Беседы о строительной механике - Перельмутер А.В.

Беседа 1.2. Основные понятия. Начало возможных перемещений
Беседа 1.3: Статические и кинематические уравнения
Беседа 1.5. Сопоставление свойств статически определимых и неопределимых систем……
Беседа 1.6. Повторение — о методе сил и методе перемещений
Беседа 1.7. Предварительное напряжение системы
Беседа 2.2: Граничные условия и условия связи
Беседа 2.3: Параметры сеточного разбиения. Сходимость МКЭ
Беседа 2.4. Конечные элементы бывают разными
Беседа 2.5. Разбиение на конечные элементы
Беседа 2.6. Кое-что о расчетных моделях МКЭ
Беседа 2.7. Приемы анализа результатов расчета
Беседа 3.2. Проблемы физической нелинейности
Беседа 3.3. Работа упругопластической системы при росте нагрузки……..
Беседа 3.4. Экстремальные свойства предельного состояния текучести………….
Беседа 3.7. Генетическая нелинейность……………………
Беседа 4.2. Устойчивость системы с одной степенью свободы
Беседа 4.3. О роли начальных несовершенств
Беседа 4.4. Устойчивость в большом. Верхняя и нижняя критическая нагрузка………
Беседа 4.5. Устойчивость систем с несколькими степенями свободы………..
Беседа 4.6. Многопараметрическое нагружение. Теорема Папковича………..
Беседа 5.3. Уравнения движения системы с несколькими степенями свободы……….
Беседа 5.4. Свойства форм собственных колебаний
Беседа 5.5. Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободы……
Author: Перельмутер А.В.
Tags: строительство инженерных сооружений строительство сопротивление материалов строительная механика механика деформируемых тел
ISBN: 978-5-903683-22-2
Year: 2014
Similar
SCAD Office. Вычислительный комплекс SCAD
Расчетные модели сооружений и возможность их анализа
SCAD Office. Расчет мачт на оттяжках
Нагрузки и воздействия на здания и сооружения
Text
                    Перельмутер Анатолий Викторович, доктор технических наук, академик РААСН, главный научный сотрудник НПО SCAD Soft. Область научных интересов: строительная механика, строительные конструкции, надежность и безопасность, информационные технологии.ISBN 978-5-903683-22-278590683222ISBN 978-5-930939-51-*859309395'ПерельмутерА. В. БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕПерельмутер А. В.БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙМЕХАНИКЕ
А.В. ПерельмутерБЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕКраткий курс лекций для повышения квалификацииИздательство SCAD Soft Издательство Ассоциации строительных вузовМосква 2014
Рекомендовано к изданию:Кафедрой строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета, заведующий кафедрой действительный член РААСН, доктор технических наук, профессор Ляхович Л.С.Кафедрой строительной механики Киевского национального университета строительства и архитектуры, заведующий кафедрой член-корреспондент Академии педагогических наук Украины, доктор технических наук, профессор Баженов В. А.УДК 624.0/07 Перельмутер А.В.Беседы о строительной механике. Научное издание.— М.: Издательство SCAD Soft, издательство ассоциации строительных вузов, 2014 — 250 с.В книге обсуждаются некоторые принципиальные вопросы современной строительной механики, которые, как показывает опыт общения с пользователями программных средств, недостаточно усваиваются во время учебы в высшей школе. Целью книги является углубленное изложение основ тех методов, которые используются в расчетных программах с упором на анализ основных предпосылок и объяснение физического смысла расчетных операций.Книга не рассчитана на студентов, только приступивших к изучению курса строительной механики, она ориентирована на инженеров-строителей, желающих углубить свою теоретическую подготовку. Книга также может быть рекомендована аспирантам и магистрантам строительных вузов и служить для них учебным пособием.Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические,включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.ISBN 978-5-903683-22-2 ISBN 978-5-930939-51-4© Издательство SCAD Soft, 2014 © Издательство АСВ, 2014 © А.В. Перельмутер
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ3Предисловие
4ПРЕДИСЛОВИЕЕсли ты не знаешь никакой теории, то это еще не означает, что ты практик.Хачиян Л.Г. Избранные труды.— М.: МЦНМО, 2009 - 520 с.Цель расчета — не число, а понимание.Р.В.Хемминг.	Численныеметоды для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1972.— 400 сЧем более высоких стандартов достигает теория, тем непонятней становятся книги. Л для написания простых учебников не достает энтузиазма и вдохновения, присущих этапу рождения идеологии...В. Босс. Лекции по математике. Том 7.— М.: КомКнига, 2006.— 216 с.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ5ЗамыселВ начале двадцатого века в Санкт-Петербурге собирался небольшой кружок, где выдающийся инженер и профессор, воспитавший несколько поколений русских инженеров, В.Л. Кирпичев вел беседы о механике. Они затем были изданы в виде книги [4], выдержавшей много изданий и до сих пор не утратившей своей актуальности.Автору показалось, что имеется необходимость в какой-то мере воспроизвести этот опыт в наше время, рассмотрев ту область знаний, которую называют строительная механика в широком смысле этого слова.Дело в том, что практический расчет любой мало-мальски сложной системы в настоящее время выполняется с использованием компьютерных технологий. Как показывает опыт, во многих случаях обучение пользованию программными системами для расчета конструкций, такими как ЛИРА, SCAD, ANSYS и др., позволяет пользователю только научиться нажимать кнопки, чтобы вызвать к жизни ту или иную функцию программы. Выясняется также, что любое руководство к программе почти бессмысленно, если пользователь не понимает основ тех методов, которые использованы в программной системе.При этом важно понимание основных принципов, которые, к сожалению, не очень хорошо излагаются в современных вузовских учебниках. Я неоднократно задавал начинающим инженерам вопрос: можно ли создать предварительное напряжение в статически определимой системе? И слишком часто получал положительный ответ. А в подтверждение своей точки зрения указывалось, что существуют преднапряженные железобетонные балки. О том, что они являются статически неопределимыми, студенту не сказали.Важным аспектом проблемы является соотношение между знанием и пониманием (вряд ли нужно доказывать, что это не одно и то же). Понимание приходит тогда, когда одному и тому же явлению дается несколько интерпретаций, сопоставляя которые можно понять значительно больше, чем из самого подробного описания, независимо от формы этого описания (чертеж, схема, математическая модель и т.п.).
6ПРЕДИСЛОВИЕБлестящим примером является вопрос, который Кириак Самсонович Завриев, профессор Тбилисского института инженеров путей сообщения задавал своим студентам2: Работа несущей конструкции во многом определяется плечом внутренней пары. У фермы оно равно расстоянию между поясами, в арке — расстоянию от замка до затяжки, у купола — примерно расстоянию между вершиной и опорным кольцом. Л каково плечо внутренней пары у оболочки двоякой кривизны на К. С. Завриев прямоугольном плане?Ответ на этот вопрос требует понимания работы конструкции «в целом», что во многом противоположно практикуемому детальному анализу напряженно-деформированного состояния. Такой анализ направлен на изучение деталей (отыскание пиков напряжений, мест с максимальными прогибами и т.п.), и иной раз уводит от рассмотрения целостной картины явления. По образному выражению А. Пуанкаре «...стал ли бы думать какой-нибудь натуралист, что он достаточно знает слона, если бы он всегда изучал это животное под микроскопом?» [3 ,стр. 165].Содержание этой книги во многом определилось теми вопросами, которые задавали разработчикам пользователи программной системы SCAD. Они наивно полагали, что разработчики программ должны восполнить недостатки их образования, а нам очень хотелось вместо точного ответа на заданный вопрос отослать вопрошающего к определенной странице университетского учебника. Но приходилось выступать с разъяснениями и давать ответы на наивные вопросы:Тогда возник замысел написания соответствующей книги. Автор самонадеянно полагает, что практикующие инженеры-расчетчики захотят прочитать эту книгу, основной целью которой является обучение сознательному использованию современных компьютерных методов расчета сложных и ответственных строительных конструкций. Впрочем, надежда на Юзера3, читающего что-либо, кроме программного Help, не слишком реалистична, и эта простая мысль заставляет автора разнообразить свое изложение неформальными сравнениями и вставными байками. А вдруг поможет.По такому же поводу В. Босс [2] говорит — «Лереупростить, даже приврать слегка, ибо дозирование правды краеугольный камень объяснения. Результаты, перегруженные деталями, не пролезают куда надо»2	Мне об этом рассказывал Л.Г. Дмитириев, ученик Кириака Самсоновича.3	Юзер (от английского user-пользователь) — наверное, самая многочисленная частькомпьютерного населения нашей планеты (уже не Чайник и еще не Ламер) — Юзер-ламерский толковый словарь PC ARGO.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ7Форма изложенияПоскольку мы ориентируемся на читателя, который хотя бы формально прослушал университетский курс строительной механики, изложение ведется во фрагментарном стиле, без обязательного следования структуре какого-нибудь учебника. Пропущена, например, тема о вычислении коэффициентов канонических уравнений метода сил и метода перемещений, поскольку в форме, ориентированной на сокращение ручных вычислений, эти сведения достаточно подробно представлены в университетском курсе.По возможности автор старался излагать материал в простой форме (как говорят «без формул»), опускаясь в некоторых случаях до простых иллюстраций излагаемых положений. Более подробно излагаются разделы устойчивости и динамики, которые в современных университетских курсах почти не освещаются. Очень часто некоторые важные свойства систем того или иного вида излагаются как «данные свыше».Если читатель не поверит автору и начнет искать доказательства (сам или в литературе), то автор будет считать, что он достиг своей цели, а именно — он возбудил любопытство к предмету изложения. Вообще, читатель, желающий иметь более строгие доказательства, может обратиться к другим источникам, и такое обращение со стороны автора не встретит ничего, кроме одобрения.В современных условиях компьютеризованного проектирования красивые аналитические построения решений частных задач постепенно (но неуклонно) уступают место достаточно универсальным численным методам расчета, реализуемым во множестве широко распространенных программных разработок. Само собой разумеется, что это не означает полного отказа от приведения аналитических решений, в особенности тогда, когда они несут в себе информацию качественного характера или являются примерами, выпукло поясняющими отдельные аспекты теории.Но сегодня, по мнению автора, более важно глубокое изучение принципиальных аспектов теории, позволяющее инженеру осознанно (и придирчиво!) пользоваться имеющимся у него под рукой инструментом вычислений, а также оценивать хотя бы на качественном уровне результаты таких вычислений. А достижимость этого напрямую зависит и от понимания инженером принципов (а в некоторых случаях и деталей), на которых основано используемое программное обеспечение.Имитируя стиль бесед, изложение построено таким образом, что основные сведения по каждому из рассматриваемых вопросов вложены в уста лекторов, вопросы задают ученики, а отвечают на них знатоки. У многих из этих персонажей имеются реальные или виртуальные прототипы, однако представлены они в книге набором условных картинок, лишь отдаленно (и то, только для автора) напоминающих реальных людей. А сами
8ПРЕДИСЛОВИЕкартинки беззастенчиво взяты из Интернета (спросить у кого-либо разрешение на их использование не удалось).БлагодарностиВ книге используются, подчас в упрощенной форме, выдержки из ранее издававшихся работ автора, написанных им самим или в соавторстве с В.И.Сливкером, вклад которого в формирование многих идей этой книги трудно переоценить. Многие методологические приемы заимствованы из прекрасного учебного пособия А.Р. Ржаницына [5], глубокой монографии В.И. Сливкера [6], учебника А.В. Александрова, В.Д. Потапова и др. [1], фундаментального трехтомника А.П. Филина [8], из упомянутой книги В.Л. Кирпичева [4] (откуда заимствована и идея заглавия) и блестящей работы В.И. Феодосьева [7]. Всем этим великим предществователям, которых, увы, уже нет среди нас, мой глубокий поклон и неизменная добрая память.Во время работы над рукописью я знакомил с ней (целиком или отдельными частями) моих коллег и друзей. Их замечания и предложения были с благодарностью мною приняты. Упомяну тех из них, которые оказали наибольшее влияние — это академик РААСН, проф. Л.С. Ляхович, проф. В.Н. Гордеев, проф. О.В.Кабанцев.Большую помощь в работе над книгой и в подготовке ее к изданию оказали мне И.Ф.Лайкона, А.А.Маляренко, Г.Э.Едигаров и другие сотрудники фирмы СКАД Софт. Весьма признателен им, и благодарю за эту товарищескую поддержку.Литература1.	Александров А.В. и др. Сгроительная механика: В 2-х кн. Кн. 1. Статика упругих систем / В.Д Потапов, А.В. Александров, С.Б. Косицын, Д.Б. Долотказин.— М.: Высшая школа, 2007. Кн. 2: Динамика и устойчивость упругих систем / А.В. Александров, В.Д Потапов, В.Б. Зылев.— М.: Высшая школа, 2008.2.	Босс В. Интуиция и математика. — М. 2003.3.	Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983.4.	Кирпичев В.Л. Беседы о механике / Издание 5-е.— М.-Л.: Гостехтеориздат, 1951.5.	Ржаницын А.Р. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1982.6.	Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы.— М.: Издательство АСВ, 2005.7.	Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов.—	М.: Наука, 1969.8.	Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. В 3-х томах. - М.: Наука, 1978.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ9Цикл 1Основы статики и кинематики
10ЦИКЛ 1Встречаются двое:—	Что не весел?—	Стыдно сказать, у меня недержание мочи, а врачи ничего сделать не могут.—	Сходи к гипнотизеру — он поможет.Через неделю:—	Отлично выглядишь. Гипноз помог?—	Конечно. Мочусь во сне по-прежнему, но теперь я этим горжусь.Старый анекдот
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ11Беседа 1.1. Немного о расчетной модели: анализ гипотезСовременные здания и сооружения чаще всего бывают	сложными	конструктивнымимногоэлементными комплексами, создаваемыми для выполнения большого числа различных функций, и их жизненный цикл связан с возможностью реализации многих рабочих состояний.С точки зрения расчетчика, наибольшее значение имеют конструктивные особенности объекта, с которыми связана проблема оценки его несущей способности, но сама по себе конструктивная функция не всегда предстает в рафинированной форме.Выделение конструктивной схемыЕсли в каркасном здании довольно просто указать на основные конструктивные элементы (хотя и здесь имеются определенные проблемы), то для сооружения другого типа это удается сделать далеко не сразу и то — только после предварительного анализа нескольких конкурирующих гипотез.Выделение из объекта его несущей части является первым шагом идеализации. Условность и неоднозначность этого шага связана с различной ролью отдельных элементов сооружения при различных режимах нагружения — при одних нагружениях какие-то элементы выполняют только роль ограждающих, а при других они существенно влияют на игру сил.Геометрический образПосле того, как выбрана та часть объекта, которая будет фигурировать в расчете, начинается идеализация ее геометрического образа — геометрическое моделирование.Лишь в тривиальных случаях реальная трехмерная геометрия конструкции представляется такой же в расчетной модели. В действительности эта модель собирается из таких идеализированных объектов, как линия (ось стержня) или поверхность (срединная поверхность плиты или оболочки). То есть геометрия расчетной схемы оперирует одномерными и двумерными геометрическими образами вместо трехмерных. И здесь может лежать причина в появлении несвойственных реальной конструкции сил взаимодействия объектов различной размерности—	сосредоточенных воздействий, порождаемых примыканием оси стержня, или распределенных по линии воздействий при примыкании пластин и оболочек. О возникающих при этом проблемах речь пойдет далее.
12ЦИКЛ 1Следует остановиться еще на одном аспекте геометрического моделирования. Дело в том, что во многих случаях некоторые части системы могут быть представлены в виде, абсолютно отличном от их реального геометрического образа. Если по каким-либо причинам детальная картина напряженно-деформированного состояния таких частей не представляет интереса, то их реальное геометрическое моделирование можно не проводить — важно, чтобы была смоделирована их функциональная роль в работе исследуемой системы. Например, реальную сваю может смоделировать упругая пружинная опора.Модель материалаСледующим этапом является идеализация материала конструкции, вернее набора его физико-механических параметров. Чаще всего материал наделяется свойствами идеальной упругости, или идеальной пластичности. Значения параметров, характеризующие свойства материала (модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести и др.) принимаются по справочным значениям и предполагаются одинаковыми в пределах достаточно больших частей сооружения (или по всему сооружению), и соответствие их реальных значений принятым анализируется весьма редко4.Особо следует остановиться на коэффициенте Пуассона. При всестороннем сжатии напряжениями ох = a v =az - а образца упругогоматериала, у которого объем равен V0, модуль упругости — Е и коэффициент Пуассона - v, происходит изменение первоначального объема тела. Новый объем уменьшается на величину AV -kVQ, где коэффициент объемногосжатия к = (1 - 2v)<j / Е . Нетрудно заметить, что при v > 0,5 сжатый образец увеличивает свой объем, что физически невозможно (можно показать, что если бы это было так, то можно было бы сконструировать вечный двигатель). Отсюда появилось жесткое ограничение v<0,5, котороеявляется общим для всех сплошных сред — упругих и пластических тел, а также жидкостей, для которых часто используется условие несжимаемости v = 0,5 .Но вот в нормах проектирования деревянных конструкций появляется утверждение, что для фанеры коэффициент Пуассона следует считать равным 0,6 (для некоторых видов даже 0,7). Дело здесь в том, что указанный выше коэффициент объемного сжатия относится к изотропному материалу, а дерево и фанера являются материалами анизотропными. Они характеризуются различными модулями упругости Е0 и Е90 (вдоль и поперек волокон), а также коэффициентами Пуассона v0,9o и v90,o, между которыми4К сожалению, выводы этого типа используются и далеко за пределами своей обоснованности. Достаточно сказать, что идеализированными и одинаковыми по пространству свойствами нередко наделяются грунты основания, для которых предположение о малой изменчивости параметров не слишком оправдано, а зачастую — просто не согласуется с результатами инженерно-геологических изысканий.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ13существует соотношение £oVo,9o = £90^90,0- При этом ограничения типа v0 90 <0,5 или	отсутствуют.С коэффициентом Пуассона связана одна характерная ошибка, встречающаяся, например, при анализе изгибаемых плит. Задав для прямоугольной плиты условия шарнирного опирания по двум противоположным сторонам и считая две другие стороны свободными, расчетчик ожидает, что получит картину цилиндрического изгиба (балочная схема работы). Но картина перемещений (изолинии представлены на рис. 1.1) не подтверждает это ожидание, а внутренние усилия не сводятся только к моментам и поперечным силам одного направления, вычисления дают ненулевые значения для Мх, My, Мху, Qx и Qy. И лишь задав коэффициент Пуассона равным нулю, мы получим картину цилиндрического изгиба.0^\щ3L\//\/ii/1fш!гдщЩ-XIi7>6,> к|	! .АЛг гjj191IА2()1 (и“г’1: iiшIгпЩLitГГ\' : 4tp/\Г\1/1\W}V\//2\LРис. 1.1Моделирование нагрузокДостаточно серьезной процедурой является идеализация нагрузок, действующих на конструкцию в различных режимах работы. Вообще, нагрузки являются одной из наименее изученных компонентов системы, они имеют большую изменчивость во времени и пространстве, и те расчетные модели, которыми оперирует проектная практика, достаточно условны.Понятие нагрузки является удобным способом описания взаимодействия конструкции с окружающей средой, но это — не единственная форма такого взаимодействия. Часто необходимо описать не силовое, а кинематическое взаимодействие, когда некоторые, внешние по отношению к рассчитываемой системе устройства стесняют перемещения или повороты отдельных точек или навязывают ей свои перемещения. Такие условия, называемые связями, почти всегда присутствуют в расчетной модели. Заметим попутно, что заданное перемещение какой-либо точки всегда реализуется в виде смещения связи, а обычная связь-опора является частным случаем такого кинематического воздействия, когда упомянутое заданное перемещение имеет нулевое значение. Конечно, бесконечно жесткая связь, абсолютно точно навязывающая системе определенное (возможно, нулевое) значение перемещения, является идеализацией; в действительности взаимодействие с окружающей средой реализуется через некоторые устройства, имеющие, возможно, очень большую, но не бесконечно большую жесткость.
14ЦИКЛ 1Моделирование связей и условий примыканияИдеализация связей распространяется на описание законов взаимодействия отдельных элементов системы друг с другом. Принимаемые чаще всего условия полного совпадения перемещений или взаимных поворотов в точках соединения (абсолютно жесткая связь), равно как и их альтернатива, т.е. отсутствие какого бы то ни было взаимодействия по рассматриваемым видам перемещений (шарнир, ползунок), конечно, являются достаточно сильной идеализацией реальной картины взаимодействия.При этом чаще всего исходят не из кинематических условий сопряжения, а из гипотез, связанных с силовыми аспектами взаимодействия. Так, глядя на конструкцию узла некоторой фермы (рис. 1.2), трудно принять решение о полной свободе взаимных углов поворота концевых сечений стержней, сходящихся в узле. В то же время, приводящая к такому же выводу гипотезао	малой роли изгибающих моментов при чисто узловых нагружениях интуитивно воспринимается в качестве вполне разумного основания положить моменты равными нулю, для чего и ввести шарниры.В заключение этой беседы, которая является вводной, заметим, что подавляющее число проектных расчетов основываются на линейных упругих расчетных моделях. При их построении, кроме гипотезы о справедливости закона Гука, используются предположения о возможности рассмотрения условий равновесия в геометрии недеформированной системы, о возможности применения принципа суперпозиции (независимости действия сил), об идеальности внешних и внутренних связей и о справедливости принципа Сен-Венана. Вообще говоря, каждая из этих гипотез не является универсальной и требует своего обоснования.Рис. 1.2.Связи трактовались как ограничения, накладываемые на перемещения. А в примере с обоснованием возможности ввести шарнирную схему фермы вдруг речь пошла об усилиях. Нет ли здесь противоречия?Вопрос:
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ15Ответ:В силу принципа освобождаемости от связей, роль связи может выполнить ее реакция, которая обеспечивает такие же условия равновесия.Отсюда вытекает возможность двойственного силового и кинематического описания условий связи.Она сводится к одной из двух Формул:•	«невозможно такое-то взаимное перемещение» = «воспринимается такая-то сила»\•	«допускается такое-то взаимное перемещение» = «не 	воспринимается такая-то сила».	Использование такого подхода, сильно облегчает анализ. В частности, рассуждения подобного рода уместны при рассмотрении условий взаимодействия элементов расчетной схемы друг с другом. И если железобетонная плита перекрытия, уложенная на кирпичную стену, не передает кирпичной кладке момент (поскольку кладка не может его воспринять), то тем самым возникает необходимость в расчетной модели предусмотреть соответствкющую свободу взаимного поворота элементов (установить шарнир).Особенно важно выполнить такой анализ по отношению к температурному нагружению. Даже ничтожное взаимное проскальзывание в сопряжениях элементов резко (в разы !!) меняет напряженное состояние, вызванное температурной нагрузкой. Поэтому установка «ползунов» или моделирование упругого сопряжения вместо жесткого примыкания может здесь оказаться очень важным приемом.Вопрос:Нельзя ли более подробно о принципе Сен-Венана, в стандартных курсах строительной механики о нем почти ничего не говорится.Ответ:Суть принципа Сен-Венана состоит в том, что если в пределах некоторой области упругого тела приложена система сил, то на расстояниях, существенно превышающих характерные размеры взятой области, напряжения и деформации практически одинаковы для всех статически эквивалентных сил (например, для заданной группы сил и их равнодействующей).Принцип Сен-Венана позволяет, например, распределенную нагрузку, действующую на малую часть поверхности тела, заменить сосредоточенной силой, и наоборот, сосредоточенную силу можно заменить распределенной нагрузкой, приложив ее к малой части поверхности.
16ЦИКЛ 1В качестве примера, иллюстрирующего принцип Сен-Венана, рассмотрим изменение напряженного состояния в металлической пластине размерами 300x50x5 мм при различных вариантах ее загружения статически эквивалентной нагрузкой по торцам. Вид и схемы приложения нагрузок и изолинии нормальных напряжений (ах) представлены на рис. 1.3.LS$f)уРис. 1.3Картины изолиний показывают, что во всех вариантах изменение вида и схемы приложения статически эквивалентной нагрузки проявляются лишь в торцевых зонах; в средней зоне пластины, простирающейся от торцов не более чем на 0,7 от ширины пластины, напряженное состояние становится одинаковым.Следует помнить, что принцип Сен-Венана не является универсальным. Этот принцип нарушается у тонкостенных стержней, где бимомент (воздействие статически эквивалентное нулю) приводит к так называемому стесненному кручению всего стержня (рис. 1.4).Следуя В.И. Феодосьеву [10], сказанному можно дать простое физическое толкование. Поперечное сечение тонкостенного стержня характеризуется, в отличие от сплошного, еще и толщиной. Каждая полка двутаврового сечения нагружена моментом (парой сил), и, если бы стенка профиля отсутствовала,
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ17то полки изгибались бы независимо, и вопрос заключается в том, сколь жесткой является связь между полками. Для сплошного сечения эта связь очень жесткая, и распределение напряжений от каждой из четырех сил в поперечном сечении ограничено узкой областью. Чем меньше толщина стенки, тем заметнее эффект стесненного кручения. Следовательно, степень затухания краевых особенностей определяется «демпфирующим» действием дополнительных связей, органически присутствующих в системе.
18ЦИКЛ 1Беседа 1.2. Основные понятия. Начало возможных перемещенийПрежде чем продолжить цикл бесед о строительной механике, стоит напомнить некоторые основные понятия, быть может, сформулировав их более четко, чем это принято в университетских учебниках. Ограничения, которые стоят перед авторами этих учебников (необходимость обращаться к читателю, впервые знакомящемуся с предметом) не всегда позволяют это сделать.Итак, предметом рассмотрения в строительной механике является расчетная модель некоторой механической системыСистемой будем называть совокупность элементов, определенным образом соединенных между собой и в силу этих соединений работящих совместно.К числу элементов обычно относят упруго или неупруго деформируемые тела стандартной формы: стержни, диски, пластины и т.п. В общем случаеэлементом будем считать материальный объект (точнее его идеализацию или абстракцию), изученный в той степени, в которой это необходимо для анализа его поведения в системе.Особое место занимает неподвижный недеформируемый элемент, условно называемый «землей», с которым обычно связывают систему отсчета перемещений и для которого не требуется выполнение условий равновесия. Взаимодействие элементов системы с объектами, в систему не входящими, представляется в виде сил. Использование таких идеализированных объектов как «сила» и «земля» позволяет локализовать систему в среде неограниченного множества взаимодействующих объектов.При рассмотрении равновесия твердого тела (это основной объект исследования аналитической механики) достаточно знать, какие силы приложены к телу. При этом не требуется знать, какое движение получит тело, если равновесие будет нарушено. Но при исследовании других систем, отличных от неизменяемого твердого тела и состоящих из частей, взаимодействующих между собой, необходимо знать, какое движение произойдет при нарушении условий равновесия.Условие равновесия в таких случаях тесно связано с ее возможными перемещениями.Возможные перемещения определяются связями, а именно, теми геометрическими условиями, которые должны быть обязательно выполнены при движении. Это может быть требование, чтобы некоторая точка все
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ19время оставалась на определенной поверхности, или чтобы значение некоторого перемещения было равно заранее заданной величине (в том числе и нулю), или же, например, чтобы расстояние между какими-то точками оставалось неизменным и т.п. Важно при этом помнить, что речь идет о бесконечно малых перемещениях и лишь в случаях линейных систем возможные перемещения можно полагать конечными величинами.Бесконечно малые возможные, т.е. допускаемые связями, перемещения фигурируют в условиях равновесия системы.При этом предполагается, что все связи идеальные, не создающие трения и тому подобных сопротивлений. Такие связи не оказывают никакого препятствия возможным перемещениям. Они представляют собой некоторые механические устройства, заставляющие систему перемещаться вполне определенным образом за счет того, что действуют на систему возникающими в связях внутренними силами (реакциями связей).Вообще, внутренними называются силы, с которыми одна часть тела в каком-либо сечении действует на другую его часть. На основании закона действия и противодействия внутренние силы всегда попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Если левая часть тела действует на его правую часть силой R, то, в свою очередь, правая часть действует на левую силой -R.Точно таким же образом действуют и реакции связей, которые становятся видными, если представить себе связь разорванной (устраненной). Одна из пары компонент реакции действует на «землю», и ее воздействие никак не проявляется, другая — на конструкцию, и ее воздействие как раз и навязывает системе те перемещения, которые должны возникать или исчезать в силу наложенной связи.Об этом говорит и известный в механике принцип освобождаемости от связей: равновесие системы не будет нарушено и ее конфигурация не изменится, если связь устранить, заменив ее воздействие реакциейсвязи.	В курсах теоретической механики общее уравнение статики систем с идеальными двусторонними связями формулируется в виде следующегоначала возможных перемещений'	Необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сумма работ всех приложенных активных сил равна нулю на каждом возможном перемещении системы.Отличительным свойством реакций, развиваемых идеальными связями, является то, что сумма элементарных работ этих сил при любом перемещении точек их приложения, допускаемом связями, оказывается равной нулю. Это следует из указанного выше свойства парности сил, возникающих в связях. Поэтому в приведенной выше формулировке говорится только об активных приложенных силах и умалчивается о реакциях связей.При желании рассматривать трение в соединениях частей, нужно будет силу трения считать одной из внешних приложенных сил и присоединить ее
20ЦИКЛ 1к остальным внешним силам. Также нужно присоединить к ним и силы вязкости, силы упругости и т. д., если они действуют.Деформируемое тело можно рассматривать как некоторую изменяемую систему материальных точек, перемещения которых ограничены силами упругости. Если учитываются силы упругости явно, то формулировка начала возможных перемещений преобразуется:Необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сумма работ всех активных и реактивных сил равна нулю на любом перемещении системы.Здесь следует обратить внимание на то, что вместо возможных перемещений рассматриваются любые перемещения точек упругой системы, поскольку введя в уравнение работ силы упругости (внутренние напряжения) мы сняли связи, ограничивающие возможные перемещения каждой точки упругой системы.Нетрудно видеть, что из начала возможных перемещений следует и такой вывод:если система находится в равновесии, то это равновесие не нарушается введением новых связей, т.е. дополнительного стеснения ее возможных перемещений.В частности, с точки зрения начала возможных перемещений каждое уравнение равновесия представляет собою выражение того закона, что сумма работ активных сил для некоторого перемещения, дозволяемого связями, равна нулю. Но ведь можно применять эти же уравнения равновесия, если в упругом теле рассматривать такие же перемещения, как для твердого тела.Такая замена эквивалентна наложению дополнительных связей, которое естественно, не может нарушить равновесия тела. Это утверждение известно, как принцип отвердения.В теоретической механике указывается, что любую систему сил, приложенных к абсолютно твердому телу, можно заменить другой системой, статически эквивалентной первой, без нарушения равновесия тела. В строительной механике, рассматривающей деформируемые тела, заменять одну систему сил другой, статически ей эквивалентной, как правило, нельзя.Например, балка, подвергнутая воздействию двух сил (рис. 1.5,а), и та же балка, загруженная одной силой, представляющей собой равнодействующую указанных выше сил, изгибаются по-разному (рис. 1.15,6).&6)2РРис. 1.5
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ21Кстати, здесь можно вспомнить известную шутку: Равнодействующая действующего на плотину гидростатического давления есть сила, приложенная на высоте 1/3 уровня жидкости. Предлагается проделать в этом месте микроскопическое отверстие в плотине (настолько малое, что утечка воды будет несущественной). Сквозь это отверстие сосредоточенная сила улетит, и плотина не будет испытывать нагрузки от давления воды. Рассказывая эту байку, профессор К.С. Завриев просил студентов найти ошибки в рассуждениях.Вопрос:В формулировке начала возможных перемещений фигурируют только внешние активные силы. Но ведь в некоторых случаях воздействие на систему носит кинематический характер, например температурное воздействие. Как нужно поступать в этих случаях?Ответ:Принцип возможных перемещений формирует условия равновесия с использованием только перемещений твердого тела (системы твердых тел). Если связи системы не разрешают ей иметь такие перемещения, то нельзя к ней прямо применять уравнения равновесия твердого тела. Именно так выглядит случай температурного воздействия, когда наличие температурных удлинений частей системы не вяжется с предположением об недеформируемости твердого тела.Но тогда можно те связи, которые препятствуют указанным перемещениям, заменить силами и причислить силы связи (реакции) к внешним силам. Лишь тогда получается возможность применить к нашей системе уравнения равновесия твердого тела. Если же этого не делать, то мы придем к парадоксальному выводу, что работа внутренних сил тела, подверженного температурному воздействию, равна нулю (внешние силы здесь отсутствуют).Вопрос:В учебной литературе начало возможных перемещений используется для доказательства некоторых свойств системы. А можно ли с его помощью решать задачи о равновесии напрямую, без составления и решения уравнений равновесия?
22ЦИКЛ 1Ответ:В некоторых случаях прямое использование начала возможных перемещений позволяет получить решение задачи более простым путем, хотя следует отметить, что такие случаи не слишком часты и, что самое главное, здесь отсутствуют общие и формализованные приемы.В качестве примера приведем задачу из учебника А. В Даркова и Н. Н Шапошникова [4].Студенту предлагается убедиться в том, что система, изображенная на рис. 1.6, состоящая из шести дисков, пяти стержней и четырех одинаковых участков, геометрически неизменяема, а усилие в стержне 1-2 — растягивающее и равно 4Р (при числе участков, равном п, усилие в стержне 1-2 равно пР).Рис. 1.6Заменив связь 1-2 усилием S12 и освободив таким образом горизонтальное перемещение узла 1, сместим этот узел на величину А. Нетрудно заметить, что при этом все ячейки системы должны исказиться одинаковым способом и крайний левый узел сместится на величину «А. Теперь можно составить уравнение работ (/) лА)-(512 • А) = 0 и получить отсюда необходимое решение задачи.Вопрос:Сколько уравнений равновесия дает начало возможных перемещений?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ23Ответ:Согласно этому началу для равновесия необходимо и достаточно, чтобы, равнялась нулю сумма работ активных сил для всякого возможного перемещения системы. Следовательно, оно дает нам столько уравнений, сколько различных возможных перемещений может иметь система.Здесь нужно считать различными только те перемещения, которые не заменяются одни другими. Если, имея несколько различных перемещений, мы найдем еще перемещение, которое может быть заменено линейной комбинацией прежних, то это не будет принципиально новым перемещением. Оно не даст нового условия равновесия, а мы получим лишь уравнение, которое есть следствие других уравнений равновесия, выведенных для первоначальных различных перемещений.Одним словом, число уравнений равновесия определяется числом неприводимых возможных перемещений, или, иначе: числом степеней свободы системы.Здесь уместно напомнить тот факт что система бесконечно жестких тел (возможно связанных упругими пружинами) имеет конечное число степеней свободы, поскольку положение каждого точки такого тела однозначно определяется смещениями некоторой точки и поворотами вокруг координатных осей. В отличие от этого, деформируемое тело имеет бесконечное число степеней свободы (смещения любой его точки). Но если применить гипотезу о наборе некоторых заранее известных форм дефоромирования такого тела, то число степеней свободы будет равно числу параметров, определяющих эти формы. Например, предположив, что стержень может изгибаться только по форме синусоиды с одной или двумя полуволнами, мы увидим, что возможные перемещения определяются только двумя параметрами — амплитудными значениями этих синусоид.
24ЦИКЛ 1Беседа 1.3: Статические и кинематические уравненияЕсли воспользоваться классическим методом вырезания узлов, на которые действуют усилия примыкающих стержней Sj и внешние узловые нагрузки РГк (компонента узловой нагрузки г-го узла, направленная вдоль координатной оси к), то для пространственной шарнирно-стержневой системы, состоящей из п стержней и т узлов, можно записать условия равновесия в форме равенства нулю суммы проекций всех действующих на узел сил на координатные оси5:YJDrjCjkSj+Ргк= 0 (г = 1,.= 1,2,3).	(1.1)У=1Здесь через Dtj обозначены коэффициенты инциденций, которые равны единице, если стержень j примыкает к узлу г (инцедентен этому узлу) и равен нулю при отсутствии примыкания, а через Сjk обозначены косинусыугла наклона стержня j к координатной оси к. Структура этих уравнений показана в следующей таблице:S2.. sn1iD\ \С\ 1D\2C2\D\nCn\PuУзел 1, проекция на ось 11D\\C\2D\2C22D\nCn2P\2Узел 1, проекция на ось 22£>цС13D\2C2iD\nCnT,P13Узел 1, проекция на ось 33£*21 Сцd22c2\D2nCn\Pl\Узел 2, проекция на ось 14&2\С\2d22c22D2nCn2P 22Узел 2, проекция на ось 25D2\C\2,D22C2iD2nCn2>P23Узел 2, проекция на ось 36Dm\C\\Dm2.C2\DmnCn\P 21Узел /и, проекция на ось 13/72-2Вт\С\гDm2C22DmnCn2PllУзел w, проекция на ось 23/72-1AniCnDmlCnDmnCnlPl3Узел /я, проекция на ось 33/72После соответствующей перенумерации, связанной с введением нового индекса /=Н-т(к-1), что проиллюстрировано правым столбцом на рис. 1.3, и5	Гипотеза о прямолинейности стержней фермы дает основание считать ее степенями свободы только смещения узлов (положение концевых узлов фермы полностью определяет положение всех точек стержня). Отсюда следует вывод о необходимом количестве уравнений равновесия.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ25заменой произведения DrjCjk на А~, можно получить более компактную запись0	= (1.2)7 = 1Предположим теперь, что стержни фермы6 получили некоторые малые удлинения Xj (/=1,2,...,л), а узлы — совместные с этими удлинениями перемещения н, (/=1,2,...,3/и), и при этом в стержнях фермы возникли усилия Sj. Далее для сокращения записи мы будем использовать обозначение s=3m.Исходя из общего в механике принципа возможных перемещений, работа внутренних сил системы должна равняться работе приложенных к ней внешних сил:С1-3)7 = 1	1=1Если подставить в это равенство значения Pt из (1.2), то получиму =1	/=1 V 7 = 1	)	7=1 '=1откуда приходим к условиям кинематической совместности удлинений А,,- с узловыми перемещениями щ.\J=~YJuiAij (i = 1,2,(1.4)/ = 1Матрица коэффициентов этого уравнения является транспонированной с обратным знаком матрицей коэффициентов системы уравнений равновесия (1.2). Этот результат не случайный, он является общим для любых систем, рассчитываемых по недеформированной схеме, и справедливо следующее утверждение:При расчете по недеформированной схеме система линейных уравнений равновесия и система линейных кинематических уравнений, образуют двойственную пару, в том смысле, что:а)	неизвестные одной системы и свободные члены другой системы являются соответствующими друг другу обобщенными силами и обобщенными перемещениями;б)	матрица коэффициентов одной системы может быть получена из другой путем транспонирования с переменой знака.6	Шарнирно-стержневую систему часто называют фермой, хотя, следуя этимологии этого слова (французское ferme, от латинского firmus прочный), фермами следовало бы называть только прочные системы, независимо от их кинематического типа. Существует легенда, что эта конструкция названа в честь Пьера Ферма, но это не так, хотя фамилия великого французского математика возможно связана с понятием «прочный».
26ЦИКЛ 1На практике обычно строят ту матрицу, которую проще получить. Для стержневых систем чаще всего легче формулируются условия равновесия, и можно построить соответствующую матрицу коэффициентов, а кинематическая матрица получается транспонированием. Для континуальных систем иногда легче сформулировать условия совместности.В качестве примера рассмотрим ферму, изображенную на рис. 1.7. Для нее требуется найти удлинения стержней в том случае, когда узел получил перемещение А. Здесь очень легко составить уравнение равновесияisl+^.s2+I.s3+o-s4=o.Транспонируя матрицу-строку коэффициентов этого равенства, сразу же получимдТзА.,=Д;Я2=-я4=о.£Строго говоря, условия равновесия (1.2) следовало бы рассматривать применительно к деформированному состоянию системы (рис. 1.8,6), когда в уравнения войдут косинусы углов ф* (рис. 1.8,а). Эти углы учитывают перемещения А, которые определяются удлинений стержней А/, и, значит, в свою очередь зависят от усилий в элементах системы.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ27Рис. 1.8.В таком случае мы вынуждены констатировать, чтов системе, рассчитываемой по деформированной схеме, найти внутренние усилия лишь из уравнений равновесия невозможно {система статически неопределима).Действительно, в простом примере по рис. 1.8.в угол между стержнями недеформированной системы равен 2ср, а после деформирования 2ср*, а разность ф*-ср зависит от удлинения стержней.Для деформированной схемы уравнения равновесияS* sincp* - S*2 sincp* = 0; S* cosy + S*2 cosy -P = 0 приводят к решению^ =/y[2cos(p*] = pj 2^1-sin2 (p* J = p/ 2yjl-a2 /(I + AlfЕсли же приращением А/ можно пренебречь по сравнению с /, то усилие в стержне определяется формулойiSj = pj^2yjl - a2/12 J = Pj^2yJ1^ sin2 cp =/У(2созф),что соответствует расчету по недеформированной схеме, когда уравнения равновесия имеют видS] sinф - S2 sin ф = 0; S] cosф + S2 со8ф - P = 0 .Далее без специальных оговорок мы будем рассматривать уравнения равновесия, записанные для недеформированной схемы.Вопрос:Правильно ли я понял, что для расчета по недеформированной схеме достаточно, чтобы ожидаемые значения перемещений были малыми?
28ЦИКЛ 1Ответ:Это не совсем так. Дело в том, что сам термин «малые значения перемещений» является неопределенным до тех пор, пока не сказано по сравнению с чем малы перемещения. Скорее можно было бы говорить о малости изменения углов наклона стержней по сравнению с проектным положением (малость углов перекоса стержней).Но и этот признак не всегда срабатывает. В некоторых случаях важно учесть тот факт, что даже при малых значениях перемещений и перекосов внешние нагрузки, действующие на систему, могут вызывать заметный дополнительный момент. Простейшим примером может служить каркас высокого здания, когда при относительно небольших боковых смещениях значительные вертикальные нагрузки от собственного веса вызывают дополнительные изгибающие моменты в основании. Эти моменты могут быть определены лишь в расчетах по деформированной схеме. В англоязычной литературе это иногда называют Р-А эффектом.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ29Беседа 1.4: Свойства решенийПри выводе уравнений (1.2) и (1.4), кроме предположения о малости перемещений, никакие другие ограничения не вводились, поэтому эти уравнения справедливы для любого количества стержней п и узлов т, а также для плоского (к= 1,2) и пространственного (к = 1,2,3) случая. В связи с этим возникает вопрос о разрешимости полученных систем линейных уравнений, которым мы займемся далее.Если сопоставлять число неизвестных усилий п с количеством уравнений равновесия s=3m (числом степеней свободы), то, вообще говоря, возможны три случая (рис. 1.9): n<s, n=s и n>s, которые определяют конфигурацию матрицы коэффициентов уравнений равновесия (метка с) и уравнений совместности деформаций (метка к). Каждый из этих случаев рассмотрим отдельно, при этом ранг матрицы7 может быть полным, когда он равен меньшему из размеров матрицы, или неполным и матрица оказывается вырожденной. На схематических изображениях матриц коэффициентов, которые представлены около каждой схемы на рис. 1.9, главный минор, имеющий порядок г, затемнен.Количество неизвестных усилий меньше числа степеней свободы (n<s)В этом случае конструкция обладает недостаточным количеством связей, чтобы обеспечить ее неизменяемость и по сути является механизмом (рис. 1.9,а). Однако при r<s (рис. 1.9,6) подвижность этого механизма ограничена только бесконечно малыми перемещениями, поскольку для их развития нижняя цепочка из трех стержней должна испытать заметные деформации. Такую систему называют мгновенно-жесткой.Количество неизвестных усилий равно числу степеней свободы (n=s)Прежде всего, рассмотрим тот случай, когда система уравнений равновесия такова, что все внутренние усилия могут быть определены из нее однозначно при произвольных нагрузках Ри. Для этого, как известно из линейной алгебры, необходимо и достаточно, чтобы не только число уравнений равнялось числу неизвестных (п = s\ но определитель системы уравнений был бы отличен от нуля, или иначе г = s (рис. 1.9. в).Напомним, что рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов). Это то же самое, что и размер наибольшего из возможных не обращающихся в нуль определителей (главного минора), которые можно составить из элементов рассматриваемой матрицы.
30ЦИКЛ 1Системы, обладающие такими свойствами, являются статически определимыми. Если же для определения всех внутренних усилий уравнений равновесия недостаточно, то такие системы являются статически неопределимыми.	Эти свойства не зависят от того, выполнены ли элементы системы из линейно упругого (подчиняющегося закону Гука) или из физически нелинейного материала.а)	б)Шы 0шr<sд)r<sr<sе)ЕЩг=пж)ЕЮЩг<пElgг<пВ обоих случаях замечательными свойствами статически определимых систем являются:а)	возможность представить все внутренние усилия в виде линейных комбинаций только внешних нагрузок;б)	справедливость принципа независимости действия сил.Первое следует непосредственно из предположения о разрешимости системы линейных уравнений. Действительно, если система разрешима, то существует обратная матрицаЫ=[4Г.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ31через элементы которой выражаются все неизвестные — внутренние усилия:3 тSj=HaijPi (У =	(1.5)1=1Что касается второго свойства статически определимых систем, то справедливость его тоже вытекает из выражения (1.5). Следует отметить, что в общем случае систем из нелинейно-упругих элементов линейные выражения (1.5) относятся только к статически определимым системам, для систем статически неопределимых они не могут быть применены.Оставаясь в рамках предположения, что п = s, необходимо еще рассмотреть случай, когда система уравнений равновесия имеет равный нулю определитель, т.е. ее ранг г <s и решение (1.5) получить нельзя. В таких случаях механическая система является изменяемой (рис. 1.9.г) или мгновенно-изменяемой (рис. 1.9.<)).Отличительной особенностью мгновенно-изменяемой системы является то, что у нее, как и у мгновенно-жесткой системы, подвижность ограничена только бесконечно малыми перемещениями. В частности, развитию смещений системы, показанной на рис. 1.9Д мешает угол поворота центрально опорной стойки, который запаздывает по отношению к углам поворота крайних стоек.Количество неизвестных усилий больше числа степеней свободы (n>s)Система обладает избыточным числом связей и здесь, в свою очередь, могут быть рассмотрены две возможности:а)	ранг г матрицы [Д,] равен числу уравнений (г=п);б)	матрица [ Д, ] имеет неполный ранг (г < п).Как известно из линейной алгебры, в случае г=п (рис. \.9.е) однородная система линейных уравнений-ХЛМ;=0 =	(1-6)/=1может иметь только нулевое решение«,=0 =	(1.7)При этом система является статически неопределимой, поскольку количество неизвестных усилий превышает число степеней свободы.Если же г < п, то система (1.6) имеет, кроме тривиального решения (1.7), еще и ненулевые решения, т. е. изучаемая стержневая система допускает существование ненулевых узловых смещений ui без удлинений ееэлементов (все деформации X. = 0). Система является либо геометрическиизменяемой в силу неправильной структуры (лишние связи в одной части системы и отсутствие необходимых связей в другой части, как на рисунке 1.9.ж), либо мгновенно изменяемой (рис. 1.9л).
32ЦИКЛ 1В заключение заметим, что ограниченная подвижность мгновенно-изменяемых и мгновенно-жестких систем (их называют особыми системами) может быть исследована лишь на основе геометрически нелинейного анализа.Решения системы уравнений равновесияКроме вопроса о совместности системы уравнений равновесия следует еще рассмотреть вопрос о том, какой вид имеет решение системы (1.2). В линейной алгебре доказывается, что если ранг матрицы коэффициентов системы s уравнений с п неизвестными (s < п) равен г, то достаточно решить лишь те г уравнений, которые содержат главный определитель, относительно тех г неизвестных, коэффициенты при которых входят в главный определитель. Это решение дает выражение для г неизвестных в виде линейных функций остальных (п-г) неизвестных, значения которых остаются независимыми и совершенно произвольными, т. е. можно получить линейные соотношения типа:sj = IXА + Z bJtst (J = 1’-’г) •	(*-8)<х=1	Р=г+1Эта запись условно предполагает, что главный определитель содержится в первых г столбцах матрицы коэффициентов системы уравнений равновесия, а это означает, что уравнения равновесия могут быть записаны в формеX4'V I	(* = u,s) (i.9)j= 1	j=r+\и матрица [41 имеет обратную [а~] =	. С помощью этойобратной матрицы и находятся первые г усилий, т.е. получается условие (1.8), в котором0 = 1Из формулы (1.8) следует возможность существования (п-г)независимых самонапряженных состояний, т.е. таких наборов~ оО оО гтО	чвнутренних усилии Oj ,о2,...,ог, которые удовлетворяют уравнениямравновесия при нулевой внешней нагрузке.Очевидно, что в статически определимых системах нельзя создать ни одного самонапряженного состояния. Справедливость этого утверждения следует из того, что у статически определимой системы ранг матрицы г=п и, следовательно, количество самонапряженных состояний п-г = 0.Заметим, что в статически неопределимой системе могут найтись стержни, для которых в выражении (1.8) коэффициенты
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ33/>/(1 = 0 ( / = г + 1,/7), т.е. в этих стержнях не возникают усилия самонапряжения. Тогда вместо (1.8) будем, например, иметьsj = XаоД+ Z ЬЛ U=и-Оа=1	р=г+1sj=ia°jpa	u=t+\,...,n)а=1Усилия в стержнях с номерами j =	г могут определиться лишь изуравнений равновесия, т.е. эти стержни образуют статически определимую часть в целом статически неопределимой системы (рис. 1.10.д).Рис. 1.10.Естественно, что как у любой статически определимой системы, где исключение из ее состава хотя бы одного стержня превращает ее в механизм (рис. 1.7.6), аналогичным свойством обладают и указанная группа стержней. Это их свойство дало возможность назвать их безусловно необходимыми, в отличие от стержней с номерами р = г+1 п , которые могут быть удалены из системы без нарушения ее геометрической неизменяемости (рис. 1.10,в,г). Это так называемые лишние стержни, естественно, их «избыточность»
34ЦИКЛ 1относится только к функции обеспечения неизменяемости системы. Это не означает, что любая комбинация лишних стержней в количестве п-г (степень статической неопределимости) может быть удалена без нарушения неизменяемости (рис. 1.10.д).Вопрос:В стандартных учебниках строительной механики говорится о том, что изменяемые системы не могут использоваться в качестве конструкций. Означает ли это, что они приходят в движение при любой нагрузке?Ответ:Нет, не при любой. Имеются нагрузки, при действии которых геометрически изменяемая система сохраняет равновесие. Из бесчисленного множества возможных нагрузок можно выделить определенный класс равновесных нагрузок, таких, что под их воздействием геометрически изменяемая система находится в равновесии.Например, две равные и противоположно направленные силы, приложенные вдоль оси стержня, уравновешиваются в пределах этого стержня.РгСледовательно, всегда можно сконструировать нагрузку так, как это показано на рис 1.11, причем для любой линейной комбинации таких попарно равных сил полученная нагрузка будет относиться к классу равновесных.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ35Вопрос:Когда речь шла о безусловно необходимых стержнях отмечалось, что усилия в них можно найти только из уравнений статики. А если из уравнений статики можно определить не все усилия в стержне, а только некоторые — будет ли такой стержень безусловно необходимым?Ответ:Следует отметить, что понятие статической определимости в общем случае является относительным. В наиболее узком смысле оно применяется к какому-либо одному внутреннему усилию. Если какое-либо внутреннее усилие может быть определено только из условий равновесия, то это усилие можно назвать статически определимым.Например, в балке, схема которой показана на рис. 1.12 из уравнений статики можно найти изгибающие моменты, но нельзя определить продольные силы, для их вычисления понадобиться воспользоваться еще и условиями совместности деформаций.Итак, можно говорить о статической определимости относительно какой- то группы усилий. Так если реакции связей, соединяющих систему с землей, могут быть определены из условий равновесия, то говорят, что система внешне статически определима (правильнее было бы говорить о статической определимости относительно реакций).Вопрос:Можно ли говорить о степени статической неопределимости нестержневой системы, например пластины?
36ЦИКЛ 1Ответ:Задачи расчета континуальных систем (пластин, оболочек, трехмерных тел) статически неопределимы и, как правило, степень их статической неопределимости бесконечна. Их конечномерное описание (например, с помощью метода конечных элементов) является приближенным. Об этом мы будем говорить в следующих беседах.Но из упомянутого правила бывают исключения, одно из них мы продемонстрируем. Для этого рассмотрим тканевую оболочку (рис. 1.13), образованную двумя семействами нитей, которые лежат в плоскостях параллельных координатным плоскостям X0Z и Y0Z, а поверхность оболочки описывается уравнением4/УУстановим, может ли существовать такая форма оболочки без внешней нагрузки, и если да, то какое преднапряжение она допускает. Для этого рассмотрим однородные уравнения равновесиядх= 0;ду	а	ЪРис. 1.13.Из первых двух уравнений вытекает= о, = ст,(*)> а это значит, что третье уравнение может быть удовлетворено лишь при условии
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ37—а =—а = Са2 *	vоткудаСа2 СЬ2 а =	; а =	.X	/'	//1	J1Таким образом, оболочка с указанной геометрической формой может существовать, допуская найденное поле преднапряжений, которое определено с точностью до произвольной постоянной С. Тот факт, что решение однородных уравнений равновесия содержит одну произвольную постоянную, говорит об однократной v статической неопределимости рассмотренной системы. Этот абсолютно неочевидный результат был получен в работе В.Н. Гордеева [3].Вопрос:Изменяемость или неизменяемость представляется в форме черно-белой логики «да - нет». А есть ли некоторые промежуточные характеристики системы? Можно ли говорить о системах почти изменяемых?Ответ:Да, конечно. Когда мы говорили о разрешимости уравнений равновесия или совместности деформаций и определяли свойства их решений, то оперировали понятием вырожденности (равенства нулю детерминанта системы).Но формально неравный нулю детерминант может оказаться очень малым, и система будет вести себя, как «почти изменяемая».В качестве примера можно рассмотреть простую статически определимую систему, показанную на рис. 1.8. Если угол ф близок к 90°, то система ведет себя как почти изменяемая, Вертикальное перемещение узла А связано с удлинением стержня X условием Д = ^/со8ф и стремится к бесконечности даже при малых удлинениях стержней (естественно, что речь идет об анализе линеаризованной системы).Следует отметить, что классическое определение изменяемости как свойства системы иметь перемещения узлов, не вызывающие деформаций ее элементов (перемещения как жесткого механизма), было обобщено Ю.Б. Шулькиным Г121 и заменено следующим:Система считается изменяемой, если она допускает малые ненулевые перемещения, при которых деформации элементов, если _ 	и отличны от нуля, то являются малыми более высокого порядка.fas■ж
38ЦИКЛ 1Таким образом, логика кинематической классификации перестала быть черно-белой и обогатилась механизмом сопоставления порядков малости перемещений и деформаций.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ39Беседа 1.5. Сопоставление свойств статически определимых и неопределимых системС понятием о статической определимости или статической неопределимости студента знакомят уже в самом начале обучения строительной механике, и затем довольно быстро переходят к изложению способов раскрытия статической неопределимости, ориентируясь в основном на технику выполнения расчетов.При этом в стороне остаются некоторые вопросы общего характера, на которых следовало бы остановиться более детально. Упомянутый в предисловии вопрос о возможности предварительного напряжения статически определимой системы как раз и относится к числу такого рода «пропущенных проблем».Мы не будем здесь излагать подробности, касающиеся технологии составления классических уравнений метода сил или метода перемещений, полагая, что этот материал достаточно прочно вбит в голову читателя той системой «натаскивания», которая характерна для современного инженерного образования.Изложение иллюстрируется анализом очень простых шарнирно¬ стержневых систем, как это сделано в учебнике А.П. Филина [11], откуда заимствованы приводимые примеры. Но все выводы могут быть отнесены к произвольным стержневым системам, а также и к континуальным системам, если они рассматриваются в конечно-элементном приближении.Распределение усилий. Рассмотрим простую схему, показанную на рис. 1.14, предполагая, что площади поперечных сечений стержней А\=А2= Аз и модули упругости Е\=Е2= Ез
40ЦИКЛ 1Рис. 1.14Уравнения равновесия имеют вид-5, sin а + S2 sin а = 0; - S', cos а - S3 - S2 cos а + P = 0.Условие кинематической связности записывается в видеAl{ = A/3cosa .Запишем физические уравнения, определяющие соотношение между удлинениями стержней и усилиями в нихд/^^ДМ); д/, = $,/3/(М0.и с их помощью выразим условие совместности деформаций через усилия:S,/,/(£, Л,) = S3/3 cos а/( Е3Л3).С учетом того, что /3 = /, cos а , имеемS] =[£'14/(£,34)]53cos2a, что дает возможность получить значения всех усилий:Mcos2a/(£34)1	2 ’ \+ 2ЕХА,cos1 а/(Е^АгУS =Р	13 1 + 2ElAi cos2 а/(Е3А3)Отсюда видно, что в статически неопределимой системе усилия зависят от соотношений жесткостей элементов системы. При этомчем относительно жестче элемент статически неопределимой системы, тем большую долю внешней нагрузки он воспринимает на себя.Роль увеличения жесткости. Полезно рассмотреть, как влияет изменение площади поперечного сечения условно необходимого стержня фермы на усилия (изменение сечения абсолютно необходимого стержня никак не сказывается на распределении усилий).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ41Чтобы выполнить такой анализ, представим себе, что исследуемый стержень, имеющий длину / и площадь поперечного сечения А, перерезан, а его воздействие на систему заменено усилиями X (рис. 1Л 5).Для определения усилия X можно использовать уравнение метода сил, смысл которого, как известно, состоит в том, что в действительности изменение расстояния между краями нашего воображаемого разреза равен нулю:где перемещения по направлению исследуемого стержня 5П (от действия силы Х=\) и Ь1Р (от действия нагрузки) вычислены в системе с одним удаленным стержнем и эта система, возможно, еще оставалась статически неопределимой. Отсюда находимЗаметим, что перемещение 5,, можно представить в виде суммы двухвеличин: сближения концов стержня Д и удлинения (укорочения) самого стержня, т. е.Анализ этой формулы позволяет прийти к двум важным выводам:а)	при постепенном увеличении площади поперечного сечения (вплоть до бесконечности) усилие в исследуемом стержне асимптотически стремится к конечному пределу Ха = -81Р/Д;б)	никаким изменением площади поперечного сечения стержня нельзя добиться изменения знака усилия в нем.Рис 1.15.5,	\Х + р — 0 ,А + 1/ЕАМонтажные усилия. Если какой-либо элемент статически определимой системы изготовлен неточно, то при сборке такой системы искажается ее
42ЦИКЛ 1конфигурация, но в элементах усилия не возникают. Соответствующая иллюстрация представлена на рисунке 1.16, где рис. 1.16,а показывает проектный вид системы, а рис. 1.16,6 — ее фактический вид (штриховая линия) после сборки при условии, что длина правого стержня меньше проектной на 8.а)	б)В случае же статически неопределимой системы в такой ситуации возникают так называемые монтажные усилия, которые являются самоуравновешенными, т. е. существующими при отсутствии внешней нагрузки.На рис. 1.17,а показана схема системы, у которой длина стержня 2 оказалась меньше проектной. На рис. 1.17,6 — вид системы после соединения элементов в нижнем узле (штриховая линия) и на рис. 1.17,г — узел и — картина самоуравновешенных усилий, возникающих в элементах фермы в результате монтажа.я)б)г)\ ? /Для определения величин этих усилий используем наряду с уравнениями равновесия2S,1coscp = S,2 5 = Д/2 + А/, / cos а
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ43уравнение совместности деформаций 8 = А/2 + Alx / cos а . Учитывая, чтоА/, = iSj/j / ЕАХ; Al2=S2l2/EA2, получаем уравнение совместности деформаций, выраженное через усилия:8 = S2l2l Е^ + Sj/, /(^Ц cos а).Решая это уравнение совместно с уравнениями равновесия, получаем значения монтажных усилий	-	•' [/2 cosa /(£, А,)][l / cos3 a + 2ЕЛ, / (Е3Л3)] ’5 		28	2	[/2 /(Е,Л, )][l/cos3 a + 2ЕЛ, /(Е3А3)]Подчеркнем, что, согласно рис. 1.17, усилия Si и S3 — сжимающие, а S2 — растягивающее.Температурные усилия. Если в статически определимой системе возникает неоднородное поле температурных приращений по сравнению с температурным полем, при котором совершен монтаж системы (температурой замыкания), то происходит изменение конфигурации системы, но усилия в элементах не возникают (рис. 1.18,а). В случае же статически неопределимой системы в такой ситуации возникают так называемые температурные усилия, являющиеся самоуравновешенными (рис. 1.18,6).Уравнения равновесия и физические уравнения имеют тот же вид, что и при определении монтажных усилий, а совместность деформации выражается уравнением:/3aAf = А/3 + А/, /cos(p .
44ЦИКЛ 1Тогда уравнение совместности деформаций, выраженное через усилия, записывается так:/3аА/ = 5*3/3	) + *Vi A c°s<p) •Решая совместно статические, кинематические и физические уравнения, получаем температурные усилияS,=S,=aA>	М,с°»гФ ч,2cos ф + £'зЛз/(£1^|) Е,А, cos3 ф 53 = a At	г-^-2	f	 2cos <$ + ЕгАгj(ExA^)Отсюда видно, что температурные усилия зависят от степени неоднородности поля температурных приращений.Действительно, если бы в ферме при А\ = Л2 = Л3 = А, Е\= Е2 = Еъ= Е все три стержня были нагреты на одно и то же число градусов, то усилия в стержнях не возникли бы вовсе — изменение длины среднего стержня не встретило бы стеснения со стороны крайних стержней.Усилия от смещения опор. В статически определимой системе в случае относительного смещения опор, произошедшего по той или иной причине, возникает изменение конфигурации, но оно не сопровождается появлением усилий в элементах. Примером может служить система, показанная на рис. 1.19,а. В статически же неопределимой системе (рис. 1.19,6) в аналогичной ситуации (например, при опускании опорного узла среднего стержня на А) в элементах возникают самоуравновешенные усилия.Уравнения равновесия и физические уравнения имеют тот же вид, что и при определении монтажных усилий, а совместность деформации (рис. 1.19) выражается уравнением:А/х = (А - А/3) cos а.а)	б)Рис. 1.19
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	45Решая совместно уравнения равновесия, физические уравнения и условие совместности деформаций, получаем значения внутренних усилийс с A ЕА coscp с А ЕА cos2 i^>	х1“ 2— ~Г'Т ^ 2 \ ’ 3 ~“Г*lx (l + 2cos2(p) 3 l\ (l + 2cos2cp)Здесь, как и выше, мы имеем дело с системой самоуравновешенных усилий, характерных только для статически неопределимых систем. В статически определимых системах такие усилия не возникают.
46ЦИКЛ 1Беседа 1.6. Повторение — о методе сил и методе перемещенийВ этой беседе мы приведем описание классических методов строительной механики, оперируя векторно-матричной символикой. Такой способ изложения является сегодня общепринятым, и автор заранее просит извинения у тех читателей, которым для восприятия потребуется восстановить в памяти простейшие математические понятия.Впрочем, они могут пропустить этот раздел, поверив на слово, что его выводы являются обоснованными (правда, потеряв некую долю возможности критического подхода к нашим утверждениям).Будем рассматривать достаточно общую систему. Мы будем пока что предполагать, что она содержит некоторое вполне определенное количество узлов, к которым примыкают упругие элементы.Элементы системы считаются присоединенными только к узлам расчетной схемы, друг с другом непосредственно они не соединяются. Указанная особенность построения расчетной схемы часто не всегда видна и при использовании традиционных способов изображения расчетной схемы, и тогда появляется мутная тема «кратности шарниров» в анализе кинематических свойств.Например, расчетная схема, показанная на рис. 1.20,а в традиционной форме, может навести на мысль о непосредственном соединении элементов одного с другим, в то время как более детальное изображение на рис. 1.20,6 позволяет избежать такого заключения. Заметим также, что в детальном изображении видны и другие особенности реализации расчетной схемы, в частности, возможность выполнения одинаковых кинематических условий с использованием различных наборов связей (сравните разные способы описания опорных узлов на рис. 1.20).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ47Ь)123456Рис. 1.20.Если не вникать в подробности, то всякий элемент системы может характеризоваться некоторым набором внутренних перемещений (или, если угодно, деформаций) и* и соответствующих им внутренних сил (усилий) se. Здесь и далее нижний индекс е подчеркивает принадлежность индексируемой величины отдельному конечному элементу.Векторы и* и se в рассматриваемом здесь случае линейно-упругой системы связаны друг с другом законом состояния (физическим законом), выражаемым равенствомс симметричной положительно определенной (следовательно, невырожденной) матрицей ¥е Последнее предполагает, что любой, отличный от нулевого, вектор внутренних перемещений и* вызывает деформирование конечного элемента (изменение его формы и/или размеров), сопровождающееся накоплением строго положительной внутренней энергии в элементе. Это означает, в частности, что вектор ие не содержит форм перемещений конечного элемента как жесткого тела. Именно поэтому терминологически допустимо отождествлять, как это сделано выше, внутренние перемещения именно с деформациями конечного элемента.Перемещения Ue концевых точек элемента связаны с перемещениями узлов и условиями совместности деформацийгде de— векторы кинематических воздействий, заданных на элементах системы (например, температурные удлинения), а усилия se удовлетворяют условиям равновесияSe=FeUe(1.10)Ue = Q/u + de,QeS^ р.Для системы в целом полный набор уравнений, определяющих ее работу имеет вид::
48ЦИКЛ 1уравнения равновесия	Qs = р,геометрические уравнения .. А = QTu + d	(1.11)физические уравнения	s = FDотносительно неизвестных s, А и и.Переход от неизвестных ие и se связан с перенумерацией, он реализуется так называемой процедурой ассемблирования (сборки) и является в достаточной мере формальным.Размерности «сведенных» векторов s, A, d одинаковы и равны суммарному по системе числу т — количеству внутренних неизвестных сил. Размерности векторов и и р также одинаковы и равны общему числу узловых неизвестных перемещений п. Матрица уравнений равновесия Q имеет размерность пхт. Квадратная симметрическая матрица F порядка т имеет блочно-диагональную структуру, число ее блоков равно количеству элементов, размер каждого блока — количеству внутренних неизвестных соответствующего элемента. В частности, для ферм матрица F будет диагональной.Метод перемещенийЕсли, как это принято в методе перемещений, в качестве основных неизвестных принять узловые перемещения и, то следует исключить из(1.11)	векторы s и А. Для этого их значения из второго и третьего уравнений(1.11)	подставляются в первое уравнение, и мы получимQFQTu = р - QFd .Число неизвестных компонент п вектора перемещений и называют степенью кинематической неопределимости системы, а квадратную матрицуК = QFQT—	матрицей жесткости системы. С ее помощью разрешающие уравнения записываются в формеKu = р - QFd .	(1.12)Из (1.12) получаеми = К~‘(р - QFd),	(1.13)а усилия в элементах вычисляются по формулеs = F(QTu + d) = FQTK“*p + (I - FQTK_1Q)Fd ,	(1.14)и этим завершается определение параметров напряженно-деформированного состояния системы.Проиллюстрируем все сказанное примером простейшей системы, схема которой показана на рис. 1.21.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ49p>JrК/5 *? ЦРис. 1.21.Матрица Q уравнений равновесия для этой конструкции имеет вид -1 0 0 0,7071 0 0 0 1 0,7071 0 0 1 0 0 0,7071 0 0 1 0 0,7071Если жесткости всех элементов EFj (/ = 1, ..., 5) считать одинаковыми, тоF = (EF/a )1	0 0 0	о0 10 0	о0 0 10	оООО 0,7071	О0 0 0 0	0,7071Матрица жесткости, вычисленная как К = QFQ будет равна1,3536	0,3536	О	О0,3536	1,3536	0	1О	0	1,3536	0,3536О	1	0,3536	1,3536К = (EF/a)Обращая эту матрицу и используя (1.13), получим вектор узловых перемещений в видеГм,«2-(а/EF)«3|_и„_0,88450,55780,11550,4422'Pil0,55782,13560,44221,6933Pi0,11550,44220,88450,5578Pi0,44221,69330,55782,1356.Р*\
50ЦИКЛ 1Вектор внутренних сил s получим из (1.11) в видеsl"'0,88450,55780,11550,4422s20,11550,44220,88450,5578S1= (EF/a)0,11550,44220,11550,4422S40,16330,78870,16330,6253S5_0,16330,62530,16330,7887A]Pi•РъPaМетод силВозможен и второй путь решения — на основе метода сил. Здесь важную роль играют такие характеристики, как уже упоминавшийся ранг г матрицы равновесия Q и степень статической неопределимости системы к, связанные следующим соотношением г = rank Q , к = т - г.В соответствии с (1.8) общее решение уравнений равновесия Qs = p представляется в форме8s = Ах + Вр.	(1.15)На математическом уровне первое слагаемое в правой части (1.15) представляет собой общее решение соответствующих однородных уравнений равновесия, а второе слагаемое — частное решение неоднородных уравнений. Все столбцы матрицы А линейно независимы, образуя так называемую фундаментальную систему решений однородных уравнений с матрицей Q; таким образом, ранг А равен к — степени статической неопределимости системы.Заметим, что решение (1.8) предполагает возможность задания усилий, Sp в некоторых стержнях с номерами р = г +1. Но чтобы можно былозадавать внутренние усилия , стержни с этими номерами должны бытьразрезаны, поскольку задать можно лишь внешние, а не внутренние силы. Следовательно, уравнения (1.8) могут быть отнесены к системе, у которой часть стержней (в количестве равном ее степени статической неопределимости) разрезана. Такую систему называют основной системой метода сил.Таким образом, матрица А размерами тхк — матрица усилий в основной системе метода сил от действия единичных значений неизвестных х, количество которых равно к, а матрица В размерами тхп — матрица усилий в основной системе от единичных значений узловых нагрузок. Эти две матрицы таковы, чтоQA = 0 , QB = I.	(1.16)8 Сравните с (1.8)
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ51где 0 — прямоугольная нулевая матрица размерами пхк, I — единичная матрица порядка п.Если вновь обратиться к примеру однократно статически неопределимой системы по рис. 1.17, то для нее можно принять1'-1100 1100-1-11, в =0000-1,41420-1,414200|_—1,4142_0001,4142 JНетрудно убедиться в том, что условия (1.16) выполняются для этих матриц, что подтверждает правильность их построения.Исключая из геометрических уравнений группы (1.11) деформации А с помощью физических уравнений, получим связь между вектором внутренних сил s и вектором внешних перемещений и в формеF*s - QTu = d,откуда после подстановки (1.15) получаемF~!Ax - QTu = d - F*Bp.Умножая это равенство слева на Ат, получаемАV Ах - ATQTu = ATd - AVBp.	(1.17)В силу первого из условий (1.16), аннулируется второй член в левой части (1.17). Вводя матрицу податливостиD = АТГ'Амы приходим к разрешающему уравнениюDx = ATd - АтГ'Вр.	(1.18)Из этого уравнения следуетх = D”'(ATd - AVBp).	(1.19)Внутренние усилия вычисляются после подстановки (1.19) в (1.15), чтодаетs = AD"1 ATd + (I - AD 'ATr'jBp.Этим завершается расчет по методу сил.
52ЦИКЛ 1В университете нас учили совсем по-другому. Там канонические уравнения метода сил получали из условия отсутствия перемещений в тех разрезах, которые были введены при переходе от рассчитываемой схемы к ее основной системе. Как все это вяжется?Ответ:Физический смысл разрешающих матричных уравнений (1.12) и (1.18) можно увидеть, если внимательно рассмотреть цепочку приведенных выше преобразований.При выводе уравнений метода перемещений значения усилий из третьего уравнения (1.11) и узловых перемещений из второго уравнения (1.11) подставляются в первое уравнение, которое являлось условием равновесия.Следовательно, метод перемещений оперирует с условиями равновесия, и его разрешающие уравнения выражают именно это условие.Теперь рассмотрим какое-нибудь, например ое, уравнение из системы(1.12), полагая для простоты, что имеются только силовые воздействия, а вектор d равен нулю.KnU\ + Ki2u2 +... + KiJuj.. + Kinun2 -pt =0.	(1.20)Каждое слагаемое этого уравнения типа К^и . представляет собой усилие вызываемое неизвестным перемещением , а создать в системе некотороеузловое перемещение можно лишь в том случае, когда на систему наложена соответствующая связь, т.е., как и в классическом объяснении, речь идет о системе с наложенными дополнительными связями — основной системе метода перемещений. Само же условие (1.20) говорит, что суммарное усилие в i-ой дополнительной связи равно нулю поскольку в реальной конструкции такая связь отсутствует.Для уравнения метода сил внутренние усилия, полученные из уравнений равновесия в форме (1.15), после исключения узловых перемещений (это сделано с помощью физических уравнений) подставлялись в геометрические уравнения группы (1.11) и, следовательно, окончательная разрешающая система выражает условие совместности деформаций.Нетрудно заметить, что каждое из уравнений (1.18) говорит об отсутствии перемещений в тех разрезах, которые были сделаны в «лишних» стержнях при построении основной системы метода сил.Полезно обратить внимание на то, что традиционное изложение канонических методов расчета статически неопределимых систем в явном виде не использует записи общих уравнений (1.11), так как это делается в теории упругости.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ53Например, уравнения равновесия в методе сил в явном виде никак не записывались, хотя в неявном виде они и использовались при построении эпюр в основной системе метода сил. Для всей системы в целом удовлетворялись косвенно через построение эпюр в основной системе метода сил. Аналогично обстоит дело и с методом перемещений. Здесь уравнения совместности деформаций подразумеваются и удовлетворяются косвенно при определении единичных реакций в основной системе метода перемещений. Этих недостатков лишен способ построения канонических уравнений на основе преобразования общей системы (1.11).И, наконец, полезно указать на то, что основные методы строительной механики двойственны и взаимно дополняют друг друга. Для метода сил^например, справедливо утверждение:	из всех статически возможных решений для решаемой задачи действительным будет то, которое удовлетворяет условиям совместности деформаций, т. е. каноническим уравнениям метода сил.В методе перемещений вышеприведенному утверждению соответствует двойственное утверждение: из всех кинематически возможных решений для данной задачи действительным будет то, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, то есть каноническим уравнениям метода перемещений.	Вопрос:При выводе формул использовались обратные матрицы. А откуда следует, что можно обратить матрицу жесткости К или матрицу податливости D?Ответ:Эти матрицы определяются произведениямиК = QFQT, D = ATF_1A,в которых средний член связан с невырожденной матрицей связи между напряжениями и деформациями. Поскольку ранг матрицы определяется рангом ее сомножителей, то нам следует рассмотреть матрицы Q и А.Для метода сил матрица податливости D не вырождена, если ранг матрицы А равен числу ее столбцов к . Выше отмечалось, что все ее столбцы линейно независимы, что является условием геометрической неизменяемости системы.Аналогично, для метода перемещений матрица жесткости К не вырождена, если ранг г матрицы Q равен числу ее строк, что соответствует случаю геометрически неизменяемой системы.
54ЦИКЛ 1Итак, у геометрически неизменяемой системы матрица жесткости и матрица податливости не вырождены.	Вопрос:Вы сказали о неизменяемости, как об условии разрешимости уравнений метода сил или метода перемещений. А что происходит в случае «почти изменяемости»?Ответ:Общепринятой характеристикой качества системы линейных алгебраических уравнений является так называемая обусловленность матрицы коэффициентов. Плохо обусловленная матрица обладает тем свойством, что даже очень малое изменение значений ее компонентов может привести к заметному изменению решения соответствующей системы уравнений.В качестве примера плохо обусловленной системы линейных уравнений можно привести такую:7 108 7681095791023*232*333*4.3lJЕе решение Ari=Ar2=Ar3=Ar4 =1, но если изменить значение первого коэффициента в первом уравнении с 5 на 4,99, то получим такое решение: Хх=6, Х2=-2,17, Хз=0,28 и Х4 = 1.32.В линейной алгебре доказывается, что плохо обусловленная матрица имеет большое значение числа обусловленности, которое равно отношению наибольшего собственного значения к наименьшему.При решении задач расчета «почти изменяемых» конструкций мы как раз и сталкиваемся с плохой обусловленностью разрешающих уравнений. Например, известно, что плохо обусловленные матрицы жесткости часто появляются в тех случаях, когда в одном узле расчетной модели сопрягаются элементы с резко отличными параметрами жесткости. Покажем на простом примере, как можно интерпретировать такую ситуацию в терминах механики [7].На рис. 1.22 показана формально неизменяемая система с двумя степенями свободы, матрица жесткости которой имеет вид1	+ а -1 "-1 1 + аК = кСобственные числа этой матрицы Х\ = а; Х2 = 2 + а, а число обусловленностиH=k2/ki = 1 + 2/а.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ55При большой жесткости средней пружины по сравнению с жесткостью крайних пружин параметр а мал и число Я становится большим, что говорит о плохой обусловленности и возможной потере точности при решении уравнений с такой матрицей.Нетрудно заметить, что механическое поведение рассматриваемой конструкции приближается к поведению изменяемой сиЬтемы. Действительно, возможно перемещение средней пружинки как жесткого тела при пренебрежимо малом сопротивлении крайних пружинок. Их реакция ввиду приведенного соотношения жесткостей вызывает ничтожное сопротивление такой деформации и компоненты напряженно- деформированного состояния могут быть вычислена неточно при решении уравнений, когда в игру вступают, ошибки округления.Если же изменить соотношение жесткостей на обратное (крайние пружины жесткие, средняя — податлива), то матрица жесткости будет иметь число обусловленности Я * 1. В узле снова сходятся элементы с резко отличными жесткостями, но матрица жесткости хорошо обусловлена и соответствует теперь упругой конструкции (средней пружинке), присоединенной к земле практически недефоомиоуемыми связями.В тех случаях, когда в одном узле расчетной модели сопрягаются элементы с резко отличными параметрами жесткости, возможно (но не обязательно) заметное снижение точности расчетов.
56ЦИКЛ 1Беседа 1.7. Предварительное напряжение системыВыше уже говорилось о возможных самонапряженных состояниях статически неопределимой системы. При этом само понятие самонапряжения, т.е. такого самоуравновешенного напряженного состояния системы, которое возникает без нагрузки, возникало, как следствие решения уравнений равновесия {см. формулу (1,8)}.Но к реальному процессу создания самонапряженного состояния мы пришли, рассматривая случаи температурного нагружения, а также случаи монтажных усилий или усилий от смещения опор. Последние два варианта возникновения самоуравновешенных усилий самонапряжения могут быть использованы сознательно с целью искусственного регулирования усилий.Идея активного вмешательства в работу конструкции путем создания предварительного напряжения восходит к далеким временам. Ее использование, можно увидеть в сооружениях из дерева, железа, камня, бетона, а в последнее время и в пластических материалах. Часто предварительное напряжение применялось неосознанно, да и сейчас имеется множество предварительно напряженных предметов, предварительное напряжение которых мы не замечаем. Достаточно указать на деревянные бочки, стянутые обручами, или на зонтики из гибкого шелкового материала, который натянут подпружинеными спицами.В наше время предварительное напряжение стало одним из рабочих инструментов инженера и ему уже недостаточно полагаться только на эмпирику, а требуется более детальный анализ возможностей преднапряжения.В первую очередь следует помнить, что число различных линейно независимых вариантов самонапряженного состояния системы равно степени ее статической неопределимости.Означает ли это, что этому же числу равно количество способов создания предварительного напряжения? Безусловно, нет. Например, у двухпролетной однажды статически неопределимой балки (рис. 1.23,я) может существовать только одна форма эпюры самоуравновешенных моментов (рис. 1.23,6). А добиться ее реализации можно подъемом средней опоры (рис. 1.23,в), опусканием любой из крайних опор (рис. 1.23,г), заданием изгибающих моментов с помощью домкрата, который действует на конструкции, пока не будет выполнено замоноличивание среднего шарнира (рис. 1.23,<3), и другими способами.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ 	57Учитывая, что интересующие нас состояния самонапряжения могут быть созданы путем температурного воздействия, а последнее эквивалентно некоторым заданным удлинениям стержней, можно представить себе, что некоторые из стержней снабжены регуляторами длины, с помощью которых можно создавать предварительное напряжение системы. Этот прием также используется на практике.*1«►		1Рис. 1.23.В рассмотренном выше примере распределение усилий самонапряжения единственно. Если же система является многократно статически неопределимой, то имеется возможность разнообразить это состояние, но не выходя за определенные рамки. Эти рамки определяются некоторым базисным набором из т линейно независимых состояний самонапряжения (т — степень статической неопределимости)O20t,...,S£ (* = !,.•.,»*).	(1-21)Все прочие возможные состояния самонапряжения являются их линейными комбинациями, т.е. алгебраическими суммами базисных значений, взятых с числовыми коэффициентами:y=tcX (j=-h:~,r).	(1.22)к=\Подбирая коэффициенты с*, можно получить различные распределения усилий S°j , но и только. И если, например, во всех элементах набора (1.21)для какого-нибудь стержня с номером а значение S^ = О {к = 1,...,т) , тоникакими ухищрения создать ненулевое предварительное напряжение в этом стержне не удастся. Нетрудно сообразить, что такими будут все безусловно необходимые стержни.
58ЦИКЛ 1Сам набор (1.21) проще всего получить следующим образом. В системе удаляются лишние связи, так как это делается при создании статически определимой основной системы метода сил. В каждой отброшенной связи (в разрезе элемента) вводятся неизвестные силы, и расчет на каждую из них дает один из комплектов самоуравновешенных усилий из набора (1.21Исключение лишних связей, превращающее статически неопределимую систему в статически определимую, может быть выполнено различными способами, однако число отбрасываемых связей всегда будет одно и то же и равно степени статической неопределимости т.В качестве примера рассмотрим схему, представленную на рис. 1.24.Система дважды статически неопределима и в табл. 1.1 показаны два варианта усилий самонапряжения, полученные указанным выше способом	Таблица 1.1$	515253545556575859 S100,0000,0005,3330,0004,0000,000-6,6670,0000,0000,000X2Xx1,3330,000-2,667-1,333-1,000-1,0001.6671.667 1,000 0,0000,000-0,8000,000-0,800-0,600-0,6001,0000,0000,0000,0002.6672.667 0,000 0,000 4,000 0,000-3,3330,000-3,333-2,000Xx-0,500-0,5001,0000,0000,0000,000-0,6330,0000,6330,310X20,000-0,8000,000-0,800-0,600-0,6000,0001,0001,0000,000В общем случае можно себе представить различные способы отбрасывания лишних связей при преобразовании статически неопределимой системы в статически
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ59определимую. При этом возникают различные состояния самонапряжения, но все они могут быть получены друг из друга линейными преобразованиями. Например, для дважды статически неопределимой системы, показанной на рис. 1.25,а, легко получить пару состояний самонапряжения (рис. 1.25,б,в), а состояние самонапряжения, изображенное на рис. 1.25,г, получается как разность состоянийВыскажем одно полезное замечание — усилия в статически неопределимой системе, подверженной температурному воздействию, представляет собой только линейную комбинацию возможных самонапряженных состояний. Именно с помощью деформаций, вызванных усилиями самонапряжения, независимые температурные деформации отдельных элементов системы дополняются до состояния, в котором реализуются условия кинематической связности.И вообще, если обратиться к стандартному описанию метода сил, когда через выбор значений усилий в «лишних» связях (значений параметров самонапряжения) реализуются условия замыкания разрезов, введенных в конструкцию при создании основной системы, то становится понятным, что именно усилия самонапряжения играют основную роль в обеспечении условий кинематической связности системы.Вопрос:В том, что было сказано, усилия самонапряжения возникали «самостоятельно и автоматически» под влиянием нагрузок или других воздействий, приложенных к системе.А возможно ли создать эти усилия искусственно так, чтобы они были отличными от получаемых автоматически.Ответ:Имеются способы искусственного регулирования напряженного состояния системы, но как раз это может быть лишь линейной комбинацией возможных усилий самонапряжения.Сам процесс цредварительного напряжения часто связан с последовательностью операций при создании системы, когда в том или ином порядке могут выполняться работы по установке и удалению некоторых элементов, изменению некоторых связей и т.п.Такие операции над расчетной схемой выполняются всегда в процессе строительства и приводят к замыканию в системе некоторого напряженно- деформированного состояния, которое может существенно влиять на работу конструктивного комплекса [7].
60ЦИКЛ 1Предварительное напряжение конструкции в своей основе ориентировано на то, чтобы использовать эту возможность сознательно. И это делалось даже в те времена, когда люди могли полагаться только на собственную интуицию (деревянные бочки, стянутые обручами, колесо с насаженным в нагретом состоянии ободом и др.).Для создания преднапряжения можно использовать силовое или кинематическое воздействие:•	при использовании силового воздействия (домкраты, балластные грузы и др.) можно регулировать и контролировать значения усилий, но нельзя контролировать деформацию.при использовании кинематического воздействия (смещение опор, температурное воздействие и др.) можно регулировать и контролировать значения смещения, но невозможен контроль усилий.Те параметры, которые не регулируются, можно вычислить или измерить, но их нельзя изменить внутри использованного (силового или кинематического) метода.Следует помнить, что силовой вариант можно реализовать только в системе, структура которой отличается от окончательной, когда имеется свобода тех перемещений, по направлению которых предполагается приложение усилий преднапряжения (рис. 1.26). В частности, такие усилия могут быть приложены и на тех этапах сборки, на которых система является еще статически определимой.И наоборот, кинематический вариант реализуется в частично или полностью собранной системе, когда система уже статически неопределима.Этап создания.....XСвязь отсутствует - обеспечена свобода взаимного сближения концевых узловСвязь замкнутаРис. 1.26На практике чаще всего используются следующие основные варианты создания предварительного напряжения в системе:а)	Путем использования временных балластных грузов на некоторых стадиях монтажа.б)	Смещение опор путем использования подкладок или других аналогичных деталей.в)	С использованием специальных натяжных приспособлений (домкрата, форкопфа или другого).В последнем случае следует различать два варианта задания условий функционирования натяжного приспособления:1) задается величина Д укорочения (удлинения) устройства (контролируется ход поршня в домкрате или стяжной муфты);
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ612) задается усилие N, которое должно быть реализовано в натяжном устройстве (контролируется усилие, задаваемое домкратом).Вопрос:В литературе по предварительно напряженным конструкциям чаще всего описывается технология использования натяжных устройств. Можно ли указать реальные примеры других подходов?Ответ:Изящным приемом может считаться использование балластного груза, когда при строительстве консольно- подкосного моста железобетонные плиты проезжей части были складированы на консолях (рис. 1.27, а) и в этом состоянии устанавливались ненапряженные подкосы (рис. 1.27,6). Затем плиты пригруза были перенесены в пролетную часть моста, и подкосы приобрели усилия преднапряжения (рис. 1.27,в).Этот прием был использован при строительстве нескольких городских мостов, например Зеленого моста в Вильнюсе (рис. 1.28).тРис. 1.27Рис. 1.28Прием смещения опор был использован при устройстве двухпролетных подкрановых балок, у которых преднапряжение реализовалось за счет опускания крайних опор, затяжка которых осуществлялась до замыкания зазора в 25 мм (рис. 1.29).
62ЦИКЛ 1Беседа 1.8. Вариационные принципыФундамент механики, заложенный Ньютоном, основывается на рассмотрении сил. Эта ветвь механики, которую можно назвать «векторной», строит свой анализ на выявлении всех сил, действующих на каждый элемент системы. Но одновременно с Ньютоном Лейбниц строил механику, оперируя понятием «работа силы» (силовая функция, потенциальная энергия).Подход Ньютона обладает преимуществом наглядности, подход Лейбница — общностью и компактностью. Правда, эта компактность достигается за счет отказа от рассмотрения систем неизолированных от внешней среды с точки зрения обмена энергией (например, неупругие системы или случай неконсервативных внешних воздействий).Ранее изложение строилось в стиле векторного подхода, в этом разделе мы покажем некоторые элементы альтернативного подхода к проблемам строительной механики.* * *Выше было введено понятие об элементарной работе на возможных перемещениях точек системы. Аналогично определяется элементарная работа на действительных перемещениях:dW = £p(dUi	(1.23)/=1Пользуясь этой величиной, определяем работу сил Pt на конечном перемещении точек системы как интеграл(2) (2) mW=\dW=\Yjpidui (1) (1) i'=lпределы которого задаются значениями координат точек системы в начальном (1) и конечном (2) положениях.Рассмотрим случай сил, зависящих только от положений точек (узлов) системы. Эти силы называются потенциальными, если существует однозначная функция n = n(xl,y],z],...,xm,ym,zm)такая, что проекции на координатные оси силы, действующей на точку Mi (x; ,^ ,z.) , равны взятым со знаком минус частным производным от П по координатам этой точки:ап „ дп „ дП
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ63Предполагается, что функция П зависит только от координат точек и время не входит явно в ее выражение, тогда из равенств (1.24) следует, что она определена с точностью до аддитивной постоянной. Эта функция называется потенциальной энергией.Согласно (1.23) и (1.24), элементарная работа потенциальных сил на действительных перемещениях равнаап , ап J ап ,—dxt +—dy, +—-dzi дх, ду{ dz,= -dn,	(1.25)/где dW —полный дифференциал потенциальной энергии.Работа потенциальных сил на конечном перемещении согласно (1.24) и (1.25) равна(2) (2)(1)	(ОИз этого выражения следует, что потенциальная энергия равна работе, которая была бы произведена потенциальными силами на конечном пути из рассматриваемого положения системы в положение, где она условно может быть принята равной нулю.	Если конфигурация системы определяется не координатами ее узлов, а некоторыми обобщенными координатамим/	(1 = 1,2	3т = п),то после соответствующих преобразований потенциальная энергия станет функцией только обобщенных координатП = П(м,,м2,Элементарная работа потенциальных сил на виртуальном перемещении согласно (1.25) равнаП ЛТТdW = -dn = Y—du .	(1.26)tfdu.С другой стороны эта работа должна выражаться через обобщенные силы Qt, соответствующие обобщенным перемещениям dux, какdW = ~YJQidul.	(1.27)/=1Сравнивая (1.26) с (1.27), приходим к выражению обобщенных сил через потенциальную энергию0=“?^ (' = 1,2,...,и).du,Пусть определены обобщенные силы	и они оказалисьзависящими только от обобщенных координат м,,...,мя. Как следует из последних равенств, признаком потенциальности сил является выполнение следующих условий:
64ЦИКЛ 18Qt -дП -ап dQ—=*- =	=	= —- (/, / = 1,2,...,л).duj диди/ dudui ди1Если эти условия не выполнены, то силы не являются потенциальными. Простейшим примером потенциальных сил являются силы неизменной величины и направления (например, сила тяжести вблизи поверхности Земли). Потенциальная энергия системы в поле силы тяжести определяется выражениемп=!>ф,,/=1где z, — координата центра тяжести, отсчитываемая по восходящей вертикали от поверхности Земли. Действительно, энергия П равна работе, которую произвели бы силы веса при переходе точек системы из рассматриваемого положения их на поверхность Земли.Рассмотрим теперь силы упругости. Мы здесь ограничимся только дискретными системами с конечным числом степеней свободы, полагая, что некоторое число узловых точек соединены между собой и, возможно, с землей упругими связями.Определяющим свойством идеально упругой системы является то, что возникающие при ее деформировании упругие реакции зависят только от величин, определяющих положение узлов системы, но не от их скоростей, предшествующей истории деформирования и т. п. Поэтому принимается, что обобщенные силы упругих реакций являются функциями лишь обобщенных координат системыR,,= R,и,).	(1.28)Упругие силы являются потенциальными, это утверждение основано на свойстве упругого тела накоплять при постоянном нагружении потенциальную энергию и возвращать ее без потерь, когда тело при постепенном разгружении возвращается в исходное натуральное состояние, в котором восстанавливаются его размеры и форма.Итак, принимается, что функции координат (1.28) представимы в видедЕД,=-—	и),	(1-29)5м,.где Е — потенциальная энергия упругих тел, включенных в систему.Следствием (1.29) являются указанные ранее соотношенияея ад=	(1.30)duj ди,которым должны удовлетворять потенциальные силы.В дальнейшем предполагается, что отсчет обобщенных координат ведется от той конфигурации системы, в которой упругие элементы находятся в ненапряженном состоянии. Иначе говоря, упругие реакции исчезают, когда обращаются в нуль обобщенные координаты:Л,(0,...,0) = 0.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ65Основным физическим законом является закон Гука, выражающий наличие линейных соотношений между величинами, определяющими напряженное состояние в упругом теле, и величинами, характеризующими его деформацию (относительные удлинения и сдвиги).Хотя выполнение закона Гука еще не предопределяет линейную зависимость между перемещениями узлов упругой системы и приложенными к ней силами (между обобщенными силами упругих реакций и обобщенными координатами), мы будем исходить из этой гипотезы, полагая дополнение линейных соотношений между силами, приложенными к упругой системе, и перемещениями его узлов. Это дает основание принять зависимости упругих сил от координат в виде линейных соотношений1--»).	(1-31);=1где Су — постоянные коэффициенты, совокупность которых образует матрицу жесткостейг--|с\\С12С1„<?21С22С2„U.IС„1CnnJСимметричность этой матрицы является следствием потенциальности упругих сил. Действительно, из (1.30) и (1.31) получаем соотношенияКонечно, уравнения (1.31) применимы лишь при достаточно малых значениях обобщенных координат. Это соответствует предпосылке о малости деформаций в законе Гука и предположению, что упругая система не допускает больших изменений размеров и формы.Обратимся, наконец, к понятию, имеющему важное значение в механике твердого деформируемого тела, - функции полной потенциальной энергии деформируемого тела и действующей на него нагрузки. Полная энергия U состоит из потенциальной энергии деформации тела (потенциала внутренних сил) Е и энергии внешних сил (потенциала внешних сил) \¥=-П:U =Е + П.Внешние силы, приложенные статически к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу П на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования Е. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др.Будем полагать, что рассматривается изолированная система.Из предположения об изолированности системы (отсутствии _		обмена энергией с внешней средой) следует, что при статическом
66ЦИКЛ 1нагружении упругой системы ее полная потенциальная энергия остается постоянной и лишь переходит из потенциальной энергии внешних сил в потенциальную энергию внутренних сил.	Частные производные от выражения полной потенциальной энергии системы являются суммарные силы, действующие на узлы системы (упругие и внешние), следовательно, условием равновесия являютсяу-= =+Р' =0 = ■ (, 32)oui dui oui С другой стороны условия1^ = 0 (г = 1,2,...,и)	(1.33)ди(определяют стационарную точку функции полной потенциальной энергии U. Стационарность, как известно, является необходимым, но недостаточным условием экстремума функции.Соотношение (1.33) составляет содержание вариационной теоремы Лагранжа:Если система находится под действием потенциальных сил, то ее положение, в котором потенциальная энергия 	достигает экстремума, является положением равновесия.Обратное заключение неверно: если имеется равновесие сил, то выполняются условия (1.33), но они недостаточны для экстремума.Литература1.	Александров А.В., Потапов В.Д. и др. Строительная механика: В 2-х кн. Кн. 1. Статика упругих систем / В.Д Потапов, А.В. Александров, С.Б. Косицын, Д.Б. Долотказин.— М.: Высшая школа, 2007. Кн. 2: Динамика и устойчивость упругих систем / А.В. Александров, В.Д Потапов, В.Б. Зылев.— М.: Высшая школа, 2008.2.	Безухое Н.И., Лужин О.В., Кол кунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах.- М: Высшая школа, 1987.3.	Гордеев В.Н. О поведении тканевых оболочек под нагрузкой // Теория оболочек и пластин.— Ереван, Изд-во АН АрмССР, 1964.— С. 391-398.4.	Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. — М.: Высшая школа,, 1986.5.	Киселев В.А. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1986.6.	Киселев В. А. Строительная механика: Специальный курс. - М.: Стройиздат, 1980.7.	Перельмутер А.В.у Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа: 4-е изд., переработанное и дополненное — М.: Издательство СКАД СОФТ совместно с Издательством АСВ и издательством ДМК Пресс, 2011.8.	Рабинович И.М. Курс строительной механики. В 2-х томах.Том 1. Статически определимые системы. - М.: Стройиздат, 1950; Курс строительной механики. Том 2. Статически неопределимые системы -М.: Стройиздат, 1954.9.	Ржаницын А.Р. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1982.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ6710.	Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов.— М.: Наука, 1975.— 174 с.11.	Филин АП. Прикладная механика твердого деформируемого тела. В 3-х томах. -М.: Наука, 1978.12.	Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. - М. : Наука, 1984.
68ЦИКЛ 2Цикл 2Метод конечных элементов
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ69Эта простая идея, разделить тело и властвовать над отдельными областями, оказалась чрезвычайно плодотворной, она обогнала по эффективности многие глубокие и тонкие идеи, попросту отменила ряд признанных ранее методов и похоронила для практики некоторые теоретические красивые построения аналитиков.Рейтман М. И,. Залог прочности.— М. Стройиздат, 1973 (стр. 32)
70ЦИКЛ 2Беседа 2.1. Идея метода конечных элементовМетод конечных элементов (МКЭ) — основной метод современной строительной механики, лежит в основе подавляющего большинства современных программных комплексов. Он предназначен для выполнения расчетов строительных конструкций на ЭВМ и позволяет практически полностью автоматизировать расчет стержневых систем, хотя, как правило, требует выполнения значительно большего количества вычислительных операций по сравнению с классическими методами строительной механики. Однако, в современных условиях большой объем вычислений не является серьезной проблемой, и в связи с этим при внедрении ЭВМ в инженерную практику МКЭ получил широчайшее распространение. Он позволяет распространить принципы расчета стержневых систем на случай непрерывных тел и сложных конструкций, и это является еще одной привлекательной чертой МКЭ.Многие задачи строительной механики или прикладной теории упругости приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений в частных производных.Например, задача об изгибе пластинки, имеющей толщину h и нагруженной поперечной нагрузкой р(х,у) требует решения дифференциального уравнения Софи Жермен-Лагранжа d4w ^ dAw д4ги _ р(х,у)а7+ 'дх1ду1+1/~~Б~'в котором неизвестным является функция прогибов w^x.y), а через D обозначена цилиндрическая жесткость D = Eh2- v2.Как правило, точное решение таких задач математике не известно и можно говорить только о том или ином варианте поиска приближенного решения. При этом, как правило, решение ищут в некотором заранее заданном виде, который предопределяет ответ в форме функции, задаваемой с точностью до относительно небольшого числа параметров. Например, для прямоугольной пластинки со сторонам а и Ъ заранее предполагается, что прогибы имеют форму произведения синусоид. . тех . пу W = / sin — sin — а Ъи разыскивается характеризующая эту форму прогиба стрелка / (один неизвестный параметр).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ71Угадывание формы неизвестной нам функции является весьма трудной задачей, в особенности, если вспомнить, что такая функция должна быть подходящей для всех точек области, которую занимает рассчитываемая конструкция и, вдобавок ко всему, удовлетворять вполне определенным условиям на границе области (принимать, например, нулевые значения и иметь нулевую производную). Гораздо легче угадать вид такой функции для малой части области, более того, именно в силу малости такого участка можно позволить себе определенную свободу выбора. Например, трудно угадать форму некоторой кривой, по которой изогнется очень гибкая стальная рулетка, но почти очевидно, что, заменив ее истинную форму некоторой ломаной линией с малыми звеньями, можно надеяться, что мы отыщем приближенное представление о форме такой кривой.Мы оказались здесь очень близко к идее метода конечных элементов, в частности, к одному из основных принципов этого метода:используя дробление области поиска решения на малые участки (конечные элементы), можно позволить себе заранее задать вид искомой функции внутри этого участка, не рискуя сделать большую ошибку для решенця задачи в целом.	Итак, идея метода конечных элементов может быть представлена следующим образом. Предположим, что некоторое исследуемое упругое тело занимает область Q (рис. 2.1,а). Интересующие нас неизвестные величины (например, перемещения точек тела, или напряжения, или что- либо другое) меняеются непрерывно по всему телу. При решении задачи методом конечных элементов эта величина приближенно представляется своими значениями в конечном числе выбранных нами точек тела (узлов). Именно эти неизвестные нам величины и подлежат определению. Далее, область Q делится на конечное число частей (конечных элементов) так, чтобы границы конечных элементов проходили через узлы, и вся область была покрыта конечными элементами. Считается, что конечные элементы взаимодействуют друг с другом только в узлах и определяемая нами неизвестная величина является общей для контактирующих с узлом точек всех элементов, которые соединены с этим узлом (для звезды элементов этого узла).
72ЦИКЛ 2Узлы^llPMPHTklРис. 2.1.Рассмотрим тело, нагруженное произвольным образом. С помощью сетки секущих поверхностей разобьем его на отдельные части. Пример такого разбиения для двумерного тела показан на рис. 2.1,6. Получаемые подобласти имеют, хотя и малые, но все же конечные (не бесконечно малые) размеры, откуда и происходит их название «конечные элементы».Таким образом, непрерывное тело представляется в виде совокупности конечных элементов, свойства каждого из которых рассматриваются затем независимо от остальных. На границах между конечными элементами выбираются некоторые точки (узлы), перемещения которых принимаются в качестве основных неизвестных9.Здесь можно сразу усмотреть аналогию с методом перемещений для стержневых систем, в котором за основные неизвестные также принимают узловые перемещения. Однако в случае непрерывных тел возникает целый ряд затруднений, которые можно преодолеть лишь с помощью введения ряда дополнительных гипотез.Во-первых, встает вопрос о том, как найти перемещения (следовательно, деформации и напряжения) внутри каждого конечного элемента, зная перемещения его узлов. Напомним, что в случае стержневых систем расчет базируется на использовании технической теории растяжения, изгиба и кручения бруса, которая и позволяет выразить перемещения и напряжения в любом сечении бруса через узловые перемещения. Для двухмерного (пластина) или трехмерного (массив) сплошного тела эта задача может быть решена только приближенно, например, с использованием тех или иных предположений о характере поля перемещений в элементе.9	Здесь рассматривается решение в перемещениях. Существует разновидность метода конечных элементов, в которой в качестве основных неизвестных принимают силы взаимодействия между элементами, возможна также смешанная формулировка.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ73Точнее, необходимо выбрать некоторую совокупность аппроксимирующих функций, которые позволяют приближенно представить поле перемещений внутри конечного элемента по известным узловым перемещениям. Обычно при построении конечно-элементного решения набор локальных функций, определяющих поле перемещений в пределах конечного элемента, задают так, чтобы с каждой локальной функцией было связано одно из узловых перемещений или поворотов. Тогда поле перемещений будет точно определено , если заданы все перемещения во всех узлах, к которым примыкает элемент.Особенно удобно выбирать такие аппроксимирующие функции, которые принимают единичное значение в некотором узле и нулевое значение во всех остальных узлах элемента. В методе конечных элементов их принято называть функциями формы. При выборе функций формы существенную помощь оказывает предположение о малости конечного элемента, поскольку в малой области пространства можно надеяться10 на относительно малую погрешность от приближенного описания поля перемещений и на то, что с уменьшением размеров конечных элементов ошибка аппроксимации будет уменьшаться. Если,1 например, конечные элементы имеют форму треугольника и узлами, в которых определяются неизвестные перемещения, являются его вершины (рис. 2.2.а), то можно представить себе, что в пределах конечного элемента поле перемещений (сумма этих плоскостей), тоже явлется плоскостью (рис. 2.2.6), и, следовательно, неизвестное распределение перемещений во всем теле аппроксимируется некоторым многогранником, близким к искомому распределению перемещений.я)Рис. 2.2.Выбор функций формы является одним из наиболее ответственных и важных этапов в методе конечных элементов, этот выбор во многом определяет точность решения.10	Эта надежда может и не оправдаться.
74ЦИКЛ 2Поэтому под конечным элементом следует понимать не просто некоторую малую область тела, а область тела в совокупности с заданными в ней аппроксимирующими функциями.Вторая проблема возникает при формулировке условий объединения конечных элементов в единую систему. В расчете стержневых систем это производилось путем составления уравнений равновесия для узловых точек, в которых элементы соединяются друг с другом. В сплошном теле число точек соединения между элементами бесконечно велико. Задаваясь распределением перемещений внутри каждого элемента, тем самым задаем и распределение напряжений во всех точках межэлементной границы. На границах раздела смежных элементов напряжения, найденные для каждого элемента независимо, в общем случае совпадать не будут. Следовательно, обеспечить точное выполнение условий равновесия на всей поверхностираздела не представляется возможным.			______Отсюда следует, что в методе конечных элементов напряжения, действующие по границе каждого элемента, можно условно заменить некоторыми приведенными к узлам эквивалентными силами и уравнения равновесия составляются для узлов, на которые действуют указанные эквивалентные силы.При этом эквивалентные узловые силы определяются из условия, чтобы производимая ими на узловых перемещениях работа равнялась работе действительных напряжений на перемещениях точек граничной поверхности элемента.в) Еще одна проблема возникает при учете нагружения упругого тела распределенными поверхностными и объемными силами. Эти силы могут быть учтены также заменой их на эквивалентные в энергетическом смысле внешние узловые силы.После введения указанных упрощений тело можно рассматривать как дискретную систему, т. е. как совокупность элементов, соединенных между собой в узловых точках. Разбиение конструкции на подобласти и выбор аппроксимирующих функций для каждой из них можно осуществить различными способами. При этом должны быть учтены особенности геометрии тела и обеспечена хорошая аппроксимация перемещений и выражаемых через перемещения деформаций и напряжений для всего тела в целом.Вопрос:Расскажите подробнее о функциях формы. Можно ли привести несложный пример?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ75В качестве примера будем рассматривать решение плоской задачи теории упругости с использованием четырехугольных конечных элементов. Каждый конечный элемент определяется набором его четырех узлов.Ответ:В случае плоской задачи решением является два поля смещений и(х,у) и v(x,y), следовательно, в каждом узле коннечноэлементной модели имеются две компоненты перемещений Ц и V,-, которые являются искомыми степенями свободы.Будем использовать линейную интерполяцию перемещений U и V, заданных в четырех узлах:Эти функции обладают рядом специфических свойств. Одно из основных свойств - локальность, то есть такие функции заданы только в пределах данного элемента.Введем в рассмотрение естественную локальную систему координат на элементе, соответствующую геометрии данного типа элемента. Естественной системой координат плоского четырехстороннего элемента является система координат (£,77), показанная на рис. 2.3.а.Функции формы элемента выражены следующими соотношениями через локальные естественные координаты:Эти функции изменяются линейно вдоль координатных линий £ = const, tj = const. Функция	равна единице в узле i и обращается внуль во всех других узлах. Однако они не являются линейными полиномами44где fj(x,}>) - интерполирующие функции, или функции формы элемента.Рис. 2.3f]{Z,n) = 0,25{\-Z){l-n), /2(£,»7) = 0,25(1 + £)(1-17), /з($,!7) = 0,25(1 + $)(1 + /7), /4 (£,??) = 0,25(1-£)(! +г?).
76ЦИКЛ 2и носят название билинейных. На рис. 2.3.6 приведен графический вид одной из функций формы.Вопрос:Насколько я понял, решение задачи методом конечных элементов реализуется в перемещениях. Но в предыдущем цикле этот подход связывался с матрицей жесткости. Как же осуществляется переход от функций формы к матрице жесткости?Ответ:Проще всего это показать, отправляясь от условий равновесия в форме (1.33), т.е. исходя из выражения полной энергии системы. Не углубляясь в общую теорию, рассмотрим пример построения матрицы жесткости простейшего стержневого элемента, рассматривая при этом плоский случай (рис. 2.4,а).Если учитывать только деформации изгиба, то полная потенциальная энергия системы, состоящей всего из одного стрежня, будет представлена1 г{У=Е+П= - J EI92dx />,,где 3 — кривизна деформированной оси стержня.Уравнение для описания изогнутой оси стержня выражается через концевые перемещения с помощью функций формы ул (х), которые по смыслу есть перемещения точек оси стержня при м,=1, м,= О (/* j). Тогда уравнение оси представляется в виде суммы4а кривизна какЭ(х) = и'(х) = '£Ч,’(х)-и,.Условие стационарности полной потенциальной энергииdU =-\eI9—dx-Pj = 0 (г = 1,...,4). ?•> ди, ‘ К	1ди,Если подставить сюда выражение для кривизны, то получимди,о4 (Ldx — Pj =
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ77Решение этих уравнений, определяет форму изогнутой оси стержня и, следовательно, набор внутренних усилий: изгибающих моментов и поперечных сил.Зададим функции формы в виде полиномов Эрмита (рис. 2.4.6):^i(x) = 1-3(f) +2 ; ^э(*) = *(1--£X2 ( XV|/:(X)Рис. 2.4Элементы матрицы жесткости стержневого элемента определяются какd2U LiJ ди, ди,:\EI(x)V:{x)V’{x)dx.Тогда после подстановок и интегрирования получим' 63 L-63112 EI3 L21}-3 LL2~Т-631-3LL26-31-31 21} \По аналогичной схеме находят матрицы жесткости для конечных элементов другого типа. Естественно, что выбором функций формы занимаются разработчики программного обеспечения, а практикующие инженеры используют уже готовые результаты. Но для осознанного анализа этих результатов инженеры должны знать, какие функции формы
78ЦИКЛ 2используются программой, и в тех случаях, когда в библиотеке конечных элементов имеются конкурирующие варианты, выбирать для использования при расчете конкретной задачи наиболее подходящий вариант.Вопрос:Можно ли с помощью МКЭ получить точное решение задачи?Ответ:Можно, если в качестве функций формы использовать такие функции, которые по известным узловым перемещениям определяют точное (соответствующее уравнениям теории упругости или сопротивления материалов) распределение перемещений внутри конечного элемента. Это удается сделать для стержневых конечных элементов, да и то не всегда.В частности, обычно используемые кубические зависимости (полиномы Эрмита), являются точными решениями для стержня, но лишь в статических задачах и без учета упругого основания. Формы собственных колебаний с помощью этих полиномов представляются уже приближенно, а для двухмерных и трехмерных задач точных решений, которые могли бы играть роль функций формы, мы попросту не знаем.Иллюстрацией к принципу наложения сетки узлов в пространстве исследуемой конструкции может служить сопоставление с растровым изображением, когда его качество определяется количеством точек (пикселей) на единицу длины или площади. Если устраивает грубое изображение (читай - исследуемый результат расчета) - число пикселей (узлов) можно принять минимальным. При детальном исследовании результата статического расчета (читай - детальном рассмотрении изображения) число узлов (пикселей изображения) должно быть увеличено до необходимого уровня.Трудно признать удовлетворительным изображение, состоящее из малого числа пикселей (в абсолютном минимуме - из одного пикселя) - такое изображение может соответствовать какому угодно оригиналу.Для КЭ, у которых существует точное описание аппроксимирующих функций (например - пространственный стержень) применение одного КЭ для аппроксимации одного конструктивного элемента вполне возможно при условии отсутствия взаимодействия такого конструктивного элемента с другими конструкциями в промежуточных точках.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ79Вопрос:Как соотносятся поля перемещений и поля напряжений, получаемые методом конечных элементов?Ответ:В классическом варианте МКЭ, основанном на решении в перемещениях, поле напряжений получается из поля деформаций, которое в свою очередь находится путем дифференцирования поля смещений.Дифференцирование, присутствующее в этом процессе, загрубляет решение задачи относительно напряжений, что можно продемонстрировать следующим образом. Пусть, например, конечные элементы имеют треугольную форму, а в качестве функций формы используются линейные функции. Тогда неизвестная функция перемещений предстанет в виде многогранника с плоскими гранями, вершины которого (узлы сеточного разбиения) располагаются поблизости от искомой функции перемещений (рис. 2.5.а).Заметим, что узловые смещения принадлежат одновременно всем треугольным конечным элементам, сходящимся в одном узле, т.е. обеспечивается совместность перемещений в узлах конечно-элементной сетки. Но, в силу линейности функций формы, совместность в паре узлов означает и совпадение перемещений во всех точках межэлементной границы, являющейся отрезком прямой между рассматриваемой парой узлов.Рис. 2.5Деформации (и, следовательно, напряжения) определяются первыми производными от перемещений, и в рассматриваемом случае линейных Функций формы они, как производные от перемещений, будут равны константам внутри элемента, причем эти константы не обязаны совпадать на соседних элементах. Следовательно, по линии сопряжения конечных элементов напряжения будут иметь разрывы, а пространственная эпюра напряжений приобретет ступенчатую форму (рис. 2.5.6).
80ЦИКЛ 2Беседа 2.2: Граничные условия и условия связиВажными и ответственными характеристиками расчетной модели МКЭ являются связи. Понятно, что не все искомые перемещения узлов системы являются независимыми, часть из них заранее предопределена граничными условиями или, скажем, условиями симметрии. Возможны и другие, более сложные зависимости между компонентами вектора неизвестных перемещений, реализующие особенности поведения конструкции, связанные с теми ограничениями, которые возникают в силу действия связей.В линейных системах математически уравнения связей записываются в виде линейных однородных уравненийХСА= о 0'=1 >•••>/>)>У=1где Д, — перемещения узлов системы, с. — коэффициенты, р —количество связей. Приведенное уравнение указывает на взаимосвязь отдельных перемещений и чаще всего относится к внутренним связям. Например, если связь запрещает взаимное изменение расстояния между узлами 1 и 13 вдоль оси X, то мы будем иметь условие А, х - Д,3 х = 0 , а еслизапрещено перемещение 16-го узла под углом 45° к координатным осям X иУ, то соответствующая запись будет такой (%/2/2)Д16 л +(>/2у/2)Д16 v = 0 .Простейшим вариантом таких уравнений является условие запрета на некоторые перемещенияд,=0,где индекс j пробегает некоторое множество значений. Этот вариант связей описывает присоединение системы к «земле», т.е. относится к внешним связям конструкции и описывает ее граничные условия.В указанном случае внешней связи речь идет о несмещаемых связях, и именно поэтому правая часть равенства является нулевой. Если же в силу приложенных к системе внешних воздействий реализуется некоторое принудительное смещение связи (случай заданного перемещения), то в правой части должна фигурировать величина принудительного смещения.Следует еще раз подчеркнуть, что заданное смещение реализуется только как смещение связи, смещения свободных узлов подчиняются игре сил в системе и не обязаны быть равными задаваемой извне величине.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ81Рассматриваемые ограничения, налагаемые связями на перемещения системы А,-, реализуются некоторыми материальными телами или устройствами, которые объективно присутствуют в системе, и факт их существования не зависит ни от желания расчетчика, ни от варианта нагрузки, действующей на конструкцию. Поэтому может вызвать только недоумение, например, такая фраза из [ 3, стр. 106] «Если надо провести расчет на заданное перемещение в одном загружении, а для других загружений соответствующее узловое перемещение присутствует (т.е. по этому направлению нет связи) то необходимо использовать две различные матрицы К (речь идет о матрицах жесткости — А.П.)»Несмещаемая внутренняя связь может мыслиться как включенное в конструкцию абсолютно жесткое тело. С некоторой точки зрения его уместно рассматривать как некоторый специфический тип конечного элемента. С конечным элементом его роднит хотя бы то, что абсолютно жесткое тело объединяет инцидентные этому телу узлы. Грубо говоря, абсолютно жесткое тело может рассматриваться как предельный случай некоторого конечного элемента при устремлении жесткостных характеристик этого элемента к бесконечности.Часто эффект бесконечно жесткого тела пытаются описать как объединение ^ перемещений различных узлов схемы, т.е. принудительное навязывание значений перемещений одного узла другому. Этот прием используется чаще всего для того, чтобы промоделировать пренебрежение некоторыми деформациями системы. Так, например, если объединить горизонтальные перемещения узлов в местах примыкания ригеля к колоннам одноэтажной рамы, то это будет эквивалентно использованию гипотезы об абсолютной жесткости ригеля по отношению к деформациям растяжения- сжатия.Но объединение перемещений описывает не все свойства жесткого тела. Так, для многоэтажного пространственного каркаса часто можно пренебречь податливостью перекрытий, считая их абсолютно жесткими дисками. Если в такой схеме объединить горизонтальные компоненты перемещений всех узлов каждого перекрытия, то при этом окажутся невозможными и закручивания перекрытий, которые вызывают различные перемещения в разных точках перекрытия.В заключение еще раз заметим, что рассчитываемая конструкция всегда является частью более общей системы и, выделяя конструкцию из окружающей среды, мы либо идеализируем ее влияние в форме абсолютного запрета на некоторые виды перемещений (присоединение системы к «земле»), или же описываем это влияние в форме внешней нагрузки на систему. Эта нагрузка может быть задана явно или же реализоваться в виде реакции некоторых упругих устройств (пружин), с помощью которых конструкция прикреплена к земле. В последнем случае говорят, что на узловые перемещения наложены упругие связи (связи конечной жесткости). Сюда же относится опирание элементов системы на упругое основание, жесткость которого характеризуется коэффициентом постели.
82ЦИКЛ 2Связи конечной жесткости являются упругими элементами системы такими же, как и другие упругие элементы (стержни, пластины и т.п.). Используя понятие связи конечной жесткости, мы избегаем подробного описания тех упругих устройств, с помощью которых такие связи реализуются (например, упругого массива, которым является основание сооружения). Иными словами — моделируется не геометрический образ, а функция такого устройства.Вопрос:Насколько малым может быть конечный элемент? Ведь в строительной механике стержень определялся как объект, один из размеров которого (длина) заметно превышал другие, определявшие габариты поперечного сечения. То же относится к пластинам и оболочкам.Ответ:Действительно, казалось бы, что возникает явное нарушение соглашений о том, что такое стержень, пластина или оболочка. В действительности никакого нарушения здесь нет, а предположение о достаточной удлиненности стержня или о малости толщины оболочки было необходимо лишь для обоснования вида соответствующего дифференциального уравнения.Кстати, при выводе этого дифференциального уравнения вообще рассматривался бесконечно малый элемент, и этот факт почему-то не смущает расчетчика. Что же касается метода решения полученного дифференциального уравнения, когда используется достаточно мелкое членение стержня (читай, интервала интегрирования) на участки, то это на виде уравнения никак не сказывается.Вопрос:При очень мелком разбиении на конечные элементы некоторые программы дают решение с ошибкой, большей, чем при использовании более грубой сетки. Не сказывается ли здесь нарушение предположения о малости толщины?Ответ:Дело не в том, что нарушено предположение о малости толщины (об этом сказано выше), а в том, что мы получаем плохо обусловленную задачу. Например, консольная балка, загруженная силой на свободном конце, может служить подходящим примером для объяснения указанного эффекта.Балка изгибается по гладкой кривой, напоминающей первую собственную форму изгиба, при этом жесткостная характеристика балки
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ83пропорциональна величине G = EJ/L3. Ошибки в вычисленных прогибах способны придать линии изгиба колебательный характер, близкий к высшей собственной форме изгиба, при этом жесткостной параметр пропорционален К = EJ!{lJnf, где п есть число полуволн или число конечных элементов по длине балки.Число обусловленности матрицы жесткости х» равное отношению экстремальных собственных значений, примерно соответствет отношению G/К и имеет порядок 1 /л3, что уже при числе элементов п = 50 дает Х~105.О	природе накопленной ошибки свидетельствуют результаты такого численного эксперимента: рассчитывается консоль длиной 10 метров, нагруженная на свободном конце силой 1 тонна. Момент в защемлении должен равняться 10 Тм. Если разбить стержень на 2000 элементов, то получаем момент 10,001 Тм, а при разбиении стержня на 8000 элементов получим момент 9,619 Тм. Чтобы убедиться в том, что дело здесь не в коротком элементе, рассчитаем консоль длиной 8000 метров при ее разбиении на 8000 элементов, вместо момента 8000 Тм мы получаем 7187,6 Тм.Интересно отметить еще один факт: изменение используемых единиц измерения может привести к изменению числа обусловленности системы разрешающих уравнений и к потере точности расчета в случае, когда такое изменение повышает число обусловленности. Казалось бы, общее масштабирование, происходящее при замене метров на миллиметры, не должно влиять на вычисления. Но дело в том, что при такой замене остаются неизменными измерители углов поворота (они были и остались радианами), поэтому для стержневых элементов, например, компоненты матрицы жесткости EA/L, соответствующие линейным смещениям, и 6 EJ/L2, соответствующие углам поворота, меняются в разной степени, что и приводит к иным соотношениям между максимальным и минимальным собственными числами матрицы, то есть к изменению числа обусловленности.
84	ЦИКЛ 2Беседа 2.3: Параметры сеточного разбиения. Сходимость МКЭПри применении метода конечных элементовI	наиболее ответственными этапами расчета являются разбивка на элементы и выбор функций, аппроксимирующих поле перемещений. При этом требуется определенное согласование полей перемещений отдельных элементов, что достигается выбором соответствующих функций формы.Простейшим и наиболее широко распространенным приемом такого согласования является использование так называемых совместных элементов (их еще называют конформными). Функции формы у совместных элементов таковы, что при равных узловых перемещениях соседствующих элементов на их межэлементной границе совпадают все перемещения, а также те производные от перемещений по пространственным координатам, которые входят в выражение для потенциальной энергии.Одной из важнейших характеристик конечно-элементной модели является максимальный диаметр элементовh - max sup \х-у\е Ух,уеПе	,с которым часто связывают оценки погрешности метода. Иначе говоря, h — это минимальный диаметр шара, в который можно вложить любой конечный элемент расчетной схемы (рис. 2.6). Кроме того, обычно предполагается, что при бесконечном уменьшении диаметра, т.е. при /г —> 0, соблюдаются следующие условия регулярности — в каждый конечный элемент можно вложить шар радиуса р < С/г, где константа С не зависит от h. Это предохраняет от использования так называемых «игольчатых» элементов (слишком вытянутых прямоугольников, треугольников с очень малыми углами и т.п.).Рис. 2.6
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ85Такие «неправильные» элементы могут сильно исказить результаты конечно-элементного анализа. На таких элементах даже малая погрешность в вычисленных перемещениях приводит к большим ошибкам в углах наклона и кривизне (а они пропорциональны изгибающим моментам), что иллюстрируется схематическим рисунком 2.7, где малая ошибка в прогибе 8 даже изменила знак кривизны.Как правило, в МКЭ аппроксимирующие функции являются полиномиальными или кусочно-полиномиальными (метод подобластей), хотя и существуют элементы с дробно-рациональными (так называемые изопараметрические элементы), тригонометрическими, логарифмическими и другими аппроксимациями поля перемещений. Выбор степеней свободы элемента и соответствующих аппроксимирующих функций полностью определяет скорость сходимости и оценку погрешности МКЭ.Если зафиксировать все параметры конечно-элементной расчетной модели, за исключением размера конечных элементов h, то можно представить, что, меняя этот размер, мы получим последовательность приближенных решений задачи и*. Когда говорят о сходимости МКЭ, то имеют в виду, что эта последовательность устремляется к точному решению задачи и*, когда /г —> 0.Интуитивно кажется очевидным, что чем гуще сетка конечных элементов, тем точнее получаемое решение. В действительности такая сходимость приближенного решения к точному имеет место лишь при использовании конечных элементов, удовлетворяющих определенным требованиям, о которых можно прочесть в более серьезных книгах (смотреть, например, работы Г6Ц71).Всякое упругое тело обладает бесконечно большим числом степеней свободы. Ограничение числа степеней свободы набором узловых смещений уменьшает свободу деформирования, что равносильно введению дополнительных связей, и это приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной жесткостью. Перемещения, получаемые методом конечных элементов, будут в среднем меньше их точных значений.При сгущении сетки число узловых перемещений (т.е. степеней свободы тела) увеличивается. Важно установить, при каких условиях это будет сопровождаться улучшением решения, т.е. его сходимостью к точному.
86ЦИКЛ 2Доказано, что для обеспечения сходимости достаточно, чтобы каждая компонента перемещения могла быть в пределах конечного элемента представлена полиномом не ниже первой степени. Это требование называют иногда условием полноты конечного элемента.Условие полноты можно сформулировать следующим образом. Элемент считается полным, если, во-первых, в аппроксимирующие функции включены его перемещения как жесткого целого и, во-вторых, если в элементе может существовать однородное (т.е. не зависящее от координат) деформированное состояние с произвольными компонентами деформации.Поясним эти условия подробнее. Предположим, что узлы конечного элемента получают смещения, соответствующие его перемещению в пространстве как абсолютно жесткого тела. Если при этом деформации, найденные по формулам теории упругости, окажутся нулевыми, то это означает, что жесткие смещения точно представлены в используемых аппроксимирующих функциях.Второе требование основывается на следующих соображениях. При уменьшении размеров конечных элементов изменения деформаций в пределах каждого из них будут все менее существенными по сравнению с самими деформациями, т. е. деформированное состояние будет приближаться к однородному. Для сходимости решения необходимо, чтобы аппроксимирующие функции позволяли воспроизвести такое предельное состояние.Обратимся теперь к несовместным элементам. Сходимость решения к точному имеет место и в этом случае, если в пределе (т.е. по мере сгущения сетки) в аппроксимирующих функциях исчезают члены, создающие несовместность. Следовательно, сходимость будет гарантирована, если несовместные конечные элементы, во-первых, способны воспроизвести в пределе линейное поле перемещений и, во-вторых, оказываются при этом совместными.Обычно используют более жесткое требование, в соответствии с которым должна обеспечиваться сплошность тела в условиях линейного поля перемещений при любых размерах элемента, а не только в пределе.Полезно иметь в виду также следующее соображение. Если элементы несовместны, то по их границам возможны некоторые перемещения, не существующие в континуальной расчетной модели (например, взаимные углы поворота пластин), которые соответствуют отсутствию некоторых связей.При увеличении числа конечных элементов и уменьшении их размеров растет общее число степеней свободы конструкции и, следовательно, уменьшается влияние наложенных узловых связей. Этот процесс при выполнении определенных условий и обеспечивает сходимость метода для совместных конечных элементов. С другой стороны, этот же процесс ведет к
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ87тому, что уменьшаются взаимные перемещения на межэлементных границах в несовместных элементах, что можно трактовать как определенное замыкание ранее снятых связей. Значит, сходимость несовместных элементов может иметь место лишь в тех случаях, когда положительные тенденции от преодоления наложенных связей превалируют над этой отрицательной тенденцией наложения связей на межэлементных границах.Вопрос:Понятно, что отсутствие сходимости ставит под сомнение результаты конечно-элементного анализа. А верно ли обратное утверждение, что при доказанной сходимости результатами расчета можно безболезненно пользоваться?Ответ:Следует учитывать, что известные теоретические оценки скорости сходимости ориентированы на выяснение асимптотических свойств решения, а практического расчетчика интересует степень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов.Конечно, з большинстве случаев асимптотическая сходимость сопровождается и приемлемой «практической сходимостью», под которой обычно понимают возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении, но из этого правила есть и исключения.Следует также иметь в виду, что теоретические оценки скорости сходимости строятся исходя из некоторых наихудших предположений о виде поля перемещений, которые не обязательно реализуются в конкретной задаче.Кроме того, в процессе доказательства теорем сходимости, как правило, используются цепочки усиливающих неравенств и, наконец, оценки скорости сходимости содержат неизвестную константу. В связи с этим, на практике часто используется анализ последовательности решений на сгущающихся конечно¬ элементных сетках, и решение о приемлемости принятой детализации принимается по результатам этого сравнения.Пример такого анализа представлен на рис. 2.8, где показаны четыре варианта конечно-элементного разбиения защемленной по контуру квадратной плиты. Плита загружена равномерно распределенной нагрузкой, интенсивность которой составляет q = 50 кН/м2, модуль упругости материала плиты £=880 кН/см2, коэффициент Пуассона принят равным нулю.
88ЦИКЛ 2Рис. 2.8Изменение результатов расчета для сеток разной густоты приведено в табл. 2.1. Из этой таблицы видно, что различные результаты стабилизируются с разной скоростью, и если для прогибов достаточна сетка 8x8, то для компонентов внутренних усилий требуется более густая сетка.Таблица 2.1Результат расчетаСетка4x4Сетка8x8Сетка16x16ТочноерешениеПрогиб в точке А, [мм]17,2516,3416,0716,00Момент в точке А, [тм/м]26,4623,4122,6922,01Момент в точке В, [тм/м]59,2063,7264,9564,43Поперечная сила в точке В, [т/м]66,6388,60100,12111,61Конечно, большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.Вопрос:Если доказана и подтверждена сходимость, то всем ли результатам можно доверять с одинаковой степенью уверенности?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ89Ответ:При удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться интересующие расчетчика внутренние силы или напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной.Действительно, представим себе, что некоторая функция у=Ах) определена с ошибкой 8. Причем мы полагаем ошибку малой, т.е. считаем, что значение У\=ЛХ\) в некоторой точке х\ приближенно равное ± 8. Если определять производную численно, принимаяДх,) = \f[y2) ~ЛУ\)\ / {х2-хх) = Ау/ Ах,то нетрудно заметить, что f\x\) = Ay / Ах ± 28 / Ах.При малой разности Ау относительная ошибка производной в = 28/Ау может оказаться весьма заметной. И это происходит при каждом дифференцирдвании, например, трижды при определении поперечных сил (посмотрите еще раз табл. 2.1). Сгущение сетки конечных элементов может ничуть не помочь решению проблемы, поскольку при этом не только падает значение первоначальной ошибки 8, но и сближаются узловые значения функции (уменьшается Ау) и, следовательно, может расти относительная ошибка. Именно для оценки возможного появления эффектов такого рода и важны данные об асимптотической сходимости.Вопрос:Каковопрактическое значение факта сходимостиконечно-элементного решения к точному результату/Ответ:Данные о значениях параметра сходимости дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения, которое мы заимствуем из [2, с.55]:«...заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные Данные и сетку области сходимость имеет место, и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок C(h/L), где через С обозначена константа, зависящая от формы области; h — шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой средней точности,
90ЦИКЛ 2например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...», т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трех¬ мерной задаче — примерно 8000.При этом следует помнить, что приведенное выше рассуждение справедливо только в среднем и, кроме того, точность очень зависит не только от типа конечного элемента, но и от способа расположения конечных элементов и их ориентации по отношению к потокам основных напряжений.О	последнем свидетельствует характерный пример, заимствованный из работы [4] и показанный на рис. 2.9.160 8-узловых элементов	20 20-узловых элементов20 20-узловых элементов	20 20-узловых элементовРис. 2.9.Конечно, в большинстве случаев асимптотическая сходимость сопровождается и приемлемой «практической сходимостью», под которой мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении, но из этого правила есть и исключения. Приведем в связи с этим высказывание великого математика и физика А. Пуанкаре (цитируется по [I, с.52]):«...из двух рядов, коих общие члены суть Ю00п/п! и п!/Ю00п, математики назовут первый сходящимся... потому что миллионный член гораздо меньше 999 999-го, второй же ряд они рассматривают как расходящийся, ибо его общий член может беспредельно возрастать. Астрономы, наоборот, примут первый ряд за расходящийся, потому что первые его 1000 членов идут возрастая; второй ряд они сочтут за сходящийся, потому что первые его 1000 членов идут убывая и в начале убывание весьма быстрое». И далее
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ91совершенно головокружительный вывод: «Оба воззрения законны: первое — в исследованиях теоретических, второе — в численных приложениях».По-видимому, при решении любой достаточно ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества решения, которое можно проверить путем повторного рассмотрения задачи на другой сетке элементов. Повторим, что большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.
92ЦИКЛ 2Беседа 2.4. Конечные элементы бывают разнымиИз сказанного выше ясно, что одинаковые по форме конечные элементы могут обладать различными свойствами, если они построены на основе разных функций формы. В частности, существуют так называемые гибридные модели метода конечных элементов, где поле перемещений определено только на границах элементов, а все прочие характеристики находятся, исходя из предполагаемого распределения напряжений.Надо отдать должное этим элементам, в том смысле, что во многих численных экспериментах гибридные конечные элементы действительно демонстрируют прекрасные результаты, в особенности на умеренных по размерам сетках. Однако, утверждение о том, что гибридные элементы в любых ситуациях превосходят классические конечные элементы, построенные на аппроксимациях полей перемещений, является неверным.Мы здесь отметим другую классификацию различий между конечными элементами. Она связана с тем обстоятельством, что на некоторые компоненты узловых смещений элемент может не реагировать (отсутствует отпорность) и не воспринимать соответствующие компоненты узловой нагрузки. Например, реакция одинаковых по форме двумерных конечных элементов изгибаемой плиты, плоской задачи теории упругости или оболочки различаются так, как это показано в таблице 2.2.Это свойство элементов следует учитывать, а чтобы избежать геометрической изменяемости в некоторых случаях следует вводить узловые связи по тем направлениям, где используемые элементы не могут обеспечить необходимую неподвижность.Таблица 2.2ЭлементыСмещенияНагрузкиXYZфхcpY<PzРхРуPzМхМуMzизгибаемой плиты++++++плоской задачи++++оболочки++++++++++Кроме того, определенные проблемы возникают и при стыковке элементов с различными узловыми отпорностями, т.е. силовыми реакциями на смещение узла.Например, отсутствие отпорности по углу поворота в элементах плоской задачи (при повороте узла не возникает упругий момент, сопротивляющийся этому повороту), вызывает эффект шарнирного прикрепления, если к стенке, замоделированной такими элементами, присоединяется стержень (рис. 2.10).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОМ МЕХАНИКЕ	93Рис. 2.10В общем случае, если некоторый (например, /-ый) конечный элемент не имеет всех степеней свободы, предусмотренных в узле расчетной схемы, то:•	^несвязанная» степень свободы в узле «болтается» и для правильного решения задачи в некоторых случаях на такую степень свободы необходимо наложить связь;•	другие конечные элементы, примыкающие к этом узлу (говорят, что они входят в звезду элементов этого узла), не будут взаимодействовать с /-ым элементом.Требование согласованности свойств используемых в расчете конечных элементов является весьма существенным, известны случаи пропуска серьезных ошибок вследствие нарушения этих требований.Вообще возможность выполнения практических расчетов сколь бы то ни было сложной конструкции определяется во многом тем, какие конечные элементы доступны для использования. Как правило, используются элементы или группы элементов, которые образуют библиотеку конечных элементов. Это не просто собрание формул и программ их реализующих, а в какой-то степени структурированная система, объединенная принятыми правилами описания неизвестных, построения матриц жесткости, вычисления напряжений и, в том числе, возможностями согласований условий сопряжения элементов.В современных универсальных программных системах библиотека конечных элементов представлена элементами стержней, мембран, пластинок, оболочек, трехмерных тел (рис. 2.11) и т.п.
94ЦИКЛ 2А Ь □г a Q ^4> й ф фРис. 2.11Каждый конечный элемент, входящий в библиотеку, характеризуетсяследующими свойствами:•	размерностью используемого пространства (одномерное, двумерное, трехмерное);•	геометрической формой, которая чаще всего является одной из простейших геометрических фигур (отрезок прямой, треугольник, прямоугольник, четырехугольник, тетраэдр и т.п.);•	набором узлов, располагаемых (как правило, хотя и не всегда) на линиях (поверхностях) раздела элементов и являющихся общими для граничащих друг с другом элементов;•	набором используемых степеней свободы, отнесенных чаще всего к узлам (хотя и не обязательно к узлам) — перемещения, повороты и т.п.;•	системой аппроксимирующих функций, определяющих внутри области Qe приближенные выражения для компонент перемещений, и их связью со степенями свободы конечного элемента;•	физическим законом, связывающим напряжения и деформации;•	определением класса задач, к которым применим данный тип конечного элемента (КЭ пластины плоского напряженного состояния, КЭ плиты Кирхгофа-Лява, КЭ, покоящейся на упругом двухпараметровом основании плиты Рейсснера, стержень Тимошенко для пространственной задачи и т.д.).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ95Таблица 2.3.Наименование элементаПоказатель степени в оценках скорости сходимости по:иаМQПрямоугольный элемент плиты21Треугольный элемент плиты210Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плиты210Прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости21Треугольный элемент плоской задачи теории упругости21Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости21——Четырехугольный (от 4 до 12 узлов) элемент плоской задачи теории упругости21——Параллелепипед21Тетраэдр21—Трехгранная призма21Пространственный изопараметрический шестиузловой элемент21——Пространственный изопараметрический восьмиузловой элемент21——Пространственный изопараметрический двенадцатиузловой элемент21——Прямоугольный элемент оболочки2110Треугольный элемент оболочки2110Четырехугольный элемент оболочки2110Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) конечный элемент оболочки2110Одной из важнейших характеристик совокупности конечных элементов является набор степеней свободы, отнесенных к их узлам. Эта характеристика позволяет выделить среди прочих типов класс конечных элементов, у которых все степени свободы имеют смысл линейных перемещений и/или поворотов узлов.Обычно конечные элементы, представленные в библиотеке какого либо программного комплекса, проверены на сходимость решения к точному решению при сгущении сетки. В качестве примера в табл. 2.3 представлены сведения о сходимости элементов библиотеки программной системы SCAD по перемещениям (и), напряжениям (а), моментам (М) и поперечным силам (0).Напомним, что сходимость есть асимптотическое свойство, и ее наличие не избавляет от необходимости выполнения проверки решения на сгущающихся сетках. Асимптотическая оценка сходимости оперирует оценками погрешности типа hm, где И максимальный из характерных размеров конечного элемента, а показатель степени т характеризует скорость уменьшении ошибки при стремлении h к нулю.
96ЦИКЛ 2Из этой таблицы, например, видно, что при сгущении сетки ошибка в перемещениях убывает с квадратичной скоростью, а в напряжениях чаще всего линейно.Более грубая ошибка в моментах, и еще более грубая ошибка в поперечных силах вызвана тем, что переход к ним связан с численным дифференцированием прогибов. Даже ничтожная ошибка в прогибе, когда вместо точной величины щ мы используем величину м,+е, дает значение первой производной [ut +s- ui+l )/h=u’ + s I h, где ошибка s / h может быть весьма заметной при малом шаге h.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ97Беседа 2.5. Разбиение на конечные элементыРассмотрим каким образом создается конечно¬ элементная сетка на плоскости или на криволинейной поверхности. Простейшим способом является прямое задание координат узлов, с помощью которых затем формируются конечные элементы (для чего следует указать какие из указанных узлов и в какой последовательности создают контур конечного элемента).Такой способ применяется преимущественно в несложных моделях или же в тех случаях, когда требуется расширить уже имеющуюся конечно¬ элементную модель. Однако основным способом создания конечно¬ элементных моделей является автоматический способ формирования. Современный персональный компьютер позволяет решать задачи с числом узлов, измеряемым тысячами и десятками тысяч. Естественно, что в таких услс^виях невозможно себе представить «ручное» составление конечно¬ элементной сетки, и большинство современных программных средств обладает теми или иными автоматическими сеточными генераторами.Простейшим вариантом генерации является случай создания прямоугольной сетки элементов на прямоугольной области плоскости. При этом может быть создана сетка с переменным или постоянным шагом, например, в плоскости ХоУ. Ввод параметров сетки выполняется заданием величины шагов и количества повторений по каждому направлению.Так, например, при задании следующих параметров разбивки:Шаг вдоль оси XКоличествошаговШаг вдоль оси YКоличествошагов0.560.2580.2580.5615получим схему, показанную на рис. 2.12.Рис. 2Л 2.
98ЦИКЛ 2Создание сетки треугольных конечных элементов (триангуляция) в замкнутой области произвольной формы на плоскости является одним из наиболее универсальных средств формирования сеток конечных элементов. Эта операция автоматически выполняется практически в любой современной программной системеУдобство применения треугольников в качестве элементарных областей, занимаемых отдельными конечными элементами, определяется тем, что с их помощью легко описывать границы тел достаточно сложной формы. Кроме того, треугольная сетка полезна при сгущении элементов в той части расчетной области, где предполагаются высокие градиенты напряженного состояния конструкции, например, в местах концентрации напряжений у вырезов, входящих углов и т.п. Треугольники хорошо приспособлены для автоматического построения сетки конечных элементов, причем большинство известных генераторов сеток, включенных в развитые программные комплексы, основаны на триангуляции области. Именно эти преимущества треугольных конечных элементов и обуславливают их широкое использование в программных комплексах.Для триангуляции области чаще всего используется метод, основанный на построении диаграммы Вороного (рис. 2.13,а\ с помощью которой можно разделить плоскость на области притяжения заданного множества узлов. Каждое ребро этой диаграммы является отрезком прямой, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему пару наиболее близко расположенных точек, и делит этот отрезок пополам. Если теперь соединить отрезками каждую пару точек, имеющих общее ребро в диаграмме Вороного (рис. 2.13,6), то мы получим систему треугольных фигур покрывающих рассматриваемое множество узлов (триангуляция Делоне).Рис. 2.13.Важным свойством конечно-элементной сетки является ее гладкость (постепенное изменение размеров элементов), поскольку резкое изменение характерных размеров элемента вносит чувствительное возмущение в картину напряженно-деформированного состояния. Особенно это заметно при рассмотрении напряжений, представленных линиями уровня. В хороших сеточных генераторах имеются возможности управления сгущением (к точке, к линии, к центру или периметру области и др.), которые позволяют выдержать заранее заданную степень гладкости разбиения. А сам механизм
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ99сгущения сетки дает возможность более детально исследовать места концентрации напряжений, зоны краевого эффекта в оболочках и т.п.Густота разбиения сетки в автоматических генераторах управляется такими параметрами, как задаваемое максимальное расстояние между узлами и допускаемый минимальный угол в вершине треугольника.С точки зрения конечно-элементного анализа можно смело говорить о том, что оптимальным является разбиение на элементы имеющие форму простейших равносторонних фигур (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб). Практически это требование достигается очень редко и получаемое разбиение на конечные элементы отлично от оптимального. Поэтому возникает задача оценки качества полученного сеточного разбиения, для чего строятся различные измерители (см. табл. 2.4).Таблица 2.4ПараметрТреугольникиЧетырехугольникиОптимумРекомен¬дуетсяОпти¬мумРекомен¬дуетсяКоэффициент формы1 ... 1,31 ...4Минимальный угол, градусы6030... 609045 ... 90Максимальный угол, градусы6060...909090... 135Отношение максимального угла к минимальному11Отношение максимальной стороны к минимальной11 ...411 ...4Отношение площади к квадрату периметра2Д/З0,5 ...20,06250,04... 0,1Вытянугость	—10,25 ... 1Одним из таких измерителей является коэффициент формы, который вычисляется следующим образом. Для каждой стороны элемента Lt определяется площадь идеального элемента такой величины (для равностороннего треугольника она равна 0,433(£,)2, а для квадрата — (Д)2), и затем эти площади осредняются.Отношение этой осредненной «идеализированной» площади к реальной площади элемента принимается в качестве меры качества.Для четырехугольных элементов следует ограничить их стремление к «игольчатой форме», для чего используется такой измеритель, как вытянугость. Используются и другие измерители, данные о которых приведены в таблице 2.4, где также указаны рекомендуемые и оптимальные значения соответствующих мер качества.
100ЦИКЛ 2Беседа 2.6. Кое-что о расчетных моделях МКЭОдним из основных достоинств метода конечных элементов является его способность решать задачи, где в расчетной схеме взаимодействуют элементы разного типа (стержневые, оболочечные, плитные и т.п.).Но нужно помнить, что метод конечных элементов есть способ приближенного решения некоторых дифференциальных уравнений, которыми описывается точная постановка задачи. Поэтому следует понимать, какими свойствами обладают эти дифференциальные уравнения и к каким результатам могут приводить их решения.Так, стыковка конечных элементов различной размерности (следовательно, нацеленных на решение различных дифференциальных уравнений) может привести к неожиданным неприятностям. На одну из них мы уже указали, когда рассматривали примыкание изгибаемого стержня к балке-стенке, замоделированной элементами плоской задачи теории упругости (см. рис. 2.10). Там причиной была различная размерность соответствующих дифференциальных уравнений (соответственно, и числа степеней свободы в узле). Для стержня узел должен иметь три степени свободы, для плоской задачи теории упругости — две.Однако возникновение неприятностей может быть связано и с различными свойствами решений, соответствующих различным дифференциальным уравнениям. Так, для некоторых двухмерных задач теории упругости сосредоточенные воздействия дают бесконечные решения в точке приложения такого воздействия. К чему это приводит в конечноэлементном представлении задачи, покажем на примере стыковки изгибаемой плиты и стержневого элемента.Итак, рассмотрим дискретную расчетную схему, сочетающую в себе конечные элементы плиты и стержневые элементы, жестко присоединенные к плите. Сетка конечных элементов плиты выбирается так, чтобы стержни каркаса здания попадали в узлы сеточного разбиения плиты. Такая расчетная схема обеспечит в узлах стыковки плитных и стержневых элементов совместность как вертикальных перемещений плиты и каркаса (перемещений в направлении, перпендикулярном плоскости плиты), так и соответствующих углов поворота. Однако, получаемые в этой расчетной схеме изгибающие моменты в сечениях стоек, примыкающих к плите, не имеют отношения к истинному распределению внутренних усилий. А если это так, то это скажется и на распределении внутренних усилий в остальных элементах каркаса здания.Действительно, представим себе, что сетка плиты сгущается, и расчетчик, убежденный в отношении сходимости используемого конечного элемента плиты, ожидает все большего уточнения результатов расчета.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ101Однако, начиная с некоторой сеточной разбивки, дальнейшее дробление сетки должно приводить к уменьшению абсолютных значений изгибающих моментов в стержнях в местах их заделки в плиту. В пределе, при устремлении максимального размера сеточной ячейки к нулю эти изгибающие моменты также должны стремиться к нулю, а это означает, что данная расчетная схема обеспечивает не жесткое, а шарнирное присоединение элементов каркаса к плите.То, что пользователь формально при избранной им сетке получает некоторые отличные от нуля численные значения изгибающих моментов, свидетельствует лишь о погрешности дискретизации в методе конечных элементов, но нет же никаких оснований погрешность дискретизации принимать за достойный доверия результат!В самом деле, изгибающий момент в стержне в описанной выше расчетной схеме, вне зависимости от размеров сетки, передается на плиту как момент, сосредоточенный в узле сетки. С другой стороны, плита под действием сосредоточенного изгибающего момента получает бесконечный угол поворота в плоскости действия момента в месте его приложения, а точнее, в выражении для угла поворота возникает особенность логарифмического типа. Таким образом, плита не оказывает сопротивления нр сосредоточенный поворот, а значит, и не защемляет элементы каркаса.В качестве тестового примера приведем результаты расчета защемленной по контуру квадратной плиты с одиночной стойкой, заделанной в центре плиты.На свободном верхнем конце стойки приложена внешняя сосредоточенная	сила	Р,направленная вдоль глобальной оси Z (рис. 2.14). В данном случае изгибающий момент в нижнем сечении стойки будет величиной постоянной, не зависящей от размеров сетки конечных элементов, так как система статически определима в отношении стойки.Однако, тот же эффект проявляется в горизонтальном перемещении вершины стойки, неограниченно нарастающем при сгущении сетки за счет роста угла поворота в центральном узле плиты.Во второй строке табл. 2.5 приведены результаты вычисления перемещения wn свободного конца стойки в направлении оси Z в зависимости от используемой сетки (пхп) конечных элементов на четверти плана плиты.
102ЦИКЛ 2Таблица 2.5.пхп2x24x48x816x1632x3264x64wnx10411,82611,99612,16212,32612,49212,659z^xlO411,20911,19411,18011,17211,169При расчете приняты следующие исходные данные к задаче:•	толщина плиты h = 0,5 м;•	полные размеры плиты в плане 10,0x10,0 м;•	размеры поперечного сечения стойки 0,5x0,5 м;•	характеристики материала плиты и стойки Е = 3 * 107т/.м2, v = 0,25 . Легко заметить, что при каждом удвоении сетки рост прогиба ъип происходит практически на одну и ту же величину А = 0,167-10-4, иначе говоря, прогиб стойки растет линейно вместе с ростом log2 п, точнееи)п = ю2+ Alog2(«-l),откуда, как и следовало ожидать, и вытекает неограниченное возрастание угла поворота корневого сечения стойки вместе с измельчением сетки конечных элементов.Отсюда следует важный практический вывод: при создании расчетной модели следует учесть фактические условия сопрояжения колонны с плитой. Для этого часто используют прием, заключающийся в том, что по контуру габарита колонны предусматриваются узлы, через которые передаются на плиту усилия от колонны (рис. 2.15,а). Альтернативным приемом является передача нагрузки от колонны в виде распределенной по «пятну контакта» (рис. 2.15,6).Перейдем теперь к рассмотрению продольных и поперечных сил в стержневых элементах, примыкающих к диску. Можно показать, что при действии сосредоточенной силы в плоской задаче теории упругости перемещение точки приложения этой силы в направлении действия силы имеет особенность.Повторяя предшествующие рассуждения для изгибающего момента, мы приходим к выводу, что при точном решении задачи с точечным сопряжением (т.е. сопряжением в одиночном узле) стержня и плоской задаче теории упругости передающееся на стержень усилие должно равняться
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ103Рис. 2.16нулю. И опять-таки, отличные от нуля значения поперечных и продольных сил, формально получающиеся в стержнях в результате расчета дискретной модели, обязаны своим происхождением исключительно погрешности дискретизации. Сама же расчетная схема (не пугать с ее дискретным аналогом!) наводит как нулевые моменты, так и нулевые усилия в стержнях.К этому же выводу можно прийти и путем численных экспериментов, если внимательно проанализировать	результатырасчетов, получающихся при сгущении сетки в случае действия сосредоточенной силы на пластину. С этой целью обратимся к задаче, расчетная схема которой изображена на рис. 2.16.Пусть задача характеризуется следующими данными:•	толщина пластины h = 1,0;•	габаритные размеры пластины в плоскости (X,Y) 16,0x16,0;•	характеристики материала Е = 3* 105, v = 0,25;А • действующая нагрузка Р= 1000.В табл. 2.6 приведены результаты решения этой задачи, где vn — перемещение точки приложения силы Р в направлении оси У, и ясно, что отслеживаемое перемещение, как и следовало ожидать, неограничено нарастает вместе со сгущением сетки конечных элементов.Итак, общий вывод таков: точечное сопряжение стержневых элементов и элементов плоской задачи теории упругости в принципе приводит к некорректной постановке задачи.Таблица 2.6.п х п2x24x48x816x1632x3264x641>„х10455,27868,28282,66597,296111,989126,695Вообще, вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений, применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко сгущать сетку конечных элементов и существенно увеличивать размерность задачи.Однако упомянутое сгущение сетки может и не привести к результату, что подталкивает к дополнительному анализу ситуации. Одним из наиболее распространенных суждений является следующее: сосредоточенная сила есть не существующая в природе абстракция и, если бы она была создана, то, проткнув конструкцию любой прочности и не встречая сопротивления, унеслась бы в бесконечность. Выходит, что эта идеализация создает искусственную трудность, в борьбе с которой можно совершать героические подвиги, но практическая значимость таких подвигов весьма относительна.
104ЦИКЛ 2Следовало бы помнить о том, каким образом фактически реализована в конструкции та сила, которая идеализируется в форме сосредоточенной, тогда могут отпасть и вопросы о сходимости конечно-элементного решения к точному.Вопрос:Каким образом следует откорректировать конечно¬ элементную модель задачи, чтобы избежать упомянутых неприятностей?Ответ:В первую очередь следует детальнее рассмотреть конструктивные особенности сопряжения стержня и диафрагмы. Пусть, например, стальной ригель двутаврового сечения заведен на части своей длины в кирпичную стену, как это показано на рис. 2.17,а.Тогда в расчетной схеме, в том числе и в дискретном ее аналоге, достаточно учесть проникающий на соответствующую длину в область плоской задачи одномерный элемент-стержень, как это показано на рис. 2.17,6.а)	а)Иной вариант расчетной схемы можно предложить в случае монолитного сопряжения железобетонной стеновой панели и ригеля каркаса здания — рис. 2.18,а. Здесь можно учесть фактические размеры сечения — высоту ригеля, на протяжении которой вдоль границы стены уместно
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ105разместить абсолютно жесткое тело, как это показано на рис. 2.18Д Это абсолютно жесткое тело для самого ригеля корреспондируется с гипотезой плоских сечений, согласно которой сечение ригеля остается после его деформации плоским и не изменяет своих размеров.Разумеется, приведенные здесь два варианта формирования расчетных схем не исчерпывают всего многообразия возможных ситуаций, так что в каждом конкретном случае расчетчик должен исходить из конструктивных особенностей задачи, а не из неких заранее выдуманных, условных и подходящих на все случаи жизни схем.Рис. 2.19.Вместе с тем следует отметить, что прием «разноса области примыкания» по типу рис. 2.18 может использоваться и в других случаях сопряжения элементов различной размерности.На рис. 2.19 показан пример такого сопряжения, в котором цилиндрическая оболочка стенки и сферическая оболочка крышки защитной конструкции атомного реактора сопрягается с массивным кольцом.
106ЦИКЛ 2Беседа 2.7. Приемы анализа результатов расчетаПостроение расчетной схемы предшествует решению задачи, а некоторые предпосылки, используемые при моделировании, опираются на ожидаемые свойства решения. Например, предположение о малости перемещений и, в особенности, углов поворота служит основанием для решения задачи в геометрически линейной постановке, а предположение об отсутствии резких концентраторов напряжений лежит в основе применения примерно равномерной сетки конечных элементов.Поэтому необходим апостериорный анализ полученного решения и, при необходимости, корректировка расчетной схемы в соответствии с результатами такого анализа.Выполнение анализа результатов расчета сильно облегчается при использовании наглядных и простых моделей, для которых накоплен большой опыт применения, и ожидаемые результаты легко предсказываются.Но всегда следует помнить, что расчетная схема есть некоторая абстракция, созданная для определенных целей, и поэтому отношение к ней не должно превращаться в 	обожествление.	Некоторое чувство юмора по отношению к расчетной схеме характеризует опытного и грамотного расчетчика. Этот же расчетчик обычно использует (иногда не явно) не одну, а несколько, в некотором смысле близких расчетных схем и, если результаты анализа такого рода набора схем близки друг к другу, то уверенность в их правильности резко возрастает.При проектировании современных ответственных объектов все чаще используются весьма сложные и чрезмерно детализированные расчетные схемы. Предполагается, что таким образом гарантируется отыскание наиболее напряженных мест конструкции. Но нужно учитывать, что указанный результат может быть все равно упущен из-за трудности анализа и осмысления избыточной информации. Дело в том, что, начиная с некоторого уровня сложности системы, способность человека формулировать осмысленные и точные утверждения о поведении системы начинает резко падать. Здесь имеет место некоторый аналог принципа неопределенности Г ейзенберга в отношении детальности и информативности результатов расчета, которые выступают в роли альтернирующих параметров.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ107Имея дело с задачами большой размерности, расчетчик вряд ли сумеет в одной расчетной модели отразить все ее особенности так, чтобы не просто получить некоторый набор результатов, а сделать это доступным для понимания и качественного анализа. Наиболее полное и многостороннее представление, естественно, может быть получено в том случае, когда конструкция представлена целой серией моделей, каждая из которых посвящена другой характерной черте сооружения.Так, например, телевизионная башня, представленная на рис. 2.20, рассчитывалась:•	как консольный стержень переменной жесткости для оценки ее динамических характеристик,•	как пространственная ферма с неразрезными поясами — для определения невыгодных комбинаций усилий и расчетных значений в стержнях,•	как оболочечная система (фрагментарно) — для определения напряженно-деформированного состояния узловых соединений,•	совместно с грунтовым основанием — для определения длительных осадок и кренов и т.д.
108ЦИКЛ 2Таким образом, использование нескольких расчетных схем, которые в какой-то мере взаимно дополняют друг друга и ориентированы на различные свойства системы, позволяет 	провести более убедительный анализ.	При этом одновременно достигается и другой результат, парируются возможные ошибки, поскольку необходимость в объяснениях расхождения результатов расчета по разным схемам, довольно быстро локализует причины таких расхождений.Опыт проектной работы последних десятилетий показывает, что развитие средств автоматизации инженерных расчетов оказывает самое серьезное (увы, как положительное, так и отрицательное) воздействие на качество расчетных обоснований проектных решений. Тот уровень детальности и точности расчета, который сегодня доступен проектировщикам в массовом порядке, вчера еще был недостижим даже для наиболее квалифицированных организаций и специалистов. Вместе с тем, массовая доступность современных мощных расчетных вычислительных комплексов (в дальнейшем ВК) создает и целый ряд новых проблем.Иногда звучит призыв к выполнению расчетов по двум программам, но этот прием может быть и вредным.Мы говорим о возможном вреде только в том смысле, что выполнение расчета по двум программам, но с одной и той же расчетной моделью, провоцирует порождение опасной иллюзии двойного контроля и, якобы, двойной надежности результатов инженерных расчетов. Однако возможность переноса ошибки в моделировании объекта может все свести на нет.Вопрос:Если выполнялся двойной счет, то как следует оценивать меру расхождения результатов? Как принимается решение об удовлетворительном (не удовлетворительном) результате сопоставления?Ответ:Для того, чтобы более точно выполнить сопоставления, следует использовать нормировку расхождений. Например, если расхождения в продольной силе подсчитываются как соотношение\m-nA = — х 100 (%),для малых значений усилий мы получим искаженную картину (в районе нуля все такие оценки велики).Логичнее сопоставлять нормированные величины\n„ -nA	\м,-мА
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ109тогда расхождения становятся физически значимыми, а не формальными. Это легко увидеть из следующей таблицы.ЭлементN,n2An, %Aon, %1-220,0-222,41,0730,1662-14,9-12,118,4030,2623-460,9-462,20,2810,168461,758,74,8910,181Мы видим, что кажущееся большим расхождение усилий во втором элементе в действительности не такое уж значительное.Литература1.	Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. — М.: Наука, 1983.2.	Вовкушевский А.В., Шойхет Б.А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия трещин. — М.: Энергия, 1981.3.	Городецкий АС., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. — К.: Факт, 2005.4.	Каплун АБ, Морозов КМ., Олферьева М.A. ANSYS в руках инженера. — М.: УРСС, 2003.5.	Перельмутер А.В., Счивкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа: 4-е изд., переработанное и дополненное — М.: Издательство СКАД СОФТ + Издательство АСВ + ДМК Пресс, 2011.6.	Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. — СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998.7.	Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. — М.: Издательство АСВ, 2005.
110ЦИКЛ 3Цикл 3Нелинейные задачи статики
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	111...расчетчик, вступивший в область нелинейного анализа, и сейчас еще вынужден спотыкаться о «камни преткновения», которые рассыпаны там довольно щедро.М. РейтманЕсли хочешь поменять полы, то сначала почини крышу.Из афоризмов Интернета
112ЦИКЛ 3Беседа 3.1. Первоначальные сведения о нелинейных задачахЛинейная строительная механика, о которой шла речь в беседах первых двух циклов, является наиболее употребительной, но она не всемогуща. Задачи расчета несущих конструкций, ориентированные на уточненное предсказание особенностей поведения системы на всех этапах ее работы, включая и этапы, предшествующие разрушению, чаще всего не могут быть решены методами линейной строительной механики.Отклонение от закона Гука (физическая нелинейность), отказ от рассмотрения условий равновесия в геометрических терминах недеформированного состояния {геометрическая нелинейность), учет возможного изменения расчетной схемы в процессе деформирования (конструктивная нелинейность) составляют обычный набор нелинейностей, к которому апеллирует большинство исследователей и учебная литература.Этот набор далеко не полон. Он не включает рассмотрение эффектов, возникающих при протекании реологических процессов в материале (например, ползучесть) и нелинейные эффекты сопротивления движению типа сухого трения или другой природы, кроме того он опускает нелинейности, связанные с накоплением напряжений и деформаций в процессе изменения конструкции при ее создании (генетическую нелинейность). Последний тип нелинейности, конечно, можно рассматривать как вариант конструктивной нелинейности, поскольку рассматриваются системы с меняющейся расчетной схемой, но здесь изменения происходят не в результате действия нагрузки, а целенаправленно, по замыслу проектировщика, что дает основания для ее отдельного рассмотрения и наименования.В таблице 3.1, которую стоит внимательно проанализировать, проводится сопоставление между линейными и нелинейными задачами строительной механики. Нетрудно заметить, что при переходе к нелинейному анализу многие привычные подходы становятся непригодными, и о многих вопросах, которые ранее даже не привлекали к себе внимания, необходимо подумать.Не останавливаясь на подробностях, сформулируем хотя бы некоторые предостережения общего плана по проблематике нелинейного расчета. В частности, полезно привести здесь перечень вопросов из [4], которые должен задать себе расчетчик перед попыткой решения нелинейной задачи.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ113Таблица 3.1.ОсобенностьЛинейные задачиНелинейные задачиЗависимость смещений от нагрузкиСмещения линейно зависят от приложенной нагрузкиЗависимость смещения от нагрузки нелинейнаяСвязь между напряжением и деформациейПринимается линейная зависимость между напряжением и деформациейВ задачах, где рассматривается физическая нелинейность, зависимость "напряжение- деформация" может являться нелинейной функцией напряжения, деформации и/или времениВеличинасмещенияИзменение в геометрии благодаря смещению считается малым и игнорируется при проверке равновесияСмещения могут быть не малыми, для проверки равновесия необходимо использовать деформированное состояниеОбратимостьВсе деформации полностью обратимы и исчезают при разгрузке системыПосле снятия нагрузки состояние системы может отличаться от исходногоГ раничные условияГ раничные условия в те¬ чение расчета остаются не¬ изменнымиГраничные условия могут изме¬ няться, например, меняются пло¬ щадки контакта.Последовательно сть приложения нагрузокПоследовательность приложения нагрузок не важна, заключительное состояние от нее не зависитСостояние конструкции может зависеть от последовательности приложения нагрузокИспользованиерезультатовРезультаты расчета на разные нагрузки допускают сложение или умножение на некоторые коэффициенты с целью объединения рас¬ четных состоянийРазложение задачи на составляющие воздействия и последующее объеди¬ нение результатов невозможноИсходноенапряженно-деформи¬рованноесостояниеИсходное напряженно- деформированное состояние несущественноИсходное напряженно-деформиро¬ ванное состояние обычно требуется задать, в особенности для нелинейности, связанной с поведением материалаЭти вопросы возникают вследствие целого ряда особенностей нелинейных задач, многие из которых непривычны для специалистов, чье становление происходило под влиянием линейных решений.•	Насколько точно изучены свойства материала?•	Влияет ли на результат начальное напряженно-деформированное состояние, например, имеющиеся в системе остаточные напряжения? Если да, как оно может быть определено?•	Имеется ли возможность существования неоднозначности решения, например различные пути в проблемах выпучивания или больше чем одно послекритическое состояние? Если да, то возможно
114ЦИКЛ 3понадобится создать некоторые искусственные начальные несовершенства, с помощью которых будет достигаться только одно интересующее пользователя решение?•	Влияет ли на поведение конструкции история нагружения?•	Будет ли поведение материала одинаковым при нагружении и разгрузке?•	При больших смещениях или больших поворотах будет ли оставаться постоянным направление действия нагрузки или оно будет следовать за искажением формы?•	Должен ли использоваться больший коэффициент запаса для компенсации возможной погрешности или неуверенности в адекватности решения?•	Каким образом будут проверяться решения?Следует иметь в виду, что, каково бы ни было происхождение нелинейности, при практическом решении задачи возникает проблема решения соответствующей системы нелинейных уравнений равновесияИмеется много методов их решения, но, пожалуй, наиболее популярной является шаговая процедура, которая стала неотъемлемой частью нелинейного конечно-элементного анализа [1].Общие описания шаговой процедуры хорошо известны, и связаны с решением линеаризованных уравнений при постепенном возрастании некоторого времяподобного параметра t (например, интенсивности нагружения). В первую очередь, необходимо отметить, что сам переход от системы нелинейных уравнений равновесия к уравнениям с параметроми далее к цепочке линеаризованных уравнений шагового метода зависит от способа введения в систему параметра /, приращения которого реализуют переход от шага к шагу.Если такой параметр выбран так, что известно решение системы (3.2) при некотором значении t = t0, а при t = t система (3.2) тождественно совпадает с (3.1), то дифференцирование по t приводит к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентамис известными при t = t0 начальными условиями. Решая для системы уравнений (3.3) задачу Коши, получаем интегральную кривуюf(xux2,... ,Х„) = 0 (/= 1,2,... ,п).(3.1)Fj(xi,x2, ... ,х„, /) = 0 (i = 1, 2,..., п)(3.2)ПдЕ; dx, дЕ(3.3)X, = *,(/), Х2 = *2(0, ■■■ ,х„= *„(/),	(3.4)которая при t-t приводит к решению первоначальной задачи (3.1).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ115Известно несколько вариантов шаговой процедуры, которые, по сути, различаются лишь способами введения параметра t и/или используемыми методами численного решения указанной выше задачи Коши, в частности имеется возможность воспользоваться следующими модификациями шагового метода:•	простой шаговый метод;•	шаговый процесс с уточнениями;•	шагово-итерационный.В первом случае на каждом шаге, когда реализуется приращение нагрузки АР, решается линеаризованная задача, и в предположении, что это решение является достаточно точным, реализуется переход к следующему шагу нагружения. Практически, эта процедура соответствует простейшему способу решения системы дифференциальных уравнений, основанному на построении ломаной Эйлера (рис. 3.1) вместо построения интегральной кривой (3.4). Погрешность решения нелинейной задачи, т.е. отход ломаной Эйлера в процессе решения не контролируется — предполагается, что погрешность мала за счет выбора малого шага численного интегрирования. При этом жесткость линеаризованной системы (тангенс угла наклона ф) принимается без учета невязки в усилиях.Второй вариант предусматривает контроль невязок на каждом шаге и итерационное уточнение нагружения очередного шага за счет учета невязки в уравнениях равновесия. При этом итерации выполняются с неизменным значением линеаризованной матрицы жесткости (рис. 3.2), которая была вычислена в начале очередного шага, (угол ср остается неизменным на шаге).
116ЦИКЛ 3Наконец, в третьем случае (рис. 3.3) производится итерационное уточнение решения на каждом шаге АР с корректировкой линеаризованной матрицы жесткости на каждой итерации (угол ср меняется внутри шага).Описанные варианты шаговой процедуры становятся непригодными, когда наклон касательной приближается к нулю. В этих случаях часто применяют смену параметра нагружения, переходя от наращивания интенсивности нагрузки к увеличению перемещения, но наилучший эффект дает метод длины дуги (Arc Length Method) , известный в отечественной литературе как метод продолжения по наилучшему параметру. Метод основан на идее продвижения вдоль множества возможных решений (по кривой состояний равновесия) с учетом на каждом шаге информации о решениях, полученных на предыдущих шагах.Следует отметить, что, варьируя способ введения параметра г, можно получить содержательную информацию о поведении системы под нагрузкой. Если считать, что такой параметр присутствует в качестве множителя у всех членов уравнений (3.1), непосредственно описывающих внешние воздействия, то его монотонному увеличению от /0 = 0 до X = 1 соответствует пропорциональное увеличение нагрузок, а интегральная кривая (3.4) описывает поведение обобщенных координат в процессе такого нагружения. Можно представить себе и другие, более сложные и более близкие к реальности способы приложения и чередования нагрузок. Варьируя их, можно выполнить серию «математических экспериментов» по анализу поведения конструкции при различных режимах нагружения.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ117Важной особенностью шаговой процедуры и ее привлекательным отличием от других методов решения нелинейных уравнений является то, что линеаризованная в окрестности некоторого нагружения система может анализироваться обычными методами линейной строительной механики. Имеют смысл оценки коэффициента запаса устойчивости (естественно, что они характеризуют возможность роста интенсивности нагружения от уже достигнутого уровня) или частоты и формы собственных колебаний такой линеаризованной системы. Отмеченные особенности шаговой процедуры характеризуют ее не только как способ получения решения задачи, но и как инструмент анализа свойств конструкции.Вопрос:Было названо множество отличительных особенностей нелинейных задач строительной механики. Нельзя ли указать на самое важное различие линейных и нелинейных задач, которое заставляет пересмотреть основные положения расчета?Ответ:На мой взгляд, это нарушение принципа независимости действия сил, который в линейных задачах дает возможность выполнить ряд независимых расчетов конструкции, проанализи¬ ровав, таким образом, ряд характерных расчетных ситуаций, а затем комбинировать полученные результаты, рассматривая, например, совместное действие отдельных нагрузок.а)EJ = cL5Ь)R = cA31£ | р =?|cL3XХ/1000Рис. 3.4Кроме того, в линейных задачах невыгодная комбинация временных нагрузок либо включает такую нагрузку в полном объеме, либо (если ее
118ЦИКЛ 3действие разгружающее) полностью исключает такую нагрузку. В нелинейных задачах такая «черно-белая логика» влияния временных нагрузок может оказаться неверной, есть примеры, когда невыгодным является учет некоторой части нагрузки, а не ее полного значения. Один из таких примеров представлен на рис. 3.4, где для стержня, опертого на нелинейно-упругую опору, реакция которой пропорциональна кубу смещения, зависимость между углом поворота ф и силовым параметром X такова, что только при 0 < X < 0,004425 угол поворота возрастает, а при больших значениях интенсивности нагружения X он начинает уменьшаться.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ119Беседа 3.2. Проблемы физической нелинейностия)Во-первых, следует предостеречь от неразборчивого использования термина «физическая нелинейность». Дело в том, что часто рассматривается задача, отличающаяся от линейной только тем, что функциональная линейная зависимость между напряжениями и деформациями заменена некоторой нелинейной функцией.б)Рис. 3.5.При этом такая функция принимается однозначной и одинаковой для нагружения и разгрузки. Однако такие нелинейно-упругие материалы (рис. 3.5.а) в природе почти не встречаются, а отклонение от закона Гука у большинства конструкционных материалов связаны с явлениями пластичности. Но какой же пластический материал после разгрузки не дает остаточных деформаций? Собственно, в образовании остаточной (пластической) деформации и кроется то явление, которое мы называем пластическим течением (рис. 3.5.6).Приведенное выше замечание часто парируется ссылкой на то, что будут рассматриваться только такие истории поведения конструкции, когда все нагрузки только возрастают. Но дело в том, что рост нагрузок не гарантирует роста напряжений во всех точках тела, поэтому, даже приняв такое самоограничение, нельзя себя полностью застраховать от ошибки.Нужно четко представлять себе, что упругопластическое поведение материала отличается от поведения нелинейно-упругого материала, и заранее не известно, что замена одной задачи другой является решением в запас надежности.Во-вторых, нужно помнить, что, ступив на дорожку нелинейного анализа, мы лишили себя возможности использовать принцип
120ЦИКЛ 3независимости действия сил, на использовании которого построены все методы отыскания невыгодной комбинации нагрузок. Даже само понятие комбинированного действия нагрузок нуждается в уточнении, поскольку важную роль может играть не только состав комбинации, но и последовательность действия ее составляющих.Проиллюстрируем это утверждение простым примером расчета системы (рис. 3.6), состоящей из четырех деформируемых стержней, соединенных с жесткой балкой. Стержни имеют одинаковые площади поперечных сечений и выполнены из идеального упруго-пластического материала. В состав внешнего воздействия входят независимо меняющиеся силы Рх и Р2.Условия равновесия балки сводятся к двум равенствамгде А(at + a2 + a3 + a4) A = Px + P2 (a2 +2a3 + 3<j4)A = 3 P2 площадь поперечного сечения стержня.(3.5)add W	-Ы«	Ы*	щр щр щш щрА 1L123±- (\	1\	1	й1^.IРис. 3.6.Поскольку балка жесткая, то перемещения нижних концов стержней связаны соотношениямиЗД2 = 2А, + Д4 ЗД3 = А, +2Д4 J(3.6)Относительные удлинения стержней пропорциональны перемещениям е, = Д,/L {i = 1,2,3,4).	(3.7)При этом физические зависимости имеют виде,. = Of/Е + sipl (/' = 1,2,3,4),	(3.8)где Е — модуль упругости материала, а через zi t обозначена пласти¬ ческая часть деформации.Решая систему уравнений (3.5)...(3.8) относительно напряжений, получим зависимости
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ121IV'0,7-0,21<*2_ 10,40,1\Р'~+ Е<*3~ А0,10,4Lр2.1_СТ4_-0,20,7 J-0,30,40,1-0,2]£..р/0,4-0,70,20,1г2.Р,0,10,2-0,70,4£З.Р/-0,20,10,4-о,з]le^J(3.9)Отметим еще, что зависимости (3.5) справедливы не только для о,Ри £Р1, но и для приращений Аст, АР и Аер/.Из равенств (3.3)...(3.5) находим зависимости перемещений концов балки от сил и пластических деформацийIV_ L'0,7-0,2"И1'0,70,40,1-0,21к.~ ЕА-0,20,7к+-0,20,10,40,7 J^2,р1ЧР1Чр/(3.10)Соотношения (3.9)...(3.10) позволяют проследить за процессом изменения пластических деформаций в стержнях и перемещений балки при заданной программе нагружения.Рассматривается случай последовательного приложения и снятия независимо действующих нагрузок, меняющихся в диапазоне 0 < oil = Рх/(А<зт ) < 1,62 и 0 < а2 = Pi /(Лот ) < 1,62.Пусть сначала растет только Рь а Р2 = 0. Первым будет течь стержень1	и это начнется тогда, когда 0,7а\ = 1, т.е. при ai = 1,429. Зависимость пластической деформации в первом стержне при параметре нагружения ai = 1,62, при котором, как нетрудно проверить, отсутствует текучесть других стержней, найдем из первого уравнения (3.9), положив с{ = ат и все пластические деформации стержней 2, 3 и 4 отсутствующими, будем иметьат = 0,7 • 1,62 • ат - 0,3Eelpl = 1,134ат - 0,3Ее1р1 или г1р1 =0,447 (ат/£).Если это равенство подставить в (3.5), то получим(V■ 1,000 10,648°з-СТТ0,162L04.-0,413 JВидно, что все стержни, кроме первого, работают упруго. Если теперь разгрузить конструкцию, то вновь обращаясь к (3.5) и подставив туданулевое значение нагрузки и остаточных напряженийг\,Р1 =0,447(от/£), получим значения
122ЦИКЛ 3г°?■-0,134]СТ20,178= СТТ0,045|_СТ4_-0,089jЕсли теперь догрузить систему полным значением второй нагрузки Р2 = \,62А<зт, то, предполагая, что система будет воспринимать эту нагрузку как упругая, с помощью (3.9) получимГ°'"" 1,000 "'1,62-0,2''-0,134]°20,6481,62 0,10,810= стт+ От=<*з0,16211,62-0,40,8101_СТ4_-МП1,62 0,7_ 0,721 JНаше предположение об упругом характере работы конструкции при догрузке подтвердилось, и приведенное выше решение можно полагать верным.Однако следует обратить внимание на характерную особенность полученного решения:При совершенно симметричной конструкции и одинаковых по величине воздействиях Pi и Р2 мы пришли к несимметричному ответу за счет того, что несимметричной была последовательность нагружения конструкции — сперва Pi и затем лишь Р2.Нетрудно видеть, что при обратной последовательности нагружения (сперва Р2 и затем Р\) решение было быГ°'"' 0,721 ]°2= °т0,81010,810lCT4_-0,134JЗдесь полезно заметить, что при использовании нелинейно-упругой (обратимой) модели материала вместо пластического материала, работающего различным способом при нагружении и разгрузке, эффект влияния последовательности нагружения исчезает.Вопрос:В последнее время активно пропагандируется идея деформационного анализа, когда ограничиваются не напряжения (например, не выше предела текучести или другого значения расчетного сопротивления), а некоторые значения предельных деформаций. Как при этом могут интерпретироваться результаты упругопластического анализа?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ123Ответ:Ограничение предельных деформаций имеет весьма косвенное отношение к физике упругопластического поведения. Теория пластичности оперирует понятием допустимой области в пространстве напряжений и не вводит никаких ограничений в пространстве деформаций. При этом рассматривается силовое нагружение конструкции.Если же рассматривать воздействие в виде принудительного формоизменения (кинематическое или деформационное нагружение), то может иметь смысл введение соответствующих ограничений.Разница между силовым и деформационным нагружением очень четко проявляется, когда рассматривается вопрос о том, является ли достаточной характеристикой надежности коэффициент запаса, вычисленный по напряжениям. Ответ на этот вопрос отрицателен, для чего полезно рассмотреть два способа создания напряжений в стержне — приложением некоторой нагрузки Р, вызывающей в сечении стержня напряжение а, и принудительным деформированием, создающим такую деформацию 8, что ей соответствует такое же напряжение а (рис. 3.7). В первом случае увеличение напряжения в 1,5 раза приведет к разрыву стержня, во втором (увеличение деформации в те же 1,5 раза) — лишь к росту остаточных деформаций.Вопрос:В некоторых нормах проектирования железобетонных конструкций приводится диаграмма работы материала с падающей ветвью кривой «напряжение - деформация».Можно ли, используя такую диаграмму, ориентироваться на определение предельной нагрузки?Ответ:В Еврокоде-2 для бетона приведена зависимость между деформациями и напряжениями
124ЦИКЛ 3G krj-ri(3.11)где Tj = e / £cl; £cl - деформация, соответствующая максимальномунапряжению /cm(fci и fcm задается для каждой марки бетона);к = 1,05£|£с1|//сш .Следует помнить, что ниспадающая ветвь этой кривой(рис. 3.8,а) может реализоваться только в условиях принудительного деформирования, и ее никак нельзя обнаружить при силовом нагружении.Поэтому для проверочных расчетов те же нормы рекомендуют зависимость<*=/«,/ \п1-1—ъ-для 0 < е < ес2К ес2 j= для еС2 - е -(3.12)не обладающую ниспадающей ветвью (рис. 3.8.6).Отсутствие такой оговорки в отечественных нормах является упущением их составителей.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ125Беседа 3.3. Работа упругопластической системы при росте нагрузкиРассмотрим вновь простейшую конструкцию, состоящую из жесткой балки и четырех деформируемых стержней, но нагруженную силой Р, расположенной под вторым стержнем (рис. 3.9). Расстояния с и площади сечений стержней А одинаковы; материал идеальный упругопластический. Проследим за изменениями напряжений в стержнях и перемещением левого конца балки в процессе роста силы Р вплоть до ее предельного значения.IРРис. 3.9Уравнения равновесия, записанные с помощью усилий в стержнях, имеют вид:Nx + N2+Ni + Na = P;N2c + 2N3c + 2N4c = Pc.После сокращения на с и деления на А приходим к равенствам в напряжениях:сг, +сг2 +сг3 + сг4 = Р / А; сг2 +2<т3 +2сг4 -Р/А.Условия совместности деформаций можно записать так:(3.13)Д/2 = 2Д/,/3 + Л/4 /3, Д/3 = Д/,/3 +2Д/4/3.После деления на ИЗ имеем:Зе2 =2е. + е.,3£,■ +2е4.(3.14)-1 ‘Ч> -’•'3Заметим, что равенства (3.13) и (3.14) не зависят от наличия и степени развития пластических деформаций.
126ЦИКЛ 3Упругая стадия работы. В начале нагружения все стержни работают упруго, справедлив закон Гука:е] =ст]/Е, е2 =ст2/Е, £у =<тъ/Е, £4 =<j4/E.Из этого равенства и соотношений (3.10) следует: Зсг2 - 2<т, + сг4, 3<т3 - CTj + 2сг4 д05авляя эти равенства к уравнениям (3.7) и решая систему, получаем:<х,=0,4P/А, сг2 = 0,ЗР/ А, сг3 =0,2Р/А, ст4=0,1/>/^ Перемещениелевого конца балкиA/j =£1/ = 0,4Р//(Е4).Из представленного решения видно, что наибольшие напряжения возникают в первом стержне. В нем будет раньше достигнут предел текучести. Как только это произойдет, конструкция перейдет в упругопластическую стадию работы. Предельную упругую нагрузку Ре\найдем из условия:	откуда ^еХ ~ ^Упругопластическая стадия — в состоянии текучести находится первый стержень. Когда возрастающая сила Р превысит предельное упругое значение, первый стержень потечет, напряжения в нем будутпостоянными G\~ai- Второй, третий и четвертый стержни будут еще работать упруго. Уравнения равновесия (3.11) после этого примут вид:сгт + сг2 + сг3 + а4 = Р / А; а2 + 2<т3 + 2сг4 = Р / А.	(3 15)АI =иР-1аТА)И(ЪЕА).По последнему равенству определяем 1 v	1 7 v 7Сопоставляя величины напряжений (3.13), видим, что текучесть вовтором стержне начнется раньше, чем в третьем или четвертом. Обозначимсилу, соответствующую началу текучести второго стержня Ре2, и найдем ее°т =сг2 ={5Ре2 - %crTA)/(6A)=>Pe2 =2,8сгт / А.Упругопластическая стадия - в состоянии текучести первый и второй стержни.Чтобы отразить работу конструкции на этом этапе, в уравненияравновесия (3.9) введем равенства ~ °2 ~ °т' В итоге получим а}=(2Р-5аТА)/А, а4 =(ЗатА-Р)/АДеформации стержней 3 и 4 найдем по закону Г ука:е3 =(2Р-5атА)/(ЕА), е4 =(3атА-Р)/(ЕА)Подставляя этот результат во второе равенство (3.10), получаем =(%Р-2\отА)/(ЕА)' откуда Д/, ={%Р-2\а,А)И{ЕА).Если в состояние текучести перейдет стержень 3 или 4, конструкция станет геометрически изменяемой и разрушится. Найдем разрушающую~	<т3 =(2Р-5атА)/А = атнагрузку Ри. Третии стержень потечет, когда J v	17	1 т.е.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ127Р =3<гтЛ,	„	сг4 =(3<jjA — P)/ А=стт,при и т а четвертый при 4 v 1 7	что даетР — 4сг >4	р — Зо- А.и т ’ Из двух решений действительно меньшее: и тНесмотря на простоту рассмотренной стержневой системы, в ее работе проявились такие особенности (рис. 3.10), которые свойственны и более сложным конструкциям.Первая особенность (рис. 3.10,а) - предельная упругая нагрузка Ре (предельная по упругому напряжению в опасной точке) меньше разрушающей Ри (предельной по несущей способности). Это свидетельствует о том, что методы расчетов, учитывающие пластические свойства материалов, полнее используют резервы прочности конструкций.Рис. 3.10Вторая особенность — перераспределение напряжений в упругопластической стадии. Действительно, при упругой работе характеристики напряженно-деформированного состояния росли пропорционально росту нагрузки. Отношения между ними оставались постоянными. С появлением пластических деформаций эти соотношенияизменяются. Так, напряжение ^ , достигнув предела текучести, растии (У 2	т.перестало, но увеличились скорости роста напряжении 2 и -3.Третья — несмотря на монотонный рост силы, возможна локальная разгрузка (см. уменьшение напряжении в четвертом стержне, рис. 3.10.я).Вопрос:Какие из указанных особенностей поведения упруго¬ пластической конструкции не могут быть найдены с помощью модели нелинейно-упругого материала?Ответ:В первую очередь это уже упоминавшееся ранее отсутствие остаточных деформаций.Но не меньшее значение имеет найденное в приведенном примере свойство локальной разгрузки системы при монотонном росте интенсивности нагружения.
128ЦИКЛ 3Ссылками на возрастание нагрузки очень часто аргументируют возможность использования нелинейно-упругого подхода, но он может быть оправдан лишь в том случае, когда монотонно возрастают внутренние усилия, а именно это никак нельзя гарантировать.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ129Беседа 3.4. Экстремальные свойства предельного состояния текучестиРассмотрим задачу определения предельной нагрузки, действующей на упруго-пластическую статически неопределимую систему из материала с диаграммой работы, близкой к диаграмме Прандтля. Нагрузка при этом считается заданной по направлению и по соотношениям между отдельными внешними силами, которые ее составляют.Определению подлежит лишь числовой коэффициент пропорциональности, характеризующий величину предельной нагрузки.Предварительно введем несколько определений. Будем называть напряженное состояние системы статически допустимым, если оно удовлетворяет условиям равновесия. Напряженное состояние системы, при котором ни в одном из ее элементов не превышен предел текучести, будем называть безопасным.Пусть Sj— некоторое распределение внутренних усилий,удовлетворяющих уравнениям равновесия, и пусть “i— некоторое поле скоростей, удовлетворяющее условиям, наложенным на узловые перемещения внешними связями. Этому полю скоростей соответствуютскорости деформаций ^ элементов системы. Введенные поля скоростей и внутренних усилий Sj в остальном произвольны и никак не связанымежду собой, важно лишь то, что поле скоростей должно соответствовать условиям неразрывности деформаций (кинематически допустимым), а поле внутренних усилий — уравнениям равновесия (статически допустимым).Если система находится в состоянии пластического деформирования и упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению с пластическими, то справедливо следующее условие энергетического балансаZ s A j = Ё р<«1 ’	<3-17)j = 1 i = 1в котором левая часть является скоростью диссипации энергии, а правая часть — мощность внешних нагрузок, т.е. совершаемой в единицу времени работой этих нагрузок, которая необходима для пластического деформирования.
130ЦИКЛ 3Оба эти выражения являются неотрицательными, т.е.(3.18)j=1 1=1следует из энергетических соображений, а само уравнение (3.17) играет в теории пластического течения ту же роль, что в статике играет уравнение (1.3) принципа возможных перемещений.Две теоремы, приведенные ниже, позволяют получить нижнюю и верхнюю оценку для параметра нагружения. Эти теоремы были впервые сформулированы и доказаны А.А.Гвоздевым в 1936 году, затем они многократно переоткрывались разными авторами.Теорема о нижней оценке несущей способности (статическая). Пусть Sj (j = 1,..., л) и ui (i = 1 ,...,$) — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии системы, подверженной действию нагрузок Pi (/ = 1,...,$) , и S* (j = 1,...,л) — некоторое допустимое распределениеусилий, соответствующее этим нагрузкам на систему. Мы полагаем, что для допустимого распределения усилий выполняются уравнения равновесия и условие непревышения предельных значений, определяемых пределомтекучести S] < SJ lim (j = 1,.Составим условия равновесия в форме принципа возможных перемещений как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное)tSjK=X^>	(з-19)j=1	1=1(3.20)j=1 1=1Здесь Pj — истинные нагрузки, соответствующие предельному состоянию системы, Р*—нагрузки, соответствующие допустимому состоянию S*. Вычитая (3.20) из (3,19), получимZ^-Z^4=Z(s,-s;)*,. (3-21)/=1 /=1 j=1Но вследствие (3.18) правая часть неотрицательна, поэтому(3-22)1=1 1=1Следовательно, мощность внешних сил в действительном предельном состоянии не меньше, чем мощность статически возможных внешних сил.Неравенство (3.22) служит для нижней оценки несущей способности. Если нагрузки заданы в виде \хР{ (i = 1,и статически допустимое
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	131состояние соответствует условиям равновесия с нагрузками \i Pt (i =	,то из (3.20) легко можно получить(3.23)Таким образом, сформулировано статическое экстремальное свойство предельной нагрузки для статически неопределимой системы из идеальногоупруго-пластического материала:	Интенсивность нагрузок, уравновешенных внутренними силами, нигде не перешедшими своих предельных значений, имеет величину меньше, чем в действительном предельном состоянии.Теорема о верхней оценке несущей способности (кинематическая).Пусть и*, X**— произвольное кинематически допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям. По заданным скоростям деформации X** определяютсявнутренние усилия S**, которые, вообще говоря, не удовлетворяют уравнениям равновёсия.Выпишем уравнения (3.19), принимая м" за поле виртуальных скоростей£*А7=£ф~-	(з-24)j=1	,-=1Прибавим и вычтем в правой части этого равенства величину мощности пластического формоизменения, соответствующего кинематически допустимому полю й**. ПолучимЁ^7=2Ж-(задj=1 i=l j=lНо второй член в правой части неотрицателен, поэтомуi^r<ix7s".	(з.2б)/=1	у=1Следовательно, мощность внешних сил в действительном предельном состоянии на кинематически возможных скоростях перемещений меньше мощности сил, соответствующих указанным возможным скоростям, на этих скоростях.Если по-прежнему внешняя нагрузка представляется с точностью до одного множителя, т.е. \xPt (/ = 1,...,^), то из (3.26) следует	•	(3.27)/=1Правая часть этого неравенства известна, когда задано кинематически возможное поле скоростей.
132ЦИКЛ 3Если учесть, что S** = \i*Sj, то с учетом (3.24) получаемц<ц\	(3.28)Таким образом, сформулировано кинематическое экстремальное свойство предельной нагрузки для статически неопределимой системы из идеального упруго-пластического материала:Интенсивность нагрузок, вычисленная по любой из кинематически возможных схем пластического разрушения больше, чем в действительном предельном состоянии.Применяя оценки (3.21) и (3.25), можно получить интервал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки. Если верхняя оценка и нижняя оценка совпадают, то мы получаем точное решение задачи о несущей способности.Пример. Рассчитаем кинематическим и статическим методами систему, изображенную на рис. 3.9, детальный расчет которой был сделан выше.А.	Кинематический метод.Будем считать, что подвески одинаково работают на растяжение и на сжатие. Кроме того, будем считать упругие деформации подвесок настолько малыми, что ими можно пренебречь по сравнению с деформациями текучести.Тогда можно задаться четырьмя кинематически возможными формами разрушения системы, а именно: поворотами балки на малый угол вокруг точки прикрепления каждой подвески (рис. 3.11). Уравновешивающая нагрузка будет равна:
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ133•	при повороте вокруг точки А (рис. 3.11 ,а)P=NT (/+2/+3/)//=67VT;•	при повороте вокруг точки В (рис. 3.11,6/ так как плечо силы относительно точки поворота равно нулюР= оо;•	при повороте вокруг точки С (рис. 3.11 ,в)P=NT (2l+l+l)/l=4NT;•	при повороте вокруг точки D (рис. 3.11, г)P=NT (3/+2/+/)/2/=3jVt.Мы видим, что минимальное усилие Р=Рщ> равное ЗА^Т, получается при повороте балки вокруг точки D, т. е. когда в состоянии текучести находятся первая, вторая и третья подвески. Эгот результат совпадает с проведенным выше полным расчетом.Б. Статический метод.Поскольку система дважды статически неопределима, будем задаваться такими напряженными состояниями ее, при которых три элемента находятся в состоянии текучести, причем усилие в четвертом элементе должно быть меньше предельного.Здесь возможны следующие комбинации:1.Nl=N2=N3=NT;2.	N\ =N2 =N4 =7Vt;3.	N\ =N) =N4 =7Vt;4.	Ni =N3 =N4 =Nt.f-. Г- !*’■ ■ f iЬ f. r- t I i.Рис. 3.12Эти состояния показаны на рис. 3.12. Усилие в оставшемся элементе, не достигшем текучести, надо определить из условия, что момент всех сил относительно точки приложения внешней силы равен нулю. При этом получаем:для случая 1: Л4=0;
134ЦИКЛ 3для случая 2: tV3= -Nj, для случая 3:jV2=oc; для случая 4: =З^УТ.Мы видим, что 3-й и 4-й случаи отпадают, так как усилия в них получаются большими NT; 2-й случай возможен, если считать 3-й элемент одинаково работающим на растяжение и на сжатие.Для 1-го случая получаем предельную нагрузку Рпр=ЗЛ^т, а для 2-го случая Рщг 3NT - NT =2NT.Истинным состоянием предельного равновесия будет то, при котором нагрузка достигает максимального значения. Поэтому в рассмотренной системе состояние предельного равновесия возникнет в соответствии с 1-м случаем распределения предельных усилий. Этот результат совпадает с тем, что дает кинематический метод и полный расчет системы.Вопрос:Как влияет на значение предельной нагрузки начальное напряженное состояние системы?Ответ:Заметим, что в состоянии предельного равновесия рассматриваемая система является изменяемой (механизмом), поэтому начальные напряжения, которые могли бы существовать в системе (например, сварочные) не влияют на величину предельной нагрузки.Эта нагрузка определяется из уравнений равновесия, в которые самонапряженные состояния не входят, но именно с самонапряжениями связаны начальные напряжения, которые соответствуют нулевой внешней нагрузке.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ135Беседа 3.5. Геометрическая нелинейностьКогда речь идет о геометрически нелинейных задачах, то прежде всего нужно четко определиться, о каком уровне геометрической нелинейности идет речь. Для этого будем использовать классификацию геометрически нелинейных постановок задач, которая представлена в классическом труде В.В.Новожилова [3].Опираясь на эту классификацию, выделим следующие 4 этажа геометрически нелинейных постановок задач для конечномерных систем.На низшем, нулевом этаже естественно расположить все задачи, в которых можно полностью пренебречь любыми геометрически нелинейными эффектами. Иначе говоря, нулевой этаж относится к геометрически линейным постановкам задач.Прежде, чем подниматься хотя бы на одну ступень выше, стоит обратить внимание на то, что геометрическая нелинейность способна просачиваться в разрешающие уравнения задачи двумя каналами: через уравнения, связывающие перемещения с деформациями, и через уравнения равновесия. Поэтому на первом этаже мы оставим задачи, где допустимо открыть для геометрической нелинейности шлюзы лишь одного из этих каналов, а именно — через уравнения равновесия.К первому этажу геометрической нелинейности отнесем слабейший вариант геометрически нелинейной теории. В этом варианте теории считается, что уравнения равновесия следует записывать для деформированного состояния системы. Что касается связи деформаций с перемещениями, то эти соотношения для первого этажа геометрически нелинейных задач принимаются в линейном варианте. В строительной механике задачи первого этажа геометрической нелинейности иногда называют расчетом по деформированной схеме. В англоязычной литературе употребляется название теория второго порядка.Для конструкций, используемых в строительном проектировании, первый этаж геометрической нелинейности охватывает весьма широкий круг задач и, в первую очередь, задачи расчета стержневых систем, изгибающие моменты в элементах которых вычисляются с учетом поправок от влияния продольных сил.Поднимаясь по ступенькам выше, останавливаемся на втором этаже иерархии геометрически нелинейных постановок задач. Отличием от первого этажа служит раскрытие второго канала проникновения геометрической нелинейности — через геометрические уравнения,
136ЦИКЛ 3связывающие перемещения с деформациями. По сравнению с первым этажом существенным здесь является различение порядков малости деформаций и поворотов, при этом считается, что квадраты углов поворотов элементов рассматриваемой расчетной схемы являются величинами того же порядка малости, что и компоненты деформации, которые, в свою очередь, пренебрежимо малы по сравнению с единицей. Малы по сравнению с единицей и сами повороты. Характерный пример задач этого этажа нелинейности — теория гибких пластин на основе уравнений Кармана.К третьему этажу геометрической нелинейности можно отнести задачи, в которых деформации малы по сравнению с единицей, тогда как относительно поворотов таких предположений сделать нельзя. Конструкции с гибкими нитями служат отличным примером задач этого этажа геометрической нелинейности.Наконец, на вершине этой иерархии расположены самые сложные задачи—	задачи четвертого этажа геометрической нелинейности, когда сами относительные деформации нельзя считать малыми величинами по сравнению с единицей. Необходимость проведения расчетов изделий из резины и резиноподобных материалов заставляет расчетчиков подниматься и на эти высоты.Для дискретных расчетных схем геометрическая нелинейность никак не сказывается на топологической информации о расчетной схеме, а сама топология системы нечувствительна к взаимоотношениям порядков геометрической нелинейности на уровне отдельного конечного элемента. Воспользовавшись такой возможностью для иллюстрации описанного выше четырехэтажного здания геометрической нелинейности, обратимся к простейшему примеру конечного элемента — стержню ферменного типа. Для упрощения рассмотрим плоскую задачу.Пусть в исходном состоянии стержень занимает положение MN с началом в узле М и концом в узле N. Под исходным здесь понимается состояние стержня после получения им предварительной вытяжки (дислокации) на величину d. В результате последующей деформации стержень, оставаясь прямолинейным, займет положение M*N*, как это показано на рис. 3.13.Введем следующие обозначения:Lx, Ly— проекции стержня на соответствующие оси в исходном состоянии;L и L* — длина стержня в исходном и окончательном состояниях соответственно;им, wn, i?m, i>n — перемещения узлов М и N в направлениях осей х и у соответственно;ех, еу — удлинения проекций исходного состояния стержня на координатные оси;А — полное удлинение стержня;N — продольная сила в стержне, положительная при растяжении.Рассмотрим совокупность векторов s (усилия), А (удлинения), и (узловые смещения), р (узловые нагрузки), относящихся к отдельному элементу (стержню), у которых для сокращения записи опущен нижний индекс V1,
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ137использованный нами ранее, чтобы подчеркивать, что речь идет об элементе11.Имеемs=\[Nb A=|[A]|’uT =|К UN un]|.PT = |[VmAA]|- (3.29)Из геометрических соображений (рис. 3.13) получаемe* = UN~UM’ ey = v N-yM- b=(L*-L),	(3.30)L2=L\+L2y, L'2=(Lx+ex)2+(Ly+ey)2 .	(3.31)Пусть XXi Xy, Xx*, Xy* — направляющие косинусы отрезков MN и M N по отношению к неподвижной системе осей (х, у) (см. рис. 3.13), то естьХх = сош = Lx/L, Ху = sina = Ly! L ,	(3.32)Xx = cosa* = (Lx + ex)l L*,	X* = sina* = (Ly + ey)/ L*. (3.33)Введем в рассмотрение следующие важные геометрические параметры, которые понадобятся нам в дальнейшем:е = клвх + » ю = (Кеу ~ Xyex)/L , 6 = е + 0,5(е2 + со2L2)/L .	(3.34)Геометрический смысл параметра е очевиден — это проекция разности перемещений концов стержня на направление оси стержня в его недеформированном состоянии. Что касается параметра со, то он представляет собой угол поворота стержня при условии его малости по сравнению с единицей и малости по сравнению с единицей относительного параметра e/L.Параметр е в матричной форме представим в видеe = QTu,	QT=|R*-V** М.	(3-35)при этом Q — это матрица уравнений равновесия в геометрически линейной постановке задачи.Отметим, что, вводя в рассмотрение матрицу вращения О.,11	Смотреть беседу 5 из цикла 1
138ЦИКЛ 3£1 =получим iiiw-цл,- можно представить в матричной формеГо00Г10000100[о010'Агутакчто(3.36)coI = QTftTu,(3.37)Это будет удобно для нас в дальнейшем.Исходя из определяющих соотношений (3.30), (3.31) и (3.34), можно получить формулу, связывающую деформацию стержня А с перемещениями его концов, выраженную через введенные геометрические параметры, а именно1 + -2 Lе,(3.38)справедливость которой проверяется непосредственной подстановкой. Действительно, левая часть в (3.38) цепочкой преобразований приводится к виду(L*-L)1 + — 2 LL'2 -L2 2 L(Lx+ex)2+(Ly+ey)2-L2x-L2е2+е2 +A,vev -I—-——2l	x x y y 2L 'к точно к такому же виду приводится и выражение для в по (3.22), если учесть, что Хх2 + Ху2 = 1.Из формулы (3.38) немедленно следует выражение для деформации стержняд= z,(VTT2TTI-i).(3.39)Обратим внимание, что при выводе формулы (3.39) мы не пользовались никакими упрощающими предположениями, связанными с сопоставлением порядков малости входящих в эту формулу величин. Поэтому формула (3.39) как раз и является тем нелинейным геометрическим уравнением, связывающим деформацию А с компонентами вектора перемещений и, которое расположено на самом высоком — четвертом этаже геометрической нелинейности.Вводя различные упрощающие предположения, которые позволяют пренебречь теми или иными компонентами, можно получить уравнения, связывающие деформацию А с компонентами вектора перемещений для
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ139других этажей геометрической нелинейности. Соответсвующие результаты представлены в табл. 3.2.Таблица 3.2ЭТАЖМалыевеличиныГеометрические уравненияIV—Д = L(Vl + 2e/I-l)IIIA-d	«1LA=e + 0,5(e2+W2L2)/LД= QTu+—uTGu 21IIe/LC 1A=e+0,5w2Lto2 * e/LA=QTu +uTftQQTftTuIсо2 <C e/LA=eA=QTu0a>< 1A=eA=QTuПерейдем теперь к рассмотрению уравнений равновесия, используемых на разных этажах здания геометрической нелинейности. В общем случае, записывая эти уравнения для деформированного состояния стержня, получимQ*s = р,	Q*T = \[-Х\ -Х% Х\ Х\ ]|,	(3.40)и нам осталось только найти выражения для направляющих косинусов оси стержня в его деформированном состоянии.Воспользуемся формулами (3.32) и тем обстоятельством, что угол р, на который поворачивается стержень, может быть представлен как р = а* - а (см. рис. 3.13), получимХ*х = cos(a+p) = A,xcosP - A^sinp,Х*у = sin(a+p) = ^cosP + Xx sinp .	(3.41)Учитывая, чтоtg a =(\yL + ey)(\xL + ex), tga = Xy/Xx,	^ ^и воспользовавшись формулой для тангенса разности двух углов, а также соотношением X] + Х\ = 1, получим после несложных преобразованийtg(3 = (tga* -tga)(l-tga’ tga) = coZ,(L + <?).	(3.43)
140ЦИКЛ 3Входящие в формулы (3.41) синус и косинус угла поворота стержня (3 можно выразить через тангенс этого же углаcoSp= 1 /д/l + tg2P = l/Vl + co2L2/(Z, + e)2 ,l/yJu^4?7(L + ey^coL/(L + e), (3.44)sinp = tgP /^/l + tg2P =так чтоX\ = [Xx - XymL/(L + e)\ Ц\ + со2L2/(L + e)2 , X% = [Xy + Xxa>L/(L + e)] / ^\ + m2L2/(L + e)2 .(3.45)Формулы (3.33) для направляющих косинусов оси стержня в деформированном состоянии являются точными, поскольку при их выводе не использовались какие либо предположения относительно малости параметров деформации (четвертый этаж). Для других этажей результаты представлены в табл. 3.3.Таблица 3.3.ЭТАЖМалыевеличиныПараметры уравнений равновесияIV—К =|\ -Х^ЦЬ+е)]/Jl + (02L2 (L+ef X'y=[Xv-Xx(aL(L + e)]/yjl + (a2L2(L+e)2IIIA-d	«clLX’x =[\ -X,.toL(L+e)]/Jl + o>2I2 (L + e)2 Xv =£^-v ~~Xx(aL^L+e'^l+ (j)2L2 (L + e}IIe/LC\ со2» e/L^ = А.х-Я.уоа, X’y = Xy-XxaQ = Q+^nQQTfiT"Iсо2 e/LX*x = Xx -Xy(o, X* = Xy-Xxa>Q* = Q+—ftQQTSlTu2 L00)< 1K=K> K = K Q*= QИсходя из соотношений, указанных в таблице 3.3, можно было строить разрешающие нелинейные уравнения, а затем искать способы их решения.
беседы о СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	141Но, имея в виду последующее использование в той или иной форме шаговых процедур при решении нелинейных задач, целесообразно сразу строить необходимые уравнения в приращениях. Точнее говоря, не конкретизируя тип конечного элемента, выясним структуру геометрически нелинейных уравнений в приращениях, которая оказывается общей для всех дискретных систем.Будем считать известной некоторую (начальную) конфигурацию системы, характеризуемую узловыми перемещениями и0, которые могут быть и нулевыми, если выбор такого начала отсчета удобен. В этой конфигурации выполняются условия равновесияQ(uo)so = ро	(3.46)между начальными узловыми нагрузками ро и начальными усилиями So. Пусть теперь нагрузка получила приращение 8р, которому должны соотвествовать приращения усилий 5s и перемещений 8и. В возмущенном состоянии уравнения равновесия запишутся как[Q(uo) + 8Q](s0 + 5s) = ро + 5р ,	(3.47)а после раскрытия скобок и с учетом (3.46) они приобретают вид5Qs0 + Q(uo)5s + 5Q5s = 5р .	(3.48)Если компоненты вектора дополнительных перемещений 5и относительно невелики (но все же требуют геометрически нелинейного анализа), то для получения уравнений в вариациях можно ограничиться уровнем второго этажа геометрически нелинейной постановки задачи. В этом случае произведение 5Qs0 может быть представлено как линейная функция от приращения перемещений, что приводит к уравнениямQ(u0)5s + T(so)5u + 5Q5s = 5р.	(3.49)Например, для ферменного стержня в плоской задаче, опираясь на таблицу 3.2, полагаемQT(uo)= \[~^х —Ху Хх Ау]|,Т(во) 8u = |[Ху -Хх -X, Х,]|т 5со ЛГ0 = ^ ilQQT£lT8u , (3.50)где кх и ку — направляющие косинусы стержня в начальной конфигурации системы, а Л/Ь — начальное усилие в стержне.Зависимость между приращениями деформаций элементов 5А и приращениями узловых перемещений определим выражениями8A = QT(uo)5u + 5QT8u.	(3.51)Фактически соотношения (3.51) представляют собой проварьированные геометрические уравнения второго этажа нелинейности. Например, в случае ферменного стержня будем иметь8А = Ье + соL 8со = QT(uo) 8u + u0TflQQTnT/L 5u ,	(3.52)
142ЦИКЛ 3так что в этом случае5QT=UoTftQQTnT/L.(3.53)(3.55)(3.56)тПодставляя (3.51) в физические уравнения связывающие усилия и деформации, которые для приращений выполняются в форме5s = F5A ,	(3.54)и вводя затем полученные выражения для 5s в (3.49) получим[QFQT+ T(s0)+ QF8QT + 5QFQT + 5QF5QT]8u = 5p .В других обозначениях эти уравнения можно записать как [Ко + K,(so) + K2(uo)]5u = (Ко + Kg)5u = 5р.Здесь четко видно, что к обычной матрице жесткости Ко = QFQ добавляется матрица начальных напряжений Ki(so) = T(so), линейно зависящая от усилий в системе перед началом приращения нагрузки, и матрица начальных поворотовK2(uo) = QF8QT + 8QFQT + 8QF8QT,не более чем квадратично зависящая от перемещений. МатрицуKG = K1(s0) + K2(ti0) принято называть матрицей геометрической жесткости.В качестве примера приведем заимствованные из [1] выражения для упомянутых матриц жесткости простого конечного элемента в виде стержня плоской расчетной схемы шарнирно-стержневой системы (рис. 3.14).и,ЕАРис. 3.14К„ =ЕАГ10-10"'000°]0000. K,(s0) = f010-1-10100000[о0000-101J
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	1433(и,- и,)2 (и2-иЛ)-3(м,-“з)-(М2 -«4)1ЕА(и, - и,)2(м2-м4)(«1-«з)-2 (и2-“4)-(«1 “«а)4L1-З(н,-и3)-2(«2-и4)-3(м,-“j)2 (м2-м4)_-(U1~Ua)-(и,- и3)2(м2-“4)(м1-“з) JПри малых перекосах {и2 -ил)/ L и относительных удлинениях стержня[их -щ)/L матрица K2(uo) мала по сравнению с другими, и ее влияниемможно фенебречь.	В тех случаях, когда можно ограничиться первым этажом геометрической нелинейности, в расчетах допустимо пренебречь матрицей K2(uq).	Нетрудно также заметить, что в случае растянутого стержня, когда А^>0, возникает сопротивление перекосу стержня за счет возникновения восстанавливающего момента М = N(u2-u4)/L, и чем больше растяжение, тем сильнее сопротивление перекосу.Вопрос:Существуют ли задачи, где заведомо ясно, что расчет следует выполнять с учетом геометрической нелинейности системы?Ответ:Конечно, существуют. В первую очередь можно назвать проблему оценки поведения систем, которые при линейном анализе были определены как геометрически неизменяемые. Некоторые из таких изменяемых систем обладают возможностью воспринимать внешние нагрузки в измененной геометрической конфигурации, которую они приобретают под воздействием той же нагрузки.В качестве примера можно рассмотреть простую систему из трех ферменных стержней длиной £=5000 мм, расположенных на одной прямой (рис. 3.15). Очевидно, что такая конструкция дважды изменяема, и из линейного анализа следует, что она не может нести поперечную нагрузку (кН)=0,029; Р2 =16,072; Ръ =-0,029; Р4 =16,072.
144ЦИКЛ 3Рис. 3.15Выполним геометрически нелинейный расчет в предположении, что жесткость всех стержней ЕА = 1000 кН и конструкция в ее исходном состоянии предварительно напряжена силой 25,4 кН. В результате получим, что перемещения узлов равны:м, =1500; и2 = 75; м3 = 1500; м4 = -75, а усилия в стержнях (кН):N,=53,573; N2 =53.603; N,=53,573.Это не трудно проверить простой подстановкой в точные уравнения для геометрической связности и равновесия узлов, которые запишутся для деформированной схемы как:(L - и, )2 + и\ =(L + NlL/(EA)f (Z- + M, ~и2)2 +(и3-м4)2 =(L + N2L/(ЕА))2(L + и, f +и] =(L + N,L/(EA))2 TV, cosa, - N2 cosa2 + P] = 0 TV, sin a, -N2sina2-P2=0 N2 cos a2 - N2 cos a3 + P3 = 0 N2 sin a2 -N3 sina3 -P4 =0 При этом нужно учесть, чтоsin a, = м, /(L-u]);sina2 =(w3-w4)/(L + w, -u2); sina3 =m3/(I + w3).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ145Беседа 3.6. Конструктивная нелинейностьСистемы, где ограничения на перемещения определены в виде условий - неравенств (односторонние связи) встречаются чаще, чем об этом обычно думают. Конструкция, свободно опертая на некоторую поверхность, которая запрещает перемещение в сторону этой поверхности и не препятствует перемещению в противоположном направлении, гибкие нити, которые позволяют сблизиться своим концевым точкам и не разрешают им удаляться более, чем на длину нити, являются простейшими примерами. Типичными примерами могут также служить: каменная кладка, выполненная насухо, связь между фундаментом сооружения и подстилающим его грунтом. Сыпучие грунты или абсолютно гибкие мембраны могут служить примерами более сложных систем с односторонними связями.Отличительной особенностью односторонней связи являются параметры ее исходного состояния. Например, для простейшей модели стержня, способного воспринять растяжение и выключающегося из работы при появлении сжатия (рис. 3.16,а), можно учесть зазор А0 в односторонней связи или же преднапряжение (натяг), которое может быть интерпретировано и как отрицательный зазор, то есть А0 < 0.При работе такого стержня в системе, чтобы связь включилась в работу, должен быть предварительно выбран зазор, или же, чтобы она выключилась из работы, должен быть преодолен натяг.а)
146ЦИКЛ 3Два варианта диаграммы работы такого элемента в виде зависимости продольной силы N от увеличения расстояния между концевыми точками А представлены на рис. 3.16,6 и 3.16,в, где случаю «а» соответствует вариант с предварительным напряжением (натяг равен N0), а случаю «б» — вариант системы с зазором Ао.Тангенс угла наклона диаграммы равен величине ЕА/L (ЕА — жесткость стержня на растяжение, L — длина стержня).Полезно указать на некоторые особенности, связанные с описанием потенциальной энергии системы с односторонними связями, которая в рассматриваемом случае не является гладкой функцией обобщенных координат.Так, например, для системы с одной степенью свободы, состоящей из жесткого диска, положение которого определяется углом поворота 0, и двух работающих только на сжатие упругих элементов с жесткостями С\ и С2 (рис. 3.17), выражение для потенциальной энергии имеет видВидно, что при С\а\ Ф С2а2 функция £/(0) имеет разрыв второй производной в начале координат, наличие этого разрыва связано с мгновенным изменением жесткости в момент переключения односторонних связей.Далее мы будем рассматривать случай малых перемещений с тем, чтобы по возможности упростить изложение. В этом случае вместо (3.57) будем иметьСLРис. 3.17.(3.57)" Q—	а}вг - PlsmO для в > Ои = \ 2Q—	а2в2 -PlsinO для в < 0.I	2(3.57, а)
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ147Вторая характерная особенность упругих систем с односторонними связями состоит в том, что если система имеет абсолютно жесткие односторонние связи, то потенциальная энергия ее становится функцией, определенной не при всех мыслимых значениях обобщенных координат. Обычно же в строительной механике упругих систем потенциальная энергия записывается в виде функции обобщенных координат, которые могут принимать произвольные значения, и в качестве области определения функции потенциальной энергии выступает некоторое открытое множество.Для условий-неравенств, появляющихся при учете односторонних связей, это свойство уже не соблюдается, и потенциальная энергия может оказаться функцией, определенной на замкнутом множестве значений обобщенных координат.Характерный пример показан на рис. 3.18,а, где система с однойстепенью свободы может иметь потенциальная энергия (см.рис.3.18,б)i Си =1лишь перемещения х > -А. Ее— х 2Рх для х > -Аа)не определена для х < -А А(3.58)Рис.3.18.Наконец, на рис. 3.19, а приведена простая система с двумя степенями свободы, которая обладает обоими отмеченными особенностями.
148ЦИКЛ 3Рис. 3.19.Потенциальная энергия этой системы описывается какU =1 2~сл ~Рх\1 2 1 / \/ \2 -с,*, +-(с,+с2)(х|-х2) ++ ^С2*22 -^1не определенадля хх > х2 ;х2 ^ Одля Xj < х2; х2 >0 для х2 < 0(3.59)Поверхность U= U(хи х2) показана при помощи линий уровня на рис. 3.19,6. Функция (3.59) определена на замкнутом множестве (полуплоскость х2 > 0) и имеет разрыв в производной вдоль линии хх = х2, связанный с переключением односторонней связи. Следует заметить, что от негладкости функции U можно, вообще говоря, избавиться путем введения дополнительных неизвестных (избыточных координат). Так для системы, изображенной на рис. 3.17, можно кроме перемещения 0, ввести еще два неизвестных перемещения хх и х2 точек А и В, и тогдаи (в, х, ,хг) = {ахв - X, )2 + Ц- (а2в - х2 )2 - РШ , (3.60)но при этом должны еще выполняться ограниченияjci > 0, х2>0,	(3.61)т.е. гладкая функция (3.60) определена теперь на замкнутом множестве. Ниже этот прием будет широко использоваться при рассуждениях, связанных с построением т.н. вспомогательных систем.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ149Рассмотрим теперь некоторую упругую систему с односторонними связями в количестве s, и примем для дальнейшего соглашение об индексации односторонних связей греческими буквами. Выберем правило знаков для реакций R в этих связях таким, чтобы допустимое по природе связи усилие (сжатие для связи-упора или растяжение для связи в виде гибкой нити) считать положительным. Будем также считать положительными те перемещения и, которые не ограничиваются односторонней связью (например, сближение концов гибкой нити). Поскольку одностороння связь может находиться только в одном из состояний: рабочем (связь включена), когда R > 0 и и = 0 или нерабочем (связь выключена), при котором R = 0 и и > 0, то для всех односторонних связей системы должны выполняться следующие неравенства и равенства: Ra> 0; иа> 0; Дама = 0 (а = 1, ...,s).	(3.62)Эти условия записаны для абсолютно жестких односторонних связей, таких, например, как односторонняя связь-упор. В случае упругих односторонних связей (скажем, для пружин конечной жесткости, работающих только на растяжение) вместо (3.62) при принятом правиле знаков следовало бы написатьRa = '/г ка(\иа\ -иа) (а = 1, ..., s),	(3.63)где ка — ^сесткость упругой односторонней связи.Действительно, при положительном перемещении ма, которому односторонняя связь не сопротивляется, из (3.62) получаем Ra = 0, тогда как при отрицательном перемещении, из (3.63) следует линейная зависимость Ra = — каиа с положительным (и значит, воспринимаемым односторонней связью) усилием. В дальнейшем будем считать, что в рассматриваемой системе все односторонние связи являются жесткими. На самом деле, как это будет показано в конце настоящего раздела, указанное обстоятельство не является ограничением на класс односторонних связей, поскольку любой упругий односторонне работающий элемент может быть смоделирован при помощи расположенной на его конце жесткой односторонней связи, как это показано на рис. 3.16.Основная проблема расчета системы с односторонними связями состоит в том, что требуется выяснить, какие из этих связей участвуют в работе при действии заданной нагрузки, т.е. установить рабочую систему. Следует заметить, что простой перебор вариантов приведет к необходимости анализировать 2s различных схем, что в большинстве случав практически нереально (уже при s = 10 это дает 1024 вариантов!).Если рабочая система установлена, то, заменяя работающие (активные) односторонние святи двусторонними и отбрасывая неактивные связи, мы получаем обычную систему, анализ которой возможен любыми известными в строительной механике способами. Само собой разумеется, что результат расчета рабочей системы должен быть таким, что усилия в замененных связях и перемещения по направлению отброшенных связей должны
150ЦИКЛ 3соответствовать характеру работы односторонних связей, которые фактически имеются в системе и лишь мысленно видоизаменены при переходе к рабочей системе. Если такого соответствия нет, то разногласие свидетельствует об ошибочности принятой рабочей системы.Полезно изучить поведение системы при изменении нагрузки. Простейшим случаем переменного нагружения является однопараметрическое, когда соотношения между всеми нагрузками на систему заданы, а меняется лишь интенсивность компонент нагрузки.Прежде всего, рассмотрим некоторые качественные соображения, основанные на физически очевидных предположениях и представлениях о поведении системы под нагрузкой.Если какому-нибудь значению параметра интенсивности внешней нагрузки (уровню нагружения) соответствует некоторая рабочая система, то можно предполагать, что та же самая рабочая система соответствует и другим близким по величине уровням нагружения, т.е. в некотором диапазоне нагрузок (быть может, и в диапазоне нулевой длины) рабочая система не изменяется, а заданная система с односторонними связями ведет себя как обычная линейно деформирующаяся конструкция.В случае, когда односторонние связи установлены без зазоров и отсутствует предварительное напряжение, простое увеличение интенсивности нагрузки (умножение всех сил на положительное число А>0) не может привести к изменению рабочей системы. Если же имеются зазоры в односторонних связях, то не исключено, что при некотором значении X система «выйдет на связь», т.е. зазор будет выбран и произойдет изменение рабочей системы. То же самое может произойти, когда имеющееся предварительное напряжение некоторой односторонней связи с ростом нагрузки будет исчерпано и система «сойдет со связи».Если представить зависимость между каким-нибудь усилием Sk в к-м элементе системы и параметром интенсивности нагружения Р в виде графика, то некоторому диапазону изменения Р, при котором не меняется рабочая система, будет соответствовать отрезок прямой. Угол наклона этого отрезка зависит от жесткостных характеристик системы и состояния ее односторонних связей.Если меняется рабочая система, то может измениться и угол наклона отрезка прямой, поскольку в новой рабочей системе, соответствующей новому диапазону изменения нагрузок, меняется состояние односторонних связей (рис. 3.20). Из физических соображений ясно: если на график нанести зависимости между усилиями в различных элементах системы S* и интенсивностью нагружения Р, то все точки изломов будут располагаться на одних и тех же вертикалях (это изображено на рисунке 3.20), хотя для некоторых из Sk может случиться, что наклоны двух смежных участков графика случайно совпадают.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ151Покажем теперь, что невозможен график Sk = Sk(P) такого вида, как на рис. 3.20,6. Это следует из того, что усилия Sk] и S(k2) принадлежат одной и той же рабочей системе, а поскольку она является обычно упругой системой, то для нее должна выполняться теорема о единственности решения.Из сказанного выше, к сожалению, не следует, что зависимость между усилием (перемещением) и параметром Р является монотонной, поскольку возможны такие кривые Sk =Sk (Р), в которых разным значениямпараметра интенсивности нагружения соответствуют одни и те же значения усилий или перемещений. Простейший пример приведен на рис. 3.21, где представлена система с двумя односторонними связями и график зависимости усилия в первой односторонней связи от Р.® I	т	гя =оR,=0
152ЦИКЛ 3До тех пор, пока Р< Рь стержень не касается ни одной из связей и имеем /?1=0, затем при Р = Р\ первая из односторонних связей, включается в работу, и усилие в ней растет пока, при Р = Р2 не включится в работу вторая односторонняя связь. При дальнейшем увеличени Р усилие в первой связи начинает уменьшаться, и при Р = Р3 происходит отрыв, тогда связь выключается из работы.Мы здесь снова столкнулись с эффектом, о котором говорилось ранее (см. рис. 3.4), а именно — максимальное значение одного из параметров напряженно-деформированного состояния реализуется не при граничных значениях интенсивности нагружения.Важно подчеркнуть следующее: несмотря на то, что кривая Sk = Sk (Р),изображенная на рис. 3.20 бладает двумя сливающимися с осью участками, они соответствуют различным рабочим системам.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ153Беседа 3.7. Генетическая нелинейностьПроцесс фактического создания сложной системы в общем случае является многоэтапным и тесно увязан с последовательностью выполняемых операций по сборке системы. При этом в том или ином порядке могут выполняться работы по установке и удалению некоторых элементов системы, установке или удалению балластных грузов, регулированию длин тех или иных элементов, изменению состояния некоторых связей и т.п.Большинство из действий, выполняемых в процессе монтажа, приводит к изменению расчетной схемы и / или напряженного и деформированного состояния системы.Все расчеты, связанные с монтажом системы и с процессом создания предварительного напряжения, как правило, выполняются в предположении справедливости обычных допущений линейной строительной механики для каждого этапа монтажа. Однако, в целом, за счет изменения расчетной схемы при переходе от этапа к этапу, задача является нелинейной. Такая нелинейность, обусловленная историей создания системы, называется генетической.Для каждой стадии монтажа можно использовать любой из классических методов строительной механики, но, с учетом специфики многоэтапного расчета, полезно представить эти методы в форме, где отражается переменность системы. Для разрешающих уравнений метода перемещений, например, будем писатьKrAur = Aqr,	(3.64)где Кг — матрица жесткости системы на r-том этапе, а Aur и Aqr — векторы дополнительных перемещений и дополнительных приведенных узловых нагрузок, относящихся к r-ому этапу. Зная Aur, можно определить приращения усилий ANr и получить накопленные по всем предыдущим этапам значения перемещений иг и усилий srur = ur_! + Aur,	(3.65)Nsr = Nr_, + ANr.	(3.66)Соотношения (3.65) и (3.66) уместно называть законами наследования монтажных состояний конструкции. Одновременное выполнение линейных соотношений (3.62) и законов наследования (3.65) — (3.66) как раз и порождает генетическую нелинейность задачи.При переходе к следующему этапу расчета меняется матрица жесткости К , которая получает приращение АКг+1, положительное, если в систему на
154ЦИКЛ 3этапе r+1 добавляются элементы, и отрицательное, если элементы выбывают из системы на этапе r+1:Кг +1 = Кг +ДКг+1.	(3.67)Более детально:к!(г+1) 1К (г+1) 21ОоК (Г+1) 12К (г+1) 22 If (г+1) 32ОоК (г+1)23(Г+1)Л33Ок;;>1^(г)12000000к'?if (г) 2200-1-0дк£дк£000000лк£AKjj*000000000и система разрешающих уравнений (г+ 1)-го этапа имеет видК (г+1)11К (г+1) 21ОоК (г+1) 12К (г+1) 22(г+1) 32ОккК('0о"'Ди<'+|Г0(г+1)■230ДиГ"Ди(/+1)(М-1)■зз0д<+|)д<+1)0000Здесь Ди[г+1) — приращение перемещении соответственно в ранеесмонтированной и неизменившейся части сооружения, Au2r+1) — приращение перемещений в узлах, к которым примкнули новые элементы, Au3r+1) — перемещения вновь появившихся узлов. Правый нулевой блочный столбец и нижняя нулевая блочная строка матрицы жесткости относятся к еще не включенной части сооружения.Понятно, что для воздействий, относящихся к различным стадиям одного и того же этапа монтажа, действуют обычные линейные законы механики - по ранее приведенной терминологической договоренности расчетная схема конструкции меняется только при переходе к следующему монтажному этапу.Подчеркнем, что в некоторых случаях часть нагрузок действует только в рамках r-го этапа монтажа, и при переходе к последующим этапам снимается. Такая ситуация типична, например, для навесного монтажа конструкции, когда вес кранового оборудования учитывается при формировании вектора Aqr с расположением кранов, соответствующих именно этому этапу. При переходе к следующему (г+1)-му этапу монтажа вектор узловых нагрузок формируется с учетом нового положения кранового оборудования, но при этом нужно помнить о необходимости приложения на (г+1)-ом этапе и отрицательных крановых нагрузок, аннулирующих их воздействия на систему, относящиеся к предыдущему этапу. Если этого не сделать, то законы наследования (8.3) и (8.4) будут работать неверно.Результаты расчетов, учитывающих процесс монтажа, могут значительно отличаться от привычных, когда система предполагается созданной сразу в полном объеме, и лишь затем к ней начинают прикладывать * внешние нагрузки.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ155а)2,0шшитжшиииижЬ)2,0ШШ1ШЦ■ииишш? Я5с)2,02,0жж* Ж1ЯЯ?ч	2,0	л	2,0Рис. 3.22жНеобходимость учета последовательности монтажа можно проиллюстрировать на простом примере расчета двухпролетной трехэтажной рамы. При монтаже каждого этажа ригель присоединяется к стойкам шарнирно и несет при этом нагрузку 2,0 т/м. Затем узлы присоединения ригелей омоноличиваются, и ригели догружаются весом плит перекрытия, которые создают дополнительную нагрузку 2,0 т/м. Так монтируются все этажи (рис. 3.22).Последовательный расчет конструкции на стадиях монтажа а) ... f) и суммирование полученных результатов дает эпюру изгибающих моментов, представленную в левой части рис. 3.23. Для сравнения справа приведена эпюра моментов, которая была бы получена в полностью готовой системе, если бы к ее ригелям была бы приложена нагрузка 4,0 т/м.Процесс фактического создания сложной системы в общем случае является многоэтапным. При этом в том или ином порядке могут выполняться работы по установке и удалению некоторых элементов системы, установке или удалению балластных грузов, регулированию длин тех или иных элементов, изменению состояния некоторых связей и т.п.
156ЦИКЛ 34 6 ►4 6 *Рис. 3.23Некоторые возможности моделирования такого процесса предусмотрены во многих современных программных комплексах, в ПК ЛИРА и ВК SCAD имеется специальный режим МОНТАЖ, в системе ANSYS это называется «схема размножения и гибели элементов».Все упомянутые операции над расчетной схемой приводят к замыканию в системе некоторого предварительного напряженно-деформированного состояния, которое может существенно влиять на работу конструктивного комплекса. Если некоторая часть конструкции может быть добавлена или удалена из системы, то определенные элементы расчетной модели могут стать ’’существующими” или "несуществующими". Такая возможность должна учитываться при моделировании земляных работ (например, при устройстве котлованов или при строительстве туннелей), многоэтапного строительства (как при монтаже пролетного строения моста или возведении многоэтажного здания) и во многих других задачах.Можно рассматривать два способа удаления и включения элементов в систему («рождения» и «смерти» или «активации и деактивации», по терминологии разных программных продуктов). Схематически они показаны на рис. 3.24.В первом случае монтируемый элемент М устанавливается так, что один его конец примыкает к уже собранной части системы, а второй — к узлу, находящемуся в проектном положении. Во втором случае для "эффекта смерти" фактически не удаляют "убитые" элементы. Вместо этого он деактивируется умножением их жесткости на ощутимый коэффициент уменьшения, например, на 10'6. Тогда монтируемый элемент М, ранее не участвовавший в работе системы в силу практически нулевой жесткости, включается в работу за счет приобретения реальной жесткости и начинает влиять на поведение системы.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ157Способ 1Способ 2Стадия /Стадия /Стадия /+1Стадия /+2Стадия /+1Рис. 3.24Для геометрически линейного расчета, когда геометрия деформированной схемы отождествляется с исходной геометрией, практической разницы между этими случаями нет. Но не так обстоит дело в г еометрически нелинейном варианте расчета, что наглядно демонстрируется рисунком 3.24, где схематически показан процесс навесного монтажа. Для второго способа узлы, принадлежащие не смонтированной части системы, под действием нагрузки на уже созданную часть уходят из проектного положения, и система не приобретает никаких непредвиденных изломов, которые возникают при первом способе расчета.Расчет по первому способу особенно уместен при проектировании многоэтажных зданий с железобетонным каркасом. Дело в том, что при возведении каждого этажа опалубка выставляется таким образом, чтобы верхняя поверхность бетонируемого перекрытия получилась горизонтальной и вышла на проектную отметку. По существу, корректируется проектная длина колонн, которые наращиваются на величину просадки уже возведенной части здания. Графически эта технология иллюстрируется рисунком 3.25, на котором цифрами обозначено: 1 - построенная часть здания, 2 - опалубка, 3 - проектные отметки, 4 - дополнительный участок колонны.
158ЦИКЛ 3Имеющийся опыт выполнения последовательности расчетов на монтажные состояния показывает, что часто нельзя не учитывать то напряженно-деформированное состояние, которое определяется историей создания конструкции и оказывается «запаянным» в системе.Рис. 3.26В некоторых случаях речь идет даже не о количественных, а о качественных различиях. Пример12 (рис. 3.26) показывает, к чему может привести игнорирование процессом монтажа. Для рассматриваемой конструкции колонна оказывается «подвешенной» к жесткой стене верхнего яруса и в результате появляется усилие растяжения в колонне, которое достигает 120 тонн.Если же вести расчет с учетом последовательности возведения и приложения нагрузок, то никакого растяжения здесь нет, и усилие сжатия в колонне меняется от 83 тонн (верхний этаж) до 592 тонн (первый этаж), что полностью соответствует ожидаемой картине распределения усилий.Литература\.Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. — М; Изд. АСВ, 2000.2.	Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. — М.:Наука, 1988.3.	Новожилов В.В. Теория упругости.— Л.: Судпромгиз, 1958.4.	Перельмутер А.В. Основы расчета вантово-стержневых систем.— М.: Стройиздат,1969.12	Материал представлен проф. Кабанцевым О.В. (МГСУ)
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ159Цикл 4Устойчивость равновесия
160ЦИКЛ 4Понятие устойчивости имеет фундаменталь¬ ное значение. И в природе, и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут быть использованы лишь устойчивые явления и процессы.В.В. Болотин
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ161Беседа 4.1. Основные понятия теории устойчивостиС понятием устойчивости равновесия на интуитивном уровне человек, даже не имеющий инженерного образования, сталкивается в обыденной жизни повсеместно. Чтобы пояснить эту мысль, рассмотрим изображенные на рис. 4.1 две механические системы, находящиеся в равновесном состоянии.*	Рис. 4.1.Кто не помнит знакомую с детских лет игрушку под названием "Ванька, встань-ка"? Как не укладывай деревянного Ваньку на горизонтальную поверхность, упрямец Ванька, получив свободу, немедленно возвращается в вертикальное положение. Тяжелая свинцовая заливка в основании Ваньки создает тот восстанавливающий момент, который и заставляет упрямого Ваньку вновь и вновь по-солдатски вскакивать. Спросите любого человека, даже далекого от инженерных проблем, устойчив ли Ванька в своем вертикальном положении. Правильный ответ очевиден, и ответ этот подсказан интуитивным улавливанием смыслового значения термина устойчивость, как способности системы игнорировать возмущающие воздействия.С другой стороны, обыкновенный карандаш при известном старании можно поставить "на попа" так, что карандаш будет стоять вертикально, то есть будет находиться в равновесии. Но уже на житейском уровне мы мысленно соотносим это состояние карандаша с неустойчивым равновесием. Почему? Потому, что достаточно лишь малого возмущения (слабого щелчка по карандашу, легкого дуновения, покачивания основания и т.п.), чтобы это
162ЦИКЛ 4равновесие было нарушено безо всякой надежды на самостоятельный возврат карандаша в вертикальное равновесное состояние.Однако при рассмотрении инженерных задач интуитивное понимание проблемы устойчивости равновесия мало помогает и должно уступить место математически выдержанному определению этого понятия. На основе такого определения и строятся методы анализа качества равновесного состояния.”Определение понятия устойчивости равновесия связано с рассмотрением тех движений, которые система станет совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей. Если после нарушения равновесия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия называется устойчивым".Очень простым примером, дающим представление об устойчивости и неустойчивости состояния равновесия, является механическая система в виде тяжелого шарика, который перемещается без трения по некоторой поверхности (рис. 4.2). Если шарик имеет единичный вес, то потенциальная энергия такой системы равна ординате U той точки поверхности, где находится шарик:U = U(x),где абсцисса х является параметром перемещений шарика.Рис. 4.2Шарик находится в состоянии равновесия, когдаdU/dx = Ои это равновесие устойчиво, если шарик расположен на дне углубления.Тогда при любом малом отклонении шарика от исходного состояния он вернется к этому состоянию, как только причина отклонения будет устранена. Таким образом, положение равновесии на дне впадины является устойчивым. При этом очевидно, что потенциальная энергия исходного состояния равновесия будет меньшей, чем потенциальная энергия любого отклоненного состояния. Таким образом, устойчивому состоянию равновесия рассматриваемой системы соответствует минимум
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	163потенциальной энергии. Аналитическое условие минимума функции U выражается какdU/dx = 0; d2U/dx2> 0.В случае максимума U при любом сколь ни будь малом отклонении шарика от исходного положения он самостоятельно не возвратится к этому положению после устранения возмущения и будет продолжать движение до нового состояния равновесия. Значит положение равновесии на вершине не является устойчивым, и такому положению системы соответствует максимум потенциальной энергии, когдаdU/dx-О; d2U/dx2<0.Третий случай положения шарика иллюстрирует так называемое безразличное равновесие, когда после устранения возмущения шарик не отклоняется дальше, но и не возвращается в исходное состояние. Потенциальная энергия при этом не изменяется и здесь:dU/dx-О; d2U/dx2=0.В курсе теоретической механики доказывается следующая теорема Лагранжа-Дирихле:Если на изучаемом равновесном состоянии потенциальная энергия системы принимает строго минимальное значение в некоторой окрестности этого состояния, то это равновесное состояние консервативной механической системы устойчиво в смысле приведенного выше определения.	Здесь стоит подчеркнуть, что требование именно строгого минимума потенциальной энергии в изучаемом положении равновесия системы существенно для справедливости теоремы Лагранжа-Дирихле. Действительно, представим себе материальную точку, расположенную на дне оврага, имеющего цилиндрическую форму. Потенциальная энергия поля тяжести в этом положении минимальна, но минимум этот не строг, так как материальная точка способна перемещаться вдоль дна оврага с сохранением значения потенциальной энергии.Но если сообщить материальной точке возмущение в виде сколь угодно малой начальной скорости, то точка будет двигаться с заданной скоростью вдоль дна оврага и по прошествии достаточного времени отойдет от исходного равновесного состояния на любое наперед заданное расстояние. Вывод - безразличное состояние равновесия этой простейшей системы нельзя считать устойчивым.Обратим внимание на то, что теорема Лагранжа-Дирихле дает лишь достаточные условия устойчивости равновесного состояния. Это важное обстоятельство не всегда подчеркивается. Более того, в технической литературе встречаются необоснованные утверждения о том, что равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия не достигает строгого минимума.
164ЦИКЛ 4Вопрос:Вы все время говорите об устойчивости состояния равновесия, а не об устойчивости системы (конструкции, сооружения). Верно ли это, и в чем разница между этими понятиями?Ответ:Потеря устойчивости равновесного состояния - изменение качества равновесия (утрата устойчивости, превращение в безразличное или неустойчивое).Задача об устойчивости статического равновесия является чрезвычайно важной в практическом отношении, так как подавляющая часть сооружений и конструкций, испытывающих механические воздействия в виде сил, должна, согласно своему назначению, находиться в состояниях устойчивого равновесия. Потеря устойчивости равновесия статической системы в большинстве случаев эквивалентна её разрушению. Наоборот, всякое разрушение конструкции можно трактовать как явление общей или местной потери устойчивости. Особенно наглядно это проявляется при разрушении растянутого металлического стержня.Если внешнее воздействие на стержень выражается в его принудительном деформировании (а не нагружении) то при малых деформациях стержень сохранет первоначальную цилиндрическую форму своей поверхности, а затем в пределах небольшого участка длины стержня будет возникать сужение (шейка), т.е. цилиндрическая форма утрачивается, и происходит потеря устойчивости процесса деформирования.Можно указать и на явление потери устойчивости при воздействии пульсирующей нагрузки. Пусть стержень с шарнирно закрепленными концами, из коих один имеет подвижность вдоль оси стержня, загружен внешней продольной силой, изменяющейся во времени по гармониескому закону. Будем считать, что система находится вдали от резонанса продольных колебаний. Тем не менее существуют ситуации, при которых продольная форма колебаний системы динамически неустойчива, т. е. любое начальное отклонение возбуждает поперечные колебания (параметрическаий резонанс), амплитуда которых быстро возрастает до очень большого значения — наблюдается потеря устойчивости движения.В общем случае устойчивость конструкции — это сохранение формы конструкции, исключающее возможность таких остаточных деформаций, которые делают конструкцию непригодной для эксплуатации или приводят к ее разрушению. Как видите, здесь имеется в виду более широкое определение, чем понятие устойчивости равновесия.С другой стороны, нужно иметь в виду, что при анализе устойчивости равновесия реальная механическая система для ее изучения идеализируется, и в конечном счете мы имеем дело не с механическим объектом, а с
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ165системой уравнений, отражающих действительные свойства объекта лишь приближенно. Решение задач устойчивости равновесия — это есть решение математической задачи, т.е. исследование свойств уравнений. Перенос результатов этого исследования на реальный объект, т.е. предсказание механического эффекта должно делаться с осторожностью, потому что не все .свойства решений уравнений равновесия являются свойствами механической системы.Но в практических расчетах сооружений и конструкций термин «потеря устойчивости» принято условно использовать и применительно к самой системе, хотя теоретически это некорректно.Вопрос:В учебнике по строительной механике представление об устойчивости равновесия опирается на совершенно иное определение, в котором понятие движения вообще не участвует. Считается, что равновесие механической системы устойчиво, если эта система после выведения ее из равновесного состояния малым возмущением обобщенных координат возвращается в исходное равновесное состояние.Ответ:Указанная схема рассуждения восходит к Л.Эйлеру. По существу, эйлерово представление об устойчивости равновесия опирается на совершенно иное определение, в котором понятие движения вообще не участвует. По Эйлеру считается, что равновесие механической системы устойчиво, если эта система после выведения ее из равновесного состояния малым возмущением возвращается в исходное равновесное состояние.В этой схеме рассуждений величина внешней нагрузки также мысленно наращивается и предполагается, что в процессе такого наращивания в какой-то момент вместе с рассматриваемым равновесным состоянием возникает возможность реализации иного равновесного состояния смежного с изучаемым в том смысле, что оно отличается от изучаемого равновесного состояния бесконечно малым возмущением в значениях обобщенных координат системы. Иными словами, рассматриваемое равновесное состояние системы перестает быть однозначным.То значение параметра нагрузки X = Хе, при котором такая неоднозначность формы равновесия допускается механической системой, называется критическим (по Эйлеру). Считается также, что при значениях нагрузки меньше эйлерова критического значения состояние равновесия устойчиво, при значениях же нагрузки больше эйлерова критического значения Хе состояние равновесия неустойчиво.Казалось бы, что эйлерова постановка задачи устойчивости не содержит и намека на приведенное выше определение устойчивости равновесия и на теорему Лагранжа-Дирихле, требующую минимальности полной потенциальной энергии системы в ее устойчивом равновесном состоянии. В
166ЦИКЛ 4то же время традиционная система образования инженера, во многом сохраняющаяся и в наше время, не только научает инженера, но и приучает его именно к подходу Эйлера в исследовании устойчивости равновесия упругих систем, оставляя более последовательный анализ по Лагранжу- Дирихле только в раннем по времени изучения курсе теоретической механики, не перенося его на задачи строительной механики.Конечно же, при определенных условиях оба эти подхода приводят к одинаковым результатам. Обоснование их эквивалентности дано, например, в книге [10], там же можно найти и указание на класс задач, где подход Эйлера не применим.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ167Беседа 4.2. Устойчивость системы с одной степенью свободыПолностью сущность задачи устойчивости раскрывается лишь при учёте конечных деформаций и переходе к нелинейным уравнениям равновесия. Обычно для иллюстрации этого явления используется задача о продольном изгибе центрально-сжатого тонкого стержня, решенная более 200 лет тому назад Л.Эйлером.Но эта задача описывает явление, которое является достаточно сложным для первоначального объяснения понятия устойчивости, и целесообразнее вначале рассмотреть более простые системы с конечным числом степеней свободы и, в частности, системы с одной степенью свободы.Итак, рассмотрим простую систему с одной степенью свободы, которая представляет собой абсолютно жесткий стержень упруго защемленный в основании (рис. 4.3). Перемещения этой системы характеризуются углом отклонения ф от первоначального вертикального положения. При этом в упругой заделке возникает реактивный момент Сер, где С — коэффициент жссткости заделки.Система нагружена вертикальной силой Р, которая не меняет своего направления при перемещении точки своего приложения. Легко видеть, что в отклоненном состоянии сила Р создает опрокидывающий момент, и при значительной величине силы Р система не сможет удержаться в первоначальном неотклоненном положении при любом малом возмущении, т.е. ъна станет неустойчивой.Рассмотрим потенциальную энергию U этой системы. При отклонении системы от вертикали сила Р совершает работу, равную произведению Р на вертикальное смещение конца стержня Д = /(1 - cos (р). На значение работыРА потенциальная энергия уменьшается.С другой стороны в упругой заделке накапливается потенциальнаяэнергия внутренних сил, равная 0,5Сер2.Таким образом, общая потенциальная энергия системы выражается как:и =0,5Сср2-Pl(l-cos<p),	(4.1)а условие равновесия здесь имеет видdU/d(p - Сер - PI sin (р = 0.	(4.2)
168ЦИКЛ 4Из (4.2) можно определить все положения равновесия системы, корни этого уравнения соответствуют точкам пересечения прямой Ux = С(р и синусоиды U2 = PI sirup (рис. 4.4). Число положений равновесия зависит от величины Р, так как при изменении амплитуды синусоиды Р1 будет изменяться количество точек пересечения последней с прямой Ux = Сер .Ясно, что не все состояния равновесия будут устойчивыми. Равновесие будет устойчивым, когда потенциальная функция принимает минимальное значение, а неустойчивым состояниям равновесия соответствуют максимумы.Аналитически условие устойчивости состояния равновесия выражается неравенствомd2Uld<pl > 0,При увеличении силы Р кривая U меняется, и точки, отвечающие положениям равновесия, вообще говоря, смещаются. Для тех же, которые остаются на месте (в нашем случае точка (р = 0), состояние равновесия может переходить из устойчивого в неустойчивое (рис. 4.5).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ169Очевидно, что при некотором значении силы Р должно существовать промежуточное состояние равновесия, при котором не только равна нулю первая производная, но переходит через нуль и вторая производная d2U/дф1 . Это положение равновесия, промежуточное между устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием равновесия. Таким образом, аналитически критическое состояние системы определяется двумя уравнениями:Для рассматриваемой системы эти уравнения дают равенства (4.2), иd2U/d(p2 =C-Plcos<p = 0.	(4.5)Если речь идёт о начальном положении равновесия (р- 0, при котором условие (4.2) выполняется при любом Р, то условие (4.5) даёт:С-Р1 = 0.	(4.7)Отсюда находим критическое значение силы Р для положения равновесия ср- 0:Per = С/1.	(4.8)В рассмотренном примере потенциальная энергия U является функцией деформации ф и внешней силы Р. Поэтому условие равновесия (4.2) правильнее представить в видеди(Р,<р)/д<р = и0(Р,<р) = 0.	(4.9)Зависимость между Р и ср, заданная этим уравнением в неявном виде, определяет в координатах ср, Р некоторую кривую, называемую кривой состояний равновесия.Рис. 4.6В нашем случае это будет зависимостьP = C(pj{ls\n(p),	(4.10)
170ЦИКЛ 4получаемая из (4.2) и изображенная на рис. 4.6. На этом рисунке участки устойчивых состояний равновесия обозначены сплошными линиями, а неустойчивых — штриховыми. Покажем, что экстремальные точки кривой состояний равновесия (4.10), для которых выполняется равенство8Р/д<р = 0,	(4.11)соответствуют критическим состояниям равновесия (предельные точки). ДействительноdP dUQ(P,<p)ld<p d2U j д(р2 d(p dU0 (Р,<р)/дР д2и/(д<рдР)’и,	следовательно, равенство (4.12) выполняется при д2и/д(р2 =0.Мы получили второе условие критического состояния равновесия, в котором обыкновенная производная заменена частной, так как здесь Р уже не считается постоянной величиной.Выше отмечалось, что там, где производная d2U/д(р2 меняет знак, происходит переход от устойчивых состояний системы к неустойчивым или наоборот. Но из выражения (4.12) видно, что перемене знака д2и/д(р2 сопутствует изменение знака у производной дР/д(р, т. е. изменение направления наклона кривой состояний равновесия. Отсюда следует, что если подъем кривой состояний равновесия соответствует устойчивым положениям системы, то после перехода через максимум на участке падения кривой (4.10) мы имеем неустойчивые положения.Кривая состояний равновесия (см. рис. 4.6) имеет также вертикальную ветвь, совпадающую с осью ср = 0 и соответствующую неотклоненному положению системы и произвольному значению силы Р.В точке (ф = 0, Р = С/Г) имеет место разветвление состояний равновесия, выражающееся в появлении близких в этой точке отклоненных устойчивых состояний и смене на вертикальной ветви устойчивых состояний (при Р < С/1 = Рсг) на неустойчивые (при Р > Рсг). Такая точка называется точкой бифуркации (от латинского bis — дважды, furca — вилы, bifurcatio —разветвление). В ней обращаются в нуль обе вторые производные д2и/дер2 и д2и/(д(рдР) , что означает особую точку кривой состояний равновесия, аименно, узел пересечения двух ее ветвей.При бифуркации возникает возможность существования двух форм равновесия - исходной и некоторой качественно новой, отличающейся от первоначальной формы тем, что в ней появляется некоторый вид деформации, отсутствовавший в докритических состояниях системы.	Возвратимся вновь к системе, изображённой на рис. 4.3. Почти все состоя¬ ния равновесия, которые можно получить из уравнения (4.2), кроме начального состояния (р = 0, соответствуют большим, и в обычных условиях практическинедостижимым углам поворота стержня. Поэтому можно ограничиться рассмотрением деформированных состояний, мало отклоняющихся от нулевого
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ171(4.13)положения равновесия, и упростить задачу, пренебрегая членами, в которые малые деформации (р входят в высших степенях. Разлагая точное выражение(4.1) в ряд по степеням q> и пренебрегая степенями (р выше второй, получим:U = (С/2)<р2 - P/(l-l + <p2/2!-<p4/4!+...)»*(С12)<р2-{Р112)<р2.Приближённое выражение функции U графически может быть пред¬ ставлено в виде параболы, график которой можно трактовать как несколько искажённое изображение окрестностей точки (р- 0 на точной кривой (рис. 4.5).В отличие от точной кривой кривая (4.13) даёт всегда лишь одно положение равновесия, которое может быть устойчивым, неустойчивым и критическим в зависимости от величины силы Р.a)	Uб)U-И>Рис. 4.7Устойчивое равновесие будет, когда вершина параболы (4.13) обращена вниз, т.е. когда при ср = 0 имеет место минимум U (рис. 4.1,а). Неустойчивому равновесию соответствует парабола, обращенная вершиной вверх (рис. 4.7,в). Наконец, промежуточное, критическое состояние равновесия имеет место при вырождении параболы (4.13) в прямую, совпадающую с осью абсцисс (рис. 4.7,6). Последнее происходит при Р = С/1 = Рсг, что полностью совпадает с критическим значением критической нагрузки, найденным из точного выражения для потенциальной энергии.Таким образом, при рассмотрении малых деформаций системы критическая нагрузка определяется как такая, при которой состояние равновесия системы становится безразличным, и деформация системы может иметь любую величину, причём условия равновесия не нарушаются. Что касается условия (4.5) обращения в нуль второй производной от потенциальной функции, то оно соблюдается и в данном случае:д2и/д<р2 =С-Р1 = 0,	(4.14)однако оно не обусловлено какой-либо определённой величиной деформации, как в случае точного решения.
172ЦИКЛ 4Таким образом, линейное уравнение позволило найти критическую силу и конфигурацию системы, потерявшей устойчивость первоначальной формы равновесия, с точностью до некоторого неизвестного малогопараметра (множителя).	При использовании линеаризованного уравнения судить о закритическом поведении системы не представляется возможным; ценой именно этой потери и достигнуто упрощение, состоящее в линеаризации задачи.Вопрос:В основе определения устойчивости равновесия лежит свойство системы сопротивляться малым возмущениям. Можно ли указать, как меняется это свойство с ростом нагрузки.Ответ:Если полагать, что при малых возмущениях следует ожидать малых отклонений в положении системы, то в первом приближении можно принять sin (р = (р. Тогда уравнение равновесия (4.2) запишется в виде (С-Р!)<р = 0 или С(1-Р/Рсг)<р = 0.Величина C(l - РI Рсг) называется эффективной жесткостью системыи характеризует возможность системы противостоять отклонению от вертикального положения. По мере роста силы Р от нулевого значения до Рсг эффективная жесткость системы уменьшается и становится равной нулю приР=РспВопрос:Малое (пробное) возмущение, с помощью которого проверяется устойчивость системы можно представить себе в виде поперечной нагрузки на верхнем конце исследуемого консольного стержня. А если такая нагрузка имеется по сути, то означает ли это, что не нужно проверять устойчивость?Ответ:В этом случае начальное, недеформированное состояние системы не является положением равновесия. Так, стойка, изображенная на рис. 4.3, может быть нагружена, кроме продольной силы Р, также боковой силой Q, как показано на рис. 4.8. Будем считать, что в процессе деформирования системы силы Р и Q не меняются ни по величине, ни по направлению. Уравнение равновесия данной системы будет
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ173С(р - PI sin<p - Ql cos(p = О,	(4.15)а если считать перемещение ср (угол поворота стойки) малым, тоСер - Pl(p = QI.	(4.16)Уравнения (4.15) и (4.16) неоднородны в том смысле, что нулевое значение переменной ф не является корнем этих уравнений.Если ограничиться рассмотрением малых перемещений, то приближенное выражение потенциальной энергии стойки, изображенной на рис. 4.8, в положении, отклоненном на малый угол ф от начального положения:U = 0,5C<p2 -0,5Pl<p2 -Ql<p.В этом выражении имеются члены, зависящие от нагрузки и содержащие переменную ф в первой и во второй степени. Та часть нагрузки, которая производит работу на перемещениях, пропорциональных квадрату ф и входящих в выражение для потенциальной энергии системы во второй степени (в нашем случае сила Р), называется параметрической нагрузкой. Другая часть нагрузки, производящая работу на перемещениях, пропорциональных первой степени параметра перемещений (в нашем случае сила 0, представляет собой активную нагрузку.В уравнение равновесия (4.2) активная нагрузка входит в свободный член, не зависящий от перемещений, а параметрическая — в член, содержащий величину перемещения в первой степени.Решив уравнение (4.2) относительно ф, найдем перемещение, соответствующее заданной нагрузке:<p = Ql/(C-Pl) = ^(4.17)Перемещение ф пропорционально активной нагрузке и нелинейно зависит от параметрической нагрузки. При некотором значении параметрической нагрузки перемещение обращается в бесконечность при любой конечной активной силе со значением Р = С/l, совпадающим с
174ЦИКЛ 4критическим значением нагрузки в однородной задаче, т. е. в стойке без активной силы Q.Зависимость Р от ср при постоянной силе Q имеет вид гиперболыP = -{-Ql + C<p)l(l<p),	(4.18)асимптотически стремящейся к горизонтали Р = С/l (рис. 4.9).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	175Беседа 4.3. О роли начальных несовершенствМногочисленные исследования показали, что во многих случаях решение, полученное с помощью идеальной линеаризованной расчетной модели может достаточно далеко отклоняться от экспериментальных данных. Было обращено внимание на то, что экспериментальные результаты для оболочек весьма чувствительны к несовершенствам реальной конструкции, то есть к отклонениям реальных конструкций от их идеализированных расчетных схем.Поэтому возникает вопрос оценки чувствительности теоретического решения задачи устойчивости к несовершенствам системы, объяснения механизма возникновения повышенной чувствительности и предсказания случаев, когда такое поведение возможно.Ввиду трудностей достоверного описания характера несовершенств были предложены критерии качественного характера. Эта идея, высказаннаяВ.	Койтером еще в 1945 году [14], связывает влияние неизбежных несовершенств реальных конструкций с закритическим поведением идеальной конструкции соответствующей формы, причем для анализа привлекаются компоненты функции полной потенциальной энергии системы, имеющие порядок выше квадратичного.Подход В. Койтера позволяет, прежде всего, уточнить представление о поведении системы вблизи точки бифуркации, т.е. при нагрузках, мало отличающихся от ритического значения.Сила этого подхода состоит в том, что качественная оценка закритического поведения системы предсказывается на основе ее изучения в одной только критической точке.Основную идею легко продемонстрировать на примере системы с одной степенью свободы. Обозначим параметр нагрузки через X и параметр выбранного обобщенного перемещения (например, стрелы прогиба) - через v. Пусть в выражении для полной потенциальной энергии U удержаны степени q до четвертой включительно, так что это выражение имеет види = C2(kcr-\)v2 +су + C4v\	(4.15)где Хсг - критическое значение параметра нагрузки, С, - некоторые постоянные. Мы предполагаем здесь, что отсчет перемещений v ведется от исследуемого равновесного состояния. Отсюда и следует, что линейный по перемещениям член в разложении (4.15) отсутствует, так как в состоянии равновесия, то есть при V = О, должно выполняться
176ЦИКЛ 4fWdvРассмотрим прежде всего критическое состояние, то есть положим X = Хсг. То обстоятельство, что квадратичный член в (4Л 5) в этих условиях исчезает, также понятно, поскольку по самому определению в критическом состоянии системы выполняется условиеут(0) = 0- dvДопустим сначала, что Сз Ф 0, тогда член, содержащий С4, можно отбросить, так что в окрестности критической точки будет U = C3V3. При С3 > 0 и v < 0 или при С3 < 0 и v > 0 переход к смежному состоянию будет сопровождаться падением полной энергии, поэтому здесь равновесное состояние, отвечающее Хсп окажется неустойчивым. Если же С3 = 0, то надо исследовать выражение U = C4V4. При С3 = 0 и С4 > 0 отклонение системы от основного состояния будет связано с повышением уровня энергии, и критическое состояние окажется устойчивым. Напротив, при С3 = 0 и С4 < О оно будет неустойчивым. а\)С3< 0яС3> 0яС3= 0яС3= 0С4> 0С4< 0Рис. 4.10.Если теперь рассмотреть кривые равновесных состояний (рис. 4.10), на которых ветви устойчивых состояний изображены сплошными линиями, неустойчивых - пунктиром, то мы увидим, что в критической точке происходит обмен устойчивостью между ветвями, причем сама критическая точка принадлежит либо к неустойчивой ветви (зачерненный кружок), либо к устойчивой ветви (светлый кружок). На этих же рисунках жирные линии относятся к идеальной системе, тогда как более тонкие линии отображают поведение системы с начальными несовершенствами.Нетрудно привести простейшие примеры механических систем, (рис. 4.11) поведение которых соответствует схемам рисунка 4.10.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ177а) Если рассмотреть жесткую стойку, подкрепленную упругой наклонной связью с параметром жесткости к (рис. 4Л1,а), и считать обобщенной координатой этой системы угол отклонения стойки 0, то легко написать уравнение равновесия в моментах относительно нижней точки стойки0ЛP/sin0 = Msin4 2где N - это сила натяжения оттяжки.Легко понять, что относительное удлинение 8 оттяжки определяется величинойe = cos(0/2) + sin(0/2)-l.ПоэтомуN = £[cos(0/2) + sin(0/2)-l].После подстановок в полученное выше уравнение равновесия и преобразований это даетк [cos(0/2) + sin(0/2)-l][cos(0/2)-sin(0/2)] л/2	sin0Если нарисовать график функции Р = Д0), то он будет выглядеть так, как это показано на рис. 4.12
178ЦИКЛ 4Выражение для потенциальной энергии очевидно имеет види = -U/V2 [cos(e/2) + sin(e/2) -1]2 -Pl( 1 - cos0).Разложение в ряд Тейлора с удержанием членов до четвертой степени включительно даетU.и.-р е2-kl	7=03 + —8V2 24Р-2{2у[2Отсюда видно, что в данном случае Сз < 0, причемл *к!8^22^2Понятно также, что при 0 = 0 равновесие выдерживается при любом значении нагрузки Р - вертикальная линия на рис. 4.12. Как видим по этому рисунку, качественная картина поведения системы действительно совпадает с картиной, изображенной на рис. 4.10,а (асимметричная бифуркация).b)	Для жесткой стойки, упруго закрепленной от поворота вокруг опорного шарнира пружиной с жесткостью у, имеем выражение(y = Ie2-P/(l-cos0) = (Y-/>/)y + />/^-....Разложение функции полной энергии системы в ряд по степеням 0 при р = у/1 = рсг имеет вид U= (Рсг1/24)04 > 0, следовательно, ответвляющаясякривая симметрична как на рис. 4.10,b (симметричная устойчивая бифуркация).c)	Если жесткая стойка удерживается от поворота пружиной, сохраняющей свое горизонтальное положение, как это показано на рис. 4.11,с, то полная энергия системы естьU = — sin20-P/(l-cos0) = (c/2 -/>/)—+ — - —2	V	1 V	; 2 ,24 604 + ....
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	179Критическое значение нагрузки, соответствующее точке бифуркации, равняется Pcr = cl , при этом в самой точке бифуркацииcl2U = ~—04<О,8и мы имеем случай соответсвующий рис. 4.10,с (<симметричная неустойчивая бифуркация).От типа критической точки зависит соотношение между критическими нагрузками идеальных систем и предельными нагрузками систем с несовершенствами, т.е. здесь может формироваться представление о мере опасности достижения критического состояния.	Проиллюстрируем это положение анализом примера системы, показанных на рис. 4.11,с.Введем в рассмотрение безразмерный параметр х, который определяет величину начального несовершенства системы. Точнее говоря, величина начального отклонения стойки от вертикали пусть будет равна xl. В то же время yl обозначает полное отклонение вершины стойки от вертикали, где у можно рассматривать как безразмерный параметр, характеризующий это отклонение (рис. 4.13).Условие равенства нулю моментов относительно опорной точки запишемкакилиPyl = c(yl-xl) Ц\-у2 Ру=с1(у-х)^]\--у*	(4.16)Критическую силу Рсг определяем из условия dP/dy = 0, что приводит к уравнению
180ЦИКЛ 4Из этого уравнения следует, чтоУ‘А'-ЛI-*= 0; >> = х,/3..	(4.17)У)Подстановка (4.17) в (4.16) позволяет определить зависимость критической нагрузки от безразмерного параметра несовершенства системыpcr=d(i-x^f2.Поскольку в данной задаче при отсутствии начальных несовершенств Рсш= cl, то чувствительность критической нагрузки к несовершенствам системы определится отношением r| = Pc/PCr.id = (1 -хт)ш.Классический результат Койтера состоит в том, что снижение критической нагрузки за счет начальных несовершенств подчинено степенному закону с показателем степени 1/2 для асимметричной бифуркаций и показателем степени 1/3 для неустойчивой симметричной бифуркаций.е= -0,5	8=0,5-|«ГРис. 4.14Таким образом, предельная нагрузка реальной системы имеет поправку на неидеальность типа Ajef, где к - некоторая положительная постоянная, определяемая конкретными особенностями задачи, а показатель степени /?, зависящий от типа бифуркации, является положительной рациональной дробью. Чем меньше значение р, тем острее реагирует система на несовершенства (рис. 4.14).Отметим, что системы имеющие устойчивую точку бифуркации малочувствительны к несовершенствам. Напротив, системы, с неустойчивой точкой бифуркации проявляют заметную чувствительность к несовершенствам. Даже небольшие отличия реальной конструкции от идеализированной расчетной схемы могут привести к заметному снижению значения критической силы.В заключение этого раздела заметим следующее - выше мы описывали переход от идеальной системы к несовершенной, вводя параметр начального возмущения, но в реальной действительности логика исследования является
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ	181обратной: мы создаем модель идеализированной системы, отбрасывая ее начальные несовершенства. Следовательно, в «общем положении» (т.е. для всех случаев, кроме некоторых исключительных) реальная конструкция ведет себя иначе, чем идеальная, и анализ, ограничивающийся только отысканием точек бифуркации, может оказаться недостаточным. В частности, в случае неустойчивой точки бифуркации переход от идеальной системы к несовершенной приводит к заметному снижению значения критической нагрузки, т.е. здесь имеется высокая чувствительность к влиянию несовершенств, чего нет для устойчивых точек бифуркации.Здесь было бы уместным сказать, что исследование идеализированной (следовательно, в каком то смысле вырожденной) системы дает важную информацию о более широком классе невырожденных систем, поскольку позволяет предсказывать их свойства при условии, что «неидельность» реальной конструкции достаточна мала, как это в самом деле часто бывает.Обнаружение неустойчивой точки бифуркации служит предупреждением о сильной чувствительности системы к начальным несовершенствам, что как минимум ставит вопрос об увеличении обычно используемого значения коэффициента запаса по устойчивости.
182ЦИКЛ 4Беседа 4.4. Устойчивость в большом. Верхняя и нижняя критическая нагрузкаПолезно рассмотреть пример конструкции, у которой потеря устойчивости реализуется не в точке бифуркации, а в предельной точке. Одним из простейших таких примеров является ферма Мизеса (рис. 4.15,а).Здесь предполагается, что подкосы несжимаемы, адеформируемость которой моделируется вставленной в нее пружиной жесткостью с. Само деформированное состояние характеризуется угломВыражение для потенциальной энергии этой системы— = -4cl} (cos 0 - cos а) sin 0 + PL cos 0 = 0a© V	'вся упругая часть системы сосредоточена в затяжке,0.Отсюда следует, что кривая состояний равновесия определяется уравнением5L , г2/ „ ч . л _ л лилиV cos0)COS0 )рcl/(cL) - -0.077 - --0.1СРис. 4.15.График такой зависимости для значения tga = 0,5 показан на рис. 4.15 Д В предельной точке реализуется условие
беседы о строительной механике183— = 4cL cos0-dQ Icos2 0 J(4.19)Этот пример, кроме всего прочего, демонстрирует явление перескока, когда система, нагружаемая возрастающей нагрузкой доходит до предельной точки А и затем скачком переходит в точку В на новой устойчивой ветви состояний равновесия. При этом хлопок связан с достаточно большими перемещениями.Очевидно, что точка А равновесной траектории, показанной на рис. 4.15,6, отвечает неустойчивому равновесному состоянию системы. В то же время любую точку на участке равновесной траектории от точки 0 до точки А (за исключением самой точки А) мы должны отнести к категории точек с устойчивым равновесным состоянием.Мы видим, впрочем, что перескок на ветвь С-В равновесной траектории может быть осуществлен не только из точки А, но и из произвольной точки на участке 0-А. Для этого достаточно лишь подействовать на систему некоторым возмущением конечной величины (а не бесконечно малым, что входит в само определение классического понятия потери устойчивости).В теории устойчивости равновесия подобного рода эффекты определяются понятием потери устойчивости в большом. В отличие от классического понятия потери устойчивости в малом для реализации потери устойчивости в большом, то есть для осуществления перескока на иную равновесную траекторию системы, требуется преодоление некоторого энергетического барьера конечной величины. Если этот барьер реально может быть преодолен за счет внешнего возмущения, то инженер не может оставаться безучастным к такой возможности. Однако для оценки степени опасности перескока требуется заведомо более богатая информация, относящаяся к ожидаемым внешним возмущениям.С понятием устойчивости в большом тесно соприкасаются и такие понятия, как верхняя критическая нагрузка и нижняя критическая нагрузка. Если вновь обратиться к рис. 4.15Д то нагрузку Р, отвечающую точке А равновесной траектории, принято называть верхней критической нагрузкой. В то же время нагрузку Р, отвечающую точке С равновесной траектории, называют нижней критической нагрузкой.В том случае, когда для нас будет существенно различение верхней и нижней критических нагрузок, то для этих величин мы будем пользоваться раздельным обозначением, приняв для определенности:Fr - верхняя критическая нагрузка;Рсг - нижняя критическая нагрузка.Смысл введения понятий верхней и нижней критических нагрузок заключается в том, что само явление потери устойчивости в большом возможно только при таких нагрузках Р, которые заключены в пределахР <Р<РСГСГ — ~
184ЦИКЛ 4Приведем еще один пример простой механической модели (рис. 4.16,а\ позволяющую объяснить поведение цилиндрической панели, сжатой вдоль образующих.Модель состоит из четырех абсолютно жестких на изгиб стержней, с шарнирным закреплением в концевых сечениях. Два горизонтальных стержня имеют возможность изменять свою длину за счет вставленных в эти стержни телескопических пружин жесткостью с. В центральном узле модели размещены две поворотные пружины, каждая жесткостью у. Одна из этих пружин сопротивляется изменению угла между вертикальными стержнями, вторая - между горизонтальными. В начальном (недеформированном) состоянии горизонтальные пружины имеют перелом в центральном узле. Величина этого перелома характеризуется стрелой подъема h, как это показано на рис. 4.16,а.Отличительной особенностью задачи является заметное неравноправие направлений перемещения центрального узла - мы будем считать, что система имеет только одну степень свободы (перемещение q центрального узла вдоль оси Y), тогда как перемещения этого же узла вдоль оси X, нарушающие симметрию системы, исключены.Предполагается, что потеря устойчивости приводит к появлению узлового перемещения q и при малой стрелке h углы перелома 0 вертикальной и горизонтальной стержневых компонент схемы таковы: 0 = 2q/L. Вертикальное перемещение точки приложения силы Р при малых деформациях может быть определено какLРРис. 4.16.Потенциальная энергия дается выражением
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ185U = 4уд2/Ь2 + с А2 - Pq2 /L,	(4.20)в котором А - это осевое укорочение поперечных стержней. С использованием предпосылки о малости углов поворота 0 величина А выражается через перемещение q какА = (?Д)(Л-9/2).	(4-21)Если в (4.20) подставить (4.21) и перейти к безразмерному перемещению8 = q/h,а произвольное соотношение между вращательной жесткостью пружин у, препятствующих взаимному повороту звеньев, и продольной жесткостью с заменить фиксированным соотношением, которое для удобствапоследующих записей примем в виде у = ch2 j8, то получим52й4 52й4U = с——+ с•л2 D2.21	2Ph2b22 L2 L2Дифференцируя (4.22) по 8, приходим к условию равновесия в форме dU 25 h2(4.22)db L—(3 - 35 + 52)-P 2 L= 0,что для случая 8*0 дает зависимостьp =	-6 + 52 / 3).	(4.23)2 LВ линейном анализе в скобках этой формулы опускаются члены, содержащие 8 и 82, что соответствует пренебрежению работой горизонтальных пружин, которые не включаются в работу в исходном недеформированном состоянии системы (в докритическом состоянии системы). Это приводит к линейному критерию потери устойчивости равновесия3 ch2Рсг=^—.	(4.24)2	LИспользованный здесь верхний индекс сг в обозначении критической нагрузки не случаен; его применение призвано подчеркнуть, что формула(4.24)	определяет именно верхнюю критическую нагрузку В рамках линеаризованной модели поведение рассматриваемой системы при Р = Fr описывается горизонтальной прямой 1 - 2, изображенной на рис. 4.17.Если принять во внимание продольные напряжения, вызванные большими деформациями, то поведение, последующее за выпучиванием, описывается уравнением (4.23) и кривой 1 - 3 - 5 на рис. 4.17. Нелинейная модель реализуется, начиная с предельно допустимой нагрузки Рг. Но согласно (4.23) нагрузка, требуемая для сохранения равновесия, должна уменьшаться с увеличением деформации и это уменьшение превалирует при не слишком больших значениях 8, когда квадратичный член еще мал. В конечном счете, поскольку деформации продолжают увеличиваться,
186ЦИКЛ 4равновесная нагрузка становится возрастающей, начиная от точки минимума 3 и двигаясь к точке 5. При этом для всех значений Р от уровня точки 1 (верхняя критическая нагрузка F^) до уровня точки 3 (нижняя критическая нагрузка Рсг) система имеет кроме начального еще два смещенных положения равновесия.Рис. 4.17.Если в анализируемой задаче рассматривать неидеальную модель, например, учесть эксцентричность приложения нагрузки, как это показано на рис. 4.16,6, то к выражению для полной потенциальной энергии добавляется член -IPeqIL, где е - эксцентриситет приложения нагрузки. В этом случае связь перемещения с нагрузкой становится такойР =Зек22L(l-8 + S2 /3)1(4.25)График (4.25) при e/h = 0,1 показан в форме кривой 0 - 6 - 7 на рис. 4.17. Согласно этой кривой, устойчивость равновесия исчерпывается в точке 6 при нагрузке, приблизительно равной 55% от верхней критической нагрузки по (4.24), которую дает линейная теория.Вопрос:Вы упомянули о необходимости преодоления энергетического барьера конечной величины. Но чаще всего говорят о малом (даже бесконечно малом) пробном возмущении, с помощью которого проверяется устойчивость системы. А что можно сказать об испытании устойчивости равновесия не очень малым возмущением?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ187Ответ:Для анализа этого случая необходимо рассматривать нелинейное поведение системы. Часть кривой потен- циальной функции, лежащая между двумя её минимумами, А называется энергетическим барьером. Вершиной энергетического барьера является неустойчивое состояние равновесия, в котором потенциальная функция имеет максимум.Преодоление энергетического барьера может быть произведено при помощи искусственного возмущения системы, т. е. придания ей деформации, выводящей систему за вершину энергетического барьера. При этом в период до перехода через вершину должна затрачиваться энергия, равная высоте барьера, возвращающаяся после преодоления последнего. Возмущение, при котором достигает вершины энергетического барьера, назовём критическим возмущением.Но в ряде случаев энергетический барьер оказывается весьма незначительным, и тогда устойчивое состояние равновесия практически равносильно неустойчивому состоянию вследствие большой вероятности появления возмущений системы, превышающих критическое.В качестве примера возьмём абсолютно жёсткий очень высокий параллелепипед, опёртый на жёсткую горизонтальную плоскость и нагружённый в верхнем основании осевой вертикальной силой Р (рис. 4.18,а). Такой параллелепипед является теоретически устойчивым при любом значении Р. Однако достаточно очень малого наклона оси параллелепипеда, чтобы сила Р перешла за ребро нижнего основания и про¬изошло опрокидывание.р,а)UЪ)Рис. 4.18Потенциальная энергия системы здесь равнаU = P(/zcos<p + 0,5asin<p) ,где ф — угол наклона оси параллелепипеда к вертикали, h—высота, а b — ширина основания.
188ЦИКЛ 4График этой функции показан на рис. 4.18,6. При \%(р-Ы21п имеетместо максимум, т. е. вершина энергетического барьера. Поэтому критическим возмущением будет отклонение оси параллелепипеда отвертикали на угол, равный arctg(6/2A). Так как в рассматриваемом примеревысота энергетического барьера и величина критического возмущения незначительны, то практически, при больших отношениях h/b система неустойчива.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ189Беседа 4.5. Устойчивость систем с несколькими степенями свободыМы начнем эту беседу с рассмотрения примера простейшей системы с двумя степенями свободы, практически все особенности задач с конечным числом степеней свободы большим единицы этот пример позволяет рассмотреть.Расчетная схема исследуемой системы представлена на рис. 4.19. Она представляет со¬ бой цепь из трёх жёстких брусьев, шарнирно скреплённых друг с другом и опёртых в местах скрепления на упругие опоры. К свободным концам стержней приложена сжимающая сила Р. Длины стержней и коэффициенты жёсткости упругих опор будем считать одинаковыми. В качестве неза¬ висимых параметров, определяющих деформированное состояние системы, возьмём осадки опор щ и и2.Решим задачу об устойчивости такой системы в предположении, что деформации и\ и м2.малы по сравнению с длинами стержней. При этом в уравнениях равновесия можно ограничиться членами, содержащими и\\\ и2. лишь в первой степени, а в выражении потенциальной энергии — членами не выше второй степени и\ и и2..В качестве первого уравнения равновесия возьмём условие равенства нулю проекций на вертикальную ось всех сил, сходящихся в узле Ву а в качестве второго — условие равенства нулю проекций на вертикальную ось всех сил, сходящихся в узле С (рис. 4.19, б).
190	]	ЦИКЛ 4В узле В действуют реакция опоры В, равная —где Р — коэффициент жёсткости опоры, и две силы, действующие вдоль первого и второго стержней, равные Р-coscpi и Р соБфг и направленные под углами ф! и ф2 к первоначальному направлению оси стержня. Считая с точностью до величин первого порядка малости синусы углов ф! и ф2 равными их тангенсам щ/l и (u2-u\)/l, а косинусы — равными единице, уравнения равновесия напишем в виде-/?м, + Рм, ! l + P(ux -u2)/1 = О]Г •	(4-26)-(Зи2 + Pu2 /1 + P{u2 -Mj) / / = 0J После упрощений этим уравнениям можно придать форму (2Р-pi)ux -Pu2 =0= 0.	(4.28)г-	(4.27)-Puv+(2P-pi)u2=0\Одно из решений полученной системы уравнений u\= u2 = 0 означает, что равновесной формой при любых Р будет недеформированное состояние системы. Кроме этого тривиального решения, существуют ещё и неопределённые решения, получаемые из условия равенства нулю детерминанта коэффициентов системы (4.27):2 Р-pi -Р -Р IP-pi Уравнение (4.28) даёт:(2P-pif=P2; Pt=fil/3, P2=0l.	(4.29)Таким образом, критические состояния системы будут возникать при Р = Р\ и при Р = Р2 . Из двух полученных критических сил практическое значение имеет лишь меньшее Рх= pi / 3.Составим теперь выражение для потенциальной энергии системы, которое будет представлять собой квадратичную форму:и = 0,5 pUf + 0,5Pul - PI [о, 5 (и, /I)2 + 0,5 [(и2 - к, )//]2 +0,5 (и2 /if). (4.30)Первые два члена представляют здесь упругую энергию опор, а выражение, стоящее в фигурных скобках, дает укорочение проекции ломаной оси стержня после деформации.Поверхность, изображаемая этой формулой в прямоугольных координатах ux,u2 является поверхностью второго порядка. При Р — 0 она представляет собой параболоид вращения с вершиной в начале координат (рис. 4.20, а). При 0 < Р < р//3 поверхность (4.30) будет эллиптическим параболоидом (рис. 4.20,6), который имеет одну экстремальную точку ui = 0, и2 = 0, где U минимально. Следовательно, при и\ = и2 = 0 будет иметь место в данном случае устойчивое состояние равновесия.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ191Рис. 4.20При Р = р//3 функция (4.30) получает видU = (р / 6)и,2 + (р / 3)щи2 + (р / 6)и\ - (р / 6)(и2 + и, )2Поверхность, выражаемая этой функцией, является параболическим цилиндром с образующими, параллельными линии щ + и2 = 0, лежащей в плоскости U=0 (рис. 4.20,в). Здесь мы имеем уже не одну минимальную точку, а целую линию, на которой функция и достигает минимального значения, равного нулю. Это соответствует безразличному состоянию равновесия, характерному для критических состояний системы в пределах малых ее деформаций.При /уз < Р < Р\ поверхность (4.30) обращается в гиперболический параболоид, имеющий седловидную форму (4.20,г). В начале координат мы имеем здесь положение равновесия, но оно будет неустойчиво в направлении одной из главных кривизны поверхности.При Р = Р\= (Я формула (4.30) обращается вU = (p/2)(u2-uif.Поверхность U приобретает снова вид параболического цилиндра, но уже обращенного выпуклостью вверх (рис. 4.20,Э). В данном случае имеется бесконечное количество положений равновесия, определяемых линий щ =и2, но все они будут неустойчивыми.Наконец, при Р>(31 поверхность и становится опять эллиптическим параболоидом, но с вершиной, обращенной вверх (рис. 4.20,е). В этом случае имеется одно положение равновесия, неустойчивое в любом направлении. Система при этом будет иметь две степени неустойчивости.
192ЦИКЛ 4Из формулы (4.30) легко получаются уравнения равновесия, как условия равенства нулю производных dU/dux, dU/du2, которые должны соблюдаться в экстремальных точках поверхности U.В критических состояниях Р = Р\ и Р = Р2 условия равновесия приобретают вид:их +м2 = 0 (при Р - pi /3); щ -и2 = 0 (при Р = /?/).Здесь имеется неопределенность решения, которая выражается в неопределенности численных значений прогибов щ и и2. Соотношения же между ними в критических состояниях равновесия получаются вполне определенными и определяют формы потери устойчивости, соответствующие той и другой критической нагрузке. Первой критической силе соответствует обратносимметричная форма потери устойчивости, показанная на рис. 4.21,а, в которой их=-и2. Второй критической силе соответствует симметричная форма потери устойчивости, показанная на рис. 4.21 Д В этой форме их ~и2. Действительной формой потери устойчивости будет форма, соответствующая меньшей критической силе, т. е. обратносимметричная.Р=р/У^'	' Jj^ " '~J\^P=$l/3Нетрудно обощить подход, продемонстированный в рассмотренном примере, и на общий случай системы с п степенями свободы. Если деформированное состояние системы определяется несколькими параметрами м,,м2,...,мл , то потенциальная энергия будет функцией этих параметрови = и{щ,и2,...,ип).	(4.31)В состоянии равновесия должны выполняться такие уравненияdU /дщ =0; dU !диг =0;.... dU / дип =0.	(4.32)~	ООООднако не все состояния равновесия щ , и2 , отвечающие условиям (4.32) являются устойчивыми. Чтобы установить это попробуем установить, может ли существовать смежное состояние равновесияи° +и1,и°2+и2,...,и° + ия.	(4.33)
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ193Для упрощения выкладок принимаем начало отсчета перемещенийТуг Д и Btj—значения производных Д. = SU / дщ и Bij = d2U / ди{ди}взятые в точке их = м2	= 0, a R — остаточный член, отображающийболее высокие степени разложенияИз условий равновесия следует, что Д = Л2=... = Д1=0,и поскольку мы полагаем отклонения м,,м2,...,м„ малыми, то можно пренебречь остаточным членом. Тогда будем иметьНетрудно заметить, что эти уравнения имеют решение ых = и2	= 0, но нам нужно знать, не имеют ли они другие не нулевыерешения. Это может случиться лишь в том случае, когда равняется нулю детерминантИменно это условие соответствует критическому состоянию системы.Полезно связать коэффициенты уравнения (4.35) с выражениями для энергии системы. Для этого будем рассматривать случай нагружения системы “мертвыми» внешними силами Рх, Р2,-..,Рп, не меняющих своего направления при деформации системы. Пусть эти силы меняются синхронно пропорционально параметру интенсивности нагружения X и сохраняятаким, что их =0,и\ =0,...,и°п =0, тогда разложение функции U в ряд исследуемого состояния равновесия будет иметь вид U = Ахих + А2и2 +... + Апип ++ В2хи2их + В22и2 -I-... + В2пи2ип +(4.34)п па уравнения равновесия (4.27) примут видdU / дих =Вххих + ВХ2и2 + ... + ВХпип =0dU / ди2 = В2хых + В22и2 +... + В2пип = 0(4.35)dU / дип = В .и, + В~щ +... + Вип = 0п	nil	Л Z L	пп пD == 0.(4.36)5, 5, — Вп\ п2	пп
194ЦИКЛ 4соотношения между своими компонентами. Тогда существует потенциал внешних сил l~ls (мр...,ия) и для соответствующих компонент нагрузки выполняется равенствоР,=ь л ' ’ (/ = 1,2,...,и).ди,(4.37)Если обозначит через E(w1,...,w/I) потенциальную энергию деформаций, то в положении равновесия системы ее полная потенциальная энергия U^ = Е(и|,...,«„)-ХП5(м	,»,)	(««)рассматриваемая как функция обобщенных координат, принимает стационарное значение. Иными словами в равновесном состоянииdU дЕ .ЗП8	(4.39) 	=	X—1 (/ = 1,2,..., л)ди{. диг. dut V	'Разложим выражение для потенциальной энергии деформации и выражение для силового потенциала в ряды в окрестности исследуемого состояния равновесияf дЕ Iff д2Е 1 fff д3ЕЕ= > —и, н— / > 	и,и н— / У У 	uiu,ul+...,L-! Д., ' Т X-fZ-l Д., Д.,, ‘ 1 {.	Д.. Д,, Д‘ J кttdui 2 “f dufiuj6^‘Pf^dujdujduk(4.40)То обстоятельство, что недсформированное состояние системы является самоуравновешенным, означает, что при отсутствии внешних воздействий8U дЕ . ЭП,— =	X—L = 0 (г = 1,.ди{ ди( ди{Кроме того с учетом малости смещений ui(/= 1,2,...,«) можно ограничиться только квадратичными членами ряда. Тогдатт 1 VV 52ns и=—У > 	и.и.	> > 	—И/И/ .2 tt^duiduj J Itfftdufaj Jи уравнения равновесияdU А 52Еи и	и L-	, V		 / 	и, —А,/ди1 dufiuj jrf dufiitjUj — 0 (/ = 1,2,..., л).Матрица коэффициентов этой системы линейных относительно и, (/ = 1,2,...,и) уравнений(4-41)52Е . д2П,—	А, -dufiujdutduj
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ195называют полной касательной матрицей жесткости системы. Смысл такого именования вытекает из того соображения, что эта матрица представляет собой обобщенную характеристику мгновенной жесткости системы в определенной точке равновесного ее состояния.Понятие полной касательной матрицы жесткости системы является одним из ключевых в теории устойчивости равновесного состояния механической системы. Поэтому имеет смысл остановиться на этом понятии чуть более подробно, проиллюстрировав его применение на примере простой механической системы (рис. 4.22). При этом можно продемонстрировать технику получения компонент матрицы касательной жесткости без привлечения выражений для энергии деформации и работы внешних сил, то есть способом, основанном на одних только уравненияхравновесия.	Но эти уравнения должны быть составлены для деформированного состояния системы с учетом тех внутренних сил, которые возникают в элементах системы в равновесном ее состоянии, исследуемом наустойчивость.	Будем полагать, что изображенные на рис. 4.22 стержни длины / являются абсолютно жесткими, так что все деформации сосредоточены в трех пружинах, жесткости которых обозначены соответственно как сь с2, с3.В качестве обобщенных координат системы примем горизонтальное и и вертикальное v перемещения точки приложения силы Р. Действительно, этими двумя параметрами полностью определяется положение в пространстве механической системы, поскольку длины стержней считаются неизменяемыми. Если обозначить и\ и и2 величины горизонтальных перемещений концевых точек первой и второй пружин соответственно (на рис. 4.22 мыслимое деформированное состояние системы изображено пунктирной линией), то из условия недеформируемости стержней находимОбозначим через N\ продольную силу, возникающую в стержне 1, а через N2 продольную силу в стержне 2. Эти усилия мыслятся вычисленными на исследуемом равновесном состоянии системы. Очевидно, что//Рис. 4.22
196ЦИКЛ 4При этрм усилие N\ получается положительным при растяжении стержня 1, а усилие N2 положительно при сжатии стержня 2.Уравнение равновесия относительно продольного перемещения и центрального узла имеет вид(ci+c2)u = P.Для составления второго уравнения равновесия рассмотрим деформированное состояние системы с учетом тех отклонений от исследуемого состояния равновесия, которые могут возникнуть при потере устойчивости.Если проанализировать равновесие каждого из элементов системы, то обнаружим (рис. 4.23), что в левом стержне развивается поперечная сила Q\ = N\v/l, а в правом стержне - поперечная сила Q2 = N2v/l.Поэтому при поперечном отклонении центрального узла на единичную величину v = 1 действующая на этот узел суммарная реактивная сила г22 будет складываться из двух величинN, N.L \ = с р 2 1 ./ / ) 3 (с,+с2)/ 'Таким образом, полная касательная матрица жесткости следующим образомвыглядятилиRx- Rq -XG -с,+с20о с3-;1 С2“С1/(с,+с2'0с, + с2 0 0 с3-X0.Ос,-с,1{С\ + с2)причем первая строка и первый столбец у этих матриц относятся к продольному перемещению и центрального узла, а вторая строка и второй столбец - к поперечному перемещению v этого же узла. Структура и состав матрицы R0 вполне понятны. Ее компоненты отвечают обычной линейной постановке задачи. А матрица (7, которую называют геометрической матрицей жесткости как раз и характеризует задачу проверки устойчивости.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ197Беседа 4.6. Многопараметрическое нагружение. Теорема ПапковичаСлучай, когда конструкция подвержена только одному фиксированному виду внешних воздействий, является скорее исключением, нежели правилом. Практически всегда инженер имеет дело с совокупностью независимых нагрузок, причем эти нагрузки могут действовать в самых различных комбинациях.В связи с этим возникает проблема выбора наихудшей комбинации внешних воздействий, как в смысле прочности конструкции, так и по отношению к запасу устойчивости в тех равновесных состояниях, которые отвечают различным комбинациям внешних воздействий.Мы начнем наше рассмотрение с простого примера. Представим себе, что на упругую систему, изображенную на рис. 4.24, могут действовать две независимые силы Р\ и Р2, причем сами эти силы могут изменяться в широких пределах по своей величине и могут действовать в прямом и обратном направлениях. Три стержня в этой системе считаются абсолютно жесткими. Если мы зафиксируем отношение между силами Р\/Р2, то, следуя стандартной процедуре, сможем найти равновесное состояние системы и определить границы области устойчивости этого равновесного состояния.Рис. 4.24.Составим уравнения равновесия для того деформированного состояния системы, которое мыслится реализуемым в момент потери устойчивости равновесия. На рис. 4.25 показана предположительная форма потери устойчивости системы.
198ЦИКЛ 4В линейной постановке задачи устойчивость равновесного состояния которой нас интересует, реакции, возникающие в горизонтальных пружинах жесткостью к, будут одинаковыми и равными (Р\ + /у/2, как это показано на рис. 4.25.Реакции RA и RB вертикально неподвижных опор легко определяются составлением уравнений равновесия в моментах относительно точек Ли В. Имеем1/рЛ1/р2)„ 1/рх'\ 1/рЛ2 с +1U,+—С +2и2,RB — — в 3с -1м, + —2с-L3V1)13V1 )V/,) зV1 )Воспользуемся теперь условием равенства нулю моментов в шарнирных узлах. Это даетRJ-Z±bUi= 0)> RBl + ^U2,0.Подставив сюда полученные выше выражения для реакций RA и RB, приходим к системе двух линейных однородных уравнений относительно щ и м2(4с/ - Рх- 3Р2 )м, + (2с/ + 2Р2 )и2 = О,(2с/ - 2РХ )их + (4с/ + 3 Рх+ Р2 )и2 = 0.Приравняв определитель этой системы уравнений нулю, получим, что в критическом состоянии системы выполняется равенство4c2l2 +4cl(Pi-P2)-(Pl +Р2)2 =0.	<4-42)Удобно перейти к безразмерным силовым переменным р\ и р2, положив Р,=р/(с1)^ p2 = p2/(cl).В безразмерных силовых параметрах уравнение (4.42) перепишется в виде4 + 4(р1-Р2)-(Р\+Р2)2 =°-	(4'43)На плоскости параметров рх и р2 это уравнение определяет некоторую кривую, как это показано на рис. 4.26.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ199Понятно, что двумерная область Q, ограниченная этой кривой, является областью устойчивости равновесия системы. Вне пределов этой области равновесие неустойчиво. На рис. 4.26 показана область устойчивости Q (не затемненная), граница которой удовлетворяет уравнению (4.43). Как видим, точка {р\ = 0, р2 = 0) принадлежит области устойчивости Q, что и понятно, так как эта точка соответствует незагруженной системе. Однако самое главное заключается в том, что область Q является выпуклой областью. Кстати, обратим внимание, что критические нагрузки в этой задаче не1 13зависят от жесткости горизонтальных пружин к .Свойство выпуклости области Q не случайно проявилось в данной задаче. Оказывается, что справедлива следующая важнейшая теорема, принадлежащая П.Ф. ПапковичуПри комбинированном нагружении упругой механической системы область устойчивости равновесия Q, построенная в пространстве нагружений в рамках линеаризованной постановки задачи устойчивости равновесия, является выпуклой областью, содержащей начало системы координат.Важнейшее прикладное значение теоремы Папковича заключается в возможности на основе ее выводов выполнять расчеты устойчивости равновесных состояний конструкции не для всевозможных мыслимых комбинаций нагружений, а только лишь для отдельных фиксированных вариантов нагружений. Затем, с гарантированным знаком погрешности можно оценивать область устойчивости, заменяя ее истинную границу совокупностью гиперплоскостей. Остановимся на этом подробнее.Классическая теория устойчивости равновесия, излагаемая в большинстве курсов строительной механики и обычно используемая при расчете строительных конструкций, предполагает (к сожалению, чаще всего13 Здесь важно лишь, что обе горизонтальные пружины (на левом и на правом конце системы) имеют одинаковую жесткость. При иных соотношениях жесткостей этих пружин критические силы будут иными.
200ЦИКЛ 4молчаливо), что все внутренние силы возрастают пропорционально одному параметру, а соотношение между ними при этом остается неизменным. Такая схема поведения внутренних сил характерна далеко не для всех систем, для многих из них (в особенности нелинейных) необходимо считаться с тем, что соотношения между внутренними силами в системе меняются с ростом интенсивности нагружения. Поэтому, если отыскивается критическая, в смысле устойчивости, интенсивность нагружения и именно с ней связывается понятие о коэффициенте запаса по устойчивости, то расчет необходимо выполнить, имитируя рост нагрузки, а не рост внутренних сил.Но даже для линейных систем полученный классическим способом коэффициент запаса устойчивости может не иметь четкого физического смысла. Действительно, представим себе конструкцию с элементами, сильно сжатыми за счет постоянной нагрузки G0 от собственного веса, и в дополнение нагруженными временной нагрузкой Р0 (рис. 4.27).Коэффициент запаса к'= 1,25 для суммарной нагрузки соответствует явно нереальному росту собственного веса на 25%. Если же выделить возможный рост собственного веса, например, на 10% (то есть положить kg = 1,1), то для достижения критического состояния временная нагрузка должна вырасти намного больше. Естественно, что при таком рассуждении, графическая иллюстрация которого представлена на рис. 4.27, довольно скромный коэффициент запаса 1,25 предстает совсем в другом свете (кр > 1,25).Результат, разумеется, будет сильно зависеть от вида границы области устойчивости и при другой ее конфигурации все коэффициенты запаса могут оказаться такими, что значение крР0 будет существенно меньшим. Но важно отметить сам факт недостаточной точности анализа системы с привычной трактовкой коэффициента запаса по устойчивости.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ201Для ответственных случаев следовало бы вычислять значения критического параметра нагрузки по каждому варианту нагружения отдельно. Если такие результаты получены, и определены критические нагрузки Picr (/= l,...,/w) по каждому из т нагружений, то для линейной системы далее можно воспользоваться теоремой Папковича о выпуклости области устойчивости.Из этой теоремы, в частности, следует, что плоскостьрасположена не дальше от начала координат, чем истинная граница области устойчивости, что для двумерного случая проиллюстрировано на рис. 4.28.Прямая (4.44) на рисунке обозначена как АВ, и она заменяет истинную границу области устойчивости с большим запасом. Решение можно уточнить, отыскав критическое значение системы для некоторой комбинации нагрузок (точка С на луче ОС) и приблизив кривую АВ ломанойт р(4.44)АСВ.Р2	Граница областиk	/ устойчивостиЮРис. 4.28\,сгВопрос:В нормах проектирования предлагается проверить устойчивость каждого стержня, но практически ничего не говорится о проверке устойчивости системы в целом. Означает ли это, что система, в которой все элементы устойчивы, сама является устойчивой?
202ЦИКЛ 4Ответ:Нет, это не так. Для подтверждения обратимся к примеру простейшей конструкции из двух шарнирно соединенных стержней, которая показана на рис. 4.29 (высокая ферма Мизеса). В отличие от пологой фермы Мизеса, потеря устойчивости которой проявляется в форме«прощелкивания» центрального узла, в нашем случае формой потери устойчивости системы является боковое смещение (рис. 4.29,а), и критической является нагрузка /*=24235 тонн.а)б)Местное выпучивание стержней (рис. 4.29,6) происходит при гораздо большей нагрузке Р= 104235 тонн и является менее опасным, а при нагрузке Р=24235 тонн, оба стержня системы являются устойчивыми.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ203Беседа 4.7. Расчетные длиныСоздание норм расчета стержней на устойчивость всегда базировалось на экспериментах, где чаще всего испытанию подвергались стержни, шарнирно опертые по концам. Распространение результатов на более сложные прикрепления стержней осуществлялось по теории так называемого «эквивалентного» стержня и его расчетной длины.Понятие расчетной (свободной, эквивалентной) длины было введено Ф.С. Ясинским [13] с целью обобщения формулы Эйлера на случай центрального сжатия линейно упругого плоского стержня с произвольными закреплениями концов. Следуя Ф.С. Ясинскому, под расчетной длиной стержня обычно понимают условную длину однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. Этот подход был широко принят и вошел в нормы проектирования почти всех стран.К сожалению, следует признать, что у такого подхода к решению проблемы устойчивости стержневых конструкций нет ясного теоретического обоснования. По сути одна трудно разрешимая проблема (проверка устойчивости произвольного стержня) была заменена другой не менее сложной — определением эквивалентных (расчетных) длин стержней.Согласно установившейся традиции и следуя определению Ф.С.Ясинского для установления расчетной длины необходимо применять метод расчета на устойчивость систем с прямыми стержнями при приложении нагрузок в узлах и в предположении упругих деформаций (см., например, [13]). При этом следует учитывать продольные усилия в стержнях и, как правило, исключать из рассмотрения поперечные нагрузки и эксцентриситеты, вызывающие изгиб стержней.При проектировании расчетную длину стержня /0 обычно определяют по формуле/0=ц/,	(4.45)где ц - коэффициент расчетной длины, зависящий от условий закрепления концов стержня и вида нагрузки; / - геометрическая длина рассматриваемого стержня.Если обратиться к результатам исследования устойчивости однопролетных стержней при различных концевых условиях и подобрать длины стержней / каждого из этих стержней так, чтобы критическая сила у них оказалась одинаковой, то можно заметить (см., например, [6]), что формы потери устойчивости таких стержней являются различными участками дуги одной и той же синусоиды
204ЦИКЛ 4. тис у = sin —.In(4.46)На рис. 4.30 этот факт проиллюстрирован графически, здесь следует заметить, что расчетная длина /0 равна расстоянию между смежными точками перегиба, т.е. полуволне синусоиды (4.46).Но все сказанное выше, по сути, относилось к рассмотрению плоских расчетных моделей и, соответственно, плоских схем деформирования. Только для них имеет смысл рассмотрение расстояния между точками перегиба изогнутой оси, принимаемое в качестве расчетной длины.В пространственных схемах форма потери устойчивости может оказаться такой, что изогнутая ось стержня даже оставаясь плоской кривой, не принадлежит одной из главных плоскостей инерции. Тогда сразу же возникают вопросы: в какой плоскости расчетная длина равна расстоянию между точками перегиба.Поскольку даже для плоских стержневых систем расчетную длину сжатых стержней следует определять как в плоскости, так и из плоскости системы, то и здесь возникает нестыковка с определением Ф.С. Ясинского. Действительно, представим себе пространственный шарнирно опертый в обеих главных плоскостях стержень, у которого поперечное сечение имеет моменты инерции 1Х и 1У = 41Х. При центральном сжатии такой стержень теряет устойчивость при нагрузкерсг,=^ ('<,,=/)•	(4.47)Если теперь формально найти расчетную длину /0>>, такую, чтобы потеря устойчивости и в этой плоскости происходила бы при том же значении нагрузки, то из равенства(4.48,О,Убудет следовать, что /0 = 21 хотя, исходя из условий шарнирного опирания концов, должно быть 10 у = I.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ205Нормы требуют, чтобы устойчивость стержня была проверена независимо в двух его главных плоскостях. Но к такой рекомендации можно прийти только в том случае, когда расчет устойчивости в каждой из плоскостей выполняется независимо, полагая, что деформация из рассматриваемой плоскости невозможна. Для этого практикующие инженеры должны действовать следующим способом: выполнить два расчета на устойчивость, в которых попеременно запрещается деформирование то в одной, то в другой главной плоскости инерции (например, полагая то /х = оо, то /у = оо) и из них определяются коэффициенты расчетной длины ц* и |лу.Другие проблемы возникают в тех случаях, когда в пространственной системе главные оси инерции элементов не параллельны друг другу, и форма потери устойчивости, как и расчетные длины, оказывается зависящей от ориентации этих осей в системе.Поучительным является пример по рис. 4.31, где рассмотрена четырехстоечная пространственная рама, у которой вершины стоек связаны недеформируемыми стержнями, которые шарнирно примыкают к стойкам.Рис. 4.31
206ЦИКЛ 4В первом варианте защемленные в основании двутавровые стойки высотой по 6 метров (стенка 800x30, полки 600x30) ориентированы таким образом, что их стенки параллельны, а во втором примере они развернуты на 45° и образуют циклически симметричную систему. Сжимающие силы по 250 т приложены к вершине каждой стойки.В первом случае коэффициент запаса устойчивости оказался равным 14,851, и он соответствует синхронной изгибной форме выпучивания. Форма потери устойчивости во втором случае такова, что стойки кроме изгиба испытывают и закручивание, что приводит к коэффициенту запаса 8,728.Не менялась схема концевого закрепления стержня, не менялось его сечение и приложенная сила, а вот критическая сила системы Ре (следовательно и свободные длины) изменились практически вдвое. Получается, что достоверно можно предсказать расчетную длину только для отдельного (не включенного в пространственную конструкцию) стержня, но говорить о потере устойчивости отдельного стержня, принадлежащего какой-то конструкции, в общем случае вообще бессмысленно, поскольку конструкция теряет устойчивость целиком.Использование расчетных длин, очевидно, имеет такую популярность, что позволяет весьма тщательно исследовать поведение только одного стандартного объекта — шарнирно опертого стрежня. Для него оценивается влияние неточностей изготовления и монтажа, роль неупругой работы и т.п. и все результаты такого исследования формируют расчетные графики и таблицы, ориентированные на практическое использование проектировщиком. Таким образом, через расчетную длину перекидывается мостик между общим расчетом системы на устойчивость и нормативными проверками. Но из приведенных примеров видно, что этот мостик в некоторых отношениях оказывается слишком узким.Вместе с тем следует признать, что много задач получают вполне удовлетворительное решение по методу расчетных длин, и его всеобщее присутствие в нормах проектирования несущих конструкций не опорочено сколь-нибудь частыми отказами конструкций, построенных по таким нормам. Это свидетельствует о том, что, скорее всего, можно надеяться на совершенствование этого приема, для чего важно понять его достоинства и недостатки.Литература1.	Алфутое Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1978. (Второе издание. — М.: Машиностроение, 1991.)2.	Безухое Н.И., Лужин О.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. — М.: Стройиздат, 1963.3.	Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963.4.	Геронимус Я.Л. Теоретическая механика. — М.: Физматгиз, 1973.5.	Корноухое Н. В. Избранные труды по строительной механике. — Киев: АН УССР, 1963.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ2076.	Лейтес С.Д. Устойчивость стержневых систем // Справочник проекти¬ ровщика. Расчетно-теоретический. Книга 2.— М.: Стройиздат, 1973.— С. 186- 269.7.	ЛановкоЯ.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. Издание третье.— М.: Физматгиз, 1979.8.	Попкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Т.4 Устойчивость стержней, перекрытий и пластин — Л.: Судостроение, 1963.9.	Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Издание второе. — Киев: Сталь, 2002; Издание третье. — М.: Изд-во ДМК Пресс, 200710.	Перельмутер А.В,, Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1. Общие теоремы. Устойчивость отдельных элементов механических систем.— М.: Изд-во СКАД СОФТ, 201011.	РжаницынА.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. — М.: Гостехтеориздат, 1955.12.	Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов.—	М.: Наука, 1967.13.	Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней.— М.- Л.: Гостехиздат,1952.14.	Koiter W.T. Over de stabilities van het elastisch evetwicht. PhD Thesis. Delft University of Technology, Amsterdam< Paris — 1945.
ЦИКЛ 5208Цикл 5Основы динамического анализа
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ209Не будет, вероятно, преувеличением сказать, что среди процессов, как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, колебания, понимаемые в широком смысле этого слова, занимают во многих отношениях выдающееся, часто первенствующее местоИ.Д. Папалекси
210ЦИКЛ 5Система инженерного образования построена таким образом, что задачам динамики уделяется незаслуженно малое внимание. Многочисленными упражнениями у студентов вырабатывается определенная интуиция по проблемам статического анализа конструкций, но «динамическое чутье» остается совсем не развитым. Более того, практически отсутствует умение описывать динамические воздействия (может быть за исключением нескольких случаев, охваченных нормами проектирования). Имея в виду необходимость выработки такого чутья, мы начнем этот цикл бесед с краткого описания сил, действующих при колебаниях, и анализа динамического поведения простейшей системы с одной степенью свободы.Беседа 5.1. Колебания системы с одной степенью свободы.В курсах механики указаны основные типы сил, которые могут действовать на материальную точку: силы, зависящие от времени; силы, зависящие от положения точки; силы, зависящие от скорости точки. В большинстве случаев к этим типам сводятся и те обобщенные силы, которые действуют при колебаниях механических систем. Рассмотрим их подробнее, ограничиваясь здесь системами с одной степенью свободы.Обобщенные вынуждающие силы — внешние силы типа P(t), являющиеся заданными функциями времени; такие силы служат причиной вынужденных колебаний. Источники возникновения вынуждающих сил весьма разнообразны, весьма различны и законы их изменения во времени, хотя в практике наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы..В некоторых случаях возбуждение колебаний задается кинематически, когда каким-либо точкам системы «предписано» некоторое определенное движение. В частности, кинематическим является сейсмическое движение основания сооружения или возбуждение колебаний транспортного средства при движении по неровному пути. Как будет показано ниже, любое кинематическое возбуждение может быть представлено в виде некоторого эквивалентного силового возбуждения, т. е. заменено действием соответствующих сил.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ211Обобщенные позиционные силы — силы, зависящие от конфигурации системы, т.е. от обобщенных координат. Среди позиционных сил особое значение имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонениях системы от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть систему в это положение. Именно восстанавливающие силы обусловливают способность совершать свободные колебания.В механических системах с упругими элементами восстанавливающие силы возникают вследствие деформирования этих элементов при колебаниях (упругие силы). В других случаях роль восстанавливающей силы может играть сила тяжести (маятник) или архимедова сила (корабль).Зависимости восстанавливающих сил от обобщенных координат, как правило, нелинейны; однако при исследовании малых колебаний (что во многих случаях достаточно) чаще всего допустима линеаризация таких зависимостей.Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей (по крайней мере от их знака) и направлены противоположно движению. Силы трения возникают в сочленениях и опорах механической системы (конструкционное трение), а также в материале ее элементов (внутреннее трение материала). К этой же категории относятся и силы сопротивления среды (жидкости, газа), в которой происходят колебания; такие и им подобные силы ниже условно также называются силами трения. Чаще всего силы трения препятствуют развитию колебаний, например, служат причиной затухания свободных колебаний; механические системы, в которых действуют такие силы, называются диссипативными.При составлении расчетной модели большое значение имеет разумное пренебрежение несущественными составляющими сил, а для учитываемых в анализе составляющих — правильная схематизация их свойств. Так, при определении собственных частот механических систем в большинстве случаев допустимо пренебречь действием сил трения; ими можно пренебречь, но подобные упрощения нужно делать осторожно, имея в виду, что, казалось бы, малые влияния иногда могут явиться причиной важных следствий прин¬ ципиального характера. Так, даже весьма малые силы трения необходимо учитывать при анализе затухания свободных колебаний, а также при определении резонансных или околорезонансных амплитуд вынужденных колебаний.Отличительной особенностью задач динамики является учет сил инерции /, которые оказывают инерционное сопротивление изменению скорости. Эти силы, в соответствии со вторым законом Ньютона, определяются как произведение массы на ускорение. Здесь всегда нужно помнить, что инерционная характеристика, которую мы называем массой, не есть вес тела. Вес G это сила, с которой тело давит на поддерживающую его опору, сила веса определяется по формуле G = mg (т — масса, g= 9,81 м/с2— ускорение
212ЦИКЛ 5свободного падения) и, если тело весит 10 кГ (килограмм-сила), то его масса равна 1,0191 кг (килограмм-масса) или 1,019 кГс2/м.Если же тело совершает поворот, характеристиками которого является угловая скорость ф (рад/с) и угловое ускорение ср (рад/с2),то мерой егоинерции является не масса, а момент инерции массы J<у (кг м2= кГмс2). Инерционное сопротивление повороту реализуется в виде момента М = У^срВ тех случаях, когда деформация системы определяется перемещением одной точки, в которой сосредоточена вся масса конструкции, система имеет одну динамическую степень свободы. Для простоты изложения мы будем полагать, что упругое сопротивление R моделируется пружиной, а вязкое сопротивление движению Q — неким демпфирующим устройством (рис. 5.1 .а).Уравнение движения можно составить на основе принципа Д’Аламбера, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил. Принцип Д’Аламбера позволяет применить к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому им широко пользуются в инженерной практике, в форме метода кинетостатики.Учитываем, что на массу оказывают воздействие (рис. 5.1,6):•	возмущающая сила P(t)\•	сила инерции l{t) = mu[t)\•	сила упругого сопротивления R(t) = ku[t), где к — жесткость пружины;•	сила неупругого сопротивления, которую будем считатьпропорциональной скорости (модель Фойгта) Q{t) = cii[t), где с —постоянная затухания.В соответствии с принципом Д’Аламбера эти силы в любой момент времени находятся в динамическом равновесии:что приводит нас к дифференциальному уравнению движения системы с одной степенью свободы:mii + сй + ки = P(t).	(5.1)Полученные выше уравнения записаны для случая, когда возмущающая сила приложена непосредственно к массе. Покажем, как изменятся
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ213уравнения движения, если это условие не выполняется (см. рис. 5.2).Используем здесь другое обозначение жесткости ги — к . Тогда уравнениеравновесия массы под действием всех приложенных к системе сил будет иметь видmii + сй + ruu = гпД(*), а перемещение точки расположения массыи = -8итй-8исй +A(t),где Д(*)- переменное во времени перемещение массы от статически приложенной нагрузки;я 1 1Oj j = — =	податливость системы в месте расположения массы.г„ к{™Рис. 5.2Таким образом, задача о колебаниях системы с одной степенью сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. Напомним, что уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной, а наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.Свободные колебанияИз курса математики известно, что полное решение дифференциального уравнения является суммой двух решений: решения однородного уравнения у которого правая часть равна нулю (общее решение), и какого-нибудь решения неоднородного уравнения (частное решение). Применительно к уравнению (4.1), однородное уравнениетй + сй + ки = 0приводят к видуи+(с/т)й + со2и = 0,	(5.2)где введено обозначение к/т= со2 .Уравнение (5.2), в котором отсутствует возмущающая сила P{t), описывает поведение системы, которая в начальный момент времени
214ЦИКЛ 5выведена из состояния равновесия и затем предоставлена сама себе. Говорят, что такая система совершает свободные колебания13.Параметр со есть постоянная величина, зависящая исключительно от упругих и инерционных свойств системы и не зависящая от условий возбуждения колебаний, а потому называемая собственной частотойсистемы со = у[к/т. Собственная частота представляет собой числосвободных колебаний за 2к единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длительность одного полного цикла колебаний, определяется формулой Т = 2л / со .Решение уравнения (5.2) ищут в форме и = Gest. что после подстановки в(5.2)	дает\js2 +(c/m)s + co2~^Gest = 0 .Поскольку Gest не равно тождественно нулю, то после сокращения мы получаем квадратное уравнений, решение которого имеет вид-i'fe) *'■ <5'3)Характер решения зависит от соотношения величин а — с! (2т) и со .При отсутствии трения, когда с=0 и, следовательно, а = 0 решение уравнения (5.2) принимает вид:u(t) = и0 • cos со/ + — • sin со/.	(5.4) соТаким образом, свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы являются гармоническими (рис. 5.3) и реализуются с собственной частотой системы.13 Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность исследования свободных колебаний. Как будет ясно из дальнейшего, характеристики свободных колебаний полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденных колебаний.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ215В общем случае при малом демпфировании, когда а2 < со2, решение(4.3)	дает пару комплексно сопряженных корней s^2=a + ico, и общее решение однородного уравненияС! (a+ia>)t , * (a-i(o)iхе ] +С2е ’.Переход от показательной функции мнимого аргумента к тригонометрической форме записи дает окончательное выражение для общего решенияи =eat (Acoswt + Bsmcbt).Здесь А, В — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями, т.е. перемещением и0 =м(0)и скоростью й0 = м(0)в начальныймомент времени, а через оз = л/со2 - а2 обозначена угловая (круговая) частота системы с вязким трением. Часто используется величина п = со/(2л)-	техническая частота и Т = \/п - период.Найдем постоянные интегрирования из начальных условий. Пусть в начальный момент времени масса имела координату и0 и скорость й0. Тогдаи0 =А,й0 = -ae~at (A cos соt + B sin (bt) + (Ье~ш (-A sin Ш + В cos Ш) == -аА + со В.Отсюда В = (й0 -ьош0)/со, иu(t) = e~at(u0 cos&/+й°+ aU° sin Ш).	(5.5)соХарактер поведения u(t) показан на рис. 5.4.Заметим, что отношение двух последовательных максимальных отклонений остается постоянным:
216ЦИКЛ 5“(Оu(t + T) АеАе-a(t+T)= еСледовательно, уменьшение максимальных отклонений происходит в геометрической прогрессии.Натуральный логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений называется логарифмическим декрементом затуханияАе~8 = 1п--	= аТ .(5.6)Л-е~а('+Т)Безразмерная величина 8 характеризует быстроту затухания. Приведем некоторые значения:металлические мосты: 8=0,085, ж.-б. балочное покрытие 8=0,28;ж.-б. мосты 8=0,315.Если же демпфирование настолько велико, что а2 >со2, то корни sl2- вещественные, отрицательные.Общее решение: и = CxeSxt + C2eSlt представляет собой убывающую функцию. После отклонения колебания не возникают, система возвращается в положение равновесия (рис. 5.5).Заметим, что вязкая диссипативная сила уменьшает амплитуду свободных колебаний по экспоненциальному закону, но ее влияние на частоту и, соответственно, на период свободных колебаний является незначительным.Действительно, рассмотрим малые колебания с заметной диссипацией, например, при уменьшении последующей амплитуды в два раза по сравнению с предыдущей, т.е. Ап/Ап+Х= 2. Тогда логарифмическийдекремент затухания 8 = In 2 = 0,693 = аТ, и параметр а определится как а = 0,693/Т = 0,6936) / (2л) = 0,11со. Возводя выражение со =*] со2 - а2 в
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ217квадрат, получаем ш2 = со2 -а2 = со2 -(0,11а>)2 и, следовательно, частота колебаний системы с вязким трением а> = 0,994со.Вынужденные колебания при гармоническом возбужденииВернемся снова к уравнению (5.1) полагая, что возмущающая сила меняется во времени по закону Р = Pos\n0t, и сопротивление отсутствует, следовательно, будем иметьmil + ku = Р0 sin 9t,	(5.7)илии + со2и = — sinOt.	(5.8)тЧастное решение уравнения (5.8) имеет видu(t) = Csin0t,	(5.9)и, подставляя (5.9) в (5.8), получаем(-в2 + 6)2)С sinOt = —sinOt.	(5.10)v	1	тРавенство (5.10) должно выполняться при любых значениях времени t, аэто может быть только тогда, когда в2 + б)2 ^ С = Р0/т , значитРГ =			(5 1Птсо2(\-в2/со2у	( jУчитывая, что тсо2 = к, и, вводя параметр относительной частоты возмущения р = в/со, запишемu(t) = —т—Tsin 0t.	(5.12)Добавляя к (5.12) общее решение однородного уравнения, которое является реакцией системы при свободных колебаниях, получим общее решение в видерu(t) = Asmdt +Bcos6t + —,—Q—^-sin#f.	(5.13)k{l-p )Константы А и В выбираются так, чтобы удовлетворить начальным условиям. При нулевых начальных условиях (м(0) = ii(0) = 0) будем иметьw(0 = —т—~—гт( sinOt-—sincot\	(5.14)W т(в2-со2){	(о )Полученное решение представляет разность двух гармонических составляющих с различными частотами. В действительности этот процесс можно наблюдать лишь в самом начале, так как неучтенные при составлении уравнения силы сопротивления вызывают постепенное затухание колебаний
218ЦИКЛ 5с собственной частотой со. Поэтому по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой 0.Таким образом, наиболее существенная, стационарная часть процесса (установившиеся вынужденные колебания) описывается выражением (5.12).Амплитуда этих колебаний, происходящих с частотой 0, определяется выражениемл-фщ-	<515)знаменатель которого (динамическая жесткость) характеризует эффективную жесткость системы при гармоническом возбуждении. Выражению (4.15) можно придать видА = и„м,	(5.16)где	/со11 — коэффициент динамичности. Он показывает, восколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний А больше перемещения ust = Р0/ к , вызываемого статически приложенной силой Р0.Нетрудно видеть, что при в —> со (резонансный режим) коэффициент динамичности стремится к бесконечности. В действительности решение является конечным, в чем можно убедиться, если рассмотреть систему с трением.Вопрос:Было сказано, что для поворотных степеней свободы мерой инерции является не масса, а момент инерции массы Можно ли привести примеры?Ответ:Моменты инерции масс для трех простейших тел:'4Jz = тг2 / 2 (сплошной цилиндр радиуса г, высотой h и массы т)\Kizг\	>J„ = 2тг2 / 5 (твёрдый шар радиуса г и массы m );
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ219Jh=m (w2 + d2) /12 (твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой т)Вопрос:Инерционная сила пропорциональна ускорению по закону Ньютона, упругая сила пропорциональна смещению по закону Г ука, а на основании чего затухание пропорционально скорости движения?Какова физическая природа сил неупругого сопротивления?Ответ:Природа возникновения диссипативных сил, являющихся неизбежными спутниками любых колебательных процессов, разнообразна и сложна. Если полагать, что сопротивление движению оказывает внешняя среда (жидкая или газообразная, трение в опорах) или же силы внутреннего трения (термин собирательный, внутренние процессы могут быть не связанными с трением), то экспериментально установлено, что величина диссипативных сил тем или иным способом связана с величиной скорости.Для упрощения анализа силам диссипации приписывают свойства вязкости, для которых установлена линейная зависимость от скорости.На рис. 5.6 представлены зависимости сил так называемого вязкого сопротивления (рис. 5.6,а) и сухого трения (рис. 5.6,6 и 5.6.в) от скорости. а)	Ь)	с)Рис. 5.6Диссипативная сила вязкого трения пропорциональна скорости Q = cu . Коэффициент с = const.
220ЦИКЛ 5Сила сухого трения зависит от знака скорости и потому описывается разрывной функцией, которая в простейшем случае так называемого Кулонова трения является кусочно-постоянной и описывается математическим выражением£ = csignw.Введение подобного слагаемого в уравнение колебаний превращает его в нелинейное.Какой бы ни была природа диссипативных сил, их направление в любой момент времени противоположно направлению скорости.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ221Беседа 5.2. Кое-что о резонансеБольшинство инженеров осведомлены о резонансном режиме колебаний, когда совпадение частоты внешнего воздействия с частотой собственных колебаний приводит к резкому нарастанию амплитуд. Для идеальной системы без потерь энергии резонанс определяет неограниченный рост амплитуд, но и для реальной системы этот рост может быть очень большим.Влияние трения на вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико, и в практических расчетах им чаще всего пренебрегают. Однако вблизи резонанса учет трения становится необходимым: без этого ошибки в определении амплитуд вынужденных колебаний становятся недопустимо большими. С учетом вязкого трения уравнение движения приобретет видти + сй + ки = Р0 sin 0/,	(5.17)и + 2со^й + (о1 и = (Р0 / m) sin Ot,	(5.18)где со — частота собственных колебаний недемпфированной системы; С, = С/Ссг — относительное демпфирование; Ссг = 24hn — критическое демпфирование, т.е. такое значение коэффициента С, начиная с которого выведенная из состояния равновесия система возвращается к этому состоянию без осцилляций.Не останавливаясь на деталях поиска решения уравнения (5.18), которые можно найти в любой книжке по динамике сооружений, запишем окончательный вид решения:u(t) = е~^ (и0 cos Ш + + sin со/) -со(Z?i cos Ш _|_ P^i + sm ^ +	(5.19)со+Вх cos 0/ + В2 sin 0/.Здесь введены обозначенияд	2соС0	'В_Р0	со2 -021	т (со2-02) + (2соС0)2’ 2 « ((О2-е2) + (2со<;0)2 ’Таким образом, смещение при действии гармонического возмущения складывается из трех составляющих:
222ЦИКЛ 5•	свободные затухающие колебания с частотой со, зависящие от начальных условий;•	свободные затухающие колебания с частотой й), зависящие не от начальных условий, а от параметров возмущающей силы;•	чисто вынужденные колебания с частотой 0.Для случая со < 0 график движения при действии вибрационной нагрузки приведен на рис. 5.6,а, а для случая 6 > 0 — на рис. 5.6,6.После завершения переходного процесса, когда реализуютсяустановившиеся вынужденные колебания, движение	под действиемвибрационной нагрузки являются гармоническими,	и описывается выражениемu(t) = В] cos 0/ + В2 sin Qt,	(5.20)или (с учетом того, что В\ < 0)q(t) = £sin(0/-i|/),	(5.21)I		Ргде В = JB2 + В\ - —. — 0 — =г - амплитуда установившихся^(со2 -е2)2 +(2о>С9)2вынужденных колебаний;у - угол, представляющий собой разность фаз между движениеммассы и возмущающей силой.Полученные формулы позволяют сделать следующие выводы:•	перемещения системы происходят с частотой возмущающей силы, но отстают по фазе;
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ223•	при малых частотах возмущения 0 по сравнению с собственной частотойсо отставание невелико;•	при равенстве частот возмущения и собственной со = 0 фаза ц/ = л/2, т. е. втот момент, когда сила максимальна, перемещение равно нулю. Динамический коэффициент ц, т.е. отношение амплитуды вынужденных колебаний |м(/)|тах к смещению массы от статически приложенной силы, определяется формулой:со1мст	^(со2 -G2)2 +(2сосе)2 V(l-^2)2+(2(0%)2 ’где £ = 0 / со .Эта амплитуда имеет максимальное значение при 0/со = ^/1-2^2 , когдаn = V, график ее изменения как функции от отношения 0/сопредставлен на рис. 5.7.е/шПолезно обратить внимание на то, что с точки зрения уменьшения амплитуд колебаний более выгодным является увеличение частоты собственных колебаний по сравнению с частотой возмущения, поскольку область 0/со > 1 характеризуется меньшими значениями коэффициента динамичности.Специальный случай возбуждения представлен на рис. 5.8, где колебания вызываются несбалансированной массой те, которая имеет эксцентриситет е и вращается с угловой скоростью 0. Возмущающая сила при этом определяется как Р = emed2sindt, а безразмерная амплитуда
224ЦИКЛ 5:^^ = (0/со)2 етоСО2С-со(5.22)имеет максимальное значение fim^ =(\-2^2)l{^2^yj\-^2 j. График этойфункции показан на рис. 5.8, из него видно, что в указанном случае рекомендация по уводу от резонанса имеет прямо противоположный характер.Наконец, можно рассмотреть еще один случай гармонического возбуждения, когда по закону z = z0sin Qt движется основание. Безразмерная амплитуда перемещений определяется выражением1+ (2^0/со)о	^(l-02/co2) +(2<^0 /со)2(5.23)График этой функции показан на рис. 5.9. Он напоминает график на рис. 5.7, но здесь все кривые проходят через точку с абсциссой 0/со = 1,414.Схема по рис. 5.9 применяется в системах виброизоляции и отношение Wmax I zо в некотором смысле характеризует качество виброизоляции, которая, как видно из графика, является эффективной лишь при частотах 0/со > 1,414, при этом наличие в ней затухания, вообще говоря, является нежелательным.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ225Беседа 5.3. Уравнения движения системы с несколькими степенями свободыа)б)в)Любая реальная конструкция имеет массу, распределенную по всему объему. Однако достаточно точные результаты ее анализа можно получить, полагая, что масса конструкции сосредоточена в некоторых ее характерных точках. Поэтому для простоты будем рассматривать систему, которая состоит из невесомых упругих элементов, несущих точечные массы (рис. 5.10,а), т.е. систему с конечным числом степеней свободы./,+6,+ЛЛ Л+бг+Л7И,т2ММгЛ-G.-/.Рис. 5.10Уравнения движения систем такого типа можно получить прямым или обратным способом.Согласно прямому способу из системы выделяются сосредоточенные массы, и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка, находящаяся под действием сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты (рис. 5.10,6).Обратный способ противоположен прямому: после отделения сосредоточенных масс рассматривается оставшийся «безмассовый скелет» системы, и для точек расположения масс определяются перемещения, возникающие от действия внешних сил и сил инерции (рис.
226ЦИКЛ 55Л 0,в). Имеется в виду, что реальная сила инерции приложена не к массе, а действует на упругий скелет конструкции14.Воспользуемся прямым способом, учитывая, что на каждую (например, i-ю) массу оказывают воздействие:•	возмущающая сила />,-(/);•	сила инерции /,•(/);•	сила упругого сопротивления /?,•(/);•	сила неупругого сопротивления Qi(t).В соответствии с принципом Даламбера эти силы находятся в любой момент времени в динамическом равновесии:/, (0 + Q, (t) + Ri(t) = Pi (0 (/ = 1,.	(5.24)Используя компоненты матрицы жесткости К, можно силу упругого сопротивления выразить через перемещенияЛ/(0 = 1ХМЛ0 =	(5.25)7=1Далее полагаем, что сила неупругого сопротивления пропорциональна скорости (условие вязкого трения) и, следовательно, с использованием матрицы коэффициентов диссипации С получаем:Й(0 = ЕСЛ(0 =	(5.26)j=1Силы инерции равны произведению массы на ускорение, следовательно, уравнения динамического равновесия будут иметь вид:«А (0 + 2ХМ0 + 2ХиД0 = ■*?(*) (* = 1>->и) (5.27)у=1	j=1Инерционные характеристикиЕсли для некоторой массы необходимо учитывать инерцию поворота, то ее перемещения удобно связать с центром массы С (рис. 5.11). Силы инерции /, и /у прикладываются в точке С. Угловому перемещению щ соответствует момент инерции Д.14 Я.Г.Пановко отмечает [3]: «... выражение «на балку при колебаниях действуют силы инерции» содержит двусмысленность, поскольку неясно, что в этом выражении следует понимать под «балкой». Если здесь подразумевается сама балка, т. е. упругая система, обладающая массой, то приведенное выражение в сущности неверно; если же «балкой» назван ее упругий скелет, то оно становится верным, но тогда следовало бы его лучше сформулировать».
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ227Рис. 5.11Простейший способ перехода от реальной конструкции к расчетной модели с сосредоточенными массами основан на том, что сумарная масса каждого стержня сосредотачивается на его концах, то есть в точках, где определяются перемещения системы.Например, раму (рис. 5.12,а) с распределенными массами щ, т2, Щ на стержнях разбивают на три участка, и массу каждого из них распределяют поровну между концами участка (рис.5.12,б) в виде точечных масс т\,т2,т^, так чтогп\ = ща/2, т2 = гп2Ь/2,= щс/2.В результате заданную схему заменяют невесомой рамой (рис. 5.12,в) с двума точечными массами, каждая из которых равна сумме точечных масс, которые располагались на концах стержней, примыкающих к узлу.а)©С т'лт 2~ т->т i 3В ivAА*^ Ъ J1в)D щ2 т\+т2—О 2 о	СОт,А ±тп* А о 1*30Втп2+ /я3 	ОРис. 5.12При другом подходе учитывают, что в процессе колебаний силы инерции в стержнях пропорциональны ускорениям точек, расположенных на оси стержня, т.е. в идеологии метода конечных элементов определяются функциями формы, поскольку пространственное распределение ускорений совпадает с пространственным распределением перемещений. Эти силы определяют концевые реакции, и узловым точкам приписываются условные массы и моменты инерции масс, такие, что они создают узловые инерционные силы и моменты, вызывающие те же реакции, что и инерционные силы реальных распределенных масс.Так, например, элементы матрицы масс стержневого элемента, который рассматривался в беседе 2.1, вычисляются по формулам:mv = JV/(х) dx,где i|/(x) - функции, интерполирующие перемещения точек в пределах конечного элемента. Если задать эти функции в виде полиномов Эрмита, то получим матрицу масс:
228ЦИКЛ 5" 15622 L54-131]mL22 L41}13Z,-31}4205413 L156-22 L-13L-31}-22 L1Такая матрица масс называется согласованной, в отличие от метода точечных масс, она не имеет диагональную форму, что вызывает определенные сложности в вычислениях. В связи с этим предпочитают метод точечных масс или используют другие приближенные приемы диагонализации матрицы масс.Одним из таких способов является прием, когда распределенная масса рассматривается как нагрузка на элемент (иными словами, предполагается, что инерционные силы являются постоянными по длине), и ее приводят в узлы по формулеLmj =\т ц/1 (*)• dx .оТогда матрица масс простого стержня будет имеет вид'"600°1mL0L00120060000L]т.е. перенесенная в концевой узел половинная масса стержня приобретает еще и момент инерции равный ml} /12 .Собственные колебанияЕсли задать системе начальные смещения (например, приложив некоторую силу Р0), то в дальнейшем при развитии свободных колебаний конфигурация перемещений изменится, поскольку в дело вступят силы инерции /(/), которые не участвовали в начальном деформировании системы (рис. 5.13).
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ229Но существуют такие формы возмущений, (собственные формы), у которых конфигурация сохраняется.	Для того, чтобы продемонстрировать справедливость этого утверждения, рассмотрим уравнение (5.27), полагая, что внешние возмущающие силы и силы сопротивления отсутствуют. Тогда будем иметьwA(0 + 2XMf) = 0 0 =	(5.28)j=1Предположим, что свободные колебания являются гармоническими с пока что неизвестной нам частотой со:!*,.(;) = A'jSina*.	(5.29)Подстановка (5.20) в (5.28) приводит к системе уравненийп-miXico2 smart+ ^КуХ{ sinatf = 0 (/ = 1,...,л),(5.30)у=1И поскольку эти уравнения должны выполняться всегда, то их можно сократить на sin cot и получить уравнения относительно амплитуд Х{.(п	Л£аГ„-»иУ х,=о (/ = 1,...,«).	(5.31)ыУравнения (5.31) имеют тривиальное решение Х{ =0 (/ = 1,...,л), чтосоответствует неподвижной системе, но, кроме того, они могут иметь ненулевое решение, если детерминант этой системы уравнений равен нулю. Это может произойти при некоторых значениях частоты (собственной частоты), для которых справедливо равенствоdetПоследнее выражение называется характеристическим уравнением задачи, и при разворачивании определителя обращается в алгебраическое уравнение п-й степени относительно со] . Как известно из курса математики, алгебраическое уравнение п-й степени имеет п корней< (/= 1, ...,«)•Упорядоченная в порядке возрастания и пронумерованная совокупность положительных значений со0,* образует так называемый спектр собственных частотЮ0,1 ^“о,2Каждому собственному числу, как и каждой собственной частоте, соответствует свой набор амплитуд обобщенных координат, удовлетворяющий уравнению (5.32).\Кп-(о1т,1ск»К22 ~ ч ^2к2п= 0.(5.32)1Кп 2пп U п _
230ЦИКЛ 5Если подставить одно из значений собственной частоты (например, со5) в уравнения (5.31), то можно попытаться разрешить полученную систему относительно величин Х\5) (/ = 1,...,л), совокупность которых составляет собственный вектор (форму собственных колебаний), соответствующий этой частоте. Поскольку подстановка cos приводит к уравнениям с вырожденнойматрицей коэффициентов, найти все значения X^s) (i = 1,...,и) не удается.Можно задаться произвольно одной из компонент собственного вектора, тогда остальные (и-1) компонент собственного вектора найдутся из усеченной таким способом системы уравнений.Ввиду того, что мы произвольным способом задались одной из компонент собственного вектора, практически найдены невеличины х\г) (* = !,„.,п), а только соотношение между ними.Рассмотрим пример простой системы с двумя степенями свободы (рис. 5.14).Уравнения типа (5.31) для этой системы имеют вид (77,83-2<u2)*, -94,01^ =0-94,0IX, +(208,50-й>2)Х2 =0Приравнивая детерминант системы уравнений нулю, получаем биквадратное уравнение(77.83ЛГ, - 2со2) (208,50 - «2) - 94,012 = 0,или2(04 - 494,83(О2 + 7389,675 = 0, решение которого дает два значения собственной частотыщ, = 3,995; (о0 2 = 15,213.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ231Соответствующие им формы собственных колебаний (рис. 5.15) определим из первого уравнения, положив Х2=\.X™ =1; Х,(,) =(208,5 -15,964)/94,01 = 2,048;X™ =1; Х\г) =(208,5-231,451)/94,01 =-0,244.Формы собственных колебаний иногда называют модами, а процесс их получения модальным анализом.
232ЦИКЛ 5Беседа 5.4. Свойства форм собственных колебанийСобственные формы являются характеристиками динамической системы (их паспортом), поскольку они не связаны ни с какими внешними воздействиями. Их роль в динамическом анализе велика, поэтому стоит более внимательно рассмотреть основные свойства собственных форм.Как указывалось выше, у системы с п степенями свободы есть ровно п собственных частот, каждой из них соответствует определенная форма собственных колебаний.Собственные формы имеются только у линейных систем, нелинейные системы форм собственных колебаний не имеют.	Из этого утверждения в числе прочего следует, что собственные формы характеризуют малые упругие колебания, т.е. для нелинейно-упругой системы модальный анализ может относиться лишь к ее линеаризованному аналогу (малые колебания в окрестности смещенного состояния равновесия).Если система имеет две или несколько близких по значению собственных частот, то возникают определенные трудности в правильном определении соответствующих собственных форм. И чем ближе друг к другу находятся собственные частоты, тем труднее различать формы собственных колебаний. Подвешенный на сферическом шарнире маятник может совершать свободные колебания в одной плоскости (скажем в X0Z), а также в перпендикулярной ей плоскости Y0Z, при этом частота колебаний будет одна и та же. Таким образом, можно считать колебания в каждой из указанных плоскостей совершающимися по собственной форме. Ясно и то, что маятник может совершать колебания и в любой другой плоскости, причем такое движение можно представить как сумму колебаний в плоскостях X0Z и Y0Z.В рассматриваемом случае кратного собственного значения любая линейная комбинация двух собственных форм также является собственной формой.	В общем случае справедливость этого утверждения следует из такого рассуждения: если одному и тому же значению собственной частоты со0соответствуют формы собственных колебаний Х\к) и X\s) (/ = 1,то рассмотрим уравнения, которым удовлетворяют эти формы
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ233Щ(о1Х\" = 0;Х,(*>=0 (* = 1	я).Y,K.J~m:(0lV>=iУмножим первую систему уравнений на а, вторую — на b и сложим их, получим систему уравненийг п \(аХ<*>+ЬХ<'>) = 0 (i = 1,чУ'=»	/которой при произвольных аиЬ удовлетворяет линейная комбинация формХ,=аХ}А)+ЬХ}л) (/ = 1	я).Казалось бы, что возможность создания любого числа линейных комбинаций собственных форм, которая проявляется в случае кратных частот, противоречит утверждению о том, что система имеет ровно п собственных форм (по числу собственных частот), но система имеет именно п независимых собственных форм.Каждая собственная форма определяется лишь с точностью до	множителя, ее частота не зависит от амлитуды.	Справедливость этого утверждения следует из того, что еслиXjs) (/ = 1,...,л) является решением системы уравнений (5.31), то и aX. s) (i = !,...,«) удовлетворяет этим же уравнениям.Собственные формы ортогональны.Между амплитудами Х(р и Х{А), определяющими две какие-либо соб¬ ственные формы (s и к), существует соотношение, выражающее важное свойство ортогональности собственных форм. Установим это соотношение,исходя из общей формы уравнений (5.31) для амплитуд. При со2 = cols какая-либо /-я строка этой системы, записанная для 5-й частоты, может быть представлена в виде(/ = 1	и).	(5.33)j = 1Умножим каждое из равенств (5.33) на соответсвующие компоненты собственной формы Х\к) и просуммируем все полученные выражения. Приходим к равенству(5.34)1=1 j=1 /=1Но согласно (5.31)£Vrr = m/eM*,>	(5.33)7 = 1и, подставив это выражение в (5.34), мы получим
234ЦИКЛ 5(5-35)1=1 1=1 Поскольку со]s ф colk, то равенство (5.35) может выполняться только в том случае, когда выполняется первое условие ортогональностиY,X{pmjX{p = 0.	(5.36)j=iИ совершенно аналогично получается второе условие ортогональностиXZ^(X^S)=0-	(5-37),=1 у=1Условия (5.36) и (5.37) показывают, что формы собственных колебаний ортогональны относительно как масс, так и жесткостей. Они называются соответственно условиями ортогональности по кинетической энергии и условиями ортогональности по потенциальной энергии.	Формы собственных колебаний и связанные с ними собственные частоты полностью определяются жесткостными и инерционными свойствами системы, и не могут подчиняться нашим желаниям. При этом следует иметь в виду, что ортогональность форм собственных колебаний не обязательно связана с ортогональной декартовой системой координат, в которой описана расчетная схема и которая выбирается по 	нашему произволу.	Вопрос типа «Какая частота собственных колебаний вдоль здания ?» может не иметь никакого смысла, если форма собственных колебаний не ориентирована таким образом. Чаще всего эти вопросы являются отголосками каких-то инструкций, относящихся к зданиям определенного типа (например, одноэтажным промышленным зданиям с системой параллельных несущих рам) некритично перенесенными в неподходящую ситуацию.В некоторых руководствах по проектированию рекомендуется избегать решений, где крутильная форма собственных колебаний присутствует в числе первых.В чем тут дело? Являются ли сооружения с крутильной формой собственных колебаний в чем-то ущербными?Ответ:Ничего плохого в такой конструкции нет. Упомянутые рекомендации скорее всего идут от традиции использования плоских расчетных схем, когда фактически пространственный несущий каркас представляли набором плоских рам или ферм.Но пример простого сооружения, схема которого представлена на рис. 5.16, дает представление о том, что у вполне пристойной конструкции
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ235первая (кратная) частота собственных колебаний является крутильной. У этой системы три первые собственные частоты равны и имеют значенийft>0 = ^/2c7(^ш), где с — жесткость упругой опоры (стойки), ц — массаединицы площади перекрытия. Вряд ли конструкция указанного типа может считаться порочной.Рис. 5.16Вопрос:Как можно разумным способом распорядиться произволом в выборе масштабного множителя к форме собственных колебаний? Имеются ли какие либо рекомендации по этому вопросу?Ответ:Наиболее простой метод состоит в том, что максимальная из компонент формы собственных колебаний принимается равной единице, а все другие компоненты задаются в долях от этой единицы. Такой процесс является одним из способов нормирования форм собственных колебаний.Формы собственных колебаний, показанные на рис. 5.15, были пронормированы именно таким способом.В некоторых расчетных программах для нормирования форм собственных колебаний используют понятие обобщенной массы1=1и переходят к величинам Z\s) - Zls)/у/М(s) (ортонормированным формам) , что приводит к зависимостям
236ЦИКЛ 51, если i = j\[О, если i * j.В рассмотренном выше примереМ(,) = 2,0-2,0482+1,0 1,02 = 9,389,М(2) = 2,0-0,2442 +1,0-1,02 =1,119. Ортонормированные формы собственных колебаний были бы представлены как векторы1Z(1) = -2,048"'0,668'7(2) _ 1'-0,244"'-0,231]1,0000,326yjlMS1,0000,945 J>/9,389Пронормированные таким способом формы по отношению к матрице жесткости соблюдают условияУ У хи)к х(s) = I’если 1 =ttU ' у ' j 0, если i ф j.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ237Беседа 5.5. Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободыДинамические воздействия по своему характеру очень разнообразны. Они могут быть силовыми, когда на конструкцию действует внешняя нагрузка, либо кинематическими, когда задано вынужденное деформирование отдельных элементов системы, но и в том и в другом случае воздействие меняет во времени свою интенсивность либо место приложения, а возможно, что и обе эти характеристики вместе.Вынужденные колебания линейной дискретной системы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (5.27). Мы начнем анализ этих уравнений с важного частного случая, когда система уравнений имеет правую часть, меняющуюся по синусоидальному закону, и уравнения при отсутствии вязкого сопротивления имеют видпmiiii(t) + YdKiJuJ(t) = PjsmQt (i = l,...,n), (5.38)j=|где Pi — амплитудное значение нагрузки, действующей по направлению перемещения м, ; 0 - частота возмущения.Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в видеui=XisinQt (/ = 1,.(5.39) где Xt —амплитудное значение перемещения и{ (t).Тогда iii = -Q2Xi sin0J, и подстановка в уравнения (5.38) приводит эти уравнение к видуп-Q2miXi sinQt +	sinQt = sin0/ (/ = 1,(5.40)j=iТак как t - произвольный момент времени, этой записи эквивалентна система неоднородных алгебраических уравнений1К-еЧК=^ (»-=1,(5.41)7 = 1Если матрица Кв = -62mi]| имеет обратную Кв] -|[^>]| , тоxt=iduPj 0 =	(5-42)7 = 1
238ЦИКЛ 5Таким образом, амплитудные значения перемещений зависят от нагрузки, масс и частоты возмущающей силы (поскольку они определяют значения коэффициентов di}), но не зависит от времени. Частное решение описываетустановившиеся вынужденные колебания.Полезно помнить, что участие инерционных сил в2 mi в формировании коэффициентов уравнений (5.41) приводит к некоторым непривычным эффектам. Так, известны случаи, когда у конструкции, подверженной действию гармонически меняющейся во времени сосредоточенной силы Psin(co/), максимальная амплитуда колебаний будет наблюдаться не под силой, а совершенно в другом месте. Собственно, на этом принципе основаны динамические гасители колебаний (антивибраторы), и пример такой конструкции представлен на рис. 5.17,а.PsinG/а=0,05±12,51 ±8>66 ±12,51 Рис. 5.17Не останавливаясь здесь на деталях вычислений (их полезно выполнить самостоятельно), приведем решенпие этой задачи. Амплитуды колебаний масс, расположенных ближе к опорам, равныР	117Х,=Х3=-.Р 1 - 369 w02/p + 324О(ю02/р)а для массы в центре балкиР 243- 3240 ш02/р2	-Р 1-369 + 3240 (т02/р)В этих формулах обозначено Р = 9 • 1296EJИъ. На рис. 5.17,6 показана форма статического прогиба, вычисленная при значении а = /я02/р = О, при этом принималось, что Р! Р = 1. Если же положить а * 0, то получим
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ239форму колебаний, показанную на рис. 5.17,в, у которой амплитуды колебаний крайних масс превышают амплитуду в центре балки, где действует нагрузка.Почему же здесь у «статически вымуштрованного» читателя возникает ощущение какого-то фокуса, неправдоподобного казуса? По-видимому, дело в том, что глядя на расчетную схему мы видим упругую систему и приложенную к ней силу, а о существовании еще одного действующего лица, а именно, сил инерции, схема явно ничего не говорит.Независимость и неизменность во времени конфигурации позволяют использовать собственные формы в качестве измерителя любых колебаний линейной системы, подобно тому, как независимость и стабильность веса набора гирь позволяет взвесить любое тело.В частности, одним из основных способов решения дифференциальных уравнений движения является разложение этого движения по формам собственных колебаний. Здесь существенную роль играет свойство ортогональности собственных форм.Как и в задаче о свободных колебаниях, начнем с уравнений, не содержащих слагаемых, которые описывают диссипативные силы:wa(o+1хмо=/?(о (i=i,.(5.43)j=iСчитая заранее определенными собственные формы колебаний динамической системы X.s) (i,s = 1,...,«), будем искать решение в виде суммы“,(0 = !Х)'М') (*‘ = 1	я),	(5.44)5=1где Ч'Д*) (s = l,...,n) - некоторые функции времени.Заметим, что представление решения в виде суперпозиции собственных форм допустимо только для линейных задач.Тогда уравнение движения принимает вид0=1,-,п). (5.45)5 = 1	j = 1	5 = 1Умножим каждое уравнение на Х\к) и просуммируем их, тогда послеизменения порядка суммирования получим\Е	*,(0+5 = 1 V 1=1	/+t{ex К (о - x x*k)p. (о-5=1 V 1=1 1=1
240ЦИКЛ 5Благодаря свойству ортогональности собственных форм в левой части равенства останутся только слагаемые с к = s, все остальные равны нулю. Следовательно, уравнение примет видВыражения, взятые в фигурные скобки, представляют собой числа. Вколебаниях по собственной форме с номером к.После введения этих обозначений уравнение приобретает вид уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы:Учтем, что индекс к принимает значения от 1 до п и, следовательно, мы имеем п уравнений типа (5.48). Таким образом, благодаря выбору собственных форм в качестве обобщенных координат, получаем вместо системы п дифференциальных уравнений относительно п неизвестных функций п отдельных дифференциальных уравнений, каждое из которых определяет одну неизвестную функцию *Р(^). Решением системы уравненийявляется сумма решений каждого из уравнений, как это следует из (5.44).В связи с отсутствием надежной исходной информации о распределении сил неупругого сопротивления движению, как правило, оказывается достаточным учесть демпфирование на стадии исследования уже преобразованной системы, вводя в каждое из полученных отдельных уравнений слагаемое, пропорциональное скорости, и вместо (5.48) используют уравненияИзложенный выше метод, примененный при решении задачи о вынужденных колебаниях системы в отсутствии диссипации, называют методом главных, или нормальных, координат.+*=i ^ ,=1 j=1/а с учетом того, чтоп/=1после элементарных преобразований приходим к системе/=1левой части его называют приведенной массой }правой - приведенной обобщенной силой, а впри(5.48)^Л\(0+с*хМ0+ех** (0=G* (0 •(5.48.а)
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ241Большинство рекомендуемых справочной и нормативной литературой методов динамического расчета конструкций оперируют с разложением(5.44)	по формам собственных колебаний. При этом расчет ведется по распавшейся системе уравнений, каждое из которых определяет значение перемещения при движении по той или иной собственной формеИнтересующие расчетчика реакции системы (например, моменты или напряжения) также определяются по формулам типа (5.49) для каждой из форм собственных колебаний отдельно, с той лишь разницей, что величиныXfs) заменяются на связанные с соответствующей формой собственныхбудем в дальнейшем употреблять обобщенный символ A(s)).Указанные реакции являются функциями времени, и их суммирование необходимо выполнять для одних и тех же моментов движения. Но для этого следует решать нестационарную задачу динамики и учитывать все переходные процессы в системе, для чего требуется информация заведомо более подробная, чем та, которой обычно располагает расчетчик. Чаще всего имеется возможность для каждой собственной формы определить только такназываемый модальный отклик А^ = max|^(5)vF5 (f)|, который являетсямаксимальным значением реакции системы для i-и формы. Возникает проблема суммирования модальных откликов, которые в общем случае достигаются не одновременно, и интересующее нас экстремальное значениеопределить достаточно сложно, что заставляет получать лишь более или менее удачные оценки этой величины.Имеется несколько способов суммирования модальных откликов. Проще всего получить верхнюю оценку, которая не учитывает тот факт, что модальные отклики достигают своего экстремального значения в разные моменты времениОтличие между Av и Атах может быть достаточно большим, поэтому были предложены и другие оценки. В теории сейсмостойкости пользуется большой популярностью оценка для инерционных силкоторую обычно называют «наиболее вероятным значением реакции». Такой подход основывается на гипотезе о том, что время достижения экстремума у всех модальных реакций является нормально распределенной случайной(5.49)колебаний величины M(s,mna<s) (вместо символов X1". Mtsl, (7>t} и т.п.(5.50)п(5.51)(5.52)
242ЦИКЛ 5величиной, что согласуется со многими наблюдениями, хотя и не является точно установленным фактом.Следует заметить, что использование формулы (5.52) «гасит» знаки модальных компонент сейсмической реакции, что в некоторых случаях может приводить к недоразумениям. Например, исчезают сжато-изогнутые сечения, все они оказываются растянуто-изогнутыми.Достаточно типичным примером такой ситуации может служить случай кратных частот, когда формы собственных колебаний, соответствующих такой частоте, определяются с точностью до некоторого произвола. Так, например, вертикально расположенный консольный стержень с одинаковыми главными жесткостями поперечного сечения имеет кратные формы собственных колебаний, которые определяются с точностью до произвольного поворота вокруг оси Z, как это показано в плане на рис. 5.18, где в варианте а) собственные формы направлены вдоль координатных осей, а в варианте б) повернуты на 45°. Если сейсмический импульс действует вдоль оси X, то для варианта а) реакция по второй форме будет отсутствовать, и все перемещения окажутся лежащими в плоскости (X,Z).Для варианта б) будут возбуждаться обе формы собственных колебаний, но тот факт, что компоненты по оси Y имеют разные знаки и гасят друг друга, окажется потерянным при использовании правила «корень из суммы квадратов». В результате окажется, что возбуждаются перемещения не только по направлению действия сейсмического толчка, но и в перпендикулярном направлении. Как видим, вывод зависит от произвола при выборе пары собственных форм, соответствующих кратной частоте.S5Рис. 5.18
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ243Вопрос:Как определяется динамическое воздействие от оборудования? Где можно найти соответсвующие исходные данные?Ответ:Эти сведения, вообще говоря, должны содержаться в документации на устанавливаемое оборудование. При отсутствии такой документации некоторые данные можно найти в литературе (см., например, [2]). Но кое-что можно рассчитать и самостоятельно.Примером может служить нагрузка от машин с неуравновешенными вращающимися массами. Пусть, например, станок обшей массой М, которая приведена к оси вала, установлен на конструкции (рис. 5.19). На валу с угловой скоростью со вращается неуравновешенная масса т, отнесенная от оси вращения на расстояние г.т(02гВозникающая при этом центробежная сила тсо г в некоторый момент времени t действует под углом а = CQt. Таким образом, на вал действуютсилы Rx = то)2г cos((Dt) и Ry = mco2rsin(o)t) (тот факт, что следуетприложить обе эти силы, часто опускается из вида).При передаче этих сил на конструкцию следует учесть, что станок крепится к конструкции в точках А и В, расположенных на некотором расстоянии от оси вращения.Вопрос:В лекции было сказано, что использование формулы(5.52)	для суммирования модельных откликов приводит к потере знаков реакций. Есть ли еще какие-нибудь неприятности, связанные с использованием (5.52)?
244ЦИКЛ 5Ответ:При использовании (5.52) не только теряются знаки отдельных компонентов внутренней реакции сооружения, но и нарушается соответствие между перемещениями, усилиями, моментами, поперечными силами и т.д. В частности, не выполняется теорема Журавского. Это наглядно иллюстрирует рис. 5.20.в 2>°83,07-1,140,74■ 2,213,27Кроме того, если проверять равновесие узлов, то окажется, что в каждой форме собственных колебаний оно выполняется, а в суммарном режиме равновесие отсутствует.Вопрос:Что делать, если число динамических степеней свободы не равняется числу статических степеней свободы? Возникают ли здесь какие-либо специфические затруднения?
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ245Ответ:При динамическом расчете п — число компонент вектора и, с которыми связаны инерционные силы (количество динамических степеней свободы), очень часто бывает намного меньшим, чем при статическом расчете. Типичным примером могут служить повороты узлов, обычно оказывающие значительно меньшее динамическое влияние, чем их линейные смещения.Если часть инерционных составляющих нагрузки не учитывается, то, возникает задача динамического анализа системы с неполным числом масс.Для решения этой задачи следует разделить компоненты вектора перемещений на две части, из которых первая часть Хо содержит перемещения, для которых силы инерции равны нулю, а вторая часть Xi — перемещения, связанные с инерционными силами, то можно записать систему (5.31) в форме(5.53)Из этой системы исключается подвектор Хо, и в результате указанной процедуры статического уплотнения размерность задачи модального анализа резко уменьшается, и эта задача приобретает вид[Ко.К„,"1Xо1II00II1Xо1|_К|0К„_LX.J0ШцИLXJ(К„ -К,оКоо Koi “ 03 M")Xi = 0 •	(5-54>Покажем на примере, как реализуется эта идея. Будем рассматривать балку, на которой расположены две точечные массы тх-т и = 2т (рис. 5.21,а). Длина пролета 1=3 м. Балка имеет постоянную изгибную жесткость £Y=const и бесконечно большую жесткость относительно продольных деформаций: ЕА= оо.т&оох. w v. //3//3<	>с	»Рис. 5.21Расчетная модель балки с четырьмя степенями свободы их,и2,иъ,иЛ представлена на рис. 5.21,6.Матрица жесткости строится по обычным правилам и имеет вид
246ЦИКЛ 50,555 -0,333 -0,444 -0,666' -0,333 2,333 0,666 0,666 -0,444 0,666 0,555 0,333 -0,666 0,666 0,333 2,333 а система уравнений, описывающих свободные колебания:(5.55)[0,555-тю2/(£/)]я\-0,333*,-0,444Jr3-0,666*, =0 -0, ЗЗЗХ, + 2,333*2 + 0,666Хг + 0,666Х4 = О -0,444*. +0,666*2 +[0,555-2mft)2/(£'/)] A'j + 0,333*4 =0 -0,666*, + 0,666*2+0,333*э + 2,333*4 =0.(5.56)Второе и четвертое уравнения из (5.56) не содержат инерционных сил, из них следует выразить амплитуды перемещений *2 и Х4, а потом подставить их в первое и третье уравнения.Решая совместно второе и четвертое уравнения, находим Х2 = 0,0667*, - 0,2667*3;Х4 = 0,2667*, - 0,0667*3.Подставляя полученные величины в первое и третье уравнения системы (5.56) получаем:(0,355-Я)*,-0,311*2 = 01 -0,156*, +(0,178-Я) *2 =0Jгде обозначено:(5.57)(5.58)■ тсоУ(£/).(5.59)Приравняв нулю определитель системы (5.58), можем записать условие существования собственных колебаний:(0,355-Я) -0,311 -0,156 (0,178-Я)= 0,(5.60)или(0,3555-А) (0,1778-Я)-0,3111 0,1556 = 0. Решение этого квадратного уравненияГО, 0294,Я =0,2667 ±0,2373 =0,5040,а частоты собственных колебаний:
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ247<и01 = ^0,0294£7/т = 0,\l\5^jEI/m,0)ОЛ = -у/о, 5040£//m = 0,7099jEI/m.Для определения форм собственных колебаний отбросим в системе (5.60) одно из уравнений, например, второе. В оставшееся уравнение подставим значение первой собственной частоты:(0,3555 - 0,0294) - 0,311 \ХЪ = 0,откуда, приняв Х[х) = 1,0, получаем Х\х) = 1,0482. А из соотношений (5.57) можно получить: X™ = -0,2128, Х{4] = 0,1968.Аналогично вычисляются амплитуды перемещений второй формы собственных колебаний.При решении динамических задач не обязательно учитывать все найденные формы собственных колебаний, многие из них фактически не возбуждаются при конкретном внешнем воздействии. Проблема корректного задания необходимого числа учитываемых форм собственных колебаний в общем случае решается методом попыток, поскольку получить априорную оценку довольно трудно. Однако имеются и такие случаи, когда в нормативных документах, регламентирующих расчет на то или иное динамическое воздействие, рекомендуется учет определенного числа форм собственных колебаний. Так, например, СНиП 2.01.07-85 ограничивает диапазон частот, которые должны учитываться при расчете конструкций на пульсации ветрового потока, а СНиП II-7-81 регламентирует использование не менее 10 форм колебаний при сейсмическом расчете бетонных плотин и не менее 15 форм для плотин из грунтовых материалов. Более последовательны нормы США, которые требуют, чтобы сумма обобщенных масс по учитываемым формам собственных колебаний была не меньшей, чем 90% общей массы системы.При выполнении этой нормы снижается риск того, что некая очень гибкая часть сооружения («хлыст»), практически изолированные собственные колебания которой определяют первые собственные формы, будет учтена, а колебания всего остального сооружения окажутся проигнорированными.Литература1.	Александров А.В., Потапов ВД., Зылев В.Б. Строительная механика. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем. — М.: Высшая школа, 2008.2.	Динамический расчет зданий и сооружений (справочник проектировщика)—	М.: Стройиздат, 19843.	Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. — М.: Наука, 19804.	Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа.— М.: ДМК Пресс, 2007.
248ЦИКЛ 55.	Холопов И.С. Расчет конструкций зданий и сооружений при динамических воздействиях (курс лекций). — М.: Издательство АСВ, 2012.
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ249ОглавлениеПредисловие		3Литература		8Цикл 1. Основы статики и кинематики		9Беседа 1.1. Немного о расчетной модели: анализ гипотез		11Беседа 1.2. Основные понятия. Начало возможных перемещений		18Беседа 1.3: Статические и кинематические уравнения		24Беседа 1.4: Свойства решений		29Беседа 1.5. Сопоставление свойств статически определимых инеопределимых систем		39Беседа 1.6. Повторение — о методе сил и методе перемещений		46Беседа 1.7. Предварительное напряжение системы		56Беседа 1.8. Вариационные принципы		62Литература		66Цикл 2, Метод конечных элементов		68Беседа 2.1. Идея метода конечных элементов		70Беседа 2.2: Граничные условия и условия связи		80Беседа 2.3: Параметры сеточного разбиения. Сходимость МКЭ		84Беседа 2.4. Конечные элементы бывают разными		92Беседа 2.5. Разбиение на конечные элементы		97Беседа 2.6. Кое-что о расчетных моделях МКЭ		100Беседа 2.7. Приемы анализа результатов расчета		106Литература		109Цикл 3. Нелинейные задачи статики		110Беседа 3.1. Первоначальные сведения о нелинейных задачах		112Беседа 3.2. Проблемы физической нелинейности		119Беседа 3.3. Работа упругопластической системы при росте нагрузки..	125 Беседа 3.4. Экстремальные свойства предельного состояниятекучести		129Беседа 3.5. Геометрическая нелинейность		135Беседа 3.6. Конструктивная нелинейность		145Беседа 3.7. Генетическая нелинейность		153Литература		158Цикл 4. Устойчивость равновесия		159Беседа 4.1. Основные понятия теории устойчивосьти		161Беседа 4.2. Устойчивость системы с одной степенью свободы		167Беседа 4.3. О роли начальных несовершенств		175
250ЦИКЛ 5Беседа 4.4. Устойчивость в большом. Верхняя и нижняя критическаянагрузка		182Беседа 4.5. Устойчивость систем с несколькими степенями свободы..	189Беседа 4.6. Многопараметрическое нагружение. Теорема Папковича..	197Беседа 4.7. Расчетные длины		203Литература		206Цикл 5. Основы динамического анализа		208Беседа 5.1. Колебания системы с одной степенью свободы		210Беседа 5.2. Кое-что о резонансе		221Беседа 5.3. Уравнения движения системы с несколькими степенямисвободы		225Беседа 5.4. Свойства форм собственных колебаний		232Беседа 5.5. Вынужденные колебания систем с конечным числомстепеней свободы		237Литература		247Оглавление		249
БЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ251Учебное издание Перельмутер Анатолий АикторовичБЕСЕДЫ О СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕДизайн обложки Казиев А.Р. Компьютерный набор и верстка Перельмутер А.В. Сдано в набор 09.01.2014. Подписано в печать 24.01.2014 г. Формат 60*90/16. Бумага офсетная Уел. печ. л. 16.Тираж 2000 экз. Заказ № 4503кИздательство СКАД СОФТ 105082, Москва, Рубцовская набережная, д. 4, корп. 1, помещение VII тел/факс: +7-(499)-267-40-76, 940-88-27, 940-88-29 e-mail: scad@scadsoft.ru. http://www.scadsoft.ruИздательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26 Тел/факс +7-(499)-183-56-83, iasv@mgsu.ru. http://www.iasv.ruОтпечатано в соответствии с предоставленными оригинал-макетами в ППП «Типография «Наука»,121099, г.Москва, Шубинский пер., 6