Jf о n ц л я р к ь i q лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
о *¦
Г.Е.ШИЛОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
В ОБЛАСТИ
РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ

книги
НИКИТИНА

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие		4
§ 1. Графики		5
§ 2. Производные		21
§ 3. Интегралы 		35
Ответы		15

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основными понятиями математического анализа яв-
являются понятия производной и интеграла. Эти понятия
не являются элементарными; в любом систематическом
курсе математического анализа им предшествуют теория
вещественных чисел, теория пределов, теория непрерыв-
непрерывных функций. Такая предварительная подготовка не-
необходима, чтобы сформулировать понятия производной
и интеграла в достаточно универсальном виде, с приме-
применениями к возможно более широкому классу функций.
Но если ограничиться лишь сравнительно узким классом
рациональпых функций и использовать наглядный язык
графиков, можно рассказать о производной и иптеграле
на небольшом числе страниц, притом достаточно акку-
аккуратно и вместе с тем содержательно. В этом и состоит за-
задача настоящей брошюры, рассчитанной на широкий круг
читателей; уровень знаний школьника 9—10 класса впол-
вполне достаточен, чтобы понимать все, о чем здесь будет
идти речь.

о
§ 1. ГРАФИКИ
Хотя мы предполагаем, что читатель умеет обращать-
обращаться с графиками, ыы все же напомним главные моменты.
Начертим па плоскости две взаимно перпендикулярные
прямые, горизонтальную и вертикальную, и обозначим
через О их точку пересечения. Горизонтальную прямую
назовем осью абсцисс, вертикальную — осью ординат.
Каждая из осей делится точкой
О на две полуоси, положитель-
положительную и отрицательную, при
этом правая полуось оси абс-
абсцисс и верхняя полуось оси
ординат считаются положи-
положительными, а левая полуось оси
абсцисс и нижняя полуось
оси ординат — отрицательны-
отрицательными. Положительные полуоси	пс" '
отметим стрелками. Местоположение каждой точки
М на плоскости теперь можно определить парой чисел.
Для этого опустим из точки М перпендикуляры на каж-
каждую из осей; эти перпендикуляры отсекут на осях отрезки
О А и ОБ (рис. 1). Длину отрезка О А, взятую со знаком
«-J-», если А лежит на положительной полуоси, и со зна-
знаком «—», если А лежит на отрицательной полуоси, будем
называть абсциссой точки М и обозначать через х. Ана-
Аналогично длину отрезка ОВ (с тем же правилом знака)
будем называть ординатой точки М и обозначать через
у. Два числа х и у называются координатами точки М.
Каждая точка на плоскости имеет координаты. Точки
оси абсцисс имеют ординату, равную нулю, точки оси ор-
ординат имеют абсциссу, равную нулю. Начало координат
О (точка пересечения осей) имеет обе координаты, равные

нулю. Обратно, если даны произвольные два числа хну
любых знаков, то всегда можно построить и, что весьма
важно, ровно одну точку М, имеющую абсциссу х и ор-
ординату у; для этого нужно на оси абсцисс отложить отре-
отрезок О А = х и из точки А восставить перпендикуляр АМ=
= у (с учетом знаков); точка М и будет искомой.
Пусть дано правило, в котором указано, какие дей-
действия следует произвести над независимым переменным
(обозначенным через х), чтобы получить значение интере-
интересующей нас величины (обозначаемой через у).
Всякое такое правило, как говорят математики, опре-
определяет величину у как функцию от независимого перемен-
переменного х. Можно сказать, что данная функция — это и есть
то конкретное правило, по которому из значений х полу-
получаются значения у.
Например, формула
1
показывает, что для получения значений величины у нуж-
нужно независимое переменное х возвести в квадрат, приба-
прибавить единицу и затем единицу разделить на полученный
результат. Если х принимает какое-либо числовое зна-
значение х0, то по нашей формуле и у примет некоторое чис-
числовое значение у0. Числа х0 и у0 определяют некоторую
точку Мо в плоскости чертежа. Вместо х0 можно затем
взять другое число хх и по формуле сосчитать новое зна-
значение ух; пара чисел хи у1 определит новую точку Мх
на плоскости. Геометрическое место всех точек плоско-
плоскости, ординаты которых связаны с абсциссами данной
формулой, называется графиком соответствующей
функции.
Совокупность точек графика, вообще говоря, беско-
бесконечна, так что мы не можем рассчитывать фактически по-
построить по указанному правилу их все без исключения.
Но мы обойдемся без этого. В большинстве случаев до-
достаточно некоторого небольшого числа точек, чтобы иметь
возможность судить об общем виде графика.
Способ построения графика «по точкам» состоит имен-
именно в том, что намечают некоторое число точек графика и
соединяют эти точки по возможности плавной линией.
В качестве примера рассмотрим график функции

Составим следующую таблицу:
X
У
0
1
1
1
2
1
3
1
10
	у
1
	2
1
Ъ
—3
1
10
В первой строке написаны значения х = 0, 1, 2, 3,
—1> —2, —3. Как правило, целые значения для х наи-
наиболее удобны для вычислений. Во второй строке написаны
Рис. 2.
Рис. 3.
соответствующие значения у, найденные из формулы A).
Отметим соответствующие точки на плоскости (рис. 2).
Соединяя их плавной линией, получаем график (рис. 3).
Правило построения «по точкам», как мы видим, чрез-
чрезвычайно просто и не требует никакой «науки». Но тем не
менее, может быть, именно поэтому, слепое следование
правилу «по точкам» может привести к большим ошибкам.
Построим «по точкам» кривую, заданную уравнением
У	B)

Таблица значений х и у, соответствующая этому урав
нению, следующая:
3
1
676
-1
¦
4
—-
1
121
1
676
Соответствующие точки на плоскости показаны на
рис. 4. Этот чертеж весьма похож на только что приве-
приведенных"!. Соединяя отмеченные точки плавной кривой, мт.т
О
I
Гас. 4,
у
Рис. 5.
получаем график (рис, 5). Кажется, па этом .можно было
бы положить карандаш и успокоиться: искусство строить
графики нами постигнуто! Но все-таки для контроля вы-
вычислим у для какого-нибудь промежуточного значения х,
например для х = 0,5. Вычисляем и получаем неожи-
неожиданный результат: у = 16. Это резко не соответствует
нашему чертежу. И мы не гарантированы, что при вычис-
вычислении у для других промежуточных значений х — а их
ведь бесконечное множество — не получится еще больших
8

песообразностей. К сожалению, способ построения графи-
графиков «по точкам» оказывается недостаточно надежным.
Далее мы рассмотрим другой способ построения гра-
графиков, более надежный в смысле предохранения от неожи-
неожиданностей, подобных той, с которой мы только что встре-
встретились. В дальнейшем, применяя этот способ, мы получим
Рис. 0.
Рас, 7.
возможность построить правильный график для уравне-
уравнения B). По этому способу — назовем его, например, «по
действиям» — нужно произвести непосредственно на гра-
графиках все те действия, которые записаны в данной нам
формуле — сложение, вычитание, умножение, деление
и т. д.
Рассмотрим несколько простейших примеров. Постро-
Построим график, отвечающий уравнению
У = ос.	C)
Это уравнение говорит, что все точки искомой линии гра-
графика имеют равные абсциссы и ординаты. Геометрическое
место точек, имеющих ординату, одинаковую с абсциссой,
есть биссектриса угла между положительными полуосями
и угла между отрицательными полуосями (рис. 6).
График, отвечающий уравнению у = кх с некоторым
коэффициентом к, получается из предыдущего умножени-
умножением каждой ординаты на одно и то же число к. Пусть, на-
например, к = 2; каждую ординату предыдущего графика
нужно удвоить, и в результате мы получим прямую, более
круто поднимающуюся кверху (рис. 7). С каждым
тагом вправо по оси х новая прямая поднимается

на два шага вверх по оси у. Между прочим, это позволяет
легко выполнить построение на клетчатой или миллимет-
миллиметровой бумаге. В общем случае уравнения у = кх с лю-
любым к также получается прямая. Если к ^> О, то с каждым
Рис. 8.
шагом вправо она будет подниматься на к шагов вверх
по оси у. Если к <0, то прямая будет не подниматься,
а опускаться.
Рассмотрим теперь формулу
у = кх + Ь.	D)
Чтобы построить соответствующий график, нужно к
каждой ординате уже известной линии у = кх прибавить
одно и то же число Ь. При этом вся прямая у = кх сдви-
сдвинется, как целое, по плоскости вверх на Ъ единиц (при
Ъ ^> 0; при Ъ < 0 исходная прямая, естественно, не под-
поднимется, а опустится). В результате получится прямая,
параллельная исходной, но уже не проходящая через
начало координат и отсекающая на оси ординат отрезок
Ъ (рис. 8).
Число к называется угловым коэффициентом прямой
у = кх 4- Ь; как мы уже говорили, число к показывает,
на сколько шагов поднимается прямая вверх при каж-
каждом шаге, сделанном вправо. Иными словами, число к
есть тангенс угла между направлением оси х и прямой
у = кх + Ъ.
Уравнению
у = к(х — х0) + у0	D')
отвечает прямая с угловым коэффициентом к, проходя-
проходящая через точку (х0, у0) (рис. 9), так как при подстановке
х = х0 получаем у = г/0.
10

:=я
Итак, график любого многочлена 1-й степени от х
есть некоторая прямая, которая строится по 'указанным
правилам. Переходим к графикам
многочленов 2-й степени.
Рассмотрим формулу
С °
У = х2.	E)
Ее люжно представить в виде
У = У\, где у1 = х.
Рис. 10.
Инылш словами, искомый график
получится, если каждую ординату
уже известной нам линии у = х возвести в квадрат.
Выясним, что при этом должно получиться.
Поскольку О2 = 0, I2 = 1, (—IJ = 1, мы получаем
три опорные точки А, В, С (рис. 10). Если ж>»1, то
х2 ^> х; поэтому справа от точки В график пойдет выше
Рис. И.
Рис. 12.
биссектрисы координатного угла (рис. 11). Если 0 < х
то 0 <c.x2<ix; поэтому между точками А и В график идет
ниже биссектрисы. Более того, мы утверждаем, что при
подходе к точке А график входит в любой угол, ограни-
ограниченный сверху прямой у = кх (с как угодно малым к),
а снизу — осью х; действительно, неравенство х2 <скх вы-
выполняется, если только х < к. Этот факт означает, что
искомая кривая касается в точке О оси абсцисс (рис. 12).
И

Пойдем теперь по оси х влево от точки О. Мы знаем, что
числа —а и -\~ а при возведении в квадрат дают один и
тот же результат а2. Таким образом, ордината нашей кри-
кривой при х = —а будет та же, что и при х = -\-а. Геомет-
Геометрически это означает, что график нашей кривой в левой
*~х
Рис. 13.
Рис. 14.
полуплоскости будет получаться отражением имеющего-
имеющегося уже графика в правой полуплоскости относительно
оси ординат. Мы получаем кривую, которая называется
параболой (рис. 13).
Теперь, действуя так же, как и выше, можно построить
более сложную кривую
у = ах2	F)
и еще более сложную
у = ах2 + Ь.	G)
Первая из них получается умножением всех ординат пара-
параболы E) — мы будем называть ее стандартной парабо-
параболой — на число а.
При а ^> 1 получится похожая кривая, но более кру-
круто поднимающаяся кверху (рис. 14).
При 0 < а < 1 кривая будет более пологой (рис. 15),
а при а <0 ее ветви опрокинутся вниз (рис. 16). Кривая
G) получится из кривой F) сдвигом ее кверху на отрезок Ъ,
если /; ^> 0 (рис. 17). Если же Ъ <0, то сдвигать кривую
придется не вверх, а вниз (рис. 18). Все эти кривые также
называются параболами.
12

Рис. 15.
Рис. 16.
Ь+0
Рис. 18.

Приведем несколько более сложный пример на пост-
построение графиков методом умножения. Пусть задано по-
построить график ио уравнению
у = х{х-1){х-2){х-3).
(8)
Здесь дано произведение четырех множителей. Нарисуем
график каждого из них в отдельности: все они — прямые,
Рис. 19.
ч—*-
Рис. 20.
параллельные биссектрисе координатного угла и отсека-
отсекающие на оси ординат отрезки соответственно (рис. 19):
0, -1, -2, -3.
В точках 0, 1, 2, 3 на оси х искомая кривая будет
иметь ординату 0, так как произведение равно нулю,
если хотя бы один из множителей равен нулю. В дру-
других местах произведение будет отличным от нуля и будет
иметь знак, который легко найти по знакам множителей.
Так, справа от точки 3, все множители положительны,
следовательно, и произведение положительно. Между точ-
точками 2 и 3 один множитель отрицателен, поэтому произве-
произведение отрицательно. Между точками 1 и 2 — два отрица-
отрицательных множителя, поэтому произведение положительно,
и т. д. Мы получаем следующее расположение знаков
произведения (рис. 20). Справа от точки 3 все множители
при увеличении х возрастают, следовательно, и произ-
произведение будет возрастать, и притом очень быстро. Слева
от точки 0 все множители возрастают в отрицательную сто-
сторону, поэтому произведение (оно положительно) также
быстро возрастает.
14

Теперь легко набросать и общий вид графика (рис. 21).
До сих пор мы использовали действия сложения и
умножения. Теперь добавим к ним деление. Построим
кривую
_*_.	(9)
у	1 -\- х-
Для этого построим в отдельности графики числителя и
знаменателя.
График числителя
есть прямая, параллельная оси абсцисс, на высоте 1. Гра-
График знаменателя
Уг = *2 + 1
есть стандартная парабола, сдвинутая на 1 вверх. Оба
эти графика показаны на рис. 22.
'Знаменатель
Рис. 21.
Рис. 22.
Будем теперь производить деление каждой ординаты
числителя на соответствующую (т. е. взятую при том же х)
ординату знаменателя. Когда х = 0, мы видим, что
V, = и, = 1, откуда и у = 1. При х =?= 0 числитель мень-
меньше знаменателя и частное меньше 1. Так как числитель
и знаменатель всюду положительны, то и частное поло-
положительно, следовательно, график проходит в полосе, ог-
ограниченной осью абсцисс и прямой у = 1. Когда х
неограниченно увеличивается, тогда знаменатель пе-
ограниченно увеличивается, а числитель остается
15

0 7
Pnc. 24.
Числитель
Рис. 25.
Числитель
<t
Рис. 26.
Рис. 27.
16

постоянным; поэтому qacTHoe стремится к нулю. Все это
приводит к следующему графику дастного (рис. 23). Чер-
Чертеж получается такой же, какой мы построили по точкам
(рис. 3).
При графическом делении особую роль играют те зна-
значения ж, при которых знаменатель обращается в нуль.
Если числитель при этом
не обращается в нуль, то
частное уходит в бесконеч-
бесконечность. Чтобы понять, что
означают эти слова, изо-
изобразим кривую
1
A0)
Здесь графики числителя
и знаменателя нам уже из-
известны (рис. 24). При
х = 1 мы имеем уг = у% =
= 1, откуда и у = 1. При
.г ^> 1 числитель меньше
знаменателя, частное мень-
меньше 1, как и в предыдущем	рис ?8
примере, когда х неогра-
неограниченно увеличивается,
частное приближается к нулю, мы получаем участок гра-
графика, соответствующий значениям х ^> 1(рис. 25).
Рассмотрим теперь область значений х между 0 и 1.
Когда х от 1 приближается к нулю, знаменатель стре-
стремится к нулю, в то время как числитель остается равным
1. Поэтому частное неограниченно увеличивается, пре-
превосходя при достаточно малых х любое сколь угодно
большое число, и мы получаем ветвь, уходящую в беско-
бесконечность (рис. 26). При х < 0 знаменатель, а с ним и вся
дробь становятся отрицательными. Общий ход графика
представлен на рис. 27.
Теперь мы уже можем приняться по-настоящему за
построение графика кривой, о которой шла речь вначале:
у = -—[—	A1)
J (ох— 1)- ¦	v ;
Будем сначала строить график знаменателя. Кривая
Ух = Зх2 есть «утроенная» стандартная парабола (рис. 28).
Вычитание единицы означает спуск графика на одну

единицу вниз (рис. 29). Кривая пересекает ось х в двух
точках, которые мы легко найдем, приравнивая За;2 — 1
нулю: xli2— ± ]Л/3 =+0,577 . . . Возведем полученный
график в квадрат. В точках хх и х% ординаты останутся
равными нулю. Все остальные ординаты будут положи-
положительными, так что график будет проходить выше оси
абсцисс. В точке х — 0 ордината будет равна (—IJ = 1
Рис. 29.
Рис. 30.
и это будет наибольшая ордината на участке от Х\ до х2.
Вне этого участка кривая будет в обе стороны круто
подниматься кверху (рис.30).
Теперь график знаменателя построен. На этом же чер-
чертеже мы показали пунктиром и график числителя у\ = 1.
Остается теперь разделить числитель на знаменатель.
Так как числитель и знаменатель всюду одного знака,
то частное будет положительным и весь график пройдет
выше оси абсцисс. При х = 0 числитель и знаменатель
равны, их отношение равно 1. Пойдем по оси абсцисс
вправо от точки 0. Числитель остается равным 1,
а знаменатель уменьшается, следовательно, частное уве-
увеличивается от значения 1. Когда мы дойдем до значения
Х2 = 0,577..., знаменатель станет равным нулю. Это оз-
означает, что частное к этому моменту уйдет в бесконеч-
бесконечность (рис. 31). За точкой х2 знаменатель быстро пройдет
в обратную сторону путь от значения 0 до значения 1 и
далее начнет неограниченно возрастать. Частное наобо-
16

рот, из бесконечности вернется к 1, пересечет прямую
у = 1 в той же точке, где и у3, и далее будет неограничен-
неограниченно приближаться к нулю (рис. 32).
Числитель
менатель
Рис.31.
Рис. 32.
-3 -2 -1 х<
Рпс. 33.
Точно такая же картина получается с левой стороны
от оси ординат (рис. 33).
2*

Мы отметили на этом графике точки, соответствующие
целым значениям х = О, 1, 2, 3, — 1, —2, —3. Это те самые
точки, которые мы намечали при построении графика
«по точкам» на стр. 8. Но действительный ход графика
сильно отличается от того, который был предложен на
рис. 5.
Мы видим, что в действительности вместо того,
чтобы плавно спускаться от значения 1 (при х = 0) к
значению XU (при х = 1) и далее, кривая уходит вверх
в бесконечность. Мы можем увидеть здесь же и точку с
координатами х = xh, у = 16, которая никак не умеща-
умещалась на прежнем неправильном графике, но очень хорошо
умещается на новом, правильном.
Мы рассказали о простейших операциях, которые
можно производить с графиками. Точнее говоря, мы от-
отправлялись от простейшего уравнения у = х и применяли
далее четыре арифметические операции: сложение, вы-
вычитание, умножение и деление.
Функции у(х), получающиеся в результате таких
операций, представляются в форме частного двух много-
многочленов
и называются рациональными функциями переменного х.
(В анализе существуют и другие функции, но для самого
их определения требуется развитая теория вещественных
чисел; поэтому в настоящей брошюре мы ограничиваемся
только рациональными функциями.)
Читателю, заинтересовавшемуся построением графиков
«по действиям», мы предлагаем несколько задач для са-
самопроверки и тренировки.
ЗАДАЧИ
Начертите графики по следующим уравнениям:
I. у = хг +х +1. 2. у = х{хг — \). 3. у = х2(х-1).
X
4. у = х(х— 1J.5. у= х__1 .
Указание. В задаче 5 полезно выделить целую часть:
х	1_
х^1 ~~ ¦ x^^l -
20

° • У ~~ г — 1 '	I. У -= — г .
XI	д; — 1
Указание. В задачах 6 и 7 также полезно выделить целуй
часть.
Указание. Квадратный корень из х существует при
0 *), не существует при х < 0.
9. у =- ± У \ — х-.
Как доказать, что получающаяся кривая — окруж-
окружность?
Указание. Припомнить точное определение окружности
п использовать теорему Пифагора.
10. у = ± у' I + х\
Докажите, что ветви этой кривой при х -* оо неогра-
неограниченно приближаются к биссектрисам координатных
углов.
2
У к а 'л а п п е.
,-
V 1 + х- + х
П. у = ±х]/~хA — х). \2.у = ±х2 ]/ — х.
Ответы ко всем задачам даны на стр. 45—48.
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ
Прием построения графика «по действиям» позволяет
дать общее представление о ходе изменения функции.
Но для ответа на некоторые более точно поставленные
вопросы такие приемы уже недостаточны. Например, на
некотором графике (рис. 34) мы видим, что кривая, опу-
опускавшаяся до некоторого значения у0, которое отвечает
*) Утверждение вовсе не самоочевидное, а требующее для пол-
полного обоснования развитой теории вещественных чисел. Доказа-
Доказательство можно найти в любом хорошем учебнике анализа. Здесь
лишь требуется, поверив в существование корня, изобразить его
график.

абсциссе х0, затем начинает подниматься; соответствую-
соответствующая функция у (х), как говорят, имеет в точке х0 ло-
локальный минимум. Аналогичный смысл имеет понятие
локального максимума; мы говорим, что функция
у = у (х) имеет в точке х0 локальный максимум, если ее
график с увеличением х до точки х0 поднимается, а после
точки Хо — опускается (рис. 35). Спрашивается: каковы
точные значения хо и г/о?
Рис. 34.
Рис. 35.
Легко представить себе конкретную ситуацию, в ко-
которой возникает подобная проблема. Пусть, например, в
некотором производстве график 34 означает стоимость
тонны готовой продукции в зависимости от суточного рас-
расхода электроэнергии. При малом суточном расходе энер-
энергии производство тонны продукции будет весьма длитель-
длительным и наличие постоянных расходов (оплата персонала
и т. п.) приведет к большой ее стоимости. При большом
суточном расходе энергии время производства тонны про-
продукции сократится, но стоимость ее увеличится за счет
стоимости использованной энергии. При каком-то значе-
значении суточного расхода энергии стоимость тонны продук-
продукции будет минимальной; естественно, что нас весьма ин-
интересует, какова будет эта минимальная стоимость и ка-
какому именно суточному расходу энергии она соответству-
соответствует. В дальнейшем мы рассмотрим одну похожую задачу
(стр. 30).
Для точного ответа на поставленный выше вопрос о
положении точки локального минимума требуются уже
новые приемы, вводящие нас в раздел математического
аналива, называемый дифференциальным исчислением.
Идея решения приведенной задачи такова. В каждой
точке графика у (х) можно провести касательную прямую.
Касательная прямая в точке А графика у (х) (рис. 36)
22

определяется как прямая а, проходящая через точку А
так что сама кривая у (х) при приближении к точке А
заходит в любой сколь угодно малый угол с вершиной А,
содержащий внутри прямую а, и там остается (Именно в
этом ш^сле ось абсцисс касалась стандартной параболы
в § 1 ) Произвольная прямая Р, проходящая через точку
Л называется секущей для графика у (х); для секущей
не' совпадающей с касательной, всегда можно указать
У I
Рис. 36.
Рис. 37.
угол с вершиной в точке А ж с биссектрисой р, во внут-
внутренность которого кривая вблизи точки А не входит
(рис.37). Угловой коэффициент касательной в точке (х, у)
обозначим к = к(х). Эта функция к (х) называется про-
производной от функции у(х). (Немного погодя мы покажем,
что если у(х) есть многочлен, то и к(х) есть многочлен,
если у(х) есть рациональная функция, то и к(х) есть ра-
рациональная функция, и вообще дадим точные правила
для вычисления к(х).) Пусть функция к(х) для данной
у (х) найдена. В искомой точке локального минимума
(х0, у0) касательная а должна быть горизонтальна (до-
(доказательство от противного: мы видели, что кривая у =
= у(х) обязана заходить во всякий как угодно малый угол,
содержащий внутри себя прямую а; если прямая а на-
наклонна, можно построить такой малый угол с биссектри-
биссектрисой а, у которого обе стороны имеют одинаковый по зна-
знаку наклон (рис. 36), и, следовательно, кривая у = У (х)
не может иметь локального минимума). Поэтому в точке
х = х0 локального минимума мы должны иметь к(ха) = 0.
Пишем уравнение
к(х) = 0.
23

У этого уравнения, вообще говоря, может быть несколько
решепий. Каждое из них определяет точку (х0, у0) на кри-
кривой у = у(х), где касательная горизонтальна; мы должны
найти все эти решения и среди них выделить* именно то,
которое нас интересует. Таким образом, если функция
к (х) известна, вопрос сводится к решению алгебраичес-
алгебраического уравнения.
Теперь переходим к построению функции к(х). Пусть
сначала у = я2 есть наша стандартная парабола. Мы же-
желаем найти угловой коэффициент касательной в точке
(хо, Уо) на этой параболе.
Обозначим через Ах и Ау приращение абсциссы и ор-
ординаты нашей параболы при переходе из точки (х0, у0) в
близкую точку (хг, уг):
х1 = х0
1
(рис. 38)." Так как
г/о =
= у0
Уо
АхJ,
то, вычитая, находим
Ау = 2х0
+ (Axf
Через две точки (х0, у0) и (xt,' г/г) проведем секущую пря-
прямую (рис. 39). Ее угловой коэффициент равен, очевидно,
а полное ее уравнение имеет вид (см. D'))
У = Bха +Ах)(х- х0) +у0.
A2)
24

Будем уменьшать Ах до нуля (рис. 40). Секущая A2)
соответственно поворачивается вокруг точки (х0, у0) и,
когда Ах становится равным нулю, занимает положение,
описываемое уравнением
Z/кас == "Щ [X Xq) -p г/0.	(*j
Эта прямая, результат поворота секущей, и будет ис-
искомой касательной к параболе у = х2 в точке (х0, у0).
Докажем это утверждение. Уравнению кривой у = х2
можно придать вид
У ~ Уо ~\~ <->%о{% ¦'¦о) т (^ Xfj)
= г/0 4- [2ж0 4- (х — х0)] {х — хц);
отсюда видно, что при малых отклонениях х от xQ
график кривой проходит в
пределах как угодно уз-
узкого угла, образованного
прямыми
именно это будет иметь
место, если считать, что
— е < х — х0 < е. Так как
прямая (*) лежит внутри
этого угла при любом е,
то, в соответствии с приведенным выше определением,
она и будет искомой касательной.
Угловой коэффициент нашей касательной оказался
равным 2х0; таким образом, производная от функции
у = х2 равна
к(х) -- 2х.
Посмотрим, что дает подобное построение для функ-
функции у = Р{х), где Р(х) —многочлен п-п степени:
Р(х) = а0
-апхп.
A3)
Мы снова соединяем секущей точку (х0, у0), в которой
требуется провести касательную, и близкую к ней точку
(Л'о + Ах, г/о + Ау) на нашей кривой. При этом
г/о -г А у = Р (х0 + А х) =
= х0 -f аг(х0 + А л: )+...~ап{х0 + Дх)». A4)
25

Будем обозначать через si всякую сумму членов, содер-
содержащих Ах в первой степени и выше, через е2 — всякую
сумму членов, содержащих Ах во второй степени и выше.
Так как
Уо = ао + а\хъ +•¦• + ап4,
то, раскрывая скобки A4) по формуле Ньютона*) и вы-
вычитая A3) из A4), находим
ДУ = {аг + 2а2х0 +¦••+ папхп0~^) Ах + е2.	A5)
Далее, угловой коэффициент секущей получается деле-
делением Ау на Ах. Поскольку e2m.Ax=zi, его выражение
имеет вид
ку	. о	,	.	п-1 ,
д^ =a1 + 2a2x04- ... ~tnanx0 -f &,..
Полное уравнение секущей таково:
У = К+ 2«2^о +••• + raan^ + ei) (ж — ^о) + Уо-
Когда мы полагаем Да; равным 0, величина г1 обраща-
обращается в нуль, и мы получаем уравнение касательной
2/к-ас = («1 + 2а2а;0 +••• + папхТх) {х — х0) -f i/0.
Для углового коэффициента касательной получается вы-
выражение
к = аг -|- 2а2а;0 -f- ...4- wana;o x.	A6)
Величина /с, когда а;^ фиксировано, есть число; если хп
изменять, это число будет изменяться, и мы получим функ-
функцию, дающую значения соответствующих угловых коэф-
коэффициентов касательных к кривой у = Р(х) в различных
ее точках. Эта функция и есть, как мы говорили, произ-
производная функция от Р(х); иначе она обозначается Р'(х).
*) Формула Ньютона: для любого к и любых и, v
26

Полученная формула может быть написана так:
i.	A6')
Закон образования Р' (х) из Р (х) очень простой: в сумме
A3) каждая величина xk заменяется на kxk—i.
В частности, производная от постоянной (т. е. от функ-
функции, принимающей при всех х одно и то же значение
у = а0) равна 0. Впрочем, в данном случае это очевидно
и геометрически: касательная к графику функции у =а0
в каждой точке горизонтальна!
Возвращаясь к общему случаю, отметим равенство,
вытекающее из A5):
Р{х + Ах) = Р(х) + Р'{х)Ах 4- е2.	A7)
Рассмотрим аналогичный вопрос о касательной для
общей рациональной функции
/	A8)
Q(x) '	<• °'
где Р(х) и Q(x) — многочлены.
Здесь мы имеем, используя A7),
. . P^xo+^x) __
—
Q (а.о) + д, (Хо) Д
Вычитая A8) из A9), находим
( Рхр) + Р' (хо) Дх + е2 Р (х0)
д (
y~Q(x) + Q' Ы'Ах + е Q (х0)
IP' (х0) Q (х0) - Q' (х0) Р (хо)№х + е2
]
Отсюда угловой коэффициент секущей равен
Ау Р' (х0) Q (хр) - Q' (х0) Р (х0) + Et
Полное уравнение секущей имеет вид
Будем считать, что Q(xo)=^=O. Полагая здесь Ах = 0,
получаем уравнение касательной
_ P'(x0)Q(X<>)~Q'(x0)P(x0)
27

Угловой коэффициент касательной при х — х0 оказы-
оказывается равным
„/,_ч Р' (хо) Q (х0) — Q' (х0) Р (д0)
у \&о) —	/~\-i —\
Полученная формула дает правило вычисления про-
Р (х)
изводнои от частного	:
/ Р у P'Q — Q'P
Ы =	Q5	'
Рассмотрим несколько примеров на применение всех
приведенных правил.
1.	Какие два положительных числа, сумма которых
равна с, имеют наибольшее произведение?
Эта задача имеет элементарное алгебраическое реше-
решение. Не обращаясь к нему, применим наш общий метод.
Если одно из этих чисел есть х, а другое с — х, то речь
идет о разыскании максимума функции
Р (х) = х (с — х) = —х1 -\- сх.
Мы имеем
Р'(х) = — 2х +с
и, приравнивая производную нулю, находим решение:
х = с/2, с — х = с/2.
Следующая задача, по форме похожая на преды-
предыдущую, элементарно уже не решается.
2.	Какие два положительных числа, сумма которых
равна с, обладают тем свойством, что произведение куба
первого на квадрат второго дает наибольшую возмож-
возможную величину?
Здесь речь идет о максимуме функции
Р(Х) = Л-з (с - xf = хъ -
Как мы знаем, в точке максимума производная функции
должна обратиться в нуль.
Вычислим производную
Р' (х) = 5х^-^сз? + Зс2х2.
Приравнивая ее нулю, замечаем очевидное решение х = 0.
28

Разыскивая решения х-ф О, мы должны решить квадрат-
квадратное уравнение
5а;2— Sex + Зс'2 = 0.
Его решение
4с ± у\.Ьс-— 15? 4с ± с
Таким образом, касательная к графику функции у = Р(х)
3
горизонтальна в точках Х\ = 0, х2 = -?- си^ = с. Значе-
О
ния Х\ и хъ дают для Р(х) нулевую величину, значение
х2— положительную, Р(х2) = C/5K B/5J с5. Значит,
искомые числа суть х2 = Зс/5, с — х2 = 2с/5.
3.	Под каким углом пересекает ось х кривая у=Р(х) =
= х(х—1) (х — 2) (х — 3) (см. рис. 21 на стр. 15)?
Естественно, что под углом между осью и кривой мы бу-
будем понимать угол между осью и касательной к кривой
(в точке пересечения с осью).
Решение. Раскрывая скобки, получаем
у = xi — 6а,3 + iix2— Qx;
отсюда по формуле A6')
у' = 4Г5— 18ж2 + 22ж — 6.
Кривая у — Р(х) пересекает ось х в точках 0, 1, 2 и 3.
Последовательно подставляя, получаем
у'@) = -6, у'(\) = 2, j/B)= -2, 1/C) = 6.
Эти числа есть угловые коэффициенты касательных в
указанных точках, т. е. тангенсы искомых углов.
4.	В каких точках касательная к этой же кривой го-
горизонтальна?
Угловой коэффициент касательной в точках, где она
горизонтальна, равен 0. Приравнивая 0 выражение про-
производной, получаем уравнение
Ах3- 18ж2+22ж -6 = 0.
У этого уравнения есть очевидное (пз чертежа, на основа-
основании соображений симметрии) решение xt = 3/2. Выделяя
29

множитель х — 3/2, получаем
4х* - 18*a-f 22* — 6 = Цх — 3/2) (ж2 — 3* + 1).
Остается решить квадратное уравнение х2—Зх +1=0.
Решая, находим
X2,3=3J^ = \,5 ± 1,118...
Легко вычисляются и соответствующие ординаты:
(	LV 3 \_-I_
\ 2 Д ,;2 j * 16 ¦
'±/5 -1±/5 - 3 ± ул5 _
и -А. ±(	LV 3 \_-I_
У1 ~ 2 " 2 \ 2 Д ,;2 j * 16
17	2	2"	2	'	2	~
= -^¦E — 9) E— 1) = —1.
5. Известно, что скорость теплохода v в зависимости
от стоимости часового расхода топлива р руб. выражает-
выражается формулой
„_ * Р
Эта формула иллюстрируется
графиком (рис. 41). График отве-
отвечает естественному предположе-
предположению, что вначале при сравнитель-
сравнительно небольших затратах на топливо
Рис. 41.	скорость теплохода возрастает про-
пропорционально росту затрат; в даль-
дальнейшем прирост скорости замедляется, и никаким увели-
увеличением подачи топлива нельзя заставить теплоход дви-
двигаться быстрее некоторой предельной скорости с.
Кроме расходов на топливо имеются постоянные рас-
расходы, которые составляют q руб. в час. G какой скоростью
следует плыть из порта А в порт В, находящийся от А
на расстоянии s км, чтобы общая стоимость плавания
была минимальной?
Решение. Пусть v — некоторая скорость, Т =
= slv — время путешествия. Расходы на топливо вы-
вычисляются следующим образом: часовой расход получа-
получается обращением формулы B3):
р = —^—,	B4)
30

а полный расход Р — умножения B4) на время Т = s v:
Р — —-— .Постоянный расход Q дает величину qT =
— д~. Общий расход R равен
-1г)- B5)
График этой функции имеет вид, показанный на рис. 42.
R
С V
Рис. 42.
Рис. 43.
Чтобы найти скорость v, отвечающую минимальной сум-
сумме расходов, приравниваем нулю производную от В по v:
R' (i?) = s
Отсюда
—д(с _ г;J = 0, гЯ = ? (с - г;J,
у = Y~q (с — v) =
Уч
V =
qc —
— с км/час.
B6)
Подставляя B6) в B5), находим и общую сумму расходов
на самое эюнэмлое плавание: R — — A -f У qJ-
6. Какова касательная к кривой у = ж3 при ж = О.1*
Мы имеем г/' = Зж2 и при х — 0, очевидно, г/' = О,
так что касательной служит ось х (рис. 43).
*) Отброшенное решение, соответствующее уравнению
v = — Vq (c — v),
не имеет смысла, так как правая часть отрицательна {и <С с).
31

Мы видим, что в данном случае касательная перехо-
переходит с одной стороны кривой на другую: при х > 0 кривая
выше касательной, а при х < 0 кривая ниже касательной.
Такие точки графика, где касательная переходит с одной
стороны кривой на другую, называются точками пере-
перегиба (рис. 44). Так, то же значение х = 0 определяет
точку перегиба для кривых
у = Сх3 -j- х
при разных значениях С (рис. 45).
Рис. 44.	Рис. 45.
Действительно, мы имеем у'@) = 1, так что уравнение
касательной, проведенной через точку @, 0), имеет вид
J/кас = •?>
поэтому разность
У — i/кас = Сх3
меняет знак при переходе от отрицательных х к положи-
положительным.
Поставим вопрос, как найти точки перегиба у графика
данной функции у = f(x).
Из рис. 45 видно, что если при увеличении х кривая
переходит из положения «под касательной» в положение
«над касательной», то ее угловой коэффициент у'(х) по
обе стороны точки касания больше, чел в самой точке
касания:
у'(х) > у'{х0),
X Ф ?„.
Аналогично, если при увеличении х кривая переходит из
32

положения «над касательной» в положение «под касатель-
касательной», то у'(х) по обе стороны точки касания меньше, чем
в самой точке касания:
У'(х) < у'(х0),
х =f= х0.
В первом случае точка перегиба есть точка локального
минимума функции у'(х), во втором — точка локального
максимума этой функции. Чтобы найти эти точки, мы
должны сначала вычислить производную от функции
Рис. 46.
у'(х). Эта функция (у'(х))' называется второй производ-
производной от функции у (х) и обозначается через у"(х). Далее
мы должны вайти решения уравнения
у"(х) = 0.
Среди решений этого уравнения заключаются абсциссы
всех искомых точек перегиба. (Могут появиться и «па-
«паразитные» решения, не определяющие точек перегиба; та-
такие решения мы, разумеется, должны отбросить*).)
7. Найдем точки перегиба у кривой у = -г——,
1 -f- X'
(рис. 46).
*) Так, для функции у = х4 имеем
\у' = Ах3, у" = 12ж2;
при х = 0 мы имеем
ij"(r) = 0;
однако эта точка не является точкой перегиба для кривой ?/ = D.
аз

Рисунок подсказывает нам, что таких точек должно
быть две, они симметрично расположены относительно
оси ординат. Найдем их, руководствуясь указанным вы-
выше правилом.
Мы имеем
' —	2х
У -~ A + х*у '
,,»_Л,'\'	A + а:*)-2 - 2а: Dа: + 4а:3)	6а:2 - 2
Приравнивая полученное выражение нулю, находим
два решения:
»! о = 4- Т/4-= -+-0, 577...
1	—~ V л
Мы видим, что дифференциальное исчисление позво-
позволяет единым общим методом решать целый ряд задач,
решепие которых недоступно элементарной математике.
В этом — сила дифференциального исчисления.
ЗАДАЧИ
15. При каком соотношении высоты и диаметра осно-
основания консервная (цилиндрическая) банка данного объ-
объема требует минимального количест-
количества металла?
16.	Из квадратного листа желе-
железа вырезают по углам квадратики и
затем стороны сгибают по пунктир-
пунктирным линиям, превращая лист в от-
открытую сверху коробку (рис. 47).
При каком размере вырезаемых квад-
квадратов объем коробки будет наиболь-
Рис. 47.	гаим?
17.	Формула для производной
от функции у = Уf(x) имеет вид:
"' V / (х)
Приняв ее, решить следующую задачу.
Мой дом стоит на расстоянии h км от (прямой) до-
дороги (рис. 48). Я должен выйти на дорогу и на машине до-
добраться до города, отстоящего (по прямой) от дома
34

на s км. Скорость пешехода и, скорость машины v. Какой
маршрут наиболее быстрый?
Рис. 48.
18. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса
R, чтобы из него можно было свернуть воронку наиболь-
наибольшей вместимости?
Множество задач на производные и их применения к
разным вопросам математики, физики и др. имеется в
распространенных задачниках.
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ
Что называть площадью какой-либо плоской фигуры,
ограниченной, вообще говоря, не прямолинейным конту-
контуром? Будем исходить из следующих предпосылок:
1.	Площадь прямоу-
прямоугольника со сторонами а и
b равна аЪ.
2.	Площади равных
(т. е. совмещающихся при
наложении) фигур равны.
3.	Если фигура Ф сос-
составлена из фигур Ф1,...
... ,ФП, то ее площадь равна
сумме площадей фигур
Ф1,-.-, Фп-
Отсюда следует, что
площади равносоставлен-
ных фигур равны. Далее, треугольник с основанием а и
высотой h можно разрезать известным образом на части
и составить из них прямоугольник со сторонами а/2 и h
(рис. 49); отсюда следует, что площадь треугольника
35
Рис. 49.

равна ha/2. Наконец, площадь любого многоугольни-
многоугольника можно получить как сумму площадей составляющих
его треугольников (рис. 50).
4. Площадь фигуры Ф меньше, чем площадь любого
Рис. 5 '.	Рис. 51.
содержащего ее многоугольника, и больше, чем площадь
любого содержащегося в ней многоугольника (рис. 51).
Существует теорема, в силу которой каждой плоской
фигуре Ф, ограниченной не очень сложным контуром, мож-
можно поставить в соответствие, причем единственным об-
образом, число 5(Ф), называемое площадью фигуры Ф, так,
что при этом удовлетворяются условия!—4. (Точная фор-
формулировка и доказательство этой теоремы слишком слож-
сложны, чтобы их здесь приводить; есть книга Лебега «Об
измерении величин», Учпедгиз, 1938, где можно найти
полное освещение этих вопросов.)
Во всяком случае, площадь в указанном смысле су-
существует для всякой фигуры, контур которой составлен
из конечных дуг графиков рациональных функций. При-
Принимая эту теорему, обсудим вопрос о самом вычислении
площади фигуры Ф (криволинейной трапеции), ограни-
ограниченной снизу отрезком оси х, от х = а до х = Ь, сверху—
кривой у = f(x) (как обычно, f(x) есть рациональная функ-
функция), с боков •— прямыми, параллельными оси у и прохо-
проходящими через точки х = о, х = h (рис. 52).
Возьмем некоторое число х0, лежащее в промежутке
от а до Ь, и поставим аналогичную задачу относительно
разыскания площади фигуры Ф (х0), отличающейся от
фигуры Ф тем, что правой ее границей является верти-
вертикальная прямая, проходящая не через точку Ь, а через
точку ж„. Величина этой площади зависит от выбора зна-
36

чения х0, т. е. является функцией от аргумента х0, опреде-
определенной на всем отрезке а ^ ,т0 ^ Ь; мы обозначим эту
функцию через S(x0). Очевидно, S(a) = 0, a S(b) есть
Рис. 52.	Рис. 53.
искомая площадь фигуры Ф. Можно набросать график
этой функции; он в данном случае имеет вид, похожий на
тот, который указан на рис. 53.
Если правая абсцисса х0 фигуры
Ф (х0) увеличивается на Ах0 = хх — х0,
то площадь получает прираще-
приращение ABDEC = AS (рис. 54), которое
составляется из площади прямо-
прямоугольника ABDC — у Дж0 и площади
криволинейного треугольника CDE.
Последняя не превосходит Л г/ Ах0 *)
и, следовательно, в соответствии с
предыдущим может быть обозначена
через г1Ах().
Таким образом,
S(xt) — S(x0) = {у
Рис. 54.
Ах0.
Уравнение секущей к графику кривой у — S(x), про-
проходящей через точки (х0, S(xQ)) и (хи S(x1)), имеет вид
у _ S (
- *о) - (УЫ
х - х0).
Как и раньше, полагая здесь хх — х0, получаем урав-
уравнение касательной в точке (х0, у0):
у — S(x0) = у(хо)(х — х0).
Угловой коэффициент касательной оказывается равным
у(х0). Но угловой коэффициент касательной к графику
*) Считаем, что функция у возрастает (или убыва ет) на участке
от х0 до хг; для рациональной функции у всегда можно этот участок
взять настолько малым, что это услопие будет выполнено.
37

функции у = S(x) в точке с абсциссой ж0 есть, как мы зна-
знаем, производная от функции S(x) при х = х0. Таким об-
образом, мы получаем равенство
5"(жо) = г/(жо)-
Поэтому, чтобы найти функцию S(x), нужно найти функ-
функцию, производная которой есть у (ж), т. е. произвести над
функцией f{x) операцию, обратную дифференцированию.
Операция над какой-либо функцией, обратная дифферен-
дифференцированию, называется интегрированием. Всякая функ-
функция F(x), производная которой есть у (ж), называется пер-
первообразной от у (ж) или интегралом от у (ж). Заметим, что
если мы нашли одну какую-нибудь первообразную F(x)
от функции у (ж), то в качестве первообразной от той же
функции у (х) годится и всякая другая функция вида
.Р(ж) -\- С (С — постоянная), поскольку производная от
постоянной равна 0. Искомая функция S(x), как мы за-
заметили, при х = а обращается в 0. Поэтому, найдя неко-
некоторую первообразную F(x), для недостающей постоянной
С можно написать уравнение
S{a) = F(a) + С = 0, откуда С = —F(a).
Окончательно, найдя первообразную функцию F(ж), иско-
искомое решение мы запишем в форме
S(x) = F(x) — F(a)
и, в частности,
S{b) = F(b) - F(a),	B7)
чем наша задача и решена — точнее, ее решение приведе-
приведено к задаче об отыскании первообразной для данной функ-
функции /(ж).
Чтобы иметь возможность использовать полученный
общий результат B.7), нужно уметь находить первообраз-
первообразные. Если функция у = у (ж) есть многочлен
У = ao+aix +... + апж",
то одну из ее первообразных написать легко, именно:
Р{х) = аот+аг^-+...+ап-?^Г.	B8)
Поэтому площади фигур, ограниченных (сверху) ли-
линиями вида у = Р(х), где Р(х) — многочлен, можно вы-
вычислить без особого труда.
38

Пусть, например у = у(х) есть линейная функция
(рис. 55), изменяющаяся на отрезке а <Г .г <; b от значения р
до значения д:
Одна из ее возможных первообразных, в соответствии
с B8), имеет вид
F{x) =
— Р
В соответствии с формулой B7) получаем
-pa =
что совпадает с формулой площади трапеции в элементар-
элементарной геометрии. В частности, для площади прямоугольни-
прямоугольника и треугольника (частные случаи трапеции) также по-
получаются формулы элементарной геометрии.
Рис. 55.
Рис. 56.
Но метод интегрирования дает возможность вычислить
площади и многих неэлементарных фигур. Рассмотрим
еще некоторые примеры.
1. Вычислим площадь ОАВ (рис. 56) криволинейного
треугольника, ограниченного снизу отрезком 0<^ <Га

оси х, справа — ординатой 1 = аи сверху — кривой у —
= Схп. Первообразной для функции у = хп является
F(x) = хп+11{п
поэтому согласно формуле B7)
„П+1	QU+1
1);
S(a) =
— С
= С-
а-Са
Число Сап есть длина отрезка АВ. Таким образом, иско-
искомая площадь S{a) есть 1/(га + 1)-я часть от площади опи-
описанного прямоугольника О ABC.
2. Вычислим площади Slf S2, S3 (рис. 57), ограничен-
ограниченные кривой у = х(х—1) (х—2) (х—3) и участками оси х
от 0 до 1, от 1 до 2 и от 2 до
Мы имеем здесь
у == Р(х) =
= xi - 6^ + 11а:2 - 6ж,
и ее первообразная
г5
1113
Рис. 57.
6г'
2 '
Отсюда
11
Знаке—» подчеркивает, что площадь 5г лежит под осью х.
Затем
32,
3
и, наконец,
li.
Результат совпадает с Slt что можно было бы предвидеть
по соображениям симметрии.
3. Вычислим площадь S (рис. 58) под кривой у —
— — между прямыми х = 1 и х = N, где iV — большое

число. Первообразная от у (х) = Их1 есть, очевидно,
F(x) = — AЛг), и мы получаем
S = F(N) - F(l) = 1 - UN.	B9)
Интересно, что при любом как угодно большом^ N
эта площадь меньше чем 1. Формула B9) показывает, что
всей бесконечно протяженной фигуре, ограниченной снизу
осью х, сверху — кривой у — i/x2, слева — отрезком
прямой х = 1 и не ограниченной справа, естественно при-
приписать конечную площадь — именно равную 1.
ъ-
Рис. 58.
Мы видим, что исчисление интегралов, основанное на
исчислении производных, позволяет единым образом ре-
решать ряд задач о площадях, решение которых недоступно
для элементарной математики. Но задача о площади —
сравнительно частная задача, только одна из реализаций
общей задачи о разыскании первообразной функции по
ее производной. А к этой общей задаче приводятся многие
задачи из математики, а также из механики, физики, хи-
химии, биологии; интегральное исчисление дает возможность
решать общим приемом множество задач с самыми различ-
различными конкретными постановками, но с общей математи-
математической сущностью (например, расчет энергии, необходи-
необходимой для подъема спутника; выяснение закона распада
радиоактивного вещества; количественный анализ хода
химической реакции или размножения бактерий). Не имея
возможности описывать здесь эти заманчивые приложе-
приложения, обратим внимание начинающего читателя на книжку
Г. Филипса «Дифференциальные уравнения», Гостехиз-
дат, 1950, где имеется масса задач из разных областей на-
науки и техники, рассчитанных на применение интеграль-
интегрального исчисления.
4. К следующему примеру отнесемся более вниматель-
внимательно. Речь идет о площади S под той же кривой у = 1/ж2 между
41

прямыми х = ашх=Ь^>а (рис. 59). Пользуясь тем же
приемом, получаем результат
Если а и Ъ одного знака, результат получается положи-
положительным, что вполне естественно, так как кривая у =
= 1/х2 расположена над осью х. Если же а и b разных
знаков, а <0, b ^> 0, резуль-
результат неожиданным образом
отрицателен, что никак не вя-
вяжется с геометрической карти-
картиной. Причина в том, что мы
формально, не критически, при-
применили правило B7) с перво-
первообразной. На самом деле пра-
правило B7) имеет определенные
границы его применения, за
которыми оно теряет силу; но
даже указать точно эти грани-
границы мы не имеем здесь возмож-
возможности, поскольку сами форму-
формулировки требуют отсутствую-
^х щих у нас общих понятий.
И вообще, в интегрирова-
интегрировании рациональных функций
при более внимательном рас-
рассмотрении у нас появляются «белые пятна». В самом
деле, первообразные от некоторых рациональных функций
можно получить, используя равенство
О
Рис. 59.
вытекагошее из обптей формулы B2). Именно, для выра-
выражения
../_ч	Ьх ,	Ы ,	,	\
— C0>
первообразная может быть задана формулой
х — ах	2 (г — a-iI
: (х — а )
42

Но вовсе не каждая рациональная функция приводится
к виду C0). Например, мы не получаем этим способом пер-
первообразной от функции Мх. В действительности у Их
есть первообразная, но она не только не является рацио-
рациональной, но и вообще не принадлежит к числу элементар-
элементарных функций, изучаемых в школе. Если при дифференци-
дифференцировании, отправляясь от класса рациональных функций,
мы не выходим из этого класса, то обратная операция —
интегрирование с необходимостью приводит нас к новым
функциям. А их изучение требует уже совсем иных об-
общих подходов и совсем иного уровня техники анализа,
чем те, которые мы применяли в этом кратком очерке.
Поэтому для должного владения аппаратом дифферен-
дифференциального и интегрального исчисления необходимо изу-
изучить предварительные разделы анализа, трактующие о
вещественных числах, пределах и непрерывности. В этих
разделах содержатся совершенно необходимые общие ос-
основы, позволяющие использовать весьма широкий класс
функций, далеко выходящий за границы рассмотренного
нами класса рациональных функций.
Существует много хороших книг, в которых излагаются
основы математического анализа *). Мы надеемся, что на-
начинающий читатель, заинтересовавшийся после чтения
этой брошюры возможностями дифференциального и ин-
интегрального исчисления, найдет возможность и дальней-
дальнейшего знакомства с математи-
математикой, столь полезной всем дру-
другим наукам, а через них — 4 —
и всему человечеству.
ЗАДАЧИ
19. Какова площадь, ог-
ограниченная сверху кривой
у = хг -\- Их2, снизу — осью
х, слева и справа — верти-	Рис- 60.
кальными прямыми, пересе-
пересекающими ось х соответственно в точках а = 1/2 и Ь = 2
(рис. 60)?
*) Например: В.И.Смирнов, Курс высшей математики,
том 1; Г. М. Ф п х т е н г о л ь ц, Основы математического
анализа, том 1; А. Я. X инчин, Краткий курс математического
анализа; Р. К у р а н т. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, том 1.
43

20.	Найти площадь, заключенную между двумя кри-
кривыми (рис. 61):
у = схт, х = dyn.
Указание. Использовать пример 1 § 3.
21.	Найти площадь, ограниченную сверху прямой
х -4- У — 2, снизу — параболой у = х2 (рис. 62).
Рис. 61.
Указание. Представить искомую площадь как разность
двух площадей, ограниченных с боковых сторон вертикальными
прямыми.
22. Скорость, которую приобретает падающее
тело за время t после начала падения, равна gt (g =
= 9,81 м/сек2). Какой путь проходит падающее тело за это
время?
Скорость
Указание,
по времени,
есть производная от пути

ОТВЕТЫ
-2 -1 \и t
Рис. 63. К задаче 1.
Рис. 65. К задаче 3.
о
Рис. 64. К задаче 2.
Рис. 66. К задаче 4.
У
Рис. 67. К задаче 5.
45

Рис. 68. К задаче 6.
Рис. 69. К задаче 7.
Рис. 70. К задаче 8.
Рис. 71. К задаче 9.

,у
О
Рис. 72. К задаче 10. Рис. 73. К задаче 11.
-/
Рис. 74. К задаче 12. Рис. 75. К задаче 13.
0 /
Рис. 76. К задаче 14.
47

15.	Высота банки должна быть равпа диаметру основания.
16.	Стороны вырезаемых квадратов составляют 1/6 от стороны
всего квадрата.
17.	Сипус угла пешеходного путл и перпендикуляра к дороге
должен быть равен и/и, если только это отношение не превосходит
В противном случае наиболее быстрый маршрут — пешком по
прямой линии в город.
18. а = 2л ft— l/-|-) радиан"^ 72е.
19. S = 33/8.
21.	S = 9/2.
22.	s - (gfi)l2.

Цена^/'коп.
НЗД VTE.4bCTBO «НАУКА»
ГЛ VBHAH РЕДАКЦИЯ
«МКШКО-МАТЕМАТИЧЕСКОП JI1ITEPAT> I'M
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИК!-'
Нин. 1. \- II. Марку шевич. Возвратные последовательности.
Нин. 2. 11. II. Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум.
hnii. 3. И. С. Сомпнскнй. Метод математический индукции.
Вып. 4. А. II. Маркушевич. Замечательные кривые.
Нын. о. 11. II. Коровкнп. Неравенства.
Вып. (i. II. II. liopoGbcB. Числа Фибоначчи.
Инн. V. Л. Г. К>рош. Агсгебраические уравнения произвольных сте-
степеней.
Вып. 8. А. О. Гсльфонд. Решение уравнений в целыч числах.
Кии. а. А. II. Маркушевич. Площади и логарифмы.
Вып. 10. Л. С (.'могоржевскни. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Д}Снов. Ошибки в геометрических дока.'.ате.п.ствах.
Вып III. li. II. Натансон, суммирование бесконечно малых величин.
Вып. 13. Л. II. Маркушевнч. Комплексные числа и конформные or»
Сражения.
Вып. 14. Л. II. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 1о. II. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших степеней.
Выи. Hi. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып. Ii. IV Г. Ьолгинекнй. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьнп. Прямой круговой ци шндр.
Bi.hi. la. Л. А. Люстернпк. Кратчайшие .шнии.
lii.ni. "¦). А. М. .'Ioihiiiiil Вычисление п ющацей ориентированных
фигур.
Цып. 21. .1. 11. Головина и II. М. Яг.юч. Индукция в геометрии.
Вьиг. 22. II. Г. Болтннгкий. равновеликие и равноеоставлепиые фи-
гуры.
Вып. 2Х V. С. Смогоржевекнй. О геометрии Лпбнчевскпги.
Bi.ui. 24. Б. II. .VprjnoB и Л. Л. Скорняков. Конфигурационные ге<р-
ремы.
Цыц. 25. Л. С. Смогоржевский. Линейка в геометрических постро-
построениях.
Цып. 2И. Б. V. Трахтенпрот. Алгоритмы и машинное решение ладач.
Вып 27. П. А. Успенский. Некоторые приложения механики 1ч мате-
математике.
Пын. 28. II. А. Архангельский и Б. II. Зайцев. Авто.матнчесьис иифро
вые машины.
Шли. 29. А. II. Костов -кии. Геометрические построения одним цир-
циркулем.
Вып. :'.1). Г. К. Шилов. Как строить графики.
Вып. 31. \. Г. Дорфман. Оптика конических сечений.
Пын. 32. Е. С. Вентцель. Элементы теории игр.
Вып. 33. А. С. Барсов. Что такое линейное программирование.
Выи 34. Б. Е. Маргулнс. Системы линейных уравнений.
Вып. 35. II. Я. Внленкин. Метод последовательных щитлижсиий.
Вып. 36. В. Г. Болтянский. Огибающая.
Вып. 37. Г. Е. Шилов. Простая гамма (усгройство музыкальной
шкалы).
Нып. 38. К). А. Шрейдер. Что такое расстояние?
Вып 39. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости.
Вып. 411 С. п. Фомин. Системы счисления.
Вып 41 Б. Ю Коган. Приложение механики к геометрии.
Вып. 42. К). II. Любнч ц Л. А. Шор. Кинематический метод и геомет-
геометрических задачах.
Вып. 43. В. А. Успенский. Треугольник Паскаля.
Кыи. 44. II. Я. Ваке.и.маи. Ннверсия.
Вып 45. П. М. Яглом. Необыкновенная алгебра.
Вып. 4В. II. М. Соболь. Метод Монте-Карло.
Вып 47 ¦¦!. А. Калуилшн. Основная теорема арифметики.
Иып 48 А. С. Солодовников. Системы линейных неравенств.
Bun. 49. Г. Е. Шилов. Математический анализ в области рациональ-
рациональных функций.