/
Author: Айзенберг И. Грайнер В.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика механика монография квантовая механика микроскопия
Year: 1976
Text
УДК 539.144
7Б2273
NUCLEAR THEORY
Volume 3
MICROSCOPIC THEORY OF THE NUCLEUS
Judah M. EISENBERG Professor of Physics Z" /'
University of Virginia, Charlottesviiie, Virginia, U. S. A_
Walter GREINER Professor of Theoretical Physics
Johann Wolfgang Goethe Universitat, Frankfurt am Main,
W. Germany
1972 '
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY —
AMSTERDAM • LONDON
Айзенберг И., Грайнер В. Микроскопическая теория
ядра. Пер. с англ. М.» Атомиздат, 1976, с. 488.
Последний, третий том монографии «Теория ядра»
(первые два тома уже переведены н изданы Атомиздатом)
посвящен изложению основ современной микроскопи-
ческой теории ядра. Рассмотрены нуклон-нуклонные
взаимодействия и проблема двух- и трехиуклоииых
систем, ядерная материя и формальная теория многочас-
тичных систем, теория структуры тяжелых ядер . и кол-
лективные состояния.
Книга доступна лицам, изучившим обычный, одного-
дичный курс квантовой механики. Так же как и н пер-
вых двух томах, авторы приводят подробные выводы ос-
новных результатов. Сочетание тщательного отбора
материала н большое педагогическое мастерство изложе-
ния делают книгу полезной как студентам, так н спе-
циалистам (теоретикам и экспериментаторам), работаю-
щим в области физики ядра н в смежных областях.
Таблиц 31, рисунков 115, список литературы 551
наименование.
20402—026
034(01)—76
26—76
© Перевод на русский язы*
Атомиздат, 197S
ОГЛАВЛЕНИЕ
jhr>ir> ир переводчиков........................................... 7
Провес»«ие ..........................................10
Глава 1. Введение.................................................13
СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ И ТРЕХ НУКЛОНОВ
Главу. 2. Нуклон-нуклониое взаимодействие.................t . . 23
§ 2.1. Явления при низких энергиях ................24
2.1. -1. Дейтрон ..............................
-2.1.2. Теория эффективного радиуса....................
§ 2.2. Фазовый анализ.....................................
2.2. 1. Рассеяние нейтрона на протоне, ...........
22.2. Рассеяние протона на протоне...................
, 2.2.3. Тензорные силы...........................• . .
2.3. Виды нуклон-нуклоииых взаимодействий...............
j 2.3.1 Одиопноииый обменный потенциал......................
' - 2.3.2. Феноменологические потенциалы ...............
IgggSSiSStgE!
Глава 3. Проблема трех нуклонов ................................79
4 3.1. Общий формализм ...................................80
$ 3.2. Уравнения Фаддеева.................................89
§ 3.3. Примеиеине уравнений Фаддеева для описания трех-
нуклонной системы ...................................93
ЧАСТЬ II. ЯДЕРНАЯ МАТЕРИЯ
Глава 4. Формальная теория многочастичных систем .............99
$ 4.1. Предварительные сведения о вторичном квантовании
и гамильтониане ядра ....................................100
§ 4.2. Представление взаимодействия в оператор временной
эволюции ................................................104
4 4.3. Теория возмущений для оператора временной эволюции 108
4 4.4. Теорема Вика ......................................ИЗ
§ 4.5. Диаграммы Фейнмана....................' . .117
Глава 5. Бесконечная ядерная материя............................127
§ 5.1. Матрица реакции ...................................129
- 4 5.2. Спектр сравнении..................................136
4 5.3. Одночастичиые потенциалы .........................143
• 4 5.4. Трехчастичные корреляции в ядериой материн .... 149
5.5. Результаты расчетов ядериой материи ...... 156
3
157
ЧАСТЬ 1П. ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ ЛЕГКИХ ЯДЕР
Глава 6. Метод Хартри—Фока, частично-дырочный формализм и при-
ближение хаотических фаз ........................................
§ 6.1. Метод Хартри—Фока...........................157
6.1.1. Основное состояние в методе Хартри—Фока. . . 160
6.1.2. Возбужденные состояния................. 163
6.1.3. Теорема Коопмана.........................165
6.1.4. Ограничения метода Хартри—Фока...........166
§ 6.2. Частично-дырочный формализм.................168
§ 6.3. Приближение хаотических фаз.................186
6.3.1. Уравнения движения в приближении хаотических
фаз.............................................187
6.3.2. Переходы и правила сумм в приближении хао-
тических фаз....................................192
6.3.3. Зависящий от времени метод Хартри—Фока . .194
Глава 7.
Применение метода Хартри—Фока и частично-дырочного
формализма .........................................
196
§ 7.1. Гигантский резонанс в модели оболочек..........197
§ 7.2. Схематические модели...........................199
§ 7.3. Возбуждение гигантского резонанса..............202
7.3.1. Фотовозбуждение............................202
7.3.2. Возбуждение электронами....................204
7.3.3. Захват мюонов............................ 208
7.3.4. Радиационный захват пионов.................210
7.3.5. Теория супермультиплетов...................211
§ 7.4. Низколежащие возбуждения.......................216
§ 7.5. Выход за рамки одночастично-однодырочной теории 217
7.5.1. Примеси высших конфигураций................217
7.5.2. Состояния положительной четности в ядрах с за-
полненными оболочками..............................221
7.5.3. Возбуждения ядер с незаполненными оболочками. 222
§ 7.6. Использование реалистических нуклон-нуклонных взаи-
модействий в расчетах конечных ядер....................223
7.6.1. Результаты расчетов методом Хартри—Фока с не-
сингулярными силами................................224
7.6.2. Результаты расчетов методом Хартри—Фока с син-
гулярными силами...................................227
7.6.3. Эффективное, взаимодействие................229
Глава 8. Вращение ядра.....................................232
§ 8.1. Приближенный метод Хартри—Фока...............233
8.1.1. Итерационная процедура для уравнения Хартри—
Фока...............................................233
8.1.2. Свойства симметрии решений Хартри—Фока. . . . 234
8.1.3. Результаты расчетов.......................235
8.1.4. Упрощенная модель.........................240
8.1.5. Эффекты спин-орбитальной связи............241
8.1.6. Проектирование на состояния с определенным уг-
ловым моментом....................................242
§ 8.2. Схемы классификации SU3.......................245
8.2.1. Теория групп в квантовой механике.........245
8.2.2. Осцилляторные кванты и группа SUa.........248
8.2.3. Схема Юнга.............................. 251
8.2.4. Классификация осцилляторных состояний . . . 257
8.2.5. Состояния с заданным угловым моментом .... 259
8.2.6. Классификация относительно SL/s и Ut......263
8.2.7. Квадруполь-квадрупольное взаимодействие . . . 266
8.2.8. Применение схемы SU3 для классификации состоя-
ний в оболочках 2s и Id............................268
5 8. 3. Схема классификации SU3 ъ физике элементарных час-
тиц....................................................270
ЧАСТЬ IV. ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ СРЕДНИХ И ТЯЖЕЛЫХ
ЯДЕР
Глава 9. Спаривание и квазичастицы................................277
§ 9. 1. Экспериментальное доказательство спаривания. . . .
§ 9. 2. Нуклоны иа одной /-оболочке.......................
§ 9. 3. Схема синьоритн...................................
9.3.1. Две частицы на одной /-оболочке...............
9.3.2. N частиц на /-оболочке........................
9.3.3. Спектр системы с четным числом частиц в /-оболочке
9.3.4. Спектр системы с нечетным числом частиц в /-оболоч-
О Os О £ §8 “5S5 §§ SOT sggggg
9.3.5. Обсуждение и результаты модели синьорити . . .
§ 9.4. Модель квазиспина.............................
§ 9.5. Модель Бардина—Купера—Шриффера ...............
9.5.1. Спаривательный гамильтониан...............
9.5.2. Применение метода Бардина—Купера—Шрнффера
к случаю N частиц на одной /-оболочке............
9.5.3. Решение вариационной задачи...............
§ 9.6. Переход к квазичастицам с помощью преобразования
Боголюбова............. .............................
9.6.1. Преобразование Боголюбова.................
9.6.2. Уравнения Хартри—Фока—Боголюбова..........
§ 9.7. Решение уравнения для щели в ядрах............
9.7.1. Возбужденные состояния в четных и нечетных
ядрах—эффект блокировки..........................
9.7.2. Пример: неколлективвые уровни изотопов РЬ .
9.7.3. Приведенные ширины для нуклонов и нуклонных
§ 9.8. Схематическое решение уравнения для щели......
9.8.1. Энергия основного состояния...............
9.8.2. Флуктуация числа частиц...................
§ 9.9. Поправки к состояниям независимых квазичастиц . .
Глава 10. Коллективное движение в ядрах........................
§ 10.1. Коллективная потенциальная энергия в модели ква-
зиспина................................................
10.1.1. Точный расчет коллективной потенциальной
энергии............................................
10.1.2. Свойства коллективной потенциальной и кинети-
ческой энергий.....................................
§ 10.2. Инерциальные параметры коллективного движения
10.2.1. Метод принудительного вращения.................
10.2.2. Коллективная кинетическая энергия..........
10.2.3. Моменты ннерцин вращающихся ядер...........
10.2.4. Моменты инерции и гиромагнитные факторы в
сверхтекучей модели ядра ..........................
§ 10.3. Реалистические коллективные потенциальные энергии
10.3.1. Расчеты коллективной потенциальной энергии
(КПЭ)....................................................
10.3.2. Коллективные потенциальные энергии ядер редко-
земельной области..................................
§ 10.4. Возможные области существования сверхтяжелых
ядер...................................................
5
10.4.1. Экстраполяция оболочечной модели ...............396
10.4.2 Коллективные потенциальные энергии для сверх-
тяжелых ядер...........................................398
10.4.3. Времена жизни сверхтяжелых элементов .... 402
§ 10.5. Перенормировка коллективной потенциальной энергии . 406
10.5.1 Изомеры двугорбого барьера; изомеры деления . . 408
10.5.2 Метод перенормировки Струтияского................411
§ 10.6.2. Двухцентровая оболочечная модель...................416
ПРИЛОЖЕНИЯ 423
А. Проектирование физических состояний..................423
§ А.1 Конструирование проекционных операторов......424
§ А.2. Практическое проектирование для числа частиц, импульса .
и углового момента ..................................432
А.2.1. Проектирование для числа частиц........432
А.2.2. Проектирование импульса ...........433
А.2.3. Проектирование вращательных состояний .... 434
§ А.З. Метод Пайерлса — Таулеса.............................439
А.3.1. Трансляции ......................................440
Б. Коллективные координаты в последовательной микроско-
пической теории .......................................446
§ Б.1. Общин формализм ..................................... . 447
§ Б.2. Проектирование духовых состояний центра масс . . . 450
Б.2.1. Преобразование гамильтониана.....................450
Б.2.2 Расчет внутренних энергий.........................451
Б.2.3 Духовые состояния центра масс в одночастичных потен-
циалах ................................................452
Б.2.4. Проектирование состояний центра масс в рамках ча-
стнчно-дырочного формализма ........................454
§ Б.З. Проектирование духовых вращательных состояний . . . 455
Б.3.1 Преобразование кинетической энергии...............456
Б.3.2 Гамильтониан духового движения центра масс и враща-
тельного духового движения .......................460
Б.3.3 Гамильтониан внутреннего движения ................462
Б.3.4. Проектирование духовых вращательных состояний . . 463
Б.3.5. Диагонализация вращательной энергии..............464
Б.3.6 Модель Нильссона во вспомогательной системе координат 464
Список литературы............................................... 468
Алфавитно-предметный указатель................................... 485
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Изданием настоящей книги заканчивается перевод на русский
язык трехтомной монографии «Теория ядра» известных физиков-
теоретиков профессоров И. Айзенберга (США) и В. Грайнера
(ФРГ). Вся серия была выпущена в 1970—1972 гг. н кроме настоя-
щей книги включает т. 1 — «Модели ядра (коллективные и одно-
частичные явления)» и т. 2 — «Механизмы возбуждения ядра (элек-
тромагнитное и слабое взаимодействия)»*. Два первых тома в пере-
воде изданы в нашей стране Атомиздатом в 1973 г. (т. 2) и 1975 г.
(т. 1) в соответствии с таким же порядком выхода их из печати за
рубежом.
Том 1 посвящен феноменологическому описанию свойств ядер:
рассматриваются одночастичиые модели, феноменологическая кол-
лективная модель низколежащих колебаний и гигантского резо-
нанса и обобщенная модель. В т. 2 обсуждается возбуждение ядер
частицами, взаимодействие которых с ядром мало по сравнению
с ядерным взаимодействием: рассматривается взаимодействие
ядер с электромагнитным излучением, кулоновское возбуждение,
слабое взаимодействие в ядрах, рассеяние электронов, захват мю-
мезонов, свойства мю-мезонных атомов. В т. 3, посвященном мик-
роскопической теории ядра, обсуждаются проблема двух и трех нук-
лонов, ядерные потенциалы, получаемые с помощью мезонной тео-
рии, так называемые реалистические потенциалы, теория ядерной
материи, основные методы микроскопической теории конечных ядер,
теория спаривания в ядрах и микроскопическое описание коллек-
тивных свойств ядра, рассмотренных ранее феноменологическим
способом.
Как видно уже из данного перечня, вся монография представляет
собой всестороииее и весьма подробное изложение теории струк-
туры ядра и методов ее исследования с помощью известных полей,
слабых по сравнению с ядериым полем. Эти книги в сущности яв-
ляются теоретическим минимумом по теории структуры ядра. Изда-
ние такого масштаба — первое законченное издание в мировой
литературе. Что касается отечественной литературы, то некоторые
* Везде в настоящей книге эти тома обозначаются соответственно т. 1
и т. 2. Ссылка на главы и параграфы т. 2 даются по русскому переводу.
7
вопросы, рассмотренные в монографии, вообще не излагались в на-
шей учебной литературе и монографических изданиях. Прежде все-
го это рассеяние электронов, мю-мезонные атомы, коллективная
динамическая модель дипольного резонанса, рассеяние тяжелых
ионов на ядрах и некоторые другие вопросы.
Трехтомник рассчитан на читателя, изучившего обычный одно-
годичный курс квантовой механики и немного знакомого с ядер-
ной физикой. Главная особенность книг—подробное обсуж-
дение основных результатов и обсуждение тех физических вопро-
сов и предположений, которые, как правило, опускаются в обзо-
рах и монографиях, так как считаются либо известными читателю,
либо само собой разумеющимися. Указанные качества приближают
монографию «Теория ядра» к хорошему учебному пособию и помогут
преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов в пре-
подавании и изучении теории атомного ядра.
С другой стороны, большое педагогическое мастерство и тщатель-
ный отбор материала позволили авторам довести изложение до
такого уровня, что читатель, изучивший нужный ему вопрос по
данной монографии, сможет легко ориентироваться в журнальной
литературе. При этом авторы часто указывают на нерешенные во-
просы, подчеркивают приближенный характер результатов и
обсуждают сделанные приближения.
Выход в свет таких фундаментальных многотомных издании,
посвященных теории Ядра, как «Структура атомного ядра» О. Бора
и Б. Моттельсона, «Теория ядра» И. Айзенберга и В. Грай-
нера, не является случайным. Это вызвано тем, что появились
методы теоретической физики, которые смогли объединить на одной
основе множество разнородных явлений физики ядра. Речь идет
о микроскопическом подходе в теории ядра или методах квантовой
теории поля, которые были первоначально развиты в теории твёр-
дого тела. Таким образом, теоретическая ядерная физика включает-
ся во всю систему теоретической физики, и казавшиеся ранее экзо-
тическими одночастичная модель или модель парных корреляций
таковыми уже больше не кажутся. Тем самым теория ядра из науки,
построенной в основном по принципу аналогий, становится наукой,
в значительно большей степени исходящей из первопринципов всей
теоретической физики. В данном направлении сделаны первые, но
важные шаги. В дальнейшем, по-видимому, предстоит учесть спе-
цифику ядра (прежде всего конечность) в рамках общего микроско-
пического подхода, а также проверить обоснованность различных
моделей ядра.
Настоящий том монографии, посвященный микроскопической
теории ядра, является наиболее трудным для читателя. Это связано
со спецификой темы, поскольку глубокие вопросы обычно требуют
и большей абстракции. .Материал этой книги в целом более знаком
советскому читателю, чем материал остальных томов. Назовем вы-
шедшие у нас монографии и учебные пособия: А. Б. Мигдал «Теория
конечных ферми-систем и свойства атомных ядер», М., «Наука»,
8
1965; А. Лейн «Теория ядра», пер. с англ., М., Атомиздат, 1967;
Дж. Браун «Единая теория ядерных моделей и сил», пер. с англ.,
М., Атомиздат, 1970; В. Г. Соловьев «Структура сложных ядер»,
М., «Наука», 1971; А. Г. Ситенко нВ. К- Тартаковский «Лекции по
теории ядра», М., Атомиздат, 1972 и др. Книга И. Айзенберга и
В. Грайнера отличается от них прежде всего широким охватом ма-
териала и подробностью изложения, которое доведено до уровня, до-
ступного студентам старших курсов. Вместе с тем она представляет
интерес и для специалистов смежных областей, желающих детально
ознакомиться с микроскопическим подходом в теории ядра. Учи-
тывая эти особенности книги, мы не стали доводить изложение до
уровня последних журнальных публикаций, а ограничились
несколькими, на наш взгляд, необходимыми примечаниями. Как
и в обоих предыдущих томах, прн переводе исправлялись мелкие
неточности и опечатки.
Перевод первой половины книги (до § 8.1 включительно) выпол-
нен С. П. Камерджиевым, перевод остальной части— В. П. Край-
новым.
С.П. Камерджиев
В. П. Крайнов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой третий и последний том мо-
нографии, посвященной теории ядра. Эти книги были задуманы
и написаиы потому, что, по нашему мнению, ядерная физика в на-
стоящее время является достаточно хорошо развитой областью,
в которой главные направления теоретического анализа определи-
лись довольно отчетливо. Однако они до сих пор не излагались в до-
статочно подробной и единообразной форме. Поэтому мы поставили
перед собой задачу попытаться описать как можно более подробно
главные теоретические представления физики ядра, считая более
правильным опустить некоторые вопросы, чем давать их беглое из-
ложение. Мы надеемся, что такой метод изложения можно компен-
сировать достаточно обстоятельным рассмотрением отобранных
Вопросов, так чтобы стала понятной применимость соответствую-
щих физических представлений и теоретического аппарата к дру-
гим областям.
Эту программу можно было относительно легко выполнить в двух
предыдущих томах нашей монографии. Том 1 — «Модели ядра (кол-
лективные и одночастичные явления)» — посвящен хорошо усто-
явшимся и завоевавшим всеобщее признание представлениям, ко-
торые с первых дней существования теории ядра развивались для
систематизации и понимания ядерных явлений. В т. 2 — «Меха-
низмы возбуждения ядра (электромагнитное и слабое взаимодейст-
вия)» — рассмотрены пути извлечения информации о ядре из данных,
получаемых с помощью «пробных» частиц, взаимодействие которых
с ядрами слабо по сравнению с ядерным взаимодействием. В обеих
книгах значительное количество материала взято из работ 60-х
годов, но большинство рассмотренных там вопросов обсуждалось
еще раньше. Такая относительная давность до некоторой степени
упростила выбор основных глав и тем; при этом также подразумева-
лось, что взаимосвязь между вопросами, рассмотренными в различ-
ных частях глав, уже исследована довольно полно.
Однако с материалом данного тома положение значительно слож-
нее. Почти весь рассматриваемый здесь материал взят из работ,
выполненных в конце 50-х и в 60-х годах. В этих работах сделаны бо-
лее или менее предварительные попытки объяснить свойства ядер
исходя из фундаментального нуклон-нуклоннего взаимодействия.
Ю
Несомненно, такая цель представляет собой смелый вызов природе,
и в некоторых случаях конечный результат исследований оказывался
весьма неопределенным. Более того, по мере приближения иссле-
дований к современному уровню все большее количество брешей
показывало, какой должна быть — и мы надеемся, что в конечном
счете будет, — цепочка дедуктивных рассуждений, и почти всегда
изложение данного теоретического подхода заканчивалось, по край*
ней мере в настоящее время, знаком вопроса. Мы надеемся, что не-
которые читатели найдут эти вопросы неотразимо интригующими.,
однако в этой монографии мы не рассчитываем на большее, чем
облегчить подходы к изучению нерешенных вопросов ядерной
физики.
Книга начинается с обсуждения проблемы двух и трех нукло-
нов. Это является хорошей подготовкой для рассмотрения свойств
ядерной структуры, исходящего из фундаментального нуклон-нук-
лоиного взаимодействия. Далее обсуждается теория бесконечной
ядерной материн — пример задачи, решение которой имеет весьма
ограниченную цель. Предполагается, что она может быть в ближай-
шем будущем последовательно и весьма полно решена, исходя из
первопринципов. Изучение реальных ядер начинается с описания
частично-дырочного формализма и его приложений. Это необходимо
для того, чтобы, во-первых, иметь единый аппарат для рассмотрения
многих вариантов микроскопических теорий ядериой структуры
и, во-вторых, в рамках микроскопического подхода выявить харак-
терные свойства коллективного движения. Примером последнего
является микроскопическое описание гигантского резонанса (см.
также более подробное обсуждение в т. 2). Далее рассматриваются
теория деформированных легких ядер и их ротационные свойства.
После этого обсуждаются основные представления, которые, вообще
говоря, применимы для микроскопического описания тяжелых ядер,
прежде всего схема сниьорити и переход к квазичастицам. Эти пред-
ставления довольно широко используются для получения коллек-
тивной потенциальной энергии и инерциальных параметров коллек-
тивного движения. (Если указанные параметры определены нз мик-
роскопической теории, то дальнейшее использование коллективного
модельного гамильтониана для расчетов ядерных свойств происхо-
дит так, как подробно рассмотрено в т. 1.) Наконец, мы включили
два приложения о методах проектирования и об использовании
коллективных координат в микроскопической теории, которые имеют
более формальный характер, чем большинство материала в основ-
ном тексте. Читатель может опустить эти приложения без сущест-
венного ухудшения в понимании основных физических представле-
ний микроскопической теории ядра.
Так же как и предыдущие два тома, данный том предназначен
для читателей, изучивших обычный одногодичный курс квантовой
механики. Знание феноменологии ядерной модели оболочек значи-
тельно облегчило бы чтение; достаточный материал для этого имеет-
ся в общем курсе ядериой физики. Более подробные сведения по этой
теме можно найти в т. I. В остальных отношениях три тома в ос-
новном написаны так, что их можно чит ать независимо, но они до-
полняют друг друга.
В,данном томе величины, являющиеся операторами в простран-
стве Фока (пространстве чисел заполнения), отмечаются «крыш-
ками» (например, Й). Соответствующие операторы, действующие
в других пространствах, пишутся без «крышек» (например, й). Это
прямое обобщение наших обозначений в т. 1, поскольку в данном
томе пространство Фока используется широко, и очень удобно иметь
обозначения, которые наглядно подчеркивают соответствующие раз-
личия.
Многие из наших коллег любезно оказывали нам помощь в работе
над всей монографией, н мы приносим им глубокую благодарность.
Среди них те, кто участвовал в обсуждении различных вопросов
материала этого тома: Альбрехт, Олстер, Даиос, Дрешел, Финк,
Фриске, Фильчер., Гарсилазо, Гай, Хесс, Келли, Келсои, Ле-
Турне, Левинсон, Маршалл, Нобл, Риттер, Рон, Шейд, Шоппер,
Спайсер, Шток, Вебер, Вайтхед, Явин.
Мы благодарны доктору Вайтхеду и руководимому им Центру
современных исследований Университета штата Виргиния за боль-
шую поддержку и организационную помощь в процессе нашей
работы. Мы благодарим также Немецкое исследовательское обще-
ство, Федеральное министерство научных исследований и Гессен-
ское министерство по делам культов.
Мы весьма признательны редакторам The Physical Review,
Physical Review Letters, Plenum Press и Reviews of Modern Physics за
любезное разрешение использовать иллюстрации, опубликованные
в их изданиях.
Мы очень обязаны мисс Браун, мисс Кнолле, мисс Лейдер, мисс
Левлейн, мисс Макданиэль и мисс Миллер за их помощь в подготов-
ке рукописи к печати. Мисс Дадакис и мисс Колье помогали нам в
получении библиотечных материалов, мисс Урбанек и мисс Утшиг
делали рисунки. Мы приносим нашу благодарность за всю эту
помощь.
Шарлотсвилл, Виргиния И. Айзенберг
Фраикфурт-на-Майне - В. Грайнер
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
Микроскопическая теория многоэлектронной системы для всех
элементов периодической таблицы была одним из важнейших об-
разцов при построении теории ядра. Когда ядерная физика создава-
лась как новая область, расчеты в рамках метода самосогласован-
ного поля Хартри— Фока [200, 201, 255] для системы электронов
были уже выполнены. Вскоре после открытия нейтрона Чедвиком
[113], Гейзенберг [267] и Д. Д. Иваненко [288] независимо высказали
фундаментальное для ядернон физики предположение о том, что
ядро атома состоит из нуклонов двух сортов — протонов и нейтро-
нов. С тех пор изучение взаимодействия нуклонов стало основной
задачей ядерной физики. Решению этой проблемы значительно помо-
гло бы получение полного двухнуклонного потенциала (вообще полу-
чение трехчастичных и многочастичных сил) в рамках мезонной тео-
рии ядерных сил. Однако решение этой задачи до сих пор не пред-
ставляется возможным. Следовательно, мы должны ограничиться
феноменологическими и полуфеномеиологическими потенциалами,
в которых учтены основные представления мезонной теории.
Эти обстоятельства с самого начала вынудили теоретиков фор-
мулировать физику ядра на более простом языке ядерных моделей*.
Но параллельно этому прагматическому подходу постоянно разви-
валась и микроскопическая теория ядра. Оиа основана на непосред-
ственном использовании феноменологических иуклои-нуклонных
потенциалов в уравнении Шрёдингера для многих нуклонов, в осо-
бенности для систем из двух и трех нуклонов, а также для систем из
Л частиц, например в рамках метода Хартри — Фока. Цель микро-
скопической теории заключается в том, чтобы создать фундамен-
тальную теорию ядра, приводящую к более подробному и глубокому
пониманию физических явлений. История развития микроскопи-
ческой теории имеет по крайней мере три этап а:
1. Первый этап, который следует упомянуть (в противополож-
ность раннему и более легкому начальному пер иоду развития атом-
ной физики), —‘ это выяснение роли обычных,' зависящих от спина
и от изоспина, ядерных сил различных видов (центральные и нецен-
* См. с этой связи подробное описание н интерп ретацию ядерных моде-
лей в т. 1.
13
тральные, статические и иестатическне). Сюда же относится ответ на
вопрос о том, какие виды симметрии являются основными в ядериых
взаимодействиях.
2. Второй этап связан с обнаружением того, что данные о рассея-
нии нуклонов при высокой энергии можно объяснить только нали-
чием сил отталкивания на малых расстояниях (—5 • 10~14 см), ко-
торые обычно вводятся с помощью потенциала с твердой сердцеви-
ной. Свойства конечных ядер и ядер ной материи с таким взаимодей-
ствием должны быть затем поняты в рамках теории многих частиц»,
основывающейся на обычном методе Хартри—Фока.
3. Третий, недавний этап развития включает использование
в микроскопической теории методов, связанных с методом Хартри—
Фока. Результаты применения этих новых методов показывают, что
зависящий от времени метод Хартри — Фока и его эквивалент —
приближение хаотических фаз для квазичастиц — дают довольно
хорошее теоретическое описание, которое подтверждает и помогает
понять результаты феноменологических моделей вибратора, ро-
татора, обобщенной модели и динамической коллективной модели.
В этой связи можно надеяться, что дальнейшее развитие методов»
основанных на обобщении метода Хартри — Фока, позволит полу-,
чить микроскопическое объяснение значительно большему числу
физических эффектов, которые обсуждались в т. 1.
Поскольку микроскопическая теория ядра является сложной
и активно развивающейся областью теоретической физики, в на-
стоящее время, по-видимому, нельзя дать полный исторический об-
зор ее развития. Поэтому мы рассмотрим здесь только ключевые
вопросы, а остальные, возможно, почти такие же важные, опустим.
Ниже приводится краткий обзор важнейших событий, непосредст-
венно связанных с тремя указанными этапами развития микро-
скопической теории ядра.
Первые феноменологические потенциалы (статический, централь-
ный н обменный), которые использовались в микроскопических под-
ходах, былн постулированы Гейзенбергом в 1932 г. [267—2691,
Майорана [3441 в 1933 г., Вигнером [530, 5311 в 1933 г. и Бартлетом
[161 в 1936 г., что позволило получить «точное» решение двухиуклон-
ной задачи. Первый шаг заключался в том, чтобы попытаться по-
нять свойства системы, состоящей из протона и нейтрона. Для полу-
чения свойств дейтрона необходимо было, как показал в 1933 г.
Вигнер [530, 5311, приписать ядерным силам большую величину
и короткодействующий характер. Вигнер и Вик [532] впервые сфор-
мулировали задачу яр-рассеяния. Вигнер [5331 в 1937 г. указал на
существенную зависимость ядерных сил от спина системы двух
нуклонов — факт, хорошо знакомый сейчас, но казавшийся очень,
странным в то время. Фундаментальная работа была сделана в 1935 г.
Бете и Пайерлсом [381 н Финбергом [1921, которые впервые рассчи-
тали энергии связи дейтрона и ядер с А — 3 и Л = 4.
Различные ускорители, использовавшиеся начиная с 1932 г.,
способствовали постановке новой задачи рр-рассеяния, которая бы-
14
ла теоретически рассмотрена Брейтом и др. [77] в 1936 г. Для оп-
ределения феноменологических потенциалов интенсивно исполь-
зовался и фазовый анализ систем, состоящих из двух протонов и ней-
трона и протона, но успех был незначительным. Теория эффектив-
ного радиуса действия ядерных сил, впервые предложенная Швин-
гером [457] в 1948 г., была использована для нахождения правиль-
ных ядерных потенциалов среди множества потенциалов, которые
появились к тому времени. Было показано, что единственный спо-
соб получить последовательное описание данных по рассеянию нук-
лонов состоит в том, чтобы в потенциал взаимодействия двух ну-
клонов ввести отталкивательную твердую сердцевину. Это привело
к появлению в 50-х годах теории Бракнера (см. [79, 831). (Если
искать аналогии с прошлым, то следует вспомнить замечательный
•обзор 1936 г. Бете и Бэчера [39], в котором показано, как быстро бы-
ли использованы в ядерной физике понятия спин н изоспин.)
Следующий важный шаг — классификация стационарных со-
стояний ядер, использующая свойства инвариантности гамильто-
ниана по отношению к различным группам преобразований. Такая
классификация становилась все детальнее по мере того, как делались
все более конкретные предположения о форме ядериого взаимодей-
ствия. В этой связи необходимо упомянуть классификацию по спи-
новым мультиплетам, впервые предложенную Хундом [273] в 1937 г.,
и ее обобщение в том же году до супермультиплетов в так называемом
приближении Вигнера, т. е. использование взаимодействия, в ко-
тором не учитываются спнн-обменные и изоспин-обменные силы (си-
лы Бартлета и Гейзенберга). В этом приближении Вигнера мульти-
плеты классифицируются по спину и изоспину.
Очень важным шагом вперед явилось формулирование теории
и теоретическое предсказание в 1935 г. кванта-поля, ответственного
за ядерное взаимодействие и имеющего конечную массу и конечный
радиус взаимодействия. Речь идет о так называемой частице Юкавы,
или пионе — бозоне, который был открыт лишь в 1947 г. Пауэлом
с сотр. с помощью ядерных эмульсий [3194. Юкава [547] описывал
эту частицу в рамках'скалярной мезонной теории, что сильно
стимулировало дальнейшее развитие мезонных теорий, различаю-
щихся значением внутреннего спина мезона. Векторные мезоны
(спин 1) были рассмотрены Прока [429J в 1936 г. и Кеммером [296]
в 1938 г. Последний в дальнейшем ввел изоспиниый формализм и-по-
казал его полезность для псевдоскалярных (спин 0) и псевдовек-
торных мезонов (спии 1)*. В данном случае представляет интерес
вопрос, как повлияли эти мезонные теории на микроскопические
теорий ядра, в особенности на те, которые используют феноменологи-
ческие ядерные силы.-Действительно, вскоре были обнаружены не-
которые-особенности ядерных взаимодействий в нерелятивистском
приближении, такие, как статические нецентральные и тензорные
* Исчерпывающий исторический обзор развития соответствующих теорий
можно найти в книге Розенфельда [445].
15
силы п нестатические центральные силы, описываемые разновид-
ностями спин-орбитальиых взаимодействий п взаимодействий, за-
висящих от импульса. Исходя из простых принципов симметрии,
Айзенбуд и Вигнер 11641 в 1941 г. впервые предложили общий вид
феноменологического потенциала, описывающего эти особенности.
Важнейшим экспериментом явилось измерение тонкий струк-
туры магнитного резонанса пучка дейтронов, выполненное Раби
с сотр. 12971 в 1939 г. и Нордзиком [408] в 1940 г. В этих эксперимен-
тах было доказано отклонение положения спектральных линий от
положения, предсказываемого для сферического распределения за-
ряда дейтрона. Такой результат можно объяснить лишь наличием
к вад ру пол ьн ого момента ядра, равного Q - 2,74 • 10'24 см2. Откры-
тие квадрупольного момента простейшей связанной системы, со-
стоящей из протона и нейтрона, доказало существование нецентраль-
ного (тензорного) ядерного взаимодействия. Рарита и Швингер
[430] в 1941 г. смогли объяснить этот малый квадрупольный момент
введением статистических тензорных сил. Оказалось, что основное
состояние дейтрона является смесью конфигураций SS и SD, при этом
вклад /^-состояния составляет около 4%. Во многих работах до сих
пор пренебрегают тензорными свойствами ядерпых сил, но необ-
ходимо иметь в виду, что будущая законченная теория ядерных сил
должна объяснить этот факт и всесторонне исследовать роль тензор-
ных сил в многочастичной задаче.
Экспериментальное исследование поляризации нуклонов и пара-
метров тропного рассеяния протонов при высоких энергиях дало
возможность изучить несколько характеристик дву хи уклонного
взаимодействия, которые не могли быть определены раньше из дан-
ных при низких энергиях. В 1957 г. Чемберлен и др. [114] впервые
выполнили эксперименты по тройному рассеянию. Они измерили
значения пяти параметров рассеяния: сечения, поляризации Р,
деполяризации D и параметров вращения R и А — для рр-рассея-
пия при энергии 360 Мэв. Такие измерения впоследствии выполня-
лись для различных энергий многими группами исследователей.
Экспериментальные данные обрабатывались в основном с помощью
фазового анализа и феноменологических потенциальных моделей.
В последнем методе исходят из существования некоего феномено-
логического потенциала и рассчитывают фазовые сдвиги, которые
в конце концов позволяют объяснить экспериментальные данные.
Сигнел и Маршак [476] и Гаммель и Талер [2091 в 1957 г« обнаружи-
ли, что для объяснения экспериментальных данных необходимо
к обычным центральным и тензорным силам добавить большой спин-
орбитальный потенциал.
Более позднее поколение феноменологических потенциалов было
введено в работах Брайена [88], Сэйлора и др. [4521 и Хамады
[257, 258] в 1960— 1961 гг. В отличие от потенциалов Сигнела —
Маршака и Гаммеля — Талера в этих потенциалах полагалось, что
в асимптотической области двухнуклонное взаимодействие должно
быть определено из однопионного обменного потенциала, который
16
можно однозначно получить в мезонной теории. Большой спин-
орбитальиый член в потенциале должен получаться в результате
учета обмена двумя мезонами, однако теория не в состоянии одно-
значно рассчитать этот очень существенный член, так же как и сла-
гаемые, зависящие от импульса. Более подробное рассмотрение этих
и других результатов 60-х годов см. в гл. 2.
Прежде чем вернуться к изучению конечных ядер, кратко обсу-
дим, как проявляются ядерные силы в энергии связи. С этой целью
рассмотрим идеальную систему—ядерную материю, которая, как
предполагается, состоит из бесконечно большого числа нуклонов
(А->оо) с равным числом протоиов и нейтронов, причем кулонов-
ское взаимодействие считается выключенным. Энергия связи, при-
ходящаяся на одну частицу, в такой системе дается объемным чле-
ном в массовой формуле Вайцзекера [524] и составляет около 16 Мэв.
Ядерная материя, по-видимому, является достаточно хорошим при-
ближением для описания внутренней области тяжелых ядер. Плот-
ность нуклонов внутри тяжелых ядер или в ядерной материи состав-
ляет около 1/6 нуклон/ферма2. Это соответствует значению радиаль-
ного параметра г0 = 1,12 ферма, или импульсу Ферми /г^=1,36
ферма~\ Теория ядерной материи должна получить эти значения
kr и энергии связи В/А.
Эту задачу пытались решить многие группы исследователей*.
Значительные трудности в теории ядерной материи возникают бла-
годаря сильному отталкиванию на коротких расстояниях в иуклон-
нуклонном взаимодействии—факт, который делает невозможным
применение теории возмущений. Эта трудность была преодолена
в формализме Бракнера—Голдстоуна [79, 83, 234], основной вели-
чиной которого является матрица G, или матрица реакции. Такой
подход использовали Бракнер и Гаммел в расчетах, выполненных
в 1958 г. В то же время Гомес, Валечка и Вайскопф [2351 ин-
терпретировали сосуществование относительно независимых ча-
стиц и твердой сердцевины, используя представление о силе залечи-
вания принципа Паули, который подавляет эффект твердой сердце-
вины. Последнее связано с тем, что благодаря принципу Паули столк-
новения с переходом на уровни, расположенные ниже уровня Фер-
ми, невозможны, так как эти уровни уже заняты другими нукло-
нами. Исходя из этого, можно заключить, что дальнейшее развитие
и применимость теории Бракнера — Голдстоуиа связаны с исполь-
зованием двух приближений.
Первое из этих приближений — метод разделения, предложен-
ный Мошкове к им и Скоттом [377] в 1960 г. и основанный на разде-
лении взаимодействия на две части. Короткодействующая часть,
в которую входит отталкивательная сердцевина и некоторая часть
притягивающего потенциала, выбирается так, чтобы сдвиг фазы
* См. обзор Дэя [139] . В этой связи следует упомянуть расчеты во вто-
ром порядке теории возмущений, выполненные Эйлером [176] в 1937 г., в ко-
торых обсуждались силы Вигнера и Майорана и рассчитывались насыщение
ядерных сил и энергия связи В/А.
17
<5ыл равен нулю на некотором расстоянии d. Остальная, длиинодей-
•ствующая часть нуклон-нуклониого взаимодействия/которая соот-
ветствует притяжению, вообще говоря, может быть^рассмотрена по
теории возмущений. При вычислении потенциальной энергии корот-
кодействующей частью можно пренебречь, по крайней мере в пер-
вом приближении.
Второе приближение ;— «спектр сравнения» — предложено Бе-
те и др. [461 в 1963 г. Оно дает первое приближение для двухчастич-
ной волновой функции с учетом влияния твердой сердцевины. Этот
метод довольно точен и в противоположность методу Бракнера —
Гаммеля нуждается в относительно простых расчетах. Такой под-
ход позволяет в дальнейшем рассчитать количественный вклад в мат-
рицу реакции диаграмм высшего порядка.
В то же самое время Раджараман [434] и Бете [471 показали, что
-трехчастичные корреляции играют важную роль в ядерной материи
•и ряд Бракнера — Голдстоуна, содержащий лишь двухчастичные
корреляции, расходится. Впоследствии Бете [47, 436] рассмотрел
трехчастичные корреляции в ядерной материи, используя форма-
лизм типа уравнений Фаддеева [178, 179], которые формально пред-
•ставляют собой точный аппарат для решения трехчастичной задачи.
Результаты, полученные в этом подходе, обсуждаются в гл. 5.
В последнем десятилетии выполнялось много расчетов в рамках
метода самосогласованного поля .Хартри — Фока, целью которых
являлось описание свойств конечных сферических и деформирован-
ных ядер. При этом использовались взаимодействия, имеющие раз-
личную степень реалистичности. В расчетах Хартри — Фока ис-
пользуются три вида эффективного взаимодействия.
1. Можно взять взаимодействие, которое с максимально воз-
-можной точностью подогнано по двухчастичным данным, и затем,
используя метод Мошковского и Скотта, ввести длиннодействующую
часть взаимодействия. По крайней мере большие эффекты второго
порядка, обусловленные тензорными силами, учитываются в резуль-
тате добавления эффективных центральных сил, пропорциональных
-квадрату потенциала тензорных сил, как было предложено Куо
и Брауном [314]. Большинство расчетов сделано для 16О и 40Са.
2. Можно использовать также несингулярный, зависящий от
импульса (или нелокальный), потенциал Табакина [500] и подгонять
непосредственно сдвиги фаз. Хартри-фоКовские расчеты, использую-
• щие аналогичные приближения, выполнились Керманом с сотр. [303].
3. Наконец, довольно широко используется взаимодействие,
которое имеет мало отношения или не имеет никакого отношения
•к данным по рассеянию двух нуклонов. Эти эффективные потенциа-
лы выбираются из соображений простоты и таким, образом, чтобы
•получалась более или менее правильно энергия связи и плотность
ядер. Подробнее о расчетах, использующих три указанных вида
взаимодействия, см. в гл. 7.
Приближение хаотических фаз является простейшим методом
для описания возбужденных уровней ядра, которое учитывает кор-
.18
реляции в основном состоянии ядра. Эти корреляции обусловливают
заметное усиление некоторых электромагнитных переходов. Физи-
ческое значениёхкорреляций в осйовном состоянии можно понять
следующим образом: если возбужденные состояния, описываемые
в приближении хаотических фаз, интерпретируются как вибра-
ционные возбуждения, то корреляции в основном состоянии свя-
заны с нулевыми колебаниями. Приближение хаотических фаз от-
личается от приближения Тамма — Даикова, которое не учитывает
корреляции в основном состоянии и рассматривает основное состоя-
ние ядра как состояние независимых частиц, движущихся в само-
согласованном поле Хартри — Фока.
Развитие метода хаотических фаз началось с появления в 1953 г.
работы Бома и Пайиса [63], посвященной плазменным колебаниям,
электронного газа. В их теории характеристики электромагнитного'
поля, осуществляющего взаимодействие между электронами, кван-
туются и рассматриваются как коллективные координаты плазмен-
ных колебаний. Термин «приближение хаотических фаз» соответ-
ствует пренебрежению связи между колебаниями с различными им-
пульсами. Эта первоначальная формулировка метода имела много'
неудовлетворительных черт. Более изящная формулировка была
позднее получена Гелл-Маном и Бракнером [216] и Хаббардом
[274, 275]. Суммируя ряды теории возмущений, эти авторы пока-
зали, что приближение хаотических фаз также действительно в пре-
деле больших плотностей. В 1957—1958 гг. Савада [4501 и Андерсен
[101 двли более простой вывод уравнений движения; Авдерсен
при этом рассмотрел коллективные возбуждения в сверхпроводнике.
Среди очень многих методов вывода приближения хаотических
фаз часто предпочитают зависящий от времени метод Хартри —
Фока. В этом подходе получается волновая функция, которая опи-
сывает ядро с изменяющимся распределением плотности. Это сразу
приводит к интуитивному признанию подхода, в особенности с точки
зрения физических представлений, лежащих в основе феноменоло-
гических моделей.
Идея зависящего от времени метода Хартри — Фока, по-види-
мому, была первоначально высказана Дираком [1511 в 1930 г. Она
была развита Зыряновым н Эленойским [551] в 1956 г. и Ферремом
[1891 в 1957 г. как компактный способ вывода метода хаотических
фаз. Подобно своему .статическому предшественнику — методу Хар-
три —Фока, —он мож'етбыть получен многими эквивалентными спо-
собами (см;, например, 122]). В частности, Феррелл одним из первых
в ядерной физике использовал приближение хаотических фаз в рам-
ках зависящего от времени метода Хартри — Фока для изучения
монопольных (компрессионных) колебаний в ядре 16О. Последо-
вательное изучение приближения хаотических фаз в ядерной фи-
зике проводилось в формализме уравнений движения Баранжером
[22], Савицким [451] и Таулесом [507], который использовал*функ-
ции Грина. Более частные вопросы изучались в работах Брауна с
сотр. [89], рассмотревших октупольные колебания в 16О и 40Са,
19
и Хилле с corp, [222, 223, 2251, которые изучали различные типы
возбуждений в ядрах с заполненными оболочками 12С, 16О, 40Са,
2СьРЬ и использовали эмпирическое остаточное взаимодействие.
Следующий важный шаг был сделан в работах [293, 3151, в которых
использовалось эффективное взаимодействие, полученное непосред-
ственно из реалистического двухнуклонного взаимодействия. Эти
расчеты подробно обсуждаются в гл. 7.
Хороший пример параллельного развития феноменологических
моделей ядра и микроскопического понимания экспериментальных
фактов представляет собой теория гигантского резонанса. Диполь-
ный резонанс первоначально был интерпретирован в рамках простых
коллективных моделей [233, 4871, которые позже были значительно
усовершенствованы и обобщены, в результате чего возникла динами-
ческая коллективная модель [126, 127, 278, 325, 438, 4391. Она вклю-
чила очень важную связь с колебаниями поверхности и вращениями
ядра и многое объяснила в структуре сечений поглощения у-квантов
средними и тяжелыми ядрами.
Микроскопическое описание гигантского резонанса в ядрах было
впервые предложено Вилкинсоном [5341 в 1956 г. н развито Эллиотом
и Флауэрсом 1170], которые диагонализовали феноменологическое
остаточное взаимодействие в базисе модели оболочек. Они рассмат-
ривали главным образом состояние с отрицательной четностью в яд-
рах с замкнутыми оболочками (12С, 16О, 40Са и т. д.). В этих расче-
тах, так же как и в более поздних, выполненных в рамках частично-
дырочного подхода [220—222], использовались следующие два важ-
ных приближения.
1. Учитывались только связанные оболочечные уровни. Поэтому
в рамках этого подхода нельзя получить ширину дипольных состоя-
ний, обусловленную испусканием нуклонов (возможность перехода
в ^непрерывный спектр). Впервые этим вопросом занимались Ба-
уэр [341 в 1962 г. и Мнкеска [367] в 1964 г., которые основывались на
дополнительных предположениях adhoc. Последовательное система-
тическое изучение возможностей одночастично-однодырочного (1р1Л)-
подхода в области энергии непрерывного спектра проводилозь
в 1965 — 1968 гг. различными группами: Блох и Хилле [60] по су-
ществу свели задачу непрерывного спектра к дискретному, Бак
и Хил [ПО] использовали метод связанных каналов, Данос и Грай-
нер [131, 522] развили теорию собственных каналов, Вайденмюллер
с сотр. [527—529] переформулировали и обобщили теорию Фано,
а Леммер и Венерони [323] основывались на теории ядерных реак-
ций Фешбаха [190, 191]. Эти исследования привели к правильному
описанию различных каналов реакции и ширины гигантского резо-
нанса, обусловленной возможностью перехода в непрерывный спектр.
2. Стандартная частично-дырочная модель ограничивалась лишь
с учетом 1/7 Реконфигураций. В рамках этой модели — в особенности
схематической модели Брауна [90] — можно было легко понять су-
ществование одного когерентного коллективного состояния, сдви-
нутого в сторону высоких энергий и исчерпывающего большую
20
часть дипольной силы. Однако ширины разброса (spreading widths)
1129, 156, 4481 этого коллективного состояния, обусловленные вза-
имодействием со многими более сложными состояниями и распадом
в них, в рамках такого ограниченного подхода понять нельзя. Этот
подход также ие в состоянии объяснить и коллективную промежу-
точную структуру [1581, которая возникает благодаря связи коллек-
тивного 1/?1//-состояния с коллективными состояниями, постро-
енными из конфигураций более сложных, чем \p\h (например,
связь гигантских резонансов с поверхностными колебаниями). Фак-
тически развитее теории таких структур шло параллельно развитию
феноменологических моделей [157, 158]. Это еще раз подтверждает
глубокую связь между микроскопическим и феноменологическим
подходами в теории ядра.
Одни из важнейших результатов в ядерной проблеме многих тел
был получен из понимания того, что ядерная материя в основном
состоянии может быть сверхтекучей. Как и ранее, этот последний
результат имел предшественников в других областях физики. На
способность ферми-частиц спариваться указывалось несколько раз.
В атомной физике это было понято много лет назад и явилось причи-
ной введения Рака схемы связи синьорити [432]. Важная роль спа-
ривания в ядерной физике была признана очень рано и с большим
успехом разрабатывалась Майер [3531. Это помогло понять, почему
четно-четные ядра имеют спин, равный нулю, а спин нечетных ядер
равен спину неспареиной частицы. Эти результаты привели Флау-
эрса 1198] и Рака и Талми (4331 к необходимости введения в ядериую
физику схемы связи синьорити. Одиако настоящее понимание
явления спаривания пришло после появления теории сверхпрово-
димости: свойства сверхтекучего 4Не и сверхпроводящих металлов
оказались очень похожими. Но тут же возникла новая загадка, по-
скольку предполагалось, что сверхтекучесть обусловлена бозонной
природой атомов 4Не, в то время как электроны в металле являются
фермионами и, казалось бы, не должны вести себя подобным обра-
зом. Связь между этими двумя явлениями была установлена Купе-
ром [122] в 1956 г., который показал, что электроны с противопо-
ложными спинами спариваются внутри металла, образуя некое по-
добие связанного состояния. Куперовские пары ведут себя как бо-
зоны. Эта физическая идея явилась основой теории сверхпроводи-
мости Бардина— Купера— Шриффера (БКШ) [181, развитой в
1957 г. В ядериую физику эта теория вошла после важной работы
Бора, Моттельсона и Пайнса [67] в 1958 г. и программной работы
С.Т. Беляева [41] в 1959 г. Как н в металлическом сверхпроводнике,
в ядре имеется энергетическая щель, обусловленная спариванием
нуклонов в четно-четных ядрах. Ниже щели в спектре существуют
только коллективные возбуждения (вращения и колебания), но
в противоположность металлу коллективные возбуждения в ядре
имеют малое время жизни из-за их у-распада.
Эти коллективные возбуждения были частично поняты в рамках
последовательной микроскопической теории с помощью включе-
21
ния спаривательного гамильтониана в хартри-фоковскую про-
цедуру. После использования преобразования Н. Н. Боголюбова
[68, 69] это приводит к представлению о почти независимых квази-
частицах («одетых» нуклонах) * и к расчетной схеме Хартри — Фо-
ка — Боголюбова, применяемой для описания ядериых спектров
[20, 513]. Представление о почти независимо движущихся квази-
частицах особенно активно разрабатывалось С. Т. Беляевым [411
в 1959 г. и В. Г. Соловьевым [214, 482] в 1961—1962 гг.
Сверхтекучая модель ядра также дает другое н, возможно, бо-
лее удовлетворительное понимание и обоснование ядерных моде-
лей. Важную роль в этом вопросе играет соотношение коротко-
действующих сил спаривания и длин иодействующих (квадруполь-
ных, октувольных) сил. Оно в значительной степени определяет
инерционные параметры и конкретный вид коллективной потен-
циальной энергии и, следовательно, структуру ядер [41, 307, 308].
Важнейшими результатами, полученными таким образом [44],
явились объяснение перехода от сферических ядер к деформиро-
ванным [282, 283] и расчеты ротационных моментов инерции, осно-
ванные иа формуле Инглиса [282, 283].
Получение коллективной потенциальной энергии [243, 314,
383, 385, 502, 406, 407] привело не только к правильному пониманию
многих эффектов, связанных с основным состоянием (колебательные
спектры, ядерные деформации), но также и к предсказанию совер-
шенно новых явлений, таких, как изомеры формы 1249, 4901 и
изомеры деления В. М. Струтинского [428, 490], что привело к пред-
ставлению о двугорбом барьере Струтинского. Многие из этих
вопросов все еще интенсивно исследуются.
Возможно, что наиболее важным из всех пока еще не проверен-
ных предсказаний является возможность обнаружения новых остро-
вов квазистабильиых ядер в областях Z » 114 н Z « 164 [196, 251,
362, 383, 385, 407]. Эти идеи могут открыть новую яркую страницу
в физике ядра и привести ко многим неожиданным явлениям.
* Почти во всей мировой литературе, в том числе и в данной книге, квази-
частмцамн принято называть боголюбовские квазичастицы, в энергию кото-
рых входит величина спаривательной щели. Однако с точки зрения идеоло-
гии ферми-жидкости в ферми-системе с сильным -взаимодействием, в которой
отсутствует спаривание, существуют свои квазичастицы, иногда называемые
квазичастицами Ландау (320]. Эти квазичастицы тоже представляют собой
«одетые» частицы, но их «шуба» обусловлена не спариванием, а поляризуе-
мостью среды. Низкоэнергетическнй спектр возбуждений в такой системе
можно приближенно представить как спектр -идеального газа квазичастиц,
что естественно резко упрощает задачу. После учета спаривательного взаимо-
действия эти квазичастицы превращаются в квазичастицы Боголюбова. Как
показал Мигдал [369], характеристики ядерных квазнчастиц Ландау в целом
мало отличаются от соответствующих характеристик свободных нуклонов.
Это дает некоторое основание не использовать в ядре понятие квазичастиц
Ландау. Однако следует помнить, что полное игнорирование этого факта мо-
жет привести к ошибкам. Поскольку авторы книги практически не пользуются
теорией - ферми-жидкости (что часто оказывается возможным благодаря вы-
шеуказанному доказательству Мигдала!), при переводе мы сохранили автор-
скую терминологию. — Прим, перев.
22
Часть I
СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ И ТРЕХ НУКЛОНОВ
Глава 2. НУ К ЛОН-НУК ЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Главной целью микроскопического подхода в теории структуры
ядра является понимание свойств многочастичной системы, исходя
из взаимодействия между ее составными частями. Таким образом,
мы исходим из того, что можно получить точное описание свойств
ядер, основанное только на известных свойствах сил, действующих
между нуклонами. Настоящая глава посвящена тому, как узнают
•об этих силах; в ией будет сделана попытка дать обзор их важней-
ших свойств, по крайней мере тех, которые связаны с изучением
структуры ядра.
Разумеется, в конечном счете может оказаться, что существуют
важные трехчастичные (или миогочастичные) силы. Это означает,
что силы, которые действуют между двумя данными нуклонами,
могут существенно изменяться, когда в области взаимодействия на-
ходится большее число нуклонов. Такая модификация подразуме-
вает, что взаимодействие в системе, имеющей три нуклона, является
ие только суммой взаимодействий между тремя парами нуклонов
системы, но может быть описано введением трехчастичных компонент
ядерных сил. Это было бы, конечно, не удивительно, если бы сильные
взаимодействия, которые имеются в ядре, приводили к трехчастич-
ным силам такого типа. Например, присутствие дополнительных
нуклонов могло бы сильно изменить облако мезонов, окружающих
остов нуклона, и, поскольку предполагается, что мезоны являются
переносчиками ядерных сил, эта модификация могла бы сильно из-
менить характеристики сил. Разумеется, этот вопрос является цент-
ральным при любом рассмотрении сильно взаимодействующей си-
стемы частиц, такой, как ядро. Можно думать, что соответствующую
информацию можно получить при рассмотрении трехчастичной си-
стемы (см. гл. 3). В любом случае, прежде чем судить о возможной
роли трехчастичных сил и прежде чем пытаться рассчитать свойства
более сложных ядер, необходимо вначале уметь рассчитывать эф-
фекты двухчастичных сил.
При рассмотрении нуклон-нуклонных сил мы в основном будем
интересоваться теми свойствами сил, которые проявляют себя прн
энергиях в несколько сот мегаэлектронвольт или меньше. Эта область
энергии двух взаимодействующих нуклонов наиболее существенна
при изучении структуры ядра. Кроме того, мы рассматриваем взаи-
23
модействие в рамках потенциального подхода и используем его в не-
релятивистском уравнении Шредингера. Это связано с тем, что в на-
стоящее время иерелятивистскую миогочастичную систему можно
описывать намного лучше, чем релятивистскую. Поэтому очень ин-
тересные фундаментальные попытки объяснения свойств нуклон-
нуклонного взаимодействия при высоких энергиях рассмотрены
весьма бегло. Все это может иметь очень большое значение для об-
щего понимания сил между двумя нуклонами. Одиако для приме-
нений в ядерной спектроскопии достаточно более феноменологиче-
ское описание ну к лон-иу пленного взаимодействия.
§ 2.1. ЯВЛЕНИЯ ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ
2.1.1. Дейтрон
Естественной отправной точкой для изучения эффектов ядерной
структуры, обусловленных нуклон-иуклонным взаимодействием,
является, конечно, связанная система из двух нуклонов, например
система из протона и нейтрона—дейтрон. Эта система имеет одно
состояние. Как будет видно, свойства этого состояния позволяют по-
лучить значительную необходимую информацию о ядерных силах,
однако, поскольку имеется лишь одно такое состояние, следует по-
дробно проанализировать данные о рассеянии нуклона на нуклоне.
Как известно, связанное состояние дейтрона имеет спии 1 и магнит-
ный момент рп, приблизительно равный сумме магнитных моментов
протона и нейтрона и рп 1см. формулу. (2.73)]. Из последнего ре-
зультата следует, что вклад орбитального движения в магнитный
момент в лучшем случае очень мал, так что орбитальный угловой
момент дейтрона должен равняться нулю. Чтобы спин состояния
был равен 1, спины двух нуклонов должны складываться и образо-
вывать триплетное спиновое состояние. Таким образом, спектро-
скопическое обозначение для связанного основного состояния дей-
трона — 3Sj.
В то же время известно, что дейтрон имеет квадрупольный мо-
мент, не равный нулю. Это означает, что основное состояние дейт-
рона ие может быть чистым S-состоянием, которое сферически сим-
метрично, и, следовательно, не обладает квадрупольным моментом.
Таким образом, чтобы правильно описать свойства дейтрона, не-
обходимо допустить наличие малой примеси P-состояния. Как пока-
зано ниже, из существования такой смеси состояний следует, что
иуклон-иуклонные силы содержат тензорное взаимодействие.
2.1.1.а. Центральный потенциал. Рассмотрение свойств дейтрона
начнем с очень простых предположений, а усложнения, необходимые
для объяснения эксперимента, введем ниже. Предположим, что дей-
трон описывается уравнением Шредингера с центральным потен-
циалом У(г)
[- 2МпРГО~ У'+ V (f)] * (° = (21Э)
24
где
Mnpm= = 4~М' (2.16)
Л1р-гЛ1п Z
Здесь МР и Мп — массы протона и нейтрона соответственно;
Мцрив — нх приведенная масса; Е — энергия дейтрона. Введем
для S-состояния величину
ф(г) = ф(г) = и(г)/г, (2.2а)
и(г) удовлетворяет уравнению
(2-2б>
Граничное условие, накладываемое на н(г), имеет вид н(0) =
= п(оо) = О. Чтобы получить первоначальное грубое представление
о свойствах связанного состояния, можно использовать потенциал
прямоугольной ямы
Г(г) = 1“л0' Г<Г"’ <2-3)
I о, г>г0;
тогда уравнение (2.26) решается обычным способом [358], т. е. с уче-
том требования непрерывности логарифмической производной от
и(г) в точке г = г0. Это приводит к трансцендентному уравнению
для энергии Е связанного состояния
ctg [у M(V„ + E) J =----. Е < 0. (2.4)
Из эксперимента [348, 535]
| Е | = 2,22452 ± 0,00010 Мэв. (2.5)
Будем пока произвольно предполагать, что Vo |£|—условие,
которое впоследствии окажется выполненным. Тогда из уравнения
(2.4) имеем
(2.б)
где исключено из рассмотрения то обстоятельство, что эта величина
может быть близка Зя/2, поскольку волновая функция основного
состояния не имеет узла. Различные экспериментальные данные о
ядерных силах, которые будут обсуждаться ниже, дают радиус дей-
ствия ядерных сил около 1,7 ферми. Используя это значение для
г0, получаем из формулы (2.6)
« 35,4 Мэв,
что согласуется с нашим предположением Vo > |Е|. Таким обра-
зом, два иуклоиа в дейтроне взаимодействуют посредством очень
сильного потенциала, ио связаны они довольно слабо.
25
Можно получить дополнительные сведения, если рассмотреть^
решение уравнения Шредингера вне области действия ядерных сил.
Согласно (2.26), решение пропорционально ехр (—аг), где
а2 = —МЕН?. (2.7>
Используя (2.5), получаем а-1 « 4,3 ферма, что намного больше
типичного значения радиуса взаимодействия г0. Отсюда можно за-
ключить, что протон и нейтрон, составляющие дейтрон, находятся
в основном вне поля действия сил взаимного притяжения. Поэтому
эта волновая функция в области г > г0 дает хорошее приближение
для волновой функции дейтрона:
и (г) ~ [2а]1/2 ехр (—аг). (2.8)=
Выражение (2.8) не удовлетворяет граничному условию и (0) = 0.
Чтобы это условие выполнялось, можно ввести волновую функцию-
Хюльтена
и (г) = [2а (а-г р) (2а + р)[’/2 р-1 ехр (—аг)[1 —ехр (—рг)]. (2.9>
Ее можно использовать в качестве пробной волновой функции в ва-
риационных расчетах. Она представляет собой точное решение за-
дачи для дейтрона с потенциалом Хюльтена
У (г) = ~У0 ехр (—|рг)/п — ехр (-рг)). (2.10>
Легко видеть, что для потенциала прямоугольной ямы нет дру-
гих связанных состояний, кроме 8S1. Такие дополнительные состоя-
ния могли бы появиться, если бы потенциальная яма была доста-
точно глубокой и выполнялось условие
УмГого/Я>-^я. (2.11)
В этом случае при разумных значениях г0 основное состояние име-
ло бы намного большую энергию связи, чем (2.5). Как будет пока-
зано ниже, для дейтрона не существует связанного состояния х50.
Имеются теоретические и экспериментальные доказательства того,
что в состояниях протон-нейтронной системы с нечетным орбиталь-
ным угловым моментом ядерные силы несколько слабее, чем для
четных состояний. Даже если их взять теми же самыми, что и для
состояния 8Slt то в модели прямоугольной ямы для существования
связанного состояния с / = 1 необходимо выполнение следующего
условия:
~\/МУ rjh >я. (2.12}
Следовательно, эта возможность также исключается.
Таким образом, оказывается, что спектр возбуждений дейтрона
изучать нельзя. Единственной возможностью получения информации
о свойствах основного состояния является изучение моментов этого
26
состояния*. В свою очередь моменты тесно связаны с тензорными
-силами. Обсудим эту связь более подробно.
2.1.1.6. Тензорные силы. Рассмотрим уравнение Шредингера
для дейтрона
[-^V2+V(r)]i|>(r) = £4>(r) (2.13)
и возьмем потенциал, состоящий из центральной части Уц (г) и тен-
зорной части Ут (г):
V (г) = (г) + S12VT, (2-14)
где
S12 = 3 (Oi • г)(о2 • г) — а1а2- (2.15)
1 Этот оператор называется тензорным оператором., так как он пред-
ставляет собой тензор второго ранга в конфигурационном прост-
ранстве, а не скаляр, как в случае центрального потенциала. Он
также является тензором в спиновом пространстве двух нуклонов.
Эти два тензора образуют скаляр Sj2 в комбинированном спиново-
конфигурационном пространстве 312. Благодаря своим тензорным
свойствам в конфигурационном пространстве S12 смешивает состоя-
ния с различными орбитальными угловыми моментами [см. фор-
мулы (2.22)—(2.25)1. Однако полный угловой момент остается хо-
рошим квантовым числом, так как SJ2 — скаляр в комбинированном
пространстве.
Вид тензорного оператора S12[cm. формулу (2.15)1 был выбран
потому, что он является единственным скаляром четной степени по г,
линейным по и по о- Первое свойство означает, что тензорное
взаимодействие сохраняет четность, как и должно быть для этого
сильного взаимодействия. Тензорная часть 312 представляет собой
произведение (Oj • г)(о2 • г). Член (Jj <т2 — скаляр в конфигура-
ционном пространстве (где он константа) и в спиновом простран-
стве. Он включен для того, чтобы обеспечить равенство нулю
среднего по всем направлениям от 312, что будет удобно в дальней-
шем. Если потребовать выполнение этого условия для S12, то дру-
гие комбинации, линейные по и <т2, сводятся к S12, например:
(ог X г) - (о2 Хг) = о1- [г X (о2Х г)] = Oi-Ujj— (oj-rJ^-r), (2.16)
где тензорная часть совпадает с тензорной частью в (2.15). Члены,
содержащие более высокие степени о, можно свести к прежней фор-
ме, если воспользоваться следующим свойством матриц Паули:
(<t-A)(<J’B) = АВ + io • (А X В). (2.17)
* Можно также рассмотреть, например, упругое рассеяние электронов,
с помощью которого определяют зарядовый радиус дейтрона.
27
Чтобы получить из (2.13) радиальное волновое уравнение, не-
обходимо сначала отделить в ф(г) спиновые степени свободы. Для
этого определим три состояния двухнуклонной системы со спином 1:
а^а2, Xo = Cl/2/2)(aip24-a2|3J), X-i = M2- (2-18)
Здесь индекс у % относится к проекции квантового числа Ms со-
стояния со спином 1; а н 0 — спин вверх и вниз для конкретного
спина нуклона, равного 1/2, указанного нижним индексом. Введем
= 2 (LlJ|/WL74s/W)FLAfLx.M5,
(2-19)
где (£1J | Ml Ms М) — коэффициент Клебша — Гордана*, который
в данном случае связывает орбитальный угловой момент L сфериче-
ской гармоники Усо спином 1 так, чтобы получить функцию
с полным угловым моментом J. Поэтому J = L, L ± 1. Решения
уравнения (2.13) со спином 1 можно разложить в ряд функций
(2.19), поскольку эти функции образуют ортогональный набор,
включающий пространство спиновых функций, соответствующих
спину 1, и функций от г. Таким образом, для данного значения
квантового числа J имеем
П’(г) = 2Д^-ф^.
(2.20)
Коэффициенты в этом разложении являются именно теми радиаль-
ными функциями, которые мы ищем. В разложение (2.20) входит
либо L = J ± 1, либо L = поскольку предполагается, что чет-
ность является хорошим квантовым числом для сильного ядерного
взаимодействия. Поэтому будут смешиваться только состояния од-
ной четности (-1)L, и это требование (четность по г) заложено в кон-
струкцию тензорного оператора S12. Кроме того, чтобы иметь
смесь двух состояний с L = J — 1 и L = J 1, необходимы не
синглетные состояния, а состояния со спином 1 (триплетные состоя-
ния). Таким образом, тензорные силы действуют только между три-
плетными состояниями; поэтому, начиная с формулы (2.18), мы бу-
дем рассматривать лишь состояния со спином 1.
Условие иормировкн ф(г) требует, чтобы радиальные функции
удовлетворяли условию
2$ zd(r)rfr=l.
(2.21)
* Свойства этих коэффициентов рассмотрены в приложении А т. 2.
28
После подстановки (2.20) в (2.13) получаем радиальное уравнение
Шредингера
- ~ П (Г) 2 SJLL- uL. (г) = О, (2.22)
ft8 L'
Sjll* — (®jml, 512 dr. (2.23)'
Используя обычную технику сложения угловых моментов, которая
обсуждается в приложении А т. 2, можно показать, что
SjLL- = 2 Уб LU 6^ (— I)1 +> (LU 2 | ООО) W (LU 11; 2J) =
= 26jj> [6/.L' —3 (J IL | 000) (JIL' (000)}- (2.24)
Эта величина ие зависит от проекции углового момента М в выра-
жении (2.23), что можно легко увидеть, если применить теорему
Вигиера—Эккарта к скаляру S1Z. Поэтому в дальнейшем индекс М
опускается. Явные выражения для Sjli/ приведены в табл. 2.1*.
Значение Sj;j.
Таблица 2.1
L L'= J4-1 £'=J
/+1 -2(Л-2)/(2/-Ц) 0 6V7(/ + l)/(2? + l)
J 0 2 0
Z—1 6 У/(/-|-1)/(2/+1) 0 -2(Z-l)/(2/+l)
Как уже отмечалось, главный вклад в волновую функцию основ-
ного состояния дейтрона должна давать конфигурация SS1. Тензор-
ные силы могут смешивать с этой конфигурацией только конфигу-
рацию *Dlt т. е. волновую функцию основного состояния дейтрона
можно записать в виде
Ф(г) = ^’-ф1м„+ -?1<Ц-Ф1Л,2. , (2.25)
r . r I
4--------------------------_------J
где, для того чтобы избавиться от нижних индексов, изменены по>
сравнению с формулой (2.20) обозначения для радиальных волновых,
функций
и(г) = u„(r); w(r) = u2(r). (2.26)
* Впервые эта таблица была приведена в работе [40].
29
В выражении (2.25)
Ф1л/о = (4л)“,/2Хл<. М = — 1,0,1, (2.27)
и
фц2 = j/" — Уи Xi — ] ' ' Ум Xo + ]/ у Ев Х-i» (2.28а)
Ф1Ю = VX1 Т1 “ Хо + У21 Х-п (2.286)
Фиг = ]/^Уг-2Х,-1/ -^-Уг-1Х»+ У -~Уг»Х-1 (2.28в)
Это следует непосредственно из определения (2.19).
Условие нормировки для компонент sSr н 3DT волновой функции
основного состояния дейтрона имеет вид
$Ь2 (г) -\-w*(r)]dr = 1. (2.29)
о
Используя значения, приведенные в табл. 2.1, находим 3120 =
= $102 “VS и S122 = 2; подставляя их в выражение (2.22), полу-
чаем, что функции и (г) и w(r) удовлетворяют связанной системе урав-
нений
lE-V«(/)l«(r)-V8^-VT(r)ra(r) = 0; (2.30а)
И2 М Г fift2 1
— Ш(г) +^-[£_^_-Vll(r)+2VI (г)] «,(,)-
-V8-^-VT(r)U(,) = 0. (2.306)
Функцию ф (г) [см. выражение (2.25)1 можно также записать в виде
BS,->
Этот результат впервые был получен в работе [430].
2.1.1.в. Статические мультипольные моменты ядер. Исходные
предположения; касающиеся наличия D-компоненты в волновой
функции дейтрона, были обусловлены тем, что дейтрон имеет квадру-
польный момент, отличный от нуля. В то же время несомненно, что
^-состояние должно вносить главный вклад в основное состояние,
поскольку магнитный момент дейтрона приблизительно равен сумме
магнитных моментов нейтрона и протона. Для того чтобы отсюда
получить количественные заключения, необходимо сначала рассмот-
реть элементы теории" статических мультипольных моментов. Мы
50
ограничимся здесь лишь кратким описанием и лишь теми мульти-
полями, которые представляют для нас непосредственный интерес* -
(Однако не будем ограничиваться только статическими электромаг-
нитными взаимодействиями.)
•Как известно из электромагнитной теории, взаимодействие-
между электромагнитным 4-током /р (г) и 4-потенциалом (г)
имеет вид
Ж' = — С-1 J /ц (г) Лц (г) dr = — с-1 J [J (г) - А (г)—ср (г) <р (г)] dr,
(2.32}
где ц= 1, 2, 3, 4 и предполагается суммирование по повторяю-
щимся индексам. В нашем случае ток (г) следует рассматривать-
как оператор ядер но го тока, а (г) — потенциал внешнего электро-
магнитного поля. Матричный элемент выражения (2.32) для пере-
хода между начальным состоянием I, в котором ядро находится в со-
стоянии а, и конечным состоянием f с ядром в состоянии 0 имеет-
вид
</1 St’ I i> = <₽ (г) I а) (г) dr. (2.33)
Ядериый ток должен удовлетворять уравнению непрерывности
?•<₽ IJ |«> + Р |а> = 0, (2.34а)
или после выделения обычной квантовомеханической временной за-
висимости уравнению
V '<₽|j(r)|«> + ft-1(Ep —£с)<0|р(г)|а> = О. (2.346).
В частности, для статического случая (0 = сс) имеем
V • < « 11 (0|а > = 0. (2.34в>
В длинноволновом пределе (kR <£ 1, где k — волновое число элек-
тромагнитного поля, R — радиус ядра) потенциалы поля полезна,
разложить в начале системы координат, которое выбирается в цент-
ре масс ядра. Так как ядра «малы», то можно ограничиться лишь не-
сколькими первыми членами разложения. Возьмем
А (г) = А (0) + (r-V)A (0) + (2.35а>
<р (Г) = Ч> (0) + (г • V)<p (0) + 1 (г V)2<p (0) + .... (2.356)
* Электромагнитное взаимодействие в ядрах, разложения по мультиполям
н статические моменты подробно рассмотрены в т. 2.
31
где предполагается, что производные действуют не на радиус-век-
тор г, а на функции, которые затем берутся в точке начала коорди-
нат. В этом приближении
<f|^-|O = -c1J{<P|j(r)|a>.[A(0) + (r.V)A(0)] —
—c<₽|p(r)|«> [4,(0)H-(r-V)4 (0)4- ~ (г-V)24 (0) ]} dr =
= — с <₽I Р(г)] «>(0) — [«<Р| р(г)| <x>(r-V) <р (0) +
+ <PIJ(r) |a>V(r.A(0))]4-<P|j(r)|a>-(r.V)A(0)-
---у с <₽ I Р (г) I “> V; V,- <р (0) | dr. (2.36)
Здесь оператор V действует только на радиус-вектор г справа. Про-
интегрируем теперь по частям это слагаемое и воспользуемся урав-
нением непрерывности (2.34а). При этом будем иметь в виду сле-
дующие формулы:
—$ <PI j (г) I «> (Г-V) А (0) dr = —С-1 J <Р I ji (г) I a) г,. V,. А, (0) dr;
(2.37)
j, г» V„A, = -L [(г X j) • (V X А (0))] + -у [г (j • V) + j (г V)] А (0). (2 38)
Поскольку операция rot от векторного потенциала дает напряжен-
ность магнитного поля, т. е.
H = VxA, (2.39)
правую часть выражения (2.37) можно записать в виде
J[rx<p |j(r) |a)].H(0)dr-
---J [V„ r( rm] <P | j„ (r) | a) V, Am (0) dr =
= —yC-1H(O).J[rX<P|j(r)|a)]dr +
+ J [V-<P|j(r)|a>]r1r„V(Am(O)dr= —ц-Н(0) +
+ Y C1 J <p I p (r) I a > Г; rm V, Am (0) dr, (2.40)
где мы проинтегрировали по частям и воспользовались уравнением
непрерывности. В последнем выражении введен магнитный момент
и= Yc-1prx<₽li<r)la>Idr- (2-41)
32
Выражение (2.36) теперь принимает простой вид
<) | Ж' 11) = 74 (0) — D- Е (0) - р Н (0)-LQ'li V, Е, (0), (2.42)
где
q = Jj <₽ | р (г) | а> dr (2.43)
есть полный заряд,
D = J<p|p(r)|a>rdr (2.44)
— электрический дипольный момент и
Q,', = 3 <₽ | р (г) |а> г, г, dr (2.45)
квадрупольный тензор. Напряженности электрического и магнит-
ного полей определяются обычными выражениями
Е(0) = [ — Vq>—с~1А1г==о=[—Vq>4-(i/A?c)(Ep -£a) А]г__о (2.46)
Н (0) (V X А)г=о- (2.47)
Рассматриваемое внешнее поле удовлетворяет условию
У'-Е(О)==О, (2.48)
так что, вводя тензор со шпуром, равным нулю:
Qu (3rf г J—г2) < РI р (г) I a) dr, (2.49)
можно иаписать
<л Ж' |О = W(0)-D Е (0)-р Н (0) -Л-Qu V, £;(0). (2.50)
Отсюда видно, что в выражении для энергии взаимодействия полный
заряд q связан со скалярным потенциалом, электрический диполь-
ный момент D — с электрическим полем, магнитный дипольный мо-
мент р, определенный выражением (2.41), — с магнитным полем
и квадрупольный тензор связан с производными от напряженности
электрического поля. В статическом случае (0 = сс) член с электри-
ческим дипольным моментом, вообще говоря, отсутствует в силу
закона сохранения четности, но все остальные члены могут давать
вклад.
2.1.1.г. Квадрупольный момент. Квадрупольный момент ядра
с А нуклонами можно рассчитать с помощью формулы (2.49),
если знать волновые функции ядра и сделать обычное предположе-
ние, что весь заряд сосредоточен на Z протонах, которые считаются
точечными частицами*. '
* Более подробное обсуждение этого вопроса см. в § 4.1. т. 2.
2 Зак. 532
33
Имеем
Р(г)= V ей6(г—гА), (2.51)
*=i
е1{ е для протонов (k = 1,2, ..., Z) и е* = 0 для нейтронов
(k = Z 1, Z 2, ..., Л). Возьмем выражение (2.49) для стати-
ческого случая
Qu=* s е,Л г2’ -» ги) (Зг, rj—bi}г«]лх
х(гп г,,..., гл)drj dr2... drA. (2.52)
где Vjjm — волновая функция состояния а (совпадающего в данном
случае с состоянием (5). При пространственных поворотах QtJ ведет
себя как симметричный тензор второго ранга со шпуром, равным
нулю. Единственными величинами, из которых можно сконструиро-
вать QiJt являются симметричный тензор второго ранга Sfj (символ
Кронекера) и вектор, непосредственно связанный с самим ядром,
т. е. угловой момент J. Мы должны иметь
= С (JM | ~ (Jt Jj + J, J,) —6U J21 JM\, (2.53)
где выбор комбинации обусловлен требованиями симметрии и усло-
вием, чтобы шпур равнялся нулю. В выражении (2.53) при описа-
нии состояния ядра указаны лишь характеристики углового момен-
та, поскольку их достаточно, чтобы получить величину указанного
здесь матричного элемента. Согласно обычным правилам работы
с угловыми моментами в квантовой механике, эту величину можно
определить, действуя компонентами оператора J на собственную
функцию оператора углового момента Вся динамика ядра,
которая определяет кавдрупольный момент, содержится в констан-
те С. Обычно определяют квадрупольиый момент ядра выражением
(2.53) при М = J и i — j --- 3;
Q = e~lQ3AM^J);
Q = 2 (Зг2-^^^...^. (2.54)
Константу С можно связать с этим выражением, поскольку из
(2.53) и (2.54) следует
Q - Се-1 ( J J13Л—J2 |JJ> = Се-1 (2J— 1)? (2.55)
Таким образом, получаем
Он " 7^37) (JM | ~ (J, Jj + Jj Ji) - 6U J! | JM \ . (2.56)
34
Хотя можно ожидать, что симметричный трехмерный квадруполь-
ный тензор Qij имеет шесть независимых компонент, последнее вы-
ражение показывает, что тензор в целом определяется одним пара-
метром Q. Это связано с тем, что все шесть компонент связаны друг
с другом в силу геометрических свойств задачи. Как видно из выра-
жения (2.56), Q = 0 для J = 0 и J = 1/2, т. е. получаем хорошо из-
вестный результат: чтобы ядро имело квадрупольный момент, его
спин должен быть больше или равен единице.
Для дейтрона J = 1, поэтому его квадрупольный момент может
быть отличным от нуля. Квадрупольный момент дейтрона можно
измерить, наблюдая эффекты, связанные с энергией квадрупольного
взаимодействия в выражении (2.50). Экспериментальное значение
квадрупольного момента равно [15]
Q == 2,82 ± 0,01 мбарн. (2.57)
Поскольку эта величина положительна, то распределение заряда
в дейтроне вытянуто вдоль направления спина ядра в большей сте-
пени, чем в перпендикулярном направлении, т. е., как видно из
(2.55), величина 3 < больше, чем <J2>. Явное выражение для
Q можно получить, используя волновую функцию (2.25). Для этого
будем отсчитывать все координаты от центра масс дейтрона. Тогда,
если выражать координаты нуклонов через относительный вектор г,
использованный в уравнении (2.13), координата протона равна г/2,
а координата нейтрона равна —г-'2 и квадрупольный оператор имеет
вид
-^(3^-r2) = -A-r2(3cos’0-l) = -l-p/ <р). (2.58)
Используя выражение (2.28а) при М = J = 1, имеем
[ (uw---А-/2 rfr’dr. (2.59)
О
Из полученного выражения следует, что до тех пор, пока мы
предполагаем заряд локализованным на нуклонах, квадрупольный
момент дейтрона отличен от нуля, только если в основном состоя-
нии имеется примесь £)-состояния ну.
Поскольку следует ожидать, что примесь D-состояния должна
быть малой, т. е.
|®|«|«|. (2.60)
и так как наблюдаемый момент Q > 0, то из выражения (2.59) сле-
дует, что и и w должны иметь одинаковый знак. Далее можно уста-
новить, что тензорное взаимодействие должно быть притягивающим:
V,(r) < 0. (2.61)
2*
35
Это неравенство можно получить из уравнения (2.30) или с помощью
следующих интуитивных рассуждений. Если рассматривать (ц
и о-, в S12 как обычные единичные векторы, то в дейтроне эти век-
торы должны быть параллельны друг другу, поскольку состояние
дейтрона является триплетным спиновым состоянием. Поэтому,
как следует из (2.15), S12 положительно для состояний, вытянутых
вдоль направления спина. Но поскольку для дейтрона Q > 0, то
такое состояние для него предпочтительнее; следовательно, его энер-
гия должна быть несколько меньше энергии других состояний. Так
как в этом состоянии S, 2 > О, то его энергия будет меньше, если
Уг(г) <0.
2.1.1.Д. Л1агнитный момент. Магнитный дипольный оператор нукло-
нов имеет вид* (в единицах ядериого магнетона eft/2Mpc)
М = У Г-у(1 4 T3)fi-‘rxp + y-(l +г3)Л'„о +
Л—1 *
тз)^п«1 . (2.62)
2
где р — оператор импульса нуклона, т3 — третья компонента
изоспиновой матрицы Паули, удовлетворяющая уравнениям
тз1р> = 1р>; тз1«> — |л> (2-63)
соответственно для протонов и нейтронов. Поэтому величины
(1 -г т3)/2 и (1 — т2)/2—протонные и нейтронные проекционные
операторы соответственно. Они введены в выражение (2.62) таким
образом, чтобы вклад в магнитный момент, обусловленный орби-
тальным угловым моментом, давали лишь протоны и чтобы пра-
вильно учитывалась разность между спиновыми магнитными момен-
тами протонов и нейтронов Кр и Кп. Значения этих величин равны
= 2,792763 ± 0, 000030; Кп = — 1,913148 ± 0,000066. (2.64)
Обозначая протон и нейтрон индексом 1 и 2 соответственно и отсчи-
тывая все координаты от центра масс дейтрона, имеем
rl = -yr; г2-~— уг; Р1 = — Ра=Р <2 65>
(при этом, разумеется, пренебрегается разностью масс протона
и нейтрона). Используя выражение (2.62), получаем для дейтрона**
* См. т. 2, формулу (4.66).
** Стрелка обозначает величину, которая преобразуется как вектор
в изоспиновом пространстве; жирные буквы оставлены для обозначения век-
торов, и векторных операторов в конфигурационном пространстве.
36
Р — (Яр 4" Яп) (<Т1+<т2) 4- — (Кр—Кп) (Ti 4- тг)з (CTi 4- а4 4-
4“ ~ (Яр — Яи) (Т1 — Т2)3 (<Tj —gz) 4-~ Я-1 ГХр4~
4"-Гй~1(Т14’т2)згХр- (2-66)
Так как спиновое состояние дейтрона является триплетным (S = 1),
то член с —Ой не дает вклада, а оператор (т14-т2)3 даст нуль
при действии иа дейтрониое состояние. Таким образом,
(°*+а*> + т п~' L- <2-67)
где L -— оператор орбитального углового момента. Можно ввести
оператор полного углового момента дейтрона
J = L 4—~ (°i + о2); (2.68)
111 -- (К„+К„) J-(X + к»--1-)L (2-69)
Используя этот оператор и волновые функции (2.25) и (2.28), полу-
чаем магнитный момент дейтрона в состоянии с проекцией углового
момента, равной М:
— [Kv + Кп------ ) Л"1 J ш2 (г) dr j Ф?М2 Ф1М2 dr =
= (Kp+KJAl-(K„ + K„—Ь) X
2 со
X 2 ML(2M\MLM—MLM)^w2(r)dr^
ML=-2 О
= [(Кр+Кп)—у (Кр+К„—у) J №2(r)drlM. (2.70)
О
Последнее выражение здесь получено прямым вычислением коэф-
фициентов Клебша-— Гордана, входящих в сумму. Как и для квад-
рупольного момента, обычным определением магнитного момен-
та ядра является значение .матричного элемента (2.70) при
М — J (в нашем случае 1). Таким образом,
|1= w I р, I JJ> = (КР + Кп) + (кр +к„—у ) PD, (2.71)
37
где Pd — вероятность найти дейтрон в D-состоянии:
pc=^w2(r)dr. (2.72)
0
Измерения .магнитного момента дейтрона дали следующую величину
[336J:
р = 0,857406 ± 0.000001 = Kv г Кп — 0,022209. (2.73
Отсюда
pD-=----g- P-tfo+K") х 0,039, (2.74)
3 к,+л-„—
т. е. дейтрон находится в D-состоянии около 4% времени, что со-
гласуется с соотношением (2.60).
К сожалению, в этом утверждении не учтены малые поправки,
которые обусловлены:
а) вкладом магнитных моментов мезонов, которыми обмениваются
нуклоны;
б) релятивистскими поправками на движение нуклонов;
в) возможными изменениями магнитного момента протона, обус-
ловленными присутствием нейтрона, и наоборот (эти поправки назы-
ваются неаддитивными).
Вместе взятые, они дают [2761 поправку к величине ре, равную
—(0,01 ± 0.01), так что окончательное значение поправки равно
pD = 3±l%. (2.75)
Указанные эффекты дают также поправку к Q, равную несколь-
ким процентам, но эта поправка, очевидно, менее критична, чем
для Pd-
2.1.1.е. Волновые функции дейтрона. Закончим наше обсуждение
свойств дейтрона очень краткими комментариями о приближенных
волновых функциях, которые обобщают волновые функции (2.9)
на случай, когда присутствуют тензорные силы и в основном состоя-
нии имеется некоторая примесь D-состояния 1276]. Повторяя рассуж-
дения, которые привели к выражению (2.8), можно написать
и(г) ~ ехр (—аг); (2.76а)
w(f) ~ (1 -|- З(аг)’1 + 3(otr)“2) ехр (—аг). (2.766)
Последняя функция сильно расходится при г — 0 и поэтому нёнор-
мируема. Можно попытаться заменить эти функции выражениями
п(г) = (2а) 2 еХр (—аг); (2.77а)
ш(г) = л(2а) 2 ехр(—аг). (2.776)
38
Используя измеренное значение Q, получаем п т 0,2, что в свою
очередь дает рп та 5%. Так же как и функции (2.8) и (2.9), эти
функции не удовлетворяют правильным граничным условиям в об-
ласти малых г. Можно использовать более сложные приближенные
волновые функции, параметры которых затем подгоняются так,
чтобы объяснить наблюдаемые свойства дейтрона 12761.
2.1.2. Теория эффективного радиуса
Выше было показано, что, хотя свойства дейтрона могут дать
много информации о ядерных силах, изучение единственного свя-
занного состояния двухнуклонной системы ие дает возможности от-
ветить на многие вопросы о свойствах ядерного взаимодействия. Для
того чтобы расширить наши знания, необходимо рассмотреть рассея-
ние двух нуклонов. Рассмотрим сначала низкоэнергетическое рас-
сеяние. Мы увидим, что данные о низкоэнергетическом рассеянии
могут быть использованы для большего понимания свойств ядериых
сил. Однако, чтобы знать об этих силах столько, сколько необхо-
димо для понимания структуры ядра, в конечном счете придется
изучать рассеяние с энергией вплоть до нескольких сот мегаэлект-
ронвольт.
Рассмотрим сначала низкоэнергетнческое S-рассеяние нейтрона
на протоне при двух различных энергиях Ег и Ez. Оно описывается
уравнениями Шредингера
' aj- (2.78а)
[-£- +1F(Ег ~V ] "2 (г>=°' (2-78б>
Решение, соответствующее связанному триплетному состоянию, ра-
зумеется, также возможно. Оно определяется уравнением
[^ + -^<£«-V(r))]M') = 0- (2.78b)
Волновые функции удовлетворяют граничному условию
«1(0) = МО) = «g(0) == 0 (2.79)
и имеют асимптотическое поведение
* Slnfif ' '
ug (г) == ехр (—аг), (2.806)
где а = й-1 [Л4 | I1/2. Функции, определяемые выражениями
(2.80), удовлетворяют уравнениям Шредингера (2.78) с V(r) = 0.
39
(2.81а)
Требуя выполнения условия
Щ *= 1 • 2»
и
Ug(r)^ue(r), (2.816)
можно определить нормировку решений уравнений (2.78). Величины
б* при i = 1,2 являются фазовыми сдвигами S-волиы для рассея-
ния при энергиях Ег и £2.
Используя хорошо известную процедуру, умножим уравнение
(2.78а) на п2, а уравнение (2.786) на и вычтем последний резуль-
тат из первого. Проинтегрируем по всем возможным положитель-
ным значениям г:
nd2 d2 1 > М /Е. , f ,
“а “>—4l "21 dr -г- — (£1 - £.J J щ иг dr =
о о
=Г ^h'r",“"‘^4dr+-s-(£‘-£2) [ "*"’*=
о о
= + — (£1—£j) ( «h «sdr= 0. (2.82)
ar ar J Й2 J
о О
Таким образом,
[ “2 —1,1 “2] = (£2—£i) [ “1 "а (2.83а)
о о
и аналогично
[«» —и,—=-^-(£.—£,)( u1ti2dr. (2.836)
L ar ar I й2 “ I
о о
Вычтем (2.83а) из (2.836), используя (2.80) и (2.81); в результате
получим
А'2 ctg С2—kL ctg = ~~ (Ег—Е^ j" («j н2—u2) dr. (2 84а)
о
Для связанного состояния имеем
. *2ctg^+-l-[^|£g|1l/2=I
= (£2—^) J («2 «г—Ч ««) dr. (2.846)
40
Определим теперь длину рассеяния а соотношением
--------L = Пт [Д, ctg 60 (А;2)!,
а
(2.85)
где №~MEjh2. Индекс нуль указывает, что рассматривается фа-
зовый сдвиг для углового момента, равного нулю (S-волна). При
очень низких энергиях вклад от S-нолны является единственным.
Хорошо известно, что полное сечение рассеяния можно выразить
через фазовые сдвиги (см., например, разд. 2.2.1). В данном случае,
когда дает вклад только S-волна, имеем для сечения при Е = О
lim a (k) = lim 4п 5in* 8" = lim-------------------- 4ла2.
k-*-o k»-*Q k2 £2+A2ctg260 (k2)
(2.86)
Таким образом, сечение при нулевой энергии выражается через
длину рассеяния очень простой формулой.
Из формул (2.84) для Е2 = 0 имеем
k ctg 60 = —от1 + ~ k2 р (0, £) (2.87а)
и
Actg60- -a + i^+a^pt-lfigl, £), (2.876)
где
р (0, £) = 2 (j (и0и — иои) dr (2.88а)
о
и
Р (—| Eg |, £) =е jj [ugu—ug и) dr. (2.886)
b
Для случая связанного состояния при Е -> 0 получаем
а'Л а-----|£в|, 0), (2.89а)
где
Р(—|£е|> 0) = Р(°, —|Egl) = 2§ (ugU0—r/gujdr. (2.896)
О
Выражения (2.87) дают энергетическую зависимость фазового сдви-
га S-волны при низких энергиях. Они полезны, если только из-
вестно, как величина р(0, Е) зависит от энергии. В действитель-
ности эта зависимость довольно проста: р(0, Е) в основном констан-
та. Это не трудно получить следующим образом. Функции и(г) н
и(г) различаются только внутри области действия ядерных сил, так
41
как вне^этой области и(г) принимает свою асимптотическую форму,
т. е. u(r). Поэтому вклад в интегралы (2.88) , определяющие вели-
чины р, обусловлен лишь областью, в которой ядерный потенциал
намного больше, чем энергия рассеяния. Следовательно, величины
р очень слабо зависят от £ н могут быть аппроксимированы выра-
жением
гс == р (0, 0) = 2 $ («0 — uj) dr, (2.90)
О
где^г0 — эффективный радиус. Используя эту величину, получаем
/ictg60= —a“1+-i-A!r0 (2.91а)
н аналогично для триплетного состояния
fe ctg 6„ =-а+ -1-(ft2+ «'),•„, (2.916)
так что
а~1 = а— -~а2г0. (292)
Как следует из выражений (2.91), данные о ннзкоэнергетическом
рассеянии позволяют определить самое большее два параметра:
а н г0. Энергия связи дейтроиа не дает дополнительной информации,
поскольку она связана с триплетной длиной рассеяния и эффектив-
ным радиусом соотношением (2.92). Таким образом, рассеяние при
низких энергиях не зависит от деталей формы ядерного потенциала;
оно определяется лишь двумя параметрами потенциала, например
глубиной и радиусом. По этой причине ннзкоэнергетнческую об-
ласть также называют независящей от формы областью.
Параметризацию. с помощью эффективного радиуса можно обоб-
щить на более высокие порядки (см. [276, 374]). Соответствующие
коэффициенты называются зависящими от формы параметрами.
Определим
(2.93)
тогда можно получить
k ctg 60 = — a~l + k2 г0—Pro k*, (2.94)
где
Р — (uoti'o—u0uo)dr. (2.95)
b
Связь величин а, г0 н Р с потенциалами различной формы дается
в работе [57]. Для большинства применений теории эффективного
радиуса член, содержащий Р, отрицателен.
42
Чтобы определить значения длин рассеяния и эффективных ра-
диусов из экспериментальных данных для энергий, меньших 10 эв,
необходимо учесть эффекты химической связи (энергии ~ 0,1 —
1 эв). В этом анализе необходимо также учесть эффекты, обусловлен-
ные спином молекулы; например, при энергиях, меньших 0,1 эв,
нейтрон будет когерентно рассеиваться на двух протонах молекулы
ортоводорода или параводорода. Эти эффекты рассмотрены в книгах
[58, 276].
Экспериментальные значения триплетной н синглетной длин рас-
сеяния и эффективных радиусов соответственно равны [98, 411,
535]
at = 5,399 (1 ± 0,0018) ферми\ (2.96а)
= — 23,680 (1 ± 0,0012) ферми (2.966)
н
rOs ~ 2,5 ± 0,1 ферми. (2.96в)
Отсюда
оог = 4ла| = 3,66 (1 ± 0,0040) барн, (2.97а)
o0s = 4ла1 = 70,46 (1 ± 0,0024) барн. (2.976)
Так как
и (r) = ) = sin krctg 6 + cos kr 1 + kr ctg 6 = 1 — r/a,
(2.98)
то в зависимости от того, будет ли а положительной нлн отрицатель-
ной, функция и0(г) имеет одну из двух форм, показанных на рис. 2.1.
Для небольших отрицательных
энергий кривизна волновой
функции будет немного меньше,
чем для и0(г) внутри области
действия ядерных сил. Таким
образом, связанное состояние
возможно только для а > 0, н,
согласно (2.96), не следует ожи-
дать связанного синглетного со-
стояния. Однако, поскольку as
велико, то в синглетном состоя-
нии функция и0(г) приближает-
ся почти к горизонтальной ли-
нии. Поэтому существует состоя-
ние, очень похожее на связан-
ное, которое проявляется как-
виртуальное связанное состоя-
ние с очень большим сечением
синглетного рассеяния при ну-
левой энергии.
Можно развить теорию эффек-
тивного радиуса н при наличии
Рис. 2.1. Радиальная волновая функ-
ция и (г) для положительной и отри-
цательной длин рассеяния
дальнодействующих кулоновских сил, т. е. применить ее к рассея-
нию протона на протоне (см. обзор [276]). Чтобы удовлетворить
принципу Паули, два протона в S-состояннн должны находиться
в синглетном спиновом состоянии. Это дает возможность сравнить
со значением аа (2.966) и тем самым проверить гипотезу зарядовой
незавнсимостн ядерных сил, которая утверждает, что, за исклю-
чением кулоновских эффектов, свойства пр-, рр- и пп- рассеяний
должны быть одинаковыми. Экспериментальное значение длины
рр-рассеяния равно [266]
ав(рр) = — 7,819 ± 0,009 ферма, (2.99а)
а эффективный радиус составляет
бм (рр) = 2,820 ± 0,044 ферма. (2.996)
Величины (2.99) содержат кулоновские эффекты, и поэтому их нель-
зя непосредственно сравнивать с данными (2.96). После учета этих
эффектов в величинах г0 экспериментальные значения синглетных
эффективных радиусов для пр- и рр-рассеяний, по-видимому, под-
тверждают гипотезу зарядовой незавнсимостн, хотя эксперимен-
тальная картина здесь все еще не полностью ясна [98]*.
В заключение укажем, что в случае тензорных сил для триплет-
ных состояний необходимо модифицировать теорию эффективного
радиуса [276]. Выражение (2.94) остается, но формулы (2.90) н (2.95)
ссотютст но заменяются на
г„ = р(0, 0) = 2§ (йо— u$-w%) dr (2.100а)
о
и
Р=—гь3\ (u0Uo—1®0шо) dr, (2.1006)
о
где w — волновая функция £>-состояння, которое благодаря дейст-
вию тензорных снл смешивается с S-состоянием в рассеянии прн низ-
ких энергиях.
§ 2.2. ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
2.2.1. Рассеяние нейтрона на протоне
Перейдем теперь к рассмотрению нуклон-нуклонного рассеяния
прн высоких энергиях. Это необходимо для получения дополнитель-
ной информации о свойствах нуклон-нуклонного потенциала по срав-
нению с информацией из данных о рассеянии прн низких энергиях.
* Обзор, посвященный зарядовой независимости и зарядовой симметрии
ядерных сил и соответствующие ссылки см. в работе Л. А. Слнв. «Изв. АН
СССР. Сер. физ.», 1974, т. 38, с. 2. — Прим, перев.
44
Сначала рассмотрим рассеяние нейтрона на протоне, так как в
этом случае имеются лишь сильные короткодействующие ядерные
силы н можно пренебречь электромагнитными эффектами. Кроме
того, в начальной стадии ограничимся синглетными состояниями,
чтобы не было усложнений, связанных со спином н действием тен-
зорных снл. В асимптотической области волновая функция нейтрон-
п ротон ной системы ведет себя следующим образом*:
ф (г) —> exp (ikz) 4- f (0, (р)г-1 exp (ifcr), (2.101).
где fe8 = MEItP. Здесь предполагается, что налетающие частицы
движутся вдоль оси z н описываются плоскими волнами. Рассеян-
ные частицы описываются выходящей сферической волной, коэффи-
циент прн которой Д0, <р) является амплитудой рассеяния. Диффе-
ренциальное сечение выражается через эту величину:
о(е.<р)=1/(е,ч>)12. (2.102)
В случае центрального потенциала величина ф не зависит от сфе-
рической координаты ср, н волновую функцию можно разложить
по полиномам Лежандра:
ф(г, 0)= 2 r_1Hz.(r)Pi.(cosO), (2.103)
где функция ul удовлетворяет уравнению
(2104)
Граничное условие для радиальной функции в начале координат
имеет вид
«ь(0) = 0. ► (2.105)
Прн V(r) = 0 решение уравнения Шредингера представляет собой
плоскую волну, которую можно разложить аналогично разложению
(2.103):
exp (ikz) = exp (ikr cos 0) = 2 (2^+1) iL Jl (kr) Pl (cos 0). (2.106)
L=0
В асимптотическом пределе г -> оо это разложение принимает вид
exp (ikz)---> 2 (2Ь4-1) iL^kr)-1 sin Г kr-— лГ^ PL (cosO).
l—o \ . 2 J
(2.107)
* Квантовомехаиическая теория рассеяния изложена, например, в кни-
45
Для потенциала с конечным радиусом действия в уравнение
(2.104) для асимптотической области потенциал не входит, и можно
написать
«ь(г)—^(2L+1) fe-1 sin ----(2.108)
где 6/. — фазовый сдвиг L-м парциальной волны и At— произволь-
ная постоянная. Подставляя (2.107) в (2.101) и требуя, чтобы в асимп-
тотическом пределе были лишь плоская волна н выходящая сфери-
ческая волна, получаем
Ас = ехр (i6L), (2.109)
так как в пределе г со
ф (г) — ехр (i kz) > у (2^ + 0 >L (kr)~x Pc (cos) x
r**ooL=0
Xp4tsin {kr-----siL4-6l ) —sin {kr----—
= у (2L+ l).iL(2ib')_1PL(cos6)|^L|exp|\ {kr-----—
—exp^ — i (fer—j- лЬ + бл )]}~{exP [* —Г я!,)]—
— exp^—i(fer-----^"я^)]}]= 2 (2b-|-1) iL(2ifer)-1PL(cos6) x
x Jexp^-i- inLj [1— ZLexp(—i6L)]exp(—ifer) +
+ exp (---ini) [At, exp (ify.)—1 ] exp (ifcr)}. (2.110)
Сравнивая это выражение с определением (2.101), можно выделить
парциальное разложение для амплитуды рассеяния
f (6) — —ife-1 (2Ь +1) [ехр (216/,) — 1 ] Pc (cos 0) ==•
L = 0
== fe"1 у (21, + 1) ехр (ifit) sin be Pl (cos 6). (2.111)
Z. = 0
Таким образом, согласно (2.102), дифференциальное сеченне дается
формулой
п(е)=/^2
У (2L -ф 1) ехр (1'6д) sin bL Pl (cos 0)
L=0 I
(2.112)
46
а полисе сечение равно
а = 2л С n(e)^cose = 4^-2 2 (2£H-l)sin26L. (2-113)
_i -=о
В случае притягивающего потенциала фазовый сдвиг 6/. положите-
лен, для отталкивающего потенциала он отрицателен. Для рас-
сеяния при данной энергии существен некоторый набор величин бь,
а вклад остальных величин, начиная с некоторого значения L, не-
велик.
2.2.2. Рассеяние протона на протоне
Прн рассмотрении рассеяния протона на протоне необходимо
учитывать кулоновские силы. Уравнение Шредингера в этом случае
принимает внд
[--^-V2 + V(r) + -^-]n>(r) = EH>(r). (2.114)
Разложение (2.103) остается справедливым, но радиальные волно-
вые функции удовлетворяют уравнению
Г_^_ ^2 — JL V (Г)—-------------L(L-\ \) j (Г) = 0 (2л 15)
[ «И Й2 Л2 Г Г2 J
с граничным условием «ДО) = 0. Асимптотическое решение этого
уравнения является линейной комбинацией функций
sin(fer — rjln 2 kr) н cos (kr — т] In 2 kr), где
Me2 ___ e2 Me2 1 _____0,0347 фердш-1 6,85 Мэв/с
4 — 2М2 he he 2k ~ 2k ~~ 2k ’
Для чисто кулоновских сил решение уравнения (2.115), обращаю-
щееся в нуль в начале координат, имеет асимптотический вид
uL(r)-->(2L + 1) iLexp (iot) fe-1sin ( kr-nL—и In 2kr-\- oL),
ч (2.П7)
где Gl — кулоновский фазовый сдвиг
exp (2io,) = r(£ + ' + iTl) (2.118)
r(L + l- <4)
Ядерный потенциал создает ядерный фазовый сдвиг, так что в асимп-
тотическом пределе имеется такое же, как н (2,117), выражение для
иь(г), в котором gl заменяется од 4- бд,. Тогда
^(г)^Нг) + /(е)5(г), (2.119)
47
где
I (г) = [ I — “П (kr)-1 In 2kr] exp {i (kr — i] In 2kr) cos 61 (2.120)
и
S(r) = exp[i(fer—Y)ln2A>r)]. (2.121)
При наличии кулоновских сил амплитуда рассеяния дается вы-
ражением
f (0) ---ife-1 у (2L + 1) {ехр [2i (oL+6L)1 — 1} PL (cos 0),
(2.122)
т. e. имеет ту же форму, что и выражение (2.111), но фазовый сдвиг
теперь является суммой ядерной н кулоновской частей.
В случае рассеяния протона на протоне налетающая частица
тождественна рассеивающей. Поэтому в системе центра масс ампли-
туда берется в виде
/(0) ± Ял ~ 0),
где знак плюс относится к синглетным состояниям, которые в силу
принципа Паули должны быть симметричны в конфигурационном
пространстве, а минус относится к триплетным состояниям. Если
спин не наблюдается, то необходимо учесть статистические веса
синглетных н триплетных состояний, н в результате сечение дается
формулой
° (0) = т I f <е> + f(я - е> f+т |1 <е) “f (" ~ е) f • (2-123)
В случае, если действуют только кулоновские силы, парциаль-
ные волны можно просуммировать и получить амплитуду кулонов-
ского рассеяния:
fK(G)= —^-cosec2-^-0 {exp|2i(o0—цlnsin-|-0(2.124)
Тогда
Z(6)=/k(0)—rik 1 2 (2Z. + l)exp(2ict)[exp(2i6/.)-l]PI.(cose),
L = 0
(2.125)
н при умеренных энергиях протонов вклад дают лишь несколько пер-
вых ядерных фазовых сдвигов. Так как кулоновская н ядерная ам-
плитуды рассеяния могут интерферировать (первая имеет макси-
мум при углах 0 и 180е), то мы получаем своего рода указатель —
интерференционный минимум, который отмечает начало ядерного
рассеяния.
48
2.2.3. Тензорные силы
Рассмотрим теперь обобщение фазового анализа на случай, когда
имеются тензорные силы. Таким случаем является нуклон-нуклон-
ное рассеяние в триплетном состоянии. Учитывая предыдущее рас-
смотрение основного состояния дейтрона, можно ожидать, что тен-
зорные силы будут смешивать парциальные волны, имеющие орби-
тальные угловые моменты L = J — 1 н L — J 4- 1, где J — полный
угловой момент для рассматриваемой компоненты волны*.
Уравнение Шредингера с учетом тензорных сил имеет вид
V!+VI1(r)+SlaVI(r)]iKr) = EiKr), (2.126)
где в асимптотическом пределе ф(г) имеет такую же пространствен-
ную зависимость, что и в выражении (2.101). Разложим теперь ф(г)
по функциям (2.19):
ф (г) = 2 J2 r-^jL^OjMLte.cp). (2.127)
J=0L=J—1
Радиальные функции ujdf) удовлетворяют уравнению (2.22). Для
простоты введем новые обозначения
uj = ujj-\t Vj=ujj, wj=ujj+i. (2.128>
Плоская волна, которая входит в ф (г), в асимптотическом пределе
умножается на спинор, соответствующий спину 1 для триплетного
состояния, и также может быть разложена по функциям (2.19):
exp(ifa)%Ms= V [4n(2L+l)]1/2i'-/L(fer)yI_0(e, <p)xms =
L=Q
= 2 21 [4л(2L-|-l)]1/2 (fer) (LlJJ OMsMs)OJMsl. (2.129)
J-0£.==/—!
Здесь предполагается, что триплетное состояние двухиуклоиной си-
стемы в асимптотическом пределе имеет проекцию углового момента
Ms- В этой области
exp(ifez)XMs-->2 3 [4«(2^+l)]I,2iL(M-'lx
r->°° J=0 L=J4-1 4
Xsin^fer—(LU I OMs Ms) (2.130)
Рассмотрим сначала случай L = J. Как следует из табл. 2.1, это
чистое состояние. Поэтому соответствующее асимптотическое вы-
* Фазовый анализ при наличии тензорных сил впервые рассматривался
в работе 1591.
49
ражение для радиальной волновой функции совпадает с выражением
(2.108). Запишем это в виде
vj (г) -> А ехр |—i [kr—nJ —В exp [ i ( kr—о-Л*Н] -131)
и определим матрицу рассеяния (в данном случае число) следу-
ющим образом:
В = S.4. (2.132)
Для упругого рассеяния поток входящих волн должен быть ра-
вен потоку выходящих, отсюда
|S|2 = 1, (2.133)
и S можно записать в виде
S = exp (2i6jy), (2.134)
где — фазовый сдвиг для парциальной волны с L = J. Из
(2.131) и (2.134) получаем
Vj (г) _——2i.Aexp(i6jj)sin [kr—(2.135)
что по существу эквивалентно выражению (2.108).
Для случая L = J ± 1 процедура введения S-матрицы значитель-
но меиее тривиальна. В асимптотическом пределе мы должны иметь
itj(r)-—>Дехр|—I —1)|| —
—Bjexp/i Г/гг—у n(J —1)]} (2.136а)
И
К'/ (г) . A, exp J — i рг— -Т (J + 1) j j —
—B.expJi pr----i-«(J+l)J|. (2.1366)
Введем теперь S-матрицу 2x2:
/ВЛ /Su S12\/A\ (2.137)
\bJ уЦа
В силу условия сохранения потока
М1Г+1А1! = |В11а- (2.138)
ИЛИ
S4S = 1, (2.139)
т. е. S-матрица унитарна. Она должна быть также симметричной.
Это следует из того, что уравнение (2.22) имеет вещественные коэффи-
циенты, поэтому функции и*(г) и ic.’*(r) описывают то же самое рас-
сеяние, что и uj(f) и wj(r). Комплексное сопряжение меняет местами
50
входящую и выходящую сферические волны. Таким образом, имеем
Л* = SB*, (2.140)
где подразумевается матричное умножение. Отсюда следует, что S
должна быть симметричной.
Наиболее общая унитарная симметричная двухрядная квадрат-
ная матрица имеет три независимых параметра и может быть записа-
на в виде
S = t/-1exp(2iA)C/, (2.141)
где и=( А Р'« 0\ (21
\—sinej cosej / \ 0 fijv/
Величина fj называется параметром смешивания, bja и 6jY — фа-
зовые сдвиги для собственных состояний а и у S-матрицы, которые
принадлежат данному J. Два собственных состояния, соответствую-
щие собственным значениям exp (2i6Ja) н exp (2i6JY), связаны соот-
ношениями
Л<«>/Л<“> = tgej, Л^>/Л^> == —ctgej (2.143)
и
B(«) = exp(2i6Ja) Л<“>, B^> = exp(2i6jY)A<v>. (2.144)
Введем лучшие обозначения Ajm^^A^ н Ajmsv = Л^> и обозна-
чим случай L = J как состояние р. Тогда
= Г"т Vjm s (г) Qjmsj -*
—2i г"1 Л/м5р exp (ifiJ₽) sin (kr-л J 4- 6Jp) (2.145}
и
Uj.Msa —2i AjAisa exp (i6ja) sin J kr----- л (J— 1) -|-
(2.146 a)
wjms₽ —2i AjMsa tg Ej exp (ifya) sinffer------л (J J1) + 6ja j;
(2.1466)
uj.msv +2i Ллмз^Е/ехрОб./у) sin jAr—--n(J—1) +6jYj;
(2.147a>
wjmsv -> —2i Aj.MsVexp (ifijY)sin --------^-л (J 1) +
(2.147 6)
Сконструируем полные волновые функции
'l’J.Msi=r“1(wjAfs>.<I>jMsj-i+uv.Ms?L®jAfsJ4-i). к=а,у. (2.148)
51
В асимптотической области они имеют вид
“2ir-1^jAfsaexp(ifij«) X
X sin рг/-—-- 1) }-tgej.©jMsj+1):
(2.149 a)
'I’/Msv —2i rl AjMsv exp (i6Jv) sin p r—i- л (J + 1) -|- 6Jv] X
X (tg ej • ®jmsj— i -? 1) (2-149 6)
•Наконец, используя (2.127), напишем
(r)== 2 S
J=o>. =a. ₽, у
-j—2i г-1|2]Апм$аехр (ifija) sin [/er-±-n(J — l)-r<VaJ X
X (фул!sJ -1 — tg Ej • ФJMSJ 1) +
+ Amiso exp (i6jp) sin [kr-~ n J 4- 6jpj ®jmsj +
+AbwsV exp (i6Jv) sin [fer—л (J +1) + 6jvl X
X (tg ej • &jmsj—i Ч-Ф/л< sj 4-1 )| • (2-150)
Фазовые сдвиги 6ja и &jv иногда для удобства записываются как
6jj_i н Резумеется, как следует из выражений (2.141)
и (2.142), состояния а и у не являются состояниями, соответ-
ствующими только L = J + 1 или только L = J —• 1, а пред-
ставляют собой смесь эти? состояний. Потребуем, чтобы Ej —> О
в случае, когда тензорные силы отсутствуют; это дает правило
для идентификаций состояний а н 0 с состояниями, соответ-
ствующими L = J — 1hL = J + 1, но лишь в этом пределе. Если
тензорные силы малы, то a-состояние является в основном состоя-
нием с L = J — 1, а у-состоял не— в основном состоянием с L =
= J 4- 1. Эта ситуация имеет место, когда энергия рассеяния ста-
новится малой, так как в таком случае дальнодействующнй центро-
бежный барьер ослабляет влияние тензорных сил на смешнваине
волн с L = J ± 1. Заметим, что фазовые сдвиги неоднозначны по
отношению к добавлению к каждому из них числа зт. Эта неоднознач-
ность устраняется требованием, чтобы фазовые сдвнгн стремились
к нулю, когда ядерное взаимодействие исчезает. Для J — 0 можно
взять е0 = 6оа = 6оР = 0, в этом случае имеется лишь одно трип-
летное состояние с L = 1.
Чтобы получить выражение для сечения рассеяния в триплетном
состоянии, разложим асимптотическое выражение, для ф(г) на вхо-
52
дящую и выходящую волны. Используем соотношение
ехр (i6) sin per-л (J ± 1) + 6 j —
=-----~i{exp|i[&r-----"-л (J ±1) -}-2dj|—
- exp(-i |fer----i-n(J±l)j|| =-----L i{(exp(2i«) — l)exp{i[fer —
— -i- n ± 1)]} + exp {i [Ar — -L я (J + [)]} _
— exp{—i [Ar-----л (J ± 1))}} =(— i)J±1 exp (i6) sin t> e\p (i/cr) -
+sin[fer—|-л(У±1)1, (2.151)
в котором последний член совпадает с асимптотической радиальной
зависимостью парциальных волн в разложении плоской волны
(2.130). Амплитуда рассеяния может быть выражена аналогично
(2.110) и (2.111). Результат имеет вид
fus (0, <р) = V 4л kr1 2 [ AJusa ехр (i6ja) sin 6ja x
j=o
X (cos ej CjAfsr— i — sin Bj Oja/sj+ i) 4-
+ Aw$₽ exp (ifijp) sin 6jp &jmsj +
+ AjmsV exp (ifijT) sin (sin e,f i 4- cos ej Q™sj+ i)]
(2.152)
Коэффициенты Ajmsk (к = a, 0, у), вычисленные с использованием
явного выражения для величин (LAI ]OM.sMs|), приведены в табл. 2.2.
Они удовлетворяют соотношениям ортогональности
2 A/msx = (2/4-1) бхл»; (2.153 а)
Afs=-1
Ajm^Ajms к = (2/ 4- 1) 6.ms (2.1536)
Для неполярнзованного пучка дифференциальное сечение в триплет-
ном состоянии получается из формулы (2.102):
o((e,<p)=4Ms?_1 l/"s<e-4>)ls- (2-154>
а полное сечение имеет вяд
о* = 4л£~2 2 ~ (2/ 4-1) (s«n2 §Ja + sin2 6jp4-sin2 6jv). (2.155)
j = o 3
53
Таблица 2.2
Значение коэффициентов для амплитуды в триплетном состоянии
"s а AJMS ₽
1 Г 1 11/2 1 —(J-}-l) COSBj— । 1 Л'/2 — 1 V J ) SIB Bj Г 1 I*/2 |^--(2J-|-l)j Г 1 I1/2 — (J 4-1)1 sinej-H , i 1 V/z i I J 1 cos ej
0 J № COS £j + 4-(74-l)I/2 sin в7 0 J1/2 sinej—- — (7 4- 1)42 cos Ej
—1 Г 1 ll/2 (J 4- 1) COS Ej — i' 1 ,V/2 • — 1 ~ ] Sin Bj Г 1 11/2 |V (274- 1)J Г 1 ll/2 “(7 4-1)1 sinej-f- ‘ । 1 /V72 4- 1 J ] cos ej
Для чисто центральных сил Sjl — Sl, т. е. фазовый сдвиг не зави-
сит от J, н выражение (2.155) сводится к выражению (2.113).
Фазовые параметры, определяемые соотношениями (2.141) и
(2.142), называются фазовыми параметрами «без черты». Практи-
чески же большая часть обширного анализа нуклон-нуклонного
рассеяния выполняется с помощью фазовых параметров «с чер-
той». Они определяются из следующего выражения вместо (2.141)
и (2.142):
/exp(ifiJa)
\ 0
О Wcos2sj isin2e.f\
exp(ifijv) /\isin2ej cos2ej /
x exp (ifiJa) 0_
\ 0 exp (i 6JT)
(2.156)
Преимущество этих параметров заключается в том, что они
облегчают отделение вклада кулоновской части от вклада ядерной
части для рассеяния протона на протоне в триплетном состоянии
(см. работу [488]). Брейт с сотр. (98] использовали параметры,
определенные по-другому:
О/ Wje, 6/41 = pj =sin 2ej.
(2.157)
Чтобы получить наилучшую подгонку фазовых параметров к эк-
спериментальным данным, необходимо пользоваться специальной
54
Таблица 2.3
Состояние системы из двух нуклонов [98].
(В скобках указаны примешиваемые состояния)
Т 7 = 0 7=1 J— 2 / = 3 7 = 4 J = 5 J=6
0 - (zSi.sDJ 3D3 ‘p3 <ада.зс3) ‘PS №. 34)
1 'So.' 3Р« SPj ‘Pa (3P2.3P2) v3 ‘G« (3P4. 3H«) зЯ5
методикой (обсуждение см. в работе [98]). Состояния двухнуклонной
системы, которые, как ожидается, дают существенный вклад при
рассеянии ниже приблизительно 400 Мэв, приведены в табл. 2.3.
Е„аЛ ЮгМэЯ Ете, 10гМэИ
Рис. 2.2. Фазовые параметры иуклон-нуклоиного рассеяния для энергии,
меньшей 400 Мэв (в лабораторной системе координат):
между
Фазовые сдвиги для состояний, дающих заметный вклад в рассея-
ние, показаны на рис. 2.2. Некоторые из этих результатов будут
обсуждаться в следующем параграфе.
Прежде чем подвести итоги, отметим, что эти эксперименты по
нуклон-нуклонному рассеянию можно выполнить с поляризованны-
ми частицами. Если имеется неполярнзованная мишень, то конечная
55
поляризация (of> частиц, рассеянных на угол (0, <р), выражается
формулой [538]
h<°f> =/<{[₽ + ₽!< <тг >-k£-J-О<ог-> • txkyd-
+ < ai > kj X (kf X к/)] к/ X ky +
+ [a2 + A < Ci у •k/ + y2< <тг- > -к, Xky +
+ Я < <rf > • (кг x ky) x kz] (kt x ky) Xky+
4 [a3--b>4/<</i >-ki+Y3<<ri >-ki xk/4-
+ /?'<<rf >-(кг-x ky) x kfjky}. (2.158)
Здесь начальный пучок имеет поляризацию <ог> и интенсивность
/ь конечный—интенсивность/у. Единичные векторы к, и ку опре-
деляют направления начального и конечного пучков в лабораторной
системе координат, коэффициенты, входящие в выражение (2.158),
называются параметрами Вольфенштейна. Формула (2.158) дает
наиболее общее выражение для конечной поляризации, обусловлен-
ной нуклон-нуклонным рассеянием нуклонов в пучках поляризован-
ных частиц. Это объясняется тем, что векторы kf, кг X ky и (к, х
X ky) X kj образуют ортонормироваиную систему, с которой можно
связать составляющие величины (ог>. Кроме того, в силу соотно-
шения (2.17) <оу> должно линейно зависеть от
Так как <<гг> н <<Гу>-—псевдовекторы, то слагаемые в выра-
жении (2.158), которые содержат греческие буквы, равны нулю,
если четность сохраняется. Поэтому, если, например, налетающие
частицы неполярнзованы, после взаимодействия онн должны быть
поляризованы перпендикулярно к плоскости рассеяния. Это можно
использовать для проверки сохранения четности в нуклон-нуклон-
ном взаимодействии*.
§ 2.3. ВИДЫ НУКЛОН-НУКЛОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
В двух предыдущих параграфах мы в основном рассмотрели воп-
рос о том, каким образом можно использовать экспериментальные
факты о свойствах двухнуклонных систем для получения сведений
о ядерных силах. В остальной части этой главы будут рассмотрены
способы, с помощью которых можно попытаться понять свойства
ядерных сил, и параметризация этих сил с использованием измерен-
ных характеристик дейтрона н фазовых сдвигов.
Сначала кратко перечислим основные свойства ядерных снл.
Свойства дейтрона и анализ в рамках теории эффективного радиуса
указывают, что эти силы короткодействующие. Это подтверждается
фактом, что^ядерные силы обладают свойством насыщения, так что,
когда к ядру добавляются нуклоны, энергия связи на один нуклон
* Обсуждение этого вопроса см. в работе [2121.
56
остается приближенно той же самой. Насыщение предполагает, что
с данным нуклоном в ядре взаимодействуют лишь несколько нукло-
нов, так как в противном случае энергия взаимодействия увеличи-
валась бы и добавление нуклонов приводило бы к большей энергии
связи. Кроме того, ранее отмечалось, что свойства дгмтюн^
гают наличие ямы ядерного потенциала" глубиной около 40 Мэв.
Согласно (2.97), сечение рассеяния нуклона на нуклоне по по-
рядку величины составляет 10 мбарн. Из данных об эксперименталь-
ных фазовых сдвигах, представленных на рнс. 2.2, можно видеть,
что это справедливо вплоть до энергии 400 Мэв. Сечение действи-
тельно весьма мало по сравнению с тем, которого можно было ожи-
дать. Можно думать, что (если принять представления о ядерных
силах, развитые Юкавой, то сечение должно определяться прост-
ранственными размерами облака мезонов, которые окружают нук-
лон и являются переносчиками ядерных сил) Легчайшим нз этих
мезонов является пион, поэтому в силу принципа неопределенности
он может дальше всех удалиться от нуклона. Это расстояние прибли-
женно равно приведенной комптоновской длине волны пиона
= hlmnc =1,41 ферма. Соответствующее сечение взаимодей-
ствующих нуклонов тогда по порядку величины равнялось бы
о т л(2Хп)2 ж 250 мбарн. Из того факта, что нуклон-нуклонное
сеченне значительно меньше, следует, что ядерные силы представ-
ляют собой смесь притягивающей и отталкивающей компонент, ко-
торые частично сок _ j,.<,. __дц ,
НакбнеЦ, отметим, что фазовые сдвиги, представленные на
рис. 2.2, дают прямое доказательство существования отталкива- .
тельной сердцевины в ядерных силах. Как видно из рнс. 2.2, фазовый
сдвиг для состояния который благодаря действию центробеж-
ного барьера нечувствителен к области сердцевины вблизи г = 0,
остается в этой области положительным. Однако фазовый сдвиг для
состояния XSO изменяет знак в точке около 250 Мэв. На S-волну ока-
зывает большое влияние область малых расстояний. По мере того
как энергия рассеяния увеличивается так, что начинают играть
роль расстояния 0,5 — 0,6 ферма, потенциал, соответствующий
S-волне, становится отталкивательным, тогда как при более низких
энергиях он был притягивающим. Природа этого отталкивания в об-
ласти сердцевины и его роль в теории структуры ядра будут рас-
сматриваться во многих разделах книги.
Мы попытаемся количественно представить эти свойства ядер-
ных сил, конструируя величину, называемую потенциалом. Важно
подчеркнуть, что такой подход может быть в высшей степени искус-
ственным или даже полностью не соответствующим действительно-
сти. Фундаментальная точка зрения на ядерные силы заключается
в том, что они обусловлены обменом мезонов. С этой*точки зрения
можно получить определенные заключения о форме потенциала, что
будет сделано в следующем разделе. Однако таким способом нельзя
найти какой-либо убедительный способ доказательства существо-
вания потенциала. Если существуют свойства нуклон-нуклониого
57
взаимодействия, которые в основном обязаны своим существова-
нием теоретико-полевой природе, то в описании с помощью потен-
циала они будут потеряны. В то же Время оказалось, что практически
дело обстоит так, что можно сконструировать феноменологические
потенциалы, которые довольно хорошо учитывают свойства ядерных
сил вплоть до энергии несколько сот мегаэлектронвольт. После об-
суждения того, что можно достигнуть с помощью потенциалов, ос-
нованных на обмене мезонами, рассмотрим эти феноменологические
силы. Мы увяднм, что, хотя ни один из подходов не является вполне
удовлетворительным с точки зрения оправдания концепции потен-
циала, оба подхода, по-внднмому, обеспечивают достаточно хоро-
шее описание сил для использования их в современной теории ядер-
ной структуры.
2.3Л. Однооконный обменный потенциал
В 1935 г. Юкава предположил, что силы, действующие между
двумя нуклонами, могут быть обу с лов лены^обменом мезонами-Та-
кой подход является обобщением представлений, развитых'в кван-
товой электродинамике и объясняющих силы, действующие между
заряженными частицами, с по-
мощью обмена фотонами. Диаг-
раммное представление мезонного
обмена простейшего вида показа-
но на рнс. 2.3, на котором один
мезон передается между двумя
нуклонами. Промежуточное со-
стояние в таком процессе содержит
один дополнительный мёзон по
сравнению с начальным и конеч-
ным состояниями. Таким образом,
энергия промежуточного состояния
примерно на тс2 больше энергии
этих состояний. Это, разумеется,
допускается квантовой механикой
в силу действия принципа неопре-
деленности. 'Промежуточное со-
стояние может существовать лишь
в течение времени А/, соответствую-
Ряс. 2,3. Однопионный обмен, ко-
торый дает компоненту нуклон-
вуклопных сил, имеющую наиболь-
ший радиус действия. Предпола-
гается, что взаимодействие между
пионом н нуклоном в вершине NNn
описывается выражением (2.159)
щего неопределенности в энергии,
т. е. А/—/ь/пс2. Таким образом, чем легче мезон, тем больше радиус
действия силовой составляющей, за которую он ответствен. Самым
легким мезоном является пион (тлс2 = I40Afee), который будет соз-
давать силы самого большого радиуса — 1,41 ферми).
Пнон является псевдоскалярной частицей, т. е. имеет спин,
равный дулю, н отрицательную четность*. Этот факт можно ис-
*Экспер «ментальные данные с свойствах мезонов приведены в табл. 2.4.
58
пользовать, чтобы получить выражение для взаимодействия мезонов
с нуклоном. Так как гамильтониан взаимодействия должен быть ска-
ляром, необходимо в нуклонном пространстве сконструировать псев-
доскаляр, с которым можете быть связано п.»_ i^oc ..июрмьс пконное
цдде. Для этой цели в нашем распоряжении имеются спин нуклона
и импульс пиона, что соответствует псевдовекторному оператору о
в нуклонном спиновом пространстве и векторному оператору
— iftV в пнонном пространстве. Можно также рассматривать им-
пульс нуклона как другой векторный оператор, но поскольку
нуклон намного тяжелее пиона, его отдачу можно не учитывать,
т. е. полагать, что нуклон имеет бесконечно большую массу. Как
будет видно, это приводит к большому упрощению при переходе
к однопнонному обменному потенциалу. Используя o' и V, можно
сконструировать гамильтониан взаимодействия “
Н' = fr'1 s $ dp 6 (г— гг) т, (СГ; V ? (г)), (2.159)
где р = тяс!й. Здесь г;—координата /-го нуклона (/= 1,2),
т, — его три нзоспиновые матрицы*, о\ — три спиновые матрицы. .
Пионная функция <р является вектором в изоспиновом простран-
стве: три зарядовых состояния пнона л+, зт~ и л® соответствуют трем
сферическим компонентам этого вектора**. Прн получении пнон-1
нуклонного взаимодействия Нг мы требовали, чтобы взаимодействие |
было скаляром в изоспиновом пространстве, что должно привести I
к зарядовой независимости.
Выражение (2.159) можно получить, конструируя скалярное
взаимодействие в виде связи релятивистского псевдоскалярного
оператора в нуклонном пространстве с псевдоскалярным пнонным
полем или в виде связи с помощью релятивистского псевдовектора.
Формула (2.159) получается в нерелятивнстском пределе***. В ста-
тическом пределе, когда пренебрегается отдачей нуклона, эти про-
цедуры не имеют преимущества перед нерелятнвистским выражением
(2.159) в качестве гипотезы взаимодействия. Произвольная кон-
станта связи взаимодействия (2.159) обозначается f. Это то же, что
н константа связи в случае релятивистской связи с помощью псевдо-
вектора; релятивистская псевдоскалярная константа связи выра-
жается через f следующим образом:
g = 2Mf/mn. (2.160)
Ее эмпирическое значение равно [294]
g*/4nhc = 15,9 ± 0,2; (2.161а)
отсюда
Р/4пПс = 0,088 ± 0,001. (2.1616)
* См. примечание па стр. 36.
** См. § 2.1, 9.5 и 10.3 т. 2.
*** Релятивистская связь рассматривается, например, в работе [276].
59
С помощью выражения (2.159) можно также записать уравнение,
которое дает волновую функцию пиона. Эта функция должна удов-
летворять уравнению Клейна— Гордона с источником, полученным
нз (2.159). Однако в статическом пределе зависящая от времени
часть оператора Клейна — Гордона исключается н уравнение при-
нимает вид
(V2— Н'МО = /Kl 2’i (°iг,), (2.162)
Z—1
где в правой части каждый нуклон является источником в фиксиро-
ванной точке.
Чтобы получить в этой модели нуклон-нуклонный потенциал,
сначала вычислим пнонное поле, создаваемое нуклоном 2, который
рассматривается как источник в уравнении (2.162). Затем, исполь-
зуя (2.159), рассчитаем энергию взаимодействия нуклона 1 с пнон-
ным полем. При этом полагаем, что оба нуклона фиксированы на
расстоянии г друг от друга. Полученный результат даст энергию
взаимодействия двух нуклонов, создаваемую их взаимодействием
с пионным полем. Это н будет однопионный обменный потенциал
(pne-pion exchange potential — OP ЕР), который мы обозначим
Vopep-
Решение уравнения (2.162) с одной лишь частяцей 2, действую-
щей как источник, имеет вид
Ф(Г) = (<г,-у,) —р-(;~и 11 * (2163)
I г—г2|
так как легко видеть, что
(V2— (Xs) •еХР{7Х1-'|~Г'1> = —4яв<г—ГТ (2.164)
Подставляя (2.163) в выражение (2.159) для i = 1, имеем
exP<-Hln-ra|) (2 165)
4лц- jn—rs|
Это выражение следует рассматривать как одиопнонный обменный
потенциал. Выполнив указанное дифференцирование, получаем
V ОГЕР - 4- т„ & ( -р— ) (т, • т2) X
3 \ 4ппс /
X {<Г1 • <г2+S1211 + 3 (к)~х+3 (к)-2]} (НО"1 ехР (“К)- (2-166)
Здесь Задается выражением (2.15) и р = тяс!Н.
При получении (2.166) мы опустили член в Vopep, который дает
вклад при г = 0. Он возникает потому, что при г ~ 0
(ffj • vO (<Xi • V2) г-1 = (<Ti - Vi) (°2 • V2)r “х = (<ri)i (<rs)/ ViV i r' =
= Y 71 6 (0 = -у Л ‘ °2 6 (2-167)
60
так что к выражению (2.166) мы должны добавить слагаемое
VbPEP (г)= -т„ с!( )(т,-т2)(<г,-ст2) «(г). (2.168)
Зр.3 \ 4л lie J
Это слагаемое должно давать вклад только для S-волн, так как толь-
ко они дают вклад в начале координат. Однако мы увидим, что одно-
мезонный обменный потенциал в основном не годится для S-воли,
поэтому в большинстве случаев член (2.168) можно не учитывать.
Вывод выражения (2.166) можно получить также н в теории, где
пионное поле берется в^квантованном виде, а не в классическом,
как делалось выше. При этом полученный результат н физический
смысл не меняются. Конечно, иаш подход при получении (2.166)
основан на теории возмущений; возможность обмена более чем
одним мезоном не рассматривалась/Вообще говоря, теория воз-
мущений здесь несправедлива, так как пион весьма сильно взаи-
модействует с нуклоном [см. выражение (2.161)]. Однако здесь не
будут рассматриваться члены более высокого порядка*. Будем счи-
тать, что однопионный обменный потенциал может быть справедлив
для больших расстояний между нуклонами (г 2/р), когда члены
с массой, большей тп, не должн k д в,:». вкл. •, или, что эквивалент-
но, для парциальных волн с большими орбитальными угловыми
моментами (L 4). В этом случае однопионный обменный по-
тенциал особенно полезен для выполнения фазового анализа, так
как для парциальных волн с большим определенного значения,
можно потребовать, чтобы фазовые параметры переходили в соот-
ветствующие значения этого потенциала. В теории возмущения
фазовые параметры имеют вид [85, 98]
(2169а)
«/и = - №+1 + а +1) Qj- 1 -(2J +1)
ibJl -р ।
(2.1696)
<2-|69в)
с параметром смешивания [см, выражение (2.157)]
(Pj)opep = 2[ J (J 4-1) ]1 /2 (6jY—&jv)opep ;
(2.169г)
* Этн члены обсуждаются в работе [276]. Было получено несколько по-
тенциалов, в которых учитывается обмен двумя мезонами, в том числе потей
циал Бракнера— Ватсоиа [78], потенциал Гартенхауса [208] и потенциал'
в работе [497]. Они различаются способом учета членов четвертого порядка.
См., например, [380, 38 Ц.
для синглетных состояний
(2.169д)
Здесь Ql — функция Лежандра второго рода с аргументом 1 --
г (1 2)р2 /г2; — релятивистская энергия нуклона, в которую
входит энергия массы покоя; k—волновое число нуклона. (Как
указывалось выше, эти результаты недействительны для парциаль-
ных волн с L = 0.)
Однопионный обменный потенциал можно использовать для рас-
чета квадрупольного момента и вероятности D-состояния дейтрона.
Расчет дает 12291
Q = 2,88 мбарн\ pD - 7,4%, (2.170)
что следует сравнить с (2.57) в (2.75).
Однопионный обменный потенциал (2.166) содержит центральный
потенциал, центральный потенциал, зависящий от спина (член
со;, сг2), тензорные силы (члены bSI2) и не содержит спин-орбиталь-
ных сил. Мы увидим, что последний член появляется, когда рассмат-
ривается обмен мезонами, имеющими квантовые числа, отличные
от квантовых чисел пиона.
Рассмотрим обобщение теории Юкавыдля случая выхода за рам-
ки приближения однопионного обменного потенциала. Это можно,
разумеется, сделать, если учесть обмен несколькими мезонами, что
приведет к сложным и неоднозначным расчетам для потенциала.
Можно также дополнить однопионный обменный потенциал, рассмот-
рев обмен одним бозоном, отличным от пиона: соответствующие по-
тенциалы образуют класс однобозонных обменных потенциалов
{one-boson exchange potential—ОВЕР). Эти потенциалы можно полу-
чить из наблюдаемых свойств различных сильновзапмодействую-
щих бозонов (мезонов), которые представлены в табл. 2.4. Иногда,
чтобы воспроизвести необходимые свойства потенциала, приходится
постулировать свойства еще неизвестных мезонов. Если эти мезоны
остаются неоткрытыми, то можно предположить, что необходимость
их учета в одпобозонном обменном потенциале возникает из-за того,
что они воспроизводят эффекты, которые в действительности соот-
ветствуют обмену несколькими бозонами. Например, многие ва-
рианты одиобозонного обменного потенциала требуют введения ска-
лярного (0+) мезона, называемого о-мезоиом. Вообще говоря, пред-
полагается наличие как изоскалярного (Т = 0), так и изовектор-
ного (Г = 1) мезонов, называемых соответственно ос- и оу-мезонами.
сто-Мезон можно рассматривать как резонанс, появляющийся при
взаимодействии двух пионов, т. е. он может представлять в потен-
циале эффекты обмена двумя пионами.
Метод учета в однобозонном обменном потенциале мезонов, от-
личных от пионов, аналогичен методу учета псевдоскалярных изо-
векторных мезонов 1см. (2.159)— (2.166)1. Сначала квантовые числа
мезона используются для определения операторов, действующих
62
Таблица 2.4
Экспериментальные данные о свойствах мезонов [30]
Т—изоспин; G—G-четиость (см. § 9.1 т. 2); J—спин; л—четность
Частица Масса, Мае j-G Ширина, Мае
139,578±0,013 1- о-
134,975 1- о- —
Ч 548,8—0,6 0+ 0- (2,6±0,6)-10-3
Р 765±10 J Ц- 1 — 125±20
783,44-0,7 о- 1 — 12,6+1,1
ч' 958,34-0,8 0+ о- <4
<р 1019,5±0,6 о- 1- 3,7±0,6
лх 1070 ±20 1 — 1+ 80+35
/ 1264+10 0+ 24- 145+25
*2L 1269+51 1- — 26+7
^2Н 1315+4/- 1- 2+ 24+12
в нуклонном пространстве и необходимых для связи с мезонным по-
лем, чтобы получить скалярное взаимодействие в конфигурационном
и пзоспиновом пространствах [см. (2.159)]. Там, где это возможно,
константа связи мезонов и нуклонов определяется из эксперимента
[см. выражение (2.161)]. Затем решается уравнение Клейна— Гор-
дона для мезона с соответствующей массой, которое учитывает по-
лученное взаимодействие [см. формулы (2.162)—(2.163)]. Резуль-
тат будет всегда содержать потенциал типа Юкавы с радиусом дей-
ствия, определяемым обратной массой мезона [см. выражение
(2.164)]. После получения мезонного поля, создаваемого одним из
нуклонов, используется взаимодействие, чтобы рассчитать энергию
другого нуклона в этом поле [см. формулу (2.165)] и получить соот-
ветствующую компоненту однобозонного обменного потенциала
[см. выражение (2.166)1.
Как видно из табл. 2.4, в основном следует рассматривать псевдо-
скалярные (J31 — О-) н векторные мезоны (7я — 1_); скалярные
о-мезоны также будут учтены. Взаимодействия и потенциалы, по-
лученные для этих трех случаев, имеют следующий вид [92, 99]:
1. Скаляр (7я — 0+):
взаимодействие
И' = УЧл gs ф ф ; (2.171а)
потенциал
V (S> (г) = й ms с2 [ - ( 1 - ф mJ Л1"2) У (xs) +
+ фт!Л1-г(1---------Ьт’д!-2) J(xs)L-sj, (2.1716)
63
где ms — масса скалярного мезона, х$ = tnscn'h и
Y(x) = x-1e_jr, J(x) = x^dY^xjldx, j
) <2172>
2. Псевдоскаляр (Jn — 0"):
взаимодействие
H' = У4л gpS -ф y5 ijxpPS; (2.173a)
потенциал
prs) (,) = g2,s nlps ci. _L [mj,s л)-2 Y (xPS) Cj <r„ 4
4-mpSM-2Z(xPS)SI2], (2.1736)
где nips — масса псевдоскалярного мезона, xPS s trips cr/ti
Z(x) = (1 4- 3 Л-1 + 3x-2)F(x) (2.174)
н Задается выражением (2.15).
3. Вектор (Jn = I-):
взаимодействие:
Н' = д/4л gv iftv ij q ’У’ 4- V*л 4’ I Ч <(»> J; (2.175a)
потенциал:
V'l'>(r) = g(Smv<4{Rc V v<*'-)+ -~-i--Rls[2Y(xv)O1.a2-
—Z(Av)S12]4-y/.27?£s J(av).L-S j , (2.1756)
где niy—масса векторного мезона, Лу = rn\-cr!h, X = ту/Л1,
Rc-14->.( l+“->.2)_'fv/gv; (2.175b)
7?12 = (14-2л-‘^)г; (2.175г)
Rps=14-^->-^v/gv; (2.175д)
Все приведенные выше выражения получены для изоскалярных ме-
зонов, для изовекторных мезонов вместо (p(s*ps> V) во взаимодействие
входит величина т • q.(S-ps-v), а потенциал при этом умножается на
т4 • т2. В выражения (2.171а), (2.173а) и (2.175а) входят обычные
матрицы Дирака*, х|? и 4'—нуклонный дираковский спинор и сопря-
женный с ним.
* Свойства уравнения Дирака и его решения обсуждаются в Приложении
Б. т. 2.
64
Полученные выражения были использованы Брайеном и Скот-
том [92, 99, 100, 1061 для построения однобозонного обменного
потенциала, основанного на л-, т]-, р- и w-мезонах, свойства которых
приведены в табл. 2.4. Они также включали предполагаемые и0-
и Oi-мезоны с соответствующими квантовыми числами TG ~ 0+,
Рис. 2.4. Примеры подгонок фазовых параметров иуклон-нуклои-
ного рассеяния, использующих одиобозонный обменный потенциал
Брайена — Скотта [106]
= 0+ и 7е — I-, Jn ~ 0+. Потенциал Брайеиа и Скотта полу-
чается при подстановке экспериментальных значений масс л-,
р- и ay-мезонов и при условии = 0. Эти авторы так-
же установили все потенциалы, обращающиеся в нуль при г
0,6 ферма. Последнее необходимо для того, чтобы устранить силь-
3 Зак. 532
65
ные сингулярности, появляющиеся в потенциалах вблизи г — 0.
(В более поздней работе Брайен и Скотт учли этот эффект введением
обрезающего массового параметра.) Затем они варьировали все кон-
станты связи, а также массы сг0- и су-мезонов, чтобы получить наилуч-
шую подгонку данных о нуклон-нуклонном рассеянии. Результаты
такого расчета представлены в табл. 2.5. С этими значениями пара-
метров получается довольно хорошая подгонка данных о нуклон-
нуклонном рассеянии (рис. 2.4).
Таблица 2.5
Значения параметров потенциала Брайена—Скотта [106]
Частица Подгоночные параметры g* Частица Подгоночные параметры g2
JT 12,55 Ь7,26, //£ = 0
Ч 2,60 <*0 8,19, /Й=550 Мэв
Р 1,81, //£=1,13 1,65, /И=600 Мэе
К сожалению, с помощью этих однобозониых обменных .потенциалов
не удается удовлетворительно объяснить в рамках фундамен-
тального подхода эффекты, связанные с твердой сердцевиной
(см., например, [479]). Поэтому такой подход недействителен для по-
тенциалов в S-состоянии.
Таким образом, с помощью потенциалов, основанных на фунда-
ментальных представлениях Юкавы, можно получить довольно ус-
пешное описание ядерных сил. Однако более традиционный подход
заключается в попытках параметризации ядерных сил с помощью
более или менее произвольных функциональных зависимостей.
Сначала записывают наиболее общий потенциал, имеющий смысл
при определенных весьма широких условиях. Этот потенциал со-
держит функции с определенной радиальной зависимостью, которая
может предполагаться на основании рассмотрения однобозониых
обменных потенциалов или может быть получена нз соображений
удобства, согласующихся с условиями существования короткодей-
ствующего потенциала. Затем имеющиеся параметры подгоняют
с тем, чтобы найти наилучшее описание данных о двухнуклонной
системе. Такая феноменологическая процедура, разумеется, несколь-
ко более гибкая, чем получение одиобозоиного обменного потенциа-
ла, поскольку последнее предполагает определенную модель для по-
тенциала.
2.3.2. Феноменологические потенциалы
Для того чтобы построить феноменологические потенциалы, преж-
де всего необходимо ответить на вопрос, какой наиболее общий ную
лои-нуклоиный потенциал следует ожидать. Этот'вопрос впервые
обсуждался Айзенбудом и Вигнером [164] (см. также [212]).
Они рассматривали следующие требования, накладываемые па по-
тенциал.
66
а. Потенциал должен зависеть только от расстояния г между дву-
мя нуклонами, их относительного импульса р и спинов <тх и <т2
(инвариантность относительно параллельного переноса, галилеев-
ская инвариантность).
б. Потенциал должен быть эрмитовым. (Так как гамильтониан
является генератором оператора временной эволюции, то это обеспе-
чивает инвариантность относительно параллельного переноса во
времени, т. е. инвариантность по отношению к выбору начала от-
счета времени.)
в. Потенциал должен быть инвариантным по отношению к обыч-
ным вращениям (сохранение углового момента).
г. Относительный импульс р должен входить в потенциал в луч-
шем случае линейно. (Это требование вводится по аналогии с задачей
для атомных электронов;-оно также обеспечивает достаточную про-
стоту при использовании такого потенциала.)
Если отбросить последнее требование, то появляется возмож-
ность сконструировать проекционные операторы для парциальных
волн так, что можно получить р.шдхммы* потенциалы для каждой
парциальной волны [412]. В действительности члёньГболёТвысокого
пдрядКЗ’ттсгр возникают в мезонных теориях и после учета реляти-
вистских- поправок^'
В дальнейшем можно ограничиться лишь членами, содержащими
только один оператор o'j и (или) один оператор <т2, поскольку соот-
ношение (2.17) позволяет свести члены более высокого порядка по
<гх и сг2 к линейным членам. После этого в дополнение к векторам г,
р, <тх и сг2 можно сконструировать шесть векторов:
<гхХ<% ^хг, <гхХр, <г2Хг, osXp, гхр. (2.176)
Если попытаться скомбинировать эти векторы так, чтобы получить
более сложные векторные комбинации, то с помощью тождества
для тройного произведения
Ах(ВхС) == В (А*С)—С(А-В) (2.177)
этн комбинации можно свести к более простым векторам. Также нет
необходимости рассматривать скалярные произведения векторов
(2.176) в силу справедливости соотношения
(А X В) • (С X D) = (А .С) (В - D)—(А • D) - (В • С). (2.178)
Таким образом, в иуклои-нуклоиное взаимодействие могут вхо-
дить следующие скаляры:
Г-Г = Г2, <ГХГ, <Г2-Г, а1Р» а2-р» Г‘Р>
r-faxa,), p (a,xoi), «i-(rxp), <r,-(rzp),
(or^Xr p), (а1Г)(а2-г), (<т,-г)(о,-p), (<т2-г) (<х,-р), >
(tfi-r)(r-p), (a,r)(rp), (r-p)r (alxa,),(r-p)(a1-r)(e.,-r).
Первый из этих членов (г2) включен потому, что все скалярные
члены, в том числе константы, будут входить с коэффициентами,
3* 67
являющимися функцией от г. Другие скаляры, не приведенные в
(2.179), должны содержать р или о дважды.
Наложим теперь еще четыре требования на потенциал.
д. Потенциал должен коммутировать с величиной (т2 т2)3
(сохранение заряда).
е. Потенциал должен быть симметричен относительно переста-
новки двух нуклонов ( тождественность частиц).
ж. Потенциал должен быть инвариантен относительно операции
пространственного отражения Р. Однако при этом не исключается
возможность очень малых добавок, нарушающих закон сохранения
четности.
з. Потенциал должен быть инвариантен по отношению к опера-
ции обращения времени Г; при этом также возможны очень малые
добавки, нарушающие закон сохранения временной четности.
Требование «д» оставляет только пять возможных операторов
в пзоспиновом пространстве, которые могут входить в потенциал:
1, т, • т2> (tj-t т2)3, (ti — т2)3, (Ti X т2)3- (2.180)
В процессе использования требования «з» следует помнить, что
при обращении времени
г —> г, р —> — р, o' — и, (2 Л 81а)
при этом оператор (т)3 остается неизменным, поскольку протоны
и нейтроны не изменяются при обращении времени. Однако компо-
ненты (t)j и (т)2 могут изменить знак, и обычное условие для них
выбирается таким, чтобы
(TJ х?2)3->-(т3 х72)з- (2.1816)
Это оставляет S-матрицу симметричной при условии, что потенциал
инвариантен по отношению к комбинированной операции простран-
ственного и временного отражений, т. е. операции РТ. Классифика-
ция скаляров (2.179) по отношению к преобразованиям Р и Т дана
в табл. 2.6.
Прежде чем переходить к дальнейшему, усилим требование «д».
Потребуем, чтобы потенциал был зарядово-независим, так что из
пяти операторов (2.180) в потенциал могут входить только скаляры
в изоспииовом пространстве, т. е. величины
1,Т1-Т2. (2.182)
Это требование, возможно, является слишком сильным, поскольку
масса заряженных пионов отлична от массы нейтральных пионов.
С учетом того, что пионы играют важную роль в теории ядерных
сил, это требование подразумевает, что зарядовая симметрия (т. е.
эквивалентность tin- и рр- сил, если исключить кулоновские силы)
должна быть более обоснована, чем зарядовая независимость (экви-
валентность пп-, рр- и лр-сил, если исключить кулоновские силы).
68
Таблица 2.6
Трансформационные свойства скаляров относительно пространственного
отражения и обращения времени
Трансформация при обращении времени Четность
положительная
Не меняется 1 01'02 (Ol-Г) (о2-г) (О1+а2) (ГХР) (о,—<т2)-(гхр) r(oiXo2) (Bi—о2) р ((<>!—а2)-г)(гр) (ai+o2)-p ((ai+a2)r)(rp)
Меняет знак г.р (О1-О2)(гр) (гр) (oj-r) (а2 г) (О1-г) (о2р) +(а2г) (огр) («г г) (а2р)~(а2г)(а1-р) = — (О1Ха2)(гХр) (ax—a2)r (aiXaa)p (r- (01X02)) (r p) (01 + 02)Г
Тем не менее мы будем пока предполагать последнее свойство. (За-
метим, что наличие оператора (тх + т2)3 несовместимо с зарядовой
симметрией.)
Учитывая требования зарядовой независимости и инвариант-
ности по отношению к преобразованию пространственного отражения
и к обращению времени (см. табл. 2.6), получаем, что потенциал
может содержать лишь следующие члены:
1
<Г1-п2
(аггП^г)
(«1 + «2)‘(ГХР)
в комбинации с L _>. !
(2.183)
Заметим, что оператор (<^ — <г2) • (г х р) должен бы комбини-
ровать с изоспиновым оператором, нечетным при перестановке ин-
дексов частиц; только таким образом можно удовлетворить требо-
вание «е». Однако все нечетные изоспиновые операторы исключаются
нашим требованием зарядовой независимости сил, так что член
(с*! —п2) - (г х р) не появляется.
С помощью (2.183) можно записать нуклои-нуклоииый потен-
циал в виде
У = (Ус + ^с Т| - т2) +(Удо 4-lTsc т1-та)(<У1-<у2) +
+ (VT + W1 тх - Та) [3 (О'! - г) (о2 • г)—ОГ О21 +
+(Vls+F£s тх- та) (ах-о2)-(гХр)+(У<2+1Го тх-т2) [(01+^2)(гХр)]2.
(2.184)
69
Последний член—квадратичный спин-орбитальный потенциал, ко-
торый нарушает требование «г», но часто включается, во всяком слу-
чае, для удобства. Все величины У7 и IF в выражении (2.184) предпо-
лагаются функциями г.
В расчетах часто используются довольно простые формы зависи-
мости от г для Vi и Wit где i ~ С, SC, 7\ LS, Q. Например, в слу-
чаях, когда не требуется большая точность расчетов, достаточно
ограничиться центральными силами Vc и Wc и выбрать один из сле-
дующих потенциалов:
прямоугольная яма У(г) = — V0(r С /0), V(r) — О (/\>г0);
гауссиан V(r) = — Vo ехр (—раг2);
экспонента У(г) = — Vo ехр (—рг);
потенциал Юкавы У(/') — — Vo г-1 ехр (—рг); (2.185)
потенциал Хюльтена У(г) == — Vo ехр (—рг) [1—ехр (—рг)]-1.
Более реалистические потенциалы — это потенциалы (2.184),
в которых используется достаточно общая зависимость от г. В те-
ории ядерной структуры наиболее часто применяются потенциалы
Хамады—Джонстона [259] и потенциал Йельской группы [321]. По-
тенциал Хамады—Джонстона имеет вид [259]
V (г) = Vc (г) + VT (г) $>3 + Vls (г) £• S 4~ VLL (г) (2.186)
где
= (»! <r2) L?--[(а, L) (а,2 L) + (а. L) (а, -L)]-
= [6iJ + (a1<Ir!!)]L»-(I..S)’ (2.187)
И
Ус = 0,08- ~тлс2 (тгт2)(<Г1-<г2)У(х) X
X [ 1 + ас Y(х) + Ьс У2 (л)]; (2.188a)
Vr=0,08 t2)Z(x) [1 4~агУ(х) + 6гУ2(х)]; (2.1886)
Vls=т„ с2 Gls У2 (х) [ 1 + bbs Y(х)]; (2.188в)
Vll - тп с2 Gll х~2 Z (х) [ 1 + aLL У (х) + bLL У2 (х)]. (2.188г)
Функции У(х) и Z(x) даются соответственно формулами (2.172) н
(2.174) с х = mncr!h. Твердая сердцевина в потенциале Хамады —
Джонстона вводится следующим образом: полагается, что все функ-
ции V(r) в (2.188) обращаются в бесконечность при х<1 0,343. Зна-
чения параметров потенциала Хамады — Джонстона, полученные
подгонкой к данным о двухнуклонной системе, представлены
в табл. 2.7. Заметим, что однопиониый обменный потенциал соот-
ветствует случаю V — Vc + УАг с ас = Ьс = ат ~ Ьт = 0.
70
Таблица 2.7
Значения параметров Хамады—Джонстона, Мэв
Состояние ас ьс аТ °LS bLS G aLL bLL
Синглетное четное 8,7 10,6 - - - - —0,000891 0,2 —0,2
Триплетное нечетное —9,07 3,48 —1,29 0,55 0,1961 —7,12 —0,000891 —7,26 6,92
Триплетное четное 6,0 —1,0 —0,5 0,2 0,0743 —0,1 . 0,00267 1,8 —0,4
Синглетное нечетное —8,0 12,0 - - - —0,00267 2,0 6,0
Потенциал Йельской группы [3211 дается .выражением
V = IW, |-Vc + Vy S,> + v£s L-S + Vg [(L-S)2 + L-S-L?], (2.189)
где
Vp = 2oiWJr-"exp(—2x),f.--C,T,LS,q. (2.190)
В первом слагаемом Vqpep выражения (2.189) пион-нуклонная
константа связи берется такой, что [ср. (2.160), (2.162)]
14 (0,94 для синглетных четных состояний;
4nfic ( 1 в остальных случаях
и для массы пиона используется формула
тл =
тп» для синглетных четных и триплетных
нечетных состояний;
2 . , 1
——-тяо для синглетных нечетных и триплетных
3 3 четных состояний. (2.1916)
Как и ранее, к = mncr!h и потенциалы полагаются бесконечными
при х 0,35. Параметры потенциала Йельской группы представ-
лены в табл. 2.8. Они были определены подгонкой по эксперимен-
тальным значениям фазовых сдвигов иуклон-нуклонного рассея-
ния.
Ранее часто использовались два потенциала—потенциал Гамме-
ля — Талера [209, 210, 212] и Сигиела — Маршака [476— 4781.
Для получения согласия с экспериментом в обоих потенциалах пре-
увеличивалась роль спин-орбитальных сил. Потенциал Гаммеля —
Талера имеет следующую структуру:
V (г) - Vc (г) + Ут (г) S12 + VLS (г) L-S, (2.192)’
71
Таблица 2.8 Значения параметров потенциала Йельской группы, Мэв
Состояние Вид n = 0 ,.=1 n=2 h = 3
Синглетное четное Q 21,925 0,3333 —19,6303 0,5 —194,782 0,1 66,4334 —2,0
Триплетное нечетное LS* 0 1,5 0 —14,28 50,8984 0 18,72 —83,3812 0 —17,3 8,7893 0
Триплетное четное «ЧП 0 0 0 0 —47,667 17,3933 0 0 —18,47 7,775 0 5,333 —1,00 13,535 0 0
Синглетное нечетное с 0 —96,0 —71,001 18,0
Продолжение
Состояние Вид потенциала n=i n —5 H = 6 n=7
Синглетное четное С q —15,2873 —5,1083 —14,5395 —0,2333 1,115 0,2
Триплетное нечетное LS* 0 —3,1988 —2,9794 —5,3 1,6172 —76,4565 —1,3 0,52 43,8285 —7,4186
Триплетное четное LS* Q —3,55 3,0 14,35 —13,5917 0 —1,4971 7,4875 —7,4167 0 0 0 —1,6667 -
Синглетное нечетное С 8,0 125,8 5,01 -
* Для в случае триплетных нечетных состояний LS-слагаемое не вводится.
где функции Vc, Vt и Vls имеют вид потенциала Юкавы и обра-
щаются в бесконечность при значениях г, соответствующих твердой
сердцевине. Потенциал Сигнела—Маршака представляет собой одно-
и двухпиоиный обменный потенциал Гартенхауса [208], к которому
добавлен спин-орбитальный член.
72
Рассмотрим, наконец, потенциал Рейда [440], который имеет раз-
личные формы для каждой парциальной волны двухнуклониой си-
стемы. Рейд определяет один набор потенциала для случая твердой
сердцевины, т. е. !'(/) — со для г s; гс, и второй набор потен-
циалов для мягкой сердцевины. В последнем случае на коротких рас-
стояниях потенциал становится большим и отталкивательным, но
не бесконечным. Эти потенциалы имеют следующий вид:
Потенциалы с твердой сердцевиной для Т = 1 (радиус твердой
сердцевины хс = 0,29614 для S-состояния и хс = 0,3 для осталь-
ных случаев; значение h = 10,463 Мэв берется из однопиоиного об-
менного потенциала):
V(JS) = — hx-1 (е~* +39,633 е~3*);
V (lD) = — hx-1 (е ~х + 4,939 е~2*+ 154,7 е~6*);
Р(зр0)= —hx-i^ + l 6,2е~2* — 55,6е~3*—545е~6*);
V fPJ = hx-1 (G2 — 1,1553е ~ 2*—8,722е ~ 3* + 175,1 е~ 6*);
V(3P2-«F2) = Vc+VrS12 + V£SL.S,
где
Gi = (1 + 4х-1 + 4х~2) е (24х-1 + 4а-2) е ~6*;
G2 = (1 + 2а-1 4-2х~2)е~х—(12х~1+2х-2) е~6*;
Vc = hx-' 13,8е-3*+ 138е~<*);
VT = hx-1 4 + л-1 + л-2) е (6л:-1 + %-2) е~ 5,688 е - ;
Vis = 250,9йх-1 е—6*.
Здесь х (к, р =- 0,7 фермст1. Другой потенциал для ‘D-состояния
имеет вид
V(‘D2)= — /гл-'(е-*|-25,86е3‘).
Потенциалы с мягкой сердцевиной для Т — 1 (в мегаэлектрон-
вольтах)
V (‘S) = —hx-1 е-х— 1650,6л-1 е~ ’* + 6484,2%-’ е~7х;
V (‘D) = — hx-1 е~х_ 12,322%“* е"21 — 1112,6л"1 е—11+
+ 6484,2л—1 е— 7х;
V (3Л>) = —hx-1 [(1 + 4л-,|4л-2) е-“—(16%-* л-4х~2)е-•*! +
+ 27,133л-1 е-2»—790,74л,-1 е- 41 + 20662%-* е~7*;
V (3Pt) = hx-1 [(1 +2%-‘ + 2л-2) е-*—(8л1 + 2л-2) е->«] —
— 135,25х-1е-2“+472,81л-1е-««;
V (3P2-8F2) = Vc+ VtS12 + VlsL S,
73
где
Vc = — Лл"1 е - 933,48л1 е ~42 + 4152,1л-1 е ~ 6';
Vz = Лл“1 ^у-|-л—1 | л е -‘ — (4л—1 1 л—2) е —411 —
—34,925л"1 е~3л;
14s = 2074,1л-1 е К
Два других потенциала имеют вид
V CS) = — hx~' е~л -I- 105,32л-1 е-3*—2401,9л"1 е-4* +
| 5598,2л"1 е~6';
V (‘О) — — Их~1 с— *—318,64л"1 е—31 т- 526,27л-1 е—3*.
Потенциалы с твердой сердцевиной для Т = 0 (радиус твердой
сердцевины хс = 0,38383 для SS1-, 8£>гсостояний и Лс = 0,3 для
остальных случаев):
V (1 /*) = ЗЛх-1 (е —11,08е - 21 -г 20,Зе - 314- 4 65е—6х);
V = —hx~1 (G3 + 28,45е - 21—93, бе3');
V (3$, - 3В,) =-- Vc + VT SJ2 + 14s L S.
где
G3 = (3 + 6л"1 h 6л-2) e'-~(18л-1 + бл-2) e-31;
Vc= —Лх"1(е—x4-387,4e~бЛ);
VT = — hx-1 [(I + Зх"1 + Зл-2) e —(59,968 + 18л"1 +
+ Зх-2) e “ —5,33e - Зл];
V£s = 1181,2x"1e-K
Потенциалы с мягкой сердцевиной для Т = 0 (в мегаэлектрон-
вольтах)
V('Рд = Зйл"1 е-'—634,39л"1 е- 2'- |-2I63,4x"jе-3*;
I ’ (3£>г) = —ЗЛх-1 [(1 + 2л-1 + 2л-2) е-2—(8л-1 + 2х-2) е-44 —
—220,12л-1е-2« + 871л-1е-31;
V (’Sj - SD1) = Vc + VT S„ + I4s L- S,
где
Vc=—Лх^е-'+ЮбЛбвл^е-211—3187,8л-1е-41+9924.3л-1е-61;
V? = — hx-1 [(1+Зл-1 + Зл-2)е-2—(12л-1 + Зл-2)е-41] +
+ 351,77л-1 e~ 41 — 1673,5л-1 e-61;
I4s= 708,91л-1 е-4«-2713,1л-1 e'12.
74
Два других потенциала имеют вид
V(3S1-3P1)=VC+ VrS12 + VLSL.S;
V (^j) = Зйлг1 е -Зх—240*-1 е ~ 2х + 17 ОООх"1 е ~ 6х,
где
Vc = —hx~l е~х 4- 102,012л-1 е“2х— 2915л~1е~4х -J- 7800л"1 е-6*;
Vr = — йх-ЧО -гЗлг^Зх-2) е~х— (12х-> + Злг2) е~4х] +
+ 163х“1е-4х;
V£S = 251,57л-1 е-4х.
Кроме способов описания нуклон-нуклонного взаимодействия,
в которых применяется потенциальный подход, существуют также
и другие способы. Например, Лемон и Фешбах, пытаясь устранить
трудности, возникающйе в потенциале при малых расстояниях,
развили модель граничных условий. Эта модель использует различ-
ные виды одиобозонного обменного потенциала при «больших»
расстояниях и накладывает определенные граничные условия на
поверхности внутренней области. С помощью граничного подхода
пытаются объяснить сложную природу взаимодействия во внутрен-
ней области, которая, разумеется, включает область сердцевины*.
Для рассмотрения нуклон-иуклонного взаимодействия можно также
использовать дисперсионные соотношения. Такой подход пока при-
носит относительно мало пользы для применений этого взаимодей-
ствия в теории ядерной структуры**.
2.3.3. Сепарабельные потенциалы
Многие проблемы, связанные с нуклои-нуклонным взаимодей-
ствием, значительно упрощаются, если для описания этого взаимо-
действия ввести сепарабельные потенциалы. В особенности это спра-
ведливо для трехчастичных систем, которые будут рассмотрены
в следующей главе. В последнем случае от использования сепара-
бельных потенциалов часто полностью зависит разрешение мате-
матических трудностей задачи. Таким образом, об этих потенциалах
полезно знать, даже если их обоснованность невелика***.
Рассмотрим сначала общий вид уравнения Шредингера для двух-
иуклонной системы
— v4' (г) + $ v (г, г') Ip (г') dr' = Е-ф (г). (2.193)
* Обзор результатов модели граничных условий см. в работе [340].
** Применение дисперсионных соотношений для описания двухнуклои-
ного взаимодействия рассматривается в обзорах [7, 380, 381]. См. также ра-
боты [25, 455, 456].
*** Более раннее н очень полезное обсуждение сепарабельных потенциа-
лов для двухнуклонных систем дано в работе [542].
75
Если
V (г, г') = 1'(г)6(г—г'), (2.194)
то уравнение (2.193) сводится к обычному уравнению Шредингера
с локальным потенциалом. Можно, одиако, рассмотреть другую воз-
можность, а имение
У(г, г') = —Лг?*(г)у(г'). (2.195)
Этот потенциал называется сепарабельным потенциалом. Очевидно,
ои уже не является локальным потенциалом.
Уравнение (2.193) в импульсном представлении имеет вид
(р2/М—Е)ф(р) = -jj(2пА)3 v(Р, Р')Ф(Р')dp'. (2.196)
Локальный потенциал в этом случае равен
V(p,p') = V(p-p'), (2-197)
а сепарабельный потенциал остается сепарабельным и в импульсном
пространстве:
V(p, Р') = (РИ(рг (2.198)
Уравнение Шредингера с сепарабельным потенциалом теперь легко
решить для связанного состояния. Имеем
(Р’/М—Е) 4 (р) - -I Xg* (р) (2лй)~8 g (р') 4 (р') dp'. (2.199)
Для S-состояння можно взять (2.200)
g(P) = g(lPl):
тогда или где (р2/М — Е) 4(р) = -h $(р) = р2/М~Е i» C-L_g(p')dp-= f C-L- ^^g^-dp'. J (2sr/i)s « v ' H J (2n«)S (2.201а) (2.2016) (2.202)
Отсюда получаем уравнение для собственных значений
С -IflHILdp'. X J (2л/.)а р'2/М—Е (2.203)
Поскольку функция ф(р) должна быть нормированной, с помощью
соотношений (2.201) находим
= (2.204)
р*1М—Е
76
где
— = f—'-------|g(P)|2 dp. (2.205)
Л! J (2яЛ)" (pS/M—£)’ '
Для задачи рассеяния аналогичным образом нетрудно получить
$к (р) (2лЛ)3 й (р-- к)
____________________'AlgW___________________х
1 +xf (2лЛ)3 I g (Ч) I31(к3/Л1)~ (?3/Л1) + i Е| Т d4 .
х s* , E 0+, (2.206)
£2__p^+ie ' '
где
k2lM = E. (2.207)
Дельта-функция Дирака здесь возникает потому, что для задачи рас-
сеяния добавлено решение однородного уравнения. Если функция
g(p) зависит лишь от |р|, выражение (2.206) дает только S-волиу.
В более общем случае потенциал необходимо разложить по парци-
альным волнам:
17 (Р. Р') = V, (р. № (р) У,т (р'), (2.208)
где
V, (А Р') - g* (P)gl (p'Y (2-209)
Особенностью сепарабельного потенциала является то, что рассея-
ние в /-ю парциальную волну может вызвать только /-я гармоника
разложения.
Ямагучи [542] постулировал взаимодействие в S-состоянии в сле-
дующем виде:
g(p) = (р2 + 02)-1 (2.210)
и рассмотрел задачу дейтрона и S-рассеяния. Этот подход можно обоб-
щить, выбирая различные параметры р для синглетного и триплет-
ного состояний. В работе [543] такой подход был распространен на
случай тензорных сил.
В работах Табакина [500, 5011 использовалось обобщение сепа-
рабельного потенциала Ямагучи для изучения ядериой материи и
задачи трех нуклонов. Систематический обзор результатов и наиЛуч-
шая подгонка параметров для сепарабельных нуклои-нуклонных
потенциалов сделаны в работах Монгаиа [382, 3841*. Предпринима-
лись также попытки применить общий формализм для получения
сепарабельного потенциала, объясняющего определенный набор
наблюдаемых фазовых параметров [72, 241].
* См. также работы [261, 501J.
77
Энциклопедическая статья Хюльтена и Сугавары [276] содер-
жит прекрасное обсуждение проблемы дейтрона, теории эффектив-
ного радиуса, фазового анализа и однопиоииого обменного потен-
циала. Гаммель и Талер 1212] дали обзор общих свойств ядерного
потенциала и свойств старых потенциалов. Вольфенштейи [538]
дал один из самых ранних обзоров поляризационных экспериментов.
Зависящие от скорости потенциалы для нуклон-нуклонного рассея-
ния при низких энергиях обсуждались в работе [12]. В книге Виль-
сона 1535] рассматриваются экспериментально наблюдаемые свой-
ства двухнуклоииой задачи; в работе [381] (см. также [380]) много
внимания уделено дисперсионным соотношениям и мезонным тео-
риям. Более поздние теоретические результаты представлены в об-
зорных докладах Амати 17] и Брайена [100], в материалах Между-
народной конференции по нуклои-иуклониому взаимодействию в
1967 г. [121] и в очень просто написанном обзоре из двух частей
[495, 496]. Подробный обзор свойств нуклон-нуклонного рассеяния,
в том числе описание техники подгонки к экспериментальным дан-
ным, дан в работе [98]. Обзор по взаимодействию двухнуклониых
систем был также сделан Сигиеллом [479].
Глава 3. ПРОБЛЕМА ТРЕХ НУКЛОНОВ
Система, состоящая из трех взаимодействующих нуклонов, пред-
ставляет большой интерес для теории ядра. Прежде всего, в такой
системе имеются простейшие после дейтрона связанные состояния
трех частиц, т. е. два ядра с А 3 (8Не и 3Н). В этой системе могут
наиболее отчетливо появляться трехчастичные силы. Следователь-
но, важно использовать все сведения о двухчастичных силах с тем,
чтобы установить, можно ли с помощью известной информации объ-
яснить наблюдаемые свойства трехиуклониой системы. Если это
не удастся сделать, то следует попытаться ввести в рассмотрение
трехчастичные силы. Необходимо также отметить, что изучение трех-
иуклоииых систем может дать новые данные о самом двухиуклоииом
взаимодействии. Это связано с тем, что в иуклон-нуклониом рассея-
нии, рассмотренном в предыдущей главе, всегда имеет место закон
сохранения энергии. Однако если присутствует третья частица, как
это имеет место для систем с А — 3, то два нуклона могут рассеять-
ся так, что сумма их начальных энергий не будет равна сумме ко-
нечных энергий. Это обусловлено тем, что третья частица может от-
дать и получить достаточное количество энергии, чтобы обеспечить
сохранение энергии в целом. Такое рассеяние не иа массовой по-
верхности может дать новые сведения о природе нуклон-нуклонно-
го взаимодействия. Этот вопрос необходимо выяснить до конца, по-
скольку указанный эффект может оказаться существенным для ди-
намики всех ядер тяжелее дейтрона.
Рассмотрение трехнуклоииой системы, представленное в данной
главе, ни в коей мере не является исчерпывающим. В этой книге
главным образом рассматривается аппарат, необходимый для объ-
яснения свойств ядер более тяжелых, чем 3Н и 3Не. Интерес
к трехнуклонной системе в основном обусловлен необходимостью
изучения трехнуклонных эффектов в многонуклонной задаче. (Как
будет видно в гл. 5, такие эффекты особенно существенны для беско-
нечной ядериой материи.) Поэтому мы ограничимся здесь кратким
описанием современного аппарата, развитого для рассмотрения трех-
частичной задачи в нерелятивистской квантовой механике, т. е.
обсудим уравнение Фаддеева. Затем этот формализм будет применен
для систем с А = 3. Ограничиваясь таким довольно узким кругом
вопросов, мы опускаем много других подходов в расчетах свойств
79
систем с А — 3. Метод уравнений Фаддеева дал один ,йз наиболее
фундаментальных способов решения этой задачи и был успешно при-
менен в задаче о трехчастичиых эффектах в ядерной материи
(см. § 5.4). Чтобы облегчить обсуждение уравнений Фаддеева, не-
обходимо сначала развить операторный формализм для задачи рас-
сеяния.
§ 3.1. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
Рассмотрим гамильтониан
H = H0-V, (3.1)
состоящий из невозмущенного гамильтониана Но, для которого из-
вестно решение соответствующего уравнения движения, и взаимо-
действия V. Уравнение движения для системы с гамильтонианом Н
имеет вид
i''-^-|4rs(0) = (//„ + V)|Ts(/)), (3.2)
где индекс S указывает на то, что уравнение (3.2) записано в пред-
ставлении Шредингера. В этом представлении вся зависимость от
времени содержится в векторах состояния, тогда как операторы —
в нашем случае Но и V — от времени не зависят.
Как будет показано ниже, трудности описания рассеяния зна-
чительно увеличиваются, если взаимодействие V включается слиш-
ком быстро. Эти трудности можно устранить, если включать его
очень медленно. Введем адиабатический множитель {adiabatic
switching factor), т. е. модифицируем V, умножив его на миожитель
ехр (— е(/|/Й), в->0+. (3.3)
В случае очень малых положительных е этот множитель не изменяет
величину V для времен, представляющих для нас интерес, т. е. вбли-
зи t = 0. Однако он выключает взаимодействие в отдаленном прош-
лом или в отдаленном будущем, сводя в этих временных областях
задачу со взаимодействием к невозмущенной задаче в асимптоти-
ческой области. Множитель (3.3) будет иметь смысл для задачи рас-
сеяния только в том случае, если частицы, участвующие в рассея-
нии, описываются волновыми пакетами. Пакеты можно рассматри-
вать локализованными в пространстве и считать, что они .пришли
вместе и взаимодействуют в определенный интервал времени, после
чего расходятся на бесконечность в отдаленном будущем, где уже
не взаимодействуют. В конечном счете мы идеализируем такое опи-
сание тем, что в пределе в —0+ используем плоские волны. Заме-
тим, что зависящий от времени множитель (3.3.) кажется нарушаю-
щим свойства представления Шредингера. Однако в действитель-
ности дело обстоит не так, поскольку t можно рассматривать как
внешний параметр при адиабатическом включении взаимодействия,
80
который можно выбрать просто из соображений удобства при син-
хронизации часов.
Перейдем в уравнении (3.2) к представлению взаимодействия.
Для этого введем вектор состояния
| V (/)> = ехр (1Я0 t/h) | Vs (/)>, (3.4)
который удовлетворяет уравнению движения
i Й I V (0> = ехр (i Н„ ЦП) | Ts (/)> +
+ ехр (i Н„ ЦК) (И, + V) 1Ts (/)> = H' (/) V (/), (3.5)
где
Н' (/) = ехр (i Но tfh) V ехр (— i Но tfh) ехр (—в ] t у ft) (3.6)
есть оператор, взаимодействия в представлении взаимодействия. Он
обусловливает временную эволюцию вектора состояния в этом пред-
ставлении, которая определяется уравнением (3.5).
Введем теперь оператор временной эволюции U(t, /0), переводя-
щий систему из момента времени /0 в момент t. Этот оператор удов-
летворяет уравнению движения
-<'/1|)' = Н' (/) и (t, /.). (3.7)
Оператор эволюции унитарен, за исключением случая, когда име-
ются связанные состояния, где унитарность нарушается [см. соот-
ношения (3.48) и (3.49)]. Однако оператор S, определенный соотно-
шением
S = и (ОО, — ОО), (3.8)
унитарен всегда. Адиабатический множитель необходим для того,
чтобы существовали пределы при ± оо. Потребуем, чтобы опе-
ратор эволюции удовлетворял граничному условию
t/(/0, 4) = 1. (3.9)
Это соответствует тому, что за бесконечно малый промежуток време-
ни никакого изменения системы не происходит.
Из у равнения. (3.7) н условия (3.9) получаем соотношение
|^(/)> = Щ/,/0)|У(4)>, (3.10)
которое описывает, как оператор U управляет эволюцией системы.
В соотношении (3.10) удобно взять /0 == — со, так как в этом слу-
чае
I T(0> = U (t, —oo)|W( —OO)>=i/(/, —оо)|Фа>, (3.11)
где использовано то обстоятельство, что в отдаленном прошлом вза-
имодействие было выключено адиабатическим множителем и вектор
81
состояния | V (/) > превратился в собственное состояние | Фа >
невозмущенного гамильтониана:
#0 | Фа> = Еа | Фа>• (3.12)
(Предполагается, что вначале система описывалась определенным
состоянием гамильтониана H(i.) Аналогично через большой проме-
жуток времени после столкновения система описывается супер-
позицией вырожденных состояний
|^(-г<»)) = ^а|ФС. (3.13)
где J Т (-j- оо)2> и каждое состояние |Фх> удовлетворяют невозму-
щенному уравнению Шредингера с одним и тем же собственным зна-
чением.
Для определения вероятности того, что система, первоначально
находившаяся в состоянии | Фа>, после столкновения перешла в дан-
ное состояние |Фр2>, необходимо вычислить величину
|<фр|5|фа>|2, Sst'(oo, — оо). (3.14)
В конечном счете необходимо знать скорость перехода частиц нз
состояния |Фа2>в состояние |Фр>. Эту величину можно рассчи-
тать, разделив вероятность перехода на время, за которое вклю-
чается взаимодействие (~й/е). Удобно ввести оператор переходам :
S=l —(3.15)
тогда
<Гр«= (Фр |Ф«^ = 6ра — <Фп | (У (оо, —оо)|Фа>. (3.16)
Удобство введения этого оператора заключается в том, что в него
не входят члены, соответствующие отсутствию перехода, т. е. слу-
чай t/(oo, — оо) = 1.
Дифференциальное уравнение (3.7) и граничное условие (3.9)
можно объединить в интегральное уравнение
t '
U(t, —oo)=l — ift-i Jj (/')[/(/', —oo)d/'. (3.17)
Итерирование этого уравнения приводит к ряду теории возмуще-
ний для U (см. гл. 4). Однако представляет интерес получить точные
формальные соотношения для задачи рассеяния. Из (3.16) н (3.17)
следует
$ <Ф|1|Я'(0^Р. -°о))Ф«><1/. (3.18)
Тогда, используя (3.6), получаем
<^ра = i й"1 (Фр IV | (£р)>, (3.19)
82
где
|4f£+1(E)>== Jj exp[i(E—Н0)//Л]ехр[—е|/|/Й](/(Л—оо)|Ф„>Л=
— Jj exp[i(E—Ea)//fi]exp[ — e | / |/fi] | Фа> d/—
—ifi-1 Jj expli (E—Z/o)Z/fi]exp [—e|Z]/fil x
X { Jj exp [i Vexp]—i H„t'ih\ x
X exp [—ej t' |/Й] U (tr, —oo) | Фа) df Jd/. (3.20)
Здесь снова было использовано соотношение (3.17). Введем
Т ЕЕ /' — t
и перепишем второе слагаемое в (3.20) в виде
—ift-1 J expli (Е — HQ)tlh\wp{—в|/|/й] X
X j § ехр В Но(т + Z)/fi] V ехр [ - i Но х
хехр[—е|т4-/|/Й]67 (т-Ь/, —оо) |Фа)<н|л/. (3.21)
Выполним сначала интегрирование по /, фиксируя т и используя
определение (3.20). Получаем
о
—i/z"1 ехр(—iЕт/ft)ехр(i Нот/й) Vexp (—е|т|/й)| Ч;ц+> (Е)> dt.
(3.22)
Подставим это выражение в (3.20) и возьмем интеграл в первом сла-
гаемом; в результате имеем операторное уравнение
| П+> (Е)> = 2лЯ6 (Е-Еа) | Ф;>4-(Е-Но4-i е)"1 V | Ч*+> (Е)>. (3.23)
Вводя величину | ф«+> > с помощью соотношения
| П-> (Е)>=2лй6 (Е-Еа) №+>>, (3.24)
получаем уравнение Лшгпмана —Швингера для вектора состояния
I фА+)> = I Ф«> +(Еа-Я0 + i е)-1 V | г|4+>>. (3.25)
83
Следует отметить, что | ’ (Е) ) определяется из решения этого
уравнения только на энергетической поверхности (£ =-- Еа). Как
видно из (3.23) и (3.25), наличие адиабатического параметра е устра-
няет трудности, связанные с сингулярностями, которые возникли
бы, если бы Е было равно одному из собственных значений опера-
тора Н1} (что почти всегда имеет место для задач рассеяния).
После операторных преобразований уравнение (3.25) можно
также записать в следующем виде:
14«+’> = I Фа> + (£а-н ч- i е)-1 V | Ф<? (3.26)
Введем
I Фа“’) - I Фа> 4- (£“« — - i е)-1 V | >. (3.27)
Различие между этим состоянием и состоянием, описываемым урав-
нением (3.25), весьма существенно. Изменение в знаке перед малой
мнимой частью в операторе (Еа — Н(] ± it)-1 меняет граничные
условия для |фа±> >• Если Я<(—гамильтониан свободных частиц,
то знак плюс приводит к выходящим сферическим волнам для ре-
шения уравнения (3.25) в г-представлении
<г 1 exp (i к - г) ч-/ (0, <j) exp (i/гг)/г, (3.28)
а знак минус дает:
ехР (• к'-г’) + Г(е', ч'.)ехр(—i k'r'),'r'. (3.29)
Смысл этих двух решений становится понятным, если умножить их
на зависящий от времени множитель ехр(—ко/). Для первого из них
при t = — со и в случае, когда задан начальный пучок (г —> со
и к-г =—4т), состояние |фа+>2>представляет собой плоскую волну,
к
(-)—==
Ускоритель г
„вход":
t— — oo
к'Г=-|к||г|
out=-|a>||t|
el^r-iut^0
р-1gikr-lajt j, ff
Рис. 3.1. Схематическая иллюстрация свойств начального и ко-
нечного состояний при рассеянии частиц
и сферическая волна вклада не дает (рис. 3.1), так как аргумент эк-
споненты не близок нулю. Таким образом, |фа+,2> можно использо-
вать для описания начального состояния в процессе рассеяния. Ана-
84
логично при /—> -j - оо и при заданном детекторе (г' = со и к'-г' =
— k'r) состояние |фа”’> соответствует плоской, а не сферической
волне. Эту величину можно использовать для описания конечного
состояния. Состояние, описываемое функцией |фа+)), соответствует
налетающим частицам, а состояние |фа“’> описывает вылетающие
частицы.
С помощью (3.19) и (3.24) матричный элемент перехода можно
записать в виде
^₽а- 2л i б (Ер-Еа) Тра, (3.30)
где 7"ра соответствует модифицированному матричному элементу
перехода, для которого не выполняется условие нахождения на энер-
гетической поверхности (Ер = Еа):
7ра-<Фр|И^+’>- (3.31)
Отсюда с помощью уравнения (3.25) получаем
7₽а = Vp„ + <фр| V (Е—Но + i е)-1 VI ф£+’> =
= + <фр | V (Е—Но + i е)“1 ТI Фа), (3.32)
или в операторном виде
т = V ч- V (Е—Яо + i в)-1 Т. (3.33)
Это уравнение называется уравнением Липпмана — Швингера для
оператора перехода. Если использовать выражение (3.26), его можно
также записать по-другому:
Т = V + V(E — Н + it)-1 V. (3.34)
В качестве примера рассмотрим уравнение (3.33) для случая,
когда Но является гамильтонианом свободной частицы:
Яс = —l-ftW-’V2. (3.35)
Собственными функциями этого оператора являются плоские волны
с импульсом к, т. е. | к>. Уравнение для матричных элементов опе-
ратора Т можно записать в удобной форме, если между каждой
парой сопряженных операторов в (3.33) подставить полный набор
собственных функций гамильтониана Но:
<k'|r|k) = <k'|V|k> +
+s <k' IV | q'> <q' | (E—4- i e)-11 q> (q | T | k>. (3.36)
q. q'
Поскольку
//.lq> = y9SM-4q>, (3.37)
85
получаем
<к |7’|к> —<к'|К|к>-|-
+ 2 6щ-<1<'|1/|Ч'>|£-4-92Л1-'-Н)ЕГ1(Ч|7’|к> =
q. q' к '
= (к' | V | k> j’ (2яЛ)-’ <k' | V| q> I £ — у q2M~' ie)'* >,
X(q|rjk>dq, (3.38)
т. e. интегральное уравнение для матричных элементов от оператора
Т по состояниям, описываемым плоскими волнами. Малая мнимая
добавка указывает на то, как обходить сингулярность
-- Е прн интегрировании по q. Как и в выражении (3.28), такой вы-
бор обхода сингулярности соответствует выбору граничного усло-
вия, который для решения задачи рассеяния требует выходящую
сферическую волну < г|ф^+)>.
Из (3.15) и (3.30) имеем
= бра—2л i 6(Ер -£а) 7ра- (3.39)
Вероятность перехода из состояния а в состояние 0, где Р а,
получается подстановкой этого выражения в (3.14):
I сТра I2 = [2л6 (Ер—Еа)]21 Тра |2- (3.40)
Одна из двух дельта-функций представляет собой просто временной
интервал, в течение которого включено взаимодействие. В пределе
е 4- 0 этот интервал становится бесконечным. Действительно,
когда адиабатический множитель отсутствует, интегрирование по
времени приводит к выражению
exp[i(Ep—Еа)//Й]^ = 2лЙб(£р—£а). (3.41)
что прн Ер -> £а представляет временной интервал, в течение ко-
торого включено взаимодействие. Разделив на этот интервал, полу-
чаем скорость перехода, или вероятность перехода в единицу вре-
мени,
- 2лЙ-16 (£Р-ЕС) | Ера|2- (3-42)
Отсюда можно найти сечение для данного процесса, если wpa разде-
лить на плотность потока налетающих частиц
°fia ~ W&J (плотность потока). (3.43)
Оператор Х[см. выражение (3.8)1, вообще говоря, должен быть
унитарным, но в связи с возможным наличием связанных состоя-
ний этот вопрос необходимо рассмотреть специально. Оператор
эволюции U (0, — оо) приводит к новому состоянию для каждого
полного набора собственных состояний оператора Но. Однако
в асимптотической области адиабатический множитель выключает
взаимодействие, обусловливающее связанные состояния, так что
86
оператор U (0, —оо) дает собственные состояния гамильтониана
Но с энергией, равной нулю. Например, состояние, соответствую-
щее дейтрону в состоянии покоя, переходит в состояние с покоя-
щимися нейтроном и протоном, когда энергия связи выключается.
Действие оператора U (0, —со) заключается в том, чтобы перевести
состояние, которое существует при t——оо, в состояние после акта
рассеяния с энергией, равной нулю. В нашем примере с дейтроном
такое состояние соответствовало бесконечно медленному нейтрону,
рассеивающемуся на протоне. Таким образом, рассматриваемый
формализм не оставляет возможности для появления связанных
состояний; связанные состояния будут ортогональны всем состоя-
ниям [фа*’)- Последние содержат решение однородного уравнения
[ | Фа > в (3.25)], которое дает правильные граничные условия для
задачи рассеяния, тй е. плоские волны 1см. выражение (3.28) и
(3.29)]. Если рассматривать уравнение (3.23) для связанного сос-
тояния, то Е <Z 0, но Еа 0, поскольку Еа — собственное зна-
чение свободного гамильтониана.
Поэтому первое слагаемое в правой части уравнения (3.23)
должно равняться нулю для связанного состояния, и все наши после-
дующие вычисления теряют смысл. Поскольку связанные состояния
среди собственных состояний нашего гамильтониана Н — На -|- V
отсутствуют, то последние не образуют полного набора и операторы
U (0, — оо), которые их порождают, не являются унитарными.
Однако, как будет показано, оператор S = U (оо, —оо) унитарен.
Рассмотрим соотношения (3.24) н (3.20):
| n+ ’ (Е) > = 2лМ (Е. - Еа) 1> =
= exp[i(£—H0)//ft]exp(—е|/|/й)1/(£ — те) | Фа> Л. (3.44)
Умножая обе части последнего равенства на ехр (—iEt'/h) и ин-
тегрируя по энергии Е, получаем
ехр (- i £„/'/Л) I = ехр (—i Н„ t'/h', X
Хехр(—е |/'|/й) I/(/', — оо)| Ф„>, (3.45)
так что для каждого |Фа > имеем
[<”> = П(0, -те)|Фа>. (3.46)
Поэтому
U (0, — те)=Е|1Й1',)<Фа|. (3.47)
Эта величина называется оператором Мёллера. Он удовлегворяет
соотношению
U+ (0. - те) и (О. - те) = 21 Фр> <Фр+) I t«+’> <Фа I =
Р. а
= 2|Фа><Фа| = 1, (3.48)
87
так как совокупность собственных состояний невозмущенного га-
мильтониана Но образует полный набор*. Однако
U(0, — oo)l/+(0, -oo) = S|<K><^>| =
=1 <1К!’ <3-49)
т. е. оператор U (0, —оо) неунитарен.
Оператор S унитарен, поскольку
SS+~U(oo, —oo)t/+(oo, —оо) =
= 1/(оо, 0)1/(О, —оо)[1/(оо, 0)1/(0, — 00)1+=
= U(оо, 0)[4/(0, —оо)1/+(0, —oo)]t/+(oo, 0) —
X |%ХЧ>ь|)Х
О. Р X
(связанные
Х|ф^>ХФр| = 2|Ф«><Ф«1=1. (3.50)
где использован тот факт, что все связанные состояния | фа >
ортогональны всем состояниям в непрерывном спектре |фа-,2>, со-
ответствующим гамильтониану Н. Условие унитарности выполня-
ется для S, а не для оператора Меллера, так как S = U (оо, —оо)
содержит лишь асимптотические значения начальных и,конечных
времен. Таким образом, отсутствие эволюции связанных состояний
при временах t« 0 не влияет на унитарность S. Заметим также,
что
5р,а^<Фр|5|Фа>-<Фр|£7(оо, -оо)|Фв>’==
==(Фр|Щоо, 0) Z7 (0, -оо)|Фа> = <ф£->|ф“->>. (3.51)
Наконец, учитывая (3.15), получаем из унитарности операто-
ра S
SS+ = 1 — <Г—<Г+ + УУ'!' = I, (3.52а)
илн
ёУ -J- ёУ — of of + • (3.526)
Отсюда с помощью соотношения (3.30) получаем оптическую тео~
рему'.
Im Тоа = - л £ 6 (£р-£а) ] Т₽а |2. (3.53)
₽
* Заметим, что это справедливо, даже если гамильтониан таков, что
связанные состояния отсутствуют. Если Яо — гамильтониан свободных час-
тиц, то его собственные состоянии представляют собой плоски? волны, обра-
зующие, разумеется, полный набор, по которому можно разложить связанное
состояние. Затруднение появляется лишь для гамильтониана Hi,. который до-
пускает как связанные состояния, так и состояния в непрерывном спектре;
последние сами по себе не образуют полного набора. Это весьма элементар-
ное соображение часто приводит к путанице и ошибкам.
88
§ 3.2. УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА
Уравнение Липпмана—Швингера для оператора перехода со-
держит всю динамику задач рассеяния, и можно надеяться, что оно
является хорошей отправной точкой для решения таких задач.
Однако в данном случае мы имеем дело с двухчастичной системой.
Уравнение (3.33) дает, по крайней мере формально, полное решение
двухчастичной задачи рассеяния; необходимо лишь найти соот-
ветствующий метод решения. После этого легко получить сечение
рассеяния по формулам (3.42) и (3.43).
К сожалению, эта относительно простая ситуация не повторяет-
ся в случае, когда имеются три или больше частиц. Причины такого
положения частично близки тем, которые рассматривались в конце
§3.1 в связи с наличием связанных состояний. Если возмущен-
ный спектр системы полностью не перекрывается с невозмущен-
ным, например, благодаря появлению связанных состояний при
включении взаимодействия, то следует признать, что при наличии
взаимодействия состояний «больше», чем когда его нет.
В случае рассеяния двух частиц это ие приводит к существенным
трудностям, так как закон сохранения энергии полностью исклю-
чает возможность того, что две налетающие частицы с положитель-
ной энергией могут перейти в связанное состояние. Однако если
в процессе участвуют три или более частиц, то для двух или более
из них становится возможным образовать связанное состояние.
В случае двух частиц в непрерывном спектре имеется столько же
решений, сколько и невозмущениых решений (связанные состояния
появиться не могут), и трудностей не возникает. Но для трех или
более частиц к решениям в непрерывном спектре добавляются новые
ветви, которые соответствуют случаю, когда связываются две час-
тицы, а третья частица остается несвязанной.
Указанная трудность математически выражается следующим
образом. Если для рассмотрения трехчастичной задачи используется
уравнение Липпмана—Швингера, то оказывается, что однородное
уравнение имеет ненулевые решения для непрерывного спектра,
соответствующие наличию двухчастичных связанных состояний.
Поэтому не существует единственного способа выбрать решение одно-
родного уравнения, которое должно входить в решение неоднородно-
го уравнения; следовательно, последнее не имеет единственного ре-
шения. Для трехчастичной системы уравнение Липпмана—Швингера
не является у равнением с единственным решением, удовлетворяющим
уравнению Шредингера и соответствующим граничным условиям
(см. работу [2021).
На более формальном языке трудности трехчастичной задачи
можно выразить следующим образом: оин обусловлены случаем,
когда две из трех частиц взаимодействуют между собой, а третья
распространяется свободно. Этой невзаимодействующей частице
соответствует дельта-функция Дирака в ядре интегрального урав-
нения Липпмана—Швингера. В таком случае ядро не является квад-
89
ратнчно-интегрируемым и некомпактно, поэтому интегральное урав-
нение может не иметь решения*.
Чтобы проанализировать указанные трудности более подробно,
рассмотрим три взаимодействующие частицы с индексами 1, 2 и 3.
Между частицами 1 и 2 имеется взаимодействие, которое обозначим
V з, между 2 и 3 — взаимодействие и между 1 и 3 — взаимодей-
ствие У2. Гамильтониан системы имеет вид
где
и - К + V,
к=_р£+_р|__|_Л.
2Л11 2М2 2М3
есть полная кинетическая энергия трех частиц и
V = - У2 -L v3.
Уравнение (3.33) приводит к следующему уравнению:
<p;p;p;i7’ipip2p8>=<p;p;p;ivipip2ps>+
+ (j (2п/1) “ [6 (р;—q,) <Р; р; I V, | q2 q3> +
4- «(р; — q2) <Р; Рз I vt I q । q.-(> +
+ 6 (Рз — Чз) <pj Р. I Vs I q, q2>] X
х[Е__чЬ__ч1_.ч1_НеГ1х
2Л1, 2M, 2Л«з J
X <4i 4-2 qs | т I p, p2 p3> (/q, dq2 dq3.
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
Благодаря наличию дельта-функции это ядро не является компакт-
ным (или квадратично-интегрируемым), т. е. условие существо-
вания решения уравнения Фредгольма не выполняется. (По су-
ществу, компактность позволяет преобразовать интегральное урав-
нение в матричное, которое можно затем решить обращением мат-
риц; см. [444, 481].)
Ниже будет показано, что выход нз этого положения заключает-
ся в получении системы связанных интегральных уравнений. Эти
уравнения неоднородны, н, следовательно, имеют единственное ре-
шение. Их ядра будут компактными и все члены «связанными», так
что дельта-функции, похожие на те, которые входят в (3.57),
не появятся. Эти уравнения называются уравнениями Фаддеева.
Рассмотрим их вывод.
Пусть частицы, обозначенные индексами 1, 2 и 3, взаимодейст-
вуют посредством потенциала (3.56). Рассмотрим случай, когда,
например, частица 2 рассеивается на частицах 1 и 3. (Частица 2
может быть нейтроном, налетающим на частицы 1 и 3, которыми яв-
ляются протон н нейтрон в дейтроне; в этом частном случае куло-
* См. также работы [230, 231], где этот вопрос рассматривается для слу-
чая, когда матрица перехода уже разложена по парциальным волнам.
90
иовских сил нет, что отчасти упрощает задачу). Уравнение Липп-
мана—Швингера для рассматриваемого случая имев!' вид*
Т = + V3) + (Vj 4- V3) G2r, (3.58)
где
G2 = (E — К — Ve + ie)1 (3.59)
и К дается выражением (3.55). Тогда
[1 - (У, + У3) G2] т = Ух + V, (3.60)
т = 11 - (V, I- У3) GJ-1 (У, ~ У3). (3.61)
Введем теперь функцию Грина для трех частиц:
G = (Е — К -I- ie)-1. (3.62)
Эту величину можно связать с G2 в (3.59), пользуясь следующими
операторными тождествами:
(А + В)1 = Л-1 — (А + Bj-'BA-1 = Л-1 — А-1В (Л +
+ В)-1, (3.63 а)
(1 — ЛВ)-1 Л = Л (1 — ВЛ)"1. (3.63 б)
Учитывая (3.59) и (3.63 а), получаем
62 = [(£—Д' + i е)— У J*1
= (E-£n-ie)-1 + ((E-K+ie)-V!]-1V2(E-K + ierI =
= [1+GsV2]G. (3.64)
Тогда
Ga 11 V2G] = G (3.65)
н
G, = G11 — V’2G|-'. (3.66)
С учетом (3.63 б) это дает
G2 = (1 — G1J 'G. ' (3.67)
Используя полученный результат для G2, перепишем (3.61) в виде
Т = {I -(Ух 4- У») 11 -ОУ.]-1 G}-1 (Ух + V3) =
= {1-(У1+У») [G-1-У,]-1}-1 (Ух + У3) =
= (G1 - У2) [G 1- Ух- У2 - Уз]-1 (У, + Уз) =
=01[1-СУ2-С(У1+У3)+С(Ух+У3)] х
Х f1 -G i, 1 ° <V1 + ^)- (3.68)
ИЛИ
г=(Ух+У8) + (У.+ У»)(1-с? У„у,с(У1+Уз). (3.69)
* Такой вывод уравнений Фаддеева дан в работе [265].
91
Определим величину
У, р — G V V„) ' GV,, i. 1= 1, 2, 3, (3 70)
и запишем (3.69) в другой форме:
Величины Тij удовлетворяют уравнению
+ 2 ThS, (3.72)
k=\
поскольку с помощью (3.72) мы имеем
Т^-У^Ч-У.С V ly, A/-l-V»[l-6 У Г,| ‘oVjj
= У, 6i? 4-V; 11 — G V V, j 1GVj, (3.73)
что совпадает с (3.70). Уравнение (3.72) дает
(1 -К, G) Ти = У, 60.4- У; G z Тю. (3.74)
ИЛИ
Tu = il-V,G1rW,6u Н1-У,С)-*У, У С,-„Гй;, (3.75)
k= 1
где
С1Ь = 0(1 — ад = (Е - К + ie)-1 (1 - ад. (3.76)
Введем величину
= (1 — У, О)-1 Vi У, (I — 6У;) 1 = У; + V, (Е—К~ vt + ie)-1 Уг,
(3.77)
которая, как следует из (3.34), полностью совпадает с оператором
перехода для рассеяния двух частиц (/ у= / и k #= i) с энергией Е.
Отсюда получаем одну из форм записи уравнений Фаддеева
Tij = ti b ti ^ih Thj, i» J= 1, 2, 3. (3.78)
92
Эта система полностью неоднородна в том смысле, что Тц не входит
в правую часть. Вследствие этого, как можно показать прн интег-
рировании уравнений Фаддеева, результирующее ядро является
компактным для широкого класса потенциала [182, 338, 3391. По-
этому уравнения Фаддеева являются хорошей отправной точкой
для решения трехчастичной задачи*. Однако после разложения
по парциальным волнам интегральные уравнения записыва-
ются все еще для функций двух переменных, поэтому решать их
довольно трудно даже с помощью ЭВМ. Часто используется введе-
ние нелокальных сепарабельных потенциалов, что позволяет пре-
образовать интегральные уравнения так, что в них будет входить
лишь одна переменная. Такие уравнения можно решить относи-
тельно простым способом.
§ 3.3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТРЕХНУКЛОННОЙ
СИСТЕМЫ
В этом параграфе мы рассмотрим, как используются уравнения
Фаддеева для изучения трехнуклонной системы. Существуют,
конечно, другие подходы для решения трехнуклонной задачи, кото-
рые не используют уравнений Фаддеева**. Однако уравнения Фад-
деева в настоящее время применяются все в большей степени либо
непосредственно [23, 422—424], либо в рамках методов, которые
близко с ними связаны [1—3, 6, 8]. Мы кратко обсудим некоторые
из этих применений, чтобы ознакомиться с их возможностями (они
снова будут обсуждаться в гл. 5) и сравнить с результатами, полу-
ченными недавно с помощью весьма фундаментального метода рас-
смотрения трехнуклоиной системы.
Рассмотрим уравнения Фаддеева (3.78) и предположим, что все
три нуклона имеют одинаковую массу 7И. Введем три переменные
Р, qt-, кг-. определяемые следующим образом:
Р = Р1 + Р2 + Р8; (3.79а)
Чг = Р, + Р*; (3.796)
ki=Y<P' PJ)' (3.79в)
где i, j, k образуют циклические перестановки. Эти переменные
являются соответственно полным импульсом трех частиц, полным
импульсом подсистемы из /-й и k-й частиц и относительным им-
* Обобщение на случай более трех частиц рассматривалось в работе! 5251.
Другая формулировка метода решения трехчастнчной задачи, основанная на
теории собственных каналов, дана в работе [132] (см. также [252]).
** Обзор некоторых из таких подходов дан в работах [460, 514[.
93
пульсом частиц этой подсистемы. В координатной системе для /-й
и Л-й частиц состояние будем характеризовать индексом /, т. е.
|Р, qb kf> = |i>- (3.80а)
Возьмем матричные элементы уравнений Фаддеева (3.78) между
этим состоянием и состоянием
|Р', q/, k/> = |/'>. (3.806)
Рассмотрим систему, состоящую из двух нейтронов (частицы с ин-
дексами 1 и 2) н протона (частица с индексом 3); как уже говори-
лось, таким способом мы устраняем осложнения, связанные с ку-
лоновскими силами. Такая система может иметь внутренний спин
3/2 нли 1/2 (последний в двух случаях). Ограничимся рассмотре-
нием спнна 1/2 н его z-компоненты, равной -j-1/2. Две спиновые
функции имеют вид
U' -g-Кб 12а1«2₽8 —(«!₽. +PittJaj] (3.81а)
И
(“i₽s—Pi «2) «s; (3.816)
первая функция соответствует двум нейтронам в нечетном состоя-
нии, а вторая — нейтронам в четном состоянии. Вся система опи-
сывается состояниями, являющимися суперпозицией произведений
спиновых функций на импульсные функции (3.80):
I О=С„|Р, Чь k,>uu+c»!P. 41, k|>.P- (3 82)
Индексы и н v соответствуют состояниям, симметричным или анти-
симметричным относительно обмена двух нейтронов.
Рассмотрим теперь матричные элементы уравнений (3.78) по
этим состояниям
k= 1 с = о, и J
X </ К I К”} {К" | Thi |Г> JP" dk”k, (3.83)
где
| №) = | Р", q'4, k*>Ww, w = и, V. (3.84)
Ядро этого уравнения имеет вид
</1 l(Git |К") = 2 J (2лЙ)-“</11,| /'"></"' | |К"> X
xdP'" dq-'dh'r, (3.85)
при этом
< I1 t, |Г = (2лЙ)~е 6 (Р-Р")6 (q, -qj") х
х«н-.<кг| 1,(41, Р)|к;">- (3.86)
94
Энергия, прн которой имеет место рассеяние двух частиц,
равна
£_A_A=£_IL=4i>L__?L. (3.87)
2Л1 4М 2Л1 4М ’
в результате рассеяния в подсистеме /-й и Л-й частиц относительный
импульс к/ в системе центра масс меняется на кг. Энергия центра
масс равна (1/2) qf/(2M). Матричный элемент от функции Грина
в (3.85) имеет вид
<Р<". Pi", pi |GttlP(’, Р/. Pt> =
= (2лй)в «(₽"'- рЭ » Рй в (pi" -РЭ (1 - 6Й) X
х|о(р;-",р;",р;")г1, (з.88>
где
D(p"', Pi", pi”)sE — —------------—— (3.89)
' 1' ’ H ' 2M 2М 2М ' '
и символ Кронекера относится к спиновым проекциям каждой
из трех частиц. Импульсы в матричных элементах равны
Р/ =Р "—Ч/ ; (3.90а)
Pi" -= р5—Pi + Р' = Чг" + ч*—Р”; (3.906)
pi" = P'" — qi". (3.90в)
Таким образом, можно написать
</'" |Glfc Ю = (2лЙ)’ 6(Р"-Р" ) 6 (Р"'_ч;т_ Ч' ± к") X
x8(-P' + qJ + -|-q;"±k7')(l-8a)Sa(/"', К")Х
x|D(P "-4;", qi ' + qJ-P', P’-qj))-1, (3.91)
где верхний знак (плюс) относится к циклическим перестановкам
i, /, k, а нижний (минус) — к антициклическим. Множители
Sih К") связаны с преобразованием в спиновом пространстве
от i-й к k-и системе 1265].
Подставим теперь выражения (3.85), (3.86) и (3.91) в уравнение
(3.83); вынесем дельта-функцию, соответствующую закону сохра-
нения полного момента и выберем импульс центра масс трех частиц
Р - 0. В результате получаем
<1; q„ k(|T(J J', q,', k;> = (2nfi)36(q; —qJ)6oX
Х«//.<М6(Ч1;/)|k.r> + 2 2 и2лЙ) 3{О(Чг Ч, + ч’,;,ЧЭ}-*Х
k iK"=u,v>
95
xsih и, К") (к, I tt (4i; 01 T-i- «к т <Й> <№; <й, ±
± q< ± -у- qt | Thj I J'; Oj, k;>dq*, <3.92)
где индексы у прописных букв относятся к спиновым состояниям.
Чтобы продвинуться дальше в решении уравнения (3.92), пред-
положим, что двухчастичное взаимодействие описывается нело-
кальным сепарабельным потенциалом (см. разд. 2.3.3).
</; r;o=M0a//W, Л /')•. (3.93)
Тогда из уравнения Липпмана—Швингера имеем
<кг-1 h (Чо 01Ю == (£*; 0ч (<7г; 0 ч (kr, /), (3.9 4
где
(ki\ (г, I) exp (ikr r) dr (3.95)
и
tita; /)=М0[1—MO f (2nh)-s[E-±4tiM-kiiM+Kyi><
Xvj(kt; Odkij”*. (3.96)
Здесь использовано предположение, что рассеивается только S вол-
на.
Теперь можно выделить зависимость от кг и кд:
(/; q(, ki|7’jj| J'; qj. k;> = p,(fe,; /)Лт(9<. 1; 4i, J") x
xJ'), (3.97)
и система связанных интегральных уравнений принимает вид
Тц (qf. /; qj') = (2лй)г 6 (q; — qj) 6„6;j. 4-
+ 2 2 f (2лй)-4е- А_(«;+«эг_ Г‘х
L 2 M 2M 2M J
xTi(9i, 0₽<^q« + qJ; К”) X
xvh (ф-i-l-qX; K") K"; q), J’)dq«- (3.98)
При решении этих уравнений функция (3.95) обычно выбирается
в виде, предложенном Ямагучи:
vt (ki, I) = Ni/(kl 4- рГ). (3.99)
Параметры, которые входят сюда, подбираются по данным об энер-
гии связи дейтрона, триплетной и синглетной длинах рассеяния и
эффективном синглетном радиусе [23, 422—4241. Уравнения Фред-
96
гольма (3.98) решаются численно (для нахождения связанного
состояния следует рассмотреть соответствующее однородное урав-
нение). Для этого интегральное уравнение заменяется матричным
соотношением, порядок матриц которого обычно равен примерно
100. Затем эти матрицы обращаются.
Некоторые результаты для рассеяния нейтрона на дейтроне
[422] показаны на рис. 3.2. Расчеты, основанные на уравнениях
0,8 0,4 0 ~0,4 -0,8
Косинус ума S системе ц.м.
0,8 0,4 0 -0,4 -0,8
косинус ума 6 системе ц.м.
Рис. 3.2. Некоторые результаты для рассеяния нейтрона на дейтро-
не, полученные решением уравнений Фаддеева [442]:
гни нейтрона
Фаддеева, очень хорошо согласуются с экспериментом. Такой же
подход можно использовать и для изучения реакции
n~}-d->-rc + n. + p;
в этом случае можно также попытаться получить информацию
о длинах nn-рассеяния из взаимодействия в конечном состоя-
нии [3].
В табл. 3.1 представлены результаты, полученные Филлипсом
1422] для связанного состояния трех частиц (тритий) и для длин
/id-рассеяння. Было найдено, что необходимо ввести феноменологи-
ческие трехчастичные силы V4, которые, по-видимому, имитируют
эффекты двухнуклоиных тензорных сил и короткодействующего
взаимодействия в системе с А — 3. При этом не предполагается,
4 Зак. 532
97
что такие силы имеют какое-либо отношение к фундаментальным
трехчастичным силам. В действительности имеющиеся результаты
для трехнуклонной системы таковы, что этот вопрос остается от-
крытым.
Таблица 3.1
Теоретические и экспериментальные результаты для
системы из двух нейтронов и одного протона [422J
Данные Энергия связи тритона.
Эксперимент* 8,49
Теории:
г4=о 11,1
9,1
Длина рассеяния, ферми
дублетная квартетная
0,7 +0,3 6,38±0,06
8,26±0,12 2,6 ±0,2
—0,79 6,28
0,7 6,28
Материал о формальной теории рассеяния, который был кратко
изложен в этой главе, взят из статей Липпмана и Швингера [3301
и Гелл-Мана и Гольдбергера [2151. Этот вопрос подробно обсуж-
дается в книге Гольдбергера и Ватсоиа [2401, а также в книге Га-
мильтона 1256]. Общие обзоры, посвященные применению уравне-
ний Фаддеева к задаче трех частиц, даны в работе [1611 и в книге
Ватсона с сотр. [5211.
Математические вопросы уравнений Фаддеева рассматриваются
в оригинальных статьях Фаддеева [178, 179, 1811 и в его моногра-
фии 11821, а также в работах [338, 3391. Обзор ранних работ о трех-
нуклонных системах дан Верде [5141 и Шиком [4601 соответственно
в 1957 и 1961 гг. В работах Амадо и corp. [1—3, 6, 81 используется
формализм, похожий на формализм уравнений Фаддеева; эти же
уравнения были использованы для системы с А — 3 Вандером [23J
и Филлипсом [422—4241. Интересное рассмотрение рассеяния каона
на дейтроне с точки зрения уравнений Фаддеева было сделано
в статье [2651; там же дан обзор общих свойств этих уравнений.
Более поздние обзоры о трехчастичных системах представлены
в книге 12281, а обзоры по ядерной трехчастичиой задаче сделаны
Делвесом н Фнллнпсом [1431, Амадо [91 и Митра [3711.
ЯДЕРНАЯ МАТЕРИЯ
Глава 4. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ
Положение теоретиков-ядерщиков несколько напоминает поло-
жение первобытных людей, описанное в книге Гамова «Один, два,
три,... бесконечность» [213]. Первобытный человек легко считает:
«Одни, ... два». После напряженного размышления он создает:
«Три». Затем он бросает заниматься счетом и переходит к следую-
щему числу в его счетной системе: «Много». Аналогично теоретики-
ядерщики рассматривают однонуклонную систему на тривиальном
уровне; двухнуклонная система описывается относительно просто.
Надежное описание трехнуклонной взаимодействующей системы
уже требует значительно больших усилий. После этого они склон-
ны прекратить счет н сразу переходят к изучению многочастичных
систем. Теоретическое рассмотрение многочастичных систем весьма
полезно для предельного случая бесконечно большой ядерной сис-
темы. Такие системы, разумеется, в высшей степени искусственны,
но они дают возможность извлечь одну физическую величину —-
энергию связи на нуклон. Чтобы сравнить ее с экспериментом,
необходимо уметь отделять объемную энергию связи от поверх-
ностных, кулоновских и других эффектов. Этот вопрос обсуждается
в гл. 5.
В данной главе рассматривается общий формализм теории мно-
гих тел. В частности, мы обсудим одну из разновидностей теории
возмущений, которая приспособлена для применений к многочас-
тичной системе, а именно разложение по связанным диаграммам
{linked-cluster expansion). Мы также увидим, что трансляционная
инвариантность в бесконечной системе значительно упрощает зада-
чу по сравнению со случаем конечной системы. Этот факт оправды-
вает большие затраты труда в теории ядерной материи, которые не-
обходимы для предсказания одного числа — энергии связи иа нук-
лон. В то же время важно подчеркнуть, что изучение ядерной мате-
рии, возможно, приведет к большему пониманию свойств конечных
ядер. Более того, дело обстоит так, что расчеты свойств ядериой
материн дают новую информацию о нуклон-нуклониом взаимодей-
ствии, дополнительную к той, которая получается из двухиуклон-
ных систем. Это объясняется тем, что рассеяние нуклонов в ядерной
материи может происходить вне энергетической поверхности, по-
скольку в системе имеются другие нуклоны, которые могут обеспе-
чить выполнение законов сохранения энергии и импульса.
99
§ 4.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ВТОРИЧНОМ
КВАНТОВАНИИ И ГАМИЛЬТОНИАНЕ ЯДРА
В большей части настоящей книги теория ядра формулируется
на языке вторичного квантования. Этот язык, который обсуждался
в гл. 3 т. 2, имеет два преимущества.
Первым из них является возможность рассмотрения рождения
н уничтожения частиц. Для многих физических задач этот эффект
очень существен, что и является главной причиной использования
аппарата вторичного квантования. Однако для теории ядра при низ-
ких энергиях дело обстоит не так. Поскольку в ядерных процессах
барионное число сохраняется (нуклоны входят в класс барнонов),
то единственный способ изменения числа нуклонов в ядерной сис-
теме— рождение нуклон-антинуклонных пар. Энергия такого
процесса слишком велика (больше или равна 2/Ис2 = 1876 Мэе),
чтобы иметь существенное значение в обычных применениях тео-
рии структуры ядра.
Вторым преимуществом использования аппарата вторичного
квантования в теории ядра является автоматическое выполнение
в этом формализме требования антнснмметризацни волновой функ-
ции по отношению к перестановке нуклонов. Поскольку принцип
Паули очень существен для микроскопического понимания многих
ядерных явлений, то формулировка теории ядра, в которой этот
принцип заложен с самого начала, чрезвычайно удобна.
Рассмотрим операторы рождения и уничтожения нуклона
«а и аа. Благодаря тому что нуклоны подчиняются статистике Фер-
ми—Дирака, эти операторы должны удовлетворять следующим ан-
тикоммутационным соотношениям*
{ои, Ср} = 0; (4.1а)
с?} = 0; (4.16)
= (4-1в)
Индексы аир описывают полный набор квантовых чисел, характе-
ризующих состояния нуклонов; пока мы не конкретизируем эти
состояния. Обозначим соответствующие однонуклонные волновые
функции в конфигурационном пространстве <ра (г); предполагается,
что онн образуют полный ортонормированный набор. Полезно
ввести операторы ядерного поля
Ф(Г) = 2са<Р«(Г); Ф+(г) ^"« <О*(Г)- (4-2}
Из соотношений (4.2) н ортонормированности функций (г) имеем
W(О, ф (>')}=°; (4-3а)
{ф+(г),ф+(г')} = 0; (4.36)
(ф(г), ф+(г')}=в(г—f). <4-3в>
См. т. 2, гл. 3.
100
Одночастичный оператор* F в представлении вторичного кван-
тования имеет вид
F - У <а | F | р> а£ а$, (4.4)
а.р
где < а | F | 0 > — обычный одночастичный матричный элемент
в конфигурационном пространстве:
<a|F|₽)sjj<pS(r)F(r)q^r)dr. (4.5)
Примером одночастичных операторов являются электромагнитные
операторы перехода, по крайней мере для электрических дипольных
переходов**, и оператор кинетической энергии нуклона*
С помощью (4.4) и (4.5) получаем другую форму записи для одно
частичного оператора:
F = Jj ф+ (г) F (г) ф (г) dr. (4.6)
Двухчастичный оператор в представлении вторичного кванто-
вания записывается в виде
Г = -^- 2 <ap|v|?6> ajар acav> ' (4-7>
а, ₽, у,6
где < ар | V | уб ) — обычный неантнсимметрнзованиый двухча-
стичный матричный элемент:
<«N V !?«>=$<&(>•) чЦНГО’. r')<rv(r)<f6(r')drdr'. (4.8)
Необходимая антисимметризация по отношению к перестановке
двух нуклонов автоматически содержится в выражении (4.7) в силу
соотношений (4.1). Порядок индексов в (4.7) выбран так, чтобы
сохранить тот же знак для матричных элементов в пространстве
Фока-, что н для соответствующих матричных элементов в конфигу-
рационном пространстве. Множитель 1/2 в (4.7) взят для того, чтобы
дважды не пересчитывать пары нуклонов в неограниченной сумме
по а, 0, у и 6. Учитывая (4.7) и (4.8), можно записать
V = -i- (Ч+(г) (г') V (г, г') ф (г') ф (г) dr dr'. (4.9)
Важным примером двухчастичного оператора является нуклон-
нуклонное взаимодействие.
* Крышка над оператором используется в тех случаях, когда необходи-
мо указать, что этот оператор действует на состояние в пространстве вторич-
ного квантования (пространстве Фока), или когда необходимо различать это» '
оператор от его аналога в конфигурационном илн импульсном пространстве.
** Дли более высоких мультиполей исключение центра масс может при-
вести к связи многочастичных операторов с одночастичным оператором элект-
ромагнитного перехода. См. обсуждение вопроса об эффективном заряде
в § 4.2 т. 2.
101
Предположим, что ядерный гамильтониан содержит кинетиче-
скую энергию нуклонов и их двухчастичные взаимодействия. Тог-
да, как следует из выражений (4.4)—-(4.9), в пространстве Фока га-
мильтониан ядра имеет вид
Н = 2 <а1Г1₽>°“ —7 <а₽| «ita6cv, (4.10)
а, р а, 0, V- 0
где
оператор кинетической энергии, а V—пуклон-нуклонное взаимо-
действие, рассмотренное в гл. 2. Гамильтониан (4.10) можно также
переписать по-другому:
Н = й2 М~г J (г) (Уф (г) dr -г
+-TJ4+(r)ip(r')V(r, г')-ф (г') t (г) drdr'. (4.12)
Прн записи выражений (4.10) и (4.12) мы не учитывали никаких
трехчастичных эффектов в ядерных силах, хотя формализм вторич-
ного квантования позволяет их легко учесть.
В ^качестве одночастичных состояний <ра (г) часто выбираются
плоские волны. Если взять L3 в качестве нормировочного объема,
то полный набор этих состояний можно записать в виде
ик (г) =-L~’/2exp (ik-r), (4.13)
где одночастнчные состояния характеризуются индексом к, т. е.
тремя компонентами волнового вектора. Существуют также допол-
нительные переменные, необходимые для описания состояния нук-
лона, например дискретные переменные, характеризующие спин
нуклона, который может быть направлен вверх или вниз. Однако
мы не будем их здесь выписывать. Импульс р связан с волновым век-
тором с помощью соотношения
р == Йк. (4,14)
В представлении одночастичных функций (4.13) гамильтониан
(4.10)—(4.12) записывается следующим образом:
= I Т <и IV|mn>af Oi+а„аш. (4.15)
к к. 1, га, п
где
<kl| V]mn> = L“6 Jexp(—ikr)exp(—ilr') V (r—r')x
Xexp(im-r) exp(in-r') dr dr'. (4.16)
102
Здесь взаимодействие V записано как функция разности двух аргу-
ментов для выполнения условия инвариантности относительно
трансляций. Переходя к координатам центра масс и относительным
координатам двухнуклонной системы
R = ^-(r+r'), р = г—г', (4.17)
получаем
<ki | V[mn> = L~6Jjexp[i(ni-|-n—k—l) R]rfR x
x Jj exp| ~ i (I — k4- m—n)-p j V (p) dp ——> (2л)3 L~6 X
xfi(m4-n—k—1) exp (iq p) V (p)dp, (4.18)
где
q=m—k = l—n (4.19)
волновой вектор передаваемого импульса. Последний интеграл
в (4.18) представляет собой фурье-образ потенциала:
V(q) = Jj exp(iq p) V(p)dp. (4.20)
Использование плоских волн (4.13) полезно для гамильтонианов
вида (4.10)—(4.12), когда отсутствуют внешние поля и все взаимо-
действие исчерпывается нуклон-нуклонным взаимодействием
V (г, г'). Однако представляет интерес и случай, когда действует
некоторый внешний потенциал V (г). Гамильтониан будет тогда
иметь одночастичное слагаемое
2 <a|(7’+U)l₽>«iop- (4-21)
а, р В
В этом случае более удобно заменить функции (4.13) одночастич-
ными функциями (г), которые диагонализуют гамильтониан
Т -г 9’, т. е. удовлетворяют уравнению Шредингера
(Т + V) <ра (г) = (г). (4.22)
Тогда выражение (4.21) принимает вид
(4.23)
Функции фа (г) и собственные значения ек, которые могут иметь
весьма сложные свойства, можно получить, разумеется, только
из решения уравнения (4.22).
Один из способов введения в задачу внешнего потенциала за-
ключается в том, чтобы ввести его искусственно как метод учета
103
Некоторых свойств двухчастичного взаимодействия*. Гамильто-
ниан (4.10) можно переписать в виде
И 2 <«I (Т + У)! ₽ > ср 4-
</.. и
•r|— 2 <а₽11/11’8>а«с?О(>о»—
I 2 Р. V.6
-2 'all'll? >at «р ]. (4.24)
a, р ’
Первая сумма рассматривается здесь как и (4.21)—(4.23), а член
в фигурных скобках — как возмущающее взаимодействие. Если
потенциал U (г) выбран хорошо, то влияние этого члена может быть
«мало», что приведет к упрощению задачи. Однако необходимость
решения уравнения (4.22) до вычисления матричных элементов
в фигурных скобках, конечно, усложняет теорию. Исключением
из этого правила является случай бесконечной ядерной материн,
поскольку очевидно, что для бесконечной системы, предполагаемой
однородной и изотропной, не может существовать выделенной точ-
ки в пространстве, которую можно было бы- выбрать за начало
координат. Должна выполняться трансляционная инвариантность
по Jot ношению к пространственному переносу г—>- г - d. Это имеет
место для волновых функций (-1.13): величина
и (г -Г d) ~ ехр (iк d) и (г) (4.25)
отличается от и (г) лишь на тривиальный постоянный фазовый мно-
житель. Таким образом, одиочастичиые состояния будут описывать-
ся плоскими волнами (4.13) независимо от того, входит или не входит
поле U в одночастичное слагаемое гамильтониана. Иными словами,
одночастичные волновые функции для бесконечной системы извест-
ны без решения уравнения (4.22), которое определяет лишь спектр
одночастичных собственных значений. Поэтому мы будем развивать
формализм для бесконечной системы взаимодействующих нукло-
нов, используя в качестве одночастичных состояний плоские волны.
Для простоты гамильтониан берется в виде (4.10) или (4.12), а га-
мильтониан вида (4.24) будет рассмотрен лишь при изучении эф-
фектов, обусловленных полем 17.
§ 4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ОПЕРАТОР ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Основная трудность при применении теории возмущений к бес-
конечной системе со взаимодействием заключается в том, что для
такой системы существуют две важные величины, которые конку-
* Значительно подробнее этот вопрос обсуждается в гл. 5 и 6, где показа-
но, что имеется несколько способов выбора потенциала U (г), которые упро-
щают расчеты для бесконечной и конечной- систем взаимодействующих нук-
лонов.
104
рируют друг с другом. Прежде всего это сила взаимодействия,
которая, как можно надеяться, в некотором смысле может быть
малой. Другой величиной является число частиц 1V, которое в ко-
нечном счете следует устремить к бесконечности для того, чтобы
получить упрощения, обусловленные бесконечностью системы. Даже
если взаимодействие между отдельными частицами мало, полное
взаимодействие бесконечного числа таких пар не будет мало. С ДРУ’
гой стороны, в теории возмущений еще можно рассчитать энергию
взаимодействия, приходящуюся на единицу объема или на одну чао
пищу; поэтому необходимо развить формализм, применимый для
вычисления этих величин.
Для иллюстрации указанной трудности рассмотрим следующее
схематическое описание системы N частиц [421. Будем пока харак-
теризовать одночастичные величины строчными буквами, а вели-
чины, относящиеся ко всей системе N частиц, — прописными.
Уравнение Шредингера для невозмущенных состояний имеет вид
Л„<р = е<р; (4.26)
предполагается, что его решения известны. Рассмотрим уравнение
для возмущенных одночастичных состояний
Лф = (Ао 4- v) ф = е'ф. (4.27)
Интеграл перекрытия между возмущенными и невозмущенными
волновыми функциями есть
< ф | <р ф* tpdr = 1 —al2, (4.28)
где а — число порядка единицы и Z — матричный элемент гамиль-
тониана возмущения щ Для всей системы интеграл перекрытия
между возмущенными и невозмущенными векторами состояния
| ¥> и | Ф 7> равен
< ¥ | ф > = (1 —лЛу'. (4.29)
Эта величина может быть конечной, если выбирается соответст-
вующая процедура предельного перехода. Возьмем, например,
предел, такой, что 1W останется постоянной величиной. Тогда
lim (1—а!2)Л' = ехр(—a)?N), Л8 # = const. (4.30)
?.->о
Обычная теория возмущений для этой'величины дает
(I сХ2)« = 1— +..., (4.31)'
т. е. с увеличением N каждое слагаемое неограниченно возрастает.
Различные члены будут сокращаться, но для того, чтобы получить
данный порядок по N, необходимо рассмотреть все члены ряда, что,
очевидно, очень неудобно.
10$
Этн трудности можно обойти, если развить зависящую от време-
ни теорию возмущений в духе формальной теории рассеяния,
рассмотренной в § 3.1. Исходим из временного уравнения Шре-
дингера
= =(H» + V)|4's(/)>, (4.32)
at
где Но — невозмущенный гамильтониан, V — возмущение и индекс
S обозначает представление Шредингера. Перейдем к представле-
нию взаимодействия
I (О > = ехр (i Но t/h) | (/) > (4.33а)
О (t) = ехр (i Но t!h) Os ехр (—i Но tfh), (4.336)
где Os — оператор в представлении Шредингера и О (/) •— этот же
Оператор в представлении взаимодействия. В результате преобра-
зования Но не изменяется, а взаимодействие V меняется. Введем
величину
Я'(/) = ехр(Ш0//Л) Vexp (—1//0//Й), . (4.34)
которая есть взаимодействие в представлении взаимодействия. Эта
величина теперь определяет временную эволюцию систгмы, по-
скольку
«А |Ч'(о> = Н'(О1'Р(О> (435)
[см. также (3.5)1. Отметим, что, согласно (4.33), представление взаи-
модействия и представление Шредингера совпадают прн t = 0, т. е.
| Y(0) > = I (0) >, О(0) - os. (4.36)
Введем, как и ранее, оператор временной эволюции U
|V(0> = t/(/,f0)|^(/o)>. (4.37)
Согласно (4.35),
\h A U(t,Q. (4.38а)
ot
Кроме того, мы имеем очевидное граничное условие
и (to, to) = 1. (4-386)
Как и в § 3.1, нам понадобится предел ± °°» для чего необ-
ходимо ввести во взаимодействие адиабатический множитель
Я'(/)->Я'(/)ехр(—е|/|/Й), е-> + 0, (4.39)
т. е. в конечном счете е полагается стремящейся к нулю со стороны
положительных значений. После использования такой замены пол-
ный^гамильтониан в отдаленном прошлом или в далеком будущем
106
переходит в невозмущеиный гамильтониан Но, собственные функции
и собственные значения которого, как предполагается, известны:
Но | Ф> — Е | Ф > прн t -> ± оо. (4.40)
С другой стороны, прн t = 0 мы имеем полный гамильтониан, соб-
ственные состояния которого нам необходимо знать:
Н|Ф>=^|Т>. (4.41)
Энергетический сдвиг, обусловленный включением взаимодействия,
имеет вид
Ае = Е = —<Ф|Я~ (4.42)-
<Ф|¥> ' '
где использованы уравнения (4.40) и (4.41) и свойство эрмитовости
гамильтониана Яо. Учитывая, что Н = Не + V, получаем из (4.42)
(4-43)
и из соотношений (4.37) и (4.40) имеем
|^(0)>=f/(0, —oo)|Y(—во) > = t/(0, —оо)|Ф>. (4.44)
Таким образом, энергетический сдвиг можно выразить через опе-
ратор эволюции и известные невозмущенные состояния:
А£ =
<Ф| У(0)£/(0, —СЮ)|Ф>
Ф <|{/ (0,—<ю)|ф>
(4.45)
где временной аргумент во взаимодействии V относится к параметру
в адиабатическом множителе (4.39). Другие величины, представ-
ляющие интерес, можно также выразить через U (t, t0) и известные
состояния | Ф) . Например, среднее значение оператора по' воз-
мущенному состоянию имеет вид
<TJO|T> _ <Ф|£/(оо , 0)0(7 (0, —со) |Ф> _
< т | V > < Ф I V (оо , 0) V (0, — ос) I Ф > ~
<Ф|г/(оо, о)Ш(о, _оо)|ф>
<Ф[£7’(оо, — 00)1 Ф> ’ I • - /
Оператор в знаменателе представляет собой S-матрицу.
5 = V (ОО, —оо). (4.47)
Целесообразность сохранения знаменателя будет видна ниже
[см. (4.96)—(4.100)1.
Заметим, что формальное решение
U (t, t0) = ехр (Шо t/h) ехр [ — iH x
Xexp(—iHct0/h) (4.48)
107
Полезно для получения соотношений вида U (оо, ty U (0,—оо) =
== U (оо, —оо), но, разумеется, не дает решёния уравнения
(4.38а). Для того чтобы вывести формулу, с помощью которой мож-
но рассчитать величину U, необходимо последовательно получить
ряд теории возмущений для этого оператора.
§ 4.3. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Из уравнения (4.38а) и граничного условия (4.386) можно
получить следующее интегральное уравнение для оператора вре-
менной эволюции:
и (t, t0) = 1 -ia-1§ 1Г (tj и (it /„) d/v (4.49)
io
В § 3.1 обсуждались формальные решения такого интегрального
уравнения [см. уравнение (3.17) и ниже]. Рассмотрим теперь реше-
ния данного уравнения, полученные с помощью итераций:
{7 (/,/„) = ! —i/r1 +
+ (-ift'1)2 $ dG £ dt*H'W '(/г) + - =
to to
= 2 (-i»-1)" jdG j d/a... j’1 d/„H'(4)W'(4)-W'(G)- (4.50)
Это решение представляет собой полный ряд теории возмущений
для оператора U. Преобразуем его в более удобную форму, исполь-
зуя понятие о времениупорядОченном (хронологическом) произве-
дении Pt введенное Дайсоном. При действии на произведение двух
операторов, являющихся функциями времени, оператор Р просто
переставляет вправо тот нз двух операторов, который зависит от бо-
лее раннего момента:
£(4(0 В (£))== ( ЛИВ(В),
если
еслгг?' X
(4.51)
Рассмотрим, например, слагаемое в (4.50) для п=2. Оно имеет вид
ут = (_ift-i)2 $л, $dt,H' (G) Н' (4),
(4.52а)
108
или, если перенять местами переменные интегрирования,
£/<*) = (—й"1)* ft) Н' ft). (4.526)
Интегрирование в выражение (4.526) должно выполняться по заш-
трихованной области на рис. 4.1, тогда как в выражении (4.52а)
оно должно выполняться по незаштрихованиому треугольнику.
Меняя порядок интегрирования в (4.526), имеем
что вместе с (4.52а) дает
2 v
х k dt2 (j <ft 1Г ft) H- (t2) + 5 Oil $ dt2 H' ft) II' ft) 1, (4.52r)
ИЛИ
um=т(_ ifi“1)a $dti S df‘p {H'<z,) H'°- <4-52д)
В общем случае мы имеем
l/w = ± (_iA-l)„ J di2 <ft ... ( dtn Р [Н' ft)Н' ft) ... Н' (/„)];
(4.53)
109
следовател ьно,
п=0 л‘
t t
x\dtt... $ dt„P -H’(/„)]. (4.54)
Формально это можно записать в виде
U (t, U Р ехр [ — 1Й-1 Jj Н' (/) dt 1. (4.55>
L. го
Чтобы получить конкретное выражение для оператора эволю-
ции, в (4.55) необходимо подставить величину Н'. Для одночастич-
ных состояний в виде плоских воли Н' дается формулой (4.16) и
(4.34). Более наглядный результат получается, если использовать
операторы рождения и уничтожения в представлении взаимодей-
ствия. В соответствии с (4.33 б)
И; (t) = exp (i//0 t/h) gi exp (—iH0 t/h), (4.56)
или
at (/) = (i/fi) exp (i //t, f/h) [H„, Oil exp (— iH„ t/'ri) =
= (i/A) [Ho, a, (/)]. (4.57)
Согласно (4.15),
(4.58a)
где
sk = h2k2/2M. (4.586)
Легко получить
(я£ ak, Gi] = 0 для k=#l (4.59a)
(ok ak, ak] = g£ ak ak—ak ai ak = — ak, (4.596)
так как из (4.1) следует, что
akak^=~akak = Q. (4.60)
Таким образом, из (4.57) получается уравнение
Ск (/) = (—i/A)eftak(Z), at (4.61)
или
Ck (/) = Ok (0) exp (— №k t/h), (4.62a)
и аналогично
ni (t) = ak (0) exp (ie* t/ti). (4.626)
110
Здесь ctk (0) = ak — оператор уничтожения в представлении Шре-
дингера. С помощью (4.2) можно теперь получить операторы поля
в представлении взаимодействия. Для случая, когда одночастич-
нымн состояниями являются плоские волны, эти операторы имеют
вид
ф (г, Z) = 2 L3/2 ак (/) exp (ik - г) =
к
= 2^-3/2 Okexp(ik-r—мой Z); (4.63а)
к
*ф+(г, Z) flk ехр(—ik-r + iwft/), (4.636)
где
<йЛ==еЛ/й. (4.64)
Отсюда с помощью (4.12) и (4.34) получаем
Н' (/) = -^ф+ (г, Z) ф+ (г*, /) V (г, г') ф (г', t) ф (г, /) dr dr' =
= 4~ 2 «к of an am exp [i (co* + to/——(o„) J t X
2 к, I, m, n
X L~e exp (—ik • r) exp (— il • г) V (г, r') exp (im • r) exp (in• r)dr dr' ’
(4.65)
Для одночастичных состояний в виде плоских волн, что соответ-
ствует бесконечной ядерной материи, невозмущенный гамильтониан
Но [см. (4.58)] описывает газ невзаимодействующих фермионов.
Свойства ферми-газа, разумеется, хорошо известны [277]. Выражение
(4.586) определяет одночастичный спектр, на каждом уровне кото-
рого может находиться не более двух фермионов; один из них со спи-
ном вверх, второй—со спином вниз. В основном состоянии такой
системы одночастичные уровни заполняются вплоть до уровня, на-
зываемого уровнем Ферми. Обозначим энергию этого уровня £р и
волновое число kp. Совокупность заполненных уровней называет-
ся морем Ферми. Так как это море заполняют N фермионов, то
Множитель 2 перед интегралом учитывает тот факт, что в основном
состоянии фермн-газа на каждом уровне может находиться один нук-
лон со спнном вверх и один нуклон со спнном вниз. Из (4.66) ПОг
лучаем плотность частиц
Таким образом, энергия Ферми определяется через плотность:
Й2 kp fji
= <468>
Перепишем теперь операторы поля (4.63) таким образом, что-
бы явно выделить одночастичные уровни под уровнем Ферми (ды-
рочные состояния) и над уровнем Ферми (состояния частиц).
Из (4.63) имеем
4 (г, f) = с+ (г, /) + и (г, t) =
= jj 6? ехр [i (кт—
|k|«kF
+ L-3/2 2 Ok ехр [i (кт-01- (4.69)
|k.l> кр
Здесь введены величины
fcit^Ok, Ьк = а( для |к|<Лл- (4.70)
Согласно (4.1), эти операторы рождения и уничтожения дырок
удовлетворяют коммутационным соотношениям
{&к, fci) = 0; (4.71а)
{bt, b,'}.0; (4.716)
{tk, Л|* } fiki (4.71В)
Операторы поля (г, f) и и (г, t) рождают дырки н уничтожают
частицы соответственно. Эрмитово-сопряженный оператор имеет
вид
ф+ (г, f) = v (г, I) + и+ (г, /), (4-72)
где v (г, t) уничтожает дырки, а и* (г, I) рождает частицы.
Невозмущенный гамильтониан фермн-газа теперь можно пере-
писать следующим образом:
Не =2«кйк+ Вк= у, 2 etai ак =
к |к|<кр |k|_>*F
= У, вк— У 6к+ У, «Л- (4-73)
t к I > kF [ к К kF I к К kF
Последнее слагаемое представляет собой полную энергию заполнен-
ного моря Фермн. Эту величину мы примем за начало отсчета энер-
гий. Тогда
Но= 2 ®kat«k— У, Bkbf Ьк. (4-74)
11* | > kF I ki < kF
112
Определим новое вакуумное состояние | Фо> как заполненное
море Ферми, так что
Пк|Фо> = О, 6ь[Фо) = 0; (4.75)
отсюда
Я0|Фо> = 0. (4.76)
§ 4.4. ТЕОРЕМА ВИКА
Чтобы использовать выражения (4.45), (4.54) н (4.65) для рас-
чета энергетического сдвига, обусловленного взаимодействием
в многочастичной системе, необходимо найти эффективный способ-
расчета средних по основному состоянию от произведения операторов.
Переопределения вакуумного состояния (4.75) и (4.76) были сдела-
ны для того, чтобы упростить эту задачу. Поставленную задачу
можно свести к простому алгоритму, если воспользоваться теоремой
Вика (см., например, [256]). Прежде чем формулировать эту теорему,
необходимо ввести несколько определений.
Нормальным произведением называется произведение операторовF
в котором все операторы уничтожения стоят справа от всех операто-
ров рождения. Например, нормальное произведение операторов.
* (2) и (1) записывается в'виде
Л/(ф(2)ф+(1)]
или
:ф(2)ф+(1):
н, согласно (4.69) и (4.72), равно
М (Ф (2) Ф+ (1)1 = N [(и+(2) -р и (2)) (о(1) + п+ (1))] =
= ti+(2)iz+(l) + o+(2)o(l) + «(2)r(l) —«+(1)и(2). (4.77)
Отметим знак минус перед последним слагаемым в (4.77); этот знак
появляется нз-за антикоммутации фермионных операторов. Нор-
мальное произведение обладает свойством, что его вакуумное сред-
нее всегда равно нулю. Если мы определяем наши состояния по от-
ношению к вакуумному согласно (4.75) н (4.76), то
<Ф0 |7V (АВС ...7)|Фо> = 0. (4.78)
Это объясняется тем, что в нормально-упорядоченных операторах
операторы уничтожения стоят справа и, действуя на основное сос-
тояние, дают нуль, илн тем, что в такие произведения входят только
операторы рождения, которые прн действии на вакуумные состояния
дают состояния, не перекрывающиеся с вакуумным.
Произведение двух операторов, разумеется, не равно нормаль-
ному произведению: эти произведения отличаются на коммутатор
рассматриваемых операторов. В случае двух операторов определим
эту разность как связь, или свертку операторов:
АВ = N (АВ) + АВ, (4.79)
ИЗ-
которую мы обозначим скобкой сверху для двух свертываемых опе-
раторов. Поскольку свертка всегда равна коммутатору двух опера-
торов, то, согласно (4.1), она представляет собой с-число, а не опе-
ратор. Из (4.78) и (4.79) следует, что свертка есть вакуумное среднее
двух рассматриваемых операторов:
<Ф0|ЛВ|Ф0>=<Фв|^(ЛВ)|Ф0> + <Ф0|ЛВ|Ф0> =
= <Ф0|ЛВ|Ф0> = ЛВ. (4.80)
Теорема Вика утверждает, что любое произведение п операто-
ров можно записать как сумму нормальных произведений, в кото-
рых взяты все возможные свертки:
АВС... Z = N (АВС ... Z)+TV (АВС... Z) -|
~^N(ABC ...Z)-[-...A-N(ABC...Z) +
+N(АВС ... Z) +... + N (ABC...Z) +...
...A-N(ABCD-^Z)-}-...-}-N(ABcT7z) +
-i-N(ABCD... Z) I-.... (4.81а)
Поскольку свертки — с-числа, они могут быть вынесены из-под
знака нормального произведения. При этом знак минус появляется
каждый раз, когда два фермионных оператора меняются местами.
Таким образом, соотношение (4.81а) переписывается в виде
АВС... Z =-= N (АВ С... Z) ± ABN (CD... Z) ±
± ACN(BD... Z) ± ... ± ACBDN(E ... Z) ± ..., (4.816)
где знак плюс появляется всякий раз, когда новый порядок ферми-
онных операторов возникает в результате четной перестановки
из старого порядка, а знак минус-— при нечетной перестановке.
Например, для четырех операторов Л, В, С и D имеем
ABCD = JV (ABCD) A-ABN (CD) - ACN (BD) +
A-ADN (BC)+BCN (AD)—BDN (ЛС) +
+ CDN (AB) A-ABCD—ACBD+ADBC. (4.82)
Большое преимущество теоремы Вика заключается в том, что при
вычислении вакуумного среднего произведения операторов (что необ-
ходимо при использовании соотношений (4.45), (4.54) н (4.65)1
она приводит к тому, что все нормальные произведения в правой
части соотношения (4.816) исчезают, а остаются лишь одни сверт-
ки, Это в огромной степени упрощает вычисления такого рода.
1 Н
Для доказательства теоремы Вика воспользуемся методом ин-
дукции. Для одного оператора (п = 1) теорема тривиальна. В слу-
чае двух операторов (м = 2) теорема Вика эквивалентна определе-
нию свертки (4.79). Для п 3 прежде всего отметим, что произве-
дение операторов всегда можно представить в виде
ABC ...Z = N(АВС... Z) + %(PQ + QP) R, (4.83)
где нижний знак употребляется, если только и Р, и Q— фермионные
операторы. В этом выражении R — произведение операторов, кото-
рое содержит по крайней мере на два оператора меньше, чем.исход-
ное произведение. Соотношение (4.83) получается повторным при-
менением коммутационных соотношений. Так как нормально-упо-
рядоченное произведение отличается от исходного одной из таких
перестановок, то соотношение (4.83) выполняется всегда.
Нормальное произведение в правой части соотношения (4.83),
разумеется, удовлетворяет теореме Вика, поскольку для любой
пары операторов в этом произведении выполняется условие
Ш = <Ф01LM | Фо> = 0, (4.84)
так как операторы уже были в нормально-упорядоченной форме.
Далее, если оператор R удовлетворяет теореме Вика, то это же спра-
ведливо для оператора (PQ + QP) R. Последнее обусловлено тем,
что при подстановке этого выражения в правую часть соотношения
(4.816) мы получаем одинаковые члены для PQR и для ±QPR,
за исключением случаев, когда Р и Q образуют свертку. Указанные
члены взаимно сокращаются, а для свертки операторов Р и Q имеем
m =F QPR = <Ф01 (PQ T QP) | Фо> R = (PQ =F QP) R, (4.85)
так как коммутатор есть с-число. Поэтому правая часть соотноше-
ния (4.81 б) для величины (PQ + QP) R равна самой величине
(PQ -г QP) R, и теорема Внка для нее справедлива.
Таким образом, если теорема Внка справедлива для оператор-
ного произведения R в (4.83), то она справедлива и для произведения
АВС... Z. Но R всегда имеет по крайней мере на два оператора
меньше, чем АВС ... Z. Поскольку, как указывалось выше, теорема
Вика верна для одного или двух операторов, то отсюда следует ее
справедливость для трех или четырех операторов (в этом случае
R — один оператор или произведение двух операторов), а затем и
для пяти или шести операторов (в R входит не более трех или четы-
рех операторов) и т. д. Отметим, что для применения теоремы Вика
существенно использование представления взаимодействия, так
как коммутаторы будут с-числами лишь в этом случае. Например,
в представлении Гейзенберга коммутаторы операторов для невзаи-
модействующих, частиц—с-числа, а для взаимодействующих час-
тиц они таковыми не являются [ср. (4.56)—(4.63)1.
115
Определим теперь оператор временного упорядочения, или хро-
нологический {time-ordering) оператор:
7[.4(0В(/')]-|/1(-')В(/')-ССЛП/>/': (4.86)
I bj>B(i') А (t), если /'>/,
где — —1 для перестановки двух фермионных операторов и
6р = --1 для всех остальных случаев. Выражение (4.54) для
U (t, /с) содержит хронологические произведения величин Н' (/),
в которые входят четные степени фермионных полевых операторов.
Поэтому в этом выражении можно заменить оператор Р операто-
ром Т:
и 2
Х$ М, ... $ dtn Т [1Г (/,)... И’ (/„)]. (4.87)
<0 <0
Для t* — t выражение (4.86) не определено. Именно этот случай
имеет место для полевых операторов в (4.65), где все операторы
в Н' (/) берутся в один и тот же момент времени. Мы не собираемся,
конечно, изменить порядок величины ф+ (г, t) и ф (г, t) в (4.65)
с помощью оператора Т (что привело бы к необходимости использо-
вать дополнительный антикоммутатор). Чтобы исключить воз-
можную путаницу, будем явно приписывать немного более ранние
времена всем полевым операторам ф по сравнению со всеми опера-
торами ф+.
Теорема Вика для времени упорядоченного произведения опе-
раторов легко получается из соотношения (4.81). Она записывается
в следующем виде:
Т(ABC...Z) = N (ABC... Z) + N(ABC ...Z) +
TV (ABC... Z) +... + 7V (ABCD... Z) +...
...-{-N (ABCD ...Z), (4.88)
где введена хронологическая свертка
ЛВ = <Ф0| Г(ЛВ) | Фо>, (4.89)
которая, как показано ниже, в нашем формализме будет играть
роль пропагатора, или функции Грина. С помощью соотношений
(4.86) и (4.36) легко показать, что для полевых операторов эта ве-
личина удовлетворяет уравнению для функции Грина, т. е. времен-
ному уравнению Шредингера для одной частицы с неоднородностью
в виде дельта-функции
iifi *'Н+(Г' *)W=
= й6(г—r')6(/-Z'). (4.90)
116
Введем специальное обозначение для функции Грина:
G (г-2, Л | Гр = — i <ф | Т [ф (r2, /2) ф+ (rlf /j) 11 Фо>,
(4.91)
которое в дальнейшем будет часто кратко записываться в виде
6(2|1). Эту величину легко получить с помощью соотношений
(4.69) и (4.72), если воспользоваться тем, что вакуумное среднее
двух операторов рождения или двух операторов уничтожения всег-
да равно нулю. Тогда
G (211) = i£-8 X ехр[—i (k»^—(d/Jlx
|kj OF| к'|</гГ
X exp | i (k' • r2—«'/2)I <Фо | bk Щ. | ф„> =
==i£-3 2 exp{i(k-(r2—rj—0)(<2—/j)]}, (4.92a)
G(2|l) = —i£-3 2 exp{i(k-(r2—rj —
|k|>*F
—и(4-У1}, (4.926)
Объединяя два последних выражения, имеем
G(2| l) = i£-3£exp{i[k-(r2—г,)—«>(£,—ZJJJx
X (0 (/,—4) 0 (kF—k) — 0 (Z2—G) 6 (k—kF)\, (4.92b)
где введена ступенчатая функция
e<Hi
если х>0;
если х<0.
(4.93)
§ 4.5. ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА
Основными результатами предыдущего рассмотрения являются
соотношения (4.45), (4.65), (4.87), (4.88) и (4.92). Они определяют
энергетический сдвиг, обусловленный взаимодействием частиц в сис-
теме, как вакуумное среднее (см. (4.45)1, в которое входят взаимодей-
ствие Н' (t) [формула (4.65)1 и оператор эволюции U (Л. /0). Этн ве-
личины выражаются через хронологические произведения полевых
операторов. Для вычисления последних мы имеем алгоритм, т. е.
теорему Вика (4.88), которая в конечном счете позволяет выразить
энергетический сдвиг через исходное нуклон-нуклонное взаимодей-
ствие V (г, г') н функции Грина (4-92). Чтобы сделать всю эту схему
менее громоздкой, мы введем диаграммное представление различных
элементов, необходимых в расчетах. Впервые диаграммы были вве-
дены Фейнманом, который использовал их для вычислений в кван-
товой электродинамике 1193, 194].
117
Прежде всего условимся, что в диаграмме Фейнмана (рис. 4.2)
время увеличивается при движении вверх вдоль графика. Сплош-
ная линия со стрелкой, направленной вверх, описывает частицу,
а линия со стрелкой вниз—-дырку. Если такая линия заканчива-
Рожденае
частицы
Уничтожение
частицы u(rzitz)
Рождение
дырки v+(v3,ts)
Уничтожение
дырки v(r^,t^)
Распространение частицы G(2\1)
Распространение дырки G-(4\3)
Рис. 4.2. Элементы диаграмм Фейнмана
гг, t Взаимодействие
ется точкой только народ-
ном конце, это •— внешняя
линия. Она соответствует
процессу рождения (и+
или v+ в нормальном про-
изведении), если направле-
на вверх от точки, и про-
цессу уничтожениями или
о), если она заканчивается
точкой на верхнем конце.
Сплошная лнння с точка-
ми на обоих концах соот-
ветствует функции Грина
(4.92). Если стрелка на
этой линии направлена
вверх, то это функция
Грина (4.926), в противо-
положном случае это
функция Грина (4.92а).
Горизонтальная штриховая
линия соответствует взаи-
модействию (которое дей-
ствует в одно и то же вре-
мя; см. (4.65)1 и дает мно-
житель —iV (г-t—г2) при
сопоставлении с диаграм-
мами математических выра-
жений. Множитель—i для
каждого V (гх •— г2) обус-
ловлен множителем (—1)”
в (4.87); предполагается,
что взаимодействие зависит
от разности аргументов.
При использовании ди-
аграмм для представления
средних от U (t, t0) в раз-
ложении (4.87) возникает
несколько важных свойств.
Во-первых, сплошные ли-
нии всегда имеют непрерывное направление, т. е. можно прийти
от начала до конца линии всегда, двигаясь в направлении, указы-
ваемом стрелками. Во-вторых, при преобразовании от конфигура-
ционного пространства к импульсному в каждой вершине выпол-
няется закон сохранения импульса. В-третьих, множитель (1/2)п,
118
возникающий из-за (1/2) V (г, г') = (1/2) V (г—г'), в (4.65) исче-
зает, если складываются две диаграммы, одинаковые во всем,
кроме перестановки г«—>г'. Наконец, множитель (п!)-1 в (4.87)
всегда компенсируется вкладом п\ эквивалентных диаграмм.
В качестве примера рассмотрим слагаемые, появляющиеся в пер-
вом порядке теории возмущений. Согласно (4.87) и (4.65), член,
соответствующий и. — 1, имеет вид
V (1, 2) Т(ф+ (1) ф+ (2)4 (2) ф (1)] =
= V (1, 2) {N [ф+ (1) ф+ (2) ф (2) ф (1)1 Ч- (А)
+ Ф+(1)Ф (1) [-Ф+ (2) ф (2)] + (В)
+ y+(2)y(2)7V№+(l)iHl)J~ (С)
-у+(1)ф(2)7У№Ч2)Ф(1)1- (D)
—ф+(2)ф(1)Лг[(ф+(1)ф(2)] + (Е)
+ Ф+(1)Ф(1)Ф+(2)Ф(2)- (F)
- ф+(1)ф(2)ф+(2)ф(1)}. (G) (4.94)
Соответствующие диаграммы представлены на рис. 4.3. В свертки
операторов входят одинаковые времена, например
I____I
при этом в соответствии с рецептом, полученным вслед за формулой
(4.87), оператор ф (1) берется при немного более раннем моменте
времени. Тогда для членов, возникающих из (4.65), имеем
Ф+(2)Ф (1) = <Ф„1 Т | №+ (гг, I) Ц, (г„ Z-г)] | Ф„) =
= <Ф„|ф+(гг, О’НГь 0|Фо> = <Фо1»(«г. 0»+(Г1. 01фо> =
= L“3 2 expfik-frj—r2)J. (4.95)
Такие свертки с одинаковым временем всегда относятся к дыроч-
ным состояниям. Слагаемые F и G описывают соответственно само-
согласованную энергию и обменную энергию частицы. Если рассма-
тривается вакуумное среднее оператора (4.94), то вклад дают только
эти члены. Они отличны от нуля, только если начальное состояние
совпадает с конечным.
Выражение для энергетического сдвига (4.45) основного состоя-
ния в бесконечной ядерной материи, который представляет для нас
наибольший интерес, имеет вид
Д р <Фр I (0) V (0, —‘00)1 Фр> /Д ПК\
<Фо|£7(0, —оо)]ф0> ’ J
где использовано выражение (4.36) и введено вакуумное состояние,
определяемое соотношениями (4.75) н (4.76). Поскольку величина
119
Н" (0) входит при более позднем моменте времени, чем любое Н'
в U (0, —оо), то ее можно ввести под знак оператора временного
упорядочения Т в V. Все диаграммы, представляющие различные
и т.д.
и т. д.
Рис. 4.3. Диаграммы первого порядка
слагаемые в числителе выражения (4.96), должны содержать
множитель Н' (0). Поскольку матричный элемент берется между
вакуумными состояниями, эти диаграммы должны содержать лишь
замкнутые петлн и не должны иметь внешних линий. Некото-
120
рые примеры показаны на рис. 4.4. Покажем, что все диаграммы
в числителе выражения для А£, которые не связаны с Н' (0), сокра-
щаются соответствующими членами в знаменателе этого выраже-
ния. Это важнейшее свойство формализма развиваемой здесь тео-
рии возмущений; с ним связано одно из названий метода —
разложение по связанным ______„
диаграммам. Поэтому, напри- Г j—
мер, все диаграммы в по-
следнем ряду рис. 4.4 при
вычислении А£ должны быть
опущены.
Аналогично следует ис-
ключить н график на рис. 4.5.
Рассмотрим этот пример бо-
лее подробно. Предположим,
что такой график появляется
при вычислении числителя в
выражении для АЕ. Обозна-
сП)
чим части, которые связаны
с Н' (0), индексом сс. Пусть
кроме самого Н' (0) имеется
Na взаимодействий, связан-
ных с Н' (0). Части, не
связанные с И' (0), обозна-
чим индексом Р, и пусть в
эти части входит N р взаимо-
действий. Для слагаемого в
(4.87) с п ~ N имеем N =
— Na -г 7VP. В действитель-
ности с учетом Н' (0) имеет-
ся А + 1 взаимодействий,
которые дают вклад в чис-
литель АЕ. На рис. 4.5
Рнс. 4.4. Диаграммы Фейнмана, которые
дают вклад в числитель выражения для
Д£ (4.96). Нижние диаграммы «сокра-
щаются» членами в знаменателе
= 3, Ар = 2 и N=5. Согласно (4.87), вклад этой диаграммы равен
о
х $ ЫЧа-ь
6v) dtNa + i ^N,
(4-97)
где подынтегральные выражения /а и /р в двух интегралах не име-
ют общих временных аргументов. В обеих частях можно изменить
порядок взаимодействий, что даст диаграммы, эквивалентные ди-
аграмме на рис. 4.5. Таких перестановок может быть А! Из них
Na\ перестановок будут давать связанные диаграммы, эквива-
лентные соответствующей части на рис. 4.5, если мы рассматриваем
121
их как отдельные диаграммы, не связанные в Участи. Аналогично
имеется TVp эквивалентных перестановок в P-части. Просуммируем
все возможные диаграммы (а, р), явно учитывая лишь по одному
представителю класса эквивалентных диаграмм, а вклад остальных
учтем с помощью соответствующего множителя:
X /р (Чх+г •••» d^N, (4.98}
где суммы по а и р содержат части а н р, которые рассматриваются
как отдельные, несвязанные графики. Выражение (4.98) можно
записать в виде
Рис. 4.5. Несвязанная диаграмма
?^г(-ВЛ'а]>(0’/1’"м‘Й1-Лл'“х
Х2УГ(—f h^'a^,-,tK)dtNa+l...dtN, (4.99)
Р /V₽- ' Z — ОО
где сумма по Р представляет собой выражение, возникающее из зна-
менателя АЕ в (4.96). Таким образом,
Д£= /ф„
...И' (/„)]<йх...й„|Фо>.
(4.100)
где индекс L означает, что в разложение нужно включить только те
члены, которые связаны с Н' (0).
Огран ичение связанными диаграммами является большим преи-
мущество м теории. Оно исключает случаи, показанные на рис. 4.6,
для кото рых промежуточное состояние совпадает с начальным, что
приводит к расходящимся интегралам по времени или расходящим-
122
ся энергетическим знаменателям. Ниже будет показано, что для
каждой несвязанной части диаграммы получается множитель, про-
порциональный объему системы L3. Поэтому формулы будут содер-
жать столько множителей L3, сколько имеется связанных частей, н
Д£ будет нелинейно зависеть от Q. Однако если эти части исключены
н остались только связанные диаграммы, то Д£ пропорционально
объему системы, как и должно быть, если мы имеем хорошо опреде-
ленную энергию связи на единицу объема или на одну частицу.
- Конечное состояние
Рис. 4.6. Несвязанная
диаграмма, в которой
промежуточное состояние
совпадает с начальным
Промежуточное состояние
Начальное состояние
Рис. 4.7. Пример диа-
граммы второго порядка
Для приобретения навыков в расчетах диаграмм Фейнмана и для
понимания их общих свойств рассчитаем график, изображенный
на рис. 4.7. Этот график дает следующий вклад в энергетический
сдвиг [см. (4.100), (4.88) и (4.65)]:
&£•’> = <Ф0|(-1/Л) j Л17’[Я'(О)Я'(«1)1|Фо> =
о
=----—(i/ft) J Jdrodr^ С dr,dr! V(rc—Vfr,— ri) X
X <Ф„ | T [4+ (r„, 0) Ц>+ (r„, 0) 4(r^, 0) 4>(r„, 0) X
X Ч>+ (П. Q 4" ft. 4) Ф (ri, /j) (r„ /,)] | Ф„>
—i-(i/A) di, J dr0 dr„ dr, dr! V(г,—rj) V (г,—п') X
123
х4(ГО, 0)44 (r„ Q4+(r0, 0)$V1, /,)X
x 4 W. 0) 4+ (r[, ZJ 4+ (r', 0) 4 (r;, I,) =
i___________j I________—J
i °
=-----— \ i‘‘l\drt,dr', ^<'r, c/r; V(r„ — Г„)Х
X V (Г1—n')2 exp[ik (r0—rJ + iotfi] x
X 2 e-xP [iE-fri—r„)—i<>>6] V exp[ik'-(r„—ri) +
k<kF k‘>kp
+ to'Gl Z cxp[ik'• (rJ —Fq) — ioVj] =---— (2n)s£"*x
7?<feF 4
X Z ZZ Z fi(k + k'—k—k')(£+£' —
k>kF k'>fiFk<kFk'<kF
—E—£')-1V(k—k)V(k—k), (4.1O1>
где последнее равенство, как и в случае выражений (4.16)—(4.20),
получено с помощью соотношения
(2зг)86 (к = 0) = f dr = •= L3. (4.102)
Суммы в (4.101) заменяются на интеграл в пределе бесконечного
объема:
У -> (2л)-3 Л3 f Jk. (4.103)
k J
Таким образом, Д£<2) действительно пропорциональна L3.
Полученный результат можно пояснить следующим образом.
При интегрировании по пространству для расчета вклада диаграммы
на рис. 4.7 можно сначала зафиксировать г0 и гх и интегрировать
по Гр и г'. Однако границы области интегрирования по штрнхо-
ванным переменным не превышает b — радиус действия потенциала
V (г — г'). Если теперь зафиксировать г0 и интегрировать по г1т
то получим дельта-функцию, соответствующую закону сохранения
импульса. После этого не остается ограничений на область изме-
нения переменной г0, которая и дает множитель L3. Аналогично
для любой связанной диаграммы неограниченной остается только
область последнего интегрирования по пространству, что и дает
пропорциональность объему L3 и тем самым хорошо определенный
энергетический сдвиг, приходящийся на единицу объема.
Прежде чем завершить обсуждение формализма теории возму-
щений для многочастичных систем, необходимо рассмотреть еще
один вопрос: о произвольном одночастичном потенциале U (г),
124
который входит в формулы (4.21)—(4.24). Мы не обсуждали этот
вопрос потому, что для бесконечной ядерной материи одночастич-
ные состояния невозмущенного гамильтониана (4.24) всегда явля-
ются плоскими волнами. Все формальные операции, которые были
рассмотрены ранее, — введение представления взаимодействия.
разложение в ряд теории возмущений оператора эволюции и дока-
зательство теоремы Вика — справедливы, если одночастнчный по-
тенциал включен в гамильтониан возмущений в (4.24). Диаграммное
представление для U (г) вводится так, как показано на рнс. 4.8
(где он действует на частично-дырочную
линию).
Теперь можно обобщить наш опыт
вычисления величины (4.101) и сформу-
лировать правила пользования диаг-
раммной техникой (см., например, [139]).
1. Каждая направленная вверх линия
соответствует частице (k > kp, занятые
состояния над уровнем Ферми); каждая
линия, направленная вниз, описывает
дырку (k kf, незанятые уровни в
море Ферми).
2. Каждая горизонтальная штрихо-
Рис. 4.8. Диаграммное пред-
ставление одночастичного-
потенциала 17 (г). На этом
примере показано его дейст-
вие на частично-дырочнук>
линию
—X
вая линия, кончающаяся иа сплошных
линиях, соответствует матричному элементу <kl|V|nin>, где
на одном конце линия ш входит и линия к выходит, а на дру-
гом конце п входит и 1 выходит.
3. Горизонтальная штриховая линия, оканчивающаяся сплош-
ной линией на одном конце и крестом на другом, соответствует
< к | V 11 >, где линия 1 направлена к штриховой линии, а линия
к — от нее.
4. Энергетический знаменатель между каждым взаимодействием
(горизонтальная штриховая линия) берется в виде суммы энергий
частиц за вычетом суммы энергий дырок.
5. Вклад от каждой диаграммы умножается иа (—ЦЛ-Ья-Н-Н,
где h — число дырочных линий; и — число одночастичных потен-
циалов £/; I — число замкнутых петель; е—число энергетических
знаменателей. (Согласно этому правилу петля в диаграмме В
на рис. 4.3 является и дырочной линией, и замкнутой петлей, так
что в приведенном фазовом множителе h = 1 и I ~ 1. Диаграмма
на рис. 4.7, например, содержит две замкнутые петли, т. е. I = 2.)
При применении правила 2 мы не включаем излишние члены, та-
кие, как < 1k | V | mn > = < kl | V | mn >. Необходимо также
отметить особенность учета принципа Паули в расчетах, исполь-
зующих диаграммную технику. Например, на рис. 4.9 ни диаграмма
й, ни диаграмма б не- должны давать вклад, поскольку обе они
содержат два дырочных состояния с одинаковыми квантовыми чис-
лами к. В то же время эти диаграммы можно включить в расчет,
так как их вклады взаимно уничтожаются. Однако правильный ре-
1 25
цепт, использующий формализм разложения по связанным диаграм-
мам, заключается в том, чтобы включить диаграмму а и опустить
несвязанную диаграмму б.
Наша задача при вычислении энергии связи на одну частицу
в ядерной материи теперь заключается в том, чтобы выписать все
связанные графики, и пользуясь приведенными выше правилами,
рассчитать их вклад в Д£. В следующей главе будет показано, ка-
(И)
О
Рис. 4.9. Пример диаграмм, для которых в силу прин-
ципа Паули необходимо специальное рассмотрение
ким образом удается систематизировать и ограничить это беско-
нечное число графиков и как можно получить численные результа-
ты из развитого формализма многочастичной теории возмущений.
Полезные обзоры метода разложения по связанным диаграммам
даны в статьях [42, 139, 180]. Этой теме и соответствующим прило-
жениям посвящено несколько книг, например книги Таулесса [506],
Кумара [313] и Марча, Янга и Сампантхара [350], в которых имеются
также исторические обзоры развития данной области. Большинство
наиболее важных статей по этому вопросу собрано н прокомменти-
ровано Пайнсом [426]. Очень полезными для введения в теорию
многих частиц являются лекции под редакцией Девита и Нозье
1И2].
Глава 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ЯДЕРНАЯ МАТЕРИЯ
Воспользуемся формализмом, развитым в предыдущей главег
чтобы рассчитать энергию связи, приходящуюся на один нуклон в-
бесконечной ядерной материн. Можно думать, что полученное число
будет соответствовать той энергии связи, которую имеет нуклон
во внутренней области реальных (конечных) ядер. Для сравнения
результатов расчета с экспериментом необходимо найти способ от-
деления этого объемного эффекта от влияния других эффектов-
на энергию связи нуклона в реальных ядрах. Это можно сделать,
если воспользоваться эмпирической формулой Бете—Вайцзекера’
для масс ядер, которая выражает энергию связи ядра Е в зависи-
мости от числа протонов Z, числа нейтронов N и массового числа
А == N 4- Z
Е (Мэв) = — 16,1Ы 4- (20,65—48,00Л - 1/3)[(TV— Z)2 4-
4- 21N— Z | ] А"1+20,21 А2/3 4- 0,8076А -1 /3 Z2 х
[ X (1 — 0.7636Z-2/3—2,29Л-2/3). (5.1)
Здесь использована подгонка параметров, сделанная в работах
[242, 472]. Первое слагаемое представляет собой объемную энергию-
связи, т. е. каждый нуклон внутри ядра связан с энергией, пример-
но равной 16 Мэв. Это и является тем значением, которое следует
попытаться получить в расчетах ядерной материи. Остальные эф-
фекты — это дополнительные эффекты в конечных ядрах, которые
в совокупности уменьшают связь нуклона в ядре. Например, вто-
рой член представляет собой энергию симметрии. Она увеличивает
устойчивость тех ядер, которые имеют одинаковое число протонов-
н нейтронов. (В расчетах ядерной материи обычно предполагается
N Z.) Третье слагаемое в (5.1) — поверхностная энергия, а чет-
вертое в основном представляет собой кулоновскую энергию.
При использовании техники разложения по связанным диаграм-
мам в задаче о бесконечной ядерной материи возникают некоторые
характерные трудности, требующие специального рассмотрения.
Они связаны с наличием жесткой сердцевины в нуклон-нуклонном
127
взаимодействии (см. разд. 2.3.2), что приводит к бесконечности
всех матричных элементов этого взаимодействия. Эту трудность
можно обойти, если ввести матрицу реакции. Однако все еще оста-
ется вопрос, как применять теорию возмущений к системе частиц,
в которой взаимодействие не мало. Рассмотрим здесь способ исправ-
ления расчетов последовательным приближением, основанный на ме-
тоде спектра сравнения, а также обсудим выбор разумного крите-
рия идентификации диаграмм, которые дают большой вклад в энер-
гию связи на одну частицу. Метод спектра сравнения в основном
поможет нам определить наилучший одночастичиый потенциал.
Это делается так, чтобы учесть диаграммы, дающие главный вклад
в Д£. Далее необходимо оценить величины остальных диаграмм.
Оказывается, что важную роль играют диаграммы, соответствую-
щие трем взаимодействующим частицам. Для рассмотрения этой
части задачи можно применить формализм, который обсуждался
в гл. 3*.
Несмотря на значительные усилия, приложенные с целью сфор-
мулировать теорию бесконечной ядерной материи в таком виде,
который обеспечивает максимум физического понимания и по воз-
можности остается аналитическим методом, для получения числен-
ных результатов в конечном счете приходится использовать вычис-
лительную технику. Поэтому становится соответственно трудной и
физическая интерпретация разработок теории. После того как необ-
ходимая вычислительная методика отработана, выбираются потен-
циалы, которые согласуются с данными нуклон-нуклонного рассея-
ния (например, потенциалы Хамады—Джонстона, Йельской груп-
пы, Рейда; см. разд. 2.3.2), и подставляются в вычислительную
процедуру. Расчеты свойств ядерной материи чувствительны к эф-
фектам вне массовой поверхиостн; следовательно, потенциалы, ко-
торые хорошо описывают рассеяние двух нуклонов, могут привести
к большим различиям в энергии связи на нуклон. В частности, боль-
шое влияние на результат оказывает отталкивательная сердцевина,
которая предполагается в данном взаимодействии. В конечном сче-
те можно надеяться проверить различные потенциалы, сравнивая
полученные результаты с экспериментальными результатами (5.1)
для энергии связи на нуклон. Современный уровень развития тео-
рии не позволяет получить точность для расчета этой величины,
лучшую чем 1 Мэв. Следовательно, задача заключается в том, чтобы
получить энергию связи на нуклон, равную 16 ± 1 Мэв.
* Чтобы сделать наше обсуждение свойств бесконечных ядер конечным
я оставить место для рассмотрения реальных ядер, которые представляют
наибольший интерес в этой книге, мы не будем давать обзор исторического
развития теории ядерной материи. Это сделано в работах Бракнера [79—811,
Голдстоуна [234], Бракнера и Гаммеля [83] и др. (см. также ссылки в конце
этой и предыдущей глав). Мы также ограничимся в основном только этим на-
правлением в теории ядерной материи, лишь указывая на другие, весьма
ценные подходы.
§ 5.1. МАТРИЦА РЕАКЦИИ
В гл. 4 был получен ряд теории возмущений, содержащий мат-
ричные элементы <kl | V | птп>, каждый из которых обращается
в бесконечность, если воспользоваться потенциалом с твердой серд-
цевиной. Поэтому ряд не будет сходящимся. Он не сходится и в слу-
чае, если твердую сердцевину заменить мягкой (но с сильным от-
талкиванием). Эго приводит к необходимости использовать разло-
жение, в котором все взаимодействия, связанные с потенциалом V,
заменяются матричными элементами матрицы реакции* G. Матрич-
ные элементы матрицы реакции конечны даже для взаимопействия
+ 0... + = kQl—T.CF0’
Рнс. 5.1. Члены разложения по связанным диаграммам, которые
образуют матрицу реакции (волнистая линия)
с твердой сердцевиной, поэтому можно надеяться, что разложение,
основанное на этой величине, будет иметь смысл. Такое разложение
называют разложением Бракнера—Голдстоуна.
Фактически разложение Бракнера—Голдстоуна соответствует
учету определенных связанных диаграмм во всех порядках по взаи-
модействию V. Учет осуществляется путем решения соответствую-
щего уравнения Шредингера для двух взаимодействующих друг
с другом нуклонов, находящихся в ядерной материи. Рассмотрим,
например, диаграммы ряда теории возмущений, . показанные
на рис. 5.1. С правой стороны каждой из диаграмм мы добавляем
все больше н больше взаимодействий между двумя частицами (за
исключением первого и последнего взаимодействий, связывающих
дырочную линию, н специального случая, когда имеется одно взаи-
модействие и петля). В результате получаем величину, которую мы
называем оператором G (указан волнистой линией на рис. 5.1):
G (W) = V — VQe^V + VQe^VQe^V — .... (5.2)
где V — двухчастичное взаимодействие и Q — проекционный опе-
* В теории реакций соответствующая величина обозначается К или
иногда /?. Используемое нами обозначение соответствует обозначению корнель-
ской группы (см. ссылки в конце этой главы). Оно не вызывает путаницы с
функцией Грина G(2[ 1), введенной и предыдущей главе, поскольку обе вели-
чины имеют совершенно различные аргументы. Во всяком случае, эти обе
величины здесь никогда вместе ие входят.
128
5 Зак. 532
129
ратор, определенный таким образом, чтобы в него входили только
линии частиц, как указано на рис. 5.1:
о I рП; = { I Рп>, если I р I, | n I > kF;
'г ' ] Л тэ огтапмлкгУ r.nvuatni
( 0 в остальных случаях
(5-3)
(здесь kF—импульс Ферми). Энергетический множитель в (5.2)
имеет вид
с | рп> = (£„+£„ — IV ) | рп>,
(54)
где Е— одночастичные энергии* и W—так называемая затравоч-
ная энергия. Опа равна полной энергии с противоположным зна-
ком, получаемой из тех пропагаторных линий, которые можно пере-
сечь при горизонтальном продолжении волнистой линии G-матри-
цы. Для случая, изображенного на рис. 5.1,
(5.5)
При построении диаграмм на рис. 5.1 было запрещено появление
взаимодействия между какими-либо двумя добавленными взаимо-
действиями, которые составляют волнистую линию, поэтому опре-
деление затравочной энергии однозначно.
Выражение (5.2) для оператора G эквивалентно следующему
операторному соотношению:
G (IF) - V- VQe’4}(W).
(5.6)
Выражение (5.2) — итерационное решение этого уравнения. Вели-
чина G (W) в (5.6) эрмитова, так как эрмитова каждая из величин
V, Q и а-1. Эта ситуация совершенно отлична от той, которая от-
носилась к оператору Т [см. уравнение (3.33)]. Там, чтобы устра-
нить сингулярность в ядре уравнения Липпмана—Швингера,
пришлось ввести малую мнимую добавку в энергетический знамена-
тель, т. е. нарушить его эрмитовость. Ядро уравнения (5.6) не имеет
сингулярности из-за наличия проекционного оператора Q, который
выделяет только частицы на различных промежуточных уровнях.
Аналогично можно заменить G-матрицей нижнее и верхнее взаи-
модействия на рис. 5.2. Разумеется, диаграмма, изображенная
на рис. 5.3, будет теперь излишней, поскольку соответствующие
взаимодействия уже включены в диаграмму иа рис. 5.2. Как видно
из рис. 5.2, мы просто заменили каждую штриховую линию (взаи-
модействие V) в первоначальном графике (см. рис. 5.1) иа волнис-
тую линию (G-матрица). Аналогично, в общем случае мы будем за-
менять «лестничные» графики матричными элементами G-матри-
цы.
* Ер не обязательно равна ер — Й2р2/(2Д4), поскольку можно выбрать
не равный нулю одночастичный потенциал U, который изменит спектр одно-
частичных состояний по сравнению со спектром системы невзаимодействую-
щих частиц.
130
Используя G-матрицу, можно ввести волновую функцию
двух нуклонов, которая связана с некоррелированной волновой
функцией Фрп (плоской волной) соотношением
Wpn = Opn—(5.7)
Тогда с помощью (5.6) получаем
Wpn = IV—VQe-1 G] Фрп = ОФРП (5.8)
0ZD-° * С 0 • С 0 -
Рис. 5.2. Введение новых G-матриц для диаграмм на рис. 5.1
Рис. 5.3. Диаграмма, которая являет-
ся излишней для диаграмм, просум-
мированных иа рис. 5.2
я удовлетворяет следующему операторному соотношению:
(5.9)
Чтобы лучше понять, что означает это соотношение, запишем его
в конфигурационном пространстве. Некоррелированная двух-
нуклонная функция имеет вид
Фрп (ГХ, г2) = L~3 ехр (ip- га) ехр (in -г2) =
=L~3 ехр (iK • R) ехр (ik * г), (5.10)
где L3 — нормировочный объем и в последнем равенстве выполнен
переход к координатам центра масс и относительным координатам
R=-^(ri4 r2), г = гг—г2 (5.11а)
К р | n, k (р — п). (5.116)
5*
131
С помощью этих переменных можно переписать соотношения (5.3)
и (5.4) в виде
с(рп>={|Р">’ “ли |тк+к|>^и Цк-к|>*';
I 0 в остальных случаях;
Q|pn> = Q(k,K)|p,n>. (5.12)
и
е|рп> = [£ , . + £. ! .—№]|рп>==е(к, К)|рп). (5.13)
1тк+Ч 1ТК—“I
Так как Q, е и V сохраняют полный импульс при рассеянии двух
частиц, то можно написать
Tp. = £-’exp(iK.R)i)c„(r). ~ (5.14)
Тогда с помощью (5.8) получаем
<1т|0|рп> = <Ф1„|С|Ф1,„> = Т““^ехр(—iK'-R)x
X ехр (— ik' • г) V (г) ехр (iK- R) (г) drdR, (5.15)
где, как н в (5.11 б). К' = 1 + т и k' = (I — т)/2. Таким образом,
<lm|G|kn>=L-’8KK.<k'|G|k>, (5.16)
где
(k'|G|k>=^exp(—ik'-r)V'(r)i|>pi,(r)dr. (5.17)
Из уравнения (5.9) имеем
ехр (iK- R) (г) = ехр (iK • R) ехр (ik • г)—
— Qe~l Vехр (iK.R)4P„(r) = ехр (iK R)exp (ik-r)—
—(.-»2 Q(к'. К') [е(к', К')]’1 ехр(ИС R)ехр (ik'-г) X
к'К*
X ? ехр (—1K'-R')exp (—ik'-r') V(r') ехр (iK-R') тррп(г') dr'dR', (5.18)
нли
ф„„(г) = ехр(1к.1)—(г, г') V (г') (г') dr', (5.19)
где
F(r, r')= $(2я)-»(?(к, K)fe(k, K)r1exp(ik.(r—r')ldk. (5.20)
Уравнение (5.19) является интегральным уравнением (уравне-
нием Бете—Голдстоуна), которое необходимо решить, если мы
хотим определить действие оператора G на плоскую волну [см.
уравнение (5.8)1. Как будет видно в конце этого параграфа, фрп —
главная величина, которую нужно рассчитать, чтобы получить
энергию связи на нуклон в ядерной материи. Хотя уравнение (5.19)
может показаться простым, в действительности его структура весь-
132
ма сложна, и нахождение его решения является довольно сложной
задачей. Это обусловлено трудностями, связанными с геометрией
сферы Ферми в координатах (5.11), что весьма существенно, посколь-
ку взаимодействие зависит от вектора г. Решение уравнения (5.19)
находят следующим образом. Вначале выбирают одиочастичный
потенциал U (см. § 5.2), который определяет энергетический зна-
менатель в (5.20). Затем численным интегрированием получают ядро
F (г, г') интегрального уравнения (5.19). Последнее решается чис-
ленно, найденное решение фрп (г) подставляется в (5.17) и снова
выполняется численное интегрирование для получения матрич-
ного элемента G-матрицы. Рассчитанная G-матрица используется
для оценки вклада любых связанных диаграмм, для чего снова
необходимо численное интегрирование.
Следует отметить, что благодаря наличию оператора Q в (5.20)
никаких компонент, связанных с законом сохранения момента,
в величине.Qe~\ фурье-компонента которой нужна для вычисления
ядра F (г, г')» не возникает. Как будет Показано, в обычной теории
рассеяния [см., например, уравнение (3.38)1 такие компоненты проя-
вились бы в виде сингулярностей в Qe~r. Это в свою очередь привело
бы к появлению рассеянной волны в асимптотической области, что
существенно для теории рассеяния. Отсутствие компонент, связан-
ных с законом сохранения моментов, приводит к тому, что волновая
функция фрп (г) при больших г приближается к невозмущенней
плоской волнеехр (ik-r), а не отклоняется от нее благодаря наличию
рассеянной волны. Эго свойство называется залечиванием волновой
функции ф: существование жесткой сердцевины в ядериых силах
приводит к появлению «раны» в двухчастичной волновой функции,
так как при значении аргумента, равном радиусу твердой сердце-
вины, эта волновая функция должна обращаться в нуль. При зна-
чении аргумента, называемом длиной залечивания, волновая функ-
ция принимает вид, который оиа должна иметь в отсутствие
такой «раны», ликвидируя тем самым влияние твердой сердцевины
на волновую функцию. Все это происходит потому, что проекцион-
ный оператора действует так, что нуклои-нуклонное рассеяние при-
водит к состояниям над поверхностью Ферми. Эго является след-
ствием принципа Паули, поскольку рассеяние в состояния моря
Ферми, иа которых уже находятся нуклоны, невозможно. Следует
ожидать, что принцип Паули должен уменьшать эффект твердой серд-
цевины в рассеянии двух нуклонов, находящихся в ядерной мате-
рин, просто потому, что многие состояния для них запрещены в силу
того, что рассеивающие нуклоны окружены другими нуклонами.
Выражение (5.17) отчетливо демонстрирует свойство матрицы ре-
акции G, которое делает эту величину пригодной для решений зада-
чи ядерной материи в рамках метода разложения по связанным диа-.
граммам. Хотя матричные элементы потенциала V (г) по невозму-
щенным волновым функциям [плоские волны ехр (ik • г)1 бесконеч-
ны, матричные элементы (5.17) для взаимодействия с жесткой серд-
цевиной конечны. Эго обусловлено тем, что решение ф (г) для рас-
133
сеяния на потенциале с жесткой сердцевиной обращается в нуль
внутри области жесткой сердцевины, где V (г) бесконечно. Сумми-
лестничных диаграмм, показанное на рис. 5.1 и 5.2, позво-
лило получить точное решение задачи нуклон-нуклонного рассеяния
в присутствии других нуклонов, т. е. привело к разложению Брак-
нера—Голдстоуна; члены этого разложения не расходятся даже тог-
да, когда в двухчастичном потенциале появляется жесткая сердце-
вина.
Первый порядок
Ьторой порядок
е
Излишний
ж
Рис. 5.4. Диаграммы первого и второго порядков, которые
дают вклад в энергию связи в рамках разложения Брак-
иера — Голдстоуна
Определим теперь диаграммы, которые важны для расчета энер-
гии связи в ядерной материи. На рнс. 5.4 показаны диаграммы пер-
вого н второго порядков по G-матрице. Диаграмму ж следует исклю-
чить, поскольку после суммирования всех лестничных графиков
эта диаграмма становится излишней, ибо соответствующие процессы
уже учтены в диаграмме а. Более того, все диаграммы второго поряд-
ка г—е не должны давать вклада. Это обусловлено тем, что, как мы
уже видели ранее, для однородной и изотропной бесконечной ядер-
ной материи одночастичные состояния должны быть плоскими вол -
нами [см. обсуждение соотношения (4.25)1. Такие состояния диаго-
нализуют оператор кинетической энергии 71, но поскольку оии
должны диагонализовать полный одночастичный гамильтониан
134
Т 4- U (см. (4,22)1, следовательно, они диагонализуют и сам по-
тенциал* £/, т. е.
_ <к'|Ик> = &'к4Г(1ф (5.21)
Таким образом, U сохраняет импульс, и поскольку V также сохра-
няет импульс, то импульс всех промежуточных состояний на диаг-
раммах г—е должен совпадать с импульсом начального состояния.
Поскольку начальное состояние является основным состоянием ядер-
ной материи (вакуумное состояние), то оно имеет импульс, равный
нулю; однако промежуточные состояния для диаграмм второго по-
рядка имеют импульс h (к — 1) (где k >> kp и Z^&f), который отли-
чен от нуля. Поэтому эти диаграммы не должны давать вклада.
Как будет показано в § 5.4, вклад диаграмм третьего порядка
достаточно мал, так что можно надеяться, что вкладом диаграмм
четвертого и более высокого порядка можно пренебречь, по крайней
мере в расчетах, которые не претендуют на точность, лучшую чем
1 Мэв в энергии связи на нуклон. Если диаграммы четвертого и'более
высоких порядков не учитываются, то целесообразно попытаться
компенсировать графики третьего порядка соответствующим выбором
одночастичного потенциала [точнее, величины g (к) в (5.21)1, кото-
рый сокращает диаграммы третьего порядка. Тогда все, что остает-
ся для расчета, — это вклад графиков первого порядка а—в
на рис. 5.4. В соответствии с описанными выше правилами этот
вклад в энергию связи равен
~~ S (pn|G|pn> —-±- 2 <pn|G|np>—
lpl,|n|^£F z | р|, |n| <«F
- S <p|t/|p>. (5.22)
|P|<*F
Невозмущенная энергия дается выражением
2 Ev =2 <p|(7+CZ)|p>, (5.23)
|PK*F
так что слагаемые, содержащие одночастичный потенциал (/, вза-
имно уничтожаются, и диаграмму в можно не учитывать. В этом при-
ближении вся энергия связи имеет вид
2 <р|Т’|р> + 4 2 <pn|G|pn>, (5.24)
IPI<Af *• [pl, |n|<*F
где
I pn>- I pn>—|np> (5.25)
* Это может осуществляться в случае, когда V берется в форме потен-
циала, завися щего от скорости, иапрнмер
£/ = ^2c2n(V2)«;
<V | t/|k> = —jjexp (—ik'-r)2 c2n(V2)n exp (ik-r) = 2 c2n (A2)n.
135
антиснмметризованное состояние двух частиц. В (5.24) необходимо
подставить матричные элементы (5.16) и (5.17), полученные после
решения уравнения (5.19). Хотя в (5.24) не содержится явной за-
висимости от одночастичного потенциала с/, эта зависимость имеет-
ся всегда, поскольку матричные элементы G зависят от одиочастич-
ного спектра через энергетический знаменатель ядра (5.20). Таким
образом, прежде чем начинать расчеты энергии связи необхо-
димо должным образом выбрать одночастичный спектр.
§ 5.2. СПЕКТР СРАВНЕНИЯ
Чтобы объяснить свойства ядерной материи, не прибегая
к сложным вычислительным процедурам. Бете, Брэндоу и Петчек
[46] использовали упрощенные предположения об одночастичном
спектре, необходимом для получения матрицы реакции. Они аппрок-
симировали Eit спектром сравнения (reference spectrum)
Е1=.ПЧА(2М*}-'+А, (5.26)
где М — эффективная масса нуклона, которая вместе с константой
А определяется подгонкой выражения (5.26) к более точным резуль-
татам для одночастнчного спектра. Энергетический оператор е
в соотношениях (5.2), (5.4) и (5.6) можно теперь заменить соответ-
ствующим оператором, который можно записать в дифференциаль-
ной форме:
= —А2 (2М*)1 (vt + vi) + 2Л—Г. (5.27)
Это позволит нам заменить интегральное уравнение (5.9) или (5.29)
дифференциальным [см. ниже выражение (5.42)].
Справедливость приближения (5.26) определяется сравнением
£& с одночастичным спектром, полученным после нашего оконча-
тельного выбора потенциала U. Это сравнение показано на рис. 5.5,
где сплошная кривая дает типичный одиочастичный спектр для ядер-
ной материи, а штриховая линия — аппроксимированный сцектр
в области 3 < k < 5 ферма-1. Оказывается, что соответствующие
параметры в выражении (5.26) равны
M*«0,6M, А « — 100 Мэв для 0 <£</>;
М* & М, Л « 0 для 3 < k<Z 5 ферма-1,
(5.28)
где М — масса нуклона.
Благодаря наличию проекционного оператора Q энергетический
спектр внутри моря Ферми не оказывает большого влияния при вы-
числении матрицы реакции G. Оказывается, что важной областью
импульсов является область 3 k <С 5 ферми-1 1см. обсуждение
формул (5.49) и (5.50)]. Таким образом, справедливость приближе-
ния спектра сравнения следует проверять с помощью выбранного
потенциала U для состояний частиц вне моря Ферми (k > AF);
для дырочных состояний (k kF) это можно сделать независимо от
136
вида потенциала U. Заметим также, что при использовании спект-
ра сравнения можно взять энергию W в (5.27) из истинного спектра
и сохранять ее фиксированной для данной пары. Спектр сравнения
в этом случае используется только для одночастичных энергий,
которые входят явно, и тогда соответствующий оператор превраща-
ется в дифференциальный оператор.
Второе приближение метода спектра сравнения состоит в замене
оператора Q [см. выражение (5.3)1 единицей. Это приближение прием-
лемо потому, что для уровней внутри моря Ферми* которые должны
исключаться оператором Q* энергетический оператор eR содер-
жит член, приближенно равный удвоенному расхождению между
истинным спектром и спектром сравнения для области 0 < k <Z ky.
Рис. 5.5. Типичный одночастичный
спектр Eh, используемый в расче-
тах ядерной материи [см. (5.26) и
(5.28) J [139]
Как видно из рис. 5.5, это значение будет порядка 100 Мэв илн
в худшем случае 50 Мэв-, следовательно, мало для k <Z kF<
Кроме того, замена Q единицей приводит к относительно малому
числу состояний, которые дают неверный вклад. Они появляются
для k<kF » 1,36 ферми~\ и их число намного меньше, чем число
частичных состояний, которые дают большой вклад и существенны
до k 5 фермиг\
В рамках метода спектра сравнения уравнение (5.6) для матрицы
реакции принимает вид
= у_ V(eK)-i с* (5.29)
а уравнение (5.9) заменяется уравнением
т?„=ф„„-(ел)-1 . (5.30)
Решение следует использовать в соотношении
<lm|GR|pn> = <®I„|V|W*>. (5.31)
При нашем выборе параметров спектра сравнения М* ~ М н Д = 0
уравнение (5.30) эквивалентно обычному двухчастичному уравне-
нию Шредингера для нуклон-иуклонного рассеяния, но с другим
граничным условием.
Если уравнение (5.29) решено, то модельная матрица реакции
GR может быть использована в точном уравнении
G=-GR|G/i((e")-'—Qe~*]G, (5.32)
137?
которое можно решать итерациями, каждый раз получая лучшее
решение для G. Оказывается, что для центральных снл главный член
GR вносит погрешность около 5%, или около 2—3 Мэв на частицу,
в энергии связи, которая представляет собой разность между кине-
тической энергией и энергией взаимодействия (см. (5.24)1. Для тен-
зорных сил величина GR дает погрешность около 15% (461.
Получим теперь уравнение (5.32). Введем величины
QeeeI — Qe~lG (5.33а)
и
(eR)-iGR. (5.336)
Тогда соотношения
G = VQ (5.34а)
н
Gr = VQr (5.346)
дают интегральные уравнения (5.6) и (5.29) Как отмечалось выше
[см. обсуждение после уравнения (5.6)1, величины V, Q и е'1 эрми-
товы; следовательно, эрмитово и G. Аналогично эрмитовы и ве-
личины (eR)-1 н GR. Поэтому можно написать
= + (5.34в)
где
= 1 (e«)-i. (5.35)
Из соотношений (5.33) имеем тождество
G = 6—GR |Й + Qe~l G—1] + [Йк+ + 6я (eR)1— 1] G; (5.36)
тогда нз (5.34) получаем
G = 6R—Gr Q + fiR+ G+6R ((eR)-1—Qe’1] G =
= GR+fiR + (V— V)£2 + G'i[(eR)-1-Q<’-1] G, (5.37)
что и дает уравнение (5.32).
Чтобы облегчить вычисление GR, введем разностную функцию
(defect function) для метода спектра сравнения
z£,=a>pn-4'pRn, (5.38)
для которой
eRZR=V4'R„. (5.39)
Как и в соотношениях (5.10), (5.11) и (5.14), выделим зависимость
от^полного импульса
Фр„ = L-’exp(iK-R) <Рр„ (г); (5 40а)
У,* = L3 exp (iK R) фр” (Г); (5.406)
Zg, = L~sexp(iKR)$(r). (5.40в)
138
Запишем выражение (5.27) в координатах центра масс и относитель-
ных координатах
е« = —ft2 (Л4*)- 1 (V? + -у V2r ) + 2/i — W; (5.41)
теперь соотношение (5.39) принимает вид
(VJ-?2) (r)=Л4* V (г) Ч-« (г). (5.42)
где
v2 = — Кг+Л~гМ*(2А—Г)>0. (5.43)
4
Граничные условия, которые должны быть наложены на решение
уравнения (5.42), имеют вид
% = ?». если 'См (5.44а)
(5.446)
где гс— радиус жесткой сердцевины потенциала.
Предположим теперь, что силы являются центральным, невы-
полним разложение по парциальным волнам для трех функций
(5.40):
<Ррп(г)=2(2Ь+ 1) iL!L(kr) P,.(k-r'); (5.45а)
(О = 2 (2L-? 1) iL (kr)-1 uL (kr) PL (kr); (5.456)
E','„ (r) = 2 (2L + l)iL (kr)-1 (kr) PL (k • г). (5.45в)
Радиальное уравнение для разностной функции имеет вид
х^ =~л‘ м*v (r) (г) <5-46)
с граничными условиями
3U (г) = krjL (kr), если г < ге (5.47а)
XjO/zX0- (5.476)
На рис. 5.6 показаны радиальные функции для S-состояния, со-
ответствующие только потенциалу жесткой сердцевины. Для более
реалистических вычислений можно использовать потенциал Мош-
ковского и Скотта [377] с обычной жесткой сердцевиной
V(r)=!°°’_B„_r) еслиг<г»:
(Voe если г>гс>
где
Vo = 260 Мэв, гс = 0,4 ферми, р = 2,083 ферми~г.
(5.48а)
(5.486)
139
Соответствующие радиальные функции в S-состоянии показаны на
рис. 5.7. Мы видим, что учет притягивающей части потенциала не
приводит к значительному изменению функции и0 (г) по сравнению
с рис. 5.6. Эти рисунки также оправдывают подгон спектра сравнения
в области /г«3 -г 5 ферми"1. Такой результат обусловлен тем, что
подгонка делается способом, который правильно учитывает большие
фурье-компоненты в величине
(г) « (г).
(5.49)
Рис. 5.7. Радиальные функции в S-со-
стоянии для потенциала Мошковско-
го — Скотта с твердой сердцевиной
[377]. [См. (5.48).] Значения пара-
метров гс=0,4 ферми, k =1,0 фер-
ми~1, 7=1,68 ферми~х [139]
Рис. 5.6. Радиальные волновые функ-
ции в S-состоянии для нуклон-иук-
лониого потенциала, состоящего из
одной жесткой сердцевины
Параметры: гс = 0,4 ферми, k = 1,0 ферми,
р = I,г ферми—1 [139]
Из рис. 5.6 и 5.7 видно, что максимум функции Ск(г) или х0 (л) в
S-состоянни находится при г»гс. Соответствующее значение
k равно
~ nkc 1 4 фермиг1- (5.50)
Диагональные матричные элементы матрицы реакции, необходи-
мые в (5.24) согласно (5.17), имеют вид
<к | G | к> = 4л*-12 (2L + 1) 7 jL (kr) V (г) uL (г) rdr. (5.51)
а
Хотя, как было отмечено ранее, комбинация V (г) и l (г) не дает рас-
ходимости, обусловленной твердой сердцевиной, получающееся неоп-
ределенное выражение еще не рассматривалось. В работе [46] полу-
чено
L^h2i+*B]Mt(fe-)=0; (5.52а)
[Zl --(tf3+-~V*] V UL (5.526)
140
[1} —Т8]Ж = 0. если г>гс; (5.52в)
Ml (г) = О, если г < гс, (5.52г)
причем уравнения для можно решить аналитически. Уравнения
(5.52а) и (5.526) дают [г* = гс 4- (положительная бесконечно ма-
лая добавка)]
f kjL (kr) V (г) uL (г) rdr = й2 (М*)-1 (у2 4- й2) X
О
X Jj k2jl(kr)r2dr + h2(M*)^krcjL(krc)'X
О
X [-£ (krjL(kr))- 4- x£(r)]r=r? , (5.53)
а из уравнений (5.526) и (5.52в) получаем
\xL (г) V(г) UL (г) dr = ft2 (Л**)'1 3CL(rc) [4. (5.54)
Отметим, что
ЖL (Ге) = T.L W = К jL (krc).
В результате имеем
< к |G« | к> = 4л й2 (Л4*)-1 А”2 Я2й + 1){ (Т2+ А2) X
X ^k2jl(kr)r2dr + krcjL(krc)\-^-(krjL(kr))— +
+ й-2 Л Г f [krjL (kr)—31J V (r) uL (r) drj»
^(1 ферми-j-10 ферма—20 ферми)1г21М. (5.55)
Первое слагаемое связано с объемом твердой сердцевины потенциа-
ла, второе — с ее поверхностью, третье — с остальной частью по-
тенциала. Полученные числа можно выразить в других единицах
с помощью соотношения
1 ферми » h2!M «41,5 Мэв • ферми3, (5.56)
На рис. 5.8 представлены диагональные матричные элементы GRt
полученные для потенциала Мошковского и Скотта (5.48). Резуль-
таты довольно типичны и для расчетов с более реалистическими
потенциалами.
141
Простую оценку результатов, которых следует ожидать из мето-
да спектра сравнения, можно получить следующим образом [436].
С помощью соотношений (5.24) и (5.41) можно записать вклад ко-
Рис. 5.8. Диагональные матричные
элементы GK, полученные для по-
тенциала Мошковского -— Скотта
(5.48) с обычной твердой сердцеви-
ной [139]
роткодействующей части взаимодействия в энергию связи в рамках
метода спектра сравнения. Обозначим соответствующую G-матрицу
Gs. Тогда
4 2 <pn|G«|pn>=4- 2 L’<k|Gf|k>«
2 I Р 1,1 n| 2 |p|,|n|<if
« 2-№/,-><k |G«|k> « — ft*№z,-3(MT1 (*2+v^<k|(e«)-*G3k>’
(5.57)
где черта означает среднее по морю Ферми. Из (5.29) и (5.30) имеем
=Фр»-(еТ1С«Фрп, (5.58)
так что
(eT'G?ФР„=©₽,-¥« s =Z«„ „ (5.59)
где использовано (5.38). Таким образом,
<k I (е*)-1 G« | к> = $<г;п(г) , (г) dr. (5.60)
Вклад в этот интервал от объема сердцевины тривиален, так как
в этой области
EJ..S =<fpn=exp(ik-r), (5.61)
и искомый вклад есть объем жесткой сердцевины (4/3) лг?. Для
г > гс положение значительно сложнее, но, как следует из рис. 5.6
и 5.7, по порядку величины он совпадает со вкладом области г гс.
Мы учтем его грубо, умножая результат для объема жесткой
сердцевины на три. Тогда величина (5.57) приближенно равна
2лг®рй2 (Л4*)"1 (А2 + у2) на одну частицу. (5.62)
142
Если положить, как и ранее М* = М и гс = 0,4 ферми, и взять
р = 0,170 фермиг* для k = 1,36 ферми~г (5.63)
(5.64)
то в результате мы получаем 8 Мэв на частицу для вклада жесткой
сердцевины в энергию связи. К этому значению следует добавить
вклад от притягивающей длиннодействующей части взаимодействия,
который составляет около —59 Мэв, так что сумма приближенно со-
ставляет —51 Мэв для необмениой части члена первого порядка.
Учет обменной части приводит к вычитанию примерно одной четвер-
той этого значения, так что в результате остается —38 Мэв для ча-
сти, обусловленной взаимодействием, в первом порядке.
Это значение очень близко к результатам, получаемым в значи-
тельно более точных расчетах. Не приходится и говорить, что заме-
на такими оценками действительных вычислений бессмысленна.
Однако эти оценки очень полезны для ориентировки и отделения
существенных эффектов от несущественных в расчетах ядерной ма-
терии.
§ 5.3. ОДНОЧЛСТИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Главная цель при выборе одночастичного потенциала U заклю-
чается в том, чтобы с его помощью попытаться учесть как можно
больше диаграмм, дающих заметный вклад. Различные методы рас-
четов ядериой материи обычно различаются в оценке того, какие
диаграммы наиболее важны, следовательно, и выбор V будет раз-
личным.
При рассмотрении конечных ядер (см., например, гл. 6) одноча-
стичные потенциалы обычно выбираются в виде потенциала Хартри—
Фока (или близкого к нему). Этот потенциал конструируется так, что-
бы сократить поправки, связанные с собственной энергией, в ме-
тоде разложения по связанным диаграммам, что соответствует обра-
щению в нуль суммы вкладов трех графиков иа рис. 5.9 (а также со-
ответствующих графиков, в дырочные линии которых сделаны соб-
ственно-энергетические вставки). Для конечных ядер потенциал
Хартри — Фока определяет конкретные одночастичные состояния,
получаемые решением уравнения Шредингера или некоторым обоб-
щением его. Однако для бесконечной ядерной материи с самого на-
чала известно, что эти состояния являются плоскими волнами. В этом
случае мы будем выбирать отдельный потенциал для частичных со-
стояний, Сначала рассмотрим выбор потенциала U для дырочных
состояний, а в конце параграфа кратко обсудим вопрос о форме
потенциала для частичных состояний. Последнее приведет иас к рас-
смотрению трехчастичных корреляций в ядерной материи; это будет
сделано в следующем параграфе.
Каков критерий определения класса диаграмм, которые дают зна-
чительный вклад и, следовательно, должны учитываться при полу-
143
чении потенциала U? Оказывается, что диаграммы можно классифи-
цировать по числу дырочных линий, которые они содержат. При
каждом последовательном введении дополнительной дырочной ли-
нии вклад в энергию связи диаграмм соответствующего класса умень-
шается благодаря множителю, который определяется безразмерным
параметром (г^. г0)3 ж 0,05, где гс (~ 0,4 ферма) — радиус жест-
кой сердцевины и гй (~ 1,12 ферма) — среднее расстояние между
частицами. Это обусловлено тем, что жесткая сердцевина — важней
шее свойство нуклон-нуклоиных сил в расчетах ядерной материи
Две частицы сильно коррелируют друг с другом, когда они находят-
ся на расстоянии порядка rc. С другой стороны, внутри сферы ради-
усом г0 находится один нуклон, и, следовательно, вероятность того.
СЮ-QB’dD-'
Рис. 5.9. Диаграммы, сумма вкладов которых должна об-
ращаться в нуль для одночастичного потенциала Хартри —
Фока
что два нуклона находятся достаточно близко друг к другу, чтобы
их волновая функция заметно отличалась от плоской волны, равна
(гс'г0)8. Вероятность трехчастичных корреляций равна (гс/га)6 и т. д.
Рассмотрим теперь, к чему приводит добавление дырочной ли-
нии в диаграмму. Сначала рассмотрим относительную величину диа-
грамм а и б на рис. 5.10, а затем относительную величину диаграмм
в и а. Диаграмма а имеет дополнительную дырочную линию по срав-
нению с диаграммой в. Относительную величину диаграммы б и а
можно оценить следующим образом (см. (5.57)—(5.61)1:
— 2 <lm| e^G | рп>=— 2 <Im | Qe1 G | рп> =
(а) | I |. | m | > kp все 1, m
— —L3exp ( —iK-R) 2 ®im(r = 0. R) <lm| Zpn>, (5.65)
где в последнем равенстве использовано соотношение (5.10), так как
в матричных элементах, которые входят в сумму, полный нмпульс К
сохраняется. При этом введена также разностная функция точной
задачи [а не метода спектра сравнения, как сделано в (5.38)1
Zpn = Фрп-Vpn = 6Фрп. (5.66}
Используя свойство полноты системы функции в (5.65), имеем
(б)/(с)«-L8 ехр (- 1'К-R) Zpn (г = 0, R) = —£рп (г=0) = — 1. (5.67}
Таким образом, благодаря наличию твердой сердцевины, которая
делает разностную функцию максимально большой в начале коор-
144
динат, введение дополнительных взаимодействий G ие уменьшает
вклада диаграмм. Это подтверждает тот факт, что разложение по
G не должно сходиться.
Положение становится совершенно иным, если добавить дыроч-
ную линию, как это сделано иа диаграмме г по сравнению с диаграм-
мой в. Относительный вклад этих двух диаграмм можно оценить,
следующим образом:
(г)/(в) = 2 <qn|e-IG|qn>=£~8 2 <k|e-1G|k>, (5.68)
Iq КkF I q |< kF
Рис. 5.10. Диаграммы, иллюстрирующие эффект добавления
цырочной линии:
гдек = (д—n)/2. С помощью (5.30), (5.38) и (5.40) выражение
(5.68) можно приближенно вычислить:
(г)/(в)«£-э 2 <к|Ц'„>л.Л7. ’fexp(-ik.r)t« (r)dr^-
I q I < kF J
« 4npr?=3(rc/r0)8 « 0,14. (5.69>
Здесь сделаны такие же приближения, что и при получении (5.57) —
(5.63). Таким образом, каждая добавляемая дырочиая линия вносит
дополнительный множитель (r</rfl)8. Эта величина является парамет-
ром малости нашего разложения.
Диаграммы первого порядка по G показаны иа рис. 5.4 (диаграм-
мы а — в). Так как вклад от диаграммы в должен сокращаться вкла-
дом одночастичных энергий, то каждый из остающихся графиков
первого порядка (диаграммы а и б) имеет две дырочные линии. По-
этому, согласно описанной выше процедуре разложения, необходимо
рассмотреть диаграммы с тремя дырочными линиями. Эти диаграм-
мы показаны на рис. 5.11. Можно думать, что вклад от этих графи-
ков будет сокращаться вкладом одночастичного потенциала U. Если
бы мы взяли
Щр) = 2 <ps|G(U7)}ps>, |p|<*F, (5.70)
|S|
145
то вклад от этих графиков действительно сократился бы. Фактиче-
ски это очень похоже иа вклад Хартри — Фока *, даваемый графи-
ками 5.9. Однако возникает вопрос, какую исходную энергию сле-
дует взять в (5.70). Чтобы ответить иа этот вопрос, рассмотрим
рис. 5.12, где показана одна из лестничных диаграмм, сумма
которых образует диаграмму а на рис. 5.11. Проводя горизонталь-
ную линию через середину этого графика, находим исходную энер-
гию
W=Et,+Et-(Em+En-El-Ep). (5.71)
Таким образом, матричный элемент б в (5.70) берется ие на его энер-
гетической поверхности:
Ер + Е„ — W = Ет + Е„ — Е,—Ер. (5.72)
Рис. 5.1 i. Диаграммы с тремя дырочными линиями:
а и б имеют по четыре дырочные линии, но в каждом из этих случаев
в
Эта трудность весьма существенна, потому что в таком случае одио-
частичный потенциал (5.70) зависит не только от состояния р.
Указанную трудность можно обойти, если рассмотреть диаграм-
му б рис. 5.12, имеющую все те же самые матричные элементы в чис-
лителе, что и диаграмма а, но отличающуюся от нее одним энерге-
тическим знаменателем. При сложении диаграмм а и б сумма энерге-
тических знаменателей имеет вид
(Ет + Еп -Et-Ep)-i (Em+En + EQ А-Е-Е^Ер-Е^ X
X [(Em+Ell~El^Ep)^ + (Eq+Er-Ep-Es)^] =
~(Ет-\-Еп—Et—Ер)~г (Eq 4- Ег—Ер—Е3)~г (Ет\Еп—Et—Ер)~1.
(573)
Средний знаменатель в полученном выражении относится к б-ма-
трице. Мы видим, что сумма вкладов графиков а и б (см. рис. 5.12)
равна вкладу одного графика о, при условии что матричные элемен-
ты б, которые возникают из него, берутся на энергетической поверх-
ности, т. е.
W -= Ер 4- Es, (5.74)
Это было впервые показано Бракнером и Гольдманом [861 и позже
было обобщено Бете, Брэндоу и Петчеком [461, которые показали,
* В выражении (5.70) мы для простоты опустили обменные члены. Рас-
смотрение, сходное с тем, которое приводится ниже, применимо и к этим чле-
нам.
346
что диаграммы в и г на рис. 5.12 суммируются в диаграмму д с G-ма-
трицей в середине, взятой иа своей энергетической поверхности.
Выражение (5.70) теперь принимает вяд
t/p= 2 <ps|G(U7=Ep + Ea)|ps>, |p|<fe. (5.75)
I S I < Лр
Следует отметить, что, так как G (IF) само зависит от Up, вычис-
ление этого выражения в действительности является трудной зада-
чей с самосогласоваиием.
а
Рис. 5.12. Диаграммы, дающие вклад в одночастичный потен-
циал (5.70).
верхности (отметим, что в случаях виг три взаимодействия, обозна-
Если бы мы не использовали потенциал U (р) для сокращения
вклада от диаграмм 5.11, а, б, то они дали бы вклад в энергию
связи около 6—8 Мэв на нуклон. На рис. 5.13 показан (без обмен-
ных членов) другой класс диаграмм с тремя дырочными линиями.
Они дают вклад около 1/32 вклада, даваемого диаграммой 5.11, а,
в которой элементы средней G-матрицы берутся на энергетической
поверхности. Множитель 1/32 возникает благодаря статистическим
множителям, обусловленным учетом спиновых и изоспиновых со-
стояний, и из-за ограничений на импульсы дырочных линий, которые
суммируются внутри поверхности Ферми. Благодаря этому множи-
телю вклад диаграмм на рис. 5.13 ие учитывается.
Имеется еще один класс диаграмм с тремя дырочными линиями,
представители которого показаны на рис. 5.14. Эти диаграммы об-
разуют расходящийся ряд, члены которого можно просуммировать
и в результате получить интегральное уравнение аналогичное тому,
как при суммировании лестничных диаграмм получалось интеграль-
ное уравнение для матрицы реакции. Интегральное уравнение, ко-
147
торсе получается в этом случае, по существу представляет собой
уравнения Фаддеева для трех взаимодействующих частиц. Их мож-
но решить различными приближенными методами. Более подробно
это будет обсуждаться в следующем параграфе. Здесь же отметим
только, что графики, приведенные на рис. 5.14, были оценены [309]
и их вклад составляет около —5 Мэв на частицу. Эту цифру следует
На энергетической
поверхности
Рис. 5.13. Диаграммы с тремя дырочными линиями. (Эти диаг-
раммы можно не учитывать, так как нх вклад составляет около
1/32 вклада диаграммы а на рис. 5.11.)
сравнить с вкладом двухдырочных диаграмм, которые дают около
—35 Мэв па частицу. Полученный результат согласуется с оценкой
(5.69) и дает основания полагать, что диаграммы с четырьмя дыроч-
ными линиями и диаграммы более высокого порядка будут давать
вклад менее 1 Мэв. Поэтому их не следует учитывать при современ-
ном уровне точности теоретических расчетов.
Рис. 5.14. Диаграммы
с тремя дырочными ли-
ниями, образующие рас-
ходящийся ряд, который
можно преобразовать
в интегральное уравнение
(уравнение Фаддеева)
В заключение кратко упомянем о виде потенциала U для частич-
ных состояний. В действительности имеется два варианта. Один
заключается в том, чтобы взять U (р) = 0 для | р | > в этом слу-
чае следует рассчитать диаграммы типа представленных иа рис. 5.14.
Другой вариант заключается в выборе U (р) таким образом, чтобы
-сократить вклад диаграмм этого типа. В любом случае необходимо
понять роль трехчастичных корреляций в ядерной материи.
148
§ 5.4. ТРЕХЧАСТИЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В ЯДЕРНОЙ
МАТЕРИИ
Обратимся теперь к рассмотрению трехчастичных корреляций
(three-particle clusters) в ядерной материи [47, 436] и их вклада
в энергию связи, приходящуюся на одну частицу* *. Более точно,
попытаемся просуммировать диаграммы Бракнера — Голдстоуна,
которые имеют три дырочные линии. С этой целью введем новую за-
пись для диаграмм, удобство которой очевидно из примера, пред-
ставленного на рис. 5.15. Кроме нескольких исключений, ко-
торые будут рассмотрены ниже, эта запись однозначно соответству-
ет диаграммам Бракнера — Голдстоуна.
а
$
Рис. 5.15. Пример новой формы записи диаграмм при изуче-
нии диаграмм с тремя дырочными линиями
Рассмотрим сумму всех лестничных диаграмм с тремя дырочны-
ми линиями, которые имеют общую структуру, показанную на
рис. 5.15,6, и обозначим ее <lps| Г] lps>. Определим величины
Ту, Т2и Т3 как сумму всех диаграмм, в которых последнее взаимо-
действие было между линиями 2 и 3, 1 и 3 и I и 2 соответственно.
Тогда
Т = Ту -|- Т2 + Т3. (5.76)
Сумма диаграмм Ti по определению должна иметь свое послед-
нее взаимодействие между линиями 2 и 3 и на выходе должна
содержать матрицу G28, как показано на рис. 5.15,6. Часть диа-
граммы ниже взаимодействия G23 (т. е. ниже одинарной стрелки) не
может заканчиваться другим взаимодействием G28, которое было бы
излишним. Эта часть должна кончаться либо взаимодействием G12,как
показано на рис. 5.15, 6, либо взаимодействием G13. В первом случае
это был бы элемент суммы Т3, во втором — элемент суммы Т2. При
рассмотрении всех возможных диаграмм следует учитывать оба
случая. Другой возможностью является, конечно, диаграмма, изо-
браженная на рис. 5.16, в которую взаимодействие ниже G28 не вхо-
дит. Объединяя все эти случаи, получаем интегральное уравнение
Л = G2S — (Т3 ч- Т3) (5.77)
* Обсуждение эффектов, связанных с возможным наличием трехчастич-
ных сил, см. и работах [103, 104, 107, 358],
149
и аналогично два других уравнения, которые получаются из (5.77)
циклической перестановкой индексов 1, 2 и 3. Их структура очень
похожа на структуру уравнений Фаддеева (3.78). Действительно,
уравнения (5.77) можно использовать также п для задачи рассея-
ния трех частиц; их можно идентифицировать с (3.78), если положить
Ti — YTih. Когда эти уравнения применяются для расчетов ядерной
Л
материи, они иногда называются уравнениями Бете — Фаддеева.
Отметим, что при получении (5.77) мы уже использовали приближе-
ние, опустив проекционный оператор Q.
i Определим трехдырочную волновую
I функцию соотношением
Lг’ф=С12'Гз: <578)
| "" остальные соотношения получаются цикли-
I ческой перестановкой индексов 1, 2 и 3.
I Здесь Ф—певозмущенная функция. Тогда
I = ф — е-1 (7\ -г Л) Ф =
Рис. 5.16. Диаграмма =Ф — в'1 (G88'lr1 4~ (5.79)
с тремя дырочными ли-
ниями, в которую входит где впредь будут подразумеваться случаи,
только одно взаимодей- порождаемые циклической перестановкой
LTbIK индексов 1, 2, 3. Энергетические операто-
ры е, которые входят в эти уравнения,
весьма сложны даже в приближении спектра сравнения. Они имеют
две формы в зависимости от того, относятся ли они к состояниям с
двумя или с тремя частицами. Рассмотрим спектр сравнения в виде
“-Й2(М*)-192-|- А для
-^-h2(M*)-lqz + A-\-^h2(M*)-1kr для
(5.80)
где Д — константа. Тогда для уровня, отмеченного справа одинар-
ной стрелкой на рис. 5.15, б, имеем
с<2> -= £„ + ЕГ—Е„—Е, = iй2 (Л1*)-1 [(n! + г2—р2- S2) +
+ 4А/4] = Й2 (Л4’)-1 [(к2Г - к2,) + 2ДАМ. (5.81)
где введены относительный и полный импульсы соответственно
(п— г), К„г = п + г
(5.82)
(следует помнить, что полный импульс сохраняется в процессе рас-
сеяния двух частиц). Аналогично для уровня, отмеченного двойной
стрелкой на рис. 5.15, б
f,3) =Ее + Er„ + Ег-Е,-Ег.—Ее = & (ЛГ)-> [Л|,„ + -у К1„, +
+ -L(r2-l2-p2--s2) + 3A^]. (5.83)
Усредним теперь спектр по углам. Тогда
K>m = r8 + la + s2 + p2, (5.84)
и
е<3)Й2 (ЛГ)"1 + ------L (F + p8_1_s2) + 3A^l =
= Й2(Л4*)-,р&. + -7 «^(ЗД—0,45)# j , (5.85)
где на последнем этапе введено
<12> = <Р2> = <s8>-> 0,6/г>. (5.86)
Заменяя энергетические операторы (5.81) и (5.85) дифференциаль-
ными операторами, получаем
е<2> = А2 (/И*)1 (- Vh + vl), (5.87а)
где
= 2 А/г> - /г23 (2А—0,3) /г>, (5.876)
и
е<3> = Й2 (АГ)"1 (—Vf2 + ?з), (5.88а)
где
т§ = — г2 | (ЗЛ —0,45)/;) . (5.886)
4
Отметим, что импульс частицы г не должен усредняться подобно
(5.86). Его типичная величина определяется соотношением (5.50),
так что
У1 » (5.89)
Определим теперь разностную функцию подобно соотношениям (5.66)
и (5.40), тогда
е-1 Gt3 ехр (ik • rf/) ехр (iK-R,/) =» 'Пкк (П/) ехр (iK• Rtf) (5.90а)
для двух возбужденных частиц и
е-1 Guexp(ik-г/у)ехр(iK-Rtf) = Скк (rw)ехр(iK-R,/) (5.906)
для трех возбужденных частиц. Поскольку
| kJ < УоЖ^ О.Згг1, (5.91)
151
примем импульс всех дырочных состояний равным нулю, так что
е-10,-уФ — т)(г|у). (5.92)
Из соотношений (5.79) имеем
Ф- Vs =3 е-1 Gs3 ф + е-1 Gi3 Ф - е"1623 (Ф—¥х) -
-г-б.иФ-Чу. (5.93)
Л ’П (газ) + П (rls) — <•' G2S Z,—е-1 Gls Z2 (5.94)
(остальные уравнения получаются циклической перестановкой ин-
дексов 1, 2, 3). Теперь необходимо решить эту систему связанных
уравнений,
Рис. 5.17. Духовые диаграммы, для которых вклад
от соответствующих диаграмм Бракнера — Голдстоу-
на равен нулю
Прежде чем перейти к решению уравнений (5.94), отметим, что
новые диаграммы, одна из которых представлена на рис. 5.15, б,
привели к появлению некоторых «духовных» вкладов. Такие диа-
граммы показаны иа рис. 5.17. Эти диаграммы не могут давать вкла-
да, поскольку соответствующие диаграммы Бракиера — Голдстоу-
на не сохраняют импульс (см. обсуждения, относящиеся к диаграм-
мам второго порядка на рис. 5.4). Выделяя указанные диаграммы,
получаем
<Ips IТ31 lps> = <ф IG12 (-е-1) | G23V1 + Gls V2> -
~ <Ф I С1г (-с-1) (G23 + Gls) | Ф> = <Ф | G,2 с-Ч G2S Z, + G13Z2> =
= $ 5 Ои) [G (r23) Zj (г,, r2, r3) + G (r13) Z2 (r,, r2, r3)Jdr, dr2 dr.,.
(5.95)
152
Первое выражение здесь совпадает с тем, которое получается в ре-
зультате первой итерации уравнений Фаддеева:
Т3 — 012 — 612е-1 (7\-J- = GI2—612е-1 [G23—G23e-1 (Т2 + ^з) +
+ Gls-G33e-x(T1 + Ts)J. (5.96)
В (5.95) мы ввели величину г] (г12), опустили член 612 (чисто двух-
частичное слагаемое) и воспользовались функциями Zt и Z2 вместо
функций и ¥2, исключив таким образом нежелательные диаграм-
мы. При получении последнего равенства в (5.95) предполагалось,
что функции G зависят только от пространственных координат. Это
предположение нестрогое, поскольку из соотношения (5.906), взя-
того в области г гс, где £кк — exp (ik • rf/), следует
G = с = Л2 (М *)"х (k2 4- у2), (5.97)
я б
Рис. 5.18. Диаграммы Бракнера — Голдстоуна, кото-
рые ие входят в сумму диаграмм Т (5.76)
т. е. G зависит от импульса. Однако мы не будем учитывать это услож-
нение и вычислим G13 и 623 в (5.95), взятые при соответствующем
среднем импульсе.
Наконец, отметим, что в сумму Т = 7\ 4- Tz -г Т3 не входят
некоторые диаграммы Бракнера — Голдстоуна, в частности те, ко-
торые изображены на рис. 5.18. График а уже включен в одноча-
стичный потенциал U для дырочных состояний (см. рис. 5.12, Э), по
крайней мере в случае, когда средняя 6-матрица берется иа энерге-
тической поверхности. График б дает вклад, равный 1/32 вклада
графика а (см. обсуждение в связи с рис. 5.13).
Для вычисления Zlt Z2 и в дополнение к нашей относитель-
ной координате
Г12 = Г1—г2, (5.98а)
введем координату
Рз=^(Г1 + г2)—г” (5.986)
которая представляет собой расстояние третьей частицы от центра
масс первых двух частиц. Тогда
е-1 Ои Z3 (r)2, р3, rs) S3 Zte) (Г12, Рз, Г3) = (2л)-6 J dK J dk£kK (ri2) X
X exp (—iK-рз) Z3(k, К, rs), (5.99)
153
где
Z3 (к, К, r3) = p/p3^rfn'2exp( — 1К-рз)ехр( — ik-r;2) Z3(r^, рз,г3).
(5.100)
Из обсуждения, предшествующего выражению (5.97), имеем
Zlf> (г,2, Рз. Г3) " Z (г,.,, ps, г3) для | r12 IX гс. (5.101)
Мы не будем учитывать зависимость от импульса в функции Скк(Г12)
для волновых чисел k и /<, которые невелики по сравнению с гё1-
Необходимо также ограничиться лишь S-волновой частью этой функ-
ции, так как после интегрирования по направлению к остается в ос-
новном только эта часть. После этого Бете [471 берет*
hi 12)
чтобы избавиться от зависимости от k и 1\, и
(rJ2, Рз, rs) як (2п)-с tB(r12) \ г/К dk ехр (iк • г,2) X
X ехр (iк Рз) Z. (к, К, г3) = ZB (r12) Z., (г1г, р3, г3), (5.103)
что следует сравнить с действием оператора e-1GI2 на исходную функ-
цию в (5.99). Система связанных уравнений (5.94) теперь прини-
мает вид,
Z, = 1) (г2з) + ’1 (Г, 3) — 1В (г.и) Z,— lB (r13) Z2 (о. 104)
(остальные уравнения получаются отсюда циклической перестанов-
кой индексов 1, 2, 3). Эти уравнения решаются алгебраически:
2 *113 «23+ *123 «13— *112 («13 +«23—2«13 «ез)
«23 «13+ «13 «12 -,- «12 «23 — 2«12 «23 «13
где
1 (5.106)
Примем, что д (гг-у), так же как и +, не зависит от направления, и
рассмотрим предел г£/-^-оо. Тогда -> оо и, например,
X -> ’ha + »11з, (5.107)
* Дэй [138] предложил несколько более точное приближение: он ввел
функцию (г12) ° (fie)//© (^гс) и предположил, что она не зависит от k и
Д для А, Д < гс- Кирсон [309] установил, что соответствующие импульсные
преобразования имеют пик при k, К = 0,6+ ; это оправдывает принятые при-
ближения. Он также нашел, что выбор среднего значения k ==- К --- 0,6гс
даст хороший приближенный результат.
154
так что вклад диаграмм Тг в энергию, приходящуюся на одну
частицу, имеет вид
№ = Р! 5 ’1 (rl2) G (г2з) 21 (П. Г2, rs) dr2 -р°Д Т) (г,.,) X
X 6 (г23) In (rJ2) Т| (rls)J <?r, dr2. (5.108)
Это выражение представляет собой сумму необмениых диаграмм
третьего порядка (рис. 5.19). Такой результат довольно естествен,
поскольку на больших расстояниях взаимодействие мало, и вклад
от диаграмм с тремя дырочными линиями подавляется вкладом диа-
грамм третьего порядка.
а б
Рис. 5.19. Диаграммы третьего порядка
Рассмотрим также случай r12 = r2S = г13 = г. Тогда w12 = u2S =
= uL3 — и = 1 — К» "П12 == **123 = Шз = и мы имеем
Если г не превосходит гс, то £ = 1 и
Z = (5.110)
Это указывает на то, что потенциал очень сильный. Мы получили
вклад всех порядков теории возмущений. Найденное значение рав-
но 1/3 вклада третьего порядка, даваемого формулой (5.107) при
г -> оо. При малых £ из выражения (5.109) получаем
Zi = 2ц (1 — 2£ + 4£2 — 16£3 + ...), (5.111)
что представляет собой сумму вкладов последовательных порядков
теории возмущений для диаграмм с тремя дырочными линиями.
Выражение (5.111) не сходится при £> 1/2. Это указывает на то,
что, даже если бы дальнодействующая часть потенциала привела бы
к сходимости ряда теории возмущений, твердая сердцевина дала
бы расходимость.
Используя подход, подобный описанному, Кирсон 13091 получил
вклад трехчастичных корреляций в энергию связи на нуклон
—5,15 Мэв. Сравнение со вкладом двухчастичных корреляций, рав-
ным —38,35 Л1э8, приводит к выводу, что вклад четырехчастичных
корреляций может оказаться пренебрежимым (< 1 Мэв). Имеются
155
некоторые указания [133, 359] на то, что трехчастичные корреляции
могут дать вклад, значительно меньший чем 5 /Изе, а именно около
1 Мэв. В этом случае можно взять одночастичный потенциал U (р) =
= 0 для | р | > kr. И наоборот, приведенный выше анализ можно
использовать, чтобы определить вид I/ (р), как это сделано в работе
[49].
§ 5.5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ
В идеале настоящий параграф должен был бы содержать одно
число — энергию связи на нуклон, предсказываемую теорией, ко-
торая использует «правильное» нуклон-нуклонное взаимодействие.
Это число следовало бы сравнить с эмпирическим значением ~ 16 Мэв.
Однако в силу имеющихся неопределенностей в наших знаниях о
ядерных силах, в особенности о свойствах взаимодействия вне энерге-
тической поверхности, а также из-за неточности вычислительных
методов лучшее, что можно сказать в настоящее время, заключает-
ся в следующем. Расчеты дают от 13 Мэв на частицу для потенциалов
с жесткой сердцевиной до 18 Мэв на частицу для потенциалов с мяг-
кой сердцевиной. Эти результаты получены для наблюдаемой плот-
ности ядерной материи (5.63).
В дополнение к литературе, приведенной в конце гл. 4, обзоры
по проблеме ядерной материи даны членами кориельской группы
[101, 139, 442] *. Здесь мы в основном использовали первые две ра-
боты. Вопросы, связанные с трехчастичными корреляциями в ядер-
ной материи, обсуждались также в работах [105, 1331. Применение
в расчетах ядерной материи потенциалов, зависящих от скорости, рас-
сматривалось в [420]. Роль четырехдырочных диаграмм обсуждалась
Дэем [140], а использование нуклон-нуклоиных взаимодействий,
которые эквивалентны на энергетической поверхности, но отличают-
ся поведением вне ее, рассматривалось в работе [120]. Обзор, в кото-
ром сравнивались различные подходы в теории ядериой материи,
был дан Брауном [109] в 1971 г.
* См. также книгу Г. Бете «Теории ядериой материи», М., «Мир», 1974.—
При к. перев.
Часть III
ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ ЛЕГКИХ ЯДЕР
Глава 6. МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА, ЧАСТИЧНО-ДЫРОЧНЫИ
ФОРМАЛИЗМ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ ФАЗ
Обратимся теперь к рассмотрению методов и приближений, при-
меняемых аиия я е. с конечным числом и в. Боль-
шинство из них явно или неявно основано йа методе Хартри — Фока
в проблеме многих частиц, физический смысл этого метода заклю-
чается в том, что для некоторых систем оказывается правильным пред-
положение. что на каждую частицу действует потенциал, который
образован усреднением ее взаимодействий со всеми другими нукло-
нами, находящимися на своих орбитах. Это дает возможность по-
крайней~мёрё приближенно объяснить свойства некоторых ядер,
полагая, что они обусловлены движением одного, двух или не-
скольких нуклонов в этом среднем потенциале. Одной из трудных
задач такого подхода является объяснение в его рамках различных
наблюдаемых коллективных эффектов, обусловленных когерент-
ным действием многих нуклонов. Мы рассмотрим формализм Харт-
ри—Фока и укажем на его полезность в обосновании некоторых основ-
ных исходных положений ядерных моделей. Будут обсуждаться так-
же некоторые вопросы коллективного описания в рамках микроско-
пического подхода. В последующих главах мы сравним результаты
теории Хартри—Фока и методов, основанных на этой теории,
с экспериментом. Необходимо оценить, в какой степени эти методы
могут объяснить коллективное движение, например колебания про-
тонов относительно нейтронов (фотоядерный гигантский резонанс),
или вращение деформированных ядер, которое приводит к характер-
ным спектроскопическим проявлениям.
§ е.1. МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА
Рассмотрим физическую систему, которая характеризуется га-
мильтонианом
2 г,+ 2 Vt
(6.i>
где Ti — оператор кинетической энергии z-ro нуклона, Vi7- *—нза~
имодействне между z-й и /-й частицами. Уравнение Шрединге ра для
этой системы имеет вид
(гх, г2,...» гд) = ЁТ(г1, г2,.... гА).
(6.2>
157
Приближенное решение этой задачи для А частиц можно иайти
с помощью метода Хартри*. Предположим, что многочастичную
волновую функцию V можно записать в виде произведения А одно-
частичных функций
'1' (Г,, Г2.гЛ) = ч>! (г,) <р2 (г2)... Ч>Л (гл). (6.3)
Функции ф должны удовлетворять следующей самосогласованной
системе уравнений:
Г——Vl-h 2 [ч>7(О)ЪИг/,г6)<Р/(г/)йгД(рЛ(гА) =
L ^Mk ' J J
= Е*<й.(гл)- J6.4)
Эти уравнения можно получить из вариационного принципа для
пробной волновой функции (6.3); см. разд. 6.1.1. Они содержат сле-
дующий физический результат: на каждую данную частицу действу-
ет потенциал, создаваемый ее взаимодействием с остальными А — 1
частицами и усредненный пр их орбитам. Разумеется, рассматривае-
мая частица таким же образом дает вклад в потенциалы, которые
действуют на другие А — 1 частиц. В этом и заключается требование
самосогласования. Уравнение (6.4) и другие самосогласованные
уравнения, с которыми мы будем встречаться, решаются обычным
методом итерации. Сначала выбирают наиболее подходящие функции
Ф/ (О) и подставляют их в интеграл в уравнение (6.4). Из решения
полученного уравнения Шредингера для каждой частицы k находят
новый набор функций <р, которые представляют собой наше новое
(и, можно надеяться, улучшенное) предположение о виде решений
системы (6.4). Такой процесс последовательных приближений про-
должается до тех пор, пока ие находят набор {ф; (г,-)}, который
заметно не изменяется при дальнейших итерациях.
После завершения итерационной процедуры получают набор
одночастичных волновых функций, удовлетворяющих системе урав-
нений
(T’fl + C/,i(rft))q>ll(rft) = sfl4>/1(rli), /г=1,2,.... Л, (6.5)
где
Uк (Ч) = .2* [ ф* (r>) Vit (Гу, г,) <р,. (Гу) dry. (6.6)
Гамильтониан (6.1) можно записать в виде
н = .2 <Т‘+и‘ №+{.2.(п. Гу)- Д и,(rf)}=нК+Hns,
(6.7)
* Мы различаем этот метод и метод Хартри — Фока: в последнем учи-
тывается антисимметризация А частиц, что необходимо для нуклонов, в пер-
вом оиа ие учитывается. Тем не менее метод Хартри полезен как введение
в задачу.
158
где первый член является самосогласованным гамильтонианом
задачи, а выражение в фигурных скобках называется остаточным
взаимодействием. На практике обе эти величины часто аппроксими-
руются феноменологическими функциями, параметры которых под-
гоняются из условия согласия с экспериментом. Такой подход может
скрыть различные недостатки, имеющиеся в теории, и одновременно
привести к формализму, который является несогласованным в том
смысле, что соотношения (6.5) и (6,6) могут не удовлетворяться.
Главная надежда при применении подхода Хартри заключается
в том, что остаточное взаимодействие окажется «малым», так что
выражение для Ilsc будет давать по крайней мере хорошее исходное
приближение для верного решения уравнения (6.2).
Чтобы учесть эффекты антисимметризации для тождественных
нуклонов, уравнение (6.4) можно обобщить:
— — V*Ч>Л (Г„) + £ jq>* (Гу) V (Гу, г„) «Ру (г,) q>s (Гу) dr,—
— 2 J Ч>/ (Гу) V (Гу, гй) <ру (г„) (Гу) dry = е„ <р* (rfe). (6.8>
где антисимметрииуется часть, связанная с взаимодействием, и ав-
томатически исключается при суммировании член с / = k. Получен-
ная система уравнений представляет собой самосогласованные урав-
нения метода Хартри — Фока. Перепишем уравнение (6.8) в виде
---V2 % (г) + К'(г) % (Г)—J W7 (Г, r')<pfc(r')dr' = eft%(r),
(6.9)
где
j4-;(r')V(r',r)<Py(r')dr' (6.10)
И
И7 (Г, <р‘. (г) V (г, г') фу (г'). (6.11)
1=1
В отличие от ситуации, описываемой соотношениями (6.5) и (6.6),
взаимодействие одинаково для каждой частицы, так как теперь рас-
сматриваются неразличимые фермионы. Это взаимодействие .нело-
кально'благодаря действию эффекта антисимметризации, который
приводит к появлению члена W (г, г'). Поскольку
UZ*(r.r') = №(r',r), (6.12}
то одночастичные решения иитегро-дифференциального уравнения -
(6.9) удовлетворяют обычным соотношениям ортогональности.
159
6.1.1. Основное состояние в методе
Хартри —Фока
Рассмотрим метод Хартри —Фока с несколько более формаль-
ной точки зрения. В частности, используем язык &торичиого кванто-
вания (пространство Фока). Это делается главным образом для того,
чтобы облегчить аитисимметризацию системы нуклонов, но также
и для того, чтобы облегчить сравнение систем, имеющих различное
число нуклонов. В пространстве Фока гамильтониан (6.1) перепи-
сывается следующим'образом [см. выражение (4.10)1:
Н= s <«|Г|₽>а« °1> + -7Г 2 <«₽| V а6сг (6.13)
Обозначим вакуумное состояние, в котором нет нуклонов, 10 >
и постулируем пробную волновую функцию основного состояния
для системы нуклонов в виде*
|Ф>= П о+|0>. (6.14)
ц=1
Это естественное обобщение выражения (6.3) для тождественных фер-
мионов; оно эквивалентно определителю Слэтера в конфигурацион-
ном пространстве. Выражение (6.14), разумеется, не является наи-
более общим для рассматриваемого состояния, поэтому необходимо
определить, с какой степенью правильности оно может описывать
основное состояние ядерной системы -------------------------------
' В формулах '(6^13) и (6 14), R3K обычно, не конкретизируется
природа одиочастичиых состояний, по которым проводится разло-
Зкение. Мы ЛИШЬ Предполагаем, что они составляют полный орто-
нормированиый набор. Фактически это те "самые состояния, которые
должны варьироваться, чтобы получить экстремум в вариационном
методе. Потребуем, чтобы функция |Ф> удовлетворяла условию
Й<Ф|Н|Ф> = 0, (6.15)
которое приводится к соотношению
<бФ|Н|Ф> = 0 (6.16)
и к соотношению, эрмитово сопряженному (6.16).{Вариаци^слэтеров-
ского определителя (6.14) означает, что^одиа из одиочастичиых функ-
ций, входящая в него, должна измениться на бесконечно малую ве-
ЛИЧИИуЛ
фх-^Фх+Wc
(6.17)
* Для одиочастичиых состояний конечных ядер, обозначаемых грече-
скими индексами, мы будем делать различия между состояниями частиц (выше
границы Ферми), обозначенных буквами л, р, <7, т и дырочными состояниями
(ниже границы Ферми), которые обозначаются буквами я , X»ji, v. Буквы а,
р, у, б, е будут - общими индексами. Различие между частицей и дыркой де-
лается и в пробной функции | Ф>.
160
Для такой модификации, чтобы изменить определитель Слэтера,
функция (родолжна быть . -nit-re,шьиа всдм 4 относящимся к про-
изведению (6.14), т. е. оиа должна описывать состояния иад поверх-
ностью Ферми, что и указаиов нашем обозначении. На языке вто-
ричного квантования вариацию можно записать в виде
16Ф> = т\а$ ак | Ф>, (6.18)
т. е. основное состояние изменяется за счет смешивания с -состоя-
нием, в кото . м ча за . • . , _ _ . _ образо-
вав при этом дырку, и пом_- «ена на ц^ыл » • и овеиь. Очевидно,
величина”16Ф > в (6.18) отлична от нуля, если только о не относится
к уровню, который уже входит в произведение (6.14), или если
о = А. Это обусловлено тем, что принцип Паули, выражаемый анти-
коммутациониыми соотношениями операторов рождения [см. (4.1)1,
запрещает двум фермионам находиться иа одном и том же одноча-
стичном уровне. Случай о = Я, конечно, не соответствует истинной
модификации основного состояния, так каксхФ. есть оператор числа
частиц для заполненного уровня, и мы имеем |6Ф> = т]|Ф>.
Подставляя (6.18) в (6.16), получаем
<Ф|о£аоЯ|Ф>=0, (6.19)
или, используя коммутационные соотношения для операторов рож-
дения и уничтожения,
2 <а|7'|₽><Ф|^о0осГ«(!)Ф)+-1- У <«₽1К|Т«>Х
Х<Ф|а£ с6От,|Ф> = 2 <«! Г|₽> 6а»6|л +
+ -4- 2 | V | уб > [ 6ат 6ро бра,—бар бро 6V?_—бр-у 6«о ббх +
а.р.Т.С
. А
И= 1
— <ор| V|pX>-j-<op| У|Лр>] = 0, (6.20)
где черта над символом Кроиекера означает, что его индексы соот-
ветствуют заполненным состояниям в (6.14). Из (4.8) имеем
<ар| У| уб> = <₽а| V|6y>, (6.21)
и, определяя так же, как и в (5.25), аитисимметризоваииую комби-
нацию
|$>=|у6>_|6т>, (6.22)
161
уравнение (6.20) можно записать в виде
<о | Т1 X) 4- V <а,и j V ] Гр) - 0. (6.23)
Ц=1
Эрмитово-сопряженное уравнение, которое получается из (6.15),
имеет вид
<л | Т | о) + V <?4i ’ V | ор> = 0. (6.24)
jt=i
Уравнения (6.23) и (6.24) должны выполняться для любого неза-
нятого состояния о и заполненного состояния "к в пробном состоя-
нии | Ф>.
Используем уравнения (6.23) и (6.24) для выбора наших одно-
частичных состояний. Потребуем, чтобы эти состояния диагонали-
зовали величину
<сг|Л|р> = <а|Г|р) г 2 <4i|V|₽M>=ea6op. (6.25)
Собственные значения ек назовем одночастичными энергиями, со-
ответствующими одночастичным состояниям а. Второе слагаемое
в (6.25) представляет собой матричный элемент самосогласованного
потенциала Хартри — Фока
-«IL'IP?- v <ац|Г|Рн;. (6.26)
Уравнение (6.25) эквивалентно, уравнению (6.8): оно определя-
ет набор одночастичных состояний Хартри — Фока, и его можно
решать методом последовательных приближений до тех пор, пока не
будет достигнуто самосогласование.
Теперь, когда мы определили одночастичный базисный набор,
использованный в выражениях (6.13) и (6.14), можно легко полу-
чить энергию основного состояния системы
£„^<Ф|Й|Ф>= <7.|7'|7.> + 4- У <Z(l|V|7ip> =
- у V <7.p|V|/^>= 2 'А-v 2<МЫШ6.27)
Z=1 - л.ц=1 Х = 1 Z л=1
т. е. полная энергия системы не равна 2^=16^, но отличается от нее
на половину суммы энергий взаимодействия. Физический смысл ве-
личины е?, будет определен ниже с помощью теоремы Коопмана.
Отметим, что часто удобно отнести все энергии к основному состоя-
нию (прежде всего, чтобы избежать необходимости рассчитывать
Ео!), т. е. выбрать нулевую энергию так, чтобы Ev = 0.
162
6.1.2. Возбужденные состояния
В принципе идеальный способ рассмотрения возбужденных со-
стояний заключается в переформулировании вариационного прин-
ципа расчета так, чтобы потребовать ортогональности основному
состоянию, а затем в качестве дополнительного условия—ортого-
нальности каждому последующему возбужденному состоянию.
Такой подход имеет двойное неудобство, так как он математически
сложен и его нелегко интерпретировать физически. Вместо этого мы
будем описывать возбужденные состояния с помощью того же самого
одночастичного базисного набора, который был использован для
основного состояния. Это приближение, конечно, не будет с необ-
ходимостью давать состояния, которые полностью] минимизированы
по энергиям.
Нижайшие возбуждения описываются волновой функцией вида
|<1Я>=ог оц|Ф); О А] (6.28)
где, как и ранее, буква А используется для краткого обозначения
последнего заполненного уровня, или уровня Ферми. (Имеется А
нуклонов, и каждый нз них заполняет уровень.) Состояние (6.28)
называется частично-дырочным, так как оно имеет одну частицу,
удаленную из моря Ферми и помещенную в состояние, которое счи-
тается не заполненным в основном состоянии. Возбуждения с боль-
шей энергией можно описать дбцхчастично-двукдырочными (2p2h)-
состояниями
|Ф£*>==а£ at
и т. д. Можно надеяться, что для случаев, представляющих физиче-
ский интерес, 2р2й-состояния и возбуждения более сложной при-
роды лежат при энергиях, значительно больших, чем энергии
одночастично-однодырочных lpl/i-возбуждений, так что последние
возбуждения можно рассматривать отдельно, по крайней мере в пер-
вом приближении. Графическая иллюстрация различных состоя-
нии показана на рис. 6.1.
Выражение (6.27) дает формулу для энергии основного состоя-
ния; теперь необходимо получить энергию возбужденных состояний.
Рассмотрим сначала недиагональные элементы секулярной матрицы
для ^гамильтониана. Из (6.19) получаем
<Фх|//| Ф) — <®aj «„’Й | Ф> = 0. (6.29)
Этот результат, иногда называемый теоремой Бриллюэна, означает,
;!что при получении секулярной матрицы для возбужденных 'Ipl/z-
состояний не возникает никакого смешивания с основным состоянием.
Таким образом, основное состояние остается хорошо определенным,
даже когда возможно возникновение 1р1й-возбуждений. Это свойство
является, разумеется, большим упрощением теории. Оно было за-
ложено в определение основного состояния Хартри — Фока.
6*
163
Матричные элементы между частично-дырочными состояниями
имеют вид
<Фц I Н I Фу) = — <GV I V |тр), О^Т, ПЛИ p=7^V (6.30)
для недиагональных элементов и
Е^<ф£|н|ф£> = Е0 + <о|7'|О>-<и|7'|и>4-
-Г V. [<ол| V] о?.>— <рл|У[р.)] = £с-гео—Вц— <crp|V[qi)
(6-31)
для диагональных элементов. Знак минус перед взаимодействием
в этих формулах появляется из-за того, что одночастичный потен-
состояний
Хартри —
с помощью заполнения одночастичных уровней
Фока:
циал Хартри — Фока переоценивает энергию связи [см. также
(6.27)1. Отметим, что дырочные состояния, например в выражении
(6.30), всегда входят в другую сторону матричного элемента в кон-
фигурационном пространстве по сравнению с матричным элементом
в пространстве Фока. Это связано с тем, что дырка возникает в ре-
зультате аннигиляции частицы, а не при ее рождении.
Чтобы воспользоваться выражением (6.31), при конструирова-
нии секулярной матрицы, необходимо знать величины Ес и ец. Это
требует решения самосогласованной задачи Хартри — Фока (6.25).
В противном случае необходимо понять физический смысл величин
еа с тем, чтобы их можно было определять из каких-либо наблюдае-
мых величин. Мы будем придерживаться последнего подхода, хотя
отказ от решений уравнений Хартри — Фока в конечном счете при-
ведет нас к необходимости делать предположения об одночастичных
волновых функциях <ра (г). Нечего и говорить, что в этом случае
отсутствуют гарантии того, что экспериментально определенные ве-
личины еа согласуются с угаданными функциями <ра; таким образом
может возникнуть непоследовательность этого подхода.
164
6.1.3. Теорема Коопмана (теорема Купманса)’
Теорема Коопмана * утверждает, что одночастичная энергия
Хартри — Фока является энергией отделения нуклона в состоя-
нии р. Для доказательства этой теоремы сначала воспользуемся
тем обстоятельством, что на языке вторичного квантования можно
легко выразить изменение числа частиц в системе. Основное состоя-
ние |Ф> для системы А частиц дается формулой (6.14). Для систе-
мы А — 1 частиц с дыркой в одночастичном состоянии р вектор со-
стояния имеет вид
У ^|0>-Оц|Ф>. (6.32)
Л =£ ц
Энергия этой системы определяется выражением
£₽=<ф(1|й|ф(1> = у (1|Г|Х>+-у у (6.33)
Х=1 X, V—1
С помощью (6.27) получаем разность энергии Е^ и энергии Ео
основного состояния системы А частиц
£и—£0= —---------------L 2 <Лц| V |Хр> —
2 ?.= 1
---Г 2 <rvlv'l^> — <н|7’|н>— 2 = —8ц, (6.34)
2 -V=l > .= 1
где использованы соотношения (6.21) и (6.25). Таким образом, что-
бы удалить один нуклон из состояния, необходимо затратить энер-
гию |ец|.
Применение теоремы Коопмана последовательно к системе с
А — 1 частицами, А — 2 частицами и т. д. является незаконным.
Если A-я частица уже удалена, то при удалении (А — 1)-й частицы
ее взаимодействие с А-й частицей больше не должно учитываться.
Это находит свое отражение также в том, что, согласно (6.27),
Ео^= V e>t. (6.35)
Ц=1
Для каждой новой системы необходимо переделать минимизациои-
ные расчеты по методу Хартри — Фока. В этой связи аргументация,
использованная при получении соотношений (6.32) и (6.34), выглядит
несколько сомнительной. В то же время можно обсудить подход,
в котором мы имеем дело только с системой А частиц. Рассмотрим
частично-дырочную энергию (6.31) и предположим, что состояние
* Подробное рассмотрение использования этой теоремы в расчетах см.
также в работах [33, 312].
165
частицы о является таким, в котором нуклон находится в континуу-
ме. Будем считать, что частица прн этом удалена в бесконечность, так
что она больше не взаимодействует с остальными А — 1 нуклонами;
однако это сделано таким образом, что кинетической энергией нук-
лона можно пренебречь: ео -*• 0. Соответствующая одночастичная
волновая функция <ра (г) нормирована в ящике большого объема Q,
так что матричный элемент взаимодействия (6.31) равен
'a|i|V|qI) f<fS(r)<jpJ(r')V(r—r'jqiofrj^fr'ldrrlr' sk
«V„r?O-i_>0, (6.36)
где lz0 — глубина потенциальной ямы, г0 — ее радиус. Таким обра-
зом из (6.31) мы получаем, что энергия ядра, в котором одна части-
ца находится на бесконечности, отличается от энергии основного
состояния на —ец. Этот результат согласуется с (6.34). При обсуж-
дении подробностей частично-дырочного формализма теорема Кроп-
мана будет использована для полученияодночастичных энергий е из
экспериментальных значений^ Сергий'отделения;
6.1.4. Ограничения метода Хартри — Фока
Прежде чем обратиться к другим вопросам и применениям метода
Хартрн — Фока, необходимо кратко указать на свойственные ему
ограничения. Мы получили метод Хартри — Фока из вариационного
принципа, а это сразу же предполагает возможность появления од-
ного недостатка, о котором следует помнить. Пробная волновая
функция (6.14) может не давать устойчивого минимума для энергии
основного состояния Еп. Используя вариацию пробной-дЬункцин,
даваемую формулой (6.18), получаем для хартри-фоковского базис-
ного набора одночастичных_сострящ1й1-
(6-37)
где использовано (6.31). Энергия основного состояния Ео будет ис-
тинным минимумом, если только все частично-дырочные возбуж-
дения имеют положительную энергию относительно Это условие
[Является, конечно, очень физическим, и следует ожидать, что оно
выполняется. По-видимому, это условие будет выполняться для
больших систем, так как, согласно (6.25), следует ожидать, что од-
ночастнчная энергия, вообще говоря, будет в А раз больше любого
конкретного матричного взаимодействия. Так как ео всегда больше
е>_, то возможность того, что Е’о может быть меньше Ео, возникает
из-за матричного элемента взаимодействия, относительный вклад
которого должен составлять, грубо говоря, А'1. Однако это утверж-
дение слишком оптимистично, поскольку оно не учитывает возмож-
ность возникновения когерентных эффектов, прн которых слагае-
166
мые, обусловленные взаимодействием, могут сложиться так, что
энергия частично-дырочного состояния понижается очень сильно.
Таким образом, условие Е’о >• Ео следует рассматривать, как допол-
нительное требование для удовлетворительных решений Хартри —
Фока. Отметим, что существует возможность Е’э = Ео; в этом слу-
чае основное состояние Хартри — Фока и некоторое частично-
дырочное «возбуждение» вырождены. Это вырождение можно снять
при наложении дополнительных условий на хартри-фоковское
решение для основного состояния.
После того как определено основное состояние Хартри — Фока,
которое правильно минимизирует энергию системы, мы встречаем-j
ся с другими трудностями. Хотя исходный гамильтониан (6.13)1
обычно трансляцией но- и ротационно-инвариантен, потенциал1
Хартри — Фока (6.26) таковым не является, н рассчитанное с по- ]
мощью этого потенциала основное состояние | Ф > не будет собст-j
венным состоянием полного импульса или углового момента. Рас-
смотрим оператор полного импульса
Р== V <“|Р|₽>Ор Ор (6.38)
с. Р
и оператор полного углового момента
J = 2 <« I j I ₽> а£ ор. (6.39)
а, р
Обе эти величины коммутируют с гамильтонианом:
(Я, Р] —0; [И, J] = 0 (6.40)
н, разумеется, с кинетической энергией, входящей в гамильтониан.
С учетом (6.40) имеем
<Ф?|[Я, P]|®> = 0; <Ф?ЦН, Л]|Ф>=0, (6.41)
что приводит к соотношениям
<с|[1Л р]|р>= Х[<т|р|т><та|Г|рт> —
—<vl Р|т><то| V|pv>) (6.42а)
и
<О |[1/. jJIP>=^l<T|jl'V><VC|V||rr> —
— <"V I j|t><To| V|pv>J. (6.426)
Не существует доказательства, что правая часть этих соотношений
равна нулю; следовательно, нельзя ожидать, что самосогласован-
ный потенциал трансляционно- н ротационно-инвариантен. Это свя-
зано со следующим обстоятельством. Когда, решая самосогласован-
ные уравнения Хартри— Фока (6.8), начинают выполнять итерации,
то исходное предположение о виде функций ср (г) вводит выделен-
ную точку в пространстве (относительно которой определяются <р),
167
а возможно, также и анизотропию (поскольку не все функции <р
могут быть сферически симметричными). Последующие итерации
введут эти свойства в среднее поле и в решения задачи, так что
в конечном счете рассчитанные одночастичные состояния Хартри —
Фока и основное состояние системы не будут являться собственными
состояниями ни оператора импульса, ни оператора углового момен-
та. Это порождает целый ряд проблем, которые мы сможем вкрат-
це рассмотреть в этой и последующих главах. Очень важным исклю-
чением является случай ядра с замкнутыми оболочками, для кото-
рого одночастичные состояния могут быть собственными состояниями
полного углового момента и самосогласованный потенциал может
быть ротационно-инвариантен. Таким образом, иногда полезно огра-
ничиться рассмотрением таких ядер, которые имеют спин 0 и поло-
жительную четность, т. е. Jn = 0+. К сожалению, подобных исклю-
чений не существует для импульса в конечных ядрах, и мы всегда
будем сталкиваться с трудностями, связанными с потерей трансля-
ционной инвариантности.
Другая трудность, свойственная методу Хартри — Фока, ста-
новится очевидной, если используется потенциал с жесткой сердце-
виной.
В этом случае матричные элементы взаимодействия будут беско-
нечны, и процедуру Хартри— Фока выполнить нельзя. В гл. 5 мы
рассмотрели, как обойти эти трудности с помощью матрицы реак-
ции. Подобный подход можно использовать и для конечных ядер;
это будет обсуждаться в § 7.6. Метод Хартри — Фока также не го-
дится в случае, когда существенно спаривание нуклонов; этот слу-
чай рассматривается в гл. 9.
§ 6.2. ЧАСТИЧНО-ДЫРОЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
Рассмотрим дальнейшее развитие формализма, который можно
использовать для описания возбуждений в ядрах с заполненными
оболочками нли близких к ним. Мы будем при этом основываться на
подходе Хартри — Фока, но введем несколько специальных и упро-
щенных предположений. В частности, оставим пока все попытки
выполнения процедуры Хартрн — Фока и, следовательно, времен-
но откажемся от попыток рассчитать энергию связи основного со-
стояния. Все энергии возбуждёнйя ’будем относить к энергии основ-
ного состояния н возбуждение будем описывать с ‘помощью частич-
но- дыр *।i.t. ко&1_.ашгй, рассматриваемых относительно основ-
ного состояния с замкнутыми оболочками. Таким способом мы по-
пытаемся свести задачу взаимрдёиств^щих частиц к задаче взаи-
модействующих одной частицы и ладной-дырки [см. (6.30) и (6.31)1.
Это существенное ^упрощение, конечно, приведет к невозможности
объяснения „многих явлений, но в то же время оно годится для рас-
смотрения нескольких других важных эффектов.
Главное приближение заключается в том, что мы должны огра-
ничить базисный набор для ядра состояниями, описываемыми, со-
168
гласно предположению об основном состоянии, формулой (6.14)
и формулой (6.28) для частично-дырочных состояний. Это значит, что
не учитываются, по крайней мере временно, состояния с двумя ча-
стицами и двумя дырками и более сложные состояния. Прн этом
имеется в виду, что секулярная матрица, которая определяет собст-
венные состояния в нашей модели ядра, имеет структуру, показан-
ную на «рис. 6.2. Предполагается, что 2р2Л-состояния имеют энер-
гии, которые существенно больше, чем энергии 1р1Л-состояний, и,
следовательно, не смешиваются. с_дими. Эта приближенная картина
называется приближением Тамма — Данкана. (Татт — Dancoff
approximation— ТЬА). В общем случае оно заключается во вклю-
чении всех состояний выше данной невозмущенной энергий—-учете
Рис. 6.2. Схематическая секулярная матрица, которая иллюст-
рирует использование приближения Тамма — Данкова
Всех невозмущенных состояний, которые почти вырождены по энер-
гии, и в последующей диагонализации секулярной матрицы, по-
строенной на этом базисном наборе. В случае^, схематически пока-
занном на рис. 6.2, когда мы обрезаем 2p2h~ (и более высокие)
возбуждения, это обусловлено тем, что диагональные энергии таких
конфигураций имеют вид
= Ео + ер + Со—ex—ец -J- «взаимодействие». (6.43)
Эти энергии больше диагональных энергий 1р1Л-конфигураций
(6.31) на среднюю разность одночастичных энергий частицы и дыр-
ки ер — ЕЛ, которая может составлять 10 ТИэе для легких ядер вбли-
зи замкнутых оболочек. Типичное значение матричного элемента
взаимодействия V 1 Мэв. Таким образом, взаимодействие будет
не очень эффективно при смешивании 2р2/г-конфигураций с ^^-со-
стояниями, однако оно играет более существенную роль при смеши-
вании различных 1р 1/1-конфигураций друг с другом.
169
Подобные соображения всегда находятся в центре внимания
при проведении оболочечных (shell-model) расчетов, частный слу-
чай которых представляют собой частично-дырочные вычисления.
В общем случае формализм основывается на некотором полном на-
боре состояний, например на антисимметризованных произведениях
одночастичных состояний Хартри — Фока. Если исходный гамиль-
тониан ядра верен и если бы можно было составить и дня гон а ли-
зовать в этом полном наборе состояний (бесконечную) секулярную
матрицу, то мы получили бы корректное описание свойств ядра.
Однако сложность задачи такова, что обычно вместо этого необходимо
удовлетворяться весьма малым набором базисных состояний. Если с
физической точки зрения они выбраны настолько удачно, что охва-
тывают важные виды возбуждений, которыми обладает ядро, то по-
лучаются результаты, которые разумно согласуются с эксперимен-
том; в остальных случаях предлагаемая модель терпит неудачу.
Наш рецепт использования частично-дырочного формализма
для приближения Тамма — Данкова (которое иногда называется
частично-дырочной моделью) заключается в следующем. .
а. С помощью квантовых чисел возбужденных уровней, чьи
свойства мы хотим рассчитать, определяется, какие частично-ды-
рочные конфигур. ИИ v jrjT JttfcLhJUUix
б. Используется теорема Коопмана, чтобы определить одноча-
стичные энергий для; этих конфигураций из энергий отделения ну-
клона, которые мы находим из экспериментальных данных.
в. Йспол ьзуетсянуклон-ну кдан^е^за^одействлехрответствую-
щего вида в гамилыгониане'(^ 13) и~находятся матричные элементы
секулярной матрицы Гем. выражения (6.30) и (6.31)1. Для этого не-
обходимо сделать предположение о виде одночастичных волновых
функций, которые мы не рассчитывали.
г. Секулярная "матрица ’Ж^гонализуется; в результате полу-
чаются энергия .’.уровней^, их. собетвенные. функции, которые мож-
но затем использовать для расчета вероятностей переходов и других
характеристик \.адрД ~ *" ~~
Для иллюстрации того, как работает эта схема, вначале рассмо-
трим рис. 6.3. На нем показаны одночастичные заполненные (сплош-
ные линии) н незаполненные (штриховые линии) ннзколежащие уров-
ни для нескольких легких ядер с заполненными оболочками* или
подоболочками. Рядом приводятся спектроскопические обозначе-
ния одночастичных уровней. Если, например, рассматриваются свой-
ства Ядра 16О, ТО ДЫрОЧНЫМН СОСТОЯНИЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ 1S1/2, 1рз/2
и Ipi /2- При возбуждении частица переходит с одного из этих уров-
ней на незаполненные уровни lrfs/2. 2si/2, 1^з/2, ••• Частица, пе-
реходящая с уровня 1s, /2, должна бы перейти через две оболочки,
так как пребывание на 1 ^оболочке запрещено принципом Паули.
Это привело бы к появлению частнчно-дырочных энергий намного
* Общие феноменологические свойства модели оболочек описаны в гл.8
170
больших, чем ер — 8?., так что соответствующие невозмущенные
конфигурации и 2р2Л-состояния были бы вырождены. Поскольку
последние состояния в методе Тамма — Данкова не учитываются,
то необходимо также опустить все кон фигу рации, соответст-.
вующие переходу частиц более чем через одну главную оболочку.
Можно приближенно считать, что каждая главная оболочка отделе-
''PM
1Рз/г----------------
______Л9
2з,/г—
Wj/z г ~^-4,2
1РЧг----------»,7
1Рз/г -------
15^----------»,/2----------------/-Л)
лс «о
2РЛ\ /V
1fM ^Z~~-=~-4,5
Пчг'Г------
________-w
tdslz ~T,,2
1?ijz -------22,3
'Рз/г------~28,4
1fs/z^.
2Рз/!,"'1т /
, S’*
...
h5J2
-2,9 2/vz'
SfivS? 2Pm-
^-1,1 *<Vt'
-19,1 {UM
-20,1 2S„M
14sA
^-sto
-15,8
-18.2
l-2i,S)
IfVi ------------(-34)
1Рз/г -----------(-44)
3iS
Рис. 6;3. Одночастичные спектры для легких ядер с заполненными обо-
лочками и подоболочками. Указаны сп/»*,«« <м.с.а*е обозначения и
приближенные экспериментальные одночастичные энергии (в мегаэлек-
тронвольтах). Данные об энергиях взяты из работ: [212] для 12С и 16О,
[71] для 28Si, [485] для 32S и [526] для <0Са
на от соседних оболочек на энергию Йсо, что соответствует чисто ос-
цилляторной оболочечной модели. Пользуясь этим языком, можно
сказать, что допускаются одночастичные возбуждения с энергией
Ли, но благодаря обрезанию в методе Тамма — Данкова отбрасы-
ваются возбуждения с энергией 2Йи, ЗЙи, ...
Все конфигурации в 16О, которые могут дать вклад в возбужде-
ния с энергией Ли, являются 1р^-конфигурациями. Конкретно,
это следующие переходы:
(Ips/s)”1 (1P3/2)-12Si/2. (1рз/2)-1 1^3/21
1^5/2» (lpi/2)~12si/2, (lPl/2)”1 1^3/2, (6.44)
171
где спектроскопические символы с верхним индексом —1 относят-
ся к дырочным состояниям. Рассмотрение угловых моментов [см. ни-
же (6.51) и (6.57)1 показывает, что полные угловые моменты дырки
и частицы вместе со спином соответствующего возбужденного ядер-
ного уровня образуют треугольник. Четность частицы и дырки опре-
деляют четность возбуждения, которая для возбуждений с энергией
в ядрах с заполненными оболочками, в частности для 16О, всег-
да будет отрицательной [это легко видеть из (6.44)1. В образовании
0“-уровней участвуют третья и пятая конфигурации из (6.44), в об-
разовании 1 “-уровней участвуют все, кроме четвертой, в случае 2“-
уровней следует опустить пятую конфигурацию, в 3“-уровии дают
вклад первая, третья и четвертая конфигурации. Один 4“-уровень
может возникнуть в этой схеме при наличии чистой \р^-конфигу-
рации (1рз/2)-11«?з/2. Уровни с более высоким спином должны воз-
никать из 2p2h- или более сложных конфигураций. Поскольку изо-
спии как частицы, так и дырки равен 1/2, то конфигурации (6.44)
должны давать состояния с Т = Ои Г =1. Для получения состоя-
ний с Т 2 необходимо учесть более сложные конфигурации.
Следующий шаг в нашей процедуре заключается в определении
одночастичных энергий в. Из теоремы Коопмана известно, что они
равны взятым со знаком минус энергиям отделения для соответст-
вующих одночастнчных уровней. Энергия отделения S (Л) равна
минимальной энергии, необходимой для отделения одного нуклона
от ядра. Она связана с энергией связи В (Д) (минимальной энергией,
необходимой для разделения всех А нуклонов) следующим соотноше-
нием
S (Д) = В (Д) — В (Д — 1). (6.45)
Существуют обширные таблицы энергий связи (см., например, (3481).
Некоторые примеры приведены в табл. 6.1. Одночастичную энер-
гию Хартри — Фока для последней заполненной подоболочки (1р1/2
в 16О) можно получить простым вычитанием В (Д) — В (Д — 1);
например, для 16О
В (1СО)—В (1бО) = 15,67 Мэв. (6.46а)
Таблица 6.1
Энергии связи В и энергии отделения S для легких ядер с
замкнутыми оболочками и подоболочками [348]
Ядро В. Мэв S, Мэв Ядро В, Мэв S, Мэв
«С 73,4428 28gj 236,5359 17,1754
12С 92,1626 18,7198 29Si 245,0111 8,4752
1зС 97,1094 4,9468 ais 256,688 —
160 111,9521 .— sag 271,7796 15,0916
160 127,6200 15,6679 зз s 280,4209 8,6413
170 131.7625 4,1425 39Са 326,437 —
27St 219,3605 —. «Са 342,0562 15,6192
«Са 350,420 8,3638
172
Для первой подоболочкн выше уровня Ферми (lds/г в 16О) опа да-
ется формулой В (А -|- 1) — В (Л); например, для 1СО
В (17О) — В (16О) = 4,14 Мэв. (6.466)
Эти формулы становятся весьма очевидными при рассмотрении
рис. 6.4. Отметим, что большое значение разности между числами
(6.46а) п (6.466) делает возможным приближение Тамма — Данкова.
Остальные значения е для частичных состояний определяются
из спектров ядер, имеющих заполненные оболочки и один экстра-
нуклон. С помощью какой-либо прямой реакции, например реакции
дырочное
Возбуждение
Одночастичное Однодырочное
Возбуждение Возбуждение
Рис. 6.4. Схематическое представление состояний при опре-
делении одночастичных энергий
срыва, определяют уровень, свойства которого указывают, что его
можно хорошо описать, если воспользоваться предположением о
свободной частице, находящейся в яме Хартри—-Фока. Энергия
этого уровня, отсчитанная от основного состояния, дает его положе-
ние выше S (Л + 1). Аналогично для определения дырочных состоя-
ний можно использовать реакции подхвата. Энергия этих состоя-
ний, отсчитанная от основного состояния системы А — 1 частиц,
определяет их положение ниже S (А) (см. нижнюю половину
рис. 6.4). Приближенные значения одночастичных энергий, полу-
ченные описанным путем, приведены на рнс. 6.3.
Прежде чем закончить формирование секулярной матрицы для
нашего частично-дырочного расчета, необходимо получить матрич-
ные элементы взаимодействия (6.30). На рис. 6.3 одночастичные
уровни были записаны в схеме //-связи, т. е. предполагается, что
каждое состояние нуклона можно характеризовать орбитальным уг-
173
ловим моментом I и полным угловым моментом /, который получа-
ется в результате сложения углового момента со спином нуклона
(/ = I ± 1/2). Прн описании в рамках частично-дырочного подхода
ядерного уровня, имеющего определенный момент J, необходимо
связать полный угловой момент дырки /р. с полным угловым момен-
том частицы fa таким образом, чтобы в результате получилось J.
Это выполняется с помощью обычного аппарата* теории углового
момента. Однако, прежде чем рассматривать связь углового момента
дыркн (т. е. отсутствующей частицы), следует понять, как дырочные
состояния преобразуются по отношению к вращениям в обычном про-
странстве.
Известно, что состояние, которое получается действием опера-
тора рождения на вакуумное состояние, преобразуется по тому же
закону, что и соответствующий кет-вектор, илн волновая функция.
Таким образом, для волновой функции частицы справедливо соот-
ношение
Т(К> Ч/о т„ (г) = Z О'0, (Я) (г). (6.47)
то тста
где преобразованная в результате поворота R функция есть
(6.48)
[7 (/?) <р! (г) = <р (R~'r)
и £>/<т, (R) — соответствующая матрица конечных вращений.
В противоположность этому для частицы оператор уничтожения
подчиняется преобразованию, которое контраграднентно преобра-
зованию для оператора рождения (поскольку7 они отличаются эр-
митовым сопряжением). Следовательно, дырочное состояние преоб-
разуется подобно бра-вектору, или комплексно сопряженной волно-
вой функции <р* т (г). Эта волновая функция не преобразуется
согласно (6.47), но в силу свойств функций углового момента при
комплексном сопряжении величина
(-1Ц±т,'<Р)11-'’-м(г) (6.49)
преобразуется с той же матрицей вращений, что и в (6.47). Факти-
чески для угловой части функции (6.49)
(—т (6.50)
Таким образом, если для образования состояния, имеющего полный
спин в качестве хорошего квантового числа, необходимо связать
дырочные состояния с частичными, то дырочные состояния следует
* Этот аппарат описан в приложении А т. 2. Для нашего случая особенно
полезным является § 6 этого приложения, так как дырочное состояние экви-
валентно
состоянию, обращенному во времени.
174
взять с дополнительной фазой (6.50) и с обратными знаками кванто-
вых чисел проекции углового момента. Имеем
|Ф,°>№ 2 (- l)'»+"l*X
x(inicJ\ —тцтаМ)[—1)г + г“ х
х (у у Т | “т“ г') а ;Я"О; 4- т«> *
Ха .1 |Ф>, . (6.51а)
1ц mg> 2 тгц
где использованы коэффициенты Клебша — Гордана для образова-
ния состояния со спином и проекцией спина J и Л1, а также нзоспн-
иом и его проекцией Т и Тг. То же самое рассмотрение, которое мы
провели для пространственных вращений, применимо также и для
преобразований в изоспиновом пространстве.
Если явно указать связь орбитального углового момента и спи-
на нуклона с моментом /, характеризующим одночастичные состоя-
ния, то частично-дырочное состояние имеет вид
I ( /ц — I X
~ /с |
'и(/и1о^| —тпт„М) X
(6.516)
Ха , । • 1 |Ф>.
ИцЛц; 2-тд—Ли; T2g
Формулу (6.516) можно переписать по-другому, если воспользовать-
ся 9/-СИМВОЛОМ, с помощью которого //-связь преобразуется в Z.S-
связь:
|Ф2>^= 2 /p/otS.
(LSJ\MlMsM) X
175
х ( п '“^(/ЛоЧ-м-олад 2 (—i)1/2+v>i>;
zp. ZU VJl- vo
>4 44 sl-v^Als) 2 (-lp"4‘x
4 T’JI, T2O
>i — ~ TI т2Ц т2О 1 z j i 1 c i i
x - ~ I / 'c- 2 T2O fpZM — — Тгц
(6.51 в)
где J у, = (2/ц 4- I)1'2 и т. д. Это выражение очень удобно для вы-
числений матричных элементов, поскольку взаимодействие обычно
можно выразить через отдельные множители в конфигурационном,
спиновом и изоспиновом пространствах.
Чтобы вычислить матричные элементы взаимодействия (6.30)
и (6.31), желательно сначала параметризовать предполагаемое ну-
клон-нуклониое взаимодействие. Обычно его записывают в виде
У(1,2)= 2 2 (-l)^x
(Г1)УЖ.// (r2j [Поо + ^оОгОг + аиТгТг-]cIi<f1-g2tj • т2],
(6.52)
где
7(г,, г2) = 2л V (гх—r2) Р<$ (cos 0i2) d cos 012 (6.53)
и используется полнота сферических гармоник и скалярность по-
тенциала V. В (6.52) введены спиновая и изоспиновая зависимости,
а также комбинированная зависимость от состояний в этих двух
пространствах. Ядерные силы также часто выражаются через ком-
поненты Вигнера, Бартлера (спиново-обменные), Гейзенберга (изо-
спиново-обменные) и Майорана (пространственно-обменные):
где
V (1, 2) = V (гъ г2) [1F -}- ВРО—НРТ—МРС Рх],
(6.54)
Рс
±{1+01.^-,рх=±
(1 +Т1’Т2)»
(6.55а)
и оператор Майорана в силу антисимметричности волновых функ-
ций двух нуклонов эквивалентен оператору обмена пространствен-
ных координат этих нуклонов:
РХ = —РОРХ. (6.556)
176
Коэффициенты в (6.52) и (6.54) связаны соотношением [1231
где взято обычное условие нормировки
U7 + В + И 4- Л1 = 1.
Обратное преобразование имеет вид
/Г\ /1-1-1 1 \ /Ооо\
I В I I 0 2 0 —2 1 | с1э I
I Н I I 0 0 —2 2 I I ай1 Г
\М J \0 0 0—4/ \atlJ
и нормировка коэффициентов а есть
«оо ' • «ю 3a0i — Зйц — 1.
(6.566)
(6.56в)
(6.56г)
Используя формулы (6.51в) и (6.52), можно получить удобное
для расчетов выражение для матричного элемента взаимодействия.
Его вывод требует широкого (и фактически весьма утомительного!)
применения методов алгебры Рака, которые рассмотрены в прило-
жении А т. 2 [см. формулы (ПАЛО), (ПА.45) и др.]. В результате
получается следующее выражение для матричного элемента взаимо-
действия в //-связи [183, 271]:
<Ф£| V |^v>J7- = [^lu—«оо+(3^70— 6ti) (Оц — o0i)] А +
4- [«ю+ (36г0--6г1) Оц] В + [6то(«(м F + «юс) +
-4 («oi f + «и О)] С, (6.57а)
где
Л = (-1) 'о+'г+-'о+^+-' Д(4л)-1 2 W7 (inhioh; ZJY*
(6-57б)
177
(тройки чисел Zo, /т, X и /ц, Zv, X должны порознь подчиняться пра-
вилу треугольника и складываться только в четные числа);
5 = ( — 1) ‘ ^+/'v г Zv !al-thkjvjcjx х
X Г lx jx Iv /г • J j Uz ! la jo ‘ ji jii, J J X
X (2л)"1 £ (ZT Zo X1000) (Zv /ц XI 000) r (Za lx 1Ц lv\ XJ) D%,
(6.57b)
C — (2л) -1 (— 1)'» ~ i„ j, jK jv /т /V J | --L 0 ) X
x (/»in J15-------у o\ Д-ЧЯ J #= 0.
F-=J~‘Ej-. (6.57г)
G= V1 !(-lESrfm^lJ)f„n(SlJ), для J 1=0 (6.57Д)
(здесь уже Zv, Zx, X и Zfl, lc, X порознь подчиняются правилу тре-
угольника и складываются в четные числа). Для J ~= 0
F = Ео; G — ЗЕХ; (6.57е)
при этом условие треугольника и правила четности остаются теми
же, что и выше. Отметим, что поскольку взаимодействие является
скаляром в обычном и изоспиновом пространствах, то его матричные
элементы диагональны по J и Т— полному спину и полному изо-
спину двух частично-дырочных состояний, по которым берутся ма-
тричные элементы. По тем же причинам они диагональиы и по кван-
товым числам М н Т,—проекциям спина и изоспина. Радиальные
интегралы имеют вид
DX = $ Г1 rlri f гг dr2 Rv (ri) Ro (Гг) VS; (rlt r2) R» (r,) Rx (r.)
b b
(6.58а)
для необменных членов н
£ж = j г? dr! rl dr2 Rv (rj R„ (r2) Vg; (rn r2) Rx (rj R» (rs) (6.586)
b b
для обменных членов. Величины W в (6.57) — коэффициенты Рака,
которые кратко обсуждались в приложении А т. 2, где также опре-
делены и функции ;TV (X1J) [см. также (7.36в)].
Поскольку рачеты по методу Хартри — Фока не выполнялись,
то вид радиальных волновых функций в (6.58) неизвестен. Очень
178
простой выход из этого положения, который хорошо оправдал себя
в расчетах свойств ядер*, заключается в том, чтобы в качестве одно-
частичных радиальных функций выбрать радиальные функции гар-
монического осциллятора. Когда эти функции нормированы на
единицу:
^£2(r)r2dr = l, (6.59а)
О
их можно записать в виде
---— — I 2'-,,+ 3(2/+2„-1)!! ]‘/2
= л 1 а - | 1)1 j Х
х(аГ)'ехр [-А (ю)«] (- 1)*2‘*
(2/+1)П
(2/+2Л + 1)!! V ’
(6.596)
где используются такие обозначения, в которых нижайшее осцил ля -
торное состояние имеет главное квантовое число п — 1 н величина
a = (M<dh~1)1/2 (6.59в)
является радиальным параметром осциллятора с угловой частотой со.
Энергия осциллятора равна
£п| = йо)|2(п—1) + Z + -|-|. (6.59г)
Приведем некоторые частные случаи для этих радиальных функций
Ли = яг
Г ,' + 2 И/2 г । -j
“ ' (21 + 1)!! | (аГ) “Р [~Т(аГ) ]
1/4а3'2[^в],/2(аг)'ехр(“тИ
(6.59д)
х[4-(2Л-3)-(аг)'-1; (6.59е)
Л„ = л->/’аЗ/г [ у/2(аг)'ехрI----*-(аг*)] х
х [— (2/4-3) (21 |-5)- (21 + 5) (аг)2 + (аг)4]. (6.59ж)
1. 4
* См., например, работу [271], где в частичио-дырочиых расчетах ис-
пользуются радиальные волновые функции, полученные для более реалисти-
ческого потенциала Вудса — Саксона. Результаты очень близки к тем, кото-
рые получаются для ямы гармонического осциллятора.
179
мость, оомениыи член дает вклад
. <6v\V\tJl> <6V\V\)1T>
Прямой Обменный
Рис. 6.5. Диаграммы для прямого и
обменного матричных элементов ча-
стично-дырочного взаимодействия
в формуле (6.30)
Свойства матричных элементов взаимодействия и их связь ос
структурой ядра обсуждаются в следующей главе. Здесь мы отметим
лишь некоторые качественные свойства. Из (6.30) следует, что в за-
дачу входит как прямой, так и обменный матричные элементы, т. е.
— (ov|V|tja) и <ov|V|p.T> соответственно. Их диаграммное пред-
ставление дано иа рис. 6.5 (используется диаграммный язык гл. 4).
Можно приближенно считать, что для короткодействующих сил,
имеющих относительно слабую спиновую или изоспиновую зависи-
главным образом для состояний
с Т = 0 (и S = 0). В этом слу-
чае он обычно больше прямого
члена примерно в четыре раза
за счет того, что нуклон имеет
по два значения спина и изо-
спина. Поскольку исходное
иуклон-ну клонпое взаимодей -
ствие в основном притягиваю-
щее, то частнчно-дырочное взаи-
модействие (6.30), которое отли-
чается от него знаком, имеет
тенденцию к отталкиванию. Та-
ким образом, прямой член будет
действовать так, чтобы увели-
чить энергию lpl/i-возбужде-
ний, а обменный член будет
притягивающим и будет пони-
жать их энергию. Для состоя-
ний с Т = 1 вклад обменного члена невелик, так что уровни с
Т = I повышаются, но для состояний с Т — 0 обменные слагае-
мые важны и уровни понижаются.
После того как эмпирически получены одночастичные энергии
н с помощью (6.57) и выбранного нуклон-нуклонного взаимодейст-
вия (6.52) вычислены частично-дырочные матричные элементы, мож-
но построить и диагоиализовать секулярную матрицу для нашей
частично-дырочной задачи. Несколько подробнее это обсуждается
в конце настоящей главы и подробно в следующей главе, но этот
анализ будет более полезен, если предварительно рассмотреть ис-
пользование полученных собственных функций для расчета вероят-
ностей переходов. Рассмотрим здесь только электромагнитные пере-
ходы. В них входят одночастичные операторы*
М = 2 <« I Al I ₽> ai Оц.
а. S
(6.60)
* Использование координат частиц, которые определяются относительно
центра масс ядра, приводит для мультиполей, отличных от Е1, к примеши-
ванию многочастичных эффектов. Однако мы не будем учитывать здесь эти
эффекты (см. § 4.2 т. 2).
180
Для расчета вероятности перехода между основным н частично-
дырочным возбужденным состояниями, например (6.28), необходимо
знать матричный элемент
;Фц|Л1|Ф> = 5 <а|7И |₽><Ф|Сц ааа£ а₽|Ф>
<х, ₽
=» v (а | м I ₽> бао -= <а | МI ц>.
а, |3
(6.61)
Если рассматривать переходы из основного 0+ в возбужденное со-
стояние со спином .7, то в задачу войдет мультиполь порядка L— J.
Будем в дальнейшем рассматривать только электрические переходы,
так как в силу теоремы Зигерта* они меньше зависят от специальных
предположений, касающихся природы взаимодействия между ядром
и электромагнитным полем. Четность возбужденного состояния
определяется правилом я ; (—1)Л Оператор этого ЕЕ-перехода
пропорционален величине
Л1 = ^Г£д,(г')[^-(1 + т3)] ,
(6.62)
где изоспиновый проекционный оператор используется потому, что
заряд имеют только протоны, н, следовательно, только они участ-
вуют в электрических переходах. Подставим (6.62) в (6.61) и восполь-
зуемся формулами (6.51) для частично-дырочного состояния в схеме
//-связи:
ЖФц| Л1|ф>= 2 ( мицИц—х
’ц.’-с V 2 .1
—т^ШаМ) X
X J Ч (r) r“' (r > г'ц S (•)dT X
X J Ro (г) r'R, (г) гг dr.
(6.63)
* Эта теорема доказывается в § 4.1 т. 2, а также рассматривается модель-
но-независимым способом в конце настоящего параграфа. Теорема Зигерта
позволяет заменить плотность ядериого тока плотностью заряда н, следо-
вательно, уменьшает (но не устраняет) трудности, связанные с влиянием ме-
зонньцс эффектов на электромагнитные свойства ядер.
181
Используя формулу (ПА.26а) т. 2 и аппарат теории угловых момен-
тов, который обсуждается в т. 2, получаем
JT <Ф£IЛ1 |Ф) = (- 1)'ц-'/2+г [8л (2J 4-1)]-> 21 и Z „ Д /0 х
X (/„ /с J | ООО) W11» }„ /„ j„-, -L J') f Ro (г) Л (,) dr _
' о
= (- l)^'/2-r(8„(2i/ + 1)]_1/2y(i-.(j^.(ij(ii/|_i___Lo)x
х$ ЯД')'2*, (6.64)
О
где последнее равенство следует из формулы (ПАЛО) т. 2. В случае
£1-переходов изоспиновые правила отбора таковы, что Т = 1
(см. § 4.3 т. 2).
Наги метод в рассматриваемой частичио-дырочной модели сос-
тоит в том, чтобы, используя (6.30) и (6.31), получить секулярную
матрицу, схематически показанную на рис. 6.2, и обрезать ее в ча-
стично-дырочном подпространстве. Одночастичные энергии полу-
чаются, как показано, например, на рис. 6.3, и матричные элементы
рассчитываются с помощью формул (6.57). Затем секулярная матри-
ца диагона л изуется; в результате получаются собственные зна-
чения, которые следует сравнить с наблюдаемыми энергиями воз-
буждения ядра, и собственные векторы, чьи компоненты хац описы-
вают амплитуды, с которыми чистые частично-дырочные конфигура-
ции |Фц> смешиваются в рассматриваемом ядерном состоянии.
Собственные векторы обычно нормируются так, что
(6.65)
Тогда матричные элементы для перехода в возбужденное состояние
(6.66)
о. ц,
даются выражением
/Г<Ф | МI Ф> = JT <ф£ IЛ11 ф>, (6.67)
которое можно рассчитать с помощью (6.64).
В качестве примера рассмотрим фотоядер ный гигантский ре-
зонанс на ядре 2sSi. В табл. 6.2 приведены соответствующие конфи-
гурации и матричные элементы дипольных переходов, полученные
из выражения (6.64) для Т =--= 1 с использованием радиальных вол-
новых функций гармонического осциллятора. В ней также протабу-
лированы диагональные матричные элементы взаимодействия для
182
Таблица 6.2
Базисные конфигурации частично-дырочной модели для £1-резонанса в 28Si.
Результаты в последних трех столбцах получены с использованием
радиальных функции гармонического осциллятора с параметром сс.
Матричные элементы взаимодействия рассчитаны для потенциала
V —V0(l—»]-|-т;О1О2) 6(fj—г2) с параметрами
______________(4л)~1У<(а8= —10,92 Мчв и =0,135 [183]
S § S-& ?£ ic-a Конфигурация S <7 ® (—4n>1/2a,tX х(Ф° |м| ф' 4 И1 ’ z is-* h «S Диагональный
1 (’ rf5/2)-1 1 h/2 12,3 3,46 57 5,0
2 (* d5/2)~12 Рз/2 13,6 1,55 11,5 2,4
3 0 Pl/2)-1 2 “1/2 13,8 —0,82 3 1.8
4 (' Pl/2)-1 1 d3/2 15,1 1,83 16 2,8
5 0 d5/2)-1 1 /g/2 18,5 0,77 3 2,2
6 (i P3„)~12 sl/2 19,9 1,15 6,5 0,2
7 Рз/2)-1 1 d3/2 21,2 0,82 3 2,4
сил нулевого радиуса. Отметим, что между величиной диагонального
матричного элемента и дипольной силой для соответствующей кон-
фигурации имеется значительная корреляция. Этот результат в ос-
новном обусловлен множителями, которые содержат угловые момен-
ты. Как будет показано в следующей главе, это является общим свой-
ством частично-дырочной модели и решающим обстоятельством для
получения когерентных свойств гигантского резонанса. Большой
диагональный матричный элемент для конфигурации с нижайшей
энергией сдвигается в область около 17 Мэв, где он может заметно
смешиваться с несколькими другими состояниями. Это видно из
табл. 6.3, в которой представлены элементы секулярной матрицы.
Таблица 6.3
Секулярная матрица для Е1-резоианса в 28S1, полученная из табл. 6.2.
Секулярная матрица симметрична, поэтому приводятся только
элементы верхнего треугольника
Номер конфигурации 1 2 3 4 5 6 7
1 17,34 0,40 —1,54 1,87 —0,63 0,99 —0,18
2 — 15,97 —0,34 —0,59 0,34 0,54 i,46 —0,44
3 — — 15,62 —0,15 —0,51 0,20
4 — — — 17,87 1,60 0,63 2,07
5 — — — — 20,72 0,84 2,07
6 — — —. — —- 20,08 0,47
7 — — — — — — 23,61
183
Результаты диагонализации и дипольные силы, которые пропорцио-
нальны величине
к<^|Ж|Ф> |2,
(6.68)
рассчитанной с помощью (6.67) и нормированной на 100%, показа-
ны в табл. 6.4. Видно, что большая часть дипольной силы, 57%
которой для невозмущенных lpl/i-состояний было ранее сосредото-
чено на уровне 12,3 Мэв, сдвигается в область от 19 до 26 Мэв,
т. е. приблизительно туда, где экспериментально наблюдается фото-
ядерный гигантский резонанс в 28Si. Рассмотрение этих вопросов
будет продолжено в следующей главе.
Таблица 6.4
Результаты расчетов уровней
fl-резонанса в 28Si
Энергия,
3
4
10
19,0
19,9
22,7
25,8
31
10
22
20
Заканчивая рассмотрение матричных элементов перехода, важ-
но отметить, что в этом вопросе довольно отчетливо проявляются
некоторые существенные недостатки частично-дырочной модели.
Например, выражение (6.68) не дает абсолютных значений полного
сечения фотопоглощения. Для их получения необходимо учесть мно-
житель, который содержит энергию рассматриваемого уровня. Одна-
ко когда это пытаются делать, то возникают неопределенности. Что-
бы понять, почему так происходит, воспользуемся нашей моделью
и получим теорему Зигерта для матричных элементов £1-переходов.
Сначала постулируем оператор одночастнчного тока перехода
<₽lj(r)l«> =----(J+T8) + j^.r”(r)’
(6.69)
где последний член представляет собой вклад тока намагничивания,
дивергенция которого равна нулю. Для расчета матричных элемен-
тов перехода требуется величина
§(Р1 j (г)1 ехр (ik-r) dr,
(6.70)
где к — волновой вектор фотона н е — вектор поляризации.
Для £ 1-переходов в длинноволновом пределе kR <<С 1 плоскую
184
волну можно / заменить единицей, н выражение (6.70) принимает
вид
5 <₽li(r)l“> ' edr== §<₽|j(r)l“>-V(E-ijdr =
= - J V-<p | j (r) | a> y irfi/l ' pqf; V2q„-
---<fa V2 <pp] e • rdr, (6-71)
где в последнем равенстве использовано выражение (6.69) и не вы-
писывается проекционный изоспиновый оператор. Величины <р
в (6.71) представляют собой одночастичные функции, получаемые
решением уравнения Шредингера для задачи Хартри — Фока. Ис-
пользуя это уравнение, находим для (6.71)
ie/i"l(eh —Ea)^(fP,r-E(f’at/r, (6.72)
где £a и ер — одночастичные энергии Хартри— Фока. Если взять
вектор поляризации параллельным оси г, то матричный элемент
в (6.72) пропорционален тому, который использовался в (6.62)
для L ---1 и М — 0. Существенная трудность состоит в том, что при
возведении в квадрат выражения (6.72) для получения вероятности
фотопоглощения в (6.72) входит разность невозмущенных энергий
Однако если мы получаем оператор (6.62) с помощью мо-
дельно-независимого вывода теоремы Зигерта, как это сделано в
§4.1 т. 2, то при вычислении вероятности поглощения всегда
приходится использовать истинные (т. е. возмущенные) энергии.
Эта неопределенность свойственна методу описания возбужде-
ний ядра, основанному на приближении Тамма — Данкова*. Труд-
ность усиливается тем, что теорема Зигерта играет важную роль
в получении фотоядерных правил сумм для El-переходов. Этн пра-
вила, выведенные в § 4.6 т. 2, гласят, что в пренебрежении ядер-
ными обменными силами
2^<’d£, = 2 2 4лг(£;—£г)(йс)-1е2ф|<Лг|/>|2 =
f J f нуклоны
= 60 NZA-1 Мэв-мбарн, (6.73)
где в интеграле в левой части интегрирование выполняется по
ширине конечного состояния f (по f затем выполняется суммирова-
ние); еэф — эффективный заряд нуклона для El-переходов. Прн
применении соотношения (6.73) для нашей задачи Ef — Et представ-
ляет собой энергию возбуждения, отсчитанную от основного состоя-
* Рассматриваемая ситуация несколько усложняется тем, что обычно
вместо истинных волновых функций Хартри—Фока используются прибли-
женные, напрнмер волновые функции для ямы гармонического осциллятора,
для которого ер — ea -- fto. Однако это усложнение относительно несу-
щественно [128L
185
ния. Для нашей задачи без возмущения, когда, например, исполь-
зуются функции гармонического осциллятора, эта энергия равна
невозмущенной энергии йсо и правило сумм (6 73) выполняется, когда
энергия входит вместе с осцилляторными функциями. Однако после
диагонализации секулярной матрицы средняя энергия Ej — Et
увеличивается (ср. табл. 6.2 и 6.4), а сумма квадратов дипольных
матричных элементов остается той же самой, поскольку процедура
диагонализации содержит унитарное преобразование. Вследствие
этого левая сторона последнего равенства в (6.73) для задачи с воз-
мущением будет больше, чем значение правила сумм даже в случае
отсутствия обменных ядерных сил. Для того чтобы преодолеть этот
недостаток частично-дырочной модели, в наш подход необходимо вве-
сти некоторые важные изменения.
§ £.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ ФАЗ
Частично-дырочная модель, которая рассматривалась до сих
пор, характеризуется двумя существенными предположениями.
а. Принимается, что основное состояние представляет собой
состояние, в котором все одночастичные уровни Хартри — Фока
полностью заполнены ниже уровня Ферми.
б. Гильбертово пространство векторов состояний обрезается,
так что пренебрегается лрлА-состояниями с невозмущеиными энер-
гиями, большими некоторого произвольного значения (приближение
Тамма — Данкова).
Помимо дополнительного упрощения приближений, касающих-
ся энергий и волновых функций одночастичных уровней, эти даа
предположения приводят к весьма серьезным трудностям. Как уже
отмечалось при обсуждении соотношений (6.38) — (6.42), основное
состояние в методе Хартрн — Фока не является собственной функ-
цией оператора полного импульса ядра; тем же свойством обладают
и возбужденные состояния. Это приводит к тому, что становится воз-
можным смешивание «духового» (spurious) состояния, обусловлен-
ного движением центра масс ядра, с обычными возбуждениями ядра,
описываемыми с помощью частично-дырочных конфигураций. Ду-
ховые состояния соответствуют движению невозбужденного ядра
как целого в фиксированной фиктивной яме Хартри—Фока. Та-
кое состояние можно построить, например, если подействовать опе-
ратором полного импульса ядра на основное состояние Хартри —
Фока:
|'Гпух> = Р|Ф>. (6.74)
Для покоящегося ядра мы должны были бы получить нуль, но
в методе Хартри — Фока это не так. В данном" случае возникает
духовое состояние, квантовые числа которого для ядра с замкнутыми
оболочками: 3 я =1~, Т = 0. При описании 1~-уровней с Т О
в частнчио-дырочиой модели духовое состояние, вообще говоря,
будет присутствовать как компонента в каждом из рассчитываемых
186
собственных состояний. Чтобы описание I “-уровней с Т — 0 было
достаточно надежным, необходимо каким-либо образом исключить
из теории эти духовые компоненты.
Вторая трудность, с которой мы встречались при использовании
частично-дырочиой модели, состоит в невозможности удовлетворить
фотоядерному правилу сумм (6.73). Это означает, что наша модель
не дает правильные абсолютные значения для вероятности фотопо-
глощения нли фотоиспускаиия. Еще один недостаток модели прояв-
ляется при сравнении с экспериментом результатов расчета для со-
стояний с Т = 0. В этом случае, как будет показано в следующей
главе, модель ие может объяснить опускание уровней в области до-
статочно инзкнх энергий н не может правильно предсказать вероят-
ность переходов.
6.3.1. Уравнение движения в приближении
хаотических фаз
Указанные выше недостатки можно устранить, если рассмотреть
приближение хаотических фаз (random phase approximation — RPA).
Этот метод можно получить несколькими различными способами.
Начнем с весьма простого подхода, в котором соответствующие урав-
нения движения получаются из линеаризационной процедуры *.
Будем исходить сразу из гамильтониана (6.13), в котором греческие
индексы относятся к одночастичным базисным функциям Хартри —
Фока. Основное состояние ядра будем описывать функцией |ЧГ>,
которая является более общей, чем (6.14), в частности она должна
содержать корреляции нуклонов в основном состоянии. Состояние
{Т) удовлетворяет уравнению
Н |Т> =£0|¥>. (6.75)
где Ео—энергия основного состояния. Для описания возбужден-
ных состояний введем оператор такой, чго
[//,&] =fiS2„Q* (6.76)
Тогда состояние
|У„>^Й|Т> (6.77)
будет иметь энергию Ео + Еп = Ео Т М2П, так как
fl (ЙI vj) = [Н, Й] I+ Й Н | (£„ + Ы2„) ЙI Т>. (6.78)
Если можно иайти набор операторов Qn, удовлетворяющих
уравнению (6.76) для энергий возбуждения hQn, то тем самым мы
* Ниже будет также показано, как можно получить RPA, используя
зависящий от времени метод Хартри—Фока.
187
получим возбужденные состояния системы. С этой целью посту-
лируем
й - У 4? Чйх “У й„- (679)
О, Л О. Л
где, как и прежде о, т, ... относятся к уровням Хартри— Фока,
которые не заполнены для основного состояния |Ф > без учета кор-
реляций [см. (6.14)], a Z, ц, ... относятся к заполненным уровням
в | Ф >. Отметим, что результат действия второго слагаемого на [ Т>
не равен нулю, поскольку в основном состоянии допускаются при-
меси частично-дырочных возбужденных состояний. В этом заключа-
ется существенное отличие состояния | W) от |Ф>.
К сожалению, нельзя надеяться получить общее решение урав-
нения (6.76), если принять исходное предположение (6.79), посколь-
ку левая сторона уравнения (6.76) будет содержать члены с четырь-
мя операторами рождения и уничтожения [см. ниже (6.816)], а пра-
вая сторона не может иметь больше двух таких операторов. Таким
образом, в выражение (6.79) должны были бы входить поправочные
члены, содержащие 2р2А-возбуждения и возбуждения более высо-
кого порядка. Мы избавимся от поправочных членов этого типа
путем линеаризации уравнений движения (6.76); в частности, при
появлении комбинации а^арауО^ она заменяется по правилу
ai <°р ЙЛ~Й₽ ач ЙЛ й, <аа йв>0"
“Чйт<й£й«>»- (6'80а)
Здесь <СрСт>0-—средние] по невозмущенному основному состоя-
нию:
<Чйг,>о^<Ф|йрйт|Ф> = 4т. (6.806)
где 6p,Y равна единице, если р — у и р относится к заполненному
уровню в |Ф>, и равна нулю в остальных случаях. Таким образом,
линеаризующая замена имеет вид
&а Щ а&—>-а^ а$ $ру ар ара^Ь^ а^ Щр&рц- (6.80в)
К сожалению, формула (6.80в) мало обоснована. Можно только ска-
зать, что ее использование позволяет учесть эффект корреляций
в основном состоянии, т. е. то, что мы хотим изучить. В действитель-
ности оказывается, что использование соотношений (6.76), (6.79)
и (6.80в) уменьшает недостатки приближения Тамма — Данкова,
которые отмечались выше.
При подстановке выражений (6.13) и (6.79) в (6.76) получается
коммутатор
[Ga ар, Uy а$] — Ъур а& at) щ ар
(6.81а)
188
и второй коммутатор, который следует записать следующим образом:
[Оа Ср Cq Со С/,] — 6<jy^сс Ср Сб С^— Ср СбС^—|~
Т 6<j6 Cq, Qp Cfy, Gy- 6р?„ G(x G@ Uf) £Ц> —> 6q^ [Са Gfy, брб “t" Cp Сд
G&, С p~ С7ибад]— бауДСа Су брб—Cq Сббру]-|-
4" бод i&a Q'V брхД"Ср С^,6ау— C^ С^бру Ср Субах]—
бру 1«о Сббау Gq Су бад] • (6.816)
Это приводит к выражению
акх$~- ^sza<f й>-^Й’ г 3 <«7. | V'| )«> (;Ja..xg> |
+ <?е»4йо4”!- S K<ao|V|A«>a«fleC’ =
= Л<>„ Й = М>„ [2<г;ск^—2^о„РЙ!]- (6-82)
Приравнивая коэффициенты при а% получаем
(е„- 4-'№п) 42 + s K<V I v | &> 42- (отIVI (А>421 = 0 (6.83а)
Т. и
(ео—EZ + ййп) у^1 — 2 [ I v I рс> 42 — (4х Iv I 42] = о.
Определим эрмитову матрицу А соотношением
Att, тц = (ео—ех) бат бхц + <<7р | V | Х.т>
и введем симметричную матрицу В
BGX,TJL=<Ot|V|Zp>.
Тогда уравнения (6.83) можно записать в виде
(6.836)
(6.84а)
(6.846)
(6.85а)
(6.856)
Из последнего уравнения следует, что необходимо решать задачу
на собственные значения для неэрмитовой матрицы. Кроме того, вид-
но, что если В = 0, то решение уравнения (6.856) сводится к прибли-
жению Тамма — Данкова. Наконец, из уравнения, комплексно-со-
пряженного уравнениям (6.85), следует, что отрицательные собствен-
189
ные значения имеют ту же абсолютную величину, что и положи-
тельные собственные значения:
I'4 В 1[У* | (6.86)
в* я*/ I х; I 1 -х; /
Так как в уравнение (6.856) на собственные значения входит неэрмн-
товый гамильтониан, то не очевидно, что собственные значения
должны быть вещественными. Однако можно показать [505, 5071,
что если для данного хартри-фоковского базиса невозмущенное ос-
новное состояние |Ф) минимизирует среднее от гамильтониана, то
для того же самого базисного набора величины £„ должны быть ве-
щественными. Приближение хаотических фаз описывает устойчивые
колебания около соответствующих решений Хартри—Фока. Кроме
того, в этом случае разность Х„Хп~ УпУя должна иметь тот же
знак, что и £„, и может обращаться в нуль, только если Еп = 0. В
дальнейшем мы будем предполагать, что соответствующий базис
Хартри—Фока взят таким, что все собственные значения уравнения
(6.856) вещественны.
В рассматриваемом случае достаточно обычной процедуры, чтобы
доказать, что собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям уравнений (6.85), ортогональны. Из (6.85а)
имеем
(А;;"г;"'(в* л*) (?;)=*«»<**•1('_?;)• (6-87)
тогда как комплексное сопряжение уравнения (6.85а) дает
(А7„, У7,)[^. Я (6.88)
' £* А*/
отсюда
У (?;)
^-ЙЯ„(Х+ХП-^ У„). (6.89)
Таким образом, для получаем
(Х£,-П)[*") = 0, (6.90а)
JO=°- (6'906’
Это означает ортогональность при индефинитной метрике
(‘ 0). (6.90В)
190
Векторы состояния можно нормировать, используя индефинитную
метрику
(Х,Г, -У,Г) “sign (Q„). (6.90г)
Можно показать, что решения уравнений (6.85) образуют полный на-
бор при условии, что собственные значения, равные нулю, отсутст-
вуют; для каждого нулевого собственного значения в наборе реше-
ний будет ие доставать одного собственного вектора.
Прежде чем перейти к обсуждению амплитуд перехода в прибли-
жении хаотических фаз, необходимо более подробно рассмотреть
структуру векторов состояний в этом методе. Сначала докажем, что
если | Чг> есть физическое состояние, то
(6.91)
Для этого отметим, что для физического состояния Q+|1F> опе-
ратор должен удовлетворять уравнению (6.76) и соответствую-
щее эрмитово-сопряженное уравнение имеет вид
[Я, (6.92)
Тогда
WQ„ I Т> = [fl, Qn[ |v>+Q„ Н | У) = (Eo—JQ„ | T>, (6.93)
так что если соотношение (6.91) не удовлетворяется, то Qn|T> яв-
ляется собственным вектором гамильтониана, соответствующим соб-
ственному значению, меньшему, чем энергия основного состояния,
что невозможно.
До сих пор природа основного состояния | Чг > достаточно подроб-
но не определялась. Было сказано, что | Т > — собственная функция
ядерного гамильтониана, соответствующая собственному значению
с нижайшей энергией. При этом подразумевалось, что она описывает
состояние, в котором благодаря взаимодействию уже могут сущест-
вовать частично-дырочные возбуждения. Таким образом, коэффи-
циенты в (6.79) не обращаются в нуль, когда оператор дейст-
вует на | Ч1, >. Наложим теперь дополнительное условие
< 'FI (боа at <1б - 6г.р ai аа) | Чг> = fiZ(16„а. (6.94)
Можно увидеть, что это условие разумно, если рассмотреть норми-
ровку возбужденного состояния в методе хаотических фаз:
<Y„ I V„> =<¥ |Q„Qi|'F> = <<F| [б,,, ft] I ¥> =
= S (6oo-6M.-aJ.o<,)—
о, X
o’, X'
—&У1А' <6°°' aS cO')l I (6-95)
191
где использованы соотношения (6.91) и (6.81а). Учитывая условие
(6.94), получаем
«X IХд-К* К„, (6.96)
как и должно быть согласно (6.90г).
Следует отметить, что основное состояние Хартри —Фока |Ф>
удовлетворяет условию (6.94), так как в этом случае второе слагаемое
в скобках равно нулю и первое становится равным Однако
с точки зрения метода хаотических фаз | Ф ) — просто частный слу-
чай векторов состояний общего класса, которые удовлетворяют усло-
вию (6.94).
6.3.2. Переходы и правила сумм в приближении
хаотических фаз
Рассмотрим теперь амплитуды перехода в методе хаотических фаз.
Возьмем оператор перехода в виде (6.60). Матричный элемент пере-
хода между основным | Т ) и возбужденным состояниями | >
имеет вид
< Чг„ | МI У) = <У| МI У) = I [$„, М] I Т> =
= £ <ЧГ | х$* <а | М | р) (ваа at ац — f>;,s aj ao) +
a, p
- т-0®*<«|Л1|Р> (Son ой On)| 4r> =
= 2 [*S? <« | Л41 ₽> ь,с б;.|, -J- уу-)> IMI p; ₽0|i =
a, p
= S <° IMI <л IM | о» = X* 7W* - r„+ My. (6.97)
Здесь были использованы соотношения (6.91) и (6.97) и введен век-
тор-столбец
\<v j Ж|т> /
Таким образом, амплитуду перехода можно записать в виде
< Ч'„ | м I т> = (А-, Г+) (). (6.99)
\ Му/
Теперь можно рассмотреть, как в методе хаотических фаз устра-
няются некоторые нз трудностей, свойственные методу Тамма—Дан-
кова. Главную рать здесь играет следующая теорема [507]:
22|(Т„|Л1|Чг;Р(£„-Е(|) = <Ф|[Я [Л/,М]]|Ф), (6.100)
192
где суммирование в левой части выполняется по всем возбужденным
состояниям. Равенство (6.100) напоминает правило сумм, но отли-
чается от него тем, что в левую часть входит основное состояние | У),
а в правой части среднее берется по основному состоянию Хартри—
Фока |ф>. Если двойной коммутатор оказывается с-числом (как в
случае фотоядерного правила сумм без обменных сил, когда М = z),
то правая часть сводится к этому числу и соответствующее правило
сумм выполняется в методе хаотических фаз. (Если двойной комму-
татор есть оператор, то можно сделать простые оценки.) Наконец,
если М коммутирует с гамильтонианом, как это имеет место, напри-
мер, для оператора полного импульса Р, то правая часть равенства
(6.100) равна нулю, и любое состояние связанное с основным
состоянием посредством оператора М [см. (6.74)1, должно иметь соб-
ственное значение, равное нулю. Поскольку такое состояние долж-
но быть духовым состоянием, то это дает возможность исключить
духовые состояния, просто отбрасывая все решения уравнений дви-
жения в методе хаотических фаз, которые имеют Еп = Ео.
Для доказательства соотношения (6.100) обозначим решения
уравнений (6.85), соответствующие положительной энергии, индек-
сами 1,2,..., А, а решения, соответствующие отрицательной энергии,
—индексами N 4- 1, А” + 2, ..., 2А. Затем перепишем левую часть
равенства (6.100), вводя решения с отрицательной энергией и поль-
зуясь уравнениями (6.85). Получим
2 2 |<Ч'„|Л}|Т>р/.£2„= 2 2 |(’Г„|М|’Г>|«|ЛЯ„1 =
/1 = 1 П=1
«=1 «=w4-i
I к 2ЛГ \ I / \ I2
= 2- S (A„\ УД A й£2„ =
\n=l л-w+l/l \ЖГ / I
/TV 2N \ /X \
= I S - 2 (Ж ,-ж?) 7 (x„+, -F,t) X
\n=l n=N+l/ \Yn J
/ Mx \ / N 2N \
x M PM2’ 2
\ mY / \n=I n=N + lJ
7 Зак. 532
193
где последнее равенство получено с помощью свойства полноты
решений уравнений (6.85). Правая часть равенства (6.100) легко вы-
числяется, если воспользоваться коммутационными соотношениями
для операторов рождения и уничтожения [см., например, (6.81)1
и соотношением (6.25). Результат равен последнему выражению
в (6.101), что и доказывает справедливость теоремы (6.100).
Как уже отмечалось выше, после доказательства равенства (6.100)
можно взять оператор Л1 в виде z-компоненты радиус-вектора нукло-
на, и в этом случае непосредственное вычисление двойного коммута-
тора сразу же дает фотоядерное правило сумм. Далее, выбирая
М —> Р (оператор полного импульса), можно воспользоваться соот-
ношением (6.42), чтобы показать, что все духовые состояния, дающие
ненулевые матричные элементы в левой части равенства (6.100),
должны иметь нулевые энергии возбуждения. Таким образом, в ме-
тоде хаотических фаз не существуют, по крайней мере в принципе,
два из наших главных возражений против метода Тамма—Данкова.
Однако практически положение ие является таким ясным, поскольку
истинные решения уравнений Хартри®»-Фока часто не используются,
а берутся лишь грубые приближения для иих. В этом случае равен-
ство (6.100) справедливо только приближенно*. В следующей главе
будут рассмотрены соответствующие численные результаты. Там
будет также показано, что в методе хаотических фаз возникают
более коллективизированные низколежащие уровни с Т = 0, чем
в случае метода Тамма — Данкова (что дает лучшее согласие с экс-
периментом). В заключение этой главы мы кратко рассмотрим,
как метод хаотических фаз получается в зависящем от времени
методе Хартри—Фока.
6.3.3. Зависящий от времени метод Хартри — Фока
Существует несколько различных способов вывода уравнений
метода хаотических фаз. Среди них метод частичного суммирования
графиков в диаграммном подходе и зависящий от времени метод
Хартри—Фока (time-dependent Hartree — Fock theory). Послед-
ний является естественным обобщением метода Хартри—Фока, ко-
торый был рассмотрен в начале этой главы.
Исходим из вариационного принципа, который представляет со-
бой обобщение вариационного принципа (6.15) на случай учета за-
висимости от времени:
6<Т(() |я—ift ^-|ч'(/)> = 0. (6.102}
В § 6.1 мы имели дело с решением этого уравнения
|Чг(/)> = ехр(-1£0/,/Й)|Ф>, (6.103)
* При этом также возникает возможность появления комплексных соб-
ственных значений для решений уравнений (6.85)! См. обсуждение после
уравнения (6.86).
191
где Ео — энергия основного состояния. Рассмотрим теперь более
общий внд:
| ¥ (/)>=ехр (—i £„ t/h) х
X[l + 2 2 ст11(/)с,+ ои]|Ф>, (6.104)
цA t > А
где коэффициенты (/) предполагаются малыми. Тогда, как и в
§6.1, мы имеем вариации в виде
6V (/) = бсоХ (/) а$ ак | Ф>, (6.105)
что вместе с (6.102) приводит к следующему уравнению для коэффи-
циентов:
i Л i сох (0 = (ео—ех) coi (0 +
4- 2, tS^K<’l‘|V|l/>cIll(0+<OT|VP4i>cJll(/)]. (6.106)
(Аналогично получается эрмитово-сопряженное уравнение.) Для ре-
шения этого уравнения движения введем зависимость от времени в
виде
(0 “ хаК ехр (—i QZ) 4- уоК ехр (i Q* /). (6.107)
Это дает уравнения для коэффициентов хс% и ус^, совпадающие с
уравнениями движения (6.83) в методе хаотических фаз, получен-
ными ранее:
tz)Aoz+ 2 [(<v|V|£b*Tu +
Т,ц
+ <от | V | Хр> yXll] = (6.108а)
(ео—ех) Уок 4- 2 [<ty IУ | <п> лчц 4-
X. и
4- <Лт | V | //хм ] = — ШуоК. (6.1086)
Они имеют вещественные собственные значения, если выполняется
условие устойчивости для зависящих от времени хартри-фоковских
решений, которое следует из (6.37). В этом случае зависящие от вре-
мени решения представляют собой устойчивые колебания около
решений, не зависящих от времени. В остальных случаях будет по-
лучаться неустойчивое движение*.
* #
Вопросы, рассмотренные в этой главе, обсуждаются в книгах
Таулесса [506] и Брауна [93], а также в обзорных статьях Вилларса
1519] н Брауна [91].
* Приближение малых амплитуд со^ (/) < 1 нарушается даже для устой-
чивого движения, если R =0. В этом случае отсутствуют восстанавливающие
силы для коллективного колебания, которое может линейно нарастать со
временем. Поэтому в зависящем от времени методе Хартри — Фока можно
получить полуклассическое описание не только колебательного, ио также
поступательного и вращательного движений (см. [506}).
7*
195
Глава 7, ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРТРИ —ФОКА И
ЧАСТИЧНО-ДЫРОЧНОГО ФОРМАЛИЗМА
В этой главе мы рассмотрим описание свойств ядер, главным об-
разом сферических*. При этом используются подходы, тесно связан-
ные с методом Хартри—Фока и частично-дырочной моделью в при-
ближениях Тамма—Даикова или хаотических фаз. Вначале показа-
но, каким образом частично-дырочная модель дает микроскопическое
описание коллективных колебаний, соответствующих гигантскому
резонансу. Затем рассматривается, как можно использовать эту
модель для подробных расчетов возбуждения гигантского резонанса
в процессах, отличных от фотовозбуждения. Обсуждается также ис-
пользование этой модели для описания иизколежащих уровней и
уровней положительной четности, а также применимость близких
моделей для ядер с незамкнутыми оболочками. Во всех этих достаточ-
но подробных сравнениях с экспериментом мы стремимся не к дости-
жению хорошего количественного согласия с экспериментом, а к то-
му, чтобы определить, может лн данная модель объяснить главные
свойства ядер. Очевидно, что получение согласия с экспериментом
является очень важным, но во многих случаях современные модели
еще недостаточно разработаны, чтобы получать такие количествен-
ные результаты. В действительности они могут объяснить ядериые
свойства в довольно широких пределах, указать области, в которых
требуется значительное продвижение в качественном понимании,
прежде чем можно будет надеяться вообще на какой-либо прогресс,
а также указать задачи, которые в ближайшее время могут быть
готовы для выполнения очень подробных расчетов.
Мы рассмотрим также использование реалистических нуклон-
нуклон ных взаимодействий для описания ядерных свойств, в част-
ности с помощью метода Хартри—Фока. Это позволит рассмотреть
теорию ядерной структуры, которая связана с первопринципами
настолько тесно, насколько это кажется возможным в настоящее
время.
* Легкие несферические ядра рассматриваются в гл. 8 с использованием
методов, в некоторых случаях похожих на методы, обсуждаемые в настоящей
главе.
196
§ 7.1. ГИГАНТСКИЙ РЕЗОНАНС В МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК
В т. 1 гигантский резонанс рассматривался как коллективные
колебания протонов относительно нейтронов, а в предыдущей главе
то же явление описывалось с помощью частично-дырочных возбужде-
ний. Эти даа способа описания можно согласовать между собой, если
учесть, что в микроскопическом подходе принцип Паулн действует
так, что все протоны или все нейтроны рассматриваются на равно-
правной основе*.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим очень простую «микроскопи-
ческую теорию» гигантского резонанса 182], которая для описания
ядра из Z протонов и N нейтронов использует потенциал чистого гар»
монического осциллятора
z . Z N р2 N
<71>
1=1 1=1 1=1 1—1
где k — осцилляторная константа. Определим полные импульсы
и координаты центра масс отдельно для протонов и нейтронов:
Ра^М (7.2а)
<=1 /=1
RzSSF(?Ir<’ (72б)
а также координаты н импульсы относительно этих величин:
г/ = Гг—Rz> г/ = Г/—Rwi (7.3а)
P.'^P.-^Pz, Р/ = Р>-77Р«- (7-36)
z N
Для последних величин справедливы соотношения
fr/=o, fr;=o, fP;=o, fP;=o. (7.4)
« = 1 j=I i=l j=l
Гамильтониан (7.1) можно теперь переписать в виде
+ -Lp?+ + + (7.5)
где
<7-6а>
i= 1 i = I
* См. в этой связи § 4.8 т. 2.
197
гамильтониан внутреннего движения для протонной группы, н ана-
логично для нейтронов
<76б>
j=l /=1
Введем центр масс и относительные координаты нейтронной и про-
тонной групп
R==4 Rz + 4 R.V, r=Rz—R„; (7.7a)
A A
P = Ps + Pw, p = -^Pz-^Pn- (7.76)
A A
С помощью этих переменных гамильтониан (7.5) записывается сле-
дующим образом:
/7 = HZ+HN +[—-— р*4-Г2] +
Ч 2AfZ2V 2 A J
+ |-\Р®+—ЛЛИ2]. (7.8)
12ЛМ 2 J ' '
Выражение в квадратных скобках представляет собой гамильто-
ниан, описывающий гигантский резонанс (колебание протонов отно-
сительно нейтронов) с энергией
42^_^_у/2^йШ’/2=йй)> (7.9)
[ A MZN J IМ J '
которая совпадает с энергией исходного осциллятора. Эта энергия
в действительности значительно меньше той, которая необходима
для объяснения наблюдаемого положения гигантского резонанса.
В следующем параграфе будет показано, каким образом учет нуклон-
нуклонного взаимодействия, который до сих пор ие проводился, при-
ведет к более когерентному движению с большей энергией.
Выражение в фигурных скобках (7.8) — гамильтониан центра
масс всего ядра. Он соответствует энергии духового движения центра
масс. Собственная функция гамильтониана (7.8) имеет следующую
структуру:
(гъ г2, ..., гл) = Фг(г/) Ф„ (г/) Фст (R) Ф (г), (7.10)
где Фсгп (R) — волновая функция, соответствующая движению цент-
ра масс, которая всегда должна входить в соответствующую волно-
вую функцию основного состояния осциллятора для того, чтобы ис-
ключить духовые состояния; Ф (г) описывает коллективные возбуж-
дения, соответствующие гигантскому резонансу, которые порож-
даются действием на основное состояние одночастичного дипольного
оператора
D=|(r(-R)=-^-r. (7.11)
198
§ 7.2. СХЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Учет частично-дырочного взаимодействия является той причи-
ной, которая приводит к правильной величине силы перехода и уве-
личению энергии гигантского резонанса от значения, равного А со,
до ее правильного значения (~-|~ Для того чтобы увидеть, как
это происходит, весьма удобно использовать схематические модели*,
которые объясняют указанные эффекты и позволяют получить даже
дюлуколичествен-ные результаты. Здесь мы рассмотрим модель по-
верхностного дельта-взанмодействия (surface-delta interaction —
SDI) для нуклон-нуклонных сил (см., например, 12441).
Предположим, что взаимодействие (6.52) берется в следующем
сильно упрощенном виде**:
V (1, 2) = (г, — г2)6(п — Я)(1 — т] + ад • <г2), (7.12)
где R — радиус ядра, Vo и -q — подгоночные параметры. «Оправда-
ние» для такого выбора потенциала, который действует только на
поверхности ядра, заключается в следующих двух фактах. Во-пер-
вых, в силу принципа Паули нуклон-нуклонное взаимодействие
приводит к рассеянию преимущественно на поверхности ядра, где
имеются состояния, в которые могут рассеяться нуклоны. (Это ут-
верждение фактически совпадаем с основанием для использования
приближения Тамма—Данкова, поскольку в нижайшем порядке
в этом методе можно использовать только конфигурации, входящие
в последнюю оболочку, нуклоны которой находятся вблизи поверх-
ности. Более глубокие оболочки исключаются в силу того, что прин-
цип Паулн запрещает нуклонам этих оболочек переходить на запол-
ненные соседние одночастичные уровни.) Во-вторых, нелокальные
свойства оптического потенциала взаимодействия нуклона с ядром
приводят к тому, что волновая функция нуклона внутри ядра не-
сколько подавляется 1517].
Разумеется, главная причина использования взаимодействия
(7.12) заключается в том, что оно в огромной степени упрощает обо-
лочечные расчеты и в то же время сохраняет достаточное сходство
с реальным взаимодействием. Эти преимущества позволяют получить
ценные результаты. Подставляя (7.12) в (6.53), имеем
VSS (г1>гг) = 2л V„ jj 6(Г1—rs)t>(zi—R)Pg (cose,2)dcose,2 =
= У,₽-’6(г1-Л)6(г,-Л), (7.13)
* Схематическая модель, подобная обсуждаемой здесь, впервые, была
^вменена к описанию гигантского резонанса в работе Брауна н Болстерли
* * Чля сил нулевого радиуса часть, зависящая от изоспииа, была бы
злишней в силу действия принципа Паули.
199
и нз (6.58) получаем
Dg = Eg — V^R-, (R)R„ (R)Rn (R)R, (R) 6- <7-14)
где греческие индексы, как и раньше, указывают на частичное или
дырочное состояния. Суммирование по £ в (6.57) можно теперь вы-
полнить; в результате получаем матричный элемент частично-дыроч-
ного взаимодействия
<Ф” ] VIФ1 > = — (М-1 G (—1)'* “Zv in fa fa fa x
---2~°) Г0)x
x[(l+(_l)i.+J2n)—26ro+2(--l)J+L(2n — l)8rol +
_i_(__l)'o+'*+'u_R’[J(-7+ — 2'1) — 4-r)6rol X
<715)
Для уровней гигантского резонанса (Ja — 1~, Т = I) имеем
<ф£ 1V | Ф?> = — (24л)"1 G (— 1 )^-/v /ц jv К h X
X {(1 + 2Г)) (к R 1 I ф0 ) (/« in 1 I ф —ф 0 ) +
_]_(__1) '<н-!т+/ц-'г-С(1 — 2,]) (fa in * I vOl’
(7.16)
Обсуждение намного упрощается, если в этом выражении
опустить второе слагаемое, т, е. рассмотреть чистые силы Бартлета
(tj = 1/2)*, хотя для этого не имеется ни большой необходимости,
нн достаточно убедительных аргументов. Тогда.
(7J7)
где
<U>=(-i)'“+1 '2 inln (fain 1 |Т—io]RRM(R)R0(R) (7.18)
— (12n)-1vo>0 (7-19)
для притягивающего иуклон-нуклонного взаимодействия. Из срав-
нения (7.18) с (6.64) видно, что выражение (7.18) очень похоже на
матричный элемент £1-перехода в состояние Ф “> в той мере, в ка-
* Более реалистичные значения »), вероятно, заключены в интервале
О 064 < т) < 0 135; первое граничное значение соответствует случаю рассея-
ния свободных нуклонов, второе - позволяет описать положение уровней
легких ядер (особенно 6Li).
кои это касается множителей, связанных с угловыми моментами.
Отсюда следует, что, как было продемонстрировано в § 6.2, большим
диагональным матричным элементам соответствует большая диполь-
ная сила.
Используя (7.17), получаем секулярное уравнение для поверх-
ностного дельта-взанмоденствия
Z^eiSu + '^'r!ir!Ac№=Eclk, (7.20)
где мы объединили индексы
частицы и соответствующей
дыр кн в (7.17) в одни индекс
и ввели
8i = e(OJA) ===Г<у -Вц. (7.21)
В факторизации взаимодей-
ствия (7.17), которое исполь-
зуется в уравнении (7.20),
проявляется огромное упро-
щение, даваемое поверхност-
ным дельта-взаимодействнем.
Это обусловлено тем, что секу-
лярное уравнение (7.20) мож-
но легко решить, если запи-
сать его в виде
eictt + «?'diXll = £cis. (7.22)
Тогда
cift = (£—(7.23)
где
Xk^J\djCjk. (7.24)
Из (7.23) и (7.24) получаем
дисперсионное уравнение
l=^2(£-ei)-M?, (7.25)
Рнс. 7.1. Графическое решение уравнения
на собственные значения в схематической
модели
которое следует рассматривать как уравнение на собственные зна-
чения для Е. Графические решения показаны на рис. 7.1. Видно что
большинство собственных значений помещается между е2- и
однако для (рис. 7.1, а), т.е. для состояний гигантского резсь
нанса с Т — 1, самое верхнее собственное значение сильно увеличи-
вается по мере того, как значение становится большим. Для этого
Уровня
(7.26а)
или для нормированных собственных векторов
Qfe — (7.266)
200
201
Поскольку величины d имеют большое сходство с дипольными мат-
ричными элементами, то из последнего результата следует, что самый
высокий уровень очень когерентен в том смысле, что его собствен-
ный вектор почти параллелен вектору дипольного перехода для час-
тично-дырочных состояний. Таким образом, этот уровень исчерпы-
вает почти всю дипольную силу- Иначе говоря, он обладает всеми
характеристиками уровня, который представляет фотоядерный ги-
гантский резонанс.
»Как следует из рис. 7.1, б, для состояний с Т = 0, для которых
эффективное отрицательно, когерентное состояние опускается по
энергетической шкале вниз. Далее будет показано, что такие состоя-
ния существуют.
Подход, .использующий поверхностное дельта-взаимодействие,
можно распространить до уровня полу количественного согласия с
более реалистическими теориями и с экспериментом путем диагона-
лизации истинной суммы факторизованных потенциалов (7.15) в
рамках метода Тамма—Данкова или метода хаотических фаз [236,
326]. Так же как и в рассмотренном случае, эта диагонализация сво-
дится к решению дисперсионного уравнения, что является доволь-
но легко выполнимой процедурой.
§ 7.3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ГИГАНТСКОГО РЕЗОНАНСА
В предыдущих двух параграфах было рассмотрено, как частич-
но-дырочная модель может объяснить свойства фотоядериого гигант-
ского резонанса. Сначала эквивалентность всех протонов между со-
бой и всех нейтронов между собой дала коллективное колебание при
действии одночастичным дипольным оператором на основное состоя-
ние. Затем связь между частично-дырочным взаимодействием и опе-
ратором мультнпольного перехода привела к коллективизации час-
тично-дырочных состояний. Таким образом, указанная модель опи-
сывает основные физические свойства гигантского резонанса. Необ-
ходимо выяснить, в какой степени рассматриваемая модель может
объяснить некоторые более тонкие свойства этого явления. В данном
параграфе это делается для нескольких механизмов возбуждения
гигантского резонанса: фотовозбуждения, возбуждения при неупру-
гом рассеянии электронами, в захвате мюонов и в радиационном
захвате пионов*.
7.3.1. Фотовозбуждение
Большая работа по проверке применимости частично-дырочной
модели в легких ядрах была выполнена Жил ле с сотр. 1221—223,
226]. Нуклон-нуклонное взаимодействие выбиралось в виде
V (1,2) = Уо ехр ( -р-21Г1-г212) (Г+ВРО-НРХ-МРО PJ. (7.27)
* Эти механизмы возбуждения подробно обсуждаются в т. 2.
2 02
В принципе различные параметры этого взаимодействия должны под-
гоняться по данным о рассеянии свободных нуклонов. Однако до
тех пор, пока мы ограничиваемся теорией, рассматривающей только
1р1Л-возбуждения, необходимо помнить, что более сложные 2p2h,
ЗрЗк, ... -конфигурации, которые мы не учитываем, могут оказать
влияние на результаты расчетов в нашей модели. Можно попытаться
их учесть явно (см. § 7.6). Но можно попробовать сделать поправку
на их влияние, если оставить параметры взаимодействия (7.27) .сво
бедными н подогнать их по экспериментальным свойствам яде]).
Последний подход приводит к феноменологическому эффективному
взаимодействию, которое'в некотором смысле учитывает влияние
многочастичных конфигураций. Гл*
В частности, Жилле подгонял параметры в (7.27) по положению
определенных уровней в легких ядрах. Таким путем он получил'зна-
чения параметров, приведенные в табл. 7.1. С этими параметрами
были рассчитаны свойства уровней = I" в О (см. табл. 7.2 и 7.3)
Видно, что дипольная сила для уровней с Т= 1 распределяется меж-
ду двумя уровнями при 22 и 25 Мэв. Первое состояние с наибольшей
дипольной силой представляет собой изоспиновую волну, в которой
протоны (tz = -1-1/2) и нейтроны (tz = —1/2) колеблются друг от-
носительно друга. Второе состояние представляет собой спин-изо-
спиновую волну, в которой протоны со спином вверх и нейтроны со
спииом вниз колеблются относительно протонов со спином вниз и
нейтронов со спииом вверх. Это состояние не должно было бы воз-
буждаться дипольным оператором, который не содержит спиновых
операторов. Однако изоспиновые и спин-изсспиновые колебания сме-
шиваются благодаря той части взаимодействия, которая зависит от
спина. Максимумы, в сечении фотопоглощения (при 22 и 25 Мзв)
действительно наблюдались в 1СО, но этому факту не следует прида-
вать большого значения, поскольку энергия этих уровней наряду
с другими использовалась для того, чтобы определить параметры,
приведенные в табл. 7.1. С другой стороны, теория примерно описы-
вает распределения дипольной силы между этими уровнями, что под-
тверждает справедливость модели. Наконец, отметим, что использо-
вание метода Тамма—Данкова не приводит к каким-либо заметным
изменениям для высоколежащих уровней с 7=1.
Таблица 7.1
Параметры эффективных двухчастичных сил (7.27), полученные Жнлле
а— осцилляторный параметр (6.59 в) [для 16О а=0,59 ферми~\
для 4сСа а = 0,76 ферма-1}, а—параметры в выражениях (6.52)
и (6.56). Константы, найденные для 4сСа, пригодны также для
использования в расчетах свойств 208РЬ [220, 225, 226], см. также [227]
Ядро /И ’ “В н М—W M + MZ— —в— н а to «Че
12с —40 1,02 0,4 0 0,6 0 —0,2 -0,3 —0,1
1«О —40 1,00 0,4 0 0.4 0,0125 —0,1375 —0,2875 - 0,0875
а"Са —55 0,8 0 0,4 0,5 0,1563 —0,0188 —0,1438 —0,1438
203
Таблица 7.2
Результаты частично-дырочных расчетов для
уровней с 7=1 в 1вО [221, 222]
Приближение Данко ва Приближение хаотичес-
квх фаз
Энергия. Дипольная Энергия, Дипольная
Мэв сила, % Мэв сила, %
25,4 26 25,2 20
22,7 68 22,2 73
19.6 2 19,6 2
18,1 1 18,1 1
13,6 3 13,5 4
Таблица 7.3
Результаты частично-дырочных расчетов
для уровней с Jn—1_, 7 = 0 в 1е0 [221, 222]
Приближение Тамма— Данкова Приближение хаотичес- ких фаз
Энергия, Перекры- тие с ду- ховым со- стоянием, % Энергия, Перекры- тие с духо- состоянн- ем, %
22,4 1 22,4 0
16,7 0 16,6 0
15,0 0 15,0 0
10,0 18 9,88 9
6,26 81 4,71 - 91
Однако для иизколежащих уровней с Т — 0 положение совершен-
но другое. В табл. 7.3 представлены расчеты перекрытия каждого из
состояний с духовым состоянием, соответствующим возбуждению
центра масс ядра. В методе хаотических фаз духовое состояние иа
100% должно концентрироваться иа уровне с нулевой энергией. Эта
тенденция имеется и в результатах, приведенных в табл. 7.3, но
теоретический результат ие достигается, поскольку в расчетах ис-
пользуются экспериментальные одночастичные энергии и волновые
функции гармонического осциллятора, а не истинные решения зада-
чи Хартри—Фока (см. § 6.3).
7.3.2. Возбуждение электронами
В то время как фотовозбуждение дает возможность сравнить ре-
зультаты теории и эксперимента для каждого уровня и соответствую-,
щей силы перехода, возбуждение электронами, кроме того, позво-
ляет изучать силу перехода как функцию переданного импульса,
(для фотона переданный импульс всегда равен переданной энергии,
204
деленной на с). Сечение рассеяния электронов* на ядре с замкнутой
оболочкой или подоболочкой имеет вид (J£ = 0, Jf = L, где L —
порядок мультипольности)
“"У4---
, ЕЕ*—c2(kp)(kp*)—т2с*
с2 (к2-А2)8
X [ | (к; EL) |2 + [ N/t (к; ML) |2] }, (7.28)
где (р, E) и (р\ Е')—нмпульс и энергия налетающего и рассеянного
электрона соответственно, при этом ядро возбуждается из своего
основного состояния i в состояние f. Величины
к е= Й-1 (р-р'), k0 = (ЙсГ1 (Е^Ег) (7.29)
представляют собой переданный импульс и энергию в соответствую-
щих единицах. Матричные элементы перехода как функции передан-
ного импульса, или форм-факторы, имеют вид
N„ (k; CL) = iL J <f I pH (r) I i> jL (kr) YLM (?) dr, (7.30a)
Nti (k; EL) B it+1 $ <f I j (r) I i> • Atw (r; e) dr; (7.306)
N„ (k;ML) -- iL J <Л j (r) | i> -Aam (r; m) dr, (7.30b)
где мулыипольиые’ потенциалы даются выражениями
AtM (г; in) = -~lfXv /№) Ylm(г); (7.31а)
Vi(L + l)
AIM(r;c)=—ife^'VX A,_w(r;m). (7.316)
В ультрарелятивистском пределе для малой переданной энергии
(£, Е’ тс2, hck^) выражение (7.28) принимает вид
= 4л (2£ +1) (Ze)~* {| N,t (k; CL) р +
+<^ +^4" 0 ) 11 А/i (k;£i) F + l Nn (к; ML) |2]},
Где cos’-^-e
/ Ze2 X 2
Um — I--------I---------.
\ 2E / 1 л
cos* 6
(7.32)
(7.33)
* См. гл. 5 t. 2.
205
В формулах (7.30) операторы ядериого заряда р*7 (г) и тока j (г)
берутся для одиочастичиых состояний:
<|!|рЛ’(г)|а> =e(rg(r).-l-(l+Ts)q-„(r) (7.34а)
<₽ IJ (О | «> = ^ (<р^ - -i- (1 + Т3) v<!я - (V<fр)* ~ <1 + тз) «Гс1) +
(ч'?1[2'79’Т(1 + гз)“1’91'Т(1_Тз)]<’Н' (7 34б)
В выражении для тока первый член — конвекционный ток, второй—
ток намагничивания', в последнем вклад протонов входит с магнит-
ным моментом протона, равным 2,79еЙ(2Л1с)~1, а вклад нейтронов-—
с магнитным моментом нейтрона —1,91/?й (2Л1С)"1. В плотность за-
ряда и конвекционный ток вклад дают, разумеется, только протоны.
Используя Х7.34) и одночастичные волновые функции (6.51),
получаем форм-факторы нашей модели [165]:
Nn (k; CL) = (8л)- 1 е (-1 )т+/и-1 /2 4, А, Ь1 X
х (/ц /о l 14—4-°) I iL r2 dr' (7-35а>
' NfI (к; EL) =--
= ейЦМс'г1 <2) 2 (— 1 )т+'ц~1 (и /о Lr1 /„ L | -1-Ь о) х
X Vх2 Z-2L~(b+1)~~ (6. ++ + 2) (/„—/„ -ЬL-1-1) х
Х^_(Д+1) + Ь2 (Ь+’1) 2 Ча+в—L)(l„— /„- /.JI) X
x(£+l) I /. ХЛ(/. , l)7'^/,,-£-! /.)(/,rl /c-l /.-l l)^; х
X (£—1) -г L~ (£ +1)~ (/<,-l„ + L) (1„ + £ +1) X
X (£ -1)] ~k (2,79 -1.91 (-- 1П faii (L 1 L) $ R„ jL (kr) R^dr,
(7.356)
Nfi(k-,ML) =
= e/i(4Mc)-i(2«) 2(- -l) '11 2 ^M2(-l),a+L£-^7Jll2 X
X (/„£/„-! 1000) W'(LLl^—l l/„)«7 ~X
206
X $ Re IL (kr) R„ rdr—kL-1 (2,79— 1,91 (—I)3) ( j„ j„ LI ~~ -Lo) x
0 \ I - '
X [p~ (2L -I- 3)~~ (L 4-11L) J RajL+, (kr) R„ r dr—
—(£ +1) 2 (2£—1) 2 („„(L-llL)^ T?o/L_i/?p/2*]/. (7.35 b)
Здесь
.»'+(£)= [7?оД(£г)[^+ (/p + l)r-i)7?gy2rfr; (7.36a)
«-_(£) = «ф2* (7.366)
£-2(2£—1) 2 £ 2 fZo + X{J—£), если x = £—1;
fcp(Xl£) =
где
£ 2 (£-j-l) 2 (xa—xp), если £=£;
£-2(2£+3) 2 (£ + 1) 2 (ха+хр+£-Н), если £=£4-1,
(7.36в)
Ха — (2/a-{- l)(/o—/а)-
Одним из самых ранних применений частично-дырочной модели
для описания возбуждения ядер электронами были работы Ле-
виса и Валечки [327—3291. Авторы рассчитали поперечный электри-
ческий форм-фактор для 12С (рис. 7.2) и сравнили с тремя имеющими-
ся экспериментальными значениями — одно для малого переданного
импульса, взятого из данных по фотовозбужденню, и два других,
взятых из данных по неупругому рассеянию электронов на 180°,
в которые главный вклад вносят поперечные мультиполи. Неожидан-
ным результатом было то, что и микроскопическая модель, н экспе-
римент дают минимум при переданном импульсе в области 60—80
Мэв!с. Этот минимум отсутствует в расчетах, основанных на полу-
классической модели Гольдхабера—Теллера [238] и на модели Штейн-
веделя—Йенсена [3271; обусловлено это только тем, что указанные
модели обычно применяются лишь к изоспиновым колебаниям, соот-
ветствующим гигантскому резонансу. После того как они были обоб-
щены так, чтобы учесть спин-изоспииовые колебания, оказалось,
что рассчитанный для этого колебания форм-фактор дает пик при
больших переданных импульсах. При добавлении рассчитанного
форм-фактора к изоспииовому форм-фактору в модели Гольдхабера—
Теллера получается минимум как и в частичио-дырочной модели.*
Поскольку данные, приведенные на рис. 7.2,- получены в экспери-
ментах с низким разрешением, то результаты были просуммированы
по всем 1 “-уровням с Т = 1. Результат оказался не очень чувстви-
тельным тестом для проверки частично-дырочной модели, поскольку
при выполнении этого суммирования мы имеем
У I /f К j (г)- А1М (г; е) dr [ А2 Л /> IС J+ (г') • АТм (г'; е) dr' X
(уровни I \ IJ I / \ I V
X§j(r)-AM, (r;c)dr||\,
(7.37)
Переданный импульс, Мзб/с
Рис. 7.2. Поперечные электрические
форм-факторы для области гигантского
резонанса в ,2С [327]:
1 — модель Гольдхабера — Теллера; 2 —
Штейнведеля— Йенсена; 3 — р h-wo-
дель.
где, для того чтобы учесть все
["-уровни, мы распространи-
ли сумму иа все конечные со-
стояния (так как большинство
сильных 1"-уровией в любом
случае находится в области
гигантского резонанса), а за-
тем использовали условие
полноты. Из выражения (7.37)
следует, что результат зависит
от основного состояния ядра
и от оператора перехода, но
не от возбужденного частич-
ио-дырочного состояния. Оче-
видно, что наиболее строгая
проверка модели получается,
если сравниваются с экспери-
ментом отдельные ядерные
уровни в областях, где шири-
ны уровней и расстояния меж-
ду ними позволяют идентифи-
цировать достаточно изолированные уровни. Один из примеров это-
го имеет отношение к гигантскому резонансу, а именно гигаитскии
магнитный квадрупольный резоианс с квантовыми числами Jn = 2",
7=1. Такой уровень наблюдался при 20,2 Мэв в 16О; его форм-фак-
тор хорошо согласуется с рассчитанным [144, 1451. Этот форм-фактор
представлен иа рис« 5.5 в т.2.
7.3.3. Захват мюонов
Используя обычные предположения теории слабого взаимодейст-
вия, можно получить вероятность захвата мюона, находящегося на
атомной орбите*:
* См. гл. 10 т.2.
208
№= "^7 I^l?r2 jW’dGvI’Kf11 |i>I2 + IWI <f|o|i>|a +
4-2Re(GA-GJ=)|v-<f|a|i>|2}d£2v, (7.38)
где снова использовано, что / г = 0. В этом выражении v —- импульс
нейтрино, |'фр,|2р — квадрат атомной волновой функции мюоиа, ус-
редненный по ядру, и
% ~ 1 2 , СР = -5Ц- = 256 ферми (7.39)
L J "W
для легких ядер. Матричный элемент в (7.38) имеет ввд
<f I “ I «> = j I'f («1, Ъ 2 еХР[---V1 ] “J Х
XЧ'|(г1, г2, ....гд)*!*,... drA, (7.40)
где <о=1 или о, и константы связи равны
Gv = l,03G, G^ = 1,44G;) .....
, г (7.41а)
Gp=—0,57G, GA=1,23G;J
° = “(М^ '1 °~S = 8,7610-5 Мвв'ФеРми3- (7.416)
Для Ji = 0 и J j = L суммы матричных элементов, проинтегрирован-
ных по направлению нейтрино, имеют вид
2 \ 0")-11 </111 i> 12 dSv = 4 л2.2 | </ Ц jL Yl || i> I2; (7,42a)
У $ (4л)-> | </1a | i> |2 dBv=4n£2y | <f || /, TLl fr, o) || i> |2; (7.426)
2 (4П)"11 V <f I a I< > Г dOv = 4л | V"/.|l </ IIR+1 Tll+! (r, o)|| i> +
+Vr<fl|/I._17u._i(;,<r)|| i>|2, (7.42b)
где
Tu-. м (r, ff) = 5 (HL | mM—mM) Ylm (r) ^m. (7.43)
Как ввдно из (7.40), когда плоская волна разлагается но мульти-
полям, главный член будет возбуждать нзоспиновые и спин-изоспи-
иовые колебания в области гигантского резонанса; более точно, если
захват происходит на ядре с N нейтронами и Z протонами, то в ядре
с N 4-1 нейтронами и Z — 1 протонами будут возбуждаться изоба-
рические аналоги этих уровней. Для получения вероятности захвата
мюона частичио-дырочиые волновые функции подставляются в (7.42)
209
[145, 203, 224]. Оказывается, что уровни, дающие основной вклад,
являются уровнями гигантских резонансов с энергией 20—30 Мэв
и квантовыми числами 7я == О-, 1~, 2_ (новым по сравнению с воз-
буждением электронами является возбуждение 0--уровней; в отли-
чие от 1_- и 2 -уровнеп они не могут возбуждаться электронами,
хотя их можно возбудить в радиационном захвате пионов и в реак-
циях (л, 2л) п (е, с'л); см. также [166, 167]). Распределение силы воз-
буждения для этих уровней показано в табл. 7.4; сила возбуждения
для матричных элементов </| 11 /> примерно та же самая, что и для
фотовозбуждения, но распределение силы для матричных элементов
соответствует возбуждению электронами (слагаемое, свя-
занное с током намагничивания) пли радиационному поглощению
пионов.
Таблица 7.4
Распределение сил переходов при захвате мюонов в 16О, приводящем
к возбуждению уровней гигантского резонанса в 16N [145] (v^=m^c)
В частично-дырочных расчетах использовался потенциал Юка вы с примесью
обменных сил по Серверу (1F==M — 1, В = Н — О) и различные параметры
для синглетных и триплетных спиновых состояний
J Е, Мэв «У I <1> р tWIWI' <v/vp>-|;.<n>i»
0- 27,3 0,077 0,230
0- 14,4 — 0,013 0,039
1- 26,6 0,184 0,147 —
1- 23,9 0,638 0,060
1- 21,0 0,002 0,021 —
1“ 18,7 0.016 0,040 —
1- 14,6 0,016 0,024 —
2~ 24,5 — 0,092 0,110
2- 21,3 — 0,302 0,362
2- 20,0 0,020 0,024
2 18,7 — 0,000 0,000
2- 13.9 __ 0,144 0,173
7.3.4. Радиационный захват пионов
Как уже обсуждалось в гл. Ют. 2, при радиационном поглощении
пионов, например в процессе
л-Ч-16О->1вК + т, (7.44)
где пион вначале находился на атомном уровне 15 или 2Р, возбуж-
даются спин-изоспнновые колебания (что аналогично эффекту мат-
ричного элемента < /1 <r | Z > при захвате мюонов). Распределение си-
лы возбуждения соответствующих уровней гигантских резонансов
представлено в табл. 7.5; при этом использовались частично-дыроч-
ные состояния, рассчитанные Жилле [221, 222].
210
Таблица 7.5
Распределение сил переходов при радиационном захвате пионов из оболочки
2Р в 16О, приводящем к возбуждению уровней гигантского резонанса
в [11]
Частично-дырочная модель дает распределение среди всех 0“-, I--,
и 2~-уровней 6, 12 и 20% силы поглощения соответственно; 5
остальные 62% приходятся на 1+-, 2+- и З-г-уровни^г^17’*’1
о —
Е. Мэв Сила пере- ходе, % Е, Мэв Сила пере- хода. % Е, Мэв Сила пере- хода, %
25.7 91 25,4 50 23,7 19
13,7 9 22,7 23 20,2 39
19,6 9 19,1 16
18,1 13 17,7 0
13,6 5 13.0 26
7.3.5. Теория супермультиппетов
Как было показано выше, в процессах фотовозбуждения, электро-
возбуждения, захвата мюонов и рациационного захвата пионов
преимущественно возбуждаются группы уровней с отрицательной
четностью и Т = 1, расположенные в интервале энергий 20—30 Мэв.
Физическая интерпретация возбуждаемых колебаний заключается
в том, что они представляют собой коллективные колебания, которым
соответствуют изоспиновые или спнн-изоспиновые волны. Для каж-
дого из рассмотренных механизмов возбуждения в соответствующий
оператор перехода входит оператор, который переводит основное
состояние легких ядер с заполненными оболочками и Т = 0 в состоя-
ние с Т = 1. Главный член мультипольиого разложения для каждого
оператора перехода обычно содержит сумму по радиус-векторам нук-
лонов, что соответствует переходу из основного состояния LF = 0+
для ядра с замкнутыми подоболочками в состояние с Ln — 1". Если
оператор не содержит спииы нуклонов, то переход совершается меж-
ду основным состоянием с S = 0 и возбужденным состоянием с
5 = 0. Этот случай имеет место для фотовозбуждения и для конвек-
ционной части оператора возбуждения электронами, которые обычно
дают основной вклад для рассеяния с малыми переданными импуль-
сами. Полный спин состояний, возбуждаемых таким образом, полу-
чается путем связывания угловых моментов спинового состояния
S = 0 н состояния в конфигурационном пространстве с Ln = 1~;
в результате получаем состояние Jn ~ 1_, которое представляет со-
бой изоспиновую волну с Jn = 1~ и Т = 1. Если же оператор содер-
жит спины нуклонов, как это имеет место для членов, обусловленных
током намагничивания при возбуждении электронами (важных обыч-
но при больших переданных импульсах), для членов, обусловленных
аксиально-векторным током в захвате мезонов (т. е. </|«у| z>), и
для радиационного поглощения пионов, то возбужденные состояния
211
имеют S = 1 и Ln = 1_. Сумма последних дает характеристики со-
стояния ./я = О-, 1“, 2“. Эти состояния представляют собой спин-
изоспиновые колебания. Если бы ядерные силы не зависели от
спина, то спнн-пзосппновые и изоспиновые состояния были бы вы-
рождены и находились бы в области энергий фотоядерного гигант-
ского резонанса. В действительности же спиновые силы снимают
это вырождение, приводя к расщеплению состояний с S — 0 п S ~ 1
на несколько мегаэлектронвольт. Цель настоящего раздела заклю-
чается в том, чтобы, используя теорию супермультиплетов* Вигнера
1533], более подробно рассмотреть соотношение между этими воз-
буждениями (включая также спиновые волны с L = S = 1,
Jn = о-, 2- и Т = 0).
Предположим, что ядерные силы не зависят от спина и изоспина,
так что нуклон-нуклонный потенциал содержит только силы Вигнера
и Майорана. Тогда гамильтониан системы будем коммутировать со
следующими 15 операторами:
1 л
7“^— У (0, / = 1,2,3; (7.45а)
2 м
, л
S,. - ~ 2 ад (1), >. = 1,2,3; (7.456)
У“=Т 2т°(')ад('). «=1,2,3, 1 = 1,2,3. (7.45в)
Здесь Та (а = 1, 2, 3) — три компоненты полного изоспина и
(X = 1, 2, 3) — три компоненты полного спина. Эти 15 операторов
представляют собой 15 генераторов группы SUt. Подобно тому как
вращательно-инвариантный гамильтониан коммутирует с тремя ге-
нераторами группы R3, т. е. с тремя компонентами углового мо-
мента J, гамильтониан, который не содержит спиновой и изоспи-
новой зависимости, должен коммутировать с 15 операторами (7.45).
И подобно тому, как вращательно-инвариантный гамильтониан мо-
жет иметь классификацию собственных значений по неприводимым
представлениям группы /?3, т. е. характеризоваться квантовыми
числами углового момента J, так и собственные состояния гамильто-
ниана, не зависящего от спина и изоспина, можно классифицировать
по неприводимым представлениям группы SU4. Для нас представ-
ляют интерес два таких неприводимых представления 154]. Их мож-
но получить в явном виде, так что нет необходимости рассматривать
неприводимые представления группы SU4 в рамках общей теории
групп.
* В данном разделе, основанном главным образом на работе [203], ис-
пользуются методы теории групп; полученные результаты не имеют боль-
шого значения для всего последующего обсуждения. Применение модели су-
систематики ядерных спектров рассматривалось в ра-
пермультиплетов для
боте [204].
212
15 операторов (7.45) удовлетворяют соотношениям коммутации:
(7.46а)
[Sx,S,,l = iex)„,Sv; (7.466)
(7“,«х] = 0; (7.46в)
[T^yJJ-ieanvH; (7.46г)
[ЗхЛ н] =Нех,«У?; (7.46д)
[1 В, У£] = ieapv 6ц. Ту ie^.6„(s S„. (7.46e)
Соотношения (7.46a) и (7.466) являются обычными коммутационны-
ми соотношениями для операторов углового момента.
При обычном рассмотрении угловых моментов (7?3) оператор Vf
(/ = 1, 2, 3), имеющий те же самые коммутационные соотношения
с генераторами Lj(] = 1, 2, 3), что и сами Ljt а именно
[Lt, Ц] = 1ец/,У„, (7.47)
определяется как векторный оператор. Аналогично и для SU4 лю-
бые 15 операторов Та, Si, У£ со следующими коммутационными соот-
ношениями:
[7«,7i>] = ie„pyfv; (7.48а)
[SbS(,] = ieTUVSv; (7.486)
[7'“,§г.] = [Т“,5;.] = 0; (7.48в)
[Т<х Л1 = КаЦуИ; (7.481)
[Sx.yS = ie?4lvy?; (7.48д)
(1 X Л в) = 1СаВт ТУ iexjiv (7.48е)
можно использовать для построения векторных операторов. Тог-
да, если а> (/) — одночастичный оператор, действующий только
в координатном пространстве, в данном случае иа координаты /-го
нуклона, то операторы
2>(«>(0; (7.49а)
z Z=1
— 1 А
2 ax(i)®(i);
У? = А £г»(0<гх(0«>(*)
(7.496)
(7.49в)
являются векторными операторами.
Операторы в выражении (7.40), описывающем захват мюонов
имеют структуру, совпадающую со структурой операторов (7.49)
213
•также, как и операторы перехода для фото- и электровозбуждення
и радиационного поглощения пионов. Мы имеем
со (с) ехр (— ik- rf); (7.5 Оа)
в длинноволновом пределе главный член, который индуцирует пе-
реходы, принимает вид
со (i) == Г/. (7.506)
В этом случае 15 операторов, рассмотренных выше, при действии
на основное состояние ядра с замкнутыми оболочками, имеющем
S = L = J Т = 0, л = -р, дают следующие возбуждения:
7а = -У 5 т“«)п, 7'=i,s=o,£=i; /"=1~
2 i = 0
(изоспиновые колебания); (7.51 а)
5ь=-^-JuxOn, Г==0’ S = I’ £=1; /л = 0"» 1->2“
(спиновые колебания); (7.516)
У“. = — V т«(Па-л(0Г|, T=1,S = 1,L=1; J"= 0~, 1~, 2-.
2 i=0
(спин — изоспиновые колебания) (7.51 в)
Рассмотрим сначала одномерное неприводимое представление
группы SUit которое осуществляется скалярной функцией |0>.
(Это аналог одномерного неприводимого представления группы
осуществляемое, например, величиной У00 = (4л)— V2.). Тогда
) 0) = I 0> - Yf 10> = 0. (7.52)
Теория супермультиплетов Вигнера [533] доказывает, что для
короткодействующих ядерных сил, которые являются притягиваю-
щими в 5-состоянии, основное состояние ядер с А = 4п (где п —
целое число) и Tz = 0 («альфа-частичные» ядра) принадлежит к это-
му скалярному неприводимому представлению. Таким образом, они
будут характеризоваться квантовыми числами S = Т — 0.
Если имеются 15 операторов Та, S?., которые удовлетворяют
соотношениям (7.48) и не уничтожают состояние 10>, то нх действие
на |0> дает 15-мерное неприводимое представление группы St'4,
называемое векторным или базисным представлением. (Это аналог
трехмерного неприводимого представления, осуществляемого вели-
чинами Гц — (4л/3)2гУ)и (г) = (4л)2 гцУ00 для /?3.) При этом обра-
зуется 15 вырожденных состояний с
214
Т — 1, S = 0 — три состояния, образующие изо-
спиновый триплет;
Т = О, S = 1 — три состояния, образующие спиновый
триплет;
Т = 1, S 1 — девять состояний, образующих спи-
новый и нзоспиповый триплеты.
При наличии сил, зависящих от спина, эти состояния расщепляются
и образуют невырожденный мультиплет, с которым могут смешивать-
ся Другие мультиплеты. Это расщепление обычно равно нескольким
мегаэлектронвольтам. Фотоядерный гигантский резонанс в ядрах
с N = Z получается в результате действия оператора
~~ 2Д8(ОП (7-53)
на основное состояние ядра [см., например, (7.11) и (7.26)]; получен-
ное состояние является членом 15-мерного векторного представления.
Совокупность этих состояний соответствует спиновым, изоспиновым
и спин-изоспнновым колебаниям в ядре с ТУ -- Z и в соседних ядрах
с (TV + 1, Z — 1) и (ТУ — 1, Z 4- 1).
Рассмотрим операторы
UY=Yl, U*=Yl, = (7-54)
которые удовлетворяют соотношениям
[t?, Ui] = Uk. (7.55)
Это дает обычную алгебру угловых моментов для операторов U. Оп-
ределим
Г+ = ГГ4-^2; it/2. (7.56)
Тогда для одного из операторов в (7.40) имеем
2 1_(/)О>.(/)ехр( —1к-г;)=^- J т8(/)ехр(—ik-r^j,
(7.57)
где
r_ = i(r1-ir2) = (° Ч (7.58)
z \ 1 о /
Используя (7.57) и полноту набора состояний, получаем
2 К/1.2 т_(/)сгх(/)ехр(—ik-r,)|i>|2 =
.2т’,(/)ехр(1кг,)|Г>Х
X (Г | и+1 f> <f1 и- If'> (Г I 2 (/) exp(-ik-r,)I i >. (7.59)
215
так как состояние |/> принадлежит скалярному неприводимому
представлению, поэтому
{/=*= | /’> = 0. (7.60)
В (7.59) | f'> и If "У должны иметь U — 1, С/3 — 0 и должны при-
надлежать тому же самому {/-спиновому мультиплету, что и |р>.
Таким образом, выражение (7.59), которое представляет собой ак-
сиально-векторный вклад в (7.38), равно
-у2 |</1 T«(/)exp( —ik.ry)|Z>| , (7.61)
если для того, чтобы вычислить матричные элементы {/±, исполь-
зуется алгебра спина U [которая в силу соотношения (7.55) идентич-
на обычной алгебре угловых моментов].
Аналогично можно показать, что
2 J (4л)-*1 </| 11,-> PdQ, = -1. 2 J(4л)-> I (Л с I i > |>dQv =
= 2 $ (4л)-* | i • < f \ <г | i > |»dS„, (7.62)
это значительно облегчает расчет величины (7.38). Полученные ре-
зультаты, разумеется, справедливы только тогда, когда можно пре-
небречь силами, зависящими от спина, и спин-орбитальными силами.
В противном случае необходимо явно вводить ядерные силы и выпол-
нять последовательный частично-дырочный расчет (см., например,
[145, 150, 203]).
§ 7.4. НИЗКОЛЕЖАЩИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
Прежде чем закончить обсуждение результатов частично-ды-
рочной модели, необходимо указать, что одним из важных достиже-
ний модели была ее способность объяснить свойства низколежащих
октупольных колебаний в ядрах с замкнутыми оболочками. Разу-
меется, модель дает правильное описание и других низколежащих
уровней*, но применение ее к уровням с Jn = 3~ и Т= 0 еще раз
показывает, как микроскопическая теория описывает коллективиза-
цию уровней, в данном случае соответствующих октупольным коле-
баниям поверхности. В табл. 7.6 представлены результаты расчетов
октупольных состояний для трех ядер с замкнутыми оболочками.
В каждом случае нижайшее 3_-состояние значительно опускается
* Имеется обширная литература, в которой обсуждается применение
рассматриваемой модели для описания свойств первых вибрационных 2+-
уровней в ядрах. См. об этом в книгах, указанных в предисловии перевод-
чиков.—Прим, перев.
216
Таблица 7,6
Результаты расчетов в рамках частично-дырочной модели
для низколежащих октупольных колебаний см. [222, 223]
Гдро Л<’« Приближение Тамма—Данкова
хаотических фаз
ная энергия
Е, Мэв хода, % Ег Мэв Сила пере- хода. %
160 11,51 6,13 7,47 67 6,25 78
«•Са 6,71 3,73 5,55 30 3,84 65
говрь 4,00 2,62 — 2,74 17,9*
* Эта сила перехода дается в единицах Вайскопфа; измеренное значе-
ние равно 29±9 единиц Вайскопфа [222, 223].
по сравнению с его невозмущенной энергией и исчерпывает большую
часть силы ЕЗ-переходов в основное состояние. Эти свойства прояв-
ляются особенно отчетливо, если используется приближение хао-
тических фаз.
§ 7.5. ВЫХОД ЗА РАМКИ ОДНОЧАСТИЧНО-ОДНОДЫРОЧНОЙ
ТЕОРИИ
Основную схему частично-дырочной модели можно обобщить раз-
ными способами. Например, можно исследовать влияние высшнх
конфигураций на результаты, полученные в рамках этой модели.
Кроме того, могут возникнуть задачи, в которых уже нижайший
порядок приближения Тамма—Данкова по необходимости включает
возбуждения более сложные, чем одночастично-однодырочные. Это
имеет место при рассмотрении состояний положительной четности
в ядрах с замкнутыми оболочками: невозмущенная энергия таких
состояний равна 26<о; следовательно, возникает необходимость вве-
дения 2р2/г-возбуждений. Она возникает также и в ядрах с незапол-
ненными оболочками, в которых учитывается взаимодействие час-
тиц этих оболочек.
7.5.1. Примеси высших конфигурвций
Чтобы попытаться объяснить существование уровней в области
гигантского резонанса, кроме тех, которые получаются в частнчно-
дырочных расчетах, и исследовать дипольную силу в области, нахо-
дящейся выше гигантского резонанса, желательно исследовать при-
меси конфигураций с энергией 3/1 со к обычным 1р1Л-состояииям. Эта
проблема очень трудна технически, и ее достаточно убедительного
решения не было предложено до снх пор. Предпринимались «вы-
числительные» усилия учесть по возможности больше конфигурации
с энергией 3/гю, но поскольку при этом необходимо учитывать также
217
\p\h~ и 2р2/?-состояния, то число конфигураций измеряется тысяча-
ми. Таким образом, объем задачи превосходит возможности ЭВМ. Та-
кой результат подвергает сомнению принципы модели. [Каковы основ-
ные характеристики одяочастичиого уровня при энергии возбуж-
дения 30 Мэв? В какой степени описывается его волновая функция
функцией связанного состояния? Какова природа эффективного
взаимодействия при больших энергиях?]
Наихудшее заключается в том, что реультаты таких расчетов со-
держат огромное количество численных данных, из которых часто
трудно извлечь существенные физические результаты. С другой сто-
роны, более «физические» подходы, в которых с самого начала закла-
дываются определенные феноменологические свойства ядер, вызы-
вают сомнения в их внутренней согласованности; при этом возникают
опасения, что из расчетов получатся в точности те же самые физи-
ческие свойства, которые были заложены с самого начала, и не
более. Отсюда следует настоятельная необходимость тщательного
сравнения результатов таких подходов с экспериментом. Должны
рассчитываться не только энергии уровней, но также и вероятности
переходов и свойства реакций, в которых возбуждаются различные
уровни.
В качестве хорошего примера «физического» подхода для рассмот-
рения эффектов высших конфигураций обсудим метод коллективных
корреляций. Эта модель исходит из того, что при коллективном опи-
сании тяжелых ядер взаимодействие дипольных колебаний (с энер-
гией 10—20 ЛЬ'б) с квадрупольными колебаниями поверхности (энер-
гия ~1 Л 1эв) может объяснить тонкую структуру гигантского резо-
нанса [125—127, 278, 279, 324, 523]. Та же самая ситуация часто
может встречаться в легких ядрах. В этом случае предпринимались
попытки создания теории, которая объединяет по возможности боль-
ше сторон микроскопического подхода, а остальное рассматривается
полуфеномепологическим способом ([157, 158, 467, 469], см. также
[295]).
Гамильтониан рассматриваемой модели постулируется в следую-
щем внде:
н - Ядпи + нквад+Ндап ьвад, (7.63)
где НД1Ш описывает колебания, соответствующие колебаниям ги-
гантского резонанса; эта величина рассматривается полумикроско-
пически: считается, что она совпадает с гамильтонианом частично-
дырочной модели
(7.64)
Квадрупольный гамильтониан рассматривается в рамках модели
коллективных колебаний (см. гл. 3 т. 1):
77„.„аа- ^-Уо{В?‘(л'21хл121|[Ч ; (7 65)
218
где сД21 — коллективные переменные, с помощью которых ядерная
поверхность параметризуется выражением
Г1 -г 2 cc2g г2ц (е, <р)1, (7.66)
I H=-2 J
и — канонически сопряженные импульсы, соответствующие
этим переменным. В (7.65) переменные связаны так, чтобы получен-
ный гамильтониан был инвариантен относительно вращений. Энер-
гия квадрупольных колебаний, определяемая выражением (7.65),
равна
й<о2 = йус^. (7.67)
Чтобы получить гамильтониан взаимодействия между дипольными
и квадрупольными степенями свободы, введем коллективные пере-
менные для дипольных колебаний оД*} и построим инвариант из
переменных оД’] и сДЧ
^дип-квад = М[«П1 X anjj[2j х сД2]}^ +
-|-/С2о X оДЧ]10! [сД21 хсД21][0] +
+ /<22 <(сД11 х а1Ч][21 х [сД21 X (7.68)
где коэффициенты, полученные в рамках гидродинамической модели
имеют вид
588 С1; ]
К20=_ 0,708 Сх; I (7.69)
/(^=—0,9366’! |
и
C1 = 8nZ2A-1. (7.70)
Здесь х 20 Мэв — параметр энергии симметрии в полуэмпири-
ческой массовой формуле Бете — Вайцзеккера.
Для сохранения полумикроскопического характера модели
необходимо заменить коллективные переменные оД1) микроскопи-
ческим дипольным оператором. Это можно сделать путем отождеств-
ления микроскопического дипольного оператора
d-*= W'I11|v><4 «V (7.71)
\ 3 / (Т.х 2
с дипольным оператором, выраженным через коллективные перемен-
ные:
dill = М» {а[1) +М, (а111 X а[2) ]П1}, (7.72)
здесь
M0 = 7?0Zx0-‘[T-M-2)]“1/2, М1=-(2П)->Х5, (7 73)
где х0 == IiqRq = 2,08, Ro — средний радиус ядра и k0 — волновое
число фононов, соответствующих гигантскому резонансу (см. гл. 10
219
т.1). Выражение (7.68) теперь принимает вид
-МВД = ^{|О'ЧЛ X О‘2„]12’ X а[2У°’ +
-г х!г {[#2, X М''2„][2’ X [а121 X а121]121)'01.
и1.—64хЛ-11
х£0 = — 169х /V 1 R-•2; I
х2г = 127,5-хД-1^2. J
(7-74)
(7.75)
Взаимодействие (7.74) днагонализуется на базисе, который состоит
из \plli— конфигураций и 0, 1, 2, ..., N квадрупольных фононов
(в типичных случаях N может достигать, например, 6). Результаты
Рис. 7.3. Фотоядерный гигантский резонанс для 12С, рассчитанный
с учетом (а) и без учета (б) коллективных корреляций [157, 158].
Высота вертикальных линий пропорциональна рассчитанной дипольной силе
перехода с данной энергией. Экспериментальные точки дают полное сече-
ние фотопоглощения [475J; штриховая линия описывает выход реакции
(V. лс) при 6=90’ в произвольных единицах [5151
такого расчета для 12С показаны на рис. 7.3. Учет коллективных кор-
реляций позволяет получить разумное распределение дипольной си-
лы. Однако для проверки справедливости модели требуется более
подробное и более глубокое сравнение с экспериментом.
7.5.2. Состояния положительной четности
в ядрах с заполненными оболочками
Рассмотрение состояний положительной четности в ядрах с за-
полненными оболочками связано с несколькими трудностями. Во-
первых, энергия возбуждений составляет примерно 2/ш; следова-
тельно, 2р2Л-конфигурации являются существенными составляю-
щими. Их учет весьма труден; полученные векторы состояний могут
иметь 100 и более компонент, чч
ных физических особенностей,
энергией 2hay содержат уров-
ни одночастнчного спектра,
которые не являются ни хо-
рошо известными, ни хорошо
определенными. Наконец, в
расчетах необходимо выделить
духовые состояния, соответст-
вующие движению центра
масс. Это приводит к тому,
что расчеты становятся еще
более трудными, а физический
смысл—менее доступным.
часто затрудняет выделение основ-
Во-вторых, 1р1А-конфигурации с
Рис. 7.4. Энергии уровней положи-
тельной четности в 16О, получен-
ные с учетом и 2р2Л-конфи-
гураций, в области энергий 2/ио.
0 - -----С\0 ----- ------ ------
Заспе- Силы Силы Силы
римейк Розен- Сопера б ГТ
фепъда
вуют трем эффективным нуклон-нуклон-
ным взаимодействиям ’ (БГТ — Врак-
нер — Гаммель — Теллер); уровни ха-
рактервзуются квантовыми числами
Несмотря на эти трудности, было выполнено несколько расчетов
такого рода [165, 425, 468, 539]; некоторые из них иллюстрируются
на рис. 7.4 для состояний положительной четности в 16О. К сожале-
нию, положение здесь остается неясным, так как 16О имеет вращатель-
ные полосы; следовательно, можно думать, что оно является деформи-
рованным во многих возбужденных состояниях. Вследствие деформа-
ции некоторые 4р4й-состояния значительно понижаются, и их при-
меси могут дать заметный вклад. Это обстоятельство становится ре-
шающим для понимания свойств низколежащих уровней [48, 73.
75, 76, 94. 95].
221
Рис. 7.5. Низколежащие уровни от-
рицательной четности в 14Х, рассчи-
танные [1231 с использованием по-
тенциала Жилле для 16О (см.
табл. 7.1)
7.5.3. Возбуждения ядер с
незаполненными оболочками
Подход частично-дырочной
модели тесно связан с попыт-
ками объяснения свойств ядер
с; двумя, тремя пли большим
числом частиц вне замкнутых
оболочек (см., например, 1149,
2391). Однако при описании
возбуждения этих частиц остов
ядра большей частью считается
инертным, в то время как
частично-дырочная модель рас-
сматривает возбуждения (в осо-
бенности коллективные) остова.
Наиболее целесообразно объеди-
нение расчетов свойств частиц
вне остова с частично-дырочным
подходом в том случае, когда
надо знать, как влияют коллек-
тивные колебания остова на эти
частицы. Такие расчеты являют-
ся хорошей проверкой модели,
и это особенно интересно сде-
лать в чисто микроскопическом
подходе, поскольку в последнем
связь между одночастичным и
коллективным движениями про-
является наиболее отчетливо.
Примером такого подхода яв-
ляются расчеты, выполненные
для уровней отрицательной чет-
ности в GLi и I4N [113]. В первом
случае учитывались Зр^-конфи-
гурации относительно сстова4Не,
в последнем— 1рЗЛ-конфигура-
5 10 15 го 25 30 35 Е,МэВ и™. построенные на остове “О.
Рис. 7.6. Распределение дипольной Результаты для Уровней отри-
спли в HN, рассчитанное [123] с си- нательной четности в “N пока-
ламп Жилле для ,6О (см. табл. 7.1) заны на рис. 7.5. Видно, что
расчет воспроизводит по край-
ней мере общую экспериментальную ситуацию. На рис. 7.6 пока-
заны расчеты гигантского резонанса для 14N. Главные свойства
гигантского резонанса, т. е. сильно коллективизированные уров-
ни в области 20—30 Мэв, описываются, по уровни заметно фраг-
ментируются и дипольная сила распределяется по этим фрагмен-
там благодаря связи с экстра-дырками.
222
§ 7.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕАЛИСТИЧЕСКИХ НУКЛОН-НУКЛОННЫХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В РАСЧЕТАХ КОНЕЧНЫХ ЯДЕР
В гл. 6 подробно обсуждалась микроскопическая теория ядер-
ной структуры, в которой был использован хартри-фоковский под-
ход. Основное уравнение (6.25) определяет базисные состояния
Хартри—Фока как состояния, которые диагон ал изуют гамиль-
тониан:
<а|/;|Р> =<а|Г|Р>+ 2 <ар| V| p^i) (7.76)
При применении этих уравнений для получения численных ре-
зультатов — путь, который мы до сих пор не использовали, взяв
одночастичные энергии еа из эксперимента и угадывая соответст-
вующие волновые функции <ра (г), — мы сталкиваемся с серьезной
трудностью. Это связано с тем, что многие нуклон-нуклонные по-
тенциалы, которые получены подтопкой данных по рассеянию сво-
бодных нуклонов, содержат жесткую сердцевину, что приводит
к бесконечным матричным элементам. В гл. 5 эта трудность для
бесконечного ядра была обойдена путем введения матрицы реакции.
В данном параграфе мы рассмотрим, как обобщается этот метод для
конечных ядер. Другой подход заключается в использовании более
простых, менее реалистичных сил,' которые позволяют решить
уравнения Хартри—Фока (7.76).
Уравнения (7.76) обычно решают, записывая искомые одночас-
тичные функции в виде суперпозиции собственных функций гар-
монического осциллятора*
<Гс(г) = 2С?Л(г)- (7-77)
Тогда из (7.76) следует, что .условие диагонализации имеет вид
2<г|Л|/>С7 = еаС?. (7.78)
/
Суммирование в (7.77) в общем случае бесконечно, так что матрица
в (7.78) имеет бесконечный порядок; на практике базис осциллятор-
ных функций всегда обрезается**. Отлнчие хартри-фоковских рас-
четов, выполненных разными авторами, обусловлено разным выбо-
ром феноменологической параметризации нуклон-нуклонного взаи-
модействия и влиянием, которое оказывает этот выбор на уравне-
ния Хартри — Фока.
* Осцилляторные функции весьма удобны потому, что использование
скобок Мошинского [87, 375, 4981 позволяет разделить двухчастичные функ-
ции на множители, содержащие относительные координаты и координаты
центра масс г = г, — г2, R = (1/2) (п 4- г2).
** Следует также указать, что можно сделать хартри-фоковскую про-
цедуру более эффективной, если выбрать радиальный параметр в функциях
/г(г) так, чтобы минимизировать энергию ядра.
223
7.6.1. Результаты расчетов методом Хартри — Фока
с несингулярными силами
Баранжер с сотр. [130] использовали в качестве двухчастичных
сил взаимодействие, зависящее от скорости в S-состоянии;
Vt (г, р) = h*M~l [Ut (г) + Р2 (0 + Wi (г) р«], (7.79)
где
£/.(,) = Дехр(~а? г2); (r) = Bf ехр(—0?г2) (7.80)
(z соответствует четному синглетному и четному триплетному
состояниям). Эти силы с параметрами, приведенными в табл. 7.7,
дают разумный результат для ядерной материи: насыщение при
kF = 1,42 фермит1 и энергия связи 15,5 Мэв на частицу. Однако онн
не очень хорошо описывают рассеяние свободных нуклонов
(см. табл. 7.7). Другие силы, использованные в расчетах этой группы,
представляют собой нелокальный сепарабельный потенциал [392]
где
V(r1;r2;ri;r])=-6(R-R')F(r)F(H, . (7-81)
F (г) = (1 /4ла2) Т/у/ТИа ехр (-г2 а"2
(7.82)
Таблица 7.7
Параметры нуклон-нуклонного взаимодействия (7.79)
а—длина рассеиния, г—эффективный радиус
Для сравнения приводятся экспериментальные значения
эффективного радиуса г8ксп
состояние ферми-2 в а=Р, ферми-1 а, ферми г, ферми ферми
Синглетное 0,835 0,60 0,50 —22,95 4,52 2,5
Триплетное 2,56 0,50 0.70 5,76 2,13 1,73
Параметры, как и ранее, определяются из расчетов ядерной мате-
рии, при этом не делается попыток описания данных по рассеянию
свободных нуклонов.
Результаты для одночастичных энергий, полученные для этих
двух сил, представлены в табл. 7.8. Онн показывают, что хартри-
фоковская процедура в основном является правильной, хотя метод
вычислений необходимо улучшить, В табл. 7.9 приведены первые
восемь коэффициентов в разложении одночастичных радиальных
•функций по осцилляторным радиальным функциям для 16О. Видно,
что сходимость этого разложения является очень хорошей, так
что осцилляторные функции могут быть хорошим приближением
к истинным радиальным функциям.
224
Одночастнчиые энергии, Мэв, рассчитанные с использованием сил
(7.79) [13] и (7.81) [392]
Для удобства энергии приводятся с обратным знаком
39,2
17,7
18,0
Таблица 7.9
Амплитуды осцилляторных радиальных функций
в одночастичных функциях 1вО [13]
27,8
8,7
0,03
40,6
16,2
1,9
38,3
15,6
1.75
2s
с,
0.984
0,994
-0,154
0,173
0,099
0,919
0,038
0,054
-0,233
0,005
-0,002
0,227
0,001
0,003
—0,128
-0,002
0,085
),050
0,023
Группа Массачусетского технологического института исполь-
зовала для хартри-фоковскнх расчетов более сложные силы Таба-
кииа [500]. Эти силы подогнаны так, что онн хорошо описывают
данные по рассеянию свободных нуклонов вплоть до энергии
320 Мэв. Они представляют собой сумму сепарабельных потенциа-
лов
V (гг г2; г{, гО = 6 (R—R') V (г, г'), (7.83)
где
V(r,r-) = /12M-‘; f 0 [-&Jrs(r)gf.TS(r')+AfS(r)ftrS(r')I X
(7.84)
(ZSJ|m|msM)y,miXsms. (7.85)
Слагаемые c ht в (7.84) дают отталкивание при большой энергии,
что соответствует учету влияния жесткой сердцевины. Оператор
8 Зак. 532
225
Рт проектирует иа состояния с хорошим квантовым числом полного
изоспина. Силы Табакина дают насыщение ядерной материи при
kp — 1,8 ферми~г и энергию связи 14,1 Мэв иа частицу. Это менее
Рис. 7.7. Энергия связи 12С как функ-
ция деформации, рассчитанная мето-
дом Хартри — Фока [27]
удовлетворительный результат,
чем результат, полученный с
силами Баранжера.
Результаты расчетов группы
из Массачусетса [3031 представ-
лены в табл. 7.10. В качестве
поправки на движение центра
масс использовано вычитание
кинетической энергии центра
масс 7^/(2Л1Л). Силы Табакина
также использовались в хартри^-
фоковских расчетах в деформи-
рованных. ядрах (более подробно
это обсуждается в следующей
главе). Например, получено [27],
что для 12С решение с мини-
мальной энергией соответствует
сплюснутому ядру, а сферичес-
кое решение — локальномумак-
симуму (рис. 7.7). Такие расче-
ты для деформированных ядер
проводились вплоть до 40Са.
В иих использовался базисный
набор, в который входят состоя-
ния оболочки 2р— If включи-
тельно. При этом предполагалось, что ядра могут быть аксиально-
деформированиыми, так что одночастичные состояния можно ха-
Таблица 7.10
Одночастичные энергии, Мэв, рассчитанные с использованием
сил Табакина [303}
ieO •°Са
X Без поправок на движение С учетом попра- вок на Без поправок С учетом
ц. м. движе- ние ц.м Эксперимент 1
«а п п р п | р п п
1Si, 48 72 —41,88 —50,55 — -34 —71,80 —62,35 —75,57
—19,65 —14,71 —23,07 —21,81 —18 —44,87 —36,99 —47,40 — —
Ру, —9,45 — 5,83 —11,56 — 15,65 —13 —34,73 —26,88 —36,05 —, —
м./. 2,31 — — —5,02 —20,99 —14,42 —23,31 -22,8 -14,5
25,^ 6,12 9,38 7,16 —4,15 —14,13 —6,94 —15,38 —18,4 -10,6
10,74 — — 0,93 — —7,66 —1,38 —8,23 —15,8 -8,3
226
рактеризовать четностью (см. также [28])- Благодаря деформации
ядра хартри-фоковские волновые функции не характеризуются
квантовым числом углового момента, и положение полосы с J = 0
получается вычитанием поправки на вращательную энергию:
£„ = £—Л<72>, Л=-^Л2^-'. (7.86)
где —момент инерции ядра, определяемый' из опыта, и <J>8
рассчитывается с помощью хартри-фоковского решения. Кроме
Рис. 7.8. Полные энергии
связи, рассчитанные мето-
дом Хартри — Фока Для де-
формированных ядер [27]
о - эксперимент
*Не вВе КС 160 2%е г4Мд usi 32S 3SAr "си
того, имеется заметная поправка второго порядка к энергии связи,
рассчитываемая в теории возмущений 1304];.
£2 _ __ у у 1 V | Ор>|2
Ч+ем-е<г“ер
« - 2 2 ~- . Д«20 Мда. (7.87)
1.ц<ла.Р>л — м-> (ги+ук2] + л
Влияние поправок, даваемых выражениями (7.87) и (7.86), резуль-
таты для полных энергий связи в ядрах вплоть до 40Са показаны на
рис. 7.8.
7.6.2. Результаты расчетов методом Хартри—Фока
с сингулярными силами
Чтобы использовать потенциалы, которые лучше описывают
данные по рассеянию свободных нуклонов, например, потенциал
Хамады—Джонстона или Йельский потенциал, необходимо пере-
смотреть метод учета твердой сердцевины. Это можно сделать так
8*
227
же, как для бесконечной ядерной материи, а именно заменой сингу-
лярного потенциала V несингулярной матрицей реакции [см. (6.7)1:
G = V — VQe-'G,
(7.88)
где е = Нп—*Г. Задача Хартри—Фока теперь ставится по-дру
тому: вместо V используется G-матрица. Поскольку G зависит от
решения Хартри—Фока через оператор Qe-1, то возникает новое
условие самосогласования. Это условие для конечных ядер обычно
не учитывается, и рассчитывается с помощью осцилляторных
функций. Таксе приближение можно оправдать тем, что решения
Хартри—Фока не сильно отличаются от соответствующих осцилля-
торных результатов.
Вонг [540] решил уравнение для G-матрицы, используя метод
спектра сравнения (см. § 5.2), и применил этот подход к легким яд-
рам с заполненными оболочками [541]. Результаты для 1СО приво-
дятся в табл. 7.11. Потенциал Хамады—Джонстона с твердой серд-
цевиной и Йельский потенциал не связывают 1СО в достаточной
мере так же, как они не дают хорошего согласия и для энергии
связи ядерной материи (см. § 5.5). Следует учесть несколько по-
правок к полученному результату [541], наибольшая из которых
(~1 Мзв на нуклон) обусловлена корреляциями в основном состоя-
нии, связанными с частично-дырочными конфигурациями.
Таблица 7.11
Характеристики основного состояния 1еО, рассчитанные
методом Хартри — Фока [541]
Свойства Потенциал Хамады — Джонстона" (rc=r 0,485 ферми) Потенциал Рейда (с жесткой сердце- Эксперимент
Энергия связи, Мзв/А 2,8 3,4 7,97
tw>, Мэв** 10,0 11,0 13,4
<гг>'л- Фч,м:‘ 3,06 2,91 2,65(1 ±0,05>
£15, Мэв -49,1 з — 40
£12>, Мэв —26,4 —26,4 — 20
* См. разд. 2.3.2.
** Осцилля горная энергия, которая минимизирует энергию основного
состояния.
Более поздние расчеты энергии связи конечных ядер, которые
объединяли метод Хартри—Фока и подход Бракнера, выполнялись
в работах [51, 355, 397] (более ранние обсуждения см. в [162, 163]).
В этих работах была получена более реалистическая энергия связи
для 16О (обычно 8—9 па нуклон) благодаря использованию-
различных предположений, касающихся щели между заполненны-
ми и незаполненными состояниями. Попытки использования под-
ходов Бракнера и Хартрн—Фока без подгоночных параметров для
228
получения количественных результатов о низкоэиергетических
свойствах ядер пока имеют несколько предварительный характер.
Однако можно ожидать, что в ближайшем будущем здесь будет
получено много интересных результатов.
7.6.3. Эффективное взаимодействие
Главная задача микроскопического подхода в теории ядерной
структуры заключается в объяснении свойств ядра, исходя из
сил между свободными нуклонами. Но, как мы уже видели, во
многих случаях эти силы в расчетах часто параметризуются таким
образом, чтобы подогнать определенные экспериментальные ре»
зультаты для исследуемых ядер. Таким образом, частично учиты-
ваются различные многочастичные эффекты. Это может привести
к улучшению согласия с экспериментом, однако при таком подходе
в жертву приносится понимание физики дела, поскольку в эффек-
тивном взаимодействии содержится много важной информации,
Поэтому было предпринято несколько попыток получения эффек-
тивного взаимодействия, исходя, например, из потенциала Хама-
ды — Джонстона или явно учитывая миогочастичные свойства.
Разумеется, при этом необходимо ввести матрицу реакции, чтобы
обойти трудность, связанную с жесткой сердцевиной.
Куо и Браун 1102, 315, 3171 предприняли попытку выполнить
такую программу, основанную на методе разделения Скотта—Мош-
ковского [377, 453, 454]. В этом методе взаимодействие делится на
коротко- и длиннодействующую части:
V = Vs0(d—г)-|-Кд0(г—d), (7.89)
где 0 (х) — ступенчатая функция и расстояние d выбирается так,
чтобы при г <Z d притягивающая часть Vs компенсировалась оттал-
кивательной сердцевиной. Тогда так же, как и при получении соот-
ношений (5.32)—(5.37), можно показать, что приближенная G-
матрица
Ga = VA — Va (Qc-^aGa (7.90)
связана с истинной G-матрнцей соотношением
0 = 6л4-Щ (К-ИОЙ+ GlKQe-'h-fQe-OJG, (7.91)
где
Йд = 1 —(Qe-*h Va^a. (7.92)
Браун и Куо выбрали следующее приближение:
Gs =Vs—VseZ'Gs. (7.93)
После подстановки этого выражения в (7.91) и последующей итера-
ции получаем
G « Gs + Vl—Vl Qe~1 VL—2GS Qe~1 VL—
-GsfQ-Oe-’Gs-Gsfe-'-ej'jGs... . (7.94)
229
Расстояние d выбирается так, чтобы диагональный матричный эле-
мент Gs был равен нулю. Отсюда следует, что d должно быть разным
для каждого состояния и что иедиагоиальные элементы Gs не рав-
ны нулю. Однако в действительности оказалось, что d сравнитель-
но мало зависит от состояния; поэтому d выбирается фиксирован-
ным (d = 1,05 ферми для состояний с I - = 0 в легких ядрах). Тогда
4* - 4* 4*
2 7 2*
г? 2* — J* 2* 2* 0*
-7 - -4* 4*
~2 2* —-2* 2*
-з — 8*
-4 —о+ Эксперимент н 0* P4U1
Рис. 7.9. Энергии уровней в 18О, полу-
ченные с использованием реалистиче-
ского нуклон-нуклонного взаимодей-
ствия и одпочастичных уровней 17О.
Согласие с экспериментом существен-
но улучшается при учете поляризуе-
мости остова [315]
вклад в (7.94) от недиагональ-
ных матричных элементов Gs
равен нулю. Члены, содержащие
Vi., рассчитываются известным
способом. Поправочные члены
в (7.94) обычно малы, за исклю-
чением случая тензорных сил,
для которого следует учесть член
-(V^Qe1 (Vrk, (7.95)
и требуется специальное рас-
смотрение.
Для большинства состояний
с нечетным угловым моментом
двухнуклонной системы потен-
циал Хамады — Джонстона яв-
ляется отталкивающим. Метод
разделения, основанный иа ком-
пенсации притяжения отталки-
вательной твердой сердцевиной,
здесь не годится, и для этих
случаев Браун и Куо использо-
вали метод спектра сравнения
(который, конечно, можно было
бы использовать и для четных
состояний).
После того как получена
G-матрица, можно рассчитать
взаимодействие, например, двух
частиц вне остова ядра, но
без учета поляризуемости осто-
ва. Учет взаимодействия с остовом по-разному модифицирует
полученный результат для каждого'ядра, поскольку каждое ядро
имеет свой остов. Именно так надеются описать возникновение
«эффективного» взаимодействия. В таком подходе оно естествен-
но получается в теории, причем не требуется подгоночных пара-
метров, чтобы объяснить эффекты, которые не учитывались ранее.
На рис. 7.9 и 7.10 показаны некоторые результаты для ISO и 1SF,
полученные этим методом. Для каждого ядра показаны два теоре-
тических спектра. Один дает результаты, полученные только диа-
гонализацией G-матрицы без учета поляризуемости остова (Зр1/г-
конфигурацнй). Во втором эффект поляризуемости остова учиты-
230
вается, и это приводит к существенному улучшению согласия
с экспериментом. Таким образом, исходя из фундаментального под-
хода, можно ответить иа вопрос, как возникает эффективное взаи-
модействие и как можно его описать с помощью реалистического
нуклон-нуклонного взаимодействия и учета влияния поляризуе-
мости остова или высших кон-
фигураций на два нуклона, на-
ходящихся вне остова*.
Рис. 7,10. Уровни в 18F, рассчитанные
с использованием реалистического
н уклон-н уклонного взаимодейст-
вия [315]
Имеется несколько обзоров,
в которых обсуждаются вопро-
сы, рассмотренные в данной
главе. В качестве общего обзора
аппарата модели оболочек очень
полезна статья Гольдхаммера
[239]. Формализм частично-ды-
рочной модели обсуждается в
статьях Грина [245] и Жилле
1226], а также в общих обзорах
по фотоядерным реакциям Шев-
ченко и Юдина [475] и Спайсера
[4861. Брэндоу [96, 101] дал
обзор применения к конечным
ядрам методов, разработанных
для бесконечной ядерной мате-
рии. Хартри-фоковские расчеты
обсуждались Керманом [305]. Оригинальная статья массачусетской
группы [303] дает очень полезные сведения о методе Хартри—Фока,
а статья Куо и Брауна [315] полезна для рассмотрения эффектив-
ного взаимодействия с точки зрения фундаментального подхода.
Применение теорий Бракнера и Хартри—Фока к конечным ядрам
рассматривалось в работах [32, 134, 135, 3561 и в большой статье
Негеле [397].
* Краткое обсуждение теории Брауна—Куо и соответствующую лите-
ратуру см. также в книге Г. Бете «Теория ядерной материи». Пер. с англ.,
М., «Мир», 1974. — Прим, иерее.
231
Глава 6. ВРАЩЕНИЕ ЯДРА
Как отмечалось при обсуждении гигантских резонансов, одной
из важнейших задач, которая должна быть решена в микроскопи-
ческой теории структуры ядра, является описание этой теорией
коллективных явлений с участием большого числа нуклонов. Этот
вопрос снова возникает, когда мы обращаемся к рассмотрению
коллективных движений, в которых несколько нуклонов совместно
определяют деформацию ядра и дают вклад во вращательное дви-
жение. Этому и будет посвящена настоящая глава. В последующих
главах будет рассмотрено микроскопическое описание поверхност-
ных колебаний ядра.
В разд. 7.6.1 было показано, что если при решении хартри-фо-
ковской задачи в ядре допускается наличие деформации, то в неко-
торых ядрах автоматически возникает деформированное основное
состояние (см., например, рис. 7.7). В настоящей главе снова ра-
сматривается применение метода Хартри—Фока для описания де-
формации ядра в рамках так называемого приближенного метода
Хартри—Фока {restricted Hartree— Fock approach). В этом подходе
остов ядра предполагается инертным, а хартри-фоковская процеду-
ра выполняется лишь для нуклонов вне остова. Таким образом, де-
формация определяется только нуклонами, находящимися в по-
следней незаполненной оболочке. Разумеется, такой подход более
ограничен, чем последовательная теория Хартри—Фока, но его
легче довести до конца и он дает большое понимание различных
свойств деформации и вращения ядер. Второй подход к описанию
Деформаций заключается в использовании теории групп для клас-
сификации ^соответствующего обрезанного базиса модели оболочек.
Эта теория рассматривается во второй половине настоящей главы,
где показывается ее связь с приближенным методом Хартри—Фо-
ка*. Оба эти метода лучше всего подходят для применения в ядрах
* Теоретическим методом, использующим классифик ацию с помощью
групп высшей пространственной симметрии, является кластерная модель.
В работе (4161 содержится очень полезное обсуждение соотношения между
этой моделью и более общими оболочечными теориями; см. в этой связи также
статью Беймана и Бора [37]. Обзоры результатов кластерной Модели даны
В. Г. Неудачиным н Ю. Ф. Смирновым [393], Рогге р [447] и в работе 537]
232
sJ-оболочки, где встречаются большие деформации, но участвует
достаточно малое число частиц, что облегчает микроскопически©
расчеты.
§ 8.1. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА*
8.1.1. Итерационная процедура для уравнения
Хартри — Фока
В § 7.6 кратко обсуждался итерационный способ практического
решения‘уравнений Хартри—Фока. Такой же метод используется
и в приближенном методе Хартрн—Фока, за исключением того,
что только нуклоны последней незаполненной оболочки могут
участвовать в образовании своего самосогласованного поля, а нук-
лоны остова, как предполагается, являются инертными по отноше-
нию к этому процессу. Мы снова ищем решения уравнений
(a|/ijP> = <a|7’|₽)+ V <ац|1/|'Рц) = е<18„р, (8.1)
с помощью которых энергия системы записывается в виде [см. (6.27)1
А А
= 2e»-42<w>. (8.2>
).= ! Х = 1
где матричные элементы самосогласованного потенциала равны
<<z|t/[p>= J <ар| V{ gl>. (8.3)
I
Разложим искомые решения по некоторой удобной системе базис-
ных функций (обычно это функции гармонического осциллятора)
|Л>=2СМ«>, (8.4)
I
где индекс i обозначает полный набор квантовых чисел одночастич-
ного состояния, т. е. |z> = \nljmtzy. Из условия нормировки по-
лучаем
2 сГ С?' = 6„.., 2 c’*ct- = 8«- (8.5)
i X
* Этот метод иногда называют методом деформированных орбиталей. —
Прим, перев.
233
Основное состояние |Ф) определяется, как обычно, варьированием
коэффициентов С/ и из требования выполнения условия нормиров-
ки (8.5). Тогда
-4г [<Ф I НI Ф>-ек 2С,;л С,-] - 0 (8.6)
или
2-[</|т|г>ч- 2 2 с;С</<,|1-|Г(-г>сНс?-.=-ег.с?-. (8.7)
L Ц= 1 11. (г J
Это уравнение, которое, разумеется, эквивалентно уравнению
(8.1), решается методом итераций:
а) определяют, какие орбиты заняты (остальные имеют С? = 0),
и находят значения С/\ не равные нулю;
б) вычисляют матрицу гамильтониана Хартри—Фока в квад-
ратных скобках уравнения (8.7);
в) диагонализуют полученную матрицу;
г) в результате получают новый набор величин С?’, который
необязательно совпадает с исходным набором в шаге «а». Если оба
набора не совпадают, то всю процедуру повторяют заново, исполь-
зуя новые значения Cf; если же наборы совпадают, то эти коэффи-
циенты определяют самосогласованное решение Хартри—Фока.
При выполнении этой итерационной процедуры важно сделать
хороший начальный выбор. В противном случае процесс будет схо-
диться лишь к локальному минимуму или экстремуму для полной
энергии, а не к абсолютному минимуму, который определяет ос-
новное состояние ядра. Для ориентации в выборе можно использо-
вать феноменологические модели, например модель Нильссона
(см. гл. 9 т.1).
8.1.2. Свойства симметрии решений
Хартри — Фока
Одночастичный хартри-фоковский гамильтониан h может
обладать некоторой симметрией. Она может определяться внутрен-
ними свойствами многонуклоиной системы или может быть введена
ошибочно в первоначальные предположения об исходных решениях
Ттродедуры Хартри—Фока и может закрепиться последующим1Гите-
рЗЩшми. последнем случае решение ’"будет соответствовать
локальному минимуму в полной энергии, т. е. оно будет давать ми-
нимальную энергию для состоянииГТТб лад ающих этим конкретным
видом. симметрии". ‘ -----------—--------------
Если хартри-фоковское основное состояние |Ф> или, что эк-
вивалентно, одночастичные хартри-фоковские состояния |л> нн-
234
варианты относительно определенного унитарного преобразова-
ния, по отношению к которому И инвариантно, то одночастичный
гамильтониан h также будет обладать этим видом симметрии. Име-
ется несколько важных примеров этого положения. Например, в
отсутствие кулоновских сил Н представляет собой изоспиновый
инвариант, В ядрах с N — Z, в которых протоны и нейтроны за-
полняют одни и те же орбиты, h также является изоспиновым ин-
вариантом. Это состояние действительно имеет наинизшую энергию
для четно-четных ядер с N ~ Z. Аналогичный случай существует
и при инвариантности по отношению к обращению времени, кото-
рая является очень хорошим приближением для Н. Если для каж-
дой заполненной орбитали \nljmtzy в |Ф> соответствующая обра-
щенная по времени орбиталь (—1)•'+/—m\nlj—т/2> также запол-
нена, то h будет инвариантным по отношению к обращению вре-
мени,
В большинстве случаев оказывается, что одночастичные состоя-
ния могут характеризоваться четностью. Тогда h также будет инва-
риантным по отношению к пространственному отражению. Иначе
обстоит дело для инвариантности относительно аксиальной сим-
метрии, Ниже мы встретимся с несколькими случаями, когда од-
ночастичиые состояния не обладают этим свойством и, следова-
тельно, не являются собственными функциями оператора J3. Как
уже обсуждалось в разд. 6.1.4, ядра с заполненными оболочками,
для которых все орбитали с —j}, д для данного д запол-
нены, всегда сферически симметричны. Это имеет место потому,
что действие оператора ± iJ2 приводит к состоянию, в котором
величины /тд увеличиваются или уменьшаются, а такие состояния
в данном случае уже заполнены. Таким образом, состояние |Ф)
для ядер с заполненными оболочками остается инвариантным при
действии на него оператором поворота, для которого J является
генератором. Однако это не имеет место для ядер с незаполнен-
ными оболочками, для которых всегда следует учитывать воз-
можность важных эффектов деформации.
8.1.3. Результаты расчетов
При выполнении расчетов в рамках приближенного метода
Хартри—Фока в качестве базисного набора обычно используют
функции гармонического осциллятора. Осцилляторный радиальный
параметр можно выбрать нз экспериментов по упругому рассеянию
электронов; одночастичные энергии вычисляются так же, как и
для частично-дырочной модели (см. § 6.2). Как уж указывалось,,
обычно приближение заключается в ограничении одной главной
оболочкой. Например, в ядрах «/-оболочки остов 16О (оболочки 1s
и \р) считается инертным, а динамические свойства определяются
подоболочками k/3/2, 2si/2 и 1^3/2-
235
В расчетах, которые обсуждаются ниже, эффективное нуклон-
нуклонное взаимодействие берется в виде сил Розенфельда
V = Voexp(—г2 Ц-2)- -у (Tj-Tj) [0,3 + 0,7а,-<rj. (8.8)
Результаты для хартри-фоковского решения, соответствующего
минимуму энергии, приведены на рис. 8.1. Для 2®Si два деформи-
рованных решения, соответствующие вытянутому и сплюснутому
Мэд 5 г "51 дытя- иЯ сплюс- зеАг "Са эллип- сплюс- сферу-. 5
D -К—— нутое з* нутое соидаль-нутое ческое ное 0
~5 4j — Г= -3,'— 7* -5
-10 5* т— -10
-15 * ft/г— /♦—•— —•- 1*—•— -е
-2.0 Л/г— 7_-*- -20
-Z5 г— - -25
-зо 3-»— -30
-3S - “с и0 r"lte иМд г— г-*- г Руг~*~ -35
~40 сплюс- сферу. ‘ нутое ческое Оытя- эплилсот нутое дольное 3^Йцг—- - -40
Рис. 8.1. Спектры одночастмчных хартри-фоковских орбиталей для четно-
четных ядер с N—Z между 12С н 40Са. На каждом заполненном уровне,
который указан точкой, могут находиться четыре фермиона. Аксиально-
симметричные решения характеризуются четностью и удвоенным значением
их квантового числа проекции углового момента иа ось симметрия. Напри-
мер, 1~ н 3~ представляют собой орбитали с k—lJ2 и А=3/2 из р-оболочки,
а /+ и 3+ — орбитали с й=1/2 и й=3/2 из 2s 1 d-оболочки [443]
ядру, приводят к таким близким энергиям, что на рисунке пред-
ставлены оба случая. (В табл. 8.1 представлены соответствующие
полные энергии связи для всех этих решений.) Видно, что минимум
в 24Mg и 32S соответствует эллипсоидальной форме ядра, т. е. реше-
ния не обладают аксиальной симметрией.
Главная особенность этих расчетов — большая величина щели,
которая появляется в одночастичных энергиях, указанных на
рис. 8.1, при заполнении подоболочки. Эта щель уменьшается
спин-орбитальиым расщеплением между подоболочками 16/5/2 и
М3/2, так что к концу заполнения оболочки она значительно
уменьшается. В этой области спин-орбитальное расщепление срав-
нивается с величиной щели и хартрн-фоковские состояния стано-
236
\ Таблица 8.1
Полные энергия связи, рассчитанные относительно энергии связи ,6О
в рамках приближенного метода Хартри — Фока 1443]
Ядро Форма ядра £теор. м” £»ксп.
*2С Сферическая 48,57 41,50
Сплюснутая 41,06 —
20Ne Вытянута н —35,78 —39,10
"Mg —72,91 —85,83
Эллипсоидальная —76,73 —
28Si Вытянутая —122,01 —
Сферическая —114,22 —134,38
Сплюснутая —123,00
»S Вытянутая —168,80 —
Эллипсондальнаи —171,84 —180,35
Сферическая —168,08 —
Сплюснутая —168,44 —
3"Ar Сферическая —216,25 —
Сплюснутая —220,48 —226,54
вятся меиее устойчивыми. Это приводит к сильной конкуренции
между решениями, соответствующими вытянутой и сплюснутой
форме ядра для 28Si и 32S, что в результате дает очень сложный
спектр ядра.
Для 12С и 28Si предпочтительность деформированных орбиталей
делает недействительным применение частичио-дырочной модели
со сферическим базисом.
Сферические решения име-
ют слишком большие щели
между заполненными под-
оболочками в одночастич-
ных спектрах по сравне-
нию, например, с одиочас-
тичными спектрами для
15О и 17О. Указанная труд-
ность устраняется, если
используются деформиро-
ванные решения. Эти ре-
шения можно также ис-
пользовать в качестве ба-
зиса для частично-дыроч-
ных расчетов свойств ги-
гантского резонанса. Такие
Ёасчеты проводились для
’Ne, ¥Mg-H [26].
Отметим, что деформи-
рованные хартри-фоков-
ские решения дают векторы
состояний (величины Су"),
Е,Мэб 16 -
74 -
12 ь=з/2‘— 8=5/2—к-5/? 8=1/2‘—к
10 8 M/Z"— k-3/г'— М/2"—’ 8=3/2 — t, 8=1/2 —
6 4 £ I I . § II I w § k=J/Z—
Z7 МЛ—H=1/Z— Модель Нильссона 8=1/2— 8=3/2 Модель Хартри-Фока 20Ке
Рис. 8.2. Сравнение одночастмчных спектров
в модели Нильссона [404] и рассчитанных
в приближенном методе Хартри — Фо-
ка (Ро=5О Мэв) [301]
237
очень похожие на соответствующие величины, полученные в мо-
дели Нильссона 1402] для больших деформаций. Однако энергии
состояний в этих двух подходах различаются весьма значительно
(рис. 8.2), что главным образом объясняется существованием щели.
Из сравнения с феноменологическим подходом Нильссона видно,
что щель должна возникать от нелокальной обменной части
хартрн-фоковского потенциала [см. (6.9) и (6.11)], которая отсут-
ствует в модели Нильссона.
Щель оказывает большое влияние иа структуру ядер sd-оболоч-
ки. В частности, она уменьшает значение момента инерции для
Е,Мэв
Сплюснутое Вытянутое
ЬрУЬ 4p4h
Рис. 8.3. Хартри-фоковские энергии 2p2h- и 4/?4/;-состояний,
как функции параметра Vo в потенциале (8.8). Линия, отмечен-
ная 2p2h (1), относится к протонным частицам и двум протон-
ным дыркам на орбиталях с т jк ,пк = соответ-
ственно, а линия 2p2h (2) относится к протонным и нейтрон-
ным частицам п протонным и нейтронным дыркам на этих
орбиталях [443]
этих ядер. Это можно видеть из формулы для момента инерции, полу-
ченной Инглисом в модели принудительного вращения (см. § 10.2):
gl = 2 у ЕР|А1А>12 , (8.9)
Z, р ®р—
где, как обычно, 1 относится к заполненным уровням, ар — к не-
заполненным. Щель увеличивает средний знаменатель ер—
в этом выражении и, следовательно, уменьшает момент инерции
в среднем примерно в два раза. Большая величина щели для де-
формированных хартри-фоковских решений дает возможность ис-’
пользовать приближение Тамма—Данкова для ядер с незаполнен-
ными оболочками. Существование щели приводит к уменьшению
вклада от сложных частично-дырочных конфигураций.
Приближенный метод Хартри—Фока помогает понять свойства
вращательных полос, обнаруженных в 16О (см. разд.7.5.2). Это по-
238
лосы: 0+(6,05 Мэв), 2+(6,92 Мэе), 4+(10, 36 Мэв), 6+ («15 Мэв),...
и 1" (9,59 Мэв), 3 (11,63 Мэв), 5_(« 15 Мэв) .... Расчеты с учетом
двухчастично-двухдырочных конфигураций не могут объяснить
существование этих полос, но приближенный метод Хартри—Фока
допускает возможность того, что деформированные ^^-конфигу-
рации обладают низкими энергиями и тем самым могут вполне
Г—
Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент
К= 0*-полоса К=0~-полоса
О* Основное состояние
Рис. 8.4. Экспериментальные и теоретические по-
лосы с Д=0+ и К=0“ в 16О. Первая представляет
собой 4р4й-состояния, вторая — ЗрЗА-состоя-
ння [302]
успешно конкурировать с 2p2/z-конф игу рациями [24, 301, 4891. Они
могут образовать указанные вращательные полосы (рис. 8.3). Для
объяснения вероятностей электромагнитных переходов между по-
лосами необходимо допустить смешивание основного состояния,
2р2Л- и 4р4Л-состояний [97]. В частности, полоса 0+, 2+, 4+,6+,
по-видимому, в основном определяется 4р4А-конфигурациями, а
нечетная полоса Г, 3~, 5~, ... — ЗрЗЛ-конфигурациями. Резуль-
таты для обоих полос приводятся на рис. 8.4.
239
8.1.4. Упрощенная модель
В работе [29] была рассмотрена упрощенная модель, которая
объясняет некоторые особенности расчетов в рамках приближен-
ного метода Хартри—Фока для sd-оболочки. Авторы указали, что
основные свойства хартри-фоковских расчетов определяются длнн-
нодействующей частью пуклон-нуклонного взаимодействия. Наи-
более длиннодействующая часть потенциала является константой»
так как из (8.8) следует
ехр[—|г—1'|^-2]= 1 —|г—r'|2[i-2 + T_|r—г'|4М-4+ -
(8.10)
Благодаря наличию обменной части эта константа не является не-
избежной. Если пространственную зависимость считать постоян-
ной, то взаимодействие принимает вид [(см. (6.54) и (6.55)]
V « U’’ 4- ВРа — НРТ + МРХ. (8.11)
Упрощенная модель считает 2s— U-оболочку вырожденной
(ei<?5/2 = e2sp2= Eid3/2 — Тогда одночастичные состояния за-
писываются в виде произведения пространственной, спиновой
и изоспиновом частей
|Х> = |1х)|Хо>|Аг. (8.12)
Поскольку в V (1, 2) ие учитывается пространственная зависимость,
то все полные ортонормированные наборы пространственных функ-
ций эквивалентны для этого модельного расчета. Одночастнчные
хартри-фоковские энергии даются выражением
аа а% | h | ах а„ ат> =
=»+ X [1— ("!,|V4’t4*i] +
а заполн.
•!-в [Ч '<, -<“« I *•«>' Ч ч ] -" [Чч-<“*1 Ч2 Ча,] +
+м[«М *«>’-Ча.Чч]|- (813>
Первое слагаемое каждого члена в квадратных скобках дает вклад
прямого взаимодействия, а второе слагаемое — вклад обменного
взаимодействия. Величина представляет собой про-
странственное перекрывание «.-орбитали с заполненной л-орби~
талью. В нашей модели с постоянной пространственной зависи-
мостью ядерных сил эта величина равна единице для заполненного
уровня а и нулю в остальных случаях.
240
Если каждая орбита X заполняется четырьмя нуклонами (два
протона и два нуклона, каждая пара имеет один нуклон со спином
вверх и один со спином вниз), то
ех = е -|- -1- 5.4—G (заполненный уровень), (8.14а)
ер = е -г 5А (пустой уровень), (8.146)
н полная энергия Хартри—Фока есть
£0=Яе + Т-5Лг------|-6Д (8.14в)
где
S = W + 2В — 2Н — М, (8.15а)
G = W+2B — 2H — 4M. (8.156)
Величина G представляет собой щель между заполненными и не-
заполненными уровнями, которая не зависит от А. Энергия Ферми
является константой, если 5=0, что выполняется для сил Розен-
фельда. В последнем случае
= В = Ту„, H = Л1 (8.16)
Тогда полная энергия Ео линейно зависит от А. Для того чтобы
существовала щель (G > 0), следует потребовать существования
сильных притягивающих сил Майорана (М <Z 0).
Для «сс-частичных» ядер (N = Z, Л = 4/2, п — целое число)
гамильтониан Хартри—Фока в рассматриваемой модели имеет вид
<«|/!|₽>=<a|7’|₽> + 2[S<aX|v|₽X>—6<ал|а|1₽>], (8.17)
где v — произвольный радиальный миожитель для центральных
сил. Таким образом, 5 характеризует роль прямого матричного
элемента, относящегося к локальной части хартри-фоковского по-
тенциала (которую можно, например, аппроксимировать гармони-
ческим осцилляторным потенциалом в феноменологической модели
Нильссона). Величина G характеризует нелокальный потенциал,
который обусловлен обменом Паули и отсутствует в модели Нильс-
сона. Следствием последнего обстоятельства является отсутствие
щели в модели Нильссона. Это — важное свойство хартри-фоков-
ского подхода.
8.1.5. Эффекты спин-орбита льном связи
Как отмечалось при обсуждении рис. 8.1, по мере заполнения
sd-оболочки спин-орбитальный член становится все более важным.
Если для 28Si все еще предпочтительны деформированные решения
241
Хартри—Фока (см. табл. 8.1), то для 32S это уже не имеет места.
Влияние спин-орбитального члена aL s на хартри-фоковские
решения для 32S показано на рис. 8.5. Видно, что для очень боль-
ших a 32S становится хорошим сферическим ядром с замкнутыми
О 0,5 1,0 1,5
Спин-орбитальная сила
Рис. 8.5. Полная хартри-фоковская энер-
гия Ео для S2S как функция спин-орби-
тальной связи, сила которой характери-
зуется величиной а. Значение а=1 соот-
ветствует экспериментально наблюдаемо-
го сппп-орбитальном\ расщеплению
[443J
подоболочками. В ^действительности же спнн-орбитальные эффекты,
по-видимому, приводят к таким хартри-фоковским решениям для
82S, которые не очень стабильны по отношению к Р- и у-колебаниям.
8.1.6. Проектирование на состояния с определенным
угловым моментом*
Деформированные хартрн-фоковские решения дают микроско-
пическую теорию того, что на языке феноменологической теории
коллективного движения мы называем эффектами вращения. Это
означает, что хартри-фоковское решение должно порождать вра-
щательную полосу, т. е. каждое состояние |«М1>, составляющее
данную вращательную полосу, должно быть проекцией |Ф> иа
подпространство углового момента J н г-компоненты М. Такое
проектирование осуществляется с помощью проекционного опе-
ратора Рдр
|Ф>=2Х|Ф>, №)2=ri; (8.18)
J, м
для нормированных J JM) имеем
| ЛМ> = И,|Ф ><Ф|/й|Ф>-‘. (8.19)
* См. также приложение А.
242
Если сс обозначает полный набор квантовых чисел, не включающий
J и М, то
(8.20)
где
J21 aJM) = /г2 J (J+ 1) | aJM) (8.21a)
J31 <xJM/ = hM | a J M}. (8.216)
(Практически ограничения хартри-фоковских орбиталей приводит
к ограничению во всех суммах J < JMai;c.) Энергии этих состоя-
ний имеют вид
Ej = < JM | Н | JМУ = <Ф | HPJM | Ф> <Ф | PJM | Ф>~1 (8.22)
(отметим, что H коммутирует с J).
Для практического выполнения проектирования используют
интеграл Хилла—Уилера [2701. Он определяется через оператор
конечного поворота
Я (Q)= е-*>< А е-’о»-'» e-Jo»7», (8.23)
где Q — {0п 02, Оз)—набор углов Эйлера, описывающих поворот.
Матрицы конечных вращений связаны с соотношением
<aJ/H | R (Q) | а' Г М'> =- ваа> DJMM > (Q). (8.24)
Отсюда
K(O)= 2 |а/Л1> D'mm- (8.25)
а, J, MtM’
И
Рм = 21 aJM > <аJM I = Л- Я-2 (2J + 1) J Е>мм R R №) <&, (8.26)
поскольку D-матрицы ортонормированы:
^м‘т- (Я)7^„(£2)<® = 8я!(2У + 1)-' б,,. 6мм- 6„,т-. (8.27)
Таким образом, необходимо рассчитать величины
<Ф|Рй|Ф> =-|-Я-2 (2.1 + l)Ji& (£2)<Ф|/? (Q)|®>d£2 (8.28>
и
<Ф |йИ,| ф> = Л- л-2(2/ + 1) j£4\(£2) <Ф I HP (Я) I Ф> гК2, (8.29)
которые имеют вид интегралов Хилла—Уилера. Вычисление этих
величин выполняется с использованием свойств матриц конечных
вращений 1441, 443].
243
Целесообразно выполнить всю эту тяжелую работу, поскольку
таким способом можно избавиться от использования сильно зави-
сящих от модели (см. гл. 10) выражений для момента инерции, кото-
рые нужны для описания спектров возбуждения ядра. Метод про-
ектирования также дает абсолютные значения энергий, а не только
их разности. Кроме того, можно получить отклонения от чрезмер-
но простого правила для энергии вращения
(8.30)
,гС !tSl 'w/r
7,13—4 8,оз—s е 3,60— s
4,64—6 ~е 5,30—8 Ь'И—о
-0,73—3 г °>м—* 4 * 0,l‘f—4
-1,86—3—3 _j'gj__3 —2
-3,37—0 --О -3,06—о--О -3,65—0 —о -3,37—0 —о
Про- Экспе- Про- Зкспе- Про- Зкспе- Про- Зкспе-
ект римент ект римент ект римент ект римент
Рис. 8.6. Спектры ,£С, 20Nc, 2SSi (сплюснутое ядро) и 34Аг, полу-
ченные в расчетах, в которых использовался метод Хартри — Фока
с проектированием. Число слева около каждого проектированного
уровня представляет собой разность энергий уровня н внутреннего
состояния, из которого проектируется этот уровень [443]
и эти отклонения, конечно, проявятся в проекционном методе.
Наконец, результаты, выраженные формулами (8.28) и (8.29), за-
висят только от заполненных орбиталей Хартри—Фока и не зависят
от незаполненных оболочек; последнее свойство имеет место для под-
ходов, основанных на феноменологических моментах инерции
[ср. с (8.9)].
Результаты такого расчета, основанного на методе проектиро-
вания, показаны на рис. 8.6. Этот подход большей частью оказы-
вается весьма успешным, хотя ядро 32S, которое находится в той
области sd-оболочки, где очень сильна конкуренция между вытя-
нутой и сплюснутой деформацией, остается загадкой. Хартри-фо-
ковский расчет для 32S, по-вндимому, дает слишком большую де-
формацию и слишком большой момент инерции*. Для описания
спектра возбуждения 32S можно также применить подход, основан-
ный на использовании группы симметрии S£/3 [50], но при этом
возникают такие же трудности, связанные со слишком большими
деформациями.
* См. также работы [137, 504].
244
§ 8.2. СХЕМЫ КЛАССИФИКАЦИИ SU3
Из сказанного выше очевидно, что когда в расчетах по оболочеч-
ной модели учитывают все большее число валентных частиц (т. е.
частиц, не включенных в инертный остов), то вычисления чрезвы-
чайно быстро усложняются. Даже после выполнения таких расчетов
весьма нелегко дать физическую интерпретацию результатам.
Однако ситуация облегчается тем фактом, что самосогласован-
ный потенциал ядра близок к потенциалу гармонического осцил-
.лятора, а гармонический осциллятор обладает замечательными
свойствами симметрии. В частности, группа SU9 является группой
симметрии гармонического осциллятора.
Таким образом, в оболочечной осцилляторной модели можно
характеризовать собственные состояния ядра квантовыми числами
группы SU3. Более того, можно наперед ожидать, что собственные
состояния с определенными квантовыми числами группы SU3 имеют
энергии, значительно более низкие, чем энергии других состояний.
В самом грубом приближении в расчетах учитывают лишь эти наи-
низшие состояния. Тогда объем вычислений сокращается чрезвы-
чайно сильно.
Далее, классификация по схеме SU3 позволяет распределить
состояния по определенным вращательным полосам. Такие полосы
экспериментально наблюдались в легких ядрах с заполняющимися
оболочками 2s и Id. Итак, для легких ядер схема SUs позволяет
провести микроскопический анализ коллективного эффекта вра-
щения.
Классификация состояний по схеме Sl/3 требует детального
знания теории групп. Изложение этой математической теории
в данной книге заняло бы непропорционально большое место. По-
этому здесь будет дан лишь краткий и схематический обзор теории
группы S U3. Мы надеемся, что этот обзор осветит самые существен-
ные черты теории групп.
Сначала рассмотрим применение теории групп в квантовой ме-
ханике. В частности, исследуем хорошо известный простой пример
группы SU2. Свойства этой группы используются в квантовой ме-
ханике для изучения углового момента.
8.2.1. Теория групп в квантовой механике
Сформулируем некоторые основные положения теории групп.
Детальное рассмотрение теории групп и ее применений в физике
можно найти, например, в книге Хамермеша [260]. Группа G—
это система элементов {gj, для которой дан способ преобразования
любых двух элементов в третий элемент. Этот способ обычно назы-
вают ассоциативным законом или законом умножения. При таком
преобразовании должны выполняться следующие четыре условия:
а) произведение любых двух элементов группы G также есть
элемент группы G;
245
б) умножение ассоциативно, т. е,
(gigilgk = gifgigtY. (8.31)
в) имеется один тождественный элемент с ( = gj; он обладает
тем свойством, что для всех элементов gt в G выполняется соотно-
шение
egi = gt\ (8.32)
г) каждый элемент g, имеет один обратный элемент gv1; он оп-
ределяется из соотношения
gTlgt = e. (8.33)
Свойства групп изучают с помощью фундаментального алге-
браического объекта, называемого представлением. Представление
определяется как преобразование группы G в систему операторов
в линейном векторном пространстве L. Преобразование сохраняет
правило умножения для элементов группы. Если размерность L
равна п, то говорят об п-мерном представлении.
Предположим, что рассматриваемая группа есть группа преоб-
разований, действующих в л-мерном функциональном пространст-
ве; пространство состоит из полной системы функций {фц} = {ф1;
ф2, Фп}- Тогда для элемента Ogf. этой группы имеем
^(OV (8.34)
Ц=1
Совокупность матриц D^v (Z);' в которой индекс i нумерует элемен-
ты группы, есть л-мерное представление группы.
Типичный пример такой группы дается системой преобразова-»
ний Т (/?), производимой трехмерными вращениями При этом*
Т (Д’) действует в (21 + 1)-мериом пространстве сферических гар-
моник {У/те,—I В (21 -г 1)-мерном представлении груп-
пы имеем систему матриц конечных вращений
|£>!n-m(/?); —
Рассмотрим некоторое подпространство L' функционального
пространства {ф„}. Предположим, что пи один из элементов группы
при действии на функцию подпространства L' не приводят к функ-
ции вне L'. Тогда это подпространство можно рассматривать как
базис так называемого приводимого представления. Соответствую-
щая система {Duv (/); и - 1, 2, ..., п, v = I, 2, ..., п'} есть ^-мер-
ное представление (п' <Z п.) группы. Если никакое дальнейшее
приведение невозможно, то представление называют неприводимым
[54].
В физических приложениях представляют интерес такие пре-
образования Д (например, вращения), что для х' = Rx имеем
Or «Г \х‘) ф (л) (8.35)
или
Од ф (х) = ф (R~lx). (8.36)
246
Рассматриваемое пространство функций состоит из собственных
функций гамильтониана Н, т. е.
//ф (х) = Еф (х).
(8.37)
Гамильтониан Н называют инвариантом группы, если выполняется
соотношение
Н -1 х) = О/? И (х) Од 1 = Н (х). (8.38)
Примером может служить гамильтониан задачи с центральным по-
тенциалом, причем преобразование /? описывает трехмерные вра-
щения.
Предположим, что в спектре собственных значений Н ряд со-
стояний вырожден:
Яф¥ = Ефу, v = 1, 2, ..., п. (8.39)
Иными словами, существует п линейно независимых функций, при-
надлежащих одному и тому же собственному значению Е. Если
Н — инвариант группы симметрия преобразований /?, то находим
Од [//фг] = Од HOR 1 OR фх. -г-. // [OR фу] = Е ]Одфч-]. (8.40)
Итак, Од (фу) — также собственная функция, принадлежащая
собственному значению Е. Следовательно,
2 />,„.(/?)-Фн. (виц
ц-=1
Это приводит к «-мерному представлению группы преобразований,
сохраняющих гамильтониан инвариантным. Таким образом, ха-
рактеристика возможных представлений группы симметрии сво-
дится к классификации собственных значений и собственных функ-
ций Н. Например, для задачи с центральным потенциалом собствен-
ные функции ф,-т классифицируются по угловому моменту /.
Отвлечемся теперь от рассмотрения квантовомеханического уг-
лового момента и рассмотрим общую ситуацию. Матрицу гамиль-
тониана можно разделить в несвязанные друг с другом блоки, соот-
ветствующие
симметрии:
различным
неприводимым представлениям групп
“21
о
о
о
о
Н12 Н18 О О О 0 0..
Н22 Н23 О О О 0 0..
Н32 Н33 О О О 0 0..
о о ни я„1 о о о ..
О О Нм //J О 0 0..
0 0 0 0 н„ п.7 Ню..
0 0 0 0 н„ н„ н„..
0 0 0 0 н„ н82 нж..
(8.42)
247
Здесь
Яп = (-фо Я-ф,), = ...
(8,43>
Функции (ф4 и {ч?ц} преобразуются при помощи различных не-
приводимых представлений и поэтому удовлетворяют соотноше-
ниям
('Г,,, 4v) = 0- (8.44)
Выражение (8.42) вытекает из того факта, что функция пре-
образуется с помощью того же неприводимого представления, что
и фу Тогда из соотношения (8.44) следует
(<bi, /Л|ч) = 0- (8-45)
Таким образом, диагонализация И сводится к значительно более
простой задаче диагонализации подблоков, изображенных в урав-
нении (8.42).
В приложениях схемы SU3 система состояний классифици-
руется по данному числу осцнлляторных квантов, возникающих
в модели оболочечного потенциала гармонического осциллятора.
Как мы увидим ниже, группа Sl/3 есть группа симметрии осцилля-
тора. Поэтому следует днагонализовать только подсистему функций,
преобразующихся согласно неприводимому представлению SU3.
Взаимодействия, нарушающие симметрию, снимают вырождение
осцнлляторных состояний с данным числом осцилляторных кван-
тов.
8.2.2. Осцилпяторные кванты и группа SUs
Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид
= р2/2М + /гг2/2 = (р2 + А2 а4 г2)/2М = (а‘2 р2 + А2 а2 г2) а2/2М,.
(8.46)
где а = j/Afo/A. Гамильтониан Но имеет группу симметрии t/3,
состоящую из унитарных матриц 3x3. Чтобы увидеть это, полезно
сначала ввести операторы рождения и уничтожения
о/S а(ЙГу —ia-2Pj)/V2, / = 1,2,3;)
о,, = a(tirj-\-ia.-*Pj)l'V2, /=1,2,3. J
Они удовлетворяют бозонным правилам коммутации
[a/',£ZA] = [aj,z7ftJ=O;]
[Су, <гЛ = 6л. !
(8.48)
248
Далее определим девять операторов сдвига
Atj = (at а.} + а} at)/2. (8.49)
Они изменяют индекс осцилляторного кванта с /-го на Z-e. Опера-
торы Aij удовлетворяют следующим коммутационным соотноше-
ниям;
[Лу, Дй!] = б>й Ац-AkJ. (8.50)
Гамильтониан, записанный через эти операторы, имеет вид
Но - а2 (А^ + Ауу 4- AJ/2M. (8.51)
Из описанных выше коммутационных соотношений следует, что
[Но, Лу] = 0. , (8.52)
Величины Ац, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
(8.50), образуют алгебру Ли и называются генераторами группы
(ср. со случаем операторов углового момента J).
Рассматриваемая здесь группа называется £73. Общее преобра-
зование этой группы имеет вид
и = ехр | i 2 СЛМЛ] , (8.53)
причем Cjk — вещественные коэффициенты, а матрица U унитар-
на. Тогда из (8.52) находим
[До, = 0. (8.54)
Следовательно, элементы матрицы U составляют группу симметрии
для гамильтониана Но. Отсюда вытекает, что собственные значения
и собственные функции Но можно классифицировать с помощью
неприводимых представлений группы £/3. Ниже будет произведена
такая классификация.
В случае осцилляториой модели для системы многих частиц
аналогичные результаты можно получить, исходя из гамильтониа-
на
//0 = f//0(Z) (8.55)
t= 1
и операторов
Ац=^Ац({). (8.56)
t= 1
Для исследования трансформационных свойств удобно связать
операторы сдвига со сферическими тензорами. Рассмотрим опера-
тор суммарного углового момента
(8.57)
f= 1
249
здесь компоненты одночастнчного углового момента для Лй части-
цы определены обычным образом:
Lq (t) [rxp]Q, (8.58)
где Lq — тензор первого ранга. Определим теперь тензор второго
ранга
<?, = f <8-59>
где
<Л; (О = VST5c? | Л У2, (г) - (р2/«2) У2, (р)1- (8.60)
Эти сферические операторы связаны с операторами сдвига в де-
картовых координатах следующими соотношениями:
£+1 = (A„-A21.).'l/2H-i(A,,2- Л2В)/V2; (8.61а)
^о = 1(Л»-А«); (8.616)
=(AI2-A2I);V2-i(A„2-A2B)/V2; (8.6IB)
Qo-=- А„-Ав«А2А22; (8.61г)
й + С-г^УбМ^-А^); (8.61Д)
Сг-<?_. = 1Уб(Ак,+А„,); (8.61е)
QitQ-i = -1Уб(А„2Ч-А2„); (8.61Ж)
01-0-!= -Уб(А2х.А А„). ( 8.613)
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
[LQ, --1/2(111 |W’C4-?')£,+,.; (8.62а)
[<?,,£„-]= -V6(212|W'9 + 9')Q, (8.626)
1<2Ч. Чч-1 = 31/10(221 \qq'q-rq')L, (8.62в)
Отсюда вытекает, что система операторов, не включающая /Уо, есть
совокупность коммутирующих друг с другом операторов. Рассмат-
риваемая подсистема образует подгруппу группы £73, называемую
SU8. Это группа специальных унитарных матриц 3X3, детерми-
нант каждой из которых равен -j-1. В пределах одной осциллятора
ной ядерной оболочки остающееся преобразование
U. = exp (iCM (8.63)
изменяет только фазу базисных функций, т. е. не представляет ин-
тереса.
Заметим далее, что операторы Lq с q = —1, 0, 4-1, взятые в от-
дельности, образуют дополнительную подгруппу, обозначаемую
/?3. Подгруппа /?з — группа трехмерных вращений. Возможность
250
классификации состояний по подгруппе 7?3 имеет решающее зна-
чение; действительно, в применении к атомному ядру целесообраз-
но использовать угловой момент в качестве одного из сохраняю-
щихся квантовых чисел.
Производимая ниже процедура состоит из следующих этапов:
а) сначала классифицируют осцилляторные состояния по схе-
ме Us или SU3;
б) затем накладывается вытекающее из принципа Паули тре-
бование антисимметричности; таким образом, классификация про-
исходит одновременно по схемам SU3 и симметрической группы
(группы перестановок) ;
в) для определения состояний с сохраняющимся угловым мо-
ментом следует производить классификацию одновременно по схе-
мам SU3 и
г) наконец, мы увидим, что целесообразно иметь классифика-
цию по SU8 и ее двум подгруппам SU2 и Ux.
Для выполнения такой программы целесообразно сначала най-
ти систему нумерации неприводимых представлений симметри-
ческой группы . Это будет полезно по двум причинам. Во-первых,
будет учтено требование антисимметричности в многофермионной
системе, вытекающее из принципа Паули. Во-вторых, это поможет
при нумерации неприводимых представлений группы SU3. Рас-
четная схема для решения данной проблемы называется схемой
Юнга.
8.2.3. Схема Юнга
Рассмотрим схему оболочечной модели. Имеется п частиц вне
заполненной оболочки, распределенных по k орбитам. Например,
для ядра 18О величина п = 2. Два валентных нуклона находятся
в оболочке 2s Id, состоящей из шести вырожденных по магнитному
квантовому числу состояний (спин-орбитальным расщеплением
пренебрегаем). Следовательно, k = 6. В этом случае можно обра-
зовать два типа волновых функций, а именно
ФЙ (Г>, г„) ф; (Г,) tfj (Г2) + (fy (г,) (fl (гг),
г = 1, 2,..., 6; / = 1,2, 6; (8.64а)
и
’Й (ri, г-г) = <Г. (ri) <Р, (Г2)—<Г> (Г1) Ч ; (г2),
1 = 1, 2,..., 6; j = l,2,...,6; К/. (8.646)
В случае ядра 18О имеется 21 состояние первого типа и 15 состояний
второго типа. Из-за принципа Паули симметричные состояния
недопустимы для описания двух валентных нейтронов ядра
18О.
В данное случае функции ф* образуют представление симметри-
ческой группы Sn, причем п = 2. В общем случае симметрическая
группа Sn есть группа nl элементов, соответствующих п\ возможным
251
перестановкам п объектов. В частности, при п = 2 имеем группу
из двух элементов. Одно возможное представление этой группы
(в данном случае одномерное) дается преобразованием единичного
элемента (никаких перестановок) в значение -г-1, а элемента, соот-
ветствующего одной перестановке, в значение — 1. Другое представ-
ление, которое является, очевидно, неоднозначным, преобразует
оба элемента в Н-1. Первое представление можно осуществить иа
базисе, включающем любую из 15 функций (г1( г2). Второе
представление выполняется с помощью любой из 21 функций
’ti/ln, г,)-
Если частиц больше, например п = 3, ситуация усложняется.
Имеется полностью симметричные функции
Ч. (П) Чу (О Ч( (Г3) -J- ч, (г.) <й (г2) Чу (гз) -Г 4 j (П) Ч>( W <fi (гз) +
+ Чу (п) 41 (Г2) 4; (га) + ч, (п) 4,- (гЕ) Чу Сз) + 4'1 (ri) 41 (г2) 4i (r3) (8.65)
ИЛИ
SiCOf/WqiCs)- (8-66)
Можно образовать также полностью антисимметричные функции
41 С1) Чу W Ч! (га) — Ч| (П) 41 (г2) Чу (ПО ~г Чу (п) Ч; (•)) Ч, (г8) —
—Чу (г,) Ч. (гг) 41 (гз)+4i (ri) 41 (гз) Чу (гз)- 41 (г,) Чу (Г»)Ч, (rs). (8.67)
Однако имеются функции и со смешанной симметрией:
41 (Г1) Чу W 41 W + Чу (>’.) 41 (г2) 41 (Гз) —41 Ci) 4i (М Чу (гэ) —
— Ч1(г-.)Чу(гг'Ч1(гз). (8.68)
Для классификация таких функций вводится' так называемая
схема Юнга. Нарисуем картинки, на которых для каждой частицы
отводится клетка. Клетки на одной и той же строке обозначают час-
тицы, для которых волновая функция симметрична при их взаим-
ных перестановках. Клетки в столбец обозначают антисимметрич-
ную структуру функции. Таким образом, двухчастичные функции
в соотношениях (8.64а) и (8.646) изображаются соответственно;
рисунками
ИТ] и |Zj . (8-69)
В первом, симметричном случае имеется /е(/с г 1)/2 состояний,
а во втором, антисимметричном — k (k—1)/2 состояний. Для
случая трех частиц имеется k (k ~ 1)(/г + 2)/6 полностью симметрич-
ных состояний
252
k (k — 1) (k — 2)/6 полностью антисимметричных состояний
(8.71)
и 2k (k -h 1)(&—3)/3 состояний co смешанной симметрией
(8.72)
Аналогично для четырех частиц имеем:
полностью симметричные состояния
(8 73)
полностью антисимметричные состояния
(8-74)
состояния со смешанной симметрией %,
Как мы увидим, данная форма рисунка эквивалентна опреде-
ленному неприводимому представлению симметрической группы,
253
В общем случае п частиц имеем
f7 клеток;
fz клеток;
f3 клеток;
4 клеток;
(8.76)
причем fi + f2 + f3 + f4 + ... = п и fi > f2 > fs > f* > — .
Форму схем Юнга (8.76), называемую также символами Юнга, крат-
ко обозначают IfJ...]. Такой символ определяет волновую
функцию с различными симметриями, причем числа 1, 2, 3, 4, ...
нумеруют строки. Символ Юнга с п клетками соответствует непри-
водимому представлению Sn. Если для символа Юнга используются
числовые обозначения, то различные символы, образованные опре-
деленным'типом схем, характеризуют различные базисные функции;
совокупность этих функций производит неприводимое представле-
ние Sn. Для каждого набора fif2 ... число функций равно
A
4J.—— (8-77)
*!< /
В общем случае прямое произведение двух функций, принад-
лежащих к двум неприводимым представлениям симметрической
группы, само не принадлежит к неприводимому представлению
симметрической группы. Например, произведение волновых функ-
ций ф/.т, (1) и (2), имеющих определенные угловые момен-
ты, само по себе не обладает определенным угловым моментом. Од-
нако, используя коэффициенты Клебша—Гордана, можно из на-
бора таких произведений образовать функции с заданными угло-
выми моментами | f t— /2|> |/i—/21 + L /1 + /2- Приведем
теперь без доказательства правила разложения произведения:
1) в одной из схем Юнга пронумеруем все клетки первой строки
индексом а, второй строки бит. д.;
2) разместим клетки с индексом а рядом с другой, непроиуме- -
рованной схемой Юнга в любом возможном положении; при этом
должны выполняться следующие требования: а) каждая следую-
щая строка не должна содержать больше клеток, чем предыдущая»,
т. е. f2 f3 •••*» б) никакие две клетки с индексом а не
должны появляться в одном и том же столбце;
3) повторим этап 2 с клетками, имеющими индексы б, в, г. Прй
этом должно соблюдаться требование, чтобы для каждой клетко-
предшествующий номер с индексом а был больше предшествую^
щего номера с индексом б или равен ему. В свою очередь последний
должен быть больше предшествующего номера с индексом б илй
254
равен ему и т» д. Символы читаются справа налево последовательно
по строкам, как читают арабский текст.
Приведем пример:
6
Ф
(8.78а)
Это можно записать также в виде
(21)®[211] = [4111] ф(421]ф
ф[3211] ф(ЗЗЦф
ф[31111]ф(3211]ф(322]ф
ф[22111]ф(2221 ].
(8.786)
В физических применениях случаи прямых произведений обыч-
но настолько просты, что сформулированная выше система правил
не требуется." Вместо этого можно вычислять прямое произведение
«вручную». Такие прямые произведения описывают симметрии, ко-
торые будут реализовываться, когда требуется скомбинировать
состояния двух различных типов частиц с определенной симметрией.
Иногда, помимо прямого, требуется так называемое внутреннее
произведение. В нем перемножаемые функции относятся к одним
255
и тем же частицам. Внутреннее произведение возникает, например,
при умножении пространственных волновых функций системы
частиц иа спин-изоспиновые функции этнх частиц. Первые функции
могут иметь, например, симметрию If], а последние—симметрию
Цт], но их произведение вследствие принципа Паули должно быть
полностью антисимметричным. Это будет только в том случае, если
(gl сопряжено [f]. Сопряжение записывается в виде [^] — [fl и оз-
начает, что соответствующие символы Юнга являются зеркальным
отражением друг друга относительно главной диагонали. Приведем
пример
[f]=[31]=
(8.79а)
частичной системы. Функции с различной симметрией к переста-
новкам будут различаться по отношению к этой группе унитарных
преобразований; их можно рассматривать как базисную систему,
соответствующую представлению унитарной группы в k измере-
ниях. Можно показать, что это представление неприводимо. Таким
образом, неприводимые представления Sn можно использовать для
классификации неприводимых представлений Uh. Размерность не-
приводимого представления [/] для Uk равна
A (fi—fi+i—i)
;=1 (/~г>
(8.81)
. (8 79б)
Для одной частицы имеются только четыре спин-изоспииовых со-
стояния, а именно тв = ±1/2 и iz = ±1/2. Следовательно, символ
[£] = [|] не может иметь более четырех столбцов. Отсюда вытекает,
что пространственная симметрия должна быть такова, что в [fl
имеется не более четырех строк.
Наконец, отметим следующий важный момент. Пусть имеется
система вырожденных функций <рг, i = 1, 2, ..., k. Пусть далее вто-
рая система вырожденных функций <р{, j = 1, 2, ..., k, связана с
первой системой унитарным преобразованием
(8-8°)
*= 1
Тогда вторая система образует эквивалентную базисную систему
гамильтониана и имеет ту же симметрию, которая привела к вы-
рождению в исходной системе (фД. Теперь очевидно, что если под-
вергнуть все одночастичиые водновые функции различных частиц
одному и тому же унитарному преобразованию, симметрия ис-
ходной многочастичной волновой функции не изменится. Таким
образом, функция, имеющая симметрию (fi faf8---J» преобразуется
в функцию, имеющую ту же самую симметрию. Если гамильтониан
инвариантен к преобразованию U, то тип симметрии (fifsf 8—.1 мож-
но использовать как квантовое число для рассматриваемой миого-
256
Она не обязательно равна размерности неприводимого представле-
ния [f ] для Sn. В действительности рассматриваемые неприводимые
представления возникли из.различных базисных систем.
8.2.4. Классификация осцилпяторных состояний
Применим теперь описанную выше технику классификации со-
стояний для определения ядерных'состояний в оболочечной модели
гармонического осциллятора. Можно" классифицировать состояния,
находя число и типы осцилляуорных квантов, соответствующих
рассматриваемому состоянию. Во-первых, используем свойство
изотропности осциллятора. Благодаря этому свойству всегда воз-
можно отнести осциллятор ные кванты к одному из трех направле-
ний — х, у или z. Невозмущенная энергия при этом не меняется.
Если характеризовать состояния числом квантов { щ } в /-м направ-
лении j = х, у, г, то HQ инвариантен к унитарному преобразованию
функций вида
S £/f/ЧЧпд • (8.82)
7 =х, у, г 1
При этом сохраняется полное число квантов.
Состояния с определенным числом осцилляторных квантов мож-
но классифицировать по их симметрии к перестановкам осциллятор-
ных квантов. Ранее аналогичным способом производилась класси-
фикация относительно симметрии к перестановка^ частйц. При
классификации по симметрии осцилляторов имеются только три
возможных «типа» квантов, а именно кванты вдоль осей х, у и z.
Следовательно, симметрия описывается группой U3.
В качестве примера рассмотрим ядро 20Ne. Предположим, что
остов 16О инертен. Так как каждая из четырех валентных частиц
® оболочках 2s н id соответствует двум квантам, то возникает восемь
® Зак. 532 2б7
осцилляториых квантов. Эти восемь квантов могут иметь различные
симметрии, например
И I I I I I О •
| | | ~| , [ззг],'
I I I П 1 ,
(8.83)
Так как имеются только три возможных направления квантов, то
не может быть состояния, которое одновременно антисимметрично
более чем по трем квантам. Вследствие этого и и в одном случае нет
более трех строк. Таким образом, можно классифицировать состоя-
ния указанием числа клеток в каждой из трех строк [h^h^. Та-
кие числа приведены в формуле (8.83) справа от символов Юнга.
В применениях к квантовой механике не представляет физи-
ческого интереса тривиальное изменение фазы, производимое ге-
нератором ехр ПСоД)]- Поэтому рассматривают только унимодуляр-
ные преобразования. Итак, вместо группы 1/8 в действительности
требуется группа St73. Полностью антисимметричное состояние,
изображаемое в данном случае столбцом из трех клеток
соответствует функции S'
1 %.(>) <F".(2) <Pn. (3)1
F= <K(2) <Pn.(3) <f>n,(l)
| <F«. (3) 4>n.(l) <P».(2)|
(8.84а>
(8.846)
Очевидно, обобщение иа случаи, когда состояния более чем трех
объектов могут быть взаимно антисимметричными.
При одновременном унитарном преобразовании трех осцилля-
торных функций получаем функцию
I <f».(l) ЧЧ(2) ЧМЗ)|
F' = X t/3s dv ... (2) <pn> (3) <Pn, (1)
|<P„.(3) <p„.(l) <p„.(2)|
или
F' = det (U) F.
(8.85a)
(8.856)
258
Если det (U) = 1, то функция F остается инвариантной к таким
операциям. Далее имеем
(8.86)
Так как столбец инвариантен к преобразованиям интересующей
нас группы SU3, то этот символ [421] полностью эквивалентен [311.
Таким образом, в действительности все символы группы SU3
имеют две строки. Введем для них обозначения (Ар), где А =
= hi — hz и р = Ла:
(8.87)
Оказывается, что размерность представления (Ар) группы SUs
равна
dim (Ар) = 1 (Л + 1)(ц +• !)(>. + и + 2). (8.88)
Теперь можно произвести классификацию состояний, возникаю-
щих при размещении п частиц в осцилляторной оболочке 2s— Id.
Классификация проводится относительно группы Sn (или, экви-
валентно, 1/в для шести подсостояний) и группы SU3. Она приве-
дена в табл. 8.2. Результаты взяты из работы [171]. Указано число
случаев каждого представления (Ар), возникающих при приведении
данного представления [f].
8.2.5. Состояния с заданным угловым моментом
Обратимся теперь к классификации относительно группы SU3
л ее подгруппы R3, являющейся трехмерной ортогональной груп-
пой. Хорошо известна классификация неприводимых представле-
ний R3: она определяется заданием квантового числа L углового
момента. Рассмотрим частицу иа оболочке 1р и соответствующий
юсцилляторный квант. Волновая функция преобразуется согласно
представлению SU3:
(8.89)
□ = (10).
259
Число случаев появления каждого представления (Хр) группы SUs
в процессе приведения общего представления [/] группы Sn для п
частиц в оболочке 2.ч—id [171]
260
261
Продолжение
(П Число частиц п в оболочке 1s—Irf
3 6 9 12
(3] [2JJ [111] М2] [411] [441] [432] [444] [4431]
(4 1) (1 4) (2 2) (3 0) (0 3) (1 1) (0 0) _ 1.1 1 _ 1 1 l-ll-l- II —III 2 ] 1 — 3 ] 1 — 3 6 2 5 4 6 J 2 1 2 ] 3 1 7 [ 7 3 8 — 3 — 3 2 —
Она обладает угловым моментом L = 1. Волновые функции состоя-
ний двух квантов имеют вид
СП ® Г~1 = I I I ® = (8.90)
и, очевидно, могут обладать угловыми моментами L = 0, 1,2. Раз-
мерности этих двух неприводимых представлений группы SU3
равны
dim (2 0) = 6, (8.91а)
dim (0 1) = 3. (8.916)
Для трех неприводимых представлений R3 имеем размерность
dim (£) — 2L 1, так что
dim (£ - 0) = 1,
dim (£ = 1) 3, (8.92)
dim (£ = 2) = 5.
Полностью антисимметричное состояние (0 1) должно обладать угло-
вым моментом £ — 1. Таким образом, неприводимое представление
(Ар) = (2 0) может иметь £ = 0 и £ = 2, в то время как неприводи-
мое представление (Ар) (0 1) имеет £ — 1. Обобщая эти рассуж-
дения, можно показать [171], что произвольное неприводимое
представление (Ар) может иметь следующие угловые моменты:
£ = |K,K + 1.K + 2 K+v; K=/=0; |v, v—2. v—4,..., 1 или 0; /<=0; (8.93a)
Г де К —v, v—2, v— 4,..., 1 нли 0 (8.936)
н v = max (X, p); v = min (A, p). (8.93b)
262
8.2.6. Классификация относительно SU2 и Ui
В дальнейшем будет представлять интерес классификационная
схема относительно группы SU3 и двух ее подгрупп SUZ и иг. Под-
группа SU2 возникает из подгруппы U2, генерируемой четырьмя
операторами сдвига в плоскости ху [см. уравнение (8.49)]:
^i/х» Ayv (8.94а)
Скомбинируем эти операторы в следующей форме:
<8-946)
«+1 =------ V2 Ах„; (8.94в)
е>.,^1У2Аю. (8.94г)
Линейно независимая комбинация Ахх + Ауу имеет ненулевой
шпур, так что детерминант соответствующего унитарного преобра-
зования не является унимодуляриым. Исключение этого четверто-
го оператора из группы U2 и приводит к группе SU2. Преобразо-
вания, генерируемые им, сводятся к неинтересным сдвигам фазы.
Коммутационные соотношений операторов о имеют вид
1«+1, 1 (8 95)
[<Оо, О±1]= ±(0±ь)
Это обычные коммутационные соотношения операторов углового
момента, проектированных на фиксированную систему сферических
базисных векторов.Таким же коммутационным соотношениям под-
чиняются генераторы группы Rs’t таким образом, доказывается
хорошо известный изоморфизм* групп SU2 и Rs. Итак, можно клас-
сифицировать эти неприводимые представления подгруппы SU2
аналогично тому, как определяются квантовые числа углового
момента. В частности, роль «квантового числа углового момента»
играет индекс, который мы назовем А; роль «z-проекции углового
момента» играют собственные значения оператора соо, обозначаемые
v/2. Тогда для неприводимого представления SU2, соответствую-
щего индексу -v/2, имеем
v/2 = —А, —А-Ы, А— 1, А. (8.96)
Далее, собственное значение А (А + 1) является аналогом квад-
рата полного углового момента
О2 = фд --- --------- ©-1<0+1.
* Две группы называются изоморфными, если между их элементами
можно установить взаимно однозначное соответствие, такое, что, если А соот-
ветствует В, г А' — В', то А А' соответствует ВВ'. — Прим, персе.
263
Интересующую нас группу генерирует оператор сдвига
Со == 2/4гг — Ахх — Л11;/. (8.97)
Так как Qo коммутирует с (0о и <0j.x, то можно произвести класси-
фикацию по подгруппе SU<> и подгруппе Классификация не-
приводимых представлений £7Х особенно проста. Она требует зада-
ния лишь одного числа; выберем в качестве него f — собственное
значение Qo. Тогда оказывается, что [172]
8 = 2Х-Ьр, 2Х4-Р—3,..., -- X—2р (8.98)
и
Л=-^-|2Л—2ц—е|, -1-|2к-2ц—е|+1..........
min (-l-(2X+4g—е), -1 (4Ц-2ц + ®)}. (8.99)
Смысл этих величин весьма прост, если выразить их через числа
осцилляторных квантов в направлениях х, у, z. Тогда, вследствие
того что величина Aiit i = к, у, z, есть оператор числа осцилля-
торных квантов, для удвоенного собственного значения ю0 полу-
чаем
v = Nx — Nyy (8.103)
а для собственного значения Qo находим
е = 2NZ — Nx — Ny = 3NZ — N. (8.101
Из последнего выражения ясно, почему при заданном полном числе
квантов величина е всегда изменяется на число, кратное.З. Эти со-
отношения применимы для одночастичных состояний с определен-
ным числом квантов, а также для многочастичиых состояний; дей-
ствительно, в последнем случае полное число квантов в каждом
направлении просто равно полному числу одиочастичиых квантов
в этом направлении.
Определим е как максимально возможное значение е. Оно полу-
чается из некоторого неприводимого представления (Хр) группы
SU3. Именно (Хр) есть неприводимое представление, которое обес-
печивает максимум значения 2Х -р р, причем значения X и р должны
соответствовать данной симметрии. Из уравнения (8.98) имеем
е = 2Х -г р. Оказывается (см. разд. 8.2.7), что такое неприводимое
представление SU3 дтя случая максимальной орбитальной сим-
метрии дает иаинизшую энергию ядра. Далее, как только определе-
но состояние ce = ehv = v, остальные состояния в представлении
(X р) могут быть построены с помощью операторов сдвига. После
этого для нахождения состояний в других представлениях (Хр) груп-
пы SU3, имеющих максимальное е для данного (Хр), можно исполь-
зовать соотношения ортогональности. Наконец, чтобы определить
264
остальные состояния в неприводимых представлениях (Хр), снова
используются операторы сдвига.
Обозначим теперь символом <р ((Хр) -уеЛт) — состояния группы
SUs, классифицированные по схеме SU2 X Ui- Квантовое число
у обозначает совокупность всех необходимых чисел, не связанных
с указанной выше схемой. Физически интересные состояния (Хр)
с определенным орбитальным угловым моментом будем обозначать
ф ((Хр) а£Л4); индекс а обозначает все требуемые дополнительные
квантовые числа. Можно выразить функции <р через функции ф;
<р ((Хр) yeAv) — 2 а ((Хр) yeAv, a£/Q ф ((Хр) aLK). (8.102)
a. L. К
Это разложение можно рассматривать как переход от лаборатор-
ной системы координат к системе, определяемой углами Эйлера
{On 02, =
Фо ((Хр) yeAv) = 2 а ((Хр) yeAv, а£К) фо ((Хр) а£К) (8.103)
а, L. К
^>((M<xU<)=Z£4?k (£2) Т|’О ((Хр.) ecZ/C-). (8.104)
Тогда условие ортогональности матриц вращения приводит к соот-
ношению
л-2 J Dmk Ф) <Рп ((Хр) yeAv) d cos O2 db3 =
= 2 (2£ 4- 1)-»a ((Xp) yeAv, a£/<) ф ((Xp) aLM). (8.105)
В этом уравнении еще не определено квантовое число а. Выберем
его таким, чтобы функция ф описывала состояние с определенным
£ и /С, а также чтобы она соответствовала разложению функции
<р (Хр) с максимальными е и v, т. е. се~2Х+рил> = р. Тогда
<Ро ((М Т («Av)Mallc) = 2 «((М Т (eAv)M„iCLK)ip0((Zp) у/(£/(). (8.106)
Теперь (eAv)MaKC — лишний аргумент, так как его значения яв-
ляются функциями X. и р. Итак, рассматриваем функцию
<ро«ад т)=(в.ю?)
где а отнесено в у и К.
Состояние <р (Хр), соответствующее максимальным значениям
е и v, обладает важным свойством: определяемые соотношением
(8.107) функции ф ((Хр) KLM) с М = — £,...,£ содержат все со-
стояния представления (Хр) [172]. Любое состояние неприводимого
265
представления (?.р) с угловым моментом L может быть спроектиро-
вано из <р ((А.р)у) с помощью следующего соотношения:
Ч «ад уК LM) = —СОмк (S) фп «ад т) dO, dcos 02 d03.
о ((>; i) LK) J
(8.108)
Эти функции не ортогональны по /С. Однако в физических задачах
они оказываются приближенно ортогональными; поэтому неорто-
гональность ие приводит к серьезным противоречиям.
Как и в случае проектирования состояний коллективных моде-
лей, квантовое число К не что иное, как проекция орбитального
углового момента на внутреннюю ось z. Мы не будем приводить да-
лее деталей построения этих функций; ие будут обсуждаться и дета-
ли построения физических величии, например матрицы гамильто-
ниана или матрицы перехода. Конечно, все это можно сделать, ис-
пользуя упомянутую выше функцию.
Из соотношения между 8, v и осцилляторными квантами N х,
Ny, Nlt с одной стороны, и Z, р— с другой, видно, что для Z р
получается Nz Nx, следовательно, соответствующая волновая
функция описывает состояние с положительной деформацией. На-
против, для X р имеем Nz Nx, что соответствует деформиро-
ванному состоянию с отрицательной деформацией.
8.2.7. Квадруполь-квадрупольное взаимодействие
Дня квазипростых групп Ли* всегда возможно построить били-
нейный оператор, являющийся инвариантом. Его называют опера-
тором Казимира. Для группы SU.2 этот оператор есть L2— квадрат
полного углового момента. Для группы U3 этот оператор следующим
образом записывается в теоминах операторов сдвига [см. уравнение
(8.49)1:
С' = 2ДиА<- (8.109)
I. /
Используя коммутационные соотношения (8.50), легко установить
инвариантность данной билинейной формы. Для группы SU3
можно получить оператор Казимира из С' исключением оператора
Но, который отличает группу U3 от группы SU3:
А'ц = Ат + Д„) (8.110)
и
с=2 A‘i A'i‘ = 2 (X- +т i2Az-^-^)2+
+ 4-[-4«-ЛЫ2') (8.111)
* Группа Ли — это группа, каждый элемент которой может быть задан
с помощью конечного числа параметров. — Прим, перев.
266
или
С = ± ; ,/Лс I 71--I- (8.112)
6 2 6 ~ 2
Если выразить часть, содержащую тензор второго ранга, через
одночастичные операторы, то получаем
QQ= 2 Q(i) Q(0+ 2 Q(0-Q(/)> (8-ИЗ)
j=l i-i
Здесь второе слагаемое есть двухчастичное взаимодействие квад-
руполь-квадрупольиого типа; предполагается, что оно является
основной компонентой эффективного иуклон-нуклонного взаимо-
действия, связанного с длиииодействующими силами. Ее эффекты
содержатся, например, в третьем члене разложения в уравнении
(8.10). Таким образом, неприводимые представления группы SU^
диагонализуют оператор С, а в классификации по квантовому чис-
лу L оии также диагонализуют Q • Q. Следовательно, если каким-
то способом устранить одиочастичиую часть (первый член в правой
части уравнения (8.113)), включив ее в среднее поле, то представ-
ления SU3 будут диагоиализовать квадруполь-квадрупольное
взаимодействие.
Итак, длиинодействующая притягивательная часть эффектив-
ного взаимодействия приобретает вид
—Q-Q = 3L2—6С. (8.114)
Поэтому она приводит к спектрам, имеющим при заданном пред-
ставлении (1р) группы SU3 зависимость вида L (L + 1) от орби-
тального углового момента. Тем самым схема SU3 позволяет опи-
сать вращательные полосы. Они возникают как следствие квадру-
поль-квадрупольных сил (в работе [54] содержатся критические
замечания, касающиеся идентификации вращательных полос в схе-
ме SC/3).
Для заданного неприводимого представления (1р) оператор Ка-
зимира С является определенным числом, не зависящим от того,
какая функция неприводимого представления используется для его
вычисления. Выберем для этой цели функцию <р (1р), имеющую мак-
симальное число квантов в направлении z. Тогда
Аху <1 (М = А,х <f (1ц) = Axy<f (1ц) = 0. (8.115)
Следовательно,
(2А„—А хх — А,,,,) <[, (Хц) = е<р(1ц) = (21 + ц) <р (1ц) (8.116)
И
~ Ат) <р (М1) = V<P (М = РЧ> (ЧО- (8.117)
Используя коммутационные соотношения операторов А вместе
с полученными выше результатами, можно показать, что
С<р (1р) = 4 [X2 4- И2 + М* + 31 + Зр! (р (1р). (8.118)
267
Из уравнения (8.114) видно, что состояния с наинизшей энергией
получаются при выборе неприводимого представления (1р), которое
для собственного значения С максимизирует это выражение.
8.2.8. Применение схемы SU3 для классификации
состояний в оболочках 2s и id
Схема SUs дает сравнительно мало новой информации для обо-
лочки 1р. Ее трудно применять к оболочке 2р1/ и следующим обо-
лочкам, где велики спии-орбитальные эффекты и оболочки пересе-
каются. Поэтому схему SU3 применяют главным образом для обо-
лочки 2s\d. Сначала нужно установить справедливость ограничения
такой базисной системой, которая имеет наииизшую энергию в схе-
отрицательной
Рис. 8.7. Спектры ядра ^Ne, рас-
считанные с помощью схемы SU3
[74, 262]:
используется
мира (уровни
гласно схеме St/з); в— эффект потеи-
ме SU3. Это было сделано Эллиоттом [171]. Он использовал потен-
циал Юкавы с примесью обменных сил по Розенфельду и одночас-
тичный спектр, найденный из схемы уровней ядра 17О. Результаты
даны в табл. 8.3.
На рис. 8.7 и 8.8 показаны некоторые подробные результаты для
ядер 20Ne и 28Si. Первый рисунок содержит полосу состояний отри-
цательной четности, образованную из неприводимого представле-
ния (Tip.) — (82) группы SU3. Полоса начинается с уровня О-,
имеющего энергию около 10 Мэв. Такую полосу нельзя получить
ни в каком простом феноменологическом подходе к проблеме враща-
тельного движения: она возникает в результате связи вращения
с частично-дырочным возбуждением остова 1вО. Далее заметим, что
268
Таблица 8.3
Перекрытие волновых функций, полученных обычными расчетами
по оболочечной модели, с волновыми функциями схемы SU3
В случае ядра 2<>Ne расчет по оболочечной модели включает только
состояния с максимальной орбитальной симметрией
Ядро т J (Хц) L SUg, %
18F 0 1 (4 0) S 97 92
0 3 (4 0) D 98 96
0 5 (4 0) G 100 100 (тривиально)
18Q 1 0 (4 0) S 86 72
1 2 (4 0) D 80 72
11>F 1/2 1/2 (6 0) S 92 92
1/2 5/2 (6 0) D 86 74
1/2 3/2 (6 0) D 84 74
1/2 9/2 (6 0) G 87 85
^°Ne 0 0 (« 0) S 100 92
0 2 (« 0) D 100 99
0 4 (S 0) G 100 92
0 6 (8 0) I 100 99
0 8 (8 0) L 100 100 (тривиально)
в спектре ядра 28Si, показанном на рнс. 8.8, д, проявляется то же
сжатие уровней к теоретически найденной полосе основного состоя-
ния, что и на рис. 8.6, где применялось хартри-фоковское приблн-
Рис. 8.8. Спектры ядра 28Si, рас-
считанные с помощью схемы
SU3 [262] :
жение. Сложность ситуации для ядра 28Si легко понять в рамках
схемы SU3. Из табл. 8.2 видно, что для ядра 28Si возможны оба не-
приводимых представления (12 0) и (0 12) группы SU3, имеющие
максимальную орбитальную симметрию. Они дают одно и то же соб-
269
ственное значение для оператора Казимира С в уравнении (8.118).
Конечно, оно является наименьшим собственным значением. Таким
образом, решения, минимизирующие энергию, вырождены. При
этом одно из иих, а именно (12 0), соответствует большой положи-
тельной деформации, а другое—(0 12) — большой отрицатель-
ной деформации. Эти две возможности должны сосуществовать в низ-
коэнергетическом спектре ядра 28Si. Вследствие этого спектр ока-
зывается необычайно сложным.
В табл. 8.4 приведены вероятности некоторых £2-переходов в со-
стояния основной полосы ядер 20Ne и 28Si.OHH довольно велики, как
и ожидалось для коллективных вращательных полос.
Таблица 8.4
Вероятности £2-переходов, рассчитанные для состояний в приближении
SU3-симметрии 1252]
Столбцы, обозначенные B(E2)SV и , рассчитывались эффективным
зарядом е/2. Результаты |Л1|2вра1Ц для вращательной модели в каждом ядре
нормировались на число в скобках. Все результаты приведены
в одночастичных единицах Вайскопфа (см. § 5.4 т. 2)
Ядро (?.ц) JF Е, Мэв B{E2)SUa годн
2°Ne (8 0) 2+ 0+ 1,63 62,54 [9,39 (19,39) 17,4^1,7 30,80
4+ 2+ 2,62 79,19 24,56 27,7 15,14-1,4 32,59
6+ 4+ 4,54 67,08 20,80 30,5 28±7 —
8+ 6+ 3,20 39,80 12,34 31.9 —
28Si (12 0) 2т 0+ 1,78 161,36 31,95 (31,95) — 12 0,744
ИЛИ 4+ 2+ 2,84 217,71 43,10 45,64 -20; 6,7 —
(0 121 6+ 4+ — 214,40 42,45 50,27 —
8+ 6+ — 186,04 36,83 52,62
10+ 8+ —. 139,53 27,62 54,05
12+ 10+ — 77,17 15,28 55,01 — —
§ 8.3. СХЕМА КЛАССИФИКАЦИИ SU3 В ФИЗИКЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Было обнаружено, что схема классификации SU3 имеет чрезвы-
чайно важное применение в физике элементарных частиц. Нужно
подчеркнуть, что фундаментальная физика, заложенная в расчетах
свойств ядер по оболочечной модели и в расчетах свойств элементар-
ных частиц, совершенно различна. Тем ие менее в силу общности
математического метода схемы St/3 для обеих проблем целесообраз-
но рассмотреть применение этой схемы в физике элементарных
частиц.
Предположим, что рассматриваемая частица характеризуется
следующим набором квантовых чисел: спин Jt четность л, изоспин
Т, z-компонента изоспина Tz (заряд), гиперзаряд У, барионное чис-
ло Л и масса tn. В табл. 8.5 даны наблюдаемые квантовые числа для
большой группы сильно взаимодействующих частиц (с которыми мы
270
в основном будем иметь дело в дальнейшем). Заметим, что гиперза-
ряд связан со странностью S соотношением
У = Л + $, (8.119)
Таблица 8.5
Наблюдаемые квантовые числа некоторых элементарных частиц [30]
Частица Я* S й s га И р га ф И g Масса, К».»'
Я*, я0 0 1 0 0 140, 135
К+, К» 0 — 1/2 1 0 494, 498
к-, К0 0 — 1/2 —1 0 494, 498
*1 0 0 0 0 549
Р, п 1/2 1/2 1 1 938, 940
Л 1/2 -Д— 0 0 1 1116
2+, 2~. 20 1/2 J— 1 0 1 1189, 1192, 1197
В-, Е° 1/2 1/2 —1 1 1321, 1315
Nsre (1236) 3/2 ч~ 3/2 1 1 1236
Y* (1385) 3/2 1 0 1 —1385
ЕГ/2 (1530) 3/2 -4- 1/2 —1 1 —1530
3/2 + 0 —2 1 1672
Заряд Z определяется через эти величины следующим образом:
+ (8.120)
Предположим, что существует гамильтониан Н, описывающий энер-
гию покоя частиц:
Я|/я; Л Tz; Y; А; т)=т\ Jn; Т, Тг\ У; А; т> (8.121)
и обладающий свойством
Я = + (8.122)
причем невозмущенный гамильтониан ff0 инвариантен относитель-
но некоторой, пока еще не заданной группы. Таким образом,
ОЛЯ0О^ = Я0. (8.123)
Эффект возмущения Н' предполагается в некотором смысле «не
слишком большим». Вследствие соотношения (8.123) вырожденные
(нефизические) собственные значения Но образуют представление
рассматриваемой группы симметрии.
Теперь возникают два фундаментальных вопроса:
а) какова инвариантная группа Но?
б) какие представления этой группы реализуются, т. е. какие
представления группы соответствуют, по крайней мере приближен-
но, системе наблюдаемых частиц?
271
Пытаясь ответить на первый вопрос, мы учитываем, что есть два
строго сохраняющихся диагональных (или аддитивных) квантовых
числа: заряд и гиперзаряд. Таким образом, естественно ожидать, что
группа содержит два генератора, которые могут быть одновременно
диагональными. Имеется три неизоморфных, компактных, квази-
простых группы Ли, обладающие этим свойством. Для дальнейших
исследований мы выберем из них группу SUs [отметим, например,
что из уравнения (8.62) следует возможность одновременной диаго-
нализации операторов Lo и ф01.
Прежде чем ответить иа второй вопрос — какие представления
SUs реализуются в действительности, — сделаем несколько общих
замечаний относительно этих представлений. В предыдущем раз-
деле мы видели, что неприводимые представления групп SU„ можно
характеризовать неприводимыми представлениями симметрических
групп (символами Юнга). Для группы SU3 допустимы только сим-
волы, имеющие менее трех строк. Эти неприводимые представления
обозначаются (Хр), как и в выражении (8.87). Размерность этого не-
приводимого представления определяется выражением (8.88). Рас-
смотрим несколько простых примеров, построенных согласно пред-
ставленным в разд. 8.2.3 правилам для внешнего произведения
• , (fyi) = (00), dim» 7,
(8.124а)
(8.1246)
(8.124в)
(8.124г)
(8.124д)
В приложениях к физике элементарных частиц эти неприводи-
мые представления часто обозначаются только величиной своей
размерности. Таким образом, представления в_ соотношениях
(8.124а) — (8.124д) следовало бы обозначить 1, 3, 6, 3, 8. Менее три-
виальный пример, чем (8.124), дает следующее построение:
Здесь, конечно, опущены столбцы, содержащие три ячейки. В^аль*
териативиых обозначениях это разложение имеет вид
8@8 = 1 ев ®8е юе ioe27. (8.1256)
Отметим, что два неприводимых представления размерности 8 имеют
одинаковые символы Юнга,- в то время как в случае размерности 10
они различаются перестановкой X <->• р.
Теперь следует решить, какое из этих представлений выбрать и
какие системы частиц образуют пространства представлений, со-
ответствующих такому выбору. На это можно ответить только лишь
с помощью определенного предположения и последующего сравне-
ния с экспериментом предсказаний, вытекающих из данного предпо-
ложения. Успешное предположение, выдвинутое в работах [218,
3961, которое привело к классификации элементарных частиц по
схеме SU3, заключается в том, что в природе реализуется неприво-
димое представление 8. Отсюда вытекает, что оио соответствует, на-
пример, восьми частицам с = 1/2+, А = 1, а именно
|р>, |п>, |Л), |2+>,- |2~>, |Е«>, |Е">. (8.126)
Эта классификация также ответственна за название «восьмеричный
путь», которое было использовано при рассмотрении схемы в физике
частиц. Хотя физические состояния частиц, указанных в выражении
(8.126), имеют массы от 938 до 1321 Мэв/с2, здесь мы предполагаем*
что в нулевом приближении массы вырождены.
Систематическое развитие схемы классификации элементарных
частиц позволило учесть и различие в массах. Одни способ такого
учета состоит в введении так называемых весовых диаграмм. Неко-
торые примеры представлены иа рис. 8.9—8.12. Частицы, соответ-
ствующие данному неприводимому представлению, изображаются
точками на даумерном графике. По оси абсцисс откладывается проек-
ция изоспина Tz, а по оси ординат — гиперзаряд Y. Дня данного
неприводимого представления строго детерминированы точки, в ко-
торых может находиться частица. Конечно, это эквивалентно опреде-
лению возможных базисных функций неприводимого представления.
На это мы ссылались в предыдущем разделе. На рис. 8.9—8.11
также отмечены частицы, которые по своим квантовым числам об-
разуют семейства.
Одно из наиболее блестящих предсказаний схемы SUs в физике
элементарных частиц, связанное с определенным выбором классифи-
кации частиц по представлениям, — это знаменитая формула масс
Гелл-Маиа — Окубо. Предположим, что в выражении (8.122)
И' — компонента тензора Y = Tz = 0, преобразующаяся как
регулярное или базисное представление [см. замечание, следующее
за уравнением (7.52)1. Тогда возможны простые предсказания^отно-
273
сигельных масс частиц, соответствующих данному неприводимому
представлению. Они вытекают из аналога теоремы Вигнера —
Эккарта для группы SUs. Например, неприводимое представление
размерности 8 позволяет получить следующее соотношение:
<ГТХ; У|Я|7Тг;У> =
= m<1 + miV + m2^7’(7’+l)-Lyaj (для 8). (8.127)
Возникновение констант и т2 (третья константа гп0 связана с не"
возмущенной массой) есть следствие двух неприводимых представ
Рис. 8.9. Весовая диаграмма для Рис. 8.10. Весовая диаграмма для
восьми барионов с Jn = 1/2+ восьми псевдоскалярных мезонов
(/ я =0 )
лений 8, появляющихся в уравнений (8.125). Учитывая данные
рис. 8.9, из уравнения (8.127) получаем следующее соотношение
между массами:
у- (mN + ms) = ~ (Згпд 4- т?).
(8.128)
Оно выполняется чрезвычайно точно. Соответствующее соотноше-
ние для мезонов удовлетворяется не так точно. Однако согласие
значительно улучшается, если использовать квадраты масс мезонов
вместо самих масс. Это можно оправдать, если учесть, что бозоны
удовлетворяют уравнению Клейна — Гордоиа, а не уравнению
Дирака.
274
Для неприводимого пред-
ставления 10 формула масс
дает следующее выражение мат-
ричного элемента Н:
. <ТТ2- Y\H\TTZ- У> =
~tno~]-rn'iY (для 10). (8.129)
В соответствии с данными
рис. 8.11 отсюда получаем соот-
ношение между массами
itiq- —= тс*—ту* =
= my;—mjv*. (8.130)
Оказывается, что эти соотноше-
ния также чрезвычайно точно
выполняются. В действитель-
ности формула (8.130) была из-
вестна ранее, чем была экспе-
риментально обнаружена части-
ца Q-. Исходя из (8.130), было
сделано предсказание 1219] о
существовании данной частицы
и о ее массе.
Наконец, на рис. 8.12 пока-
зано, что в природе могут реа-
лизовываться два трехмерных
неприводимых представления.
В соответствии с рис. 8.12 они
означали бы существование ча-
стиц, названных кварками;
заряды кварков равны ± (1/3) е
и zb (2/3) е. До настоящего вре-
мени эти частицы не обнаруже-
ны. Одиако теория не требует
их существования. Они обра-
зуют удобную модель, описы-
вающую свойства частиц. На-
пример, можно рассматривать
мезоны состоящими из кварка
и антикварка со спинами 1/2:
3®3=Гф8. (8.131)
Барионы были бы связанными
состояниями трех кварков, что
вытекает из формулы
3®3®3 = 1 ф8ф8ф!0.
(8.132)
У-
о о+; о 0^(1236)
#(1385)
—г-----Ф----------Ф----
-2^-1 0 *7 *2 7^
°-Г о^/2(1530)
-2 > Q'(1672)
Рис. 8.11. Весовая диаграмма для де-
сяти барионов с /”=3/2+
Рис. 8.12. Весовая диаграмма для не-
приводимых представлений 3 (вверху)
и 3 (внизу). Если такие неприводи-
мые представления реализуются в дей-
ствительности, то, согласно соотноше-
нию (8.120), получаем частицы
с дробным зарядом, названные квар-
ками
275
Блестящие обзоры различных вариантов хартри-фоковского
приближения сделаны Ринкой [441—4431. Обзор ряда позднее полу-
ченных результатов имеется в работе [31]. Обзор применений схемы
SU3 к исследованию структуры ядер содержится в статьях Эллиот-
та [173, 174], Биденхарна [53], Хехта [2641 и Харви [262]. Рекомен-
дуется прочесть и оригинальные работы Эллиотта [171, 172] и Эл-
лиотта и Харви [175]. В работах [17, 19] обсуждается схема SUs,
причем скорее с точки зрения алгебры, нежели теории групп. Под-
робные физические приложения этой схемы даны в работах [147,
199]. Сравнение результатов стандартной модели оболочек с пред-
сказаниями схемы SU3 имеется в серии статей [4, 14, 284—286].
Наконец, обзоры применений группы SU3 в физике элементарных
частиц содержатся в работах [45, 146, 205, 217, 354].
Часть IV
ТЕОРИИ СТРУКТУРЫ СРЕДНИХ И ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
Глава 9. СПАРИВАНИЕ И КВАЗИЧАСТИЦЫ
В гл. 7 мы видели, что коллективные колебательные состояния
в ядрах с замкнутыми оболочками можно с хорошей степенью точ-
ности описать посредством диагонализации полного остаточного
взаимодействия на базисе одночастично-однодырочных состояний.
Если добавлять все большее число частиц к замкнутой оболочке
(или вычитать), то остаточные силы, т. е. часть иуклон-нуклонных
сил, не вошедшая в средний потенциал оболочечной модели, приоб-
ретают все большее значение. В гл. 6 и 7 рассматривались расчеты
систем с небольшим числом валентных частиц. Вычислительные труд-
ности учета реалистических остаточных сил быстро растут с увели-
чением числа учитываемых частиц (или дырок) и числа орбиталей,
заполняемых при учете конфигурационного смешивания состояний.
Следует подчеркнуть, что даже использование реалистических ядер-
ных сил, зависящих от спинов, изоспинов и скоростей, все еще яв-
ляется сильной идеализацией. Причина этого состоит в жесткой
сердцевине нуклон-нуклонных сил, которая, видимо, реализуется
в действительности. Силы с жесткой сердцевиной нельзя учесть
в обычном приближении Тамма — Даикова. Сложное рассмотрение
сил с сингулярностями, проведенное в § 7.6, становится практически
нереальным для средних и тяжелых ядер.
В то же время при удалении от ядер с замкнутыми оболочками
в иизкоэнергетических спектрах обнаруживается простое система-
тическое поведение. Был сделан вывод о приближенной примени-
мости определенных схем связи, характерных для ситуации, в ко-
торой доминирует лишь некоторая компонента сложных ядерных
сил. Одна такая компонента сил физически описывается сверхпро-
водящей, или спаривательной, моделью. Как мы увидим, это позво-
ляет объяснить ряд эффектов, которые невозможно понять в рамках
модели независимого движения нуклонов.
§ 9.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СПАРИВАНИЯ
Хотя в § 8.5 и 12.6 т. 1 спаривание уже кратко рассматривалось,
здесь приведены основные экспериментальные факты, подтверждаю-
щие идею о спаривании нуклонов в ядрах.
а. Энергетическая щель. (Спектры деформированных., четно-
четных и четно-нечетных ядер имеют характерное.отличие. Четно-
277
Рис. 9.1, Нечетно-четные (а) и
четно-четные (б) изотопы эр-
бия. Отметим, что в спектрах
четко видна щель [372, 373]
четные ядра имеют весьма небольшое количество (коллективных}
уровней с энергией возбуждения до 1,5 Мэв. Все эти уровни доста-
точно точно описываются как вращательные или колебательные по-
лосы. В четно-нечетных ядрах ситуация совсем иная: в том же энер-
гетическом интервале имеется много коллективных и одночастичных
уровней. На рис. 9.1, а, б приведены в качестве примера спектры
уровней изотопов эрбия (см. также рис. 8.9 в т. 1).
б. Плотность уровней. Если предположить, что оболочка с дан-
ным угловым моментом / заполнена небольшим количеством нукло-
нов, то можно построить весьма большее число энергетически вы-
рожденных состояний, соответствующих различным возможностям
для связи угловых моментов частиц. Сравнительно просто непосред-
ственно определить число состояний в заданном энергетическом ин-
тервале. Однако оказывается, что при малых энергиях возбуждения
теоретическая плотность уровней примерно вдвое больше экспери-
ментальной. Это можно объяснить с помощью простой идеи, что спа-
ривание нуклонов понижает энергии определенных конфигураций.
в. Четно-нечетный эффект. В § 12.6 т. 1 мы видели, что система-
тическое исследование энергий связи ядер приводит к выводу о су-
ществовании парной энергии нуклонов. Именно полная энергия
связи нечетного ядра меньше, чем среднее арифметическое из энер-
гий связи соседних четных ядер. Таким образом, для масс соседних
ядер выполняется следующее соотношение:
Ма (неч) > ~ (Мл- 1 -г Ma-l. 1).
Оно называется четно-нечетным эффектом.
г. Моменты инерции. В приложении А будут вычислены момен-
ты инерции ядер. Если рассчитывать эти моменты инерции в рамках
оболочечной модели без спаривания, то теоретические значения
в два-три раза больше экспериментально наблюдаемых моментов
инерции. Если включить спаривание, то теория и эксперимент сог-
ласуются друг с другом. Этому' нужно дать следующую интерпре-
тацию: спаривание приводит к сверхтекучести ядерной материи.
Следовательно, деформированное ядро полностью не принимает
участия во вращении; в действительности приливная волна движет-
ся вокруг остова (см. также рис. 1.2 т. 1).
д. Деформации. Если, используя оболочечную модель без спари-
вания, вычислить поверхности коллективной потенциальной энергии
(см. гл. 10), то оказывается, что сферические основные состояния
(т. е сферические распределения плотности) реализуются только
для ядер с заполненными оболочками. Деформация, соответствую-
щая минимуму потенциала, непрерывно изменяется от нуля, дости-
гая максимума в середине оболочки. Однако в действительности
обнаруживается, что ядра в окрестности магических ядер также
имеют сферические основные состояния. Далее, имеется небольшая
переходная область, в которой деформация быстро меняется. При
этом происходит переход от сферического в сильно деформироваи-
280
ное состояние; в середине заполнения оболочки деформация оказы-
вается максимальной.
е. Низколежащие ^-состояния. В рамках оболочечной модели,
не учитывающей спаривания, нельзя объяснить существование ииз-
колежащих квадрупольных колебательных уровней в ядрах, рас-
положенных вблизи магических ядер. Это связано со сказанным
выше: данные 2+-уровни нельзя интерпретировать ни как враща-
тельные, ни как одночастичные возбуждения. С одной стороны, для
них не выполняется правило I (I -j- 1) (оно справедливо для враща-
тельной полосы), а, с другой стороны, приведенные вероятности
переходов В(Е2) в основное состояние значительно выше одночас-
тичных оценок, что свидетельствует о коллективности состояний.
Таким образом, 2+-уровни должны быть колебательными состоя-
ниями, определяемыми сферической поверхностью коллективной
потенциальной энергии.
Все эти явления однозначно указывают на то, что между нукло-
нами имеются сильные корреляции, обязанные короткодействующим
ядериым силам. Учитывая, что, согласно всем экспериментальным
данным, четио-четные ядра в основном состоянии имеют спин, рав-
ный нулю (см. гл. 8 и 9 т. 1), и что угловые моменты иечетно-четных
ядер полностью определяются нечетной частицей, получаем, что
следует ввести спариватсльную силу между нуклонами. Грубо
говоря, такое спаривание можно попять следующим образом: в до-
полнение к среднему потенциалу оболочечной модели между нук-
лонами также действует относительно короткодействующая оста-
точная сила. По этой причине два нуклона на одной и той же оболоч-
ке будут всегда в таком двухнуклонном состоянии, которое имеет
наименьшую энергию. Оказывается, что в этом состоянии два нукло-
на с угловыми моментами |/т> и \jm'y спариваются в суммарный
угловой момент, равный нулю [353]:
| nljjlM) = | nljjOO) = 2 0/0 Imm' 0) | jm) J jtn'} =
= (2/4-l)-,'2£(-l)'-’"|/m>| /-m>- (9.1)
Тотфакт, что такое состояние имеет в случае короткодействующих
остаточных сил наименьшую энергию, качественно легко понять.
Действительно, так как два нуклона в состоянии с I = 0 находятся
сравнительно близко друг к другу, оии испытывают сильное воздей-
ствие короткодействующей силы. Напротив, в состояниях с боль-
шими угловыми моментами оба нуклона в среднем находятся доволь-
но далеко друг от друга (см. обсуждение в § 8.5 т. 1). Следовательно,
естественно выделить ту часть остаточного взаимодействия, которая
действует только между нуклонами, спаренными в / = 0. Так как
для нуклонов ядер с незамкнутыми оболочками имеется много воз-
можностей образовать пары с суммарным угловым моментом 0, то
для таких ядер спаривательное взаимодействие будет доминировать
над другими типами остаточных взаимодействий. Качественно это
281
видно из выражения (9.1), так как заполнение нуклонами большого
числа мест в /-оболочке, приводящее к приближенной замкнутости
оболочки, вследствие принципа Паули ограничивает суммирование
в выражении (9.1). В результате будут образовываться нуклонные
пары с I 0. Таким образом, спаривательное взаимодействие
оказывается менее эффективным, когда в /-оболочке имеется слиш-
ком много нуклонов.
Для ядер, в которых заполняется середина оболочки, все нукло-
ны (кроме последнего нечетного) под действием спаривательной
силы будут образовывать пары. Такая специальная конфигурация
оказывается энергетически наиболее выгодной. Для того чтобы воз-
будить четно-четные ядра, нужно либо перевести пару в более высо-
кую оболочку, либо разорвать пару. В случае нечетных ядер можно
просто перевести нечетный нуклон на другую орбиту. Такова физи-
ческая причина энергетической щели в четно-четных ядрах. Энер-
гетическая щель имеет порядок 1—2 Мэв.
Если принять гипотезу о спаривательной силе, то легко качест-
венно объяснить и остальные обсуждавшиеся выше эмпирические
факты. Очевиден, например, чегно-нечетный эффект, как и низкая
плотность уровней при малых энергиях возбуждения в четно-чет-
ных ядрах. Оба эффекта объясняются существованием энергети-
ческой щели. Далее, так как спаривание в состоянии с/ = 0 бла-
гоприятствует сферической симметрии ядра (нет выделенного в про-
странстве направления), то ядра с оболочками, близкими к запол-
ненным, будут сферическими. Напротив, для ядер вдали от ядер с за-
полненными оболочками преобладают длиннодействующие компо-
ненты остаточных сил с низкой мультипольностью. Эти компоненты
удовлетворительно описываются посредством постоянных или зави-
сящих от времени мультипольных добавок к центральному сфери-
ческому полю; в случае ядер с сильно незаполненными оболочками
такие компоненты преобладают и приводят к деформации ядер.
В действительности конкуренция спаривательных и мультиполь-
мул ьтипольных сил сильно зависит от интенсивности спариватель-
ных сил. Сравнительно резкий переход от сферического к деформи-
рованному ядру есть следствие такой конкуренции (особенно с квад-
руполь-квадрупольными силами). Интересно отметить, что спарива-
тельное взаимодействие приводит к спаривательной схеме связи,
в то время как мультиполь-мультипольные дальнодействующие
компоненты остаточных сил связаны с так называемой выстроен-
ной схемой связи.
Существование низколежащих 2+-состояний в четно-четных
ядрах с ясно выраженным коллективным характером весьма тесно
связано с рассмотренными выше идеями. Вдали от заполненных обо-
лочек эти 2+-СОСТОЯННЯ переходят в коллективные вращательные
состояния. Сферические околомагические ядра могут колебаться
вокруг своих равновесных положений с изменением деформации,
так как тормозящая сила, определяемая разностью спариватель-
ных и деформационных эффектов, мала. Такие поверхностные ко-
282
лебания подробно обсуждались в рамках коллективной модели
в гл. 3 т. 1.
В следующих разделах мы увидим, что диагонализацию спари-
ватсльного взаимодействия нельзя интерпретировать как добавку
к среднему статическому потенциалу или как добавку к среднему
колеблющемуся одночастичному потенциалу; такая интерпретация
годилась лишь для случаев соответственно хартри-фоковского
приближения и приближения хаотических фаз. Вместо этого мы
здесь имеем дело с качественно новым эффектом, аналогичным сверх-
проводимости в металлах. Именно по этой причине С. Т. Беляеву
{41] успешно удалось применить к ядрам методы теории сверхпро-
водимости Бардина и др. {18].-Прежде чем рассматривать сверхте-
кучесть ядер, рассмотрим сначала схематическую модель, которая
позволяет простым способом исследовать эффект спаривания для
нуклонов на одной /-оболочке.
§ 9.2. НУКЛОНЫ НА ОДНОЙ / ОБОЛОЧКЕ
Мы видели, что спаривательные силы существенны лишь тогда,
когда оболочки заполнены не полностью. Далее мы видели, что спа-
ривательные силы основаны на короткодействующем характере ос-
таточных сил. Поэтому представляет интерес исследование модели,
в которой N нуклонов находятся в одной /-оболочке. Предполагается,
что нуклоны взаимодействуют друг с другом только посредством сил
нулевого радиуса (6-функционная, или контактная, сила). Одночас-
тичные энергии, обозначаемые е®, определяются самосогласованным
потенциалом остова. Иными словами, пренебрегается вкладом N ну-
клонов внешней /-оболочки в одночастичные энергии Бу. Полный га-
мильтониан имеет вид
Н(Я) — 2 Gv -Г -у '2 'V' I И £*> «V' ву а», <9-2
J1. J1'
V —{а,/,/и), а = {«/...}.
Его можно упростить, учитывая ограничение только одной /-обо-
лочкой. Тогда потенциальная энергия записывается в виде
V = -j- V (9.3)
Выделяя в произведении состояний | jmt > | jm2 > зависимость от
mit с помощью коэффициентов Клебша — Гордана, находим
V = -^- 2 2 \т„т2М)*
X (ajjr М‘ I V| ajjlM) a,:,, amt.
(9.4)
283
Здесь I и Г — четные числа, так как только в этом случае двух-
частичные волновые функции будут полностью антисимметричными.
Математически это следует из условия антисимметричности
От» Ст» ' — От, ^т, И ССОТИОШеНИЯ (jjl | ГПг ГП2М) ~ (— 1)2/+7Х
хУ/7|т2т1Л4).
Если V есть 6-образный потенциал
V = и 6 (г,—г2), 1„ < О, (9.5)
то целесообразно использовать разложение
6 (Г! — г2) ---- гр1 гi1 б (гт — rs) У (4л)"1 (2/г +1) Ph (cos 013), (9-6)
где 012 — угол между направлениями г\ и г2. Интересующий нас
матричный элемент
(п1ЦГ М' [6(rt—гг)( nljilM', (9.7)
можно вычислить после выделения радиальной части одночастнчиых
волновых функций Рп1 (г):
| nljjlMj, = R„i (/,) Rnl (jjl | m, m2 M) | /m, /m2> =
= R„l(r1)Rnl(^ljjIM>. (9.8)
Используя уравнение (9.6), получаем
M6 = ^fk(jjH'MM')Fh(ri, /). (9.9a)
k
где
f„ (2k+1) Qjl' M'\Ph (cos O12) | jjIM> (9.96)
и
b = — f r2 R'i (Г) dr. (9.9b)
4л J
о В
В действительности величина Fk не зависит от k.
Используя алгебру Рака, можно вычислить сумму [148,
4311. Получаем
Mt, (Г) = F„ (2j + 1 )2 (jjl | i ~ О у 6„. tw. (9.10)
Введем обозначение
J (jj (9.11)
234
Тогда потенциальную энергию в выражении (9.4) можно записать
в виде
2/-I Л
V= S Ale (/) = Ale (0) Лоо Ах» ~г А/м А/м.
I.M 1 = 2 М
(9.12)?
Интересно посмотреть на численные значения матричных элементов.
ТИб (/). Для оболочки с j = 7/2 они приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Матричные элементы (/) для
оболочки /=7/2___________________
/ 0 2 4 6
(О 8F0 I,9Fo 0.94Fo O,47Fo
Из этой таблицы видно, что в хорошем приближении членами
с /=/=0 можно пренебречь. Такое пренебрежение приводит к так на-
зываемому спаривательному гамильтониану. Принято записывать
его в несколько иной форме. Именно вместо условий Кондона —
Шортли для фаз (см. [116, с. 481, а также разд. 5.5.2 т. 1) исполь-
зуются так называемые фазы Бардина — Купера — Шриффера
(БКШ-фазы) (см., например, [4041). Остановимся на этом вопросе
подробнее. Если К — оператор обращения во времени (см., напри-
мер, [301, с. 6641), то, согласно фазовым условиям Кондона —
Шортли, имеем
I/ —(9-13>
Это соотношение приводит к обычным фазам Клебша — Гордана.
Коэффициент Клебша—Гордана, содержащийся в 7Иб(/) и А^.
[см. уравнение (9.11)1, равен
(7/0) т— т0) =- (— 1 )1~т (2/ +1)-1 /2. (9.14>
БКШ-фазы определяются следующими соотношениями:
| /7л)бкш=| /т>кш; (9.15у
т>вкш = [—1)/_пг|/~т>кш, (9-16>
причем т всегда считается положительным. Из этих уравнений
находим
К|/7п)бкш = |/—ш>бкш (9-17)*
и
К|Щ'бкш= —|//П>БКШ« (9.18^
285>
Введем это условие в часть выражения (9.12) с I = О. Тогда мно-
житель (— 1)/-т, содержащийся в коэффициенте Клебша —
Гордана (9.14), можно ввести в одночастичную фазу состояния
| / — tn >. Следовательно, спаривательный гамильтониан можно
записать в традиционной форме
Vp="|G|n 2 (9.19)
Сумма включает 9 = j + 1/2 членов. Таким образом, мы получаем
два эквивалентных друг другу вида спаривательного гамильтониа-
на: первый вид состоит из первого члена уравнения (9.12) с обыч-
ными фазами Кондона — Шортли; второй вид, определяемый урав-
нением (9.19), использует БКШ-фазы. Отметим, что из обеих форм
спаривательного взаимодействия [уравнения (9.12) и (9.19)1 выте-
кает, что это взаимодействие изотропно рассеивает пару частиц из
состояния (т, — т), т. е. с равной вероятностью во все состояния
— tri). Однако 6-образное взаимодействие [все члены уравне-
ния (9.12)1 приводит к преимущественному рассеянию вперед.
С другой стороны, длиннодействующее взаимодействие, кото-
рое можно разложить аналогично 6-функционному взаимодейст-
вию в уравнении (9.12), очень резко усиливает амплитуду рассея-
ния вперед. Поэтому иногда говорят, что в этом смысле спарива-
тельное взаимодействие еще более короткодействующее, чем
6-фуикционное [3781. Однако далее мы убедимся, что в основных
чертах спаривательное и 6-функциониое взаимодействия эквива-
лентны.
§ 9.3. СХЕМА СИНЬОРИТИ
Еще в 1943 г. Рака [432] исследовал проблему N вырожден-
ных частиц на /-оболочке со спаривательным взаимодействием.
В этой связи он ввел понятие синьоршпи. Разделим задачу на две
части. Сначала рассмотрим задачу двух частиц на одной /-оболоч-
ке, а затем уже перейдем к случаю N частиц.
9.3.1. Две частицы на одной /-оболочке
Рассмотрим случай, когда на /-оболочке, состоящей из 2Q =
= 2/ + 1 вырожденных состояний, находится N = 2 частицы.
Примером такой модели является ядро 210Ро. Оно состоит из дваж-
ды магического остова 208РЬ и двух протонов на оболочке 1 Л9/2-
Удобно положить Ev = 0. Это соответствует надлежащему выбо-
ру отсчета энергии. В схеме //-связи имеем следующее матричное
представление для Vp:
<mi tn[ I Vp I m2 m;> =
1 для zn' = —тъ m'2 = —m2\
0 в других случаях,
(9.20)
286
или, подробнее,
(1 1 1 ... 1 0 0 ... I
1 1 1 ... 1 0 0...
1 1 1 ... 1 0 0 ...
i i i... i о о...
о о о ... о о о ...
о о о ... о о 0 ...
(9.21>
Так как е? = 0, то гамильтониан Н (N = 2) имеет ту же самую*
структуру. Размерность отличной от нуля части этой матрицы рав-
на Q = j + 1/2. Действительно, эта величина равна числу возмож-
Рис. 9.2. Спектры системы
с двумя одинаковыми части-
цами на вырожденной
/-оболочке оболочечной мо-
дели, получающиеся в ре-
зультате действия спарнва-
тельного взаимодействия
(слева) и б-функциониого
взаимодействия (справа).
Число синьорити s объясня-
ется в тексте [см. выраже-
ние (9.43)]
----------1=0,S=0
Спаривательюе
.взаимодействие
-----------1=0, s=0
в-бзаимодействие
ностей для пары орбит (ш, — т), в которую могут попасть две час-
тицы. «Легко иайти нормированное собственное состояние матрицы
(9.21)
Тогда получаем
(9.22>
(9.23>
Так как собственное значение состояния равное—S21 <7 [,
представляет собой шпур матрицы (9.21), то все остальные собст-
венные состояния Vp, ортогональные к tyN=2, должны быть вы-
рождены с собственным значением, равным нулю. Это происходит
28?
1W кэб
14Z8
1181
из-за того, что сумма всех собственных значений равна шпуру мат-
рицы и, кроме того, матрица (9.21) отрицательно определенная.
Так как спаривательный гамильтониан действует только между
.двухнуклонными состояниями с I -= 0, то только состояние с I — О
сдвигается по энергии вниз на величи-
ну Q|G|. Все остальные состояния с
угловыми моментами, отличными от ну-
ля, не смещаются. Такая ситуация
изображена в левой части рис. 9.2.
Подчеркнем, что вырождение различных
состояний с I =/= 0 вытекает из того фак-
та, что при рассмотрении спариватель-
ного взаимодействия было пренебрежено
членами М& (I) с Z 0 [см. уравнение
(9.12)1. Эффект таких членов показан
в правой части рис. 9.2: он заключается
в малом расщеплении уровней. Этот же
эффект можно видеть на рис. 9.3, где
показан экспериментальный спектр ядра
210Ро. Следует подчеркнуть, что пониже-
ние состояния 0+ относительно состоя-
ний с /=/= 0 приводит к энергетической
щели. Так как оно обусловлено корот-
кодействующим характером сил, то мож-
но заключить, что в соответствии с ранее
сделанными качественными выводами
именно короткодействующие притягива-
тельные силы создают энергетическую
щель в спектре. Действительно, как можно видеть из рис. 9.2, энер-
гетическая щель наиболее велика для спаривательного взаимодей-
ствия. Однако тенденция образовать энергетическую щель сохра-
няется и для 6-функционных сил, несмотря на то что состояние 2+
несколько выделено относительно других состояний с I =/= 0 [ср.
<с относительно большим значением величины Me (2) в табл. 9.11.
Рис. 9.3. Эксперименталь-
ный спектр ядра 210Ро
[399]. Видно расщепле-
ние двухчастичных со-
стояний с /#=0 и пони-
жение состояния с /=0
9.3.2. А7 частиц на /-оболочке
В этом случае удобно ввести оператор рождения пары А+
(ср. с уравнением (9.11)1
Л+= 2
т > О
(9.24)
Спаривательное взаимодействие [см. уравнение (9.19)1 легко запи-
сать через операторы рождения в форме
У₽=—|С|Л+Л. (9.25)
Также и рассматриваемое выше состояние | > с точностью до
нормировочного множителя имеет простой вид
|ф"=2>~Л+|0>. (9.26)
Здесь |0> обозначает вакуумное состояние (пустая /-оболочка).
Далее определим оператор числа частиц N
= 2 a+am. (9.27)
/
Легко получить следующие коммутационные соотношения:
[Л+, Л7] = — 2А+; (9.28)
[У₽, Л+] = —|С|(£2 Ь2 —Л^)Л+; (9.29)
[V₽, A+f] = [Vp, Л+] Л+<r-i>+ А+ [Vp, Л+] Л+<'-2> +...
• + Л +«-» [У₽, Л+] = — |С|{/(£2+ 2—JV) + /(/_ 1)}Л+1. (9.30)
Здесь = А+ Д+ ... А+ (f раз). Все эти соотношения доказы-
ваются непосредственным вычислением коммутаторов. При этом ис-
пользуются фермиевские коммутационные правила для операторов
а и а+. Например,
2 ifim Я—т ^т' Ят’ От'- ат' От а~т) —
~ 2 (^' От а~т Ят’ —От' ат> dm at-m) ~
= 2 Ьтт'ат'atm)= — 2А+. (9.31)
т > 0, т’
Аналогично доказываются другие соотношения.
В 2Й = 2/ 4- 1 одночастичных состояниях имеется N частиц.
Следовательно, существует
z*=(T) (9-32)
возможностей для А'-частичпой конфигурации. Аналогично полу-
чаем (1/2) N пар в Q «парных состояниях». Следовательно, имеется
= (9-33)
возможностей для чистых парных состояний. Другими словами,
размерность полной конфигурационной матрицы равна tN, причем
в ней содержится tfj чистых парных конфигураций.
Ю Зак. 532 289
288
В дальнейшем для доказательств, аналогичных тем, что прово-
дились в предыдущем подразделе, потребуется вычислить шпур
спарнвательной матрицы. В А'-частнчноы подпространстве имеем
Trv(V^=-2;A'v|V''|A'v; =
- —|G| 2: 2 CVv|at-»,eX«mO-M|A'v>. (934)
т > О V
где | ;¥v ) — полный базис Лг-частичных состояний. Только состоя-
ния | A'v ), содержащие квантовые числа т и — т, приводят к не-
нулевым матричным элементам в сумме уравнения (9.34). Имеется
(9.Э5)
таких состояний. Действительно, рассмотрим ситуацию, в которой
нужно разместить две из А7 частиц в состояниях т и — т. Эти сос-
тояния становятся занятыми. Остальные А/ — 2 частиц можно
тогда поместить в 2£2 — 2 свободных состояниях. Следовательно,
9Q_____________2\
имеется _______2 I возможностей таких конфигураций. Итак,
Trv (<") = —JGI V 12“y2) = —|C|O • (9 36>
m>0 ' ” “ i- \ .
Заметим, что для случая Л7 - 2 отсюда воспроизводится известный
ранее результат. Используя коммутатор в уравнении (9.29) и усло-
вие V‘p|0> =0, легко получить также выражение (9.23). (Так
как состояние) 0> не содержит частиц, то в нем, естественно, нельзя
уничтожить ни одной частицы.) Следовательно,
А- 10) --= (С"’ Л' — А1 !•"') 10> = [f"“, Л ' | (0>
- —| G | (й + 2 - Л') | А+10> --= - | G | о Л+10>. (9.37)
Если обозначить Bt-2) j 0 У все двухчастичные состояния, ортогональ-
ные 10), то из рассуждений предыдущего раздела вытекает,
что все эти состояния вырождены, причем собственное значение рав-
но нулю. Иными словами,
Г/‘В!2,|0> = 0. 7 = 1,2,3,1. (9.38)
Если на /-оболочке находятся четыре частицы, то естественно рас-
смотреть состояние Л_х’®| 0 >. Из соображений, аналогичных при-
веденным выше, следует, что
Р".4+!!|0,'=- — 2|G|(Q — 1)Д+2|0>- (9.39)
Здесь были использованы соотношения (9.28) и (9.30). Следователь-
но, Д!2|0> есть собственное состояние оператора Vp с собствен-
290
ным значением — 2 ] G| (Q— 1). Можно также сконструировать дру-
гие собственные состояния й+В)2) | 0 > чстырехчастичной системы.
Аналогично найденным выше соотношениям получаем
= В‘?|0) —2|G|(«—2)Л+В!2,|О>. (9.40)
Умножая оба собственных значения на степени нх вырождения и
суммируя, находим
— 2]б|(<>—1)—(/2—1)|GJ(O—2)=—|G|Q(2Q2—5й + 3) =
Тг4(Н- (9.41)
Последний этап выкладок в этом соотношении вытекает из срав-
нения с уравнением (9.36). Итак, четырехчастичный спектр состоит
из двух энергетических уровней: — 21G | (Q — 1) и — 21G | (Q—2),
определяемых уравнениями (9.39), (9.40). Следовательно, все осталь-
ные состояния четырехчастнчной системы, которые должны быть ор-
тогональными состояниям А+210> и 10 >, имеют собствен-
ное значение, равное нулю. Имеется /4 — (/2 — 1) — 1 - /4 — /3
состояний такого типа. Обозначим их В* | 0 >. Имеем
=0, < = 1.2,(9.42)
Объясним теперь, как перейти к общему случаю N частиц. Для этого
целесообразно ввести число синьорити s системы, определяемое как
число неспаренных частиц в данной системе. Таким образом, напри-
мер, состояние с
5= 0 содержит только пары;
s — 1 содержит одну неспаренную частицу (Л7 обязательно нечетно);
s - 2 содержит две неспаренные частицы (Л/ обязательно четно);
s - 3 содержит три неспаренные частицы (N обязательно нечетно);
s =-- /V содержит только неспаренпые частицы (спаривания больше
нет, /V может быть четным или нечетным).
Для определения собственных значений энергии этих систем будем
отдельно рассматривать случаи четного и нечетного числа частиц.
9.3.3. Спектр системы с четным числом
частиц в /-оболочке
Собственные значения энергии Е1Л) TV-частичной системы со
взаимодействием зависят от числа частиц TV и синьорити s. Если
в j-оболочке имеется s — 0, 2, 4, ..., TV неспаренных частиц, то ана-
логично тому, как получали уравнение (9.40), можно найти TV-час-
тичные состояния
|.Vs;=A" 2 " s = 0,2,4,...,W. (9.43)
10*
291
Ниже мы докажем, что эти состояния образуют полную систему.
Состояния уравнения (9.43), имеющие N = s (все частицы неспарены
и, таким образом, спаривательное взаимодействие отсутствует),
разумеется, оказываются вырожденными, причем собственное зна-
чение энергии равно нулю. Итак,
VFB!s,|0> = 0. (9.44)
Используя коммутатор уравнения (9.30), получаем
VPI A's) = [vp, А +у W-S>] в!” 10> = — IGI (W-s) ('> | 2-Л)+
+ у —s) (-j- (N — s)— 1 ) ] 12Vs\ = В'"* | NSy. (9.45)
Следовательно, собственные значения имеют вид
£?’’ =----1G | (IV—s) (20 + 2—N- s). (9.46)
Теперь докажем, что состояния (9.43) образуют полный набор. Это
означает, что должно выполняться следующее соотношение:
Tr.v(V') 2'О(«)ЕГ’. (9.47)
s=0
Здесь D (s) — степень вырождения (число состояний) собственного
состояния с синьорити s. Штрих в сумме (9.47) означает, что сумми-
рование проводится только по четным значениям s. Вспомним, что
размерность парной матрицы TV-частичной системы равна [см. урав-
нение (9.32)1
Д' 90 \
2'D(s)=^= 2“). (9.48)
8 = 0 ' Л }
Размерность (А^ — 2)-частичной системы равна
Д' — 2 z 90 х
s?-D(S)^/.^2=(a,J. (9.49)
Вычитая уравнение (9.49) из уравнения (9.48), находим
D(TV) = /W—ZiV-2. (9.50)
Подставляя (9.50) в (9.47), получаем
s = 0 s=0 s = 0
- 2'e?> = 2' ‘° -"x £^2 =
s=0 s = 0 s'=0
="2? t. &K> 1‘- £’"+2=‘ (9.51)
s = 0 s = 0 s = 0
292
Здесь на последнем этапе выкладок суммирование снова обозначает-
ся индексом s. Из уравнения (9.46) следует, что Е^ — Es+z ~
— — I 6 ] (Q — s). Используя это соотношение, легко получить
Тг„(И = ^О(8)£Л)=-|С| (9.52)
Из (9-52) и (9.47) легко вывести рекуррентную формулу
T1W+2 (И = ТгЛ (Н-l GI /„ (Q-N). (9.53)
Отметим, что эта рекуррентная формула основана на формуле для
энергетических уровней (9.46) и уравнении (9.47). Эту же формулу
можно легко вывести из уравнения (9.36), используя соотношение
(9.32). Так как уравнение (9.47) годится для N = 2, по индукции
можно заключить, что оно справедливо и для всех N. Поэтому сос-
тояния (9.43) дают полное описание спектра. Наконец легко убедить-
ся, что состояния 10 > для s = N, определяемые уравнением
(9.44), имеют собственные значения, равные нулю.
9.3.4. Спектр системы с нечетным числом
чвстиц в /-оболочке
Рассмотрим состояние с s = 1, содержащее (1/2) (N— 1) пар и
одну неспаренную частицу в подсостоянии т0. Запишем волновую
функцию этого состояния в виде
|Ns=l>=4 2 аХ|0>. (9.54)
Собственное значение для данного состояния можно найти, исполь-
зуя коммутационное соотношение (9.30):
Vp I Ns = 1 > = [р", А +т ”] а+ 10> =
=-----г |G I (N— 1) (2Q N +1) I Ns = 1 > = Е™ | Ns = 1>. (9.55)
Отметим, что это собственное значение идентично со значением
(9.46) для s = 1. Величина т0 может принимать одно из значений
—j j, т. е. всего 2Q значений. Таким образом, основное сос-
тояние нечетной по N системы 2й-кратно вырождено. Вспом-
ним, что для систем с четными N имеется только одно основное сос-
тояние. рбщие состояния | Ns>> систем с нечетными Af имеют вид
|Ns> = j4+t<A K|B!-',|0>, N<Q, s--1, 3, 5,..., N, (9.56)
аналогичный тому, что было в случае четных N [см. уравнение
(9.43)].
293
Из сказанного выше ясно, что собственные значения энергии,
соответствующие состояниям (9.56), те же самые, что и в случае сис-
тем с четными N. Они равны величинам f&N) в выражении (9.46).
Это весьма естественно, так как энергии отсчитываются относи-
тельно основного состояния, энергия которого принимается равной
нулю. Однако спектр возбужденных состояний должен быть одина-
ков для четных и нечетных систем, так как нечетная частица не при-
нимает участия в спаривании.
9.3.5. Обсуждение и результаты модели
синьорити
Полученные выше результаты справедливы только в случае
/V Q, так как только в этом случае формулы имеют физический
смысл, особенно (9.47) — (9.50). Причиной тому является вырожде-
ние D (s), которое всегда должно быть положительной величиной:
D (s) > 0. Согласно выражениям (9.50) и (9.32), это не так при
Л' > Q. Однако вследствие соотношения
2Й \ _ / 2Q / 2Q \
, N J \2Q—N/\Nh)
(9-57)
можно приписать определенный смысл этим формулам и в случае
N Z> Q- Именно следует рассматривать N частиц (N > Q) как
Nh -= 2Й — N дырок в заполненной /-оболочке. Из такого рассмот-
рения видно, что дырочное и частичное описания полностью экви-
валентны. При этом нужно учесть (9.57) и тот факт, что все вычислен-
ные выше формулы годятся для N >9, если N заменить Nh.
В частности, для одинакового числа частиц и дырок получаем одина-
ковый энергетический спектр.
Для иллюстрации сказанного выше на рис. 9.4 показаны спект-
ры синьорити в оболочке с / = 7/2 для числа частиц от одной до
восьми. Для того чтобы более четко была видна эквивалентность
между частицами и дырками, все основные состояния на рис. 9.4, а
взяты при одной и той же энергии. Рис. 9.4, б содержит те же самые
уровни, перегруппированные так, что все уровни с s =* N (все час-
тицы не спарены) имеют одну и ту же энергию. Состояния с N = s,
в которых спаривание отсутствует и, таким образом, все частицы
движутся независимо по /-орбите, естественно назвать конфигура-
циями оболочечной модели. Тем самым становится более очевидным
расщепление [2ТП-кратно вырожденной /-оболочки из-за спарива-
Lv )
тельного взаимодействия. Нужно обратить внимание на тот факт,
что спектры, изображенные на рис. 9.4, качественно похожи на
экспериментальные спектры, приведенные на рис. 9.1: для любых
чисел частиц спаривательиое взаимодействие существенно понижает
энергию одного (или нескольких) состояния по сравнению со всеми
остальными.
294
В этой связи вспомним, что основные состояния систем с четньь
ми N не вырождены, в то время как основные состояния систем с не-
четными N многократно вырождены. Вырождение последних сос-
тояний можно снять, если в дополнение к спаривательному взаимо-
действию ввести другие компоненты мультипольного разложения
взаимодействия [т. е. (I) с I =/= 0; см. выражение (9.12)]. Оче-
(г7)-гТ й ' «ir
/ад— ' А
lh$
а
Рис. 9.4. Спектр синьорити для оболочки с /=7/2 (а) (числа рядом
с уровнями обозначают вырождение D(s); числа под уровнями— синьо-
рити s и число частиц Az) и перегруппировка уровней такая, чтобы было
видно расщепление )-вырожденных конфигураций {7/2)к (б).
видно, что это невозможно для четных ядер, так как в них имеется
только одно основное состояние. Таким образом, в нечетных систе-
мах низколежащие состояния располагаются непосредственно над
основным состоянием. В четных системах этого нет. Теперь мы до-
вольно естественно понимаем механизм образования щели в четно-
четных ядрах и отсутствия щели в нечетных ядрах. Из выражения
(9.46) для энергии щели получаем следующее значение:
Е^г—£*Д’о = |С|Й, (9.58)
так как возбужденные состояния характеризуются квантовым чис-
лом синьорити s. Легко также получить разность энергий между
295
конфигурацией оболочечной модели (s = N) и основным состоянием
(s = 0)
—CS-’o = -j-1G | N(2Q + 2 —2V)w N | G | Q. (9.59)
Последнее соотношение в этом уравнении справедливо при TV <£ Q,
т. е. когда в оболочке имеется лишь небольшое число частиц. Это
соотношение можно просто интерпретировать словами: для N Q
каждая из (1/2)N пар имеет парную энергию связи |G|Q. Если
N становится больше, то энергия связи на пару, равная
-у (Е^-£Й%) = |6|(с+1-уЛф (9.60)
уменьшается. Это происходит вследствие принципа Паули, который
препятствует образованию «свободных» пар.
Рассмотрим далее соотношение (9.58). Из него следует, что энер-
гетическая разность между основным и первым возбужденным сос-
тояниями ие зависит от числа частиц N для систем с четными Л' и
равна | G| Q. Это можно также увидеть из рис. 9.4. Далее, из соотно-
шения (9.50) находим, что кратность вырождения равна
(2®\( 2Q
( s / ks-2/
(9.61)
и также не зависит от числа частиц N. Это приводит к особенности,
наблюдаемой в экспериментах: плотность уровней низковозбужден-
ных состояний не зависит от числа частиц в /-оболочке. Следует под-
черкнуть, что в оболочечной модели это не так: чем больше частиц
добавляется в /-оболочку, тем больше уровней следует ожидать, так
что плотность уровней растет.
Наконец, исследуем вероятности некоторых квадрупольных пе-
реходов. В первых параграфах т. 1 мы уже видели, что оболочеч-
ная модель предсказывает слишком малые вероятности переходов.
Причиной этого является отсутствие коллективных эффектов в дан-
ной модели. Поэтому интересно посмотреть, что предсказывает мо-
дель синьорити для переходов, и в частности для переходов из ос-
новного состояния (s = 0) в первое возбужденное состояние (s = 2)
четных систем. Квадрупольный оператор имеет вид
где величина
Q2ji—- У (9.62)
(9.63)
представляет собой одночастичиый квадрупольный матричный эле-
мент. Ограничимся компонентой квадрупольного оператора
296
с р = 0 и учтем, что вероятность пропорциональна квадрату ампли-
туды перехода
<№=2|QM|№ = 0>, (9.64)
где ф2ц — одночастичный оператор. Поэтому в данный момент вре-
мени он может разрывать только одну пару. Таким образом,
£|<Ns=21|Q20|Ns = 0> |2 =
= 2^5=01^1^ x><n^x|Q2O|Ns«o>«
= < Ns = 01 Q*20 I Ns = 0>. (9.65)
При этом было использовано свойство полноты, а также тот
факт, что единственные отличные от нуля матричные элементы
< NsX ] Q2o1 NO > ' соответствуют значению s = 2. Вспоминая, что
волновая функция основного состояния дается соотношением (см.
уравнение (9.43)]
| Ns = 0>----const А 10>, (9.66)
после простых, ио утомительных выкладок находим (см. также сле-
дующий параграф)
^|<Ns = 2X|Q2O|Ns = 0>12 =
2 <*)• (9.67)
Здесь дт = дтогп- Видно, что даже в такой простой модели (и для
малых чисел частиц N Q) вероятность квадрупольного перехода
пропорциональна числу пар в оболочке, (1/2) N. Это указывает на
«коллективность» состояний в модели синьорити.
§ 9.4. МОДЕЛЬ КВАЗИСПИНА
В этом параграфе дадим несколько иной подход к той же пробле-
ме, которая обсуждалась в предыдущих разделах, а именно пробле-
ме N частиц, находящихся на одной /-оболочке и взаимодействующих
через спаривательные силы. Введение так называемых операторов
квазиспина (первоначально это было сделано Керманом 12991) дает
весьма мощный аппарат для решения дайной задачи. Кроме того,
это интересно из-за математической оригинальности метода. Из
очень общих соображений, что взаимодействие должно быть рота-
циоино инвариантным, следует, что общее взаимодействие в конфи-
гурации (j)N можно записать в форме
V= ^EjA^m Aim, (9.68)
1, м
297
где А+ определяется уравнением (9.11). Нужно отметить, что
6-функционное взаимодействие примет такой вид, если положить
Ei ~ Mf> (/). Здесь Е/ — энергия пары частиц, связанных в угло-
вой момент I. Взаимодействие синьорити соответствует случаю,
когда все £/ одинаковы, кроме Ео. В частном случае, когда £7 = 0
для / =/= 0, получаем спаривательное взаимодействие в виде, рас-
смотренном в предыдущем параграфе. Следуя Керману [2991 и ис-
пользуя обычные условия Кондона — Шортли для фаз, можно пре-
образовать гамильтониан синьорити к следующей форме:
Д --, -1 о I k, S - Л' GV-1). (9.69)
Здесь N — оператор числа частиц, определенный в уравнении
(9.27), и
3+ = У (— \),+т ai, at„. (9.70)
т> 0
Оператор S+ весьма напоминает оператор 4д0. Однако он не дает
нормированного состояния с I = 0, так как здесь опущен множитель
— 1)1“,/2 , возникающий из коэффициента Клебша — Гордана
(/;7|m-m0) = (-!)''-" (2/Ч-1)-’'2, 1 = 0. (9.71)
Параметры G и Уо дают интенсивность взаимодействия; они положи-
тельны в случае притяжения.
Решение для случая N частиц под действием взаимодействия
Hs очень хорош оизвестно (см. предыдущий раздел, а также работы
(378, 432, 548, 549]); однако, как уже упоминалось, представим
его в новой форме, которая будет использоваться во многих схема-
тических расчетах. Определим для каждого подсостояния т следую-
щие три величины:
sW = (— 1)/+am а£„;
= 1)/+”^^; (9 J2)
SV" = v (°» а™ + aim а-и— 1 )
где т > 0. Используя коммутационные правила для операторов
ат и ат, можно показать, что
[sj,m>, I (9.73)
[s‘n’, J
Таким образом, операторы sj"), и имеют коммутационные
свойства операторов углового момента [см. гл. 5 т. 1, в частности
уравнение (5.82а)]. Величины s+ и s_ представляют собой опера-
298
торы, соответственно повышающие и понижающие квазиспин, и
аналогичны операторам углового момента /+ и Величина х0
аналогична z-компоненте углового момента /0. Итак, можно назвать
s оператором квазиспина, причем s<OT> соответствует уровню т.
Кзазиспины для различных т коммутируют друг с другом.
Далее, из определения видно, что этот оператор имеет .соб-
ственные значения + 1/2 в зависимости от того, заполнена или нет
пара состояний (т, — т). Таким образом, если в этой паре состояний
имеется четное число частиц (0 или 2), то вектор имеет свойства
оператора углового момента, равного 1/2. Если же в состоянии т
или — т находится только одна частица, то все компоненты s(m)
равны нулю, так что s(H/> в этом подпространстве имеет спин, равный
нулю. Заметим, что вектор не единственный вектор углового- мен
мента, который можно сконструировать. Действительно, триада
1<”>, где 1<ога> = у (аДа_„ — atm ат) и '!<”> = 1<“Н- = а?,а_т, так-
же представляет собой оператор углового момента [299]. Вектор 1(т)
коммутирует с s(m>. Он имеет нулевое собственное значение, когда
уровень (т, — т) пуст или заполняется двумя частицами. Вектор
1<”г> есть оператор спина 1/2, когда только одна частица находится
на уровне (т, — т).
Согласно уравнению (9.70), определяем вектор полного спина
S= 2 >>. (9.74)
т>0
Конечно, это также угловой момент. Следовательно, взаимодействие
синьорити, определяемое соотношением (9.69), можно записать
в виде
W,= -GS+S_-V0^-W(/V-l)=-G[(S.S)-^ + S(1)-
— (9.75)
Заметим, что
S0 = Y 2 1)= —(JV—Q), (9-76)
где Q = S 1 = (/ + 1/2) — число парных уровней. Таким образом,
т>0
sQ является целым или полуцелым числом в зависимости от того,
будет ли Л' — Q соответственно целым или полуцелым. Далее мож-
но воспользоваться всеми результатами теории углового момента,
так как эта теория полностью основывается на коммутационных со-
отношениях. Например, так как S • S— квадрат полного изоспина,
то хорошо известно, что его собственные значения равны
S-S=5(S4-1), (9.77)
299
причем S -— целое или полуцелое число в зависимости от того, яв-
ляется ли 50 соответственно целое или полуцелое. Далее, из об-
щих свойств операторов углового момента (см. § 5.5 т. 1) следует,
что
S>|S<,|=|-l-(2V-e)|, (9.78)
откуда
1, Q±2,..., P±2S. (9.79)
Тогда состояние можно характеризовать квантовыми числами S и
50. Собственные значения энергии Hs [см. выражение (9.75)]
имеют вид
Е (S) = -G |S(S +1)-Л- (Л'-£2)24- -L {N_fi)|__L N (N __ 1).
(9.80)
В качестве альтернативного квантового числа к суммарному изос-
пину S можно ввести квантовое число синьорити s (см. предыдущий
параграф)
s = —2S. (9.81)
Тогда
Е (s) = — G |-i- NQ р---i- (2V—2) Q-1) —
(9.82)
Следует отметить, что член в фигурных скобках идентичен с резуль-
татом, полученным в выражении (9.46). Уровни упорядочены по чис-
лу синьорити s в последовательности s = 0, 2, 4,... для четных N
н s — 1, 3, 5,... для нечетных N.
Характерная особенность данного взаимодействия состоит
в том, что энергия определяется только числом синьорити и не вы-
рождена по всем остальным квантовым числам, кроме N. Следова-
тельно, для него естественно название «взаимодействие синьорити»
[432]. Хотя абсолютное значение энергии сильно зависит от числа
частиц, в относительном спектре такой зависимости нет. Как уже
отмечалось в предыдущем параграфе,
Е (S — 1) — Е (S) = 2GS. (9.83)
Так как суммарный квазиспин складывается- из геометрической сум-
мы Й спинов 1/2, то максимальное значение S равно (1/2) Q. Это
соответствует выстроенным в ряд элементарным квазиспинам. Та-
ким образом, из уравнения (9.78) следует
й|. (9.84)
300
Отсюда вытекает, что при N = 0 или N — 2 имеется только одно
состояние S = (1'2) Q. Это легко объяснить, так как в обоих случаях
третьи компоненты каждого из Q квазиспинов равны соответствен-
но— 1/2 или + 1/2. Итак, вакуумное состояние имеет квантовые
числа S = (1/2) Q, St( = — (1/2) Q, т. е.
|0>^|3_й„Т_й\ (9.85)
Волновая функция заполненной оболочки имеет квантовые числа
S = (1/2)Q, S0 = (l/2)fi, т. е.
(9.86)
Здесь первый индекс обозначает величину S, а второй — 50 --
~ (1/2) (N — Q). Очень просто построить остальные состояния
с квантовым числом S = (1/2) Й. Для этого нужно использовать
повышающий оператор 5+, изменяющий число частиц на две еди-
ницы, но не меняющий значение S, т. е.
JL/y
|ЛЙ5(\:,-|±(>Л(Л-_Й)\ cA-s; Jo>. (9.87)
Здесь Сд — нормировочная константа. Состояния, приведенные
в уравнении (9.87), представляют собой состояния системы с четным
числом частиц N. В случае нечетных по N систем последней частице
ие с чем спариться, так что один из квазиспинов обязательно будет
равен нулю. Поэтому максимальное значение S будет равно
(1/2) (Й—1). Теперь волновая функция основного состояния в самом
общем виде записывается в следующей форме:
|ф(й- 1)S,X = C«S’ о+|0>. (9.88)
Здесь Сд — другая нормировочная коистаита.
Следует подчеркнуть, что полученные выше результаты являют-
ся более общими, чем при нумерации одночастичных состояний
квантовыми числами (/т). Решение останется тем же самым для лю-
бой системы состояний со спаривательным взаимодействием, если
эти состояния вырождены по отношению к изменению знака времени.
Например, все результаты применимы для одиочастичных орбит в де-
формированной потенциальной яме (см. § 9.4 т. 1).
Можно также поставить вопрос о квантовых числах реального
углового момента для состояний синьорити. Из соотношений (9.87)
и (9.88) и определения операторов S+ (9.70) видно, что основные
301
состояния четных по 7V систем имеют реальный угловой момент,
равный кулю, а нечетных по Л? систем— угловой момент (/т).
Первые имеют синьорити 0, а последние 1. Это согласуется с вывода-
ми § 9.4.
Из соотношений (9.80) и (9.81) следует, что состояния с смиь-
орити218 (1 2) Q— I] — первые возбужденные состояния чет-
ных систем. С помощью квазиспнпового формализма они могут быть
легко построены. Для этого подействуем на основное состояние век-
тором в квазнеппновом пространстве, меняющем 8 иа одну единицу.
Согласно уравнению (9.81), величина s при этом изменится на две
единицы. Наиболее удобно пользоваться операторами ABs, опре-
деленными в выражении (9.1!) (/^ 0). Действительно, такие опера-
торы рождают состояния с сохраняющимся угловым моментом.
Итак, волновые функции первых возбужденных состояний четных
по Л' систем имеют вид
| у о_ ] S„ \ = C.V, 5'7 <Л"2’ ,4£« | 0). (9.89)
Здесь См — нормировочные константы. Такие состояния харак-
теризуются свойством, что оператор Atil (М 0) рождает две
песпарениые частицы. Если /И — 0, тс Л/q рождает спаренные час-
тицы, однако образованное таким способом состояние двух частиц
ортогонально основному состоянию, имеющему 8 = (1 2) Q. Так как
Л/Д—сумма квазивекторов, то данные состояния имеют квантовое
число 8 = (1 2) Q— 1. Это можно также вывести из того факта,
что два пз квазпепинов равны пулю вместо 1 2, и поэтому суммарный
квазпеипи равен 8 = (1 2) Q — I. Нужно иметь в виду, что оператор
S2 '* не может менять 8, а только лишь добавляет (N—2)/2
пар частиц. Таким образом, полное число частиц равно N. Из урав-
нения (9.82) видно, что состояния с синьорити 2 [см. уравнение
(9.89)1 являются вырожденными, так как энергия ие завпсит*от I и
Л4. Ясно, что случай / --- 0 соответствует основному состоянию.
Далее, число / должно быть четным (антисимметричность!). Итак,
I изменяется в интервале 2 -< / (2 / 4- 1), причем — 1 М /.
Следует отметить, что волновые функции из уравнения (9.89) сохра-
няют суммарный угловой момент Л'-частичной системы. Очень
часто эти волновые функции более существенны, чем функции из
уравнения (9.43). В действительности, если отождествить операторы
BljS) с А ш, обе системы становятся эквивалентными.
Как и в предыдущем параграфе, высоко возбужденные состоя-
ния, вообще говоря, характеризуются числом иеспареиных частиц,
равным числу синьорити s. Можно попытаться сконструировать та-
кие состояния, используя операторы Л/дь Однако нс очевидна их
ортогональность к лежащим ниже состояниям, имевшая место для
состояний с сохраняющимся угловым моментом. На самом деле мы
ЗЭ2
сталкиваемся здесь с обычной проблемой сложения угловых мо-
ментов.
Для многих задач требуются не волновые функции, а их матрич-
ные элементы. Задача их определения более проста, так как тре-
бует знания лишь коммутационных соотношений угловых моментов.
При этом проявляется преимущество формализма квазиспина.
В качестве примера исследуем матричные элементы квадруполь-
ного оператора (9.62). Нулевую компоненту этого оператора легко
выразить через квазиспин:
(9.90)
т > О
где
Ч,„ = = 2(/m I гТ,„ I /т> -=
Иными словами, — вектор в пространстве квазнспинов. Это оз-
начает, что зависимость любого квадрупольиого матричного элемен-
та от S„ = (1 2) (Д'— Q) определяется из теоремы Вигнера —
Эккарта [446], т. е.
< S'S0 | Q,o | SS0> = (S1 S' | So 0So) <S' jl Q | S>- (9.92)
Из коэффициента Клебша — Гордана непосредственно получаем
правила отбора
S' S, S ± 1 (9.93)
и полную зависимость матричного элемента от So. Таким образом,
для S' — S имеем
<ss„ । ! ss„) 4(Лй)- (9 94)
а для S' - S — 1
<s- 1SOIQ20 ] SS„> ~ (S2-S2)</2, (9,95)
так что зависимость этих элементов от числа частиц N весьма проста.
При рассмотрении вероятностей переходов (9.67) мы имели
дело с матричным элементом
= (±О -1 I ±9|So0S„'l /-T£-'Qi‘ ~fi- (9.96)
303
где So — (1/2) (N — Q). Записывая соотношение (9.96) для частного
случая N = 2 и производя деление, получаем
I ^2« I &—1^0/
<(у Я у (2- П) | | у Я- 1 у (2- И) у
(y«-”y я|з.оз.)
=—-------Ч-----гг2------г----“Г- <997>
(уЯ- “у Я |у (2-Я)0у (2-Я) )
Действительно, приведенный матричный элемент в обоих случаях
одинаков и по этой причине сокращается. Следовательно, находим
<yOSol&>fyfi-lS.>=
= {N (2Й—N)}1 i* {2 (2Я- 2)}-1 '2 X
X <у йу (2-й) | QM|-1.Й- I -L (2— й)\, (9.98)
где вычислено отношение двух коэффициентов Клебша — Гордаиа.
Двухчастичный матричный элемент в правой части этого уравнения
представляет собой матричный элемент оператора Q2c между состоя-
ниями оператора /2, связанными в нулевой угловой момент и в угло-
вой момент, равный 2. Так как
</* 001 Qw I f 20> = (2)-1)1 /2 д, (9.99)
где q—одиочастичный квадрупольный момент
q — у 1/5 (2j-l)-'/2 </|<?|/>, (9.100)
то мы получаем окончательное выражение для матричного элемента
(9.98). Зависимость его от N такая же, как н в уравнении (9.67).
В действительности несложно воспроизвести и все выражение (9.67)
из (9.98). Этот пример демонстрирует элегантную технику расчетов,
производимых с помощью формализма квазиспииа. Отметим, что
множитель (2/ — 1)1/2 — (2Q — 2)’"* в определении (9.99) выделен
для того, чтобы можно было его сократить с таким же множителем
в знаменателе выражения (9.98).
§ 9.5. МОДЕЛЬ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРИФФЕРА
Применимость схемы синьорити и модели квазиспина ограничи-
вается конфигурациями jN. Теперь рассмотрим более интересный
случай, в котором устранено ограничение одной орбиталью. Тогда
требуется исследовать матричные элементы спаривательного взан-
304
модействия между различными /-орбиталями. Будем аппроксимиро-
вать спаривательиое взаимодействие 6-функцией. Интеграл перекры-
тия становится меньше, когда орбитали менее схожи друг с другом:
это происходит из-за различия в числе узлов волновой функции.
В рамках одной осцилляторной оболочки перекрытие в типичном слу-
чае флуктуирует на фактор 2. В среднем перекрытие между двумя
такими парами в различных оболочках меньше, чем в случае, когда
обе пары находятся в одной и той же оболочке. Для введенного
выше модельного спаривательного взаимодействия поступают обыч-
но следующим приближенным способом: предполагают, что матрич-
ные элементы имеют вид
< /2 т-1 j2 — тг I I /, т, Д — т2> =
= <*!-MVnapH|*1-A1>=-|G|, (9.101)
т. е. постоянны для пар, занимающих систему орбит в пределах
двух или трех осцилляторных оболочек; вие этих оболочек взаимо-
действие считается равным нулю. Введем теперь для (jm) и (/ — т)
сокращенные обозначения соответственно k и — k. В общем случае
буква k будет обозначать все квантовые числа, требуемые для одно-
значной классификации одночастичного состояния. Обозначение
| — ky определяет обращенное во времени состояние, т. е.
]— ky~K\kyt k>0. (9.102)
Здесь К — оператор изменения знака времени [361]. Это означает,
что 2-компоненты т углового момента / этих состояний равны по
величине н противоположны по знаку. Далее, k > 0 будет всегда
соответствовать т> 0. В выражение (9.101) входят антисимметри-
зованиые состояния | k — ky.
Даже при сделанном выше упрощении задача спаривательного
взаимодействия для случая многих частиц остается еще аналити-
чески не решаемой. Численное решение ограничено случаем неболь-
шого числа орбиталей из-за быстрого роста размера матрицы взаимо-
действия. Если учитывать небольшое число близко расположенных
(почти вырожденных) /-уровней, то можно обобщить модель сииьори-
ти. В случае сильно незаполненных оболочек ядра становятся де-
формированными и вырождение полностью разрушается, так что
модель синьорити оказывается совершенно неприменимой.
Тем не менее результаты, вытекающие из модели синьорити,
указывают иа то, что спаривательные силы могут также играть важ-
ную роль для деформированных ядер (существование щели, низколе-
жащие коллективные уровни и т. д.). Таким образом, требуется зна-
чительно более общий метод, который позволил бы учесть все А
нуклонов ядра. Один из таких путей состоит в использовании ва-
риационной процедуры, аналогичной той, что была применена Бар-
диным, Купером и Шриффером 118] для нахождения основных сос-
тояний сверхпроводников. Итак, попытаемся сконструировать ос-
305
новное состояние ядра, используя класс состояний, образованных
из чистых спаривательных конфигураций:
|0)бкш= П (Ub + vkai а',.)!<)>. (9.103)
k > о
Здесь uh и Vk — вариационные параметры. Для того чтобы функ-
ция | 0>бкш была нормирована, должно выполняться условие
^ + ^--=1. (9.104)
Сделаем несколько замечаний о весьма простой структуре состояния,
определенного выражением (9.103). .Очевидно, что частицы появ-
ляются парами „ajt Q-g- Таким образом, одночастичный уровень
£ либр пуст с вероятностью и^, либо заполнен парой, и в этом случае
вероятность равна vf. Такая интj. „ х j м: тся в согласии
с условием (9.104). Легко_усмотреть, что состояние (9.103) ие является
собственным состоянйём~6пёрат6ра'числа'частац~(9727). Иными сло-
вами, оно не содержит определенного числа частиц; вместо этого
имеется дТ-и; - .ел,ии. по М (см. ниже). В применениях к физике
твердого тела такой недостаток несуществен, так как /V 1023
и малые флуктуации около /V фактически не имеют места. Одиако
в ядерной физике из-за иесохранения числа частиц могут возникать
большие ошибки, Йх устраняют с помощью довольно тонкой тех'ии-
ки (см. § 9.9). Произведение в (9.103) можно представить в сле-
дующем виде: *
|0>Бкш = Со1^ = 0> + о2|А/ = 2> + а4|^ = 4> + .... (9.105)
Из выражения (9.103) ясно, что в волновую функцию входят состоя-
ния ТОЛЬКО _с четным числом частиц. Поэтому волновую функцию
в (9.103) следует отнести к четно-четным ядрам. Легко проверить,
что функцию (9.103) можно записать в следующей альтернативной
форме:
|0>БКШ = ехР(Л'+)|0>= 2(и!)->(Л'+)‘|0>, (9.106)
где
А'+ = У vh и^1 at alk- (9.107)
k
Очевидно, оператор A'+ представляет собой обобщение оператора
рождения пары Лоо (9 Л1).
Отметим в заключение, что выражение (9.103) для волновой
функции основного состояния в приближении Бардина — Купера —
Шриффера является частным улучаем общего спаривательного сос-
тояния
Ц> = 2 2 gk,...kK(aita^)x
N kN
X (at, а£) ... atN) 10>,
306
в котором состояния заполняются или не заполняются парами.
Эта функция обладает требуемым свойством, чтобы все двух частич-
ные матричные элементы имели одинаковые знаки (эффект когерент-
ности) в основном состоянии. В качестве примера матричного эле-
мента можно назвать ожидаемое значение гамильтониана. Из соот-
ношений (9.106) и (9.107) видно, что основное состояние (9.103)
соответствует независимо движущимся парам f361.
9.5.1. Спаривательный гамильтониан
Используя уравнение (9.101), можно получить следующее выра-
жение для общего гамильтониана со спаривательным взаимодей-
ствием:
Hp = 'SiAal oft +
k
+ 2 <Л—k\УпаШ1|£' — k'yat а!ка к-ак- =
k, k' > 0
= 28* at ah— |G| 2 at ai.ka_k- a„-. (9.108)
k k, k‘
Оператор IIp называется спаривательным гамильтонианом. Как
упоминалось выше, состояние (9.103) ие является собственным сос-
тоянием оператора числа частиц А/. Однако можно определить
вариационные параметры и vh так, чтобы среднее значение Д' рав-
нялось заданному числу частиц IV. Этого можнадостигнуть, если до-
бавить член—ZJV к спаринательному гамильтониану (9.108). Таким
образом, получаем
Й' = Йр—IN, (9.109)
где 1— множитель Лагранжа. Он определяется из условия
<БКШ|Л|БКШ>^<Л/> = 2^2^ = ^ (9.110)
Иногда множитель Лагранжа А называют также химическим по-
тенциалом. Это название обязано тому, что, как следует из (9.109),
прн увеличении числа частиц на единицу полная энергия системы
возрастает как раз на X. Таким образом, величина Л равна энергии
Ферми, которая и есть химический потенциал. Определим другую
величину, также представляющую интерес в этой связи, — флук-
туацию числа частиц
(ДЛ)2 = <Л'2> — <Л'>2 = 4 2 Ul Vl, (9.111)
k> о
которая используется в дальнейших рассуждениях.
207
9.5.1. Применение метода Бардина — Купера —
к случаю N частиц на одной /-оболочке
В качестве иллюстративного примера применим метод Барди-
на — Купера — Шриффера (сокращенно БКШ) к модели сииьо-
рити. Большинство величин в этом случае можно рассчитать точно,
используя результаты § 9.3 и 9.4, и сравнить с результатами прибли-
жения БКШ. Ясно, что в рассматриваемом случае все 2/ -|- 1 под-
состояиий | jm) должны быть с равной вероятностью заполнены па-
рами. Это следует и из вида оператора рождения пар Лоо (9.11).
Следовательно, можно утверждать, что все величины vk одинаковы.
Учитывая соотношения (9.110) и (9.104), получаем
<9П2>
Ожидаемое значение спаривательного взаимодействия Уиаи1 в ос-
новном состоянии БКШ 1см. выражение (9.103)1 равно
<БКШ|^пар„|БКШ) = -|С|[2«/1и|,|2-|С| 2 vi. (9.113)
k > 0 k > о
Учитывая (9.112), получаем следующее выражение для энергии ос-
новного состояния:
£'"> (БКШ) = — у | G | N (2й—N + №*»). (9 114)
Этот результат следует сравнить с точной формулой (9.46). Мы ви-
дим, что оба выражения согласуются с точностью до &Ч Различие
возникает от члена в выражении (9.113), пропорционального
Для больших оболочек (большие Q) этим членом можно пренебречь.
Исходя из уравнений (9.111) и (9.112), можно получить также
флуктуацию числа частиц
— = -4=-]/" 2 — — . (9.115)
N V Q ' ’
Таким образом, относительная флуктуация убывает обратно про-
порционально квадратному корню из числа частиц.
9.5.3. Решение вариеционной задачи
Возвратимся к решению исходной задачи об основном состоянии
гамильтониана Н* (9.109) посредством вариации параметров и
wfe. Прежде всего запишем Н' в виде
Н'= 2 е* at ак—| О | 2 а% а*к a~v ак-. (9.116)
k > 0 k, k'
Здесь химический потенциал включен в одночастичные энергий
еА = е?-1. (9.117}
308
Введение химического потенциала как дополнительного условия
(9.110), очевидно, соответствует тому, чтобы отсчитывать одночастич-
ные энергии от энергии Ферми X.. Используя соотношения (9.110) и
(9.113), можно получить следующее выражение для ожидаемого
значения Н' в основном состоянии БКШ:
<БКШ | И' | БКШ> = vl -| G | «* »*] ' (9-П8)
Здесь было пренебрежено членом соотношения (9.113), пропорцио-
нальным Vk. Действительно, мы видели, что ои несуществен для
больших оболочек. В следующем разделе будет показано, что он
соответствует члену У**}? выражения (9.156), перенормирую-
щему одиочастичные энергии бй.
Запишем вариационный принцип в виде
6<БКШ|Я'|БКШ> = 0. (9.119)
Отсюда получаем систему уравнений
— <БКШ | Н'\БКШ> + — <БКШ | Н’ | БКШ> = 0 (9.120)
dvh . dvh duh
или
— <БКШ IН' I БКШ> — — <БКШ |Н'\ БКШ> = 0. (9.121)
uk duk
Здесь использовался тот факт, что есть только одна независимая
система вариационных параметров, а именно иА; величины uh мож-
но выразить через цй с помощью соотношения (9.104). Подставляя
(9.118) в (9.121) и дифференцируя, находим
(a? —u?)|G| X ut’Vi1' + 2ei,ukvlt = 0. (9.122)
k'> о
Теперь удобно ввести понятие щели Л. Определим ее посредством
соотношения
Л = (9-123)
k > о
Подставляя (9.123) в (9.122) и выражая uk через vk с помощью
(9.104) или наоборот, получаем уравнение
(1 -2и1)Л + 2ей uk (1 —14)1'2 = 0 (9.124а)
или
(2v%-1) А + 2вй vh (1 —/2 = 0. (9.1246)
Итак для Uk и V* получились квадратные уравнения. Они имеют
решения:
ul = У {1 ± Ч (el+Д2)- /2); (9.125а)
у{1 Д2)-172}- (9-1256)
309
В случае, когда взаимодействие отсутствует, имеем Д = 0. Тогда
vl ~ 1 и Uk — 0 для заполненных орбит, в то время как $ = 0 и
iik = 1 для незаполненных орбит. Таким образом, единственные
возможные решения уравнения (9.125) имеют вид
ul = {1 + (4 + Д2) -1 /2}; (9. 1 26)
„^.= ±(1 (9.127)
Такой результат возникает из-за того, что при выключении взаимо-
действия eft < 0 для заполненных орбит, a eft > 0 для незаполнен-
ных орбит [см. уравнение (9.117)1. Подставляя (9.126) и (9.127)
в (9.123), получаем так называемое уравнение для щели
• = v|Gl2(eTt-A2)-1/2- (9.128)
2- k > о
В модели синьорити, где все eh вырождены, с учетом (9.112) и (9.123)
находим
Дмс = |С| „2 |/ ’"Гр = (9129)
В случае N = Q получаем отсюда простое выражение Дмс =
= | G | Q, что равно половине энергетической щели, рассмотренной
ранее в связи с моделью синьорити [см. уравнение (9.58)1. Это оп-
равдывает название энергетической щели для величины Д. В после-
дующих параграфах такое название станет еще более прозрачным.
§ 9.6. ПЕРЕХОД К КВАЗИЧАСТИЦАМ С ПОМОЩЬЮ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БОГОЛЮБОВА
Н. Н. Боголюбов предложил альтернативный путь получения
уравнений предыдущего раздела 165, 66, 68, 69, 5121, состоящий
в канонических преобразованиях от операторов рождения и унич-
тожения частиц к операторам рождения и уничтожения так назы-
ваемых квазичастиц. Такой метод был впервые развит в теории
сверхпроводимости. Затем С. Т. Беляев [411 применил его в ядерной
физике.
9.6.1. Преобразование Боголюбова
Рассмотрим ядро в хартри-фоковском приближении. Тогда мож-
но определить новые операторы рождения и уничтожения а+,
а с помощью следующих соотношений:
( Пь, если уровень k свободен; .„ 1ОП.
«*= ; , (9130)
[ —если уровень к занят;
[ если уровень k свободен; _ tQn
а* г-1 (у.
[ —а_й, если уровень k занят.
310
Назовем эти новые операторы сс* и ak операторами квазичастиц.
Для всех k они удовлетворяют соотношению
ай|0)ХФ = 0. (9.132)
Ойо означает, что хартри-фоковское основное состояние | 0>хф
(все уровни заполнены вплоть до уровня Ферми) является вакуум-
ным состоянием этих квазичастиц.
Определенные таким способом хартри-фоковские частицы рас-
сматриваются как движущиеся независимо по своим орбитам. Коль
скоро между этими частицами включается взаимодействие, в част-
Рис. 9.5. Вероятности vf
них значений отношения константы спаривателыюго взаимодействия
|G| к среднему расстоянию между одночастичными уровнями.
В средней диаграмме показано положение химического потенциала X
(уровня Ферми)
заселения уровней е* парами для различ-
ности спаривательиое взаимодействие, оии с некоторой вероятностью
будут переходить из занятых орбит в свободные. Таким образом,
поверхность Ферми теряет резкость и становится размытой. В част-
ности, это справедливо для спаривательного взаимодействия, рас-
сеивающего пары с противоположными угловыми моментами. Так
как уровни ниже поверхности Ферми заполнены, то принцип Паули
допускает рассеяние только в свободные состояния выше уровня
Ферми. Вследствие таких процессов рассеяния одночастичные ор-
биты j k} ниже границы Ферми перестанут быть полностью запол-
ненными. Имеется определенная вероятность | uh I2 того, что они
пусты. С другой стороны, орбиты выше уровня Ферми, считавшиеся
ранее пустыми, теперь заполняются с некоторой вероятностью
| На рис. 9.5 качественно показана возникающая ситуация.
Интуитивно ясно, что сглаживание границы Ферми будет усили-
ваться с увеличением остаточного (спаривательного) взаимодейст-
311
вия и что сглаживание будет ослабляться с увеличением расстояния
между одночастичными уровнями. Таким образом, степень сглажи-
вания зависит от произведения | G | р, где р •— плотность уровней.
Действительно, из рис. 9.5 видно, что для сильного спаривательного
взаимодействия все уровни заполнены одинаково. Аналогичную
ситуацию мы имели в волновой функции (9.43), описывающей ос-
новные состояния четных по N систем. В правой части рис. 9.5
показан случай, когда взаимодействие отсутствует. Очевидно, имеет-
ся резкая граница Ферми. Волновая функция БКШ представляет
собой промежуточный случай между этими двумя предельными
случаями (середина рис. 9.5).
Попробуем теперь обобщить идею квазичастиц для данной новой
ситуации. Нужно обобщить определения а и а+ (9.130) и (9.131)
так, чтобы они содержали линейную комбинацию операторов час-
тиц а и а+:
aK = ukai, — vhatt; af = ukat —vha_h. <9.133)
Здесь uh и os выбраны вещественными. Ясно, что в хартрп-фоков-
ском случае vk = 1 и 0 для занятых состояний и = 0 и
ttb = 1 для свободных состояний. Действительно, частные случаи
(9.130) и (9.131) содержатся в общем определении (9.133).
Как подчеркивалось выше, величины о* и u'i следует интерпрети-
ровать как вероятности заполнения и соответственно незаполпен-
ностп данного уровня. Поэтому потребуем выполнения нормиро-
вочного условия
£4 + ^ = 1. (9.134)
Используя его, простым вычислением можно убедиться в следую-
щем коммутационном правиле для квазичастичных операторов:
{ал, a£} = Sft*’. (9.135)
Учитывая равенство
a_fe = u_л ft — o_fi at, (9.136)
можно также легко получить другие коммутационные соотношения
(9.137)
При этом нужно потребовать выполнения дополнительного условия
Kfe ______u-h
Vh v-h ’
(9.138)
Очевидно, это соотношение выражает связь между Uk и и_^ а также
между Oft и o_ft. Принято следовать работе С. Т. Беляева [411, в ко-
торой сделан выбор
v^h=—vk, u_h = tik. (9.139)
С учетом этого соотношения можно записать равенство (9.136)
в виде
a_h = wfea_ftH-Oft^. (9.140)
312
Легко также получить преобразования, обратные (9.133):
ah = uhak + vhaLk, a_h = uh a_h~vkat.
(9.141)
Если далее идентифицировать величины uk и vk с uk и vh, входящими
в волновую функцию основного состояния БКШ (9.103), то легко
находим
«л | 0>бкш = («л ah—vh alk) П («*' + vk- а£ alk')|0> =
~(ahvk —vhuh)alk П (uk-+ vk'afralk’) 10> =0, (9.142)
и аналогично
сх-ь |0>бкш=0. (9.143)
Здесь следует напомнить, что, например, at at | 0> = 0. Поэтому
можно утверждать, что основное состояние БКШ является квази-
частичным вакуумом.
9.6.2. Уравнения Хартри — Фока — Боголюбова
Теперь мы сталкиваемся с проблемой преобразования гамиль-
тониана, записанного через операторы частиц с, с4", к гамильто-
ниану, выраженному через операторы квазичастиц. Начнем с наи-
более общего вида частиц, взаимодействующих посредством двух-
частичных сил:
7?= 2 <Л|Л k’> at ale-\—- 2 <fcx&2| V | k{ !&> a$t attak> a.> (9.144)
k. k' 4 K2 Ki
Подставим вместо ah и at их выражения, приведенные в (9.141), и
соответственно выражения, эрмитовски сопряженные им. В процес-
се такого преобразования мы надеемся, что параметры vk (которые
пока еще не определены}сложно зафиксировать так, чтобы диагона-
лизовать часть остаточного взаимодействия V в (9.144). Это можно
таюке интерпретировать следующим образом; вследствие перехода
к квазичастицам (см. равенство (9.133)] полностью учитывается часть
12*ацАСТ£иД. 1 Квазичастицы — это «одетые» частицы.
Это положение, связанное с осиовиой философией квазичастич-
ного подхода, следует обсудить подробнее. Рассмотрим основное
состояние системы с N взаимодействующими частицами. Такая сир-
тема была названа Л. Д. Ландау ферми-жидкостью (320]. (Фермн-
жидкость считается бесконечной. В этом смысле ферми-жидкость —
это бесконечная ядериая материй. Применение теории ферми-жид-
кости к конечным ядрам содержится в работах А. Б. Мигдала (368,
369].) При добавлении частицы с _k "> TV-частичному основному
состоянию получаем возбужденное состояние (N + 1)-частичной
системы. Гак как добавленная частица сильно взаимодействует
--------313
с остальными частицами, то она определенным образом влияет иа
отгружающие ее частицы. Иными словами, вокруг частицы образует-
ся поляризационное облако. Такую частицу вместе с поляриза-
ционным облаком называют оде/помили квазичастицей в импульсном
состоянии jP. С другой стороны, <<иорм^льные>у частицы напваются
голыми. Нужно иметь в виду, что квазичастица, как правило, со-
держит голую частицу; '
Хорошим примером квазичастиц являются положительно заря-
женные ионы, движущиеся в ионизованной жидкости (сильном
электролите) или плазме, которая состоит из других положительно
заряженных ионов и большого числа свободных электронов. Дебаем
было Показано (Г141, 177], см. также [195]), что вокруг отдельных
ионов образуется облако отрицательно заряженных электронов.
Такая ситуация изображена иа рис. 9.6. В равновесном состоянии
отрицательно заряженное электронное облако будет содержать
столько же электронов, каков положительный заряд иона. На
языке квазичастиц можно сказать, что данная композиция образует
квазичастицу, состоящую нз положительного иона и электронного
облака. В рассматриваемом случае полные квазичасгицы (ион
плюс облако) нейтральны. Таким образом, квазичасгицы являются
независимыми- поскольку кулоновское взаимодействие исключено.
Также очевидно, что квазичастица может обладать тем же спином,
что и частица. Такой случай реализуется для ядерных квазичастиц
[см. уравнение (9.133)]. Одиако это не обязательно. Далее будет
ясно, что поляризационное облако зависит от скорости (или от воз-
буждения) частицы. Чем выше скорость (т. е. чем сильнее возбужде-
ние), тем меньшее влияние оказывает частица на окружающих со-
* См. примечание на с. 22.— Прим, персе.
.314
седей. Следовательно, уже отсюда можно видеть, что понятие ква-
зичастиц будет хорошим приближением только для низколежащих
возбуждений. Это весьма 'существенный момент В дальнейшем мы
"будем всегда рассматривать только низколежащие возбуждения.
Из сказанного выше легко понять и другое свойство квазичастиц:
существование эффективной массы т*. Изменение массы из-за
поляризационного облака т -+ tn* приводит к следующему выра-
жению для кинетической энергии: ЕК1т = -f- р2т*^1. Ясно, что т*
будет зависеть от импульса (скорости) квазичастицы: для очень
больших скоростей, когда поляризационное облако отсутствует,
получаем/гс* == т. Как мы видели, понятие квазичастиц огра-
ничено только низколежащими возбуждениями над поверхностью
Ферми; таким образом, в большинстве случаев разумно пренебречь
скоростной зависимостью т* и положить т* = tri?, т. е. равным
значению эффективной массы на поверхности Ферми.
Чем больше добавлять «голых» частиц в ферми-жидкость, тем
больше получается квазичастиц; Коль скоро число квазичастиц
мало по сравнению с N, средние расстояния между ними будут вели-
ки. Из-за этого и из-за того факта, что большая часть взаимодейст-
вия уже учтена при переходе к квазичастицам, остающееся взаимо-
действие ’ между квазичастицамй в среднем гораздо меньше, чем
взаимодействие между затравочными частицами. Таким образом,
мы приходим к выводу, что между квазичастицами существует сла-
бое «эффективное» взаимодействие [см. уравнение (9.149)1. Очевидно,
что это эффективное взаимодействие будет одинаково для всех ква-
зичастиц. В конечных системах, например атомных ядрах, следует
ожидать некоторых модификаций. Однако в работе [3681 было по-
казано, что для большого числа ядер эффективное взаимодействие
можно параметризовать единым образом. Наиболее существенное
различие между бесконечной и конечной системами состоит в том,
что в конечной системе ввиду зависимости эффективного взаимодей-
ствия от плотности оио будет различным в различных точках ядра.
Мнгдал, например, предполагает, что эффективное взаимодействие
внутри ядра имеет вид
Лшутр С1 > 2) = с If + Г т2 + № + g’ <<гж <г2) (Т1 — т2)1
Аналогичная форма предполагается в поверхностной области ядра'.
Для нахождения замкнутого выражения Мнгдал производит интер-
поляцию между обоими формулами, используя соотношение
Г- / | __ г i (Р Р Р (^) р (Г)
Г (К —ГВиут1)-|-(гВ11СШ * внутр)
Здесь р (г) — ядерная плотность. В этом подходе восемь парамет-
ров—f, f', g, g'—как для внешних, так и для внутренних сил подби-
раются феноменологически по эмпирическим данным в различных
315
диапазонах ядер 1369]. Заметим, что в теории ферми-жидкости Лаи-
дау эффективная сила разлагается по мультиполям
M- = S/n₽n(ccse).
Первые два коэффициента разложения (f0 и Ц) непосредственно свя-
заны с измеряемыми величинами: f0 связана со скоростью звука,
a f j — с удельной теплоемкостью системы [409, 506, 5081. Конечно,
это можно проверить только в реальных жидкостях, например в эНе.
Таким способом Ландау удалось предсказать нулевой звук в sHe.
Теперь возвратимся к программе преобразования гамильтониана
затравочных частиц (9.144) к квазичастичному гамильтониану. Ис-
пользуем преобразования (9.133) и (9.141). Цель состоит в том, чтобы
определить величины uk и так, чтобы в хорошем приближений
получились независимые квазичастицы. Иными словами, задача
состоит в исключении взаимодействия аналогично тому, как это бы-
ло в случае ионов в иоиизоваииой жидкости.
Используем теорему Вика (см. § 4.4). Тогда гамильтониан Н
переходит в гамильтониан
Н* = [J -]~Нп 4-J720-}- //взанм- (9.145)
Здесь слагаемые имеют следующее содержание:
*>о L *'>0
+ <M'|V|M'>M-W+ 2 <A-A|V|A'-A'>x
J fe. fe' > о
X Uh. Vf uh vh; (9.146)
Йц = 2 {l<fe|«R'>-Мы-+ 2 «А—A"|V|fe'-A’> +
Л’>0 Л">0
+ <Afe"| V| А'А"»ф](икил—vhvk-)—
— 2 <*—A'l V'l*"—
Л"> 0
X {at a,,- + at k- a .,,}; (9.147)
V 2 Х6М-+
k. k’ > 0 [[.
4- 2 «А-ft" |Vp'-A"> + <AA"|V|A'A"»vl”lx
A">0 J
X(u*o*- -HrOiH 2 <A — A'| V|A"—/.’">>•
k" > 0
X Uk” Vk" (uh Uk- — vh Ml {a* a±k- + ct-x a#} (9.148)
316
Одночастичиые энергии отсчитываются от границы Ферми, т. е.
в выражениях (9.116) и (9.117) вводится химический потенциал Л.
Член ЯВзаим содержит произведение четырех квазичастичиых
операторов и описывает взаимодействие между новыми квазичас-
тицами. Его можно записать в виде
. ^взаим =^4о + ^31+ 1^22» (9.149)
где индексы указывают число операторов соответственно рождения
н уничтожения квазичастиц. Например, член описывает рож-
дение четырех квазичастиц из вакуума или обратный процесс;
аналогично член Я81 содержит слагаемые a+ct+a+ct и аааа+,
а член /?22 состоит из слагаемых вида а+о+аа. В дальнейшем мы
будем в основном рассматривать модель независимых квазичастнц,
пренебрегая остаточным взаимодействием Нвзаим- Эффекты этого
слагаемого будут обсуждаться позднее (см. § 9.9).
Разумеется, оператор числа квазнчастиц имеет вид
N — Sak cch. (9.150)
Весьма естественно выбрать преобразование к квазичастицам (9.133)
так, чтобы новый гамильтониан Н' [см. выражение (9.145)1 был диа-
гоналей по отношению к числу квазичастиц. Если пренебречь
то это означает, что член Я2о выражения (9.148) должен
обращаться в нуль. Действительно, только операторы U и Нп
[см. выражения (9.146) и (9.147)1 автоматически коммутируют с N.
Данное требование приводит к следующим уравнениям для опреде-
ления величин uh и vk-
Лы-1t1 k’y- XW + к 2 о (<fe—k" IVI k’ — k"y +
+ <*fe"|V|fe' r»od {Uk Vk’ 4- Uk* Vk) 4-
4-*5o <k—k' | V| kn—fe">uk” uk”{ukuk— uk 0. (9.151)
Эти уравнения называются уравнениями Хартри — Фока — Бо-
голюбова (ХФБ). Можно проверить, что в случае резкой границы
Ферми, т. е. когда
uk = 0, uh~l, если k заполнено; 1
vfe = 0, мй = 1, если & свободно, J
уравнения (9.151) сводятся к обычным уравнениям Хартри —
Фока (6.25). Это же можно сказать иначе. Квазичастицы, для ко-
торых хартри-фоковское основное состояние является вакуумным
[см. соотношения (9.130)—(9.132)1, движутся независимо в хартри-
317
фоковском потенциале, определяемом соотношениями [см. уравне-
ние (6.23)1
<Л|/Ч-УХФ|Л'> = 0; (9.153)
</;|ГхФ|А.->^Лода«|У|^>. (91.4)
<0
Здесь черта вверху или внизу у квантового числа состояния обоз-
начает, что состояние находится вверху или внизу границы Ферми.
Обозначения k" > 0 н k" < 0 указывают, что суммирование про-
изводится по состояниям | k"y и | — Л’").
Потенциал U (9.146) — постоянная величина. В хартри-фоков-
ском случае последний член уравнения (9.146) обращается в нуль,
в то время как первые два члена приобретают вид
1/ХФ=2/2‘5 + ~ 2 V’l**">“>М- (9.155)
A k"> о
k"< о
Это не что иное, как хартри-фоковская энергия основного состояния,
определяемая соотношением (6.27). (Отметим, что в матричных эле-
ментах (9.155) двухчастичные состояния подразумеваются аити-
симметризова иными, т. е.
</?/г" | V [ /?£"> = <Л£" | V | —</eF | V | k" ky.)
Общая задача решения уравнений Хартри — Фока — Бого-
любова (9.151) весьма сложна, так как величины tin и vft, а также
одиочастичиые состояния | ky и их энергии должны все опре-
деляться самосогласованно — в том же смысле, как и в гл. 6
для более простого хартри-фоковского случая. Недавно такие рас-
четы выполнялись Дитрихом и др. [1531, Блейером и др. [61, 621
и особенно Фасслером и др. [187, 491, 4931. Дрейцлер и Клейн в ряде
своих работ [155, 159, 160, 289, 310, 415], а также Фасслер и Плас-
тине [1881 обобщили уравнения Хартри—Фока—Боголюбова,
учтя более сложные конфигурации и корреляции. Дрейцлер и
Клейи нашли интересные применения таким обобщениям 11601.
Возвратимся к уравнениям Хартри — Фока—Боголюбова (9.151).
Запишем их в более компактной форме. Удобно ввести следую-
щие обозначения [36]:
=z </г | УБКШ| k'y = J xkk" | V | k' k"y vl- (9.156)
k"< о
и
=<&| Д|&'> =— 2 —k"y (9.157)
k">0
318
Здесь УБКШ, очевидно, естественное обобщение потенциала У*ф
(9.154). Одночастичная матрица Л*-*' называется матрицей
парной энергии. Часто Д называют спаривательным потенциалом.
Обычные хартри-фоковские одночастичные энергии определяются
посредством матрицы [см. уравнение (6.25)1
+ (9.158)
Обобщим это определение
= h,k-- (9.159)
что согласуется с (9; 151) и (9.156). Используя эти определения,
можно качественно понять структуру уравнений Хартри — Фока —
Боголюбова. Предположим далее, что спаривательное взаимодей-
ствие имеет наиболее простой вид, так что
<£—£'| — /г") = 0 для k'^k. . (9.160)
Тогда определение (9.157) приобретает вид
^k-k’ = Д/£-?£ ^kk’ = Дй &kk'- (9.161)
Из (9.151) видно, что для такого специального взаимодействия (его
мы и называли спаривательным взаимодействием) матрица hkk'
содержит иеднагональиые матричные элементы, обязанные обоб-
щенной одиочастичной хартри-фоковской матрице (9.159).
Поэтому предварительно диагоиализуем eftv, чтобы получить но-
вые одночастичиые состояния и новые одночастичные энергии. Обоз-
начим полученные энергии eft. Тогда, используя новый одночастич-
ный базис, который в целях удобства обозначим, как и старый,
| /е>, запишем уравнения Хартри — Фока—Боголюбова (9.151)
в весьма кратком виде:
21huhvh — Дь (4 — vl) = 0. (9.162)
Следует иметь в виду, что диагонализация величин ёж 1см. выра-
жение (9.159)1 и решение уравнения (9.162) должны производиться
самосогласованно. Однако в целях упрощения предположим, что
оба уравнения не связаны друг с другом и что, например, одночас-
тичиые энергии 8fe можно взять из сферической или деформирован-
ной оболочечной модели. Нужно отметить, что уравнение (9.162)
полностью аналогично уравнению (9.122), и в совокупности с нор-
мировочным условием (9.134) его можно решать точно так же. На-
ходим
/4 = ф{Ц-М?*4 Д*г1/2}; (9.163а)
П-ДЙ +Д»Г1/2Ь (9 1636)
Из этих уравнений непосредственно видно, что величины о* зависят
от энергии, как показано на рис. 9.7. Как можно видеть из уравнения
319
(9.163), сглаживание вероятностей заполнения vl зависит от пара-
метра щели Д„. Эго математическая формулировка предыдущих
качественных рассуждений, которые привели к рис. 9.5.
По аналогии с уравнением (9.128) уравнение для щели получает-
ся, если подставить (9.163) в (9.157) и использовать соотношение
(9.160) и (9.161). Тогда
Ле = —<А—k | V | tf-k’y (e*- + A*-)—1/2 Дй-. (9.164)
В случае постоянного матричного элемента спаривательного взаи-
модействия | G | отсюда получаем уравнение (9.128). Итак, данное
рассмотрение во всех аспектах соответствует предыдущему. Это
Рис. 9.7. Вероятности заполнения состояния \k — ky нуклонными парами
в моделях Хартри — Фока (а) и Бардина — Купера — Шриффера (б)
завершает формальную процедуру перехода к квазичастицам, так
как вследствие условия hkh’ = 0 величины uk и vh определены те-
перь так, что И20 = 0. Поэтому Н’ ~ 0 + Яи -|- /?40 становится
гамильтонианом квазичастиц, причем доминирующие члены U 4-
-г Иц также сохраняют число квазичастиц. Очевидна аналогия
между обычным многочастичиым гамильтонианом (9.144) и этим
гамильтонианом. Теперь ясно, почему состояния а+1 0>вкш
называют одноквазичастичными состояниями: это полностью па-
раллельно обычным одиочастичным состояниям. Далее, Но = U -Г
+ Яц есть гамильтониан свободных квазичастиц. Это становится
особенно очевидным, если предположить, что Ehh’ диагона-
лизованы и справедливо соотношение (9.160). Подставляя (9.163)
в (9.147), получаем
Н„ = и—лЛ'-F £ £„(ataj+«±fta_„)=sL'—JM + H". (9-165)
В общем случае, когда матрица Ehh> не днагоиальна, получаем выра-
жение
но = й—W-\- (иьщ — vhVi,')-' X
X (ai a,,- I a.’,, a_,,.).
которое можно диагонализовать на базисе квазичастичиых состоя-
ний. В выражении (9.165) принято обозначение
£Й = (И + Д1)1/2. (9.166)
Таким образом, произведена диагонализация части остаточного
взаимодействия; получен новый, исправленный одночастичный
спектр, описывающий квазичастичные возбуждения.
§ 9.7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЩЕЛИ В ЯДРАХ
Обратимся теперь к уравнению для щели (9.164). Из этого урав-
нения требуется определить величины Ад. На первый взгляд мож-
но подумать, что это очень трудная задача, так как сумма, содержа-
щаяся в (9.164), распространяется в принципе до бесконечности.
Однако в действительности это не так, что можно увидеть из сле-
дующих соображений. Пусть состояние | ky близко к поверхности
Ферми X. Основной вклад в сумму уравнения (9.164) происходит от
состояний, близких к рассматриваемому, т. е. от других состояний
в окрестности границы Ферми. Так обстоит дело потому, что для
данных состояний е*, 0, и поэтому Дл* (Д1» + е|')~’/г « 1.
Далее, состояния, близкие к уровню | &>, как правило, обладают
одинаковыми главными квантовыми числами и, следовательно, при-
водят к большому перекрытию в матричных элементах (9.164). Для
состояний вдали от поверхности Ферми справедливо обратное за-
ключение; именно перекрытие волновых функций в матричных эле-
ментах становится малым, когда
(Д1- -;й-г,/2< 1.
Таким образом, следует ожидать большой щелн для состояний
| ky вблизи поверхности Ферми; в существенной степени это проис-
ходит нз-за вклада соседних уровней в уравнении для щели (9.164).
В случае, когда состояние | ky находится вдали от границы
Ферми, справедливо обратное утверждение. В этом случае обычно
в сумму уравнения (9.164) вносят вклад много слагаемых, причем
каждый член очень мал. Так происходит потому, что для состояний,
соседних с | ky, перекрытие матричных элементов велико, но множи-
тель (Д*г 4- Ek')-*'11 1 мал из-за больших efc Д^. Наобо-
рот, для состояний вблизи границы Ферми имеет место соотношение
Д*'/(Д*' 4- ~ Ъ одиако матричные элементы малы, так как
состояния | ky и | k'y обладают различными квантовыми глав-
ными числами. Итак, мы получаем замечательный результат: спа-
ривательное взаимодействие, играет доминиру юшую роль только для
состояний вблизи поверхности Ферми.
Теперь становится очевидной связь полученных результатов
с оболочечной структурой. Главный вклад в уравнение для щели
всегда будет возникать от переходов в одной и той же оболочке.
Поэтому, по крайней мере в разумном приближении, все оболочки
320
II Зак. 532
321
можно рассматривать отдельно. Таким образом, для тяжелого сфе-
рического ядра можно ожидать, что у внутренних оболочек ДЛ « 0.
Спаривательное взаимодействие будет играть существенное значе-
ние, главным образом, для частично заполненной внешней оболочки,
часто называемой Д-оболочкой. Итак, мы возвращаемся снова к мо-
дели синьорити: согласно приведенным здесь аргументам, модель
синьорити должна быть хорошо применима к сферическим тяжелым
ядрам с хорошо выраженной оболочечной структурой. В случае
деформированных ядер нет никакой оболочечной структуры в обыч-
ном смысле слова. Исключение составляет случай больших деформа-
ций, когда, согласно Струтинскому [490], из-за деформации оболочек
могут возникать вторые минимумы. В этом последнем случае приме-
нимы соображения, аналогичные высказанным выше.
Другое важное следствие того факта, что спаривательное взаи-
модействие существенно только внутри одной оболочки и только
вблизи поверхности Ферми, состоит в том, что в расчетах тяжелых
ядер протоны и нейтроны можно рассматривать независимо. Для
ядер с (N —Z) 20, что имеет место при А > 150, нейтроны н
протоны вблизи поверхности Ферми заполняют совершенно различ-
ные оболочки. Вследствие этого перекрытие соответствующих вол-
новых функций и тем самым матричные элементы, содержащиеся
в (9.164), малы по сравнению с соответствующими величинами для
нейтронов и протонов в пределах нх собственных оболочек. Данный
эффект изображен на рнс. 9.8.
В легких ядрах можно также пренебречь спариванием между
нейтронами и протонами, но по другим причинам. Камизи др. 1112]
показали, что спаривание в основном обязано синглетным по спинам
парам с полным угловым моментом 1 = 0. Из-за антисимметричности
волновой функции две тождественные частицы в относительном
S-состоянии (L = 0) могут образовывать только синглетную кон-
фигурацию, в то время как нетождественные частицы могут состав-
лять как синглетную (S = 0), так и триплетную (S = 1) конфигу-
рации. Следовательно, в последнем случае спаривательный эффект
должен быть меньше.
Отсюда вытекает, что в хорошем приближении спаривательная
волновая функция БКШ для ядра является произведением волно-
вых функций БКШ протонов и нейтронов
л- п- н Пы<"> < 7,<н) Ди!+ Дн)+1 х/
I V > БКШ — 11 1*41 ~ cikt G-ki j x
X П {4?-r 4",’ + «ntl I o>. (9.167)
*2
Уравнения остаются все еще столь сложными, что можно получать
только численные решения. По этой причине произведем дальнейшее
упрощение модели; именно предположим, что в окрестности границы
Ферми спаривательные матричные элементы одинаковы:
(£ —Л|У|Л'~//>=—1С1- (9.168)
322
Следовательно, уравнение для щели (9.164) приобретает вид
1=4- 1°1 2 »^» = 4" 2 |G|(S + AT,/2- (9-169)
Л k>0 1 ft>0
Здесь суммирование проводится только по Л-оболочке (это предпо-
ложение модели!). Данное уравнение всегда имеет тривиальное ре-
Рис. 9.8. Иллюстрация эффектов, возникающих в нейтрон-протонном
спаривании [395]:
тронное состояние, получаемое обращением знака времени, находится на одну
осцнлляторную оболочку ниже нейтронной поверхности Ферми. Конечное состоя-
ние содержит парные орбитали, нормально доступные для обеих частиц. Поэтому
шение А = 0 и uhvk = 0. Рассматривая предел А -> 0 в уравнении
(9.169), можно заметить, что для того, чтобы существовало нетри-
виальное решение для А, должно выполняться условие
i>s4-ig,i’e'-i_1- (9170)
k>0 2
Так обстоит дело только в том случае, когда спаривательное взаимо-
действие J G j достаточно велико. Рассматриваемая модель интенсив-
но применялась к различным ядрам для расчета многих ядерных
323
величин: моментов инерции, энергий колебательных возбуждений,
гиромагнитных факторов н т. п. Первые реалистические расчеты
такого типа были выполнены Киселингером и Соренсеном [3071 и
Нильссоном и Приором [404].
С практической точки зрения следует отметить, что уравнение
для щели содержит также химический потенциал X. Действительно,
величины ей = — X отсчитываются от границы Ферми [см. урав-
нение (9.117)1. Так как химический потенциал определяется требо-
ванием, чтобы число частиц было фиксировано [см. уравнение
(9.110)1, то на самом деле требуется решать два связанных уравне-
ния: (9.110) и (9.169). Запишем их в явном виде
1=4lGlf + (9171а)
2 k >0
4-N= i (l-(f,-X)|(E,-X)2 + A2)-i/2].
2 k> 0
(9.1716)
9.7.1. Возбужденные состояния в четных и нечетных ядрах —
эффект блокировки
Возбужденные состояния получают, образуя квазичастипы
в вакуумном состоянии | О^якш- Из выражения (9.165) для Но
непосредственно находят энергии. Рассмотрим образование двух-
квазнчастичного состояния.
а£ 10) бкш —
= П (мй-[-цЛал а±/г)|0>. (9.172)
• л,
Выберем число частиц 7V таким же, как и для вакуумного состояния.
Определяя цЛ1, vfta и vk из условия минимума энергии, получаем
vhi = z)hj — 1 и обычное выражение для г»*, при нахождении кото-
рого, однако, не учитываются состояния kx и k2. Таким образом,
возбужденное состояние четно-четного ядра имеет иеспаренные час-
тицы на определенных орбиталях kt и k., аналогично тому, как было
в рамках оболочечной модели. Все остальные частицы спарены.
Имеем
/?0 cq!" ] 0>бкш = (Е^ -I- Еья) | 0>бкш (9.173)
и выражение
Е„, =(S. + A2),/2 +Й, + Дв)1/2>2А (9.174)
для энергии данного возбужденного состояния. Двухквазичасгичное
состояние содержит одну разорванную пару частиц. Отсюда выте-
кает, что энергия, требуемая для разрыва пары, больше 2А. В реаль-
324
ных ядрах это составляет от 1,5 до 2 Мэв. Величину 2Д называют
энергетической щелью. Ее эффекты наиболее отчетливо проявляют-
ся в (г/р)-реакциях (см. рис. 8.9 т. 1).
Переходя от четного ядра | 0>бкш к нечетному, находим
<4 10) бкш = «t Д (tih + vk at a±k) 10>, (9.175а)
или
| 0)бкш=alj^ , П (ufe + vk at atk) 10 >. (9.1756)
Выберем число частиц N на единицу больше, чем в вакууме. Как и
в двухквазичастичном случае, коэффициент vhl равен единице.
Поэтому можно сопоставить эти состояния либо с основным, либо
с возбужденными состояниями соседнего нечетного по Af ядра. Легко
проверить, что
7/оа^|О)Бкш = ^^а^|О>БКш- (9.176)
Отсюда следует, что если k0 характеризует основное состояние не-
четного ядра, то энергии возбуждения нечетной по N системы дают-
ся соотношением
Ек-£*. = (Й+ А2),/2^Й + Д2)1'2 ~ к,, —(9.177)
Тем самым мы получаем важный результат, что в одночастичном
спектре нечетного ядра нет „энергетической щели; это" согласуется
с экспериментальными данными. Приведенные рассуждения иллю-
стрируются на рис. 9.9. На нем изображено сверхтекучее основное
состояние системы | 0>бкш с четным N й оддоквазичастичная кон-
фигурация системы с нечетным N. Из уравнения (9.177) также вы-
текает, что квазичастичный формализм приводит к сжатию низко-
энергетического спектра по сравнению с моделью независимых
частиц. Этот эффект иллюстрируется иа рис. 9.10.
Далее из уравнений (9.174) и (9.176) можно определить четно-
нечетную разность масс. Наименьшее ее значение равно 2Д. Более
точно, для энергий основных состояний Е%с имеем следующие вы-
раження:
Е^+, = Е^+К+Еп
справедливые при любом N. Следовательно,
Е^+2 + 2Е^! = — 2£„ = —2 {(е„—Л)24- Д2}1/2» —2Д.
Это схематически изображено на рис. 9.11; указаны энергетические
уровни для сверхтекучего решения и изменение спектров прн пере-
ходе к соседним ядрам. Так как обычно для наиннзшего состояния
нечетного ядра выполняется условие |ей—Х|<£ Д, то измерение
четно-нечетной разности масс дает хорошую оценку параметра
Д. Кисслингер и Соренсен 1307] и Нильссон н Приор 1404) нашли,
325
что для А ^150“ 190 разность масс 2Д«1,5 Мэв!сг, а плотность
уровней р-1 « 0,4 Мэв. Они определили амплитуду спариватель-
ного взаимодействия н получили, что
G>> ж 17Л*1 Мэв (для протонов);
Gn ж 25Л ~1 Мэв (для нейтронов).
Нужно отметить, что выражения для энергии Ek несколько отли-
чаются от приведенных выше выражений, так как величины uh
в возбужденных состояниях различны. Это происходит из-за
того, что частичное состояние | блокируется нечетной части-
четнои системы
Рнс. 9.9. Схематическая иллюстрация основного состояния системы
с четным У (вакуум), а также одиоквазичастичиого состояния,
связанного с орбиталью |Аи >
цей [см. уравнение (9.176)1 и должно быть исключено из сумм в со-
отношениях (9.171). Уровень | вблизи поверхности Ферми из-
за принципа Паули запрещен для пар частиц. Отсюда с учетом
того факта, что в уравнении (9.1716) величину N нужно заменить
N — 1 [так как нечетная частица учитывается точно в соотноше-
ниях (9.175)1, находим скорректированные уравнения для щели
Д = |б| S W (9.178а)
k&t
TV—1 = s2 2l4. (9.1786)
Изменения Д и величин uk и Vk называется эффектом блокировки?
Эти поправки из-за блокировки имеют порядок Й-1; поэтому
326
ими часто пренебрегают. Однако в ряде случаев поправки могут
оказываться большими (до 30%); это отмечается в работах В. Г. Со-
ловьева [214, 482] н Нильссона н Приора [404]. В частности, та-
кая ситуация может возникать в деформированных ядрах, где
хотя в спектре имеется до 20 уровней, в суммы (9.171) вносят
существенный вклад только 4 и 5 уровней (см. также [185]). Ясно,
что блокировка одного или двух таких уровней имеет большое
значение; следовательно, нельзя приравнивать энергии возбуж-
дения квазичастнчным энергиям: вместо этого следует вычислить
суммарную энергию возбужденного состояния н вычесть из нее
Одночастичные
Возбуждения
Рис. 9.10. Сравнение схемы уровней независимых частиц (слева) со схемой
уровней квазичастиц (справа) [395].
- Однокдазичастичные
Возбуждения
Нужно отметить, что разность энергий систем с нечетной частицей на орбитах
fei н k2 равна в первом случае е^,. а во втором случае Разности
правой части рисунка
энергию вакуумного состояния (при том же N). Для двухквази-
частичных состояний скорректированная энергия ( ~ 1,4 Мэе)
всегда меньше, чем квазичастичная энергия ( ~ 1,7 Мэв), но боль-
ше энергии свободных частиц ( ~ 0,15 Мэв).
Изложенная выше теория обладает существенным недостат-
ком: из-за различия uk в основном и возбужденных состояниях
условие ортогональности состояний не выполняется. Именно двух-
квазичастичные состояния со спином |0Ъ не ортогональны к основ-
ному состоянию. Состояния с другим спином и четностью оказы-
ваются ортогональные" к основному состоянию из-за разданных
угловых ементов и различнб1Г'чётно^Г? Таким образом, рассмат-
?32^^аЯ тео^и^кбррё1^а~^пж6 для этих последних состояний
Согласи© уравнению (9.175), одна квазичастица ассоциируется
£-_ОДним ц_ только одним одночастичньлм .состоянием |Лд>; при
переходе к квазнчастицам изменяется степень заполнения^дайной
327
орбитали. Следовательно, квазичастица имеет некоторые свойства
частицы и некоторые свойства дырки: выше границы Ферми она
приближенно частица, в то время как ниже границы Ферми она
приближенно дырка [395]. Сравним данное представление с кар-
тиной некоррелированного основного состояния нечетной системы
с нечетной частицей в одночастнчном состоянии | выше ступен-
чатой границы Ферми. Сравнивая обе ситуации, находим, что
генерируемая оператором квазичастица имеег перестановоч-
2А-щель 6 четно-
четном ядре
Л-разность масс нечет-
црго а четного ядер
2Z
2А-разность масс
нечетно-нечетного
а четно-четного
ядер
z четное
N четное
Рис. 0.11. Схематические диаграммы энергетических уровней для
соседних ядер согласно сверхтекучей модели. Параметры щели Др
для протонов и Дп
для нейтронов предполагаются одинаковы-
ми [52]
ные свойства, отражающие изменение заполнения орбиталей с k =^=kt.
Другими словами, по отношению к некоррелированной картине
квазичастица учитывает хвост частичных пар выше границы Ферми
и хвост дырочных пар ниже нее.
9.7.2. Пример: неколлективные уровни изотопов Pb
В этом разделе мы иллюстрируем приведенные выше рассуж-
дения на примере спаривательиых эффектов для изотопов РЬ.
Впервые такие эффекты были систематически исследованы Кис-
слингером и Соренсеном [307]. В данном разделе изложение сле-
дует работе [322]. Так как данные изотопы имеют магическое чис-
ло протонов, а смешиванием различных осцилляторных оболо-
чек можно пренебречь, то в таких однажды магических ядрах не
нужно рассматривать нейтрон-протонное взаимодействие. На
рис. 9.12 показан одночастичный нейтронный спектр; в действи-
328
тельности это спектр однодырочной системы 207РЬ. Определим сред-
нюю одночастичную энергию
- -
" 2(2/4 1)
Она лежит на 1,42 Мэв ниже уровня 3pi/s- Будем пренебрегать
уровнем I/Z9/2, так как он лежит, по-видимому, иа 2,5 Мэв ниже
уровня 2/7/2 1391]. Запишем уравнения (9.171) для данного частного
случая в виде
VI ° I 2 а +1 /2) 1(6/-V + А2]-1/2 = 1; (9.179а)
2 (/ + 1 /2) (е,—X) {(е,—л)2 + А2}-1 '2 = £2—N, (9.1796)
где Q = 2 (j -р 1/2). Строго говоря, эта пара уравнений справед-
лива только для четных изотопов. Тем не менее Киселингер и
Соренсен [307] применяли ее для всех изотопов. В данных уравне-
ниях проведено суммирование по / + 1/2 подуровням различных
подоболочек. Решая эти уравнения, находим А и А как функции
G | и числа частиц N. На рис. 9.13 показана щель Д в единицах
константы спаривательного взаимодействия G как функция числа
частиц Лг, 0< < 2 О. Можно видеть эффект слабого (| G | <£ d)
промежуточного (| 6 | ~ d) и сильного (| G | d) спаривательного
взаимодействий. Здесь d = 0,15 Мэв—среднее расстояние между
О-------^/2
-0,57----------Zfs/2
Рис. 9.12. Одночастнчный нейтронный
спектр, предполагаемый для значений
N между 100 и 126. Эти уровни соот-
ветствуют одиодырочным СОСТОЯНИЯМ
ядра 207РЬ
--------------------------
-1,63 —- 1iW!
-w—_lfvl
уровнями. Если ]G| очень велико, то находим Д|б|-1 —>
~*"2-[M(2Q—7V)]V2, т. е. отношение приближается к значению,
предсказываемому моделью синьорити [см. формулу (9.46)]. Таким
образом, при | G | d все различные подоболочки, изображенные
на рис. 9.11, ведут себя как одна большая оболочка 2Q. Если [ G ]
очень мало, различные подоболочки можно рассматривать незави-
329
симо и Д j G I'1 ->- [N' (2Й' — ЛГ)]*/®, где fi' = /' + 1/2 и
N' — число нейтронов в /-й подоболочке. Для промежуточного
значения спаривательного взаимодействия получаем интерполя-
ционную кривую, лежащую между предельными случаями. Она
изображена иа рис. 9.13; данный расчет проведен для IG I =
= 23А~г Мэв =0,11 Мэв.
На jjhc. 9.14 показана энергия Ферми X; для удобства величи-
на — (е7 — Z) изображена как функция числа частиц N. Если
j G| очень велико, то (ej— Z)->
—> (1/2) (Q — /V) [ G | и снова все
/-оболочки ведут себя как одна
большая оболочка 2Q, что соот-
Рис. 9.13. Параметр щели в единицах ам-
плитуды спаривательного взаимодействия
Д/[ G| в зависимости от числа нейтронов
N в большой оболочке.
Показаны случаи слабого (|G| промежу-
точного (| GI — d) и сильного (IG1d) спа-
ривательного взаимодействия (из работы [322])
Рис. 9.14. Поведение границы
ферми 7. в зависимости от числа
частиц N.
для случаев слабого, нромежу-
взаимодействня | G [322]
ветствует модели синьорити. Для малых значений G график энер-
гии Ферми отражает структуру отдельных подоболочек.
Если — энергия уровня, ближайшего к границе Ферми,
то энергетическая щель равна 2 1(е^—X)2 + Д211/2- Она возрас-
тает от 0,50 Мэв для 206РЬ до 1,0 Мэв для 204 РЬ, а затем становится
более плавной и медленно растет до 1,3 Мэв для 19‘РЬ. Так как для
четных изотопов свинца имеется мало экспериментальной инфор-
мации, то обратимся к предсказаниям спектров нечетных изотопов.
Эти спектры получаются непосредственным вычислением Ej =*
= [(£,.— X)2 -}- Д2р/2 дЛя различных / отдельных изотопов. На
рис. 9.15 изображены одноквазичастичные энергии Ej в зависи-
мости от числа нейтронов N для случая малых и больших j G j..
Для очень малых | G | параметр щели Д обращается в нуль н К
скачкообразно изменяется при заполнении очередной оболочки,
(как видно из рис. 9.13). Когда N возрастает от 0 до 2Q, энергия
данного уровня по отношению к энергии основного состояния умень-
330
шается. Как только оболочка заполняется, она становится основ-
ным состоянием, и затем ее энергия снова возрастает (как энергия
дырочных состояний; см. обсуждение рис. 9.9). Для больших | G |
скачки сглаживаются, и в соответствии с (9.177) уровни сжимают-
ся друг к другу.
Если сравнить результаты с эмпирическими данными, то очень
сильных эффектов спаривания не обнаруживают; из сравнения
с опытом получаем значение | G | = 0,11 Мэв, которое уже выше
использовалось [322].
Рис. 9.15. Одноквазичастичные спектры нечетных изотопов РЬ в зависи-
мости от числа нейтронов [322]:
линией, дырочные —
1ных уровней вблизи
середины 2И-оболочки)
Модель спаривательного взаимодействия до некоторой степени
объясняет также явление, что орбитали с большими спинами за-
полняются парами частиц и не вносят вклада в спины основных
состояний нечетных ядер. Этот эффект был уже известен с момента
появления оболочечной модели (см. рис. 8.7 т. 1). Наконец,'заме-
тим, что парные корреляции могут также приводить к существен-
ным изменениям магнитных моментов н вероятностей электромаг-
нитных переходов [307, 404, 281]. Именно парные корреляции
затормаживают электромагнитные переходы между квазичастич-
ными уровнями вблизи поверхности Ферми и ускоряют некоторые
другие переходы (коллективные эффекты).
9.7.3. Приведенные ширины для нуклонов и нуклонных пар
W Йошида [5451 и Беляев и Захарьев [43] впервые обратили вни-
мание на тот факт, что вероятности заполнения или незаполнен-
ности состояний, т. е. соответственно и uf, можно измерить
непосредственно в реакциях срыва и подхвата. В целях простоты
пренебрежем различием между значениями uk и соответствую-
щих состояний k соседних ядер. Пусть ф/д! волновая функция
331
материнского состояния, т« е. реального состояния Д-нуклонной
системы. Это может быть состояние оболочечной модели илн сверх-
текучей модели. Назовем волновую функцию Ф/м (/, /о) волновой
функцией канала, если оио образовано из состояния со спином
/0 (материнское состояние) дочернего ядра (с Д — 1 нуклонами), •
связанного с нечетным нуклоном на одночастичной орбитали /.
Далее определим приведенную ширину реакции, выраженную
в единицах одночастичной приведенной ширины
5 (Л /. 4) = I <Ф/м | (j, /0)> I2- (9.180)
Величина S (/, /, /0) также называется спектроскопическим фак-
тором. Предположим, что материнское состояние соответствует
нечетному ядру и описывается волновой функцией
lfen> = «£» П (“k + о* ai а±*) 10> (9.181)
k^/Ш
[см. выражение (9.175)1. Тогда канальное состояние имеет вид
I %m> = П (u'k4- Vk at atk) 10> =
лук- k>0_______ ________
ЛОН дочернее ядро
~П 4” at alt) | U/m a/tn 10). (9.182)
fc>0
Здесь штрихи у и vk указывают, что эти величины в действи-
тельности относятся к основному состоянию дочернего четного
ядра. Штрих над произведением в последней части уравнения оз-
начает, что выброшено состояние с k — jm. Как мы видели, его
следует рассматривать особо. Если пренебречь различием между
uh и ик, то выражение (9.180) легко вычисляется, и мы получаем
5(/./, 0)^w?m = nJ. (9.183)
Это весьма очевидный результат: вероятность четному ядру под-
хватить нуклон в состоянии jm пропорциональна вероятности,
что это состояние свободно.
Если материнское ядро четно, то функция |ф/т>— вакуумное
состояние | 0>вкш уравнения (9.103); в этом случае / = М = 0.
Тогда канальное состояние имеет вид
I <Роо> = (2/ + 1)”''2 2 а/т П' (“ь + v* ак а-к) а1-т 10>• (9.184)
т к>0
Заметим, что здесь использованы обозначения фаз БКШ, т. е.
множитель (— !)/-« включен в определение одночасгичного
состояния |/—т> [см. соотношения (9.15)—(9.18)]. Пренебре-
гая, как и выше, различием штрихованных и нештрихованных ве-
личин, находим
5(0, /, /) = Г£(2/ 4- 0“1/2 ^]8 = (2/4- Of/- (9.185)
332
Таким образом, вероятность четному ядру потерять /-й нуклон ott-
ределяется вероятностью v} того, что /-й уровень ядра занят.
Используя эти идеи, Коэн и Прайс [117] и многие другие [118,
347, 391, 459] использовали экспериментальные данные по (dp)-и
^-реакциям для нахождения и}. Если, например, в таких реак-
циях возбуждаются частичные состояния с / — Z 4- 1/2 и если пред
положить, что сечение реакции срыва зависит только от I (но не от
/), то в соответствии с (9.183) и (9.185) получаем
[(2J I 1)-»О(<1.р)]/=,+ 1/г _ [»/]/_/+1/2
I(2(+1)-1o(i(.p)],=s/_i/2 ["/l/=/-i/2 ’
[(2J+l)-a(d.t))/=,+ l/2 _ К]/=,+ ,/г
[(2,4-l)-ia(d, _I/2 [»?],=,_i,-2
(9.186а)
(9.1866)
Следовательно, из таких измерений можно определить ц, для
/ = I ± 1/2. В действительности для справедливости соотношений
(9.186) нужно еще одно предположение. Именно требуется предпо--
ложить, что сечения реакций срыва не зависят от значений Q
(энергий связи срываемой частицы). Это не совсем хорошее предпо-
ложение, однако можно учесть поправки, вызываемые данной за-
висимостью [117].
Другие примеры применения аналогичной техники — это ана- *
лнз (dp)-peaKUHH из состояния j нечетной мишени в основное сос-
тояние четного ядра. Если сравнить их с (dp)-peaKHHHMH из того же
самого четного ядра в состояние / соседнего нечетного ядра, то
можно получить простую формулу
1 v/
ОчетИ, Р) 2,4-1 ««
Аналогично для (с//)-реакций находим
1) 1 ц/
Очет (d, i) 2/4-1 vj
(9.187)
(9.188)
Однако в большинстве ситуаций эти частные случаи, содержащие
отношения сечений, не реализуются. Тогда для получения инфор-’
мации о uf нужно анализировать абсолютные значения сечений
(dp)-и (dO-реакций. В настоящее время для достаточно надежных
оценок, по-видимому, пригодно приближение искажённых волн.
Таким образом были локализованы частичные состояния в оболочке
Л' = 126-4184(2^/2, 1(11/2, 1/15/2, 3d5/2, 4si/2, 2g7/2, 3d3/2) и ды-
рочные состояния в оболочке N = 824-126 (1Л9/2, 2/7/2, Зрз/2,
2/»/2, 1(13/2 И 3pi/2>. Одиако весьма невелико число работ, в кото-
рых детально проверяется теория парных корреляций [391, 492].
Тем не менее дальнейший анализ реакций срыва и подхвата поз-
волит получить полезную информацию о структуре ядер.
333
Ноши да [546] обобщил рассмотренную выше теорию. Он ис-
следовал вопрос, как влияют парные корреляции иа сечения ядер-
ных реакций с передачей двух одинаковых нуклонов, например
(tp)-реакцию. В будущем такое обобщение может оказаться по-
лезным. Однако в настоящее время имеется не так много эмпири-
ческих данных, с которыми можно было бы сравнить результаты
теории. Более подробное обсуждение данного вопроса содержит-
ся в работах [263, 357].
§ 9.8. СХЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЩЕЛИ
Если сделать несколько дополнительных предположений, то
можно получить аналитическое решение уравнения для щели.
Здесь изложение следует работе С. Т. Беляева [41]. Предположим,
например, что энергетическая щель 2А больше расстояния между
доночастичными уровнями, т. е. 2Д еА. В частности, это имеет
место для деформированных ядер, где энергии одночастичных
возбуждений могут иметь порядок 100 кзв (см. гл. 9 т. 1). Тогда
суммирования в уравнениях (9.171) можно заменить интегриро-
ванием. Находим
1=4-|G| (;(e2+Aa)~'/2p(e)<fe (9.189)
И
(V = 2 \(1— Ё(Ё2 + Д2)”,/2}р(Ё)Л. (9.190)
Здесь р (в) — средняя плотность уровней, N — число частиц
в А-оболочке и [см. соотношение (9.117)] величина
е-е—X (9.191)
энергия, отсчитанная от энергии Ферми X. Обозначим границы
А-оболочки е' и е". Тогда
а = Е — X; Ь = е” — X. (9.192)
Далее предположим, что плотность уровней внутри А-оболочки
постоянна:
р(е) = р; а^е^Ь. (9.193)
Конечно, это очень грубое приближение. Тогда уравнение (9.189)
приобретает вид
Arsh (6/Д)—Arsh (д/Д) = 21], (9.194)
где
П-Р-ЧОГ1- (9.195)
334
Решая уравнение (9.194) относительно Д, находим
Д = (sh 21])-1 (7?2 + a2—2ab cl 12т))1 /2. (9.196)
Теперь из уравнения (9.190) предстоит определить энергию Ферми.
Учитывая, что в рамках сделанных приближений
Q = p(e"—е') (9.197)
— полное число парных состояний для Л-оболочки, можно опре-
делить фактор заполнения
ХЛ = 1—7VQ’1. (9.198)
После утомительного, но простого вычисления интеграла, содер-
жащегося в уравнении (9.190), находим
л = -~(е"-|-е')-—-(«"—ez)XiVcth ip (9.199)
При получении этого результата было также использовано выра-
жение (9.196). Подставляя (9.192) и (9.199) в (9.196), окончательно
имеем
Д = (е'—е') (1 - хЬ)1 '2 (sh ч)->. (9.200)
Предположим, что взаимодействие слабо, т. е. p|G{<^ 1 или i] 1.
Тогда находим
Д«ехр(—p-HGI-1). (9.201)
Нужно помнить, что это уравнение было получено при условии
2Д или
Др>1. (9.202)
Таким образом, из (9.201) следует, что для нахождения щели нель-
зя пользоваться теорией возмущений (разложение по степеням
IG |). В самом деле, используя соотношения (9.197), (9.198) и
(9.200), выражение (9.202) можно записать в следующем виде:
~ (sh i;)-1 Vn(2P.~N)>1. (9.203)
Оно всегда выполняется при малых »], т. е. при больших | G\ или
большой плотности р. Именно для таких случаев теория возмуще-
ний не применима. При i] > 1, т. е. при малых | G[ или тмалых
р, неравенство (9.203) выполняется только в том случае, когда
имеется так много частиц, что величина TV (2Q — М велика.
335
9.8.1. Энергия основного состояния
Энергия основного состояния (вакуума) определяется как сред-
нее значение по вакуумному состоянию от величины 0 — kN,
приведенной в (9.165) и (9.146). Запишем ее в виде
U = <БКШ | U—kN | БКШ> ----
= 2 (t№ + -~V^)2vl~^&hukvh. (9.204)
k>0 ' k>0
Здесь использовано выражение (9.156) и упрощающие предположе-
ния о спаривательиом взаимодействии и об одночастичных состоя-
ниях, (см. конец § 9.6). Подставляя uh и vk из выражений (9.163),
получаем полную энергию Л-оболочки
ь
и а = jj {1 - е(е2 + А2)-1 /2} е pde—G-1 А2. (9.205)
Теперь нужно иметь в виду, что величина £7, определяемая в (9.204)’
соответствует энергии основного состояния вспомогательного га"
мильтониана И' [см. выражение (9.145)]. Нам требуется, однако,
энергия основного состояния гамильтониана Н = Н" + ЛД/ [см.
выражение (9.144)]. Очевидно, она дается формулой
Мд + AJV = -^-(e' -|-e")N----(е"—е') (1 —xfr)cthi]. (9.206)
Здесь были использованы выражения (9.199) и (9.205). Для запол-
ненных оболочек (N — 2Q) из-за множителя (1 — %д) последнее
слагаемое выражения (9.206) обращается в нуль. Другая величи-
на, представляющая интерес, — это вклад спаривательного взаи-
модействия в полную энергию основного состояния вспомогатель-
ного гамильтониана Н'. Используя (9.189) и (9.205), находим
ъ________ ь _
и А = \ {1 —е (е2 + А2)”'/2} peds-ь A2 J (е2 + А2)-1 /2 pde. (9.207)
Это выражение следует сравнить с энергией £7д Л-оболочки,
заполненной до границы Ферми в случае | G | = А = 0. Имеем
о___
Gl = 2^pede. (9.208)
Множитель 2 возникает вследствие того, что величина р опреде-
ляет плотность состояний с k > 0. Однако в случае, когда спари-
вательные силы отсутствуют, нужно учесть и состояния с k <Z 0,
336
которых столько же, сколько и с k > 0. Вклад парных корреля-
ций в полную энергию дается соотношением
Евлрв = иА-и°А. (9.209)
Для наполовину заполненной оболочки (N = Й) имеем
Х = -|-(е'+е"); b=— а. (9.210)
Следовательно, при условии ДЬ-1 1 получаем
j-pA2- (9.211)
Так как в ядре имеются два типа нуклонов, вклад которых прибли-
зительно одинаков, окончательно находим
(^парн)сумм (^'парн)прот “Ь (^-парн)нейтр « (9.212)
Предполагая для типичной энергетической хцели значение Д
яй 0,54-0,8 Мэв, а для среднего расстояния между уровнями зна-
чение р”1 т 0,24-0,3 Мэв, получаем оценку полного вклада в энер-
гию парных корреляций
(ЯпарЛумм «-(0,8 4- 2) Мэв. (9.213)
Таким образом, суммарная энергия спаривания ядра ничтожно
мала по сравнению с полной энергией Связи (для А т 100 около
800 Мэв).
9.8.2, Флуктуация числа частиц
Как мы видели, состояния БКШ не имеют определенного числа
частиц 7V; вместо этого имеется распределение по числам частиц.
Однако условие (9.110) позволяет фиксировать среднее число час-
тиц. Рассмотрим теперь важный вопрос о ширине распределения
по числам частиц. Мерой ширины для основного состояния БКШ
служит среднеквадратичное отклонение числа частиц [см. выра-
жение (9.111)]
(АЛ)2 = <&а>-<Л>2 = 4 2>1^ = 2 АЦЗ + д!)-1. (9.214а)
*>0 &>0
С помощью приближений и методики, использованных выше,
находим
(ДА/)2 — рД {arctg (bl Д)—arctg (а/ Д)}. (9.2146)
В пределах малых J G | или р, т. е* ц > 1, с помощью выражения
-(9.201) для щели получаем
(Д/V)2 ж лрД. (9.215)
337
В сильно деформированных ядрах, для которых реализуется по-
следнее приближение, можно подставить величины, приведенные
при оценке (9.213). Находим т] « 4-е-5 и, следовательно, средне-
квадратичное отклонение ДЛ/л?|<?р/2. Так как в Л-оболочке
имеется приближенно от 20 до 30 частиц (N« 20 4- 30),
то получаем AN 1/74-1/100. Такое распределение по чис-
лам частиц вполне удовлетворительно для данной теории, так как
оиа не предполагает объяснять эффекты с погрешностью, мень-
шей чем 10%.
Исследуем теперь другой предел, а именно т] 1. Используя
соотношения (9.197) и (9.200), получаем следующее выражение
для доминирующих членов:
(ЛЛ')2 «Й arctg (2 /1 — Цк sli ч)- (9.216)
После разложения shq находим
(ДЛО2 «<2(1 —ХМ = 2Л^1 - -Lnq-^. (9.217)
В частности, для наполовину заполненной оболочки имеем
ДА/ Л/02, в то время как для случая только одной пары (N — 2)
имеем ДА/ 2. Типичным примером ядра с наполовину заполнен-
ной оболочкой и q < 1 является 202РЬ. Волновая функция БКШ
для этого идра содержит большую примесь волновых функций
ядер 204РЬ и 200РЬ, а также 206РЬ и 198РЬ. Одиако нужно иметь в виду,
что для всех этих ядер щели Д и энергии Ферми л почти одинаковы.
Поэтому неопределенность числа частиц не так уж плоха, как это
кажется на первый взгляд.
§ 9.9. ПОПРАВКИ К СОСТОЯНИЯМ НЕЗАВИСИМЫХ
КВАЗИЧАСТИЦ
Природу канонических преобразований к квазичастицам (9.133)
можно объяснить следующим образом. Исходные частицы взаи-
модействуют друг с другом посредством когерентной спариватель-
ной силы. В принципе такую ситуацию можно рассматривать
обычным^способом; это приводит к модели независимых частиц.
Одиако*с помощью преобразований к квазичастицам возможно
включить спаривательные эффекты в свойства квазичастиц. Ква-
зичастицы — это новые независимые частицы, содержащие суще-
ственную часть исходного взаимодействия. Тогда парная энергия,
которая была существенной частью частично-частичного взаимо-
действия, определяет внутреннюю структуру квазичастиц.
Для того чтобы квазичастицы были независимы, нам пришлось
пренебречь взаимодействием Явзаим между ними [см. выражение
(9.149)]. Естественно, возникает вопрос: в какой степени такая
338
процедура учитывает парное взаимодействие? Иными словами,
сильно ли гамильтониан Нвз&им изменит полученные результаты?
Мы уже видели один эффект, возникший от пренебрежения
Явзаим: из-за пренебрежения взаимодействием между квазичас-
тицамн число частиц в различных квазнчастичиых состояниях
остается неопределенным. Другими словами, если точно учесть
Явзаим, то число частиц N должно стать сохраняющимся.
Мы видели, что для состояния БКШ пренебрежение //взаим
делает число частиц неопределенным только в пределах 10%.
Причина малости влияния Явзаим на основное состояние заклю-
чается в том, что только член в /?взаим [см. выражение (9.149)1
имеет иеисчезающие матричные элементы, включающие переход в ос-
новное состояние. Члены и Н22 содержат квазичастичные опе-
раторы вида ct+cc+a+a и cz+a+acz; действуя на | 0>БКш» эти опера-
торы дают нулевой результат.
С помощью канонического преобразования (9.133) нетрудно
получить следующее выражение для Я40 (аналогичная процедура
производилась в § 9.6):
Йм = | G| 2 (w* о-*-+ эрм. сопр.). (9.218)
k, k'>0
Связь четырехквазичастичных состояний с основным можно оце-
нить по теории возмущений. Легко находим
]6>вкш=|0>бкш — |С| 2 X
k'>k>0 2
X (ul vb + vl) at atk a-k' 10>вкш- (9.219)
Здесь ] О/бкш обозначает возмущенное основное состояние.
Мы видим, что коэффициенты примеси более сложных конфигура-
ций имеют порядок величины (1/2) Д-11 G |. Сравним эту величину
с (9.179). При N — Й имеем Дмс = (1/2) GQ, или Q = 2ДМС G-1.
Отсюда ясно, что целесообразно найти величину
£2аф = 2 Д6“1 = V (1 + ej А-2) -1 /z, (9.220)
й>0
определяющую точность расчета БКШ. Она имеет порядок Q,
т. е. числа состояний в Л-оболочке. Подробные численные расчеты
приводят к значениям Йаф = 5^-10 [4041; таким образом, полу-
чается та же точность, что н ожидается из оценки неопределенности
числа частиц. Приближение, состоящее в пренебрежении членами
порядка Пэф2, является основным приближением в расчетах по
теории парных корреляций.
Кратко обсудим вопрос о точности нахождения основных сос-
тояний нечетных ядер в рамках рассматриваемого подхода; эта
339
точность определяется главным образом частью //S1 гамильтониана
#взйиы. Тем же способом, что и выше, находим
#3i = IGI 2 (4k—vl) uh - vk-at atk (at- ak’ + atk- «-*•)+ эрм. conp.
k, k'>0
(9.221)
Это взаимодействие смешивает трехквазичастичные состояния с од-
ноквазичастичным основным состоянием. Конечно, член Н40 мо-
жет примешивать пятиквазичасгичные состояния. Оценки сдвига
энергии основного состояния вследствие этих взаимодействий дает
типичный порядок величины [361 Д£31 < (1'4) G, т. е. ~ 10—
30 кэв.
Наконец, нужно рассмотреть эффект члена в квазичастич-
ном взаимодействии. Запишем /722 в виде
#22 = “ Iс I 2 -т- VI Vk-) О& a±fe CC-ft' ctk- 4-
k, k'>0
-r 4hvh ukrVh- (Cik at- ak' ah a+k atk- а_к- a_h
+ 2a£ cc±fc а-л «*•)]- (9.222)
Таким образом, он приводит к взаимодействию между многоква-
зичастичными состояниями. Это могло бы привести к эффекту
понижения энергии таких состояний до значений ниже энергети-
ческой щели. Следовательно, сама энергетическая щель теряла
бы смысл и обращалась в нуль. Для исследования данного вопроса
диагонализуем Н22 в подпространстве двухквазичастичных сос-
тояний [36]:
)k — ai*|0>EKin- (9.223)
Единственные отличные от нуля матричные элементы имеют вид
<— fefe|/?22|^—/г>=—|б|;
< — k' k' | H^\k—k>= — \G\(ulul' -i-vlvk')^
=----i-|Gj(l +ehe.h-Eb'Ev') для k’=£k. (9.224)
Очевидно, диагональные матричные элементы малы, а именно по-
рядка | G | « 20 Л-1 Мэв ж 100 300 кэв. Так как фактор 1 +
+ EfcEfe'EVE*’1 имеет порядок единицы, то и большинство недиаго-
нальных матричных элементов имеет тот же порядок величины.
Итак, создается впечатление, что большое число недиагональиых
матричных элементов могло бы сдвинуть ряд состояний внутрь
энергетической щели и, таким образом, сделать само существова-
ние щели сомнительным.
Довольно неожиданное решение этой проблемы связано с неоп-
ределенным числом частиц в собственных векторах состояний, при-
340
водящих к так называемым духовым состояниям. Чтобы обсужде-
ние было по возможности хорошо понятно, рассмотрим модель
синьорити. В этом случае величины uh и vh даются выражениями
(9.112). Подставляя их в (9.224), получаем одинаковые недиаго-
нальные матричные элементы
< —/i'fc'l Нг.|*—*>мс=-{1—-----------7Ж>~')} l°ls
= —х|С|. (9.225)
Видно, что параметр х изменяется от 1/2 до 1. Таким образом,
в двухквазичастичном пространстве (9.223) находим следующее
матричное представление Я22:
/1 X X ... \
Й“2С--|б|1* ’ 1 I (9.226)
Для пока еще неизвестных диагональных состояний
= (9-227)
ft>0
получаем секулярную матрицу
2 Г ~1 G | + х) =ECk„k. (9.228)
k-
Она такая же, что и в уравнении (7.20) схематической модели
Брауна — Болстерлн. Решение данной задачи полностью анало-
гично решению (7.20). Находим, что определенная двухквазича-
стичная конфигурация
] — 2 a—k 10>вкш —АД 0)бкш » (9.229)
fe>0
где N — оператор реального числа частиц, сдвигается вниз по
энергии на
ДЕ = — | G | (1 + хП—х). (9.230).
Отметим, что состояние (9.229) совершенно аналогично коллектив
ному дипольному состоянию (7.266). Его можно назвать коллек-
тивным состоянием числа частиц; по аналогии с дипольным состоя-
нием здесь требуется максимальная «интенсивность числа частиц».
Иными словами, в этом состоянии отклонение реального числа ча-
стиц от значения N максимально. Таким образом, оно является
духовым вследствие несохранения числа частиц в квазичастичиом
формализме и должно быть исключено. Рассматриваемая ситуа-
ция аналогична появлению духовых состояний движения центра
311
масс, обсуждавшихся в гл. 7. Итак, мы видим, что после диагона-
лизации //22 только духовое состояние опускается ниже энерге-
тической щели. Так как это состояние исключается, то можно сде-
лать вывод, что частично-частичное взаимодействие квазичастиц не
влияет иа энергетическую щель.
Интересно отметить, что квазичастичное взаимодействие 77В8аим
можно также рассмотреть в приближении хаотических фаз [316]
(см. § 6.3). В этом случае вследствие самосогласованного опре-
деления все духовые состояния автоматически имеют энергию воз-
буждения, равную нулю.
Часть материала, рассмотренного в этой главе, можно найти в
книге Баумгартнера и Шука [36]. Модель квазиспина доступно
изложена в оригинальной статье Кермана [299].
Рассмотрение этой модели, содержащее новые модификации,
можно найти в работе Ичимуры [280]. Полный обзор сверхтекучей
модели с обзором различных оригинальных работ содержится в кни-
ге Лейна [322]. Обзорная статья В. Г. Соловьева [484] посвящена
учету взаимодействия квазичастиц и связи теории с опытом. Ста-
тьи Натана и Нильссона [395] и Беса и Соренсена [52] дают хоро-
шее представление о физике, содержащейся в сверхтекучей модели
ядра, и результатах, получаемых с помощью этой модели*.
См. также монографию В. Г. Соловьева. Структура сложных ядер. М.,
«Наука», 1971. — Прим, перге.
Глава 10. КОЛЛЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ЯДРАХ
Спектры тяжелых ядер содержат большое число уровней с энер-
гиями, квадрупольнымн моментами и вероятностями у-переходов,
которые можно объяснить только в предположении когерентного
возбуждения большого числа нуклонов. Грубые черты таких воз-
буждений воспроизводят феноменологические коллективные моде-
ли (например, модель вибратора и т. п.), рассмотренные в т. 1.
Одиако основной недостаток таких моделей состоит в том, что ос-
новные ядерные характеристики, т. е. энергии колебательных
состояний, моменты инерции (или вообще инерциальные парамет-
ры) и деформации ядер рассматриваются как параметры, которые
нужно брать из эксперимента.
Для определения ядерного коллективного движения были раз-
виты различные подходы, основанные иа микроскопических моделях
(например, сверхтекучей модели). Прежде всего эти подходы на-
правлены на вычисление параметров, содержащихся в коллективном
гамильтониане (т. е. инерциальных параметров и параметров, оп-
ределяющих коллективную потенциальную энергию.) Мы пред-
полагаем рассмотреть такие модели, как модель спаривательного
и квадрупольного взаимодействий, модель принудительного вра-
щения, проекционные метода и т. д. Однако ударение будет делать-
ся на степень применимости расчетов потенциальной энергии и
инерциальных параметров. В частности, особое внимание бу-
дет уделено перенормировочной процедуре, предложенной Стру-
тинским [490] и позволяющей сравнительно просто рассчитывать
потенциальную энергию.
Один из наиболее исследованных н наиболее успешных подходов
к данной проблеме — это модель спаривательного и квадрупольного
взаимодействий. Из рассуждений предыдущей главы ясно, что спа-
ривательное взаимодействие играет важную роль в процессе дефор-
мации ядра, так как для пар, связанных в суммарный угловой мо-
мент I — 0, выгодна сферическая симметрия. Можно сказать, что
спаривание является механизмом, который противодействует де-
формации. Это можно понять также следующим образом: разло-
жим двухчастичное взаимодействие v (гц) по сферическим гармони-
кам
G)PA(cos0o). (10.1)
343
Здесь nj = ]Tt— Г; | н — угол между координатами гг и г,-.
В этой сумме члены с большими k соответствуют короткодействую-
щему взаимодействию; следовательно, они соответствуют спарива-
тельному взаимодействию. Напротив, члены с малыми k представ-
ляют собой длиннодействующие компоненты нуклон-нуклонного
взаимодействия. Сказанное выше можно пояснить с помощью сле-
дующих рассуждений: если орбиты частиц I и / ограничены по из-
менению радиальной переменной, то можно пренебречь радиальной
зависимостью членов в выражении (10.1). На рис. 10.1 показана за-
висимость полиномов Ph (cosOy) от ftij. Видно, что они существен-
но отличны от нуля в интервале 0 k-1. /Следовательно,
Рис. 10.1. Зависимость полинома Лежандра
(б). R — радиус объема, в котором две
большинство времени.
Pk (COS (с) ОТ
частицы проводят
частицы t и j будут взаимодействовать посредством члена
fhPh. (cos Ow) в (10.1), только если ri7- < Rk"1 (см. рис. 10.1).
Таким образом, можно утверждать, что взаимодействие окажет-
ся короткодействующим, если доминируют компоненты с большим
k, и дли и недействующим, если великн компоненты с малыми k.
Так как фиксированная частица «чувствует» в основном длиннодей-
ствующие компоненты взаимодействия со своими многочисленными
соседями, то отсюда вытекает, что средний ядерный потенциал об-
разуется длиннодействующей частью снл. Короткодействующая
часть сил будет существенна только для взаимодействия с относи-
тельно небольшим числом нуклонов, находящихся рядом с данным
нуклоном. Это означает, что член с k = 0 в выражении (10.1) вно-
сит основной вклад в сферическую часть потенциала, в то время
как член с k = 2 определяет квадрупольно деформированную часть
среднего потенциала и т. д. Член с k ~ 1, как правило, следует
исключить, так как он приводит к движению центра масс
(см. рис. 2.3 т. 1).
При детальном рассмотрении низколежащих коллективных
спектров в т. 1 мы видели, что наиболее часто онн носят квадру-
344
польный нли октупольный характер. Поэтому естественно ограни-
читься сначала только квадрупольным членом выражения (10.1).
Запишем его в вяде
«Ц =ft (П, О) ₽2 (COS = ft (П. Г))У (— 1 )" r2m (0;, <f>;) Fs_„ (fy, <p,)-
(Ю.2)
Здесь <pf н 07-, ipj—полярные углы векторов гг н rf соответствен-
но. Упростим задачу, введя следующее предположение: фактори-
зуем функцию f2 (rf, п), выбрав f2 (п» О) ~ rtrl (отметим, что такой
выбор специален!). Тогда мы приходим к стандартному квадру-
польному взаимодействию нуклонов в виде
Hq= У о?/=—к 2 2(—i)B?»(*)?-»0)> (ю з)
*>/ *>/в
где
= (10.4)
представляют собой одиочастичные квадрупольные операторы [см.
соотношение (1.1) т. 1 и обсуждение в § 8.1 н 8.2 настоящего тома].
Здесь х — параметр квадрупольного взаимодействия.
Ясно, что если все нуклоны, кроме последнего, образуют дефор-
мированный остов, то суммарное взаимодействие последнего нук-
лона с остовом имеет вид
# взапм = — *2 (— 1)” <остов I (остову2 У2т (0, <р). (10.5)
Это выражение имеет ту же структуру, что и член выражения (9.11)
т. 1, соответствующий деформированной оболочечной модели.
В частном случае аксиальной симметрии это выражение аналогич-
но формуле (9.61) т. 1. Рассматриваемое взаимодействие может про-
изводить только квадрупольные коллективные эффекты. Таким об-
разом, например, оно не может описать октупольиые колебания;
последние связаны с октупольным взаимодействием, которое можно
определить аналогично.
Влияние квадрупольных сил на недеформированные ядра ока-
зывается более сложным. Квадрупольные силы уменьшают стабиль-
ность сферических ядер, понижают энергию квадрупольного ко-
лебательного состояния, увеличивают его коллективность, уси-
ливают переходы между колебательными состояниями до степени,
соответствующей когерентному движению многих частиц. Рассмот-
рим соотношение спаривательного и квадрупольного взаимодействий
на примере модели квазиспина. Это поможет качественно понять
общее поведение коллективной потенциальной энергии, несмотря
на схематизм модели. Преимущество такой модели состоит в простом
аналитическом решении задачи.
345
§ 10.1. КОЛЛЕКТИВНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
В МОДЕЛИ КВАЗИСПИНА
Для изучения соотношения сил синьорити и квадрупольных сил
при описании коллективных свойств ядер было бы очень интересно
получить точное решение проблемы с соответствующим гамильто-
нианом. Однако в настоящее время такого решения не существует.
Поэтому необходимо получить коллективные свойства прежде
всего в предположении, что такие свойства существуют. Можно
ввести коллективные координаты ct21l такого же типа, что рассмат-
ривались в гл. 2 т. 1. С точностью до членов второго порядка они
по существу тождественны полным квадрупольный моментам ядра
(см. выражение (3.56) т. 11. Еще удобнее рассматривать сами пол-
ные квадрупольиые моменты как коллективные координаты. Если
полные моменты велики в сравнении с одиочастичиымн квадруполь-
ными моментами и если они колеблются медление в сравнении
с одночастичными частотами, то на соответствующем этапе выкладок
можно заменить оператор -- (/) его средним значением.
Для одного типа нуклонов на одной /-оболочке, взаимодействую-
щих посредством спаривательных и квадрупольных сил, гамиль-
тониан синьорити (9.75) обобщается с учетом Hq (см. выражение
(10.3)]. Имеем
H=.HS—(10.6)
р
Здесь введены операторы полного квадрупольного момента (9.62).
Отметим, что выражение (10.6) по сравнению с (10.3) содержит
дополнительный множитель 1/2. Следуя Керману 1299], заменим
гамильтониан (10.6) средним гамильтонианом, который можно
назвать гамильтонианом синьорити в «деформированной яме»
= (10.7)
1*
Это модельный гамильтониан, решения которого зависят от коллек-
тивных параметров ам, введенных в микроскопическую картину.
Тензор «2ц- < ссм идентичен тензору, характеризующему поверх-
ность ядра; он детально рассматривался в т. 1 (см. гл. 1—7). Кон-
станта g вводится, чтобы сделать ctц безразмернымиимеет размер-
ность квадрупольного момента. Ее можно идентифицировать с мно-
жителем 3Z/?g/(4n) в выражении (3.57) т. 1. Из свойств этих тен-
зоров по отношению к вращениям ясно, что выражение (10.7) мож-
но преобразовать к внутренней системе координат. При этом вид
выражения сохранится, но ам -> и -> (% [см. соотношение
(2.2) и (3.58) т. 1]. Как упоминалось раньше, величины одно-
значно связаны со средними квадрупольными моментами Qu. В са-
мом деле, ар, и можно рассматривать в качестве коллективных
346
координат. В дальнейшем будет использоваться как первый, так и
второй выбор коллективных координат.
Предположим, что модельный гамильтониан HDs диагонали-
зован, так что
tics (а„) | Х„ (ац)> = е„ (а„) | х„ (ам)> (10.8)
Здесь явно указана зависимость собственных волновых функций
I Хп> и энергий еп от параметров ам. Собственные значения еп (ctj
являются скалярными функциями ац, т. е. инвариантами по отно-
шению к вращению (энергии не могут зависеть от ориентации ядер-
иого эллипсоида в пространстне). Обозначим волновые функции
основного состояния уравнения (10.8) символом Хо (ац)- Далее оп-
ределим средние квадрупольиые моменты
Qu ==• \Хо (ам) I Qu | Хо (аи)/ (10.9)
Это выражение определяет связь между средними квадрупольными
моментами QR и коллективными координатами поверхности ссц.
Оно аналогично более феноменологическому выражению (3.58)
т. 1. Так как гамильтониан Hds линеен по и так как
<Х (“) I — xgQitI X («)> = <7. («)| [ Wosl |<f (х>2 =
= <Х (а) | , HDs — HDs ~ I% (а) V ’ <Х I Х> = .
\ | да* да* | / да* да*
то получаем
*gQ»- (ю.ю)
да*
Здесь е (а) zzz е0 (а) — энергия основного состояния, определяе-
мая из уравнения (10.8), Как отмечалось выше, е (а) является инва-
риантной функцией av. Поэтому в собственной системе координат
имеем
q'=—!—_(io.li)
xg da* Kg ~ да* да*
Из уравнения (2.2) т. 1 находим
^?и j) av
и, следовательно,
Q^D^(^Qv, (10.12)
что и следовало ожидать из трансформационных свойств квадру-
польного оператора. Состояния в (10.8) можно рассматривать как
пробные состояния для реального гамильтониана И [см. выраже-
347
иие (10.6)1. Вычислим теперь среднее значение Hs по основному
состоянию. В случае сил синьорити получаем
Es(«) = <Хо I Ms | Хо> = <Хо I Mns -I- *g 2 «5 С’ц I Хо> =
И
= е («,-) - ! -Kg у, a' Q„ = е (а») — У а,’ ~ . (10.13)
11 II (f'-U
Здесь использовалось уравнение (10.10). Итак, мы получили Es (а)
как функцию переменных ссй. Для того чтобы определить Es как
функцию нужно решить уравнение (10.9) и найти осм (Q). Под-
ставляя это в последнее соотношение, приходим к требуемому ре-
зультату.
В дальнейшем нам потребуются производные Es по Qfl. Непо-
средственно дифференцируя первую часть соотношения (10.13),
получаем
QES yi де да* v да* - *
а?м V BQ ~ dQ
= У ( —xg-Qv) --'-Г У Qv + xga*=-xga*. (10.14)
V Л?„ “ \ )
Здесь также использовалось соотношение (10.10).
Обратимся теперь к расчету полной энергии Н [см. выражение
(10.6)]:
QJZo). (10.15)
Так как средние значения квадрупольиых моментов велики, а не-
диагональные матричные элементы (флуктуации) малы, то прибли-
женно имеем
<Zo|Cu QulZn> «<Хо1<2^ IXoKXolQi. IZo) (10.16)
и, следовательно,
E(Q) = ES(Q)—
2 ц
(10-17)
Таким образом, полная энергия системы выражена через средние
квадрупольные моменты. Можно также взять величины а}, в ка-
честве коллективных переменных; тогда находим
2 де (а) 1 де де , л , о.
Опять-таки здесь использовалось соотношение (10.10). Выражения
(10.17) и (10.18) определяют коллективную потенциальную энер-
348
гию; первая — через Qu, а вторая — через аи. Экстремумы этой
функции находятся из условия (в качестве коллективных перемен-
ных взяты величины
дЕ дЕе _ _
-=- = ~=~-*(& = -z(g<-<?;)= 0. (10.19»
б(?,. '41
Здесь было использовано выражение (10.14). Следовательно, в ста-
ционарных точках энергии имеем
QS = gaJ. (W.20)
Из этого уравнения находятся либо В равновесной точке па-
раметры энергии gap равны квадрупольным моментам. Это и есть
условия равновесия.
10.1.1. Точный расчет коллективной
потенциальной энергии
В этом разделе будет выполняться программа, сформулированная
выше. Мы вычислим коллективную потенциальную энергию для
системы N частиц на одном j-уровне; впервые это было сделано Кер-
маном [299] и затем обобщено Грайнером [243]. Согласно (10.18),
прежде всего нужно определить е (a,t). Как мы видели н гл. 4 т. 1,
схематическая потенциальная энергия [см. выражение (4.25) т. 1]
Г(сЛ’) = ± , §С2 [а[2] х а[2]][°]Ч С, [[сЛ1 >: а[2])[2] х а[2]][°] +
+ Q [а[2] X a[2I][01 [а[2] X а[2’][ч4 - (10.21)
одновременно может описывать сферические вибраторы, ангармо-
нические вибраторы, переходные ядра и сильно деформированные
ядра. Все зависит от конкретных значений параметров жесткости
С«, С4 (для заданного числа нуклонов 7V) в выражении (10.21).
Таким образом, данная модель наиболее адекватна для описания
ядерных свойств. В рамках подхода квазиспина требуется вычислить
параметры жесткости.
Из выражения (10.18) ясно, что нужно определить г (ам) вплоть
до члена четвертого порядка по а. Вследствие вращательной инва-
риантности величина е (аи) должна иметь следующую форму:
е(аи) = е(0)---’-С^а^а» ЬD 2 (2 2 У
и О n,v,X \|* V К)
+ — ... (10.22)
4 1*. V
Итак, уже определена общая структура. Согласно нашей програм-
ме, следующий этап состоит в расчете параметров С, Dt F и их зави-
симости от числа частиц N. Из-за вращательной инвариантности мож-
349
но определить коэффициенты С, D, F вдоль оси а0 плоскости а0а2
(см. гл. 4 т. 1). Вспоминая, что величина е (а) является энергией
основного состояния гамильтониана Hds (10.7), рассмотрим сла-
гаемое
Г/Воя,= — xga„Q0 (10-23)
как возмущение гамильтониана синьорити FIs- Ясно, что можно ог-
раничиться расчетом величины в (а0, а2 = 0), где ас — одна из двух
внутренних координат. С помощью квазиспинового формализма
с точностью до членов четвертого порядка включительно получаем
, )S I <SS0 | Q„ | S— !Stl> [2 <S-1S. I Qq| 5-13,,/
' [£(S-1)-£(S)P
,p |!<s&.iQols-is„>I2Г |<s-is„|Qc|s-is0>|2 .
1-b ol j E(S—1) — E(S) I [£(5-1)—£|S)|3
<5 — 1501 Qo | 5—25O> [2
' [E (S-2)-E (S)[ [£ (5- [) —£(5)J
|<5S„|Qj5-l5„;|2 । (
(£(S-1)-E(S)P JI’ '
Здесь произведено обычное суммирование по промежуточным сос-
тояниям, характерное для теории возмущений в высших порядках.
Используя результаты § 9.4 (в частности, соотношения (9.90)—
(9.100)1, можно вычислить матричные элементы квадрупольного
оператора между различными квазиспииовыми состояниями. С по-
мощью соотношения (9.83) легко определить энергетические зна-
менатели. Для коэффициентов С, D и F в выражении (10.22) полу-
чаем следующие выражения:
С= Дс(/')9"- -V(2Q-,V) (10.25)
G ’ 2(20—2) '
где
7)С(/) = 2Й"-Г(2/—1); (10.26)
01/31 = -<igg-Лр(у)y(2Q-.V)jV-£
|/ 35 G2 2(20 — 2) 2 — 0 '
Здесь принято обозначение
A,, (j) = 15] '5<2 2 (2/ 1) (2/ —1)3/2 i2 J } (2221 ООО). (10.28)
350
Наконец, величина F имеет вид
G3 4,4 2(20—2) [
AF(jy — -5Q-‘(2j 1)(2/—I)2;
^.(/) = 5(2/ + l)^, ' 'p (2221 ООО)2;
Af, (у) =------ (2/ + 1 )-> + — p (/)
5 \ j . f 2 V/ 6(2Q_6)
JV(2Q—Л?)~|
2(20-2) j’
(10-29)
(10.30)
Здесь f (j) — шестичастичный матричный элемент, явный вид ко-
торого ие очень существен в данном рассмотрении. Используя
(10.22) и (10.25)—(10.30), из выражения (10.18) легко получаем
коллективную потенциальную энергию в переменных <хц:
Е (“) =Е (т “) - (т °) 2 < “* +
+ ( — D--Пай V [2 2 2'}allava>,+
\ 3 xg= V л,1 11
+ [--^F~2^^D2~2^)] 2«и (1031)
Здесь использовалось также соотношение
У, (2 2 3 (— 1)“ ( 2 Мкгаг.ач'-Щ.' = ^-У«*а|Л<х;а,,.
(10.32)
Сравнивая выражение для энергии е (а) и соотношение (10.21),
находим явные формы коэффициентов С2, С3 и С4 в зависимости
от N. Именно
= —С-----—CD ;
L 3 J
— Г---— ( —D2—2FC11.
4 2xgQ \ 35 Л
(10.33)
Таким образом, мы полностью определили коллективную потен-
циальную энергию как функцию координат сс^. Если требуется най-
351
та потенциальную энергию как функцию средних квадрупольных
моментов Qp, то сначала нужно решить уравнение (10.10) относи-
тельно ссц. Используя выражение (10.22), находим
+ES«v«v^p- (10.34)
Решая это уравнение методом итераций относительно сси, получаем
с точностью до членов третьего порядка по
а<о)=_^_^. (10.35а)
+ ~ (xe)!Q..lQvQv]. (10-356)
Подставляя (10.35) в (10.31), окончательно находим
e(Qu) = V(Q|l) = ^Cz2tt<21* + C, Z Г 2 +
2 ц ц, V, Ц|1 v /
+С43 Q'vQrQi.Q^- - (10.36)
V, ц
Это та же самая величина, что п в уравнении (10.31), но выражен-
ная через другие коллективные переменные—средние квадру-
вольные моменты. Такое выражение целесообразно, когда вычис-
ляют вероятности переходов. Коль скоро энергия определяется ве-
личинами Qy., то эти величины можно рассматривать как коллектив-
ные квадрупольные операторы. Если же теория формулируется
через коллективные переменные ац [см. выражение (10.31)1, то
квадрупольный оператор находится из сложного уравнения (10.34),
аналогичного (но не полностью совпадающего) соотношению
(3.58) т. 1. _
Коэффициенты С2, Сэ и С4 имеют следующий вид:
С -O'-ILY/J-C_____1 2(2Q-2)_ 1____<].
2 \С / \ 2^ 2х^2 / ч х?2 N(2Q-N)AC(!) Г
352
Ct=(-2sy[/_Lc-----— C2') i — — T-—']-r
( C I I I 2 2xg2 Д 35 C2 C I
-I- — — i----L) -I—— CD] 4-('---F--— f—D-—2FcUl =
35 С к 3 xgs к 4 2хяЦз5 //J
— * Г c 2* (20—2)* (Л'—Q)a / I ЛьО) , 1 AF(i)AFi(,i)\ ,
“ 72 | x?2 № (2Й--Л')» (2—0)2 ( 2 x'(/) • 4 4«(/) I +
,__G 22 (20-2)2 -4F(j)
*?2 № (20—.V)2 4.4c(j) V
(10.39)
Тем самым определяется явная зависимость от числа частиц N.
Хотя даже эти выражения довольно сложны, зависимость от Лг
относительно проста. .
Используя методы теории сверхпроводимости, развитые в гл. 9,
С. Т. Беляев [41] решил эту задачу для всех значений а0. Его ре-
зультат сводится к нахождению приближенного выражения для
Е (aG)\ таким образом, фигурирующая у Беляева величина N есть
среднее число частиц, в то время как в данном рассмотрении вели-
чина /V — точное число частиц. Однако интересно отметить, что если
найденную Беляевым энергию разложить в ряд по степеням
то, за исключением различной интерпретации N, получается в точ-
ности первый член соотношения (10.36).
Для обсуждения результатов требуется также знать массовый
параметр В2 коллективной модели [см. выражение (3.8) т. 1]. Его
можно вычислить с помощью модели принудительного вращения
(см. § 10.2). Ответ, выраженный через переменные ац, имеет вид
Во ----- 2 (hv.g)2 !'$>>£, . (10.40)
' [Е (S')—E(S)13 ' ’
Непосредственное вычисление, аналогичное проведенному выше,
приводит к формуле
в = wf M(2Q—N) 710 41)
2 (GQ)8 G \ '
Если используются коллективные координаты, то эта величина
является инерциальным параметром. В терминах с точностью
до членов первого порядка имеем
= — «М = — .Л(иг~Л> аи. (10.42)
и Kg G 2(2Й—2) и '
Здесь бьию использовано соотношение (10.35).
12 Зак. 532 353
Окончательное выражение для коллективной энергии может быть
записано в виде
E’iQ. l'(Q).
где
____е_
‘ (W Х?2 Лфй-.V)'
(10.43)
(10.44)
Теперь можно рассмотреть коллективные потенциалы, включающие
динамические эффекты для конфигурации /Л. Большое преимущество
этих простых схематических расчетов состоит в том, что мы получа-
ем явную зависимость параметров жесткости и инерциальных пара-
метров от числа частиц Л7. Это позволяет проследить переход
от сферической к деформированной формам и обратно, когда число
частиц последовательно возрастет и наконец достигнет максималь-
ного значения (полное заполнение /-оболочки).
10.1.2. Свойства коллективной потенциальной и
кинетической энергий
Ясно, что кинетическая энергия коллективного гамильтониана
(10.43) — член только паинизшего порядка более общего выраже-
ния, рассмотренного в т. 1 [см., в частности, выражения (3.8),
(6.-35) и (6.36) т. 1]. В действительности в следующем разделе мы
увидим, что с помощью модели принудительного вращения непо-
средственно получаются также члены более высоких порядков в ки-
нетической энергии. Следует отметить, что два выражения для мо-
мента инерции [см. выражения (10.41) и (10.44)1 соответственно
в а- и Q-схеме совершенно по-разному зависят от числа частиц N.
В то время как первое выражение стремится к нулю, когда оболоч-
ки пусты или полностью заполнены частицами, второе выражение
стремится к бесконечности. С математической точки зрения это про-
исходит потому, что соотношение между координатами а и Q [см.
уравнения (10.35) и (10.25)1 становится неопределенным при N = 0
и N — 2Q. Физически это означает, что для того, чтобы обеспечить
конечность коллективных квадрупольных моментов в пустых или
заполненных оболочках, амплитуды ац должны стать очень больши-
ми (параметр инерции В2 обращается в нуль). Конечно, это просто
означает, что для случая пустых или заполненных оболочек исчезают
коллективные эффекты. Тем не менее интересно заметить, что если
ограничиться гармоническим приближением, т. е. учитывать толь-
ко квадратичный член по Q выражения (10.36) и аналогично только
квадратичный член по а уравнения (10.31), то частоты колебаний
гармонических осцилляторов получаются в следующей форме:
Лю2=й1 С2/В2 = Й«2 = Л V GQ 1 / 1
’(10.45)
354
При этом использовались соответственно выражения (10.44) и
(10.41). Таким образом, частоты, а следовательно, и все остальные
физические величины (например, вероятности переходов и т. д.),
вычисленные в схемах а и Q, равны друг другу. Это происходит так
потому, что координаты а и Q описывают одну и ту же систему.
Из соотношения (10.45) для случая N -= 0 и N — 2Q видно, что
колебательные частоты максимальны; таким образом, ядра с обо-
лочками, близкими к заполненным, должны быть очень жесткими.
Это согласуется с экспериментальными данными. При увеличении
числа частиц энергия уменьшается от GQ до нуля; нулевое значение
достигается, когда
A (2S-Л ) _ С
й *
Конечно, это простое колебание теряет физический смысл еще
где-то до критического значения, так как кубический и более высо-
кие члены в коллективном потенциале становятся столь же сущест-
венны, как и С2. Это можно увидеть также следующим образом:
применяя теорию возмущений к уравнению (10.23), определим вол-
новую функцию |хо> модельного гамильтониана (10.8)
| х„> = 1 Л-GS„\-0 | у . (10.46)
Коэффициент смешивания а дается выражением
о-. — 1/ —------------ (10.47)
I 2?г Л'(20-4
пли
a2 -GQ 4йсо2. (10.48)
Последнее соотношение вытекает из уравнения (10.45) и из того фак-
та, что среднеквадратичное значение Q имеет вид
Q2 — — —<?2;V(2Q—JV) Г1 — 2ЛЧ2Й-4 1-1/2
2 /В. С. 2 ' I 2С О ] '
Из выражения (10.48) видно, что а2 <_ 1, если
A<»s>-i-GQ.
или, согласно соотношению (10.45),
Следовательно, выражение (10.45) для частоты теряет силу, когда
величина
xgg A(2Q—Л)
G й
12»
355
приближается к единице; в этом случае нарушается теория возму-
щений. В действительности это указывает на тот факт, что не может
быть очень много систем, в которых коллективное движение пред-
ставляет собой гармоническое квадрупольное колебание около ну-
левой энергии. Если условие (10.50) нарушается, то становятся весь-
ма существенными ангармонические эффекты. Тогда требуется при-
менение теории возмущений более высоких порядков. Однако члены
третьего и четвертого порядков по а |( в уравнении (10.31) вычисля-
ются точно таким же способом, что и выше. Рассмотрим эти члены.
Потенциальную энергию (10.36) можно лучше и легче интерпре-
тировать, если произвести преобразование к внутренним координа-
там q. Именно аналогично соотношению (2.2) т. 1 имеем
(ю.51)
где в системе главных осей
ft, = fees-у;
?2 = ) psin у;
41 = 4-1 = 0-
(10.52)
Эти выражения совершенно аналогичны выражениям (2.22) и (2.23)
т. 1 . Здесь О,- — углы Эйлера, связывающие координаты лаборатор-
ной системы с координатами системы главных осей ядра. По опре-
делению переменная р положительна. В координатах ру потенциаль-
ная энергия (10.36) имеет вид
ПР. T)= — C2p2-p/^-Cap=cos3? + C4p1. (10.53)
Эта величина полностью идентична величине, описываемой выраже-
нием (4.26) или (4.28) т. I. Выражение (4.28) приведено в представ-
лении й0й2 (эти координаты аналогичны q0 и q2). Иными словами,
если заменить величины й0, й2 выражения (4.28) т. 1 величинами
q0, Яну то получается в точности выражение (10.53), причем потен-
циальные параметры определяются выражениями (10.37)—(10.39).
Свойства, в частности, симметрии этой поверхности подробно изу-
чались в § 4.2 и 4.3 т. 1. Мы видели, что поверхность описывает
гармонический или ангармонический осциллятор или сильно де-
формированное ядро в зависимости от значений параметров жест-
кости С2, С8 и С4. На рис. 10.2 показана зависимость этих потен-
циальных параметров от 7V. Эти графики соответствуют выраже-
ниям (10.37)—(10.39). Если выбрать надлежащим образом парамет-
ры G и uq2, то С2 положительна в начале и в конце /-оболочки и от-
рицательна в середине /-оболочки. Изменение знака С2 (N) связы-
вается с появлением деформированного состояния, соответствующе-
го минимуму энергии. Параметр жесткости — у 2/35С3 (7V) меняет
356
знак в середине оболочки. В соответствии с результатами § 4.3
т. 1 этот параметр определяет переход от вытянутой к сплюснутой
деформации в середине оболочки. Параметр СА (N) всегда положи-
телен. нужно упомянуть, что в _г.
ленной на рис. 10.2, пренебрега-
лось шестичастичным матричным
элементом f (j) [см. выражение
(10.30)1. Такой элемент вносит
вклад, если в оболочке имеется
более шести частиц. Ожидается,
что он не приводит к существен-
ному изменению полученных ре-
зультатов.
Задача состоит в том, чтобы
найти минимумы потенциальной
поверхности (10.53). Они опреде-
ляются условиями [124]
„ av(P^)=0 (10 54)
др ду
И
&Уд*У / г>2 V \2 0. d2 V р
Эр2 av2 ’ Эр2
(10.55)
Легко проверить, что при р =$£ 0
только первые два члена уравнения
(10.53) ие могут удовлетворить
условиям (10.54) и (10.55). Таким
образом, мы получили важный ре-
зультат, что стабильную деформа-
цию нельзя реализовать, если С4 =
—0, т. е. если не учитывать члены
высших порядков в коллективном
=— yz2/35 С3, из выражений (10.5
Рис. 10.2. Зависимость параметров
жесткости Cg, —1/2/35 С3 и С а
потенциальной энергетической по-
верхности (10.36) или (10.53) от
числа частиц N в /-оболочке [243].
Вырождение оболочки 252=2/4-1
выбрано -~20
потенциале. Обозначая С'3 =
3) и (10.54) находим
= Сг ₽ + зс; ₽! cos 3Т+4С, ₽’=О;
ор
^ = —3Cj₽s sin 3^ = 0.
(10.56)
Видно, что при р = 0 имеется у-нестабильный минимум. Нетриви-
альное решение этих уравнений имеет вид
(₽„)>.,=± |/ (Л-С;сг,у-^-с1сг,>
7==-—-пл, п = 0, ±1, ±2,.... (10.57)
357
При этих значениях у легко удовлетворить условиям (10.55), вы-
ражающим, что реализуется именно минимум. Однако нужно иметь
в виду, что имеют смысл только положительные значения р. Вслед-
ствие условия dV/dpdyl мин = 0 получаем
_ —, I \iu.oo)
2Св4-3(-1)"С3₽„<0. )
Коль скоро с; > 0, то первое условие выполняется при п — 1, 3,
5, ...; если жеc£<Z 0, то имеем п = 0,2,4, На рис. 10.3 графи-
чески представлено второе условие из (10.58). Видно, что это вто-
рое условие удовлетворяется, когда Cz <Z 0 (см. рис. 10.2), и
Рис. 10.3. Второе условие из (10.58)
для минимума потенциальной энерге-
тической поверхности в зависимости
от числа частиц
1ла значений С» > 0
в зависимости от знака С3 получаем потенциальную энергию, пока-
занную иа рис. 10.4. При С; > 0 минимумы определяются усло-
вием у = л-я, л, тгл. В этом случае ядра имеют аксиально-симмет-
ричную деформацию и сплюснуты. Если С'3 <Z 0, то минимумы до-
га 2 4 ,
стигаются при у = 0, —л, ул, т. е. ядра деформированы, аксиально-
симметричны и вытянуты.
Из данных результатов можно сделать следующий вывод: когда
одна /-оболочка заполняется нуклонами, то сначала возникают сфе-
рические квадрупольные колебания. При определенных условиях
они могут быть гармоническими, одиако обычно имеется сильный
энгармонизм. Когда параметр С2 коллективной потенциальной
энергии становится отрицательным, ядра переходят в деформиро-
ванное состояние. Как можно увидеть из кривой для С2 (N)
на рис. 10.2, переход от сферической к деформированной форме
очень резок. При заполнении оболочки до середины (С'3 > 0) по-
лучаются сплюснутые ядра; после середины ядра становятся вытя-
нутыми. В середине оболочки Сз = 0 и ядра оказываются у-неста-
бильиыми (см. § 4.3 т. 1). Таким образом, переход от положитель-
358
ной к отрицательной деформации происходит в области, где ядра
^-нестабильны. Эта асимметрия между ядрами в первой и второй
половинах Л-оболочки весьма естественна: взаимодействие (10.6)
не различает частиц и дырок, поэтому, если частицы предпочитают
сплюснутую форму, дырки также будут предпочитать сплюснутую
форму. Однако сплюснутая форма для дырок означает просто вытя-
нутую форму для частиц.
Рассмотрим теперь минимумы потенциальной энергии для де-
формированных ядер. На рис. 10.5 одна из кривых показывает
внутреннюю деформацию (квадрупольный момент) 0 [см. уравнение
(10.57)]. Здесь также видно внезапное возникновение деформации.
Рис. 10.4. Качественная картина поверхности коллек-
тивной потенциальной энергии. Показаны только ми-
нимумы с 0=/=О
Деформация растет к середине оболочки и уменьшается снова после
прохождения середины. Если потенциальную энергию (10.53)
разложить в ряд около минимума, определяемого условием (10.57),
то, вводя обозначения
0 = 0О + е, у = 0 + е',
(10.59)
получаем следующее выражение:
V (е, е') = е! (-С2- — Сз ft,) + ~ fl’g) =
= ±с₽ег+С,е'«. (10.60)
Коэффициенты Ср и Cv известны нам из условий минимизации
(10.58). Они представляют собой параметры потенциальной энергии
0- и у-колебаний колебательно-вращательной модели [см. гл. 6
т. 1, особенно соотношения (6.1) и (6.2)1. Вследствие этого частоты
0- и у-колебаиий получаются равными [см. выражение (6.1286)
т. 1] следующим значениям
Ср = й(ор=Й VС?,1В2\ Ev=й<о¥ = й КСу/В2. (10.61)
359
Здесь В2 — инерциальный параметр, определяемый выражением
(10.44). Зависимость частот от числа частиц также представлена
на рис. 10.5. Мы видим, что энергии p-колебаний малы в начале и
в конце деформированной области ядер (ядра «мягки» по отношению
к возбуждению этих колебаний). По мере приближения к середине
оболочки энергии растут. Энергии у-колебаний обращаются точно
в нуль в середине оболочки, так как ядра здесь y-нестабильны (ины-
ми словами, нет тормозящей силы в у-направлении). Такое поведение
0- и у-колебаний качественно соответствует экспериментальным дан-
ным (см., например, работу [474]). Легко определить также моменты
Рис. 10.5. Зависимость деформации
0. энергий 0-колебаний, энергий
« Еу у-колебаиий и энергий первого
'4-да
. вращательного 2+-состояния (т. е. мо-
i ментов (инерции) от числа частиц N
0 2 4 6 8 10 72 74 16 18 20 N
инерции, соответствующие равновесной деформации ядра. Они
получаются из соотношения $-0 = ЗВ20в (см. выражение (6.94 в)
т. 1). Используя уравнения (10.57) и (10.44), получаем вращатель-
ную энергию первого 2+-состояния в виде
(10-62)
Эта зависимость также изображена на рис. 10.5. В данном случае
качественное поведение энергии также находится в согласии с экс-
периментальными данными в том смысле, что при приближении
к середине оболочки вращательные энергии уменьшаются (увеличи-
ваются моменты инерции).
Из-за чрезмерной схематичности настоящей модели нельзя, ко-
нечно, ожидать количественного согласия. Тем не менее модель
разумно отражает все качественные тенденции и делает возможным
единое описание сферических н деформированных ядер. Оиа де-
монстрирует конкуренцию спаривательных и квадруполь-квадру-
польных сил и показывает, как обе компоненты сил определяют
основные черты ядерной структуры. К сожалению, в настоящий мо-
мент не имеется количественного анализа высших членов разложе-
ния потенциальной энергии в рамках данной модели. Такое иссле-
дование было бы чрезвычайно полезным.
360
§ 10.2. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОЛЛЕКТИВНОГО
ДВИЖЕНИЯ
В предыдущем параграфе в рамках модели квазиспина была
рассмотрена коллективная потенциальная энергия как функция
коллективных квадрупольных переменных ctu. Для определения
коллективного движения нужно также определить кинетическую
энергию как функцию коллективных переменных. Это можно сде-
лать несколькими способами (см. приложение А). Особенно успешен
метод, предложенный впервые Инглисом [282, 2831. Его называют
методом принудительноого вращения (cranking model)
10.2.1. Метод принудительного вращения
Очевидно, что деформированная потенциальная яма есть вид
самосогласованного поля в системе многих нуклонов и что это поле
в действительности колеблется (или вращается) с некоторой малой
скоростью (или угловой частотой со). Это соответствует тому
экспериментальному факту, что колебательные (н вращательные)
энергии малы по сравнению с одночастичными энергиями. Таким
образом, движение частиц считается быстрым в сравнении с враща-
тельным движением. Тогда можно рассматривать медленные коле-
бания (или вращения) самосогласованного деформированного поля.
Тем самым мы имеем дело с задачей, зависящей от времени. Если
найдена волновая функция, то можно вычислить изменение энергии'
основного состояния в зависимости от скоростей ар. Тогда констан-
та пропорциональности оказывается инерциальным параметром. Из-
ложим подробное выполнение данной программы. Пусть Н (cch, г.)—
гамильтониан деформированной ямы; например, это может быть га-
мильтониан Hds, определяемый выражением (10.7). Деформация
ямы характеризуется коллективными координатами ац. Величины
гг рассматриваем как ЗА — N внутренних координат. Здесь N =
= 21 есть число коллективных степеней свободы. Обозначим
и
рассматриваемый гамильтониан для фиксированной системы коллек-
тивных параметров через Итак,
Я(*” (г,) = Н (а<®>, г,). (10.63)
Уравнение Шредингера имеет вид
//(0) (П) И «®’, г,) (<*<”>&) = е<,®’ (а“») $>' («Ь°\ П).
(10.64)
Конечно, волновые функции х«0> зависят от фиксированных парамет-
ров а}*®’. Назовем это уравнение статическим. Ниже мы увидим,
что это уравнение, а следовательно, и решения Хп0> будут модифи-
цироваться, если учесть временною зависимость величины ctu.
361
Общее решение Хп (аи» г«) для произвольных значений можно
всегда разложить около значений сф1”. Тогда имеем
X («и. г») = S («и) X (4м. П) = X (4”‘ + («р- 4"’). п) =
- [2" 4»)Г *м"
= 2 -тг [ 2 (“..-4”) 4°‘]" * (4”’. г,). (10.65)
где
J£o, = — id/daJT. (10.66)
Это оператор, сопряженный а[х0). По определению операторы Ли0>
действуют только на волновую функцию х (сс^Ч гг). Далее определим
оператор сдвига
s (“j=2 —-——=ехр [ * 2 ” “•‘° ’> 41 1 -
(10.67)
Для того чтобы эти преобразования координат сохраняли норми-
ровку и, следовательно, полную вероятность, они должны быть уни-
тарными (точнее говоря, операторы являются эрмитовыми гене-
раторами группы Ли; см 13001). Отметим, что в частном случае
вращения, определяемого углами (йх, 1%, й2) ’== й, оператор
S (й) тождествен хорошо известному оператору конечных поворо-
тов
7?(«)=exp[r0 = '(10.68)
Здесь J — оператор углового момента в декартовых координатах.
Из соотношения
X (“и. П) = s (“J X (4м. П) = s (аи) х<0> (Г() (10.69)
н условия унитарности S, т. е. S”1 = S+, вытекает, что
<Х1” I I xi”> = (S-1 X» I W(O> I s-1 Xn-> =
= <x„ | SHm S-* | %„•> = <X„ I w | X„->. (10.70)
362
(Здесь интегрирование проводится также в пространстве перемен-
ных а.) Получаем
Н («и, П)=S (ссц) S-1 (ац) =
= exp[i 2(ац-аГ) Д«>]Я«>, г,)ехр[-12(«ц-<’)^"’] .
(10.71)
Заметим в этой связи, что для оператора
S (а) = exp [i 3 (аи—aji?)*й0>1
Lu J
справедливо следующее соотношение:
S (а) I/ (а<°>) g (а<«>)] = (S (а) f (a«0)J (S (а) g(a«»)J.
Выражение (10.71) можно записать также в виде
#(“и. Г.) = ехр р 2(«ц- «ц ,)^”]w't’>expf —i2(«H—
(10.72)
Так как величины а,®1 ие зависят от времени, то вся зависимость
от времени через коллективные координаты содержится в величинах
сси первого и последнего множителей выражения (10.72).
В этом месте мы должны ясно понять, что делается: для фикси-
рованных координат (деформаций) а^’ исследуются поправки, вы-
званные зависящим от времени отклонением — а(^0) от значения
Далее мы должны определить изменение не зависящих от вре-
мени решений х<0,(а|1О)» П) уравнения (10.64), происходящее из-за
временной зависимости Если написать
ф (“и. 0 = ехР [i 2 (“и— «Ц ’) Ч>‘"> («£’ ’, г(, 0, (10.73)
то этими функциями ф (au, гь Z) следует удовлетворить временное
уравнение Шредингера
~дГ Гь = Г/’ (10-74)
Используя (10.72) и (10.73), запишем это уравнение в виде
ЙJL Jexp р 2 («»-<>) j ^<«> (а«>, гь /)]=
= ехр р 2 («;—aj") ] ф<"> (аД»>, rt, Г). (10.75)
363
Непосредственным дифференцированием получаем
( — Й V 4°’ 4"” Гг. О = Ит 4"” (“ц П. 0.
’* (10.76)
ИЛИ
ih (а«>, rf, /) = / fl™ +fiV ац JU’W” П, /). (10.77)
6t
Заметим, что в статическом случае ац = 0 уравнение (10.77) экви-
валентно уравнению (10,64). Мы также видим, что в дополнение
к зависимости решений ф<0> от а™1 появляется зависимость их от сси.
Поэтому, далее будем обозначать решения ф<0> (сс^, сс^0), rf, t).
Стационарное решение (10.77) имеет вид
ф<°>(ац, ссц0’, гь /) = ф<°> (се,ь а£°>, rf)exp£—в* (ctu, с#1) Л'].
(10.78)
Тогда находим
Wos’l’n"’ («ц, a^\ r,)~ + ft «Ц JU") Ф.'1” («Ц, «;?, rj =
= eA(“u. 4£°’ (“u- ri)- (10.79)
Здесь опущен член
имеющий второй порядок малости. Его нужно учитывать, если рас-
считывать параметры в более высоких порядках [см,, например,
соотношение (10.83) и работу [253]].
Рассматривая статическую задачу как «невозмущенную» задачу
и кинетическую энергию
U и оаи
как возмущение, имеем
e.;«,a«>) = e‘»>(ai-)- 2 L J
m r n em en
и (10.81)
•фи0’ («Ц, «4”, Г;)—
-2П
I [ — «Йссц д/да^у] |
(10.82)
rf)+....
364
Таким способом можно непосредственно получить динамические
решения из статических решений %£°’. Нужно отметить, что
поправочный член уравнения (10.80) инвариантен к вращениям и
обращению знака времени. Это вытекает сразу же из рассуждения,
содержащегося в гл. 2 т. 1. Вследствие этих очень общих свойств
инвариантности можно сделать вывод, что поправочные члены вы-
ражения (10.81) должны иметь следующую форму:
м2 [а„ X Иц]101 + Л13 [ацХ х ajlo) + Мт [аи х ац X X aj14 +
4-Л141 [ац X «ц X Иц xa1JrCJ-| .... (10.83)
В теории возмущения второго порядка члены, содержащие скорости
аи, входят квадратично по ссц. В теории возмущений n-го порядка
входят члены вида (ац)п. Из-за инвариантности к обращению знака
времени нет членов нечетного порядка по Члены четвертого по-
рядка по (пропорциональные М41) следует интерпретировать
как возникающие из-за зависимости от скорости массового парамет-
ра коллективного движения (см. ниже).
Л1атричиые элементы, встречающиеся в расчетах иеаднабатн-
ческих эффектов в выражениях (10.81) н (10.82), можно упростить
следующим образом:
//п 13 [—д/да»' ] | = 21 — <tn J д/да£у ] | n> =
=2 . (10.84)
„ u е<0>—е<0) I ' }
У- L п J
Как мы видели в соотношении (10.7), гамильтониан Htf>) в боль-
шинстве случаев линеен по координатам cc^’, и, следовательно,
коммутатор d/da^l не зависит от \ Поэтому в таких слу-
чаях матричные элементы сводятся к одночастичиым матричным эле-
ментам в деформированной оболочечной модели. В следующем раз-
деле этот вопрос обсуждается более подробно.
10.2.2. Коллективная кинетическая энергия
В качестве первого примера практического расчета коллектив-
ной кинетической энергии рассмотрим массовые параметры в мо-
дели квазиспина. Поступим аналогично тому, как это делалось
при нахождении коллективной потенциальной энергии в § 10.1.
Очевидно, что статический гамильтониан Hos (10.7) эквивалентен
т. е.
(10.85)
В
Решения находятся из уравнения (10.8). Коллективная квиетиче-
ская и потенциальная энергия определяются как среднее значение
365
по возмущенным волновым функциям (10.82). Члены, содержа-
щие ац, интерпретируются как коллективная кинетическая энер-
гия. В наинизшем порядке имеем
где
Вд’ = -В^= (е«>—е^">)-1{<0|-itldld"' |m>x
' <m |—ittd/da^11 0>+(01—ihd/daV» | m> <m |—ift5/5a">| 0>}.( 10.87)
Здесь рассматривается частный случай основного состояния (п = 0).
Используя получаемое из выражения (10.84) коммутационное со-
отношение
[Hds, д/даЙ}]- = , (10.88)
находим
В^ = (tv*gf 2 (е^0) — е^’)-3 {<01 Qgt |m> </n | Qv | °> +
m =*• 0
+ <0|Q^|m><m|Q1t |0>}. (10.89)
Вообще говоря, величины Bllv являются функциями a|f>, так как
волновые функции | т) = и энергии зависят от Вслед-
ствие отмеченных выше соображений вращательной инвариантности
величины Bj.v должны иметь следующий вид:
2 2V4">/i3 ' . (10.90)
\ll V Л/
Здесь В2 и Bs— константы- Очевидно, величина В2 определяется
выражением
B2-2(tlr.sy 2 (10.91)
m - 0
Отметим, что в этой формуле состояния и энергии, имеющие индекс
т, берутся при ajf* = 0. Эти состояния обладают угловым момен-
том, равным двум, и содержат корреляции только из-за взаимодей-
ствия синьорити. Формула (10.91) уже использовалась ранее [см. об-
суждение выражения (10.40)1.
При рассмотрении коллективного движения этот хорошо из-
вестный результат не является абсолютно строгим. Найдем в этой
связи условия самосогласованное™ для модели принудительного
вращения. Приведенные выше выражения можно получить, решая
366
проблему с гамильтонианом деформированного поля, учитывающим
временную зависимость коллективных координат:
II Ls =~ Hs-'-'.g'E Q," ifi У «и
(10.92)
Такой учет проводится с точностью до членов второго порядка
по сси. Согласно выражению (10.81), энергия основного состояния
данной задачи во втором порядке по ссц имеет следующий вид:
ео («ц, aj =» 8о°’ (aj° *)-2 а-ц = ео°’“Т' • (10.93)
2 |A.V
Величины Buv(au), входящие в эту формулу, определяются выраже-
нием (10.87). Однако энергия, которую мы хотим определить, имеет
другой вид:
Е' = | Es--------2 |/ = е« (аи> аи) +
т 2 “и <<?£ >—2 «И < I —ЭДЗя,, |> —i- х,
1 V ^£о
2^ да*
(10.94)
Здесь использовалось выражение (10.10) и аналогичное выражение
для производных по (именно де'/да^ = < | — Вы-
ражения (10.93), (10.94) получаются аналогичным образом вслед-
ствие линейности гамильтониана (10.92) по ctu и ац. В последнем
члене соотношения (10.94) использовалось приближение (10.16).
С учетом формулы (10.93) получаем следующее выражение для энер-
гии Ег:
де д\
2 |Лд “ I ' 0а>. За* j
= E(av) + T(all, ».,j (10.95)
Здесь Е («р.) — энергия, определяемая выражением (10.18) для
«и = 0; членами высшего порядка по преиебрегается. Энергия
Т — это коллективная кинетическая энергия. Мы видим, что, вооб
367
щс говоря, массовые параметры определяются не только величина-
ми Z>\1V. Однако дополнительные члены обращаются в нуль для двух
хорошо известных предельных случаев: для деформированных сис-
тем эти слагаемые обращаются в пуль в равновесии, а для гармони-
ческих колебаний около положения равновесия дополнительные
члены линейны по ан и поэтому ими можно пренебречь. Тем не менее
расчет, содержащий полную динамику коллективной системы,
должен учитывать все слагаемые выражения (10.95). В частности,
это может оказаться очень важным в исследовании процессов деле-
ния вследствие больших значений коллективных амплитуд. В такой
ситуации может оказаться несправедливым ограничение квадра-
тичными членами по ам (см. § 10.4 и 10.5).
10.2.3. Моменты инерции вращающихся ядер
В принципе, полные коллективные потенциальная и кинетиче-
ская энергия полностью определяют коллективные свойства ядра.
Таким образом, в выражении для кинетической энергии (10.95)
уже содержится определение моментов инерции вращающегося ядра.
Такой самосогласованный подход является микроскопической
проверкой коллективной модели. Однако в случае сильно деформи-
рованных ядер проще не рассчитывать полные потенциальную и ки-
нетическую энергию, а вместо этого сразу вычислять одну величи-
ну — момент инерции. Кроме того, эта величина определяется
из эксперимента. Применим к этому случаю формализм, описанный
в предыдущих разделах. Предположим, что система поворачивает-
ся на угол
0у = «у/ (10.96)
вокруг оси /. Тогда величины Оу играют роль коллективных пере-
менных сСц (в данном случае одна переменная). Производя в выра-
жении (10.81) замену переменных иа Оу, т. е.
a(t-> Оу, (10.97)
получаем
, I А 12 М - иа/э»,} 1o') Г
«Ж- O;) »et«>(ao, aj- 2 |Х 1 '
т 0 Ет *0
(10.98)
Здесь I 0 > и | щ > — вращательные волновые функции вида
|т>~- Я(0„ 02, е3)<гт(а0, а2, г,). (10.99)
Далее, R — оператор конечных поворотов, рассмотренный в § 5.6
т. 1, а ц'—внутренняя волновая функция. Величины /у (Оу) =
-----i^d/dOy представляют собой операторы углового момента
368
в пространстве коллективных углов (которые могут быть, напри-
мер, углами Эйлера). Используем теперь соотношение (5.163) т. 1:
'%, а3) = <М— #2- »=) =
«О' j Off J
- —(Oj /?(«„ 02, О8) Jy(r,)- (10.100)
Здесь (Оу есть j-я компонента угловой скорости. Заметим, что опе-
ратор Jj (г,) действует в координатном пространстве (это оператор
полного углового момента), в то время как оператор Jj (Oj) дейст-
вует в пространстве коллективных углов вращения (углов Эйлера).
Используя соотношения (10.99) и (10.100), получаем следующее
выражение для матричных элементов, содержащихся в (10.98):
<Л?<1га 2м/(— i/i)“-|^<fo'> =
X ; I /
= —<<Fm|^-1S®/Wj(rl)l<Po> =
= — <<Pm I R~l R S «7 Jj (П) I «To) =
= —<<fm IX“7 J> (П) I <Po>-
(10.101)
Таким образом, матричные элементы могут быть вычислены только
с использованием волновых функций внутренних состояний.
В данном случае Jj (г,)— обычный оператор углового момента.
С помощью приближений, рассмотренных в предыдущем разде-
ле, находим следующее выражение для вращательной. энергии:
„ V4 у <01®* Jh (г) I «> <т Jk. (г)I о>
вюащ
е<о)_е(о>
— IL tykk' <д*'.
* kk’
(10.102)
Здесь 7ла* — тензор инерции, имеющий вид
у <01 Л (г) | <т | Jk. (г) | 0>
е‘О)___е<0)
т^0 ст с0
(10.103)
Нужно отметить, что состояния | /л), входящие в эту формулу,
являются внутренними состояниями. Далее, если деформация иосит
квадрупольный характер, а Т*ращ рассчитывается с волновыми
функциями, для которых квадр у вольная' деформация направлена
по одной из главных осей, то перекрестные члены отсутствуют, так
что
^вцащ— 9
(10.104)
369
Здесь
(10.105)
Это знаменитая формула Инглиса для момента инерции. Исполь-
зуя соотношение (10.101), можно непосредственно определить
улучшенные волновые функции вращающейся системы. Используя
(10.82), находим в лабораторной системе координат
п)-ь...
(10.106)
Формально такие же выражения справедливы, если брать волновые
функции во внутренней системе координат. Конечно, тогда в аргу-
ментах волновых функций не будет вращательных углов
Такие волновые функции, учитывающие вращения системы, могут
быть использованы для расчетов среднего магнитного момента.
Все рассуждения аналогичны тому, как это делалось при расчете
моментов инерции. Предположим для простоты, что система враща-
ется только вокруг оси Л. Тогда средний магнитный момент основ-
ного состояния в ^-направлении равен
<4’о” Г11Д’Й‘”>,
(10.107)
где р — оператор полного магнитного момента для многочастичиой
системы. Вращательный гиромагнитный g-фактор для вращения вок-
руг оси k определяется как отношение среднего магнитного момента
к среднему угловому моменту, т. е.
<^“>рй(г)Н'»>>
У <0 I /л (г) | ,п> <т|ць|0>
:.}. (10.108)
р(0‘__р(0)
ьт
Эта формула используется в большинстве микроскопических расче-
тов магнитных свойств ядер [4031.
Чтобы получить качественную оценку порядка величины момента
инерции и, кроме того, проиллюстрировать результаты, вычислим
момент инерции ^относительно оси х для анизотропного гармони-
ческого осциллятора. Обозначим ось симметрии через г. Если пре-
небречь спином, то, согласно уравнению (10.106), требуется опре-
делить матричные элементы величины
‘х = УРг — ZPu-
(10.109)
370
Это легко сделать, используя технику понижающих и повышающих
операторов. Имеем
<«Х+1|Л|ПХ>= ]/——Vnx+l (10.110)
J 2/исод.
И
-г 11 Рх | Пх) = i |/" htrus>x Vnx+ 1. (10.111)
где и — осцилляторное квантовое число. Легко видеть, что отлич-
ные от нуля матричные элементы /х имеют вид
<пи + ln2 +1J ypt—zpy | пг> =
=т’'' (Ж+1)(<+1Г;
2 \ V <&У у/ (£>2 !
— 1пг—11 ypt—zpv ] Пу nzy -
Z \ Г Г /
<.n„ + lnz—1 |ург—zp„|n„n2> =
1Пг+ 1 \ург — ZPfAn.jll^ =
\ I' (£)у V (£>z /
Первые два матричных элемента соответствуют переходам между
двумя осцилляториыми оболочками, отстоящими по энергии друг
от друга на величину Л (<оу + ок). Последние два матричных эле-
мента описывают переходы внутри одной оболочки (без изменения
числа осцилляториых квантов). Вследствие анизотропии осцилля-
тора начальное и конечное состояния в последних двух матричных
элементах различаются по энергии друг от друга на h (<о„ — сог).
Обратимся теперь к выражению (10.106). Вспомним, что
4(г.)=2 А(о)->2 4(гг) (Ю.пз)
1=1 1=1
есть оператор полного углового момента, т. е. сумма всех одно-
частичных угловых моментов Д. Последняя часть соотношения
(10.113) означает, что полный угловой момент эквивалентен полному
орбитальному моменту, если пренебречь спииом частиц. Так как
функция 10 ) представляет собой детерминант Слэтера для де-
371
формированного основного состояния, a Jx (rz-) — одночастнчный
оператор, то в данном случае получаем
| (т 14 (rf) 10> |2 = | </« | v lx (Г)! 0> |2 =
= V । (ni\lx\i) I2. (10.114)
Здесь сумма в последнем выражении распространяется на все за-
нятые одночастичные орбитали | . В последней части выражения
(10.114) символ | т > обозначает одночастичную волновую функцию.
Вследствие принципа Паули имеем т>А. Следовательно, выра-
жение (10.103) можно записать через одночастичные матричные
элементы:
^.-2 У У (10.115)
п,~л+1 ет-е;
Здесь ето и —соответственно одиочастичные энергии т-и и Ли
орбиталей. В действительности сумма по незаполненным состояниям
| т> может быть распространена и на состояния ниже границы
Ферми. Так можно поступить из-за того, что две комбинации
< | /1 4 I / > 12« и I < JI Ак I О 12 равны по величине, но имеют
знаменатели противоположного знака и по этой причине взаимно
сокращаются. Диагональные матричные элементы | < i | lx | i > |2
также обращаются в нуль.
Подставляя матричные элементы из соотношения (10.112) и со-
ответствующие энергетические знаменатели в выражение (10.115)
и суммируя по т, находим
2 |_ tty ttz (b)y -|-<Qg)
_]—(m»+m»)!_y („г_n vl. (Ю.11.6)
tty <0z(tty — CDz) J
Первый и второй члены в этой формуле возникают соответственно
из первых двух и вторых двух переходов (10.112). Упростим полу-
ченное выражение, вводя среднеквадратичные амплитуды
?=Л-’У — N„ (10.117)
те>х
где
^=2 (Д+Н- (1ол18)
372
Аналогичные соотношения справедливы для координат у и z. Следо-
вательно, находим
= : Vl : 11. (10.119)
(Ох (Оу O)z
Как обычно плотности и следует потребовать эквивалентности распределения ядерного потенциала. Это приводит к условиям: — =Nx'.N„:Nt. (10.120) <од- ы„ аг х " ‘ ’
Далее из ус нови я несжимаемости ядра имеем (0^.(0,у(Ог — (О®. (10.121)
Используя Ny, Nt ти соотношения, выразим частоты сож, (о^, (о2 через „ (.У»1У„Л'г)1/3. = (10.122) (NxNvNz)lfZ <0_ = (00 g zt— . Nz
Подставляя их в уравнение (10.116), находим 1<0у сог j
<10-123>
Это выражение совпадает со значением момента инерции, которое
получается для вращения ядра вокруг оси х как твердого тела, т. е.
твердотельного момента инерции
0х)тв=тУ «i|i?|i>+<i|zs|i» = ft р + (10.124)
К®!/ /
Таким образом, мы имеем весьма интересный результат: хотя в рам-
ках осцилляторной оболочечной модели нуклоны движутся неза-
висимо в своем потенциале, ядро вращается так, как если бы нук-
лоны были зафиксированы в своих равновесных положениях подоб-
но частицам твердого тела. В действительности можно показать
13411, что любая модель независимых частиц в пределе большого
числа частиц приводит к соответствующему твердотельному зна-
чению момента инерции ^тв (т. е. соответствующему той же форме,
что и средний потенциал).
Экспериментальные значения моментов ннерцин получаются
из расстояний между энергетическими уровнями вращательных по-
373
лос, подчиняющимися закону / (/ | 1). Эти экспериментальные дан-
ные не согласуются с предсказаниями данной простой модели. Для
тяжелых ядер моменты инерции составляют от 1/5 до 1/2 твердотель-
ного значения в зависимости от деформации. На рнс. 10.6 представ-
лены имеющиеся эмпирические данные. Можно видеть довольно
систематическое увеличение моментов инерции с деформацией.
Бор и Моттельсон [64] были первыми, кто исследовал возмож-
ность улучшения результатов Инглиса посредством включения
остаточных притягивательных двухчастичных сил между частица-
Рис. 10.6. Зависимость моментов инер-
ции от деформации.
Экспериментальные точки находятся меж-
тир — момент инерции, соответствующий
капельной модели: = ЗВ^Р2. Здесь
fl fl, 1 0,2 0,3 0,4 0,5 >3
ми, помещенными в деформированную вращающуюся яму. В сле-
дующем разделе мы увидим, что основная часть расхождений теоре-
тических и экспериментальных значений устраняется при учете
сверхтекучести ядерной материи. Конечно, этого следовало ожидать,
так как сверхтекучесть дает возможность части нуклонов не участ-
вовать во вращении (см. рис. 1.2 т. 1). Следовательно, момент инер-
ции будет уменьшаться.
10.2.4. Моменты инерции и гиромагнитные факторы
в сверхтекучей модели ядра
Выше мы видели, что спарнвательиые силы должны быть также
учтены в формализме принудительного вращения. Конечно, это мож-
но сделать непосредственно, подставляя волновые функции сверхте-
кучей модели в выражение (10.91) и (10.105). Основное состояние
четно-четного ядра описывается волновой функцией БКШ |0 > бкш»
представленной выражением (9.103). Как квадрупольный оператор,
содержащийся в (10.91), так и оператор углового момента
в (10.105) являются одночастичными операторами, и их легко
преобразовать к операторам рождения и уничтожения квазнчастиц
с помощью соотношения (9.141). Например, для оператора углово-
го момента имеем
4 = S<(i|AI'’>«u«v=
U, V
= S I ik! *> («м ctjt -г 41 а-м) («Vav -Г Vv a±v)- (Ю. 125)
374
Следовательно, состояние | иг) в матричных элементах
</n]/fc|0> = <m| Л |БКШ> (10.126)
должно быть двухквазичастичным состоянием следующего вида
[см. выражение (9.172)]:
| т) = 1^*, —ctki cikt 10>вкш (10.127)
с энергией, равной
Е\, + Е4, = Уч,4Л2 +Уе?, + Д* - . (10.128)
Рис. 10.7. Иллюстрация модели принудительного вращения для момента
инерции в рамках модели независимых частиц и сверхтекучей модели
Здесь zkt и Efe2 — обычные одиочастичиые энергии. Матричные эле-
менты легко рассчитываются [411:
I Лс I БКШ> = | 5 <Н I /л I v> «ц a±v | БКШ> =
u,v
= \ki I ik I—*2> «ft* <k21 ik I—*1> uk, (10.129)
Выражение (10.105) для момента инерции переходит в следую-
щее выражение:
<h=22 . (10.130)
ft, kt Ekt "Г Ekt
Эта формула отличается от (10.115) в двух местах: во-первых, из-за
факторов диффузности нЛ1, vkt и т. п., появившихся в числителе,
и, во-вторых, из-за квазичастичных энергий, содержащих парную
энергию [см. выражение (10.128)], которые заменили в знаменателе
величины ей. Эти отличия иллюстрируются иа рис. 10.7. Схема
в левой части рисунка изображает расчет формулы принудительно-
го вращения в простой модели независимых частиц. Как видно
из двух диаграмм, в левой части рисунка энергетический знамена-
тель, соответствующий матричному элементу <&i | /ft | &2>, ра-
вен ей1 — ей2, т. е. просто различию одночастичиых энергий. В при-
сутствии парных корреляций энергетические расстояния между
четно-четным основным состоянием и возбужденными конфигура-
375
днями значительно возрастают, так как требуется разорвать пары
в основном состоянии. Поэтому энергетический знаменатель всегда
больше, чем 2Л [см. выражение (10.128)1. Далее, фактор —
vlt можно пояснить следующим образом: чтобы образовать
конфигурацию, показанную на крайнем правом рис. 10.7, требует-
ся заполненность состояния /е, парой (uflJ) и вакантность состояния
k2 (иТогда оператор Jh = Sji, (i) переводит частицу из состоя-
ния kx в /е2. Возможна также обратная ситуация, в которой парой
Рис. 10.8. Моменты инерции четно-четных ядер редкоземельной
области.'
Сплошные линии — экспериментальные значения, найденные из энергий
первого вращательного состояния. Пунктир — результаты расчетов Нильс-
запято состояние k2, а состояние свободно. В действительности оба
процесса интерферируют. Оба эти эффекта уменьшают значение мо-
мента инерции примерно на один и тот же фактор.
На рис. 10.8 показаны результаты расчетов. В сравнении с твер-
дотельным значением согласие с экспериментом заметно улучша-
ется. Одиако остается систематическое отличие теоретической кри-
вой от экспериментальной: теоретические значения, как правило,
на 5—20% меньше экспериментальных значений. Так как щель А
и деформация р0 определены с погрешностью до 10%, уменьшение
первой и увеличение последней на 10% могло бы ликвидировать это
противоречие. Возможно также, что данные систематические откло-
нения объясняются эффектом блокировки (см. § 9.7). Конечно, чле-
ны высших порядков в кинетической энергии могут также дать за-
метный вклад. Тем не менее данные результаты служат доказа-
тельством утверждения, сделанного в конце предыдущего раздела,
а именно, что момент инерции ядра из-за сверхтекучести ядерной
материи уменьшается по сравнению с твердотельными значениями.
376
Таким образом, данные результаты можно проиллюстрировать так,
как это было сделано на рис. 1.2 т. 1. Иными словами, можно ут-
верждать, что только часть наружных нуклонов ядра принимает
участке во вращении, в то время как внутренние нуклоны более
или менее покоятся. Разумеется, это возможно только вследствие
сверхтекучести ядерной материи.
Другая важная характеристика, которую можно рассмотреть
аналогично, это гиромагнитное отношение g%. В то время как мо-
менты инерции являются мерой переноса массы коллективного
Sz5m gt,Gc gSDy ggEr 70УЬ 72Hf 7gW
f52№ 15Ш15!1ЮКШ Ki Kf7MJff/M7737frmkl№f7f174miliwwniw 78f18i17S7lS 13i
Рис. 10.9. Коллективное гиромагнитное отношение gn чет.то-четных
ядер [250].
вращательного потока, коллективное гиромагнитное отношение
gn служит мерой магнитных свойств этого коллективного движения.
В соотношении (10.108) было найдено выражение для gn, аналогич-
ное по структуре выражению (10.105) для момента инерции. Обе
формулы основываются иа разложении (10.106). На рис. 10.9 по-
казаны теоретические значения gx для четно-четных ядер [4031,
а также экспериментальные данные. Если в выражении (10.108)
пренебречь спином ядра, т. е. заменить jh -> I ft, то легко видеть,
что получается
SR
Рр
Рр+Рп
(10.131)
где ’f p и —моменты инерции соответственно протонов и нейтро-
нов. Заметим, что при выводе этого соотношения был использо-
377
вап тот факт, что орбитальный ^-фактор нейтрона равен нулю и,
следовательно, только протоны вносят вклад в числитель выраже-
ния (10.108) (см. работу1 [395]). Тот факт, что теоретическое значение
этого отношения оказывается меньше, чем отношение Z'TI, пред-
ставляющее собой значение, ожидаемое в коллективной модели
в предположении однородного распределения протонов и нейтронов,
отражает в основном тот эмпирический результат, что Др больше
Д„. Было показано 1246, 247], что увеличение спаривательных сил
между протонами индуцирует меньшие деформации для протонов,
нежели для нейтронов (спаривательное взаимодействие стремится
обеспечить сферическую симметрию; см. § 10.3). Следовательно,
соотношение между протонной и нейтронной плотностями модифи-
цируется так, что ядерная поверхность обогащается нейтронами.
Так как вращения и поверхностные колебания представляют собой
в основном движения ядерной материи иа поверхности ядра,
то становится очевидным, что понижение g^-фактора по сравнению
с величиной Z!A обязано главным образом различию протонных и
нейтронных распределений плотности на поверхности ядра из-за
различия спаривательных сил между двумя типами нуклонов.
Конечно, все это справедливо, коль скоро в коллективное движение
вносит основной вклад орбитальный угловой момент. Оказывается,
что вклад ядериого спина в ^-фактор, которым пренебрегалось в вы-
ражении (10.131), составляет не более 10% [395].
Сделаем несколько замечаний относительно ситуации в нечет-
но-четных и нечетно-нечетных ядрах. Отметим, что значения мо-
ментов инерции ядер с нечетным А лежат выше соответствующих
значений для соседних четных ядер (рис. 10.10); значения моментов
инерции для нечетно-нечетных ядер в среднем лежат еще выше.
Возрастание величин обязано тому, что состояние нечетной ква-
зичастицы может быть связано оператором jk с каким-либо другим
одноквазичастичным состоянием; при этом ие происходит разруше-
ния пар. Поэтому (£*, — Е^) существенно меньше, чем соответ-
ствующий знаменатель в случае четно-четных ядер. Оказывается, что
этот эффект существеннее, чем уменьшение момента инерции из-за
того, что уровень, занятый нечетной квазичастицей, исключается
из суммирования при расчете момента инерции. Значения g^ для
элементов с нечетными 2 также несколько больше, чем для четно-
четных изотопов, и меньше, чем для ядер с нечетными N (рис. 10.11).
Как отмечалось выше, обычно нечетная частица вносит существен-
ный вклад в величину момента инерции. Поэтому в согласии с экс-
периментальными данными из выражения (10.131) можно ожидать,
что значения gn для ядер с нечетными Z и ядер с нечетными N
отклоняются в противоположных направлениях по сравнению с ве-
личинами g% для четно-четных ядер.
Наконец, сделаем несколько замечаний относительно так назы-
ваемого эффекта кориолисова ашписпаривания. В § 9.8 [см. соотно-
шение (9.211)1 мы видели, что полная энергия связи, определяемая
парными корреляциями, весьма мала (~1,3 Л1эв). Таким образом.
378
слабое возмущение системы может оказаться достаточным, чтобы
разрушить спаривание и вызвать переход в состояние с менее кор-
релированным движением частиц. Именно, спаривательиое взаимо-
действие возникает из-за сильного перекрытия состояний частиц
на орбиталях k и —/г, которые переходят друг в друга при измене-
нии знака времени. Вращение оказывает противоположное влияние
на частицы, образующие пару: кориолисова сила действует в про-
Рис. 10.10. Разность моментов инерции нечетных но А изотопов и четно-
четных изотопов [395].
ризующим каждую в
тивоположных направлениях и стремится разрушить парные корре-
ляции. Здесь имеется аналогия с эффектом магнитных сил в металле,
которые действуют в различные стороны на электроны, движущиеся
в противоположных1" направлениях; поэтому спаривание разру-
шается, когда поле достигает критического значения [379].
Удобный аппарат для исследования этого эффекта получается
из уравнений Хартри—Фока—Боголюбова (9.151), рассмотренных
в разд. 9.6.1. В этой схеме спаривательные силы представля-
ются самосогласованным спаривательным потенциалом, интенсив-
ность которого пропорциональна параметру щели Д. Как отме-
379
чалось в связи с моделью принудительного вращения [см. выра-
жение (10.77)1, вращение системы с угловой скоростью ео приво-
дит к члену <oJ (г,) в самосогласованной энергии; здесь J (г,) —
оператор углового момента в г-пространстве. Тот факт, что спари-
вательное взаимодействие не коммутирует с кориолисовым потен-
циалом (oJ, указывает иа конкурирующую природу обоих типов
взаимодействий. Так ставится в строгой постановке задача об эф-
фекте кориолисова антиспаривания. Основные результаты такого
рассмотрения можно увидеть из довольно простых соображений
1379]. Так как кориолисова сила действует в противоположном
Рис. 10.11. Сравнение эмпирических значений gn ядер, нечет-
ных по .4. с усредненными значениями четно-четных ядер.
Значения gK для случая’ нечетных Z лежат выше, а для слу-
чая нечетных »V лежат ниже средних ^д-факторов четно-четных
ядер, причем исключения практически отсутствуют [250]
направлении по отношению к парным корреляциям, то с ростом со
параметр энергетической щели Л будет уменьшаться. Как было
видно из обсуждения выражения (10.130), уменьшение А приведет
к увеличению момента инерции; дня малых угловых моментов вра-
щения момент инерции будет пропорционален Р (J -г I)2- Однако
для больших значений со, когда вращательная энергия становится
порядка энергии спаривания, кориолисова сила также становится
сравнимой со спарнвательными силами и, следовательно, сильно
изменяет корреляции частиц. Таким образом, должна существовать
критическая частота вращения сокр, выше которой парные корре-
ляции исчезают, и частицы движутся независимо. Следовательно,
момент инерции становится равным твердотельному значению
#Т1(. Эта ситуация изображена па рис. 10.12. Ниже критического
углового момента /1ф эффект кориолисова аптпепариваноя анало-
гичен эффекту колебательно-вращательного взаимодействия: про-
исходит понижение вращательных термов. Для малых спинов такое
понижение в обоих случаях пропорционально Р (/ Т I)2- Деталь-
380
ное исследование экспериментальных данных 1186], по-видимому,
показывает, что все наблюдаемые отклонения от правила / (/ + 1)
связаны с колебательно-вращательным взаимодействием н что кри-
тический угловой момент должен быть больше /кр > 20/?.
Попытаемся получить теоретическую оценку критического спи-
на. Мы видели, что спаривательное взаимодействие обязано хоро-
шему перекрытию состояний частиц на орбиталях | и > и j — п ),
переходящих одно в дру-
гое при обращении знака
времени. Вследствие дей-
ствия кориолисовой силы
одночастичиые орбитали
изменяются. Из выраже-
ния (10.106) следует, что
вероятность изменения ор-
битали при малых часто-
тах вращения имеет вид
<т [ со-j |n> I2
ет------еп I
Рис. 10.12. Эффект кориолисова анти-
спа рн вания и его действие во вращатель-
ных состояниях с большим спином. Выше
критического значения спина /кр эффек-
тивный момент инерции приближается
к твердотельному значению
(10.132)
Здесь j — одиочастичный
оператор углового момен-
та, а —одночастичные
энергии. Так как констан-
та спаривательных сил G
является мерой спаривательного взаимодействия, усредненного
по набору одночастичных уровней | п >, участвующих в парных
корреляциях, то эту константу G нужно заменить
g=g(i-/ У ри-ниим
I I')
(10.133)
Здесь (...) обозначает среднюю вероятность изменения одно-
частичных орбиталей. Таким образом, влияние со состоит в умень-
шении величины G константы усредненного спаривательного взаи-
модействия вращающейся системы. Критическая частота <окр — это
минимальное значение со, для которого уравнение БКШ для щели
с данным эффективным спаривательным взаимодействием имеет
нулевое решение. Это происходит при некотором конечном значе-
нии G (см. обсуждение в § 9.8). В реальных расчетах деформирован-
ных ядер уменьшения G на 30% достаточно, чтобы обратить А в нуль
[379]. Используя это число и беря одночастичные волновые функции
гармонического осциллятора, можно легко вычислить среднюю сум-
му (10.133) 1см. выражение (10.112)]. При этом ограничиваемся вра-
щением только вокруг оси х, так что © j = <£>xjx. Так как при
А — 0 имеем — У™ то критический угловой момент /ЙР мож-
но определить как /кр = ©кр Таким путем для А = 180
381
находим /КР -=24Й, а для А ==238 /кр =--36h. Можно надеяться за-
метить этот эффект прн кулоновском возбуждении состояний с боль-
шим угловым моментом, используя интенсивно создаваемые сейчас
ускорители тяжелых ионов. Такие эксперименты позволили бы наб-
людать переход ядерной материи из «сверхтекучего» в «нормальное»
состояние. (Эксперименты группы ученых из Стокгольма указыва-
ют на сильное изменение момента инерции при / « 14 4- 16h [290,
2911. Все же неясно, действительно ли наблюдается эффект корио-
лисова антиспаривания или же происходит пересечение вращатель-
ной полосы, образованной на основном состоянии, с полосой, об-
разованной на изомерном состоянии, имеющем больший момент
инерции.)
§ 10.3. РЕАЛИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВНЫЕ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЭНЕРГИИ
В предыдущих двух разделах было показано, как рассчитывать
статические и динамические коллективные свойства в рамках мик-
роскопических теорий ядра. За исключением рассмотрения момента
инерции в разд. 10.2.3, эти свойства находились только с помощью
схематической модели квазиспина. В этом разделе будут рассмот-
рены более реалистические расчеты коллективной потенциальной
энергии. Имеется много различных подходов к этой проблеме, на-
чиная с работ Пфирша [42И и Моттельсона и Нильссона [376]
по деформациям ядер, работы Беса и Шиманского [44], в которой
учитывались эффекты сверхтекучести, работ Ньютона [400] и Гупты
и Престона fl36], исследовавших возможность асимметричной де-
формации. Сравнительно недавно Кумар и Баранжер [318] иссле-
довали Ру-плоскость при у < 60', используя критерий самосогла-
сованное™. Они сделали вывод, что в действительности сильно де-
формированные ядра обладают аксиальной симметрией. Дитрих
и др. [152, 153] провели самосогласованные расчеты в приближении
Хартри—Фока—Боголюбова, используя «реалистическое» двух-
частичное взаимодействие (гауссово взаимодействие с надлежащей
примесью обменных сил). В принципе с теоретической точки зре-
ния это — один из лучших подходов; однако с расчетной точки
зрения он слишком сложен, чтобы его можно было широко приме-
нять.
Поэтому данное рассмотрение будет следовать работам Мозеля,
Грайнера и др. [251, <383, 385], а также Нильссона и др. [406, 407].
В этих работах также обсуждается устойчивость очень тяжелых
и сверхтяжелых элементов к делению. Именно эта специфическая
область применения стимулировала исследование коллективного
потенциала. Знание свойств коллективного потенциала позволяет
изучить не только основные состояния ядер, но и структуру ядер
при сравнительно высоких возбуждениях. Это существенно, на-
пример, при исследовании изомеров формы и других явлений в де-
лении (стабильность, промежуточная структура и др-).
382
1(10.135)
Как отмечалось выше (гл. 4 т. 1), коллективная потенциальная
энергия должна иметь вид
V (к121) = С2 х aPJpoj -? С3 [[cd2! х а!2Ц[21 X +
+ C4[[al2J х х [cd2l X )l°l + (10.134)
+ члены высшего порядка.
Коэффициенты при отдельных слагаемых этого выражения содер-
жат всю информацию о коллективном поведении ядра, кото-
рая связана с квадр у вольными координатами cd2J. Для нахожде-
ния этих параметров жесткости величина V (а|2]) преобразуется
во внутреннюю систему координат, где имеется только два парамет-
ра деформации и а2- Действительно, вследствие инвариантности
соотношения (10.134) по отношению к вращению исключаются из рас-
смотрения углы Эйлера. Различные моды колебаний, содержащиеся
в (10.134), можно всегда связать с основными инвариантами
[ои X П'2Ч[01 — ₽s;
IgA х |с[2] X ~ p8cos3y.
В собственной системе координат-величина V (c[2J) имеет следую-
щий вид:
V («(2J) = X Ктп ([*I2] X ^ajl[0])n X
X ([аР1 х [d21 X (10.136)
или, подробнее,
Г(с„, = + (10.137)
Это выражение не является простым разложением в ряд Тейлора
относительно сферической точки а0 — а2 — 0, так как в нем еще
содержится вращательная инвариантная структура поверхности.
Ряд Тейлора получается лишь в случае аксиально-симметричных
форм, т. е. для а2 = 0. Из (10.137) в этом случае находим
V(а09 0)= У Cmn (— 1)" (10.138)
Функция V (а0, а2 = 0) представляет собой потенциальную кривую
вдоль разреза а2 = 0 на поверхности потенциальной энергии в пло-
скости с0«2.
На рис. 10.13 схематически показана потенциальная энергия,
содержащая асимметричный минимум, н соответствующая потен-
циальная кривая. Значения кривизны, получаемые разложением
потенциала около минимума, необходимы в расчетах колебаний
типа а'о (Р) и а2 (у). Кривизна Сдеп барьера деления важна при
определении времени жизни по отношению к делению (см. § 10.4).
Для расчета коэффициентов жесткости Сш„ потенциальной энер-
гии в выражении (10.137) необходимо посредством микроскопиче-
383
ской модели определить энергию основного состояния ядра как функ-
цию параметров деформации. Во многих расчетах используется
одночастичный деформированный оболочечный потенциал Нильс-
сона. Гамильтониан в том виде, как он используется в работе [254],
имеет вид
Рис. 10.13. Схематическая картина сум-
jf! поверхности потенциальной эиер-
[с.монсгрирующая асимметричный
мпним\
-4-Ыу г/2 -J- z2) С1 • S -г
+ Vo(r. 1. s). (Ю.139)
Отметим, что для расчета по-
тенциальной энергии в момен-
ты времени после прохожде-
ния седловой точки деления
модель Нильссона неприме-
нима. Вместо нее часто ис-
пользуют двухцентровую обо-
лочечную модель 15, 272, 388,
465]; см. также § 10.6.
Связь между параметрами
деформации (о^со,, и <oft.oz и
коллективными координата-
ми а0 и а2 находится с по-
мощью условия самосогласо-
ван ности. Это условие тре-
бует, чтобы распределение
вещества я эквипотенциаль-
ные поверхности были оди-
наковыми. Если потребовать,
чтобы квадрупольная форма
/? = /?(,{1+ц0Г204-
4“ а-1 0^22 4" У2-г)}
н эквипотенциальные поверхности выражения (10.139) имели оди-
наковые главные радиусы кривизны (радиусы вдоль главных
осей х, у, z), то получаем
оА. =. соо [ I —~ V5/л Цц + ~ V15/2л с2 j *;
(.};1 = соо | I-^-1/5/л а0—-~ 1/15/2лаг | *;
= <!>„(! 1- 1/5/л о„ ) ‘
(10.140)
(см. также рассмотрение модели деформированных оболочек в
гл. 9 т. 1). Условие сохранения объема для эквипотенциалей имеет
ВИД
0)z = <£>„(. == const. (10.141)
Если в микроскопических расчетах используется гамильтониан
(10.139), то результаты носят ограниченный характер, так как все
эквипотенциальные поверхности выражения (10.139) являются
эллипсоидами. Эти эллипсоиды можно аппроксимировать квадру-
польной формой, указанной выше, только в случае малых деформа-
ций. Кроме того, для исследования процесса деления требуется раз-
деление ядра на две (илн более) части, когда параметр «деформации»
становится большим. Очевидно, в рамках модели Нильссона это
невозможно. Следовательно, для таких процессов нужна двух
(или более) центровая оболочечная модель. Поэтому в дальнейшем
мы ограничимся исследованием коллективной потенциальной энер-
гии в окрестности основного состояния ядра, т. е. для малых а0
и а2.
10.3.1. Расчеты коллективной потенциальной
энергии (КПЭ)
Рассмотрим сейчас расчет КПЭ в рамках несколько более общей
микроскопической модели, нежели (10.139). Заметим сначала, что
эффективный одночастичный потенциал (г, I, s) также зависит
от импульса. Если представить эту зависимость наиболее простым
образом, используя понятие эффективной массы ir*, то член
—р2 (1/т — 1/т*) нужно включить в одночастичный потенциал
ц,=у;-р2(-~ Ai- (10-142)
\ т т* /
Тогда полная энергия ядра содержит член р*/2т* вместо $Ч2т.
В этих соображениях заключена некоторая хитрость. Ее можно уви-
деть следующим путем. Полная энергия ядра определяется выра-
жением
<‘°-143)
Здесь Vti — двухчастичный нуклон-нуклонный потенциал. Одно-
частичиый потенциал, действующий на один нуклон, скажем г-й,
образуется действием всех остальных нуклонов / =/= i. Следова-
тельно,
(10.144)
н поэтому
я=2[ (4+тМ- (10145>
381
13 Зек. 532
385
(10.148)
(10.149)
Теперь видно, что если одночастичный потенциал Vo (/) содержит
член вида (10.142), то выражение (10.145) принимает следующую фор-
му:
я = 2 (“+4l’;+)|. (i0l46)
где
V7;(0 = Vo(/) + p?I —---J. (10.147)
\ т т* !
Потенциал V'o (i) не зависит от скорости. Тот факт, что в полной
энергии [см. соотношения (10.145) и (10.146)1 масса нуклона просто
заменяется эффективной массой, является причиной, из которой
вытекает утверждение (10.142). Если включить зависящие от ско-
рости члены вида (10.142) в гамильтониан (10.139), то он приобре-
тает вид
~ ' ~Г V о («О, ^2’ 1’ S)*
где
1 _ 2____1_
к* т* т
и р* — эффективная масса в одночастпчном уравнении движения.
Она может быть существенно меньше, чем реальная эффективная
масса т*: если ш* = 0,7/п, то р* == 0,5 т.
Далее из одночастичиых энергий, определяемых из уравнений
ЯоДПОчХп = f-F; + V’»(O0’ °"-’ Г’ ’> S)V» =
\ 2р* /
= е,г («о, я2) Хп («о. «2. r). (10.150)
требуется найти полную энергию ядра. Из одночастичных решений
Хг, (а0, п2, г) можно сконструировать волновые функции основного
состояния Л-частичной системы заполнением одночастичиых сос-
тояний до границы Ферми, т. е.
|0) = Л П Xi («о, «2, Г|). (10.151)
1 = 1
Как и в выражениях (10.15) и (10.18), относящихся к модели ква-
зиспииа, коллективная потенциальная энергия определяется как
ожидаемое значение полной энергии (10.143) в модельном основном
состоянии (10.151), т. е.
V = /о| у 4 + 4 v 1Л,-| (10.152)
386
Предполагая, что средний одиочастичный потенциал для i-й час-
тицы в соответствии с (10.142) п (10.144) имеет вид
(0 = 2 V,J := V Л' + г')+с1>- s< -г
I * I
J-D(l2-<l?>,v) -р? (—------М =
\ т т* 1
= Vr.„4-V.(l(, s,)-pf ('-!-М (10.153)
\ т т* f
где Vr.o — потенциал гармонического осциллятора, имеем
V (а0, с2) = (0 | 2 | 0\ -1- /о | 2 v’o (0 | 0\ -
-<012 °>(т+£) +т<°|?l^o(0+V.(l„s,)]|0>=
“ <о|^[р?/(2р*)-{-Vr.o(г)н-Vofij, S;)]|o> (у- + ц*/(4т) j -j-
+ (p*/(4m)) <0|p?/(2p*) — Vr.o(0 —V0(l„ Sj)|O> =
= ~ О + H*/(2m)) 2 £' (cd. cs) —
— (li*,'(4m)) <012 [С1,- s, H-D (If — 10>. (10.154)
На последнем этапе выкладок был исключен член
Причиной тому явились два факта: а) для одномерного осцилля-
тора ожидаемые значения потенциальной и кинетической энергии
одинаковы; б) каждое одночастичное состояние в уравнении (10.150)
имеет фиксированное главное квантовое число N — nt + п2 -f- п3,
если пренебречь смешиванием N-оболочек вследствие слагаемого
в потенциале, пропорционального I2.
Выражение (10.154) довольно просто. Оно содержит только
сумму одночастичных энергий ег- по занятым состояниям н легко
вычисляемые поправки из-за слагаемых с угловым моментом.
Напомним предположения, заложенные при получении .этого ре-
зультата.
1. Было весьма существенно предположение о потенциале гар-
монического осциллятора; однако, по-видимому, это предположе-
ние не вносит слишком сильных ограничений.
13*
387
2. При нахождении одночастичного гамильтониана (10.150)
ядерная материя предполагалась несжимаемой; любые поправки
на сжимаемость, вероятно, являются плавными функциями дефор-
мации. Однако хорошо известно, что любое нарушение условия
несжимаемости весьма сильно влияет на вид выражения (10.154);
см. 15, 465].
3. Пока что пренебрегалось кулоновскими силами. Их следует
включить в приближении, что константы одночастичного потен-
циала протонов и нейтронов различны. К этому вопросу мы вернем-
ся ниже.
4. Пренебрегалось остаточным двухчастичным взаимодействием.
Известно, что это взаимодействие существенно и в сферических, и
в деформированных ядрах как для определения относительного
положения уровней, так и для расчета корреляций нуклонных пар
(спаривательное взаимодействие). Особое внимание будет уделено
учету спаривательного взаимодействия, так как оно влияет на фор-
му КПЭ, стремясь создать сферическую симметрию.
5. Сделаем теперь приближение, состоящее в пренебрежении
членами выражения (10.154), зависящими от углового момента. Ко-
нечно, это не очень грубое приближение, так как ожидается, что
ls-члены более или менее усредняются. То же справедливо для
членов Is— < 12>л', которые дают нулевой вклад, если суммиро-
вание проводится по всей оболочке.
С этими ограничениями и замечаниями приступим теперь к уче-
ту кулоновских сил.
Кулоновская энергия. Рассмотрим сначала куло-
новскую энергию Ес (по, я?)- В принципе ее следует определять
как остаточное взаимодействие для частиц, движущихся в одночас-
тпчном потенциале (10.150). Эта процедура, к сожалению, весьма
сложна. Поэтому обычно определяют кулоновскую энергию одно-
родного протонного распределения для ядра, форма которого оп-
ределяется выражением
R = (] П" 20 “t" ^2 0 22 "Г } 2—2))-
В работе [44] показано, что влияние отклонений от однородного
распределения заряда мало. Для аксиально-симметричного эллип-
соида (а2 = 0) кулоновскую энергию можно вычислить аналити-
чески [1111:
Ес (««. 0) = ( рр (г) рр (г') | г — г' I -1 dr dr' =
R
= £с (0) (1 — л)1I3 1 I Arth для x > 0 (вы™11)™8);
ГТГГ (arctg/| x\ для x<0 (сплюснутый).
(10.155)
388
Здесь R = Rc (1 + Ес (О) — кулоновская энергия сферы
радиуса R„ и
, __ i+
х=—/5/яо0-------г------т. (10.156)
2 ^1 + у/5/«о)'
Для того чтобы найти зависимость Ес от а2, можно использовать
тот же метод, что и при расчете окончательной КПЭ. Именно, если
разложить Ес (fi0, 0) из соотношения (10.155) в ряд до четвертых
членов по а0, получаем
Ес(а0. 0) = £с(0) [1 - A а’+
<10157>
Величина Ес («о, а2) должна быть вращательно-иивариантной ^см.
выражение (10.137)1, так как вращательно-инвариантна полная
КПЭ. Это требование однозначно определяет функциональную зави-
симость Ес от а2 с точностью до членов четвертого порядка, так как
общая структура Ес (о0» а2) также должна иметь вид (10,137).
Следовательно, получаем
Ес(а3, аг) = Ес(0) р —^-(а’ + 2а|)—
<10158)
Это выражение для кулоновской энергии будет использовано ниже.
Следует отметить, что в сумме по одночастичным энергиям в вы-
ражении (10.154) содержится дополнительная кулоновская энер-
гия
Е’с= 2 <»|(Dp-On)(l,-<l2>«) + (CP-Cn)lS|i>. (10.159)
Она возникает вследствие различия оболочечных параметров для
протонов (Пр, Ср) и для нейтронов (£>п, Сп). Величина Ес обраща-
ется в нуль в пределе больших деформаций. Поэтому ее нужно ин-
терпретировать как оболочечную поправку к классической куло-
новской энергии (10.158).
На рис. 10.14 показано влияние кулоновской энергии на КПЭ
для сферического н деформированного ядер. В целях простоты пока-
заны только потенциальные кривые (разрез поверхности вдоль оси
г0). Эти кривые ясно показывают, что кулоновская энергия стре-
мится деформировать ядро. Более точно, кулоновские силы имеют
два эффекта: во-первых, они стремятся увеличить деформацию ос-
389 .
новного состояния ₽0 и, во-вторых, они стремятся увеличить «энер-
гию связи деформации», определяемую выражением
_ЕДеФ = У(«<. = 0, fc = 0) -Г(со = р„, с3 = с2), (10.160)
где 0О и а2-—• координаты энергетического минимума. Как следует
пз (10.160), энергия деформации Едеф определяет разность в потен-
циале между сферической точкой и потенциальным миниму-
мом. Помимо этих двух эффек-
тов кулоновские силы имеют
другое важное свойство: эти си-
лы могут оказаться решающими
в вопросе, будет лн форма ядра
вытянутой и аксиально-симмет-
ричной либо асимметричной,
илн сплюснутой. Ясно, что ку-
лоновская энергия сплюснутой
формы меньше, чем для вытяну-
той формы (сигара), при одной
и той же абсолютной деформа-
ции aG j. Формально это можно
увидеть из выражений (10.157)
и (10.158), из которых следует,
что сплюснутая форма (о0 <Z 0)
предпочтительнее вытянутой
формы \а0 > 0) на удвоенный
член третьего порядка (при
одном н том же i«oj). Так
как при переходе от вытя-
нутой формы к сплюснутой
ядро проходит через область
с асимметрическими формами
(см. рис. 10.13), то можно сде-
лать вывод, что кулоновская
энергия также влияет на жест-
кость у-колебаний. Далее это
будет видно на примере изото-
пов осмия.
. Наиболее важные остаточные
силы помимо квадрупольных — это силы спаривания. Так как квад-
рупольные силы эффективно содержатся в деформированном поле
(10.139) квадрупольной формы, что в формуле (10.154) нужно произ-
вести только модификацию, чтобы включить парные корреляции.
Для этой цели вспомним, что полная энергия основного состояния
БКШ, согласно соотношению (9.204), дается выражением
U = <БКШ | U—IN | БКШ> =
Рис. 10.14. Влияние кулоновских сил
на потенциальные кривые сферическо-
го (I44Nd) н деформированного (IC4Dy)
= 2 К- 207,- 2 Аки,л.
Й>0 V 2 7 fe>0
(10.161)
Упростим задачу аналогично тому, как это делалось прн выводе
соотношений (9.168)—(9.171). Предположим, что матричные эле-
менты спаривательного взаимодействия одинаковы; следовательно,
щель не зависит от k, Afe = А. Тогда для последнего члена предыду-
щего выражения легко находим
k2 Afe uh vk = G’1 A2. „ (10.162)
Здесь использовалось соотношение (9.169). Далее идентифицируем
потенциал уБКШ? содержащийся в (10.161), с одночастичным по-
тенциалом Vo (k), определяемым выражением (10.153). Тогда ясно,
Рис. 10.15. Влияние парных корреля-
ций на кривые потенциальной энергии
V(a0, 0) в сферических и деформиро-
ванных ядрах. Сплошные кривые
включают спаривательные силы, в то
время как пунктирные не включают
их. Обе кривые нс содержат куло-
новской энергии
что первый член выражения (10.161) можно преобразовать таким же
способом, как это было сделано ранее с выражением (10.154). Од-
нако каждое слагаемое теперь нужно умножить на удвоенную ве-
роятность заполненности одночастичного состояния k, где /г 0.
Таким образом, в сверхтекучей модели КПЭ имеет следующий вид:
2 (ф± 2 2vt j
Р. П \ Z Вж }k> о
—<'/-1А2--|-£'сг(а„,сг). (10.163)
В связи с этой формулой следует сделать два важных замечания:
во-первых, пренебрегается членами
,2 <*ICls + D(P-<P>w)|fe)20i, (10.164)
390
391
зависящими от углового момента (см. вышеп. 5), и, во-вторых, сум-
мируются состояния только с k > 0.
Разумеется, силы спаривания стремятся создать сферическую
форму ядра. Количественно это можно видеть на рис. 10.15 для сфе-
рического и для деформированного ядер. Потенциал в сферической
точке (с0 = 0, а2 = 0) для деформированного ядра 1G4Dy вследствие
сил спаривания понижается примерно на 11 Мэв, в то время как
в точке минимума а0 = 0,5 понижение составляет лишь около
2 Мэв. Очевидно, это приводит к сильному уменьшению энергии
деформации (примерно на 9 Мэв), причем положение минимума
а0 — ₽о меняется слабо. Из рис. 10.15 также ясно, что учет спари-
вания уменьшает кривизну потенциальной кривой около деформа-
ционного минимума (т. е. жесткость 0-колебаний) примерно в два
раза. В случае сферических ядер (в данном случае 144 Nd) в отсут-
ствие спаривания энергия в минимуме а0 — а2 = 0 больше, чем для
конечных деформаций; следовательно, жесткость этих ядер при
учете парных корреляций возрастает (примерно на 80%). Поэтому
можно сделать вывод, что одночастичные конфигурации в ядре опре-
деляют основные особенности ядерной жесткости, а силы спарива-
ния весьма существенны для определения величин жесткости и
тем самым для определения энергий коллективных колебаний.
10.3.2. Коллективные потенциальные энергии ядер
редкоземельной области
В этом разделе мы исследуем КПЭ для различных редкоземель-
ных ядер; это дает типичные результаты, а также показывает мощ-
ность используемых методов. Сначала необходимо кратко изложить
практический метод расчета и привести параметры, используемые
в вычислениях.
В принципе необходимо рассчитывать потенциальную энергию
(10.163) в любой точке плоскости аоа2. Вследствие вращательной ин-
вариантности потенциальной энергии (10.137) требуется определить
лишь коэффициенты Стп. Если они известны, то энергия полностью
фиксирована [383]. Ясно, что не нужно считать выражение (10.163)
во всей плоскости ц0ц2, чтобы найтн эти коэффициенты. Например,
потенциальная кривая [см. выражение (10.138)] фиксирует боль-
шинство СтП’ Таким образом, в действительности достаточно вы-
числить, согласно (10.163), величину V (а0, 0) и затем найти боль-
шинство коэффициентов Сщп и, согласно (10.137), аналитически
продолжить КПЭ на всю плоскость а0о2. Однако используя только
потенциальную кривую V (а0, 0), некоторые из коэффициентов Стп
определить нельзя. Это легко увидеть нз соотношения (10.138).
Для членов, у которых иет взаимно однозначного соответствия меж-,
ду показателем степени 2п 4- 3/п и парой (л, т), можно найти толь-
ко сумму
2 (10.165)
i,k
2/^-3 t=2n+ Зиг
392
Коль скоро нас интересуют величины, зависящие только от а, т. е.
[’.-колебания, такой информации достаточно. Однако для полного
определения КПЭ требуются дополнительные сведения. Если рас-
считать потенциал по формуле (10.163) вдоль линии а0 — а0 [т. е.
V (До, Д2)1 см рис. 10.13], то все коэффициенты Сти. можно опреде-
лить однозначно. Действительно, на рнс. 10.13 показаны потен-
циальные кривые, рассчитанные для определения коэффициентов
Стп в точках, помеченных кружками. Поэтому совершенно доста-
точно микроскопически вычислить только две кривые — V (а0, 0)
и V (а0, с2) — с одним н тем же а0 для всех ядер; это позволяет опре-
делить всю КПЭ, фиксируя Стп по этим кривым. Такая процедура
имеет то дополнительное преимущество, что КПЭ дается аналити-
ческой функцией «о и а2 и, следовательно, cdal в соответствии
с (10.136) и (10.137). Это, в частности, полезно для нахождения
спектров коллективного гамильтониана в днагонализационной про-
цедуре Гнойса и др. [232].
Изложим теперь детали расчетов. Параметры, входящие в га-
мильтониан (10.139) модели деформированных оболочек, были най-
дены Сигером [4731 тщательным исследованием одночастичных ор-
биталей для широкого класса ядер:
1----------ч (0,180 для протонов,
х =--------С/(Йсооо) = / г .
2 (0,210 для нейтронов;
x.v = х0 [— (N -ф 1)(7V + 2) 1 1/3 для различных TV-оболочек;
(10.166)
t _ 2D/C — | 0,620 для протонов,
I 0,308 для нейтронов;
^юоо (Р) = ^0)оо (п) = 35,5 А~Ч3 Мэв.
Далее не делается никаких подгонок одночастичных уровней. Учи-
тываются одночастнчные состояния с главными квантовыми числа-
ми вплоть до TV = 9 для нейтронов и TV = 8 для протонов. Ампли-
туды спаривательного взаимодействия брались равными
Gp = 29,0 А-1 Мэв; Gn = 24,0 А~1 Мэв (10.167)
для протонов и нейтронов соответственно. Базис состояний вклю-
чал 24 уровня, симметрично расположенных относительно границы
Ферми; они заполняли интервал энергий около 8 Мэв. Заметим,
что все использованные параметры находились из экспериментов,
не связанных непосредственно с нахождением КПЭ. Параметры мо-
дели деформированных оболочек фиксировались по эмпирическому
одночастнчному спектру, а константы спаривання — по эмпири-
ческим значениям спарнвательной щели, которая • обычно бралась
из четно-нечетных разностей масс. Поэтому в данном смысле теория
не содержит свободных параметров.
393
Теперь, возможно, наиболее интересный вопрос состоит в том,
будет ли надлежащим образом предсказываться теорией переход
от сферических к деформированным ядрам, а также обратный пере-
ход. Для исследования этого вопроса на рнс. 10.16 показаны ДПЭ
для редкоземельных ядер переходной области. Видно, что в то время
как ядра 148 Sm и 150Sm можно еще назвать сферическими, КПЗ
для ядра 152Sm имеет минимум глубиной 1,3 Мэе, соответствующий
394
108 112 116 N
-0,5
Рнс. 10.17. Квадруполь-
ные моменты первого 2+-
уровня изотопов Os, из-
меренные с помощью ре-
ориентационного эффек-
та [115];
-----— жесткий ротатор;
-----— расчеты Кумара и
Бараижсра [318]: -----—
аксиально-симметричной деформации а0 ~ |30 ~ 0,25. Особенно ин-
тересен тот факт, что потенциальная энергия ядра 160Sm уже ука-
зывает на возможность деформации. Однако минимум так плавен,
что энергия «нулевых колебаний» легко «покрывает» этот минимум.
Поэтому данное ядро представляет собой сильно ангармонический
сферический осциллятор с большой тенденцией к деформации. По-
тенциальная энергия для ядра 148Sm демонстрирует лишь слабо ан-
гармоническое квадрувольное колебание;
эта ситуация весьма типична.
На рис. 10.16, —ж изображены КПЭ
для изотопов осмия. Мы видим аналогич-
ную картину. Ядро 16COs сильно деформи-
ровано, причем энергия деформации равна
около 1,75 Мэв. Однако это ядро очень
мягко по отношению к у-колебаниям, что
подтверждается экспериментом (см. гл. 6
т. 1). Для изотопа 1880s минимум расплы-
вается в некоторое асимметричное обра-
зование вблизи оси отрицательных дефор-
маций. Заметим, что столь малые энерге-
тические разности могут находиться вне
рамок применимости теории. Далее отме-
тим, что минимумы энергии для ядер 190Os
и 192Os соответствуют сплюснутой дефор-
мации, очень пологи и приближаются к
сферической точке. Возможно, ядро ls2Os
нельзя называть деформированным. Здесь
наиболее интересный эффект состоит в изме-
нении знака деформации (знак квадрупольного момента) для изо-
топов осмия. Указания на такое изменение знака отмечались при из-
мерении квадрупольных моментов изотопов Os методом реориента-
ционного эффекта (рис. 10.17). Из рис. 10.17 можно видеть тен-
денцию квадрупольных моментов к изменению знака. Можно даже
предсказать, что такое изменение, вероятно, происходит сразу
после изотопа 192Os.
Эти примеры КПЭ демонстрируют многообразие свойств ядер.
В следующем разделе это станет еще более очевидным, когда мы об-
ратимся к предсказаниям, относящимся к сверхтяжелым элементам.
§ 10.4. ВОЗМОЖНЫЕ ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
СВЕРХТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
На нескольких характерных примерах предыдущего раздела был
продемонстрирован успех предсказаний многих свойств основных
состояний ядер методом КПЭ. В действительности можно было бы
гораздо больше сказать о различных предсказываемых величинах и
их согласии с экспериментальными данными. Часть результатов со-
держится в работах 144, 52, 307, 318, 383, 385].
.395
Обратимся теперь к одной из наиболее захватывающих попыток
предсказаний ядерной физики за последние годы, а именно к воз-
можному существованию стабильных или квазистабильных об-
ластей существования сверхтяжелых ядер (первые мечты о сверхтя-
желых ядрах содержались в фантастической книге Ганса Доми-
ника «Атомный вес 500» 1154]). Первые реалистические расчеты и
предсказания островков стабильности были сделаны в течение
1966—1970 гг. Мозелем, Грайнером и сотрудниками [196, 251, 383,
3851. а также Нильссоном, Ннксом и corp. 1406, 407]. Такие осгров-
ки должны существовать около Z = 114 и Z == 164, т. е. значитель-
но выше существующего в настоящее время конца периодической
системы при Z = 104,105. Долгое время полагали, что периодическая
система должна закончиться в трансурановой области, так как ку-
лоновская энергия ядра, пропорциональная квадрату заряда Z,
будет увеличивать вероятность спонтанного деления таких ядер и
может даже сделать их совершенно нестабильными. Однако такие
рассуждения пренебрегают важностью оболочечных эффектов, т. е.
дополнительной ядерной связью в окрестности заполненных обо-
лочек вследствие специальной ядерной структуры. Впервые обо-
лочечные поправки к формуле масс были введены Майерсом и Свя-
тецким [393]; см. также § 12.6 т. 1. В разд. 10.3.2 было показано,
что оболочечная структура очень сильно влияет на коллективный
потенциал н что остаточные силы, например спаривание, дополняют
оболочечные эффекты, делая их более резко выраженными.
Таким образом, для предсказания существования и положения
областей стабильности сверхтяжелых элементов нужно решить две
проблемы: во-первых, требуется экстраполировать стандартную мо-
дель оболочек на оболочки, не известные в настоящее время; это
позволяет определить магические числа протонов и нейтронов, боль-
шие соответственно 82 и 126. Во-вторых, нужно исследовать КПЭ
в окрестности сверхтяжелых дважды магических ядер и дать пред-
сказания барьеров деления н соответствующих времен спонтанного
деления, а также времени жизни по отношению к а-распаду и элект-
ронному захвату.
10.4.1. Экстраполяция оболочечной модели
Нужно быть очень осторожным при экстраполяции протонной и
нейтронной модели оболочек далее последних наблюдаемых маги-
ческих чисел, равных соответственно 82 и 126. В действительности
даже после того, как такие предосторожности приняты, остается
большой произвол. Возможно, именно это делает проблему столь
захватывающей. На основе гамильтониана оболочечной модели
(10.139) попытаемся использовать две системы параметров; одна сис-
тема (система А) была предложена Сигером и др. [473], а другая
(В) — Густафсоном и др. [254]. Обе системы получаются подгонкой
одночастичных спектров редкоземельных и актиноидных ядер.
396
Система А была уже приведена в (10.166); система В имеет
вид
j 0,0457 для протонов; _ j 0,750 для протонов;
!. 0,0633 для нейтронов; | 0,230 для нейтронов.
Существенное различие между системами Л и В состоит в том, что
в системеЛ величина и зависит от N, а в системе В — нет. Сравне-
ние сдночастичных спектров обоих систем (рис. 10.18) демоистрн-
рует удивительное совпадение магических чисел в обоих случаях прн
6з* 228
6й3/г
7hn/z-------
-------
^д72--------
228
_____ 7h1^
“ 63*г
— «ж
--------6д?7г
Рис. 10.18. Экстраполяция оболочечной модели в области Л'2%126 и
Z2>82 для нейтронов (а) и протонов (б). Левая часть каждой диаграм-
мы ’.ровней соответствует системе параметров А, а правая часть — си-
стеме параметров В [ 196J
Z > 82 и N > 126, даже хотя порядок уровней в середине заполне-
ния оболочек совершенно различен. Разумеется, это различие объяс-
няется разным выбором систем параметров.
Ясно, что относительно стабильные элементы можно ожидать
только в тех областях (Z2V)-плоскости, которые находятся доста-
точно близко к линии [3-стабильности. Стабильность ядер к [3-рас-
паду можно объяснить, по меньшей мере качественно, с помощью
классических формул (см. § 12.6 т. 1). На рнс. 10.19 показаны
трн возможные экстраполяции, каждая из которых воспроизво-
дит эмпирическую линию ^-стабильности для известных ядер.
397
Эти экстраполяции показывают, что долина р-стабильпых ядер
распространяется до А > 250. Сравнительно стабильные сверх-
тяжелые ядра можно ожидать только в дважды магических
точках внутри этой долины (2Д')-плоскости. На рис. 10.19
штрих-пунктирными линиями изображены магические линии, па-
раллельные осям Z и А7. Точки пересечения соответствуют дважды
магическим конфигурациям. Этот рисунок дает только качествен-
ную информацию о стабильности сверхтяжелых элементов в том
смысле, что он показывает лишь островки относительной стабиль-
Рис. 10.19. Зоология ядер в плоскости
(.V, Z) п экстраполированная долина
Р-стабильных ядер.
ности, но не содержит количественных оценок стабильности этих
островков, например времен полураспада. Островки должны воз-
никать вблизи Z = 114, Л' = 184 или N = 196 и Z --= 164, Л' — 318.
С меньшей уверенностью можно говорить о точке Z = 164, Д' = 272,
так как магическое число 272 получается только в оболочечной мо-
дели, характеризуемой системой параметров В. (Отметим, что впер-
вые магическое число протонов 114 упоминалось в работах 1196,
362, 4831.)
10.4.2. Коллективные потенциальные энергии
для сверхтяжелых ядер
По-видимому, наиболее важный тип распада сверхтяжелых эле-
ментов — это спонтанное деление; такой процесс обрывает перио-
дическую систему на трансурановых элементах. Поэтому сущест-
венно получить более количественные оценки времен полураспада
по отношению к делению для сверхтяжелых элементов, используя
398
КПЭ. Таким способом можно получить информацию о размере двух
островков. Так как сверхтяжелые ядра сферичны (дважды магиче-
ские оболочки), то достаточно исследовать потенциальные кривые
V (cio, 0); на рис. 10.20 показаны типичные примеры потенциальных
кривых.
Рассматривая их, нужно помнить, что теорема (10.139) для мо-
дели деформированных оболочек в качестве эквипотенциальных
поверхностей содержит только эллипсоиды. Это приближение
Рис. 10.20. Потенциальные кривые
0) для сверхтяжслых изотопов и
с 7=114 (п) ис 7=164 (б). Расстоя-
ние между соседними горизонтальны-
ми линиями равно 5 Мэв [251]
справедливо только при малых деформациях; при больших дефор-
мациях нужно использовать более сложные поверхности. Одним
из шагов в правильном направлении может быть двухцеитровая обо-
лочечная модель (см. § 10.6, а также работы [5, 272, 465]). С другой
стороны, максимумы барьеров деления сверхтяжелых ядер соответ-
ствуют сравнительно малым деформациям, а именно | а0 | ~ 0,2 <-
~ 0,3 (см. рис. 10.20). Это происходит из-за значительных куло-
новских сил, действующих в этих ядрах; нужно совсем небольшое
искажение, чтобы разделить ядро на две части. Таким образом, сед-
ловая точка сверхтяжелых ядер находится очень близко к области
сферичности; это изображено на рнс. 10.21. Поэтому можно описать
процесс деления сверхтяжелых ядер вплоть до барьера и даже не-
сколько дальше, ограничиваясь квадрупольными деформациями. •
399
Рис. 10.21. Вытянутая
форма ядра j?® Х18Д
в седловой точке
(пунктир). Сплошная
кривая соответствует
форме ядра в основ-
ном сферическом со-
стоянии, ₽в=0,25
В этом месте следует подчеркнуть, что аппроксимация двухмер-
ного — а - в более общем случае многомерного — барьера посредст-
вом одномерной кривой как функцией квадрупольного искажения
а0 является очень грубым приближением. Именно, требуется вклю-
чить в рассмотрение мультиполи более высо-
кого порядка, особенно октуполи [206, 207,
386]. Прн этом найдено, что высота и положе-
ние барьера претерпевают очень слабые из-
менения.
Для всех потенциальных кривых, изобра-
женных на рис. 10.20, типично следующее
свойство: потенциал стремится к бесконеч-
ности для очень -больших положительных и
отрицательных деформаций. Этот эффект пол-
ностью объясняется специфической формой
потенциала в виде эллипсоида. Например,
для очень больших положительных деформа-
ций эллипсоиды похожи на длинные сигары
или иглы (иглообразный эллипсоид). Поэто-
му нулевая энергия движения частиц, перпен-
дикулярного оси симметрии, стремится к бес-
конечности. Аналогичная ситуация возникает для сильно сплюсну-
тых форм. Следовательно, за седловой точкой следует принять на ве-
ру потенциальные кривые рнс. 10.20. Предполагают, что первый
максимум в этих кривых соответствует седловой точке. Ситуация
Рис. 10.22. Качественная картина барьера деления и величии, используе-
мых в расчетах времени жизни.
Сплошная кривая — типичный результат расчета в рамках модели деформирован-
подробно показана на рис. 10.22. Пунктирные кривые изображают
реалистический барьер деления. Части рассчитанной кривой, кото-
рые стремятся к бесконечности, должны быть опущены, так как они
возникли из-за дефектов выбранной одночастнчной модели.
400
Оказывается, что типичные свойства и поведение .известных
спонтанно делящихся элементов, а именно положительные деформа-
ции в основном состоянии и барьер деления, соответствующий поло-
жительной деформации, для сверхтяжелых элементов не сохраняют-
ся (см. рис. 10.20 и 10.22). Почти все сверхтяжелые элементы явля-
ются сферическими или обладают небольшой отрицательной дефор-
Рис. 10.23. Двумерная поверхность
коллективной потенциальной энергии
для ядра Ид Х184-
Числа на эквипотенциалах — энергия, Мэв.
0 0,1 0,2 0,3 0,0- 0,5 ап
видимо, делятся через сплюснутые
Рис. 10.24. Форма сверхтяжелого ядра
в сплюснутой седловой точке
мацией. Далее, в большинстве случаев для отрицательной дефор-
мации высота потенциального барьера на несколько мегаэлектрон-
вольт ниже, чем для положительной деформации. Таким образом,
многие сверхтяжелые ядра,
барьеры. Это весьма интерес-
ная гипотеза; ей следует уде-
лить несколько больше вни-
мания. Возникает вопрос,
как нужно интерпретировать
деление через сплюснутый
барьер? С физической точки
зрения кажется интуитивно
ясным, что ядра, делящиеся
через сплюснутую форму,
должны с высокой степенью
вероятности делиться более
чем на две части. Это положе-
ние подтверждается также
чисто энергетическими сооб-
ражениями. Оказывается, что
выход энергии прн много-
кратном делении сверхтяже-
лых элементов больше, чем
прн обычном бинарном про-
цессе. Это легко проверяется,
если рассмотреть полные энергии связи, приведенные в §12.6 т. 1.
Поэтому для сверхтнжелых элементов могут оказаться характер-
ными процессы деления на 3 и 4 осколка.
Имеется также вопрос, не возвратится лн ядро на путь деления с
положительной деформацией после прохождения сплюснутого барье-
ра. Для ответа на этот вопрос рассмотрим рнс. 10.23, на котором
401
показана типичная КПЭ для сверхтяжелого ядра Н®Хт. Пунктир-
ная кривая изображает возможный путь деления. Проблема состо-
ит в том, будет ли деление происходить в точке I или в точке II
(см. рис. 10.23). Частичный ответ можно найти при учете окту-
польных степеней свободы. Фрэзер и др. [206, 207] показал, что ок-
тупольные колебания Угз 4- У3_3 поверхности
Я= (1 Л" Я-20 20 4’ °22 О 22 + У2-й) + X С3ц V Зц)
м
становятся нестабильными в сплюснутой седловой точке, т. е. со-
ответствующие амплитуды п33, Сд_3 на сплюснутом барьере ста-
новятся большими. На рис. 10.24 показана форма такого сплюсну-
того ядра с большими октупольными деформациями а33. Отсюда
очевидно, что сплюснутая седловая точка приводит к предпочтитель-
ности тройного деления.
10.4.3. Времена жизни сверхтяжелых элементов
В этом разделе не ставится задача каких-то точных предсказа-
ний свойств сверхтяжелых элементов. Будут даны очень грубые
оценки их времени полураспада и исследовала зависимость времен
полураспада от параметров, в частности, от массового числа. Чтобы
получить, насколько это возможно, аналитические решения, аппрок-
симируем барьер деления параболой
V (п0.0) = Es —L Cf (а0-а^У- (10.168)
Здесь £,— высота барьера и а{"!) — положение седловой точки (см.
рис. 10.22), равное
(Ю.169)
Эта модель проникновения через барьер была предложена Хнллом
и Уилером [270]. Если к выражению (10.168) добавить кинетическую
энергию P-колебаний, то находим
н^-^-^Г~тс'(а^)г+ Е‘- <10170)
Аналитическое решение этой задачи приводит к проницаемости
/‘ схр 1 — 2Й-1 V2B(V(ao,0)~E,)dao =е~к. (10.171)
। Со J
Расчет проницаемости барьера аналогичен расчету, проведенному
Гамовым для исследования процесса радиоактивного а-распада.
Для решения этой задачи мы отсылаем читателя к учебникам
по квантовой механике.
402
Введем частоту деления при помощи соотношения
h^ = hVEjB. (10.172)
Тогда находим
. (10.173)
Асод
Здесь Ef—энергия возбуждения делящегося ядра. Предполагает-
ся, что массовый параметр В не зависит от п0. Конечно, это пред-
положение весьма грубо вследствие больших амплитуд а0, имею-
щихся в процессе деления [385].
Чтобы определить число актов деления за единицу времени, нуж-
но умножить величину Р на частоту сокОЛ/2зт колебаний поверх-
ности; величина сокод/2л равна частоте ударов о барьер. Имеем
Йо>мл = йУС^В, (10.174)
где Со — кривизна потенциальной кривой V (а0, 0) в основном сос-
тоянии (см. рис. 10.22). Тогда время жизни в секундах по отноше-
нию к делению оказывается равным
Наконец, можно вычислить логарифм периода полураспада /1/2
относительно спонтанного деления
- lg/i/2 [лет]- —28,04—1g0(о1{ОЛ)-Ь0,434^. (10.176)
Сверхтяжелые ядра в основном состоянии представляют собой
довольно хорошие гармонические квадрупольные осцилляторы.
Это видно из рис. 10.23. Поэтому, рассматривая спонтанное деление
из основного состояния сверхтяжелых ядер, находим, что энергия
возбуждения £/, появившаяся при определении величины К в вы-
ражении (10.173), равна энергии нулевых колебаний пятнмерного
квадрупольного осциллятора:
E,~~haKKI. *(10.177)
Это утверждение требует разъяснений. В литературе обычно ис-
пользуют только (1/2) Йсокол [406, 407, 536], предполагая, что мода
деления а0 никак не связана с другими степенями свободы и что поэ-
тому в седловой точке нужно вычитать энергию нулевых колебаний
всех связанных колебаний.
Это эквивалентно использованию с самого начала величины
Ef = (1/2)йокол. Иными словами, постулируется, что Ef должно
быть равно (1/2) й<окол вместо (5/2) А«кол, так как проблема деле-
ния сводится к одномерной задаче и другие четыре (или . более)
степени свободы несущественны в процессе деления. Эти соображе-
ния, по-видимому, некорректны, так как можно показать [251, 3851,
403
что мода а2 очень сильно связана с модой а0, приводящей к делению,
н что энергия ^-колебаний
E-t (а„) = ftl/C2 (а„)/В (<10)
сама зависит от а0 и сильно уменьшается в седловой точке в сравне-
нии с ее значением в основном состоянии. Далее, сферическое ядро
имеет в основном состоянии пять степеней свободы а2ц- В случае
деформированного состояния эквивалентами этих пяти координат
являются три угла Эйлера и две колебательные амплитуды а0,
а2. Так как вращения, описываемые углами Эйлера, не обладают ну-
левыми колебаниями, то нулевая энергия сферического ядра равна
(5/2) йсокол, в то время как для деформированного ядра она равна
(1/2) £₽ 4- £? (см. гл. 6 т. 1). Как уже упоминалось, Еу (а0) су-
щественно уменьшается в седловой точке. Поэтому разность энер-
гии нулевых колебаний в основном состоянии н энергии колебаний
в седловой точке больше (4/2) йшкоя. Таким образом, правильная
энергия нулевых колебаний в задаче о проницаемости, по-видимому,
определяется выражением (10.177). В работах [206, 207] исследова-
но влияние энергии нулевых октупольных колебаний на барьер
деления.
Из выражения (10.171) видно, что времена жизни чувствительны
к величине массового параметра В. Корректное значение В опреде-
ленно зависит от деформации; ожидается, что оно увеличивается
с ростом деформации. Если используют постоянное значение массо-
вого параметра основного состояния, то, по-видимому, времена жиз-
ни будут преуменьшены. Вместо микроскопического расчета инер-
циального параметра в основном состоянии (см. § 10.2) в работах
[248, 251, 383] использовалась эмпирическая формула, которая
была получена из значений В (Е2) и проверена на редкоземельных н
актиноидных ядрах:
h~2B = 2,5 • 10-3 А^'3 Мзв~г. (10.178)
На рис. 10.25 изображены результаты для времен жизни сверх-
тяжелых ядер в двух областях. В нижней области (7=1104-116,
N = 180 4- 190). возможны полные времена жизни, большие 1 года.
Более того, предсказывается даже несколько элементов с периодами
полураспада по отношению к делению до 109 лет. Тем не менее пер-
вая область стабильности довольно мала, в то время как вторая не-
сколько больше. Хотя имеется некоторая неопределенность в выборе
параметров оболочечной модели (см. разд. 10.4.1), мы видим, что
в окрестности ядра 1б1Х318 некоторые ядра, возможно, имеют чрез-
вычайно большие времена жизни относительно спонтанного деле-
ния.
Чтобы оценить стабильность относительно сс-распада, нужно
знать форму барьера для испускания а-частиц. Так как наши зна-
ния об этих a-барьерах в настоящее время весьма неудовлетвори-
тельны, то приходится ограничиться оценкой периодов полураспад
да сс-частиц, исследуя прохождение через обычный кулоновский
404
барьер. Таким способом получаем зависимость периода полураспада
/1/2 от значений Q для сс-распада [435]
1g Л /2 = q (ZQ-i /2—Z^3)—с2. (10.179)
Здесь Z — зарядовый номер дочернего элемента. Коэффициенты
сг = 1,61 и с.> -- 28,9 определяются с помощью подгонки эмпири-
ческих данных для ядер с N 126 [503]. Энергии связи сс-частиц
в сферических ядрах (ф-значения) рассчитывались с использова-
262. ' 270 * 278 ' 2ЛГ ’ 234 * 302 ' 310 ’ 318 ' 326 334 /V
Рис, 10.25. Периоды полураспада в 1g (лет) для сверхтяжелых
ядер двух островков около 7=114 и 2=164 [2511-
нием экстраполированных формул Майерса и Святецкого [393]
(см. также § 12.6 т. 1). Этн формулы можно также использовать для
исследования энергетической зависимости ^-распада.
Как можно видеть нз рнс. 10.25, малость времен жизни отно-
сительно а-распада существенно уменьшает число стабильных ядер.
Если принять во внимание также P-нестабильность, то. на
нижнем островке остаются изотопы cZ= 114, 112н 110. Этн изо-
топы стабильны относительно спонтанного деления, а- и р-распада
в течение более чем 1 мин. Ядро iuX1M должно существовать не-
сколько месяцев. На верхнем островке ситуация аналогична. Од-
405
нако в последнем случае следует иметь в виду, что эта область очень
сильно удалена от стабильных ядер, п экстраполяции могут оказать-
ся незаконными. Малые изменения оболочечной структуры, и
в частности энергий связи (формула масс), могут существенно из-
менить результаты.
Следующее замечание касается предпочтительности создания не-
четных ядер в сверхтяжелых областях. До сих пор такие ядра не об-
суждались. Однако ожидается, что времена жизни нечетных ядер
увеличены на фактор порядка 10я в сравнении с соседними четны-
ми ядрами [251, 363]. Это следует из того, что обычно барьеры деле-
ния нечетных ядер выше, чем четных, вследствие сохранения в про-
цессе деления углового момента вдоль оси симметрии (квантовое
число Д’— см. гл. 9 т. 1). Такой закон сохранения приводит к вы-
воду, что изменение квантового состояния нечетного нуклона
при пересечении уровней в модели деформированных оболочек
(для того чтобы энергия всегда принимала наинизшее возможное
значение ) запрещено «законом сохранения числа Д’».
Закончим этот раздел рядом оптимистических заключений:
представленные выше оценки выводились из нанхудших возможных
ситуаций. Весьма вероятно, что времена жизни сверхтяжелых
ядер гораздо больше, чем указанные выше (возможно, в ряде случа-
ев иа фактор 105 или даже больше). Каковы бы ни были реальные
времена жизни сверхтяжелых элементов, рассмотренная тема явля-
ется одной из самых обещающих областей физики и требует большого
внимания.
§ 10.5. ПЕРЕНОРМИРОВКА КОЛЛЕКТИВНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
В § 10.3 и 10.4 было найдено, что суммирование одночастичиых
энергий [см. выражение (10.163)], полученных для потенциала
(10.139) с учетом сохранения объема эквипотенциальных форм, а так-
же кулоновских и спаривательных эффектов, приводит к хорошим
предсказаниям относительно малых отклонений от равновесия.
Однако при больших отклонениях такая процедура непригодна,
так как рассмотренная модель деформированных оболочек асимпто-
тически некорректна; выше это отмечалось в связи с обсуждением
рис. 10.22. Имеются два пути преодоления данной трудности.
Возможно, наиболее удовлетворительный способ состоит в исполь-
зовании подходящей двухцентровой модели оболочек [5, 272, 465,
466]. Такая модель в настоящее время развивается н имеет много-
обещающее будущее. Она не содержит недостатков модели Нильссона
в том смысле, что допускает существование двух центров, вокруг
которых может концентрироваться ядерная материя при больших
параметрах деформации. Так как в конечных фрагментах эта модель
корректно воспроизводит оболочечную структуру, то она является
асимптотически корректной моделью для процесса деления.
В§ 10.6 будет рассмотрена двухцентровая оболочечная модель и ее
некоторые предварительные результаты.
406
Второй способ преодоления недостатков асимптотически некор-
ректной модели деформированных оболочек был предложен Стру-
тииским [490] и позднее интенсивно использовался Нильссоном и
сотр. [406, 407]. Это метод перенормировки, существенно предпола-
гающий, что среднее поведение потенциала деления правильно опи-
сывается моделью жидкой капли (МЖК) и что микроскопическая
модель ядра используется только для расчета оболочечных, поправок,
которые следует добавить к потенциалу МЖК- Такая идея явля-
ется обобщением более ранней идеи Майерса и Святецкого [393],
в которой к массовой формуле добавлялись оболочечные поправки.
диаграмма Нильссона
'^^(схематически)
Ситуация изображена на рис. 10.26, рисунок показывает, что полу-
чится при добавлении одночастичных энергий как функций де-
формации деформированного ядра. С увеличением деформации по-
тенциальная кривая идет вверх; как отмечалось, это — общее свой-
ство осцилляторной модели, учитывающей сохранение объема.
На рис. 10.26, б изображена схематическая диаграмма уровней
Нильссона, соответствующая потенциальной кривой на рис. 10.26, а.
Самые верхние заполненные уровни помечены маленькими
кружками, которые могут обозначать как протоны, так и нейтро-
ны. Наивысший кружок представляет границу Ферми. Когда
деформация растет, верхние нуклоны переходят с поднимающих-
ся уровней на опускающиеся. Это происходит в точках пересечения
уровней. Ясно, что это может вызвать понижение потенциала
на рис. 10.26, а, определяемого суммой всех одночастичных энер-
гий уровней как функций деформации. Такое понижение в свою оче-
редь порождает первый горб барьера деления.
407
Для еще больших деформаций имеется область, где опускающие-
ся уровни вблизи границы Ферми пересекаются с группой подни-
мающихся уровней, но здесь обе системы уровней остаются запол-
ненными. Таким образом, здесь нет причин, вызывающих большую
кривизну кривой энергии деформации. Отсюда следует, что кривая
полной потенциальной энергии загибается вниз. При еще больших
деформациях другая область пересечения уровней, изображенная
на рисунке, приводит снова к понижению кривой на рис. 10.26, а
и, следовательно, ко второму горбу барьера деления. Вопрос
состоит в том, откуда возникают повышения наклонов в по-
тенциальных кривых. В свете наших предыдущих рассмотрений
эллипсоидальных поверхностей ясно, что все одночастичные уровни
имеют тенденцию подниматься. Это непосредственно не видно
из рис. 10.26, б, так как энергии откладываются в единицах й(о0 (cfi).
Именно частота соо (й0), изменяющаяся с учетом сохранения объема,
вызывает общее повышение одночастичных энергий и потенциаль-
ных кривых [см. выражения (10.140) и (10.141)]. Теперь ясно, что
потенциальная кривая на рис. 10.26, а идет резко вверх, когда нет
пересечения уровней, и вниз в тех областях, где вблизи границы
Ферми происходит пересечение. Таким образом, реальная кривая
колеблется около средней растущей кривой, изображенной пункти-
ром. Даже если включить в потенциальную энергию кулоновскую
энергию, то она недостаточно велика, чтобы заставить кривую опу-
ститься (см. рис. 10.20). Недостатком модели является некоторая не-
определенность траектории деления МЖК- В действительности
шейка между двумя фрагментами деления может стать столь узкой,
что скорость увеличения поверхности с ростом деформации умень-
шится. Этот эффект приводит к тому, что кулоновское отталкивание
между двумя фрагментами превосходит притягивательный эффект
поверхностного притяжения, и, следовательно, кривая полной
энергии загибается вниз.
. Для того чтобы выделить что-то полезное из моделей типа Ниль-
ссона для барьеров деления обычных ядер, Струтинский определил
оболочечную поправку как разность между ‘значениями потенциаль-
ной кривой и средней потенциальной кривой (последняя изображена
на рис. 10.26, а пунктиром). Если ее добавить к потенциальной кри-
вой, полученной в рамках МЖК, как показано на том же самом ри-
сунке, то получается «реалистическая» потенциальная энергия,,
которая асимптотически корректна, так как параметры массовой
формулы, содержащиеся в МЖК, подбираются так, чтобы воспроиз-
водились энергии связи начального и конечных ядер.
10.5.1. Изомеры двугорбого барьера;
изомеры деления
Выше было показано, что вследствие оболочечных эффектов по-
тенциальные кривые могут обладать вторым минимумом. Вероятно,
он связан с минимумом в деформированном возбужденном состоянии,
408
определяемом КПЭ, рассматривавшемся в гл. 4 т. 1. Напомним,
что существование минимума предполагалось одной из возмож-
ностей, вытекающей пз общей геометрической структуры V (cd2l).
Утверждалось, что спектры некоторых ядер, например 16О, 40Са и,
возможно, 114Cd [249], можно интерпретировать как спектры по-
тенциальных кривых, изображенных на рис. 10.27, а. Обычно
такие деформированные возбужденные состояния с трудом распа-
даются в основное состояние; еще менее вероятно, чтобы из них
происходил процесс деления. Поэтому такие состояния были наз-
ваны изомерами формы. Кривая на рис. 10.27, б только количест-
венно отличается от предыдущей. Второй минимум расположен
Рис. 10.27. Типичный потенциал с деформированным
квазистаСильным возбужденным состоянием (изомер
формы) (п) (такая форма следует из общей струк-
туры КПЭ, рассмотренной в гл. 4 т. 1), б — двугор-
бый барьер деления, вытекающий из расчетов Стру-
тннского. Состояния в седле уширены, так как их
времена жизни ограничены вследствие легкого про-
никновения через наружный горб
так далеко, что состояния, находящиеся в этом втором минимуме,
не могут распадаться в основное состояние (у-распад), однако мо-
гут проникать через второй барьер, вызывая деление. Такие состоя-
ния названы изомерами деления. Ясно, что они также являются изо-
мерами формы.
Экспериментальная очевидность состояний первого типа видна
пз ядерных спектров. На рис. 10.28 показаны типичные примеры
спектров ядер 16О, 40Са и 114Cd. Ясно, что вращательные полосы,
построенные на изомерах формы, указывают на деформированный
характер этих состояний.
Изомеры деления были впервые обнаружены в 1962 г. С. М. По-
ликановым и Г. Н. Флеровым [427] в делении ядра 242Ат в («^-ре-
акции. Позже они были открыты во многих ядрах [55, 56,364,365,
366, 428]. Гипотеза двугорбого барьера подтверждается также рядом
новых измерений сечений деления, индуцированного нейтронами.
На рис. 10.29 показан выход реакции деления в зависимости от
энергии нейтрона для ядра 240Pu (Z =94, N = 146) согласно экспе-
риментальным данным работы [3701. В этом опыте нейтроны хорошо
разделялись по энергиям и деление наблюдалось только в малой
409
окрестности вблизи определенных энергий в виде резких резонан-
сов кривой выхода. Объяснение этому явлению было дано
В. М. Струтинским [490], а также Линном [342]; они показали, что
барьер деления должен быть двугорбым, как изображено
на рис. 10.27, б. В провале между двумя горбами есть несколько
квазистационарных состояний; их ширина довольно велика из-за
большой проницаемости наружного горба. В противоположность
этому состояния компаунд-ядра внутри двойного барьера имеют
Рис. 10.28. Изомеры формы и ПКПЭ, вытекающие из эмпири-
ческих спектров. Деформация изомеров формы измерялась
в ядре ,еО (ро=О,65) и 40Са (0о=О,47). См. также § 4.3 т. 1
малую ширину; они расположены очень близко друг к другу/так
как при столь больших энергиях относительно основного состояния
имеется много способов возбуждения. В действительности широкие
наружные состояния и резкие внутренние состояния нельзя пол-
ностью разделить. Они комбинируют в кластеры резких состояний
с возможностью проникновения через внутренний горб. Эти комби-
нации приводят к наблюдаемым резонансам, а также к наблюдаемым
короткоживущим изомерам деления, обнаруженным в (d, ^-реак-
циях. Это вызывает такое же уширение состояний, какое наблюда-
лось в других явлениях, связанных с входными состояниями, на-
пример в гигантских резонансах [129] и аналоговых резонансах
[351]. (Промежуточная структура аналоговых резонансов была
410
блестяще доказана экспериментально в работах Бильпуха и др.
[108, 337, 390, 401, 4131.) Для полного подтверждения картины
двугорбого барьера нужна дополнительная информация, например
определение квадрупольных моментов (деформаций) изомеров деле-
ния. Тогда бы мы были полностью уверены, что такие состояния
являются изомерами формы. Заметим, что в работах [385, 4101
6f, барн
юУ
8 -
500 1000 1500 2000 2500 ЕП1эб
Рис. 10.29. Деление, вызванное нейтронами. Данное наблюдение класте-
ров из резонансов для ядра 240Рн подтверждает структуру уровней дву-
горбого барьера
было предположено, что изомеры деления представляют собой ядер-
ные молекулярные структуры; по этому поводу см. также § 12.5
и12.Вт. 1.
10.5.2. Метод перенормировки Струтинского
Как подчеркивалось в предыдущем разделе, можно все же полу-
чить некоторую полезную информацию из асимптотически некор-
ректной модели Нильссона, если иметь метод для расчета оболочеч-
ных поправок. Их следует определять в рамках микроскопической
модели, т. е. должны быть рассчитаны как истинная потенциальная
энергия V, так и средняя потенциальная энергия V. Разность этих
величин определяет оболочечную поправку
6V = V—у, (10.180)
где
V= S 2eftv*—Да/6. (10.181)
ь > о
Выражение (10.181) содержит сумму по одночастичным состояниям
[см. уравнение (10.163)1. Кулоновская энергия в выражении (10.163)
опущена, так как она содержится также в величине V н поэтому
не влияет на оболочечную поправку. Разумеется, это справедливо,
коль скоро можно пренебречь оболочечными эффектами, связанны-
ми с кулоновской энергией.
411
Как вычислить средний потенциал V? По определению, это потен-
циал, не содержащий оболочечных эффектов, т. е. соответствующий
сглаженному распределению уровней, при котором исчезает обо-
лочечная структура. Таким образом, можно написать
FF
V = 2 (J e#(e)de. (10.182а)
Здесь g (е) — функция однородного распределения ядерных состоя-
ний и ер — соответствующая энергия Ферми. Предполагается, что
полная энергия U7 может быть записана в виде суммы энергии ка-
пельной модели Н7 и оболочечной поправки 6V = V — V, а также
остаточного взаимодействия 8FOCT; получаем
Г=№+6И+ 6<)-L £ ^> = Vno»+V№1 + 6V+6Vo„.
(10.1826)
(Заметим, что оболочечная структура может также повлиять н иа
остаточное взаимодействие.)
Все величины, входящие в выражение (10.182 б), являются функ-
циями коллективных координат; можно идентифицировать эти ко-
ординаты с коллективными квадрупольными координатами ц0,
а2, когда последние малы; на больших расстояниях они переходят
в расстояние между кластерами.
Наиболее важная величина в данном рассмотрении — это «функ-
ция однородного распределения уровней» g (е), которая входит в
определение однородного одночастичного потенциала V (10.182).
Струтинский постулировал ее следующим образом:
g (в) = (ят*)-1 /2 S ехр [ — (е — ev)7?2] X («)• (10.183)
Таким образом, каждый индивидуальный уровень > разма-
зывается по интервалу у около величины ev. Отметим, что выполня-
ется условие нормировки
$ iv(e)de==l.
Суммирование проводится по энергетическим уровням в энергети-
ческом интервале у Vn около точки е. Для того чтобы получить од-
нородное распределение плотности уровней, величину у нужно
взять порядка расстояния между оболочками h<a0 = 41 Л-1/3 Мэв.
Тогда значение g не будет зависеть от у. Имеется еще относительно
малая по величине, но существенная поправка к g (е), которую
следует учесть. Это поправка на кривизну распределения плот-
ности уровней в интервале у, которая корректирует значение g,
412
определяемое выражением (10.183) таким образом, чтобы получить
точное значение g при энергии е; g (е) выбирается в форме плавных
полиномов по е. Функция g (е) должна обладать следующими свой-
ствами: в целом она должна быть плавной, имея характерный масш-
таб L порядка энергии Ферми, и короткодействующие флуктуации
с типичной длиной волны порядка энергетического расстояния между
оболочками. Проблема состоите том, чтобы найти плавную функцию
плотности уровней g (е), которая сохраняла бы длиннодействующне
изменения, но устраняла бы короткодействующие осцилляции,
т. е. оболочечную структуру.
Можно сформулировать данную задачу, записав g (е) в следую-
щей форме: ~g (е) = gL (с) ~r gs (е) 15101. Здесь gL (е)— медленно
меняющаяся часть, a gs (е) — более быстро флуктуирующая часть.
Если сгладить быстро флуктуирующую часть, то это, вообще гово-
ря, меняет и плавную часть. Мы хотим избежать такой ситуации.
Чтобы не менять функции gL (е), вводится корректирующий фактор
f (и) — f ——-'j посредством выражения
—:----/(п)е-«\ (10.184)
у
Здесь у •— ширина гауссовой кривой. Следовательно, нужно, чтобы
плотность уровней g (е) с распределением (10.184) воспроизводила
плавную часть плотности уровней gL (&v) при энергии ₽-v, а именно
f —L- / (w) е-“* deg (е) = gL (ev).
-Too
Это эквивалентно двум соотношениям:
С —^=-/(u)e-“‘gt(e)de=gt (ev) (10.185а)
J -I'n-yS
н
С —1— f (и) е~gs (е) de = 0. (10.1856)
J У ЛуЗ
Из этих уравнений можно определить / (и) таким образом, чтобы оба
соотношения (10.185) приближенно выполнялись.
В случае, когда gL (в) — конечный полином порядка р, функцию
f (и) можно определить точно. Из уравнения (10.185 а) имеем
(при 0 п р)
J unf(u)e~u*du = bn0.
413
Постулируя выбор / (и) в виде полинома
/(«)= vCiW/,
после вычислений находим [5101
Сг = 0 для все?; I > р,
Cf = 0 для всех нечетных i
2 С,2 “ '"+0 (» + i-l)!l = 6„0.
i четные
Это уравнение можно решить относительно коэффициентов Ct.
Другими словами, если gL (е) — полином порядка р, то f («) ока-
зывается полиномом порядка р с членами только четного порядка.
После проведения такой процедуры при сглаживании остается толь-
ко функция gL (в).
Данный рецепт предусматривает также исчезновение при сгла-
живании короткодействующей флуктуирующем части плотности
gs(e)« Представим член Bgs (е), имеющий наибольшую длину Z волны,
в виде
gs(e) = ^exp[ie/>.].
Если этот член при сглаживании пропадает, то исчезают и члены
с более короткими длинами волн. В этом месте следует заметить,
что если полином f (//), о котором говорилось выше, заменить поли-
номом fm {и) порядка т <Z р, то распределение gL (е) сглаживает-
ся не полностью, т. е. уравнение (10.185а) будет выполняться толь-
ко приближенно. Можно рассчитать выражение (10.185 6) с такой
приближенной функцией fm (//) и найти, используя gs (е), следующий
ответ:
?s= i —= fm(u) e-“’gs(e)de =
• i' -ti*
Это — мера ошибки данной процедуры. Беря предел tn -+ оо,
можно выполнить суммирование; получаем результат ехр [(у/‘2Х)2].
Таким образом, находим
Ss = gs(e).
414
т. е. функция gs (е) при сглаживании не обращается точно в нуль.
Ясно, что сглаживание более эффективно, когда у велико по сравне-
нию с X.
Аналогичным способом можно получить оценку погрешности, до-
пускаемой в соотношении (10.185 а). Заменим / (о) на fm (и). После
вычислений находим, что в случае т ~ р — 2 погрешность равна
t _ \т~У2 г, /т + 2
fez. —(V'^Z j.^/n-l-2 ‘т }
(10.1866)
где ар — коэффициент в р-м члене gL (г), а]
/«+2 = —L- С ит+2 /т (и) ехр (—z?) du =
тЛя J
^(-iy«/2
/n-р i + 1
2*-Pi
0-4'4
При заданном m величина t.L будет мала, если у мало в сравнении
с L.
На рис. 10.30 показана суммарная ошибка | | -р j fes |
как функция у для случаев т = 0, 6, 100. При малых значениях у
доминирует член Is- Если у = 0, то Is максимально, т. е. сглажи-
Рис.
10.30. Суммарная ошибка
|5x| -|-|V| в зависимости
от у [5Ю|
вание отсутствует; с ростом у
величина убывает. Ширина Is
зависит от т. Она больше для
больших значений nz, и прит->оо
величина |$ имеет бесконечную
ширину, так что при любом у не
происходит сглаживания. Из ри-
сунка можно увидеть две сущест-
венные особенности. Во-первых,
нужно использовать значение т,
которое не слишком велико (так
чтобы не размазывалось по всем
значениям у) и не слишком мало
(так чтобы |s не было велико даже
для значений у, близких к 2Х).
Во-вторых, нужно выбрать значение у
суммарная ошибка была минимальна. , ,
выбранного значения tn (т = 6 на рис. 10.30) имеется действи-
тельно плавная область, внутри которой суммарная ошибка мала
и не зависит от у. В расчетах обычно используют это значение т.
Обсудим теперь величину 6V0CT из соотношения (10.182). Ее
нужно определять, рассчитывая влияние остаточного взаимодейст-
вия на основное состояние в рамках оболочечной модели, используя
усредненные одночастнчные уровни. Разность двух результатов опре-
между 2Z и /. так, чтобы
Для надлежащим образом
415
Рис. 10.31. Кривые потенциальной
энергии для изотопов сверхтяжелого
ядра 7=114, полученные методом
оболочечной поправки. Каждая точка
соответствует энергетическому мини-
муму по отношению к Що [406]
деляет оболочечную поправку из-за остаточного взаимодействия
«Уост-
Описанный метод оболочечной поправки интенсивно использо-
вался Нильссоном и corp. [406, 407] в рамках модели деформиро-
ванных оболочек. Потенциал капельной модели находился путем
расчета поверхностной и кулоновской энергии для эллипсоидальных
форм потенциала модели Ниль-
ссона. Типичный результат тако-
го расчета показан на рис. 10.31.
Приведены потенциальные кри-
вые, полученные для различ-
ных изотопов ядра с Z = 114.
Сравним их с кривыми на рис.
10.20. Заметим, что в действи-
тельности нужно учитывать так-
же деформации типа и ми-
нимизировать потенциал по ai0
при фиксированном а0. Нильс-
сон и сотр. [406, 407] рассмат-
ривали деление только через
вытянутую форму п использо-
вали в качестве энергии нулевых
колебаний величину (1/2) Й<окОЛ
вместо (5/2) Лсокол. Как под-
черкивалось в разд. 10.4.3,
это приводит к переоценке
барьера деления примерно на
1—3 Мэв. В результате времена
жизни оказываются завышенны-
ми в 10°—10я® раз.
Нужно иметь в виду, что для
деформаций, больших изобра-
женных на рис. 10.31, потенциальные кривые снова начинают стре-
миться к бесконечности, так как использованная капельная модель
в пределе больших деформаций приводит к бесконечной поверхност-
ной энергии. Задача энергии нулевых колебаний для таких эквипо-
тенциальных поверхностей рассматривалась в § 10.4.
§ 10.6. ДВУХЦЕНТРОВАЯ ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ
В предыдущем разделе уже отмечалось, что в теории деления
ядер требуется асимптотически корректная оболочечная модель.
В самом деле, из физических соображений очевидно, что с помощью
одноцентровой модели, например модели Нильссона невозможно
описать процесс ядерного деления на всех этапах начиная от основ-
ного состояния делящегося ядра и кончая образованием двух раз-
дельных фрагментов. Вместо этого нужно в модели деформирован-
ных оболочек ввести возможность образования конечных фрагмен-
416
тов. Это можно сделать, конструируя двухцентровый осциллятор
вместо одноцентрового [272]. Кроме того, в потенциал нужно ввести
члены 1s и I2 [5,464]. Таким образом гамильтониан имеет вид
Я = 7+К(р, zHV(lh 12)^я0 + У(1ъ 12), (10.187)
где
V(p, г) + У(1ъ 12) =
= ( ®ipP2 + o>u(?-z1)2 + CI1s + D(I? —<и», г>0;
2 I ^pp2 + <.>h(z-z2)2 + CI2s + D(ll-(l|», z<0. (10-188>
Здесь 1Д и 12 — операторы углового момента соответственно по от-
ношению к центрам zx и z2 (см. рис. 10.32). Заметим, что надлежа-
щий выбор частот н параметров С и D приводит к правильному пере-
ходу от сферической (или деформированной) оболочечной модели
одного ядра к сферической (или деформированной) оболочечной мо-
дели двух ядер. При малых расстояниях между центрами zx и z2
должна получаться модель Нильссона, в то время как иа больших
расстояниях модель непрерывно переходит в двухцентровую оболо-
чечную модель Нильссона.
Сначала рассмотрим члены выражения (10.188), не зависящие
от 1. Если известны собственные функции Но, то диагонализация
зависящих от I операторов в V (1Ъ 12) не представляет труда. Далее
ограничимся здесь случаем, представленным на рис. ю"32, а, т. е.
<д1р = (В2р = <dlz = <022. (10.189)
Самый общий случай, когда все четыре частоты различны, несколь-
ко более громоздок, так как уравнение Шредингера не расщепляется
пор иг. Соответствующее рассмотрение содержится в работах [272,
352, 465].
На рис. 10.32, а показаны геометрические формы, соответст-
вующие нескольким наборам частот в (10.189), для различных рас-
стояний между центрами. Из этого рисунка и из гамильтониана
(10.188) непосредственно видно, что соответствующий потенциал со-
держит оба существенных граничных условия в теории деления яд-
ра: он правильно описывает начальную стадию процесса деления
(основное состояние и структуру делящегося ядра), а также окон-
чательную стадию, состоящую из двух разделенных фрагментов с их
индивидуальной структурой. Так как осцилляторному потенциалу
не соответствует никакая энергия разделения, предполагают, что
на конечной стадии расстояние между центрами больше двух ядер-
ных радиусов. Однако влияние конечной глубины потенциала на ос-
новные состояния обычно пренебрежимо мало 1184]. Поэтому ядер-
ное взаимодействие равно нулю за точкой разделения. Там нужно
учитывать только кулоновское отталкивание.
Легко удовлетворить обычному условию сохранения постоянного
объема ядра, если потребовать, чтобы сохранился объем фермиев-
ского эквипотенциала. В работе [5] обсуждаются другие воз-
14 Зак. 532
417
можности выполнения закона сохранения объема. В данном слу-
чае это требование сводится к тому, что для полностью симметрично-
го случая (10.189) имеется один параметр формы z0=z1 = z2. В дей-
ствительности, используя закон сохранения объема, мы встречаем
небольшую трудность: невозможно для двухцентрового потенциала
удовлетворить данному требованию одновременно для всех экви-
потенциалов. Поэтому накладывают условие только на эквнпотен-
Рнс. 10.32. Геометрические формы, которые могут быть описаны
одночастичиым потенциалом (10.188):
а — симметричная недеформироваппая форма; б — симметричная дефор-
мированная форма; в — форма ядра асимметрична и деформирована на
циал Ферми и предполагают, что он совпадаете ядерной поверх-
ностью. Для симметрического случая отсюда сразу же получаем
со == соого/г, (10.190)
где г — решение уравнения
2г® + 3r2z0 — zj — 2/?2 = 0, (10.191)
г0 = 1,2 ферма, R = г0Д1/3, йо)о = 41Л“1/3 Мэв. (10.192)
Решение задачи с гамильтонианом Но для одночастнчных энергий
н волновых функций находится сравнительно просто аналитически.
Волновые функции разделяются в цилиндрических координатах
(р, <р, z), и зависимость от z дается вырожденной гипергеометриче-
ской функцией lF1(—nz, с, (z—z0)2). Квантовое число [содержа-
щееся в (10.193)] не является целым числом, за исключением пре-
дельных случаев, когда оба фрагмента достаточно разделены или,
напротив, сильно перекрываются. В частности, одночастичные энер-
гии определяются выражением
е == Йо) (л2 + 2np| «ф | 4-3/2) = йо> + 3/2), (10.193)
где пр и — как обычно, целые числа, a nz — решение некоторо-
го трансцендентного уравнения. На рис. 10.33 показан спектр
418
двойного осциллятора как функция «эксцентриситета» z0. Видно,
что эквидистантное расщепление, свойственное осциллятору, имеет
место при z0 = 0 (это очевидно), а также при больших расстояниях
но с другой осцилляторной частотой и вырождением. Так про-
исходит по той причине, что при больших 20 мы сталкиваемся со слу-
чаем двух разделенных сфер, не
взаимодействующих друг с другом.
Следовательно, обе сферы можно
рассматривать независимо друг
от друга, и каждая из них создает
свой осцилляторный спектр, соот-
ветствующий своей осцилляторной
частоте со (R ~ г0 (1/2 Л)1/8). По-
нятие четности по отношению к
началу координат (z0 = 0) стано-
вится тогда бессмысленной, так как
нет перекрытия между волновыми
функциями двух фрагментов, и
поэтому четность следует опреде-
лять для каждого центра отдельно.
Из рис. 10.33 можно видеть
также другую важную особенность
двухцентровой модели. Оказывает-
ся, что при больших деформациях
наинизщие одночастичные состоя-
ния уже полностью вырождены
прн энергиях, которые соответ-
ствуют гармоническим осциллятор-
ным состояниям ядер-фрагментов.
Напротив, для более высоких со-
стояний эти ядра все еще «чув-
ствуют» близость соседнего фраг-
мента. Поэтому для них уровни
вблизи границы Фермн расщепля-
ются. Физически это означает, что
все нуклоны остова ядра движут-
ся в оболочечном потенциале конеч-
ных ядер, в то время как за взаи-
модействие фрагментов на конеч-
ных стадиях процесса деления
Рис. 10.33. Собственные значения
потенциала двойного осциллятора
в зависимости от г0 для симметри-
ческого случая (см. рис. 10.32, а).
ответственны только валентные
нуклоны на поверхности Ферми
(ядерная молекулярная связь!).
Обратимся теперь к зависящим
от 1 членам выражения (10.188).
Чтобы получить плавный переход
для оператора углового момента,
определенного относительно нача-
ела [nz, п р, Лф] даются в скобках. Для
nz указано значение при Zo—О. Эти соб-
14*
419
ла координат, к оператору углового момента 1а (либо 12), опреде-
ленному относительно нового центра, обобщим 1s- и 12-потенциал:
V (11. О = —(г0) f 2s (VV (г) X р) +
+ р ((W X р)2— -у N(N + 3)
(10.194)
Здесь р — одночастичный импульс, V (г) — не зависящая от импульса
часть потенциала [см. выражения (10.187) и (10.188)1 и N—глав-
ное квантовое число, определен-
ное соотношением (10.193). За-
метим, что, переходя к пределу
разделенных фрагментов и учи-
тывая выражения (10.187) и
(10.188), формула (10.194) при-
обретает следующий вид:
l2)- nft<.l(l(zi;)X
21„s+p(l? —i-A'(A'+3)) .
z> 0;
211s+p(l?-4-JV</vH-3)) '
z<Z 0,
(10.195)
т. e. имеет правильные свойства
относительно новых центров по
1s- и 12-членам. Эти члены, за-
висящие от скоростей, диагона-
лизуются на базисе двойного ос-
циллятора [5, 465]. На рис. 10.34
показаны результирующие одно-
частичные уровни как функции
параметра эксцентриситета z0.
Из рисунка видна оболочечная
структура делящегося ядра при
z0 = 0 с правильным заполне-
нием оболочек н магическими
числами. Нужно отметить, что
для малых значений эксцентри-
ситета z0 схема уровней в боль-
шей степени совпадает со схемой
Нильссона. В правой части ри-
сунка видна оболочечная струк-
420
тура ядер-фрагментов. Очевидно, что здесь больше оболочечные про-
светы (осцнлляторное расстояние). Очевидна также двойная вырож-
денность каждого уровня ввиду существования двух невзаимодей-
ствующих осколков. Из рнс. 10.34 также видно, что при больших
эксцентриситетах самые нижние уровни почти полностью вырож-
дены. Это отражает тот факт, что между двумя фрагментами обра-
зуется барьер. Напротив, более высокие уровни, особенно уровни
Рис. 10.35. Зависимость поверхности потенциальной энергии для ядра
236U от параметра деформации р индивидуальных фрагментов и расстоя-
ния между фрагментами г0 (Eldm — энергия жидкой капли; Esc —
энергия оболочечной поправки; ЕГ — парная энергия) [4661
кулярного состояния, в котором преимущественно оболочечная
структура «валентных» нуклонов вблизи границы Фермн и опре-
деляет конечные стадии процесса деления. Эго подтверждается экс-
периментальными данными [3111.
В качестве типичного примера КПЭ, рассчитанной с помощью
методов перенормировки (изложенных в разд. 10.5.2) в двухцент-
ровой оболочечной модели, на рис. 10.35 показан барьер деления
ядра 236U, найденный Мозелем н Шарнвебером [3881- На этом рисун-
ке числа на контурах дают относительные энергии в мегаэлект-
ронвольтах; энергия основного состояния принята за нуль. В то вре-
мя как левая часть показывает КПЭ в модели жидкой капли, правая
часть содержит также оболочечные и спаривательные поправки.
Штриховая линия показывает конфигурацию в точке разделения
14В Зак. 532
421
ядер. Штрихованные части контурных линий дают экстраполяции
согласно модели жидкой капли.
Деформированная оболочечная модель допускает также эллип-
соидальные деформации фрагментов, характеризуемые параметром
Р; это соответствует формам, показанным на рис. 10.32, б. В дей-
ствительности из подробных расчетов Никса и Святецкого [405] из-
вестно, что значения высоты барьера в модели жидкой капли слишком
велики из-за некорректного описания шейки в модели двух сферои-
дов. Однако двухсфероидная модель содержит все основные особен-
ности делящегося ядра. Кроме того, оболочечные поправки для двух
предельных случаев (1) отсутствия шейки [чисто одноцентровая
деформация, т. е. z — 0) и 2) почти разделенных фрагментов] не за-
висят от специфических свойств шейки (в последнем случае волно-
вые функции обращаются в нуль в районе шейки).
Интересно отметить, что второй минимум появляется при
г0 = 0, т. е. при чисто сфероидальной деформации. Поэтому его
структура полностью определяется делящимся ядром. Видно так-
же, что барьер деления может достигаться двумя способами: либо
прямо из основного состояния, либо через второй минимум. Седло-
вая точка, которая в модели жидкой капли совпадаете точкой разры-
ва, сдвигается к месту, где фрагменты еще заметно перекрываются,
и имеет высоту около 10 Мзв. Интересная особенность соответст-
вующей КПЭ состоит в том, что за этим очень широким барьером
имеется широкий и очень плавный третий минимум с высотой около
6 Мэв, а точка разрыва лежит еще выше — при энергии 8 Мэв..
Проверочный расчет одночастичных энергий при £ = 2,1 и
z0 = 7 ферми показывает, что уровни фрагментов полностью вырож-
дены; среднее возмущение поверхности Ферми составляет около
0,8 Мэв. Это означает, что третий минимум, в противоположность
второму, обусловлен оболочками фрагментов, т. е. представляет
собой эффект ядерного взаимодействия фрагментов перед разделе-
нием. Это весьма напоминает определенный тип ядерной молекулы
перед разделением двух фрагментов [464, 385].
Многие свойства модели «спаривательное 4- квадрупольное взаи-
модействие» рассматриваются в обзорных статьях Натана и Нильс-
сона [3951 и Беса и Соренсена [521. Обзор того, что мы ждем от сверх-
тяжелых элементов, имеется в статьях Сиборга [470, 471], в докладах
конференции в Монреале [3871 и в более популярной форме —
в работах [251, 471, 206, 207]*.
См. также работу Г. Д. Адеева, Л. А. Филипенко, П. А. Черданцева.—
«Ядерная физика», I 976, т. 23, с. 30.— Прим, перев.
422
ПРИЛОЖЕНИЕ
А. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
Изложенные в этой книге микроскопические подходы к изучению струк-
туры ядра основывались на ряде внутренне согласованных ядерных моделей.
Это позволило весьма удовлетворительно описать большинство эксперимен-
тальных результатов. Многие нз рассмотренных микроскопических моделей
можно вывести нз вариационных принципов, в которых определенный класс
состояний проектируется на «более хорошие» состояния, т. е. на состояния,
удовлетворяющие вариационному принципу. Так, например, вариационный
принцип
<6^1 Я—Е] ¥>=0 (АЛ)
приводит к модели Хартри—Фока. Очень часто пробные функции не удовлет-
воряют основным симметриям рассматриваемой системы. Известно, что кроме
энергии для TV-частичной системы существуют и другие интегралы движения
(импульс, угловой момент, число частиц), которые необходимы для определе-
ния состояния системы. Если, как это часто случается, пробные функции нару-
шают общие симметрии, то обычно требуют, чтобы симметрии выполнялись
«в среднем», т. е. чтобы ожидаемое значение операторов, соответствующих
нарушенным симметриям, имело бы фиксированное значение. Математически
такие дополнительные условия обычно формулируются с помощью множителей
Лагранжа. Типичным примером такой процедуры было несохранение чксла
частнц в формализме Бардина—Купера — Шрнффера. Была произведена мо-
дификация уравнения (АЛ), и новый вариационный принцип принял вид
Е—р&|¥>=0. (А. 2)
Здесь N — оператор числа частиц, ар — соответствующий множитель Ла-
гранжа. Аналогичным способом можно.рассмотреть полный угловой момент
системы J, если потребовать выполнение условия
<6WjW—£—<fl.J|¥>=0,
(А.З)
или полный импульс системы Р, сохранение которого соответствует постоян-
ной скорости центра инерции v. Для последнего случая находим условие
. <№|Я— Е—v-P|Y>=0. (А.4)
Существенно отметить, что решения ’У уравнений (А.2)—(А.4) не являются
точными собственными функциями соответственно операторов N, J и Р, а рас-
пределены относительно заданных средних значений этих величин, определяе-
мых параметрами р, о, v. Для того чтобы найти собственные функции данных
операторов, удовлетворяющих законам сохранения, предлагаются следую-
щие два метода;
14В*
423
Метод I. Из решений ¥ уравнений (А.2)—(А.4) можно с помощью про-
ектирования получить собственные функции соответственно с сохраняющим-
ся числом частиц, угловым моментом и импульсом. Таким способом получа-
ют состояния, представляющие собой собственные функции требуемых опера-
торов. Однако эти проектированные решения V могут больше не удовлетво-
рять вариационному принципу.
Метод II. Пробные функции, используемые в вариационном принципе,
выбираются так, что они уже являются собственными функциями операто-
ров заданной симметрии, соответствующей интегралам движения. Напри-
мер, для того чтобы удовлетворить трансляционной симметрии 1 см. уравне-
ние (А.4)], можно в качестве пробных функций выбрать детерминанты Слэ-
тера, проектированные на собственные состояния с заданным импульсом.
Конечно, это уменьшает пространство пробных функций, но зато можно
надеяться, что получится более корректное приближение к точному решению,
удовлетворяющее симметриям (в данном случае трансляционной симмет-
рии).
Рассмотрим, например, введение симметрии по-отношению к обмену час-
тиц в вариационной процедуре (процедуре Хартри—Фока). Инвариантность
системы по отношению к обмену частиц требует, чтобы точное ядерное состоя-
ние было полностью антисимметрично при перестановке частиц, т. е. чтобы
оно было собственным состоянием оператора перестановки с собственным
значением, равным —1. Как подчеркивалось в гл. 6, Хартри использовал
метод I. Ои сначала определил «наилучшее» произведение одночастичных
волновых функций, а затем антисимметрнзовал его. Напротив, В. А. Фок
руководствовался методом II, так как он варьировал полностью антисим-
метризованные волновые функции (детерминанты Слэтера) с самого на-
Обе процедуры (метод I и метод II) формулируются легко, однако в
реальных случаях по математическим причинам их выполнение трудоемко-
Более детально данный вопрос исследуется в следующих разделах.
§ А.1. Конструирование проекционных операторов
Для того чтобы использовать описанные выше два проекционных мето-
да, нужно знать явный вид проекционных операторов, с помощью которых
выполняется реальное проектирование на определенное подпространство-
В этом разделе будут сконструированы такие операторы, а также будут из-
ложены некоторые общие идеи о проектировании волновых функций с раз-
личным характером симметрии, например с «хорошим» импульсом, «хоро-
шим» угловым моментом или «хорошим» числом частиц. В действительности
будет видно, что они представляют собой все специальные случаи проекти-
рованных волновых функций, содержащих симметрия, которые накладывают-
ся группой симметрии гамильтониана. С этой целью в данном параграфе
будет доказано, что если Ф — некоторое состояние, не инвариантное по от-
ношению к заданной операции симметрии, то инвариантное состояние ЧТ
можно сконструировать следующим образом:
4'=J Л(С) V (Q) (МС = Р„ Ф.
(А, Б)
Функция f(£2), входящая в это выражение, должна быть выбрана надлежа-
щим образом [см. выражение (А.32) и связанное с ним обсуждение]. Это —
определение проекционного оператора Ру. Оператор U (£2) представляет со-
бой унитарный оператор, «выполняющий» операцию симметрии. Более точ-
но, если над системой выполняется унитарное преобразование (например.
424
вращение осей), то все волновые функция гильбертова пространства преоб-
разуются следующим образом:
Y' = U (fi)¥., (А.6)
При этом гамильтониан преобразуется к виду
'h*=U (£2) HU-* (0)> (А. 7)
Здесь £2 обозначает параметры операций симметрии (углы Эйлера в случае
вращения или сдвиг а в случае переноса и т. д.). Если система инвариантна
к преобразованию, то гамильтониан остается неизменным:
= (А.8)
$i)H. (А.9)
Типичный пример такого оператора U представляет оператор переноса
Т (а) Т (х) = Т (х + а) = 2 (л!)-1 (а-V)»Т(х) =
п=0
= У. («I)-I(ia-(—1) V)»4'(x)= У (л!)-1(1Л-'ар)»Т(х), (А.10)
т. е.
Т (a>=exp(ift-1 ар), (А. 11)
и
U (а)=ехр (ifi-1 аР). (А. 12)
Здесь р== —ifi у? 1— оператор одночастичного импульса или (в случае много-
частичных волновых функций) оператор полного импульса Р = (—ifiy?j).
Система ,[Т (а)} для всех значений а является группой трансляции. Для то-
го чтобы эти преобразования координат сохраняли нормировку и, следова-
тельно, полную вероятность, они должны быть унитарными (это означает,
что в приведенном примере смещение а должно быть вещественным).
Другой хорошо известный пример — это группа вращения. Исследуем
ее детально. Операторы группы, действующие на угловые координаты волно-
вой функции Y (х), зависят от трех параметров (0lt 02, 03) = в (ими могут
быть, например, углы Эйлера) и имеют вид
i?(6) = exp(in-1e j)= У (Л1)-1 (ift-1 0J)” = 1/(0,, 0г,08). (А.13)
п= 1
Здесь J = Ej j (i) •—операторы трех полных угловых моментов, a —
углы вращения относительно трех осей. Таким образом, трехмерная группа
вращения представляет собой систему операторов R (6Х, 62, 03), зависящую
от трех параметров.
В общем случае непрерывная группа есть система операторов
I/ (аъ аг>..а„) = U (а), (А. 14)
которая зависит от п непрерывных параметров; в физических приложениях
параметрами служат координаты 0, х или «углы ориентации в изоспиновом
пространстве» (группа изотопического спина, три параметра), или «углы
ориентации в гиперзаридовом и изоспиновом пространстве» (группа SUs,
восемь параметров).
- Мы видим, что все этн группы содержат бесконечное число операторов иля
бесконечное число функций (каждаи зависит от чисел 0, или а, или а.) от,
425
небольшого числа основных операторов (в случае переноса это рх, ру, рх,
а'в случае вращения Jit /з)-
Рассмотрим в качестве примера группу вращения. Базисные операторы
этой группы можно получить из операторов группы /? (0) посредством диф-
ференцирования:
0Я(О) I
00ft |f
(А. 15)
Конечно, здесь предполагается, что R (0) аналитически зависит от 0, по край-
ней мере, в окрестности единичного оператора (2? (0) = 1).
Простое 'обобщение изложенных идей относительно групп вра щення и
трансляции приводит к группам Ли, названным в честь норвежского мате-
матика С. Ли. Это непрерывные группы операторов U (а) — V (alf .... ап),
зависящие от п параметров илн координат. Характерно, что эти группы ана-
литически зависят от всех п параметров. Удобно выбрать такую параметри-
зацию, чтобы U (0) = 1. Тогда можно по аналогии с соотношением (А. 15)
определить п базисных операторов
dU I
да* |к=0 *
(А. 16)
они называются генераторами группы.
Отсюда и из предположения об аналитичности сразу же следует, что прн
малых значениях а
l'(a)=sl+S“>ii- (А.17)
Таким образом, ясно, что генераторы должны быть линейно независимы
(ZatLi = 0 только при а, — 0), когда а = 0 является единственным зна-
чением а, дающим единичный оператор. Удобно далее выбрать параметры
Of чисто мнимыми (вместо а величина ia). Вследствие такого выбора и уни-
тарности U генераторы становится эрмитовыми операторами.
Очень важно знать коммутаторы генераторов такой группы. Используя
соотношение
d*U d*U
да* da,j da.j да*
находим, что коммутаторы имеют вид
[М, L/)=2CwLi. (А. 18)
Коэффициенты Ctjk называются структурными константами. Имея в ви-
ду соотношение (А. 18), обычно говорят, что генераторы образуют систему,
вамкнутую при коммутации. В качестве примера снова можно рассмотреть
группу вращения; для нее генераторы группы — это операторы углового мо-
мента с хорошо известными правилами коммутации
[JI, Jj] — ihJk (циклически). (А. 19)
Возвратимся теперь к соотношению (А.9). Можно сделать вывод, что если
U (а) — группа симметрии Н, т. е. если для всех а выполняется соотношение
U (а)Н == HU (а), то можно продифференцировать его по а* н, используя
выражения (А. 16), (А. 17), получить
LiH=HLi- (А.20)
Обратно, если Н коммутирует со всеми генераторами, то эта величина
коммутирует также и с любой из функций V (а), которые в действительности
являются функциями генераторов.
426
Соотношение (А. 17) описывает бесконечно малое преобразование. Од-
нако вследствие непрерывного характера группы последовательными ите-
рациями бесконечно малых преобразований можно добиться конечного пре-
образования. Таким образом, данный элемент V (а) с конечными параметра-
ми а можно записать в виде
С л Г ” I
1+ У i Ljj = ехр I ^iajLj I, (A. 21)
где aj вещественны, a L?- эрмитовы. Такая форма элементов группы хорошо
знакома по частным случаям групп трансляции и вращения [см. выражения
(А. 12), (А. 13)]. Теперь стало ясно, что элементы любой группы Ли можно за-
писать в экспоненциальной форме (А.21).
До сих пор мы стартовали с заданной группы Лн, определенной генера-
торами (А. 16), и вычисляли константы структуры с помощью коммутатора
(А. 18). Однако эту процедуру можно обратить, задаваясь некоторой системой
операторов Li, которые замкнуты при коммутации, как в выражении (А. 18),
определяем группу Ли, имеющую операторы Li в качестве своих генераторов.
Сказанное представляет собой содержание теоремы Ли: если задана какая-
либо система п операторов, удовлетворяющих коммутационным соотиоше.-
нням (А. 18), то существует группа Ли, имеющая эти операторы в качестве
своих генераторов. В действительности мультиплеты группы однозначно
определяются структурными константами, как и матричные элементы гене-
раторов между всеми состояниями мультиплета [343, 360].
Таким образом, видно, что структурные константы являются основны-
ми характеристиками группы Ли. Зная только коммутаторы генераторов,
можно непосредственно найти мультиплеты группы (неприводимые инвариант-
ные подпространства группы) и определить все их свойства. Так поступают,
например, при обычном рассмотрении группы вращения: из операторов уг-
лового момента и их коммутационных правил (А. 19) находят собственные
состояния | /ту операторов J2 и J3, а также матричные элементы генерато-
ров по отношению к этим состояниям
</mU±| /'т'> = Л[ЦТ m')U± m'+l)J1/26W'(А.22)
н тот ф акт, что J2 имеет собственные значения й2/ (/ -Ь I) для / = 0, 1/2, 1,...
с кратностью вырождения 2/ 1. Наконец, отсюда определяются коэффи-
циенты Клебша—Гордана и т. д.
В качестве важного примера данной теоремы найдем группу Ли для
простого оператора Н — idjdt. Его элементы, согласно (А.21), определяются
выраж еннем U (0 = ехр (НН), образующим группу «трансляции времени».
Аналогично элементы группы для оператора числа частиц N даются выраже-
t/(%) = exp(ixA'), (А.23)
которое определяет трансляции по отношению к этому абстрактному углу %.
Возвратимся теперь к доказательству рецепта (А.5) для конструирова-
ния состояний ’Г, от которых требуется определенная симметрия (некоторая
симметрия уже содержится в выборе операторов V (£2)). Требуется прежде
всего определить пока еще неизвестные функции /(£2); они позволяют скон-
струировать функции V с надлежащей симметрией из заданного состояния
Ф, получаемого с помощью вариационного принципа.
Сначала проверим, что, используя соотношение (А.5), можно одновре-
менно днагояализовать Н и U (£2). Если Р^ — оператор проектирования иа
подпространство 11Г}ф, т. е. проектирования, при которых яз функций Ф
получаются функ ции Y, то высказанное утверждение эививалентно тому, что
два оператора Р^НР^ и U (£2) коммутируют. Пусть — одно из состояний
42?
|Т}ф, т. е. £ (¥}ф. Подействуем на него U (£2):
1/ (0) Ч'1 = (/(Й) J ft (О') и (О') <М£2' = J ft (О') и (О l-О') ФЛО'=
=J fl (О' —О) и (О') W =Ч>, е { ¥}ф. (А.24)
Здесь использовалась структура (A.2I) операторов U (й) н также была сде-
лана подстановка й' -* Й + Й'. Выражение (А.24) показывает, что если при-
менить U (й) к одной из волновых функций (¥)ф, то получается новая вол-
новая функция той же системы. Таким образом, волновые функции {Ч/)ф
уравнения (А.5) содержат симметрию системы, характеризуемую U (Й).
Произвольный вектор <р можно разложить иа составляющие внутри и
вне пространства {¥}ф:
<р = ₽[/4> + |р’. (A.2S)
где Рц<р' = 0. Используя уравнение (А.24), получаем
<€7(Q)| <р*>=0 (А.26)
н, следовательно, <Рцф I U (й)<р'> = 0. Отсюда вытекает тот факт, что
U (Й)ф' также принадлежит {Чг}ф. Следовательно,
Ру U (Й) <р'=0 . (А.27)
Действуя оператором Ру U (й) на выражение (А.25), получаем
PuUfO)<r = PuU(a)Pu<f (А.28)
я вследствие соотношения (А.24) также имеем
г/(й)Ру<р=Ру£/(Й)Ру<р. (А.29)
Сравнивая два последних выражения, непосредственно находим
[Ру, 1/(й)]=0 (А.30)
н с учетом выражения (А.9)
[РуДРу, и(й)]=0. (А.31)
Это показывает, что возможна одновременная диагонализация РуЯРуИ U (й).
Таким образом, получаем приближенные решения Н, имеющие надлежащую
симметрию, U (Й). (Эти решения приближенны, так как диагонализация про-
водилась в ограниченном гильбертовом пространстве.)
На практике данная процедура достигается минимизацией ожидаемого
значения энергии на собственных функциях U (Й) или, что эквивалентно,
одновременной диагонализацией РцНРц и I/ (Й). С этой целью разложим ве-
личину ft (й), содержащуюся в определении (А.5), по полному набору {gn &)1:
/(С)=2с„г„(С) (А.32)
и подставим ее в (А.5):
Ч'=2с„[4'„(Й)1/(Я)Ф1(Я=2спЧ'„. (А.ЗЗ)
П J п
Уравнение Шредингера для V имеет вид
(Н—Е)Ч'=0=(Н-Е)%СпЧ'п. (А.34)
428
Обычным способом получаем отсюда систему уравнений
2[<’Fm|H|'F„>-£<Ym|'r„>]C„^=0. (А.35)
Так как волновые функции
(А.36)
вообще говоря, ие ортоиормированы, то удобно ввести матрицу G, определяй-
мую соотношением
Gmn = <YmRn>. (А.37)
Теперь уравнения (А.35) можно записать в матричной форме
(И—£С)С=О, (А.38)
Е)С=0, (А.39)
где
uai
представляет собой вектор-столбец из коэффициентов разложения выраже-
ния (А.32). Уравнение (А.39) — это обычное секулярное уравнение.
Следуя работе [36], можно также ввести дуальное пространство СРт},
определяемое условием
{9’"|¥„}=6mn, (А.40)
н получить, умножай уравнение (А.34) на <Тт|, -следующее уравнение:
2 С„[<Ч'™|Й|Ч’„>-£б„т]=О. (А.41)
п
Оно является альтернативной записью (А.39). Отсюда получаем уравнение
на собственные значения
2<Т"|₽(Д*Р1;|¥„>Сп==£Ст, (А.42)
так как Ру¥п € {^}ф« Нужно иметь в виду, что вследствие соотношения
(А.31) всегда можно выбрать коэффициенты Сп так, чтобы величина (/ (Q)
была также диагоиальиа. Из уравнения (А.32) следует, что
2 <£m|l/(O)l£„>C„=XC„. (А.43).
Обычно собственное значение Л вырождено, т. е. для одного и того же,
значения Л различные системы являются решением данного уравнения. Тая
как диагонализация Н [уравнение (А.42)] может снимать это вырождение, тр
нужно днагонализовывать;77 по подпространству тех вырожденных решений,
которые принадлежат одному и тому же значению Л. . .
Это завершает общую процедуру конструирования волновой функций
V уравнения (А.5) и, следовательно, определение оператора Ру. Очевидно*
этот метод проектирования прост лишь в принципе, однако с математической
й вычислительной точки зрения ои оказывается довольно громоздким, По-
42?
этому разумно сделать дальнейшие упрощения. В целях удобства выберем
в качестве gn (Й) соотношения (А.32) неприводимые представления соответст-
вующей группы симметрии» Рассмотрим примеры:
а) группа трансляции
f (a) =С, ехр [ —(i/Й) ар] > С, | р>, (A.44)
где
₽|р>=р|р>: (A.45)
б) группа вращений вокруг оси г
f (tp) = С2 ехр (—i/лф) -> С21 ту, (A.46)
где
। my—hm \ ту, (A.47)
в) группа вращений в пространстве чисел частиц
f (?) = CS ехр (—i%/V) -> Cs ] N>, (A.48)
где
N\N> = NIN>; (A. 49)
г) группа трехмерных вращений
f (6i, е2,е3) = X c'kDmk е») -1 мь, (A. 50)
где
J2 ] Mb =fi2 /(/4-1)1 /ЛЬ, J3 [ /Му =Ш J Mb. (A.51)
Первые три случая особенно просты, так как этн три группы симметрии имеют
одномерные представления, т. е., например, собственная функция с кванто-
вым числом импульса р имеет вид ехр • р]. Для данного р нет никакого
вырождения, так как заданное р определяет только одну волновую функцию.
Это не так в последнем примере группы трехмерного вращения. При задан-
ном полном угловом моменте I и z-проекции Л1 имеются различные возмож-
ности для К (проекция полного углового момента на внутреннюю ось; см.
гл. 5—7 т. 1). Так как в первых трех случаях требуется сконструировать соб-
ственные состояния с квантовыми числами р, т, N, а в последнем случае
I, М, то сумма, содержащаяся в (А.32), в первых трех случаях состоит из
единственных членов (А.44), (А.46) и (А.48), в то время как в последнем слу-
чае эта сумма включает несколько слагаемых из-за различных значений кван-
тового числа К [см. выражение (А.50)].
Здесь следует отметить, что в выражениях (А.44) , (А.46), (А.48) и (А.50)
содержится приближение. Его легче всего увидеть в последнем выражении
(А.50), относящемся к случаю группы трехмерного вращения. Выбор
£ (61» 02> 0з) не позволяет учесть ₽-колебания, а также многие из у-колебаннй
ядер. Для каждого спина и четности данная процедура дает только одно со-
стояние (если ие учитывать вырождение по М). Например, имеем только одно
состояние с суммарным угловым моментом, равным нулю; вследствие вариаци-
онного принципа оно будет основным состоянием. Чтобы получить возбуж-
денные О+'Состояння, нужно повторить вариационную процедуру с дополни-
тельным условием ортогональности к волновой функции основного состояния.
Подытожим вкратце изложенную выше процедуру проектирования.
В случаях а), б) и в) проекционные операторы Р а (о = р, т, N) выражения
(А.5), которые проектируют функции на состояния с сохраняющимися кван-
товыми числами — соответственно полным импульсом, z-компонентой угло-
вого момента и числом частиц, — определяются из (А.5) с помощью выраже-
ний (А. 12), (А. 13) и (А.23) для операторов U (Q). Подчеркнем, что в функциях
f (Й) фигурируют квантовые числа генераторов, в то время как в операторе
V (Й), который на первый взгляд выглядит аналогично соответствующей
430
функции I (Q), содержатся операторы генераторов. Например, f (а) =
= ехр [—(1/й)а - р], в то время как U (а) = ехр [(i//z)a • Р] и, следовательно,
/(a)t/(a)=exp[(i/fi)a-(P-P)J.
Именно такое выражение входит в соотношение (Л.5).
Таким образом, возможно сконструировать волновые функции Y, учи-
тывая симметрии с помощью метода I [в этом методе сначала варьируются
пробные функции, а затем производится проектирование согласно рецепту
(А.5)] или метода II [сначала согласно рецепту (А.5) производится проекти-
рование пробных функций Ф, а затем выполняется варьирование]. В послед-
нем случае вариационную процедуру с проектированными пробными функция-
ми можно компактно выразить с помощью следующих соотношений:
<&р|Я— E|W>=<ep£ Ф|Й—Е|Р<тФ> =
= <бФ]Ро (Я—£)Рс| Ф> =0. (А.52)
В общем случае вращения в трех измерениях нужно варьировать как проб-
ную функцию Ф, так и коэффициенты разложения С’/- выражения (А.50), нс"
пользуя вторую процедуру. Таким путем получаем
S, с'*ф<бФ|Р^+(Й-£)Р^А.|Ф>=0 (А.53)
<Ф|РЙК(Й-£)Р'ИЛ, |Ф> = 0. (А.54)
В уравнении (А.53) производится вариация Ф, а в уравнении (А.54) — С^.
Оба уравнения должны удовлетворяться одновременно. Следует также отме-
тить, что уравнение (А.54) тождественно уравнению (А.42) и в расчетном ме-
тоде I описывает, как определять коэффициенты и, следовательно, проек-
ционный оператор Р^к- В расчетном методе 11,'очевидно, оба уравнения (А.53)
и (А.54) необходимы для определения н, следовательно, проекционного
оператора
В ур авнениях (А.52)—(А.54) можно произвести дальнейшие упрощения,
если учесть, что проекционные операторы
Рс = J/а (£2) U(Q)dQ, с=р, т, N (А.55)
р'мк = f (О) и (Я) ла (А.56)
удовлетворяют следующим соотношениям:
Рс Рс' =Ро^ос'
pH- р!' __pl § я
*МК *М' К' —Г К’ к II' °ММ'‘
(А.57)
(А.58)
Далее, вследствие соотношения (А.9), все эти проекционные операторы комму-
тируют с гамильтонианом (если система, описываемая гамильтонианом Д,
имеет симметрию, выражаемую рассматриваемыми операторами). Итак, для
соотношений (А.52)—(А.54) получаем соответственно
<6Ф|(Я—Е)Ро|Ф> = 0,
(А-59)
431
|Ф> =0,
(А. 60)
(А.61)
Уравнение (А.59) получено расчетным методом 1, в то время как два послед-
них уравнения — расчетным методом 11. Эти уравнения — начальный пункт
различных практических расчетов, которые мы рассмотрим в следующем па-
раграфе.
§ А.2. Практическое проектирование для числа частиц,
импульса и углового момента
Л.2.1. Проектирование для числа частиц
Согласно соотношениям (А.5), (А.23) и (А.48), оператор проектирования
иа состояния с определенным числом частиц дается выражением
PN_Csfexp[i(A,-A/)x]dx. (А.62)
где Л' — оператор числа частиц, имеющий целочисленные собственные зна-
чения Л7. Следовательно, можно ограничиться углом %, лежащим в интервале
0 < % < 2л. Нормировочный коэффициент С3 легко определить из условия,
чтобы оператор PN прн действии на собственную функцию оператора N
(т. е. Л?Фдг = Л7Фд() сводился к единичному оператору. Находим
2л
Р^==(1/2л) J exp[i(W —7V)x] d%,
(А. 63)
откуда после подстановки г — ехр (i%) получаем
Pw = (l/2ni)f zS-N-l*. (Л.64)
Здесь интегрирование проводится по замкнутому контуру в комплексной
плоскости z, охватывающему начало координат (г = 0)- Согласно сказанному
выше, можно действовать двумя совершенно различными методами 1 и 11.
Керман и др. [300] использовали метод 1 и проектировали волновые функции
приближения БКШ иа функции с сохраняющимся числом частиц. Иными
словами, сначала решалось обычное уравнение приближения БКШ, а затем
полученные амплитуды ид и использовались для конструирования про-
ектированных состояний БКШ (ПБКШ) с помощью рецепта
|ПБКШ> = Pjv 1 БКШ>.
Подставляя сюда выражение (А.64), находим
(ПБКШ>=(Ж/2п!) £ z-"-' П af a±k) | 0> dz, (А. 66)
fe>0
(А. 65)
где Ж — нормировочный множитель.
Манг и др. [349] использовали метод 11, который более сложен, ио и бо-
лее точен. Находилось решение вариационной задачи
6<БКШ|(Й— E)Pn |БКШ>=0. (А.67)
В этом уравнении амплитуды вероятности заполнения о* рассматривались
как вариационные параметры. Такой расчет можно назвать вычислением
432
методом БКШ с фиксированным числом частиц (ФБКШ). Для различных чет-
но-четных нуклонных систем такой расчет дает значительно более лучшие ре-
зультаты, чем при использовании метода 1 [349]. В частности, метод ФБКШ
дает наинизшие (следовательно, нанлучшнс) энергии; состояния ПБКШ
обладают слегка большими энергиями, а состояния БКШ соответствуют
очень грубому приближению.
Д.2.2. Проектирование импульса
Оператор проектирования дается выражением
Р„= [ехр [(i/Л)(Р —р)-а] da, (А.68)
найденным из соотношений (А.55), (А.44) и (А. 12). Здесь не содержатся
несущественные нормировочные множители. Вариационный принцип (А.59)
имеет вид
<6Ф | (Я—Ер) Рр | Ф> =0. (А.69)
Это уравнение можно существенно упростить, если использовать галилеев-
скую инвариантность системны. При этом переходят от рассматриваемой по-
коящейся системы к системе, движущейся со скоростью центра масс р/М,
где М — полная масса системы (это так называемое преобразование Галилея):
|Ф> = ехр[—(i/fi)p-R][©'>. (А.70)
Здесь величина
А
R=/-‘ 2 г, (А.71)
»=1
является положением центра масс. Подставляй выражение (А.70) в уравнение
(А.69) и замечая, что яужно варьировать только внутреннюю волновую функ-
цию Ф', находим
<6Ф' | ехр ](1/А) р-R] (ft—£р)Рр ехр ] —(i/ft)p.R) | Ф'> =
= <6Ф' | ехр f(l/A) р-R] (Я—Ер) ехр]-(i/fi) р. R] X
Хехр ](i/fi)pR] Ер ехр [—(i/Л) P R] | Ф'>=0. (А.72)
Используя выражение (А.68), можно показать, что'
exp[(i/fi)p-R] Ррехр[—(l/fi)p-RJ=Pp=o = Ро. (А.73)
В предположении локальных двухчастичных сил тогда получаем
ехр [(i/fi) p-R]#exp [—(i/fi) р-R] —И 4-р«Р/Л4-]-р2/2Л1, (А,74)
откуда следует соотношение
<6Ф' | (Н—Ер4-р.Р/Л4+Р2/2М)Р0 | Ф'>=0. (А -75)
Отсюда видно, что удобно ввести сокращенное обозначение
Е0=£р—рг/241, илиЕр=Е0+р2/2Л1, (А.76)
где £о — энергия состояния с р—0 [см. выражения (А. 12) и (А.45)]. Далее,
так как функция Р0Ф' описывает состояние с р = 0, то заключаем, что член
433
(р • Р/Л4)Р0 | Ф'> обращается в нуль, и вариационный принцип можно запи-
сать в форме
<6Ф'|(£-£о)Ро|Ф'>=О. (А.77)
Таким образом, мы получили ожидаемый результат: вариационную процеду-
ру можно выполнить полностью с решениями, имеющими р = 0. Зависи-
мость полной энергии от движения центра масс полностью описывается урав-
нением (А.76). Конечно, все сказанное можно вывести и из известного утверж-
дения о независимости движения центра масс н внутреннего движения в не-
релятивистской физике.
Обозначим решение уравнения (А.77) через | Фр>. Тогда соответствую-
щая волновая функция с полным импульсом р = 0 имеет вид
|Vp_0 > /„[%> (А.78)
Общее решение для отличного от нуля импульса [ \Ир>, которое соответствует
решению | Фр> уравнения (А.69), получается из выражения (А.78) с помощью
соотношений (А.70) и (А.73):
I V =Л I ®р>=Л> ехр [ - (i/ft) р R] ] ©о> =
=ехр [ — (i/ft)P R) Р„ | О>;> = ехр [-(i/Л) р- R] | Ч'(,=о>. (Л. 79)
Пайерлс и Йоккоз [418] были первыми, кто применил такую процедуру для
нахождения собственных функций полного импульса, используя хартри-
фоковские состояния и расчетный метод I. Они получили следующие волно-
вые функции:
1^¥>=Рр|ХФ>. (А.80)
Здесь | ХФ > обозначает волновую функцию хартри-фоковского состояния.
Полная энергия оказывается равной величине
£JY=EP=„+Cpx+O(p‘).
(Л. 81)
Однако для константы Св такой процедуре значение (2Л1)-1 получается толь-
ко приближенно. В этом состоит слабость метода I. Для ее устраиеиия Роуха-
нидеяд и Йоккоз [449] решили вариационную проблему (А. 77) (вариация
проектированных пробных функций), используя в качестве Ф' произведение
одночастичных волновых функций. Они получили систему очень сложных
уравнений, описывающих одночастичные состояния; они оказались весьма
похожими на хартри-фоковские уравнения. Метод П дает корректную зави-
симость полной энергии от импульса центра масс. Эти результаты снова де-
монстрируют преимущество метода II над методом 1. Такое преимущества
особенно сильно чувствуется в свете того факта, что наиболее простая форма
коллективного движения в ядрах — это движение центра масс, так как для
него мы знаем точно массовый параметр. О точности двух методов можно
сделать выводы при определении моментов инерции, которые будут рассмот-
рены в следующем разделе.
▲.2.3. Проектирование вращательных состояний
Оператор проектирования Р& для вращений относительно фиксированно®
оси х, согласно уравнениям (А.5), (А. 13) и (А.46), дается выражением
2л
РЛ(в) = (1/2п) J exp [i(fi~14-m)6|rf0.
(А.82>
434
Этот оператор использовался Пайерлсом и Йоккозом [418], а также Йокко-
зом [544], которые применили расчетный метод 1 для нахождения моментов
инерции редкоземельных ядер. Они поступали следующим образом: полная
энергия определялась как функция квантового числа т углового момента.
Вследствие аргументов, связанных с обращением знака времени, главные
члены должны быть пропорциональны т2, т. е.
(А.83)
Тогда коэффициент при т2 связан с моментом инерцин^0 способом, указанным
в (А.83). Нужно отметить, что это выражение не тождественно формуле Инг-
лиса [см. уравнение (10.106)]; рассчитанные таким способом значения разум-
но согласуются с экспериментальными данными (рис. А.1).
Проектирование вращательных состояний с помощью оператора PR из
соотношения (А.82) с использованием расчетного метода 11 проводилось в ра-
ботах [449, 550]. Оказывается, что такая процедура чрезвычайно сложна;
в случае ядра 168Ег она приводит к значениям равным 8—16 кэв, в то
время как экспериментальное значение равно 13 кэв.
Интересно заметить, что благодаря Пайерлсу и Йоккозу [418] мы имеем
метод, являющийся альтернативным к подходу Инглиса для проблемы мо-
мента инерции. Для того чтобы более ясно увидеть различие н взаимосвязь
обоих методов, обсудим сейчас процедуру Пайерлса—Йоккоза совсем с дру-
гой точки зрения, чем это было сде-
лано выше (хотя реальный смысл в
обоих случаях одинаков). Следует
подчеркнуть, что цель Пайерлса и
Йоккоза гораздо более фундамен-
тальна, чем цель Инглиса. Они хо-
тят доказать существование ротаци-
онных спектров и рассчитать рота-
ционные параметры, исходя из за-
травочного двухчастичного нуклон-
нуклонного взаимодействия. Как
и метод Инглиса, подход Пайерлса и
Йоккоза есть также результат приме-
нения теории возмущений. В каче-
стве невозмущенного базиса здесь
выступает полная система волновых
функций статического деформирован-
ного среднего потенциала. Однако
в первом случае используют истин-.
ный много частичный гамильтониан,
в то время как в методе Инглиса
кориолисов потенциал o-J рассмат-
ривается как возмущение. Как под-
черкивалось ранее, такие волновые
функции не обладают сохраняющим-
ся суммарным угловым моментом.
А в процедуре Пайерлса—Йоккоза
не существует стандартного спо-
соба для получения ротационного
спектра.
Один путь к решению состоит
Рис. А. I. Энергии первых возбужден-
ных 2+-уровней в зависимости от
квадрупольного момента <2о:
• — расчет; 4--- эксперимент для тех же
ядер; О — прочие экспериментальные зна-
чения
в рассмотрении несферической вол-
новой функции х как ряда по вол-
новым функциям соответствующей сферической потенциальной ямы (вол-
новые функции сферической оболочечной модели; см. работу [298]). Такое
разложение зависит от параметра деформации а0 и может включать много
435
волновых функций оболочечной модели, т. е.
Х= £ bl S а/а = 2 Ь{ (а0) Х/.
(Л. 84)
Здесь 1а — квантовые числа, нумерующие состояния оболочечной модели.
Ясно, что, когда деформация велика, для каждого углового момента будет
много состонний а и, следовательнб, также будет много значений /. Очевид-
но, выполняются следующие нормировочные условия:
= £1Ы2=1-
(А.85)
Поэтому ожидаемое значение энергии равно
Е («о) = <7 (а0> I Й11. (“о)) = SI 6( (°о) I2 <7, I Н | %,> =
= £1 *>/ («о) Г2 ' | («о)- (А. 86)
Вообще говоря, энергии Ej (с0) являются гораздо лучшими приближениями
к точным энергиям гамильтониана Н, нежели энергии, получаемые из обо-
лочечных конфигураций. Это объясняется тем, что можно выбрать параметр
деформации а0 для минимизации энергии, выбирая надлежащее смешивание
конфигураций [которое описывается коэффициентами а;а уравнения (А.84)].
Таким образом, нужно взять волновые функции Х/(°о), которые обладают оп-
ределенным угловым моментом, н рассмотреть о0 в качестве вариационного
параметра. Волновые функции Х/(«о) можно найти проектированием из вол-
новых функций х (п0) выражения (А.84). Формально это записывается в
виде
Р‘ 7. = Ъ, х, = Ь, (о„) S а1а (о„) Х/а. (А. 87,
Здесь Р1 — оператор проектирования для углового момента I [см. также
в этой связи уравнение (А.56)). Используя полученные результаты, легко
найти среднюю энергию для заданного углового момента I как функцию варьи-
руемого параметра деформации п0:
(Оо) = <Х/ I н I Х/> = <Х I Н Р* 1Х> <х I Р'1 Х>-
(А. 88)
Итак, естественным образом одночастичная волновая функция деформирован-
ной потенциальной ямы приводит к серии состояний с различными угловыми
моментами I. Волновые функции этих состояний исследовались Редлихом
[437] для ядер с массовыми числами 18 и 19. При этом использовалось разло-
жение (А.87). Результаты Редлиха показывают, что состояния Х/а оболочеч-
ной модели, содержащиеся в выражении (А.87), аналогичны тем, что полу-
чаются в расчетах методом смешивании конфигураций [168, 306, 509]. По-
вндимому, волновые функции, получаемые из состояний деформированной
потенциальной ямы с помощью выражения (А.87), являются гораздо лучшим
приближением, чем обычные волновые функции оболочечной модели.
Для доказательства существования ротационных спектров нужно пока-
зать, что величина £; (п0) является хорошим приближением для энергии,,
во всяком случае, относительно ее зависимости от /, и что эта зависимость
определяется выражением
й2
Е{ (а) =Е0 (а0) / (/-[- !)-[-•...
(А. 89)
(Здесь многоточие обозначает малые поправки.) Формулу (А.89) следует прн
менять в равновесной точке а0 = 0О.
436
Используя двухчастичное взаимодействие вида
V •-= (0,84-0,2Рб) (14- Р") Vo
[см., например, выражение (6.54)|_ и потенциал деформированного гармони-
ческого осциллятора типа Нильссона, Йоккоз рассмотрел [ 5441 матричные
элементы
w,= <xl I Х>-(2'+ I) J Doi (cose) <Х|Й ехр [ffl-'Jje]) Х> Л cost)
(А.90>
iVl=<Xl₽'lZ>=(2/+ Of DjKcose) <x| exp (ift-1 Л,0}I %> dcos0. (A. 91)
Здесь использовался проекционный оператор вида (А.56). С помощью выра-
жения (А.84) и уравнения (5.50) т. 1 находим
Н (0) <хI И ехр [iA-> в/в] I х> = | Ь, I2 Е, Djl (cos 6) (А.92)
N (0)= <Х | ехр (1А-1 OJ„J I Х> =; I ь, I2 Do'»* (cos в). (А. 93)
Можно показать [544], что эти функции имеют максимумы при в = 0 н 0 ~ л.
и быстро убывают, когда 0 приближается к л/2. Для случая-больших дефор-
маций это можно увидеть следующим образом: имеем Dg0 (cos Q)= Dg0 (1)=
Poo (cos g j — d/0 (0).—
(— l)f/2 T/2it// для четных /,
0 для нечетных I.
Переменные знаки и зависимость от I •• определенно вызывают сокращения
для 0 — л/2, чего не происходит при 0—0.
В случае аксиально деформированного потенциала волновые функции
X имеют симметрию, связанную с тем, что И (0) и N (0) симметричны относи-
тельно точки л/2. Далее, из-за быстрого убывания этих функций их можно
разложить в ряд
Dl* (cose)=i-Y04('+0+0(0*). (А. 94}
Тогда из уравнений (А.90) и (А.91) получаем
И,= 7(/+1){<х|Й₽«1Х>-/((+1)Сл}, (А. 95}
N, = / (/+ 1) «X1 Р> 1 Х>- ' U+ О С"}. (А. 96}
где, очевидно,
С“= — J ег Н (0)rf cos 0; (А.97}
С"=— Г 62 N (в) d cos в. (А. 98}
43?
Подставляя выражения (А.95) и (А.96) в (А.88) и разлагая в ряд знаменатель,
находим
(А. 99)
Сравнивая полученный результат с выражением (А.89), получаем момент
.инерции
Д2 С* Н0—Сн /Уо
2^ ~
(А.100)
Теперь эту величину можно рассчитать непосредственно.
Скнрм [480] предложил другой эквивалентный метод для определения
момента инерции. Возможно, он более предпочтителен. Если предположить,
что величину Ej можно разложить в ряд по I (/ 1), т. е. если постулиро-
вать вид (А.99) и (А. 100), то можно решить уравнения относительно Ео и
через простые матричные элементы по непроектированным волйЪвым функ-
циям х. Рассмотрим величину
<Х|Й|Х> = 2|6/Г!£/=£<'+-^-<Хи£1х> (А. 101)
<xlWJ’lx>=Spl|^('+1)*IEl=E<i<xUsIX> + -^<ХР*1Х>.
(А.102)
Получаем
Е« = <х|Й|х>-Т^<Хи21Х> (А.103)
1 e <xl»J*lx>-<x|fi|x><xl>4x> (Д 1М)
W <Х1 Л*1х> — <XIJE1X>® ' ' ’ '
Эту процедуру можно обобщить, включив больше членов в Е{ и рассмат-
ривая такие матричные элементы, как <%\Н 1 %> и т. п. Получаем систему
линейных уравнений, которую можно решать с любой желаемой степенью
точности. Итак, можно улучшить найденные выше результаты, положив
7 (/+ D8. (А. Ю5)
2^
Это позволяет учесть эффекты центробежного растяжения. Получаем [298]
Е<,=Н-^~^+ВП-‘Т*.
2^
2У = {B-(B)s}{j5-(P)2}-{T«-HJ5}*
_л_ {gjz—jS js}-{fij»-wj«}{j«—р»)2}
{!• _ J« js}2—{j« — (P)2} {П- (Г»)2}
438
(Здесь черточки сверху обозначают средние значения.) Однако следует иметь
в виду, что даже в приближении наиинзшего порядка (А. 104) матричные эле-
менты от ffj2 и J4 чрезвычайно трудно вычислять, так как указанные опера-
торы в действительности являются четырехчастнчными.
§ Л.З. Метод Пайерлса — Таулеса
Изложенная в § А.2 [уравнения (А.59)—(А.61)] очень общая вариацион-
ная процедура фактически может быть проведена только прн введении мно-
гих дополнительных упрощений. Действительно, возникающие уравнения
имеют слишком сложный вид, чтобы их можно было решить точно. Поэтому
здесь мы обсудим менее сложную процедуру Пайерлса н Таулеса [419]„
предложенную первоначально для устранения дефектов метода Пайерлса—
Йоккоза. Один из наиболее существенных дефектов последнего метода сос-
тоит в том, что если применять его к простому движению центра масс, то соот-
ветствующий массовый параметр (27И)-1 получается только приближенно,
а не точно [см. уравнение (А.81)1. Поэтому результаты применения процедуры
Пайерлса—Йоккоза для исследования ротационной структуры ядер могут
быть подвергнуты сомнению. Однако это противоречие устраняется обобще-
нием метода. В случае трансляций это достигается при включении в рассмот-
рение галилеевой инвариантности. Обсудим сначала общий принцип новой
процедуры для любой группы симметрии, а затем дадим приложения резуль-
татов к случаям трансляций н вращений*.
Пусть S — оператор симметрии задачи (гамильтониан). Наиболее важ-
ные примеры для нас — это случаи
S=P, J, N. (А.107>
Рассмотрим систему состояний 1 Фд>, которые не являются собственными
функциями S. Тогда первый шаг в процедуре Пайерлса—Таулеса состоит
в определении | ф?> — решений вариационного уравнения
<6Фх|Й-Ех-Х5|Фх>=0. (А.108>
Таким образом, функции | Ф^> минимизируют ожидаемое значение гамиль-
тониана И при дополнительном условии, что ожидаемое значение оператора
S имеет фиксированное значение. Для упомянутых выше случаев [выражение-
(А. 107)] множитель Лагранжа имеет значения
X=v, ю, N. (А. 109>
Здесь (Л обозначает частоту вращения (угловую скорость) для случая враще-
ний.
Пока что метод идентичен со стандартной вариационной процедурой с до-
полнительными условиями [см. выражения (А.2)—(А.4)]. Однако иа втором
этапе конструируют волновую функцию
Ф=| </(Х)ФхА, (А. 110)
где у (X) — весовая функция. Эта функция Ф подставляется в общее вариа-
ционное уравнение (А.59); вариация выполняется только по отношению к еще
неизвестной весовой функции у (X). В этом месте нужно помнить, что вариа-
* До настоящего времени метод Пайерлса — Таулеса к проектированию
на состояния с заданным числом частиц не применялся.
439
ционный принцип (А.59) сформулирован на состояниях, удовлетворяющих
определенной симметрии S. Это обеспечивается проекционным оператором
ро = р$, входящим в (А.59). Вариации по у (/.) приводят к следующему ин-
тегральному уравнению для этой величины;
|//(Х)[Л(Хх, X)—£я(Хх, X)]dX —0. (А. 111)
-Здесь?/ произвольно: обозначено
Л (Xх, X) = (Фх, ] HPS | Фх>, (А. 112)
л (Xх, Х)“./Фх,|Р5|Фк>. (А. 113)
Нужно иметь в виду, что так как функции минимизируют ожидаемое значе-
ние //при дополнительном условии о выполнении симметрии S «в среднем»,
то они являются наиболее подходящими для нахождения общих функций Ф,
из которых проектированием получают состояния, удовлетворяющие симмет-
рии точно (а не только в среднем). Проектирование вводится в вариационную
процедуру (А.59).
А.3.1. Трансляции
Применим изложенную выше процедуру к трансляциям и вращениям-
Как мы видели в разд. А.2.2 [в частности, уравнения (А.70), (А.78), (А.79)],
-используя галилееву инвариантность, получаем следующий вид для волновых
функций:
|®v)=exp [ — (1/Л)Л1у.К]|ф?ф>. (А.114)
Здесь v = Р/Л1 — скорость центра масс, a R — соответствующая координата
центра масс. Функции | Ф*ф> представляет собой хартри-фоковское сос-
’тояние, когда центр масс покоится; это решение уравнения Хартри—Фока
<«Ф0|н—£|Ф„>=0. (А.115)
Таким образом, первый этап процедуры Пайерлса—Таулеса завершен:
волновые функции (А. 114) имеют среднее значение скорости центра масс,
равное v. Заметим, что они не являются собственными функциями импульса
центра масс Р; функции | Vp> определяются выражением (А.79).
Второй этап состоит в том, чтобы определить весовую функцию. Эта про-
блема упрощается, если использовать галилееву инвариантность гамильто-
ниана Н таким же образом, как это было сделано при вычислении матричного
элемента (А.69). Если использовать соотношение (А.73) для данного случая,
то оператор Рр, входящий в матричные элементы (А. 112) и (А. 113), можно
заменить Ро. Тогда, учитывая выражение (А.68), находим
Л (а, V, v)=f®*®'(x) exp[(i/A)Atv'-R]x
ХАГ ехр [—(ifi) Afv-(R-a)| Ф*ф(х—a) dx (А. 116)
и
n(a, V', v) = [ Ф?ф,(х)ехр [(i/Л) Mv'-Rjx
Хехр )—(i/Л) Mv-(R—а)) Ф*ф (х—a) dx. (А.117)
440
Интегральное уравнение для определения у (у) (АЛИ) приобретает следую-
щий вид:
Jff/(v)[ft(a, v', v)—En(a, v’, v)J<lvda=O.
(АЛ 18)
Эту процедуру можно еще существенно упростить, если учесть дальнейшее
соображение: ясно, что интегралы перекрытия (АЛ 17) и (АЛ 18) можно в прин-
ципе рассчитать точно. Однако можно приближенно аппроксимировать их за-
висимость от аргументов гауссовой зависимостью. Приведем доказательство.
Интеграл перекрытия п (a, v', v) равен единице, когда а = 0, v = v* = 0;
следовательно,
л (О, 0, 0) = <ХФ|ХФ> = 1.
(А.119)
Этот интеграл убывает при возрастании аргументов. Таким образом, есте-
ственно предположить, что его зависимость от аргументов носит гауссов ха-
рактер в приближении большого числа частиц. Данное утверждение строго
доказывается в несколько академическом случае JV-бозонной системы, в ко-
торой функция Ф^ф представляет собой симметризоваиное произведение N
одночастичных функций (а не детерминант) [419]. Доказательство проводится
для случая большого числа частиц.
Тем не менее мы предположим, что гауссово поведение сохраняется и для
фермионного случая, несмотря на то что здесь доказательств не существу-
ет*. В дополнение к этому отметим, что энергетический интеграл перекрытия
h (a, v', v) для нулевых значений аргументов обращается в среднее значение
Е*ф оболочечной модели
ft(0, 0, 0) = <ХФ I И |ХФ>=Е?ф. (A.I20)
Поведение этой величины в зависимости от ее аргументов в случае большого
числа частиц должно быть очень похоже на поведение интеграла перекрытия
п, так как оператор Н действует самое большее на две частицы одновременно.
Поэтому предположим, что
л(а, v’, v)=exp£— (v—v')2—iC2 a-(v' -]-*)—-~ C8 a3j (A. 121)
•Ma. v'. v)-/J®<xp J- i(C1+c;)(v-v-p-i(C2 + C,-)a (v+v')-
-Y(cs + c;)a’+-i-c'(v+v,)s]. (A.122)
Для того чтобы понять форму этих выражений, включающую определенную
комбинацию v, v' и а, перепишем п (a, v', v) следующим образом:
л (а, V', v) = exp£(i/ft) ~М (vj-v')-a | Л’ (a, v—v'), (А. 123)
где
Л(а, У-¥')=у<1)*ф*(х-|--уа) ехр [-(1/ft) MR(v-v')] Ф F X
Х^х—~a^dx. (А. 124)
* Впрочем, для модели Нильссона можно показать [544], что гауссиан
является хорошим приближением в тяжелых ядрах.
441
Очевидно, что Лг инвариантно относительно вращении в координатном прост-
ранстве. Следовательно, эта величина может зависеть только от таких комби-
наций a, v и v', которые инвариантны к вращениям, т. е. от (v — v')’A
а • (v — v') и а2. Рассматриваются только квадратичные комбинации. Кро-
ме того, коэффициент при а - (v — v') должен быть чисто мнимым, чтобы пре-
дотвратить экспоненциальное нарастание всех значений v и v'. Далее, легко
доказать соотношение
Л (а, V—v') = J*(-а, х’—х). (Л. 125)
Оно выводится из (А. 124). Таким образом, можно сделать вывод, что коэффи-
циент при а • (v — v') должен обращаться в нуль. Тогда автоматически по-
лучаем выражение (А. 121). Вид величины h (a, v', v), определяемой выраже-
нием (А. 122), определяется из отмеченных выше соображений, что поведение
п и h должно быть приближенно одинаковым. На это также указывают коэф-
фициенты С\, которые малы в сравнении с Cv, V — 1, 2, 3, 4. Далее, коэффи-
циент не равен нулю, так как величина Л[ см. выражение (А. 116)] в отли-
чие от п зависит нс только от v — v* при а — 0.
Оказывается, что коэффициенты Cv и Су связаны с определенными ожи-
даемыми значениями, взятыми относительно состояний | Ф^фХ Эти соот-
ношения получаются путем сравнения вторых производных (А. 121) и (А. 122),
с одной стороны, и (А. 116) и (АЛ 17), с другой стороны, кода аргументы обра-
щаются в нуль. Находим
№Сг= № <ЯЪ, i№Cs = M<RP>, №С9 = <рг>,
Л2 (Ci + c;) = -|- Л12 |<Л« H>^-<RHR>],
i£™ Л2(С2 + С')=Л-1 <RWP>, £?фЛ2(Сз+<Т) = <Р2Д>, (А.126)
Е*ф № с; = -ф мг [<.RHR> — 'R‘ Н>].
Здесь следует понимать под величинами R и Р одну из компонент соответст-
вующих векторов R и Р, причем предполагается, что основное состояние мо-
дели оболочек изотропно. В иных случаях величины в (А. 126) будут тензо-
рами.
Из коммутаторов между R, Р и Н можно увидеть, что
<ЯР> = — \ti,
<RHR> = <R2 Ну + /г2/(27И),
<ЯНРу = ~ ifi £*Ф-Ь ~~ ihM~l <Р*у.
Следовательно,
с2=-фм/й,
«£?фс; = ф-<Р2>,
£?фс; = -фл1,
(А-127)
(А.128)
442
№ Е^а с;=~~мг (<«2 ll> + <RHR> —2Е?ф </?>],
•и в частности
tfl E^ c; = </-s //; —/ J'1’ <P2>,
C2C^ = CSC1. (A. 129)
Вес величины Cv. v = 1, 2, 3, 4, представляют собой флуктуации, и в случае
большого числа нуклонов, как и ожидалось, малы. Если подставить выраже-
ния (А.121) и (А.122) в интегральное уравнение (А.118) и выполнить интегри-
рование по а, то находим
) (C,+CJ)-3/2 <Ч> 4" (С1+С1) (V -V')S-
-~Y ((CS+C04C,+CD-i-Ca(v+v')2 j-
-ЕСГ312 exp [- ~ Ci (v-v')2—Cf1 C2(v+v')2]} У M * = 0.
(A.130)
Естественно искать решение этого уравнения в гауссовой форме. Поэтому
сделаем предположение
(А.131)
Подставляя (А. 131) в (А. 130) и выполняя интегрирование по V, получаем
£?Ф(С8 + Са-3/2|11+(Сг+Са2(Сз+СИ-1+С1 + С;-С1]-3/2Х
Хехр 4“ v'2 [(Cs+CasCCs+Ca^+G+Ci-Ci-
<(О । c.;)g(c., । । с;-! а»2 р
ч+^+ОДЧСа+са-Ч-О+^-с; JJ
-ЕСГ3/2 bl+q Cg-1+С,]-3'2 ехр х
x{-4-'''2[C22^1 + C1-(C|Cfi-Ci)2(,1 + C“Cs-1+C1)-1]}. (А. 132)
Это уравнение удовлетворяется, если величина ц подчиняется следующему
соотношению:
, ((Сг+СЭг/Сз+СЭ-1—(Ci-J-CJ-I-Ca))2
(О+cj)2 <с,+с;> -1+с, +с; -с;-
4+(Cs+C2)2(Cs4-Cs) Ч-Ci+C,— С,
= С2 С J1 + Ci - (С| С:, * - С,)2 (Ч + С2 CJ1 + Ct) -1. (А. 133)
Тогда энергия Е дается выражением
e-eJ® с|/2(с,+со-3/2
г_________i)+cgc»1+c1________р/3
_ч+(С.+Саг(С, + са->+С1+С£-С4' J ‘
(А.134)
Так как не следует ожидать, что гауссово приближение в уравнениях (А. 121)
и (А. 122) для функции h и п справедливо при небольших числах частиц /V,
то, чтобы ие превышать точность, нецелесообразно удерживать члены в Clf
443
С8, С3 и Сл, кроме членов первого порядка. Таким образом, производя раз-
ложение и используя тождество (А. 129), а также обозначение
*9 4~ Ci -{- Cf С3 1
(A.135)
перепишем уравнение (А. 133) в виде
V-I-2X-
(А.136>
В том же порядке малости энергия (А. 134) дается выражением
£=£*Ф-
В заключение заметим, что, используя волновую функцию
Л+^Ч-С^Сз1
(А. 137)
<х I ¥р> = <х | Рр 1 Ф> = J ехр [—(i/ft) p-а] у (v) Фу (х—a) dv da, (А. 138)
котораи конструируется из выражений (А.110), (А. 114), (А.79) н (А.68),
можно найти волновую функцию с определенным импульсом р, имеющую
правильное поведение при трансляциях. Наиболее важно [см. рассуждения,
приводящие к формуле (А.76)], что эта функция имеет также правильную за-?
внсимость р2/(2Л4) в энергии от полного импульса и массы. Более того, в энер-
гии (А. 137) содержится поправка, не зависящая от импульса; она обеспечи-
вает компенсацию духового движения центра масс, имеющегося в оболочеч-
ной модели.
А.3.2. Вращения относительно фиксированной оси
Изложим существенные детали общего метода для случая вращений
вокруг фиксированной осн, например осн х. Задача весьма схожа с задачей
трансляции, рассмотренной в предыдущем разделе: приведенный выше анализ
галилеевой инвариантности заменяется для данного случая соображениями
ротационной симметрии, которую нужно ввести в проблему. Вращение сис-
темы создает инерциальные силы, обнаруживающиеси во вращающейся сис-
теме координат.
Обозначим собственные значения Jx посредством т. Тогда аналог интег-
рального уравнения (АЛ 18) имеет вид
f d(ot/ (®) J dO ехр (— irnty [ft (6, <d*, со) — Еп (0, о)[ = 0, (А. 139)
о о
где
ft (0, с/, о) — <Фа, | Н ехр (i Jx 0) | Фо> (А. 140)
п(0, о', tn) — <ФЬ). | ехр (iJx 0) | Фо>. (А. 141)
Здесь мы использовали проекционный оператор (А.82). Так как состояния
I Фу> можно легко связать с состояниями, имеющими v = 0 [см. выраже-
ние (АЛ 14)], то находим
( Фо> = ехр(-1©0)|Фо>, (АЛ42)
где 0 — одночастичный оператор, определенный в работе [505].
444
Так Же, как это делалось в уравнениях (А. 121) и (А. 122), аппроксими-
руем функции перекрытия (А. 140) и (А.141) гауссианами. Имеем
п (о, Ш-, о)=<фш. IPR (0) I ®w>=
--ехр J (о — (и')* — iDB 6 ~ D, 02 j (А. 143а)
v
Л (0, о', а) = <Ф,„. | HPR (0) | Фш> = ф ехр Г—-1- (°* +D>’>
-i(Ds-|-Di) 0 (ш+ш')—~ (Ds + D') 02+y D" (<»+<о'р|. (А. 1436)
Коэффициенты, появляющиеся в этих выражениях, можно рассчитать, раз-
лагая выражение P# (0) в (А.82) в ряд по степеням 0 и используя точную фор-
му функций Фю нз соотношения (А. 142). Оказывается, что весовая функция
опять-таки имеет гауссов внд [419]:
у (о) —Dexp I — — n I,
причем громоздкий расчет J419] приводит к результатам
и
Е=£ (т—0)4- m2/(2^).
(А. 144)
(А. 145)
(А. 146)
Интересно, что выражение для момента инерции У оказывается таким же,
что и в модели принудительного вращения [см. выражение (10-106)].
В общем случае произвольного вращения метод весьма усложняется.
Иа сегодняшний день общего решения не найдено. Тем не меиее Таулес и
Пайерлс смогли для этого случая показать, что при больших деформациях
получается вращательный спектр:
Е; = /(/-|-1)/г2/(9^). (А. 147)
При этом момент инерции опять-таки определяется формулой Инглиса
(10-106).
Таким образом, мы видим, что можно—по меньшей мере в принципе —
ввести симметрии системы в хартрн-фоковское решение ядерной многочастич-
ной задачи. Однако практическое решение задачи оказывается чрезвычай-
но сложным н потребует в будущем больших численных расчетов. Недоста-
ток изложенных методов состоит в том, что они до некоторой степени абстракт-
ны и стремятся за формальными выражениями скрыть простую физику. Это
позволяет понять, почему существует желание развивать более простые мо-
дели, как, например, модели, изложенные в т. 1. В приложении Б дается
несколько более физический подход, тесно связанный с ядерными моделями.
В некоторой степени это приложение основано, иа изложении даииого
материала в книге Баумгартнера и Шука [36]. Сведения о проекционных мето-
дах в физике многих тел можно также найти в книге Таулеса 1506] и класси-
ческой статье Хилла и Унлера [270].
Изучить группы симметрии, встречающиеся в физике, можно по работе
Мак-Воя [360] и книге Любарского [343]. Обзорная статья Рипки ] 443] ос-
вещает различные результаты, получаемые с помощью проекционной техни-
ки; некоторые из результатов собраны в § 8.1.
445
ПРИЛОЖЕНИЕ
Б. КОЛЛЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Подход к микроскопическому описанию коллективных эффектов в зада-
че многих тел и их взаимодействию с одночастичнымн явлениями, полностью'
отличный оттого, что развивался в приложении А, был представлен в работах
Внлларса [516—518, 520], Линкина [333, 334] и, позднее Шайда и Грайнера
[197, 463]*. Главным образом, данный подход касается последовательного вве-
дения концепции коллективных переменных в формулировку миогочастич-
ной задачи. В тоже самое время полностью учитывается симметрия системы.
В гл. 10 мы уже видели, как можно ввести коллективные координаты в микро-
скопическое описание: мы рассчитывали коллективные потенциалы н кинети-
ческие энергии, определяемые коллективными координатами и их производ-
ными по времени. Но мы не касались того факта, что в то же самое время мы
рассматривали также внутреннее движение А частиц, задаваемое ЗА степе-
нями свободы. Ясно, что это некорректно, так как введение К коллективных
координат требует К Дополнительных условий на исходные ЗА одночастич-
ных координат, чтобы сохранилось полное число степеней свободы. С другой
стороны, ясно, что такая постановка проблемы вводит сравнительно простым
способом большинство симметрий системы, о которых шла речь в предыду-
щем приложении.
Чтобы уяснить этот момент более четко, рассмотрим пример: внутренняя
волновая функция в деформированном потенциале (детерминант Слэтера обо-
лочечной модели или хартрн-фоковские одночастичные состояния) не удовлет-
воряет надлежащей вращательной симметрии. Поэтому такая функция проек-
тировалась в подпространство собственных функций с определенным угловым
моментом
~ J ®2’ ®з) A' (0i> ®2, е3) d£2
(Б.1>
и идентифицировалась, например, с членом вращательной полосы. Конечно,
в этом случае число степеней свободы, равное ЗА, сохраняется.
С другой стороны, в коллективной модели вращательные полосы генери-
руются вращением внутренних состояний (модель сильной связи — см. гл. 6,
7 и 9 т. 1). В-этом случае волновые функции с сохраняющимся полным угло-
вым моментом даются выражением
(<!i) z'<; (- 1)'+А
(Б. 2)
Ясно, что такие волновые функции удовлетворяют вращательной симметрии,
но содержат три лишние степени свободы, а именно три угла Эйлера. Однако
для практических целей такая концепция много проще, чем расчет интегралов
Хилла—Уилера (Б.1). Предполагают, что для тяжелых ядер с ЗА (А 200)
* Концепция коллективных переменных в связи с одно частичными степе-
нями свободы впервые рассматривалась Зюсманом [494].
4-46
степенями свободы лишние степени свободы несущественны. Тем не менее
остается принципиальный вопрос, как сформулировать теорию точно, т. е.
как исключить духовые состояния, образованные лишними степенями свобо-
ды*.
В действительности в ядерной многочастичной проблеме может быть не-
сколько типов духового движения. Наиболее известный из них связан с дви-
жением центра масс. Он подробно обсуждался в литературе [21, 169, 211,
335, 511J. Другая важная задача — это исключение духовых вращательных
состояний в волновых функциях вида (Б.2). В последующих параграфах бу-
дет представлен общий формализм для проектирования духовых коллектив-
ных состояний, что будет далее применяться к конкретным проблемам дви-
жения центра масс н вращательного движения.
§ Б.1. Общий формализм
В системе, содержащей А частиц, выполним каноническое преобразование
одночастичных координат лабораторной системы к коллективным коорди-
натам а.ц и к ЗД— К так называемым внутренним координатам £v:
ft — {xf, у;, zt} -» a,., L. 1....,К, (Б.З)
Тогда гамильтониан
н (п)==2р?/<2/и)+2у<г’-г/) (б-4)
преобразуется к виду
(rt) -* И (ац, Су) ~ tiколл (ар) Нвнутр (Сv) “Ь ^св (®ц, Су)- ( Б. 5)
Этот гамильтониан имеет дискретные собственные значения Еп‘
НЧп=ЕЛ. ' (Б.6)
Разложим эти волновые функции по полной ортонормированной системе ре-
шений коллективного гамильтониана
//колл (au) фй (ац) = Ak <Pk (%), k = 0, 1, 2, ..., (Б. 7)
и внутреннего гамильтониана
//BHyTp(Cv)X/(U = 8j^-(Cv). /=0, 1, 2, .... (Б.8)
Тогда функции фп можно представить в виде
’)’п = А2“*/'Рй(“11)Ху(М- (Б-9)
В практических расчетах упомянутое выше преобразование трудно осущест-
вить для ядер с А > 4: внутренние координаты в общем случае зависят
от координат частиц несимметричным н нелинейным образом; поэтому про-
изводить точные расчеты с ними громоздко. Этих трудностей можно набежать,
если описать внутренние координаты системой всех координат частиц. Тогда
волновая функция внутреннего движения, зависящая от ЗД координат час-
тиц, дает описание ЗД-мерной системы. Поэтому нужно наложить определен-
ные ограничительные условия, чтобы свести ЗД-мерную систему к ЗД—Л-мер-
* Впервые было указано Линкиным [333, 334], что волновые функции
(Б.2) содержат духовые коллективные вращения.
447
Будем наблюдать за внутренним движением из вспомогательной системы,,
в которой координаты частиц обозначаются
Г1 = {хц yi> Zi}- (Б. 10)
Потребуем, чтобы координаты г, преобразовывались во внутренние тем же
способом, что и исходные координаты, т. е.
Ч Cv если Ч V (Е.!1>
Координаты rj описывают систему ЗД степеней свободы. Однако, так как внут^
реннее движение определяется ЗД—/(-степенями свободы, новые координаты,
содержат К дополнительных лишних переменных. Обозначим последние сс^
[331, 345, 346, 394, 499]. Эти лишние переменные вводятся следующим мето-
дом: находят каноническое преобразование ЗД + К координат
Ч"“ц^Ч"а1*- (Б. 12)
Для того чтобы выразить внутреннее движение с помощью волновых функций
вспомогательной системы координат, потребуем, чтобы волновые функции
факторизовывались после преобразования к внутренним координатам:
4’(4) = Z;(Ev)°(%)- (Б.13)
Если множитель, зависящий от лишних координат а , т. е. о (ац)> остается
одним и тем же для всех волновых функций то, значит, найдено единое
решение: система функций, 'заменяющая внутренние волновые функции
Xj (tv)- Этого можно добиться с помощью излагаемой ниже процедуры.
Рассмотрим функции <р (г<), являющиеся собственными решениями га-
мильтониана. Гамильтониан расщепляется иа две коммутирующие части —
ннутренннй гамильтониан /7ВНутр (Cv) н гамильтониан духового коллектив-
ного движения:
(Б. 14)
«(Ч)=»вта1р<У + "«глл'
Оператор ЯКолл—это гамильтониан по коллективным переменным а . Он
конструируется так, чтобы обеспечить дискретные собственные значения
Ик.лл (пц) л, (йц), 1=0, 1, 2......... (Б. 15)
Этот дополнительный гамильтониан позволяет определить множитель в (р,
зависящий от коллективных переменных а^. Если функции <р являются одно-
временно собственными решениями двух гамильтонианов
Н (Й) (г»)=(е/+$«) <Р(Й) (Б. 16а)
#колл (ri) (Б.166)
то спектр духовых коллективных состояний с энергиями S6 образуется
на каждом собственном значении е7- внутреннего движения*. Таким образом,
мы получаем систему собственных значений
Ej-f-Sp, Bj-J-Si, Еу-]-<$2» -
(Б. 17)
* Отметим, что в выражении (Б. 166) коллективная переменная а выра-
жается через одночастичные координаты г<.
418
Ясно, что состояния (ff) можно однозначно классифицировать только-
в случае, когда собственные значения Н1{ОЛЛ не вырождены; тогда все волно-
вые функции q>jS (г,) будут факторизовываться по двум типам координат,.
Вообще говоря, возникает проблема вырождения. Однако основное сос-
тояние НКолл не вырождено; поэтому мы получим полную систему функций
Ф/8, содержащих все внутренние состояния, выраженные через одночастичиые
координаты г, и разделенные по координатам*»^ и £v (если выразить функции
через эти координаты). Однако нужно ограничить такие функции условием^
чтобы в основном состоянии имелось коллективное движение:
4'j — Й) = Zjftv) °о (“ц)
(Б.18)
Можно однозначно выделить эти функции фу в полной системе фу8 по их об-
щему собственному значению So.
Если подставить функции фу в уравнение (Б.9) вместо функций %у (£v),
то получим новые функции
=2 “у % (%) (г,) = °«(“и)- (Б «Г
Эти_ волновые функции ф« днагонализуют гамильтонианы Н' = И Яколж
и ^колл-
Н' %— № + //колл) —Чп — (£n4~S0) ф,'
НКОЛЛ Ч'л — *0 Ч».
(Б.20>
Гамильтониан Н' можно также записать в форме
Н> = Нкопл (ац) + //Внутр (*/) + #св (ац> П)“Ь#колл («ц) =
= Я(П)-|-//КоЛЛ(а|1). (Б.21>
Прн этом использовались выражения (Б.З), (Б.5) и (Б. 11). Гамильтониан Нг
обладает следующими свойствами: он описывает систему ЗЛ -f- К степеней
свободы rlt ..., гл; alt ..., После преобразования [см. выражение (Б.11)1
координат ft к внутренним координатам и к духовым коллективным1
переменным гамильтониан Н" разделяется иа два коммутирующих друг
с другом гамильтониана^ а именно Н (rf) [см. уравнение (Б.4)] для систе-
мы А частиц и //1(олл (»ц) для духового ’ коллективного движения. По этой,
причине волновые функции фл К1ОЖНС разделить по переменным г$ и ац.
Чтобы выбрать всю систему волновых функций /-частичной системы из ре-
шений для ЗЛ -f- К степеней свободы, нужно ввести ограничение, чтобы
духовое коллективное движение происходило в основном состоянии, ъ е.
оставить только такие решения гамильтониана, которые имеют вид (Б. 18).
Тем самым ЗА 4- К-мерная проблема сводится к ЗА -мерной. Диагонализуя
оба гамильтониана Н' и Нколл на базисе функций координат г; и ац, мы
решаем таким образом точную проблему А частиц, как если бы рассчиты-
валась система с внутренними координатами tv.
44ft
§ Б.2. Проектирование духовых состояний
центра масс
В качестве первого примера мы используем развитый выше формализм
для решения проблемы духового движения центра масс. В действительности
движение центра масс является наиболее простым коллективным движением,
так как оно единственное движение, не связанное с внутренним движением
<есл^ гамильтониан /-частичной системы трансляциопно инвариантен).
Конечно, интерес представляют только энергии и собственные функции внут-
реннего гамильтониана.
Б.2.1. Преобразование гамильтониана
Преобразуем ЗА лабораторных координат г; к координатам центра масс
X, определяемым соотношением
х=л-> 2гг,
1 — 1
(Б. 22)
и к ЗА—3 независимым внутренним координатам конкретно не фикснруе
ыым. Относительные координаты
Г-=Г. — X
(Б. 23)
ъз а и мо независимы и являются
только функциями внутренних координат
4V. Поэтому следующие три условия тождественно выполняются при любых
координатах
2>;(tv)= 2ч’(и)=о.
1 = 1 1=1 1=1
(Б.24)
Обозначим направления координат а, р, у; например, г-координата i-й части-
цы обозначается xtv. Условимся также, что по повторяющимся в одном выра-
жении индексам производится суммирование. Импульсы р, = —ifiVj пре-
образуются в системе центра масс в виде
вхе «у
eXia
(Б. 25)
Здесь Р обозначает импульс, канонически сопряженный X , и Jtv =
— —lh dfd%,v—канонически сопряженный к величине импульс. Легко дока-
.зать следующие соотношения:
ахр Вх1а -Рр = Л-’ ра. (Б.26)
%, ас. <',xi„. "v - Bxia Вх№ дх1а Pif> Pta’ (Б.27)
-где Pz - Bxia Bxia (Б.28)
450
Последнее соотношение легко проверяется подстановкой (Б.28) во второй
член выражения (Б.27)*. Величины являются матрицами (ЗА—3) X
X (ЗА — 3). ЗА импульсов р'г зависят только от ЗЛ — 3 внутренних коорди-
нат, так как относительные координаты г/ выражения (Б.23) зависят только
от внутренних координат £v. Поэтому они не являются канонически сопря-
женными относительным координатам г/, т. е. р/а =?=—ihd/dxia,. Причиной
этого являются дополнительные условия между относительными импульса-
ми, а именно У р/ — 0.
Подытоживая сказанное, находим, что импульсы р, выражения (Б.25^
находятся из соотношения
Р—Л-1Р4-Р'. (Б.29>
Для гамильтониана (Б.4) после подстановки двухчастичных потенциалов (они’
зависят только от внутренних координат gv) находим следующее выражение:
Здесь
Н — Р~/(2Ат) J-^внутр (?v)’ (Б.30);
#внутр (Cv) — 2 Р/ 2/(2т) + 2
(Б.31>
Перекрестные члены между энергиями центра масс н внутренними кине-
тнческими энергиями обращаются в нуль, так как у, pi — 0. Это подтверждает
тот факт, что не имеется связи между внутренним движением н движением
центра масс в случае, когда гамильтониан трапсляционно инвариантен.
Для гамильтониана (Б.30) волновые функции центра масс являются плоскими-
волнами, так что полные волновые функции факторизуются в форме
%/=exp(ik-x)%;(Cv).
(Б.32>
Б.2.2. Расчет внутренних энергий
В многочастичных расчетах используют волновые функции, которые об-
ращаются в нуль на бесконечности. Следовательно, такие волновые функции
содержат волновой пакет движения центра масс, сконцентрированный вблизи
начала координат. Энергия волнового пакета может значительно флуктуи-
ровать от состояния к состоянию, так что рассчитанные интервалы между
уровнями энергии вовсе не обязательно совпадают с интервалами между энер-
гиями внутренних состояний.
Для того чтобы получить определенную зависимость волновых функций
от координаты центра масс, можно добавить произвольный потенциал №(Х),
связывающий центр масс [414, 463J. Новый гамильтониан имеет вид
(Г1)+1Г(Х)=И(Г<)+1Г(Л-12Г|)- (Б.33>
Он приводит к дискретным состояниям для движения центра масс:
//ц.мов(Х)-5в<тв(Х), (Б.34>
где
#ц.м = Р2/(24т)+ №(*) (Б.35>
* Следует отметить, что в действительности выражение (Б.28) является
определением относительных импульсов р-.
451
Так как гамильтонианы Н и Яц.м коммутируют, то они могут быть диагона-
.лизованы одновременно:
Н (rf) ^s(Fi)=£js%s(ri)
(Б.36)
|(2Лга)->^3 +«7^-1 Зг; ]|ф„(г,)=58ф/в(г,). (Б.37)
Ограничиваясь решениями системы, содержащими основное состояние йц.м,
можно однозначно получить все решения //ВНутр- В этих решениях движе-
ние центра масс н внутреннее движение разделяются. В общем случае это объ-
яснялось в § Б.1:
% (ft) = Ч’/s-о (rf) =7j (Q o0 (X).
(Б.38)
Поэтому, не выполняя конкретного преобразования к внутренним коорди-
натам, можно найти собственное значение //внутр посредством диагонализа-
ции Н и Яц.м одновременно. Это собственное значение равно Е/ = Ej0 — So.
Б.2.3. Духовые состояния центра масс
в одночастичных потенциалах
В модели оболочек заменяют нуклон-ну клон ное взаимодействие сред-
ними одночастичпыми потенциалами, отсчитываемыми от начала координат.
В действительности осцилляторный потенциал является единственным, для
которого одночастичные потенциалы сепарируются по координатам центра
масс и внутренним координатам. Для случая осциллятора имеем
А 1 А
2 y™"' 2
+-J- Л-1™2 2<г<—г/)2-
(Б. 39)
Для этого специального случая предлагались различные процедуры [21,
169, 211, 335, 511J для проектирования духовых состояний из многочастнчвых
волновых функций. Для всех иных часто используемых потенциалов (напри-
мер, потенциала Саксона—Вудса) движение центра масс связано с внутрен-
ним движением. Конечно, эта связь нефнзична и возникает вследствие отсут-
ствия трансляционной инвариантности для оболочечных функций в одноча-
стичном потенциале.
Для того чтобы сделать инвариантной трансляцию любого одночастнчно-
го потенциала V (г, р), нужно измерять координаты частиц не от начала
координат, а от центра масс, т. е. нужно заменить средний потенциал (зави-
сящий в общем случае от импульсов частиц) на величину
S V(r(.p,)- 2J У(гг-Л-13г,-.рг-Л-1 2р,). (Б.40)
Очевидно, этот новый потенциал трансляционно инвариантен. Но нужно
•отметить, что это больше не одночастнчный потенциал в обычном смысле сло-
452
ва, так как частицы связываются друг с другом посредством координат центра
масс. Таким образом, вместо старого гамильтониана
и= 2; (л?(п. р<»
(Б.41)
нужно диагопалнзовать новый гамильтониан
н= 2 |р? /<2"')Т v Г/ —А ' £ г,-, Pi —Л1 2j Р,^} +
+«/^-1.2!1гЛ (Б.42)
В противоположность Н новый гамильтониан Н сепарируется по координатам
центра масс и внутренним координатам, так что можно применить процедуру,
разъясненную в разд. Б.2.2, для проектирования духовых состояний центра
масс. Разумно диагонализовать гамильтонианы Н и Яц.м с помощью детерми-
нантов Слэтера, являющихся собственными решениями Н. Чтобы сохранить
базис как можно меньшим, выбирают произвольный дополнительный потен-
циал W (X) столь оптимальным способом, чтобы минимизировать выражение
.2 |1' (П, Pi)—V ( Г/-Л -' Д rJ. ГЧ — А-1 £ p,j|
(Б.43)
В самом деле, в случае осцилляторного потенциала это выражение обращает-
ся в нуль тождественно, если выбрать
W (Х) = -^Ато2Х2.
(Б.44)
Так как наиболее часто используемые потенциалы могут быть аппроксими-
рованы подходящим осцнлляторвым потенциалом, то, видимо, удобно пред-
положить, что W (X) •— квадратичная функция X. Нужно только выбрать
частоту эквивалентного осциллятора так, чтобы выражение (Б.43) было ми-
нимально.
Действуя таким способом с простейшим возможным дополнительным по-
тенциалом W (X), определяем состояния центра масс. Затем можно применить
изложенную в предыдущем разделе проекционную процедуру. Недуховые
возбуждения системы имеют центр масс, совершающий нулевые колебания
относительно «своего» основного состояния. Первые духовые состояния имеют
энергию возбуждения йсо. Это—1 "-состояния сферических четно-четиых
ядер, так как центр масс осциллирует в первом возбужденном состоянии
(р-состоянин).
Для расчетов легких ядер, выполняемых с гамильтонианом Н [см. выра-
жение (Б.42)[, можно пренебречь поправками от центра масс в спин-орбн-
тальном члене. Кроме того, удобно произвести разложение в ряд простран-
ственно зависящей части потенциала (г) (в случае потенциала Нильссона
453
это как раз потенциал гармонического осциллятора), т. е. потенциал без сла-
гаемых, пропорциональных 1 • s и I2. Таким образом.
S lP?/(2m)+IZ(r,, P/)l— S (X v.)»'„(r,) i-
Z=1 1=1
+-^- У (* v>)! 1/с(г<)+-|-Лти=№, (Б.45)
где координата центра .масс X все еще выражена через одпочастичные коор-
динаты гг-, т. е. X = А-1 У, г/. Помимо Н нужно диагонализовать также га-
мильтониан центра масс Яц.м, определяемый выражением (Б.37).
Б.2.4. Проектирование состояний центра масс
в рамках частично-дырочного формализма
В качестве примера применим изложенную в предыдущем разделе про-
цедуру для внутренних волновых функций деформированного ядра 20Ne.
Одночастичные энергии и волновые функции берутся нз модели деформиро-
ванных оболочек. Параметр деформации аксиально-симметричного осцил-
ляторного потенциала получается посредством минимизации энергии основ-
ного состояния при с0 0,4. Две осцилляторные частоты в направлении
ху н в направлении z рассчитывались с параметром — 41А—Мэв
н имели значения йсох = = 17,8 Мэв и A(oz = 10,8 Мэв. Сначала диа-
гонализовывалось остаточное взаимодействие вида (6.42). Базис состоял из
58 одночастнчно-однодырочных (1р — lh)- и двухчастично-двухдырочных
(2р — 2й)-состояний. Эти состояния классифицировались по четности, изо-
спину н z-компоненте углового момента (Q). Так как потенциал деформирован,
то сам угловой момент не является сохраняющимся квантовым числом. Энер-
гии измерялись относительно исходного основного состояния. Таким обра-
зом, энергия возбуждения духового движения центра масс в различных
состояниях | п> имела вид
ДЕд I P‘/(2An,)+-^- Ат (Ш« Х‘ +<»’ Y3 +<„ \ Z’) | п> -
— “ 2 (Й(0х-f-Гийу . (Б.46)
Эта величина дает меру «духовости» различны х конфигураций. Как видно
из рис. Б.1, для конфигураций — 0~ и = 1- духовые состояния распре-
делены по нескольким низколежащнм конфигурациям. Некоторые уровни
содержат почти чистое духовое возбуждение. Это становится особенно ясным,
если вспомнить, что рассчитанные выше значения ficox = fltoy = 17,8 Мэв и
fta>z = 10,8 Мэв являются также энергиями квантов центра масс.
В представлении частиц остаточное взаимодействие трансляционно ин-
вариантно, однако в частично-дырочном представлении это не так (см. гл. 6).
В действительности неинвариантные слагаемые соответствуют взаимодействию
одной частицы с конгломератом всех остальных частиц ядра, предполагаемо-
му учтенным в среднем потенциале. Поэтому в частично-дырочных вычисле-
ниях эффективно вычитают потенциал, зависящий от центра масс, из трансля-
ционно инвариантного двухчастичного взаимодействия. Эти соображения
доказывают следующее утверждение: обычная диагонализация остаточного
взаимодействия уже в большой степени проектирует духовые компоненты
в небольшое число конфигураций. Так как потенциал центра масс вычитается,
а ои имеет порядок амплитуды среднего одиочастнчного потенциала, то ду-
454
ховые конфигурации в общем случае имеют энергию порядка над основ-
ным состоянием (93, 463].
На рис. Б.1 также показаны результаты проекционной процедуры для
О- - н 1“-конфигураций. Как отмечалось выше, члены 1 - s и Is также за-
висят от координат центра масс, однако этой зависимостью пренебрегают.
Далее, стандартное частично-дырочное рассмотрение остаточного взаимодей-
ствия приводит к определению координат центра масс только приближенно.
Рис. Б. 1. Результаты проектирования на состояния с покоящимся центром
масс для внутренних состояний ядра 20Ne [463]:
дырочных и двухчастично-двухдырочных конфигураций. Показаны только состояния
ветствующие движению центра масс до проектирования согласно выражению (Б.46);
В этом заключается причина того, что после проектирования остается духовая
компонента (А£ц.м < 0,3 Л1зб); см. рнс. Б.1. Тем не менее очевидно сущест-
венное изменение спектра после проектирования: наимизший уровень лежит
на 2 Мэв выше, чем без проектирования центра масс.
§ Б.З. Проектирование духовых вращательных
состояний
В качестве второго важного примера общей проекционной процедуры,
приведенной в § Б.1, рассмотрим проектирование духового вращательного
движения. Как было найдено в приложении А, проекционный метод Пайерл-
са—Йоккоза и Таулеса очень сложен, н в нем существование вращательных
состояний не возникает естественным образом. Только после утомительных
расчетов спектры оказываются похожими на вращательные.
Поэтому кажется более естественным оставить углы Эйлера в качестве.
коллективных координат для вращательного движения и рассмотреть внутрен-
нюю динамику микроскопически, как это было сделано в предыдущем парагра-
фе для движения центра масс. В такой картине нуклоны двнжутси в деформи-
рованном среднем потенциале. Потенциал может вращаться,.а его положение
455
фиксируется в пространстве углами Эйлера. Таким образом, данная кон-
цепция весьма схожа с обобщенной моделью, однако здесь тщательно
рассматривается число степеней свободы, так что возникает последователь-
ная теория.
Координаты центра масс однозначно определяются через одночастичные
координаты [см. выражение (Б.22)]. В случае вращений мы должны сначала
определить, как положение системы определяется положением частиц и как
зависят углы Эйлера от координат частиц. Мы предположим то же самое
определение жестко связанной системы, как и во вращательно-колебательной
модели (см. гл. 2, 4 и 6 т. 1), а именно потребуем, чтобы произведения инер-
циальных параметров обращались в нуль во внутренней системе. Тогда углы
Эйлера определяются так, чтобы жестко связанная система совпадала с сис-
темой главных осей.
Внутренняя система имеет ЗА — 6 степеней свободы. Иными словами,
нужно вводить только ЗА — 6 так называемых внутренних координат.
На практике такую процедуру реализовать нельзя. По этой причине снова
рассматривают внутреннее ядерное движение всех ЗД координат частиц.
Тогда внутренняя волновая функция содержит как духовые состояния центра
масс, так и духовые вращательные состояния. Их нужно проектировать сог-
ласно общей процедуре, изложенной в § Б.1.
Б.3.1. Преобрезование кинетической энергии
Преобразуем кинетическую энергию системы А частиц к системе, свя-
занной с ядром, в которой нет движения центра масс н вращение которой опре-
деляется углами Эйлера*.
Лабораторные координаты xia можно преобразовать в координаты х'1А,
связанные с ядром, с помощью матриц вращения RAa (6j) ~ Rла (6j). Здесь
индексы обозначают декартовы компоненты
*1а=Ха+Ка№1)‘‘1л (Б.47)
<Б-48)
Здесь а, обозначает (а, р, у)-осн, связанные с лабораторной системой, а А
обозначает (Д, В, С)-осн, связанные с ядром (рис. Б.2). Координаты, связан-
ные с ядром, не независимы друг от друга. На ннх накладываютси следующие
шесть условий:
1 *М(В.С> = 0’ (Б.49)
i==i
А А А
/21 х1ах1в = .2 *lBx'iC = £ xicxiA^°-
Эти уравнения определяют, как зависят углы Эйлера и координаты центра
масс от лабораторных координат xia. Координаты являются функциями ЗД—6
независимых координат, для которых верхние условия удовлетворяются
тождественно. Мы увидим, что явный вид £v не потребуется.
Канонические преобразования ЗД координат и импульсов
«v (Б.БОа)
* Впервые это было сделано Вилларсом [516—518]. Некоторые соотно-
шения в этом разделе не выводятся; полное обсуждение можно найтн в рабо-
тах [334, 463, 516—518].
456
(B-606)
приводит к величинам pia, равным
дХ„ дв, д?
р‘^р^ап^(Б-51)
Отсюда получаем снова выражение (Б.26)
ЭХВ
Рр=Л->Ра. (Б.52а)
Рис. Б. 2. Системы координат: а, 0, у — коор-
динаты в лабораторной системе; А, В, С—ко-
ординаты в системе, связанной с ядром; 6j—
углы Эйлера
Используя (Б.48), находим
ав< „ да, <Ч-к
(В
Введем сокращенные обозначения р1А — ЯдрР/р. Тогда
ее,- „ 1 srav
2 i дх (xi'APi'B~~xi'BPi'A)' (Б. 53)
axia z l'. А,В
Выражение в скобках'
LC s LAB= 2 (*IA PtB—x'lB PiA> (Б-64>
есть оператор орбитального углового момента системы А частиц по отноше-
нию к жестко закрепленному ядру. Оператор углового момента Lc вызывает
вращение ядра как целого. Он зависит только от углов Эйлера. Его коммута-
ционные свойства отличаются знаком минус от обычных правил коммутации:
1£Л,£В]=-1Ы.С. (Б.55)
Если спины нуклонов также преобразуются во внутреннюю систему, То ЬА
вращает не только координатные, но н спиновые части волновой функции.
15 Зак. 5 32
457
Таким образом, L 4 нужно идентифицировать с полным угловым моментом
JА\ тогда орбитальный угловой момент нужно заменить
.2 sw
(Б. 56)
Таким образом, оператор углового момента J можно относить как к лабора-
торной системе, так и к системе, связанной с ядром.
Можно также определить внутренний орбитальный угловой момент L',
зависящий только от внутренних координат £v. Введем сначала так назы-
ваемые внутренние импульсы
~ Л?
о. 1
(Б-57)
где Dcx — матрица, обратная
(Б.58)
Расчеты, аналогичные (Б.52) и использующие выражение (Б.48), приводят
к формулам
вх1а
(Б. 59)
Величина в скобках называется внутренним угловым моментом по отноше-
нию к системе, связанной с ядром:
^АВ- - .2 (А'м PiB~XiBPiAf-
(Б. 60)
Он зависит только от внутренних координат и коммутирует с операторами
момента инерции:
— 4?1—°’
(Б.61)
С помощью уравнения (Б.61) можно показать, что внутренние угловые мо-
менты удовлетворяют правилам коммутации
t 2/с(/л+/в)
lLA.LBl-^ ..........
(Б.62)
Так как моменты инерции—с-числа, то видим, что с точностью до множителя
коммутационные правила для совпадают с аналогичными правилами для
обычных угловых моментов.
Полный внутренний угловой момент определяется по аналогии с (Б.56)
(Б.63)
458
Это приводит к тождеству
jA—ja=la—la (Б.64)
Подставляя выражения (Б.52а), (Б.53) и (Б.59) в (Б.51) и используя соот-
ношение
KiA
(Б. 65)
получаем окончательное выражение для pia:
xiA #Ва~^х!В ^Аа,
(Jab~J'ab)'
(Б.66)
После утомительного непосредственного расчета [462] получаем квантово-
механическое выражение для кинетической энергии А частиц
(Б. 67)
Отметим, что оно отличается от классического выражения Вилларса [516, 517]
для кинетической энергии
(Б. 68)
коммутацией множителей, содержащихся в последнем члене выражения
(Б .67).
Моменты инерции имеют тот же вид, что и в колебательно-вращательной
модели (см. гл. 4—6 т. 1)
У£=п<(/с-/^/(7с+/л),
^С=»'(Ц-У2/(Ц+/в).
(Б. 69)
Видно, что при специальном выборе внутренней системы тензор инерции диа-
гоналей.
Нужно отметить, что величины p’iA и х'1А не являются канонически соп-
ряженными. Однако можно показать [463], что в тяжелых ядрах, где число
степеней свободы очень велико по сравнению с числом рассматриваемых вра-
щательных координат, каноническое сопряжение выполняется с точностью
до членов порядка А-1.
Возвратимся теперь к гамильтониану (Б.4) многочастичной системы; он
трансляционно и вращательно инвариантен, если силы зависят только от от-
носительного расстояния между частицами. С помощью выражения (Б.68)
совершим преобразование к координатам центра масс, вращательным и внут-
ренним координатам:
Н—7’»+ I'ik— P'/(^rn) + ^вращ (Qj» Су)4~^внутр(?у)> (Б.70)
15*
459
причем вращательная энергия дается выражением
Т'врашС®/» Cv) — "g " /а 1 А Ач)2’
а внутренний гамильтониан — выражением
ЯВНутр(^)= 2
X X (piD JA JВ Jc) pi£>+ S Vik =
i,D i<k
= 2Л-1- 2 Vik-P^Am)^ V (JA_ j’A)\
i i< k .4
(Б-71)
(Б.72)
1 -1 '2
Так как в членах ^Ра Jа имеются только внутренние координаты, то этот
оператор можно в принципе добавлять к внутренней энергии, однако более
удобно включить его во вращательную энергию. Таким образом, определение
//внутр До некоторой степени произвольно. Наконец, обратим внимание на
большую аналогию (Б.70) с гамильтонианом обобщенной модели (см. гл. 9
т. I). Однако это аналогия только по форме, так как детальный смысл опера-
торов различается.
Б.3.2. Гамильтониан духового движения
центра масс и вращательного
духового движения
Как отмечалось в § Б.1, предпочтительно иметь дело с координатами
rj. Они возникают при преобразовании первоначальной лабораторной сис-
темы координат к вспомогательной системе [см. выражение (Б.47) (Б.48)], т. е.
Ха+К~А' (0;) xiA (EV). (Б.73>
Эти координаты х1а помимо внутреннего движения описывают также духовое
движение центра масс и духовое вращательное движение. Чтобы получить
определенные духовые состояния, добавим к //Внутр» (Б.72), коллективный
гамильтониан в переменных Ха и 6?-:
Нвнутр (Cv) +#колл (-^a, 6j), (Б.74)
где
^колл= ^ц.м (Xa)-[-f/Bpain (0/)- (Б.75)
Заметим, что система, связанная с ядром, весьма схожа с вспомогательной
лабораторной системой координат, повернутой относительно обычной лабора-
торной системы так, чтобы оси новой системы совпадали с главными осями
ядра.
В качестве гамильтониана движения центра масс предположим гамиль-
тониан гармонического осциллятора (как н в § Б.2):
«ц.м(хв)= 2[Р“/(2Л"1>+ -у =
=2 [<2Лт>_1 (-и2а/й*м‘) +4" Лти“ (Д1] <Б'76>
460
Гамильтониан произвольного вращения Нвращ (0j) зависит только от углов
Эйлера. Конечно, требуют, чтобы углы духового вращения были небольшими.
Введем следующее определение углов Эйлера:
1) вращение относительно фиксированной в пространстве оси z 1
посредством 0Z; I
2) вращение относительно новой оси у посредством 0у; _ Г
3) вращение относительно связанной с телом оси х' посредством 6XJ
Это определение углов Эйлера отличается от обычного (см. выше) враще-
нием вокруг связанной с телом оси х', вместо связанной с телом осн z*. При
малых углах координаты (Б.73) преобразуются линейно по 0/.
у'— У—У+ёх(г— 7) — 0z(I— х); ! (Б.78)
г'= z—z+e„(x— х)—ёх(у— Y). )
Рис. Б. 3. Колебания,
сопровождающиеся вра-
щением, для системы,
связанной с ядром (пунк-
тирные линии, направле-
ния г'), относительно
вспомогательной систе-
мы (сплошная линия, на-
правление г). Форма
внутреннего состояния
ядра имеет вид эллип-
соида. Очевидно, что во
вспомогательной систе-
ме квадрупольный мо-
мент уменьшается нз-за
колебаний, сопровожда-
ющихся вращением
Вследствие нового определения углов Эйлера это преобразование симметрии’
но по 0х, 0У н"б2.
В качестве простейшей формы Нцращ выберем аналог гамильтониана,
использованного в случае движении центра масс (Б.44):
йвращ (еД _ Y Л (Г+о? (Й+о? §2+ ёИ). (Б>9)
Здесь X и fix.y.z — константы. Кинетическая энергия духового ротатора
вычисляется с помощью оператора углового момента J, имеющего следую-
щий вид для малых углов:
7= _да {да/лй (Б.во)
Теперь видно, что квадратичный потенциал_(Б.79) содержит духовое враще-
ние в малой угловой области около точки 0^=0. В действительности /Гвращ
имеет форму трехмерного осциллятора. Поэтому система, связанная с ядром,
совершает вращательные колебания относительно равновесной точки 0*==О.
Частоты равны На’ рис. Б.З иллюстрируется эта картина.
Следующий шаг состоит в том, чтобы выразить Нвращ через одночастич-
ные координаты г,. Это достигается следующим образом: в качестве Т под-
46-J
ставляем выражение
J;= —и {S(i>—-41 Il.wja/azj — (z,—а -,2г;)а/«и| + 2S«- (B.8i>
Аналогично поступаем с операторами J- и J- Для того чтобы выразить углы
Эйлера через координаты частиц, вспомним, что эти углы определяются из ус-
ловия (Б.49). Таким образом, имеем
О - 2 хм х/в = (fy) «Д., (6,) Х,„) - Хр). (Б.82)
Вместе с аналогичными соотношениями для других произведений решим
три трансцендентных уравнения методом Итераций по 6j [используя выра-
жение (Б.78)]. Движением центра масс пренебрегаем, так как Th — малые
углы. Находим
i-'S/ft-'iH ••• (Б.83)
и соответственно 0ж и Здесь
/^ = 2хгу;, (Б.84)
Из выражения (Б.83) видно, что моменты инерции не должны быть одинако-
выми. Случай аксиально-симметричных ядер требует особого рассмотрения
[197].
Подставляя выражения (Б.83) и (Б.81) в (Б.79), получаем окончательное
выражение для 7/Вращ через координаты частиц
Я„ращ = Ц- * I J2 + OL l-si (1-у -1^ +
(Ч/-)-=]. (Б.85)
Здесь J определяется согласно (Б.81).
Б.3.3. Гамильтониан внутреннего движения
Согласно общей концепции [см. выражение (Б.21)], нужно выразить
внутренний гамильтониан //ВНутр через координаты г/. Как видно из выраже-
ния (Б.72), это требует знания величины
2~2”^л 1 (J4i—jaY-
Непосредственный громоздкий расчет [463] приводит к результату
я„нутр= - ~ т-< t? [2 - л-122(>: д/дх^2 —
+ ^р)-1 + х& д/дх^)2] -f- I'ik- (Б.86)
462
При получении этой формулы предполагалось, что углы вращения малы, Сле-
довательно RAa (0Л ~ и что можно пренебречь движением центра масс.
Интересно отметить появление в выражении (Б.86) оператора
'’ J -2 (Б.87)
и аналогичных операторов Ny и Nz. Это так называемые операторы Натафа
1394]. Они отличаются от операторов углового момента знаком плюс. Их ком-
мутаторы связаны с угловым моментом соотношениями
[2VX, JVy] = i/iL,, [М>, Я2] = \hLXl ]JV2 ЛЬ] = ifiLy. (Б.88)
Б.3.4. Проектирование духовых вращательных
состояний
Внутренний гамильтониан имеет собственные значения ej, причем
^внутр (Су) Xj(Sv) = EjXj(Sv), / = 0» 1, 2, ... . (Б.89)
Для нахождения собственных решений Xj методом, описанным в § Б.1,
вводится новый гамильтониан Н, содержащий те же неискаженные внутрен-
ние состояния, что и //внутр:
й=Я,нутР(Ег)+Йц.„(Ха)+7/(ёл). (Б.90)
Все три части И коммутируют друг с другом. Таким образом, все эти члены
можно одновременно диагонализовать, т. е. волновые функции можно факто-
ризовать по отношению к различным типам координат.
Найдем теперь волновые функции в зависимости от п, являющиеся одно-
временно решениями двух задач на собственные значения
^(П)‘Рй(Й)=^Ф*(П). * = 0,1,2,..., (Б.91а)
Нц- м (г»)4'^вращ(г/) Tfe (ri)=So Ч* (П), сс = О, 1, 2,.... (Б.916)
Из сказанного выше ясно, что в эти уравнения нужно подставлять Явнутр
согласно (Б.86) и Яц.м, a 7/Bpam согласно (Б.76) и (Б.85). Тогда волно-
вые функции сепарируются по внутренним и внешним координатам (если
собственные значении Sa не вырождены)
* <Рй (Й) = Xj (Sv) оа (X, 6,-). (Б.92)
Так как в основных состояниях нет вырождения, то можно ограничиться сос-
тояниями, содержащими духовое движение только в основном состоянии.
Таким образом находим класс сепарабельных функций, точно включающих
одно внутреннее состояние. Эти состояния можно сопоставить энергиям
(Б.91):
4J (П)-Х/(Су)со(Х)ао(07). (Б.93)
Итак, не переходя явно к внутренним координатам мы получили функции
<Ру» которые выражают все свойства внутренних волновых функций в коорди-
натах Г/.
463
Б.3.5. Диагонализация вращательной энергии
Мы видели, что функции <j>y образуют полную систему функций, заменяю-
щих внутренние волновые функции Ху- Используя их, а также известные
функции ротатора (см. гл. 5 т. 1), находим базис
(Б.94)
в котором нужно диагонализовать вращательную энергию
Двращ—
4-2
2 л
(Б.95)
Энергия Увращ содержит связь вращательного движения с внутренним
движением как через моменты инерции, так и через кориолисовы произведе-
ния J AJ А- Чтобы рассчитать матричные элементы Т^аращ с волновыми функ-
циями <р7- (г,) [см. выражение (Б.93)], нужно выразить оператор ^внутреннего
углового момента JA и моментов инерции %-А через координаты г,. Можно по-
казать [463], что это приближенно приводит к выражениям
J'x ~ — 2 IГ‘ Цу + Г-)~1£ (4 VI dtdzi—Ijzi dldgi) + 2 sl£, (Б-96)
Рх.~Ъ='п(Г--Г-Г/(Г-+Г-).
(Б.97)
Заметим, что при расчете матричных элементов J' и ff- А духовые осцилляции и
осцилляции центра масс, разумеется, не вносят вклада, так как все операторы
ие зависят от 0« и X, а все волновые функции факторизуются с одним и тем же
множителем.
Б3.6. Модель Нильссона во вспомогательной
системе координат
До сих пор мы рассматривали только двухчастичные потенциалы, за-
висящие от относительного расстояния между нуклонами. Для деформирован-
ного среднего потенциала можно попробовать взять следующего наиболее
упрощенную форму среднего потенциала, выраженного через внутренние
координаты:
v= 4 ™2 (<,>Х*<’г + ю»г'?г + вг г;2)« (Б.98)
Этот потенциал траисляционно и ротациоино инвариантен, так как он содер-
жит только внутренние координаты Отметим, что потенциал (Б.98) не есть
средний потенциал в обычном смысле слова, так как координаты взаимоза-
висимы вследствие соотношений (Б.49). Если преобразовать V из (Б.98)
в лабораторную систему, то возникают многочастйчные потенциалы.
В модели Нильссона используют тот же потенциал (Б.98), но пренебрега-
ют взаимозависимостью координат. Более того, берут полную кинетическую
464
энергию системы А частиц и реально рассчитывают внутреннюю дниамнку
в лабораторно й системе координат, фиксированной в пространстве. Мы хотим
показать, что модель Нильссона легко понять, если записать потенциал ядра
во вспомогательной системе, вращающейся на малые углы относительно
системы, связанной с ядром.
В модели деформированных оболочек потенциал фиксирован в пространст-
ве. Волновые функции имеют приближенно такие же деформации, что и потен-
циал. Определенное количество энергии будет необходимо для вращения сис-
темы частиц из положения, в котором массовое распределение лучше всего со-
гласуется с распределением потенциала. Там, где распределения частиц и по-
тенциала различаются, появляются возвращающие силы, вызывающие враща-
тельные осцилляции (см. рис. Б.З). Следовательно, многочастичные волновые
функции, сконструированные с функциями Нильссона, содержат духовые
вращательные осцилляции (помимо духового движения центра масс).
Чтобы определить частоты вращательных осцилляций, преобразуем мо-
дель деформированных оболочек к внутренним координатам. Имеем
2 Plal(2m) + i т 2 х’а =
i.a 2. а
= P’/(2Zm)+ Уя’ Нл (e7)-JA)a+T„„,Tp(Q+
+ Y 5 “л ~ т-'< 2 “л Х*Л +
г, А А
+ 5 (^-й>1)(/в-/л)едй. (Б.99)
z А < В
Теперь очевидно, что обычный потенциал Нильссона включает два дополни-
тельных потенциала, помимо потенциала внутреннего осциллятора (Б.98);
во-первых, потенциал для движения центра масс и, во-вторых, потенциал
для вращательных осцилляций на малые углы Gab. Член, содержащий
Gab, в общем случае будет положительным, так как при <вл < имеем
Расчеты в деформированных ядрах показывают, что моменты ннерцнн
IА слабо меняются от состояния к состоянию (197, 463]. Поэтому в довольно
хорошем приближении можно заменить моменты инерции их ожидаемыми
значениями </д>. Далее, можно предположить, что внутренний угловой
момент внутренней волновой функции мал. Тогда окончательно находим га-
мильтониан дли вращательных осцилляций
н.гащ = 2 (-«z/aej+ esел (б.юо)
A z
с параметрами
*А “ <^Д> QA = т <JA> (.^В-^с) «JC>~<JB»- (Б.101)
Гамильтониан //вращ имеет частоты haA, определяемые выражением
^А =^А * (“В” °C)1 /2 «7С> + <4»’/2 «ГС>-<4»~ ’/2. (Б. 102)
465
Подставляя параметры .модели оболочек в это уравнение, находим
W* — <0> =(0« — (0/ а 2ой0(0», (Б. 103)
°20 ~ “jT" а20 -^^о» (Б.104)
где о8о — обычный параметр деформации модели оболочек. Таким образом,
приближенно получаем (й20 х; 0,3)
й<ох ~ Ьму cz. ~[/‘2h <соо.
(Б. 105)
Из-за вращательной симметрии потенциала относительно оси г частоту шг
определить нельзя. Из этой оценки мы видим, что энергии духовых враща-
тельных осцилляций существенным образом отличаются от обычных враща-
тельных энергий. Они в действительности того же порядка, что и одночастич-
ные энергии. Поэтому можно ожидать, что среди низколежащих состояний,
рассчитанных с многочастичными волновыми функциями модели деформиро-
ванных оболочек, число духовых вращательных состояний сравнимо с числом
духовых состояний центра масс. Получим оценку амплитуды средних враща-
тельных углов Ох для вращательных осцилляций. Для основного состояния
вращательных осцилляций в приближениях, указанных выше, получаем сле-
дующие результаты:
< 01 JJ-ф Jp 10> - — 1 h <ох -j- ~ Х~1 h (Оу—
=й2 [у V2 («гыоо/й) ,
(Б.106)
<01 62 + 62 I 0> = J 1 -I-
2
— 1/2 (/nWoo/fi) Иafo
Таким образом, амплитуды осцилляций уменьшаются с ростом А; так как
увеличивается эффективная масса осциллятора. При значениях Ro =
= 1,2 Л1/3 ферми и Д<оО(( =-= 41 Л"1^3 Мэв легко находим
<0| ВЦ 0> » <0|в'|0> яО.6 Л~413 atf. (Б.107)
В случае 20Ne находим (прн л2о — 0,4), что Ох — 0,07, что соответствует
(0х)ер ~ 15°. Этот результат можно проверить, вычисляя 0х по формуле
(Б.83), т. е.
<0*> = <6“> = <4«х> » 0,04.
Это соответствует (0ж)Ср az 1Г, что близко к первому значению.
Согласно принципу неопределенности, малые углы производят большие
неопределенности в угловом моменте. Это дает интересную интерпретацию
для высоких угловых моментов, встречающихся в многочастичных волновых
функциях модели деформированных оболочек. Их квадраты <J®> пред-
ставляют кинетическую энергию духовых вращательных осцилляций. Таким
образом, чем больше угловые моменты, содержащиеся в таких функциях, тем
выше энергия возбуждения духовых вращений. Если флуктуации равны нулю,
то духовые вращательные состояния имеют бесконечные энергии.
466
В настоящее время имеются только предварительные результаты про-
ектирования духовых вращательных состояний и влияния такого проекти-
рования на энергетические спектры [197]. Ясно, что с расчетной точки зрения
этот метод весьма сложен. Однако данная концепция позволяет более физи-
чески понять ядерпыс модели, нежели проекционные методы, изложенные
в приложении Л.
Многие из идей о микроскопическом обосновании вращательного дви-
жения можно найти в ранней обзорной статье Вилларса [517] и в статье
Липкина [334]. Описание проекционного метода содержится в оригинальных
статьях [197, 463].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aaron R., Amado R. D., Yam Y. Y.—«Phys. Rev. В», 1964, v. 133,
p. 660 [3.3]*.
2. Aaron R., Amado R. D., Yam Y. Y.—«Phys. Rev. В», 1965, v. 140, p. 1291
[3.3]
3. Aaron R., Amado R. D. — «Phys. Rev.», 1966, v. 150, p. 857 [3.3].
4. Akiyama Y., Arima A., Sebe T. — «Nucl. Phys. A.», 1969, v. 138, p. 273
[8].
5. «Phys. Lett. В», 1970, v. 32, p. 229. Auth.: Albrecht K. e. a. [10.3, 10.4,
10.5, 10.6].
6. Amado R. D. — «Phys. Rev.», 1963, v. 132, p. 485 [3.3].
7. Amatl D. In: Compt. Rend. Congr. Intern. Phys. Nucl. Ed. P. Gugen-
berger. Paris, 1964, p. 57 [2.3].
8. Amado R. D. — «Phys. Rev.», 1966, v. 141, p. 902 [3.3].
9. Amado R. D. — «Ann. Rev. Nuci. Sei.», 1969, v. 19, p. 61 [3].
10. Anderson P. — «Phys. Rev.», 1958, v. 112, p. 1900 [1].
11. Anderson D. K-, Eisenberg J. M. — «Phys. Lett.», 1966, v. 22, p. 164 [7.3].
12. Appel К-» Werner E. — «Nucl. Phys.», 1962, v. 38, p. 74 [2].
13. Arndt R. A., MacGregor M. H. — «Phys. Rev.», 1966, v. 141, p. 873 [2.2]
14. «Nuci. Phys. А», 1968, v. 108, p. 94. Auth: Arima A. e. a. [8].
15. Auffray G. P. — «Phys. Rev. Lett.», 196i, v. 6, p. 120 [2.1].
16. Bartlett J. H.r Jr. — «Phys. Rev.», 1936, v. 49, p. 102 [1].
17. Baker G. A. —«Phys. Rev.», 1956, v. 103, p. 1 i 19 [8].
18. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. —«Phys. Rev.», 1957, v. 108,
p. 1175 [1, 9.1, 9.5].
19. Bargmann V., Moshlnsky M. —«Nuci. Phys.», 1960, v. 18, p. 697 [8].
20. Baranger M. — «Phys. Rev.», 1961, v. 122, p. 922 [1].
21. Baranger E., Lee C. W.—«Nuci. Phys.», 1961, v. 22, p. 157 [В, В.2].
22. Baranger M. — In: Cargese Lectures. N. Y., Benjamin, 1962 [1].
23. Bander M. — «Phys. Rev. В», 1965, v. 138, p. 322 [3.3].
24. Bassichis W. H., Ripka G. —«Phys. Lett.», 1965, v. 15, p. 320 [8.1].
25. Ball J. S., Scotti A., Wong D. Y. — «Phys. Rev.», 1966, v. i42, p. 1000
[2.3].
* Нумерация [3.3] означает, что ссылка на данную статью встречается
в третьей главе (первая цифра), третьем параграфе (вторая цифра). Есл и
в квадратных скобках стоит только одна цифра, то это означает, что даи-
иаи ссылка встречается в большинстве параграфов соответствующей
главы. —• Прим, перев.
468
26. Bassichis %W. H., Scheck F. — «Phys. Rev.», 1966, v. 145, p. 711 [8.1].
27. Bassichis W. H., Kerman A. K-, Svenne J. P. — «Phys. Rev.», 1967, v. 160,
p. 746 [7.6].
28. Bassichis W. H.f Svenne J. P. — «Phys. Rev. Lett.», 1967, v. 18, p. 80 [7.6].
29. Bar-Touv J., Levinson C. A. — «Phys. Rev.», 1967, v. 153, p. 1099 [8.1].
30. Data on Particle and Resonant States, UCRL-8030, 1969. Auth: Barash-
Schmidt N. e. a. [2.1, 2.3, 8.3].
31. Banerjee M. K-, Levinson C. A., Stephenson G. J., Jr. — «Phys. Rev.»,
1969, v. 178, p. 1709 [8].
32. Barrett B. R., Kirson M. W. — «Nuci. Phys. А», 1970, v«- 148, p. 145 [7].
33. Bassichis W. H., Strayer M. R. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1971, v. 66, p. 457
[6.1].
34. Bauer M. Doctoral thesis. Univ of Maryland, 1962 [1].
35. Bauer R., Deutsch M. —«Phys. Rev.», 1962, v. 128, p. 751 [10.2].
36. Baumgartner G., Schuck P. Kernmodelle. Bibliogr. Inst. Zurich, Mannheim,
1968 [9.5, 9.6, 9.9, А.1].
37. Bayman B. F., Bohr A. — «Nuci. Phys.», 1959, v. 9, p. 596 [8].
38. Bethe H. A., Peierls R. — «Proc. Roy. Soc. А», 1935, v. 149, p. 176 [1].
39. Bethe H. A., Bacher F. — «Rev. Mod. Phys.», 1936, v. 8, p. 82 [1].
40. Bethe H. A. — «Phys. Rev.», 1940, v. 57, p. 390 [2.i],
41. Belyaev S. T. — «Kgl- Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Phys. Medd.»,
1959, v. 31 (11) [1, 9.1, 9.6, 9.8, 10.1].
42. Bell J. S., Squires E. J. —«Phil. Mag. Suppl.», 1961, v. 10, p. 211 [4.2].
43. Беляев С. T., Захарьев Б. H. —«Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1961, т. 25,
с. 1157 [9.7].
44. Bes D. R„ Szymansky Z.—«Nucl. Phys.», 196i, v. 28, p. 42 [i, 10.3],
45. «Rev. Mod. Phys.», 1962, v. 34, p. 584. Auth.: R. E. Behrends, J. Dre-
itiein, C. Fronsdai, B. Lee. [8].
46. Bethe H. A-, Brandow В. H., Petscheck A. G. — «Phys. Rev.», 1953, v. 129,
p. 225 [1, 5.2, 5.3].
47. Bethe H. A. — «Phys. Rev.B», 1965, v. 138, p. 804 [1, 5.4].
48. Bertsch G. F. — «Phys. Lett.», 1966, v. 21, p. 70 [7.5].
49. Bethe H. A. — «Phys. Rev.», 1967, v. 168, p. 941 [5.4].
50. Bernier J. P., Harvey M. —«Nucl. Phys.», 1967, v. A94, p. 593 [8,1, 8.2].
51. Becker R. L., MacKellar A. D., Morris В. M. — «Phys. Rev.», 1968, v. 174,
p. 1264 [7.6].
52. Bes D. R., Sorensen R. A. — «Advances Nuci. Phys.», 1969, v. 2, p. 129
[9, 9.7, 10, 10.4].
53. Biedenharn L. C.—In Lectures in Theoretical Physics. Vol. 5. W. E. Brit-
tin, ed. N. Y. Interscience, 1963, p. 258 [8].
54. Biedenharn L. C. — «Phys. Lett.», 1969, v. 28B, p. 537 [7.3. 8.2].
55. Bjomholm S., Dubois J., Elbek B. — «Nucl. Phys.», 1968, v. Al 18, p, 241
[10.5].
56. Bjornholm S.f Strutinsky V. M. — «Nucl. Phys.», 1969, v. A136, p. 1 [10.5].
57. Biatt J. M., Jackson J. D. —«Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 18 [2.1].
58. Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Пер, с англ.
М., Изд-во ииостр. лит., 1954 [2.1].
59. Blatt J. M.f Biedenharn L. С. — «Phys. Rev.», 1952, v. 86, р. 399 (2.2].
469
60. Bloch C., Gillet V. — «Phys. Lett.», 1965, v. 16, p. 62; 1965,- v. 18, p. 58
61. Bieuer E. — «Nuovo cimento В», 1969, v. 56, p. 296 [9.6].
62. Bieuer E. — «Nucl. Phys. А», 1969, v. 131, p. 581 [9.6J.
63. Bohm D., Pines D. — «Phys. Rev.», 1953, v. 92, p. 609, 626 ,1].
64. Bohr A., Motteison B. — «Kgi. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Fys-
Medd.», 1955, v. 30 (I) [10.2].
65. Боголюбов H. H. —«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1958, т. 34, с. 58,
73 [9.6].
66. Bogolyubov N. N. — «Nuovo cimento», 1958, v. 7, p. 843 [9.6].
67. Bohr A., Motteison B. R., Pines D. — «Phys. Rev-», 1958, v. iiO, p. 936, i].
68. Bogolyubov N. N. — «Sov. Phys. Usp.», 1959, v. 2, p. 236 [1, 9.6].
69. Боголюбов H. H. —«Успехи физ. наук», i959, т. 67, с. 549 [1, 9.6].
70. «Z. Phys.», 1962, Bd. 170, S. 355. Auth».: E. Bodenstedt e. a. [10.2].
71. Bolen L. N., Eisenberg J. M. — «Phys. Lett.», 1964, v. 9, p. 52 [6.2].
72. Bo Isler! i M., MacKenzie J. — «Physics», 1965, v. 2, p. 141 [2,3].
73. Borysowicz J. — «Nucl. Phys.», 1966, v. 82, p. 321 ,7.5].
74. Boise G. J., Eisenberg J. M. — «Phys. Lett.», 1966, v. 22, p. 630 [8.2].
75. Boeker E. — «Phys. Lett.», 1966, v. 21, p. 69 [7.5].
76. Boeker E. —«Phys. Lett. В», 1967, v. 24, p. 616 [7.5].
77. Breit G„ Condon E. U., Present R. — «Phys. Rev.», 1936, v. 50, p. 825 [i].
78. Brueckner K. A., Watson К. — «Phys. Rev.», 1953, v. 92, p. 1023 [2.3].
79. Brueckner K. A., Levinson С. A., Mahmoud H. M. — «Phys. Rev.», 1954,
v. 95, p. 217 [1, 5].
80. Brueckner K. A., Levinsen C. A. — «Phys. Rev.», i955, v. 97, p. 344 [5].
81. Brueckner K. A. —«Phys. Rev.», 1955, v. 97, p. 1353 [5].
82. Brink D. M. — «Nucl. Phys.», 1957, v. 4, p. 215 [7.1].
83. Brueckner R. A., Gam me 1 J. L. — «Phys. Rev.», 1958, v. 109. p. i023
[1, 5].
84. Brown G. E., Bolsterli M. — «Phys. Rev. Lett.», 1959, v. 3, p. 472 [7.2J_
85. Breit G„ Huii M. H., Jr. — «Nucl. Phys.», 1960, v. i5, p. 261 [2.3].
86. Brueckner R. A., Coldman D. T.—«Phys. Rev.», 1960, v. 117, p. 207 ,5.3]-
87. Brody T. A., Moshinsky M. Table of Transformation Brackets. Monograf.
Inst. Fis. Mexico, 1960 [7.6].
88. Bryan R. A. — «Nuovo cimento», 1960, v. 16, p. 895 ,1].
89. Brown G. E., Evans J. A., Thouiess D. J. — «Nuci. Phys.», 1961, v. 24,
p. 1 ,1.1].
90. Brown G. E., Castillejo L., Evans J. A. — «Nucl. Phys.», 1961, v. 22, p. I
Ji-IJ-
91. Brown G. E.— in: proc. Intern. School of Phys. «Enrico Fermi»/Cour-
se 23. Nucl. Phys. Ed. V. F. Weisskopf. N. Y., Academic Press, 1963,
p. 99 [6].
92. Bryan R. A., Scott B. L. — «Phys. Rev. В», 1964, v. 135, p. 434 ,2.3].
93. Брауи Дж. Единая теория ядерных моделей и сил. М., Атомиздат, 1970
16]-
94. Brown G. Е., Green А. М. — «Nuci. Phys.», i966, v. 75, p. 401 ,7.5].
95. Brown G. E., Green A. M. —«Nuci. Phys.», 1966, v. 85, p. 87 [7.5].
470
96. Brandow4B. H. — In: Proc. Intern. School! of Phys. «Enrico Fermi.» Cour-
se 36, Maijy-body Description of Nuciear Structure and Reaction. Ed.
C. Bloch. N. Y., Academic Press, 1966, pp. 496, 528 J7J.
97. Brown G. E., Green A. M. — «Nuci. Phys.», 1966, v. 75, p. 401 (8.1].
98. Breit G., Haracz R. D.—In: High Energy Physics. Vol. 1. Ed. E. H. S. Bur-
hop. N. Y., Academic Press, 1967 [2.1—2.3].
99. Bryan R. A., Scott B. L. — «Phys. Rev.», 1967, v. 164, p. 12i5 [2.3].
100. Bryan R. A. — In: Intern. Phys. Conf. Gatlinburg, 1966. Ed. R. L. Bec-
ker. N. Y., Academic Press, 1967, p. 603 [2, 2.3].
101. Brandow В. H. — «Rev. Mod. Phys.», 1967, v. 39, p. 771 [5, 7].
i02. Brown G. E., Kuo T. T. S. — «Nucl. Phys. А», 1967, v. 92, p. 481 [7.6].
103. Brown G. E., Green A. M., Gerace W. J. — «Nuci. Phys. А», 1968, v. 115,
p. 435 [5.4].
104. «Nuci. Phys. А», 1968, v. 118, p. I. Auth.: G. E. Brown, A. M. Green,
W. J. Gerace, E. M. Nyman. [5.4].
105. Brezin E. Saciay preprint. Les Houches Summer School, 1968 [5].
106. Bryan R. A., Scott B. L. — «Phys. Rev.», 1969, v. 177, p. 1435 [2.3].
107. Brown G. E., Green A. M. —«Nucl. Phys. А», 1969, v. 137, ₽. 1 [5.4].
108. «Nuci. Phys. А», 1970, v. 153, p. 481. Auth.: J. C. Browne, H, W New-
son, E. G. Bilpuch, G. E. Mitchell. [10.5].
109. Brown G. E. — «Rev. Mod. Phys.», 1971, v. 43, p. 1 [5].
ilO. Buck B., Hili A. D. — «Nucl. Phys. А», i967, v. 95, p. 271 [1].
111. Carison В. C. — «J. Math. Phys.», 1961, v. 2, p. 44i [10.3].
112. Camiz P., Coveifo A., Jean M. — «Nuovo cimento», 1966, v. 42B, p. 199
[9.7].
113. Chadvlck J. —«Proc. Roy. Soc. А», 1932, v. 136, p. 692 [1].
114. «Phys. Rev.», 1957, v. 105, p. 288. Auth.: P. Camberiain, E. Segre,
R. D. Tripp, C. Wiegand, T. J. Ypsilantis, [i],
115. Cline D. Rept. Nuclear Structure Res. Lab., Rochester, UR-NSRL-37,
1970 [10.3].
116. Condon E. U., Shortley G. H. The Theory of Atomic Spectra. N. Y., Camb-
ridge Univ. Pres., 1959 [9.2]. Есть перевод первого издания. Кондон Е.,
Шортли Г. Теория атомных спектров. Пер. с англ. М., Изд-во иностр,
лит., 1949.
117. Cohen В. L., Price R. Е. — «Phys. Rev.», 1961, v. 121, р. i441 [9.7].
118. Cohen В. L., Hamburger E. W.—«Phys. Rev.», 1961, v. 125, p. 1358
[9.7].
119. Cohen S. G., Giiat G. — «Nucl. Phys.», 1962, v. 38, p. 1 [10.2].
120. «Phys. Rev., С.» , 1970, v. 1, p. 7£9. Auth.: F. Coester, S. Cohen, B. Day,
С. M. Vincent. [5].
121. Proc. Intern. Conf, on the Nucleon-Nucleon Interaction 1967. — «Rev.
Mod. Phys.», 1967, v. 39 (3), p. 2 [2.2].
122. Cooper L. N. — «Phys. Rev.», 1956, v. 104, p. 1189 [1].
i23. Cooper B. S., Eisenberg J. M. —«Nuci. Phys.», A, 1968, v. 114, p. i84
[6.2, 7.5].
124. Курант P. Курс дифференциального и интегрального исчисления Пер,
с ием. Изд. 2-е. М., «Наука», 1970 [10.1].
125. Danos М., Greiner W- Dynamic Collective Theory. Univ. Maryland,.
Tech. Rept., 1963, p. 309 [7.5].
4>1
126. Danos M., Greiner W. — «Phys. Lett.», 1964, v. 8, p. 113 [1J7.5].
127. Danos M., Greiner W. — «Phys. Rev. В», 1964, v. 134,/. 284 [1, 7.5]-
128. Danos M., Fuller E. G. — «Ann. Rev. Nucl. Sei.», 1965, y'." 15, p. 29 [6.2].
129. Danos M., Greiner W. — «Phys. Rev- В», 1965, v. 138, p. 876 [I, 10.5].
130. Davies К- T. R., Krieger S. J., Baranger M.—«Nuci. Phys.», 1966, v. 84,
p. 545 [7.6].
i31. Danos M., Greiner W. — «Phys. Rev.», 1966, v. 146, p. 708 Ji].
132. Danos M., Greiner W. — «Z. Phys.», 1967, Bd 202, S. 125 [3.2].
133. Dahibom T. K-— «Acta Acad, aboensis. Math, et Phys.», 1969, v. 29 (б)
[5, 5.4].
134. Davies К. T. R., Baranger M. — «Phys. Rev. С», 1970, v. 1, p. 1640 [7].
135. Davies К. T. R., MacCarthy R. J. — «Phys. Rev. С», 197i, v. 4, p. 8i [7].
136. Das Gupta S., Preston M. A. —«Nucl. Phys.», 1963, v. 49, p. 401 [i0.3]_
137. Das Gupta S., Harvey M. —«Nucl. Phys. А», 1967, v. 94, p. 602 [8.1]-
138. Day B. - - «Phys. Rev.», 1966, v. 151, p. 826 [5.4].
139. Day B. — «Rev. Mod. Phys.», 1967, v. 39, p. 719 [i, 4, 4.5, 5, 5.2].
140. Day B. — «Phys. Rev.», 1967, v. 187, p. 1269 [5].
14i. Debye P., Hiickel E. — «Phys. Z.», 1923, Bd 24» S. 185 [9.6].
142. The Many Body Problem. Dewitt C., Nozieres P. ed. N. Y., Wiley, 1959‘
[4].
143. Delves L. M., Phillips A. C. — «Rev. Mod. Phys.», 1969, v. 41, p. 497 [3].
144. «Phys. Lett.», 1965, v. 16, p. 311. Auth.: T. de Forest Jr., J. D. Wa-
lecka, G. Vanpraet, W- C. Barber. [7.3].
145. de Forest T. D., Jr. — «Phys. Rev. В», 1965, v. 139, p. 1217 [7.3].
‘ 146. de Franceschi G., Maiani L. —«Fortschr. Phys.», 1965, Bd 13, S. 279 18]-
147. «Nucl. Phys.», 1965, v. 72, p. 379. Auth.: M. de Liano, P. A. Meilo„
E. Chacon, J. Flores. [8]
148. de Shalit A. — «Phys. Rev.», 1953, v. 91, p. 1479 [9.2].
149. de Shalit A., Taimi I. Nuciear Sheil Theory. N. Y. Academic Press, 1963:
17.5].
150. de Shaiit A., Waiecka J. D. — «Phys. Rev.», 1966, v. 147, p. 763 [7.3]-
151. Dirac P. A. M. —«Proc. Cambridge Phil. Soc.», 1930, v. 26, p. 376 [i].
152. Dietrich K-, Mang H. J., Pradal J.— «Phys. Rev. В», 1964, v. 133,
p. 22 [10.3].
153. Dietrich K„ Mang H. J., Pradai J. — «Z. Phys.», 1966, Bd 190, S. 357
[9.6, 10.3].
154. Dominik H. Atomgewicht 500. Gebr. Weiss, Beriin, 1948 [10.4].
155. «Phys. Rev.», 1968, v. 172, p. 1022. Auth.: DoDang G., R. M. Dreizler,
A. Klein, C. S. Wu. [9.6].
156. Dover C., Lemmer R. H., Hahne S. J. W. Preprint, Orsay, IPNO/TH 71-15,.
1971 [1].
157. Drechsel D., Seaborn J. B., Greiner W. — «Phys. Rev. Lett.», 1966, v. 17,.
p. 488 [1, 7.5].
158. Drechsel D., Seaborn J. B., Greiner W. — «Phys. Rev.», 1967, v. 162,
p. 983 [1, 7.5].
159. « Nuci. Phys. А», 1968, v. 113, p. 145. Auth.: R. Dreizier, P. Federman,
B. Giraud, E. Osnes. [9.6].
472
160. Dreizler^L, Klein A., Do Dang G. —«Phys. Lett. В», 1969, v. 28, p. 67$
[9.6]. \
161. Duck 1. — «Adv. Nucl. Phys.», 1968, v. 1. p. 343 [3].
162. Eden R. J., Emery V. J. — «Proc. Roy. Soc. London, А», 1958, v. 248»
p. 266 [7.6].
163, Eden R. J., Emery V. J., Sampathar S. — «Proc. Roy. Soc. London, А»,
1959, y. 253, p. 177, 186 [7.6].
164. Eisenbud L., Wigner E. P. — «Proc. Natl. Acad. Sci.», 1941, v. 27f*p. .281
[1, 2.3].
165. Eisenberg J. M., Spicer В. M., Rose M. E. — «Nucl. Phys.», 1966, v. 71»
p. 273 [7.3, 7.5].
166. Eisenberg J. M. — «Nucl. Phys. А», 1970, v. 148, p. 135 [7.3].
167. Eisenberg J. M., Weber H. J. — «Phys. Lett. B>, 1971, v. 34, p. 107 [7.3].
168. Elliott J. P., Flowers В. H. — «Proc. Roy. Soc; London А», 1955, v. 229»
p. 536 [А.2].
169. Eliiott J. P., Skyrme T. H. R. —«Proc. Roy. Soc. London А», 1955»
v. 232, p. 561. [В, В.2].
170. Elliott J. P., Flowers В. H. — «Proc. Roy. Soc. London А», 1957, v. 242»
p. 57 [1].
171. Elliott J. P. —«Proc. Roy. Soc. London, А», 1958, v. 245, p. 128 [8.2]-
172. Elliott J. P. — «Proc. Roy. Soc. London, А», 1958, v. 245, p. 562 [8.2].
173. Eliiott J. P. Group Theory and the Nuclear Sheli Model lectures given
at the Latin American Schooi of Phys., Univers. Mexico, 1962 [8].
174. Elliott J. P. — In: Selected Topics in Nuclear Theory. Ed. F. Janouch-
Intern. At. Energy Agency, Vienna, 1963 [8].
175. Elliott J. P., Harvey M. — «Proc. Roy. Soc. London, А», 1963, -v. 272,
p. 557 [8].
176. Euler H. — «Z. Phys.», 1937, Bd 105, S. 553 [1].
177. Falkenhagen H. Electrolyte. Leipzig, Hirzel, 1953, ch. 7 [9.6].
178. Фаддеев Л. Д. — «Журн. эксперим, и теор. физ.», 1960, т. 39, с. 1495
П-3].
179. Ммилос Р. А., Фаддеев Л. Д. — «Докл. АН СССР», 1961, т. 141, с. 133-
[1.3].
180. Falkoff D. L. — In: Lecture Notes on the Many-Body Problem. Ed.
C. Fronsdal. N. Y., Benjamin, 1962, [4].
181. МиНлос P. А., Фаддеев Л.Д.—«Докл. АН СССР», 1953, т. 144, с. 1780,
13].
182. Фаддеев Л. Д. — «Тр. Метем. ин-та АН СССР», 1963, т, 69, с. 3 [3, 3-2].
183. Farris S. A., Eisenberg J. М. — «Nucl. Phys.», 1966, v. 88, р. 241 [6.2].
184. Faessier A., Shefine R. К- — «Phys. Rev.», 1953, v. 148, p. 1003 [10.6]..
J85. Faessier A., Greiner W., Sheline R. K--—«Nucl. Phys.», 1965, v. 62,
p. 241 [9.7].
i86. Faessier A., Greiner W., Sheline R. K- — «Nucl. Phys.», 1965, v. 70, p. 33.
[10.2].
187. Faessier A., Sauer P. U., Wolter H. H. — «Nuci. Phys. А», 1969, v. 129»
p. 21 |9.6].
188. Faessier A., Plastino A. — «Z. Phys.», 1969, Bd 218, S. 394 [9.6].
189. Ferrell R. A. — «Phys. Rev.», i957, v. 107, p. 450, 1631 [I].
190. Feshbach H. — «Ann. Phys. (N. Y)», 1958, v. 5, p. 357 [1].
191. Feshbach H. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1962, v. 19, p. 287 [1].
192. Feenberg E. — «Phys. Rev.», 1935, v. 47, p. 850 [I].
193. Feynman R. P. — «Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 749 [4.5].
194. Feynman R. P. —«Phys. Rev.», 1949. v. 76, p. 769 [4.5].
195. Фейнмановские лекции по физике. Пер. с англ. М„ «Мир», 1966 [9.6].
196. Fink В., Mosel U. Memorandum Hessischer Kcrnphysiker. Darmstadt —
Frankfurt—Marburg, 1966 [1, 10.4].
197. «Ann- Phys. (N. Y.)», 1972, v. 69, p. 222. Auth.: B. Fink, D. Kolb,
W- Scheid, W- Greiner. (Б, Б.З].
198. Flowers В. H. — «Proc. Roy. Soc. Л», 1952, v. 212, p. 248 [1].
199. «Nuci. Phys.» , 1965, v. 72, p. 352. Auth.: J. Fiores, E. Chacon. P. A. Mel-
lo, M. de Llano. [8].
200. Fock V. — «Z. Phys.», 1930, Bd 61, S. 126 [1].
201. Fock V. — «Z. Phys.», 1930, Bd 62, S. 795 [ij.
202. Foldy L. L., Tobocman W. —«Phys. Rev.», 1957, v. 105, p. Ю99 [3.2].
203. Foldy L. L., Waiecka J. D. — «Nuovo cimento», 1964, v. 34, p. 1026
[7-3].
204. Franzlni P., Radicati L. A. — «Phys. Lett.», 1963, v. 6, p. 322 [7.3].
205. Fronsdal C. — in: Elementary Particle Physics and Field Theory. N. Y.,
Benjamin, 1963, p. 427 [8].
206. Fraser R., Greiner W. —«Nucl. Phys. А», 1971, v. 177, p. 174 [10.4].
207. Fraser R., Grumann J., Greiner W. — «Phys. Lett. В», 1971, v. 35, p. 483
[10.4].
208. Gartenhaus S. —«Phys. Rev.», 1955, v. 100, p. 900 [2.3].
209. Gammei J. L., Thaler R. M. —«Phys. Rev.», 1957, v. 107, p. 291, 1337
[I, 2.3].
210. Gammei J. L., Thaler R. M. —«Phys. Rev.», 1957, v. 108, p. 163 [2.3].
211. Gartenhaus S., Schwartz C. — «Phys. Rev.», 1957, v. 108, p. 482 [Б, Б.2].
212. Gammei J. L., Thaler R. M. — In: Progress in Elementary Particle and
Cosmic Ray Physics. Vol. 5. Ed. J. G. Wilson and S. A. Wouthuysen.
Amsterdam, North-Holland, i960 [2.2, 2.3].
213. Gamow G. One, two, three ... infinity. N. Y., Viking Press, 1961 [4].
214. Gallagher C. J., Soloviev V. J.—«Kgi- Danske Videnskab. Selskab.
Nat.-Fys. Medd.», 1962 Bd 2 (2) [1, 9.7].
215. Gell-Mann M., Goidberger M. L. —«Phys. Rev.», 1953, v. 91, p. 398 [3].
216. Gell-Mann M., Brueckner K- — «Phys. Rev.», 1957, v. 106, p. 364 [1].
217. Gell-Mann M. The Eightfold Way: A Theory of Strong Interaction Symmet-
ry, Rept. CTSL-20. Cal. Inst. Techn., Pasadena, 1961 [8].
218. Gell-Mann M. — «Phys. Rev.», 1962, v. 125, p. 1067 [8.3].
219. Gell-Mann M. — In: Proc. Intern. Conf, on High-Energy Nuclear Physics,
Geneva, i962. CERN, Geneva, 1962, p. 805 [8.3].
220. Gillet V., Green A. M., Sanderson E. A. — «Phys. Lett.», 1964, v. 11,
p. 44 [1, 7.3].
221. Gillet V. — «Nuci. Phys.», 1964, v. 51 [1, 7.3].
222. Gillet V., Vinh Mau N. — «Nucl. Phys.», 1964, v. 54, p. 321; v. 57,
p. 698 [1, 6.2, 7.3, 7.4].
-474
223. Gillet V., Sanderson E. A. — «Nucl. Phys.», 1964, v. 54, p. 472 [1, 7.3,
7.4J.
224. Giiiet V., Jenkins D. A. — «Phys. Rev. В», 1965, v. 140, p. 32 [7.3k
225. Giiiet V., Green A. M., Sanderson E. A. -— «Nucl. Phys.», 1966, v. 88»
p. 321 [1, 7.3J.
226. Gillet V. — in: Proc. Intern. School of Phys. «Enrico Fermi». Course 36.
Many-Body Description of Nuclear Structure and Reactions. Ed. C. Bioch.
N. Y., Academic Press, 1966, p. 43 [7.3].
227. Giiiet V., Sanderson E. A. —«Nucl. Phys. А», i967, v. 9i, p. 292 [7.3],
228. Three-Particle Scattering in Quantum Mechanics. Ed. J. Giiiespie,
J. Nuttall. N. Y., Benjamin, 1968 [3].
229. Giendenning N. K., Kramer G. — «Phys. Rev.», 1962, v. 126, p. 2159-
[2.3].
230. Giockie W., Heiss W. D. — «Nucl. Phys. А», i968, v. i22, p. 343 [3.2].
23i. Giockie W., Heiss W. D. — «Nucl. Phys. А», i969, v. 123, p. 305 [3.2].
232. Gneuss G., Mcsel U., Greiner W. — «Phys. Lett. В», i969, v. 30, p. 397
[10.3].
233. GoidhaberM., Teller E. — «Phys. Rev.», i948, v. 74, p. 1046 [ij.
234. Goldstoune J. — «Proc. Roy. Soc. А», 1957, v. 239, p. 267 [1, 5].
235. Gomes L. C., Waiecka J. D., Weisskopf V. F. —«Ann. Phys. (N. Y.)»,
1958, v. Зг p. 241 [1].
236. Goswami A., Pal M. K. — «Nucl. Phys.», 1962, v. 35, p. 544 [7.2].
237. Goldring G., Vager Z. — «Phys. Rev.», i962, v. 127, p. 929 [iO.2J.
238. «Nucl. Phys.», 1963, v. 43, p. 242. Auth.: J. Goidemberg e. a. [7.3].
239. Goidhammer P. — «Rev. Mod. Phys.», 1963, v. 35, p. 40 [7, 7.5].
240. Гольдбергср M., Ватсон К. Теория столкновений. Пер. с англ. М.»
«Мир», 1966 [3].
241. Gourdin М., Martin А. — «Nuovo cimento», 1958, v. 8, p. 699 [2.3].
242. Green A. E. S. — «Rev. Mod. Phys.», 1958, v. 30, p. 569 [5].
243. Greiner W. — «Z. Phys.», 1963, Bd 172, S. 386 [1, 10.i].
244. Green 1. M., Moszkowski S. A. —«Phys. Rev. В», 1965, v. 139, p.790 [7.2]-
245. Green A. M. — «Rept. Progr. Phys.», i965, v. 28, p. 113 [7].
246. Greiner W. — «Phys. Rev. Lett.», 1965, v.14,- p. 599 [10.2].
247. Greiner W. — «NucL Phys.», 1966, v.80, p. 417 [10.2].
248. Grodzins L. — «Phys. Lett.», 1966, v. 2, p. 88 [10.4].
249. Greiner W. — in: Diskuss. Tagung fiber Neutronphysik an Forschungreak-
toren, Aprii 1967, p. 36 [1, 10.5].
250. Grodzins L. — «Ann. Rev. Nucl. Sci.», 1968, v.18, p. 291 [10.2].
25i. «Z. Phys.», 1969, Bd 228, S. 371. Auth.: J. Grumann, U. Mosel, B. Fink,
W. Greiner [1, 10, 10.3, 10.4].
252. Grauel A. Schaienmodeli fiir zwei Teilchen im Kontinuum und Dreikor -
per-Partialwellenanalyse. Thesis. Inst. Theor. Phys., Univ. Frankfurt/M.,
1972 [3.2].
253. Grumann J. Thesis. Univ. Frankfurt/M., 1972 [10.2].
254. «Arkiv Fys.», 1967, Bd 36, S. 613. Auth.: C. Gustafson, 1. L. Lamm, B. Nils-
son, S. G. Niisson [10.3, 10.4].
255. Hartree D. R.—«Proc. Cambridge Philos. Soc.», 1928, v.24, p.89, 111 [1].
475
1256. Hamilton J. The Theory of Elemeniary Particles. Oxford Univ. Press,
Oxford, 1959, [3, 4.4].
257. Hamada T. —«Progr. Theor. Phys.», i960, v.24, p. 103 [1].
258. Hamada T. —«Progr. Theor. Phys.», 1961, v.25, p. 247 [1].
259. Hamada T., Johnston I. D. — «Nucl. Phys.», 1962, v. 34, p. 382 (2.3].
260. Hamermesh M. Group Theory and its Application to Physical Problems.
Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962 [8.2].
261. «J. Phys.», i967, v.28, p. 755. Auth.: T. Hammann, G. Oberleicher, G.
Trapp, J. Yoccoz. [2.3].
262. Harvey M. —«Adv. Nucl. Phys.», 1968, v.l, p- 67 [8, 8.2].
263. Hansen O. — In: Proc. Intern. Conf, on Properties of Nuclear Matter.
Montreal, 1969, p. 42i [9.7].
264. Hecht К. T. — In: Selected Topics in Nuclear Spectroscopy. Ed. B. J.
Verhaar. Amsterdam, North-Holiand, 1964 [8].
265. Hetherington J. H., Schick L. H. — «Phys. Rev. В», i965, v.i37, p. 935
[3, 3.2, 3.3].
266. Heller L. — «Rev- Mod. Phys.», 1967, v.39, p. 584 [2.1].
267. Heisenberg W, — «Z. Phys.», 1932, Bd 77, S. i [1].
268. Heisenberg W. — «Z. Phys.», 1932, Bd 78, S. 156 [1].
269. Heisenberg W. — «Z. Phys», 1932, Bd 80, S. 687 [1].
270. Hill D. L., Wheeler J. A. — «Phys. Rev.», 1953, v. 89, p. 1102 [8.1, 10].
271. Holder F. D., Eisenberg J. M. — «Nuci. Phys. А», 1968, v.106, p. 26i [6.2].
272. Hoizer P., Mosel U., Greiner W. — «Nucl. Phys. А», 1969, v.138, p. 241
[10.3—10.6].
273. Hund F. — «Z. Phys.», 1937, Bd 105, S. 202 [1].
274. Hubbard J. — «Proc. Roy. Soc. А», 1957, v. 240, p. 539 [1]:
275. Hubbard J. — «Proc. Roy. Soc. А», 1957, v. 243, p. 336 [1].
276. Huithen L., Sugawara M. — «Hand. Phys.», 1957, Bd 39, S.l [2, 2.1, 2.3].
277. Huang K. Statistical Mechanics. N. Y., Wiiey, 1963 [4.3].
278. «Phys. Rev. Lett.», i965, v.15, p. 529. Auth.: M.fG. Huber, H. J. Weber,
M. Danos, W. Greiner fl, 7.5].
‘279. Huber M. G., Weber H. J., Greiner W. —«Phys. Rev. Lett.», 1965, v.15,
p. 529 [1, 7.5].
280. Ichimura M. — «Progr. Nucl. Phys.», 1969, v.10, p. 307 [9].
281. Jkegami H., Udegawa T. —«Phys. Rev.», 1961, v.124, p. i5i8 [9.7].
282. Inglis D. R. —«Phys. Rev.», 1954, v. 96, p.1059 [1, 10.2].
283. Inglis D. R. —«Phys. Rev.», 1955, v. 97, p.701 [1, 10.2].
284. «Nucl. Phys.», i964, v. 59, p. 1. Auth.: T. Inoue, T. Sebe, H. Hagiwara,
A. Arima. [8].
285. «Nuci. Phys.», 1966, v.85, p. 184. Auth.: T. Inoue, T. Sebe, H. Hagiwa-
ra, A. Arima. [8].
286. «Nucl. Phys.», 1967, v. 99, p. 305. Auth: T. Inoue, T. Sebe, К. K. Huang,
A. Arima.[8].
287. Inglis D. R. — «Phys. Today», 1969 June, p. 29 [10.5].
288. Ivanenko D. —«Nature», 1932, v. 129, p. 798 [1].
289. Johnston R. E., Klein A., Drelzler R. M. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1968,
ж, v. 49, p. 496 [9.6].
476
290. Johnson A.\ Ryde Н.» Sztarkier J. — «Phys. Lett. В», 1971, v. 34, p.605
Ц0.2].
291. Johnson A., Ryde H., Hjorth S. A.—«Nucl. Phys. А», 1972, v.179,
p. 753 110.2].
292. Karlsson E., Matthias E., Ogaza S. — «Ark. Fys.», 1962, v. 22, p.25 7[10.2].
293. Kailio A., Koltvelt K. — «Nuci. Phys.», 1964, v.53, p. 87(1].
294. Kallen G. Elementary particle Physics. Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1964 (2.3].
295. Kamimura M., ikeda K-. Arima A. — «Nucl. Phys. А», 1967, v. 95, p. 129
17.5].
296. Kemmer N. — «Proc. Roy. Soc. А», 1938, v.166, p. 127 fl].
297. «Phys. Rev.», 1939, v.57, p. 677. Auth.: J. I\e!!og e.a. [1]. -
298. Керман A. — В кн.: Ядерные реакции. Пер. с аигл. М., Атомиздат,
1963. [А.2].
299. Kerman А. К. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 196i, v.12, p. 300 [9, 9.4, 10.1].
300. Kerman A. K-, Lawson R. D., Macfariarie M. H. — «Phys. Rev.», i96i,
v. 124, p. 162 [А.2].
301. Kelson I., Levinson C. A. — «Phys. Rev. В», i964, v.134, p.269 [8.1].
302. Kelson I. — «Phys. Lett.», 1965, v.16, p.143 (8.1].
303. Kerman A. K-, Svenne J. P., Villars F. M. H.'— «Phys. Rev.», 1966, v-147,
p. 710 fl, 7, 7.6].
304. Kerman A. K-, Pal M. K. — «Phys. Rev.», 1967, v.i62, p. 970 [7.6].
305. Kerman A. K- Nuclear Forces and Hartree-Fock Calculations, Lectures ,
given at the Summer School of Cargese/Corse. September 1968, M.I.T.
Preprint, CTP-62, January 1969 [7].
306. Kearsiey M. J. — «Phys. Rev.», 1957, v.106, p.389 [А.2].
307. Kissiinger L. S., Sorensen R. A. — «Kgl. Danske Videnskab. Selskab
Mat.-Fys. Medd.»f i960, Bd 32(9) [1, 9.7, 10.4].
308. Kissiinger L. S., Sorensen R. A. — «Rev. Mod. Phys.», 1963, v. 35,
p. 853 [1].
309. Kirson M. W. ~ «Nucl. Phys. А», i967, v.99, p.353 [5.3, 5.4],
310. Klein A., Dreizler M., Johnson R. E,—«Phys. Rev.», 1968, v.l7i, p.
1216 [9.6].
31i. Konecny E., Schmidt H. W. —«Phys. Rev.», 1968, v.172, p.1213 [10.6].
312. Kohler H. S., Lin Y. C. — «Nuci. Phys.», 1971, v. 167, p. 305 [6.I).
313. Кумар К. Теории возмущений и проблема многих тел в квантовой меха-
нике. Пер. с англ. М., «Мир», 1964 [4].
314. Kuo Т. Т. S., Brown G. Е. —«Phys. Lett.», 1965, v, 18, р. 54 [1].
315. Кио Т. Т. S., Brown G. Е. — «Nucl. Phys.», 1966, v. 85,'р. 40 [1, 7,6].
316. Кио Т. Т. S., Baranger Е., Baranger М. —«Nucl. Phys.», 1966, v.81,
р. 241 [9.9].
317. Кио Т. Т. S. — «Nucl. Phys. А», i967, v.103, р. 71 [7.6].
318. Kumar К-, BarangerМ. —«Nucl. Phys. А», 1968, v.l 10, p.529 [10.3, iO-4].
319. «Nature», 1947, v. 159, p. 694. Auth.: С. M. G. Lattes e. a. [i].
320. Ландау Л. Д.—«Журн. эксперим. и теор. фнз.», 1968, т. 35, с. 97 [9.6].
32i. «Phys. Rev.», 1962, v. 126, p. 88i [2.3], Auth.: К» E. Lassila e. a. [2.3].
322. Лейн А. Теория ядра. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1967 [9.7].
323. Lemmer R. Н., VeneronIjM. — «Phys. Rev.», 1968, v.170, p.863 [1].
477
324. Le Tourneux J. — «Phys. Lett.», 1964, v. 13, p.325 [7.5].
325. Le Tourneux L. — «Kgl. Danske Videnskab. Seiskab. Mat.-Fys. Medd.».
1965, v.34 (11) [i].
326. Le Tourneux J., Eisenberg J. M. — «Nucl. Phys.», 1966, v.85, p.H9 [7.2].
327. «Phys. Rev. Lett.», 1963, v.10, p.493; v. 11, p. 105. Auth.- F. H. Lewis Jr.
e. a. [7.3].
328. Lewis F. Н.» Jr., Waiecka J. D. — «Phys. Rev. В», 1964, v-133, p. 849
[7.3].
329. Lewis F. H., Jr. — «Phys. Rev. В», 1964, v.134, p.331 [7.3].
330. Llppmann B. A., Schwinger J. — «Phys. Rev.», 1950, v.91, p. 469 [3].
33i. Lipkin H. J., deShallt A., Tafmi 1. — «Nuovo cimento», 1955, v.2, p. 773
[Б-i].
332. Lipkin H. J. —«Suppi. Nuovo cimento», 1955, v.4, p. И47 [B.1J.
333. Lipkin H. J. — In: Proc. Rehovoth Conf. Nucl. Structure. Amsterdam,
North-Hoiland, 1958 [Б].
334. Lipkin H. J. — In: TheMany-Body Problem. N. Y., Wiiey, 1958 [Б, Б.З].
335. Lipkin H. J. — «Phys. Rev.», 1958, v.ilO, p. 1395 [Б, Б.2].
336. Лнидгрен И. — В ко.: Альфа-, бета- к гамма-спектроскопия. Подред.
К. Зигбаиа. Пер. с англ. Вып. 4, М., Атомиздат, 1969 [2.1]..
337. «Nucl. Phys. А», 1971, v.168, р.37 [10.5]. Auth.: D. P. Lindstrom e.a.
[10.5].
338. Lovelace C. — «Phys. Rev. В», 1964, v.135, p. 1225 [3, 3.2].
339. Loveiace C. — In: Strong Interaction in High Energy Physics. Ed. R.G.
Moorhouse. N. Y., Pienum Press, 1964, p. 437 [3, 3.2].
340. Lomon E., Feshbach H. —«Rev. Mod. Phys.», i967, v. 39, p. 61 i [2.3].
341. Liiders G. —«Z. Naturforsch.», 1960, Bd 15a, S. 371 [10.2].
342. Lynn J. E. Theory of Neutron Resonance Reactions, London, Oxford Univ.
Press, 1968 [10.5].
343. Lyubarskii G. Ya. The Application of Group Theory in Physics. Oxford,
Pergamon Press, i960, p. 18 i, 185 [A, A. 1].
344. Majorana E. — «Z. Phys.», 1933, Bd 82, S. 137 Ji].
345. Marumori T., Yukawa J., Tanaka R. — «Progr. Theor. Phys.», 1955,
v.13, p.442 [Б.1].
346. Marumori T., Yamada E. — «Progr. Theor. Phys.», 1955, v.13, p. 557
[В.1].
347. «Phys. Rev.», 1962, v. 127, p. 204. Auth.: M. H. Macfarlane e. a. [9.7].
348. Mattauch J. H., Thiele W., Wapstra A. H. —«Nucl. Phys.», 1965, v.67,
p. 1 [2.1, 6.2].
349. Mang H. J., Poggenburg J. K., Rasmussen J. O. — «Nucl. Phys.», i965,
v. 64, p.353 [А.2].
350. Марч H:, 51 иг У., Самиантхар С. Проблема многих тел в квантовой меха-
нике. Пер. с англ. М., «Мир», 1969 [4].
351. Mahaux С., Weidenmiilier Н. A. Sbeli-Modei Approach to Nuclear Reac-
tion. Amsterdam, Hort-Hoiland, 1969 [10.5].
352. Maruhn J. Univ. Frankfurt, Inst. Theor. Physik, Thesis, 1970 [i0.6].
353. Mayer M. G. — «Phys. Rev.», 1950, v. 78, p. 22 [1, 9.1].
354. Mayer M. E. — In: Lectures on Strong and Electromagnetic Interaction.
Brandeis Univ., Waltham, Mass., i964, p. 259 [8].
478
355. MacCarthy R. J. — «Nucl. Phys. А», 1969, v.130, p. 305 [7.6]. '
356. MacCarthy R. J., Davies К- T. R. — «Phys. Rev. С», 1970, v. 1, p. 1644 [7].
357. Macfariane M. H. — In: Proc. Intern. Conf, on Properties of Nuclear
Matter, Montreal, 1969, p. 385 [9.7].
368. McKellar В. H. J., Rajaraman R. — «Phys. Rev. Lett.», 1968, v.21, p.450,
1030 [5.4].
359. McKellar В. H. J., Rajaraman R. «Phys. Rev. С», i970, v. 3, p.1877 [5.4].
360. McVoy K. W. «Rev. Mod. Phys.», 1965, v.37, p. 84 [10.2, A, А.1].
361. Messiah A. Quantum Mechanics. North-Hoiiand, Amsterdam, 1961 [9.2,
9.5].
362. Meidner H. In: Proc. Intern. Symp. on Why and how should we inves-
tigate nuciides far off stability line, Lysekil, Sweden, 1966. Aimquist
and Wlksell, Stockholm, 1966 [10.4].
363. Meidner H„ Hermann G. «Z. Naturforsch.», 1969, Bd 24a, S.1429 [10.4].
364. «Z. Phys-», 1969, Bd 226, S.l. Auth.: V. Metag e. a. [10.5].
365. «Phys. Lett. В», 1971, v.34, p. 257. Auth.: V. Metag e. a. [10.5].
366. «Nucl. Phys. А», 1971, v. 165, p.289. Auth.: V. Metag e. a. [10.5].
367. Mikeska H. J. — «Z. Phys.», 1964, Bd 177, S. 441 [1].
368. Mlgdai A. B. — «Nucl. Phys.», 1964, v. 57, p. 29 [9.6].
369. Мигдал А. Б. Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер.
М., «Наука», 1965 [9.6].
370. Migneco Е., Theobald J. —«Nucl. Phys. А», 1968, v. 112, р.602 [10.5].
37i. Mitra A. N. — «Adv. Nucl. Phys.», 1969, v. 3, p.l [3].
372. «Nucl. Phys. A.», 1970, v. 143, p. 225. Auth.: W. Michaelis e. a. [9.1].
373. Nucl. Phys. А», 1970, v.150, p.161. Auth.: W. Michaelis e. a. [9.1].
374. Морс II., Фешбах X. Методы теоретической физики. Пер. с англ. М.,
Изд-во ниостр. лит., 1959 [2.1].
375. Moshinsky М. —«Nucl. Phys.», 1959, v.i3, р. 104 [7.6].
376. Motteison В. R., Niisson S. G. — «Kgi. Danske Videnskab. Seiskab. Mat-
Fys. Skrifter», 1959, Bd 1(8) [10.3].
377. Moczkowskl S. A., Scott B.L.—«Ann. Phys. (N. Y.)», 1960, v.li, p.65
[1, 5.2, 7.6].
378. Motteison B. R. — In: Rend. Intern. Fis. Varenna, 1960. Bologna, Za-
nichelii, 1962, p.4 [9.2, 9.4].
379. Motteison B. R., Valatin J. G. — «Phys. Rev. Lett.», 1960, v.5, p. 511
[10.2].
380. Moravcik M. J., Noyes H. P. —«Ann. Rev. Nuci. Sci.», i961, v.ll, p-. 95
[2, 2.3].
381- Moravcsik M. J. The Two-Nucieon Interaction. Oxford, Oxford^ Univ.
Press, 1963 [2, 2.3].
382. Mongan T. R. — «Phys. Rev.», 1968, v.175, p. 1260 [2.3].
383. Mosel U., Greiner W. — «Z. Phys.», 1968, Bd 217, S. 256 [1, 10.3, 10.4].
334. Mongan T. R. — «Phys. Rev.», 1969, v. 178, p.1597 [2.3].
385. Mosel IL, Greiner W. — «Z. Phys.», 1969, Bd 222, S. 26i [1, 10.3, 10.4].
386. «Phys. Lett. В» , 1969, v.30, p.223. Auth.: P. Moller e. a. [10.4].
387. Panel Discussion. —«In: Proc. Intern, on Properties of Nuci. Matter.
Montre'ai, 1969 [10].
479
388. Mosel U., Schamweber D. — «Phys. Rev. Lett.», 1970, v.25, p.678 [ Ю.З,
10.6].
389. Moller P„ Nilsson S. G. — «Phys. Lett. В», 1970, v.31, p.283 [10.4].
390. «Nuci. Phys. А» , 1971, v.168, p.406. Auth.: J. D. Moses e. a. [10.5].
391. Mukherjee P., Cohen B. L. — «Phys. Rev.», 1962, v.127, p. 1284 [9.7].
392. Muthukrishnan R., Baranger M. —«Phys. Lett.», 1965, v.18, p.160 [7.6].
393. Myers W. D., Swjatecki W. J. — «Nucl. Phys.», 1966, v.81, p.l [10.4,
10.5].
394. Nataf R. — «Nucl. Phys.», 1957, v.2, p. 497 [B.l, В.З].
395. Натан О., Нильссон С. — В ки.: Альфа-, бета- и гамма-спектроскопия.
Под ред. К. Зигбава. Пер. с англ., вь'п.1. М., Атомиздат, 1969 [9.7, 10.2].
396. Ne'eman Y. — «Nucl. Phys.», 1961, v.26, p.222 [8.3].
397. Negeie J. W. —«Phys. Rev. С», 1970, v.l, p. 1260 [7, 7.6].
398. Neudachin V. G., Smirnov Y. F. — «Atomic. Energy Rev.», 1965, v. 3,
p. 157 [8].
399. Newby N., Jr., Konopinski E.J. — «Phys. Rev.», 1959, v.l 15, p.434 [9.3].
400. Newton T. D. — «Canad. J. Phys.», i960, v.38, p.700 [10.3].
401. Newson H. W. — In: Nuclear Structure Study with Neutrons. Eds. M.
Neve de Mevergnies e. a. Amsterdam, North-Holland, 1966, p.195 [10.5].
402. Нильссон C. — В кн.: Деформации атомных ядер. Пер. с англ. М.»
Изд-во иностр, лит., 1959 [1, 8.1].
403. Niisson S. G., Prior О. — «Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Fys.
Medd.», 1960, Bd 32(2) [10-2. 10.4].
404. Nilsson S. G., Prior O. — «Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Fys.
Medd.», 1961, Bd 32 (16) [9.2, 9.7, 9.9.J.
405. Nix J. R., Swiatecki W. J. — «Nucl. Phys.», i965, v.71, p.l [10.6].
4C6. «Nuci. Phys. А», 1968, v.l 15, p. 545. Auth.: S. G. Nilsson e. a. [1, 10.3,
10.4, 10.5].
407. «Nuci. Phys. А» , 1969, v.131, p.l. Auth.: S. G. Nilsson e. a. [1, 10.3, 10.4,
10.5].
408. Nordsieck A. —«Phys. Rev.», 1940, v.58, p.310 [1].
409. Пайне Д., Нозьер Ф. Теория квантовых жидкостей. Пер. с англ. М.»
«Мир», 1967 [9.6].
410. Norenberg W. — «Phys. Lett. В». 1970, v.3i, р. 621 [10.5].
411. Noyes H. P., Lipinski H. M. — «Phys. Rev. С», 1971, v. 1, p.995 [2.1].
412. Okubo S., Marshak R. E. — «Ann. Phys.», 1958, v.4, p. 166 [2.3].
413. «Nucl. Phys.», 1966, v. 85, p. 504. Auth.: P. B. Parks e. a. [10.5].
414. Palumbo F. — «Nucl. Phys. А», 1967, v. 99, p.100 [Б.2].
415. Pang S. C., Klein A., Dreizier R. M. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1968, v.49,
p. 477 [9.6].
4i6. Perring J. K-, Skyrme T. H. R. — «Proc. Roy. Soc. А», 1956, v. 69,
p.. 600 [8].
417. Percy F. G. J., Buck B. — «Nucl. Phys.», 1962, v. 32. p. 353 [7.2].
418. Peleris R. E., Yoccoz J. — «Proc. Phys. Soc. А», 1957, v.70, p.381 [A. 2].
419. Peierls R. E-, Thouless D. J. —«Nuci. Phys.», 1962, v. 38, p.i54 [А.З].
420. Peischl F., Werner E. — «Nucl. Phys.», 1963, v. 43, p. 372 [5].
421. Pflrsch D. — «Z. Phys.», 1952, Bd 132, S. 409 [10.3].
422. Phillips A. C. — «Phys. Rev.», 1966, v.142, p. 984 [3, 3.3],
480
423. Phillips A. C. — «Phys. Lett.», 1966, v.20, p. 50 13, 3.3].
424. Phillips A. C. — «Phys. Rev.», 1966, v.145, p. 733 [3, 3.3].
425. Phiipott R. J., Szydlik P. P. — «Phys. Rev.», 1967, v. 153, p.1039 [7.5].
426. Пайне Д. Проблема многих тел. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лиг.,
1963 [4].
427. «Жури, эксперим. и теор. физ.», 1962, т.42, с. 1464. Авт.: С. М. Полика-
нов и др. [10.5].
428. Polikanow S. М. — In: Proc. Nucl. Structure Symp., Dubna. Vienna,
Intern. Atomic. Energy Agency, 1968, p. 449, [10.5].
429. Proca A. L. — «J. Phys. Radium», 1936, v.7, p. 347 [I].
430. Rarlta W., Schwinger J. — «Phys. Rev.», 1941, v. 59, p. 436, 556 |1, 2.1].
431. Racah G. — «Phys. Rev.», i942, v. 62, p. 438 [1, 9.2].
432. Racah G. — «Phys. Rev.», 1943, v.43, p. 367 [9.3, 9.4].
433. Racah G., Talmi I. — «Physica», 1952, v.18, p.1097 [1].
434. Rajaraman R. —«Phys. Rev.», 1943, v.131, p.1244 [ij.
435. Расмуссен Дж. В кн.: Альфа-, бета н гамма-спектроскопия. Под ред.
К. Зигбана. Пер. с англ.-Вып. 1. М., Атомиздат, 1969 [I0.4J.
436. Rajaraman R., Bethe Н. А. — «Rev. Mod. Phys.», 1967, v.39, p.745 [1,5,
5.2, 5.4].
437. Redlich M. G. — «Phys. Rev.», i955, v.99, p.1427 [А.2].
438. «Phys- Rev. Lett.» , 1970, v.25, p.i667. Auth.: V. Rezwani, e. a. [1].
439. «Nuci. Phys. A.», 1972, v-180, p. 254. Auth.: V. Rezwanie. a. [1].
440. Reid R. V., Jr. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1968, v. 50, p.411 [2.3].
44i. Ripka G. — In: Lectures in Theoretical Physics. Voi. 8c. Nuciear Struc-
ture Physics. Eds. P. D. Kunz e. a. Univ, of Colorado Press, Boulder,
Colo., 1966, p. 237 [8, 8.1].
442. Ripka G. — In: Proc. Intern. Nuci. Phys. Conf. Gatlinburg, 1966. Eds.
R. L. Becker e.a. N. Y., Academic Press, 1967, p. 833 [8].
443. Ripka G. —«Advances. Nuci. Phys.», 1968, v.l, p.183 [8, 8.1, А].
444. Riesz F., Sz.-Nagy B. Functional Analysis. N. Y., Ungar, 1955 [3.2].
445. Rosenfeld L. Nuciear Forces. Amsterdam, North-Hoiiand, 1948 [1].
446. Роуз M. Поля мультиполей. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1959
[9.4].
447. Rotter 1. —«Fortschr. Phys.», 1968, Bd 16, S. 195 [8].
448. Roos K., Greiner W. Preprint, Univ. Frankfurt/M., 1972 [1].
449. Rouhaninejad H., Yoccoz J. — «Nuci. Phys.», 1966, v.78, p.353. [A.2].
450. «Phys. Rev»., 1957, v.i06, p.372; v. 108, p. 507. Auth.: K- Sawada e. a. [1].
451. Sawicki J. —«Nucl. Phys.», 1961, v. 23, p. 185 [1].
452. «Phys Rev. Lett.», 1960, v-5, p. 266. Auth.: D. p. Saylor e. a. [i].
453. Scott B. L, Moszkowski S. A.—«Ann.Phys. (N. Y.)», 1961, v. 14, p.i07 [7.6].
454. Scott B. L., Moszkowski S. A. — «Nuci. Phys.», 1962, v.29, p.665 [7.6].
455. Scotti A., Wong D. Y., — «Phys. Rev. Lett.», 1963, v.10, p.142 [2:3].
456. Scotfi A-, Wong D. Y. — «Phys. Rev. В», 1965, v. i38, p. 145 [2.3].
457. Schwinger J. —«Phys. Rev.», i948, v.72, p.742 [1].
458. Шифф Л. Квантовая механика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит.,
1959 [2.1, 2.2].
459. «Phys. Rev.» , 1959, v.i 15, p.427. Auth.: J. P. Schiffer e.a. [9.7].
4 60. Schick L. H. —«Rev. Mod. Phys.», 1961, v. 33, p. 608 [3].
481
461. «Bull. Amer. Phys. Soc.» , 1962, v. 2, p. 533 [10.2]. Auth.: R. P. Scharen-
berg e. a. [10.2].
462. Scheid W. Doctoral Dissertation. Univ. Frankfurt/M., 1967. [Б.З].
463. Scheid W., Greiner W. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1968, v.48, p.493 [В, B.2,
В.З].
464. Scheid W., Greiner W. — «Z. Phys.», 1969, Bd 226, S. 364 [10.6].
465. «Phys. Rev. Lett.», 1970, v.24, p.601, Auth.: D. Scharnweber e. a. [10.3,
10.4, 10.5, 10.6].
466. «Nucl. Phys. А» , 1971, v.164, p. 257. Auth.: D. Scharnweber e.a. [10.5]..
467. «Phys. Lett.», 1966, v.23, p. 576. Auth.: J. B. Seaborn e. a. [7.5].
468. Seaborn J. B., Eisenberg J. M. •— «Nucl. Phys.», 1966, v. 82, p.308 [7.5].
469. «Z. Phys.», 1967, Bd 202, S.32 Auth.: J. B. Seaborn e.a. [7.5].
470. Seaborg G. T. — «Ann. Rev. Nucl. Sci.», 1968, v.18, p.53 [10].
471. Seaborg G. T. — In: Proc, of the Robert A. Welch Foundation Conferences-
on Chemical Research. Ed. W. O. Milligan. Texas, Houston, 1969, p.5 [10]-
472. Seeger P. A. — «Nucl. Phys.», 1961, v.25, p.l [5].
473. Seeger P. A., Perisho R. C. Los Alamos Report. LA-3751, 1967 [10, 3, 10.4]
474. Shellne R. R. — «Rev. Mod. Phys.», 1960, v. 32, p. 1 [10.1].
475. Shevchenko V. G., Yudin N. P. •— «Atomic Energy Rev.», 1965, v.3, p.3
[7, 7.5].
476. Slgnell P. S., Marshak R. E. — «Phys. Rev.», 1957, v.106, p.832 [1, 2.3].
477. Slgnell P. S., Marshak R. E. —«Phys. Rev.», 1958, v.109, p.1229 [2.3]_
478. Signell P. S., Zinn R., Marshak R. E. — «Phys. Rev. Lett.», 1958, v.l,
p. 416 [2.3].
479. Slgnell P. S. — «Ann. Nucl. Phys.», 1969, v.2, p. 223 [2, 2-3].
480. Skyrme T. H. R. — «Proc. Phys. Soc. А», 1957, v.70, p.433, [А2].
481. Smithies F. Integral Equations. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1958
[3.2].
482. Soloviev V. G. — «Kgi. Danske Videnskab Selskab Mat.-Fys. Medd.»,
1961, Bd 1(11) [1, 9.7].
483. «Phys- Lett.», 1966, v.22, p.500. Auth.: A. Sobiszewski e. a. [10.4].
484. Soloviev V. G. — «Progr. Nucl. Phys.», 1969, v.10, p.239 [9].
485- Spicer В. M. — «Austr. J. Phys.», 1965, v.18, p.l [6.2].
486. Spicer В. M. —«Adv. Nucl. Phys.», 1969, v.2, p.l [7].
487. Steinwedel H., Jensen J. H. D. — «Phys. Rev.», 1950, v.79, p. 1019 [1].
488. «Phys. Rev.», 1957, v.105, p.302. Auth.: H. P. Stapp e.a. [2.2].
489. Stephenson, G. J., Jr., Banerjee M. R. — «Phys. Lett. В», 1967, v.24r
p.209 [8.11-
490. Strutlnsky V. M. — «Nucl. Phys. A.», 1967, v. 95, p.420 [1, 9, 7, 10, 10.5].
491. Stingl M. — «Nucl. Phys. A.», 1969, v. 138, p. 353 [9.6].
492- Stein N. — In: Proc. Conf, on Properties of Nuclear Mater, Montreal,
1969, p. 337 [9.7].
493. «Nucl. Phys. A.», 1970, v.145, p.l77. Auth.: M. Stingl e.a. [9.6].
494. Siissmann G. — «Z. Phys.», 1964, Bd 139, S. 543.
495. Nuclear Forces. Part 1. Nuclear forces in the dynamical region. — «Suppl.
Progr. Theor. Phys.», 1967, v.39, [2].
496. Nuclear Forces. Part 2. Nuclear forces in the core region. — «Suppl.
Progr. Theor. Phys.», 1968, v.42 [2].
482
497. «Progr. Theor. Phys.», 1951, v.6, p. 683; 1952, v.7, p.45, Auth.: M. Take-
tani, e.a. [2.3].
498. Talml 1. — «Helv Phys. Acta», 1952, v.25, p.185 [7.6].
499. Tamura T. — «Nuovo cimento», 1956, v.4, p.713 [Б. 1].
500. Tabakln F. — «Ann. Phys. (N. Y.)», 1964, v.30, p.51 [1, 2.3, 7.6].
501. Tabakin F. — «Phys. Rev. B.», 1965, v.137, p. 75 [2.3].
502. Tabakln F. — «Phys. Rev.», 1968, v.174, p. 1208 [2.3].
503. Taagepera R., Nurmia M. —«Ann. Acad. Sci. Fennicae», 1961, Ser. A6,
№78, p. 1 [10.4].
504. Tewarl S. N., Grlllot D. «Phys. Rev.», 1969, v.177, p. 1717 [8.1].
505. Thouless D. J. — «Nucl. Phys.», 1960 , v.21, p.225 [6.3].
506. ТаулесД. Квантовая механика системы многих частиц. Пер. с англ-
со 2-го изд. М., «Мир»., 1975 [4, 6, 6.3, 9.6].
507. Thouless D. J. — «Nucl. Phys.», 1961, v.22 , p. 78 [I, 6.3].
508. Thouless D. J., Valatln J. G.—«Nucl. Phys.», 1962, v.31, p.211 [9,6].
509. True W. W., Ford K. W. — «Phys. Rev.», 1958, v.109, p. 1675. [А.2].
510. Tsang S. F. Thesis. Univ. Calif., Berkeley, 1969 [10.5].
511. Unna I„ Talml 1. — «Phys. Rev.», 1958, v.l 12, p. 452. [Б, Б.2].
512. Valatln J. G. — «Nuovo cimento», 1958, v.7, p.843 [9.6].’
513. Valatln J. G- —«Phys. Rev.», 1961, v.122, p.1012 [I].
514. Verde M. — In: Hand Phys., 1957, Bd 39, S. 44 [3, 3.3].
515. Verblnskl V. V., Coursney J. C. —«Nucl. Phys.», 1965, v.73, p.398 [7.5].
516. - Vlllars F. —«Nucl. Phys.», 1957, v.3, p.240. [Б, Б.З].
517. Vlllars F. —«Ann. Rev. Nucl. Sci.», 1957, v.7, p. 18Б. [Б, Б.З].
518. Vlllars F. —«Ann. Phys. (N. Y.)», 1958, v. 5, p. 224. [Б, Б.З].
519. Vlllars F. — In: Proc. Intern. School of Phys. «Enrico Fermi». Course
23. Nuclear Physics. Ed. V. F. Weisskopf. N. Y., Academ. Press., 1963.
p.l [6].
520. Villars F., Cooper G. —«Ann. Phys. (N. Y.)», 1970, v. 56, p.224 [Б].
521. Watson К- M., Nutall J., Chisholm J. S. R. Topics in Several—Particle
Dynamics. San Francisco, Calif., Holden-Day, 1957 [3].
522. «Phys, Rev.», 1968, v.170, p. 493. Auth.: H. G. Wehsweiler e. a. [1].
523. «Z. Phys.» , 1962, Bd 192, S. 182. Auth.: H. J. Weber e. a. [7.5].
524. von Welzsacker C. F. —«Z. Phys.», 1935, v.96, p.431 [1].
525. Weinberg S.'—«Phys. Rev. B.», 1964, v. 133, p. 232 [3.2].
526. Welgert L. J., Eisenberg J. M. — «Nucl. Phys.», 1964, v.53, p.508 [6.2]
527. Weidenmuller H. — «Nucl. Phys.», 1965, v.75, p.189 [1].
528. Weldenmiiller H. A., Dietrich K. —«Nucl. Phys.», 1966, v.83, p.332 [1].
529. Weidenmuller H. —«Z. Phys.», 1967, Bd 202, S. 302 [1].
530. Wigner E. — «Phys. Rev.», 1933, v.43, p.252 [1].
531. Wigner E. — «Z. Phys.», 1933, Bd 83, S. 253 [1].
532. Wick G. — «Z. Phys.», 1933, Bd 84, S. 799 [1].
533. Wigner E. — «Phys. Rev.», 1937, v.51, p.106, 947 [1, 7.3].
534. Wilkinson D. H. «Physica», 1956, v.22, p. 1039 [1].
535. Вильсон P. Нуклон-нуклонные взаимодействия. Пер. с англ. М., «Мнр»
1965 [2, 2.1].
536. Уилетс Л. Теория ядерного деления. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1967
[10.4].
483
537. Wlldermuth К., McClure W. Cluster Representation of Nuclei Springer
Tracts in Modern Physics. Vol. 41. Berlin, Springer-Verlag, 1966 [8].
538. Wolfensteln L. — «Ann. Rev. Nucl. Sci.», 1956, v. 6, p.43 [2, 2.2].
539. Wong S. S. M. — «Phys. Lett.», 1966, v. 20, p.188 [7.5].
540. Wong C. W. — «Nucl. Phys. A.», 1967, v. 91, p.399 [7.6].
541. Wong C. W. —«Nucl. Phys. A.», 1967, v.104, p.417 [7.6].
542. Yamaguchi Y. —«Phys. Rev.», 1954, v.95, p. 1628 [2.3].
543. Yamaguchi Y., Yamaguchi Y. — «Phys. Rev.», 1954, v.95, p. 1635 [2.3].
544. Yoccoz J. — «Proc. Phys. Soc. A.», 1957, v. 70, p. 388. [A.2, А.З].
545. Yoshida S. —«Phys. Rev.», 1961, v. 123, p. 212219.7].
546. Yoshida S. — «Nucl. Phys.», 1962, v.33, p.685 [9.7].
547. Yukawa H. — «Proc. Phys. Math. Soc. Japan», 1935, v.17, p. 48 [1].
548. Zeldes N. —«Nucl. Phys.», 1956, v.2, p. 1 [9.4].
549. Zeldes N. — «Nucl. Phys.», 1958, v.7, p.27 [9.4].
550. Zeh H. — «Z. Phys.», 1965, Bd 188, S. 361. [А.2].
551. Зырянов П. С., Элеонский В. M.—«Журн. эксперим. и тсор. физ.»,
1956, т.30, с. 592 [1].
АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический множитель 80
Альфа-частичиые ядра 214
Амплитуда рассеяния 46
Аннигиляция частицы 164
Ассоциативный закон 245
Базисные представления 214
Баранжера силы 226
Бардина — Купера — Шриффера мо-
дель 304, 308
— — — фазы 285
Барьер деления 399, 400, 408
Бесконечная ядериая материя 119,
127, 136, 149, 313
Бете — Вайцзеккера формула 127,219
Бете — Голдстоуна уравнение 132
Бете — Фаддеева уравнения 150
Блокировки эффект 324, 326
Боголюбова преобразование 310, 313
Брайена—Скотта потенциал 66
Бракнера -— Ватсона потенциал 61
Бракнера — Голдстоуна диаграммы
149, 152, 153
-----разложение 129, 134
Бриллюэна теорема 163
Вайскопфа единицы 217, 270
Вакуумное состояние 113, 301
-----квазичастиц 311
Взаимодействия представление 81,104
Вигнера — Эккарта теорема 29, 274,
303
Векторный оператор 213
Внутреннее произведение 255
— импульсы 458
— гамильтониан 448, 462
— угловой момент 458
Возбужденные состояиня 163, 295
Возмущений теория 108, 119
Волновая функция канала 332
Вращательное духовое движение 460
— энергия 463
Вращение ядра 232, 240
Временной эволюции оператор 104
Вторичное квантование 100, 283
Вырождения проблема 256, 449
Выстроенная схема связи 282
Галилея преобразования 433
Гейзенберга компонента сил 176
Гаммеля — Талера потенциал 71
Гартепхауса потенциал 61
Генераторы групп Ли 362, 426
Гелл-Мана — Окубо формула масс-
273
Гиперзаряд 273
Гиромагнитный фактор 374
Гильбертово пространство векторов
186
Гольдхабера — Теллера модель 207
Грина функция 91, 117, 118
Группа 245, 251, 257
Двухцентровая оболочечная модель
384, 406, 416
Двухчастично-двухдырочиые состоя-
ния 163, 169
Дейтрон 24, 38
Детерминант Слэтера 160, 371, 453
Деформации энергия 390, 407
Деформированные ядра 226, 392, 395
Деформированных оболочек модель-
393, 464, 465
Дипольный момент 33
Дирака матрицы 64
Длина залечивания 133
Дуальное пространство 429
Дублетная длина рассеяния 98
Духового коллективного движения
гамильтониан 448
Духовое вращательное движение 460»
464
— состояние 198, 341
Дырочные состояния 112, 136, 174
Единицы Вайскопфа 217, 270
Жилле потенциал 222
Зависящие от формы параметры 42
-----времени метод Хартри — Фока.
194
Залечивание волновой функции 133
Зарядовая независимость 68
— симметрия 68
Захват мюонов 208
Зигерта теорема 181, 185
Изомеры деления 408
Изоморфизм групп 263
Инвариант группы 247
Инглиса формула 370
Инерциальные параметры 36Г.
йельской группы п.отенциал.;»^
227
Хвадрупольного взаимодействия па-
раметр 345
Казимира оператор 266
Квадрупольный момент 33
Квадрупольный тензор 33, 296
Квазиспина модель 297, 300, 346
Квазичастицы 277, 313
Квартетная длина рассеяния 98
Кет-вектор 174
Классификация Хунда 15
Кластерная модель 232
Клебша — Гордана коэффициенты
175, 283, 303
Когерентный эффект 166
Коллективная кинетическая энергия
365
— потенциальная энергия 349, 382,
385
— гиромагнитное отношение 377
— координаты 446
Конвекционный ток 206
Кондона — Шортли фазы 285, 286,298
Конечного поворота оператор 243
Конечных вращений матрицы 243
Конфигурации оболочечной модели
294'
Коолмана теорема 165
Кулоновская энергия 127, 388, 411
— фазовый сдвиг 47
Куперовские пары 21, 282
Лагранжа множитель 307
Ли группы 426
— алгебра 249, 266
.Липпмана — Швингера уравнение 85
Локальный потенциал 76
Магические числа 398
Магнитный момент 36
Майорана оператор 176
Мезоны 83
Меллера оператор 87
Микроскопическая теория ядра 13
Модель кзазиспина 297, 346
Момент инерции 227, 244, 280, 360
Монопольные колебания 19
Моши некого скобки 223
Мюшковского — Скотта потенциал
139, 141
Мультипольные моменты 30
Мягкая сердцевина 73
Намагничивания ток 206
Нептрои-протоинос спаривание 323
Нелокальный сепарабельный потенци-
ал 96, 224
Неприводимое представление 246, 257,
269, 272
Несингулярные силы 224
Неунитариый оператор 88
Низколежащие возбуждения 216
Нильссона модель 234, 241, 417, 441
Нормальное произведение 113
Нормировочный объём 102
Нулевого радиуса силы 183
Пуклон-нуклонное взаимодействие 23»
101
Обменный матричный элемент 180
Оболочечные расчеты 170
— поправки 407
— модели конфигурации 294
— осцилляторная модель 171
Оболочки фрагментов 422
Обратный элемент 246
Однобозопный обменный потенциал
62, 65
Однопионный обменный потенциал 58
Однородное уравнение 89
Одночастичные потенциалы 143
Октупольные колебания 217
Оператор перехода 85, 92
— числа частиц 289
Оптическая теорема 88
— потенциал 199
Остаточное взаимодействие 159
Осциллятора энергия 179 '"'°’*
Осцилляторная оболочечная модель
171
Пайерлса — Йоккоза процедура 435»
455
Пайерлса — Таулеса метод 438
Парной энергии матрица 319
Паули принцип 125, 161, 251, 296
Перенормировка коллективной потен-
циальной энергии 406
Перенормировки Струтинского метод1
411
Перехода оператор 85, 92
Плазменные колебания 19
Поверхностная Энергия 127
Поверхностного дельта-взаимодейст-»
вия модели 199
Полный заряд 33
Поляризуемость остова 232 ,
Потенциал Вудса — Саксона 179, 452
Потенциалы с мягкой сердцевиной 73
— с твердой сердцевиной 73, 139
Представление группы 246 • ;
Приближение Тамма—Данкоац 169^
185, 217
Приближенный метод Хартри -г-Фока
232', 233, 238
Приведенные ширины 331
Принудительного вращения метод 36!
Проектирование физических .состоя-
ний 423
Проектированные состояния БКШ 432
Проекционные операторы 424
Пссвдовекторный мезон 15
Псевдоскалярный мезои 15
486
мам а»>
Разностная функция 138, 144
Рака алгебра 177, 284
Рассеяния длина 41, 98
Реалистические иуклон-нуклониые
взаимодействия 223
Рейда потенциал 73, 126
Рождения пары оператор 288
Розенфельда силы 236, 241
Самосогласования условие 228
Самосогласованный гамильтониан 159
Свертка операторов 113
Свёрятяжелые ядра 395, 398, 402
Сдвига операторы 249
Секулярная матрица 170, 183
Сепарабельные потенциалы 75
— функции 483
Сигнелла — Маршака потенциал 72 .
Сингулярные силы 227
Синьорити гамильтониан 298
— схема 266, 304
— число 291
Скалярная мезонная теория 15
Скотта—Мошковского метод разде-
ления 229
Слэтера определитель 160, 371, 453
Смешивания параметры 51, 61
Симметрии энергия 127
Спарнрательная схема связи 282
— . потенциал 319
Спектра'сравнения метод 128
Спии-орбитальная связь 241
Сравнения спектр 136, 230
Срыва я подхвата реакции 331
Статические нецентральные силы 15
Структурные константы 427
Супермультиплетов теория 209
Сферический базис 237
Стабильности область 404-
Табакина силы 18, 225
Тамма — Данкова приближение 169,
1ЙБ, 199, 217
Твердая сердцевина 73, 130
Твердотельный момент инерции 373
Тензор инерции 469
Тензорные силы 27, 49
Теаж^-ммв оператор 27
Теорема S# иллюзия 165
Тождественный элемент 246
Трехмервых вращений группа 430
Трехчвстичные корреляции 149, 155
— силы 97
Фаддеева уравнения 79, 89, 93, 98, 153
Фазовый анализ 44
— Сдвиг 46
ФБКШ метод 432
Фейнмана диаграммы 117, 121, 123
Феноменологические потенциалы 66-
Ферми-газ 14!
Ферми-жидкости теория ‘316
Ферми-море 11, 136, 137, 163
Ферми-уровень 111, 311
Ферми-сфера 133
Форм-фактор 205, 207
Фотопоглощения сеченяе 184
Фотоядерный гигантский резонанс
182, 197, 202,215
Фредгольма уравнение 90
Хамады — Джонстона потенциал 70,.
128, 227
Хартри — Фока метод 19, 157, 160»
165, 196, 224
Хаотических фаз приближение 19»
157, 186, 192
Хартри-метод 158
Хартри — Фока потенциал 143, 162»
164
Хартри — Фока — Боголюбова урав-
нения 317, 379
Хилла — Уилера интеграл 243, 446
Химический потенциал 307
Химической связи эффекты 43
Хронологическое произведение 108
Хунда классификация 15
Хюльтена потенциал 26, 70
Центробежного растяжения эффекты
438
Центральный потенциал 24
Частиц состояния 112 * -
Частично-дырочная модель- 17G, 183».
217,454
— состояние 163, 169»
175, 178
— формализм 157, 168-
Четно-иечетный эффект 280 ,
Частота деления 403
Штейнведеля — Йенсена модель 207
Эйлера углы 243, 356, 383, 425, 456,.
460 J
Экстраполяция оболочечной модели
398
Энергетическая щель 277, 309# 321»
334
Эффективный заряд нуклона 185-
— радиус 39
Юкавы частица 15 <
— потенциал 58, 70, 268
Юнга символы 254, 272
— схема 251
Ядерного поля операторы 100 -
Ядерный фазовый сдвиг 48
Ямагучи потенциал 77, 96
.487