А. Г. Гранберг
МОДЕЛИРОВАНИЕ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ
экономики
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебника
для студенте высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
’’Экономическая кибернетика”
Москва-Экономика 1988

ББК 65.050.9(2)
Til
Редактор Ф.П. Дорохов
Рецензенты:
кафедра математических методов анализа экономики
экономического факультета МГУ, член-корреспондент
АН СССР B.JI. Макаров
0604020102 - 232
Г 	63 - 88	©Издательство	„Экономика”,	1988
011(01) - 88
ISBN 5 - 282 - 00659- 6

ПРЕДИСЛОВИЕ
Моделирование экономических процессов, тесно связанное с компьюте¬
ризацией, в последние десятилетия является наиболее быстро развиваю¬
щимся направлением экономической науки и ее важнейших приложений.
Поэтому учебный курс ’’Моделирование социалистической экономи¬
ки” - один из основополагающих в процессе формирования современ¬
ного экономиста.
Главными задачами курса являются: 1) расширение и углубление
теоретических знаний о качественных свойствах экономической систе¬
мы, количественных взаимосвязях и закономерностях экономического
развития, механизмах управления народным хозяйством; 2) овладение
методологией и методикой построения, анализа и применения математи¬
ческих моделей экономических процессов; 3) изучение наиболее харак¬
терных моделей и получение навыков практической работы с моделями,
используемыми в практике или подготовленными к внедрению. Таким
образом, курс ’’Моделирование социалистической экономики” имеет
одновременно теоретическое, методологическое, методическое и кон¬
кретно-прикладное назначение.
Содержание и структура данной книги отражают позицию автора
в отношении роли математического моделирования в экономической на¬
уке и хозяйственной практике, возможности синтеза экономических и
математических знаний. Основная направленность данной книги —
анализ теоретических и прикладных проблем социалистической экономи¬
ки средствами математического моделирования, а не изучение собствен¬
но математических методов, применяющихся в экономике. Иначе гово¬
ря, первична экономическая проблематика, а математический аппарат
(как инструмент познания) — вторичен. Поэтому значительное‘место в
книге уделяется логическому анализу социалистической экономики и
ее альтернативным модельно-теоретическим представлениям, структури¬
зации проблем планирования и управления народным хозяйством.
Автор стремится показать, что математическое моделирование сущест¬
венно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сфор¬
мулировать новые постановки экономических задач, приводит к новым
теоретическим результатам, интенсифицирует планово-управленческую
деятельность, повышает качество принимаемых экономических решений.
Чтение книги требует математической подготовки, в первую очередь
по линейной алгебре, дифференциальному исчислению и дифференциаль¬
ным уравнениям, математическому программированию и в меньшей

степени по теории вероятностей, математической статистике, теории игр,
теории оптимального управления. Из-за ограниченного объема книги
математические доказательства часто опускаются; такие случаи сопро¬
вождаются ссылками на источники с доказательствами.
Более подробное изложение многих рассмотренных в книге вопро¬
сов дано в предшествующих работах автора, на которые даются регуляр¬
ные постраничные ссылки1. Для параллельного и подготовительного чте¬
ния рекомендуется учебное пособие А.В.Лотова ’’Введение в экономи-
ко-математическое моделирование” (М.: Наука, 1984), для получения
дополнительных сведений — ’’Экономико-математический словарь”
Л.И.Лопатникова (М.: Наука, 1987). Структура нашей книги позволяет
’’подстраивать” к ней специальные учебные пособия по отдельным
направлениям экономико-математического моделирования.
Рассматриваемая автономно, книга имеет легко обнаруживаемый
педагогический пробел: в ряде глав не хватает примеров, задач, упраж¬
нений. Это - сознательная жертва. Планируется отдельное издание
практикума по моделированию социалистической экономики, в точности
соответствующего структуре данного учебника, а также тиражирование
компьютерных разработок (информационных массивов, машинных
программ, инструкций для пользования в диалоговом режиме) по всем
темам учебного курса.
Ряд глав написан с участием В.П.Бусыгина, Б.Н.Киселева, Л.И.По¬
лищука, А.Г.Рубинштейна, В.И.Суслова (точные указания авторства да¬
ются в ДМНХ и ВСМ). Большую работу по подготовке рукописи вы¬
полнили Т.П.Захарова, В.А.Сарафанова, Сон Ден Сун.
Автор признателен рецензентам книги и коллегам, вносившем
многочисленные критические замечания и конструктивные предложе¬
ния при обсуждении рукописи и предшествующих публикаций, и особен¬
но студентам Новосибирского университета и других вузов, невольно
участвовавшим в многолетних экспериментах по отладке учебного курса.
Отзывы читателей помогут автору точнее определиться в дальнейшей
научной и педагогической работе.
1	Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. М.:
Экономика, 1978 (в дальнейшем - сокращенно ММСЭ); Гранберг А.Г. Динамичес¬
кие модели народного хозяйства. М.Г Экономика, 1985 (сокращенно — ДМНХ),
Гранберг А.Г., Суспицин С.А. Введение в системное моделирование народного
хозяйства. Новосибирск: Наука, 1988 (сокращенно - ВСМ).

ВВЕДЕНИЕ
В хозяйственной практике человека математика используется с момента
своего зарождения. На протяжении тысячелетий арифметика и геометрия
применялись для разнообразных измерений и вычислений. Однако даль¬
нейшее развитие математики долгое время определялось в основном
потребностями естественных и технических наук и внутренней логикой
самой математики. Именно математике во многом обязаны своими до¬
стижениями астрономия, физика, химия, биология.
Когда мы говорим о применении математики в экономике, то имеем
в виду не просто проведение различного рода экономических расчетов,
а использование математики для изучения экономических закономерно¬
стей, получения новых теоретических выводов, нахождения наилучших
экономических решений. Главные преимущества математики как сред¬
ства научного познания раскрываются при построении математических
моделей, заменяющих в определенных отношениях исследуемые объек¬
ты. Математические модели экономики, отражающие с помощью мате¬
матических соотношений основные свойства экономических процессов и
явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования
сложных экономических проблем.
Довольно распространено мнение, что применение математики и
математического моделирования в экономике — новая страница в разви¬
тии экономической науки, связанная с появлением электронной вычис¬
лительной техники. Такое мнение является глубоким заблуждением.
Применение математических методов в экономике имеет богатое прош¬
лое; забвение этого прошлого серьезно обедняет и искажает историю
экономической мысли.
Изучение предшествующего опыта экономико-математических
исследований дает ответы на важные методологические и содержатель¬
ные вопросы экономической науки, позволяет избежать многочисленных
ошибок в применении математических методов, помогает оценить воз¬
можности и перспективы использования математического моделирова¬
ния в экономике, выбрать наиболее эффективные направления дальней¬
шего развития экономических исследований. Многие научные результа¬
ты использования метода математического моделирования в экономике,
полученные десятки и даже более ста лет назад, не потеряли своей акту¬
альности.
Стремление использовать математику в качестве инструмента иссле¬
дования отличало еще родоначальников экономической науки. Так,

У.Петти (1623—1687), основатель классической политической экономии,
писал в предисловии к своей „Политической арифметике”:	вместо
того, чтобы употреблять слова только в сравнительной и превосходной
степени и прибегать к умозрительным аргументам, я вступил на путь
выражения своих мнений на языке чисел, весов и мер...”. Однако упот¬
ребление „чисел, весов и мер” характеризует только начальную стадию
использования математики.
Первая в мире модель народного хозяйства была создана француз¬
ским ученым Ф. Кенэ (1694—1774). В 1758 г. он опубликовал первый
вариант своей знаменитой „Экономической таблицы”, получивший наз¬
вание „зигзаг”; второй вариант — „арифметическая формула” — был
опубликован в 1766 г. „Эта попытка, — писал КМаркс о таблице
Ф.Кенэ, — сделанная во второй трети XVIII века, в период детства поли¬
тической экономии, была в высшей степени гениальной идеей, бесспорно
самой гениальной из всех, какие только выдвинула до сего времени
политическая экономия”1. КМаркс неоднократно обращался к анализу
„Экономической таблицы”. Уже в наше время „Экономическая табли¬
ца” Ф.Кенэ послужила основой для построения и развития многочислен¬
ных математических моделей общественного воспроизводства.
Значительное влияние на развитие методологии экономико-матема-
тических исследований оказали труды К Маркса. Опираясь на опыт
Ф.Кенэ, КМаркс разработал значительно более содержательные схемы
воспроизводства, вывел условия простого и расширенного воспроизвод¬
ства в виде алгебраических уравнений и неравенств, исследовал сложные
количественные взаимосвязи процесса общественного воспроизводства.
Основной экономический труд К.Маркса „Капитал” содержит немало
примеров плодотворного использования математического метода. Так,
при изучении закона тенденции нормы прибыли к понижению К.Марксом
дается обстоятельный параметрический анализ формулы средней нормы
прибыли (при этом К.Маркс пишет, что исследование сначала движется
в чисто математической области). В отделе о земельной ренте приводят¬
ся уравнения, связывающие абсолютную, дифференциальную и
суммарную ренту. Скрупулезно анализируются взаимозависимости
прибавочной стоимости, цены рабочей силы, производительности труда,
интенсивности труда и длины рабочего дня. Ряд важнейших политэконо-
мических положений формулируется К.Марксом математически: соот¬
ношение стоимости и производительной силы труда, законы изменения
массы прибавочной стоимости и денежного обращения, условия форми¬
рования цены производства и т.д.
К.Маркс высоко ценил математику как орудие научного познания.
П.Лафарг в воспоминаниях о К.Марксе писал: „В высшей математике он
находил диалектическое движение в его наиболее логичной и в то же
1	Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 26. Ч. 1. С. 345.

время простейшей форме. Он считал также, что наука только тогда
достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой”1.
Многие зрелые годы К.Маркс посвятил самостоятельному изучению ма¬
тематики. Его наследие содержит обширные математические рукописи, в
том числе его собственные работы по дифференциальному исчислению2.
С какой целью К.Маркс занимался математикой? Имеются истори¬
ческие свидетельства, что он вел подготовительную работу, стремясь в
полной мере использовать математические знания в политэкономических
исследованиях3. Эти планы КМаркс не успел осуществить.
Однако несмотря на многочисленные примеры плодотворного ис¬
пользования математического метода, последний все же не играл веду¬
щей роли в экономических исследованиях К.Маркса. В немалой степени
это было обусловлено теми задачами качественного изучения природы
капиталистического способа производства, которые были главными и в
„Капитале”, и в других экономических трудах К.Маркса.
Сказанное отнюдь не умаляет заслуг КМаркса в развитии экономи-
ко-математических исследований. Но значение его трудов прежде всего
нужно видеть не в конкретных результатах использования математики, а
в создании теоретического фундамента для плодотворного развития эко¬
номической науки на основе применения всех эффективных методов
исследования, включая и метод математического моделирования.
Система теоретико-экономических положений К.Маркса служит
отправным пунктом для создания многих математических моделей
капиталистической и социалистической экономики. Пожалуй, особенно
ярко значение трудов К.Маркса проявляется при моделировании про¬
цесса общественного воспроизводства.
Схемы расширенного воспроизводства К.Маркса были развиты
В.И.Лениным, который модифицировал их с учетом условия роста ор¬
ганического строения капитала и задач развития социалистического
общества. Позднее учеными-марксистами были созданы многочисленные
обобщения и математические интерпретации схем воспроизводства.
Непосредственное влияние схем К.Маркса прослеживается во мно¬
гих мак ро моделях, построенных экономистами различных науч¬
2	Воспоминания о Марксе и Энгельсе. М.: Госполитиздат, 1956. С. 66.
„Математические рукописи” К.Маркса впервые полностью опубликованы
(одновременно на русском и немецком языках) в 1968 г. издательством ,,Наука”.
Кроме оригинальных работ К.Маркса они содержат конспекты и выписки из книг,
которыми он пользовался.
Об одном конкретном своем намерении К.Маркс писал Ф.Энгельсу 31 мая
1873 г.: „... Ты знаешь таблицы, в которых цены, учетный процент и т.д. и т.д.
представлены в их движении в течение года и т.д., в виде восходящих и нисходя¬
щих зигзагообразных линий. Я неоднократно пытался - для анализа кризисов -
вычислить эти up and downs как неправильные кривые и думал (да и теперь еще
думаю, что с достаточно проверенным материалом это возможно) математически
вывести из этого главные законы кризисов” (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд.
Т. 33. С. 72).

ных школ. Дальнейшим развитием двухсекторных схем расширенного
воспроизводства стали модели межотраслевого баланса.
Использование теоретического наследия К.Маркса в экономико¬
математических исследованиях не ограничивается только построением
макроэкономических и межотраслевых моделей воспроизводства. Раз¬
работанные К.Марксом положения теории трудовой стоимости,
прибавочной стоимости, средней прибыли и цены производства, земель¬
ной ренты и др. находят применение в моделях общественно необходи¬
мых затрат, ценообразования, формирования и распределения доходов
и т.д. Большое влияние экономической теории К.Маркса на развитие эко-
номико-математических исследований признается и современными уче¬
ными Запада.
Важную роль в развитии экономической науки XIX века сыграла
математическая школа в политической экономии. Ее виднейшие пред¬
ставители О.Курно, Г.Госсен, J1. Вальрас, У.Джевонс, Ф.Эджворт, В.Па¬
рето внесли большой вклад в разработку проблем потребления, механиз¬
ма спроса и предложения, формирования издержек производства,
сбалансированности (равновесия) экономики. Широко используются
понятия кривых безразличия и ядра экономической
системы Ф.Эджворта, многоцелевого оптимума
В.Парето, общего экономического равновесия JI.Валь¬
раса и др.
В конце XIX — начале XX в. в экономической науке Запада получи¬
ло развитие статистическое направление, ставившее своей главной зада¬
чей изучение экономических циклов и прогнозирование хозяйственной
конъюнктуры на основе методов математической статистики. Заслугой
этого научного направления является разработка методических вопро¬
сов обработки экономических данных, статистических обобщений и по¬
строения математико-статистических моделей.
В дореволюционной России возможности и проблемы применения
математики в экономике привлекали внимание многих ученых. В рус¬
ских изданиях критически обсуждались работы западных экономистов-
математиков, а с конца XIX в. появляются оригинальные экономико¬
математические исследования В. К Дмитриева, В.И.Борткевича, В.С.Вой-
тинского, P.M. Оржнецкого, В.В.Самсонова, Н.А.Столярова, Н.Н.Шапош-
никова и др.
Наиболее крупным экономистом-математиком дореволюционной
России был В.К.Дмитриев (1868-1913). Его первая известная работа
„Теория ценности ДРикардо. Опыт органического синтеза трудовой
ценности и теории предельной полезности” была опубликована в 1898 г.
Главный научный труд В.К.Дмитриева „Экономические очерки” вышел
в 1904 г. Основной конструктивный научный вклад В.К.Дмитриева
состоит в построении модели полных народнохозяйственных затрат
труда и сбалансированных цен в виде системы линейных уравнений с
технологическими коэффициентами. „Формула В.КДмитриева” спустя
8

несколько десятков лет нашла применение в моделировании межотра¬
слевых связей и в СССР, и за рубежом.
В истории экономико-математических исследований особое место
принадлежит Е.ЕСлуцкому (1880—1948), широко известному своими
работами по теории вероятностей и математической статистике. В 1915 г.
он опубликовал в итальянском журнале статью „К теории сбалансиро¬
ванности бюджета потребителя”1. Спустя двадцать лет эта статья получи¬
ла мировое признание. Лауреат Нобелевской премии Д.Хикс в книге
„Стоимость и капитал” (1939) писал, что Е.Е. Слуцкий был первым эко¬
номистом, сделавшим серьезный шаг вперед по сравнению с классика¬
ми математической школы.J
Значительное развитие в русской экономической науке конца XIX —
начала XX в. получили исследования по применению методов математи¬
ческой статистики. Ведущую роль здесь играл АЛ. Чупров (1874-1926),
под руководством которого выполнялись интересные работы по кор¬
реляционному анализу экономических явлений2.
Создание первого в мире социалистического государства выдвину¬
ло перед экономической наукой принципиально новые задачи. Уже
в годы гражданской войны и восстановления народного хозяйства
закладывались основы новой методологии и организации экономиче¬
ских исследований. Огромное значение в восстановлении экономической
науки, создании общегосударственной системы учета, планирования и
управления имели научные труды и деятельность В.И.Ленина.
Экономико-математические исследования в СССР в 20-е годы прово¬
дились в основном по двум направлениям: применение математических
методов в изучении хозяйственной конъюнктуры и экономическом регу¬
лировании; моделирование процесса расширенного воспроизводства.
Задачи первого направления диктовались условиями нэпа. Выполня¬
лись многочисленные работы по анализу временных рядов и сезонных
колебаний, краткосрочным прогнозам, изучению влияния различных
экономических регуляторов. В 1922 г. был создан Конъюнктурный ин¬
ститут при Наркомфине, который возглавил талантливый ученый
Н.ДКондратьев (1892-1938).
В историю мировой науки Н.Д.Кондратьев вошел как автор кон¬
цепции больших циклов конъюнктуры (или „длинных
волн”) периодичностью 40—60 лет3. Особую популярность эта кон¬
1	В 1963 г. статья была издана на русском языке в сборнике „Экономико¬
математические методы”. М.: Изд-во АН СССР, 1963. Вып. 1. Статья сопровождает¬
ся комментарием советских экономистов-математиков ВЛ.Цолконского и
АЛ.Коиюса.
2	См. Чупров А.А. Основные проблемы теории корреляции. О статистическом
исследовании связи между явлениями (1926) .М.: Госстатиздат, 1960.
3	Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры // Вопросы конъюнктуры.
1925. № 1. Вып. 1.

цепция завоевала в 80-е годы в связи с изучением долговременных тен¬
денций научно-технического прогресса. Только под эгидой Международ¬
ного института прикладного системного анализа по этой теме было
проведено уже три конференции.
В математико-статистических исследованиях экономических явле¬
ний получили развитие традиции русской школы статистиков. Были
начаты работы по демографическому анализу, изучению спроса и пред¬
ложения, моделированию сферы личного потребления. Здесь можно
отметить ряд теоретических работ С.С.Бюшгенса и Л.А.Конюса1, иссле¬
дования ЛН.Юровского по теории цены2.
На развитие в СССР синтетических статистических работ по анализу
процесса социалистического воспроизводства и построение балансовых
моделей народного хозяйства большое влияние оказывали ленинские
указания о необходимости систематизированного учета массовых
данных в масштабе всей страны, собираемых по одной определенной
программе и сводимых вместе специалистами-статистиками, о принци¬
пах построения сбалансированного народнохозяйственного плана. Уже
в первом советском хозяйственном плане — плане ГОЭЛРО, разработан¬
ном при участии и под руководством В.И .Ленина, — содержались важные
предпосылки для построения народнохозяйственных моделей (формули¬
ровка целей и ограничений, использование балансового метода, единство
материально-вещественного и стоимостного аспектов плана и т.д.).
Выдающимся достижением советской статистики явилась разработка
первого в мире баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 хозяй¬
ственный год. Этот баланс включал наряду со сводными показателями
воспроизводства также и таблицы межотраслевых потоков предметов
труда и средств труда. Работа ЦСУ СССР на много лет опередила зару¬
бежные статистические исследования как по сводным балансовым
таблицам (национальным счетам), так и по межотраслевым балансам
(методу input - output)3.
Во второй половине 20-х годов проводились работы по совершенст¬
вованию статистических основ межотраслевого баланса и по математи¬
Бюшгенс С.С., Конюс А.А. К проблеме покупательной силы денег // Во¬
просы конъюнктуры. 1926. Т. II; А.А.Конюс (р. 1895) - старейшина советской
экономико-математической школы - и до настоящего времени активно продолжа¬
ет исследования в области моделирования покупательского спроса и потребле¬
ния, теории стоимости, по динамическим моделям экономики.
2
Юровский JI.H. Очерки по теории цены. Саратов, 1919.
В.В.Леонтьев, лауреат Нобелевской премии, признанный лидер в теории и
методологии построения межотраслевых моделей, родился в России (1906 г.). Он
был хорошо знаком с балансом народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг. и даже
опубликовал на эту работу рецензию в журнале „Плановое хозяйство” (1925.
№ 12). Свои собственные крупные работы по анализу межотраслевых связей
В.Леонтьев начал в США в 1931 г., а первые его публикации межотраслевых ба¬
лансов США за 1919 и 1929 гг. относятся к 1936 г. Известны его большие заслуги
в развитии, математическом оформлении и популяризации идей межотраслевого
баланса и организации работ по межотраслевым балансам во многих странах мира.
10

ческому моделированию межотраслевых связей. В 1926 г. Я.Шатунов-
ский прочитал в Коммунистической Академии доклад „Математиче¬
ский опыт учета элементов народного хозяйства посредством системы
линейных уравнений” (ранее система уравнений межотраслевых связей
рассматривалась В.К.Дмитриевым). Интересные попытки применить
математические методы для изучения структуры и образования народ¬
нохозяйственных затрат предпринял Л.Лубны-Герцык. Таким образом,
к концу 20-х годов в СССР уже были разработаны многие экономиче¬
ские и математические проблемы межотраслевых моделей народного
хозяйства.
Большое внимание уделялось советскими экономистами развитию
схем воспроизводства К.Маркса и В.И.Ленина, их усложнению и мате¬
матической формализации. Л.Крицман обобщил анализ схем воспроиз¬
водства на случай трех, четырех и, наконец, п подразделений обществен¬
ного воспроизводства. В работах В.Позднякова, В. Староеского, А.Ор¬
леанского и др. проводились математические преобразования схем и
параметрический анализ важнейших соотношений.
Большое значение имела разработка Г.А.Фельдманом (1884—
1958) математических моделей экономического роста. Г.А.Фельдман
был одним из авторов плана ГОЭЛРО, работником первого состава
Госплана СССР. Свои основные идеи по моделированию социалистиче¬
ской экономики он базировал на марксовых схемах расширенного вос¬
производства, предложив свой оригинальный вариант схемы расширен¬
ного воспроизводства, причем не только в алгебраической, но и в графи¬
ческой форме1.
Основная модель роста Г.А.Фельдмана выражала взаимосвязи тем¬
па роста национального дохода, изменения фондоотдачи и производи¬
тельности труда, структуры использования национального дохода. Эта
модель имела не только теоретическое значение: она использовалась
в разработке первого генерального плана развития народного хозяйства
СССР на 15—20 лет, которая проводилась в конце 20-х — начале 30-х
годов. Статьи Г.А.Фельдмана намного опередили работы Д.Кейнса,
Р.Харрода, Е.Домара и других западных экономистов по макроэкономи¬
ческим динамическим моделями в еще большей степени — исследования
по двухсекторным моделям экономического роста (с выделением двух
подразделений)2. Но за рубежом научные результаты Г.А.Фельдмана
долгое время оставались незамеченными. Они были „открыты” там толь¬
ко после Великой Отечественной войны и вызвали огромный интерес.
Фельдман Г.А. К теории темпов народного дохода (Под углом зрения народ¬
ного хозяйства СССР) // Плановое хозяйство. 1928. № 11, 12; Аналитический
метод построения перспективных планов // Плановое хозяйство. 1929. № 12.
Первая модель роста Е.Домара, близкая односекторной модели Г.А.Фельд¬
мана, была опубликована только в 1938 г. В современной'литературе она более
известна как модель Харрода - Домара (см. гл. 10).
11

Обе статьи были полностью опубликованы в США в 1964 г. и детально
проанализированы.
Работы Г. А.Фельдмана имеют и обще методологическое значение для
моделирования социалистической экономики. В них содержится четкая
(и удивительно современная) аргументация необходимости использо¬
вания математических методов в народнохозяйственном планировании:
„Нельзя представить несложного метода проектирования такого сложно¬
го аппарата, каким является народное хозяйство. С другой стороны,
мы не знаем более совершенной формы анализа, чем математика... Мы
убеждены, что более или менее совершенное планирование народного
хозяйства может быть осуществлено лишь на основе четкой, математи¬
чески сформулированной теории; только тогда споры по планам могут
быть сведены к принципиальным установкам и целевым заданиям при
полной уверенности в безошибочности расчетов”1.
Научные поиски Н.Д. Кондратьева также привели его к макроэконо¬
мическому моделированию. В 1930-1934 гг., находясь в политизолято-
ре, он разрабатывал динамическую макромодель в виде дифференциаль¬
ных уравнений. О замысле и содержании этого направления научной дея¬
тельности Н.Д. Кондратьева стало известно совсем недавно2.
Исследования по моделированию социалистической экономики,
успешно начатые советскими учеными, к сожалению, не получили разви¬
тия в 30-е годы. Насаждавшийся упрощенческий подход к экономиче¬
ской теории, огромные кадровые потери экономической науки в резуль¬
тате политических репрессий сказались на состоянии и престижности
экономико-математических исследований. Лишь в конце 30-х годов
произошли события, оказавшие впоследствии большое влияние на эко¬
номическую науку и хозяйственную практику3.
В 1938 -1939 гг. ленинградский математик JI.B.Канторович (1912—
1986) в результате анализа ряда проблем организации и планирования
производства сформулировал новый класс условно-экстремальных за¬
дач с ограничениями в виде неравенств и предложил методы их решения.
Эта новая область прикладной математики позже получила название
„линейное программирование”. В США линейное программирование
было переоткрыто ДжДанцигом в конце 40-х годов. Ныне приоритет
J1.В.Канторовича признан во всем мире. В 1975 г. JI.В.Канторовичу
совместно с американским ученым Т.Купмансом за исследования по
оптимальному распределению ресурсов была присуждена Нобелевская
премия.
В книге „Математические методы организации и планирования про-
Плановое хозяйство. 1928. № 12. С. 177-178.
См. Экономика и математические методы. Т. XXIV. Вып. 2. 1988.
Более подробное изложение отдельных этапов развития экономико-мате¬
матических исследований за рубежом, в дореволюционной России и в СССР (до
30-х годов) см. в ММСЭ, с.’ 11-23.
12

изводства” (1939) JI.В .Канторович изложил опыт применения линейного
программирования для решения разнообразных экономических задач:
распределение работ между видами оборудования, комплексное исполь¬
зование сырья, раскрой материалов, распределение посевных площадей
между культурами, составление плана перевозок и т.д. В этой же книге
он ввел понятие разрешающих множителей (впоследствии
названных им объективно обусловленными оценка¬
ми) и установил их связь с оптимальным планом. В более поздних
работах Л.В. Канторович расширил сферу применения линейного прог¬
раммирования в социалистической экономике, сформулировав задачи
отраслевого и народнохозяйственного оптимального планирования.
Спустя два десятилетия после своего возникновения линейное програм¬
мирование стало важным инструментом выбора планово-экономических
решений на всех уровнях социалистического хозяйства.
В 1939 г. почти одновременно с Л.В .Канторовичем ленинградский
экономист В.В.Новожилов (1892-1970) опубликовал свою работу „Ме¬
тоды соизмерения народнохозяйственной эффективности плановых и
проектных вариантов”. В ней содержались важные теоретические поло¬
жения, ставшие потом органической частью теории оптимального плани¬
рования социалистической экономики. В.В.Новожилов сформулировал
задачу оптимального народнохозяйственного плана (на минимум трудо¬
вых затрат), принципы соизмерения затрат и результатов при оптималь¬
ном планировании.
Экономико-математические исследования в 30 — 40-е годы не ограни¬
чивались только работами Л.В.Канторовича (и его учеников) и
В.В.Новожилова по оптимальному планированию. В этот же период вы¬
полнялись исследования по рационализации транспортных перевозок
(А.Л.Лурье, В.Н.Толстой), разработке методов отбора вариантов капи¬
таловложений (особенно в энергетике и транспортном строительстве),
применению математико-статистических методов в анализе производст¬
венных процессов. Однако достижения в области экономико-математи¬
ческих методов были мало известны экономистам и слабо использова¬
лись в хозяйственной практике.
Новый этап в развитии экономико-математических исследований в
СССР начался во второй половине 50-х годов, что было вызвано поиска¬
ми новых подходов к плановому руководству социалистической эконо¬
микой, а также принципиально новыми возможностями проведения
экономических расчетов и обработки экономической информации, воз¬
никшими благодаря появлению ЭВМ.
В 1957—1958 гг. создаются первые специализированные экономико¬
математические подразделения: Лаборатория по применению математи¬
ческих и статистических методов в составе Академии наук СССР, лабо¬
ратория в Институте электронных управляющих машин, Вычислитель¬
ный центр при Госплане СССР, отдельные группы в ряде научно-исследо-
вательских институтов. Разрабатываются учебные курсы, предназначен¬
13

ные для повышения математической подготовки экономистов. В вузах
открываются первые отделения для подготовки специалистов по приме¬
нению в экономике математических методов и электронной вычисли¬
тельной техники. Для разработки новых проблем, возникших на стыке
экономики, математики, кибернетики, были привлечены крупные твор¬
ческие силы.
Выдающуюся роль в организации и пропаганде экономико-матема¬
тических исследований, в создании советской экономико-математиче¬
ской школы сыграл академик B.C.Немчинов (1894-1964).
В апреле 1960 г. состоялось Научное совещание о применении мате¬
матических методов в экономических исследованиях и планировании,
созванное Президиумом АН СССР. Оно подвело первые итоги нового
этапа экономико-математических исследований, определило наиболее
важные направления их дальнейшего развития. Большое значение для
создания единой методологической основы экономико-математических
исследований имели фундаментальные работы Л.В.Канторовича „Эконо¬
мический расчет наилучшего использования ресурсов” (1959), В.В.Но¬
вожилова „Измерение затрат и их результатов в социалистическом
хозяйстве” (1959), В.С.Немчинова „Экономико-математические методы
и модели” (1962). За этот цикл работ их авторам в 1964 г. была присуж¬
дена Ленинская премия.
В 70-х годах начался переход от использования математических
моделей для решения отдельных задач к их системному применению в
автоматизированных системах планирования и управления. Этот переход
требовал решения двух основных проблем: во-первых, объединения
отдельных моделей экономических процессов и явлений в системы
(комплексы) моделей; во-вторых, непосредственного включения
моделей в процесс планирования (или управления), создания новых пла¬
ново-управленческих технологий, базирующихся на системном исполь¬
зовании математических методов и ЭВМ. Важным шагом в решении ука¬
занных проблем стала разработка автоматизированной системы
плановых расчетов (АСПР) в Госплане СССР и Госпланах союзных
республик1.
Было бы неверно представлять развитие экономико-математических
исследований в СССР как путь непрерывных побед, тем более что
суровая (и далеко не всегда справедливая) критика не позволяла эконо-
мистам-математикам почивать на лаврах. В начале 60-х годов энтузи¬
асты надеялись буквально за считанные годы математизировать весь
процесс планирования и управления народным хозяйством. В действи¬
тельности все оказалось намного сложнее. Проникновение математиче¬
ских моделей в действующую систему управления требовало больших
Наиболее полное изложение итогов экономико-математических исследо¬
ваний на начало 80-х годов дается в десятитомной серии монографий под общим
названием „Вопросы оптимального планирования и управления народным хозяй¬
ством”, опубликованных в 1982-1985 гг. издательством „Наука”.
14

организационных усилий и часто не приносило ожидаемых эффектов;
но одновременно глубже осознавались реальные возможности моделиро¬
вания и условия реализации этих возможностей1.
Каковы же главные причины, тормозившие внедрение экономико¬
математических моделей в практику планирования и управления? Во-
первых, действовавший хозяйственный механизм затратного типа оттор¬
гал многие попытки использования моделей для выявления резервов,
более эффективного использования ресурсов, улучшения структуры
производимой продукции в интересах потребителей и т.д. Во-вторых,
разработанные экономико-математические модели зачастую не обеспе¬
чивались необходимой информацией и средствами технической реализа¬
ции. В-третьих, предлагавшиеся модели не учитывали подготовленности
практиков, специфики их работы. Сыграло свою роль ц несовершенство
многих моделей.
Трезвая оценка современного состояния и путей развития экономи-
ко-математического моделирования — необходимое условие для успеш¬
ного решения новых задач, возникающих в ходе перестройки советской
экономики.
. Эти вопросы широко обсуждались на страницах журнала „Экономика и
математические методы” в 1987 г. (см. выпуски 4,5).

Ра здел I
ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ГЛАВА 1
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
1.1.	Моделирование как метод научного познания
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глу¬
бокой древности и постепенно захватывало все новые области научных
знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру,
астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки.
Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной
науки принес методу моделирования XX в. Однако методология моде¬
лирования долгое время развивалась независимо отдельными науками.
Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь
постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального
метода научного познания, как важной гносеологической категории.
Понятия „модель” и „моделирование”. Сущность процесса модели¬
рования. Термин „модель” широко используется в различных сферах
человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Мы
будем рассматривать только такие „модели”, которые являются инстру¬
ментами получения знаний.
Модель — это такой материальный или мысленно представляемый
объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал
так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-
оригинале.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и
применения моделей. Оно тесно связано с такими гносеологическими
категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс модели¬
рования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключе¬
ния по аналогии, и конструирование научных гипотез. Поэтому естест¬
венно задать вопрос: является ли моделирование особым методом науч¬
ного познания, не является ли оно синонимом процесса теоретического
исследования или процесса познавательной деятельности вообще?
16

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредо¬
ванного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает
как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит
между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий
его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет
специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез,
других категорий и методов познания.
Необходимость использования метода моделирования определяется
тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам)
непосредственно исследовать или вовсе невозможно (когда объект
недосягаем, как, например, ядро Земли и глубины Вселенной, либо еще
реально не существует: будущее состояние экономики, будущие потреб¬
ности общества и т.п.), или же это исследование требует много времени
и средств.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (иссле¬
дователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отно¬
шения познающего субъекта и познаваемого объекта. Сущность процесса
моделирования схематически отображена на рис. 1.1.
Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы
конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном ми¬
ре другой объект В — модель объекта А. Этап построения модели предпо¬
лагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познаватель¬
ные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает
(воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-
оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригина¬
ла и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает
17

свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает
быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отноЛ
шениях отличия от оригинала.
Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осу¬
ществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая
модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого
следует, что для одного объекта может быть построено несколько „спе¬
циализированных” моделей, концентрирующих внимание на определен¬
ных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с
разной степенью детализации.
На втором этапе процесса моделирования модель выступает как
самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследо¬
вания является проведение „модельных” экспериментов, при которых
сознательно изменяются условия функционирования модели и система¬
тизируются данные о ее „поведении”. Конечным результатом этого этапа
является множество (совокупность) знаний о модели R.
На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на
оригинал — формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс
переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о
модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-
оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при постро¬
ении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-
либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо
связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определен¬
ный результат модельного исследования связан с отличием модели от
оригинала (неадекватностью), то этот результат переносить неправо¬
мерно.
Четвертый этап — практическая проверка получаемых с помощью
моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории
объекта, его преобразования или управления им. В итоге мы снова
возвращаемся к проблематике реального объекта.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из
виду, что моделирование — не единственный источник знаний об объекте.
Процесс Моделирования „погружен” в более общий процесс познания.
Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели,
но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобще¬
ние результатов исследования, получаемых на основе многообразных
средств познания.
Моделирование — циклический процесс. Это означает, что
за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий
и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточня¬
ются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, об¬
наруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым
знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить
в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом,
заложены большие возможности саморазвития.
О формах моделирования. Метод моделирования может применять¬
ся для исследования объектов любой природы, и в свою очередь любой
объект в принципе может стать средством моделирования. При этом
18

природа выбранного объекта-модели оказывает большое влияние на
методику познавательного процесса.
Все множество моделей принято делить на два больших класса:
модели материальные (предметные) и модели идеальные
(мысленные) . Первые воплощены в каких-либо материальных объектах,
имеющих естественное или искусственное происхождение (отобранные
в природе или созданные человеком для целей исследования); вторые
являются продуктом человеческого мышления; операции с такими
моделями осуществляются в сознаний человека.
В классе материальных (предметных) моделей наиболее характерны
физические модели. Они представляют собой материальные
объекты той же природы, что и объект-оригинал. Подобие оригинала и
модели в данном случае заключается в подчинении одним и тем же
законам соответствующей области явлений. Физическое моделирование
особенно распространено в технических науках. В экономике физиче¬
скому моделированию близко соответствует понятие реального (полево¬
го) экономического эксперимента, хотя здесь аналогия
далеко не полная. Например, результаты экспериментирования на одном
предприятии (системы учета, планирования, оплаты труда, хозрасчета)
переносятся на всю отрасль, т.е. совокупность объектов близкой эконо¬
мической природы. Но в экономике возможности физического модели¬
рования (экспериментирования на реальных объектах) принципиально
ограничены. Это объясняется целым рядом причин: изучение отдельных
частей народного хозяйства не может дать полного и правильного пред¬
ставления об экономической системе в целом, трудно элиминировать
внешние воздействия на экономический объект. Наконец, проведение
крупных реальных экспериментов требует больших затрат (ресурсов и
времени) и связано с существенным риском.
Класс идеальных (мысленных) моделей объединяет довольно разно¬
образные модели, различающиеся прежде всего по степени формализа¬
ции действительности. В научном познании основным видом идеальных
моделей являются знаковые модели, использующие определен¬
ный формализованный язык. В свою очередь важнейшим видом знако¬
вых моделей являются логико-математические модели,
которые выражаются на языке математики и логики.
Математическое моделирование в широком смысле — метод иссле¬
дования, основанный на аналогии процессов и явлений, различных по
своей природе, но описываемых одинаковыми математическими зависи¬
мостями. В современной научно-технической творческой деятельности
математическое моделирование является, безусловно, важнейшей
формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике
планирования и управления — доминирующей формой1. Математиче¬
ское моделирование есть выражение универсального процесса математи¬
зации научного знания. На новом этапе своего развития математическое
моделирование тесно связано с компьютеризацией.
1 В группе математических моделей можно выделять предметно-ма¬
тематические модели, являющиеся вычислительными устройствами
(специализированными или универсальными), реализующими логико-математи¬
ческие модели (см. ММСЭ, с. 35-37).
19

Математическое моделирование полностью укладывается в рассмот¬
ренную выше общую схему процесса моделирования. С развитием
математики, электронной вычислительной техники, общеметодологи¬
ческих и предметных наук разнообразие математических моделей не¬
прерывно возрастает, рождаются все новые формы математического
моделирования.
Математическая модель объекта (процесса, явления) как опреде¬
ленная математическая задача („модель-задача”) включает как минимум
две группы элементов: 1) характеристики объекта, которые нужно оп¬
ределить (неизвестные величины), - компоненты вектора У = (у[)\
2) характеристики внешних (по отношению к моделируемому объекту)
изменяющихся условий — компоненты вектораХ =(xjj. „Модель-задача”
может включать также совокупность внутренних параметров объекта
А.	Условия и параметры, описываемые X и А, рассматриваются как
экзогенные (т.е. определяемые вне модели) , а величины, состав¬
ляющие вектор У, — как эндогенные (т.е. определяемые с по¬
мощью модели).
Математическую модель можно интерпретировать как особый пре¬
образователь внешних условий объекта („входа”) X в искомые характе¬
ристики объекта („выхода”) У. По способам выражения соотношений
между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми
характеристиками математические модели делятся на два основных
типа: функциональные и структурные.
Основная идея функциональных (или кибернетических) моделей —
познание сущности объекта через важнейшие проявления этой сущности:
деятельность, функционирование, поведение. Внутренняя структура при
этом не изучается, а информация о структуре не используется. Образом
объекта, изучаемого посредством функциональной модели, является
„черный ящик” — объект, внутренняя структура которого совершенно не
видна. Функциональная модель имитирует поведение объекта так, что,
задавая значения „входа” X, можно получать значения „выхода” У (без
участия информации об А). Построить функциональную модель — это
отыскать оператор Z), связывающий. X и У:
У = D (X).	(1.1)
Структурные модели отражают внутреннюю организацию объекта:
его составные части, внутренние параметры, их связи с „входом” и
„выходом” и т.д. Наиболее распространены два вида структурной
модели :
а)	все неизвестные выражаются в^виде функций от внешних условий
и внутренних параметров	^
yj=ff(A, X), / GJ;	(1.2)
б)	неизвестные определяются совместно на основе системы соотно¬
шений /-го вида (уравнений, неравенств и т.д.) :
4>i(A,X, Y) = 0,iel.	0-3)
20

Очевидно, что получить решение в виде соотношения (1.2) заманчи¬
во и с практической точки зрения (простота расчетов по формулам),
и главным образом для создания наглядной теории соответствующей
области явлений. Однако для многих математических задач решения не
могут быть выражены в формульном, аналитическом виде1. Для реше¬
ния задачи (1.3), не сводящейся к задаче (1.2), требуется найти
алгоритм2. Однако анализ такой задачи может не только давать
алгоритм для нахождения частных решений (для заданной совокупности
внешних и внутренних параметров), но и обнаруживать общие (качест¬
венные) свойства решений, не зависящие от конкретных значений пара¬
метров.
Функциональные и структурные модели дополняют друг друга. С
одной стороны, при изучении функциональных моделей возникают ги¬
потезы о внутренней структуре объекта, объясняющей его функциони¬
рование, и тем самым открывается путь для структурного моделиро¬
вания. С другой стороны, анализ структурных моделей дает ценную
информацию о том, как объект реагирует на изменение внешних
условий.
Появление ЭВМ третьего—четвертого поколений с широко развитыми
возможностями человеко-машинного диалога внесло новое качество в
методологию математического моделирования. ЭВМ перестала быть
только средством выполнения расчетов по уже построенным моделям и
алгоритмам („большим арифмометром”). Новое направление исследо¬
ваний, в которых ЭВМ играет важную роль в самом процессе построения
модели и проведении модельных экспериментов, получило название
имитационного моделирования, а соответствующие
модели — наименование имитационных.
Общепринятой трактовки термина „имитационное моделирование” и соответ¬
ствующего ему английского термина „simulation” пока не существует. Трудно
также провести четкую границу между имитационными моделями и моделями,
которые неправомерно трактовать как имитационные независимо от режима их
использования.
Большинство определений имитационных моделей сходятся в том, что под¬
черкивают такие признаки, как постоянное взаимодействие человека и ЭВМ,
достаточно точное воспроизведение механизма функционирования объекта, первич¬
ность моделирующего алгоритма по отношению к модели, проведение модельных
экспериментов.
Более широкое понятие „имитационная система” обычно объединяет использо¬
вание разнообразных типов моделей, но обязательно в режиме активного человеко-
машинного диалога с соответствующим программным обеспечением. Близким по
смыслу является понятие „модельно-программный комплекс”.
1 Например, решения алгебраических уравнений пятой и более высоких степе¬
ней не могут быть выражены формулой; многие дифференциальные уравнения
не имеют решений, которые можно было бы выразить в „конечном” виде через
аналитические функции, алгебраические операции и операции интегрирования.
Вычисление по формуле представляет собой частный случай алгоритма
(формульный алгоритм). Но не каждый алгоритм можно выразить в виде
формулы.
21

1.2.	Особенности применения метода
математического моделирования в экономике
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодо¬
лением значительных трудностей. В этом отчасти была „повинна” мате¬
матика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в
связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат
все же в природе экономических процессов, в специфике экономической
науки.
Сложность экономических процессов и явлений. Большинство объ¬
ектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано
кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности
элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую
целостность, единство. Важным качеством любой системы является
эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи
ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении
систем недостаточно (а иногда и невозможно) пользоваться методом их
расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в
отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том,
что почти не существует экономических объектов, которые можно было
бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее
элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношени¬
ями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми приз¬
наками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элемен¬
тов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими
системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народ¬
ном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, соци¬
альные процессы, объективные и субъективные факторы.
Задачей экономической науки в социалистическом обществе явля¬
ется не только познание (объяснение) объективных экономических
законов, но и разработка методов преобразования экономики посред¬
ством сознательного управления ее развитием. Поэтому экономическая
теория (включающая методологию планирования и управления) явля¬
ется, с одной стороны, отображением объективных свойств реальной
экономической системы социализма, а с другой стороны — орудием
ее сознательного преобразования. Экономическое развитие целенаправ¬
ленно, однако цели этого развития непрерывно конкретизируются и мо¬
дифицируются под влиянием изменений объективных социально-эконо¬
мических условий.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование
невозможности ее моделирования, изучения средствами математики.
Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект
любой природы и любой сложности (тезис о принципиальной невозмож¬
22

ности моделирования объекта равносилен утверждению о его принципи¬
альной непознаваемости). И как раз сложные объекты представляют
наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование
может дать результаты, которые нельзя получить другими способами
исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования
любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется,
ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и мате¬
матических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислитель¬
ной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математиче¬
ской формализуемости экономических проблем, всегда будут
существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где
математическое моделирование недостаточно эффективно.
Особенности экономических наблюдений м измерений. Уже длитель¬
ное время главным тормозом практического применения математиче¬
ского моделирования в экономике является наполнение разработанных
моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота
первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во
многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой
стороны, исследования по моделированию социалистической экономики
выдвигают новые требования к системе информации.
В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей
используемая в них исходная информация имеет существенно различный
характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории:
о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономичес¬
кие наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов,
включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних пара¬
метров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации
является результатом самостоятельных исследований, которые также
могут выполняться посредством моделирования.
Методы экономических наблюдений и использования результатов
этих наблюдений разрабатываются экономической статисти¬
кой. Поэтому отметим только специфические проблемы экономиче¬
ских наблюдений, связанные с моделированием экономических процес¬
сов.
В экономике многие процессы являются массовыми; они
характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на
основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому модели¬
рование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.
Другая проблема порождается динамичностью экономиче¬
ских процессов, изменчивостью их параметров и структурных отноше¬
ний. Вследствие этого экономические процессы приходится постоянно
держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых
данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и об¬
работка эмпирических данных обычно занимают довольно много време¬
23

ни, то при построении математических моделей экономики требуется
корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.
Познание количественных отношений экономических процессов и
явлений опирается на экономические измерения. Точность
измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных
результатов количественного анализа посредством моделирования.
Поэтому необходимым условием эффективного использования матема¬
тического моделирования является совершенствование экономических
измерителей. Применение математического моделирования заострило
проблему измерений и количественных сопоставлений различных ас¬
пектов и явлений социально-экономического развития, достоверности
и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических
искажений.
В.И .Ленин отмечал, что для успешного применения математики
наука должна дойти до такой ступени, на которой ей удается выделить
достаточно однородные и простые элементы, могущие быть сделанными
объектом счета. В экономике эта задача существенно затруднена. Здесь
практически нет полностью однородных элементов (одинаковых пред¬
приятий, одинаковых по своим потребностям и вкусам потребителей
и т.д.), и установление относительной однородности (по некоторым
признакам) требует серьезного исследования.
В процессе моделирования, особенно на народнохозяйственном
уровне, возникает взаимодействие „первичных” и „вторичных” эконо¬
мических измерителей. Любая модель народного хозяйства опирается
на определенную систему экономических измерителей (продукции,
ресурсов, элементов и т.д.) . В то же время одним из важных результатов
народнохозяйственного моделирования является получение новых
(вторичных) экономических измерителей — экономически обоснован¬
ных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности
разнокачестренных природных ресурсов, измерителей общественной
полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влия¬
ние недостаточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает
разрабатывать особую методику корректировки первичных измерителей
для народнохозяйственных моделей.
С точки зрения „интересов” моделирования экономики в настоящее
время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономи¬
ческих измерителей являются: оценка результатов интеллектуальной
деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, инду^
стрии информатики), построение обобщающих показателей социально-
экономического развития (используемых в макромоделях), измерение
эффектов обратных связей (влияния хозяйственных и социальных ме¬
ханизмов на эффективность производства).
Случайность и неопределенность в экономическом развитии. Диа¬
лектический детерминизм утверждает объективный характер причини
ности экономического развития, но не отождествляет полностью при¬
24

чинность с необходимостью и не отрицает роли случайности. В плановом
социалистическом хозяйстве важнейшие экономические процессы пере¬
стают быть стихийными, но сохраняют характер массовых процессов,
обязательно включающих случайные (стохастические) компоненты.
Непредвидимые случайности могут быть вызваны природными явления¬
ми, изменениями в международной обстановке, научно-техническими
открытиями, различными субъективными факторами. Таким образом,
экономические закономерности имеют стохастический характер
Такое понимание детерминизма противостоит как индетерминизму,
отрицающему объективный характер причинности и абсолютизирующе¬
му действие случайности, так и механистическому детерминизму, в соот¬
ветствии с которым реальные экономические связи должны рассматри¬
ваться как строго однозначные, а будущее развитие — как полностью
предопределенное.
Для методологии планирования социалистической экономики важ¬
ное значение имеет понятие неопределенности экономиче¬
ского развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию
и планированию различают два типа неопределенности: „истинную”,
обусловленную свойствами экономических процессов, и информа¬
ционную”, связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информа¬
ции об этих процессах. Истинную неопределенность нельзя смешивать
с объективным существованием различных вариантов экономического
развития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных
вариантов. Речь идет о принципиальной невозможности точного выбора
единственного (оптимального) варианта.
В развитии социалистического хозяйства неопределенность вызыва¬
ется двумя основными причинами. Во-первых, ход планируемых и
управляемых процессов, а также внешние воздействия на эти процессы
не могут быть точно предсказуемы из-за действия случайных факторов и
ограниченности человеческого познания в каждый данный момент.
Особенно характерно это для прогнозирования научно-технического
прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Во-
вторых, общегосударственное планирование и управление не только не
всеобъемлющи, но и не всесильны, а наличие множества относительно
самостоятельных экономических субъектов с особыми интересами не
позволяет точно предвидеть результаты их взаимодействий. Неполнота
и неточность информации об объективных процессах и экономическом
поведении усиливают^тинную неопределенность.
На первых этапах исследований по моделированию социалистичес¬
кой экономики применялись в основном модели жестко детерминистс¬
кого типа. В этих моделях все параметры (например, коэффициенты и
свободные члены уравнений) предполагаются точно известными. Однако
детерминистские модели неправильно понимать в механистическом духе
и отождествлять их с моделями, которые лишены всех „степеней
свободы” (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое
25

решение. Классическим представителем жестко детерминистских
моделей является оптимизационная модель народного хозяйства, приме¬
няемая для определения наилучшего варианта экономического развития
среди множества допустимых вариантов.
В результате накопления опыта использования жестко детерминист¬
ских моделей были созданы реальные возможности успешного при¬
менения более совершенной методологии моделирования экономиче¬
ских процессов, учитывающей стохастику и неопределенность. Здесь
можно выделить два основных направления исследований. Во-первых,
усовершенствуется методика использования моделей жестко детермини¬
стского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных эк¬
спериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных;
изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение
зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение
приемов, повышающих приспособляемость (адаптивность) экономичен
ских решений к вероятным и непредвидимым ситуациям. Во-вторых,
получают распространение модели, непосредственно отражающие сто¬
хастику и неопределенность экономических процессов и использующие
соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и мате¬
матическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию
массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию |
случайных процессов.
Проверка адекватности моделей. Сложность экономических процес¬
сов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических
систем затрудняют не только построение математических моделей, но и
проверку их адекватности, истинности получаемых результатов. (В
теории моделирования часто используется понятие „верификация”.)
Марксистско-ленинская философия учит, что критерием истинно¬
сти познания в конечном счете является практика. Однако само понятие
„практика” может трактоваться неоднозначно. Его содержание сущест¬
венно обогащается при переходе от анализа естественных явлений (не
зависящих от воли людей) к общественным явлениям, протекающим
под влиянием сознательной деятельности.
В естественных науках достаточным (но не всегда необходимым)
условием истинности результатов моделирования и любых других
форм познания является совпадение результатов исследования с наблю¬
даемыми фактами1. Категория „практика” совпадает здесь с категорией
„действительность”. В экономике и других общественных науках
понимаемый таким образом принцип „практика - критерий истины”
в большей степени применим к простым дескриптивным моде¬
лям, используемым для пассивного описания и объяснения действи¬
тельности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирова¬
ния неуправляемых экономических процессов и т.п.) .
1 Трудности проверки законов существуют и в естественных науках. Это отно¬
сится, например, к первому закону Ньютона (см. комментарий в [3. С. 31-32]).
26

Однако в социалистическом обществе главная задача экономиче¬
ской науки конструктивна: разработка научных методов планирования
и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математи¬
ческих моделей социалистической экономики — это модели управля¬
емых и регулируемых экономических процессов, используемые для
преобразования экономической действительности. Такие модели назы¬
ваются нормативными. Если ориентировать нормативные
модели только на подтверждение действительности, то они не смогут
служить инструментом решения качественно новых социально-экономи¬
ческих задач.
Специфика верификации нормативных моделей экономики состоит
в том, что они, как правило, „конкурируют” с другими, уже нашед¬
шими практическое применение методами планирования и управления.
При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент по
верификации модели, устранив влияние других управляющих воздей¬
ствий на моделируемый объект.
Допустим, предложена новая модель для расчета годового народнохозяйст¬
венного плана. Для проверки ее правильности можно было бы поставить такой
эксперимент: составить план по модели и через год сравнить итоги развития народ¬
ного хозяйства с прогнозом по нашей модели и с утвержденным государственным
планом. Что может дать такой эксперимент? Даже если наша модель очень совер¬
шенна, а план был составлен далеко не лучшим образом, итоги экономического
развития страны будут, по-видимому, ближе к утвержденному народнохозяйствен¬
ному плану, чем к прогнозу по модели. Это объясняется тем, что государственный
план включает директивные задания и их ресурсное обеспечение, опирается на сис¬
тему контроля за выполнением плановых заданий и экономический механизм,
стимулирующий выполнение плана и регулирующий явления, непосредственно
не охватываемые планированием.
Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о верифи¬
кации моделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как
дескриптивных, так и нормативных). Ведь нельзя же 10—15 лет и более
пассивно ожидать наступления событий, чтобы проверить правильность
предпосылок модели.
Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства, соответствие
модели фактам и тенденциям реальной экономической жизни остается
важнейшим критерием, определяющим направления совершенствова¬
ния моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между
действительностью и моделью, сопоставление результатов по модели с
результатами, полученными иными методами, помогают выработать пути
коррекции моделей.
Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическо¬
му анализу, в том числе средствам самого математического моде¬
лирования. Такие формализованные приемы верификации моделей,
как доказательство существования решения в модели, проверка истин¬
ности статистических гипотез о связях между параметрами и переменны¬
ми модели, сопоставления размерностей величин и т.д., позволяют сузить
класс потенциально „правильных” моделей.
27

Внутренняя непротиворечивость предпосылок модели проверяется
также путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью след¬
ствий, а также со следствиями „конкурирующих” моделей.
Оценивая современное состояние проблемы адекватности матема¬
тических моделей социалистической экономике, следует признать, что
создание конструктивной комплексной методики верификации моделей,
учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов,
так и особенности их познания, по-прежнему является одной из наиболее
актуальных задач экономико-математических исследований.
1.3.	Классификация экономико-математических моделей
Математические модели экономических процессов и явлений более крат¬
ко можно назвать экономико-математическими моделями. Для класси¬
фикации этих моделей используются разные основания.
По целевому назначению экономико-математические модели делят¬
ся на теоретико-аналитические, используемые в исследова¬
ниях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и
прикладные, применяемые в решении конкретных экономических
задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления) .
Экономико-математические модели могут предназначаться для ис¬
следования разных сторон народного хозяйства (в частности, его произ¬
водственно-технологической, социальной, территориальной структур)
и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым
экономическим процессам и содержательной проблематике можно выде¬
лить модели народного хозяйства в целом и его отдельных подсистем —
отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребле¬
ния, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, цено¬
образования, финансовых связей и т.д.
Остановимся более подробно на характеристике таких классов
экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие
особенности методологии и техники моделирования.
В соответствии с общей классификацией математических моделей
(см. 1.1) они подразделяются на функциональные и струк¬
турные, а также включают промежуточные формы (структурно¬
функциональные) . В исследованиях на народнохозяйственном уровне
чаще применяются структурные (и структурно-функциональные) моде¬
ли, поскольку для планирования и управления большое значение имеют
взаимосвязи подсистем (однако и здесь есть немало исключений, напри¬
мер, макроэкономическая производственная функция). Типичными
структурными моделями являются модели межотраслевых связей (см.
гл. 7—9, 11, 13) . Функциональные модели широко применяются в эконо¬
мическом регулировании, когда на поведение объекта („выход”) воз¬
действуют путем изменения „входа”. Примером может служить модель
28

поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.
Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной,
и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной
отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохо¬
зяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функ¬
циональной моделью, например „функцией отклика”.
В 1.2 уже показывались различия между моделями дескриптивными
и нормативными. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это
происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?,
т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятностный
прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно
быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Социалистиче¬
ская система хозяйства объективно требует активного вмешательства
в течение экономических процессов - это и определяет ведущую роль
нормативных моделей. Типичным примером нормативных моделей
являются модели оптимального планирования, формализующие тем или
иным способом цели экономического развития, возможности и средства
их достижения (см. гл. 2, 8, 10,11, 13).
Применение дескриптивного подхода в моделировании социалисти¬
ческой экономики объясняется необходимостью эмпирического выявле¬
ния различных зависимостей в экономике, установления статистических
закономерностей экономического поведения социальных групп,
изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменя-
ющихся условиях или протекающих без внешних воздействий, Примера¬
ми дескриптивных моделей являются производственные функции и
функции покупательского спроса, построенные на основе обработки ста¬
тистических данных (см. гл. 4, 5, 9, 10).
Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или
нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но и от
характера использования этой модели. Например, модель межотраслево¬
го баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций
прошлого периода или же для экстраполяционного прогноза. Но эта же
математическая модель становится нормативной, когда она применяется
для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяй¬
ства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых
нормативах (коэффициентах) производственных затрат.
Многие экономико-математические модели (особенно на народно¬
хозяйственном уровне) сочетают признаки дескриптивных и норматив¬
ных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной
структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными
дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель (балан¬
совая или оптимизационная) может включать функции покупатель¬
ского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении
доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного
сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию
29

экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется
в имитационном моделировании.
По характеру отражения причинно-следственных связей различают
модели жестко детерминистские и модели, учитывающие
случайность и неопределенность1. Необходимо разли¬
чать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и не¬
определенность, для описания которой законы теории вероятностей
неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен
для моделирования (см. гл. 2) .
По способам отражения фактора времени экономико-математичес¬
кие модели делятся на статические и динамические. В
статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или
периоду времени (например, году). Динамические модели характеризу¬
ют изменения экономических процессов во времени. По длительности
рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного
(до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10—15 и более
лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-мате¬
матических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискрет¬
но (например, с шагом в один год) .
Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по
форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс
линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и
получивших вследствие этого большое распространение. Различия между
линейными и нелинейными моделями существенны не только с матема¬
тической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении,
поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нели¬
нейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличе¬
нии производства, изменение спроса и потребления населения при росте
доходов и т.п. Теория „линейной экономики” существенно отличается от
теории „нелинейной экономики”. От того, предполагаются ли множества
производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий)
выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о воз¬
можности сочетания централизованного планирования и хозяйственной
самостоятельности экономических подсистем.
По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включае¬
мых в модели, они могут разделяться на открытые и закры¬
тые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна
содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые
1 Применяемое часто деление экономико-математических моделей на детер¬
министские и вероятностные не совсем точно, оно расходится с терминологией,
принятой в марксистско-ленинской философии: во-первых, не следует противо¬
поставлять детерминистский и вероятностный подходы, ибо последний находится
в рамках детерминизма, во-вторых, неверно отождествлять вероятностность со
всеми проявлениями случайности и неопределенности. Более строго под вероят¬
ностными следует понимать модели, базирующиеся на теории вероятностей.
30

экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных пе¬
ременных, исключительно редки; их построение требует полного абстра¬
гирования от „среды”, т.е. серьезного огрубления реальных экономиче¬
ских систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинст¬
во экономико-математических моделей занимает промежуточное положе¬
ние и различаются по степени открытости (закрытости).
Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на
агрегированные и детализированные. В дальнейшем
для народнохозяйственных моделей с очень высокой степенью детализа¬
ции моделируемых процессов используется краткий термин „микро¬
модель”, а для агрегированных народнохозяйственных моделей —
термин „макромодель”1.
В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели
пространственные (территориальные) факторы и условия или не включа¬
ют, различают модели пространственные и точечные.
Таким образом, общая классификация экономико-математических
моделей включает более десяти основных признаков. С развитием
экономико-математических исследований проблема классификации при¬
меняемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов
моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классифи¬
кации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более
сложные модельные конструкции.
н.
.4. Этапы экономико-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования рассматривались в 1,1. В раз¬
личных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают
свои специфические черты. Проанализируем последовательность и
содержание этапов одного цикла экономико-математического модели¬
рования.
1.	Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.
Главное здесь — четко сформулировать сущность проблемы, принимае¬
мые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы.
Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого
объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объ¬
екта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулиро¬
вание гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и
развитие объекта.
2.	Построение математической модели. Это — этап формализации
экономической проблемы (ситуации) , выражения ее в виде конкретных
математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, нера¬
1	Следует указать на довольно распространенное отождествление народнохо¬
зяйственных и макроэкономических моделей.
31

венств и т.п.). Обычно сначала определяется основная конструкция
(тип) математической модели, а затем уточняются детали этой кон¬
струкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма
связей): Таким образом, построение модели подразделяется в свою
очередь на несколько стадий.
Неправильно полагать, что чем больше факторов учитывает модель,
тем она лучше „работает” и дает лучшие результаты. То же самое можно
сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые
формы математических зависимостей (линейные и нелинейные) , учет
факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность
и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учиты¬
вать не только реальные возможности информационного и математи¬
ческого обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с
получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост
затрат может превысить прирост эффекта).
Одна из важных особенностей математических моделей ■'$- потенци¬
альная возможность их использования для решения разнокачест¬
венных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономиче¬
ской задачей, не нужно стремиться „изобретать” модель; вначале необ¬
ходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные
модели.
В процессе построения модели осуществляется взаимоприспособ-
ление двух систем научных знаний — экономических и математических.
Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую
хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается
сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не
искажающего существенных черт моделируемого объекта. Однако воз¬
можна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы
приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности
экономической науки и практики в середине XX в. способствовали раз¬
витию математического программирования, теории игр, функциональ¬
ного анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в
будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для
создания новых разделов математики.
3.	Математический анализ модели. Целью этого этапа является вы¬
яснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические
приемы исследования. Наиболее важный момент — доказательство су¬
ществования решений в сформулированной модели (теорема существо¬
вания). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет
решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному
варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку
экономической задачи, либо способы ее математической формализации.
При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы,
как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвест¬
ные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними,
32

в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они
изменяются, каковы тенденции их изменения (асимптотические свой¬
ства) и т.д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпири¬
ческим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы
сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних
и внутренних параметров модели.
Знание общих (качественных) свойств модели имеет столь важное
значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследова¬
тели сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же
модели сложных экономических объектов с большим трудом поддают¬
ся аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими
методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения
модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным
методам исследования.
4.	Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет
жесткие требования к системе информации. В то же время реальные воз¬
можности получения информации ограничивают выбор моделей, пред¬
назначаемых для практического использования. При этом принимается
во внимание не только принципиальная возможность подготовки инфор¬
мации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответст¬
вующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать
эффект от использования дополнительной информации.
В процессе подготовки информации широко используются методы
теории вероятностей, теоретической и математической статистики (ор¬
ганизация выборочных обследований, оценка достоверности данных,
определение вероятных значений параметров и т.п.). При системном
экономико-математическом моделировании исходная информация, ис¬
пользуемая в одних моделях, является результатом функционирования
других моделей.
5.	Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов
для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непо¬
средственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены
прежде всего большой размерностью экономических задач, необходи¬
мостью обработки значительных массивов информации.
Обычно расчеты по экономико-математической модели носят мно¬
говариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современ¬
ных ЭВМ удается проводить многочисленные „модельные” эксперимен¬
ты, изучая „поведение” модели при различных изменениях некоторых
условий. Исследование, проводимое численными методами, может су¬
щественно дополнить результаты аналитического исследования, а для
многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс эконо¬
мических задач, которые можно решать численными методами, значи¬
тельно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.
6.	Анализ численных результатов и их применение. На этом заключи¬
тельном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте резуль¬
Зак. 2414	33

Условные обозначения-.
Последовательные связи этапов
* Возвратные связи этапов (корректировка)
Рис. 1.2. Связи этапов экономико-математического моделирова¬
ния
татов моделирования, о степени практической применимости по¬
следних.
Математические методы проверки могут выявлять некорректные
построения моделей (доказывается неразрешимость модели или не под¬
тверждаются принятые статистические гипотезы) и тем самым сужать
класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоре¬
тических выводов и численных результатов, получаемых посредством
модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами дейст¬
вительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки
экономической задачи, сконструированной математической модели,
использовавшейся информации. На основе этих результатов определя¬
ются направления совершенствования модели, ее информационного и
математического обеспечения.
Взаимосвязи этапов. На рис. 1.2 изображены связи между этапами
одного цикла экономико-математического моделирования. Первые пять
этапов более дифференцированно характеризуют процесс экономико¬
математического моделирования, чем общая схема моделирования (см.
рис. 1.1) : этапы 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, а этапы 3, 4,
5 — этапу 11 общей схемы. Наоборот, заключительный этап 6 включает
этапы III и IV общей схемы (перенос знаний о модели на объект-ориги-
нал, проверку и применение этих знаний) .
Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вслед¬
ствие хрго, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки
предшествующих этапов моделирования.
Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка
задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической
модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректиру¬
34

ется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что
небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает
интересный аналитический результат.
Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам
моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап
4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует
или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится
возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так,
чтобы приспособиться к имеющейся информации.
Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны
по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что
известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу
в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать
новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель
упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов,
нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм
модели и т.д.
Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах
моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты
каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав иссле¬
дование с построения простой модели, можно быстро получить полезные
результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели,
дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математиче¬
ские зависимости.
По мере развития и усложнения экономико-математического
моделирования его отдельные этапы обособляются в специализирован¬
ные области исследований, усиливаются различия между теоретико-ана-
литическими и прикладными моделями, происходит дифференциация
моделей по уровням абстракции и идеализации.
Теория математического анализа моделей экономики развилась в
особую ветвь современной математики — математическую
экономику. Модели, изучаемые в рамках математической эконо¬
мики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью;
они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими
объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным прин¬
ципом является не столько приближение к реальности, сколько получе¬
ние возможно большего числа аналитических результатов посредством
математических доказательств. Ценность этих моделей для экономиче¬
ской теории и практики сострит в том, что они служат теоретической
базой для моделей прикладного типа (других уровней абстракции и
идеализации).
Довольно самостоятельными областями исследований становятся
подготовка и обработка экономической информации и разработка мате¬
матического обеспечения экономических задач (создание баз данных
и банков информации, программ автоматизированного построения
2*	35

моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей).
На этапе практического использования моделей ведущую роль должны
играть специалисты в соответствующей области экономического анализа,
планирования, управления. Главным участком работы экономистов-
математиков (специалистов по экономической кибернетике) остается
постановка и формализация экономических задач и синтез процесса
экономико-математического моделирования.
1.5. Место математического моделирования
в экономической науке и экономической практике
Исследования по моделированию социалистической экономики под¬
разделяются на три основные группы: 1) теоретические (раз¬
работка проблем политэкономии социализма и теоретико-методологи¬
ческих проблем планирования и управления социалистической экономи¬
кой) ; 2) прикладные (решение практических задач планирования
и управления); 3) инструментальные (создание новых инстру¬
ментов для научной и практической деятельности экономистов, плано¬
виков, управленцев).
Математическое моделирование и развитие экономической теории.
Вопрос о роли математики и математического моделирования в раз¬
витии экономической теории в течение многих десятилетий являлся
предметом острых дискуссий, не прекращающихся и в настоящее время.
Можно выделить две крайние позиции по этому вопросу. С одной
стороны, это трактовка экономико-математического моделирования
как единственно возможного способа создания и углубления строгой
экономической теории. С другой стороны, отрицание каких-либо воз¬
можностей математического моделирования в достижении новых теоре¬
тических результатов.
Переоценка роли математики в теоретико-экономических исследо¬
ваниях была свойственна некоторым представителям математической
школы и политической экономии в XIX в. и идеологам эконометрики в
конце 20-х годов нынешнего столетия. Л.Валърас и У.Джевонс, напри¬
мер, утверждали, что политическая экономия есть наука математиче¬
ская, а ряд более современных экономистов-математиков характери¬
зовали экономическую теорию как систему выводов, сделанных из
математических моделей, или же настолько широко трактовали понятие
„модель”, что оно по существу отождествлялось с понятием „теория”.
Противоположная оценка возможностей математики в развитии
экономической теории, как правило, связана с превратными представле¬
ниями о самой сущности математики и математических методов иссле¬
дования. Так, довольно распространено мнение, что математика якобы
не может изучать качественную сторону явлений природы и общества.
На самом же деле предметом математики является как количествен¬
36

ный анализ отношений качества, так и качественный анализ количествен¬
ных отношений1. Эти черты современной математики находят отражение
в построении и использовании экономико-математических моделей.
Правильной оценке роли математики в теоретических исследованиях
мешают широко распространенные сравнения ее с жерновами, мясоруб¬
кой и другими чисто механическими системами. Отождествлять матема¬
тическое исследование с механической обработкой — это значит сущест¬
венно обеднять эвристические способности современной математики2.
Влияние математики и математического моделирования на экономи¬
ческую теорию носит многосторонний характер.
Внешне математизация экономической науки проявляется в измене¬
нии и обогащении языка последней. При этом дело отнюдь не сводит¬
ся к использованию математических символов и формул. Более важно,
что применение математического языка способствует уточнению многих
экономических категорий (понятий), лучшей систематизации теорети¬
ческих знаний.
Однако математика — это не только особый язык, который легко
переводится на другие языки. Сердцевину математики составляет сово¬
купность приемов математических доказательств — особая форма логи¬
ческих рассуждений. Математические доказательства, как правило, не¬
возможно выразить нематематическим языком, „переводу” поддаются
лишь исходные предположения и получаемые выводы. Очевидно, более
глубокая математизация любой науки (и в том числе экономической)
заключается в использовании самого математического мышления и
математической техники, а не только языка математики3 .
1	Современная математика содержит такие области, которые занимаются в
основном проблемами качественных отношений (теория множеств, алгебра,
топология, математическая логика, теория алгоритмов и др.) . Кроме того, проб¬
лемы качественного анализа присутствуют во всех традиционных „количествен¬
ных” областях математики (проблемы разрешимости, поведения семейства реше¬
ний, единственности, устойчивости и т.п.) .
2	Английскому философу, логику, экономисту Дж.СтМиллю (1806-1873)
и английскому естествоиспытателю Т.Г.Гексли (1825-1895) принадлежит аналогия
между математикой и мельничными жерновами. Так, Т.Г.Гексли говорил: „Матема¬
тика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав
лебеду, вы не получите муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не
получите истины из ложных предпосылок” (цит. по кн.: Крылов А.Н. Мои воспо¬
минания. М.: Изд-во АН СССР, 1945. С. 111). Данная аналогия подчеркивает важ¬
ность правильных предпосылок для математического исследования. Однако она
упрощенно характеризует отличие математического результата от исходного науч¬
ного материала. Математическое доказательство более уместно сравнить, например,
с действием атомного реактора, изменяющего одновременно физико-химические
свойства, молекулярную и атомную структуру исходного вещества.
3	Математический язык в теоретико-экономическом исследовании может при¬
меняться как своего рода „строительные леса”. Когда сооружение научного „зда¬
ния” заканчивается, эти леса можно убрать. Но без предварительного возведения
лесов построить здание зачастую невозможно.
37

Известно, что основным методом математического исследования
является аксиоматический метод. Суть его состоит в сле¬
дующем. На первой стадии исследования формулируется система ак¬
сиом — исходных положений, принимаемых без доказательства. Далее на
основе аксиом проводится математическое рассуждение, в результате
которого получаются некоторые выводы (например, в виде теорем),
заключающие в себе новые знания. Ценность математического исследова¬
ния заключается как раз в том, чтобы из небольшого числа аксиом полу¬
чить возможно больше следствий. Этим аксиоматический метод привле¬
кателен для всех естественных и общественных наук, активно воздей¬
ствуя на формирование и обновление важнейших научных парадигм.
Некоторое представление о методологии получения новых теорети¬
ческих знаний на основе математического моделирования было дано в
1.4 (этапы 3 и 5). При этом выделялись два возможных методологиче¬
ских подхода: а) аналитическое исследование модели и б) обобщение
численных „модельных” экспериментов. Получаемые теоретические
результаты выражаются в виде общих (качественных) свойств решений
соответствующих моделей. Естественно, степень общности этих теорети¬
ческих результатов зависит от назначения и особенностей изучаемых
моделей. Многочисленные примеры получения теоретико-экономиче¬
ских результатов на основе анализа экономико-математических моде¬
лей обсуждаются в последующих главах книги.
Без теоретических знаний, полученных на основе экономико-матема¬
тического моделирования, невозможно себе представить современные
концепции народнохозяйственного оптимума, соизмерения затрат и ре¬
зультатов, экономического роста, согласования экономических инте¬
ресов, социально-экономической сбалансированности и т.д.
Вне математики сейчас нельзя даже сформулировать многие важные
экономические понятия и тем более исследовать закономерные связи
между этими понятиями. Ряд важных экономических показателей яв¬
ляется результатом экономической интерпретации абстрактных матема¬
тических понятий. Например, показатели эффективности производствен¬
ных ресурсов и полезных эффектов потребительских благ опираются на
понятия частных производных и множителей Лагранжа, коэффициенты
полных затрат продукции соответствуют элементам обратной матрицы,
определение траекторий максимального экономического роста связано с
понятиями собственных значений и собственных векторов и т.д. Матема¬
тический анализ моделей заставляет искать содержательные экономиче¬
ские аналогии тем или иным абстрактным математическим величинам и
отношениям, привлекает внимание исследователя к таким особенностям
реальных экономических процессов, которые приоткрываются благо¬
даря математической формализации.
Математическое моделирование интенсифицирует процесс теорети¬
ко-математического исследования. Расширяются границы мысленного
эксперимента, появляется возможность „проигрывать” на ЭВМ различ¬
38

ные теоретические гипотезы, изучая последствия их реализации (напри¬
мер, разные принципы ценообразования, финансирования, распределе¬
ния доходов). Математика настолько глубоко проникает в ткань эконо¬
мической науки, что нередко бывает сложно отделить экономические
знания от математических. Поэтому более правильно говорить даже не
просто о применении математики в экономической науке, а о процессе
взаимодействия экономической и математической наук, поднимающем
экономическую теорию на качественно новый уровень.
Однако при всех своих преимуществах и далеко не исчерпанных воз¬
можностях метод математического моделирования не вытесняет другие
методы развития экономической теории.
Критерии полноты и истинности теорий и характер применения мате¬
матических доказательств в чистой математике и в экономической науке
существенно различаются. В математике нет проблемы истинности акси¬
ом и результатов в смысле соответствия их объективной реальности.
Для достижения математических результатов достаточно, чтобы система
аксиом была полной и внутренне непротиворечивой. Поэтому для
математики могут быть одинаково приемлемы разные системы аксиом,
ведущие к разным выводам (например, геометрия Евклида и геометрия
Лобачевского - Римана); подтверждение же каких-либо выводов фак¬
тами не является доказательством в математическом смысле. Иное дело
в экономической науке. Аксиоматически построенная экономическая
теория обязательно должна найти подтверждение в экономической прак¬
тике. Если какие-либо исходные предпосылки экономико-математиче¬
ской модели неверны, то безупречное математическое доказательство
все равно даст ложные результаты. Не менее важно правильно интер¬
претировать результаты, полученные посредством математических до¬
казательств. Большую опасность представляют попытки использовать
строгие результаты за рамками тех предпосылок, при которых резуль¬
таты доказательны1.
Таким образом, начальный и конечный пункты экономико-матема¬
тического моделирования лежат вне математики. Поэтому безусловно
Еще одна особенность применения аксиоматического метода в экономике
связана с цикличностью процесса экономико-математического моделирования.
Как уже отмечалось, при моделировании не ограничиваются формулированием
единственной системы предпосылок для последующего математического анализа.
В рамках циклического процесса моделирования используется гипотетико-
дедуктивный метод, при котором первоначальные предпосылки высту¬
пают не как аксиомы (по определению не требующие доказательства), а как гипо¬
тезы, полезность которых проверяется на каждом цикле моделирования. При
этом математика не остается нейтральной к проверке предпосылок: с ее помощью
обнаруживается противоречивость предпосылок или их неполнота, что стимулирует
создание более совершенной системы предпосылок. Тождество между исходными
предпосылками модели и аксиомами сохраняется только в пределах одного цикла
моделирования. В этом смысле аксиоматический метод является частным случаем
гипотетико-дедуктивного.
39

необходимы другие средства познания, обеспечивающие выбор правиль¬
ных предпосылок и правильную экономическую интерпретацию форма¬
льных результатов. Чисто математическими средствами можно постро¬
ить формально-логическое ядро экономической теории, но не теорию в
целом.
Математическое моделирование экономических процессов — ком¬
плексный метод исследования, не ограничивающийся только примене¬
нием математики. Но и он не может претендовать на роль единственного
научного метода развития экономической теории, так как, во-первых, не
все стороны экономической жизни полностью формализуемы, а во-
вторых, в некоторых ситуациях математическое моделирование не явля¬
ется лучшим из доступных методов исследования. По-видимому, невоз¬
можно установить какие-либо жесткие границы эффективного исполь¬
зования математического моделирования в экономической теории.
Эти границы неизбежно изменяются по мере расширения и уточнения
экономических знаний, прогресса в области математики, кибернетики,
информатики. И поэтому правомерен вывод о том, что применение
математического моделирования является необходимым, но недоста¬
точным условием развития экономической теории. Отсюда вытекает
требование рационального сочетания различных методов теоретико¬
экономических исследований.
Роль прикладных экономико-математических исследований. Можно
выделить по крайней мере четыре аспекта применения математических
методов в решении практических экономических проблем.
1.	Совершенствование системы экономической информации. Мате¬
матические методы позволяют упорядочить систему экономической ин¬
формации, выявлять недостатки в имеющейся информации и выраба¬
тывать требования для подготовки новой информации или ее коррек¬
тировки. Как уже отмечалось в 1.2,1.4, разработка и применение эконо¬
мико-математических моделей указывают пути совершенствования
экономической информации, ориентированной на решение определен¬
ной системы задач планирования и управления. Прогресс в информаци¬
онном обеспечении планирования и управления опирается на бурно
развивающиеся технические и программные средства информа¬
тики.
2.	Интенсификация и повышение точности экономических расчетов.
Формализация экономических задач и применение /ЭВМ многократно
ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают
трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические
обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве „руч¬
ной” технологии.
3.	Углубление количественного анализа экономических проблем.
Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются
возможности конкретного количественного анализа: изучение взаимо¬
действия многих факторов, оказывающих влияние на экономические
40

процессы, количественная оценка последствий изменения условий
развития экономических объектов и т.п.
А. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством
математического моделирования удается решать такие экономические
задачи, которые иными средствами решить практически невозможно,
например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного
плана (использование математического программирования), имитация
крупных народнохозяйственных мероприятий (модельные экспери¬
менты на ЭВМ), автоматизация контроля за функционированием слож¬
ных экономических объектов.
Сфера практического применения метода моделирования ограничи¬
вается возможностями и эффективностью формализации экономиче¬
ских проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, мате¬
матического, технического обеспечения используемых моделей. Стрем¬
ление во что бы то ни стало применить математическую модель может
не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых
необходимых условий.
В соответствии с современными научными представлениями системы
разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать
формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодо¬
полняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего
средством научно обоснованной подготовки материала для действий
человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно исполь¬
зовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо фор¬
мализуемые задачи,
В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и распро¬
страняются комплексные научные подходы, включающие применение
математического моделирования:	системный	анализ, тео¬
рия решений, программно-целевые методы и др,
В системном анализе принято делить все множество проблем на четыре группы:
1)	стандартные; 2) хорошо структуризированные; 3) плохо структуризирован-
ные; 4) неструктуризированные. Проблемы первой группы, отличающиеся наи¬
большей ясностью, решаются при помощи стандартных приемов и алгоритмов
(примером могут служить задачи „прямого счета”). Вторая группа проблем в на¬
стоящее время является основным объектом применения экономико-математи-
ческого моделирования. Решение третьей группы проблем возможно путем сочета¬
ния формализованных и неформализованных методов и процедур. Наконец, четвер¬
тая группа проблем непосредственно не поддается строгому научному анализу;
это - область применения эмпирических и эвристических приемов. Развитие знаний
изменяет распределение проблем между указанными группами. Неструктуризиро¬
ванные проблемы могут превращаться в слабоструктуризированные, а те - в
хорошо структуризированные. По мере развития этого процесса возможности
применения математического моделирования расширяются.
Для перевода планового управления народным хозяйством на ка¬
чественно более высокий уровень недостаточно создания „хороших”
моделей экономических объектов и даже более универсальных методик
поиска планово-управленческих решений, включающих использование
41

экономико-математических моделей. Необходима глубокая перестройка
всей системы управления, включая ее методические, информационные,
технические, кадровые, организационно-правовые аспекты. Без такой
перестройки модели часто становятся чужеродными элементами,
вызывая реакцию отторжения.
Главный путь практического применения экономико-математичес¬
ких моделей — „встраивание” их в целостные автоматизированные тех¬
нологии управления. В сфере народнохозяйственного планирования
такой принципиально новой технологией является по замыслу автома¬
тизированная система плановых расчетов (АСПР) Госплана СССР и
Госпланов союзных республик.
Литература
1.	Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования
социалистической экономики. М.: Паука, 1983.
2.	Кобринский Н.Г., Майминас К.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика.
М.: Экономика, 1982. Гл. 1, 2.
3. Моисеев II.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.
4. Немчинов B.C. Избранные произведения. Г. 3- М.: Наука, 1968-
5- Раяцкас Р.Л.. Плакунов М.К. Количественный анализ в экономике. М.- Наука,
1987.

ГЛАВА 2
МАТЕРИАЛЬНЫЙ АСПЕКТ ЭКОНОМИКИ
Ввиду чрезвычайной сложности экономической системы попытки ее
моделирования сразу в целом оказываются безуспешными. Более
продуктивными являются методологические подходы, при которых
вначале анализируются средствами моделирования отдельные аспек¬
ты и уровни экономики, а затем осуществляется ее систем¬
ное моделирование. Именно такая последовательность приняв
та в настоящей книге.
Первый шаг исследования — моделирование материального
аспекта одноуровневой экономики.
2.1.	Материальный аспект экономики
как объект моделирования
Материальный аспект экономики — это взаимодействие различных
элементов производительных сил, рассматриваемое вне определенных
общественных форм (экономических и социальных). Важнейшими час¬
тями „материальной” экономики являются сфера производ¬
ства и сфера потребления1. Люди в „материальной” эконо¬
мике выступают в двоякой роли:	1)	как потребители, определяющие
цели производства; 2) как трудовой ресурс - необходимый элемент
производства2.
1	В литературе по системному анализу и экономической кибернетике часто
выделяют про и з в одственно-техно логический аспект экономи-’
ки (см., например, [3. Гл. 3]). Материальный ;i ! кг - более широкое понятие.
Наряду с производственно-технологическими пр< . ами он охватывает и матери¬
альную сторону процессов потребления и жп > но деятельности (развития че¬
ловека).
Уточним также, что изучение материального аспекта экономики не тре¬
бует полного абстрагирования от общественных форм; достаточно зафик¬
сировать влияние некоторого организационно-экономического и социально-
экономического механизма (существующего или ожидаемого).
2	Итак, человек - это одновременно и главная цель, и важнейшее средство
экономического развития. В гл. 3 обосновывается необходимость более широкого
подхода к человеческому фактору при моделировании социально-экономической
системы.
43

Математическое описание материального аспекта экономики содер¬
жит множество уравнений и неравенств/характеризующих возможности
производства и использования разнообразных видов продукции й ресур¬
сов, осуществления видов трудовой деятельности, технологические
условия, соотношения экологического равновесия и т.п. Основная задача
моделирования — поиск лучших решений среди множества допустимых.
Каждое „решение” — это некоторый вектор X, элементами которого
являются показатели развития экономики.
Формально задача выбора и принятия решения может быть пред¬
ставлена парой < X, >->, где X — множество допустимых (осуществи¬
мых) решений, — правила выбора (порядок предпочтения) вариантов
решений на множестве X1.
В соответствии с принятыми предположениями множество X харак¬
теризует ресурсно-технологические возможности народного хозяйства
на основе первичной (микро) информации о всем разнообразии продук¬
тов, ресурсов, технологий, потребностей. При этом не учитываются
ограничения, связанные с организационно-хозяйственными структурами,
отношениями собственности, экономическими интересами, социальными
особенностями и т.п.
Различные модели выбора экономических решений, в том числе
модели прогнозирования и планирования, можно рассматривать как
особые конкретизации сформулированной общей задачи. Главными раз¬
новидностями общей модели являются балансовые и оптими¬
зационные модели.
Балансовая модель позволяет находить допустимые варианты реше¬
ний X Е X. Но модель не содержит какого-либо механизма сравнения
вариантов по их предпочтительности, т.е. проблема поиска лучших
решений остается за рамками модели2.
Теоретически балансовая модель может отражать материальное вос¬
1	Общая задача выбора и принятия решений является динамической.
Это означает, что: 1) любое допустимое решение ХЕ:^представляет собой вектор
показателей, различающихся по моментам времени (например, объемы производ¬
ства одноименной продукции в разные моменты рассматриваются как разные
компоненты вектора X); 2) множество Охарактеризует возможности развития/
народного хозяйства в различные моменты времени и изменяется в самом процессе
планирования; 3) совокупность правил отбора вариантов решений ^ включает
также правила сопоставления вариантов, различающихся динамическими характе¬
ристиками, и эти правила в процессе функционирования экономики могут изме¬
няться.
2	Возможность нахождения определенного (единственного) решения посред¬
ством модели достигается за счет включения большого числа экзогенных перемен¬
ных. Это означает, что данная модель обязательно предполагает использование
других инструментов поиска решений (в том числе других моделей), сужающих
область X. В этом смысле балансовая модель не является полной (законченной)
моделью. Но многие элементы балансовой модели (описание множества X)
включаются в более общие модели народного хозяйства.
44

производство с любой степенью детализации. Однако практическое при¬
менение имеют только агрегированные балансовые модели. Примером
моделей данного типа являются межотраслевые балансы
народного хозяйства, оперирующие с такими экономически¬
ми агрегатами, как отрасли производственной и непроизводственной
сферы, агрегированные виды продукции, ресурсов и потребностей.
Оптимизационные модели являются инструментами выбора лучших
решений (с точки зрения принятых критериев выбора) из допустимых.
По сравнению с балансовыми моделями они являются не только более
развитыми, но и в большей мере соответствуют логике планово-управ¬
ленческой деятельности.
2.2.	Оптимизационная микромодель
народного хозяйства
При социалистическом способе производства создаются объективные
предпосылки для оптимизации экономических решений в масштабе
всего народного хозяйства. Поэтому оптимизационная модель народно¬
го хозяйства может рассматриваться как одно из основных модельно¬
теоретических представлений социалистической экономики1.
В основе анализируемой модели лежат три предположения: 1) су¬
ществование критерия оптимальности для народного хозяйства в целом
и возможность его математической формализации; 2) существование
нескольких допустимых вариантов развития народного хозяйства; 3) ог¬
раниченность области производственных возможностей народного хо¬
зяйства в каждый момент и любой промежуток времени.
Задача математического программирования и оптимальное планиро¬
вание. В современной математике использование принципов оптималь¬
ности занимает важное место: математический анализ, вариационное
исчисление, математическое программирование, теория оптимального
управления, теория игр и т.д. Эти принципы нашли широкое применение
в различных науках, в том числе и в экономике. Наибольшее воздей¬
ствие на развитие современных теоретико-экономических представлений
оказало математическое программирование — сложив¬
шаяся в последние полвека область математики, разрабатывающая
теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач
с ограничениями.
Рассмотрим структуру задачи математического программирования
Принципы выделения основных модельно-теоретических представлений
(основных типов теоретических моделей) социалистической экономики излагают¬
ся в ММСЭ, с. 67-73.
В данной книге вслед за оптимизационной микромоделью другие типы теоре¬
тических моделей социалистической экономики кратко характеризуются в гл. 3,
а более подробно - в разделе III.
45

с точки зрения соответствия ее проблеме поиска оптимальных решений в
масштабе народного хозяйства.
Всякая задача математического программирования включает две
группы условий: 1) критерий оптимальности в виде аналитической
функции (максимизируемой или минимизируемой); 2) условия, опре¬
деляющие множество допустимых решений. При этом задача поиска
экстремума имеет смысл, если множество допустимых решений непу¬
сто, не сводится к одной точке, а целевая функция на этом множестве
ограничена („сверху” — при максимизации, „снизу” — при минимиза¬
ции) . Важно также отметить, что множество допустимых решений и кри¬
терий оптимальности формулируются независимо друг от друга.
Проблема оптимизации народного хозяйства имеет общие черты с
задачей математического программирования.
Во-первых, социалистическое общество характеризуется единством
цели, выраженной в основном экономическом законе формации: обес¬
печение полного благосостояния и свободного всестороннего развития
всех членов общества В процессе планирования и функционирования
народного хозяйства необходимо находить такие решения, которые
в наибольшей (максимальной) степени отвечают сформулированной
общей цели.
Во-вторых, в народном хозяйстве существует большая свобода вы¬
бора вариантов развития. Это объективное свойство экономики имеет
принципиальное значение для планирования как осознанной целенап¬
равленной деятельности; ведь отсутствие возможности выбора означало
бы бессмысленность каких-либо усилий по планированию. Основными
факторами, порождающими многовариантность экономического раз¬
вития, являются: 1) взаимозаменяемость производственных ресурсов,
технологических процессов, потребностей общества, способов их удов¬
летворения; 2) научно-технический прогресс, создающий новые возмож¬
ности развития общественного производства и порождающий новые
потребности; 3) объективная возможность разнообразного распределения
и использования ресурсов общества во времени и пространстве.
В-третьих, потребности общества в каждый данный момент и в
любой промежуток времени превышают возможности их полного удов¬
летворения вследствие ограниченности ресурсов народного хозяйства и
ограниченности роста эффективности их использования. Целесообразно
различать два рода ограниченности ресурсов: абсолютную ограниченность
невоспроизводимых ресурсов (некоторые виды природных
ресурсов, трудовые ресурсы в пределах примерно 15-летнего планового
периода) и относительную ограниченность воспроизводимых
ресурсов, обусловленную тем, что в исходном состоянии экономики
46

имеются строго определенные количества этих ресурсов и темпы их рас¬
ширенного воспроизводства ограничены1.
Многовариантность плановых решений и ограниченность возможнос¬
тей удовлетворения потребностей общества в любом промежутке време¬
ни формально выражаются в там, что множество допустимых вариантов
развития народного хозяйства X непусто, не сводится к одной точке и
ограничено сверху.
Как уже пояснялось, множество X задается системой многих урав¬
нений и неравенств, характеризующих материальный аспект экономики.
В общем виде каждое условие, входящее в X, можно записать как
gs(X)<b„
где s — номер условия; X - «-мерный вектор, характеризующий значе¬
ния показателей развития народного хозяйства; gs (X) — функция от
вектораХ; bs — параметр, ограничивающий значение 5-й функции.
Допустим, что общее число условий (ограничений) составляет
т, т.е, s Е М, гдеМ = ( 1, ..., гп^. Кроме того, будем полагать, что все
компоненты векторов л должны быть неотрицательными величинами.
Тогда вместо абстрактного выражения X Е X можем дать более конкрет¬
ное описание условий выбора допустимых вариантов развития народного
хозяйства	(g,(X)<6„	S€M,
U>0.	(2|)
ИЛИ
( g(X)^b,
{хУо.	(22>
где g (X) = [#s (X)] — m-мерная векторная функция от X; Ъ = (bs) -
m-мерный вектор-столбец.
Условия (2.1) или (2.2) , являющиеся формальной записью множест¬
ва допустимых вариантов развития народного хозяйства, полностью
соответствуют описанию множества допустимых решений в общей
задаче математического программирования.
Сложнее обстоит дело с идентификацией общей цели развития
При анализе предпосылок оптимального планирования обычно обращается
внимание только на ограниченность невоспроизводимых ресурсов. Однако этого
недостаточно для доказательства ограниченности возможностей максимального
удовлетворения потребностей общества в любом промежутке времени.
Неограниченный рост эффективности народного хозяйства (с точки зрения
цели) был бы возможен и при ограниченности невоспроизводимых ресурсов,
если бы неограниченными могли быть темпы роста производительности труда
и уменьшения удельных затрат природных ресурсов. Поэтому для доказательства
ограниченных возможностей удовлетворения непрерывно растущих потребностей
общества необходимо обосновать ограниченность (в рамках каждого периода) воз¬
можностей роста объема воспроизводимых ресурсов и повышения эффективности
использования всех видов ресурсов.
47

социалистической экономики и критерия оптимальности (целевой фун¬
кции) задачи математического программирования. Из единства цели
социалистического общества еще не следует, что эту цель можно выра¬
зить некоторой максимизируемой (или минимизируемой) функцией.
Наиболее развитыми (но не единственно возможными) математи¬
ческими моделями глобального критерия оптимальности являются ска¬
лярная целевая функция/(X) и векторная целевая функцияF(X). Фун¬
кция f (X) интегрирует все многообразие целеустремлений общества.
Функция F (X) = [f (X)] представляет собой набор частичных целевых
функций f (X), выражающих более однородные, непосредственно несво¬
димые цели. Подключение целевых функций f (X) и F (X) к условиям
(2.1) или (2.2) дает соответственно модель скалярной оп¬
тимизации и модель векторной оптимизации.
Вопросы существования и построения функций обсуждаются в
2.3—2.5. Пока же примем гипотезу: общая цель развития социалистиче¬
ской экономики может быть выражена (хотя бы приближенно) в виде
функции / (X) таким образом, что максимизация этой функции будет
соответствовать максимизации уровня удовлетворения потребностей
общества.
Теперь задача нахождения наилучшего варианта развития народного
хозяйства полностью совпадает со структурой общей задачи математи¬
ческого программирования:	max
g(X)<b,	(2.3)
Х^О
Вектор X* называется оптимальным, если
f{X*)^f{X) при	Х^О}
Не исключается, что модель (2.3) дает несколько оптимальных век¬
торов, которым соответствует одно и то же максимальное значение
т
Поскольку возможных вариантов развития народного хозяйства бес¬
конечно много и каждый вариант должен удовлетворять очень многим
условиям, то нереально пытаться найти оптимальный вариант путем
конструирования каждого варианта в отдельности и последующего их
сравнения. Нахождение оптимального варианта развития народного
хозяйства в принципе возможно только при помощи математического
программирования.
Однако реализовать эту принципиальную возможность далеко не
просто. Прежде всего следует учитывать поистине фантастическую раз¬
мерность единой задачи построения народнохозяйственного плана (аст¬
рономическое число всех переменных и ограничений). Необходимо при¬
нять во внимание и сложный характер взаимосвязей, которые приводят
к труднорешаемым типам оптимизационных задач (нелинейным, стоха¬
48

стическим). Принципиальные сложности возникают и при формализации
критерия народнохозяйственного оптимума.
Представление проблемы выбора оптимальных народнохозяйствен¬
ных решений в виде единой задачи математического программирования
имеет прежде всего теоретико-методологическое значение. Разработка
принципов построения оптимизационных моделей народного хозяйства,
выявляющих общие признаки и свойства оптимальных планов и эконо¬
мических механизмов их осуществления, явилась крупнейшим достиже¬
нием экономико-математической школы. Оптимизационный подход
к экономике — это прежде всего способ современного экономического
мышления, форма организации экономических знаний и истолкования
экономических факте.
Данное направление моделирования имеет и важное прикладное зна¬
чение. Оптимизационная микромодель как теоретическая конструк¬
ция является основой для построения оптимизационных моделей народ¬
нохозяйственного уровня, рассматриваемых в гл. 8, 10,11,13.
Недостатки задачи математического программирования как логиче¬
ской основы оптимального планирования. Структура задачи математиче¬
ского программирования отражает существенные черты проблемы опти¬
мизации народнохозяйственных решений, но все же не дает адекватного
математического описания этой проблемы. Наиболее серьезный недоста¬
ток задачи математического программирования как логико-математи-
ческой основы модели народнохозяйственного оптимума заключается в
отсутствии связей между целями экономической системы и ее допусти¬
мыми состояниями, в том, что критерий оптимальности формулируется
априорно по отношению к области допустимых решений.
В реальной социально-экономической системе имеет место взаимо¬
действие общественных потребностей (целей) и общественного произ¬
водства — материальной основы удовлетворения этих потребностей.
С одной стороны, общественное производство служит удовлетворению
сложившихся общественных потребностей. Но, с другой стороны, раз¬
вивающееся производство непрерывно порождает новые потребности,
создавая материальные носители этих потребностей — новые виды про¬
дукции, изменяя условия жизни и труда. Кроме того, от степени удов¬
летворения потребностей и развития способностей членов общества за¬
висит общественная производительность труда, т.е. сама область допу¬
стимых вариантов развития народного хозяйства.
Таким образом, цели, которые ставятся обществом, не могут быть
априорными по отношению к возможностям развития народного хо¬
зяйства, и наоборот, возможности развития народного хозяйства зависят
от уровня реализации общей цели — удовлетворения потребностей об¬
щества. Поэтому для адекватного математического описания процесса
выбора оптимальных народнохозяйственных решений требуется более
сложная математическая структура, нежели математическое программи¬
рование.
49

Но из сказанного вовсе не следует, что для решения проблем народ¬
нохозяйственного оптимума использовать математическое программиро¬
вание нельзя или нецелесообразно. Такой вывод был бы поспешным,
тем более что другого столь разработанного математического аппарата
пока не существует. Математическое программирование обладает многи¬
ми достоинствами и еще не исчерпанными возможностями. В частности,
поиск народнохозяйственного оптимума может быть представлен как
итерационный процесс взаимного уточнения целей народного хозяйства
и возможностей их осуществления; на каждом шаге этого процесса ис¬
пользуется модель математического программирования.
2.3.	Народнохозяйственные критерии оптимальности
В .И.Ленин сформулировал общую цель социалистического общества
как обеспечение полного благосостояния и свободного всесто¬
роннего развития всех членов общества. Математическая форма¬
лизация общей цели социалистического общества является одной из важ¬
нейших проблем моделирования.
Главное требование к любой модели, формализующей цели развития
социалистической экономики, - это ее применимость для сравнения и
упорядочения (ранжирования) различных вариантов планово-эк оно ми-
ческих решений. Никакое разумное хозяйствование не было бы возмож¬
но, если бы плановый орган не обладал умением сопоставлять возмож¬
ные варианты плановых решений и выбирать лучшие из них.
Между двумя вариантами Л и В возможны три типа отношений пред¬
почтения: либо вариант А лучше варианта В (А В), либо вариант В луч¬
ше варианта А (В>*А), либо варианты А и В равноценны (А ~ В). Одна¬
ко, если проводить попарные сравнения вариантов для выбора наилуч¬
шего, то процесс перебора может стать практически бесконечным.
Поэтому целесообразно разработать формализованные процедуры срав¬
нения и выбора на всем множестве допустимых вариантов.
Данная задача в принципе может быть формализована различными
способами, в том числе и в виде задачи нахождения экстремума функ¬
ции, упорядочивающей множество вариантов по их предпочтительности.
Такой способ формализации критерия выбора обладает многими удоб¬
ствами, позволяя использовать хорошо разработанные математические
методы оптимизации. При этом необходимо подчеркнуть, что постановка
вопроса о принципиальной осуществимости построения критерия выбора
в виде целевой функции вытекает из умения общества (или его предста¬
вительного органа) сопоставлять различные альтернативы. Противопо¬
ложная точка зрения, объясняющая способность (или неспособность)
выбора лучших альтернатив знанием (или незнанием) соответствующей
математической функции, является неверной, идеалистической.
В теории оптимального планирования наиболее разработаны две
50

основные постановки народнохозяйственных задач: максимизация це¬
левой функции общественного благосостояния и минимизация срока
достижения определенных целей. Критерии оптимальности, используе¬
мые в этих задачах, могут рассматриваться как первичные глобальные
критерии, из которых выводятся вторичные (производные) и упрощен¬
ные критерии оптимальности.
Целевая функция общественного благосостояния. Понятие „целевая
функция общественного благосостояния” (ЦФБ) является кратким
обозначением наиболее общего критерия оптимальности в виде аналити¬
ческой функции и (X). Эта функция в принципе должна определяться на
всем множестве количественных показателей, характеризующих в дина¬
мике разнообразные условия жизни общества: удовлетворение матери¬
альных и духовных потребностей, условия труда и возможности выбора
сферы трудовой деятельности, экологические условия, сохранение
здоровья и т.д. и т.п. Для экономических исследований область опреде¬
ления и (X) может быть ограничена множеством „экономических” благ
(потребляемые продукты и услуги, возможности использования свобод¬
ного времени и т.д.).
ЦФБ и (X) прежде всего отражает факт сопоставимости различных
вариантов развития народного хозяйства с точки зрения удовлетворения
общественных потребностей. Ее величина возрастает при переходе от ме¬
нее предпочтительных вариантов к более предпочтительным.
Пусть, например, вариант А (вектор^) лучше варианта В (вектора
Xg), т.е. ХД г=^ Xg. Тогда значения функции и (X) в точках Xд и Xj$
должны удовлетворять условию: и (Хд) > и (Xq). И наоборот, если
Xg S— ХД, то u(Xg) > и(Хд). При равноценности вариантов А и В долж¬
но выполняться равенство и (Хд) = и (Xg). Определенное значение функ¬
ции и (X) = с соответствует некоторому множеству равноценных (или
безразличных) вариантов.
Существование функции и (X), обладающей указанными общими
свойствами, может быть формально выведено из системы аксиом.
Аксиоматика ЦФБ отражает закономерности роста благосостояния и
выбора альтернатив прежде всего в сфере потребления, а также необ¬
ходимые условия измерения.
Среди этих аксиом отметим две, имеющие наиболее очевидную интерпретацию.
Аксиома сравнимости. Для любых Хд и Xg имеет место одно из соотношений:
либо Хд ^Xg либо Xg 'р—Хд, либо Хд ~ Xg (эта аксиома уже формулировалась
выше).
Аксиома транзитивности. Если Хд ^Xg и Xg с— Х& то Хдс-Xq Если бы
не выполнялось условие Хд Xq то функцию и (X) нельзя было бы построить,
так как не могут одновременно выполняться условия и (Хд) >w (Xg), и (Xg) >
>и (Хс), и (Хд) <и (Хс).
Если к ЦФБ предъявляется только одно требование — упорядочение
различных вариантов по их предпочтительности, то отсюда следует
вывод:	любые	функции,	одинаковым	образом	упорядочивающие
51

варианты, являются равноправными ЦФБ. Иными словами, ЦФБ опре¬
деляется неоднозначно.
Если и (X) — ЦФБ, то и (X) = у [и (X)] (суперпозиция функций
tp и и), также является ЦФБ, когда у (и) — монотонно возрастающая
функция (т.е. у (и) > 0). Одинаковая применимость многих целевых
функций объясняется тем, что имеет смысл не численное значение функ¬
ции и (X), зависящее от выбранной шкалы измерений, а способ упорядо¬
чения различных вариантов X по их предпочтительности.
Однако если к ЦФБ предъявлять более жесткие требования, нежели
простое упорядочение вариантов (сопоставление в терминах „лучше”,
„хуже”, „равноценно”), например умение отвечать на вопрос, н а -
сколько лучше или хуже какой-либо вариант по сравнению с другим,
то класс допустимых ЦФБ резко сужается.
Построение ЦФБ предполагает решение многих фундаментальных
проблем науки о человеке и обществе (физиологии, медицины, психо¬
логии, социологии, эстетики и др.), систематизацию обширной и разно¬
образной информации. Теоретически возможны два полярных подхода
к построению ЦФБ: нормативный и дескриптивный.
Нормативный подход предполагает возможным построение целевой
функции исключительно по данным науки о наиболее рациональных
условиях человеческой жизни („как надо жить”). Дескриптивный под¬
ход основан на обобщении фактически наблюдаемого поведения об¬
щества (посредством обработки статистических данных о массовом по¬
ведении, материалов социологических обследований и т.п.). Научная
методика построения ЦФБ должна сочетать нормативный и дескриптив¬
ный подходы.
Построение ЦФБ не является единственным полезным выходом ис¬
следований по ЦФБ. Не меньшее значение имеют теоретические выводы,
полученные из анализа свойств целевой функции. Эти выводы использу¬
ются в практической работе по оптимальному планированию, в том числе
при построении упрощенных критериев оптимальности, моделировании
процессов потребления (см. гл. 5, 8).
Минимизация срока достижения заданных целей. Такая постановка
задачи оптимизации развития народного хозяйства предполагает, что
известно некоторое „идеальное” состояние Х^, к достижению которого
следует стремиться. „Идеальным” состоянием можно считать набор
(вектор) благ, полностью удовлетворяющих потребности общества по
современным научным представлениям. Это, разумеется, не исключает
того, что по мере продвижения к намеченному „идеальному” состоянию
последнее будет корректироваться.
Если период планирования достаточно продолжителен, то необхо¬
димо определить такую траекторию развития народного хозяйства, при
которой вектор X достигается за минимальное время (задача оп¬
тимального быстродействия). Если же состояние X недо¬
стижимо в течение планового периода, то ставится задача макси¬
52

мального приближения к уровню удовлетворения общест¬
венных потребностей, заданному вектором X ^ ,
При использовании рассматриваемого критерия главным является
обоснование системы рациональных нормативов, ха¬
рактеризующих отдаленную цель развития народного хозяйства. Но
открытым остается вопрос об удовлетворении общественных потреб¬
ностей на этапах продвижения к данной цели. И поэтому вполне возмож¬
но, что подчинение развития народного хозяйства только одной конечной
цели может давать такие траектории, при которых неудовлетворительно
решаются проблемы повышения благосостояния на отдельных этапах
планового периода.
Целесообразно дополнить рассматриваемый критерий оптимальности
условиями, гарантирующими более или менее равномерный рост благо¬
состояния. Например, минимизировать потери благосостояния общества
при движении к идеальному состоянию:
СВ
W = \ \uv- u(t)] dt.
о
Данный критерий совмещает теоретические представления о ЦФБ
и основную идею критерия минимизации срока достижения заданной
цели: и (t) — значение ЦФБ в момент t, и = и (X^) — значение ЦФБ
при полном удовлетворении рациональных потребностей; при этом
предполагается, что и (t) < и В отличие от обобщенной (динамиче¬
ской) ЦФБ, в которой вектор X включает использование благ в разные
моменты времени, функция и (t) = и [X(t)] определяется для каждого
момента времени в зависимости от количеств используемых в этот же
момент благ.
Дерево целей. В планировании и управлении сложными системами
широко используется методика программно-целевого планирования
(ПЦП), сочетающая формализованные (математические) и неформали¬
зованные (экспертные) приемы анализа и принятия решений. Важной
составной частью этой методики является построение дерева целей.
Дерево целей систематизирует иерархию целей развития сложной
системы. Каждая цель верхнего уровня представляется в виде подцелей
следующего уровня таким образом, что объединение подцелей пол¬
ностью определяет исходную цель. Все цели доводятся до конкретных
целевых нормативов. Так, например, цель „питание” в конечном счете
конкретизируется в виде научно обоснованных норм потребления про¬
дуктов питания на душу населения, цель „одежда” — в виде норм пот¬
ребления товаров, рассчитанных исходя из условий жизни и на основе
изучения спроса групп населения с высшим доходом, и т.п. Посредством
целевых нормативов можно установить связь дерева целей с рассмотрен¬
ным выше критерием минимизации срока достижения заданных целей.
Взаимосвязь и соподчиненность различных целей оцениваются с
помощью специальных коэффициентов. Здесь используются два подхода:
53

порядковый (ранжирование) и количественный (нормирование) .Ран¬
жирование целей состоит в том, что каждой цели приписыва¬
ется порядковый номер, устанавливающий ее относительную важность
для достижения цели более высокого уровня. При нормировании
целей для каждой из них устанавливаются коэффициенты значимос¬
ти. Ранжирование или нормирование целей осуществляется на основе спе¬
циальных методик экспертных оценок, среди которых наибольшую из¬
вестность получил дельфийский метод.
Составной частью методики ПЦП является разработка сценари¬
ев будущего. Они позволяют дать общую оценку возможностей
удовлетворения потребностей общества в исследуемом периоде и
уточнить систему целей. В целом методика ПЦП дополняет методы по¬
строения критериев оптимальности, особенно в отношении таких трудно-
формализуемых аспектов целенаправленной деятельности общества, как
наука, образование, здравоохранение, охрана окружающей среды,
оборона.
Проблема критерия оптимальности с позиций общей методологии
моделирования. В проблеме построения народнохозяйственных крите¬
риев оптимальности фокусируются все основные трудности моделирова¬
ния социально-экономических процессов: переплетение многих факто¬
ров различной природы, сложности наблюдений и измерений, сочетание
самоорганизуемости и управляемости, взаимодействие субъекта и объ¬
екта моделирования, стохастичность и неопределенность и т.д.
Иногда высказывается соображение, что применение оптимизаци¬
онных моделей в планировании народного хозяйства невозможно, так
как еще не построен „правильный” критерий оптимальности. Это сооб¬
ражение основано на иллюзиях, что формула „правильного” критерия
может быть определена вне практической деятельности по оптимизации
социально-экономических решений, что эта формула „объективно суще¬
ствует” вне активной общественной практики и вне общественного
сознания и наука должна только отыскать эту формулу.
Известно, что в процессах планирования и управления цели уточня¬
ются и модифицируются; в окончательном виде они формируются в
процессе реального функционирования объектов. Абсурдно было бы
отказываться от оптимизации планирования народного хозяйства только
по той причине, что какие-то принимаемые в данный момент цели в по¬
следующем могут изменяться. Плановое развитие всегда осуществля¬
ется на основе определенных целевых установок; в то же время оно
обязательно включает механизм корректировки первоначальных целей и
генерирования новых целей по мере достижения более высокого уровня
экономического развития и удовлетворения материальных и духовных
потребностей. При этом учитывается положительное воздействие более
полного удовлетворения потребностей и развития способностей трудя¬
щихся на эффективность общественного производства.
В 2.2 уже отмечалась принципиальная условность народнохозяй¬
54

ственных моделей, в которых критерии оптимальности (целевая функ¬
ция) задаются априорно. Напрашивается вывод, что процесс нахождения
реального (а не только формального математического) оптимума с по¬
мощью математических моделей должен включать процедуры уточнения
и корректировки критериев оптимальности.
Вопрос о возможностях построения и применения критерия опти¬
мальности следует рассматривать с позиций общей методологии приме¬
нения математического моделирования в научных исследованиях и прак¬
тике. Ведь народнохозяйственный критерий оптимальности есть особая
математическая модель общественных целеустремлений. И когда ставит¬
ся вопрос о практическом построении такой модели, то на первых порах
речь может идти лишь об упрощенном, схематизированном представле¬
нии системы общественных целеустремлений. Если же руководствовать¬
ся чересчур строгими требованиями к начальной формулировке
критерия оптимальности, то практические разработки в области опти¬
мального планирования никогда не смогут выйти из начальной стадии и
поэтому не смогут быть реализованы даже те возможности оптимиза¬
ционных моделей, которые не зависят от конкретного вида критерия
оптимальности.
Реалистический подход состоит в такой организации оптимального
планирования, когда наряду с приближенной оптимизацией народного
хозяйства с помощью упрощенных моделей расширяется фронт фунда¬
ментальных исследований по моделированию целей развития социалисти¬
ческого общества.
2.4,	Взаимные задачи оптимизации народного хозяйства
Вернемся к рассмотрению оптимизационной модели народного хозяй¬
ства (2.3). Среди условий, образующих множество допустимых вари¬
антов X, важную роль играют ограничения по ресурсам. Если s - индекс
ресурса, то gs (X) — функция общих затрат этого ресурса, bs — общее
количество (запас) ресурса в народном хозяйстве.
Из всех видов ресурсов можно выделить дефицитные ресурсы
(один или несколько). Ресурс называется дефицитным, если
любое уменьшение его количества приводит к уменьшению оптимально¬
го значения целевой функции. Всякий дефицитный ресурсу в оптималь¬
ном плане X* используется полностью, т.е. вектор X* обращает нера¬
венство gSQ (X) < bSo равенство. Но понятие „дефицитность ресурса”
более жесткое, нежели цонятие „полное использование ресурса”, так как
последнее не означает, что увеличение ресурса обязательно изменит оп¬
тимальный план.
Выделим из всех ограничивающих условий для специального рас¬
смотрения ограничение по некоторому дефицитному ресурсу q (X) < Q,
где q (X) - функция общих затрат этого ресурса, Q - общее его коли¬
55

чество. Все варианты X Е X должны удовлетворять этому ограничению,
и хотя бы для одного варианта оно будет выполняться строго как равен¬
ство. Множество допустимых вариантов, образованное в результате
исключения из условий, описывающих множество X, условия
q (X) < Q, обозначим X.
Количество ресурса Q можно рассматривать как параметр, опреде¬
ляющий множество допустимых вариантов X (Q). При 3iomX(Q) есть
общая часть (пересечение) множества X и множества таких вариантов,
для которых выполняется условие q (X) < Q, а именно:
Теперь сформулируем другую задачу.
Пусть G — параметр, характеризующий определенный уровень
(значение) максимизируемой целевой функции / (X). Обозначим через
X (G) множество допустимых вариантов, которое является пересече¬
нием множества X и множества таких вариантов, для которых выпол¬
няется условие f (X) > G:
3L(G) = Ir)\X:f(X)>G].
На множестве X (G) будем минимизировать функцию затрат выде¬
ленного ресурса q (X).
Таким образом, имеем пару оптимизационных задач:
A)	f(X)	-шах,	(2.4)
B)	q{X)	. min. X£X(G)	(2.5)
Задачи А и В называются	в з аимными.	Как было показано,
эти задачи имеют общую часть множества допустимых решений X, а
различия между ними сводятся к следующему: функция f (X), максими¬
зируемая в задаче А, образует ограничивающее условие в задаче В, и
наоборот, функция # (X), ограниченная в задаче А, является минимизи¬
руемой в задаче В.
Вариант X задачи А является оптимальным, если
f(X) max f(X).
. xeiz(Q)
Вариант X задачи В является оптимальным, если
q(X) — min а (XV	^
X €*(<?)
Принципиально важным является вопрос: при каких условиях ре¬
шения задач А и В могут совпадать. Ответ дает обитая теорема взаим¬
ности1 : если для каждого оптимального варианта X задачи А выполня-
1 Теорема сформулирована и доказана А.Г.Аганбегяном и К.А.Багриновским.
Доказательство см. в ММСЭ, с. 113.
56

л	л
ется условие q (X) = Q, а в задаче В задано G = / (X), то решения задач
А и В (т.е. множества их оптимальных вариантов) совпадают.
Понятие взаимных оптимизационных задач и теорема взаимности
имеют важное теоретическое значение. Они устанавливают „равнопра¬
вие” и условия эквивалентности двух основных модификаций оптими¬
зационных моделей народного хозяйства.
При решении задачи на максимухм целевой функции общественного
благосостояния получаем и (X*) = С*. Общая теорема взаимности указы¬
вает, что в качестве народнохозяйственного критерия оптимальности
может быть выбрана также функция затрат любого дефицитно¬
го ресурса. Использование этого критерия будет давать то же реше¬
ние (те же оптимальные планы), если соблюдается условие и (X) > С*.
Для применения теории взаимных задач нужно из всего множества
ресурсов выделить хотя бы один ресурс, который благодаря своим
специфическим свойствам мог бы рассматриваться как устойчиво дефи¬
цитный ресурс.
Таким особым ресурсом является труд. Его исключительное
положение среди всех других видов ресурсов (с интересующей нас точ¬
ки зрения) объясняется рядом причин. Во-первых, количество трудовых
ресурсов в каждый данный момент ограничено, и их увеличение сравни¬
тельно мало зависит от развития экономики (почти не зависит в преде¬
лах 15-летнего планового периода). Во-вторых, трудовые ресурсы явля¬
ются наиболее универсальным ресурсом; относительный избыток тру¬
довых ресурсов в одной какой-нибудь сфере деятельности может быть
направлен в другие сферы деятельности (материального производства,
отраслей услуг, образования и культуры и т.д.). В-третьих, в социалисти¬
ческом обществе одним из важнейших факторов повышения благососто¬
яния и всестороннего развития членов общества является увеличение
свободного времени трудящихся за счет сокращения рабочего
времени (свободное время является компонентой вектора, на котором
определяется ЦФБ). Поэтому экономия труда (в отличие от экономии
других производственных ресурсов) не только создает предпосылки для
ускорения развития народного хозяйства за счет расширения сферы
труда, но и может непосредственно увеличивать уровень благосостояния:
абсолютное сокращение затрат труда в народном хозяйстве создает
возможности допшшительного сокращения рабочего дня, увеличения
свободного времени и создания более благоприятных условий для все¬
стороннего развития личности.
Таким образом, можно сделать вывод, что в корректно поставлен¬
ной задаче на максимум ЦФБ трудовые ресурсы общества будут дефи¬
цитны. Отсюда следует, что во взаимной задаче можно минимизировать
функцию общих затрат труда.
57

Необходимо уточнить, что речь идет о минимизации именно общих затрат
труда без какого-либо приведения различных видов труда к одинаковому уровню
сложности, квалификации и т.п. Как известно, ресурсы и затраты труда дифферен¬
цируются по профессионально-квалификационному и половозрастному составу.
Но абсолютной ограниченностью характеризуются только трудовые ресурсы в
целом. Отдельные же виды трудовых ресурсов воспроизводимы в широких грани¬
цах и поддаются трансформации. Условия трансформации трудовых ресурсов (пе¬
ремещение из одной группы в другую) и затраты на трансформацию (образование,
переквалификацию) должны включаться в общую модель народного хозяйства
как особые ограничения и переменные. Следует также заметить, что при динамиче¬
ской постановке задачи для каждого отрезка времени (например, года) вводится
особое ограничение по трудовым ресурсам и поэтому в соответствии со смыслом
теоремы взаимности минимизироваться могут трудовые затраты любого отрезка
планового периода.
Конкретизируем положения теории взаимных задач применительно
к народнохозяйственным оптимизационным моделям.
Пусть t (X) — функция общих затрат труда за какой-либо период
времени, L — общее количество трудовых ресурсов в среднем за тот же
период (в соответствующих единицах измерения) .
Тогда задача А будет иметь вид
и(Х) -max, X€#(L),	(2.6)
где
X(L)= ХП[Х: t(X)<L J.
Обозначим максимальное значение целевой функции — С*.
Задача В (взаимная) имеет вид
t{X) min, X€3E(C),	(2.7)
где
Х(С)= ХП[Х:и(Х)>С\.
Таким образом, критерий минимизации затрат труда не противо¬
речит главной цели развития социалистического народного хозяйства
и при определенных условиях выступает эквивалентом критерия мак¬
симизации удовлетворения потребностей общества. Преимущества кри¬
терия минимизации трудовых затрат состоят в ясности экономического
смысла и простоте количественного выражения. Очевидно, измерение
затрат на производство различных продуктов и услуг является гораздо
более легкой задачей, чем систематизация наборов благ по их общест¬
венному полезному эффекту. Решение народнохозяйственных задач с
рассматриваемым критерием позволяет оценивать эффективность тех
или иных хозяйственных мероприятий величиной сэкономленных трудо¬
вых затрат (подробнее см. в ММСЭ, с. 113—119).
58

Однако оптимизация по критерию трудовых затрат не избавляет от
необходимости сопоставлять различные допустимые варианты по степени
удовлетворения общественных потребностей, поскольку общая форму¬
лировка взаимной оптимизационной задачи предполагает знание не
только ЦФБ, но и ее максимально достижимого уровня. Вместе с тем
теория взаимных задач открывает дорогу различным приближен¬
ным методам поиска оптимального варианта развития народного
хозяйства, обеспечивающего максимально возможное удовлетворение
потребностей общества. Критерий минимизации трудовых затрат следует
рассматривать в первую очередь как инструмент итеративного процесса
нахождения оптимального варианта развития народного хозяйства1.
Взаимные оптимизационные задачи замечательны не только тем,
что их конкретные решения при определенных условиях совпадают.
Общими являются и многие качественные свойства взаимных задач.
Это обстоятельство используется при математическом анализе народ¬
нохозяйственных моделей (см., например, гл. 8). Теорема взаимности
используется также и для построения эффективных вычислительных
методов.
Л
2.5.	Многоцелевая (векторная) оптимизация
Построение глобального критерия оптимальности (или скалярной целе¬
вой функции) не является необходимым условием поиска оптимальных
народнохозяйственных решений. Более общей моделью народного хо¬
зяйства является модель векторной оптимизации, или оптимизационная
модель с векторной целевой функцией.
Векторная целевая функция F(X) = [f (X)] включает такие частич¬
ные целевые функции fl (X), которые не сводятся (по крайней мере на
первом этапе моделирования) в единую целевую функцию и выражают
степени удовлетворения различных потребностей общества: повышение
материального благосостояния, удовлетворение социальных запросов
членов общества, упрочение и развитие систем общественных отношений,
обеспечение безопасности развития и т.п. Благодаря этому обходятся
трудности непосредственного сопоставления наиболее разнокачествен¬
ных целей.
Будем исходить иэ<гого, что рост каждой частичной целевой функ¬
ции соответствует увеличению степени удовлетворения определенных
групп потребностей. Очевидно, общий уровень удовлетворения потреб¬
ностей безусловно возрастает, когда значение хотя бы одной целевой
функции возрастает, а значения остальных не убывают.
1 Такая трактовка критерия минимума трудовых затрат в социалистическом
хозяйстве была впервые обоснована В.В.Новожиловым.
Подробнее о применении критерия минимизации затрат труда в итеративных
оптимизационных расчетах см. в ММСЭ, с. 118.
59

Решение, оптимальное по одной из частичных целевых функций, на-
зывается субоптимальным, В общем случае субоптимальные
решения для разных частичных целевых функций не совпадают. Отсюда
вытекает необходимость выбора таких решений, которые являются
наилучшими с точки зрения совокупности частичных целевых функций.
Эффективные решения (оптимум по Парето). Вариант X будем на¬
зывать эффективным, если не существует какого-либо другого
варианта X, для которого значения всех функций fl (X) не меньше
fl(X), а значение хотя бы одной функции строго больше1. Иначе говоря,
не существует такого X, что F (X) ^ F(X).
Множество эффективных вариантов обозначим#*. Такое множество
называют множеством Парето, а элемент этого множества
оптимумом по Парето (по имени известного итальян¬
ского экономиста-математика конца XIX — начала XX вв.) .
Любое из решений X Е X* СХ не может быть улучшено ни по одной
частичной целевой функции fl (X) без ухудшения по какой-либо другой
из них. Например, если из множества X* возьмем два таких варианта
Хд и Xg, что fl 1 (Ха)>/1} (ХВ), то обязательно найдется какая-нибудь
г2-я функция, по которой f 2 (Хд) </*2'(Хд).
Первый логический этап векторной оптимизации — нахождение мно¬
жества X*. При этом основное внимание можно сосредоточить на иссле¬
довании множества эффективных значений функции F = (fl).
Решить указанную задачу в полном виде, как правило, трудно.
Ситуация облегчается, если множество # замкнуто и выпукло, а макси¬
мизируемые функции fl (X) — вогнутые (т.е. задачи субоптимизации
есть задачи выпуклого программирования).
При выполнении указанных условий справедливы следующие утверждения:
1)	для любого X Е #* существует такой полулоложительный вектор А =
= (КА с компонентами, удовлетворяющими равенству v \= 1, что шах
/=1	X	6#
[ AF (X)] достигается для X =Х;	^
2)	если задан вектор А= (^)-> 0, где Z А 1, то задача max [aF(X)\да¬
ет эффективные варианты (один или несколько ^ X е X *	X^dk
Иначе говоря, любое решение задачи векторной оптимизации является реше¬
нием задачи скалярной оптимизации с целевой функцией 9которая представляет
собой взвешенную (или средневзвешенную) сумму частичных целевых функций.
Второе утверждение указывает конструктивный метод определения эффективных
вариантов: необходимо решать задачу скалярной оптимизации с целевой функцией
Ys(X)-> рассматривая как меняющиеся параметры, на которые наложены условия
1 В дальнейшем следует различать знаки > и > . Знак ^ допускает, что все
нестрогие неравенства могут выполняться как равенства. Знак ^ показывает, что
хотя бы одно неравенство обязательно выполняется как строгое неравенство. В
частности, соотношение X 0 означает, что все компоненты вектора X неотри¬
цательны (X ^ 0) и хотя бы одна компонента строго положительна.
60

к
\ > 0 и 2	\*	= 1. В случаях когда Л- орт (имеет только одну положительную
1	= 1
компоненту, равную единице), получаем субоптимальные решения.
Если множество X невыпукло и не все fl (X) вогнутые, то нахожде¬
ние эффективных вариантов усложняется. Применяются разнообразные
приемы зондирования Парето-границы и нахождения ее характерных
точек (в частности, вершин многогранника).
Определение множества эффективных решений сужает область вы¬
бора наилучших решений. Следующий этап выбора решений представля¬
ет собой поиск компромисса между несовпадающими и противо¬
речивыми целями. Требуется определить принципиальную схему разум¬
ного компромисса, которая позволила бы выделить в некотором смысле
наилучшее решение или минимальное множество, внутри которого ре¬
шения неразличимы по своей предпочтительности. Наиболее распростра¬
нены две схемы компромисса между частичными целевыми функциями:
условная субоптимизация и скаляризация векторного критерия оптими¬
зации.
Условная субоптимизация. Пронумеруем частичные целевые функ¬
ции так, что „главная” (непосредственно максимизируемая) целевая
функция получает первый номер. Векторную функцию без первой час¬
тичной функции обозначим F (X), а вектор фиксированных значений
функций — Q. Имеем задачу:
fl(X) -max, X££f][X:F(X)^Q\.	(2.8)
По существу прикладные оптимизационные модели являются, как
правило, моделями условной субоптимизации. Например, непосредствен¬
но максимизируется величина национального дохода или фонда потреб¬
ления, а уровни достижения других целей народного хозяйства (удовлет¬
ворение духовных потребностей, улучшение условий труда, повышение
обороноспособности и т.п.) фиксируются в ограничениях модели.
В качестве максимизируемой в принципе может быть выбрана любая
из частичных целевых функций и любая из них может быть ограничива¬
емой функцией. Таким образом, можно сформулировать и решить к
задач условной субоптимизации. Первоначально заданные уровни частич¬
ных целевых функций могут корректироваться в результате анализа
субоптимальных решений.
Выбор компромиссного решения на основе условной субоптимиза¬
ции может быть формализован. Пусть Q*= (Q*) — вектор субоптималь¬
ных значений целевых функций, А = (Д-) — вектор отклонений от Q*;
Д = (А*} ) — максимально^допустимые отклонения от Q*	. Можно
сформулировать такие задачюскалярной оптимизации:
fx{X) -max, X^Xf][X:F(X)^Q*~ Д«]	(2.9)
61

-	максимизация одной частичной целевой функции при максимально
допустимых отклонениях от оптимальных значений других целевых
функций;
t = 2
max, X g ЗЕ	(2.10)
—	максимизация разности одной частичной целевой функции и штрафной
функции отклрнений от субоптимальных значений других целевых
функций, где у1 — монотонно возрастающая функция.
Легко видеть, что полная формализация выбора компромиссного
решения требует принятия дополнительных допущений (о значениях
Д9и вида функций <рг (Д/) ).
Методика условной субоптимизации хорошо отражает специфику
многоэтапного процесса построения народнохозяйственного плана, в
котором трудно проводить грани между критериями оптимальности и
ограничениями, а параметры всех условий последовательно уточняются
по мере накопления необходимой информации и сужения области
выбора оптимальных решений.
Скаляризация (свертка) векторного критерия оптимальности.
Основными вопросами, возникающими при реализации данного подхода,
являются учет приоритета (различной степени важности) частичных
критериев оптимальности, нахождение разумных компромиссов между
ними, сопоставление масштабов измерений различных критериев.
Рассмотрим некоторые приемы построения скалярной целевой
функции на основе частичных целевых функций.
Выше отмечалась возможность использования функций ^ (X) =
к А
= Е X-у (X) при выборе эффективных вариантов. Преимуществом
/ =1
такой скалярной функции является наглядная имитация влияния коэф¬
фициентов приоритета X/ на выбор оптимальных решений. Недостатком
данной функции является то, что она допускает резкую дифференциацию
значений частичных целевых функций; например, возможно, что только
одна функция fl (X) будет положительной. Поэтому модель оптимиза¬
ции со скалярной функцией
Гг(Х)= 2 Ktf‘(X)
t=l
должна дополняться условиями, ограничивающими дифференциацию
уровней частичных функций. При обосновании коэффициентов Xz- необ¬
ходимо также учитывать масштабы изменений частичных функций.
Принцип „справедливого” компромисса при объединении
нескольких критериев можно математически выразить в более сильной
форме. Мы можем, в частности, считать справедливым такой компро¬
мисс, когда при сравнении вариантов решений относительное снижение
62

по одним критериям не превосходит относительного повышения по
другим. Такому условию отвечает функция
Г2(Х)=П f‘(X).	(2.11)
1=1
Например, варианты Хд и!п являются эквивалентными с точки зрения
двух критериев f1 (X) и/1 (л), если
П(ХА) /2(*л)
F(XB) f*(XA) *
При использовании функции (2.11) допускается, что все частичные кри¬
терии одинаково важны. Различную степень важности частичных критери¬
ев можно учитывать в функции вида
Гз(Х)= п [№)]V	(2.12)
С= 1
В более развитом виде принцип справедливого компромисса учиты¬
вается посредством уравнивания уступок от субоптимальных значений-
частичных целевых функций.
В практике моделирования довольно распространен принцип
равномерной оптимизации. Идея его заключается в стрем¬
лении более или менее равномерно увеличивать степень достижения всех
разнокачественных целей. При этом общей целью оптимизации является
максимальное приближение к „идеальному” состоянию, задаваемому
вектором F* = (f^) = [fi (X*7)] .
Степень достижения „идеального” состояния по каждой частичной
f (X)
целевой функции определяется как Qj = —	. Общая скаляризо-
ванная целевая функция имеет вид
<Г4(Х) = 011116,..	(2.13)
i
Определение max min 0/ можно интерпретировать как „подтягива¬
ние” наиболее „отстающего” из критериев (степени удовлетворения
какой-то группы потребностей) до уровня других критериев (степени
удовлетворения других групп потребностей). Поскольку в функции
(2.13)	сопоставляются только относительные величины, трудности
соизмерения различных целевых функ!щй обходятся. Этим во многом
объясняется широкое использование принципа максимина
в прикладных оптимизационных моделях (см. гл. 8,11—13)
Обозначим min 0/ = 0. Отсюда следует, что 0 <	или же
/ (X) >	0,	i	=	1,	к.	Поэтому	задача нахождения max min ©г* может
i
63

быть представлена в виде максимизации числа в с дополнительными
ограничениями по частичным целевым функциям:
0 —* max,
Х€£П [X:F(X)>Fv0]-	(2.14)
Рассмотренные приемы скаляризации векторного критерия опти¬
мальности показывают, что между моделями скалярной и векторной
оптимизации нет жестких границ. Векторная оптимизация не есть только
отрицание оптимального планирования с глобальным (скалярным)
критерием оптимальности. Использование методов скаляризации век¬
торного критерия снова приводит нас к оптимизационной модели с
единым критерием (т.е. здесь происходит „отрицание отрицания”).
Но возвращение к модели с единым критерием оптимальности осущест¬
вляется на качественно новой основе.
Если в ранее анализировавшихся моделях народного хозяйства
принципы сочетания разнокачественных целей постулировались и гло¬
бальный критерий вводился априорно, то в моделях векторной опти¬
мизации единый критерий в определенном смысле генерируется.
Выбору единого критерия оптимальности предшествует исследование
множества эффективных вариантов и обсуждение возможных схем
компромисса между частичными критериями.
В то же время необходимо подчеркнуть, что модель векторной
оптимизации предоставляет больше возможностей для участия исследо¬
вателя в процессе поиска лучших решений.
Квазиоптимизация. Суть задачи квазиоптимизации состоит в том, что
находится не оптимальное решение, а некоторое множество решений,
близких к оптимальному. Такое множество X С ^ называется к в а з и-
оптимальным множеством.
Рассмотрим типичную постановку квазиоптимизационной задачи.
Необходимо найти множество вариантов из X Е X, для которых значение
максимизируемой целевой функции ffX) уступает максимальному
значению этой функции не более заданной величины Af:
1	= ЭЕ П [X: f (X) > max f (X) — АЛ.	(2.15)
хеш
Большой интерес представляет соединение принципов квазиоптими¬
зации и векторной оптимизации.
Задачу квазиоптимизации можно трактовать как определение мно¬
жества решений, вполне удовлетворительных с точки зрения главного
критерия оптимальности. Тогда на множестве X можно выбирать реше¬
ния, удовлетворяющие требованиям других, менее важных критериев
оптимальности, например max ffX). Действительно, если скалярный
критерий fl(X) не учитывает всего многообразия целей развития народ¬
ного хозяйства, то, вероятно, можно ценой некоторого отступления от
максимума/1/^ попытаться учесть требования других критериев.
64

Учет всей совокупности критериев оптимальности, упорядоченных
по степени важности (приоритету), возможен при использовании метода
прследовательной квазиоптимизации.
Пусть все критерии оптимальности (частичные целевые функции)
пронумерованы в соответствии со своей важностью: fl(X), f1 (X), f (X)...
Последовательная квазиоптимизация представляет собой многоэтапный
процесс решения квазиоптимизационных задач на последовательно
сужающемся множестве допустимых вариантов. На первом этапе оп¬
ределяется квазиоптимальное множество
Хх -X П [X: f1 (X) >mzxf1(X)~ ДГ1].
хе х
На втором этапе — квазиоптимальное множество
Хг =#i П [X:f(X)> та х/ (X) - hf\.
хе Хх
и т.д.1 На этапах последовательной квазиоптимизации можно применять
все рассматривавшиеся выше методы векторной оптимизации.
2.6. Оптимизация народного хозяйства
в условиях неопределенности
Проблемы оптимизации планово-экономических решений анализирова¬
лись выше при допущении о возможностях точного задания всей инфор¬
мации о целях и условиях развития народного хозяйства. На самом деле
исходная информация, которую необходимо принимать во внимание при
выработке хозяйственных решений, может быть трех типов: опреде¬
ленная — когда соответствующие условия и параметры известны точ¬
но; вероятностная — когда условия и параметры выражаются
случайными величинами (случайными функциями) с известными зако¬
нами распределения их вероятностей; неопределенная — когда
исчерпывающая характеристика условий и параметров отсутствует и
законы распределения случайных величин неизвестны. Неопределенность
в свою очередь имеет широкий диапазон: от полного неведения до
такого положения, когда относительно точно можно указать верхние и
нижние пределы значений случайных величин и даже определить интер¬
валы наиболее вероятных их значений.
Первому типу исходной информации адекватны жестко детермини¬
стские модели. Второй тип информации позволяет применять соответ¬
ствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математиче¬
скую статистику, стохастическое программирование, теорию статисти¬
ческих решений, теорию массового обслуживания и т,д. Трудности
1 Подробнее см. в ММСЭ, с. 143-144.	*
3 Зак. 2414	65

математической формализации проблемы нахождения наилучших реше¬
ний в масштабе народного хозяйства в значительной мере обусловлены
именно тем, что существенная часть информации о народнохозяйствен¬
ных процессах сводится к третьему типу. Расширение знаний уменьшает
степень неопределенности будущего, но не может полностью ее уст¬
ранить.
Теория и методология оптимального планирования в условиях не¬
определенности развиваются двумя путями: 1) усовершенствование
моделей жестко детерминистского типа и создание гибкой методики их
использования; 2) разработка математических методов и моделей,
учитывающих в явном виде стохастичность и неопределенность экономи¬
ческих процессов.
Подход к оптимизации в условиях неопределенности с использова¬
нием моделей детерминистского типа. Рассмотрим методические основы
комплексного подхода к оптимизации экономических систем, сочетаю¬
щего гибкое использование моделей жестко детерминистского типа со
специальными методами учета случайных факторов и неформальными
приемами поиска лучших решений1.
В этом подходе можно выделить четыре основных этапа: 1) форми¬
рование множества сочетаний условий, характеризующих изучаемый объ¬
ект; 2) решение оптимизационных задач для каждого сочетания условий
и определение зоны неопределенности оптимальных решений; 3) изуче¬
ние приспособляемости (адаптации) каждого варианта из зоны неопре¬
деленности к различным сочетаниям исходных данных; 4) выбор реше¬
ний в зоне неопределенности.
Этап 1. Целью первого этапа является формирование достаточно
представительного множества сочетания условий (исходных данных)
развития народного хозяйства. Для этого прежде всего систематизиру¬
ются основные ситуации, осуществление которых в определенные сроки
и в определенных масштабах нельзя точно предвидеть (например, от¬
крытие новых месторождений полезных ископаемых с определенными
запасами, освоение теормоядерной энергии, создание принципиально
новых машин и технологических процессов, изменения международной
обстановки). Данный этап, следовательно, тесно связан с методами ситу¬
ационного анализа и сценариев. Для формирования сочетаний возмож¬
ных условий используется также метод статистических испытаний (ме¬
тод Монте-Карло).
Рассматривается как можно более широкий диапазон возможных
значений неопределенных условий и параметров. Далее устанавливаются
приближенные вероятностные характеристики соответствующих данных:
экспертные оценки крайних значений интервала изменения случайной
величины, распределение внутри этого интервала и т.д.
1 Этот подход развит в Сибирском энергетическом институте СО АН СССР
под руководством JI.A. Мелентьева и А.А.Макарова.
66

Этап 2. Для практических целей достаточно рассматривать обобщен¬
ные (генерализованные) сочетания условий. Каждому такому 5-му
сочетанию условий соответствует своя оптимизационная задача. Если
имеется N сочетаний условий, то решается N оптимизационных задач и
находятся соответствующие множества оптимальных вариантов X*. Для
облегчения вычислений используются параметрическое прог¬
раммирование (с помощью которого определяются семейства
оптимальных решений, зависящих от изменения одного или нескольких
параметров) и методы ускоренного пересчета оптимизационных задач
(корректировки оптимальных вариантов) при изменении некоторых
исходных данных.
Объединение множеств всех оптимальных вариантов X* определяет
зону неопределенности - множество вариантов X = X* U
U X* U . . „ U Xjy, каждый из которых является оптимальным хотя бы
при одном реально возможном сочетании исходных данных (т.е. X— это
множество потенциально оптимальных вариантов, а „обычный” опти¬
мальный вариант X* является одним из многих вариантов этого мно¬
жества: X* £ Х*СХ С X).
При анализе зоны неопределенности обнаруживается, что многие
допустимые варианты не входят в Хи многие ограничивающие условия
также не влияют на формирование X. Эти варианты и условия исключа¬
ются из дальнейшего рассмотрения.
Этап 3. На данном этапе осуществляется имитация процесса приспо¬
собления (адаптации) экономической системы к меняющимся услови¬
ям. Исследуется приспособляемость каждого варианта из зоны неопре¬
деленности к различным сочетаниям исходных данных.
Прежде всего разрабатываются специальные мероприятия, которые
обеспечивают осуществление основных вариантов при разных сочетаниях
условий (такие мероприятия называют подстроечными). После
этого дополнительно решается (S-l) N оптимизационных задач (S -
число основных вариантов), в результате чего определяется матрица
оптимальных значений целевой функции f(X), имеющая S строк и N
столбцов. Элемент матрицы fsn показывает оптимальное значение целе¬
вой функции для s-ro варианта, реализуемого при л-м сочетании условий
(в теории игр такая матрица называется платежной).
Исследования данного этапк эффективны при использовании специ¬
альной адаптивной модели, включающей набор „подстроечных” меро¬
приятий и определяющей результаты оптимизации народного хозяйства
при возможных сочетаниях исходных данных.
Этап 4. При отборе лучших вариантов решений, входящих в зону
неопределенности, предпочтение отдается решениям, устойчивым по
отношению к широкому диапазону изменения исходных условий, т.е.
реализуемым при возможно большем числе сочетаний исходных данных.
В условиях неопределенности различные варианты плановых реше¬
ний должны оцениваться также с точки зрения приспособляемости к
3*	67

изменениям условий, возможности заблаговременной подготовки к
новым условиям и скорости осуществления такой подготовки. Эти
дополнительные требования к потенциально оптимальным вариантам
характеризуются следующими взаимосвязанными понятиями: манев¬
ренность — возможная скорость перестройки планов в зависимости
от изменения условий; эластичность — способность плана к пере¬
стройке внутренней структуры без существенных потерь в уровнях до¬
стижения конечных целей; надежность — потенциальная вероят¬
ность осуществления планового варианта; адаптивность —
способность плана приспосабливаться к возникающим новым (ранее не
предусмотренным) условиям.
Важное значение для выбора плановых решений имеет сопоставление
затрат или потерь эффекта, связанных с реализацией определенного ва¬
рианта в иных условиях по сравнению с теми, при которых он является
оптимальным (эти затраты или потери эффекта называются экономи¬
ческим риском). Величины экономического риска rsn > О,
показывающие потерю эффективности (уменьшение значения целевой
функции) при реализации 5-го варианта в ситуации п, вычисляются
по формуле
rsn = fn fsn*
где f% — максимальное значение / (X) по п-му сочетанию исходных дан¬
ных.
Для выбора лучших вариантов, входящих в зону неопределенности
и реализуемых при разных сочетаниях исходных данных, используется
ряд формальных критериев из теории игр и статистических решений.
В основе этих критериев — сопоставление величин fsn и гт.
Отметим сначала простейший случай, когда по какому-либо вари¬
анту s0 ПРИ любых сочетаниях исходных данных выполняются соотно¬
шения fsQn**fsnwllirSon^rsn, S=1 ,—>S;s =£s0;n = 1,...,7V. Очевидно,
что вариант s0 безусловно предпочтительнее других. Но такой случай
является чрезвычайно редким. Типичной является задача сопоставления
вариантов, имеющих как лучшие, так и худшие характеристики по
сравнению с другими вариантами. Это и вынуждает использовать спе¬
циальные критерии.
Критерий Вальда рекомендует выбирать такой вариант, при котором
в худших условиях достигается наибольший эффект:
Фг — max min fsn.
s n
Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать вариант, при котором ве¬
личина риска минимальна в самой неблагоприятной ситуации (т.е. мини¬
мальны отрицательные последствия, если выбор окажется ошибочным) :
68

0„ = min шах г
SIX'
s n
Эти исходные критерии выражают предельную осторожность (край¬
ний пессимизм) в оценке возможных последствий изменения условий
развития народного хозяйства.
Критерий Гурвица представляет собой компромиссное правило вы¬
бора и занимает промежуточное положение между позициями крайнего
пессимизма и крайнего оптимизма. При сравнении величин эффектов
он имеет вид
Ф, = шах
S
a min fsn + (1 —a) max /*„1, 0 < а < 1.
При а = 1 критерий Гурвица превращается в пессимистический кри¬
терий Вальда, а при а = 0 — в критерий крайнего оптимизма, рекоменду¬
ющий выбирать тот вариант, при котором значение целевой функции
максимально в наилучших условиях.
При сравнении величин экономического риска критерий Гурвица
приобретает форму
Ф4 — min £Р max rsn + (1 — (3) min rsn^, 0 < Р < 1.
При /3 = 1 этот критерий превращается в пессимистический крите¬
рий Сэвиджа, а при /3 = 0 — в крайне оптимистический критерий, реко¬
мендующий выбирать тот вариант, для которого в наихудших условий
отрицательные последствия минимальны.
При установлении коэффициентов а или (5 используется следующее
соображение: чем опаснее ошибочный выбор, тем выше должна быть
мера . ’’страховки” и поэтому тем ближе к единице должен быть
коэффициент а (или /3). Понятно, что жизненно важно застраховаться от
наиболее неблагоприятных ситуаций и очень больших потерь на приспо¬
собление экономической системы к критическим условиям (неурожай,
крупные катастрофы и т.п.).
Формальные критерии не гарантируют однозначного выбора плано¬
вых решений в условиях неопределенности, но они позволяют сузить
множество потенциально оптимальных вариантов (зону неопределенно¬
сти). Варианты, не отвергнутые^) формальным критериям оптималь¬
ности, называют равноэффекгивными (равноэкономичными).
Обозначим множество равноэффективных вариантов тогда в соот¬
ветствии с принятыми ранее обозначениями С К* С Окончатель¬
ный выбор планового решения на множестве ЗР* осуществляется уже
неформальным образом путем сопоставления сильных и слабых сторон
вариантов X Е X* в разных ситуациях и учета дополнительных факто¬
ров, не нашедших отражения в оптимизационной модели.
69

Рассмотренные вопросы оптимизации народного хозяйства приводят
к выводу, что фактор неопределенности должен приниматься во внима¬
ние не только при использовании детерминистских экономико-математи¬
ческих моделей в плановых расчетах, но и в процессе построения моде¬
лей. Экономико-математические модели должны включать резервы и
запасы, специальные виды деятельности, повышающие маневренность,
эластичность, надежность, адаптивность развивающегося народного хо¬
зяйства, информацию о корректирующих вариантах (’’подстроечных”
мероприятиях) и затратах на адаптацию в неопределенных ситуациях.
Применение специальных математических методов. В современной
математике разрабатываются разнообразные подходы к решению задач
поиска и принятия решений с учетом стохастики и неопределенности.
Для исследования проблем оптимизации народного хозяйства боль¬
шой интерес представляет стохастическое программирование — совокуп¬
ность методов решения оптимизационных задач вероятностного харак¬
тера.
Существуют различные постановки задач стохастического програм¬
мирования, отличающиеся определениями понятий плана задачи и реше¬
ния задачи. При так называемой жесткой (или одноэтапной)
постановке задачи стохастического программирования план — это детер¬
минированный вектор X, а целевая функция и множество допустимых
решений включают случайные компоненты. Например, часто использу¬
ется жесткая постановка задачи на максимум математического ожида¬
ния целевой функции:
м [/ (X, V)] —щах,
g(X, т)<6(т),
Х^О,
Т€Г,
где М — символ математического ожидания; у — набор случайных пара¬
метров; Г — множество значений у, проявляющихся с положительной
вероятностью.
При так называемой н е ж е с т к о й постановке (или двухэтап¬
ной задаче) на первом этапе выбирается некоторый вектор X >0, а
на втором этапе находится вектор £, корректирующий решение первого
этапа. Вычислительные методы стохастического программирования раз¬
работаны пока в основном только для линейных задач. Это создает серь¬
езные препятствия для широкого использования стохастического про¬
граммирования в моделировании народного хозяйства.
Для совершенствования методологии моделирования экономичес¬
ких процессов, включающих элементы неопределенности, весьма пер¬
70

спективной является разработка математических методов анализа
нечетких (или размытых) множеств. Кроме того, получают распростра¬
нение адаптивные математические модели. Примером использования
адаптивного подхода в моделировании являются модели с переменными
структурными коэффициентами, значения которых последовательно
уточняются в процессе функционирования модели.
Можно предвидеть, что специальные математические методы и мо¬
дели будут находить все большее применение для оптимизации экономи¬
ческих решений в ситуациях с элементами неопределенности. Однако
необходимо подчеркнуть, что процесс выработки плановых решений в
условиях неопределенности в принципе не может и не должен быть пол¬
ностью формализован. Окончательное принятие решения остается за
человеком.
Литература
1.	Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования
социалистической экономики. М.: Наука, 1983. Раздел II. Гл. 1 - 3.
2.	Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая тео¬
рия. М.: Прогресс, 1975.
3.	Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика.
М.: Экономика, 1982. Гл. 3.
4.	Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономи¬
ческими системами. М.: Наука, 1985.
5.	Полищук Л.И. Анализ многокритериальных экономико-математических мо¬
делей. Новосибирск: Наука, 1988.
6. Раяцкас Р.Л., Плакунов М.К. Количественный анализ в экономике. М.: Наука,
1987. Гл. 5.
7. Цели и ресурсы в перспективном планировании. М.: Наука, 1 985-
8. Шаталин С.С. Функционирование экономики развитого социализма. М.: Изд-
во МГУ, 1982. Гл. 1.

ГЛАВА 3
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ
Понятие ’’социально-экономический механизм” выражает взаимодейст¬
вие организационно-хозяйственных и социальных структур и регулято¬
ров, обеспечивающих функционирование экономической системы. Это
понятие охватывает организационно-хозяйственный и социальный аспек¬
ты экономики.
Моделирование социально-экономического механизма не достигло
еще такой степени полноты и универсальности, как моделирование ма¬
териального аспекта экономики. Это объясняется как большей сложно¬
стью объекта моделирования, так и приниженной ролью экономических
и социальных регуляторов в действовавших в течение ряда десятилетий
системах управления социалистическим народным хозяйством. Пока
можно говорить о существовании ряда альтернативных и дополняющих
подходов к моделированию социально-экономического механизма в
целом, его подсистем и важнейших элементов.
Данная глава может рассматриваться как введение в проблематику
моделирования социально-экономического механизма.
Анализ принципов соизмерения затрат и результатов (3.1) выполня¬
ет роль связующего звена между исследованиями материального аспекта
экономики с позиций народнохозяйственного оптимума и теорией эко¬
номических регуляторов (категорий товарно-денежных отношений),
содействующих достижению народнохозяйственного оптимума. Далее
(3.2)	формулируются основные ’’собственные” проблемы моделирова¬
ния социально-экономического механизма. И в заключение (3.3) харак¬
теризуется новый тип моделей (с ’’обратными связями”), объединяю¬
щий материальный, организационно-хозяйственный и социально-эконо¬
мический аспекты экономической системы.
Рассматриваемые в данной главе общие подходы к моделированию
социально-экономического механизма конкретизируются в разделе II
применительно к верхнему уровню экономической системы (товарно-
денежные отношения в сфере распределения и потребления, единство
материально-вещественных и стоимостных пропорций воспроизводства,
денежный оборот в народном хозяйстве и т.д.) и в разделе III, где народ¬
ное хозяйство моделируется как многоуровневая система.
72

3.1.	Принципы соизмерения затрат
и результатов в оптимальном планировании
В социалистической экономике локальные решения должны быть
ориентированы на достижение общей цели — максимально возможное
удовлетворение потребностей общества. Но этот главный принцип социа¬
листического хозяйствования может быть реализован только в том слу¬
чае, когда применяемые органами управления д отдельными хозяйст¬
венными ячейками измерители затрат и результатов деятельности при¬
водят в соответствие понятия глобальной и локальной экономической
эффективности так, что решения, эффективные с народнохозяйственных
позиций, оказываются эффективными для каждой хозяйственной ячей¬
ки, и наоборот.
Один из важнейших выводов теории оптимального планирования со¬
стоит в том, что принципы измерения затрат и результатов тесно связаны
с задачей построения и реализации оптимального народнохозяйственно¬
го плана: проблемы построения плановых цен, ставок заработной платы,
нормативов эффективности капиталовложений, нормативов рентных
платежей, платежей за природные ресурсы и т.п. не являются автоном¬
ными проблемами, а представляют собой определенные аспекты общей
теории оптимального планирования народного хозяйства.
Анализ оптимизационных моделей народного хозяйства позволяет
наметить некоторые подходы к проблеме соизмерения затрат и результа¬
тов. Рассмотрим сначала, какого рода измерения можно выполнять с
помощью народнохозяйственных критериев оптимальности. Опираясь
на теорию взаимных оптимизационных задач, будем в дальнейшем испо¬
льзовать два народнохозяйственных критерия: ЦФБ и(Х) и функцию
общих трудовых затрат t(X).
До сих пор функции и(Х) и t(X) записывались так, как будто они
определяются на одинаковых множествах переменных. В действитель¬
ности же функция и(Х) определяется на множестве показателей, непо¬
средственно характеризующих уровень общественного благосостояния;
будем далее называть эти показатели ’’благами”. Функция же t(X) опре¬
деляется на множестве показателей, характеризующих интенсивности
различных видов деятельности.
Пусть xi — объем использования г-го блага, xj — интенсивность /-го
вида деятельности.
Будем предполагать, что функции и(Х) и t(X) непрерывно дифферен¬
цируемы, т.е. имеют непрерывные частные производные1.
Одним из условий непрерывной дифференцируемости функций и(Х) и t(X)
является то, что аргументы и могут принимать непрерывные значения. Хотя
количества некоторых благ не могут дробиться до бесконечности (количество
автомобилей, телевизоров и т.п.), но в масштабах народного хозяйства недели¬
мость такого рода несущественна. Это верно и в отношении измерения интенсив¬
ностей видов деятельности, производящих различные виды продукции и услуг.
73

ТТЛТ1	Ъи(Х)
Частная производная ЦФБ и^	— характеризует предель¬
ный полезный эффект от использования блага i,
т.е. прирост ЦФБ при увеличении использования блага i на ’’малую еди¬
ницу”.
Ъг(Х)
Частная производная трудовых затрат Гу = —	 характеризует
предельные трудовые затраты вида деятельно с-
т и /, т.е. прирост затрат труда в народном хозяйстве при увеличении
интенсивности вида деятельности / на ’’малую единицу”.
Частные производные щ и ту несут важную информацию о соотно¬
шениях народнохозяйственных результатов и затрат при использовании
разнообразных видов общественных благ и деятельности. Однако рас¬
сматриваемые сами по себе они не могут служить универсальными изме¬
рителями народнохозяйственных затрат и результатов.
Во-первых, щ и rj — переменные величины, численные значения
которых определяются выбранным вариантом развития народного хо¬
зяйства (вектором X). Поэтому вне определенного варианта X значения
щ и Tj невозможно определить и невозможно применять.
Во-вторых, показатели и^ и ту, рассматриваемые независимо от дру¬
гих условий развития народного хозяйства, не соизмеряют затраты с
результатами. Величины щ характеризуют только зависимость непо¬
средственного полезного эффекта от использования б. цц без учета того,
какие затраты должно нести общество для удовлетворения потребнос¬
тей в этих благах. Наоборот, величины т/ показывают только зависимо¬
сти трудовых затрат в народном хозяйстве от увеличения интенсивностей
соответствующих видов деятельности вне связи с тем, каков полезный
эффект от этих видов деятельности.
В-третьих, поскольку продукция многих видов деятельности непо¬
средственно не используется в качестве благ (например, ’’чистые” сред¬
ства производства: руда, чугун, нефть, технологическое оборудование),
то эта продукция не получает оценок полезного эффекта типа щ. Наобо¬
рот, так называемые ’’даровые блага природы”, оказывающие сущест¬
венное влияние на уровень общественного благосостояния, не находят
отражения в показателях Tj.
Из сказанного можно сделать вывод, что необходимо сконструиро¬
вать систему таких экономических показателей, которые, сохраняя
свойства показателей предельных полезных эффектов и предельных тру¬
довых затрат, были бы способны соизмерять все частные виды затрат и
результатов с позиций народнохозяйственного оптимума. Для этого не¬
обходимо выяснить более глубокие свойства оптимальных народнохо¬
зяйственных решений.
Оптимизационная модель народного хозяйства и оптимальные оцен¬
ки. Для анализа принципов и методов соизмерения затрат и результатов
будем рассматривать достаточно общую модель народного хозяйства,
которая является задачей нелинейного программирования.
74

Пусть народное хозяйство есть объединение двух сфер: сферы
производства (материального и нематериального), включающей
различные виды деятельности / G TV* , и сферы потребления,
включающей использование различных видов благ i Е N2 непосредствен¬
но для удовлетворения потребностей общества. В число видов деятельно¬
сти включаются процессы производства разнообразной продукции и
услуг и процессы доведения производимой продукции до конечного ис¬
пользования (т.е. сфера обращения, обмена). Интенсивности видов
деятельности характеризуются вектором Хг = (лу), а объемы использо¬
вания благ — вектором Х2 = (хг). Общий же вектор переменных модели
имеет вид
Xt
X.
, NtUNt = N.
Все ограничивающие условия модели разделяются на две группы:
балансы производства и использования видов продукции (средства
производства и блага, в том числе нематериальные) и ограничения по
невоспроизводимым ресурсам. Общий индекс продукции — sx Е Mi,
причем N2 CMi. Общий индекс ресурсов — s2 СМ2. При этом Mi UМ2 =
= М. Из принятых предположений следует, что функции производства и
затрат определяются на векторе Xх, а ЦФБ — на векторе Х2.
Введем новые обозначения:
g\(Х\) = [gsx(X 1)] - вектор-функция конечной продукции сферы
производства (т.е. разностей между произведенной и использованной
продукцией в сфере производства);
'iifXi) = \gsJX 1)] - вектор-функция затрат ресурсов;
Q = (Я5 ) — вектор фиксированных объемов использования продук¬
ции в сфере Потребления (допускается 2 = 0);
R = (rs2J — вектор объемов имеющихся ресурсов.
Балансы производствами использования продукции представляют
собой неравенства g\(Xx) %Х2 + Q, т.е, конечной продукции должно
быть достаточно для удовлетворения потребностей (фиксированных и
переменных) сферы потребления. Вектор-функция gif-Xl) должна удов¬
летворять условию: существуют такие векторы Хх > 0, что g\(Xx) 0.
Это условие может быть названо условием продуктивно¬
сти экономической системы. Если данное условие не
выполняется, то в замкнутой экономической системе не может осуще¬
ствляться даже простое воспроизводство1.
Модель в целом имеет вид:
u (Х2) - - max,
gi (Xi)—Х2 > Q,	ф	^
1 Понятие продуктивности экономической системы подробнее рассматривается
в гл. 6 и 7 на примере линейных межотраслевых моделей.
75

(з j-j
X,>0, x2>0.
Модель (3.1) в общем случае должна трактоваться как динамичес¬
кая. Допустимость и необходимость такой трактовки следует подчер¬
кнуть, чтобы исключить возможность противопоставление статического
и динамического оптимумов. Множество невоспроизводимых ресурсов
М2 включает главным образом невоспроизводимые природные ресурсы,
число видов которых с увеличением длительности планового периода
сокращается; они становятся воспроизводимыми и переходят в множе¬
ство Mi (например, трудовые ресурсы, ресурсы чистой воды, биологи¬
ческие ресурсы океана).
Из теории нелинейного программирования следует, что каждому
ограничению модели соответствует свой множитель Лагранжа1. Обозна¬
чим векторы-строки множителей Лагранжа для первой группы нера¬
венств V = (vSl) и для второй группы неравенств W = (wS2).
В соответствии со смыслом множителей Лагранжа имеем:
= .?“(*«) >-0 или	^>0;	(3.2)
—dQ —	'■	—dqSl
и (Хг) v. г.	»	ди(.
■ ,р > 0	или	ws	-
oR —	dr
цул=ди{х1) >0 или = ди (х1)	0_	(3>3)
S2
Соотношения (3.2) означают, что при увеличении задания по конеч¬
ному использованию продукции sx на ’’малую единицу” оптимальное
значение ЦФБ уменьшается на величину v£ . Если же в систему поступит
(как внешний ресурс) ’’малая единица” этой продукции, то оптимальное
значение ЦФБ увеличится на v* . Соотношения (3.3) означают, что при
увеличении ресурса $2 на ’’мал^ю единицу” оптимальное значение ЦФБ
увеличивается на vvf2.
Величины vи wf имеют разнообразные названия: двойственные
переменные, оценки оптимального плана, объективно обусловленные
оценки, теневые цены, цены оптимального плана и т.д. Мы будем ис¬
пользовать название ’’оптимальные оценк и”.
Оптимальные оценки обладают важными свойствами соизмерителей
затрат и результатов в оптимизируемой социалистической экономике.
Во-первых, оптимальные оценки являются характеристиками дефи¬
цитности продукции и ресурсов в народном хозяйстве. Степени дефицит¬
ности определяются формулами (3.2), (3.3), Положительные оценки
1 Изложение основных выводов из теории нелинейного программирования
см. в ММСЭ, с. 158 - 163.
76

означают, что любое увеличение расхода соответствующей продукции
или уменьшение соответствующего ресурса уменьшает оптимальное
значение ЦФБ. Если же оценки продукции или ресурса равны нулю,
это означает, что они не являются дефицитными: увеличение расхода
продукции или уменьшение ресурса не влияет на значение ЦФБ.
Из (3.2), (3.3) следует, что полный дифференциал ЦФБ в окрест¬
ности максимума равен
du —	2	vltdqS'+	2 w\tdrSi.
SjgMi	Sj,€M2
Поэтому оптимальное значение ЦФБ остается неизменным, если
S	v'tldqs= 2 wltdr,t.	(3.4)
Si в Af i	s2 € M 2
Формула (3.4) определяет соотношения эквивалентной вза¬
имозаменяемости.продукции и ресурсовв оптима¬
льном плане. Например, требуется найти соотношения эквивалентной вза-
dfLк .. = .УУ^ > 0
имозамены продукта к и ресурса h.Из (3.4) получаем drfr v%
Рассматриваемые ниже свойства оптимальных оценок являются
следствием необходимых условий оптимума задачи нелинейного про¬
граммирования (условий Куна - Таккера) 1. В частности, из так называ¬
емых условий дополняющей нежесткости вытекают соот¬
ношения между оптимальными оценками и балансами продукции и
ресурсов в оптимальном плане X*:
а)	*s = <7s,. если oj, > 0,	(3.5)
т.е. если оптимальная оценка продукции положительна, то излишков
продукции не производится
б)	1^ = 0, если gSi{Xl)—x*Sx> qSx>	(3.6)
т.е. оптимальная оценка продукции нулевая, если производятся излиш¬
ки продукции;
в) gs, (*!*) = r*S если wst > °-	(3-7)
т.е. если оптимальная оценка ресурса положительна, то ресурс использу¬
ется полностью;
г) ш*5 = 0, если gs,(X{)<rSt,	(3.8)
1 Подробнее см. в ММСЭ, с. 124 - 129.
77

т.е. оптимальная оценка ресурса нулевая, если ресурс недоиспользуется.
Итак, соотношения (3.2) - (3.8) характеризуют оптимальные оцен¬
ки как показатели сбалансированности продукции и ресурсов в народ-
ном хозяйстве и универсальные измерители экономической эффектив¬
ности всех внешних по отношению к моделируемой системе источников
и потребителей продукции и ресурсов.
Рассмотрим теперь свойства оптимальных оценок как измерителей
затрат и результатов производственной деятельности. Из условий Куна -
Таккера следует:
dsi (*П - w• dga (*D
dXi	dXi
или в развернутом виде
dgsxW)	dgsAxl)
2 2 <3-9>
steMt	OXf	s2€ M 2	ox/
rbgs,(Xd ,
Матрица частных производных —— = [—], sx GMb
/ E TVi объединяет показатели предельной производительности и предель¬
ных затрат видов деятельности.
Каждый элемент этой матрицы показывает, насколько изменится объем коне¬
чной продукции Si при увеличении интенсивности /-го вида деятельности на ’’малую
единицу”. Этот элемент может быть любого знака, так как любой вид деятельно¬
сти одни виды продукции производит (и тогда частная производная имеет знак
’’плюс”), а некоторые другие — затрачивает (и тогда частная производная имеет
знак ’’минус”). Но должен быть положительным хотя бы один элемент для каждо¬
го вида деятельности (столбца матрицы) и для каждого вида продукции (строки
матрицы). Если бы эти условия не соблюдались, то это означало бы, что имеются
такие виды деятельности, которые не выпускают, а только затрачивают продук¬
цию (их использование абсурдно), и имеются такие виды используемой в народ¬
ном хозяйстве продукции, которые не производятся ни одним видом деятельности
(это невозможно в замкнутой экономической системе).
Матрица	~	[	^	]	,s2	&М2,	/	Е Ni, характеризует
предельные затраты ресурсов видами деятельности. Каждая из величин
0^.	>0	показывает, насколько увеличатся народнохозяйственные
затраты ресурса s2 при увеличении интенсивности /-го вида деятельности
на ’’малую единицу”.
Обозначим символом <pj суммарную оценку предельного выпуска
всех видов конечной продукции /-м видом деятельности и \pj — суммар¬
ную оценку предельных затрат всех ресурсов этим же видом деятельности:
ф/=	2	дх-	;	2	дх/	•
s.eM,	ах1	s,eM,	axJ
78

Теперь вместо (3.9) можем более кратко записать:
/€ЛГ,.	(3.10)
Экономический смысл условий (3.10) состоите следующем: в опти¬
мальном плане по каждому виду деятельности суммарная оценка преде¬
льного выпуска продукции не превышает суммарной оценки предельных
затрат.
Из условий дополняющей нежесткости вытекает, что если /-й вид
деятельности включается в оптимальный план (х*> 0), то по этому
виду деятельности имеет место строгое равенство суммарных оптималь¬
ных оценок предельного выпуска и предельных затрат:
ф/ = Т|)* для	ЛГ/ > 0.	(3.11)
Если	же	по	какому-либо виду	деятельности	суммарная	оценка
предельных затрат выше суммарной оценки предельного выпуска про¬
дукции, то	этот вид деятельности не	включается	в	оптимальный план:
лг* = 0, если	Ф/<г|)/.	(3.12)
Таким образом, оптимальные оценки продукции и ресурсов в опре¬
деленном смысле приводят в соответствие народнохозяйственную и
локальную эффективность различных видов деятельности.
Допустим, что построен оптимальный план X* и определены оптима¬
льные оценки V* и W*. Возникает вопрос, выгодно ли отдельным хозяй¬
ственным ячейкам, представляющим определенные виды деятельности,
уклоняться от выполнения плана при заданных оценках затрат и резуль¬
татов? Из (3.11), (3.12) следует, что это нецелесообразно, так как при
соблюдении плана гарантируется безубыточность производства, а боль¬
шего достичь невозможно. С дцугой стороны, неэффективные с на¬
роднохозяйственных позиций ввды деятельности (или их интенсивное
ти) являются, как правило, убыточными для хозяйственных единиц
Следовательно, система оптимальных оценок является средством реа
лизации оптимального народнохозяйственного плана: те, кто не выпол
няет план, оказываются в худшем положении по сравнению с теми, кто
его выполняет.
Оптимальные оценки являются также важным ориентиром при по¬
строении народнохозяйственного плана ’’снизу”. Поскольку соотноше¬
ния (3.10) — (3.12) являются признаками народнохозяйственного оп¬
тимума, то, зная оптимальные оценки, можно так выбирать интенсивно¬
сти различных видов производственной деятельности, чтобы по крайней
79

мере приблизиться к выполнению условий (3.10) — (3.12).Пусть, например,
по какому-нибудь к-му виду деятельности имеем $k(V*, X) > \pk(W*, X).
Это означает, что целесообразно увеличить так как этот вид деятель¬
ности приносит доход. Если же, наоборот, оказывается, что $k(V*> X) <
X), то fc-й вид деятельности либо вообще неэффективен, либо
применяется в неэффективных масштабах.
Чтобы более ясно показать зависимость оптимальных оценок про¬
дукции от производственных затрат в оптимальном плане f сделаем до¬
полнительное предположение. Известно, что существует много видов
деятельности, выпускающих по одному виду продукции (добыча руды,
нефти, оказание транспортных услуг, производство кинофильмов и т.п.)*
Поэтому правомерно допустить, что в каком-либо виде деятельности
/о изготавливается только один вид продукции s0. Естественно принять
за единицу интенсивности /0 выпуск единицы продукции s0 (за вычетом
внутрипроизводственных затрат этой же продукции). Тогда формула
(3.11)	имеет вид
dgSl(Xi)
=	~Ьхи	+ Уh ПРИ Х1 > 0-	(3.13)
s, € Af,
причем
, dgt,(X$
Sj 6 М,	3	дх /о
Эта формула по своей структуре аналогична формуле цены или
полной калькуляции производственных затрат. Оценка равна сумме
всех материальных затрат, соизмеренных также по оптимальным оцен¬
кам продукции, и всех затрат ресурсов, соизмеренных по оптимальным
оценкам ресурсов. Связь с оптимальным планом выражается в том, что
элементы материальных затрат и затрат ресурсов определяются как при¬
росты общественно необходимых затрат в народном хозяйстве, обуслов¬
ленные дополнительным включением в оптимальный план рассматрива¬
емого вида деятельности с единичной интенсивностью.
Таким образом, оптимальные оценки продукции являются измери¬
телями общественно необходимых затрат на производство продукции1.
В этом отношении оценки продукции (т.е. экономически воспроизводимых
ресурсов) принципиально отличаются от оценок невоспроизводимых или естест¬
венно воспроизводимых ресурсов. Но, как известно, многие виды ресурсов, рань¬
ше представлявшие собой исключительно ’’дары природы”, становятся результата¬
ми деятельности человека (искусственное разведение лесов, культивирование
диких растений, искусственное воспроизводство рыбных запасов, производство
чистой воды и т.п.). И если такие виды деятельности включаются в оптимальный
план, то оптимальные оценки соответствующих ресурсов начинают регулироваться
затратами воспроизводства.
80

Рассмотрим теперь, какое отношение имеют оптимальные оценки
продукции к измерению полезных эффектов благ. Из условий Куна —
Таккера следует
t*Nt.	(3.14)
du[X2J
Частные производные щ —	—	,	как	уже	отмечалось,	характери¬
зуют величины предельного полезного эффекта благ, измеряемого при¬
ростом ЦФБ. Условия (3.14) показывают, что в оптимальном плане пре¬
дельные полезные эффекты благ не превышают значения оптимальных
оценок продукции. Для благ, используемых в оптимальном плане, пре¬
дельные полезные эффекты равны оптимальным оценкам продукции:
и\ при х\ > 0.	(3.15)
Равенство оптимальных оценок продукции и предельных полезных
эффектов является важным признаком оптимального плана сферы
потребления. Построение этого плана можно представить как процесс
выбора такой структуры потребления (использования благ), при ко¬
торой значения предельных полезных эффектов и оптимальных оценок
продукции уравновешиваются.
Оценки продукции, используемой для увеличения благосостояния,
должны одновременно удовлетворять формулам (3,2), (3.5), (3.6),
(3.11), (3.13). Это означает, что оптимальные оценки продукции явля¬
ются одновременно измерителями дефицитности (сбалансированности)
продукции, общественно необходимых затрат на ее производство и об¬
щественной полезности ее использования.
Очевидно, что выводы, полученные из анализа общей модели народ¬
ного хозяйства, сохраняют свою силу и для моделей с более простой
математической структурой, в частности для линейно-программных
народнохозяйственных моделей, анализируемых в гл. 8,11, 13.
Соизмерение затрат и результатов при максимизации общественного
благосостояния и минимизации затрат'труда. Вернемся к рассмотрению
пары взаимных оптимизационных задач (2.6) и (2.7). Каждой задаче
соответствует система оптимальных оценок. Обозначим оценки (как
двойственные переменные) одинаковых ограничений задач Л. и В соотве¬
тственно вектором Y = (у5) и вектором Y = (у5). Пусть со — оценка
трудовых ресурсов задачи Лид— оценка ограничения по уровню благо¬
состояния в задаче В.
Доказьюается следующее утверждение1.
1 Аганбегян А.Г., Багриновский К.А., Гранберг А.Г. Система моделей народно¬
хозяйственного планирования. М.: Мысль, 1972. С. 131 - 134.
81

Если Y* и со* есть оптимальные оценки задачи А и со* > 0, то для
оптимальных оценок задачи В выполняются соотношения:
F* = -V F* >	(Зл6)
(О*
: (О*
Как уже отмечалось в 2.4, выполнение услстия со* > 0 является
следствием рационального ведения народного хозяйства. Таким обра¬
зом, оптимальные оценки одинаковых ограничений взаимных задач
А и В соответственно пропорциональны, причем коэффициентом пропор¬
циональности является обратная величина оптимальной оценки трудовых
ресурсов.
Оптимальные оценки трудовых ресурсов со* и уровни благососто¬
яния IX* являются обратными величинами. Если оценка со* =' *\f^~^~no-
oL
казывает, насколько увеличится оптимальное значение ЦФБ при увели¬
чении трудовых ресурсов на ’’малую единицу” (или, иначе, характери¬
зует предельный полезный эффект труда),то оценка д* =	,	на¬
оборот, показывает, насколько возрастут затраты труда при увеличении
уровня благосостояния на ’’малую единицу”.
Анализ взаимных оптимизационных задач позволяет выявить неко¬
торые новые аспекты соизмерения затрат и результатов, имеющие теоре¬
тическое и практическое значение.
Рассмотрим вначале пару упрощенных взаимных задач, в которых
отсутствуют общие ограничения. Такое упрощение формально соответ¬
ствует гипотезе, что труд является единственным дефицитным ресурсом
и условия его использования полностью определяют область допустимых
планов.
Задача А0: и(Х) -> max, t(X)<L, Х>0.
Задача В°: t(X) -► min, и(Х) > С*, X > 0.
Будем пользоваться ранее введенными обозначениями w*- =	^ . —
Э t(X*)
(предельный полезный эффект) и т*= —	(предельные	трудовые
затраты). При этом допускается, что функции и(Х) и t(X) имеют общую
область определения, iEN°.
Для оптимальных планов выполняется ряд	условий	(они	являют¬
ся частными случаями условий Куна — Таккера	и дополняющей	не же ст-
кости) :
для задачи А0	л	4	,	1Tft	/о i о\
<оЧ?, АГ°;	(3.18)
и} = (й*т,\ если х\ > 0;	(3.19)
х} = 0, если а\ <со*т,-;	(3.20)
82

для задачи В0
Ц*ы?<т,\ (• € ЛГ°;	(3-21)
= если х?>0;	(3-22)
х* = 0, если [д*«г<т<’.	(3.23)
Эквивалентные равенства (3.19) и (3.22) говорят о том, что для
всех включенных в оптимальный план видов продукции предельные
полезные эффекты пропорциональны предельным трудовым затратам:
-^г = оо* или = |л* для всех х) >0.	(3.24)
V	щ
Условия (3.19), (3.22), (3.24) также можно выразить как равенства
отношения предельных полезных эффектов и предельных трудовых
затрат для любых производимых и используемых в оптимальном плане
7	7 ик	тк
видов продукции к и I: 	=	.
и*	rf
Соотношения предельных полезных эффектов и предельных трудо¬
вых затрат в точке оптимума характеризуются угловыми коэффициен¬
тами касательной.
К.Маркс писал в ’’Нищете философии”: ”В будущем обществе... количество
времени, которое будут посвящать производству того или иного предмета, будет
определяться степенью общественной полезности этого предмета” . ф. Энгельс
в ’’Анти-Дюринге” прямо указывал, что при социализме ”план будет определяться
в конечном счете взвешиванием и сопоставлением полезных эффектов различных
предметов потребления друг с другом и с необходимыми для их производства
количествами труда”2. Рассмотренные выше условия оптимального плана явля¬
ются математически выраженной конкретизацией теоретических положений клас¬
сиков марксизма.
Перейдем теперь к анализу взаимных задач на основе общей модели
народного хозяйства. Для этого из^множества видов ресурсов М2 выде¬
лим общие трудовые ресурсы. Очевидно, что при этом сохранят свою
силу все соотношения оптимального плана, оптимальных оценок, затрат
и результатов. Формальные отличия будут состоять лишь в том, что,
помимо выделения особого баланса трудовых ресурсов, в качестве осо¬
бого элемента затрат всюду выделяются трудовые затраты. Все внимание
можно сосредоточить на анализе задачи на минимум трудовых затрат:
t (Xi) -►min,	(3.25)
* Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 4. С. 97.
83
2 Там же. Т. 20. С. 321.

*,(**>< Я,	(3-25)
Ы(Х2)>СГ
x,>0. x,>0.
Этой задаче соответствуют оптимальные_оценки трех типов: оценки
продукции V* = (v^), оценки ресурсов W* = (w$2), оценка уровня
благосостояния д*. Все эти оценки могут интерпретироваться как изме¬
рители влияния ограничений задачи на минимальную величину трудовых
затрат в народном хозяйстве:
p. a(Xj) ■	dtjxl) .	dt(xl)
K ^~dQ— • W - -dR ' U “ dC*
Особый интерес представляет экономическая интерпретация опти¬
мальных оценок ресурсов. В рамках динамической модели невоспроиз¬
водимые ресурсы не являются результатами труда (ни живого, ни ове¬
ществленного). В чем же экономический смысл трудовой меры этих
ресурсов?
Увеличение различных ресурсов есть фактор повышения народно¬
хозяйственной производительности труда. Оно может давать такой же
эффект, как и непосредственное сокращение затрат труда. В системе
общественного производства различные ресурсы частично заменяют
труд и выступают как средство экономии труда. Это и объясняет право¬
мерность измерения в трудовых единицах даже тех ресурсов, которые
не содержат никакой трудовой субстанции.
По каждому виду деятельности выполняется соотношение
z f *j£0<f!gSL+ z
s,€M,	OXJ	OXJ	s{€	Mj	/
причем для х*> 0 оно выполняется как равенство.
Правая часть соотношения (3.26) характеризует сумму предельных
Э tfXf)
затрат всех ресурсов в их трудовом измерении. При этом ~ ~^xj есть
прямые (непосредственные) предельные затраты труда /-го вида дея¬
тельности, а ^ w*	—	косвенные	предельные	трудовые
S2 е м2 si dxi
84

затраты /-го вида деятельности1. Последние представляют собой прирост
трудовых затрат во всем народном хозяйстве, вызванный увеличением
интенсивности /-го вида деятельности. Поскольку использование какого-
либо дефицитного ресурса h дает экономию труда (в размере wjj единиц
труда на каждую ’’малую единицу” ресурса), то привлечение этого ре¬
сурса для /-го вида деятельности уменьшает возможности его эффектив¬
ного применения в других видах деятельности и тем самым увеличива¬
ет непосредственные затраты труда во всем народном хозяйстве на ве-
личину wfj =—щ—
Косвенные трудовые затраты, овеществленные в материальных
затратах (затратах продукции других видов деятельности), содержатся
в отрицательных элементах левой части соотношения (3.26). Эту часть
затрат удается выделять по тем видам деятельности (/0), результатом
которых является только один вид продукции (5о) :
2	+	2	wl	(3.27)
Si€Mi	0Xh	0Xh	s,€M2	OXh
(s0( M,)
Правая часть неравенства (3.27) представляет собой весь прирост
затрат труда в народном хозяйстве при выпуске единицы продукции
s0 видом деятельности /0. Сюда включаются непосредственные трудовые
затраты, трудовые затраты, овеществленные в потребляемых видах
продукции, и трудовые затраты, обусловленные использованием нево¬
спроизводимых ресурсов. При х*> 0 оптимальная оценка продукции
равна общественно необходимым затратам, труда на прирост производ¬
ства этой продукции.
Для тех видов продукции, которые используются непосредственно
для удовлетворения потребностей общества, по аналогии с формулами
(3.14), (3.15) получаем
li*Ui*<vj*ieN2(3.28)
li*uf =vj* для Xj* > 0.	(3.29)
На основе (3.29) можем записать также
—*	*
= ju* или = w* для всех x*j > 0.	(3.30)
щ	Vi
Полученные соотношения имеют более общий характер по сравнению
с формулами(3.19),(3.22),(3.24). Существенное отличие между этими
В.В.Новожилов для обозначения общей суммы предельных затрат в оптималь¬
ных оценках ввел понятие ’’дифференциальные затраты”, а для обозначения кос¬
венных предельных затрат - понятие ’’затраты обратной связи”.
85

соотношениями заключается в степени охвата трудовых затрат. В упро¬
щенных формулах учитывались только непосредственные предельные
трудовые затраты на производство продукции, а формулы (3.28) —
(3.30) учитывают предельные общественно необходимые затраты труда,
включающие приросты затрат на всех участках народного хозяйства.
Таким образом, для производимых и используемых для удовлетво¬
рения потребностей общества видов продукции предельные общественно
необходимые затраты труда пропорциональны предельным полезным
эффектам. Это соотношение выражает одно из важнейших свойств
оптимальных оценок как соизмерителей затрат и результатов при опти¬
мальном планировании народного хозяйства.
Оптимальные оценки и ценностные показатели. Оптимальные оценки
имеют много сходных черт с ценами, нормативами эффективности ре¬
сурсов, различными видами рент и другими ценностными показателями.
Выше было продемонстрировано, что оптимальные оценки измеряют
общественно необходимые затраты на производство и общественную
полезность продукции, характеризуют народнохозяйственную эффектив¬
ность используемых ресурсов, учитывают спрос и предложение, обеспе¬
чивают безубыточность всех производств, эффективных с позиций
всего народного хозяйства, ориентируют на выбор таких локальных ре¬
шений, которые оптймальны в народнохозяйственном масштабе. Поэто¬
му теория оптимальных оценок и практическое исчисление оптимальных
оценок имеют важное значение для решения многих проблем хозяй¬
ственного расчета.
Характерно, что большинство изменений, происходивших за послед¬
ние три десятилетия в практике образования экономических нормати¬
вов, отражали принципиальные свойства оптимальных оценок продукции
и ресурсов, хотя это редко признавалось. Среди основных изменений
можно назвать введение платы за производственные фонды, введение
платы за природные ресурсы и учет дифференциальной ренты в некото¬
рых отраслях добывающей промышленности, в лесной промышленности
и сельском хозяйстве (в форме рентных платежей, попенной платы,
дифференциации зональных цен, учитывающей естественные различия
условий производства), ликвидацию большинства планово-убыточных
производств (продукция которых необходима народному хозяйству),
учет в ценах качества продукции и полезного эффекта у потребителей
для взаимозаменяемых видов продукции, частичный учет спроса и пред¬
ложения в ценах на товары народного потребления.
Однако отождествление оптимальных оценок и категорий товарно-
денежных отношений неправомерно. Оптимальные оценки выступают
соизмерителями затрат и результатов, строго говоря, только внутри
модели оптимального одноуровневого планирования. Но эта модель,
как известно, не отражает организационно-хозяйственную и социальную
структуру, различные коллективные и индивидуальные интересы, эконо¬
мические формы взаимодействия звеньев народного хозяйства. Трак¬
86

товка оптимальных оценок как цен, нормативов эффективности ресур¬
сов, рент и т.д. означает их экономическую интерпретацию за рамками
предпосылок оптимизационной одноуровневой модели народного хозяй¬
ства.
Исследование ценностных показателей как элементов реального
хозяйственного расчета в принципе должно осуществляться в рамках
более сложных моделей народного хозяйства, объединяющих ресурсно¬
технологические, организационно-хозяйственные, социальные аспекты
функционирования и развития экономической системы.
3.2.	Подходы к моделированию элементов
социально-экономического механизма
Важнейшей чертой коренной перестройки управления народным хозяй¬
ством СССР являются переход от преимущественно административных
к преимущественно экономическим методам руководства, к управле¬
нию интересами и через интересы, к широкой демократизации управле¬
ния, всемерной активизации человеческого фактора.
Происходящие перемены в принципах и формах управления предъя¬
вляют значительные требования к экономико-математическому модели¬
рованию, Очевидно, что моделирование экономики как единого оптими¬
зируемого объекта с полной централизацией плановых решений являет¬
ся недостаточным. Необходимо разрабатывать модели социалистическо¬
го народного хозяйства, включающие процессы функционирования
экономически самостоятельных объектов и групп населения, экономиче¬
ские и социальные механизмы их взаимодействия, сочетания интересов.
Применяемые модели должны давать ответы не только о желаемых
конечных состояниях экономики, но и характеризовать ’’поведение”
основных хозяйственных субъектов, приводящее к тем или иным состо¬
яниям в социально-экономическом развитии; они должны описывать
не только материальные потоки процесса общественного воспроизвод¬
ства, но и движение денежных средств, планово-управленческой инфор¬
мации.
Речь идет, однако, не об отрицании рассмотренного в гл. 2 подхода
к моделированию народного хозяйства, ограниченного материальным
аспектом экономики и акцентирующего возможности централизованно¬
го планирования, а о его качественном дополнении и усилении,
Основными проблемами разработки и применения экономико-ма¬
тематических моделей, интегрирующих материальный, организационно¬
хозяйственный и социально-экономический аспекты, являются:
1)	моделирование отдельных хозяйственных звеньев, функциони¬
рующих в условиях перестраивающегося социально-экономического
механизма;
2)	моделирование подсистем социально-экономического механизма;
87

3)	построение синтезирующих моделей народного хозяйства (сис¬
тем моделей), обеспечивающих сбалансированное и оптимальное разви¬
тие экономики при сочетании централизованного руководства и само¬
стоятельности хозяйственных звеньев.
Модели хозяйственных звеньев. В сфере производства основным
хозяйственным звеном является предприятие (объединение). Цели и ус¬
ловия его функционирования определяются Законом СССР о государ¬
ственном предприятии (объединении), вступившем в действие с 1 янва¬
ря 1988 г.
Построение детализированной и полной модели предприятия пред¬
ставляет сложную проблему, требующую специальных знаний. Для хара¬
ктеристики основных подходов к моделированию достаточно схемати¬
ческого описания деятельности предприятия в условиях нового хозяй¬
ственного механизма. Введем ряд обозначений для каждого А>го пред¬
приятия:
Хк — план предприятия (реализация продукции — со знаком ’’плюс”,
получение материально-технических средств, использование трудовых
и природных ресурсов — со знаком ’’минус”); термин ’’план” является
условным и применяется для краткости; по существу Хк — это вектор,
характеризующий значения ингредиентов ’’входа” и ’’выхода”;
Як — множество технологически возможных вариантов функциони¬
рования предприятия;
Xfc - часть плана предприятия, связанная с выполнением госзаказа
(объемы реализации продукции и получения ресурсов — с разными зна¬
ками) ;
X^ — часть плана предприятия, осуществляемого по хозяйственным
договорам и посредством свободного товарообмена (объемы реализа¬
ции продукции и приобретение ресурсов - с разными знаками) ;
р1, р2 — векторы соответствующих цен на продукцию и нормативов
платежей за ресурсы (включая платежи за производственные фонды*
трудовые и природные ресурсы);
а — нормативы отчисления дохода предприятия в бюджет и выше¬
стоящие организации;
dk — размер сальдо прочих денежных поступлений и платежей (дота¬
ции, сальдо кредитов, фиксированные платежи и т.д.) ;
zk — хозрасчетный доход предприятия.
Необходимость выделения двух частей ’’плана” и двух векторов
ценностных показателей объясняется условиями переходного периода,
когда госзаказ сохраняет черты директивных заданий, а значительная
доля средств производства поступает по линии государственного мате¬
риально-технического снабжения (по лимитам и фондам). Векторы
р1 и р2 различаются прежде всего по номенклатуре реализуемой и при¬
обретаемой продукции; кроме того, одни и те же виды продукции
могут иметь различные цены в зависимости от канала реализации и по¬
ступления.
88

Поскольку предприятие функционирует на принципах хозрасчета,
его модель должна включать не только ресурсно-технологические усло¬
вия, но и балансы доходов и расходов. Величина дохода, полученного
после возмещения производственных затрат, составляет р1Х^+ р2Х\.
Предприятие может выбирать одну из двух ’’моделей” полною хоз¬
расчета и самофинансирования. Первая модель основана на нормативном
распределении прибыли. Вторая модель (модель коллективною подря¬
да) базируется на нормативном распределении дохода, соответствующе¬
го сумме pl Xfc + р2Xfc. Выберем для нашего анализа вторую модель,
важнейшим элементом которой является норматив а. Предприятие в
этом случае заинтересовано в максимизации хозрасчетного дохода
zk — О — а) (р1 Х}с + р2Х]с) + dk, используемого на образование фондов
развития производства, науки и техники, социального развития, опреде¬
ляемых по нормативам, и фонда оплаты труда, образуемого как остаток
хозрасчетного дохода. При этом определяющее долговременное значение
имеет рост доходов от производственной деятельности (р1 Х^. + р2Х^)\
прочие источники финансовых ресурсов (входящие в dfc) решают теку¬
щие, конъюнктурные задачи.
Схематически модель предприятия выглядит следующим образом:
Xk
Xk = X\ + Xl
(1—a) (plX\ + р2Х\) + dk - max.	(3.31)
Итак, предприятие самостоятельно решает вопросы своего произ¬
водственно-технического и социального развития в интересах кол¬
лектива трудящихся, осуществляет прямые хозяйственные связи с дру¬
гими предприятиями и организациями на договорной основе (в том
числе и соглашения о ценах р2). Отношения с вышестоящими органами
управления включают: 1) выполнение госзаказа и получение обеспечи¬
вающих его ресурсов (вектор Х^); 2)/применение установленных эко¬
номических регуляторов: утвержденных цен, нормативов платежей
за производственные фонды, трудовые и природные ресурсы, процентов
за кредит, нормативов распределения дохода; 3) в виде исключения —
получение дополнительного финансирования.
Основным звеном социальной сферы является семья. Здесь
происходит удовлетворение основных физиологических, материальных
и духовных потребностей, осуществляется воспроизводство рабочей
силы. Соответственно группировка населения (семей) проводится по
ряду признаков: уровню и структуре, доходов и потребления, профес¬
сионально-квалификационной структуре, половозрастной структуре. В
гл. 5 анализируются модели поведения потребителей, осуществляющих
выбор продуктов и услуг для удовлетворения своих потребностей при
меняющихся доходах, потребительских цепах и насыщенности рынка.
89

Моделирование подсистем социально-экономического механизма.
Для основных функциональных подсистем социально-экономического
механизма необходимо разрабатывать особые модели (комплексы мо¬
делей): ценообразования, финансово-кредитного планирования и регу¬
лирования, формирования доходов населения, распределения средств
производства и предметов потребления и др. С помощью этих моделей
изучается влияние различных регуляторов (цен, рент, налогов, банков¬
ских ставок и т.д.) на функционирование экономических объектов и
всего народного хозяйства, экономическую эффективность производ¬
ства, экономическое положение различных социальных групп. При по¬
строении ценностных показателей используются свойства оптимальных
оценок.
Совместное действие регуляторов должно быть направлено на сти¬
мулирование хозяйственной активности и повышение эффективности
производства, приведение различных хозяйственных звеньев к равным
условиям с точки зрения результативности трудовой деятельности
(элиминирование влияния природно-географических факторов, неоди¬
накового исходного экономического состояния, других внешних об¬
стоятельств посредством рентных платежей, дифференцированного нало¬
гообложения и т.д.), совмещение общегосударственных, коллективных,
индивидуальных интересов, достижение материально-финансовой сбалан¬
сированности в народном хозяйстве. Вместе с тем посредством социаль¬
но ориентированной дифференциации некоторых ценностных регуля¬
торов и соответствующего распределения общественных фондов потреб¬
ления должно осуществляться выравнивание возможностей удовлетво¬
рения потребностей групп населения в тех областях, где распределение
по результатам труда может создавать чрезмерные социальные разли¬
чия (воспитание подрастающего поколения, охрана здоровья, доступ к
культурным ценностям).
Большая сложность построения моделей социально-экономического
механизма по сравнению с моделями ресурсно-технологического типа
объясняется необходимостью описывать экономическое пове¬
дение как реакции коллективов и индивидуумов на изменение внеш¬
них (по отношению к ним) экономических условий. На основе изучения
закономерностей экономического поведения строятся функции
отклика различных объектов. Например, функция отклика пред¬
приятия (объединения) характеризует изменение плана (вектора X)
в зависимости от изменения оптовых цен, нормативов отчислений в
бюджет, процентов за кредит. Функции отклика потребителей, называе¬
мые функциями покупательского спроса, описы¬
вают изменение спроса на различные товары при изменении потребитель¬
ских цен и доходов.
Построив функции отклика (как особые экономико-математичес¬
кие модели), можно решать задачи управления производством и потреб¬
лением путем изменения значений экономических регуляторов.
90

/ Модели экономического взаимодействия подсистем (звеньев) на¬
родного хозяйства. Планы отдельных хозяйственных (производственных
и потребительских) подсистем (звеньев) , получаемые на основе автоном¬
но используемых моделей, в общем случае несовместимы. Это выражает¬
ся в несовпадении ’’входов” и ’’выходов” взаимосвязанных моделей,
невыполнении общих народнохозяйственных условий (балансов продук¬
ции и ресурсов и др.)* Необходимы поэтому обобщающие модели (или
системы моделей), которые позволяли бы согласовьюать локальные
плановые решения и находить их оптимальные композиции.
Синтез моделей подсистем народного хозяйства (производственных
звеньев, групп населения, органов управления), условий их экономичес¬
ких взаимоотношений, общих ресурсно-технологических условий и це¬
лей развития приводит к построению народнохозяйственных моделей,
называемых моделями экономических (или с о ц и а л ь-
н о-э кономических) взаимодействий.
Модель экономического взаимодействия подсистем народного хо¬
зяйства имеет более сложную конструкцию по сравнению с оптимизаци¬
онной одноуровневой народнохозяйственной моделью и предназначается
для изучения более широкого круга проблем. К ним относятся: нахожде¬
ние вариантов (планов) сбалансированного развития и соответствую¬
щих параметров социально-экономического развития, при которых
локально оптимальные решения совместимы друг с другом; конструи¬
рование условий (элементов социально-экономического механизма),
создающих заинтересованность в сотрудничестве различных хозяйствен¬
ных звеньев и возможности согласования их интересов.
Моделирование народного хозяйства как многоуровневой поли-
структурной системы (производственно-технологической, организацион¬
но-хозяйственной, социальной) требует обобщения основных понятий,
сформулированных и анализировавшихся в гл. 2.
В рамках модели экономического взаимодействия понятие ’’сбалан¬
сированность” охватывает не только материальную, но и финансовую
сбалансированность (как соответствие доходср и расходов), и материа¬
льно-финансовую сбалансированность (как соответствие денежных пото¬
ков и их материального покрытия) в функционировании каждого хо¬
зяйственного звена и народного хозяйства в целом. Понятие ’’оптималь¬
ность” означает не просто достижение максимума некоторого обобщаю¬
щего целевого показателя социально-экономической системы (напри¬
мер, ЦФБ), а наилучшее сочетание оптимумов подсистемы, отражающих
общегосударственные, коллективные, индивидуальные интересы1.
В рамках оптимизационного социально-экономического подхода рассматри¬
вавшаяся в 2.3 целевая функция и(Х) может быть признана в качестве целевой
функции общества, если вся совокупность членов общества в процессе принятия
индивидуальных и коллективных решений действительно стремится к максимуму
этой функцйи. ЦФБ и(Х) можно рассматривать как некоторое объединение целе¬
вых функций для однородных социальных групп и целевой функции центрального
91

Подробный анализ моделей социально-экономического взаимодей¬
ствия и связанных с ними фундаментальных понятий дается в гл. 16.
Перспективным подходом к исследованию сформулированных проб¬
лем является имитационное моделирование. Имитаци¬
онные системы, включающие средства человеко-машинного диалога,
позволяют испытывать множество вариантов усовершенствования и
синтеза элементов социально-экономического механизма. Примеры
экспериментального изучения социально-экономического механизма
с помощью имитационных систем см. в [4. С. 25 - 37] . Частным случаем
имитационных систем данной проблемной ориентации являются деловые
игры.
3.3.	Модели с обратными связями производства,
распределения и благосостояния
При моделировании материального аспекта экономики (гл. 2) применя¬
лась следующая схема взаимодействия ’’экономического” и ’’социаль¬
ного”: в социальной сфере вырабатываются требования (социальный
заказ) к Производству ’’ради человека”; сфера производства в меру
объективных возможностей (ресурсно-технологических, включая и по¬
тенциал трудовых ресурсов) выполняет эти требования; далее происхо¬
дит распределение произведенных потребительских благ. В этой схеме
на первый взгляд все гармонично связано и, разумеется, не случайно,
что теоретический анализ и практическое применение оптимизацион¬
ных экономико-математических моделей, отражающих логику данной
схемы, стали крупным достижением экономической науки.
Однако приведенная теоретическая схема односторонне отражает
роль человеческого фактора. Она не учитывает обратной связи — воз¬
действия мотивационных механизмов, распределительных отношений,
повышения благосостояния (включая развитие способностей) на эффек¬
тивность производства, ресурсно-технологический потенциал. Челове¬
ческий фактор распадается на два несвязанных элемента: ’’ресурсный”
и ’’потребительский”.
Включение недостающей обратной связи в модели взаимодействия
производственной и социальной сфер принципиально меняет условия
и свойства оптимальных социально-экономических решений. Множество
производственных возможностей становится зависимым не только от
наличия производственных ресурсов и имеющихся технологий, но и от
форм активизации человеческого фактора.
органа, выражающей интересы государства и общества в целом. Один из возмож¬
ных способов такого объединения - суммирование этих целевых функций с опре¬
деленными весами: и(Х) =	где	коэффициенты	выражают	участие
(или долю) каждой группы в гтовышении общественного благосостояния.
92

Обратим внимание на один важный момент. Если принимать произ¬
водственные возможности как технологически предопределенные, то
при условии их оптимального использования выделение дополнительных
благ для какой-то группы работников неизбежно ущемляет интересы
других групп. Но если принимать во внимание, что стимулирование ра¬
ботников с высшей производительностью труда расширяет производ¬
ственные возможности, то получаем иной вывод; частичное перераспре¬
деление благ между группами работников в соответствии с эффектив¬
ностью их труда может улучшить благосостояние всех групп.
Рассмотрим простую модель производства и распределения потре¬
бительских благ в двух модификациях: ’’ортодоксальную” и с обратной
связью ’’потребление — производительность труда”.
В производстве участвуют две группы работников, производящих одни и те
же виды продукции. Определенная доля продукции направляется на формирование
фонда потребления с фиксированной материально-вещественной структурой.
Максимизируется общий фонд потребления при некоторых условиях его распреде¬
ления между двумя группами работников.
Пусть X — вектор объемов производства;
*1, t2 — векторы затрат труда работников первой и второй групп на
производство единицы продукции;
Li, Ь2 — лимиты трудовых ресурсов первой и второй групп (макси¬
мальные объемы затрат труда);
X — множество допустимых вариантов производства (не включает
ограничений по трудовым ресурсам);
2 — общий объем фонда потребления;
с — вектор, переводящий объемы производства в общий фонд по¬
требления;
2i, z2 — объемы фонда потребления групп работников.
Модель без обратных связей. Производительность труда (и соответ¬
ственно трудоемкость продукции как обратная величина) не зависит от
распределения фонда потребления. Принимается, что фонд потребления
распределяется между группами работников в пропорции, задаваемой
параметром X Е [ 0,1 ] — долей первой группы в обще^л фонде потребле¬
ния. Соответственно доля второй группы равна 1 — X.
Модель выглядит следующим образом:
t3XKL2;
<3-32>
г2 = (1— Я) г;
z —► шах.
93

Предполагается (как и в 2.4), что в оптимальном плане трудовые
ресурсы дефицитны.
Из анализа модели следует, что распределение фонда потребления
между группами работников (параметр X) никак не влияет на оптималь¬
ный план производства Х° и максимальный объем фонда потребления
z° = z° + z°. На рис. 3.1 множество оптимальных значений и z2 (Па-
рето-граница) изображается прямой, имеющей равные углы наклона
(45°) к обеим осям. Точке А соответствует X = 0, точке В соответству¬
ет X = 1.
Модель с обратными связями. Принимается гипотеза, что изменение
производительности труда каждой к-й группы работников (индекс
роста Tfy) при производстве различных видов продукции одинаково
связано с уровнем потребления монотонно возрастающей зависимостью
Tfy. = т? (^), которая линеаризуется в окрестности z^ = zj? следующим
образом:
Л (2/г) = 1 -h е
(3.33)
Базисные значения производительности труда (обратные ве¬
личины трудозатрат) каждой группы работников в модели (3.32)
соответствуют некоторому базисному уровню потребления z0^ (при
94

z/c = z\ имеем nk(zk) = !)• При
увеличении zfc производительность
труда растет. Параметр е характе¬
ризует интенсивность обратной свя¬
зи (влияния уровня потребления
на производительность труда).
Изменение производительности
труда в зависимости от уровня
потребления можно учесть в пра¬
вых частях балансов трудовых
ресурсов, поскольку одинаковый
рост производительности труда при
производстве различных видов
продукции равнозначен увеличению
трудового ресурса: L (zfc) = Пк (1 + ■
zk ~ zk
+ е
zk
Таким образом, в исходной модели (3.31) заменяются только
ограничения по трудовым ресурсам:
1 + е^=£);
Включение этих условий в модель в общем случае приводит к изме¬
нению Парето-границы множества значений вектора (zl9 z2). При этом
максимальная величина общего фонда потребления z зависит от пропор¬
ций распределения между группами. Особый интерес представляет
анализ случаев, когда от включения обратных связей Въшгрывают все
группы работников.	X
Характер воздействия обратных связей существенно зависит от параметра интен¬
сивности 6.
При умеренной интенсивности (см. рис. 3.1) базисный вариант D сохраняет
свойство Парето-оптимальности. Вместе с тем Парето-граница (кривая CF) содер¬
жит участок DE с возросшими (при неизменных распределительных пропорциях)
уровнями потребления каждой группы работников. Этому участку соответствует
более высокая, нежели в базисном варианте, доля в общем фонде потребления
группы работников, имеющей более высокую оценку трудовых ресурсов (на
рисунке - группа 1).
Сильные обратные связи (большее значение 6) создают возможности для пре¬
вышения каждой из групп уровня потребления, достигаемого в базисном варианте
(точка D). Сам этот вариант, оставаясь допустимым, утрачивает Парето-оптималь-
ность (рис. 3.2). Данный эффект объясняется тем, что приоритет в распределении
фонда потребления, данный работникам с повышенной эффективностью труда,
позволяет настолько увеличить производство потребительских благ, что при их рас¬
пределении могут выигрывать и другие группы работников.
95

Первоочередной задачей разработки моделей с обратными связями
является систематизация количественных зависимостей, характеризую¬
щих влияние различных механизмов распределения и альтернатив повы¬
шения благосостояния на параметры эффективности производства. По¬
строение таких моделей требует разработки системы показателей бла¬
госостояния, формализации содержательных взаимосвязей между произ¬
водством и потреблением, соответствующего информационного обес¬
печения с помощью переписей населения, отчетных межотраслевых ба¬
лансов, единовременных выборочных обследований доходов, расчетов по
демографическим моделям и т.д. По-видимому, будет целесообразно
создание системы таких моделей.
Литература
1.	Основные положения коренной перестройки управления экономикой. Материа¬
лы Пленума ЦК КПСС 25 - 26 июня 1 987 г. М.: Политиздат, 1987.
2.	Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования
экономики. М.: Наука, 1983. Раздел III.
3.	Казакевич Д.М. Экономические методы в плановом управлении. Новосибирск:
Наука, 1985.
4.	Моделирование в процессах управления народным хозяйством. М.: Наука,
1984.
5.	Хозяйственный механизм в системе оптимального функционирования социалис¬
тической экономики. М.: Наука, 1985. Раздел I.
6.	Шаталин СО. Функционирование экономики развитого социализма. М.: Изд-во
МГУ. 1 982. Гл. 3.

РАЗДЕЛ II
МОДЕЛИРОВАНИЕ НА НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННОМ УРОВНЕ
ЧАСТЬ А.
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИКА
Экономическая статика и экономическая
динамика - это связанные друг с другом стадии исследова¬
ния экономических систем, отличающихся характерными проб¬
лемами и методологическими подходами.
Предмет экономической статики — анализ состояний народ¬
ного хозяйства и его частей за отдельные моменты или краткие
промежутки времени. Главный постулат статического анализа
заключается в том, что в течение рассматриваемого временного
интервала ресурсно-технологические возможности и потребности
общества не изменяются. В соответствии с этим основными за¬
дачами экономической статики являются оптимальное распре¬
деление разнообразных ресурсов между возможными направ¬
лениями их использования, анализ структуры и взаимосвязей на¬
родного хозяйства, достижение общей пропорциональности и
сбалансированности экономики. Эти задачи, решаемые с помо¬
щью статических моделей, занимают важное место в науке и
практике, но они далеко не исчерпывают проблем анализа, пла¬
нирования, управления народным хозяйством как развиваю¬
щейся, динамической системы. В рамках статического модели¬
рования не могут изучаться такие проблемы, как воспроизвод¬
ство населения и основных фондов, научно-технический прог¬
ресс, развитие системы общественных потребностей и т.п. Одна¬
ко изучение статических моделей — необходимая часть пути к
более сложным дина мическим моделям экономики,
включающим статические модели как конструктивные элемен¬
ты. Не следует только забывать, что выводы, полученные на ос¬
нове статических моделей, нельзя переносить на ситуации, не
укладывающиеся в рамки предпосылок статического анализа.
4 Зак. 2414	97

Рис.Д.1. Основные связи между главами раздела II
Часть А раздела о моделировании на народнохозяйственном
уровне включает пять глав. Сначала рассматриваются узловые
проблемы моделирования отдельно сферы производства и отде¬
льно сферы потребления (гл. 4 и 5). Полученные выводы затем
используются для построения и анализа комплексных народно¬
хозяйственных моделей (гл. 6, 7, 8), получивших применение
в экономических исследованиях и планировании.
98

ГЛАВА 4
МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРЫ ПРОИЗВОДСТВА
4.1.	Технология и производственные возможности
Производственные возможности народного хозяйства в любой момент
времени определяются двумя группами факторов: а) технологическими
условиями производства, которые выражаются зависимостями между
затратами различных ресурсов (воспроизводимых и невоспроизводи¬
мых) и выпуском продукции; б) объемами и качеством наличных ресу¬
рсов. В гл. 2 и 3 уже вводились понятия и общие математические описания
видов деятельности, ограниченности ресурсов, множества допустимых
вариантов развития. Рассмотрим более подробно элементы и свойства
ресурсно-технологических возможностей народ¬
ного хозяйства.	г
Пусть X = (д^*) обозначает вектор затрат ресурсов, i Е М, М = { 1,
..., т} ; Y = (yj) — вектор объемов производства, ; Е N, N = | 1, ...,
п | . Воспроизводимые средства производства одновременно являются
и продуктами, и ресурсами. Поэтому все виды ресурсов можно разбить
на два подмножества: М\ — воспроизводимые ресурсы (они же продук¬
ты), I*! Е Mi, MtCN; М2 — невоспроизводимые ресурсы, i2 Е М2. При
этом объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент
ограничены: Х2 < R. Кроме того, необходимо учитывать различия в рас¬
ходовании предметов труда и.основных фондов. Первые полностью
расходуются в одном производственном цикле (затраты имеют размер¬
ность потока); вторые используются многократно (объемы использо¬
вания в каждом производственном цикле имеют размерность запаса).
При исследовании народнохозяйственного процесса производства затра¬
ты и выпуски так называемых промежуточных продуктов (полностью
потребляемых в сфере производства) иногда исключаются из непосред¬
ственного рассмотрения.
Среди различных пар векторов (.X, Y) рассматриваются технологи¬
чески допустимые пары, которые называются техноло гиями
(или технологическими процессами). Технологическая
допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (исполь¬
зуемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y. Совокупность
4*	99

всевозможных допустимых технологий (X, Y) образует технологи¬
ческое множество народного хозяйства Z1 „
Нас, естественно, интересуют наиболее экономные преобразования
ресурсов в продукты. Пусть (1Ь Yi), (Х2, Y2) — две допустимые тех¬
нологии и (Xi, Y1) Ф (Х2, Y2). Технология (Xi, Yi) называется более
эффективной, чем (Х2, Y2), если выполняется соотношение: Хх < Х2,
У! > Y2, т.е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не ме¬
ньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет
место строгое неравенство. Технология (X* V*) называется эффек¬
тивной (оптимальной по Парето), если не существует другой до¬
пустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество
всех эффективных технологий обозначим Z*.
Множество производственных возможностей народного хозяйства
может быть представлено в виде:
I (X, У) €2.
<4'!>
При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определенный
промежуток времени может быть произведено ограниченное количество
продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариантов производства
продукции и использования ресурсов будет осуществляться на множест¬
ве Z*.
Социалистическое общество заинтересовано в получении наибольших
количеств конечной продукции, однако проблема выбора лучшей струк¬
туры конечной продукции (оптимального вектора Y) не может решаться
только с позиций производства; здесь прежде всего необходимо учиты¬
вать социальные потребности. Поэтому общая модель производственного
планирования формулируется как задача нахождения множества эффек¬
тивных вариантов {X, Y) путем максимизации векторной функции Y на
множестве (4.1):
(*, П€2,
(4.2)
Y	max.
В отличие от чисто технологической эффективности допустимых па¬
раметров (X, Y) G Z*, эффективные варианты задачи (4.2) учитывают
также и ограниченность ресурсов, направления использования которых
определяются стремлением получить больше конечной продукции.
1 Обычные предположения о свойствах технологий гаранти^ют, что множество
Z является замкнутым выпуклым конусом в пространстве Rm п.
100

4.2.	Производственные функции
и функции производственных затрат.
Основные понятия
Технологическое множество Z и его подмножество Z* можно описать
в виде системы соотношений.
F(X, Y, А) = 0,	(4.3)
где А — вектор параметров. Такая обобщенная форма выражения зависи¬
мостей между используемыми ресурсами и выпусками продукции по¬
лучила название производственной функции, Производствен¬
ная функция (4.3) — это функциональная (кибернетическая) модель
сферы производства, определяющая ’’выход” Y по данным о ’’входе”
X (зависимость между X и Y в общем случае многозначна). Народное
хозяйство представляется здесь как ’’единая фабрика”, у проходной ко¬
торой регистрируется все, что на нее поступает (X), и все, что из нее вы¬
пускается (F).
Теоретическому смыслу производственной функции народного хо¬
зяйства отвечают такие методы потребления, когда принимаются во вни¬
мание только эффективные технологии или эффективные варианты мо¬
дели (4.2) .\Определяемые объемы производства конечной продукции
являются максимальными в том смысле, что при заданных затратах ре¬
сурсов нельзя увеличить производство ни одного продукта, не уменьшив
при этом производство хотя бы одного другого продукта.[в отличие от
структурных оптимизационных моделей народного хозяйства, напри¬
мер (4.2), общая производственная функция является функциональной
моделью объекта с непосредственно не наблюдаемыми оптимизационнык-
ми способностями. Это - своего рода ’’оптимизирующий черный ящик”.
Построение и анализ общей производственной функции народного
хозяйства представляют исключительно трудную задачу. Поэтому в прик¬
ладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам
общей производственной функции.
Производственная функция
У) = // (-*/). Х/ = (* 1/.	•	хт,)	(4.4)
характеризует максимально возможный объем выпуска продукта в зави¬
симости от использования разнообразных ресурсов. Каждой точке Xjсо¬
ответствует единственный максимальный выпуску® 1.
Очевидно, что функция (4.4) может описывать однопродук¬
товые технологии, но не применима для характеристики комплекс¬
ных технологических процессов, выпускающих одновременно несколько
видов продукции.
1 Точнее: yfl <// (X/)t max y/l =f; (Xj).
101

Различаются два основных типа производственных функций: произ¬
водственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами (см. 4.3) и прои¬
зводственные функции с взаимодополняемыми ресурсами (см. 4.4).
Наряду с производственными функциями в исследованиях производ¬
ственных возможностей народного хозяйства широко применяются
функции производственных затрат. Функция
*/ = Ф<(у)	(4-5)
называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов
выпуска разнообразных продуктов. Такие функции уже использовались
в теоретическом анализе моделей народного хозяйства (см. гл. 2, 3).
В экономическом анализе часто применяются функции затрат на про¬
изводство одного продукта:
*|/“Ф ц(У/)-	(4-6)
Если ресурс i не используется в комплексных технологических про¬
цессах, то функция (4.6) аддитивнаГ
**—2 хи = 2 ф(4.7)
jeN	j*N
Ниже будет показано, что функции производственных затрат могут
интерпретироваться как функции, обратные производственным функци¬
ям с взаимодополняемыми ресурсами (см. 4.4).
Производственные функции и функции производственных затрат
применяются в анализе производственных процессов на различных
уровнях народного хозяйства. Хотя при этом могут использоваться
однотипные математические описания, содержательный смысл и спо¬
собы построения производственных функций (функций производствен¬
ных затрат) в этих случаях существенно различаются.
На микроэкономическом уровне рассматриваемые математические
модели являются описаниями конкретных (элементарных) технологий
и выводятся из соответствующих технологических (инженерных) дан¬
ных. Производственные же функции (функции производственных зат¬
рат) сложных объектов (предприятий, отраслей, регионов, народного
хозяйства в целом) являются математическими моделями, характеризу¬
ющими абстрактные технологии, т.е. обобщенные зависимости
между затратами ресурсов и выпусками продукции.
Прямой переход от моделей конкретных технологий к модели абс¬
трактной технологии трудно осуществим из-за различий ’’языков”
моделирования простых и сложных производственных объектов. В тех
сравнительно редких случаях, когда объекты микро- и макроуровней
описываются сходными математическими моделями, производственные
функции (функции производственных затрат) сложных объектов могут
102

строиться путем агрегирования соответствующих функций
более простых объектов. Так, например, если объекты разного уровня
описываются линейными балансовыми моделями с производственными
функциями в виде производственных способов (см. 4.5), то параметры
производственных способов объектов более высокого уровня рассчи¬
тываются путем агрегирования производственных способов объектов
нижнего уровня (см. 6.5).
Как правило, построение обобщенной производственной функции
(функции производственных затрат) представляет собой довольно
сложную задачу моделирования абстрактной технологии. Здесь исполь¬
зуются два основных подхода: оптимизационный и статис¬
тический. Эти подходы соответствуют двум основным типам
моделей экономических объектов - структурным и функциональным.
Суть оптимизационного подхода состоит в том, что производствен¬
ная функция (или функция производственных затрат) получается пу¬
тем обобщения решений оптимизационной модели при меняющихся
условиях. Например, производственная функция народного хозяйства
может быть выведена из анализа решений модели (4.2) при меняющем¬
ся векторе R1. Очевидно, что свойства построенной таким способом
производственной функции определяются исходной оптимизационной
моделью.
Статистический подход к построению обобщенных функций осно¬
ван на обработке наблюдений о различных соотношениях затрат ре¬
сурсов и выпусков продукции. В математическом отношении он опи¬
рается на теорию корреляционного и регрессионного анализа. Процесс
построения функции включает отбор существенных факторов, выбор
вида функции (математической модели), статистическую оценку ее
параметров, проверку статистической надежности2. Найденная зависи^
мость между затратами (’’входами”) и выпусками (’’выходами”)
является функциональной моделью (’’черным ящиком”) соответству¬
ющего производственного объекта.
При моделировании (на народнохозяйственном уровне) произ¬
водственные функции и функции затрат применяются двояким обра¬
зом: как самостоятельные математические модели производственных
объектов (см. гл. 4, 9, 10) и как элементы более сложных моделей на¬
родного хозяйства (гл. 6—8, 10—13). В системном моделировании
народного хозяйства (см. раздел III) производственные функции и
функции производственных затрат часто применяются как функции
отклика экономических подсистем, характеризующие реакции (от¬
клик) соответствующей подсистемы на поведение (принимаемые реше-
! ния) других подсистем.
Для этого используются различные методы: параметрическое программиро¬
вание, теория планирования эксперимента и т.д. Общей чертой этих методов явля¬
ется многократная реализация исходной модели, в результате чего ’’набирается”
информация о зависимости выходных параметров от входных.
2
Предполагается, что читатель знаком с основами корреляционно-регрессион¬
ного анализа.
103

4.3.	Производственные функции I \
с взаимозаменяемыми ресурсами. v
Показатели использования ресурсов
Общие свойства функций. Предположение о взаимозаменяемости ресур¬
сов в производственной функции yj = fj(Xj) означает, что один и тот же
объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях
ресурсов, отличающихся тем, что затраты одних ресурсов больше, а дру¬
гих — меньше. Ниже мы будем опускать индекс /, если речь идет о функ¬
циях производства одного продукта.
Сформулируем некоторые свойства производственных функций
с взаимозаменяемыми ресурсами:
а)	если X = 0, то у = 0;
б)	если Х^ > Х^, то f (X^) >f(X^)9 причем если Х^ > Х&, то f (Х^ )>
>f(X^)\ из этого, в частности, следует, что у > 0 при Х> 0. Если у = Опри
положительных затратах некоторых ресурсов, но при xs = 0, то это
означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в
малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.)1.
Отмеченные свойства отражают ряд реальных условий производства
и правил разумного хозяйствования.
Производственные функции могут задаваться не только в аналити¬
ческой форме, но и в виде таблиц. В качестве примера приведем таблицу
выпуска продукции в зависимости от затрат двух видов ресурсов: рабо¬
чей силы и средств производства (см. табл. 4.1) 2.
Таблица 4.1
Пример табличной производственной
функции с двумя взаимозаменяемыми ресурсами
-Затраты средств t
Затра- производства
ты труда
10
20
30
40
50
60
50
44
55
63
69
75
80
60
69
88
100
110
119
126
70
91
115
132
145
156
166
80
110
139
159
174
188
200
90
128
162
185
203
218
232
100
145
183
209
230
247
263
110
160
202
231
254
273
291
120
175
221
253
277
299
318
130
189
239
273
300
323
344
140
203
256
293
322
347
369
150
216
273
313
343
370
393
160
229
290
332
364
392
417
В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурса
s сверх величины x's приводит к уменьшению объема производства, надо непосредст¬
венно использовать x's, а излишек *„• - х'■ >0 оставить в резерве.
2 Пример заимствован из деловой игры ’’Экономическая система” (авторы
Д.Колеман и Т.Харрис, США).
104

Множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного вы¬
пуска f(X) = q, называется изоквантой. На рис. 4.1 изображено
семейство изоквант — кривых в пространстве двух ресурсов; эти изо¬
кванты соответствуют объемам выпуска продукции qXt q2, 4з* В об¬
щем случае изокванты — это поверхности в га-мерном пространстве
ресурсов. Поскольку X > 0, то все изокванты находятся в неотрицате¬
льном ортанте.
ции и изоклинали
В табл. 4.1 можно указать комбинации ресурсов, принадлежащие изоквантам,
например: комбинации (60, 10) и (50, 40) дают q =69; комбинации (80, 10) и
(60,40) дают q =110; (100,10) и (70,40) дают q = 145 и т.д.
И з общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств
изоквант: они никогда не пересекаются друг с другом; большему вы¬
пуску продукции соответствует более удаленная от начала координат
изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства,
то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Далее будут
обсуждаться свойства изоквант, соответствующих определенным клас¬
сам производственных функций.
Средняя и предельная эффективность использования ресурсов.
Для характеристики эффективности производственных ресурсов при¬
меняются два основных показателя:
средняя эффективность ресурса
7(*)
Xг
(4.8)
105

предельная эффективность ресурса
дх{
(4.9)
Величина v/X) показывает предельный прирост выпуска продукта
при увеличении затрат ресурса i на ’’малую единицу”. Из свойства (б)
производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами следует,
что vi > 0. Как правило же, vi > 0. При этом особенно важен характер
изменения эффективности дополнительных количеств используемого
ресурса.
_ d*f (X)
Если v/i	^2	*	это означает, что предельная эффективность
ресурса падает. Такая ситуация вполне объяснима. Например, если
в производстве какого-либо продукта увеличивать затраты труда, сохра¬
няя неизменными объемы других ресурсов, то предельная производи¬
тельность труда будет снижаться из-за уменьшения вооруженности еди¬
ницы труда средствами производства. Важно понимать, что уменьшение
предельной эффективности ресурсов типично только в условиях эко¬
номической статики, т.е. при неизменном научно-техническом уровне
^ и неизменном качестве используемых ресурсов.
Условие	=	<0	в	западной	литературе часто называют ”за-
dxi
коном убывающей предельной эффективности ресурсов”. Уменьшение предельной
эффективности перестает быть ’’законом”, как только мы начинаем учитывать на¬
учно-технический прогресс. Сущность данного ’’закона” проанализирована В.И.Ле¬
ниным в статье ’’Аграрный вопрос и критики Маркса” (Полн. собр. соч. Т. 5. С.
100-10.3).
На рис. 4.2 приведены три типичных графика, характеризующих вли¬
яние увеличения затрат ресурса / при неизменных объемах других ре¬
сурсов: 1 — изменение выпуска продукции у; 2 — изменение средней
эффективности ресурса -щ; 3 — изменение предельной эффективности
ресурса vi. Как видим, функция 1 растет, но ее рост замедляется. Функ¬
ции 2 и 3 убывают, причем предельная эффективность ниже средней эф¬
фективности.
Иначе изменяется средняя и предельная эффективность определенно¬
го (z-го) ресурса при увеличении затрат других ресурсов. Как правило,
выполняются соотношения:
1Фк,	(4.Ю)
dxk	Х{	дхк
|^	=	WI>0j	(4.11)
tk	дхк	дх, дхк
106

Рис. 4.2. Функции абсолютной (1), средней
(2) и предельной (3) эффективности ресурса
Это объясняется тем, что увеличение затрат труда к улучшает усло¬
вия применения ресурса z. Например, производительность труда зависит
не только от качества самого труда, но и от условий приложения труда.
В частности, производительность труда увеличивается при росте фондо¬
вооруженности.
Эквивалентная заменяемость ресурсов. Изменение выпуска продук¬
ции при небольших изменениях затрат нескольких ресурсов выражается
полным дифференциалом dy —	2. v. dx.. Условия эквивалентной вза-
/€ГЛ/ 1	1
имозаменяемости ресурсов в точке Х° = (х? ) выводятся из формулы
2 v,(X*)dxt = 0.	(4.12)
i€M
В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости каких-либо
двух ресурсов Ни I определяется формулой
VI (х°)
vk(X°
<0.
(4.13)
Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими
соответствует движение вдоль изокванты. Поэтому изокванту называют
также кривой замещения.
Если затраты ресурса к увеличиваются, то для сохранения объема
производства на прежнем уровне затраты ресурса /, как правило, можно
107

уменьшить. Отсюда следует такое свойство изоквант: это убывающие
функции по отношению к каждой оси (т.е. они имеют отрицательный
наклон). В пространстве двух ресурсов норма эквивалентной заменя¬
емости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответст¬
вующей осью координат. На рис. 4.1 нормы эквивалентной заменяемос¬
ти второго ресурса по отношению к первому в точках A lf Вх, С\ равны
тангенсам углов уА, ув, ус. Комбинации ресурсов, для которых преде¬
льные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют в пространс¬
тве ресурсов кривые, называемые изо клиналями. На рис. 4.1
изоклиналь I соединяет точки 2?ь В2, В3, а изоклиналь II — точки Сь
С2, Сз.
Анализ закономерностей изменения предельных норм эквивалент¬
ной замены позволяет еще более конкретизировать форму изоквант.
При увеличении использования ресурса I его предельная эффективность
падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают
все меньшее количество ресурса к. Таким образом, предельная норма
эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов постоянно умень¬
шается.
Рассмотрим, к примеру, комбинации затрат из табл. 4.1, принадлежащие одной
изокванте q = 273: А = (110, 50), В = (130, 30), С= (150, 20). Первое увеличение
затрат труда на 20 ед. высвобождает 20 ед. средств производства, второе увеличе¬
ние затрат труда на 20 ед. высвобождает уже только 10 ед. средств производства
и т.д.
Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являют¬
ся графиками вогнутых функций (одной переменной относительно
другой). Если эта особенность предельных норм эквивалентной заменя¬
емости распространяется на множество всех т ресурсов, то изокванты
обладают двумя дополнительными свойствами: множества {X: f(X)>
> Q J выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями
координат или параллельные им (подробнее см. М.К.Плакунов, Р.Л.Раяц-
кас. С. 40- 54; ММСЭ. С. 175).
Эластичности производства и взаимозаменяемости ресурсов. Для
характеристики влияния каждого ресурса на рост производства, помимо
показателей средней и предельной эффективности, используется также
понятие эластичности выпуска от затрат различ¬
ных ресурсов. Коэффициент эластичности 5/ показывает предель¬
ное отношение относительного прироста производства к относительному
приросту затрат /-го ресурса:
Ау
6,= Пт	(4.14)
'	&Х1-+0**1 dxi У
Xi
108

На рис. 4.3 изображены изокванты трех производственных функций, проходя¬
щие через одну точку (с координатами х? =х%) и отличающиеся коэффициентами
эластичности в этой точке. Изокванта 11 с равными коэффициентами эластичности
симметрична относительно биссектрисы положительного ортанта. Изокванта I
(5д <£2) имеет относительно меньший наклон к оси х1} а изокванта III (5j >
2), наоборот, больший наклон к оси хх.
Рис. 4,3. Изокванты и коэффициенты эластич¬
ности
В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная функ¬
ция от*0. В экономических расчетах часто используются средние коэф¬
фициенты эластичности, определяемые не для каждой точки Х°, а для не¬
которых интервалов изменения компонент вектора А"0. Такие коэффи¬
циенты соответствуют формуле
б	Д£ _Дх,-	(4 15)
1 у	Xi
В теории производственных функций применяется также понятие
эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффици¬
ент эластичности	замены ресурсов характеризует отношение относитель¬
ного	изменения	соотношения затрат ресурсов к и	/ к	относительному
изменению предельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресур¬
сов:
ah __iL;^L=iiL.YfcziL.	(4.16)
Ы Ч_ УМ	дУЫ	1*к
XI
109

Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких
пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности
(ок1 = + °°) не существует никаких границ для взаимозаменяемости
ресурсов. Наоборот, при нулевой эластичности (oki = 0) возможность
замены отсутствует. В этом случае ресурсы взаимодополняют друг дру¬
га и обязательно должны использоваться в определенном комплекте
(см. 4.4).
На рис. 4.4 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичнос¬
ти замены двух ресурсов в интервале 0 ^ О ^ °°. Прямоугольная ломаная ЛВС
является изоквантой при О = 0. Сокращение одного ресурса нельзя компенсиро¬
вать сколько угодно большим увеличением другого ресурса. Три изокванты имеют
положительные эластичности 0\, О2, СТд. При этом более выпуклые к началу коор¬
динат изокванты соответствуют меньшим коэффициентам эластичности: 0\ <(*2 ^
< (73. Наконец, прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластично¬
стью замены ресурсов. Она имеет формулу а\Х\ ■+■ <*2*2 гДе а\ ла2 ~ положи¬
тельные числа. Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте не меняется:
У12
__ ар_
*1
Рассмотренные эластичности выпуска по ресурсам и эластичности
взаимозамены ресурсов наряду с показателями общей эффективнос¬
ти ресурсов (’’отдачи на масштаб”) являются основными характеристи¬
ками абстрактной технологии.
Анализ типовых производственных функций. При статистическом
подходе к построению производственных функций важным этапом яв¬
ляется выбор математической зависимости от количества параметров,
110

включаемых в аппроксимирующую функцию1. На первый взгляд при
заданном составе ресурсов производственная функция тем ’’лучше”,
чем больше она включает параметров. Однако на самом деле это не так.
С увеличением числа оцениваемых параметров сильно возрастает
число необходимых наблюдений, обеспечивающих точность и надежность
статистических оценок (число наблюдений должно быть как минимум
в 5—6 раз больше числа параметров). Усложняется и экономическая
интерпретация свойств функции. Здесь мы сталкиваемся с типичным
противоречием метода моделирования, когда стремление к возможно
более полному и точному воспроизведению объекта-оригинала препят¬
ствует использованию главных преимуществ этого метода познания.
Поэтому в теоретических и прикладных исследованиях (особенно на
макроуровне) отдают, как правило, предпочтение производственным
функциям с небольшим числом параметров, удобным для вычислений
и интерпретации (подробнее о статистических методах построения
производственных функций см. Г.Б.Клейнер, гл. 2; М.К.Плакунов,
Р.ЛРаяцкас, гл. 6).
Однородные производственные функции* Функция у = f(X) назы¬
вается однородной п-й степени, если выполняется следующее
соотношение:
f(KX) = Xnf(X).	(4.17)
Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в X раз объем
производства возрастает в \п раз. Показатель степени однородности
п характеризует изменение эффективности производства с увеличением
производственных затрат (’’отдача на масштаб”).
Теоретически возможны три случая: 1) эффективность остается по¬
стоянной (п = 1); 2) эффективность снижается (п < 1); 3) эффектив¬
ность возрастает (п > 1). В условиях неизменного научно-технического
уровня указанные ситуации имеют место в различных отраслях народ¬
ного хозяйства.
Снижение эффективности производства при увеличении его объема есть след¬
ствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем* что для производства
в первую очередь используются наиболее благоприятные возможности. По мере же
увеличения производства приходится использовать все менее эффективные ресур¬
сы и технологические процессы (бедные месторождения, старое оборудование и
т.п.). Однако в некоторых отраслях, особенно в обрабатывающей промышлен¬
ности, увеличение производства (точнее, его концентрация на определенных пред¬
приятиях) позволяет увеличить эффективность использования ресурсов за счет эко¬
номии на общих расходах, мало зависящих от объема производства, более полного
использования основных фондов и т.п. В целом по народному хозяйству положи¬
1	Согласно теореме Вейерштрарса всякая непрерывная функция (хо¬
тя бы в некоторой ограниченной области своих аргументов) может быть сколь
угодно точно аппроксимирована полиномом ^ = Д() _j_ aiX\ -f- а2х2 + Яц*1 +
+ й12*1*2 + ^22*2+ • • •
111

тельные и отрицательные влияния роста производства на эффективность использо¬
вания ресурсов при неизменном научно-техническом уровне в значительной мере
погашают друг друга. Поэтому в пределах краткого времени величина п для народ¬
ного хозяйства в целом близка единице.
Для однородной функции справедлива формула Эйлера
2	=
i€M 0Xi
(4.18)
Разделив обе части этого уравнения на у, получим
(4.19)
ду Xi
Выражение ^7 *~jj~ есть коэффициент эластичности 6/. Поэтому п
равно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затрачиваемым
ресурсам.
Проанализируем подробнее экономический смысл формул (4.18)
и (4.19) при п = 1:
у ду_.х .
дх- ‘
ieM ах‘
■у\
(4.20)
(4.21)
ду
Поскольку qp — это предельная эффективность единицы ресурса
ду
z, то дх;'** было бы заманчиво интерпретировать как общий объ¬
ем продукции, произведенной за счет ресурса /. Весь объем производства
у (или единица произведенной продукции) как бы складывается из час¬
тей (или разлагается на части), произведенных за счет использования
каждого ресурса в отдельности. Выражение (4.21) показывает также, что
сумма коэффициентов эластичности однородной производственной
функции первой степени равна единице. Из этого в свою очередь
следует, что если все коэффициенты эластичности неотрицательны
(6/>0), то ни один из них не может быть больше единицы (б/<
<1).
112

Изложенные экономические интерпретации выражений (4.20)
и (4.21) имеют сугубо условный характер, не вытекающий из техноло¬
гической природы производственных функций. Нельзя забывать, что на
самом деле продукция может создаваться только путем взаимодействия
ресурсов. И если какой-либо ресурс s абсолютно необходим для произ¬
водства (из х$ = 0 следует у = 0), то никакие затраты других ресурсов
не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение
показателей предельной эффективности заключается не в том, что они
определяют роль (вклад) каждого ресурса, а в том, что они позволяют
изучать влияние изменения затрат различных ресурсов на изменение
объемов производства.
Однако в западной экономической науке интерпретациям формул (4.20) и
(4.21) придается исключительно большое значение. Эти формулы используются
в теории ’’трех факторов производства” и теории ’’вменения” для объяснения
процесса создания стоимости (вменение капиталу, труду, земле соответствующих
частей стоимости) и теоретического обоснования принципа распределения создава¬
емой стоимости на заработную плату, прибыль, ренту (в соответствии с предельны¬
ми продуктами труда, капитала, земли, как основными факторами производства).
Необходимо строго отделять анализ производственных функций как инстру¬
мента изучения технико-экономических условий производства от попыток исполь-/
зования производственных функций в теориях образования стоимости и распреде¬
ления доходов.
Степенная (мультипликативная) производственная функция. Широ¬
кое распространение в экономических исследованиях имеет функция вида
у=>а П tfi.	(4,22)
(ЩМ
Она обладает рядом достоинств: включает небольшое число имею¬
щих явный экономический смысл параметров, имеет производные выс¬
ших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивает
эмпирические данные, весьма удобна для оценки параметров (в частнос¬
ти, благодаря тому, что является линейной относительно логарифмов:
log у = log a *f- 2 pi log х{). Эта функция включает только безусловно не¬
обходимые ресурсы: если какой-либо xs - 0, то у = 0. Параметр а ин¬
терпретируется как показатель общей эффективности ресурсов (он при¬
водит также в соответствие размерности затрачиваемых ресурсов и произ¬
водимой продукции).
В соответствии с (4.14), (4.15), (4.16) предельная норма эквивален-
—aiXk
тнои замены ресурсов Ум —	»	коэффициент эластичности выпуска
по /-му ресурсу 6/ = аи коэффициент эластичности замены ресурсов okl —
= 1. Из уравнения нормы эквивалентной замены следует, что изоклиналь
степенной производственной функции — луч, исходящий из нача¬
ла координат:
ИЗ

^lxk __ q	%k 	g &k
при 7^ ~ ~ ckl~ const имеем	akxi	kl или xi k at
В макроэкономических исследованиях чаще всего применяется фу-,
нкция (4.23), характеризующая зависимость производства национально¬
го дохода (конечного общественного продукта) от объемов использо¬
вания двух основных производственных факторов — рабочей силы (L)
и производственных фондов (К):
y = aLaiKa«.	(4-23)
Функцию (4.23) впервые построили и применили в экономическом
анализе американские исследователи [СКобб и П.Дугласi Впоследствии
она стала называться функцией Кобб а — Д у глас а.
Характеристики использования ресурсов, выводимые из функции
Кобба—Дугласа, имеют сравнительно простую аналитическую форму.
Средние эффективности ресурсов:	^ = aLaL ~ 1 К0,дд* =
= aLaL Как ~	предельные эффективности ресурсов:	уг =
= aaLLat ~ 'К**, Ж = a*KLaL К?* ~ 1.
Коэффициенты эластичности характеризуют влияние увеличения
затрат (использования) труда и производственных фондов на рост
производства. Принято называть производственный процесс трудо¬
интенсивным, если aL > ак, и фондоинтенсивным, если
aK^>aL'
Частным случаем (4.23) является функция первой степени, для
которой aL + ак = 1. Ее можно записать в виде
y^aL^K1-**	(4-24)
Заметим, что данные в соотношениях между выпуском и затратами труда и
средств производства, приведенные и табл. 4.1, удовлетвоояют формуле, очень
близкой (4.23) и (4.24): у = 4,595 /.0,330 . ^ _ 40)0,660 _ о,075. При этом
слагаемое 0,075 объясняется ошибками округления.
В СССР наиболее известные работы по построению и анализу функ¬
ции Кобба—Дугласа выполнены Б.Н.Михалевским, А.И.Анчишкиным,
ДА. Черниковым.
Приведем расчеты функции Кобба-Дугласа по данным о динамике националь¬
ного дохода, численности занятых в материальном производстве и основных произ¬
водственных фондов, опубликованным в статистических ежегодниках ”Народ¬
ное хозяйство СССР” за 1970-1980 гг. Следует оговорить, что специальной работы
по очистке динамических рядов и спецификации производственных факторов не
проводилось. Поэтому результаты имеют главным образом иллюстративное
значение.	а	\	-	а
Для функции вида у =а0 L К получены следующие значения параметров
(национальный доход 1970 г. принят за 1): а0 = 1,01, (X = 0,41 8. Статистические
характеристики: коэффициент детерминации R = 0,9933, остаточная дисперсия
Оост = 0,0003, значение критерия Дарбина-Уотсона равно 1,18 (подробнее см.
ДМНХ, с. 83-85).
114

Функцию Кобба — Дугласа удобно использовать для анализа зависи¬
мости производительности труда iyjL) от его фондовооруженности
(K/L). При условии oll + aj( = 1 из (4.24) следует
-»=а(£ )1-<\	(4-25)
Поскольку по смыслу а/, > 0, то производительность труда растет
медленнее фондовооруженности. Однако этот вьюод, строго говоря,
справедлив только для экономической статики, т.е. в рамках существую¬
щих технических условий и качественных характеристик ресурсов.
\ Функииц г ппгтпяннпц эластичностью замены ресурсов. Рассмат¬
риваемая производственная функция (функция ПЭЗ) имеет общий вид
п
У — а0( 2	р.	/426)
\ i € М	'
Она является однородной функцией степени п и получается реше¬
нием дифференциального уравнения при о = const, где о определяется
формулой (4.16). В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов
^ „ 1 1-0
okl равны между собой: okl = о, при этом а = у + у или р =—~— .
Если р > 0, то 0 < а < 1; если же -1 < р < 0, то а > 1. Функция ПЭЗ
в общем случае имеет неединичную эластичность замены. При о = 1 (или
р-> 0) функция ПЭЗ преобразуется в степенную производственную
функцию (4.22). Это означает, что рассматривавшиеся выше степенные
производственные функции (в том числе макроэкономическая функция
Кобба—Дугласа) являются предельным случаем функции ПЭЗ.
При р —1 (а-*+°°) эластичность замещения стремится к бесконеч¬
ной и форма изоквант приближается к линейной. При р +°° (а 0)
эластичность замещения стремится к нулевой и форма изоквант приб¬
лижается к прямоугольной.
В макроэкономическом анализе чаще всего применяется двухфак¬
торная функция ПЭЗ (ее называют также функцией Соло у):
п
у — aa(aLL~p-\-акК~р)р	(4.27)
Для функции национального дохода СССР (4.27) при п = 1 и ак = 1 - ai путем
обработки динамических рядов за 1970-1980 гг. по справочникам ’’Народное хо¬
зяйство СССР” (по той же методике, что и для функции Кобба-Дугласа) полу¬
чены следующие параметры и статистические характеристики: я0 =0,99, ai =
= 0,257, р = 1,994, ЯГ = 0,9966, оьст = 0,0002, DW = 2,16.
Подробнее о функциях ПЭЗ см. С.А.Ашманов, С. 220-225; А.В.Ло-
тов, С. 86-92. Однородные производственные функции с переменной эла¬
стичностью замены рассматриваются в: М.К.Плакунов, Р.Л.Раяцкас,
С. 154- 162.
115

4.4.	Производственные функции с взаимодополняемыми
ресурсами и функции производственных затрат
Наблюдаемые изменения в структуре используемых ресурсов часто
объясняются не столько замещением ресурсов в рамках одной и той же
технологии производства, сколько изменением самих технологий или со¬
четанием различных жестких технологий. В предельном случае (при ну¬
левой эластичности замены ресурсов) мы получаем производственную
функцию с взаимодополняемыми ресурсами.
Основные понятия. Производственная функция с взаимодополня¬
емыми ресурсами может быть выражена следующим образом:
У = min fs (xs),
seM
(4.28)
где fs (xs) - объем производства, который может быть получен при ис¬
пользовании s-ro ресурса в количестве xs при условии, что другие ресур¬
сы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производ¬
ства^ определяется узким местом, т.е.' количествомТакого ресурса, ко¬
торый обеспёчивает наи!^	бъем производства.
Изокванты функции (4.28) в пространстве двух ресурсов представ¬
ляют собой прямые углы (рис. 4.5). Их расположение определяется тем,
при каких минимальных затратах ресурсов достигаются определенные
объемы производства. Кривые ОА]А2А3 характеризуют минимальные
затраты ресурсов, обеспечивающие различные объемы производства. Все
точки изокванг, не лежащие на этих кривых, являются неэффективными
комбинациями затрачиваемых ресурсов при любых разумных критери-
Рис. 4.5. Изокванты взаимодополняемых ресурсов:
а — постоянные соотношения затрат; б — изменяющиеся соотношения
затрат
116

От функций (4.29) можем перейти к семейству обратных функций,
характеризующих зависимости-затрат от объемов производства, т.е. к
функциям производственных затрат:	f
- ^ ‘
xs = Vs(y)’ (S€M). CJ ‘	(4-29)
ifis(y) - это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить
дня выпуска продукта в количестве у.
Для анализа функций производственных затрат (4.29) введем но¬
вые понятия: qs — средние затраты s-ro ресурса; hs — п р е д е-
льные затраты s-ro ресурса. Средние затраты рассчитываются по
формуле qs = х$/у. Предельные затраты hs характеризуют прирост затрат
ресурса s при увеличении выпуска продукции на ’’малую единицу”:
hs = dxs/dy. В дальнейшем изложении индекс ресурса опускается; это
позволяет интерпретировать получаемые результаты как относящиеся
не только к определенному ресурсу, но и к совокупным производствен¬
ным затратам (например, в ценностном выражении)1.
При у = 1 общие затраты всегда равны средним: х(1) =g(l). Общие
затраты являются суммой всех предельных затрат: х(у) = £h(g)dy.
Соотношения между средними и предельными затратами зависят от
свойств функции х = у (у).
Функцию х можно представить в виде х = gy. Тогда h = —=
dfz	ds	^
= S + У dy~ • При этом знак производной -	- характеризует изменение
средних затрат. Если ^	> 0, то средние затраты возрастают; если
^	< 0, то они снижаются; если ■ ^ = 0, то средние затраты остают¬
ся постоянными. Отсюда вытекают следующие соотношения:
а) средние затраты возрастают, когда предельные затраты выше сре¬
дних: ^	^ >0; б) средние затраты снижаются, когда предельные
затраты ниже средних: ~~г~~ —	<	0;	в) средние затраты остаются
У У	dg	h—g	*
постоянными, если они равны предельным затратам: ~ ^ ~ — ~"у	=	0-
Анализ типовых функций производственных затрат. Наиболее прос¬
той функцией затрат является линейная однородная, харак¬
теризующая производственные процессы с постоянной эффективностью
затрат:
х = ау; а> 0.	-	(4.30)
Средние и предельные затраты функции (4.30) постоянны и равны
между собой: g = h= a (рис. 4.6).
В явном виде ценностные соотношения затрат и выпуска продукции (в том
числе общие, средние, предельные издержки, валовой доход, прибыль) анализиру¬
ются в ММСЭ, с. 190-196.
117

Рис. 4.6. Линейная однородная фун¬
кция (постоянная эффективность
затрат)
Рис. 4.7. Линейная неоднородная
функция затрат
Линейная неоднородная функция включает две части затрат — про¬
порционально зависящие от объема производства и не зависящие от
объема производства:
х = ау + Ь,	(4.31)
где а > 0 и b > О1.
Средние затраты g = а + Ь/у являются убывающей нелинейной функ¬
цией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным пре¬
дельным затратам h =а (рис. 4.7). Поскольку при нулевом выпуске
бессмысленно осуществлять какие-либо затраты, этот момент следует
предусмотреть особо:
ау + b при у > О,
* — ^	0	при	у	=	0.
Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат отражает
положительный экономический эффект концентрации производства:
и = Ч>Ау), где ^г<0.
(4.32)
Средние и предельные затраты — убывающие функции, причем пре¬
дельные затраты всегда ниже средних (рис. 4.8).
1 Соотношение Ъ <0 имеет смысл, когда (4.31) является линейной аппрокси¬
мацией более сложной нелинейной функции.
118

Рис. 4.8. Нелинейная функция воз¬
растающей эффективности
Рис. 4.9. Нелинейная функция падающей
эффективности
Одним из простейших примеров функции (4.32) является х =
= ауа при а> 1.
Нелинейная функция падающей эффективности затрат характерна
для отраслей, деятельность которых тесно связана с использованием
природных ресурсов:
/ \ ^2ф2
*=Фг (У)’ гДе
0.
(4.33)
Для увеличения добычи минерального сырья, например, часто прихо¬
дится переходить к эксплуатации месторождений, шахт, рудников с
более сложными горно-геологическими условиями или с более бедным
содержанием полезных компонентов. Поэтому средние и предельные
затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних
(рис. 4.9). Примером может служить функция х — ауа при 0 < а < 1.
Функции немонотонной эффективности затрат отражают часто встре¬
чающиеся в хозяйственной практике такие зависимости между затратами
и выпуском продукции, которые объединяют признаки рассмотренных
выше функций. Довольно типична такая ситуация: при увеличении
производства эффективность затрат вначале возрастает (положительный
эффект концентрации производства), но по достижении некоторого уро¬
вня производства эффективность начинает снижаться (из-за сложности
управления, ухудшения условий производства, роста транспортных
затрат и т.д.).
119

Рис. 4.10. Нелинейная функция немонотон¬
ной эффективности затрат
Функция, изображенная на рис. 4.10, имеет два качественно различ¬
ных участка. На отрезке [0, уд\ она ведет себя так же, как (4.32), а при
дальнейшем увеличении у она сходна с (4.33). Ах — точка перегиба.
Средние и предельные затраты сначала уменьшаются (средние выше пре¬
дельных), а затем увеличиваются (сначала предельные, затем средние).
Минимум предельных затрат А 2 и точка перегиба A i функции х соответ¬
ствуют одному и тому же объему производства^. Пересечение кривых
g и h соответствует минимуму средних затрат (точка В).
Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми
ресурсами и функциями производственных затрат. Производственные
функции с взаимозаменяемыми ресурсами и функции производственных
затрат отражают противоположные принципы сочетания ресурсов в про¬
изводственных процессах (взаимозаменяемость и взаимодополняе¬
мость) ; они порождают существенно разные системы экономических по¬
казателей. Поэтому может создаться впечатление, что между этими мо¬
делями производственных процессов нет никакой связи. Однако это
не так.
Из анализа производственных функций с взаимозаменяемыми ре¬
сурсами в 4.3 было выведено понятие изоклинали — кривой в простран¬
стве ресурсов с одинаковыми нормами эквивалентной замены. Поэтому
взаимозаменяемость ресурсов в производстве можно представить как
переход от одной изоклинали к другой. Рассмотрим эту возможность
на примере макроэкономической производственной функции Кобба-
Дугласа.
120

Изоклиналь ф данной производственной функции определяется
уравнением	9	Где	уф	—	значение	нормы	эквивалентной
замены двух ресурсов. Поскольку^- = aaLLaL~ 1/С°6а"и -^- = oa^La то
получаем	dL	дК	к	’
получаем
alK
aKL
Таким образом, геометрически изоклиналь функции Кобба—Дуг¬
ласа — это луч, исходящий из начала координат. В каждой точке этого лу¬
ча соотношение используемых ресурсов одинаково. Разным соотноше¬
ниям используемых ресурсов при меняющихся объемах производства
соответствуют разные лучи. На рис. 4.11 изображены изоклинали ОА \А 2,
ОВхВ2 и т.д., пересекающие изокванты и q2.
Рис* 4.11. Изоклинали и производст¬
венные способы
Обозначим уф, Ьф, Кф объемы производства и затрат, соответ¬
ствующие изоклинали ф. Тогда вместо (4.34) можем записать:
L	Л	«УТ+Ц,	(4	35)
*	а/.
Подставим выражения (4.35) в основное уравнение производствен¬
ной функции (4.23). Если узким местом является труд, то
JK = a	L^k.
121

Если же объем производства лимитируется только основными фондами,
то
При сбалансированности ресурсов оба эти равенства должны выполнять¬
ся одновременно.
Пусть
i 1
и / ai V*,
L a/ Vх*
Ч^г) \aW
Будем исходить из того, что + ак = 11. Тогда получаем произ-
водственную функцию с взаимодополняемыми ресурсами, соответст¬
вующую ф-му соотношению ресурсов:
у^ = min(4-36^
\ aL* ам> /
От (4 .36) можем теперь перейти к функциям производственных
затрат:
=	(4.37)
\К^ = ак^у^.
Если некоторые количества продукции у^ производятся при раз¬
ных соотношениях^затрат 7^, то общий объем производства составит,
очевидно, у =	y^.	Меняя	7^, получим различные соотношения
затрачиваемых ресурсов. Общие затраты ресурсов при различных 7^ рав¬
ны суммам:
N
N
К== А йК*У*-
1 т
1 Общий случай, когда (X^	^1» анализируется в ММСЭ, с. 197-198.
122

При этом чем больше число N, тем точнее получается результат. Пояс¬
ним это с помощью рис. 4.11. Точки Bl9 С\, Dx характеризуют коли¬
чества ресурсов, необходимые для получения одного и того же объема
производства. Соединив эти точки прямыми, получаем ломаную
А\В\ C\D\. Эта ломаная аппроксимирует соответствующую изокванту
функции Кобба—Дугласа. Чем больше проведено изоклиналей (базовых
соотношений затрачиваемых ресурсов), тем лучше ломаная аппроксими¬
рует изокванту. При N—* 00 ломаная сливается с изоквантой.
Результаты анализа макроэкономической (двухресурсной) произ¬
водственной функции справедливы и для однородных производственных
функций первой степени со многими ресурсами:
где — затраты ресурса s на производство единицы продукции при ф-й
комбинации ресурсов.
Таким образом, взаимозаменяемость ресурсов в процессе произ¬
водства можно учитывать посредством сочетания фиксированных ком¬
бинаций взаимодополняемых ресурсов. Необходимым условием пере¬
хода от производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами к
функциям с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производст¬
венных затрат является линейность уравнений изоклиналей.
4.5.	Анализ производственных способов
Производственные способы и их сочетания. Понятие ’’производственный
способ” является, с одной стороны, конкретизацией понятия ’’вид дея¬
тельности”, введенного в гл. 3 при анализе общей модели народного хо¬
зяйства; с другой — это обобщение линейных однородных функций
затрат.
Интенсивность применения способа ф будем обозначать как jcj,;
эта интенсивность может измеряться объемом какого-либо выпускаемо¬
го продукта, какого-либо затрачиваемого ресурса и т.п. Каждому спосо¬
бу ф соответствует вектор А ф = (а$ф), компонентами которого являют¬
ся коэффициенты выпуска продукции (со знаком ’’плюс”) и затраты
различных видов продукции и ресурсов (со знаком ’’минус”). Очевид¬
но, невозможно произвести какой-либо продукт, не затратив других
ресурсов или продуктов. С другой стороны, способы, в которых продук¬
ция вообще не выпускается, не могут найти применения. Поэтому в каж¬
дом векторе — используемом в народном хозяйстве производственном
способе — обязательно содержатся как положительные, так и отрицатель¬
ные компоненты.Выбор единицы изменения интенсивности влияет на абсо¬
лютные значения коэффициентов asно не влияет на их соотношения.
123

Совокупность производственных способов образует матрицу А =
= (as\p); s G Му ф С N. Как правило, в производстве могут одновременно
применяться несколько способов (свойство аддитивности). При этом
обычно предполагается, что характеристики одного способа не зависят
от применения других способов (свойство автономности). Из этих двух
свойств следует, что линейные комбинации базовых способов образу¬
ют н^овые способы. Например, если А2у...у Afc — базовые способы,
то 2 Аф Хф; Хф > 0; 2 Хф = 1 дает новый способ. Однако способы,
ф= 1
являющиеся линейными комбинациями базовых способов, не имеет
смысла непосредственно включать в условия оптимизационной модели,
так как они формируются автоматически в процессе решения.
Общие результаты функционирования всех способов по каэдому
ингредиенту s выражаются суммой 2 а5ф хф. Разобьем множество
\pGN
всех ингредиентов на два подмножества: продукты и воспроизводимые
ресурсы Si Е Mi и невоспроизводимые ресурсы s2 £М2. Тогда
2	аз{ф хф означает выпуск конечной продукции вида sx (т.е. раз-
ность произведенной и использованной продукции в сфере производст¬
ва), а 2 а$2ф хф — общие затраты невоспроизводимого ресурса s2
l// G7V
(при этом поменяем знаки коэффициентов так, чтобы а$2 ф>0).
Обозначив ySl объем конечной продукции вида sl5 rjs2 - наличные
ресурсы вида s2i получаем основные ограничения линейной модели
производства:
( 2 as,^ = ysr s,
ГГ	^	л„	<4‘39>
2	Ом>Хф s*€Mr
V Я1)€Л/
Система уравнений и неравенств (4.39) является конкретизацией
соответствующих условий общей модели оптимального планирования.
Они включаются во всякую линейную статическую модель народного
хозяйства.
Анализ однопродуктовых способов. Рассмотрим особенности про¬
изводственных способов, в каждом из которых изготавливается только
один продукт. Интенсивности применения таких способов естественно
измерять объемом выпуска продукта. Вектор Аф в этом случае вклю¬
чает только одну положительную компоненту (единицу выпускаемого
продукта); все остальные компоненты — отрицательные и нулевые.
Поскольку способы производства аккумулируют самые разнооб¬
разные признаки дифференциации производственных условий (по тех¬
нологии, организации, взаимозаменяемости ресурсов и т.п.), то число
способов (даже для одного продукта) может быть очень велико. Поэ¬
тому актуальна задача отбора только эффективных способов.
124

нологии, организации, взаимозаменяемости ресурсов и т.п.), то число
способов (даже для одного продукта) может быть очень велико. Поэ¬
тому актуальна задача отбора только эффективных способов.
Введем понятие абсолютно неэффективного спо¬
соба. Пусть в сравниваемых способах производится продукт s0. Коэф¬
фициенты затрат а$ф будем рассматривать по абсолютной величине
(со знаком ’’плюс”). Способ у производства продукта s0 абсолютно не¬
эффективен, если существует какой-либо другой способ или выпуклая
комбинация других способов, при которых равный выпуск продукта
осуществляется при меньшем потреблении хотя бы одного ресурса и не
большем потреблении других ресурсов.
Задача выявления абсолютно неэффективных способов в общем слу¬
чае сводится к доказательству совместности системы из т неравенств и
уравнений. Однако существуют и более простые правила. В частности,
абсолютно неэффективным является всякий способ <р, в котором все
коэффициенты затрат не меньше, чем соответствующие коэффициенты
какого-либо другого способа со, и хотя бы один коэффициент больше,
т.е. а > asco, s £ Му s ф s0 (одно из неравенств выполняется как стро¬
гое).
Сравнительно легко проверять способ на абсолютную неэффектив¬
ность путем сопоставления его с выпуклой комбинацией двух других
базовых способов. Так, способ </? является абсолютно неэффективным
в том случае, если найдутся хотя бы два других способа coi и со2, комби¬
нация которых дает более эффективный способ:
flsqp > flscoAl	S	-ф S0t	^2>0Т	X1-(-X2=l
(одно из неравенств выполняется как строгое). Обратимся к рис. 4.11.
В пространстве затрат двух ресурсов изображены способы производства
А, Ву С, D, Е и две выпуклые изокванты, соответствующие равным объ¬
емам производства. Как видим, изокванты не проходят через точки
Ei и Е2. Это означает, что комбинации способов С и D позволяют произ¬
вести то же количество продукции с меньшими затратами обоих ресур¬
сов. Следовательно, способ Е абсолютно неэффективен1.
Оптимальное сочетание производственных способов. Пусть один про¬
дукт производится несколькими способами. Каждый вид затрачива¬
емых ресурсов ограничен. Требуется максимизировать общий выпуск
продукта.
Имеем задачу линейного программирования:
N
	 ^>0; (4-40^
1	Подробнее о выявлении неэффективных производственных способов см.
ММСЭ, с. 201-202.
125

2 X* шах.
yp€N
Попытаемся выявить свойства решений этой задачи, опираясь на тео¬
рию линейного программирования и теоретические положения о соизме¬
рении затрат и'результатов в оптимальном планировании (см. гл. 3).
Очевидно, что решение задачи (4.40) всегда существует (благодаря
тому, что а3ф > 0, Ъ$ > 0). При этом оптимальный план может быть
единственным или же число оптимальных планов бесконечно. В случае
единственности оптимального плана число используемых произ¬
водственных способов (имеющих > 0) не может превосходить числа
ресурсов (т). Поэтому чем больше ресурсов учитывается в задаче, тем
больше способов может войти в оптимальный план.
Следует уточнить, что максимальное число положительных величин
Хф > 0 не может превышать числа полностью используемых ресур¬
сов. Это уточнение важно, пс‘скольку в оптимальном плане задачи (4.40)
не все ресурсы могут использоваться полностью. Экономически это объ¬
ясняется тем, что в имеющихся способах производства взаимозаменя¬
емость ресурсов недостаточна. Поэтому чем разнообразнее способы по
соотношениям коэффициентов а$ф, тем больше число полностью исполь¬
зуемых ресурсов. Таким образом, существует определенная зависимость
между числом входящих в оптимальный план способов, числом учитыва¬
емых в задаче ресурсов, числом и дифференциацией способов.
Пусть X* — оптимальный план, включающий определенный набор
производственных способов. При увеличении всех ресурсов в
X раз набор производственных способов не изменится, а интенсивность
применения каждого способа и всего объема производства
х* = S х! увеличится в X раз. Таким образом, модель (4.40) можно
Ф
интерпретировать как особую форму однородной про¬
изводственной функции первой степени. Эта форма
записи производственной функции наглядно демонстрирует ее экстре¬
мальную природу.
Запишем задачу, двойственную к (4.40) :
2 as^(os > 1, f € N,
s € M
a>s>0, s€M,	(4.41)
2	bjas —* min.
seM
Решение задачи (4.41) всегда существует: W* = (w*). Как было по¬
казано в гл. 3, w*- оптимальная оценка s-го ресурса, характеризующая
предельную эффективность 5-го ресурса. Из теории линейного програм¬
мирования следует, что по мере увеличения bs величина w* снижается
(кусочно-постоянным образом), т.е. предельная эффективность ресурса
126

уменьшается. Таким образом, решение задачи (4.40) при меняющемся
параметре bSo (и фиксированных значениях всех других bs) дает непре¬
рывную кусочно-линейную функцию выпуска продукта
от величины затрачиваемого ресурса s0.
Нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в оптимальном
плане равны обратным соотношениям оптимальных оценок этих ресур-
hbk	wi
сов: —ЛДГ =	' ^ля ИСП0ЛЬЗУемых в оптимальном плане спосо¬
бов выполняется равенство 2 а8ф w*= 1. Если же способ не входит
в оптимальный план, то 2 а5ф wf> 1. Разность Ал, = 2 ds\b nf — 1
s^M	s&M
показывает, насколько уменьшится объем выпуска, если в оптимальный
план принудительно ввести единицу продукта, производимого ф спосо¬
бом.
Литература
1.	Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. Ч. III.
2.	Клейнер Г.Б. Производственные функции. М.: Финансы и статистика, 1986.
3.	Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985.
4.	Павлов В.Н. Технологический прогресс и полезность средств производства.
Новосибирск: Наука, 1987.
5.	Плакунов М.К., Раяцкас Р.Л. Производственные функции в экономическом
анализе. Вильнюс: Минтис, 1984.

ГЛАВА 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ
В разделе I был сформулирован ряд важнейших проблем моделирования
народного благосостояния в общей концепции планирования и управле¬
ния народным хозяйством: обоснование и построение критериев, обес¬
печивающих выбор наилучших вариантов удовлетворения потребностей
общества, соизмерение общественной полезности потребительских благ
и общественных затрат на производство продукции, создание экономи¬
ческого механизма распределения потребительских благ. В вданной
главе эти проблемы рассматриваются более подробно, но в основном
с точки зрения целей, задач и возможностей моделирования на народно¬
хозяйственном уровне.
Более полное и дифференцированное исследование сферы потребле¬
ния осуществляется посредством особых функциональных подсистем
моделей (см. [3], [5]). Эти подсистемы включаются в многоаспект¬
ные и многофункциональные системы моделей народного хозяйства,
логика построения которых рассматривается в разделе III.
5.1.	Целевая функция потребления.
Соизмеримость и взаимозаменяемость потребительских благ
Целевая функция потребления (ЦФП) и — u(Y) — одна из наиболее
общих математических моделей целеустремлений в сфере потребления.
Она определяется на более узком множестве благ по сравнению с целе¬
вой функцией общественного благосостояния. Вектор переменных
Y	> 0 включает разнообразные виды продукции и услуг, используемых
в сфере потребления, но в этот перечень не входит ряд социальных,
экологических и других условий жизни общества. Такое ограничение
области определения целевой функции позволяет, однако, более тща¬
тельно исследовать проблемы роста материального благосостояния. ^
Общие свойства ЦФП. Являясь частным случаем ЦФБ, функция
u(Y) сохраняет ее общие свойства как инструмента упорядочения различ¬
ных наборов (вариантов) потребительских благ с точки зрения удов¬
летворения потребностей общества (см. 2.2). Ряд свойств ЦФП удобно
изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений и (Y) — с,
128

где с — меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень)
ЦФП.
/ В пространстве п потребительских благ уравнению u(Y) = с соответ¬
ствует определенная поверхность равноценных (или безразличных)
наборов благ. В теории потребления такие поверхности получили назва-
, ние поверхностей безразличия-1. На множестве допустимых
значений Y можно построить семейство (карту) поверхностей безраз¬
личия. При этом важно отметить, что, хотя ЦФП определяется неодно¬
значно, семейство поверхностей безразличия единственно, т.е. не зави¬
сит от выбора монотонно возрастающего преобразования.
Рассмотрим пространство двух благ (см. рис. 5.1). Такая геометри¬
ческая интерпретация возможна, если разнообразные блага агрегировать
в две группы (например, продукты питания и непродовольственные то¬
вары, включая услуги) либо рассматривать различные комбинации двух
благ (потребительских комплексов) при фиксированных значениях
всех других благ. Уровни ЦФП изображаются на плоскости в виде кри¬
вых безразличия. На рис. 5.1 приведены три кривые безразли¬
чия, соответствующие значениям ЦФП сь с ъ с3.
Уг
Рис. 5.1. Кривые безразличия в пот¬
реблении
Разумно для начала допустить, что функция u(Y) является строго
возрастающей по всем своим аргументам, т.е. увеличение потреб¬
ления любого блага при сохранении уровней потребления всех
других благ увеличивает значение ЦФП. Если Ya > Yb, то u(Ya) >
>	u(Yjb)- Поэтому более удаленная от начала координат по¬
верхность безразличия соответствует большему значению ЦФП,
а сам процесс максимизации ЦФП на некотором ограничен-
Впервые понятие поверхностей безразличия использовал английский эконо¬
мист-математик Ф.Эджворт в 80-х годах XIX в.
5 Зак. 2414
129

ном множестве можно интерпретировать как нахождение допустимых
точек, принадлежащих кривой (поверхности) безразличия, максималь¬
но удаленной от начала координат.
Поверхности безразличия не могут пересекаться. В противном слу¬
чае получалось бы, что один и тот же набор благ одновременно соответ¬
ствует нескольким разным уровням материального благосостояния.
Поверхности безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси
координат. Поскольку u(Y) — функция, возрастающая по всем аргумен¬
там, то наборы Ya и Yb не могут быть равноценны, если Yu4 > Yb (и тем
более если Ya > У/?). При движении по поверхности безразличия в лю¬
бом направлении какие-то значения у\ будут возрастать, но какие-то
другие должны обязательно уменьшаться1.
Возьмем произвольную точку А (см. рис. 5.1) и проведем через нее прямоу¬
гольную систему координат. Следствием принятого предположения является то,
что в построенной системе координат в квадранте 1 располагаются комбинации, бе¬
зусловно, более предпочтительные, чем Л; в квадранте 3 - варианты, безусловно,
худшие по сравнению с А; в квадрантах 2 и 4 находятся комбинации благ с раз¬
личными отношениями предпочтения к набору А, в том числе и равноценные
(кривая безразличия, содержащая набор А, обязательно проходит через квадранты
2	и 4). Очевидно, кривые (поверхности) безразличия должны удовлетворять ус¬
ловию: если Yb >- Ya и Yd >- Yb, то на отрезке AD всегда найдется точка (£>),
лежащая на одной кривой безразличия с точкой В. Более подробный анализ воз¬
можных (типичных) и невозможных форм кривых безразличия см. в ММСЭ,
с. 208-209.
Для более адекватного отражения закономерностей изменения пот¬
ребления и облегчения практического построения ЦФП могут вводиться
дополнительные условия, ограничивающие область определения ЦФП
реально допустимыми и достижимыми структурами потребления.
Следует учитывать, в частности, что потребление ряда благ безусловно
необходимо или не может существенно снижаться по сравнению с ранее
достигнутым уровнем. Верхние же границы потребления отражают
полное удовлетворение (насыщение) соответствующих потребностей,
превышение которых не увеличивает благосостояния. При построении
ЦФП для ее включения в сводную модель народного хозяйства необхо¬
димо также проводить агрегирование конкретных потребительских
благ в укрупненные группы, например в ’’потребительские комплексы”,
удовлетворяющие определенные потребности.
Обозначим минимальные и максимальные значения объемов потреб¬
ления соответственно yf^n и ^аХ. При этом $111 > 0, yf^X < + °°. Тог¬
да множество допустимых наборов потребительских благ, на котором
определяется ЦФП, есть
Y	= {Yl KmIn У <С углахj
1 Легко видеть аналогию между свойствами поверхностей безразличия и изо¬
квант производственных функций.
130

Введение верхних границ сближает задачи максимизации ЦФП и
минимизации срока достижения заданных целей. ’’Идеальное” состояние
У v , на достижение которого направляется развитие народного хозяй-
. ства, может быть выбрано в качестве вектора yrmax.
Соизмеримость и взаимозаменяемость потребительских благ. Общие
принципы соизмерения различных потребительских благ по их общест¬
венной полезности рассматривались в гл. 2, 3. Возможность такого рода
соизмерений вытекает из сопоставимости различных вариантов (набо¬
ров) потребительских благ с точки зрения удовлетворения потребнос¬
тей общества. Именно общественное благосостояние является при со¬
циализме той общественной мерой ’’для количественной стороны полез¬
ных вещей”, о которой писал К.Маркс1.
Разнообразные по своему назначению потребительские блага непо¬
средственно количественно несравнимы между собой в силу качествен¬
ных различий и количественной несопоставимости их естественных
свойств (непосредственные сравнения по естественным свойствам
возможны только в рамках узких групп потребительских благ, напри¬
мер сравнение продуктов питания по их калорийности). Однако самые
разнообразные потребительские блага сопоставимы в том смысле, что
их потребление увеличивает общественное благосостояние2.
Показатели прироста общественной полезности благ выводятся из
ЦФП как частные производные щ =	—> 0. Они характеризуют при¬
рост общего уровня потребления в результате увеличения потребления
блага i на ’’малую единицу”, т.е. предельный полезный эффект (или пре¬
дельную полезность) /-го блага. Таким образом, количественные оценки
полезности отдельных благ являются результатом^ построения ЦФП. В
конечном счете соизмеримость отдельных благ по общественной полез¬
ности есть следствие сопоставимости различных наборов потребитель¬
ских благ их по предпочтительности с точки зрения удовлетворения
общественных потребностей.
Неоднозначность определения ЦФП имеет своим следствием неоднозначность
частных производных. Однако соотношения между частными производными
остаются неизменными для любой ЦФП, определенной с точностью до монотонно
возрастающего преобразования. Если и (У) = ф [и(У)], то по правилу дифферен¬
цирования сложных функций
диУ , ди (Y)
ду,[ — ф ду.
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. С. 44.
Принцип соизмерения полезных эффектов потребительских благ в определен¬
ном смысле аналогичен соизмерению продуктов по трудовым затратам. Различные
продукты едины между собой в том, что на их производство затрачивается труд. Но
это лишь одна сторона единства различных продуктов. Вторая сторона единства про¬
дуктов состоит в том, что в результате их использования в сфере потребления
возрастает общественное благосостояние.
5*	131

ы- = ф'ы,\
Видно, что </? '(и) > 0 является общим множителем для всех частных производных,
Изменение значения ЦФП при малом изменении ее аргументов при
п
ближенно выражается полным дифференциалом du(Y) = X u^dy^
Если же уровень благосостояния не изменяется, то 2 и^У\ = О
Из последней формулы выводятся соотношения эквивалент¬
ной взаимозаменяемости благ. Допустим, что количества
всех благ, кроме благ к и /, не изменяются. Тогда u^dy^ + Ujdy. = О,
откуда
= f1Jl	(К \\
dyk и,ш
Таким образом, коэффициент (норма) эквивалентной заменяемости
благ обратно пропорционален соотношению предельных полезностей
этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку все и^ > 0, то обя¬
зательным свойством является	< 0 (причем хотя бы для некото-
dyk
рых к и / эти отношения строго отрицательны).
Изучение закономерностей поведения потребителей показывает,
что если потребность в определенном благе удовлетворяется в незначи¬
тельной степени, то коэффициенты заменяемости (вытеснения) другими
благами для сохранения определенного уровня потребления высоки. Но
при увеличении потребления этого блага коэффициенты эквивалентной
заменяемости другими благами неуклонно уменьшаются. Это явление
объясняется тем, что при возрастании использования блага удовлетво¬
ряются все менее насущные потребности, а на определенном этапе может
наступить и полное насыщение.
В изменении коэффициентов эквивалентной заменяемости прояв¬
ляется определенная очередность удовлетворения отдельных потребнос¬
тей. На низких уровнях благосостояния удовлетворяются прежде всего
самые насущные, естественные потребности (например, потребности в
пище). Даже очень большой прирост благ, обеспечивающий удовлетворе¬
ние потребностей более высокого порядка (например, музыкальное
образование), не может компенсировать отказ от благ, удовлетворяющих
эти, более насущные в данных условиях потребности. Но по мере насы¬
щения первоочередных потребностей блага, удовлетворяющие потребно¬
сти более высокого ранга, получают все более высокую общественную
оценку.
Вернемся к анализу формы поверхностей (кривых) безразличия.
На рис. 5.2 изображена кривая безразличия, которой соответствуют
непрерывно уменьшающиеся нормы эквивалентной замены. При после¬
довательном увеличении потребления первого блага на единицу потреб¬
ление второго блага сокращается, но величина этого сокращения убывает
132

(на оси ординат АВ > ВС > CD > ...)• Вследствие этого кривая без¬
различия есть график вогнутой функции одной переменной тго отноше¬
нию к другой. В дополнение к этому заметим, что по достижении предела
насыщения потребности в благе к нормы эквивалентной замены других
dy j	max
благ становятся равными нулю: ~^у^— = ® ПРи?к ~?к	^	другой	сто¬
роны, если потребность в благе к удовлетворяется на минимальном
уровне, то никакое увеличение потребления других благ не может ком¬
пенсировать уменьшение его потребления:
-^=0при/*=^1П
Отмеченные особенности изменения норм эквивалентной замены но¬
сят достаточно типичный характер. Если они распространяются на все
множество благ (хотя бы сведенных в укрупненные группы), то множе¬
ства Qc = j У: и(У) > с | будут выпуклыми для всех допустимых значе¬
ний У, а функция и(У) будет квазивогнутой. Поэтому если u(Yд) =
= u(YB) = с, то u [\ Ya + (1 - X) Yb] > с при X £ [ 0, 1 ]. Это говорит о
том, что выпуклая комбинация двух равноценных наборов имеет не
меньшую полезность, чем каждый из них в отдельности (см. рис. 5.2) 1.
О	построении ЦФП. Методы построения ЦФП основываются на обоб¬
щении опыта поведения совокупностей потребителей, тенденций поку¬
пательского спроса, закономерностей изменения структуры потребления
по мере роста благосостояния.
Первая в СССР попытка построения ЦФП была предпринята В.А.Вол¬
конским. В качестве модели ЦФП была отобрана квадратичная функция
п	,	п
«вида u(Y) =	2	b^y^.	+	2	а параметры этой функции на¬
ходились путем обработки данных бюджетной статистики2.
1 Подробнее об условиях квазивогнутости функции u(Y) см. ММСЭ, с. 214-215.
Принцип построения ЦФП на основе данных о приобретении товаров излагает¬
ся в 5.2.
133

ЦФП была построена для трех агрегированных групп товаров:
и (К) = (1 — 1,841а) у, + (1-2,054а) уг+(\-2,116а) у3 +
+0,668-10-41/? +1,230-10-4f/,i/2+1,243-10-4!/1‘/з +
-4 0,506- 10~4уг4-1.104- 10_4Уг.1/з+0,492- 10_4(Д.
Все параметры и переменные данной ЦФП относятся к средней семье; параметр
а означает число детей в семье, у\ - потребление продуктов питания, у 2 - потреб¬
ление промышленных товаров, у3 - потребление платных услуг (все - в ценност¬
ном выражении).
Методология моделирования потребления на народнохозяйственном
уровне исходит из представлений о системе (’’дереве”) потребностей.
Потребностям первого ранга соответствуют потребительские комплек¬
сы, такие, как ’’Продовольствие”, ’’Одежда и обувь”, ’’Жилище”, ’’Пред¬
меты и услуги для домашнего хозяйства” и т.д. Потребности нижестоя¬
щих рангов реализуются в группах благ определенного назначения и т.п.
вплоть до конкретных предметов потребления и услуг. Уровни развития
потребительских комплексов (или объемы потребления по группам
благ) являются переменными ЦФП, включаемой в модель народного
хозяйства, например межотраслевую.
Теоретический анализ, построение и практическое использование
ЦФП выполнены под руководством К.К.Вальтуха. В основе предложен¬
ной им ЦФП лежат две гипотезы: 1) существование минимальных и мак¬
симальных уровней различных потребностей; 2) монотонное снижение
норм эквивалентного замещения уровней удовлетворения потребностей.
Область существования рассматриваемой ЦФП — это множество У =
={y:Ym*n < У < УТnax }	.	На	рис.	5.3	изображено	семейство	кривых
безразличия, удовлетворяющих указанным выше гипотезам.
У2
Рис. 5.3. Кривые безразличия в ограни¬
ченной области
134

Вводится показатель степени удовлетворения определенной потреб-
е - yj-y?in
ности по сравнению с минимальным уровнем:	i	и?8*—ыт,Г1 ^че“
ddj ’ /
видно, что ву G [0,1]. Тогда	будет	показывать изменение сте¬
пени удовлетворения потребности в группе благ (потребностей) / отно¬
сительно изменения степени удовлетворения потребности в группе благ к.
Поскольку dOt =	—	 и dQb =	—	 то —
dy, уГх—уТ	*	уГ*~уРп '	dBj
пропорционально'	.	Следовательно,	характер	изменения
при увеличении соответствует поведению нормы эквивалентной заме-
dyj
няемости	при	увеличении yfc.
Принятым исходным гипотезам удовлетворяет, в частности, такая
формула ^ • -
dbj 0/(1 -ад
dQk- ~	(1—ву) •
(5.2)
Из (5.2) выводятся:
‘-0''лй	'-*** •
0/ d0J - 0ft d0ft’
i-ey	fi-e*
0/
Л/—
откуда
/л 0/—0у = — Iti 0^ +	-f- с09
8/6*
Выражение (5.3) есть формула семейства кривых безразличйя для
двух групп благ. Семейство кривых безразличия для всего множества
благ (потребностей) выражается формулой
п
п - 2 Ь,
П 0j# 1=1 =	(5.4)
f=i
Таким образом, получаем ЦФП, выраженную в величинах степеней
удовлетворения потребностей:
п
а[0(К)] = П 0,/=Л	(5.5)
i = 1
135

ЦФП (5.5) определена в «-мерном единичном кубе и является
строго возрастающей функцией всех своих аргументов (|^“ > 0) для
всех значений 0/, кроме 0/ = 1. При этом и = 0, если хотя бы одно
0/ = 0. Отметим также, что вариантам Y с одинаковой степенью удовлет¬
ворения потребностей во всех группах благ соответствует прямая, со¬
единяющая точки Ymm и Ymax (диагональ многогранника допустимых
значений F).
/
5.2.	Моделирование поведения потребителей	j]
в условиях товарно-денежных отношений	^
Основная часть потребительских благ распределяется между членами
общества платным образом через торговлю и общественное питание.
Поэтому для планового управления сферой потребления первостепен¬
ное значение имеет исследование закономерностей поведения потребите¬
лей на рынке. В основе построения моделей поведений потребителей ле¬
жит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установ¬
ленных, ценах, имеющихся доходах и с учетом других обстоятельств,
стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребнос¬
тей.
Анализ простой модели поведения потребителей. Пусть имеется п
видов товаров. Исследуется поведение какой-либо группы или всей со¬
вокупности потребителей1. Спрос потребителей — это вектор Y = (у.).
При известных ценах на различные товары Р = (pi) и величине дохода D
потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые
п
удовлетворяют условию 2 Piyi (бюджетному ограничению). Пред¬
полагается, что предпочтения потребителей на множестве товаров выра¬
жаются целевой функцией u(Y).
Простая модель поведения потребителей имеет вид
u(Y) -*max,
?Y<D,	(5.6)
Y> 0.
Постулированный принцип оптимального поведения потребителей, разумеется,
не следует понимать так, что потребитель перед тем, как купить какие-либо товары,
проводит скрупулезные вычисления с помощью своей целевой функции на основе
информации о полезных свойствах и ценах для всего множества товаров. Этот
принцип отражает только генеральную тенденцию многочисленных актов потреби¬
тельского выбора, а модель (5.6) - одно из возможных математических описаний
такой тенденции.
Укрупнение однородных групп потребителей и тем более их объединение в од¬
ну группу снижают практическую ценность модели. Однако анализ модели поведе¬
ния ’’совокупного” потребителя важен для понимания логики экономического ре¬
гулирования в области производства и распределения потребительских благ.
136

Для учета в модели денежных сбережений населения можно исполь¬
зовать два подхода: считать денежные сбережения особым благом, име¬
ющим полезность (его увеличение приводит к росту целевой функции)
или же определять размер сбережений вне модели, рассматривая D как
сумму расходов на приобретение товаров.
Геометрическая интерпретация модели для двух товаров представ¬
лена на рис. 5.4. Линия АВ соответствует бюджетному ограничению.
Таким образом, выбор потребителей ограничен треугольником АОВ.
Набор М (точка касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой
безразличия) является оптимальным решением.
Рис. 5.4. Выбор потребителей при задан¬
ных ценах, доходе и дополнительных
ограничениях
Выясним условия оптимальности решения для модели (5.6), опира¬
ясь на теорию нелинейного программирования.
Функция Лагранжа задачи (5.6) имеет вид
L(Y, K) = u(Y)+k(D—PY).
[Множитель Лагранжа X есть оптимальная оценка дохода. Частные
производные	—	будем, как и в 5.1, интерпретировать как
предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответству¬
ющих потребительских благ.
Необходимыми условиями оптимума Y* (условиями Куна—Такке-
ра) являются
и((У*)^Лр{ для всех / = 1, . .., п.	(5.7)
137

При этом
U;(Y*) = kp. при у\ > 0.	(5.8)
Если же u/Y*) < X* , то соответствующий товар i не приобретается
(y*i= 0).	Pi
Очевидно, X* > 0, что соответствует полному использованию дохода
(PY* = D).
Равенство (5.8) можно записать так:
и' (УJ = X* для у\ > 0	(5.9)
Р:
или же
L
и^р} = f- для у\ > 0 и у) > 0.	(5.10)
Это означает, что потребители должны выбирать товары таким об¬
разом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было оди¬
наковым для всех товаров. Или, что равносильно, предельные полезнос¬
ти выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.
Направления использования модели. Основными направлениями
использования модели являются: изучение зависимостей покупательс¬
кого спроса от цен и доходов, построение ЦФП, регулирование цен и
доходов для достижения сбалансированности спроса и товарного предло¬
жения.
Целевая функция потребления не может наблюдаться непосредствен¬
но. Но она может быть выявлена при анализе поведения потребителей,
если это поведение достаточно хорошо описывается моделью (5.6).
Методика ’’восстановления” целевой функции потребления включа¬
ет несколько этапов.
Сначала выбирается одна или несколько математических моделей
(формул) целевой функции, удовлетворяющих некоторым теоретичес¬
ким гипотезам (например, квадратичная или логарифмическая функ¬
ция).
Из анализа модели (5.6) известно, что для разнообразных товаров,
приобретаемых при различных ценах и доходах, теоретически должны
выполняться условия (5.8). Поэтому каждому сочетанию s наблюдаемых
величин покупок и цен соответствует п уравнений uf(Ys) - Xs	= ef, где
^— погрешность. Далее ставится стандартная задача математической ста¬
тистики: оценка параметров системы регрессионных уравнений. При этом
требуется, чтобы число уравнений существенно превышало число неиз¬
вестных параметров. В заключение проводится сравнение первоначаль¬
но выбранных математических моделей и в конечном счете принимается
138

та из них, которая наилучшим образом аппроксимирует статистические
наблюдения.
Пусть^в качестве модели целевой функции избрана квадратичная функция
и(У) — 2 bhy,	2	b..y-y-. Она удобна тем, что ее первые частные пронз¬
ав	“ /,/= 1 11 1 1
водные — линейные функции. Поэтому мы получаем для каждого наблюдения
систему уравнений линейной регрессии: b. + S b..ys. — Xs ps. Требуется опре-
п (п + I)	1	/=1	11 1	1	„
делить п +	^	параметров	и by (матрица коэффициентов В — (Ьц) - сим¬
метрична). Каждое статистическое наблюдение прибавляет п уравнений и одну
неизвестную Xs. Поэтому необходимо провести столько наблюдений N, чтобы число
nN стало существенно больше, чем п + п(п^ ^	+ yv. Например, если п =50, то
N должно быть существенно больше 25. Это показывает, что задача построения
целевой функции предъявляет большие требования к регулярности статистических
наблюдений о приобретении товаров.
Прямое использование модели (5.6) определяет вектор покупатель¬
ского спроса Y при фиксированных ценах и доходах. При этом предпола¬
гается, что сфера производства должна обеспечить выпуск потребитель¬
ских товаров в соответствии с предъявляемым спросом. Однако воз¬
можна и другая постановка задачи: известен вектор Y0 товаров, которые
могут быть реализованы, и требуется установить такие цены и общий до¬
ход, чтобы спрос потребителей соответствовал товарному предложению.
Опираясь на выведенные выше условия оптимального выбора, сформу¬
лируем задачу нахождения значений цен и доходов, балансирующих
спрос и предложение:
и,(У) = ьР,;
2Piy!=D,	(5-П>
где «1 — число реализуемых товаров.
Имеем («! + 1) уравнений и (п1 +2) неизвестныхръ D, X. Зафикси¬
руем значение одной неизвестной, например, дохода или цены какого-
либо товара. В результате приходим к системе, имеющей одинаковое
число неизвестных и уравнений. При соблюдении некоторых формаль¬
ных требований система имеет решение (оно может быть не единствен¬
ным), которое дает значения цен и доходов, балансирующих спрос и
предложение по всем видам реализуемых товаров.
Обобщения модели поведения потребителей. В модели (5.6) допус¬
кается, что выбор потребителей ограничен только величиной дохода.
В реальности же покупательский спрос сдерживается недостаточным
предложением (дефицитом) ряда товаров; это обстоятельство может
существенно деформировать оптимальную структуру потребления1.
1	По этой причине описанная выше методика ’’восстановления” ЦФП по данным
о	фактических покупках может давать систематические ошибки.
139

Обратимся к рис. 5.4. Если предложение второго товара равно у2) то
оптимальным решением становится точка К, которой соответствует
меньшее, чем в точке М, значение целевой функции и(у i, у2).
В модели для всей совокупности потребителей ограниченное предло¬
жение некоторых товаров (/ £ 1\) легко учесть, введя дополнительные
условия
i€/i(sr,> 0).	(5.12)
Очевидно, что вследствие этого необходимые условия оптимума
усложняются. Условия пропорциональности предельных полезностей и
цен (5.8) сохраняются только для реализуемых недефицитных ховаров
(/ ^ /i). Что касается реализуемых дефицитных товаров (у *• > 0, / Е1Х),
то для них должны выполняться условия
Ui(Y*) = x;. + v},	(5.13)
где vj— оптимальная оценка дефицитности z-го вида товаров.
Анализ и расчеты по расширенной модели (5.6), (5.12) могут осу¬
ществляться в два этапа. Если заранее известен круг дефицитных товаров
(по которым выполняются соотношения yi = yi , то их потребление
можно зафиксировать, рассчитать ’’остаточный” доход D = D —
- 2 Pi yi , а для недефицитных товаров использовать исходную мо-
/Е/
дель (5.6).
Представляет интерес моделирование ситуации, когда часть дефи¬
цитной продукции распределяется по фиксированным ценам, а другая —
по ’’свободным” ценам, обеспечивающим сбалансированность спроса и
предложения (имитация свободного рынка и многоканального распреде¬
ления продукции).
Следует отметить, что учет дефицита в моделях поведения отде¬
льных групп населения имеет значительно более серьезные последст¬
вия. Возникает необходимость отражения нереализованного спроса
(избыточных, или вынужденных, сбережений) ; требуется устанавливать
особые правила распределения дефицитных товаров между группами
потребителей (при фиксированных ценах) либо вводить дифферен¬
цированные и свободные-цены.
5.3.	Функции покупательского спроса	I
Связь модели поведения потребителей и функции спроса. Пусть в модели
(5.6)	цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры (для
удобства переменную дохода будем обозначать в дальнейшем Z). Тогда
решением параметрической оптимизационной задачи (5.6) будет вектор-
функция Y* = Y* (Р, Z). Она может быть выведена аналитически либо
140

путем статистического обобщения оптимальных решений при различных
значениях Р и Z. Компонентами вектор-функции Y* (Р, Z) являются фун¬
кции покупательского спроса на определенный товар от цен и дохода:
y^tyP.Z).
Рассмотрим частный случай, когда изменяется только доход, а век¬
тор цен остается неизменным ( Р = Р°). Рис. 5.5 показывает: при увели¬
чении дохода бюджетная линия перемещается параллельно самой себе и
точками оптимума - спроса потребителей — будут точки М\, Мъ Мъ
(при нулевом доходе спрос на оба товара будет нулевым). Кривая,
соединяющая точки О, Mi, М2) является отображением вектор-функции
покупательского спроса от дохода при заданном векторе цен.
Рис. 5.5. Изменение спроса при росте
доходов
Приведем простой пример лостроения функций спроса от дохода. Допустим,
для двух товаров и (У) = уг у2 ; рх =1; р2 =2. Тогда^ -y\; и2 =3yi у\. Необ¬
ходимые условия оптимума дают систему уравнений: у\ = \,3yi у\ =2\ у л +
+ 2у2 -Z.	7
В результате подстановки первого уравнения во второе получаем 3yi у22=2у^
Подставим сюда выражение уi из третьего уравнения: 3 (Z - 2у 2) У\ = 2уъ охкуда
2	“У ъ откуда
3Z — Ъу2. В результате получаем две функции спроса от дохода: yi =-J— Z, у 2 —
Z
8
Между целевой функцией потребления и функциями покупательс¬
кого спроса существует взаимная связь. Выше было показано, что функ¬
ция спроса выводится из целевой функции потребления. Доказывается
также, что из вектор-функции спроса, удовлетворяющей ряду естествен¬
ных допущений, может быть выведена ЦФП. Нелогично поэтому приз¬
навать возможность и целесообразность построения и применения
. 141

функций спроса и одновременно отрицать понятие ’’целевая функций
потребления”, а также все теоретические выводы, вытекающие из ее су¬
ществования1 .
Анализ влияния на покупательский спрос изменения цен и доходов
удобно проводить на основе необходимых условий оптимума модели
(5.6).
Если дифференцировать равенства (5.8) и равенство PY* = D по до¬
ходу и ценам, то будем получать системы из (п + 1) уравнений для част-
о	У1	д	X*	Э	у*	Э X* и	it
ных производных 0-zf и	и	.	Например,	дифферен¬
цирование бюджетного равенства по доходу и цене р^ дает уравнения:
v	tyi	1	*	v	dyi
2 pt -р- =1	и	1/J = — 2 /?, -jp- .
дг	у*	t.= 1	дрк
ду*	Эу*
Знаки частных производных	и	характеризуют	важные
свойства товацюв^как объектор покупательского спроса. Для большин¬
ства товаров -g У21	> 0 и —< 0. Исключение составляют ’’малоцен¬
ные” товары, спрос на которые при увеличении дохода снижается (среди
продуктов питания это — хлеб, картофель, низкокачественные жиры и
т.п., среди промышленных товаров — обувь и одежда устаревших моде¬
лей и фасонов и т.п.). В свою очередь среди товаров с — < 0 могут
Э	у*
встречаться и такие товары2, которые имеют -g ^—> 0.
Функции спроса являются однородными нулевой степени относитель¬
но всех цен и дохода: у\ (а Р, a Z) = у\ (Р, Z) при а > 0. Действительно,
пропорциональное изменение цен и дохода не влияет ни на положение бюд¬
жетного ограничения (определяющего область выбора потребителей),
ни на целевую функцию. Покупательская способность (реальный доход)
и соотношения цен остаются неизменными, меняется только масштаб
цен.
1 Функции покупательского спроса характеризуют зависимости, которые легко
обнаруживаются и проверяются эмпирически (в отличие от целевой функции пот¬
ребления) . Поэтому функции спроса могут помочь в выборе модели (формулы)
целевой функции и ее параметров. Например, из того, что спрос на многие товары
с увеличением дохода изменяется нелинейно, следует вывод, что те модели целевой
функции, которые индуцируют линейные функции спроса, являются неадекватны¬
ми (кстати, в эту группу попадают квадратичные и логарифмические функции).
1 Парадоксальное увеличение спроса на товар при увеличении цены на этот же то¬
вар впервые было обнаружено в конце XIX в. в Ирландии. Таким товаром оказал¬
ся картофель, составляющий основную часть рациона питания бедных слоев населе-
Ъу*
ния. Товары, имеющие 	 > 0, в теории потребления принято называть т о-
варами Гиффина.К ним могут относиться только товары, расходы на кото¬
рые занимают значительный удельный вес в бюджете потребителей.
142

\ В соответствии с формулой Эйлера для однородных функций имеем
I	п д у i	д у;	-
X — Vi + 3—i—2 = 0: i= 1,..., n. Разделив почленно обе части ра-
О	Pj	о z	’	’	r
венства шур получим
2 ^L.EL + ?£-. —,	» = 1, ..... п.	(5.14)
/= 1 др/ У/ ' dz у{ '	v ;
Выражение £? =	1 есть коэффициент эластич¬
ности спроса на товар / от дохода, характеризующий
относительное изменение спроса по отношению к относительному изме-
0 у .	р .
нению дохода. Выражение Щ = ч ■*	• —^	 есть коэффициент
IJ о Р j	у j
эластичности спроса на товар i от цены на то¬
вар /, характеризующий относительное изменение спроса по отноше¬
нию к относительному изменению цены.
Из (5.14) следует
£? = — 2 Epih	(5.15)
/= 1
Если	,	то	Е?	>	0,	откуда	Б Щ < 0 (т.е. хотя бы один коэф¬
фициент эластичности от цены дол&сеЬ быть отрицательным). Если же
< о (малоценный товар), то Ef < 0 и | Е? > 0 (т.е. хотя бы
один коэффициент эластичности от цены7 должен быть положи¬
тельным) .
Построение общих функций спроса у\ =f(P,z) для всей совокупнос¬
ти товаров требует очень значительных объемов информации и по трудо¬
емкости сопоставимо с построением ЦФП по эмпирическим данным.
Поэтому в экономическом анализе и прогнозировании чаще использу¬
ются частные функции покупательского спроса для отдельных групп
товаров, которые характеризуют изменение спроса либо только от до¬
хода, либо только от цен, либо от дохода и цен на те же выделенные
товары.
Функции и коэффициенты эластичности спроса от дохода. На прак¬
тике функции покупательского спроса строятся и применяются глав¬
ным образом для отдельных групп товаров. При этом выбираются та¬
кие типы функций, которые отражают устойчивые тенденции (эмпири¬
ческие закономерности) изменения спроса и потребления при увеличе¬
нии дохода.
В конце XIX в. немецкий статистик Э.Энгелъ сформулировал эмпи¬
рические законы потребления и построил кривые, в соответствии с кото¬
рыми с ростом дохода доля расхода на питание уменьшается, доля рас¬
143

хода на одежду и жилье остается стабильной и т.п. (функции спроса с^т
дохода часто поэтому называют кривыми Энгеля). Этот же при¬
нцип разграничения групп товаров по типам функций спроса (потреб¬
ления) от дохода использовал шведский экономист Л.Торнквист. Он
предложил специальные виды функций (функции Торнквиста) для трех
укрупненных групп товаров: первой необходимости (I), второй необ¬
ходимости (II), предметов роскоши (III). Графики этих функций про¬
водятся на рис. 5.6.
спрос
Рис. 5.6. Функции спроса от дохода
(кривые Торнквиста)
Функция для предметов первой необходимости имеет вид
V	=	(5.16)
y Z+CX
Она отражает тот факт, что рост спроса (потребления) на многие товары,
удовлетворяющие самые насущные потребности, постепенно замедля¬
ется (так что	< 0) и имеет предел ах (кривая асимптотически
dz
приближается к линии а х).
Функция спроса на предметы второй необходимости имеет вид
у г	' г>ь*	(517)
Эта функция также имеет предел (02), но более высокого уровня.
Спрос на эту группу товаров появляется только после того, как доход
достигает в ел ичины b 2.
Наконец, функция спроса на предметы роскоши выражается форму¬
лой
аяг(г-Ь3)	&	(5.18)
144

Эта функция не имеет предела. Спрос возникает только после того,
как доход превысит величину Ьъ и далее быстро возрастает (так, что
1	Функции (5.16)-(5.18), однако, не дают полной характеристики
закономерностей изменения спроса при увеличении доходов и недостаточ¬
на отражают специфику различных групп товаров. В частности, они опи¬
сывают только монотонное изменение спроса, хотя для некоторых групп
товаров существуют точки максимума (для малоценных товаров, спрос
на которые сначала возрастает, а затем снижается) и точки перегиба
d2y
(когда с возрастанием дохода —j— сначала положительна, а затем
dz
становится отрицательной, что улавливается логистической кривой).
Исследования по данным бюджетной статистики и статистики роз¬
ничного товарооборота СССР показывают, что зависимости расходов
населения на большинство товарных групп достаточно хорошо аппрок¬
симируются степенной функцией у — aza (являющейся линейной отно¬
сительно логарифмов: log у = log а + a log z), дробной квадратичной
функцией, функциями вида (5.16)-(5.18) и некоторыми другими.
Приведем в качестве примера функции спроса от расходной части доходов по
некоторым товарным группам, полученные по данным розничного товарооборота :
мука, хлеб, хлебобулочные изделия: Igy =3,838 + 0,453 Igz ;
мясо и мясопродукты: Igy = 2,642 + 1,007 Igz;
одежда и белье: Igy = - 2,762 + 1,028 Igz ;
ювелирные изделия: Igy = - 39,510 + 3,828 Igz.
Широкое применение в анализе изменения спроса при небольших
изменениях дохода находят коэффициенты эластичности Е2. . В зависи¬
мости от величины Е2 все товары делятся на четыре группы: малоцен¬
ные товары (Е( < 0); товары с малой эластичностью (0 < Е( < 1);
товары со средней эластичностью (значения Ej близки единице) ; товары
с высокой эластичностью {Ef 1).
Для большинства видов функций спроса у = f(z) коэффициенты
эластичности EZf также являются функциями, зависящими от z. Поэтому
в общем случае ими можно пользоваться как числами только в окрест¬
ности определенной величины дохода. С этой точки зрения большим
удобством обладает степенная функция, имеющая постоянный коэффи¬
циент Е2 = а.
Расход потребителей на определенную группу товаров (у) зависит от
количества приобретаемых товаров (q) и от среднегрупповой цены (р).
Поэтому общий коэффициент эластичности расхода Е? можно предста-
1 Расчеты функций спроса и коэффициентов эластичности, приводимых в 5.3,
выполнены Л.М.Рувинской.
145

вить в виде суммы двух коэффициентов (от количества и средней цены^:
е-'-|Ч-(*-7) + (*-7)- И’
Заметим, что по многим товарным группам увеличение расхода (на
приобретение происходит главным образом за счет роста средней це^ы.
По данным о динамике розничного оборота за 1961 -1985 гг. получены следую¬
щие значения коэффициентов эластичности спроса от дохода: мясо и мясопродук¬
ты: 1,218; молоко и молочные продукты: 1,132; мука, хлеб, хлебобулочные
изделия: 0,479; другие продовольственные товары: 0,658; одежда и белье: 1,Q04;
радиотовары:	1,912. Необходимо иметь в виду, что существенное влияние
на рассчитываемые коэффициенты эластичности оказывает дефицитность ряда
товаров.
Функции спроса и коэффициенты эластичности от цен. Спрос на каж¬
дый товар в общем случае зависит от цен на все товары. Однако получить
достаточную информацию для построения функций общего вида уz- =
= ф (Р) очень сложно, тем более что в СССР розничные цены в течение
длительного периода менялись довольно редко. Поэтому в прикладных
исследованиях ограничиваются, как правило, построением и анализом
функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения це¬
ны на этот же товар или на группу взаимозаменяемых товаров.
В настоящее время в СССР товары, имеющие —< 0, не занимают
значительной доли в бюджетах населения, и поэтому товары Гиффина
(имеющие ^	>	0) отсутствуют, т.е. все товары имеют отрицатель¬
ные коэффициенты эластичности Ец.
Однако по абсолютным значениям коэффициентов Е& товары раз¬
личаются существенно. Их можно разделить на три категории: товары с не¬
эластичным спросом в отношении цены (Ец > —1); товары со средней
эластичностью спроса в отношении цен (ЕР по модулю близки едини¬
це); товары с высокой эластичностью (Е& < — 1). С ростом цены рас¬
ход на приобретение товаров этих трех категорий соответственно уве¬
личивается, сохраняется на прежнем уровне, уменьшается.
Например, по данным статистики ВНР получены следующие значения коэффици¬
ентов по товарам для мужчин (отрицательный знак опущен): рубашки - 0,20,
пальто зимние - 0,37, обувь - 0,52, верхний трикотаж - 1,39.
Коэффициенты Ец (i Ф /) называются коэффициентами пе¬
рекрестной эластичности. По знаку этих коэффициентов
товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые.
Если для товаров i и / имеем Е.. > 0, это означает, что товар i заменяет
в потреблении товар у (на това]р i переключается спрос при увеличении
цены на товар /). Примером могут служить многие продукты питания
(мясо и рыба, сливочное масло и маргарин, овощи и фрукты). Если же
146

p
Efj < 0, это служит признаком того, что товар i дополняет товар / в про¬
цессе потребления (увел^ение цены на товар / приводит к уменьшению
срроса не только на этот товар, но и на товар /, например автомобили
и бензин).
5.4. Нормативный подход к прогнозированию
и планированию потребления
Дескриптивный подход к моделированию потребления, основанный на
изучении поведения потребителей в условиях товарно-денежных отно¬
шений, в принципе не способен решать ряд проблем планирования сферы
потребления, особенно для долгосрочного периода. Во-первых, многие
виды благ имеют нетоварную форму распределения (жилье, обществен¬
ные фонды потребления, частично нормированное распределение ряда
предметов потребления и т.д.). Во-вторых, вследствие ряда причин
(изменение ценностных представлений в обществе, появление новых ви¬
дов потребительских благ и т.д.) возможности экстраполяции выявлен¬
ных закономерностей фактического поведения потребителей уменьша¬
ются по мере расширения горизонта планирования. Принципиальную не¬
достаточность анализйровавшихся в 5.2, 5.3 типов моделей должен
компенсировать нормативный подход.
В основе нормативного подхода к планированию структуры и дина¬
мики потребления лежит концепция удовлетворения рациональных, ра¬
зумных потребностей, измеряемых соответствующими целевыми норма¬
тивами. В гл. 2 обосновывалось, что минимизация срока достижения уров¬
ня рациональных нормативов (условно — ’’идеального” состояния) явля¬
ется одним из общих критериев оптимизации развития экономики. Там
же рассматривалось понятие дерева целей — инструмента программно¬
целевого планирования, использующего иерархическую систему функ¬
циональных и предметных целевых нормативов.
Рациональные нормативы характеризуют современные научные
представления об уровнях разумных потребностей по основным группам
предметов потребления и потребительских услуг (см., например, табл.
5.1). Они учитывают комплекс физиологических, психологических,
экологических, социальных факторов, определяющих ’’качество” жизни
Разработка рациональных нормативов не ставит задачу строгой регла¬
ментации потребления по всему ассортименту продуктов и услуг, а оп¬
ределяет только ориентацию для развития потребления и производства1
Безусловно, что под влиянием изменения социальной среды и новых зна-
Предпринимавшиеся в 50-60-х годах попытки оптимизации структуры потре¬
бления только по физиологическим параметрам (’’задача диеты”), а также норми¬
рования ассортимента непродовольственных товаров на основе только физичес¬
ких характеристик (’’задача о рациональном гардеробе” и т.п.) себя не оправда¬
ли.
147

ний о человеке и обществе рациональные нормативы должны кор¬
ректироваться.
Как инструменты планирования рациональные нормативы применя¬
ются не по отдельности, а системно. Например, из табл. 5.1 видно, что по
некоторым продуктам питания (хлебу, картофелю, сахару) фактичес¬
кое потребление в настоящее время превышает рациональное. Но из
этого, разумеется, не следует целесообразность немедленного снижения
фактического потребления, поскольку это неизбежно отразится на
общем уровне потребления. Такое снижение допустимо только при
одновременном продвижении к рациональным нормам объемов пот¬
ребления других (взаимозаменяемых) продуктов1.	'
Таблица 5.1
Рациональные нормативы потребностей и степени их насыщения
Виды потребительских благ
Рациональ¬
ный норматив
Объем потреб¬
ления (нали¬
чия) в 198S г.
Степень насы¬
щения, %
А. На душу населения в год
Хлеб и хлебопродукты, кг
110
133
121
Картофель, кг
97
104
107
Овощи и бахчевые, кг
146
102
70
Фрукты свежие, кг
113
46
41
Сахар, кг
40
42
105
Мясо и мясопродукты, кг
82
61
75
Молоко и молочные продукты, кг
405
323
80
Ткани - всего, кв. м
50
37
74
Трикотаж верхний, шт.
4,0
2,1
53
Обувь кожаная, пар
3,6
3,2
89
Б.
На 100 семей, шт.
Радиоприемники и радиолы
250
96
38
Телевизоры
135
97
72
Холодильники
110
91
83
Швейные машины
98
65
66
Стиральные машины
72
70
97
Нормативы рационального потребления, сведенные в систему и рас¬
считанные для определенного типа семей (включая и средний), образуют
рациональный потребительский бюджет. Исходя из современных пред¬
ставлений такому бюджету соответствует месячный среднедушевой
доход в 220—235 руб., что примерно в 2 раза превышает уровень сред¬
него фактического бюджета. При этом рациональный потребительский
бюджет охватывает не только потребление платных материальных благ
и услуг, но и нормативы жилищной обеспеченности, бесплатных и льгот-
Вопрос о выборе траекторий движения от фактического потребления к рацио¬
нальному рассматривается в 8.2.
148

ных услуг за счет общественных фондов потребления. Потребительские
бюджеты (как фактические, так и рациональные) дифференцируются
по социально-демографическим группам. Одна из важных задач соци¬
альной политики заключается в том, чтобы для наименее зажиточных
слоев населения гарантировалось достижение минимального потребитель¬
ского бюджета (или прожиточного минимума)1.
Построение рационального потребительского бюджета и входящих
в него рациональных нормативов в существенной мере опирается на
современную структуру потребления ’’опережающих” групп населения
(не только по доходам, но и по культурно-образовательному уровню
и другим характеристикам социального статуса). Таким образом, норма¬
тивный подход использует результаты дескриптивного подхода к изуче¬
нию потребления, в частности модели поведения потребителей и функции
покупательского спроса. С другой стороны, представления о рациональ¬
ном потреблении должны активно применяться для регулирования
покупательского спроса и нетоварного потребления посредством науч¬
ной пропаганды, цен (стимулирующих или препятствующих), рекламы
и антирекламы.
Литература
1.	Вальтух К.К. Целевая функция потребления: анализ и практическое использова¬
ние. Новосибирск: Наука, 1980.
2.	Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования
социалистической экономики. М.: Наука, 1983. Раздел 2.
3.	Константинов В.М. Моделирование роста народного благосостояния в народно¬
хозяйственных планах и прогнозах. М.: Наука, 1986.
4.	Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985. Гл. II.
5.	Райцин В.Я. Модели планирования уровня жизни. М.: Экономика, 1987.
6.	Система экономико-математических моделей для анализа и прогноза уровня
жизни. М.: Наука, 1986.
7.	Шевяков А.Ю., Кирута А.Я. Моделирование сбалансированности и согласования
плановы