/
Text
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. А. ЖДАНОВА
Б. 3. ВУЛИХ, 3. Д. КОЛОМОЙЦЕВА, Г. П. САФРОНОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Числовые ряды.
Интегральное исчисление
для функций одной переменной.
Функциональные ряды
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ
Под редакцией Б. 3. Вулиха
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 197 0
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
Данная книга представляет собой первую часть учебного пособия
для заочников, выпускаемого кафедрой математического анализа
Ленинградского университета. Сюда включен материал, составляющий
содержание 2-го семестра I курса.
Изложение теории сопровождается большим количеством приме¬
ров и задач, приведенных с подробными решениями. Различные ука¬
зания, даваемые по ходу решений, должны в какой-то степени заме¬
нить студенту-заочнику отсутствие постоянного контакта с препо¬
давателем. По-новому, в сравнении с существующими учебниками,
строится изложение определенного интеграла и его приложений.
Это изложение следует рассматривать как пропедевтическое перед
общим построением теории интеграла (по Лебегу), даваемым в более
поздних частях курса. В книге содержится большое количество упраж¬
нений для самостоятельной работы заочников.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студен-
тов-заочников математико-механических факультетов университетов.
Борис Захарович Вулих, Зоя Дмитриевна Коломойцева,
Галина Петровна Сафронова
Математический анализ
Редактор 3. И. Царькова
Техн. редактор Е. Г. Учаева Корректор В. Л. Комлева
М-10146 Сдано в набор 12/III 1970 г. Подписано к печати 29/VII 1970 г.
Формат бум. 60X90Vie. Бумага тип. № 2.
Уч.-изд. л. 11,82 Печ. л. 13,25. Бум. л. 6,62.
Заказ 598 Цена 43 коп. Тираж 17 670 экз.
Издательство ЛГУ им. А. А. Жданова
Ленинградская типография № 6 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — первый выпуск из серии учебных пособий по
курсу математического анализа для заочников, подготовляемых
кафедрой математического анализа Ленинградского университета.
Сюда включен материал, изучаемый заочниками во 2-м семестре
I курса. При этом предполагается, что предыдущий материал,
составляющий содержание 1-го семестра (пределы, непрерывность
функций и дифференциальное исчисление для функций одной
переменной), заочники изучили по учебнику Г. М. Фихтенгольца.
Изложение определенного интеграла строится в этой книге
совершенно иначе, чем у Г. М. Фихтенгольца. Это изложение
рассматривается как пропедевтическое перед той общей теорией
интеграла, которая содержится в более поздних частях курса
математического анализа. Поэтому мы ограничиваемся здесь
совсем элементарным изучением интеграла от непрерывных и
кусочно-непрерывных функций. По другой схеме, по сравнению
с учебником Г. М. Фихтенгольца, излагаются и приложения опре¬
деленного интеграла.* Остальные главы этой книги не содержат
принципиальных отличий от соответствующих глав учебника
Г. М. Фихтенгольца. Однако авторы считали необходимым со¬
брать в одной книге, хотя бы в минимальном объеме, весь мате¬
риал 2-го семестра. Заметим попутно, что главы, посвященные
числовым и функциональным рядам, отделены в этой книге друг
от друга главами, посвященными интегральному исчислению,
в связи с тем, что несобственные интегралы (входящие в главу III)
естественно изучать после числовых рядов.
Настоящее пособие следует рассматривать как первый источ¬
ник, по которому студент-заочник изучает материал 2-го семестра.
В то же время мы настоятельно рекомендуем студентам не ограни¬
чиваться чтением только этой книги, а расширить свои знания
предмета с помощью существующих распространенных учебников,
в первую очередь — учебника Г. М. Фихтенгольца. В частности,
мы особенно рекомендуем более подробное изучение теории рядов
как числовых, так и функциональных.
* Основная идея применяемой здесь схемы приложений определенного
интеграла заимствована из лекций F. П. Акилова.
1* 3
В нашей книге содержится некоторое количество упражнений-
Часть из них приведена с подробными решениями, часть дана
для самостоятельной работы студентов. Эти упражнения следует
считать тоже лишь материалом для начала занятий. Помимо них
мы рекомендуем студентам разобрать все примеры, приведенные
с решениями в учебнике Г. М. Фихтенгольца, -а также заняться
самостоятельным решением задач из задачника по математическому
анализу Б. П. Демидовича.
В последующем тексте при ссылках на учебник Г. М. Фихтен¬
гольца «Основы математического анализа» Мы обозначаем его [Ф] ■
Главы I и V написаны Г. П. Сафроновой, главы III и IV, а
также начало главы II — Б. 3. Вулихом, остальная часть главы
II —3. Д. Коломойцевой; ею же подобраны в основном упраж¬
нения и по другим главам. Окончательное редактирование книги
проводилось при тесном взаимном контакте всех авторов.
Авторы искренне благодарят И. Я- Бакельмана и М. 3. Соло-
мяка за ряд замечаний, способствовавших улучшению книги.
ГЛАВА I
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. Основные понятия и свойства
В настоящей главе приводятся основные сведения из теории
бесконечных рядов. Значение бесконечных рядов для современной
математики очень велико, они широко используются в различных
математических исследованиях. Поэтому в курсе математического
анализа теория бесконечных рядов занимает одно из центральных
мест.
Само понятие бесконечного ряда по существу не является
принципиально новым, бесконечный ряд представляет собою
лишь своеобразную форму числовой последовательности. Однако
эта новая форма имеет некоторые особенности, благодаря которым
применение рядов во многих случаях более удобно.
Пустьх имеется последовательность чисел {ап}*=г Напишем
следующее выражение:
ai + Да + Дз + ••
Это выражение лишено какого-либо смысла, так как операция
сложения бесконечного множества чисел непосредственно невы¬
полнима. Поэтому оно представляет собой некий символ, который
мы и называем бесконечным рядом или просто рядом. Для обо-
00
значения ряда используется также и краткая форма записи ап.
П=\
Числа Оп(п = 1,2, . . .) называются членами ряда. Если известен
закон, по которому для каждого п можно найти ап, то ряд счи¬
тается заданным.
Рассмотрим ряд
Е (1)
Л=1
и постараемся придать ему числовой смысл. Будем складывать
подряд члены ряда, начиная с первого. Результат, полученный
5
от сложения первых т членов, называется m-й частичной суммой
ряда (1)
т
Ат = + а2 + • • • + ат = 2 ап.
п=1
Так как т может быть любым натуральным числом, то частичные
суммы образуют числовую последовательность {Лт}~=1.
Конечный или равный бесконечности определенного знака
предел последовательности частичных сумм называется суммой
ряда.
Из определения следует, что сумма ряда не обязательно су¬
ществует. В этом состоит основное отличие бесконечных рядов
от конечных сумм: у любой конечной совокупности чисел обя¬
зательно существует сумма, «сложить» же бесконечное множе¬
ство чисел оказывается по существу далеко не всегда возможным.
С этой точки зрения ряды, имеющие конечную сумму, пред¬
ставляют наибольший интерес. Поэтому множество всех рядов
подразделяется на два класса:
1) ряды, имеющие конечную сумму; такие ряды называются
сходящимися;
2) ряды, имеющие бесконечную сумму или вообще не имеющие
суммы; такие ряды называются расходящимися.
Если ряд сходится и сумма его есть Л, то говорят, что он схо¬
дится к сумме А и пишут
Е «« = А.
П=1
Если же ряд имеет бесконечную сумму, то иногда употребляют
выражение «ряд расходится к плюс или. минус бесконечности»
и пишут
оо
2 ап = ± °°-
/г=1
На приведенных ниже примерах мы убедимся, что оба класса
рядов не пусты, а внутри класса расходящихся рядов существуют
как ряды, не имеющие суммы, так и ряды с бесконечной суммой.
1. Ряд 1 — 1 + 1 — 1 + • • • расходится (не имеет суммы).
Действительно, частичные суммы этого ряда
^ I 0 при п четном,
/г (1 при лг нечетном
и посдедозательность \Ап\“^х не имеет предела.
n=l
сумм этого ряда справедливо неравенство
3. Геометрическая прогрессия
а + aq + aq2 4 (а^О)
сходится при | q \ < 1 и расходится при | </| ^ 1. Действительно,
при q 1 частичные суммы этого ряда имеют вид
Так как нри | q \ < 1 существует
то ряд в этом случае сходится и имеет место равенство
Если же | q\ > 1, то Ап~+ оо и ряд расходится. При этом для
положительных значений q (q > 1)
(в зависимости от знака а) и ряд имеет сумму ±оо. В случае
отрицательных значений q (q < —1) ряд не имеет суммы. При
q = —1 мы получаем ряд а—а + а — а + • • •, аналогичный
ряду из примера 1, следовательно, в этом случае ряд расходится,
так как не имеет суммы. Наконец, при q = 1 имеем ряд а + а +
+ а + • • • и, так как его частичная сумма Ап = па, этот ряд
расходится к ±оо.
Ап = а + aq + ... + aq1
п_ 1 = g-af
1 — q
а + aq + aq* + ... =
lim An = ± oo
Цл(л+1)'
Здесь частичная сумма
Ряд сходится к сумме 1.
7
Обратимся теперь к изучению основных свойств рядов. При
этом мы по-прежнему будем обозначать частичные суммы ряда (1)
через Ая, а его сумму через 4- Кроме того, введем еще одно новое
понятие.
Назовем остатком ряда (1) после m-го члена ряд, полученный
из (1) в результате отбрасывания первых т членов, т. е. ряд
Ящ+1 4* йт+2 4~ От+з + ' • • (2)
1°. Пусть ряд (/) сходится. Тогда его общий член On стремится
к нулю, т. е. Игл ап = 0.
П-* оо
Действительно, ап = Ап — Ап-\ (п = 2, 3, . . .). Переходя
здесь к пределу, получим
lim ап = А — А = 0.
П-> оо
Отсюда, в частности, снова вытекает расходимость ряда 1 — 1 +
+ 1 — 1 +•••. Действительно, Допустив, что он сходится,
мы на основании доказанного имели бы lim (—1)л = 0, что не-
Л-> 00
верно.
Доказанный результат необратим: из соотношения lim ап = О
П-* оо
сходимость ряда не вытекает. Это можно видеть на примере
00
ряда (см. пример 2). Поэтому стремление к нулю общего
Л=1
члена является лишь необходимым, но недостаточным
условием сходимости ряда. В частности, если это необходимое
условие нарушено, то ряд расходится.
Рассмотрим, например, ряд
S(V)'-
rt=ssl
1 г
Имеем
1 - i)4(1 - i)‘T5 ^8;
таким образом, ап ч* 0. Поэтому данный ряд расходится.
2°. При любом фиксированном т ряды (1) и (2) одновременно
сходятся или нет. Иначе говоря, отбрасывание конечного числа
первых членов ряда не отражается на его сходимости.
Для доказательства этого утверждения обозначим частичные
суммы ряда (2) (т фиксировано) через А'р. Ясно, что
А'р - arn+1 + ат+2 ч ь ат+р = Ат+р — Ат. (3)
Если р = 1, 2, . . ., то т + р = т + 1, т +2, .... Поэтому
из данного равенства следует, что последовательности {Л'} "=1
и {^n|n=m+i’ 3 стал0 быть, и последовательности \А'р} “=ь
\An\n=i имеют конечные пределы только одновременно.
3°. Пусть ряд (1) сходится. Тогда при всяком т сходится ряд
(2), и мы положим
оо
am = 2 ak.
k=*m-f-1
При этом lim <хт = 0, т. е. сумма остатка сходящегося ряда стре-
ГП-+СО
мится к нулю при неограниченном увеличении номера последнего
отброшенного члена.
Действительно, переходя в (3) к пределу при р —> оо, мы по¬
лучим
аm = Л — Ат.
Это равенство справедливо при любом натуральном т, а так как
lim Ат = А, то все доказано.
П1-> ОО
4°. Принцип сходимости Больцано — Коши
имеет для рядов следующий вид:
Для того чтобы ряд (/) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого г > 0 существовало такое N, чтобы для всех
п> N и р> 0 (п, р — натуральные) было
п+р
S <е-
Л=л+1
Действительно, сходимость ряда (1) означает сходимость
последовательности |ЛЛ} *в1 его частичных сумм. Для сходимости
этой последовательности необходимо и достаточно, чтобы при
любом е > 0 существовало такое N, что при всех т, п> N
| Ат Ап | <С 8.
Считая для определенности т > п и полагая т — п = р, полу¬
чим
п+р
Ат — Ап = Ап+р — Ап = 2 CLk>
k=n+\
откуда и вытекает требуемое.
Сейчас мы установим некоторые правила действий над схо¬
дящимися рядами.
5°. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же
число, то сходимость его не нарушится, а сумма его умножится
на то же число.
ОО
Действительно, рассмотрим ряд 2 cak и обозначим через С„
А=1
его частичную сумму. Ясно, что С„ = сАп. Поэтому существует
конечный предел С — lim С„ и имеет место равенство С = сА.
6 . Сходящиеся ряды молено почленно складывать и вычитать.
Это свойство означает, что из сходимости двух рядов jrj aki ^
Л=1 /е=1
00
вытекает сходимость ряда £ (а* ± bk). Кроме того, если суммы
*=i
этих рядов обозначить соответственно, через А, В, С, то имеет
место равенство С = А ± В.
Для доказательства этого равенства обозначим частичные
суммы наших рядов соответственно через Ап, Вп, С„. Ясно, что
С„ = Ап ± Вп. Так как lim Ап = A, lim Вп = 5, то существует
П-> оо п-> оо
конечный предел lim Сп — А ± В. Отсюда следует как сходимость
П —> оо
третьего ряда, так и равенство С = А ± В.
00
Нетрудно видеть, что из сходимости ряда (ak + bk) (или
*=i
00 оо оо
2 (а* — bk)) сходимость рядов а* и £ не вытекает. Дей-
k=l А=1 ft=l
ствительно, в результате почленйого елржения расходящихся
рядов 1 + 1 + 1 + • • ■ И —1 — 1 — 1 — - -мы получим сходя¬
щийся ряд 0 + 0 + 0 + • • •.
Это обстоятельство необходимо иметь в виду при операциях
с рядами.
7°. Сочетательное свойство сходящихся
рядов.
Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить
в группы, то получающийся при этом ряд также сходится и сумма
его совпадает с суммой исходного ряда.
Действительно, .расставляя скобки в ряду (1), получим ряд
(ах + а2 + • • • +йа,) + (flA,+i + • • • + о*,) +
+ (a*«+i + • • ■ + я*,) + • • •
Пусть А'т есть его частичная сумма. Ясно, что
Ат = (аг + • • • + а*,) + (о*,+1 + • • • + я*,) -+*••• +
+ (а*т-i+i + • • • + а*т) = аг + а2 + ... + akm = Akm.
Так как {•^*m)m=i есть подпоследовательность последователь¬
ности частичных сумм ряда (1), то она сходится к А. Следова¬
тельно, ряд (4) тоже сходится и сумма его также' равна А.
Это свойство необратимо: раскрытие скобок в сходящемся
ряду может привести к расходящемуся ряду. Это видно на примере
ряда (1 — 1) -f- (1 — 1) + • • •, который сходится, так как каждый
его член равен нулю. В то же время, раскрыв скобки, мы полу¬
чим расходящийся ряд 1 — 1 + 1 — 1 + • • •
10
§ 2. Положительные ряды
В предыдущем параграфе мы рассмотрели несколько примеров,
в которых в результате тех или иных несложных преобразований
удалось найти компактное выражение для частичной суммы Апу
а тогда вопрос о существовании и нахождении lim Ап уже не пред-
П-> оо
ставлял значительных трудностей. Таким образом, одновременно
с установлением сходимости ряда (в тех случаях, когда она имела
место) всякий раз было найдено и значение суммы ряда. Однако
в общем случае непосредственно судить о существовании lim Ап
п -» 00
далеко не так легко. Основную трудность представляет здесь
нахождение компактного выражения для частичной суммы Ап.
Кроме того, во многих случаях гораздо важнее оказывается уста¬
новить сходимость данного ряда, нежели знать величину его суммы.
Для некоторых рядов даже сумму удается найти лишь после уста¬
новления сходимости. Поэтому при операциях с рядами на первое
место встает вопрос об их сходимости.
Мы уже упомянули, что при решении вопроса о сходимости
непосредственное применение определения, как правило, за¬
труднительно. Неудобным для практического применения яв¬
ляется и сформулированное в 4° (§ 1) необходимое и достаточное
условие сходимости ряда. При его применении мы снова сталки¬
ваемся с необходимостью вычисления суммы произвольного числа
членов ряда. Простым и удобным для применения является усло¬
вие lim ап 0. Однако это условие только необходимо, и, осно-
П-> оо
вываясь на нем, можно лишь установить расходимость тех рядов,
для которых оно не выполнено.
В дальнейшем мы рассмотрим несколько достаточных при¬
знаков сходимости рядов. С помощью этих признаков сходимость
или расходимость ряда может быть установлена лишь на основании
поведения его общего члена. Само собой разумеется, что ни один
из них не может быть применим ко всей совокупности рядов вообще.
Наиболее простыми для изучения оказываются такие ряды,
все члены которых имеют один и тот же знак. Так как умножение
всех членов ряда на —1 не отразится на его сходимости, то доста¬
точно рассмотреть только такие ряды, все члены которых поло-
жительйы.
Ряд (1) называется положительным, если ап ^ 0 при всех п.
Если же ап > 0 при всех я, то ряд называется строго положи¬
тельным.
Пусть ряд (1) положительный. Тогда из равенства
Ап — Ап—1 ап (я = 2, 3, . . .)
следует, что его частичные суммы образуют возрастающую после¬
довательность. Поэтому на основании теоремы о пределе моно¬
тонной последовательности всегда существует lim АПУ конечный
П-> оо
11
или равный +оо. Иначе говоря, положительный ряд всегда имеет
сумму.
Пользуясь той же теоремой, мы можем теперь сформулировать
условие сходимости положительного ряда,.
Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была
ограничена сверху*
Действительно, сходимость ряда означает существование ко¬
нечной суммы, последнее же обстоятельство имеет место лишь
при условии, что последовательность частичных сумм ограни¬
чена сверху.
С помощью этого условия могут быть получены достаточные
признаки сходимости; некоторые из них мы приводим ниже.
§ 3. Теоремы сравнения
В этом параграфе мы приведем два признака сходимости поло¬
жительных рядов, основанные на сравнении рядов между собой.
Теорема 1. Пусть ряды
2 а» (4)
Л=г1
и
2 Ьп (5)
л=1
положительны, и существует такое N, что при всех п >• N
ап < Ьп. (6)
Тогда из сходимости ряда (5) вытекает сходимость ряда (4),
и наоборот — из расходимости ряда (4) вытекает расходимость
ряда (5).
Если члены положительных рядов (4) и (5) удовлетворяют
неравенству (6) (хотя бы при я > N, т. е. начиная с некоторого
члена), то ряд (5) называется мажорантным по отношению к ряду
(4), а ряд (4) — минорантным по отношению к ряду (5). В не¬
сколько измененной форме эти термины переносятся и на ряды
с любыми членами (неположительные).
Теперь теорему 1 можно сформулировать так: из сходимости
мажорантного ряда вытекает сходимость минорантного; расхо¬
димость минорантного ряда влечет за собой расходимость мажо¬
рантного.
* Впрочем, поскольку для положительного ряда все Ап^ 0, последователь¬
ность его частичных сумм всегда ограничена снизу. Поэтому в формулировке
необходимого и достаточного условия сходимости положительного ряда можно
говорить просто об ограниченности частичных сумм.
12
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Не умаляя общ¬
ности, можно считать, что неравенство (6) имеет место при всех п,
так как вместо рядов (4) и (5) можно рассматривать их остатки
после N-то члена.
Из условия сходимости ряда (5) вытекает ограниченность
сверху последовательности (ДЛ~=1 его частичных сумм. Тогда
то же верно и в отношении последовательности j Л„}“=1 частичных
сумм ряда (4), ибо
An = 0i + <*2 *+*•• * *+ ап + Ь2 + • • •+ Ьп = Вп.
Поэтому ряд (4) сходится.
Если же ряд (4) расходится, то, предполагая сходимость
ряда (5), мы на основании уже доказанной части теоремы придем
к противоречию. Следовательно, теорема полностью доказана.
Теорема 2. Пусть ряды (4) и (5) строго положительны
и существует предел
L —
°п
(ясно, что 0 ^ L «S +оо).
Если L < +оо, то сходимость ряда (5) влечет сходимость
ряда (4). Если же L > 0, то из сходимости ряда (4) следует схо¬
димость ряда (5).
Пусть сначала L конечно. Тогда числовая последовательность
Г«»Д«
-j~-1 ограничена. Следовательно, существует такое число М,
) П=1
ап
Ьп
чта -г2- М при всех п. Тогда при всех п
ап «5 МЬп. (7)
оо
Пусть теперь ряд (5) сходится. Тогда сходится и ряд ^МЬп,
п=1
который на основании (7) является мажорантным по отношению
к ряду (4). Следовательно, ряд (4) сходится.
Если L > 0, то lim — < + оо, и второе утверждение теоремы
П-»оо аП
вытекает из доказанного.
Из доказанной Теоремы следует, что если 0 < L < +оо, то
ряды (4) и (5) могут сходиться лишь одновременно.
С помощью доказанных теорем сходимость или расходимость
ряда можно установить путем сравнения с уже известным рядом.
Во многих случаях для такого сравнения оказывается удобным
применять ряды вида ^ (а > 0). Мы будем называть такие
/1=1 П
ряды гармоническими, хотя чаще это название относят лишь
00
к ряду ^ -i-. В дальнейшем (гл. III, § 8) будет весьма просто
13
доказано, что гармонические ряды сходятся при а > 1 и расходятся
при 0 < а ^ 1. Это доказательство будет основано на применении
так называемого интегрального признака сходимости рядов.*
Однако уже в этой главе при решении примеров мы неоднократно
воспользуемся сравнением данного ряда с гармоническим.
Приведем ряд примеров. В каждом из них требуется выяснить,
сходится или нет данный ряд.
•S
(/1 + 3) (я + 5) ‘
п=\
При всех п очевидно неравенство
1 <■—
„2 '
(п + 3) (п + 5) ^ п1
Так как ряд ^ сходится, то мы можем применить теорему 1,
П=1
рассматривая в качестве (4) ряд, данный нам в примере, в ка-
00
честве (5) ряд ^ . Следовательно, данный ряд сходится.
п=1
1
2. V -угтг. - .
Vn(n+\)
Используем очевидное неравенство
1
>
/I (л + 1) л+1
оо
Применим теорему 1, принимая в ней ряд ^ за ряд (4),
/2=1
оо
а данный ряд за ряд (5). Так как ряд ^ n~+'Т(т- е-
/1=1
+ + . . .) представляет собой остаток гармонического ряда
оо
^ -i- после 1-го члена, то он расходится. Поэтому расходится
/2=1
оо
и ряд ^ 1
]fn(n+ 1)
* Впрочем, несколько сложнее указанный результат можно доказать и без
интегрального признака ([Ф], II, стр. 16).
14
3. 2 пе~Уп,
п= 1
Несмотря на наличие в выражении ап множителя п, все же
ап = ne~Vn = —?= ► О,
п eVn П->оо
так как + оо быстрее любой степени п. Таким образом,
необходимое условие сходимости ряда выполнено. Однако это
условие ведь не является достаточным.
Попробуем сравнить наш ряд с каким-нибудь сходящимся
рядом, например с ^ . Имеем
п=1
= Ит-Йг = 0- (8)
П-> оо П-> оо
Следовательно, по второй теореме сравнения наш ряд тоже схо¬
дится.
Заметим, что если в равенстве (8) заменить ~ в знаменателе
на ■— , то это не отразится на величине предела. Однако в этом
оо
случае теорема 2 окажется неприменимой, поскольку ряд
п=1
расходится.
4.
Sin п
3/г *
п=1
Если п > 2, то In п > 1, и потому при п > 2 имеет место не¬
равенство
In п __1_
3/г *^> 3/г
оо оо
Ряд ^ расходится вместе с рядом ^ , а тогда по теореме 1
/1=1 /1=1
расходится и данный нам ряд.
оо
с V In /г
5- 2j3^-
л=1
In /I 1
Неравенство , справедливое при п > 2, ничего
оо
не дает, так как ряд сходится. Будем рассуждать иначе.
П—\
15
In tl
Так как 0 при любом а > 0, то существует такое N (зави¬
сящее от а), что при n>N
In п .
~п \ * >
или In п <С па. Следовательно, для таких rt(n^> N)
in я п“ _ 1
Зп* ^ Зяа — 3„2-а •
Теперь в качестве а достаточно взять любое число, меньшее еди¬
ницы. Возьмем, например, а = — ; тогда —Ls- при
2 з гг Ж'1
00
n > N, а ряд ^ ■ з/2 с> цится, следовательно, на основании
/1 = 1
оо
, V* In п
теоремы 1 сходится и ряд > .
5л2 — 3/i + 1000
Zj Зл6 + 2л+ 17 *
/1=1
Ясно, что а„ = Выясним порядок малости
величины ап:
na(5-A + i200\
л — V п ^ п* ) _5_
п~ * /о , 2 . 17 \ Зя» '
Л (3 + -^ + 7F)
Точнее, это значит, что
Д/t
_5_
3 л3
Иш^-= 1.
/1-> 00 5
Так как ряд ^ ^ сходится, то по теореме 2 сходится и рассма:
л==1
триваемый ряд.
7-
1 ЛЛ. 2)
Зла + 2 л->оо
л=1
Сразу заметим, что а„ = 1—cos —*■ 0; выясним
порядок малости этой величины.
16
Так как sin 2 —z при z —» 0, то
п — 2 cln2 2п + 1 о Г Vn+ 1 ]2 2 / 2п Уп \2_
2 (Зп2 + 2) L 2 (Зл2 + 2) J \ 2-Зя2 /
ОО
но ряд ^ расходится, следовательно, по теореме 2, расходится
п=\
и данный ряд.
/1=1
Прежде всего преобразуем общий член ряда
п _ Л+1_ _1_ 1 1 / _1 1_ \
an = Vb — V5= 5 " — б^1 = б^1 V5 n n+1 — 1/ =
= 5 "+г ( 5 " ("+1) — 1) ’
Ясно, что ап —► 0, и мы опять выясним порядок малости ап.
Известно, что
lim а ~~ 1 = In а;
г-+0 2
поэтому а* — 1— z In а при г—* 0.
В нашем случае имеем
5л+г (5ЖП+1) — 1) 1 . in5
4 «(«+!)
ибо
5п+1_^Г !• Hon(n + l) 1п 5~7’а1)ЯДЁт сходится,
л=1
следовательно, сходится и ряд 2 ап.
Л=1
(п-1)"
Пп+1
п=1
Преобразуем общий член ряда
Известно, что lim ( 1 jj-V = -j- , поэтому ап ~ , но
Я->оо ' ' Я->оо ^
оо
ряд расходится, следовательно, расходится и данный ряд.
Л=1
2 Б. 3. Вулих и др. 17
10-
n=1
Этот пример решается проще предыдущего. Так как In п > 2
оо
при п > 7, то при п > 7, и из сходимости ряда ^
/1=1
вытекает сходимость данного ряда.
Приведем теперь несколько примеров другого типа. Именно
в последующих примерах члены ряда зависят не только от я,
но еще и от некоторого параметра р. Требуется выяснить, при
каких значениях р ряд сходится, а при каких — расходится.
п- S (?in ■й-)'1
п=1
Так как sin — ~ — при п —> оо, то
п п v *
оо
Известно, что ряд сходится, если р>1, и расходится,
п=1 П
если р sg 1. Следовательно, и данный ряд тоже сходится, если
р > 1, и расходится при р ^ 1.
12- V-1-^-шёт (р>°).
Известно, что
limln(1+-^= 1,
*
откуда In (1 + x)~jc. Заметив, что I ■* 1» представим
д. Q О/I О П->оо
эту дробь в следующем виде:
5га2 +7 j , 10
5га2 — 3 5га2 — 3 *
~ 10 Л
Так как -=-»—о > 0, то
5я2 — 3 n-х» ’
In-
5га2+ 7 . Л , 10 \ 10 10
1 + 7 — 1 I 10 \
5га2 —3 — \ 5я2 — 3 )~ж 5га2—3 5га2
Отсюда
1 2 Р 2р
18
Vn п2Р П2Р + Т
00
Ж ’Ч 2Р 1 2
Ряд Ж г сходится при 2р +-Г > 1, т. е. при р > -=- ,
5
/1=1
1 2
и расходится при 2р + -g- ^ 1, т. е. при р ^ у . Следовательно,
2 2
данный ряд сходится при р > -g- и расходится при р -g- .
13- 2я(18^“81п^)р (р>0)-
/2—1
Преобразуем общий член ряда. Сначала рассмотрим разность
tg sin “тг— . Имеем
& 2п 2п
1 1 • 1 О • 2 1
1 1 1 1_cosl^ ^"ж281П
g 2я 2л 2л 1 1
cos cos —
2/1 2ti
ГГ* .11.11 1
Так как sin ~ , sin —, a cos >\ то
2«П-»со2п’ ^Пп-*<ю 4л гл^со1»10
I 1 1 о ( 1 \2 1
® 2л Sin 2nn^w 2л \ 4я) 16л3
Поэтому для общего члена данного ряда имеем
1 L 1
~ 16" Л3""1
Ряд 2 у~7)• пзр-1 сходится при Зр—1 > 1, т. е. при р >,
/2=1
2
и расходится при Зр — 1 1, т, е. при р ^ . Следовательно,
о
2 2
данный ряд тоже сходится при р > -у и расходится при р ^ -у .
VI / з 3 \/»
14. 2jlKa + 2-K«j (р > 0).
/2=1
Преобразуем общий член ряда
3 \ / 3 3 3 \"1р
+ 2-М1К(л + 2)Ч К(я + 2)я + Кп2]
3 3 3_
V(п + 2)2 + К(Л + 2) я -j- ^ я2
2р
Г 3 3 3 ]р
[К(я + 2)* + К(л+ 2)я + /л2|
«г/з,,[]7(i+4),+i^r 1+4+1]Р'">”^3^ ”2/3
19
Следовательно, данный ряд сходится при р > — и расходится
при р < -у.
Упражнен и я
Исследовать на сходимость ряды:
4 V* j?l~ 1 . 5 Y* о \ f~ne~уГп • 6 У' 500п® + Зя + 2
4*Zjtg5n3+2> b‘2jZVne ’ 6* 2^Г-2л-|-л^п>
/1=1 /г=1 л=1 1 г
7. 2(«“*4_,); 8. 2U»-=Ti_i); *-2(»+4)“:
/1=1 /1=1 /1=1
'»• 2>-£*т-
Л=1
При каких значениях параметра р (р > 0) сходятся" ряды:
n- StgP^r;
/1=1
12. |](vT+I-l/;)'ln§±f;
/1=1
13. I; In’(sec i).
/1=1
§ 4. Признаки Коши и Даламбера *
В предыдущем параграфе были рассмотрены примеры рядов,
для которых вопрос о сходимости решался в результате сравне-
оо
ния с одним из рядов вида • Если .же вместо такого ряда
/1=1
взять геометрическую прогрессию, то сравнение можно про¬
вести в более общем виде. Результатом являются два приводи¬
мых ниже признака, известных под названием признаков Ко'ни
и Даламбера.
* Ж. Л. Даламбер (1717—1783)—французский математик.
20
Теорема 3 (признак Коши). Пусть ряд
fj «п (9)
П—1
положительный. Если существует такое число q (0 < q < /)
П
и такой номер N, что Yап Я пРи всех п > то Ря& (9) схо~
П
дится; если же существует такое N, что ап ^ / при всех
n>N, то ряд (9) расходится.
Доказательство первого утверждения основано на первой
П
теореме сравнения. Действительно, из неравенства У ап^ q
вытекает неравенство ап q", а так как геометрическая прогрес-
оо
сия J^q" при 0 < q < 1 сходится, то сходится и ряд (9).
П—1
Для доказательства второго утверждения отметим, что нера-
П
венство|^а„ ^ 1, выполненное при о > N, равносильно неравен¬
ству On 1 (n > N). Поэтому условие lim ап — 0 не может быть
Л-» во
выполнено, и ряд (9) расходится.
Для практического применения более удобной оказывается
следующая теорема, которая вытекает из только что доказанной.
Теорема 4 (признак Коши в предельной
П
форме). Пусть существует lim V~an — I. Тогда, если I < 1,
П->оо
то ряд (9) сходится, если же I > 1, то он расходится.
Действительно, в первом случае выберем е > О так, что I
+ е < 1. На основании определения предела последовательности
существует такое N, что < / + е при л > W. Поэтому схо¬
димость ряда (9) вытекает из теоремы 3, так как в ней можно
положить q — I + е.
Пусть теперь / > 1. По свойству предела существует такое
П
число N, что при п> N выполняется неравенство у > 1
и остается снова применить теорему 3.
Доказанная теорема не применима к рядам, для которых / =
= 1. В этом случае ряд может быть как сходящимся, так и расхо¬
дящимся. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть
оо оо
два ряда 2^- Предоставляя читателю самому убедиться
л*1 л=1
в том, что
limy^^Hm^-i-^l,
П->оо V п п-> оо f п
21
отметим только, что первый из приведенных рядов расходится,
а второй сходится.
Для того чтобы решить вопрос о сходимости ряда в случае
/ = 1, необходимо привлекать какие-либо другие признаки.
Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть
ряд (9) — строго положительный. Если существует такое число q
(О < q < 1) и такой номер N, что при всех п> N оказывается
q, tno ряд (9) сходится, если же существует такое N,
что 1 при всех п^> N, то он расходится.
ап
Доказательство. Рассмотрим сначала первый слу¬
чай. Не умаляя общности, можно считать, что ^ а при
ап
всех п. В противном случае мы бы рассмотрели вместо данного
ряда его остаток после N-го члена.
Выпишем (п — 1) неравенств
ас* а* cifi
IT**4' T~
и i a2 «л-i
и перемножим их почленно. В результате получим неравенство
Я1 '
или an^a1qn~l. Теперь* из сходимости геометрической про¬
грессии ах + axq -f arq2 + • • • сразу вытекает сходимость дан¬
ного ряда.
Во втором случае из неравенства 1 йытёкает, что
ап+1 ап. Отсюда следует, что ап -++ 0,: так как возрастающая
последовательность положительных чисел не может стремиться
оо
к 0. Значит, ряд ^ ап расходится.
/1=1
Рассуждая так же, как и при переходе от теоремы 3 к теореме 4,
мы можем получить признак Даламбера в предельной форме.
Т е о р е м а 6. Пусть существует lim °fH’1 = I. Если I < 1,
П->оо “Я
ряд (9) сходится, если же / > 1, то он расходится.
Как и признак Коши, признак Даламбера не применим, если
оо
1 — 1. Это подтверждается с помощью тех же двух рядов У
оо
и Si, что и в случае признака Коши.
л=1
Приведем примеры.
оо
1. Исследовать ряд / •
9
/1=1
22
/i=i
По признаку Даламбера имеем
lim _ iim (n + 1 )'9"- = J_ <; i.
I™ On ^ 9"+l„8 9 <'1-
Следовательно, данный ряд сходится.
2. Исследовать ряд V (
/1=1
При решейии этого примера удобнее применить признак Коши:
lim 17ап = Пт -|^~t-- = -?- < 1.
П->со П-> оо ОП -Г ** «3
Следовательно, данный ряд сходится.
°° 5 + (-1)"
3. Исследовать ряд
/2 = 1
Данный ряд мажорируется сходящейся геометрической про¬
грессией ^ (ее знаменатель равен-^ . Следовательно,
П — 1
по первой теореме сравнения он тоже сходится. Однако этот ре¬
зультат нам не удается получить с помощью признака Далам¬
бера, так как для данного ряда lim не существует, и потому
Л-» 00 ап
признак Даламбера здесь не применим. Впрочем, признак Коши
оказывается все же применимым к данному ряду, именно
откуда еще раз вытекает сходимость ряда.
Упражнения
Исследовать, сходятся ли следующие ряды:
,4. 2(cosA)-; ,5. £„SslniL; 16.
/1 = 1 /1 = 1 /1 = 1
§ 5. Абсолютная сходимость
Перейдем теперь к рассмотрению рядов, члены которых
имеют разные знаки. При этом интерес представляют лишь те ря¬
ды, среди членов которых бесконечно много как положительных,
так и отрицательных.
23
Действительно, допустим, что один из знаков, например ми¬
нус, встречается лишь у конечного числа членов. Если k есть
наибольший номер отрицательных членов ряда
00
S ап, (10)
П—1
оо
то его остаток 2 ап уже является положительным рядом. В то же
л=*+1
время сходимость ряда равносильна сходимости его остатка.
В этом параграфе мы рассмотрим один класс рядов, для ко¬
торых вопрос о сходимости решается наиболее просто. Ряд (10)
называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный
00
ряд ЕК|.
п=1
оо
Теорема 7. Если ряд SIап\ сходится, то сходится
п—\
ОО
и ряд 2 ап ■
/1=1
Таким образом, из абсолютной сходимости ряда (10) вытекает
его сходимость в первоначальном смысле, т. е. в том, как это было
определено в § 1.
Доказательств 9. Пусть ряд (10) сходится абсолютно.
Тогда для всякого е > 0 оуществует такое N, что при всех т> N
и всех р (т, р — натуральные)
т+р
22 К К «•
п—т-И
Пусть для некоторого е > 0 такое N найдено. Тогда при т > N
и любом р будем иметь
т+р
Е «
п—т+1
т+р
; S КI < в.
п=т-\-1
Так как е > 0 произвольно, то для ряда (10) выполнено необхо¬
димое и достаточное условие сходимости, и теорема доказана.
Обратная теорема не верна: существуют сходящиеся ряды,
которые не сходятся абсолютно*. Пример такого ряда мы приве¬
дем в следующем параграфе.
Для установления сходимости (но не расходимости) рядов
с произвольными членами могут использоваться признаки схо¬
димости положительных рядов. Именно допустим, что с помощью
00
одного из таких признаков установлена сходимость ряда2|а„|.
/1=1
* Иногда такие ряды называют условно сходящимися, но мы не считаем
этот термин удачным.
24
Тогда сходимость ргйда Sa„ вытекает из доказанной теоремы.
Л=1
оо
Если же ряд £|aJ оказывается расходящимся, то вопрос о
Л=1
00
сходимости ряда 2 ап остается открытым.
П—\
Исключение представляют признаки Коши и Даламбера, так
как эти признаки устанавливают расходимость ряда только за
счет нарушения необходимого условия сходимости.
Приведем признак Даламбера в предельной форме для рядов
с членами произвольных знаков.
Теорема 8. Пусть ряд (10) таков, что ап Ф 0 при
всех п и существует lim = /. Тогда, если I < 1, ряд
П->оо °п I
сходится, если I > 1, ряд расходится.
со
Действительно, если I < 1, то ряд £1 \ап\ сходится, и можно
П= 1
сослаться на теорему 7. Если же / > 1, то, как было видно из
доказательства признака Даламбера в § 4, отсюда следует, что
оо
| ап | -t* 0, а тогда и ап -t* 0, следовательно, ряд S ап расходится.
П=1
Аналогично теореме 8 можно сформулировать и признак Коши.
В заключение отметим одно свойство абсолютно сходящихся
рядов,-сближающее их с конечными суммами. Абсолютно сходя¬
щиеся ряды обладают переместительным свойством. Иначе говоря,
если произвольным образом изменить порядок членов абсолютно
сходящегося ряда, не выбрасывая при этом ни одного члена, то
полученный в результате этого ряд будет по-прежнему абсолютно
сходящимся, а сумма его будет совпадать с суммой исходного ряда.
Доказательства этого факта мы здесь приводит^ не будем
(см. [Ф], т. II, стр. 36). Отметим только, что для рядов, сходя¬
щихся не абсолютно, переместительное свойство не имеет места.
§ 6. Знакочередующиеся ряды
В этом параграфе мы рассмотрим один класс рядов, для ко¬
торых вопрос о сходимости может быть решен вне связи с поло¬
жительными рядами.
Ряд
00
IX (11)
п=Л
называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена
имеют разные знаки, т. е. a„art+1 < 0 (п = 1, 2, . . .). Будем для
определенности считать аг ]> 0, и введем обозначение с„ = | ап \
(п = 1, 2, . . .). Так как члены с нечетными номерами положи¬
25
тельны, а с четными — отрицательны, то ап = (—1)" гсп и ряд (11)
можно переписать в виде
оо
Х( 0 Сп~С1 С2 4" С3 • • •• (12)
п—1
Из определения знакочередующегося ряда следует, что сп ф О
при всех п. Будем, кроме того, считать, что сп Ф сп+1 при всех п.
Теорема 9 (Лейбниц). Пусть абсолютная величина
сп общего члена знакочередующегося ряда (12), монотонно убывая,
стремится к нулю. Тогда ряд (12) сходится.
Доказательство. Пусть {Cfc}£=i — последователь¬
ность частичных сумм ряда (12). Тогда при k — 2т будем иметь
С 2т = (С1 с?) 4" (с3 £4) 4~ * * * 4“ (р2т-ъ ^гт-г) 4" (с2т-1 — с2т) ==
== ^2т-2 4“ (^2т-1 С2т) (т =2, 3, 4, . . .). (13)
Так как по условию последовательность {cn}£=i — убывающая,
то все скобки в (13) содержат положительные разности. Отсюда
вытекает, во-первых, что С2т > 0, а, во-вторых, что Cgm > Сш-2-
Это последнее неравенство означает, что последовательность ча¬
стичных сумм с четными номерами возрастает. Покажем, что эта
последовательность ограничена сверху. Действительно, С2т можно
записать в виде
С2т = Pi (^2 С3) (^4 ^б) * * * {р2т-2 ^2m-l) ^2Ш»
Так как каждое вычитаемое положительно, то, очевидно, Ст < сг.
На основании теоремы о пределе возрастающей последователь¬
ности существует конечное
С = lim С2т. (14)
т->оо
Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с не¬
четными номерами. Очевидно,
Счт+1 — С%п ^2т+1*
(15)
Так как по условию c2m+i—>0, то из равенства (15) вытекает
оо
существование предела lim Сш+1( и при этом
т-> оо
lim C2m+1 = С. (16)
оо
Из (14) и (16) вытекает существование конечного предела у по¬
следовательности (C*}£=i частичных сумм ряда (12), т. е. сходи¬
мость ряда. Теорема доказана.
При доказательстве теоремы мы получили неравенство О <С
С2т < сх. Но так как С > С2т (последовательность {C2m|m=i
возрастает), то и С > 0. С другой стороны, предельный переход
в неравенстве Сгт <С Ci дает С Cj*. Таким образом, сумма рас¬
* Впрочем, нетрудно показать, что в наших условиях имеет место строгое
неравенство С < сх
26
сматриваемого ряда положительная и не превосходит первого
члена.
Остаток ряда (12) после &-го члена имеет вид
(-1)4+1 +(-1)к-{Лск+2 +...= (-1 )к(сш-ск+2 + •••). (17)
Но ряд в скобках обладает теми же свойствами, что и ряд (12),
следовательно, его сумма тоже положительна и не превосходит
Ck+1* Сумма же ряда в левой части (17) имеет знак (—1)*. Тем
самым мы установили следующий факт:
Пусть знакочередующийся ряд (12) удовлетворяет всем усло¬
виям теоремы Лейбница. Тогда любой его остаток имеет знак
своего первого члена, а абсолютная величина остатка не превосхо¬
дит модуля этого члена.
Рассмотрим примеры. В каждом из них требуется исследовать
характер сходимости ряда.
■■ 2
j-1)
п=1
лг—1
Здесь сп = -i- , и выполнение всех условий теоремы Лейбница
оо
очевидно. Таким образом, ряд сходится. Так как ряд рас-
/1=1
ходится, то данный ряд
1 L + _L_J_+ ...
2^3 4
представляет пример ряда, сходящегося не абсолютно.
2 £(_1), (*L±WOO )•
/1 = 1
Ряд сходится абсолютно, так как
1 • 1 Г~\ I 1 • “I- Ю00 4 ^ *
lim у \ап\ — lim ■ _ = -=- < 1.
П-> оо П->оо ОЛ Г * &
3-
<j=i
Сначала проверим, что последовательность
+ 2} — убывающая. С этой целью рассмотрим функцию
>х~ 2
х2 + 2 ’
Ее производная
f(x)==^TTI’ 5=s£jc< + oo.
г/ / у\ х2 -J- 2 2х(х 2) —х1 -f- 4х -)- 2
/ W (*а + 2)2 (х2 + 2)2
27
Так как наибольший из корней квадратного трехчлена —ха +
+ 4х + 2 равен 2 + < 5, то в промежутке [5, +оо) произ¬
водная /' сохраняет постоянный знак, именно /' (*) •< 0. А тогда
функция / — убывающая. Тем более убывающей будет и последо¬
вательность {/ (я)}“=5, т. е. •
Теперь уже ясно, что остаток заданного ряда после 4-го члена,
оо
т. е. ряд —1)п 2 , удовлетворяет всем условиям теоремы
п=5
Лейбница, и потому он сходится. Вместе Q ним сходится и данный
ряд.
Проверим, что его сходимость неабсолютная. Действительно,
|а„| = ^ при и — оо, и так как ряд расходится,
Я=1
то и ряд £ |а„| расходится.
Л=1
4.
во
гг 30 30 V4 / 1 \П , 30 I
Так как sin —~— при п—* оо, то ряд > (—1) sin—
/1=1
60 30
расходится. С другой стороны, если ^к19,то0<—<
Л л
тс 30
< -у. А тогда sin — > 0 и убывает при возрастании п. Следо¬
вательно, остаток данного ряда после члена, имеющего номер
60
>> —, удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Из всего ска¬
занного следует, что данный ряд сходится, но неабсолютно.
Рассмотрим еще один пример, в котором члены ряда зависят
от параметра.
5. При каких значениях параметра р (р > 0) ряды
п=\ 4 ' п—\
сходятся абсолютно или неабсолютно.
Оба ряда при любом р > 0 удовлетворяют условиям теоремы
Лейбница и потому сходятся.
оо
В случае а) рассмотрим ряд ^ Так как——— ~
/1=1
~ —Р при п —* оо, то ряд сходится при р > 1 и расходится
при 0 <3 р ^ 1. Таким образом, ряд а) сходится абсолютно при
р 5> 1 и неабсолютно при 0 <2. р ^ 1.
28
В случае б) имеем
tg^~-^r = 7^ ПРИ я^°°'
tgp 1 1
nVn п/гР'
со
УКГ*1 1 о з
Но ряд ж 1 —— сходится при ~2 р~> 1 и расходится при у р
-eJ п2 Р
П—\
2
1. Таким образом, ряд б) сводится абсолютно при р > -д- и
неабсолютно при р ^ .
Упражнения
Исследовать на абсолютную и неабсолютную сходимость сле¬
дующие ряды:
17. 18. S£(-l)"-!l2-;
/1=1 n=2
>»• s (-1Г’ (w)'= 20-
/1=1 /1=1
(-1)"
rt— Inn
23. При каких значениях параметра р (р > 0) ряды
a) VV-irW 5,”—,
я* Кп + 3
у (^:11прп+з
"+1
/1=1
сходятся абсолютно или неабсолютно?
” L
24. Если ряд Е ап сходится и Нш — = 1, то можно ли утвер
dfi
/1=1
ждать, что ряд Е Ьп также сходится?
/1=1
/1=1 Л=1
29
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1. Сходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Сходится. 6. Рас¬
ходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Расходится. 11. При
2 2
р>— сходится, при р^-г- расходится. 12. Сходится при р > 0. 13. При
о о
р> — сходится, при р=^-расходится. 14. Сходится. 15. Сходится. 16. Схо¬
дится. 17. Сходится абсолютно. 18. Сходится неабсолютно. 19. Сходится абсо¬
лютно. 20. Расходится. 21. Сходится неабсолютно. 22. Сходится неабсо-
2 2
лютно. 23. а) При р> — сходится абсолютно, при р схбдится неаб-
о о
солютно; б) при р >-2 сходится абсолютно, при р^:--^- сходится неабсолют¬
но. 24. Нет.
ГЛАВА II
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и таблица простейших
интегралов
Если первой основной задачей дифференциального исчисления
можно было считать нахождение производной от заданной функ¬
ции, то первой основной задачей интегрального исчисления яв- i
ляется обращение основной задачи дифференциального исчисления:
восстановление продифференцированной функции по ее произ¬
водной. Как мы увидим дальше, эта задача оказывается значи¬
тельно более трудной, чем задача дифференцирования.
Введем основное для всей главы определение.
Определение. Пусть функция / задана на промежутке
(а, Ь).* Функция F, заданная на том же промежутке, называется
первообразной для функции / (точнее — первообразной на проме- i
жутке (а, й», если F' (л*) = / (лг) для всех х из (а, Ь).
Например, функция sin х на всей оси — первообразная для i
cos х.
Таким образом, первая основная задача интегрального ис¬
числения и будет заключаться в нахождении первообразной для
заданной функции.
В связи с понятием первообразной сразу же возникают два
вопроса: 1) для каких функций можно гарантировать существо¬
вание первообразной? 2) сколько первообразных может иметь
одна и та же функция? Ответ на первый вопрос дается теоремой, i
которую в этом разделе мы приведем без доказательства и которая
Оудет доказана в нашем курсе позднее.
Теорема 1 (о существовании первообразной). Если функ- i
Ция f непрерывна на промежутке (а, й), то на этом промежутке
У нее существует первообразная.
Ответ на второй вопрос содержится в следующей теореме.
* Через (а, Ь) мы обозначаем промежуток любого типа с концами а и Ъ (зам¬
кнутый, открытый или полузамкнутый).
31
Теорема 2. Если F — какая-нибудь первообразная для
функции f на промежутке (а, Ь), то формула
Ф (*) = F (х) + С, (1)
где С — любая постоянная, дает общий вид первообразных для /.
Иными словами, здесь утверждается, что всякая функция
вида (1) — первообразная для /, и, обратно, всякая первообраз¬
ная для / имеет вид (1) при надлежащем подборе постоянной С.
Доказательство. Если F — первообразная для /,
то F' (х) = / (х) при всех х из (а, Ь). Но тогда и Ф' (х) — F' (х) —
= / (х), т. е. и любая функция Ф, определяемая формулой (1), —
первообразная для /.
Обратно, пусть Ф — произвольная первообразная для f.
При всех х 6 {а, b> имеем
Ф' (х)-Г (*)=/(*) _/(*) = О,
т. е. (Ф — F)' (х) = 0 в промежутке (а, Ь). Но тогда, по извест¬
ному из дифференциального исчисления признаку постоянства
функции, разность Ф — F равна некоторой постоянной: Ф (х) —
— F (х) = С. Отсюда и видно, что функция Ф выражается по
формуле (1).
Теперь введем основное обозначение, которым пользуются
в интегральном исчислении. Именно если / — некоторая функция,
a F — ее первообразная (на каком-то промежутке), то пишут
J f(x)dx = F (*) + С (2)
и читают это соотношение так: неопределенный интеграл от функ¬
ции f равен F (*) + С, где С — произвольная постоянная. Таким
образом, обозначение интеграла J* используется здесь для того,
чтобы записать общий вид первообразных. Например,
J cos х dx = sin х + С.
Сама операция нахождения первообразной называется инте¬
грированием функции.
В дальнейшем во всей этой главе, мы считаем, что все функции,
стоящие под знаком интеграла (их называют подынтегральными),
непрерывны, а тогда первообразные существуют и формула (2)
имеет смысл.
Используя таблицу производных от простейших элементарных
функций, мы можем составить таблицу некоторых простейших
интегралов. Вот эта таблица:
г уМ-Н-1
I. = + с (м- ¥= —I);
II. \^- = \пх + С (.*>0)*;
* f — пишут вместо [ — dx и, вообще, f ■ : означает f —j-r- dx.
J x J x J (p(x) J (p(x)
32
III. Jcosxdx = slnx+ C;
IV. Jsln*dx = —cosx-fC;
V" J ■coPT = i%>x + c>
Vl- Jilt =
v"' f in^?~arcsiii-t+C;
VIII. J 'i±x2 = arctgx + C;
IX. | a* dx = + С при a>0 и а Ф 1
(в частности, J e* dx = ex + c).
Все эти формулы проверяются непосредственным дифферен¬
цированием, т. .е. производная от правой части формулы всегда
равна подынтегральной функции в левой части.
Отметим некоторые частные случаи формулы I:
Jdjc = jf + C(|i = 0; j dx означает интеграл с подынтег¬
ральной функцией, тождественно равной единице);
J xdx= -f- + C (fi = 1);
= 2 1^ + С(и-4-).
Упомянем еще и такую очевидную формулу:
Jo dx = C,
т. е. первообразные от функции, тождественно равной 0, суть
постоянные.
Наконец, заметим, что формуле VII можно придать и несколько
другой вид, а именно:
1т#5=-агсс05д:+с-
Это ни в какой степени не противоречит теореме 2, а объясняется
тем, что функции arcsin х и —arccos х сами отличаются друг от
друга на постоянное слагаемое
arcsin х + arccos х = .
Аналогичное замечание можно сделать и по поводу фор¬
мулы VIII, где вместо arc tg х можно поставить —arc ctg *.
3 В. 3. Вулих и др. 33
Теперь дадим одно существенное дополнение к формуле II*
Функция -j- непрерывна как в промежутке (0, + оо), так и в про¬
межутке (— оо, 0). Однако формула II в том виде, как это записано
выше, имеет смысл только при х > 0. Оказывается, что если ей
придать вид
Н'. jir = In | х | + С,
то она будет справедливой в обоих промежутках: х > 0 и ЛГ < о.
Действительно; при х > 0 формула II совпадает с табличной фор¬
мулой II. Если же х < 0, то | х \ — —х, и непосредственной про¬
веркой, с помощью правила дифференцирования сложной функ¬
ции, находим, что
Приведем еще один пример интеграла, выражающегося с по¬
мощью логарифма
J = In |* + У х2 + т | + С (т ф 0).
Проверку этой формулы дифференцированием предоставляем
читателю.
§ 2. Простейшие свойства интегралов
Установим две формулы:
(A) J lf(x)±g(x)]dx = j f(x)dx ± Jg(x)dx
(неопределенный интеграл от суммы или разности двух функций
равен сумме или соответственно разности их интегралов).
Точный смысл этой формулы заключается в том, что если
j f(x)dx = F(x) + С, \g(x)dx = G(x) + C,
то
\ [/(*) ±g(*)] dx = F(x)± G(x) + С*.
Последнее же равенство очевидно, поскольку ясно, что если F —
первообразная для f,G — первообразная для g, то F ± G — пер¬
вообразная для f ± g.
(Б) J kf (jc) dx — k J f (x) dx,
* Сумма двух произвольных постоянных есть тоже произвольная постоян¬
ная, которую мы снова обозначаем буквой С.
34
если k — постоянная, не равная 0 (постоянный множитель вы¬
носится за знак интеграла). Точный смысл этой формулы: если
j / (х) dx = F (х) + С, то
§kf(x)dx = kF(x) + C*-
Последнее равенство тоже очевидно, поскольку
(.kF)' = kF' = kf.
Используя формулы (А) и (Б) и табличную формулу I, легко
проинтегрировать любой полином, например:
J (*8 — Ъх* + 1х — 2)dx = -J-*4 — x3 + -j-x2— 2х + С.
Приведем еще некоторые примеры.
1. Вычислить интеграл
МСЧ*)**
Имеем
•,=1(>--г+9)‘&=1(4^-4+9)^-
Используя формулы (А) и (Б), находим
J = 4 jx~2dx— 12 J + 9 J dx =
= 4^JT-121n|x| + 9x + C =
= — 121п | x | -f- 9x -j- С.
При вычислении интегралов были использованы табличные фор¬
мулы 1.и 1Г (напомним, что 1Г — уточнение формулы II).
Следующие примеры решаются аналогично.
с ( — JL\3 Г ( — _2_ _2_ _4_ \
2. J \а 3 — х3 ) dx = J \а2 — За3*3 + За Злс3 — х2) dx =
/» 4 л 2 2 л 4 л
= J а2 dx За3 1 х3 dx + За3 J х3 dx — J х2 dx =
2 ± хТ + Х i-*T+1 *2+1
= а х — За 3 + За 3 + С =
Т+1 Т+1
_£_5_ _2 ^
= а2х ^-а Зх 3 +-!-а3л:3 — _Lx3 + C.
5 7 q
* Формально добавочное слагаемое в правой части равенства (Б) имеет
вид кС. Но, вместе с С, это произведение само является произвольной постоян¬
ной (когда k ф 0), и мы снова обозначаем его буквой С.
3* 35
Здесь при вычислении интеграла мы использовали, кроме фор¬
мулы I, еще и формулу VI из таблицы основных интегралов.
При вычислении была использована формула IX основной таблицы.
Хотя теорема 1 гарантирует существование первообразной
для любой непрерывной функции, однако первообразная для эле¬
ментарной функции совсем не обязана сама быть элементарной
функцией. Существование первообразной и ее выражение’ в виде
элементарной функции — это совсем не одно и то же! Приведем
несколько примеров интегралов, относительно которых в мате¬
матике доказано, что они не могут быть выражены в виде элемен¬
тарных функций: *
Тем не менее первообразные для написанных здесь функций
не только существуют, но и довольно хорошо изучены, их зна¬
чения вычислены приближенно, для них составлены таблицы.
Чтобы убедить читателя в том, что все эти интегралы принци¬
пиально ничем «не хуже» тех, которые выражаются с помощью
элементарных функций, представим на минуту, что мы не знакомы
с логарифмами и что логарифмическая функция не включена
_ с dx
в число элементарных. Тогда для интеграла I — мы не сможем
получить выражение в виде элементарной функции. Однако это
не помешает нам изучить первообразную для как некоторую
новую для нас функцию и тем самым установить и некоторые
свойства логарифма.
* Такие интегралы часто для краткости называют «неберущимися».
§ 3. Замена переменной
В этом параграфе мы разберем один из способов, часто исполь¬
зуемых при вычислении интегралов,—способ замены переменной.
Этот способ основывается на следующей теореме.
Теорема 3. Пусть F — первообразная для f. Если <р —
функция, имеющая непрерывную производную, то
J/(<P(*))4>' (x)dx = F(<f(x)) + C.
Доказательство. По правилу дифференцирования
сложной функции имеем
± F (Ф (ж)) = F' (Ф (х)) ф' (х) = / (Ф (*)) ф' (х),
т. fe. производная правой части равна подынтегральной функции.
Проиллюстрируем эту теорему на примере интеграла
J sin3 х cos х dx.
Наличие множителя cos х подсказывает принять sin х за
Ф (ж). Тогда, чтобы представить функцию sin® х cos х в виде
/ (ф (*)) ф' (х), следует понимать под f возведение в куб, т. е. счи¬
тать, что f (г) = г8. В этом случае F (z) = -j- z4 и по доказанной
теореме
J sin3 х cos х dx = -j- sin1 x + С.
Обычно необходимые выкладки записываются по следующей
схеме. Положим z = sin х\ тогда dz — cos х dx. Формальная
подстановка приводит к равенству
| sln^cosxdje = J z®dz = — z4 -f С.
Подставляя сюда вместо г его выражение sin х, мы и получим окон¬
чательный результат -j- sin4 х + С.
Иногда правило замены переменной удобно использовать* в дру¬
гой форме.
Теорема 4. Пусть функция ф имеет непрерывную про¬
изводную и у ф существует обратная функция ар. Если G (f) —
первообразная для функции
g(0 = /(<P(0)q>'(0
(которая, очевидно, непрерывна), то G (ij) (х)) — первообразная для
f(x)t т. е.
J f(x)4x = G(t(x)) + C.
37
Доказательство. Обозначим через F первообразную
для /. Тогда по теореме 3
Таким образом, можно приравнять
F (Ф (0) = G (О-
Чтобы найти отсюда вид функции F, положим х = <р (0 и под¬
ставим вместо t его выражение через х, т. е.' / = г|) (х). Так как
Ф (’I’ (*)) = *> поскольку ф и взаимно обратные функции, мы
получим
F (х) = G (ф (х)),
что и доказывает теорему.
При применении этой теоремы выкладки записываются по
следующей схеме. Требуется вычислить j f (х) dx. Положим
х = ф (t). Тогда dx = ф' (/) dt. В результате формальной под¬
становки находим
J f (х) dx = J f (ф (0) Ф' (t)dt= j g (t) dt = G (t) + C.
«Возвращаясь к старой переменной», т. е. подставляя t -ф (лг),
получаем окончательный результат.
с Vx
Пример. Вычислить I -yj—'dx.
Используем подстановку х = t2 (считая t^0), которая позволяет
избавиться под знаком интеграла от корня. Тогда dx = 2t dt и
= 2J (/-1 +-_*_)<«= 2(-i-/a-/ + lnU+l|) + C =
= t2 — 2t -fin (t + 1)2 + C.
Г dt
(По поводу вычисления J --у см. замечание на стр. 39.)
Чтобы получить выражение найденного интеграла через х,
следует подставить t = Ух. Таким образом,
\~:У* dx = x — 2.Ух + \п (Yx + lf + C.
J Vx+l
Приведем еще примеры на применение способа замены пере¬
менной в обеих формах.
Сначала дадим некоторые обобщения формул VII и VIII ос¬
новной таблицы.
38
Рассмотрим интеграл
J - Г = I —(«>0).
(dx р dx
v^T^\*утц
Положим —■ = t, тогда х = at, dx = a dt,
J = Г — ”*** . = Г !■ dt ■ = arcsin t + С
J aKl-/! J V\—t*
(по табличной формуле VII).
Возвращаясь к старой переменной х, получим
J = arcsin — + С.
а
Итак,
VII'. Г , dx = arcsin — + С (а>0).
J Уа1 — о
Впредь этот интеграл тоже считаем табличным.
Рассмотрим далее интеграл
Полагаем = /, тогда х — at, dx = a dt,
j С adt I С dt 1 , , , n
J ~ J Ф (1 + t*) ~ ~a J 1 + ta — ~a 3rctg C
(по табличной формуле VIII). Возвращаясь к старой перемен¬
ной х, получим
J = -j- arctg -j- + С.
Итак,.
VIM'. arctg -£-+С (а ф 0).
Впредь этот интеграл также считаем табличным.
Замечание. Рассмотрим интеграл
J = | f(x + a)dx.
Полагая х + а = t, получим
J = J f(t)dt = F(t) + С — F (х + а) + С,
39
т. е., зная первообразну о F\t) для функции f {/), можно получить
первообразную для функции f (х + а) подстановкой t = х + а
в F (t). Впрочем к этг.му выводу можно прийти и в результате
непосредственной прор.ерки: F' (х + а) = / (х + а). Отсюда полу¬
чаем некоторые обобщения формул основной таблицы.
Например,
I'. + +С (|» + —1),
Легко получить и более общую формулу: если F — первообраз¬
ная для /, то
| / (Ял + a) dx = F (Ял: -+- а) + С (ХфО).
Выведем еще одну формулу, которую мы также присоединим
к табличным.
Рассмотрим интеграл
<“*°>-
Дробь можно представить в следующем виде:
1 * JL Г_1 1 1 .
X2 — a2 (х — а) (х + а) 2а [ х — а х + a J
Тогда
j 1 Г dx 1_ Г dx
2а J х — а 2а J х+ а *
По предыдущему замечанию интеграл равен
/ = -^ta|*-a|-^ln|* + a| + C =
2а
1 . I х — а
2 а I х + a
+ с.
Итак,
*• J^r = iln
х — а
х -j- а
-)- С (й ф 0).
Теперь наша таблица основных интегралов состоит из 10 фор¬
мул с некоторыми обобщениями.
Рассмотрим несколько примеров на применение формул VII',
VIII' и X.
1. Вычислить J = Г —7=М=-
J Vl — 5xa
dx
Приведем данный интеграл к интегралу вида k Г —гЛ
J V а*
где k — постоянный множитель, а затем воспользуемся форму¬
лой VII'. Для этой цели из данного подкоренного выражения вы¬
носим коэффициент 5, стоящий при — х2, тогда
j _ р dx р dx
J У5(т-‘‘) J
1 Л dx 1 • х I /*>
== —I —arcsin —+ С.
Vi
7
Здесь мы применили формулу VII', считая а2 = -j-, т. е.
а = |/-
Окончательно
J = —arcsin + С.
\Гь Vi
Тот же интеграл легко вычисляется и с помощью сделанного
выше замечания, точнее с помощью формулы
J f(hc)dx = -j-F(Kx) + C
(F — первообразная для /).
Именно
Г dx С dx 1
J J у7_(х ^5)2 VI
х 1^5 . п
Т arcsin -ф=- + С
(здесь Л = У^5).
2.y = J *•
2х2 + 5
Приведем данный интеграл к интегралу вида k ( , ,
J CL -j— X
где k — постоянный множитель, и воспользуемся формулой VIII'
2
1 р dx 1 р dx _
г] “2 j *+(ПГ
arclg т7Ж + С = УшarctgJ[ Vr + с-
41
Приведем данный интеграл к интегралу вида k J ,
где k — постоянный множитель, и воспользуемся формулой X
dx — — Г dX —
J =
(,-+) 'j
= 4- In
4 ^14
In
x+Y~r
х\Г7-2У2\
x У? + 2 |^2
+ с =
+ с.
Приведем еще несколько примеров на использование теоремы
о замене переменной под знаком интеграла.
4. У = J sin (Зх + 5) dx.
Положим Злг + 5 = t, тогда 3 dx = dt, dx = dt и
У = J sin / .-Y<lt = -j-(—cost) + С
(по формуле IV основной таблицы). Окончательно, возвращаясь
к старой переменной, имеем
J = —cos (Зх + 5) + С.
5. J= [-s-H
Подстановка 3 — 2х — t приводит к следующему:
— 2 dx = dt, dx = j-d/,
J-J#—
2
i/3 o_l
= —i-V+c=-fiS +c-
Окончательно получим
J =
6. J = lx(5x — 7)'°dx
J = — -|-f'(3 — 2xf + C.
42
Подынтегральная функция представляет собой произведение
двух сомножителей, один из которых стоит в первой степени,
другой — в пятидесятой. Здесь нерационально возводить второй
множитель в пятидесятую степень. Нужно сделать такую замену
переменной, чтббы двучлен, стоящий в высокой степени, превра-
с -г ^ t + 1
тился в одночлен, например, положим ох — 7 = t; тогда х = —g—,
dx = -^-dt и
J = \ Ч1Т'* “ ж J + 7,“>dt =
-4-(1'‘‘л + 7|'“л)=^-(-й- + 7тг)+с-
7' М TiTZ?**-
Если из подынтегральной функции выделить множитель х,
то оставшаяся ее часть будет зависеть лишь от х2, т. е. подынтег¬
ральное выражение имеет вид / (х2) xdx. Поэтому можно сделать
подстановку х2 = г; тогда 2х dx = dz и подынтегральное выраже¬
ние упрощается. Однако еще удобнее положить 2 + х2 = t,
тогда 2х dx = dt, х dx = -у dt и
; = 1t4(-7)+C=-W|+C'
Впрочем, если учесть сделанное выше замечание об интегралах
вида J f (х + a) dx, то и подстановка х2 = г будет нисколько не
сложнее.
8. J = J Зх cos (л:2 + 5) dx.
Аналогично примеру 7 произведем здесь следующую под¬
становку: х2 + 5 = t, тогда 2х dx = dt, х dx = -у dt. Следо¬
вательно,
J = J 3 cos t • -у dt = -у- sin t + С = -у- sin (х2 + 5) + С.
Заметим, что подынтегральную функцию можно представить
в виде произведения функции от х* и множителя дг3. Поэтому
43
удобно сделать подстановку л4 = /, тогда 4ха dx = dt и ха dx =
Следовательно,
2лс*
9 (**)а -
[* 2-—-dt
Tdx=z \ 9t2 — 4 =
1
18
<+4
+ С =
(здесь мы использовали формулу X, добавленную нами к основ¬
ной таблице).
10. J = J sin Зх cos Ъх dx.
При вычислении интегралов вида J sin ax cos fix dx удобно
пользоваться следующей формулой:
sin ax cos (k = -j- [sin (a + P) x + sin (a — P) x].
Тогда исходный интеграл перепишется в виде:
J = ~2~ J' [sin (3 -)- 5) х -f- sin (3 — 5) х] dx =
= -§- J sin 8л: dx -f- -Jp J sin (— 2x)dx =
= J sin8xdx ^ J sin 2xdx.
Полагая в первом интеграле 8х = t, во втором 2х — у, получим
J = -g- Jsinf—g-Л — у- J sin y-4;-dy =
= (— COS t) i- (— cos y) + c =
= — cos 8x + -j- cos 2x -j- C.
11. J =
I
dx
Vi +eix
44
Положим 2х — /. Тогда dx = dt
и
Далее, для того чтобы избавиться от иррациональности в подын¬
тегральном выражении, положим 1 + е* = г2, отсюда е* = г2 — 1,
В следующих двух примерах подынтегральные выражения
содержат корни вида У а2 — х2, Yа2 + х2 (а >0).. В таких
случаях бывает удобно заменить х на тригонометрическую функ¬
цию новой переменной с таким расчетом, чтобы избавиться от
корней. Например, в первом случае сделаем подстановку х =
= a sin t, тогда
а2 — х2 = а2 — a2 sin2 t = а2 (1 — sin2 t) — a2 cos2 t,
а тогда cos 13s 0).
При наличии под знаком интеграла корня Ya2 + х2 бывает
удобна подстановка х = a tg t; если же подынтегральная функция
содержит У х2 — а2, то иногда удается использовать подстановку
х = a sec t.
12. / = | j/a2—x2dx (a> 0).
Имеем x = a sin t, тогда dx = a cost dt
Чтобы избавиться от квадрата cos t, используем формулу
е* dt =s 2г dz, dt = t dz и
Va2 — x2 = a cos t
(не умаляя общности, можно считать, что 16
и
cos4 t — (1 + cos 2f), тогда
т т • х l/* л2
Но sin t =—, cos t = —— , а потому
J = -J- arc sin JL + ya*^72 + C.
13. У = Г - (a > 0).
J K(*2+a2)3
Положим дс = a tg Тогда дг2 + a2 = a2 (1 + tg2 /) = a2 sec2 / =
при этом считаем, что *б( jp, -f-). Далее,
COS'
Г>3
1/(д:2 + a2)3 = —^rr, dx = -rrjrr dt,
COS2 t
C€*t dt e j_ I cos^^ J_sln, + C>
cos3 /
Чтобы возвратиться к исходному Аргументу дг, заметим, что
sin / = tg * cos /, а так как tg t — —, cos t = у. :-а - ■ ■, то
6 6 а /*2+а2
sin / = * Окончательно имеем
Ух2 + а2
J = —, * + С.
a2Va2+x2
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
1. \(Vx + 2){2x — Vx + 3)dx; 2. jjdx, a> 0;
O f j„. Л f 1 + sin2* e P V2 + x2 — ]f2 — JC2
J 4- J cos2JC 5’ J ^4^3?
fi [ 5x+7 Hr- 7 f (3*+2)rf* . _ f x2 ,
6' J 5x+3 7- J 3*2 + 4*+3 ’ 8‘ J 2*2 + 5 “*•
9. Jxe dx; 10. J -pj===- d*; 11. J a2jea _j_ да dx, аф 0;
12. Г *_±L- dx; 13. f ,/.3x+'-<fcc; 14. j (2x + 3)7 x2 dx;
J Vx2-4 J ^5*2 + l J
15. |sln5xsin3xdx; 16. J ^ ^ dx\ 17. J cos»x' ^X’
18. f —— r-; 19. \ x y^9 — x2dx; 20. [ x2 У2 — x2 dx;
"■Ь=тет‘
46
§ 4. Интегрирование по частям
Другой часто применяемый способ вычисления интегралов —
интегрирование по частям, — основан на использовании формулы
для производной от произведения двух функций.
Пусть и и v — функции, имеющие непрерывные производные
и' и v’. Из формулы
(uv)' = и' v + uv'
следует, что произведение uv— первообразная для u'v + uv'.
Тем самым
J u’v dx + | uv' dx= uv + C,
откуда
J uv' dx — uv — J u'v dx
(постоянную С в правой части мы не пишем, поскольку туда
входит интеграл, а он уже содержит в себе произвольную постоян¬
ную). Это и есть формула интегрирования по ча¬
стям. Обычно эту формулу пишут в более сжатом виде, заменяя
v'dx через dv, а и' dx через du:
J и dv = uv — J v du. (3)
Эта формула позволяет свести вычисление одного интеграла
к вычислению другого, который может оказаться более простым.
Примеры. 1. Вычислить Jхе2хdx.
Если положить и = х, dv = е2* dx, то интеграл в правой
части формулы (3) окажётся проще, чем в левой. Действительно,
тогда du — dx, v = -j-e2x (в качестве v мы берем наиболее про¬
стую функцию, для которой dv = е2х dx, т. е. не включаем в со¬
став v произвольную постоянную). Подставляя в (3), находим
J хе2х dx = -у хе2х у J е2х dx.
Мы свели решение примера к вычислению такого интеграла, где
первообразная очевидна:
J e2xdx = ±e2x + C.
Следовательно,
J Xe2xdx = -Lxe2x-±e2x + C=e2x(±x-±.) + C.
Заметим, что если мы бы положили и = е2х, dv = х dx, то
формула (3) не привела бы к упрощению данного интеграла, так
47
как под знаком интеграла справа вместо х в первой степени по¬
явился бы множитель хъ.
2. Вычислить J хг cos х dx.
По тем же соображениям, что и в предыдущем примере, по¬
ложим и = ха (при дифференцировании этот множитель будет
упрощаться!), dv = cos х dx. Тогда du = 2х dx, v = sin x, и по
формуле (3)- находим
J x2cosxdx = x2sinA: — 2 j xsinjcdx.
Интеграл в правой части проще тем, что он содержит более низкую
степень х. Чтобы вычислить последний интеграл, применим
еще раз способ интегрирования по частям. С этой целью положим
и — х, dv = sin х dx. Тогда du — dx, v = —cos x, и по фор¬
муле (3)
Jxsinxdx = —xcosx + J cosxdx = —xcosje + sinx + C.
Подставляя этот результат в предыдущее равенство, получаем
J x2cosxdx = x2slnx -f- 2л:qosдс — 2sin* + С.
Заметим, что если для вычисления некоторого интеграла фор¬
мула интегрирования по частям применяется дважды, то нужно
следить, чтобы при втором применении этой формулы мы бы не
проделали в обратном порядке те выкладки, которые уже встре¬
тились на первом шаге. В противном случае мы придем к ничего
не дающему тождеству.
Поясним это замечание на следующем примере.
3. Вычислить jeax cos bxdx (a, b + 0).
Положим и = еах, dv = cos bx dx. Тогда du = aeax dx, v =
— ~y sin bx. По формуле (3)
J eax cos bxdx = -i- eax sin bx —~ J eax sin bxdx. (4)
Если для вычисления последнего интеграла положить и =
— sin bx, dv = еах dx, то произойдет то, против чего мы предо¬
стерегали. Рекомендуем читателю проделать все выкладки и убе¬
диться, что получится тождество
J еах cos bxdx = J еах cos bx dx.
Если же снова принять и — е?х, a dv = sin bx dx, то du =
— aeax dx, v — у cos bx, и формула (3) даст
j eax sin bx dx = yeaxcosbx + ~ J eax cos bx dx.
48
Подставляя в (4), получим
J еах cos bxdx = -у еах sin bx + еах cosbx — J еах cos bx dx.
В правой части оказался такой же интеграл, что и в левой. Од¬
нако последнее равенство следует рассматривать как уравнение;
где роль неизвестного играет искомый интеграл. Решая это урав¬
нение, мы найдем одну из первообразных (выкладки мы пропу¬
скаем), а окончательный ответ запишется так:
f ~ах„ЛО л„ „ах а сое Ьх + Ь sin bx . r
J в cos bx dx = в g2 i ^ •
Иногда к уравнению можно прийти и в результате однократного
применения формулы интегрирования по частям.
4. Вычислить J -Щ2- dx.
Положим ы = In х, dv = -Щ- . Тогда du = -Щ- , v — In х и
по формуле (3)
откуда
= xf+C.
Впрочем, данный интеграл легко вычисляется с помощью за¬
мены переменной, если положить z — In х.
5. Вычислить J =, J Ух2 + a dx (а Ф 0).
Применим формулу (3), полагая и = Vх% + a, dv = dx.
Тогда du = r х dx, v — х, следовательно,
V х3 + а
J = хУхй — а—Г dx. (5)
Y J Vx*+ а ' '
С х2
Займемся интегралом /1=1 ^dx. Числитель в ин¬
теграле представим в следующей форме: х2 = (х2 + а)—а, тогда
Л= [J*±^dx+ \—=?=-dx =
1 J Vx* + a J
= j У~^~+а dx — a j-p^==- = J — a In |x + Y*2 +a \ + С
(см. пример, приведенный в конце § 1).
Подставляя выражение для Jt в (5), получим уравнение отно¬
сительно J
J = xY+ a— [J — aln|x +)/ха + а\ + С].
4 Б. 3. Вулих и др. 49
Отсюда
J = -fa + In | x -f у дс2 + a | + С.
6. J = J xe0X cos bx dx.
Применим формулу (3), полагая и = х, dv = еах cos fa: dx.
Тогда du = dx, a v можно найти из примера 3, а именно
„ _ „ах a cos bx + b sin bx
a* + b*
Тем самым,
i a cos bx + b sin bx 1 (ax, , , . , . \ J
J = xe д2 + 62 да _|_ b2 J g (a cos 6*+ 6 sin бдс) dx =
a* a cos bx + b sin bx a С ax * j
= ** НГ+6* cosbxdx~
I eax sin bxdx.
Первый из интегралов справа вычислен в примере 3. Второй
может быть вычислен совершенно аналогично
[ f*sinbxdx = еах ?^bx-bcosbx _
J a* + b1
Подставляя в выражение' для J, получаем
^ = д2 £2 £ д2 _|_ f)2 ^ COS bx -j- b sin bx)
— g2 _^ y2- (a sin bx — b cos &x) j -f- C.
Дадим теперь некоторые общие указания по поводу применения
метода интегрирования по частям.
I. Интегралы вида
= | Р (дс) еах dx, J% — | Р (дс) sin bxdx, Jz = J P (дс) cos bx dx,
где P (дг) — полином, a, b — постоянные.
Для вычисления этих интегралов применяем формулу (3),
полагая и = Р (х) (за dv принимается вся остальная часть подын¬
тегрального выражения). Этот прием дает возможность постепенно
понижать степень полинома, стоящего под знаком интеграла.
Так, например, для Jг имеем: и = Р (х), dv = в** dx. Тогда
du = Р (х) dx, v = еах
50
и
л = -L волр W-4-Jе<1Л:р' <*>
Последовательно применяя формулу интегрирования по ча¬
стям столько раз, какова степень полинома Р, мы сведем вычис¬
ление данного интеграла Ji к вычислению интеграла J еах dx,
а этот последний находится моментально.
Приведем несколько примеров.
7. J = J х2 sin Зх dx.
Применим формулу (3), полагая и = х2, dv = sin Зх dx. При
этом du = 2х dx, v = cos Здг, тогда
1 2 Г
J = j- х2 cos Зх + -j- I х cos Злг dx —
= х2 cos Зх +
К интегралу Jг применим формулу (3), полагая и = х, dv =
= cos Зх dx. При этом du = dx, v — -у- sin Здг; тогда
J = х2 cos За: + -у (-у х sin Зх J sin Зх dx^ =
1 2 2
= х2 cos Зх + -д- х sin Зх + -yf cos Зх + С.
8. У = | Зх3ё~х* dx.
Сначала сделаем замену переменной, полагая —х2 = t; тогда
3 Г t
—2х dx = dt и J = -у I te dt. Далее применим формулу (3),
полагая и = t, dv = е* dt. Ьри этом du = dt, v = е*. Тогда
J=J e'dl] - 4- le‘--И+c=
= —^e'd-O+C,
где / = —x2, и окончательно
у=-4е_Л'(1 +*2)+с.
II. Интегрирование выражений, содержащих
одну из функций вида In / (х), arctg / (х), arcsin f (х),
arccos/^x), где /(х) — какая-нибудь рациональная или иррацио¬
нальная функция.
4* 51
Для вычисления рекомендуется применить формулу интегри¬
рования по частям (3). При этом за и следует принимать упо¬
мянутую выше функцию. Удастся ли, однако, довести вычисление
до конца, зависит от степени сложности всего подынтегрального
выражения в целом.
Для вычисления, например, J = j In / (х) dx полагаем и =
= In / (х), dv = dx. Тогда du = dx, v = хи J = х In/(х) —
— J dx = х la f (х) — Ju и мы свели задачу к вычисле¬
нию интеграла Jlt который может оказаться проще, чем J.
9. J — J YxarctgYxdx.
Полагаем и = arctg Ух, dv — Ух dx. При этом du = yqrj X
„ ^ О -3-
21Л*’ 0 — “з-*2, ТогДа
J = -f *Тarct6 V*'- X J TTT dx =
= AxT arctg —ГТЗ~)dx==
= -§- xT arctg Ух—|-(x —ln| 1 +x|) +C.
10. J= | x arccos x dx.
dx
Положим и = arccos x, dv — x dx. Отсюда du = :r—~ у.
VI — x*
v — x®, тогда
J = -§-x* arccos x + -i-J -p===-dx= -j- x* arccos x + j-У,.
Для вычисления удобно воспользоваться тригонометрической
подстановкой х — sin /, считая, что / 6 (—у, -у); тогда
dx = cos * dt, Yl — x2 = cos / и
= J = Jd< --г' --Tsto 2< + C-’
где t = arcsin x. Окончательно
J = -yx*arccosx -+• -j-arcsinx —\-*У 1 —xa -j- C.
11. J = J (In* x — 2 In x) dx = J ln*xdx —2 J 1пх^х = Л — 2J2.
52
Вычислим сначала Jlt для чего полагаем и = In* х, dv = dx.
Отсюда du = " dx, v — x, тогда — x In2 x — 2 J In x dx —
= x In* x — 2J 8. Следовательно, J = x In2 x — 4J 8.
Теперь для вычисления J г полагаем и = In х, dv — dx.
В этом случае du = v = х, тогда
/2 = х In х — j dx = х In x — x + С.
Окончательно
J — х (In* x — 41n x + 4) + С.
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
26. J (х3 + x)£*dx; 27. J x3cos (2x2)dx; 28. J x2 In (1 + x) dx;
29. J x* sin x cos x dx; 30. J x arcsin x dx; 31. J 2x sin [3 In 2x] dx;
32. Jxe2* sin 5x dx; 33. — я2 dx; 34. J ^ dx;
35. J In (x -f- У 16 -f x2) dx.
§ 5. Интегрирование дробно-рациональных
функций
Напомним, что дробно-рациональной функцией называется
функция вида
п /у\ _ Рт (х)
где Рт (х) — многочлен степени т, Qn (х) — многочлен степени п.
Р (х)
Если m 5* я, то дробь называется неправильной, если
_ . ч ЧП\Х)
jp... (х)
т<п, то дробь ' называется правильной.
Если R (х) оказывается неправильной рациональной дробью,
то мы всегда с помощью деления можем выделить из нее целую
часть, т. е. представить в виде
РЛ,\_ Рт(х) _ / Ч , Рк(х)
K{X)-^W-r{X) + Q^x)'
где k < п, г (х) — многочлен (это и есть целая часть от R (х)).
Например,
х1 — 2х* + Зх* — 4х* + Зле* — Здс* + 3* . — х* + 2х
(х — I)* (** + I)2 — Х + (х — 1)* (л:2 + 1)* *
53
Здесь
г (х) = дг, Рг (х) = —X2 + 2х, Qe (*) = (дг — I)2 (X2 + I)2.
Поскольку интеграл от целой части, т. е. от многочлена,
мы уже умеем вычислять, будем далее рассматривать правильную
рациональную дробь.
Из курса алгебры известна следующая теорема: всякий много¬
член с вещественными коэффициентами разлагается на линейные
двучлены и квадратные трехчлены с вещественными коэффициен¬
тами:
где kh lj (i =1, 2, . . ., г; / = 1, 2, . . ., s) — натуральные
числа, с, ai, ..., ar, рх, qlt . . ., ps, qs — вещественные числр,
alt . . ., а, — вещественные корни Q (х) кратности соответ¬
ственно ki, kit . . ., kr, трехчлены х2 4- р,х + <7/, /.= 1,
р)
. . ., s, не имеют вещественных корней,, т. е. -j qj < О,
j = 1, 2s. Комплексные корни трехчлена дг2 + р,х + qjt
/ = 1, . . ., s, являются комплексными корнями Q (ж) кратности
соответственно 1и 12, ■ ■ ls-
Не умаляя общности, можно считать коэффициент с при стар¬
шей степени х в Q (х) равным 1.
С помощью этой теоремы устанавливается теорема о разложении
правильной рациональной дроби, которая также, доказывается
в курсе алгебры. Приведем ее формулировку.
Теорема. Если
Л Р(Х)
дробь правильная.
Итак, пусть требуется вычислить интеграл
Q(x) = с(х — flj)*1 (д: —а2)*2... х
X (х — ar)kr (х2 + PiX + (7,)'1 (х2 -f- р2х + q2)‘2... х
X (х2 + psx + qs)‘s,
Q (х) = (х — aj)*1 (х — а2)*2 • • • X
X (* — аг)кг (х2 + pix + qi)'1 (х2 + р2х + </?)'2 • • • X
X (х2 + psx + qs)‘\
(6)
Г S
Е ki + 2 S 11 = n, где n — степень многочлена Q (x),
54
Р (X)
то каждая правильная дробь ^ | ^ может быть представлена
в виде суммы конечного числа дробей следующих двух видов:
а именно
(х-а)*
2> (г+рх + ,Г * Т-’<»■
р (х) At , Ащ _j J Ah
(7)
Q(х) x — ai~ (х — at)2 ^ ^ (* —ai)*‘
I ■ ^1 I ^2 1_ . . . _| ^*2 I I
х ^2 (■* я2)2 (* —а2)**
, Я1 , #2 | |
+ (х_вг). +••• + (х_вг)*, +
I Kix + Li | /Cg*+L2 , | KijX+L^
' хъ + Р\Х +Qi (*2 + pi* + Я\)2 (X2 + piX + qj1
■ Afxx+A^i . M2x+N2 Afy+W,
■г *2 + p2* + Яг 'Г (*2 + Рг* + Яг? ' " (х2 + р2х + fcs)'* ' ’ ’
I Н~ 7*1 _| RjX -\-Тг ^s* /о\
X2 +PsX + Qs (*2 + psX + 9s)2 ^2 _)_ ps^ _|_ fls)'s ’
^1» ^4 2» • • •» ^1* • • •> Hkr> ^1» • • •» tf/s>
некоторые вещественные числа.
Как видно из представления (8), простейшие дроби, на которые
распадается данная рациональная дробь, образуют группы,
соответствующие множителям в правой части равенства (6),
причем каждая такая группа содержит столько членов, какова
степень рассматриваемого множителя. Например, множителю
(х — a^k' соответствует группа дробей вида 1), стоящая в первой
строке формулы (8), а количество дробей в этой строке равно kx.
Множителю (дг2 + рхх + q^)1' соответствует группа дробей вида (2),
стоящая в четвертой строчке формулы (8), количество дробей в этой
строке равно /х.
Следует заметить, что в разложении конкретной дроби по
формуле (8) некоторые из коэффициентов могут оказаться рав¬
ными 0, и потому число слагаемых в каждой группе может ока¬
заться и меньше, чем соответствующий показатель кратности.
Р (х)
Пусть дробь : представлена в виде (8), где Alf А2, ...
W \х)
. . Risy Tt —некоторые неизвестные коэффициенты. Правую
часть равенства (8) приведем к общему знаменателю Q (х). Тогда
мы придем к равенству двух дробей с одинаковыми знаменателями.
Отбросив справа и слева знаменатели, приравниваем числители
55
левой; и правой частей. Это приводит к тождественному равенству
двух многочленов, причем в левой части стоит известный нам мно¬
гочлен Р.(х), а в правой-—многочлен с коэффициентами, выра¬
жающимися через неизвестные Аи А2, . . ., Ris, *. Как из¬
вестно из курса высшей алгебры, два многочлена равны тожде-
ственко тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты
при одинаковых степенях х. Сравнивая коэффициенты при оди¬
наковых степенях х, приходим к системе уравнений, из которой
единственным образом определяются Alt А2, . . ., Rls, Tt$.
Рассмотрим правильную дробь из приведенного выше примера:
дг2 ■ 2jf
(* — I)2 (х3 + I)* • ^та ДР°бь, согласно (8) может быть представ¬
лена так:
*2 — 2х _ At | At . + , Мгx+N2
(x — l)2 (*2 + l)2 — jc —1 + (л:— l)2 "1_ x*+l ^ (*2 + l)2 ’
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, полу¬
чим
*2 _ 2х = Ах (х — 1) (х2 + I)2 + А2 (х2 + I)2 +
+ (MlX + f/J (х - l)2 (х2 + 1) + (Мгх + N2) (х ^ I)2.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,х, получим
следующую систему для отыскания неизвестных коэффициентов:
х*: 0 = Ai + Mlt
х*: 0 = -Лх + А2- 2Му -Н Nlt
х3: 0 = 2ЛХ + 2 — 2 Nx + М2,
х2: 1 = — 2АУ + 2Л2 - 2М1 + 2Ny ^ 2Мй + Nit
х: —2 = А1 + М1 — 2Ni + М2 — 2 Nt,
дг°: 0 = —Аг + А2 + + N2.
В этой таблице слева указано, за счет какой степени х полу¬
чено соответствующее уравнение. Последняя строка, отмеченная х®,
получена за счет приравнивания свободных членов.
Решение системы дает
Аг = 4~> А* = -~Г’ Л*1 =—т>
М2=-±, iV2= 1.
♦ Это равенство очевидно при х Ф аи а2, . . аг, но тогда по непрерыв¬
ности многочленов оно справедливо и в точках аи с^, • • <*г-
56
Итак,
_l_ i_
x2 — 2x 2 . 4 .
(* — l)a (*2 + l)2 x—l ‘ (* — l)a
1 1 1 , ,
. 2 x 4 . 2 * +
■*" x» + l + (ха + 1)а '
Рассмотрим вопрос об интегрировании дробей типов 1), 2)
(см. формулы (7)).
1) а) При k = 1 имеем
J YZTZdx = Aln\x — а\ + С,
б) при k = 2, 3, ... имеем
г a fa-л <*-а>~*+1 I г
J (х-а? -*+1 +
Эти результаты совершенно очевидны.
2) а) При / = 1 имеем
J *а + рл: + <7
Представим числитель подынтегральной функции в следующем
виде:
Мх + N = Ц. (2* + р) + (N.
Тогда
у f 2х_±Р dx -\- (N f
2 J *а+рж + </ ах^ 2))x* + px + q'
В первом интеграле в числителе стоит производная знаменателя,
поэтому здесь удобно сделать подстановку х* + рх + q — t и
J *2 dx = | -j- = In | /1 -f- С = In (x2 + px 4- Я) + С.
Второй интеграл приводится к табличному интегралу вида VIIГ
(см. § 3)
1:
dx 1 Х+~Т
arctg —. + С.
(*+4-)’+(’-■?) V^-т-
(Здесь q j->o).
57
* V 4q — р2 V 4q — р*
б) Рассмотрим интеграл J = \ J*x + N dx п ^ _ 2>
J (х +px + q)1
3, . . .
Преобразуем числитель подынтегрального выражения так же,
как и в пункте а):
Мх + N = Ц- (2х + р) + (N - If-),
тогда
j = А1 I 2х + Р л~ j_ / а/ _ Мр \[ dx
2 j (x* + px + qydx+{N М2 tf+px+qy-
_ M_ Г dj* + px+q) . _ _Мр\ Г d{X+~r)
-.j +1 - .JJ[(, + +). + (f_^y
02+«2)i>
где / = х + -|-, a2 = q — .
Чтобы довести это вычисление до конца, рассмотрим интеграл
•'““J-iFW (»=!• 2. •••)•
Применим к УЛ формулу интегрирования по частям, полагая
U = (/2 a2J/| » ^ ==
Тогда
dU — (/2 _|_а2)Л + 1 v = t*
следовательно,
^ с t2
^п = (t* + а2)” J (/2 + а2)"*1 dt"
Представим числитель подынтегрального выражения t'1 в виде
t2 = (/* + а2) — а2 и разобьем последний интеграл на сумму
58
двух интегралов; тогда получим
* , о- Г + Л, . оЛ -я2
t Г t2 4" Я2 f CL i
Jn = (Г1+а2 )П + 2П J (^2 + а2)Л+1 dt+2fl] (,2 + а2)Л+1 “t =
= (£2 _|_ а2^п Ь 2АДО «/Л+1»
т. е.
отсюда
^2 _j_ а2yi 4” 2tlQ2Jn+i,
Лт = g [^а2)я + (2я - 1) /„] (л=1, 2, ...). (9)
Формула (9) позволяет свести вычисление Jn+1 к вычислению Jn.
В. свою очередь вычисление Jn по этой же формуле (9) сводится
к вычислению Jn_x и т. п. В конце концов мы дойдем до интег¬
рала Ji, а этот интеграл нам хорошо известен
А = J /2 + аа = — arctg — + С-
В результате будет вычислен и Jn+1.
Формулы такого типа, как (9), называются рекуррентными
Итак, мы указали метод, с помощью которого интеграл от лю
бой рациональной функции может быть выражен через элемен
тарные функции: рациональные, логарифмические и арктангенс
В качестве примера вернемся к ранее рассмотренной неправиль
ной дроби
, f х7 — 2х» + Зхъ — 4х* + Зх3 — Зх2 + Зх .
y=J (*-!)* (^+1)2 —dx-
Используя найденные выше разложения, получаем
х7 — 2хв + Зхь — 4х4 + Зх3 — Зх2 + 3* ^ х2 — 2х
(X — I)3 (*2 +1)2 ~ ^ (JC — 1)2 (X2 + 1)2
1.1 1
1 1. 2* 4,2*""
~ х "оТТЗПТ ТТПГпа Н *2 _l i Н
2 (х — 1) 1 4 (jc — l)2 1 х2 + 1 п (*2 + 1)2
Следовательно,
rj7*T+TfT^IF +
llf2*+l.llf* —2, 1 2
+ 4 J х2 + 1 dx 2 J (х2 + I)2 dx — ~ТХ ~~
~2~ In I х И 4(х— 1) "Ь “4" (х3 + 1) +
+4-arctg*-T^l+1)
59
где А = | (ха^|)8; У а найдем по формуле (9) при п = 1 и а = 1:
J*= ~Т (f+T + Jl) = Т {ifiTi + J 3J*Tl) =
= 2(ха + 1) ~2 arct6* + С.
Итак,
J = 4~х2 — X ln Iх _ 11 — 4 (х -1) + ~Г 1п <*2 + 1 > —
— ~4~ arctg X 4 (JC2 + 1) 2(х*+ 1) + С'
Замечание. Если Q (дг) = (х — аг) (х — а2). . .(х — а*),
где а1( а8, . . ., ак — вещественные различные корни Q (х),
то коэффициенты Alt Аг, . . ., Ak разложения правильной дроби
Р (х) А% | А% | | Ak /j/\\
-Ш-1г=ъ; + -7=^+ •••+ттчг <10)
находятся по формулам
л =
' (ai - °i) (в< ~ аа) • • • (ai ~ ai-1) (в/ “ ат) •••(«/- «*)
= Q'(a,) ({ ==1>‘2, . . ., k). (11)
Действительно, приводя правую часть формулы (10) к об¬
щему знаменателю, получаем
Р(х)
QW-
= — ааН*~ аг)'"{х — а«) + ••• +
+ А, (х — aj • • • (х — a,_j) (х -ам)---(х — аК) +
+ • • • + Ак (х — О])' "(х — a,t_i)}.
Отбрасывая знаменатели и полагая х = а<, получим
Р (а() = At (at — aj) (at — ай)- • ■ (a, — af_i) (a{ — ai+i)- • • (a, — a*),
(i = l,2,...,fe).
С другой стороны,
Q' (x) = (x — a2)- • • (* — ak) 4 + (x — a^- • • (* — «/_i) X
X (x — a[+i)• ••(* — a*) + •• • +(x-al)-■ (x—ak-\),
отсюда
Q' (a,) = (at — a1)-- (a, — a*_i) (a, — a,+i) • • • (a* — «*)»
0-1,2,...,*).
Тем самым формула (11) доказана.
6a
Вообще, если Q (х) имеет вещественные корни а/ (t = 1, 2,
. . ., kj хотя бы и кратные, то при нахождении коэффициентов
разложения полезно подставить х = а{ в то равенство многочленов,
которое получается из (8) после приведения к общему знаменателю.
При этом удается определить некоторые из коэффициентов раз¬
ложения, а система уравнений для нахождения остальных коэффи¬
циентов будет проще, чем в общем случае (см. ниже, пример 2).
Примеры
1. Вычислить J = \x$±j)$±2)dx'
Сначала выделим целую часть дроби
** + **+! _ х + . 5х\+ 1
х(х — 2)(х + 2) 1 х(х — 2)(х + 2)
Затем правильную дробь разложим на простейшие дроби:
5*» + 1 Лх , Л, ■ А3
х(х — 2) (* + 2) х * х — 2 ' х-\-2'
Используем формулу (11) и сразу получаем
л . 50+1 1_ . 21 А 21
Л1— (0—2) (0 + 2)— 4’ 2 8’ 8*
Итак,
J—L С — С —
+ J X=2dx+J x + 2dX~
21
= ^-х2 —j- In | дс | + ^ In | дс — 2| 1° I * + 21 + C.
2 j f —
J ~ J x(x — l)(jt»— x+ l)a •
Подынтегральное выражение представляет собой правильную
дробь, поэтому можно сразу написать ее разложение на простей¬
шие дроби
1 А\ , А% , М\Х -f- N\ , М$х +
х(х — 1) (х2 — х -f" 1)а х "• х — 1 ' *2 — х+ 1 ' (х2 — х-\- I)2 *
Отсюда
1 = Аг (х — 1) (хг — х + I)2 + А2х (х2 — х + I)2 +
+ (Мгх + NJ х(х—1) (.х* — * + 1) + (М2х + W*) х (х — 1).
Полагая х = 0, находим Аг
1 = Лх (-1) + 0, А, = -1.
Полагая х = 1, находим А2
1 = 0 + Л 8 • 1 +0, А 2 = 1 •
Для определения оставшихся четырех коэффициентов
составим систему из четырех уравнений:
jc8: 0 = Ai -Ь Л j -Ь М.1,
х*: 0 = —3Аг — 2А2 + N1 — 2Mlt
х3: 0 = 5ЛХ + ЗЛ2 + 2Мг — 2JVX + М2,
Х2; о = —5Лх — 2А2 — Мх + 2Nx + Wa — Af2.
Из этих уравнений последовательно находим Мг = 0, = —1,
М2 = О, N2 = -1.
Итак,
— 1
~ 1
dx =
2 . 2jc — 1
~Vf агс1еТГ
где через /2 обозначен последний интеграл.
Для вычисления J2 сделаем замену переменной х у
и воспользуемся рекуррентным соотношением (9)
= t
dt
t* +
(!?)7
t
77T + PTarctfW'l+c=
1 2л: — 1
3 x+ 1
Подставляя выражение для J2 в J, получим
J — In
x — l
10 , 2x—\ 1 2x — 1 . n
~ wtarct«-vr -r *=7+T + c
V3
Заметим, что в написанной выше системе уравнений последнее
уравнение было бы немного проще, если бы мы приравняли коэф¬
фициенты при х в 1-й степени
3. Мт*=ТТ
-Jt2+ 1
(д;2 _ !) (*2 + 4) (*2 __ 2)
dx,
р (х)
Если дробь п ) : представляет собой четную функцию от х,
Ц \Х)
то удобно при ее разложении на простейшие дроби (только при
62
разложении!) положить х2 = t. Тогда
x*-x* + l fl-t+ 1 _ At . А, . At
"(х2 — 1) (х2 + 4) (х2 — 2) “ (t — 1) (< + 4) (/ — 2) t - 1 1" t + 4 "Г /-2‘
Коэффициенты Аи А2 и А3 вычисляем с помощью формулы (11)
Ai= §■> = То’ ^3 = 2 '
Отсюда
7_ \_
х* — х* + 1 _ 5 . 10 . 2
(дга — 1) (JC* + 4) (жа — 2) х2 — 1 “г *« + 4 "г д:2 —2
И
ж 1 Г dx I 7 Г dx . 1 С dx
5 J дс2 — 1 ' ТО J х2 + 4 ' 2 J х2 — 2 ~
lAFT
+ с.
1 , 1х—II .7 , х . 1 , х — У~2
= -i0ln|j+T|+^arctg2+7Frln
х+^2
Сначала применим формулу интегрирования по частям, по-
dx 2х
лагая и = In (х2 + 1), dv = (Х _2х)3 • Тогда du = dx, v =
4(1 — 2х)4 “
, _ In (X2 + 1) _ 1_ Г х , _
4(1 — 2ж)а 2 J (1 — 2х)2 (х2 + 1) ил~
1п(х2+1) 1 ,
— 4П —2x^2 8 *•
4(1 — 2х)2
х
“Г
I х-
Интеграл dx находим, предварительно
т) +
разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби:
х Аг _|_ Аг , Мх +■ W
(x-i)V+l) x-i- (x-i)2
Отсюда
х = Ах(х — ^) (дс2 + 1) + А2(хг + 1) + (Мх + N) (дс — i-)2. (12)
Положим х =£, тогда ^ = А2 [(i-)2 + 1J , Л2 = |.
63
Иногда при нахождении искомых коэффициентов удобно ис¬
пользовать комплексные корни полинома Q (х). В данном* случае
из уравнения х2 + 1 = 0 находим его корни х = ±i. Используя,
например, х — i и подставляя его в равенство (12), получаем
i = (Mi + N)(i-1)2
ИЛИ
i = (Ml + N) ( - 1 -*ч4) = (Mi + N) (-|-*),
т. e.
Приравнивая теперь вещественные и мнимые части слева и справа,
составим систему уравнений для определения М и N
o = m~In.
1 =
А4 12 16
откуда М = —25, N = —25•
Осталось найти Av Можно, например, приравнять в (12)
коэффициенты при старшей степени х, т. е. при х9: 0 = А1л+ М;
откуда Аг = —М
Итак,
и окончательно получим
1 _ 1П (*4 + 1) | 1 _3 I , п til
+ 10 (2х— 1) 501п'^ 1 +
64
+ Шо1п + + §5arctg* + С•
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
ос f Зле2 + 17* + 2 , 07 f *2 + х + 2 -
J (х—\)(х + 2)(х + 3) ах' J (*» —4* + 3)(** + 4* + 5)
оо f Зх -j-Б 1 oq Г *4 2дс2 + 2 «
J (x2 + 2* + 2)2 OVe J (jc2 — 2*+2)2 а*’
§ 6. Метод Остроградского *
(выделение рациональной части интеграла)
Р (х)
Пусть имеется правильная рациональная дробь где
многочлен Q (х) представлен по формуле (6). Запишем Q (х) в виде
Q (дг) = Qt (дс) Q2 (*)> где Qa (*) содержит каждый множитель
из Q (х) в первой степени, a Qx = ^-, т. е.
Q2 (*) = (x — a^ix — a^)- • -(дс —аг)(дс2 + ^)-• -(x2+psx + qs),
Qi (x) — (x — ai)*,_1 (x — a2)*1_1 • • • (дс — ar)kr~l x
x (x2 + PlX + <?i)'1_1 •••(*■+ PsX + <7s) 's-1.
М. В. Остроградский предложил следующую формулу для
вычисления интеграла от правильной рациональной дроби:
Г Р (*) Ах _ Р1 (*) | Г Pj (Х) . /104
J Q (дг)- Qt (*) + J Q2 (*) (lc5)
где Pt (x) — многочлен с неопределенными коэффициентами,
степень которого на единицу ниже степени Qx (дг), Р2 (х) — мно¬
гочлен с неопределенными коэффициентами, степень которого
на единицу ниже степени Q2 (дс). Дифференцируя обе части ра¬
венства (13), находим
Р _ Г^1 V , Р2 _ piQl - PlQ'i , Р2
Q=L$TJ +%=—Q? +q7 =
P[<U-Pi^- + PAi
= Ш
* М. В. Остроградский (1801—1861) — русский математик.
5 Б. 3. Вулвх в др.
65
т. е.
QiQa
р P'lQn-Pi-bT + PA 1
<Г ” Q
(И)
Нетрудно проверить, что-^ — многочлен, т. е. Q[Q2 делится
на Qj без остатка.
Имеем
P=PiQa_Pi^ + Pi!Ql. (15)
Получено равенство двух многочленов. Сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х, приходим к системе уравнений,
из которой единственным образом определяются неопределенные
коэффициенты, входящие в Рх (х) и Р2(х).
Замечание 1. Так как для окончательного вычисления
интеграла необходимо еще проинтегрировать дробь коэф-
V2 (Х)
фициенты многочлена Рг (х) фактически нет необходимости вы-
Р (X)
числять. Удобнее дробь сразу же записать в виде суммы
V2 \х)
простейших дробей, т. е. в виде
Рг Iх) _ --^l I . ' ' . Нг . Мус -(- Nt I
Q2(х) x — at~'rx — ai'’'''x — ar' х2 -f Pi* + Чг
-I- ... -I- fo*
_r _r x2 + psx + <7S ’
и находить коэффициенты Alt Blt . . ., Rt, Tt (см. пример, при¬
веденный ниже).
Замечание 2. Заметим, что многочлен Qx (дг) представ¬
ляет собой общий наибольший делитель многочленов Q (х) и
Q' (дг) (так как каждый кратный корень многочлена Q (х) является
корнем Q' (дг) кратности на единицу меньшей), поэтому Qx (х)
может быть найден без отыскания корней многочлена Q (х), а
Qa (х) — п > т- е. также вычисляется элементарно. Остается
v1 w
найти только корни Qa (л:), причем эти корни простые.
Замечание 3. Формулой Остроградского удобно поль¬
зоваться тогда, когда у Q (х) есть корни высокой кратности.
По сравнению с общим методом разложения дроби на простейшие
формула Остроградского дает особенно большую экономию вы¬
числений тогда, когда разложение Q (л-) содержит трехчлены
х2 + рх + q в высоких степенях.
Пример. Вычислить J = J ц3--
66
По методу Остроградского получаем
j - (*) г f (х) Иг =
^ (х4 — I)2 ^ J (х— !)(*+ 1)(*а+ 1) ЫЛ
ах* + bxfi + сх6 + dx* + ex3 + fx2 + gx + h .
~ (x*— l)2 "■
В результате дифференцирования имеем
1 Г ах7 + Ьхв + схъ + dx4 + ex3 + fx2 + gx + h 1'
x* — l)3 ~ L (x*— l)2 J "i“
(x*
_A . В , Mx + N
X — 1+x+l r 1
или
1 = (7ax9 + 6bx5 + 5cx* + 4dx3 + 3ex2 + 2fx + g) (x* — 1) —
— {ax’ + bx6 + схъ + dxi + ex3 + fx2 + gx + h) 8л:8 +
+ [A (x + 1) (x2 + 1) + В (x - 1) (л:2 + 1) + (Mx + N) X
X (x2 — 1)] (x4 — l)a. (16)
Полагая x = 1, получим
1 = _8 (a +b + c + d + e + f+g+h).
Полагая x = —1, получим
1 = 8 (—a + b — с + d — e + f — g + A).
Полагая x — i, приравнивая вещественные и мнимые части
слева и справа, получим еще два уравнения
а — с + е — g = j,
—b -I- d — f -)- h — 0.
Из первых двух уравнений имеем
b+d + f + h = 0, a+c + e-|-g = —g-.
Рассмотрим системы
bdfh = 0 1
-b+i-l + h = о)’
5* 67
и
a+c+e+g= —g-
a — c + e — g = g-
, откуда
c + g=-j.
a + e = 0,
Далее будем сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х
в равенстве (16):
х11: 0 = А + В +. М, А + В + М = 0,
хi°: 0 = 7a — 8а + Л — В + N, А — В + N = а,
х9: 0 = 66 — 86 + А + В — М, А + В — М = 26»
х°: 1 = —g + А — В — N, А — В — N = 1 + g,
*3; о = —4d 8h + А + В -f М, 4d = —8h, d = —2h,
x1: 0 = — 2f + A + В — M, A + В — M = 2f,
х2: 0 = —Зе + А — В + N, А — В + N = Зе,
х*: 0 = — 5c + g — 8g — 2(A—B—N),A — B — N = — 5с + 7^.
Решая систему, найдем
В этом параграфе мы ограничимся одним примером для упраж¬
нений.
42. Вычислить
Хотя общий прием, разобранный в § 5, а также и метод Ост¬
роградского применимы к любым дробно-рациональным функ¬
циям, однако в отдельных случаях можно рекомендовать более
удобные приемы интегрирования. Некоторые из таких приемов
мы и изложим в этом параграфе.
ft = d = 6= / = e = a = 0,
с = 1- а- -И А — —
с 32’ ® 32’ ~ 128’
и, окончательно,
J =
§ 7. Некоторые специальные приемы
интегрирования дробно-рациональных функций
68
I) Для интегралов вида J = J (jC _ a)m (Х _ £)п > где т'> п ~
натуральные числа, а Ф Ь, рекомендуем подстановку г = •
Рассмотрим несколько примеров.
1. Вычислить / = J(,--2-^+1)2-
— х — 2 ,3 1 1 —2
Полагаем г = , отсюда 1 — jq-j = г, -^Ti ~ Т~ >
1 -
(7+1)5 = 3 тогда
/_ С 1 1 ’ Л — f 1 /1—Л3<**_
J (*~2)3 * (jc + I)3 * (лг + I)2 J г3 V 3 / 3 _
-ija-o’—Aj(i-?+j-0A-
“п(— 23 + ! + 3|п1г1 —г)+с==
= п[-И^1)г+3Ш + 3|п|--Тт|-гТ1]+с-
г- М
Постараемся свести данный интеграл к интегралам предыду¬
щего вида. С этой целью удобно сначала числитель подынтеграль¬
ного выражения представить, например, так:
5*а + бдг + 9 = 5 (х — З)8 + 36 (х — 3) + 72
и разбить интеграл на сумму трех интегралов:
, Г 5(*-3)» + 36(*-3) + 72
J (JC — З)2 (ЛГ + 1)» ил~
= Г 5(дс — З)2 d Г 36 (*-3)
J (х — З)2 (х + l)s UX ^ J (х — 3)а (х +'1)з ах ^
+ I (х — З)2 (дс + I)3 dx = 5 1 (* + 1)» +
+ 36 I (* —3)(* + 1)» + 72 1 (х — 3)2(jc+1)» =
~ ~ 2 (х + I)2 + 36^ + 72*^-
69
Для вычисления Л и применим предыдущий прием. По-
' ' ' _1 = _1_
х — 3 4
= т- dz и
4
1 dx ___ 1 р г2 — 2г+1 ^ __
J±1 )W <*-«■ «
= —'ёг(1п|21 + 2?") +С>
* + 1
г3
а:— 3 *
х -4- 1
Вычислим J2, применяя ту же подстановку г = »; тогда
х — о
, _ С 1 dx _ 1 р г3 — 3га + 3г — 1 А _
“J - *■
= 256” (Z — 3 ln lzl — 2Г + 2^) + С*
*+ 1
где снова г = —Цт-.
X — О
Подставляя выражения для Jlt J2 в У, получим
5 9 jc*+- 1 9 * — 3 .
/= —
2(JC + I)2 32 * —3 32 * + 1
j !L f х 3 \2 _L_ 9 in I * + * I I г
+ 64 \ л: + 1 ) + 32 Ш | л; - 3 I + С‘
С хп
II) Рассмотрим интеграл вида J = \ -j— r}dx, где тг
J \Х -j- и)
п, г — натуральные числа, г ^ 2.
а) Если я т, то применяем формулу интегрирования по
xrn~ 1
частям, полагая и = хп~т+х, dv = ^ т_^_ ьу ^х- В результате
такого интегрирования мы придем к интегралу, у которого сте¬
пень двучлена в знаменателе понизится на единицу.
Если при этом степень#числителя все же будет не ниже, чем т.,
то еще раз повторим изложенный прием и действуем так до тех
пор, пока или степень числителя не окажется меньше т, или
показатель г не станет равным единице. При г = 1 применяем
разложение на простейшие дроби.
б) Если п < т — 1, то применяем подстановку х = и
после этого оказываемся в условиях пункта а). Если же п = т. — 1,
то интеграл вычисляется совершенно элементарно с помощью под¬
становки t = хт + Ь.
70
• " J (jc3 H- 1 )3 dX'
Положим и = x2, dv = ця dx. Тогда du = %x dx, 0 =
, отсюда
6(*з + 1)2
*2 1 Г X X2 1
^ = _ 6 (X8 + l)2 + T J (*» + l)2 dX ~ ~ 6(*» + I)2 +T*/l-
Вычислим Jlt применяя подстановку x = -j- ; получим =
Г 23
= — J (гз_|_ dz. Для вычисления полученного интеграла при¬
меним формулу интегрирования по частям, полагая и = z, dv =
-2 J
dz. Тогда du = dz, v = — j-r3 и
(гз + 1)2 - 3 (г3 rj-1)
, _ г If dz _ г 1 т
1_ 3(г8 + 1) 3 J г»+1 — 3(г=>+1) 3 2‘
J 2 вычислим с помощью разложения подынтегральной функции
на простейшие дроби
г — Г dz — f dz — [ \ А I Mz + N 1 .
*'2_ J г’+ 1 “ J (г + 1)(гг-г + 1)- J [* + 1 г*-г + 1 J ог‘
Определим Л, М, N из тождества
1 = A (za — г + 1) + (Мг + N) (г + 1).
При z = —1 найдем А = \ М и N находим, решая систему
з
0 = А + М,
1 = А + N
1 2
откуда М = т- , N = -s-. Тогда
:)
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
/|Ч f лл Г 7х2 + 8х+9 j лс ( ** л~
J (*2 —Зх + 2)3 ; J (х — 2)3 (* + 3)2 ’ J (х2 — 5)4
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных
функций
Во многих случаях интегрирование выражений, содержащих
иррациональные функции, с помощью надлежащим образом вы¬
бранных подстановок удается свести к интегрированию рациональ¬
ных функций. Этот Арием называют рационализацией подынтег¬
рального выражения.
I) И н т е г р ирование выражений вида
R (ж, ~|/ , где R — рациональная функция двух аргумен¬
тов,* т — натуральное число, а, р, у, 6 — постоянные.
Рационализация подынтегрального выражения достигается
подстановкой
-р/ „ЛИ х =
Г у* + о Y* + ° а — у t
Действительно, из написанных формул видно, что х, а вместе
с ним и dx, выражаются через t рационально.
Если подынтегральная функция имеет вид
где R — рациональная функция аргументов х, ( У >
('у+ 6 )*» • • •’ ('v*+б У' а числа r,s /— рациональные,
* Рациональной функцией двух аргументов называется функция вида
р
R (*» У) = п/ у » гДе Р (х» У)> Q (*» У) —* полиномы от х, у, т. е. суммы
к
вида J] ck jXkyl, где число слагаемых конечно.
то показатели г, s, . . ., t приводят к общему знаменателю. Пусть
это будет т. Тогда все радикалы, входящие в подынтегральную
fa I о
^ , и данный интеграл
сводится к интегралу рассмотренного выше вида
где Ri — некоторая новая рациональная функция.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Вычислить / = Г —; — »—г.
J x(l + 2Vx + pi)
Здесь дробь равна х, т. е. a = 6 = 1, р = у = 0. Так
J. j _ J. j
как У~х = х2 , у х = хг3 , а общий знаменатель дробей -g- и
есть 6, то рационализация подынтегрального выражения до-
б
стигается подстановкой Vх — t, откуда х = /в, dx = dt,
Vx = ts, i/~x = t2. Тогда
j _ f dx fi p dt
J х{1+2ТГх + &) /(Ц-^ + 2/з)
__ c (* dt q .л dt
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби
1 А ■ В . Mt+N
+ + * '+1 ‘2—Т* + Т
Отсюда
1 =Mt.+ !>(<*—r< + 4)+e'(,,—r<+-r) +
+ (Mt+N)t(t+ 1).
Полагая / = 0, получим А — 2; полагая t = —1, получим
В = — y . М и N найдем из следующей системы:
t* : 0 = А + В + М,
t: 0 = 4-Л TA + -TB + N>
73
а именно М = 1- , W . Итак,
У = 3 1 I 4- X , ~ 2 *+т-
"ж+;
+ 1 ' ,!-5-'+Т
-|-i"l' + i|-H /ТУ .<«—Г
/2—— / + — w ) (t—L\2 + _Z_
2 2 «У \ 4/16
= 61ПИ-4- in\t+i\—^in(p-4- *+4-)-
3 =- arctg 4< -1 + C,
2 ^7 1^7
Д
2. Вычислить У = J Ь-l- ~ ~ ? dx.
где вместо t нужно подставить Ух.
Vx+1 + Vx-l
Разделив числитель и знаменатель подынтегрального выраже-
V^j-i
ния, например, на Y'X—1» получим дробь * , т. е.
У £{+'
функцию вида R (Уjirj) ■ Положим I = У| , откуда
* + 1 _ /2 1 I 2 _ & — /2 1 х I _ £
д._1—f, JC_i-f ’ 1 1 ’
х = -jrzri’ dL Тогда
J = j Т+Т' (*а — I)2 dt = — 4 \ (/_!)(/ + 1)3 dt.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби
t А . Bi . В2 , В3
(t — 1) (/ + I)3 — t — 1 ”*■ t+ \ "Г" (( + l)2 ~r (t + l)s ’
отсюда
t = A (t+ l)s + Bx (t - 1) (/ + l)2 + B2 (t - 1) (/ +1) +
+ Bs(t- !)•
При t = 1 найдем A =-g- , при t = —1 найдем B3 = -y • Коэф¬
фициенты Blt B2 найдем из следующей системы:
t*: О = А + В1г
t°: 0 = Л — Br — 5а — В3,
74
а именно Вг = —g- , В2 = — -j-. Тогда
4Лт=Т+7+Т
_1_ J_
4 , 2
А =
(/ + 1)2 ^ (/+1)*
= ^ In К — 11 + In |< + 11 —+ (t + 1)2 + С =
= iln
t- 1 | (/ + 1)2
где вместо t нужно подставить |/^* ^ |.
II) Интегрирование биномных ди ф"ф ерен-
ц и а л о в, т. е. выражений вида хт (а + bxn)p dx, где т, п,
р — рациональные числа, а, b — любые постоянные.
Укажем приемы рационализации биномного дифференциала.
1) Если р — целое, а А, — общий знаменатель дробей тип,
то рационализация достигается подстановкой х = tx (или хк = t)
(см. I).
2) Если же р — дробное, то проводим следующие преоб¬
разования: полагаем хп = г; тогда
, (—-i) Л
dz = пхп~х dx, dx = — z dz, xm = z n
’ n ’
j* xm (a + bxn)p dx = -i- J 2 n (a + bz)p zn 1 dz =
1 f l f
= — J (a + bz)p 2 " dz = — j (a + bz)p zi dz,
где q — —+1— 1. Если при этом окажется, что q целое,
т. е. 1 целое, то рационализация подынтегрального выражения
достигается подстановкой а + bz = tx, где % — знаменатель
числа р (см. I). Иными словами, применяется подстановка а +
+ Ьхп = tK.
3) Пусть теперь оба числа р и q не целые. В этом случае из
равенства
(а + bz)pz4dz = (-а Ьг у zp+q dz
сразу видно, что если р + q целое, т. е. р + т^~1 целое, то
рационализация подынтегрального выражения достигается под-
75
становкой а~^Ьг — tx, т. е. ах~п + b = tK, где к — опять зна¬
менатель числа р.
П. Л. Чебышевым было доказано, что только в этих
трех случаях, т.. е. если одно из чисел р, ■т+1 или р +
+ —£—• целое, интеграл от биномного дифференциала выражается
в виде элементарных функций.
Рассмотрим несколько примеров.
3. f —±==dx= Г^(1+Д)-Т
JVl+fc5' J
dx.
2 1
Имеем т = 1, п — , р = —Таким образом, мы нахо-
2 2
димся в условиях случая 2). Полагаем 1 + х3 = t2 или х3 =
2 --
= /2 — 1. Отсюда -д-х 3 dx = 2t dt, х 3 dx = 3t dt. Тогда
У = Jx3 (l+x3) 2 x 3 dx = J (/2— l)2^_13rfdf =
= 3j(f4 — 2f2 + l)d< = 3 (x*6 — + O +C’
1/ -
где вместо t нужно подставить у 1 + х3 .
’dx'
Имеем m = ^-,n = -i-,p = —2. Мы находимся в условиях
случая 1) и потому применим подстановку х6 = t. Тогда х =
= t*, dx — 6t6 dt и J = 6 J ^ dt.
Этот интеграл вычислим используя прием, указанный в п. II, § 7.
= —i*TT + 21
Представим t* в виде
= t* (t2 + 1) — t* (t2 + 1) + (t2 + 1) — 1.
76
тогда
J=__^r+2if',«‘+|)-'4g+;)+<-+|)-1 л
= — /2^.1 + 21 | (<4 —<2+ 1 — <2+ , )Л =
= — jrfi + -Ц- *Ь ~ 7t% + 21/ — 21 arctg/ + С,
где вместо t нужно подставить р~х.
3 1 tn 1 1
Имеем т — , п = I, р — у , следовательно р + —= 3
(случай 3). Представим J в виде
J=\xi(l±£)^dx.
Рационализация подынтегрального выражения достигается под¬
становкой 1 = /2. Отсюда лг1 -f 1 = /2, — = /* — 1, х =
_ 1 „2^_ 1 21 Ai „*
(2 j » ^2 1)2 > dx— jj2 dt, тогда
J =—2j (<2_1)4 dt■
Для вычисления полученного интеграла применим формулу
интегрирования по частям, полагая и = /, dv = ^. Тогда
du = dt, v = -д- ^2 i)3 »
7 _ * 1 [ dt _ t \ J
3(t2 — l)3 3 J (t2 — I)3 3 (t2 — l)3 3 lm
Вычислим Jx = | (f2^1)3 = | !):f(~7Tf7!)3 c помощью ПОД'
становки ji-J- = z- (см. § 7, I). Тогда 1 + jzn ~ z> 0ТСК)Да
1 l ... dt 1 .
t —1~ 2 'z )’(* —1)2_ 2
_ 1 f г4 — 4z3 + 6z2 — 4г + 1 Am _
32 J z3
77
iK2-4 + T~l^ + i")d2 =
= -i(^-z2-4z + 61nl2l + 4-- 2?-)+c-
где z нужно заменить на . Подставляя выражение для Jx
в J, окончательно получим
^ = itpW+w [4 (S)1 -4 S +6
+ 4^-+(Ш+с.
/ + 1
t — 1
+
где вместо t нужно подставить |/"—•
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
46. Г* * dx. 47. Г-^!±^.
J /Г+2 J Г
1 (1 + у,Ту«-*; 49-
50 Г dx 5! Г *
J x*VT+^ ’ j *2(2 + *3)5/3 *
§ 9. Интегрирование квадратичных иррациональностей
Этот параграф посвящен вычислению интегралов вида
J R (х, У ах2 + Ьх + с) dx,
где R — рациональная функция двух аргументов. Интегралы от
функций, содержащих корни более высокой степени из квадрат¬
ного трехчлена, мы не рассматриваем.
Мы изложим два способа вычисления таких интегралов.
I. Подстановки Эйлера
Так называются приводимые ниже три подстановки, с помощью
которых удается избавиться от иррациональности в интегралах
рассматриваемого здесь типа. _
1) Если а > 0, положим Vox* + bx + с = t — 1fax. Тогда
ах2 + bx + с = t2 — 2 У a tx ах2. Заметим, что члены, со-
78
держащие дг2, взаимно уничтожаются, и х (а, следовательно, и
dx) рационально выражается через t
t2 —с
Х = b + 2Vat •
2) Если с > 0, то можно положить
Y ах2 + Ьх + с = xt + Y с •
Однако вместо этого можно подстановкой х = -у- свести задачу
к случаю 1).
3) Если трехчлен ах2 + Ьх + с имеет различные веществен¬
ные корни хх и хг, то полагают у ах2 + Ьх + с = t (х — хг).
Отсюда, так как
ах2 + bx + с = а(х — *i)(* — хг),
то
а (х — хг) (дг — х2) = t2 (х — Xj)2,
,а _ а (х — х2) __ t*Xi — ах2
х — дсх * <2 — а
Заметим, что если требовать, чтобы трехчлен адга,+ Ьх + с
хоть на некотором промежутке имел положительные значения (мы
ведь занимаемся интегрированием функций только с веществен¬
ными значениями!), то по крайней мере один из трех указанных
случаев обязательно реализуется. Действительно, если трехчлен
не имеет различных вещественных корней, то он сохраняет v по¬
стоянный знак на всей оси, а чтобы его значения были всюду не¬
отрицательны, необходимо должно быть а > 0.
Во всех трех случаях мы приходим к рациональному выраже¬
нию х через t ив результате подстановки мы получим интеграл
от рациональной функции. Тем самым доказано, что любой ин¬
теграл рассматриваемого типа может быть выражен в виде эле¬
ментарных функций. Однако подстановки Эйлера, как правило,
приводят к длинным вычислениям. Сравнительно удобнее при¬
менять их в случае, если числитель подынтегральной функции —
постоянная.
Приведем один пример:
М-7^=-
J Vхг + т
Уже известный нам результат (см. в конце § 1) легко может быть
получен с помощью 1-й подстановки Эйлера
У х2 + т — t — х.
Отсюда
г* + т = — 2tx + х2
79
и
/2 — tTl
21
~ 2 2/
m
Тогда
]/V + m= / — * = -§■ +"lb
Поэтому
= In | x -f- Уx2 -(- m | -|- C,
и мы снова получили формулу, которую раньше мы проверяли
непосредственным дифференцированием.
II. Др у г ой прием в ы числения.
Положим У ах2, + Ьх + с = у. Тогда, замечая, что г/2 выра¬
жается через х рационально в виде квадратного трехчлена, легко
понять, что подынтегральная функция R (дг, у) может быть при¬
ведена к виду
где Рх (х), Рг (дг), Р9 (X), Pi (х) — многочлены.
Умножим числитель и знаменатель на выражение
Р9 (х) — Pt (х) у; тогда
р(г .л (Pi(x) + Pt(*)y)(P*(x)-Pt(x)y)
*( ' ю ~ (Рз (х) + Р« W у) (Р* W - Р« М У)
. Pi (X) Ра (X) - Рг (X) Pi (X) уа+[Рг (X) Р, (*) - Р! (х) Р, (х)] у
где Qi (дг), Q2 (jf),-Q3 (х) — многочлены. Если разделим числитель
почленно на Qa (дг), то получим
где Rl (дг), R2 (дг) — дробно-рациональные функции и, следова¬
тельно,
Pi (х) + РЛх)У
Р*(х) + РЛх)у’
(17)
Pl(x)-y*-P\(x)
_ Qi (*) + Qa (х) У
QAx)
R (дг, у) = Ri (дг) + Rj (дг) у,
J = jR(х, y)dx = ^R1(x)dx + jRi(x)ydx.
80
Вычислять первый интеграл мы умеем (это — интеграл от дробно¬
рациональной функции). Со вторым интегралом поступим следу¬
ющим образом. Так как
RA*)y = -Bli£jL = -BY1>
где R3 (х) — дробно-рациональная функция, то второй интеграл
приводится к виду | ^3JX) dx. Из Rs (х) выделим целую часть,
пусть это будет Р (х), что приводит к интегралу вида
Далее, остается правильная рациональная дробь, которую рас¬
кладываем обычным образом на простейшие дроби, что приводит
к вычислению интегралов вида:
(Б) f . / ^dx, k=\, 2,...,
J (х — a)k Vя*2 + bx + с
(В) f — dx, 4~g<0, m= 1, 2,....
J (x* + px + q) Vaxa 4- bx-\-с *
Рассмотрим интегралы всех этих видов. Для вычисления ин¬
теграла (А) можно использовать формулу
I V aZ+b'xT^ dX = Q (Х) У ах2 + Ьх+С + *>f Vax* + bx+c> (18)
где Q (х) — многочлен с неопределенными коэффициентами сте¬
пени на единицу меньшую, чем степень Р (х), X — неизвестная
постоянная.
Дифференцируя равенство (18), получим
.p(*> - = Q' (х) У ах2 + Ьх + с+ Q(x) +
Vax* + bx + c V wr -гч\/ 2 Vax*+bx + c ^
V ax2 + bx + с
или
P (X) = O' (x) (ax» + bx + c) + Q (x) (ax + -|-) + (19)
В обеих частях равенства стоят многочлены. Приравнивая коэф¬
фициенты при одинаковых степенях х в этих многочленах, мы при¬
дем к системе уравнений для определения неизвестных коэффи¬
циентов многочлена Q и Я. Что касается последнего интеграла
в равенстве (18), то, выделяя из трехчлена ах2 + Ьх + с полный
6 Б. 3. Вулихи др. 81
квадрат, мы легко сведем этот интеграл к уже известным: к ин¬
тегралу из примера в пункте I при а > О или к табличному VII'
(§ 3) при а < 0.
Интеграл вида (Б) сводится к интегралу вида (А) с помощью
подстановки х — а = ■—.
Остается интеграл вида (В). Сначала рассмотрим некоторые
частные случаи.
1) р = b = 0. В этом случае мы имеем интеграл
Р л, + лг ^ Г ш dx +
J (х2 + q)m У ах2 + с J (х2 + q)m )f ах2 с
* dx == J1 -|- J2»
(хг + Я)т V+ с
Рационализация подынтегрального выражения в достигается
подстановкой ахг + с = и2, тогда
Mxdx = d (ах2 + с) = -j- udu.
Для рационализации подынтегрального выражения в J2
предлагается подстановка Абеля *: за новую переменную прини¬
мается производная от функции У ахг2- + с , т. е.
z = (У ах2 + с)' =
У ах2 + с *
или z]/***2 + с = ах.
Продифференцируе'м последнее равенство
V ах2 + с dz + z (j/ах2 + с)’ dx = a dx.
Учитывая, что (|/ах2 + с)' = z, получим
У ах2 + с dz + z2dx = adx;
отсюда
dx dz
Vax* + c ~ a — z*'
Кроме того, x2 рационально выражается через z2
х2 = 2,. (21)
а (а — г3) ' '
В результате всех преобразований получается интеграл от
рациональной функции.
(20)
* Н. Г. Абель (1802—1829) — норвежский математик.
82
2) p =-j. Тогда интеграл (В) подстановкой х + = t
сводится к рассмотренному выше в случае 1), т. е. коэффициенты
при первой степени t будут равны нулю.
3) Теперь перейдем к случаю, когда Р 4= \ • Применим дробно¬
линейную подстановку х — . причем выберем 'аир так,
чтобы после замены переменной коэффициенты при первой сте¬
пени в квадратных трехчленах равнялись нулю. Имеем
(a»+Ptt+g)<»-f [2яр+р(а + р)+ад<+(р» + рр + ?)
(t + 1)2
ах2+ bx+c = ct( at(+f )2 + Ь + с =
(оос2 -|- bcit с) /2 [2сфя -f~ b (ct “Ь Р) “f“ 2с] t -f- (0^2 -j- -|- с)
- (7+й5 '
СлеХовательно, коэффициенты а, р должны определяться из
условий
2ар + р (а + Р) + 2q = О,
2ара + b (а + Р) + 2с = О,
отсюда a + р = — 2 ; «Р = • Таким образом, a
и р — корни квадратного уравнения (ар — Ь)-£? + 2 (aq — с) £ +
+ (bq — ср) — 0. Можно показать, что дискриминант этого урав¬
нения больше нуля, поэтому данное квадратное уравнение имеет
два различных вещественных корня. Принимая их за а и р, мы
сведем нашу задачу вычисления интеграла (В) к случаю 1).
Рассмотрим несколько примеров.
1. Вычислить интеграл
J = Г*-^*2+3£±2_dXt
J х + у0с2 + Зх + 2
Подынтегральная функция имеет вид (17), поэтому сразу из¬
бавляемся от иррациональности в знаменателе и получаем
, f 2х2 -|- Зх + 2 — 2х Vх2 + Зх + 2 А
—Зх — 2 йХ~
= :’-Чтг2**+2J,K1++1+2 * = ■'■+и,-
6* 83
Подынтегральную функцию в Л представим следующим обра¬
зом:
8
2*2 + 3*+2 _ 2 , 5 , 9
* Л
отсюда
Зх + 2 “ 3 1 9 ' 3* + 2 ’
dx
3* + 2
=-4-*a-4-* -^ini3*+2i+c.
Для вычисления У2 переведем иррациональность согласно
изложенному выше методу снова в знаменатель. Получим
= Г х (х* + 3* + 2)
J (3* + 2) Vх2 + Зх + 2
(3* + 2) vX2 + 3* + 2
но
*(**+3* + 2) 1 „2 , 7 . 4 8
3*+2 — 3 _г 9 _г 27 27(3* + 2) ’
Следовательно,
dx
, 1 Г 9*2+21* +4 _8_ Г
2 “ 27 J /*2 + 3*+2 " 27 J ‘
К*а + 3*+2 27 J (Зх + 2) К*а + 3* + 2
_ 1 у Ё_ /
“ 27 '/® 27 'в*
d*
Вычисляем
2 J ^*2 + 3*+ 2
По формуле (18) имеем.
У8 = (Лх + В) ]/*2 + Зх + 2 + A, J .
Неопределенные коэффициенты находятся из равенства двух мно¬
гочленов (см. формулу (19))
9х2 + 21х + 4 = А (х2 + Зх + 2) + -у (Ах + В) (2х + 3) + X.
Запишем систему уравнений для определения А, В, Я:
х2: 9 = 2Л,
х: 21 =Л-А+В,
х°: 4 = 2Л + -|- В + Я,
84
отсюда А = -у, 5 = А, = —у-. Тогда
- ("Г* + Т) К^ + Зх + 2-fj Д
= -f-(6jc + 1)К*2 + Зх + 2 —
—fin
x+-f-+K*2 + 3x + 2 + С.
Рассмохрим
/4=Г л
J (Зх + 2) K*2 + 3x + 2-
Это — интеграл вида (Б). Применим подстановку Зх + 2 =
тогда
*—5-. * + *• + *-*Ц?±±.
Ограничиваясь промежутком, где Зх + 2 > О (а тогда и г > 0),
имеем
dz If* dz
J,
* J Viz* + 5z +1 2 ,5V / 3 у
'+4-)’-(4)e
4ln
Z + -T + Vz*+-Tz + Jr\ + C =
37+2 + T ■*" 2 (Зх + 2) + 3* + 21 + c-
Итак,
PX-V*+ Zx + 2'dx =
J x + /л? + 3* + 2
= —-y-x2 —-|-x |rln|3x + 2| +
+ №x + 1) l^x® + 3x + 2 In I x +-2~ +
+ V X2 + 3X + 2 | -f "97” In 3x _j_ g + "g" +
27
Vx2 + 3x + 21 + C.
2(3*+2)
85
2. J =
J (*2 — *
2x+ 1
+ 2) V2x* — 2x + 1
dx.
Здесь мы имеем интеграл вида (В), причем р = —. Положим
х = t. Тогда х = t + -j-, 2х + 1 = 2t + 2, dx = dt. Сле¬
довательно,
J =
2t + 2
?,+i)V2t,+ -T
dt.
Мы пришли к интегралу вида (В), в котором отсутствуют члены
с t в первой степени. Тогда запишем
J = Л + 2У2 = f- _ 2tdir +
[t2 + ~r)V 2tt+ir
+ 2
dt
! +
2/2 +
При вычислении J г сделаем замену переменной по формуле
2t2 + -у = z2. Тогда 41 dt = 2z dz или 2t dt = z dzvi f = 2г ■ ,
V 7 2г2 + 6 г2 +3
1 + 4 — 4 — 2 ’
?Ь‘,2 = ^аГС,«Т% + С'
При вычислении J2 применим подстановку Абеля, полагая
(У2/2 + -|-j = ы, тогда по формулам (20) и (21)
dt
— dU /2 _ “8 ,2 _|__L _
— 2 — и2’ 4 (2 — и2)’ * "г 4 -
7 — 3 а2
2(2 —и2)
Jdu
21
а/З — 1/7
а КЗ + K7
Следовательно,
У = J. + 2У2 = -=r= arctg —=. £=-1п
12 1^3 6 1^3 К21
+ С.
« VI —VI
uV ъ + Vi
+ с.
86
Учитывая, что г = j/ 212 + и = 2t2 + -~J , / = л:
окончательно получим
г 2 ,rrVr2x2 — 2* + 1
y = lT5arCtg
1^21
Lin
Уъ * \Гъ
nZ i Г
+ C.
V 3 (2jc — 1) — l/~7 К 2x2 — 2* + 1.
/3 (2x — 1)+ ^7 V^2 — 2x + 1
x — l
(4*2 + 5* + 4) /З*2 — 4* + 3
1 f* x — l
4 J (** + _T*+1) V3x2-4x + 3
dx.
Согласно теории, относящейся к интегралу типа (В), применим
- u at -f- В л
дробно-линеиную подстановку х — -yqf-p-, причем аир опре¬
деляются из уравнения
(ар — Ь) I2 + 2 (aq — с) £ + (bq — ср) = О,
Т
5
где р = -т-, q = 1, а — 3, b = —4, с = 3. Таким образом, в на-
31 31
шем примере это уравнение имеет вид — £2 = 0, откуда
£2 = 1 или а = 1, р = —1. Следовательно, применяем дробно¬
линейную подстановку х = Тогда
А 2 I С , Л 13<2 + 3
4jc ~f- 5jc —J— 4
3*a_4* + 3 = -^±i£, x-l = -
2
(/ + 1)2 ’ t + Г
dt
z
= —2]/2 J
(13*2 + 3) j/> + 5
Теперь положим z = (]//2 + 5) = pF===; тогда опять с по¬
мощью формул (20) и (21) находим
dz dt 13^* _|_ з 62z2 + 3
V t* + 5 ’ 1 — г2
—Warc,«Tr+c-
87
Учитывая, что
t , 1 + *
Z = , - ■ , t = T-!—,
K<2 + 5 1—•*
окончательно получим
2 («+ЧК5Г „
/93 /З/З*2—4*+3
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
52. Г 53. Г * + 3 dx;
J (х + 2)» Vх2 + 2х J (х2 + 2* + 3)7/2
54 ?x3+2xi+xzJ-dx; 55. f *3 + *+1. = dx;
J j/*2+2*—■ 1 J (х — 1) К*2 +*+ 2
56. Г + У <fe; 57. f »'
J (*— 1)а J 2*+1+2/*« + *+1
58. Г d* ; 59. f f -. • dx;
J (*2+* —2)/*2 + 2* + 3 J (*2 —1) /** + 2*+ 4
60. f % . dx.
J (3*2 + 2* +3) /4*2 —2* +4
§ 10. Интегрирование выражений,
содержащих тригонометрические функции
Основной метод, использованный в предыдущих параграфах
при интегрировании иррациональных выражений, заключался
в рационализации подынтегральной функции. Этот же прием при¬
меняется и при интегрировании некоторых выражений, содержа¬
щих тригонометрические функции.
I. Рассмотрим интеграл
J = j* #(sinx, cosx)dx,
где R — рациональная функция двух переменных. Применим
подстановку
t — tg -g-, (22)
считая при этом, что —я < х < я. Отсюда
2
х = 2 arctg t, dx = t dt,
2tg~2~ 21 1 —12а_2" 1 — t2
sin x — —— — . I уз > cos x — 1 I *2'
l+tga-f 1+tg 2
88
Таким образом,
^==|^(т+15’ 1 + t2) 1 +t2 ~ 1 Wdt>
где Rx — рациональная функция от t.
Отметим, что подстановка (22) часто приводит к сложным вы¬
кладкам. В ряде случаев рационализация подынтегрального выра¬
жения может быть достигнута с помощью других, более простых
подстановок. Приведем важнейшие из этих случаев.
II. Если подынтегральная функция имеет вид
Rx{ sin х) cos х,
где Rt — рациональная функция одного аргумента, то приме¬
няется подстановка t = sin х. Действительно,
J = J Rx (sin х) cos dx = J Rx (sin x) d (sin jc) = J (t) dt.
III. Аналогично, если подынтегральная функция имеет вид
Rx (cos х) sin х,
то применяется подстановка t = cos х.
IV. Если подынтегральная функция выражается рационально
через tg х, т. е. имеет вид Rx (tg х), где Rx — по-прежнему ра¬
циональная функция одного аргумента, то возможна подста¬
новка / = tg х. Действительно, отсюда следует, что dt — - =
= (1 + tg2 х) dx или dx = -j-^75» а
J = J*i(tg*)d* = J dt = J R,(t)dt,
где R2 — тоже рациональная функция одного аргумента.
Рассмотрим несколько примеров.
‘•Мптат-
Применяя подстановку (22), имеем
dt 2 р dt
= -|-arctg^-±i + c.
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим
Сначала сделаем подстановку 5* = /, тогда
j-± Г dt
5 J (3 + cos t) sin t '
Заметим, что
1 sin t sin t
(3 + cos t) sin t (3 + cos t) sin* t (3 + cos t) (1 — cos21) '
Следовательно, мы находимся в условиях случая III и можно
применить подстановку z = cos t. Тогда
, 1 f dz 1 f dz _
5 J (3 + z)(l — г2) “ 5 J (г — l)(z + 1)(г + 3) —
“тК^т+т^т + тттК
Коэффициенты А, В, С находим по формуле (И) из § 5: А = -j-,
В = С = -j-. Следовательно,
J= 4"(4-1п1?— 1\~ Т1п12 + 11 +
+ xlnlz + 3l) + с = ln I (г (2+( I)2" 3) | + С>
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим
г 1 | cos2 5х + 2 cos 5дс— 3 , п
J ~ 40 ' | (cos5x+l)a
о /_ f
J 3 tg ж + cos дс'
Заметим, что
1 cos-с = п /ч1п „ч гп<? „
3 tg * + cos дс 3 sin дс + cos2 х 3 sin дс + 1 — sin2 х 1' '■ ’
поэтому применяем подстановку sin х = t. Тогда
d sin дс С* dt
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим
J = ~\п
К13
2 sin х — 3+ V13
2 sin х — 3 — У13
+ с.
4. J
3 cos дс + 4 sin дс
dx.
5 cos дс + 2 sin дс
Подынтегральная функция имеет вид
3 cos дс -f- 4 sin дс _ 3 + 4 tg дс _ р ,
5 cos дс + 2 sin ,дс 5 + 2 tg х 1' ® ''
поэтому произведем подстановку t = tg х. Тогда, как мы знаем,
j dt
dx = , ■ — и
1 + /а
J =
3 + 4/ dt
5+2/ 1 + /а
= 2
-+ /
(<+4-) ('а+‘>
dt.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби
/+^-
4 _ A j^Bt + C
+i ’
отсюда
/ + -£- = Л(/2+1) + (Bt + С) .
5 7
Подставляя t найдем А = Коэффициенты В и С
определяются из системы уравнений
А + В = О,
л+4с = |,
а именно: В = С — -Ц-. Итак,
J = 2
dt + 2
-l-t+™-
29 58
/а + 1
dt =
In | / + — | + In (t2 + 1) +- arctg t + C,
29
где вместо t надо подставить t — tg x.
5. J=\
cos4 (2** + 7)
dx.
91
Сначала упрощаем аргумент, стоящий под знаком косинуса,
полагая t = 2лг3 + 7. Тогда dt = Ах dx, х dx — -1- dt и
4
J- 1 Г dt
4 J cos4t
Четная степень косинуса выражается рационально через тан¬
генс, поэтому можно ввести подстановку г = tg /. Однако вы¬
кладки удобнее проделать так:
' = т J -шт-TWT = т J« +‘8’0«№ о =
=J(1+»>)*= 4-* + -в-г*+С.
Возвращаясь к переменной х, получим
/ = -Ltg(2** + 7) + -±Ttg*(2x* + 7) + С.
6. J= f -4^—.
J sin X
Так как —p— = полагаем cos x — t и
Sin X 1 — COSz X
i _ f dt i dt i i I * — 11 _
J 1 — ^ - J /2 _ 1 - 2 m I / + 11 —
= 4-'"|^1тт| + с = 1п|,ет| + с-
V. Остановимся специально на интегралах вида
J = J sin" х cos'" х dx,
где пит — натуральные. Если хоть одно из чисел m или п не¬
четное, то мы находимся в условиях случая II или III (соответ¬
ственно). Если же оба показателя тип — четные,.то рационали¬
зация подынтегральной функции может быть достигнута с по¬
мощью подстановки t = tg х (случай IV). Однако при четном m
и п более удобен другой прием — переход к двойному аргументу.
Пусть, например, n = 2k, m — 21 и n Ss т, т. е. k ^ I. Пре¬
образуем подынтегральную функцию так:
sin2* дс cos21 х = (sin х cos xfl sin2 X =
При этом мы использовали формулы для синуса и косинуса двой¬
ного аргумента
sin 2x = 2sinjccosjc, cos 2х = 1 — 2 sin2 х
92
(если k ^ /, то придется применить формулу cos 2х =
= 2 cos2 х — 1).
После раскрытия скобок получаются слагаемые, содержащие
произведения вида sin"* 2х cosm* 2.x.
В тех случаях, когда хоть одно из чисел тх или пх — нечет¬
ное, интеграл берется сразу с помощью подстановки t = sin 2х
или t = cos 2х соответственно. В тех слагаемых, где mi и п1
четные, снова описанным выше способом удваиваем аргумент,
используя на этот раз формулы
sin 4х = 2 sin 2х cos 2х,
cos 4х — I — 2sin2 2х = 2cos2 2х — 1.
Этим приемом мы сможем довольно быстро завершить вычис¬
ление интеграла J.
Рассмотрим несколько примеров.
7. J = J sin3 л: cos5 л: dx.
ПоЛагаем cos х = t, тогда
У = J (/а —1) t6 dt = ^(f>-tb)dt=-^ t* — -±-*e + C =
= -g- COS8 X —cos®* -(- C.
Конечно, в данном примере применима также и подстановка
sin х = t. Однако при этой, подстановке выкладки были бы не¬
много сложнее, поскольку cos х входит в подынтегральное вы¬
ражение в более высокой степени, чем sin х. Именно мы имели бы
У = J /»(1 — t*)%dt.
8. J = J sin2xcos4xdjc.
Преобразуем подынтегральную функцию
slna х cos4 х = (sin2 х cos2 x) cos2 x — -j- (sin 2x)2 1 +^os2jc .
тогда
J = -i- | sin22xdx +-g- J sin22xcos2xdx = -g-Л + -g"^a-
J 2 вычисляем с помощью подстановки sin 2х = t
J2 = i-J t2dt = -±-t3 + C1 = -g-sin32* + Ci.
При вычислении Jt используем еще раз удвоение аргумента, т. е.
применим формулу
sln22x = -1 ~^os4jC.
93
Тогда мы найдем, что
Л = -g- х g- sin Ах + С2.
Итак,
J = (х j- sin Ах + -у- sin8 2х^ + С.
VI. Теперь рассмотрим интеграл
J = J sinaJccosPxdjc,
где показатели аир — любые рациональные числа. Представим
подынтегральное выражение в виде
«-1 р-i
sin“xcosBxdx = -^-(sin2 х) 1 (cos2jc) 2 (2sinxcosxdx)
и положим sin2 х = z. Получим
П а—1 Р-1
i-J г 2 (1-г) 2 dz,
и задача сводится к интегрированию биномного дифференциала.
Приведем пример
РА _L
9. J = J sin 2 х c6s 2 х dx.
Полагая z = sin2 x, получим
Мы находимся в условиях третьего случая интегрируемости би¬
номного дифференциала (см. § 8, пункт II). Согласно указанному
там приему представим J в виде
и затем положим -1 1 = t4. Тогда -у- = /4 + 1, =
= At3dt, г2 = 1}а и
J = ~~ 2 | (t* + I)2 dt
Применим способ, изложенный в пункте II § 7, и положим
t = 4~; тогда J = 21 ^ dy. Далее применим формулу ин-
94
тегрирования по частям, полагая и = у, dv — dy, тогда
1
и
du = dy, v = — j
У = 2 [
(i + г/4)
I |_ JL f лУ—\ =
h 4 J 1+уЧ
У
4(1 + </*)
2(1+И)
+ “9"Л
Для вычисления Ух представим числитель дроби ^rqr-] в виДе
1 =
Тогда
Л “-9-
(-*)*
»*+у
('-т)’
1
= 2WafCtg
у — -
+ 2
1
“(|,+т)
(^т)2-2"
=? Г7=1П
4^2
У+Т-К2-
+ С.
Окончательно получим
j = У
2(1 + </4)п 4К2
f —7= arctg •
у —
1
1
81/2
=- 1п
»+-!—КГ
S+-i- + K2
У
V2
+ Су
где
у = -J-, t= \^-z !. 2 = sin2 х.
Замечание. Если подынтегральная функция / (х) есть
иррациональная функция от sin х и cos х, но ее можно представить
в виде
1) / (*) = § (sin х) cos х,
2) / (х) = g (cos х) sin х,
3) / (х) — g (tg х),
95
где g — иррациональная функция одного аргумента, то рекомен¬
дуется применить соответственно подстановки
В результате мы получим интеграл от иррациональной функции
аргумента t, к которому может быть удастся применить уже
известные нам методы рационализации подынтегрального выра¬
жения.
Пример 10. Вычислить
Рационализируем подынтегральное выражение с помощью -под¬
становки t = г2; тогда 2г dz = dt и
Подынтегральную функцию представим в виде
1) sin х = t, 2) cos х — t, 3) tg x = t.
Полагаем sin x — t. Тогда
Отсюда
4/2 /2 sin x + 1
1 j /2 sin x — 1
—— arctg 1/2 sin x + C.
2/2 sr
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
61. Jsin5(3x)dx; 62. J dx;
w- **■ JД17 «5- J
96
fifi f *** * fi7 f dx fift f3 sin * + 2cos* ,
J sin3 (2x + 3) ’ ° J sin x + cos* * DO* J 2 sin *+ 3cos л: ал’
69* J 1 + 3 cos2 x ’ 70‘ I (2 — sin x) (3 — sin x): 71, J X COS 6 X dx;
72- fw; 73- JtSt*
75. f rdx 76. Г sin»*Kcos*
J sin x Kl i- cos x J 1—2 cos2 x 9
77. 1 dx
I
cos jc Кз cos2 x + 4 cos * sin x + sin2 x
ОТВЕТЫ. К УПРАЖНЕНИЯМ
'• ~Т х* +~Yx2+ ха;Т + 6х + с-
2 — - — - —
2. —— х2 — 2x2 + 4]/rax2 — 4ах + 2а Ка х 2 _j_£
5 у а
1 3V + с.
1 Hh In 3
4. 2 tg дс — дс + С.
5. arc sin — In (jc + Ух2 + 2) + С.
6. х -|—— In j Бх -j- 3 | -j- С.
7. -i- In (3jc2 + 4x + 3) + C.
8- -Tx—^karct*xV-T+c-
9. +
10. -L In \.x3 +Vx*—l I + C.
11. JL In (Л2 + 62) + -1- arctg -у- + C.
12. I/"*2 — 4 + 3 In | * + )/V2 — 4 | + C.
13.±-V5x* + l + -±=-in + Y* + -§-) + c-
7 Б. 3. Вулих и др. 97
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
JL (2* + 3)Ю-^-{2х + 3)» + JL (2* + 3)" + с.
1 . „ 1 . -
sin 2x sin 8x + C.
In \ex - 1 | + C.
In | COS X I ' ^
xln
2cos*x +C
sin
y2x —
n \
Tj
> + '
sin
(^2x —
я >
3 j
1-1
+ C.
5 5 ,-7——
IT ^(9'
-*)• -i-C.
arcsin >_ sin /4 arcsin —%
2 /2 8 \ V 2
Vx2 + з — Уз
V&T3+ Уз
-) + c.
KF+1+ i^-in
in(x+ VW+2) - +2
j^rV (2 — 5x)3 + C.
+ C.
-c.
2/2 1П
--4-In
4/3
ctg x — V2
ctg x + J/T
x — \f3
* + Vs
+ C.
1
~Г7= arctg 17=+ C.
2 y^3 i^3
3,-)+C.
125
-g- (2x2 sin 2x- + cos 2x2) + C.
(X» + 1) In I 1 + x I - -L (x + I)* + -L {x+ 1,2 .
-4- (1 — 2x2) cos 2x+ -i- x sin 2x+ C.
o 4
1) arcsin x + xV 1 — x1 + C.
- x C.
98
31. -£г- х4 [2 sin (3 In 2л:) — 3 cos (3 In 2*)J + C.
10
32- -W [ (2x+-w) sin 5x + (~5x+~W ) cos 5x] + c-
33. — + -^-arcsin — + C.
2 2 a
u- -fpri) + T,re,«-r+c-
35. jc In (x -h 16 H- лг* ) — 16 -h jc2 +C.
36. —In | jc — 1 | + -g- In | л; + 2 | У~ In | л:+ 3 | + C.
37' ~W >n I * “ 3 I g- In 1 д:— 11 In (x2 + 4x + 5) -b
33
j- arcig (
2x— 1
+ "j3Q arctg (x + 2) + C.
38
2(^+27+2j- + arctg<*+l ) + C-
39‘ * + irl ^ + 2 + 2 In (х2 — 2-t + 2) + arctg (x - 1) + C.
40. In | l| + _l_ln(** + l) i- In (**-*+1) +
6(*3 + 1) arCtg X + C-
41. Jntl = — 2а*я (x* —'e*)« 2^Г „ /„(я= 1, 2, . . .).
42. *_+ -V ln*±i»£±I 3 ^ c
4(**+l) 16J^2 *s —*K2 + 1 81^2 •* — 1
ло \ ( x — 2 \2 x — 2 x— \ \ ( x — 1 \2 ,
43- -2-\T=Tj ~ T^T + lT—2 2“ \х^2 j +
x — 2
+ 61n
x— 1
7 61 /x+3 \2 196 x+3
о /«, o\2 г сок I ^ 2 / лок ~ °
26 ,
In
625
2 (x — 2)2 ^ 625 \x — 2) 625 x — 2
x + 3 I 48 x — 2
x — 2 1 625 x + 3
+ C.
7* 99
45. —
*» 5*з 5* , У5 ,
6 (х2 — 5)3 24 (*2 — 5)2 16 (х- — 5) + 32
х—УЬ
х+У 5
+ <
46. 4“ *7/6 *5/6 - 3*2/3 + 8*1'2 + 12л:1/3 - 48*V6 +
,1/6
+ 48 arctg 24 In (х1/3 + 2) + С.
47- -7зтрт + -г1п|<+1|~'Т1п^2_/+1) +
5 2£^1 + с>
/з 8 Уз
= 1У1±£.
Г 3 — х
48.
49.
_2/:
ДС2 + 1
i + /*
с.
2/2*2+ 1
50. 4-*-*(2*2— 1) /** + 1 +С.
«5
51 . g- *“l (З*3 + 4) (2 + *3) 3 +С.
52. -jL. (2*2 + ш* + 15) *1/2 (* + 2)-5/2 + С.
53. 2(*+1)6 + Ц(*+|)3+15*+12 ! с
15 (*2 + 2* + з)5'2
54. -4- (2*2 + * + 7) /*2 + 2* — 1 — 2 In | * + 1 + /*2 + 2*— 1 | + С.
55.
6
2*+ 1
4 К*2+ * + 2 +-g- In
*+-у+/*2 + *+ 2
3 ,
2~
3* + 5 + 4 Ух1 + * + 2
8 (•* — 1)
+ С.
56. /*Н-2* + 4 + ,п ^ + j + Yx3 + 2* + 4) —
VI
57. —
2jc + 5 + ^7 K*2 + 2* + 4
3jc4 + 2л:4
18
7 (* — 1)
1
+ С.
288
(48х:* + 8*2 + 14* — 37) l/V2 -f- дс + 1 +
100
58.
1
1 , I 1— x+V3 Vx* + 2x + Z
— In
з/з ‘“I * + 2
(x + 2) /6 + зух* + 2х + 3
3/6
— In
x—\
+ C.
59. /xa + 2* + 4 — ln(* + 1 + /х2 + 2л: + 4) —
1
2/3
1
= ln
/jc3+2* + 4+ /3
r— In
2/7
60.
*+1
2*+ 5+ /Г Ух* + 2x + 4
+ C.
8/7
— In
2V\A
6!
■=r arctg
JC — 1
2 /4x2 — 2x + 4 — /7 (1 — x)
2 /4л2— 2* + 4 + /f (1 — x)
VT(\+x)
/2 /4л:2—2*+ 4
+ C.
1 2 1
—rzr-COS6 3JC + -Г- cos3 3jc — cos 3x -f C.
10 У о
1
62. -g-sin2jc —In sin2jc-
1
2 sin2 x
C.
63. tgx + -|-tg3*+-i-tg5* + C.
64.
2/2
65. cosjc
l^,n /2=4Lsin2£ + c
V2 — sin 2x
3 . cos jc
УТ ~FT~
66. —
cos (2x -f 3)
1
In
C.
| cos (2jc + 3) — 1
4sin2(2jc + 3) 8 |cos(2jc + 3)+1
67- 7Г|пИ-г+-г)|+с-
68. -1^- (12л: — 5 In | 2 tg x + 3 | — 5 In | cos jc|) + C.
+ C.
69. -L arctg (-^)+C.
(*tg-T-i
УЗ
warctgv
/ 3 tg -к 1
2/2
l + C.
1
2U 2® 4л: + ■ g
4
72. 4 /tg дс +C.
-to 1 i / 1 \ 1
In
sin62jc + -2g- x + C.
ctg jc — l/~2 ctg jc -h 1
ctg* -f V2ctgx + 1
+ C.
101
74. 4-in Л sjn^
6 2 + sm 2x
75.
I
/14-
cos X
2 ]^2
. V 2 + V1 + cos x
In ■ ■
76. —-i-J^cos3 x -f
О
VT
у 2 — V1 + cos x
4 _
V2 Vcos jc —1
+ C.
C.
In
У2 Vcosx + 1
+ arctg [y2 )/cosjc)+C.
77. ln|tgJC + 2+Ktg2JC + 4tgJC+3 | +C.
ГЛАВА III
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и простейшие свойства
определенного интеграла
С первообразной тесно связано другое основное понятие
интегрального исчисления — определенный интеграл. Как будет
видно из дальнейшего, определенный интеграл играет основную
роль в приложениях интегрального исчисления. В этой части
курса мы остановимся на - определенном интеграле только для
непрерывных функций. Лишь в конце главы мы вкратце наметим
некоторые обобщения.
Определение. Пусть / — непрерывная функция, за¬
данная по крайней мере на отрезке [a, b\, F — одна из ее перво¬
образных. Определенным интегралом от функции / по отрезку
[а, Ь] называется приращение первообразной F на этом отрезке,
т. е. разность F (b) — F (а). Такой определенный интеграл обо-
ft ь
значается символом j / dx или J f (x) dx. При этом числа а и b
а а
называются-пределами интегрирования, нижним и верхним соот¬
ветственно. Таким образом,
ь
J fdx = F(b) — F (а). (1)
Последнюю формулу часто называют формулой Ньютона—Лейбт
ница.
В дальнейшем вместо «определенный интеграл» мы чаще будем
говорить просто «интеграл».
Так как все первообразные для одной и той же функции от¬
личаются друг от друга на постоянные слагаемые, величина
интеграла не зависит от выбора первообразной F. Действительно,
если Ф — другая первообразная функции /, то Ф (дг) = F (х) + С,
где С — постоянная. А тогда
юз
Ф (ft) — Ф (а) = F (b) + С — [F (а] + С] = F (Ъ) — F (а).
Формулу (1) часто записывают так:
ь ь
J fdx = F(x) | .
а а
Вертикальная черта с указанием пределов интегрирования назы¬
вается знаком подстановки и этот знак понимается как указание,
что нужно сначала в F (х) вместо х подставить Ь, затем а и обра¬
зовать разность F (Ъ) — F (а). Например,
!хЫх=^-3 = -^~ L-_26_
J 3 J 3 3 — 3 •
В определении интеграла по промежутку [а, Ь] совсем не¬
обязательно считать, что а <С Ь. Говоря дальше об отрезке [а, b],
будем допускать, что а может быть как левым, так и правым кон¬
цом отрезка (т. е. возможно, что а > Ь), но при этом именно а
считается началом данного отрезка. Указание, какая из двух
крайних точек отрезка считается его началом, называется ориен¬
тацией отрезка. Каждый отрезок, естественно, допускает две
ориентации, а от выбора ориентации будет зависеть и интеграл.
В дальнейшем, определяя интеграл по формуле (1), мы-считаем
отрезок [а, b] ориентированным и начало отрезка берем в ка¬
честве нижнего предела интегрирования.
Наконец, сделаем еще одно дополнение к определению интег¬
рала. Именно условимся приписывать смысл интегралу с равными
между собой пределами интегрирования, полагая
а
j fdx = О
а
(левую часть можно рассматривать как интеграл по одноточеч¬
ному множеству, состоящему из точки а). Такое определение на¬
ходится в полном соответствии с формулой Ньютона—Лейбница:
если положить в этой формуле b = а, то как раз получится, что
а
J fdx = F(a) — F(a) = 0.
а
Итак, если функция f непрерывна на некотором промежутке,
то для любой пары чисел а и Ь, принадлежащих этому промежутку,
ь
формулой (1) определен интеграл J / dx.
а
Приведем важный пример: если функция / равна постоянной
ь
k(f(x) = k), то J / dx = k (b — a).
104
Действительно,
ь ь ь
j fdx = J k dx = kx | = k (b — a).
a a a
Переходим к установлению простейших свойств интеграла.
При этом мы предполагаем, не оговаривая каждый раз, что все
подынтегральные функции непрерывны в некотором промежутке,
а пределы интегрирования содержатся в этом промежутке.
а Ь
1°. j / dx = —\ f dx (при перестановке пределов интегри¬
рования интеграл умножается на —1).
ebb
2°. J / dx + | / dx = J / dx при любом расположении точек
аса
а, Ъ и с (при условии, что они содержатся в промежутке, где f
непрерывна). Это свойство называется аддитивностью интеграла.
ъ ъ
3°. J kf dx = k J / dx, если k — постоянная.
a a
b b b
4°. J (/ ± g) dx = j / dx ± J g dx.
a a a
Все эти свойства вытекают непосредственно из определения
интеграла по формуле (1). Проверим, например, свойство 4°.
Пусть f и С — первообразные для fug соответственно. Тогда
(F ± G)' = f ± g. Следовательно,
ь ь
\(f±g)dx= lF{x) ±G(x)] | = [F(b) ±G(b)] -
a a
- IF (a) ± G (a)] = [F (b) - F (a)] ± [G (b) - G (a)] =
ь ь
= j f dx ± J gdx.
a a
b
5°. Если f (x) ^ 0 на отрезке [a, b\ и a < b, to J f dx ^ 0.
a
Действительно, если F' (x) = f (x) ^ 0, то функция F возра¬
стает (в широком смысле, т. е. не убывает) на отрезке [а, Ь\,
и поэтому F (b) F (а).
ь
6°. Если I (дс) ^ g (х) на отрезке [а, Ь] и а < Ь, то J / dx
а
Ъ
^ } g dx (допустимо почленное интегрирование неравенства).
а
105
Для доказательства положим А = / — g. Тогда h (х) ^ О
на [а, Ь\. Используя свойства 4° и 5°, сразу получаем
ь ь ь ь
J fdx = | gdx + J hdx^z j gdx.
7°.
J f dx < \\f\dx
(в правой части знак абсолютной
величины, относящийся ко всему интегралу, нужен в случае,
если а > Ь).
Для доказательства записываем неравенство — | / (лг) |
^ / (х) | / (х) |- Считая сначала, что а < Ь, используем воз¬
можность почленного интегрирования неравенств и получаем
ь ь ь
-ll\f\dx^lfdx^\\f\dx,
т. е.
и о
| / dx «S J |/| dx. Если же а > Ь, то имеем
ь \ \ а а о
\fdx = \\fdx ^\\f\dx= \\f\dx
a I IЬ Ь а
8°. Если |/(*)|< К на отрезке [а, Ь], то
j b dx
^К\Ь — а\.
Для доказательства используем свойства 6° и 7°. Если а < Ь, то
ь ь
J |/|Жс<\Kdx = K(b — а).
Следовательно,
| fdx j\f\dxs^K(b — a).
Если же a > b, то
b a
J fdx = J fdx
:K(a — b) = K\b — a\.*
9°. Если / (x) 0 и J f dx = 0 (а Ф b), to f (x) = 0 на от-
a
резке [а, Ь].
* Свойства 7° и 8°, очевидно, выполняются тривиальным образом и при
Ь = а.
106
Не уменьшая общности, можно считать, что а < Ь. Допустим,
что f (с) ф 0 в некоторой точке с 6 [а» b], f (с) >■ 0. Тогда по
непрерывности / (дг) > 0 и в некоторой окрестности точки с.
Следовательно, отрезок [а, Ь\ можно разбить на три части
(а, с — б], [с — б, с + б] и [с + б, Ь\ (б > 0) (см. рис. 1) так,
Что в средней из них f (х) > 0.* Но тогда и
т — min f(x)^>0
с—6^х^с-\-Ь
и по 6°
С+б C-J-6
j fdx^ J mdx = 2m6 > 0.
С—6 С—6
c-6 b
Кроме того, J f dx 0 и j f dx^O (так как / (х) ^ 0). Отсюда
а с+6
благодаря свойству аддитивности
ь ас е
интеграла J / dx > 0, что противо- * ^ * *
а
речит условию. Тем самым свойство Рис. 1.
9° доказало.
10°. Возьмем две точки из промежутка, в котором функция f
непрерывна. Одну из них, обозначим ее а, будем считать фикси¬
рованной, а другую х — переменной. По формуле Ньютона—
Лейбница
X
J fdx = F(x)-F(a).
а
Но F' — f, а потому
-£r{jfdx) = nx)-
Таким образом, производная от интеграла с переменным
верхним пределом по этому пределу равна подынтегральной функ¬
ции. Аналогично можно убедиться, что производная по нижнему
пределу равна подынтегральной функции с обратным знаком
Приведем примеры на применение некоторых из доказанных
свойств интеграла.
Я
2
1. Оценить интеграл № + -g-cos2 х dx.
о
* Мы ведем рассуждение для случая, когда с — внутренняя точка отрезка
[а, Ь]. Если же с совпадает с а или b, то рассуждение очевидным образом упро¬
щается.
107
Здесь сразу ясно, что подынтегральная функция положительна
и не превосходит Поэтому согласно 8°
Я
2
о | j/l + ^ cos2* < 2-
о
Однако оценку снизу можно дать гораздо более точную, если
учесть, что у 1 + —■ cos2 х ^ 1. Из этого неравенства благо¬
даря 6° сразу следует, что
Я Я
2 2
J j/"1 со$2 х dx Ss f dx = -у- > 1,5.
о о
Я
2
2. Не вычисляя интегралы = J sin10 х dx и J2 —
Я
“2“
= | sin2 jc dx, установить, который из них больше.
о
Так как sin10 х ^ sin2 х при всех [о, -у], то
на основании предложения 6°. Однако если допустить, что =
= /2. т- е-
Я
~2~
J (sin2 х — sin10 х) dx = О,
о
то по 9° отсюда следовало бы, что sin2 х = sin10 х на всем отрезке
[О, -у], что на самом деле неверно. Таким образом, Jt < J2.
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
Я
'•ЬЬ- 2-1тгЛ; М'8’**'-
1 V “ п п
1 X о
Оценить следующие интегралы:
25 2я
dx
s-I-rSr*; e-J
О
я
1Г
7. J л; V^tg 2л: dx
4 + 3 sin х 9
б о
я_
8~
108
§ 2. Теорема о среднем значении
Докажем следующую теорему, которую и называют теоре¬
мой о среднем значении.
Теорема 1. Пусть функции fug непрерывны на отрезке
[а, Ь], причем g (дг) ^ 0. Тогда существует по крайней мере одна
такая точка с £ [а, Ь\, что
ь ь
\ fgdx = f(c)\gdx. (2)
а а
Доказательство. Проведем доказательство для слу¬
чая, когда а < Ь. Если g (дг) = 0, то равенство (2) тривиально
и притом в качестве с может быть взята любая точка из [а, Ь].
Будем далее считать, что функция g не есть тождественный нуль.
ь
Тогда по свойствам 5° и 9° (§ 1) j g dx > 0.
а
Положим
М — шах / (х), т = min / (дс).
а<х<Ь а^х^Ь
Тогда т ^ / (дг) М при всех х £ [а, Ь]. Умножая это нера¬
венство почленно на g (х) и учитывая, что g (дс) ^ 0, получаем
mg (дг) ^f(x)g (дс) ^ Mg (дс).
Отсюда, в результате почленного интегрирования, находим
ь ь ь
т j* gdx J fgdx^M [ gdx
a a a
ИЛИ
$fgdx
<sM.
]gdx
a
Поскольку дробь, стоящая в среднем члене неравенства, заклю¬
чена между двумя значениями непрерывной функции /, она по
теореме Больцано—Коши тоже входит в совокупность значений
этой функции, т. е. существует точка [а, 6], в которой
ь
If gdx
Пс)—*ъ •
j 8 dx
а
Это и есть иначе записанное равенство (2).
Важный частный случай теоремы о среднем значении полу¬
чается из формулы (2), если g (дс) = 1. В этом случае равенство (2)
109
принимает вид
ъ
J / dx = / (с) (b — а),
а
(3)
т. е. интеграл равен произведению некоторого значения подынтег¬
ральной функции на разность между пределами интегрирования.
Заметим, что формула (3) никоим образом не может быть ис¬
пользована для вычисления интеграла. Ведь в теореме о среднем
значении точка с не указывается, а лишь гарантируется ее суще¬
ствование. Наоборот, с помощью интеграла значение f (с) может
быть найдено из формулы (3)
f(c) = T=^Udx-
Значение функции /, определяемое по этой формуле, называют ее
средним значением на отрезке [а, Ь].
Пример. Найти среднее значение функции / (х) — х2 на
отрезке [0, 1].
Искомое среднее значение равно
1
_ 1
3
x2dx = *3
о
3
(здесь Ь — а = 1). Заодно нетрудно найти и ту точку с, в которой
в нашем примере значение функции совпадает со средним значе¬
нием, т. е. где f (с) = ^-. Так как / (с) = с2, то с •
Упражнения
Найти средние значения следующих функций в указанных
промежутках:
Л 3 j
8. / (х) = у х в промежутке [8, 27];
9- f (*) = cos2 2х в промежутке £o, .
§ 3. Замена переменной и интегрирование по частям
Разобранные ранее в главе о вычислении неопределенных
интегралов способы замены переменной и интегрирование по
частям могут применяться и непосредственно к определенным
интегралам. Покажем, как это делается.
Теорема 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6], функция ф имеет непрерывную производную на отрезке
{а, р], причем <р (а) = а, <р (Р) = Ь, а все значения <р (() при
110
16 [a, P] содержатся в отрезке (a, b).* Тогда
ь p
J/ (дг) dx = j / [ф (01 ф' (0 dt. (4)
Доказательство. Пусть F — первообразная для функ¬
ции /. Тогда Ф (/) = F [ф (/)] — первообразная для подынтег¬
ральной функции в правой части формулы (4). Следовательно,
f
J / [ф Ш ф' (0 dt — Ф ф) — Ф (а) =
= F [Ф (Р)] - F [Ф (а)] = F (Ъ) - F(a) = Jf (х) dx.
а
а
Пример. Вычислить j Yа* — х2 dx (а >■ 0).
о
Положим х = a sin t. Если t пробегает отрезок ^0, , то х
пробегает отрезок [0, а]. Следовательно,
Я Я
2 2
| ]/а2 — x2dx = J a2 cos2 / dt = a2 J 1 =
Я Я
2 2
Я
2 —
так как f cos 2* dt = s-n02< 12 = 0.
J 2 |0
Обращаем внимание читателя на то, что при замене переменной
пределы интегрирования, как правило, изменяются.
Теорема 3. Пусть функции и и v имеют непрерывные
производные на отрезке [а, Ь\. Тогда
ь ь ь
j* uv' dx = и (х) v (х) | —Ju'vdx. (5)
* Или хотя бы в том, может быть, более широком промежутке, где функция f
непрерывна.
111
Доказательство. Из формулы (uv)' = uv' + u’v сле¬
дует, что
ь ь
J uv' dx -j- j* uv’ dx = и (x) v (x) |* ,
a a a
а это и дает формулу (5).
я
У
Пример. Вычислить j cosnx dx, где п — натуральное
о
число.
Разбивая подынтегральную функцию на два сомножителя
cos"-1 х и cos х и объединяя cos х с dx, полагаем
и = cosn-1x, dv = cos х dx.
Тогда
du = — (n — 1) cos"-2 x sin x dx, v = sin x
и по формуле (5)
Я
2
j cos" xdx = cos"-1 x sin x |q2 + (n — 1) J cos'1-2* sin2 x dx. (6)
Я Я
2 JL 2
Внеинтегральный член равен нулю. В этом и сказывается пре¬
имущество применения в данном примере способа интегрирования
по частям непосредственно к определенному интегралу. Если бы
мы сначала с помощью интегрирования по частям вычисляли неоп¬
ределенный интеграл, а уже потом воспользовались формулой
Ньютона—Лейбница, мы имели бы дело с более громоздкими вы¬
ражениями.
Обозначим искомый интеграл через Jn. Подставляя в (6)
1 — cos2 х вместо sin2 х, мы придем к равенству
JП “ (п 1) (Jл-2 Jn)
ИЛИ
Jn п п~2'
Таким образом, мы получаем рекуррентную формулу. Эта формула
позволяет свести вычисление Jn к вычислению J0, если п четное
и к Ju если п — нечетное. Но
я. _я
2* ~2~ JL
J0 = \ dx = 4г > Л = I cos xdx = sinxl =1,
о^о 0
112
а тем самым легко вычислить Jn и при любом п. Например,
Нетрудно составить и общие формулы:
Замена переменной и интегрирование по частям могут быть
иногда использованы для получения некоторой информации об
интеграле без непосредственного его вычисления. Приведем один
пример такого типа.
Пример. Определить знак интеграла
[я, 2я], но эти функции не обращаются в 0 тождественно, J1 > О
и J2 < 0. Остается выяснить, каково соотношение между Jl и
| У21. С этой целью произведем в интеграле по промежутку
[я, 2я] замену переменной по формуле х = у + я. Тогда у будет
пробегать промежуток [0, я], dx — dy, sin х = —sin у и
Обозначая переменную интегрирования снова буквой х, **
имеем
* Здесь подынтегральную функцию можно считать непрерывной на всем
отрезке [0, 2л], если принять, что при х = 0 ее значение равно 1.
** Ясно, что обозначение переменной интегрирования не играет никакой
роли в определении интеграла. Ведь для любой функции
(л— 1) (л — 3)-- -1 я
п(п — 2) • • • 2 * 2
• -у при п четном,
Jn = (п „ 3>о ;-2 при п нечетном.
п(п — 2)- • -3
2л
0
Л
2л
0
Л
cirj у Sin X
Так как —-— ^0 на отрезке [0, я] и —-— 0 на отрезке
ь
ь
J f(x)dx=\f(y)dy = F(b)-F(a),
а
а
где F — первообразная для /.
8 Б. 3. Вулих и др.
113
Теперь из неравенства
sin х ^ sin х
х + п ^ х~*
которое справедливо при всех х 6 [0, я) (при х = я оно пере¬
ходит в равенство),* сразу следует, что |/2| < Ju а потому +
+ / 2 0.
Упражнения
Вычислить интегралы:
2 In 3
10* 1Ь j V~*=Tdx;
1 О
1 1
12. Jx arctg jtdx; 13. J (1 — x2)ndx;
Я
3 4
14. | хгУ9 — x2dx; 15. J co$P2xdx.
о о
16. Доказать, что если функция f — четная, то
а а
j fdx= 2 jfdx,
—*а О
а если f нечетная, то
а
J f dx = 0 (а>0).
—а
Указание. Разбить промежуток интегрирования на две
части [—а, 0] и [0, а] и в первой из них сделать замену переменной
по формуле х = —/.
§ 4. Интегральные суммы
Интеграл тесно связан с некоторым процессом суммирования,
к описанию которого мы сейчас и переходим.
Пусть функция / задана на отрезке [a, ti\. Разобьем этот отре¬
зок на конечное число отрезков. Точки деления занумеруем в на-
* При х — 0 мы условились считать, что правая часть неравенства равна 1.
114
правлении от а к Ъ. Например, если а < Ъ (этот случай мы и будем
дальше рассматривать), то имеем
а = х0 < Хг <• • •< хп = Ь.
Положим Ахi = х*+1 — Х[ (i = 0, 11). Само разбие¬
ние обозначим буквой т, а величину г (т) = max kxt назовем ран¬
гом разбиения т.
Теперь на каждом из отрезков [*,, дг<+1] возьмем произвольную
точку (хi ^ х,+1) и составим сумму
<т(т; lo. Si, .... !»-i) ="S/WIbci.
i = 0
Эта сумма называется интегральной или суммой Римана*. Из
самого определения видно, что интегральная сумма зависит как
от разбиения т, так и от выбора промежуточных точек £/.
Теорема 4. Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь]9
ъ
то ее интеграл J / dx есть предел множества интегральных сумм
а
Ь
( fdx = Нт<х(т; So. Si. •••. Sn-i). (7)
J г (Т)->0
Однако чтобы эта формулировка имела смысл, нужно опреде¬
лить, что понимается под соотношением (J). Ведь предел в этой
формуле не включается в известное нам понятие предела обычной
функции. Будем понимать равенство (7) следующим образом:
для любого е > 0 существует такое б > 0, что при любом .раз¬
биении т отрезка [а, Ь], у которого г (т) < б, и при любом выборе
промежуточных точек ^
ь
ofo S0. Si. • • м ln-i) — \fdx
<г (8)
Доказательство теоремы. По теореме Кантора
функция / равномерно непрерывна на отрезке [а, Ь], следова¬
тельно, для любого заданного е > 0 существует такое б > 0,
что если \х' — *"| < б, то
\f(x')-f(x")\<T^. (9)
Покажем, что это 6 и есть требуемое в том смысле, что неравенство
(8) выполняется, как только г (т) < 6.
Итак, пусть т — разбиение отрезка [а, Ь\9 у которого ранг
г (т) < 6. Пб теореме о среднем значении на каждом из отрезков
* Б. Риман (1826—1866) — немецкий математик.
8*
115
I*/. xi+1] находим такую точку £*, что
*/+1
J fdx = f(l't)Axi (i — 0, 1, n— 1).
Суммируя все эти равенства, получаем
ь
j* fdx = о*,
а
где
л—1
а* = а(т; & & = 2 /($ Д*,.
i=О
Теперь берем произвольные промежуточные точки
<jc/+i). Тогда
Теорема доказана.
Эта теорема служит обоснованием простейшего метода при¬
ближенного вычисления интегралов. Теорема показывает, что
если в качестве приближенного значения интеграла взять интег¬
ральную сумму, т. е. принять
то полученная при этом погрешность может быть сделана сколь
угодно малой. Нужно только использовать разбиение с достаточно
малым рангом.
К приближенному вычислению интегралов мы вынуждены
прибегать в первую очередь в тех случаях, когда первообразная
не выражается в виде элементарных функций и, следовательно,
U6
ь
о (г; to, |lt ..., b_i)— J fdx=a(т; |0, llt ..., — a* =
a
/i—l
л— 1
л— 1
Л— 1
b
J fdx xx 2 f(li)bxh
(10)
a
формула Ньютона—Лейбница не позволяет вычислить интеграл
точно. Впрочем, на практике приближенными способами вычисле¬
ния интегралов пользуются часто и тогда, когда точное вычисление
по формуле Ньютона—Лейбница хотя и возможно, но приводит
к громоздким выкладкам.
Для того чтобы интегральная сумма приводила к более удобным
приближенным формулам, используют разбиение промежутка
интегрирования на равные части. При этом, если их число равно п,
то все = —— . Если положить |г = х( при всех i = 0, 1, . . .,
. . ., п — 1, то получается следующая приближенная формула
a t=0
которую называют формулой левых ординат. Если же принять
If = */+1 (t = 0, 1, . . ., п — 1), то мы придем к формуле правых
ординат
J fdx^=^^~ /(*,).
a t=l
Можно выбрать и иначе, например, положить + ,
т. е. выбрать в качестве |* средние точки промежутков лг4+1].
Тогда мы получим формулу средних ординат.
Все формулы вида (10) называют формулами прямоугольников
благодаря тому, что правую часть можно истолковать как площадь
фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями, рав¬
ными Ь~~а , и с высотами f (£,).
Пример. С помощью формулы средних прямоугольников
1
при п = 5 вычислить J ^ f* ,. Выкладки провести с тремя зна-
0
ками после запятой.
Имеем / (дг) = у-q!—* ; х0 = 0; хг = 0,2; дг2 = 0,4; х3 = 0,6;
дг4 - 0,8; дг6 = 1; |о = 0,1; U = 0,3;|2 = 0,5; g, = 0,7; g* = 0,9;
= 0,2.
п
Подставляя значения в выражение / (дг), находим
/ (|0) = 0,990; / (I,) = 0,917; f (|2) = 0,800; f (|3) = 0,671;
/ (У = 0,553.
Теперь, на основании формулы средних прямоугольников,
1 4
[ггт*^°«22 /(Ь)^ 0'786.
о 1=0
117
В данном примере мы имеем возможность вычислить интеграл
точно:
1
с dx ^ 1 я
)т+^= arctg* 0 = 1-
о
Полученный нами выше приближенный результат можно рассма¬
тривать как приближенное значение для —■. Если испо'льзовать
известные в математике выражения для л с большим числом деся¬
тичных знаков, то можно подсчитать, что = 0,785398. . ..
Таким образом, погрешность найденного нами приближенного ^ре¬
зультата меньше 0,001. Увеличивая п, мы смогли бы без особого
труда получить приближенный результат с еще большей степенью
точности.
§ 5. Аксиоматическое определение интеграла
Рассмотрим всевозможные непрерывные функции, каждая из
которых задана на некотором промежутке (произвольного типа).
Каждой паре, состоящей из какой-нибудь непрерывной функции f
и отрезка [а, Ь\* входящего в тот промежуток, на котором f
задана, сопоставим вещественное число, обозначаемое Jba (f).
Иными словами, J — отображение множества указанных пар
в множество вещественных чисел. Поставим вопрос: какими свой¬
ствами должно обладать отображение J, чтобы оно «совпадало
с интегралом»? Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 5. Для того чтобы
ь
Jba(f) = \fdX
а
для любой непрерывной функции f и любого отрезка [а, Ь]9 содер¬
жащегося в ее области задания, необходимо и достаточно, чтобы
отображение J обладало следующими свойствами:
I. Ja(/) + Jc (/) = Jba(f), если a<c<b;
II. если f (x) ^ g (x) на отрезке [a, b\ (f и g — непрерывные
функции), mo Ja (f) Ss Ja (g)J
III. если f (x) = k jia [a, b] (k — постоянная), mo Jb„ if) =
= k (b — a).
Доказательство. Необходимость условий I—III вы¬
текает из того, что этими свойствами обладает интеграл. Будем
доказывать достаточность.
* Рассматриваемые в этом параграфе отрезки считаются ориентированными
«слева направо», т. е. предполагается, что а<Ь.
118
Пусть функция / непрерывна по крайней мере на отрезке
[а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь\ на п отрезков сг помощью точек
а = *0 < <••••<*„ = Ь. Положим
Mt = max f (х), mt = min / (*)
(j = 0, 1, .... n— 1).
Из неравенства mt ^ f (x) ^ M( при x 6 [*ь хм\ и условий
II—III сразу следует, что
mi (XU1 — xi) < jXx\*1 (/) ^ (xi+1 — Xi).
Суммируя почленно все эти неравенства и используя при этом усло¬
вие I, получаем
Л—1 Л—1
Е mi kxt ^ Jba (/) < S М, Дxt.
i= 0 i=0
Аналогичное неравенство, с помощью тех же свойств I—III, по¬
лучается и для интеграла:
л—1 Ъ л-1
2 mi ДXi ^ f / dx ^ 2 Mi Дxt.
i=0 a i=0
Совершенно так же, как и в предыдущем параграфе (при оценке
разности а — а*), можно показать, что если е > 0 —произволь¬
ное, то
л-1 л-1
2 Mt Дxt — mi Л** < e
i =0 i =0
для любого разбиения с достаточно малым рангом. Таким образом,
ь
Jbif) и j f dx заключены между числами, разность между ко-
а
Ъ
торыми может быть сколь угодно малой. А тогда J% (f) = J f dx.
a
Из доказанной теоремы следует, что мы могли бы определить
интеграл как отображение, обладающее свойствами I—III. Однако
если бы мы исходили из такого определения, мы должны были бы
в первую очередь доказывать, что отображение, обладающее свой¬
ствами I—III, существует и единственно. При таком способе изло¬
жения, которого мы придерживаемся сейчас, мы просто показали,
что интеграл, ранее определенный с помощью формулы Ньютона—
Лейбница, как раз и приводит нас к тому единственному отобра¬
жению, которое обладает свойствами I—III.
§ 6. Интеграл от кусочно-непрерывной функции
Как известно, функция / называется кусочно-непрерывной на
отрезке [а, 6], если она непрерывна во всех точках этого отрезка,
за исключением конечного числа их, и притом все разрывы I рода.
119
Сейчас мы распространим определение интеграла на кусочно¬
непрерывные функции.
Будем далее для определенности считать, что а < Ь. Пусть f
кусочно-непрерывна на \а, 6]. Занумеруем слева направо все ее
точки разрыва, присоединяя к ним также концы отрезка а и Ь:
Тогда на каждом из отрезков [с*_х, с*] функция / непрерывна во
всех его внутренних точках. Кроме того, поскольку все разрывы
I рода, существуют конечные пределы
Каждая функция фА определена и непрерывна на отрезке [c*_lt с*]
интегралы, определим теперь интеграл от функции f по отрезку
[а, Ь\ формулой
Аналогично определяется интеграл от кусочно-непрерывной
функции и в случае, когда а > Ь.
Заметим, что при этом определении значения функции f в самих
точках разрыва не влияют на величину интеграла.
Опираясь на определение интеграла по формуле (11) и доказан¬
ные в § 1 свойства интеграла от непрерывной функции, легко
проверить, что почти все эти свойства переносятся и на интеграл
от кусочно-непрерывной функции. Исключение составляют только
свойства 9° и 10°. Именно 9° приобретает следующий вид: если
рывна. В 10° записанные там формулы дифференцирования ин¬
теграла по переменному пределу остаются в силе во всех тех точ¬
ках, где / непрерывна.
а = с0 < сх <• • •< ср == Ь.
f(Ck-1+0)= lim f(x), f(ck — 0)= lim f(x).
x->ck-i+°
x->Cfe—0
Введем теперь функции
f(x) При Ck_i < X < Сь,
Щ (x) = f (c*_! + 0) при x = ck_lt
f(Ck — 0) при x = ck
(*=1,2 p).
и потому интеграл
уже определен. Используя эти
ь
Р ск
k=\ сЛ-1
(11)
а
Ъ
f (х) 0 и | fdx = 0 (а Ф Ь), то f (х) = 0 всюду, где f непре-
а
120
Теорема о среднем значении для кусочно-непрерывных функций
будет выглядеть так: если m = inf / (дг), М — sup / (дг) (на отрезке
[а, 6]), a g (дг) ^ 0, то
ь ь
I fgdx = *1 J gdx,
а а
где (I — некоторое число, заключенное,между т и М.
На замене переменной и интегрировании по частям для ин¬
тегралов от кусочно-непрерывных функций мы не останавливаемся.
§ 7. Несобственные интегралы
В этом параграфе интеграл будет определен для еще более
широкого класса функций. Начнем со следующего определения.
Пусть функция / непрерывна на полузамкнутом промежутке
[а, Ь) (здесь а — конечное, а < b «s +оо), a F — ее первообраз¬
ная.. Интеграл от / определяется формулой
ь
( fdx= lim F(x) — F(a), (12)
а x-^b—О
если указанный предел, конечный или бесконечный (определенного
знака), существует. Иными словами,
Ь х
f fdx = lim f fdx.
a x~>b—0 a
Интеграл, определяемый формулой (12), и называется несобствен¬
ным. Если он имеет конечное значение, то говорят также, что он
ь
сходится; если же j / dx — ±оо или вообще не имеет смысла, то
а
принято говорить, что несобственный интеграл от функции /
расходится. Здесь используется та же терминология, что и в теории
рядов. По поводу подынтегральной функции в рассматриваемом
случае принято говорить, что она имеет особенность в точке Ь.
Заметим, что если‘& конечно, а функция f непрерывна на всем
отрезке [а, &], то несобственный интеграл от нее совпадает с «соб¬
ственным», определяемым по формуле Ньютона—Лейбница. Дей¬
ствительно, в этом случае первообразная Fопределена и непрерывна
на всем отрезке [а, 6], и потому
ь
[ fdx = lim F(jc) — F(a) = F(b) — F(a).
a x->b—0
К «собственному» интегралу несобственный сводится и тогда,
когда f задана и непрерывна на [а, Ь) и имеет конечный предел
f (Ь — 0) (Ь <С +оо). Ведь в этом случае функция / может быть
доопределена в точке b с сохранением непрерывности. Таким обра¬
121
зом, несобственный интеграл представляет существенно новое
понятие, если Ь конечно, но функция / не имеет конечного предела
в точке Ь, или если Ь = +©о.
Почти все свойства интеграла, установленные в § 1, перено¬
сятся и на несобственные интегралы. Сформулируем некоторые
из них.
а) Если а < с < Ь, то
Ь с- Ь
| fdx= | fdx + J fdx,
а а с
где два крайних интеграла — несобственные, причем из сходимости
одного из них вытекает сходимость другого. >
Для доказательства достаточно, считая, что с < х < Ь, за¬
писать равенство
F (х) — F (а) = [F (с) - F (а)] + [F (х) - F (г)]
и перейти в нем к пределу при х —> b—0. При этом сходимость
ь ь
обоих несобственных интегралов J f dx и J f dx означает одно
а • с
и то же: существование конечного lim F (х).
х-+Ь—0
ь ь ь
б) j (/ + g)dx = I fdx ± J gdx;
a a a
при этом все три интеграла понимаются как несобственные и
из сходимости двух из них вытекает сходимость третьего. Та же
формула, в частности, справедлива и тогда, когда один из интег¬
ралов- — «собственный».
ь ь
в) J kf dx = k § f dx (k — постоянная).
a a
b
При этом из сходимости интеграла J f dx вытекает сходимость
а
Ь
интеграла J kf dx (обратное заключение справедливо при k =/= 0).
а
Доказательства утверждений б) и в) очевидны и мы рекомен¬
дуем читателю провести их самостоятельно.
Совершенно аналогично можно определить несобственный ин¬
теграл и для функции /, имеющей особенность в точке а, т. е. не¬
прерывной на промежутке (а, Ь]:
ь
f fdx = F (b) — lim F (х)
а ' х->а+0
(здесь —оо ^ а < b < +оо, F — первообразная для /). Если же f
непрерывна на интервале (а, Ь), за исключением, может быть,
122
какого-то конечного числа его точек (эти точки вместе с концами
интервала (а, Ь) мы считаем особенными для /), то мы разбиваем
интервал (а, Ь) на конечное число промежутков так, что в каждом
из них функция / имеет только одну особенность и именно на одном
ь
из его концов. Тогда J f dx определяется как сумма несобственных
а
интегралов от / по всем упомянутым промежуткам (если все эти
интегралы сходятся). Например, если / непрерывна на всей оси*
то
4-оо С -{-оо
| f dx = J/dx+f fdx=[F(c)— lim F(x)] +
-» -оо с
-f [ lim F (x) — F (c)] = lim F (x) — lim F (x).
Х-»4-оо X->-\-oo x ->—oo
-f 00
Ясно, что при таком определении интеграл j / dx не зависит от
—оа
выбора точки с.
+С0
Примеры. 1. J -J^a- = arctgх\ ” =
= lim arctgх — arctg 0 =
оо
Я
2. f — ^ = arcsin х
J V\-x*
1 _n_
о - Т
Здесь мы сразу указали в правой части подстановку |0, тогда
как по определению мы должны были брать предел первообразной
при х—* 1. Но благодаря непрерывности первообразной это одно
и то же.
1
Г* dx
3. I -j- (р > 0). Здесь подынтегральная функция имеет осо-
о
бенность в точке х — 0.
Пусть сначала р ф 1. Тогда первообразная для —выражается
дср
через степенную функцию, а именно
,i-p
fw—Г=т-
IJ- оо
нужно понимать как вычисле¬
ние lim F (х) при х -► +оо.
12S
Следовательно,
i
С dx _ xv~
) * ~ 1 -
Д-р
~р
l = TJ lim
о * — Р 1 — Р
Но
Поэтому
, 0, если />< 1,
lim
lim хх~р — I
->+o I
l если p^> L
r dx
I xp
о I +oo, если p> 1 (интеграл расходится).
Наконец, если р = 1, то
1
[ = In х 1 = In 1 — lim In x = +oo.
J X 0 ir-v-4-0
Jt-»+0
dx
Таким образом, \ —(p > 0) сходится только при p < 1,
J xp
о
а при p ^ 1 он расходится.
+ 00
f* Ay
4. \ (p > 0). Так же как и в предыдущем примере,
J хр
1
сначала рассматриваем случай, когда р ф 1
1_ АЛ
dx х1~р
хр 1 — р
1
Отсюда видно, что
+ 00
Г —
J *р ~
+“ .. Xх-Р 1
= lim :
1 H+J-p 1 -р
1 , если р > 1,
р — 1
+оо, если р < 1.
f - = In лг = lim In х — In 1 = -f оо.
J X 1 A->-j-oo
1
Если p = 1, то
dx
l
+ oo
fdx
—j- (p > 0) сходится при p > 1 и расхо-
X
1
дится при р ^ 1.
124
Для несобственных интегралов можно установить ряд при¬
знаков сходимости совершенно аналогичных признакам сходи¬
мости рядов. Приведем некоторые из них. Все формулировки мы
ь
даем для интеграла j / dx, в котором подынтегральная функция
а
имеет одну особенность в точке b. F — первообразная для /.
ь
I. Для сходимости несобственного интеграла J / dx необхо-
а
димо и достаточно, чтобы
X"
| fdx—* 0 при х', х"—*Ь — 0. (13)
X*
Ь
Действительно, сходимость интеграла J f dx означает суще-
а
ствование конечного lim F (дг), а для этого по признаку Боль-
х->Ь—0
цано—Коши необходимо и достаточно выполнение условия
lim [F(x") — F(x')] =0.
х', х"->Ь-0
Но это и есть иначе записанное условие (13).
ь ь
II. Если J \ f\dx сходится, то j f dx тоже сходится. В этом
а а
Ъ
случае интеграл J f dx называется абсолютно сходящимся.
а
Действительно, по предыдущему признаку
хГ
j |/1djc —*0 при х', х"—>Ь — 0.
X*
Но тогда (см. предложение 7° из § 1) и
л"
J fdx—> 0 при х', х"—*Ь — 0,
X'
и мы можем еще раз сослаться на предыдущий признак.
ь
III. Если f (дг) Зг 0, то для сходимости j f dx необходимо и
а
х
достаточно, чтобы интеграл J / dx как функция от х был огра-
а
ничен на всем промежутке [а, Ь).
В самом деле, если f (дг) ^ 0, то F — возрастающая функция,
а тогда ее ограниченность необходима и достаточна для существо¬
вания конечного lim ^(л*).
х->Ь-0
125
IV (1-й признак сравнения). Если f (х) ^ g (х) ^
b ь
5= 0 * и J f dx сходится, то J g dx тоже сходится.
а а
х
Этот признак вытекает из III, если учесть, что 0 «s
а
х
^ J / dx при всех *6 [а, Ь).
а
V (2-й признак сравнения). Если / (дс) ^ О,
f (х)
g (дс) > О и lim . . = k, причем 0<£< +оо, то интегралы
х-*ь—о 8\х)
ь ь
j / dx и J g dx или оба одновременно сходятся или оба одновре-
а а
менно расходятся. Если же k = 0, то из сходимvcmu второго из
указанных интегралов вытекает сходимость первого из них9 ажли
k = +оо, то из сходимости первого интеграла вытекает сходи¬
мость второго.
Предоставляем читателю самому доказать этот признак по
образцу доказательства аналогичного признака для' рядов.
Приведем примеры на применение признаков сравнения*
1
dx cos х 1
5. Так как интеграл \ сходится, а 0<—
J Ух Ух Ух
о
1
р COS X
при всех х 6 (0, 1], то из IV вытекает, что J —dx тоже схо¬
дится.
4-оо
6. Сходимость интеграла J 1 вытекает с помощью V
1
+ 00
Г dx
из сходимости I -^2“ и соотношения
1
X
lim j = lim ---j—р = .
_L х-у» 2*3 -1 2
хг
7. Исследовать интеграл
J — J (Здс4 — дс2) е~х‘ dx.
Докажем сходимость интеграла J двумя способами.
* Функция g так же, как и /, имеет одну особенность в точке Ь*
126
1-й способ. Представим интеграл J в виде суммы двух
интегралов
a -foo
J = J (Зх4 — х2) ё~х' dx + J (Зх4 — х2) е~х‘ dx = Jt + J2,
где а — произвольное положительное число. Интеграл J у — соб¬
ственный. Проверим сходимость интеграла У2.
Известно, что при х —» +оо функция е* обладает более высоким
порядком роста, чем функция х®, где а — любое положительное
число, т. е.
lim = 0 (а > 0).
*-►+00 (Г
Таким образом, е*>х“ для достаточно больших х (а > 0).
Так как > ех, если х > 1, то тем более ехХ > Xя при достаточно
больших х, следовательно, если х достаточно велико, то
0< 3x4 IT*8 < 3**7*г (а>0).
<Г X
Будем считать а фиксированным и большим 5, а число а выбе¬
рем так, что предыдущее неравенство выполнено при х ^ а.
Рассмотрим интегралы
J, = +\ {3xA-x7)e~x'dx и у3 =7^^-dx
a J х
а
и покажем, что 73 сходится.
Действительно,
Зх* — х* Зх* 3
ха *->+.. х“-4 •
+ 00
Но j а_4' сходится, поскольку а — 4 > 1 (см. пример 4),
а
значит по 2-му признаку сравнения сходится и Ja. Тогда из 1-го
признака сравнения вытекает сходимость интеграла J2, а тем
самым, доказана сходимость интеграла J.
+ оо !
Г —X1
2-й способ. Рассмотрим J е 2 dx. Этот интеграл схо¬
дится (убедитесь в этом самостоятельно), и так как
Нш О S-f)e-x* = 0j
Х->+оо -Х-Х*
е 1
то из V вытекает и сходимость J.
127
8. Исследовать интеграл
/-Т -?|Х71\ dx.
J Xs + дса + 1
Подынтегральная функция имеет две особенности: при х = 2
и при х = +оо. Разобьем промежуток интегрирования на два:
[2, а] и [а, +оо), где а > 2. Тогда
/ _ f In (jc — 2) j I ~*f In (x — 2) j w . .
J ~ J '*•+*• + ! dX+ J *• + *• + ! dx-Ji+Jv
и в каждом из интегралов и /2 подынтегральная функция имеет
одну особенность.
Рассмотрим интеграл Как известно,
lim | In г \ = О при любом а > 0.
г-»+0
Следовательно,
lim (дс — 2)а | In (х — 2) | = 0,
*-*2+0
откуда
1 In (дс — 2) |
lim «‘ + f + 1 = О
х->2+0 1
(х — 2)“
(следует учесть, что lim (х6 + х2 + 1) = 37 конечен и отличен
х->2
а
л dx
от нуля). Но интеграл I — сходится при а<1 (см. анало-
2
а
о\ Г \\п(х — 2) | .
гичныи пример З), а потому сходится и интеграл J ^ - ах,
2
т. е. интеграл Jx абсолютно сходится.
Обратимся теперь к интегралу У2- Так как
lim = 0 при любом ос>0,
г->+оо га
ТО и
lim .!"(*72) — Q.
128
. va
ДС-> + оо X
Отсюда вытекает, что если взять а < 5, то
In (ж: — 2)
Пш * + *+V = lim .у. ^ In (х — 2) =
*->-{-00 1 *->-{-00 Т»
дс6 1п(х —2) Л
= il?.7+7Tr~^ = 0-
+ 00
с* dx
Следовательно, из сходимости интеграла \ —— при а •> 1 вы-
а
текает сходимость J2. Таким образом, интеграл J сходится (и,
конечно, абсолютно).
9. Выяснить, при каких значениях параметра р (р > 0) схо¬
дится интеграл
, = Т (e-9/x'-e~l6nPdx.
о
Подынтегральная функция имеет две особенности: при х = О
и при х = +оо. Найдем предел подынтегральной функции при
х —» 0. Так как 9/х2 —> +оо, 16/х2 —» +сх> при х —» 0, то е-9/** —> О,
е-16/Jt* о при х —> 0, и существует конечный предел подынтег¬
ральной функции при х —* 0. Таким образом, интеграл от данной
функции по промежутку, прилегающему к точке х = 0, сводится
к собственному и остается исследовать поведение подынтегральной
функции только при х —> +оо. Для этого рассмотрим
+ 00
j (е-9/** — g-i6/**)p dx (а > 0).
Известно, чтое* — 1 ~ г при г—* 0. Таким образом, при х —» +оо
e-9/*«_i 9 е-1б/** _ j _ _ je
Хг ’ X2
Теперь уже легко проверить, что
е-9/дс» _g-16/ж* 7
.*-►+00 Х
Действительно,
lim е-9/*‘ -е-'Ы*' Um (^-D-te-W/*»-!) _
х‘
= lim е Ч*' ~1 lim е 16/Х‘~1 = —® + -£ = 1.
Х->+оо / *-*+00 1 ' 1
X* Xа
9 Б. 3. Вулих в др> 129
Далее,
(e-w-e-wy ~ -J- (Р> 0).
X -> -|-оо ДГ^
+00
Но интеграл J (а > 0) сходится при 2р> 1 и расходится при
а
2р С 1 (см. пример 4), т. е. сходится при р > -L и расходится
при р < Тогда по 2-му признаку сравнения интеграл
+"
J (е-9/** __e-i6/Xydx
а
сходится при р > —■ и расходится при р -у •
То же заключение справедливо и по отношению к интегралу У,
поскольку его особенность на левом конце промежутка интегри¬
рования устраняется.
Способы интегрирования по частям и замены переменной могут
применяться и для вычисления несобственных интегралов.
Пусть функции и и v имеют непрерывные производные и' и о'
на промежутке [а, Ь). Возьмем сначала х < Ь и применим формулу
интегрирования по частям на промежутке [а, х]
X X
| uv' dx = и (х) v (дс) |* — j vu' dx
а а
(внеинтегральный член в развернутом виде должен выглядеть
так: и (х) v (jc) — и (a) v (а)). А теперь переходим к пределу при
х —» Ь — 0. Получим
ь ь
| uv' dx= и (jc) v (jc) j* — J vu' dx. (14)
a a
Здесь подстановка числа b Означает, что нужно взять lim и (дг) v (х).
х->Ь—О
Формула (14) и есть формула интегрирования по частям. Она имеет
смысл, если оба несобственных интеграла сходятся (в частности»
если интеграл справа окажется «собственным», т. е. если vu' будет
иметь конечный предел в точке b и существует конечный
lim и (х) v (дс)). Иными словами, все три члена формулы (14) должны,
х ->Ь—О
иметь конечные значения. Однако из свойств предела суммы сле¬
дует, что если какие-нибудь два из трех членов формулы (14) <
имеют конечные значения, то третий тоже будет иметь конечное
значение.
Пример. Проверить сходимость интеграла J —
2
= J In sin jc dx (здесь особенность — в точке х = 0).
130
Полагая и — In sin х, dv = dx и применяя формулу (14),
находим
— —
2 я 2
| lnsinx</x = jc In sin jc T— | x dx.
Последний интеграл можно рассматривать как собственный,
поскольку lim jc c°s* = 1. Для внеинтегрального члена с помощью
дг->0 Sln х
правила Лопиталя находим
limxlnslnx = lim = Ит = lim = 0.
дс->+0 _L х.->+0 jc->0 sm*
X X2
Следовательно, интеграл слева тоже имеет конечное значение,
т. е. сходится.
Покажем, как можно установить сходимость того же интег¬
рала J и не прибегая к формуле интегрирования по частям.
При любом а > 0 имеем
lim *ln ^in * * = lim (slnax| In sin jc [) =
*•>+0 _L *->+o sin®* 17
= lim (—£■—Yx(sln“x|lnslnx|) = 0
x->+o\ sin* J 1 ■'
(здесь мы использовали формулу lim z“ ln z = 0.) Но интеграл
z->+0
n
2
сходится при a < 1, а тогда, по второму признаку сравнё-
2
1
ния сходится и интеграл J.
ь
Пусть теперь дан несобственный интеграл j f dx с особенно-
а
стью в точке Ь, и пусть на промежутке [а, р) задана строго возра¬
стающая функция ф с непрерывной производной, причем ф (а) =
— a, lim ф (0 = Ь. Беря сначала промежуток (a, t), где t < р,
—о
и полагая х = ф (f), запишем равенство (см. формулу (4))
х t
lHx)dx = \f[q,(t)]<t'(t)dt.
а а
Переход к пределу в этом равенстве при / —* (5 — 0 (что равно¬
сильно х—*Ь — 0) и приводит нас к формуле, не отличающейся
9* .131
по виду от формулы (4). При этом сходимость одного из интегралов
влечет сходимость другого.
Я
2
Пример. Вычислить J = J In sin дг dx (сходимость этого
о
интеграла уже проверена выше).
Подстановка х = 2t (о <: t приводит нас к равенству
Я.
4
J = 2 J (In 2 + In sin t + In cos t) dt =
П Я
4 4
= In 2 + 2 j In sin t dt + 2 f In cos t dt.
о о
В последнем интеграле (он — «собственный») производим замену
переменной t = и. Тогда и пробегает отрезок , -j-] ,
dt = —du, и
_Я Л_
4 2
J In cos tdt— J In sin и du.
0 Jt
4
Подставляя в предыдущее равенство и складывая оба интеграла,*
находим
y=-f In2 + 2J,
откуда J = ^ In 2.
Упражнения
Исследовать сходимость интегралов:
>7- т,8- 71055v"7* *•.
О О
я я я
4 2 2
* | In sin t dt + | In sin udu= J In sin tdt = J. Различие в обозначе-
o _я о
4
ниях переменной интегрирования никак не сказывается; важно, что подын¬
тегральная функция имеет одно и то же аналитическое выражение.
132
4-00 4-°®
19. J (2*3 —3x + Oe-^dx; 20. j -^-fdx;
0 0
2,-I
£t
4
In (sin 2*)
v-
о /JC
dx.
При каких значениях параметров р и q сходятся следующие
интегралы:
Я
22. j х"-1 (1 — х)’-1 dx; 23. Г dx.
о J *
+ ~ -у
24' J ^2 +°зУ ^ 2S- J
§ 8. Интегральный признак сходимости положительных рядов
Приведем теперь признак сходимости рядов, основанный на
сравнении рядов с несобственными интегралами.
Введем прежде всего следующее понятие. Функция /^опреде¬
ленная на промежутке [1, -foo), называется производящей функ¬
цией ряда
Е в«. (15)
п—1
если ее значения в целых точках совпадают с соответствующими
членами ряда, т. е. / (я) = ап (п = 1, 2, . . .).
Если функция / непрерывна, то можно рассматривать не¬
собственный интеграл
+ 00
5 fdx. (16)
1
В общем случае сходимость этого интеграла не связана со сходи¬
мостью ряда. Однако для положительных рядов имеет место сле¬
дующий результат.
Теорема 6. Пусть положительный ряд (15) имеет поло¬
жительную, непрерывную и убывающую производящую функцию
/.* Тогда ряд (15) и интеграл (16) сходятся или расходятся одно¬
временно*
Доказательство. Пусть п — произвольное натураль¬
ное число. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству
* Заметим, что положительность функции f вытекает из положительности
ряда и того, что функция / — убывающая,
133
п ^ х ^ п + 1, в силу монотонности / будет
йп+i = / (п + 1) <sS f (*) < f (п) = ап.
Интегрируя полученное неравенство по промежутку [«, п + 1],
получим
я+1
яЛ+1<
«+1
| fdx^an.
П
Положим Ьа — J / dx и рассмотрим положительный ряд
П
Е К. (17)
Л=1
Вычисляя его частичную сумму, получаем
т т л+1 m-fl
2 ьп = 2 f fdx== I fdx•
n—1 /1=1 Л 1
Так как функция f положительна, то несобственный Интеграл (16)
существует. При этом
-f-оо т-\-\ т оо
| fdx = lim f fdx= lim 2 = 2
1 "■»« 1 m-»00 n=l n—1
Таким образом, интеграл (16) и ряд (17) сходятся лишь одновре¬
менно.
Остается показать, что ряды (15) и (17) сходятся или расходятся
одновременно. Используем полученное выше неравенство а„+1 ^
^ Ьп^Оп- Если ряд (15) сходится, то по первой теореме сравне¬
ния рядов сходится и ряд (17). Если же ряд (15) расходится, то
00
расходится и его остаток после первого члена_, т. е. Е ам> а
П=1
тогда снова по первой теореме сравнения расходится и ряд (J7).
Теорема полностью доказана.
Приведем несколько примеров на исследование, сходимости
рядов с помощью интегрального признака.
оо
!• ^(*>0)-
Чтобы составить производящую функцию, достаточно заменить
п в выражении общего члена ряда на х. Получим f (х) = -jr.
X
Ясно, что на промежутке [1, +оо) эта функция удовлетворяет
всем условиям теоремы 6. Рассмотрим несобственный интеграл
4-о°
Известно, что этот интеграл сходится при а > 1 и рас-
*
1
ходится при а < 1. Тогда те же выводы справедливы и для дан-
134
4-°°
1
ного ряда. Тем самым мы доказали утверждение, сформулирован¬
ное в § 3 гл. I.
00
2* л Inn *
л=2
Ясно, что производящая функция f (дг) = j\nx УД°влетвоРяет
условиям теоремы 6 на промежутке [2, +оо). Исследуем интеграл
+ 00
J= f * .
J JC ln JC
2
Произведем замену переменной ln x = /; тогда = dt и
+ 00
У = f = In f +~ = lim (ln t — ln ln 2) = +00,
it Iln2 <->.+0.
In 2 ^
т. e. интеграл расходится. Следовательно, данный ряд тоже рас¬
ходится.
(Р>0, q>0).
Здесь производящая функция / (х) = и условия тео¬
ремы 6 выполнены на промежутке [2, +оо). Рассмотрим интеграл
+ 00
J- Г
J — J хПп Чх
2
и применим к нему подстановку In х = t. Тогда -у- = dt, х — е* и
J - J dt. (18)
In 2
Если р — 1, то этот интеграл принимает более простой вид
J
In 2
+00
-ff
и известно, что он сходится при q > 1 и расходится при <7 <: 1.
Если р >• 1, то интеграл (18) сходится при любом q >• 0. Дей¬
ствительно,
(p-1) t I
Следовательно, — <~/Г при всех достаточно больших
+ 00
t (t^t Т), а известно, что интеграл J сходится.
г
Наконец, если р < 1, то интеграл (18) расходится при любом
q > 0. Действительно,
е- (р-1) t
Следовательно, подынтегральная функция превосходит при до¬
статочно большом t любую положительную постоянную, а интег¬
рал по бесконечному промежутку от положительной постоянной
расходится.
Итак, данный ряд
сходится, если р> 1, а ?>О — любое, или если р = 1, 1,
и расходится, если р — 1, 0 < q 1, или если р < 1,
a q > 0 — любое.
Упражнения
Выяснить, при каких значениях параметра р сходятся следу¬
ющие ряды:
00 00
26. ОР>0); 27. ft»0).
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1. 2. -|-(5 V2— 4). 3. 1 — -^-- 4. 1 j- 1пЗ.
9 л2 195
5. 0<J<0,02(l-e-50). в. <2я. 7. О 8. .
9.-i-. 10. -i" (arctg32--2-) . -11. 2 (V*- arctg VI). 12.-5 .
13. Д—(nl|, . 14. -Ц-я. 15. "if у - я. 17. Сходится. 18. Сходится. 19. Схо-
\Ztl lo olz
дится. 20. Сходится. 21. Сходится. 22. Сходится при р> О, <7>0. 23. Схо¬
дится при р < 3. 24. Сходится При р > — 2, <7> р + 1. 25. Сходится при
р| < 1. 26. Сходится при всех 0. 27. Сходится при р> 1.
ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Аддитивные функции отрезка
Если функция / непрерывна на отрезке [а, 6], то интеграл от
нее имеет смысл не только по всему отрезку [а, Ь], но и по любому
отрезку А = [а', Ь'], содержащемуся в [а, Ь\. Таким образом,
Ъ'
| f dx можно рассматривать как функцию отрезка, т. е. это есть
а'
отображение множества всех отрезков А с [а, b] в множество
вещественных чисел. В § 1 гл. III отмечено, что эта функция обла- i
дает свойством аддитивности (свойство 2°).
Перейдем к рассмотрению произвольных функций отрезка.
Пусть J = [а, 6] — некоторый заданный отрезок, а Ф — какое-то i
отображение множества всех отрезков A cz / в множество веще¬
ственных чисел. Все отрезки считаются в этой главе положи¬
тельно ориентированными, т. е. началом отрезка всегда служит
его левый конец. В частности, для основного отрезка J имеем
а <С.Ь. Отображение Ф мы и называем функцией отрезка. Для
краткости будем говорить, что функция Ф задана на отрезке J. 1
Функция Ф называется аддитивной, если для любого отрезка i
А с J и любого его разбиения на два неналегающих отрезка А!
и А а * выполнено равенство
Ф(А) = Ф(Д1) + Ф(А2).
Из определения аддитивности вытекает, что и для разбиения i
отрезка А на любое конечное число неналегающих отрезков i
Ai (i = 1,-2, ...,«)
Ф(Д) = £ Ф(А,).
/=1
* Иными словами, Л = U Дг» а отрезки Лх и Д8 имеют только одну общую
точку — общий конец.
137
Определение. Число р называется плотностью адди
тивной функции Ф в точке х0 6 [Д> Ь], если
где | Д | означает длину отрезка А, а предел берется при условии,
что | Д | —► 0, но при этом учитываются только те отрезки Д, ко¬
торые содержат точку х0.*
Введем вспомогательную функцию точки, заданную для всех
X € [а, Ь):
Лемма 1. Если р — плотность аддитивной функции Ф
в точке х0, то существует F' (х0) = р.
Доказательство. Считая, что х0 ф а, Ъ, докажем,
что правая производная F+ (дго) = р. Аналогичным образом дока¬
зывается, что F— (х0) = р. Если же хо равно а или Ь, то рассужде¬
ние очевидным образом упрощается.
Пусть Дх > 0, х = х0 + Д* Ъ. Из аддитивности функции Ф
следует, что
Заметим, что лемма 1 допускает обращение: если существует
F' (х0) = р, то р — плотность аддитивной функции Ф в точке х0:
Если плотность функции Ф существует в каждой точке
х € [а, Ь], то плотность сама является функцией точку. Обо¬
значим ее / (дг). Нас будет интересовать только тот случай, когда
эта функция непрерывна.
Лемма 2. Если для аддитивной функции Ф на всем от¬
резке J существует непрерывная плотность f, то
*о€ А
Ф([о» *])» если а<х«£&,
О, если х = а.
Ф ([а, + Ф (1*о. х}) = Ф ([а, х]).
Следовательно,
Ф «*о. *1) = F(x) — F (х0) = F (x0 + Дх) — F (х0).
А тогда
F+ (хь) = lim
F(x0 + Ax)-F (*„)
Д*->+0
ь
а
* Точный смысл написанного равенства: для любого е> 0 существует такое
б > 0, то Р | < 8 как только | А |< б и х0 6 А.
138
Доказательство. Построенная выше вспомогатель¬
ная функция F по лемме 1 — первообразная для f. А потому
ь
\fdx = F{b)-F{a) = <b({a, Ь)) = Ф(У).
а
Таким образом, для представления аддитивной функции от¬
резка с помощью интеграла полезно знать ее плотность. Остается
выяснить, как установить, что некоторая непрерывная функция
точки является плотностью для заданной аддитивной функции
отрезка. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть Ф — аддитивная функция отрезка,
заданная на отрезке J = [a, b], f — непрерывная функция точки,
заданная на том же отрезке J, u пусть каждому отрезку А с J
сопоставлены два числа МА и тд так, что выполнены следующие
условия:
1) тА | А | ^ Ф (A) ^ AfA | А | для любого Ас/;
2) тд «£ f (х) Мд для любого A cz J и для всех х 6 А;
3) Л1д — тд —» 0 при | А | —► 0.
Тогда f — плотность функции Ф, а
и
Ф (J)=\fdx.
Доказательство. Берем любую точку х0 6 J- Пусть
А — произвольный отрезок такой, что лг0£ Д cz J. Тогда из
первых двух условий теоремы сразу следует, что
I"TST— ^(^°)I ^мд~тд*
а по третьему условию —* f '(x0) при | А | —► 0. Тем самым
доказано, что / (дг0) — плотность функции Ф в точке х0. Остается
сослаться на лемму 2.
Замечание. Если в условиях теоремы положить
Мд = max / (jc). тд = min f(x), (1)
то для применимости теоремы достаточно проверить выполнение
условия 1), поскольку условия 2) и 3) выполняются автоматически.
Действительно, условие 2) вытекает из определения Мд и тд
тривиальным образом, а условие 3) есть следствие из равномерной
непрерывности функции /.
Хотя при указанном сейчас способе выбора Л1д и тд теорема
принимает наиболее простой вид, все же для некоторых приложе¬
ний приходится брать в качестве Мд и тд не точные границы
функции / на А и, таким образом, использовать теорему в ее общей
фЬрме.
139
§ 2. Площадь криволинейной трапеций
В элементарной геометрии устанавливается, как для некоторых
простейших плоских фигур определять и вычислять их площадь.
Однако методы элементарной геометрии не применимы для более
сложных фигур. В то же время математический анализ позволяет
для весьма широкого класса множеств ввести понятие меры, ко¬
торое является естественным обобщением площади и в простейших
случаях совпадает с площадью. Позднее в курсе математического
анализа будет разобрана конструкция, приводящая к определению
меры, и выяснено, насколько широк класс множеств, для которых
мера может быть определена. Сейчас же мы ограничимся аксио¬
матическим описанием меры, не проверяя, что такая мера дей¬
ствительно существует.
Итак, будем предполагать, что на плоскости выделен класс
множеств, называемых измеримыми, и на этом классе задана
функция fi, называемая мерой, обладающая следующими свой¬
ствами:
I) +оо для любого измеримого множества £;
II) любой прямоугольник измерим и его мера равна его пло¬
щади; *
III) любое множество, расположенное на одной прямой,
измеримо и его мера равна нулю;
IV) если Е — Ei U Е2, причем £х f| Е2 = А (пересечение
Ег и Е2 пусто)**, и если какие-нибудь два из этих множеств из¬
меримы, то третье тоже измеримо и при этом ц£ = |д.£х + fi£a
(аддитивность меры);
V) если для некоторого множества £ при любом е > 0 суще¬
ствуют такие измеримые множества Ех и £а, что £х с £ с £а
и что ц. (£г \ £i) < е, то £ измеримо.
Заметим, что из аддитивности меры вытекает ее монотон¬
ность: если £ и F измеримы и £ с: F, то |а£ <; р,£. Действи¬
тельно, согласно аксиомам IV и I, ц£ = fi£ -+* |а (F \ Е) ^
Из аксиомы IV также следует, что для любого конечного числа
попарно непересекающихся измеримых множеств Ех, Е2, . . ., £„
Пусть теперь f — функция, непрерывная на отрезке [а, Ь],
причем / (дг) Зг 0 для всех х 6 [а. Ь\. Назовем подграфиком
функции f множество
Р = \(х, у); а^х^Ь; 0<#«£/(*)},
* Прямоугольник может быть замкнутым, т. е. включать в себя все гранич¬
ные точки, открытым, т. е. состоять из одних внутренних точек, или включать
в себя часть своих граничных точек.
** Л — обозначение пустого множества.
140
т. е. совокупность всех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют условиям:
а^х^Ь, 0
(см. рис. 2). Заметим, что подграфик имеет смысл для любой не¬
отрицательной функции, заданной на произвольном множестве.
Подграфик функции, непрерывной на отрезке, называют также
криволинейной трапецией.
Теорема 2. Криволиней¬
ная трапеция Р измерима и
ъ
liP=\fdx. (2)
Меру криволинейной трапе¬
ции называют также ее пло¬
щадью.
Доказательство.
-Сначала докажем измеримость
криволинейной трапеции Р.
Возьмем произвольное раз¬
биение т отрезка [а, b] на конеч¬
ное число отрезков с помощью
точек а—х0 < • '<.хп=Ь
Положим,
Mt = max f(x),
лтг<дг:<л:1Ч1
(1 = 0, 1, .
тг = min / (х).
., п— 1).
Далее, обозначим через Q( и R{
прямоугольники, основанием
которых служит отрезок [дг,, х1+1], а высота равна М* и mi (сосут-
rt—1 /1—1
ветственно); наконец, положим, Q = UQ»> R — U Ri- Таким обра-
1=0 I- о
зом, Q и R — ступенчатые фигуры, составленные из прямоуголь¬
ников (рис. 3; на этом рисунке заштрихована фигура R).
Множества Q и R измеримы. Действительно, каждый прямо¬
угольник Qt измерим по аксиоме II.
Отрезки, составляющие общие части границ двух соседних пря¬
моугольников, следует относить только к одному из них. Тогда
множество Q представляется как сумма прямоугольников без
общих точек и измеримость Q вытекает из аксиомы IV. При этом
П—1 Л—1
H-Q = S = S MiAxt-
i= 0 1=0
я—1
Рис. 3.
Аналогично, R измеримо и (г/? = 2 mt Дх,*. Ясно, что R п Р
i=0
141
Кроме того,
V(Q
П—1
R) = nQ — ц# = S (M[ — mt)Axi,
/=0
а последнее выражение, за счет ранга разбиения т и равномерной
непрерывности функции /, может быть сделано сколь угодно
малым. Благодаря этому измеримость Р вытекает из аксиомы V.
Переходим к доказательству формулы (2). Пусть А — произ¬
вольный отрезок, содержащийся в [а, Ь], а Рд — подграфик
сужения функции f на отрезке А. Положим Ф (Д) = Тем
самым мы определяем некоторую
функцию отрезка. Эта функция Ф
аддитивна, что почти сразу вытекает
из аддитивности меры. Действитель¬
но, если отрезок А разбит на два
отрезка Ах и Д2, то подграфики Рд,
и Рд, имеют общую часть границы—
прямолинейный отрезок (см. рис. 4).
х Но по аксиоме III этот отрезок имеет
меру нуль. Поэтому, если из одного
из подграфиков, например, из Яд,,
этот отрезок удалить, то вместо Рд,
получится множество Рд,> тоже из¬
меримое и с той же самой мерой: цРд = |хРд,.
А теперь из аддитивности меры следует,, что
Ф (Д) = р,Рд = цРд, + ц/>1, = цРд, + цРд, = Ф (ДО + Ф (Д2).
Для любого Д с [а, Ъ]
|»д|Д|<Ф(Д)<Л!д|Д|,
где Мд и /пд определены по формуле (1). А тогда по теореме I
(из предыдущего параграфа), .учитывая также замечание к ней,
имеем
Рис. 4.
р,/> = ф([а, b]) = \fdx.
Из проведенного доказательства, в частности, видно, что/
p.Q—и р.#—>р.Я,
когда ранг г (т) —» 0. Если не исходить из общего понятия меры,
то можно было бы дать непосредственное определение площади
криволинейной трапеции Р, как общего предела площадей сту¬
пенчатых фигур Q и R. Такое определение было бы весьма нагляд¬
ным с геометрической точки зрения, но имело бы весьма частный
характер, поскольку оно относилось бы только к криволинейным
трапециям. Общая концепция меры, наоборот, позволяет избежать
таких частных определений.
142
П р илм е р. Вычислить площадь фигуры, заключенной между
параболой у = h — ах® (А > 0, а >■ 0) и осью ОХ (рис. б; такая
фигура называется параболическим сегментом).
Находим абсциссы точек пересечения данной параболы
с осью OX: h — ах2 = 0, откуда х = ± у -у- А теперь
П .У?
цЯ= J (A — ax*)dx= (hx— | =
-VI -VI
_9 / А*/« 1 ft’/. \ _ _4_ НУЛ
~ \ а'/* 3 * аЧг )~ Ъ' Va '
Из найденного выражения, в частности, видно, что площадь
данного сегмента равна KL-OM.
Замечание. Пусть функция /(*)«£0 на отрезке [а, Ь],
ь
a Р — множество, изображенное на рис. 6. В этом случае J f dx <
а
< 0 * и, следовательно, этот интеграл никак не может выражать
\кР. Однако из соображений симметрии легко следует, что
ь
= = \\f\dx.
а
К этому же результату можно прийти и не ссылаясь на симметрию,
а проведя заново рассуждения, аналогичные доказательству пре¬
дыдущей теоремы.
* Мы считаем, что f (дс) ф 0.
143
Наконец, если функция f меняет знак на отрезке [а, Ъ\, то
заштрихованная на рис. 7 фигура имеет площадь, тоже равную
Часто встречается случай, когда кривая, ограничивающая
трапецию Р сверху, задается в параметрической форме:
У к х = ф(0, «/ = (a«£/ssP)
(ф и”ф — непрерывны). Будем при
g этом предполагать, что ij) (t) ^ О,
х а ф (/) — строго возрастающая
функция с непрерывной ф', при¬
чем ф (а) = а, ф (Р) = Ь. Тогда,
по теореме об обратной функции,
t определяется как непрерывная функция от х, t = © (х), и тем
самым, у = i|> (со (х)), т. е. данная кривая является графиком
функции одной переменной. Площадь подграфика этой функции
равна
Рис. 7
j 1]) (о (х)) dx.
В интеграле произведем замену переменной по формуле х = ф (/).
Так как со (ф (t)) = t, то
ь р
J -ф (со (х)) dx = j я|з (t) ф' (t) dt.
Таким образом,
М-Р= J 1|>(0ф'
а
Пример. Вычислить пло¬
щадь фигуры, заключенной между одной аркой циклоиды
х = a(t — sin t), у — a(l—cost) (0==s<«s2ji)
и осью OX (рис. 8).
Чтобы применить только что выведенную формулу, находим
Xf = а (1 — cos t). Тогда
2я 2Я
ц,Р = a2 J (1 — cos t)zdt = аа J (1 — 2 cos t + cos2 t)dt —
2 Я
= a2 J ^ 1 — 2 cos t + 1 + cos2/_^ ^
= a2 (“I" * ~ 2 sin t + T sin 2t) jo
2 Я
Зп a2.
144
Приведем еще некоторые примеры.
1. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами
у = х2 + 1 и </ = 9 — х2 (рис. 9). Точнее, речь идет о множестве
Р=\(х, у); х2 + 1 <г/<9— дс2}.
Решая совместно уравнения двух данных парабол, находим
абсциссы точек их пересечения: х — ±2.
Данную фигуру можно представить как разность двух
криволинейных трапеций — подграфиков функций у = 9 — х2
и у = х2 + 1 на отрезке [—2, 2]. Более точно,
Рис. 10.
0 ^ у «S 9 — дг2} \
0^у<х2 + 1\.
р = К*. у)\ — 2 < X *=£ 2,
\ {(дг, у); —2 дг < 2,
Однако нетрудно показать, что множества
{(х, у); — 2<дс^2, 0<«/<дсг + 1
и
К*. У)'> 2<ж2, o^ys^x2 + 1 ]
имеют одну и ту же меру, т. е. множество точек, лежащих на самой
параболе у = х2 + 1, имеет меру 0. Подробнее на этом мы не оста¬
навливаемся. Таким образом, вследствие аддитивности меры,
2 2
цР = | (9 — дс2) dx — J (дс2 + 1) dx =
—2
—2
= J (8 - 2*2) dx = (8дс--1-х3) |2_г = .
2. Найти площадь фигуры Р, заключенной между параболой
у = х2 и прямыми 1/ = 4дс и 2х + г/ — 3 = 0 и расположенной
ниже указанных прямых (см. рис. 10).
10 |5. 3. Вулих и др. 145
Точка (-5-, 2^ пересечения данных прямых, а также и точки
их пересечения с параболой находятся из уравнений. Обозначим
через Рх подграфик функции у = Ах на отрезке [о, -~-J, Р а —
подграфик функции у = 3 — 2х на отрезке lj , Ра — под¬
график функций у = хг на отрезке [0, 1]. Тогда
цЯ = И,Р1 + цРа —|аР8.
Так как Рг — треугольник, а Р2 — трапеция, то их площади
могут быть найдены по формулам из элементарной геометрии:
^1 = 4-’ =
(впрочем, эти результаты, конечно, могут быть получены и с по¬
мощью интегралов). Далее,
о
Отсюда
up = _L + _1__L = _LL.
р 2 4 3 12
Упражнения
1. Найти площадь фигуры
Р = \(х, у); — 1<х<2, ха + х + 6}.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:
х = a cos81, у — asin8^(a>0).
Указание. Использовать симметрию астроиды относи¬
тельно обеих координатных осей.
3. Найти площадь фигуры
Р = {(*, у); х* — х — 6^у*£:4 — х}
4. Найти площадь фигуры
Р = {х, у); x + i/s=s4, у — х<5, у^хг — х — 6}.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у% — 6х
и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под углом я.
146
§ 3. Площадь криволинейного сектора
Криволинейным сектором называют фигуру Р, ограниченную
кривой, уравнение которой в полярных координатах р — f (<р),
и двумя лучами <р = а, <р = р, причем О а < р < 2п (см.
рис. 11). Точнее, Р есть множество всех точек (р, ф), полярные
координаты которых удовлетворяют условиям:
а«5ф<Р, 0<р</(ф).
При этом функция f предполагается непрерывной и неотрицатель¬
ной на отрезке [a, pj. Таким образом, криволинейный сектор это —
аналог криволинейной трапеции, ко- Ф_а
торый естественно получается, если ^ '
вместо прямоугольных координат
пользоваться полярными. Частным .
случаем криволинейного сектора / ^
является круговой; для него кривая / р *.-4'
Р — / (ф) — ДУга окружности, сле¬
довательно, функция / должна иметь
постоянное значение, равное ради-
усу окружности.
Из той системы аксиом для меры, Рис. И.
которая была сформулирована в пре¬
дыдущем параграфе, можно вывести, что: 1) криволиней¬
ный сектор измерим; 2) мера кругового сектора равна его
площади, вычисленной в элементарной геометрии. Оба эти факта
мы примем без доказательства и ограничимся лишь задачей вывести
формулу для вычисления меры криволинейного сектора. Вывод
"этой формулы будет очень похож на вывод формулы для площади
..криволинейной трапеции. Меру криволинейного сектора называют
также площадью.
Пусть А — произвольный отрезок, содержащийся в [a, PJ;
Д = [у, б]. Обозначим через Ф (А) площадь криволинейного сек¬
тора Рд, вырезанного из Р лучами ф = y и ф = б, т. е. меру мно¬
жества ‘
Ир. ф); ?<ф<6, о<р^/(ф)}.
Так же, как в предыдущем параграфе, из аддитивности меры легко
следует, что Ф — аддитивная функция отрезка. Далее, положим
#д = max f (ф), гд = min f (ф),
<р£Д ф£Л
Мд = max 4- р (ф), тд = min /а (ф)
Ч>£Д z ф£Д z
(функция /а непрерывна вместе с /). Тогда
\л 1 п2 12
Мд = -g- /?д, /Пд = -g- ТД.
10*
147
Наряду с Рд рассмотрим два круговых сектора 51 и S\,
ограниченных теми же лучами ф —.у и ф = б и дугою окружности
с радиусом р = гд и р = Rs соответственно. Тогда 5д с: Яд с 5д
(рис. 12) и потому
Но
м£д = 4~гд(б — v) = ri | А | = тд | А |,
its! = 4-&Ф - у) = 4- *2д1А I = Мд1А 1>
Из этого неравенства и определения чисел МА и тА' по теореме 1
следует, что функция -^-/2 — плотность для Ф, а
Р
ц,Р = ф ([a, pj) = -j- J f2 dy. (3)
а
Это и есть формула для площади криволинейного сектора.
Ее часто записывают и в такой форме
Р
J*P = 4* J Ра <*Ф, (3')
а
понимая при этом, что вместо р нужно подставить функцию р =
= f (Ф)-
Пример. Вычислить площадь фигуры Р, заключенной
внутри кардиоиды р = а (1 + cos ф) (а > 0 — постоянная).
Чтобы получить всю кривую, называемую кардиоидой, нужно
потребовать, чтобы ф «пробегало» отрезок [0, 2я]. Если при этом
проследить за характером изменения р, то нетрудно установить,
что кардиоида имеет вид, изображенный на рис. 13. Чтобы рассма¬
тривать множество Р как криволинейный сектор, нужно считать,
что
а = 0, р = 2я, / (ф) =* а (1 + cos ф).
148
Тогда, по формуле (3)
(i/> = -j-aaJ (1 + cosф)2=
о
2 я
= -^-aaj (1+2со8ф + со52ф)йф =
о
2я
= ~Та*] (*+2cos<P + 1 + c°s2Ф^ф =
О
=4* °2 ("гф+2 sin ф+4" sin2<p)
= ^-яа2.
Упражнения
в. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного
кривой р = 4cos ф и лучами ф = 0 и ф =
7. Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри лемни¬
скаты р2 = а2 cos 2ф.
8. Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри одной
петли «трехлепестковой розы» р = a sin 3 ф (а > 0).
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
х* + у* = хг + у\
Указание. Перейти к полярным координатам.
§ 4. Объем тела вращения
Чтобы решить задачу об объеме тела вращения, нужно поль¬
зоваться понятием меры для пространственных множеств, т. е.
для множеств, содержащихся в трехмерном пространстве. К такой
мере так же, как и к мере на плоскости, мы подойдем аксиомати¬
чески. Именно так же, как и в § 2, будем предполагать, что в трех¬
мерном пространстве выделен класс множеств, называемых из¬
меримыми, и на этом классе задана функция ц,, называемая мерой,
обладающая свойствами I—V (см. § 2), из которых I, IV и V фор¬
мулируются в точности так же, как для меры на плоскости, а II
и III принимают теперь следующий вид:
II') любой параллелепипед измерим и его мера равна его объему;
ПГ) любое множество, расположенное в одной плоскости,
измеримо и его мера равна нулю.
149
Из этой системы аксиом можно вывести, что прямой круговой
цилиндр измерим и что его мера совпадает с его объемом, вычис¬
ляемым в элементарной геометрии.
Теперь перейдем к точному описанию тех тел вращения, мера
которых будет вычисляться в этом параграфе. Пусть на пло¬
скости XOY задана криволинейная трапеция Р — подграфик
непрерывной функции f на отрезке [а, Ь\. Будем вращать эту
криволинейную трапецию вокруг оси ОХ (делая при этом полный
оборот). Получим множество V, состоящее из всех точек, коорди¬
наты которых удовлетворяют условиям
a^x^b, 0^Vy2 + zz^f(x).
Такое множество V мы и будем по¬
нимать в этом параграфе под телом
вращения (рис^ 14).
Теорема 3. Тело вращения К
измеримо и
ь
\iV = n^f2dx. (4)
а
Доказательство. Сначала докажем измеримость мно¬
жества V. Для этого возьмем произвольное разбиение т отрезка
[a, b1 с помощью точек а = х0 < хг <• • •< хп = Ь.
Положим
Mi = max f(x), mt= min f(x)
(t = 0, 1, . . ., n—l).
Далее, обозначим через Ut и Wt прямые круговые цилиндры,
осью которых служит отрезок [**, дгг+1] оси ОХ, основания лежат
в плоскостях х = Xi и х = xi+l и радиусы оснований равны mt
n—l n—l
и Mi (соответственно). Наконец, положим U = [} Ut, W = \j W{.
1=0 1=0
Из аксиом II, III и IV легко следует, что множества U и W изме¬
римы и при этом
Л—1 Л—1
|А(/ = Е pUi = Я Е mi
1=0 1=0
л—1 л—1
Е = я Е M'ibxi*
1=0 i—0
* Чтобы использовать аддитивность меры, нужно круги, составляющие
общие части оснований двух соседних цилиндров, относить только к одному
из них. По аксиоме III такой круг имеет меру нуль и его удаление из поверхности
цилиндра не повлияет ни на измеримость ни на меру, т. е. оставшийся после этого
незамкнутый цилиндр также будет измерим и иметь ту же меру.
150
Крометого, ясно, что U — множество, получающееся при вра¬
щении вбкруг оси ОХ ступенчатой фигуры, составленной из пря¬
моугольников и содержащейся в Р, a W получается при вращении
ступенчатой фигуры, содержащей в себе Р. Поэтому U с: V с: W
(ср. рис. 2).
С другой стороны, функция /2 непрерывна, а
М] = шах f (дс), т) = min f (дс)
(t = 0, 1, . . ., П -1).
Повторяя рассуждение, встречавшееся у нас уже много раз, мы
легко убедимся, что за счет ранга разбиения т разность цТР — |xt/
можно сделать сколь угодно малой, а
тогда измеримость множества V вытекает ^
из аксиомы V.
Приступаем к выводу формулы (4).
Для любого отрезка А = [а, 0], содер¬
жащегося в [а, Ь\, положим
Л1Д == max я/2 (дс), тА = min я/2 (дс).
х £ Л х £ д
Через Ф (А) обозначим меру того множе¬
ства Уд, которое вырезается из V плос- Рис. 15.
костями дс = а и х = 0:
Уь={(х, у, г); а<дс<р, У у2 + za ^ /* (дс)}.
VA — тоже тело вращения, а Потому, по доказанному, оно из¬
меримо. При этом Ф — аддитивная функция отрезка. В плоскости
XOY построим прямоугольники с основанием А и высотами,
равными max / (дс) и min / (дс) (рис. 15). Вращая эти прямоуголь-
х € д х € д
вики, Получим два круговых цилиндра, между объемами которых
содержится цУд:
я (min / (дс))21А | с цУд < п (max f (дс))21А | (5)
*6 д *€ д
или
«д|Д|<Ф(Д)<\Мд|Д|.
Отсюда по теореме 1 уже сразу вытекает формула (4). Меру
тела вращения называют также объемом.
Примеры.
1. Вычислить объем тела V, получающегося при вращении
вокруг оси ОХ криволинейной трапеции
По формуле (4)
|АV = я j sin2 xdx — я j -—с°%2х dx = -^-(х —y sin 2д
я*
2
2. Вычислить объем прямого кругового конуса V с радиусом
основания г и высотой А.
Чтобы получить указанный конус, нужно взять прямоуголь¬
ный треугольник с катетами г и Л и вращать его вокруг катета,
имеющего длину Л. Поместим этот треугольник так, как указано
на рис. 16. Тогда он окажется подграфиком функции / (х) = -£- х
на отрезке [О, Л]. Следовательно, по
формуле (4)
цУ — л j х2 dx =
я г*
~w
= -з-яг2Л.
Мы пришли к формуле, известной из
элементарной геометрии.
3. Вычислить объем тела V, получающегося при вращении
вокруг оси ОХ круга х2 + (у — Ь)2 г2 (0 < г Ь) (см. рис. 17).
Это тело называется тором и имеет форму бублика.
Поскольку данный круг можно представить как разность двух
криволинейных трапеций, то и тело V получается как разность
двух тел вращения Vx н V2, где
Г Г
(iVj = л j y\dx, nV2 = я J у\ dx;
—Г —Г
здесь уг и у2 находятся из уравнения той окружности х2 + (у —
— Ь)2 = г2, которая служит границей данного круга
У и 2 = ь ±
(знак плюс соответствует верхней полуокружности, знак минус —
нижней).* Таким образом,
Г
ц\/ = — мУ2 = Я j (jj\ — у\) dx.
—Г
Но
у\ — у\ = (Ух + У2) (Ух — У2) = 46 У г2—х\
* То обстоятельство, что в V2 не нужно включать точки, получающиеся при
вращении дуги нижней полуокружности, не играет роли, аналогично тому, как
это было в задачах на вычисление площади. Эти точки образуют множество
меры нуль.
152
следовательно,
г
= 4nb j Vr2 — х2 dx.
— Г
Применим подстановку х = г sin t,—Тогда dx —
= г cos t dt и
я/2 я/2
jmV = 4nbr2 j cos21 dt = 2nbr2 j (1 + cos 2t) dt =
—я/2 —я/2
я/2
= 2я&г2 (t + 4- sin 2Л I = 2л2Ьг2.
' —Я/2
Сделаем одно общее замечание по поводу выводов формул
для площадей и объемов. Во всех разобранных случаях вывод
фактически сводился к определению плот¬
ности для вспомогательной, но составляе¬
мой естественным способом, аддитивной
функций отрезка. При этом, формулируя
теоремы, мы фактически- уже указывали
плотность; например, в теореме об объеме
тела вращения указана плотность я/2.
Спрашивается, нет ли здесь чрезмерной
искусственности и какие соображения Рис. 17.
могли навести на то, что плотность здесь
имейно такова. Ответ на этот вопрос дает неравенство (5).
К этому неравенству мы пришли естественным путем, сравнивая
тело вращения с двумя прямыми круговыми цилиндрами.
А это неравенство само уже подсказывает, что плотность
равна я/2. Аналогичные соображения подсказывают выбор плот¬
ности и в других выводах, встречающихся в этой главе.
Упражнения
10. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры
Р = \(х, у); 0 у 2х — х2} вокруг оси ОХ.
11. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры
Р — {(*> У)1 У < Vх) вокруг оси ОХ.
12. Найти ббъем тела, полученного при вращении фигуры
Р = ((дс, у); Vх + Vy 3* 2, дс + у 4} вокруг оси OY.
Указание. Воспользуемся формулой, которая получится
из (4), если оси ОХ и OY поменять ролями.
13. Найти объем тела, полученного при вращении полукруга
Р = {(х, у)\ 0 у ==s VR2 — Jc2} вокруг прямой у — R.
Указание. Перенести начало координат в точку (0, R).
153
§ 5. Статические моменты и центр тяжести
криволинейной трапеции
Понятие статического момента может быть введено как для
точки, так и для системы точек и для произвольного ограниченного
измеримого множества. Мы ограничимся рассмотрением этого
вопроса на плоскости.
Пусть в точке М (х, у), лежащей на плоскости XOY, сосредото¬
чена масса т. Иными словами, эта точка рассматривается как
«материальная». Ее статическим моментом относительно оси ОХ
называется произведение ту, а статическим моментом относи¬
тельно оси 0Y — произведение тх. Таким образом, статический
момент есть произведение массы, сосредоточенной в данной точке,
на ее расстояние до оси, взятое с определенным знаком в зависи¬
мости от того, по какую сторону от оси находится данная точка.
Статический момент конечной системы «материальных» точек
относительно какой-нибудь оси определяется как сумма статиче¬
ских моментов всех точек этой системы относительно той же оси.
Ясно, что если вся система располагается в верхней полуплоскости
(у~5s 0), то ее статический момент относительно оси ОХ неотри¬
цателен. Также неотрицательным будет статический момент от¬
носительно оси О У, если вся система расположена в правой полу¬
плоскости (х ~5s 0).
Перейдем к аксиоматическому описанию статических момент*»
для ограниченных измеримых множеств. Будем предполагать,
что на совокупности всех ограниченных измеримых множеств на
плоскости * заданы две вещественных функции Кх и Ку, удовле¬
творяющие следующим четырем условиям:
I) обе функции аддитивны, т: е. если Ег и Ег — ограниченные
измеримые множества, причем Et f) Ег -s= Л, а Е = Ег IJ Ег, то
Кх (Е) = Кх (Ег) + Кх (£,),
Ку(Е) = Ку(Е1) + Ку(Ейу,
II) если Е — ограниченное измеримое множество с ц£ = 0,
то Кх (Е) = Ку (Е) = 0;
III) если ограниченное измеримое множество Е целиком
содержится в верхней (соответственно — нижней) полуплоскости,
то Кх (Е) Зг 0 (соответственно Кх (Е) < 0), если же Е содержится
в правой (соответственно — левой) полуплоскости, то Ку (Е) ^ 0
(соответственно Ку (Е) 0);
IV) для прямоугольника D, определяемого неравенствами « ^
< х sS Р, Y < У ^
Кх(й) = Ц±ф-а) (6-?) = 4-(Р-«) (6a-Y2).
K„(D) = l+2-(р_а) (б У) = (Р2 а2) (8-v).
* Множество называется ограниченным, если координаты всех его точек
в совокупности ограничены.
154
Функции Кх и Ку, удовлетворяющие всем перечисленным усло¬
виям, и называются статическими моментами относительно
осей ОХ и 0Y (соответственно).
Аксиома III подсказана аналогичными свойствами статических
моментов системы точек. Смысл аксиомы IV заключается в том,
что статические моменты прямЪугольника D равны одноименным
статическим моментам точки, находящейся на пересечении диаго¬
налей прямоугольника D (это — его центр тяжести), в которой
сосредоточена масса, численно равная площади прямоугольника D.
Для того чтобы доказать существование статических моментов,
а также и их единственность, т. е. что аксиомами I—IV они опре¬
деляются однозначно, необходима
более общая теория интеграла. Мы
же ограничимся здесь более простой
задачей: принимая без доказатель¬
ства существование статических мо¬
ментов, вычислим их для криволи¬
нейной трапеции
Р = {(*, у)\ a^x^b, 0^y^f(x)\
Рис. 18.
(функция f непрерывна).
Приступаем к вычислению Кх
Пусть Д = [а, р]—произвольный отрезок, содержащийся в (а, 6], а
Р\ = К*. У), а < х < р, 0 <</</(*)}
имеет тот же смысл, что и в § 2 (см. рис. 18). Положим Ф (Д) =
= Кх'(Рь). Так же, как и в § 2, проверяется, что Ф — аддитив¬
ная функция отрезка. Наконец, положим
Лд = min f (х), Яд = шах / (дс)
и построим два прямоугольника QA и Рд с основанием Д и высо¬
тами, равными Лд и Яд (соответственно). Тогда Q4 с Рд с /?д.
Из аддитивности момента Кх и аксиомы III следует, что
кхт^кЛРь)^кх(кь). (6)
Но по аксиоме IV
*Л<гд) = 4-(Р-а)А*> =
• °0 Яд.
Положим
Мд =
1 tj2
-2“Яд
шах
4- f (х), mA = hi = min f2(x).
х £ Д х £ Д
Тогда неравенство (6) принимает вид
/Яд| Д| <ф (Д) «£Мд| Д|,
следовательно, по теореме 1, функция -§-р'—плотность для Фи
/СЛР) = Ф«а, b}) = -Ljpdx.
155
Для упрощения подсчета Ку (Р) дополнительно предположим,
что трапеция Р расположена справа от оси OY. Однако, получае¬
мая ниже формула справедлива и без этого предположения.
Пусть на этот раз Ф (Д) = Ку (РА), а £?д и #д сохраняют
прежний смысл. Снова имеем, что
Ky(QA)^Ky(PA)^Ky(RA).
Но по аксиоме IV
Ky(QA) = ^\A\hA^ahA\A\,
^(/?д) = -^|А|Яд<РЯд|А|.
Следовательно,
Положим
Тогда
аЛд|Д|<Ф(Д)<рЯд|Д|
тА = аЛд, МА = РЯД.
тА z^xf(x)^MA для всех х£Д.
Проверим, что Мд — тд —* О при | Д | —» 0. Действительно,
МА — тА = рЯд — оЛд = (Р — а) Яд +
+ а(Яд — Лд)<|Д| max /(дс) + 6 (Яд — йд) — 0,
а^х^Ь
поскольку Яд — Лд —> 0 при | Д | —> 0. Таким образом, все усло¬
вия теоремы 1 выполнены, следовательно, xf (х) — плотность
для Ф и
ь
Ку (Р) — I xf (х) dx.
а
Выведенные формулы обычно записывают так:
ь ь
Кх (Р) = 4" 1У2 Ку (Р) — j xydx.
а а
Заметим, что в последнем выводе тА и МА могут не совпадать
с наименьшим и наибольшим значениями функции xf (х) на Д*
и потому нам пришлось здесь применить теорему 1 в ее общей фор¬
мулировке.
Центр тяжести криволинейной трапеции Р можно найти как
точку С с координатами
. КУ(Р) _ Кх(Р) (7)
*с рР > Ус — рр •
* Наименьшее (наибольшее) значение произведения может не равняться
произведению наименьших (наибольших) значений сомножителей,
156
Это значит, что если в точке С сосредоточить массу, численно
равную площади трапеции Р, то статические моменты этой точки
относительно обеих осей будут те же, что и для трапеции Р.
Хотя по формулам (7) мы определяем положение центра тя¬
жести, пользуясь определенной координатной системой, на самом
деле центр тяжести плоской фигуры зависит лишь от чисто геоме¬
трических свойств фигуры и его положение относительно этой
фигуры (но, конечно, не его координаты) не зависит от выбора коор¬
динатной системы.
Иногда центр тяжести легко
находить, опираясь на соображе¬
ния симметрии. Например, если
трапеция Р симметрична относи¬
тельно оси О У, то ее центр тяже¬
сти лежит на этой оси, т. е. хс —
= 0. Следовательно, и Ку (Р) =0. о г
Пример. Найти центр тяже- Рис Jg
сти полукруга Р радиуса г.
Выберем координатные оси так, как указано на рис. 19. Тогда,
согласно предыдущему замечанию, хс = 0. Для нахождения ус
вычисляем Кх (Р).
Уравнение полуокружности, подграфиком которой служит Р,
имеет вид
у = Yг* — х2.
Следовательно,
к,(р)=4- \ (r2-*2)d*=4(r2*-x) I =4г8-
—Г —г
Так как цР = яг2, то ус = г.
Сопоставляя формулы для Кх и для объема тела вращения
(формула (4)), видим, что fiV = 2лКх (Р). А тогда ц,К = 2лусцР
(в последнем равенстве одной и той же буквой обозначены слева—
пространственная мера, а справа — плоская). Мы пришли к од¬
ной из теорем, носящих имя швейцарского математика П. Гуль-
дина (1577—1643): объем тела, получаемого при вращении криво¬
линейной трапеции Р вокруг ее основания, равен произведению
площади трапеции Р на длину окружности, описываемой при вра¬
щении ее центром тяжести. Эта теорема справедлива и для пло¬
ских фигур более общего вида, чем криволинейные трапеции, од¬
нако при условии, что ось вращения не пересекает вращаемую
фигуру.
С помощью теоремы Гульдина легко подсчитать объем тора
(см. пример 3 в конце предыдущего параграфа). Действительно,
площадь вращающегося круга равна яг2, а длина окружности,
описываемой при этом вращении центром круга, равна 2пЬ.
Отсюда сразу получается, что объем тора равен 2я26г2.
157
Упражнения
14. Найти статические моменты Кх> Ку фигуры
р — К*. у)> х ё* о, у ss о, х + у «г 6}.
15. Найти координаты центра тяжести фигуры
Р=\(х,у)\ Vx+Vy^b).
16. Найти координаты центра тяжести фигуры
Р = |(х, у)\ 1^дс<4, -Lx*«ssy<-L*» + 2j.
17. Найти координаты центра тяжести фигуры
*={(*. у); х^о, у^о, +
т. е. одной четверти внутренности эллипса.
§ 6. Длина пути
Рассматривая различные кривые, мы обычно задаем их уравне¬
ниями. При этом чаще всего оказываются удобными параметриче¬
ские уравнения. Для кривых на плоскости это будут уравнения
вида х = чр (О» У = 'Ф (0- Однако, задавая кривую параметриче¬
скими уравнениями, мы указываем не только некоторую совокуп¬
ность точек, но и способ, которым эта совокупность описывается
при изменении параметра t. Например, если параметр t возрастает
от 0 до 2я, то уравнения
х = г cos t, у = г sin /
определяют, как известно, окружность радиуса г. Однако, если
промежуток изменения t будет [0, 4я], то те же уравнения опреде¬
лят окружность радиуса г, но описываемую два раза. Путь, ко¬
торый пройдет при этом движущаяся точка, будет в два раза длий-
нее, чем в первом случае. В связи со всеми, этими соображениями
основным понятием в этом параграфе будет понятие пути.
Определение. Путем на плоскости называется ото¬
бражение у некоторого отрезка [а, Ь\ на множество точек пло¬
скости
* = ф(0> y — 'Wb a^t^b, (8)
причем обе функции <р и ф непрерывны. Если существуют непре¬
рывные производные <р' и -ф', то путь у называется гладким.
Если точку с координатами х и у обозначить буквой М, то
путь можно записать и в такой форме: М = у (f). Точка Л = у (а)
называется началом пути у, точка В = у (Ь) — концом пути у.
Если А = В, то путь у называется замкнутым. Совокупность
всех точек, определяемых формулами (8), т. е. образ всего от-
158
резка [а. Ь\ при отображении у, называется носителем пути у.
Если функции <р и t|> имеют постоянные значения, то носитель со¬
стоит из одной точки.
Пусть отрезок \а', Ь'\ сг [а, Ь]. Сужение отображения у на
отрезке [а', Ь'\ называется участком пути у,
Переходим к определению длины пути. Пусть т — произволь¬
ное разбиение отрезка [а, Ъ\ на конечное число отрезков с помощью
точек а = t0 < h <• • •< = b и пусть Mt (х„ yt) = у (tt).
Составим сумму
Р(г)= Ё V (хt+i — xif + (yl+l — у if = S Р (Mt, Мш) *
1=0 1=0
(р-(х)— длина ломаной Af0Mi . . . Мя, «вписанной» в путь у;
см. рис. 20). Тогда
I (?) = sup р (т),
X
где верхняя грань берется по всевоз¬
можным разбиениям т, называется
длиной пути v. Ясно, что 0 ^1 (у) ^
s^ + oo. Если путь имеет конечную
длину,то он называется спрямляемым.
Если разбиение т состоит всего
из одного отрезка [а, b], т. е. а =
— *о <2 *i = Ъ, то ломаная превращается в хорду АВ, и р (т) =
=>р (А, В). Следовательно, I (у) ^ р (А, В).
Будем говорить, что разбиение х' мельче разбиения т, если все
точки деления разбиения т входят в число точек деления раз¬
биения т'.
Лемма. Если разбиение х' мельче разбиения т, то р~(х') ^
2*р.(т).
Доказательство. Так как добавление новых точек
к точкам деления разбиения т можно производить последова¬
тельно добавляя по одной точке, то достаточно доказать лемму для
случая, когда т' отличается от т одной лишь точкой деления.
Пусть эта точка ? находится между t} и ii+l и пусть АГ = у (t').
Так как
р (М„ М/+1) < р (М„ М') +р(УИ', Af/+1),
то
/1-1 i—l
р(х) = S р (Mt, м*+1)<^ 2 р(М/, м(+1)+р(М/, м') +
/=о <==о
+ р (М‘, Ml+1) + ^ р (Ml, Ml+1) = р (Т').
* Для. любых двух точек М и N р (М, N) означает расстояние между ними.
159
Теорема 4 (аддитивность длины пути).
Пусть у — путь, заданный на отрезке [а, Ь\ и пусть а <с<Ь,
Yi — сужение пути у на отрезке [а, с], у2 — сужение пути у
на отрезке [с, Ь\. Тогда
I (?) - I (Yi) + I Ы- (9)
Доказательство. Пусть — произвольное разбие¬
ние отрезка [а, с] с помощью точек
а = t0 < 4 <• • •< 4 = с,
а т2 — произвольное разбиение отрезка [с, Ь\ с помощью точек
с = 4 ^ 4+i 4 ~ Ь.
Тогда точки t0, tu . . ., 4 образуют разбиение т отрезка [о, Ь).
При этом р (т) = р (ti) + р (т2). Если хоть одна из длин I (ух)
или I (у2) равна +оо, то р (тх) или р (т2) может быть сколь угодно
большой. Но тогда и р (т) может быть сколь угодно большой,
следовательно, / (у) = +°о- Тем самым (9) справедливо.
Пусть / (yj) < 4-оо и I (уа) < +оо. Зададим е > 0 и подберем
Tj и т2 так, что
P(*i)>/(?i)--f. Р (та) > I (Та) Y •
Тогда
/> (т) > I (Yi) + I Ы — е.
Тем более,
/ (Y) > / (Ti) + I (V2) - е.
Благодаря произвольности е следует, что
I (?) ^ / (Тх) + I М-
Теперь возьмем произвольное разбиение т отрезка [а, Ь\.
К числу его точек деления добавим с, получим новое разбиение т\
По лемме р (т) ^ р (т'). Перенумеруем точки, с помощью которых
составлено т':
а = t0 < /1 <• • •< 4 = о < 4+1 <• • *<С 4 = Ъ.
Попутно мы получили разбиение тх отрезка [а, с] с помощью, то¬
чек 4, 4» • • •» 4 и разбиение т2 отрезка [с, Ь] с помощью точек
4, 4+1 4 Имеем
Р (*) < Р СО = Р (*1) + Р (*•) < I (Vi) + I Ы-
Отсюда, переходя в левой части к верхней грани, получаем I (у) ^
^ L (Vi) + I (?а)- Эт°» вместе с установленным выше противопо¬
ложным неравенством, и дает (9).
Следствие. Если путь у спрямляем, то и любой его
участок спрямляем.
160
Действительно, из (9) следует, что если I (у) < +оо, то I (у О
и I (yj) тоже <+оо. Если же а < а' < V < Ь, а у'» Vi и Yt —
сужение пути у на отрезке [а', Ь'\, [а, а'\ и [Ь', Ь\ (соответственно),
то I (у) — I (Yi) + I (Y') + I (Ya)* следовательно, и I (Y') < +00.
Для доказательства основной теОрёмь/ этого параграфа нам
полезно следующее неравенство: если С 5г с э* О, D ^ d ^ 0, то
V С* + D* -V с* + d2 ^(С — с) + (D — d). (10)
Действительно, обозначая через К левую часть неравенства
(10), запишем К в виде
К = (V С1 + D1— V с* + D*) + (У^ + D2 — Ус2 + d2).
Далее, вводя функцию / (х) = Ух* + D* и применяя к ней на
промежутке [с, С] (здесь мы считаем, чтоС > с) формулу Лаг¬
ранжа, найдем
VC2 + D* - УЖ+& = / (С) — f (с) =
= /'(i)(e-c) = -ppL=(c-c)<c-c (с<кс).
Аналогично (при d < D)
yjr^_yjr^^_p_(D_d)^D_d (d< rj<D).
Тем самым неравенство (10) доказано. Если с = С или d = D,
то доказательство лишь упрощается.
Теорема 5» Гладкий путь у спрямляем и
ь
/(?) = ]Уф'2+^2 dt. (И)
а
Доказательство, а) Спрямляемость пути у.
Положим
С = шах | q>' (/) I, D = шах I (/) |.
а<«6 a<t<b
Тогда для любых двух точек t', t" £ [а, Ь]
I ф(р-ф(П I -1ф' (t*) (*'-ПI <с\г-г I
(здесь t* находится между t' и t”). Аналогично,
Теперь для любого разбиения т отрезка (а, Ь] оцениваем р (х):
р(Т)= 2 V(xi+i—х{)г + (Ун-i—у if =
i=0
*—1
- Е Vto (W - ф (*<)12 + № (М (*т)18 <
l=dm
Л—1
< Е У Сг + D*Ati =yC2 + D*(b — а).
i=Q
11 Б. 3. Вулих и др. 161
Отсюда
1(у)^УС* + &(Ь — а), (12)
следовательно, путь у спрямляем.
б) Докажем формулу (11). Пусть А = [а, 0] — произвольный
отрезок, содержащийся в [а, Ь], уд — сужение пути у на от¬
резке А, Ф (А) = I (уд). Тогда, согласно теореме 4, Ф — аддитив¬
ная функция отрезка. Найдем ее плотность.
Положим
Сд = шах | <p' (t) |, £>д = max | t|>' (*) |,
сд = min| ф' (/) |, = min | -ф' (/) |.
Применяя формулу (12) на отрезке А, находим, что
Ф(Д)< Vci + tf|A|.
С другой стороны,
Ф(А) = /(Тд)^р(у(а), у(р)) =
= У [ф (Р) — Ф (а)]2 + № (Р) — •ф (а)12 =
= У Ф'2 (П + (О (Р - «)^У4 + di | А |
(здесь t', t" находятся между а и Р). Таким образом,
/пд|Д|^Ф(Д)<Л*д|Д|,
где /пд = Ус\ + <£, Мх = YC\ + Dl При ЭТОМ /Пд «S
sgУ ф'2 (/) + ij),a(0 Л4д при Д. Наконец, из неравен¬
ства (10) сразу видно, что
■/Ид — /Пд ^ (Сд — сд) + (Од — dA)
и поэтому Л4Д — /пА —* 0 при |~А| —» 0. Все условия теоремы- 1
выполнены, функция Уф'2 + t|>'1 — плотность для Ф и, <гем са¬
мым, формула (11) доказана.
Иногда все же говорят не только о длине пути, но и о длине
кривой. Поясним, каков смысл этого. Назовем путь у простым,
если для любых двух не равных значений параметра и (tx Ф
Ф t2), из которых хоть одно отлично от а и ft, у (tj) Ф у (/2).
Иными словами, путь называется простым, если двум различным
значениям параметра может отвечать одна и та же точка только
в случае, если этн значения суть а и Ь (если при этом действи¬
тельно у (а) = у (Ь), то это значит, что путь — замкнутый).
Носитель простого пути называется кривой Жордана* Если
* К. Жордан (1838—1922) — французский математик.
162
к тому же путь — гладкий, то и кривая Жордана называется
гладкой.
Если кривая Жордана — носитель пути у, то под ее длиной
понимается длина пути I (у). При этом можно доказать, что если
одна и та же кривая Жордана — носитель двух путей Y и Yi* 70
I (v) = I (Ti)> т- е- длина кривой Жордана не зависит от выбора ее
параметрического представления.
Частным случаем кривой Жордана является график непрерыв¬
ной функции /, заданной на отрезке a ==S х ^ Ь. В этом случае
роль параметра играет координата х и путь определяется уравне¬
ниями: х = х, у = f (дг),* т. е. функция <р есть тождественное пре¬
образование, а функция ф совпадает с /. Тогда qp' (х) = 1. Если же
функция / имеет непрерывную производную, то график / — глад¬
кая кривая Жордана и формула (11) приводит к следующему вы¬
ражению для ее длины:
ь
1 = jYl +P(x)dx. (13)
а
Примеры.
X2
1. Вычислить длину дуги параболы от начала коор¬
динат до точки с абсциссой х = р (р > 0).
Применяя формулу (13) и учитывая, что у' = находим
'-JV1 +-£<te=s-)v*r+7<!*=
о о
=т{х>'*г^+41п(*,+^?+^} и -
= />-^ + -Г1п—=рХг + -%-\п(\ +У~2).
2. Вычислить длину одной ар1ф циклоиды
х = a (t — sin f), у = а (1 — cos /), 0 «g t 2n.
Находим
xt = a( 1—cost), y't — asint,
x? + У? = a2 (2 — 2 cos t) — 4 a2 sin2 -y.
Извлекая корень, получаем
Уxt + у? = 2fl- sin
* Можно, конечно, записать х = i, у = / (/).
11*
163
При извлечении корня следует обратить внимание на то, что
в формуле (11) корень должен быть арифметическим. Следова¬
тельно, нужно проверить, что sin-^- ^ О в промежутке 0 t <
< 2я. Но это так и есть, поскольку -у- £ [0, я].
Теперь по формуле (11) находим
1=2а]
2я
t / 2я
sin — -dt — — 4 a cos -у = 8а.
о
Остановимся еще на случае, когда путь у задан в полярных
координатах уравнением р — f (0), а ^ 0 р, причем существует
непрерывная f . Переходя к прямоугольным координатам, находим
х — р cos 0 / (0) cos 0, у = р sin 0 = / (0) sin 0,
а этими уравнениями действительно описывается гладкий путь.
Роль параметра играет 0.
Имеем
хв = ресозб — р sin 0, у'в = ре sin 0 + pcos б.
'2 . '2 2 , '2
Хв + Ув — Р + Ре •
Следовательно,
Э 3
/ (Y) = J Vp2+ р'* d6 = j У f2 (0) + f2 (0) d0.
a a
Пример. Вычислить длину участка логарифмической спи*
рали р = ae*e от точки, где 0 = 0, до точки, где 0 = 0.
Имеем р' = ake1*6, следовательно,
в
I = J а V1 +k2ekedQ = -f- V1 + k2-t*o [* =
О
= jrVT+~P(eke— 1).
Вернемся к гладкому пути v. рассмотренному в теореме 5.
Положим
/
S = J у^ + tp'* dt,
«
т. е. s есть длина участка пути у» соответствующего изменению
параметра от начального значения а до некоторого промежуточ¬
ного значения t (a «S t Ь). Тогда s — неубывающая функция
от t, s = 0 при t = a, s — I (у) при / - Ь.
По свойству интеграла с переменным верхним пределом
s’t = У ф'1 (t) + (t) =/} х? + у?.
164
Отсюда, умножая обе части на dt и возводя в квадрат, получаем
ds2 — dx2 + dy2
(своеобразный аналог теоремы Пифагора).
Будем называть значение параметра t0 особенным, если <р' (/„) =
= ^ (to) — 0- Если для пути у все значения параметра — не¬
особенные, то s< > 0 при всех /6 [а, Ь]. А тогда s — строго
возрастающая функция от / и соответствие между s и / взаимно¬
однозначное. В этом случае в уравнениях пути у можно осуще¬
ствить замену параметра, перейти от t к новому параметру s
(О sg s I (у)У, получится снова гладкий путь, который обычно
ofождествляется с 7, т. е. говорят, что это — тот же путь у,
но записанный с помощью параметра s.
Теперь сформулируем одно интересное геометрическое пред¬
ложение. Пусть для гладкого пути у значение параметра t0 не¬
особенное, М0 = у (t0), t+t0, М = у (f) и r = p (М0, М). Если t
достаточно близко к t0, то МфМй, так как в некоторой окрест¬
ности t0 по крайней мере одна из функций <р или -ф строго моно¬
тонна.* Пусть I — длина участка пути у, соответствующего изме¬
нению параметра от t0 до t (для определенности считаем, Что t >
> t0). Тогда
—г—► 1 при t-*t0,
т. е. длины бесконечно малогё участка пути и стягивающей его
хорды эквивалентны.
Действительно, на основании (11),
<
/=J Ух* + = s (о—? (<•)•
Тогда
S(t)~ s(t„)
К[Ф(/)-ч> (<.)]•+[* (О-*(<•>]•
5(0— 5(<»)
t — t0
у ^ф(0-ф«.)у + ^(0-♦(<<>) у t-*to
t->ta
У*? + у?
= 1.
t=t о
* Если, например, <р' (/0)>0, то ф' (0>0 и в некоторой окрестности зна¬
чения t0i а тогда <р в этой окрестности возрастает.
598 165
Упражнения
18. Найти длину пути
| * = /* 0^^<1.
[»—Г*'
19. Найти длину пути
х = *’ 0 ^ < 2.
У = —t9 + 4,
20. Найти длину участка кривой у — In cos дг, 0 х -у-.
21. Найти длину участка кривой, заданной в полярных коор-
0 ^
динатах: р = 4 cos8 -у, 0^0 ^-^л.
22. Найти длину пути
x-JSSi.*,
1«<2.
1 1
от точки (0, 0) до точки с вертикальной касательной.
Указание. Использовать выражение производной от ин¬
теграла по верхнему пределу.
§ 7. Площадь поверхности вращения
Обоснрвание понятия площади поверхности вращения пред¬
ставляет значительно большие трудности, чём те, которые мы пре¬
одолевали в предыдущих параграфах, посвященных приложениям
определенного интеграла. Поэтому мы не будем вводить здесь
ни определения такого типа, как для длины пути, ни аксиомати¬
ческого описания, .а ограничимся некоторыми интуитивными сооб¬
ражениями, приводящими к формуле, которая может быть
строго обоснована.
Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная функция f (х)
Э* 0 с непрерывной производной Рассмотрим поверхность S,
получающуюся в результате вращения графика функции f вокруг
оси ОХ на угол 2п. Точнее S определяется следующей формулой:
5 = {(*, У, г); а ^ х < Ъ, у* + г2 = f2 (дс)}.
Заметим, что, в отличие от тела вращения V (в § 4), в S входят
только точки, где у2 + г2 = /2 (х). Сечение поверхности S пло¬
скостью, перпендикулярной оси ОХ, окружность с центром
в точке на оси ОХ и радиусом, равным / (дс). Для любого отрезка
Д = [а, р] С [а, Ь] обозначим через 5Д «слой» поверхности S(,
166
получаемый за счет вращения сужения графика / на отрезке А:
5д = {(*, у, г); дг 6 А, У2 + г* = f* (*)}.
Будем считать, что площадь \iS поверхности S, а также и лю¬
бого слоя SA't определена -так, что ц,5д — аддитивная функция
отрезка. При малых размерах отрезка А соответствующий участок
кривой у = f (х) мало отличается от прямолинейного, например,
от хорды, соединяющей концы этого участка. Тогда площадь
Слоя [iSA должна быть близка к боковой поверхности усеченного
конуса, который получится, если вместо участка кривой у = / (дг)
вращать хорду. Боковую поверх¬
ность этбго конуса мы и примем
аса приближенное значение p.SA.
Прй этом самую боковую поверх¬
ность конуса мы подсчитаем тоже
приближенно. Именно, как дока¬
зано в последнем предложении из
предыдущего параграфа, длина
хорды мало отличается от длины
участка кривой, которую мы обо¬
значим через /А. Величину /д мы
й примем за длину образующей конуса. Радиусы его оснований,
как видно, из рис. 21, равны f (а) и f (0). С помощью известной
формулы для боковой поверхности усеченного конуса получаем
или
д>
|iSA Я» я If (а) + f (Р)] ф (А), где Ф (А) = /д.
Если теперь стягивать отрезок А к некоторой точке х0, т. е.
считать, что а, р —»х0, и, тем самым, | А | —» 0, то будет
стремиться к плотности функции Ф в точке х0, которая была
найдена в предыдущем параграфе, а именно к ]/ 1 + /'2 (дс0)
(ср. формулу (13)). А тогда
7I71 г? о 2я/ (*о) VI + Г2 (Xо).
Хотя мы использовали здесь лишь приближенное выражение
для fiSA, однако можно показать, что при надлежащем определе¬
нии площади поверхности вращения полученный результат ока¬
зывается точным, т. е. функция 2я/ У 1 + /'2 — плотность для
(lSA. Но тогда сразу получается и формула для p.S, а именно
ь
US = 2л J fYT+pdx.
а
Аналогично, если вращающаяся гладкая кривая задана пара¬
метрическими уравнениями
X = Ф (0. У = ■ф (0 (ж * < Ь),
167
причем я|) (/) ^ 0, то можно установить формулу
ь
US = 2я J VVa + 'Ф'2 dt.
а
Пример. Вычислить площадь поверхности S, получа¬
ющейся при вращении вокруг оси ОХ одной арки циклоиды
х = a (t — sin /)» У = а. (1 — cos t) (0 «s t ^ 2я).
Подставляя в предыдущую формулу, получаем
2я
fiS = 4лa2 J (1 — cos t) sin dt.
Напоминаем, что выражение для У <р'2 + а именно 2a sin ,
было вычислено в примере 2 из предыдущего параграфа. Отсюда
2я 2л
|iS = 8яи2 J sin3 -jrdt = 8яа2 j (1 — cos2-^-\ sin dt.
о о
Положим cos у- = и. Тогда ^ sin dt = du, а когда /
пробегает промежуток от 0 до 2я, и пробегает промежуток от 1
до —1. Следовательно,
—1
Sn = — 1 бяа2 J (1 — u2)du= 16яа2(и —Т ) |-i = ТГ па*'
Упражнения
23. Найти площадь поверхности, полученной при вращении
вокруг оси ОХ участка астроиды
х = a cos3 t, у — a sin8 t (а > 0), 0 t ^ я.
24. Найти площадь поверхности, полученной при вращении
вокруг оси ОХ участка кривой у — У 4х — х2, 0 «S х ^ 4.
25. Найти площадь поверхности, полученной при вращении
вокруг оси ОХ участка кривой у = е~3х, 0 с х ^ +оо.
Указание. Искомую площадь представить как предел
при А —* +оо площади той поверхности, которая получится при
вращении «конечного» участка данной кривой:
у = е~3х, 0 С х ^ А.
Тогда для искомой площади мы получим выражение с помощью
несобственного интеграла:
-f-OO
fiS = 2rc | yYl+y'2dx.
о
168
§ 8. Некоторые другие приложения
определенного интеграла
По той же схеме, по которой мы вывели формулу для площади
поверхности вращения, часто решаются различные физические
задачи, сводящиеся к вычислению интегралов. Остановимся под¬
робно на задаче о давлении жидкости.
Пусть в жидкость с удельным весом у вертикально погружена
прямоугольная пластинка; размеры пластинки и ее положение
относительно поверхности жидкости указаны на рис. 22. Мы счи¬
таем, что ось OY направлена вдоль поверхности жидкости. Вы¬
числить давление W жидкости на эту пластинку.
Из физики известно, что да¬
вление жидкости на какую-ни¬
будь площадку, расположенную
на глубине Я, равно уНР, где
Р — площадь данной площадки
(мы не указываем единиц, в ко¬
торых выражаются все эти ве¬
личины).
Пусть Л = [а, Р] — любой
отрезок, содержащийся в
[Л, h + Ь], а ТРд — давление на
полоску, заштрихованную на
рис. 22, и состоящую из всех
тех точек пластинки, роторые
находятся на глубине между а
и р. При малых размерах от¬
резка А можно приближенно
считать, что все точки полоски имеют глубину а. Тогда давле-
яиейРд жидкости на эту полоску находим по следующей прибли¬
женной формуле:
Гд уаа | А |.
При этом Н7д — аддитивная функция отрезка. Стягивая отрезок А
к точке х, мы найдем, с тем же обоснованием, что и в предыдущем
параграфе, что
wл
Рис. 22.
• уах.
Таким образом, уах — плотность для W&. Отсюда сразу следует,
что
h+6 h+b
W = у а | xdx — хг
= [(Л + bf-h*\ = ^-(2h + b) = yab (h + -y) ,
т. e. давление W равно весу столба жидкости, имеющего основа-
169
нием данную пластинку, а высота которого равна глубине сред¬
ней линии пластинки.
Лишь немного усложняя проведенное рассуждение, мы можем
превратить его в точное»* Действительно, из физических сообра¬
жений ясно, что WA должно быть больше, чем давление на
площадку, находящуюся на глубине а и имеющую ту же пло¬
щадь, что и заштрихованная на рис. 22 полоска, и меньше да¬
вления на такую же площадку, находящуюся на глубине р. Таким
образом,
уаа | А | < Wb < у$а | А |,
или
Г.
уаа < ТдТ'< ?а^‘
В тех же границах заключена
и функция у ах, если а ^ х «$р.
Отсюда уже следует, что у ах—
плотность для ИРд.
Рассмотрим теперь вместо
прямоугольника пластинку про¬
извольной формы (рис. 23).
Пусть для каждого х € [A, h 4-
+ Ь\ через / (jc) обозначена ши¬
рина пластинки на глубине х,
причем функция f предпола¬
гается непрерывной. Пусть,
наконец,
А = [а, Р1<= [й, h + 61,
и м/д — давление жидкости на полоску, заштрихованную на
рис. 23. Рассуждая по «приближенной схеме», будем считать,
что заштрихованная полоска имеет площадь / (а) | А | (здесь
полоска заменена прямоугольником) и что ее точки находятся на
глубине а. Тогда
WA sss yaf (а) | А |,
а при стягивании отрезка А к точке х
щ-^yxfix).
Таким образом, yxf (х) — плотность для Я?д, а
h+6
W = у j xf(x)dx.
Это рассуждение тоже легко превращается в точное, что мы
рекомендуем читателю проделать самостоятельно.
Приведем еще одну задачу другого содержания. Пусть тре¬
буется вычислить работу А, необходимую для того, чтобы выка»
* В этом отношении задача о давлении проще, чем задача о площади поверх¬
ности вращения.
170
JC
Рис. 23.
чать воду из котла, имеющего форму полушара с радиусом R
(см. рис. 24, на котором изображено сечение котла).
Для любого отрезка А = [а, Р] С [О, R\ обозначим через Лд
работу, которую нужно затратить на выкачивание слоя воды,
все частицы которого находятся на. глубине между аир. На
рис. 24 заштриховано сечение этого слоя. Лд — аддитивная
функция отрезка. Примем указанный слой за прямой круговой
цилиндр, основанием которого служит сечение котла на глубине
а, а высота равна j А | = р — а. При этом будем считать, что
все частицы слоя находятся на одной глубине а. Тогда работа Лд
будет приближенно равна произ¬
ведению веса рассматриваемого
сдоя на глубину его погружения,
т.- ё.
^ яга | А | а,
где г = Y R*—а2—радиус сече¬
ния котла на глубине а. При стя¬
гивании отрезка А к точке х
Аа nx(R*-x*),
хд
|Д|
х
Рис. 24.
т. е. пх (/?* — х2) — плотность для Лд. Отсюда
R
А = л J (R*— x2)x-dx.
о
Вычисляя этот интеграл,, находим
Как и выше, здесь не указаны единицы, в которых производится
вычисление.
Если, например, R = 4 м, а работа вычисляется в килограм¬
мометрах, то поскольку 1 ма воды весит 10® кг,
А = 64я-103 кгм.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.
33
Т*
в. 2+ Я. 7.
2. -у»а*.
3. -^-Кю. 4. \ьУз + ^Щ- Кю-
143
8.
тг”’- ,0- -в-"- "-т!
Зд А
13. —_ 14. /Сд: = Ку = 36. 15. Хс — Ус— 5. 16. хс = -у; Ус = -^
12 ‘
д. 12.
5
5. 48.
256
15
д.
11
17. хе =
4 a
"Зд ’
Ус —
4Ь
1
Зд
18.
+ ^17). 20. lntg--|L. 21. Зя. 22, 1п-£
*43/16 + 1п(3 + Юб)Ь
lnVl+V2. 19. V\7 + -^- In (4 +
23.
12
яа2. 24. 16я. 25. х
171
ГЛАВА V
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ I
И РЯДЫ
§ 1. Основные определения
В этой главе мы будем рассматривать ряды, членами которых
являются не числа, а некоторые функции. Введем сначала понятие
функциональной последовательности.
Пусть X — некоторое множество. Если всякому натураль¬
ному п поставлена в соответствие некоторая функция опреде¬
ленная на X, то мы говорим, что на множестве X задана функ- \
циональная последовательность |/„}n=i- Зафиксируем какое-либо i
х £ X и рассмотрим последовательность \ fn (*)}Г=ь Это — чис¬
ловая последовательность, п-й член которой есть значение соот¬
ветствующей функции в точке х. Придавая х различные значения, i
мы будем получать различные числовые последовательности.
Таким образом, одна функциональная последовательность по¬
рождает некоторое множество числовых последовательностей.
Пусть при некотором х € X числовая последовательность i
{/„ сходится. Тогда мы говорим, что функциональная i
последовательность \f„\n=i сходится в точке х. Если последо¬
вательность \fn\n=l сходится во всякой точке х 6 X, то говорят,
что она сходится на множестве X.
Пусть последовательность {/„})T=i сходится на множестве X.
Обозначим через f функцию, определенную на множестве X с по¬
мощью равенства
/(*)= Jim/„(*)•
П-> оо
Эта функция называется предельной функцией последователь-
ности
Пусть теперь {«„}nU есть функциональная последователь-
оо
ность, заданная на множестве X. Выражение 2j ип называется i
/1=1
172
функциональным рядом, а функция S„ = Е ик — его п-й частич-
k=\
ной суммой. Функциональный ряд называется сходящимся на
множестве X, если на этом множестве сходится последователь¬
ность его частичных сумм. Предельная функция S по¬
следовательности |S„}“=i называется суммой ряда
оо оо
5 = Е ип или S (х) = Е “п (*)•
п— 1 п= 1
§ 2. Равномерная сходимость последовательностей
и рядов
Пусть функциональная последовательность \fn\n=i имеет на
множестве X предельную функцию /. Тогда для каждого фикси¬
рованного х 6 X величина /„ (х) при достаточно больших п ста¬
новится близкой к числу / (х). Однако одна и та же степень этой
близости в разных точках х может быть достигнута при различных
значениях п. Поэтому возникает следующий вопрос: нельзя ли
добиться того, чтобы при достаточно больших значениях п от¬
клонение величины /„ (х) от величины / (х) было бы в некотором
смысле сравнимым для различных значений х.
Выразим эту мысль более точно. Сходимость последователь¬
ности (/„ (x)}n=i к числу f (х) означает, что для всякого е > О
существует такой номер N, что при всех п^> N
1/я (*) — f (*)1 < е-
Ясно, что число N определяется здесь не только выбором е, но_ и
выбором точки х 6 X, так как при различных значениях х мы
получаем различные числовые последовательности. Можно ли
при фиксированном г > 0 определить N так, чтобы оно «годилось»
для всех точек х € X одновременно? В дальнейшем мы убе¬
димся в том, что ответы на этот вопрос для различных последова¬
тельностей могут быть разными. Поэтому приходится различать
два случая.
Пусть последовательность
(1)
сходится к функции f на множестве X. Эта последовательность
называется равномерно сходящейся на множестве X, если для вся¬
кого е > 0 существует такое N, что при всех п^> N
I fn (х) — f (х)| < е (2)
одновременно для всех х 6 X. В противном случае сходимость
последовательности (1) называется неравномерной.
Неравномерная сходимость последовательности (1) означает,
что при некоторых г > 0 неравенство (2) не может иметь место
173
одновременно при всех х и при всех достаточно больших п. Иначе
говоря, для таких е существуют сколь угодно большие значе-'
ния и, при которых неравенство (2) не выполнено хотя бы в одной
точке множества X.
Пусть последовательность (1) сходится к функции f равнрмерно
на промежутке \а, Ь\. Зафиксируем некоторое е > 0 и пусть N
таково, что при всех п> N и при всех *6 1а, Ь\ выполняется
неравенство (2). Перепишем это неравенство так:
f (*) — е < fn (х) <f(x) + е.
Это неравенство означает, что график функции fn при n > N
расположен в полосе между графиками функций f + г и f — е
(рис. 25).
Непосредственно из опреде¬
ления вытекает простой приз¬
нак равномерной сходимости, а
именно:
Пусть последовательность
| fn} /г=1 сходится на множестве К
к предельной функции f. Для
того чтобы эта сходимость
была разномерной, необходимо
и достаточно, чтобы
ап = sup (х) — f (*)| -> 0. *
x£X Л->ео
Действительно, пусть последовательность {f„}n=i сходится
равномерно. Поскольку при любом е >• 0 неравенство |f„ (х) —
— f (*)| < 8 выполняется при всех х 6 К и при достаточно боль¬
ших п, то при таких п будет sup \fn(x) — f (х) |=^;е, откуда сдб<
аг£ X
дует, что ап —► 0. Если же условие а„ —> 0 выполнено, то для вся-
Л->оо Л->оо
кого е > 0 при достаточно больших п будет sup |f„ (х) — f (х)| О
f ^ X
и тем более |/„ (jc) — f (л:)| < 8 при всех л 6 X й при достаточна
больших п.
Рассмотрим теперь функциональный ряд
Ё ип, (3)
П=\
члены которого определены на множестве X. Этот ряд называется
равномерно сходящимся на множестве X, если последовательность
его частичных сумм равномерно сходится на этом множестве.
Определение равномерной сходимости ряда можно дать и без
привлечения последовательности частичных сумм. Действительно,
* В случае, если функции fn или f не ограничены, н^исключено, что ал =+оо
для нескольких первых значений п.
174
яа Приведенного определения следует, что равномерная сходи*
мость ряда (3) влечет прежде всего его сходимость. Обозначая
через Sn и S его частичную сумму и сумму соответственно, будем
дшее иметь следующее: для всякого е >• 0 существует такой но¬
мер N, что при всех л > N
|S (х)--S„ (дс)| < е при всех *6 X.
ОО п
Так как Six) = Е «*(*)> a S„(x) = Е uk(x), то
*=i k=\
S {x) — Sn (x) = fj uk(x).
k—n+l
Ряд (3) называется равномерно сходящимся на множестве X,
если он, во-первых, сходится и, во-вторых, для всякого е > О
существует такой номер N, что Для всех ni> N
Е ик(х)
k=n+1
<е при всех х£Х.
Так как ряд Е ик представляет собой остаток ряда (3), то,
Обозначая его сумму через ф„, можно определение равномерной
сходимости ряда высказать еще и в следующей форме: ряд (3)
называется равномерно сходящимся, если последовательность
его остатков равномерно сходится к нулю.
Признак равномерной сходимости, доказанный нами для по-
еяедовател ьностей, применительно к рядам имеет следующий вид.
Для того чтобы ряд (3) был разномерно сходящимся, необходимо
# достаточно, чтобы
р„ = sup |ф„ (jc)| — 0.
Х£Х Л->09
Здесь ф„ — остаток ряда.
В заключение отметим, что для обозначения равномерной схо¬
димости последовательности к функции f часто приме¬
няется запись
П->оо
В качестве примера рассмотрим функциональную последова¬
тельность {/л}“=1, определяемую равенством
fn(x) = xn для хе[0, 1).
Ясно, что lim хп = 0 при всех х£ [0, 1), так что предельная
Л-> оо
функция f существует и
f (х) = 0 при всех х 6 [0, 1).
175
Если бы эта последовательность была равномерно сходящейся,
то при любом е > 0 и при достаточно больших п неравенство
\хп — 0|<е
выполнялось бы при всех х£ [0, 1). Последнее неравенство,
очевидно, означает, что хп < е. Так как при любом фиксирован¬
ном п
lim хп = 1,
*->1-0
то при всяком п можно указать значения х £ Ю, 1), для кото-
3 3
рых хп > -j-. Поэтому при е ^ — неравенство хп < е не может
быть выполнено для всех х£ [0, 1) одно¬
временно, каково бы ни было п. Сле¬
довательно, мы имеем пример неравно¬
мерно сходящейся последовательности.
Поясним сказанное на рис. 26. Гра¬
фик предельной функции представляет
собой участок оси х, ^графики членов
последовательности — участки парабол
различного порядка. Все эти параболы
имеют две общие точки (0, 0) и (1, 1).
В промежутке между этими точками
параболы располагаются тем ниже, чем
выше их порядок. Однако ясно, что при
е < 1 ни одна из парабол не будет рас¬
полагаться целиком внутри полосы шириной 2е, образованной
прямыми у — ±е, параллельными графику предельной функции.
Исследование данной последовательности на равномерную
сходимость можно было бы провести более простым, но и более
формальным способом. Именно
а„ = sup \fn(x) — f(x)\= sup хп= 1.
*g[0. 1) *£[0ll>
Ясно, что условие ап —> 0 не выполнено, а поэтому сходимость
П->оо
последовательности неравномерная.
Рассмотрим теперь промежуток [о, а], где а — произвольное
число, удовлетворяющее неравенству 0<а< 1. Ясно, что при
а: 6 10, а ] будет хп <; ап и потому
sup хп^ап.
[0. о]
Так как ап—* 0, то на промежутке [О, а] сходимость оказывается
П-> во
равномерной.
Рассмотрим еще несколько примеров, в каждом из которых
требуется произвести исследование функциональной последова¬
тельности или функционального ряда на равномерную сходимость.
176
_ _ Vn _ 1 n
П_1 + ПШ2" 2—
1- *6[0, +oo).
Очевидно, что fn (x) —► 0 при всех jc 6 (0, + оо). Если же jc = О,
Л->оо
то все члены последовательности обращаются в нуль. Таким об¬
разом, предельная функция f (jc) = 0. Рассмотрим
«П= sup I т-1l-~f — 0 = sup * .
Х£ [0, +оо) I 1 т-пх Х£ [о, -j-оо) 1 пх
Дифференцируя функцию получим
f' />Л _ 1 -f пх2 — 2пх2 _ 1 — пх2
I п \Х) (1 +fU2)2 “ (1 +пх2)2 ’
и производная обращается в нуль в точке дс = —^=-. Так как
V п
in (0) = о, fn (jc)—*0, а /„(-Ц>0, то в точке функция fn
Х-У+ оо \М/ . П
принимает наибольшее значение. Поэтому
fn
Следовательно,
fn(x)'j^.O на промежутке [0, +оо).
2- f„(x) = nx(l—x)n, jc6 [О, 1].
Прежде всего найдем предельную функцию. Очевидно, что при
О < jc < 1 будет fn (jc) —* 0. Действительно, в этом случае 0 <
Л->оо
<1 — jc < 1, и поэтому lim пх (1 — jc)" = 0. В точках же jc = О,
Л->оо
х — 1 все члены последовательности обращаются в нуль, и потому
предельная функция также равна нулю. Итак, f (jc) = 0 при всех
х £ 10, 1]. Далее,
ап— SUP \U(x) — f(x)\— sup |шс(1 — jc)" — 0| =
*£[0.1] *£[0,1]
= sup |пдс(1—jc)"}.
*£[o, и
Для определения а„ вычислим производную функции fn (дс) =
= пх (1 — jc)":
f’n(x) = n(l —х)п — rt2jc(l —x)n~l = л (1 —дг)" 1 (1 —jc — пх) =
= rt(l
Ясно, что «подозрительной» на экстремум будет точка дс = п j .
12 Б. 3. Булих и др. 177
Так как /„ (0) = fn (1) = 0, a fn ( „ j ) > 0, то наибольшее
значение функции f„ достигается именно в точке дс = jj-j-y. По*
этому
_ п (. 1 \п _ ( я \я+1 _
а"~~ я + 1 \ я + 1 / \ я+ 1 7 ~
= (l 1 )п+1^е-^0.
\ я+1/
Итак, равномерной сходимости на промежутке {0, 1] нет.
Рассмотрим теперь промежуток вида lq, 1], где
При достаточно больших п точка х = д ^ выйдет за предел!*
такого промежутка, и потому есть основания предполагать, что
сходимость на этом промежутке будет равномерной. Действи¬
тельно, пусть У выбрано так, что < q. Тогда при п > N
тем более будет —{ < q, и потому функция f„ будет на проме¬
жутке [ <7, 1] убывающей. Поэтому при п^> N будет
ап == sup {шс(1—x)n} = nq( 1—q)n.
11
Отсюда следует, что а„ —> 0, т. е. на промежутке [q, 1] сходимость
Л->оо
данной последовательности равномерная.
3. /„ (*) = arctg -4j-, хе (0, + оо).
Здесь f (х) — 0 при всех х 6 (0, + оо). Рассмотрим
а„= sup I arctg о|= sup arctg
*£<0,+.о)1 п I jc£(Ot+~) п
Так как функция fn возрастающая, то
ап — arctg -4-=4-,
и условие ая —» 0 не выполнено. Следовательно, сходимость на
Л->оо
промежутке (0, +оо) неравномерная.
Рассмотрим теперь промежуток (О, А], где А >0. Для этого
промежутка имеем
а„= sup arctg = arctg -4- -> 0.
(О, А] п п л->во
Следовательно, на этом промежутке сходимость равномерная.
00
(я* + 1)(л* + х + 1) ’ +°°)-
П—1
178
Прежде всего этот ряд в указанном промежутке сходится.
Действительно, это положительный ряд, и
X X 1
(пх + 1) (пх + X + 1) пх пх пъх ’
оо
а ряд ^ сходится. Рассмотрим остаток после n-го члена
П—1
оо
2 (fat + 1) (Лж + * + 1)
k=n-1-1
и найдем его сумму ф„ (х). Так как
X 1111
(faf *{■ 1) (fac -j- x 1) kx 4" 1 kx -|- x -f- 1 kx -f-1 (£-|-l)x-f-l*
то для /п-й частичной суммы остатка имеем
rt-fm
S (fa:+l)(fac + *+l) = [(л+ 1)*+ 1 “ (я + 2)де + l] +
Л=л+1
+ [(я + 2)*+1 („ + 3)*+.l] +
[(я + /и)дс + 1 (я + /п + 1)де+1 ] —
1 1 1
(я + 1) х + 1 (п + т + 1) дс + 1 т+ж(п + 1)*+ Г
Таким образом,
чь(*)°(а—iji+p
Теперь ясно, что
р„ = sup |ф„(х)| = sup ! , = 1 -*+0.
*£<0,+о.) *£ (0, +0.) Iя + U*T * /,->»
Следовательно, данный ряд сходится в промежутке (0, +оо) не¬
равномерно.
Рассмотрим теперь промежуток [у, +оо), где у > 0. На этот
раз
р„= sup |ф„(х)|= sup 1 = , * { — О,
[у, -foo) *£ [у, +oo) \n \ l) X ^ 1 \П ^ Г I 1 n-> oo
и сходимость на промежутке ty, +оо) равномерная.
оо
5- Ц(-1)П^ *€[0, 1].
п=1
179
При рассматриваемых значениях х этот ряд является знако¬
чередующимся и сходимость eFO очевидным образом вытекает
из теоремы Лейбница (гл. I, § 6). Для оценки его остатка вос¬
пользуемся следствием из этой теоремы:
l<Pn-l(*)l
Тогда
Xя
Гп '
Pn-l = sup |<Р„_Х(*)|< sup =
х£[0. 1] *£[0. 1 ] V п V п
а так как ——> 0, то ряд равномерно сходится в промежутке
V п п->оо
Ю, 1].
Упражнения
Исследовать на равномерную сходимость последовательности
функций и ряды в указанных промежутках:
Ь fn (*) = > а) х£(°' +°°)* б) *€!?. + °°) (v>0);
2- fn(x)= 1+^2» а) *€(0, +оо), б) *€ [?, +°о) (?>0);
3. /„(х) = лее [0, + оо); 4. fn(др) = *€ [0, + оо);
00 оо
5. J «“**. *€(°> +оо); 6. 2 (Г+^5УГ’х€(0,
п =1 Л=1
оо
7. V ——оо, + 00)*
я Н- sin * ’ 4,4 ’ 1 7
п=2
§ 3. Признаки равномерной сходимости
Приведем необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости, аналогичное критерию сходимости Коши.
Теорема 1. Пусть члены функциональной последова¬
тельности |fn}n=i определены на множестве X. Для того чтобы
эта последовательность равномерно сходилась на множестве X
к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого е > 0 существовало такое N, что при любых
п, т^> N
| /„(дс) — fm(x)\< е для всех х£Х.
Доказательство. Если последовательность (/n}”=i
сходится к функции f равномерно, то для всякого е > 0, суще-
180
ствует такой номер N, что при всех п> N неравенство
\fn(x)-f(x)\<-Y
выполняется сразу для всех х 6 X. Тогда для любых двух п,
т> N будет
I fn (X) — fm(x) 1 = 1 [fn (х) — f (*)] + [/ (х) — fm (х)] I <
^\fn(x)-f(x)\ + \f(x)-fm(x)\<e
одновременно для всех х 6 X. Необходимость доказана.
Перейдем к доказательству достаточности. Из выполнения
условия теоремы "вытекает, что при любом х 6 X выполнено
необходимое и достаточное условие сходимости числовой после¬
довательности {/л (x)(“=i. Поэтому для любого х 6 X существует
конечный lim /„ (х). Таким образом, функциональная последо-
Л-> оо
вательнцсть )/п)“=1 сходится на множестве X. Обозначим ее пре¬
дельную' функцию через f и докажем, что сходимость — равно¬
мерная. Возьмем произвольное е>0 и найдем такое N, чтобы при
п, /п > N было
I fn (х) — L (х) | < 0,9е при всех х£Х. (4)
Зафиксируем п~> N и пусть т —> оо. Переходя к пределу в не¬
равенстве (4), получим
I fn (*) — f (х) | ^ 0,9е при всех х 6 X,
и тем более
I fn (х) —f(x)\ < е при всех х £ X.
Так как это неравенство выполнено для всех х £ X и п > N,
то равномерная сходимость последовательности {f„}n=i установ¬
лена.
Приведем без доказательства аналогичный результат для рядов.
Теорема 2. Пусть члены функционального ряда
S «П (5)
П— 1
определены на множестве X. Для того чтобы этот ряд был рав¬
номерно сходящимся на множестве X, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого е >> 0 существовал такой номер N, что при
п> N и любом натуральном р
п+р
Е Uk (*)
k=n+l
<е при всех х£Х.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соот¬
ветствующего результата для числовых рядов.
Из теоремы 2 вытекает достаточный признак равно¬
мерной сходимости.
898 181
Теорема 3 (признак Вейерштрасса). !Пусть
члены функционального ряда (5) определены на множестве X.
Пусть, кроме того, числовой положительный ряд
Ь Сп. (6)
/1=1
сходится и при всех п и х £ X выполняется неравенство
|М*)1 (7)
Тогда ряд (5) сходится равномерно.
Так как ряд (6) сходится, то для него выполнено необходимое
и достаточное условие сходимости (гл. I, § 1). Возьмем произ¬
вольное 8>0и найдем такое N, чтобы при п >> N и любом нату¬
ральном р было
п+р
2 С*<8.
*=/1+1
Очевидно, что при тех же п и р и при всех х £ X будет
п+р
Е “k(x)
*=/1+1
п+р п+р
■ Е K(*)l^ £ ck<е.
А=л+1 *=л+1
Это значит, что для ряда (5) выполнено условие теоремы 2, а,
следовательно, этот ряд сходится равномерно.
Замечание. Заключение теоремы остается в силе, если
неравенство (7) выполнено лишь при п ^ п0, где п0 — некоторое
число.
Из условия доказанной теоремы вытекает, что ряд (5) сходится
абсолютно в каждой точке множества X. Поэтому признак Вейер¬
штрасса оказывается применимым только к абсолютно сходя¬
щимся рядам. Ниже мы убедимся в том, что существуют ряды,
сходящиеся равномерно, но не абсолютно (см. также пример 5
из § 1).
Рассмотрим примеры.
Исследовать на равномерную сходимость ряды в указанных
промежутках:
sin пх _ , . .
х£(—°°> + «>)•
1.
я=Т
Очевидно, _?in I _L- ПрИ всех х 6 (—°°» + °°), и» так
I 2 I 2
какчисловой ряд сходится, то на основании признака Вейер-
**7 2
/1=1
штрасса данный ряд сходится равномерно.
00
2- 2-ГТЖГ’ *е<0' +<*>)•
/1=1
182
Из неравенства (1 — и5/2*)2 ^ 0 следует
1 + п6х* ^ 2 п5/2х.
Поэтому
пх _ пх 1
1 + пьхг "" 2п512х 2ге3/2 ’
и равномерная сходимость заданного ряда вытекает из сходимости
08
п=1
е~~ пх — cos 2лл:
3/
/1=1
> *€ [0» + °°)-
Ясно, что в указанном промежутке
■ I е~пх\ + | cos 2пх |
00
Так как ряд ^ -р- сходится, то заданный ряд сходится рав-
/1=1
номерно.
Упражнения
Исследовать на равномерную сходимость следующие ряды:
8.
П—
2 * хе{-°°'+оо); 9- 2sln^-’xei“a’a]’
оо
а>0; 10. 21_^г, хв(0, +оо);
/1=1
оо
2 ТТТЗ^ГоТ2^ГЧГ+^ * [4*’!] ’
/1=1
§ 4. Функциональные свойства предельной функции
и суммы ряда
Здесь мы займемся следующим вопросом. Допустим, что члены
сходящейся функциональной последовательности или сходящегося
функционального ряда обладают некоторым свойством. Можно ли
утверждать, что предельная функция или сумма ряда также
обладают этим свойством? Например, если все функции, входя¬
щие в последовательность, непрерывны, то будет ли предельная
функция непрерывной?
183
Легко видеть, что ответ на этот вонрос в общем случае может
быть отрицательным. Действительно, функциональная последо¬
вательность {/„)я=ъ заданная на промежутке 10, 1] с помощью
равенства, fn (х) = хп, сходится на этом промежутке к разрывной
функции
В то же время все члены последовательности непрерывны.
В приводимых ниже теоремах устанавливаются достаточные
условия, при которых некоторые свойства членов функциональной
последовательности и функционального ряда переносятся на пре¬
дельную функцию и на сумму ряда. Кроме того, в этих теоремах
содержатся и некоторые дополнительные результаты.
Теорема 4. Пусть члены последовательности
определены на промежутке (а, Ь) и непрерывны на нем. Если
последовательность (8) сходится равномерно на (а, Ь), то ее
предельная функция непрерывна на этом промежутке.
Доказательство. Положим
Возьмем произвольную точку х0 6 (а, Ъ) и докажем, что функ¬
ция f непрерывна в этой точке.
Пусть е > 0 фиксировано. В силу равномерной сходимости
последовательности (8) найдется такой номер л0, что
Число п0 зафиксируем и рассмотрим функцию f„„. Так как эта
функция в точке х# непрерывна, то для выбранного е > 0 можно
указать такое 6 > 0, что для всех х 6 (а, о), удовлетворяющих
неравенству | х — х0| < б, будет
в силу выбора п0. Если теперь х £ (а, Ь) таково, что \х — х0| <
<6, то |/ (х) — f (х0) | < + -|-е = е. Так как е > 0 прог
184
(8)
f (*) = Пт /„ (х).
!/»«(*) — /WKj при всех х£Х.
\fn„ {х) /л0 (*о)1< -f-’
Ясно, что
\f(x) — f(x0)\^\f (х) — (х)I + Iи (х) — и (х0)I +
+ 1/п. (х0) — f(x0)|< I/по (X) — и Ml + -§' 8
извольно, то непрерывность f в точке х0, а, стало быть, и на всем
{а, Ь) доказана.
Как уже ..отмечалось, эта теорема дает достаточные условия
при которых предельная функция непрерывна. Однако при до
полнительном предположении, именно в случае монотонной по
следовательности, эта теорема обратима: Иначе говоря, для моно
тонной последовательности непрерывных функций из непрерыв
ности предельной функции вытекает равномерная сходимость
По этому поводу см. [Ф], т. 2, стр. 77—78.
Теорема 5. Пусть члены функционального ряда
2 и. (9)
П— 1
определены и непрерывны на промежутке (а, Ь). Тогда, если.ряд (9)
сходится равномерно на {а, Ь), то его сумма на этом промежутке
непрерывна.
Эта теорема легко вытекает из теоремы 4, если применить по¬
следнюю к последовательности частичных сумм ряда (9).
Из замечания к теореме 4 легко следует, что теорема 5 обра¬
тима в том случае, когда члены ряда (9) — неотрицательные
функции.
Введем следующее понятие. Пусть функции fn (п = 1, 2, . . .)
определены и непрерывны на промежутке 1а, Ь\ и последователь¬
ность i сходится на этом промежутке к непрерывной функ¬
ции f. Если при этом выполняется равенство
ь; ь
lim \fn(x)dx = [f(х)dx, (10)
Я->oo J J
a a
to говорят, что допустим предельный переход под знаком интег¬
рала.
Отметим, что равенство (10) можно записать и так:
ь ь
lim f fn (х) dx = Г lim (x) dx.
№->oo J J n->oо
a a
He следует думать, что равенство (10) очевидно. Так, например,
для последовательности
(дс) = пхег*х\ *€[0, 1],
оно не имеет места. Действительно, при х Ф О
lim fn(x) = л: lim пе-пх,—х\\т = 0.
Л->оо Л->.оо Л->оо в
Если же х = 0, то все члены последовательности обращаются
в нуль, и потому
lim/„(0) = 0.
Л->оо
135
Таким образом, на всем промежутке [0, 11 существует предель¬
ная функция f, равная тождественно нулю. Следовательно, су¬
ществует J f (х) dx — 0. В то же время
1
dx = [—1- *--];=± (, _ .-г- 4-.
Теорема 6. Пусть функции fn (п = 1, 2, . . .) определены
и непрерывны на промежутке [а, Ь]. Если последовательность
равномерно сходится на [а, Ь], то предельный переход
под знаком интеграла допустим.
Доказательство. Пусть / есть предельная функция для
последовательности На основании теоремы 4 функция f
непрерывна на [а, Ь]. Остается доказать равенство
ь ь
lim f fn(x)dx— f f(x)dx.
rt-> 00 J J
a a
Для этого рассмотрим разность
ь ь ь
Уп = §fn(x)dx — J f(x)dx = § lf„(x) — f(x)]dx
а а а
и докажем, что она стремится к нулю при п —» оо. Возьмем произ¬
вольное е > 0. Так как последовательность сходится
равномерно, существует такое N, что при всех я > N
IM*) — /(*)|< ДЛЯ любого х£[а, Ь].
Тогда на основании известных свойств интеграла (см. гл. III,
§ 1, 7°)
J lfn(x) — f(x)}dx ^j\fn(x) — f(x)\dx<T^(b — a) = t
а а
при n>N. Так как е произвольно, то это означает, что уп —* 0.
Л-»оо
Тем самым доказательство теоремы завершено.
В случае функциональных рядов вместо вопроса о предельном
переходе возникает вопрос о почленном интегрировании.
Пусть члены функционального ряда (9) определены и непре¬
рывны на промежутке [а, Ь] и на всем этом промежутке ряд схо¬
дится, причем сумма его U также непрерывна. Если ряд
оо Ъ
2 j «„(*)<& (и)
а
№
сходится и имеет место равенство
во ь ь
2 \un(x)dx = \u (дс) dx,
/1=1 а а
то говорят, что допустимо почленное интегрирование ряда (9).
Теорема 7. Пусть члены функционального ряда (9) опре¬
делены и непрерывны на [а, Ь], и ряд сходится на этом промежутке
равномерно. Тогда его можно почленно интегрировать на этом
промежутке.
оо
Доказательство. Пусть U = Е ип. Функция U непре-
/1=1
рывна на промежутке 1а, Ь), ибо она является суммой равно¬
мерно сходящегося ряда.
Обозначим через Sn частичную сумму ряда (9). По свойствам
интеграла имеет место равенство
Ь п b
JSn(x)dx= 2 | uk(x)dx. (12)
a k—\ а
Так как последовательность частичных сумм ряда (9) сходится
равномерно, то на основании теоремы 6
ь ь
lim | Sn (дс) dx — f U (дс) dx.
a a
С другой стороны, выражение в правой части (12) представляет
собОй частичную сумму ряда (11), следовательно, этот ряд схо-
ь
дится и сумма его равна J U (х) dx. Теорема доказана.
а
В заключение этого параграфа мы остановимся на почленном
дифференцировании ряда. При этом для большей простоты изло¬
жения мы не будем предварительно разбирать вопрос о предель¬
ном переходе под знаком производной.
Итак, пусть члены функционального ряда (9) определены на
промежутке {а, Ь) и ряд сходится к сумме U. Допустим, что в не¬
которой точке дс0 6 (а> Ь) все члены ряда дифференцируемы.
Будем говорить, что ряд (9) можно в точке дс0 дифференцировать
почленно, если существует V (дс0) и выполняется равенство
U' (*о) = S «я (*<>)•
Л=1
И здесь нам представляется не лишним заметить, что почленное
дифференцирование ряда далеко не всегда допустимо.
Теорема 8. Пусть члены функционального ряда (9) опре¬
делены и непрерывно дифференцируемы на промежутке [а, Ь\ *.
* Функция называется непрерывно дифференцируемой на
некотором промежутке, если она имеет на этом промежутке непрерывную про¬
изводную.
187
Если ряд (9) сходится на всем [а, Ь), а ряд
i un (13)
/1=1
сходится на этом промежутке равномерно, то почленное диффе¬
ренцирование ряда (9) допустимо.
Ьо
Доказательство. Пусть, как и выше, V — 2 ип.
/2=1
Обозначим через <р сумму ряда (13)
00
<Р = £ «л-
/1=1
Так как ряд (13) сходится равномерно на промежутке 1а, 6],
то он тем более сходится равномерно на промежутке 1а,-х], где
х £ la, Ь]. Поэтому его можно почленно проинтегрировать но
этому промежутку:
X со X СО
jq>(t)dt = 2 \u'n(t)dt= 2 [Un(x) — un{a)] =
а л=1 а /1=1
00 00
= 2 Ия(*)— S ип(а)= U(x) — U(a).
/1=1 /1=1
Отсюда
X
U{x) = U{a) + \y{t)dt (14)
а
при всех х£ [а, Ь]. Функция ф непрерывна на [а, Ь] (как сумма
равномерно сходящегося ряда непрерывных функций). Поэтому
функция F, определяемая равенством
X
F (х) = J ф (0 dt
а
прихб 1я, Ь\, имеет на всем [а, Ъ\ производную, причем F' (х) =
= ф (х). Так как первое слагаемое в правой части (14) есть ве¬
личина постоянная, то и вся правая часть имеет. при любом
хб [а, Ь \ производную, равную ф (х). Отсюда следует существо¬
вание производной U' и равенство
U' (х) = ф (х)
00
при всех хб 1а, 6]. Так как ф (х) — Е и* (*)* т0 возможность
/1=1
почленного дифференцирования ряда (9) на всем [а, Ь] установ¬
лена.
Рассмотрим примеры.
1. Исследовать на равномерную сходимость последователь¬
ность функций, заданную равенством
188
Л п
fn(x) = -—Z при *6 [0, 1].
1 "г- X
Сначала найдем предельную функцию. При х£ [0, 1) будет
fn (x) — 0. Если же X = 1, то fn (х) = и потому fn (1) — -±-.
Л->оо ^ Л->оо *
Таким образом, предельная функция
( 0 при *610, 1),
/(*) = { ^ при *=1.
Так как предельная функция разрывна, то сходимость последо¬
вательности неравномерная. Действительно, предполагая сходи¬
мость равномерной, мы получили бы, что предельная функция,
как предел последовательности непрерывных функций, сама яв¬
ляется непрерывной.
Рассмотрим теперь промежуток [О, 1—уЬ гДе
Здесь
«я
sup
*£ [0.1—V]
х?п
\+хп
— о
Jin
= sup
*£[0.1-Y] 1+*
;(i — т)2я — о,
Л-> оо
и потому сходимость на этом промежутке равномерная.
2. Рассмотрим последовательность
/„(*) =
пх при *6 [о, -i-] ,
2 —пх при х£ -J-],
О при *6 (4-» l] •
Здесь f (х) = О при всех х 6 [О, 1]. Действительно, при х — О
о о
это очевидно. Если же х Ф 0, то при п > имеем — < х и
потому fn (х) = 0 при всех таких п. Отсюда fn (х) —* 0. Нетрудно
Л-> оо
убедиться, что все члены последовательности и ее предельная
функция непрерывны. Однако
IU*)-
а„
sup
■01 =
х£[0. 11 х£
sup fn(x) = fn(~lr) = 1
: [0. l] \ п /
и потому сходимость последовательности неравномерная. Этот
пример показывает, что условие равномерной сходимости является
только достаточным условием для того, чтобы предельная функция
последовательности непрерывных функций сама была непрерывной.
оо
3. Исследовать на равномерную сходимость ряд S ]/Гхе~пх
П=\
В промежутке [0, +оо).
Пусть S — сумма ряда. При х = 0 имеем S (лс) = 0. Если
х !> О, то этот ряд представляет собой сходящуюся геометриче-
189
скую прогрессию со знаменателем е~* < 1. Поэтому
Vxe~x
S(x) =
1 —е~х
Итак,
SW-
При этом
О, если х = О,
^ JC
~i» если х£(0, + <=°)-
lim S(х) = lftn — lim = -)- оо.
дс->-Н) 1 —е х-»-|-0 *
При вычислении этого предела использовано, что егх —» 1, а
х-И)
1 — в—* — х.
х-*0
Таким образом, lim S (х) Ф S (0), поэтому сумма ряда раз-
рывна при х = 0. Так же как и в примере 1, отсюда следует, что
сходимость ряда в промежутке 10, ч+оо) неравномерная.
Рассмотрим теперь промежуток 1у, +©о), где у > 0. Пусть
ип (х) = У~хе~пх. Тогда
Очевидно, что ип (х) < 0 при х > —jp Поэтому на промежутке
[l/P +°°) Функция ип убывает. Если то и
потому при таких п функция ип убывает на всем промежутке
1у, +оо). Поэтому при п имеем
о<м*ХУ7в-**.
В силу замечания к теореме 3 отсюда следует равномерная
оо
сходимость рассматриваемого ряда, ибо числовой ряд £ Ууе-*'*
/1=1
СХОДИТСЯ.
00
4. Установить непрерывность суммы ряда ^х_^_ пцх^.п ц. ^
/1=1
(а>0) в промежутке 10, +оо).
Так как ряд положительный, то сходимость его в указанном
промежутке вытекает из неравенства
VI *“
поскольку ряд сходится. Совершенно очевидно также, что
Л=>1
члены ряда представляют собой непрерывные функции. Однако
равномерная сходимость на всем промежутке не имеет места (при
а ^ 1). Доказательство этого утверждения мы не приводим, так
как оно не имеет для нас решающего значения. Впрочем при жела¬
нии читатель может провести его самостоятельно.
Мы воспользуемся тем фактом, что непрерывность функции
на некотором промежутке означает ее непрерывность в каждой
точке этого промежутка. Для того же чтобы установить непрерыв¬
ность предельной функции в какой-нибудь точке достаточно до¬
казать, что последовательность сходится равномерно в проме¬
жутке, содержащем внутри себя эту точку. Мы покажем, что рас¬
сматриваемый ряд сходится равномерно в любом промежутке
10, А], где А — произвольное положительное число. Действи¬
тельно, для х 6 Ю, А ] из (15) следует
(дС + п)(х+я+1)'"- Л* ’
и равномерная сходимость ряда на промежутке [0, А) вытекает
из признака Вейерштрасса.
Пусть теперь х есть произвольная точка промежутка 10, +оо).
Выберем А >• х. В силу равномерной сходимости ряда на от¬
резке 10, А], сумма ряда на этом промежутке непрерывна. В ча¬
стности, она непрерывна в точке х. Так как *6 [0, +оо) про¬
извольно, то сумма ряда непрерывна на промежутке [0, +оо).
5. Определить область сходимости и установить непрерыв-
00
ность суммы ряда ^ n%J+i •
П=\
По признаку сравнения этот положительный ряд сходится при
ОО
любвм х ф 0. Действительно, niJ+ а ряд ^ ^
П=\
оо
сходится, ибо отличается от сходящегося ряда ^ только
Л = 1
постоянным множителем При х = 0 ряд расходится, ибо
его общий член не стремится к нулю. Так как каждый член рас¬
сматриваемого ряда представляет собой четную функцию, то и
сумма его также четная функция, а потому достаточно установить
ее непрерывность только в промежутке (0, +оо). Для этого до¬
кажем, что в каждом промежутке (а, +оо), где а > 0, ряд схо¬
дится равномерно. Действительно, при всех х 6 (о. +°°) имеет
191
место неравенство
!_
я2*2+ 1 «*<** +1’
И равномерная Сходимость рассматриваемого ряда на промежутке
(а, +оо) следует из сходимости числового ряда
00
2 я**»*+1 *
л=1
Принимая во внимание то обстоятельство, что каждый член
ряда представляет собой непрерывную функцию, мы можем за¬
ключить, что сумма ряда непрерывна в каждой точке промежутка
(а, +оо). С другой стороны, каково бы ни было х > 0, можно
указать такое а >■ 0, что х £ (а, +оо). Поэтому сумма ряда не¬
прерывна в любой точке промежутка (0, +оо).
00
6. Установить непрерывность суммы ряда *^г, в проме¬
ли
жутке [О, 1).
Прежде всего отметим, что в указанном промежутке ряд схо¬
дится. Действительно, при х ф О ряд строго положительный и мы
можем применить признак Даламбера:
lim (— : = limx(—j-Л* = х.
Я-Юо ^(rt-j- 1) п J Л->оо \П-Ь1/
Так как 0 < х < 1, то ряд сходится. Сходимость же при х — О
очевидна.
Докажем, что ряд сходится равномерно во всяком промежутке
[О, 1 —у), где 0 < у < 1. Действительно, для дс£ [О, 1 —y)
имеем оценку
4-<(i-v)n.
п
ОО
Числовой ряд 2 (1 — у)" представляет собой сходящуюся
П=\
геометрическую прогрессию. Поэтому равномерная сходимость
установлена. Так как для всякого х 6 [О, 1) существует y такое,
что O^y^Ih^C 10, 1 — y)»to непрерывность суммы ряда на
промежутке [О, 1) может быть установлена так же, как и в преды¬
дущих примерах.
Упражнения
Исследовать на равномерную сходимость:
хп
12. Последовательность fn (х) = - в промежутках а) (О, 1 ],
б) 10, y1, где 0 < y < 1;
192
13. Ряд 2 е~пх в промежутках а) (0, +оо), б) [у, +оо), где
Л=1
V > 0;
ОО з в
14. Ряд Е f/~xe~n уГ* в промежутках а) [0, +оо), б) [7, +оо),
n=i
где у > 0;
15. Определить область сходимости и установить непрерыв¬
ность суммы ряда ^ •
л=1
§ 5. Степенные ряды. Область сходимости
оо
Функциональный ряд 2 и„ называется степенным, если члены
П=1
его определяются по формулам ип (х) = сп(х — x0)n. Здесь сп —
некоторые вещественные постоянные, называемые коэффициен¬
тами степенного ряда, а х0 — фиксированное вещественное число.
Степенной ряд обычно записывается в виде
00
Е сп(х — х0)п или с0 + сх (х — Х0) + Сг (X—Х0)2 Н
л=О
Ясно, что члены степенного ряда определены на всей оси. Пола-
00
гая х — хо = У, придем к ряду Е спУп- Поэтому в дальнейшем мы,
л=0
как правило, будем предполагать, что х0 = 0.
Итак, рассмотрим степенной ряд
Е спхп. (16)
/1=0
Областью сходимости этого ряда мы будем называть множество
всех тех значений х, при которых он сходится. Очевидно, что
степенной ряд (16) сходится при х = 0. Нетрудно убедиться в том,
что существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной точке.
В то же время область сходимости степенного ряда может быть
и значительно более широкой. Мы предлагаем читателю самостоя-
ОО 00
тельно рассмотреть ряды п\хп, Применяя к ним при-
п=0 п=0
знак Даламбера для рядов с членами произвольных знаков,
можно легко установить, что первый из них сходится только при
х = 0, а второй — при всех вещественных х.
Докажем следующую лемму.
Лемма (Абель). Если степенной ряд (16) сходится
в некоторой точке х0 Ф 0, то он сходится абсолютно во всякой
точке xlf удовлетворяющей неравенству |*i| < |х0|.
13 Б. 3. Вулих др. 193
Доказательство. По условию числовой ряд
00
S Сп%0
/1=0
сходится. Тогда спх£ —> 0 и тем более | спх£ I М при всех п,
ft ->00
где М — некоторое число.
Пусть теперь хх таково, что | хх | < | х01. Для того, чтобы уста¬
новить абсолютную сходимость ряда
£ с„х",
п—О
воспользуемся неравенством
IСпх1 =
м\
х0
1 *0
(17)
(18)
Ряд
л=0
*1
*0
представляет собою геометрическую прогрес¬
сию со знаменателем
Xl
х0
< 1 и потому сходится. Тогда на осно¬
вании неравенства (18) и первой теоремы сравнения для положи-
оо
тельных рядов сходится и ряд S I спА |» т. е. сходится абсолютно
п=0
ряд (17).
В следующей теореме вопрос об области сходимости степен¬
ного ряда получает окончательное решение.
Теорема 9. Для всякого степенного ряда (16) справедливо
одно из следующих трех утверждений:
1) ряд расходится всюду, кроме х = 0;
2) существует такое число R > 0, что при \ х \ < R ряд схо¬
дится абсолютно, при | jc | > ряд расходится;
2 ряд абсолютно сходится на всей оси.
оказательство. Если ряд (16) сходится только при
х = 0, то для него справедливо утверждение 1). Предположим
теперь, что область сходимости ряда (16) содержит точки х ф О,
и покажем, что в этом случае справедливо одно из утверждений:
2) или 3).
Пусть 9W состоит из всех тех х, при которых ряд (16) сходится.
Допустим сначала, что множество ограничено, и положим
R= sup (| дс [}.
х£Ш
Покажем, что R обладает всеми свойствами, указанными в 2).
Так как ЭД содержит дс Ф 0, то R > 0, а так как 3R ограни¬
чено, то R < +оо. Пусть дс таково, что |дс| < R. По свойству
точной верхней границы найдется такое дс0 6 9Л. что | дс | < | д:01.
Тогда, на основании леммы Абеля, ряд (16) сходится в точке дс
194
абсолютно. Если же х таково, что |х| > R, то лг£ 'ЭИ и, в СИЛу
определения множества 9Л, ряд (16) в точке л: расходится.
Пусть теперь множество 9CR не ограничено. Покажем, что в этом
случае ряд абсолютно сходится на всей оси (т. е. справедливо
утверждение 3). Действительно, пусть х — произвольное веще¬
ственное число. Так как множество <201 не ограничено, найдется
такое Хоб'ЭК» что |х|<|дсв|. Тогда абсолютная сходимость
ряда (16) в точке х снова вытекает из леммы Абеля.
Доказательство закончено.
Нетрудно заметить, что в формулировке доказанной теоремы
ничего не говорится о сходимости ряда в точках ±R (утвержде¬
ние 2). Это обстоятельство не является недостатком теоремы, а ле¬
жит в существе дела. На примерах, приводимых ниже, мы убе¬
димся, что ничего определенного по поводу сходимости ряда в этих
точках сказать нельзя. Различные ряды ведут себя в точках ±R
по-разному.
Если для рядов, сходящихся только при лг = 0, положить
R — 0, а для всюду сходящихся R = +оо, то доказанную теорему
можно формулировать так:
Теорема^9. Для всякого степенного ряда вида (16) суще¬
ствует такое R (0 «S R +оо), что *
1) при х < R ряд сходится абсолютно;
2) при х > R ряд расходится.
Такое R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Пусть ряд (16) имеет радиус сходимости R >> 0.** Тогда ряд
сходится абсолютно в открытом промежутке (—R, R). Этот про¬
межуток обычно называют интервалом сходимости. Область схо¬
димости степенного ряда представляет собою промежуток с кон¬
цами в точках ±R, но не обязательно открытый (ряд ведь может
сходиться и на одном или на обоих концах интервала сходимости ).
Этот промежуток называется промежутком сходимости. Проме¬
жуток сходимости заведомо совпадает с интервалом сходимости
при R = +оо.
Для определения радиуса сходимости степенного ряда можно
пользоваться формулой
Сп
R = lim
Л->оо Ot+1
(19)
если предел в правой части существует. Эта формула легко вы¬
водится с помощью признака Даламбера.
Аналогично, с помощью признака Коши, можно установить
формулу
R = \im Т1—.
* При R = О или +оо множество точек х, для которых | х | < R или
I дс | > R (соответственно), будет пустым.
** В дальнейшем мы рассматриваем только такие ряды*
13* 195
Рассмотрим примеры:
во
1. Е хп.
л—О
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со
знаменателем х и, следовательно, сходится при | х | < 1 и . рас*
ходится при |х| 5s 1. Поэтому R = 1, а промежуток сходимости
имеет вид (—1, 1).
2. **
я=1
Здесь
2-
R = lim (Д-: j-Lrx) = lim = 1.
Л->оо \ I * U / Л->оо Я
со
При д: = 1 цолучаем сходящийся положительный ряд ^ -Jp,
Л*=1
со
а при х = —1 абсолютно сходящийся ряд ПоэтомУ
промежуток сходимости [—1, 1].
00
Л=1
Так же, как и в предыдущем примере, R = 1. Однако при х =1
СО 00
получаем расходящийся ряд а при х = —1 ряд^^~^ ,
Л=1 «Я
который сходится в силу теоремы Лейбница. Промежуток сходи¬
мости здесь [—1, 1).
Упражнения
Определить радиус и промежуток сходимости степенных рядов:
|7-
Л*=1 /1=1
оо
s. а>°- ь>°-
^Jan + Ьп
Л=1
§ в. Свойства суммы степенного ряда
В этом параграфе мы установим некоторые функциональные
свойства степенных рядов. При этом мы будем пользоваться об¬
щими теоремами § 4. Прежде всего нам необходимо решить вопрос
о равномерной сходимости степенного ряда.
196
Теорема 10. Степенной ряд
S апх" (20)
сходится равномерно в любом замкнутом промежутке, целиком
лежащем в интервале сходимости.
Для доказательства рассмотрим сначала промежуток I—г,г],
где г — произвольное вещественное число, удовлетворяющее
условию 0 < г < R, и докажем, что ряд (20) сходится на этом
промежутке равномерно. Действительно, при всех х 6 [—г, г]
имеем
\апхп\ = КН*1п<|ая|-И"-
со
Так йак г €(—R. R), то ряд 2 \ап\'\г\п сходится. Поэтому
п=0
на основании признака Вейерштрасса ряд (20) сходится на про¬
межутке [—г, г] равномерно.
Пусть теперь [а, Ь\ — промежуток произвольного вида и
[a, b] а (—R, R). Тогда легко построить такой промежуток
I—г, г\ (г > 0), что
[a, b] cz [—г, г] cz (-R, R).
Действительно, достаточно положить г = шах ) |а|,| Ь \}. Выпол¬
нение неравенств —г *^а, b ^ г очевидно. В то же время г < R.
По доказанному, ряд сходится в промежутке [—г, г\ равномерно.
Тем более, сходимость его будет равномерной и в промежутке
1а, &].
Итак, мы установили, что во всяком замкнутом промежутке,
лежащем в интервале (—R, R), сходимость степенного ряда рав¬
номерна. Отсюда, однако, не вытекает, что она будет равномерной
и в интервале (—R, R). Действительно, равномерная сходимость
нашего ряда на промежутке I—г, г] означает следующее: для
всякого е > 0 существует такой номер N, что для любого
п> N
S akxk
k — H + 1
О
при всех х б I—г, г]. Зафиксируем теперь некоторое е>0
и будем выбирать N для различных промежутков [—г, г]. При
этом оказывается, что общего для всех этих промежутков значе¬
ния N может быть и не найдется, ибо этих промежутков бесконеч¬
ное множество. Поэтому для всего промежутка (—/?, R) номер N
может и не существовать.
Более того, можно доказать, что если степенной ряд не сводится
к многочлену, т. е. среди его коэффициентов имеется бесконечное
множество отличных от нуля, и если область его сходимости —
открытый промежуток (—R, R) (здесь 0 < R ^ +°о), то сходи¬
мость ряда в этом промежутке обязательно неравномерная. В то же
197
время в любом замкнутом промежутке, содержащемся в про¬
межутке сходимости степенного ряда, ряд сходится равно¬
мерно. В частности, если область сходимости степенного ряда —
замкнутый промежуток [—R, Я] (0 < R < +оо), то во всем этом
промежутке ряд сходится равномерно. Доказательства этих утвер¬
ждений мы опускаем.
Теорема 11. Сумма степенного ряда во всякой точке ин¬
тервала сходимости непрерывна.
Действительно, пусть ряд (20) имеет радиус сходимости R
и х0 6 (—Rt R)- Выберем г > 0 так, чтобы было |х0| < г < R.
Тогда х0 6 [—г, г]. Так как члены ряда (20) во всех точках про¬
межутка [—г, г] непрерывны, а ряд на этом промежутке сходится
равномерно (теорема 10), то и сумма его на этом промежутке не¬
прерывна. В частности, она непрерывна в точке х0. В то же время
х0 есть произвольная точка промежутка (—R, R), и потому сумма
ряда (20) на всем этом промежутке непрерывна.
В этой теореме, так же как и в' предыдущей, можно вместо
интервала сходимости говорить о промежутке сходимости. Иначе
говоря, если ряд сходится на каком-либо конце интервала сходи¬
мости (R конечно), то сумма его на этом конце также будет не¬
прерывна. По этому поводу см. [Ф], т. II, стр. 92.
Из теоремы 11 вытекает теорема о тождестве степенных рядов.
ОО 00
Теорема 12. Пусть ряды Е апхп и Е Ьпхп имеют в про-
л=0 л=0
межутке (—R, R) (R > 0) одну и ту оке сумму. Тогда все коэф¬
фициенты этих рядов совпадают, т. е. ап = Ьп (п = 0, 1, 2, ...).
Действительно, полагая в равенетве
а0 -|- ахх 4" а%х2 -)-•••= Ь0 + Ьх х -j- b%x2 4- • • •
х = 0, сразу же получаем а0 = Ь0. Разделим обе части равенства
ахх + а2х2 +...== btx + b2х2 -\
почленно на х (считая х ф 0). Тогда получим
ai “Ь агх +•••== Ьх + Ьгх + • • •
Это равенство установлено нами для всех х 6 (—R, R), кроме
х = 0. Однако, так как его левая и правая части непрерывны
(как суммы степенных рядов), то оно будет справедливым и при
х = 0. Поэтому аг = Ьх. Аналогично доказывается равенство
остальных коэффициентов.
Теорема 13. Степенной ряд можно почленно интегри¬
ровать по любому замкнутому промежутку, лежащему в интервале
сходимости.
Эта теорема сразу же вытекает из общей теоремы о почленном
интегрировании функциональных рядов (теорема 7, § 4) и из тео¬
ремы 10 о равномерной сходимости степенного ряда.
Теорема 14. Степенной ряд можно почленно дифференци¬
ровать в любой точке интервала сходимости.
198
Доказательство. Возьмем *6 (—R, R), где Я>0 —
радиус сходимости ряда (20), и докажем, что в этой точке по¬
членное дифференцирование ряда допустимо. Выберем г так,
чтобы было | х\ < г < R, и покажем, что на промежутке [—г, г]
выполнены условия теоремы 8 из § 4. Для этого достаточно дока¬
зать, что ряд
00
Е па„хп~]1 (21)
Л=1
сходится на промежутке [—г, г] равномерно, так как выполнение
прочих условий этой теоремы очевидно.
00
Выберем число г0 так, что г < r0 < R. Так как ряд Е l°/»ro |
п=0
сходится, то последовательность {| о«Го |} ~=о ограничена, т. е.
существует такое число М > 0, что | апг51 «ё М при всех п. Тогда
при х £ [—г, г] имеем
| папхп~11 =
■7-1 «^1
'О
апГо 7Г~
— м(—\
Го \ Го )
Поэтому для установления равномерной сходимости ряда (21)
на промежутке [—г, г] достаточно доказать сходимость ряда
—n(-^-Y 1 (теорема 3, § 3) или, что то же самое, ряда
Го \ '0 /
п—\
со
, Я—1
У1, п (тг-)” • Сходимость же этого ряда вытекает из признака Да*
1
ламбера. Действительно,
.+ ■ г
“(i)
п~1 п Г0 Я->оо Г0
"7“< !•
Итак, почленное дифференцирование ряда (20) в точке х допустимо.
Так как х есть произвольная точка промежутка (—R, R), то
ряд можно почленно дифференцировать во всем интервале сходи¬
мости.
Заметим, что ряд (21), полученный почленным дифференциро¬
ванием ряда (20), в свою очередь является степенным. Обозна¬
чим через Ri его радиус сходимости. Тогда R = Rx. Действи¬
тельно, из доказанной теоремы следует, что во всякой точке
лг£ (—R, R) ряд (21) сходится. Поэтому R /?х. С другой сто¬
роны, из неравенства
I апхп | «£ п|а„хп \ = \х\-\папхп~1 \
следует, что ряд (20) сходится во всякой точке х £ (—Rlt RJ,
199
и потому Ri < R* Таким образом, окончательно имеем R = Rlt
т. е. при почленном дифференцировании степенного ряда радиус
сходимости остается без изменения.
Так как степенной ряд (21) можно в свою очередь почленно
продифференцировать, причем радиус его сходимости при этом
не изменится, то мы имеем следующее утверждение.
Сумма / степенного ряда (20) в его интервале сходимости
есть бесконечно дифференцируемая функция, причем при всех
натуральных, k и при всех х £ (— R, R) цмеет место равенство
со
/<*>(*) = 2 п(п— 1 )■ • -(n — k + 1 )апхп~к.
n=k
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
Теория степенных рядов получила в математическом анализе
широкое развитие главным образом в связи с тем, что члены их
представляют собой функции очень простой природы. В частности,
большое значение приобретает - вопрос о представлении произ¬
вольных функций с помощью степенных рядов.
Пусть функция / определена на промежутке (а, Ь) и х0 £ (а,Ь).
Говорят, что . эта функция разлагается в степенной ряд вок-
рестности точки хй, если существует такое число Л > 0 и такая
последовательность чисел {a„}“=o, чт0 С*о — h, х0 + h) cz (а, Ь)
и при всех х 6 (*о — Л, *0 + Л) имеет место равенство
/(*) = Е ап(х—х0)п. (22)
л=0
Если равенство (22) имеет место при всех х 6 {а, Ь), то говорят,
что функция / разлагается в степенной ряд на всем (а, Ь).
Из теоремы о тождестве степенных рядов вытекает един¬
ственность разложения функции в степенной ряд (при фик¬
сированном х0). Более того, мы покажем, что последовательность
чисел {а„}“=1 может быть точно охарактеризована.
Пусть функция / определена и бесконечно дифференцируема
на (а, Ь), причем х0€ (а, Ь). Ряд
/М+ЦуЧ* — + *•)* Н
л=0
называется рядом Тейлора функции /.
* При R =* +оо достаточно доказать только, что Rlt ибо отсюда уже
следует R = Rv
200
В дальнейшем мы всюду считаем дс0 = 0. В этом случае ряд
'Еейлора имеет вид
т+£№х+-№*+-.
Теорема 15. Пусть функция f определена на (а, Ь) и
0 6 (а, Ь). Если функция f разлагается в степенной ряд
Ё (23)
л=0
в окрестности точки 0, то она в этой окрестности бесконечно
дифференцируема, а ряд (23) есть ее ряд Тейлора.
Доказательство. Допустим, что А > 0 таково, что
(—A, A) cz (а, Ь) и при всех дс € (—А, А) имеет место равенство
/ (дс) = с0 + схх + с2дс2 Н . (24)
Ясно, что / бесконечно дифференцируема, как сумма степенного
ряда. Полагая в (24) х — 0, получим с0 = / (0). Продифферен¬
цируем равенство (24),
/' (*) = Cj + 2с2дс + ЗсзХ2 Н ,
и снова положим х = 0. Тогда мы найдем, что сг = f'(0). В общем
случае, дифференцируя равенство (24) п раз, получим
/<*> (дс) = п \сп + (л + 1)-п 2с„+1дс Н ,
t(п> /о)
откуда следует, что с„ = ' ^ ’ .
Остановимся теперь на вопросе о возможности разло¬
жения функции в степенной ряд. Из доказанной теоремы следует,
что такое разложение может иметь место только для функций,
Имеющих сходящийся ряд Тейлора. Однако даже при условии схо¬
димости ряда Тейлора сумма его может не совпадать с исходной
функцией.
Пусть функция / определена и бесконечно дифференцируема
на (а, Ь), причем 0£ (а, Ь). Тогда при любом дс£ (а, Ь) и при
всех натуральных п справедлива формула Тейлора с остаточным
членом
№> = /(0) + n»-,+ r*L* + ... + ,„(*).
Первые (л + 1) члены правой части представляют собой частич¬
ную сумму S„+i (дс) ряда Тейлора, и потому для сходимости ряда
Тейлора к исходной функции (т. е. для того чтобы 5л+1 (дс) —» f (дс))
П-> оо
необходимо и достаточно выполнение условия
'■«(*)— 2°-
П-Ь оо
Следующая теорема дает достаточные условия, при которых
функция разлагается в ряд Тейлора.
201
Теорема 16. Пусть / определена и бесконечно дифферен¬
цируема на (а, Ь), причем 0 6 (я, Ь). Если существует такое
число К > О, что при всех п и всех х 6 (а, b> выполняется нера¬
венство | /<п> (дс) | =s£ К, mo f разлагается в ряд Тейлора на всем
{а, Ь).
Доказательство. Проверим выполнение условия
гп (дс) —* 0. Для этого возьмем остаточный член гп (х) в форме
П-> оо
Лагранжа
гп (х) = -(дфцУ *л+1. I € (0, х).
В силу условия теоремы справедлива оценка
1г*(*)К‘5ГП)Т'1*1“+1-
I х
Для того чтобы доказать, что ■*—{ > 0 при любом х, рассмотрим
П 1 Л->оо
00
ряд • Применяя к нему признак Даламбера, убедимся,
п=0
что он сходится, ибо
lim / L*Ttl. 1*Г) = Ит_М__о
Остается заметить, что общий член сходящегося ряда стремится
к нулю. Итак, гп (х) —* 0, и теорема доказана.
/2-> оо
§ 8. Разложение в ряд Тейлора некоторых конкретных функций
1. Прежде всего рассмотрим основные тригонометрические
функции / (дс) = sin дс и f (дс) = cos дс. Для первой из них при
всех п имеем
/<*> (д;) = sin (дс + ,
и |/<п) (*)|<1 при всех п и х 6 (—оо, +<*>)• Используя уже
известные значения для коэффициентов ряда Тейлора (см. 1Ф),
т. I, стр. 191), на основании теоремы 16 предыдущего параграфа
получим
sinx = x зу +(— I)"-1 (2л— 1)! *
дс€(— оо, +оо).
Аналогично
I I / 1\п
*2п
2. Для того чтобы установить разложение функции / (х) — ех,
Поступим следующим образом. Здесь при всех п
/(”) (х) в е*
и на всей оси ограниченности производных нет. Пусть Я — произ¬
вольное вещественное число. Ясно, что при всех I—Я, Я]
и при всех п имеет место неравенство
и потому наша функция на промежутке [—Я, Я1 разлагается
в ряд Тейлора. Само разложение имеет вид
е*=1+х + -£- + . .■ (25)
(см. там же). Нетрудно убедиться, что равенство (25) также вы¬
полняется на всей оси, ибо для любого вещественного х существует
промежуток I—Я, Я1 такой, что х £ [—Я, Я].
3. Для того чтобы получить разложение функции f (х) =
— In (1 -+■ а:), применим искусственный прием. Пусть функ¬
ция ф определяется равенством ф (t) = при /£(—1, 1).
Рассматривая ее как сумму геометрической прогрессии с первым
членом 1 и знаменателем —t, получим
Tjri = l-t + t*-<* + ••• +(_i)«-t + (26)
*€(— 1. 1).
Проинтегрируем почленно это равенство по промежутку [0, х],
Где х — произвольное число из промежутка (—1, 1). Такая опе¬
рация законна, ибо [0, х] с: (—Л» 1), а правая часть (26) Пред¬
ставляет собою степенной ряд. Тогда получим
XXX X
J = \dt-J tdt + • • • + (- ly-i J + ...
0 0 0 0
ИЛИ
ln(l +x) = x—|—!-•••+ (— I)'*-1 —(-•••« *€ (— 1. !)•
Можно доказать, что это разложение справедливо также и при
х = 1, т. е. имеет место равенство
1П2-1-4-+4— +(——.
4. Подобным же образом можно получить разложение функ¬
ции f (х) — arctg х. Действительно, функция ф (/) = t <а- при
/6 (—1> 1) разлагается в геометрическую прогрессию со знаме-
203
рателем —1%
_^_==1_/2 + *4 +(_i)^n + ....
После интегрирования этого равенства по промежутку [0, jc],
где jc€ (—1» 1). получим
arctg jc = jc—+ • • • +(-1)п^ТТ + --, х£(-1, 1).
Это разложение имеет место также и в точках jc = ±1.
5. Рассмотрим, наконец, функцию / (jc) = (1 + х)т и докажем,
что она представляет собой сумму биномиального ряда
I + тх + х* + • • • + -т.&~ Ч - ::\т ~ п ± И х" + • • • ~
= 1 + 2 -(W~1) w[(m-re + l)^. (27)
П=1
Для этого найдем сначала радиус сходимости этого ряда, восполь¬
зовавшись формулой (19) из § 5. Имеем
т(т — 1)- • (т — n + 1) , т (т — 1)- • (т — п) |._
я! 1 (n+l)l I-
R = lim
Я-> оо
lim'n + 1
= 1.
Обозначим, далее, сумму ряда (27) через <рт и составим дифферен¬
циальное уравнение для ее определения. Дифференцируя по¬
членно равенство
I +тх+ 11 л* И +
+ »(«-1>-Ч«-»±.Ч<. + ..., *<=(_!, 1),
получим
<Ы(х) = т + +■■■+"<"- +11 *-■+ • —
(здесь в квадратных скобках стоит биномиальный ряд, который
получается из (27) заменой т на т — 1). Покажем, что
(1 + *) фт-1 (х) = фт (JC). (28)
204
Действительно,
(1 +*)<Pm-l(*)= 1 +(т— 1)дс +
1 (m-lHm-2)ra [ J (т-1)(т-2)-. (т-п)хП j
+* + (я - 1)*» + ■ ■ ■ + <"■~1)1-I1,, ,(и—+11 *■ + • • •
Складывая члены с одинаковыми степенями х, получим
(1 + -'<)фт_1(х) = 1 +тх + —~2~1}хг Н h
_l_ w(/n—!)• ••(« — «+ 1) vn i
л I “• ’
т. e. равенство (28). Поэтому
(PmW = T^7(pmW.
откуда
<PmW
m
фт (*) 1 + x '
Интегрируя это равенство, получим
1пфот(л:) = mln(l + х) + 1пС,
ИЛИ
фт(х) = С(4 + *)т.
Так как фт (0) =■ 1, то и С = 1. Таким образом, нами установлено
равенство
(1 + x)m = 1 + тх + • • • +
Ч_т(т-1).-(гп-п + 0^ + ..., x6(_lt ,}
Можно показать, что это равенство также имеет место и в точках
х — ±1, однако не при всех значениях т. Именно для х = 1
оно выполняется при т > —1, а для х — —1 при т > 0.
Рассмотрим примеры.
Разложить данную функцию в степенной ряд в окрестности
указанной точки а:
L = a=L
При решении этой задачи воспользуемся равенством
ТТ7Г Ь-ФГ- —1, 1).
+ 41 п—0
205
Преобразуем данную функцию следующим образом:
1 1 = j_e 1
х -f- 3 х — 1 + 4 4 . . х — 1
1 -г—4—
X 1 гт*
и положим q = 4 . Тогда получим
п—0 п=0
Это разложение имеет место для всех х, для которых выполняется
х— Г
неравенство
4 <1, откуда | х — 11 < 4, или — 3 < х < 5.
2. / (х) — ех, а = 2.
Преобразуем данную функцию следующим образом:
вх = 2)+2 _ 2_
Полагая х — 2 = /, получим
V_0L_
л!
в* = eV = е2 = е*
п=0 /1=0
при всех х 6 (— оо, + оо)
3. / (х) = In (х +1/1 + ха), а = 0.
Для того чтобы разложить эту функцию в ряд Тейлора, по¬
строим сначала разложение для ее производной. Так как f (х) —
= 7 = (1 + ха)_1/2> То для ее разложения можно исполь¬
зовать биномиальный ряд
yi (-т)(—§-)••• w _
Г(х)=1 + ^ Щ V>-
/1=1
00
= 1 + V(-_
/1=1
ОО
-i+2(-|)"i2wr-*!"- *«<-■• ’>•
/1=1
Интегрируя это равенство по промежутку [0, у], где у 6 (—1» 1)*
и замечая, что f (0) = 0, получим
/1 = 1
206
4. / (х) = cos2 Зх, a = 0.
Преобразуем данную функцию к виду
cos2 Зх = -j- (1 + cos 6х) = -j- + cos 6х
и воспользуемся разложением для cos х. Тогда получим при
всех хб (—р°» +°°)
Упражнения
Разложить данную функцию в степенной ряд в окрестности
указанной точки а:
19. /(х) = In (1 + х — 2х2), а = 0;
21. /(х) = sln(x — 1), а = 3;
22. / (х) = е**-2, а = 0;
23. f(x) = ]/~x, а =4;
24. /(x) = xarctgx— In"j/l + xa, c = 0.
Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых требуется
решить обратную задачу, т. е. по заданному ряду определить
его сумму.
Прежде всего найдем радиус сходимости данного ряда
оо
Пусть S (х) =
*€ (—1. 1) и вычислим
х2”-1
fli
S' (X) = f; х2»-2 = j-U, Хб (- 1, 1).
п=1 1 Л
207
Тогда
X
ЗД=1т=Ь = -Г1пШ’ *€(-*. 1),
V1 х2Л~' 1 1 1 + *
Т- е 2А2^\ = ^ГЫ—х'
п=\
6. Е п*хП'
/1=1
Как и в предыдущем примере, нетрудно убедиться, что радиус
сходимости этого ряда равен 1. Пусть S (х) его сумма. Пред¬
ставим ее в следующем виде:
00 00
S(x) = 2 ПгХп = X 2 П2Хп~1 = ДСф (лс),
/1=1 Л=1
00
где положено ф (дс) = Е пгхп~х. Пусть хб (—1. !)• Тогда
/1=1
J ф (/) dt=j (Sn2fn_1)dt=
о
00 X
= S J Я2*"-1 dt = S пхп.
/1=1О /1=1
оо
Пусть i|) (х) = J] яхл. Эту функцию, так же как и S (х), преобг
/1=1
разуем к виду
00
-ф (дс) р= X £ ЛХ"-1 = ДСТ1.(х),
/1=1
во
где tj(x) = Е пхп~1.
/1=1
Положим 0 (х) = J "П (t) dt. Тогда
о
X / во \ во
0 w = 1 ( S 'nt"~l)dt = S *" = T=7’
И здесь хб (—1, 1).
Теперь мы можем перейти к определению функции S (х).
Прежде всего
Л (X) — в7 (•*) — 1)2 ♦
208
откуда
ij) (х) — XX] (х) — Jjf •
Далее находим
/Ч ,»/\ (*— 1)г~2х(х— 1) х + 1
Ф (*) — 1|) (*) — (х —I)* — (х — I)* ’
и, наконец,
S(л) = хц>(х) = — 'ffijty-, *€(—l, l).
1 у 2п (п + 1)
л=0
00
Рассмотрим степенной ряд ^ ~П^~' хп и вычислим его сумму
п=0
S (х). Тогда для нахождения суммы исходного ряда достаточно
найти S (2).
Вычислим радиус сходимости указанного степенного ряда
R = lim = lira
\ П I («+1)1/ n->CO n + 2
Далее,
n=0 0 n=0
00
= x'^-£r = xe*, *€(— oo, +oo).
Тогда S (x) = ex (1 + дс) и S (2) = 3e2.
Упражнения
Найти суммы рядов:
1 (— \)n~lx2n
25. ^(n+l)*"-»; 26- jU п(2п-ТГ«
П=1 /1=1
й- 28-
Н Б. 3. Вулих и др. 209
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1. а) Неравномерно, б) равномерно. 2. а) Неравномерно, б)
но.
ав-
3. Равномерно. 4. Неравномерно, б. Неравномерно, в. Неравномерно. 7.
номерно. 8. Равномерно. 9. Равномерно. 10. Равномерно. 11. Равномерно.
12. а) Неравномерно, б) равномерно. 13. а) Неравномерно, б) равномерно.
14. а) Неравномерно, б) равномерно. 15. Ряд сходится на всей оси. 16. R = 5,
[—5,5).
17.*=-!-, [-4", нг)‘ 18* /? = тах{а, *}. (—Я. /?)-
,е(-4-, ±].
/1=1
00
19
20
/1=0
21.
22. в"*
где ak =
„2 л
(-1)ПЩТ при * = 2л’
<—1)Я (2^ТЛ ПР«* = 2«+Ь
JL_, *6 (—ОО, +оо).
п 1
/1=0
23
. 2 +jr(*-4)+ (-В""1 (2^V--^r(-4)"'
n=2
24. |,|<1. *.
/1 = 1
26. 2*arctgx — ln(1 + x2), |х|г^1.
27. 2 (1 — ln 2). 28. .
(1 -*)»
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава I. Числовые ряды
1. Основные понятия и свойства 5
2. Положительные ряды 11
3. Теоремы сравнения 12
4. Признаки Коши и Даламбера 20
5. Абсолютная сходимость 23
§ 6. Знакочередующиеся ряды 25
Ответы к упражнениям 30
Глава II. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная и таблица простейших интегралов 31
§ 2. Простейшие свойства интегралов 34
§ 3. Замена переменной 37
| 4. Интегрирование по частям 47
§ 5. Интегрирование дробно-рациональных функций 53
§ 6. Метод Остроградского (выделение рациональной части интеграла) 65
§ 7. Некоторые специальные приемы интегрирования дробно-рациональ-
ных функций 68
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 72
§ 9. Интегрирование квадратичных иррациональностей 78
§ 10. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции 88
Ответы к упражнениям 97
Глава III. Определенный интеграл
§ 1. Определение и простейшие свойства определенного интеграла
§ 2. Теорема о среднем значении
§ 3. Замена переменной и интегрирование по частям
“ 4. Интегральные суммы
5. Аксиоматическое определение интеграла . .
6. Интеграл от кусочно-непрерывной функции . .
7. Несобственные интегралы
8. Интегральный признак сходимости положительных рядов
Ответы к упражнениям
14*
103
109
110
114
118
119
121
133
136
211
Глава IV. Приложения определенного интеграла
§ 1. Аддитивные функции отрезка
§ 2. Площадь криволинейной трапеции
§ 3. Площадь криволинейного сектора
§ 4. Объем тела вращения
§ 5. Статические моменты и центр тяжести криволинейной трапеции . , .
§ 6. Длина пути
§ 7. Площадь поверхности вращения
§ 8. Некоторые другие приложения определенного интеграла , . . .
Ответы к упражнениям
Глава V. Функциональные последовательности и ряды
§ 1. Основные определения
§ 2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
§ 3. Признаки равномерной сходимости t
§ 4. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда . , .
§ 5. Степенные ряды. Область сходимости
§ 6. Свойства суммы степенного ряда
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
§ 8. Разложение вг ряд Тейлора некоторых конкретных функций . . . .
Ответы к упражнениям
137
140
147
149
154
166
169
171
172
173
№
163
193
196
200
202
210