических доказательствах. Известно, что значитель-
ное число теорем формулируется в форме необходи-
мых и достаточных условий, то есть в форме эквива-
лентности. В этом случае, зная об истинности или
ложности одного из двух членов эквивалентности и
доказав истинность самой эквивалентности, мы зак-
лючаем об истинности или ложности второго члена
эквивалентности.
§ 3. Формулы алгебры логики
С помощью логических операций над высказывания-
ми из заданной совокупности высказываний можно стро-
ить различные сложные высказывания. При этом поря-
док выполнения операций указывается скобками. Напри-
мер, из трех высказываний х, у, г можно построить выс-
казывания
(х& у) v г и х -> (i/ v (х& г)).
Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции х, у и
отрицания выказывания г, а второе высказывание есть
импликация, посылкой которой является высказывание х,
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 15
а заключением - отрицание дизъюнкции высказывания у
и конъюнкции высказываний х, z.
Всякое сложное высказывание, которое может быть
получено из элементарных высказываний посредством
применения логических операций отрицания, конъюн-
кции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, на-
зывается формулой алгебры логики.
Формулы алгебры логики будем обозначать больши-
ми буквами латинского алфавита А, В, С, ...
Для упрощения записи формул принят ряд соглаше-
ний. Скобки можно опускать, придерживаясь следую-
щего порядка действий: конъюнкция выполняется рань-
ше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполня-
ется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если
над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже
опускаются.
В связи с этим формулы
(х& у) v г и х -> (у v (х& z))
могут быть записаны так:
x&yvz и х -> у v x&z.
Логическое значение формулы алгебры логики пол-
ностью определяется логическими значениями входящих
в нее элементарных высказываний. Например, логичес-
ким значением формулы х& yvz в случае, если х = 1,
у = 1, z = 0 будет истина, то есть х& у v z = 1.
Все возможные логические значения формулы, в за-
висимости от значений входящих в нее элементарных
высказываний, могут быть описаны полностью с помо-
щью таблицы истинности.
Например, для формулы х v у -> х& у таблица ис-
тинности имеет вид:
X У X У х vy х&у х v у -» х& у
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0
16 Курс лекций по математической логике
Легко видеть, что, если формула содержит п элемен-
тарных высказываний, то она принимает 2" значений,
состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица
содержит 2П строк.
§ 4. Равносильные формулы алгебры логики
Определение. Две формулы алгебры логики А и В
называются равносильными, если они принимают оди-
наковые логические значения на любом наборе значе-
ний входящих в формулы элементарных высказыва-
ний.
Равносильность формул будем обозначать знаком
= , а запись А = В означает, что формулы А и В рав-
носильны.
Например, равносильны формулы:
х - х,
xvx = x,
(x&x)vy = у.
ФормулаА называется тождественно истинной (или
тавтологией) , если она принимает значение 1 при всех
значениях входящих в нее переменных.
Например, тожественно истинны формулы х v х ,
X -> (у -» х).
Формула А называется тождественно ложной, если
она принимает значение 0 при всех значениях входящих
в нее переменных.
Например, тождественно ложна формула х& х .
Ясно, что отношение равносильности рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Между понятиями равносильности и эквивалентно-
сти существует следующая связь: если формулы А и В
равносильны, то формула А о В - тавтология, и обрат-
но, если формула А <-> В - тавтология, то формулы А и
В равносильны.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно
разбить на три группы.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 17
1. Основные равносильности:
1. Х& X = X 1
о „ „ _ „ I _ законы идемпотентности.
И» X V X = Л I
3. х&.и = х
4. х v и = и
5. х& л = л
6. X V Л = X
7. х& х = л - закон противоречия.
8. х v х = и - закон исключенного третьего.
9. х s х ~ закон снятия двойного отрицания.
10. x&(i/vx)sx
11. xv(i/&x)s X
- законы поглощения.
Докажем один из законов поглощения. Рассмотрим
формулу А = х& (у v х). Если в этой формуле х = 1 то,
очевидно, у v х = 1 и тогда х&(у v х) = 1 как конъюнк-
ция двух истинных высказываний. Пусть теперь в фор-
муле А х = 0. Но тогда по определению операции конъ-
юнкции будет ложной и конъюнкция x&(f/vx). Итак,
во всех случаях значения формулы А совпадают со зна-
чениями х, а поэтому А = х.
2. Равносильности, выражающие одни логические
операции через другие:
1. X о у = (х -» у)&(у -> х)
2. х -> у = х v у
3. х& у х v у
4. X V у S х& у
5. Х& у S X V у
6. X V у s х&у
Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равно-
сильностей 3 и 4 соотаетствеиног если от обеих частей
последних в^ять отрицания и воспользоваться законом
18 Курс лекций по математической логике
снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказатель-
стве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем
две из них: первую и третью.
Так как при одинаковых логических значениях х и
у истинными являются формулы х у, х —> у , у х ,
то истинной будет и конъюнкция (х -> z/)& (у -> х). Сле-
довательно, в этом случае обе части равносильности
имеют одинаковые истинные значения.
Пусть теперь х и у имеют различные логические значе-
ния. Тогда будут ложными эквивалентность х о у и одна
из двух импликаций х —> у или у —> х . По при этом
будет ложной и конъюнкция (х -> г/)& {у -> х). Таким
образом, в этом случае обе части равносильности имеют
одинаковые логические значения.
Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принима-
ют одновременно истинные значения, то будет истинной
конъюнкция х&у и ложным отрицание конъюнкции
х& у. В то же время будут ложными и х , и у , а поэто-
му будет ложной и дизъюнкция х v у .
Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у
принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюн-
кция х&у и истинной ее отрицание. В то же время от-
рицание хотя бы одной из переменных будет истинным,
а поэтому будет истинной и дизъюнкция х v у .
Следовательно, во всех случаях обе части равносиль-
ности 3 принимают одинаковые логические значения.
Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.
Из равносильностей этой группы следует, что вся-
кую формулу алгебры логики можно заменить равно-
сильной ей формулой, содержащей только две логичес-
кие операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнк-
цию и отрицание.
Дальнейшее исключение логических операций не-
возможно. Так, если мы будем использовать только
конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х
не может быть выражена с помощью операции конъ-
юнкции.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 19
Однако существуют операции, с помощью которых
может быть выражена любая из пяти логических опера-
ций, которыми мы пользуемся. Такой операцией являет-
ся, например, операция «Штрих Шеффера». Эта опера-
ция обозначается символом x|z/ и определяется следую-
щей таблицей истинности:
X У х]у
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
Очевидно, имеют место равносильности:
1) X = х|х-
2) х&у s(x|i/)|(x|z/).
Из этих двух равносильностей следует, что всякая
формула алгебры логики может быть заменена равно-
сильной формулой, содержащей только операцию
«Штрих Шеффера».
Отметим, что х\у = х&у •
Аналогично может быть введена операция ^>(х, у) = х v у.
3. Равносильности, выражающие основные законы
алгебры логики:
1. х& у s у&х - коммутативность конъюнкции.
2. xv у s у у х - коммутативность дизъюнкции.
3. x&(^&z) = (х&у)&2 - ассоциативность конъюнк-
ции.
4. х v (у v z) = (х v у) v г - ассоциативность дизъюнк-
ции.
5. х&(у v z) s (х& у) v (х& z) - дистрибутивность конъ-
юнкции относительно дизъюнкции.
6. х v (у& zj = (х v у)& (х v г) - дистрибутивность дизъ-
юнкции относительно конъюнкции.
20 Курс лекций по математической логике
Докажем последний из перечисленных законов. Если
х = 1, то будут истинными формулы X V (у&2), xvy ,
х v 2. Но тогда будет истинной и конъюнкция (х v у)&(х v z).
Таким образом, при х = 1 обе части равносильности 6
принимают одинаковые логические значения (истинные).
Пусть теперь х = 0. Тогда х v (у& г} = у& г, х v у = у и
X V 2 S 2 , а поэтому и конъюнкция (х V г/)& (х V z) S у& 2 .
Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равно-
сильны одной и той же формуле z/& г, и поэтому прини-
мают одинаковые логические значения.
§ 3. Равносильные преобразования формул
Используя равносильности I, II и III групп можно часть
формулы или формулу заменить равносильной ей форму-
лой. Такие преобразования формул называются равносиль-
ными.
Равносильные преобразования используются для
доказательства равносильностей, для приведения формул
к заданному виду, для упрощения формул.
Формула А считается проще равносильной ей фор-
мулы В, если она содержит меньше букв, меньше ло-
гических операций. При этом обычно операции экви-
валентность и импликация заменяются операциями
дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к
элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд при-
меров.
1. Доказать равносильность х о у = х&у v х&у.
Используя равносильности I, II и III групп запишем
цепочку равносильных формул:
х <-> у = (х -> у)&(у -» х) s (х v v х) =
S Х& у V Х& X V у& у V у& X =
= Х& у V О V О V у& X = х&у V у& X = х& у V х& у.
2. Упростить формулу [XVy XV yj&y.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 21
Запишем цепочку равносильных формул:
(х v у v х v у^&у s (х vу vx v у)&у = (х v у)& у s у.
3. Доказать тождественную истинность формулы
(х -» у) -» ((у -> г) -> (х v у -> z)).
Запишем цепочку равносильных формул:
(х -» у) -» ((у -» z) -> (х v у -> z)) е
s(xvy)v^yvzvxvyvzj = Х&у V У&.2 v х&у V Z =
= х& у vy&zv Х&У V 2 = (х& у V х& у) V (у& z V z) =
= у&(х V х) V (у v z)&(z V z) S У&1 V (у V z)&l S
= yvyvzs(yvy)vzslvzsl.
§ 6. Алгебра Буля
Равносильности III группы говорят о том, что алгебра
логики обладает коммутативными и ассоциативными за-
конами относительно операций конъюнкции и дизъюнк-
ции и дистрибутивным законом конъюнкции относитель-
но дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре
чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно
производить те же преобразования, которые проводятся в
алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки,
вынесение за скобки общего множителя).
Но в алгебре логики возможны и другие преобразова-
ния, основанные на использовании равносильностей:
(х&у) v z = (х v z)&(y v z),
х&(у v х) s х,
X V (у& х) s X,
х& у sx V у,
xvys х&у и т.д.
Эта особенность позволяет прийти и к далеко иду-
щим обобщениям.
22 Курс лекций по математической логике
Рассмотрим непустое множество М элементов любой
природы {х, у, г,...}, в котором определены отношение
«=» (равно) и три операции: «+» (сложение), «•» (умно-
жение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим
аксиомам:
Коммутативные законы:
1а. х + у = у + х, 16. х • у = у • х.
Ассоциативные законы:
2а. х + (у + z) = (х + у)+ г, 26. х-(у z) = (х- у)- г.
Дистрибутивные законы:
За. (х + у) • г = (х • z) + (у • г) 36. (х • у) + z = (х + z) • (у + z).
Законы идемпотентности:
4а. х + х = х, 46. х • х = х.
Закон двойного отрицания:
5. х = х.
Законы де-Моргана:
6а. х + у = х у , 66. х-у = х + у .
Законы поглощения:
7а. х + (у • х) = х , 76. х • (у + х) = х .
Такое множество М называется булевой, алгеброй.
Если под основными элементами х, у, г, ... подразу-
мевать высказывания, под операциями «+», «•», «-»
дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно,
а знак равенства рассматривать как знак равносильнос-
ти, то, как следует из равносильностей I, II и III групп,
все аксиомы булевой алгебры выполняются.
В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом
удается подобрать конкретные объекты и конкретные
соотношения между ними так, что все аксиомы выпол-
няются, говорят, что найдена интерпретация (или мо-
дель) данной системы аксиом.
Значит, алгебра логики является интерпретацией бу-
левой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпрета-
ции. Например, если под основными элементами х, у, z,
... множества М подразумевать множества, под операци-
ями «+», «», «-» объединение, пересечение, дополнение
соответственно, а под знаком равенства - знак равенства.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
23
множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетруд-
но убедиться, что в алгебре множеств все аксиомы алгеб-
ры Буля выполняются.
Среди различных интерпретаций булевой алгебры
имеются интерпретации и технического характера. Одна
из них будет рассмотрена ниже. Как будет показано, она
играет важную роль в современной автоматике.
§ 7. Функции алгебры логики
Как уже отмечалось, значение формулы алгебры ло-
гики полностью зависит от значений входящих в эту фор-
мулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики
является функцией входящих в нее элементарных выска-
зываний.
Например, формула (х& г/) —> г является функцией
трех переменных f(x, у, z). Особенностью этой функции
является то обстоятельство, что ее аргументы принима-
ют одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом
функция также принимает одно из двух значений: ноль
или „единицу.
‘ Определение. Функцией алгебры логики п перемен-
ных (или функцией Буля) называется функция п пере-
менных, где каждая переменная принимает два значе-
ния: 0 и 1, и при этом функция может принимать толь-
ко одно из двух значений: 0 или 1.
Ясно, что тождественно истинные и тождественно
ложные формулы алгебры логики представляют собой
постоянные функции, а две равносильные формулы вы-
ражают одну и ту же функцию.
Выясним, каково число функций п переменных. Оче-
видно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу
алгебры логики) можно задать с помощью таблицы ис-
тинности, которая будет содержать 2В строк. Следователь-
но, каждая функция п переменных принимает 2" значе-
ний, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, фун-
кция п переменных полностью определяется набором зна-
чений из нулей и единиц длины 2". Общее же число на-
боров, состоящих из нулей и единиц, длины 2" равно
24 Курс лекций по математической логике
22". Значит, число различных функций алгебры логики
лП
п переменных равно 2 .
В частности, различных функций одной переменной
четыре, а различных функций двух переменных шест-
надцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и
двух переменных.
Рассмотрим таблицу истинности для различных
функций одной переменной. Она, очевидно, имеет вид:
X А(х) /3(*)
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
Из этой таблицы следует, что две функции одной пе-
ременной будут постоянными: 4(х)^1, /4(х) = 0, а
/з(х) = х, и /3(х) = х.
Таблица истинности для всевозможных функций двух
переменных имеет вид:
fi = fi(x,y)
X у д А А А А А А А А До /„ До /„ Д< Д, Д«
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0
Ясно, что аналитические выражения этих функций
могут быть записаны следующим образом:
h * 1. f& = х&у, fg = X<^y, fi3=y~+ X,
f2 = xvy, flO = У’ /14 = X y,
f3 = y-+x, h = x<^>y, fll = У’ /15 s X&y,
f4 = x-+y, fs=x, 712 -xv y, /16 - °-
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 25
§ 8. Представление произвольной функции
алгебры логики в виде формулы алгебры логики
Пусть Г(Х1,х2,...,хв) - произвольная функция алгеб-
ры логики п переменных.
Рассмотрим формулу
,1)&Хх&Х2&...&Хп v
v ,1,... Д,0)& х2&... & x„_j& хп v
которая составлена следующим образом: каждое слагае-
мое этой логической суммы представляет собой конъюн-
кцию, в которой первый член является значением функ-
ции F при некоторых определенных значениях перемен-
ных xs, х2хп , остальные же члены конъюнкции пред-
ставляют собой переменные или их отрицания. При этом
под знаком отрицания находятся те и только те пере-
менные, которые в первом члене конъюнкции имеют зна-
чение 0.
Вместе с тем формула (1) содержит в виде логичес-
ких слагаемых всевозможные конъюнкции указанного
вида.
Ясно, что формула (1) полностью определяет функ-
цию Г(х:,х2,...,хп). Иначе говоря, значения функции F
и формулы (1) совпадают на всех наборах значений пере-
менных Xj , х2,...,х„.
Например, если xt принимает значение 0, а осталь-
ные переменные принимают значение 1, то функция F
принимает значение Г(ОДД,.. .1). При этом логическое
слагаемое F(0,l,...1)&Xi&x2&...&x„ , входящее в форму-
лу (1), принимает также значение F(0,l,...l), все ос-
тальные логические слагаемые формулы (1) имеют зна-
чение 0. Действительно, в них знаки отрицания над
26 Курс лекций по математической логике
переменными распределяются иначе, чем в рассмотрен-
ном слагаемом, но тогда при замене переменных теми же
значениями в конъюнкцию войдет символ 0 без знака от-
рицания, символ 1 под знаком отрицания. В таком слу-
чае один из членов конъюнкции имеет значение 0, а по-
этому вся конъюнкция имеет значение 0. В связи с этим
на основании равносильности х v 0 = х значением фор-
мулы (1) является F(0,l,. •. ,1).
Ясно, что вид формулы (1) может быть значительно
упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые,
в которых первый член конъюнкции имеет значение О
(и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0).
Если же в логическом слагаемом первый член конъюнк-
ции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью
1& х = х, этот член конъюнкции можно не выписывать.
Таким образом, в результате получается формула (1),
которая содержит только элементарные переменные выс-
казывания и обладает следующими свойствами:
1) Каждое логическое слагаемое формулы содержит
все переменные, входящие в функцию Е(х1,х2,...,хп).
2) Все логические слагаемые формулы различны.
3) Ни одно логическое слагаемое формулы не содер-
жит одновременно переменную и ее отрицание.
4) Ни одно логическое слагаемое формулы не содер-
жит одну и ту же переменную дважды.
Перечисленные свойства будем называть свойства-
ми совершенства или, коротко, свойствами (С).
Из приведенных рассуждений видно, что каждой не
тождественно ложной функции соответствует единствен-
ная формула указанного вида.
Если функция Е(х1,х2,...,х„) задана таблицей ис-
тинности, то соответствующая ей формула алгебры ло-
гики может быть получена просто. Действительно, для
каждого набора значений переменных, на котором фун-
кция F(x1,x2y...yxn] принимает значение 1, запишем
конъюнкцию элементарных переменных высказываний,
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 27
взяв за член конъюнкции xh, если значение xk на ука-
занном наборе значений переменных есть 1 и отрицание
xk, если значение xh есть 0. Дизъюнкция всех записан-
ных конъюнкций и будет искомой формулой.
Пусть, например, функция f(xi,x2,x3) имеет следу-
ющую таблицу истинности:
*1 Х2 хз F(x1,x2,x3)
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
Для наборов значений переменных (1Д»0), (1Д1), (0Д>0),
(0,0,0) , на которых функция принимает значение 1, запишем
конъюнкции х1&х2&х3, Xj&x2&x3, хх&х2&ха,
х1&х2&.ха, а искомая формула, обладающая свойствами
(С) , имеет вид:
хх& х2& х3 v хх& х2& х3 v хх& х2& х3 v Xj& х2& х3.
§ 9. Закон двойственности
Пусть формула А содержит только операции конъ-
юнкции, дизъюнкции и отрицания.
Будем называть операцию конъюнкции двойствен-
ной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции
двойственной операции конъюнкции.
Определение. Формулы А и А* называются двой-
ственными, если формула А* получается из формулы А
путем замены в ней каждой операции на двойственную.
Например, для формулы A s (х v у)& z двойственной
формулой будет формула А* = (х& у) v z.
28 Курс лекций по математической логике
Теорема. Если формулы А и В равносильны, то
равносильны и им двойственные формулы, то есть
А* = В*.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если для формулы А(х1,х2,...х„) двойствен-
ной формулой является А *(х1,х2,...х„), то справедлива
равносильность
А(х1,х2,...х„) = А*(хх,х2,...хп).
Доказательство. Для элементарной формулы утвер-
ждение леммы очевидно. Действительно, если A(xJ = хх,
то А * (xt) = Xj, Z(xi) = х,, A* (xi) = Xj и А(хг) = A* (xj.
Пусть теперь утверждение леммы справедливо для
всяких формул, содержащих не более k операций. Дока-
жем, что при этом предположении утверждение справед-
ливо и для формулы, содержащей k +1 операцию.
Пусть формула А(х1,х2,...хп) содержит k + 1 опера-
цию. Тогда ее можно представить в одном из трех видов:
1) А(х1,х2,...хп) = А1(х1,х2,...хп),
2) A(xpx2,...x„) = А1(х1>х2,...хл)уЛ2(х1,х2,...хл))
3) А(х1,х2,...хп) = А1(х1,х2,...х„)&А2(х1,х2,...хп),
где формулы А1^х1,х2,..,х„) и А2(х1гх2,...х„) содержат
не более k операций, и, следовательно, для них утверж-
дение справедливо, то есть
Л1(х1,х2,...х„) = A^{xltx2,...xn),
•^•2(^1» Х2' ••• Хп) = Аг(^1’ Х2’ ••• Хп) •
В случае 1) имеем А* = А? , а поэтому
A(xi,x2,...x„)^ А1(х1,х2,...х„) = Ai(xi,x2,-xn) = A*(xi,x2,...x„)
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 29
В случае 2) имеем А* = (Ar v А2)* = Aj & А2, а поэтому
А(хх,х2,...xn) = Aj^Xj,х2,...хп ) v A^Xt,х2,... хп) =
А1(х1,х2,...х„)&А2(х1,х2,...хп) =
S Al (Xi, х2,... х„ )& А2 (Xi, х2,... х„ ) = А * (х!, х2,... х„).
Аналогичное доказательство проводится и в случае 3).
Докажем теперь закон двойственности.
Пусть формулы А(х1,х2,...хп) и В(х1,х2,...хп) равно-
сильны:
A(xj, х2,... х„) = B(xj, х2,... х„).
Но тогда, очевидно,
А^х^, х2,... хп ) = B(xj, х2,... хп 1)
В то же время, согласно лемме,
А(хп х2, ... х„) = А*(х1, х2,... х„),
В(х1,х2,...хп j = В (х1,х2,...х„).
Из равносильностей (1) и (2) получаем
A (xj,х2,...хп) = В (xj,х2,...х„ j,
и, следовательно,
А ^х1,х2,...хп) = В (xj,x2,...xn).
§ 10. Дизъюнктивная нормальная форма и
совершенная дизъюнктивная нормальная
форма (ДНФ и СДНФ)
Определение 1. Элементарной конъюнкцией п пере-
менных называется конъюнкция переменных или их от-
рицаний.
Элементарная конъюнкция п переменных может быть
записана в виде: х^ & х^ &... & х%,
30 Курс лекций по математической логике
где х% =
fa'
Iх*»
если
если
4=0-
Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой
(ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму-
ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных
конъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равно-
сильных преобразований можно получить ее ДНФ, при-
чем не единственную.
Например, для формулы А = х& (х -> у) имеем:
А = х& (х v г/) = (х& х) v (х& z/) s х& у , то есть
ДНФ А м (х& х) v (х& у),
ДНФ А = х&у.
Среди многочисленных ДНФ А существует единствен-
ная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные
выше четыре свойства совершенства (свойства (С)).
Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктив-
ной нормальной формой формулы А ( СДНФ А ).
Как уже указывалось, СДНФ А может быть получе-
на с помощью таблицы истинности.
Другой способ получения СДНФ формулы А основан
на равносильных преобразованиях формулы и состоит в
следующем:
1. Путем равносильных преобразований формулы А
получают одну из ДНФ А.
2. Если в полученной ДНФ А входящая в нее эле-
ментарная конъюнкция В не содержит переменную хг,
то, используя равносильность B&(xf vxjs В , элемен-
тарную конъюнкцию В заменяют на две элементарных
конъюнкции (В&х4) и (В&х,), каждая из которых со-
держит переменную х;.
3. Если в ДНФ А входят две одинаковых элементар-
ных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользу-
ясь равносильностью BvBsB.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 31
4. Если некоторая элементарная конъюнкция В, вхо-
дящая в ДНФ А, содержит переменную хг и ее отрица-
ние хг, то В = 0, и В можно исключить из ДНФ А, как
нулевой член дизъюнкции.
5. Если некоторая элементарная конъюнкция, вхо-
дящая в ДНФА, содержит переменную х( дважды, то
одну переменную можно отбросить, пользуясь равносиль-
ностью Xi&Xi = xf.
Ясно, что после выполнения описанной процедуры
будет получена СДНФ А .
Например, для формулы А = х v у& (х v г/) ДНФ А =
= XVх&у Vу&у.
Так как элементарная конъюнкция В = х , входящая
в ДНФ А, не содержит переменной у, то, пользуясь
равносильностью В = В& (yvy} = х& (yvy} = х& у v х& у ,
заменим ее на две элементарных конъюнкции х& у и х& у .
В результате получим ДНФ А = х& у v х& у v х& у v у&у .
Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых
элементарных конъюнкции х& у , то лишнюю отбросим,
пользуясь равносильностью х& у v х& у = х& у. В резуль-
тате получим ДНФ А = х& у v х& у v у&у .
Так как элементарная конъюнкция у&.у содержит
переменную у и ее отрицание у , то у&у = О, и ее можно
отбросить как нулевой член дизъюнкции.
Таким образом, получаем
СДНФ А = х& у v х& у .
§ 11. Конъюнктивная нормальная форма
и совершенная конъюнктивная нормальная форма
(КНФ и СКНФ)
Определение 1. Элементарной дизъюнкцией п пере-
менных называется дизъюнкция переменных или их от-
рицаний.
32 Курс лекций по математической логике
Элементарная дизъюнкция п переменных может быть
записана в виде:
Х1 V Х2 V- • »
_ Л еСЛИ =
где хк* =<_
[хА, если Sk = 0.
Определение 2. Конъюнктивной нормальной формой
(КНФ) формулы А называется равносильная ей форму-
ла, представляющая собой конъюнкцию элементарных
дизъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равносиль-
ных преобразований можно получить ее КНФ, причем не
единственную. ____
Например, для формулы А = х v у <-> х& у имеем:
A s (х v у -> х&у)&|х&у -> х v у) s
= (х V х V 1/)&(х V у V 1/)&(х V у V х)&(х V у V у) , то есть
КНФ А = (х v х v г/)&(х v у v у)&(х v у v х)&(х v у v у).
Но так как xv х = х, у v у = у, хмх = х, у v у s у,
то КНФ А = (х v у)&(х v у)&(х v у)&(х v у).
А так как (х v г/)&(х v у) = (х vу), (х v г/)&(х vy) = (х vy),
то КНФ А = (х v у)&(х v у).
Определение 3. КНФ А называется совершенной
конъюнктивной нормальной формой формулы А
( СКНФ А ), если для нее выполнены условия:
1. Все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФ А, различны.
2. Все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФ А , содержат все переменные.
3. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в
КНФ А, не содержит двух одинаковых переменных.
4. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в
КНФ А, не содержит переменную и ее отрицание.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 33
Можно доказать, что каждая не тождественно истин-
ная формула имеет единственную СКНФ.
Один из способов получения СКНФ состоит в исполь-
зовании таблицы истинности для формулы А.
Действительно, получив с помощью таблицы истин-
ности СДНФ А , мы получим СКНФ А , взяв отрицание
СДНФ А , то есть СКНФ А ж СДНФ А .
Другой способ получения СКНФ, использующий рав-
носильные преобразования, состоит в следующем:
1. Путем равносильных преобразований формулы А
получают одну из КНФ А.
2. Если в полученной КНФ А входящая в нее эле-
ментарная дизъюнкция В не содержит переменную xt,
то, используя равносильность В v (xf&x() = В, элементар-
ную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъ-
юнкции В v xf и В v xf, каждая из которых содержит
переменную х/.
3. Если в КНФ А входят две одинаковых элементар-
ных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить,
пользуясь равносильностью В& В = В .
4. Если некоторая элементарная дизъюнкция, вхо-
дящая в КНФ А, содержит переменную xt дважды, то
лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью
X; V X, = X, .
5. Если некоторая элементарная дизъюнкция, вхо-
дящая в КНФ А, содержит переменную х( и ее отрица-
ние, то xf v xj = 1 и, следовательно, вся элементарная
дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно от-
бросить, как единичный член конъюнкции.
Ясно, что после описанной процедуры будет получе-
на СКНФ А.
Например, для формулы А = х v у&(х v у) КНФ А =
S (х vy)&(x vx vy).
2 Зак. 1229
34 Курс лекций по математической логике
Так как обе элементарные дизъюнкции различны и
содержат все переменные (х и у), то первое и второе усло-
вия СКНФ А выполнены.
Элементарная дизъюнкция х v х v у содержит пере-
менную х дважды, но х v х s х, и поэтому КНФ A s
= (х v у)& (х v у); причем ни одна из элементарных дизъ-
юнкций не содержит переменную и ее отрицание. Зна-
чит, теперь выполнены все условия СКНФ А , и, следо-
вательно, СКНФ 4 s (х v у )& (х v у).
§ 12. Проблема разрешимости
Все формулы алгебры логики делятся на три класса:
1) тождественно истинные,
2) тождественно ложные и
3) выполнимые.
Определения тождественно истинной и тождествен-
но ложной формул даны выше.
Формулу А называют выполнимой, если она прини-
мает значение «истина» хотя бы на одном наборе значе-
ний входящих в нее переменных и не является тожде-
ственно истинной.
В связи с этим возникает задача: к какому классу
относится данная формула?
Эта задача носит название проблемы разрешимости.
Очевидно, проблема разрешимости алгебры логики
разрешима.
Действительно, для каждой формулы алгебры логи-
ки может быть записана таблица истинности, которая и
даст ответ на поставленный вопрос.
Однако практическое использование таблицы истин-
ности для формулы А(х1,х2,...,хл) при больших п зат-
руднительно.
Существует другой способ, позволяющий, не исполь-
зуя таблицы истинности, определить, к какому классу
относится формула А. Этот способ основан на приведе-
нии формулы к нормальной форме (КНФ или ДНФ) и
использовании алгоритма, который позволяет определить,
является ли данная формула тождественно истинной или
алгебра ЛОГИКИ 35
не является. Одновременно с этим решается вопрос о
том, будет ли формула А выполнимой.
Предположим, что мы имеем критерий тождествен-
ной истинности для формул алгебры логики. Рассмот-
рим механизм его применения.
Применим критерий тождественной истинности к
формуле А. Если окажется, что формулаА - тождественно
истинная, то задача решена. Если же окажется, что фор-
мула А не тождественно истинная, то применим крите-
рий тождественной истинности к формуле А. Если ока-
Ькется, что формула А - тождественно истинная, то ясно,
что формула А - тождественно ложная, и задача решена.
Если же формула А не тождественно истинная, то оста-
ется единственно возможный результат: формула А вы-
полнима.
Установим теперь критерий тождественной истин-
ности произвольной формулы алгебры логики. С этой
целью предварительно сформулируем и докажем кри-
терий тождественной истинности элементарной дизъ-
юнкции.
Теорема 1. Для того, чтобы элементарная дизъюнк-
ция была тождественно истинной, необходимо и доста-
точно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отри-
цание.
Доказательство. Необходимость. Пусть элементарная
дизъюнкция тождественно истинна, но в нее одновремен-
но не входит некоторая переменная и ее отрицание. При-
дадим каждой переменной, входящей в элементарную
дизъюнкцию без знака отрицания, значение ложь, а каж-
дой переменной, входящей в элементарную дизъюнкцию
под знаком отрицания - значение «истина». Тогда, оче-
видно, вся элементарная дизъюнкция примет значение
ложь, что противоречит условию.
Достаточность. Пусть теперь элементарная дизъюн-
кция содержит переменную и ее отрицание. Так как
xt v xt = 1, то и вся элементарная дизъюнкция будет тож-
дественно истинной.
Критерий тождественной истинности элементарной
дизъюнкции позволяет сформулировать и доказать
36 Курс лекций по математической логике
критерии тождественной истинности произвольной фор-
мулы- алгебры логики.
Теорема 2. Для того, чтобы формула алгебры логи-
ки А была тождественно истинна, необходимо и дос-
таточно, чтобы любая элементарная дизъюнкция, вхо-
дящая в КНФ А, содержала переменную и ее отрица-
ние.
Доказательство. Необходимость. Пусть А - тожде-
ственно истинна. Тогда и КНФ А — тождественно истин-
на. Но КНФ А = А2&...&А„ , где Д - элементарные
дизъюнкции (i = 1,2,..., п). Так как КНФ А = 1, то Д - 1
(i = 1,2,...,п). Но тогда по теореме 1 каждая элементар-
ная дизъюнкция Д содержит переменную и ее отрица-
ние.
Достаточность. Пусть любая элементарная дизъ-
юнкция Д , входящая в КНФ А, содержит переменную и
ее отрицание. Тогда по теореме 1 Д =1 (i = 1,2,..., п).
При этом и КНФ А = 1.
Например, выясним, является ли формула А s
= у у у& х v х&у тождественно истинной.
Так как А = у v у&(х v х) = (у v у)&(у v х v х) , то
ясно, что каждая элементарная дизъюнкция учу и
у v х v х , входящая в КНФ А, содержит переменную и ее
отрицание. Следовательно, A s 1.
Аналогично можно установить критерий тожде-
ственной ложности формулы алгебры логики, исполь-
зуя ее ДНФ.
Теорема 3. Для того, чтобы элементарная конъюн-
кция была тождественно ложной, необходимо и доста-
точно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отри-
цание.
Теорема 4. Для того, чтобы формула алгебры логики
А была тождественно ложной, необходимо и достаточ-
но, чтобы любая конъюнкция, входящая в ДНФ А, содер-,
жала переменную и ее отрицание.
алгебра ЛОГИКИ 37
§ 13. Некоторые приложения алгебры логики
1. Приложения алгебры логики в технике (релейно-
контактные схемы).
Среди технических средств автоматизации значитель-
ное место занимают устройства релейно-контактного
действия. Они широко используются в технике автома-
тического управления, в электронно-вычислительной
технике и т.д.
Эти устройства (их в общем случае называют пере-
ключательными схемами) содержат сотни реле, элект-
ронных ламп, полупроводников и электромагнитных
элементов. Описание и конструирование таких схем в
силу-, их громоздкости весьма затруднительно.
Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал на воз-
можность применения аппарата алгебры логики при
исследовании релейно-контактных схем (РКС). Однако
его идеи стали реализовываться значительно позже, когда
создание общей теории конструирования РКС стало ост-
ро необходимым.
Использование алгебры логики в конструировании
РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой
схеме можно поставить в соответствие некоторую фор-
мулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логи-
ки реализуется с помощью некоторой схемы.
Это обстоятельство позволяет выявить возможности
заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а
упрощение схемы свести к упрощению формулы.
С другой стороны, до построения схемы можно зара-
нее описать с помощью формулы те функции, которые
схема должна выполнять.
Рассмотрим, как устанавливается связь между фор-
мулами алгебры логики и переключательными схемами.
Под переключательной схемой понимают схематичес-
кое изображение некоторого устройства, состоящего из
следующих элементов:
1) переключателей, которыми могут быть механичес-
кие действующие устройства (выключатели, переключа-
ющие ключи, кнопочные устройства и т. д.), электромаг-
нитные реле, электронные лампы, полупроводниковые
элементы и т.п.;
38 Курс лекций по математической логике
2) соединяющих их проводников;
3) входов в схему и выходов из нее (клемм, на кото-
рые подается электрическое напряжение). Они называ-
ются полюсами схемы.
Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не
изображаются.
Переключательной схемой принимается в расчет
только два состояния каждого переключателя, которые
называют «замкнутым» и «разомкнутым».
Рассмотрим простейшую схему, содержащую один
переключатель Р и имеющую один вход А и один выход
В. Переключателю Р поставим в соответствие высказы-
вание р, гласящее: «Переключатель Р замкнут». Если р
истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может
быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в
этом случае говорить, что схема проводит ток. Если р
ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не
проводит или на полюсе В снимается минимальное напря-
жение при подаче на полюс А максимального напряже-
ния.
Если принять во внимание не смысл высказывания,
а только его значение, то можно считать, что любому
высказыванию может быть поставлена в соответствие
переключательная схема 1.
Р
В
А
Схема 1.
Формулам, включающим основные логические опе-
рации, также могут быть поставлены в соответствие пе-
реключательные схемы.
Конъюнкция двух высказываний р viq будет представ-
лена двухполюсной схемой с последовательным соедине-
нием двух переключателей Р и Q (схема 2) .
Р
Q
А
В
Схема 2.
алгебра ЛОГИКИ 39
Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда
истинны ир, и g одновременно, то есть истинна конъюн-
кция p&q.
Дизъюнкция двух высказываний р и q изобразится
двухполюсной схемой с параллельным соединением двух
переключателей Р и Q (схема 3).
Схема 3.
Эта схема пропускает ток в случае, если истинно
высказывание р или истинно высказывание q, то есть
истинна дизъюнкция pv q .
Если высказывание р есть отрицание высказывания
р, то тождественно истинная формула р v р изображает-
ся схемой, которая проводит ток всегда (схема 4), а тож-
дественно ложная формула р&.~р изобразится схемой,
которая всегда разомкнута (схема 5),
Схема 5.
40 Курс лекций по математической логике
Из схем 1, 2 и 3 путем последовательного и парал-
лельного их соединения могут быть построены новые
двухполюсные переключательные схемы, которые назы-
вают П-схемами.
Как было показано, всякая формула алгебры логики
путем равносильных преобразований может быть пред-
ставлена в виде формулы, содержащей только две опера-
ции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и от-
рицание. Из этого следует, что всякая формула алгебры
логики может быть изображена П-схемой и, обратно,
для любой П-схемы может быть записана формула, ко-
торая изображается этой схемой.
Пример 1. Формуле L = (х& у) v (х& у) соответствует
схема 6:
Схема 6.
Пример 2. Для П-схемы 7
Схема 7.
алгебра ЛОГИКИ 41
соответствующая формула алгебры логики имеет вид:
L s (x&y&2)v(x&y&2)v(x&y&2)v(x&y&z).
Упростим эту формулу следующим образом:
L = ((х& у& z) v (х& у& z)j v ((х& у& 2) v (х& у & z)j v
v ((х& у& z) v (х& у& z)j s ((г/& z)& (х v х)) v
V ((х& z)& (у V у)) V ((х& у)& (z V z)j -
= (y&z) v (x& z) V («&!/)-((XVl/)&z) v(x&l/).
Последней формуле соответствует П-схема 8:
Схема 8.
Из примера 2 следует, что для некоторых РКС путем
равносильных преобразований соответствующей форму-
лы алгебры логики можно получить РКС, содержащую
меньшее число переключателей. Проблема решения этой
задачи носит название проблемы минимизации.
Приведем пример построения РКС по заданным усло-
виям с оценкой числа контактов.
Пример 3. Построить контактную схему для оценки
результатов некоторого спортивного соревнования тре-
мя судьями при следующих условиях: судья, засчитыва-
ющий результат, нажимает имеющуюся в его распоря-
жении кнопку, а судья, не засчитывающий результат,
кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не
менее двух судей, должна загореться лампочка (положи-
тельное решение судей принято простым большинством
голосов).
42 Курс лекций по математической логике
Решение. Ясно, что работа нужной РКС описывается
функцией Буля трех переменных f(x, у, z) , где перемен-
ные высказывания х, у, z означают:
х - судья х голосует «за»,
у - судья у голосует «за»,
z ~ судья z голосует «за».
Таблица истинности функции f(x, г/, z) , очевидно,
имеет вид:
X У Z F(x,y,z)
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
В связи с этим СКНФ формулы (функции) F(x,y,z)
запишется в виде
F{x, у, z) s х& у& z v х& у& z v х& у & z v х& г/& z.
А этой формуле соответствует РКС, изображенная на
схеме 7, которая содержит двенадцать переключателей.
Но как было показано, в результате равносильных
преобразований формула Р(х, у, z) может быть приведена
к виду:
Р(х, у, г) = (х v у)& z v (х& у),
которому соответствует РКС, изображенная на схеме 8,
содержащей пять переключателей.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 43
2. Решение логических задач
методами алгебры логики.
Суть применения методов алгебры логики к решению
логических задач состоит в том, что, имея конкретные
условия логической задачи, стараются записать их в виде
формулы алгебры логики. В дальнейшем путем равносиль-
ных преобразований упрощают полученную формулу.
Простейший вид формулы, как правило, приводит к от-
вету на все вопросы задачи.
Покажем на ряде конкретных примеров, как исполь-
зовать возможности алгебры логики для решения элемен-
тарных логических задач.
Пример 1. Пытаясь вспомнить победителей прошло-
годнего турнира, пять бывших зрителей турнира зая-
вили:
1. Антон был вторым, а Борис - пятым.
2. Виктор был вторым, а Денис - третьим.
3. Григорий был первым, а Борис - третьим.
4. Антон был третьим, а Евгений - шестым.
5. Виктор был третьим, а Евгений — четвертым.
Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошиб-
ся в одном из двух своих высказываний. Каково было
истинное распределение мест в турнире?
Решение. Будем обозначать высказывания зрителей
символом Ху, где X - первая буква имени участника
турнира, а у - номер места, которое он занял в турнире.
Так как в паре высказываний каждого зрителя одно
истинно, а второе ложно, то будут истинными дизъюнк-
ции этих высказываний
Ag v Б6 = 1, В2 v Д3 = 1, Г( v Б3 -- 1, Ag v Е6 = 1, В3 v Е* = 1.
Но тогда будет истинной и формула
L з (А2 v В5)&(В2 v Дз)&(Г1 v Б3)&(Аз v £6)&(В3 v Е4).
Путем простых равносильных преобразований легко
показать, что L = А3&Б3&В2& 1\& Е4 . Но L = 1 и, зна-
чит, Ag = 1, В5 = 1, В2 = 1, = 1, Et = 1, что и дает от-
вет на вопрос задачи.
44 Курс лекций по математической логике
Пример 2. Жили четыре мальчика: Альберт, Карл,
Дидрих и Фридрих. Фамилии друзей те же, что и имена,
только так, что ни у кого из них имя и фамилия не были
одинаковы. Кроме того, фамилия Дидриха не была Аль-
берт. Требуется определить фамилию каждого из мальчи-
ков, если известно, что имя мальчика, у которого фами-
лия Фридрих, есть фамилия того мальчика, имя которо-
го - фамилия Карла.
Решение. Поставим в соответствие каждому маль-
чику символ Ху, где X - имя, а У - фамилия мальчика.
Тогда по условию задачи ложны высказывания:
At’ Дд’ &ф’ Да*
но есть мальчик Ух такой, что истинна конъюнкция
Хф& Yx&Ку.
Очевидно, что X Ф Ф, X Ф К, Y Ф Ф, Y £ К.
Тогда возможны два случая:
1) X = А и У Д ,
2) Х = Д и У = А.
Но первый случай невозможен, так как здесь
Ух = Да > а п° условию Да = 0.
Следовательно, имеет место второй случай. Значит,
Дидрих имеет фамилию Фридрих, Альберт имеет фами-
лию Дидрих, Карл имеет фамилию Альберт, а Фридрих
имеет фамилию Карл.
Пример 3. По подозрению в совершенном преступле-
нии задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них
был уважаемым в городе стариком, другой был малоиз-
вестным чиновником, третий — известным мошенником.
В процессе следствия старик говорил правду, мошенник
лгал, а третий задержанный в одном случае говорил
правду, а в другом - ложь. Вот, что они утверждали:
Браун: «Я совершил это. Джон не виноват».
Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил
Смит».
Смит: «Я не виноват, виновен Браун».
Определите имя старика, мошенника и чиновника и
кто из них виноват, если известно, что преступник один.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 45
Решение. Обозначим буквами Б, Д и С высказывания:
виноват Браун, виноват Джон, виноват Смит соответст-
венно. Тогда утверждения, высказанные задержанными,
можно записать в виде конъюнкций: Б&Д, Б&С, Б&С,
из которых, по условию задачи, две ложны, а одна ис-
тинна.
Поэтому будет истинной формула
L = (б& Д) v (Б&С) v (б& С).
Таблица истинности этой формулы имеет вид:
Б Д с Б&Д С&Б Б&С L
1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0
Отсюда видно, что формула L истинна в пяти из
восьми занумерованных случаев. Случай 4 следует ис-
ключить из рассмотрения, так как здесь оказываются
истинными две конъюнкции, а это противоречит усло-
вию задачи. В случаях 2, 3 и 5 оказываются истинными
по два высказывания: БиД, БиС, ДиС соответственно,
что также противоречит условию задачи. Следователь-
но, справедлив случай 7, то есть преступник — Смит.
Он - известный мошенник, и оба его высказывания лож-
ны: Б& С = 0. При этом высказывания Б и Д ложны.
Значит, истинна пара высказываний Джона, а у Брауна
первое высказывание ложно, а второе истинно. Отсюда
ясно, что Джон - уважаемый в городе старик, а Браун -
малоизвестный чиновник.
ГЛАВА II
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Давая описание алгебры высказываний, мы пользо-
вались логическими значениями высказываний (истина,
ложь). Но понятия истинности и ложности не математи-
ческие. Эти понятия во многих случаях субъективны и
скорее относятся к философии.
В связи с этим желательно построить математичес-
кую логику, не пользуясь понятиями истинности и лож-
ности. Необходимо также при этом построении не приме-
нять самих законов логики.
Исчисление высказываний — это аксиоматическая ло-
гическая система, интерпретацией которой является ал-
гебра высказываний.
§ 1. Понятие формулы исчисления высказываний
Описание всякого исчисления включает в себя опи-
сание символов этого исчисления (алфавита), формул,
являющихся конечными конфигурациями символов, и
определение выводимых формул.
Алфавит исчисления высказываний состоит из сим-
волов трех категорий:
1. Символы первой категории: х, у, 2, ..., хх, х2, ....
Эти символы будем называть переменными высказыва-
ниями.
2. Символы второй категории: v, &, -» , _ . Они
носят общее название логических связок. Первый из
них — знак дизъюнкции или логического сложения,
второй - знак конъюнкции или логического умноже-
ния, третий - знак импликации или логического сле-
дования и четвертый - знак отрицания.
3. Третью категорию составляет пара символов ( ),
называемая скобками.
Других символов исчисление высказывания не име-
ет. Формулы исчисления высказываний представляют со-
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ -------------------
47
бой последовательности символов алфавита исчисления
высказываний. Для обозначения формул будем пользо-
ваться большими буквами латинского алфавита. Эти бук-
вы не являются символами исчисления. Они представля-
ют собой только условные обозначения формул.
Определение формулы исчисления высказываний.
1. Всякая переменная х, у, 2, ... является формулой.
2. Если А и В - формулы, то слова (А&В), (AvB),
(А -> В), А - также формулы.
3. Никакая другая строчка символов не является
формулой.
Переменные высказывания будем называть элемен-
тарными формулами.
Приведем примеры формул исчисления высказыва-
ний.
Переменные высказывания х, у, г являются форму-
лами согласно п. 1 определения формулы. Но тогда слова
(х&у), (х v г), (у -> г), х являются формулами согласно
п. 2 определения. По этой же причине будут формулами
слова: (х&у), ((xvz)&(y-> z)), ((x&y)-»(y->z)).
Очевидно, не являются формулами слова:
ху , &х, (х&у , xv у .
(в третьем из этих слов содержится не закрытая скобка,
а в четвертом — нет скобок).
Одновременно с понятием формулы вводится поня-
тие подформулы или части формулы.
1. Подформулой элементарной формулы является
только она сама.
2. Если формула имеет вид А, то ее подформулами
являются: она сама, формула А и все подформулы фор-
мулы А.
3. Если формула имеет вид (А * В) (здесь и в дальней-
шем под символом * будем понимать любой из трех сим-
волов v ,&,_>), то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул А и В.
48
Курс лекций по математической логике
^апрммер, для формулы 1(х&у) ->(г v уп ее подфор-
мулаМи буДУт-
у) (z v у)) - подформула нулевой глубины,
^с&у) , (zv уj - подформулы первой глубины,
f » У , (z V у) _ подформулы второй глубины,
- подформулы третьей глубины,
- подформула четвертой глубины.
I/’ г
2
Очевидно, что на самой большой глубине находятся
лишр элементарные формулы. Однако элементарные фор-
муль1 мо^ут быть и на ДРУГИХ глубинах.
^ведем в запись формул некоторые упрощения. Бу-
дем РпУскать в записи формул скобки по тем же прави-
лам что в алгебре высказываний.
ft связи с этими правилами формулы ((А& В) v с),
^v£i) > (G^ v -В) (£&^)) будем писать А& В v С ,
, Д v В -» C&D соответственно.
§ 2. Определение доказуемой формулы
Следующим этапом в построении исчисления выс-
Казр1ваний является выделение класса доказуемых
формул‘
Определение доказуемых формул имеет тот же ха-
рак^Р* что и определение формулы.
Сначала определяются исходные доказуемые форму-
лы (аксиомы), а затем определяются правила вывода,
котРРые позволяют из имеющихся доказуемых формул
полУчить новые доказуемые формулы.
Образование доказуемой формулы из исходных до-
казуемых формул путем применения правил вывода, на-
зывается выводом данной формулы из аксиом.
1. Система аксиом исчисления высказываний.
Система аксиом исчисления высказываний состоит
из (1 аксиом, которые делятся на четыре группы.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
49
Первая группа аксиом:
Ij X -> (у -> х) .
12 [х->(у-> г)) -> ((х -> у) -> (х -> г)).
Вторая группа аксиом:
IIj х& у -> х.
П2 х&у -> у.
П3 (г -> х) -> ((z -> у) -> (z -> х&у)).
Третья группа аксиом:
IIIj х -> х v у.
Ш2 у -> х v у
Ш3 (х -> z) -» ((у -» z) -»(х v у -» г)).
Четвертая группа аксиом:
IVt (х у) -> (у -> х).
IV2 х -> Я •
IV3 F -> х.
2. Правила вывода.
1. Правило подстановки.
Если формула А доказуема в исчислении высказыва-
ний, х переменная, В - произвольная формула исчисле-
ния высказываний, то формула, полученная в результате
замены в формуле А переменной х всюду, где она входит,
формулой В, является также доказуемой формулой.
Операция замены в формуле А переменной х форму-
лой В носит название подстановки и символически запи-
сывается так:
И-
X
Уточним сформулированное правило.
а) Если формула А есть переменная х, то подстановка
в
j(A) дает В.
X
SO Курс лекций по математической логике
б) Если формула А есть переменная у, отличная от х,
в
то подстановка дает А.
X
в) Если А - формула, для которой подстановка уже
определена, то подстановка В вместо х в отрицание А
в
есть отрицание подстановки, то есть подстановка J(-^)
в
дает f(^).
г) Если Aj и Аг - формулы, для которых подстановки
в
уже определены, то подстановка дает
X
В В
J(^)* J(a2).
X X
Если А - доказуемая формула, то будем писать |-А.
Тогда правило подстановки можно записать схематичес-
ки следующим образом:
м
в
l-fw
X
И читается эта запись так: «Если формула А доказу-
в
ема, то доказуема формула
2. Правило заключения.
Если формулы А и А -> В доказуемы в исчислении
высказываний, то формула В также доказуема.
Схематическая запись этого правила имеет вид:
[-А; |-А->В
кВ
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
S1
3. Определение доказуемой формулы.
а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.
б) Формула, полученная из доказуемой формулы пу-
тем применения подстановки вместо переменной х про-
извольной формулы В есть доказуемая формула.
в) Формула В, полученная из доказуемых формул А
и А -> В путем применения правила заключения, есть
доказуемая формула.
г) Никакая другая формула исчисления высказыва-
ний не считается доказуемой.
Процесс получения доказуемых формул будем назы-
вать доказательством.
Приведем примеры доказательств.
1. Доказать, что 1~А-> А (рефлексивность имплика-
ции).
Воспользуемся аксиомой 12:
Н* -> (у -> z)) -> ((х -> у) -> (х -» z))
X
и выполним подстановку J(l2) • Тогда получим
г
\-(х->(у->х))->((х->у)->(х->х)). (1)
Применяя правило заключения к аксиоме 12 и фор-
муле (1), получим
(—(х -> у) -> (х -> х). (2)
В формуле (2) осуществим подстановку
В2).
У
В результате получим доказуемую формулу
(х —> > (х —> х) • (3)
Применим правило заключения к аксиоме IV2 и форму-
ле (3). Это приводит к доказуемой формуле
(—х -> х. (4)
52
Курс лекций по математической логике
Наконец, осуществив подстановку в формуле (4) вме-
сто х формулы А, получим
|-А-> А.
2. Доказать, что |_x v у -у х&у •
Возьмем аксиому П3 и выполним в ней последова-
тельно две подстановки, заменяя сначала х на х , а затем
у на у . В результате получим доказуемую формулу
4*(1)
xvy
В формуле (1) выполним подстановку , получим
г
|-(* v у -> х) -> ((х v у -> у) -> (х v у -> x&i/)). (2)
Докажем, что формулы
xvi/->x (3)
и
X V у -> у (4)
доказуемы.
Возьмем аксиому IVjH выполним подстановку
хх/у
J(lVl), получим
У
|-(x->xvi/)->(xvi/->x). (5)
Применяя к формуле (5) и аксиоме IIIj правило зак-
лючения, получаем доказуемость формулы (3). Анало-
гично устанавливается доказуемость формулы (4).
Применим правило заключения к формулам (3) и
(2), получим доказуемую формулу
\-{xv у ^у}^>[хх/ у -+х&у^. (6)
Применяя правило заключения к формулам (4) и
(6), получаем доказуемость исходной формулы.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ -------------------
S3
§ 3. Производные правила вывода
Производные правила вывода, как и рассмотренные
правила подстановки и заключения, позволяют получать
новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью
правил подстановки и заключения, а поэтому являются
производными от них.
1. Правило одновременной подстановки.
Пусть А - доказуемая формула; х2, х2, ..., хп - перемен-
ные, а Вх, В2, ..., Вп — любые формулы исчисления
высказываний. Тогда результат одновременной подста-
новки в А вместо хх, х2, ..., х соответственно формул Вх,
В2...вп является доказуемой формулой.
Для доказательства этого правила выберем перемен-
ные Zp г2, ..., zn попарно различные и отличные от всех
переменных, входящих в формулы А, Вх, В2, Вп. Теперь
последовательно сделаем в формуле А п подстановок, за-
меняя сначала хх на zx, затем х2 на г2 и так далее и, нако-
нец, хп на га. Эти подстановки дают доказуемые формулы:
«1
I-JW
*1
^2
дает f-Ах, |- J(Ai) дает |-А2, ....
*2
Далее- проведем последовательно еще п подстановок
в формулу Ал, заменяя сначала zx на Вх, затем г2 на В2 и
так далее и, наконец, гп на Вл. Эти подстановки дают
доказуемые формулы
В„
h /(А) Дает l-Q, [- J(Ci) дает |~С2, .... |- J(C„_X) 1~СП.
г1 г2
Ясно, что доказуемая формула Сл получается в ре-
зультате одновременной подстановки в формулу А вмес-
то переменных хх, х2, ..., хл формул Вх, В2, ..., Вл.
Схематично операция одновременной подстановки
записывается в виде:
54
Курс лекций по математической логике
кА
2. Правило сложного заключения.
Второе производное правило применяется к форму-
лам вида
Ai -> (а2 -> (а3 -> (...(А„ -> £)•••)))
и формулируется так:
Если формулы А2........Ап и
Ах -> (А2 -+ (А3 -> (...(An -> L)...))) доказуемы, то и
формула L доказуема.
Это утверждение легко доказывается последователь-
ным применением правила заключения.
Действительно, если формулы
А и Д -> (А2 -> (Л -> (...(А„ -> Z)...)))
доказуемы, то по правилу заключения доказуема фор-
мула
А2 (А3 -> (...(А„ L)...)).
Но так как формулы Аг и А2 (А3 —>
(...(Л, -> ь)...))
доказуемы, то доказуема формула А3 (•••(Ага ->
Продолжая эти рассуждения, мы докажем наконец,
что формула L доказуема.
Правило сложного заключения схематично записы-
вается так:
Ьа1? Ьа2,
1~АП, [-Ах -> (а2 (а3 ->
(...(Л,->£>..)))
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ------------------- 55
3. Правило силлогизма.
Если доказуемы формулы А-> В и В С, то дока-
зуема формула А -> С > то есть
А —> В, |~В-»С
\-А->С
Для доказательства этого правила сделаем следую-
щие одновременные подстановки:
А,В,С В-*С,А
и /(’1).
х,у,г х,у
Получим доказуемые формулы
НА -> (В -> С)) -> ((А -> В) -> (А -> С)) , (1)
Р(В->С)-»(А-»(В->С)). (2)
Кроме того, по условию доказуемы формулы
|-А->В, (3)
hB^C. (4)
Из формул (4) и (2) по правилу заключения получаем
|-А->(В->С). (5)
Но тогда из формул (5) , (3) и (1) по правилу сложно-
го заключения имеем [_ а. -> С •
.4* Правило контрпозиции.
Если доказуема формула А —> В , то доказуема фор-
•=- - |-А->В
мула В —> А , то есть .
Для доказательства этого правила сделаем одновре-
менную подстановку:
А,в
Х,у
получим доказуемую формулу
[~(а -> в) -»р(в -> А).
(1)
56 ----------------Курс лекций по математической логике
Но по условию доказуема формула
рА->В. (2)
Из формул (2) и (1) по правилу заключения имеем
|-В -> А.
5. Правило снятия двойного отрицания.
а) Если доказуема формула А —> В , то доказуема
формула А —> В .
б) Если доказуема формула А —> В, то доказуема
формула А -> В .
РА-»В |Л-»В
Т° еСТЬ \-А^В И '
Для доказательства этого правила выполним подста-
новки
А в
J(IV2) и J(IY8),
X X
получим доказуемые формулы
!~А-»1, (1)
|-В->В. (2)
Но по условию а) доказуема формула
|-А->В. (3)
а по условию б) доказуема формула
(-J-»B. (4)
Таким образом, если выполнено условие а), то из
формул (3) и (2) по правилу силлогизма получаем
рА -> В.
Если же выполнено условие б), то из формул (1) и (4)
получаем |-А-»В.
§ 4. Понятие выводимости формулы
из совокупности формул
Будем рассматривать конечную совокупность фор-
мул Н = {А1,А2,...,Ал}.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 57
Определение формулы, выводимой из совокупнос-
ти Н.
1) Всякая формула Д е Н является формулой, вы-
водимой из Н.
2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.
3) Если формулы С и С —> В выводимы из совокуп-
ности Н, то формула В также выводима из Н.
Если некоторая формула В выводима из совокупно-
сти Н, то записывают Н[- В .
Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из
совокупности Н, совпадает с классом доказуемых фор-
мул в случае, когда совокупность Н содержит только
доказуемые формулы, и в случае, когда Н пуста.
Если же совокупность формул Н содержит хотя бы
одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводи-
мых из Н, шире класса доказуемых формул.
Пример. Доказать, что из совокупности формул
Н = {А, В} выводима формула А& В .
Доказательство. Так как АеН и В е И, то по оп-
ределению выводимой формулы
Я|-А, (1)
Н\-В. (2)
Возьмем аксиомы П3 и и выполним подстановки
А,В,А В,А
|(П3) и J(li). В результате получим доказуемые
х,у,г х,у
формулы, которые выводимы из Н по определению вы-
водимой формулы, то есть
Н[-(А А) -» ((А -> В) -» (А -> А& В)), (3)
Н\- В -> (А -> В) . (4)
Так как формула А —> А доказуема, то
Я^А->А. (5)
58
Курс лекций по математической логике
Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем:
ЯЦА -> В) -+ (А -> А& В). (6)
Из формул (2) и (4) по правилу заключения получаем:
Н[-А -> В. (7)
Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем:
Н\-А-+А&.В. (8)
И, наконец, из формул (1) и (8) получаем
Н\-А& В. (9)
Ясно, что при доказательстве выводимости формулы из
совокупности формул можно пользоваться не только основ-
ным правилом заключения, но и правилом сложного зак-
лючения. Тогда, пользуясь этим правилом, предложение (9)
можно получить из предложений (5), (7), (1) и (3).
§ 5. Понятие вывода
Определение. Выводом из конечной совокупности фор-
мул Н называется всякая конечная последовательность
формул Вр В2, ..., ВА, всякий член которой удовлетворяет
одному из следующих трех условий:
1) он является одной из формул совокупности Н,
2) он является доказуемой формулой,
3) он получается по правилу заключения из двух лю-
бых предшествующих членов последовательности Вр В2,
..., в„.
Как было показано в предыдущем примере, выводом
из совокупности формул Н = |А, В} является конечная
последовательность формул:
А,В,(А -> А) -» ((А -> В) -> (А -> А&В)), В (А -> В),
А -» А, (А -> В) -» (А А& В), А -» В, А -» А&В, А&В.
Если же здесь воспользоваться правилом сложного
заключения, то вывод можно записать так:
А,В,(А -> А) -> ((А -> В) -> (А -> А&В)),В -> (А -> В),
А -> А, А —> В, А& В.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ -------------------
59
Из определений выводимой формулы и вывода из
совокупности формул следуют очевидные свойства вы-
вода:
1) Всякий начальный отрезок вывода из совокупнос-
ти Н есть вывод из Н.
В самом деле, все формулы начального отрезка выво-
да удовлетворяют определению вывода.
2) Если между двумя соседними членами вывода из
Н (или в начале, или в конце его) вставить некоторый
вывод из Н, то полученная новая последовательность фор-
мул будет выводом из Н.
Действительно, например, если совокупности формул
Вр В2, Ве Вм,.... Вк и Ср С2, ..., Ст являются выводами
из Н, то совокупность Вр В2, ..., Bjt Ср С2, ..., Сп, В.+1, .... Вк,
по определению вывода, является выводом из Н.
3) Всякий член вывода из совокупности Н является
формулой, выводимой из Н.
Всякий вывод из Н является выводом его последней
формулы.
4) Если Н с W , то всякий вывод из Н является вы-
водом из W.
5) Для того, чтобы формула В была выводима из
совокупности Н, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовал вывод этой формулы из Н.
§ 6. Правила выводимости
Пусть Н и W - две совокупности формул исчисления
высказываний. Будем обозначать через Н, W их объеди-
нение, то есть Н, W = Н (J W.
В частности, если совокупность W состоит из одной
формулы С, то будем записывать объединение в
виде Н,С.
Рассмотрим основные правила выводимости.
Н\-А
Это правило следует непосредственно из определе-
ния вывода из совокупности формул.
во
Курс лекций по математической логике
Н,С\~А,Н\-С
1К Н\-А ‘
Доказательство. Так как по условию из совокупности
формул Н, С выводима формула А, то существует вывод из
Н, С, последней формулой которого является А:
вх, в2,Bk_v а. (1)
Так как по условию из совокупности формул Н выво-
дима формула С, то существует вывод из Н, последней
формулой которого является С:
^1» ^2..Ст’ (2)
Если в выводе (1) отсутствует формула С, то он
является выводом только из совокупности Н, и, значит,
из Н выводима А.
Если в выводе (1) одна из формул есть формула С (напри-
мер, формула В), то вставим между формулами В,4 и Вм вы-
вод из Н (2). В результате получим вывод только из Н-.
Вр в2, В_р Ср с2.....Ст, С, Bi+1, .... Bw, А.
И, следовательно, формула А выводима из Н.
TH H,C\-A,W\-C
H,W\-A
Доказательство. Так как Н, С|- А, то по правилу (I)
H,W,C\-A.
Так как W[-C , то также по правилу I Н, W|-C •
Используя теперь правило II, получаем Н, IF|- А •
iv
Я,С|-А
Доказательство. Так как из Н выводима формула
С -> А, то существует вывод из Н, на конце которого
стоит формула С А °
Bt, В2, ..., Bk_lS С->А. (1)
Присоединим теперь к совокупности формул Н фор-
мулу С. Получим совокупность формул Н, С. При этом,
добавляя к выводу (1) формулу С, мы получим вывод
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ------------------- 61
Bv В2, Bk V СА, С. (2)
который является выводом из Н, С.
Но в конце вывода (2) можно записать формулу А,
которая получается из формул С А и С по правилу
заключения.
Следовательно, имеем вывод из совокупности Н, С
Вр В2, .... Bh_lt С->А,С,А,
последней формулой которого является формула А, то
есть Н,С[-А.
v m Н,С\-А
V. Теорема дедукции: —г-2—!---.
Н|—С —> А
Доказательство. Предварительно докажем, что для
любого вывода Вр В2, ..., Вк из совокупности Н, С спра-
ведливо утверждение: Н\-СВк. Доказательство про-
ведем методом математической индукции.
1. При k = 1 утверждение справедливо. Действитель-
но, если Bt есть вывод из Н, С, то возможны три случая:
а) Вх е Н ,
б) Bt - доказуемая формула,
в) В± есть С.
В случаях а) и б) можно записать вывод из Н: Вр
Вх —> (С —> Bt), С Вх и, следовательно, Н|-С —> В1.
В случае в) фактически нужно доказать, что
Н[-С —> С - Но формула С С доказуема и поэтому вы-
водима из любой совокупности.
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливо для любого вывода длины i < k и докажем, что оно
справедливо для вывода длины k.
Пусть Вр В2, ..., Вк - вывод из Н, С. Ясно, что здесь
k > 1, и поэтому относительно формулы Вк возможны
четыре случая:
a) Bft еЯ,
б) Вк - доказуемая формула,
с) Bfe есть С,
г) Вк получается по правилу заключения из двух
формул, предшествующих ей в выводе.
S2 Курс лекций по математической логике
Для первых трех случаев доказательство утвержде-
ния Н\-С -> Bk полностью совпадает с доказательством,
проведенным при k = 1.
Рассмотрим четвертый случай. Так как здесь фор-
мула Bk получается из двух формул В. и В при i < k и
j < k и , то формула Bj должна иметь вид В( -> Bk, при-
чем справедливы утверждения
М-С->Вг, (1)
Н(-С->(В^ВА). (2)
Воспользуемся аксиомой 12, выполнив в ней подста-
новку
С,врв*
/(b)-
х,у,г
Получим доказуемую формулу
|_(с -> (в, -> В*)) -> ((С -> Bt) -» (С -> BJ). (3)
Формулы (2) , (1) и (3) выводимы из Н. Применяя к
ним правило сложного заключения, получим НрС -> Bft.
Вернемся теперь к общему случаю. Пусть Н,С[-А-
Тогда существует вывод Вх, В2, ..., Вм, А из Н, С. При
этом по доказанному справедливо утверждение Н[-С -» А.
Важным следствием из теоремы дедукции является
Обобщенная теорема дедукции:
{CltC2,...,Ck}\-A
l-Cj-> (с2-> (с3->...(сй-> а)...))*
Доказательство. Обозначим через Hk совокупность
формул
Hk = {cuc2,...,ck}.
По условию ПЛ[-А или Hk_lt Cft[-A. Но тогда по те-
ореме дедукции справедливо утверждение Hk_1\-Ck -> А.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ -------------------
63
Так как H/g-i = Н^^С^, то справедливо утверж-
дение
Hk-2’Ck-i]rCk А-
Используя и здесь теорему дедукции, получим
-> (с» -> А>
Проделав эту процедуру k раз, мы придем к утверж-
дению:
Но = 0t-Cx -> (с2 -> (с3 ->...(С4 -» а)...)).
Но из пустого множества выводимы только доказуе-
мые формулы, то есть
|-с1->(с2->(Сз->...(сл->а)...)).
В частном случае при k = 1, очевидно, имеем
С1~А
УС->а'
НУА,НУВ
VI. Правило введения конъюнкции: нуд&в ’
Доказательство. По условию
Н\-А, (1)
НУ В. (2)
Как было доказано ранее, из совокупности формул
{А, В) выводима конъюнкция А&В» то есть
{А,В}|-А&В. (3)
Используя правило I выводимости, можно записать
Н,А,ВУА&В, (4)
Н,АУВ. (5)
Теперь, используя правило II выводимости, из (4) и
(5) получаем
Н,А\-А&,В. (6)
Также по правилу II из (1) и (6) получаем Н[-А&В.
64
Курс лекций по математической логике
Н,А\-С;Н,В\-С
VII. Правило введения дизъюнкции: —д^/П/Вр-С—’
Доказательство. Из условия H,A|-C;H,Bp-C по те-
ореме дедукции имеем
Н\-А-+С, (1)
Н\-В -> 0. (2)
Возьмем аксиому Ш3. Она выводима из совокупнос-
ти Н как доказуемая формула, то есть
Hk(A->C)->((B->C)->(AvB->C)). (3)
Применяя к формулам (1) , (2) и (3) правило сложно-
го заключения, получим
#MvB->0. (4)
Используя теперь правило IV выводимости, получим
Н,А vB|-C.
§ 7. Доказательство некоторых законов логики
Правила выводимости, и особенно теорема дедукции,
позволяют доказать, ряд законов логики.
I. Закон перестановки посылок:
f-(x -> (у -> z)) -> (г/ -> (х -» z)). (1)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н = {х -> (у -» z),y,x} следует вывод х -> (у z), у, х,
у 2, z, то из совокупности Н выводима формула z.
Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема фор-
мула (1).
Из закона перестановки посылок вытекает правило
перестановки посылок в доказуемых формулах:
1~(* -» (г/ г)) ,
Р(г/ -> (х -> z))'
Действительно, если
|-х -> (у -> z), (2)
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 65
то из формул (1) и (2) по правилу заключения следует
\-у (х -> z).
П. Закон соединения посылок:
р(х ->((/-> z)) -> (х& у -» z). (3)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н = {х -> (у -> z),x&y] следует вывод х -> (у -> z), х&у,
х&у -> х, х&у у, х, у, у -> z, z, то из совокупности
Н выводима формула z. Тогда по обобщенной теореме
дедукции доказуема формула (3).
Из закона соединения посылок вытекает правило
соединения посылок в доказуемых формулах:
t-(x О/ г))
\-х&у -> Z
Действительно, если
|-х -> (у -> z) (4)
то из формул (3) и (4) по правилу заключения следует
|-х&у -> z-
Ш. Закон разъединения посылок:
\-(х&у -> z)->(x->(i/ -> z)). (5)
Доказательство. Так как из совокупности формул
Н - {х,у,х&у -> z} следует вывод х, у, х&у -» z, х&у,
z, то из совокупности формул Н выводима формула z.
Тогда по обобщенной теореме дедукции доказуема фор-
мула (5).
Из закона разъединения посылок вытекает правило
разъединения посылок в доказуемых формулах:
\-х&у 2
[—х —> (у —> z) °
Действительно, если
]~x&y-+z, (6)
то из формул (5) и (6) по правилу заключения следует
|—х —> (г/—> z) •
66
Курс лекций по математической логике
IV. |—х -> (х -> у). (7)
Доказательство. Сделаем подстановки в аксиомы It и
ivt
I/ у,х
J(I1)» /№)•
У х,у
В результате получим доказуемые формулы
|-х->(у->х), (8)
\-(у -> х) —> (х -> у). (9)
Из формул (8) и (9) по правилу силлогизма следует
|-х-> (х-» у).
Используя закон соединения посылок, получим
(-Х&Х -> у .
Используя правило снятия двойного отрицания, по-
лучим
Ь-Х&Х —> у .
И, наконец, применяя закон разъединения посылок,
получим формулу (7).
5. Закон исключенного третьего :|-х v х
Доказательство. Воспользуемся доказуемой формулой
\-xvy-*x&.y (Ю)
X
и, сделав в ней подстановку получим
_______ У _
|-XVX->X&X- (11)
Также сделаем подстановку в формуле (7), заменяя х
на х, а у на у :
|-х-»р->у). (12)
Используя закон соединения посылок, будем иметь
|-х&х->у. (13)
Из формул (11) и (13) по правилу силлогизма полу-
чаем ___
х v х -> у . (14)
Из формулы (14) по правилу контрпозиции следует
р-у -> X V X •
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 67
Используя оба правила снятия двойного отрицания,
получаем
\~у~>хух. (15)
Пусть теперь у — любая доказуемая формула R , тогда
из формул [-/?, |-Д -> х vx по правилу заключения по-
лучаем
XVX .
VI. \-х&у-+хуу.
Доказательство. Сделаем подстановку в аксиоме Ш3,
заменяя в ней z на х&у :
|—(х -> х&у) -> ((у -> х&у) -> (х vy -> х&у)). (16)
Из аксиом П1 и П2 имеем:
[-х&у->х, (17)
|-х&у->у. (18)
Применяя к формулам (17) и (18) правило контрпо-
зиции, получим
|-х -» х&у , (19)
|-у —> х&у • (20)
Используя правило снятия двойного отрицания, бу-
цем иметь:
[—х —> х&у > (21)
[-у->х&у. (22)
Применяя к формулам (16), (21) и (22) правило слож-
ного заключения, получаем
|-xvy->x&y. (23)
Применяя к формуле (23) правило контрпозиции, а
затем правило снятия двойного отрицания, получаем
к Х&у -> ХУ у.
68 Курс лекций по математической логике
§ 8. Связь между алгеброй высказываний
и исчислением высказываний
Формулы исчисления высказываний можно интер-
претировать как формулы алгебры высказываний. Для
этого будем трактовать переменные исчисления выска-
зываний как переменные алгебры высказываний, то есть
переменные в содержательном смысле, принимающие два
значения: истина и ложь (1 и 0).
Операции &, v, —> и - определим так же, как в
алгебре высказываний. При этом всякая формула ис-
числения высказываний при любых входящих в нее пе-
ременных будет принимать одно из значений 1 или 0,
вычисляемое по правилам алгебры высказываний.
Введем понятие значения формулы исчисления выс-
казываний.
Пусть А - формула исчисления высказываний, х1Г
х2, ..., хп - попарно различные переменные, среди кото-
рых находятся все переменные, входящие в формулу А.
Обозначим через а1г а2, ...» ап набор значений этих пере-
менных, состоящий из 1 и 0, длины п. Очевидно, что
вектор (а1,а2,...,ап)имеет 2" значений.
Определим значение формулы А на одном таком набо-
ре значений переменных, обозначая его через ап(А):
1. Если для формулы А ее подформула самой боль-
шой глубины есть х(, то ...a„(xi) = at-
2. Если определены значения всех подформул глуби-
ны k +1, то подформулы глубины k, полученные в ре-
зультате операций А^&А^, AivA;., Д -> А}, Д будут
иметь значения:
Ла1...а„(А& А’) = Rai.. аДл) ’
Ar,...an (A V А") — Ац «„ (А ) V -а„ (а)»
...а„(А А) = ^<ц...аДА) ^...«„(А)»
^...«„(А) = Дх1...ап(-А) •
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 69
Например, формула XjVx4-> х2&х3 на наборе зна-
чений (0, 1, 1, 0) переменных хр х2, х3, х4 имеет значение
Bouo(xl V х2&Хз) = 1 °
Действительно, эта формула имеет:
х4 vx4, х2&х3 ~ подформулы первой глубины,
хх, х4, х1&х3 - подформулы второй глубины,
х4, х2, х3 - подформулы третьей глубины,
х3 - подформула четвертой глубины.
Отсюда Л0110(х3) = 1, Л0П0(х3) = Д>по(хз) = Л0П0(х2) = 1,
Лопо^-О ~ 0» Л0П0(х2&х8) — Л0110(х2)& Л0110(х3) = 0,
Лоцо(Х4) ~ Лоио(х4) ~ 1 ’ Лоцо^Х^) = О,
Лоно(х1 v xd) ~ Л0110(х1) v Л0110(х4) = 1,
Лоио(Х2&Хз) ~ Ло11о(Х2^с Хз) = 1>
•^olto(xl V х4 —> X2&Xg) = -KojjQ^Xj V Х4) —> Л0ц0(х2&Х3) = 1 •
Докажем три теоремы, которые устанавливают связь
между основными фактами алгебры высказываний и ис-
числения высказываний.
Теорема 1. Каждая формула, доказуемая в исчисле-
нии высказываний, является тождественно истинной
в алгебре высказываний.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы,
очевидно, следует доказать три положения:
1) Каждая аксиома исчисления высказываний - тож-
дественно истинная формула в алгебре высказываний.
2) Правило подстановки, примененное к тождествен-
но истинным формулам, приводит к тождественно ис-
тинным формулам.
3) Правило заключения, примененное к тождествен-
но истинным формулам, приводит к тождественно ис-
тинным формулам.
1) Тождественная истинность аксиом исчисления выс-
казываний может быть проведена перебором всех воз-
можных значений входящих в них переменных, то есть с
помощью таблиц истинности, которые имеют вид:
а) для аксиом, содержащих одну переменную
X iv2 IV8
1 1 1
0 л. 1
70 Курс лекций по математической логике
б) для аксиом, содержащих две переменные
X У 11 П» П2 ш2 IV,
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
в) для аксиом, содержащих три переменные
X У Z 12 Из ш8
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
2) Лемма. Пусть хг, х2, ..., хп, х - перечень переменных,
который содержит все переменные, входящие в формулы А и
В, и пусть а1г а2,...» а„, а - произвольный фиксированный
набор из 0 и 1. Тогда, если Raia2...ana(^) = Р, то
^ata2
..а„а
'В
JW
Хх /
- Ra1a2...anfl(A') •
Доказательство леммы проведем по индукции, учи-
тывающей построение формулы.
а) Пусть А есть переменная х(, отличная от х. Тогда
^a1a2...ana(Xi) ~ а1 ’
В
JC^i) = xi ;
х
Кам- .аЛА) = at, то есть утверждение леммы справедливо.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
71
б) Пусть А есть переменная х. Тогда подстановка
(в Л
В
j(A) дает В,
х
утверждение леммы справедливо.
в) Пусть теперь формула А имеет вид: At * А2, и для
формул Ах и А2 утверждение леммы справедливо. Ее
справедливость для формулы А следует из цепочки ра-
венств:
в )
|(А) = На1аг...а„а
Vx 7
В
= Яа^.л^а f(^l)* Rala2...a„a
ад-цДв) = р, то есть
(В
(в в
Rala1...ana
- ^а1аг...апа
(А1) * (Аг) =
В
~ (4 * 4г) ~ До,а^...а^Д (А) •
Аналогично проводится доказательство леммы в слу-
чае, когда формула А имеет вид Аг.
Докажем теперь утверждение п. 2 теоремы.
Пусть А - данная формула, х - переменная, а В -
любая формула исчисления высказываний. Если А - тож-
в
дественно истинная формула, то и J(a) - тождествен-
но истинная формула. х
Доказательство. Пусть хр х2, ..., ха, х - полный пере-
чень переменных, входящих в формулы Аи В. Нужно по-
казать, что на всех наборах значений переменных
В
(а1,а2,...,ап,а) формула J(a) принимает значение 1. Пред-
в х
положим, что нА) - не тождественная истина. Тогда су-
ществует набор значений переменных (af, а°> • • •»ап >
такой, что Д о о оо
J(a) = 0. Но тогда согласно лемме
<х >
72 Курс лекций по математической логике
Лоо од(а) = О, а это противоречит тому, что А - тож-
ala2...a„p\ /
дественно истинная формула.
3) Если формулы Си С —> А - тождественно ис-
тинные, то и формула А — тождественно истинная.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть
х , х2, ..., ха - полный набор переменных, входящих в фор-
мулы С и А. Предположим, что А - не тождественно истин-
ная формула. Тогда существует набор значений переменных
laf.af•••>“«) такой, что Лоо о(а) = О. Но при этом
\ / с^а.г...ап \ )
Лоо а? (С А\ = Я о о о (С) —> Яоо о (А) = 1 —> О = О
что противоречит тождественной истинности формулы
С-> А .
Теорема 2. (о выводимости). Пусть А - некоторая
формула исчисления высказываний; хр х2, ..., ха - набор
переменных, содержащий все переменные, входящие в
формулу А; ах,а2,...,ап - произвольный фиксированный
набор значений этих переменных. Обозначим через Н
конечную совокупность формул Н = ^х"1 ,х22 ,...,х"" }, где
ц Гхг, если а, = 1,
1 [хг, если щ = О.
1) Если Ла^ ...ц,(А) = 1, то ff(-A.
2) Если Лд^ .а*(А) = О, то Н^-А.
Доказательство. Доказательство теоремы проведем по
индукции (индукция по построению формулы).
1. Пусть формула А есть переменная х..
а) Если ...an(xi) = at = 1,то, очевидно, х^х,, или,
что то же х{^|—X;, то есть xf'J-A, и тем более, ff(-A.
б) Если Л^ _ ^{х^ = at = 0уто, очевидно, или,
что то же xf'l-Хр то есть xf'f-A, и тем более, 7/(-А.
2. Предположим теперь, что формула А имеет один
из следующих четырех видов: I. Bj&B2, II. BjvB2,
III. Bj —> B2, IV. Bi и для формул Bj и В2 теорема спра-
ведлива. Рассмотрим каждый из четырех случаев.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 73
I. Пусть А имеет вид Вг&В2.
а) Если Ra< И(В1&В2) = 1, то Rat ^(B^l и
«П(В2) = 1» но тогда по предположению Л|-^1 и •
Отсюда по правилу введения конъюнкции Н\-В1&В2, то
есть Н|-А.
б) Если Rai аа(В1&В2) = О , ТО либо Rai...an (bJ = 0, либо
= 0. Пусть, например, Bffl...fffi(Bi) = 0. Тогда по
предположению
(1)
Воспользуемся аксиомой П : \-В1&В2 —> Bt. Отсюда
по правилу контрпозиции
1-^ -* В1&В2. (2)
Из формул (1) и (2) по правилу заключения получа-
ем Н\-В1&В2 , то есть Н|-А.
II. Пусть А имеет вид Вг v В2.
а) Если Rai...an(Bi v В2) = 1, то истинно хотя бы одно из
значений Rai.^(bJ или Rai,..СГп(В2). Пусть Bai „JbJ = 1.
Тогда по предположению
Н^В.. (3)
Воспользуемся аксиомой III :
[-В1-»В1уВ2. (4)
Из формул (3) и (4) по правилу заключения получа-
ем H^-Bl v В2, то есть Я(-А.
б) Если „ то „ (В,)" 0 и
Д,.ЛМ- Отсюда следует, что Я^-Bj и Н\-В2, Но
тогда по правилу введения конъюнкции
Я(-^&В2. (5)
Воспользуемся доказуемой формулой
|-В1&В2 -> Вг v В2 .
(6)
74 Курс лекций по математической логит
Из формул (5) и (6) по правилу заключения имеем
Bj v В2 , то есть Н\~ А.
III. Пусть А имеет вид В1 -> В2.
а) Если Rai...an(By —> В2) = 1, то либо Rai...an(By) = О,
либо Bffi.,ffn(B2) = l.
Если Bai...a„(B1) = O, то _
П^В.. _ (7)
Воспользуемся доказуемой формулой |-Bj —> (Bj —> В2).
Из этой формулы по правилу перестановки посылок по-
лучим _
|-В1-» (Bj-> В2). (8)
Из формул (7) и (8) по правилу заключения получим
Bj —> В2, то есть П(-А.
Если Rai а>(В2) = 1, то
И|-В2. (9)
Воспользуемся аксиомой 1Х:
|-В2 -» (в. -» В2) (10)
Из формул (9) и (10) по правилу заключения имеем
Н\- By -> В2 , то есть Н\- А.
б) Если Rai an(ByВ2) = 0, то Rai ajBy) = l, а
(в2) = 0. Отсюда по предположению
Н[-Ву (И)
Н[-В2. (12)
Воспользуемся доказуемой формулой:
^-(в1->в2)->(в1->в2).
Из этой формулы по правилу перестановки посылок
получаем
|-В1-» ((Bj-» В2)-» В2). (13)
Из формул (11) и (13) по правилу заключения получим
Н\-((Ву-> В2)->В2). (14)
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 75
Из формулы (14) по правилу контрпозиции имеем
Я|-В2->(В1-»В2). (15)
Из формул (12) и (15) по правилу заключения полу-
чаем Яр(В1 -> В2), то есть Н\-А.
IV. Пусть А имеет вид Вг.
а) Если Rai СГДВ1) = 1, то Rai.an(Bi) = 0, и, значит,
ЯрА» то есть Н\-А.
б) Если Rai .„JbJ = 0, то ^...„„(bJ = 1, и значит,
Н\-Вх. (16)
Воспользуемся аксиомой IV2:
Il\-Bx->TiY. (17)
Из формул (16) и (17) по правилу заключения полу-
чаем Я)-^, то есть Я|-А.
Теорема 3. Каждая тождественно истинная фор-
мула алгебры высказываний доказуема в исчислении выс-
казываний.
Доказательство. Пусть А - тождественно истинная в
алгебре высказываний формула, а хр х2, ..., хп - перечень
всех переменных, входящих в формулу А.
Возьмем любой набор значений этих переменных
(а), а2, •••,«„)•
Так как формула А - тождественно истинная, то
ва1...ап(А) ~ Отсюда по теореме 2 следует, что
Нп[-А, (1)
где Нп = {х1°'1,х22,...,хя',|.
Так как всего наборов 2", то соотноше-
ние (1) справедливо в 2" случаях.
Если Нп_А = |xf1,x22,...,x""i1|, то, очевидно,
Н^.х^А и Н„- .pXnJ-A. Тогда по правилу введения
дизъюнкции Hn_l,xn v хл|-А . Но формула хя v х„ дока-
зуема и ее можно опустить из совокупности формул
яп-1>х„ vx„. Значит, Яя_х[-А.
76 Курс лекций по математической логике
Аналогично, обозначая через Hn_2 - »х? > • • • >xn-2 J »
Н2 = |хр,х£2}, Нх = {xf‘|, последовательно докажем,
что Нп_2\-А, Н2[-А, Н^А. Но соотношение Ht =
= |xf* А справедливо при al = 1 и при аг = 0, то есть
х^А и Xjl-A, Отсюда по правилу введения дизъюнкции
имеете XjVX^A. Но формула доказуема, и по-
этому ее можно опустить. Следовательно, 0|~А, а это
означает, что формула А доказуема.
§ 9. Проблемы аксиоматического исчисления
высказываний
Всякая аксиоматическая теория для ее обоснования
требует рассмотрения четырех проблем:
1) проблемы разрешимости,
2) проблемы непротиворечивости,
3) проблемы полноты,
4) проблемы независимости.
1. Проблема разрешимости исчисления выска-
зываний.
Проблема разрешимости исчисления высказываний
заключается в доказательстве существования алгорит-
ма, который позволил бы для любой заданной формулы
исчисления высказываний определить, является ли она
доказуемой или не является.
Теорема. Проблема разрешимости для исчисления
высказываний разрешима.
Доказательство. Любая формула исчисления выска-
зываний может рассматриваться как формула алгебры
высказываний, и, следовательно, можно рассматривать
ее логические значения на различных наборах значений
входящих в нее переменных.
Пусть А - любая формула исчисления высказываний,
а хр х2, ..., хл - перечень входящих в нее переменных.
Вычислим ^(А) на всех наборах значений
а^а2,...,ап входящих в нее переменных. Если при этом
(А) = 1 на всех наборах , то формула
А - тождественно истинная, и, значит, по теореме о дока-
зуемости тождественно истинной формулы она доказуема.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 77
Если же существует набор значений переменных
а?,а£,...,а° такой, что Вао „оао(А) = О, то формула А -
не тождественно истинная, и, значит по теореме 1 § 8
она не доказуема.
2. Проблема непротиворечивости исчисления выс-
казываний. Логическое исчисление называется непро-
тиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две фор-
мулы, из которых одна является отрицанием другой.
Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называ-
ется непротиворечивым, если в нем не существует такая
формула А, что доказуема А и доказуема А.
Проблема непротиворечивости заключается в выяс-
нении вопроса: является данное исчисление непротиво-
речивым или нет?
Если в исчислении обнаруживаются доказуемые фор-
мулы вида А и А, то такое исчисление называется про-
тиворечивым.
Если бы в исчислении высказываний некоторые фор-
мулы А и А оказались доказуемы, то в нем бы оказалась
доказуемой любая формула В. Докажем это.
Будем в дальнейшем обозначать через R любую до-
казуемую формулу, а через F - формулу д.
Во-первых, докажем, что для любой формулы В до-
казуема формула
\~B->R. (1)
Действительно, подстановка в аксиому дает:
(-В->(В->В). (2)
Но по условию
|-Я. (3)
Из формул (2) и (3) по правилу заключения получа-
ем справедливость (1).
Докажем теперь, что для любой формулы В доказу-
ема формула
(4)
Действительно, подстановка в аксиому IVt дает:
|-(В-» (5)
Но по доказанному
|-В -> R.
(6)
78 Курс лекций по математической логике
Из формул (6) и (5) по правилу заключения получаем
(7)
Используя правило снятия двойного отрицания и за-
меняя R на F, получим (4).
И, наконец, докажем, что для любой формулы А
доказуема формула
\-A&.A-+F. (8)
Согласно аксиомам It и IVt доказуемы формулы
М-*(£-»-А), О)
f-(jR —> A)-»(A->F). (10)
Из формул (9) и (10) по правилу силлогизма получаем
Отсюда по правилу соединения посылок приходим к
формуле (8).
Из формул (4) и (8)по правилу силлогизма имеем
\-А&.А-+В. (11)
Но так как по предположению \-А и |-А , то \-А&А,
и, следовательно, доказуема формула В.
Теорема. Исчисление высказываний непротиворечиво.
Доказательство. Докажем, что в исчислении выска-
зываний нет такой формулы А, для которой доказуемы
Аи А.
Пусть А — любая формула исчисления высказыва-
ний. Если А доказуема, то по теореме 1 § 8 она тожде-
ственно истинна, и, значит, А - тождественно ложная
формула, а поэтому не доказуема.
3. Проблема полноты исчисления высказываний.
Определение 1. Аксиоматическое исчисление назы-
вается полным в узком смысле, если добавление к спис-
ку его аксиом любой недоказуемой в исчислении форму-
лы в качестве новой аксиомы приводит к противоречи-
вому исчислению.
Определение 2. Исчисление высказываний называ-
ется полным в широком смысле, если любая тожествен-
но истинная формула в нем доказуема.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 79
Из этих определений следует, что проблема полноты
исчисления высказываний должна решить два вопроса:
1) Можно ли расширить систему аксиом аксиомати-
ческого исчисления путем добавления к ней в качестве
новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом ис-
числении формулы?
2) Является ли всякая тождественно истинная фор-
мула алгебры высказываний доказуемой в исчислении
высказываний?
Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.
Теорема 1. Исчисление высказываний" полно в уз-
ком смысле.
Доказательство. Пусть А — любая недоказуемая фор-
мула исчисления высказываний, а хр х2, ..., хп - полный
перечень входящих в формулу А переменных.
Так как А — недоказуемая формула, то она не явля-
ется тождественно истинной. Следовательно, существу-
ет набор значений переменных а1,а2,...,ап таких, что
^а^...аД^0с1’л;2’-"Л:п)) = 0’ (1)
Пусть Вр В2, Вп - любые тождественно истинные фор-
мулы, зависящие от тех же переменных хр х2,..., хп. Рассмот-
„ [В;, если а, = 1,
рим набор ВГ1,В?2,...,В“П, где В, ‘ = {_
(Вр если at = 0.
Осуществим следующую подстановку в формулу А:
J(A) . Получим формулу
Х1Х2,...Х„
А(вр,ВГ2....В?). (2)
Докажем, что формула (2) - тождественно ложная.
Возьмем любой набор , <т2, ..., <т„ значений переменных хр
х2, хп. Так как формулы Вр В2, ..., Вл - тождественно
истинные, то R^O2.(В;) = 1. Но тогда R^..(в“*) = at,
и, следовательно,
R^ ^а(в?,В^...,В?) = А(а1,а2........ocj = 0.
80 Курс лекций по математической логит
Отсюда следует, что формула а(в“1 ,В$2 ,...,В“"} - тожде-
ственно истинная, и, значит, по теореме 3 § 8 является
доказуемой.
С другой стороны, если к списку аксиом исчисления
высказываний присоединить в качестве новой аксиомы
формулу а(х1,х2,...,хп), то она в новом исчислении будет
доказуемой как аксиома. В то же время в новом исчисле-
нии будет доказуемой и формула А^В"1, В22,..., В"п) как
формула, полученная из доказуемой в результате подста-
новки.
Итак, в новом исчислении оказываются доказуемы-
ми формулы A^Bf1, В2 2,..., В“") и А(вр,В22,...,В““), что
приводит к противоречивому исчислению.
Теорема 2. Исчисление высказываний полно в ши-
роком смысле.
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 3 § 8.
4. Проблема независимости аксиом исчисления выс-
казываний.
Для всякого аксиоматического исчисления возника-
ет вопрос о независимости его аксиом, вопрос этот ста-
вится так: можно ли какую-нибудь аксиому вывести из
остальных аксиом, применяя правила вывода данной
системы?
Если для некоторой аксиомы системы это возможно,
то эту аксиому можно исключить из списка аксиом сис-
темы, и логическое исчисление при этом не изменится, то
есть класс доказуемых формул останется без изменения.
Определение. Аксиома А называется независимой
от всех остальных аксиом исчисления, если она не мо-
жет быть выведена из остальных аксиом.
Система аксиом исчисления называется независи-
мой, если каждая аксиома системы независима.
Теорема. Система аксиом исчисления высказываний
независима.
Доказательство. Для доказательства независимости
аксиомы А исчисления проведем некоторую интерпрета-
цию исчисления высказываний. Будем интерпретировать
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИИ
81
переменные исчисления как переменные, принимающие
два значения, которые будем обозначать буквами а, Р,
где а играет роль истины, а Р - лжи.
Операции &, v, —>, ~ определим с таким расчетом,
чтобы соблюдались следующие условия:
1. Все аксиомы, кроме аксиомы А, при всех значени-
ях переменных принимают значение а.
2. Каждая формула, выводимая из совокупности всех
отличных от А аксиом системы, также принимает значе-
ние а при всех значениях входящих переменных.
3. Аксиома А принимает значение р при некоторых
значениях входящих в нее переменных.
Ясно, что, если удается провести такую интерпрета-
цию, то независимость аксиомы А от других аксиом
исчисления будет доказана. Действительно, если бы ак-
сиома А была выводима из остальных аксиом исчисле-
ния, то она согласно пункту 2 принимала бы значение а
при всех значениях переменных, а это бы противоречило
пункту 3.
Условимся, что формулы, в которых вместо пере-
менных подставлены некоторые их значения, также име-
ют смысл. Например, а&,р, а —> А и т.д.
Формулы, которые принимают одинаковые значения
при всех заменах входящих в них переменных на значе-
ния а , Р, будем считать равными: А = В.
При этом будем считать, что знак равенства связы-
вает слабее логических связок &, v, —>.
Теперь докажем независимость аксиомы Пх.
С этой целью определим все логические операции,
кроме конъюнкции, как в алгебре высказываний. Опе-
рацию конъюнкции определим равенством х& у = у.
Выпишем эту интерпретацию подробно:
а -» а = а; р -> р = а; р -> а = а; а -> Р~ Р‘,
a v а = а; а v Р= а; Ду а = а; Ду Д = Д;
а = Д; Д = а;
а& а = а; а&Р= Р\ р& а = а; Р& Р= Р.
82 Курс лекций по математической логике
Покажем теперь, что три перечисленные условия
(см. выше) при этой интерпретации выполняются.
Легко видеть, что все аксиомы исчисления выска-
зываний, кроме аксиомы IIlt при этой интерпретации
принимают значение «.
Действительно, во все аксиомы групп I, III и IV
операция конъюнкция не входит; остальные же опера-
ции определены так же, как в алгебре высказываний.
Так как в алгебре высказываний эти формулы явля-
ются тождественно истинными, то и в данной интерпре-
тации они принимают значение а при всех значениях
переменных.
Рассмотрим аксиомы П1, П2, П3.
Аксиомы П2 и П3 в данной интерпретации принима-
ют вид у -> у и (х -> у) -> ((х -> z) -> (х -> z)). Эти фор-
мулы не содержат операцию конъюнкции и являются
тождественно истинными в алгебре высказываний. По-
этому они всегда принимают значение а.
Аксиома II, не равна тождественно а, так как в дан-
ной интерпретации она равносильна формуле у х,
которая при х = Р, У = « принимает значение р.
Теперь остается доказать, что формулы, получен-
ные путем правил вывода из таких, которые тожде-
ственно равны а, сами равны а. Но ранее было дока-
зано, что правила подстановки и заключения, приме-
ненные к тождественно истинным формулам, приводят
нас к тождественно истинным формулам.
Следовательно, условие пункта 2 выполняется.
Таким образом, независимость аксиомы IIt доказана.
По аналогичной схеме доказывается независимость
остальных аксиом исчисления высказываний групп II,
III и IV. Несколько сложнее доказывается независи-
мость аксиом группы I.
ГЛАВА III
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Понятие предиката
В алгебре логики высказывания рассматриваются как
нераздельные целые и только с точки зрения их истинно-
сти или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем
более, их содержание не затрагиваются. В то же время и
в науке, и в практике используются заключения, суще-
ственным образом зависящие как от структуры, так и от
содержания используемых в них высказываний.
Например, в рассуждении «Всякий ромб - паралле-
лограмм; ABCD - ромб; следовательно, ABCD - парал-
лелограмм» посылки и заключение являются элемен-
тарными высказываниями логики высказываний и с
точки зрения этой логики рассматриваются как целые,
неделимые, без учета их внутренней структуры. Следова-
тельно, алгебра логики, будучи важной частью логи-
ки, оказывается недостаточной в анализе многих рас-
суждений.
В связи с этим возникает необходимость в расширении
логики высказываний, в построении такой логической
системы, средствами которой можно было бы исследовать
и структуру тех высказываний, которые в рамках логики
высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой логической системой является логика преди-
катов, содержащая всю логику высказываний в каче-
стве своей части.
Логика предикатов, как и традиционная формаль-
ная логика, расчленяет элементарное высказывание на
субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может
играть роль дополнения) и предикат (буквально - ска-
зуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект - это то, о чем что-то утверждается в выс-
казывании; предикат - это то, что утверждается о
субъекте.
84 Курс лекций по математической логике
Например, в высказывании «7 - простое число», «7» -
субъект, «простое число» - предикат. Это высказывание
утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым
числом».
Если в рассмотренном примере заменить конкретное
число 7 переменной х из множества натуральных чисел,
то получим высказывательную форму «х - простое чис-
ло». При одних значениях х (например, х = 13 , х = 17)
эта форма дает истинные высказывания, а при других
значениях х (например, х = 10 , х = 18) эта форма дает
ложные высказывания.
Ясно, что эта высказывательная форма определяет
функцию одной переменной х, определенной на множе-
стве N, и принимающую значения из множества {1,0}.
Здесь предикат становится функцией субъекта и выра-
жает свойство субъекта.
Определение. Одноместным предикатом Р(х) на-
зывается произвольная функция переменного х, опреде-
ленная на множестве М и принимающая значения из
множества {1,0}.
Множество М, на котором определен предикат Р(х),
называется областью определения предиката.
Множество всех элементов х е М , при которых преди-
кат принимает значение «истина», называется множеством
истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос-
ти предиката Р(х) - это множество Ip = {х: х е М, Р(х) = 1} .
Так, предикат Р(х) - «х - простое число» определен
на множестве N, а множество 1р для него есть множест-
во всех простых чисел. Предикат Q(x) - « sin х = 0 »
определен на множестве R, а его множество истинности
Iq = {Ал-, k е Z}. Предикат F(x) - «Диагонали паралле-
лограмма х перпендикулярны» определен на множестве
всех параллелограммов, а его множеством истинности
является множество всех ромбов.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
85
Приведенные примеры одноместных предикатов вы-
ражают свойства предметов.
Определение. Предикат Р(х) , определенный на мно-
жестве М, называется тождественно истинным (тож-
дественно ложным), если 1Р = М (1Р = 0).
Естественным обобщением понятия одноместного
предиката является понятие многоместного предика-
та, с помощью которого выражаются отношения меж-
ду предметами.
Примером бинарного отношения (отношения между
двумя предметами) является отношение «меньше». Пусть
это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно
может быть охарактеризовано высказывательной фор-
мой « х < у » , где х, у е Z , то есть является функцией
двух переменных Р(х, у) , определенной на множестве
Z х Z с множеством значений {1,0}.
Определение. Двухместным предикатом Р(х,у) на-
зывается функция двух переменных х и у, определенная
на множестве М = Мг х М2 и принимающая значения
из множества {1,0}.
В числе примеров двухместных предикатов можно
назвать предикаты: Q(x, у) - « х = у » предикат равенства,
определенный на множестве R2 = R х R; F(x, у) - « хЦу »
прямая х параллельна прямой у, определенный на множе-
стве прямых, лежащих на данной плоскости.
Аналогично определяется n-местный предикат.
§ 2. Логические операции над предикатами
Предикаты, так же, как высказывания, принимают
два значения и и л (1, 0), поэтому к ним применимы все
операции логики высказываний.
Рассмотрим применение операций логики высказыва-
ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Пусть на некотором множестве М определены два
предиката Р(х) и Q(x).
86 Курс лекций по математической логике
Определение 1. Конъюнкцией, двух предикатов Р(х)
и Q(x) называется новый предикат P(x)&Q(x), который
принимает значение «истина» при тех и только тех зна-
чениях х е М, при которых каждый из предикатов при-
нимает значение «истина», и принимает значение «ложь»
во всех остальных случаях.
Очевидно, что областью истинности предиката
p(x)&Q(x) является общая часть областей истинно-
сти предикатов Р(х) и Q(x), то есть пересечение 1р П/q .
Так, например, для предикатов Р(х): «х - четное
число» и Q(x): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)&Q(x)
является предикат «х — четное число и х кратно 3», то
есть предикат «х делится на 6».
Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х)
и Q(x) называется новый предикат Р(х) v Q(x), который
принимает значение «ложь» при тех и только тех значе-
ниях х еМ, при которых каждый из предикатов при-
нимает значение «ложь» и принимает значение «исти-
на» во всех остальных случаях.
Ясно, что областью истинности предиката Р(х) v Q(x)
является объединение областей истинности предикатов
Р(х) и Q(x), то есть объединение Ip U Iq .
Определение 3. Отрицанием предиката Р(х) назы-
вается новый предикат Р(х), который принимает значе-
ние «истина» при всех значениях х еМ, при которых
предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима-
ет значение «ложь» при тех значениях х е М, при кото-
рых предикат Р(х) принимает значение «истина».
,Из этого определения следует, что 1р = М\1р = С1р.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 87
Определение 4. Импликацией предикатов Р(х) и
Q(x) называется новый предикат Р(х) —> Q(x), который
является ложным при тех и только тех значениях х е М,
при которых одновременно Р(х) принимает значение
«истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значе-
ние «истина» во всех остальных случаях.
Так как при каждом фиксированном х е М спра-
ведлива равносильность Р(х) —> Q(x) = Р(х) v Q(x)» то
Ip^Q=IpUlQ=CIpUlQ.
§ 3. Кванторные операции
Пусть имеется предикат Р(х), определенный на мно-
жестве М. Если а - некоторый элемент из множества М,
то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает
этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказыва-
ние называется единичным. Наряду с образованием из
предикатов единичных высказываний в логике преди-
катов рассматривается еще две операции, которые пре-
вращают одноместный предикат в высказывание.
1. Квантор всеобщности. Пусть Р(х) - предикат,
определенный на множестве М. Под выражением Vx Р(х)
понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно
для каждого элемента х из множества М и ложное в про-
тивном случае. Это высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее ему словесное выражение будет «Для
всякого х Р(х) истинно». Символ V называют кванто-
ром всеобщности.
Переменную х в предикате Р(х) называют свободной
(ей можно придавать различные значения из М), в
высказывании Vx р(х) переменную X называют связанной
квантором V.
88 Курс лекций по математической логике
2. Квантор существования. Пусть Р(х) ~ предикат,
определенный на множестве М. Под выражением Эх Р(х)
понимают высказывание, которое является истинным, если
существует элемент х е М, для которого Р{^) истинно, и
ложным в противном случае. Это высказывание уже не зави-
сит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет:
«Существует х, при котором Р(х) истинно». Символ Э назы-
вают квантором существования. В высказывании Эх Р(х) пе-
ременная х связана квантором Э.
Приведем пример употребления кванторов. Пусть на
множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х):
«Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного
предиката можно получить высказывания: Vx е N Р(х) -
«Все натуральные числа кратны 5»; Эх eN Р(х) - «Су-
ществует натуральное число, кратное 5». Очевидно, пер-
вое из этих высказываний ложно, а второе истинно.
Ясно, что высказывание Vx Р(х) истинно только в
том единственном случае, когда Р(х) - тождественно
истинный предикат, а высказывание Эх Р(х) ложно толь-
ко в том единственном случае, когда Р(х) - тождествен-
но ложный предикат;
Кванторные операции применяются и к многомест-
ным предикатам. Пусть, например, на множестве М за-
дан двухместный предикат р(х,у). Применение квантор-
ной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ста-
вит в соответствие двухместному предикату Р(х,у) од-
номестный предикат Vx Р(х, у) (или одноместный пре-
дикат Эх р(х, у)), зависящий от переменной у и не за-
висящий от переменной х. К ним можно применить кван-
торные операции по переменной у, которые приведут уже
к высказываниям следующих видов:
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 89
ЧуЧхР(х,у), ЗуЧхР(х,у), Vy3xP(x,y), ЗуЗхР(х,у).
Например, рассмотрим предикат р(х,у): «х:у», оп-
ределенный на множестве N. Применение кванторных
операций к предикату р(х,у) приводит к восьми воз-
можным высказываниям:
1. Чу\/хР(х,у) ~ «Для всякого у и для всякого х у
является делителем х*.
2. Зу\/хР(х,у) - «Существует у, которое является
делителем всякого х».
3. ЧуЗхР(х,у) - «Для всякого у существует х такое,
что х делится на у».
4. ЗуЗхР(х,у) - «Существует у и существует х та-
кие, что у является делителем х».
5. VxVi/P(x,i/) — «Для всякого х и для всякого у у
является делителем х».
6. Vx3i/P(x,i/) - «Для всякого х существует такое у,
что х делится на у*.
7. 3x3i/P(x,i/) - «Существует х и существует у та-
кие, что у является делителем х».
8. 3xVi/P(x,i/) - «Существует х такое, что для вся-
кого у х делится на у».
Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а
высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.
Из рассмотренных примеров видно, что в общем слу-
чае изменение порядка следования кванторов изменяет
смысл высказывания, а значит, и его логическое значе-
ние (например, высказывания 3 и 8).
Рассмотрим предикат Р(х), определенный на мно-
жестве М = {ai,a2,.--,an} , содержащем конечное число
элементов. Если предикат Р(х) является тождественно
истинным, то истинными будут высказывания P(«i),
Р(а2) , Р(ап)' При этом истинными будут высказыва-
ние VxP(x) и конъюнкция P(a1j&P(a2)&...&P(anj.
SO Курс лекций по математической логике
Если же хотя бы для одного элемента ak е М P(ak}
окажется ложным, то ложными будут высказывание
VxP(x) и конъюнкция P(aiybP(a2)&...&P(ari). Следова-
тельно, справедлива равносильность
VxP(x) = Р(а1)&Р(а2)&...&Р(ага).
Нетрудно показать, что справедлива и равносиль-
ность
Зх Р(х) = Pfa) v P(a2)v...vP(an).
Отсюда видно, что кванторные операции можно рас-
сматривать как обобщение операций конъюнкции и
дизъюнкции на случай бесконечных областей.
§ 4. Понятие формулы логики предикатов
В логике предикатов будем пользоваться следующей
символикой:
1. Символы р, q, г, ... — переменные высказывания,
принимающие два значения: 1 — истина, 0 — ложь.
2. Предметные переменные — х, у, г, ..., которые про-
бегают значения из некоторого множества М; х°, i/0, z°, ... —
предметные константы, то есть значения предметных пере-
менных.
3. Р( •), F( •) - одноместные предикатные перемен-
ные; #(•»•».••»•) - «-местные предикатные
переменные.
Р°(-), Q°(•»•»•••»•) ~ символы постоянных предика-
тов.
4. Символы логических операций: &, v,
5. Символы кванторных операций: Vx, Зх.
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Определение формулы логики предикатов.
1. Каждое высказывание как переменное, так и по-
стоянное, является формулой (элементарной).
2. Если Р( — n-местная предикатная пе-
ременная или постоянный предикат, а хр х2.... хп пред-
метные переменные или предметные постоянные (не обяза-
тельно все различные) , то Р(хх,х2,...,хп) есть формула.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 91
Такая формула называется элементарной, в ней пред-
метные переменные являются свободными, не связанны-
ми кванторами.
3. Если А и В — формулы, причем такие, что одна и
та же предметная переменная не является в одной из них
связанной, а в другой - свободной, то слова A v В , А&В ,
А В есть формулы. В этих формулах те переменные,
которые в исходных формулах были свободными, явля-
ются свободными, а те, которые были связанными, яв-
ляются связанными.
4. Если А - формула, то А - формула, и характер
предметных переменных при переходе от формулы А к
формуле А не меняется.
5. Если -А(х) - формула, в которую предметная пере-
менная х входит свободно, то слова VxA(x) и ЗхА(х) яв-
ляются формулами, причем предметная переменная
входит в них связанно.
6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы
формулами в пунктах 1-5, не является формулой.
Например, если Р(х) и Q(x, у) - одноместный и двухме-
стный предикаты, a q, г — переменные высказывания, то
формулами будут слова: q, Р(х)> Р(х)& , ЧхР(х)->
-> 3xQ(x, у), (q(x, у) v gj -> г .
Не является формулой слово: VxQ(x,y) —> Р(х) . Здесь
нарушено условие п.З, так как в формулу \/xQ(x,y} пе-
ременная х входит связано, а в формулу р(х} перемен-
ная х входит свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно,
что всякая формула алгебры высказываний является
формулой логики предикатов.
92 Курс лекций по математической лоаике
§ 5. Значение формулы логики предикатов
О логическом значении формулы логики предика-
тов можно говорить лишь тогда, когда задано множе-
ство М, на котором определены входящие в эту форму-
лу предикаты. Логическое значение формулы логики
предикатов зависит от значений трех видов пере-
менных: 1) значений входящих в формулу переменных
высказываний, 2) значений свободных предметных
переменных из множества М, 3) значений предикат-
ных переменных»
При конкретных значениях каждого из трех видов
переменных формула логики предикатов становится
высказыванием, имеющим истинное или ложное зна-
чение.
В качестве примера рассмотрим формулу
Зу Vz(p(x, у) -> Р(у, z)). (1)
в которой двухместный предикат Р(х,у) определен на
множестве М х М , где М = {0,1,2,.
В формулу (1) входит переменный предикат Р(х,у) ,
предметные переменные х, у, г, две из которых у и z -
связанные кванторами, ах- свободная.
Возьмем за конкретное значение предиката Р(х,у}
фиксированный предикат Р°(х,у): «х<у», а свобод-
ной переменной х придадим значение х° = 5 е М . Тогда
при значениях у, меньших х° = 5 предикат Р°(х°, у) при-
нимает значение ложь, а импликация -Р(х, у) —> z)
при всех z е М принимают значение истина, то есть
высказывание Зу VzlP°(x, у) —> Р°(г/, zjl имеет значение
«истина».
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 93
§ 6. Равносильные формулы логики предикатов
Определение 1. Две формулы логики предикатов А
и В называются равносильными на области М, если они
принимают одинаковые логические значения при всех
значениях входящих в них переменных, отнесенных к
области М.
Определение 2. Две формулы логики предикатов А
и В называются равносильными, если они равносильны
на всякой области.
Здесь, как в алгебре высказываний, для равносиль-
ных формул принято обозначение А = В .
Ясно, что все равносильности алгебры высказыва-
ний будут верны, если в них вместо переменных выска-
зываний подставить формулы логики предикатов. Но,
кроме того, имеют место равносильности самой логики
предикатов. Рассмотрим основные из этих равносиль-
ностей. Пусть А(х) и В(х) - переменные предикаты, а С
- переменное высказывание. Тогда
1. VxA(x) = ЗхА(х) ,
2. ЗхА(х) VxA(x) ,
3. VxA(x) s ЗхА(х) ,
4. ЗхА(х) = VxA(x) ,
5. VxA(x)& VxB(x) s VxJa(x)& B(x)j ,
6. C& VxB(x) s Vx[c& B(x)] ,
7. C v VxB(x) s Vx[c v B(x)],
8. C -> VxB(x) s Vx[c -> B(x)],
9. VxJb(x) —> cj = ЗхВ(х) —> C,
10. 3x[a(x) v B(x)] = 3xA(x) v 3xB(x),
11. Sx^C v B(x)j = C v ЗхВ(х),
94 Курс лекций по математической логике
12. Зх[С& В(х)] = С& ЗхВ(х),
13. ЗхА(х)& ЗуВ(у) = ЭхЗ^[а(х)& В(г/)],
14. Зх[с -> В(х)] = С -> ЗхВ(х) ,
15. Зх[в(х) -» С] = VxB(x) -> С.
Равносильность 1 означает тот простой факт, что,
если не для всех х истинно А(х), то существует х, при
котором будет истиной А(х).
Равносильность 2 означает тот простой факт, что,
если не существует х, при котором истинно А(х), то для
всех х будет истиной А(х).
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей
1. и 2. соответственно, если от обеих их частей взять отри-
цания и воспользоваться законом двойного отрицания.
Докажем равносильность 5. Если предикаты А(х) и
В(х) одновременно тождественно истинные, то будет тож-
дественно истинным и предикат А(х)& В(х) , а поэтому
будут истинными высказывания:
VxA(x), УхВ(х), Vx[a(x)& В(х)]
То есть в этом случае обе части равносильности 5
принимают значение «истина».
Пусть теперь хотя бы один из предикатов, напри-
мер, А(х), будет не тождественно истинным. Тогда не
тождественно истинным будет и предикат А(х)& В(х) , а
поэтому ложными будут высказывания
VxA(x), VxA(x)& VxB(x) , Vx£a(x)& B(x)j,
то есть и в этом случае обе части равносильности 5 при-
нимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчерпы-
вается доказательство равносильности 5.
Докажем равносильность 8. Пусть переменное высказыва-
ние С принимает значение «ложь». Тогда тождественно
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 95
истинным будет предикат С -> в(х) и, очевидно, истин-
ными будут высказывания С -> VxB(x) и Vx[c —> B(x)j,
то есть в этом случае обе части равносильности 8 прини-
мают одинаковые (истинные) значения.
Пусть теперь переменное высказывание С принимает
значение «истина». Если при этом переменный предикат
является тождественно истинным, то будет тождественно
истинным и предикат С -> В(х), и, значит, истинными
будут высказывания VxB(x), С —> VxB(x) , Vx[C —> B(x)j,
то есть и в этом случае обе части равносильности 8 при-
нимают одинаковые (истинные) значения.
Если же предикат В(х) не является тождественно
истинным, то не будет тождественно истинным и преди-
кат С —> В(х), а поэтому ложными будут высказывания
VxB(x), С —> VxB(x), Vx[C -> B(x)j.
Следовательно, и здесь обе части равносильности 8
принимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчер-
пывается доказательство равносильности 8.
Аналогично доказывают остальные из перечислен-
ных равносильностей.
В заключение отметим, что формула Vx[a(x) v B(x)J
не равносильна формуле VxA(x) v VxB(x) , а формула
Эх|а(х)&B(x)j не равносильна формуле ЗхА(х)&ЭхВ(х).
Однако, справедливы равносильности
VxA(x) v VxB(x) s VxA(x) v VyB(y) s
= Vx(a(x) v = VxVy(A(x) v B(y)) ,
3xA(x)& 3xB(x) = 3xA(x)& 3yB(y) =
= Зх(А(х)& Зг/В(у)) -= ЭхЗг/(А(х)& B(y)).
56 Курс лекций по математической логике.
§ 7. Предваренная нормальная форма
Определение. Говорят, что формула логики преди-
катов имеет нормальную форму, если она содержит толь-
ко операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные
операции, а операция отрицания отнесена к элементар-
ным формулам.
Очевидно, что, используя равносильности алгебры
высказываний и логики предикатов, каждую формулу
логики предикатов можно привести к нормальной фор-
ме. Например, приведем к нормальной форме формулу
(ЗхР(х) -> VyQ(y)) -> R{z).
Пользуясь равносильными преобразованиями, получим
(ЗхР(х) -> VyQ(y)) -> 2?(z) = ЗхР(х) v \/yQ(y) v R(z) =
= 3xP(x)& VyQ(y) v = 3xP(x)& 3j/Q(z/) v
Среди нормальных форм формул логики предикатов
важное значение имеют так называемые предваренные
нормальные формы (п.н.ф.). В них кванторные операции
либо полностью отсутствуют, либо они используются после
всех операций алгебры логики, то есть предваренная нор-
мальная форма формулы логики предикатов имеет вид:
(ox1)(ox2)...(oxn)A(x1,x2,...,xm), п < т,
где под символом (ох/) понимается один из кванторов
Vx, или Зхг, а формула А кванторов не содержит.
Теорема. Всякая формула логики предикатов может
быть приведена к предваренной нормальной форме.
Доказательство. Будем считать, что формула уже
приведена к нормальной форме и покажем, что ее можно
привести к предваренной нормальной форме.
Если данная формула является элементарной, то она
кванторов не содержит, и, следовательно, уже имеет пред-
варенную нормальную форму.
Предположим теперь, что теорема справедлива для
формул, содержащих не более k операций, и докажем,
что при этом предположении она будет справедлива и
для формул, содержащих ровно АН-1 операцию.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 97
Пусть формула А содержит fe+1 операцию и имеет
вид ах L(x) , где ох обозначает один из кванторов.
Так как L(x) содержит к операций, и, следователь-
но, ее можно считать приведенной к предваренной нор-
мальной форме, то у нее все кванторные операции стоят
впереди. Но тогда формула ох Ь(х), очевидно, имеет пред-
варенную нормальную форму.
Пусть формула А имеет вид L , где формула L при-
ведена к предваренной нормальной форме и содержит k
операций. Тогда с помощью равносильностей 1 и 2 отри-
цание можно ввести под знак кванторов, и это приведет
формулу А к предваренной нормальной форме.
Пусть формула А имеет вид Ly v L2 , где Lx и L2 при-
ведены к предваренной нормальной форме.
Переименуем в формуле L2 связанные предметные
переменные так, чтобы в формулах и L2 все связанные
предметные переменные были различными. При этом
формулы Lj и L2 могут быть записаны в виде
Li = (ox1)(ox2)...(oxm)a1(x1,x2,...,xn), т < п ;
L2 = (ayl)(ay2)...(ayp>ja2(<yl,y2,...,yn\ p<q.
Используя равносильности 7 и 1, запишем формулу А,
вводя формулу L2 под знаки кванторов (ох^), (ох2)» (сИ5п):
А = (охг ) (ох2 )... (охт )(«! (xt, х2,..., хп ) v
v (°У1)(°У2) г/2» • • •. г/9)).
Затем введем под знаки кванторов (oyi), (оуг)»—»
(°Ур) формулу а1(х1,х2,...,хп). Тогда для формулы А
получим предваренную нормальную форму:
А = (ох1)(ох2)...(охт)(оу1)(оу2)...(оур)(а1(х1,х2..xn)v
va2(f/l>y2.-.y9)).
98 Курс лекций по математической логике
Аналогично проводится доказательство и в случае,
когда формула А имеет вид L1&L2-
Замечание. Если в процессе приведения формулы ло-
гики предикатов к п.н.ф. приходится рассматривать вы-
ражение Зх4(х) v ЗхВ(х) или выражение VxA(x)& VxB(x) ,
то следует воспользоваться равносильностями 5 и 10.
Например, приведем к предваренной нормальной
форме формулу А = Эх V у Р(х, у) v Vx3y Q(x, у).
А в Зх Vy Р(х, у) v SxVy Q(x, у) s Зхру Р(х, у) v Vy Q(x,y)j s
= 3x[vyP(x, у) v WzQ(x,z)l = VxVyVzfp(x.y) v Q(x,z)|
§ 8. Общезначимость и выполнимость формул
Определение 1. Формула А логики предикатов на-
зывается выполнимой в области М, если существуют
значения переменных, входящих в эту формулу и отне-
сенных к области М, при которых формула А принимает
истинные значения.
Определение 2. Формула А называется выполнимой,
если существует область, на которой эта формула вы-
полнима.
Из определения 2 следует, что, если формула выпол-
нима, то это еще не означает, что она выполнима в лю-
бой области.
Определение 3. Формула А называется тождествен-
но истинной в области М, если она принимает истин-
ные значения для всех значений переменных, входящих
в эту формулу и отнесенных к этой области.
Определение 4. Формула А называется общезначи-
мой, если она тождественно истинная на всякой области.
Определение 5. Формула А называется тождествен-
но ложной в области М, если она принимает ложные
значения для всех значений переменных, входящих в эту
формулу и отнесенных к этой области.
Из приведенных определений следует:
1. Если формула А общезначима, то она и выполни-
ма на всякой области.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 99
2. Если формула А тождественно истинная в области
М, то она и выполнима в этой области.
3. Если формула А тождественно ложная в области
М, то она не выполнима в этой области.
4. Если формулаА не выполнима, то она тождественно
ложна на всякой области.
В связи с данными определениями естественно выде-
лить два класса формул логики предикатов: выполни-
мых и не выполнимых формул.
Отметим, что общезначимую формулу называют ло-
гическим законом.
Приведем соответствующие примеры:
Пример 1. Формула Vx3yP(x, у) выполнима. Дей-
ствительно, если Р(х,у) - предикат «х < у », определен-
ный в области м = Е х Е, где Е = {0,1,2,...,п,...} , то фор-
мула Vx3yP(x,y) тождественно истинная в области М,
и, следовательно, выполнима в этой области. Однако,
если предикат « х < у » рассматривается в конечной об-
ласти Mi = Ei х Ej , где Ei = {0,l,2,...,fej , то формула
Vx3yP(x, у) будет тождественно ложной в области Мр и,
следовательно, не выполнима в области Mt. При этом
ясно, что формула Vx3yp(x,y) не общезначима.
Пример 2. Формула ЗхЗу|р(х)& P(y)j выполнима.
Действительно, если Р(х) - предикат «Число х - чет-
но», определенный в области м = Е х Е » где
Е = {0,1,2,...,и,...}, то эта формула тождественно истин-
ная в области М, и, следовательно, выполнима в области
М. Однако, если предикат «Число х - четно» рассматри-
вать в области Mi = Ei х Ei, где Et - множество четных
чисел, то формула ЗхЗу|р(х)& P(y)j будет тождественно
ложной в области Му, и, следовательно, не выполнимой.
100 Курс лекций по математической логике
Пример 3. Формула VxpP(x) v P(x)j тождественно ис-
тинная в любой области М. Значит, она является обще-
значимой, то есть является логическим законом (закон
исключенного третьего).
Пример 4. Формула Vx [р(х)& Р(х)] тождественно
ложная в любой области М, и поэтому она не выполнима.
Легко установить связь между общезначимостью и
выполнимостью формул логики предикатов.
Теорема 1. Для того, чтобы формула А была обще-
значима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрица-
ние было не выполнимо.
Доказательство. Необходимость. Пусть формула А
общезначима. Тогда, очевидно, А - тождественно лож-
ная формула в любой области, и поэтому формула А не
выполнима.
Достаточность. Пусть формула А не выполнима в
любой области. Тогда по определению невыполнимой
формулы А — тождественно ложная в любой области.
Значит, формула А - тождественно истинная формула в
любой области, и, следовательно, она общезначима.
Теорема 2. Для того, чтобы формула А была выпол-
нимой, необходимо и достаточно, чтобы формула А была
не общезначима.
Доказательство. Необходимость. Пусть формула А
выполнима. Это означает, что существует область М и
набор значений переменных, входящих в формулуА, при
которых формула А принимает истинное значение. Оче-
видно, что на этом наборе значений переменных форму-
ла А принимает ложное значение, и, следовательно,
формула А необщезначима.
Достаточность. Пусть формула А не общезначи-
ма. Тогда существует область М и набор значений пере-
менных, входящих в формулу, при которых формула А
принимает ложное значение. На этом наборе значений
переменных формула А принимает значение «истина», и
поэтому формула А выполнима.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 101
§ 9. Пример формулы, выполнимой
в бесконечной области и невыполнимой
ни в какой конечной области
Покажем, что формула
ЧхЧуЧг (р(х, х)& ^-Р(х, у) -» (р(у, z) -> Р(х, z)j] & Р(х, u)J (1)
выполнима в бесконечной области и невыполнима ни в
какой конечной области.
Допустим, что формула (1) выполнима в некоторой
области М. В таком случае должен существовать фикси-
рованный предикат Р*(х,у), для которого формула (1)
принимает значение 1. Тогда для всех элементов х, у, г и
хотя бы для одного элемента и из области М формула
Р*(х, х)& ^Р*(х, у) -> (р*({6 z) -> Р*(х, z)^&Р*(х, и)
принимает значение 1. Но в этом случае принимают зна-
чение 1 и формулы
Р*(х, у) -> [р*(у, z) -> P*(x,z)j , (2)
Р*(х,х). (3)
Кроме того, для любого х из области М существует
хотя бы один элемент и, для которого
Р*(х,и) (4)
тоже принимает значение 1.
Нетрудно убедиться, что в таком случае предикат
Р*(х,у) представляет собой предикат, устанавливающий
отношение порядка между элементами области М. Дей-
ствительно, из истинности формул (2) и (3) следует, что
предикат Р*(х,у) удовлетворяет аксиомам порядка:
1. Р*(х,х) - ложь.
2. Р*(х,у) [р*(у,z) P*(x,z)j - истина.
102 Курс лекций по математической логике
В связи с этим условимся Р*(х,у) выражать слова-
ми «х предшествует у*. Как видно из истинности форму-
лы (4), для каждого х должно существовать такое и, что
истинно Р*(х,и), то есть «х предшествует и». Возьмем
произвольный элемент области xt; среди элементов обла-
сти должен найтись такой элемент х2, что «Xj предше-
ствует х2>> . Точно также должен найтись такой элемент
х3, что «х2 предшествует х3» и т. д. Получаем последова-
тельность элементов
хр х2, ...» х„,... (5)
В силу аксиом 1 и 2 каждый элемент этой последова-
тельности отличен от каждого элемента с меньшим ин-
дексом, так как будет иметь место «хх предшествует хп>>.
Но это означает, что любые два элемента последователь-
ности (5) различны и область М бесконечна.
Покажем, что существует область, на которой фор-
мула (1) выполнима. Пусть М = |0,1,2,...,п,...|, а Р{х,у)
означает «х^у>- Тогда Р(х,у) означает «х<у». При
такой замене предиката Р(х,у) формула (1) принимает
вид
VxVyVzBu [х < х& ((х < у) -> (у < z -> х < а))&(х < u)j.
Очевидно, что на множестве М = |0,1,2,...,п,...| эта
формула истинна.
Из доказанного ясно, что, если область, на которой
рассматривается формула (1), конечна, то формула (1)
тождественно ложна на М, и, значит, не выполнима.
§ 10. Проблема разрешимости для общезначимости
и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае
(без доказательства)
Проблема разрешимости в логике предикатов ставит-
ся так же, как и в алгебре логики: существуют ли алго-
ритмы, позволяющие для любой формулы А логики пре-
дикатов установить, к какому классу она относится, то
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ---------------------------- ЮЗ
есть является ли она или общезначимой, или выполнимой,
или тождественно ложной. Если бы такой алгоритм су-
ществовал, то, как и в алгебре высказываний, он сво-
дился бы к критерию тождественной истинности любой
формулы логики предикатов.
Отметим, что в отличие от алгебры логики, в логике
предикатов не применим метод перебора всех вариантов
значений переменных, входящих в формулу, так как
таких вариантов может быть бесконечное множество.
В 1936 году американский математик А.Черч дока-
зал, что проблема разрешимости логики предикатов в
общем виде алгоритмически не разрешима, то есть не
существует алгоритма, который бы позволил установить,
к какому классу формул относится любая формула ло-
гики предикатов.
§ 11. Алгоритмы распознавания
общезначимости формул в частных случаях
1. Проблема разрешимости в случае конечных об-
ластей.
Очевидно, что проблема разрешимости в случае
конечных областей разрешима. Действительно, в этом
случае кванторные операции можно заменить опера-
циями конъюнкции и дизъюнкции и тем самым све-
сти формулу логики предикатов к формуле алгебры
логики, для которой проблема разрешимости разре-
шима.
Например, формула Vx3y ^Р(х,у) v P(x,x)j в области
М = (a, b}, состоящей из двух элементов, приводится к
виду:
Vx3z/jp(x,z/) v Р(
Так как каждый член последней конъюнкции явля-
ется дизъюнкцией, содержащей высказывание и его от-
рицание, то формула истинна.
104 Курс лекций по математической логике
2. Проблема разрешимости для формул, содержащих
в предваренной нормальной форме кванторы одного типа.
Определение 1. Формула логики предикатов назы-
вается замкнутой, если она не содержит свободных пред-
метных переменных.
Определение 2. Если формула логики предикатов С
содержит свободные переменные хр х2, ..., хп, то формула
А = VXiVx2... Vxn C(xltx2,...,xn)
называется замыканием общности формулы С, а формула
В = 3xj3x2...3xn C(xltx2,...,xn)
называется замыканием существования формулы С.
Теорема 1. Если замкнутая формула логики преди-
катов в предваренной нормальной форме содержит толь-
ко кванторы существования, число которых равно п, и
тождественно истинна на любой области, состоящей
из одного элемента, то она общезначима.
Доказательство. Пусть формула логики предикатов
в предваренной нормальной форме имеет вид
В = 3xj3x2...3xn C{q1,q2,...,P1,P2,...,Q1,Q2,...), (1)
где С кванторов не содержит; qt - логические перемен-
ные, Р. - одноместные предикаты, Q. - двухместные пре-
дикаты.
Значение истинности этой формулы зависит от вхо-
дящих в нее переменных qx, q2, ..., предикатов Рг, Р2, ...,
Q2, ... и так далее.
По условию теоремы на любой области М = {а}, со-
держащей только один элемент а, данная формула тож-
дественно истинна, то есть тождественно истинной явля-
ется формула
C(<7i, q2, — , Р\(а), Р2(а),..., Qi(a, a), Q2(a, а),...) (2)
Формула (2), очевидно, является формулой алгебры
логики.
Предположим, что формула (1) не является общезна-
чимой. Тогда существует такая область М1 и такой набор
значений переменных qf, q^, ..., pf, р£, ..., Qf,
на котором формула (1) принимает значение «ложь»,
то есть
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 105
3x13x2...3xnc(qoi,qo2,...,P^P^...,Qo1,Q°2,.^ = O (3)
Рассмотрим отрицание формулы (3).
3xr3x2... 3xnc[ql,q°2,..., Р?,Р%,..., Q?, Q°2,...) э
VxxVx2... Vxnс(91°, q2,..., Pj, Р2°,..., Q®, Q°2,...) = 1
Отсюда следует, что формула
C[q°!, q°2,..., РЛ Р2°,..., <$, (&...) (4)
тождественно истинна, независимо от выбора предмет-
ных переменных из области Мр
Возьмем из области Мг какой-нибудь элемент х0 и
подставим его в формулу (4) вместо всех предметных
переменных. Тогда
c(9i^^>...,Pi0(x0),P20(x0),...,Q1°(x0,x0),Q^(x0,x0),...) = 1
И, значит,
c(qi. 92> • • •. Л" (•*<>)’ ?2 (*о). • • •. Q? (х0, х0), <?2(х0, х0),...) = О,
а это противоречит тождественной истинности форму-
лы (2).
Теорема 2. Если замкнутая формула логики преди-
катов в предваренной нормальной форме содержит толь-
ко кванторы общности, число которых равно п, и тож-
дественно истинна на всяком множестве, содержащем
не более, чем п элементов, то она общезначима.
Доказательство. Пусть формула логики предикатов
в предваренной нормальной форме имеет вид
А = \fx1^x2...\fxnC(ql,q2,...,Pl,P2,...,Qi,Q2,...), (1)
где, как и раньше, qlf q2, ... - логические переменные, Рр
Р2, ... - одноместные предикаты, Qp Q2, ... - двухместные
предикаты и т.д.
Предположим, что формула (1) не является общезна-
чимой. Тогда существует область с числом элементов,
большим п, на которой она не является тождественно
106 Курс лекций по математической логика
истинной, то есть существует набор значений переменных
91 > 92» •••» А°» р2 > •••» 01» Ог» •••» на котором формула
VxxVx2... Vxnc(9i°, q%.Р?,Р$,..., Qf, (?§,...) (2)
принимает ложное значение. Отсюда
VXi Vx2... VxraC^9i, 92,..., р2.• • •» 01,«2» • • •) =
= 3x13x2...3xnc(91o,9^...,P10,P20,->Oi,O^...) = 1
Таким образом, существует набор предметных пере-
менных xi , х2 , •••, х° из области Мр при котором фор-
мула C^9i,92,...,Д°,Р2°,...,О1,О2,-") имеет значение 1, а
формула C^9i,92,...,Pi°,p2°,...,Oi,O2>”-j имеет значение 0.
Значит, из области можно выделить область М2,
содержащую не более п элементов, на которой данная
формула не является тождественно истинной, а это про-
тиворечит условию теоремы.
§ 12. Применение языка логики предикатов
для записи математических предложений,
определений, построения отрицания предложений
1. Запись математических предложений в виде фор-
мул логики предикатов.
Язык логики предикатов удобен для записи матема-
тических предложений. Он дает возможность выражать
логические связи между понятиями, записывать опреде-
ления, теоремы, доказательства. Приведем ряд приме-
ров таких записей.
1. Определение предела числовой последовательности.
а = 11m ап о Vf > О 3n0 Vn е N[n > пц -> 1ага - а| < г)
п->со ' /
Здесь использован трехместный предикат Q(s,n,n0):
(п > по -> |ап - а] < г) .
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 107
2. Определение предела функции в точке.
b = lim /(х) о W > 0 3d > 0 Vx е Е (о < |х - х0| < 8 => |/(х) - b| < с)
Здесь использован трехместный предикат Р(е,8,х}‘.
(о < |х - хо| < 8 => |/(х) - b| < е).
3. Определение непрерывности функции в точке.
Функция /(х), определенная на множестве Е, непре-
рывна в точке х0 е Е , если
Vf>03£>0Vx е Е ^|х - х0| < |f(x) - f (хо)| < •
Здесь также использован трехместный предикат Р(г,£,х).
4. Определение возрастающей, функции.
Функция /(х), определенная на множестве Е, возра-
стает на этом множестве, если
Vxi е Е Vx2 е E^xj < х2 => /(х1) < /(хг)) •
Здесь использован двухместный предикат W(xj,x2):
(*1 < х2 => /(xj < /(х2)).
5. Определение ограниченной функции.
Функция определенная на множестве Е, огра-
ничена на этом множестве, если
ЗМ е R+ Vx е Е (|r(x)| < М) .
Здесь использован двухместный предикат Р(х, Af):
(Ифм).
Как известно, многие теоремы математики допускают
формулировку в виде условных предложений. Например,
рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на
биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла».
Условием этой теоремы является предложение «Точка ле-
жит на биссектрисе угла», а заключением - предложение
108 Курс лекций по математической логике
«Точка равноудалена от сторон угла». Видим, что и усло-
вие, и заключение теоремы представляют собой предика-
ты, заданные на множестве R2. Обозначая эти предикаты
соответственно через Р(х) и <?(х), где х е R2, теорему
можем записать в виде формулы:
Vx е R2 (р(х) -> Q(x)).
В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно
выделить в ней три части: 1) условие теоремы: предикат
Р(х), заданный на множестве R2; 2) заключение теоре-
мы: предикат (?(х), заданный на множестве R2; 3) разъяс-
нительная часть: в ней описывается множество объек-
тов, о которых идет речь в теореме.
2. Построение противоположных утверждений.
Пусть дано некоторое математическое утверждение А.
Ему противоположным будет утверждение А.
Логика предикатов позволяет путем равносильных
преобразований формулы А придать ей хорошо обозри-
мый вид.
Так, например, определение ограниченной функции
дается формулой
ЭМ е R+ Vx е Е (|/(х)| < Af).
Определение неограниченной функции мы получим, беря
отрицание этой формулы и проводя равносильные пре-
образования:
ЭМ е R+ Чх е Е (|/(х)| < м) = VM е R+ Vx е Е (|/(х)| < М
= VM eR+ Эх еЕ (|/(х)| < Af) г VM е R+ Эх е Е (|/(х)| > м).
Последняя формула дает не негативное, а положитель-
ное определение неограниченной функции.
Из приведенного определения видно, что для постро-
ения противоположного утверждения к утверждению,
заданному формулой логики предикатов, содержащей все
кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы
ДОТИКА ПРЕДИКАТОВ Ю9
на противоположные и взять отрицание от предиката,
стоящего под знаком кванторов.
Так, утверждение, что ь lim fix), даст формула:
Vf > 0 35 > 0 Vx е Е (о < |х - хо| < 8 => |/(х) - b| < е) s
= Зе > О V5 > 0 Зх е Е (о < |х - х0| < 8 => |/(х) - b| < £j =
= Зе > О V5 > О Зх е Е (о < |х - Хо| < 5&|/(х) - b| > .
Особый интерес представляет построение утвержде-
ния, отрицающего справедливость некоторой теоремы:
Vx е Е(р(х) -> Q(x)). Это будет утверждение:
Х/х е е(р(х) -> Q(x)) s Эх е Е(р(х)-><?(х)) s Эх Е e(p(x)&Q(x)).
Следовательно, чтобы доказать, что теорема
Vx(p(x) -> Q(x)) неверна, достаточно указать такой эле-
мент х е Е, для которого Р(х) - истина, a <?(х) - ложь,
то есть привести контрпример.
3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Рассмотрим четыре теоремы:
VxeE (Р(х) - ->Q(x)), (1)
Vx е Е (q(x) - * М. (2)
Vx е Е (р(х) - -»«(«)), (3)
Vx е Е (q(x) - (4)
Пара теорем, у которых условие одной является зак-
лючением второй, а условие второй является заключени-
ем первой, называются взаимно обратными друг другу.
Так, теоремы (1) и (2) , а также (3) и (4) - взаимно
обратные теоремы. При этом, если одну из них называ-
ют прямой теоремой, то вторая называется обратной.
Пара теорем, у которых условие и заключение одной
является отрицанием соответственно условия и заключе-
ния другой, называются взаимно противоположными.
i10 Курс лекций по математической логине
Так, теоремы (1) и (3), а также теоремы (2) и (4)
являются взаимно противоположными теоремами.
Например, для теоремы «Если в четырехугольнике
диагонали равны, то четырехугольник является прямоу-
гольником» (1) обратной является теорема «Если четы-
рехугольник является прямоугольником, то его диаго-
нали равны» (2). Для теоремы (1) противоположной яв-
ляется теорема «Если в четырехугольнике диагонали не
равны, то четырехугольник не является прямоугольни-
ком» (3), а для теоремы (2) противоположной является
теорема «Если четырехугольник не является прямоуголь-
ником, то его диагонали не равны» (4).
В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являют-
ся одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновре-
менно истинными. Контрпримером к теореме (1) являет-
ся равнобочная трапеция.
Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще гово-
ря, не равносильны, то есть одна из них может быть
истинной, а другая ложной. Однако легко показать, что
теоремы (1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равно-
сильны. Действительно,
Vx е Е (р(х) Q(x)) = Vx е Е (^>(-^) v Q(x)) s
S Vx eE (q(x) v P(x)j B Vx e E (<?(x) -> P(x)) .
Аналогично доказывается равносильность
Vx e E (Q(x) -> P(x)) = Vx e E (p(x) -> Q(x)).
Из этих равносильностей следует, что, если доказа-
на теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказа-
на теорема (2), то доказана и теорема (3).
4. Необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим теорему
Vx е Е (р(х) Q(x)). (1)
Как отмечалось, множество истинности предиката
Р(х) —> Q(x) есть множество CIp UIq . Но тогда множест-
вом ложности этого предиката будет c(cIp\JIq} =
— IpOCIq . Последнее множество будет пустым лишь в
случае, когда Ip с Iq .
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 111
Итак, предикат Р(х) -> Q(x) является истинным для
всех х е Е в том и только в том случае, когда множество
истинности предиката Р(х) содержится в множестве ис-
тинности предиката <?(х). При
этом говорят, что предикат
Q(x) логически следует из пре-
диката Р(х), и предикат <?(х)
называют необходимым усло-
вием для предиката Р(х), а
предикат Р(х) - достаточным условием для Q(x). Так, в
теореме «Если х - число натуральное, то оно целое» пре-
дикат <?(х): «х - число целое» логически следует из пре-
диката Р(х): «х - число натуральное», а предикат «х —
число натуральное» является достаточным условием для
предиката «х — число целое».
Часто встречается ситуация, при которой истинные
взаимно обратные теоремы
Vx е Е (р(х) -> Q(x)j (1)
и
Vx е Е (Q(x)-> Р(х)) . (2)
Это, очевидно, возможно при условии, что Ip = Iq .
В таком случае из теоремы (1) следует, что условие
Р(х) является достаточным для <?(х), а из теоремы (2)
следует, что условие Р(х) является необходимым для <?(х).
Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то
условие Р(х) является и необходимым, и достаточным
для Q(x). Аналогично в этом случае условие Q(x) явля-
ется необходимым и достаточным для Р(х).
Иногда вместо логической связки «необходимо и до-
статочно» употребляют логическую связку «тогда и толь-
ко тогда».
112 Курс лекций по математической логике
Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то
истинно высказывание
Vx е Е (р(х) -» (?(х))& Vx е Е (<?(х) -> P(x)j = Vx е Е (р(х) <-> Q(x)j
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Теорема «Если число I делится на 12, то
оно делится на 3» истинна. Поэтому здесь делимость
числа I на 12 является достаточным условием для дели-
мости числа I на 3, а делимость числа I на 3 является
необходимым условием для делимости числа I на 12. В
то же время обратная теорема «Если число I делится на
3, то оно делится на 12» не верна. Поэтому делимость
числа I на 3 не является достаточным условием делимо-
сти числа I на 12, а делимость числа I на 12 не явля-
ется необходимым условием делимости числа I на 3.
Пример 2. Теоремы «В описанном четырехугольнике
суммы длин противоположных сторон равны между со-
бой» и «Если в четырехугольнике суммы длин противо-
положных сторон равны между собой, то в этот четыреху-
гольник можно вписать окружность» взаимно обратны.
Обе они истинны, и, следовательно, здесь можно употре-
бить логическую связку «необходимо и достаточно»:
«Для того, чтобы в четырехугольник можно было
вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы
суммы длин его противоположных сторон были равны
между собой».
5. Доказательство методом от противного.
Доказательство методом от противного обычно прово-
дится по следующей схеме: предполагается, что теорема
Vx g Е (р(х) -> Q(x)) (1)
не верна, то есть существует такой объект х, что условие
Р(х) истинно, а заключение <?(х) - ложно. Если из этих
предположений путем логических рассуждений приходят
к противоречивому утверждению, то делают вывод о том,
что исходное предположение не верно, и верна теорема (1).
Покажем, что такой подход дает доказательство ис-
тинности теоремы (1).
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ цз
Действительно, предположение о том, что теорема
(1) не справедлива, означает истинность формулы
Vx g Е (р(х) -> •
Противоречивое утверждение, которое получается из
допущенного предположения, есть конъюнкция С&.С ,
где С - некоторое высказывание. Таким образом, схема
доказательства от противного сводится к доказательству
истинности формулы
Vx е Е (р(х) -> Q(x)) -> С& С .
Легко видеть, что эта формула равносильна фор-
муле (1).
Действительно,
Vx е Е (р(х) -> Q(x)) С&С = Vx е Е (р(х) Q(x)) vC&C =
= Vx g E (p(x) -> <?(x)j.
§ 13. Замечание об аксиоматическом исчислении
предикатов
Аналогично тому, как была построена аксиомати-
ческая теория высказываний, может быть построена и
аксиоматическая теория предикатов. При этом необхо-
димо отметить следующее:
1. Определение формулы исчисления предикатов со-
впадает с определением формулы логики предикатов,
которое вводилось нами ранее.
2. Выбор системы аксиом исчисления предикатов,
как и в случае исчисления высказываний, может осуще-
ствляться по-разному. Одной из таких систем аксиом
может быть система, в которую включены одиннадцать
аксиом исчисления высказываний, использованные нами,
и две дополнительные аксиомы:
Vx(F(x) -> Р(у));
F(t)-> ЭхР(х),
где t не содержит переменной х.
114 Курс лекций по математической логике
3. К правилам вывода, которые использовались в ис-
числении высказываний, добавляются еще два правила:
а) Правило введения квантора общности
F -> <?(х)
F-> Vx С?(х) ’
б) Правило введения квантора существования
G(x) -> F
3xG(x) -> F ’
если F не зависит от х.
4. Понятие вывода и доказуемой формулы определя-
ются аналогично этим понятиям в исчислении высказы-
ваний.
5. Как и во всякой аксиоматической теории, рас-
сматриваются проблемы:
а) разрешимости,
б) непротиворечивости,
в) полноты,
г) независимости.
ГЛАВА IV
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
В алгебре высказываний и исчислении высказыва-
ний использование таблиц истинности давало достаточ-
но эффективный способ решения вопроса о том, являет-
ся ли данная формула тавтологией.
Ситуация принципиально меняется при переходе к
логике предикатов. Здесь нет эффективного способа, по-
зволяющего для каждой формулы решить вопрос о том,
является ли она общезначимой. В связи с этим в матема-
тических теориях, которые используют понятие преди-
ката и связанные с ним понятия кванторных операций,
необходимым становится аксиоматический метод.
Имеются и другие доводы в пользу аксиоматическо-
го метода, и они состоят в следующем: аксиоматический
метод базируется на простых отношениях между симво-
лами и выражениями точных формальных языков и ис-
пользует достаточно простые арифметические методы.
Это обстоятельство обеспечивает надежность аксиома-
тического метода.
В этой главе рассматривается сущность аксиомати-
ческого метода и те проблемы, которые возникают при
его использовании.
Под аксиоматической, теорией, построенной на осно-
ве данной системы аксиом, понимается совокупность всех
теорем, доказываемых исходя из этой системы аксиом.
Аксиоматические теории делятся на формальные и
неформальные.
Неформальные аксиоматические теории наполнены
теоретико-множественным содержанием, понятие выво-
димости в них довольно расплывчато и в значительной
степени опирается на здравый смысл.
Формальная аксиоматическая теория считается оп-
ределенной, если выполнены следующие условия:
1. Задан язык теории.
2. Определено понятие формулы в этой теории.
116 Курс лекций по математической логике
3. Выделено некоторое множество формул, называе-
мых аксиомами.
4. Определены правила вывода в этой теории.
Среди математических теорий выделяют теории пер-
вого порядка. Они отличаются от теорий высших поряд-
ков тем, что не допускают в своем изложении предика-
ты, которые имеют в качестве возможных значений сво-
их аргументов другие предикаты и функции. Кроме того,
они не допускают кванторные операции по предикатам
или функциям.
Теорий первого порядка достаточно для выражений
большинства известных математических теорий.
В нашем курсе математической логики мы ограни-
чимся только математическими теориями первого поряд-
ка, которые называют иногда элементарными теориями.
§ 1. Язык первого порядка
Определение 1. Алфавитом А называется всякое не-
пустое конечное множество символов. Символы алфави-
та называются буквами.
Определение 2. Словом в алфавите А называется вся-
кая конечная последовательность букв алфавита А. Пу-
стая последовательность букв называется пустым сло-
вом и обозначается через Л .
Будем говорить, что два конкретных слова ага2... ап
я Ь.Ь,... Ь. алфавита А равны п писать а = &.
если п = k и а^ = Ь^, а2 = ^2 > ...» ап = Ъп. При этом число
п называют длиной этого слова.
Пусть Т некоторая теория. Обозначим через Л(т)
алфавит этой теории. Множество Е(т) слов алфавита
А(т) называют множеством выражений теории Т.
Пару (А(Т),Е(Т)), состоящую из алфавита А(Т) и
множества выражений .Е(Т) теории Т называют языком
теории Т.
Языки первого порядка обслуживают теории первого
порядка. В алфавит всякой теории Т первого порядка вхо-
дят по существу те же символы, которые были введены
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 777
ранее. Это символы логических операций &, v, -> ,
символы кванторных операций V, Э; вспомогательные
символы - скобки, запятые; счетное множество п-мест-
ных предикатных букв Af(n,j>l), где верхний индекс
указывает на число мест, а нижний - номер предикатной
буквы; конечное (возможно, и пустое) или счетное
множество функциональных букв /”(п,/>1), где верх-
ний индекс указывает на число переменных, входящих в
функцию, а нижний - номер функциональной буквы;
конечное (возможно пустое) или счетное множество пред-
метных констант > 1).
В частности, под функциональной буквой может по-
ниматься цепочка логических операций.
Множество предикатных букв вместе с множеством
функциональных букв и констант называется сигнату-
рой языка данной теории и является его специфической
частью.
Таким образом, в теории Т первого порядка могут
отсутствовать некоторые или даже все функциональные
буквы и предметные константы, а также некоторые, но
не все предикатные буквы.
Различные теории первого порядка могут отличать-
ся друг от друга по составу букв в алфавите.
§ 2. Термы и формулы
Дальнейшее описание теории Т требует прежде все-
го индуктивных определений терма и формулы. Термы
и формулы - это два класса слов множества Е(т).
Определение терма. 1. Предметная переменная и
предметная константа суть термы.
2. Если гр г2, ..., гп - термы и А - символ п-местной
операции, то А^(1\,г2,...,гп^ терм.
3. Никаких других термов, кроме определенных в
п. 1 и и. 2 , в Т нет.
Согласно естественной интерпретации, терм - это имя
некоторого предмета. Кроме переменных и предметных
118 Курс лекций по математической логике
констант, термами являются цепочки, образованные из
переменных и предметных констант посредством симво-
лов операций, т. к. в подразумеваемой интерпретации он
истолковывается как значение некоторой функции.
Определение формулы. 1. Если А — символ «-местно-
го отношения (предикат или функция ), а гр г2, ..., гп -
термы, то А(г1,Г2,...,гп) - формула. В частности, если А -
предикатная буква А", то А"(г1,г2,...,г„) называется
элементарной формулой.
2. Если А и В формулы, то А& В, Av В , А -> В, А -
формулы.
3. Если А - формула, а у - предметная переменная,
которая входит в А свободно или не содержится в А, то
выражения VyA , ЭуА - формулы. При этом А называет-
ся областью действия квантора.
4. Никаких других формул, кроме определенных в
п. 1 - 3 , нет.
§ 3. Логические и специальные аксиомы.
Правила вывода
Аксиомы теории первого порядка Т разбиваются на
два класса: логические аксиомы и специальные (нелоги-
ческие или собственные аксиомы).
Логические аксиомы. Каковы бы ни были формулы
А, В и С теории Т, следующие формулы являются логи-
ческими аксиомами теории Т :
1) А->(В-> А);
2) (А —> (В —> С)) —> ((А —> В)-> (А-> С));
3) (В -> А) -> ((в -> А) -> в);
4) VXjA^Xj) -> A(f), где A(xf) есть формула теории Т
и t есть терм теории Т, свободный в А(хг). Отметим, что
t может совпадать с х., и тогда мы приходим к аксиоме
Vx/A(xz) -> A(xj);
5) Vxz(A -> В) -> (А -> VXjB), если х4 не входит сво-
бодно в формулу А.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 119
Замечание. Ранее в главе II было построено класси-
ческое исчисление высказываний, содержащее 11 акси-
ом. Однако может быть построено исчисление высказы-
ваний с меньшим числом аксиом (в частности, с логи-
ческими аксиомами 1) ~ 3).
Специальные аксиомы. Они не могут быть сформу-
лированы в общем случае, так как меняются от теории
к теории.
Теория первого порядка, не содержащая собствен-
ных аксиом, очевидно, представляет собой чисто логи-
ческую теорию. Она носит название исчисления преди-
катов первого порядка.
Во многих теориях, которые могут быть аксиомати-
зированы как теории первого порядка, используется по-
нятие равенства. Оно вводится путем добавления двухме-
стного предиката « х = у » и в связи с этим добавляются
две специальные аксиомы: 1) Vx(x = х) ; 2) Если х, у, z, -
различные предметные переменные и - формула, то
VxVy (х = у -> F(x) = F(y)) .
Правила вывода. Как и в исчислении высказыва-
ний, будем пользоваться понятиями вывода из совокуп-
ности формул (высказываний) Н. Высказывания, входя-
щие в Н, будем называть допущениями (или посылка-
ми). Если последним высказыванием в выводе из Н сто-
ит высказывание А, то будем говорить, что предложение
А выводимо из Н и записывать: Н|-А. В частном слу-
чае, если Н = 0 > то пишут |-А.
В число правил вывода теории первого порядка вклю-
чаются два правила:
1. Правило заключения (или modus ponens):
|-А,|-А->.В
F-в
2. Правило связывания квантором всеобщности (или
правило обобщения):
кА .
kVXjA*
120 Курс лекций по математической логике
§ 4. Примеры математических теорий
из алгебры, анализа, геометрии
1. Теория частичного упорядочения.
Пусть теория Т содержит одну предикатную букву
Ах и не содержит функциональных букв и предметных
констант. Вместо формул A.f(xi,x2) и Л1(х£,х2) обычно
пишут Х1 < х2 и Х1 £ х2 .
Пусть Т содержит две специальные аксиомы:
a) Vxj(xi / xj) - иррефлективность;
б) Vx1Vx2Vx3 ((хх < х2)&(х2 < х3) -> (хх < х3)) - тран-
зитивность.
Всякая модель этой теории называется частично упо-
рядоченной структурой.
2. Теория групп.
Пусть теория Т содержит одну предикатную букву
Ах , одну функциональную букву Д2 и одну предметную
константу Пользуясь принятыми в алгебре обозначе-
ниями, будем писать:
t = s вместо Ax(t, з),
t + s вместо fx(t,s),
О вместо av
Специальными аксиомами теории Т здесь являются
формулы:
а) Ух^ХзУхэ^ + (х2 + х3)) = ((хх + х2) + х3) - ассоци-
ативность;
б) Vxi(0 + Хх = Xj) - свойство нуля;
в) Xfxx5x2{xx + х2 = О) - существование обратного эле-
мента;
г) Чхх(хх = Xi) - рефлексивность равенства;
д) VxiVx2((xi = х2) -» (х2 = xj)j - симметричность ра-
венства;
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 121
$ VxXVX2VX3((xX = Х2) -» ((х2 = х3) -» (хХ = x3))j -
транзитивность равенства;
ж) VxxVx2Vx3((x2 = х3) -> ((хх + х2 = хх + х3)&(х2 + хх =
= х3 + хх)) - подстановочность равенства.
Всякая модель этой теории называется группой. Если
в группе истинна формула VxxVx2(xx + х2 = х2 + хх), то
группа называется абелевой или коммутативной.
Примерами групп являются:
1) множество всех взаимно однозначных отображе-
ний множества М на себя, рассматриваемое вместе с
операцией суперпозиции отображений;
2) множество Z всех целых чисел, рассматриваемое
вместе с операцией сложения целых чисел;
3) множество V2 всех векторов плоскости, рассмат-
риваемое вместе с операцией сложения векторов по пра-
вилу треугольника или параллелограмма;
4) пространство Я2 всех векторов «-мерного простран-
ства с операцией сложения векторов, определяемой как
покоординатное сложение;
5) - пространство непрерывных на [a,b] функ-
ций f с нормой ||/|| = щах |/(х)| и обычной операцией сло-
жения. а<х<Ъ
Теория частичного упорядочения и теория групп
|являются эффективно аксиоматизированными, то есть
Имеется возможность для любой данной формулы эф-
фективно выяснить, принадлежит ли она к числу логи-
ческих аксиом.
3. Аффинная геометрия.
Первичными терминами этой теории являются: мно-
жество ? (элементы которого, называемые точками, бу-
дут обозначаться прописными латинскими буквами Р,
Q, ...), множество £ (элементы которого, называемые пря-
мыми, будут обозначаться строчными латинскими бук-
вами £, т, ...) и множество J, называемое отношением
инцидентности.
122 Курс лекций по математической лоаике
Специальными аксиомами теории Т здесь являются
формулы:
a) JcPxL(< читается «Р лежит на (»,
или « (. содержит Р», или « I проходит через Р», или «Р
и (. инцидентны» .
б) Для любых двух различных точек Р и Q существу-
ет в точности одна прямая, проходящая через Р и Q.
(Будем обозначать такую прямую через P + Q).
в) Для любой точки Р и любой прямой I существует
в точности одна прямая т, проходящая через Р и парал-
лельная прямой t (т.е. либо т = (. , либо не существует
точек, лежащих на обеих прямых (. и иг).
г) Если А, В, С, D, Е, и F - шесть различных точек,
причем А + В параллельна С + D , С + D параллельна
Е + F , А + С параллельна В + D и С + Е параллельна
D + Е , то А + Е параллельна и В + F .
д) Существует три различных точки, не лежащие на
одной прямой.
4. Геометрия (теория равенства отрезков).
Первичные термины: множество S - множество всех
отрезков, и «=» - отношение равенства, так что выраже-
ние « х = у » читается так: «отрезок х равен отрезку у».
Специальные аксиомы:
a) Vx е S (х = х);
б) VxVz/Vz ((х = з)& (у = z) -> (х = у)) .
5. Аксиоматическая теория натуральных чисел, по-
строенная итальянским математиком Дж.Пеано.
Первоначальные понятия: непустое множество N,
отношение следования « ' » и выделенный элемент 1.
Специальные аксиомы:
a) Vx е N (х' * 1) ;
б) VxVz/ е N(x = у -> х' = у') ;
в) VxVz/ е N(x' = у' —> х = у);
г) Пусть М с N . Тогда (1 е (Vx е М -> х' е М) ->
->M = N.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 123
§ 5. Доказательство в теории
Доказательство в широком смысле этого слова есть
способ обоснования истинности некоторого суждения.
Степень убедительности доказательства решающим об-
разом зависит от средств, используемых для обоснова-
ния истинности.
Так, в точных науках выработаны определенные тре-
бования к эксперименту, при которых факт, получен-
ный в результате эксперимента, может считаться дока-
занным. В математике, для которой характерен аксио-
матический метод, взгляд на доказательство определя-
ется взглядом на аксиоматическую теорию. Слово «тео-
рия» понимается здесь в определенном специальном смыс-
ле. Термин «теория» применяют по отношению к двум
множествам высказываний, одно из которых есть соб-
ственное подмножество другого. Большое (объемлющее)
множество высказываний определяет предметную область
теории, элементы же меньшего (охватывающего) множе-
ства высказываний - это высказывания теории, кото-
рые считаются в ней истинными или доказуемыми (или
теоремами). Они определяются как высказывания, вы-
водимые чисто логическим путем из некоторых заранее
выбранных и фиксированных высказываний, называе-
мых аксиомами.
В аксиоматической теории понятию истинности нет
места - понятие истинного высказывания имеет смысл
лишь в связи с возможными приложениями теории.
Определение 1 (доказательства). Доказательством
называют конечную последовательность sp s2, ..., sk выс-
казываний рассматриваемой теории, каждое из которых
либо является аксиомой, либо выводится из одного или
более предыдущих высказываний этой последовательно-
сти по логическим правилам вывода.
Определение 2 (теоремы). Теоремой или доказуемым
высказыванием называется высказывание, являющееся
последним высказыванием некоторого доказательства.
Ясно, что любая аксиома является теоремой, при-
чем ее доказательство состоит из одного шага.
Вывод высказывания С из пустого множества посы-
лок есть, очевидно, доказательство высказывания С.
124 Курс лекций по математической логике
§ 6. Доказуемость частных случаев тавтологий
Теорема. Если формула А теории первого порядка Т
есть частный случай тавтологии, то А есть теорема
в Т и может быть выведена с употреблением схем логи-
ческих аксиом (1), (2) и (3) и правила заключения.
Доказательство. Пусть формула А получена из неко-
торой тавтологии В с помощью подстановок, и хр х2, ...,
хп - набор переменных, входящих в В. Как известно, в
этом случае существует вывод В из совокупности
Н = |x1,x2,...,xn j . Сделаем в этом выводе всюду подста-
новки по следующим правилам:
1) если какая-нибудь переменная х( входит в В, то на
места всех ее вхождений в каждую формулу вывода под-
ставляем ту формулу теории Т, которая подставлялась в
В на места вхождения той же буквы при построении А.
2) если некоторая переменная хк не входит в В, то на
места всех ее вхождений в формулы вывода подставляет
произвольную (одну и ту же для данной буквы) формулу
теории Т.
Полученная таким образом последовательность фор-
мул и будет выводом формулы А в теории Т. При этих
рассуждениях использовались только аксиомы (1), (2), (3)
и правило заключения.
§ 7. Теорема дедукции
Как известно, в исчислении высказываний справед-
лива
Теорема дедукции:
Н,С\-А
Н\-С -» А
Эта теорема без соответствующих изменений не спра-
ведлива для произвольных теорий первого порядка Т.
Например, в любой теории первого порядка всегда
ApVxA, но не всегда доказуема формула А -> VxA . Дей-
ствительно, рассмотрим область, содержащую по край-
ней мере два элемента М = {а, Ь,...
Пусть Т - исчисление предикатов, и пусть формула
А есть Aj(x). Проинтерпретируем А* каким-нибудь
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 12S
свойством, которым обладает только элемент а. Тогда
Aj(x) выполнима на множестве, которое содержит а, при
этом формула VxA(x) не выполнима на множестве М.
Однако теорема дедукции в теории первого порядка
имеет место, но в несколько ослабленной форме. Преж-
де, чем формулировать теорему дедукции для теорий
первого порядка, уточним понятие вывода из совокупно-
сти формул в этом случае и докажем одно вспомогательное
предложение.
Рассмотрим совокупность формул Н, А и вывод из
этой совокупности В2...... Вп. Будем говорить, что
формула Вк зависит от формулы А в этом выводе в двух
случаях:
1) формула Вк есть А, и она включена в вывод как
формула, содержащаяся в совокупности Н, А;
2) формула Вк получена по правилам заключения и
связывания квантором из формул, предшествующих ей
в выводе, из которых по крайней мере одна зависит от А.
Например, из совокупности формул (VxA->C, А}
можно получить вывод
A, VxA, VxA->C,C, VxC,
каждая формула которого зависит от А.
Лемма. Если в выводе Ве В2,..., Вп1, В из совокупнос-
ти Н, А формула В не зависит от А, то Н\-В.
Доказательство леммы проведем методом математи-
ческой индукции.
1. При п = 1 утверждение справедливо. Действительно,
если В есть вывод из Н, А и не зависит от А, то либо В <= Н ,
либо В - доказуемая формула, и в обоих случаях Н|-В.
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливо для любого вывода длины k < п и докажем его для
вывода длины п. Если при этом В <=Н или В - доказуе-
мая формула, то Н\-В . Если же В получена из каких-то
(одной или двух) формул, предшествующих ей в выводе,
то она не зависит от формулы А, так как по индуктивно-
му предположению не зависят от А все формулы, пред-
шествующие ей в выводе. Следовательно, Н\-В.
126 Курс лекций по математической логике
Теорема дедукции. Пусть Н, А|-В, и при этом пусть
существует такой, вывод В из Н, А, в котором ни при
каком применении правила связывания квантором к
формулам, зависящим в этом выводе от А, не связыва-
ется квантором никакая свободная переменная, входя-
щая в А. Тогда ЬГ|-А -> В .
Доказательство. Пусть Вр В2, ..., Ви_р В есть вывод
из Н, А удовлетворяющий условию теоремы. Доказа-
тельство проведем методом математической индукции.
1. При п = 1 утверждение справедливо. Действитель-
но, если В есть вывод из Н, А, то
а) либо В еН ,
б) либо В - доказуемая формула,
в) либо В есть А.
В случаях а) и б) так как П|-В, и формула В -> (А -> в)
доказуема, то по правилу заключения получаем Н|- А -> В .
В случае в) формула А -> В есть формула А -> А, то
есть доказуема, и поэтому выводима из Н.
2. Предположим теперь, что утверждение справед-
ливо для любого вывода длины k < п и докажем его спра-
ведливость для вывода длины п. Так как Вр В2, .... Ви_р
В есть вывод из Н, А, то возможны пять случаев:
а) В 6 Н ,
б) В - доказуемая формула,
в) В есть А,
г) В получается из предшествующих ей в выводе
формул В., и В. (i < / < п) по правилу заключения,
д) В получается из формулы В., предшествующей ей
в выводе (i < п) по правилу связывания квантором.
Для первых трех случаев доказательство утвержде-
ния полностью совпадает с доказательством, проведен-
ным для п -1. Рассмотрим четвертый случай. Так как
здесь формула В получается из двух формул В., и В. при
i < j < п , то В. должна иметь вид Вг -» В, причем спра-
ведливы утверждения
H^A-+Bi
н|-а->(в4-> В).
(1)
(2)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 127
Используя аксиому 2), получим
Н\-(а -> (В, -> В)) -> ((А -> Bt) -> (А -> В)). (3)
Из формул (3), (2), (1) по правилу сложного заключе-
ния получаем Н$-А -> В .
Рассмотрим, наконец, пятый случай. Пусть в выво-
де из Н, А есть формула Bt (i < п) такая, что В есть
VxjBj. По предположению Я|-А -> Вг и либо В. не зави-
сит от А, либо хг не является свободной переменной фор-
мулы А.
Если В. не зависит от А, то согласно лемме, H\-Bt, и
тогда, применяя правило связывания квантором, полу-
чаем Hj-VxjBj, т. е. Н\-В . Далее, используя аксиому 1),
имеем Н\-В -> (А -> В) и, следовательно, Н\-А-+В.
Если xt не является свободной переменной формулы
А, то используем аксиому 5): Vx^(A -> Вг) -> (А -> Vx1Bi).
Так как Н\- А -> Bit то по правилу связывания кванто-
ром получаем H|-Vx1(A -> В) и тогда по правилу заклю-
чения имеем: Н|-А VX]BZ или Н[-А -> В .
Следствие. Если Н, А|-В и существует вывод, для
получения которого не использовалось правило связыва-
ния квантором к свободным переменным, входящим в
формулу А, то НрА -> В .
§ 8. Интерпретация языка теории
Под интерпретацией языка теории Т понимают вся-
кую систему, включающую в себя:
1. Непустое множество М, называемое областью
интерпретации.
2. Какое-либо соответствие, которое каждому эле-
менту языка теории Т ставит в соответствие единствен-
ный элемент множества М, то есть функцию f с облас-
тью определения и множеством значений,
содержащимся в М.
128 Курс лекций по математической логике
В частности, каждой предикатной букве А" е
е(А(т),В(Г)) ставится в соответствие некоторое п-мест-
ное отношение в М, каждой функциональной букве
ставится в соответствие некоторая га-ме-
стная операция в М, то есть функция Mn -> М и каж-
дой предметной постоянной а( - некоторый элемент из М.
При заданной интерпретации предметные перемен-
ные рассматриваются как переменные, пробегающие
область М, а символам логических и кванторных опера-
ций придается их обычный смысл.
Для такой интерпретации всякая формула без сво-
бодных переменных, т. е. замкнутая формула, представ-
ляет собой высказывание, которое истинно или ложно, а
всякая формула со свободными переменными выражает
некоторое отношение на области интерпретации. Это
отношение может быть истинно для одних значений из
области интерпретации и ложно для других.
Например, если взять в качестве области интерпретации
множество целых положительных чисел и интерпретировать
Af(x1,x2) как отношение хг < х2 , то Af(xpx2) истинно
для всех упорядоченных пар (a,b) положительных чисел
таких, что a < b, а формула Vx2A.f(xi,x2) представляет со-
бой отношение «для каждого целого положительного х2
Xj < х2 », которое истинно только для одного числа 1.
И, наконец, формула 3xjVx2Af(xj, х2) утверждает
существование наименьшего положительного числа и явля-
ется истинной на множестве целых положительных чисел.
§ 9. Истинностные значения формул
в интерпретации. Модель теории
Пусть дана некоторая интерпретация с областью М,
а G - множество всех счетных последовательностей эле-
ментов из М. Определим понятие выполнимости форму-
лы А на последовательности S = (bp&2.fyi»--) •
Функция S одной переменной, определенная на мно-
жестве всех термов со значениями в М, определяется
индуктивно следующим образом:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 129
1. Если терм t есть предметная переменная х., то
S‘(t) = .
2. Если терм t есть предметная константа, то S (f)
совпадает с интерпретацией этой константы в М.
3. Если fj1 есть функциональная буква, интерпрети-
руемая операцией g в М и tv t2, ..., tn термы, то
В'^.Ч.......=
Таким образом, S* - это функция, определяемая
последовательностью S и отображающая множество всех
термов в М.
Просто говоря, для любой последовательности S =
= ...и для любого t S*(i) есть элемент мно-
жества М, который получается в результате подстанов-
ки при каждом i элемента на места всех вхождений
переменной х. в терм t и затем выполнения всех опера-
ций интерпретации, соответствующий функциональным
буквам терма t.
Например, t есть /г2^х3’А2(х1»а1)]» областью интер-
претации служит множество целых чисел, интерпре-
тируется как обычное умножение, /2 - как сложение, а
at как число 5. Тогда для всякой последовательности
S = целых чисел S*(t) представляет со-
бой целое число b3 х + 5).
Определим теперь понятие выполненной формулы,
следуя индуктивному определению формулы.
1. ЕслиА есть элементарная формула А"^,^,---»^)
и В" есть соответствующее ей отношение в интер-
претации, то формула А считается выполненной на
последовательности S тогда и только тогда, когда
B”(s (^n)l принадлежит отношению В".
130 Курс лекций по математической логике
2. Формула А выполнена на S тогда и только тогда,
когда формула А не выполнена на S.
3. Формула А -> В выполнена на S тогда и только
тогда, когда формула А не выполнена на S или когда
формула В выполнена на S.
4. Формула VxzA выполнена на S тогда и только
тогда, когда формула А выполнена на любой последова-
тельности из G, отличающейся от S не более, чем своей
i-ой компонентой.
Отсюда ясно, что формула А выполнена на последо-
вательности S = (Ь1,Ь2,•••,&«»•••) тогда и только тогда,
когда подстановка при каждом I символа, представляю-
щего Ь., на места всех свободных вхождений х. в А приво-
дит к истинному в данной интерпретации предложению.
Определение 1. Формула А называется истинной (в
данной интерпретации) тогда и только тогда, когда она
выполнена на всякой последовательности из G.
Определение 2. Формула А называется ложной (в
данной интерпретации), если она не выполнена ни на
одной последовательности из G.
Модель теории.
Моделью теории называется интерпретация языка
этой теории.
Проще говоря, имея некоторую теорию Г, мы при-
писываем первоначальным понятиям этой теории неко-
торый новый смысл. Если некоторая совокупность пред-
метов и отношений между ними, выбранных в качестве
значений первоначальных понятий аксиоматической те-
ории, т. е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет
всем аксиомам теории, то она называется моделью дан-
ной аксиоматической теории.
Так, ранее мы определили алгебру Буля и получили
две ее модели: алгебру логики и алгебру множеств. Или
в § 4 были рассмотрены различные модели теории групп.
§ 10. Изоморфизм интерпретаций.
Категоричность теории
Определение 1. Интерпретация 1Х данной теории Т
первого порядка изоморфна другой интерпретации 12
теории Т, если существует такое взаимно однозначное
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ «
отображение g (называемое изоморфизмом) области Л1
интерпретации 1Г на область М2 интерпретации 12, чт<
/ \1 / ч2
1. Если I Aj I и I Af) интерпретации предикатной 6yi
вы А” соответственно в и 12, то каковы бы ни были Ь
Ь2, ..., Ьп из Мр ^А” j (bi, b2,..., bn ) выполнено тогда и тол:
ко тогда, когда выполнено ^А") (#(^1)> ...»
2. Если (f"\ и (f"\ - интерпретации функциональнс
буквы соответственно в 1± и 12, то для любых bt, b2,
из М! = (g(bi),g(b2).-,£(М);
3. если aj и aj - интерпретации предметной пост
янной соответственно в I, и I., то а? = fflot; 1.
A A J 1 J 1
Ясно, что если интерпретации 1± и 12 изоморфны,
их области имеют одинаковую мощность.
Определение 2. Математическая теория Т называв
ся категоричной, если все ее модели изоморфны.
Определение 3. Пусть р - мощность некоторого me
жества. Теория Т первого порядка называется р -кате,
ричной, если
1) теория Т имеет хотя бы одну модель мощности ,
2) всякие две модели теории Т, имеющие мощное
р, изоморфны.
Например, теория групп некатегорична, т.к. <
ществуют неизоморфные группы. Однако можно roi
рить, что теория групп категорична в некоторых мо
ностях, в частности, в мощности р = 3 .
Геометрия Евклида является категоричной ма'
матической теорией. Любые ее две модели изомор
ны. Действительно, нетрудно показать, что любая г
дель геометрии Евклида изоморфна арифметическ
модели.
132 Курс лекций по математической логике
Возьмем в данной модели прямую и на ней фиксиру-
ем точку 0, затем на этой прямой выбираем точку V, от-
личную от точки 0. Отрезок 0£ примем за единицу. Вы-
бирая положительное направление на прямой, получим
числовую ось.
Две взаимно перпендикулярные числовые прямые
(прямоугольная декартова система координат) позволя-
ют каждой точке плоскости поставить во взаимно одно-
значное соответствие координаты этой точки, а каждой
прямой на плоскости — уравнение этой прямой. Точно
также поступаем и в другой модели геометрии Евклида
на плоскости.
Установить изоморфизм между разными моделями
геометрии Евклида позволяет однозначное введение ана-
литической геометрии.
§ 11. Проблемы непротиворечивости,
полноты, разрешимости теории
1. Проблема непротиворечивости.
Теория Т называется противоречивой (или несов-
местной), если она содержит такое высказывание S, что
и S, и его отрицание S являются теоремами. В против-
ном случае теория Т называется непротиворечивой. Та-
ким образом, теория Т называется непротиворечивой,
если в ней нет такого высказывания S, что и S, и S
являются теоремами.
Так как теория Т одним из правил вывода содержит
правило заключения, то в противоречивой теории любое
предложение такой теории является теоремой. Действи-
тельно, для любого предложения А теории Т <8 -> (S -> а)
есть теорема, т.к. это высказывание тавтология. Учиты-
вая, что здесь S и S - теоремы и пользуясь дважды пра-
вилом заключения, приходим к выводу, что А - теорема.
Для аксиоматических теорий вопрос об их непроти-
воречивости во многих случаях удается решить с помо-
щью понятия модели. В самом деле, если теория Т про-
тиворечива, то каждая ее модель содержит противоре-
чие, т.к. пара противоречащих друг другу теорем тео-
рии переводится в два противоречащих друг другу выс-
казывания о модели. Значит, теория непротиворечива,
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 133
если для нее можно указать свободную от противоречий
модель. Именно так доказывалась нами непротиворечи-
вость исчисления высказываний.
Если для теории Т можно найти такую интерпрета-
цию, что интерпретацией Т является конечное множе-
ство, то вопрос об отсутствии противоречий в интерпре-
тации решается прямым рассмотрением конечного мно-
жества. Так, одноэлементное множество, содержащее
единственный элемент вместе с определенной на нем
операцией 1-1 = 1 является моделью теории групп, ли-
шенной противоречий, и, следовательно, теория групп
непротиворечива. Однако часто доказательство непроти-
воречивости модели требует очень сложных рассужде-
ний. В частности, это бывает в случае, когда теория Т
имеет только бесконечные модели.
Так, вопрос о непротиворечивости геометрии Лоба-
чевского можно свести к вопросу о непротиворечивости
геометрии Евклида, если использовать для интерпрета-
ции геометрии Лобачевского средства геометрии Евкли-
да, или к вопросу о непротиворечивости множества дей-
ствительных чисел, если использовать соответствующую
интерпретацию.
Кстати сказать, что непротиворечивость геометрии
Евклида и непротиворечивость теории действительных
чисел до сих пор не доказана.
2. Проблема полноты. В предположении, что непро-
тиворечивость некоторой теории доказана (или считает-
ся, что может быть доказана) имеет смысл поставить
проблему полноты теории.
Определение 1. Теория Т называется абсолютно пол-
ной, если для любого высказывания S этой теории или S
или S есть теорема.
Это определение учитывает то обстоятельство, что
любое высказывание S теории Т будучи интерпретиро-
ванной в некоторой модели оказывается или истинным,
или ложным. Но тогда или S, или S должно быть тео-
ремой в теории Т.
Теория, являющаяся одновременно непротиворечивой
и полной, будет максимальной в отношении непротиворе-
чивости - в том смысле, что добавление к такой теории в
качестве аксиомы любого предложения, которое можно
134 Курс лекций по математической логике
сформулировать в этой теории, но не являющегося ее те-
оремой, приводит к противоречивой теории.
Отметим, что для многих математических теорий на-
личие одновременно обоих качеств (непротиворечивости
и полноты) не имеет места.
Определение 2. Аксиоматическая теория называет-
ся полной в узком смысле, если добавление к ее аксио-
мам любого недоказуемого в ней утверждения с сохране-
нием в ней всех правил вывода приводит к противоречи-
вой теории. Всякая абсолютно полная теория будет пол-
на и в узком смысле. Действительно, пусть некоторая
абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Тог-
да найдется такое утверждение U этой теории, недоказу-
емое в ней, что новая теория, построенная на основе пре-
жних аксиом и утверждения U в качестве новой аксио-
мы, непротиворечива. Тогда U принадлежит новой тео-
рии. Кроме того, в связи с абсолютной полнотой исход-
ной теории и недоказуемостью в ней утверждения U будет
доказуемо утверждение U . Таким образом, в новой тео-
рии оказались доказуемыми U и U , т.е. получили про-
тиворечие.
3. Проблема разрешимости.
Проблема разрешимости является алгоритмической
проблемой, в которой для заданного множества А требу-
ется построить алгоритм, разрешающий А относительно
другого множества В, включающего А(А с. В), т.е. такой
алгоритм U, который применим ко всякому элементу из
В, причем U(x) = 1, если х е А и С7(х) = 0, если х е В \ А.
Простейшим примером проблемы разрешимости яв-
ляется проблема разрешимости алгебры логики, в кото-
рой она состоит в отыскании алгоритма, позволяющего
для каждой формулы алгебры логики установить, явля-
ется ли она или тождественно истинной, или тождествен-
но ложной, или выполнимой. Важным классом алгорит-
мических проблем является проблема разрешимости для
формальных теорий, то есть проблема разрешимости для
множества всех доказуемых (выводимых) в теории фор-
мул (множество А) относительно множества всех формул
теории (множество В). Выше она была рассмотрена для
аксиоматической теории исчисления высказываний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 135
§ 12. Непротиворечивость исчисления предикатов
(теории без специальных аксиом)
Теорема. Всякое исчисление предикатов первого по-
рядка Т непротиворечиво.
Доказательство. Для произвольной формулы А обозна-
чим через Н(а) выражение, которое получается из форму-
лы А путем следующего ее преобразования: в формуле А
опускаются все кванторы и термы вместе с соответствую-
щими скобками и запятыми. Так, например, формула
VxAf (х,р) -> Aj(z) в результате такого преобразования
примет вид Ai —> А} , т.е. -HIVxAf (х,у) —> Aj(zn есть
Ai -> А}, а формула 3tAf (х, у, t) -> А|(г)] есть -> А|
и т.д. Ясно, что н(а) = Н(А) и Н(А —> В) s Н(А) —> Я(в).
Легко видеть, что для формулы исчисления предикатов А
формула Я(А) есть формула исчисления высказываний, а
для всякой аксиомы А, полученной по какой-нибудь из схем
с помощью аксиом 1) - 5), Я(А) является тавтологией. Это
очевидно для аксиом 1) - 3). Для аксиомы VxA(x) -> A(t)
формула h(VxA(x) -> A(t)j есть А -> А, т.е. тавтология, а
для аксиомы Vx^A -> B(x)j -> (А -> VxB(x)) формула
Д^Х/х^А -> В(х)) -> (А -> VxB(x))j , есть (А-> В)-> (А-> в),
то есть также тавтология.
Как известно, в исчислении высказываний правило зак-
лючения, примененное к тавтологиям А, А —> В приводит
к тавтологии В. Таким образом, если Я(А) и Я(А -> В)
являются тавтологиями, то ~ тавтология.
И, наконец, если Я(А) тавтология, то и H(VxA) -
тавтология, так как результаты применения операции
Н к А и VxA совпадают.
136 Курс лекций по математической логике
Следовательно, если А есть теорема в исчислении
предикатов, то Н(А) - тавтология.
Из сказанного следует, что если бы в исчислении
предикатов существовала формула В такая, что в этой
теории были бы доказуемы Ви В , то выражения Н(в)
и были бы тавтологиями в исчислении высказы-
ваний, то есть доказуемыми формулами, что невозможно.
Значит, исчисление предикатов непротиворечиво.
Замечание. Операция Н равносильна интерпрета-
ции исчисления предикатов в области, состоящей из
одного элемента. Все теоремы исчисления предикатов
истинны в такой интерпретации.
§ 13. Теория натуральных чисел
В построении теории натуральных чисел обычно рас-
сматривается два подхода: первый из них основан на рас-
смотрении натуральных чисел как мощностей конечных мно-
жеств, а во втором используется аксиоматический метод.
Аксиоматическое построение арифметики натураль-
ных чисел обычно связывают с именем Пеано, хотя ак-
сиоматическая характеристика натурального ряда не-
много ранее (в 1888 г.) была дана Дедекиндом.
Язык наиболее употребимого варианта аксиомати-
ки натуральных чисел содержит константу 0, числовые
переменные, символ равенства, функциональные симво-
лы +, • , (прибавление единицы) и логические связки.
Термы строятся из константы 0 и переменных с помо-
щью функциональных символов. В частности, натураль-
ные числа изображаются термами вида 0, 0', 0", ....
Элементарными формулами здесь являются равен-
ства термов, остальные формулы строятся из элементар-
ных с помощью логических связок &, v, —> , -, V , 3 .
Формулы в аксиоматической теории натуральных чисел
называют арифметическими формулами.
Таким образом, эта теория первого порядка имеет
одну предикатную букву А? , единственную предметную
константу 0 и три функциональных буквы Д1, Д2, .
Но пользуясь привычными в арифметике обозначения-
ми, будем писать:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 137
t = s вместо Al (t,s) ,
t' вместо fi(t),
t + s вместо fi(t, s),
t s вместо /2(^»8)’
Специальные аксиомы.
Системы аксиом Пеано вместе с некоторыми поло-
жениями теории множеств вполне достаточно не только
для построения теории натуральных чисел, но и теории
рациональных, действительных и комплексных чисел.
Однако в аксиомах Пеано содержатся интуитивные по-
нятия, такие, как например, «свойство», что лишает
систему строгого формального подхода. В связи с этим
будем рассматривать теорию натуральных чисел, кото-
рая основана на системе аксиом Пеано, но несколько более
конкретизирована. Эта теория содержит следующие спе-
циальные аксиомы:
1. Xi = х2 -> («1 = х3 -> х2 = хз);
2. Ху = х2 -> х'1 = х2 ;
3. О ;
4. х'1 = х2 -> хх = х2 ;
5. Xi + 0 = Xi;
6. Xi + х'2 = (хх + х2) ;
7. Xi • 0 = 0;
8. х| х2 = Xi • х2 + Xi;
9. А(0) -> ^Vx^A(x) -> -А(х')) -> VxA(x)j,
где А(х)- произвольная формула теории натуральных
чисел.
Отметим, что аксиомы 1-8 являются конкретными
формулами, а аксиома 9 является схемой аксиом, по-
рождающей бесконечное множество аксиом. Ее обычно
называют принципом математической индукции.
138 _________________- Курс лекций по математической логике
Аксиомы 1-2 обеспечивают некоторые необходимые
свойства равенства (в исходной системе аксиом Пеано-
Дедекинда эти свойства равенства предполагались инту-
итивно очевидными).
Аксиомы 5-8 представляют собой рекурсивные ра-
венства, служащие определениями операций сложения
и умножения (в исходной системе аксиом Пеано-Деде-
кинда подобные аксиомы не формулировались, т.к. до-
пускалось интуитивное использование теории множеств,
в которой существование операций + и •, удовлетворяю-
щих аксиомам 5-8, выводимо).
Из аксиомы 9 можно получить и следующее правило
индукции: Если А(0) и Vx(a(x) —> А(х')) , то VxA(x).
Средства сформулированной теории натуральных чи-
сел оказываются достаточными для вывода теорем, уста-
новленных в стандартных курсах элементарной теории
чисел. В настоящее время неизвестно ни одной содержа-
тельной теоретико-числовой теоремы, которая не была
бы выводима в аксиоматической теории натуральных
чисел.
§ 14. Теорема Гёделя о неполноте
Под теоремой Гёделя о неполноте понимается обычно
общее название двух теорем Гёделя.
Первая теорема Гёделя (о неполноте). В любой
непротиворечивой формальной системе, содержащей
минимум арифметики, а, следовательно, и в теории
натуральных чисел, найдется формально неразрешимое
суждение, т.е. такая замкнутая формула А, что ни А,
ни А не являются выводимыми в системе.
Вторая теорема Гёделя (о неполноте) утверждает,
что при выполнении естественных дополнительных ус-
ловий в качестве А можно взять утверждение о непроти-
воречивости рассматриваемой системы.
Первая теорема Гёделя означает, что какая бы сис-
тема аксиом для арифметики ни была выбрана, всегда
найдется такое высказывание о натуральных числах,
выраженное на языке этой формальной теории, которое
в данной теории не может быть ни доказано, ни опро-
вергнуто.
ГЛАВА V
АЛГОРИТМЫ
§ 1. Понятие алгоритма и его характерные черты
Понятие алгоритма принадлежит к числу основных
понятий математики. Оно прошло большой путь разви-
тия. Еще в период зарождения математики в ней стали
возникать различные вычислительные процессы чисто
механического характера, с помощью которых искомые
величины целого класса задач вычислялись последовательно
из данных исходных величин по определенным правилам.
Со временем такие процессы в математике получили на-
звание алгоритмов. Примерами алгоритмов являются:
1. Правила выполнения арифметических действий
над числами.
2. Правило отыскания наибольшего общего делителя
(алгоритм Евклида).
3. Правило извлечения квадратного корня.
4. Правило отыскания решений квадратного уравне-
ния.
5. Правило отыскания производной многочлена п-ой
степени.
6. Правило интегрирования рациональной функции.
В каждом из приведенных примеров приходится иметь
дело с классом однотипных задач, или, как говорят, с
массовой проблемой. Задачи такого класса отличаются
друг от друга значениями входящих в них параметров.
Так, в задаче отыскания решения квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 участвует три параметра а, Ь и с; меняя
их, получаем различные задачи одного класса.
В связи со сказанным можно дать следующее опреде-
ление понятия алгоритма.
Алгоритмом называется общий единообразный, точ-
но определенный способ решения любой задачи из дан-
ной массовой проблемы.
Такое определение нельзя считать строгим. Действи-
тельно, в нем встречаются слова, точный смысл которых
140 Курс лекций по математической логике
не установлен. В частности, это касается слова «способ».
В связи с этим это не строгое определение алгоритма на-
зывают интуитивным.
Отметим характерные черты понятия алгоритма.
1. Дискретность алгоритма. Алгоритм - это процесс
последовательного построения величин таким образом,
что в начальный момент задается исходная конечная
система величин, а в каждый следующий момент систе-
ма величин получается по определенному закону из сис-
темы величин, имевшихся в предыдущий момент.
2. Детерминированность алгоритма. Система вели-
чин, получаемых в какой-то не начальный момент, одно-
значно определяется системой величин, полученных в
предшествующие моменты времени.
3. Элементарность шагов алгоритма. Закон получе-
ния последующей системы величин из предшествующей
должен быть простым.
4. Массовость алгоритма. Начальная система вели-
чин может выбираться из некоторого потенциально бес-
конечного множества.
5. Результативность алгоритма. Последовательный
процесс построения величин должен быть конечным и
давать результат, то есть решение задачи. I
Алгоритмы, в которых основную роль играют мате-
матические действия, называются численными алгорит-
мами. От численных алгоритмов отделяют логические
алгоритмы игр. В качестве примера, дающего логичес-
кий алгоритм, рассмотрим следующую игру.
Имеется 15 предметов. В игре участвуют двое: начи-
нающий и противник. Каждый игрок по очереди берет
один, два или три предмета. Выигрывает тот, кто берет
последний предмет. Какой стратегии в игре должен при-
держиваться начинающий, чтобы выиграть?
Выигрышная стратегия начинающего может быть
описана в форме следующей таблицы:
Номер хода Ход начинающего Ход противника
1 3 п
2 4 - п т
3 4 - т Р
4 4-р 0
АЛГОРИТМЫ 141
Действительно, в итоге такой стратегии начинающий
возьмет 3 + (4 - п) + (4 - ?п) + (4 - р) = 15 - (п + т + р) пред-
метов, а противник возьмет п + т + р предметов, т.е. в
сумме они возьмут 15 предметов, и последний предмет
будет взят начинающим.
Слово «алгоритм» происходит от имени узбекско-
го математика XIII века Абу Абдалла Мухаммед ибн
Муса ал Хорезми ал Меджуси. Оно претерпело эволю-
цию: ал Хорезми — ал Горезми - алгоритм.
§ 2. Разрешимые и перечислимые множества
Пусть имеется некоторый алфавит. Обозначим через
S множество всех слов в данном алфавите, а через М -
подмножество множества S.
Определение 1. Множество М называется разреши-
мым, если для него существует алгоритм, решающий
проблему вхождения слова х в М.
Определение 2. Множество М называется эффектив-
но перечислимым, если существует алгоритм, позволяю-
щий перечислить все элементы этого множества (возмож-
но с повторениями).
Теорема 1. Если множества М и L эффективно пе-
речислимы, то эффективно перечислимы множества
M\)L и M(\L.
Доказательство. Пусть множества М и L эффектив-
но перечислимы. Тогда для каждого из них существует
свой алгоритм, позволяющий перечислить все элементы
данного множества. Алгоритм для эффективного пере-
числения множеств МUL и МПЬ получается путем
одновременного применения алгоритмов для эффектив-
ного перечисления множеств М и L.
Теорема 2 (Поста). Множество М разрешимо тогда
и только тогда, когда оно само и его дополнение эффек-
тивно перечислимы.
Доказательство. Пусть множество М и его дополнение
СМ эффективно перечислимы, то есть существуют алгорит-
мы А и В, с помощью которых можно перечислить элемен-
ты этих множеств. Но тогда при перечислении элементов
множеств М и СМ в их списке встретится элемент х. Следо-
вательно, существует алгоритм С, позволяющий узнать,
принадлежит элемент х множеству М или не принадлежит.
142 Курс лекций по математической логике
Пусть множество М разрешимо. Тогда существует
алгоритм, решающий проблему вхождения х в М. Пользу-
ясь этим алгоритмом, составим список элементов, вхо-
дящих в М, и список элементов, входящих в СМ. Следо-
вательно, мы получим два алгоритма А и В, позволяю-
щих перечислить множества М и СМ. Примерами эф-
фективно перечислимых множеств являются:
1) множество М = |1,4,9, ...,п2,...| квадратов нату-
ральных чисел,
2) множество упорядоченных пар натуральных чи-
сел.
Действительно, множество М = ^п2| перечислимо,
т.к. для получения его элементов нужно последователь-
но брать натуральные числа и возводить их в квадрат.
Более того, это множество является также и разреши-
мым: для проверки того, принадлежит ли некоторое на-
туральное число х множеству М, нужно разложить чис-
ло на простые множители, и это даст возможность уста-
новить, является ли оно точным квадратом.
Множество упорядоченных пар натуральных чисел
может быть эффективно перечислено с помощью так
называемого диагонального метода. Действительно, вы-
пишем все упорядоченные пары натуральных чисел в
следующем виде:
(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4),
(1,0),^ ' (1,1),^ ' (1,2)Г ' (1,3)Г ' (1,4),
(2,0)Г ' (2,1),^ ' (2,2)Г ' (2,3), (2,4),
(3,О)Г ' (3,1),^ ' (3,2), (3,3), (3,4),
Перечисление осуществляется последовательным про-
хождением по диагоналям, начиная, с верхнего левого
угла. Начальный список этих пар запишется так:
(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2), (3,0), (2,1), (1,2),
(0,3), (4,0), ...
Теорема 3. Существует перечислимое, но неразре-
шимое множество натуральных чисел.
АЛГОРИТМЫ ------—____________________________ 143
Для доказательства теоремы, как это следует из те-
оремы Поста, достаточно привести пример такого мно-
жества натуральных чисел U, которое само было бы пе-
речислимым, а его дополнение CU перечислимым не было.
Пусть Мо, Мг, М2, ... — эффективное перечисление
всех перечислимых множеств натуральных чисел, т.е.
такое перечисление, что по любому п е N можно восста-
новить само множество Мп.
Рассмотрим теперь алгоритм А, который последова-
тельно перечисляет все элементы множества U. На шаге
с номером этот алгоритм вычисляет элемент с но-
мером т множества Мп, и если этот элемент совпадает с
п, то он относит его в множество U, т.е. п е U п е Мп.
Отсюда ясно, что множество CU отличается от любо-
го перечислимого множества хотя бы одним элементом,
т.к. CU состоит из всех таких элементов п, что п £ Мп.
Поэтому CU не является перечислимым. Следовательно,
рогласно теореме Поста U не разрешимо.
Доказанная теорема фактически включает в себя в
неявном виде теорему Гёделя о неполноте формальной
[арифметики, приведенную ранее без доказательства.
§ 3. Уточнение понятия алгоритма
В истории математики накопилось много случаев дли-
тельных и часто безрезультатных поисков тех или иных
алгоритмов. При этом естественно возникало сомнение в
существовании алгоритма.
Одним из ярких примеров такого случая является ис-
тория решения десятой проблемы Д. Гильберта.
В 1900 году на втором международном математичес-
ком конгрессе в Париже немецкий математик Давид
Гильберт огласил список 23 трудных проблем, на важ-
ность решения которых он обращал внимание математи-
ческой общественности. Среди них была и следующая
10-ая проблема Гильберта: требуется выработать алго-
ритм, позволяющий для любого диофантова уравнения
выяснить, имеет ли оно целочисленное решение.
Рассмотрим всевозможные диофантовы уравнения,
т.е. уравнения вида Р = 0, где Р является многочленом
144 Курс лекций по математической логике
с целочисленными коэффициентами. Такими будут, на-
пример, уравнения
х2 + у2 - 2xz = О,
10х5 + 7х2 + 5 = О,
из которых первое с тремя неизвестными, а второе с од-
ним неизвестным. В общем случае рассматривают урав-
нения с любым числом неизвестных. Такие уравнения
могут иметь целочисленные решения, а могут и не иметь.
Так, уравнение х2 + у2 - 2хг = 0 имеет бесконечное
множество целочисленных решений, а уравнение
10х5 + 7х2 + 5 = 0 таких решений не имеет.
Для частного случая диофантова уравнения с одним
неизвестным давно известен алгоритм, позволяющий
найти все его целочисленные решения. Установлено, что
если уравнение
Рп(х) = ацх" + aixn-1+...+an_1x + an - 0
с целочисленными коэффициентами имеет целый корень,
то он обязательно является делителем an. В связи с этим
можно предложить такой алгоритм:
1) Найти все делители числа an: dt, d2, ..., dn.
2) Вычислить Pn(x) для каждого из делителей чис-
ла an.
3) Если при некотором i из совокупности 1,2,...,k
Pn(dt) = 0, то d. — корень уравнения. Если при всех
i = 1,2,...,А Рп(<7г) 0, то уравнение не имеет целочис-
ленных решений.
Поиски решения десятой проблемы Гильберта привлек-
ли внимание многих математиков и длились около 70 лет.
Только в 1968 году молодым математиком Ю. Матиясеви-
чем было доказано, что нет алгоритма, дающего решение
поставленной задачи.
Интуитивное определение алгоритма хотя и не стро-
гое, но настолько ясное, что не дает оснований для со-
мнений в тех случаях, когда речь идет о найденном алго-
ритме решения конкретной задачи.
АЛГОРИТМЫ 145
Положение существенно меняется, когда возникает
алгоритмическая проблема, решение которой не найде-
но, и требуется установить, имеет ли она решение.
Действительно, в этом случае нужно либо доказать
существование алгоритма, либо доказать его отсутствие.
В первом случае достаточно дать описание факти-
ческого процесса, решающего задачу. В этом случае до-
статочно и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удо-
стовериться в том, что описанный процесс есть алгоритм.
Во втором случае нужно доказать несуществование
алгоритма, а для этого нужно точно знать, что такое алго-
ритм. Между тем для общего понятия алгоритма точного
определения до тридцатых годов XX века не было, и поэто-
му выработка такого определения стала одной из важных
задач современной математики. При формулировке этого
определения пришлось преодолеть многие трудности.
Во-первых, такое определение должно было правильно
отражать сущность интуитивного определения алгоритма.
Во-вторых, оно должно было быть совершенным с
точки зрения формальной точности.
И наконец, различные исследователи этой проблемы
исходили из разных технических и логических соображе-
ний, и вследствие этого было выработано несколько опре-
делений алгоритма. Однако со временем выяснилось, что
все эти определения равносильны, т.е. определяют одно и
то же понятие. Это и есть современное понятие алгоритма.
В подходах к определению понятия алгоритма мож-
но выделить три основных направления.
Первое направление связано с уточнением понятия
эффективно вычислимой функции. Этим занимались
А. Черч, К. Гедель, С. Клини. В результате был выделен
класс так называемых частично-рекурсивных функций,
имеющих строгое математическое определение. Анализ
идей, приведших к этому классу функций, дал им воз-
можность высказать гипотезу о том, что класс эффек-
тивно вычислимых функций совпадает с классом час-
тично рекурсивных функций.
Второе направление связано с машинной математи-
кой. Здесь сущность понятия алгоритма раскрывается
путем рассмотрения процессов, осуществляемых в ма-
шине. Впервые это было сделано Тьюрингом, который
146 Курс лекций по математической логике
предложил самую общую и вместе с тем самую простую
концепцию вычислительной машины. Ее описание было
дано Тьюрингом в 1937 году. При этом Тьюринг исходил
лишь из общей идеи работы машины как работы вычис-
лителя, оперирующего в соответствии с некоторым стро-
гим предписанием.
Третье направление связано с понятием нормальных
алгоритмов, введенным и разработанным российским ма-
тематиком А. А. Марковым.
§ 4. Вычислимые функции.
Частично рекурсивные
и общерекурсивные функции
Для алгоритмических проблем типичным является
то обстоятельство, что требуется найти алгоритм для
решения задачи, в условия которой входят значения
некоторой конечной системы целочисленных парамет-
ров хр х2, ..., хп, а искомым результатом также является
целое число у. Следовательно, стоит вопрос о существо-
вании алгоритма для вычисления значений числовой
функции у, зависящей от целочисленных значений ар-
гументов хр х2, ..., хп.
Определение 1. Функция g = f(xi,xz.хп) называ-
ется эффективно вычислимой, если существует алгоритм,
позволяющий вычислить ее значения.
Так как в этом определении алгоритм понимается в
интуитивном смысле, то и понятие эффективно вычис-
лимой функции является интуитивным.
Однако переход от алгоритма к эффективно вычис-
лимой функции дает определенные преимущества. Дело
в том, что те требования, которые предъявляются к ал-
горитму в его характерных чертах, выполняются для
совокупности всех вычислимых функций, которая но-
сит название совокупности рекурсивных функций.
Гёдель впервые описал класс всех рекурсивных фун-
кций как класс всех числовых функций, определяемых
в некоторой формальной системе. Черч в 1936 году при-
шел к тому же классу функций, исходя из других пред-
посылок. Здесь построение класса вычислимых функций
строится следующим образом.
АЛГОРИТМЫ 147
Выбираются простейшие функции
2(х)= х+1 (оператор сдвига),
О(х) = 0 (оператор аннулирования),
/™(xi,X2,...,xn) = хт,1 <т<п (оператор проектиро-
вания).
Ясно, что все три простейшие функции всюду опре-
делены и интуитивно вычислимы.
Далее вводятся операции над функциями.
1. Суперпозиция функций.
Рассмотрим функции Д(х1,х2,...,хп), /2(xi,x2,...,xn),
..., /т(хЬх2>--->хп) и функцию ^(х1,х2,...,хт); функцию
y<(xi,x2,...,xn), определяемую равенством
^(x!,x2,...,xn) =
= Ц/1(х1.х2»•••’хп)’^2(х1>х2’•••» хп)>•••> fm(х1> х2’•••»хп)) •
Будем говорить, что функция у/ получена из функ-
ций <р и Д, f2, •••» fm. суперпозицией.
Если мы каким-либо образом умеем вычислять фун-
кции fi, f2.... fm и <р, то функция уг может быть вы-
числена так: придадим переменным xt, х2, ..., хв некото-
рые значения а1, а2, ..., ап. Вычисляя все й(о1,о2’”’»ап)»
найдем bt = 4(ai,a2,...,an). Вычисляя теперь ^(б1,Ь2»---»Ьт)
найдем с = 5/(ai,a2,...,an).
Ясно, что если все функции flt f2, ..., fmvt<p всюду
определены, то функция V всюду определена. Функция
уг будет не всюду определенной, если хотя бы одна из
функций f2, ...» fm не всюду определена, или если мож-
но найти такие значения аргументов ар а2, ...» ап, что
= fi(ava2......an) > но не определено
148 Курс лекций по математической логике
Таким образом, если функции fv f2, ..., fm, <р интуи-
тивно вычислимы, то будет интуитивно вычислима и фун-
кция у/.
Отметим, что возможны случаи, когда не все функ-
ции /2, ..., fm зависят от всех п аргументов хр х2, ..., хп.
В этих случаях для получения суперпозиции использу-
ются фиктивные аргументы и функции /^(xi,x2,...,xn).
Например, функция y/(x,y,z) = y^fi(xj,f2(x,y,z^y,xj по-
лучается суперпозицией из функций <o(xi»X2»x3>x4) » и
fi(x,i/,z) = А(х), F2(x,y,z) = f2{x,y,z}, F3(x,y,z) = I3(x,y,z),
F^(x,y,z) = ll(x,y,z}.
2. Схема примитивной рекурсии.
Пусть имеется две функции <д(х2,х3,...,хп) и
{/(xi,x2,...,xn,xn+i) (п > 1). Рассмотрим новую функ-
цию, которая удовлетворяет следующим равенствам:
/(О» х2 » х3,..., хп — $>(х2, х3,. • •, хи
f(y +1, х2, х3,..., хп) = v[y, f(y, х2,..., хп), х2,
хп\
(1)
Отметим, что функция <р зависит от п -1 аргумен-
тов, функция V - от п +1 аргументов, а функция f - от
п аргументов.
Если функция /(х1,х2,...,х„) получается из функ-
ций (р и у/ с помощью равенств (1), то говорят, что функ-
ция f получена из функций (р и уг по схеме примитив-
ной рекурсии.
Если функции <р и у/ интуитивно вычислимы, то
будет интуитивно вычислима и функция /. Действи-
тельно, пусть av a2, ..., an - набор значений аргументов
хр х2, ..., хп. Тогда последовательно находим
/(0,a2,a3,...,a„)= <p(a2,a3,...,an) = b0,
f(l,a2,a3,...,an) = y/^Q,bQ,a2,a3,...,an) = b1,
f(2,a2,a3,...,an) = y/{\.,bi,a2,a3,...,an} = Ь2 и т.д.
АЛГОРИТМЫ 149
Очевидно, что если функции <р и всюду определе-
ны, то будет всюду определена и функция f.
Рассмотрим примеры получения функций по схеме
примитивной рекурсии.
Пример 1. Пусть функция f(y, х) задана равенствами:
/(О, х) = х,
f(y + l,x) = f(y,x) + l.
Здесь функция <о(х) = х, а ^(х, у, z) = у +1.
Вычислим значение функции f(y, х) при у = 5 , х = 2.
Т.к. /(0,2) = ^(2) = 2, то из второго равенства последова-
тельно имеем:
/(1,2) = ^(0,2,2) = 2 + 1 = 3
/(2,2) = ^(1,3,2) = 3 + 1 = 4
/(3,2) = ^(2,4,2) = 4 + 1 = 5-
/(4,2) = ^3,5,2) = 5 + 1 = 6
/(5,2) = ^(4,6,2) = 6 + 1 = 7
Нетрудно показать, что /(у, х) = у + х . Действитель-
но, /(у + z, х) = /(у, х) + г. Полагая в этом равенстве у = 0,
получим /(z, х) = /(О, х) + z или /(z, х) = х + z.
Пример 2. Пусть функция /(у, х) задана равенствами:
/(0, х) = 0,
/(у +1, х) =/(у, х) + х.
Здесь $?(х) = 0, ^(х, у, z) = у + z .
Вычислим значение функции /(у, х) при у = 2 , х = 2.
Так как /(О, х) = $э(х) = 0 , то /(0,2) = 0 , а значения /(1.2)
и /(2,2) находим последовательно:
/(1,2)= (у(1,0,2) = 0 + 2 = 2
/(2,2) = ^(2,2,2) = 2 + 2 = 4J ’
ISO Курс лекций по математической логике
Легко показать, что в этом примере f(y, х) = х у .
Действительно, f(y + г, х) - f(y, х) + z • х . Полагая в этом
равенстве у = 0, получим f(z, х) - f(0, х) + 2 • х или f(z, х) =
= 2-Х.
3. Операция минимизации (//-оператор).
Пусть задана некоторая функция /(х, у). Зафикси-
руем значение х и выясним, при каком у f(x,y) = 0.
Более сложной задачей является отыскание для дан-
ной функции /(х,г/) и фиксированного х наименьшего
из тех значений у, при которых функция /(х, у} - 0 . Так
как результат решения задачи зависит от х, то наимень-
шее значение у, при котором функция /(х, у) = 0 есть
функция х. Принято обозначение
«?(х) = /л/[/(х,1/) = о].
(Читается: «наименьшее у такое, что f(x,y) = 0 ».)
Аналогично определяется функция многих перемен-
ных:
^(хь х2,..., xn) = py\f(xlt х2,..., хп, у) = О]
Переход от функции /(xi,x2,...,xn,у) к функции
<p[xi,x2,...,xn} принято называть применением р-опе-
ратора.
Для вычисления функции <р можно предложить сле-
дующий алгоритм:
1. Вычислим /(х1,х2,...,хп,0). Если это значение f
равно нулю, то полагаем ^>(xi,x2,...,xn) = 0 . Если
/(х1,х2,...,хп,0) 0, то переходим к следующему шагу.
2. Вычислим f(xi, х2,..., хп,1). Если /(х15 х2,..., хп,1) = 0,
то полагаем ^xi,x2,...,xn) = 1. Если же f(xi,X2,---,xn,i) * 0,
то переходим к следующему шагу. И т.д.
АЛГОРИТМЫ 151
Если окажется, что для всех у функция
/(xi,x2,...,xn,y)*0, то функцию ^(xi,x2,...,xn) в этом слу-
чае считают неопределенной. Но возможно, что существует
такое у0, что /(х1,х2,...,хп,у0) = О и, значит, есть и наи-
меньшее у, при котором f(x±, х2,..., хп, у) = 0 ; и в то же вре-
мя может случиться, что при некотором z(0 < z < Уо) значе-
ние функции f(x1,x2,...,xn,2) не определено. Очевидно, что
b этом случае процесс вычисления наименьшего у, при кото-
ром /(х1,х2,...,хп,у) = О не дойдет до у0. И здесь функцию
^>(xj, х2,..., хп ) считают неопределенной.
Пример. Рассмотрим функцию f(x,y) = x-y, ко-
торая может быть получена с помощью оператора мини-
мизации
f(x, у) = pz(y + z = х) = pz[lg (х, у, z) +/3 (х, у, z) = 4(х, у, 2)].
Вычислим, например, /(7,2), то есть значение функции
при у = 2, х = 7 . Для этого положим у = 2 и будем при-
давать х последовательно значения:
2 = 0, 2 + 0 = 2* 7,
2 = 1, 2 + 1 = 3* 7,
2 = 2, 2 + 2 = 4* 7,
2 = 3, 2 + 3 = 5* 7,
2 = 4, 2 + 4 = 6* 7,
2 = 5, 2 + 5 = 7 = 7.
Таким образом, /(7,2) = 5.
Определение 2. Функция f(xlrx2хп) называется
частично рекурсивной, если она может быть получена в
конечное число шагов из простейших функций при по-
мощи операций суперпозиции, схем примитивной рекур-
сии и Ц -оператора.
152 Курс лекций по математической логике
Определение 3. Функция /(xi,x2,...,xn) называется
общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всю-
ду определена.
Примерами общерекурсивных функций являются
функции:
1) 2(х), 2) О(х), 3) 7"(х),
4)/(z/,x) = у + х, 5) f(y,x) = ху , 6) f(y, х) = х + п .
Тезис А. Чёрча. Каждая интуитивно вычислимая
функция является частично рекурсивной.
Этот тезис нельзя доказать, т.к. он связывает не-
строгое математическое понятие интуитивно вычисли-
мой функции со строгим математическим понятием ча-
стично рекурсивной функции.
Но этот тезис может быть опровергнут, если постро-
ить пример функции интуитивно вычислимой, но не
являющейся частично рекурсивной.
§ 5. Машины Тьюринга
Если для решения некоторой массовой проблемы из-
вестен алгоритм, то для его реализации необходимо
лишь четкое выполнение предписаний этого алгоритма.
Автоматизм, необходимый при реализации алгоритма
естественно приводит к мысли о передаче функции чело-
века, реализующего алгоритм, машине. Идею такой
машины предложили в тридцатые годы американский
математик Э. Пост и английский математик А. Тьюринг.
Рассмотрим один из вариантов указанной машины,
которая носит название машины Тьюринга.
Устройство машины Тьюринга включает в себя:
1. Внешний алфавит, то есть конечное множество
символов А = {aQ,ai,a2,...,an}. В этом алфавите в виде
слова кодируется та информация, которая подается в
машину. Машина перерабатывает информацию, подан-
ную в виде слова, в новое слово.
2. Внутренний алфавит машины, состоящий из сим-
волов q0, qt, q2, .... qm, п, л, н. Символы qQ, qv q2, .... qm
выражают конечное число состояний машины. Для лю-
бой машины число состояний фиксировано. Два состояния
ао аз а2 а2 а1
Qi
АЛГОРИТМЫ 153
имеют особое назначение: q} - начальное состояние ма-
шины, q0 - заключительное состояние (стоп-состояние).
Символы и, л, н - это символы сдвига (вправо, влево, на
месте).
3. Бесконечная в обе стороны лента (внешняя па-
мять машины) . Она разбита на клетки. В каждую клет-
ку может быть записана только одна буква. Пустую
клетку будем обозначать символом а0.
4. Управляющая головка. Она передвигается вдоль
ленты и может останавливаться напротив какой-либо
клетки, т.е. воспринимать символ. В одном такте работы
машины управляющая головка может сдвигаться только
на одну клетку (вправо, влево) или оставаться на месте.
Каждое сведение, хранящееся на ленте, изображает-
ся конечным набором символов (букв) внешнего алфави-
та, отличного от а0. К началу работы машины на ленту
подается на-
чальное све-
дение (на-
чальная ин-
формация).
В этом случае
Рис.Д управляю-
щая головка,
как правило, находится у крайнего левого знака с ука-
занием начального состояния (рис. 1) (начальная кон-
фигурация). Работа машины складывается из тактов, по
ходу которых происходит преобразование начальной ин-
формации в промежуточные информации.
В качестве начальной информации на ленту можно
подать любую конечную систему знаков внешнего алфа-
вита (любое слово в этом алфавите), расставленную произ-
вольным образом по ячейкам. Но в зависимости от того,
какая была подана начальная информация, возможны
два случая:
1. После конечного числа тактов машина останавли-
вается (переходит в стоп-состояние д0), и при этом на
ленте оказывается изображенной информация В. В та-
ком случае говорят, что машина применима к началь-
ной информации A w. перерабатывает ее в результирую-
щую информацию В.
154 Курс лекций по математической логит
2. Машина никогда не останавливается (не переходит
в стоп-состояние). В таком случае говорят, что машина не
применима к начальной информации А.
В каждом такте работы машины она действует по
функциональной схеме, которая имеет вид:
п
н
Здесь a., av — буквы внешнего алфавита; qjt qs —
состояния машины; п, л, н — символы сдвига.
В зависимости от того, какая буква на ленте обозре-
вается управляющей головкой (в нашей записи а.) и в
каком состоянии (в нашей записи 9у) находится машина,
в данном такте вырабатывается команда, состоящая из
трех элементов:
1) Буква внешнего алфавита, на которую заменяется
обозреваемая буква (а„).
2) Адрес внешней памяти для следующего такта
3) Следующее состояние машины (9S).
Совокупность всех команд образует программу ма-
шины Тьюринга. Программа представляется в виде дву-
мерной таблицы и называется Тьюринговой функцио-
нальной схемой.
п |
л
IhJ ’
Пример такой схемы изображен на рис. 2 (машина
Тьюринга 1).
ао ai аЛ 2
<11 а2 д 93 Щ П q2 а2 л
<12 «0н ?2 az»q\ ахн 92
ао п 9о а1п 94 а2и 91
а1н9з аопд4 а2 п 94
Рис. 2
Ясно, что работа машины Тьюринга полностью оп-
ределяется ее программой. Иными словами, две машины
Тьюринга с общей функциональной схемой неразличи-
мы, и различные машины Тьюринга имеют различные
программы.
АЛГОРИТМЫ 155
Для простоты изображения различных конфигураций
машины Тьюринга будем в дальнейшем записывать ин-
формацию в виде слова, не изображая ленты и ее раз-
бивки на клетки, а вместо изображения управляющей
головки и состояния машины записывать только состо-
яние машины.
Рассмотрим, как работает машина Тьюринга, задан-
ная функциональной схемой 1.
Пример 1. Пусть начальная конфигурация имеет вид:
а0 «2 а2 а0-
91
Так как управляющей головкой обозревается буква
д2, а машина находится в состоянии то машина вы-
рабатывает команду а2 Л 91» и в результате получаем
вторую конфигурацию
а0 а2 а2 До-
91
Очевидно, следующие конфигурации имеют вид:
д0 а2 а2 ао - третья конфигурация,
91
д0 Дг а2 о2 а0 - четвертая конфигурация,
93
д0 о2 а2 а2 а0 - пятая конфигурация.
9о
Так как при пятой конфигурации машина находит-
ся в состоянии Qq , то слово д2 д2 а2 является результа-
том.
Пример 2. Пусть начальная конфигурация имеет вид:
До а1 а1 а2 а2 ао
91
Используя функциональную схему 1, мы придем к
следующим конфигурациям:
д0 Д1 Д1 Дг а2 д0 - вторая конфигурация,
91
156 Курс лекций по математической логике
aQ ai al a2 a2 a0 - третья конфигурация,
91
a0 d! a2 a2 aQ - четвертая конфигурация,
92
a0 al al al a2 a0 ~ пятая конфигурация,
92
a0 al al a2 a2 ao - шестая конфигурация.
91
Как видно из второй и шестой конфигураций, про-
цесс работы машины начал повторяться, и, следователь-
но, результата не будет.
Реализация алгоритма в машине Тьюринга.
На ряде примеров покажем, как строятся тыоринго-
вы машины, реализующие некоторые простые арифме-
тические алгоритмы.
Пример 1. Реализация в машине Тьюринга алгорит-
ма перехода от п к п+1 в десятичной системе счисления.
Пусть дана десятичная запись натурального числа п
и требуется указать десятичную запись числа п+1, т.е.
вычислить функцию f(n) = п +1.
Ясно, что здесь внешний алфавит машины должен
содержать все цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и символ
пустой клетки а0. Число и будем записывать в десятич-
ной системе на ленте, причем цифры будут помещаться
по одной в каждой клетке подряд без пропусков.
Чтобы решить поставленную задачу, машина долж-
на в первом такте работы стереть последнюю цифру чис-
ла п, заменить ее цифрой на единицу большей и перейти
в стоп-состояние, если последняя цифра была меньше
цифры 9.
Если же последняя цифра числа п была 9, то машина
должна, стерев цифру 9, записать в освободившуюся клет-
ку цифру 0 и произвести сдвиг влево к соседнему более
высокому разряду, оставаясь в том же начальном состоя-
нии. Здесь во втором такте работы машина должна при-
бавить единицу к цифре более высокого разряда.
Очевидно, что в случае сдвига влево, управлявшая го-
ловка машины может выйти на пустую клетку в случае,
АЛГОРИТМЫ 157
когда цифры более высокого разряда нет. При этом ма-
шина вписывает в пустую клетку цифру 1.
Из сказанного следует, что при реализации алгорит-
ма вычисления функции /(га) = га + 1 машина может пре-
бывать лишь в двух состояниях и qQ.
Таким образом, машина Тьюринга, реализующая
алгоритм перехода от га к га+1 в десятичной системе счис-
ления будет иметь вид:
«0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
91 1н ?0 1н q0 2н9о Зн q0 4н q0 5н50 6н 90 7н д0 8н q0 Эн q0 Ол qx
Рис. 3
На рис. 4 и 5 выписаны соответствующие конфигу-
рации для га = 183 и га = 399:
а0 183 ао
Q1
а0 184 а0
9о
«0 399 91 а0
а0 390 91 ао
а0 300 91 а0
а0 400 9о ао
Рис. 5
Рис. 4
Пример 2. Алгоритм сложения натуральных чисел.
Пусть на ленту подается два числа, заданных набо-
рами палочек; например, 2 и 3. Нужно сложить эти
числа.
Будем обозначать символ сложения звездочкой. Та-
ким образом, на ленте машины будет записано слово
а0||*|||а0. (1)
Требуется предложить функциональную схему, ко-
торая будучи примененной к слову (1), давала бы в ре-
зультате сумму чисел 2 и 3, то есть слово
аОН111«о- (2)
158 Курс лекций по математической логике
Опишем процесс работы машины для решения зада-
чи. Пусть в начальный момент обозревается самая левая
палочка. Ее нужно сдвинуть вправо, минуя все палочки
и звездочку до тех пор, пока не будет достигнута первая
пустая клетка. В эту пустую клетку вписывается первая
палочка. Затем нужно вернуться за второй палочкой и
ее перенести вправо так же, как это делалось с первой
палочкой. После этой процедуры нужно вернуться к звез-
дочке, стереть ее и остановиться. Изобразим все такты
работы машины в виде соответствующих конфигураций:
1) «о1 |* 91 •| 1 1«о 11) «ol*l 1 1 ho 9з «0*1 21) II ho 92
2) «о1*1 92 1 ho 12) aol * 1 1 1 ho 93 «0*1 22) 111l«0 9з
3) «о1*1 92 1 ho 13) «ol*l 11 ho 9з «0*1 23) 111l«0 93
4) «ol*l1 1«о 92 14) aol*l 1 1 ho 9з «0 *1 24) 111 ho 93
5) «о1*1 1 ho 92 15) aol*l 1 1 ho 91 «0*1 25) lllho 9з
6) «о1*1 1 ho 92 16) «o«o *1 11 ho 92 «0*1111 ho 26) 93
7) «о1*1 1 ho 92 17) «0*111 ho 92 «0*1 27) n 9з 111 ho
8) «о1*1 II ho 93 18) «0*111 ho 92 «0*1 28) „ 9з lllho
9) «о1*1 II ho 93 19) «0 *1 11 ho 92 «0*1 29) lllho
«о1* Ю) 111 ho 93 20) «0 *1 11 ho 92 «0«0 30) 9o Illi ho
АЛГОРИТМЫ 159
Этот процесс позволяет записать алгоритм в виде дву-
мерной таблицы, изображенной на рис. 6.
ао * 1
91 а0 н qq а0 п 92
92 1 н д3 * nq2 1 п q2
9з а0 п 91 * л 9з 1 л q3
Рис. 6.
Таким образом, здесь использован внешний алфавит
(flo,*, I) и состояния машины qQ, д±, q2, q3.
Пример 3. Алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида решает задачи вида: для двух дан-
ных натуральных чисел найти их общий наибольший
делитель.
Как известно, алгоритм Евклида сводится к построе-
нию убывающей последовательности чисел, из которых
первое является большим из двух данных чисел, второе -
меньшим, третье получается как остаток от деления пер-
вого на второе, четвертое - как остаток от деления вто-
рого на третье и так далее, пока не будет совершено де-
ление без остатка. Делитель в этом последнем делении и
будет результатом решения задачи.
Нам требуется задать алгоритм Евклида в виде про-
граммы машины Тьюринга. Эта программа должна обес-
печить попеременное чередование циклов сравнения и
циклов вычитания чисел.
Будем использовать внешний алфавит, состоящий
из четырех букв: (а0, \,а,р}. Здесь а0 - символ пустой
клетки, | - палочка, а и Р - буквы, играющие роль
временных палочек. Пусть, для конкретности, требует-
ся найти НОД чисел 4 и 6 при начальной конфигурации
ао11111 I I I I I а0.
91
160 Курс лекций по математической логике
Сначала машина должна сравнить числа, изображенные
на ленте. С этой целью она должна заменять палочки,
изображающие первое число, буквами a, а палочки,
изображающие второе число, - буквами р. При этом
конфигурации, соответствующие первым четырем так-
там работы машины, будут иметь вид:
«01111 н 1111 «о» «011 l«l 11111 °0>
*> й ’> «2
а0|Il«l 11111 а0,
2) »2
а01 I \ap\ I I I I а0.
4> й
После этих четырех тактов управляющая головка
должна двигаться влево в поисках еще не отмеченной
ближайшей палочки первого числа, которая должна быть
заменена на a , а затем начинается движение управляю-
щей головки вправо в поисках ближайшей палочки вто-
рого числа, которая должна быть заменена на Р. После
соответствующего числа тактов работы машины на лен-
те возникнет конфигурация
а0 аааарррр\ | а0.
91
На этом заканчивается цикл сравнения исходных чисел
и начинается цикл вычитания, в результате которого
меньшее число должно быть стерто целиком, палочки
второго числа, помеченные буквой р, заменяются на
обычные палочки, и, следовательно, большее число 6
будет разбито на два числа 4 и 2.
Этим операциям соответствует ряд конфигураций.
Выпишем некоторые из них, пропуская очевидные кон-
фигурации.
а0 аааа.рррр\ | а0
91
а0 аааарррр\ | а0
9з
АЛГОРИТМЫ 161
OQOQaaaPPPP\ | Oq
?з
Oq Oq OqOqOq PPPP\ | Go
93
Oq o.q oq a$ a$\ppp\ | a0
?3
ao ao ao ao ao 1111 I I °0
?3
°O «о ao ao ao 111111 a0
?2
На этом заканчивается первый цикл вычитания. Те-
перь машина должна сравнить числа 4 и 2, Цикл сравне-
ния этих чисел приводит к конфигурации:
Go | laajffjffao,
?4
а цикл вычитания - к конфигурации:
Go | | | | ао.
91
Третий цикл сравнения чисел 2 и 2 приводит к кон-
фигурации
aQaaPP а0,
?3
а цикл вычитания - к заключительной конфигурации
Gol|ао-
?0
162 Курс лекций по математической логике
В связи с этим функциональная схема Тьюринга име-
ет вид:
«0 1 а Р
91 ®о п 9з а н q2 а л qi /М1
«2 «0 Л 94 >9н91 а п <?2 Р™ 92
«3 «0 н 90 1 hq2 ао п </з 1 п 9з
«4 а0 н<7о 1 н 91 1 л94 а0 л </4
Рис. 7
Основная гипотеза теории алгоритмов.
Машина Тьюринга дает один из путей уточнения по-
нятия алгоритма. В связи с этим возникают вопросы:
насколько общим является понятие машины Тьюринга?
Можно ли считать, что способ задания алгоритмов с
помощью машины Тьюринга является универсальным?
Может ли всякий алгоритм задаваться таким образом?
На эти вопросы современная теория алгоритмов пред-
лагает ответ в виде следующей гипотезы:
Всякий алгоритм может быть задан посредством тью-
ринговой функциональной схемы и реализован в соот-
ветствующей машине Тьюринга.
Эта гипотеза называется тезисом Тьюринга. Ее нельзя
доказать, так как она связывает нестрогое определение
понятия алгоритма со строгим определением понятия
машины Тьюринга.
Эта гипотеза может быть опровергнута, если удастся
привести пример алгоритма, который не может быть реа-
лизован с помощью тьюринговой функциональной схемы.
Однако все известные до сих пор алгоритмы могут
быть заданы посредством тьюринговых функциональных
схем.
Напомним также, что другие способы уточнения по-
нятия алгоритма (понятие нормального алгоритма
А. А. Маркова, понятие рекурсивного алгоритма (рекур-
сивной функции), введенного Чёрчем, Гёделем и Клини)
оказались равносильными.
Этот факт является важным доводом в пользу сфор-
мулированной гипотезы.
АЛГОРИТМЫ 163
Кроме того, следует сказать, что внутри самой тео-
рии алгоритмов эта гипотеза не применяется, то есть
при доказательстве теорем теории алгоритмов никаких
ссылок на гипотезу не делается.
§ 6. Нормальные алгоритмы Маркова
Как и ранее, будем называть алфавитом А всякое
непустое конечное множество символов, а сами символы
алфавита будем называть буквами.
Словом в алфавите А называется всякая конечная
последовательность букв алфавита А. Пустая последова-
тельность букв называется пустым словом и обознача-
ется через X/V
Если Р обозначает слово S; S; ...S; и О обознача-
ет слово SrSr...Sr , то PQ обозначает объединение
• В частности, РА = АР = Р. Кроме того,
(АР2)1Ь = А(ВД).
Алфавит А называетсярасширением алфавита В, если
В с А . Очевидно, что в этом случае всякое слово в алфа-
вите В является словом в алфавите А.
Алгоритмом в алфавите А называется эффективно вы-
числимая функция, областью определения которой слу-
жит какое-нибудь подмножество множества всех слов в
алфавите А и значениями которой являются также слова
в алфавите А. Пусть Р есть слово в алфавите А; говорят,
что алгоритм U применим к слову Р, если Р содержится в
области определения U. Если алфавит В является расши-
рением алфавита А, то всякий алгоритм в алфавите В
называется алгоритмом над алфавитом А.
Большинство известных алгоритмов можно разбить
на некоторые простейшие шаги. Следуя А. А. Маркову,
в качестве элементарной операции, на базе которой стро-
ятся алгоритмы, выделим подстановку одного слова вме-
сто другого. Если Риф- слова в алфавите А, то выраже-
ния Р -> Q и Р -> • Q будем называть формулами под-
становки в алфавите А. При этом предполагается, что
символы стрелка -> и точка не являются буквами
164 Курс лекций по математической логит
алфавита А, а каждое слово Р и Q может быть и пустым
словом. Формула подстановки Р -» Q называется прос-
той, а формула подстановки P->-Q называется заклю-
чительной.
Пусть Р->(•)<? обозначает одну из формул подста-
новки Р -> Q или Р -> • Q. Конечный список формул под-
становки в алфавите
А->(•)<*’
Рг -> (-)в2 .
Pr->( )Qr
называется схемой алгоритма и порождает следующий
алгоритм в алфавите А.
Принято говорить, что слово Т входит в слово Q,
если существуют такие (возможно пустые) слова W, V,
что Q = WTV.
Пусть Р - слово в алфавите А. Здесь может быть одно
из двух:
1. Ни одно из слов Pi,P2,...,Pr не входит в слово Р
(обозначается: U: Р =>).
2. Среди слов Р1,Р2,...,РГ существуют такие, кото-
рые входят в Р. Пусть т - наименьшее целое число та-
кое, что 1 < т < г, и Рт входит в Р, и R - слово, которое
получается, если самое левое вхождение слова Рт в слово
Р заменить словом Qm. Тот факт, что Р и R находятся в
описанном отношении, коротко запишем в виде
17:Р|-Я, (а)
если формула подстановки Рт -> ()Qm - простая, или в
виде
U:P\-R (b)
если формула Рт -> ( )0та - заключительная.
В случае (а) говорят, что алгоритм U просто перево-
дит слово Р в слово R; в случае (Ь) говорят, что алгоритм
U заключительно переводит слово Р в слово R.
АЛГОРИТМЫ 765
Пусть далее, С7:Р|=Л означаем, что существует такая
последовательность RQ,Ri,...,Rk слов в алфавите А, что
P = Rq, R = Rk, U‘.Rj\-Rj+1 для j = 0,l,...,fe-2 и либо
U'.Rk-i\~Rk> либо Ut-Rfc-il- -Rh (в этом последнем случае
вместо U: P^R пишут U: Р|= -R )•
Положим теперь U(P] = R тогда и только тогда, ког-
да либо U: Р\= -R , либо U:P\=R и U:R =>.
Алгоритм, определенный таким образом, называет-
ся нормальным алгоритмом или алгоритмом Маркова.
Работа алгоритма U может быть описана следующим об-
разом. Пусть дано слово Р в алфавите А. Находим первую в
схеме алгоритма U формулу подстановки Рт -> {-)Qm» та-
кую, что Рт входит в Р. Совершаем подстановку слова Qm
вместо самого левого вхождения слова Рт в слово Р. Пусть
7?! - результат такой подстановки. Если Рт -> ( )Q,n “ зак-
лючительная формула подстановки, то работа алгорит-
ма заканчивается, и его значением является Rr. Если
формула подстановки Рт -> (-)Qm - простая, то приме-
ним к Rr тот же поиск, который был только что приме-
нен к Р и т.д. Если на конечном этапе будет получено
такое слово 7?(, что U'.Ri z>, то есть ни одно из слов Ру,
.... Рг не входит в Ri, то работа алгоритма заканчивает-
ся, и й( будет его значением.
Если описанный процесс на конечном этапе не заканчи-
вается, то говорят, что алгоритм U не применим к слову Р.
Пример 1. Пусть А есть алфавит {б,с} . Рассмотрим
схему
6 -> -Л
с —> с
Определяемый этой схемой нормальный алгоритм U
перерабатывает всякое слово Р в алфавите А, содержа-
щее хотя бы одно вхождение буквы Ь, в слово, которое
получается вычеркиванием в Р самого левого вхождения
буквы Ъ.
166 Курс лекций по математической логике
Действительно, всякая буква с, находящаяся в слове
левее самой левой буквы Ь, простой подстановкой с -> с
переводится в букву с, а самая левая буква Ъ заключи-
тельной подстановкой переводится в пустое слово □.
Например, если Р = ссЬЪс, то Р -» -Q, где Q = ссЬс.
Пустое слово U перерабатывает в само себя.
U не применим к непустым словам, не содержащим
вхождения буквы Ъ . Действительно, если слово Р содер-
жит только буквы с, то простой подстановкой с -» с оно
будет перерабатываться в себр, но тогда всегда Р -> Р, и
мы не приходим к заключительной подстановке, т.е.
процесс будет продолжаться бесконечно.
Пример 2. Пусть А есть алфавит |ao,aj,...,a„} . Рас-
смотрим схему
Vi (a, -> Л) (aj e А).
Эта схема определяет нормальный алгоритм U, пере-
рабатывающий всякое слово в алфавите А в пустое сло-
во. Например,
U: aia2aia3aol_ aia2aia31- a2aia31~ a2a3l~ аз l~ A,
и, наконец, U: A =>. Следовательно, l/(aia2ala3ao) = A.
§ 7. Неразрешимые алгоритмические проблемы
(обзор)
Переход от интуитивного понятия алгоритма к точ-
ному понятию машины Тьюринга позволяет уточнить и
вопрос об алгоритмической разрешимости данной мас-
совой проблемы. Теперь этот вопрос можно сформулиро-
вать так: существует ли машина Тьюринга, решающая
данную массовую проблему или же такой машины не
существует?
На этот вопрос теория алгоритмов в ряде случаев
дает отрицательный ответ. Один из первых результатов
такого типа получен американским математиком Чёр-
чем в 1936 году. Он касается проблемы распознавания
выводимости в математической логике.
АЛГОРИТМЫ 1в7
1. Неразрешимость проблемы распознавания выво-
димости в математической логике.
Как известно, аксиоматический метод в математике
заключается в том, что все предложения (теоремы) дан-
ной теории получаются посредством формально-логичес-
кого вывода из нескольких предложений (аксиом), при-
нимаемых в данной теории без доказательства.
В математической логике описывается специальный
язык формул, позволяющий любое предложение мате-
матической теории записать в виде вполне определенной
формулы, а процесс логического вывода из посылки А
следствия В может быть описан в виде процесса фор-
мальных преобразований исходной формулы. Это дости-
гается путем использования логического исчисления, в
котором указана система допустимых преобразований,
изображающих элементарные акты логического умозак-
лючения, из которых складывается любой, как угодно
сложный формально-логический вывод.
Вопрос о логической выводимости предложения В
из посылки А в избранном логическом исчислении явля-
ется вопросом о существовании дедуктивной цепочки,
ведущей от формулы А к формуле В.
В связи с этим возникает проблема распознавания
выводимости’, для любых двух формул А и В в логичес-
ком исчислении узнать, существует ли дедуктивная це-
почка, ведущая от А к В, или нет.
Решение этой проблемы понимается в смысле вопро-
са о существовании алгоритма, дающего ответ при лю-
бых А и В. Результат Чёрча формулируется следующим
образом:
Теорема Чёрча. Проблема распознавания выводимо-
сти алгоритмически неразрешима.
2. Неразрешимость проблемы распознавания само-
применимости.
Введем предварительно понятие шифра машины Тью-
ринга. До сих пор мы записывали программу машины
Тьюринга в виде двумерной таблицы т х п. Однако ее
можно изобразить в одномерном варианте, записывая
последовательно пятерки символов так, что первый сим-
вол пятерки указывает столбец таблицы, второй - строч-
ку таблицы, а последующие три - символы той тройки,
168 Курс лекций по математической логика
которая располагается в таблице на пересечении ука-
занных строки и столбца.
Так, например, вместо схемы, изображенной на
рис. 7, будет получена одномерная строка:
«о71ао п 7з 171« н Л 71А1Д л ?ia0g2ao Л (1)
Поступая аналогично, можно при рассмотрении кон-
фигураций условиться о том, чтобы букву состояния писать
не под обозреваемой буквой, а непосредственно левее ее.
Например, ранее встречающуюся конфигурацию
IIIIII
74
будем записывать в виде 1111 д4 11.
Ясно, что каждую букву строки (1) можно переиме-
новать. Сделаем это, соблюдая следующие условия:
1) строка (1) должна однозначно разбиваться на от-
дельные кодовые группы;
2) кодовые символы должны быть трех видов:
а) для букв л, п , н ;
б) для букв внешнего алфавита;
в) для букв, изображающих состояния машины.
В связи с этим будем пользоваться следующей таб-
лицей кодирования:
Алфавит Буква Кодовая группа Примечания
Буквы адресов Л 101 Олин нуль между 1
н 1001 два нуля между 1
п 10001 три нуля между 1
Внешний алфавит «0 100001 4 нуля четное число нулей, большее двух
ai 10000001 6 нулей
• • • • ••••••••
ап 10...01 2(п+2) нулей
Внутрен- ний ал- фавит 91 1000001 5 нулей нечетное число ну- лей, большее трех
100000001 7 нулей
• • •
9П 10...01 2(п+1)+1 нулей
Если в строке (1) считать |, a, [} соответственно
буквами аг, а2, а3, то при такой системе кодирования
строка (1) запишется так:
100001100000110000110001100000000011000000110000011000000001... (2)
АЛГОРИТМЫ 169
Подобную строчку из единиц и нулей, составленную для
функциональной схемы или для отдельной конфигура-
ции называют шифром функциональной схемы или шиф-
ром конфигурации.
Пусть теперь на ленте машины Тьюринга изображен
ее же собственный шифр, записанный в алфавите маши-
ны. Возможны два случая:
1. Машина применима к своему шифру, т.е. она
перерабатывает этот шифр и после конечного числа так-
тов останавливается.
2. Машина не применима к своему шифру, т.е. ма-
шина никогда не переходит в стоп-состояние.
Таким образом, сами машины (их шифры) разбива-
ются на два класса: класс самоприменимых и класс не-
самОприменймых тьюринговых машин. Поэтому возни-
кает следующая массовая проблема: проблема распозна-
ваемости самоприменимости. По любому заданному
шифру установить, к какому классу относится машина,
зашифрованная им: к классу самоприменимых или не-
самоприменимых?
Теорема. Проблема распознавания самоприменимо-
сти алгоритмически не разрешима.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
такая машина А существует. Тогда в А всякий самопри-
менимый шифр перерабатывается в какой-то символ <т
(имеющий смысл утвердительного ответа на поставлен-
ный вопрос о самоприменимости), а всякий несамопри-
менимый шифр - в другой символ t (имеющий смысл
отрицательного ответа на поставленный вопрос). В та-
ком случае можно было построить и такую машину В,
которая по-прежнему перерабатывает несамоприменимые
шифры в т, в то время как к самоприменимым шифрам
В уже не применима. Этого можно было добиться путем
такого изменения схемы машины В, чтобы после появле-
ния символа а вместо появления стоп-состояния, маши-
на начала бы неограниченно повторять этот же символ.
Таким образом, В применима ко всякому несамопри-
менимому шифру (вырабатывается при этом символ г ) и
не применима к самоприменимым шифрам. Но это приво-
дит к противоречию. Действительно:
170 Курс лекций по математической логит
1) пусть машина В самоприменима, тогда она приме-
нима к своему шифру В и перерабатывает его в символ
г; но появление этого символа как раз и должно озна-
чать, что В несамоприменима;
2) пусть В несамоприменима, тогда она не примени-
ма к В, что должно означать как раз, что В самоприме-
нима. Полученное противоречие доказывает теорему.
3. Проблема эквивалентности слов для ассоциатив-
ных исчислений.
Первые результаты об алгоритмической неразреши-
мости были установлены для проблем, возникающих в
самой математической логике и в теории алгоритмов. Сюда
относдтся и рассмотренные проблемы «Проблема выводи-
мости^ и «Проблема самоприменимости». Но позже вы-
яснилось, что аналогичные проблемы возникают в самых
различных специальных разделах математики. Сюда от-
носятся, в первую очередь, алгебраические проблемы,
приводящие к различным вариантам проблемы слов.
Рассмотрим некоторый алфавит А = [a,b,c,...] и мно-
жество слов в этом алфавите. Если слово L является ча-
стью слова М, то говорят, что слово L входит в слово М.
Так, слово аса входит в слово ЬсасаЬ, начиная с буквы а.
Будем рассматривать преобразование одних слов в дру-
гие с помощью некоторых допустимых подстановок вида
Р — Q или Р -> Q,
где Р и Q два слова в том же алфавите А.
Применение ориентированной подстановки Р -> Q к
слову R возможно в том случае, когда в нем имеется
хотя бы одно вхождение левой части Р; оно заключается
в замене любого одного такого вхождения соответствую-
щей правой частью Q.
Применение неориентированной подстановки Р — Q
допускает как замену вхождения левой части правой,
так и замену вхождения правой части левой.
Будем рассматривать, в основном, неориентирован-
ные подстановки.
Пример. Подстановка ас - аса применима к слову
ЬсасаЬ двумя способами; замена вхождения аса в это слово
дает слово ЬсасаЬ, а замена вхождения ас дает слово
ЬсасааЬ.
АЛГОРИТМЫ 171
К слову abcab эта подстановка не применима.
Определение. Ассоциативным исчислением называ-
ется совокупность всех слов в некотором алфавите вмес-
те с какой-нибудь конечной системой допустимых под-
становок.
Дли задания ассоциативного исчисления достаточно
указать соответствующие алфавит и систему подстановок.
Если слово R может быть преобразовано в слово S
посредством однократного применения допустимой под-
становки, то и S может быть преобразовано в R такик
же путем. В таком случае R и S называют смежнымг
словами. Последовательность слов
Яр R2, ...» 2?nl, Rn
таких, что каждая пара слов Rt и Rl+1 (i = 1,2,...,га -1)
являются смежными, называют дедуктивной цепочкой,
ведущей от слова R к слову S.
Если существует дедуктивная цепочка, ведущая от
слова R к слову S, то, очевидно, существует и дедуктив-
ная цепочка, ведущая от слова S к слову R, в этом слу-
чае слова R и S называют эквивалентными и обознача-
ют: R ~ S •
Для каждого ассоциативного исчисления возникает
своя специальная проблема эквивалентности слов'.
Для любых двух слов в данном исчислении требует-
ся узнать, эквивалентны они или нет.
Проблема эквивалентности слов для ассоциативных
исчислений была сформулирована в 1911 году. Тогда же
был предложен алгоритм для распознания эквивалент-
ности слов в некоторых ассоциативных исчислениях
специального вида.
Естественно возникла задача об отыскании такого
общего алгоритма, который был бы применим к любому
ассоциативному исчислению.
В 1946 и 1947 годах российский математик А. А. Мар-
ков и американский математик Э. Пост, независимо один
от другого, построили конкретные примеры ассоциатив-
ных исчислений, для каждого из которых проблема экви-
валентности слов алгоритмически не разрешима, и, сле-
довательно, не существует алгоритма для распознания
эквивалентности слов в любом исчислении.
172 Курс лекций по матеметической логике
В 1955 году российский математик П. С. Новиков дока-
зал алгоритмическую неразрешимость проблемы тожде-
ства групп, формально эта проблема представляет собой
частный случай проблемы эквивалентности слов в ассо-
циативном исчислении.
Примеры, построенные А. А. Марковым и П. С. Но-
виковым для опровержения алгоритмической разреши-
мости исследуемых проблем были громоздкими и насчи-
тывали сотни допустимых подстановок.
Петербургскому математику Г. С. Цейтину удалось
построить пример алгоритмически неразрешимого ис-
числения, в котором используется лишь семь допусти-
мых подстановок.
4. Неразрешимость десятой проблемы Гильберта о
диофантовых уравнениях.
Сущность этой проблемы излагалась нами выше в
§ 3 и там же указывалось, что доказательство алгорит-
мической неразрешимости этой проблемы было дано в
1960 году молодым Петербургским математиком Ю. Ма-
твеевичем.
Часть II
Задачник-практикум
по математической
логике
ГЛАВА I
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
§ 1. Высказывания и логические операции над ними.
Формулы алгебры логики
Понятие высказывания является основным неопре-
деляемым понятием математической логики. Под выс-
казыванием понимают любое повествовательное предло-
жение, о котором можно сказать истинно оно или ложно
в данных условиях места и времени. Логическое значе-
ние высказывания «истина» («ложь») обозначается или
буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно
обозначают малыми латинскими буквами.
Отрицанием высказывания а называется высказы-
вание а , которое истинно, если а ложно, н ложно, если
а истинно. Высказывание а читается так: «Не а». Таб-
лица истинности для а имеет вид:
а а
1 0
0 1
Конъюнкцией высказываний а,Ь называется выска-
зывание а л Ь (а&Ъ), которое истинно, если а и Ь истин-
ны и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказы-
вание алЪ читается: «а и Ь».
Дизъюнкцией высказываний а,Ь называется выска-
зывание a v Ъ, которое истинно, если хотя бы одно из
высказываний а или Ь истинно, и ложно, если оба они
ложны. Читается: «а или Ь».
Импликацией высказываний а,Ь называется выска-
зывание а —> Ь , которое ложно, если а истинно и Ь лож-
но, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если
а, то Ь».
АЯГеВРАЛОГИКИ 175
Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказы-
ваний а,Ъ называется высказывание а «-> Ь, которое ис-
тинно, если оба высказывания а и b одновременно ис-
тинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях.
Читается: «а тогда и только тогда, когда Ь».
Таблица истинности для этих логических операций
такова:
а Ь алЬ a vb а -> Ь а «-> Ъ
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Все высказывания можно разделить на простые (или
элементарные) и составные (или сложные).
Всякое сложное высказывание, которое может быть
получено из элементарных высказываний посредством
применения выше определенных пяти логических опера-
ций, называется формулой алгебры логики.
Формулы алгебры логики будем обозначать больши-
ми латинскими буквами. Логические значения форму-
лы при различных комбинациях значений входящих в
нее высказываний можно описать посредством таблицы,
которая называется таблицей истинности формулы.
Формула А, всегда истинная, называется тожде-
ственно истинной формулой или тавтологией и запи-
сывается А а 1. Формула В, всегда ложная, называется
тождественно ложной формулой и записывается В а 0.
Пример 1. Среди следующих предложений выделить
высказывания, установить, истинны они или ложны:
1) река Волхов впадает в озеро Ильмень;
2) всякий человек имеет брата;
3) пейте томатный сок!;
4) существует человек, который моложе своего отца;
5) который час?;
6) ни один человек не весит более 1000 кг;
7) 23<5;
176 Задачник^ршвпшуч по матоттрюснов почт
8) для всех действительных чисел х и у верно равен-
ство х + у =у + х;
9) х2-7х + 12;
10) ха-7х + 12“0.
Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6),
8) - истинные, а высказывания 1), 2), 7) - ложные. Пред-
ложения 3), б), 9), 10) не являются высказываниями.
Пример 2. Пусть а ~ высказывание «Студент Иванов
изучает английский язык», Ъ - высказывание «Студент
Иванов успевает по математической логике». Дать сло-
весную формулировку высказываний:
1) а лЬ; 2) а -+Ь; 3) b «-> а.
Решение, а) «Студент Иванов изучает английский
язык и не успевает по математической логике»; б) «Если
студент Иванов изучает английский язык, то он успева-
ет по математической логике»; в) «Студент Иванов не
успевает по математической логике тогда и только тог-
да, когда он ие изучает английский язык».
Пример 3. Составить таблицу истинности для выс-
казывания a v b.
Решение. Таблица истинности для высказывания
a v Ь имеет вид:
а Ъ ь а vb
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1.1. Какие из следующих предложений являются
высказываниями:
1) Москва - столица России;
2) студент физико-математического факультета;
3) 7з+ 2-J7 - 28;
4) Луна есть спутник Марса;
5) а > 0.
МГЕБРАЯОГМКИ
177
1.2. Приведите примеры предложений, а) являющих-
ся высказываниями; б) ие являющихся высказываниями.
1.3. Верны ли утверждения:
1) сумма корней приведенного квадратного уравне-
ния равна свободному члену;
2) сумма корней любого приведенного квадратного
уравнения равна свободному члену;
3) существует приведенное квадратное уравнение,
сумма корней которого равна свободному члену?
1.4. Установите, истинно или ложно высказывание:
1) 2 е |х|2х’ - Зх2 +1 = 0, х е в|;
Г 1
2) -Зе^х]-^—-<-2,хеВ>;
[ х* + 2 J
_ (2п + 1. 1
[Зп- 2 J
4){l}eN;
5) {1} е P(N), где -P(n) - множество всех подмножеств
множества N;
6) 0е0;
7) 0е{0};
8) {1,-1,2} а {х|х8 +х2 — х —1 = 0, xez|;
9) {х|х8 + х8-х-1 = 0, х еz} а (1,-1,2};
Ю) 0cN;
11) {0}с{0};
12) {0}а{0,{0}}.
1.6. Является ли высказыванием следующее предло-
жение: «Это предложение ложно»?
1.6. Среди следующих высказываний указать эле-
ментарные и составные. В составных высказываниях
выделить грамматические связки:
1) число 27 не делится на 3;
2) число 15 делится на 5 и на 3;
3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
4) число 7 является делителем числа 42;
178 За&ячник-пршапшум ио ямииолинтпоскбй логике
5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда,
когда 18 делится на 9.
1.7. Обозначьте элементарные высказывания буква-
ми и запишите следующие высказывания с помощью
символов алгебры логики:
1) 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
3) -^25 = 5 или ^25 = -5;
4) 2 < 5;
5) если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
6) число 212 - трехзначное и кратно 3 или 4.
1.8. Пусть р и q обозначают высказывания:
р - «Я учусь в школе»,
q - «Я люблю математику».
Прочтите следующие сложные высказывания:
1) р; 2) f; 3) p&q; 4) p&q; 5) p&q; 6) p&q; 7) p&q .
1.9. Какие из следующих импликаций истинны:
1) если 2x2 = 4, то 2<3;
2) если 2x2 = 4, то 2>3;
3) если 2x2 = 5, то 2<3;
4) если 2x2 = 5, то 2>3?
1.10. Выясните, в каких случаях приведенные ниже
данные противоречивы:
1) a = 1, a&b = 0;
3) а = 1,a&b = 1;
5) а = 0, а&5 = 1;
7) а = 0, а&5 = 0;
2) а = 1, а v b = 0;
4) а = 1, a v Ь = 1;
6) а = 0, a v Ь = 1;
8) а = 0, a v Ь = 0.
1.11. Пусть х, х', у, у' означают соответственно «7 -
простое число», «7 - составное число», «8 - простое чис-
ло», «8 - составное число»:
1) какие из предложений х&у, х&у', х'&у, х'&у'
истинны и какие ложны?;
2) то же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию;
3) то же для предложений х, У, х', у'.
1.12. Проверить, не составляя таблиц истинности,
являются ли следующие формулы тождественно истин-
ными:
алгебрллогики т
1) р->_р;
3) рлр;
5) р-*р;
7) (pvp)op;
9) (p->p)vp;
Н) pv(pop);
13) р <-> pi
2) pvp;
4) pop;
6) pop; _
8) p&(pop);
10) P *» P&(p о p&p);
12) p-*p;
14) (pvp)o(pAp).
1.13. Найдите логические значения x и у, при кото-
рых выполняются равенства:
1.14.
1) (1 о х) о у = 0; 2) х v р = х .
1) Известно, что импликация хор истинна, а эк-
вивалентность хор ложна. Что можно сказать о зна-
чении импликации р о х ?
2) Известно, что эквивалентность хор истинна.
Что можно сказать о значении хор и хор?
3) Известно, что х имеет значение 1. Что можно ска-
зать о значениях импликации х л у о zi х о (р v г) ?
4) Известно, что хор имеет значение 1. Что можно
сказать о значениях го (хор); хорор; (хор)о г?
1.15. Пусть х = 0, у = 1, г = 1. Определить логичес-
кие значения нижеследующих сложных высказываний:
1) хл(рлг); 2) (хлр)лр;
3) хо(рог);
4) хлрог;
5) (xAp)o(zvp); 6) ((хур)лг)о((хлг)у(рлг)).
1.16. Показать, что логические связки ь о а »
а&Ь о а , а&Ь о Ь, а&Ь о л , где л - фиксированное
ложное высказывание, имеют ту же таблицу истиннос-
ти, что и импликация а о Ъ .
1.17.
1) Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции
формулу, таблица истинности для которой совпадала бы
с таблицей для импликации.
180 Задачник-практикум по математической лоаике
2) Аналогично этому постройте с помощью отрица-
ния и импликации формулу, таблица для которой со-
впадает с таблицей для дизъюнкции, и вторую формулу
с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции.
1.18. Составить таблицы истинности для формул:
1) V х2 ;
2) (х v у) -» (х л у v х -> у);
3) (xxAX2)vxa;
4) хлу->(j/vx->z);
5) (х, -> х2) -> ^vx2 л ха);
6) (х vz)a(i/->(u-> х));
7) ->(х2х„)...);
8) Х| v x2v...vx„ —> Pi лУ2л...Л1/л .
1.19. Установить, какие из следующих формул
являются тождественно истинными, тождественно лож-
ными:
!) XV у -> Х&у'’
2) (х у) -> (у -> х);
3) А -* (р2 -> Pi);
4) Pi (Pi Ра) ’
5) ((р Л <?) ° ?) ° (? -* р) ;
6) ((р -*?)&(?-» г)) -»(р -> г);
7) (х -> г) -» ((у -> г) -> (х v у -» г));
8) (Pi -> Р2) ((Pi v р) -* (р2 v р));
9) (Pi -* (р2 -> Рз)) ((Pi -> Р2) -> (Pi -> Рз)) ;
10) (Pi -* Р2) -> ((Pi л р) -> (р2 л р)) .
АЛГЕБРАЛОГИКИ ________,____________;__________ Ш
§ 2. Равносильные формулы алгебры логики
Определение. Две формулы алгебры логики Ап В
называются равносильными, если они принимают оди-
наковые логические значения на любом наборе значений
входящих в них высказываний (А а В).
Важнейшие равносильности можно разбить на три
группы:
I. Основные равносильности.
L х&х » х (х&х&...&х а х)| законы
2. х v х а х (х v xv.. .vx а х) J идемпотентности.
3. X&l а X.
4. X V 1 a L
5. Х&О а 0.
6. X V 0 а X.
7. х&х а 0 ~ закон противоречия.
8. х v х а 1 - закон исключенного третьего.
9. ? = х ~ закон снятия двойного отрицания.
10. X&(yvx)ax
11. х v (у& х) а х “ законы поглощения.
II. Равносильности, выражающие одни логические
операции через другие.
L X <-> у а (х-> у)&(х-> у).
2. X —> у а X V у.
3. Х&у а х vy
. л QCUVVU01 XLw lUvUl СъмСЬ*
4. XV у а Х&у]
5. Х&у а X vy.
6. X V у а х& у.
III. Равносильности, выражающие основные зако-
ны алгебры логики.
1. Х&у а у&Х.
2. X V у а у V X.
3. Х&(у&?) а (х&у)&2.
182 Задачник-практикум по матаматичоской лоаикв
4. х v [у v г) (я v у) v г.
5. х&(ууг)^(я&у)у(я&г).
6. х v (у & г) = (я v у)&(я V2).
Используя равносильности групп I, П, Ш, можно
часть формулы алгебры логики или всю формулу заме-
нить равносильной ей формулой. Такие преобразования
называются равносильными. Равносильные преобразо-
вания формул применяются для доказательства равно-
сильностей, для приведения формул к заданному виду,
для упрощения формул.
Пример 1. Доказать равносильность я -> у « х&у.
Решение. Для доказательства равносильности под-
вергнем ее левую часть равносильным преобразованиям:
х -ь у м xv у м х&увх&у .
Пример 2. Упростить формулу Ав (xvy-txv у)& у .
Решение. Подвергнем формулу А равносильным пре-
образованиям:
А в ^я vy -> я vyj&y = (я vу v я vу)&у в
В (я V у V я Vу)&у ((я V я) V (у V у))&у
= (lvy)&y sl&ysy.
Пример 3. Доказать, что формула А в х -> (у -> я)
тождественно истинная.
Решение. Подвергнем формулу А равносильным пре-
образованиям
А в х -> (у -> я) = я v (у v я) в х v (я v у) s
= (яуя)уу = 1уу = 1.
1.20. Доказать равносильность:
1) (яуу)&(яуу) = я;
2) яу(я&у) з я vy;
3) я <-> у в х <-> у;
АЛГЕБРАЛОГИКИ 183
4) xyvxyvx у = х-> у1',
5) х -> у s у -> х;
6) х -> (у -> z) s х&у -> z;
7)х= (x&y&z)v[x&y&2}v[x&y&z}v[x&y&2^
8) (xv у)&(« v t) » хг v yz v xt v yt',
9) xy V zt (x v z\y V x)(x v t\y v t);
10) xt л х2л...лхп -> у = хг -> (x2 -> (x„ -> у)...)).
1.21. Упростить формулу:
1) (х -> х) -> х;
2) х->(х->у);
3) x y v(x->y)x;
4) (xoy)&(xvy);
5) (х -> у)&(у -> г) -> (г -> х);
6) (х V у -> (г -> у v у V х))&(х V х -> (х -> x)j -> у;
7) (х&х&х -> у&у -> zj vx v (y&z)v(y&z)i
8) (х&(у v г -> у v г)) v (у& х& у) v х v (у& x&xj;
9) (* -> у)&(у -> г) -> (х -> х);
10) (х л г) v (х л zj v (у л г) v (х л у л zj.
1.22. Доказать тождественную истинность или тож-
дественную ложность формул:
1) х л у -> х;
2) x->(xvy^
3) (х -> у) -> (у -> xj;
4) (у -> х) -> (х -> у);
5) (х -> у)&(х -> yj -> х;
1 Здесь и в дальнейшем запись ху (х • у) означает х&у, подобно тому,
как в алгебре не пишется знак умножения (или пишется х у вместо х х у ).
1М Задачник-практикум па математической лмша
6) ж&(ж->р)&(ж->р);
7) х v х -> у л у,
8) (х-> (у -> г)) -> ((ж-+ у)-> (х -> г));
9) (г->ж)->((г->у)->(г->жлр));
10) (ж->г)->[(р->г)->((жур)->г)^
11) (ж -> (у -> г)) -> (ж л у-+г\
12) (ж л у -> г) -> (ж -> (у ->
13) (x1a...ax„)&(x1v.. .vx„
14) Хг —>1х2 Ж.,!
->(*.-* У v у))...);
15) I хл х -> ух -> у2 ул_1 -> у, I -> (гл г
1.23. Пусть F - тождественно ложная формула. До-
казать, ЧТО Х&,у -> F а Ж -> у .
1.24. Найдите х, если xvav(xvajafr.
1.25. Последовательность высказываний (ая) опреде-
ляется следующим рекуррентным соотношением:
а. = ал-1Л(ал-г va._8), п > 3.
Высказывания ар а2, а8 заданы, причем и а8 ис-
тинны, а в2 ложно. Истинно или ложно высказывание
ал? Как выражается ал через ар а2, а8?
1.26. Выразить все основные операции:
1) через операции дизъюнкцию, конъюнкцию * от-
рицание;
2) через конъюнкцию и отрицание;
3) через дизъюнкцию и отрицание;
4) через импликацию и отрицание.
АЛГЕБРА POTH/Of 188
1.27.
1) Выразить отрицание импликации через основные
операции так, чтобы отрицания стояли только над аргу-
ментами.
2) Выразить операцию дизъюнкцию через имплика-
цию.
1.28. Исключающей дизъюнкцией двух высказыва-
ний а и Ь называется новое высказывание, обозначаемое
аМ& (читают «либо а, либо б*), которое истинно, когда
одно и только одно из данных высказываний истинно, и
ложно в остальных случаях. Составить таблицу истин-
ности исключающей дизъюнкции и выразить ее через
основные операции над высказываниями.
1.29. Штрихом Шеффера двух высказываний а и Ь
называется новое высказывание, обозначаемое а |& (чита-
ют «а не совместно с &»), которое ложно только тогда,
когда оба данные высказывания истинны. Составить таб-
лицу истинности штриха Шеффера и выразить его через
основные операции над высказываниями. Доказать, что
все основные операции над высказываниями можно вы-
разить через штрих Шеффера.
1.30. Штрихом Лукасевича двух высказываний а и б
называется новое высказывание а 1Ь (читают «ни а, ни
б»), которое истинно в том и только в том случае, когда
оба данные высказывания ложны. Составить таблицу ис-
тинности штриха Лукасевича и выразить его через основ-
ные операции над высказываниями. Доказать, что все
основные операции над высказываниями можно выразить
через штрих Лукасевича.
1.31. Доказать, что операция отрицания не может
быть выражена через основные операции (бинарные) над
высказываниями.
1.32. Можно ли для каждой формулы найти равно-
сильную, не содержащую знака отрицания?
1.33. Мальчик решил в воскресенье закончить чте-
ние книги, сходить в музей или кино, а если будет хоро-
шая погода - пойти на реку выкупаться. В каком случае
можно сказать, что решение мальчика не выполнено? В
ответе отрицания должны содержаться лишь в простых
высказываниях.
188 Задачник-практикум по математической яоаияа
§ 3. Функции алгебры логики.
Совершенные нормальные формы
Определение 1. Функцией алгебры логики п перемен-
ных называется любая функция п переменных
F(xltx2,...,x^t аргументы которой принимают два зна-
чения 1 и 0, и сама функция принимает одно из двух
значений: 1 или 0.
Всякая формула алгебры логики есть функция ал-
гебры логики. Тождественно истинная и тождественно
ложная формулы есть постоянные функции.
Можно показать, что всякую функцию алгебры ло-
гики можно представить в виде формулы алгебры логи-
ки, и это представление таково:
F{xx,x2,.F(l,l,...,l)&x1&x2&...&xa v
V F(l, 1,..., 0) & Хц & х2 &... & х„ _! & х„ v...v
vF(0,0,...,0)&x1&x2&...&xa . (*)
Формулу (*) можно преобразовать к формуле, ко-
торая содержит только элементарные переменные выс-
казывания и обладает следующими свойствами совер-
шенства (или свойствами (С)):
1) каждое логическое слагаемое формулы содержит
все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,...,xa);
2) все логические слагаемые формулы различны;
3) ни одно логическое слагаемое формулы не содер-
жит одновременно переменную и ее отрицание;
4) ни одно логическое слагаемое формулы не содер-
жит одну и ту же переменную дважды.
С помощью таблицы истинности, определяющей фун-
кцию F(xltx2....ха), легко получить соответствующую
формулу алгебры логики, обладающую свойствами (С).
Действительно, для каждого набора значений перемен-
ных, на котором функция F(x1,x2,...,xa) принимает зна-
чение 1, запишем конъюнкцию элементарных перемен-
ных высказываний, взяв за член конъюнкции хй, если
АЛГЕБРАЛОГИКИ ____________;___________________ 187
значение хк на указанном наборе значений переменных
есть 1, и отрицание хр если значение хй есть О. Дизъюн-
кция всех полученных таким образом конъюнкций и
будет искомой формулой.
Определение 2. Элементарной конъюнкцией п пере-
менных называется конъюнкция переменных или их
отрицаний.
Определение 3. Дизъюнктивной нормальной формой
(ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму-
ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных
конъюнкций.
Определение 4. Совершенной дизъюнктивной нор-
мальной формой (СДНФ) формулы А называется ДНФ А,
обладающая свойствами (С).
СДНФ А можно получить двумя способами: а) с по-
мощью таблицы истинности (см. выше); б) с помощью
равносильных преобразований.
Правило получения СДНФ из формулы А с помо-
щью равносильных преобразований.
1. Для формулы А получаем любую ДНФ.
2. Из ДНФ А путем равносильных преобразований
получаем СДНФ, последовательно добиваясь выполнения
четырех свойств СДНФ:
1) Пусть В есть слагаемое ДНФ, не содержащее xt.
Тогда надо заменить слагаемое В в ДНФ А на слагаемое
B&[xt v jqj (В&xf) v (в&х^ .
2) Если в ДНФ А встретится два одинаковых слага-
емых В v В, то лишнее нужно отбросить, так как
BvBsB.
3) Если в некоторое слагаемое В в ДНФ А перемен-
ная xt входит дважды, то лишнюю переменную надо от-
бросить, так как х(&х( г х(.
4) Если слагаемое В в ДНФ А содержит конъюнк-
цию xi&xl> то это слагаемое можно отбросить, так как
xt&x( = 0> и следовательно, В 0, а ложное высказыва-
ние из дизъюнкции можно выбросить (в силу равносиль-
ности С v 0 С ).
1&8 Задачник-практикум по математической почт
Определение 5. Элементарной дизъюнкцией п пере-
менных называется дизъюнкция переменных или их от-
рицаний.
Определение в. Конъюнктивной нормальной формой
(КНФ) формулы А называется равносильная ей форму-
ла, представляющая собой конъюнкцию элементарных
дизъюнкций.
Определение 7. Совершенной конъюнктивной нор-
мальной формой формулы А (СКНФ А ), называется
КНФ А , удовлетворяющая четырем свойствам:
1) все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФ А, содержат все переменные;
2) все элементарные дизъюнкции, входящие в
КНФА, различны;
3) каждая элементарная дизъюнкция, входящая в
КНФ А, содержит переменную один раз;
4) ни одна элементарная дизъюнкция, входящая в
КНФ А, не содержит переменную и ее отрицание.
СКНФ А можно получить двумя способами: а) с по-
мощью таблицы истинности (используя закон двойствен-
ности СКНФ А = СДНФ А, получаем с помощью табли-
цы истинности СДНФ А, и, взяв отрицание СДНФ А,
получаем СКНФ А ); б) с помощью равносильных преоб-
разований.
Правило получения СКНФ из формулы А с помо-
щью равносильных преобразований.
1. Для формулы А получаем любую КНФ.
2. Из КНФ А путем равносильных преобразований
получаем СКНФ А , последовательно добиваясь выпол-
нения четырех свойств СКНФ.
1) Если элементарная дизъюнкция В, входящая в
КНФ А, не содержит переменную х(, тогда заменяем В
на В v я (В v х,)&^В v xj).
2) Если в некоторую элементарную дизъюнкцию В
переменная xt входит дважды, то лишнюю переменную
нужно отбросить, так как xt v xt s xt.
АЛГЕБРАЛОГИКИ _________________. ... ._______ МФ
3) Если КНФ А содержит две одинаковых элемен-
тарных дизъюнкции, то одну можно отбросить, так как
в&в = в.
4) Если в элементарную дизъюнкцию входит пара
xt v xt, то ее можно отбросить, так как xf v xt s 1, а ис-
тинное высказывание из конъюнкции можно выбросить
(в силу равносильности С&1 = С).
Пример 1. Найти формулу, определяющую функ-
цию ф(х,у,г), по заданной таблице истинности:
X У Z <b(x,y,z}
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
Решение. Используя правило получения формулы
алгебры логики из таблицы истинности для функции
ф(х,у,г), получим:
Ф(х,у,г)в xyzvxyzvxyzvxy zvxyz.
Упростив эту формулу, получим:
yz(x V х) V х z(y vy)vxyzsyzvxzvxyzs
syzv x(z v yz) syzv x(z V y)(z vz)s yzv x(z vy)s
« (yz vx)&(yzv zvy)s(yv x)(z v x)(y vzv y)(z vzvy)a
V x) з X V yz S X —> yz .
Таким образом, искомой формулой, определяющей
функцию Ф(я,р, z), молено считать х -> yz, или xvyz,
или какую-нибудь другую из равносильных им формул.
Пример 2. Следующую формулу привести к СДНФ,
предварительно приведя ее равносильными преобразова-
ниями к ДНФ: А = а(&с -> а&).
180 Задачник-практикум по математической лоаике
Решение. A s a(bc -> а&) = a{bc v ab) s a(b v с v ab) s
э aft v ac v ab s ДНФА.
A = ДНФ A = ab(c v c) v ac(b vb) v ab(c v c) s
= abc v abc v abc v abc v abc v abc s
= abc v abc v abc v abc = СДНФ A.
Ответ: СДНФ A s abc v abc vabc vabc.
Пример 3. Для формулы из примера 2 найти СДНФ
путем составления таблицы истинности.
Решение. Составим таблицу истинности для форму-
лы А = a(bc -> ab).
a b c be ab be -> ab A
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0
Тогда СДНФ А = abc v abc v abc v abc •
Пример 4. Для формулы из примера 2 найти СКНФ
путем равносильных преобразований, предварительно
приведя ее к КНФ. _
Решение. Из примера 2: Asabvacvab. Далее
А = a[b vc v b) = a&l s as КНФ A.
A s КНФ A s a v(b&b) s (a vb)&(a vb) =
s ((a v b) v c&cj&^a v &) v c&cj s
s (a v b v c)& (a v b v c)&(a vb v c)&(a vb v c) = СКНФА.
Ответ: СКНФ A s (a vft vc)&(a vft vc)&(a vft vc)&
&(a vb vcl
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 191
Пример 5. Для формулы из примера 2 найти СКНФ,
записав предварительно СДНФ ее отрицания, а потом
воспользовавшись формулой двойственности.
Решение. СКНФ A s abc v abc va b cva b c.
СКНФ A s СДНФ A s abc v abc v abc v abc s
s(evb vc)&(e v& vc)&(a vbvc)&(a vftvc).
Все формулы алгебры логики делятся на три клас-
са: 1) тождественно истинные; 2) тождественно ложные;
3) выполнимые.
Формулу А называют выполнимой, если она прини-
мает значение 1 хотя бы на одном наборе значений вхо-
дящих в нее переменных и не является тождественно
истинной.
Теорема. Для того, чтобы формула алгебры логики
была тождественно истинна (ложна), необходимо и
достаточно, чтобы любая элементарная дизъюнкция
(конъюнкция), входящая в КНФ А (ДНФ А), содержала
переменную и ее отрицание.
Пример в. Будет ли формула (х -> у) -> ху v у тож-
дественно истинной, тождественно ложной или выпол-
нимой?
Решение. Приведем формулу к какой-либо нормаль-
ной форме:
(x->y)->xpvpsxvy->xpvp3xvyvxpvys
S ху V ху V у .
Полученная ДНФ не является тождественно ложной,
так как каждая элементарная конъюнкция не содержит
переменную и ее отрицание. Следовательно, исходная
формула тождественно истинна или выполнима. Преоб-
разуем данную формулу к КНФ.
(х -> у)-> ху Vу = ху Vху V у S (ху vy)vxy = yvxy =
= (у vx)&(yvy)sy VX.
Это произведение не является тождественно истин-
ным, так как элементарная сумма у v х не тождественно
192 Задачник-практикум по математической ловит
истинна. Таким образом, исходная формула не тождествен-
но ложна и не тождественно истинна, следователь-
но, она выполнима.
1.34. По таблицам истинности найдите формулы, оп-
ределяющие функции Fx(x, ff, г), F2 (х, у, г), F8(x, у, г),
F4(x, у, z), и придайте им более простой вид:
X У 2 F/x, у, г) Fa(x ,у, г) F8(x, у, 2) F4(x, у, 2)
1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0
1.36. Пусть F(4,l2’{s) ~ булева функция, которая
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда точно
одна из переменных принимает значение 1. Составьте
таблицу для функции F(ij,f2,f8) и выразите эту функ-
цию через основные логические операции.
1.36. Назовем функцией большинства | | Z, булеву
функцию от трех переменных, значение которой совпа-
дает с тем значением, которое принимает большинство
переменных.
а) Составьте таблицу, определяющую функцию боль-
шинства и выразите эту функцию через основные опера-
ции.
б) Упростите выражение 111^.
1.37. Булева функция F*^,^,...,/„) называется двой-
ственной по отношению к булевой функции F(fj,l2,...,1„),
если
...1„).
Для каждой булевой функции от двух переменных
найдите двойственную ей булеву функцию.
МГЕБРЛЛОГИт f«3
1.38. Булева функция F(Z1,Z2,...,Z„) называется:
а) сохраняющей 0, если F(0,0,...,0) = 0;
б) сохраняющей 1, если Р(1Д,...,1) = 1.
Среди булевых функций от одной и двух перемен-
ных найти все функции, сохраняющие 1, и все функ-
ция, сохраняющие 0.
1.39. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ,
каждую двумя способами (путем равносильных преобра-
зований и используя таблицы истинности):
1)х&(х->у);
2) {ху -> x)&(xy-*ffj;
3) (х-> г/)-> (г/-> х);
4) (х v zj -> у& z;
5) (х v у -> х л z) -> (х -> х) v у л z;
6) (ab -> be) -> ((а -> б) -> (с -> &));
7) (а -> с) -> (б -> а j;
8) (а -> b) -> (be -> ас);
9) *1 -> (х2 (•••-* (*»-1 -* *»)•••));
10) xt v x2v...vx„ -> yi л у2л...луп.
1.40. Найдите СДНФ для всякой тождественно ис-
тинной формулы, содержащей: 1) одно переменное,
2) два переменных, 3) три переменных.
1.41. Найдите СКНФ для всякой тождественно лож-
ной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два
переменных, 3) три переменных.
1.42. Докажите равносильность формул ху —> (у -» х)
и х -> у v xv у сравнением их совершенных нормальных
форм (конъюнктивных или дизъюнктивных).
194 Задачник-практикум по математичаскод логина
1.43. Найдите более простой вид формул, имеющих
следующие совершенные нормальные формы:
1) ху у ху v ху;
2) (х v у)(х v у)(х v у);
3) xyz v xyz v xyz;
4) (ж v ух/ z)(x v у v zfec x/yvz).
1.44. Используя критерий тождественной истиннос-
ти и тождественной ложности формулы, установить бу-
дет ли данная формула тождественно истинной, тожде-
ственно ложной или выполнимой:
1) ху <-> х v ху,
2) (х <-> у)& (ху v ху);
3) ху—у (х—у у);
4) х v у -> (х <-> у},
5) xv у -> г;
6) (* ~> г)(у -> z) -> (х -> у).
§ 4. Приложения алгебры логики
I. Приложение алгебры высказываний к релейно-
контактным схемам (РКС).
Релейно-контактные схемы (их часто называют пе-
реключательными схемами) широко используются в тех-
нике автоматического управления.
Под переключательной схемой понимают схемати-
ческое изображение некоторого устройства, состоящее
из следующих элементов:
1) переключателей, которыми могут быть механи-
ческие устройства, электромагнитные реле, полупровод-
ники и т.д.;
2) соединяющие их проводники;
3) входы в схему и выходы из нее (клеммы, на кото-
рые подается электрическое напряжение). Они называ-
ются полюсами.
Простейшая схема содержит один переключатель Р и
имеет один вход А и один выход В. Переключателю Р
поставим в соответствие высказывание р, гласящее: «Пе-
реключатель Р замкнут». Если р истинно, то импульс,
поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 195
без потери напряжения, т.е. схема пропускает ток. Если
р ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не
проводит. Таким образом, если принять во внимание не
смысл высказывания, а только его значение, то можно
считать, что любому высказыванию может быть постав*
лена в соответствие переключательная схема с двумя
полюсами (двухполюсная схема).
В
А
Формулам, включающим основные логические опе-
рации, также могут быть поставлены в соответствие пе-
реключательные схемы.
Так, конъюнкции двух высказываний p&,q ставит-
ся в соответствие схема:
а дизъюнкции схема:
Т.к. любая формула алгебры логики может быть запи-
сана в ДНФ или КНФ, то ясно, что каждой формуле алгеб-
ры логики можно поставить в соответствие некоторую РКС,
а каждой РКС можно поставить в соответствие некоторую
формулу алгебры логики. Поэтому возможности схемы
можно выявить, изучая соответствующую ей формулу, а
упрощение схемы можно свести к упрощению формулы.
Пример 1. Составить РКС для формулы
(х л у) -> (z v х).
Решение. Упростим данную формулу с помощью
равносильных преобразований:
X А у —> (2 V х) = X A V 2 V X = X V у V 2 V X = X V V 2 •
199 Задачник-практикум по математцчостй полит
Тогда РКС для данной формулы имеет вид* :
I----х----1
'------------Z-------------'
Пример 2. Упростить РКС:
Решение. Составим по данной РКС формулу (функ-
цию проводимости) и упростим ее:
(х& у) v г v (х v р)& г я х&у v г
(к последним двум слагаемым применили закон погло-
щения).
Тогда упрощенная схема выглядит так:
II. Решение логических задач с помощью алгебры
логики.
Условие логической задачи с помощью соответству-
ющих обозначений записывают в виде формулы алгебры
логики. После равносильных преобразований формулы
получают ответ на все вопросы задачи.
Пример 3. После обсуждения состава участников
предполагаемой экспедиции было решено, что должны
выполняться два условия:
а) если поедет Арбузов, то должны поехать еще Брюк-
вин или Вишневский;
б) если поедут Арбузов и Вишневский, то поедет и
Брюквин.
Требуется:
1) ввести краткие обозначения для сформулирован-
ных условий и составить логическую формулу, выража-
ющую принятое решение в символической форме;
* Для простоты часто переключатель —I г I— изображают в виде
—р—.
МГВБРАЛОГИКИ 197
2) для полученной формулы найти возможно более
простую равносильную формулу;
3) пользуясь найденной более простой формулой, дать
новую и более простую словесную формулировку приня-
того решения о составе участников экспедиции.
Решение. Назначение в экспедицию Арбузова, Брюк-
вина и Вишневского обозначим буквами А, Б, В соответ-
ственно. Тогда условие а) можно записать в виде
А -> Б v В, а условие б) в виде А& В-> Б. Так как оба
условия должны выполняться одновременно, то они дол-
жны быть соединены логической связкой «и». Поэтому
принятое решение можно записать в виде следующей
символической формулы:
(А -> Б vВ)&(А&В -> Б).
2. (А -> Б v В) & (А& В -4- Б) — (A v Б v в) & (A v В v б) >
s(AvE)v(b&b)sA-+ Б.
3. Символическую формулу читаем так: «Если по-
едет Арбузов, то поедет и Брюквин». Это и есть наиболее
простая словесная формулировка принятого решения о
составе экспедиции.
1.46. Составить РКС для формулы:
1) x(yz v х v у);
2) xyz v xyz v ху,
3) x(yz vyz)vx (yz v yz);
x v y)&(zy v x) v u;
4)
S)
6)
8)
1.46. Построить схемы, реализующие следующие
булевы операции:
1) импликацию x-»y;
2) эквивалентность x <-> у;
3) альтернативу (см. задачу 1.28);
4) штрих Шеффера (см. задачу 1.29);
5) штрих Лукасевича (см. задачу 1.30).
1.47. Построить РКС для F(x, у, z), если известно, что:
1) F(0,1,0) = F(l, 0,1) = F(1,1,1) = 1;
2) F(l,0,l) = F(l,l,0) = l;
198 Задачник-практикум по математической лоешЛ
3) Р(0,0,1) = Р(0,1,1) = F(1,O,1) = = 1;
4)Р(1,1,0) = Р(1,1,1) = 1;
5) P(0,0,1) = F(l, 0,1) = F(l, 0,0) = 1;
6) F(0,0,l) = F(0,l,0) = /(0,1,1) = F(l,0,l) = 1,
а остальные значения функции F равны нулю.
1.48. Упростить РКС:
4)
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 199
8)
1.49. По данной схеме найти функцию проводимости
и условия работы:
200 Задачник-практикум по математической яоаиаа-
1.50. Проверить равносильность схем:
1)
2)
3)
4)
АДГЕБРАЛОГИКИ_______________________,__________ 201
1. 51. Электрическая цепь, изображенная на рис. 1,
содержит только двухпозиционные выключатели (при
одном состоянии переключателя ток через него прохо-
дит, при другом не проходит). Можно ли эту цепь заме-
нить более простой цепью, изображенной иа рис. 2?
рис.1
рис. 2
1. 52. В школе, перешедшей на самообслуживание, че-
тырем старшеклассникам: Андрееву, Костину, Савельеву и
Давыдову поручили убрать 7-ой, 8-ой, 9-ый и 10-ый клас-
сы. При проверке оказалось, что 10-ый класс убран плохо.
Не ушедшие домой ученики сообщили о следующем:
1. Андреев: «Я убирал 9-ый класс, а Савельев - 7-ой».
2. Костин: «Я убирал 9-ый класс, а Андреев - 8-ой».
3. Савельев: «Я убирал 8-ой класс, а Костин - 10-
ый».
Давыдов уже ушел домой. В дальнейшем выясни-
лось; что каждый ученик в одном из двух высказываний
говорил правду, а во втором ложь. Какой класс убирал
каждый ученик?
1.53. Пять школьников из пяти различных городов
Брянской области прибыли для участия в областной
олимпиаде по математике. На вопрос: «Откуда Вы?» каж-
дый дал ответ:
Иванов: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев - из
Новозыбкова».
Сидоров: «Я приехал из Клинцов, а Петров - из Труб-
чевска».
Петров: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев - из
Дятькова».
Дмитриев: «Я приехал из Новозыбкова, а Ефимов -
из Жуковки».
Ефимов: «Я приехал из Жуковки, а Иванов живет в
Дятькове».
202 Задачник-праюпикум по математической яоатю
Откуда приехал каждый из школьников, если одно
его утверждение верно, а другое ложно?
1.54. Семья, состоящая из отца А, матери В и трех
дочерей С, D, Е купила телевизор. Условились, что в
первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:
1. Когда отец А смотрит передачу, то мать В делает
то же.
2. Дочери D и Е, обе или одна из них, смотрят пере-
дачу.
3. Из двух членов семьи - мать В и дочь С - смотрят
передачу одна и только одна.
4. Дочери С и D или обе смотрят, или обе не смот-
рят.
5. Если дочь Е смотрит передачу, то отец А и дочь D
делают то же.
Кто из членов семьи в этот вечер смотрит передачу?
1.55. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал ма-
тематическую логику?» получен верный ответ - «Если
изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если
изучал второй, то изучал и третий.». Кто изучал мате-
матическую логику?
1.56. Определите, кто из четырех студентов сдал эк-
замен, если известно:
1. Если первый сдал, то и второй сдал.
2. Если второй сдал, то третий сдал или первый не
сдал.
3. Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий
не сдал.
4. Если четвертый сдал, то и первый сдал.
1. 57. Известно следующее: если Петя не видел Колю
на улице, то либо Коля ходил в кино, либо Петя сказал
правду; если Коля не ходил в кино, то Петя не видел
Колю на улице, и Коля сказал правду; если Коля сказал
правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал.
Выясните, ходил ли Коля в кино.
1. 58. Четыре студентки, имена которых начина-
ются буквами А, Е, С, Р посещают институт по очере-
ди и ведут общий конспект лекций. Необходимо со-
ставить график посещения на ближайшую неделю,
учитывая, что:
АЛГЕБРА ЛОГИКИ 203
1. Понедельник - день самостоятельной работы на
курсе, и в институт не ходит никто, а в субботу необхо-
димо быть всем.
2. С и Р не смогут пойти на занятия во вторник в
связи с большой загруженностью в понедельник.
3. Если С выйдет в среду или Р - в четверг, то Е
согласится побывать на занятиях в пятницу.
4. Если А не пойдет в ВУЗ в четверг, то Е позволит
себе сходить туда в среду.
5. Если А или Р будут в институте в среду, то С
сможет пойти в пятницу.
6. Если Р в пятницу вместо института пойдет на
свадьбу подруги, то А придется сходить в институт во
вторник, а С - в четверг.
1.59. Четыре друга - Антонов (А), Вехов (В), Сомов
(С), Деев (Д) решили провести каникулы в четырех раз-
личных городах - Москве, Одессе, Киеве и Ташкенте.
Определите, в какой город должен поехать каждый из
них, если имеются следующие ограничения:
1. Если А не едет в Москву, то С не едет в Одессу.
2. Если В не едет ни в Москву, ни в Ташкент, то А
едет в Москву.
3. Если С не едет в Ташкент, то В едет в Киев.
4. Если Д не едет в Москву, то В не едет в Москву.
5. Если Д не едет в Одессу, то В не едет в Москву.
1.60. Однажды следователю пришлось одновременно
допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их
показания противоречили друг другу, и каждый из них
обвинял кого-нибудь во лжи.
1. Клод утверждал, что Жак лжет.
2. Жак обвинял во лжи Дика.
3. Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду,
ни Жаку.
Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не
задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил
правду?
ГЛАВА II
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Алфавит исчисления высказываний состоит из сим-
волов трех категорий:
1. х, у, г, ..., хр х2, х8, ... - переменные.
2. &, V, — логические связки.
3. ( ) - скобки.
Понятие формулы исчисления высказываний
1. Всякое переменное высказывание х есть формула.
2. Если А - формула, то А - формула.
3. Если А и В формулы, то А * В - формулы, где *
обозначает один из символов: &, v,
4. Никакая другая строчка символов не является
формулой.
Понятие подформулы
1. Если формула А есть переменная х, то ее подфор-
мулой является х.
2. Если А - формула, то ее подформулами являются
А, А и все подформулы формулы А.
3. Если А*В - формула, то ее подформулы А*В,
А, В и все подформулы формул А и В.
Пример 1. Выписать все подформулы формулы
А = х-»р&(х у у).
Решение. Формула А - подформула нулевой глуби-
ны; х-+ у » хуу - подформулы первой глубины; х —> у ,
х , У ~ подформулы второй глубины; х, у - подформулы
третьей глубины.
Аксиомы исчисления высказываний
Ii х->(у-»х);
I2 (x->(y->z))->((x->i/)->(x->z));
IIj х& у -> х;
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 205
П2 х&у-* у;
Па (z -» х) -» ((z -* у) -> (z -> х&у)},
HIj х -> х v у;
Ш2 y-*xvy,
Ш8 (х z) -> ({у z) -> (xv у -» г)}
V li (х -> у) (у -> х);
V I2 х -> х;
V I3 х —> х.
Аксиомы исчисления высказываний определяют ис-
ходный класс доказуемых формул. Доказуемая формула
А обозначается |- А.
Правила вывода
1. Правило подстановки. Пусть А - доказуемая фор-
мула исчисления высказываний, х - переменная, В -
любая формула исчисления высказываний; тогда фор-
мула, которая получается из формулы А путем подста-
новки в нее вместо х формулы В, доказуема.
Подстановка обозначается так:
X
Коротко правило подстановки записывается так:
1-Л
НЮ
X
2. Правило заключения. Если формулы В, В-* С -
доказуемые формулы исчисления высказываний, то фор-
мула С доказуема.
Коротко это правило записывается так:
|-В, 1-В-»С
Г-С
ЯОв Задачник-практикум по математической лота
В дальнейшем условимся для краткости правило
заключения записывать как ПЗ.
Определение. Доказуемой формулой называется вся-
кая формула, которая или является аксиомой, или по-
лучается из доказуемых формул с помощью правил под-
становки и заключения.
Будем обозначать любую доказуемую формулу сим-
волом R, а ее отрицание - символом F.
Пример 2. Доказать, что |-х —> х.
Решение. Возьмем аксиому 12 и сделаем в ней под-
X
становку J(l2). Получим
Я
|-(х -> (у -> х)) -> ((х -» у) -> (х -> х)). (1)
Возьмем аксиому J-x -> (у -> х). (2)
Из (1) и (2) по ПЗ:
Ч* -* у) (х -> х). (3)
В формуле (3) сделаем подстановку Дз):
I-(х -> х) -> (х -> х). (4)
Запишем аксиому IV2:
|-х->х. (5)
Из (4) и (5) по ПЗ
|-х -> х. (6)
Пример 3. Доказать, что |-х v у -» х&у •
Решение. Возьмем П8 и сделаем J(ll3)s А. В полу-
X
У
ченной формуле А сделаем подстановку s В. Далее
у
xvy
в полученной формуле В сделаем подстановку [(в).
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 207
В итоге
|-(xvy->x)-»^xvy-»y)-»(xvy-»x&pj). (1)
xvji
Запишем J (lVx): У
|—(x —> x v у)—> (x v у —> x). (2)
Запишем
|-x->xvy. (3)
Из (2) и (3) по ПЗ:
|-xvy-»x. (4)
Из (1) и (4) по ПЗ:
V у -> у) -> |х V у -> х&у). (5)
g Запишем | (iVj): X
|-(z -* у) -> (у -> z) (6)
ir.xvy
и J(6>
|-(х V у -> у) -> (х v у -> у). (7)
Запишем Ш2: |-у -> х v у . (8)
Из (7) и (8) по ПЗ:
|~xvy—>у. (9)
Из (9) и (5) по ПЗ: |_ж v у -» х&у.
Производные правила вывода
I. д—в----правило одновременной подстановки.
п.
\-АВ,\-ВС
[-А-+С
- правило силлогизма.
ял
Задачник-практикум по штимтичкюй noatm
III. ав- правило контрпозиции.
М ->Ж |- J ->в
IV. а) т-: ~, б) т—;-— - правило снятия двои-
|-А —> В А —> В
ного отрицания.
V.
ЬА,Ь А.....кА»»-А -» (а -»(А -»(-(А -» ..)))
Ьь
правило сложного заключения.
Понятие выводимости формулы из совокупности
формул
Пусть имеется конечная совокупность формул
Н = |АП Д,..., Д) . Говорят, что формула В выводима из
совокупности я(я|-в) , если
а) либо В еН ,
б) либо В - доказуемая формула исчисления выска-
зываний,
в) либо В получается по ПЗ из формул Си С -> В ,
которые выводимы из совокупности Н.
Также говорят, что конечная совокупность формул
Вр В2,...,Вкесть вывод из Н, если для каждой формулы В(
(i=l, 2, .... ft) этой совокупности
а) либо В( е Н,
б) либо Bt доказуема,
в) либо получается по ПЗ из формул С, С -» Bt, кото-
рые находятся в выводе, предшествуя В(.
Пример 4. Доказать, что из совокупности Н = [А, В)
можно вывести А&В. Записать полученный вывод.
Решение. 1. Я|-А, так как А е Н;
2. Н|-В, так как В е Н ;
3. Я|-(А -» А) -» ((А -» В) -» (А -» А&В)) , как дока-
зуемая формула (получается подстановкой
А,В,А
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 209
4. Я|-А —> А как доказуемая формула;
5. Я|-(А -> В) -> (А -> А&, В) - из 3. и 4. ио ПЗ;
7. Н\-А ->В - из 2. и 6. по ПЗ;
8. Я{-А -> А&В - по ПЗ из 5. и 7;
9. Н{-А&В - па ПЗ из 1. и 8.
Запишем вывод: А, В, (А -> А) -> ((а -> в) -> (А -> А&В)),
А->А» (А-»В)->(А-> А&В), В->(А-»В), А-> В,
А-»А&В, А&В.
Правила вывода
I Н\~А
‘ h,w\-a'
п n^Cj-AjHl-C
Я|-А
Ш Н>С^А' W^~C
H,W]-A
jy Я|-С -» А
Я,С[-А
V.
Я,с1а
Я|-С-»А
- теорема дедукции.
VI,
{С».Са....Сд}|-А
- обобщенная
теорема дедукции,
VH. — правило введения конъюнкции,
Я,А|-С; Я,В|-С
-^.-AvBPc ~
правило введения дизъюнкции.
210 Задачник-практикум по математической логине
IX.
|-А-»(В->С)
|-В->(А->С)
- правило перестановки посылок.
|-А -»(В -» С)
X. —д--------— ~ правило соединения посылок.
XI.
|-А&В-»С
|-а->(в->с)
- правило разъединения посылок.
Теорема (о выводимости). Пусть А - некоторая фор-
мула; хр х2, .... хп - набор переменных, содержащихся в
формуле A; а1га2,...,ап- произвольный набор значений
переменных. Тогда
а) если Яв1в,...вм(А) = 1, то Н = |xf‘,x^,...,x“*||-А,
б) если Яал „(А) = 0 , то Н = ^х“',х^,...,х^\-А.
Пример 5. Пусть А = х,&х2 -> х3 и наборы значений
переменных (1, 0, 1) и (1, 0, 0). Тогда {xpX^XgJI-A, а
{xpXjpXgjt-A.
Записать выводы в обоих случаях.
Решение, а) Покажем, что {x1,x2,x3j|-A.
Л|-х1,х2,х3, х3 -> (xj&x2 -> х3), х,&х2 —> х3 = А.
б) Покажем, что {хрХ2,х3}|-А.
Я’|-х1,х2,х3,х1&х2,(х1&х2 -» х3)-> (xj&x2 -» х3) , по
правилу перестановки посылок х1&ха ->((xj&х2 -> х3) -> х3),
по ПЗ (xj&x2 -> х3) -> х3, по правилу контрпозиции
х3 —> xt&x2 -» х3 , по ПЗ Xi&x2 —> х3 = А .
2.1. Какие из следующих выражений являются фор-
мулами исчисления высказываний:
1) (aaP2)->(avp2);
2) ((A vp2) v(pip2))->p3;
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 211
3)(a~*(ava)|~* р3;
4) (Pi -» Р2) -» ((а -* а) -* а);
5) (а л (-> Р2)) -* (а -> А>
6) (а -» Ра) -»((р2 -» р3) -» ((a v а) -» а))
7) ((ft -» а) л (Pi -» а)) -» (а -> (р2 л Рз));
8) ((Pi л а) -+ (a v vp2)) о (v a v р2).
2.2. Выписать все подформулы формул:
1) х ->(у -> х); 2) avb-*c;
3) a&cvb; 4) x-»p&z;
5) х v у г -> х ; 6) х -> у v х& у J
7) ((х -» У) л (у -» *)) -* (х v z);
8) (* -* у) -* ((х -* У) -» у).
2.3. Для формул Д = (А -> В) -> (В -> А), 1^ = A v В,
L3 = A->B v С записать результаты каждой из следую-
щих подстановок:
В,С A-tB
1) / (А); 2) J(x2> 3)
д
В->А&В,В
A&B.AvB
4) J(A>
А,В
2.4. Применяя
5) "КЫ «
А,В
правило подстановки,
АЛА,С,А
Л.В.С,
доказать, что
доказуема формула:
1) (А-»В)&В->В;
2) А&В-> А&В vC;
3) (А-»в)->((С->в)-»(а vC->B));
4) С v D -» С v D ;
5) (А&В->(С-> В&С))-> ((А&В-> С)-> (А&В ->В&С)).
212 Задачник-практикум по математической ямию
2.6. Применяя правило подстановки и правило зак-
лючения, установить доказуемость формул:
1) A v А -+ А; 2) А -+ А&А;
3)А&В->В&А; 4)AvB-»BvA;
5) (А -> В) -> (А -> А); 6) J -> А.
2.6. Применяя производные правила вывода, пока-
зать, что доказуемы формулы:
l)AvB—>А&В; 2)А->Я;
3) (А->В)->(А-> AvB); 4)F->A;
5) (А -> В) -> (А -> А); 6) А& А -> F ;
7) (А -> В)&В -» А ; 8) А&В -> AvB .
2.7. Доказать, что
1) Я = {А}|-В-> А;
2) Н= {А->В,В->С}|-А->С;
3) Н = {А->С}|-С -> А;
4) Н = {А->В,в)|-А;
5) Я = [а,Х->в}|-В;
6) Н = {А -> В}|-А&С -> В&С;
7) Н = {А -> В}|-(С -> А) -> (С -> В);
8) Н = {А -> В}|-(В -> С) -> (А -> С);
9) Н = {А -> (В -» С))|-В -> (А -> С);
10) Н = {A->B}|-AvC-»BvC.
2.8. Показать доказуемость формулы, используя обоб-
щенную теорему дедукции:
1) («->!/)-> ((У ->*)->(*-> *));
2) (.А —> —> {.A v С —> В v С) ।
3) (А -> В) -> ((С А) (С В)) .
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИЗ
2.9. Показать, что справедливы законы логики (дока-
зуемы формулы):
1) х -> (х -> у); 2) х v х ; 3) х&у -> х v у .
2.10. Используя правила перестановки посылок, со-
единения посылок и разъединения посылок, доказать,
что
1) ^х -> (у -> х&у);
2) |-(А->В)&В -> А;
3) |-А -> (А -> В).
2.11. Доказать производные правила вывода:
1) , ; 2) ^~А ; 3) г—Ь*—;
|-А&В |-AvB |-А —> В
4) ; 6) 1Л&Д ;
А->В )-А |-А&В
7) 8) 9) j~A,bB ;
|-А ^А&В )-AvB
13) —В,|-А —> В 14) |~ А —> В, |- А —> В
Рв |-А
2.12. Дана формула А = xt v х2 -> х3 и наборы значе-
ний переменных 1) (0, 0, 1), 2) (1, 0, 0). Записать вывод
формулы А или ее отрицания из соответствующей сово-
купности формул.
2.13. Дана формула А = xt v х2 -> х3 и наборы значе-
ний переменных 1) (1, 1, 1); 2) (1, 0, 1); 3) (0, 1, 0).
Записать вывод формулы А или ее отрицания из соответ-
ствующей совокупности формул.
2.14. Дана формула А = (х v у) -> х&г и наборы зна-
чений переменных 1) (1, 0, 0); 2) (0, 1, 1). Записать вы-
вод формулы А или ее отрицания из соответствующей
совокупности формул.
ГЛАВА III
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Понятие предиката. Логические
и кванторные операции над предикатами
Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) на-
зывается всякая функция одного переменного, в кото-
рой аргумент х пробегает значения из некоторого мно-
жества М, а функция при этом принимает одно из двух
значений: истина или ложь.
Множество М, на котором задан предикат, называ-
ется областью определения предиката.
Множество 1Р с М , на котором предикат принима-
ет только истинные значения, называется областью ис-
тинности предиката Р(х)-
Предикат Р(х) называется тождественно истин-
ным (тождественно ложным) на множестве М, если
1Р = М(1Р=0).
Определение 2. п-местным предикатом называется
всякая функция п переменных Q(x1,x2,...,x„), опреде-
ленная на множестве М = Мг х Мах...хМп и принимаю-
щая на этом множестве одно из двух значений: истина
или ложь.
Как и для одноместных предикатов, для п-местных
предикатов можно определить область истинности, по-
нятие тождественно истинного и тождественно ложного
предиката.
Говорят, что предикат Р(х) является следствием
предиката Q(x) (<Э(х) =з>Р(х)), если IQ clp; и предика-
ты Р(х) и Q(x) равносильны (о(х) <=> Р(х)) , если IQ = 1Р.
Пример 1. Среди следующих предложений выделить
предикаты и для каждого из них указать область истин-
ности, если М - R для одноместных предикатов и
М = В х R для двухместных предикатов:
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 215
1) x+S=l;
2) при х = 2 выполняется равенство х2 -1 = 0;
3) х2-2х + 1 = 0;
4) существует такое число х, что х2 - 2х +1 = 0;
5) х + 2 < Зх - 4;
6) однозначное число х кратно 3;
7) (х + 2)-(Зх-4);
8) х2 +у2 >0.
Решение.
1) Предложение является одноместным предикатом
ОД.
2) предложение не является предикатом. Это ложное
высказывание;
3) предложение является одноместным предикатом
ад.
4) предложение не является предикатом. Это истин-
ное высказывание;
5) предложение является одноместным предикатом
Р(х), 1Р = (3;+со);
6) предложение является одноместным предикатом
Р(х), 1Р = {0;3;6;9};
7) предложение не является предикатом;
8) предложение является двухместным предикатом
Q&v), /9 = RxR\{(0,0)}.
Пример 2. Выяснить, какие из следующих предика-
тов являются тождественно истинными:
1)х2+р2^0; 2)х’+р2>0;
3) sin2 х + cos2 х = 1; 4) (х +1)’ > х -1;
5) х2 +1 £ (х +1)2.
Решение. Очевидно, предикаты 1), 3), 4) являются
тождественно истинными. В предикате 2) при х=0, у~0
неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство
нарушается при всех положительных значениях х. Сле-
довательно, предикаты 2) и S) не тождественно истинны.
21S Задачник-практикум по математической лааико.
Так как предикаты могут принимать два значения 1
и 0, то к ним применимы все операции алгебры выска-
зываний.
Например, конъюнкцией двух предикатов Р(х) и
Q(x) называется новый предикат P(x)&Q(x), который
принимает значение 1 при тех и только тех значениях
х е М , при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(x)
принимает, значение 1 и принимает значение 0 во всех
остальных случаях. Очевидно, что IPAQ = IP(]IQ.
Аналогично определяются операции дизъюнкция,
импликация, эквивалентность двух предикатов и отри-
цание предиката. Легко видеть, что IP^Q = ZBUZQ ,
Ip = CIp , Ip-J,Q — CIp U Iq .
Ясно, что при выполнении логических операций над
предикатами к ним применимы и равносильности алгеб-
ры логики.
Пример 3. Пусть даны предикаты: Р(х): «х - чет-
ное число» и Q(x): «х кратно 3», определенные на
множестве N. Найти области истинности предикатов:
1) P(x)&Q(x); 2) P(x)vQ(x); 3) Р(х); 4) Р(х)-> Q(x).
Решение. Так как
1Р = {2, 4, 6,..., 2и,...}, 19 = {3,6, 9,.... Зп,...} , то
1) hut = Л ZQ = {6,12,.... 6п,
2) IPv<) = IPUIq = {2,3, 4,6,.... 2и, Зп,
3) IP = CIP = N \ IP = {1, 3, 5,.... 2п -1,
4) Ip^o = CIPUIq = {1,3,5,...»2п-1,...}U{3,6,9,..., Зп,
Сказанное позволяет находить области истинности
более сложных предикатов, полученных в результате при-
менения к исходным предикатам логических операций.
Пример 4. Пусть даны предикаты А(х,у) и В(х,у),‘“
определенные на множестве М = х М2 с R х R. Най-
ти множество истинности предиката А(х, у) <-> В(х, у) и
изобразить ее с помощью кругов Эйлера-Венна.
Решение. Так как А(х, у) <-> В(х, у) = (А(х, у) -> В(х, у))&
&(в(х,у)-> А(х,у)), то 1А„В =(1^в)П(1в^)»((СТли1з)П
fl(CZB UZj) = (lA PlZB)U(CZA C|CZB). IA <-> ZB изображена
заштрихованной частью рисунка.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 2f7
Можно рассматривать и обратную задачу: Зная об-
ласть истинности предиката, полученного в результате
применения логических операций к некоторым преди-
катам, записать этот предикат.
Пример 5. Записать предикат, полученный в резуль-
тате логических операций над предикатами Р(х), Q(x)
и R(x), область истинности которого I заштрихована на
рисунке.
Решение. Так как здесь I = 1Р , то искомый
предикат имеет вид P(x)&Q(x)&P(x).
Пусть имеется предикат Р(х), определенный на мно-
жестве М. Если а е М, то подстановка а вместо х в
предикат Р(х) превращает этот предикат в высказыва-
ние Р(а). Такое высказывание называется единичным.
Наряду с образованием из предикатов единичных выс-
казываний в логике предикатов рассматривается еще
две операции, которые превращают одноместный пре-
дикат в высказывание.
218 Задачник-практикум по иатмяттсюй попит
Определение 3. Пусть Р(х)_ предикат, определен-
ный на множестве М. Под выражением Vx Р(х) понима-
ют высказывание, истинное, когда Р(х) тождественно
истинный на множестве М предикат и ложное в против-
ном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Со-
ответствующее ему словесное выражение будет «Для вся-
кого х Р(х) истинно». Символ V называют квантором
всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называ-
ют свободной (ей можно придавать различные значения
из М), в высказывании VxP(x) переменную х называют
связанной квантором V.
Определение 4. Пусть Р(х) - предикат, определенный
на множестве М. Под выражением Эх р(х) пошшажя выс-
казывание, которое является истинным, если существует
хотя бы один элемент х е М, для которого Р(х) истинно,
и ложным в противном случае. Это высказывание уже не
зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение
будет: «Существует х, при котором Р(х) истинно». Сим-
вол 3 называют квантором существования. В высказы-
вании Зх Р(х) переменная х связана квантором 3.
Пример в. Даны предикаты Р(х): х’ +х+1>0 и
<?(х): х2 - 4х + 3 = 0, определенные на множестве R. Тре-
буется установить, какие из следующих высказываний
истинны и какие ложны:
1) Vx Р(х); 2) Эх Р(х); 3) Vx Q(x); 4) Эх Q(x).
Г з
Решение. Так как х2 + х + 1 = [х + — I + — > О при
\ а/ 4
всех х, то будут истинны высказывания Vx Р(х) и
Эх Р(х). Так как уравнение х* - 4х + 3 = 0 имеет только
два действительных корня xt - 3 и х2 = 1, то предикат
Q(x) принимает значение 1 только при х = 3 и х = 1 и О
в остальных случаях. Но тогда высказывание Vx Q(x)
ложно, а высказывание Эх Q(x) истинно.
Нетрудно видеть, что когда предикат Р(х) опреде-
лен на конечном множестве М = [а1,а2,...,ап|, то
Vx Р(х) = P(at)&P(a2)&...&P(a„),a
ДОТИКА ПРЕДИКАТОВ 219
Эх Р(х) = Р^) v P(a2)v...vP(an),
то есть кванторные операции обобщают операции конъ-
юнкции и дизъюнкции на случай бесконечных облас-
тей.
Кванторные операции применяются и к многомест-
ным предикатам. Так, применение к двухместному пре-
дикату Q(x,y) квантора всеобщности по переменной х
дает одноместный предикат VxQ(x,y), зависящий от у.
К этому предикату можно применить кванторную опе-
рацию по переменной у. В результате получим или выс-
казывание Vy Vx Q(x,y] или высказывание Зу Vx Q(x,y).
Таким образом, может быть получено одно из восьми
высказываний: VyVx Q(x, у), Зу Vx Q(x, у), Vy3x Q(x, у),
ЭуЭх<?(х,у), VxVyQ(x.y), Vx3yQ(x,y), 3xVyQ(x,y),
ЭхЭу Q(x,y).
Легко показать, что перестановка любых кванторов
местами, вообще говоря, изменяет логическое значение
высказывания.
Пример 7. Пусть предикат <?(х, у): « х:у » определен
на множестве N х N . Показать, что высказывания
Vy3x <?(х,у) и 3xVy Q(x,y) имеют различные логичес-
кие значения.
Решение. Так как высказывание VySx Q(x, у) озна-
чает, что для всякого натурального числа у существует
натуральное число х такое, что у является делителем х,
то это высказывание истинно.
Высказывание 3xVy Q(x,y) означает, что есть на-
туральное число х, которое делится на любое натураль-
ное число у. Это высказывание, очевидно, ложно.
3.1. Среди следующих предложений выделите пре-
дикаты, для каждого из предикатов укажите одну из
возможных областей определения и в соответствии с ней
область истинности:
1) Луна есть спутник Венеры;
2) Планеты х и у принадлежат Солнечной системе;
3) S + V7O-V1O >150;
4) х* + Зх + 2 = 0;
б) х4-Зх + 8;
Шд Задачник-практикум по математической noantoe
6) Любое простое число р не имеет делителей, отлич-
ных от себя и 1;
7) Натуральное число п не меньше 1;
8) Треугольник АВС равен треугольнику
9) х2 + 2х +1 > 0 ;
10) l + tg2x =—;
cos х
11) Inx < sinx .
3.2. Даны предикаты P(x): «х2-4 = 0»и Q(x):
« Зх - 2 < 17 ». Найдите области истинности этих преди-
катов, если их область определения есть: 1) R; 2) N.
3.3. На множестве М = {3,4,5,6,7,8} заданы два преди-
ката Р(х): «х - простое число», Q(x): «х - нечетное чис-
ло». Составьте их таблицы истинности. Равносильны ли
предикаты Р(х) и О(х) на множестве L = {2,3,4,5,6,7,8} ,
К = {3,4,5,6,7,8,9} ?
3.4. Будут ли следующие предикаты равносильны
или один из них является следствием другого? (Пред-
метные переменные в предикатах принадлежат R).
1) jx-jy = 15 и Jxy =15;
2) lgab = l и Iga + lgb = 1;
3) sin2 х + cos2 x = 1 и tg2x +1 = —; cos X
4) 2lotl* = у и У = х;
5) x2 < 0 и 2^ = cos х;
6) X + у = z и (х + у\х - z) = -zy;
7) xs+i/3=0 и х2 - у2 = 0 •
3.5. Найти области истинности предикатов:
2) Vx2-1 = -3 ;
х2 — бх + 6
4) 2 » п<0-
х2-2х-3
х2 + Зх + 2
х2 + 4х + 3 ’
~ 1х2-13х + 04 £ 0.
7 |2х2 + х-30<0 ’
3.6. Изобразите на декартовой плоскости области
истинности предикатов:
1) х + у = 1; 2) х + Зу = 3; 3) х - у2 £ О;
4) sin х = sin у; 5) (х - 2)2 + [у + З)2 = 0 6) 1g х = 1gу.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ __________;___________________ 221
3.7. На множестве М = (1,2,3,...,20} заданы преди-
каты:
А(х) : «х не делится на 5»;
В(х): «х - четное число»;
С(х): «х - число простое»;
D(x): «х кратно 3».
Найдите множества истинности следующих преди-
катов:
1) А(х)&в(х); 3) С(х)&В(х); 5) В(х)&В(х); 7) В(х)&Р(х); 9) A(x)vB(x); 11) C(x)vD(x); 13) B(x)vB(x); 2) С(х)&В(х); 4) В(х)&В(х); 6) А(х)&Л(х); 8) А(х)& В(х)& В(х); 10) B(x)vC(x); 12) B(x)vB(x); 14) B(x)vB(x);
15) A(x)vB(x) v Л(х); 16) С(х)->А(х);
17) D(x)-+C(xy, 18) A(x)->B(x);
19) (а(х)&С(х))->В(х); 20) (а(х)&Л(х))->С(х).
3.8. Изобразите на диаграммах Эйлера-Венна облас-
ти истинности для следующих предикатов:
1) P(x)&Q(x);
2)Р(х)о«(х);
3) (Р(х) Q(x)) v B(x)&Q(x);
4) Р(х)-> (q(x) v Q(x));
5) P(x)&Q(x) -> B(x).
3.9. Изобразите на координатной плоскости области
истинности предикатов:
1) (х > 2)&(х < у);
2) (х < у) v (|х| < 1);
3) (х>3)->(у <5);
4) (х > 2)& (у £ 1) & ((х < -1) v (у < -2)1;
5) ((х > 2) v (у > 1))&((х < -1) v (у < -2)).
222 Задачник-практикум по математической яоаим
3.10. Записать предикаты, полученные в результате
логических операций над предикатами Р(х), (?(х) и В(х) ,
области истинности которых (7) заштрихованы на следу-
ющих рисунках:
3.11. Установить, какие из следующих высказыва-
ний истинны, а какие ложны, при условии, что область
определения предикатов М совпадает с R:
1) Эх (х + б = х + 3);
2) Эх I х2 + х + — = ОI;
< 2 )
3) Vx (х2 + х +1 > oj;
4) Vx (х2 - бх + 6 > о);
5) Эх
6) Эх
7) Vx ((х2
8) Эх (х е
9) Vx ((х 6 |3, б}) -» (х2 - 6х + 8 < О)).
3.12. Приведите примеры таких значений а, для
которых .данное высказывание: а) истинно; б) ложно.
(М = R).
(х2 3 4 5 6 7 8 9 -5х + 6 > о)&(х2-
(х2 - бх + 6 S oj&^x2 •
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 223
1) Эх < 0 (х2 + ах + а = о);
2) Vx 6 [0,1] (х2 + х + а < о);
3) Vx > 7 (х2 + ах +1 > о);
4) Эх 6 [а, а +1] (х2 - х - 2 < о).
§ 2. Понятие формулы логики предикатов.
Равносильные формулы логики предикатов
В логике предикатов используется следующая сим-
волика:
1. Символы р, q, г, ... - переменные высказывания,
принимающие два значения: 1 - истина, 0 - ложь.
2. Предметные переменные - х, у, г, ..., которые про-
бегают значения из некоторого множества М: х°, у°,
г° , ... - предметные константы, то есть значения пред-
метных переменных;
3. Р(-), F(-) - одноместные предикатные перемен-
ные; 0(- n-местные предикатные пе-
ременные. Р°(-), Q°(•.». .»•) ~ символы постоянных
предикатов.
4. Символы логических операций: &, v, -> , -.
б. Символы кванторных операций: Vx, Эх.
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Определение 1. (формулы логики предикатов).
1. Каждое высказывание как переменное, так и по-
стоянное, является формулой.
2. Если Г(•»•,...,•) - n-местная предикатная перемен-
ная или постоянный предикат, a хп хг, хп - предмет-
ные переменные или предметные постоянные, не обяза-
тельно все различные, то Г(х1,х2,...,хп) есть формула. В
этой формуле предметные переменные являются свобод-
ными. Формулы вида 1 и 2 называются элементарными.
3. Если А и В - формулы, причем такие, что одна и та
же предметная переменная не является в одной из них свя-
занной, а в другой свободной, то A v В, А&В, А -> В есть
формулы. В этих формулах те переменные, которые в ис-
ходных формулах были свободными, являются свободны-
ми, а те, которые были связанными, являются связанными.
4. Если А - формула, то А - формула, и характер
предметных переменных при переходе от формулы А к
формуле А не меняется.
224 Задачник-практикум по математической лоащ*
5. Если А(х) - формула, в которую предметная пере-
менная х входит свободно, то слова Vx А(х) и Эх А(х)
являются формулами, причем предметная переменная в
них входит связанно.
6. Никакая другая строка символов формулой не
является.
Пример 1. Какие из следующих выражений явля-
ются формулами логики предикатов? В каждой форму-
ле выделите свободные и связанные переменные.
1) Эх Vz(p(x,y) -> P(y,zty;
2) (р -> q)&(r v р);
3) Р(х)& Vx Q(x);
4) Vx (р(х) -> 0(х)) о (ЗхР(х) -> Vx Я(х,у));
5) (Р(х) о Q(x)) v Зу (vy Я(у));
6) Эх Vz(p(x,y) -> P(y,z)J.
Решение. Выражения 1), 2), 4), 6) являются форму-
лами, так как записаны в соответствии с определением
формулы логики предикатов. Выражения 3) и б) не яв-
ляются формулами. В выражении 3) операция конъюн-
кция применена к формулам Р(х) и Vx Q(x); в первой из
них переменная х свободна, а во второй связана кванто-
ром общности, что противоречит определению форму-
лы. В выражении б) квантор существования по перемен-
ной у навешен на формулу Xfy я(у), в которой перемен-
ная у связана квантором общности, что также противо-
речит определению формулы.
В формуле 1) переменная у свободна, а переменные х
и z связаны. В формуле 2) нет предметных переменных.
В формуле 4) переменная х связана, а переменная у сво-
бодна.
О логическом значении формулы логики предикатов
можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на
котором определены входящие в эту формулу предикаты.
Логическое значение формулы логики предикатов зависит
от значения трех видов переменных, входящих в формулу:
а) переменных высказываний;
б) свободных предметных переменных из множества М;
в) предикатных переменных.
При конкретных значениях этих переменных фор-
мула принимает конкретное логическое значение.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 225
Пример 2. Дана формула Vx(p(x)&Q(x)-».й(х)), где
предикаты Р(х), Q(x) и В(х) определены на множестве N.
Найти ее значение, если
1) ф): «число х делится на 3», Q(x): «число х де-
лится на 4», : «число х делится на 2»;
2) P(x)t «число х делится на 3», Q(x): «число х де-
лится на 4», Я(х): «число х делится на 5».
Решение. В обоих случаях конъюнкция P(x)&Q(x)
есть утверждение, что число х делится на 12. Но тогда
при всех х, если число х делится на 12, то оно делится и
на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.
Так как из делимости числа х на 12 не при всех х сле-
дует делимость числа х на 5, то в случае 2) формула ложна.
Пример 3. Вычислить значение формулы
Vx Зу Р(х, у) -> Зх Vy Р(х, у), если предикат Р(х, у)
имеет значение Р°(х,у) - «число х меньше числа у» и
определен на множестве М = N х N.
Решение. Так как при указанном значении предика-
та Р(х, у) высказывание Vx Зу Р(х, у) означает утвержде-
ние, что для любого натурального числа х найдется нату-
ральное число у, большее числа х, то это высказывание
истинно. В то же время высказывание 3xVyP(x,y) оз-
начает утверждение, что существует натуральное число
х, которое меньше любого натурального числа у, которое
ложно. При этом исходная формула, очевидно, ложна.
Определение 2. Две формулы логики предикатов А
и В называются равносильными на области М, если они
принимают одинаковые значения при всех значениях
входящих в них переменных, отнесенных к области М.
Две формулы логики предикатов А и В называются
равносильными, если они равносильны на всякой области.
Здесь, как и в алгебре высказываний, для равносиль-
ных формул принято обозначение А в В .
Ясно, что все равносильности алгебры высказыва-
ний будут верны, если в них вместо переменных выска-
зываний подставить формулы логики предикатов. Но,
кроме того, имеют место равносильности самой логики
предикатов. Сюда, в первую очередь, следует отнести
равносильности:
VxA(x) = ЭхА(х),
ЗхА(х) в VxA(x) .
226 Задачник-практикум по математической логике
Они широко используются в логике предикатов при
равносильных преобразованиях, если приходится иметь дело
с выражениями, содержащими операцию отрицания.
Пример 4. Найти отрицание следующих формул:
1) Vx(p(x)&Q(x));
2) 3x(p(x)vQ(x));
3) Vx By (в(х, у) -> Z(x, z/)).
Решение.
1) Vx(p(x)& 0(х)) = Эх^Р(х)& Q(x)j * s 3x(p(x) v Q(x)j;
2) 3x(p(x)vQ(x)) a Vx(p(x)vQ(x)) = Vx{p(^)&Q(x));
3) Vx3y(fl(x,y) -> L(x,yfy s ЗхЗг/(я(х,г/) -> L(x,yty =
S 3xVz/(.R(x, y) -> L(x, у)) г ВхУу^Щх, у) v L(x, у
» 3xV^7?(x,y)&Z1{x,y
Доказательство равносильностей логики предикатов
требует или детального рассмотрения значений формул
или использования известных равносильностей.
Пример 5. Доказать равносильность
Зх (а(х) v В(х)) s Зх А(х) v Эх В(х).
Решение. Для доказательства равносильности дос-
таточно рассмотреть два случая:
1. Пусть предикаты А(х) и В(х) тождественно лож-
ны. Тогда будет тождественно ложным и предикат
А(*) v В(х). При этом будут ложными высказывания
3x(a(x)v В(х)) и Эх А(х) v Эх В(х) .
2. Пусть теперь хотя бы один из предикатов (напри-
мер, А(х)) не тождественно ложный. Тогда будет не тож-
дественно ложным и предикат A(x)v В(х). При этом бу-
дут истинными высказывания ЗхА|х) и 3x(a(x)v В(х)),
а, значит, будут истинными и исходные формулы.
Следовательно, Эх (а(х) v B(x)j = Эх А(х) v Эх В(х) .
Пример 6. Доказать равносильность
с& \/х А(х) г Vx (с& А(х)) .
Решение. Рассмотрим два случая:
ЛОЛКА ПРЕДИКАТОВ 227
1. Пусть высказывание с ложно. Тогда для любого
предиката будет тождественно ложным высказы-
вание с& \fx А(х) и предикат с& А(х), и, следовательно,
высказывание Vx(c&A(x]|. Значит, в этом случае обе
исходные формулы тождественно ложны.
2. Пусть теперь высказывание с истинно. Тогда, оче-
видно, значения исходных формул будут целиком зави-
сеть от значений предиката А(х). Если А(х) - тожде-
ственно истинный предикат, то будет тождественно ис-
тинным и предикат с& А(х), и, следовательно, будут тож-
дественно истинными высказывания Vx А(х), с& \/х А(х),
Vx (с& А(х)) , то есть тождественно истинны исходные
формулы. Если же предикат А(х) не тождественно ис-
тинный, тогда будет не тождественно истинным преди-
кат с& А(х), а высказывания Vx А(х), с& \/х А(х) ,
Vx(c&A(x)j будут ложными, то есть ложные значения
принимают обе исходные формулы, что в итоге доказы-
вает их равносильность.
3.13. Укажите, какие из следующих выражений
являются формулами логики предикатов. В каждой
формуле выделите свободные и связанные переменные:
1) ЗхЗуР(х,у);
2) Зх,уР(х,у);
3) Vx Р(х) v Vy Q(x, у);
4) Vx3yP(x,y);
5) р -> VxP(x,y);
6) Зх Р(х, у)& Q(y, z).
3.14. Даны утверждения А(п): «число п делится на
3», В(п): «число п делится на 2», С(п): «число п делит-
ся на 4», В(п): «число п делится на 6», В(п): «число п
делится на 12». Укажите, какие из следующих утверж-
дений истинны, какие ложны:
1) Vn (а(п)& В(п) ->
2) Vn(B(re)&2>(n)-> Е(п));
3) 3n(c(n)&Z>(n)-> E(n)j;
4) Vn(p(n)-> C(n)&Z>(n));
б) Vn (Ё(п)-> В(п)&1>(п));
228 Задачник-практикум по математической ловит
6) Зп (в(ге)&С(п) -> D(n)j;
7) Vn -> E(re)j.
3.15. Пусть предикат Р(х,у) определен на множе-
стве М = N х N и означает ♦ х < у ».
1) Какие из следующих предикатов тождественно
истинные и какие тождественно ложные:
а) ЗхР(х.у); б) VxP(x,y); в) ЗуР(х,у); г) VyP(x,y)?
2) Для тех предикатов из 1), которые не являются
ни тождественно истинными, ни тождественно ложны-
ми, указать область истинности и область ложности.
3) Какие из следующих предложений истинны и
какие ложны:
a) 3xVyP(x,y); б) Vx3yP(x, у);
в) Vz/Зх Р(х,у); г) Vx VyP(x, у);
д) VyVxPfx.y); е) Зу VxP(x, у);
ж) Зх Зу Р(х,у); з) ЗуЗхР(х,у)?
3.16. Показать, что кванторы общности и существо-
вания не перестановочны, то есть высказывания
Vx3yF(x,y) и Зу VxF(x,y) могут, вообще говоря, иметь
различные значения.
3.17. Среди следующих пар предикатов выберите те,
в которых предикаты являются отрицаниями друг друга:
1) «а < 6 » и « 6 < а »;
2) «Треугольник АВС прямоугольный» и «Треуголь-
ник АВС тупоугольный»;
3) «Целое число k четно» и «Целое число k нечетно»;
4) «Функция f нечетна» и «Функция f четна»;
5) «Натуральное число п - простое» и «Натуральное
число п - составное.»
3.18. Доказать следующие равносильности:
1) Vx А(х) = Эх -А(х);
2) Зх А(х) s Vx А(х\;
3) с& Xfx А(х) э Vx (с& А(х));
4) с v Vx -А(х) н Vx(c v -^(х));
5) ЭхГа(х) v В(х)) s Зх A(x)v Эх В(х);
6) Зх (с v -А(х)) s с v Эх А(х);
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 229
7) Зх(с& А(х)) = с&ЭхА(х);
8) Зх А(х) & Зу В(у) = Зх Зу (а(х) & В(у));
9) Vx(a(x) -» с) з Зх А(х) -» с;
10) Эх (с -> А(хН = с -> Зх А(х);
11) Зх(А(х) -» cj s VxA(x) -> с.
3.19. Найти отрицания следующих формул:
1) Зх (а(х)& В(х)& С(х)) ;
2) Vx(a(x)-> VyB(y));
3) Vx(a(x) v ЭуВ(у));
4) Vx (а(х) -> B(x)j & Зх (s(x)& В(х)| ;
5) 3х(я(х)о0(х));
6) Vx Зу Vz (р(х, у, г) -> 0(х, у, z)).
3.20. Пусть А(х) и В(х) - любые предикаты. Какие из
следующих формул равносильны формуле Л(х) -> в(х) (*)?
1) А(х) v В(х); 2) А(х) v В(х) ; 3) А(х) -» В(х);
4) в(х)->А(х); 5) А.(х)&В(х); 6) А(х)&В(х);
7) В(х)->а(х).
3.21. Доказать, что для любой формулы логики пре-
дикатов можно построить ей равносильную формулу, не
содержащую:
1) кванторов существования;
2) кванторов общности.
3.22. Доказать, что формулы Эх(р(х)&Ф)) и
3xP(x)&3xQ(x) не равносильны.
3.23. Доказать, что формулы Vx (p(x)v«(x)) и
Vx Р(х) v Vx Q(x) не равносильны.
3.24. Доказать, что
1) Эх Vy (p(x)&G(y)) з Vy Зх (p(x)&G(y)) ;
2) то же с заменой & на v ;
3) можно ли в 1) и 2) заменить F(x) и <?(у) двухмест-
ными предикатами, зависящими от х и у?
3.25. Пусть А(х) и В(х) два одноместных предика-
та, определенных на множестве М таких, что высказы-
вание Зх^А(х) -» (-А(х) v ^В(х) -» истинно. Дока-
зать, что высказывание VxA(x) ложно.
230 Задачник-практикум по математическойлогике
3.26. Даны два предиката Q(x,yj и R(y,z), опреде-
ленные на множестве М х М , где М = {а,Ь, с}. Для сле-
дующих предложений записать их выражения без ис-
пользования кванторных операций:
1) 3xQ(x,y)& Vzj?(y,z);
2) Vx Зу (в(х, у) v R(y, z)) ;
3) Vx Зу Q(x, y)->3y\/x R(x, y);
4) Vx Vy Q(x, у) о Vy Vx R(x, y).
3.27. Каким условиям будут удовлетворять области
истинности предикатов А(х) и В(х), определенных на
множестве М, если истинны высказывания:
1) Vx(a(x) -> В(х))&Зх(а(х)&B(x)j;
2) Зх (а(х) & В(х)) & (vx (а(х) -> В(х)));
3) 3x(a(x)&B(x))->(vx(a(x)->B(x)))?
§ 3. Общезначимость и выполнимость формул.
Предваренная нормальная форма (п.н.ф.)
Определение 1. Формула логики предикатов назы-
вается выполнимой в области М, если существуют зна-
чения переменных, входящих в эту формулу и отнесен-
ных к области М, при которых формула принимает ис-
тинные значения.
Определение 2. Формула А называется выполнимой,
если существует область, на которой эта формула вы-
полнима.
Определение 3. Формула логики предикатов называ-
ется тождественно истинной в области М, если она при-
нимает истинные значения для всех значений переменных,
входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
Определение 4. Формула А называется общезначи-
мой, если она тождественно истинная во всякой области.
Определение 5. Формула А называется тождествен-
но ложной в области М, если она принимает ложные
значения для всех значений переменных, входящих в эту
формулу и отнесенных к этой области.
Из приведенных определений следует:
1. Если формула общезначима, то она и выполнима
на всякой области.
2. Если формула тождественно истинна в области,
то она выполнима в этой области.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ____________________ 231
3. Если формула невыполнима, то она тождественно
ложна в любой области.
Пример 1. Доказать, что формула А ж Зх Х/уР(х,у)
выполнима.
Решение. Для доказательства выполнимости форму-
лы А достаточно найти область определения двухместно-
го предиката Р(х,у) и такое его значение, что в этой
области формула принимает истинные значения. Такой
областью определения предиката, в частности, будет мно-
жество М = N х N. Действительно, если Р(х,у] — преди-
кат « у \х », то формула А тождественно истинна в обла-
сти М, и, следовательно, выполнима в этой области. Од-
нако, если в качестве предиката Р(х,у) взять предикат
« у < х », то формула А будет тождественно ложной в
области М, и, следовательно, невыполнимой в области
М. При этом ясно, что формула А не общезначима.
Пример 2. Доказать, что формула A s (р(х) -» Q(x)j -»
-> Эх Р(х)& Vx Q(x) является общезначимой.
Решение. Считая, что формула А определена на лю-
бой области М, проведем равносильные преобразования:
A з Vx (р(х) -> Q(x) -> Эх Р(х)& Vx Q(x) ж
Vx (р(х) —> Q(x)j v Эх р(х)& Vx Q(x) s
= Эх (P(x) v Q(x)) v Эх P(x) v Vx Q(x) ж
= Зх (P(x)& <?(x}) v Эх P(x) v Эх Q(x) ж
ж Эх (P(x)& Q(x)) v Эх Q(x)) v Эх p(x) =
ж Эх(P(x)& Q(x) v Q(x)) v Эх P(x) s
3 Эх (P(x) V Q(xj) V 3xP(x) 3
s (3x p(x) v 3x P(x)) v 3x Q(x) з 1 v 3x Q(x) ж 1,
т.е. формула А тождественно истинна для любых одно-
местных предикатов Р(х) и Q(x) и в любой области.
Пример 3. .
Доказать, что формула А з ЗхЦр(х)-> P(x)j&
&(р(х)-> F(x)|J тождественно ложна.
232 Задачник-практикум по математической лоаике
Решение. ____ _____
Так как формула |Р(х)-> F(x)]&IF(x) -> p(x)j ж
ж P(x) о P(x) , а формула F(x) о F(x) , очевидно, тож-
дественно ложна, то тождественно ложна и формула А.
Говорят, что формула логики предикатов имеет нор-
мальную форму, если она содержит только операции конъ-
юнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а опера-
ция отрицания отнесена к элементарным формулам.
Среди нормальных форм формул логики предикатов
важное значение имеют так называемые предваренные
нормальные формы. В них кванторные операции либо
полностью отсутствуют, либо используются после всех
операций алгебры логики.
Справедливо утверждение о том, что всякая форму-
ла логики предикатов путем равносильных преобразова-
ний может быть приведена к предваренной нормальной
форме (п.н.ф.). При этом следует использовать равно-
сильности логики предикатов, которые позволяют вы-
носить за скобки кванторы существования и всеобщнос-
ти, т.е. равносильности:
Vx Р(х)& Vx Q(x) ж Vx (р(х)&Q(x)j;
р & Vx Р(х) = Vx (р & P(x)Y
р v Vx Р(х) ж Vx Ip v P(x)j;
p -> Vx P(x) = Vx (p-»P(x));
3x P(x) v 3x Q(x) ж 3x (p(x) v <?(*));
c v Зх p(x) ж Зх (c v P(x)^
c& ЗхР(х) ж Зх fc& P(x));
с -> Зх p(x) ж Зх (с -> P(x)j;
Зх P(x)& Эх Q(x) ж Зх By (р(х)& Q(y)).
Пример 4. _________
Привести К п.н.ф. формулу А Vx Зу Р(х, у)&Эх Vy Q(x, у).
Решение. Проводя равносильные преобразования,
получим:
А ж Vx By Р(х, у)& Vx By Q(x, у) =
= Vx (зу Р(х, у)& Вг Q(x, z)j s
= Vx 3y(p(x, y)&3zig(x, z)j =
ж Vx By Вг (p(x, y)&Q(x, z)j.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 233
3.28. Выполнимы ли следующие формулы:
1) А = Зх Р(х) ; 2) А = Vx Р(х).
3.29. Можно ли привести пример формулы А(х) та-
кой, что выполнима формула:
1) В = VxA(x)-*A(t); 2) В = A(t)-> VxA(x).
3.30. Доказать, что формула Зх(р(х)&(г -> О(х)) ->
-> (vx (р(х) -> <?(x)j является общезначимой.
3.31. Какие из нижеприведенных формул являются
общезначимыми:
1) Зх (Pj(x)& Р2(х)1 -> (Зх Л(х)& Зх Р2(х));
2) Зх(рДх)&Р2(х)) <-> (Зх Р[(х)&3х Р2(х));
3) (Vx рДх) v Vx Р2(х)} -> Vx (рДх) v P2(x));
4) (Vx Pr(x) v Vx P2(x)j <-> Vx (Pi(x) v P2(x)j;
5) Vx(q -> Pj(*)) <->(</-> VxPi(x));
6) Vx(Pj(x) -> P2(x)j <-> (Vx P,(x) -> VxP2(x));
7) 3x(Pj(x) -> P2(x))-> (3x Pj(x) -> 3x P2(x));
8) Vx(Pj(x) -> P2(x)) <-> (ЗхРДх) -> VxP2(x));
9) Vx(<7>j(x) -> Ф2(х)) -> (vx Ф,(х) -> Vx Ф2(х));
10) Vx^j(x) -> Ф2(х)) -> (Зх фДх) -> Зх Ф2(х));
11) Зх (фх(х) -* Ф2(*)) <-> (Vx ФДх) -> х Ф2(«));
12) ЗхР(х)-> VxP(x);
13) Vx Я(х) -> Зх Р(х);
14) Vx Я(х)& Vx Q(x) о Vx (я(х)& Q(x));
15) Vx P(x) v Vx Q(x) <-> Vx (-R(x) v Q(«));
16) 3x P(x)& 3x Q(x) <-> Зх Гв(х)&<?(*));
17)3xP(x) v 3x (?(x) <-> 3x (P(«) v Q(x)J-
3.32. Доказать тождественную ложность формулы
Зх Зу [(Р(х) -> F(y))&(Р(х) -> F(y)]&F(xj) .
3.33. Привести к п.н.ф. следующие формулы логики
предикатов^___________________
1) В = Зх Vy 3z Vu Р(х, у, z, и);
2) В = Vx В(х) v Зх О(х, у);
3) В s р -> ЗхВ(х);
234 Задачник-практикум по математической логике
4) в = vx3i/La(x) <-> лМ);
5) В = Vx(a(x) -> Зу В(у));
6) В Зх Чу Р(х, у)&. Зх Чу Q[x, у);
7) В = 3х Чу Р(х,у) v Зх Чу Q(x,у);
8) В = Зх Чу Р(х, у) -> Зх Чу Q(x,у).
§ 4. Применение логики предикатов в математике
I. Применение языка логики предикатов для записи
математических предложений, определений.
Язык логики предикатов удобен для записи матема-
тических предложений. Он дает возможность выражать
логические связи между понятиями, записывать опреде-
ления, теоремы, доказательства.
Пример 1. Записать на языке логики предикатов
определение предела числовой последовательности.
Решение. Число а является пределом числовой после-
довательности (а„) тогда и только тогда, когда для лю-
бого положительного числа £ существует такой номер
п0, что для всех натуральных чисел, больших или рав-
ных п0, справедливо неравенство |а„ - а| < е .
Используя язык логики предикатов, можно записать
это определение в компактной форме:
a = lim a„ <=> Че > 0 Зя,, е N Чп е N (n £ nq => |ав - а| < г).
Как известно, многие теоремы допускают формули-
ровку в виде условных предложений: «Если любой эле-
мент х из множества М обладает свойством Р(х), то он
обладает свойством Q(x)», т.е. Vx(p(x) —> Q(x)j.
Например, если {х} - множество всех треугольни-
ков на плоскости, Р(х) - свойство х быть прямоуголь-
ным, Q(x) - свойство х иметь гипотенузу, квадрат дли-
ны которой равен сумме квадратов длин катетов, то фор-
мула Чх (р(х) -> Q(x)) дает запись формулировки теоре-
мы Пифагора.
Пример 2. Записать на языке логики предикатов
формулировку теоремы о необходимом признаке сходи-
мости числового ряда.
Решение. Пусть М = |х} - множество всех число-
вых рядов, Р(х) - свойство х быть сходящимся рядом,
Q(x) - lim а = 0, где а. - общий член ряда х. Тогда
' ' Л-too "
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 235
формула Vx (р(х)->0(х)) представляет собой формули-
ровку указанной теоремы.
II. Построение противоположных утверждений.
Пусть дано некоторое математическое утверждение
А. Противоположным утверждением для А будет утвер-
ждение А. Логика предикатов позволяет путем равно-
сильных преобразований формулы А придать ей хоро-
шо обозримый вид.
Пример 3. Определение предела числовой последова-
тельности дано в примере 1. Ему противоположным ут-
верждением будет:______________________________
а * lima, <=> V/? > 0 Зп0 g N Vn е N (п > п0 =>
= Зг > 0 Vn0 е N 3n е N ({n S п0)&(|а„ - а| > г)).
Очевидно, если теорема Vx g Af(p(x)-> Q(x)) не-
справедлива, то будет истинным утверждение
Vx е м(р(х) -> 0(х)) = Зх е 1И^Р(х)& Q(x)J • Следователь-
но, чтобы доказать, что теорема Vx(p(xJ-> Q(x)j неспра-
ведлива, нужно указать хотя бы один элемент из М, при
котором условие теоремы Р(х) истинно, а значение Q(x)
ложно т.е. привести контрпример.
Пример 4. Докажите, что неверна теорема: «Если
функция ограничена на сегменте [а,б], то она и
интегрируема на этом сегменте».
Решение. Пусть М - множество всех функций, оп-
ределенных на сегменте [ a,b], Р(х) - свойство f быть
ограниченной на [а,б], <?(х) - свойство f быть интегри-
руемой на [a,b]. Чтобы доказать несправедливость тео-
ремы V/ 6 М(р(/) -> 0(/)) нужно доказать справедливость
утверждения 3/Нужным контрприме-
ром здесь может быть функция Дирихле, рассматривае-
мая на [ а, Ъ ]. Она, как известно, ограничена на любом
сегменте, но неинтегрируема на этом сегменте.
III. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Рассмотрим четыре теоремы:
Vx еЕ(р(х)- (1)
Vx gE(q(x)~ »P(x)V; (2)
Vx gE(P(x)- ♦Ф)i (3)
236 Задачник-практикум по математической логит
VxgE (q(x) P(x)j . (4)
Определение 1. Пара теорем, у которых условие
одной является заключением второй, а условие второй
является заключением первой, называются взаимно об-
ратными друг другу.
Так, теоремы (1) и (2), а также (3) и (4) - взаимно
обратные теоремы. При этом, если одну из них называ-
ют прямой теоремой, то вторую называют обратной.
Определение 2. Пара теорем, у которых условие и
заключение одной являются отрицанием соответствую-
щего условия и заключения другой, называются взаим-
но противоположными.
Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются
взаимно противоположными.
Пример 5. Для теоремы: «Если четырехугольник
является прямоугольником, то в четырехугольнике диа-
гонали равны* сформулируйте теоремы (2) - (4).
Решение. Пусть Е = - множество всех четыреху-
гольников на плоскости, Р(х) - свойство х быть прямоу-
гольником, Q(x) ~ свойство х иметь равные диагонали.
В сформулированной теореме Р(х) является условием,
а Q(x) ~ заключением. Поэтому теорема (2), обратная дан-
ной, формулируется так: «Если в четырехугольнике диаго-
нали равны, то четырехугольник является прямоугольни-
ком*; теорема (3), противоположная прямой, формулирует-
ся так: «Если четырехугольник не является прямоугольни-
ком, то в четырехугольнике диагонали не равны*. И, нако-
нец, теорема (4), противоположная обратной, формулирует-
ся так: «Если в четырехугольнике диагонали не равны, то
четырехугольник не является прямоугольником».
Нетрудно видеть, что первая и последняя теоремы ис-
тинны, а вторая и третья теоремы ложны (приведите контр-
пример!). Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще
говоря, не равносильны (одна из них может быть истин-
ной, а вторая ложна). Однако легко показать, что теоремы
(1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равносильны.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 237
TV. Необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим теорему
Vx е Е (р(х) -> Q(x)) . (1)
Множество истинности предиката Р(х) -> Q(x) есть
множество С1Р Шо • Но тогда множество ложности этого
предиката будет C\CIP U/q) = 1РПС1е. Последнее множе-
ство будет пустым лишь в случае, когда IP с IQ. Отсюда
следует, что предикат Р(х) -> Q(x) является истинным
для всех х е Е тогда и только тогда, когда множество
истинности предиката Р(х) содержится в множестве ис-
тинности предиката Q(x), т.е. предикат Q(x) является
следствием предиката Р(х). При этом предикат О(х) на-
зывают необходимым условием для предиката Р(х), а пре-
дикат Р(х) - достаточным условием для Q(x).
Пример 6. Рассмотрим утверждение: «Если число х
делится на 6, то число х делится на 3». Здесь предикат
Р(х): «Число х делится на 6», а предикат Q(x): «Число
х делится на 3». Предикат Q(x) логически следует из
предиката Р(х) (р(^) => О(х)) • Предикат Р(х) (делимость
числа х на 6) является достаточным условием для преди-
ката <?(х) (делимость числа х на 3). Предикат Q(x) (де-
лимость числа х на 3) является необходимым условием
для предиката Р(х) (делимость числа х на 6).
Часто встречается ситуация, при которой истинны
взаимно обратные теоремы
Vx еЕ (p(x)-»Q(x)); (1)
Vx еЕ (0(х)-> Р(х)). (2)
Это, очевидно, возможно при условии, что IP - IQ,
т.е. когда предикаты Р(х) и Q(x) равносильны
(р(х)<=> «(*))• в таком случае из теоремы (1) следует,
что условие Р(х) является достаточным для О(х), а из
теоремы (2) следует, что условие Р(х) является необхо-
димым для Q(x). Таким образом, в этом случае условие
Р(х) является и необходимым, и достаточным условием
для Q(x). Аналогично, условие <?(х) является необходи-
мым и достаточным для Р(х).
Пример 7. Рассмотрим теоремы: «В описанном четы-
рехугольнике суммы длин противоположных сторон рав-
ны между собой» и «Если в четырехугольнике суммы длин
238 Задачник-практикум по штпматтоаюй яоаит
противоположных сторон равны между собой, то в этот
четырехугольник можно вписать окружность*. Эти теоремы
взаимно обратны. Обе они истинны. Следовательно, каждое
из условий «В четырехугольнике суммы длин противополож-
ных сторон равны* и «В четырехугольник можно вписать
окружность» является и необходимым, и достаточным.
3.34. Запишите на языке логики предикатов опреде-
ления:
1) линейно упорядоченного множества (упорядочен-
ное множество называется линейным, если для любых
элементов этого множества х и у либо х = у, либо х < у,
либо х > у);
2) ограниченной функции (функция f(x) называет-
ся ограниченной на множестве М, если существует та-
кое неотрицательное число L, что для всех х е М спра-
ведливо неравенство 1/(х)1 < L);
3) четной функции (функция f называется четной,
если область ее определения симметрична относительно
начала координат и для каждого х из области определе-
ния справедливо равенство /(- х) = /(х));
4) периодической функции (функция f называется
периодической, если существует такое число Т * 0, что
при любом х из области определения f элементы х - Т и
х + Т также принадлежат этой области, и при этом вы-
полнено равенство /(х±Т) = /(х));
5) возрастающей функции на множестве М (функция
f называется возрастающей на множестве М, если для
любых чисел Xj и х,, принадлежащих множеству М, из
неравенства хг < х2 следует неравенство f(xi) < f(x2)) •
3.35. Пользуясь полученными в задаче 3.34 формула-
ми, ответьте на следующие вопросы. Что значит:
1) Упорядоченное множество не является линейным?
2) Функция не является ограниченной?
3) Функция не является четной?
4) Функция не является периодической?
5) Функция не является возрастающей на множестве М?
3.36. Доказать несправедливость утверждений:
1. «Если функция непрерывна в точке х0, то она и
дифференцируема в этой точке.»
2. «Если предел n-го члена числового ряда равен нулю,
то ряд сходится. *
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 239
3. «Если в четырехугольнике диагонали равны, то
четырехугольник является прямоугольником.»
4. «Если функция интегрируема на [а,Ь], то она не-
прерывна на нем.»
5. «Если функция интегрируема на [о,б], то она
монотонна на нем.»
6. «Если числовая последовательность имеет предел,
то она монотонна.»
7. «Если числовая последовательность ограничена, то
она имеет предел.»
8. «Если формула логики предикатов выполнима, то
она общезачима.»
9. «Если дифференцируемая функция у = /(х) имеет
в точке х0 первую производную равную нулю (у'(х0) = в),
то точка х0 - точка экстремума функции.»
10. «Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет
в точке х0 вторую производную, равную нулю = о),
то точка х0 - точка перегиба графика функции.»
3.37.
1) Докажите равносильность теорем (1) и (3) (см. п. Ш).
2) Докажите равносильность теорем (2) и (4) (см. п. Ш).
3.38. Для каждого из следующих условий выясните,
является ли оно необходимым и является ли оно достаточ-
ным для того, чтобы выполнялось неравенство х2 - 2х - 8 < 0
1) х = 0; 2) х>-3; 3) х>-2;
4) х £ -1 и х 5 3; 5) х £ -1 и х < 10; 6) -2 5 х < 10.
3.39. В следующих предложениях вместо многото-
чия поставьте слова «необходимо, но недостаточно» или
«достаточно, но не необходимо» или же «не необходимо
и недостаточно», а где возможно «необходимо и доста-
точно» так, чтобы получилось истинное утверждение:
1. Для того, чтобы четырехугольник был прямоуголь-
ным ..., чтобы длины его диагоналей были равны.
2. Для того, чтобы х2 - 5х + 6 = 0 ...» чтобы х = 3.
3. Для того, чтобы сумма четного числа натуральных
чисел была четным числом, ..., чтобы каждое слагаемое
было четным.
4. Для того, чтобы функция /(х) была интегрируема
на сегменте [a,fc], ..., чтобы /(х) была ограничена.
240 Задачник-практикум по математической логике
5. Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на
сегменте [a,b], ...» чтобы f(x) была непрерывна на [а,&].
со
6. Для того, чтобы числовой ряд 2а* сходился, ...,
*=1
чтобы lim а. = 0 .
П->ао
7. Для того, чтобы окружность можно было вписать
в четырехугольник, ..., чтобы суммы длин его противо-
положных сторон были равны.
8. Для того, чтобы множество А было счетным, ....
чтобы его элементы можно было записать в виде зануме-
рованной последовательности.
9. Для того, чтобы числовая последовательность имела
предел, ..., чтобы она была ограниченной.
10. Для того, чтобы числовая последовательность име-
ла предел, ..., чтобы она была монотонна и ограничена.
3.40. Сформулируйте:
1. Необходимый и достаточный признак параллелог-
рамма.
2. Необходимый, но недостаточный признак парал-
лелограмма.
3. Достаточный, но не необходимый признак парал-
лелограмма.
4. Необходимое, но недостаточное условие того, что-
бы уравнение sin х - а имело решение.
5. Достаточное, но не необходимое условие для того,
чтобы уравнение sin х = а имело решения.
6. Достаточное, но не необходимое условие для того,
чтобы уравнение ха + рх + q = 0 имело вещественные
корни.
3.41. Папа сказал детям: «Если мы с мамой поедем
летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.»
В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя
ответил: «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут
в дом отдыха.» Галя сказала: «Если папа с мамой не
поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь.» «Нет, не
так, - вмешался Коля. - Если мы не поедем в лагерь, то
кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.»
Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?
ГЛАВА IV
АЛГОРИТМЫ
Понятие алгоритма принадлежит к числу основных
понятий математики. Можно дать следующее его нефор-
мальное описание.
Алгоритмом называется общий единообразный, точно
определенный способ решения любой задачи из данной
массовой проблемы, т.е. из некоторого класса однотип-
ных задач.
Такое определение нельзя считать строгим, т.к. в нем
встречаются слова, точный смысл которых не установлен.
В частности, это касается слова «способ*. В связи с этим это
нестрогое определение алгоритма называется интуитивным.
Интуитивное определение алгоритма хотя и нестро-
гое, но настолько ясное, что не дает оснований для со-
мнений в тех случаях, когда речь идет о найденном алго-
ритме решения конкретной задачи. Положение суще-
ственно меняется, когда идут поиски алгоритма нере-
шенной задачи и требуется установить, имеет ли она
решение. В этом случае, очевидно, нужно либо доказать
существование алгоритма, либо доказать его отсутствие.
Для доказательства существования алгоритма доста-
точно дать описание фактического процесса, дающего ре-
шение задачи. Здесь достаточно и интуитивного понятия
алгоритма. При доказательстве несуществования алгорит-
ма, очевидно, нужно точно знать, что такое алгоритм.
В тридцатые годы XX века шли поиски строгого
определения понятия алгоритма. В подходе к решению этой
задачи можно выделить три основных направления.
Первое направление связано с уточнением понятия эф-
фективно вычислимой функции. Этим занимались А. Чёрч,
К. Гёдель, С. Клини. В результате был выделен класс частич-
но рекурсивных функций, имеющих строгое математичес-
кое определение. Частично рекурсивная функция эффек-
тивно вычислима (или просто вычислима), т.е. существует
алгоритм для ее вычисления. Поэтому выдвигается гипоте-
за о том, что каждая интуитивно вычислимая функция есть
функция частично рекурсивная (тезис Чёрча).
Второе направление связано с машинной математи-
кой. Здесь сущность понятия алгоритма раскрывается
242 Задачник-практикум по математической логике
путем рассмотрения процессов, осуществляемых в маши-
не. Впервые это было сделано Тьюрингом в 1937 году. Он
исходил лишь из общей идеи работы машины или работы
вычислителя, оперирующего с некоторым строгим пред-
писанием, т.е. с алгоритмом.
Третье направление связано с понятием нормальных
алгоритмов, введенным и разработанным российским ма-
тематиком А. А. Марковым.
§ 1. Частично рекурсивные
и общерекурсивные функции
Частично рекурсивные функции - это класс число-
вых функций, который строится следующим образом.
Выбираются простейшие функции
1) Л(х) = х +1, - оператор сдвига,
2) O(xJ = 0, - оператор аннулирования,
3) 1,(х1,х2,...,хя) = хт (1<т<п), I” - оператор
проектирования.
Ясно; что все три простейшие функции всюду опре-
делены и интуитивно вычислимы.
Далее вводятся операции над функциями.
1. Суперпозиция функций.
Рассмотрим функции fi(xltx2,...,x,), A(xi,x2,...,x„),
.... Л.(х1.х2>--->хп) и функцию ?>(x1,x2,...,xm). Функцию
^(xi,x2,...,xn), определенную равенством yr(xl,xa,...,xn) =
= 9\fl(Xl> Х2' • • ’ Хп)> /г (-*"1» Х29 •••»*„)»•••» fmfclt Х29 • • •» Л"п)) назы-
вают функцией, полученной суперпозицией из функций
9 и А, /2, .... А,-
Например, постоянные функции 1 и 2 получаются
суперпозицией из простейших функций Л(х) и О(х) сле-
дующим образом:
Я(о(х)) = Л(о) = 1; л(л(о(х))) = л(л(о)) = Л(1) = 2.
2. Схема примитивной рекурсии.
Пусть имеются две функции р(х2,х3,...,х„) и
^(xi,x2,x8,...,xn,xn+1) (п>1). Рассмотрим новую функ-
цию /(х1,х2,х8,...,хп), которая удовлетворяет следующим
равенствам:
f(0>*2.....*„)=p(x2»*s....Хп\
f(y +1, х2, х8,..., х„) = у/(у, f(y, х2, х8,., хД х2, х8.х„)
АЛГОРИТМЫ 243
Отметим, что функция <р зависит от в -1 аргумен-
тов, функция ут - от л + 1 аргументов, а функция f - от
п аргументов.
Если функция f{xltx2,...,x^ получается из функ-
ций <р и ут с помощью равенств (1), то говорят, что
функция f получена из функций и по схеме прими-
тивной рекурсии.
Пример 1. Функция двух переменных S(x,y) - х + У
может быть получена по схеме примитивной рекурсии.
Действительно, для функции х + у верны тождества
х+о = х;
х + (у +1) = (х + у) +1;
которые можно записать в виде
8(х,0) = х,
S(x,y + 1) = S(x,y) + 1,
или
фл)=л‘Ы 1
S(x, у +1) = l(s(x + у))
Из равенств (1’) видно, что функция двух перемен-
ных S(x,y) получается по схеме примитивной рекурсии
из функции одной переменной р(х) = /J(x) и функции
трех переменных у/(х,у,2) = Л(з(х,у)).
3. Операция минимизации (р -оператор).
Пусть задана некоторая функция f(x,y). Зафикси-
руем значение х и выясним, при каком у f(x, у) = 0.
Более сложной задачей является отыскание для дан-
ной функции и фиксированного х наименьшего
из тех значений у, при которых функция f(x, у) = О.
Т.к. результат решения задачи зависит от х, то наи-
меньшее значение у, при котором функция /(х,у) есть
функция х. Принято обозначение
р(х) = ^[/(х,у) = о].
Аналогично определяется функция многих перемен-
ных:
^>(х1,х2,...,хя) = /(х1,х2,...,хя,у) = 0].
Здесь предполагается выполнение условия: для лю-
бых х1,х2,...,х„ существует по крайней мере одно значе-
ние у, для которого /(х1,х2,...,хя,у) = 0 .
244 Задачник-практикум по математической лоаике
Определение 1. Функция f(xi,x2,...,xa) называется
частично рекурсивной, если она может быть получена
за конечное число шагов из простейших функций при
помощи операций суперпозиции, схем примитивной ре-
курсии и р -оператора.
Определение 2. Функция /(х1,х2,...,хп) называется
общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всю-
ду определена.
Пример 2. Простейшие функции Л(х), О(х),
1^(х1,х2,...,ха^ частично рекурсивны, а т.к. они всюду
определены на множестве всех натуральных чисел, то
они и общерекурсивны.
Пример 3. Функция С*(х) (постоянная и С*(х) = k) по-
лучается как суперпозиция функций Я(х) и О(х). Дей-
ствительно, Л(о(х)) = 1, л(л(о(х))) = 2 и т. д. Значит, фун-
кция Ck частично рекурсивна. Но функция Ck(x) всюду
определена, а поэтому она и общерекурсивна.
Пример 4. Функция S(x, у) = х + у получается по схе-
ме примитивной рекурсии из функций /Дх) и /US(x,y)j,
которые общерекурсивны. Поэтому функция S(x,y) = х + у
общерекурсивна.
Пример 5 . Функция F*(x) = х + k получается как сум-
ма функций //(х) = х и С* = k, каждая из которых об-
щерекурсивна, а поэтому и функция F*(x) = х + k обще-
рекурсивна.
Будем говорить, что функция /(*i,x2,...,x„) является
примитивно рекурсивной, если она может быть получена
из простейших функций с помощью конечного числа при-
менения оператора суперпозиции и примитивной рекурсии.
4.1. Доказать, что любая примитивно рекурсивная
функция всюду определена.
4.2. Доказать, что если функция /(xt,x2,...,xn) при-
митивно рекурсивна, то следующие функции примитив-
но рекурсивны:
1) 5(х1,х2,Хз,...,хп) =/(х2,х1,Хз,...,хп) (перестановка
аргументов);
2) ^х1,х2,х8,...,хп) = /(х2,х8,...,х„,х1) (циклическая
перестановка аргументов);
3) ^(x1,x2,x8,...,xn,xn+1) = /(xi,х2,,xnj (введенйе
фиктивного аргумента);
АЛГОРИТМЫ 245
4) h(x1,x2,...,xa_1) = f(x1,x2,...,xn_1) (отожествление
аргументов).
4.3. Доказать, что из функций О(х) и с
помощью суперпозиции и схем примитивной рекурсии
нельзя получить функции х +1 и 2х .
4.4. Доказать, что следующие функции общерекур-
сивны:
1)Р(х,у) = ху;
2)G(x,j)»x»;
з) 4*)=ft "если V °’
' f (0, если х = 0;
.. _ (х- у, если х > О,
4) х - у - < _ _ (усеченная разность)
I V, CwvxJrl Аг — V»,
5) |* - !/|;
6) sgn(x) = ft еслих^
v ' [0, если х = 0;
7) sgn(x);
8)х!.
§ 2. Машина Тьюринга
Устройство машины Тьюринга включает в себя:
1. Внешний алфавит, то есть конечное множество
символов А = |а0,а1,а2,...,ап|. В этом алфавите в виде
слова кодируется та информация, которая подается в
машину. Машина перерабатывает информацию, подан-
ную в виде слова, в новое слово.
2. Внутренний алфавит машины, состоящий из сим-
волов П, Л, Н. Символы q0,quq2,...,qm вы-
ражают конечное число состояний машины. Для каждой
машины число состояний фиксировано. Два состояния име-
ют особое назначение: qx - начальное состояние машины,
q0- заключительное состояние (стоп-состояние). Символы
П, Л, Н - это символы сдвига (вправо, влево, на месте).
3. Бесконечная в обе стороны лента (внешняя па-
мять машины). Она разбита на клетки. В каждую клет-
ку может быть записана только одна буква. Пустая клет-
ка обозначается символом а0.
4. Управляющая головка. Она передвигается вдоль лен-
ты и может останавливаться напротив какой-либо клетки,
т.е. воспринимать символ. В одном такте работы машины
246 Задачник-практикум по математической лоаике
управляющая головка может сдвигаться только на одну
клетку (вправо, влево) или оставаться на месте.
Каждое сведение, хранящееся на ленте, изображает-
ся конечным набором символов (букв) внешнего алфави-
та, отличного от а0. К началу работы машины на ленту
подается начальное сведение (начальная информация).
В этом случае управляющая головка может обозревать лю-
бую букву слова, записанного на ленте. Например, левую
крайнюю букву (?1 ~ начальная конфигурация):
а0 а3 Oj а2 а4 в! а0
91
Говорят, что непустое слово а в алфавите А\ {а0} =
= [а1га2,...,а„} воспринимается машиной в стандарт-
ном положении, если оно записано в последовательных
клетках ленты, все другие клетки пусты, и машина обо-
зревает крайнюю справа клетку из тех, в которых запи-
сано слово а .
Стандартное положение называется начальным (зак-
лючительным), если машина, воспринимающая слово в
стандартном положении, находится в начальном состоя-
нии qi (в состоянии q0).
Работа машины складывается из тактов, по ходу ко-
торых происходит преобразование начальной информа-
ции в промежуточные информации.
В качестве начальной информации на ленту можно
подать любую систему знаков внешнего алфавита (любое
слово в этом алфавите), расставленную по клеткам. Но в
зависимости от того, какая была подана начальная ин-
формация а , возможны два случая:
1. После конечного числа тактов машина останавли-
вается (переходит в стоп-состояние q0), и при этом на
ленте оказывается изображенной информация р. В та-
ком случае говорят, что машина применима к началь-
ной информации а и перерабатывает ее в результирую-
щую информацию р.
2. Машина никогда не останавливается (не перехо-
дит в стоп-состояние). В таком случае говорят, что ма-
шина неприменима к начальной информации а .
В каждом такте работы машины она действует по
функциональной схеме, которая имеет вид:
АЛГОРИТМЫ 247
П
ад} ->а,Лд,
Н
Здесь at, а„ - буквы внешнего алфавита; q}, q, —
Состояния машины, П, Л, Н - символы сдвига.
В зависимости от того, какая буква на ленте обозре-
вается управляющей головкой (в нашей записи at) и в
каком состоянии (в нашей записи q}) находится маши-
на, в данном такте вырабатывается команда, состоящая
из трех элементов:
1) буквы внешнего алфавита, на которую заменяет-
ся обозреваемая буква (аи) ; /д'
2) адреса внешней памяти для следующего такта л i
(н,
3) следующего состояния машины (?,).
Совокупность всех команд образует программу маши-
ны Тьюринга. Программа представляется в виде двумер-
ной таблицы и называется Тьюринговой функциональной
схемой.
Ясно, что работа машины Тьюринга полностью оп-
ределяется ее программой. Иными словами, две машины
Тьюринга с общей функциональной схемой неразличи-
мы, и различные машины Тьюринга имеют различные
программы.
Для простоты изображения различных конфигураций
машины Тьюринга обычно записывают информацию в виде
слова, не изображая ленты и ее разбивки на клетки, а
вместо изображения управляющей головки и состояния
машины записывают только состояние машины в пози-
ции управляющей головки.
Так как рассматриваются вычислимые функции на-
турального аргумента, то обычно натуральные числа на
ленте машины Тьюринга записываются в виде соответ-
ствующих наборов палочек, и результат вычисления фун-
кции будет так же записан в виде набора палочек.
Пример 1. Определить какую функцию вычисляет
машина Тьюринга со следующей программой команд:
248 Задачник-практикум по математической логике
О о 1
91 |н9о |П91
программа 1.
Решение. Пусть число п записано на ленте машины
в виде набора п палочек.
во I
I I - I I в0
91
Тогда для любой начальной конфигурации, при кото-
рой управляющая головка обозревает одну из палочек,
машина Тьюринга будет работать так: в каждом такте она
будет оставлять обозреваемую палочку на месте и сдви-
гаться вправо на одну клетку. Этот процесс будет продол-
жаться до тех пор, пока управляющая головка не выйдет
на пустую клетку. Здесь, согласно программе, в пустую
клетку будет вписана палочка, и машина перейдет в стоп-
состояние. В результате на ленте будет записана п +1
палочка.
Таким образом, машина Тьюринга по программе 1
вычисляет функцию = п + 1.
Выпишем все конфигурации для частного случая п = 3.
1) а0 | | | а0 , 2) во | | | а0 , 3) а0 | | | а0 »
9i 9i 91
4) а0 | | | а0 , 5) а0 | | | ( а0 .
9i 91
Конечно, можно предложить машину Тьюринга, кото-
рая бы при вычислении функции натурального аргумента
пользовалась аппаратом десятичной системы счисления.
Пример 2. Построить машину Тьюринга реализую-
щую алгоритм вычисления функции = п + 2.
Решение. Возьмем за внешний алфавит множество
символов |а0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и будем записывать чис-
ло п на ленте машины в десятичной системе счисления.
Тогда для реализации указанного алгоритма необходи-
мо, чтобы машина, находясь в стандартном состоянии,
заменяла последнюю цифру числа п (если эта цифра мень-
ше 8) цифрой, на две единицы большей, и переходила
АЛГОРИТМЫ 249
в стоп-состояние. Если последняя цифра числа п равна 8,
то ее нужно заменить на 0 и перейти влево в новое состо-
яние q2, которое добавляло бы к следующему разряду 1.
Аналогично, если последняя цифра числа п равна 9, то ее
нужно заменить на 1 и перейти влево в состояние д2.
Ясно, что эта машина имеет три состояния: q0 , qlt
q2, а программа машины имеет вид:
“о 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9
91 2Н?0 ЗН9о «Ч 6Н9о 7Н?„ 8Н9о 9Н9о 0Л?2 1Л?2
чг 1Н<?0 1Н9о 2Н9о ЗНд0 4Н<?0 5Н9о 6Н9о 7Н9о 8Н<?0 9Н9о 0Л?2
Например, при вычислении $»(98) будем иметь следу-
ющие конфигурации:
1) ао 9 8 а0 , 2) а0 9 0 а0 ,
91 91
3) а0 0 0 в0 , 4) а0 1 0 0 Оо .
92 92
4.5. Реализовать на машине Тьюринга алгоритм вы-
числения функции = п + 4 .
4.6. Реализовать на машине Тьюринга алгоритм вы-
числения функции = 0.
4.7. Построить машину Тьюринга, которая из п запи-
санных единиц оставляла бы на ленте п - 2 единицы; так
же записанных подряд, если п £ 2, и работала бы вечно,
если п = 0 или п = 1.
4.8. Построить машину Тьюринга, которая приме-
нима ко всем словам в алфавите {a0,ai,a2} и делает сле-
дующее: любое слово xix2...xn, где х( = аг или xt = а2
(i = 1,2,....п), преобразует в слово х2х8...хпх!.
4.9. Построить машину Тьюринга для вычисления
функции
О,
sgnx = •
если х = О,
если х # 0.
250 Задачник-практикум по математической поаике
4.10. Построить машину Тьюринга для вычисления
функции
sgnx =
fl»
(0.
если х = 0,
если х # 0.
4.11. Убедиться, что машина с алфавитом |а0,|} и
программой:
«0 1
Чх а0Пд2 |л?2
ч2 а0П?2 |Лдя
Чз |Л?!
Чх аоН?о а0н«4
Чх аоП^
Чз |Нд0 а0Нд0
Чз
Чз |Нд7 аон9в
Чз а0П98
Чз |н9о |Пд4
каждое слово длины п алфавита |а0,| J перерабатывает в
слово длины г (г - остаток от деления числа п на 3).
4.12. Построить машину Тьюринга для реализации
алгоритма (вычисления функции) = 2п .
4.13. Записать в алфавите программу машины
Тьюринга для вычисления функции
1, если п делится на р,
0, если п не делится на р.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
1.1. Высказываниями являются 1) и 4).
1.3. 1) утверждение не является высказыванием, на
заданный вопрос ответить нельзя;
2) утверждение является высказыванием, оно лож-
но, что показывает контрпример хг -1 = 0;
3) утверждение является высказыванием, причем
г 2 9 л
истинным, сумма корней уравнения х-—х + — = 0 рав-
на свободному члену.
1.4. Высказывания 1), 4), 6), 8) ложны, а остальные
истинны.
1.5. Нет. Указание. Предположение об истинности
или ложности данного предложения приводит к проти-
воречию.
1.10. Противоречивы данные 2) и 5).
1.12. Тождественно истинными являются формулы
1), 2), 3), 6) - 10), 13), 14).
1.13. 1) х = 1, у = 0; 2) х = 0, 0 = 1.
1.15. Истинны высказывания 3), 4), 6), а осталь-
ные - ложны.
1.19. Тождественно ложны формулы 1), 3), 7), 10), а
остальные - тождественно истинны.
1.21. 1) х; 2) х V0; 3) х V0 ; 4) х&у ; 5) х v г ;
6) х -> 0 ; 7) 1; 8) х v у ; 9) 1; 10) х v yz.
1.22. Формулы 6), 7), 13), 15) тождественно ложны,
а остальные -^тождественно истинны.
1.24. х = Ъ.
1.25. Используя законы алгебры логики, получаем
а5 ж а4&(а3 v а2) я (а3&(а2 v а^&^з v а2) ш
= (а3&(а8 v а2))&(а2 vах) « а3&(а2 v ах) « а4 .
Аналогично можно показать, что а6 = а4. Докажем, что
ал s а4 (и > 3). Для п = 4,5,6 утверждение верно. Предпо-
ложим, что оно верно для всех номеров, не превосходящих
252 Задачник-практикум по математической лоаике
п, тогда an+1 = an&(a„_1 v а„_2) я а4&(а4 v а4) я а4. Выска-
зывание а4, очевидно, истинно, следовательно, истинно
и а„. Итак, а„ =1 и an = а8&(а2 v aj.
1.26. 1) a -> b = а vb, а <-> b я (a v b^b v a);
2) a —> b = a& b , a v b = a&b , a <-> b = a& b & b& a ;
3) a&b =avb, a^b = avb, a <+b = (avb)v(b v a);
4) avb = a->b, a&b = a->b, а<->Ья(а->Ь)->(Ь->а).
1.27. 1) a-> b = a&b
2) a v b я (a -> b) -> b.
1.28. a^b = a<->b,
1.29. a\b = a&b, a = a\a, a&b = (a|b)|(a|b),
avb я (a|a)|(b|b).
1.30. a 4- b я avb, a = ala, a v b я (a 4 b) 4 (a 4 b),
a& b = (a 4- a) 4- (b 4- b) .
1.33. Решение мальчика не выполнено, если он не
закончил чтение книги, или не сходил ни в музей, ни в
кино, или, хотя была хорошая погода, он не купался.
1.34. РДх,у, z) я xzvyz; Р2(х,у, z) я у(х v z);
Р3(х, у, z)sxy\f x(yz v yz); P4(x,y, z) = xzv y(xz v xz).
1.35. f(U2 Л) = ^M2 v M2) v h h •
1.36. М*21*з =/i(/2vZ3)vZ2Z3.
1.39. 1) СДНФА я xy, СКНФА я (x v p)(x v y^x v y);
2) см. n. 1);
3) СДНФА я xy v xy v x у, СКНФА я x v у ;
4) СДНФА я xyz v xyz v x у z ,
СКНФА я (x v у v z)(x v у v z)(x vу v z^xvyv z)(x vу v z);
5) СДНФА = xyzvxyzvxyzvxyzvxyzvxyzvxyz,
СКНФАяхуууз;
6) СДНФА я abc v abc v abc v abc v abc v abc v abc ,
СКНФА я (avb vc);
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 253
7) СДНФА = abc v abc v abc v abc ,
СКНФА = (a v b v c^a vb v c^a v b v c^a v b v c);
8) СДНФА s abc v abc vabcv abc vabcv abc v abc v abc,
СКНФА s 1;
9) СДНФА содержит все слагаемые вида x^x%...xs; ,
кроме одного х1х2...хп_1хп . СКНФА s xt v x2v...vxn_1 v xn •
1.40. 1) x v x ; 2) xyvxyvxyvxyi
3) Xy Z V xy 2 V xy ZV xy 2 VX У ZVX У 2 VX у 2VX У 2 .
1.41. 1) x&x ; 2) (x Vy\x vy\x v ytyx vy);
3) (x V у v z/x v у v z)(x v у v z)(x V у v z)(x V у V z)&
& (x V у v z)(x V у v z)(x V у V z).
1.43.1) x Vу ; 2) X у ; 3) z(x vy); 4) x(y v z) v z(x v y).
1.44. Формула 1) тождественно истинна, 2) - тожде-
ственно ложна, а остальные - выполнимы.
1.45. 1)
А--------X------- В
2)
А
В
3)
Я4
Задачник-практикум по иатвштичвсюй та
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 255
А
В
4)
«-Х--у—z-J
В
5)
В
256 Задачник-практикум по математической лоаике
А ---*-----X------ В ИЛИ А •— —* В
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 257
8)
А------X------- В
1. 49. 1) /(1,1,1) = /(1,1,0) = /(0,1,1) = /(0,0,1) = 1,
2) /(0,0,1,1) = /(0,0,0,1) = /(0,0,1,0) = /(0,0,0,0) =
= /(1,1,1,1) = /(0,1,1,1) = 1,
3) /(0,0,1) = /(1,1,0) = /(0,1,0) = /(1,1,1) = /(0,1,1) =
=/(1,0,1) = 1,
4) /(1,1,1,1) = /(1,0,1,1) = /(0,1,1,1) = /(0,1,0,1) = 1,
5) /(*, у, 2, и) = О,
6) функция проводимости имеет вид:
xvu v zvy v ху v ги.
1.50. В случае 1) схемы не равносильны, в остальных
случаях равносильны.
1.51. Можно.
1.52. Андреев убирал 8-й класс, Давыдов - 9-й, Кос-
тин - 10-й, Савельев - 7-й.
1.53. Ефимов - из Жуковки, Дмитриев - из Дять-
кова, Петров - из Трубчевска, Иванов - из Клинцов,
Сидоров - из Новозыбкова.
1.54. Передачу смотрят дочери С и D.
1.55. Логику изучает второй студент.
1.56. Экзамены сдали все студенты.
1.57. Коля ходил в кино.
1.58. График посещения такой: А - во вторник, Е -
в среду, С - в четверг, Р - в пятницу.
1.59. С учетом обозначения XY - «X должен поехать
в город У»»ответ запишется так:
АМВКСТДО v АМВОСТДК v АМВКСОДТ.
1.60. Правду говорил Жак.
Указание. Обозначить показания свидетелей соот-
ветственно Ж, К, Д. Тогда условие задачи можно запи-
сать в виде:
1. (КлЖ)у(КлЖ),
2. (ЖлД)у(ЖлД),
3. (ДлКлЖ)у(Дл(КуЖ)).
Каждая из этих формул истинна, поэтому истинной
будет и их конъюнкция. Результат находится путем
равносильных преобразований.
2S0 Задачник-практикум по математической ловимо
ГЛАВА II
2.1. Формулы - 1), 3), 4), 6), 7).
А-+В.В А&В,С А.С.В CvD
2.4.1) Дп.);2> 3) J(in.);4) М);
х.у х,у х,у,г х
A&B.CJJ&C
5) ДМ.
x,y,z
2.5. 1) Возьмем аксиому Ш3 и сделаем в ней подста-
ААЛ
новку Дшз). Получим доказуемую формулу
х,у,г
\-(A^A)->((A->A)-*(AvA-+A)). (1)
Но
\-А->А. (2)
Применяя к формулам (2) и (1) правило сложного
заключения (ПСЗ), получим (- A v А -> А •
2) Возьмем аксиому П3 и сделаем в ней подстановку
ААА
Дп8). Получим
х.У.г
ЦА-> А)->((А-> А)->(А-> А&А)), (1)
но
|-А->А. (2)
Применяя к (1) и (2) ПСЗ, получим |-А -> А&А.
3) Возьмем аксиому П3 и сделаем в ней подстановку
В А А&В
J(ll8). Получим
х,у,г
^(А&В -> в) -> ((А&В -> А) -> (А&В -» В&А)) . (1)
Но
|-А&В-»В. (2)
|-А&В->А. (3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим
|-А&В-»В&А.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 259
4) Возьмем аксиому Ш3 и сделаем в ней подстановку
X,ytE
Получим
|-(А -> В v А) -> ((В -> В v А) -> (A v В -> В v А)) (1)
Но
|-A->BvA, (2)
}-B-»BvA. (3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим
|-А vB-> BvA.
5) Возьмем аксиому 12 и сделаем в ней подстановку
лвл
f(M. Получим
х,у,г
|_(а->(в->а))-»((а->в)-»(а->а)). (1)
Но
кА-*(В-»А). (2)
Из (1) и (2) по ПЗ получим ^-(А -> В) -> (А А).
6) Возьмем аксиому IV3 и сделаем в ней подстановку
л _
f(lVs). Получим [-А -> А.
X _____
А,В,А&В
2.6. 1) В аксиоме Ш3 делаем подстановку К^з).
х,у,г
Получим
|-(А -» А&в) -» (в -> (а&в)) -» (A v В -> А&в). (1)
Возьмем аксиомы И2 и П2 и применим к ним прави-
ло контрпозиции. Получим:
|-А-> А&В, (2)
|-В-» А&В- ________ (3)
Из (1), (2), (3) по ПСЗ |-А v В -> А&В.
2) В аксиоме I, сделаем подстановку
|-В -> (А -» я).
Но по условию
|-Я.
Из (1) и (2) по ПЗ I- А -> Я.
НА
Получим
х,у
(1)
(2)
260 Задачник-практикум по математической лоате
3) Т.к. pA->(AvB) (аксиома III,), а формула
А -> В есть некоторая формула С, то исходная формула
имеет вид С -> R, которая доказуема.
4) Возьмем доказуемую формулу
кА -> Я . (1)
Применим к_(1) правило контрпозиции. Получим фор-
мулу к я -> -А или _
\-F-yA. (2)
Применяя к формуле (2) правило снятия двойного
отрицания, получим к-^ -А •
5) Т.к. к-А-^-^’ то исходная формула имеет вид
С -> R, которая доказуема.
6) Т.к. k-А (а -* в), где В - любая формула, то
используя правило соединения посылок и подставляя F
вместо В, получим kA& А -> F •
(л->в)&в,ал
7) В аксиоме 12 сделаем подстановку |(12) . По-
лучим:
к ((А -> В)& В -> (В -> А)) -> ((А -> В)&В -> В) ->
->((А -> В)&В -» А). (1)
А->В,В
В аксиоме П2 сделаем подстановку J(ll2):
к(А-»В)&В ->В, (2)
к(А В)-> (В-> А). (3)
А-»В,В
В аксиоме II, сделаем подстановку J(^i):
k(A-»B)&B -» (А-> В) . (4)
Из (3) и (4) получим
к(А-»В)&В->(В-> А). (5)
Из (1), (2), (5) по ПСЗ к(А -» В)& В -> А .
8) Указание. См. §7 главы 2 части I.
2. 7.1) Запишем вывод из Н: А, А -> (В -> А), В -> А.
2) Запишем вывод из Н:
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 261
А-У В, В^С, (в-»с)->(а->(в-»с)), А-»(В->С);
(л 4 (В -> С)) -> ((Л В) -> (А С)), (А -> В) -> (А -> С),
А-»С.
3) Запишем вывод из^Н:_
А->С, (А-> С)-> (с-> А), С->А.
4) Запишем вывод из Н: _
А —> В, В, А В -> (в -> а) , В -» А, А .
5) Запишем вывод из Н:
А, А->В, А-»А, А-» В , В.
6) Докажем, что из Ht = [А -> В, А&С}|~В&С . Тог-
да останется применить теорему дедукции. Запишем
вывод: А —> В , А&С, А&С->А, А&С —> С, А, В, С,
В&С. Тогда по теореме дедукции
{А-»В,А&С} I-B&C
{а-»в}[-а&с-»в&с-
7) Запишем вывод из Н:
АВ, (А^> В)-+(С^>(А^> В)), С^(А^В),
(С -> (А -> В)) -»((С -> А) -> (С -> В)), (С -> А) -> (С -> В).
8) Из Hi = {А -> В, В -> С} р А -> С. Тогда по теореме
дедукции {А -» В}Р [В -> С} -> (А -» С).
9) Запишем вывод из Н‘. А -»(в -* С),
(А -> (В -> С)) -> (В -> (А -> С)), В -> (А -> С).
10) Сначала докажем, что
P(A-»B)->(A->BvC). (1)
Для этого докажем, что = {А -» В,А}|-В vС. За-
пишем вывод из Н,: А -> В , А, В, В -> BvC, BvC.
Отсюда по обобщенной теореме дедукции справедливо
(1). Теперь докажем 10). Запишем вывод из Н'.
А-*В, {А^ B)^{A^B\fC), A->BvC,
(А -» (В v С)) -» ((С -> В v С) -> (A v С -> В v С)),
C-»BvC, (C->’BvC)->(AvC-»BvC),
AvC-»BvC.
2.8. 1) Возьмем совокупность формул
Н = {х-> у, у -> г,х] .
262 Задачник-практикум по математической логине
Докажем, что Hj-z. Запишем вывод из Н’. х-*у,
у -> г, х, у, г. Тогда по обобщенной теореме дедукции
P(*-»iO-*((»-**)-*(*-**)).
2) Из Н = {А-> B}\-AvC-*BvC (см. № 2.7. 10)).
Тогда по теореме дедукции р(А -» в) -> (A v С -> В v С).
3) Из Н = {А -> В}Р(С -> А) -> (С -> В) (см. № 2.7. 7)).
Тогда по теореме дедукции |-(А -> В) -> ((С -> А) -> (С -> В)).
2.9. Указание. См. §7 главы 2 части I.
2.10. 1) \-х&у —> х&у • Используя правило разъеди-
нения посылок, получим рх -» (у -» х&у).
2) р(А —> В) —> (в —> а) . Используя правило соеди-
нения посылок, получим |-(А->В)&В -> А.
3) Рх-»(х-»у). (1)
А,В
Используя подстановку JCO, получим
Ра-»(а’^в).
Используя правило перестановки посылок, получим
рА->(А->В).
2.11. 1) По условию
РА. (1)
Используем аксиому II,:
рА&В->А- (2)
Применим к формуле (2) правило контрпозиции.
Получим:
рА-> А&В- ___________ (3)
Из формул (1) и (3) по ПЗ получим рА&В.
2) По условию
РА. (1)
Используя аксиому П^:
PA->AvB. (2)
Из формул (1) и (2) по ПЗ получаем рА v В.
3) По условию
Ра. (1)
Запишем доказуемые формулы:
РА-»(В->А),_ (2)
Р(В -> А) -» (А -> в). (3)
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 2вЗ
Применяя правило силлогизма к формулам (2) и (3),
получим
I- J -> В • (4)
Применяя оба правила снятия двойного отрицания
к формуле (4), получим |-А -> В.
4) По условию
l-s. (1)
Воспользуемся аксиомой It:
кВ^(А^В). (2)
Из формул (1) и (2) по ПЗ получаем |-А -> В .
5) По условию
l-A&B. (1)
Используем аксиому Пх:
кА&В-»А. (2)
Из (1) и (2) по ПЗ |- А •
6) По условию
Г-в. (1)
Используем аксиому П2:
|-А&В-»В. (2)
Применим к формуле (2) правило контрпозиции.
Получим
[~В->А&В- (3)
Применяя к формулам (1) и (3) ПЗ, получим [-А&В .
7) По условию
[-А В, (1)
|-В. (2)
Воспользуемся аксиомой 1УХ:
к(А->в)->(в-»А). (3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим |-А .
8) По условию
kA, (1)
|-В. (2)
264 Задачник-практикум по математической лоайОе
Возьмем аксиому П3 и сделаем в ней подстановку
А,В,А
|(ll3), получим
Р(А -+А)-+ ((А -> В) -+ (А -> А&в)). (3)
Воспользуемся доказуемыми формулами:
1-А-+А, (4)
РВ->(А->В). (5)
Из (3) и (4) по ПЗ
Р(А-» В)-> (А-> А&В). (6)
Из (5) и (6) по правилу силлогизма
F-B-»(A->A&B). (7)
Из (1), (2) и (7) по ПСЗ \-А&В.
9) По условию
Ра, (1)
РВ. (2)
Как было доказано при условиях (1) и (2)
I-A&B. (3)
Воспользуемся доказуемой формулой
рА&В-> AvB- (4)
Из (3) и (4) по ПЗ РAvB.
10) По условию
Ра, (1)
РВ. (2)
Воспользуемся доказуемой формулой
Р(А-» В)-> (А-» В). (3)
По правилу перестановки посылок из формулы (3)
получаем
рА-» ((А-> В)-> в) . (4)
Из формул (1) и (4) по ПЗ
Р(А->В)-»В. (5)
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 265
Из формулы (5) по правилу контрпозиции
|-В -> А-*В • (6)
Из (1) и (6) по ПЗ \-А-*В.
11) Указание. В аксиоме Ш3 выполнить подстанов-
А,А,А
ку J(ni3) и затем воспользоваться ПСЗ.
12) Решение аналогично пункту 11).
13) По условию
|-А-»В, (1)
1-А-^В. (2)
Воспользуемся доказуемой формулой
Ца->в)-»(в-> а). (3)
Из (1) и (3) по ПЗ
|-В->А. (4)
Из (4) и (2) по правилу силлогизма
|-В->В. (5)
Из (5) по ранее доказанному |-В •
14) По условию
|-А->В. (1)
|-А-> В • (2)
Воспользуемся доказуемой формулой
|-(А->В)-»(В-»а). (3)
Из (1) и (3) по ПЗ
|-В-»А. (4)
Из (2) и (4) по правилу силлогизма
\-А->А- (5)
Из формулы (5) по ранее доказанному |-А *
2.12. 1) B00i(A) = 1 => Н = {xi,x2,x3} |-А. Вывод:
хи х2, х3, х3 -» («1 v х2 -> х3), х, v х3 -> х3.
*Ллх
<— Л/\х *2€И‘х-\н
‘/?лх<- fhgx ‘fi-qx *(zsyx<-/Jax)<-
•y-|{z‘/j‘x} = #<=T = (y)”°tf(Z
• Язу X <— Лл X
‘/1зуХ<-/?ЛХ ‘ЙЛХ ‘ЙЛХ<-Х ‘(^’Я* <“ 21 л Х) <~
«-Лзух ‘ йзух <- (/?зух <— ft л х) ‘ЙЛХ ‘ЙЛХ4-Х
‘/?зуХ <- (/?зух <-ЙЛх)<-Ллх Цлх) <- (/?зух <-
<-йлх)-|н -у-|{г‘Я‘х} = Я<=О = (у)оот^(1 WZ
• ®х <- гх л 1х ‘(8х <— гх л тх) <— 8х
‘8х‘гх‘тх-]н *у-| {exiZx,lx} = и <= T = (v)olotf(e
• 8х <— гх л ’х ‘ ®х Л ТХ <— гХ зу ТХ ‘ гХ зу ’х ‘ *х
* «- 1Х ‘(8х <- гх л тх) <- гхл ;х ‘^х <- гх л тх) <- гх л тх
,ex‘zxax-\H •у-|{8*‘г-Еах] = н <= Т = (v)l0Itf (2
• y-jff "ач ‘ 8х <- гх л тх ‘(8х <- гх л ’х) «- ех
•^«-SXAbc^-^g *?Х<-(^Г<-ZxA be) ,гхл be ,гхл bc<-
<- (8х <- гх л Tx)j <- (гх л тх) ‘(®х <- гх л тх) <- (8х <- гх л ’х)
textZx ‘br-|H-y-j {8х‘гх‘Ьг}=я <= O = (v)H1tf (т ’8Гг
• ®х <- гх л ’х
*(^х<- zxл Ьс)<- *х • ®Х<- (®х <- гх л тх) ‘®хл \к tZx л \к <- \к
‘^®х<-(®х<- гхл ’*))«- ®ХЛ Ьг ‘(®х<- ®хл Ьг)<-(®х<- гхл Ьс)
tex tZx ‘be :tfosrig • y-| {®x‘®x‘,x} = Ц <=Q = (у)00’# (g
вктои оаюимтнмшт ou нАтшиваи-ипньвдвЕ
мг
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 267
ГЛАВА III
3.1. Предикатами являются предложения 2), 4), 7) - 11).
3.2. 1) IP = {-2,2},
2)1Р = {2}, IQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3.3. Предикаты Р(х) и Q(x) равносильны на множе-
стве М, а на множествах L и К не равносильны.
3.4. 1) Предикат -Jxy =15 является следствием пре-
диката 4х • Jy = 15 ;
2) предикат lg ab = 1 является следствием предиката
Iga + lgd = 1;
3) предикат sin2 х + cos2 х = 1 является следствием
х 2 1
предиката tg х + 1 =--х—;
cos х
4) предикат у - х является следствием предиката
210*х = у;
5) данные предикаты равносильны;
6) предикат (х + у^х - z) = -zy является следствием
предиката х + у = z ;
7) предикат х2 - у2 = 0 является следствием преди-
ката х3 + у3 = 0 .
3.5. 1) 1Р = {- 2}; 2) 1Р = 0; 4) 1Р = (-1;2).
3.7. 1) 1А&В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18};
2)7В&С = {2};
3) ic&D = {з};
4) IB&D = {6, 12, 18};
5) IB&D ’ {* 9’ 15Ь
6) 1А&Ъ = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14,16,17,19};
268 Задачник-практикум по математической лоаике
7) IS&5 = {1’5’7’11’13’17’19};
8) Ia&b&d = {6,12,18};
9) 1ЛуВ=М\{5,15};
10) IBvC = M\ {9,15};
11) ICvD = {2, 3, 5, 6, 7, 9,11,12, 13, 15, 17,18,19};
12) IBvD = IB U {3,9,15};
13) I-BvD=(M\IB)U{e, 12,18};
14) IBv5 = IB U {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
15) IxvBvB = Af\{5};
16) Ic^a = I-CvA = M\{5};
17) ^c = Iovc = M\{3};
18) IA^B = IAvB = M \ {1, 3, 7, 9,11,13,17,19};
1®) 7(a&b)-»d = IavBvd = {1’ 2» 3, 4, 5, 6};
28) ^A&D-tC ~ ^A&DvC = ^A&D&C = A&D&C = M \ {в} .
3. 10. 1) P(x)&Q(x);
2) P(x)&<?(x);
3) P(x)&Q(x) v P(x)&Q(x);
4) P(x)vQ(x);
5) P(x)vQ(x);
6) P(x)vQ(x);
7) (p(x)& Q(x)) v (P(x)& p(x)) v (q(x)& p(x));
8) (P(x)& Q(x)) v (P(x)& P(x));
9) P(x) v Q(x) v P(x) v (P(x)&Q(x) v P(x)& fl(x) v Q(x)& fl(x));
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 269
3. 11. Истинны высказывания 3), 5), 6), 7), 8), а ос-
тальные высказывания ложны.
3. 12. 1) Данное высказывание истинно при
а е(-oo,0]U[4,+oo) и ложно при а е(0,4);
04 15
2) например, при а =----данное высказывание ис-
4
тинно, а при а = 0 ложно;
3) например, при а = -4 данное высказывание ис-
тинно, при а = -20 ложно;
.4 3
4) например, при а = — данное высказывание ис-
2
тинно, а при а > 2 или а < -2 ложно.
3.13. Выражения 1), 4), 5), 6) являются формулами,
а остальные — нет.
3.14. Истинные утверждения 1), 3), 4), 6), 7), а
ложные - 2) и 5).
3.15. 1) а) - не тождественно истинный и не тожде-
ственно ложный предикат;
б) - тождественно ложный предикат;
в) - тождественно истинный предикат;
г) - тождественно ложный предикат.
2) Для предиката а) ЭхР(х,у) = Q(y)~ IQ = {2,3,4,...}.
3) Истинны предложения б), ж), з), а остальные - ложны.
3.16. См. решение задачи 3.15. п. 3) (б) и е)).
3.17. Парой предикатов, из которых один является
отрицанием другого, является только пара пункта 3).
3.19. 1) Vx{a(x)vB(x)vC(x)),
2) ЗхА(х)&ЗуВ(у),
3) ЗхА(х)& VyB(y),
4) Зх (а(х)&B(x)J v Vx (s(x) v Я(х)),
5) Vx((b(x)&Q(x))v(q(x)&«(x))),
б) Эх Vz/3z(p(x,z/,z)&Q(x,i/, z)).
2Т0 Задачник-практикушпо»мга»ма1пичбетйлоая9
&20. Формуле (*) равносильны формулы 2) и 7), а
остальные не равносильны.
3.21. 1) Справедливость утверждения следует из рав-
носильности Эх Р(х) = Vx F(x);
2) справедливость утверждения следует из равносиль-
ности Vx F(x) s Зх F(x) .
3.22. Приведем контрпример: Пусть Р(х) - любой
не тождественно истинный и не тождественно ложный
предикат, a Q(x) тоже не тождественно истинный и не
тождественно ложный предикат. Тогда ЗхР(х) = 1,
3xQ(x) = l, 3xP(x)&3xQ(x) = 1, а Эх (р(х)&Q(x)) = О
(Q^P).
3.23. Доказательство аналогично 3.22.
3.24. 1) Равносильность справедлива, т.к.
Эх Vi/(F(x)&G(y)) = 3x(F(x)& VyG^)) е 3xF(x)&Чув(у),
Чу 3x(F(x)&G(y)) = Vj/(3xF(x)&G(i/)) = 3xF(x)&Чу G(j/);
2) доказательство аналогично п. 1);
3) см. Решение задачи 3.16.
3.25. Указание. Для доказательства достаточно дан-
ную формулу упростить с помощью равносильных пре-
образований.
3.27. 1) 1А с 1В;
2) 1А = 0,1В - любое подмножество М;
3) 1А а 1В или 1А П1В = 0.
3.28. 1) выполнима, если Р(х) - не тождественно лож-
ный предикат;
2) выполнима, если Р(х) - тождественно истинный
предикат.
3.29. 1) нельзя;
2) можно.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 271
3.30. Указание. Путем равносильных преобразований
доказать, что данная формула является тождественно ис-
тинной.
3.31. Общезначимыми являются формулы 1), 3), 5),
9), 10), 11), 13), 14), 17).
3.32. Указание. Подвергнуть данную формулу рав-
носильным преобразованиям.
3.33. 1) VxByVzBuP(x, у, г, и);
2) 3x(tf(x)v Q(x,y));
3) Vx(p&R(x));
4) SxVy(A(x)&A(y)v А(у)&А(х));
5) Vx3y(J(x) vB(y));
6) Sx3zVy(p(x,y)&Q(z,y));
7) Зх Vy Vz(P(x, у) v Q(x, z));
8) Vx 3y Vz (p(x, y) v Q(y, z)).
3.34. 1) Vx e Af Vy e Af ((x = y) v (x > y) v (x < y));
2) 3L eRtVx e м(|/(х)| < l);
3) Vx e M [(- x e M)& (/(- x) = /(x>
4) ST e R \ {o}Vx e M[(x± T e Af)& (f(x± T) = /(x))];
5) Vxt e M Vx2 e Af((xt < x2) => < /(x2))j.
3.35. Зх e M By e M ((x = y)& (x > y)& (x < y));
2) VL e R+ 3x e Af(|/(x)| > I,);
3) 3x e Af[ (- x й M) v (/(x) * /(- x))];
4) VT e R \ {0} 3x e Af((x ± T <t M) v (/(x ± T) * /(x))J;
5) 3xt g Af 3x2 e Af((xt < x2)& (f(xt)> /(x2))).
272 Задачник-практикум по математическойлоат
3.36. Доказательством несправедливости утвержде-
ний являются контрпримеры:
1) /(*) = И» хо = 0;
2) гармонический ряд;
3) равнобочная трапеция;
4) функция y = sgn(x) на [-1,1];
5) функция у = х2 на сегменте [1,1];
6) числовая последовательность с общим членом
7) числовая последовательность с общим членом
8) формула ЗхР(х), очевидно, является выполнимой,
но необщезначимой;
9) функция у = х3, хо=О;
10) функция у = х4, х0 = 0 .
3. 38. 1) Условие х = 0 является достаточным, но не
является необходимым;
2) условие х > -3 является необходимым, но не яв-
ляется достаточным;
3) условие х > -2 является необходимым, но не яв-
ляется достаточным;
4) условие х > -1 и х < 3 является достаточным, но
не является необходимым;
5) условие х £ -1 и х <10 не является ни необходи-
мым, ни достаточным;
6) условие - 2 < х < 10 является необходимым, но не
является достаточным.
3. 39. 1. Необходимо, но не недостаточно.
2. Достаточно, но не необходимо.
3. Достаточно, но не необходимо.
4. Необходимо, но недостаточно.
5. Достаточно, но не необходимо.
6. Необходимо, но недостаточно.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ_____;_____________________ 273
7. Необходимо и достаточно.
8. Необходимо и достаточно.
9. Необходимо, но недостаточно.
10. Достаточно, но не необходимо.
3. 40. 1. Для того, чтобы четырехугольник был па-
раллелограммом, необходимо и достаточно одно из усло-
вий: противоположные стороны четырехугольника по-
парно параллельны или две противоположные стороны
равны и параллельны.
2. Необходимыми, но недостаточными признаками
параллелограмма являются: а) пара противоположных
сторон четырехугольника параллельна, б) две противо-
положные стороны четырехугольника равны.
3. Достаточными, но не необходимыми признаками
параллелограмма являются: а) в четырехугольнике все углы
прямые, б) в четырехугольнике диагонали взаимно-пер-
пендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
4. ]а| < 2.
6. q = 0 .
3.41. Ответ Коли равносилен тому, что сказали ро-
дители.
ГЛАВА IV
4. 1. Любая примитивно рекурсивная функция полу-
чается из простейших функций с помощью конечного
числа применения операций суперпозиции и примитив-
ной рекурсии. Но простейшие функции 1(х), О(х) и
I"(«!,...,хп) всюду определены, а применение к ним опе-
рации суперпозиции и схемы примитивной рекурсии
приводит к функциям, которые всюду определены.
4. 2. Функции g(x1,x2,x3,...,xn} ^(х1,х2,х3,...,хп}
^(х1,х2,х3,...,хп,х„+1) и ft(x1,x2,x3,...,xn_1) получаются из
функций /(х1гхг,ха,...,хп) и 1^(х1,х2,...,х„) (т = 1,2,...,п)
суперпозициями:
274 Задачник-практикум по математической ловит
1) gfa,x2,x3,...,x(,)=/[r2fa,...,x(,} /‘fa.......хД
/’fa,...,xj /n"fa,...,x„)];
2) ^fa,x2,x3,...,xB)=/[fM2fa,...,xB} /;fa,...,x„),
-r‘(xi.....xM)J;
3) y(x1,x2,x3,...,xB,xB+1) = 47Lfa»--»*n+il
*»+i fa»-
4) ftfa,x2,x3,...,xB_1)=/[/в_1(х1,...,хв_1^ -^п-ifa»•••»хд_1),
• » /,’-ifa.-.Vii
4. 3. Пусть /(х1,х2,...,хв) получена из функций О(х) и
/“ (xj, х2,..., х„ ) с помощью операций суперпозиции и схем
примитивной рекурсии. Тогда /(о,...,о) = 0 , и из условия
Xj < 1, х2 < 1, ..., х„ < 1 следует, что 1. Функ-
ции х + 1 и 2х этим двум условиям одновременно не удов-
летворяют.
4. 4. 1) Функция р(х,у) = х-у может быть получена
из простейших функций с помощью схемы примитив-
ной рекурсии. Действительно, т.к. для функции Р(х,у)
верны тождества
Р(0,х)=х-0 = 0 = о(х),
Р(у +1, х) = х - (у +1) = х • у + х = х + р(х, у) = sfa Pfa у)\
то функция Р(х, у) получается по схеме примитивной
рекурсии из функций О(х) и S(x, у) - х + у , которые яв-
ляются общерекурсивными и, значит, функция Р(х, у)
общерекурсивна.
2) Функция g(x, у) = ху удовлетворяет соотношениям:
G(O,x)=Q(xX _
G(y +1, х) = p(g(x, у), x)j * ледова
х° = 1,
х"+1 = ху-х, ’
или
тельно, функция G(x, у) может быть получена по схеме
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ т
примитивной рекурсии из общерекурсивных функций С\
и Р и поэтому является общерекурсивной.
, , fx-1, если х > О
3) Функция 01X1 = < удовлетворяет
' ' 10, если х = О
«ф)=о *(<>)=ofr)
соотношениям: ^ + 1) = у| или ^ + 1) = /2Шу)|.
Значит, функция <?(х) получается по схеме примитив-
ной рекурсии из общерекурсивных функций и поэтому
сама является общерекурсивной.
4) Чтобы доказать, что усеченная разность является
общерекурсивной функцией, докажем предварительно, что
общерекурсивной функцией является функция одной пере-
менной х -1, которая получается из усеченной разности
путем фиксирования второго аргумента. Действительно,
функция х -1 удовлетворяет следующим соотношениям:
0-1 = 0 = 0(х| 1
(х + 1)-1 = х = /г(х, j/)J
и, значит, может быть получена из простейших функ-
ций по схеме простейшей рекурсии и поэтому является
общерекурсивной.
Теперь ясно, что функция х - у при любых х и у
удовлетворяет равенствам:
х-0 = х = /j(x,y),
х - (у +1) = (х - у) -1.
Эти тождества показывают, что усеченная разность
может быть получена из функций ^>(х)= 1г(х,у) и
у/(г, х, у) = Л(г) по схеме примитивной рекурсии и, зна-
чит, является общерекурсивной.
5) Функция |х - у| может быть представлена в виде:
|х-у| = (х-у) + (у-х) = s(x-y,y-х),
276 Задачник-практикум по математической лоаме
т.е. функция |х - г/| получается из общерекурсивных фун-
кций S, х-у, у -х с помощью операции суперпозиции
и, следовательно, является общерекурсивной.
6) Функцию sgn(x) можно определить с помощью
простейшей рекурсии, используя равенства:
sgnfo) = 0 sgn(o)=0(x)
sgn(z/ +1) = 1] sgn^ +1J = Сх {у JJ
ч (О, если х * О
7) Функция sgn(x) = •( и, следовательно,
' [1, если х = О
sgn(x)= 1 - sgn(x). Таким образом, функция sgn(x) полу-
чается с помощью операции суперпозиции из функций
± и sgn(x), каждая из которых общерекурсивна и по-
этому функция sgn(x) общерекурсивна.
8) Функция х! удовлетворяет равенствам
0! = 1, 0! = С,(х),
(у +1)! = у!(у +1), nJ"* (у +1)! = 1}(р(у1,Я(у)),х,у),
т.е. функция х! может быть получена по схеме примитив-
ной рекурсии из общерекурсивных функций Сг и
и поэтому функция х! общерекурсивна.
4.5. Программа реализации на машине Тьюринга
алгоритма вычисления функции имеет вид:
во 0 1 2 3 4 5 в 7 8 9
91 4Н<?0 5Н?0 6Нд0 7Н<?0 8Н9о 9Н9о ОЛ<72 1Л<?2 2Л9а ЗЛ9а
9а 1Н<?0 1Н<?0 2Н<?0 ЗНд0 4Н<?0 5HQo 6Н?0 7Н<?0 8Н9о 9Н9о 0Л91
4.8. Программа реализации на машине Тьюринга
алгоритма вычисления функции ^(п) = 0 имеет вид:
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
277
«0 1
91 а0Нд2 |П?х
а0Лд3
9з аоН9о а0Лд3
Здесь внешний алфавит машины - есть множество
символов |а0,| |, а начальная конфигурация может быть
любой, при которой управляющая головка обозревает
клетку, содержащую палочку.
4.7. Внешний алфавит машины, очевидно, состоит из
двух символов {oq,|}. Пусть при начальной конфигура-
ции запись на ленте воспринимается машиной в стандар-
тном положении. Своевременной остановки машины можно
добиться путем смены состояний машины после каждого
такта. Это и учтено программой машины, внутренний
алфавит которой содержит три состояния - qt, q2, q3 •
«0 1
91 <»оП91 воЛ9г
«0Пд2 аол9в
Ча а»Н9о |н9о
4.8. Очевидно, для решения задачи машине в началь-
ном состоянии при конфигурации
а0 х, ха ... х„ а0
91
необходимо заменить букву на Од и, двигаясь вправо
до первой пустой клетки, вписать в нее букву . Т.к. в
алфавите всего две буквы Oj и а2, то для правильного
решения задачи необходимо еще два состояния: q2 впи-
сывает букву Ох, если = ах» ?з вписывает букву а2,
если «х = а2. Поэтому программа машины имеет вид:
«0 «1 «2
«оПд8 апП<7а
9a «1Нд0 а,Пд2
Ча <»1п9з а2Пд8
278 Задачник-практикум по математической лоашм?
4.9. Ясно, что в начальной конфигурации управляю-
щая головка машины должна обозревать пустую клетку,
первую от слова х справа, если х * 0, и любую, если х = 0:
«о I
I I I «о
91
В первом такте работы машины необходим сдвиг ее
влево и переход в новое состояние q2. Если и здесь обо-
зревается пустая клетка, то х = 0, и машине необходим
сдвиг вправо и переход в стоп-состояние. Если в состоя-
нии q2 управляющая головка обозревает символ |, то
х * 0, и палочку следует оставить, переходя влево в но-
вом состоянии да. Если при этом обозревается пустая
клетка, то процесс вычисления закончен, и нужно пе-
рейти вправо в стоп-состояние. Если же в состоянии д3
обозревается вновь символ |, то его нужно стереть и пе-
рейти влево в том же состоянии д3. В этом состоянии
машина должна работать до тех пор, пока управляющая
головка не выйдет на пустую клетку. На этом процесс
вычисления заканчивается и необходимо для оформле-
ния результата перейти в состояние д4, которое будет
совершать сдвиги машины до единственного оставшего-
ся символа |, на котором и следует перейти в стоп-состо-
яние. Т.о., программа машины имеет вид:
% 1
91 а0Лд2
92 а0Пд0 1
9я а„Пд4 а0Лда
ОоПд4 |Н?0
4.10. Нетрудно видеть, что, проводя рассуждения как и
в задаче 4.9., можно ограничиться тремя активными состо-
яниями , q2, q3 и получить программу машины в виде:
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 27»
«0 1
91 |Л9г
92 «оП9о |Н<73
9з а0Н94 а0Л93
4.12. Для решения поставленной задачи работу маши-
ны Тьюринга можно представить следующим образом: во
внешний алфавит машины включены четыре буквы:
{а0,|,а,/7}. Символ | (палочка) обозначает единицу, а а и
Р играют роль временных палочек. Число записано на
ленте в виде набора п палочек. Это слово воспринимается
машиной в стандартном положении. Например,
«о I I I I “о •
91
В первом такте работы машины осуществляется сдвиг
вправо и машина остается в состоянии . При этом маши-
на вписывает в пустую клетку букву а, сдвигается влево и
переходит в состояние q2. В состоянии q2 машина в каж-
дом такте сдвигается влево, оставляя без изменений буквы
а и Р. При достижении буквы | в состоянии q2 Ъуквл |
заменяется на Р, осуществляется сдвиг влево и переход в
состояние q2. Если при этом управляющая головка обозре-
вает пустую клетку, то машина переходит в состояние д4.
Если же управляющая головка в состоянии машины q2 обо-
зревает букву |, то, оставаясь на месте, машина переходит в
состояние Q]. В состоянии машина движется вправо до
первой пустой клетки, оставляя при этом на месте буквы |,
а, Р • Достигнув пустой клетки в состоянии qv машина
вписывает в нее букву а и далее процесс повторяется.
280 Задачтж-практикулмюматематичвеиы^яавшп
Машина будет работать до техпор, пока все палочки не
будут заменены на буквы Р (столько же букв а впи-
сано в пустые клетки).
При этом машина перейдет в состояние д4. В состоя-
нии д4 машина двигается вправо, заменяя буквы а и Р на
палочки. Достигнув пустой клетки в состоянии q4 машина.
переходит в стоп-состояние. Следовательно, программа ма-
шины имеет вид:
«0 1 а Р
91 оЛд2 |п?1 «П«1 P^Qi
?2 PKqa оЛд2 рп<ъ
9з ОоПд4 |н91
9« а0н9о |п?4 |Пд4
4.13. Будем записывать число п на ленте в виде набо-
ра п палочек. Работу машины Тьюринга можно предста-
вить следующим образом. Пусть начальная конфигура-
ция совпадает со стандартным положением машины
Тогда машина начинает двигаться влево, меняя состоя-
ния qi на q2, q2 на qa и т.д., на qp, a qp на qa. Тогда
возможны два случая:
1) машина увидит пустую клетку в состоянии
(это значит, что число непустых клеток было кратно р).
Тогда машина переходит в состояние qptl и далее «сти-
рает» все «палочки», ставит одну палочку и переходит в
стоп-состояние.
2) машина увидит пустую клетку в состоянии дА(Л * 1)
(это значит, что число непустых ячеек было не кратно
р). Тогда машина переходит в состояние qp+a и далее
«стирает» все «выюшси» и останавливается.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 281
В связи со сказанным программа машины запишется
так:
«• 1
91 «0П9,+1 |Л92
92 ао^9,+а |Л9з
... ... ...
9,-1 ао^9,+з |Лд,
9, «оП9,+1 |Л$1
?р+1 |н?0 ОоНдр+2
9,+2 «оПдр+1
Qp+3 <*оН9о °0^9,+4
9,+4 «<Д9,+з
В частном случае при р = 3 эта программа будет
иметь вид:
а0 1
91 |П?4 |Лд2
9з %П9в |Лд3
9з а<Д9в |Л&
94 |н9о а0н96
9в «оП94
9в «он9о |Нд7
9т «оПдв Ooll9e
ЛИТЕРАТУРА
1. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгорит-
мов. - Саратов: Издательство Саратовского университета, 1991.
2. Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логи-
ке. М.: Просвещение, 1986.
3. Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей. - М.: Мир, 1977.
4. Лавров И. А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов.- М.: Наука, 1975.
5. Лихтарников Л. М., Задачи мудрецов: Книга для уча-
щихся. - М.: Просвещение: АО “Учебная литература”, 1996.
6. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: На-
ука, 1965.
7. Математическая.логика (Под общей редакцией А. А.
Столяра и др.). - Минск: Высшая школа, 1991.
8. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.:
Наука, 1976.
9. Михайлов А. Б., Плоткин А. И. Введение в алгебру и
математический анализ. Сборник задач 1. Высказывания. Пре-
дикаты. Множества. - Санкт-Петербург, 1992.
10. Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.:
Наука, 1973.
11. Черч А. Введение в математическую логику. - М.: Мир, 1960.
12. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции ал-
гебры логики и классы Поста. - М.: Наука, 1966.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...........................................3
Часть I
Курс лекций по математической логике
Введение..............................................5
ГЛАВА I. АЛГЕБРА ЛОГИКИ
§ 1. Понятие высказывания..........................9
§ 2. Логические операции над высказываниями.......10
§ 3. Формулы алгебры логики.......................14
§ 4. Равносильные формулы алгебры логики...........16
§ 5. Равносильные преобразования формул............20
§ 6. Алгебра Буля..................................21
§ 7. Функции алгебры логики........................23
§ 8. Представление произвольной функции алгебры логики
в виде формулы алгебры логики......................25
§ 9. Закон двойственности......................... 27
§ 10. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная
дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ)........29
§ 11. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная
конъюнктивная нормальная форма (КНФ и СКНФ)........31
§ 12. Проблема разрешимости.......................34
§ 13. Некоторые приложения алгебры логики.........37
ГЛАВА II. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Понятие формулы исчисления высказываний......46
§ 2. Определение доказуемой формулы...............48
§ 3. Производные правила вывода...................53
§ 4. Понятие выводимости формулы
из совокупности формул.............................56
§ 5. Понятие вывода...............................58
§ 6. Правила выводимости..........................59
§ 7. Доказательство некоторых законов логики......64
§ 8. Связь между алгеброй высказываний
и исчислением высказываний.........................68
§ 9. Проблемы аксиоматического исчисления
высказываний......................................76
ГЛАВА III. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Понятие предиката............................83
§ 2. Логические операции над предикатами..........85
§ 3. Кванторные операции..........................87
§ 4. Понятие формулы логики предикатов............90
284
§ 5. Значение формулы логики предикатов.............92
§ 6. Равносильные формулы логики предикатов.........93
§ 7. Предваренная нормальная форма..................96
§ 8. Общезначимость и выполнимость формул...........98
§ 9. Пример формулы, выполнимой в бесконечной области
и невыполнимой ни в какой конечной области........101
§ 10. Проблема разрешимости для общезначимости
и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае
(без доказательства)..............................102
§11. Алгоритмы распознавания
общезначимости формул в частных случаях...........103
§12. Применение языка логики предикатов для записи
математических предложений, определений,
построения отрицания предложений..................106
§13. Замечание об аксиоматическом
исчислении предикатов.............................113
ГЛАВА IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
§ 1. Язык первого порядка..........................116
§ 2. Термы и формулы...............................117
§ 3. Логические и специальные аксиомы.
Правила вывода.....................................118
§ 4. Примеры математических теорий
из алгебры, анализа, геометрии.....................120
§ 5. Доказательство в теории.......................123
§ 6. Доказуемость частных случаев тавтологий..... 124
§ 7. Теорема дедукции..............................124
§ 8. Интерпретация языка теории....................127
§ 9. Истинностные значения формул
в интерпретации. Модель теории.....................128
§ 10. Изоморфизм интерпретаций.
Категоричность теории..........................,..130
§11. Проблемы непротиворечивости,
полноты, разрешимости теории......................132
§12. Непротиворечивость исчисления предикатов
(теории без специальных аксиом)...................135
§13. Теория натуральных чисел.....................136
§14. Теорема Геделя о неполноте...................138
ГЛАВА V. АЛГОРИТМЫ
§ 1. Понятие алгоритма и его характерные черты.....139
§ 2. Разрешимые и перечислимые множества...........141
§ 3. Уточнение понятия алгоритма...................143
§ 4. Вычислимые функции. Частично рекурсивные
и общерекурсивные функции..........................146
285
§ 5. Машины Тьюринга........................... 152
§ 6. Нормальные алгоритмы Маркова.............. 163
§ 7. Неразрешимые алгоритмические проблемы
(обзор)....................................... 166
Часть II
Задачник-практикум по математической логике
ГЛАВА I. АЛГЕБРА ЛОГИКИ
§ 1. Высказывания и логические операции над ними.
Формулы алгебры логики.........................174
§ 2. Равносильные формулы алгебры логики........181
§ 3. Функции алгебры логики.
Совершенные нормальные формы...................186
§ 4. Приложения алгебры логики................. 194
ГЛАВА II. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Исчисление высказываний.........................204
ГЛАВА III. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Понятие предиката.
Логические и кванторные операции над предикатами... 214
§ 2. Понятие формулы логики предикатов.
Равносильные формулы логики предикатов.........223
§ 3. Общезначимость и выполнимость формул.
Предваренная нормальная форма (п.н.ф.).........230
§ 4. Применение логики предикатов в математике..234
ГЛАВА IV. АЛГОРИТМЫ
§ 1. Частично рекурсивные и общерекурсивные функции.... 242
§ 2. Машина Тьюринга............................245
Ответы, указания, решения
ГЛАВА I.........................................251
ГЛАВА II........................................258
ГЛАВА III.......................................267
ГЛАВАМ..........................................273
Литература......................................282
Л. М. Лихтарников
Т.Г. Сукачева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Курс лекций
Задачник-практикум и решения
Генеральный директор А Л. Кноп. Директор издательства О. В. Смирнова
Главный редактор Ю. А Сандулов. Художественный редактор С. Л. Шапиро
Корректор А М. Гроссман, Верстальщики П. И. Куренное, Д. А. Потрекий
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.10.07.952.Т.11668.01.99
от 19.01.99, выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 277
для писем: 193029, Санкт Петербург, пр. Елизарова, 1
Тел.: 262-2495,262-1178, 267-1368,267-2792,265-0088, 567-5493
Филиал в Москве: Москва, 7-я ул. Текстильщиков, д. 5, тел.: (095) 919-96-00
Филиал в Краснодаре: 350072, Краснодар, ул. Зиповская, д. 7, тел.: (8612)57-97-81
e-mail: lan@lpbl.spb.ru, root@lanpbl.spb.ru,
pbl@lpbl.spb.ru (издательский отдел), trade@lpbl.spb.ru (торговый отдел),
poat@lpbl.spb.ru (книга почтой)
Подписано в печать 01.02.99.
Бумага газетная. Формат 84X108 '/82.
Печать высокая. Уч. п. л. 9. Тираж 3000 экз. Заказ № 594.
Отпечатано с фотоформ в ГПП «Печатный Двор»
Государственного комитета РФ по печати.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.
1Ш1