Author: Горбунов Д.С. Рубаков В.А.
Tags: астрономия физика вселенная теория большого взрыва
ISBN: 978-5-9710-1679-3
Year: 2015
Text
Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
Полностью
переработанное
и дополненное
издание
ТЕОРИЯ
ГОРЯЧЕГО
БОЛЬШОГО ВЗРЫВА j
Однородная изотропная Вселенная · Динамика расширения Вселенной ·
Λ CDM: космологическая модель с темной материей и темной энергией · Г
Термодинамика в расширяющейся Вселенной · Рекомбинация · » ,
Реликтовые нейтрино · Первичный нуклеосинтез ■ Темная материя · хЩг
Фазовые переходы в ранней Вселенной · Генерация барионной J
асимметрии ■ Топологические дефекты и солитоны во Вселенной URSS
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт ядерных исследований
Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
РАННЕЙ
ВСЕЛЕННОЙ
Теория горячего
Большого взрыва
Издание третье,
существенно переработанное
и значительно дополненное
URSS
МОСКВА
ББК 22.6 22.3я44
Горбунов Дмитрий Сергеевич,
Рубаков Валерий Анатольевич
Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. Изд. 3-е,
сущ. перераб. и значит, доп. — М.: ЛЕНАНД, 2016. — 616 с.; цв. вкл.
Настоящая книга написана в значительной мере с точки зрения связи космологии с физи¬
кой микромира. В ней излагаются результаты, относящиеся к однородной изотропной Вселен¬
ной на горячей стадии ее эволюции и на последующих космологических этапах. В основных
разделах рассматриваются установившиеся представления о ранней и современной Вселенной;
эти разделы могут служить современным введением в данную бурно развивающуюся область
науки. Для облегчения чтения основных разделов в приложениях приведены необходимые
сведения из общей теории относительности и теории элементарных частиц. Кроме того, в кни¬
ге рассматриваются гипотезы (зачастую альтернативные друг другу), относящиеся к нерешен¬
ным проблемам космологии, таким как проблемы темной материи, темной энергии, асиммет¬
рии между веществом и антивеществом и т. д.
Монография имеет продолжение «Введение в теорию ранней Вселенной: Космологиче¬
ские возмущения. Инфляционная теория» (М.: URSS), в котором излагаются результаты, отно¬
сящиеся к теории развития космологических возмущений, инфляционной теории и теории
постинфляционного разогрева.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов, специализирую¬
щихся в области физики элементарных частиц и в области космологии.
ООО «ЛЕНАНД». 117312, г. Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, д. 11А, стр. 11.
Формат 70x100/16. Печ. л. 38,5. Тираж 700 экз. Зак. № 591.
Отпечатано в ОАО «Областная типография «Печатный двор».
432049, г. Ульяновск, ул. Пушкарева, 27.
ISBN 978-5-9710-1679-3
©ЛЕНАНД, 2015
13590 ID 193178
78597
6793
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7 (499) 724 25 45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой
бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, вклю¬
чая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет
письменного разрешения владельца.
Оглавление
Предисловие к третьему изданию 8
Предисловие к первому изданию 9
Глава 1. Космология. Краткий обзор 11
1.1. О единицах измерения 11
1.2. Вселенная сегодня 14
1.2.1. Однородность и изотропия 14
1.2.2. Расширение 15
1.2.3. Время жизни Вселенной и размер её наблюдаемой части ... 21
1.2.4. Пространственная плоскостность 23
1.2.5. «Тёплая» Вселенная 23
1.3. Баланс энергий в современной Вселенной 28
1.4. Вселенная в будущем 36
1.5. Вселенная в прошлом 37
1.5.1. Рекомбинация 37
1.5.2. Первичный нуклеосинтез 39
1.5.3. Закалка нейтрино 40
1.5.4. Фазовые переходы во Вселенной 41
1.5.5. Генерация барионной асимметрии 42
1.5.6. Генерация тёмной материи 43
1.6. Образование структур во Вселенной 44
1.7. До горячей стадии 46
1.7.1. Аргументы из наблюдательных данных 46
1.7.2. Проблемы теории горячего Большого взрыва 48
1.7.3. Инфляционная теория 49
1.7.4. Альтернативы инфляции 51
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная 52
2.1. Однородные изотропные пространства 52
2.2. Метрика Фридмана—Леметра—Робертсона—Уокера 55
2.3. Красное смещение. Закон Хаббла 57
2.4. Замедление относительного движения 61
2.5. Газы свободных частиц в расширяющейся Вселенной 64
3
4
Оглавление
Глава 3. Динамика расширения Вселенной 68
3.1. Уравнение Фридмана 68
3.2. Примеры космологических решений.
Возраст Вселенной. Космологический горизонт 72
3.2.1. Нерелятивистское вещество («пыль») 73
3.2.2. Ультрарелятивистское вещество («радиация») 75
3.2.3. Вакуум 78
3.2.4. Уравнение состояния р = wp 80
3.3. Решения с реколлапсом 82
Глава 4. ACDM 84
4.1. Современный состав Вселенной 84
4.2. Общие свойства эволюции Вселенной 87
4.3. Переход от замедления к ускорению 89
4.4. Переход от радиационно-доминированной к пылевидной стадии . . 90
4.5. Возраст современной Вселенной и размер горизонта 94
4.6. Соотношение «видимая яркость — красное смещение»
для удалённых стандартных свеч 98
4.7. Угловые размеры удалённых объектов 109
4.8. * Квинтэссенция 112
4.8.1. Особенности эволюции однородного скалярного поля
в расширяющейся Вселенной 113
4.8.2. Ускоренное расширение Вселенной
за счёт скалярного поля 117
4.8.3. Следящее поле 119
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной 122
5.1. Функции распределения бозонов и фермионов 122
5.2. Энтропия в расширяющейся Вселенной.
Барион-фотонное отношение 130
5.3. * Модели с промежуточной пылевидной стадией:
генерация энтропии 135
5.4. * Неравновесные процессы 139
Глава 6. Рекомбинация 145
6.1. Температура рекомбинации в термодинамическом равновесии . . . 145
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной 151
6.3. * Выполнение условий теплового равновесия 161
6.3.1. Подогрев электронов 162
6.3.2. Кулоновское рассеяние:
тепловое равновесие электрон-протонной компоненты .... 166
6.3.3. Тепловое равновесие фотонов 168
6.4. Горизонт эпохи рекомбинации и угол, под которым он виден
сегодня. Пространственная плоскостность Вселенной 178
Оглавление 5
Глава 7. Реликтовые нейтрино 185
7.1. Температура закалки нейтрино 185
7.2. Эффективная температура нейтрино.
Космологическое ограничение на массу нейтрино 187
7.3. ""Стерильные нейтрино как тёмная материя 192
Глава 8. Первичный нуклеосинтез 203
8.1. Закалка нейтронов. Нейтрон-протонное отношение 203
8.2. Начало нуклеосинтеза. Направление термоядерных реакций .... 208
8.3. Кинетика нуклеосинтеза 215
8.3.1. Горение нейтронов, р + п —> D + 7 216
8.3.2. Горение дейтерия 217
8.3.3. ""Первичные 3Не и 3Н 224
8.3.4. ""Образование и горение наиболее тяжёлых ядер
первичной плазмы 227
8.4. Наблюдаемая распространённость первичных элементов 230
Глава 9. Тёмная материя 234
9.1. Холодная, горячая и тёплая тёмная материя 235
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц 238
9.3. Слабовзаимодействующие массивные частицы (WIMPs) 250
9.4. ""Другие применения результатов раздела 9.2 258
9.4.1. Остаточная плотность барионов
в барион-симметричной Вселенной 259
9.4.2. Тяжёлые нейтрино 259
9.5. Новые частицы — кандидаты на роль тёмной материи 260
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях 262
9.6.1. Нейтралино 264
9.6.2. Снейтрино 276
9.6.3. Гравитино 277
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы 290
9.8. ""Другие кандидаты 308
9.8.1. Сверхтяжёлые реликтовые частицы 308
9.8.2. Экзотика 309
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной 311
10.1. Типы фазовых переходов 313
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении 326
10.3. ""Электрослабый вакуум при нулевой температуре 341
10.4. Инфракрасная проблема 349
Глава 11. Генерация барионной асимметрии 355
11.1. Необходимые условия генерации асимметрии 356
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
во взаимодействиях частиц 360
11.2.1. Электрослабый механизм 361
6
Оглавление
11.2.2. Нарушение барионного числа
в теориях Большого объединения 368
11.2.3. Несохранение лептонных чисел
и майорановские массы нейтрино 378
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц 380
11.4. Барионная асимметрия и массы нейтрино: лептогенезис 391
11.5. Электрослабый бариогенезис 399
11.5.1. Условия нарушения термодинамического равновесия 399
11.5.2. “Генерация барионной асимметрии на толстой,
медленно движущейся стенке 401
11.5.3. “"Бариогенезис на тонкой стенке 407
11.5.4. Электрослабый бариогенезис, СР-нарушение
и ЭДМ нейтрона 413
11.6. “"Механизм Аффлека—Дайна 415
11.6.1. Скалярные поля, несущие барионное число 415
11.6.2. Генерация асимметрии 417
11.7. Заключительные замечания 423
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной 425
12.1. Образование топологических дефектов в ранней Вселенной .... 426
12.2. Монополи т’Хоофта—Полякова 428
12.2.1. Монополи в калибровочных теориях 428
12.2.2. Механизм Киббла 432
12.2.3. Остаточная концентрация: проблема монополей I 433
12.3. Космические струны 436
12.3.1. Струнные конфигурации 436
12.3.2. Газ космических струн 443
12.3.3. Дефицит угла 445
12.3.4. Струны во Вселенной 452
12.4. Доменные стенки 457
12.5. “"Текстуры 460
12.6. “"Гибридные топологические дефекты 464
12.7. * Нетопологические солитоны: Q-шары 465
12.7.1. Модель с двумя полями 465
12.7.2. Модели с плоскими направлениями 471
Приложение А. Элементы общей теории относительности 482
А.1. Тензоры в искривлённом пространстве-времени 482
А.2. Ковариантная производная 486
А.З. Тензор кривизны 491
А.4. Уравнения гравитационного поля 495
А.5. Конформно-связанные метрики 498
А.6. Взаимодействие материи с гравитационным полем.
Тензор энергии-импульса 501
А.7. Движение частиц в гравитационном поле 506
Оглавление
7
А.8. Ньютоновский предел в общей теории относительности 510
А.9. Линеаризованные уравнения Эйнштейна
на фоне пространства Минковского 512
А.Ю.Макроскопический тензор энергии-импульса 513
A. 11.Обозначения и соглашения 514
Приложение В. Стандартная модель физики частиц 516
B. 1. Описание Стандартной модели 516
В.2. Глобальные симметрии Стандартной модели 527
В.З. С-, Р-, Т-преобразования 528
В.4. Смешивание кварков 529
В.5. Эффективная теория Ферми 535
В.6. Особенности сильных взаимодействий 537
B. 7. Эффективное число степеней свободы в Стандартной модели . . . 537
Приложение С. Осцилляции нейтрино 540
C. 1. Смешивание нейтрино и осцилляции 540
С. 1.1. Вакуумные осцилляции 540
С. 1.2. Осцилляции трёх типов нейтрино в частных случаях .... 544
С.1.3. Эффект Михеева—Смирнова—Вольфенштейна 546
С.2. Наблюдения нейтринных осцилляций 548
С.2.1. Солнечные нейтрино и KamLAND 548
С.2.2. Атмосферные нейтрино, К2К и MINOS 556
С.2.3. Ускорительные и реакторные нейтрино: |С/ез| 558
С.З. Значения параметров осцилляций 560
С.4. Дираковские и майорановские массы. Стерильные нейтрино .... 563
C. 5. Прямые поиски масс нейтрино 569
Приложение D. Квантовая теория поля
при конечных температурах 570
D. I. Бозонные поля:
евклидово время и периодические граничные условия 571
D.2. Фермионные поля: антипериодические условия 574
D.3. Теория возмущений 577
D.4. Однопетлевой эффективный потенциал 580
D.5. Дебаевская экранировка 584
Монографии, обзоры 587
Цветные иллюстрации 593
Литература 601
Предметный указатель 611
Предисловие
к третьему изданию
Космология и физика частиц активно развивались в период между первым
и третьим изданиями этой книги. В особенности это касается экспериментальных
исследований, в которых были получены новые результаты, заставившие местами
поправить, а местами и переработать главы, посвящённые тёмной материи, фа¬
зовым переходам, механизмам производства барионной асимметрии Вселенной.
После работы над второй частью книги (Космологические возмущения. Инфля¬
ционная теория. М.: URSS, 2010) возникла необходимость пересмотреть главу,
посвящённую рекомбинации. Изменения и дополнения сделаны и в ряде других
глав. Используемые численные значения параметров физики частиц и космоло¬
гии приведены в соответствие современным данным.
Помимо этого, мы исправили опечатки, неточности и ошибки, найденные
в тексте первого издания, за что мы благодарны нашим многочисленным колле¬
гам, в том числе зарубежным (книга была издана на английском языке издатель¬
ством World Scientific), а также студентам и аспирантам созданной в этот же пе¬
риод кафедры физики частиц и космологии физического факультета Московского
государственного университета имени М. В. Ломоносова (http: //ррс. inr. ас. ru).
Предисловие
к первому изданию
Современная космология тесно связана с физикой микромира, изучающей
элементарные частицы и их взаимодействия на наиболее фундаментальном уровне.
Именно с этой точки зрения и написана эта книга. В ней излагаются результаты,
относящиеся к однородной изотропной Вселенной на горячей стадии её эволюции
и на последующих космологических этапах. Эту область космологии нередко на¬
зывают теорией горячего Большого взрыва. Предполагается, что в дальнейшем
будет написана вторая часть книги, посвящённая инфляционной теории, теории
постинфляционного разогрева и теории развития космологических возмущений,
т. е. неоднородностей во Вселенной.
В основу книги положен курс лекций, читавшийся в течение ряда лет на ка¬
федре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова студентам, специализирую¬
щимся в области теоретической физики. Мы сочли целесообразным, однако, до¬
бавить ряд более специальных разделов, помеченных в книге звёздочкой. Дело
в том, что в космологии имеются проблемы (природа тёмной материи и тёмной
энергии, механизм образования асимметрии между веществом и антивеществом
и т. д.), которые ещё не нашли своего однозначного решения. Большая часть
дополнительных разделов как раз и посвящена обсуждению соответствующих
гипотез, зачастую альтернативных друг другу. При первом чтении эти разделы
можно опустить.
Для чтения книги достаточно, в принципе, знания материала, обычно из¬
лагаемого в курсах общей физики. Поэтому основные разделы книги должны
быть доступны студентам старших курсов университетов. Необходимые для их
чтения сведения из общей теории относительности и теории элементарных ча¬
стиц помещены в приложениях, не претендующих, разумеется, на сколько-нибудь
полное изложение этих самостоятельных направлений физики. В то же время,
в некоторых разделах, помеченных звёздочкой, используются методы классиче¬
ской и квантовой теории поля, а также неравновесной статистической физики,
так что для их чтения желательно владение соответствующими методами.
Сколько-нибудь полный библиографический обзор по обсуждаемым темам
выходил бы далеко за рамки этой книги. Для ориентировки читателя мы поме¬
стили в конце книги перечень монографий и обзоров, в которых рассматриваются
9
10
Предисловие к первому изданию
затронутые нами вопросы. Разумеется, этот перечень далеко не полон. По ходу
изложения мы также приводим ссылки на оригинальную литературу, откуда мы
почерпнули те или иные частные результаты.
Наблюдательная космология, как и экспериментальная физика частиц, быст¬
ро развивается. Приведённые в книге наблюдательные и экспериментальные дан¬
ные и результаты их обработки (значения космологических параметров, ограни¬
чения на массы и константы связи новых гипотетических частиц и т.д.), скорее
всего, будут уточнены уже до выхода книги в свет. Восполнить этот пробел помо¬
жет, например, обращение к регулярно обновляемым материалам Particle Data
Group (http: //pdg. lbl.gov).
Мы хотели бы поблагодарить наших коллег из Института ядерных исследова¬
ний РАН Ф. Л. Безрукова, С. В. Демидова, В. А. Кузьмина, Д. Г. Левкова, М. В. Ли¬
ванова, Г. И. Рубцова, Д. В. Семикоза, П. Г. Тинякова, И. И. Ткачёва, С. В. Троиц¬
кого за участие в подготовке курса лекций и многочисленные полезные обсужде¬
ния и ценные замечания. Мы особенно признательны С. Л. Дубовскому, прини¬
мавшему участие в работе над книгой на начальном этапе. Мы глубоко благодарны
В. С. Березинскому, А. Боярскому, А. Виленкину, М. Б. Волошину, М. И. Высоц¬
кому, А. Д. Долгову, С. Л. Дубовскому, Д. И. Казакову, Д. Г. Левкову, И. Д. Нови¬
кову, Э.Я. Нугаеву, К. А. Постнову, М. В. Сажину, Д. В. Семикозу, А. Ю. Смир¬
нову, А. А. Старобинскому, А. Н. Тавхелидзе, П. Г. Тинякову, С. Ю. Хлебникову
и Μ. Е. Шапошникову за многочисленные полезные замечания и критику на пред¬
варительную версию этой книги.
Глава 1
Космология. Краткий обзор
Цель этой Главы — дать беглый обзор вопросов, которыми мы будем зани¬
маться на протяжении всей книги. Разумеется, обсуждение здесь будет носить
качественный характер и не может претендовать на полноту. Наша задача со¬
стоит в том, чтобы пояснить место, которое занимает в космологии тот или иной
её раздел. Однако прежде всего договоримся о единицах измерения физических
величин.
1.1 О единицах измерения
Мы будем часто пользоваться «естественной» системой единиц, в которой
постоянная Планка, скорость света и константа Больцмана полагаются равными
единице,
h = с = кв = 1.
В этой системе единиц масса, энергия и температура имеют одинаковую раз¬
мерность (поскольку [Е] = [me2], [Е] — [квТ]). В качестве единицы измерения
массы и энергии удобно выбрать 1 эВ или 1 ГэВ = 109 эВ; масса протона тогда
равна πΐρ = 0,938 ГэВ, а 1 К соответствует примерно 10-13 ГэВ. Время и длина
в естественной системе единиц имеют размерность М-1 (поскольку [Е] = [βω],
[ω] = [ί_1] и [I] — [ct]). При этом 1 ГэВ-1 ~ 10-14 см и 1 ГэВ-1 ~ 10-24 с. Для
дальнейших ссылок мы приводим переводные коэффициенты в табл. 1.1 и 1.2.
> Задача 1. Убедиться в справедливости соотношений, собранных в табл. 1.1
и 1.2. Найти, чему равны 1 Вольт (В), 1 Гаусс (Гс), 1 Герц (Гц) и 1 Анг¬
стрем (А) в естественной системе единиц.
В естественной системе единиц ньютоновская гравитационная постоянная G
имеет размерность М~2. Это следует из формулы для гравитационной потенци¬
альной энергии V — —Gm-im-ifr, поскольку [V] = М, [г-1] — М. Удобно ввести
11
12
Глава 1. Космология. Краткий обзор
Таблица 1.1.
Переводные коэффициенты из естественной системы единиц в систему СГС
Энергия
1 ГэВ = 1,6 · 10"3 эрг
Масса
1 ГэВ = 1,8 · 10"24 г
Температура
1 ГэВ = 1,2 · 1013 К
Длина
1 ГэВ-1 = 2,0 · 10"14 см
Время
1 ГэВ"1 = 6,6 ■ 10-25 с
Плотность числа частиц
1 ГэВ3 = 1,3 · 1041 см"3
Плотность энергии
1 ГэВ4 = 2,1 · 1038 эрг см"3
Плотность массы
1 ГэВ4 = 2,3 · 1017 г-см"3
Таблица 1.2.
Переводные коэффициенты из системы единиц СГС в естественную систему
Энергия
1 эрг = 6,3 · 102 ГэВ
Масса
1 г = 5,6 · 1023 ГэВ
Температура
1 К = 8,6 · 10"14 ГэВ
Длина
1 см = 5,0 · 1013 ГэВ"1
Время
1 с = 1,5 · 1024 ГэВ"1
Плотность числа частиц
1 см"3 = 7,7 · 10"42 ГэВ3
Плотность энергии
1 эрг-см"3 = 4,8 · 10"39 ГэВ4
Плотность массы
1 г-см"3 = 4,5 · 10"18 ГэВ4
планковскую массу Μρι соотношением
G =
Mil
Численно
Μρι = 1,2 · 1019 ГэВ, (1.1)
а планковские длина, время и масса в системе СГС равны соответственно
Ipi = —j— = 1,6 · 10 33 см,
Μρι
tpi = —!— = 5,4 ■ IO-44 с,
М Pi
Μρι = 2,2 · 1(Г5 r.
(1.2)
Слабость гравитационных взаимодействий связана с большим значением Μρι.
1.1. О единицах измерения
13
> Задача 2. Убедиться в справедливости соотношений (1.1) и (1.2).
> Задача 3. Во сколько раз гравитационное взаимодействие двух протонов
слабее их кулоновского взаимодействия?
В космологии традиционной единицей измерения длины является мегапарсек,
1 Мпк = 106 пк = 3,1 · 1024 см.
Договоримся ещё об обозначении, которое мы будем использовать в этой
книге. Подстрочным индексом 0 мы будем обозначать современные значения тех
величин, которые могут зависеть от времени. Например, если p(t) — средняя
плотность энергии во Вселенной как функция времени, то ро = ρ(ίο) — совре¬
менная средняя плотность энергии.
В астрономии используются несколько единиц длины, в зависимости от раз¬
меров исследуемых астрофизических объектов и масштабов рассматриваемых
явлений. Кроме традиционной метрической системы единиц (метр и его произ¬
водные) используются также:
астрономическая единица (а. е.) — среднее расстояние от Земли до Солнца,
1 а. е. = 1,5 · 1013 см;
световой год (св. г.) — расстояние, проходимое фотоном за один земной год,
1 год = 3,16 · 107 с, 1 св. г. = 3 · Ю10 — · 3,16 · 107 с = 0,95 · 1018 см;
с
парсек (пк) — расстояние, с которого объект размером 1 а. е. виден под
углом одна секунда,
1 пк = 2,1 · 105 а. е. = 3,3 св. г. = 3,1 · 1018 см.
Для иллюстрации иерархии пространственных масштабов во Вселенной мы
перечислим ниже расстояния до некоторых известных астрономических объек¬
тов, выраженные в этих единицах длины.
10 а. е. — среднее расстояние до Сатурна, 30 а. е. — среднее расстояние
до Плутона, 100 а. е. — условная граница, до которой могут долететь массивные
частицы, испускаемые Солнцем (солнечный ветер). Это же расстояние отвечает
максимальному удалению земных космических аппаратов (Pioneer 10, Voyager 1,
Voyager 2). Далее можно отметить Облако Оорта — источник наиболее удалён¬
ных комет, находящийся от нас на расстоянии 104-105 а. е. ~ 0,1-1 пк.
На расстоянии 1,3 пк от Солнца располагаются ближайшие звезды — Прок-
сима и Альфа созвездия Центавра. Арктур и Капелла удалены более чем на 10 пк,
около 100 пк до Канопуса и Бетельгейзе, 2 кпк до Крабовидной туманности —
остатка вспышки сверхновой, видимого невооружённым глазом.
Следующая примечательная точка в шкале расстояний — 8 кпк. Именно
на такое расстояние удалено Солнце от центра Галактики. Наша Галактика —
Млечный Путь — спирального типа, светящееся вещество в ней формирует че¬
тыре рукава, образующие диск диаметром примерно 30 кпк и толщиной около
14
Глава 1. Космология. Краткий обзор
250 пк. На удалении в 30 кпк от центра Галактики расположены ближайшие кар¬
ликовые галактики — спутники нашей Галактики. Всего таких спутников извест¬
но четырнадцать, и на расстояние 50 кпк удалены наиболее крупные из них —
Большое и Малое Магеллановы Облака, размер каждого из которых около 1 кпк.
В настоящее время активно ведётся поиск новых спутников, менее ярких, чем
уже известные (до 1994 года было известно всего восемь карликовых галактик —
спутников Млечного Пути).
Плотность вещества в обычных галактиках примерно в 105 раз превыша¬
ет среднюю по Вселенной. Ближайшая к нам обычная галактика — спиральная
галактика М31 — расположена в созвездии Андромеды и удалена от Солнца
на 800 кпк. Несмотря на вроде бы большое удаление от Земли, эта галактика
занимает заметную площадь на небесной сфере — её угловой размер превыша¬
ет угловой размер Луны! Следующая спиральная галактика расположена в со¬
звездии Треугольника. Наша Галактика, галактики Андромеды и Треугольника
вместе со своими спутниками, а также ещё около 35 более мелких галактик обра¬
зуют так называемую местную группу — гравитационно связанный конгломерат
из более чем полусотни галактик.
Следующий масштаб в этом списке — размер скопления галактик, 1-3 Мпк.
В богатых скоплениях насчитываются тысячи галактик. Плотность вещества
в скоплениях в сотни и даже тысячи раз превосходит среднюю по Вселенной.
Расстояние до центра ближайшего скопления, расположенного в созвездии Де¬
вы, — около 15 Мпк. Его угловой размер на небесной сфере составляет около
пяти градусов. Скопления являются самыми крупными гравитационно связан¬
ными образованиями во Вселенной.
1.2 Вселенная сегодня
Наш беглый обзор мы начнём с краткого обсуждения современного состоя¬
ния Вселенной (точнее, наблюдаемой её части).
1.2.1 Однородность и изотропия
На больших масштабах видимая часть современной Вселенной однородна
и изотропна. Размеры самых больших структур во Вселенной — сверхскопле¬
ний галактик и гигантских «пустот» (voids) — достигают десятков мегапарсек1.
Области Вселенной размером 200 Мпк и более выглядят все одинаково (одно¬
родность), при этом выделенных направлений во Вселенной нет (изотропия). Эти
факты сегодня надёжно установлены в результате глубоких обзоров, в которых
наблюдалось более миллиона галактик.
Сверхскоплений известно более 20. Местная группа входит в состав сверх¬
скопления с центром в скоплении Девы. Размер сверхскопления около 40 Мпк,
и помимо скопления Девы в него входят скопления из созвездий Гидра и Цен-
тавр. Эти наиболее крупные структуры уже очень «рыхлые»: плотность галактик
1 Средние размеры определены несколько условно: наиболее аккуратные оценки получаются
из изучения корреляционных функций галактик, а они имеют степенное поведение.
1.2. Вселенная сегодня
15
в них всего в 2 раза превышает среднюю. До центра следующего сверхскопления,
расположенного в созвездии Волосы Вероники, около сотни мегапарсек.
В настоящее время ведётся работа по составлению наиболее крупного ката¬
лога галактик и квазаров — каталога SDSS [1] (Sloan Digital Sky Survey). В его
основе лежат данные, полученные с помощью 2,5-метрового телескопа, способно¬
го одновременно в 5 частотных диапазонах (длины волн света Л = 3800-9200Д
область видимого диапазона) измерять спектры 640 объектов. На этом телескопе
предполагалось измерить положение и светимость более двухсот миллионов аст¬
рономических объектов и определить расстояния до более 106 галактик и более
105 квазаров. Полная зона наблюдения составила почти четверть небесной сфе¬
ры. На сегодняшний день обработана большая часть экспериментальных данных,
что позволило определить спектры более чем 1.8 млн галактик и 300 тыс. кваза¬
ров. Результаты проиллюстрированы на рис. 1.1, где приведены ранние данные
SDSS: положения 40 тыс. галактик и 4 тыс. квазаров, обнаруженных на участке
небесной сферы площадью 500 квадратных градусов. Хорошо различимы скопле¬
ния галактик и пустоты, изотропия и однородность Вселенной начинают прояв¬
ляться на масштабах порядка 200 Мпк и больше. Цвет точки определяет тип объ¬
екта. Доминирование того или иного типа обусловлено, вообще говоря, процес¬
сами образования и эволюции структур — это асимметрия временная, а не про¬
странственная .
Рис. 1.1. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 593.) Про¬
странственное распределение галактик и квазаров по данным SDSS [3]. Зе¬
лёными точками отмечены все галактики (в данном телесном угле) с ярко¬
стью, превышающей некоторую. Красные точки указывают галактики наи¬
большей светимости из удалённых скоплений, образующие довольно однород¬
ную популяцию; в сопутствующей системе отсчёта их спектр смещён в крас¬
ную область по сравнению с обычными галактиками. Голубые и синие точки
показывают расположение обычных квазаров. Параметр h примерно равен 0,7
(см. раздел 1.2.2)
16
Глава 1. Космология. Краткий обзор
Действительно, с расстояния 1,5 Гпк, на которое приходится максимум в рас¬
пределении ярких красных эллиптических галактик (красные точки на рис. 1.1),
свет летел до Земли около 5 миллиардов лет. Тогда Вселенная была другой (на¬
пример, Солнечной системы ещё не было). Эта временная эволюция становится
заметной на больших пространственных масштабах. Ещё одной причиной выбо¬
ра объектов наблюдения является наличие у регистрирующих приборов порога
чувствительности: на больших расстояниях регистрируются только яркие объ¬
екты, а самыми яркими постоянно излучающими свет объектами во Вселенной
являются квазары.
1.2.2 Расширение
Вселенная расширяется: галактики удаляются друг от друга2. Образно го¬
воря, пространство, оставаясь однородным и изотропным, растягивается, в ре¬
зультате чего все расстояния увеличиваются.
Для описания этого расширения вводят понятие масштабного фактора a(t),
который увеличивается с течением времени. Расстояние между двумя удалённы¬
ми объектами во Вселенной пропорционально a(t), а плотность частиц убывает
как [а(£)]“3. Темп расширения Вселенной, т. е. относительное увеличение рассто¬
яний в единицу времени, характеризуется параметром Хаббла
*(*)=Щ· <1л>
Параметр Хаббла зависит от времени; для его современного значения применяем,
как обычно, обозначение Щ.
Из-за расширения Вселенной увеличивается и длина волны фотона, испу¬
щенного в далёком прошлом. Как и все расстояния, длина волны растёт про¬
порционально а(£). В результате фотон испытывает красное смещение. Количе¬
ственно красное смещение ζ связано с отношением длин волн фотона в момент
испускания и в момент поглощения
-т Ξ1+2. (1.4)
^ИСП.
Разумеется, это отношение зависит от того, когда фотон был испущен (считая,
что поглощается он на Земле сегодня), т. е. от расстояния между источником
и Землёй. Красное смещение — непосредственно измеряемая величина: длина
волны в момент излучения определяется физикой процесса (например, это дли¬
на волны фотона, испускаемого при переходе атома водорода из первого возбуж¬
денного состояния в основное), а АПОгл. прямо измеряется. Таким образом, иден¬
тифицировав набор линий испускания (или поглощения) и определив, насколько
они смещены в красную область спектра, можно измерить красное смещение ис¬
точника.
2Разумеется, это не относится к галактикам, находящимся в одном скоплении и гравитаци¬
онно связанным друг с другом; речь идёт о галактиках, достаточно удалённых друг от друга.
1.2. Вселенная сегодня
17
Реально идентификация осуществляется сразу по нескольким линиям, наи¬
более характерным для объектов того или иного типа (см. рис. 1.2). Если в спек¬
тре найдены линии поглощения (провалы, как в спектрах на рис. 1.2), это озна¬
чает, что объект, у которого определяется красное смещение, расположен между
источником излучения (например, квазаром) и наблюдателем3. Если же в спек¬
тре обнаружены линии излучения (пики в спектре), то объект сам является из¬
лучателем.
Для ζ ·С 1 справедлив закон Хаббла
ζ = #ог, ζ<1, (1.5)
где ί— расстояние до источника, аЩ — современное значение параметра Хаббла.
При больших ζ зависимость расстояния от красного смещения усложняется, что
будет подробно обсуждаться в этой книге.
Определение абсолютных расстояний до удалённых источников — весьма
непростое дело. Один из методов состоит в измерении потока фотонов от уда¬
лённого объекта, чья светимость заранее известна. Такие объекты в астрономии
иногда называют стандартными свечами.
Систематические ошибки в определении Но до последнего времени были
не очень хорошо известны и довольно велики. Достаточно отметить, что ве¬
личина этой постоянной, определённая самим Хабблом в 1929 году, составляла
550 км/(с-Мпк). Современные методы измерения параметра Хаббла дают [7, 5]
я° = (67-3±1-2)ж <1Л>
> Задача 4. Связать красное смещение с расстоянием до объекта, выражен¬
ным в Мпк.
Проясним смысл традиционной единицы измерения параметра Хаббла, фи¬
гурирующей в (1.6). Наивная интерпретация закона Хаббла (1.5) состоит в том,
что красное смещение обусловлено радиальным движением галактик от Земли
со скоростями, пропорциональными расстояниям до галактик,
ν = Но г, ν 1. (1.7)
Тогда красное смещение (1.5) интерпретируется как продольный эффект Доппле¬
ра (при и <С с, т. е. D < 1 в естественных единицах, допплеровское смещение
ζ = ν). В связи с этим параметру Хаббла Но приписывают размерность [ско-
рость/расстояние]. Подчеркнём, что интерпретация космологического красного
смещения в терминах эффекта Допплера необязательна, а в ряде случаев неаде¬
кватна. Наиболее правильно использовать соотношение (1.5) в том виде, в каком
оно написано.
3 Фотоны вполне определённых частот испытывают резонансное поглощение на атомах
и ионах (с последующим изотропным переизлучением), что и приводит к провалам в спектре
интенсивности излучения в направлении на наблюдателя.
18
Глава 1. Космология. Краткий обзор
I
·<
■о 1
гч
I
2
о
ос
Т | I I I I | г
ζ = 2.0841, 7^ = 23.38
6000 7000 8000 9000
λ (А)
Рис. 1.2. Линии поглощения в спектрах далёких галактик [4]· На верхней диаграм¬
ме приведены результаты измерений дифференциального потока энергии от далёкой
(ζ = 2,0841) галактики. Вертикальные линии указывают расположение атомных ли¬
ний поглощения, идентификация которых позволила определить красное смещение га¬
лактики. В спектрах более блгмзких галактик эти линии лучше различимы. Диаграм¬
ма со спектрами таких галактик, уже приведёнными в сопутствующую систему
отсчёта с учётом красного смещения, представлена на нижнем рисунке
1.2. Вселенная сегодня
19
о Задача 5. Рассмотрим систему многих точек в ньютоновской механике. По¬
казать, что она пространственно однородна и изотропна тогда и только
тогда, когда плотность точек постоянна в пространстве, а скорость относи¬
тельного движения каждой пары точек г и j связана с расстоянием между
ними «законом Хаббла»
где Но не зависит от пространственных координат. Здесь и далее полужир-
ным шрифтом обозначаются трёхмерные векторы, например, ν = (υχ, υ<ι, г>з).
Величину Но традиционно параметризуют следующим образом:
Мы будем пользоваться значением h = 0,7 в дальнейших оценках.
Для измерения параметра Хаббла в качестве стандартных свеч традицион¬
но используют цефеиды — переменные звёзды, чья переменность связана из¬
вестным образом со светимостью. Связь эту можно выявить, изучая цефеиды
в каких-нибудь компактных звёздных образованиях, например, в Магеллановых
Облаках. Поскольку расстояния до всех цефеид внутри одного компактного об¬
разования с хорошей степенью точности можно считать одинаковыми, отношение
наблюдаемых яркостей таких объектов в точности равно отношению их свети¬
мостей. Период пульсаций цефеид может составлять от суток до нескольких де¬
сятков суток, за это время светимость изменяется в несколько раз. В результате
наблюдений была построена зависимость светимости от периода пульсаций: чем
ярче звезда, тем больше период пульсаций.
Цефеиды — гиганты и сверхгиганты, поэтому их удаётся наблюдать дале¬
ко за пределами Галактики. Изучив спектр удалённых цефеид, находят красное
смещение по формуле (1.4), а исследуя временную эволюцию, определяют пери¬
Vij — HoXij 1
(1.8)
где h — безразмерная величина порядка единицы (см. (1.6)),
h = 0,673 ± 0,012.
(1.9)
20
Глава 1. Космология. Краткий обзор
од пульсаций светимости. Затем, используя известную зависимость переменности
от светимости, определяют абсолютную светимость объекта и далее вычисляют
расстояние до объекта, после чего по формуле (1.5) получают значение парамет¬
ра Хаббла. На рис. 1.3 приведена полученная таким образом диаграмма Хаббла —
зависимость красного смещения от расстояния.
Диаграмма Хаббла для Цефеид
Расстояние (Мпк)
Рис. 1.3. Диаграмма Хаббла, построенная по наблюдению удалённых цефеид
[8]. Сплошной линией показан закон Хаббла с параметром Но = 75 км/(с· Мпк),
определённым в результате этих наблюдений. Пунктирные линии отвечают
экспериментальным погрешностям в величине постоянной Хаббла
Помимо цефеид, имеются и другие яркие объекты, используемые в каче¬
стве стандартных свеч, например сверхновые типа 1а. Результаты определения
современной величины параметра Хаббла из анализа наблюдений далёких стан¬
дартных свеч представлены на рис. 1.4.
1.2. Вселенная сегодня
21
3xlO4 F
• 1-полоса Талли—Фишера
ж Фундаментальная плоскость
♦ Поверхностная плотность
■ Сверхновая 1а
2x104 l·-D Сверхновая II
л
δ
R
о
*
U
м' 0
^ 100
гТ
о
-}г
О
со
/ον
:-*±
о
со
)°
-I
= Т
40
200 300
Расстояние (Мпк)
Рис. 1.4. Диаграмма Хаббла, построенная по наблюдению более далёких стан¬
дартных свеч, в том числе сверхновых типа 1а [8]. Сплошной линией показан
закон Хаббла с параметром Но = 72 км/(с· Мпк), определённым в результате
этих наблюдений. Пунктирные линии отвечают экспериментальным погреш¬
ностям в величине постоянной Хаббла
1.2.3 Время жизни Вселенной
и размер её наблюдаемой части
Параметр Хаббла в действительности имеет размерность [£-1], поэтому со¬
временная Вселенная характеризуется временным масштабом
1 1 1C* МПК 1 17 1 I η
Но = Т · 77^ = г · 3 · 1017 С = - · Ю10 лет
0 h 100 км h h
(1.10)
и космологическим масштабом расстояний
Н0 1 = ^ · 3000 Мпк,
(1.11)
22
Глава 1. Космология. Краткий обзор
что для h = 0,7 составляет
HQ 1 = 1,4 · Ю10лет =
= 4300 Мпк.
(1.12)
(1.13)
Говоря совсем грубо, размер Вселенной увеличится вдвое за время порядка
10 млрд лет; галактики, находящиеся от нас на расстоянии порядка 3000 Мпк,
удаляются от нас со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Мы увидим,
что время Hq1 по порядку величины совпадает с возрастом Вселенной, а рас¬
стояние Hq1 — с размером видимой части Вселенной. Мы будем уточнять пред¬
ставления о возрасте Вселенной и размере её видимой части на протяжении этой
книги. Здесь отметим, что прямолинейная экстраполяция эволюции Вселенной
в прошлое (согласно уравнениям классической общей теории относительности)
приводит к представлению о моменте Большого взрыва, с которого началась
классическая космологическая эволюция; тогда время жизни Вселенной — это
время, прошедшее с момента Большого взрыва, а размер видимой части (раз¬
мер горизонта) — это расстояние, которое проходят с момента Большого взрыва
сигналы, движущиеся со скоростью света (более точная оценка размера совре¬
менного горизонта — 15 Гпк). При этом размер всей Вселенной значительно
превышает размер горизонта; в классической общей теории относительности про¬
странственный размер Вселенной может быть и бесконечным.
Независимо от космологических данных, имеются наблюдательные ограни¬
чения снизу на возраст Вселенной to. Различные независимые методы приводят
к близким ограничениям на уровне
to > 14 млрд лет = 1,4 ■ Ю10 лет.
Один из методов, с помощью которых получено последнее ограничение, состо¬
ит в измерении распределения белых карликов по светимости. Белые карли¬
ки — компактные звёзды большой плотности с массами, примерно совпадающими
с массой Солнца, — постепенно тускнеют в результате охлаждения посредством
излучения. В Галактике встречаются белые карлики самых разных светимостей,
однако начиная с некоторой низкой светимости число белых карликов резко па¬
дает, и это падение не связано с чувствительностью аппаратуры наблюдения.
Объяснение состоит в том, что даже самые старые белые карлики ещё не смогли
настолько охладиться, чтобы стать такими тусклыми. Время охлаждения можно
определить, изучая баланс энергии при охлаждении звезды. Это время охла¬
ждения — возраст старейших белых карликов — является ограничением снизу
на время жизни Галактики, а значит, и всей Вселенной [10].
Среди других методов отметим изучение распространённости радиоактив¬
ных элементов в земной коре, в составе метеоритов [11] и звёзд с низкой метал-
личностыо [12], сравнение эволюционной кривой звёзд главной последователь¬
ности на диаграмме Герцшпрунга—Рассела («светимость — температура» или
«яркость — цвет») с распространённостью старейших звёзд в обеднённых ме¬
1.2. Вселенная сегодня
23
таллами шаровых скоплениях [13] звёзд4, изучение состояния релаксационных
процессов в звёздных скоплениях, измерение распространённости горячего газа
в скоплениях галактик.
1.2.4 Пространственная плоскостность
Однородность и изотропия Вселенной не означают, вообще говоря, что в фик¬
сированный момент времени трёхмерное пространство представляет из себя 3-
плоскость (трёхмерное евклидово пространство), т. е. что Вселенная имеет нуле¬
вую пространственную кривизну. Наряду с 3-плоскостью, однородными и изо¬
тропными являются 3-сфера (положительная пространственная кривизна) и 3-
гиперболоид (отрицательная кривизна). Фундаментальным результатом наблю¬
дений последних лет стало установление того факта, что пространственная кри¬
визна Вселенной если и отлична от нуля, то мала. Мы будем неоднократно воз¬
вращаться к этому утверждению, как для того, чтобы сформулировать его на ко¬
личественном уровне, так и для того, чтобы изложить, какие именно данные
свидетельствуют о пространственной плоскостности Вселенной. Здесь достаточ¬
но сказать, что этот результат получен из измерений анизотропии реликтового
излучения и на качественном уровне сводится к тому, что радиус пространствен¬
ной кривизны Вселенной заметно больше размера её наблюдаемой части, т. е.
заметно больше Hq1.
Отметим также, что данные по анизотропии реликтового излучения согла¬
суются и с предположением о тривиальной пространственной топологии. Так,
в случае компактного трёхмерного многообразия с характерным размером поряд¬
ка хаббловского на небесной сфере наблюдались бы круги со схожей картиной
анизотропии реликтового излучения — пересечения сферы последнего рассея¬
ния фотонов, оставшихся после рекомбинации (образования атомов водорода),
с образами этой сферы, получившимися в результате действия группы движе¬
ния многообразия. Если бы пространство имело, например, топологию тора, то
на небесной сфере наблюдалась бы пара таких кругов в диаметрально противопо¬
ложных направлениях. Таких свойств реликтовое излучение не обнаруживает[9].
> Задача 6. Как повлияет на картинку со схожими кругами факт движения
локального наблюдателя относительно реликтового излучения?
1.2.5 «Тёплая» Вселенная
Современная Вселенная заполнена газом невзаимодействующих фотонов —
реликтовым излучением, предсказанным теорией Большого взрыва и обнару¬
женным экспериментально в 1964 году. Плотность числа реликтовых фотонов
4Шаровые скопления — внутригалактические структуры диаметром около 30 пк, включаю¬
щие сотни тысяч и даже миллионы звёзд. Термин «металлы» в астрофизике относится ко всем
элементам тяжелее гелия.
24
Глава 1. Космология. Краткий обзор
составляет примерно 400 штук на кубический сантиметр. Распределение фото¬
нов по энергиям имеет тепловой планковский спектр (рис. 1.5), характеризуемый
температурой [5]
Г0 = 2,7255 ± 0,0006 К. (1.14)
Температура фотонов, приходящих с разных направлений на небесной сфере,
одинакова на уровне примерно 10-4; это — ещё одно свидетельство однородности
и изотропии Вселенной.
Длина волны (см)
10 1 0,1
1(Г'4
J- 1 1
II | 1
' · ‘
Ц
7
ЕГ
U
ю"15
:
X'
1
:
\
:
.
-
Т
10-“
г
,.σ'
\
-
сч
j
.яг
j
S
о
, -17
-
■ FIRAS
СОВБ satellite
; -
10
X
s DMR
СОВЕ satellite
Ί
<т>
.О'
о LBL-Italy
White Mtn & South Pole
:
л
■ Princeton
ground 8c balloon
*
ft
1П-18
.-6
UBC
sounding rocket
о
м
10
1 }
- Cyanogen
optical
:
а
*
:..ri
2,726 К blackbody
-
ю-’
т » « ■
jJ 1 l_
■ 1 1 1 ■
■ III 1 1 1- 1 1
-r
1 10 100
Частота (ГГц)
Рис. 1.5. Измерения спектра реликтового излучения. Компиляция данных
выполнена в [Ц]· Сплошной кривой показан планковский спектр (спектр
«чёрного тела» )
В то же время, экспериментально установлено, что эта температура всё же
зависит от направления на небесной сфере. Угловая анизотропия температуры
реликтовых фотонов на данный момент хорошо измерена (см. рис. 1.6) и состав¬
ляет, грубо говоря, величину порядка δΤ/Το ~ 10“4-10-5. Тот факт, что спектр
является планковским во всех направлениях, контролируется проведением изме¬
рений на разных частотах.
В этой книге мы будем неоднократно возвращаться к анизотропии (и поля¬
ризации) реликтового излучения, поскольку, с одной стороны, она несёт ценней¬
шую информацию о ранней и современной Вселенной, а с другой стороны, её
измерение возможно с высокой точностью.
Отметим, что наличие реликтового излучения позволяет ввести во Вселен¬
ной выделенную систему отсчёта: это та система отсчёта, в которой газ реликто¬
вых фотонов покоится. Солнечная система движется относительно реликтового
1.2. Вселенная сегодня
25
-200 Τ(μΚ) +200
Рис. 1.6. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 593.) Данные
WMAP [6]: угловая анизотропия реликтового излучения, т. е. зависимость
температуры фотонов от направления их прихода. Средняя температура фо¬
тонов и дипольная компонента (1.15) вычтены; изображённые вариации тем¬
пературы находятся на уровне 6Т ~ 100 μΚ, т. е. δΤ/Το ~ 10-4-10-5
излучения в направлении созвездия Гидры. Скорость этого движения определяет
величину дипольной компоненты анизотропии [17]
δΤ= 3,346 мК. (1.15)
о Задача 7. Исходя из величины дипольной компоненты анизотропии релик¬
тового излучения определить скорость Солнечной системы относительно
реликтового излучения.
> Задача 8. Оценить годовую вариацию анизотропии реликтового излучения,
связанную с вращением Земли вокруг Солнца.
Современная Вселенная прозрачна для реликтовых фотонов5: сегодня их
длина свободного пробега велика по сравнению с размером горизонта Hq1. Это
не всегда было так: в ранней Вселенной фотоны интенсивно взаимодействовали
с веществом.
5В действительности «прозрачности» разных частей Вселенной различаются. Например, го¬
рячий газ (Т ~ 10 кэВ) в скоплениях галактик рассеивает реликтовые фотоны, которые приоб¬
ретают при этом дополнительную энергию. Этот процесс приводит к «подогреву» реликтовых
фотонов — эффекту Зельдовича—Сюняева [18]. Величина этого эффекта невелика, но вполне
заметна при современных методах наблюдений.
26
Глава 1. Космология. Краткий обзор
с> Задача 9. (Эффект Грейзена—Зацепина—Кузьмина [19, 20].)
Известно, что при взаимодействии фотона с протоном при достаточно вы¬
соких энергиях возможно поглощение фотона с рождением тг-мезона. Пусть
сечение этого процесса в системе центра масс фотона и протона, где сумма
импульсов фотона и протона равна нулю, имеет вид (для данной задачи
это, в действительности, неплохое приближение):
{О при y/s < Шд,
0,5 мбарн при y/s > тд,
где y/s — суммарная энергия фотона и протона, тд = 1200 МэВ (масса Δ-
резонанса), 1 мбарн = 10-27 см2.
Найти длину свободного пробега протона в современной Вселенной по от¬
ношению к указанному процессу. На каком расстоянии от источника вы¬
сокоэнергичный протон потеряет 2/3 своей энергии? Фотоны, излученные
небесными телами, не учитывать.
Поскольку температура реликтового излучения Т зависит от направления η
на небесной сфере, то для изучения этой зависимости удобно использовать раз¬
ложение по сферическим функциям (гармоникам) YJm(n), образующим полный
набор базисных функций на сфере. Под флуктуацией температуры δΤ в направ¬
лении η понимают разность
^^(п) — Т^п) То <^7диполь — ^ ] Qd,rnTlm{jft)■)
Ι,ττι
где для коэффициентов α<ιΤη выполняется соотношение a*m = (—1 )та^_т, явля¬
ющееся необходимым следствием вещественности температуры. Угловые момен¬
ты I соответствуют флуктуациям с типичным угловым масштабом π/l. Существу¬
ющие наблюдения позволяют изучать различные угловые масштабы, от самых
крупных до масштабов меньше 0,1° (I > 1000, см. рис. 1.7).
Наблюдательные данные согласуются с тем, что флуктуации температуры
δΤ(η) представляют собой случайное гауссово поле, т. е. коэффициенты сц,т ста¬
тистически независимы для различных I и т,
) = Clm ' (1.16)
где под угловыми скобками подразумевается усреднение по ансамблю вселенных,
подобных нашей. Коэффициенты Cim в изотропной Вселенной не зависят от т,
Сim = Ci, и определяют корреляцию между флуктуациями температуры в раз¬
ных направлениях:
(ίΤ(η,)ίΤ(η2)> = Σ ™±±С,Ъ(сOS0),
1.2. Вселенная сегодня
27
Угловой масштаб
90° 18° 1° 0.2° 0.1° 0.07°
Рис. 1.7. Результаты измерений угловой анизотропии реликтового излуче¬
ния экспериментом Planck [7]. Теоретическая кривая получена в рамках мо¬
дели ACDM, описанной в Главе 4,' конечная ширина кривой (обозначенная за¬
тенением) иллюстрирует «космическую неопределенность» (cosmic variance)
предсказания, обусловленную наблюдением всего одной (нашей) Вселенной. По¬
дробное обсуждение см. во второй части книги
где Pi — полиномы Лежандра, зависящие только от угла Θ между векторами ηι
и П2- В частности, для среднеквадратичной флуктуации получаем:
4π
/
1(1 + 1)
2π
Ci dial.
Таким образом, величина Τ>ι = характеризует суммарный вклад угловых
моментов одного порядка. Результаты измерения именно этой величины приве¬
дены на рис. 1.7.
Важно отметить, что измерение угловой анизотропии реликтового излуче¬
ния даёт не одно экспериментально измеренное число, а целый набор данных,
т. е. значения Ci при различных I. Этот набор определяется целым рядом па¬
раметров ранней и современной Вселенной, поэтому его измерение даёт много
космологической информации.
28
Глава 1. Космология. Краткий обзор
1.3 Баланс энергий
в современной Вселенной
Размерную оценку плотности энергии во Вселенной можно получить следу¬
ющим образом. При плотности энергии ро плотность «гравитационного заряда»
равна по порядку величины Gpo, где G — ньютоновская постоянная. Поскольку
именно гравитационные взаимодействия определяют эволюцию Вселенной, вели¬
чина Gpo должна быть каким-то образом связана с наблюдаемым темпом расши¬
рения Вселенной. Она имеет размерность М2; такую же размерность имеет Hq.
Поэтому естественно ожидать, что
Ро ~ HSG-1 = Л4,я£.
Действительно, мы увидим, что современная плотность энергии в пространственно¬
плоской Вселенной равна
Pc ='^HSMh.
С точностью не хуже 1 % это и есть плотность энергии в современной Вселенной.
Численно
рс = 1,88 · 10"29/ι2 =0,53· 10“5 -Ц- при h = 0,7. (1.17)
CMJ CMJ
Согласно данным космологических наблюдений, которые мы будем обсуждать
в этой книге, вклад барионов (протонов, ядер) в полную современную плотность
энергии составляет6
Ωβ = — = 0,050.
Рс
Вклад реликтовых нейтрино всех типов ещё меньше: космологическое ограниче¬
ние на него составляет
Ω„ = < 0,0055,
Рс
где суммирование идёт по трём типам нейтрино ve, νμ, ντ и антинейтрино йе, Ρμ,
йТ. Подчеркнём, что речь здесь идёт именно об ограничении: скорее всего, вклад
известных нейтрино в действительности заметно меньше 0,6 %. Другие извест¬
ные стабильные частицы — электроны и фотоны — дают сегодня пренебрежимо
малый вклад в полную плотность энергии. Таким образом, основной материал
в современной Вселенной — это «неизвестно что».
Замечательно, что это «неизвестно что» состоит по крайней мере из двух
фракций, одна из которых имеет способность собираться в сгущения (кластеризо¬
ваться), а другая — нет. Первую компоненту традиционно называют «тёмной ма¬
терией» (dark matter). Её вклад в плотность энергии оценивается на уровне 25 %.
6Отметим, что в звёздах собрано лишь около 10% всех барионов (протонов и нейтронов).
Считается, что основная часть барионов сосредоточена в газовых облаках.
1.3. Баланс энергий в современной Вселенной
29
В этой книге мы будем обсуждать результаты (первичный нуклеосинтез,
спектр анизотропии реликтового излучения, образование структур во Вселенной
и др.), которые показывают, что тёмная материя не может состоять из известных
частиц. Скорее всего, она состоит из новых стабильных массивных частиц, кото¬
рые были нерелятивистскими в далёком прошлом и остаются нерелятивискими
сейчас (холодная тёмная материя). Это — одно из немногих экспериментальных
указаний на существование новой физики вне рамок Стандартной модели физи¬
ки частиц. Упомянем в связи с этим, что прямое детектирование частиц тёмной
материи — одна из важных и нерешённых задач физики частиц.
Согласно принятой сегодня точке зрения, оставшаяся часть энергии в совре¬
менной Вселенной — около 70 % — «разлита» равномерно по всему пространству.
Это не какие-то известные или неизвестные частицы, а достаточно непривычная
форма энергии вакуумного типа. Её называют по-разному: тёмная энергия (dark
energy), вакуумоподобная материя, квинтэссенция, космологический Λ-член. Мы
будем использовать термин «тёмная энергия» и понимать под квинтэссенцией
и Λ-членом тёмную энергию с конкретными свойствами: в случае Λ-члена плот¬
ность энергии не зависит от времени, а для квинтэссенции такая зависимость,
хотя и слабая, имеется.
Вообще говоря, не исключено, что наблюдательные данные, свидетельствую¬
щие в пользу тёмной энергии, можно объяснить иными способами. Один из при¬
меров — возможное отличие теории гравитации от общей теории относительно¬
сти на космологических масштабах длин и времён. Хотя теоретические работы
в этом и подобных направлениях ведутся, рассмотрение таких возможностей вы¬
ходило бы далеко за рамки этой книги. В этой книге мы всюду предполагаем, что
гравитационные взаимодействия описываются общей теорией относительности.
Возможную природу тёмной энергии и наблюдения, свидетельствующие о её
существовании, мы будем подробнее обсуждать в этой книге. Сейчас отметим тот
факт, что вклад нерелятивистских частиц (барионов и холодной тёмной материи)
в полную плотность энергии падает с расширением Вселенной обратно пропор¬
ционально кубу масштабного фактора. Поэтому на некотором этапе эволюция
Вселенной начинает определяться не нерелятивистскими частицами, а тёмной
энергией, чей вклад в плотность энергии не зависит (или слабо зависит) от мас¬
штабного фактора. Именно такой переход от одной стадии эволюции к другой
и произошёл при z ~ 0,5.
Плотность барионного вещества и тёмной материи в скоплениях галактик
определяют, измеряя различными методами гравитационный потенциал в скоп¬
лении, т. е. распределение массы в нём. В качестве примера на левой половине
рис. 1.8 приведено распределение массы в одном из скоплений галактик, получен¬
ное методом гравитационного линзирования. Идея этого метода состоит в том,
что лучи света, приходящего от галактик, расположенных за скоплением, ис¬
кривляются гравитационным полем скопления7, что приводит к наблюдаемым
искажениям образов удалённых галактик (см. правую половину рис. 1.8). Таким
образом, этот метод позволяет измерять гравитационный потенциал в скопле¬
7Отметим, что гравитационная линза приводит к усилению сигнала, чем пользуются при
поиске наиболее удалённых галактик.
30
Глава 1. Космология. Краткий обзор
нии вне зависимости от того, какое вещество его создаёт — светящееся или нет.
Результат состоит в том, что светящееся вещество (обычные звёзды и горячий
газ, суммарную массу которых можно определить независимо) составляет ма¬
лую часть массы скоплений; в основном масса определяется тёмной материей.
Эта тёмная материя кластеризована, т. е. её плотность распределена неоднород¬
но по Вселенной. В предположении, что отношение плотностей тёмной материи
и светящегося вещества в целом во Вселенной такое же, как в скоплениях га¬
лактик8, получается, что плотность массы тёмной материи и барионов вместе
составляет около 30 % полной энергии во Вселенной,
Рм ^ 0,3рс. (1.18)
Рис. 1.8. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 594.) Скопление
CL0024 + 1654 {21}
Помимо гравитационного линзирования, существует ряд других наблюде¬
ний, указывающих на существование тёмной материи.
В частности, наблюдения скоплений галактик в рентгеновском диапазоне
выявили, что заметная часть барионов сосредоточена в облаках горячего газа
в межгалактической среде9. На самом деле, непосредственным источником рент¬
геновского излучения являются, конечно, электроны. Точность рентгеновских
телескопов позволяет найти пространственные распределения плотности пе(т)
и температуры Т(г) электронов в облаках газа. В предположении сферической
симметрии отсюда можно получить распределение полной гравитирующей массы
8 Это предположение — отнюдь не безобидное, поскольку большинство галактик не распо¬
ложены в скоплениях: в скоплениях находится около 10 % галактик и, скорее всего, около 10 %
тёмной материи.
9 Количество барионов в этих облаках в десяток раз превосходит количество светящегося
вещества, наблюдаемого в галактиках, образующих скопления.
1.3. Баланс энергий в современной Вселенной
31
в скоплении р(г), воспользовавшись условием гидростатического равновесия
^ = -pne{R)mpGM^-, M(R) = 4π ^ p(r)r2 dr, (1.19)
где pne(R) — плотность числа барионов в газе, а давление газа Р определяется
в основном электронной компонентой и следует из уравнения состояния идеаль¬
ного газа P(R) = ne(R)Te(R). При этом мы учли, что основной вклад в мас¬
су барион-электронного облака дают барионы и что среда электронейтральна,
поэтому локальные плотности барионов и электронов совпадают с точностью
до численного множителя μ, зависящего от химического состава облака. Все
величины кроме M(R), входящие в уравнение (1.19), определяются из наблю¬
дений, так что имеется возможность найти M(R). Из сравнительного анализа
распределений массы в скоплениях, полученных таким образом, и распределе¬
ний видимого вещества в скоплениях вытекает необходимость дополнительной
гравитирующей компоненты в скоплениях галактик — тёмной материи [22].
Аналогичный вывод о существовании тёмной материи следует и из изучения
движений галактик в группах, а также галактик и групп в скоплениях. Предпо¬
ложив, что релаксационные процессы для галактик в скоплениях уже завершены,
можно использовать теорему вириала для определения массы скопления:
3 M(v?) = G·^. (1.20)
Здесь М и R — масса и размер скопления, a {v2}1/2 — дисперсия проекций скоро¬
стей галактик на луч наблюдения. Величину этой дисперсии можно оценить, изу¬
чая спектр скопления: спектральные линии от различных галактик будут смеще¬
ны друг относительно друга из-за продольного эффекта Допплера10. Если спек¬
тры отдельных галактик различимы, то проекции их скорости вдоль луча наблю¬
дения определяются непосредственно, если же они неразличимы, то относитель¬
ные смещения линий приведут в суммарном спектре скопления к уширению ли¬
ний излучения (поглощения), по которому и определяют (v2)1/2. Теорема вириа¬
ла (1.20) позволяет определить массу скопления М. Наблюдения показывают, что
полученные таким образом массы скоплений значительно (в сотни раз для цен¬
тральных областей скопления) превышают массу светящегося вещества, которую
можно оценить, измерив полную светимость скопления и используя средние зна¬
чения для отношения массы к светимости, полученные из наблюдений близких
звёзд и скорректированные с учётом распространённости различных типов звёзд
и их эволюции. Даже с учётом тёмных гало галактик массы скоплений существен¬
но превышают суммы масс входящих в них галактик, т. е. большую часть массы
составляет тёмная материя, непрерывно распределённая внутри скоплений.
Как уже упоминалось выше, измерение дипольной компоненты анизотропии
спектра реликтового излучения позволяет определить скорость Солнечной си¬
стемы относительно выделенной системы отсчёта — реликтового излучения. Вся
10Поперечный эффект Допплера пропорционален квадрату поперечной компоненты скорости
объекта и поэтому мал для нерелятивистских объектов, таких как звезда или галактика.
32
Глава 1. Космология. Краткий обзор
местная группа, к которой принадлежит наша Галактика, движется по направле¬
нию к скоплению Девы. Считая, что это «падение» обусловлено гравитационным
потенциалом скопления галактик, можно оценить массу скопления. Эти оценки11
также показывают, что одних галактик явно недостаточно, и для объяснения на¬
блюдаемого движения требуется дополнительная материя.
Особенно убедительный аргумент в пользу существования тёмной материи
в скоплениях следует из наблюдения сталкивающихся скоплений. Результат этого
наблюдения [23] представлен на рис. 1.9. Светлые области на правой диаграмме
показывают распределение горячей плазмы, испускающей рентгеновские лучи,
зарегистрированные с помощью телескопа Chandra. В горячей плазме содержит¬
ся примерно 90% всех барионов обоих скоплений. Оставшиеся 10% барионов
содержатся в галактиках, образующих скопления. Измеренный с помощью лин-
зирования гравитационный потенциал показан линиями, которые соответствуют
эквипотенциальным поверхностям. Видно, что его источником отнюдь не служит
горячий газ, в котором в основном сосредоточено обычное вещество. На самом
деле он создаётся тёмной материей. Пространственное распределение галактик
находится в полном соответствии с гравитационным потенциалом. Тёмная мате¬
рия и галактики в этом столкновении выступают в роли бесстолкновительных
частиц, а облака плазмы рассеиваются друг на друге, что приводит к уменьше¬
нию их относительной скорости и, как следствие, отставанию от центров масс
соответствующих скоплений.
6h58m42’ 36* 30’ 24* 18* 12’ 6h58m42* 36* 30’ 24* 18’ 12’
Рис. 1.9. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 594.) Результат
наблюдения [23/ сталкивающихся скоплений 1Е0657-558: замкнутыми линиями
показан гравитационный потенциал, в основном создаваемый тёмной матери¬
ей, Светлые области на нижней диаграмме показывают распределение горячей
плазмы, белым отрезком показан масштаб 200 кпк в сопутствующей системе
(z = 0,296;
Гипотеза о существовании тёмного вещества позволяет объяснить и наблю¬
даемое движение звёзд на периферии галактик. Так, в предположении кругового
11 Как и результаты локального измерения «постоянной Хаббла» в направлении на центр
скопления Девы.
1.3. Баланс энергий в современной Вселенной
33
движения, распределение скоростей v(R) в зависимости от расстояния R от цен¬
тра галактики до звезды следует из закона Ньютона
v(R) =
M(R) = 4π [
Jo
p(r)r2 dr.
Здесь p(r) — плотность массы. Экспериментально для областей, не слишком близ¬
ких к центру галактики, v(R) = const, в то время как учёт только вклада све¬
тящегося вещества давал бы v(R) ос у/ΊΪ для областей, заполненных светящимся
веществом, и v(R) ос 1/VR для периферии галактики. Такое различие можно
объяснить, предположив, что видимое вещество галактики погружено в облако
большего размера — гало галактики, — состоящее из вещества, не взаимодейству¬
ющего с фотонами. Такой же вывод следует из наблюдений за движением облаков
холодного водорода вокруг нашей и ближайших галактик (см. рис. 1.10). Скоро¬
сти облаков определяются при этом по допплеровскому уширению эмиссионной
линии λ = 21 см. О существовании тёмного гало свидетельствуют и измерения
скоростей шаровых скоплений звёзд и карликовых галактик — спутников нашей
Галактики и спутников галактик, близких к нашей.
Кластеризующуюся тёмную материю может имитировать и обычное веще¬
ство — барионы и электроны, находящиеся в состоянии, обеспечивающем их «пас¬
сивность» по отношению к электромагнитному излучению. В частности, таким
свойством обладает вещество в нейтронных звёздах, белых и коричневых карли¬
ках. Это — очень плотные объекты небольшого размера. Для объяснения наблю¬
дений такие объекты должны заполнять не только область диска нашей Галак¬
тики, но быть основным компонентом гало (аналогичное распределение должно
быть и в других галактиках). Плотность числа таких объектов можно определить
из наблюдений. Попав на луч между Землёй и источником излучения (например,
звездой из карликовой галактики), такие объекты привели бы к гравитационно¬
му линзированию. Это линзирование звёзд наблюдается, однако не настолько
часто, чтобы утверждать, что такие компактные плотные объекты могут давать
заметный вклад в плотность тёмной материи [25, 26]. Кроме того, многие из рас¬
сматриваемых кандидатов не подходят и по другим причинам. Так, нейтронные
звёзды являются остатками взрывов сверхновых — источников основной массы
кислорода, кремния и прочих тяжёлых элементов. Распространённость этих эле¬
ментов в галактиках хорошо известна. Если они не вымываются в межзвёздную
среду, то допустимого количества «скрытых» нейтронных звёзд в гало явно недо¬
статочно, чтобы заменить тёмную материю. Аналогичная ситуация имеет место
и для белых карликов, где роль индикатора играет углерод.
В пользу того, что тёмная энергия действительно существует во Вселенной,
говорят несколько наблюдательных результатов. Во-первых, как мы уже гово¬
рили, Вселенная с хорошей степенью точности пространственно плоская, а это
означает, что полная плотность энергии в ней с точностью не хуже 1 % совпа¬
дает с критической плотностью рс. В то же время, оценки плотности энергии
кластеризованной материи дают значение (1.18), которое заметно ниже рс. Недо¬
стающий вклад — это и есть вклад тёмной энергии.
34
Глава 1. Космология. Краткий обзор
Радиус (кпк)
Рис. 1.10. Распределение скоростей облаков водорода в галактике NGC 6503 /24}.
Разными линиями показаны вклады трёх основных компонент, формирующих
гравитационный потенциал галактики
Независимое свидетельство в пользу существования тёмной энергии состоит
в следующем. Мы увидим, что темп расширения Вселенной в прошлом зави¬
сел от того, какие формы энергии и в каком количестве в ней присутствуют
и присутствовали. От того, как расширялась Вселенная, зависит, в свою оче¬
редь, соотношение «красное смещение — яркость» для удаленных стандартных
свеч. В качестве последних сравнительно недавно стало возможным использо¬
вать сверхновые типа 1а12. Результат наблюдений сверхновых состоит в том,
что далёкие сверхновые выглядят тусклее близких [27, 28]. Это может быть ин¬
терпретировало как свидетельство ускоренного расширения Вселенной (сейчас
и в не слишком далёком прошлом). Ускоренное расширение в общей теории отно¬
сительности возможно только при наличии тёмной энергии, плотность которой
слабо зависит (или вообще не зависит) от времени.
12В основе их «стандартности» — выявленная по наблюдениям близких сверхновых связь
между абсолютной светимостью в максимуме блеска и характером временной эволюции свече¬
ния: яркие сверхновые дольше затухают.
1.3. Баланс энергий в современной Вселенной
35
Имеется и ряд других соображений, основанных, в частности, на возрасте
Вселенной, генерации структур, спектре угловой анизотропии реликтового излу¬
чения. Все они согласуются с представлением о том, что тёмная энергия суще¬
ствует и даёт вклад в полную плотность энергии современной Вселенной на уров¬
не 0,7рс. Можно рассчитывать на то, что будущие наблюдения позволят прояс¬
нить природу и свойства этой компоненты энергии во Вселенной.
Одним из кандидатов на роль тёмной энергии служит вакуум. В физике
частиц энергию вакуума обычно не рассматривают, поскольку она служит нача¬
лом отсчёта энергии, а интерес представляют массы и энергии возбуждений над
вакуумом — частиц. Другая ситуация имеет место в общей теории относитель¬
ности: вакуумная энергия, так же как любая другая форма энергии, участву¬
ет в гравитационных взаимодействиях. Если гравитационные поля не слишком
сильны, вакуум везде одинаков и его плотность энергии постоянна в простран¬
стве и во времени. Другими словами, вакуумная энергия не способна класте¬
ризоваться, так что вакуумная энергия — идеальный кандидат на роль тёмной
энергии. Следует сказать, что в теории имеется фундаментальная трудность,
связанная с оценкой величины вакуумной энергии. Плотность энергии вакуума
в естественных единицах имеет размерность М4, и можно было бы ожидать, что
она по порядку величины равна четвёртой степени характерного энергетическо¬
го масштаба фундаментальных взаимодействий. Такими масштабами являются
1 ГэВ для сильных взаимодействий, 100 ГэВ для электрослабых взаимодействий
и Μρι ~ 1019 ГэВ для самих гравитационных взаимодействий. Таким образом
можно было бы оценить соответствующие вклады в плотность энергии вакуума:
Pvac 1 ГэВ4 (сильные взаимодействия);
~ 108 ГэВ4 (электрослабые взаимодействия); (1.21)
~ 1076 ГэВ4 (гравитационные взаимодействия).
Любая из этих оценок на много порядков превышает реальную плотность тёмной
энергии
ГэВ
РА ~ рс ~ 1(Г5 ~ 1СГ46 ГэВ4. (1.22)
CMJ
В этом и состоит теоретическая проблема, которую часто называют проблемой
космологической постоянной: совершенно непонятно, почему плотность энергии
вакуума практически равна нулю по сравнению с оценками (1.21), и ещё более
загадочно то, что она всё же отлична от нуля (если тёмная энергия — это энергия
вакуума) и составляет чрезвычайно малую величину (1.22). Без преувеличения
можно сказать, что проблема тёмной энергии (или проблема космологической
постоянной) — одна из главных, если не самая главная, проблема теоретической
физики. Здесь много загадок и совпадений, требующих точной подстройки пара¬
метров разной природы. Например, Вселенная с отрицательной космологической
постоянной порядка возможного вклада сильных взаимодействий в плотность
энергии вакуума коллапсировала бы, не просуществовав и десятка микросекунд
после Большого взрыва. Другое совпадение, требующее своего объяснения, —
соизмеримость вкладов в современную плотность энергии трёх основных компо¬
нент: тёмной энергии, тёмной материи и барионов. У каждого из этих вкладов
36
Глава 1. Космология. Краткий обзор
свой собственный источник, за каждым стоит свой механизм, и a priori они долж¬
ны были бы давать вклады разных порядков величины.
Подчеркнём, что энергия вакуума — не единственный кандидат на роль тём¬
ной энергии. В литературе обсуждаются другие, не менее экзотические кандида¬
ты; о некоторых из них мы упомянем в этой книге.
1.4 Вселенная в будущем
Будущее Вселенной определяется её геометрией и свойствами тёмной энергии.
Мы увидим, что вклад пространственной кривизны в эффективную плот¬
ность энергии обратно пропорционален квадрату масштабного фактора. Поэтому
для расширяющейся Вселенной с ненулевой пространственной кривизной насту¬
пит такой момент, когда вклад кривизны в энергию станет доминировать над
вкладом нерелятивистской материи.
В перспективе конкурировать будут вклады пространственной кривизны
и тёмной энергии. Если последняя зависит от времени, и в далёком будущем
достаточно быстро произойдёт её релаксация до нуля, то для Вселенной с поло¬
жительной кривизной (замкнутая Вселенная) расширение начнёт постепенно за¬
медляться, потом сменится сжатием, и жизнь Вселенной завершится коллапсом.
Для Вселенной с отрицательной кривизной (открытая Вселенная) расширение
будет продолжаться вечно, хотя его темп будет постепенно замедляться. Скопле¬
ния галактик будут всё дальше и дальше «разлетаться» друг от друга. Такая же
судьба постигнет галактики, не входящие в состав скоплений. Все гравитационно
несвязанные структуры исчезнут. Аналогично выглядит судьба пространственно¬
плоской Вселенной с нулевой тёмной энергией (правда, расширение в этом случае
будет происходить медленнее).
Если же тёмная энергия не зависит от времени (как это имеет место для энер¬
гии вакуума13), или эта зависимость слабая, то именно тёмная энергия и будет
определять будущее. Положительная энергия вакуума приведёт к экспоненци¬
ально раздувающейся Вселенной; Вселенная будет вечно расширяться с постоян¬
ным ускорением.
Не исключена и возможность того, что плотность тёмной энергии в далёком
будущем станет отрицательной и постоянной во времени. В этом случае отри¬
цательная тёмная энергия сначала вызовет замедление расширения Вселенной,
а потом и сжатие — эволюция завершится коллапсом.
Если при интерпретации современных экспериментальных данных исполь¬
зовать простейшие космологические модели, то вполне вероятной перспективой
является сценарий экспоненциально расширяющейся Вселенной. Действительно,
вклад кривизны в эффективную плотность энергии уже сейчас не превышает 1 %,
причём он уменьшается с ростом масштабного фактора. Основную роль играет
тёмная энергия, и если её вклад постоянен во времени, то он и будет подцержи-
13Мы не обсуждаем здесь возможность фазового перехода во Вселенной, который мог бы
изменить баланс между различными составляющими полной энергии и таким образом повлиять
на всю дальнейшую космологическую эволюцию.
1.5. Вселенная в прошлом
37
вать экспоненциальное расширение. Вселенная будет существовать вечно.
Подчеркнём, что уверенно предсказать судьбу Вселенной в далёком буду¬
щем на основании только космологических наблюдений невозможно в принципе.
Эти наблюдения позволяют, вообще говоря, выяснить зависимость (или незави¬
симость) от времени тёмной энергии в прошлом, и на их основании о поведении
тёмной энергии в будущем можно строить литпъ более или менее правдоподобные
гипотезы. Для предсказания далёкого будущего Вселенной необходимо знание
природы тёмной энергии (или, в более широком контексте, природы ускоренного
расширения Вселенной в современную эпоху). Можно ли получить такое знание,
и если да — то на каком нуги, сегодня сказать трудно.
В литературе обсуждается и возможность того, что эффективная плотность
тёмной энергии в будущем будет расти. Если этот рост будет достаточно быст¬
рым, то Вселенную ожидает «большой разрыв» (Big Rip): через конечное время
масштабный фактор станет равным бесконечности, взаимодействия между ча¬
стицами (даже электромагнитные и сильные) будут недостаточны для удержа¬
ния их в связанном состоянии, и все связанные системы, включая атомы и ядра,
развалятся на свои составляющие, которые улетят на бесконечное расстояние
друг от друга.
В то же время, сегодня можно достаточно уверенно экстраполировать эво¬
люцию Вселенной на ближайшие 10-20 миллиардов лет. В течение этого времени
Вселенная будет расширяться, причём темп её расширения будет сравним с со¬
временным.
1.5 Вселенная в прошлом
Простой факт, что Вселенная расширяется, сразу приводит к представлению
о том, что в прошлом Вселенная была более горячей и более плотной. Мы увидим,
что экстраполяция современного состояния Вселенной назад во времени на осно¬
ве общей теории относительности и стандартной термодинамики показывает, что
на всё более ранних стадиях эволюции вещество во Вселенной характеризовалось
всё более высокой температурой и плотностью, причём на большинстве этапов
космологического расширения выполнялись условия термодинамического рав¬
новесия. Двигаясь назад по времени, и, соответственно, поднимаясь по шкале
температур, можно отметить несколько характерных «моментов» (точнее, более
или менее длительных этапов) в эволюции Вселенной, см. рис. 1.11.
Кратко обсудим некоторые из них.
1.5.1 Рекомбинация
При относительно низких температурах обычное вещество во Вселенной пред¬
ставляло собой нейтральный газ (в основном водород). На более ранней стадии,
т. е. при более высоких температурах, энергии связи в атоме водорода было недо¬
статочно для того, чтобы удержать электроны в атомах, и вещество находилось
38
Глава 1. Космология. Краткий обзор
2,7 к СЕГОДНЯ 14 млрд лет
Рис. 1.11. Этапы эволюции Вселенной
в фазе электрон-фотон-протонной плазмы. Температура рекомбинации — пере¬
хода из плазменного в газообразное состояние — определяется, грубо говоря,
энергией связи атома водорода, 13,6 эВ. Мы увидим, что в действительности ре¬
комбинация происходила при несколько меньшей температуре, около 0,26 эВ.
Эта эпоха важна в связи с тем, что она представляет собой эпоху последнего
рассеяния реликтовых фотонов: до этого фотоны интенсивно взаимодействовали
с электронами плазмы (рассеивались, а ещё раньше поглощались и испускались),
а после рекомбинации нейтральный газ стал прозрачен для фотонов. Таким об¬
разом, реликтовое излучение несёт непосредственную информацию о состоянии
Вселенной в то время, когда её температура составляла около 0,26 эВ « 3000 К;
время жизни Вселенной составляло тогда около 370 тыс. лет.
Упоминавшаяся выше высокая степень изотропии реликтового излучения
прямо говорит о степени однородности Вселенной в момент рекомбинации: тогда
Вселенная была гораздо однороднее чем сейчас, неоднородности плотности δρ/ρ
были сравнимы с флуктуациями температуры и составляли величину порядка
1.5. Вселенная в прошлом
39
10-4-10-5. Тем не менее, именно эти неоднородности привели в конечном итоге
к возникновению структур во Вселенной — сначала первичных галактик, потом
галактических скоплений и т. д.
На самом деле, как указывают наблюдения, оптическая толща (вероятность
рассеяния) для фотонов после рекомбинации отлична от нуля и составляет
т ~ 0,08-0,10. Причиной этого является вторичная ионизация газа во Вселенной,
начавшаяся на той стадии, когда образовывались и исчезали первые
звёзды, ζ < 20.
Тот факт, что водород во Вселенной почти полностью ионизован (пн/пр <
10~5) при ζ < 6, был известен из наблюдений эмиссионных линий водорода от да¬
лёких квазаров: если бы на своём пути это излучение проходило через облака во¬
дорода, то оно бы полностью поглотилось ими. Действительно, красное смещение
изменяет частоту падающего излучения, однако, вследствие разброса скоростей
молекул газа, всегда найдётся большое количество молекул, движущихся от ис¬
точника излучения так, что для них рассеяние будет происходить в резонансе,
а значит поглощение будет очень интенсивным. Наоборот, отсутствие эмиссион¬
ных линий гелия в спектре излучения квазаров свидетельствует в пользу того,
что основная часть гелия во Вселенной находилась в нейтральном состоянии.
В пользу именно ранней ионизации, ζ ~ 10, свидетельствует спектр анизо¬
тропии реликтового излучения, а также тот факт, что это излучение имеет поля¬
ризацию. Поляризацию можно объяснить, предположив, что часть реликтовых
фотонов на пути к наблюдателю (Земле) рассеялась на свободных электронах.
Чтобы обеспечить необходимое количество свободных электронов (ту самую оп¬
тическую толпшну в 8-10%), требуется ионизовать весь водород при ζ ~ 10-12
или только часть водорода, но несколько раньше.
1.5.2 Первичный нуклеосинтез
Ещё один важный этап эволюции Вселенной характеризуется гораздо более
высокими температурами, масштаб которых, грубо говоря, определяется масшта¬
бом энергии связи ядер, т. е. 1-10 МэВ. По причинам, которые мы обсудим в Главе
8, существенные для нуклеосинтеза температуры на самом деле несколько ниже.
В любом случае, при высоких температурах нейтроны и протоны существовали
в космической плазме по отдельности, но в результате охлаждения Вселенной
за счёт её расширения становилось термодинамически выгодным объединение
нейтронов и протонов в ядра. В результате наряду с водородом во Вселенной
образовался в основном первичный 4Не (наиболее сильно связанное лёгкое яд¬
ро), а также небольшое количество дейтерия (2Н), гелия-3 (3Не) и лития-7 (7Li);
более тяжёлые элементы в ранней Вселенной не образовывались14. Эта эпоха
14Тяжёлые элементы, присутствующие в современной Вселенной, образовались в результате
эволюции звёзд. В частности, важнейшее звено звёздного нуклеосинтеза, углерод, образовался
в результате слияния трёх ядер 4Не — процесса, возможного лишь при очень высокой плотно¬
сти, достигаемой в центральных областях звёзд после выгорания водорода. Все последующие
элементы синтезировались из углерода: относительно лёгкие элементы, включая железо, об¬
разовались в термоядерных реакциях внутри звёзд. Более тяжёлые элементы образовались
40
Глава 1. Космология. Краткий обзор
первичного нуклеосинтеза важна и интересна тем, что она является самой ран¬
ней стадией эволюции горячей Вселенной, для которой сегодня возможно пря¬
мое сравнение теории с наблюдениями: вычисление количества образовавшихся
лёгких ядер основывается, помимо общей теории относительности, на известной
микроскопической физике (физике ядра и слабых взаимодействий), а измерение
этого количества — хотя и трудная, но вполне решаемая задача.
Прекрасное согласие теории первичного нуклеосинтеза с наблюдениями яв¬
ляется одним из краеугольных камней теории горячей Вселенной. Подчеркнём,
что эпоха первичного нуклеосинтеза охватывает период примерно от 1 до 300
секунд с момента Большого взрыва, соответствующие температуры — от 1 МэВ
до 50 кэВ.
Трудность экспериментального определения состава первичной плазмы со¬
стоит в том, что большинство вещества в современной Вселенной было перера¬
ботано в звёздах, и его ядерный состав сильно отличается от состава первичной
плазмы. Тем не менее, удаётся найти такие области во Вселенной, про вещество
в которых с большой долей уверенности можно сказать, что оно не подвергалось
переработке в звёздах и его состав соответствует первичному.
1.5.3 Закалка нейтрино
Если фотоны испытывают последнее рассеяние при температуре около
0,26 эВ, то нейтрино, как мы увидим в этой книге, перестают взаимодействовать
с космической плазмой при температуре 2-3 МэВ. До этого момента нейтрино
находились в термодинамическом равновесии с остальным веществом, а после
него — свободно распространяются во Вселенной. В дальнейшем мы остановим¬
ся на вычислении температуры и плотности числа реликтовых нейтрино, а сей¬
час отметим только, что по порядку величины они совпадают соответственно
с температурой и плотностью числа реликтовых фотонов. К сожалению, пря¬
мое наблюдение реликтовых нейтрино представляет собой чрезвычайно слож¬
ную, а возможно, и вообще неразрешимую экспериментальную проблему.
> Задача 10. Если в природе существуют источники нейтрино сверхвысоких
энергий, то возможно рассеяние таких нейтрино на реликтовых нейтри¬
но. Сечение рассеяния нейтрино на нейтрино в Стандартной модели фи¬
зики частиц очень мало. Максимального значения, σνι/ = 0,15 рбарн =
1,5 · ΙΟ"31 см2, это сечение достигает при энергии в системе центра масс
у/s ~ Mz ~ 90 ГэВ, когда нейтрино аннигилируют с резонансным обра¬
зованием Z-бозона, который затем быстро распадается. Обнаружение про¬
дуктов этого распада позволило бы получить косвенное подтверждение
существования реликтовых нейтрино.
Найти длину свободного пробега нейтрино сверхвысоких энергий в совре¬
менной Вселенной по отношению к этому процессу. Стоит ли ожидать об-
в результате захвата нейтронов в звёздах и при вспышках сверхновых, а часть, по-видимому,
в результате захвата протонов или позитронов.
1.5. Вселенная в прошлом
41
резания спектра нейтрино сверхвысоких энергий, аналогичного обрезанию,
предсказанному для спектра протонов сверхвысоких энергий (см. задачу 9)?
По-видимому, роль нейтрино в современной Вселенной сравнительно невели¬
ка. Тем не менее, плотность нейтрино в ранней Вселенной является важным па¬
раметром теории нуклеосинтеза. Образование элементов происходило в процессе
расширения Вселенной, а присутствие нейтринной компоненты влияло на темп
расширения и, соответственно, на скорость остывания космической плазмы.
От этой скорости зависели неравновесные процессы в плазме, приводящие к об¬
разованию лёгких ядер. Успех теории нуклеосинтеза в предсказании концентра¬
ции реликтовых ядер даёт твердую уверенность в том, что реликтовые нейтрино
действительно существуют во Вселенной.
Нейтрино также играют роль в процессе образования структур во Вселен¬
ной и в формировании спектра анизотропии реликтового излучения. На осно¬
ве соответствующих наблюдений и их комбинации с другими космологическими
данными было получено ограничение на сумму масс нейтрино всех типов [6, 97]
< 0,2 -г 1,0 эВ .
Отметим, что это ограничение сильнее ограничения, полученного в прямых экс¬
периментах по поиску масс нейтрино. Не исключено, что в обозримой перспек¬
тиве удастся измерить массы нейтрино методами космологии.
В этой книге мы будем возвращаться к нейтрино, чтобы подробнее исследо¬
вать их роль в ранней Вселенной.
1.5.4 Фазовые переходы во Вселенной
Двигаясь ещё дальше назад по времени, мы попадаем в область экстра¬
поляций, пока не подтвержденных наблюдениями. Наиболее естественно пред¬
положить, тем не менее, что теория горячей Вселенной может быть продолжена
назад во времени до температур порядка сотен ГэВ, и, вполне вероятно, до ещё
более высоких температур. Интересные, по крайней мере с теоретической точ¬
ки зрения, эпохи эволюции Вселенной при столь высоких температурах связа¬
ны с переходами между состояниями космической среды, которые, используя
не вполне адекватную терминологию, мы назовем здесь фазовыми переходами:
— Переход кварк-глюонная плазма — адроны. Температура этого перехода15
определяется энергетическим масштабом сильных взаимодействий и состав¬
ляет около 200 МэВ. При более высоких температурах кварки и глюоны
ведут себя, грубо говоря, как свободные частицы, а при меньших темпера¬
турах они заключены в адроны — бесцветные связанные состояния кварков
и глюонов. Примерно при этой же температуре происходит переход с нару¬
шением киральной симметрии.
15 Вместо фазового перехода в реальной теории сильных взаимодействий — квантовой хро¬
модинамике — имеет место гладкий кроссовер.
42
Глава 1. Космология. Краткий обзор
— Электрослабый переход. Упрощая ситуацию, можно сказать, что при тем¬
пературах выше 100 ГэВ — масштаба слабых взаимодействий — скалярный
конденсат Энглера—Браута—Хиггса отсутствует, a W- и Ζ-бозоны имеют
нулевые массы [29, 30, 31, 32]. Имеющаяся сейчас фаза с нарушенной элек-
трослабой симметрией, ненулевым скалярным конденсатом и массивными
W- и Ζ-бозонами возникает в результате электрослабого перехода16, про¬
исходящего при температуре порядка 100 ГэВ.
— Переход Большого объединения. Имеются определённые указания на то,
что при энергиях и температурах выше 1016 ГэВ различия между сильны¬
ми, слабыми и электромагнитными взаимодействиями отсутствуют и фун¬
даментальная физика описывается теорией Большого объединения всех вза¬
имодействий, кроме гравитационного. Если это так, и если во Вселенной
реализовывались столь высокие температуры, то при температуре Боль¬
шого объединения Tqut ~ Ю16 ГэВ должен был происходить соответству¬
ющий фазовый переход. Отметим, однако, что максимальная температура
во Вселенной вполне могла и не достигать ТЬит (в частности, во многих
инфляционных моделях температура разогрева значительно ниже Tqut),
т. е. фаза Большого объединения во Вселенной могла не реализовываться.
1.5.5 Генерация барионной асимметрии
В современной Вселенной имеются барионы (протоны, нейтроны) и прак¬
тически нет антибарионов. Количественно концентрацию барионов в современ¬
ной Вселенной можно охарактеризовать отношением плотности числа барионов
к плотности числа фотонов; исследования первичного нуклеосинтеза и анизотро¬
пии реликтового излучения дают
ηΒ = — = 6,05 · КГ10 (1.23)
ТЬ*У
с точностью около 1 %. Барионное число сохраняется при не слишком высоких
энергиях и температурах, и мы увидим, что отношение τιΒ/ηΊ в ранней Вселенной
совпадало по порядку величины со значением (1.23). Таким образом, барионная
асимметрия ηΒ — один из важных параметров ранней Вселенной.
При температурах порядка сотен МэВ и выше интенсивно происходят про¬
цессы рождения и аннигиляции кварк-антикварковых пар. Поэтому, в отличие
от современной Вселенной, где частиц с отрицательным барионным числом прак¬
тически нет, в ранней Вселенной присутствовали как кварки (положительное ба¬
рионное число), так и антикварки (отрицательное барионное число). Простые
термодинамические соображения, которые мы будем рассматривать в этой кни¬
ге, показывают, что при высоких температурах число кварк-антикварковых пар
16 В действительности ситуация в электрослабой теории более сложная: параметр порядка
в ней отсутствует (по крайней мере, в рамках Стандартной модели физики частиц), и фазо¬
вого перехода в ней может не быть (и действительно, в Стандартной модели вместо фазового
перехода имеет место гладкий кроссовер).
1.5. Вселенная в прошлом
43
по порядку величины совпадает с числом фотонов, поэтому барионную асиммет¬
рию в ранней Вселенной можно охарактеризовать отношением17
~~~~ ~ Ήβ ~ Ю-10; (1.24)
Ид “Г Ид
здесь ης и Ид — плотности числа кварков и антикварков соответственно. Мы
заключаем, что в ранней Вселенной примерно на десять миллиардов кварк-
антикварковых пар приходился один «лишний» кварк. Именно эта маленькая
асимметрия ответственна за то, что в современной Вселенной есть обычное ба-
рионное вещество: в процессе расширения и охлаждения Вселенной антикварки
аннигилируют с кварками, а избыточные кварки остаются и в конечном итоге
образуют протоны и нейтроны.
Одна из задач космологии — объяснить само существование барионной асим¬
метрии [33, 34], а также её величину (1.23). Совершенно невероятно, что малый
избыток кварков над антикварками (1.24) существовал во Вселенной с самого на¬
чала, т. е. представлял собой начальное данное космологической эволюции; гораз¬
до более правдоподобно, что «вначале» Вселенная была барион-симметричной.
К такому же выводу приводит инфляционная теория. Асимметрия (1.24) образо¬
валась в процессе эволюции Вселенной в результате процессов с несохранением
барионного числа. В этой книге мы будем обсуждать возможные механизмы ге¬
нерации барионной асимметрии, но нужно сразу подчеркнуть, что однозначного
ответа на вопрос о происхождении барионной асимметрии пока нет. Здесь мы за¬
метим только, что барионная асимметрия образовалась, по-видимому, при весьма
высоких температурах — по крайней мере 100 ГэВ, а скорее всего заметно выше,
хотя возможны механизмы её генерации и при более низких температурах.
Проблема барионной асимметрии не может быть решена в рамках Стандарт¬
ной модели физики частиц. Это — ещё одно указание на существование «новой
физики», которое следует из космологии.
1.5.6 Генерация тёмной материи
Из каких частиц состоит кластеризованная небарионная тёмная материя —
экспериментально неизвестно. Можно ожидать только, что это — стабильные или
практически стабильные новые частицы, отсутствующие в Стандартной модели
физики частиц. С одной стороны, само существование тёмной материи представ¬
ляет собой сильный аргумент о неполноте Стандартной модели, что делает де¬
тектирование частиц тёмной материи и экспериментальное изучение их свойств
интереснейшей задачей. С другой стороны, отсутствие на сегодня эксперимен¬
тальной информации о свойствах этих частиц не даёт возможности однозначно
ответить на вопрос о механизме образования тёмной материи в ранней Вселен¬
ной. Мы будем обсуждать различных кандидатов на роль частиц тёмной ма¬
терии в этой книге, а здесь ограничимся одним замечанием. Мы увидим, что
гипотетические стабильные частицы с массой порядка десятков или сотен ГэВ,
17 Мы учли, что соотношение между кварк-антикварковой асимметрией и 77 в справедливо
с точностью одного порядка величины.
44
Глава 1. Космология. Краткий обзор
сечение аннигиляции которых сравнимо со слабыми сечениями, не успевают пол¬
ностью проаннигилировать в процессе эволюции Вселенной, и плотность массы
таких частиц в современной Вселенной естественным образом оказывается срав¬
нима с критической плотностью рс. Поэтому такие частицы — хорошие канди¬
даты на роль частиц тёмной материи, тем более что они имеются в ряде рас¬
ширений Стандартной модели, включая суперсимметричные. Частицы, о кото¬
рых идёт речь, получили название WIMPs (weakly interacting massive particles).
«Закалка» частиц тёмной материи, т. е. прекращение их взаимной аннигиляции,
в случае WIMPs происходит при температуре, несколько меньшей их массы, т. е.
Т ~ 10-100 ГэВ.
Разумется, кроме WIMPs имеется целый ряд других кандидатов на роль
частиц тёмной материи, таких как аксион, гравитино и т. д.
1.6 Образование структур во Вселенной
В предыдущих разделах мы кратко рассмотрели наиболее важные этапы раз¬
вития Вселенной. Каждый этап, будь то нуклеосинтез или рекомбинация, имеет
конечную продолжительность. Во Вселенной, однако, существует процесс, на¬
чавшийся, по-видимому, на самом раннем этапе её развития и продолжающийся
до сих пор. Речь идёт об образовании структур — галактик, скоплений, сверхскоп¬
лений. При этом первичными (по времени появления) образованиями являются
первые звёзды и галактики.
Теория, описывающая образование этих структур, основана на так называе¬
мой джинсовской нестабильности — гравитационной неустойчивости возмущений
плотности материи. При этом нужно, разумеется, предполагать, что на самых
ранних стадиях эволюции неоднородности плотности уже существовали, хотя
и были малыми по величине.
Для теории возникновения галактик источник первичных возмущений в общем-
то не важен. Быстрый рост возмущений плотности начался на том этапе эволю¬
ции Вселенной, когда она уже настолько остыла, что плотность энергии в ней
в основном стала определяться нерелятивистским веществом. Это произошло че¬
рез 50 тыс. лет после Большого взрыва. В это время возмущения плотности имели
небольшую амплитуду, δρ/ρ ~ 10-4 —10-5. Островки повышенной плотности ста¬
ли источниками дополнительного гравитационного поля. Они притягивали к себе
окружающее вещество, в результате чего плотность в них ещё более увеличива¬
лась. В этом и состоит физическая причина гравитационной неустойчивости18.
При достижении достаточно большой плотности островки стали гравитационно
связанными и стали «жить своей жизнью», в частности, их размеры не увели¬
чивались, несмотря на продолжающееся расширение Вселенной. Более того, гра¬
витационная динамика внутри этих локальных образований привела к тому, что
они, наоборот, сжимались: частицы, стремясь друг к другу, стекались к общему
гравитационному центру. В результате основной объём такого островка стано¬
18Для релятивистских частиц (например, нейтрино), описываемый механизм не работает,
поскольку слабое гравитационное поле не способно удержать такие частицы внутри островка.
1.6. Образование структур во Вселенной
45
вился практически пустым, свободным от частиц, зато в центре образовывался
новый объект — протогалактика с большим относительным контрастом плотно¬
сти, δρ/ρ > 1. Галактики активно образуются при красных смещениях 2-4, одна¬
ко встречаются и более ранние: в наблюдениях есть указания даже на галактики
с красным смещением «10.
Размер структуры — галактики, скопления и т. п. — связан с пространствен¬
ным размером первичного островка повышенной плотности, а значит, со спек¬
тром возмущений. Именно от него зависят плотности числа галактик и скоплений
и их распределение по массе. Измерение этих характеристик позволяет опреде¬
лить спектр первичных возмущений. Имеющиеся на сегодняшний день наблюда¬
тельные данные с неплохой точностью соответствуют простейшему «плоскому»
спектру первичных флуктуаций, получившему название спектра Гаррисона-
Зельдовича. Отличительной особенностью этого спектра является отсутствие вы¬
деленного масштаба длины.
Неоднородности, имевшиеся в космической среде в эпоху рекомбинации, при¬
водят к анизотропии реликтового излучения. Поэтому спектр анизотропии ре¬
ликтового излучения является ценным источником информации о спектре пер¬
вичных флуктуаций материи. В частности, из спектра анизотропии реликтово¬
го излучения определяются амплитуда первичных флуктуаций плотности δρ/ρ
и наклон спектра.
Образование структур даёт ещё один аргумент в пользу существования тём¬
ной материи: без последней неоднородности плотности начали бы расти слишком
поздно и к настоящему моменту времени просто не успели бы достаточно раз¬
виться. Кроме того, из теории образования структур следует, что основная часть
тёмной материи должна быть холодной или тёплой, т. е. состоять из частиц,
ставших нерелятивистскими задолго до перехода с радиационно-доминированной
на пылевидную стадию эволюции Вселенной. При этом основной гипотезой явля¬
ется холодная тёмная материя, состоящая из частиц, которые перестали взаимо¬
действовать с плазмой уже будучи нерелятивистскими. Если бы основная часть
тёмной материи была, наоборот, горячей, т. е. состояла бы из частиц, ставших
нерелятивистскими уже на пылевидной стадии19, то образование структур про¬
текало бы несколько по-другому: как один из результатов, первичными структу¬
рами были бы скопления галактик. Из наблюдения структур с размерами поряд¬
ка десятка Мегапарсек и меньше следует, что горячая тёмная материя не даёт
большого вклада в полную плотность энергии Вселенной: во Вселенной, чья плот¬
ность энергии в основном определялась бы горячей тёмной материей, структур
относительно небольших размеров было бы значительно меньше.
Во второй части этой книги мы будем рассматривать образование структур
во Вселенной и роль различных компонент первичной космической среды в этом
процессе.
19 Примером горячей тёмной материи являются нейтрино с массами т„ ~ 1 — 10 3 эВ.
46
Глава 1. Космология. Краткий обзор
1.7 До горячей стадии
1.7.1 Аргументы из наблюдательных данных
Результаты космологических наблюдений прямо свидетельствуют о том, что
горячей стадии эволюции Вселенной, о которой шла речь в разделе 1.5, предше¬
ствовала какая-то другая эпоха с весьма необычными свойствами. Подробнее мы
будем изучать данный вопрос во второй части книги, а здесь скажем, что это
замечательное утверждение следует из анализа свойств неоднородностей мате¬
рии, тех самых, из которых образовались галактики. В барион-фотонной среде
до рекомбинации эти неоднородности представляли собой звуковые волны20; мы
увидим, что скорость звука в такой среде us и 1/\/3. Длина каждой из таких
волн растёт со временем из-за расширения Вселенной, λ(ί) а а(£), а волновой
вектор (импульс) q(t) = 2π/λ(έ) уменьшается,
где к — постоянная для данной волны величина, называемая конформным (или со¬
путствующим) импульсом. Уменьшается и частота волны,
ω(ί) = usq(t).
Таким образом, для барион-фотонной компоненты зависимость контраста плот¬
ности (с определённым волновым вектором к) от времени носит осциллирующий
характер,
-^(О = Лкcos ( ! us γ-τ dt + , (1.25)
Ρβί \J ο α\4 J
где Ак — амплитуда волны, <рк — не зависящая от времени фаза, обозначение
Βη относится к барион-фотонной компоненте.
Такое осциллирующее поведение было характерно для волн плотности не все¬
гда в горячей Вселенной. На интересующей нас стадии (радиационно-доминирован-
ной) масштабный фактор ведёт себя как a(t) ос \/t. а параметр Хаббла (1.3) равен
H(t) = (2£)-1. Поэтому на достаточно ранней стадии текущее значение парамет¬
ра Хаббла превышало значение частоты, H(t) ω(ί), то есть темп расширения
Вселенной превышал частоту акустических осцилляций, и осцилляции просто
не успевали происходить. Иначе это свойство можно понять следующим обра¬
зом. Если бы эволюция Вселенной начиналась сразу с горячей стадии, то сигна¬
лы, испущенные в момент Большого взрыва и движущиеся со скоростью света,
распространились бы к моменту времени t на расстояние /я(£) ~ t ~
Это расстояние было бы максимальным размером причинно-связанной области
в момент t, то есть уже упоминавшимся космологическим горизонтом. Посколь¬
ку для фиксированного к длина волны Λ(ί) ведёт себя как a(t) ос \Д, при малых t
выполняется
λ(£) »£я(£)·
20Неоднородности были и в плотности тёмной материи, но это для нас сейчас несущественно.
1.7. До горячей стадии
47
Для каждой волны было время, когда её длина превышала размер космологи¬
ческого горизонта! Про эту ситуацию говорят, что волна была за горизонтом.
Отметим, что для неоднородностей, из которых впоследствии сформировались
галактики, а тем более скопления галактик, такая ситуация имела место ещё
на сравнительно поздних стадиях космологической эволюции: их «вход под го¬
ризонт» (время, когда А(£) ~ (έ)) происходил при не слишком высоких темпе¬
ратурах, Т <С 100 кэВ, то есть после эпохи нуклеосинтеза.
Совершенно невероятно, что первичные неоднородности представляли со¬
бой начальные данные космологической эволюции, что они существовали всегда,
начиная с самых первых мгновений существования Вселенной. Наоборот, есте¬
ственно думать, что эти неоднородности образовались во Вселенной в резуль¬
тате каких-то процессов. Из соображений причинности ясно, что эта генерация
не могла происходить на ранней горячей стадии, когда длина волны неоднородно¬
сти превышала размер космологического горизонта — максимальной причинно¬
связанной области в теории горячего Большого взрыва. Стало быть, в принци¬
пе имеются две возможности: либо неоднородности образовались сравнительно
поздно на горячей стадии, когда их длины волн были уже меньше текущего раз¬
мера горизонта, либо до горячей стадии была какая-то другая эпоха, во время
которой и происходила генерация неоднородностей.
Замечательно, что космологические данные позволяют ответить на вопрос,
какая из этих двух возможностей реализовалась в нашей Вселенной: на самом
деле неоднородности образовались в эпоху, предшествовавшую горячей стадии.
Дело в том, что если волны плотности существовали уже тогда, когда они бы¬
ли за горизонтом на ранней горячей стадии (и, следовательно, генерировались
в более раннюю эпоху), то фаза осциляций в (1.25) оказывается однозначно фик¬
сированной21. Например, для не слишком длинных волн эта фаза равна нулю,
φκ = 0 — так уж устроены решения волнового уравнения во Вселенной, расширя¬
ющейся по закону a(t) ос \Д. Если же волны плотности образовались на горячей
стадии (следовательно, уже будучи под горизонтом), то нет никаких оснований
для того, чтобы фаза осцилляций была жёстко фиксированной: разные волны
вполне могут иметь разные фазы. Так и происходит в конкретных моделях гене¬
рации возм^тцений на горячей стадии, о которых мы будем говорить в Главе 12.
Если фаза в (1.25) фиксирована (для определённости считаем, что = 0,
что верно, как мы говорили, для не слишком длинных волн), то ко времени
рекомбинации tr волны подходят в определённой фазе, зависящей от волнового
вектора к:
В результате во время рекомбинации величина брв-у(к) является осциллирую¬
щей функцией к\ для некоторых импульсов неоднородность плотности (а зна¬
чит, и температуры) максимальна, а для некоторых она равна нулю. Это про¬
является в осцилляционной картине углового спектра температуры реликтового
21 При дополнительном предположении, что первичные неоднородности находятся в так на¬
зываемой адиабатической моде. Это предположение подтверждается наблюдениями.
(1.26)
48
Глава 1. Космология. Краткий обзор
излучения (см. рис. 1.7): наиболее развитые неоднородности, для которых коси¬
нус в (1.26) равен ±1, имеют определённые длины волн, они видны под опре¬
делёнными углами, которым и соответствуют пики на рис. 1.7. Осциллирующий
с импульсом характер 6рв7 проявляется и в особенности распределения галактик
во Вселенной — так называемых барионных акустических осцилляциях, которые
также обнаружены в наблюдениях. Если же фаза в (1.25) принимает разные
значения для разных волн, как имеет место для поздних механизмов генерации,
осциллирующий угловой спектр температуры реликтового излучения и барион-
ные акустические осцилляции объяснить невозможно.
Таким образом, данные наблюдательной космологии однозначно свидетель¬
ствуют о том, что фаза <рь в (1.25) фиксирована, а это означает, что неоднород¬
ности во Вселенной существовали уже в начале горячей стадии и генерировались
в эпоху, предшествовавшую этой стадии. Отметим, что значение этой фазы сов¬
падает с теоретически предсказанным в указанном сценарии.
1.7.2 Проблемы теории горячего Большого взрыва
Помимо проблемы генерации неоднородностей, теория горячего Большого
взрыва, о которой шла речь в разделе 1.5, имеет и другие внутренние труд¬
ности. Они связаны с тем, что в рамках этой теории для успешного описания
ранней и современной Вселенной требуется наложить определённые начальные
условия для космологической эволюции, причём эти начальные условия имеют
весьма специальный и «неестественный» вид. Мы будем детально обсуждать про¬
блему начальных данных в теории горячей Вселенной во второй части книги,
а здесь приведём лишь два соображения, поясняющих, о проблемах какого рода
идёт речь.
Первое из этих соображений связано с обсуждавшимися выше свойствами
космологического горизонта. Как мы говорили, в теории горячего Большого
взрыва размер текущего горизонта (£) в момент времени t по порядку величи¬
ны равен t. В частности, размер горизонта эпохи рекомбинации составлял в ту
эпоху 1н(и) ~ 106 св. лет ~ 300 кпк. С тех пор размер соответствующей области
увеличился, и сегодня он равен Z# (ir)ao/a(ir) ~ 300 Мпк. Это гораздо меньше,
чем размер современного горизонта 1н^о) ~ 15 Гпк. Таким образом, наблюда¬
емая сегодня часть Вселенной содержит порядка 503 ~ 105 областей, которые
были причинно-несвязанными в эпоху рекомбинации (если оставаться в рамках
теории горячего Большого взрыва). Было бы естественно думать, что эти об¬
ласти должны быть совершенно непохожими друг на друга. Тем не менее, их
свойства и сегодня, и в эпоху рекомбинации совершенно одинаковы; в частности,
температура реликтовых фотонов, прилетающих из разных областей, одинако¬
ва с точностью лучше 10-4. Это несоответствие получило название проблемы
горизонта: в рамках теории горячего Большого взрыва однородность Вселенной
на больших масштабах не имеет естественного объяснения и может быть обеспе¬
чена только путём наложения весьма специальных начальных условий.
1.7. До горячей стадии
49
Второе соображение носит несколько иной характер. Как мы уже говорили,
современная Вселенная — «тёплая», и, следовательно, она может характеризо¬
ваться энтропией. Плотность энтропии по порядку величины равна плотности
числа фотонов; в современной Вселенной
s ~ 103 см-3.
Оценим энтропию видимой части Вселенной, которая имеет размер
До = 1н(1 о) — 15 Гпк ~ 5 · 1028 см:
S ~ ~ Ю90.
Это огромное безразмерное число — одна из характеристик нашей Вселенной.
Почему Вселенная имеет столь большую энтропию? В теории горячего Большо¬
го взрыва на этот вопрос ответа нет, поскольку в её рамках энтропия сохраняется
(или, точнее, почти сохраняется). Огромную энтропию Вселенной приходится за¬
кладывать «руками» в качестве начального данного. Это неудовлетворительное
положение дел получило название «проблемы энтропии».
В теории горячего Большого взрыва есть и другие трудности подобного рода;
на качественном уровне все они сводятся к тому, что эта теория не объясняет, по¬
чему Вселенная такая большая, горячая, пространственно-плоская, однородная
и изотропная.
1.7.3 Инфляционная теория
Как эти проблемы, так и проблема генерации первичных неоднородностей
находят изящное решение в инфляционной теории [35, 36, 37, 38, 39]. Согласно
этой теории, горячей стадии развития Вселенной предшествовала сталия быст¬
рого, почти экспоненциального расширения — стадия инфляции. Во время этой
стадии первоначально малая причинно-связанная область Вселенной (размер ко¬
торой был сравним, скажем, с планковской длиной Ιρι) растянулась до огромных
размеров: вполне возможно, что современный размер этой области на много по¬
рядков превышает всю наблюдаемую часть Вселенной! Это в конечном итоге
и объясняет плоскостность, однородность и изотропию наблюдаемой Вселенной.
Благодаря экспоненциальному характеру расширения достаточно, чтобы инфля¬
ционная стадия продолжалась короткое время: проблемы теории горячего Боль¬
шого взрыва находят своё решение, если длительность инфляции составляла
не менее (50-=-70)^“^, где Hinfi — параметр Хаббла во время инфляции (его ха¬
рактерное значение в простых инфляционных моделях — это Hinfi ~ 10-5Мр*,
хотя Hinfi может быть и заметно меньше). Таким образом, минимальная дли¬
тельность инфляции — порядка 107tpi ~ 10-36 с. Скорее всего, инфляционная
стадия продолжалась гораздо дольше, но в любом случае вполне вероятно, что
мы имеем дело с микроскопическим временным масштабом.
Для реализации режима экспоненциального расширения требуется, чтобы
плотность энергии во Вселенной очень слабо зависела от времени. Плотность
50
Глава 1. Космология. Краткий обзор
энергии обычной материи — газа частиц — таким свойством не обладает. Поэтому
почти все модели инфляции используют гипотетические новые поля22.
При определённых условиях это новое поле — инфлатон — является простран¬
ственно-однородным и достаточно медленно меняется со временем в области,
испытывающей инфляцию. Медленно меняется и потенциальная энергия инфла-
тона, что и обеспечивает экспоненциальный режим расширения.
В некоторый момент условия, необходимые для экспоненциального расши¬
рения, нарушаются, и инфляционная стадия заканчивается. Наступает период
первичного разогрева Вселенной, в течение которого энергия инфлатона перехо¬
дит в энергию обычного вещества. В итоге Вселенная разогревается до высокой
температуры и входит в горячую стадию. Процессы разогрева сопровождаются
генерацией энтропии, что даёт решение упомянутой выше проблемы энтропии.
Первоначально инфляционная теория была предложена для решения про¬
блем горизонта, энтропии и подобных им проблем, но довольно скоро высни-
лось, что в ней находит решение и проблема начальных неоднородностей [41, 42,
43, 44, 45]. Изначальным источником неоднородностей служат вакуумные флук¬
туации полей, в простых вариантах — флуктуации самого инфлатонного поля.
На инфляционной стадии эти вакуумные флуктуации многократно усиливаются
благодаря быстрому изменению геометрии Вселенной во времени. По окончании
инфляции они перерабатываются в неоднородности плотности вещества. Ампли¬
туда возмущений плотности зависит от параметров инфляционной модели, од¬
нако спектр (зависимость от длины волны) в простейших конкретных моделях
инфляции от параметров не зависит: показатель спектра однозначно вычисля¬
ется. Замечательно, что большинство моделей предсказывают спектр, близкий
к плоскому (т. е. к спектру Гаррисона—Зельдовича [46, 47]), что соответствует
наблюдательным данным по анизотропии реликтового излучения и крупномас¬
штабной структуре Вселенной. В то же время, характерным для инфляцион¬
ных моделей является предсказание небольшого наклона спектра (т. е. отличие
от спектра Гаррисона—Зельдовича). Отличный от нуля — отрицательный — на¬
клон спектра действительно обнаружен в результате анализа данных по релик¬
товому излучению.
Другим предсказанием многих моделей инфляции является наличие релик¬
товых гравитационных волн [35]. Они также возникают в результате усиления
на инфляционной стадии вакуумных флуктуаций, в этом случае гравитационно¬
го поля. Во многих моделях амплитуды гравитационных волн с длинами, срав¬
нимыми с размером видимой части Вселенной, составляют величину порядка
10-5-10-6. Такие гравитационные волны оказывают влияние на свойства релик¬
тового излучения — его анизотропию [48, 49, 50, 51] и поляризацию [52, 53, 54,
55, 56, 57]. Однозначно говорить об обнаружении этих эффектов пока нель¬
зя, но они, возможно, будут доступны наблюдению в будущих экспериментах.
Открытие эффектов, обусловленных реликтовыми гравитационными волнами,
не только будет служить сильнейшим аргументом в пользу инфляционной тео¬
22 Оговорка здесь связана с возможностью [40] использовать поле Энглера—Б раута—Хиггса
Стандартной модели физики частиц, ещё одна возможность [36] — включение новых слагаемых
в действие гравитационного поля; она нередко эквивалентна введению новых полей.
1.7. До горячей стадии
51
рии, но и позволит определить важнейший параметр инфляционной стадии —
темп расширения Вселенной Щп/1.
К настоящему времени инфляционная теория хорошо разработана. Мы бу¬
дем довольно подробно изучать различные её аспекты во второй части этой
книги.
1.7.4 Альтернативы инфляции
Космологическая инфляция является хотя и наиболее популярным и теоре¬
тически исследованным, но не единственным сценарием для эпохи, предшество¬
вавшей стадии горячего Большого взрыва. Экзотической альтернативой служит
сценарий с первоначально сжимающейся Вселенной, которая в результате «от¬
скока» переходит на стадию расширения (вариант — пульсирующая Вселенная
со сменяющими друг друга эпохами сжатия и расширения). Мы кратко обсудим
сценарий с коллапсом и отскоком во второй части этой книги. Другая возмож¬
ность — сценарий «генезиса» [58], в котором предполагается, что изначально
Вселенная была пустой и имела геометрию Минковского, а впоследствии проис¬
ходил рост плотности энергии, приводящий к расширению Вселенной со все более
высоким темпом до тех пор, пока такой режим не сменится стандартной горячей
стадией. Все эти сценарии требуют использование полей ещё более экзотических,
чем поле инфлатона. Их характерным отличием от инфляции служит отсутствие
реликтовых гравитационных волн. Есть и другие, более тонкие отличия, которые
доступны экспериментальной проверке хотя бы в принципе. Вполне возможно,
что благодаря развитию теории и наблюдений мы в обозримом будущем сможем
уверенно сказать, какая именно эпоха предшествовала стадии горячего Большо¬
го взрыва.
В заключение нашего беглого обзора отметим, что за его рамками остал¬
ся целый ряд вопросов, которые мы будем изучать в этой книге. Надеемся, тем
не менее, что после этого введения содержание книги стало более или менее обо¬
зримым.
Глава 2
Однородная изотропная
Вселенная
В этой книге мы будем использовать основные понятия и уравнения общей
теории относительности, см. Приложение А. Соответствующие обозначения и со¬
глашения приведены в разделе А.11.
2.1 Однородные изотропные пространства
С высокой степенью точности наша Вселенная пространственно однородна
и изотропна на достаточно больших масштабах. Это означает, что в фиксирован¬
ный момент времени геометрия пространства — это геометрия однородного и изо¬
тропного трёхмерного многообразия. Таких многообразий существует всего три1
(с точностью до общих растяжений): трёхмерная сфера, трёхмерное евклидово
пространство (3-плоскость) и трёхмерный гиперболоид. Геометрию трёхмерной
сферы проще всего понять, представив себе её вложенной в (фиктивное с точ¬
ки зрения физики) четырёхмерное евклидово пространство и записав уравнение
3-сферы в виде
(Л2 + (Л2 + (Л2 + (у4)2 = я2,
где уа (а = 1,...,4) — координаты четырёхмерного евклидова пространства,
a R — радиус 3-сферы. Введём на 3-сфере сферические углы χ, Θ и ф, так что
У1 = R cos*,
у2 = R sin y cos 0,
(2.1)
у = R sin χ sin Θ cos φ,
у4 = R sin χ sin Θ sin φ.
1 Существенно при этом, что трёхмерная метрика имеет евклидову сигнатуру, иначе гово¬
ря, локально может быть приведена к стандартному виду dl2 — (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2. Мы
не приводим здесь доказательства того, что других типов однородных и изотропных трёхмер¬
ных пространств нет.
52
2.1. Однородные изотропные пространства
53
Тогда расстояние между двумя точками на 3-сфере, имеющими координаты (χ, Θ, ф)
и (χ + άχ, θ + άθ,φ + άφ), будет равно
dl2 = (dyl)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + (dy4)2 =
= R21 [d(cos χ)]2 + [d(sin χ cos 0)]2 + [d(sin χ sin Θ cos φ)]2 +
+ [d(sin χ sin Θ sin 0)]2 j. (2.2)
После простого вычисления получим, что метрика трёхмерной сферы имеет вид
3-сфера: dl2 = R2 [άχ2 + sin2 χ (άθ2 + sin2 θ άφ2)]. (2.3)
Отметим, что в этой формуле не осталось следов от вспомогательного четырёх¬
мерного евклидова пространства, как и должно быть.
Аналогично 3-сфере, трёхмерный гиперболоид удобно представлять себе вло¬
женным в фиктивное четырёхмерное пространство Минковского с метрикой
ds2 = -(dy1)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + (dy4)2,
при этом уравнение гиперболоида имеет вид
(yl?-(y2)2-(yZ?-(yA)2 = R\ (2-4)
и нас интересует одна из компонент связности у1 > 0.
> Задача 1. Убедитесь, что гиперболоид действительно является однородным
и изотропным пространством. Указание: Начните с того, что дайте чёт¬
кое определение того, что понимается под однородным и изотропным про¬
странством.
Координаты на 3-гиперболоиде можно ввести по аналогии с (2.1):
у1 = i?chx,
у2 = i?sh%cos0,
у3 = R sh χ sin Θ cos φ,
у4 = Rsh.χsmθsmφ.
Вычисление расстояния между двумя точками на гиперболоиде вполне анало¬
гично (2.2) и даёт
3-гиперболоид: dl2 = R2 [άχ2 + sh2 χ (άθ2 + sin2 θ άφ2)]. (2.5)
Для полноты запишем и метрику 3-плоскости (трёхмерного евклидова прос¬
транства):
3-плоскость: dl2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2. (2.6)
54
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
Одним из характерных свойств однородных и изотропных пространств являет¬
ся то. что все ковариантные геометрические величины выражаются через мет¬
рический тензор и, возможно, тензоры Sj и существующие в любом
римановом пространстве, см. Приложение А (здесь i,j = 1,2,3; мы обозначаем
метрический тензор трёхмерного пространства символом , чтобы отличать его
от метрического тензора ρμ1/ четырёхмерного пространства-времени). При этом
коэффициенты перед соответствующими комбинациями тензора 7^ не зависят
от координат. В частности, тензор Римана трёхмерного однородного изотропно¬
го пространства равен
^ ^Rijki — (I'ik'fji ΊίΐΊjk)·, (2-7)
где мы ввели параметр х = 0, +1, различающий 3-плоскость, 3-сферу и 3-гипер¬
болоид:
'+1,
3-сфера;
X = <
0,
3-плоскость;
(2.8)
-1.
3-гиперболоид.
Из (2.7) сразу следует, что тензор Риччи равен
(·■*) /?..
\» Ι<ν
<м
II
(2.9)
а скаляр кривизны постоянен в пространстве и равен 6xR 2
> Задача 2. Получить соотношения (2.7) и (2.9) прямым вычислением.
Метрикам 3-сферы, 3-плоскости и 3-гиперболоида можно придать унифици¬
рованный вид. Для этого заметим сначала, что, введя координату р = R\ для
сферы и гиперболоида и сферические координаты (р, Θ. ф) для плоскости, метри¬
ки (2.3), (2.5) и (2.6) можно представить в виде
dl2 = dp2 + r2(p)(dd2 -I- sin2 θάώ2). (2.10)
где
{R sin {p/R), 3-сфера;
p, 3-плоскость; (2.11)
R sh (p/R), 3-гиперболоид.
Интерпретация величин, входящих в формулу (2.10), очевидна: р — это геодези¬
ческое (кратчайшее) расстояние от (произвольно выбранного) начала координат
до точки с координатами (ρ,Θ.ό). а г(р) — определяет площадь двумерной сфе¬
ры. находящейся на расстоянии р от начала координат, S = 4тгг2(р). Ясно также,
что отрезок длины I, находящийся на расстоянии р от начала координат, виден
оттуда под углом
I
т(р)'
ΑΘ =
2.2. Метрика Фридмана—Леметра—Робертсона—Уокера
55
В качестве радиальной координаты можно вместо р выбрать г, тогда получим,
например, для 3-гиперболоида
2 dr2 _ dr2
Р = с h2(p/R) = 1 + гУЯ2'
так что метрика приобретает вид
dl2 = dr 2 + г2 (άθ2 + sin2 θ άφ2), (2-12)
1 — xrl IB/· ν '
где параметр х — тот же. что в (2.8). Отметим, что координаты (г, Θ. ф) покры¬
вают лишь половину 3-сферы, поскольку область 0 < г < R — это часть 3-сферы
от начала координат (полюса) до поверхности максимальной площади (эквато¬
ра 3-сферы). Отсюда и координатная сингулярность в метрике (2.12) при х =1
и г = R.
2.2 Метрика
Фридмана—Леметра—Робертсона—Уокера
Расширяющаяся однородная изотропная Вселенная описывается метрикой
ds2 = dt2 — a2(t)^ij dxl dxK (2.13)
где 7ij(;r) — метрика единичной 3-сферы (метрика (2-3) с R. = 1), единичного 3-
гиперболоида или 3-плоскости. Метрику (2.13) называют метрикой Фридмана—
Леметра—Робертсона—Уокера (FLRW) и говорят о замкнутой Вселенной (про¬
странство — это 3-сфера, у. — +1), открытой и плоской Вселенной (простран¬
ство — это 3-гиперболоид и 3-плоскость, х = — 1 и х = 0 соответственно).
В случаях замкнутой и открытой Вселенной масштабный фактор a(t) в каждый
фиксированный момент времени имеет смысл радиуса кривизны пространства.
В случае же пространственно плоской Вселенной сам по себе масштабный фактор
физического смысла не имеет, поскольку в фиксированный момент времени его
можно сделать равным любому наперёд заданному числу (например, единице)
растяжением пространственных координат. Физический смысл в плоской Все¬
ленной имеет отношение масштабных факторов в различные моменты времени
α(ίι)/α(ί2), а также параметр Хаббла
а
a(t)'
Здесь п далее точка означает производную по времени.
В случаях замкнутой и открытой Вселенной пространственные координа¬
ты хг. фигурирующие в (2.13), безразмерны, а масштабный фактор имеет раз¬
мерность длины. В с.пучае э/се пространственно-плоской Вселенной, наоборот,,
удобно считать, что х1 имеют размерность длины, а масштабный фактор —
безразмерный.
56
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
Метрика однородной изотропной Вселенной имеет вид (2.13) в определённой
системе отсчёта, которая выделена тем, что в каждый фиксированный момент
времени пространство выглядит одинаково в разных областях Вселенной. Эта
система отсчёта является к тому же сопутствующей: мировые линии частиц, по¬
коящихся в этой системе отсчёта, являются геодезическими, т. е. такие частицы
свободны. Прежде чем убедиться в этом, заметим ещё, что для таких частиц
ds2 = dt2, т. е. временная координата t имеет смысл собственного времени поко¬
ящихся частиц. В современной Вселенной в качестве таких покоящихся частиц
выступают галактики, если отвлечься от их локального (как говорят, пекуляр¬
ного) движения, обусловленного локальными гравитационными потенциалами
(например, созданными близкими галактиками).
Покажем, что мировая линия хг = const удовлетворяет уравнению геодези¬
ческой в метрике (2.13),
"+r>V = 0, (2.14)
где ΐίμ — 4-скорость (см. Приложение А). Вычислим для этого символы Кри-
стоффеля
Γ£λ = \θμσ Φν9\σ + d\9ua ~ 9σgv\). (2.15)
Ненулевые компоненты метрического тензора равны
9оо = 1. 9ij - —a2(t)jij{x),
а для обратного тензора имеем
®“ = 1' sii = ~aklii(X)·
Очевидно, что
Гоо = О, Г°=0, Гдо = 0
(в выражении в скобках в (2.15) по крайней мере два индекса должны принимать
нулевое значение, но goi = 0, 9мроо = 0)- Для Г^- имеем
ή, = lsikdogjt = -/у (2.16)
Для остальных символов Кристоффеля имеем в результате столь же простого
вычисления
Гу = αά-ύ j. (2.17)
r't = <3>Γ·λ„ (2.18)
где (3)Г'jk — символы Кристоффеля, вычисленные по трёхмерной метрике .
Обратимся к уравнению (2.14). Единственной отличной от нуля компонентой
4-скорости u'1 = dx11 /ds для покоящейся частицы является
dx°
ds dt
2.3. Красное смещение. Закон Хаббла
57
Уравнение (2.14) с очевидностью удовлетворяется, поскольку d^/ds = 0 и =
О для любого μ. Мировые линии частиц, покоящихся в выбранной системе отсчё¬
та, действительно являются геодезическими.
о Задача 3. Если выбрать временную координату не совпадающей с собствен¬
ным временем покоящихся частиц. то FLBW-метрика будет иметь вид
ds2 = N2(t) dt2 — a2(tYdj dxl dxY
Показать непосредственным вычислением, что и в этой метрике мировые
линии покоящихся частиц — геодезические (это. конечно, заранее очевид¬
но, поскольку это те же линии, что и в тексте).
В заключение этого раздела отметим, что и для замкнутой, и для откры¬
той модели нередко бывает возможно пренебречь пространственной кривизной
и использовать пространственно-плоскую метрику
7 ij = δυ. (2.19)
Это во всяком случае законно, если рассматриваются пространственные расстоя¬
ния. много меньшие радиуса пространственной кривизны а(£). Мы уже упомина¬
ли в Главе 1, что наблюдательные данные свидетельствуют о том, что Вселенная
и сейчас, и в прошлом — пространственно плоская с хорошей степенью точно¬
сти, поэтому приближение (2.19) в действительности является очень хорошим.
Мы ещё будем уточнять это утверждение в дальнейшем.
2.3 Красное смещение. Закон Хаббла
С течением времени масштабный фактор a(t) увеличивается, так что рас¬
стояния между точками с фиксированными пространственными координатами хг
увеличиваются — Вселенная расширяется. Из-за этого длина волны фотона, ис¬
пущенного в прошлом удалённым источником, увеличивается при движении фо¬
тона к наблюдателю, т. е. фотон испытывает красное смещение. Чтобы описать
это явление количественно, запишем действие свободного электромагнитного по¬
ля в искривлённом пространстве-времени с метрикой gtlu(x):
S = -i (2.20)
где, как обычно,
Εμι/ - - νυΑμ = δμΑ„ - 3νΑμ,
и Αμ — вектор-потенциал электромагнитного поля. Действие (2.20) — простейшее
ковариантное обобщение действия максвелловской электродинамики; множитель
у/—д обеспечивает инвариантность элемента четырёхмерного объёма (см. При¬
ложение А). В принципе к действию (2.20) можно было бы добавить другие ин¬
вариантные слагаемые, обращающиеся в нуль в случае плоского пространства-
времени, например
ss = jp-f
(2.21)
58
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
где Rxp — тензор Риччи, a — безразмерная константа, а множитель Mpf включён
из размерных соображений. Однако слагаемые типа (2.21) пренебрежимо малы
по сравнению с (2.20), если кривизна пространства-времени мала по сравнению
с планковским значением, \RpU\ -С Μρί; а константа а не слишком велика. По¬
этому на всех этапах классической эволюции Вселенной, когда её параметры да¬
леки от планковских, фотоны можно описывать действием (2.20) (если, конечно,
можно пренебречь взаимодействием фотонов с веществом).
Рассмотрим свободное распространение фотона в однородной изотропной
Вселенной и ограничимся случаем, когда длина волны фотона много меньше
радиуса пространственной кривизны (если Вселенная — открытая или замкну¬
тая). Тогда Вселенную можно считать пространственно-плоской и использовать
метрику
ds2 = dt2 — a2(t)6ij dx1 dxR (2.22)
Удобно ввести вместо временной координаты t конформное время ту, такое что
dt = α άη, (2.23)
т. е.
dt
a{t)
В терминах новой временной координаты метрика имеет вид
ds2 = а2 (ту) [άη2 — dx1 dx^].
(2.24)
Иными словами,
9μν = & {χΐ)τΐμιί (2.25)
где ημ„ — метрика Минковского. В связи с тем, что метрика (2.25) отличается
от плоской метрики только общим растяжением (зависящим от времени), гово¬
рят, что в координатах (ту, хг) метрика имеет конформно-плоский вид. В этих
координатах имеем
<Г = \гГ, ~/Ч = о.\
аг
Подставив эти выражения в (2.20), получим, чти в координатах (;у, τ’) действие
электромагнитного поля совпадает с действием в плоском пространстве-времени:
S = - J j d4x ,(2.26)
Такое свойство характерно именно для безмассовых векторных полей; для дру¬
гих полей действие в конформных координатах (ту, х*) к «плоскому» действию,
вообще говоря, не сводится. В связи с этим говорят, что свободное электромагнит¬
ное поле — это конформное поле, а другие поля конформными, вообще говоря,
не являются.
Из (2.26) сразу следует, что решения уравнений свободного электромагнит¬
ного поля во Вселенной с метрикой (2.22) (или, что то же самое, с метрикой
(2.24)) являются суперпозициями плоских волн
^(а) _ e(a)ei/ci7-ikx^
2.3. Красное смещение. Закон Хаббла
59
где к — постоянный вектор (вектор координатного импульса), k = |к|, а —
обычные векторы поляризации фотона, а = 1,2. Подчеркнём, что к не является
физическим импульсом фотона, а к не является физической частотой, посколь¬
ку dx и άη не совпадают с физическими расстоянием и промежутком времени.
Величина Ах = 2тг/к — это координатная длина волны фотона; физическая же
длина волны фотона в момент времени t равна в соответствии с (2.22)
Λ(ί) = a(t)Ax = 2тг^. (2.27)
Аналогично, Αη = 2п/к — это период электромагнитной волны в конформном
времени, а период волны в физическом времени2 t равен, в соответствии с (2.23),
Τ = α(ί)Δτ7 = 27Γη^. (2.28)
Таким образом, физический импульс р и физическая частота фотона в момент
времени t равны
= WY ω{t) = WY (2·29)
В расширяющейся Вселенной a(t) растёт со временем, физическая длина вол¬
ны фотона (2.27) соответственно растёт, а его физические частота и импульс
уменьшаются — фотон испытывает красное смещение. Если фотон был испущен
с определённой длиной волны Л, в момент времени U (например, в результате
перехода атома водорода с возбуждённого на основной уровень), то на Земле он
будет наблюдаться с длиной волны
λο = λ,·-^Γ = λ((1 + ζ(ί,·))· (2.30)
Q,(ti J
Как обычно, индекс 0 относится к величинам в настоящий момент времени.
Величина
т = - 1 (2.31)
α(ί)
называется красным смещением. Чем дальше от нас объект, излучающий фото¬
ны, тем дольше эти фотоны летят по Вселенной и тем меньшее значение имеет
α(ί,) — более отдалённые объекты имеют большее красное смещение. Красное
смещение объекта — непосредственно измеримая величина: её измерение сво¬
дится к идентификации линии или системы линий излучения (или поглощения)
атомов и определению того, насколько они смещены в область длинных волн,
см. Главу 1.
Подчеркнём, что формулы (2.30) и (2.31) имеют общий характер и справед¬
ливы при любых г.
2Отметим, что здесь мы предполагаем, что период Т значительно меньше характерного
времени изменения масштабного фактора α(ί). Это предположение, конечно, прекрасно выпол¬
няется в современной Вселенной.
60
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
Для не слишком далёких объектов разность (ίο — U) — время хода фотонов —
не слишком велика, и можно записать
a(U) = αο - ά(ί0)(ίο - U).
В терминах современного значения параметра Хаббла Но = H(to) получим
а(и) = α0[1 - H0(to - ί*)].
Поэтому в линейном порядке по (ίο — U) справедливо
-г(it) = #0(ίο -ί»)·
Наконец, время хода равно расстоянию до объекта, с точностью до поправок
порядка (ίο — ί;)2,
г = ί0 - t{.
Отсюда имеем закон Хаббла
г - Н0г, z < 1. (2.32)
При его выводе мы считали, что (ίο — ίί) невелико; это соответствует небольшим
красным смещениям, что и отмечено в формуле (2.32).
Параметр Хаббла Но — один из фундаментальных космологических пара¬
метров, характеризующих современную Вселенную. Мы уже обсуждали это
в Главе 1. Здесь напомним, что измеренное современное значение параметра Хаб¬
бла приведено в (1.6). а связанные с ним масштабы времени и расстояния —
в (1.12) и (1.13).
В заключение этого раздела сделаем следующее замечание. Наш вывод фор¬
мул (2.27)-(2.29) и, соответственно, (2.30) основывался на том, что свободное
электромагнитное поле является конформным, т. е. в координатах (η,χг) его дей¬
ствие сводится к действию в плоском пространстве-времени. Однако эти форму¬
лы имеют более общий характер и справедливы для любых безмассовых частиц.
Рассмотрим, например, безмассовое скалярное поле с действием
S = \ J d4x ημ”δμφδνφ. (2.33)
В конформных координатах {η,χ1) явный вид действия в пространстве-времени
с метрикой (2.24) — это
S = ^ J άζχάηο2{η)ημι/δμφ3ι,φ (2-34)
Скалярное поле с действием (2.33) не является конформным: действие (2.34)
не сводится к плоскому заменой переменных. Из (2.34) варьированием по ф по¬
лучим уравнение для безмассового скалярного поля в метрике (2.24)
^2δη{α2δηφ) - д{д{ф = 0.
(2.35)
2.4. Замедление относительного движения
61
(суммирование по г = 1.2.3 подразумевается, так что didi — это лапласиан в плос¬
ком трёхмерном пространстве). Заметим прежде всего, что оператор в левой ча¬
сти этого уравнения — ковариантный даламбертиан — не зависит от х1, поэтому
решение можно искать в виде разложения по трёхмерным плоским волнам
ф=щте~‘"
Множитель α-1 (η) выделен для удобства: с его учётом получаем, что уравнение
(2.35) приводится к уравнению для /(η), не содержащему первой производной
по времени:
/ + к2/ = 0. (2.36)
' a
Если темп расширения Вселенной и его производная по времени невелики по срав¬
нению с частотой безмассовой скалярной частицы, то вторым слагаемым в урав¬
нении (2.36) можно пренебречь, поэтому решением уравнения (2.36) является
f — elkri. а решения для скалярного поля — это линейные суперпозиции плос¬
ких волн
ф= ~^eikT]-ikx. (2.37)
α(η)
Координатные частота и импульс, к и к, вновь не зависят от времени, что вновь
приводит к соотношениям (2.27)-(2.29), в чём мы и хотели убедиться. Отметим,
что множитель α_1 (η) в решении (2.37) компенсирует множитель α2(η) в лагран¬
жиане (2.33); иначе говоря, для поля
/(х, т?) = α(η)φ(χ, η)
действие (2.33) сводится к «плоскому» действию безмассового скалярного по¬
ля с точностью до поправок, содержащих производные масштабного фактора
по времени.
о Задача 4. Сформулировать количественно условия, при которых второе сла¬
гаемое в уравнении (2.36) мало по сравнению с третьим. Выразить их в тер¬
минах физической частоты волны, параметра Хаббла и его производной
по физическому времени t.
о Задача 5. Рассматривая в качестве примера фотоны и безмассовые скаляр¬
ные частицы (действие (2.20) и (2.33) соответственно) показать, что со¬
отношение (2.31) между красным смещением и масштабными факторами
остаётся справедливым и в случаях открытой и замкнутой Вселенной, если
длина волны Λ (£) мала по сравнению с радиусом пространственной кривиз¬
ны a(t) в течение всего времени движения частицы.
2.4 Замедление относительного движения
Уменьшение физического импульса по закону
_ _к_
Р a{t)’
(2.38)
62
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
где к — не зависящий от времени координатный импульс, характерно и для
массивных свободных частиц. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение
геодезической
(2.39)
¥+^ = 0'
которому подчиняются 4-скорости свободных частиц
dxμ
ημ =
ds
(см. Приложение А). Заметим сразу, что и1 — это ещё не физические значения
пространственных компонент 4-скорости: поскольку физические расстояния άΧτ
связаны с координатными соотношением
dX{ = a(t) dx\
физические компоненты равны
TP dXi ί
и = —— = a(t)u .
ds
Как обычно в релятивистской физике, физические импульсы выражаются через
эти компоненты,
р‘ = mU\
а обычные скорости
связаны с U1 соотношением
v =
dXi
dt
=
(2.40)
Действительно, 4-скорости ημ удовлетворяют соотношению
9μι>ΗμΤ1 — i.
В метрике (2.25) оно выглядит следующим образом:
(д0)2 — а2игиг = 1
(суммирование по г подразумевается) или
3 -^2=1·
Поэтому
<DC_ _ dJC_ds_ _ U{
dt ds dt \/l + U2:
откуда и следует соотношение (2.40).
2.4. Замедление относительного движения
63
Вернёмся к уравнению геодезической (2.39). В метрике (2.22) отличны от ну¬
ля только компоненты связности (2.16) и (2.17). Для пространственных компо¬
нент уравнения (2.39) (т. е. при μ = г = 1,2,3) имеем поэтому
dul η i ™ i о du* ηά dt {
d7 + Г°>“ U +T»UU = °· ~dF+2 a teU=°-
В терминах физических компонент последнее уравнение имеет вид
dt a
Поэтому скорости свободных массивных частиц убывают со временем как
const
U1 -
a{t) ’
т. е. справедлив закон (2.38).
Таким образом, скорости свободных частиц относительно сопутствующей си¬
стемы отсчёта убывают в расширяющейся Вселенной; частицы постепенно «вмо¬
раживаются». В частности, если на ранних этапах эволюции Вселенной частицы
были релятивистскими, то на более поздних этапах они становятся нерелятивист¬
скими (разумеется, если их масса отлична от нуля). Такое поведение характерно
для нейтрино, если их масса превышает 10-4 эВ.
В заключение этого раздела приведём другой вывод соотношения (2.38). Он
связан с изучением решений уравнений массивных полей в расширяющейся Все¬
ленной. Рассмотрим, например, действие для массивного скалярного поля
5 = J dAx \f-^g {^9μν 9μφδνφ — ■
В метрике (2.24) оно имеет вид
S = [ 4^τόη(—ο2ημυΘ ·ό9ί,φ— ™ α~φ2
J \2 2
Уравнение, получаемое отсюда варьированием по ф — это уравнение Клейна-
Гордона в расширяющейся Вселенной (в конформных координатах)
^θη(α2θηφ) - дгдгф + ГГ?С?ф = 0. (2-41)
В это уравнение вновь пространственные координаты явно не входят, поэтому
его решения — это линейные комбинации волн
где к не зависит от времени. Физическая длина волны частицы вновь даётся
соотношением (2.27), а её физический импульс — равенством (2.38).
64
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
> Задача 6. Показать, что в случае медленного изменения масштабного фак¬
тора решением уравнения (2.41) являются линейные комбинации функ¬
ций вида
ф = фГШ ехр{'/’d??}e'a“'(1+0(9”α)) ’
где Ω(η) = л/к2 + πι2α2(η). Таким образом, координатная частота (про¬
изводная показателя экспоненты по конформному времени) равна Ω(η),
а физическая частота равна
ω{η) =
Ω(η)
α{η)
у/p2 + τη2,
как и должно быть в релятивистской физике.
2.5 Газы свободных частиц
в расширяющейся Вселенной
Рассмотрим, как недут себя газы невзаимодействующих частиц в однород¬
ной изотропной Вселенной. Поскольку речь пойдёт о локальных характеристи¬
ках типа плотности числа частиц, вновь можно пренебречь пространственной
кривизной и выбрать метрику в виде (2.22). Газ частиц можно характеризовать
функцией распределения, такой что /(X, p)d3Xd3p — это число частиц в эле¬
менте физического объёма с£3Х в интервале физических импульсов d3р. Функция
распределения, вообще говоря, зависит от времени и не является равновесной (по¬
скольку здесь мы рассматриваем случай, когда частицы не взаимодействуют и,
следовательно, не находятся в термодинамическом равновесии). Мы будем рас¬
сматривать однородные газы, для которых функция распределения не зависит
от координат, а зависит только от импульсов (и времени).
Мы видели в предыдущих разделах, что координатные импульсы свободных
чагтии к не изменяются во времени. Координатный объём d3x также постоянен,
поэтому функция распределения, записанная в терминах координатного импуль¬
са, не зависит от времени:
f(k) = const.
Число частиц в элементе сопутствующего фазового объёма также не зависит
от времени:
f(k) d3xd3k = const.
Сопутствующий фазовый объём совпадает с физическим:
d3xd3k = d3(ax) d3 ^ = d3Xd3p.
Поэтому функция распределения свободных частиц целиком определяется тем,
как «краснеют» импульсы:
ЯрЛ) = /(k) = f[a{t) -р].
2.5. Газы свободных частиц в расширяющейся Вселенной
65
Если в какой-то момент времени функция распределения известна и равна /*(р),
то в последующие времена она равна
= (2.42)
Разумеется, эта формула годится, вообще говоря, только для свободных частиц.
Мы увидим, что в ранней Вселенной частицы интенсивно взаимодействова¬
ли между собой и находились в термодинамическом равновесии. В какой-то мо¬
мент (для каждого типа частиц — свой) Вселенная расширилась настолько, что
плотность и температура в ней стали малы и взаимодействия между частицами
прекратились. В момент прекращения взаимодействий частицы имели тепловую
функцию распределения, а в дальнейшем она изменялась согласно закону (2.42)3.
Рассмотрим более подробно предельные случаи. Начнём с безмассовых ча¬
стиц; наибольший интерес представляют фотоны. В то время, когда они прекра¬
щают взаимодействовать с веществом (период рекомбинации, который мы будем
подробно обсуждать в дальнейшем), их функция распределения — это планков-
ская функция распределения излучения чёрного тела (black body). Она зависит
только от отношения импульса и температуры в этот момент, |р|/Т^:
Мр) ЛьЩ) (2тг)3 elpl/Ti — 1 ^2'43^
Для безмассовых фермионов это была бы функция Ферми—Дирака с нулевой
массой (см. Главу 5), которая тоже зависит только от отношения |р|/Т,. В после¬
дующие времена, согласно (2.42), функция распределения равна
/(Р, t) = /ьъ
д(*)|р|
<цТг
/ьь
Jp\_]
Teff(t)J’
где
Tessit) = (2.44)
ait)
Таким образом, функция распределения всегда имеет равновесную форму, несмот¬
ря на то что фотоны не находятся в термодинамическом равновесии. Из (2.44)
видно, что реликтовые фотоны имеют планковский спектр с (эффективной) тем¬
пературой, убывающей с течением времени но закону
(2-45)
Отметим, что так же (с некоторыми оговорками) ведёт себя температура в ранней
Вселенной, когда имеется термодинамическое равновесие фотонов с веществом
(мы увидим это в дальнейшем).
3Это утверждение требует уточнения. Оно было бы справедливо в строго однородной
изотропной Вселенной. В реальной Вселенной имеются неоднородности плотности, которые
в какой-то момент становятся значительными и создают заметные гравитационные потенциалы
(галактик, скоплений и т. д.). Для реликтовых фотонов это с хорошей точностью несуществен¬
но, но для нерелятивистских частиц весьма важно. Для последних закон (2.42) справедлив
только на достаточно ранних стадиях, когда неоднородности плотности ещё малы.
66
Глава 2. Однородная изотропная Вселенная
Разумеется, соотношение (2.45) справедливо и для других безмассовых ча¬
стиц, включая фермионы (если в природе действительно имеются безмассовые
частицы, помимо фотонов и гравитонов). Существенно, что эффективная темпе¬
ратура таких частиц падает по закону (2.45) начиная с того момента, когда эти
частицы выходят из термодинамического равновесия с остальным веществом.
В более поздние времена их температура может не совпадать с температурой фо¬
тонов. Мы столкнемся с этой ситуацией в Главе 7. Если частицы имеют малую,
но ненулевую массу m ив момент «отщепления» (прекращения взаимодействий
между собой и с другими частицами и выхода из термодинамического равнове¬
сия) были ультрарелятивистскими, их функция распределения по импульсам всё
время остаётся планковской (если эти частицы — бозоны), т. е. имеет вид (2.43)
с температурой Teff(t). которая падает как а-1(£). Это соответствует тепловому
спектру до тех пор, пока Те// >т, ав более поздние времена спектр этих частиц
тепловым не является: при Те// <С m равновесное распределение — это распре¬
деление Максвелла—Больцмана. Такие реликтовые частицы называют «горячей
тёмной материей»; «горячая» она в том смысле, что частицы отщепляются, буду¬
чи ультрарелятивистскими, и всё время характеризуются безмассовой функцией
распределения'1. Важный пример таких частиц — реликтовые нейтрино.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда частицы отщепляются,
будучи нерелятивистскими. В момент отщепления они характеризуются больц-
мановской функцией распределения (см. Главу 5)
где Т{ и μι — температура и химический потенциал в этот момент. Согласно
(2.42), функция распределения в последующие времена равна
Её снова можно представить в больцмановском виде
ТП А^е//
(2.46)
где
а эффективный химический потенциал определяется из соотношения
га ~ Peffjt) _ τη - Pi
Те// Ti
4Это же свойство имеет «тёплая» тёмная материя; по повод}' различия между горячей и тёп¬
лой тёмной материей см. раздел 9.1.
2.5. Газы свободных частиц в расширяющейся Вселенной
67
Равенство (2.46) означает, что функция распределения по-прежнему имеет рав¬
новесный вид5 (хотя частицы в термодинамическом равновесии не находятся),
а эффективная температура падает со временем как
T'fAt) ос ^ (2.47)
и убывает быстрее, чем в случае безмассовых частиц. Тёмную материю, части¬
цы которой в момент отщепления были нерелятивистскими, называют «холод¬
ной». Как мы упоминали в Главе 1, холодная6 тёмная материя, состоящая, по-
видимому, из неизвестных стабильных частиц, составляет большую часть веще¬
ства во Вселенной, а её плотность энергии (массы) составляет сегодня около 25 %
полной плотности энергии.
5См. сноску 3 в этой главе.
6Не исключён, впрочем, и вариант тёплой тёмной материи.
Глава 3
Динамика расширения
Вселенной
3.1 Уравнение Фридмана
Закон расширения Вселенной, т. е. зависимость масштабного фактора а
от времени, определяется уравнениями Эйнштейна (см. Приложение А)
ϋμν — — g^R — 8тrGT^!/.
Найдём их явный вид для однородной изотропной метрики (2.13). Начнём с вы¬
числения тензора Риччи. Имеем по определению
= 0ЛГ2„ - 9μΓ^ + Г£„Г^ - Г^Г’,· (3.1)
Отличные от нуля компоненты символов Кристоффеля даются формулами (2.16),
(2.17) и (2.1S). Из них, ь частности, следует, что
Γμ — -δί
4μ- /г
Γμ = (3)rJ
ίμ *j ‘
Вычислим сначала Rqq. Поскольку Гд0 = 0, вклад дают только второе и четвёртое
слагаемые в (3.1), и мы получаем
Доо = -д0Г^ - Г*ЛЛ = -д0Г;>л - =
=-а»К)-й)2^=-за°©-3©2·
Окончательно
а
Roo = —3—.
а
(3.2)
68
3.1. Уравнение Фридмана
69
Обратимся теперь к смешанным компонентам Rqi. Учитывая в (3.1) только нену¬
левые символы Кристоффеля, запишем
Rot = djTi - Э0Г*Д + Γ’4Γ*Λ - I* It- (3.3)
Это выражение в действительности равно нулю, поскольку не зависят от про¬
странственных координат, Γ^λ = вычисляются по статической метрике 7^
и не зависят от времени, а Т30к ос 63к, что приводит к сокращению двух последних
слагаемых в (3.3). Итак,
Rot = 0. (3.4)
Этого и следовало ожидать, поскольку Rqi преобразуются как компоненты 3-
вектора относительно трёхмерных вращений, а в изотропном пространстве вы¬
деленного вектора нет.
Вычислим, наконец, пространственные компоненты Rij. Вновь сохраним толь¬
ко ненулевые символы Кристоффеля в (3.1) и запишем
Яу = (^r^+etr^-ftr^+ir^+ii^-irSfcrio+riirJi+rSry, (3.5)
где в скобках собраны слагаемые, возникающие из каждого из четырёх членов
в (3.1). Учитывая (2.18), соберём слагаемые в (3.5), содержащие только простран¬
ственные индексы, в тензор Риччи ^Rij, вычисленный по трёхмерной метрике
7ij. Остальные четыре слагаемых вычисляются непосредственно, и мы получаем
Rij = d0(aa)^ij + aa^fij ■ 3^ - aa^ik ■ ^Rij.
Окончательно, имеем выражение
Rij = (йд + 2ά2 + 2>i)7 ij·, (3·®)
где мы воспользовались соотношением (2.9).
Используем теперь формулы (3.2), (3.4) и (3.6), чтобы найти скалярную
кривизну:
Я = gTRp, = 900Яоо + дцЩ = Яоо - ^7УЯу.
Поскольку 7и7^ = 3, имеем
В результате (ОО)-компонента левой части уравнений Эйнштейна имеет простой вид
1 / й2 х
Roo — t:9ooR = 31 -5· + -7
2 \αζ оΔ
Аналогично вычисляются другие компоненты тензора Эйнштейна:
70
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
Обратимся теперь к правой части уравнений Эйнштейна. На интересующих
пас· здесь этапах эволюции Вселенной пригодно макроскопическое описание ве¬
щества: его можно считать однородной «жидкостью» с плотностью энергии p(t)
и давлением p(t). В среднем вещество покоится в сопутствующей системе отсчёта,
поэтому единственная отличная от нуля компонента 4-скорости — это и0, причём
в силу соотношения glJLl/utJ'uu = 1 имеем
и0 = 1, uq = 1.
Следовательно, (ОО)-компонента тензора энергии-импульса равна (см. При¬
ложение А)
Too = {р + р)щщ - доор = р.
Итак, (ОО)-компонента уравнений Эйнштейна в однородной изотропной Вселен¬
ной имеет вид
ή -Цср-*
a) 3 a
2 '
(3.7)
Это уравнение называют уравнением Фридмана; оно связывает темп расширения
Вселенной (а именно, параметр Хаббла Η = а/а) с плотностью энергии материи р
и пространственной кривизной.
Уравнение Фридмана необходимо дополнить ещё одним уравнением, посколь¬
ку в уравнении (3.7) содержатся две неизвестные функции времени a(t) и p(t).
Для получения дополнительного уравнения удобно рассмотреть условие ковари-
антного сохранения тензора энергии-импульса вещества (см. Приложение А)
4μΤμν = 0.
Полагая здесь ν = 0, будем иметь
4μΤμ0 = 3μΤμ0 + Г μσΤσ0 + Г °μσΤμσ = 0. (3.8)
Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса в сопутствующей системе от¬
счёта равны
Г00 = ff00s00Too = р, (3.9)
Tij = 9ik^Tkl = gik9il(-gklp) = (ЗЛО)
αΔ
Здесь мы воспользовались тем, что пространственные компоненты 4-скорости
равны нулю в сопутствующей системе отсчёта, так что
T{j — (р ”Ь р)щщ pgij = pgij.
В формуле (3.10) величины 7^ — это не зависящие от времени компоненты
матрицы, обратной 7ij. Вновь воспользуемся выражениями для ненулевых ком¬
понент символов Кристоффеля (2.16), (2.17), (2.18) и запишем уравнение (3.8)
в явном виде:
р + 3-(р + р) = 0.
а
(3.11)
3.1. Уравнение Фридмана
71
Для замыкания системы уравнений, определяющих динамику эволюции однород¬
ной изотропной Вселенной, необходимо задать ещё уравнение состояния материи
р = р(р). (3.12)
Последнее уравнение не является следствием уравнений общей теории относи¬
тельности, а определяется тем, какое вещество присутствует во Вселенной. На¬
пример, для нерелятивистских частиц р = 0, для газа ультрарелятивистских
частиц р = р/3, а для вакуума р = —р. см. раздел 3.2.
Уравнения (3.7), (3.11) и (3.12) полностью определяют динамику расширения
Вселенной. Сделаем три замечания по поводу этих уравнений. Во-первых, если
во Вселенной присутствуют разные типы материи, не взаимодействующие между
собой, то тензор энергии-импульса каждого типа материи независимо удовлетво¬
ряет уравнению ковариантного сохранения. Поэтому уравнения (3.11) и (3.12) вы¬
полняются в этом случае для каждого типа материи по отдельности, а плотность
энергии р, фигурирующая в уравнении Фридмана (3.7), — это сумма плотностей
энергии всех типов материи. Во-вторых, если вещество во Вселенной находится
в термодинамическом равновесии, то уравнение (3.11) допускает простую интер¬
претацию. Его можно записать в виде
= -3d(lna). (3.13)
Р + Р
Левая часть этого соотношения совпадает с d(lns), где s — плотность энтропии,
см. Главу 5. Поэтому уравнение (3.11) сводится к соотношению
sa3 = const,
которое означает сохранение энтропии в сопутствующем объёме. Иными слова¬
ми, при расширении Вселенной плотность энтропии падает из-за растяжения
пространства, как элемент пространственного объёма
const
В-третьих, хотя мы до сих пор считали, что имеем дело с однородной жидко¬
стью, структура тензора энергии-импульса (3.9), (3.10), как и уравнения (3.7)
и (3.11) имеют общий характер. Действительно, самосогласованность модели од¬
нородной и изотропной Вселенной требует, чтобы тензор энергии-импульса так¬
же обладал свойствами однородности и изотропии. Это означает, что компонента
Т00 — трёхмерный скаляр — не должна зависеть от пространственных координат,
компонента Т°1 — трёхмерный вектор — должна быть рана нулю, а компоненты
Т*7, образующие трёхмерный тензор, должны быть пропорциональны у17 с коэф¬
фициентом пропорциональности, зависящим только от времени. Это и приводит
к выражениям (3.9), (3.10), хотя эффективное давление р не всегда можно ин¬
терпретировать как привычное давление среды.
72
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
о Задача 1. Найти уравнение состояния в модели скалярного поля с лагран¬
жианом
C = -V0y/1 -δμφδμφ, Vo > О,
считая, что поле ф является классическим и пространственно однородным
(зависит только от времени).
В заключение этого раздела отметим, что для получения уравнений эво¬
люции Вселенной мы использовали только одно из системы уравнений Эйн¬
штейна. а именно, (ОО)-компоненту, и только одно из условий ковариантного со¬
хранения тензора энергии-импульса, νμΤμ0 = 0. Можно показать, однако, что
остальные уравнения Эйнштейна и условия ковариантного сохранения тензо¬
ра энергии-импульса выполняются тождественно на решениях уравнений (3.7)
и (3.11). Тем не менее, выпишем для дальнейших ссылок уравнение, получающе¬
еся из (г. ^-компонент уравнений Эйнштейна. Из (3.6) ясно, что (г, ^-компоненты
тензора Эйнштейна пропорциональны ηц. Кроме того, (г, ^-компоненты тензора
энергиии-импульса T,j = —gijP также пропорциональны ~iij- Поэтому все (г, j)-
компоненты уравнений Эйнштейна сводятся к одному уравнению
2— + —т = —8тxGp—(3.14)
α о/ az
Это уравнение нам в ближайших главах не понадобится; его можно воспринимать
как следствие уравнения Фридмана (3.7) и ковариантного сохранения тензора
энергии-импульса.
> Задача 2. Показать, что уравнения
Roi — ~9oiR = 87rGT0i, Rij — -^dijR = S^GTij, V μΤμί = 0,
удовлетворяются тождественно для однородной изотропной Вселенной, ес¬
ли выполнены уравнения
*00 - \gooR = ΖπΟΤοο, νμτμ0 = 0.
При этом не обязательно предполагать, что Вселенная заполнена покоя¬
щейся «жидкостью», как мы делали в этом разделе. Существенно лишь,
что материя однородна и изотропна.
3.2 Примеры космологических решений.
Возраст Вселенной. Космологический горизонт
Прежде чем обсуждать реалистическую модель Вселенной, рассмотрим
несколько примеров космологических решений. В этом разделе мы будем рас¬
сматривать пространственно-плоскую модель
х = 0.
3.2. Примеры космологических решений
73
В действительности это очень хорошее приближение: как мы увидим в дальней¬
шем, слагаемое х/а2 в уравнении Фридмана (3.7) если и отлично от нуля, то
очень мало по сравнению с первым членом в правой части как в современную
эпоху, так и на ранних стадиях. Мы будем обсуждать более сложные решения,
включая решения с к ф 0, на протяжении этой книги.
В случае пространственно-плоской модели уравнение Фридмана при¬
обретает вид
Простые решения, описанные в этом разделе, получаются, если считать, что Все¬
ленная заполнена одним типом материи. Тогда уравнения (3.11), (3.12) (или, что
то же самое, (3.13) и (3.12)) позволяют найти зависимость плотности энергии
от масштабного фактора, р(а), после чего зависимость масштабного фактора
от времени может быть найдена из уравнения (3.15). Напомним (см. раздел 2.2),
что в пространственно-плоской Вселенной физический смысл имеет лишь отно¬
шение масштабных факторов в разные моменты времени, а не сам масштабный
фактор. Поэтому следует ожидать, что решение a(t) будет определяться с точно¬
стью до произвольного множителя. Кроме того, уравнения (3.15) и (3.11) инва¬
риантны относительно сдвига времени, поэтому в решении будет фигурировать
ещё одна произвольная постоянная — «начало отсчёта времени».
3.2.1 Нерелятивистское вещество («пыль»)
Начнём с модели, в которой Вселенная заполнена нерелятивистским веще¬
ством, для которого р = 0. Из уравнения (3.13) получим
const
Р =
(3.16)
Здесь и далее в этом разделе const обозначает произвольную постоянную (во¬
обще говоря, разную в разных формулах). Соотношение (3.16) имеет простую
интерпретацию: плотность числа частиц п убывает в соответствии с изменением
сопутствующего объёма, так что a°n = const, и полное число частиц сохраняет¬
ся. Поскольку плотность энергии равна р = тп, где т — масса частицы, то она
ведёт себя так же, как п, т. е. pa3 = const.
С учётом (3.16) уравнение (3.15) принимает вид
const
и имеет решение
a(t) = const · (ί — ts)2/3, (3-17)
где ts — произвольная постоянная. Вселенная расширяется, причём расширение
замедляется со временем, а < 0. Плотность энергии ведёт себя как
p(t)
const
(ί - t.)2
(3.18)
74
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
Решение (3.17), (3.18) сингулярно при ί = ts: в этот момент масштабный фак¬
тор обращается в нуль (все расстояния бесконечно малы), а плотность энергии
бесконечна. Это — пример космологической сингулярности, момента Большо¬
го взрыва. Разумеется, экстраполировать законы классической физики назад
во времени вплоть до момента Большого взрыва, да ещё с пылевидным урав¬
нением состояния р = 0, незаконно. Тем не менее, мы увидим, что и многие дру¬
гие классические космологические решения начинаются с сингулярности. Вполне
возможно, что эволюция нашей Вселенной началась с состояния, в котором плот¬
ность энергии была очень велика (сравнима с планковской плотностью энергии
βρι ~ Α'Ιρι ~ Ю76 ГэВ4), а законы классической физики были неприменимы.
В дальнейшем для решений с космологической сингулярностью мы будем
отсчитывать время с момента сингулярности. Для решения (3.17), (3.18) это со¬
ответствует ts = 0. Тогда t — это возраст Вселенной. С помощью (3.17) его можно
связать со значением параметра Хаббла
Я(0 = £(0 = 1-
a от
Используя ещё раз уравнение (3.15), получим
Р =
1 1
(3.19)
(3.20)
Соотношения (3.19) и (3.20) связывают физические величины, и в них нет про¬
извольных постоянных.
Если бы в течение большей части эволюции нашей Вселенной её расширение
определялось иерелятивистской материей, то её современный возраст определял¬
ся бы формулой (3.19),
to
2
(3.21)
Используя значения (1.10), (1.12), мы бы получили
tn = h 1 · 0.65 · 1010 лет = 0.93 · 1010 лет (h = 0.7). (3.22)
Это значение, даже с учётом неопределённое™ в измерении Но (см. (1.6)), проти¬
воречило бы достаточно надёжным независимым ограничениям на возраст Все¬
ленной, ίο ^ 1,4 · Ю10 лет. о которых мы упоминали в Главе 1. Мы увидим, что
ситуация улучшается, если расширение Вселенной определяется сегодня в зна¬
чительной степени тёмной энергией.
Рассмотрим на примере решения (3.17) ещё одно важное понятие — космоло¬
гический горизонт. Представим себе, что в момент Большого взрыва из каждой
точки пространства испущены сигналы, которые затем распространяются со ско¬
ростью света. Нас интересует расстояние Ζ#(ί), на которое такой сигнал удалит¬
ся от точки своего излучения к тому моменту, когда возраст Вселенной станет
равным ί. Физический смысл Ζ#(έ) — это размер причинно связанной области
на момент ί: наблюдатель в момент ί в принципе не может знать, что происхо¬
дит или когда-либо происходило за пределами сферы радиуса /я (ί). Эту сферу
3.2. Примеры космологических решений
75
называют космологическим горизонтом, а /#(£) — размером космологического
горизонта в момент t или размером наблюдаемой части Вселенной. Ясно, что 1н
растёт со временем; горизонт расширяется.
Отметим, что для расматриваемого здесь космологического горизонта упо¬
требляют также термин «горизонт частиц», в отличие от горизонта событий;
последний будет обсуждаться в разделе 3.2.3.
Для вычисления Z#(i) удобно воспользоваться конформным временем η,
см. раздел 2.3. В метрике (2.24) светоподобные геодезические, удовлетворяющие
условию ds2 = 0, описываются уравнением
|dx| — άη.
Поэтому координатный размер горизонта на момент времени t равен η(ί), а его
физический размер — это
lH{t) = α(ί)η(ί) = a(t)
f
dt'
a{t')
(3.23)
Для решения (3.17) имеем
lH(t) = 3t = Wr (3'24)
Если бы материя в нашей Вселенной описывалась нерелятивистским уравнением
состояния р = 0, то размер горизонта сегодня был бы равен
1нд
_2_
ϊν
Из (1.11) и (1.13) имеем численно
/я,о = /г-1 ■ 6000 Мпк = 0,86 · 104 Мпк = 2,6 · 1028 см (Л = 0,7). (3.25)
Ещё одно свойство горизонта сформулировано в следующей задаче.
> Задача 3. Показать, что сигналы, испущенные источниками, расположен¬
ными в момент t на расстоянии Ιη(ϊ), приходят к наблюдателю в момент
времени t с бесконечным красным смещением.
Таким образом, в моделях с космологическим горизонтом область Вселен¬
ной, в принципе доступная нашему изучению, имеет конечный размер, даже если
сама Вселенная бесконечна.
3.2.2 Ультрарелятивистское вещество («радиация»)
Если плотность энергии во Вселенной обусловлена ультрарелятивистским
веществом, то уравнение состояния имеет вид (см. Главу 5)
1
76
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
В этом случае уравнение (3.13) даёт
Р =
const
(3.26)
Отличие этого закона от (3.16) связано с тем, что с расширением Вселенной
уменьшается не только плотность числа частиц (п ос а-3), но и энергия каждой
частицы (ω ос а-1, ср. (2.29)).
Уравнение (3.15) превращается в
const
a4
и имеет решение
α(ί) = const · ί1/2
(мы вновь полагаем постоянную ts равной нулю). Свойства этого решения анало¬
гичны свойствам решения (3.17), (3.18): Вселенная расширяется с замедлением;
t = 0 соответствует космологической сингулярности; время жизни обратно про¬
порционально параметру Хаббла (ср. (3.19)),
а плотность энергии обратно пропорциональна квадрату возраста (ср. (3.20)).
■ _ 3 2= 3 1
Р 8πϋ 32тtG t2 ‘
Размер горизонта вновь конечен и равен
1н
, . Г dt'
= a{t)Jo W)
= 2t =
Hit)
(3.27)
Полезно связать темп расширения Вселенной (параметр Хаббла) с температурой
(в предположении термодинамического равновесия всех типов ультрарелятивист-
ских частиц и в пренебрежении химическими потенциалами). При температуре Т
каждый тип ультрарелятивистских бозонов Ъ вносит вклад в плотность энергии,
-л Г..,. Τ'-,.-,-,
paBiiJum ^cxvi. i лаВ^у oj
» =
где дь — число спиновых степеней свободы бозона Ъ (например, для фотона g~t =
2 в соответствии с числом поляризаций, для нейтральной скалярной частицы
д — 1. а общее число степеней свободы И/+-, W“-, Z°-6o30hob и бозона Хиггса
в минимальной Стандартной модели при Т > 100 ГэВ равно 10: массивные И74--,
И7--, Z0-6o3OHbi имеют по 3 поляризации, ещё одну степень свободы добавляет
бозон Хиггса1). Вклад каждого фермиона равен
7 7Т~
Р/ ~ 8309/Т ’
гКак мы увидим в главе 10, при высоких температурах электрослабая симметрия восстанов¬
лена. и И'- и Z-бозоны не имеют масс. Поэтому более адекватен другой подсчёт числа степеней
свободы: по две от И’"\ И/—. 2Г°-бозонов и четыре от комплексного хиггсовского дублета.
3.2. Примеры космологических решений
77
Полная плотность энергии — это сумма вкладов всех типов частиц, которые яв¬
ляются ультрарелятивистскими при данной температуре:
Р
(3.28)
где
^ γ ^
9* =Y,9b+
ь f
— эффективное число ультрарелятивистских степеней свободы. С учётом того,
что G = Mpf (см. раздел 1.1), соотношение (3.15) может быть записано в виде
где
Н =
Т2
(3.29)
М*Р1 =
90
8 7т3д,
■Μρι =
1,66^
Μρι.
(3.30)
Мы неоднократно будем пользоваться соотношением (3.29). имея, конечно, в ви¬
ду, что параметр МР1 зависит от эффективного числа степеней свободы д* и,
следовательно, от температуры (поскольку частицы массы m дают вклад в д*
только при Г>га). Эта зависимость, однако, достаточно слабая, и при описа¬
нии физики ранней Вселенной на определённых этапах её эволюции, как правило,
можно считать МР1 постоянной.
Сравнивая соотношения (3.26) и (3.28), мы видим, что в термодинамиче¬
ском равновесии температура обратно пропорциональна масштабному фактору
(с точностью до слабо меняющегося множителя, зависящего от д*),
T(t)
const
a(t)
(3.31)
Напомним, что такое же соотношение (которое в этом случае является точ¬
ным) справедливо и для эффективной температуры газа ультрарелятивистских
невзаимодействующих частиц, не находящихся в термодинамическом равнове¬
сии, см. раздел 2.5. Наконец, полезно отметить, что из (3.31) и (3.29) следует, что
Т Т2
т к ’ М*Р1 у 1
Последние два соотношения, (3.31) и (3.32), являются точными в периоды эво¬
люции Вселенной, на протяжении которых эффективное число степеней свободы
<7* не меняется. Мы будем пользоваться соотношением (3.32) именно в таких
ситуациях.
78
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
3.2.3 Вакуум
В плоском пространстве-времени вакуум выглядит одинаково во всех инер¬
циальных системах отсчёта. Вообще говоря, он может иметь ненулевую плот¬
ность энергии, и из соображений симметрии его тензор энергии-импульса в плос¬
ком случае имеет вид
Γμι/ — ΡναοΠμν· (3.33)
При этом плотность энергии вакуума равна Too = Pvac·, а эффективное давление,
определяемое согласно равенству Τι3 = —ppij. равно
Р — Pvac·
Итак, вакуум характеризуется весьма необычным уравнением состояния р = —р\
давление вакуума отрицательно.
Если кривизна пространства-времени невелика, то выражение (3.33) спра¬
ведливо в любой локально-лоренцевой системе отсчёта, а в произвольной систе¬
ме отсчёта
Γμι/ = ΡναοΡμν- (3.34)
При этом pvac — постоянная в пространстве и времени величина, которая в прин¬
ципе должна вычисляться в фундаментальной теории элементарных частиц и их
взаимодействий. До сих пор сколько-нибудь надёжное вычисление плотности
энергии вакуума отсутствует, и это — одна из главных проблем фундаменталь¬
ной физики.
Постоянство pvac согласуется с уравнением (3.11), которое при р = —р даёт
р = 0. Это, впрочем, очевидно с самого начала: уравнение (3.11) — это следствие
ковариантного сохранения тензора энергии-импульса, а тензор энергии-импульса
вида (3.34) ковариантно-постоянен при pvac = const в силу ковариантного по¬
стоянства метрического тензора, У {1дхр = 0 (см. Приложение А).
На правую часть уравнений Эйнштейна вида Τμν = const · ρμν можно взгля¬
нуть с несколько другой стороны. Требование общерелятивистской инвариант¬
ности не запрещает добавить к гравитационному действию общей теории отно¬
сительности
Sg = -1вЬ J R^dix
ещё одно слагаемое
В результате варьирования действия (Sg + S.\) по метрике в отсутствие вещества
получатся уравнения (см. Приложение А)
Βμν 'ϊ^9μί/^' 8тгСтЛруд/ = 0.
Они в точности совпадают с уравнениями Эйнштейна с тензором энергии-импуль¬
са (3.34), если положить Л = pvac· Такой путь был исторически первым, и пара¬
метр Л по историческим причинам часто называют космологической постоянной.
3.2. Примеры космологических решений
79
Разумеется, различие между космологической постоянной и плотностью энергии
вакуума — чисто филологическое (по крайней мере при современном понима¬
нии вопроса).
Решение уравнения Фридмана (3.15) с р = const = pvac имеет вид
а = const ■ eHdst, (3.35)
где параметр Хаббла
Hds = Pvac
постоянен во времени. Соответствующее пространство-время с метрикой
ds2 = dt2 - e2Hdst dx2 (3.36)
называют пространством де Ситтера2. Оно является пространством-временем
постоянной кривизны.
> Задача 4. Показать, что для пространства де Ситтера выполняется (ср. (2.7))
Κμι/\р = ~Ηάείθμλβνρ ~ 9μρ9ν\) ·
В отличие от предыдущих примеров космологических решений, Вселенная
расширяется с ускорением: a > 0. Более того, пространство де Ситтера не имеет
сингулярности: хотя a(t) стремится к нулю при t —»■ —сю, особенность, присутству¬
ющую в метрике при ί —> —ос. можно устранить координатным преобразованием.
> Задача 5. Рассмотрим фиктивное плоское пятимерное пространство с мет¬
рикой
ds2 = (dy0)2 - (dyl)2 - (dy2)2 - (dy3)2 - {dy4)2.
Рассмотрим в нём гиперболоид, заданный уравнением
(У0)2 - (У1)2 - (У2)2 - (У3)2 - (У4)2 = -Я-2 = const.
Очевидно, что этот гиперболоид не имеет сингулярностей. Выберем на этом
гиперболоиде координаты (t. хг). г — 1,2,3, такие что
о = -H~ls}im-^x2eHt
2
у1 = x{eHt,
у4 = Я-1 ch Ht — —x2eHt.
2
(3.37)
Показать, что при таком выборе координат метрика, ицщчдфованная на ги¬
перболоиде из пятпмерпого пространства, совпадает с метрикой (3.36). Ка¬
кую часть гиперболоида покрывают координаты (t. х) ?
2Координаты (ί,χ) покрывают лишь половину пространства де Ситтера, см., например, [59]
и задачу 5 в этом разделе.
80
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
Для пространства де Ситтера космологический горизонт (горизонт частиц),
аналогичный горизонту, описанному в разделе 3.2.1, отсутствует. Действительно,
в пространстве де Ситтера «начало Вселенной» отодвинуто к t = — ос, поэтому,
в отличие от формулы (3.23), для размера горизонта теперь имеем
lH(t) = a(t) ί = eHdst [ dt' e~Hdst' = oo,
J — oc Q'V' ) J — oc
что и означает отсутствие горизонта.
Для пространства де Ситтера, впрочем, также вводят понятие горизонта, од¬
нако оно имеет другой смысл по сравнению с космологическим горизонтом, воз¬
никающим в моделях с сингулярностью. А именно, пусть имеется наблюдатель,
находящийся в точке х = 0 в момент времени t. Зададимся вопросом о том, ка¬
ков в этот момент размер области пространства, из которой испущенные в этот
момент сигналы достигнут наблюдателя (все время находящегося в точке х = 0)
в сколь угодно далеком будущем. Поскольку светоподобные геодезические удо¬
влетворяют равенству |dx| = άη, коодинатный размер этой области равен
, ч , ч fx dt’
n(t 00) - ч(0 = / WY
а физический её размер в момент времени t равен
, , ч Г dt’ 1
dS-a(t)Jt a(t') ~ Hds
Наблюдатель никогда не узнает о событиях, происходящих в данный момент вре¬
мени на расстояниях от него, превышающих Ids — ^ds - в этом смысл горизонта
де Ситтера. Его ещё называют горизонтом событий.
> Задача 6. Показать, что горизонта событий, аналогичного горизонту де Сит¬
тера, не существует для решений, рассмотренных в разделах 3.2.1 и 3.2.2.
(3.38)
3.2.4 Уравнение состолпил ρ — uup
Обзор простых космологических решений мы закончим кратким обсужде¬
нием модели, в которой материя характеризуется уравнением состояния
р — wp,
где w — постоянная, превышающая —1. Случаи нерелятивистского и ультраре-
лятивистского вещества соответствуют w = 0 и w = 1/3. С точки зрения эф¬
фективного описания тёмной энергии интерес представляет случай — 1 < w < 0;
материю с таким эффективным уравнением состояния называют по разному:
квинтэссенция, зависящий от времени Λ-член pi т. д.
При w > — 1 решение уравнения (3.11) имеет вид
Р -
const
q3(1 + u,’)
(3.39)
3.2. Примеры космологических решений
81
Из уравнения (3.15) получаем
а = const · έα,
где
а = -
2 1
3 1 + w
2
Параметр а положителен; Вселенная имеет космологическую сингулярность при
t = 0. Плотность энергии ведёт себя как
расширение Вселенной замедляется (а < 0) при а < 1 и ускоряется при а > 1.
В терминах параметра w имеем
Отметим, что если бы в правой части уравнения Фридмана (3.7) доминировало
слагаемое с пространственной кривизной и κ = — 1 (открытая Вселенная), это
эффективно соответствовало р = const/α2 и w = —1/3 (см. (3.39)). Скорость
расширения Вселенной при этом не менялась бы со временем, a = 0.
Указанные только что случаи (а) и (Ь) различаются ещё и в следующем от¬
ношении. В случае (а) в модели имеется космологический горизонт (горизонт
частиц) и отсутствует горизонт событий, а в случае (Ь) — всё наоборот. Действи¬
тельно, горизонт частиц существует, если сходится интеграл (см. (3.23))
Для a < 1 (т. е. w > —1/3) этот интеграл сходится, а для а > 1 (т. е. w <
—1/3) он расходится на нижнем пределе; в последнем случае горизонт частиц
отодвигается на пространственную бесконечность. Существование же горизонта
событий определяется сходимостью интеграла (см. (3.38))
Он расходится на верхнем пределе для а < 1 (горизонт событий отсутствует)
и сходится для a > 1 (горизонт событий существует).
> Задача 7. Проанализировать модель с уравнением состояния р = wp с по¬
стоянным w < — 1.
const
р = ~ё~
и обращается в бесконечность при t —* 0. Поскольку
a = const ■ a(a — 1)ία-2,
(а)
1
ιυ > —- — замедление;
О
(b)
82
Глава 3. Динамика расширения Вселенной
> Задача 8. Возможно ли в расширяющейся Вселенной с уравнением состоя¬
ния р = р(р) перейти от эволюции с (р + р) > 0 к эволюции с (р + р) < О,
не нарушая условия вещественности скорости звука us, определённой СО-
S.3 Решения с реколлапсом
Для полноты картины в этом разделе мы кратко обсудим однородные изо¬
тропные космологические решения, в которых расширение Вселенной в какой-то
момент времени прекращается и сменяется сжатием (реколшпсом). Такое проис¬
ходит, если в правой части уравнения Фридмана (3.7) имеются как положитель¬
ные, так и отрицательные слагаемые, причём положительные слагаемые быстрее
убывают с ростом масштабного фактора по сравнению с отрицательными. Фи¬
зически интересные примеры возможных отрицательных вкладов — это вклад
пространственной кривизны в замкнутой модели (х = +1) и вклад тёмной энер¬
гии. По поводу последнего можно сказать, что он положителен на современном
этапе эволюции Вселенной, но нельзя исключить, что он зависит от времени
и станет отрицательным в далёком будущем.
В качестве примера рассмотрим замкнутую модель Вселенной, заполненной
пылевидной материей. С учётом (3.1G) уравнение Фридмана имеет вид
где постоянная am определяется полной массой вещества во Вселенной. При
a <С am Вселенная расширяется так же, как и в плоском случае (раздел 3.2.1).
Расширение прекращается при a = am, когда правая часть (3.40) обращает¬
ся в нуль.
> Задача 9. Найти связь am с полной массой вещества в замкнутой Вселенной.
До какого размера расширилась бы Вселенная с 1 кг вещества?
Явное решение имеет простой вид в терминах конформного времени η, опре¬
делённого так, что dt = ad η (см. (2.23)). Уравнение Фридмана (3.40) тогда при¬
нимает вид
Видно, что расширение начинается с сингулярности при η = 0, максимальный
размер достигается при η = тг. и при η = 2тг Вселенная коллапсирует обратно
в сингулярность. Связь физического времени с конформным имеет вид
отношением и2
= dp/dp?
(3.40)
α4
и имеет решение
(3.41)
(3.42)
3.3. Решения с реколлапсом
83
Таким образом, полное время жизни и максимальный размер связаны между
собой соотношением ttot — π ■ am-
t> Задача 10. Показать, что при а «С am решение (3.41), (3.42) переходит
в «плоское» решение (3.17).
Похожая ситуация возникает и тогда, когда расширение Вселенной останав¬
ливается за счёт отрицательного Л-члена. Вселенная живёт конечное время меж¬
ду возникновением из сингулярности и реколлапсом в сингулярность.
о Задача 11. Найти закон эволюции a = a(t) пространственно-плоской Все¬
ленной (ус = 0) с отрицательной, не зависящей от времени космологиче¬
ской постоянной. Считать, что вещество во Вселенной имеет пылевидное
уравнение состояния р = 0. Найти полное время жизни. Указание: исполь¬
зовать уравнение Фридмана в физическом времени.
> Задача 12. Рассмотреть Вселенную, заполненную веществом с уравнением
состояния [60]
р = -~ (3.43)
(газ Чаплыгина).
1) Найти зависимость параметра Хаббла от масштабного фактора.
2) Найти закон эволюции Вселенной a = a(t) в пределах малого и боль¬
шого масштабных факторов во всех трёх случаях: ус = 0, ±1.
3) Найти закон эволюции a — a(t) в случае пространственно-плоской
Вселенной.
4) Для каких ус существуют статические решения уравнений Эйнштейна?
5) Что можно сказать про будущее Вселенной, если известно, что в неко¬
торый момент времени она расширяется с ускорением? Рассмотреть
все три случая, ус = 0, ±1.
6) Рассмотреть теорию скалярного поля с действием
^θμφθνφ-ν(φ) .
Для пространственно плоской Вселенной найти потенциал V (ф), для
которого пространственно однородное решение приводит к космологи¬
ческой эволюции, найденной в п.З), причём соотношение между дав¬
лением и плотностью энергии имеет вид (3.43).
Глава 4
ACDM:
космологическая модель
с тёмной материей
и тёмной энергией
4.1 Современный состав Вселенной
Космологические решения, рассмотренные в разделе 3.2. нельзя восприни¬
мать как реалистические. В действительности плотность энергии в современной
Вселенной обеспечивается нерелятивистским веществом (барионы и тёмная ма¬
терия, а также те типы нейтрино, чья масса заметно выше 1 К ~ 10-4 эВ),
ультрарелятивистским веществом (фотоны, а также тот тип нейтрино, масса
которого меньше 10-4 эВ. если такое нейтрино существует, см. Приложение С)
и тёмной энергией. Вообще говоря, Вселенная могла бы иметь и ненулевую про¬
странственную кривизну. Поэтому все соответствующие слагаемые необходимо
учитывать в правой части уравнения Фридмана (3.7), и оно принимает вид
где рд/. Prad- Ра — плотности энергии нерелятивистского вещества, ультрареля-
тивистского вещества («радиации») и тёмной энергии, и по определению
— вклад пространственной кривизны. Введём критическую плотность рс
соотношением
(4.1)
(4.2)
(4.3)
84
4.1. Современный состав Вселенной
85
Подчеркнём, что мы всегда будем использовать понятие о критической плотно¬
сти применительно к современному состоянию Вселенной; иными словами, рс —
не зависящая от времени величина. Её смысл состоит в том, что если современ¬
ное значение плотности энергии во Вселенной рм,о + Pmd,о + Ра,о в точности
равно рс, то Вселенная — пространственно-плоская (поскольку в этом случае
ренту = 0 и х = 0). Для современного значения параметра Хаббла (1.8) вели¬
чина критической плотности приведена в (1.17). Средняя плотность энергии
в современной Вселенной довольно мала: она эквивалентна всего около 5 массам
протона на кубический метр.
Введём величины
п Рм.0 0 Prad.Q 0 Ра,0 п Pcurv,0 (л л\
“Λί = , ' “rad = , “Λ — , ilcurv = · (4.4J
Pc Pc Pc Pc
Подчеркнём, что эти величины также относятся только к современному состо¬
янию Вселенной и по определению не меняются со временем. Из соотношений
(4.1) и (4.3) следует, что
Ω^ — Пд/ “I- Qrad "Ή -f- ^Icutv — 1· (4.5)
Величины Ωί равны относительным вкладам различных видов материи, а также
пространственной кривизны в правую часть уравнения Фридмана (4.1) в совре¬
менную эпоху. Они являются одними из главных космологических параметров.
Проще всего найти относительный вклад ультрарелятивистских частиц, Ωταά·
Он в основном определяется вкладом реликтовых фотонов с температурой То =
2,726 К. В соответствии с законом Стефана—Больцмана, их плотность энергии
равна (см. также Главу 5)
„ _,ΐ!τ4
р7'0-23(Г0'
где множитель 2 связан с наличием двух поляризаций фотона. Численно
р- ,0 = 2,55 - 1(Г10
ГэВ
см3 ‘
поэтому
Ω-, = 2.5 · Ю-5·^ = 5.1 ■ 1(Г5, h = 0.7. (4.6)
Если существуют безмассовые или лёгкие нейтрино (с mu < 1 К ~ 10-4 эВ), их
вклад в Clrad по порядку величины сравним с Ω7. Итак,
SKad < 10"4.
(4.7)
В связи с этим влиянием ультрарелятивистских частиц на темп расширения Все¬
ленной в современную эпоху и в течение большой части предшествующей эволю¬
ции можно пренебречь.
Мы уже упоминали в Главе 1, что из наблюдений анизотропии реликтового
излучения следует, что пространственная кривизна Вселенной или вообще равна
86
Глава 4. Л CDM
нулю, или весьма мала; Вселенная с хорошей точностью является пространствен¬
но плоской. Количественно это сводится к ограничению на flCurv'·
|ПсиГ1,| <0,01. (4.8)
Мы обсудим в дальнейшем, как получается это ограничение, а пока будем просто
им пользоваться.
Существует несколько независимых способов определения Ωμ и Ωλ из на¬
блюдательных данных. Некоторые из них мы обсудим в этой книге, о некото¬
рых — только упомянем (см. также Главу 1). Здесь нам достаточно привести
принятые сегодня значения:
ΩΜ « 0,315, ΩΛ « 0,685 (4.9)
с точностью около 5 %. Таким образом, в современную эпоху темп расширения
Вселенной определяется в значительной степени тёмной энергией и в меньшей
степени — нерелятивистским веществом.
Отметим (см. также Главу 1), что современная плотность энергии нереляти¬
вистского вещества складывается из плотности массы барионов (протонов, ядер)
и плотности массы тёмной материи,
Ωλ/ = Ωβ + ΩοϋΜ,
причем
Ωβ = 0,050 и ΩαϋΜ = 0,265.
По крайней мере два типа нейтрино имеют массы, превышающие температуру
в современной Вселенной, см. Приложение С. Нейтрино этих типов сегодня яв¬
ляются нерелятивистскими. Однако вклад этих нейтрино в плотность энергии
сегодня мал (см. Главу 7). Количество электронов равно полному количеству
протонов, так что1
777 и
Ω6 « —- · Ωβ ~ 2 · 10-0.
тр
Таким образом, наибольший вклад в Ω;./ вносит тёмная матерпя. По причинам,
о которых мы будем говорить в Главе 9, для неё часто используют термин «хо¬
лодная тёмная материя» (cold dark matter), отсюда и обозначение Псбм·
Пространственно-плоскую модель Вселенной с нерелятивистской холодной
тёмной материей и тёмной энергией, параметры которой близки к (4.9), мы бу¬
дем называть2 моделью ACDM. В дальнейшем мы будем уточнять эту модель,
рассматривая другие космологические параметры. Одно уточнение сделаем пря¬
мо сейчас: в рамках модели ACDM мы будем предполагать, если не оговоре¬
но противное, что р\ не зависит от времени; такая ситуация имеет место, если
р.\ = pvnc — это плотность энергии вакуума.
1 Первое равенство здесь является приближённым, поскольку в Ωβ кроме протонов вносят
вклад и нейтроны, находящиеся в ядрах. Это здесь для нас несущественно.
2Вообще говоря, под ACDM часто понимают более широкий класс моделей. Мы будем ис¬
пользовать этот термин в узком смысле, указанном в тексте. В литератуфе описываемую модель
называют ещё «concordance model”.
4.2. Общие свойства эволюции Вселенной
87
Сразу скажем, что модель ACDM согласуется со всем набором существу¬
ющих наблюдательных данных. Это, конечно, не означает, что эта модель —
точная, или что невозможны альтернативные модели (особенно в части, касаю¬
щейся тёмной энергии); в любом случае модель ACDM служит важной реперной
точкой среди множества космологических моделей.
Обсуждавшееся только что соотношение между различными вкладами в пра¬
вую часть уравнения Фридмана (4.1) характерно только для современной эпохи,
поскольку pradi Рм, Ра и pCUrv ведут себя по-разному со временем, а именно,
prad ос а-4 (см. (3.26)), рм ос а-3 (см. (3.16)), pCurv ос а-2 (см. (4.2)) и, как мы
предположили, рл не зависит от времени. Таким образом, уравнение Фридмана
в модели ACDM можно записать в виде
87ГГп
торс
Пм (^)3 + QTad (^)4 + ΩΛ + Ω,
или
Н2 = Hq |Yljv/(l + z)3 + ΩΓαά (1 + ζ) + Ωα + ΩουΓυ (1 + zf .
(4.10)
(4.11)
Здесь есть одна тонкость. Число различных типов ультрарелятивистских частиц,
как и число типов нерелятивистских частиц, различно в разные эпохи эволюции
Вселенной. В частности, нейтрино с массой mu > 1 К сегодня являются нере¬
лятивистскими, а на ранних стадиях эволюции были релятивистскими. В этой
Главе данная тонкость будет для нас несущественной, но следует иметь в виду,
что уравнение Фридмана в виде (4.10) нужно использовать с осторожностью.
Ещё одно замечание касается тёмной энергии. Нельзя исключить возмож¬
ность того, что рл в действительности зависит от времени. Например, мож¬
но было бы рассмотреть тёмную энергию с уравнением состояния рд = ггдрд
с л'д ф —1; в этом случае её плотность энергии изменялась бы с масштабным
фактором по степенному закону (3.39). Наблюдательные данные свидетельству¬
ют о том, что w\ лежит в пределах —1,25 < w\ < —0,95. С учётом этого основ¬
ные выводы данной Главы остаются справедливыми, хотя при w\ ф —1 формулы
приобретают более громоздкий вид. Следует подчеркнуть, что вопрос о зависи¬
мости рл от времени — это один из важнейших вопросов как с точки зрения кос¬
мологии, так и с точки зрения физики частиц, поскольку он прямо связан с про¬
исхождением тёмной энергии: если рд = const, то тёмная энергия — это энергия
вакуума, в то время как зависимость рд от времени свидетельствовала бы о суще¬
ствовании в природе нового вида материи (например, скалярных полей с экзоти¬
ческими свойствами), для которого часто употребляют термин «квинтэссенция».
4.2 Общие свойства эволюции Вселенной
Обсудим, пока на качественном уровне, какие вклады в правую часть урав¬
нения Фридмана наиболее существенны в различные космологические эпохи.
Прежде всего, вклад кривизны никогда не был доминирующим. Действитель¬
но. из (4.8) и (4.9) видно, что вклад кривизны сегодня мал как по сравнению
88
Глава 4. Л CDM
со вкладом нерелятивистского вещества, так и по сравнению со вкладом тёмной
энергии. В прошлом вклад нерелятивистской материи был усилен по сравне¬
нию со вкладом кривизны множителем αο/α = 1 + ζ, поэтому кривизна была
тем более несущественной. Если вклад тёмной энергии действительно не зависит
от времени, то вклад кривизны мал и в будущем: кривизна убывает как 1/а2,
а рд остаётся постоянной.
Говоря о будущем, заметим, что все вклады в правую часть уравнения (4.10),
за исключением Ωλ, убывают с ростом а. Поэтому в будущем темп расширения
Вселенной будет определяться тёмной энергией, и поведение масштабного фак¬
тора будет стремиться к экспоненциальному, вида (3.35) с pvac = рд = РсФл·
Разумеется, этот вывод основан на предположении о постоянстве рд во времени.
Будет ли это предположение справедливо всегда — неизвестно, поэтому сколько-
нибудь надёжных предсказаний о совсем далеком будущем Вселенной сделать
в действительности невозможно.
Заканчивая разговор о будущем, отметим, что если бы рд мгновенно выклю¬
чилась, то медленнее всего с ростом а убывал бы вклад кривизны (если Исигу ф 0,
т. е. Вселенная не является в точности пространственно-плоской). При этом в слу¬
чае открытой Вселенной {ус = —1, ftcurv > 0, см. (4.2)) расширение длилось бы
вечно, а в случае замкнутой Вселенной (κ — +1, Qcurv < 0) расширение смени¬
лось бы сжатием и последующим коллапсом Вселенной обратно в сингулярность.
Смена расширения сжатием в последнем случае произошла бы тогда, когда пра¬
вая часть уравнения (4.10) обратилась бы в нуль, т. е. при
Оц |ΩείιΓν |
о, ΩΛ,/
(пренебрегая вкладом релятивистского вещества). Из ограничения (4.8) и оценки
(4.9) следует, что в момент остановки расширения
а
— > 30,
ао
т. е. Вселенная в любом случае расширится ещё на порядок.
о Задача 1. Используя ограничение (4.8) и консервативное ограничение Ω,μ >
0,25, получить ограничение снизу на полное время существования Вселен¬
ной в будущем до коллапса в классическую сингулярность.
Нас в этой книге будет больше интересовать прошлое Вселенной. Из урав¬
нения (4.10) видно, что в современную эпоху основной вклад в правую часть
вносит тёмная энергия. Этот вклад рд стал существенным относительно недав¬
но, а до этого был длительный период доминирования нерелятивистского веще¬
ства («пылевидная стадия»). Ещё раньше, при достаточно малых а, доминиро¬
вало ультрарелятивистское вещество («радиационно-доминированная стадия»).
Если оставаться в рамках изложенных до сих пор представлений, то горячая
радиационно-доминированная стадия началась непосредственно с космологиче¬
ской сингулярности. Такую картину мы будем условно называть картиной горя¬
чего Большого взрыва. Как мы говорили в разделе 1.7.1, она заведомо неполна;
4.3. Переход от замедления к ускорению
89
тем не менее, мы пока сосредоточимся на теории горячего Большого взрыва,
а предшествовавшую ей эпоху (инфляционные модели и альтернативы) рассмот¬
рим во второй части книги.
Заметный интерес для космологии представляют «моменты» смены режимов
расширения, к количественному описанию которых мы и переходим.
4.3 Переход от замедления к ускорению
Пренебрегая вкладами ультрарелятивистского вещества и кривизны, запи¬
шем уравнение (4.10) в виде
Ома?
+ Пдо/
Отсюда получим ускорение
4тг
α = a—Gpc
2Ωλ - Ωμ (—
V a >
В современную эпоху Вселенная расширяется с ускорением, поскольку 2Ωλ > Ωμ
и, следовательно, a > 0. В прошлом, при достаточно больших z = α$/α — 1, Все¬
ленная расширялась с замедлением, a < 0. Переход от замедления к ускорению
произошёл при
/ αοΫ _ 2Ωα
\flecc/ Ωμ
т. е. при
Zacc —
2Ωλ
Ωμ
1/3
- 1.
Здесь индекс acc обозначает момент перехода от замедленного к ускоренному
(accelerated) расширению. Для Ωμ = 0,315, Ωλ = 0,685 получаем численно
Zacc ~ 0,63.
Таким образом, переход от замедления к ускорению произошёл во Вселенной
сравнительно недавно. Переход хорошо виден на рис. 4.1, где представлены ре¬
зультаты измерений величины H(z)/( 1 + ζ) = ά(ί)/αο-
> Задача 2. При каком ζ в нашей Вселенной сравнялись вклады в плотность
энергии от нерелятивистского вещества и космологической постоянной?
Поскольку зависимость рм с* а_3 — довольно сильная, а рд слабо зависит
или вовсе не зависит от а, при 2 заметно больших zacc вкладом тёмной энер¬
гии в уравнение Фридмана можно пренебречь, и до перехода от замедления
к ускорению Вселенная расширялась по закону а ос ί2//3 (пылевидная стадия,
см. раздел 3.2.1).
90
Глава, 4. Л CDM
Рис. 4.1. Результаты измерений (использующих стандартные свечи и бари-
онные акустические осцилляции) эволюции производной масштабного фактора
[61J: изменение поведения с убывания на возрастание при уменьшении z сви¬
детельствует о переходе Вселенной от замедляющегося к ускоряющемуся рас¬
ширению. Теоретическая кривая соответствует плоской Вселенной с h = 0,7
и Ωλ = 0,73
t> Задача 3. Найти, при каком z происходит переход от замедления к уско¬
рению для тёмной энергии с уравнением состояния р = wp. При каком
значении параметра w этот переход происходил бы сейчас? Для численной
оценки воспользоваться значениями (4.9) для относительных плотностей
энергии нерелятпБпстского вещества и тёмной энергии.
4.4 Переход от радиационно-доминированной
к пылевидной стадии
Мы уже говорили, что в рамках модели горячего Большого взрыва на самых
ранних стадиях эволюции Вселенной её расширение определяется вкладом уль-
трарелятивистского вещества в уравнение Фридмана (радиационно-доминиро-
ванная стадия). Момент перехода от радиационно-доминированной к пылевид¬
ной стадии играет важную роль в теории эволюции неоднородностей: мы увидим
во второй части книги, что на этих стадиях неоднородности плотности во Все¬
ленной ведут себя существенно по-разному.
4.4. Переход от радиационно-доминированной к пылевидной стадии
91
Грубую оценку для момента перехода от радиационно-доминированной ста¬
дии к стадии доминирования нерелятивистского вещества (пылевидной стадии)
получим из (4.10) и оценок (4.6) и (4.9). Обозначая момент этого перехода ин¬
дексом eq (equality, равенство плотностей энергии релятивистской и нереляти¬
вистской материи) и пренебрегая в уравнении (4.10) вкладами Л-члена и кривиз¬
ны, получим, что вклады ультрарелятивистского и нерелятивистского вещества
сравниваются при
<2о Ωμ 1П4 ,. V
Zeq + 1 = ~ ~~ 10 . (4-12)
Q/eq iirad
При этом температура во Вселенной по порядку величины равна
Teq = Т0(1 + zeq) ~ 104 К ~ 1 эВ. (4.13)
Таким образом, переход от радиационно-доминированной к пылевидной стадии
происходил довольно далеко в прошлом.
Оценки (4.12) и (4.13) нуждаются в уточнении. При температуре порядка
1 эВ релятивистскими являются не только фотоны, но и все три типа нейтри¬
но (см. Приложение С). Мы увидим в Главе 7, что нейтрино при такой тем¬
пературе не взаимодействуют ни между собой, ни с окружающим веществом.
В соответствии с разделом 2.5, функции распределения нейтрино являются в это
время тепловыми. В Главе 7 мы покажем, что эффективная температура ней¬
трино равна
( 4 \1/3
11=(й) т·" (4Л4)
где Т7 — температура фотонов. Отметим, что всюду в этой книге мы отождеств¬
ляем температуру во Вселенной с температурой фотонов, так что
Г7 = Т.
Вклад ультрарелятивистских нейтрино в плотность энергии во Вселенной даёт¬
ся законом Стефана—Больцмана, модифицированным соответствующим образом
(см. Главу 5),
Ρ, = 3·2·Γ^, (4.15,
где множитель 3 отвечает трём типам нейтрино, множитель 2 возник из-за того,
что для каждого типа нейтрино существует как нейтрино (одна поляризация),
так и антинейтрино (вторая поляризация), а множитель 7/8 связан с тем, что
нейтрино являются фермионами. Таким образом, плотность энергии ультраре¬
лятивистского вещества при интересующих нас температурах равна
Prad — Ру "Ь Pv —
(4.16)
где первый член в квадратных скобках соответствует фотонам, а второй — трём
типам нейтрино. Иными словами,
prad = 1,68р7 = 1,68^^^ П7рс.
(4.17)
92
Глава 4. ЛCDM
Выражение для плотности энергии нерелятивистского вещества, как и раньше,
имеет вид
Рм = ^мРс· (4-18)
Отсюда находим, что переход от радиационно-доминированной к пылевидной
стадии происходит при
1 , а0 ПС
1 + Zeq — — 0,6 _ ,
Q-eq «
и с учётом (4.6) имеем
1 + zeq = 2,4 · 104 QMh2.
(4.19)
Для Ωд,/ = 0,31 и h = 0,7 имеем
1 + zeq = 3,5 · 103.
(4.20)
Температура в этот момент равна
Teq = (1 + Zrq)To = 5,6 Ωλ,/Λ2 эВ,
Teq = 0,8 эВ при h = 0,7, Ω,\/ = 0,31.
(4.21)
(4.22)
Выражения (4.19)-(4.22) уточняют оценки (4.12), (4.13) с учётом трёх типов лёг¬
ких нейтрино.
Оценим время жизни Вселенной к моменту перехода от радиационно-домини¬
рованной к пылевидной стадии. До этого момента темп расширения определял¬
ся ультрарелятивистским веществом, причём во время большей части эволюции
ультрарелятивистскими являлись только фотоны и нейтрино (наиболее лёгкие
из других частиц — электроны и позитроны — перестали быть релятивистски¬
ми при Т ~ те = 0,5 МэВ). Поэтому для вычисления времени жизни можно
воспользоваться формулами раздела 3.2.2, причём число эффективных степеней
свободы3 д* получается сравнением формул (3.28) и (4.16):
/ 1 \*/з
InJ
3,36.
(4.23)
Используя формулы (3.27) и (3.29), получим для времени жизни оценку
1 _ Щ1
2 Heq 2Геу
(4.24)
где, как и прежде, Mpt = Mpi/(l,66y/g^). С учётом (4.21) и (4.23) получаем при
h = 0,7, Пм = 0,31
teq ~ 3.2 · 1036 ГэВ 1 = 2,1 ■ 1012 с = 70 тыс. лет. (4.25)
3Мы резервируем обозначение дг для величины, определяющей плотность энтропии, см. раз¬
дел 5.2. Величины д* и д* совпадают при Т > 1 МэВ, и при обсуждении Вселенной при таких
температурах мы пользуемся обозначением д*.
4.4. Переход от радиационно-доминированной к пылевидной стадии
93
Это время, разумеется, весьма мало по сравнению с современным возрастом Все¬
ленной ίο ~ 14 млрд лет.
В заключение этого раздела отметим, что переход от радиационно-доминиро¬
ванной к пылевидной стадии — это не какой-то определённый момент в истории
Вселенной, а процесс, длительность которого сравнима с хаббловским временем
на тот момент, Н~^ (иными словами, с временем жизни Вселенной teq). Для опре¬
делённости моментом перехода мы называем тот момент, когда prad = рм] в этом
смысле формула (4.19) является точной. Однако отношение плотностей энергии
ультрарелятивистского и нерелятивистского вещества зависит от масштабного
фактора не очень сильно, pTad/Рм ос а-1, так что за время порядка хаббловско-
го это отношение не успевает сильно измениться. Поэтому представление о том,
что при t = teq закон расширения изменяется скачком от а ос ί1//2 к а ос t2/3, носит
приближённый характер; соотношение (4.24) между температурой Teq и време¬
нем жизни teq — также приближённое, поскольку при выводе (4.24) не учиты¬
вался вклад нерелятивистского вещества в плотность энергии при t < teq.
Приведём более аккуратное вычисление возраста Вселенной при темпера¬
турах, не очень сильно отличающихся от Teq и всё ещё превышающих массы
нейтрино. В силу космологического ограничения на массы нейтрино, о котором
мы упомянем в разделе 7.2 (см. (7.15)), речь идёт о температурах Т > 0,2 эВ, а,
возможно, и более низких. В эту область попадает и температура рекомбинации,
о которой пойдёт речь в Главе 6.
Запишем сначала связь времени жизни с масштабным фактором:
Начиная с температур порядка 100 кэВ (с нескольких минут после Большого
взрыва, которыми мы пренебрежём) состав космической среды не менялся, по¬
этому соотношение Τ' ос а-1 было точным. Отсюда
Пренебрегая вкладом тёмной энергии (что является очень хорошим приближе¬
нием в интересующую нас эпоху), запишем
где Heq = H(Teq), первый и второй члены в скобках — это вклады нерелятивист¬
ской материи и радиации в уравнение Фридмана; их вид однозначно определяется
зависимостью от температуры, а также тем, что эти вклады равны при Т = Teq
и вместе дают H2(Teq). Теперь интеграл (4.26) можно вычислить и получить
(4.26)
(4.27)
94
Глава 4. Л CDM
где
Я(Т/Ге,) = 1(ι + ψ
3/2
-2il + ^V/2 4
Τ )
+ 3
Параметр Хаббла в момент равенства можно записать, например, в виде
Heq =
2 · у врм(Т„)
1/2
= \/2ПмЯо(1 + ге9)3/2,
откуда окончательно имеем
• Ft(TjTeq)
1 HoVShi(l + zeq)V2'
Подставляя сюда ^(1) = (4 — 2%/2)/3, h = 0,7, Ωμ = 0,31. получим
(4.28)
teq = 52 тыс. лет,
что уточняет оценку (4.25).
Аналогичным образом можно вычислить координатный размер горизонта
при температурах, не слишком далёких от Teq. Запишем
Г JL- Г — - Г — - — Г/аеч rf(a/Qe<?)
о a(i) Jo αά Jo fl2tf ®c<7 Jo (afaeq)2H
= _L Г d(Teq/T)
aeqJT (Teq/TfH{TУ
Вновь воспользуемся соотношением (4.27) и после вычисления интеграла полу¬
чим
где
η(Τ) =
ν/2
^{T/Teq)
fy(T/Teq)
ο.οΗο\/Ωμ(1 + zeqyi2
FV(T/Teq) = 2
(4.29)
Мы пспольззгем этот результат в разделе 6.4.
> Задача 4. Покажите, что выражения (4.28) и (4.29) переходят при Т Teq
иГ« Teq в известные выражения для возраста Вселенной и размера го¬
ризонта на радиационно-доминированной и пылевидной стадиях, соответ¬
ственно.
4.5 Возраст современной Вселенной
и размер горизонта
Учёт того, что в течение заметного периода в динамике расширения Вселен¬
ной существенную роль играл космологический Λ-член, приводит к уточнению
современного возраста Вселенной и размера космологического горизонта по срав-
4.5. Возраст современной Вселенной и размер горизонта
95
нению с оценками (3.22) и (3.25). Для их вычисления можно пренебречь вкладами
кривизны и ультрарелятивистского вещества в уравнение Фридмана: как мы об¬
суждали в разделе 4.1, вклад кривизны мал на всех этапах эволюции; вклад же
ультрарелятивистского вещества существенен лишь в течение короткого этапа,
t < teq. Положим поэтому tlrad = ΩCurv = 0 в уравнении (4.10) и запишем
=я°
Пм (^)3 + ΩΛ
(4.30)
где мы воспользовались соотношением (4.3). Кроме того, в нашем приближении
Ωλ/ + Ωλ = 1 ·
(4.31)
Нас будет интересовать случай Ωλ > 0. Решение уравнения (4.30) имеет вид
a(t) = α0
Ωλ/
Ωλ
3
2
2/3
(4.32)
Видно, что при малых временах восстанавливается закон расширения пылевид¬
ной стадии, а ос г2/3, а при больших временах масштабный фактор экспоненци¬
ально растёт, как и следовало ожидать.
Возраст современной Вселенной определяется из уравнения
/ Ωμ
\ Ωλ
3
2
η 2/3
1
и равен
ίο = зЖ \/ωΪ? (4'33)
При Ωλ —> 0 и Ωλ/ —> 1 мы вновь приходим к формуле (3.22). При положитель¬
ном Ωλ время жизни больше 2/(3#о)· В этом легко убедиться, построив графи¬
ки зависимости масштабного фактора от времени для пылевидной космологии
(Ωλ = 0) и модели ACDM (Ωλ > 0) так, чтобы они касались друг друга (произ¬
водные их совпадали) в современный момент, когда a = а о (совпадение произ¬
водных соответствует фиксированию современного значения параметра Хаббла
Но = (ά/α)ο). Поскольку для реальной Вселенной уравнение Фридмана имеет
вид (4.30), а для пылевидной модели правая часть равна #ο(αο/α)3, при каж¬
дом значении a < а о производная масштабного фактора по времени больше для
пылевидной модели, и мы приходим к графикам, изображённым на рис. 4.2.
Расстояние по временной оси на этих графиках от точки сингулярности a = 0
до точки a = αο, соответствующей современной Вселенной, — это и есть возраст
Вселенной; видно, что он больше для реальной Вселенной с Ωλ > 0. Из формулы
(4.33) получаем:
to = 1,38 · 1010 лет при Ωλ/ = 0,315, Ωλ — 0,685, h = 0,673.
96
Глава 4. Л CDM
a (t)/ a0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1 t/tQ
Рис. 4.2. Законы эволюции a = a(t) пространственно-плоских Вселенных
Такой возраст Вселенной практически не противоречит независимым ограниче¬
ниям. о которых мы упоминали в Главе 1. Таким образом, наличие в реальной
Вселенной космологического Л-члена снимает противоречие между возрастом
Вселенной, вычисленным исходя из современного значения параметра Хаббла,
и ограничениями на этот возраст, полученными другими способами. Обратим
внимание на приближенное равенство to ~ Hq 1, которое носит характер случай¬
ного совпадения.
о Задача 5. Рассмотрим открытую модель Вселенной без A-члена (эта модель
в действительности исключена измерениями анизотропии реликтового из¬
лучения). в которой Ωμ Ф 0, Ω01ίΓυ ф 0, Ωλ = 0 и Ωμ + Ωοητυ = 1. Найти
возраст современной Вселенной при заданном значении Но- Сделать чис¬
ленную оценку, используя значение Ωμ « 0,3 (полученное из изучения
скоплений галактик) и h = 0,7.
о Задача 6. Найти современный возраст Вселенной с уравнением состояния
для тёмной энергии р = wp. Сделать численную оценку для w = -1,2
и w = —0.8, полагая Ωμ = 0,3, Ωλ = 0,7.
Полезно найти возраст Вселенной при различных красных смещениях. Вспо¬
миная, что 1 + z(t) = αο/α(ί), получим из (4.33)
График функции t(z) приведён на рис. 4.3. Подчеркнём, что формула (4.34) вер-
(4.34)
4.5. Возраст современной Вселенной и размер горизонта
97
Ζ
Рис. 4.3. Возраст Вселенной t. соответствующий величине красного (смеще¬
ния ζ в модели ACDM с Пд = 0. 7 и h = 0.7
на лишь при 2 1000, когда плотностью энергии радиации можно пренебречь.
Обсуждение размера кослюлогического горизонта в модели ACDM не столь
поучительно; тем не менее, приведём соответствующую оценку. В соответствии
с общей формулой (3.23) современный размер горизонта равен
Ih,q = ао
dt
a{t)
Поскольку при достаточно малых t справедливо α(ί) ос ί2^3 (см. (4.32)), этот
интеграл сходится на нижнем пределе, т. е. размер космологического горизон¬
та конечен. Можно показать, что при заданном значении параметра Хаббла Hq
размер горизонта больше значения 2/Щ. возникающего в плоской модели с «пы¬
лью», но без Λ-члена. Численно, при Ωμ — 0,315, Пд = 0,685, оценка имеет вид
1Н0 = А · 1,6 = 14.2 Гпк. h ~ 0,673. (4.35)
Hq
> Задача 7. Показать, что в плоской модели с «пылью» и положительным Λ-
членом размер космологического горизонта больше 2/Но ■ Убедиться в спра¬
ведливости численной оценки (4.35).
В заключение этого раздела сделаем следующее замечание. Ограничение
(4.8) на ΩοηΓν вместе с оценкой (4.35) можно использовать для того, чтобы
98
Глава 4. KCDM
убедиться, что вне нашего космологического горизонта имеется много областей
размера /до· Напомним, что в классической теории горячего Большого взрыва
с космологической сингулярностью такие области причинно не связаны между
собой. В любом случае, никакой информации о событиях, происходящих или
происходивших в этих областях, мы получить не можем: например, реликтовые
фотоны с эпохи последнего рассеяния (эпохи рекомбинации) пролетели рассто¬
яние, меньшее /#.о-
Разумеется, в открытой и плоской моделях Вселенной таких областей беско¬
нечно много, так что речь идёт о не исключённой пока наблюдательными данны¬
ми возможности того, что Вселенная — это 3-сфера4. Из определений (4.2), (4.3)
и (4.4) следует, что радиус этой сферы а0 связан с Qcurv следующим образом:
Сравнивая это выражение с (4.35) и используя ограничение (4.8), получим
Таким образом, радиус Вселенной заметно больше размера горизонта. Это обсто¬
ятельство станет ещё более выпуклым, если найти полное количество областей,
подобных области внутри нашего горизонта. Оно равно отношению объёма 3-
сферы 2тг2а.д и объёма области радиуса /до:
Таким образом, наблюдательные данные прямо свидетельствуют о том, что мы
видим не больше 1 % всего объёма Вселенной. Во второй части книги мы при¬
ведём теоретические соображения в пользу того, что Ωαυτν на много порядков
меньше, чем даёт наблюдательное ограничение (4.8). т. е. областей вне нашего
горизонта на много порядков больше, чем следует из ограничения (4.37).
4.6 Соотношение «видимая яркость — красное
смещение» для удалённых стандартных свеч
Обсудим в общих чертах один из важных способов определения таких кос¬
мологических параметров, как современное значение параметра Хаббла Но, от¬
носительные плотности энергии нерелятивистского вещества Пм и тёмной энер¬
гии Ωλ и параметр CiCUrv, характеризующий пространственную кривизну. Этот
способ предоставляет также возможность выяснить, действительно ли тёмная
энергия имеет вакуумное уравнение состояния р = — р, или она представляет
"предполагается, что Вселенная однородна и изотропна и вне нашего горизонта.
(4.36)
ао
//7,0
3.2^|ПС„,.„|
(4.37)
4.6. Соотношение «видимая яркость — красное смещение»
99
из себя не вакуум, а нечто иное (например, характеризуется уравнением состо¬
яния р = wp с w ф — 1). Речь идёт об одновременном измерении красного сме¬
щения г и видимой яркости стандартных свеч, находящихся от нас на расстоя¬
ниях, сравнимых с размером космологического горизонта, и имеющих поэтому
не слишком малые ζ. В качестве таких стандартных свеч — достаточно ярких
объектов, абсолютная светимость которых известна с хорошей точностью, — се¬
годня используются0 сверхновые типа 1а.
Найдём соотношение между красным смещением и видимой яркостью источ¬
ника с абсолютной светимостью L. Хотя последующие рассуждения (но не кон¬
кретные результаты!) непосредственно обобщаются на случай, когда тёмная энер¬
гия не обладает вакуумным уравнением состояния, ограничимся пока вакуумным
случаем с плотностью энергии рл> не зависящей от времени. В то же время, по¬
лезно включить в рассмотрение возможность ненулевой пространственной кри¬
визны и отвлечься от ограничения (4.8). Для определённости выберем модель
открытой Вселенной с х = —1 и Qcurv > 0. Плоская модель восстанавливается
в пределе Clcurv —>· 0 или, что тоже самое, ао —*► ос, см. соотношение (4.36).
Используем форму метрики (2.10)
ds2 = dt2 — a2(t) [άχ2 + sh2 χ{άθ2 + sin2 θάφ2)]. (4.38)
Как обычно, координатное расстояние между источником, излучившим свет в мо¬
мент tj, и приёмником, находящимся на Земле в момент to. равно
X -
dt
a(t)'
(4.39)
Найдём соотношение между координатным расстоянием и красным смещением ζ
источника. Для этого воспользуемся уравнением Фридмана в форме (4.10), в ко¬
тором пренебрежём вкладом радиации. Перейдя в интеграле (4.39) к переменной
интегрирования
- 1,
получим
dz'
αο(ά/α)(ζ')
или с учётом уравнения (4.10)
dz' 1
аоДз \Л2м(г' 4-1)3 + Пд + ^curvfe* + 1)^
(4.40)
Этот интеграл аналитически взять не удаётся, но его нетрудно найти численно
при заданных значениях параметров.
°Как и всюду в этой книге, мы здесь не останавливаемся на наблюдательных и астрофизиче¬
ских аспектах проблемы. В частности, мы оставляем в стороне вопросы о природе сверхновых
типа 1а, о том, почему они служат хорошими кандидатами на роль стандартных свеч, и т. п.
100
Глава 4. Л CDM
В силу (4.38). физическая площадь сферы, через которую сегодня пролетают
фотоны, испущенные источником, равна
S(z) = 4πΓ2(ζ),
(4.41)
где
Ф) = a0shx(z). (4.42)
Число фотонов, пересекающих единицу поверхности приёмника, обратно про¬
порционально S. а энергия каждого фотона отличается от его энергии в момент
испускания множителем покраснения (1 + z)~l. Такой же множитель возникает
дополнительно, если мы интересуемся числом фотонов, проходящих через задан¬
ную площадку в единицу времени, поскольку временные интервалы для источ¬
ника и приёмника отличаются в (1 + z)~l раз. Последнее обстоятельство можно
пояснить следующим образом. В конформных координатах (η, х) фотоны ведут
себя так же, как в статической Вселенной, см. раздел 2.3. Поэтому в этих ко¬
ординатах промежутки времени между испусканием двух фотонов и между их
поглощением одинаковы, с/ц, = 4щ. Отсюда и следует соотношение между соот¬
ветствующими промежутками физического времени, dto = (1 + z)dti.
Таким образом, видимая яркость — поток энергии на приёмник — равна
J =
L
(1 + z)2S(2)'
(4.43)
где L — абсолютная светимость источника (энергия, излучаемая в единицу вре¬
мени). Это и есть искомое соотношение между видимой яркостью и красным
смещением источника, чья абсолютная светимость L предполагается известной.
Если ввести фотометрическое расстояние rph так, чтобы связь между L и J
имела формально такой же вид, как в пространстве Минковского,
то из 14.43; будем иметь
Грь = (1 + 2) · r(z),
(4.44)
где ф) задано (4.42).
На первый взгляд может показаться, что соотношение (4.43) содержит в себе
пять космологических параметров: Hq. αο, Ω,γ/. Ω.\ и ΩεωΓ1.. На самом деле неза¬
висимых параметров всего три. поскольку выполняются соотношения (см. (4.5)
и (4.2). (4.4))
Ωμ + Ω_\ + Qcurv = 1 (4.45)
и
ΩοωΓϋ
1
4щ
(4.46)
Отметим, что при 2 <С 1 в подынтегральном выражении в (4.40) можно пре¬
небречь г', тогда χ(ζ) = ζ/(αοΗο) и ф) = αοχ(ζ), так что мы возвращаемся
4.6. Соотношение «видимая яркость — красное смещение»
101
к закону Хаббла r(z) = Н0 1г. При этом в главном порядке по z яркость даётся
обычной формулой
Возвратимся к общему случаю. Как видно из формул (4.40)-(4.46), все три неза¬
висимых космологических параметра входят в соотношение между видимой яр¬
костью и красным смещением нетривиальным образом, и измерения в широ¬
ком диапазоне z могут в принципе их все определить. Это проиллюстрировано
на рис. 4.4 и 4.5.
Рис. 4.4. Зависимость Hqt(z) от красного смещения z для различных космоло¬
гических моделей
Чтобы понять, что изображено на рис. 4.4 и 4.5, заметим, что зависимость
от космологических параметров входит в формулу (4.43) через функцию r(z).
Таким образом, правая часть (4.47) не зависит явно от Но; именно она изобра¬
жена на рис. 4.4 и 4.5.
Обсудим сначала чёрную и тёмно-серую кривые на рис. 4.4, которые соот¬
ветствуют пространственно-плоской Вселенной с Ωα/ = 0,24, Ωα = 0,76 (чёрная
кривая) и Ωα/ = 1, Ωλ = 0 (тёмно-серая кривая, плоская Вселенная без Л-члена).
Для получения из выражений (4.40), (4.42) формул плоской модели возьмём пре¬
дел <2о —» 00, Qcurv —► О И ПОЛУЧИМ
H0r(z)
0.11
1.7!
0.2!
1.2!
1.Ϊ
0.'
1
2
3
4
Если измерять r(z) в хаббловских единицах длины Н0 \ то
H0r(z) = sh χ{ζ)
УД
curv
(4.47)
о \/Ωα/(1 + ζ')3 + Ωα + Ω01ίΓυ(1 + ζ')2.
Ωcurv — 0,
(4.48)
102
Глава 4. Л CDM
Hqt(z)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1
Рис. 4.5. Иллюстрация вырооюдения в пространстве параметров (Т1м, ΩλΛ
Случаи (Т1м = 0, Ωα — 0,55 j и (Ω\/ = 0.6,. Ωλ = 0,85^ соответствуют от¬
крытой и замкнутой моде.аям, причёл1 flcurv — 1 — Ωλ; — Ωα. Отметим, что
в отличие от рис. 4-4 масштаб по оси абсцисс выбран логарифмическим.
причём Ωα/ -f Ωλ = 1. Видно, что при больших Ωα (и, соответственно, меньших
Ωα/) функция r(z) быстрее растёт с увеличением г; удалённые сверхновые туск¬
лее в модели ACDM по сравнению с плоской моделью без Л-члена. Именно это
и обнаружено в реальных наблюдениях, см. рис. 4.6, 4.7.
Далее, чёрная и пунктирная кривые на рис. 4.4, соответствующие моде¬
ли ACDM и модели без космологической постоянной, но с пространственной
кривизной, также довольно сильно различаются уже при умеренных z. Поэто¬
му модель с Ωα = 0, ΩεΐίΤ4, = 0,7 также противоречит наблюдениям. Вообще,
данные по сверхновым типа 1а несовместны с моделями без космологического Λ-
члена, см. рис. 4.6, 4.7, 4.9. Это — один из самых сильных аргументов в пользу
существования тёмной энергии, полученных в рамках измерений одного класса
(а не из сравнения результатов разных наблюдений).
Обратимся теперь к рис. 4.5. Он приведён для того, чтобы показать, что
модели с заметно различающимися параметрами приводят к очень похожим ре¬
зультатам при умеренных 2. Ясно, что объекты с очень большими красными сме¬
щениями, находящиеся на сверхдальних расстояниях, наблюдать крайне трудно,
поэтому именно случай умеренных 2 представляет особый интерес. Здесь мы
сталкиваемся с примером приближённого вырождения по параметрам. Чтобы
понять, в чём дело, найдём первую поправку по 2 к закону Хаббла. Учтём, что
Ωα = 1 — Ωλ/ — Ωοιιτν, и запишем в квадратичном порядке по 2
4.6. Соотношение
«видимая яркость — красное смещение»
103
Рис. 4.6. Диаграмма Хаббла для сверхновых типа la [62J. В верхней части
рисунка приведено распределение наблюдавшихся сверхновых по яркости (с по¬
правкой на собственную светимость). В нижней части рисунка проиллюстри¬
ровано отличие наблюдений и предсказаний различных космологических моде¬
лей от предсказания модели CDM с пространственной кривизной (С1м = 0,2,
Ωλ — 0, Qcutv — 0,8j. Обозначение на оси ординат связано с используемой в аст¬
рономии характеристикой видимой яркости — звёздной величиной. Фигуриру¬
ющая здесь разность (т — М) связана с фотометрическим расстояниель rph
соотношением т — М = 5 ^(гр^/Мпк) + 25. Большие (т — М) соответствуют
более тусклым объектам
В этом порядке
Ф) = αοχ{ζ) + 0(ζ3),
поэтому в квадратичном порядке по г
г(2) = щ
ζ —— (3Ω,ν/ + 2Qcurv)
(4.49)
104
Глава 4. Л CDM
Рис. 4.7. Диаграммы [63] (2004 год), иллюстрирующие различные варианты
объяснения результатов наблюдений удалённых сверхновых типа 1а. На диа¬
граммах приведены отклонения кривых потускнения от соответствующей
кривой в пустой Вселенной с пространственной кривизной (Т2д/ = Ωλ = 0,
Qcurv = 1; напомним, что такая Вселенная расширяется с постоянной ско¬
ростью, а — 0). Среди космологических моделей рассмотрены модель ACDM
(П\[ = 0,27, Ω,\. = 0,73) и модель CDM без космологической постоянной (£1м =
1, Ωλ = 0). Среди эволюционных моделей рассмотрена модель со сверхновы¬
ми, чья собственная светимость падает пропорционально ~ (з модели CD\Iy.
Среди моделей с нестандартной межгалактической средой представлены мо¬
дели с «пылью», поглощающей излучение, которая приводит к эффективному
потускнению далёких сверхновых; рассмотрены модели с плотностью «пыли»
p(z) = ро(1 + ζ)α. где а = 3 (штрих-пунктирная линия) и а = 3 при ζ < 0,5
с a - 0 при остальных ζ (тонкая сплошная линия). На верхнем рисунке при¬
ведены результаты наблюдений далёких сверхновых, осуществлённых на кос¬
мическом телескопе Хаббла (круэюки) и наземных телескопах (ромбики); для
иллюстрации на нижнем рисунке эти результаты усреднены по определённым
интервалам красного смещения ζ. Отметим, что в независимых наблюдени¬
ях сверхновых типа la [64] (2005 год) получены результаты, согласующиеся
с приведёнными на этом рисунке. Более поздние каталоги сверхновых также
согласуются с представленными результатами, см. рис. 4-8[65] (2011 год)
4.6. Соотношение «видимая яркость — красное смещение»
105
Cluster Search (SCP)
Amanullah et al. (2010) (SCP)
Riess et al. (2007)
Tonry et al. (2003)
Contreras et al. (2010)
Hicken et al. (2009)
Kowalski et al. (2008) (SCP)
Jha et al. (2006)
Riess et al. (1999)
Krisciunas et al. (2005)
Hamuy et al. (1996)
Miknaitis et al. (2007)
Astier et al. (2006)
Knop et al. (2003) (SCP)
Amanullah et al. (2008) (SCP)
Barris et al. (2004)
Perlmutter et al. (1999) (SCP)
Riess et al. (1998) + HZT
Holtzman et al. (2009)
0.6 0.8 1.0
Красное смещение
1.2
1.4
Рис. 4.8. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 594.) Хабблов-
ская диаграмма измерения расстояний до удалённых объектов [65] (2011 год).
Сплошная кривая соответствует лучшелгу приближению, полученному в ραΛί-
ках модели ACDM с пространственно плоской Вселенной
Второе слагаемое в правой части представляет собой искомую поправку. Из вы¬
ражения (4.49) видно, что она зависит только от комбинации (3Ωλ/+2ΩεωΓί;) или,
в терминах Пд/ и Ωλ, от комбинации (Ω,γ/ — 2Ωλ), а не от Ωμ и Ωλ по отдельности.
Отсюда и вырождение по параметрам при малых ζ. Для исследования вырожде¬
ния при умеренных 2 требуется в формуле (4.49) учесть следующие члены в раз¬
ложении по 2. При этом зависящие от (Ω,γ/ — 2Ωλ) вклады порядка ζ2 и 23 эф¬
фективно компенсируются в интересной области космологических параметров.
Оставшийся нескомпенсированным вклад порядка 23 определяется другой ли¬
нейной комбинацией, (2Ω,γ; — Ωλ), и именно к ней чувствительны эксперименты,
в которых измеряется фотометрическое расстояние при умеренных 2. Экспери¬
ментально эта линейная комбинация невелика, а вдоль ортогональной к ней ли¬
нейной комбинации имеется вырождение. При больших 2 вырождение снимается,
но растут экспериментальные ошибки, так что разрешённая область параметров
вытягивается вдоль линии 2Ωμ — Ωλ = 0. Это хорошо видно на рис. 4.9.
106
Глава 4. Л COM
Рис. 4.9. Области в пространстве космологических napaAtempoe Ω,μ, Ωλ . со¬
гласующиеся с наблюдениями сверхновых типа 1а [63]: пунктироль обозначены
контуры, относящиеся к более ранним наблюдениям, а сплошной линией отме¬
чены доверительные области, относящиеся к более поздним наблюдениям далё¬
ких сверхновых (приведённым на рис. 4-7)· Видно, что результаты различных
наблюдений (и. вообще говоря, несколько различного анализа этих наблюдений)
хорошо согласуются друг с другом
> Задача 8. Показать, что в третьем порядке разложения по ζ вырождение
по параметрам снимается, т. е. r(z), определённое соотношением (4.42). со¬
держит нетривиальную зависимость от всех трёх параметров Но, Ω,\/. Ωλ·
Убедиться, что в интересной области космологических параметров при
умеренных ζ остаётся приближённое вырождение вдоль линии 2Ω,\/ — Ωд = 0.
4.6. Соотношение «видимая яркость — красное смещение»
107
В вырождении по параметрам нет ничего удивительного. Ясно, что в первую
поправку по г к закону Хаббла, помимо современного значения параметра Хабб-
ла, может входить лишь современное значение параметра ускорения. Последний
определим как6
Измеряя один параметр qo, можно определить лишь одну из комбинаций Ωλ/
и Ωλ, а не оба этих независимых параметра сразу.
В связи с рис. 4.9 сделаем один общий комментарий. Мы довольно часто бу¬
дем изображать области на плоскости параметров, разрешённые теми или иными
наблюдениями. Если не оговорено противное, три вложенных друг в друга об¬
ласти будут соответствовать значениям параметров, разрешённым на уровне до¬
стоверности 1σ, 2σ, 3σ в предположении нормального (гауссова) распределения
для соответствующей величины, т. е. 68,3%, 95,4%, 99,7%.
> Задача 9. Найти первую поправку по ζ к закону Хаббла, т. е. функцию r(z)
с квадратичной точностью по ζ, в терминах Но и qo; уравнение Фридмана
при этом не использовать. Показать, что с учётом уравнения Фридмана
соответствующее выражение сводится к (4.49).
Указанное приближённое вырождение по параметрам делает трудной за¬
дачей определение Ωλ/, Ωλ и Ω^^ только с помощью изучения стандартных
свеч. В то же время, измерения анизотропии реликтового излучения дают силь¬
ное ограничение на QCurv- |ΩοωΓ1.| < 0,01. Используя это ограничение, можно
с хорошей точностью восстановить Ωλ/ и Ωλ из измерений сверхновых типа 1а:
на рис. 4.9, где прямая QCurv = 0 обозначена Ωίσί = 1, видно, что наблюдения
сверхновых дают
на 95 %-м уровне достоверности.
В заключение этого раздела подчеркнём, что наблюдения удалённых сверх¬
новых типа 1а. наряду с измерениями анизотропии реликтового излучения и ис¬
следованиями крупномасштабной структуры Вселенной, явились одним из глав¬
ных свидетельств существования в природе тёмной энергии. Комбинация имею¬
щихся результатов космологических наблюдений приводит к значениям
на уровне достоверности 68 %.
Аналогичные наблюдения с большей точностью, а также при больших ζ поз¬
волят, по-видимому, установить, зависит ли космологический Λ-член от време¬
ни (или поставить сильные ограничения на эту зависимость). Упомянем в этой
6В литературе традиционно используют параметр замедления, отличающийся знаком от па¬
раметра ускорения (4.50). Использовать параметр замедления для Вселенной, которая рас¬
ширяется с ускорением, представляется неоправданным. Мы будем пользоваться определени¬
ем (4.50).
(4.50)
0,23 < Ωλ/ < 0,39, 0,77 > Ωλ > 0,61
108
l CDM
o.o —==
Рис. 4.10. Области в пространстве космологических параметров Ω,\/, w. разре¬
шённые результатами наблюдений анизотропии реликтового излучения (СМВ,
пунктирные линии), сверхновых типа la fSNe. сплошные линии) и барионных
акустических осцилляций в распределении структур (ВАО . штриховые линии);
результат совместного анализа даёт замкнутую разрешённую область [65].
Области меньшего, среднего и большего размеров (цвета от более до менее на¬
сыщенных) соответствуют уровням достоверности 68.3%. 95.4 % 11 99.7% при
учёте статистических и систематических неопределенностей
связи, что все существующие данные не противоречат отсутствию такой зави¬
симости (т. е. уравнению состояния тёмной энергии р = — р), а для параметра w
уравнения состояния тёмной энергии р = wp из этих данных следует ограничение
(см. рис. 4.10)
— 1.2 < w < -0,8. (4.51)
Уточнение этого ограничения — одна из важных задач будущих наблюдений.
е> Задача 10. Обобщить формулы этого раздела па случай тёмной энергии
с уравнением состояния р — wp. Считая Clcurv = 0 и Ω,\; = 0,24. нарисо¬
вать графики r(z) для w = —2. w = —1,5, w = —1, w = —0,75 и w = —0,5.
Используя рис. 4.9. убедиться, что современные данные действительно поз¬
воляют получить ограничение на w на уровне, указанном в (4.51).
4.7. Угловые размеры удалённых объектов
109
Рис. 4.11. Вычисленное в модели ACDM с Ω,\ = 0.7. h = 0.7 современное рас¬
стояние (4.48) до объекта, расположенного на красном смещении z
Пока имеющиеся наблюдения согласуются с представлением о том. что роль
тёмной энергии играет космологическая постоянная. На рис. 4.11 представлено
вычисленное в модели ACDM современное физическое расстояние г (г) (4.48)
до объекта, находящегося на красном смещении г.
4.7 Угловые размеры удалённых объектов
Важной наблюдаемой характеристикой протяжённого объекта (например,
галактики) является его угловой размер. В связи с этим вводят понятие рассто¬
яния углового размера та (angular diameter distance). связывающего абсолютный
диаметр объекта d с углом ΑΘ, под которым объект наблюдается сегодня,
d = ra(z) ■ ΑΘ,
где 2 — красное смещение объекта. Чтобы найти выражение для ra(z). вновь
вспомним, что в конформных координатах фотоны ведут себя так же, как в ста¬
тической Вселенной, поэтому координатный размер объекта связан с его коор¬
динатой х и угловым размером ΑΘ соотношением
dconf — sh X ' ΑΘ.
no
Глава 4. A COM
H0ra{z)
Рис. 4.12. Зависимость расстояния углового размера от z для модели ACDM
(Ωμ — 0.3. Ω,\ = 0.7. £lc.urv — OJ
Физический размер объекта, испускающего фотоны в момент времени £г·. равен
d = a(ti)dCOnf = ' ■ &о sh ■ /\θ.
ао
Учитывая (4.42), получаем отсюда
ra{z) = Т^—Ф)>
причём для r(z) справедливы формулы предыдущего раздела.
Расстояние углового размера растёт с 2 довольно медленно при умеренных z
и даже падает при больших 2, см. рис. 4.12. В то же время, фотометрическое
расстояние (4.44) растёт при всех 2, и галактики становятся все более тусклыми.
Для достаточно больших 2 большое удаление галактик от Земли проявляется
не в малости их видимого размера, а в малости их поверхностной яркости (ви¬
димой яркости участка галактики единичного углового размера).
Один из способов определения расстояния углового размера ra(z) при раз¬
личных 2 (точнее, комбинации ra(z) и текущего значения параметра Хаббла
H(z)) состоит в использовании так называемых барионных акустических осцил¬
ляций. О них мы будем подробно говорить во второй части книги, а здесь поясним
ситуацию на качественном уровне. Начнём с того, что укажем, что на ранней
горячей стадии неоднородности плотности тёмной материи и барион-фотонной
4.7. Угловые размеры удалённых объектов
111
компоненты совпадают по положению, а также с точностью до численного мно¬
жителя по величине (адиабатическая мода возмущений):
6рсрм{*) _ 3 <5рв7(х)
Pcdm 4 ρβί
Позже (но всё ещё до рекомбинации) неоднородности барион-фотонной компо¬
ненты распространяются со скоростью звука us = y/dp/dp ~ 1 /\/3 (см. Главу
5), а для тёмной материи скорость звука равна нулю, поскольку для неё равно
нулю давление. Представим себе, что в каком-то месте пространства изначально
имелось превышение плотностей тёмной материи и барион-фотонного вещества
над средними значениями. Ко времени рекомбинации tr избыток плотности тём¬
ной материи останется на том же месте, а избыток плотости барион-фотонного
вещества уйдет от него (в виде сферической волны, если избыток плотности был
сферически симметричным) на расстояние
rs
(4.52)
Здесь мы учли, что координатное расстояние dx, которое проходит звуковая вол¬
на за время dt, определяется сотношением
a(t)dx = usdt.
Величину rs(tr) называют акустическим горизонтом эпохи рекомбинации; она на¬
дёжно вычисляется, если известны Qcdm и Ωβ. Соответствующий современный
размер равен
гs тут = 147 Мпк.
d\tr)
После рекомбинации барионы не взаимодействуют с фотонами, давление в ба-
рионной компоненте, а с ним и скорость звука падают практически до нуля,
и картина неоднородностей плотности барионов замораживается. В результа¬
те избытки плотности барионов и тёмной материи оказываются разнесенными
на расстояние rs, которое, конечно, увеличивается за счёт расширения Вселенной,
rs ос a(t). В формировании галактик принимают участие и барионы, и тёмная
материя, поэтому наше рассуждение показывает, что на расстоянии rs должна
наблюдаться дополнительная корреляция между плотностями числа галактик.
Такая особенность в корреляционной функции галактик действительно была об¬
наружена' [66].
Итак, при каждом 2 во Вселенной после рекомбинации имеется стандартная
линейка размера
r*(z) = r*(tr)\++^.
'В Фурье-представлении ей соответствуют осцилляции в спектре, отсюда и название.
112
Глава 4. Л CDM
Измерение угла, под которым она видна, и определяет расстояние углового раз¬
мера ra(z). На практике измеряют комбинацию [r2(z)ii_1(z)]1>/3 — среднее гео¬
метрическое масштабов расстояний по направлениям, перпендикулярным лучу
зрения (га) и вдоль луча зрения (Н-1). Такие измерения покрывают сегодня
широкую область 2 < 1, см. рис. 4.13.
Красное смешение
Рис. 4.13. Измерение величины Dy = [z{l + z)2r^{z)/H{z))1^ = [r2(z)ao/a(z)]1//3
по данным наблюдений структур (67J. Теоретическое предсказание сделано в мо¬
дели ACDM. серая область соответствует неопределенностям в извлечении
космологических параметров из анализа анизотропии реликтового излучения;
rs обозначает, современный размер звукового горизонта эпохи рекомбинации,
a I's.f id его величина из данных по анизотропии ре.аиктового излучения
Ош: представляют собой важный инструмент изучения динамики расширения
поздней Вселенной и, в частности, свойств тёмной энергии.
4.8 ^Квинтэссенция
Отличная от нуля космологическая постоянная — далеко не единственная
возможная причина ускоренного расширения Вселенной в современную эпоху.
В связи с этим и говорят в общем случае о «тёмной энергии», ответственной за это
явление. Природа тёмной энергии — одна из главных загадок современного есте¬
ствознания. Неудивительно, что на эту тему было высказано множество гипотез.
Одна из таких гипотез — это существование «квинтэссенции», однородного в про¬
странстве поля, энергия которого выступает в роли тёмной энергии [68, 69, 70].
В отличие от космологической постоянной, квинтэссенция является динамиче¬
ским полем, и её плотность энергии зависит от времени. На языке эффективного
4.8. Квинтэссенция
113
уравнения состояния р = wp это означает, что w ф —1 и, вообще говоря, w зави¬
сит от времени.
В качестве квинтэссенции, как правило (хотя и не всегда), рассматривают
скалярное поле. В этом разделе мы обсудим в качестве примера один из классов
таких моделей, но перед этим рассмотрим в общих чертах динамику однородно¬
го скалярного поля в расширяющейся Вселенной. Изложенные здесь результаты
будут полезны, помимо рассмотрения моделей квинтэссенции, для обсуждения
целого ряда других вопросов. В особенности важно понимание динамики ска¬
лярного поля для построения и изучения моделей инфляции.
4.8.1 Особенности эволюции однородного скалярного поля
в расширяющейся Вселенной
Рассмотрим теорию вещественного скалярного поля с действием
где V(φ) — скалярный потенциал. Будем считать, что Вселенная — пространствен¬
но-плоская и описывается метрикой стандартного вида
где α(έ) — заданная функция времени.
Уравнение движения для скалярного поля получается, как обычно, варьи¬
рованием действия (4.53) по φ и имеет вид
Рассмотрим однородное (не зависящее от пространственных координат) поле φ{ί)
в метрике (4.54). Для него уравнение (4.55) сводится к
Уравнение (4.56) совпадает с уравнением классической механики «частицы»
с координатой φ в потенциале V(</?), испытывающей трение с зависящим от вре¬
мени коэффициентом трения Н. В зависимости от соотношения между скатыва¬
ющей силой и трением возможны два режима: (1) режим быстрого скатывания,
когда Нф «С V (штрих обозначает производную по ф), трение мало, и «частица»
быстро скатывается к точке минимума потенциала V(φ): (2) режим медленного
скатывания, когда трение сильное и частица практически покоится. Во втором
режиме выполняется
ds2 = dt2 - a2(t) dx2,
(4.54)
7=f" = ~·
(4.55)
(4.56)
Нф ~ V.
За хаббловское время Н~1 значение поля меняется на
(4.57)
114
Глава 4. Л CDM
Это изменение мало по сравнению с самим значением поля, т. е. δφ «С φ при
— <С Я2. (4.58)
Ψ
Для степенных потенциалов типа τη2φ2 или λφ4 справедливо V ~ Vip~x, поэтому
условие режима медленного скатывания имеет вид
^ « Я2. (4.59)
Итак, для степенных потенциалов при выполнении условия (4.59) значение поля
остаётся практически неизменным при эволюции Вселенной, а при выполнении
обратного неравенства поле быстро меняется с течением времени и скатывается
к минимуму потенциала V(<p).
> Задача 11. Показать, что для степенной зависимости масштабного фактора
от времени a(t) — ta, a > 1/3, решение уравнения (4.56) в приближении
V = const имеет вид
φ — + С · (ί2 — ί2) + d · 1
u
t
3α —1 η
(4.60)
где ipi — начальное значение, ρ, = p{tt). Считая, что ф{и) <§С
найти значения констант С и d, выразив их через φι и ф(1г). Убедиться,
что при указанном предположении третий член в (4.60) всегда мал. Найти,
при каких временах t второй член в (4.60) мал по сравнению с начальным
значением <рг, и убедиться, что для степенных потенциалов это условие
совпадает с (4.59), а в общем случае — с (4.58). Убедиться, что при этих
временах выполняется соотношение (4.57), а также φ ~ Нф. Из последнего
соотношения видно, что за хаббловское время относительное изменение
скорости ф не мало, но сама скорость остаётся малой (последнее свойство
характерно лишь для степенных a(t)).
Хотя нам в этой Главе поведение скалярного поля вблизи минимума скаляр¬
ного потенциала не понадобится, обсудим для полноты, как в расширяющейся
Вселенной происходит приближение φ(ί) к этому минимуму. Будем считать, что
потенциал V(^?) имеет минимум при φ = 0, а вблизи минимума равен
2
ТТ)
ν{φ) = Ц-Ψ2· (4.61)
Тогда уравнение (4.56) вблизи минимума потенциала имеет вид
ф + 3—ф + τη2φ = 0. (4-62)
a
Для анализа подобных уравнений полезно избавиться от члена с трением и перей¬
ти к уравнению осциллятора с переменной частотой (ср. с концом раздела 2.3).
В данном случае замена имеет вид
ψ(ί) =
1
α3/2(ί)
•x(t),
4.8. Квинтэссенция
115
где х — новая неизвестная функция, удовлетворяющая, как следует из (4.62),
уравнению
для потенциала (4.61) выполняется условие (4.59), и мы возвращаемся к режиму
медленного скатывания.
о Задача 12. Получить результаты предыдущей задачи, исходя из уравнения
Нас сейчас интересует обратный режим, тп2 Н2. В этом случае чле¬
нами порядка Н2 в скобке в (4.63) можно пренебречь, и решение имеет вид
X = const ■ cos(mt + /3), где β — произвольная фаза. Итак, при тп2 Я2 прибли¬
жение к минимуму происходит по закону
где φ* — некоторая постоянная. Поле осциллирует вблизи минимума с уменьшаю¬
щейся амплитудой. Отметим, что относительное изменение амплитуды за период
осцилляций по порядку величины равно
и мало в интересующем нас случае т»Я.
Решение (4.64) можно получить и из энергетических соображений. В одно¬
родной изотропной Вселенной с метрикой (4.54) действие (4.53) в случае свобод¬
ного массивного скалярного поля имеет вид
При масштабном факторе, не зависящем от времени, сохраняется энергия
где мы считаем поле однородным, как и всюду в этом разделе. При этом решения
уравнения поля осциллируют с частотой тп, т. е. φ ос cos(mt + β). При медленном
(адиабатическом) изменении а со временем осцилляционный характер решений
сохраняется; сохраняется (конечно, приближённо) и энергия, как это известно
из классической механики. Отсюда следует, что
Отметим, что
Из (4.63) видно, что массой тп можно пренебречь при тп2 <С Я2. В этом случае
(4.63).
(4.64)
Я
a
тп
(4.65)
116
Глава 4. ACDM
Это и означает, что амплитуда поля падает как а-3/2, т. е. мы приходим к реше¬
нию (4.64). Отметим, что приближённый закон сохранения (4.65) соответствует
сохранению энергии в сопутствующем объёме, также приближённому. Отметим
ещё. что в общем случае произвольно быстрого изменения α(ί) не существует да¬
же приближённого интеграла движения типа энергии: в зависящих от времени
внешних полях (в данном случае α(ί)) энергия не сохраняется. Говорить об энер¬
гии во всей Вселенной (с учётом энергии гравитационного поля) смысла не имеет:
такого интеграла движения в общей теории относительности нетS * * 8.
В заключение этого раздела найдём тензор энергии-импульса скалярного
поля в различных режимах. Общее выражение для тензора энергии-импульса
в теории с действием (4.53) имеет вид
2 SS
Τμι/ = ™у== ^0μι, ~ ~ 9μν^· (4.66)
В случае однородного поля с потенциалом V(φ) имеем в локально-лоренцевой
системе (т. е. полагая мгновенное значение дци в (4.66) равным ημι/) следующие
выражения для ненулевых компонент
Too = \ф2 + ν(ψ) = ρν, = (i,?2 - V'(rf) δν = (4.67)
В режиме медленного скатывания имеем с учётом (4.57)
ф2 ~ ^ « V ■ φ, (4.68)
где при получении неравенства мы учли (4.58). Для степенных потенциалов спра¬
ведливо ν'φ ~ V, поэтому из (4.68) имеем
ф2 < V.
Следовательно, в режиме медленного скатывания
Ρν** -ρφπν{φ), (4.69)
т. е. уравнение состояния приближённо совпадает с вакуумным, р ~ —р (хотя,
как видно из (4.67), всегда имеет место неравенство р > —р).
В режиме быстрых осцилляций вокруг минимума скалярного потенциала
используем (4.61) и с учётом (4.64) получим
m2pl 1 roV* 1 /п .
Too = ~γ~ ■ ■ T,j = — -j cos(2mi + 20) ■ di},
SB общей теории относительности можно, тем не менее, ввести понятие полной энергии
(с учётом гравитационного поля) в специальных случах, одним из которых является асимп¬
тотически плоское пространство-время. Поэтому понятие энергии (массы) тяготеющего тела,
вдали от которого пространство-время имеет геометрию Минковского, хорошо определено.
4.8. Квинтэссенция
117
где мы вновь использовали соотношение Н -Cm. Усреднённые за период осцил¬
ляций значения плотности энергии и давления равны, таким образом,
тгр" и? 1
Too = ΡΨ = , Тц = ρφ ■ Sij = 0. (4.70)
Итак, усреднённый за период осцилляций тензор энергии-импульса когерент¬
ных осцилляций однородного скалярного поля совпадает с тензором энергии-
импульса нерелятивистского вещества: давление равно нулю, а плотность энер¬
гии падает как a~3(t). Как мы уже отмечали, последнее свойство отвечает со¬
хранению энергии в сопутствующем объёме, см. (4.65).
С точки зрения квантовой теории поля однородное осциллирующее поле
(4.64) можно воспринимать как набор покоящихся свободных частиц массы тп
в когерентном состоянии. Плотность числа этих частиц равна
1
α3(ί)'
Как и любая плотность числа невзаимодействующих частиц, n(t) убывает как
а-3(£). Равенство нулю давления естественным образом интерпретируется как
проявление того факта, что частицы, будучи покоящимися, являются, конечно,
нерелятивистскими.
4.8.2 Ускоренное расширение Вселенной
за счёт скалярного поля
Ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху можно объяснить,
введя скалярное поле φ (квинтэссенцию) с действием (4.53) и подобрав потенциал
V(φ) и современное значение поля φ так, чтобы эволюция поля φ(ί) происходила
сегодня в режиме медленного скатывания. При этом необходимо предположить,
что поле φ однородно в пространстве: такие начальные данные естественным об¬
разом следуют из инфляционной теории, поэтому это предположение особенной
трудности не представляет.
В режиме медленного скатывания эффективное уравнение состояния для
скалярного поля имеет вид ρψ ~ —Ρφ, см. (4.69). Поэтому Вселенная действи¬
тельно расширяется с ускорением, если доминирующий вклад в плотность энер¬
гии вносит само скалярное поле. Найдём, при каких условиях режим медленного
скатывания действительно реализуется. Для определённости будем считать, что
при современном значении φ главный вклад в V(^) является степенным, т. е.
V(<p) ос <рк и \к\ не слишком велико. Тогда условие медленного скатывания имеет
вид (4.59). Поскольку плотность энергии во Вселенной в основном определяется
плотностью энергии скалярного поля, уравнение Фридмана имеет вид
Я2
8π
‘6Μ2ΡΙΡφ ~
8тг
Ш2Р1
(4.71)
118
Глава 4. Л CDM
где мы воспользовались (4.69). Комбинируя (4.59) и (4.71), получаем
φ Μρι.
(4.72)
Это и есть условие медленного скатывания (для степенных потенциалов).
Несмотря на то что значение поля φ сегодня чрезвычайно велико, сам потен¬
циал ν{φ) должен быть при этом очень мал, ν(φ) ~ рс (точнее, V(φ) = 0,7 рс).
Для степенного (и не только степенного) потенциала это означает, что потен¬
циал должен быть чрезвычайно плоским. Например, в случае ν(φ) = τη2φ2/2
требуется
τη
<
у/Рс
Μρι
1СГ33 эВ,
а в случае V(<p) = Χφ4 необходимо А < 10-122. Таким образом, идея о квинт¬
эссенции работает только при весьма экзотических преположениях о свойствах
скалярного потенциала при значениях полей φ> Μρι.
Достоинством моделей квинтэссенции служит то, что они в принципе доступ¬
ны проверке с помощью космологических наблюдений. В случае квинтэссенции
соотношение р = —р для тёмной энергии не является точным, и поэтому эво¬
люция Вселенной в прошлом отличается, вообще говоря, от эволюции Вселенной
с космологической постоянной.
о Задача 13. В случае потенциала V(p) = τη2φ2(2 найти современное значе¬
ние параметра w, входящего в уравнение состояния р — wp, в зависимости
от современного значения φ = φο· Подобрав значение φο так, чтобы совре¬
менное значение w было равно Wo = 0,9, найти w(z) как функцию красного
смещения при 2 > z > 0. Указание: считать, что сегодня Ωψ = Ωλ = 0,7,
Ωλ/ = 0,3; воспользоваться тем, что изменение скалярного поля со време¬
нем — медленное.
> Задача 14. В условиях предыдущей задачи и с wq = 0,9 найти численно
зависимость rph{z) фотометрического расстояния от красного смещения
(см. раздел 4.6). Построить график, аналогичный рис. 4.4, и сравнить с гра¬
фиком Пм = 0.3. Ωλ = 0.7 для не зависящей от времени А.
Отметим, что в моделях с квинтэссенцией будущее Вселенной, вообще гово¬
ря, отличается от будущего Вселенной с космологической постоянной (см. обсуж¬
дение в Главе 1). Особенно сильно это отличие для моделей, в которых скатыва¬
ние поля φ(ί) происходит к отрицательным значениям потенциала V(ip): в этом
случае расширение Вселенной может смениться сжатием.
о Задача 15. Считая, что сегодня φ = φο Μρι, проанализировать будущее
Вселенной в случае потенциала
... , тп2 о
VW) =
где 161 «С m2Mpi — малый параметр, a m — такое, что ν(φο) ~ рс. Указа¬
ние: воспользоваться результатами раздела 4.8.1.
4.8. Квинтэссенция
119
Подчеркнём, что модели квинтэссенции, вообще говоря, не дают решения
проблемы космологической постоянной. Они лишь подразумевают деление этой
проблемы на две части — на вопрос о том, почему «истинная» космологическая
постоянная (энергия вакуума) равна нулю, и вопрос о том, почему столь мала
плотность тёмной энергии — квинтэссенции. Ответа на первый вопрос модели
квинтэссенции не дают в принципе; второй вопрос связан с естественностью
подбора параметров скалярного потенциала. Кроме того, в моделях квинтэссен¬
ции имеется вопрос о том, что обеспечивает «правильное» современное значение
скалярного поля. Возможный ответ на последний вопрос дают модели со спе¬
циальным выбором скалярного потенциала [69, 70, 71, 72, 73]. Их подкласс —
модели «следящего поля» [70, 73], которые мы сейчас вкратце обсудим.
4.8.3 Следящее поле
Рассмотрим один из классов моделей квинтэссенции — модели следящего
(tracker) поля. Выберем потенциал скалярного поля в виде9
Mn+i
ηφη ’
где М — параметр размерности массы и п > 2 — численный параметр. На радиа-
ционно-доминированной или пылевидной стадии, когда α(ί) сс ta, уравнение ска¬
лярного поля (4.56) имеет вид
За . Мп+А
φ + Τφ~
= о.
Оно имеет специальное «следящее» решение (tracker solution)
(4.73)
(4.74)
где
2
η + 2:
а С = С(п. а) определяется из уравнения (4.73)
(4.75)
о Задача 16. Показать, что (4.74) действительно является решением уравне¬
ния (4.73). Найти С(п, а), входящее в (4.74).
Решение (4.74) является аттрактором: если в начальный момент t{ поле ψ{
было меньше, чем решение (4.74) в этот же момент, ψϊ < <p^tT\ti), то скатываю¬
щая сила
ПЧ>) = ~ν'(φ) =
M"+i
(^rc-rl
превышает скатывающую силу на решении (4.74) в начальный и последующие
моменты времени.
^М0) >
9С точки зрения физики частиц такие потенциалы являются весьма экзотическими.
120
Глава 4. A CDM
Поэтому решение с начальным значением ψί < φ^Γ\ίι) догоняет следящее ре¬
шение (4.74). Наоборот, решение с > φ^Γ\ίί) уменьшается медленнее, чем
следящее решение, и последнее настигает решение с начальным значением ψ{.
Это и означает, что решение (4.74) является аттрактором: в достаточно широком
классе начальных данных решения стремятся к (4.74) при больших временах;
эволюция поля ψ по-существу не зависит от начальных данных и описывается
решением (4.74).
Для решения (4.74) справедливо (обозначение (tr) в дальнейшем опускаем)
ф2 ~ ν(φ) ос
1
t2~2u'
Видно, во-первых, что поле эволюционирует не в режиме медленного скатыва¬
ния. Во-вторых, плотность энергии ρφ (см. (4.67)) убывает со временем медлен¬
нее, чем плотность энергии доминирующей материи (радиации или пыли): по¬
следняя убывает как Н2 ос t~2. Относительная доля поля φ в полной плотности
энергии возрастает со временем как t2l/. В-третьих, поскольку а ос ta, получаем
1
Ρφ α α(2-2ι/)/α·
Учитывая соотношение (3.39), имеем следующее выражение для параметра wv,
входящего в эффективное уравнение состояния следящего поля ρΨ = ιυφρφ·.
wL
= -1 + f-
Воспользовавшись (4.75) и результатами раздела 3.2.4, получаем
νυφ
w-
п-т 2
2
η + 2'
(4.76)
где w — параметр уравнения состояния доминирующей материи (w = 1/3 и w = 0
для радиации и пыли соответственно). Таким образом, уравнение состояния сле¬
дящего поля зависит от уравнения состояния доминирующей материи. Отсюда
и происхождение термина «следящее поле». Отметим, что при больших п урав¬
нение состояния следящего поля близко к уравнению состояния доминирующей
материи, ιυφ ~ w.
> Задача 17. Вычислив давление и плотность энергии путём подстановки ре¬
шения (4.74) в выражения (4.67), убедиться в справедливости (4.76) неза¬
висимым образом.
> Задача 18. Показать, что для решения (4.74) справедливо V" эс Н2 как
на радпацпонно-доминированноп, так п на пылевидной стадии. Это — ещё
одна причина использования термина «следящее поле».
Решение (4.74) справедливо в те времена, когда плотность энергии следяще¬
го поля всё ещё мала по сравнению с плотностью энергии доминирующей мате¬
рии. Относительный вклад следящего поля в полную плотность энергии растёт
4.8. Квинтэссенция
121
и в какой-то момент начинает доминировать само следящее поле; после этого ре¬
шение (4.74) перестаёт быть справедливым. Значение поля в этот момент найдём,
воспользовавшись тем, что
2 φ2 φ2
ν{φ)~φ т.е. Ρφ~-ρ·
Плотность энергии материи при этом равна
_ 3 , ,2 42(t\ ~
Рм - —МР1Н (г) ~ —^2 ■
Из требования ρφ ~ рм получим, что следящее поле начинает доминировать при
ψ ~ Mpi-
Отсюда, кстати, видно, что начальное значение поля хотя и может быть доста¬
точно произвольным, должно удовлетворять условию Ifi «С Mpi.
В более поздние времена поле ψ{ϊ) растёт, и довольно скоро начинает вы¬
полняться соотношение (4.72), т.е. эволюция φ переходит в режим медленного
скатывания, а эволюция Вселенной — в режим ускоренного расширения.
Разумеется, в период перехода от доминирования материи к доминирова¬
нию следящего поля и некоторое время после этого эволюция Вселенной до¬
вольно сильно отличается от эволюции Вселенной с не зависящей от времени
космологической постоянной. Поэтому вполне реальной является возможность
подтвердить или опровергнуть модель следящего поля путём космологических
наблюдений. Существующие данные не исключают пока ни космологической по¬
стоянной (не зависящей от времени), ни модели следящего поля; совместны они
и с целым рядом других моделей квинтэссенции.
о Задача 19. Оценить для различных п, при каких значениях М модель сле¬
дящего поля согласуется с реальной картиной ускоренного расширения
Вселенной.
Глава 5
Термодинамика
в расширяющейся Вселенной
5.1 Функции распределения бозонов и фермионов
На протяжении ряда глав мы будем рассматривать процессы, происходящие
в расширяющейся Вселенной, которая заполнена горячей плазмой, состоящей
из различных взаимодействующих между собой частиц. Как мы увидим в даль¬
нейшем, скорость протекания взаимодействий между этими частицами во многих
случаях выше темпа расширения Вселенной, так что можно считать, что в каж¬
дый момент времени Вселенная находится в термодинамическом равновесии. По¬
этому нам понадобится ряд основных соотношений и формул равновесной тер¬
модинамики, которые мы и приводим в настоящем разделе. Стоит отметить, что,
как правило, наиболее интересными моментами являются те, когда та или иная
реакция выходит из равновесия («вымораживается»). Равновесные термодина¬
мические законы обычно оказываются полезными для качественного описания
и такой ситуации — они позволяют оценить момент времени, когда происходит
выход из равновесия, и определить направление того или иного неравновесного
процесса.
Для термодинамического описания системы с частицами разных типов Ль
Л2 и т. д., необходимо ввести для каждого типа частиц свой химический потен¬
циал μ. При этом, если имеется реакция вида
А\ + Л2 + · ■ · 4- Лп * В\ + В2 + · · · + Вп/, (5-1)
то для соответствующих химических потенциалов в термодинамическом равно¬
весии1 справедливо свойство
βλι + βΛ2 + · ■ · + β.\η — ββι + Цв2 + · · · + ββη, · (5·2)
Точнее, равенство (5.2) справедливо, когда реакция (5.1) находится в химическом равно¬
весии, т. е. когда скорость её протекания выше характерной скорости изменения параметров
системы (например, темпа расширения Вселенной).
122
5.1. Функции распределения бозонов и фермионов
123
Так, к примеру, в любой реакции, где участвует хотя бы одна заряженная части¬
ца, всегда имеется возможность испустить дополнительный фотон (например,
возможна реакция е“е_ —► е~е~у). Поэтому из уравнения (5.2) следует, что хи¬
мический потенциал фотона равен нулю,
μΊ = 0.
В качестве другого применения соотношения (5.2) рассмотрим реакцию анниги¬
ляции электрон-позитронной пары в два фотона
е+ + е~ <-»■ 27.
Поскольку μΊ = 0, из возможности такой реакции следует, что
це- + це+ - 0.
Ясно, что такое же соотношение справедливо для любых других частиц и ан¬
тичастиц, поскольку для них всегда имеется возможность проаннигилировать
в фотоны. Таким образом, химический потенциал любой античастицы равен хи¬
мическому потенциалу соответствующей частицы, взятому с обратным знаком.
В равновесной среде со многими типами частиц удобный способ учёта всех
реакций типа (5.1) состоит во введении независимых химических потенциалов до¬
толь ко к сохраняющимся квантовым числам При этом должны быть
независимы друг от друга и должны образовывать полный набор сохраняющихся
чисел. Химический потенциал для частиц типа А равен
= (5·3)
г
(г)
где Q a — квантовые числа, которые несёт частица типа А. Например, при темпе¬
ратурах 200 МэВ <С Т «С 100 ГэВ сохраняющимися числами являются барионное
число В. лептонные числа Le. Σ,μ, LT и электрический заряд Q (см. Приложе¬
ние В, цвет кварков и глюонов для нас сейчас несущественен), т. е. полный набор
независимых сохраняющихся чисел имеет вид Q^ = В: Le, Βμ, LT.Q. В этой си¬
туации химический потенциал, например, u-кварка (барионное число 1/3, элек¬
трический заряд 2/3) равен
1 2
μη — + з^5
а для d-кварка, электрона и электронного нейтрино имеем
1 1
μβ = μι.β-μο, μ«/β = ^Le-
Соотношения типа (5.2) автоматически выполняются во всех реакциях с участи¬
ем этих частиц (как и всех других частиц, присутствующих в среде); примером
служит реакция
и + е~ —» d + г/е,
обусловленная слабым взаимодействием.
124
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
> Задача 1. Показать в общем случае, что соотношения (5.2) автоматически
выполняются, если химические потенциалы частиц имеют вид (5.3), а заря¬
ды одинаковы для начального и конечного состояний реакции (5.1), т. е.
<з£
+QZ
Далее, сами химические потенциалы можно найти, если известны плотно¬
сти сохраняющихся чисел, которые мы обозначим . Действительно, плотность
каждого типа частиц η а выражается через μ а, поэтому система уравнений
ΣοΤηΑ = η<·»
А
вместе с (5.3) позволяет выразить2 все μ2· через п^г\
В космической плазме взаимодействия между частицами, как правило, до¬
вольно слабы; мы будем уточнять это утверждение в соответствующих местах.
В этом случае равновесные функции распределения частиц по импульсам р
в локально-лоренцевой системе координат равны функциям распределения иде¬
альных бозе- и ферми-газов:
^ = (2тг)^ ς(Ε(ρ)-μ)/Τ 1
Здесь
Е( р) = \/р2 + тп2
— энергия частиц массы т,Т — температура среды. Знак « —» в формуле (5.4)
относится к частицам, подчиняющимся статистике Бозе, а знак «+» — к части¬
цам, подчиняющимся статистике Ферми.
В случае, когда можно пренебречь слагаемым ±1 в знаменателе в правой
части формулы (5.4), функция распределения принимает универсальную форму
распределения Максвелла—Больцмана
/в(р) = (2^еЧ£<Р)“")/Т <5·6)
(5.4)
(5.5)
Важный пример, когда применима формула (5.6), даёт предел нерелятивистского
разреженного газа, для которого m^> Т. (т — μ) Т. В этом случае
Ό) = - е(м-т)/т . e-p2/(2mT)
1В'-Р> (2тг)3
(5.7)
Проинтегрировав функцию распределения по импульсам, получаем следую¬
щее общее выражение для плотности числа частиц г-го типа:
Щ=дг I f(p)d3p = J f(E)^E2 -mjEdE, (5.8)
23десь существенно, что квантовые числа QW независимы и образуют полный набор.
5.1. Функции распределения бозонов и фермионов
125
где во втором равенстве мы проинтегрировали по углам и воспользовались
соотношением
EdE = |р|ф|, (5.9)
вытекающим из релятивистского дисперсионного соотношения (5.5). Множитель
gi в (5.8) равен числу спиновых состояний данного типа частиц. К примеру, для
фотонов, электронов и позитронов
9l = 9е- - 9е+ = 2,
а для нейтрино и антинейтрино
9ν — 9u — 1.
Из явного вида функции распределения (5.4) следует, что разность чисел частиц
и античастиц данного типа в единице объёма зависит от значения химического
потенциала. В ранней Вселенной эта разность крайне мала по сравнению с самим
числом частиц. К примеру при Т > 1 ГэВ асимметрия между кварками и анти¬
кварками составляет величину порядка Ю-10, см. раздел 1.5.5. Относительная
разность чисел электронов и позитронов имеет тот же порядок величины (Все¬
ленная в целом электрически нейтральна, поэтому избыточный положительный
заряд, содержащийся в кварках, в точности компенсируется избыточным отри¬
цательным зарядом электронов). Следовательно, химические потенциалы были
крайне малы в ранней Вселенной, и для многих целей ими можно пренебречь.
Плотность энергии pi частиц г-го типа даётся следующим интегралом от функ¬
ции распределения:
Pi = 9i[ f(p)E(p) d3p = 4тг9i J f(E)^E2 — τη2 E2 dE, (5.10)
где во втором равенстве, как и в соотношении (5.8), мы проинтегрировали по уг¬
лам и воспользовались (5.9).
Чтобы найти выражение для давления среды, рассмотрим маленькую пло¬
щадку AS, расположенную перпендикулярно оси z. Количество частиц с импуль¬
сами в интервале от р до р + dp, налетающих с одной из сторон на эту площадку
за время At, равно
Δη = vzf( р) d3 р AS At,
где
*-!>°
— проекция скорости частицы на ось z. Частица с проекцией импульса р2 при
упругом отражении от площадки передаёт ей импульс в направлении оси z, рав¬
ный Apz = 2pz. Следовательно, давление, равное отношению полного импульса,
полученного площадкой, к времени At и площади AS, имеет вид
Рг — 9г
L
4 7Г9г
3
47Г 9i
лОО
/ ί{Ε)(Ε2-πιΙ)ν2άΕ,
Jo
(5.11)
126
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
где мы учли, что только половина частиц движется в сторону рассматривае¬
мой площадки, и воспользовались тем, что в силу изотропии системы можно
заменить р2 на
t> Задача 2. Получить выражение (5.11) путём вычисления тензора энергии-
импульса газа невзаимодействучощих релятивистских частиц с функцией
распределения f{E).
Исследуем теперь выражения для плотности числа частиц, плотности энер¬
гии и давления в разных физически интересных предельных случаях. Для начала
рассмотрим случай ультрарелятивистских частиц Г>т; с нулевым химическим
потенциалом μι = 0. В этом пределе выражение (5.10) для плотности энергии
принимает вид (закон Стефана—Больцмана)
= JL [ -
2π2 J еЕ
Е3
Е/Тт1
(1Е =
7Г _д
Qi Т4
у 30
I ?е!т4
89г 30
— бозоны;
— фермионы.
(5.12)
Вычисление встречающихся в этой Главе интегралов приведено, например, в кни¬
ге [74]; сводка формул дана в конце этого раздела. Как и следовало ожидать
из размерных соображений, плотность энергии в этом случае равна Т4 с точно¬
стью до численного коэффициента; вклад фермионов в плотность энергии отли¬
чается от вклада бозонов множителем 7/8. Отметим, что в релятивистском слу¬
чае частицы часто удобно характеризовать спиральностью — проекцией спина
на направление движения; параметр <?г можно тогда понимать как число спи¬
ральных состояний.
Если в плазме имеются ультрарелятивистские частицы различных типов
и с одной и той же температурой Т, а химическими потенциалами можно прене¬
бречь. то плотность энергии ультрарелятивистской компоненты равна
71-2 Т4
р = 9-ыт -
(5.13)
Σ »> + ί Σ з*
m<g.T τη<ξ^Τ
(5.14)
— эффективное число степеней свободы.
Выражение (5.11) для давления в ультрарелятивистском случае имеет вид
Е3
еЕ/т =р 1
(5.15)
Таким образом, уравнение состояния ультрарелятивистского вещества имеет форму
Р =
5.1. Функции распределения бозонов и фермионов
127
Отсюда, в частности, следует, что квадрат скорости звука в такой среде равен
2 dp
s dp
1
з-
> Задача 3. Показать, что соотношение р = р/3 справедливо для газа слабо-
взаимодействующих релятивистских частиц, не обязательно находящегося
в состоянии термодинамического равновесия.
Выражение (5.8) для плотности числа частиц в ультрарелятивистском слу¬
чае имеет вид
Qi^r-T3 —бозоны: (5.16а)
тг2
3 (ЧЗ1)
-д^—^-Т3 —фермионы. (5.16b)
v 4
Здесь численное значение дзета-функции равно
С(3) * 1,2.
Пользуясь равенствами (5.12), (5.16), можно найти среднюю энергию частицы
в ультрарелятивистском случае:
9i [
2π2 /
еЕ/т т 1
dE
(Е)
Pi
щ
2,7 Т — бозоны;
3,15 Г — фермионы.
(5.17)
В качестве простого примера применения приведённых формул оценим, при
какой температуре релятивистская космическая среда находится в тепловом рав¬
новесии по отношению к электромагнитным взаимодействиям. Ограничимся
здесь случаем высоких температур, Т » 1 МэВ, когда электроны являются ре¬
лятивистскими. Интересные для этого случая процессы — это комптоновское
рассеяние, е+е--аннигиляция (рис. 5.1) и т. д.
Рис. 5.1. Примеры фейнмановских диаграмм комптоновского рассеяния
и е4"е~-аннигиляции
128
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
Амплитуды этих процессов пропорциональны a = ε2/(4π), а сечения — а2.
Отсюда и из размерных соображений сразу получаем оценку для темпа этих
процессов (обратное время между соударениями одной частицы)
Г ~ а2Т.
Процессы находятся в тепловом равновесии, если эта величина заметно превы¬
шает темп расширения Вселенной,
Г » Я(Т).
Выражая параметр Хаббла через температуру согласно (3.29), получим, что сре¬
да находится в равновесии при
Т < a2Mpl ~ 1014 ГэВ.
Такая же оценка работает для слабых и сильных (цветовых) взаимодействий3.
Таким образом, предположение о тепловом равновесии действительно хорошо
выполняется на протяжении большей части горячей стадии эволюции Вселенной.
Рассмотрим теперь предел иерелятивистского разреженного газа, когда функ¬
ция распределения принимает больцмановский вид (5.6). В этом пределе выра¬
жение для плотности числа частиц имеет вид
7lj — Qi
2ιτ
а плотность энергии и давление равны
Р% — TfliTli "h omT
(5.18)
(5.19)
И
Pi = Тщ <С Pi. (5.20)
Как было очевидно с самого начала, газ нерелятивистских частиц описывается
уравнением состояния р = 0, с точностью до поправок 0{Т/тп).
> Задача 4. Показать, что при высоких температурах (больше масс всех ча¬
стиц) и малых химических потенциалах разности плотностей числа частиц
и античастиц определённой спиральности равны
3Выход из термодинамического равновесия при низких температурах — важный вопрос,
который мы будем обсуждать в разных местах этой книги.
5.1. Фушщии распределения бозонов и фермионов
129
Δη = μ—
— бозоны
(5.21)
и
т2
Δη = μ— — фермионы,
6
(5.22)
где μ — химический потенциал для соответствующего типа частиц, причём
считается, что μ « Т. Указания: (1) Учесть. что химические потенциалы
частиц и античастиц равны по величине и противоположны по знаку; (2)
Выделив в интеграле (5.8) с m = 0 линейный член по μ, проинтегрировать
по частям и воспользоваться формулами конца раздела.
о Задача 5. Найти разности плотностей частиц и античастиц (асимметрии)
для всех типов ультрарелятивистских частиц в равновесной электроней-
тральной среде при температуре Т = 400 МэВ. считая известными плот¬
ности барионного и лептонных чисел nB,nLe,nLfi,nL_, причём
Указания: (1) учесть, что при такой температуре релятивистскими явля¬
ются и-, d-, s-кварки, глюоны, фотоны, электрон, мюон и все типы ней¬
трино, а остальные частицы Стандартной модели — нерелятивистские: (2)
учесть, что нейтрино имеют одщг спиральность, а другие фермионы — две:
(3) учесть, что кварки имеют три цветовых состояния.
Приведём значения встречающихся в этой Главе интегралов.
1.
nB,nLe,nLii,nLT < Г2 3
2. Для целых положительных η
где В η — числа Бернулли.
3. При произвольном х
где С(т) — дзета-функция Римана, частные значения которой равны
С(3) = 1,202, С(5) = 1,037,
130
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
Напомним, что для целых положительных п справедливо
Г(п) = (п - 1)!.
Значения гамма-функции при любых полуцелых х можно найти, исходя
из значения
и воспользовавшись свойством Г(1 + х) = хГ(х).
5.2 Энтропия в расширяющейся Вселенной.
Барион-фотонное отношение
Одной из основных термодинамических характеристик системы является
её энтропия. Поскольку мы собираемся применять термодинамические законы
к расширяющейся Вселенной, полезно обсудить свойства энтропии в такой си¬
стеме. Напомним, что в классической термодинамике понятие энтропии возника¬
ет в первом начале термодинамики. В общем случае переменного числа частиц
приращение внутренней энергии dE имеет вид
dE = TdS -pdV + Σ Mi dNi. (5.23)
i
где S — энтропия системы, а индекс i обозначает сорт частиц; в дальнейшем этот
индекс и суммирование по нему мы будем опускать, где это возможно.
Внутренняя энергия и число частиц являются экстенсивными характеристи¬
ками, т. е. они линейно меняются с изменением объёма, а температура и давление
являются локальными характеристиками, не зависящими от объёма системы. По¬
этому из первого начала термодинамики (5.23) следует, что энтропия является
экстенсивной величиной. В связи с этим удобно перейти от энергии, числа частиц
и энтропии к их плотностям,
Е N S ,
и у V V к
Взяв дифференциалы от равенств (5.24) и подставив их в равенство (5.23), мы
приходим к следующей форме записи первого начала термодинамики:
(Ts — р — р + μη) dV + (Tds — dp + pdn)V = 0. (5.25)
Это соотношение применимо как ко всей системе, так и к любой её части. Приме¬
ним его к области постоянного объёма внутри системы и получим для
дифференциалов
Tds = dp — μ dn.
5.2. Энтропия в расширяющейся Вселенной
131
Теперь можно применить (5.25) ко всей системе, объём которой меняется, и найти
искомое выражение для плотности энтропии
р + р — μη
S~ Т '
В качестве важного примера рассмотрим сначала ультрарелятивистское веще¬
ство с нулевыми химическими потенциалами, для которого
Р + Р
Т
(5.26)
Пользуясь этим равенством и выражениями для р и р, полученными в предыду¬
щем разделе, мы приходим к следующим выражениям для вкладов частиц г-го
типа в плотность энтропии
Si —
4 Pi
ЗТ
2π2 ο
Pi Т3
у 45
7 2π2
~9i Т3
I 8Уг 45
— бозоны;
— фермионы.
(5.27)
Сравнивая эти выражения с выражениями (5.16) для плотности числа частиц,
мы видим, что в ультрарелятивистском случае плотность энтропии и плотность
числа частиц отличаются лишь на численный множитель порядка единицы.
Для нерелятивистской компоненты воспользуемся равенствами (5.19) и (5.20)
и запишем
5 mi pi
S{ “ “ ΤΙί I Tbj·
1 2 T
Исключим из этого выражения химический потенциал с помощью (5.18) и полу¬
чим окончательно
S{
ii
щ
ГПгТ
3/2-1
2-7Г
В космической среде плотность числа нерелятивистских частиц мала по сравне¬
нию с плотностью числа фотонов; при температурах Т < 100 МэВ, когда протоны
и нейтроны являются нерелятивистскими, их плотность пв оценивается величи¬
ной η в ~ 10-9п7. Такая же оценка имеет место для электронов, которые явля¬
ются нерелятивистскими при Т < 0,5 МэВ. Таким образом, нерелятивистскими
вкладами в энтропию можно пренебречь, и полная плотность энтропии даётся
формулой
s = 0.^T3, (5.28)
где эффективное число релятивистских степеней свободы д* определено, как
обычно, формулой (5.14).
Одним из ключевых свойств энтропии, определяющим её важнейшую роль
в термодинамике, является второе начало термодинамики, согласно которому
энтропия замкнутой системы не убывает в ходе любого физического процесса
132
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
и остаётся постоянной для обратимых процессов, т. е. процессов настолько мед¬
ленных, что система всё время находится в состоянии термодинамического рав¬
новесия. Обсудим, как действует закон сохранения энтропии в расширяющей¬
ся Вселенной (считая расширение равновесным процессом). Для этого вернём¬
ся к соотношению (5.23) и заметим сначала, что химические потенциалы удоб¬
но вводить к сохраняющимся квантовым числам, см. (5.3). Поэтому в формуле
(5.23) под dNi следует понимать дифференциалы сохраняющихся квантовых чи¬
сел, а под μι — химические потенциалы к ним. С этим уточнением применим
соотношение (5.23) к сопутствующему объёму, V ос а3, при этом dNi = 0 в сопут¬
ствующем объёме. Таким образом, для сопутствующего объёма будем иметь
TdS_ = Td{sa3)
dt dt
(р + р)
dW)
dt
+ CL
3^ = 0
dt
(5.29)
где мы учли закон ковариантного сохранения энергии в расширяющейся Вселен¬
ной. уравнение (3.11). Следовательно, полная энтропия в сопутствующем объёме
сохраняется,
so.3 = const. (5.30)
Итак, ковариантный закон сохранения энергии имеет в случае равновесного рас¬
ширения простую интерпретацию: он представляет собой закон сохранения эн¬
тропии в сопутствующем объёме.
Сохранение энтропии в сопутствующем объёме можно использовать для то¬
го, чтобы ввести количественные, не зависящие от времени характеристики асим¬
метрии Вселенной по отношению к различным сохраняющимся квантовым чис¬
лам. Например, в настоящее время во Вселенной имеются частицы, несущие по¬
ложительное барионное число, — протоны и нейтроны, и отсутствуют частицы
с отрицательным барионным числом. Следовательно, во Вселенной имеется нену¬
левая плотность барионного числа. Поскольку при температурах ниже сотен ГэВ
процессы с нарушением барионного числа отсутствуют, полное барионное число
в сопутствующем объёме остаётся постоянным при расширении Вселенной начи¬
ная по крайней мере4 с Т ~ 100 ГэВ. Другими словами, справедливо равенство
(пв — пв)а3 = const,
(5.31)
где пв и пв — плотности чисел барионов и антибарионов. Сравнивая соотношения
(5.30) и (5.31). мы видим, что отношение
Да
(5.32)
является постоянной во времени численной характеристикой барионной асиммет¬
рии Вселенной.
Несколько забегая вперёд, приведём оценку численного значения барион¬
ной асимметрии Вселенной. Когда в космологии имеют дело со сравнительно
4Мы не рассматриваем здесь возможность генерации барионной асимметрии при более
низких температурах. Такая возможность имеется, например, в сценарии Аффлека—Дайна,
см. раздел 11.6.
5.2. Энтропия в расширяющейся Вселенной
133
низкими температурами (Т < 1МэВ), традиционно используют барион-фотпон-
ное отношение
пв
где ηΊ — плотность числа фотонов. Эта величина остаётся постоянной в течение
эволюции Вселенной, начиная с температуры порядка 100 кэВ, и отличается
от барионной асимметрии ΔΒ численным коэффициентом порядка единицы. По¬
следний связан как с численным отличием тц от энтропии фотонов s7, см. (5.16)
и (5.28), так и со вкладом нейтрино в энтропию Вселенной, см. Главу 7. При
Т < 100 кэВ плотность энтропии во Вселенной равна
-ΪΝ·2·3·^3* (5-зз)
где первый и второй члены в скобках соответствуют вкладам фотонов и ней¬
трино, причём температура нейтрино связана с температурой фотонов Т7 =
Т соотношением (4.14); происхождение множителя | · 2 · 3 — такое же, как
в (4.15). В поздней Вселенной фотоны и нейтрино являются свободными ча¬
стицами, и в любом случае формула (5.33) перестаёт работать при температурах
ниже масс нейтрино. В то же время, начиная с температур проядка 100 кэВ
(ниже массы электрона) и до современной эпохи величина аТ держится посто¬
янной. Поэтому соотношение (5.30) остаётся справедливым на протяжении всей
эволюции, если опреде.штъ величину s формулой (5.33) для Т < 100 кэВ вплоть
до настоящего времени. При таком определении её современное значение равно
2тг2
So = 0Т03 = 2,9 · 103 см"3, (5.34)
где
Итак, имеем
’0 = 2 + 5'2'3'ΊΤ = ΙΤ = 3'9'
n- 2Q{?
ΔΒ -ηΒ 0-2' ' г1в = 0,14 * ηΒ.
8 Ж9*,0
Точное значение барион-фотонного отношения можно извлечь из распростра¬
ненности первичных элементов во Вселенной (см. Главу 8) и из измерений ани¬
зотропии реликтового излучения. Эти два независимых способа дают хорошо
согласующиеся между собой результаты и приводят к значению [5]
ηΒ = (6,05 ±0,07) · КГ10. (5.35)
В терминах барионной асимметрии имеем
Δβ = 0,86· КГ10.
Как мы уже говорили, это означает, в частности, что химический потенциал
к барионному числу очень мал при Т > 200 МэВ.
134
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
о Задача 6. Оцените численное значение химического потенциала для и-кварка
при температуре 1 ГэВ.
В заключение этого раздела отметим, что барион-фотонное отношение ηΒ
тесно связано с параметром Ω# (см. Главу 4), поскольку
Ω Рв _ гпвпв
Рс
Рс
(5.36)
где тв — 1 ГэВ — масса протона (при той точности, с которой мы работа¬
ем, разница между массами протона и нейтрона несущественна). В соответствии
с формулой (5.16а), плотность числа реликтовых фотонов в современной Вселен¬
ной равна
Щ = 2^1т03 = 411
7TJ CMJ
Используя значение критической плотности (1.17), получим из (5.35)
nBh2 ^ 0,0221 ± 0,0003,
(5.37)
откуда Ω,β — 0,05, как мы уже упоминали.
Ещё одно замечание относится к бариои-фотонной среде до рекомбинации.
Как мы увидим в разделе 6.3, барионы в ней находятся в тепловом равновесии
с фотонами. В такой среде квадрат скорости звука равен
2 dp
UZ —
άρΊ
4 Р-
dp άρΊ + dpB 4p7 + Зрв 3(1+ Rb)'
где мы учли, что ρΊ = р7/3 ос Т4, рв ос Т3 и ввели обозначение
4 Ру
(5.38)
В эпоху рекомбинации0 Тт = 2970 К и
Дв = - ■ 0,75
УТЬр?]В ^7
Ру
~ 0.46.
(5.39)
Из (5.38), (5.38) видно, что скорость звука непосредственно перед рекомбинаци¬
ей несколько отличается от релятивистского значения us = 1/ у/З. Это отличие,
конечно, учитывается при анализе наблюдений, см. в этой связи раздел 1.7.1.
> Задача 7. Дать численную оценку вкладов электронов и протонов в плот¬
ность энтропии во Вселенной при 0,5 МэВ Т 1 эВ. Указание: учесть,
что при таких температурах электроны и протоны — нерелятивистские
и находятся в свободном состоянии (рекомбинации в атомы водорода ещё
не произошло) и что число электронов равно числу протонов (наличием
лёгких ядер пренебрегаем).
5Мы учитываем, что вклада в Яв не дают атомы гелия, рекомбинировавшие и переставшие
взаимодействовать с фотонами при более высокой температуре. Массовое отношение гелия
к водороду составляет около 25%, см. Главу 8, отсюда множитель 0,75 в (5.39).
5.3. Модели с промежуточной пылевидной стадией
135
5.3 * Модели с промежуточной пылевидной
стадией: генерация энтропии
Обсудим возможность того, что на раннем этапе эволюции Вселенной, ещё
до сравнительно недавней радиационно-доминированной стадии, реализовыва¬
лась пылевидная стадия космологической эволюции. Можно привести два сце¬
нария, в которых имеется такая возможность. В первом из них предполагается,
что в природе существуют новые тяжёлые частицы G с достаточно большим
временем жизни т, и что на начальном этапе эпохи горячего Большого взры¬
ва доминировало релятивистское вещество, в котором была некоторая примесь
(5-частиц. (5-частицы являются нерелятивистскими по крайней мере при темпе¬
ратуре, меньшей их массы. В процессе расширения Вселенной плотность энергии
горячей релятивистской компоненты падает как а-4, а после того, как (5-частицы
стали нерелятивистскими, их плотность энергии падает как а-3. Поэтому в неко¬
торый момент времени £* Вселенная переходит с радиационно-доминированной
стадии на стадию доминирования нерелятивистских (5-частиц, т. е. на пылевид¬
ную стадию. Основным предположением здесь служит то, что
ί*«τ = Γ"\ (5.40)
где Г — ширина распада (5-частиц. При дальнейшей эволюции Вселенной (5-
частицы распадаются на лёгкие частицы, например на кварки, лептоны и другие
частицы Стандартной модели; последние быстро (быстрее, чем за хаббловское
время) термализуются и включаются в релятивистскую горячую компоненту. Мы
увидим, что эпоха доминирования (5-частиц заканчивается вскоре после того,
как темп расширения Вселенной снизится до Н ~ Г: после этого все (5-частицы
распадутся за несколько хаббловских времён, во Вселенной останется только го¬
рячее релятивистское вещество и вновь начнётся радиационно-доминированная
стадия эволюции. Отметим, что в течение промежутка времени £* < t < Г-1
во Вселенной сильно нарушено термодинамическое равновесие: концентрация (5-
частиц весьма далека от равновесной. Это свойство, обусловленное, конечно, со¬
отношением (5.40), в конечном итоге приводит к генерации большой энтропии
во Вселенной.
Такой сценарий реализуется в некоторых моделях с тяжёлыми гравитино
(см. раздел 9.6.3), отсюда и использованное обозначение (5 для новых частиц.
Второй сценарий основывается на наблюдении, что с точки зрения космо¬
логической эволюции роль нерелятивистского вещества может выполнять мас¬
сивное скалярное поле, осциллирующее вблизи минимума своего скалярного по¬
тенциала, см. раздел 4.8.1. Как мы упоминали в разделе 4.8.1, такое поле мож¬
но воспринимать как набор покоящихся массивных частиц. Предполагается, что
перед эпохой горячего Большого взрыва энергия во Вселенной была сосредото¬
чена исключительно в этом поле, а его осцилляции начались в момент време¬
ни £* (до этого скалярое поле эволюционировало в режиме медленного скаты¬
вания, см. раздел 4.8.1). Таким образом, в момент £* релятивистского вещества
во Вселенной не было вовсе. Предположим далее, что массивные частицы, со¬
ответствующие этому скалярному полю, распадаются с шириной Г на лёгкие
136
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
частицы, которые, как и в первом сценарии, быстро термализуются и образуют
горячую релятивистскую компоненту. Опять-таки предположим, что ί* «С Г-1,
и, кроме того, что указанные распады являются основным механизмом распада
осциллирующего скалярного поля — конденсата новых частиц. Подчеркнём, что
последнее предположение является весьма сильным: имеются альтернативные
механизмы распада осциллирующего скалярного поля, которые во многих слу¬
чаях доминируют. С некоторыми, из таких механизмов мы познакомимся во вто¬
рой части книги, а здесь будем работать в сделанных предположениях. Тогда,
как и в первом сценарии, Вселенная переходит на радиационно-доминированную
стадию при Я(£) ~ Г.
До некоторого момента анализ этих двух сценариев идёт параллельно.
Пусть рм и рг — плотности энергий нерелятивистской и релятивистской ком¬
понент соответственно. Будем считать для простоты, что эффективное число
степеней свободы р* не меняется в процессе эволюции (общему случаю посвяще¬
на задача в конце раздела). Число нерелятивистских частиц в сопутствующем
объёме (пд/о3) уменьшается только за счёт их распадов, поэтому выполняется
d
— (пма*) - -Гпд/й3.
Учитывая, что рд/ ос гсд/, получаем отсюда
Рм + ЗЯрд/ = -Грд/. (5.41)
Плотность энергии горячей релятивистской компоненты рг уменьшается из-за
расширения Вселенной, при этом падает как плотность числа частиц, так и энер¬
гия каждой из них, т. е. температура. С другой стороны, энергия «впрыскивает¬
ся» в релятивистскую компоненту при распадах тяжёлых частиц. Поэтому урав¬
нение на Рг имеет вид
Рг + 4Ярг = Грд/. (5-42)
Третьим уравнением, замыкающим систему уравнений эволюции, служит урав¬
нение Фридмана
я2 = у G{pu+pr). (5.43)
Наша цель — изучить решения ситемы уравнений (5.41), (5.42) и (5.43).
> Задача 8. Используя уравнения (5.41) и (5.42), показать, что полные энер¬
гия и давление (суммы энергий и давлений двух компонент) удовлетворяют
ковариантному закону сохранения ptot = —3Н(рш +Рш)·
Прежде всего, решением уравнения (5.41) служит
рл/(£) =
const
е
-rt
(5.44)
Как на пылевидной, так и на радиационно-доминированной стадии t ~ Я-1,
поэтому при больших временах, когда Г H(t), плотность энергии нереляти¬
вистской компоненты экспоненциально мала. При таких временах правой частью
5.3. Модели с промежуточной пылевидной стадией
137
уравнения (5.42) можно пренебречь, и плотность энергии релятивистской компо¬
ненты падает как а-4. Это убывание — степенное, а не экспоненциальное, поэтому
при Г » H(t) выполняется рг рм- Итак, во Вселенной действительно проис¬
ходит переход от пылевидной к радиационно-доминированной стадии, причём
«момент» перехода £md—до определяется соотношением
Г ~ H(tMD->RD)· (5.45)
Вообще говоря, приведённое рассуждение не исключает возможности того, что
в правой части (5.45) имеется логарифмически большой множитель, т. е. переход
происходит несколько позже; с другой стороны, оно не исключает и перехода
на более ранних временах, когда Г «й Мы убедимся в дальнейшем, что ни одна
из этих возможностей не реализуется.
Рассмотрим поведение решений уравнений (5.41), (5.42) и (5.43) после начала
пылевидной стадии, t > £*, но на достаточно ранних временах, когда Г < H{t).
Иными словами, интересующий нас период — это
ί* < t < Г-1.
Предположим, что в этот период доминирует нерелятивистская материя; это
предположение мы оправдаем в конце вычисления. При интересующих нас време¬
нах экспоненциальный множитель в (5.44) близок к единице — убылью тяжёлых
частиц за счёт их распадов можно пренебречь. Поэтому для эволюции Вселенной
работают формулы раздела 3.2.1; в частности, а ос έ2/3,
» А Л = з ^ 1
31' Л/ 8ttG 6nGt2
Подставляя последние выражения в (5.42), получим уравнение
8 _ Г 1
Рг+ШРг~ 6^Gi2·
Его общее решение имеет вид
(5'4δ)
где С — произвольная постоянная.
Константа С в решении (5.46) определяется начальными условиями и раз¬
лична для двух описанных выше сценариев. Начнём с первого из них. Напомним,
что в нём предполагается доминирование горячего релятивистского вещества при
t « £» и переход к пылевидной стадии при t ~ ί*. В момент ί* первый член
в (5.46), как мы увидим, мал, и требование pr{t*) — Рм{1*) даёт
С _ 1
/з “ бт-Gtl:
так что выражение для рт при t t* имеет вид
Г 1 1 t2J3 _
pr ~ ltoG t + feGieTa =
(5.47)
138
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
Первый член здесь обусловлен «подкачкой» энергии за счёт распадов тяжёлых
частиц, а второй — релятивистским веществом, изначально имевшимся во Все¬
ленной. Отметим, что первое слагаемое довольно медленно убывает со време¬
нем, в то время как второе падает как а-4, как и положено для релятивист¬
ского вещества. С учётом основного предположения Г «С ί^1 первый, инду¬
цированный вклад действительно мал при t = ί*; он начинает доминировать
при t — tV°r~3^ < Г-1, т. е. задолго до повторного перехода на радиационно-
доминированную стадию. В это время начинает генерироваться энтропия, замет¬
но превышающая уже имевшуюся во Вселенной.
Подчеркнём, что рг, а значит, и температура горячей релятивистской ком¬
поненты монотонно убывают со временем, что может показаться удивительным:
наивно можно было бы ожидать, что максимальная температура во Вселенной
достигается при H(t) ~ Г, когда распадается большинство тяжёлых частиц.
В действительности, как показывает приведённый анализ, на ранних временах
малость относительного числа распадов тяжёлых частиц за хаббловское время
компенсируется высокой плотностью этих частиц, поэтому вклад их распадов
в рг не мал при малых t.
с> Задача 9. Показать, что температура горячей компоненты монотонно убы¬
вает и при H(t) < Г.
Во втором сценарии рг = 0 при t = tоткуда следует
Г /l t5J3 *
Рг ~ 10-xG \ t ί8/3
(5.48
Плотность энергии горячего релятивистского вещества быстро (за время поряд¬
ка ί*) вырастает от нуля до максимального значения6
Рг. max
Г
10nGt* ’
а затем падает как t~l. Наибольшая температура во Вселенной достигается сразу
после начала пылевидной стадии.
В обоих сценариях при ί <Г-1 выполняется рг рм, а к моменту t ~ Г-1,
когда H(t) ~ Г, плотность энергии релятивистского вещества приближается
к плотности энергии нерелятивистской компоненты. Это и означает справед¬
ливость соотношения (5.45) без больших логарифмических множителей. Сра¬
зу после перехода на радиационно-доминированную стадию можно пользоваться
для оценок формулами раздела 3.2.2, так что соотношение (5.45) можно перепи¬
сать в виде
Т2
1 MD—>RD
М
Р1
6Из-за того, что разогрев протекает быстро, представление о мгновенном начале пылевидной
стадии является неадекватным. Поэтому численный коэффициент в (5.48) зависит от деталей
начала пылевидной стадии.
5.4. Неравновесные процессы
139
Из теории первичного нуклеосинтеза и соответствующих наблюдений (см. Гла¬
ву 8) следует, что радиационно-доминированная стадия имела место по крайней
мере начиная с температур Τχ$ ~ 1 МэВ, так что Tmd->rd > Tivs· Отсюда
следует ограничение на время жизни тяжёлых частиц,
_ _ г-1 < mpl(tns)
' 1 ~ гр2
Это ограничение существенно, например, для некоторых моделей с массивными
гравитино, см. раздел 9.6.3.
В описанных сценариях распады тяжёлых частиц приводят к значитель¬
ной генерации энтропии. Так, в первом сценарии к моменту t ~ Г-1 начала по¬
вторной радиационно-доминированной стадии плотность энтропии, возникшей
за счёт распадов, оценивается величиной sgen ~ p%n (t = Г-1), а если бы этих
распадов не было, то плотность энтропии была бы равна ~ (£ = Г-1),
см. (5.47). Отсюда фактор увеличения энтропии оценивается как
~ 1 с.
(5.49)
Sgen
Sinit
1
■\/Γέ*
Видно, что при £* «С Г-1 этот фактор велик, т. е. энтропия генерируется весьма
эффективно. Во втором сценарии энтропии во Вселенной изначально не было
вовсе, так что вся энтропия обусловлена процессами распада.
> Задача 10. Обобщить анализ этого раздела на случай, когда эффективное
число релятивистских степеней свободы д* меняется в процессе эволюции.
Указание: вместо уравнения (5.42) вывести и использовать аналогичное
уравнение для плотности энтропии горячей релятивистской компоненты.
5.4 * Неравновесные процессы
В этой книге нам неоднократно будет встречаться ситуация, когда большин¬
ство процессов в среде происходят достаточно быстро, но есть один или несколько
медленных процессов, из-за низкого темпа которых среда не находится в состоя¬
нии термодинамического равновесия. Приведём характерный (но далеко не един¬
ственный) пример такой ситуации. Пусть в теории имеются гипотетические тя¬
жёлые частицы X (скажем, с массой τηχ > 100 ГэВ), имеющие большое время
жизни, а единственным процессом, из-за которого концентрация τΐχ этих частиц
в среде может изменяться, является их аннигиляция с античастицами X. В то же
время, предположим, что рассеяние Х-частиц на обычных частицах, имеющихся
в космической плазме (лептонах, кварках, фотонах и т. д.) происходит достаточно
часто. При температурах Т, превышающих массу Х-частиц τηχ, процессы рож¬
дения и аннигиляции Х-частиц происходят, как правило, быстро (по сравнению
с темпом расширения Вселенной), и их концентрация является равновесной.
Рассмотрим симметричную среду с одинаковым количеством частиц X и ан¬
тичастиц X. При Т <С τηχ концентрация Х-частиц в такой среде экспоненциально
140
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
падает с понижением температуры, и процессы аннигиляции X-частиц происхо¬
дят всё реже и реже, поскольку вероятность встречи Х-частицы со своей анти¬
частицей становится всё меньше. Это даёт пример рассматриваемой ситуации:
при Т <С πΐχ все процессы, кроме рождения и аннигиляции пар X—X, явля¬
ются быстрыми, а сами процессы Х—Х аннигиляции и рождения — медленные,
и концентрации τΐχ и ηχ могут не совпадать с равновесными. В этих услови¬
ях среда по-прежнем}7 характеризуется температурой и числами частиц (в том
числе самих частиц X и X; в симметричной среде ηχ = ηχ). Функции распре¬
деления даются формулами раздела 5.1; неравновесность же проявляется в том,
что μχ Ф 0, причём для симметричной среды μχ = μχ (напомним, что в термо¬
динамическом равновесии μχ = μχ — 0 для симметричной среды).
Не рассматривая пока расширение Вселенной, обсудим, как происходит в та¬
кой ситуации релаксация к состоянию термодинамического равновесия. В общем
случае в процессе релаксации эффективная температура среды и плотности чис¬
ла всех частиц изменяются со временем (температура изменяется, например, если
процесс релаксации происходит с выделением тепла; в нашем примере это дей¬
ствительно имеет место, если концентрация Х-частиц превышает равновесную,
пх > ηχ' и релаксация происходит путём аннигиляции Х-частиц, а не рожде¬
ния X—Х-пар). При этом в каждый момент времени температура и химические
потенциалы имеют вполне определённые значения. Таким образом, среду в каж¬
дый момент времени можно характеризовать свободной энергией7 F(T,Ni). На¬
помним, что свободная энергия связана с числом состояний (статистической сум¬
мой) соотношением (считаем, что система имеет большой, но конечный объём)
Z = e~F/T. (5.50)
При приближении к термодинамическому равновесию свободная энергия стре¬
мится к своему минимуму, а статистическая сумма — к максимуму.
Пусть имеется прямой медленный процесс, приближающий систему к состоя¬
нию термодинамического равновесия (в нашем примере — это X—Х-аннигиляция;
для определённости будем считать, что ηχ > п^?). Обозначим темп таких процес¬
сов (их количество в единицу времени) как8 Г_. Есть и обратные процессы, темп
которых обозначим через Г_ (в нашем примере — это процесс рождения X—X-
пар). Наша задача — найти соотношение между Г+ и Г_.
В результате единичного прямого процесса система переходит из состояния
с меньшей статистической суммой Ζ- (и, соответственно, с большей свободной
энергией F_) в состояние с большей статистической суммой Z+ и меньшей сво¬
бодной энергией F+. Пусть г_ — одно из микроскопических состояний9 системы
'Как правило, удобнее работать не со свободной энергией, а с большим термодинамическим
потенциалом, фиксируя не числа частиц, а химические потенциалы. В этом разделе, однако,
мы будем рассматривать состояния с определённым числом частиц, для которых справедлива
формула (5.50).
8Это обозначение связано с тем, что в прямом процессе статистическая сумма увеличивается;
этот процесс более выгоден с термодинамической точки зрения.
9Например, в случае классической статистической механики в состоянии г_ фиксированы
положения и импульсы всех частиц среды.
5.4. Неравновесные процессы
141
в начале прямого процесса, a j+ — одно из микроскопических состояний, в кото¬
рые система может перейти в результате этого процесса. Вероятность реализации
начального состояния г_ равна
e-E(i-)/T
где Ε(ί-) — энергия состояния г_ (здесь существенно, что по отношению ко всем
другим процессам, кроме рассматриваемого, имеет место термодинамическое рав¬
новесие). Пусть 7(г_ —> jj.) — вероятность прямого процесса г_ —» j+. Тогда
вероятность того, что какой-либо прямой процесс произойдёт в среде, равна
Г+= Σ Р(^-) ·7(*- ~*3+) = Σ е"£(г-)/Т7(г_ j+).
i-,j-f-
Аналогично, вероятность какого-либо обратного процесса в среде равна
Г- = Σ ^~ЕЫ)/Т7(й г~).
В силу равенства вероятностей процесса г'_ —> j+ и обратного ему процесса j+ —>
г'_, т.е. 7(jT —> г_) = 7(г_ —»· jT), а также закона сохранения энергии, E(i-) =
E(jj-), имеем
E±_£i_ -(F+-F_)/T
Г. “ Z- ~
и окончательно
Е+ _ p-AF/T
г_ "
(5.51)
где Δ-F — разность свободных энергий после и до прямого процесса (согласно
данным выше определениям AF < 0). В дальнейшем под ГД и Г_ мы будем по¬
нимать число прямых и обратных процессов, происходящих в единицу времени
в единице объёмна. Для них, разумеется, соотношение (5.51) остаётся справедли¬
вым. Формула (5.51) представляет собой общее соотношение детального баланса.
Отметим, что в приведённом примере
Л Г-- ^ А ДГ 5-F
Δ F = —χ^-ΑΝχ + τγζ=-ΑΑ'χ,
ΘΝχ
dN*
где ΑΝχ = ΑΝχ = — 1 — изменение количества X- и А-частиц в единичном
прямом процессе (аннигилящ!я). Поэтому
AF=- 2μχ,
(5.52)
где мы учли, что dF/ΟΝχ = μχ и μ* = μχ.
Из выражения (5.51) видно, во-первых, что релаксация действительно идёт
в сторону уменьшения свободной энергии: Г+ > Г_ при AF < 0. Далее, при
\AF\ Т справедливо Г+ Г_, и обратными процессами можно пренебречь.
142
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
Наоборот, при \AF\ Т имеет место малое отклонение от термодинамического
равновесия, (Г+ — Г_) Г+ , Г_, прямой и обратный процессы идут с примерно
одинаковой интенсивностью. В этом случае темп прямого и обратного процессов
близок к равновесному, Г+ ~ Г_ « Γβς, и релаксация характеризуется темпом
г+-г_ = -^г«„ |ΔΓ| «Т.
(5.53)
В излагаемой в этом разделе ситуации часто можно ввести интенсивную
(не зависящую от объёма V) характеристику среды п = N/V. В приведённом
выше примере — это плотность числа Х-частиц, а N — полное число X-частиц
в системе. Величина N не изменяется в быстрых процессах и изменяется на AN
и (—ΔΛΓ) в прямом и обратном медленных процессах (в приведённом примере
AN = — 1, поскольку мы считаем, что прямой процесс — это процес аннигиля¬
ции). По-прежнему не рассматривая расширение Вселенной, запишем для n(t)
уравнение
^ = ΔΛΓ·(Γ+-Γ_) (5.54)
(напомним, что Г± — скорости процессов в единице объёма). В состоянии тер¬
модинамического равновесия свободная энергия имеет минимум по Ν, поэтому
в равновесии
(Δ^ = ®!,·Δ7ν = °·
Вблизи термодинамического равновесия ΔF пропорциональна отклонению п
от равновесного значения neq. так что
AF = —а (п — печ),
где а — положительная постоянная. С учётом этого уравнение (5.54)
принимает вид
^ = |ΔΛΤ„(η-»ι4· (5.55)
Поскольку в термодинамическом равновесии п не зависит от времени, т. е.
dnec* „
последнее уравнение можно записать в виде
d{ndtneq) = ψ(η - η'«). (5.56)
Отсюда видно, что приближение к равновесию носит экспоненциальный характер10.
В приведённом выше примере симметричной среды с частицами X и X их
концентрация при Т «С τηχ даётся формулой (5.18) с ненулевыми μχ = μχ,
поэтому
10Отметим. что правая часть (5.56) всегда отрицательна: при п > neq прямой процесс — это
процесс с уменьшением п. т. е. AN < 0, и наоборот.
5.4. Неравновесные процессы
143
Следовательно, вблизи равновесия (т. е. при μχ/Τ <С 1) имеем, с учётом (5.52),
AF = -2μχ = -2Т-Х .
пх
Отсюда а = 2Τ/τίχ и, с учётом AN = — 1, приближение к равновесию описыва¬
ется уравнением
й(ПХ~ "?) = -2^(вд - nj). (5.57)
Учтём, наконец, что темп процессов аннигиляции в единице объёма в состоянии
равновесия равен
Гед = ^X,eq ' ηχι
где Гxjeq = Τχ1 — время жизни ^-частицы в среде, и получим
d(nx - пеЛ) λ
Jt = -2Γχ,ε9(ηχ - η£).
Последний результат можно получить и вполне элементарным способом.
В среде с концентрацией частиц ηχ и концентрацией античастиц τΐχ вероятность
аннигиляции в единицу времени частицы X с какой-то античастицей X равна
Τχ = σαηη · ηχ · νχ,
где νχ — скорость Х-частицы, а σ&ηη — сечение аннигиляции (за время τχ = Г^1
частрща с площадью поперечного сечения аагш встретит на своём пути ровно одну
античастицу X). Поэтому вероятность процесса аннигиляции в единицу времени
в единице объёма равна
ηχ ηχ
1+ — Γχ · ηχ = σαηη · ηχ · νχ ■ ηχ = 1 eq—eq—eq-
η X ηΧ
Вероятность обратного процесса образования X—Х-п&ры не зависит от того,
сколько в действительности имеется частиц X в среде, поэтому она равна
Г- = Ге9.
Поэтому
d{nx - rff)
dt
= г
— L eq
1
ηχηχ \
пяпх)'
В симметричной среде ηχ = ηχ и пе£ = пе£, и при |ηχ — ηβχ\ <С η*χ
следует уравнение (5.57).
отсюда
В случае расширяющейся Вселенной уравнение (5.54) перестаёт быть спра¬
ведливым. Если Вселенная расширяется, оставаясь однородной, а N — параметр
типа числа частиц, то его плотность уменьшается как а~3 даже при выключен¬
ных медленных процессах, просто за счёт расширения Вселенной. В этом случае
144
Глава 5. Термодинамика в расширяющейся Вселенной
имеет смысл рассматривать величину N в сопутствующем объёме, Лг ос па3.
Уравнение для нес будет иметь вид
(5.58)
где Г+ и Г. — по-прежнему скорости медленных процессов в единицу време¬
ни в единице физического объёма, между которыми в общем случае имеется
соотношение (5.51). Разумеется, Г+ и Г_ сами зависят от времени, например,
из-за уменьшения температуры за счёт расширения Вселенной. Вблизи термоди¬
намического равновесия уравнение (5.55) обобщается на случай расширяющейся
Вселенной следующим образом:
Уравнение (5.58) — это упрощённое уравнение Больцмана в расширяющейся Все¬
ленной. В этой книге мы будем неоднократно пользоваться уравнениями подоб¬
ного типа и их простыми обобщениями.
(5.59)
Глава 6
Рекомбинация
6.1 Температура рекомбинации
в термодинамическом равновесии
При температурах, превышающих энергию связи электронов в атомах, обыч¬
ное вещество во Вселенной находилось в состоянии ионизованной плазмы, состо¬
ящей из электронов, фотонов и барионов. Как мы обсудим в Главе 8, при темпе¬
ратуре ниже нескольких десятков кэВ барионы в основном состояли из протонов
(около 75 % от общей массы) и ядер 4Не — α-частиц (около четверти от общей
массы). При дальнейшем понижении температуры в определённый момент ста¬
новится термодинамически выгодным образование атомов. Этот этап в истории
Вселенной называется рекомбинацией. Если до рекомбинации фотоны активно
рассеиваются на свободных электронах, присутствующих в плазме, так что их
длина свободного пробега много меньше размера горизонта, то после рекомби¬
нации вещество во Вселенной становится электрически нейтральным и фотоны
распространяются практически свободно. Эти фотоны и дожили до настояшего
времени в виде реликтового излучения.
Нас будет интересовать рекомбинация водорода, поскольку рекомбинация
гелия происходит заметно раньше, и присутствие атомов гелия оказывает сла¬
бое влияние на свойства электрон-протон-фотонной плазмы в интересующую нас
эпоху. Рекомбинация гелия служит предметом задачи 5.
Количественное изучение процесса рекомбинации начнём с того, что опреде¬
лим температуру, при которой образование атомов становится термодинамически
выгодным. В этом разделе мы рассмотрим гипотетическую Вселенную, которая
расширяется адиабатически медленно, так что электрон-протон-фотонная сре¬
да находится в ней в термодинамическом равновесии. В частности, мы в этом
разделе будем считать, что различные её компоненты находятся в химическом
равновесии. Нага предварительный анализ позволит понять, о каком масштабе
температур и космологических времён идёт речь, а также получить полезное для
дальнейшего уравнение Саха, которое позволяет найти равновесные концентра¬
145
146
Глава, 6. Рекомбинация
ции частиц в среде. Уравнение Саха будет использоваться и в следующих Главах.
Подчеркнём, однако, что в реальной Вселенной рекомбинация — это нерав¬
новесный процесс [75, 76] Поэтому результаты этого раздела к нашей Вселенной
прямо применить нельзя. Мы рассмотрим неравновесную рекомбинацию в на¬
шей Вселенной в разделе 6.2.
Наивно можно было бы ожидать, что температура равновесной рекомбина¬
ции близка к энергии связи электрона в атоме. Однако, как мы увидим, рекомби¬
нация происходит при заметно более низкой температуре. Физическая причина
этого состоит в том, что плазма во Вселенной является очень разреженной при
рассматриваемых температурах, и объединение электронов с ядрами в единое
целое приводит к значительному проигрышу в энтропии.
Эквивалентное «микроскопическое» объяснение малости температуры ре¬
комбинации состоит в следующем. При малой концентрации электронов и прото¬
нов рекомбинация одного из электронов с каким-то протоном происходит1 за вре¬
мя т+, обратно пропорциональное плотности числа протонов, т+ эс Пд1. Обра¬
зовавшийся атом водорода разрушается фотоном, энергия которого превышает
энергию связи атома водорода Дя· Такие фотоны имеются в среде и при Т «С Дя,
хотя их количество экспоненциально мало. Поэтому время жизни атома водоро¬
да в среде конечно, хотя и экспоненциально велико, т_ ос е^н^т. Рекомбинация
становится эффективной при
что при малом пв действительно соответствует Т Дя· Температуру равновес¬
ной рекомбинации можно было бы найти, используя намеченный здесь кинети¬
ческий подход (см. задачу 4 в этом разделе). Однако проще применить термоди¬
намический подход, что мы сейчас и сделаем.
Мы вскоре увидим, что интерес представляют температуры порядка 0,3 эВ.
В тепловом равновесии при таких температурах электроны и протоны — нере¬
лятивистские, а большинство атомов водорода находятся в основном состоянии,
см. задачу 6. Выпишем выражения для равновесных концентраций электронов,
протонов и атомов водорода в нерелятивистском приближении:
В них входят неизвестные пока химические потенциалы. Количество спиновых
степеней свободы для электрона де и для протона др равно двум. Для атома
водорода дн — 4.
1 Индексы + и — относятся к прямому и обратному процессам — рекомбинации и ионизации
соответственно.
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
6.1. Температура рекомбинации в термодинамическом равновесии
147
о Задача 1. Покажите, что дн — 4.
Температура равновесной рекомбинации Т%ч определяется условием
пр(Т?)^пи(Т?). (6.5)
При температурах выше Т®9 протонам и электронам выгоднее оставаться в сво¬
бодном состоянии, а при понижении температуры более выгодным становится
связанное состояние в виде нейтрального атома водорода. Для того чтобы найти
значение Тге9, нам необходимо получить ещё три уравнения, позволяющие за¬
мкнуть систему уравнений на концентрации и химические потенциалы. Первым
из них является закон сохранения полного барионного числа
Пр+ПН =пв- (6.6)
В этом и следующем разделе (и только в этих разделах) пв обозначает плотность
барионного числа без учёта гелия (а для полной плотности барионного числа мы
зарезервируем обозначение п^4):
пв(Т) = ήΒηΊ{Τ), 1)в = 0,7577b. (6.7)
Значение барион-фотонного отношения приведено в (5.35), так что
ήΒ ~ 4,5 · 10“10, (6.8)
аплотность числа фотонов πΊ(Τ) — известная функция температуры (см. (5.16а)).
Ещё одно уравнение
Мр + βε = βΗ (6.9)
следует из сделанного в этом разделе предположения о химическом равновесии
реакции
р + е <-► Н + 7. (6.10)
Наконец, последнее уравнение следует из электронейтральности среды во Все¬
ленной и имеет вид
пр = пе. (6.11)
Итого, мы получили шесть уравнений: (6.2). (6.3). (6.4). (6.6). (6.9) и (6.11). из ко¬
торых при каждом значении температуры Т можно определить три неизвестных
плотности числа частиц пе,пр,пни три неизвестных химических потенциала ре,
Рр, рн- Самый быстрый способ упростить эту систему уравнений состоит в том,
чтобы перемножить выражения (6.2) и (6.3) для плотности числа электронов
и протонов:
прпе — 9р9е
Теперь, пользуясь равенствами (6.9), (6.11) и выражением (6.4) для пн, можно
исключить химические потенциалы и привести получившееся уравнение к сле¬
дующему виду:
теТ
2тг
3/2
пне
-Δη/Τ
!
(6.12)
148
Глава 6. Рекомбинация
где
Δ# = πΐρ + тпе — тпн = 13,6 эВ
— энергия связи водорода, и мы пренебрегли разницей между гпр и тц в пред-
экспоненциальном множителе в правой части уравнения (6.12). Вместе с урав¬
нением (6.6) уравнение (6.12) определяет равновесные концентрации свободных
протонов и атомов водорода пр и пн-
Удобно ввести безразмерные отношения
V _ пН
■S*-H — :
пв пв
так что условие сохранения барионного числа принимает вид
Хр + Хн = 1.
(6.13)
Пользуясь уравнением (6.12), можно выразить Хц через Хр, в результате чего
условие (6.13) превращается в уравнение с единственной неизвестной Хр:
Хр + пвХр
2тг
пгеТ
3/2
| еАн/т = 1.
(6.14)
Уравнение (6.14) носит название уравнения Саха. Подчеркнём, что оно выпол¬
няется только в условиях теплового (в том числе химического) равновесия.
Выразив пв через барион-фотонное отношение ήΒ с помощью соотношения
(6.7) и воспользовавшись формулой (5.16а) для плотности числа фотонов πΊ (Τ).
мы получаем следующее уравнение, содержащее только безразмерные величины:
Хр +
2С(3).
г2 'Ь
7Т*
2тгГ
тпе
3/2
| Х2еД„/Т = 1
(6.15)
Второе слагаемое здесь — это относительная равновесная концентрация атомов
водорода, выраженная через А’р,
Хн
2ттТ
тпе
3/2
Х?еАн/т
(6.16)
Теперь мы явно видим, что рекомбинация происходит при температурах, замет¬
но более низких, чем энергия связи атома водорода Ац. Действительно, пока
экспоненциальный множитель в (6.16) недостаточно велик, концентрация про¬
тонов Хр близка к единице, а концентрация атомов водорода Хц подавлена.
Это подавление связано как с малостью барион-фотонного отношения ήΒ. так
π с тем, что электроны являются сильно нерелятивистскими при интересующих
нас температурах,
Т
6.1. Температура рекомбинации в термодинамическом равновесии
149
При химическом равновесии рекомбинация происходит тогда, когда одновре¬
менно Хр ~ 1, Хц ~ 1· В это время отмеченная малость компенсируется экс¬
поненциальным множителем еАн^т. При этом отношение Δн/Т заметно больше
единицы:
Δя
rpeq
— In
2C(3L
2 πΤ^\3/2
me )
(6.17)
Это уравнение получается подстановкой Хц{Тг) Хр(Тг) ~ 1 в соотношение
(6.16). Из него и вычисляется температура равновесной рекомбинации.
Для дальнейшего полезно обсудить, как решать уравнения типа (6.17). Это
уравнение являтся частным случаем уравнения вида
х = 1п(Лха),
(6.18)
где в нашем случае неизвестная х равна
-L г
а параметры А и а равны
Л / Щ±\3/2 —1
4л/2С(3) чАя/ Vb
Существенно, что
In А 1.
(6.19)
В уравнении вида (6.18) в ведущем логарифмическом приближении (т. е. прене¬
брегая числом порядка единицы по сравнению с In Л) можно положить х = 1
в правой части, что приводит к следующему результату для х:
х si In Л.
(6.20)
> Задача 2. Представив х в виде
х = (1 + е) In Л
и считая 1. найдите х в первом нетривиальном порядке по е и убеди¬
тесь. что е действительно мало, если выполнено условие (6.19) и a ~ 1.
В нашем случае в ведущем логарифмическом приближении получаем следу¬
ющее значение для температуры рекомбинации
Teq
Ая
lJ ( тпе
1Π|_4ν/2ζ(3) / Т/в
0,38 эВ.
(6.21)
Численное решение уравнения (6.17) даёт T£q = 0,33 эВ.
Сравнивая значение температуры рекомбинации (6.21) со значением тем¬
пературы (4.22) перехода от радиационно-доминированной стадии расширения
150
Глава 6. Рекомбинация
к пылевидной, мы видим, что рекомбинация происходит на пылевидной стадии.
Этот вывод остаётся справедливым и в реалистическом случае неравновесной
рекомбинации, поскольку отсутствие теплового равновесия может только затя¬
нуть процесс рекомбинации по сравнению с равновесным случаем: рекомбинация
при Т > ТгЧ термодинамически невыгодна.
Оценим возраст Вселенной при температуре Т®9 = 0,33 эВ. Для этого вос¬
пользуемся соотношением (3.20), справедливым для пылевидной стадии, и запишем
где мы воспользовались уравнением (4.11) и пренебрегли вкладами релятивист¬
ского вещества и тёмной энергии (вклад кривизны мы вообще договорились
не рассматривать). Численно ίψ ~ 330 тыс. лет, а хаббловское время оцени¬
вается как
для Т®9 = 0,33 эВ, Ω,μ = 0,315. Более точную оценку можно получить, используя
формулу (4.28); эта оценка нам пока не понадобится.
> Задача 3. Оцените численные значения химических потенциалов με. μρ, μ#
в эпоху рекомбинации, считая, что она происходит в тепловом равнове¬
сии. Сравните полученные значения с массами электрона, протона и атома
водорода.
о Задача 4. Дайте альтернативный вывод температуры равновесной реком¬
бинации, основанный на кинетическом подходе и соотношении (6.1).
> Задача 5. Найдите температуру равновесной рекомбинации гелия. Не за¬
будьте, что для образования нейтрального атома гелия a-частице необхо¬
димо захватить два электрона.
> Задача 6. Найдите равновесные относительные концентрации атомов водо¬
рода в 2s- и 2р-состояниях при температуре Г®9 = 0,33 эВ. Более высокие
уровни при этом не учитывайте.
В заключение нашего равновесного анализа отметим, что при температурах
ниже Д59 равновесная концентрация свободных протонов быстро падает с темпе¬
ратурой. Действительно, когда концентрация свободных протонов мала, Хр <С 1,
в уравнении (6.15) можно пренебречь первым членом и получить
- 33\/ЩГЯо(1 + Zre,)3/2
(6.22)
Н 1(Т'(:ч) ~ 490 тыс. лет
(6.23)
(6.24)
где мы явно указали, что речь идет о равновесных концентрациях.
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной
151
6.2 Последнее рассеяние фотонов
в реальной Вселенной
В предыдущем разделе мы определили время рекомбинации как время, при
котором концентрации свободных протонов и атомов водорода совпадают. Од¬
нако с точки зрения наблюдений реликтового излучения интерес представляет
не это время, а эпоха последнего рассеяния реликтовых фотонов, после кото¬
рой они свободно распространяются во Вселенной. Последнее рассеяние фото¬
нов происходит несколько позже рекомбинации (понимаемой в указанном выше
смысле), когда плотность свободных электронов и протонов значительно пада¬
ет. Основным процессом при этом является комптоновское рассеяние фотонов
на электронах
7е —► 'уе. (6.25)
В квантовой электродинамике сечение этой реакции определяется двумя диа¬
граммами, изображёнными на рис. 6.1. Нас интересуют температуры, а следо¬
вательно, и частоты фотонов, малые по сравнению с массой электрона. В этом
пределе сечение комптоновского рассеяния сводится к томсоновскому сечению,
известному из классической электродинамики (обсуждение комптоновского рас¬
сеяния в квантовой электродинамике читатель может найти в [77]; вывод томсо-
новского сечения в классической теории см. в [78]). Томсоновское сечение равно
στ = ό ~ 0,67 · 10-24 см2. (6.26)
3 mi
Отметим, что значение томсоновского сечения с точностью до численного мно¬
жителя 8π/3 сразу же получается из размерных соображений. Действительно,
множитель а2 в сечении связан с тем, что диаграммы для комптоновского рас¬
сеяния содержат две вершины взаимодействия электрона с фотонами. Каждая
из вершин вносит множитель е в выражение для амплитуды, что приводит к мно¬
жителю а2 в сечении, пропорциональном квадрату модуля амплитуды. При низ¬
ких энергиях единственным размерным параметром является масса электрона,
так что зависимость στ ос т~2 восстанавливается по размерности.
7
7.
е
Рис. 6.1. Фейнмановские диаграммы для колттоновского рассеяния
152
Глава 6. Рекомбинация
Время свободного пробега фотона по отношению к комптоновскому рассея¬
нию равно
Т-, = „ I (6.27)
στ · пе{1)
где пе — плотность числа свободных электронов, равная плотности числа сво¬
бодных протонов. В то время, когда концентрации свободных протонов и атомов
водорода совпадают, плотность числа электронов равна
Пе - ψ =
При Т = 0,33 эВ это даёт
пе ~ 250 см"3. (6.28)
В такой ситуации время свободного пробега (6.27) составляет т7 ~ 2,0 · 1011 с ~
6300 лет, что гораздо меньше хаббловского времени (6.23). Это и говорит нам
о том, что последнее рассеяние фотонов происходит при несколько меньших
температурах; мы увидим, что температура последнего рассеяния равна Тг =
0.26 эВ, и дальнейшие оценки будем проводить именно для этой температуры.
При интересующих нас температурах имеет место кинетическое равновесие
между фотонами, электронами, а также протонами. В этом мы убедимся в раз¬
деле 6.3. Наоборот, химическое равновесие в среде отсутствует. Процесс рекомби¬
нации затягивается, концентрация 15-атомов ниже равновесной, а концентрация
свободных электронов, наоборот, выше равновесной. Указанием на отсутствие
химического равновесия служит тот факт, что в среде мало тепловых фотонов
с энергиями ω > Дя, способных ионизировать атомы водорода с основного уров¬
ня. Действительно, плотность числа тепловых фотонов с энергией выше заданной
энергии ω равна (здесь и далее до конца этого раздела обозначение eq указывает
на то, что речь идёт о тепловых, равновесных фотонах)
= Г (6.
где
F?{u>) = 8ττω2Μω),
a fbb(u) — планковская функция распределения (ср. с (2.43); мы учли, что фотон
имеет две поляризации). При ω Т имеем
2
F^{uj) = (6.30)
так что
(6.31)
7Г“
Для lo = Ан и Т = Тг = 0.26 эВ эта плотность составляет п^9(Ан) ~ Ю"9 см-3.
Столь малого числа тепловых фотонов, способных ионизировать основное состо¬
яние водорода, недостаточно для поддержания химического равновесия. Мы убе¬
димся в конце раздела, что в среде имеется гораздо больше нетепловых фотонов
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной
153
с ω > Ац, что и будет окончательным доказательством отсутствия равновесия
для реакции рекомбинации на основной уровень.
Равновесие отсутствует и для реакций перехода на основной уровень Is с воз¬
буждённых уровней водорода. Мы в этом убедимся в дальнейшем. С другой сто¬
роны, химическое равновесие имеется между фотонами, свободными электрона¬
ми, протонами и атомами водорода на возбуждённых уровнях. Действительно,
плотность числа фотонов, способных ионизировать, например, 2s- и 2р-уровни,
равна n^q(A2s) ~ Ю8 см-3, где Δ2δ = Δη/4 — энергия связи 2s- или 2р-уровня.
Это гораздо больше концентрации барионов, что и свидетельствует в пользу тер¬
модинамического равновесия: даже если бы все электроны и протоны рекомби¬
нировали на 2s- и 2р-уровни, спектр фотонов в области ω ~ Δ2β остался бы
практически прежним, тепловым. Мы ещё будем уточнять условия, при которых
выполняется сделанное утверждение о частичном термодинамическом равнове¬
сии, см. задачу 8.
Итак, в системе имеется равновесие по отношению ко всем реакциям, кроме
реакций образования и разрушения 1 s-атомов водорода. При этом если бы ls-
атомы не образовывались вовсе, концентрации возбуждённых атомов были бы
малы, так что практически все электроны и протоны находились бы в свободном
состоянии при Т = ТГ = 0.26 эВ.
> Задача 7. Убедиться в справедливости последнего утверждения. Указание:
воспользоваться згравнением Саха, записанным без учёта 1 s-атомов.
Из последнего замечания следует, что электроны в основном находятся ли¬
бо в свободном состоянии, либо в ls-атомах. Поэтому ключевыми процессами
являются образование и разрушение 1 s-атомов. В дальнейшем мы будем учиты¬
вать только Is-, 2s- и 2р-уровни, а существованием более высоко возбуждённых
уровней будем пренебрегать. Это в действительности неплохое приближение: за¬
селённость, скажем, Зв-уровня по сравнению с 2s в условиях равновесия равна
^ = 6-(Δ2,-δ3.)/τ ^ 10-з (6.32)
ЧТ-2 s
Здесь учтено, что Δ3δ = Δ#/9. Здесь и далее U2S, пз8 и т. д. обозначают плотности
числа атомов водорода на соответствующих уровнях; сами атомы обозначаются
просто как Is, 2s и т. д.
В нашем приближении ls-атомы могут образовываться и разрушаться
в реакциях
е + р *—►
Is 4- 7,
(6.33)
2s <—►
Is + 27,
(6.34)
2 р «—·
Is + 7-
(6.35)
Подчеркнём, что переход 2s —* Is — это двухфотонный процесс, в то время как
переходы из континуума и переход 2р —> Is происходят путём излучения одного
фотона (переход 2р —> Is соответствует первой линии серии Лаймана, Лайман-а).
154
Глава 6. Рекомбинация
Начнём с переходов из континуума (6.33). Они в действительности оказыва¬
ются несущественными (!). Как мы убедились в начале раздела, для нас интере¬
сен случай П1$ > пе. В этой ситуации фотон, испущенный в процессе е+р —» ls+7,
ионизирует «соседний» ls-атом до того, как потеряет свою энергию в столкно¬
вениях с электронами. Действительно, сечение ионизации ls-атома вблизи поро¬
га равно [77]
- 29?г2 1
Зе4 олп\
6.3 · 1(Г18 см2.
Оно значительно превышает томсоновское сечение упругого рассеяния на покоя¬
щемся электроне. Мы убедимся в конце раздела, что покраснение фотонов из-за
расширения Вселенной также несущественно в случае реакции (6.33). Таким об¬
разом, процессы (6.33) фактически не изменяют число свободных электронов
и 1 s-атомов.
Рассмотрим теперь процессы (6.34). В отличие от рекомбинации свободных
электрона и протона, в прямом процессе образуется два фотона, и попадание их
в среду не приводит к обратной реакции. Прямой процесс 2s —» Is -Η 27 имеет
ширину [79]
Г2» ~ 8.2 с-1.
Она достаточно мала, так что прямой процесс является медленным в том смыс¬
ле, что 2s-aTOM с большей вероятностью ионизируется тепловым фотоном, чем
испытает этот переход, см. задачу 8. Это означает, что переходы 2s —> Is мало¬
существенны с точки зрения концентрации 2s-aTOMOB, и в системе действительно
имеется частичное термодинамическое равновесие, о котором мы говорили выше.
о Задача 8. Показать, что при Т > 2500 К вероятность того, что 'ls-атом
ионизируется в реакции 2s + 7th —> е+р, превышает вероятность его пере¬
хода в ls-состояние в процессе 2s —» Is + 27. Здесь 7th обозначает тепловой
фотон. Указание: использовать значение сечения ионизации вблизи порога
&2 s =
216π2 1
Зе8 ami
27
(7is ~ 2.34иι5.
ег
Отметим, что температура 2500 К ниже температуры Тг = 0.26 эВ =
3000 К, при которой фотоны испытывают последнее рассеяние. Отметим
также, что характерные для рассматриваемых процессов масштабы времён
t < Г^1 весьма малы по сравнению с временем изменения параметров сре¬
ды, связанного с расширением Вселенной, так что процессы е + р *-*■ 2s + 7
действительно находятся в равновесии.
Поскольку 2в-атомы находятся в равновесии с электронами и протонами,
для них справедливо соотношение Саха
пепр — пе — n2s
теТ^3/2
2тг
(6.36)
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной
155
Темп перехода электронов на ls-уровень по каналу 2s —» Is определяется коли¬
чеством 2s атомов и темпом 2s -ls-переходов:
/ dne\
\ ^ / 2s—Is
—r2s^2s·
(6.37)
Здесь мы пренебрегли обратным процессом, переводящим ls-атом в 2s-состояние
за счёт поглощения двух фотонов. Обоснование этому дано в конце раздела.
Обсудим, наконец, процессы (6.35). Так же, как и в случае рекомбинации сво¬
бодных электронов и протонов, излученный в прямом процессе фотон, как прави¬
ло, быстро поглощается «соседним» ls-атомом в обратном процессе, и никакого
изменения в среде эффективно не происходит. Однако для процессов (6.35) суще¬
ственно покраснение фотонов, связанное с расширением Вселенной. Дело в том,
что в среде имеется довольно много фотонов Лайман-о линии. Часть из них
всё же выбывает из области линии благодаря покраснению и не принимает уча¬
стие в обратном процессе Is + 7 —► 2р. В результате число 1 s-атомов растёт,
а число свободных электронов и протонов убывает. Этот эффект мы обсудим ко¬
личественно в конце раздела, а здесь скажем, что он приводит к оценке эффек¬
тивной скорости убывания свободных электронов, численно близкой к (6.37). Та¬
ким образом, убывание свободных электронов за счёт их переходов на ls-уровень
даётся уравнением
^ = -Гв//(7>25,
(6.38)
причём Ге//(Т) не очень сильно зависит от температуры, см. (6.47), и Teff(Tr) ~
1.85Г2в.
Используя (6.36), запишем (6.38) в виде уравнения на плотность
электронов:
dne
dt
Teff
2тг
Tmf
3/2
2
е г . п:.
свободных
Пренебрегая изменением со временем предэкспоненциального множителя и пе¬
реходя к переменной 1/Т согласно (3.32), получим отсюда
= Ге//Г
пе A2sH
2тг
ТтПе
3/2
Δ2.ς
е т + const.
Первое слагаемое в правой части быстро растёт со временем, так что константа
интегрирования несущественна при t ~ tr. Вспоминая, что A2s = Δ#/4, получим
окончательно
пе(Т) = пр(Т) =
А нН
4Ге//Т
Тте\3/2 .
2π / 'е
(6.39)
Видно, что результат неравновесного анализа сильно отличается от равновесного
результата (6.24): отличие имеется как в показателе экспоненты, так и в предэкс-
поненциальном множителе. Из результата задачи 8 следует, что формула (6.39)
действительно работает в интересующей нас области температур, а точнее, при
Т > 2500 К = 0.21 эВ.
156
Глава 6. Рекомбинация
> Задача 9. Показать, что неравновесная плотность свободных электронов
(6.39) превышает равновесную плотность на всей стадии окончания ре¬
комбинации. когда пе/пв «С 1 (но при Т > 2500 К, когда справедлив наш
анализ). Это означает, что, как и ожидалось, процесс рекомбинации затя¬
гивается по сравнению с рекомбинацией в термодинамическом равновесии.
Вернёмся к последнему рассеянию фотонов. Среднее число столкновений
фотона со свободными электронами с момента времени t до настоящего времени
(которое для наших целей можно устремить в бесконечность) равно
/•ОС
N(t) = / σTne dt.
Определим время последнего рассеяния как время, начиная с которого фотон
рассеивается ровно один раз. N(tr) = 1. Переходя к интегрированию по темпера¬
туре. используя (3.32), запишем уравнение для температуры последнего
рассеяния Тг\
-L
т dT'
στ η
4 Tr
HT' Н{Тг)Ан
στηε(ΤΓ):
при вычислении интеграла мы учли быстрое изменение экпоненты под интегра¬
лом с температурой, см. (6.39). Окончательное уравнение имеет вид
Тгте
2тг
3/2
leff
στ
(6.40)
Видно, что Тг слабо зависит от космологических параметров; эта зависимость
имеется только в Ге//. Численно получаем отсюда
Тг = 0.26 эВ.
Всюду в этой книге под температурой рекомбинации мы имеем в виду именно
эту температуру.
В эпоху последнего рассеяния параметр Хаббла грубо оценивается как
Н(ТГ) ~ \ДТд7Яо(1 + 2Г)3/2 — (720 тыс. лет)-1 = (0.22 Мпк)-1, (6-41)
а время жизни Вселенной оценивается как tr ~ (2/3)Я-1 = 480 тыс. лет. Точное
значение получается с использованием формулы (4.28) и даёт
tr = 370 тыс. лет.
В это время плотность числа свободных электронов оценивается из (6.39), (6.40) как
^•е (рг )
Δ HH(tr)
4ΤΓστ
~ 30 см 3.
Она гораздо меньше плотности числа свободных электронов в начале процесса
рекомбинации, см. (6.28).
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной
157
> Задача 10. Получить оценку (6.41).
> Задача 11. Показать, что с учётом вклада радиации в плотность энергии
параметр Хаббла при температуре 0,26 эВ равен
Н(ТГ) = (650 тыс. лет)-1 = (0,2 Мпк)-1.
Сделаем одно замечание. Разумеется, рекомбинация происходит не мгновен¬
но: концентрация свободных электронов (6.39) меняется плавно. Однако суще¬
ственное с точки зрения рассеяния фотонов изменение происходит на малом ин¬
тервале температур,
АТ «С Тг,
что связано с быстрым изменением экспоненты в (6.39) при Т ~ Тг <С Ан- Этот
интервал можно оценить из требования, чтобы экспонента в (6.39) отличалась
в е раз от своего значения при Т = Тг, т. е.
Ан Ая
4(Гг ± АТ) 4ТГ
Отсюда получим
АТ
42V
Ан
~ 0,1.
Таким образом, концентрация свободных протонов и электронов в период ре¬
комбинации заметно падает при понижении температуры всего на десяток про¬
центов. Иными словами, процесс рекомбинации происходит за время, заметно
меньшее хаббловского времени, Δί H~l(t).
Фотоны, рассеявшиеся последний раз в рассматриваемую эпоху, пролетают
с тех пор вполне определённое расстояние, то есть наблюдая реликтовое излу¬
чение, мы видим фотоснимок некоторой сферы, окружающей нас во Вселенной.
Эту сферу называют сферой последнего рассеяния; с учётом сказанного выше,
она имеет небольшую, но конечную толщину.
> Задача 12. Покажите, что время свободного пробега фотона по отношению
к рассеянию на нейтральных атомах превышает хаббловское время в эпоху
рекомбинации и позже. Это означает, что присутствие водорода и гелия
не оказывает влияния на реликтовое излучение.
Рассмотрим для полноты вклад процессов (6.35) в темп роста концентрации
ls-атомов или, эквиваленте, в темп исчезновения свободных электронов. Этот
вклад обусловлен покраснением фотонов при расширении Вселенной. Изменение
плотности числа Лайман-о: фотонов, рождённых в прямой реакции и участву¬
ющих в обратных процессах, определяется числом фотонов, перемещающихся
в область спектра ниже линии Лайман-а в единицу времени, то есть пересекаю¬
щих нижнюю границу соответствующей области энергий. Оно равно
dn~ (ω*) „ , , άω, . . .
= F7(u*) — (uj*) — -ω*ΗΡΊ{ω*),
dt
(6.42)
158
Глава 6. Рекомбинация
где ηΊ(ω) — плотность числа фотонов с энергией больше ω, ΡΊ(ω) = άη{ω)/άω —
спектральная плотность (равновесные значения именно этих величин фигуриру¬
ют в (6.29)), aw* — нижняя граница линии Лайман-α; мы вскоре увидим, что
точное значение величины ω* несущественно. Фотоны с энергией ниже а;* не мо¬
гут перевести ls-состояние в 2р, поэтому эффективный рост числа 1 s-атомов
(и убывание числа свободных электронов) даются выражениями
dn\s dne άηΊ( ω*)
dt dt dt
Поскольку Вселенная расширяется медленно, фотонов из области линии Лайман-
α выбывает мало, прямой и обратный процессы с хорошей точностью находятся
в равновесии. Таким образом, функцию F^(cj) можно вычислить, считая, что
скорости прямого и обратного процессов совпадают:
Γ2ρφ(ω)η2Ράω — 0(ω)φ(ω)ΡΊ(ω)η\8άω. (6.43)
Левая часть этой формулы — это число фотонов в интервале (ω, ω + άω), излу¬
чающихся в единицу времени в единице объёма в процессе распада 2р —► Is + 7;
Г2р — ширина 2р-уровня, φ(ω) — форма линии Лайман-α:. Правая часть — ско¬
рость захвата фотонов ls-атомами. Мы учли, что она пропорциональна спек¬
тральной плотности фотонов и плотности 1 s-атомов, так что коэффициент С
зависит только от ω. Он равен
С(ы) = (6.44)
Отметим, что Α{ω) = Τ2ρψ{ω) и Β(ω) = 0(ω)φ(ω)/ω представляют собой не что
иное как известные из теории излучения коэффициенты Эйнштейна, а равенство
(6.44) — это соотношение Эйнштейна, см. [77].
t> Задача 13. Вывести соотношение (6.44). Указание: можно, например, вос¬
пользоваться тем, что равенство (6.43) имеет место в условиях термодина¬
мического равновесия, и рассмотреть случай низких температур,
Из равенств (6.43), (6.44) следует, что
П2р
Tils
(6.45)
Это — гладкая функция ω, поэтому можно положить в (6.42) ω* = Δ# — Агр =
ЗДя/4. Кроме того, к времени последнего рассеяния большинство протонов на¬
ходится в ls-атомах водорода, так что nis « п^. В итоге мы получаем, что убыль
свободных электронов, вызванная реакций (6.35), даётся выражением
dne
dt
Η
2p—*ls
( 3Дя\3
I —— 1 n2p.
ПВ7Г2 \ 4 /
(6.46)
Наконец, в условиях частичного термодинамического равновесия имеем П2Р =
3τ?2$· Суммируя вклад (6.46) с вкладом (6.37), мы и получаем формулу (6.38) с
г eff — T2s + 3
я
ΠβΤΓ
5(—
4
(6.47)
6.2. Последнее рассеяние фотонов в реальной Вселенной
159
При Т = Тг = 0,26 эВ и пв = 0.75 · 6,05 · 10 10п7 второе слагаемое здесь равно
7.1 с-1, так что Ге//(Тг) = 14.3 с-1 = 1.85Γιβ. К концу рекомбинации около по¬
ловины электронов попадают на ls-уровень в результате переходов 2s —► Is,
а другая половина — за счёт Лайман-α реакций. Это согласуется с полным
анализом [82].
Явление, аналогичное только что рассмотренному, имеется и для реакции
(6.33). В этом случае вместо равенства (6.43) имеем
Α{ω)η\ = σι{ω)ΡΊ{ω)η\8. (6.48)
Скорость прямой реакции рекомбинации протона и электрона пропорциональна
прпе = п2, что и отражено в левой части (6.48), а скорость обратной — спек¬
тральной плотности фотонов с энергией ω (разумеется, ω > Ан), числу ls-атомов
и сечению ионизации σ/. Воспользуемся тем, что в термодинамическом равнове¬
сии скорости прямой и обратной реакций совпадают, и запишем уравнение для
коэффициента Α(ω) (уравнение детального баланса),
Α(ω)(η?γ = a,(u>)F?[b,)ri?..
Найдя отсюда Α(ω), подставим его в (6.48) и получим спектральную плот¬
ность с ω > Δη
W· (6·49)
Выбывание фотонов из области энергий ω > Ад даётся формулой (6.42),
носи* = Δη; это же выражение даёт убыль свободных электронов, обусловлен¬
ную процессами (6.33). Отношение данного вклада к вкладу Лайман-α процессов
даётся отношением (6.49) и (6.45) (с точностью до отношения энергий фотонов
Δη/(Δη - Δ2р) = 4/3),
(dne/dt)ep^is ^ F^q(АΗ)ηΙΙ π2 /Tme\3/2 _*a.
Cdne/dt)2p-*i8 ~ (nl9)2 A2H \ 2n J 6
где для величины П2Р = 3 U2S мы использовали соотношение (6.36) и опустили
численный множитель порядка единицы. Используем формулу (6.30) для равно¬
весной спектральной плотности фотонов, формулу (6.24) для равновесной кон¬
центрации электронов и положим ~ пв- Получим окончательно
(с/пе/dt)ep—
(dn.g/dt^2p—►is
Малость этой величины означает, что вклад процессов (6.33) в образование ls-
атомов и исчезновение свободных электронов пренебрежимо мал.
Отметим, что в нашей ситуации с затянутым процессом рекомбинации плот¬
ность числа свободных электронов пе заметно превышает равновесное значение
rig9, а число ls-атомов, наоборот, меньше равновесного. Поэтому в соответствии
с (6.49) спектральная плотность фотонов с ω > Ан заметно превышает равно¬
весную, как мы и говорили ранее.
Наконец, обоснуем наше пренебрежение процессом, обратным к 2s —► Is+27.
Этот обратный процесс идёт путём поглощения двух тепловых фотонов. Его ско¬
рость пропорциональна плотности числа ls-атомов, а в тепловом равновесии она
160
Глава 6. Рекомбинация
должна совпадать со скоростью прямого процесса (6.37). Отсюда сразу получаем
(- Γ„η2=5} = Г2snue-(A"-A'MT·
\ dt / 1S—.2S nls
Этим процессом можно пренебречь по сравнению с прямым, если его темп мал
по сравнению с темпом (6.37), то есть при
П15е"(Л"-Д2*)/т <С n2s (6-50)
Величину Ti2s найдём из (6.36), (6.39), а величину п\а оценим как nis « пв =
ηΒ ηΊ. Подставив численные значения, нетрудно убедиться, что соотношение (6.50)
действительно выполняется.
> Задача 14. Провести намеченную только что численную оценку.
В заключение этого раздела отметим, что фотоны линии Лайман-α, излу¬
ченные, но не успевшие поглотиться из-за покраснения, вызванного расширением
Вселенной, практически не теряют своей энергии за счёт рассеяния на электро¬
нах (и тем более не термализуются). В этом мы убедимся в следующем разде¬
ле. Таких фотонов, как мы говорили, образуется порядка пьу-а ~ пе/2 штук
в единице объёма (их излучение приводит к рекомбинации примерно половины
электронов), а излучаются они в диапазоне температур, грубо говоря, от T^q =
0,33 эВ до Тг = 0.26 эВ. Сравним их количество с количеством тепловых фотонов
в этой же области спектра. Используя (6.31), запишем
^2
nLy-a Пе 7Г опр/Т
η*?(ω2ρ) ~ 2 с4ρΤβ
Т2
*7вС(3)-о-е
ω2ρ
ω2ρ/Τ
где ω2ρ = Дя — Δ2Ρ = ЗДя/4 = 10,2 эВ — энергия фотона линии Лайман-α. Даже
при температуре Т®9 = 0,33 эВ это отношение составляет величину порядка 10,
а при меньших температурах оно ещё больше. Таким образом, в области линии
Лайман-α доминируют нетепловые фотоны. Из-за того, что эти фотоны излуча¬
ются в сравнительно широкой области температур (красных смещений), «линия»
Лайман-α в спектре реликтового излучения довольно широкая: её относительную
ширину можно оценить как
р
и2р
Teq _ Тг
Тг
0,25.
Тем не менее, она представляет собой существенную особенность в спектре. Тот
факт, что она до сих пор не обнаружена, связан с малым абсолютным числом
фотонов в «линии». Эту малость можно охарактеризовать количественно, вычис¬
лив современную яркость в области «линии» (поток энергии на единицу частоты
v = ω/2π в единице телесного угла; именно эта величина изображена на рис. 1.5,
а также рис. 6.2):
АД =
ПЬу—а.0^2р.0 0,5 ■ Т}ВТ1"у.О 2тГЫ2р
'
4πΔζ/2Ρ.ο 4тг Δω2Ρ
~ 6 ■ 10 24 эрг · см 2
= 6 · 10“27 Дж · м"2
•с 1 · Гц 1 стер 1
с-1 · Гц-1 стер-1,
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
161
что гораздо меньше яркости в измеренной области спектра, см. рис. 1.5. Тем
не менее, можно рассчитывать, что будущие эксперименты обнаружат не только
«линию» Лайман-о, но и другие особенности спектра реликтового излучения. Ре¬
зультат вычисления [83] спектра фотонов, излученных в процессе рекомбинации,
показан на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Спектр фотонов, излученных в эпоху рекомбинации — превышение
полного спектра реликтовых фотонов над планковским. Использованы стан¬
дартные обозначения для линий атома водорода
6.3 * Выполнение условий теплового равновесия
Представляет интерес выяснить, в какой степени электрон-протон-фотонная
плазма находится в состоянии теплового равновесия в эпоху рекомбинации и пе¬
ред этой эпохой. Действительно, наши предыдущие вычисления мы делали в пред¬
положении о том, что функции распределения частиц имеют равновесный вид
(6.2)-(6.4) с одной и той же температурой, равной температуре фотонов (это пред¬
положение необходимо, в частности, для использования соотношения Саха (6.36)).
В этом разделе мы убедимся, что кулоновское рассеяние электронов друг на дру¬
ге и на протонах являются самыми быстрыми процессами, поддерживающими
кинетическое равновесие электрон-протонной компоненты вплоть до эпохи ре¬
комбинации и в течение этой эпохи (раздел 6.3.2). Перед этим мы рассмотрим
162
Глава 6. Рекомбинация
потенциальный источник отклонения от теплового равновесия между электрон-
протонной компонентой и фотонами, связанный с тем, что в отсутствие взаимо¬
действия между фотонами и нерелятивистскими частицами в плазме те и дру¬
гие продолжали бы описываться равновесными функциями распределения, од¬
нако эффективная температура фотонов падала бы медленнее с расширением
Вселенной, см. раздел 2.5. Таким образом, нам надо проверить, что взаимодей¬
ствие, обеспечивающее «перекачку» энергии от фотонов в электрон-протонную
компоненту плазмы, происходит достаточно эффективно. Мы убедимся в разде¬
ле 6.3.1, что это действительно так. При этом потеря энергии газом фотонов и,
соответственно, изменение их функции распределения малы, что связано с малой
концентрацией электронов и протонов. Таким образом, с точки зрения описания
процесса рекомбинации наше предположение о тепловом равновесии электрон-
протон-фотонной плазмы является обоснованным.
В разделе 6.3.3 мы обсудим вопрос о том, находятся ли в тепловом рав¬
новесии с электронами сами фотоны. На первый взгляд, этот вопрос является
чисто академическим, поскольку независимо от того, имеет место такое равно¬
весие или нет, фотоны характеризуются планковской функцией распределения
с Т ос а-1. Это не совсем так: в случае отсутствия равновесия потеря энергии
фотонами за счёт «подогрева» электронов приводит к малому, но в принципе об-
наружимому искажению спектра реликтового излучения. Есть и другие тонкие
эффекты, см. например, конец раздела 6.2. Мы убедимся, что фотоны выходят
из кинетического равновесия задолго до рекомбинации; мы получим оценку соот¬
ветствующей температуры Т7д-,п ~ 3· 10° К. Ещё раньше, при Т7,с/)етп ~ 6- 10е К,
фотоны выходят из «химического» равновесия: скорости реакций с изменени¬
ем их числа становятся малыми по сравнению с темпом расширения Вселенной.
Таким образом, по аналогии со сферой последнего рассеяния можно говорить
о «чернотельной фотосфере» («black body photosphere of the Universe" [84]), со¬
ответствующей красному смещению 27.c/,em ~ 2 · 106: процессы, происходящие
при больших красных смещениях, не приводят к искажению спектра реликто¬
вых фотонов, а процессы, протекающие в более поздние времена, вообще говоря,
приводят.
6.3.1 Подогрев электронов
Как мы только что отмечали, при расширении Вселенной происходит пере¬
качка энергии от фотонов к электронам. За это отвечает процесс комптоновского
рассеяния (6.25), который происходит с томсоновским сечением (6.26). Харак¬
терное время между двумя последовательными взаимодействиями данного элек¬
трона с фотонами равно т = ((Ттщ)~1 ■ Нас, однако, интересует эффективность
энергообмена между электронами и фотонами. Другими словами, нам необходи¬
мо оценить время те, в течение которого электрон приобретает кинетическую
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
163
Рис. 6.3. Кинематика комптоновского рассеяния
энергию порядка температуры за счёт процессов комптоновского рассеяния. Для
того чтобы произвести эту оценку, заметим, что характерная передача энергии
при столкновении фотона малой частоты ш с медленным электроном дополни¬
тельно подавлена. Действительно, запишем закон сохранения 4-импульса в этом
процессе в виде
Ре + fey - Ц = р'е,
где ре, /с7 — начальные 4-импульсы электрона и фотона, а штрихованные величи¬
ны относятся к конечным электрону и фотону. Возводя это равенство в квадрат,
получаем
те{ш - и/) — |ре|cos#i — ω cos^) — wu/(l — cos#) — 0, (6.51)
где ω, ω' — начальная и конечная частоты фотона, θ\, Θ2 — углы между началь¬
ным импульсом электрона ре и начальным и конечным импульсами фотона к
и к' соответственно, а Θ — угол рассеяния фотона (см. рис. 6.3).
Если первоначально электрон покоился, то в уравнении (6.51) остаются пер¬
вый и третий члены, так что гухы получаем, что характерная передача энер¬
гии равна
ω2
ΔΕ = ω’-ω . (6.52)
те
Таким образом, для того чтобы покоящемуся электрону была передана энергия,
сравнимая с температурой фотонов, требуется количество актов комптоновского
рассеяния, по порядку величины равное
N ~
Т
АЕ
те
~Т'
(6.53)
Нас, впрочем, интересует ситуация, когда электрон до столкновения имеет кине¬
тическую энергию Ее, сравнимую с частотой фотона: мы хотим убедиться, что
электроны в космической плазме имеют именно такие энергии. В этой ситуации
импульс электрона равен
|ре| = \/2Еете ~ у/ште,
164
Глава 6. Рекомбинация
так что можно пренебречь третьим слагаемым в левой части равенства (6.51).
и мы получаем следующую оценку для характерной энергопередачи в одном
столкновении:
АЕ ~ ω
(6.54)
Заметим, однако, что. в отличие от третьего члена, второе слагаемое в левой ча¬
сти уравнения (6.51) является знакопеременным, поскольку углы θ\ и #2 прини¬
мают произвольные случайные значения. Поэтому, пользуясь аналогией со слу¬
чайными блужданиями, можно оценить количество актов комптоновского рассе¬
яния, требующихся для «разогрева» движущегося электрона как
N
Т \2 * * тпе
аё) ~ Ύ'-
что совпадает с оценкой (6.53) для покоящегося электрона2. Тогда для харак¬
терного времени «разогрева» мы получаем следующую оценку:
тЕ(Т) ~ Ντ(Τ) ~ Τσ™1{τ)· (6-55)
Подставляя численные значения параметров, входящих в выражение (6.55),
в эпоху рекомбинации получаем следующее значение:
те{Тг) — 1,8 · 108 с « 5,7 лет,
что намного меньше хаббловского времени эпохи рекомбинации. Таким образом,
передача энергии от фотонов к электронам достаточно эффективна, чтобы под¬
держивать температуру электронов равной температуре фотонов в эпоху реком¬
бинации. Это же верно и для более ранних эпох, поскольку время те быстро (как
Г-4) падает с повышением температуры.
Перекачка энергии от фотонов к электронам приводит к некоторому умень¬
шению плотности энергии газа фотонов. Этот эффект можно оценить, записав
для плотности кинетической энергии электронов
3^ „ ЗС(З),.
Pe.kin = ТТпе ~
Столько же кинетической энергии имеют протоны. Потеря энергии фотонами
грубо оценивается как |Ар7| ~ {pe.kin + Pp.kin)· поэтому относительная потеря
энергии газа фотонов составляет
(6.56)
2 Заметим, что для энергичных электронов с > Г второй член в уравнении (6.51) даёт
систематическую потерю энергии электроном. В итоге этот процесс приводит к установлению
равновесной энергии электрона Е ~ Т.
1Ар71
Ρί
ηΒ ~ Ю
-9
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
165
Столь малый эффект не влияет на изложенные выше результаты, хотя и приво¬
дит к искажениям спектра реликтового излучения, в принципе доступным для
экспериментального наблюдения, см. конец раздела 6.3.3 и обзор [84].
Уточним оценку (6.56). Комптоновское рассеяние поддерживает плотность
кинетической энергии электронов ркгп = пе(Екгтг) = пе(р^1(2тп)) равной р^гтг =
ЗтгеТ/2 (здесь и далее до конца раздела ре обозначает величину 3-импульсов
электронов). Концентрация электронов падает только вследствие расширения
Вселенной, пе ос 1 /а3. Если бы не комптоновское рассеяние, то из-за покраснения
импульсов, ре ос ΐ/α, расширение приводило бы к быстрому падению средней ки¬
нетической энергии (pg/(2m)) ос 1/а2, т. е. эффективная температура такой отще¬
пившейся компоненты Ге// вела бы себя как Teff ос (р2/(2т)) ос 1/а2, см. форму¬
лу (2.47). Комптоновское рассеяние осуществляет подкачку энергии из фотонной
компоненты в электронную, замедляя падение кинетической энергии электронов
и восстанавливая зависимость Т ос 1/а: обе компоненты находятся в кинетиче¬
ском равновесии.
Обозначая за δρΊ < 0 изменение плотности энергии фотонов, потраченной
на подогрев электронов за время St, получим на основе вышесказанного уравне¬
ние баланса энергии
-δρ., = η^-δΤ - η€δ(~) : (6-57)
2 Am
где имеется в виду, что соответствующие изменения в слагаемых в правой части
(6.57) обусловлены лишь расширением Вселенной. Поскольку р.Т ос 1/а, то
6Т = --TSt = -HTSt. δφ- = -2^“ —
a 2 τη 2 m da p 2 m
Подставляя это в (6.57), получим
-δρ. = - (ne 5 T - 2i»,i(^)) Hit = n^THSt,
где мы учли, что при кинетическом равновесии (р2е/(2т)) = ЗТ/2. Примерно
столько же энергии передаётся барионам (заряженные барионы находятся в теп¬
ловом равновесии с электронами, см. раздел 6.3.2), так что полная потеря энер¬
гии фотонами из-за комптоновского рассеяния равна —δp^ot = (3/2)ηηΓ7ίΤ5ί, где
πηΓ — плотность числа всех нерелятивистских заряженных частиц. В дальней¬
шем мы для простоты считаем, что3 πηΓ = 2ηвп-г В результате уравнение эво¬
люции плотности энергии фотонов в расширяющейся Вселенной принимает вид
Pi + 4-Я>7
δρψ
~δΓ
^ппгНТ
ЗпвТ
Pi
/>,Я,
3 В действительности это не так: после рекомбинации гелия отношение электронов, как
и протонов, к фотонам равно ήΒ ~ 0,75тщ, а атомы гелия с электрон-протон-фотонной плазмой
практически не взаимодействуют, поэтому ппг = 2ήΒτιΊ = 1.Ъпв. До рекомбинации гелия среди
барионов имеются нейтроны, связанные в ядра гелия-4. Барионов в ядрах гелия — около 25 %
от общего количества, поэтому до рекомбинации гелия имеем пе = пв — (0,25/2)пв ~ 0,88пв,
пр = 0,75пв, пВе = 0,25пв/4 ~ 0,06пв, и ппг = 1,69т]ΒηΊ. Все это приводит к поправочному
множителю в (6.58), равному ппг/{2пв). Для нас этот множитель несущественен, и мы его
не выписываем.
166
Глава 6. Рекомбинация
где в правой части стоит вычисленный выше темп охлаждения фотонов из-за
поддерживающего кинетическое равновесие комптоновского рассеяния на элек¬
тронах. а второе слагаемое в левой части, как обычно, учитывает изменение плот¬
ности энергии из-за расширения Вселенной. При этом
3 пвТ
P~i
90С(3)
■’1в
= const.
Отсюда для изменения плотности энергии фотонов с момента U до момен¬
та t получим
Py{t) — p~ui
_Oj_
a(t)
4-гЗ тгеТ/р^
~ Р^,г
90С(3) (а
_4 Vb ш I —
Итак, доля энергии, потерянная фотонами из-за подогрева электронов, равна
Δρ-γ
Ρί
90ζ(3)
ηΒ In
Tj
T(t)
-1,1 · ηβ In
Tj
Tit)
(6.58)
Логарифмическое усиление здесь связано с тем, что электроны и барионы по¬
стоянно теряют энергию из-за сравнительно быстрого её убывания при расшире¬
нии Вселенной, что компенсируется постоянной передачей энергии им от фото¬
нов. Как мы увидим в разделе 6.3.3, потеря энергии фотонами искажает спектр
реликтового излучения, т. е. приводит к отклонениям его от планковского. Мы
получим интервалы температур, существенные с этой точки зрения и поэтому
фигурирующие в (6.58), в разделе 6.3.3.
6.3.2 Кулоновское рассеяние: тепловое равновесие
электрон-протонной компоненты
Обсудим теперь как происходит «подогрев» протонов. Легко видеть, что
механизм энергопередачи, основанный на прямом взаимодействии с фотонами,
неэффективен. В самом деле, весь анализ, проведённый в разделе 6.3.1 для элек¬
тронов, остаётся в силе с той разницей, что везде вместо массы электрона следу¬
ет теперь подставить массу протона. Это приведёт к увеличению характерного
времени «подогрева» на множитель (тпр/те)3, так что это время станет больше
хаббловского времени эпохи рекомбинации.
Процесс, обеспечивающий эффективную энергопередачу протонам — это упру¬
гое рассеяние электронов на протонах. Для нерелятивистских частиц дифферен¬
циальное сечение этого процесса в системе покоя протона даётся классической
формулой Резерфорда
daR
πα·2 sin θ
πι\υ4 sin4 θ/2
(6.59)
где ν — скорость электрона, θ — угол рассеяния. Дифференциальное сечение
(6.59) имеет степенную сингулярность вида άθ/θ3 при малых углах рассеяния,
так что соответствующее интегральное сечение расходится, а время свободно¬
го пробега формально обращается в нуль. Однако, как и выше, нас интересует
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
167
не время свободного пробега, а характерное время энергопередачи те- Для то¬
го чтобы получить оценочную формулу для этой величины, заметим, что при
рассеянии электрона на покоящемся протоне на угол Θ передача энергии равна
777,
АЕ = 2—Е{1 - cos0), (6.60)
ТПр
где Е — энергия электрона.
> Задача 15. Проверьте формулу (6.60).
Как и в случае комптоновского рассеяния, при переходе в систему отсчё¬
та плазмы, где протон движется, возникает знакопеременный вклад в передачу,
подавленный не отношением mefmp, а квадратным корнем из этого отношения.
Однако в соответствии с аргументами, приведёнными выше, после усреднения
по углам вклад этого члена оказывается того же порядка, что и (6.60), так что
мы не будем выписывать его явно.
Пользуясь выражениями (6.59) и (6.60), мы получаем следующую оценку
для характерного времени энергопередачи
те
daR ΑΕ{Θ)
άθ Е
-1
8Пе7Ш 3 ί άθ ctg ^
mpmevd J 2 J
(6.61)
Интеграл в правой части уравнения (6.61) по-прежнему расходится на малых уг¬
лах, но уже не степенным образом, а логарифмически. Такое сглаживание син¬
гулярности хорошо понятно физически — оно связано с тем, что при рассеянии
на малые углы энергопередача тоже становится крайне мала. Для того чтобы
получить конечное значение для интеграла в (6.61), вспомним, что в плазме
фотон в некотором смысле не является строго безмассовой частицей, а приоб¬
ретает небольшую «массу» тпр за счёт эффектов вещества. Точнее, на расстоя¬
нии г > гр = ТПр1 потенциал между заряженными частицами экспоненциально
подавлен (напомним, что это явление носит название дебаевской экранировки,
см. [74]). Значение дебаевского радиуса гр даётся следующей формулой:
го
Т \1/2
4 πηεα )
Следовательно, интеграл в уравнении (6.61) следует обрезать на углах рассеяния,
соответствующих значению прицельного параметра, равному го,
0 ^ Θ р ~
а
mev2rp
(6.62)
о Задача 16. Пользуясь выражением (6.59) для резерфордовского дифферен¬
циального сечения, получите оценку (6.62) для θρ.
Главный вклад в интеграл в уравнении (6.61) приходит из области малых
углов рассеяния 0 ~ θρ, так что мы можем написать следующую оценку для
168
Глава 6. Рекомбинация
характерного времени энергопередачи:
(т, mpmev3 mpme / ЗХ
>Е 1б7гтге(Т)а21η θρ1 16тте(Х)а2 ln(6Xr£>/a) \me
Подставляя численные значения параметров, входящих в (6.63), в эпоху реком¬
бинации получаем
Τβ(ΤΓ) ~ 3 ■ 104 с <С tr.
Следовательно, энергопередача между электронами и протонами достаточно эф¬
фективна для установления кинетического равновесия. Такая же ситуация имеет
место и в более ранние эпохи.
Сделанные выше оценки справедливы, с заменой тпр на те и с точностью
до численного множителя, и для кулоновского рассеяния электронов на элек¬
тронах. Поэтому кинетическое равновесие между самими электронами тем бо¬
лее имеется. Вместе с результатами раздела 6.3.1 это означает, что электроны
и протоны имеют равновесные функции распределения с температурой, равной
температуре фотонов.
6.3.3 Тепловое равновесие фотонов
Кинетическое равновесие фотонной компоненты, как и электронов, под¬
держивается за счёт процессов комптоновского рассеяния. Характерное время
энергообмена найдём в этом случае так же, как в разделе 6.3.1, только теперь
время пробега фотона между столкновениями с электронами равно (στπβ)_1
(а не (στηΊ)~1. как для электрона). В результате получаем для фотонов
771 е
Т р ~
Л ГГЛ
αχτίε-Ι-
(6.64)
Это время гораздо больше соответствующего времени для электронов (6.55) в си¬
лу малости4 пе ~ Т}вщ. Оно растёт с расширением Вселенной как X-4, то есть
быстрее, чем хаббловское время, поэтому фотоны при высоких температурах
находятся в кинетическом равновесии, а при сравнительно низких — нет. Вы¬
ход фотонов из кинетического равновесия происходит, как мы сейчас увидим,
на радиационно-доминированной стадии, когда Н = Т2/Мр{ с эффективным чис¬
лом степеней свободы д* = 3,36, см. раздел 4.4. Приравнивая (6.64) хаббловскому
времени Н~1. получим оценку температуры выхода фотонов из кинетического
равновесия:
X,
y.kin
-К 777 е
2ζ(3) Μρ(στηΒ
1/2
~ 3 · ю5 к,
что действительно гораздо выше температуры перехода на пылевидную стадию
Teq = 0,8 эВ = 9 · 103 К.
Представляет интерес оценить также время, за которое энергичный фотон
с частотой X ω <С тпе теряет заметную долю своей энергии. Для этого ему
4Точнее. пе ~ 0.88773η-, , см. сноску 3. Эта тонкость для дальнейших оценок несущественна.
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
169
требуется испытать порядка ω/ΑΕ столкновений, где потеря энергии в одном
столкновении оценивается выражением (6.52). Поэтому искомое время оценива¬
ется как
те
τω .
στηβω
Применим это соотношение к фотону линии Лайман-а с ω = 10,2 эВ, излучённо¬
му в эпоху рекомбинации, и получим
TLy-a — 3 · 108 лет,
что сильно превышает возраст Вселенной в эту эпоху. Именно поэтому мы утвер¬
ждали в конце раздела 6.2, что фотоны линии Лайман-α (как и фотоны других
линий, излучение от 2s — ls-переходов и т. д.) приходят к нам, практически не по¬
теряв своей энергии.
Комптоновское рассеяние фотонов на электронах приводит к изменению
энергий фотонов, но не меняет их количества. Для полного теплового равновесия
этого недостаточно: в равновесии должны находиться и процессы с изменением
числа фотонов. В первичной плазме это процессы двойного комптоновского рас¬
сеяния, рис. 6.4, и тормозного излучения электронов на протонах и ядрах гелия,
рис. 6.5. Приведём грубую оценку температуры, при которой эти процессы выхо¬
дят из равновесия. Если считать, что как налетающий, так и излученные фото¬
ны имеют энергии порядка температуры, то из диаграммы рис. 6.4 сразу следует
оценка сечения двойного комптоновского рассеяния:
<УDC ~
Поэтому изменение числа фотонов в единицу времени за счёт двойного компто¬
новского рассеяния можно грубо оценить как
(άτιΊ
~df
(ТоС^еЩ
DC
Of тт
~ —л'ПвТ щ.
mi
Рис. 6.4. Примеры диаграмм двойного комптоновского рассеяния фотона
на электроне
170
Глава 6. Рекомбинация
Ζ
Ζ
е
е
Рис. 6.5. Диаграммы тормозного излучения электрона е при рассеянии
на ядре Z
Отсюда для характерного времени получим
Приравнивая его хаббловскому времени Н 1 = MpJT2. получим грубую оценку
выхода двойного комптоновского рассеяния из термодинамического равновесия:
Эта оценка, однако, сильно завышена. Дело в том, что сечение двойного компто¬
новского рассеяния усилено, когда энергия одного из фотонов мала [85] (см. так¬
же [86]), и>2 <§С <х>1 <С те:
— дифференциальное сечение томсоновского рассеяния. Помимо большого чис¬
ленного множителя (связанного, в частности, с усреднением выражения (6.65)
по ω с планковской функцией распределения), Ихмеется и качественный эффект.
Благодаря большому сечению при малых и,’2 тепловое равновесие в области низ¬
ких энергий фотонов (область Рэлея—Джинса) поддерживается заметно дольше,
чем в основной области, где фотоны имеют энергии порядка температуры. Срав¬
нительно быстрое обычное комптоновское (томсоновское) рассеяние «перекачи¬
вает» фотоны из рэлей-джинсовского конца спектра в основную область, и хи¬
daoc = (-1- “ cos0i)άστ—^,
Зтг mj и>'2
где θ\ — угол вылета энергичного фотона, а
(6.65)
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
171
мическое равновесие удерживается в газе фотонов дольше. Аккуратная оценка,
учитывающая этот эффект, даёт [84]
TdC — T-f'Chem — 6 · 106 К.
Мы здесь приравняли температуру выхода фотонов из химического равновесия
температуре Tdc, имея в виду, что процессы тормозного излучения несколько
менее эффективны по сравнению с двойным комптоновским рассеянием.
Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, рассмотрим
кратко тормозное излучение (Brehmsstrahlung). Его дифференциальное сечение
для электрона, движущегося с начальной скоростью υ, рассеивающегося на поко¬
ящемся тяжёлом ядре заряда Ζ и испускающего фотон частоты ω, имеет вид [77]:
j_ _ 16π Z2a3 д (v,v') du)
Вг = з7з“^|
где ν' — скорость электрона после взаимодействия, ν 2 = ν2 — 2ш/те. а функ¬
ция д (ν, ν') (фактор Гаунта) выражается через гипергеометрическую функцию,
но принимает простой вид в предельных случаях:
Q={ ν.ν'^αΖ
У \ 1, г/^0.
Зависимость сечения от частоты фотона ω — почти такая же, как зависимость
сечения (6.65) от ω2, поэтому всё сказанное выше о мягких фотонах относится
и к процессу тормозного излучения. В рассматриваемую эпоху гелий ещё не ре¬
комбинировал, и темп процессов тормозного излучения пропорционален произ¬
ведению пе ■ {пр + 4пяе) = пепв■ Отношение времён, характерных для процессов
двойного комптоновского рассеяния и тормозного излучения, оценивается как
TDC _ ((^Dc)nen7)_1 /ТПе \ 5/2
ГВт ~ {^Brv)nenB)-1 ηΒ\τ)
где усреднение ведётся с тепловыми функциями распределения. При Т > 6 ·
106 К это отношение мало, поэтому двойное комптоновское рассеяние действи¬
тельно доминирует.
Итак, в первичной барион-электрон-фотонной плазме первыми выходят из теп¬
лового равновесия процессы с изменением числа фотонов. Соответствующая тем¬
пература T7,c/jem — Tdc и является температурой чернотельной сферы. Процес¬
сы, происходящие в эпоху Тг <Т < T^,chem и приводящие к подогреву или охла¬
ждению газа фотонов, необратимым образом искажают спектр реликтового из¬
лучения. К таким процессам относится упоминавшийся выше подогрев электрон-
барионной компоненты, диссипация неоднородностей плотности энергии (эффект
Силка) и др. По-видимому, эти искажения можно будет обнаружить при преци¬
зионном изучении спектра реликтового излучения. Ещё одна возможность —
распады гипотетических долгоживущих частиц (см. ниже в этом разделе).
172
Глава 6. Рекомбинация
В заключение этого раздела обсудим следующий вопрос. Пусть в некото¬
рый момент времени до рекомбинации произошла небольшая инжекция фотонов
в какой-то области спектра (скажем, в области высоких энергий фотонов — ви-
новской области); природа процесса, приводящего к такой инжекции, для нас
здесь несущественна. Поскольку электроны быстро подогреваются за счёт комп-
тоновского рассеяния (раздел 6.3.1), и электрон-барионная компонента быстро
термализуется благодаря кулоновсому взаимодействию (раздел 6.3.2), в ней уста¬
навливается температура, отличающаяся от температуры фотонов в той части
спектра, куда фотоны прямо не были инжектированы. Взаимодействие более го¬
рячих электронов с фотонами этой части спектра приводит к его искажению.
Задача состоит в нахождении этого искажения. Отметим, что вместо инжекции
можно рассматривать, наоборот, уменьшение числа фотонов (опять-таки в ви-
новской области) и, соответственно, остывание электронов. Другой вариант —
инжекция энергии непосредственно в электрон-барионную компоненту. Во всех
этих случаях искажение спектра фотонов в той его части, которая непосредствен¬
но не была затронута при инжекции или отборе энергии, описывается похожим
образом. Для определённости мы будем говорить об инжекции фотонов в винов-
скую область.
Соответствующие результаты почти буквально переносятся из теории, раз¬
витой Я. Б. Зельдовичем, Р. А. Сюняевым и сотрудниками для описания эффекта
подогрева реликтовых фотонов, проходящих через облака горячего ионизован¬
ного газа в скоплениях галактик — эффекта Зельдовича—Сюняева [18]. Эти ре¬
зультаты зависят от того, в какую космологическую эпоху произошла инжекция
фотонов.
Если инжекция произошла при температуре Т) > Т0.с/,ет ~ 6 · 106 К, то про¬
цессы кулоновского и двойного кулоновского рассеяния приводят к полной тер-
мализации фотонного газа, и спектр фотонов в кончном итоге остаётся планков-
ским с немного повышенной температурой. По-видимому, единственным наблю¬
даемым следствием этого повышения будет то, что величина барион-фотонного
отношения η в будет различной в эпохи первичного нуклеосинтеза и рекомбина¬
ции. что в принципе даёт возможность обнаружить такого рода инжекцию. При
этом существенна полная энергия инжектированных фотонов, и этим анализ ин¬
жекции при Ti > T- .chem исчерпывается.
Если температура инжекции Тг- находится в области Т-.ьп < Ti < T- .chem, то
есть 3 ■ 10° К < Tj < 6 · 106 К, то двойное комптоновское рассеяние и тормозное
излучение неэффективны, но комптоновское рассеяние устанавливает кинетиче¬
ское равновесие между- электронами и фотонами без измененения числа фотонов.
В такой ситуации спектр фотонов имеет бозе-эйнштейновский вид с ненулевым
химическим потенциалом,
К") = φΤ-μΙ/Τ—' <6·66)
где температура фотонов определяется инжектированной энергией, и мы пере¬
шли к функции распределения, связанной с введенной в разделе 5.1 фунцией
/(р) соотношением
fMp)) = (2м)3/( Р)·
Такое искажение спектра называют искаэ1сением μ-типа. Химический потенци¬
ал μ отрицателен при инжекции энергии0 (в этом случае фотонов в газе мень¬
ше, чем при полном тепловом равновесии при температуре Т) и положителен
Некоторые авторы используют определение химического потенциала, отличающееся зна-
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
173
при отборе энергии. Отметим, что после установления кинетического равновесия
с функцией распределения (6.66) химический потенциал эволюционирует так же,
как температура, то есть μ ос а-1: именно при такой эволюции число фотонов
в сопутствующем объёме сохраняется. Это свойство сохраняется и после реком¬
бинации, когда фотоны распространяются свободно, ср. с концом раздела 2.5.
> Задача 17. Докажите сделанные только что утверждения.
> Задача 18. Показать, что при малых μ выражения для плотности числа
фотонов и плотности их энергии имеют вид
η =
Р —
ψι* + \*°.
15
Отметим, что первое из этих соотношений — это равенство (5.21), в ко¬
тором дополнительный множитель 1/2, связанный с тем, что речь идёт
о числе фотонов, а не разности чисел частиц и античастиц, компенсирует¬
ся тем, что фотон имеет две поляризации.
о Задача 19. Пусть в тот момент, когда температура газа фотонов равна Т,
(причём ΤίΜπ < П < TliChem); произошла инжекция небольшой плотности
энергии Ар в газ фотонов.
1) Используя результат задачи 18, показать, что после установления кине¬
тического равновесия температура фотонов стала равной Τζ· + δΤ. где связь
между изменением температуры и химическим потенциалом имеет вид
δτ = π2 _ μ
18ζ(3)μ 2.19 22) Найти связь между μ и Ар и убедиться, что численно
Р
Т
Из полученных в последней задаче результатов и результатов конца разде¬
ла 6.3.1 следует, что перекачка энергии от фотонов в электрон-барионную ком¬
поненту, происходящая при расширении Вселенной, приводит к μ-искажению
спектра реликтовых фотонов на уровне
Р
Т
1,4 · 1,1 -
1.69 ,
-^-Рв In
6 -106 К
3 · 105 К
~ +2,4- 1(Г9
(мы учли поправочный коэффициент, см. сноску 3). μ-искаженне спектра с от¬
рицательным μ примерно такого же порядка величины ожидается от затухания
неоднородностей плотности в космической плазме (эффект Силка).
ком от стандартного определения, принятого в этой книге, см., например [84]. Кроме того,
иногда химическим потенциалом называют величину, которая в наших обозначениях равна
—μ/Τ. см., например [87].
174
Глава 6. Рекомбинация
Рассмотрим теперь случай, когда энергия инжектируется при температуре
Ά Гу,kin 3 •105 К. В этом случае для f(cj) можно использовать приближённое
кинетическое уравнение, которое получается из уравнения Больцмана в пределе
малой передачи энергии при одном столкновении фотона с электроном и в пре¬
небрежении двойным комптоновским рассеянием и тормозным излучением. Это
уравнение носит название уравнения Компанейца и в расширяющейся Вселенной
имеет вид
д[ _ Ηω^_ = °Тпе 1 д
dt ω Θω me ω2 8ω
ω
T'£+f+f2
Вывод этого уравнения приведён в книгах [80, 81]. Мы его здесь не будем воспро¬
изводить, а ограничимся несколькими замечаниями. Во-первых, второе слагаемое
в левой части этого уравнения описывает покраснение фотонов при расширении
Вселенной: если правая часть равна нулю, то функция распределения не меняет
своей формы, f{ω,ί) = f[uia(t)/ai,ti], cp. с разделом 2.5. Во-вторых, в уравнении
Компанейца учтено, что электроны быстро термализуются между собой и име¬
ют температуру Те. В-третьих, изменение функции распределения при частоте ω
зависит только от поведения этой функции в близкой окрестности этой частоты;
иначе говоря, уравнение локально по ω. Это как раз и связано с малостью пере¬
дачи энергии при одном столкновении. В-четвёртых, из уравнения Компанейца
следует, что число фотонов в сопутствующем объёме сохраняется, как и должно
быть. Действительно, это число равно
па3 = а3 · 2 · f
Jo
Απωθάω
(2π)3 ’
и для его производной по времени имеем
1 д{а3п)
а3 dt
дп
st+ 3 п
ί°° ω2άω
-л-2
3 Η\ + Ηω^- +
οω
σχηβ 1 д
пге ω2 Θω
n£+t+
Эта величина равна нулю, в чём нетрудно убедиться, выполнив интегрирование
по частям. В-пятых, происхождение множителя т~1 связано с тем, что изменение
энергии в столкновении фотона с электроном пропорционально ω2/те. Далее,
правая часть уравнения Компанейца обращается в нуль, если функция распре¬
деления фотонов имеет бозе-эйнштейновский вид (6.66) с Т = Те, опять-таки как
и должно быть. Наконец, три слагаемых в правой части этого уравнения имеют
следующую интерпретацию. Слагаемое Tedf/du связано с эффектом Допплера
в процессах рассеяния фотона на движущихся электронах (оно пропорциональ¬
но Те а не i?e ос yfTJ, из-за эффекта усреднения по углам, см. раздел 6.3.1). Второе
и третье слагаемые возникают из-за эффекта отдачи, благодаря которому элек¬
трон получает, а фотон теряет энергию, при этом третье слагаемое, пропорцио¬
нальное f2, возникает из-за эффекта индуцированного рассеяния фотонов.
Как мы неоднократно говорили, каждый электрон часто сталкивается с фо¬
тонами, поэтому температура электронов Те устанавливается такой, что элек¬
тронная компонента не отдаёт и не приобретает энергии от фотонов. Эта темпе¬
ратура даётся уравнением
J0 π2 \dt du
= 0,
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
175
которое означает, что полная плотность энергии фотонного газа меняется только
из-за расширения Вселенной. Это уравнение можно записать в следующем виде
т _ 1 /(f + f2) dui
е 4 Jfuj3(L·
Поскольку эффект перестройки спектра фотонов мал по параметру атпеТ/(тпеН)
(см. ниже), в нулевом порядке по этому параметру функция распределения фо¬
тонов изменяется только из-за их покраснения, поэтому Те ос а-1. Учитывая это
обстоятельство и введя безразмерную частоту
перепишем уравнение Компанейца в безразмерных переменных,
df
dt
ОтПеТе 1 д
тпе х2 дх
£+f+f
(6.67)
Вернёмся к вопросу об искажении спектра фотонов, возникающем в ре¬
зультате инжекции небольшого числа фотонов при температуре Д, такой, что
Тг < Ti <С ΤΊΜη· В этой области температур общий множитель в правой ча¬
сти (6.67) мал по сравнению с параметром Хаббла, поэтому мал и эффект ис¬
кажения спектра (напомним, нас интересует та область спектра, куда фотоны
непосредственно не инжектируются). До инжекции фотоны имели планковское
распределение с температурой Т, которое можно записать в виде
Ьь {χτ)
1
еХт — 1’
где
хт
причём в случае инжекции Те> Т из-за быстрого подогрева электронов. Отсюда
dfьь{хт) _ Те dfьь(хт)
дх Т дхт
при этом выполнено тождество
fw(sr) + fwfar) = “
dfbbfor)
дхт
Таким образом, в лидирующем порядке по (Те—Т) правая часть уравнения (6.67)
равна
УТПеТе /Те
те \Т
1
F(xt),
где
λ 1 д
^ ~ ~т?дх
дх
хех ( ех + 1
(е1 - I)2 \ех - 1
4
176
Глава 6. Рекомбинация
(здесь различие между х и хт уже несущественно). Записав
f = Ьь + <5f,
получим окончательно для искажения спектра реликтовых фотонов
if = yF(u/T),
где
-Г ^(И-f ■“'ΞΚί-')
(6.68)
Видно, что искажение спектра имеет универсальную форму (в той области, куда
фотоны не были инжектированы) и его единственной характеристикой являет¬
ся амплитуда у. Такое искажение называют искажением у-тпипа, см. рис. 6.6.
Поскольку пе ос Т3, а Н ос Т2 (Н ос Т3/2) на радиационно-доминированной
(пылевидной) стадии, интеграл в (6.68) набирается вблизи температуры инжек¬
ции Т,·. Чем она выше, тем сильнее эффект при фиксировнном значении Те/Т.
то есть фиксированном Δρ/ρ. Искажения у-типа, связанные с упоминавшими¬
ся подогревом электрон-барионной компоненты и эффектом Силка, ожидаются
на уровне у = 10-8 — 10-9.
Рис. 6.6. Искажение спектра реликтовых фотонов у-типа [84]
Изотропных6 отклонений спектра реликтового излучения от планковского
пока не обнаружено. Эксперимент FIRAS, наиболее аккуратно исследовавший
форму спектра, даёт ограничение [88] на искажение у-типа
|у|< 1.5-10-6
6Оговорка здесь связана с тем, что спектр реликтового излучения искажён в направлени¬
ях на скопления галактик из-за эффекта Зельдовича—Сюняева. Эти искажения обнаружены
и используются для изучения скоплений.
6.3. Выполнение условий теплового равновесия
177
на уровне достоверности 95 %. Ограничение на искажение μ-типа имеет вид
JbJ < 0.9 · 10“4
Ту
на 95 % уровне достоверности.
Искажение планковского спектра реликтового излучения возможно в обоб¬
щениях Стандартной модели физики частиц, в которых в относительно позд¬
нюю эпоху 2 < 107 происходит распад гипотетических нестабильных реликто¬
вых частиц на энергичные частицы Стандартной модели, участвующие в элек¬
тромагнитных взаимодействиях. Такими частицами могли бы быть нейтралино,
электрически заряженные слептоны, гравитино в суперсимметричных обощени-
ях Стандартной модели, стерильные нейтрино, и т. п. Рассматриваются и более
экзотические варианты, например, модели с реликтовыми частицами, несущими
малый электрический заряд (существенно меньше заряда электрона). Пока без¬
результатный поиск искажений спектра реликтовых фотонов ограничивает про¬
странство параметров в этих и подобных им обобщениях Стандартной модели.
Например, для гипотетических нерелятивистских частиц с массой πΐχ, концен¬
трацией τΐχ и временем жизни ίχ, распадающихся в фотоны, ограничение [89]
приведено на рис. 6.7.
Рис. 6.7. Разрешённая область в пространстве параметров (тхПх/η^Λχ) мо¬
дели с распадающимися гипотетическими частицами с массой тх, концентра¬
цией ηχ и временем жизни tx, распадающимися в фотоны [89]. Область выше
сплошной линии запрещена из поиска отклонений спектра реликтового излуче¬
ния от планковского; остальные линии отвечают различным аналитическим
приближениям. Отметим, что современные ограничения на параметры у и μ
несколько более сильные; они приведены в тексте
> Задача 20. Рассмотреть модель с лёгкими стабильными гипотетическими
частицами X, X с дробным малым электрическим зарядом ее, е <С 1,
178
Глава 6. Рекомбинация
где е — заряд протона. Полагая, что они рождаются в электромагнитных
процессах рассеяния в первичной плазме, и считая, что спектр реликтовых
фотонов является планковским с точностью ~ 10_о, найти феноменологи¬
чески приемлемую область пространства параметров (е, τηχ).
6.4 Горизонт эпохи рекомбинации и угол,
под которым он виден сегодня.
Пространственная плоскостность Вселенной
Реликтовые фотоны, отщепившиеся в эпоху рекомбинации, несут на себе от¬
печаток Вселенной, какой она была при температуре Тг = 0,26 эВ, т. е. в ζΓ = 1090
раз более высокой, чем сейчас. В период рекомбинации Вселенная характеризо¬
валась собственным масштабом длины — размером горизонта 1н.г- Этот масштаб
интересен, во-первых, тем, что в теории горячего Большого взрыва области, на¬
ходившиеся в то время на расстоянии больше /я,г друг от друга, были в то вре¬
мя причинно несвязанными. Во-вторых, наличие характерного масштаба длины
не могло не сказаться на свойствах реликтовых фотонов. Мы увидим во второй
части книги, что анизотропия реликтового излучения действительно имеет осо¬
бенности на угловых масштабах, определяемых размером 1НщГ, точнее, тем углом,
под которым горизонт эпохи рекомбинации виден сегодня. В этом разделе мы
найдём этот угол и определим, как он зависит от космологических параметров.
Здесь нужно сделать уточнение. На самом деле с точки зрения анизотропии
реликтового излучения и свойств неоднородностей плотности во Вселенной более
важным масштабом расстояний является звуковой горизонт эпохи рекомбинации
(4.52). Это следует уже из соображений, приведённых в разделах 1.7.1 и 4.7; мы
неоднократно будем использовать понятие звукового горизонта во второй части
книги. Поскольку скорость звука в барион-фотонной среде зависит от плотности
барионов, см. (5.38), величина звукового горизонта зависит от барион-фотонного
отношения т\в■ Этот параметр, однако, хорошо известен из данных по первично¬
му нуклеосинтезу и реликтовому излучению, поэтому можно говорить о почти
однозначной связи между звуковым горизонтом и горизонтом частиц. В этом
разделе мы для простоты рассматриваем горизонт частиц, но основные его выво¬
ды без принципиальных изменений переносятся на более реалистический случай
звукового горизонта.
Поскольку температура рекомбинации Тг = 0,26 эВ заметно меньше темпе¬
ратуры Teq ~ 0,8 эВ, при которой произошел переход от радиационно-доминиро-
ванной к пылевидной стадии (см. раздел 4.4), размер горизонта в эпоху реком¬
бинации можно оценить с помощью формулы (3.24), справедливой для пылевид¬
ной стадии:
1кг = jr- = ■ 1 и/2! (6·69)
НГ Ноу/Ωμ (1 + *гУ/2
где Hr = H(tr) — параметр Хаббла эпохи рекомбинации, и мы вновь воспользо-
6.4. Горизонт эпохи рекомбинации
179
вались уравнением Фридмана в форме (4.11). Точное значение получается с при¬
менением формулы (4.29), которую можно записать в виде
1Н,г = a (trh(tr) = ЯоЛ^а+С)3/*’
где
/
Численно /
-(ё£)и^.(.+ё)я-(ёГ
= 0,56 при Ωμ = 0,315.
> Задача 21. Показать, что в пренебрежении вкладом радиации параметр
Хаббла эпохи рекомбинации можно записать в виде
Н(Тг) =
16С(3) Ωμ
37Г Ωβ
Г]втр
грЗ
Г
м%,
1/2
где nip — масса протона. Таким образом, зависимость выражения (6.69)
от параметров, характеризующих современную Вселенную — лишь
кажущаяся.
Со времени рекомбинации масштаб (6.69) растянулся в (1 + ζτ) раз за счёт
расширения Вселенной, и сегодня соответствующий размер равен
lliAto) = ffo>/iWl + *r·
Видно, что этот размер примерно в у/1 + ζΓ ~ 30 раз меньше современного разме¬
ра горизонта (4.35); более точная оценка даёт различие в 50 раз. Иными словами,
в сегодняшней видимой части Вселенной имеется порядка 105 областей, которые
не были причинно связанными между собой к эпохе рекомбинации (разумеется,
если оставаться в рамках модели горячего Большого взрыва). Тем не менее, эти
области Вселенной были совершенно одинаковыми — это мы знаем как из свойств
пришедшего из них реликтового излучения, так и из глубоких обзоров галактик.
Как получилось, что несмотря на отсутствие причинной связи между разными
областями они оказались в совершенно одинаковом состоянии? Ответа на этот
вопрос теория горячего Большого взрыва не даёт, что составляет одну из про¬
блем этой теории — проблему горизонта. О ней мы уже упоминали в разделе
1.7.3. Проблема горизонта элегантно разрешается в инфляционной теории.
Найдём сегодняшний угловой размер области, пространственный размер ко¬
торой в эпоху рекомбинации равнялся 1н.г- При этом мы вновь, как и в разде¬
ле 4.6, не будем предполагать, что Вселенная — пространственно плоская: как
мы обсудим в этом разделе на качественном уровне (а во второй части книги
и более подробно), именно вычисления подобного типа и их сравнение с изме¬
рениями анизотропии реликтового излучения позволяют сделать вывод о том,
что пространственная кривизна Вселенной близка к нулю. Кроме того, мы будем
180
Глава 6. Рекомбинация
считать рд постоянной во времени (тёмная энергия = вакуум); соответствующее
обобщение сделать нетрудно.
Для определённости вновь, как и в разделе 4.6, выберем открытую модель
Вселенной (х. = —1, Псигу > 0), т. е. будем пользоваться метрикой в форме (2.10).
Рекомбинация отделена от нас на координатное расстояние
~ = Г—
Jtr a{t)'
(6.70)
именно такое координатное расстояние пролетели реликтовые фотоны, испущен¬
ные в эпоху рекомбинации. Это координатное расстояние вновь выражается фор¬
мулой (4.40), в которой следует положить ζ = ζΓ· Поскольку ζτ 1, в интеграле
(4.40) можно положить предел интегрирования равным бесконечности, что со¬
ответствует пределу tr —► 0 в интеграле (6.70). Физически это означает, что мы
пренебрегаем отличием между расстоянием, которое пролетели реликтовые фо¬
тоны со времени рекомбинации, и размером современного горизонта. Итак,
Хг — Хн. о —
Гх _dz 1
о аоНо \Д)д/(1 + ζ)'* + Пд + Псигг,(1 -Ь г)2
(6.71)
что совпадает с координатным размером современного горизонта. Воспользовав¬
шись результатами раздела 4.7, запишем выражение для углового размера,
А9Г
1н,г
Ί'α (~г )
где ra(zr) = (1 + zr) 1 · αο · shyr — расстояние углового размера для времени
рекомбинации. Имеем окончательно
А9Г
2 /
ν/Ω,γ/аоЯоshуг \JζΓ + 1
(6.72)
При обсуждении этой формулы по-прежнему нужно иметь в виду соотноше¬
ния (4.45) ϊι (4.46).
Мы начнём обсуждение результата (6.72) с гипотетического случая про¬
странственно-плоской Вселенной без космологической постоянной, QCUrv = 0,
Ω,γ = 0. Простраиствешю-плоская Вселенная получается в предаче по —5- ос, так что
А9Г =
/
y/zr + 1
^curv = Ωλ = 0.
(6.73)
Разумеется, этот результат гораздо быстрее можно было бы получить, используя
непосредственно формулы для Вселенной с пылевидной материей, раздел 3.2.1.
> Задача 22. Получить формулу (6.73) непосредственно в модели плоской
Вселенной с пылевидной материей.
Для ζΓ - 1100 формула (6.73) даёт А9Г = 0,01. пли А9Г - 1,0°. В рам¬
ках модели горячего Большого взрыва эго означает, что реликтовые фотоны.
6.4. Горизонт эпохи рекомбинации
181
приходящие к нам с направлений, различающихся на небесной сфере более чем
на 1°, были испущены из областей Вселенной, причинно не связанных между
собой. Тем не менее эти фотоны имеют одинаковую (с точностью лучше 10-4)
температуру! Это и есть одно из проявлений проблемы горизонта.
Вернёмся к обсуждению формулы (6.72). Как мы уже отмечали, угол' ΑΘΓ
определяет угловой масштаб, на котором имеются особенности в спектре угловой
анизотропии реликтового излучения (подробности мы обсудим во второй части
книги). В этом смысле угол ΑΘΓ является измеримой величиной. Поэтому имеет
смысл рассмотреть зависимость ΑΘΓ от космологических параметров. Посколь¬
ку 2Г фиксировано, таких параметров всего два* 8: с учётом соотношений (4.45)
и (4.46) в качестве пары независимых параметров можно выбрать (Пл/,Псиг„).
Чтобы понять, от какого из этих двух параметров зависимость наиболее силь¬
ная, рассмотрим сначала случай Q,curv = 0, т. е. случай пространственно-плоской
Вселенной. В отличие от случая (6.73), теперь Ωλ ф 0 и, соответственно, Ωλ/ ф 1.
Нас интересует предел ао —*► оо, так что выражение (6.72) приобретает вид
Авг
/ 1
ф zr + 1I (Ωλ/)
ПCUTV О
(6.74)
ГД6
J = ifihi f°° dz
2 Jo \/il ,\/ (z + 1)3 + Ω\
(6.75)
причём Ω,\ = 1 — Пд/. С помощью замены (1 +
грал к виду
= /
dy
ϊ+Ж^
*)
у 2 приведём этот инте-
(6.76)
Если Ω,\/ не слишком мала, то этот интеграл довольно слабо зависит от Ωλ/Ωλ/:
при Ωλ/ = 1, Ωλ = 0 он равен 1, а при Ω,\/ = 0,315, Ωλ = 0,685 он равен 0,91.
Мы заключаем, что зависимость угла А9Г от соотношения между Ωλ/ и Ωλ —
довольно слабая.
В то же время, угол ΑΘΓ весьма сильно зависит от Clcurv. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим гипотетический случай Ωλ = 0, когда Ωλ/ +Ω^Γι; = 1. В этом
случае замена переменных (1 + ζ) = у~2 позволяет вычислить интеграл (6.71)
в аналитическом виде:
Xr = 2Arsh ΩΛ = 0,
где мы использовали соотношение (4.46). Для угла ΑΘΓ имеем
''J^г Ч 1 \J 1 “Ь Ω^τ-^'/Ωλ/
'Правильнее говорить об аналогичном угле для звукового горизонта эпохи рекомбинации.
Приведённые ниже соображения относятся и к этому углу.
8На самом деле есть зависимость и от других космологических параметров. Однако барион-
фотонное отношение известно с хорошей точностью независимо от измерения угла А9Г. а за¬
висимость от других параметров (например, масс нейтрино) — довольно слабая.
182
Глава 6. Рекомбинация
Видно, что при Qcurv ~ Од/ это выражение довольно сильно отличается от ре¬
зультатов (6.73) и (6.74), полученных для случая плоской Вселенной. Уже отсюда
ясно, что измерение А9Г (точнее, связанных с ним угловых масштабов) позво¬
ляет получить сильные ограничения на пространственную кривизну Вселенной.
Рис. 6.8. Ранние ограничения на космологические параметры из анализа [90]
данных изл1ерения анизотропии реликтового излучения и данных наблюдения
сверхновых типа 1а. По поводу контуров, ограничивающих разрешённые обла¬
сти, см. комментарий к рис. 4-9 перед задачей 9
Наконец, рассмотрим случай, когла Qcuru мало по сравнению с Ωμ и Од,
а последние — сравнимы между собой. Тогда в подкоренном выражении в (6.71)
можно пренебречь величиной Qcuri, (это соответствует малости вклада кривиз¬
ны в уравнение Фридмана на всех этапах эволюции Вселенной, обсуждавшейся
в разделе 4.2), и с учётом (4.46) мы получаем
Хг = 2У ςι™ Од),
где I — тот же интеграл (6.75) или (6.76), но Ω.\ уже не равно (1 — Од/). Вновь
используя (6.72), получим выражение для угла
/ 2-у/Нсигг)/0д/
Vzr + 1 sh (2y/Slcurv/С1 м I)
Δ0,
(6.77)
6.4. Горизонт эпохи рекомбинации
183
Кривизна пространства здесь проявляется в том, что в знаменателе стоит гипер¬
болический синус, а не линейная функция: угол, под которым заданный отрезок
длины виден с фиксированного расстояния на гиперболоиде, меньше, чем соот¬
ветствующий угол для евклидова пространства. Зависимость правой части (6.77)
от Vtcurv/^м — достаточно сильная, в отличие от зависимости от Ωλ/Ωμ· Это
подтверждает вывод о заметной чувствительности измерения Δ0Γ к простран¬
ственной кривизне. Заметим, что мы вновь сталкиваемся с явлением прибли¬
жённого вырождения по параметрам, с которым мы встречались в разделе 4.6,
но теперь в роли менее существенного параметра выступает Ωλ/Ωμ·
Уже первые достаточно точные измерения анизотропии реликтового излу¬
чения на небольших угловых масштабах (порядка градуса) позволили сделать
вывод о малой пространственной кривизне Вселенной, а вместе с результатами
изучения сверхновых типа 1а — сформулировать модель ACDM (см. рис. 6.8).
Последующие наблюдательные данные не вошли в противоречие с этой моде¬
лью, но привели к её уточнению и развитию. Это проиллюстрировано на рис. 6.9.
Некоторых из этих результатов мы коснёмся в следующих главах.
1.0
0.8
0.6
<
а
0.4
0.2
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
e m
Рис. 6.9. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 595.) Разрешён¬
ная область в пространстве (Ω,υ/.Ωλ) из данных по анизотропии реликтового
излучения (СМВ). и с учётом особенностей в распределении галактик (ВАО)
и независимого измерения современной величины параметра Хаббла (Hq) [6].
Отмечены области параметров, отвечающие 68 %-му и 90 %-му доверитель¬
ным интервалам
184
Глава 6. Рекомбинация
> Задача 23. Вычисляя интеграл (6.71) численно, изобразить линии постоян¬
ного ΑΘΓ на плоскости (Ωλ, Ωμ). Сравнить качественно с рис. 6.8. Указа¬
ние: использовать соотношения (4.45). (4.46).
о Задача 24. Найдите размер звукового горизонта эпохи рекомбина¬
ции, см. (4.52),
При этом учтите, что скорость звука в барион-фотонной среде зависит
от времени через отношение рв/ρΊ, см. (5.38). Под каким углом виден этот
звуковой горизонт сегодня?
Глава 7
Реликтовые нейтрино
Чем более ранний момент времени в истории Вселенной мы рассматрива¬
ем, тем выше температура и плотность вещества, заполняющего её. Из-за этого
те взаимодействия, которые слишком слабы, чтобы играть роль на современной
стадии эволюции, оказываются существенными на более ранних стадиях и могут
оставить заметный след в той Вселенной, которую мы наблюдаем сейчас.
В Главе 6 мы уже обсуждали явление такого рода на примере реликтового
излучения. В этой Главе мы продвинемся ещё дальше назад по времени и обсудим
роль других лёгких частиц — нейтрино.
7.1 Температура закалки нейтрино
В этом разделе мы оценим температуру, при которой нейтрино перестают
взаимодействовать между собой и с космической плазмой. Мы увидим, что это
происходит при температуре порядка нескольких МэВ. В это время электро¬
ны и позитроны всё ещё релятивистские, и их концентрация даётся формулой
(5.16Ь). Барионы при этом уже нерелятивистские, и их концентрация подавле¬
на множителем порядка ηΒ по отношению к концентрации е+е“-пар. Поэтому
с точки зрения закалки нейтрино существенными процессами являются только
процессы рассеяния нейтрино на электронах, позитронах и между собой и анни¬
гиляция нейтрино и антинейтрино в е+е“-пару или пару нейтрино-антинейтрино
другого типа, а также обратные процессы. Все они происходят с участием уль-
трарелятивистских частиц при интересующих нас температурах.
Для дальнейшего нам будет несущественно точное значение температуры
закалки нейтрино. Поэтому нам будет достаточно размерной оценки сечений
процессов с участием нейтрино. Нейтрино участвуют только в слабых взаимо¬
действиях (см. Приложение С). При интересующих нас энергиях сечения про¬
порциональны квадрату фермиевской константы G2F. где
Gf = 1,17· КГ3 ГэВ-2.
185
186
Глава 7. Реликтовые нейтрино
Из размерных соображений отсюда сразу получается оценка для сечения любого
из указанных выше процессов,
<τν ~ G'p'E'^.
где Е — характерная энергия столкновения, Е ~ Г.
Время свободного пробега нейтрино как всегда даётся формулой
_ 1
(σνην) ’
(7.1)
где ν — относительная скорость нейтрино и частиц, с которыми происходит
столкновение, ап — плотность этих частиц. В интересующем нас случае уль-
трарелятивистских частиц плотность числа частиц даётся релятивистской фор¬
мулой (5.16), т. е. п Т3, а относительная скорость ν ~ 1. Таким образом, мы
приходим к следующей оценке для времени свободного пробега:
Ту
1
G2FTs'
Сравнивая ти с хаббловским временем (см. (3.29))
я-1
(7.2)
(7.3)
мы видим, что в процессе охлаждения Вселенной ти растёт быстрее, чем Я-1.
Следовательно, при достаточно высоких температурах время свободного пробега
нейтрино было меньше, чем хаббловское время, и нейтрино находились в тер¬
модинамическом равновесии с веществом. Действительно, число столкновений
нейтрино начиная с момента времени t оценивается величиной
Г dt> Гdt> 1 1
,(ί) ~ Jt Тур) - I Р Тур) ~ Ty(t) ~ H(t)Ty(t):
где мы учли, что
t 1
Ty(t) H{t)Ty(t)
быстро падает со временем. Если N(t) » 1, то нейтрино находятся в термо¬
динамическом равновесии, а при N(t) «С 1 они распространяются как свобод¬
ные частицы. Таким образом, нейтрино перестают взаимодействовать («закали¬
ваются») при
г„(Г) ~ Н~\Т).
Из (7.2) и (7.3) следует, что это происходит при температуре1
TyJ ~
1
GlM^t
1/3
~ 2 -=- 3 МэВ.
хЭта температура зависит, хотя и несильно, от типа нейтрино: если электронные нейтри¬
но взаимодействуют с электронами путём обмена как W--, так и Ζ-бозонами, то мюонные
и тау-нейтрино участвуют лишь в реакциях с обменом 2-бозонами. Поэтому сечения рассеяния
и аннигиляции для νμ и ит несколько меньше, чем для i/e, и закаливаются υμ и ι/т несколько
раньше. Кроме того, свою роль играют и осцилляции нейтрино, см. ниже в этом разделе. Эти
обстоятельства, однако, здесь несущественны.
7.2. Эффективная температура нейтрино
187
> Задача 1. Оценить возраст Вселенной на момент закалки нейтрино.
Итак, при температуре порядка Тц/ нейтрино испытали последнее столкно¬
вение и с тех пор распространялись во Вселенной свободно. Их полное число
(в сопутствующем объёме) при этом не изменялось: как мы говорили, реакции
аннигиляции е+е“ —» νν и ϊ>ν —* е+е- также обусловлены слабыми взаимодей¬
ствиями и, следовательно, также перестают идти в момент закалки нейтрино.
Таким образом, одно лишь предположение о том, что Вселенная когда-то име¬
ла температуру выше нескольких МэВ (а как мы увидим в дальнейшем, успех
теории нуклеосинтеза даёт твёрдое подтверждение такому предположению) при¬
водит к выводу о том, что должен существовать реликтовый газ нейтрино, анало¬
гичный газу реликтовых фотонов, т. е. микроволновому реликтовому излучению.
7.2 Эффективная температура нейтрино.
Космологическое ограничение
на массу нейтрино
Как следует из результатов раздела 2.5, нейтрино после закалки по-прежнему
описываются ультрарелятивистской функцией распределения, характеризующей¬
ся эффективной температурой
Ψ Ψ a(U) _
4/a(t0) " 1 +V
где zv — красное смещение, соответствующее моменту закалки нейтрино. В этот
момент температура нейтрино была равна температуре фотонов. Впоследствии
температура фотонов также падала за счёт расширения Вселенной, сначала по за¬
кону (7.4). Однако в момент закалки нейтрино кроме фотонов в плазме было
также большое количество релятивистских электрон-позитронных пар. После
того как Вселенная охладилась до температур ниже массы электрона, электрон-
позитронные пары проаннигилировали в фотоны, что привело к «подогреву» фо¬
тонов относительно нейтрино. Количественно эффект подогрева фотонов за счёт
аннигиляции электронов и позитронов можно определить, пользуясь законом со¬
хранения энтропии электрон-фотонной компоненты в сопутствующем объёме,
д?(Т)а3Т3 = const, (7.5)
где gV(T) — эффективное число релятивистских степеней свободы в электрон-
фотонной плазме (см. соотношения (5.28) и (5.30)). Сразу после закалки ней¬
трино в энтропию электрон-фотонной плазмы давали вклад фотоны, электроны
и позитроны, что приводит к следующему значению:
9Г(ад = 2 + |(2 + 2) = у.
После е+е“-аннигиляции в энтропию плазмы вносят вклад только фотоны, и от-
(7.4)
188
Глава 7. Реликтовые нейтрино
ношение температур фотонов и нейтрино остаётся постоянным и равным
Те = (дГ(Т„;)\1/!> (11У/3 ^ , ,
о ^ гГ(Го) ) \ 4 )
(7.6)
Следовательно, в настоящее время температура нейтрино равна2
T„(io) ~ 1,95 К. (7.7)
Пользуясь формулой (5.16) находим, что при современной температуре плот¬
ность числа нейтрино и антинейтрино каждого типа составляет
"«о = т · 2 · ^Γ3(ί0) ^ 112 см”3. (7.8)
4 7Г
> Задача 2. Сделаем (неправильное) предположение о том. что в природе от¬
сутствуют Ζ0-бозоны, а И'гз: — существуют (модель Джорджи—Глэшоу).
Какими тогда будут современные концентрации нейтрино различных ти¬
пов? Указание: процессы, происходящие на петлевом уровне, не учитывать;
предполагать (снова вопреки экспериментальным данным), что нейтрин¬
ные осцилляции отсутствуют.
Прямое детектирование реликтовых нейтрино является нерешённой и чрез¬
вычайно сложной задачей ввиду крайне малых сечений взаимодействия нейтрино
с веществом и ничтожного энерговыделения.
> Задача 3. Считая нейтрино безмассовыми, оцените массу детектора, в ко¬
тором бы происходило одно упругое взаимодействие реликтового нейтрино
в течение одного года.
Результатам экспериментов по нейтринным осцилляциям не противоречит
возможность того, что нейтрино одного из типов не имеют массы. Реликтовые
нейтрино такого типа не оказывают существенного влияния на современное рас¬
ширение Вселенной. Чтобы убедиться в этом, найдём вклад какого-то од¬
ного типа безмассовых нейтрино и антинейтрино в современную относительную
плотность энергии во Вселенной. Используем выражения (5.12) для плотности
энергии в ультрарелятивистском случае и получим
n^ = 2-rro-f~10"
откуда и следует сделанное утверждение. Стоит отметить, что лёгкие (в том чис¬
ле безмассовые) нейтрино весьма существенны на более ранних стадиях расши¬
рения; в частности, из теории первичного нуклеосинтеза следует жёсткое ограни¬
чение на число типов нейтрино с массой mu < 1 МэВ, которое будет обсуждаться
в Главе 8.
2Ещё раз отметим, что массивные нейтрино имеют сегодня улътрарелятпивистпскую функ¬
цию распределения по импульсам. Это не мешает, однако, использовать формулу (5.16) для
нахождения их концентрации.
7.2. Эффективная температура нейтрино
189
Вклад в современную плотность энергии во Вселенной нейтрино с массой
т„ > Тцо мог бы быть, наоборот, весьма значительным. Отсюда следует важное
космологическое ограничение на массы нейтрино. Плотность энергии, связанная
с нейтрино массы т„. равна
pi>, 0 =
а соответствующий вклад в относительную плотность энергии равен
n-' = 7f = fe)·0’01'1'2· (7·9)
Потребуем, чтобы плотность энергии нейтрино не превышала полную плотность
массы нерелятивистского вещества во Вселенной. Учтя все три типа нейтрино,
получаем отсюда следующее космологическое ограничение на сумму масс всех
типов нейтрино [94]:
< 100 ■ Л.2Пд/ эВ. (7-10)
г
Используя консервативную оценку 1990-х годов Ωμ < 0,4 и положив h = 0,7,
получим
< 20 эВ.
г
В течение долгого времени подобное ограничение было самым сильным ограни¬
чением на массы μ- и т-нейтрино. Сегодня комбинирование прямых ограничений
на массу электронного нейтрино [5], mUe < 2 эВ, и результатов экспериментов
по поиску нейтринных осцилляций, из которых следует, что разность квадратов
масс Am2 между ve, νμ и ντ мала, Am2 < о · 10~3 эВ2, приводит к более сильному
экспериментальному ограничению на массу нейтрино,
ти < 2 эВ, (7-11)
для всех типов (см. Приложение С). Из ограничения (7.11) и соотношения (7.9)
следует, что вклад нейтрино всех типов в плотность энергии во Вселенной невелик,
^Ω^<0,12. (7.12)
г
Тем не менее, сравнивая это ограничение со значением Ωμ ~ 0,3 для полной
плотности нерелятивистского вещества в модели ACDM, мы видим, что одно¬
го ограничения (7.12) недостаточно, чтобы исключить, что нейтрино являются
заметной компонентой тёмной материи. Однако результаты, связанные с изуче¬
нием структур во Вселенной и измерением анизотропии реликтового излучения,
ограничивают вклад нейтрино в плотность энергии во Вселенной на уровне
Σ Ωνί К2 < 0,002 0,01, (7.13)
i
в зависимости от того, какие космологические параметры считаются фиксиро¬
ванными, см. рис. 7.1.
190
Глава 7. Реликтовые нейтрино
0.06 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 0.08 0.16 0.24 0.32 0.40
Emu (эВ) (эВ)
Рис. 7.1. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 595.) Ограни¬
чения на сумму масс нейтрино, получаемые при различных пердположенинях
о величинах остальных космологических параметров и при учёте различных
наборов космологических данных j95j; Hq (слева) — современное значение па¬
раметра Хаббла, Neff (справа) — эффективное число типов нейтрино в эпоху
рекомбинации, см. главу 8
Эти ограничения на вклад нейтрино в полную плотность энергии связаны
с несколькими эффектами. Часть этих эффектов обусловлена влиянием нейтри¬
но на эволюцию космической среды до рекомбинации. Так, в ранней Вселенной,
в том числе в эпоху перехода от радиационно-доминированной к пылевидной
стадии, массивные нейтрино были релятивистскими, а сегодня они нереляти-
внстские и дают вклад в плотность массы тёмной материи. Для более тяжёлых
нейтрино этот вклад больше, а плотность массы холодной тёмной материи, со¬
ответственно. меньше, поэтому переход к пылевидной стадии происходит позже.
Это влияет на эволюцию неоднородностей плотности и в конечном итоге на уг¬
ловой спектр температуры реликтового излучения. Другие эффекты связаны
с участием массивных нейтрино в формировании стуктур и обусловленных ими
гравитационных полей. Последние, в частности, вызывают заметное искажение
анизотропии реликтового излучения на малых угловых масштабах в результа¬
те слабого линзирования на развивающихся неоднородных гравитационных по¬
тенциалах. Поскольку современные скорости реликтовых нейтрино всё же вели¬
ки, имеются особенности и в кластеризации: нейтрино захватываются крупными
скоплениями галактик, но не дают вклада в массу карликовых галактик. Мы
подробнее обсуждаем происхождение ограничения (7.13) во второй части книги.
Оценка (7.13) соответствует ограничению на сумму масс нейтрино [6, 97]
mUi < 0,2 -г-1,0 эВ
(7.14)
7.2. Эффективная температура нейтрино
191
и исключает нейтрино как кандидата на роль тёмной материи. Отметим, что
данные о нейтринных осцилляциях (Приложение С) говорят о том, что разность
квадратов масс нейтрино мала: для двух наиболее разнесённых по массе состоя¬
ний она составляет rr?atm w (0,05 эВ)2. Поэтому ограничение (7.14) означает, что
масса нейтрино каждого типа ограничена сверху:
< 0,2 эВ, (7.15)
что заметно сильнее прямого экспериментального ограничения (7.11).
В заключение этого раздела отметим, что изложенные результаты были по¬
лучены в предположении, что во Вселенной нет заметной асимметрии между
нейтрино и антинейтрино, иными словами, что химический потенциал нейтрино
близок к нулю. Это предположение представляется вполне разумным, особен¬
но с учётом того, что электрослабые процессы при температурах выше 100 ГэВ
уравнивают по порядку величины лептонную и барионную асимметрию (см. Гла¬
ву 11), а барионная асимметрия крайне мала, ηΒ ~ 10-9. Тем не менее, нельзя
полностью исключить, что лептонная асимметрия заметно больше барионной,
т. е. количество нейтрино во Вселенной заметно больше количества антинейтри¬
но (или наоборот). В этом случае экспериментальные данные по нейтринным
осцилляциям (точнее, нижнее ограничение на массу наиболее тяжёлого нейтри¬
но, ти > matm ~ 0,05 эВ) вместе с ограничением (7.13) можно использовать
для того, чтобы получить ограничение на лептонную асимметрию в современной
и ранней Вселенной.
о Задача 4. Используя результаты, относящиеся к нейтринным осцилляциям
(Приложение С), получить ограничение на нейтринную асимметрию со¬
временной Вселенной
Ад.о = - VW - nPi),
s
г
где s — плотность энтропии. Показать, что в применении к ранней Вселен¬
ной это ограничение приводит к ограничению на лептонную асимметрию
X
где nj^i = (n„t — ) + (п1г — щ.) — плотность лептонного числа каждо¬
го типа, а li обозначает заряженный лептой i-го типа: 1\ — е~, /г — β~,
/з = т". Величина Δl сохраняется в процессе эволюции Вселенной, если
сохраняется полное лептонное число.
Более сильное ограничение на лептонную асимметрию получается из срав¬
нения теории первичного нуклеосинтеза с измерениями первичной концентрации
гелия-4. В разделе 8.1 мы получим ограничение на химический потенциал элек¬
тронного нейтрино при температуре порядка 1 МэВ на уровне \μν&/Τ\ < 0,025.
Более точное ограничение имеет вид (68 %-й доверительный интервал)
192
Глава 7. Реликтовые нейтрино
В действительности это ограничение относится ко всем типам нейтрино, посколь¬
ку к моменту закалки (Т ~ 2-3 МэВ) нейтрино успевают проосциллировать меж¬
ду собой, и концентрации разных типов нейтрино успевают выровняться. Дей¬
ствительно, характерный период осцилляций нейтрино с энергией Е составляет
(см. Приложение С)
4 Е
При Е ~ 3Т. Т ~ 3 МэВ и даже наименьшей разности квадратов масс Дш]о( ~
8 · 1СГ° эВ2 этот период составляет
tosc ~ 5 · 10-4 с,
что гораздо меньше хаббловского времени Н~1 (Т ~ 3 МэВ) ~ 0,1 с. Отме¬
тим, что в последней оценке мы не учитывали эффектов среды; при температуре
около 3 МэВ это действительно является неплохим приближением (подробности
см. в [91, 92]). Итак, к моменту закалки нейтрино
βι/е = βι/μ = 1 т~3 МэВ.
Отсюда и следует, что ограничение (7.16) справедливо для всех типов нейтрино.
Избыток нейтрино над антинейтрино даётся формулой (5.22), а сама плот¬
ность числа нейтрино — формулой (5.16Ь). Поэтому для асимметрии каждого
типа нейтрино имеем
Tty Tty t\ fiv
пи+По 9ζ(3) Τ'
Эта асимметрия сохраняется до нашего времени, так что из (7.16) имеем для
нейтрино любого типа
Пу Т1у
Пу + Пу
В современной Вселенной избыток нейтрино над антинейтрино или избыток ан¬
тинейтрино над нейтрино мал.
7.3 * Стерильные нейтрино как тёмная материя
Наблюдаемые нейтринные осцилляции указывают на неполноту Стандарт¬
ной модели физики частиц (см. подробнее Приложение С). Некоторые из возмож¬
ных расширений Стандартной модели подразумевают введение дополнительных
частиц — так называемых стерильных нейтрино — фермионов, смешивающихся
с обычными нейтрино. Термин стерильные указывает на то обстоятельство, что
дополнительные поля нейтрино считаются не взаимодействующими с калибро¬
вочными полями Стандартной модели, в частности, не участвующими в слабых
взаимодействиях. В этом контексте обычные нейтрино, взаимодействующие с W-
и Ζ-бозонами, называют активными. Число нейтринных массовых состояний
растёт с числом стерильных нейтрино Ns как 3 + Ns. Ниже для простоты мы
ограничимся рассмотрением случая одного стерильного нейтрино. Ns = 1.
< 0.06.
7.3. Стерильные нейтрино как тёмная материя
193
В простейших моделях рождение стерильных нейтрино \ν8) в ранней Все¬
ленной происходит благодаря их смешиванию с активными нейтрино \uQ). a =
е, μ, т [99, 100]. В приближении, когда существенно только смешивание между
двумя типами нейтрино, будем иметь
\va) = cos0Q|i/i) + sin0a|i/2), l^s) = -sin0Q|i/i) +cos0a|i/2);
где Iva) и Iz^) — состояния активного и стерильного нейтрино, |ί^ι) и \щ) — массо¬
вые состояния нейтрино с массами mi < m2, а θα — угол смешивания в вакууме
между стерильным и активным нейтрино. Будем считать смешивание малым,
θα <С 1, так что тяжёлое состояние в основном образовано стерильным нейтрино,
|г/2) » |z/s). В этом случае массу тяжёлого состояния естественно назвать массой
стерильного нейтрино, m2 = ms. Будем считать, что масса стерильного нейтрино
велика по сравнению с массой активного нейтрино, ms πΐχ.
Вычисление вероятности осцилляций ua осуществляется аналогично
случаю осцилляций между разными активными нейтрино. uu up (см. раз¬
дел С.1). Для ультрарелятивистских нейтрино, Ev ms. вероятность перехода
ua —► us за время t в пренебрежении эффектами плазмы (вакуумные осцилляции)
равна
Р{у*
J.VQC
Vs)
= sin2 2θα - sin2
2 Ev
Am2'
Am2 = m2 — m2 ~ m2.
(7.17)
Эффекты первичной плазмы, однако, весьма существенны, особенно при высо¬
ких температурах. Плазма влияет на эволюцию состояния активного нейтрино
\иа), так что гамильтониан нейтрино в калибровочном базисе (\ua), |i/s)) при¬
нимает вид
Н = U ■ diag
^2
Tft-γ ГП2
2 Ev' 2 Εν
■и' + Уш,
(7.18)
где матрица смешивания U и матрица взаимодействия с плазмой Vint имеют вид
U =
cos θα sin θα
— sin θα cos θα
Vint —
Vaa θλ
0 or
Величина Vaa для различных ua = uT может быть вычислена с использо¬
ванием методов квантовой теории поля при конечных температурах, изложен¬
ных в Приложении D. В предположении отсутствия лептонной асимметрии ли¬
дирующие вклады от лептонов и антилептонов в Vaa сокращаются3. Наибо¬
лее существенными оказываются вклады второго порядка по константе Ферми
Gp. При интересующих нас температурах Т ~ 100 МэВ в плазме нет реликто¬
вых т-лептонов и мало мюонов, однако много релятивистских электронов. По¬
этому величины Vaa для различных поколений нейтрино отличаются. Для ит
будем иметь [98]:
VTT = - ^ sin2 θιν COS2 9W ■ G2FTA ■ Ev « -25 · G2FTA ■ Ev,
4o a
3Речь здесь идёт о вкладах, приводящих к эффекту Михеева—Смирнова—Вольфенштейна.
194
Глава 7. Реликтовые нейтрино
для электронного нейтрино соответствующий численный коэффициент пример¬
но в 3,5 раза больше, а тот же коэффициент для мюонного нейтрино лежит
между 1 и 3,5 в зависимости от соотношения между величиной температуры
и массой мюона.
Диагонализация гамильтониана (7.18) даёт величины эффективных масс
нейтрино и углов смешивания в плазме, отличные от аналогичных величин в ва¬
кууме. В результате для вероятности осцилляций будем иметь выражение, ана¬
логичное (7.17), но с другими углом смешивания #"л· и периодом осцилляций £"л·,
где в качестве t^ac фигурирует вакуумное время осцилляций при энергии Е„ ~ Т.
При интересующих нас температурах Eu ~ Т ~ 100 МэВ и массах стерильных
нейтрино mi ms Т для характерного времени осцилляций нейтрино в плаз¬
ме получаем оценку
Характерное время осцилляций не только существенно меньше хаббловского вре¬
мени Я”-1(Т), но и численно меньше характерного времени слабых взаимодей¬
ствий в среде т„, которое оценено в (7.2).
Рассеяние активного нейтрино приводит к коллапсу волновой функции. По¬
этому в течение времени порядка т„ активное и стерильное нейтрино осцилли¬
руют друг в друга, а в момент столкновения когерентность волновой функции
разрушается. Таким образом, каждое активное нейтрино ι/α успевает много раз
проосциллировать в стерильное нейтрино vs, пока не столкнётся с другими ча¬
стицами плазмы, поэтому вероятность перехода в стерильное нейтрино (7.19)
следует усреднить по нескольким периодам осцилляций, что даёт
При температурах Т > 3 МэВ, когда активные нейтрино находятся в термо¬
динамическом равновесии в плазме, этот процесс не изменяет плотность актив¬
ных нейтрино в среде, однако приводит к увеличению плотности стерильных
нейтрино. Темп производства стерильных нейтрино в осцилляциях Га_5 равен
произведению вероятности перехода, усреднённой по нескольким осцилляцион-
ным временам, (7.21), и темпа потери когерентности волнового пакета нейтрино
(7.19)
С = тш{Сс.1К.«Г1} =min{2Tm72, 0,04 · Т~ь · GJ2}. (7.20)
(7.21)
7.3. Стерильные нейтрино как тёмная материя
195
в плазме, равного половине4 темпа взаимодействия активных нейтрино Γα = т„
Га->5 = · (P(ua -> иа)). (7.22)
Хотя нас сейчас интересуют нейтрино с энергией Е ~ Т, выпишем для дальней¬
ших ссылок выражение для Га в случае т-нейтрино с энергией Е [98]
Гт = ^ G^T4 *£. (7.23)
Итак, темп образования стерильных нейтрино в единице объёма за единицу
времени примерно равен
Γα_»βη„β ~ г"1 · (P(vQ -»■ ^s)) · π«/β ·
Отсюда для плотности стерильных нейтрино nVa в пренебрежении их возможным
исчезновением в результате распада (например, в фотон и активное нейтрино)
или обратной осцилляции в активное нейтрино будем иметь
+ 3HnVs = т„ 1 · (P{ua -> иа)) · π„α, (7.24)
где второе слагаемое в левой части учитывает расширение Вселенной. Удобно
переписать уравнение (7.24) как уравнение на отношение плотностей стерильного
и активного нейтрино. В результате получим
d{nvjnva) _ {Р(Уд -> Уа))
din Г ” Н{Т)ту
(7.25)
где мы перешли от переменной t к переменной Т и пренебрегли зависимостью
числа степеней свободы 5* от температуры. Правая часть уравнения (7.25) с учё¬
том сильной зависимости угла смешивания в плазме от температуры ведёт
себя при малых температурах как ос Г3, а при больших температурах как ос Т~7.
Поэтому рождение стерильных нейтрино в основном происходит в узком интер¬
вале температур вблизи критической температуры Т*, при которой правая часть
уравнения (7.25) достигает максимума, т. е. когда выражения в скобках в (7.20)
совпадают по порядку величины. Отсюда имеем
T*~fe)1/3- 200 M3B-(i^)1/3· <7·26)
С учётом резкой степенной зависимости темпа образования стерильных нейтри¬
но от температуры, для их плотности справедлива следующая простая оценка
4Хотя это результат аккуратных вычислений, и влияние декогеренции на осцилляции в плаз¬
ме не столь тривиально [93], можно предложить следующее эвристическое рассуждение в под¬
держку такого результата. Если бы и активное, и стерильное нейтрино взаимодействовали
в плазме с одинаковым темпом, то ему и равен был бы темп декогеренции. Волновой пакет
проводит половину времени в состоянии стерильного нейтрино, которое в процессах в плазме
не участвует, так что темп декогеренции вдвое меньше.
196
Глава 7. Реликтовые нейтрино
по порядку величины:
η^(Γ*) sin220a
^Jt7) ~ Η{Τ.)·τ„{Τ.)
Т?MptG2F ■ sin2 2θα
ΙΟ-2
m.s
1 кэВ
sin20Q λ2
ΙΟ"4 )
(7.27)
Заметим, что полученная нами оценка для отношения плотностей стерильных
и активных нейтрино (7.27) совпадает с отношением темпа образования стериль¬
ных нейтрино во Вселенной к темпу расширения Вселенной, стоящему в правой
части уравнения (7.25), при температуре Т = Т*, когда это отношение является
максимальным. Отсюда ясно, что стерильные нейтрино не входят в равновесие
с плазмой, пока отношение (7.27) остаётся меньше единицы.
В дальнейшем число стерильных нейтрино в сопутствующем объёме можно
считать постоянным, так что постоянным остаётся и отношение nl/s/nt/a. С учё¬
том выражения для плотности числа активных нейтрино (7.8), из (7.27) получа¬
ем оценку для вклада стерильных нейтрино в современную плотность энергии
Вселенной:
Ω,
~ 0,2 ■
sin 2θα \2
"IF4" )
ms
1 кэВ
2
(7.28)
Более аккуратные вычисления показывают, что полученная нами оценка (7.28)
имеет неплохую точность. Таким образом, стерильные нейтрино с массой т„ >
1 кэВ и малым углом смешивания θα < 10-4 могли бы составлять тёмную ма¬
терию0. Это была бы тёплая тёмная материя, поскольку такие стерильные ней¬
трино рождаются при температуре (7.26) релятивистскими.
Масса частицы тёмной материи не может быть слишком мала, иначе пред¬
сказания, относящиеся к структурам во Вселенной, противоречили бы наблю¬
дениям (см. также обсуждение в разделе 9.1). Для уточнения минимальной ве¬
личины приемлемой массы рождённых в осцилляциях стерильных нейтрино —
кандидатов на роль частиц тёмной материи — необходимо знать их функцию
распределения по импульсам fs(p,t). Величина среднего импульса будет харак¬
теризовать степень «теплоты» этой компоненты. Пренебрегая маловероятными
процессами обратного перехода стерильных нейтрино в активные, запишем урав¬
нение Больцмана [99]
dfs_
dt
fa ■ Τα
s ?
где fa = fa(P-t) — функция распределения активных нейтрино типа а, кото¬
рая с хорошей степенью точности равна равновесной функции Ферми—Дирака
(5.4) с нулевым химическим потенциалом, а ra^,s даётся выражением (7.22).
Раскрывая полную производную по времени с учётом зависимости физического
“Отметим, что если смешивание активного и стерильного нейтрино обеспечивает внедиаго-
нальный элемент m jj массовой матрицы нейтрино в базисе ароматов, как например в механизме
качелей типа I (см. раздел С.4), то ответ для относительного вклада нейтрино (7.28) определя¬
ется именно величинной этого элемента, а не углом смешивания и массой стерильного нейтрино
ио-отдельности, поскольку ΘΛ = πΐ£,/τη3.
7.3. Стерильные нейтрино как тёмная материя
197
импульса от масштабного фактора р ос 1/а, получаем окончательно уравнение
Больцмана
£ S, - Яр ^Д = J Г, sin2 2<С U(t, р). (7.29)
Поскольку частицы ультрарелятивистские, а плазма изотропна, от переменной р
можно перейти к переменной Е = |р|. Далее, удобно рассматривать температуру
первичной равновесной плазмы Т вместо временной переменной t. Используя
(3.32), запишем вместо (7.29)
~(ТШ + Е Ш) Я = Ϊ Го sin2 295"· /„(Г, Е). (7.30)
Наконец, вместо энергии Е введём безразмерную переменную у = Е/Т: именно
от неё зависит равновесная функция распределения /а, а стоящее в скобке в урав¬
нении Больцмана (7.30) выражение — это частная производная fs по температу¬
ре при фиксированном у. Это позволяет проинтегрировать уравнение Больцмана
и определить явный вид функции распределения стерильных нейтрино. В част¬
ности, для переходов т-нейтрино получим с учётом (7.23)
f,(y,T) = -fr(y)7^G2Fsi η2
у Τ'4 dT'
Я · (1 + sin2 2Bw '
(7.31)
Это выражение даёт вполне нетривиальную функцию распределения стериль¬
ных нейтрино в расширяющейся Вселенной. Заметим, однако, что окончательная
функция распределения нейтрино, получающаяся при температурах заметно ни¬
же температуры наиболее интенсивных переходов (7.26), зависит от величины у
так же, как и равновесная функция распределения /т. Действительно, поскольку
Н сх Т2, в (7.31) можно ввести новую переменную интегрирования ζ = у Г3, и для
малых температур положить верхний предел интегрирования равным нулю. То¬
гда интеграл даёт размерную константу, так что при температурах ниже (7.26)
fs{y, Т) = fs(E/T) = const · МЕ/Т) (7.32)
> Задача 5. Вычислить значение константы в формуле (7.32). Используя его,
уточнить оценку (7.28).
Мы получили пример ситуации, когда неравновесная компонента имеет рав¬
новесную форму спектра. Отметим, что в данном случае за «неравновесность»
отвечает величина константы в (7.32), которая существенно меньше той, что име¬
ется в равновесном случае. Найденная нами форма позволяет определить сред¬
ний импульс стерильных нейтрино — он в точности такой же, как у равновесной
фермионной компоненты при той же температуре и имеет вид (5.17):
(ps) =3,15 Г.
(7.33)
198
Глава 7. Реликтовые нейтрино
Таким образом, все ограничения на компоненту, отщепившуюся от плазмы ре-
лятивиской, справедливы для никогда не бывших в равновесии стерильных ней¬
трино. Самые сильные ограничения сверху на скорость частиц тёмной материи
следуют из рассмотрения эволюции фазовой плотности. Они подробно рассмот¬
рены во второй части этой книги. Для стерильных нейтрино тёмной материи
со средним импульсом (7.33) изучение динамики гало тёмной материи карлико¬
вых галактик даёт [128]
В моделях рассмотренного типа стерильное нейтрино, вообще говоря, неста¬
бильно, что обусловлено смешиванием с активными нейтрино. Основной канал —
распад на три активных нейтрино, и требование превышения времени жизни
над возрастом Вселенной приводит к следующему ограничению на параметры
модели [100]
[> Задача 6. Проверить формулу (7.35).
Есть также происходящий на однопетлевом уровне теории возмущений рас¬
пад стерильного нейтрино на активное нейтрино и фотон. Отсюда возникают
значительно более сильные ограничения на параметры стерильных нейтрино
(для масс порядка 1-10 кэВ они сильнее в 6 х 106 раз [101] по сравнению с (7.35)):
модели не должны противоречить измерениям естественных потоков фотонов
с энергиями в рентгеновском диапазоне и выше. Соответствующие ограничения
представлены на рис. 7.2.
Эти ограничения в действительности сильны настолько, что во-первых, огра¬
ничивают вклад такого стерильного нейтрино в массы активных нейтрино вели¬
чиной, значительно меньшей масштаба масс солнечных нейтрино, 0^ms -С msoi
(см. подробнее раздел С.4). Иными словами, стерильные нейтрино как части¬
цы тёмной материи в общем случае не могутп обеспечить достаточно большую
массу активнъш нейтрино. Во-вторых, эти ограничения противоречат преде¬
лу (7.34) при выполнении условия (7.28). Это ставит под сомнение описанный
механизм генерации стерильных нейтрино как частиц тёмной материи [128].
Подчеркнём, что Приведённые здесь результаты справедливы только для
долгоживущих стерильных нейтрино. В моделях со стерильными нейтрино, рас¬
падающимися в ранней Вселенной, Приведённые оценки перестают выполнять¬
ся. Отметим ещё, что хотя рассмотрение проводилось для случая смешивания
стерильного нейтрино лишь с одним активным нейтрино, добавление остальных
не приводит к качественному изменению результата.
В завершение раздела отметим, что в более сложных моделях помимо рас¬
смотренного нами существуют и другие механизмы рождения лёгких стерильных
нейтрино. Для этих моделей полученная нами оценка (7.28), вообще говоря, яв¬
ляется оценкой снизу.
ms > 5,7 кэВ.
(7.34)
(7.35)
7.3. Стерильные нейтрино как тёмная материя
199
М, (кэВ)
Рис. 7.2. Ограничения на параметры стерильных нейтрино (масса М\, угол
амешивания Θ) из данных рентгеновских телескопов и предсказания моделей
производства стерильных нейтрино как частиц тёмной материи в ранней Все¬
ленной, Ωβ = ΩρΛ/. Жирная линия соответствует рождению в нерезонанс¬
ных осцилляциях, в этом случае имеется дополнительное ограничение (7.34).
Пунктирные линии соответствуют резонансному механизму (числа в едини¬
цах одной миллионной соответствуют величине лептонной асимметрии рь
в плазме) [96J
В качестве реалистичной, хотя и несколько экзотической модели рассмотрим
рождение частиц тёмной материи в осцилляциях в лептон-асимметричной плаз¬
ме, когда имеется асимметрия между нейтрино и антинейтрино [112]. Из пер¬
вичного нуклеосинтеза следует, что лептонная асимметрия в эпоху Т ~ 1 МэВ
не должна превышать нескольких процентов, что даёт ограничение на параметры
модели. Экзотичность связана с тем, что если в ранней Вселенной реализовыва¬
лись температуры выше 100 ГэВ, то находившиеся в равновесии сфалеронные пе¬
реходы делают барионную и лептонные асимметрии одного порядка, т. е. порядка
т\в ~ 10-9, что недостаточно для успешного производства стерильных нейтри¬
но тёмной материи, как мы увидим ниже. Таким образом, реализация этого меха-
200
Глава 7. Реликтовые нейтрино
низма требует дополнительных источников образования лептонной асимметрии
после завершения электрослабого перехода.
По аналогии с барион-фотонным отношением, введём современные лептон-
фотонные отношения по формулам
nLa,0 П1аЛ ^PQ,0
Ή Lei = ~ >
Пъо ΠΊ, ο
где во втором равенстве мы пернебрегли вкладом электронов порядка η в ~ 10-9.
Сегодня энтропия электрон-позитрон-фотонной компоненты целиком обусловле¬
на фотонами, а при Т > 1 МэВ вклад фотонов в неё составлял 4/11, поэтому
из сохранения этой энтропии в сопутствующем объёме следует, что для той эпохи
Г*. (Т) - по, (Г) = Н к. щ(Т) = Г3.
В лептон-асимметричной плазме взаимодействия с веществом приводят к допол¬
нительному вкладу в матрицу взаимодействия с плазмой (7.18) вида [98] (ср. с оцен¬
кой для потенциала из-за асимметрии электронов в Солнце (С.28))
Vaa = V2G}
2 (n„„ (Г) - п(Г)) + Σ (п,3 (Т) - По, (т))
βφα.
ПС(З)
у/2 7Г2
Gf Т3 ·
2VLa + Σ ЧЬз
βφα
и С(з)
•Лж2
GFT3-nL.
При подстановке этой величины в формулу для вероятности осцилляции (7.19)
находим, что в первичной плазме возможны резонансные переходы при выпол¬
нении условия
Vaatvaae = 1, (7.36)
когда смешивание в плазме становится большим, sin2 2Θ™' = 1 (вакуумное сме¬
шивание считаем малым). Переходы активных нейтрино в стерильные происхо¬
дят, вообще говоря, при всех температурах, однако наиболее интенсивно они идут
при резонансной температуре, определяемой из (7.36):
т~= 300 х (й£в) 1/2 01/4 »·,/4 МэВ· (7-37)
где у = Е/Т. Резонанс узкий, его ширина определяется из условия отклонения
левой части соотношения (7.36) от единицы на величину вакуумного смешивания
sin20Q, см. (7.19), что даёт
ΔУ res — У res ' sin2$Q.
Темпы переходов для резонансных энергий определяются из (7.19) темпом ваку¬
умных переходов
Г,
2 Tres у res
sin 2θα,
7.3. Стерильные нейтрино как тёмная материя
201
причём условие выполнения адиабатичности (резонансные переходы идут быст¬
рее, чем меняется резонансная частота) имеет вид
Ayr*, ■ Г„ > (7.38)
Для производной резонансной частоты получим приближённо из (7.37), восполь¬
зовавшись (3.32),
dyres (ЛТг dhiqL\
-ίγ = {4Η~—
После подстановки в (7.38) получим условие выполнения адиабатичности
/ ηι \3/4 / тп5 у/2 /sin2 2θα \ / 1 άΙτιηΛ 1/4
V0.01) \10кэВ/ V Ю-9 /V АН dt ) Угез
(7.39)
При данной величине асимметрии ηι и температуре оно всегда выполняется для
достаточно малых энергий нейтрино (малые у res)·
Активные нейтрино резонансных энергий быстро переходят в стерильные.
Поскольку для антинейтрино условие резонанса не реализуется (другой знак
вклада 17аа), этот процесс вообще говоря приводит к вымыванию лептонной асим¬
метрии, ηι —> 0: вместо неё в плазме появляется новая неравновесная компонен¬
та стерильных нейтрино. Пока выполняется условие адиабатичности (7.39), темп
вымывания асимметрии можно оценить как
df/L ^ х / \ dyres
~dt ^ U[yres) dt ‘
После резонансных переходов активных нейтрино в стерильные, ua —» vs, концен¬
трация последних оказывается порядка начальной величины асимметрии т)ы х п7,
что даёт для современного относительного вклада стерильных нейтрино в пол¬
ную плотность энергии Вселенной
Ωδ ~ 0,2 х
ms
1,5 кэВ
VLj
0,01
Более аккуратные оценки, в том числе с учётом влияния всех трёх активных ней¬
трино в плазме, подтверждают реалистичность этого механизма. Предсказания
для случая смешивания с электронным нейтрино представлены на рис. 7.2.
Отметим, что средний импульс так произведённых стерильных нейтрино за¬
метно меньше, чем в случае нерезонансных осцилляций (7.33). Условия адиа¬
батичности выполнены для малых энергий, и из условия вымывания асиммет¬
рии можем получить оценку на максимальный импульс резонансно рождённых
нейтрино
202
Глава 7. Реликтовые нейтрино
что для реалистичных значениий 77^ < 10-2 даёт ymax = EjT < 0,7. На са¬
мом деле форма спектра сильно зависит от величины лептонной асимметрии,
однако в общем случае справедливо утверждение, что спектр заметно смещён
в инфракрасную область [96]. Резонансное рождение стерильных нейтрино до¬
пускает более лёгкие стерильные нейтрино в качестве частиц тёмной материи,
не противоречащих ограничениям из фазовой плотности.
Глава 8
Первичный нуклеосинтез
Самая ранняя эпоха горячей Вселенной, о которой сегодня имеются надёж¬
ные наблюдательные данные — это эпоха первичного нуклеосинтеза. Как мы
увидим, она начинается с температуры порядка 1 МэВ и продолжается до тем¬
ператур порядка десятков кэВ. В это время нейтроны, входившие в состав косми¬
ческой плазмы, объединяются с протонами в лёгкие ядра — в основном гелий-4
(4Не) с небольшой, но измеримой примесью дейтерия (D = 2Н), гелия-3 (3Не)
и лития (7Li): основные термоядерные реакции первичного нуклеосинтеза пе¬
речислены в начале раздела 8.3. Мы увидим, что нейтронов при интересующих
нас температурах заметно меньше, чем протонов; «лишние» протоны остаются
во Вселенной и в конечном итоге образуют атомы водорода. Измерения пер¬
вичного химического состава вещества позволяют не только подтвердить тео¬
рию горячей Вселенной, но и определить важный космологический параметр —
барион-фотонное отношение ηΒ. Кроме того, первичный нуклеосинтез позволяет
получать ограничения на параметры теорий, претендующих на обобщение Стан¬
дартной модели физики частиц.
Точное вычисление концентраций лёгких элементов, образованных в резуль¬
тате первичного нуклеосинтеза — сложная и трудоёмкая задача, которая реша¬
ется численно на основе кинетических уравнений с учётом многочисленных тер¬
моядерных реакций. В этой Главе, как и во многих других местах этой книги, мы
ограничимся оценками по порядку величины, имея в виду основную цель — об¬
судить физику процессов, происходивших в ранней Вселенной, и пояснить на ка¬
чественном уровне зависимость результатов от космологических параметров.
8.1 Закалка нейтронов.
Нейтрон-протонное отношение
Первым этапом первичного нуклеосинтеза является закалка нейтронов. Мы
сейчас увидим, что она происходит при температуре порядка 1 МэВ, когда обра¬
зование лёгких ядер ещё не началось.
203
204
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Нейтроны образуются и исчезают в ранней Вселенной в результате процессов
слабого взаимодействия:
р + е п. + i/e (8.1)
и кроссинг-процесса. Характерные энергетические параметры для таких процес¬
сов — это разность масс нейтрона и протона
Ат = тп — тр = 1,3 МэВ
и масса электрона те = 0,5 МэВ*. Предположим для простоты, что мы имеем
дело с достаточно высокими температурами,
Т>Ат,те. (8.2)
Тогда, как и в Главе 7, время свободного пробега нейтрона по отношению к про¬
цессам типа. (8.1) можно оценить из размерных соображений
г„ = Г-1, Г„ = C„G%Tъ, (8.3)
где Сп — константа порядка единицы. Процессы типа (8.1) прекращаются, когда
время гп становится сравнимым с хаббловским временем, т. е.
ГП(Г)~Я(Г) =
М
Р1
Как и раньше,
А/р/ —
Μρι
Р1 1,66 у/д:'
причём число ультрарелятивистскнх степеней свободы равно
(8.4)
(8.5)
=24·4+12'Λ-
(8.6)
Первый вклад здесь возникает благодаря фотонам, второй — благодаря элек¬
тронам и позитронам (они — ультрарелятивистские при Т > те), третий связан
с лёгкими нейтрино, число типов которых мы пока обозначили Nu (в действи¬
тельности Nu = 3). Напомним (см. Главу 7). что при Т > те. т. е. до аннигиляции
позитронов с электронами, нейтрино имеют ту же температуру, что и фотоны.
Из (8.4) и (8.3) получаем температуру, при которой реакции типа (8.1)
прекращаются,
Т =
-L ΤΊ
(CnMplG2F)
1/3
(8.7)
Константа Сп в (8.3) известна: процессы типа (8.1) возникают благодаря четы¬
рёхфермионной вершине, изображённой на рис. 8.1 а: точно та же вершина опи¬
сывает распад нейтрона, рис. 8.1 6. Поэтому Сп извлекается из времени жизни
нейтрона; численно, Сп = 1,2. Таким образом, температура закалки (8.7) не со¬
держит неизвестных параметров. Отметим, однако, что она зависит от числа
типов лёгких нейтрино, см. (8.5) и (8.6).
8.1. Закалка нейтронов. Нейтрон-протонное отношение
205
Рис. 8.1. Фейнмановские диаграммы для процессов п + ие р + е (а)
и п —► peve (Ъ)
Подставляя в (8.7) значение Gf = 1.17· 10_о ГэВ-2 и g* = 43/4 (для Nu = 3).
получаем численно
Тпы 1,4 МэВ.
Следует отметить, что исходное предположение (8.2) удовлетворяется плохо, по¬
этому требуется более аккуратное вычисление. Мы приведём соответствующий
результат ниже.
Замечательно, что температура закалки нейтронов близка к разности масс
Ат. Такого совпадения могло бы и не быть (например, если бы массы и- и d-
кварков были бы сильно разными, или константа Ферми, гравитационная посто¬
янная или д* отличались бы от своих реальных значений). Это — одна из слу¬
чайностей, благодаря которым первичный нуклеосинтез вообще был возможен
в ранней Вселенной. Из-за этой случайности нейтронов в момент закалки доволь¬
но много, что в конечном итоге приводит к заметной концентрации лёгких ядер1.
Оценим остаточную концентрацию нейтронов после их закалки. С хорошей
степенью точности она равна равновесной концентрации нейтронов непосред¬
ственно перед закалкой. Для дальнейшего полезно ещё раз записать общую фор¬
мулу для плотности числа частиц А (протонов, нейтронов, ядер) в химическом
равновесии при температуре Т <С тд (см. Главу 5):
п.4 = 9л(Щ*р\ ‘ е^л-т*»т, (8.8)
где ра — химический потенциал частицы А. Чтобы применить эту формулу
к протонам и нейтронам, учтём, что непосредственно перед закалкой реакции
типа (8.1) находятся в равновесии, поэтому (см. Главу 5) μρ + ре = μη + ри. т. е.
μη = /ip + μ-е Ри· (8.9)
Для релятивистских электронов и позитронов имеем из (5.22)
пе- - пе+ ~ реТ2 *, (8.10)
1Если бы оказалось, что Am 3> Тп, то концентрация нейтронов в момент закалки (а следо¬
вательно. и концентрация лёгких ядер после нуклеосинтеза) была бы подавлена множителем
е-Дт/т„. см. (8.12). Наоборот, при Ат <С Тп нейтронов и протонов в плазме было бы поровну,
и практически все нуклоны (протоны и нейтроны) после эпохи нуклеосинтеза находились бы
в ядрах 4 Не. т. е. в первичном веществе Вселенной практически отсутствовал бы водород. Такая
Вселенная без водорода вряд ли была бы пригодна для жизни!
206
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
поэтому
Ре Т1е— Т1е+
rsj
Т Г3
Разность концентраций электронов и позитронов равна концентрации протонов
(из электронейтральности космической плазмы).
72е— Т1е-г — ТЬр ,
а пр/Т3 по порядку величины совпадает с барион-фотонным отношением
пр
Г3
~ ηΒ ~ 10 9,
поэтому химический потенциал электронов крайне мал:
Ре
Т
~ КГ9.
Предположим далее, что во Вселенной нет большой лептонной асимметрии (об¬
суждение обратной ситуации мы проведём в конце раздела), т. е.
п„ - пр < п„ + Пр ~ Т3.
Тогда Ри/Т тоже мало и из (8.9) получаем с хорошей точностью
Рп = Рр· (8.11)
Из (8.8) заключаем тогда, что нейтрон-протонное отношение на момент закалки
нейтронов целиком определяется температурой закалки:
— = e-(m»-mp)/T" = е~Аттг/Тп. (8.12)
Tip
(мы учли, что протон и нейтрон имеют по два спиновых состояния, т. е. дп =
др = 2. и пренебрегли отличием масс протона и нейтрона в предэкспонентах).
Нейтрон-протонное отношение (8.12) является, грубо говоря, величиной по¬
рядка единицы, т. е. концентрация нейтронов после их закалки не слишком мала
по сравнению с концентрацией протонов. Для количественной оценки необходимо
аккуратное вычисление. Оно даёт [104, 105]
— = 0,18, (8.13)
Tip
что соответствует эффективной температуре закалки Тп = 0,75 МэВ. Отметим,
что нейтрон-протонное отношение на момент закалки зависит от числа типов
лёгких нейтрино Nu (обобщая, можно сказать, что имеется зависимость от числа
релятивистских степеней свободы в первичной плазме при Т ~ 1 МэВ) и прак¬
тически не зависит от других космологических параметров.
Найдём возраст Вселенной к моменту закалки нейтронов. Имеем в соответ¬
ствии с (3.27)
1
8.1. Закалка нейтронов. Нейтрон-протонное отношение
207
Для Тп = 0,75 МэВ и Nu — 3 получаем отсюда t = 1,1 с. Таким образом, теория
первичного нуклеосинтеза относится к космологической эпохе, начинающейся че¬
рез одну секунду (!) после Большого взрыва.
В заключение этого раздела отметим, что приведённое вычисление нейтрон-
протонного отношения существенным образом опиралось на предположение об от¬
сутствии лептонной асимметрии. Если это не так, т. е. если имеется асимметрия
между электронными нейтрино и антинейтрино, то вместо (8.11) будем иметь
βη = Рр — Рие, а вместо (8.12) получим
Нейтрон-протонное отношение определяет наработанную в конечном итоге кон¬
центрацию 4Не (см. раздел 8.2),
и из сравнения теории с наблюдениями можно сделать вывод о том, что отличие
пп/пр от стандартного значения не должно быть большим,
Отсюда следует ограничение на химический потенциал электронного нейтрино,
Более точное современное ограничение приведено в (7.16).
С точки зрения предсказаний первичного нуклеосинтеза имеется вырожде¬
ние между такими параметрами как химический потенциал электронного ней¬
трино и эффективное число релятивистских компонент в плазме, традиционно
параметризуемое как число нейтрино (ультрарелятивистских термализованных
фермионов) в плазме Ne//. В случае Стандартной модели Аге// = Nv. Как нали¬
чие в плазме лептонной асимметрии, так и наличие новых релятивистских частиц
приводят к модификации последнего соотношения. Интегрируя по импульсам
функцию распределения Ферми—Дирака (5.4), получим для вклада безмассовых
нейтрино и антинейтрино в лидирующим по химическому потенциалу порядке:
Если в плазме есть одновременно и новые гипотетические релятивистские ча¬
стицы и лептонная асимметрия, их вклады в полную плотность энергии, а зна¬
чит в темп расширения Вселенной, могут сокращаться. Это проиллюстрировано
на рис. 8.2. Вырождение можно снять, используя другие космологические дан¬
ные, например, по анизотропии реликтового излучения.
пп
^4Не ЭС :
Пр
ψ <0,025.
208
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Рис. 8.2. Вырождение льежду кослюлогическими параметрами по Neff. р1>с:
из данных первичного нуклеосинтеза разрешена область внутри наклонной по¬
лосы (доверительный интервал 68 %). Учёт данных по анизотропии реликтово¬
го излучения (вертикальная полоса, доверительный интервал 68% [103]). сни-
льает это вырождение в .моделях, где величина асилшетрии и доля новых ги¬
потетических частиц в плазме не излиеняласъ Л1ежду эпохалш нуклеосинтеза
и реколгбинации
8.2 Начало нуклеосинтеза.
Направление термоядерных реакций
Цепочки термоядерных реакций в ранней Вселенной начинаются с образо¬
вания дейтерия в реакции
р + η —> D + 7. (8-14)
В ядерной физике для этой и аналогичных реакций используют обозначение
p(n,7)D. (8.15)
Мы будем использовать как обозначения (8.14). так и обозначения (8.15). Для
вычисления температуры, при которой начинается реакция (8.14). воспользуемся
следующим приёмом. Предположили что реакция (8.14) происходит достаточно
быстро и имеет место химическое равновесие дейтерия с протонами и нейтрона¬
ми. При этом будем считать, что остальные термоядерные реакции (о них речь
ниже) выключены. Найдём в этих предположениях концентрацию дейтерия при
температуре Т. При высоких температурах эта концентрация мала. т. е. образо¬
вание дейтерия термодинамически невыгодно (ср. с разделом 6.1). Соответству¬
ющий физический механизм состоит в том, что образующиеся ядра дейтерия
быстро диссоциируют обратно в нейтроны и протоны под воздействием жёст¬
ких 7-квантов из хвоста температурного распределения. Образование дейтерия
8.2. Начало нуклеосинтеза. Направление термоядерных реакций
209
начинается при такой температуре, когда (в сделанных только что предположе¬
ниях) равновесная концентрация дейтерия становится сравнимой с концентраци¬
ей протонов и нейтронов (последние равны по порядку величины, см. (8.13)).
Такой «равновесный» подход позволяет определить направление термоядер¬
ных реакций. Успевают они произойти или нет, зависит от скорости реакций
в сравнении с темпом расширения Вселенной: из-за довольно быстрого космоло¬
гического расширения химическое равновесие в действительности не вполне до¬
стигается. Именно благодаря последнему обстоятельству нуклеосинтез приводит
к заметной остаточной концентрации D,3He, 7Li: в термодинамическом равнове¬
сии при интересующих нас температурах их концентрация была бы ничтожно
мала, а все нейтроны находились бы в наиболее сильно связанном ядре 4Не.
Продолжая использовать равновесный подход, преобразуем соотношение (8.8)
к виду уравнения Саха. В ситуации, когда существенны термоядерные реакции,
химические потенциалы нейтронов и протонов не равны между собой, поэтому
формула (8.8), применённая к протонам и нейтронам, даёт
Пп = ~т">/Т’ (8Л6)
(гр \ 3/2
Ще=- j β(ΜΡ-™Ρ)/τ (8.17)
где в предэкспоненте мы пренебрегли разницей масс протона и нейтрона. Если
ядро с атомным весом А и зарядом Z (нас сначала будет интересовать дейтерий,
однако для последующих оценок полезно написать общую формулу) находится
в химическом равновесии, то химический потенциал для него равен2
μ А = μρ ■ Ζ + μη · (А - Ζ).
Действительно, предположение о химическом равновесии означает, что достаточ¬
но быстро идёт цепочка термоядерных реакций, в результате которой Ζ протонов
и (А — Ζ) нейтронов объединяются в ядро (A, Ζ).
Действуя так же, как в разделе 6.1, получим из (8.8), (8.16), (8.17)
— (Л —1)
ηΑ = ηξη^ζ2~Λ9ΑΑ^(^Υ " е*·^, (8.18)
где мы положили в предэкспоненте т.\ = Атр и ввели энергию связи ядра (A. Ζ)
Аа = Zmp + (А — Ζ) тп — т.4.
Введём ещё безразмерное отношение числа нуклонов, находящихся в ядрах (A, Ζ).
к полному числу нуклонов
_ Ап А
23десь и далее подстрочный индекс Л обозначает ядро (Л. Ζ): более аккуратно было бы ис¬
пользовать обозначение типа но мы этого не будем делать для упрощения записи формул.
210
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
и запишем соотношение (8.18) в виде уравнения Саха
= χξχ,
Наконец, плотность числа барионов равна
Нв — ηΒ ■ 7lj — Т}в ■
Окончательно имеем
Ха = Х,
2-Α9ΑΑ^η^(
\ ΤΓίρ )
(8.19)
Аналогично разделу 6.1, правая часть этого равенства содержит малый энтро¬
пийный множитель
так что равновесная концентрация ядер перестаёт быть малой лишь при Т ,
т. е. когда температура станет заметно меньше энергии связи ядра.
Нуклеосинтез начинается тогда, когда становится термодинамически выгод¬
ным образование дейтерия. Из (8.19) получим для дейтерия с точностью до мно¬
жителя, близкого к единице,
где Δο = 2,23 А1эВ, и мы использовали для дейтерия значения А = 2, Ζ =
1. Введём температуру Тр, при которой равновесные концентрации нейтронов
и дейтерия равны,
Из (8.20) получаем при ηΒ = 6,05 · Ю-10 значение
То — 65 кэВ.
В действительности нуклеосинтез происходит несколько раньше, поскольку се¬
чения соответствующих термоядерных реакций достаточно велики, и дейтерий
горит уже тогда, когда его концентрация мала, Хо/Хп ‘С 1. Этот вопрос мы
обсудим в разделе 8.3.2, а здесь анонсируем, что характерной для нуклеосинтеза
температурой является (см. также [104, 107])
з
(8.20)
(8.21)
TVs = 75 кэВ.
Отметим, что эта температура слабо (логарифмически) зависит от ηΒ.
8.2. Начало нуклеосинтеза. Направление термоядерных реакций
211
Хотя разница между То и TVs численно невелика, реальные физические
ситуации при этих температурах существенно различаются. При Т = TVs в сре¬
де гораздо больше свободных нейтронов, чем дейтерия; образующийся дейтерий
активно горит, образуя более тяжёлые ядра. С другой стороны, при Т = То име¬
ется примерно равное количество свободных нейтронов и дейтерия, однако, как
мы увидим, концентрация их уже мала.
Убедимся, что при таких температурах термодинамически наиболее выгод¬
ным является в действительности образование ядер 4Не. Для этого вновь ис¬
пользуем равновесный подход. Если действительно практически все нейтроны
находятся при Т « TVs в ядрах 4Не, то, применяя формулу (8.19), мы должны
получить, что
Х4Не ~ 1;
в то время как концентрации всех других лёгких ядер, включая свободные ней¬
троны, малы. Поэтому запишем формулу (8.19) для 4Не (А = 4, Z = 2, qa = 4):
х*Нв = х$х$-аг?в(^¥·') ' ей*н./г.
Снова учтём, что Хр ~ 1, и выразим концентрацию нейтронов через Х»Не? пре¬
небрегая множителями порядка единицы:
Xn = x'h11‘3/3(^-) /е"Л4н */2Т- (8-22)
Подставляя выражение (8.22) в (8.19), считая XiHe ~ 1 и вновь опуская множи¬
тели порядка единицы, получим для других ядер
Хд =
Ув
2,5TJ*/2'
-I iZ-iA-1
ТП
exp
Аа - Д4Не(Л — Z)j2
~ 107,3(Λ+2-3Ζ) ехр ГАл-А^нД^ Ζ)/21
(8.23)
(8.24)
где численные значения предэкспоненциального множителя соответствуют ηΒ =
6,05· ΙΟ-10, Т = 75 кэВ. Заметим, что знак показателя экспоненты зависит от ве¬
личины энергии связи на нейтрон для ядра (А, Ζ), т. е. А а/(А — Ζ). Среди лёгких
ядер эта величина максимальна для ядра 4Не, и именно поэтому во Вселенной
в основном образуются именно эти ядра.
Энергии связи для наиболее сильно связанных стабильных (или сравнитель¬
но долгоживущих) лёгких ядер приведены в табл. 8.1. Используя эти данные, по¬
лучим из (8.24) оценки при Т = 75 кэВ: Χη ~ Ю-60, Хц ~ 10-62, Хзн ~ Ю-100,
ХзНе ~ Ю"45, XeLi ~ ИГ68, Хтц ~ 10“101, ХтВе ~ ΙΟ-50, Хав ~ 1(Г64. Таким
образом, при Т = Tjvs равновесные концентрации лёгких ядер действительно
малы по сравнению с концентрацией 4Не.
Отметим в связи с этим два обстоятельства. Во-первых, применение фор¬
мулы (8.24) к ядру 12С дало бы Xi2C ;» 1, т. е. если бы это ядро могло обра¬
зовываться, то наше предположение о доминировании 4Не было бы неверным:
212
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Таблица 8.1.
Энергии связи некоторых стабильных (или сравнительно долгоживущих) лёгких
ядер (МэВ)
Ζ
ядро
Дд
Аа/А
АЛ/(А - Z)
1
Q
III
X
сч
2,23
1,11
2,23
Зн = т
8,48
2,83
4,24
2
3Не
7,72
2,57
7,72
4Не = а
28,30
7,75
14,15
3
6Li
31,99
5,33
10,66
"Li
39,24
5,61
9,81
4
"Be
37,60
5,37
12,53
5
8В
37,73
4,71
12,58
б
12с
92,2
7,68
15,37
большинство нейтронов связывалось бы в ядро 12С (и более тяжёлые ядра),
а не в 3 4 * Не. Однако из табл. 8.1 видно, что ядро 12С не может образовываться
в двухчастичных реакциях с участием более лёгких стабильных ядер3: слия¬
ние двух ядер 6Li происходит редко из-за очень малой концентрации этих ядер
(их образование возможно лишь в реакции слияния гелия-3 и трития, что сильно
подавлено по сравнению с рождением гелия-4 из того же начального состояния).
Поэтому цепочка термоядерных реакций во Вселенной до ядра углерода не до¬
ходит4. Термоядерные реакции в ранней Вселенной при Т и Т,идут в сторону
образования ядра 4Не.
Во-вторых, если бы во Вселенной при Т > 75 кэВ всё время имелось хими¬
ческое равновесие по отношению к образованию 4Не, то первичный нуклеосинтез
происходил бы при более высоких температурах, поскольку энергия связи для
4Не заметно превышает энергию связи в дейтерии. Однако до образования дей¬
терия такое химическое равновесие невозможно из-за того, что 4Не образуется
не прямо из нейтронов и протонов, а в результате горения дейтерия. В этом смыс¬
ле нуклеосинтез происходит в ранней Вселенной с задержкой (в англоязычной ли¬
тературе используют в связи с этим образное выражение «deuterium bottleneck”).
> Задача 1. Найти температуру нуклеосинтеза в гипотетическом случае хи¬
мического равновесия по отношению к образованию 4Не при Т > 75 кэВ.
3Ядро 13С образуется в звёздах путём рождения короткоживущего 3В в столкновениях двух
ядер 4 Нс и быстрого последующего захвата 4 Не. Такой механизм в ранней Вселенной не рабо¬
тает из-за низкой концентрации ядер 4 Не.
4При этом важно, что двухчастичные реакции с участием ядер с высокой концентрацией
не могут приводить к образованию стабильных или долгоживущих изотопов с массовыми чис¬
лами 5 и 8.
8.2. Начало нуклеосинтеза. Направление термоядерных реакций
213
В завершение этого раздела определим возраст Вселенной при температуре
нуклеосинтеза, Xjvs = 75 кэВ. В соответствии с (3.27) получаем
tNS 2H(Tns)
Мр,
2 ns
(8.25)
Темп расширения в это время определяется фотонами и нейтрино, причём вклад
нейтрино подавлен, см. (7.6). В результате выражение (8.25) содержит
М*Р1 =
МР1
l,66Vp7
где д„
— 2 + — · 2 · Nv
4 \4/3
) = 3,36,
11
N„ = 3. (8.26)
Отсюда возраст Вселенной в эпоху нуклеосинтеза составляет
tNS = 230 4 мин.
Найденное время позволяет вычислить распространённость первичного
гелия-4 во Вселенной. Действительно, мы увидим в разделе 8.3. что термоядер¬
ные реакции в первичной плазме протекают достаточно быстро, а приводят они
в основном к образованию гелия-4. Поэтому после завершения нуклеосинтеза
практически все нераспавшиеся нейтроны будут содержаться именно в ядрах
гелия-4. Концентрация гелия-4 при Т = Tns составляет половину от концентра¬
ции нейтронов,
™4Н e{TNs) = 2 nn(7ivs);
которая, в свою очередь, связана с концентрацией протонов как
rinjTNs) Пп{Тп)е *Л’5/Тп
np{TNs) ηρ(Τη) + nn(Tn) (1 - e-t-vs/T")
(8.27)
где мы модифицировали соотношение (8.13) с учётом конечного времени жиз¬
ни нейтрона тп и 880 с. В результате получаем массовую долю 4Не среди всех
барионов
^4Не =
^4Не · ^4Не(ДУ5)
mp(np(TNS) -г nn{TNS))
2
Пр(Т.\ s) т 1
HnCTjvs) "И 1
25%.
(8.28)
Отметим, что массовая доля гелия-4 зависит как от времени нуклеосинтеза t-NS:
так и от температуры закалки нейтронов Тп (см. (8.12)). Обе эти величины
в свою очередь зависят от (эффективного) числа релятивистских степеней сво¬
боды в первичной плазме. Поэтому измерение распространённости первичного
гелия фиксирует д* для эпохи нуклеосинтеза. Это, в свою очередь, позволяет
существенно ограничить пространство параметров многочисленных теорий, пре¬
тендующих на роль обобщений Стандартной модели физики частиц, в рамках
которых возможно появление в первичной плазме новых релятивистских ком¬
понент. Это ограничение обычно формулируют в терминах эффективного числа
214
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
дополнительных типов нейтрино: плотность энергии новых частиц к началу нук¬
леосинтеза не должна превышать плотности энергии, соответствующей одному
типу нейтрино,
AN^eff <1, Т ~ 1 МэВ. (8.29)
Обобщая, можно сказать, что предсказания первичного нуклеосинтеза, как
и предсказания для эпохи рекомбинации, зависят от количества релятивистских
степеней свободы и плотности барионов. Анализ космологических данных даёт
для этих параметров области допустимых значений, представленные на рис. 8.3.
5
4
2
3
2
0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025
ClBh2
Рис. 8.3. Области допустимых значений (уровни достоверности 68% и 95%)
для эффективного числа релятивистских компонент и плотности барионов
из анализа данных первичного нуклеосинтеза (овалы большего размера) и ани¬
зотропии реликтового излучения [106]. Крестиками отмечены наиболее веро¬
ятные значения, полученные из анализов этих данных
π гп |—I—I—I—I—|—I—ι—ι—ι—[—ι—ι—ι—ι—|—ι—ι—ι—г
J I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I L
> Задача 2. Определить наименьшую температуру закалки гипотетических
безмассовых частиц, если неопределённость в g*{Txs) составляет 20%.
То же для неопределённости 5 %.
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
215
о Задача 3. Используя формулы (8.5)-(8.7), (8.12) и (8.25)-(8.27), показать,
что каждый дополнительный тип нейтрино даёт численную поправку к кон¬
центрации первичного гелия на уровне 5 %.
Некоторая неопределённость в теоретическом предсказании распространён¬
ности гелия-4 во Вселенной связана и с неточностью измерения времени жизни
нейтрона, которое определяет как величину Тп (см. (8.7), (8.12), (8.13)), так и до¬
лю распавшихся нейтронов на момент ijvs (см. (8.27)).
8.3 Кинетика нуклеосинтеза
В предыдущем разделе с использованием равновесного подхода было уста¬
новлено, что ядерные реакции первичного нуклеосинтеза идут в сторону обра¬
зования гелия-4 (α-частиц). В этом разделе мы обсудим скорости этих реакций
и оценим остаточные концентрации лёгких ядер, т. е. распространённость пер¬
вичных химических элементов во Вселенной.
Выясненное в предыдущем разделе направление реакций позволяет распо¬
ложить все основные ядерные реакции первичного нуклеосинтеза по следующим
этапам:
1. p(n, 7)D — образование дейтерия, начало нуклеосинтеза.
2. D(p,7)3Не, D(D,n)3He, D(D,p)T, 3He(n,p)T — предварительные реакции,
подготавливающие материал для образования 4Не.
3. T(D,n)4He, 3He(D,p)4He — образование 4Не.
4. T(a,7)7Li, 3Не(а,7)'Ве, 7Be(n,p)7Li — образование наиболее тяжёлых эле¬
ментов первичного нуклеосинтеза.
5. 'Li(p, а)4Не — горение ЧА.
Отметим, что поскольку интенсивность реакций определяется концентра¬
циями сталкивающихся ядер, то среди всех разрешённых реакций основными
являются те, для которых хотя бы одна из компонент является достаточно рас¬
пространённой в первичной плазме, т. е. р, n, D, 4Не.
Рассмотрим эти реакции по порядку с целью оценить скорости их протекания
в ранней Вселенной. Сравнение этих скоростей с темпом расширения Вселенной
на момент нуклеосинтеза,
Я (TNS = 75 кэВ) = 2 ■ 10-3 с"1,
позволяет найти остаточные неравновесные концентрации первичных химических
элементов во Вселенной, которые, конечно, значительно выше, чем те, что полу¬
чились бы в условиях химического равновесия.
216
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
8.3.1 Горение нейтронов, р + п —> D + 7
Итак, дейтерию термодинамически выгодно образовываться при темпера¬
турах Т < Тд:5 = 75 кэВ. Однако Вселенная довольно быстро расширяется,
поэтому, в принципе, часть нейтронов может не успеть «сгореть». Убедимся, что
доля нейтронов, не перешедших в дейтерий, ничтожно мала. Для этого срав¬
ним интенсивность «горения» нейтронов с темпом расширения Вселенной на мо¬
мент t^s-
Сечение образования дейтерия можно грубо оценить как геометрическое,
N a ~ 1 1 _п 1 л—18 см3
(vv)p(nn.)D ~ ~ — ^200 МэВ)2 - ·
где τηπ — масса пиона, определяющая характерный пространственный размер
ядерных взаимодействий, г ~ т”1, а постоянная тонкой структуры а учитывает
подавление, связанное с необходимостью испускания фотона. Отметим, что оце¬
ненное так сечение не зависит от скоростей сталкивающихся частиц, т. е. от тем¬
пературы плазмы. В действительности это не так, и температурные поправки
изменяют сечение образования дейтерия в 1,5-2 раза при Т ~ T^s- Кроме того,
поскольку ядро дейтерия является слабо связанным, имеется дополнительный
множитель подавления ωΊ·/ρο, определяемый отношением величины характер¬
ного импульса испускаемого фотона, ωΊ = Δρ, к величине характерных импуль¬
сов протона и нейтрона в дейтерии относительно общего центра, рв- Импульс
составляющих частей дейтерия может быть найден из теоремы вириала
(8.30)
где мы предположили для оценки, что потенциал сильного взаимодействия меж¬
ду нейтроном и протоном обратно пропорционален расстоянию между ними.
Окончательная оценка имеет вид
(συ)ρ(π,7)ϋ ~ 6 · Ю“20 (8.31)
Скорость выгорания нейтронов определяется как частота столкновений ней¬
трона с протонами, сопровождающихся образованием дейтерия. Отсюда для ско¬
рости процесса в расчёте на один нейтрон получаем
с(3)
= ПР ' (^Ορίη,τID — Г}в ' 2 ^_2 Г · (o^Op^o^D = 0,0 с
для η в = 6,05 · ΙΟ-10, Т = Т_\т$ = 75 кэВ, (8.32)
где мы выразили концентрацию протонов на момент нуклеосинтеза через оарион-
фотонное отношение ηΒ и плотность фотонов при температуре нуклеосинтеза
Т — T_\S. Поскольку эта скорость значительно превышает темп расширения
Вселенной, Γρ(ηο.)ο Н(Т,vs). нейтроны действительно активно горят, и все
стремятся перейти в дейтерий5.
■’Заметим, что для ηΒ < 10“11 это уже не так!
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
217
> Задача 4. Определить температуру и время жизни Вселенной на момент
прекращения процесса горения нейтронов. Какова была бы их концентра¬
ция на этот момент, если бы было можно пренебречь другими ядерными
реакциями?
8.3.2 Горение дейтерия
Образовавшиеся в результате горения нейтронов ядра дейтерия служат ма¬
териалом для образования трития и гелия-3. Сечения реакций
D + D —» 3Не + η и D + D—»Т+р (8.33)
можно оценить как геометрические, однако необходимо учесть кулоновский ба¬
рьер: оба сталкивающихся ядра несут положительный электрический заряд, и меж¬
ду ними имеется отталкивание. На больших расстояниях г 1 /т- это оттал¬
кивание доминирует и препятствует протеканию реакций. Соответствующий эф¬
фективный потенциал представлен на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Схематическое изображение эффективного потенциала для ядерных
реакций первичного нуклеосинтеза
Из-за кулоновского барьера ядерные реакции происходят путём туннели¬
рования. Чтобы оценить соответствующее сечение, перейдём в систему центра
масс двух сталкивающихся ядер с зарядами Ζ\ и Ζ<ι, массами Μι и Ad2 и скоро¬
стями v\ HU2, соответственно (хотя сейчас мы интересуемся горением дейтерия,
для дальнейшего изложения нам будет полезно оценить сечение реакции горения
в общем случае). Кинетическая энергия системы будет иметь вид Еып = Ми2/2,
218
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
где Μ = Μι М2/(Μι + М2) — приведённая масса, а ν = ri — ν2
скорость ядер.
Амплитуда туннелирования экспоненциально подавлена,
имеет вид
А ос ехр
° у/ШЩт)
Г kin) dr
— относительная
и в s-волне она
где точка поворота го определяется из условия
Hkinij' — 7*θ) — Hkinix —
00) - Vх (г0) = -Mr2
OiZ\Z2
Го
причем ν — относительная скорость удаленных друг от друга ядер; в показателе
экспоненты было учтено, что го 1/τηπ. Таким образом, показатель экспоненты
принимает вид
j2MaZlZ2 [ ° \ - - — dr = -
Jo V г г0
T\G.Z\ Z2
В результате для сечения горения ядер получаем
Λ—2παΖι Ζι/ν
σ ос е
или, с учетом предэкспоненты,
σν = σ„ ■ -παΖιΖ2 · e-2-“z‘, (8.34)
V
где σο — геометрическое сечение реакции в отсутствие кулоновского подавления.
Выражение (8.34) необходимо усреднить с учётом разброса скоростей в пер¬
вичной плазме:
(σν) = σο · 2·καΖ\Ζ2 J exp|
x (f 4
Mr2 2·κοίΖ\Ζ2
~2T v
vdv x
^r\v2dv
Нормировочный интеграл в знаменателе легко вычисляется и равен
тг /Г
\ 3/2
2 \М)
Интеграл в числителе возьмём методом перевала:
Μν2 2-κθίΖ\Ζ2\
ГЧ
vdv
vo
2тг
М г 4τταΖι Zi
T "* 77*
2 T v
Mvq 2παΖιΖ2)
exp< -
2 T
Г
i%2
vo /’
(8.35)
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
219
где точка перевала vq определена условием
Μυо _ 2παΖ\Ζ2
~ΊΓ~~νΙ ■
В результате (8.35) принимает вид
(σν) * σ0 ~ · (27raZ,Z2)4/3 · ' ■ ехр|-|(2 παΖ,Ζ,)2'3 (?f)
Наконец, вводя вспомогательные величины: относительную приведённую массу
ядер А = М/тр и температуру, измеряемую в миллиардах градусов Кельвина,
Т Т
9 “ 109 К “ 86 кэВ’
запишем окончательно
(σν) = 9,3 · σ0 · (ZiZ2)4/3i2/3T9“2/3 · ехр{-4,26 · (Z1Z2)2/3A1/3T9_1/3}. (8.36)
Отметим, что в полученной нами оценке для (συ) заложено предположение,
что σο не зависит от импульсов сталкивающихся частиц в интересующем нас
интервале энергий Е ~ 10-100 кэВ. На самом деле это не всегда так, и учёт
нетривиальной зависимости предэкспоненциального множителя в (8.34) от им¬
пульсов (т. е. от скоростей) часто приводит вместо (8.36) к более громоздким
выражениям. В частности, для многих реакций лидирующий вклад в предэкспо-
ненте в окончательном ответе, заменяющем собой выражение (8.36), имеет иную
степенную зависимость от температуры. В ряде случаев выражение (8.36) вооб¬
ще не работает, что связано с вкладами в сечение промежуточных резонансных
состояний. Наконец, рождение новых ядер может происходить не только в s-
волне, — нетривиальный угловой момент даёт вклад в эффективный потенци¬
ал, стоящий в туннельной экспоненте. Это часто приводит к вкладам в полное
сечение, имеющим иную степенную зависимость показателя экспоненты от тем¬
пературы, чем в (8.36). Мы опускаем все эти «подробности» и в соответству¬
ющих местах для получения численных оценок будем корректировать формулу
(8.36), подставляя взамен неё основной вклад в скорость конкретной реакции.
Более детальное обсуждение вычисления скоростей горения содержится в конце
раздела 8.3.4.
Возвращась к вопросу о горении дейтерия и рассматривая реакции слияния
двух ядер дейтерия, D(D, р)Т и D(D, п)3Не, оценим σο грубо, используя харак¬
терный пространственный масштаб ядерных сил:
σο ~ ml2 ~ 10-26 см2 ~ 3 ■ 10-16
" с
В результате для горения дейтерия (А = Z\ = Z2 = 1) получим
(συ)DD = 3 ■ 10-15 ■ Г-2/3 ■ ^ ^',3.
(8.37)
220
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Это в действительности является численно неплохой оценкой для суммарной ско¬
рости реакций (8.33), в том числе при Тд ~ 1. Уже в начале горения дейтерия
этот процесс является быстрым: скажем, при концентрации дейтерия на уровне
10-3 от концентрации протонов скорость горения на одно ядро дейтерия состав¬
ляет по порядку величины
Го ~ (ctv)dd · 10-от1в - Т%5 ~ 0.2 с-1,
π-*
что гораздо больше параметра Хаббла. Именно поэтому, как мы сейчас увидим,
характерная температура нуклеосинтеза T)vs = 75 кэВ несколько превышает
введённую в (8.21) температуру То = 65 кэВ: дейтерий быстро выгорает при
сравнительно низких его концентрациях, и свободные нейтроны уже в это время
интенсивно связываются, образуя в конечном итоге ядра 4Не. Для приближен¬
ного описания горения дейтерия введём величину
ИОп — Пц 4" TLOi
которая имеет смысл плотности нейтронов либо в свободном состоянии, либо
в составе дейтерия. Для неё запишем уравнение Больцмана с учётом выгорания
дейтерия и расширения Вселенной6
dn^.n + 3 Нпоп = ~(σν)οοη2ο. (8.38)
at
Правая часть здесь описывает необратимое перетекание нейтронов в 3Н и 3Не,
а затем в 4Не. Заметим, что мы здесь не учитываем выгорания дейтерия в ре¬
акциях с участием более тяжёлых ядер, о которых пойдёт речь в разделе 8.3.3.
Для грубых оценок этого приближения нам достаточно.
Процесс ρ(ηη)ϋ и обратный процесс D(yn)p — быстрые, см. (8.32). Поэтому
мы будем считать, что нейтроны и дейтерий находятся в химическом равновесии
между собой. Мы обоснуем это приближение ниже, см. (8.46). В этом приближе¬
нии выполняется соотношение Саха (8.20), поэтому
по
пр
Tip 4” Tlji
eq
' HDn = *5(Τ') · Прп.
где
XpfXn
1 + Хо/Хп
Xd
Хп
— Лв
2;52Л 2еД°/Т
Шр )
Удобно рассматривать отношение по/Т3, а точнее, ввести величину
(8.39)
Прп
=
6 Здесь учтено то обстоятельство, что полное число DD-реакций в единицу времени равно
(1/2) · {συ)DDn2D- Действительно, скорость реакции (обратное время жизни) для одного ядра
дейтерия равна {στ’)ddud, но учитывать нужно только половину ядер. Однако в каждой DD-
реакции уничтожается два ядра дейтерия, что компенсирует указанный множитель 1/2.
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
221
где
<хр = 0,75^1 = 0,7577b · 2ζ(3)/π2 = 1,1 · 1(Г10 при ηΒ = 6,05 · Ю"10. (8.40)
К окончанию нуклеосинтеза величина арТ3 равна плотности свободных прото¬
нов (множитель 0,75 учитывает тот факт, что четверть барионов в конечном
итоге собирается в ядра гелия), а пВп совпадает с остаточной плотностью ядер
дейтерия. Поэтому
vDn{T —> 0) = —(Т —» 0).
Пр
Перед началом нуклеосинтеза мы имеем
Ηθη —
= Пв
Пп/Пр
1 “Н 7Ifi /Пр
и
VDn(T > Txs) = v\Од =
1 Пп/Пр
0.75 1 + пп{пр
0,16,
где мы воспользовались оценкой (8.27).
Из уравнения (8.38) следует уравнение Больцмана для VDn'
dvDn
dt
-<<™>D0apT3S2(I>l,„
Переходя, как обычно, от времени к температуре с помощью соотношения (3.32),
запишем
άνρη
dT
(oi’)dd aPMpi S2(T) v2Dn.
(8.41)
Отсюда для суммарного количества нейтронов в свободном состоянии и в дейте¬
рии получим
1
VDn
= +ЫП
»Όη
(8.42)
где
рОС
ЫТ)= J {σν)ΒΟ(Τ') · αρΜρι · S2(Tf) dT1.
(8.43)
С уменьшением температуры интеграл Id{T) растёт, а vBn убывает, как и сле¬
довало ожидать.
Используя формулу (8.42), оценим сначала характерную температуру, при
которой основная доля нейтронов переходит из системы свободных нейтронов
и дейтерия в 3Н 3Не и в конечном итоге в 4Не. В качестве такой характерной
температуры T,vs выберем температуру, при которой суммарное число свободных
нейтронов и нейтронов в дейтерии уменьшается вдвое, и, соответственно, поло¬
вина нейтронов связана в более тяжёлых ядрах. Это соответствует VDniTxs) =
uDnl25 то есть
Id{TnS) = .
i'ni.
(8.44)
222
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Мы сейчас убедимся, что T^s > Тр — 65 кэВ, то есть дейтерия при Т = T^s всё
ещё мало по сравнению со свободными нейтронами, Хр Хп, и поэтому
/"2,5Т
S[T) — -гг- — Vb I —
Лтг \ ТПг)
V*>/r
При интересующих нас температурах величина (σν)ρρ зависит от температуры
слабо и равна
з
(σν)ρρ{Τ > TD) = 3.4 · 10"17—, (8.45)
с
в согласии с оценкой (8.37). Интеграл Id{Tns) насыщается на нижнем пределе.
Учитывая сильную (экспононциальную) зависимость S2 от температуры (8.39),
этот интеграл при Т > То можно приближённо вычислить, переходя к перемен¬
ной Т-1 и интегрируя только экспоненту ехр(2Δ^/Τ). В результате получим
ID(T>TD)^ (av)DD(T > TD) ■ apMpt ■ ■η% е2^.
Учитывая, что Мр, = 4 ■ 1018 ГэВ, найдём из (8.44) значение
TNS = 75 кэВ.
Именно это значение мы использовали выше для оценок.
При понижении температуры интеграл 1р{Т) быстро растёт, и в соответ¬
ствии (8.42) концентрации свободных нейтронов и дейтерия быстро падают —
нейтроны переходят в более тяжёлые ядра. Так, при температуре То — 65 кэВ,
когда концентрации свободных нейтронов и дейтерия сравниваются, формула
(8.42) даёт7 uD(TD) = un(TD) = \Ήρ{Τρ)}-1 ^ 4 ■ ИГ4.
Проверим, что при температуре T^s — 75 кэВ дейтерий и свободные нейтро¬
ны действительно находятся в химическом равновесии между собой. Для этого
требуется, чтобы темп образования дейтерия в реакции ρ{ηη)ϋ (в химическом
равновесии равный темпу разрушения дейтерия в обратной реакции) был выше
темпа горения дейтерия в реакциях (8.33):
/ drip
\ dt
p{ny)D
i&v)p(n~t)D ' ПрПп ^
dnD,
irlDD
(av)oD ■ n2D.
Для отношения этих скоростей получим
R =
{συ)ρρ · rip
{συ)ρ(η~γ)Ρ ' 'Пр'Пп
(σν)ρρ Пп ί пр
{(Tv)р(п~у)Р Пр у Пп
(8.46)
7При Т = Тр приближение химического равновесия между свободными нейтронами и дей¬
терием имеет невысокую точность, поэтому Приведённые значения νρ{Τρ) и ип(Тр) представ¬
ляют собой оценки по порядку величины.
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
223
При Т = Tns выполняется пп/пр ~ ν^ηΙ2 — 0,1, а по/пп даётся формулой (8.20)
и численно равно по/пп = 1,4· 10“2. Используя значения сечений (8.31) и (8.45),
получим численно Я ~ 10-2 1, что и требовалось.
Формулой (8.42) можно воспользоваться и для того, чтобы оценить остаточ¬
ную концентрацию дейтерия: для этого в интеграле (8.43) нужно взять в качестве
предела интегрирования Т = 0. Для оценки этого интеграла можно заменить
52(Т) в подынтегральном выражении на ступеньку θ(Τρ — Т): в области Т ~ То
величина (ov)dd несильно зависит от температуры, a S2(T) быстро меняется
от нуля до единицы при понижении температуры. Поэтому соответствующий
интеграл оценивается как
ID(T = 0) = [ ° (av)DD{T) ■ ctpMpidT. (8.47)
Jo
В этом интеграле зависимость (av)oD от температуры довольно существенна.
Чтобы её учесть, перейдём к переменной интегрирования у — TQ и запишем
ID{T = 0) = 9,7 · 106 · ί Ае-4’26У dy при т)в = 6,05 · 10—10, (8.48)
J VD У
где у о = Т^1/3 = 1,1. Этот интеграл гораздо больше (i/W)_1, что согласно со¬
отношению (8.42) означает, что остаточная концентрация дейтерия практически
не зависит от начальной концентрации нейтронов. Отсюда имеем окончательную
оценку остаточной концентрации
— = VDn(T = 0) = Io1(T = 0) (8.49а)
Пр
= 2 · 10“5 при ηΒ = 6,05 · Ю'10. (8.49Ъ)
Это отношение не изменяется со времени нуклеосинтеза.
Поскольку Тр зависит от ηΒ слабо (логарифмически), главная зависимость
отношения концентраций дейтерия и протонов (8.49Ь) от ув связана с парамет¬
ром ар, см. (8.40). Из (8.42), (8.47) видно, что
по 1 1
— а — а —,
Tip Οίρ Ήβ
то есть это отношение обратно пропорционально ηΒ. Поэтому эксперименталь¬
ное измерение распространённости первичного дейтерия позволяет определить
плотность барионов.
Отметим, что интеграл в (8.48) набирается в интервале Δу ~ 0.25, то есть
существенной является область температур от То =65 кэВ до
Т9 ~ (Τήψ + Δу) _3 ~ 0,4, Т ~ 0,4 · 109 К ~ 35 кэВ.
В этом интервале температур концентрация нейтронов в среде мала, пп -С по,
при этом поп = по, и уравнение (8.38) по-существу описывает горение дейтерия
224
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
без учёта его образования в реакции p(ny)D. Поэтому сформулированного выше
предположения о химическом равновесии дейтерия и свободных нейтронов для
оценки остаточной концентрации дейтерия на самом деле делать не требуется.
Для дальнейшего полезно отметить, что оценку по порядку величины для
остаточной концентрации дейтерия можно получить и элементарным образом.
Для этого запишем уравнение Больцмана (8.41) при Т > То {с заменой von
на ιό) в виде
d\nvD Л г* г
——_ = (av)DD θίρΜΡΙ TvD.
Горение дейтерия прекращается, когда правая часть этого уравнения уменьша¬
ется до величины порядка единицы. Отсюда получим остаточную концентрацию
— ~ ((av)DD αρΜ·ρι ТУ1. (8.50)
Пр
Подставляя сюда характерное сечение (8.45) и характерную температуру То ~
65 кэВ, получим отсюда оценку, по порядку величины совпадающую с (8.49Ь).
Перейдём к рассмотрению ещё одной реакции с участием дейтерия:
D + р —> 7 + 3Не.
Сечение этой реакции заметно меньше сечения D D-реакций, рассмотренных вы¬
ше. Это связано с необходимостью испускания дополнительного фотона. Поэтому
σο ~ 10"21 см3/с и
где мы применили общую формулу (8.36) и учли, что для рассматриваемой ре¬
акции А = 2/3, Ζ\ = Ζί = 1.
Скорость этой реакции горения дейтерия пропорциональна концентрации
протонов в плазме
Г = пр ■ (σν)π(ρ>7)3Ηβ
и для г)в = 6,05 · КГ10 при Т ~ T'NS уступает темпу расширения Вселенной.
Эта реакция становится существенной при достаточно больших ηΒ: чем боль¬
ше концентрация барионовS * * 8, тем больше дейтерия «вымывается» и тем больше
образуется ядер 3Не.
8.3.3 *Первичные 3Не и 3Н
Гелий-3 и тритий, образованные в столкновениях ядер дейтерия, сами пере¬
горают в гелий-4. Для горения гелия-3 в реакции
3Не + D -> р + 4Не
SB этом разделе мы специальное внимание уделяем зависимости наблюдаемых величин
от параметра ηΒ и поэтому позволяем себе рассматривать его в качестве свободного. Напом¬
ним, однако, что он весьма жёстко фиксирован, безотносительно к нуклеосинтезу, имеющимися
экспериментальными данными по анизотропии реликтового излучения, см. рис. 8.3.
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
225
простая оценка (8.36) не работает (см. обсуждение в конце раздела 8.3.4). Вместо
неё скорость реакции в интересующей нас области энергий хорошо описывается
выражением
з
{σΊ^Ηθφ,ρ^Ηβ = (σν)3ΗβΌ = 10“10 · т9 1/2 · е_1,8 Тэ . (8.51)
При Тд ~ 0,75 (Т = 65 кэВ) эта скорость превышает скорость горения дейтерия
(8.37). Поэтому остаточная концентрация 3Не оказывается меньше, чем дейте¬
рия. Мы дадим здесь элементарный анализ, аналогичный тому, который привёл
к оценке (8.50). Поступая так же, как в предыдущем разделе, запишем уравнение
Больцмана
= apMp{T ({av)3UeD vD · wHe - av)DD , (8.52)
где первое слагаемое в скобках описывает выгорание 3Не, второе — его наработ¬
ку в DD-реакции, и мы учли, что сечение образования 3Не составляет примерно
половину полного сечения горения дейтерия. При высоких температурах, когда
apMpl{av)3-ftQ£)TvD 1, наработанный 3Не быстро выгорает, и его концентра¬
ция поддерживается на таком уровне, что правая часть (8.52) является малой
величиной, то есть
из Не —
1 {συ)
DD
I'D-
2 (цг')зНе£>
Горение 3Не прекращается при такой температуре, что
(8.53)
apMpl(av)3Ue DTvD ~ 1.
(8.54)
Физически это условие означает, что скорость горения на одно ядро 3Не па¬
дает до величины порядка параметра Хаббла, (стг>)знеDnD ~ Н (напомним, что
ocpvd = ud/T3). Подставляяв (8.54) i>d ~ 2 ·10_ο, ползшим оценку для температуры
2~3He — 35 КЭВ, Гзне 9 = 0,4.
Отметим, что и о при Т ~ ТзНе уже совпадает по порядку величины с остаточной
концентрацией дейтерия (8.49Ь), поэтому подстановка её в (8.54) законна.
Е> Задача 5. Проверить, что при Т ТзПс изменение со временем относитель¬
ной концентрации νз, вычисленной по формуле (8.53), таково. что левая
часть уравнения (8.52) мала по сравнению с каждым из слагаемых, фи¬
гурирующих в правой части этого уравнения. Эта проверка обосновывает
формулу (8.53).
При температуре ТзНе концентрация 3Не оценивается согласно (8.53). На¬
чиная с температуры ТзНе главным в уравнении (8.52) является второй член:
реакция D + D —» 3Не + η с малой вероятностью продолжает идти. Оценка на¬
работанной при Т < Тзне концентрации 3Не, грубо говоря, совпадает с (8.53).
В результате остаточная концентрация оценивается как
пзНе л 1 (ov)DD 1 2
—— = ^ дт—τ vd - ~ΟίρΜριТ(συ)DDvD.
Tip λ (<Jt/)3jjeD *·
(8.55)
226
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
где правая часть вычисляется при Т = ТзНе· Численно
пр
что действительно несколько меньше остаточной концентрации дейтерия. Тот
факт, что величины остаточных концентраций 3Не и дейтерия получились до¬
вольно близкими, связан с почти точным численным равенством скоростей {συ)
горения 3Не и дейтерия при температуре ХзНе = 35кэВ, существенной как для
горения 3Не, так и для горения дейтерия.
Аналогичным образом рассматривается горение трития,
Т + D —> 4Не 4- п.
Сечение образования трития — примерно такое же, как для 3Не, а скорость го¬
рения равна
{<7г)т(о, п)'*Не — 10 1θ ~~ ‘ ^9 ' ' е
(8.56)
Стоит отметить довольно слабую температурную зависимость этой скорости в ин¬
тересующей нас области температур. Скорость горения трития больше, чем гелия-
3, поэтому его горение прекращается ещё позже, чем горение 3Не, а остаётся его
ещё меньше. Тритий радиоактивен, и распадается, не образуя реликтовую по¬
пуляцию, однако во время нуклеосинтеза он участвует в образовании остальных
химических элементов, и величина его концентрации нам будет нужна для по¬
лучения наблюдаемых реликтовых концентраций тяжёлых ядер. Оценка отно¬
шения закалочных концентраций трития и дейтерия производится так же, как
для 3Не. Из соотношения, аналогичного (8.54), получаем, что тритий перестаёт
гореть при
Тт — 12 кэВ, Тт э = 0.14,
н используя формулу, аналогичную (8.55), получим численно
— ~ 3 - 10~т при ηΒ = 6.05- 1(Г10. (8.57)
ПР
Как отношение п*це/пр. так и отношение пт/пР, грубо говоря, обратно пропор¬
циональны ηΒ. Более аккуратный анализ даёт пзцс/пр ос τ]β0'6. см. рис. 8.5.
Отметим в заключение, что неоднократно упоминавшийся нами факт, что
в процессе первичного нуклеосинтеза практически все свободные нейтроны свя¬
зываются в ядра 4Не, напрямую связан с тем, что реакции горения гелия-3 и три¬
тия при Т ~ Tixs идут быстрее, чем реакции их образования из дейтерия. Если бы
это было не так, дейтерий бы выгорел быстрее всего, и реакции 3He+D —> 4Не+р,
Т + D —» 4Не + п прекратились бы на этапе, когда нейтроны были бы в основ¬
ном связаны в ядрах гелия-3 и трития, а не в ядрах 4Не. С другой стороны,
не слишком малые значения остаточных концентраций 3Не и Т связаны с тем,
что скорости их горения сравнимы со скоростью горения дейтерия при Т ~ Τχ5.
хотя п несколько выше её. Определённое разнообразие лёгких элементов, обра¬
зующихся в результате первичного нуклеосинтеза, обусловлено довольно слу¬
чайными численными совпадениями сечений термоядерных реакций при низких
энергиях.
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
227
8.3.4 * Образование и горение наиболее тяжёлых ядер
первичной плазмы
В качестве примера реакций с участием наиболее тяжёлых элементов первич¬
ного нуклеосинтеза рассмотрим образование и горение 7Li в реакциях Т(а. 7)'Li
и 7Li(p, а)4Не соответственно.
Для реакции образования неплохо работает формула (8.36), в которой
σο ос т~2 · a
(множитель а обусловлен испусканием фотона). Численно
(<™)T(a,7)7Li ~ ИГ18 · T9_2/J · е_8,0 Т9 73. (8.58)
Темп выгорания трития по этому каналу
(συ)τ(α,7)7ίΐ ■ na ~ 1.5 ■ 10 4 с г, Т9 = 0.75.
мал по сравнению с параметром Хаббла. Для реакции горения 7Li формула (8.36)
также работает, и с её помощью можно получить
В этой реакции σο обусловлено целиком сильными взаимодействиями, поэтому её
скорость гораздо выше скорости образования (8.58). Численно темп выгорания
лития-7 равен
(<™)7Li(pja)4He · пр ~ 0,7 с 1 при Г9 = 0.75, ηΒ = 6,05 · 10 10,
что превышает параметр Хаббла. Поэтому горение 7Li прекращается довольно
поздно, когда плотность протонов существенно уменьшится вследствие расшире¬
ния Вселенной, а скорость горения упадет. Температура, при которой прекра¬
щается горение, определяется из соотношения (ср. (8.54); учитываем, что vp = 1)
QpMpi (<™)7Li(pja).iHe ~ 1·
Для неё имеем численно
Т~ы — 18 keV, TrLi 9 ~ 0,2.
В результате остаточная концентрация лития-7, образованная по рассматривае¬
мому каналу, оценивается как (ср. (8.55))
I'-Li ^
(σ^)τ(α,7)~ίί
(^^)7Li(p,Q)4He
• νΎνα
6- ΙΟ-11
(8.59)
где να — па/пр = (0,25/4)/0.75 ~ 0,08, и мы подставили остаточную концентра¬
цию трития9 (8.57).
9Поскольку Гтц > Τχ, это не совсем законно: для концентрации трития следует пользо¬
ваться соотношением, аналогичным (8.53). Ввиду близости TVLi и Τχ эта тонкость для оценки
несущественна.
228
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Весьма существенно и образование 7Ве. Этот элемент нестабилен, поэтому
концентрация первичного бериллия не является непосредственно наблюдаемой
величиной. Бериллий-7 переходит в литий-7 либо в результате захвата элек¬
трона, 7Ве(е“, ue)‘Li. либо в результате реакции 7Be(n,p)7Li. Таким образом,
литий-7 образуется либо непосредственно в результате слияния ядер трития с а-
частицами, либо через бериллий. Существованием двух различных механизмов
образования обусловлена немонотонная зависимость концентрации первичного
лития-7 от величины ηΒ. Соотношение (8.59) справедливо для падающей с ро¬
стом ηΒ ветви, для реалистичное же значение ηΒ приходится на ветвь, растущую
с ростом ηΒ. обусловленную процессами с бериллием-7.
Кратко опишем процедуру вычисления скоростей горения (συ), определяю¬
щих в конечном итоге остаточные концентрации первичных лёгких химических
элементов (см. подробнее [108]). Усреднение по энергиям осуществляется с функ¬
цией распределения Больцмана,
{σν)=I ■ \f^ ■ Гσ(Ε) ■Е ■ е~Е/т άΕ' (8·6ο)
где и — относительная скорость сталкивающихся частиц, μ — их приведенная
масса (все частицы, кроме фотонов и нейтрино, предполагаются нерелятивист¬
скими). σ(Ε) — сечение рассеяния частиц в соответствующем канале (процессы
2 —► 2 являются доминирующими) как функция кинетической энергии Е в си¬
стеме центра масс.
Если одна из сталкивающихся частиц — нейтрон, то реакция идёт за счёт
сильных взаимодействий. Предполагая, что при малых энергиях реакция проис¬
ходит в 5-волне, т. е. σ ~ и-1, её сечение, стоящее под знаком интеграла в (8.60),
при энергиях, далёких от резонансных, естественно представить в виде:
σ{Ε) =
R(E)
v(E)
Функция R(E) слабо зависит от Б в интересующей нас области энергий Е <
1 МэВ, что позволяет приблизить её несколькими первыми членами разложения
в ряд Тейлора по скорости, т. е. по у/Е.
ще) = ς
п=О
Е(п)(0)ЕпП
п!
причём величины i?^n^(0) определяются фитированием существующих экспери¬
ментальных данных по изучению соответствующей реакции при низких энерги¬
ях. В данном случае интеграл в (8.60) можно взять аналитически, получив для
скорости горения нейтронов в данном канале (συ) следующее выражение:
(συ) (Г) = Σ
п=О
я<">(0) Γ(ϋ±2)
η! Г(|)
. 2^/2
Если реакция имеет резонансный характер (например, реакция 7Be(n,p)7Li име¬
ет резонансы при энергиях Er ~ 0,32 и 2,7 МэВ), то для случая изолированного
8.3. Кинетика нуклеосинтеза
229
ядерного резонанса энергии Er и ширины Гя сечение σ(Ε) вблизи резонанса
удобно представить в форме Брейта—Вигнера,
/гл _ 77 (2«/ + 1)(1 + $jj) Fίη(Ε)Γout(E)
σ( 1 ~ 2μΕ (2Ji + 1)(2Jj + 1) (Ε- Εαγ - (Γ/2)2 ’
где Ji, Jj и J — полные угловые моменты начальных адронов и резонанса,
а ТгП(Е) и Tout{E) — парциальные ширины распада данного резонансного состоя¬
ния в начальные и конечные частицы соответственно. Функции ГгП(£|) и T0Ut(E)
также определяются из эксперимента. Отметим, что в случае узкого резонанса,
Г < Er, интеграл (8.60) имеет хорошее аналитическое приближение,
(σν){Τ)
2π ^3//2 (2J + 1)(1 ГгПГои4 -ея/т
μΤ) ЩТТхцТТ) г е
(8.61)
Если обе частицы заряжены, то на протекание реакции существенно вли¬
яет дальнодействующее электромагнитное взаимодействие, приводящее за счёт
кулоновского барьера к экспоненциальному подавлению сечения с показателем
экспоненты, определяемым параметром Зоммерфельда
С — aZiZj
где Ед — энергия Гамова. Для сечения σ(Ε) удобно оказывается воспользоваться
следующим представлением,
σ(Ε)
SW . е-2„с
Е
Полагая, что функция S(E) полиномиальна по Е, интеграл (8.60) можно взять
методом перевала,
где
{σν)(Τ) =
2σ0 j
т V
1 2
βΤ 7Г
. е-3(Eg/4Tf/3
■ So(Eo),
( Т
\ 2/3
2 Egf
rj-t \ δ/6
V2 Ед
) '
σο = 75(
Щ)
(8.62)
— перевальная точка и ширина перевала, а функция Sq(Eq) полиномиальна
по (σο/Eof ос (T/Egf^z и может быть определена из эксперимента. Отметим,
что в действительности параметр разложения метода перевала a/Eq = (Т/Ед)1^6
оказывается достаточно велик, так что для хорошего приближения требуется ис¬
пользовать полиномы большого порядка. На практике часто прибегают к другим
полуаналитическим приближениям для улучшения сходимости рядов при оцен¬
ке скоростей (σν). Например, реакции T(D, п)4Не и 3He(D,p)4He имеют резо¬
нансы. Несмотря на то, что они являются широкими, для описания вклада ре¬
зонансных областей в интегралы можно воспользоваться приближением узкого
резонанса (8.61). Численно это приближение оказывается довольно хорошим для
этих реакций, и именно резонансные вклады оказываются доминирующими в ин¬
тересующей нас области температур. Этим приближением мы воспользовались
230
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
в основном тексте, поэтому зависимость от температуры в показателях экспонент
в выражениях для скоростей этих реакций (8.51), (8.56) отличается от той, что
получается из аналитического приближения (8.62).
Итак, для описания скоростей (συ) существенны экспериментальные данные
по ядерным реакциям. Ясно, что для аккуратного описают реакций при тем¬
пературах Т ~ Tjvs необходимо иметь как можно больше данных именно при
низких энергиях, Е < 1 МэВ. В ряде случаев, например для реакций р(п, 7)D.
D(p, 7)3Не, таких данных очень мало, что приводит к неопределённостям в пред¬
сказании распространённости первичных элементов. Отметим, что для первой
реакции р(п, 7)D хорошо работает теоретическое описание, которое часто и ис¬
пользуют в расчётах.
В заключение отметим, что эффекты, связанные с возбуждением ядер в плаз¬
ме, а также частичная экранировка ядер свободными электронами оказываются
малосущественными.
8.4 Наблюдаемая распространённость
первичных элементов
Теория первичного нуклеосинтеза хорошо разработана. На основе численных
расчётов с высокой точностью получены предсказания распространённостей всех
лёгких элементов, образованных в первичной плазме. Эти предсказания проверя¬
ются в результате наблюдений областей Вселенной, химический состав которых
по тем или иным причинам не изменился, несмотря на эволюцию Вселенной.
Как мы уже отмечали, более тяжёлые ядра образуются в основном в термо¬
ядерных реакциях внутри звёзд, т. е., грубо говоря, уже в нашу эпоху, 2 ~ 0-10.
Первичные ядра служат при этом строительным материалом для более сложных
химических элементов. Таким образом, в результате звёздной эволюции часть
первичных лёгких ядер трансформируется в более тяжёлые ядра, часть, наобо¬
рот, трансформируется в более простые — разрушается под воздействием жёстко¬
го 7-излучения, сопровождающего процессы звёздообразования. В то же время,
термоядерные процессы рождения более тяжёлых ядер часто в качестве побоч¬
ных продуктов реакций содержат и лёгкие ядра. Кроме того, состав лёгких ядер
пополняется продуктами диссоциации тяжёлых ядер под воздействием тех же
энергичных 7-квантов. Все эти процессы приводят к изменению локальной рас¬
пространённости лёгких ядер по сравнению с их первичной концентрацией.
Лишь в определённых областях Вселенной локальная распространённость
некоторых лёгких ядер не изменялась. Это области, где процессы звёздообразова¬
ния протекали слабо: например, наиболее удалённые области (области с наиболь¬
шим красным смещением) и/или области с малой распространённостью металлов
(что можно выяснить, изучая спектр поглощения света от далёких квазаров).
Дейтерий занимает в ряду лёгких ядер особую роль: вследствие очень низкой
энергии связи он не образуется в процессах звёздного нуклеосинтеза, а, наоборот,
только разрушается. Поскольку неизвестно никаких существенных астрофизиче¬
8.4. Наблюдаемая распространённость первичных элементов
231
ских источников дейтерия10, то любое измерение его локальной распространён¬
ности даёт ограничение снизу на концентрацию первичного дейтерия. Отметим,
что в последнее время распространённость дейтерия измеряется по спектроско¬
пии расположенных на космологических расстояниях облаков обеднённого ме¬
таллами газа, поглощающего свет от далёких квазаров.
Распространённость гелия-4 изучается по обеднённым металлами облакам
ионизованного водорода в карликовых галактиках (рождение гелия-4 в звёздах
сопровождается рождением тяжёлых элементов, поэтому отсутствие последних
в облаках — свидетельство того, что гелий-4 там в основном первичный).
Для измерения распространённости лития-7 используют результаты спек¬
троскопии обеднённых металлами старых звёзд (звёзды второго поколения) в ша¬
ровых скоплениях нашей Галактики.
Для 3Не пока не найдено областей во Вселенной, для которых можно бы¬
ло бы уверенно заключить, что основная доля содержащихся там лёгких ядер
сохранилась со времён первичного нуклеосинтеза. Кроме того, он менее чувстви¬
телен к концентрации барионов ηΒ. чем дейтерий, и измерение его современной
распространённости больше говорит о процессах звёздообразования и эволюции
Галактики, чем о деталях первичного нуклеосинтеза.
Сами по себе измерения относительных локальных распространённостей хи¬
мических элементов основаны на спектроскопии и поэтому весьма точны. Основ¬
ная ошибка в измерении первичной концентрации лёгких элементов — система¬
тическая и, грубо говоря, обусловлена неуверенностью в «первичности» состава
наблюдаемых облаков или звёзд. Предсказания нуклеосинтеза для распростра¬
нённостей первичных элементов вместе с результатами наблюдений приведены
на рис. 8.5.
В целом эти результаты неплохо согласуются друг с другом и с величиной
ηΒ = 6,05 ■ Ю-10, полученной из измерений анизотропии реликтового излуче¬
ния, хотя систематические неопределённости в измерении распространённости
первичных элементов ещё весьма велики. В то же время, они достаточны для
того, чтобы получить важную информацию о составе первичной плазмы в эпоху
нуклеосинтеза. Этой информацией можно воспользоваться для получения ре¬
зультатов, интересных для физики частиц.
Во-первых, как мы уже отмечали, нуклеосинтез накладывает ограничение
на концентрацию новых релятивистских частиц при Т ~ 1 МэВ, см. (8.29).
Во-вторых, в эпоху нуклеосинтеза или несколько позже не могло происхо¬
дить распада (или аннигиляции) каких-либо новых частиц, сопровождающегося
рождением большого числа энергичных фотонов. Если основной канал распада
тяжёлой частицы X — это распад
X -> 7 Υ,
где Υ — частица с mY «С τηχ, то энергия рождённого фотона равна ΕΊ « τηχ/2.
Такие фотоны опасны с точки зрения нуклеосинтеза из-за двух эффектов. Пер¬
вый из них — это разрушение лёгких элементов жёсткими фотонами. Второй
связан с развалом 4Не: хотя это и сильносвязанное ядро, оно может расколоться
10Вообще говоря, известны довольно редкие астрофизические явления, где в сильно нерав¬
новесных условиях может образоваться малое количество дейтерия.
232
Глава 8. Первичный нуклеосинтез
Е 1 , , ,8^888 , ■ ■ н
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Барион-фотонное отношение ηΒ х 10ю
Рис. 8.5. Предсказания нуклеосинтеза для распространённостей первичных
4 Не, D, 3 Не, 1Li вместе с результатами наблюдений [5] (2σ неопределенности:
статистические — сплошные линии, статистические и систематические —
пунктир: неопределенности в вычислении распространнностей соответству¬
ют толщине линий). Вертикальная полоса «СМВ» — результат для ηΒ} сле¬
дующий из анализа анизотропии реликтового излучения. По оси абсцисс отло¬
жено Г7ю = · Ю10,. по оси ординат:
γ __ П4Не'т4Не
Р тгн-тн+П4Не-т4Не
— массовая концентрация АНе. пр/пи, язне/пн у- П7и/Пн ~ распространён¬
ности остальных элементов по отношению к водороду. Индекс р обозначает
первичные (primordial) концентрации
8.4. Наблюдаемая распространённость первичных элементов
233
на более лёгкие ядра под действием жёсткого фотона. Поскольку во Вселенной
много ядер 4Не, это привело бы к перепроизводству более лёгких элементов,
в особенности 3Не. Соответствующие ограничения [109] в пространстве парамет¬
ров τχ и ζχ, где τχ — время жизни Х-частицы, а
ηχ Ωχ
ζχ = rnx— = τ^—τηρηΒ,
ηΊ Ив
представлены на рис. 8.6.
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Log [τχ (с)]
Рис. 8.6. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 596.) Модельно-
независимые ограничения из первичного нуклеосинтеза на модели с долгоживу¬
щими нестабильнъши частицами, распадающимися с образованием высокоэнер¬
гичных фотонов [109J. Модели с параметрами выше сплошных линий исключены
результатами наблюдений распространённости соответствующих элементов.
Верхние линии соответствуют наиболее консервативным оценкам
Примерами моделей с такими X- и У-частицами служат некоторые суперсим¬
метричные расширения Стандартной модели физики частиц, причём в качестве
распадающихся Х-частиц может выступать нейтралино, а в качестве стабильной
У-частицы — гравитино (см. раздел 9.7).
Аналогичные ограничения [111] следуют на модели с долгоживущими части¬
цами, распадающимися в адроны.
Ещё одним источником ограничений на параметры моделей, расширяющих
Стандартную модель, служит тот факт, что в эпоху нуклеосинтеза невозможно
дополнительное производство энтропии. В противном случае изменилась бы тем¬
пература нуклеосинтеза, а значит, и количество нераспавшихся нейтронов, и как
следствие — распространённость образовавшегося гелия-4 (см. (8.28)).
Глава 9
Тёмная материя
Мы уже многократно отмечали, что заметный вклад в полную плотность
энергии в современной Вселенной (около 25 %) вносит тёмная материя, которая,
по-видимому, состоит из новых массивных частиц, отсутствующих в Стандарт¬
ной модели физики частиц. Эти частицы должны быть нерелятивистскими,
не должны испытывать дальнодействующнх сил между собой1 и не взаимо¬
действовать (или если взаимодействовать, то очень слабо) с фотонами. Послед¬
нее требование вытекает из наблюдений, показывающих, что гало тёмной мате¬
рии в галактиках гораздо больше областей, заполненных барионами, см. рис. 1.8
в Главе 1. Это означает, что тёмная материя, в отличие от барионов, не испыты¬
вает охлаждения за счёт испускания фотонов.
Ясно, что кандидаты на роль частиц тёмной материи должны быть долго¬
живущими. Минимальное требование состоит в том, чтобы время их жизни пре¬
вышало возраст Вселенной. Дело в том, что плотность массы тёмной материи
известна как в современную эпоху (из изучения распределений массы в скопле¬
ниях галактик и других наблюдений), так и в более раннюю эпоху активного
формирования структур и в ещё более раннюю эпоху рекомбинации. Сравнение
соответствующих данных показывает, что масса тёмной материи в сопутствую¬
щем объёме если и убывает, то незначительно. Если же говорить о возможно¬
сти распада в частицы Стандартной модели, то тут. как правило, ограничения
оказываются ещё сильнее: (пока?) безрезультатные поиски фотонов, позитронов,
антипротонов, нейтрино от возможного распада частиц тёмной материи в гало
галактик указывают на то, что времена распада по этим каналам превышают
1 Дальнодействующие силы между частицами тёмной материи приводили бы среди прочего
к формированию в основном шарообразных гало, что противоречит наблюдениям (в частности,
наблюдения галактик в скоплениях показывают, что подавляющее большинство гало скоплений
существенно эллипсоидальны). В то же время стоит отметить, что заметное сечение упругого
рассеяния частиц тёмной материи самих на себе позволило бы избежать проблем с распределе¬
нием тёмной материи в центрах галактик, где компьютерные вычисления в модели с невзаимо¬
действующей холодной тёмной материей предсказывают слишком резкое увеличение плотности
её массы при приближении к центру. При этом упомянутой проблемы с формой гало не появ¬
ляется для упругих сечений и масс, удовлетворяющих условию σ/Μχ « 1СГ24 см2/ГэВ [113].
234
9.1. Холодная, горячая и тёплая тёмная материя
235
возраст Вселенной на много порядков величины. В такой ситуации естественно
предположить, что частицы тёмной материи стабильны. В теории элементарных
частиц за стабильностью, как правило, стоит некоторое (почти) сохраняющееся
квантовое число или сразу несколько таких чисел. Поэтому объяснение явле¬
ния тёмной материи требует введения в теорию новой частицы и, вероятно (но.
строго говоря, не обязательно), нового сохраняющегося квантового числа для
обеспечения её стабильности на космологически больших временах.
В этой Главе мы рассмотрим некоторые механизмы генерации тёмной ма¬
терии во Вселенной и некоторые расширения Стандартной модели, в которых
имеются частицы — кандидаты на роль частиц тёмной материи. Сразу сделаем
одно важное замечание: ни один из излагаемых ниже механизмов не объясняет
приближённого (с точностью до множителя 5) соотношения
Рв,0 ~ PDM,0; (9.1)
где рв,о и ром,о — плотность энергии (массы) барионов и частиц тёмной мате¬
рии в современной Вселенной. В литературе было предложено несколько воз¬
можных механизмов генерации тёмной материи и барионной асимметрии, при¬
водящих к соотношению (9.1), однако убедительного и естественного объяснения
приближённого равенства рв и ром до сих пор не найдено. Возможно, это —
действительно случайное совпадение.
9.1 Холодная, горячая и тёплая тёмная материя
Сделаем для определённости предположение о том, что частицы тёмной ма¬
терии X находились в кинетическом равновесии с обычным веществом в ранней
Вселенной2. В какой-то момент эти частицы вышли из равновесия и с тех пор
распространяются свободно. Если соответствующая температура Td (decoupling)
заметно меньше массы частиц тёмной материи Μχ, то эти частицы отщепляются,
будучи нерелятивистскими. В этом случае говорят о холодной тёмной материи;
она считается наиболее предпочтительным вариантом. В противоположном слу¬
чае Td > Μχ рассматривают два варианта: Μχ < 1 эВ и Μχ > 1 эВ. Первый слу¬
чай соответствует горячей тёмной материи; именно он реализуется для нейтрино,
как мы обсуждали в Главе 7. Во втором случае говорят о тёплой тёмной мате¬
рии. Разница между этими случаями состоит в том, что горячая тёмная материя
является релятивистской к моменту перехода от радиационно-доминированной
к пылевидной стадии (напомним, что этот переход происходит при Teq ~ 1 эВ,
см. раздел 4.4), а тёплая тёмная материя является уже нерелятивистской к этому
моменту. Мы увидим во второй части книги, что рост возмущений плотности про¬
исходит существенно по-разному на радиационно-доминированной и пылевидной
стадиях, и что этот рост существенно зависит от того, является ли тёмная мате¬
рия релятивистской или нет на пылевидной стадии. Отсюда и различие между
горячей и тёплой тёмной материей.
2Это предположение, впрочем, может не выполняться, как мы увидим в некоторых примерах
в разделах 9.5 — 9.8.
236
Глава 9. Тёмная материя
Один их эффектов, специфических для горячей или тёплой тёмной материи,
состоит в следующем. Пусть во Вселенной изначально имелись малые неоднород¬
ности плотности тёмной материи, и был период, когда частицы тёмной материи
являлись релятивистскими и распространялись свободно (это происходило в ин¬
тервале температур Тд > Т > Μχ). В этот период частицы тёмной материи
двигались во Вселенной почти со скоростью света, они быстро покидали области
с повышенной плотностью и заполняли области с пониженной плотностью, — ра¬
зумеется, в пределах текущего космологического горизонта. В результате этого
процеса свободного перемешивания (free streaming) неоднородности плотности
тёмной материи с размерами меньше текущего горизонта замывались. Таким
образом, для горячей и тёплой тёмной материи характерны малые амплитуды
возмущений плотности на относительно малых пространственных масштабах.
Свободное перемешивание прекратилось при Т ~ Μχ. Размер горизонта
на этот момент, растянутый в (1 4- ζ) ~ Т/То раз, и определяет максималь¬
ный современный размер областей, в которых возмущения плотности подавлены.
В случае тёплой тёмной материи момент Т ~ Μχ имеет место на радиационно-
доминированной стадии, и размер горизонта на этот момент равен
/ М*Р1 ^ ^Р1
11 ~ Т2 Л/2 ‘
Соответствующий современный размер имеет порядок величины
т щ,
х.° ιΗΤο~ΤαΜχ
Таким образом, в моделях с тёплой тёмной материей неоднородности с современ¬
ными размерами /о < /х.о подавлены по сравнению с моделями с холодной тёмной
материей. Для Μχ ~ 1 кэВ учтём, что д* — 3,36 при Т ~ 1 кэВ (см. (4.23)), так
что Мр{ = Μρι/( 1.66 \/gI) = 4 · 1018 ГэВ. Получим из (9.2)
Ιχ,о ~ 3 ■ 1023 см = 0,1 Мпк, Μχ ~ 1 кэВ.
В случае Μχ ~ 1 эВ соответствующий размер имеет порядок
Ιχ,о ~ 100 Мпк, Μχ ~ 1 эВ. (9.3)
Возмущения на всех масштабах, меньших 100 Мпк, подавлены и в моделях с го¬
рячей тёмной материей.
В моделях с горячей тёмной материей сначала формируются самые круп¬
ные структуры — сверхскопления, которые потом распадаются на более мелкие
структуры — скопления. Галактики формируются в последнюю очередь, и этот
процесс должен был начаться не так давно. Такая последовательность форми¬
рования структур противоречит наблюдениям, поэтому горячая тёмная материя
может составлять лишь небольшую часть всей тёмной материи.
Пространственные размеры порядка 0,1 Мпк характерны для начальных
возмущений, из которых в конечном итоге образовывались структуры с размера¬
ми, несколько меньшими обычных галактических масштабов, в том числе карли¬
(9.2)
9.1. Холодная, горячая и тёплая тёмная материя
237
ковые галактики3 * *. Изучение структур таких масштабов приводит к ограничению
снизу на массу частиц тёмной материи
Μχ > 1 кэВ. (9.4)
Похожее ограничение получается и из совсем других соображений, основанных
на оценках фазовой плотности частиц тёмной материи в карликовых галактиках.
Мы его обсуждаем во второй части книги, а результат приведён в (7.34).
Как видно, возможность существования тёплой тёмной материи до сих пор
не исключена. Подчеркнём, что указанные ограничения относятся к тёмной мате¬
рии, когда-то находившейся в кинетическом равновесии с обычным веществом.
Для случая частиц тёмной материи с произвольной функцией распределения
по импульсам оценку (9.4) следует модифицировать, умножив правую часть
на отношение среднего импульса частиц к среднему импульсу равновесного (теп¬
лового) распределения, (|р|)/(|р|)т- Отметим, что из сравнения картины анизо¬
тропии реликтового излучения и динамики роста крупномасштабной структуры
Вселенной следует общее утверждение: если частицы тёмной материи были в рав¬
новесии с первичной электрон-фотонной плазмой, они должны были отщепиться
при температуре Td > 1 кэВ, независимо от их массы (см. подробнее во второй
части книги).
Для частиц тёмной материи, никогда не находившихся в кинетическом рав¬
новесии с частицами первичной плазмы, модельно-независимое ограничение сни¬
зу на их массу существенно слабее. Это ограничение следует из необходимости
«заключить» частицы тёмной материи в галактики. Для бозона это означает, что
его волна де Бройля Λ = 2π/(Μχνχ) должна быть меньше 1 кпк — типичного
размера карликовой галактики. Учитывая, что скорость частиц тёмной материи
в карликовых галактиках νχ ~ 10-4, получим отсюда
Мх > 4 · 10-22 эВ.
Для фермионов ограничение значительно сильнее, что связано с принципом Па¬
ули. Предположив, что частицы тёмной материи в гало — фермионы — име¬
ют максвелловское распределение по скоростям (что ожидается для частиц хо¬
лодной тёмной материи), получим для их плотности распределения в фазовом
пространстве
/(Р;х)
рх(х) 1 ех
Μχ {^ΜχνχΥ
2 Μ2χυ
х
где рх (х)/Мх и νχ — плотность числа и дисперсия скоростей частиц тёмной
материи в гало. Как функция импульса, /(р,х) принимает наибольшее значение
при р = О,
/тах(р,х)
Рх(х) 1
Мх '(2π)3/24·
3Плотность материи в галактиках по порядку величины составляет 10°-106 средней плот¬
ности материи во Вселенной. Это означает, что материя в галактике собралась из окружающей
области с размером, в 50-100 раз превышающим размер галактики. Отсюда и следует приве¬
дённая оценка.
238
Глава 9. Тёмная материя
Это наибольшее значение не может превысить масимально возможную плотность
распределения фермионов, допустимую принципом Паули (см. (5.4)),
г 9х
ТХ (2тг)3'
Полагая дх = 2, υχ ~ 10-3 и р(х) ~ 0,5ГэВ/см3 (характерная плотность массы
в гало Галактики), получим ограничение
Мх > 25 эВ.
Более сильное ограничение следует из существования гало карликовых галактик.
Здесь плотность энергии в центре может достигать ~ 15 ГэВ/см3, что даёт
Мх > 750 эВ.
Отметим, что формально ограничение сверху на массу частицы тёмной ма¬
терии составляет около тысячи масс Солнца(см., например, [114, 115]),
Мх < 103М© ~ 1061 ГэВ.
Оно следует из стабильности звёздных скоплении в Галактике, которые разруша¬
лись бы приливными силами, возникающими благодаря гравитационным полям
пролетающих мимо более тяжёлых «частиц» тёмной материи.
9.2 Закалка тяжёлых реликтовых частиц
Перейдём к обсуждению одного из наиболее привлекательных космологиче¬
ских сценариев генерации холодной тёмной материи. В следующих разделах этой
Главы мы обсудим несколько конкретных примеров, но сначала проведём вычис¬
ление остаточной концентрации тяжёлых реликтовых частиц в общем виде.
Итак, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеются некоторые стабиль¬
ные тяжёлые частицы X. находившиеся в термодинамическом (в том числе хи¬
мическом) равновесии с остальным веществом во Вселенной при достаточно
высоких температурах. Пусть взаимодействия Х-частиц с остальным веществом
достаточно интенсивны, так что они продолжали находиться в термодинамиче¬
ском равновесии и при температурах, несколько меньших их массы Μχ. Это
предположение, разумеется, нужно будет обосновать результатом вычисления
температуры закалки. Предположим также, что во Вселенной нет асимметрии
между частицами X и античастицами X. т. е. их плотности равны между собой:
ηχ — Πχ = 0. (9.5)
Это предположение весьма существенно: результаты этого раздела не примени¬
мы ко Вселенной, асимметричной по отношению к Х-частицам. Нашей задачей
является вычисление4 современной плотности массы Ωχ частиц X и X.
^Отметим. что для асимметричной по отношению к частицам X плазмы вычисление на-
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
239
Другая возможность, приводящая по-существу к тем же результатам, состо¬
ит в том, что X — истинно нейтральная частица (т. е. X совпадает с X), но X-
частицы рождаются и уничтожаются только парами; мы приведём конкретный
пример такой ситуации в разделе 9.6.1. В этом случае условие (9.5) выполняет¬
ся автоматически. Мы для определённости здесь будем рассматривать вариант
с частицами и античастицами.
При температуре Т < Μχ в термодинамическом равновесии имеем
= rq = дх (^)3/2е~"*/Г· (9.
Здесь мы учли соотношение (9.5). положив химический потенциал X-частиц рав¬
ным нулю. Из-за стабильности частиц X и X изменение их количества в сопут¬
ствующем объёме происходит за счёт реакции аннигиляции и обратных реакций
парного рождения
XX лёгкие частицы .
Пока скорости этих реакций выше темпа расширения Вселенной, концентрация
частиц X даётся равновесной формулой (9.6). В какой-то момент плотность X-
частиц падает так сильно, что рождение, а потом и аннигиляция прекращаются.
При этом, как правило, и после завершения аннигиляционных процессов частицы
тёмной материи продолжают находиться в кинетическом равновесии в плазме
вплоть до довольно низких температур.
Эволюцию плотности числа Х-частиц в плазме получим из решения урав¬
нения Больцмана в расширяющейся Вселенной (ср. с разделом 5.4),
^ + 3Нпх = ~(σ°™ ■ V) · (п\ - п%2). (9.7)
Здесь (σαηη ■ ν) — усреднённое по импульсам с равновесными функциями распре¬
деления и просуммированное по всем каналам аннигиляции произведение сече¬
ния аннигиляции и относительной скорости аннигилирующих частиц ν.
Простой способ получить уравнение (9.7) состоит в следующем. Вероятность
аннигиляции какой-то фиксированной X-частицы в единицу времени в среде
с плотностью античастиц ηχ = ηχ равна
Гαηη = (σαηη ■ ν) ■ пх. (9.8)
Отсюда изменение числа Х-частиц в сопутствующем объёме а3 за счёт их анни¬
гиляции равно
= -Га™ · пха3 = —(σαηη ■ ν) ■ п2ха3. (9.9)
много проще. В предположении, что аннигиляционные процессы достаточно быстрые, при пер¬
воначальной асимметрии ηχ = (ηχ — nx)/s ~ nx/s > 0 в плазме останутся только частицы.
В дальнейшем отношение их концентрации к плотности энтропии остаётся постоянным, так что
для их относительного вклада в полную плотность энергии современной Вселенной получаем
Ωχ = Μχεοηχ/рс- Он не зависит от сечения аннигиляции и пропорционален массе частицы
тёмной материи.
d (τίχα'
dt
240
Глава 9. Тёмная материя
В термодинамическом равновесии, т. е. при ηχ = τΐχ. это изменение должно ком¬
пенсироваться процессами парного рождения, т. е. увеличение числа Х-частиц
за счёт процессов рождения равно
= +{σαηη · ν) ■ τΐχ 2 · α3. (9.10)
creation
Сумма (9.9) и (9.10) и даёт полное изменение числа Х-частиц в сопутствую¬
щем объёме, что приводит к уравнению (9.7). Подчеркнём, что слагаемое (9.10)
не зависит от того, сколько Х-частиц на самом деле имеется в плазме; для того,
чтобы оно имело именно такую форму требуется лишь, чтобы другие частицы
были в термодинамическом равновесии между собой. Мы обсудим общий способ
вывода уравнения Больцмана в конце этого раздела.
Аннигиляция нерелятивистских частиц часто происходит в s-волне. В этом
случае зависимость сечения аннигиляции от относительной скорости определя¬
ется законом Бете:
σαηη = —. (9.11)
ν
где σο — не зависящая от относительной скорости постоянная, определяемая вза¬
имодействиями. ответственными за аннигиляцию. Если же аннигиляция проис¬
ходит в p-волне. то сечение имеет вид σαηη = σ\ν. Вклады волн с более высо¬
кими угловыми моментами дополнительно подавлены степенями г2. Для нере¬
лятивистских частиц s-волновой вклад является главным, если он по каким-то
причинам не близок к нулю.
Кратко напомним как возникает закон (9.11) (более подробное обсуждение
можно найти, например, в книге [102]). Он применим не только к реакции ан¬
нигиляции, но и к любой неупругой s-волновой реакции с участием нереляти¬
вистских частиц, и основан на предположении, что взаимодействия, отвечающие
за реакцию, являются короткодействующими и происходят в области некоторо¬
го характерного размера а. Как обычно, рассмотрим поток нерелятивистских
частиц X. налетающий на покоящуюся частицу X. Тогда вероятность реакции
в единицу времени равна
Р ~ Са3\ф(а)\2,
где гЬ(а) — волновая функция частиц X в области размера а вблизи частицы X.
а постоянная С определяется деталями взаимодействия. Чтобы получить сече¬
ние. нужно поделить вероятность Р на абсолютную величину потока частиц X,
налетающих на покоящуюся частицу X,
j = — ψ*νψ).
2m
Вдали от области взаимодействия волновую функцию можно взять в виде плос¬
кой волны, распространяющейся вдоль оси г с импульсом р,
xb = е'рг.
при этом абсолютное значение потока равно скорости г. Кроме того, в силу ко-
роткодействня, квадрат модуля волновой функции в зоне реакции | яД’ (а) [2 равен
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
241
квадрату модуля волновой функции на бесконечности, т. е. для плоской волны
имеем \φ(α)\2 = 1. В итоге для сечения получаем
Р Са3
σ = ΒΪ = ~’
в согласии с (9.11). Реакция аннигиляции тяжёлых частиц X неизбежно связана
с большой передачей энергии АЕ ~ Μχ. поэтому характерный размер области,
где происходит аннигиляция, мал,
а
1
Μχ'
и условие короткодействия выполнено.
Отметим, что для очень медленных частиц с ненулевыми противоположны¬
ми электрическими зарядами значение волновой функции в зоне реакции может
сильно отличаться от асимптотического значения на пространственной беско¬
нечности за счёт дальнодействующего кулоновского потенциала (подробности
см. в книге [102]). Этот эффект существенен при кинетических энергиях ча¬
стиц, меньших энергии связи «атома», состоящего из X и X, т. е. Е = Μχν2/2 <
α2Μχ/2. Хотя частицы тёмной материи не несут электрического заряда, они мо¬
гут принимать участие в других гипотетических взаимодействиях, создающих
между ними эффективное дальнодействующее притяжение. Тогда константа а
отражает эффективную силу этого нового дальнодействия. При скоростях ν > а
обсуждаемого эффекта нет, и поскольку в эпоху закалки ν > 0,1, в наиболее ре¬
алистичных моделях слабое дальнодействие не влияет на закалку. В частности,
в примерах, рассмотренных ниже, обсуждаемая особенность роли не играет.
Дополнительный фактор ν2 в сечении р-волновой аннигиляции возникает из-
за необходимости преодоления центробежного барьера. Для аннигиляции в со¬
стоянии с угловым моментом I этот фактор равен ν2,.
Ограничиваясь 5- и р-волновыми вкладами в сечение аннигиляции, запишем
(σαηην) =σ0 + σ1 (ν2) = σ0 + 2σ1(ν%) = σ0 + 6-ττ-σι,
Μχ
(9.12)
где мы учли, что для среднего от квадрата относительной скорости сталкиваю¬
щихся частиц выполняется5 (ν2) = 2(νχ). а также воспользовались связью между
средней кинетической энергией нерелятивистских частиц и температурой,
(Ек) =
(9.13)
Вернёмся к уравнению Больцмана (9.7). Из выражения (9.6) видно, что при
высоких температурах оба члена в правой части (9.7) велики, равновесие поддер¬
живается, и ηχ с хорошей точностью равно пех. Наоборот, при низких температу¬
рах член с пх заведомо мал, и равновесия нет. Выход из равновесия происходит
5Учитываем. что ν~ = (νχ — V2)2 = νχ2 — 2νχ ■ V2 -г V22, и перекрёстный член выпадает при
усреднении по скоростям.
242
Глава 9. Тёмная материя
при температуре Tf. такой, что
^ ~ {σ^ν)η^\ (9.14)
Мы аккуратно обоснуем соотношение (9.14) ниже, а здесь заметим, что при Т
Мх наиболее быстро меняющейся функцией является экспонента в (9.6), поэтому
dnex
dt
Mxf
rp2
»? =
Μχ
-jrН{Т)п
eq
X >
(9.15)
где мы воспользовались соотношением (3.32). Отсюда следует, что температура
выхода из равновесия определяется уравнением
ψ-ЩТ,) = (σαηην)π'«
1f
(9.16)
или
Мх
Tf
= In
5λ' (2тг)_3/2 (1.66 y/gl) ~1 (Μχ Tf)1/2 Μρι (σαηη ν)
(9.17)
где (σαηην) = σο + 6σ\Τ//Μχ. Это уравнение имеет структуру (6.18). Величину
(σαηην) можно совсем грубо оценить из размерных соображений как (σαηην) ~
Μχ2. Этой оценки достаточно, чтобы понять, что для частиц с массами Μχ <С
Мр[ выполнено условие логарифмического приближения. Тогда с логарифмиче¬
ской точностью получаем
Tf = Мх ■
In
9χΜχΜΡΙ(σαηην)
(2гг)3/^
-1
(9.18)
Видно, что температура выхода из равновесия Ту слабо (логарифмически) зави¬
сит от сечения аннигиляции. Эта температура отличается от Μχ малым
множителем
L_, Г]п
[ \ )
что оправдывает сделанное в самом начале предположение, что Х-частицы от¬
щепляются. будучи нерелятивистскими.
После того, как процессы рождения .АГ-частиц заканчиваются (слагаемое
с η γ в уравнении Больцмана (9.7) становится малым) и они выходят из хими¬
ческого равновесия, аннигиляция Δ-частиц всё ещё продолжается. Чтобы рас¬
смотреть этот эффект, а заодно и наметить путь к точному решению задачи,
удобно переписать уравнение (9.7) как уравнение на отношение плотности X-
частиц к плотности энтропии. Итак, введём переменные
(9.19)
Δ.γ
п.х
S
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
243
где s = (2π2/45)д*Т3 — плотность энтропии при температуре Т. Используя закон
сохранения энтропии в сопутствующем объёме (5.30), найдём, что
dnx dAx
-W = s^r~ZHnx·
Это позволяет записать уравнение на Αχ в виде
dAx
dt
= -{σ°™ν)·8·(Α2χ-Α*2).
Для дальнейшего удобно перейти от переменной t к переменной
Т
х =
Мх5
(9.20)
которая с учётом (9.13) показывает, в какой степени Х-частицы являются нереля¬
тивистскими. В силу равенства (3.32) уравнение (9.20) в терминах переменной х
будет иметь вид
dAx (σαηην)
»·(Δχ-Δ£2)
dx Hx
или, после подстановки явных выражений для s = s(T) и Н = Н(Т),
ΊίΓ = (σ°η"υ)' yyf'Μχ'Μρι' (Δ* “ Δ*2)· (9·21)
Рассматривая, как и раньше, только s- и р-волновые вклады в сечение анниги¬
ляции, и используя (9.12), получим окончательно
= (σ0 + 6σι ■ х) · · Μχ · Μρι · (Δ2 - Аехч 2). (9.22)
Это уравнение можно было бы решить численно. Мы вместо этого найдём ре¬
шение при Т <Т/. пренебрегая в правой части уравнения (9.22) величиной Αβχ 2.
Это соответствует пренебрежению процессами рождения Х-частиц при T<Tf.
При Т = Tf мы имеем ηχ « τΐχ. а τιεχ(Τ/) можно найти из6 (9.16):
пе№) *
MxTf
(σαηην)Μ^ι *
Отсюда получаем начальное условие для упрощённого уравнения (9.22):
Ax(Xf) « Ж) = М. £
V П s(Tf) y/Wgl ΜχΜρι(σαηην)"
(9.23)
где L — большой логарифм, фигурирующий в (9.19).
6 Подчеркнём, что подстановка температуры (9.18) в выражение (9.6) для плотности приве¬
ла бы к большой погрешности, поскольку температура входит экспоненциально в (9.6), а вы¬
ражение (9.18) имеет лишь логарифмическую точность.
244
Глава 9. Темная материя
Уравнение (9.22) без слагаемого с Αχ легко проинтегрировать.
Ахг(х) = [a0{xf -х) + 3σι(χ2 - х2)] ■ · Μχ ■ MPt + Δ^1 (xf).
В силу присутствия квадрата большого логарифма в (9.23), последний член
в правой части мал, и в пределе низких температур х —> 0 мы получаем
окончательно
Δχ(0) =
зУЕ 1
фW* Μχ · Μρι · Xf(aannv)eff '
(9.24)
где
(crannv)eff = σ0 + 3σ\Χ/.
Напомним, что параметр xj = Tf/Μχ определяется уравнением (9.17); с лога¬
рифмической точностью
Xf ~ L-1.
Сделаем несколько замечаний. Во-первых, видно, что Δχ(0)/Δχ(τ/) ~ L-1. Это
означает, что после выхода из равновесия аннигиляция Х-частиц происходит
довольно интенсивно, уменьшая их концентрацию в L раз. Во-вторых, результат
(9.24) можно было бы получить (с точностью до множителя порядка единицы),
заметив, что аннигиляция прекращается тогда, когда время пробега Х-частицы
по отношению к аннигиляции становится сравнимым с хаббловским временем'.
(σαηην)ηχ ~ Я.
(9.25)
Если аннигиляция достаточно интенсивна, то соответствующая плотность чис¬
ла Х-частиц достигается при температуре, близкой к Г/, откуда и получается
(9.24). Наконец, выражение (9.24) справедливо лишь с логарифмической точно¬
стью, поскольку при его получении мы пренебрегли Πχ в уравнении (9.22). Для
получения точного выражения для AS(T — 0) необходимо найти точное решение
уравнения (9.22). В дальнейшем нам это не понадобится.
о Задача 1. Убедиться, что использование приближения (9.25) приводите точ¬
ности к ответу (9.24) для s-волнового вклада. Это совпадение отсутствует
для р-волнового вклада.
После закалки плотность ηχ меняется лишь за счёт расширения Вселенной,
а величина Αχ не меняется вовсе. Следовательно, современная плотность числа
Х-частиц равна
nx(t-o) = δοΔχ(Ο),
где so = 2,9 · 103 см-3 — эффективное современное значение плотности энтро¬
пии, см. (5.34). Поэтому имеем из (9.24) следующее выражение для современной
относительной плотности массы частиц X и X:
0 0 ΜχΠχ(ίо) 7,6so
1 ίχ = I ■ = .
Pc. pcXf{aannv)effMpi\Jg*(tf)
(9.26)
' Это условие — более слабое по сравнению с условием выхода из равновесия: скорость из¬
менения со временем при Т ~ Tf выше хаббловской. см. (9.15).
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
245
и с логарифмической точностью
Ωχ/ι2 = 1,8 · 1(Г10
ГэВ~2
{aannv)eff
y/9*{tf)
дх Мх Μρι (σαηη v)
(2*)3/2 уф:
(9.27)
Видно, что параметр, от которого Ωχ зависит наиболее существенным образом —
это сечение аннигиляции при температуре Т/. Зависимость от массы частицы —
лишь логарифмическая, а эффективное число степеней свободы д* слабо меня¬
ется на протяжении большей части расширения Вселенной.
Отметим, что в этом разделе мы обсуждаем условия нарушения химиче¬
ского равновесия в космической плазме. Вообще говоря, представляет интерес
и вопрос о кинетическом равновесии, т. е. вопрос о том, являются ли равновес¬
ными функции распределения Х-частиц по импульсам. Кинетическое равнове¬
сие имеет место благодаря рассеянию Х-частиц на обычных частицах, поэтому
время между столкновениями не зависит от концентрации .ЛГ-частиц и являет¬
ся коротким по сравнению со временем пробега до аннигиляции Г"^, см. (9.8).
Это означает, что кинетическое равновесие поддерживается гораздо дольше, чем
химическое, т. е. оно нарушается при температуре Тып 7/. Например, если
Х-частицы участвуют в слабых взаимодействиях, то сечение их упругого рассея¬
ния, скажем, на электронах при энергии электронов Е <С 100 ГэВ по размерности
оценивается величиной
aet ~ G2fE2. (9.28)
Время свободного пробега Х-частиц равно по порядку величины
Tel
(nt
Cel
vY
где ne — концентрация электронов, a v — относительная скорость Х-частиц
и электронов, г ~ 1 при Т 1 МэВ. Для грубой оценки температуры нарушения
кинетического равновесия приравняем те; хаббловскому времени Н~1(Т) и по¬
лучим (соответствующая выкладка повторяет сделанную в разделе 7.1) Хьп ~
1 МэВ. В действительности эта оценка — довольно грубая, но она показывает,
что кинетическое равновесие нарушается для Х-частиц весьма поздно.
Отметим, что в моделях, где при малых скоростях сечение аннигиляции су¬
щественно увеличивается (что возможно при наличии между частицами тёмной
материи эффективного дальнодействия), возможна повторная стадия аннигиля¬
ции. в результате которой число частиц существенно сокращается, а потому изме¬
няются полученные в этом разделе оценки. Поздняя повторная стадия аннигиля¬
ции с образованием релятивистских частиц в продуктах распада может повлиять
на протекание первичного нуклеосинтеза, рекомбинацию и формирование спек¬
тра реликтовых фотонов.
о Задача 2. Уточнить приведённую оценку для T^in в случае, когда сечение
упругого рассеяния Х-частиц на электронах имеет вид (9.28). Указание:
воспользоваться соображениями. приведёнными в начале раздела 6.3.
246
Глава 9. Темная материя
Убедимся, что выход из химического равновесия действительно происходит
при температуре, определяемой соотношением (9.16). Для этого вместо перемен¬
ной х = Τ/Μχ используем переменную у = Μχ/Τ и запишем уравнение Больц¬
мана (9.20) в виде
= -рг <"αηην) ■ К.МХМ'„ ■ (Δ% - Δ? 2),
где к* = 2тг2у*/45. Наша задача — найти температуру, при которой относитель¬
ная концентрация Δχ начинает существенно отличаться от равновесной концен¬
трации Δ^γ. Для её решения запишем
Αχ=Α%(1 + δ).
Выход из равновесия происходит тогда, когда δ перестаёт быть малой величиной.
До этого времени уравнение Больцмана можно линеаризовать и получить
άδ
dy +
(2^ηηνψ^ΐΑ--ΐ)δ = 1,
(9.29)
где мы учли, что из-за быстрого изменения экспоненты dAe^/dy = — Δ^, ср. с (9.15).
При не слишком больших у (высокие температуры) первое слагаемое в скобках
в (9.29) велико, поэтому
Г1· <9'30>
(заметим, что άδ/dy ~ 5, поэтому первый член в левой части (9.29) мал). Видно,
что δ (у) перестаёт быть малой при у ~ у/, таком, что
у) = {σ°™ν) МхкЖР1А%(у;).
Это и определяет температуру выхода из рановесия. В терминах физических
величин последнее соотношение выглядит следующим образом:
{σαηη v)neq(Tj) = Η(Τ,),
что и даёт (9.16).
> Задача 3. Убедиться в справедливости соотношения (9.30) путём явного ре¬
шения уравнения (9.29). Показать, что начальное значение д(уг) быстро
забывается, если уг- у/: каким бы ни было начальное значение ηχ, кон¬
центрация быстро становится тепловой.
В заключение этого раздела дадим общее представление об уравнении Больц¬
мана. широко используемом в космологии. В общем случае система уравнений
Больцмана описывает баланс взаимодействующих частиц в системе, а уравне¬
ние (9.7) является частным примером, пригодным для описания одного типа
частиц с учётом процессов аннигиляции и парного рождения. Более аккуратно
уравнение Больцмана для данного примера можно получить из следующих рас-
суждений. Рассмотрим для разнообразия случай истинно нейтральных частиц,
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
247
которые могут рождаться и уничтожаться только парами (об этой возможности
мы упоминали в начале этого раздела), и обсудим процесс двухчастичной анни¬
гиляции этих частиц в пространстве Минковского. Пусть Ρι,Ρ2 — 3-импульсы
частиц в начальном состоянии. Число частиц с импульсами между р и р + dp
в элементе объёма плазмы d3x равно
dN = n(t. x)F(t, р) d3x d3p,
где n(£, x) — плотность числа частиц, а функция F(t, p) описывает распределение
частиц по 3-импульсам и нормирована условием
J F(t,p)d3p = 1,
выполненным в каждый момент времени. Рассмотрим некоторую частицу с им¬
пульсом pi. В единицу времени с ней аннигилирует
σ - ν · n(£,x)F(i, Рг)^3р2 (9.31)
частиц того же типа с импульсами между рг и рг -Ь dp2, где ν — относитель¬
ная скорость аннигилирующих частиц, и введено сечение аннигиляции частиц
(по предположению, важны только аннигиляционные процессы)
σ = σ(ρι,ρ2),
характеризующее вероятность аннигиляции пары сталкивающихся частиц с им¬
пульсами (pi, Рг)· Отсюда среднее число приводящих к аннигиляции столкнове¬
ний частиц, заключённых в объёме d3x, с импульсами, заключёнными между pi
и pi 4- dpi, равно
^dJV(pi.x) ■ σ ■ ν ■ n(t. x)F(t, p2) d3p2 =
= ^n(i,x)F(i,pi)c?3xd3pi ■ σ ■ v · n(t.x)F(t, p2) d3p2- (9.32)
Множитель 1/2 в выражении (9.32) учитывает тот факт, что частицы одина¬
ковы (иначе дважды учитывался бы вклад одинаковых начальных состояний,
(Pl,P2) и (P2,Pl))·
Поскольку в результате каждого столкновения из объёма dx убывает пара
частиц, то удвоеннное выражение (9.32) является скоростью уменьшения числа
частиц в этом объёме из-за двухчастичных аннигиляций,
n2(t,x)F(t,p1) d3xd3pi ■ σ ■ ν · F(t, ρ2) d3ρ2· (9.33)
Для не очень плотных сред именно двухчастичная аннигиляция является основ¬
ной причиной уменьшения числа частиц.
Существует и обратный процесс, в результате которого число частиц в объё¬
ме d3x увеличивается. Это — парное рождение частиц, происходящее вследствие
всевозможных столкновений других частиц в плазме. По условию, эти частицы
интенсивно взаимодействуют между собой и поэтому находятся в состоянии ки¬
нетического равновесия. В равновесной ситуации скорости прямых и обратных
процессов совпадают, поэтому скорость увеличения числа частиц в объёме d3x
248
Глава 9. Темная материя
в результате их парного рождения в равновесной плазме в точности совпада¬
ла бы с величиной, получаемой по формуле (9.33), в которой все функции рас¬
пределения следует считать равновесными. В данном случае интересующая нас
аннигилирующая компонента выходит из равновесия с плазмой, однако частицы,
в которые происходит аннигиляция, принадлежат к равновесным компонентам
плазмы, а значит, для скорости парного рождения можно использовать равно¬
весный ответ. Таким образом, скорость увеличения числа частиц в объёме d3x
вследствие парных рождений равна
neq 2(f, x)Feq(t, pi) d3xd3pi ■ σ ■ v · Feq(t, p2) d3p2,
где neq, Feq — равновесные распределения. Окончательно, проинтегрировав по всем
импульсам рг, получим для баланса частиц в элементе фазового объёма d3pd3x
в единицу времени
d(n(t,x)F(t, pi))
dt
d3pi d3x —
J (n2(t, x)F(t. pi)F(i, p2) - neq 2(£,x)Fe<J(t, pi)Feq(t, p2)^
■v ■ σ d3p2
d3pi d3x.
(9.34)
(9.35)
Правая часть здесь называется интегралом столкновений.
Мы будем интересоваться ситуацией, когда пространственное распределение
частиц однородно и изотропно, т. е. плотность распределения числа частиц n(t. х)
не зависит от точки пространства, но зависит от времени,
η(ί,χ) = π(£), neq(t, х) = neq(t),
а распределение частиц по импульсам, наоборот, соответствует кинетическому
равновесию и от времени явно не зависит,
F(i,p) = F(p), Feq(t, р) = Feq(p).
Тогда соотношение (9.34) после интегрирования по импульсу pi даёт уравнение
Больцмана
= ~{σν){η2 - neq 2), (9.36)
где правая часть также называется интегралом столкновений. При получении
множителя (συ) мы пренебрегли под знаком интеграла в (9.34) различием рав¬
новесных и неравновесных функций распределения по импульсам, т. е. положили
F(p) = Feq(р). Это соотношение выполняется, если в среде есть быстрые про¬
цессы (рассеяние Х-частиц на частицах среды) без изменения числа Х-частиц.
см. конец основного текста этого раздела. Таким образом, мы считаем, что имеем
дело со случаем, рассмотренным в разделе 5.4. В (9.36) мы ввели обозначение
(σν)
/ d3 pi d3 p2 Feg(pi)FC(?(p2) ·ν·σ
f Feq(Pi) d3P! ■ f F««(P2) d3p2
/
d3 Pi rf3P2 Fe<l(Pi)F’eq(P2) ·υ·σ
(9.37)
9.2. Закалка тяжёлых реликтовых частиц
249
— усреднённое с функциями распределения частиц по импульсам произведение
относительной скорости частиц на сечение их аннигиляции (для равновесных
функций распределения Fe<?(p). характеризующихся температурой — «темпера¬
турное среднее»).
Обратим внимание, что в выражении (9.36) neq — равновесная плотность
числа частиц в системе, а η — собственно плотность числа частиц — однородная,
но, вообще говоря, отличная от равновесной. Правая часть уравнения квадратич¬
но зависит от плотностей частиц, что обеспечивает устойчивость системы: любое
отклонение плотности от равновесной приводит к такому воздействию на систе¬
му, что плотность числа частиц приближается к равновесной величине.
Для случая аннигиляции частиц X в ультрарелятивистские частицы, инте¬
ресный в связи с закалкой тяжёлых реликтовых частиц, нормированная на еди¬
ницу равновесная функция распределения по импульсам имеет вид
где Е = >/р2 + тп2х обозначает энергию частицы, а К2(х) — функция Макдо¬
нальда. Интеграл в правой части (9.37) удобно представить в виде интеграла
от сечения по инвариантной переменной Мандельстама s = (pi +Р2) ■ Для этого
заменим ν ■ σ на лоренц-инвариантную величину
W(s) = 4E1E2V ■ σ — 4a\j(Р1Р2)2 — тп-х = 2σ(θ)\Js(s — 4m2x).
Затем умножим подынтегральное выражение на единицу
1 = J ds <5 (s - (pi + ρ2)2) ,
и проинтегрируем по угловым переменным: нетривиальный интеграл по углу
между 3-импульсами частиц снимаем с помощью введённой (5-функции. В ре¬
зультате получим
(συ) = 0 } -г- [ dsW(s) [ dE1dE2e~El^L.
' ' \6Т2тп4хК% (ψ) J w J
Интеграл по энергиям удобно взять, перейдя к переменным Е± = Е\ ±Е2. Тогда
Для описания процессов, протекающих в расширяющейся Вселенной, урав¬
нение Больцмана (9.36) требуется модифицировать, чтобы учесть изменение фи¬
зического объёма системы. Эта модификация и приводит к уравнению (9.7), ис¬
пользуемому для анализа процессов в первичной плазме, см. также раздел 5.4.
250
Глава 9. Темная материя
9.3 Слабовзаимодействующие массивные
частицы (WIMPs)
В качестве основного применения формулы (9.27) обсудим возможность то¬
го. что неизвестные пока стабильные тяжёлые частицы составляют холодную
тёмную материю. Формула (9.27) тогда позволяет оценить параметры (в пер¬
вую очередь сечение аннигиляции) этих частиц. Плотность холодной тёмной
материи в современной Вселенной составляет ΩσθΛ/ «г 0.25. Чтобы получить
оценку для сечения аннигиляции, можно положить из размерных соображений
(σαηην) ~ 1 jM\ в выражении под логарифмом в формуле (9.27). Взяв для оцен¬
ки значения Μχ = 100 ГэВ и д* = 100, получим для логарифмического мно¬
жителя в (9.27)
(9χΜ*ΡΙΜχ(σ*™ υ)\ ( gxM'Pl
\ (2тг)3/2 )~ V(2')3/2M*
30.
Эта оценка справедлива в широком диапазоне значений массы Μχ и сечения
(σαηην) из-за того, что логарифм является медленно меняющейся функцией. Так,
решение уравнения (9.27) относительно параметра (σαηην) даёт значение лога¬
рифма при Μχ = 100 ГэВ
In
9χΜ*ριΜχ(σα™ν)
(2π)3/2
20.
(9.38)
Корень из эффективного числа степеней свободы y/g*(tf), также меняется незна¬
чительно: при Т > 100 ГэВ он принимает значение у/д*(Т) ~ 10, а при Т ~
100 МэВ имеем \/д*(Т) ~ 3 (см. Приложение В). Таким образом, из выражения
(9.27) получаем следующую оценку для сечения аннигиляции частиц, составля¬
ющих холодную тёмную материю:
1 о -in —10 9 η
{σ“η"υ) ~ (3 4-10) 0,25~- h2 ГэВ"2 = (0'3 " 1:0)'10’8 ГэВ"2 (9'39)
= (1,1 4-3,7) ■ 1СГ36 см2,
где меньшее значение относится к большим массам Μχ. а потому является бо¬
лее реалистическим. В случае s-волновой аннигиляции эта оценка относится
к константе σο в (9.11). Замечательно, что величина (9.39) сравнима с сечения¬
ми. характерными для слабых взаимодействий при энергиях порядка 100 ГэВ.
<т,„ ~ аЦМ1- ~ 10-7 ГэВ-2.
Из результата (9.39) следует сразу несколько важных выводов. Начнём с то¬
го, что его можно рассматривать как космологическое ограничение снизу на сече¬
ние аннигиляции гипотетических стабильных частиц, которые могут появляться
в расширениях Стандартной модели физики частиц. Действительно, если сечение
аннигиляции меньше, чем приведённое в оценке (9.39), то плотность массы таких
частиц в настоящее время превышает наблюдаемое значение плотности энергии
9.3. Слабовзаимодействующие массивные частицы (WIMPs)
251
нерелятивистского вещества во Вселенной. Основным предположением, заложен¬
ным в это ограничение, является допущение, что Х-частицы когда-либо находи¬
лись в термодинамическом равновесии. Заметим, что для сечения s-волновой
аннигиляции частиц массы Μχ можно дать ограничение сверху
σ° S Щ' (9-40)
для р-волновой аннигиляции ограничение на (σαηην) ещё сильнее. В случае, когда
работает теория возмущений, это ограничение связано с тем, что аннигиляция
описывается диаграммами типа изображённой на рис. 9.1. Предполагается, что
виртуальная частица Υ, изображённая горизонтальной линией, для медленных
Х-частиц имеет энергию Е = 2Εχ = 2Μχ в системе центра масс. Пропагатор
этой частицы приводит к появлению размерного множителя 1 jM\ в выраже¬
нии для сечения8. Кроме того, в общем случае есть дополнительное подавление
сечения, связанное с малостью константы взаимодействия.
Рис. 9.1. Аннигиляция гипотетических стабильных частиц X в частицы
Стандартной модели f\ и /2
Ограничение (9.40) может не выполняться в теориях с сильной связью, где
Х-частица является «рыхлым» объектом, состоящим из элементарных частиц
(примером такой частицы является протон). Трудно, однако, придумать при¬
мер ситуации, когда сечение аннигиляции на много порядков превышает огра¬
ничение (9.40).
Со сделанной оговоркой можно использовать выражения (9.39) и (9.40) для
получения космологического ограничения сверху на массу стабильных частиц
Мх < 100 ТэВ. (9.41)
Ещё раз Подчеркнём, что это ограничение получается в предположении о том,
что Х-частицы находились в термодинамическом равновесии в ранней Вселен¬
ной. Если взаимодействия Х-частиц не слишком слабы, для этого достаточно,
чтобы в ранней Вселенной реализовывались температуры порядка (1/20)Μχ,
см. (9.18) и (9.38).
®Если Му > Μχ, то пропагатор У-частицы подавлен как Μγ2, что только усиливает огра¬
ничение (9.40).
252
Глава 9. Тёмная материя
> Задача 4. Добавим к составу полей Стандартной модели новое веществен¬
ное скалярное поле X, взаимодействующее только с дублетом Энглера—
Браута—Хиггса Н. К лагранжиану' Стандартной модели добавим выражение
Дискретная симметрия X —* —X обеспечивает стабильность скаляра X.
Найти область значений параметров т. к,, в которой реликтовые Х-частицы
полностью сформируют тёмную материю во Вселенной.
Отметим, что в последнее время активно обсуждается возможность того,
что часть тёмной материи (или даже вся она) состоит из более тяжёлых частиц.
Чтобы такой сценарий работал, необходимо, чтобы эти частицы никогда не были
в термодинамическом равновесии и рождались в ранней Вселенной нетепловым
образом (например, за счёт эффекта рождения частиц зависящим от времени
гравитационным полем). Возможные механизмы рождения сверхтяжёлых частиц
в ранней Вселенной кратко рассмотрены в разделе 9.8.1.
Оценка (9.39) представляет основной интерес с иной точки зрения. В пред¬
положении, что изложенный здесь простой механизм ответственен за образова¬
ние холодной тёмной материи, она прямо указывает на энергетический масштаб
взаимодействий гипотетических Х-частиц. (σαηην)~1^2 ~ 10 ТэВ. В действитель¬
ности этот масштаб несколько ниже, поскольку в реалистических теориях со сла¬
бой связью сечение аннигиляции содержит подавление малой константой связи,
которую мы обозначим αχ. Полагая, что энергетический масштаб взаимодей¬
ствий Х-частиц не превышает по порядку величины их массу, а аннигиляция
происходит в s-волне, имеем
Взяв в качестве примера αχ ~ 1/30 (константа связи И -бозона в Стандартной
модели), получим из (9.39)
Такая оценка означает, что имеются реальные шансы обнаружить частицы, со¬
ставляющие холодную тёмную материю, на коллайдерах высоких энергий. При
этом перспективным процессом является аннигиляция кварков и глюонов (если
речь об адронном коллайдере) или электронов и позитронов (если речь о электрон-
позитронном коллайдере) в частицы тёмной материи, при которой аннигилиру¬
ющие частицы успевают испустить хотя бы одну регистрируемую частицу Стан¬
дартной модели (в данном контексте — не нейтрино). Результатом будет про¬
цесс с потерей импульса в поперечном пучку сталкивающихся частиц направле¬
нии: его уносят нерегистрируемые частицы тёмной материи. Фейнмановская диа¬
грамма такого процесса выглядит как на рис. 9.1, если рассматривать её справа
налево, и из ног аннигилирующих частиц Д и Д испустить, например, фотон
АС = iΘμΧΘμΧ - ^Н*НХ2 - ^X2.
(9.42)
Мх ~ 200 -г- 400 ГэВ.
(9.43)
или глюон.
9.3. Слабовзаимодействующие массивные частицы (WlMPs)
253
Если промежуточные частицы Y очень тяжёлые, то при низких энергиях по¬
является эффективное контактное взаимодействие между частицами Стандарт¬
ной модели и тёмной материи XX /1/2· Структура этого взаимодействия зависит
от модели тёмной материи. Поиски таких взаимодействий приводят к ограниче¬
ниям, которые можно представить как ограниченние на сечение упругого рас¬
сеяния частиц тёмной материи на нуклоне, если /1 и /2 — это кварки первого
поколения или глюоны. Фейнмановская диаграмма упругого рассеяния выглядит
как на рис. 9.1, если рассматривать её сверху вниз (или снизу вверх). На рис. 9.2
представлены современные результаты поисков тёмной материи. Стоит отметить,
что наша оценка (9.43) для массы является весьма грубой. Аккуратные вычисле¬
ния в конкретных моделях показывают, что масса частиц тёмной материи может
оказаться даже заметно ниже 100 ГэВ, что ещё более перспективно с точки зре¬
ния обнаружения этих частиц на коллайдерах, см. рис. 9.2. Отметим ещё, что эта
оценка особенно интересна в свете того, что стабильные частицы с массой в обла¬
сти 100 ГэВ — 1 ТэВ, участвующие в слабых взаимодействиях, предсказываются
в одном из расширений Стандартной модели — теориях с низкоэнергетической
суперсимметрией, см. раздел 9.5.
Рис. 9.2. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 596.) Исклю¬
чённые области в пространстве параметров (Μχ,σρχ) [116] для не зависящих
от спина нуклона (слева) и зависящих от спина нуклона (справа) вариантов
взаимодействий. Области выше кривых исключены соответствующими экспе¬
риментами на 90 %-м уровне достоверности. CMS — поиски рождения тёмной
материи в столкновениях на Большом адронном коллайдере (в предположении
контактного взаимодействия XX/1/2. см. текст); IceCube и Super-K — поиски
сигнала аннигиляции тёмной материи в Солнце; остальные эксперименты —
поиски упругого рассеяния частиц тёмной материи в детекторе. Выделенная
область в центральной части правого рисунка соответствует возможному
сигналу, объявленному экспериментом CDMS
254
Глава 9. Тёмная материя
Таким образом, имеются основания ожидать, что новые стабильные части¬
цы, составляющие холодную тёмную материю, будут в обозримое время экспе¬
риментально обнаружены. Экспериментальное исследование их свойств, вычис¬
ление на этой основе их концентрации в современной Вселенной и сравнение
её с наблюдательными данными позволят тогда подтвердить картину эволюции
Вселенной при температурах порядка десятков ГэВ. Для сравнения, как мы уже
указывали в Главе 1, самая ранняя стадия эволюции горячей Вселенной, для ко¬
торой сегодня возможно прямое сопоставление теории с наблюдениями — это ста¬
дия первичного нуклеосинтеза, происходившего при температурах порядка МэВ
и ниже (см. Главу 8). Мы заключаем, что исследование частиц тёмной материи
позволит продвинуться на четыре порядка по температуре (на восемь порядков
по времени) к моменту Большого взрыва.
Поиск частиц тёмной материи интенсивно проводится, однако пока без по¬
ложительных результатов. Прямой поиск слабовзаимодействующих реликтовых
тяжёлых частиц (WIMPs — weakly interacting massive particles) ведётся в экспери¬
ментах, нацеленных на регистрацию энерговыделения в детекторе, вызванного
возможным рассеянием тяжёлой реликтовой частицы на ядре вещества детек¬
тора. Тёмная материя, как и обычное вещество, имеет повышенную плотность
в галактиках, при этом ожидается, что в окрестности Земли плотность массы
тёмной материи сравнима с плотностью обычного вещества и составляет
Pcdm — 0,3 —5-.
CMJ
Принимая во внимание, что ожидаемая скорость частиц тёмной материи в Галак¬
тике υχ ~ 0,5 · 10_3 (скорость орбитального вращения вокруг центра Галактики),
для энергии, переданной ядру массы МЛ, будем иметь оценку9
АЕ <
МА
ъ'х МА Μχ
Мл + Мх
2
~ 50 ■
mm{MA, Мх}
100 ГэВ
2100 ГэВ'
1 МА
кэВ.
Видно, что передача энергии составляет десятки кэВ, т. е. весьма мала. Тем не ме¬
нее, в экспериментах ведётся поиск энерговыделений такой величины. Они долж¬
ны происходить с частотой
υ ~ νχηχ · Να ■ σΑΧ,
определяемой сечением упругого рассеяния реликтовой частицы на ядре σΑχ,
скоростью υχ и локальной плотностью числа частиц тёмной материи ηχ =
Pcdm/-Μχ, а также количеством ядер в детекторе NA. В качестве примера, при
сечении упругого рассеяния на ядрах σΑχ ~ 10-38 см2 и массе Х-частиц Μχ =
9Эту формулу можно записать в двух эквивалентных вариантах:
Е < Μχυ2χ
2ΜΛ/Μχ
(1 + МА/МХ)2
= ΜΑν\
2
(1 + МА/МХ)2 ■
Первый из них говорит, что при данной Мх лучше всего иметь ядро с МА = Мх, а второй —
что при известном составе детектора энерговыделение растёт с ростом Мх.
9.3. Слабовзаимодействующие массивные частицы (WIMPs)
255
100 ГэВ в детекторе массой 10 кг с ядрами мишени с атомным номером А = 100
ожидается
0.5 · 10_3( 0.3
ГэВ
см;
100 ГэВ
10
6 · 1023 · 104 ГэВ
100 ГэВ
-38 см2 ~
3· 1(Г8 с-1.
т. е. порядка одного события в год. Отсутствие сигнала позволяет исключить
соответствующую область в пространстве модельно-независимых параметров
(Μχ, σ.4χ). При сопоставлении результатов разных экспериментов сечение пах
на ядре А приводят к сечению на одном нуклоне σρχ, при этом учитывает¬
ся тот факт, что сечение σΑχ не равно сумме сечений рассеяния на каждом
из нуклонов ядра: для рассеяния медленной частицы тёмной материи на яд¬
ре имеется эффект когерентности, увеличивающий сечение на фактор поряд¬
ка А. Точнее, для не зависящего от спина ядра взаимодействия выполнено σρχ =
{стах /А2)(m2fπι2Α){πΐχ +тпа)2/(τηχ+mp)2 (здесь не учтён ядерный форм-фактор,
приводящий, в частности, к уменьшению длины когерентности с ростом пере¬
данного импульса, что давит рост сечения при увеличении А). Ещё одно важное
обстоятельство связано с тем, что сечение рассеяния может существенно зави¬
сеть от спина ядра. Примеры ограничений в пространстве параметров (Μχ, σρχ)
приведены на рис. 9.2.
> Задача 5. Найти плотность реликтовых массивных нейтрино четвёртого ги¬
потетического поколения Стандартной модели, считая основным каналом
аннигиляции этих нейтрино s-канальную аннигиляцию через виртуаль¬
ный Ζ-бозон. Полагать, что масса новых нейтрино удовлетворяет нера¬
венству ту > Μχ/2. Оценить сечение их рассеяния на ядрах и получить
ограничение на их массу из данных, приведённых на рис. 9.2.
Помимо прямого поиска частиц тёмной материи, ведутся эксперименты по их
косвенному обнаружению. Это, в частности, эксперименты, направленные на по¬
иск продуктов аннигиляции этих частиц, происходящей в современной Галактике.
Наиболее перспективными для поиска аннигиляции тёмной материи в гало
Галактики представляются монохроматические фотоны, появляющиеся в процес¬
сах 2 —► 2: XX —» 77, XX —> Ζη, а также рождающиеся при аннигиляции пози¬
троны и антипротоны. Для фотонов соответствующий сигнал должен быть уси¬
лен в некоторых направлениях (например, из центра Галактики, из центров кар¬
ликовых галактик и галактики Андромеда), где ожидается повышенная концен¬
трация частиц тёмной материи. Заметим, однако, что появление монохромати¬
ческих фотонов подразумевает несколько экзотический механизм аннигиляции,
поскольку частицы тёмной материи непосредственно не участвуют в электромаг¬
нитных взаимодействиях. Другой механизм образования фотонов — трёхчастич¬
ный распад в заряженные частицы, например, лептоны, с испусканием фотона
в конечном состоянии. Кроме того, образовавшиеся заряженные частицы могут
испускать фотоны при движении в галактическом магнитном поле или в резуль¬
тате комптоновского рассеяния в Галактике. Поиск таких процессов пока не дал
256
Глава 9. Тёмная материя
Рис. 9.3. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 596.) Исключён¬
ные области в пространстве параметров (Α/χ,σ^γ) /ϋ7/ для аннигилирующих
по выбранным каналал1 частиц тёмной материи. Светло-серая горизонталь¬
ная линия соответствует сечению аннигиляции при закалке тёмной .материи
в ранней Вселенной. Области выше кривых исключены соответствующими экс¬
периментами на 90 %-м уровне достоверности: AMS-02 — поиск античастиц,
Fermi LAT — поиск фотонов от аннигиляции в μ+μ~ и т+т~ (верхняя и ниэю-
няя линии), WMAP7 — ограничение из возможной поздней аннигиляции в пару
заряженных лептонов (верхняя граница отвечает т+т~ , нижняя е^е~), влия¬
ющей на рекомбинацию и последующие процессы. Как пример, для канала е+е~
представлена полоса неопределённостей, обусловленных особенностями распре¬
деления частиц тёмной материи, обычного вещества и электромагнитного из¬
лучения в Галактике
положительных результатов. На рис. 9.3 представлены ограничения на сечения
аннигиляции частиц тёмной материи по соответствующим каналам. Видно, что
для частиц легче 100 ГэВ эти каналы не могут доминировать при закалке тёмной
материи в ранней Вселенной. Такого рода ограничения, однако, зависят от мо¬
дельных предположений о распределении тёмной материи в галактиках, посколь¬
ку аннигиляционный сигнал пропорционален квадрату концентрации тёмной ма¬
терии. В частности, сигнал усилен, если заметная часть частиц тёмной материи
формируют небольшие компактные образования (сгустки) внутри Галактики.
> Задача 6. Убедитесь в справедливости сделанного утверждения.
9.3. Слабовзаимодействующие массивные частицы (Wl^MPs)
257
Может также оказаться, что сечение аннигиляции частиц тёмной материи
в галактиках существенно отличается от той величины, что определяла закалку
тёмной материи в ранней Вселенной. Это реализуется, например, если сечение
сильно зависит от скорости аннигилирующих частиц: скорости частиц тёмной
материи в структурах Vh на один-три порядка меньше их скорости vx в момент
закалки. Если аннигиляция происходит в состоянии с угловым моментом I. то
темп аннигиляции в галактиках подавлен фактором (Vh/vx)21 <§; 1. Если же ан¬
нигиляция происходит посредством t-канального обмена промежуточными лёг¬
кими частицами, то, наоборот, происходит усиление аннигиляции в галактиках,
аналогичное кулоновскому усилению, о котором мы говорили в разделе 9.2. Для
медленных частиц, Vh <С а, где а — аналог постоянной тонкой структуры нового
взаимодействия, фактор усиления составляет для s-канала тτα/vh 3> 1. и ведёт
себя как ос 1/ν^ι+1 для аннигиляции из состояния с угловым моментом /.
Тяжёлые реликтовые частицы также могут скапливаться в астрофизических
объектах (для такой возможности существенно, чтобы частицы тёмной материи
могли хоть и редко, но всё же рассеиваться на обычных частицах, чтобы умень¬
шить свой импульс и под действием гравитационного притяжения остаться внут¬
ри астрофизического объекта). С течением времени концентрация частиц тём¬
ной материи внутри астрофизических объектов будет повышаться. В результате
интенсивность аннигиляции частиц тёмной материи в обычные частицы увели¬
чится (число актов аннигиляции в единичном объёме в единиц}7 времени пропор¬
ционально квадрату плотности аннигилирующих частиц). Если среди аннигиля¬
ционных каналов есть аннигиляция в высокоэнергичные нейтрино, например
в прямом процессе XX —» νν. или через промежуточные состояния (лептоны,
кварки или векторные бозоны), распадающиеся затем с рождением нейтрино, то
рождённые нейтрино могут без потери энергии покинуть источник, и поток таких
нейтрино может быть зарегистрирован на специальных детекторах — нейтрин¬
ных телескопах. В качестве астрофизических объектов, накапливающих части¬
цы тёмной материи, наиболее перспективными для наблюдения являются Земля
и Солнце; поиск потоков нейтрино высоких энергий из центра Земли и Солнца
интенсивно ведётся на подземных, глубоководных и подлёдных нейтринных те¬
лескопах. Непрямые поиски частиц тёмной материи также пока не увенчались
успехом, см. рис. 9.4.
> Задача 7. Предположим, что в природе имеются стабильные электрически
заряженные Х±-частицы с массой, много большей массы протона. Бу¬
дем считать, что все барионы в ранней Вселенной состоят из протонов
и a-частиц (ядер 4Hej. Плотность числа a-частиц по отношению к прото¬
нам равна 6 %.
1) Найдите энергию связи «атома», состоящего из Х~-частпцы и протона
(а-частицы).
2) Считая концентрацию Х~-частиц малой по сравнению с концентра¬
цией барионов, найдите, в каком виде они преимущественно доживут
до настоящего времени — в виде связанного состояния с а-частицей,
с протоном или в свободном состоянии.
258
Глава 9. Темная материя
Рис. 9.4. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 597.) Исклю¬
чённые области в пространстве параметров (Μχ, σρχ) из данных нейтринных
телескопов [118j для аннигилирующих в Солнце по выбранным каналам частиц
тёмной материи. Области выше кривых исключены соответствующими экспе¬
риментами на 90 %-м уровне достоверности. Ограничения получены в предпо¬
ложении равновесия между процессами анниг иляции и захвата частиц тёмной
материи Солнце.и, который происходит в основном из-за зависящего от спина
упругого рассеяния на протоне
3) Предположив, что в ранней Вселенной Х±-частицы находились в со¬
стоянии равновесия с частицами первичной плазмы и асимметрия
между Х~- и Х~-частицами равна ηχ, найдите плотность числа ре¬
ликтовых Х-частиц в зависимости от их массы Μχ и величины асим¬
метрии ηχ.
4) Используя результаты, полученые в предыдущих пунктах задачи, най¬
ти ограничение на величину асимметрии ηχ, исходя из того, что безре¬
зультатные поиски тяжёлых аномальных изотопов («дикий водород»),
образованных гипотетическими Х-частпцамп. дают ограничение на их
долю в современной плотности энергии во Вселенной на уровне (119.
121] Ωχ < 10-6 ■ (10 ТэВ/Μχ) при Μχ < 10 ТэВ (ограничения для
других масс приведены в [5, 121]).
9.4 * Другие применения результатов раздела 9.2
Прежде чем переходить к обсуждению конкретных моделей, в которых име¬
ются кандидаты на роль частиц тёмной материи, приведём два примера приме¬
нения результатов раздела 9.2.
9.4. Другие применения результатов раздела 9.2
259
9.4.1 Остаточная плотность барионов
в барион-симметричной Вселенной
Найдём плотность протонов, остающихся после аннигиляции протон-анти-
протонных пар в гипотетической Вселенной, где нет барионной асимметрии, т. е.
плотности протонов и антипротонов равны друг другу10. Подставляя в соотно¬
шение (9.18) сечение аннигиляции протон-антипротонной пары (σαηην) = σο,
по порядку величины равное11
σο ~ 100 ГэВ 2,
получаем следующее значение температуры закалки:
(9.44)
Tf w 20 МэВ, (9.45)
где при вычислении MFl мы учли, что при таких температурах у* = 43/4, что
соответствует вкладам фотонов, электронов, позитронов и трёх типов нейтрино.
Из формулы (9.27) получаем следующее значение барионной плотности в барион-
симметричной Вселенной:
Р.в «5-КП11.
Это примерно на девять порядков ниже реальной плотности барионов во Все¬
ленной. Барионного вещества в нашей Вселенной сравнительно много только
благодаря тому, что она является барион-асимметричной.
9.4.2 Тяжёлые нейтрино
В качестве ещё одного примера найдём космологическое ограничение на мас¬
су гипотетического тяжёлого нейтрино 4-го поколения, не взаимодействующего
с лептонами через заряженные токи, но участвующего во взаимодействиях с ней¬
тральными токами. Проигнорируем ускорительные данные и будем считать, что
его масса невелика, mu <С Mz,w- Анализ, приведённый в Главе 7, применим к слу¬
чаю малой массы, когда Т/ ту. В обратной ситуации, когда нейтрино анни¬
гилирует будучи нерелятивистским, сечение аннигиляции по порядку величины
равно
σ0 ~ G2Fml (9.46)
и не зависит от температуры. Подставляя это сечение в формулу (9.27), получаем
для плотности таких нейтрино следующую оценку:
0,55 , (9-47)
10Кроме протонов во Вселенной имелись также и нейтроны. Для наших целей в этом разделе
отличие их массы и сечения аннигиляции от массы и сечения аннигиляции протонов несуще¬
ственно. Поэтому мы будем говорить о протонах, имея в виду все барионы.
11 Заметим, что сечение (9.44) на порядок превышает ограничение (9.40). Это связано с тем,
что протон является «рыхлым» объектом, состоящим из кварков и глюонов.
260
Глава 9. Тёмная материя
где под знаком логарифма мы положили mv = 3 ГэВ и эффективное число сте¬
пенен свободы взяли равным
.9* = 2 · (1 + 8) + I · (2 ■ 4 + 2 · 3 + 3 · 4 · 3) = 6I7,
о 4
что соответствует учёту фотона, глюонов, е±, μ±. трёх типов нейтрино и трёх
типов кварков12 u. d и s.
Таким образом, мы видим, что существование тяжёлых стабильных нейтри¬
но с массой т„ < 3 ГэВ противоречит космологическим данным [122]. В течение
долгого времени это было самым сильным ограничением на массу тяжёлого ней¬
трино. Сегодня из ускорительных экспериментов запрещена вся область масс
ти < Μχ/2. Этот результат следует из измерения ширины распада Ζ-бозона
в недетектируемые частицы.
> Задача 8. Проверьте, что для нейтрино с .массой тпу = 3 ГэВ действитель¬
но выполнено предположение, что закалка происходит в нерелятивистском
режиме, Т/ < ту. Найдите массу нейтрино, при которой это предположе¬
ние перестаёт выполняться. Покажите, тем не менее, что космологически
исключена вся область масс стабильных нейтрино
20 эВ < т„ < 3 ГэВ,
где нижнее число было получено в Главе 7, формула (7.10).
9.5 Новые частицы — кандидаты
на роль тёмной материи
В следующих разделах мы рассмотрим некоторые популярные модели фи¬
зики частиц, в которых имеются кандидаты на роль частиц тёмной материи13.
В Стандартной модели таких кандидатов нет, поэтому космологические данные
о тёмной материи свидетельствуют о необходимости выхода за рамки Стандарт¬
ной модели. Это весьма важное для физики частиц утверждение.
С точки зрения прямой экспериментальной регистрации частиц тёмной ма¬
терии всех кандидатов можно расклассифицировать, используя всего два пара¬
метра — массу частицы Μχ и сечение её рассеяния14 на ядрах пах - Для наиболее
популярных кандидатов результат представлен на рис. 9.5.
’“При т„ > 20 ГэВ температура закалки превышает 1 ГэВ, и вклад в g* дают т-лептон
и более тяжёлые кварки. Это, однако, несильно меняет оценку (9.47).
13Один из таких кандидатов — тяжёлые стерильные нейтрино — был уже рассмотрен в раз¬
деле 7.3.
14Для аксиона и аксино — сечение конверсии в другие частицы, поскольку для этих канди¬
датов оно существенно больше упругого сечения.
9.5. Новые частицы — кандидаты на роль тёмной материи
261
Из этой диаграммы видно, насколько сильно отличаются между собой канди¬
даты. Поиск кандидатов, занимающих области в разных частях этой диаграммы,
проводится, как правило, с использованием разных методов детектирования.
X
а
се
ю
и
to _
ад
о
10
5
0
-5
15
10
20
25
30
35
40
ГГ
2 SIMH
Нейтрино v
Нейтралино χ
ADM
1
WIMP
Аксион а
мкэВ
I . . I . .
Стерильное
нейтрино N
Гравитино g3/2
кэВ ГэВ
I . . 1 < ι,Ι..-1-l.
N
D.
? -
Mgut’
.1.1—1 -lJ
-18 -15-12-9 -б -3 0 3 6 9 12 15 18
l°Sio(mDM / ГэВ)
Рис. 9.5. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 598.) Области,
занимаемые различными кандидатами на роль частиц тёмной материи [123].
Пространство параметров образуют масса частицы Μχ и сечение её упругого
рассеяния (конверсии для аксиона и аксино) на ядрах алх ■ Цветом обозначена
компонента (красный — горячая, розовъим — тёплая, голубьим — холодная, си¬
ними — ультрахолодная) тёмной материи, в которую наиболее вероятен вклад
соответствующих частиц
В ряде случаев, особенно для очень тяжёлых и для очень слабо взаимодей¬
ствующих частиц (wimpzilla и гравитино соответственно) реалистичный способ
детектирования реликтовых частиц пока вообще неизвестен.
262
Глава 9. Тёмная материя
9.6 Стабильные частицы
в суперсимметричных теориях
Суперсимметрия — это симметрия между бозонами и фермионами. В (3-f За¬
мерных простейших (так называемых N = 1) суперсиметричных моделях у вся¬
кой частицы имеется суперпартнёр — частица с другой статистикой (и спином,
отличающимся на 1/2), но теми же самыми взаимодействиями. Иными словами,
суперпартнёры имеют те же квантовые числа по отношению к калибровочной
группе теории, что и сами частицы, а константы других взаимодействий (напри¬
мер, юкавских) жёстко связаны. При этом суперпартнёром векторной частицы
(например, глюона) является частица со спином 1/2 (глюино), а суперпартнё¬
ром фермиона со спином 1/2 (например, кварка) служит скаляр (скварк). Более
точно, число спиновых степеней свободы для частицы и суперпартнёра должно
совпадать; так, кварку (две спиновые степени свободы) соответствуют две ска¬
лярные частицы (по одной спиновой степени свободы на каждую).
Поясним сделанные утверждения на примере суперсимметричного обобще¬
ния квантовой электродинамики — первой теоретико-полевой модели, где была
реализована идея суперсимметрии [124]. Сама КЭД — это теория массивного
дираковского фермиона ν (электрон), взаимодействующего с абелевым калибро¬
вочным полем Λμ (фотон). Лагранжиан КЭД имеет вид
Cqed = - + ΐψγ^δμ -I- ιβΑμ)·φ - т'ф'ф.
Суперсимметризация электродинамики приводит к появлению в теории четырёх
скалярных степеней свободы (по числу фермионных степеней свободы в элек¬
тродинамике: два для электрона и два для позитрона), описываемых двумя
комплексными скалярными полями ф+ и е>_ с зарядами +1 и —1 соответственно.
Очевидный вклад в лагранжиан для них имеет вид
С\ — νμφ*!_νμφ+ — 777 +0*. -Ь Τ>μφ*_νμφ_ — т2_ф*_ф-<
'^μΦύι — (*9μ Т Ϊ6·^4.μ)©±,
где 771-1- = 777 _ = т — массы скалярных полей, в случае ненарушенной супер¬
симметрии совпадающие с массой электрона (при спонтанно нарушенной супер¬
симметрии массы партнёров и суперпартнёров могут отличаться — см. ниже).
Кроме того, появляется электрически нейтральный безмассовый майорановский
фермион Λl (две степени свободы) — фотино, суперпартнёр фотона, свободный
лагранжиан которого имеет вид
= ϊ\ΐ,Ίμδμ\ΐ·
Помимо обычных калибровочных взаимодействий, имеющих место в [/(^-калиб¬
ровочной теории с фермионами и скалярами, в модели есть их суперсиммет¬
ричные «дополнения» — калибровочно-инвариантное юкавское взаимодействие
между фотино, электроном и скалярами,
£з = гл/^еХьФ · ф- — iyj2ew\L ■ ф+ + h. с..
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
263
и самодействие в скалярном секторе.
С4 = -^-{ф1ф+-ф*_ф-)2·
Константы связи «дополнительных» взаимодействий однозначно фиксированы
калибровочной константой связи. Жёсткая связь между константами связи для
разных секторов модели — общее свойство лагранжианов суперсимметричных
теорий.
Аналогичным образом выглядят iV = 1 суперсимметричные обобщения и дру¬
гих (3+1)-мерных моделей. В частности, суперсимметризация обычного юкавско-
го взаимодействия приводит к появлению скалярного самодействия и наоборот.
В моделях с ненарушенной суперсимметрией массы частиц и гос суперпарт¬
нёров совпадают. Эта особенность сразу делает такие суперсимметричные обоб¬
щения Стандартной модели феноменологически неприемлемыми: ни один супер¬
партнёр частиц Стандартной модели не был до сих пор обнаружен. В феномено¬
логически приемлемых обобщениях Стандартной модели суперсимметрия долж¬
на быть спонтанно нарушена; в этом случае массы частиц и их суперпартнёров
не будут совпадать. Многочисленные и пока безрезультатные поиски суперпарт¬
нёров дают на их массы ограничения снизу; грубо говоря, Ms ·> 100 ГэВ-г-1,5 ТэВ
в зависимости от типа частицы. Отметим, что для моделей со спонтанным нару¬
шением суперсимметрии теоретические соображения10 указывают на диапазон
масс суперпартнёров 30 ГэВ — 3 ТэВ как на наиболее предпочтительный. Поиск
суперпартнёров является одной из важных задач экспериментов в области физи¬
ки высоких энергий, в том числе выполняемых на протон-протонном коллайдере
LHC в CERN с проектной энергией 14 ТэВ в системе центра масс.
Суперсимметричные обобщения Стандартной модели в общем случае содер¬
жат взаимодействия, приводящие к процессам с нарушением барионного и/или
лептонных чисел. Такие процессы пока не обнаружены, и имеются жёсткие огра¬
ничения на их вероятности (особенно сильное — на время жизни протона). Поэто¬
му наиболее реалистичными представляются суперсимметричные модели с так
называемой Я-чётностью, которая, среди прочего, запрещает появление при низ¬
ких энергиях взаимодействий, нарушающих барионное или лептонные числа.
Я-чётность — дополнительная дискретная симметрия, которая делит все ча¬
стицы в модели на два класса: чётные и нечётные (положительная и отрицатель¬
ная Я-чётность). Все известные частицы Стандартной модели (а также необхо¬
димые для суперсимметризации Стандартной модели дополнительные хиггсов-
ские бозоны) считаются чётными, а их суперпартнёры — нечётными. Чётность
состояния с несколькими частицами равна произведению чётностей всех частиц,
поэтому состояние с одним суперпартнёром и любым количеством обычных ча¬
стиц имеет отрицательную Я-чётность, а состояние с двумя суперпартнёрами —
положительную. Предполагается, что все взаимодействия сохраняют Я-чётность. 1010 Среди таких соображений наиболее важные — сокращение квадратичных расходимостей
при вычислении квантовых поправок в суперсимметричных моделях и. как следствие, ослаб¬
ление проблемы иерархии калибровочных масштабов (М\у Μρι), а также объединение ка¬
либровочных констант связи при высоких энергиях.
264
Глава 9. Тёмная материя
Как результат, в столкновении обычных частиц суперпартнёры рождаются па¬
рами (конечно, пара не обязательно должна состоять из частицы и её же анти¬
частицы). Отсюда же следует, что существует по крайней мере одна стабильная
новая частица — это легчайшая среди Я-нечётных частиц. Именно она — лег¬
чайшая среди суперпартнёров частиц Стандартной модели (LSP — the lightest
superpartner) — и является кандидатом на роль тёмной материи. Поскольку элек¬
трически заряженные стабильные частицы с массой 30 ГэВ — 20 ТэВ не могут
составлять тёмную материю (см. задачу 7), то потенциально интересными кан¬
дидатами в суперсимметричных моделях являются нейтралино, снейтрино и гра-
витино16. Рассмотрим их по порядку.
9.6.1 Нейтралино
Весьма популярным кандидатом на роль частиц тёмной материи являют¬
ся нейтралино, которые относятся к классу слабовзаимодействующих тяжёлых
частиц, WIMPob. Причин такой популярности три. Во-первых, нейтралино пред¬
сказываются в суперсимметричном обобщении Стандартной модели физики ча¬
стиц. Во-вторых, массы нейтралино и их константы связи более или менее ав¬
томатически лежат в той области, которую мы рассматривали в разделе 9.3,
т. е. плотность массы реликтовых нейтралино может составлять необходимую
величину pcdm ~ 0,25рс. Наконец, нейтралино принимают участие в слабых
взаимодействиях, и сечения их аннигиляции и упругого рассеяния на частицах
Стандартной модели хоть и малы, но находятся в экспериментально доступной
области (см. рис. 9.5).
Нейтралино — общее название для электрически нейтральных фермионов,
являющихся линейными комбинациями суперпартиёров Ζ-бозона, фотона и ней¬
тральных хиггсовскнх бозонов. В минимальном суперсимметричном расширении
нейтралино — четыре майорановских фермиона. Дело в том, что суперсиммет¬
ричные расширения Стандартной модели с необходимостью содержат не менее
двух хиггсовских дублетов, поэтому суперпартнёров хиггсовскнх бозонов — хигг-
сино — как минимум два. Ещё два нейтральных фермиона — это фотино и су¬
перпартнёр Ζ-бозоиа, которые объединяют термином калибрино (даидгпо в ан¬
глоязычной литературе).
Нейтралино участвуют в калибровочных взаимодействиях Стандартной мо¬
дели наравне со своими партнёрами. Поэтому если в ранней Вселенной реали¬
зовывались температуры выше энергетического масштаба масс суперпартнёров,
Т > Ms, то нейтралино, наряду с другими суперпартнёрами частиц Стандартной
модели, находились в тепловом равновесии в первичной плазме.
Если легчайшее из нейтралино является легчайшим и среди всех суперпарт¬
нёров, т. е. является LSP, то такие нейтралино образуют по крайней мере одну
из компонент тёмной материи. Вклад нейтралино (мы всегда в этом разделе бу¬
дем иметь в виду нейтралино-LSP, если не оговорено противное) в современую
16Мы рассматриваем здесь только минимальное суперсимметричное расширение Стандарт¬
ной модели, оставляя без обсуждения такие кандидаты на роль тёмной материи, как синглино,
аксино и др.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
265
плотность энергии Вселенной можно грубо оценить, воспользовавшись формулой
(9.27), где следует положить дх = 2, g*(tf) ~ 100, а для сечения аннигиляции —
воспользовавшись оценкой (9.42). В результате будем иметь
т1 Мк
Ωλγ = 3 · 10
-4
10-
α
w
0,8 · 10
-2
Μχ
100 ГэВ
100 ГэВ
In 10
Д2
100 ГэВ
Mn
(9.48)
(9.49)
где aw — калибровочная константа слабого взаимодействия. Для наиболее ин¬
тересного диапазона масс нейтралино
100 ГэВ < ik/jv < 3 ТэВ
будем иметь
0,01 < nN < 10,
что попадает в нужную область.
В этом разделе мы уточним оценку (9.49), рассматривая простейший случай,
когда нейтралино является единственной существенной новой частицей, присут¬
ствующей в космической плазме при интересных температурах. Этот случай реа¬
лизуется, если масса нейтралино гораздо меньше масс всех остальных суперпарт¬
нёров. В такой ситуации важны только процессы парного рождения и анниги¬
ляции нейтралино. Подчеркнём, однако, что наше предположение может не вы¬
полняться. Если массы каких-то других суперпартнёров близки к массе нейтра¬
лино, эти суперпартнёры присутствуют в космической плазме в эпоху закалки
нейтралино, и закалка происходит более сложным образом: нейтралино могут
рождаться и уничтожаться в паре с другими суперпартнёрами с возможным ре¬
зонансным усилением некоторых из этих процессов, образовываться в распадах
других суперпартнёров, и т. д. Мы увидим, что в некоторых версиях модели такие
явления действительно важны, поскольку они позволяют получить правильную
концентрацию нейтралино.
Поскольку нейтралино является истинно нейтральной частицей, множитель
2 в первой из формул (9.26) для него отсутствует (этот множитель учитывал
существование как частиц X. так и античастиц X). Поэтому для вклада релик¬
товых нейтралино в современную плотность энергии Вселенной мы имеем
1 2
ΩΥΛ2 иО.9-10"10 — . (9.50)
Xfy/9* σο + 3σιτ/
Напомним, что параметр Xf — Tf/Μχ — это решение уравнения (9.17), то есть
х
-1
/
з-До g„.
8тг3 ^fgZxj
■ ■ Μρι ■ (σο + βσιΐ/) .
(9.51)
266
Глава 9. Тёмная материя
Для получения количественных оценок необходимо найти коэффициенты σο и σ\,
связав их с константами взаимодействия нейтралино и другими параметрами
суперсимметричной теории.
В качестве первого примера рассмотрим лёгкие нейтралино, Мд- < Μζ· Нач¬
нём со случая совсем лёгких LSP, Мд- <С Μζ· При этом основной компонентой
LSP должно быть бино — суперпартнёр калибровочного бозона группы гипер¬
заряда U(l)Y. а примесь ξ хиггсино и второго нейтрального калибрино должна
быть мала. Только тогда связь LSP с Ζ-бозоном будет достаточно слабой, что¬
бы кинематически разрешённый распад Ζ —> NN не давал заметного вклада
в хорошо измеренную ширину Ζ-бозона. Расмотрим случай, когда доминирую¬
щим каналом аннигиляции таких нейтралино является s-канальная аннигиляция
в пару 6-кварков через виртуальный аксиальный хиггсовский бозон А, рис. 9.6.
Для сечения этого процесса аннигиляции справедлива оценка
(σν)0 ~ ξ2νΙ
αΜ%
где тпА — масса аксиального хиггсовского бозона А, уь — юкавская константа
связи 6-кварков с бозоном А.
Параметры модели — массы пей-
тралнно и аксиального хиггсовского
бозона — ограничены снизу из прямых
поисков новых частиц. Ограничения
зависят от многочисленных парамет¬
ров суперсимметричных моделей —
масс новых частиц и величин констант
связи. В минимальных суперсиммет¬
ричных обобщениях Стандартной мо¬
дели ограничения снизу на массу лег¬
чайшего нейтралино составляют око¬
ло ЮГэВ, а на массу аксиального хиггсовского бозона — несколько сотен ГэВ.
В таких обобщениях закалка лёгких нейтралино тёмной материи происходит че¬
рез ^-канальный обмен слептонами, что обсуждается ниже. Рассматриваемый
здесь s-канальный обмен скалярными частицами работает в суперсимметричных
обобщениях с более сложным хиггсовским сектором, например в моделях с до¬
полнительными сннглетными по калибровочным группам Стандартной модели
полями. В них в хиггсовском секторе содержится большее количество нейтраль¬
ных скалярных компонент, часть из которых может быть достаточно лёгкими
(начиная с нескольких ГэВ). Аннигиляция нейтралино может происходить непо¬
средственно в эти частицы или через s-канальный обмен этими частицами, как
здесь и обсуждается.
Рассматривая модели с большой константой связи уь ~ 1, получим
лино через виртуальный аксиальный
хиггсовский бозон
(σν)ο ~ σ0
0.1)
10 ГэВ )
100 ГэВ
тА
■ Ю"10 ГэВ"2.
Тогда из (9.51). получим х/ ~ 1/20. и для лёгких реликтовых нейтралино из (9.50)
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
267
будем иметь
Ω* ~ ОД
ОД
ξ
2
10 ГэВ\2 / ттгА \4
Мд ) V100 ГэВ J
(9.52)
т. е. как раз нужную величину при достаточно реалистических значениях Мд ~
~ 10 ГэВ. ξ ~ ОД.
Продолжим обсуждение возможности того, что Мд- < Μζ/2. В моделях,
где некоторые суперпартнёры фермионов Стандартной модели являются доста¬
точно лёгкими, Ms < Mz. основные каналы аннигиляции лёгких нейтралино
в ранней Вселенной связаны с t-канальными обменами этих частиц. Именно они
обеспечивают необходимое количество тёмной материи в моделях с Мд < Mz/2.
В частности, положив Ms ~ Mz. получим оценку, близкую к (9.52) с заменой
ξ —» 1 и 771,4 —* Mz- Поэтому нейтралино с массой Мд- — 30 ГэВ может объяс¬
нить тёмную материю во Вселенной. Реалистичный механизм закалки при этом
даёт t-канальный обмен суперпартнёрами т-лептона, а частицей тёмной материи
может быть смесь бино и хиггсино.
Для конкретных моделей довольно характерна, впрочем, иерархия масс
в хиггсовском секторе: один из бозонов Хиггса имеет массу 125 ГэВ и свойства,
близкие к свойствам бозона Хиггса Стандартной модели, а остальные, в том
числе А, имеют гораздо большие массы. Кроме того, массы суперпартнёров фер¬
мионов Стандартной модели заметно првышают Μz ■ В таких моделях, как видно
из (9.52), плотность массы совсем лёгких нейтралино была бы черезчур велика.
Для случая тяжёлых новых бозонов Хиггса рассмотрим нейтралино с массами
Mz/2 < Мд < Μz· Для них сечение аннигиляции часто оказывается существен¬
но подавленным по сравнению с оценкой, фигурирующей в (9.48). Действитель¬
но, рассмотрим доминирующий в рассматриваемом случае канал аннигиляции
в фермионы Стандартной модели
NN - //. (9.53)
Эти процессы идут через s-канальный обмен Ζ-бозоном, а также посредством ί-
канального обмена виртуальными суперпартнёрами / рождающихся фермионов
см. рис. 9.7.
N
т
1
/
;/
N
1
1
7
Рис. 9.7. Диаграммы, дающие вклад в аннигиляцию лёгких нейтралино
в пару фермионов
268
Глава 9. Тёмная материя
Поскольку мы интересуемся аннигиляцией нерелятивистских нейтралино
с Мдг < Μζ, импульсами виртуальных частиц можно пренебречь по сравне¬
нию с массами этих частиц. Иными словами, аннигиляция (9.53) в нашем случае
эффективно описывается контактным 4-фермионным взаимодействием,
с = Σ ΝΊμΊ*Ν ■ Ы (а/ + bf75) /, (9.54)
S
где параметры а/ и bf имеют размерность ГэВ-2. Эти параметры модельно-
зависимы, например, вклады виртуального Ζ-бозона зависят от элементов мат¬
рицы смешивания нейтралино, а вклады виртуальных суперпартнёров — ещё
и от их масс и углов смешивания в секторах слептонов и скварков. По порядку
величины можно считать, что обмен Ζ-бозоном приводит к вкладу в парамет¬
ры а/ и bf порядка фермиевской константы связи (см. раздел В.5),
af.bf ~ Gf = 1Д7 · 10~δ ГэВ-2. (9.55)
Суперпартнёры часто бывают заметно тяжелее Ζ-бозона, поэтому t-канальные
вклады, как правило, подавлены.
Взаимодействие (9.54) даёт для аннигиляции нейтралино (майорановский
фермион, N = Nc) в нерелятивистском пределе
σν
(9.56)
где ν — относительная скорость аннигилирующих частиц. Отсюда для парамет¬
ров σο и σχ, входящих в (9.12). получим
σι = ^Σ(α/+6/)Μ£·
ι
Сечение аннигиляции в s-волне подавлено массой фермиона: в пределе т/ —► О
имеем σο = 0. Это подавление возникает из-за того, что в пределе безмассовых
фермионов с Ζ бозонами взаимодействуют только фермионы левой спирально-
сти и антифермионы правой спиральностн. Проекция углового момента такой
пары на направление разлёта ζ равна Jz = 1. Нерелятивистские майорановские
фермионы — нейтралино — должны быть в состоянии с угловым моментом 1 (р-
волна), чтобы перейти в пару частиц с Jz = 1. Состояние с угловым моментом 0
(s-волна) и суммарным Jz = 1 (оба спина вверх) запрещено для майорановских
частиц принципом Паули.
Для приведённых оценок параметров σο и σι будем иметь из (9.50)
Ω.ν ~ 0,2 для Мх ~ 60 ГэВ.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
269
Такие нейтралино являются приемлемыми кандидатами на роль частиц тём¬
ной материи.
Трудность описанных сценариев с Мдг < Μζ состоит, однако, в том, что
в большинстве конкретных простейших суперсимметричных моделей области
параметров, в которых имеются лёгкие нейтралино, исключены многочисленны¬
ми экспериментальными поисками проявлений суперсимметрии.
Перейдём теперь к случаю более тяжёлых нейтралино, iV/,γ > Μζ (всюду
речь идёт о нейтралино, являющихся LSP). В этом случае вклад Ζ-бозона в кон¬
станты а/ и Ь/ подавлен множителем М|/4МдГ; вклад более тяжёлых суперпарт¬
нёров (правая диаграмма на рис. 9.7) также, вообще говоря, мал. С учётом по¬
давления сечения аннигиляции нейтралино в фермионы по сравнению с оценкой
(9.42) мы заключаем, что предсказываемая плотность массы реликтовых нейтра¬
лино с Μχ > Μζ, как правило, превышает требуемое значение /?cdm — 0,25рс,
т. е. для таких масс имеет место проблема перепроизводства нейтралино.
Относительно тяжёлые нейтралино, Мдг > Μζ· всё же могут обеспечить
необходимую плотность массы тёмной материи, однако это возможно только при
определённых условиях на параметры модели, подразумевающих обычно спе¬
циальные соотношения между массой нейтралино и массами некоторых супер¬
партнёров. Такое решение проблемы перепроизводства тёмной материи вполне
возможно, однако возникает вопрос о степени естественности соответствующих
соотношений между параметрами модели.
Даже в минимальном суперсимметричном расширении Стандартной моде¬
ли — MSSM (Minimal Supersymmetric Standard Model) имеется много парамет¬
ров, дополнительных к массам и константам связи частиц Стандартной модели.
На большинство из этих неизвестных параметров имеются ограничения, следу¬
ющие из результатов коллайдерных экспериментов, исследований редких распа¬
дов К-. В-мезонов и других частиц и т. д. Тем не менее, существуют разрешённые
области параметров, в которых нейтралино выступает в роли частицы тёмной
материи — WIMPa. Для большинства этих областей характерны сравнительно
большие сечения упругого рассеяния нейтралино на нуклоне, так что галактиче¬
ские нейтралино могут быть зарегистрированы имеющимися пли планируемыми
экспериментами по прямому поиску тёмной материи, о которых мы говорили
в разделе 9.3, см. рис. 9.2. Это иллюстрирует рис. 9.8.
В качестве примера самосогласованного и феноменологически приемлемого
суперсимметричного обобщения Стандартной модели, где многочисленные массы
и константы связи в низкоэнергетической теории определяются лишь нескольки¬
ми параметрами, рассмотрим модели mSUGRA (minimal supergravity). В этих
моделях предполагается, что суперсимметрия нарушается спонтанно в специаль¬
ном «скрытом» секторе, и это нарушение передаётся в сектор полей Стандарт¬
ной модели благодаря гравитационным взаимодействиям. При этом на некото¬
ром большом энергетическом масштабе М. вне зависимости от аромата и заряда
по калибровочной группе Стандартной модели, все скаляры — суперпартнёры
фермионов Стандартной модели и хиггсовские дублеты — приобретают одина¬
ковые массы то, а все суперпартнёры калибровочных бозонов — калибрино —
приобретают одинаковые массы М\/2. Кроме того, появляются нарушающие су-
270
Глава 9. Тёмная материя
Ю‘11 - XENON 1Т
100
1000
ηηχ0 (ГэВ)
Рис. 9.8. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 598.) Предска¬
зания модели MSSM для спин-независимого сечения упругого рассеяния ней¬
тралино на нуклоне fl20j. Цветные области соответствуют значениям па¬
раметров, не противоречащилг у с кори т е.аьиыл ι экспериментам и приводящим
к Ω.γ и 0.25. Синяя область исключена прямыми поисками тёмной материи
в подземном эксперименте XENON 100. В зелёных областях сечение анниги¬
ляции нейтралиио вепико за счёт резонансной аннигиляции через Z-бозон или
один из хиггсовских бозонов MSSM. при этол1 Л/д- ~ Μζ/2 или Мд· ~ т#/2.
см. обсуэ/сдение ниже. В жёлтых и фиолетовых областях имеется прибли-
ясенное вырождение между нейтралино и каким-то другим суперпартнёром,
и подавление концентрации нейтралино во Вселенной связано с аннигиляци¬
ей нейтралиио с этим суперпартнёром. В серой области действуют другие
механизмы подавления, также связанные с тонкой подстройкой паральет-
ров. Показаны также области возможного сигнала в экспериментах DAMA,
CoGENT и CRESST и оэ1сидае.иые уровни чувствительности экспериментов
персимметрию трилинейные константы связи хиггсовских дублетов (а их в ми¬
нимальном суперсимметричном обобщении два — один. Ни: обеспечивает массу
верхним кваркам, а другой. HD — нижним кваркам и лептонам) с другими ска¬
лярными полями. Эти константы имеют размерность массы и полагаются про¬
порциональными соответствующим юкавским константам связи с общим размер¬
ным коэффициентом А.
Отметим, что в простейших моделях масштаб М полагается равным масшта¬
бу теории Большого объединения Л/gut ~ Ю16 ГэВ. Это обусловлено тем обсто¬
ятельством. что калибровочные константы связи Стандартной модели (чьи ве¬
личины из-за квантовых эффектов изменяются с энергетическим масштабом)
приближаются друг к другу с ростом энергетического масштаба. В минималь¬
ных суперсимметричных обобщениях Стандартной модели все три калнбровоч-
LUX и XENON IT
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
271
ные константы связи объединяются на масштабе Мсиъ т· е· становятся равными
друг другу. Это является сильным доводом в пользу суперсимметричных моде¬
лей Большого объединения, происходящего как раз на масштабе Mgut·
Помимо трёх размерных параметров mo, Μι/2, А, есть ещё безразмерный па¬
раметр tg β, фиксирующий отношение вакуумных средних хиггсовских полей,
tg/З = (Нц)/(Нп). Массы хиггсино на масштабе М полагаются равными ещё од¬
ному размерному параметру μ. величина которого оказывается зафиксированной
величиной массы Ζ-бозона Μζ, однако знак μ остаётся ещё одним (дискретным)
свободным параметром1'. Часто в литературе такой вариант называются «свя¬
занной» (constrained) Минимальной суперсимметричной Стандартной моделью
(CMSSM), оставляя название mSUGRA за вариантом с меньшим числом свобод¬
ных параметров, (так что, например, tg в уже не произволен, а масса гравитино
равна то).
С учётом квантовых поправок все массовые параметры и константы связи
модели mSUGRA изменяются при понижении энергетического масштаба Q от М
до Μζ· Окончательный набор масс и констант связи на электрослабом масштабе
можно получить из решения рснормгрупповых уравнений, описывающих эволю¬
цию констант связи и масс. Заданные на масштабе М величины констант связи
и масс через четыре параметра (и знак) являются начальными условиями для
уравнений ренормгруппы. Описанный нами набор начальных условий называ¬
ют универсальным, и с феноменологической точки зрения его выбор обуслов¬
лен необходимостью подавить взаимодействия, приводящие при низких энергиях
к процессам с нарушением ароматов в кварковом и лептонном секторах.
Учёт квантовых поправок приводит к важным результатам. При низких
энергиях константы связи и массовые параметры перестают обладать свойством
универсальности. В частности, массы частиц с разными квантовыми числами
существенно различаются. Массы калибрино — суперпартнёров калибровочных
бозонов — при учёте лидирующих квантовых поправок эволюционируют с энер¬
гетическим масштабом пропорционально соответствующим калибровочным кон¬
стантам связи. В минимальных суперсимметричных расширениях Стандартной
модели калибровочная константа сильных взаимодействий растёт с понижением
энергетического масштаба, а калибровочные константы электрослабого сектора,
наоборот, падают. Таким образом, имея на масштабе М универсальные началь¬
ные условия для уравнений ренормгруппы, на электрослабом масштабе получим
глюино в качестве самого тяжёлого калибрино, а бино — суперпартнёр калиб¬
ровочного бозона группы U(1)Y — будет легчайшим. Для массовых параметров
скалярного сектора ситуация сложнее, поскольку вклад в ренормгрупповую эво¬
люцию уже в лидирующем порядке теории возмущений дают и калибровочные,
и юкавские константы взаимодействия. При понижении энергии квантовые по¬
правки, обусловленные калибровочными взаимодействиями, приводят к увеличе¬
нию массовых параметров, а поправки, обусловленные юкавским взаимодействи¬
ем, наоборот, уменьшают их. Чем больше величина константы связи, тем больше
эффект. В результате самыми тяжёлыми оказываются левые скварки, а самым
лёгким — один из слептонов, суперпартнёр правого т-лептона. Ренормгрупповая
эволюция масс суперпартнёров проиллюстрирована на рис. 9.9.
В хиггсовском секторе квантовые поправки, обусловленные взаимодействи¬
ями с тяжёлыми кварками третьего поколения (t- и 6-кварками), приводят в ко¬
нечном итоге к спонтанному нарушению электрослабой симметрии на масшта¬
бе порядка 100 ГэВ (см. рис. 9.9, где выражение у/пг^ + μ2, являющееся массой 1111 В общем случае параметр μ может быть комплексным, что служит дополнительным источ¬
ником CP-нарушения в хиггсовском секторе.
272
Глава 9. Тёмная материя
Рис. 9.9. Пример ренормгрупповой эволюции для массовых параметров
mSUGRA [110]. В качестве начальных данных на масштабе Mgut ~ Ю16 ГэВ
выбрано: Мх/2 = 250 ГэВ, то = 100 ГэВ, А = 0, tg/З = 3 и μ < 0
поля Энглера—Браута—Хиггса, становится отрицательным при Q ~ 100 ГэВ):
у хиггсовских дублетов повляются отличные от нуля вакуумные средние. Слабые
калибровочные бозоны становятся массивными благодаря механизму Энглера—
Браута—Хиггса, а фермионы Стандартной модели получают массы посредством
юкавских взаимодействий. Суперпартнёры, взаимодействующие с хиггсовскими
бозонами, также получают дополнительные вклады в массовые матрицы. В ряде
случаев эти вклады существенно изменяют иерархию массовых состояний в сек¬
торе суперпартнёров.
Отметим, что в модели mSUGRA вакуум {Ηυ) = 0, (HD) = 0 является ми¬
нимумом древесного скалярного потенциала, то есть электрослабая симметрия
на древесном уровне не нарушена. Спонтанное нарушение происходит на масшта¬
бе энергии ~ 100 ГэВ лишь благодаря появлению квантовых поправок к эффек¬
тивному (с точки зрения высокоэнергетичной теории) скалярному потенциалу.
Такой механизм нарушения электрослабой симметрии является ещё одной при¬
влекательной чертой суперсимметричных обобщений Стандартной модели.
С учётом современных жёстких ограничений на параметры mSUGRA (и её
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
273
Аф/ггц^г , μ > О
mSUGRA: Αΰ= -т)Д, tanp=30, μ > О, m=173 ГэВ
о
ε
1000
m1/2 (ГэВ)
m0(ГэВ)
m
£
сг
Ε"
3400
3200
3000
2800
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
Нет
нарушения
электрослабой
симметрии
Т ' I ' I ' I
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Рис. 9.10. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 599.) Феноме¬
нологически неприемлемые области и космологически предпочтительные обла¬
сти в пространстве (Мх/2,то) для моделей: mSUGRA [125] с Aq = то и μ > О
(слева) и CMSSM [126] с Ао = —Шх/г, tg/? = 30 и μ > 0 (справа). Показа¬
ны линии постоянных масс легчайшего бозона Хиггса (реалистичный интер¬
вал 125-126 ГэВ). На рисунке слева вытянутая синяя область соответству¬
ет нейтралино тёмной материи, область выше и коричневая область ниже
космологически запрещены (слишком много реликтовых нейтралино и LSP —
электрически заряженная частица, суперпартнёр τ-летопна, соответствен¬
но), ниже коричневой области LSP — это гравитино (см. обсуждение в разде¬
ле 9.6.3), область левее сплошной зелёной линии исключена данными Большого
адронного коллайдера, серые линии указывают величины tg β; феноменологиче¬
ски приемлелшя область, где нейтралино может быть тёмной материей —
777-1 /2 ~ 1300 ГэВ, то & 850 ГэВ. На рисунке справа космологически разрешён¬
ная область обозначена красным, чёрным цветом — область, где нейтралино
образует всю тёмную материю, в зелёной области LSP — электрически за¬
ряженная частица, суперпартнёр t-кварка; феноменологически приемлелшя об¬
ласть, где нейтралино может быть тёлтой материей — 77ΐχ/2 ~ 1800 ГэВ,
то ~ 7000 ГэВ.
простейших вариаций). следующих из многочисленных безрезультатных поисков
её проявлений, в пространстве параметров имеется лишь три узкие области, для
которых реликтовое нейтралино будет полностью обеспечивать всё необходимое
количество тёмной материи во Вселенной, см. рис. 9.10. 9.11.
Это связано с тем обстоятельством, что имеющиеся экспериментальные дан¬
ные оказываются несовместными с существованием лёгких стабильных нейтра¬
лино в количестве, необходимом для объяснения тёмной материи. Более тяжё¬
274
Глава 9. Тёмная материя
лые нейтралино. приемлемые с точки зрения эксперимента, для большей части
пространства параметров неприемлемы с точки зрения космологии: как следует
из сделанных выше оценок, тяжёлые реликтовые нейтралино давали бы слишком
большой вклад в плотность энергии во Вселенной. Космологически приемлемые
области в пространстве параметров (Μι/2-тпо); представленные на рис. 9.10, отве¬
чают ситуациям, когда сечение аннигиляции нейтралино тем или иным способом
существенно увеличено, что приводит к уменьшению плотности массы релик¬
товых нейтралино по сравнению с оценкой (9.48). Вообще говоря, такое реше¬
ние проблемы тёмной материи с точки зрения низкоэнергетических параметров
mSUGRA уже не выглядит естественным. Тем не менее, с точки зрения началь¬
ных значений параметров это решение ещё не выглядит вычурно.
ГО 1/2 (ГэВ)
Рис. 9.11. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 599.) То Dice,
что и на рис. 9.10, но для модели [125} с одним дополнительным по сравнению
с CMSSM параметром в хиггсовском секторе. Закрашенная розовым область
в левом верхнем углу запрещена из ус.аовия существования спонтанного на¬
рушения электрослабой симметрии. Внутри синей области тёмная материя
объясняется нейтралино
Итак, в модели mSUGRA все интересные для космологии области относятся
к случаю тяжёлых нейтралино. при этом требуется привлекать тот или иной
механизм усиления аннигиляции нейтралино. чтобы они не давали избыточного
вклада в плотность энергии Вселенной.
Одна из областей, где этого удаётся достигнуть (см. рис. 9.11), появляется
только в моделях с большим tg 3. В этой области пространства параметров уси¬
ление аннигиляции нейтралино происходит из-за того, что масса по крайней мере
одного из дополнительных тяжёлых нейтральных хиггсовских бозонов (их два
для двухдублетного хпггсовского сектора — скалярный Н и псевдоскалярный А)
почти совпадает с массой пары нейтралино. 2Μ,γ ~ тц (и/или 2Λ/γ ~ тА). По¬
скольку в нерслятивистском пределе энергия нейтралино почти совпадает с их
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
275
массой, нейтралино резонансно аннигилируют в s-канале в слабовиртуальные
хиггсовские бозоны, распадающиеся затем в частицы Стандартной модели,
NN —*· А*. Н* —> частицы Стандартной модели,
в результате чего сечение анигиляции возрастает в несколько раз. Ясно, что та¬
кого рода решение проблемы перепроизводства нейтралино требует достаточно
специального подбора параметров.
Две другие области отвечают моделям с так называемыми co-LSP. Это мо¬
дели, в которых массы LSP и ближайшего к нему по массе суперпартнёра, NLSP
(the next-to-lightest superpartner), почти вырождены. В данном случае в качестве
co-LSP для одной области (узкая полоса на рис. 9.10 вдоль границы космоло¬
гически запрещённой области, в которой LSP является заряженным скаляром)
выступает легчайший слептон — смешанное состояние, доминированное супер¬
партнёром правого т-лептона, а для другой области (узкая полоса на диаграм¬
ме рис. 9.11 вдоль области, запрещённой из требования спонтанного нарушения
электрослабой симметрии) — легчайшее массовое состояние сектора скварков —
суперпартнёр ί-кварка. Поскольку LSP и co-LSP почти вырождены по массе, их
закалка происходит практически одновременно, TfSP « Tcf°~LSP. Поэтому оказы¬
ваются важными все аннигиляционные каналы:
LSP + LSP —> частицы Стандартной модели,
NLSP + LSP —► частицы Стандартной модели,
NLSP + NLSP —>■ частицы Стандартной модели.
Увеличение количества аннигиляционных каналов позволяет сократить остаточ¬
ную концентрацию нейтралино. Этому способствует и резонансное усиление каж¬
дого из сечений в έ-канале. Такой механизм действительно работает, но лишь
в узкой области пространства параметров, где
raNLSP ~ ra-LSP Δ τη
τη lsp ttilsp
Эта оценка следует из того факта, что плотность NLSP по отношению к плотно¬
сти LSP подавлена больцмановским множителем
< 0.1.
(9.57)
e~Am/Tf
Am
ТП LSP
rnLSp/20^ I
который становится меньше 15 %, если неравенство (9.57) не выполняется.
> Задача 9. Рассмотреть минимальное суперсимметричное расширение Стан¬
дартной модели, в котором все суперпартнёры, кроме слептонов и фоти-
но. очень тяжёлые, а потому распадаются на обычные частицы и фотино
или слептоны задолго до достижения во Вселенной температур порядка
276
Глава 9. Тёмная материя
100 ГэВ. Пусть массы слептонов и фотино порядка 100 ГэВ, а фотино
является LSP. Пренебрегая смешиванием слептонов, найти плотность ре¬
ликтовых фотино. Указание: лагранжиан взаимодействия между фотино.
лептоном и слептоном можно найти в самом начале раздела 9.6.
В завершение раздела отметим, что в ряде суперсимметричных моделей ре¬
ализуется обратная ситуация, когда нейтралино — долгоживущая, но всё же
нестабильная частица. Истинно стабильная частица — кандидат на роль тём¬
ной материи — появляется в результате распада нейтралино. Этот последний
вариант также позволяет решить проблему с перепроизводством тёмной мате¬
рии в суперсимметричных моделях, поскольку плотность числа появляющихся
частиц совпадает с плотностью числа нейтралино, а их масса меньше. Этот ва¬
риант обсуждается в разделе 9.6.3, посвящённом гравитино — именно гравитино
является интересным партнёром нейтралино в паре LSP—NLSP.
9.6.2 Снейтрино
Снейтрино является суперпартнёром нейтрино. В минимальном суперсим¬
метричном расширении Стандартной модели имеется три поколения снейтрино,
описываемых тремя комплексными, но электрически нейтральными скалярны¬
ми полями. Каждое поколение снейтрино состоит из одной скалярной и одной
псевдоскалярной частицы — всего шесть бозонных степеней свободы.
Возникает естественный вопрос о возможности того, что в моделях с R-
чётностью легчайшее снейтрино является LSP, и именно оно выступает в роли
частицы тёмной материи. Действительно, снейтрино, как и нейтрино, участвует
в слабых взаимодействиях, и из оценки (9.27) следует, что их остаточная плот¬
ность автоматически находится в правильной области (ρ-волновое подавление,
характерное для нейтралино, для них отсутствует). Однако снейтрино как ча¬
стицы тёмной материи запрещены экспериментами по прямому поиску тёмной
материн. Взаимодействие снейтрино с Ζ-бозоном по силе не уступает взаимодей¬
ствию Ζ-бозоиа с нейтрино, в результате сечение упругого рассеяния снейтри¬
но на ядрах оказывается на два-три порядка выше существующих ограничений
на величину упругого сечения частиц тёмной материи, приведённых на рис. 9.2.
Более перспективными в этой связи представляются так называемые пра¬
вые снейтрино, появляющиеся в суперсимметричных обобщениях Стандартной
модели с правыми нейтрино, имеющими массы порядка 100 ГэВ. Эти снейтри¬
но очень слабо взаимодействуют с частицами Стандартной модели, и сечение их
упругого рассеяния на ядрах лежит заметно ниже существующих ограничений,
приведённых на рис. 9.2.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
277
9.6.3 Гравитино
Самосогласованные суперсимметричные теории, включающие в себя грави¬
тацию, обладают локальной суперсимметрией. Такие теории называют теориями
супергравитации. Суперсимметрия в них локальна в обычном для калибровоч¬
ных теорий смысле: действие инвариантно относительно преобразований супер¬
симметрии с параметрами, зависящими от точки пространства-времени. В теори¬
ях супергравитации гравитон имеет суперпартнёра 0μ, получившего называние
гравитино. Если бы суперсимметрия была не нарушена, гравитино было бы без-
массовым фермионом со спином 3/2; как и у гравитона, у него было бы две
степени свободы на массовой поверхности.
Однако суперсимметрия должна быть спонтанно нарушена. В теориях со спон¬
танно нарушенной глобальной суперсимметрией (без гравитации) по теореме Гол-
дстоуна имеются безмассовые степени свободы, свойства которых определяются
свойствами нарушенных генераторов симметрии. В случае суперсимметрии на¬
рушенные генераторы являются фермионами (грассмановыми величинами), они
осуществляют преобразование бозон фермион, изменяя спин на 1/2. Поэтому
в спектре появляется не безмассовый бозон, а безмассовый майорановский фер-
мион гЬ — голдстино. Как и положено намбу-голдстоуновскому полю, голдстино
взаимодействует с соответствующим током — в данном случае с супертоком,
С = ■ JSUSY. (9.58)
г μ
Это прямой аналог формулы Голдбергера—Треймана, описывающей взаимодей¬
ствие пионов — (псевдо)голдстоуновских бозонов, возникающих при нарушении
киральной симметрии. Параметр Fвходящий в формулу (9.58), имеет размер¬
ность квадрата массы и определяется вакуумным средним, появление которого
привело к спонтанному нарушению суперсимметрии. По порядку величины y/~F
совпадает с масштабом нарушения суперсимметрии (так же, как в киральной мо¬
дели константа распада пиона /π совпадает по порядку величины с масштабом
нарушения киральной симметрии).
В моделях со спонтанным нарушением локальной суперсимметрии работа¬
ет суперхиггсовский механизм: голдстино становится продольной компонентой
гравитино,
όμ -+ όμ + (9.59)
Г
которое в результате такого поглощения приобретает массу т3/2. пропор¬
циональную F:
18тг F . .
m3/2 = VT ΊΙ7,· (9'60)
Величина у/Ψ феноменологически может принимать любое значение в интервале
1 ТэВ < y/F < Μρι,
где нижняя граница определяет масштаб масс суперпартнёров частиц Стандарт¬
ной модели. Отсюда и широкий разброс оценок для массы гравитино,
2 · 10-4 эВ < 7Пз/2 ;$ Μρι.
278
Глава 9. Темная материя
Формула (9.58), где в качестве ιb выступает продольная компонента грави-
тино. показывает, что лагранжиан взаимодействия гравитино с полями материи
имеет в принципе довольно простой вид. Взаимодействие «исходных» попереч¬
ных компонент гравитино с полями материи подавлено планковским масштабом,
как и взаимодействие обычного гравитона. Для подавляющего большинства мо¬
делей нарушение суперсимметрии происходит на масштабе энергий ниже план-
ковского, a/F -С Μρι, поэтому массивное гравитино взаимодействует с полями
материи в основном через продольную компоненту — поглощённое голдстино.
Взаимодействие продольной компоненты гравитино по-прежнему описывается
формулой (9.58). Для оценки величины эффективных констант связи гравитино
с полями материи можно проинтегрировать действие по частям, получив
£ = _ΙΛ.δ^γ
р · V-
При низких энергиях несохранение супертока связано с явным нарушением су¬
персимметрии в эффективном действии, и в частности с различием между масса¬
ми партнёров и суперпартнёров. Отсюда следует вид взаимодействий гравитино
с другими частицами18:
ηβ-ίΨΐ·. (9.61а)
ψλΊ-'VtfJv, (9.61b)
где / и λ обозначают сфермион (суперпартнёр кварка или лептона) и калиб-
рино (в том числе глюино и суперпартнёры И/=), ms и М\ — их массы, явно
нарушающие суперсимметрию.
В большинстве феноменологически приемлемых и интересных моделей
100 ГэВ < 7775, Мд < 10 ТэВ.
Поэтому величины эффективных констант связи (9.61) малы (как правило,
очень малы), чем и обусловлено существенное отличие феноменологии и космо¬
логии гравитино по сравнению с феноменологией и космологией суперпартнёров
частиц Стандартной модели. Но есть между ними и общее. Как видно из вы¬
ражений (9.58), (9.59), в моделях с 7?-чётностью гравитино является нечётной
частицей, а значит, при рассеянии обычных частиц Стандартной модели грави-
тино, как и суперпартнёры, будут рождаться парами («пару» может помочь со¬
ставить и обычный суперпартнёр). Кроме того, гравитино в широком интервале
своих масс,
2 ■ 10-4 эВ < 7773/2 < 100 ГэВ, 11S Может создаться впечатление, что выражение (9.61) является некорректным, поскольку
в нём нельзя перейти к пределу ненарушенной суперсимметрии F —► 0. Это не так. Массовые
параметры суперпартнёров также пропорциональны параметру F. и константы в (9.61) на са¬
мом деле определяется константами связи тех взаимодействий, посредством которых после
спонтанного нарушения суперсимметрии суперпартнёры частиц Стандартной модели приобре¬
ли массы.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
279
будет являться легчайшим суперпартнёром, LSP, а значит, стабильной частицей.
Это происходит в теориях с относительно низким масштабом нарушения супер¬
симметрии, см. (9.60),
VF < Ю10 ГэВ.
В таких моделях реликтовые гравитино могут претендовать на роль частиц тём¬
ной материи. Отметим однако, что если действительно тёмную материю образу¬
ют реликтовые гравитино, то возможность прямой регистрации частиц тёмной
материи в экспериментах обозримого будущего вызывает сомнения — гравитино
слишком слабо взаимодействует с другими частицами.
Обсудим возможную роль гравитино в космологии. Как мы видели, гравити¬
но взаимодействует с остальными частицами очень слабо, поэтому в ранней Все¬
ленной процессами с участием двух гравитино можно пренебречь. В частности,
можно пренебречь двухчастичным рождением гравитино. а также аннигиляцией
гравитино в обычные частицы.
> Задача 10. Оценить, гравитино каких масс могут эффективно рождаться
в первичной плазме при температуре Т в результате рассеяния частиц
Стандартной модели. Убедиться, что закалка гравитино феноменологиче¬
ски приемлемых масс m3/2 > 10-4 эВ происходит задолго до эпохи нук¬
леосинтеза. а значит, присутствие лёгких стабильных гравитино заведомо
не противоречит ограничениям на число релятивистских компонент в плаз¬
ме в эпоху нуклеосинтеза.
Начнём с моделей, где гравитино находилось в равновесии с частицами пер¬
вичной плазмы (другие возможности будут рассмотрены ниже). Гравитино G
будет находиться в равновесии до тех пор, пока скорости реакций
Х1 + 0~Х2 + Хз (9.62)
(где Хг·, 2 = 1,2.3 — другие частицы плазмы) превышают темп расширения Все¬
ленной. Процесс (9.62) происходит через s-. t- и u-канальные обмены виртуаль¬
ными частицами Y = Х1.Х2,··· (см. рис.9.12). Каждая диаграмма включает
Рис. 9.12. Диаграммы, дающие вклад в 2 —> 2 процессы с рождением (погло¬
щением) гравитино в первичной плазме. Y. Хг. г — 1,2,3 — другие частицы,
например частицы Стандартной модели и их суперпартнёры (в модели с R-
чётностью по крайней мере одна из частиц Хг. г = 1,2,3 должна быть супер-
партнёром)
280
Глава 9. Тёмная материя
вершину взаимодействия частиц Χι, Хч,..., пропорциональную, например, неко¬
торой калибровочной константе связи д, и вершину взаимодействия этих частиц
с гравитино (9.61). В результате при высоких температурах, когда Т » ms, М\,
доминируют процессы с взаимодействием (9.6lb) между гравитино и калибрино,
и для сечения рассеяния (9.62) мы имеем оценку
Ml д2
сГ/=. — о.—где о. — —
G u р2 ’ Λ 4π
(сечения процессов, обусловленных взаимодействием (9.61а) между гравитино
и сфермионами, содержат дополнительный фактор подавления m2s/T2). Грави¬
тино перестаёт взаимодействовать с плазмой при температуре Т/, определяемой
условием остановки реакций (9.62),
Т2
Σσσ ·п* ■ vg - H(Tf) = т£.
где ηχ — равновесная плотность частиц, на которых рассеивается гравитино,
a Vq — скорость гравитино. Предположим, что гравитино перестаёт взаимодей¬
ствовать с частицами плазмы, когда гравитино и частицы Χι,2,... являются реля¬
тивистскими, тогда прямые и обратные процессы (9.62) замораживаются одно¬
временно. Подставляя ηχ ~ Г3, Vq = 1 и учитывая, что имеется порядка д*(Т/)
отдельных реакций с разными частицами X. получим для температуры закалки
Г/ ~ т3/2 ·
1
y/9*{Tf)a
F
Щ'
(9.63)
где мы выразили одно вакуумное среднее F через массу гравитино, воспользо¬
вавшись выражением (9.60).
Поскольку F М2, то ясно, что гравитино действительно отщепляется
от первичной плазмы, будучи ультрарелятивистской частицей19. Таким образом,
оценка современной плотности числа реликтовых гравитино производится анало¬
гично оценке плотности числа нейтрино Стандартной модели. Соответствующее
выражение для гравитино имеет вид
_ 3 (0з/2 λ 43 1
(9.64)
где было использовано явное выражение (5.33) для энтропии первичной плазмы
при Т < 1 МэВ, п7.о = 410 см-3 — современная плотность реликтовых фотонов,
а 5з/2 — число степеней свободы гравитино, причём поскольку взаимодействие
поперечных степеней свободы подавлено величиной массы Планка Μρι, то сле¬
дует положить (/з/2 = 2. Отщепление от плазмы поперечных степеней свободы
19Для гравитино с т^/о < 10 кэВ оценка (9.63) даёт температуру его закалки меньше масшта¬
ба масс суперпартнёров. Т/ < пг$ ■ В этом случае процессы (9.62) перестают в действительности
идти, грубо говоря, при 7/ ~ ms- поскольку по крайней мере одна из частиц Х\. Хч, Хз яв¬
ляется суперпартнёром. Гравитино по-прежнему закаливаются, будучи релятивистскими, так
что последующие рассуждения остаются справедливыми.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
281
гравитино (если они когда-либо были в равновесии с плазмой) происходит на су¬
щественно более ранних этапах эволюции Вселенной, чем закалка продольных
степеней свободы, т. е. голдстино.
> Задача 11. Убедиться в справедливости формулы (9.64).
> Задача 12. Определить температуру отщепления от первичной плазмы по¬
перечных степеней свободы гравитино.
Из (9.64) следует, что доля гравитино в полной плотности энергии современ¬
ной Вселенной равна
Ω3/2 —
тЗ/2 ~ пз/2 _ q 2 тЗ/2
Рс
ί 93/2
200 3BV 2
210 \ 1
g.(Tf))-2h*·
(9.65)
Видно, что стабильные гравитино с массами, превышающими т3/2 — 200 эВ, за¬
прещены космологически, если в ранней Вселенной они находились в равновесии
с частицами первичной плазмы. Отсюда следует (почти) модельно-независимое
ограничение на масштаб нарушения суперсимметрии в теории, где гравитино
является LSP и находилось в равновесии в ранней Вселенной,
y/F < 103 ТэВ.
В обсуждаемой ситуации гравитино в точности обеспечат нужный вклад в плот¬
ность энергии современной Вселенной, если их масса составляет
тп3/2 ~ 200 эВ.
Эта величина меньше, чем ограничение снизу на массу частиц тёмной материи
(9.4), следующее из изучения структур, поэтому реликтовые гравитино, находив¬
шиеся в равновесии в ранней Вселенной, не могут составлять основную компо¬
ненту тёмной материи. Чтобы гравитино было кандидатом на роль частиц тёмной
материи, требуется, чтобы максимальная температура во Вселенной была ниже
Tf, а гравитино рождались неравновесным образом. К обсуждению неравновес¬
ных механизмов рождения гравитино мы и перейдём.
Итак, рассмотрим ситуацию, когда история горячей Вселенной начиналась
с некоторой температуры Ттах (т. е. плазмы с температурой выше Tmsoi во Все¬
ленной никогда не было). Предположим также, что гравитино не рождались
в процессе разогрева, так что никаких гравитино в плазме при температуре Ттах
нет, в то время как частицы Стандартной модели и их суперпартнёры находятся
в тепловом равновесии.
На самом деле это довольно реалистичная ситуация с точки зрения воз¬
можных вариантов начала эпохи горячей Вселенной, в частности, инфляцион¬
ной теории. Первичный разогрев мог произойти в результате распада некоторого
скалярного конденсата, взаимодействующего с обычными частицами, см. детали
во второй части этой книги. Температура разогрева Ттах сильно зависит от мо¬
дели, но в любом случае Ттах «С Μρι. При естественном предположении, что
282
Глава 9. Тёмная материя
гравитино взаимодействует с конденсатом очень слабо, получим, что в образо¬
вавшейся плазме «первичных» гравитино будет действительно очень мало.
Гравитино могут появляться при Т < Ттах в результате распадов суперпарт¬
нёров (обычно доминируют двухчастичные распады)
Xi^G + Xi, (9.66)
и в результате рассеяния частиц в плазме (доминируют процессы 2 —► 2)
Хг + Xj —Xk + G. (9.67)
Учёт этих двух основных каналов рождения позволяет записать уравнение Больц¬
мана для плотности числа стабильных гравитино Щ/2 в ранней Вселенной,
άτι
+ 3Нпз/2 = Σ Гχ. - 7f1 · η.χ. + Σ(σν)υ ■ nXinx., (9.68)
ϊ У
где Г— ширина распада (9.66), у, — гамма-фактор частиц Хг, в релятивист¬
ском случае приводящий к увеличению их времени жизни, пх — плотность
числа частиц X. (crv)ij — темп рождения гравитино в 2 —> 2 процессе (9.67)
(усреднённое с равновесными функциями распределения произведение сечения
рождения на относительную скорость сталкивающихся частиц). Мы пренебрегли
уменьшением плотности гравитино в результате обратных процессов Xi+G —► Х\
и Xk+G —> Xi+Xj. Последние процессы несущественны, пока плотность гравити¬
но далека от равновесной. Уравнение (9.68) может быть записано для гравитино-
энтропийного отношения Δ3/2 = Щ/2Is как функции температуры (мы следуем
логике раздела 9.2):
dA3/2
din Г
= Σ
Γν
Л', Н
Η
По
П;П
sH
(9.69)
Используя выражения (9.61), получим следующие оценки:
Γ·ν,
щ, щ,
16πF2 Gmg^A/pj
/ v М? 8тг
{crv)ij — const ■ α·-=£· = const · α—
F* 3
Ml
(9.70)
(9.71)
Как мы уже отмечали, при Т πΐχ основными среди процессов рассеяния (9.67)
являются реакции с участием калибрино, что и отражено в (9.71). Отметим ещё,
что ни ширина (9.70), ни сечение (9.71) не зависят от температуры.
Два слагаемых в правой части (9.69) зависят от температуры совершенно по-
разному. При высоких температурах выполнено Πχ. ос Г3, 7,-1 ос Т-1, поэтому
первое и второе слагаемые пропорциональны Г-3 и Т, соответственно. Мы видим,
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
283
что рождение гравитино в распадах не слишком чувствительно к значению Tmax,
в то время как число гравитино, образовавшихся в процессах рассеяния, линейно
растёт с Tmax·
Рассмотрим сначала рождение гравитино в распадах суперпартнёров. Здесь
нужно различать два типа процессов: распады всех суперпартнёров при высоких
температурах, когда они релятивистские или почти релятивистские, и распады
NLSP. которые могут происходить с задержкой. Обсудим эти два типа распадов
по очереди.
Вклад суперпартнёра X в первое слагаемое в правой части (9.69) ведёт себя
как Т~3 при Т Μχ и как ехр(—Μχ/Τ) при Т <С Μχ (предполагая, что X
находится в термодинамическом равновесии; для NLSP может реализовывать¬
ся обратная ситуация, как мы рассмотрим ниже). Поэтому рождение гравитино
происходит в основном при Т ~ Μχ. и мы получаем для этого вклада
^3/2
Γχ
М3-
х
9.Η(Τ=Μχ)
gl/2m\/2Mpi
(9.72)
Видно, что наибольшие вклады дают наиболее тяжёлые суперпартнёры (счита¬
ем, что Tmax > Μχ). и что современная плотность массы больше для лёгких
гравитино. Последнее свойство возникает из-за того, что лёгким гравитино соот¬
ветствует низкий масштаб нарушения суперсимметрии, см. (9.60), а потому такие
гравитино сильнее взаимодействуют с другими суперпартнёрами. Из (9.72) на¬
ходим вклад гравитино в современную потность энергии
Ω
3/2
«О
Щ
Pc g*/2m3/2Mpi
Подставляя Μχ < 10 ТэВ, д* ~ 200, мы получаем, что современная плотность
массы гравитино, образовавшихся в распадах тяжёлых суперпартнёров, может
быть сравнима с рс при m3/2 ;$ 1 МэВ. Для более тяжёлых гравитино указанный
механизм неэффективен. Интересно отметить, что для того, чтобы гравитино
выступало как тёплая тёмная материя, т3/2 ~ 1 — 10 кэВ (см. раздел 9.1), тре¬
буются довольно малые массы суперпартнёров Μχ < 300 ГэВ, детали см. в [128].
Обратимся теперь к распадам NLSP, которые могут происходить после за¬
калки их концентрации. Временно пренебрегая взаимодействиями NLSP с грави¬
тино, применим для NLSP результаты раздела 9.2. Температура закалки NLSP
оценивается как Т/,νlsp ~ Mnlsp/20. NLSP не распадаются до этого времени,
если
Tnlsp < Η (7/,νlsp) = ^т*SP ·
МР1
Применяя к NLSP оценку (9.70), мы видим, что это условие выполнено для гра¬
витино с массами т3/2 > 10 кэВ. Рассмотрим именно этот случай. После того,
как NLSP распадутся, число гравитино в сопутствующем объёме будет таким же,
как число NLSP после закалки последних. Это даёт
Р0,3/2
тЗ/2
-^NLSP
Po,NLSP>
284
Глава 9. Тёмная материя
где Po,nlsp был бы вкладом NLSP в современную плотность энергии в слу¬
чае стабильных NLSP. Последний мы оценили в разделе 9.6.1. где мы увидели,
в частности, что при достаточно больших (и вполне реалистичных) массах NLSP,
-Mnlsp ^ Μχ-, современная плотность их массы может оказаться на один-три по¬
рядка больше, чем критическая плотность,
Po.nlsp ~ (10 -4- 1000)рс.
Поэтому описанный механизм может приводить к требуемому значению Ω3/2 =
— Ро.з/2/Рс — 0,2 для довольно тяжёлых гравитино,
т3/2 ~ (0,1 -г-10) ГэВ ·
100 ГэВ\
Λ/nlsp /
Трудность такого сценария состоит в том, что время жизни NLSP, вычисленное
согласно (9.70), оказывается большим,
TNLSP
р-1
1 NLSP
δ · 10'1 с ·
га3/2 \2
1 ГэВ/
100 ГэВ
A^nlsp
При tnjlsp ^ 100 с распады NLSP, сопровождающиеся рождением высокоэнерги¬
чных частиц Стандартной модели (например, фотонов), происходят в эпоху об¬
разования лёгких химических элементов или после неё, что может приводить
к противоречию с результатами теории первичного нуклеосинтеза (см. конец Гла¬
вы 8). Этой трудности не возникает, если гравитино всё же относительно лёгкие
(тз/2 ^ 100 МэВ) и/или NLSP имеют достаточно большие массы (Mnlsp ^
> 300 ГэВ).
Отметим, что в описанном сценарии гравитино, образующиеся в распадах
NLSP, являются изначально релятивистскими. Они практически не взаимодей¬
ствуют с частицами обычной материи, и «остывают» только за счёт расширения
Вселенной. Это означает, что гравитино эффективно выступают в роли тёплой
тёмной материи. Они имеют нетепловые функции распределения по импульсам,
что, вообще говоря, сказывается на росте мелкомасштабных структур в таких
моделях из-за большой дисперсии скоростей частиц тёмной материи.
> Задача 13. Найти функции распределения по импульсам для гравитино.
появившихся в результате двугхчастичных распадов NLSP после закалки
концентрации NLSP.
> Задача 14. Пусть гравитино образует тёмную материю и имеет массу
100 МэВ, a NLSP имеет массу 200 ГэВ и время жизни 10 с. Оценить про¬
странственный размер областей, в которых неоднородности плотности по¬
давлены по сравнению со случаем холодной тёляюй материи (см. раздел 9.1).
Обратимся теперь к генерации гравитино в рассеянии, за которую отвечает
второе слагаемое в правой части (9.69), линейно растущее с Ттах при
Ттах >· М\. Она существенна при Tmax > M\,ms. В этом случае при Т ~ Ттах
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
285
все частицы, за исключением гравитино, термализованы, и плотность числа ча¬
стиц каждого типа оценивается как п7(Т). Параметризуем сумму в правой части
(9.69) следующим образом:
Σ(σν)ϋ ■ninj = (<™)totn*,
ij
и воспользуемся оценкой (9.71). Основной вклад в (av)tot даёт рассеяние цвет¬
ных частиц, при этом численно const ~ 100 в (9.71). Гравитино-энтропийное
отношение, образовавшееся за счёт процессов рассеяния, оценивается как второе
слагаемое в (9.69), взятое при Т = Tmax. Это даёт
^3/2
^3/2 ^тох
Рс
П7)0
9*(Τθ) / д η-ί{Ττηαχ)
g*(Tmax)'K HOt' ТтахН{Тта1У
Численно
f200 кэВ\ ( Tmax \ ( Μχ \2 ( lb \ 1
3/2 ~ I %/2 ) ' llO ТэВ/ ' Vl Тэв) ' Vs.(Tmax)J ' 2V
(9.73)
Отсюда очевидно ограничение сверху на максимальную температуру первичной
плазмы, которое растёт линейно с увеличением массы гравитино.
Оценку (9.73) можно уточнить пу¬
тём численного интегрирования урав¬
нения Больцмана (9.69). Соответству¬
ющий результат [127] для суперсиммет¬
ричной модели с NLSP бино и иерар¬
хией масс Ммlsp = 50 ГэВ
Μχ = 1 ТэВ представлен на рис. 9.13.
Область параметров (Ттах, т3/2) вы¬
ше сплошной линии запрещена космо¬
логически из-за перепроизводства ста¬
бильных гравитино в ранней Вселен¬
ной. Это космологическое ограничение
весьма существенно, поскольку в про¬
стых моделях разогрева Вселенной
температура разогрева превышает Т ~
108 ГэВ.
Отметим, что при указанной иерар¬
хии в спектре масс суперпартнёров,
в моделях с (Ттах,тпз/2) чуть ниже ли¬
нии, представленной на рис. 9.13, ре¬
ликтовые стабильные гравитино будут
полностью обеспечивать тёмную мате¬
рию Вселенной. Для областей суще¬
ственно ниже сплошной линии плот¬
ность реликтовых гравитино будет
Рис. 9.13. Ограничения на парамет¬
ры (Тщах, т3/2), следующие из вклада
реликтовых гравитино в современную
плотность энергии во Вселенной. Об¬
ласть выше сплошной линии запреще¬
на из-за перепроизводства реликтовых
гравитино. Сплошная линия отвечает
оценке Ω3/2/ι2 — 1
286
Глава 9. Тёмная материя
недостаточна для объяснения всей тёмной материи. Как мы видим из (9.73)
и из приведённого графика, для обеспечения необходимого количества тёмной
материи реликтовыми гравитино требуется точная подстройка параметров раз¬
ной природы: величина тз/2 определяется деталями модели, в то время как ве¬
личина Ттах определяется эволюцией Вселенной.
В качестве примера самосогласованного и феноменологически приемлемого
суперсимметричного обобщения Стандартной модели, где многочисленные массы
и константы связи в низкоэнергетической теории определяются лишь нескольки¬
ми параметрами, а масштаб нарушения суперсимметрии достаточно низок, так
что гравитино естественным образом оказывается LSP, рассмотрим модель с ка¬
либровочным механизмом передачи нарушения суперсимметрии в сектор полей
Стандартной модели. В этой модели предполагается, что суперсимметрия нару¬
шается спонтанно в некотором специальном секторе полей в результате нетри¬
виальной динамики. Суперпартнёры частиц Стандартной модели приобретают
нарушающие суперсимметрию массы в результате обычных калибровочных вза¬
имодействий Стандартной модели. Связь между «скрытым» сектором, в котором
происходит спонтанное нарушение суперсимметрии, и сектором полей Стандарт¬
ной модели обеспечивается посредством гипотетических тяжёлых полей, полу¬
чивших название медиаторы (messengers).
Эти поля заряжены по калибровочной группе Стандартной модели, а взаи¬
модействие со «скрытым» сектором приводит к расщеплению масс в скалярном
секторе медиаторов q.
= м2 (1 ± Τι
Л < м,
где М — масса медиаторов-фермионов (и масштаб масс медиаторов), а пара¬
метр Л2 пропорционален вакуумному среднему F. чьё появление и привело к спон¬
танному нарушению суперсимметрии в полной теории. Обычно поля медиаторов
выбирают так, чтобы они образовывали полные мультиплеты относительно груп¬
пы теории Большого объединения (например, SU{5)). В этом случае не портится
объединение калибровочных констант связи Стандартной модели на масштабе
Mgut· Помимо этого, калибровочные взаимодействия медиаторов должны быть
устроены так, чтобы избежать квантовых аномалий.
Медиаторы непосредственно взаимодействуют с полями из калибровочного
сектора Стандартной модели. Однопетлевые квантовые поправки, обусловленные
виртуальными медиаторами, приводят к появлению на масштабе М ненулевых
масс калибрино,
М\(М) ~ -^Л, (9.74)
4тг
где а — соответствующая калибровочная константа связи. Поля из скалярного
сектора суперсимметричного расширения Стандартной модели получают нену¬
левые вклады в квадраты масс на двухпетлевом уровне теории возмущений,
тг
(9.75)
Коэффициенты пропорциональности в (9.74) и (9.75), вообще говоря, различны
для различных полей.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
287
Итак, в моделях с калибровочным механизмом передачи нарушения супер¬
симметрии массы суперпартнёров частиц Стандартной модели зависят от их
квантовых чисел, причём массы скаляров и фермионов оказываются одного по¬
рядка,
М\ ~ rrif ~ —Л.
1 4π
Независимость калибровочных взаимодействий от ароматов обеспечивает на мас¬
штабе М отсутствие дополнительных (по сравнению с уже имеющимися в Стан¬
дартной модели) параметров, нарушающих аромат. К такого рода параметрам
относятся, например, недиагональные в калибровочном базисе элементы матри¬
цы квадратов масс скварков и слептонов, . Гравитационные взаимодействия
в общем случае могут привести к появлению таких вкладов. Оценивая величину
этих вкладов как
Дт/·6 ~м7Г тз/2’
найдём, что феноменологические ограничения на величины внедиагональных
элементов (следующие, например, из поиска редких распадов лептонов и мезонов),
-АТП/а1> < Ю~2 -М0~3, ~ 500 ГэВ,
m j 1
дают верхний предел на массу гравитино в этих моделях,
т3/2 < (ΙΟ"2 -г- ΙΟ"3) · mj ~ 1 ГэВ.
Отсюда непосредственно следует ограничение сверху на масштаб нарушения су¬
персимметрии в этих моделях:
VF < 109 ГэВ.
Наконец, ограничения снизу на массу гравитино и масштаб нарушения супер¬
симметрии следуют из общего ограничения на масштаб масс суперпартнёров,
Μλ, mj > 300 ГэВ.
Подставляя эту оценку в (9.74), (9.75), получим
y/F > А > 30 ТэВ, ш3/2 > 1 эВ.
В данных моделях гравитино являются LSP. Что касается спектра супер¬
партнёров обычных частиц Стандартной модели, то в зависимости от парамет¬
ров модели NLSP будут либо нейтралино, либо суперпартнёр правого т-лептона.
Последний случай является более распространённым.
Отметим, что в моделях с калибровочным механизмом передачи нарушения
суперсимметрии в качестве дополнительного источника гравитино выступают
медиаторы и поля скрытого сектора. Их вклад может несколько изменить оцен¬
ки. приведённые на рис. 9.13.
Мы рассмотрели модели с лёгкими гравитино, m3/2 < 1 ГэВ, для кото¬
рых основные космологические ограничения связаны с возможным перепроиз¬
водством гравитино в ранней Вселенной. В моделях с более тяжёлыми гравитино
288
Глава 9. Темная материя
время жизни NLSP
mll2MPl
^NLSP ~ 5
mS
(9.76)
увеличивается настолько, что распад NLSP происходит уже в эпоху первично¬
го нуклеосинтеза или даже несколько позже. Распады NLSP сопровождают¬
ся испусканием высокоэнергичных частиц, начинающих активно взаимодейство¬
вать с частицами плазмы, в частности с первичными ядрами. Разрушение этих
ядер (например, в процессе фотодиссоциации) привело бы к изменению пред¬
сказаний стандартного нуклеосинтеза для современной распространённости пер¬
вичных лёгких ядер20, см. конец раздела 8.4. Учитывая связь между временем
жизни NLSP и массой гравитино (9.76), ограничения, приведённые на рис. 8.6,
можно представить как ограничения в плоскости параметров (hnlsp, ттгз/г)· Ве-
личина 7?nlsp модельно-зависима, поэтому заключение о космологической при¬
годности модели требует детальной оценки остаточной плотности NLSP. Отме¬
тим, что в качестве NLSP могут выступать, вообще говоря, любые суперпарт¬
нёры: многочисленные ограничения из экспериментов по поиску частиц тёмной
материи не имеют никакого отношения к частицам, распадающимся за время
tnlsp Hq1 .
В качестве иллюстрации применения ограничений из нуклеосинтеза рассмот¬
рим модель mSUGRA, обсуждавшуюся в разделе 9.6.1. Добавим в модель лёгкое
гравитино, так что в получившейся модели оно будет LSP. Массу гравитино бу¬
дем рассматривать как свободный параметр (что, вообще говоря, неверно в про¬
стейших моделях супергравитации, где гравитино на один-два порядка тяжелее
суперпартнёров частиц Стандартной модели). В качестве NLSP будут выступать
нейтралино или суперпартнёр правого т-лептона.
Поскольку распад NLSP происходит при существенно более поздних време¬
нах. чем времена, при которых происходила закалка NLSP, то остаточная плот¬
ность числа NLSP при промежуточных временах и температурах оценивается
гак же, как если бы частицы NLSP были стабильными. Распад NLSP приводит
к появлению релятивистских гравитино и релятивистских частиц Стандартной
модели: фотонов, Ζ-бозонов, т-летопнов. Нестабильные частицы распадаются,
рождая в конце концов энергичные фотоны, релятивистские электроны и пози¬
троны. Помимо подогрева плазмы, эти релятивистские частицы могут разрушать
лёгкие ядра, изменяя относительную концентрацию первичных химических эле¬
ментов. Результаты анализа космологии в такой модели приведены на рис. 9.14.
В завершение раздела кратко обсудим модели с нестабильным, но не очень
тяжёлым гравитино. Роль частиц тёмной материи будет играть LSP нейтрали¬
но. Время жизни гравитино, вообще говоря, весьма велико, поэтому в таких мо¬
делях может реализовываться космологический сценарий, в котором гравитино
доминируют в течение некоторого этапа эволюции, а затем распадаются. Это —
первый из двух сценариев, рассмотренных в разделе 5.3. Для тяжёлых гравити-
20Отметим, что NLSP, распадающиеся в слабовзаимодействующие частицы (например, NLSP
снейтрино), не приводят к разрушению первичных ядер, а лишь добавляют дополнительные
высокоэнергичные частицы (например, нейтрино) в плазму.
9.6. Стабильные частицы в суперсимметричных теориях
289
Рис. 9.14. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 600.) Ограни¬
чения в пространстве параметров (Μι/2,τηо) модели mSUGRA (см. описание
модели в разделе 9.6.1) [НО]. Описание областей см. в подписи к цветной вер¬
сии на вклейке
но основной вклад в распад дают взаимодействия «оригинальных» поперечных
компонент (не голдстино), и оценка для ширины гравитино имеет вид
т\/2
Гз/2 - ~Щ-
Пусть начальные температуры во Вселенной существенно превышали т3/2, так
что гравитино были в равновесии в первичной плазме (это предположение, как
следует из результатов раздела 5.3, можно ослабить). Поскольку гравитино зака¬
ливаются релятивистскими, то при температурах Т < Шз/2 плотность их массы
имеет порядок
Р3/2ОО ~ лт.з/2^3·
Начиная с некоторой температуры и до тех пор, пока гравитино не распадутся,
они доминируют в полной плотности энергии Вселенной, т. е. временно реализу¬
ется пылевидная стадия эволюции, см. раздел 5.3. Условие (см. (5.49))
г <
3/2 ~ M*PI(TNS)
даёт для массы гравитино довольно жёсткое ограничение снизу,
TnsMpi
га3/2 >
1/3
т. е. т3/2 > 45 ТэВ.
290
Глава 9. Тёмная материя
Более того, согласованность таких моделей с космологией требует либо очень
лёгкого LSP (если он стабилен) Mlsp ~ Ю МэВ. либо ещё более тяжёлого грави-
тино. К моделям, где тяжёлое гравитино не давало основной вклад в плотность
энергии ранней Вселенной (например, никогда не было в тепловом равновесии),
эти ограничения неприменимы. Однако поздние распады гравитино могут по¬
влиять на предсказания первичного нуклеосинтеза. Отсюда при заданной массе
гравитино можно ожидать ограничение сверху на неравновесную концентрацию
таких гравитино, а значит на температуру разогрева Вселенной.
9.7 Аксионы и другие лёгкие
долгоживущие частицы
Во многих обобщениях Стандартной модели имеются новые скалярные или
псевдоскалярные частицы. В ряде моделей некоторые из них оказываются на¬
столько лёгкими и слабовзаимодействующими, что их время жизни значительно
превышает современный возраст Вселенной, а значит их можно рассматривать
в качестве кандидатов на роль частиц тёмной материи. Среди таких моделей, по¬
тенциально интересных с точки зрения космологии, можно перечислить модели
с лёгкими аксионами (см. ниже), днлатонамн, фамилонами, сголдстино и др.
Рассмотрим общие свойства таких моделей. Поскольку по предположению
новые частицы очень слабо взаимодействуют с частицами Стандартной модели,
они должны быть нейтральными относительно калибровочных взаимодействий
Стандартной модели, а константы возможных юкавских взаимодействий долж¬
ны быть очень малы. Для скалярных частиц S и псевдоскалярных частиц Р
эти требования позволяют написать для взаимодействия с векторными бозонами
Стандартной модели калибровочно-инвариантные лагранжианы вида
Csff = · SF^F^, Cpff = · PF^Fx.e^, (9.77)
где -Ρμι/ — напряжённость калибровочного поля либо группы SU(3)с, либо груп¬
пы SU(2)и/, либо группы U{1)Y. Здесь параметр А имеет размерность массы
и по смыслу является энергетическим масштабом новой физики, с которой и свя¬
зано появление новых лёгких частиц S и/или Р. Этот параметр должен быть
достаточно велик, тогда взаимодействия 5 и Р с калибровочными бозонами дей¬
ствительно будут слабыми. В связи с этим в (9.77) фигурируют калибровочно¬
инвариантные операторы низшей размерности; в принципе, к выражениям (9.77)
можно было бы добавить, например, члены типа Λ-05(FM1/)4, но их эффекты
были бы ещё сильнее подавлены при энергиях, много меньших Λ. Безразмерные
константы Csff·, Cpff определяются деталями высокоэнергетической теории;
для наших оценок их можно считать числами порядка единицы. В обычном
базисе полей Стандартной модели калибровочно-инвариантные взаимодействия
(9.77) представляют собой взаимодействия скаляров и псевдоскаляров с парой
фотонов 77, глюонами, Ζη-. ΖΖ- и W+W“-парами.
Взаимодействия с фермионами Стандартной модели также можно постро¬
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживулцие частицы
291
ить, используя калибровочно-инвариантные комбинации полей. Поскольку S и Р
являются синглетами относительно 5С/(3)с х SU(2)W х £/(1)г, никакие комби¬
нации типа βψψ и Рфу5Ф не являются калибровочно-инвариантными (здесь
и далее ψ обозначают поля фермионов Стандартной модели). Калибровочно¬
инвариантные операторы низшей размерности имеют вид ΗΦΨ, где Н — поле
Энглера—Браута—Хиггса, поэтому в ведущем порядке по Λ можно записать
взаимодействия вида
CsHff = ■ SHM, CpHff = ■ ΡΗφγφ·
Предположив для определённости, что константы YsHff и Yspff по порядку ве¬
личины сравнимы с обычными юкавскими константами фермионов в Стандарт¬
ной модели, с учётом отличного от нуля вакуумного среднего поля Энглера—
Браута—Хиггса для скаляров и псевдоскаляров можно ожидать низкоэнергети¬
ческие лагранжианы взаимодействия следующей структуры:
CS!, = Яир. . вфф, CPf{ = ЯпШ ■ ΡφΊ4, (9.78)
где безразмерные константы Cs// и Ср// также будем считать величинами по¬
рядка единицы21.
Взаимодействия (9.77) и (9.78) позволяют оценить ширины распадов ча¬
стиц Р и 5 в частицы Стандартной модели (конечно, речь идёт о кинематически
разрешённых распадах),
г, mP(S) у,
Г><5^-4'4 ~ &Ш?· ГР<5)-// ~ 8ιγΛ2 ’
где А обозначают векторные бозоны (мы опустили возможные пороговые множи¬
тели). Из требования, чтобы время жизни частиц превышало возраст Вселенной,
rs(P) = ψ > Но1,
TS(P)
получим при фиксированном масштабе Λ ограничение сверху на массу частиц,
которые могут претендовать на роль частиц тёмной материи,
mP(s) < (16тгЛ2Я0)1/3. (9.80)
Считая, что новая физика имеет масштаб Л < Μρι, будем иметь численное
ограничение
mP(S) < 100 МэВ. (9.81)
Для таких масс кинематически разрешёными являются распады в конечные со¬
стояния, содержащие фотоны, электроны и нейтрино. Как следует из (9.79),
21 Вообще говоря, в конкретных моделях между различными константами связи
{Cpff1 ■ ■ ■ , Ср//} (и аналогично для случая скаляра) возможна иерархия. Для простоты мы
такие случаи рассматривать не будем.
292
Глава 9. Тёмная материя
доминирующим распадным каналом является распад в два фотона, если mp(s)
не совпадает по порядку величины с массой электрона. Этот распад открывает
возможность поиска таких частиц тёмной материи: их распад в Галактике даст
два фотона с энергией, равной половине массы частицы. Спектр таких фотонов
будет монохроматическим с относительной шириной линии порядка 10-3, обу¬
словленной дисперсией скоростей частиц тёмной материи в Галактике. Совре¬
менные космические телескопы позволяют проводить такой поиск, результаты
представлены на рис. 9.15. Из него видно, что время жизни частицы тёмной ма-
Εγ (ГэВ)
Рис. 9.15. Экспериментальные ограничения сверху на парциальную ширину
распада частицы тёмной материи в два фотона [129J
терии по отношению к распаду в два фотона должно существенно превышать
возраст Вселенной (характерное значение 104 на вертикальной оси на рис. 9.15
соответствует времени жизни τ ~ 1026 с ~ 3 · 1018 лет).
> Задача 15. Пользуясь представленными на рис. 9.15 данными уточнить
ограничение (9.81), считая распад в два фотона доминирующим каналом.
Рассмотрим теперь вопрос о генерации реликтовых скаляров или псевдо¬
скаляров в ранней Вселенной. Существует несколько механизмов, приводящих
к появлению этих частиц в расширяющейся Вселенной. Два из них можно счи¬
тать достаточно универсальными для этого класса моделей: это генерация частиц
в результате распада плоских направлений (конденсатов) и тепловое рождение
частиц в первичной плазме (другие механизмы генерации будут рассмотрены
ниже на примере модели с аксионами). Обсудим эти механизмы, применяя для
определённости обозначение S для новой частицы.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
293
Пусть в ранней Вселенной некоторое скалярное поле ф образовало конденсат.
Напомним (см. раздел 4.8.1), что конденсатом мы называем однородное поле, ко¬
торое осциллирует при достаточно поздних временах, когда πίφ > Н. Иными сло¬
вами, конденсат представляет собой когерентное состояние покоящихся 0-частиц.
Пусть как частицы ©, так и частицы 5 настолько слабо взаимодействуют с дру¬
гими частицами, что не приходят в состояние теплового равновесия с первичной
плазмой. Будем считать, что ό-частицы взаимодействуют со скалярами 5 посред¬
ством лагранжиана рфБ2/2, где μ — константа связи размерности массы. Тогда
ширина распада ф —* 55 оценивается как22 23Г ф.
ss ~
р
2
Ιβπτηό
(9.82)
Если ширины распадов по другим каналам не превышают по порядку величины
значение (9.82), то распад ©-конденсата будет происходить при температуре Тф,
такой, что °
г2
T^ss ~ Н{Тф) = -ξ-.
1V1PI
Пусть плотность энергии ф-конденсата в это время равна рф, и соответственно
плотность числа распадающихся 0-частиц равна Пф ~ рф/гпф, см. раздел 4.8.1.
Сразу после эпохи распада 0-частиц плотность числа 5-частиц оценивается как
ерф/тпф. где б — доля частиц ф, распавшихся на 5-частицы. После того, как 5-
частицы станут нерелятивистскими, плотность их массы будет составлять
т$Т3
Ps ~ еРр · лрз»
тфТф
где мы для простоты не выписываем множитель, зависящий от д*. Это даёт для
вклада 5-частиц в современную плотность энергии,
Ω5
Ps ^ m5T* ерф ^ 2 / ms \ ерф
рс рс тфТф ' V1 еУ / тфТ$'
(9.83)
Ясно, что подбором параметров можно добиться, чтобы эта величина принимала
необходимое значение Ω$ ~ 0.2. Отметим, что последний множитель в (9.83)
должен для этого быть мал.
Теперь рассмотрим рождение лёгких скаляров или псевдоскаляров в резуль¬
тате рассеяния частиц Стандартной модели в первичной плазме. Поскольку вза¬
имодействия (9.77) и (9.78) являются трёхчастичными, а соответствующие кон¬
станты связи очень малы, то основными процессами в плазме при температу¬
ре Τ' Л. приводящими к рождению и поглощению 5, будут процессы 2 2
рассеяния
S + X 1~Х2 + Хз- (9.84)
22Как мы обсуждаем во второй части книги, распад конденсата может быть ускорен за счёт
коллективных эффектов, связанных с Бозе-усилением. Мы здесь эту возможность для простоты
не рассматриваем.
23Считаем для определённости, что плотность энергии 0-конденсата мала по сравнению
с плотностью энергии горячей компоненты среды.
Глава 9. Тёмная материя
291
Эти процессы аналогичны процессам (9.67), которые мы рассматривали для гра-
витино. Диаграммы, относящиеся к процессам (9.84), схематически совпадают
с диаграммами рис. 9.12 (с очевидной заменой G на 5). Из (9.77) и (9.78) получа¬
ем следующую оценку для сечения доминирующих процессов рассеяния (9.84),
верную в интересном нам случае ms <Т < А,
a
as~ F’
где α = д2/(4π), ад — константа связи Стандартной модели, определяющая
вершину взаимодействия ΥΧ2Χ3 (см. рис. 9.12). Приравнивая хаббловское время
времени свободного пробега релятивистских частиц Стандартной модели отно¬
сительно рассеяния с образованием 5(Р)-частиц.
_ 1 1 _ М*Р1
's ~ asn7(T) ~ Н(Т) Г2 ’
получим оценку для температуры закалки концентрации 5-частиц,
Ts-a-'A-X. (9.85)
1VI PI
Если температура в ранней Вселенной превышала величину Ts, то 5-частицы
находились в равновесии с частицами первичной плазмы. В этом случае мы полу¬
чаем те же результаты, что для гравитино, находившихся в тепловом равновесии.
В частности, справедлива оценка (9.65), из которой следует вывод, что масса 5-
частнцы тёмной материи должна была бы быть неприемлемо мала, ms ~ 200 эВ.
Так же, как и гравитино, 5-частицы, составляющие тёмную материю, не должны
были находиться в термодинамическом равновесии с плазмой в ранней Вселен¬
ной; максимальная температура во Вселенной должна быть меньше Ts.
о Задача 16. Пренебрегая ограничением из нуклеосинтеза, оценить долю
5(Р)-частиц в полной плотности энергии современной Вселенной для мо¬
делей. в которых S(P)-частицы отщепляются от плазмы уже будучи нере-
лятпвистскими. а значит могут претендовать на роль холодной тёмной
материи.
Если максимальная температура в ранней Вселенной не превышала Ts, то
плотность реликтовых 5-частиц ns (То) подавлена по сравнению с равновесным
случаем. При этом масса ms может достигать значения 1 кэВ и выше. Ана¬
лиз этой возможности проводится так же, как для гравитино, и мы его здесь
не приводим. Отметим лишь модельную зависимость вклада частиц в совре¬
менную плотность энергии Ω5 ос ms/А2, определяемую видом взаимодействий
(9.77) и (9.78).
Перейдём теперь к обсуждению особенно интересного класса моделей, в ко¬
торых возникают лёгкие долгоживущие слабовзаимодействующие частицы. Речь
идёт о моделях с симметрией Печчеи—Куинн и аксионами. Эта симметрия да¬
ёт решение проблемы СР-сохранения в сильных взаимодействиях, а аксион —
прямое следствие существования такой симметрии.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
295
Суть проблемы в следующем [130, 131, 132]. К лагранжиану Стандартной
модели (см. Приложение В), можно добавить следующий вклад:
Δ£ο = |^-0о (9.86)
где as = gl/{4π) — константа сильного взаимодействия, — тензор напряжён¬
ности глюонного поля, 0μυ a = — дуальный тензор, a 9q — произволь¬
ный безразмерный параметр (коэффициент а.,/(8тг) введён для удобства даль¬
нейшего изложения). Взаимодействие (9.86) инвариантно относительно калибро¬
вочной группы Стандартной модели, однако оно нарушает Р- и СР-симметрии.
Отметим, что вклад (9.86) можно записать как дивергенцию от вектора (для про¬
стоты мы рассматриваем лагранжиан (9.86) в пространстве Минковского), со¬
ставленного из глюонных полей .
μ '
Д£о = ~0о 9μΚ“,
4 л
где
Κμ = с^е . (g^aG" + \fabcGlGbxG,
a ■ глюонный вектор-потенциал. Это означает, что лагранжиан (9.86) не да¬
ёт вклада в уравнения движения, а вклад в действие Стандартной модели можно
свести к поверхностному интегралу. Для любых пертурбативных конфигураций
калибровочных полей (малых возмущений относительно = 0) этот вклад ра¬
вен нулю, однако это не так для конфигураций типа инстантонов. Это озна¬
чает, что на непертурбативиом уровне в квантовой хромодинамике (КХД) СР-
симметрия нарушена.
Кроме того, учёт квантовых эффектов, обусловленных кварками, приводит
к появлению аномального вклада24 вида (9.86), пропорционального фазе детер¬
минанта массовой матрицы кварков Mq. Эта матрица входит в лагранжиан сле¬
дующим образом:
Lm = QL^qQR “Ь h.C..
Массовую матриц^' можно сделать вещественной (т. е. физической) с помощью
кирального вращения кварковых полей
qL -> e0qL, qR -> e~l0qR, (9.87)
но такое вращение приводит к появлению нового члена в лагранжиане
ΔСт = ■ Aig(detM,) ■ G° G'"' °. (9.88)
θ7Γ
Нет никаких оснований ожидать, что Arg(detM9) = 0. Ещё меньше оснований
ожидать, что «древесный» вклад (9.86) и аномальный вклад (9.88) сократят друг
друга. Действительно, первый вклад имеется, вообще говоря, даже в отсутствие
кварков, второй же связан с юкавским сектором теории, поскольку массы квар¬
ков в Стандартной модели пропорциональны юкавским константам связи полей
кварков с полем Энглера—Браута—Хиггса.
24Имеется в виду аномалия в аксиальном токе С/(1)д, дμJ^ ос jzG^l/Gt11' a.
296
Глава 9. Тёмная материя
Итак, к лагранжиану Стандартной модели следует дописать дополнитель¬
ные вклады:
АСе = Δ£0 + Д£т = («о + Arg(det M,))G“Gfu' ° = ^ · 9 · G°Gt“' (9.89)
07Г ОТГ
Эти вклады нарушают СР-симметрию, причём в общем случае величина пара¬
метра Θ может быть порядка единицы, θ ~ 1.
Вклад (9.89) приводит к нетривиальным феноменологическим следствиям.
Одно из наиболее важных — генерация ненулевого электрического дипольного
момента (ЭДМ) нейтрона20 dn, который оценивается как [133, 134]
dn ~ θ · 10-16 · е · см. (9.90)
Экспериментально ЭДМ нейтрона пока не обнаружен, а ограничение на него
имеет вид
dn < 3 ■ 10-26 · е · см, (9.91)
Отсюда для величины Θ возникает ограничение
|0| < 0,3- ю-9.
Необходимость найти объяснение малости 0-параметра и называется СР-пробле-
мой сильных взаимодействий.
Эта проблема, по-видимому, не может быть решена в рамках Стандартной
модели* * 26. Для её решения и были предложены модели с аксионами. В этих мо¬
делях использовано следующее наблюдение: если бы лагранжиан кварков был
на классическом уровне инвариантен относительно аксиальной симметрии (9.87),
то с помощью этих преобразований 0-член можно было бы обратить в нуль.
Эта симметрия получила в литературе название симметрии Печчеи—Куинн [135],
U (1) pq ■ В Стандартной модели симметрия Печчеи—Куинн нарушена явно юкав-
скими взаимодействиями хиггсовского бозона с кварками (ниже мы опускаем
групповые индексы, а также индексы, нумерующие поколения)
YdQLHDR + YuQLiT2H-UR. (9.92)
Действительно, первое слагаемое в (9.92) было бы инвариантно относительно
преобразований (9.87). если бы одновременно поле Энглера—Браута—Хиггса из¬
менило фазу как Н —» е2г$Н. а второе слагаемое было бы инвариантным, если бы
фаза изменилась противоположным образом, Н —► е~2г(3Н.
Стандартную модель можно обобщить так, чтобы на классическом уровне
Щ1)р<2-С1шметрия (9.87) была точной симметрией лагранжиана. Массовые чле¬
ны в низкоэнергетическом лагранжиане кварков нарушают эту симметрию, по¬
этому £/(1)р<2-симметрия заведомо спонтанно нарушена. Это приводит к появле¬
нию безмассового (опять-таки на классическом уровне) иамбу-голдстоуновского
2оЭДМ нейтрона характеризует взаимодействие спина нейтрона S с электрическим полем Е,
описываемое гамильтонианом Н = dn · (S · E)/|S|.
26Если хотя бы один из лёгких кварков (например, к-кварк) был бы безмассовым, то пара¬
метр Θ был бы ненаблюдаем. На классическом уровне в модели имелась бы глобальная кираль-
ная [/(1)д-симметрия; действием этой симметрии на поля безмассового кварка - вращением
ul —*■ e,3UL, ur —> e~i3UR — можно было бы воспользоваться, чтобы обратить Θ в нуль. Экспе¬
риментальные данные свидетельствуют против безмассовости лёгких кварков, поэтому данное
решение CP-проблемы сильных взаимодействий, по-видимому, противоречит эксперименту.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
297
поля а(х). получившего название аксион. Как обычно, его свойства определя¬
ются тем, что при преобразованиях симметрии (в данном случае U(1)pq). поле
аксиона преобразуется как
а(х) -» а(х) + ,3 · fPQ, (9.93)
где β — параметр преобразования, фигурирующий в (9.87), a /pq — параметр
размерности массы, характеризующий масштаб нарушения симметрии U(1)pq.
Из симметрии низкоэнергетического лагранжиана кварков относительно преоб¬
разований (9.87), (9.93) следует, что поле аксиона и массы кварков входят в ла¬
гранжиан в комбинации
Cm = ддт9ехр|-2г-^-|д£ +h.c. (9.94)
Используя (9.88), получаем отсюда, что на квантовом уровне в низкоэнергетиче¬
ском лагранжиане имеется слагаемое
Ca = ca^-j-G%G^a., (9.95)
где константа С9 — порядка единицы; она определяется зарядами кварков2' от¬
носительно U(1)pq. Видно, что на квантовом уровне С/(1)рд-симметрия (9.87),
(9.93) нарушена явно, а аксион является псевдоголдстоуновским бозоном.
Таким образом, 0-параметр перед оператором G^ll/Gfiu а превращается в поле:
θ^θ(χ) =в + С9^. (9.96)
JPQ
С P-инвариантность будет иметь место в сильных взаимодействиях, если ваку¬
умное среднее поля аксиона таково, что (Θ) =0. Именно к этому значению при¬
водят эффекты КХД. В результате нарушения киральной симметрии на масшта¬
бе, близком к масштабу сильных взаимодействий Aqcd ~ 200 МэВ, появляется
ненулевой кварковый конденсат, (qq) ~ Λqcd■ что приводит к эффективному
потенциалу* 28 для Θ
К ~ -Ь2 ШиТЛ <й) + °(«4) » · mlfl + Оф% (9.97)
1 ти + md 8
где т-х «135 МэВ и /*■ « 93 МэВ — масса и константа распада пиона. Из (9.97)
видно, что (Θ) действительно равно нулю, т. е. сильная СР-проблема находит
своё элегантное решение. Кроме того, из (9.96) и (9.97) следует, что аксион имеет
массу
(9.98)
2'Вообще говоря, разные типы кварков могут нести разные заряды относительно U(1)pq.
28Отметим, что поскольку симметрия (9.87) — это симметрия относительно фазовых враще¬
ний, потенциал для поля Θ должен быть периодичен с периодом 2тг. Простейшее обобщение
выражения (9.97). удовлетворяющее этому условию, имеет вид Va = 1m2 fpQ ■ (l — cos#). Эта
тонкость будет для нас несущественна.
298
Глава 9. Тёмная материя
Простейшая реализация этого механизма состоит в том, чтобы добавить
в Стандартную модель второй дублет Энглера—Браута—Хиггса, а юкавское вза¬
имодействие кварков выбрать в виде
YdQLH1DR + YuQlit2HIUr. (9.99)
При этом скалярные поля будут вращаться под действием U(1)pq-преобразова¬
ний (9.87) следующим образом:
#! -> e2i5tfb Н2 -» c~2i3H2,
что обеспечит U( 1)pq-инвариантность лагранжиана (9.99) на классическом уровне.
Если не добавлять другие поля, то J7(1)pq-симметрия нарушается спонтанно ва¬
куумными средними хиггсовских полей. Безмассовым (на классическом уровне)
намбу-голдстоуновским полем будет относительная фаза полей Hi и Н2. При
низких энергиях запишем
Hi = β2ίθ(ι) , Η2 = e"2i3(l) , (9.100)
где Vi и v2 вакуумные средние полей Энглера—Браута -Хиггса. Они оба вносят
вклад в массы И7±- и Ζ-бозонов, поэтому
= v = 246 ГэВ.
Кинетический член для поля β(χ) возникает из кинетического члена скалярных
дублетов,
Сш,н = 9μΗί ΘμΗι + ΘμΗ\ 9μΗ2.
Подставляя сюда (9.100). получим для кинетического члена поля β(χ),
Гк:ίη.β
δμβ&β,
где
Jpq = ϊφΤ+4 = 2ν· (9.101)
Поле аксиоиа связано с β(χ) соотношением
a(z) = fpQ ■ β(ζ),
именно при таком соотношении поле а(х) будет иметь стандартный («канониче¬
ский») кинетический член. В такой теории аксион является довольно тяжёлым:
из (9.98) имеем
та ~ 15 кэВ.
Взаимодействие аксиона с кварками, глюонами, а также фотонами (см. ниже)
дово/плю сильное. Такой аксион (его называют аксноном Вайнберга—Вильчека [136,
137]) экспериментально исключён.
Эта трудность обходится в моделях Дайна—1Фишлера—Средницки—Житниц-
кого [138. 139] (ДФСЖ) и Кима—Шифмана—Вайнштейна—Захарова (КШВЗ) [140,
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
299
141]. Идея состоит в том. чтобы сделать масштаб нарушения симметрии Печчеи—
Куинн независимым от электрослабого масштаба. В модели ДФСЖ для этого
в модель с лагранжианом (9.99) добавляется комплексное скалярное поле 5 —
синглет по калибровочной группе Стандартной модели. В лагранжиан также
добавляются взаимодействия, зависящие от инвариантов
5f5, h\h2-S2.
Под действием группы U{1)pq поле S вращается как
S -> e2ii3S. (9.102)
Теперь поле аксиона а(х) является линейной комбинацией фаз полей Н\, Н2 и S.
Повторяя выкладку, приводящую к (9.101), получим
Ipq = 2\Ач +г*2 + vf, (9.103)
где vs — вакуумное среднее поля S. Вакуумное среднее vs может быть сколь угод¬
но большим, что, как видно из (9.103), обеспечивает малость массы аксиона и, что
самое главное, слабость его взаимодействия с фермионами Стандартной модели:
соответствующие вершины взаимодействия обратно пропорциональны масштабу
fpQ ~ vs. Помимо взаимодействия с кварками, аксион ДФСЖ взаимодействует
и с лептонами.
Вариант КШВЗ состоит во введении дополнительных полей кварков Фд
и Ф^,, преобразующихся по фундаментальному представлению SU(3)с и явля¬
ющихся синглетами относительно SU(2)и, х U(1)у. Только эти новые кварки
нетривиально преобразуются относительно U(1)pq, обычные же кварки имеют
нулевой С/(1)рд-заряд. Введение дополнительного комплексного поля 5, сингле-
та относительно калибровочной группы Стандартной модели, позволяет записать
U(1)рд-симметричное юкавское взаимодействие с новыми полями:
С = уфЗФдФ^, + h.c.
При этом S преобразуется относительно U(1)pq согласно (9.102). С/(1)рд-сим-
метрия нарушается ненулевым вак}гумным средним поля 5,
В данной модели поле аксиона а(х) определяется фазой поля S, и
fPQ = 2vs. (9.104)
Отметим, что модель КШВЗ не содержит явно взаимодействий аксиона с обыч¬
ными кварками и лептонами.
Решение сильной CP-проблемы с использованием Р(1)рд-симметрии не ли¬
шено ряда теоретических недостатков и феноменологических проблем. Так, есть
основания ожидать, что любые непрерывные глобальные симметрии нарушают¬
ся гравитационным взаимодействием. Это может привести к появлению в низ¬
коэнергетических лагранжианах аксионных моделей явно нарушающих U(1)pq-
симметрию слагаемых старших степеней по заряженным полям вида Фрд/Л/р;-4.
300
Глава 9. Темная материя
В общем случае такие слагаемые сдвигают вакуумное среднее (Θ) к величи¬
нам порядка единицы: аксионное решение сильной СР-проблемы оказывается
нестабильным относительно нарушающих U(l)pg-симметрию операторов стар¬
шей размерности, подавленных гравитационным масштабом [149]. Кроме того,
в модели со спонтанно нарушенной глобальной U(l) симметрией вообще гово¬
ря реализуются условия существования топологических дефектов — стабильных
макроскопических полевых конфигураций, подробно рассматриваемых в главе
12. При полном нарушении симметрии возможно появлениие в ранней Вселенной
одномерных протяжённых конфигураций — космических струн, при нарушении
U{1) симметрии до дискретной подгруппы (например до группы чётности Z2)
возможно также появление двумерных поверхностей — доменных стенок, разде¬
ляющих пространственные домены с разным вакуумом. Последний тип дефек¬
тов крайне нежелателен для космологии, поскольку в расширяющейся Вселен¬
ной его вклад в полную плотность энергии ведёт себя с масштабным фактором
как ос 1/а и начинает быстро доминировать, в противоречии с наблюдениями,
см. раздел 12.4.
Итак, аксион является лёгкой частицей, взаимодействующей слабо с полями
Стандартной модели. Как следует из (9.98), его масса связана с масштабом нару¬
шения {7(1)рд-симметр11и fpq. Слабость взаимодействия объясняется тем обсто¬
ятельством, что аксион является псевдоголдстоуновским бозоном, соответствую¬
щим глобальной симетрии, спонтанно нарушенной на масштабе fpQ М\у. Как
и для всякого намбу-голдстоуновского поля, взаимодействия аксиона описыва¬
ются обобщённой формулой Голдбергера—Тренмана
где
Са
JpQ —
Spq d“a JrQ-
(9.105)
Σ4ρ<5)·/νν/.
(9.106)
f
-Здесь вклад в ток Jpq дают фермионы, несущие заряд е^· у относительно груп¬
пы U(1)pq: величины зарядов для разных типов фермионов зависят от вариантов
модели. Кроме того, имеются аномальные взаимодействия с глюонами (см. (9.95))
и фотонами,
Г — г —
*-ад — '-'д Q
ОТГ
t*-l = C-l^ j--FvvF»\ (9.107)
где безразмерные константы Сд и С7 определяются деталями конкретной модели
и в общем случае являются величинами порядка единицы. В полном согласии
с (9.94), действие с лагранжианом (9.105) можно проинтегрировать по частям
и записать вместо (9.105). воспользовавшись свободными уравнениями движения
для фермионов,
Са ~ fPQ ' α ' 9μ JPQ ~ ' Σ 2e
f mf ■If J-
JPQ
(9.108)
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
301
Взаимодействия (9.107) и (9.108) действительно имеют вид (9.77), (9.78) (для слу¬
чая Р(х) = а(т)). т. е. модели с аксионами являются примером рассмотрен¬
ного нами класса моделей с лёгкими слабовзаимодействующими псевдоскаля¬
рами. В данном случае масса аксиона ma не является свободным параметром:
из (9.98) имеем
т„ ~ тъ, ■ 2^ » 0,6 эВ ■ (10^ЗВ)· (9.109)
Для лёгкого аксиона основным каналом распада является распад на два фо¬
тона; время жизни аксиона та можно определить из (9.79), где следует положить
А = 2TifpQ/a и учесть соотношение (9.109),
—
64тг3т2/2
а2тп\
~ 4 · 1024
с
эВ
ma
О
Требуя, чтобы время жизни аксиона превышало современный возраст Вселенной,
получим ограничение сверху на массу интересного с точки зрения космологии
аксиона,
ma < 25 эВ. (9.110)
Аксион легче 25 эВ с точки зрения его времени жизни подходит на роль тёмной
материи.
Имеются и астрофизические ограничения на параметр fpQ. определяющий
константы связи и массу аксиона. Аксионы в модели с fpQ < ДО9 ГэВ (т.е.
с ma > 10-2 эВ) эффективно рождались бы в звёздах, что привело бы к измене¬
нию эволюции последних по сравнению со стандартной. Такие модели закрыты
из астрономических наблюдений. Таким образом, имеет смысл рассматривать
лишь аксионы с ma < 10_2 эВ.
Если говорить об аксионной тёмной материи, то тепловой механизм генера¬
ции не имеет отношения к делу. Действительно, оценка плотности массы акси-
онов, рождённых за счёт теплового механизма, πο-существу совпадает с (9.65)
и приводит к очень малому значению Ωα.
Казалось бы, возможность того, что тёмная материя образована из аксио-
нов, исключена. Это не так. Помимо теплового, в моделях с аксионами имеется
по крайней мере два специфических механизма, приводящих не только к до¬
статочно интенсивному рождению аксионов в ранней Вселенной, но и к очень
малым начальным скоростям аксионов. Последнее свойство делает аксион кан¬
дидатом на роль частицы холодной тёмной материи, несмотря на очень малую
массу. Один из механизмов связан с распадом глобальных струн [142] абелевой
группы симметрии (роль нарушенной группы играет U(1)pq): обсуждение этого
механизма см. в [143]. Другой механизм основан на представлении об аксионном
конденсате [144, 145, 146] эпохи КХД. Рассмотрим этот механизм.
Как видно из (9.97), эффективный потенциал аксиона при низких темпе¬
ратурах пропорционален кварковому конденсату (qq). Кварковый конденсат на¬
рушает киральную симметрию сильных взаимодействий, а при высоких темпе¬
302
Глава 9. Тёмная материя
ратурах эта симметрия восстанавливается29. Поэтому можно ожидать, что при
Т Лqcd эффективный потенциал аксиона пренебрежимо мал. Так и происхо¬
дит: потенциал для поля Θ — Θ + a/fpQ при высоких температурах отсутствует,
и это поле может принимать любое значение
0г е [0,2тг),
где мы учли, что поле Θ — это фаза. Нет никаких оснований ожидать, что началь¬
ное значение 0, равно нулю. При понижении температуры у аксиона появляется
масса, и поле 0 начинает однородно скатываться от значения 0г· в сторону ми¬
нимума аксионного потенциала 0 = 0. Однородная эволюция фазы описывается
эффективным лагранжианом
, fh (ΜΫ тЦТ) 2 -2
£ = “T’UJ -—2~fPQe’
где mQ(T) — функция температуры, такая, что
ma(T) ~ 0 при Т » Л qcd,
ma(T) ~ ?na при Т <С Л qcd-
Здесь и далее ma — масса аксиона при нулевой температуре.
В разделе 4.8.1 мы рассматривали общий случай эволюции скалярного поля
в расширяющейся Вселенной. Из этого рассмотрения следует, что при тпа (Т) <С
Н(Т) аксионное поле практически не меняется со временем, а начиная с того
момента, когда тпа(Т) ~ Н{Т), оно осциллирует и ведёт себя как система нере¬
лятивистских частиц, т. е. как холодная тёмная материя. Сделаем оценку совре¬
менной плотности энергии аксионного поля в такой картине, не конкретизируя
пока вида функции та(Т).
Во время начала осцилляций tosc. когда
ma{tosc) ~ Я(*овс), (9.111)
плотность энергии аксионного поля по порядку величины равна
Pai^osc) ~ TTlaitosc)fPQ@i ■
Как мы обсуждали в конце раздела 4.8.1, осциллирующее скалярное поле можно
воспринимать как набор покоящихся частиц, в данном случае аксионов. Плот¬
ность их числа в момент tosc оценивается величиной
na(toac) ~ Pa^°sc^ ~ ma{tosc)fpQt?· ~ #(£osc)/pQ0t2·
\*osc)
Впоследствии она падает, как обычно, как а-3 (мы в этом убедимся явно в кон¬
це раздела).
293десь имеется определённая аналогия с фазовыми переходами, рассматриваемыми в Гла¬
ве 10.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
303
Аксион-энтропийное отношение в момент tosc равно
Па H(tosc)fpQ ф fpQ ф
s ~ 9*2-£tL· ‘ * ~ VT*ToscMPl ■ <■
Оно держится постоянным после начала осцилляций, и современная плотность
энергии аксионного поля равна
па
Ра,0 — TfldS о
S
mafpQ
y/9*ToscMpi
So · Щ.
(9.112)
Она на самом деле является убывающей функцией тпа. Действительно, fpQ об¬
ратно пропорциональна та, см. (9.98); в то же время аксион приобретает мас¬
су вблизи фазового перехода КХД, т. е. вблизи Т ~ Лqcd, поэтому Tosc слабо
зависит от тпа.
Для первоначальной оценки положим
Tosc ~ Aqcd — 200 МэВ,
воспользуемся (9.98) с Cg ~ 1 и получим
Ωα
Ра,О
Рс
КГ6 эВ
т-а
щ.
(9.113)
При этом естественно считать, что начальное значение фазы θ{ не слишком ма¬
ло, θ{ ~ 1. Отсюда видно, что аксион с массой 10-о-10-6 эВ служит хорошим
кандидатом на роль частицы тёмной материи30. Это будет холодная тёмная
материя, поскольку она представляет собой однородное осциллирующее поле,
давление которого равно нулю (см. раздел 4.8.1). Иными словами, аксионы в та¬
кой картине имеют нулевые пространственные импульсы, а потому являются
нерелятивистскими.
Отметим, что поиск реликтовых аксионов с массой та ~ 10—10—6 эВ
представляет собой весьма трудную, хотя и не безнадёжную задачу для совре¬
менных экспериментов [148]. Ограничения на модели с аксионами представлены
на рис. 9.16.
Для уточнения приведённых оценок используем то, что при высоких темпе¬
ратурах, Т > Aqcd ? масса аксиона зависит от температуры следующим
образом [147]:
та(Т) ~ 0,1 ■ т„(0) · ) , Т > Aqcd■ (9.114)
30Отметим, что аксионы с меньшими массами. ma < 10-6 эВ, также могут составлять тёмную
материю, если по тем или иным причинам начальное значение фазы оказывается существен¬
но меньше единицы. Кроме того, в некоторых моделях с рождением аксионов в результате
распадов топологических дефектов более тяжёлые аксионы, mQ > 10“0 эВ, также могут обра¬
зовывать тёмную материю.
304
Глава 9. Тёмная материя
Масса (логарифмическая шкала, эВ)
Рис. 9.16. Экспериментальные ограничения на пространство параметров мо¬
делей с аксионами. составляющими тёмную материю [150]. Наклонная прямая
«■KSVZ ахгоп» соответствует предсказаниям модели КШВЗ. а закрашенная
область вдоль неё — разбросу предсказаний большинства моделей с аксионами
Отсюда п из (9.111) получим оценку для температуры Вселенной, при которой
начинаются осцилляции однородного аксионного поля:
Т
х osc
200 МэВ
/ та \0’2 ( Aqcd \
\10-9 эВ/ \200 МэВ у
(9.115)
Отметим, что для не слишком лёгкого аксиона, mQ > 10-9 эВ, использумое нами
приближение (9.114) справедливо, поскольку для таких аксионов Tosc > Aqcd·
Подставляя температуру осцилляций (9.115) в (9.112). получим
Па ~ 0.2 · Щ
4·10“6 эВ
т,
1.2
1
2h?
(9.116)
Видно, что оценка (9.113) является вполне удовлетворительной, а зависимость
от массы аксиона близка к обратной пропорциональности. Это. разумеется, свя¬
зано с сильной зависимостью (9.114) массы аксиона от температуры. Интересно.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
305
что струнный механизм рождения аксионов приводит к такой же параметриче¬
ской зависимости Qa(ma), что и в формуле (9.116).
Более конкретные предсказания для массы аксиона, составляющего тёмную
материю, можно получить из формулы (9.116), если знать среднюю величину
начальной фазы Θ{. В космологических моделях с инфляционной эпохой, пред¬
шествовавшей горячей стадии, начальная фаза фиксируется либо после, либо
до окончания инфляции. Первый случай реализуется, если симметрия U(l)pq
нарушается после инфляции, на стадии так называемого разогрева или уже на го¬
рячей стадии. При этом фаза θ{ однородна лишь в области характерного линей¬
ного размера порядка корреляционной длины сконденсировавшего поля (см. по¬
дробности в разделе 12.1), что заведомо меньше горизонта. Однако величина
фазы случайна и различна в разных областях. На радиационно-доминированной
стадии физические размеры растут медленнее горизонта, а потому на момент
фазового перехода КХД внутри горизонта имеется большое количество областей
с различающейся начальной фазой 6г. Наивное усреднение по ним даёт
однако учёт следующих за квадратичным слагаемых в потенциале аксиона при¬
водит к большей численной оценке эффективной фазы, определяющей плотность
энергии, (6j) « 9 [151]. Подставляя это значение в (9.116), получим предсказание
для массы аксионов, которые составляли бы всю тёмную материю:
ma ~ 5 · 10-5 эВ. (9.117)
В таких моделях аксионы меньшей массы запрещены из космологии, а аксионы
большей массы составляют лишь часть тёмной материи.
Второй случай реализуется, если С7( 1)рд-симметрия нарушена уже на ин¬
фляционной стадии и не восстанавливается ни на каком последующем этапе раз¬
вития Вселенной. Как объясняется в разделе 1.7.3 и более подробно во второй
части этой книги, инфляция приводит к раздуванию первичной причинно свя¬
занной области до размера, как минимум превышающего размер современного
горизонта. Поэтому во всей видимой Вселенной начальная фаза 9i одинакова,
но значение её предсказать нельзя. Соответственно, нельзя однозначно предска¬
зать и массу аксиона (или значение параметра /а). Если фаза θι в видимой об¬
ласти Вселенной оказалась малой величиной, то аксионы легче (9.117) не запре¬
щены космологией, и могут составлять тёмную материю.
Во втором случае начальная фаза θι на самом деле не однородна в простран¬
стве. Это обусловлено особенностью инфляционной стадии: на ней квантовые
флуктуации всех скалярных полей, которые можно считать свободными и без-
массовыми, испытывают рост. В результате генерируются неоднородности ска¬
лярных полей на всех пространственных масштабах, превышающих размер го¬
ризонта инфляционной эпохи Η~β. Среднеквадратичные амплитуды этих флук¬
туаций для канонически нормированных полей равны Нт^/(2тг); детали этого
процесса подробно рассмотрены во второй части книги. В применении к аксиону
306
Глава 9. Темная материя
это означает, что начальная конфигурация аксионного поля имеет вид
0*(х) = 0|о) +<Щх),
где однородно в пространстве, а <50* (х) — случайное поле, имеющееся на всех
космологически интересных пространственных масштабах и характеризующееся
средним квадратом амплитуды
2\ Л1пА
(2π/β)2·
Флуктуации фазы приводят к флуктуациям плотности энергии аксионной тём¬
ной материи. Они никак не скоррелированы с флуктуациями других полей и обыч¬
ного вещества. Такие нескоррелированные неоднородности получили название
мод постоянной кривизны. По данным наблюдениий их вклад не может превы¬
шать нескольких процентов от доминирующего вклада адиабатической моды,
подробнее см. вторую часть этой книги.
Оба рассмотреных случая проиллюстрированы на рис. 9.17, где представле¬
но пространство параметров (mQ.0,·. Я;„я). Условная граница между случаями
проходит по линии fa = Tgh Ξ Я;пП/(27г).
В заключение этого раздела проверим явно, что для однородного осцилли¬
рующего скалярного поля с массой, зависящей от температуры, величина
па
Pa{t)
ma(t)
убывает как а 3. Мы по-прежнему будем использовать для этого поля обозначе¬
ние Θ. Запишем уравнение поля в расширяющейся Вселенной,
M+mT)ft+mUT)6 = o.
(9.118)
Умножив это уравнение на άθ/dt. получим
1 d_
2 dt
+
d Л2
2 dt
θζ = 0.
(9.119)
При ma{T) Н(Т) уравнение (9.119) можно решить приближённо, воспользо¬
вавшись равенством средних по периоду осцилляций,
S
dt
2
(9.120)
В результате получим уравнение
d(62)
+
ЗЯ +
1 dma (t) \
ma(t) dt )
dt
(ιΘ2) = 0.
9.7. Аксионы и другие лёгкие долгоживущие частицы
307
Ю4 Ю6 108 ю10 ю12 ю14
Я, (ГэВ)
03
л
δ
Рис. 9.17. Космологические ограничения на пространство параметров инфля¬
ционных моделей с аксионной тёмной материей [151]. Аксион может состав¬
лять всю тёмную материю в незакрашенных областях, соответствующих
двум рассмотренным случаям (первый случай — узкая полоса между областя¬
ми Ωα < Qcdm и Ωα > Ωοόμ в правой части рисунка, второй случай — неза¬
крашенная область в левой части). Помимо ограничений из отсутствия за¬
летного вклада люд постоянной кривизны, представлены также ограничение
на паралгетры аксионной модели из астрофизики (возлюжное участие аксио-
нов в охлаждении белых карликов), ограничение на величину параметра Хаббла
на инфляционной стадии, следующую из отсутствия сигнала от реликтовых
гравитационных волн (тензорных мод) и эксперильентальные ограничения —
плюющееся (ADMX I) и ожидаемые (ADMX II, проект CARRACK)
Из него следует, что
ma{t){&2)(t) =
const
α3(ί)'
Стоящая в левой части величина совпадает с па, поскольку
άθ4 2
ра = const' ( ( ^ ) ) = const · m2(t)(02)
(для аксиона константа здесь равна /рд. а для канонически нормированного поля
она равна единице).
308
Глава 9. Тёмная материя
9.8 * Другие кандидаты
Помимо кандидатов на роль частиц тёмной материи, рассмотренных в этой
Главе, мы обсуждаем в этой книге стерильные нейтрино (раздел 7.3) и Q-шары
(раздел 12.7). Все эти кандидаты, конечно, далеко не исчерпывают предлагаемые
в литературе возможности решения проблемы тёмной материи.
9.8.1 Сверхтяжёлые реликтовые частицы
Довольно экзотическими кандидатами на роль частиц тёмной материи явля¬
ются стабильные сверхтяжёлые частицы (мы будем называть их Х-частицами).
Мх > 100 ТэВ.
Напомним, что сверхтяжёлые стабильные частицы, находившиеся в термодина¬
мическом равновесии в ранней Вселенной, запрещены из-за перепроизводства
тёмной материи, см. (9.41). Поэтому необходимо предполагать, что эти части¬
цы никогда не были в тепловом (точнее, химическом) равновесии с космической
плазмой.
Перечислим несколько возможных механизмов генерации тяжёлых частиц,
способных в принципе обеспечить необходимое количество тёмной материи. Во-
первых, это генерация за счёт столкновений лёгких частиц в первичной плазме
в моделях, где максимальная температура плазмы Ттах несколько ниже Μχ.
Из анализа, аналогичного приведённому в разделе 9.2, можно найти, что для
обеспечения условия Ωχ ~ 0,25 требуется, чтобы максимальная температура
во Вселенной и масса Х-частиц были довольно жёстко связаны,
— 25 + ^ · 1η(Μγ{σ)). (9.121)
где σ — сечение рождения Х-частиц в столкновениях частиц плазмы. Подавление
современной плотности массы реликтовых частиц по сравнению со случаем хи¬
мического равновесия в ранней Вселенной связано, конечно, с больцмановским
фактором. Отметим, что условие обеспечения необходимой плотности энергии X-
частиц требует подстройки двух параметров, вообще говоря, абсолютно разной
природы: если величина Μχ — модельный параметр, то величина максималь¬
ной температуры Вселенной Ттах зависит от механизма, стоящего за первичным
разогревом Вселенной.
о Задача 17. Получить соотношение (9.121).
Тяжёлые частицы могут также рождаться в ходе первичного разогрева —
процесса, безусловно необходимого в космологических моделях с инфляционной
стадиен. Мы рассматриваем постинфляционный разогрев во второй части книги,
а здесь отметим, что рождение частиц в процессе разогрева возможно вплоть
до масс Μχ ~ 1016 ГэВ, даже если максимальная температура ниже на несколько
порядков.
9.8. Другие кандидаты
309
Ещё более экзотическая возможность появляется в моделях, где инфляция
завершается фазовым переходом первого рода. Образующиеся пузыри нового
вакуума начинают быстро расширяться, стенки разных пузырей сталкиваются.
Локально это столкновение можно представлять как столкновение частиц с ха¬
рактерной массой тп (величина порядка энергетического масштаба фазового пе¬
рехода или обратной толщины стенки, см. раздел 12.4) и характерной энергией
77П. где 7 — лоренц-фактор стенки. Таким образом, можно ожидать генерации
частиц с массами вплоть до Μχ ~ ут. т. е. существенно превышающими темпе¬
ратуру последующего разогрева Ттах «С т.
Наконец, упомянем о механизме гравитационного рождения тяжёлых ча¬
стиц, работающем на стадии окончания инфляции. Речь идёт о рождении частиц
из вакуума в нестационарном гравитационном поле, имеющемся в данном слу¬
чае благодаря быстрому расширению Вселенной на стадии инфляции. Для этого
механизма не требуется каких-либо непосредственных взаимодействий между тя¬
жёлыми Х-частицами и другими нолями теории. В этом смысле предсказываемая
плотность числа реликтовых Х-частиц является модельно независимой.
Отметим, что рождение частиц гравитационным полем в расширяющейся
Вселенной происходит и на других стадиях, причём наиболее эффективно гене¬
рация происходит на этапах, когда Μχ ~ Н. В частности, можно показать [152],
что на радиационно-доминированной стадии плотность числа частиц, образован¬
ных при Η ~ Μχ. даёт на более поздних временах следующий вклад в полную
плотность энергии Вселенной:
Рх — 5 ■ 10-4 ■ Μχ ■ (-у^)3/2
Отсюда для доли X-частиц в полной плотности энергии современной Вселенной
получим
Ωχ ~
Мх у/2
109 ГэВ )
Видно, что указанный механизм обеспечивает правильную плотность тёмной ма¬
терии при Μχ ~ 109 ГэВ и приводит к перепроизводству при больших массах.
Обнаружение тёмной материи с Μχ 109 ГэВ означало бы, что параметр Хаб-
бла на горячей стадии никогда не достигал значения Μχ.
9.8.2 Экзотика
В заключение Главы отметим, что вне рамок нашего обсуждения остался це¬
лый ряд более экзотических, по сравнению с рассмотренными нами, кандидатов
на роль тёмной материи — стабильных на космологических временах частиц пли
частицеподобных объектов. Среди них — реликтовые чёрные дыры, гипотетиче¬
ские чрезвычайно сильно взаимодействующие частицы, аксино — суперпартнёр
акснона, зеркальная материя и многие другие. Нередко для объяснения требуе¬
мого количества тёмной материи параметры соответствующих моделей должны
принимать нереалистичные значения и/или требуется привлекать дополнптель-
310
Глава 9. Тёмная материя
ные нереалистические предположения о ходе тех или иных экзотических процес¬
сов в ранней Вселенной. В любом случае, предсказания для плотности тёмной
материи в таких сценариях оказываются сильно модельно-зависимыми. Некото¬
рые кандидаты на роль тёмной материи — топологические дефекты и солитоны —
рассмотрены в главе 12.
Глава 10
Фазовые переходы
в ранней Вселенной
Как мы упоминали в Главе 1, прямых экспериментальных указаний на то.
что во Вселенной реализовывались температуры выше нескольких МэВ, пока
не существует. Тем не менее, естественно предполагать, что Вселенная в далёком
прошлом была разогрета до гораздо более высоких температур1. В связи с этим
значительный интерес представляет изучение свойств космической плазмы при
высоких температурах.
При разных температурах свойства космической среды были существенно
разными. Так, при температурах выше 200 МэВ кварки и глюоны не образуют
связанных состояний — адронов, и вещество представляет собой кварк-глюонную
среду. При таких температурах отсутствует и кварковый конденсат, т. е. отсут¬
ствует нарушение (приближённой) киральной симметрии. Если в развитии Все¬
ленной был такой этап, когда температура плазмы превышала 1 ГэВ, то в ходе
расширения Вселенной и понижения её температуры должен был произойти пе¬
реход от кварк-глюонной плазмы к адронному веществу, состоящему из бесцвет¬
ных (т. е. не заряженных по калибровочной группе SU(3)с, см. Приложение В)
частиц — пионов, каонов, нуклонов и других адронов. Кроме того, должно было
произойти образование кваркового конденсата.
Вполне вероятно, что во Вселенной была эпоха с ещё большими температу¬
рами. Т > MBXV ~ 100 ГэВ. Огрубляя ситуацию, можно сказать, что при таких
температурах электрослабая симметрия была не нарушена, а среднее значение
поля Энглера—Браута—Хиггса было равно нулю. При понижении температуры
произошёл электрослабый переход, в результате которого появилось ненулевое
*Так в Главе 9 мы отмечали, что простой и эффективный (а потому весьма вероятный)
механизм генерации небарионной тёмной материи работает при температурах порядка де¬
сятков ГэВ или выше; экспериментальное подтверждение этого механизма стало бы прямым
свидетельством того, что в развитии Вселенной была эпоха, характеризовавшаяся столь
высокими температурами. Многие механизмы генерации барионной асимметрии Вселенной
(хотя и не все) требуют ещё больших температур, от 100 ГэВ до 1010 ГэВ (см. Главу 11).
в зависимости от конкретного .механизма.
311
312
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
среднее поля Энглера—Браута—Хиггса и произошло спонтанное нарушение элек-
трослабой симметрии SU(2)u· х U(l)Y до электромагнитной £/(1)ет.
В зависимости от того, с каких максимальных температур началась горячая
стадия расширения Вселенной, и от того, как устроена физика на сверхмалых
расстояниях и при сверхвысоких энергиях, изменения свойств среды во Вселен¬
ной могли происходить при ещё более высоких температурах, например, при
температуре Большого объединения, сравнимой с Mgut ~ Ю16 ГэВ, или при
промежуточных температурах MBW Т <С Д/gut·
Разумеется, важно понимать, в каком состоянии находится космическая сре¬
да при той или иной температуре и каким образом она переходит из одного состо¬
яния в другое при понижении температуры. При этом изменение свойств среды
может происходить как гладким, так и скачкообразным образом. В первом случае
говорят о гладком кроссовере, во втором — о фазовом переходе.
Представление о различных фазах, в которых может находиться система,
и о соответствующих фазовых переходах имеет наиболее простой смысл в тех
случаях, когда фазы различаются симметрией и/или имеется параметр (его на¬
зывают параметром порядка), равный нулю в одной фазе и отличный от нуля
в другой. Известные примеры фазовых переходов в физике конденсированных
сред, относящиеся к этой категории — переходы металлов в ферромагнитное
состояние или в состояние сверхпроводимости; параметрами порядка здесь слу¬
жат спонтанная намагниченность и конденсат куперовских пар, соответственно.
Если же система такова, что параметр порядка отсутствует, то в ней также воз¬
можны фазовые переходы, но их существование может зависеть от внутренних
или внешних параметров. Известный пример — переход вода—пар, который яв¬
ляется фазовым переходом I рода при низких давлениях, и не является фазовым
переходом вообще при высоких давлениях. В последнем случае свойства среды
(например, плотность) непрерывно, хотя и довольно быстро, меняются с измене¬
нием температуры — имеет место гладкий кроссовер.
Обе возможности — и кроссовер, и фазовый переход — важны с точки зрения
космологии, но особый интерес для неё представляют фазовые переходы. В част¬
ности. как мы увидим в этой Главе, космологический фазовый переход перво¬
го рода представлят собой сильно неравновесный процесс. Подчеркнём, однако,
что упоминавшийся переход из кварк-глюонного в адронное состояние в КХД
носит характер гладкого кроссовера. То же можно сказать об электрослабом
переходе, если оставаться в рамках Стандартной модели[154]. Дело в том, что
ни в КХД, ни в электрослабом секторе Стандартной модели нет калибровочно-
инвариантных и локальных параметров порядка2 которые различали бы состо¬
яния среды [155, 156], поэтом}7 фазовые переходы в этих теориях не обязаны
происходить. Они и не происходят3 * * *.
2Для КХД существенно, что кварки имеют ненулевые массы, и поэтому киральная сим¬
метрия является приближённой, а не точной. В гипотетическом мире с безмассовыми и- и d-
кварками киральная симметрия была бы точной симметрией лагранжиана КХД, и её наруше¬
ние происходило бы в результате фазового перехода. Параметром порядка служил бы кварко¬
вый конденсат.
■Для электрослабого перехода в Стандартной модели важно, что бозон Хиггса имеет до¬
вольно большую массу т^ = 126 ГэВ.
10.1. Типы фазовых переходов
313
В этой Главе мы обсудим возможность того, что во Вселенной имели место
фазовые переходы. Мы вспомним классификацию фазовых переходов и познако¬
мимся с методами, позволяющими их описывать. Мы сосредоточимся на теориях
со скалярными полями и будем интересоваться фазовыми переходами, приводя¬
щими к появлению ненулевых средних значений этих полей. Как обычно в тео¬
рии поля, применимость аналитических методов ограничена теориями с малыми
константами связи, однако мы увидим, что этого недостаточно: аналитическое
описание фазовых переходов возможно лишь тогда, когда масса бозона Хиггса
в вакууме достаточно мала в рассматриваемой модели.
В моделях, где теория возмущений неприменима, аналитическое изучение
переходов между состояниями среды «из первых принципов», как правило, невоз¬
можно, и наиболее надёжным источником информации о них являются числен¬
ные методы в рамках теории поля на решётке. Важным примером является пере¬
ход КХД. Он происходит при температуре Т ~ 200 МэВ, когда константа связи
КХД a.s(T) велика. Мы не будем сколько-нибудь подробно изучать переход КХД
в этой книге, хотя нет сомнений, что он действительно происходил в ранней
Вселенной (в предположении, что во Вселенной реализовывались температуры
Т > 200 МэВ). Дело в том, что этот переход, по-видимому, не оставил «следов»
в современной Вселенной, доступных экспериментальной проверке (исключение
составляют довольно экзотические предложения, например формирование квар¬
ковых «самородков» с большим количеством странных кварков [153]; упомянем
в этой связи ещё об аксионах как претендентах на роль тёмной материи, один
из механизмов генерации которых основан на самом факте кирального перехода
в ранней Вселенной и мало чувствителен к динамике этого перехода, см. раз¬
дел 9.7.)
Изучение фазовых переходов в остывающей Вселенной не только представ¬
ляет академический интерес, но и позволяет по-новому взглянуть на некоторые
загадки современной космологии. Среди них можно отметить проблемы бари-
онной асимметрии и тёмной материи. Фазовые переходы ответственны также
за возможное образование топологических дефектов в ранней Вселенной и иг¬
рают важную роль в некоторых инфляционных моделях. В ряде моделей с фа¬
зовым переходом I рода возможно образование гравитационных волн при пер-
коляции пузырей новой фазы, а также при турбулентных процессах релаксации
неоднородностей плазмы. Поиск соответствующих сигналов на гравитационных
интерферометрах открывает одну из немногих возможностей найти прямое экс¬
периментальное подтверждение фазового перехода в ранней Вселенной.
10.1 Типы фазовых переходов
Существование фазовых переходов обусловлено несовпадением свойств
основных состояний теории при нулевой и отличной от нуля температурах. В тео¬
риях со скалярными полями это связано с появлением нетривиальных доба¬
вок, зависящих от температуры, к эффективному потенциалу теории, который
мы сейчас и введём. При конечных температурах равновесное состояние среды
314
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
соответствует минимуму большого термодинамического потенциала. Как мы об¬
суждали в Главе 5. химические потенциалы в ранней Вселенной при интересных
температурах Т > 1 ГэВ пренебрежимо малы, и большой термодинамический
потенциал сводится к свободной энергии F. так что в дальнейшем мы будем
рассматривать именно свободную энергию того или иного состояния первичной
плазмы. Чтобы понять, чему равно среднее значение (ф)т интересующего нас
скалярного поля при температуре Т. рассмотрим систему, в которой среднее
этого поля зафиксировано и равно ф всюду в пространстве, а в остальном имеет
место термодинамическое равновесие. Свободная энергия такой системы зависит,
разумеется, от выбранного значения ф, а также от температуры. В силу простран¬
ственной однородности свободная энергия пропорциональна пространственному
объёму Ω,
F = QVeff(T,4>). (10.1)
Эффективным потенциалом называют функцию Ve// (Т, ф) — плотность свобод¬
ной энергии среды при температуре Т\ при условии, что среднее значение поля
однородно и положено равным ф. В термодинамическом равновесии свободная
энергия находится в минимуме по отношению ко всем макроскопическим па¬
раметрам, включая среднее значение поля. Поэтому (ф)т является точкой аб¬
солютного минимума эффективного потенциала Veff(T, ф) при фиксированной
температуре (аргумент Т мы будем в дальнейшем часто опускать).
При нулевой температуре свободная энергия сводится к энергии системы,
а эффективный потенциал совпадает со скалярным потенциалом У(ф), входя¬
щим в действие теории поля4, см. рис. 10.1 а; в интересующих нас теориях поле ф
имеет ненулевое вакуумное среднее v.
Рис. 10.1. Форма эффективного потенциала поля при нулевой (а) и высокой (Ь)
температурах
4 В действительности и при нулевой температуре эффективный потенциал не совпадает
со скалярным потенциалом, фигурирз'Ющим в классическом действии. Это связано с нали¬
чием квантовых поправок. В теориях со слабой связью квантовые поправки к эффективному
потенциалу часто оказываются малыми.
10.1. Типы фазовых переходов
315
При ненулевой температуре эффективный потенциал получает дополнитель¬
ные вклады, растущие с увеличением температуры. С учётом этих вкладов сред¬
нее значение поля ф оказывается равным нулю при высоких температурах Т > ν.
т.е. симметрия восстанавливается, см. рис. 10.1 Ь.
Здесь нужно подчеркнуть одно обстоятельство, существенное для калибро¬
вочных теорий с механизмом Энглера—Браута—Хиггса. К таковым относится
и Стандартая модель, поэтому для определённости будем говорить именно о ней.
Поле Энглера—Браута -Хиггса ф в Стандартной модели калибровочным инвари¬
антом не является. Калибровочно-инвариантными являются величины типа ©т©
(HJH, см. Приложение В), однако они инвариантны относительно всех симмет¬
рий лагранжиана, и поэтому не могут служить параметрами порядка. Иными
словами, «фазы» с «нарушенной» и «ненарушенной» симметрией в Стандартной
модели в действительности не различимы. Из-за этого представление об эффек¬
тивном потенциале V(Т, ф) применимо, и то с оговорками, только тогда, когда
работает теория возмущений. Мы будем говорить о температурной теории возму¬
щений в разделе 10.2, а условия её применимости обсудим в разделе 10.4. Здесь
достаточно сказать, что теория возмущений не применима для Стандартной мо¬
дели в той области температур и значений поля ф. которая соответствует электро-
слабому переходу. Именно это обстоятельство приводит в конечном итоге к тому,
что, как мы уже говорили, фазового перехода в Стандартной модели нет, а вме¬
сто него имеет место гладкий кроссовер. Для его изучения адекватным является
метод численного анализа квантовой теории поля на решетке.
В этом и следующем разделах мы будем считать, что температурная тео¬
рия возмущений применима, и представление об эффективном потенциале имеет
смысл. В таком случае с понижением температуры переход от (ф)т = 0 к (ф)т ф 0
имеет характер фазового перехода и происходит при некоторой критической тем¬
пературе Тс.
Выделяют два основных типа фазовых переходов — фазовые переходы I
и II рода. С точки зрения общего формализма термодинамики фазовый переход
I рода сопровождается скачкообразным изменением величин, непосредственно
характеризующих среду, например, плотности (в теории поля этому отвечает
скачок среднего поля (ф)т как функции температуры, см. рис. 10.2 а). При фа¬
зовом переходе II рода такие характеристики меняются непрерывно (см. рис. 10.2
Ь). Это отличие можно проиллюстрировать, изобразив на графиках характер¬
ные для фазовых переходов I и II родов семейства эффективных потенциалов
Vefffa Т) как функций ф при различных значениях температуры Т. см. рис. 10.3.
Левая половина рисунка относится к фазовым переходам I рода, завершающимся
скачкообразным изменением значения (ф)т. Правая половина рисунка относится
к фазовому переходу II рода — непрерывному изменению температурного сред¬
него поля (ф)т.
Упоминавшееся уже кипение жидкости является самым известным приме¬
ром фазового перехода I рода. Примерами фазового перехода II рода служат
переходы в ферромагнетиках, переходы порядок—беспорядок в сплавах метал¬
лов, переходы в состояния сверхпроводимости и сверхтекучести.
316
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
(Ф):
(«Ф)3
с фазовъш переходом I рода (a) u II рода (Ь)
К„(Ф) К„(Ф)
Рис. 10.3. Формы эффективного потенциала Уе//(Ф) при различных темпе¬
ратурах: более высоким температураль соответствуют более тёмные кривые,
изображённые выше. Левая половина рисунка относится к системами с фазовъш
переходом I рода, правая — к системам с фазовым переходом II рода. Чёрные
кружки показывают состояние системы — величину среднего поля (ф)Т
10.1. Типы фазовых переходов
317
Динамика протекания фазовых переходов совершенно различна для фазо¬
вых переходов I и II рода. Нас интересует случай, когда темп изменения темпе¬
ратуры со временем мал по сравнению с характерным темпом взаимодействий
частиц в среде; именно этот случай реализуется в ранней Вселенной. При фазо¬
вом переходе II рода характеристики среды (например, среднее значение (©)т)
медленно меняются сразу во всём пространстве при медленном уменьшении тем¬
пературы; в каждый момент времени среда находится в состоянии, близком к со¬
стоянию термодинамического равновесия. Это же относится и к гладкому крос¬
соверу. Иная ситуация имеет место при фазовом переходе I рода. До фазового
перехода среднее значение (ф)т равно нулю, но как только минимум эффектив¬
ного потенциала с ф = (ф)т Ф 0 станет глубже минимума с ф = 0, термодина¬
мически выгодным станет основное состояние с (ф)т ф 0, см. рис. 10.4. Сразу
во всём пространстве переход из состояния с (ф) = 0 в состояние с (ф)т ф 0 про¬
изойти не может: среднее значение поля ф при таком переходе изменялось бы
сразу во всём пространстве от ф = 0 до ф — (ф)т. и в системе с бесконечным
объёмом свободная энергия (10.1) в промежуточных состояниях была бы беско¬
нечно велика по сравнению с её начальным значением (соответствующим ф = 0).
Переход из состояния с ф = 0 в состояние с ф = (ф)т происходит путём образова¬
ния пузырей новой фазы, их последующего расширения и слияния, см. рис. 10.5.
Образование в среде с ф = 0 пу¬
зырька, внутри которого ф = (ф)т ф
0, — это локальный в простран¬
стве процесс, и он может проис¬
ходить за счёт тепловых флукту¬
аций0. Расширяющиеся пузырьки
сталкиваются своими стенками, и по¬
сле этого процесса «кипения» систе¬
ма в конечном итоге возвращается
в пространственно-однородное состо¬
яние термодинамического равновесия,
но уже с ф = (ф)т ф 0, а высвобо¬
дившаяся свободная энергия перехо¬
дит в тепло.
Описанный процесс «кипения»
среды — это сильно неравновесный
процесс. Мы уже отмечали, что в эво¬
люции горячей Вселенной наиболее важны этапы, когда космическая плазма
не находится в состоянии термодинамического равновесия. Поэтому именно фа¬
зовые переходы I рода представляют особый интерес для космологии.
Оценим вероятность образования пузыря новой фазы при температуре Т.
Пусть V- = Veff (Т, ф — 0) — плотность свободной энергии старой фазы, a V+ =
Veff(T, ф = (ф)т) —плотность свободной энергии новой фазы, V+ < V-, см. рис. 10.4.
Свободная энергия пузыря размера R, отсчитываемая от свободной энергии сре- 5Рис. 10.4. Bud эффективного потенци¬
ала системы, в которой происходит фа¬
зовый переход I рода
5 Иногда доминирующим процессом является квантовое туннелирование.
318
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
Рис. 10.5. Образование пузырей новой фазы при фазовом переходе I рода
ды с ф = 0 без пузыря, складывается из двух частей — объёмной и поверхностной.
Первая связана с тем, что внутри пузыря плотность свободной энергии V+ мень¬
ше плотности энергии окружающей среды; она отрицательна и равна
^тгД3 (V+ - V.).
Поверхностная часть возникает из-за того, что поле ф вблизи поверхности неод¬
нородно и отличается и от нуля, и от (ф)т; вклад в неё вносят как эффективный
потенциал Уе//(©), так и градиентные слагаемые в свободной энергии — функци¬
онале F [©(х)]. Поверхностное слагаемое в свободной энергии пропорционально
площади поверхности пузыря и равно 4тгЛ!2 · μ. где μ — свободная энергия еди¬
ницы поверхности (поверхностное натяжение). Таким образом, свободная энер¬
гия пузыря размера R, отсчитываемая от свободной энергии старой фазы, равна
(см. рис. 10.6)
F(R) = 4тг Л2 μ - · ДУ, (10.2)
О
где
AV = V- - V+ > 0
— разность плотностей свободной энергии старой и новой фаз (скрытая теп¬
лота фазового перехода). Из (10.2) видно, что при достаточно малых размерах
свободная энергия пузырька убывает с уменьшениель R\ это означает, что спон¬
танно образовавшийся пузырёк малого размера будет схлопываться за счёт сил
10.1. Типы фазовых переходов
319
поверхностного натяжения, и система возвратится в исходное однородное состо¬
яние с ф = 0. Наоборот, при достаточно больших R свободная энергия убывает
с ростом R, т. е. пузырёк будет неограниченно расширяться, и система перейдёт
в новую фазу. Минимальный размер, с которого пузырёк начнёт расширяться,
определяется уравнением
dF п
8R ~ ’
т. е. он равен
R.=
2μ
AV'
(10.3)
Пузырёк такого размера называют критическим пузырём; его свободная энергия
положительна и равна
16π μ3
ΊΓ (ΔΗ)2'
(10.4)
Отметим, что как размер критическо¬
го пузыря, так и его свободная энергия
растут при уменьшении AV — разно¬
сти плотностей свободной энергии старой
и новой фаз.
Спонтанное образование пузырей но¬
вой фазы в горячей среде происходит
за счёт тепловых флуктуаций, т. е. теп¬
ловых скачков на вершину барьера, изоб¬
ражённого на рис. 10.6. Вероятность та¬
кого скачка в единицу времени в еди¬
нице объёма определяется в
основном больцмановским множителем
е-^/Т;
Г = АТ4е~Рс^Т (10.5)
(формула Аррениуса), где множитель Т4 введён из соображений размерности,
а предэкспонента А не слишком сильно зависит от температуры и других пара¬
метров. Отметим, что формула (10.5) справедлива при Fc Т, т. е. когда веро¬
ятность образования пузырька мала. Из этой формулы и (10.4) сразу следует,
что при конечном темпе остывания среда некоторое время находится в переохла¬
ждённом состоянии с ф = 0, когда термодинамически уже выгодна новая фаза,
но AV = V- — V+ всё ещё настолько мало, что темп образования пузырей мень¬
ше темпа остывания. В космологическом контексте образование пузырей новой
фазы начинает эффективно происходить тогда, когда вероятность образования
одного пузыря в хаббловском объёме за хаббловское время становится, грубо
говоря, порядка единицы, т. е.
Рис. 10.6. Свободная энергия пузыря
новой фазы как функция его радиуса
АТ4е~^ ~ Я4 (Г)
Г2
4
м
Р1.
(10.6)
320
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
В конкретных моделях это соотношение определяет, в какой степени переохла¬
ждается космическая плазма до фазового перехода и какая скрытая теплота AV
выделяется в результате фазового перехода. Можно сделать, впрочем, и общий
вывод о картине фазового перехода первого рода во Вселенной (если такие про¬
исходили): фазовый переход начинается тогда, когда в хаббловском объёме обра¬
зуется совсем немного пузырьков. Их размер в момент образования определяется
микроскопической физикой и составляет величину, много меньшую хаббловско-
го размера #-1(Т), а расстояние между их центрами сравнимо с хаббловским
размером. Пузыри успевают расшириться на много порядков до того, как их
стенки начнут сталкиваться, а новых пузырьков за это время образуется мало.
Эти соображения, как и оценку (10.6) мы уточним в конце раздела.
Для примера, при Т ~ 100 ГэВ (электрослабый масштаб) хаббловский раз¬
мер составляет
я-1
Мк
гр2
~ 1 СМ.
Если бы в это время происходил фазовый переход первого рода, то размер пу¬
зырька в момент образования составлял бы, грубо говоря, величину порядка Т-1
т. е. Яс ~ 10“16 см. Итак, фазовый переход во Вселенной происходит путём обра¬
зования в кубическом сантиметре космической плазмы небольшого количества
пузырьков субъядерного размера, их расширения до макроскопических размеров
и слияния в результате столкновения стенок.
Отметим, что теоретически имеется возможность того, что в расширяющей¬
ся Вселенной фазовый переход не заканчивается вовсе, несмотря на то, что эф¬
фективный потенциал имеет вид, изображенный на рис. 10.4. Ложный вакуум
имеет положительную плотность энергии V_, так что даже в отсутствие частиц
Вселенная, заполненная ложным вакуумом, расширяется с параметром Хаббла
Если темп образования пузырей за хаббловское время в хаббловском объёме мал,
то стенки пузырей не будут сталкиваться, поскольку центры соседних пузырей
будут удаляться друг от друга со скоростями, превышающими скорость света
(иными словами, ближайший к данному пузырёк будет находиться вне горизонта
событий этого пузырька; о горизонте событий см. раздел 3.2.3). Области ложного
вакуума будут расширяться быстрее областей новой фазы, и фазовый переход
не закончится.
С учётом гравитационных взаимодействий распад ложного вакуума может
не происходить и из-за того, что пузыри истинного вакуума не образуются со¬
всем [162]. Это имеет место тогда, когда плотность энергии истинного вакуума
отрицательна, а гравитационные эффекты достаточно сильны. Соответствующее
рассмотрение выходит за рамки этой книги.
10.1. Типы фазовых переходов
321
В заключение этого раздела рассмотрим некоторые подробности, относя¬
щиеся к изложенным выше соображениям. Начнём с того, что обсудим в общих
чертах, как найти поверхностное натяжение стенки пузыря. Мы будем прене¬
брегать кривизной стенки (т. е. считать размер пузыря R большим) и считать
разность свободных энергий старой и новой фаз AV малой величиной. В этом
случае конфигурация поля <bw (г) в области стенки является минимумом свобод¬
ной энергии F(<p(r)) как функционала теперь уже неоднородного поля ф(г). При
этом с одной стороны стенки, при г -С R (т. е. внутри пузыря), поле стремится
к ώ = <£>+, а с другой стороны стенки, при г R, — к ф = 0. Если R доста¬
точно велико, то внутри пузыря координату (г — R) можно формально считать
стремящейся к — эо и записать граничные условия как
Ф\\-{х) —► (Ф)т при (г — R) —» —оо, (Ю-7)
φιν(χ) —► 0 при (г — R) —* +оо. (10.8)
Будем предполагать, что температурные поправки к градиентному члену в функ¬
ционале энергии малы (это предположение действительно выполняется в теориях
со слабой связью). Тогда свободная энергия (отсчитываемая от свободной энер¬
гии старой фазы) как функционал поля ф(г) запишется в виде
Уе//(0) - V-
(10.9)
При большом размере пузыря толщина стенки мала по сравнению с R. и медлен¬
но меняющийся множитель 47гг2 можно считать постоянным в области стенки,
т. е.
df \(М)+ Уеи{ф) ~ v~ ’ (10Л0)
F[o] = 4*Д2 Г°°
J — оо
где
f = г — R
и мы формально распространили интегрирование по этой переменной до — оо
(ср. с (10.7)). Конфигурация поля φ\ν{τ) удовлетворяет уравнению Эйлера—Лаг¬
ранжа для экстремума функционала (10.10)
(Рф _ dVeff№)
dr2 Θό
(10.11)
Это уравнение формально совпадает с уравнением движения одномерной клас¬
сической механики частицы в потенциале
и(Ф) = -Уе1/(Ф),
причём в роли времени выступает г, и в пренебрежении величиной AV справед¬
ливо и((ф)т) = ?7(0), т. е. потенциал и(ф) имеет два равновысоких максимума,
см. рис. 10.7 а.
Решение Ф« (г) уравнения (10.10) описывает «скатывание» частицы с пра¬
вого горба, в соответствии с (10.7), и «закатывание» её за бесконечное «время»
322
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
Рис. 10.7. a) Bud потенциала с двумя вырожденными максимумами; Ъ) Вид
конфигурации поля, образующей решение с пузырём новой фазы
на левый горб. см. (10.8). Используя аналогию с классической частицей, нетрудно
найти решение уравнения (10.11) с граничными условиями (10.7), (10.8) в квад¬
ратурах.
дф
y/2(Veff-V.)
= -(R~r),
(10.12)
где предел интегрирования выбран так, что при г — R поле ф(г) имеет проме¬
жуточное значение между ф = 0 и ф = (ф)Т. Конфигурация ф„,(г) схематиче¬
ски изображена на рис. 10.7 Ь. Отметим, что в одномерной теории скалярного
поля с вырожденными минимумами скалярного потенциала для этого решения
используют термин «кинк». С учётом (10.12) свободная энергия стенки (10.10)
равна
Fu, = 4 тг Л2 μ.
где
μ=Ι ^2[vef,(0)-v-}d0. (10.13)
Отметим, что коэффициент поверхностного натяжения μ конечен в пределе AV —► 0.
> Задача 1. Проверить справедливость формул (10.12), (10.13).
> Задача 2. Пусть эффективный потенциал имеет вид
Уе//{ф) = J07 (о- vf - еф2,
где А, г и е — параметры модели, принимающие положительные значения.
При каком соотношении междуг этими параметрами справедливо тонко¬
стенное приближение? Найти поверхностное натяжение и толщину стенки
в тонкостенном приближении, а также размер критического пузыря Rc:
оценить вероятность образования пузыря новой фазы внутри фазы с ф = 0
в тонкостенном приближении при температуре Т.
10.1. Типы фазовых переходов
323
Выражение (10.2) для свободной энергии пузыря, как и анализ поведения
поля вблизи его стенки, справедливы, когда толщина стенки мала по сравне¬
нию с размером пузыря R. т. е. работает тонкостенное приближение. В соот¬
ветствии с (10.3) оно действительно работает, если разность свободных энергий
AV является малым параметром по сравнению с величиной энергетического
барьера (глубиной ямы «перевёрнутого» потенциала и(ф)). В противном случае
конфигурацию критического пузыря нужно получать, находя экстремум (седло¬
вую конфигурацию) функционала свободной энергии (10.9), при этом единствен¬
ным граничным условием является ф(г —* оо) = 0. Подробности можно найти
в книге [161].
Сделаем ещё замечание о рас¬
паде ложного вакуума при нулевой
температуре. Речь идёт о моделях
со скалярным полем, в которых
скалярный потенциал (при нулевой
температуре) имеет локальный ми¬
нимум (при ό^Ο), т. е. имеет вид,
изображённый на рис. 10.8. Состо¬
яние, в котором среднее значение
поля пространственно однородно
и равно нулю, является метаста-
бильным; его называют ложным
вакуумом. Распад ложного вакуу¬
ма также происходит путём спон¬
танного образования пузырей но¬
вой фазы, однако, в отличие от сре¬
ды при конечной температуре, пу¬
зырь возникает не за счёт тепловых
флуктуаций, а в результате тун¬
нельного процесса [157, 159, 160].
Описание соответствующих туннельных переходов в квазиклассическом при¬
ближении приведено, например, в книге [161]; мы воспользуемся им в разделе
10.3. В теориях со слабой связью вероятность образования пузыря экспонен¬
циально мала,
Г ос e-const/a,
где a — малая константа связи. Наконец, в некотором диапазоне температур
возможна ситуация, когда при образовании пузыря доминирующую роль играет
комбинация тепловой флуктуации и туннельного процесса.
Рис. 10.8. Вид скалярного потенциала
с двумя невырожденными минимумами
Обсудим теперь подробнее процесс перколяции пузырей. Будем считать, что
параметры модели таковы, что рождение пузырей описывается тонкостенным
приближением. Мы увидим, что в режиме слабой связи фазовый переход про¬
исходит тогда, когда температура лишь ненамного ниже температуры Тс, при
которой глубины двух минимумов одинаковы (в разделе 10.2 эта температура
обозначается как Тс\). Тогда для разности свободных энергий старой и новой
фазы будем иметь
‘ dAV
дТ
AV =
• (Тс - Т),
324
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
и вероятность рождения пузыря в единицу времени в единице объёма парамет¬
ризуется следующим образом[158]
Г =
(Тс-Т)2
(10.14)
где
_ 16тг μ3
3 ГсЗ[%И(Гс)]2·
Для применимости дальнейшего рассмотрения требуется, чтобы параметр к был
небольшим, к < 1. Это верно для однопетлевого эффективного потенциала в ре¬
жиме слабой связи, см. раздел 10.2.
Мы увидим, что продолжительность фазового перехода мала по сравнению
с хаббловским временем. Поэтому расширением Вселенной можно пренебречь
и считать, что пространство-время описывается метрикой Минковского. В то же
время, изменением температуры со временем пренебрегать нельзя. Наоборот,
это главный эффект.
Пусть пузырь родился на временном интервале (Г,Г 4- dtt'). К моменту t
он имеет размер = u(t - t'), где и — скорость стенки пузыря (вскоре
после образования пузыря его расширение происходит в стационарном режиме
с и = const). Из-за того, что пузырь расширяется в горячей и плотной среде,
эта скорость отличается от скорости света; характерной величиной является и ~
0.1. Пусть x(t) — доля объёма, занятого старой фазой в момент t. Пренебрегая
столкновениями стенок, то есть рассматривая эпоху до перколяции, получим для
неё уравнение
rt
x{t) = 1- / лт(0-£д3(мХ0, (10.15)
Лс з
где время tc соответствует температуре Тс. Перколяция наступает при t = tp, ко¬
гда интеграл в (10.15) становится по порядку величины сравним с 1 (но всё ещё
несколько меньше 1). Для оценки этого интеграла положим x{t') = 1 в подынте¬
гральном выражении, и запишем условие перколяции в виде
/
Jtr
dir(t)-yu3(ip-i);
1.
(10.16)
Вспомним, что t = (2Н) 1 = MpJ{2T2). Интеграл в (10.16) набирается, как мы
увидим, при Т близком к Гр, и обе эти температуры близки к Тс. Поэтому
tp t
M*Pl Т-Тр
т2 тс
Перейдём в (10.16) к интегрированию по переменной
10.1. Типы фазовых переходов
325
и получим с учётом (10.14)
Видно, что перколяция происходит в режиме е тр <С 1, то есть тогда, когда темп
образования пузырей всё ещё мал. Это и означает, что (Тс — Тр) «С Тс (напомина¬
ем, что к считается не слишком большим). Последний интеграл набирается при
(тр — г) «С тр; записывая т — тр(1 — £), где ξ «С 1, мы приходим к результату
1 - x(tp)
(10.17)
Видно, что процесс роста пузырей и перколяции происходит в узком интервале
температур, определяемом соотношением
дс Ат тр
тр к
Соотношение (10.17) даёт для температуры перколяции
Т,-Т,
т„ —
Р _
к
где логарифмически большой параметр L удовлетворяет уравнению
lV- = Ли2 .
(10.18)
При решении этого уравнения можно воспользоваться главным логарифмиче¬
ским приближением6. В результате приближённо получим (главный вклад и пер¬
вая поправка)
L = 1п
и3 ак2 (
Ζ,
— 6 In 6-6 In < - In
1 6
3 . о / Мpi
илАкг 1 Hl
— 1η 6
при этом соответствующий интервал температур определяется соотноше¬
нием Ат/тр
6 Удобно положить L = 6х, привести уравнение (10.18) к виду
бхе1 =
и3Ак2
41 1/6
и воспользоваться формулами (6.18)-(6.20) и результатом задачи 2 в Главе 6.
326
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
Оцепим, наконец, размер пузыря на момент перколяции. объём одного пу¬
зыря на момент перколяции оценивается величиной η_1(ίρ), где n(t) — число
пузырей в единице объёма (все пузыри занимают, условно говоря, половину объ¬
ёма). Поступая, как раньше, запишем
Этот интеграл вычисляется так же. как интеграл в (10.16), и мы получаем
n(ip)^TXe"rf.
Выразив ехр (— ^т) = ехр(—L) с помощью (10.18), получим
, т* £9/2
~ Mpf и*к3/2
откуда находим характерный размер пузыря на момент перколяции
. _1/о, . Мр.ик1/2 тг_. /ГГ1. ик1/2
R(tp) ~ n (ip) ~ ~ψΓ Ιβ/2 = Н (Тс) £3/2 ·
Это на несколько порядков меньше хаббловского размера, поскольку скорость и
меньше 1 и логарифмический фактор велик (например, L3/2 ~ 103
при Тс ~ 100 ГэВ).
10.2 Эффективный потенциал
в однопетлевом приближении
В соответствии с (10.1) эффективный потенциал представляет собой плот¬
ность свободной энергии плазмы при условии, что среднее поле принимает зна¬
чение ф всюду в пространстве. Свободная энергия F системы связана с её энер¬
гией Е и энтропией S известным из термодинамики соотношением F = Е - TS
(напомним, что мы считаем, что химические потенциалы пренебрежимо малы),
так что для плотности свободной энергии имеем
/ = p-Ts,
(10.19)
где, как ооычно, pus — это плотность энергии и плотность энтропии соответ¬
ственно. Из раздела 5.2 мы знаем, что плотность энтропии выражается через
плотность энергии и давление,
Р + Р
Т ’
s =
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
327
поэтому плотность свободной энергии равна7
/ = ~Р-
Это выражение справедливо и при ненулевых химических потенциалах, если
под / понимать плотность большого термодинамического потенциала. Итак, для
вычисления эффективного потенциала необходимо найти давление в системе при
условии, что среднее значение поля зафиксировано равным ф во всём простран¬
стве.
В теориях со скалярными полями массы частиц зависят, вообще говоря,
от средних значений этих полей. Примером служит Стандартная модель, в кото¬
рой все частицы имеют массы исключительно благодаря взаимодействию с полем
Энглера—Браута—Хиггса. Если среднее значение этого поля зафиксировано рав¬
ным ф, то для кварков и заряженных лептонов, обозначаемых символом /. и W±-
и Ζ-бозоиов мы будем иметь
где Vf — юкавские константы, a g и д' — калибровочные константы связи (обо¬
значения и подробности см. в Приложении В). В вакууме ф = vjy/2, и мы возвра¬
щаемся к известным формулам для масс частиц (см. Приложение В), а именно:
В дальнейшем мы будем рассматривать модели именно такого типа, а пока бу¬
дем считать массы частиц зависящими каким-то образом от среднего значения
некоторого скалярного поля ф, причём будем считать для простоты это поле
единственным существенным скалярным полем в модели. Будем говорить, что
ф = 0 и ф Ф 0 соответствуют фазам с ненарушенной и нарушенной симметрией
(о какой именно симметрии идёт речь, зависит от модели).
Мы будем рассматривать теории с малыми константами связи. В этом разде¬
ле мы пренебрежём взаимодействиями между частицами в космической плазме,
т. е. будем рассматривать свободную энергию идеального газа элементарных ча¬
стиц. Тем не менее, свободная энергия этого газа нетривиально зависит от сред¬
него значения ф, поскольку от него зависят массы частиц, а следовательно, и их
вклады в давление. По причинам, которые изложены в Приложении D, при¬
ближение идеального газа при вычислении эффективного потенциала называют
однопетлевым приближением.
В этом приближении давление является суммой вклада самого однородного
поля ф и вкладов каждого типа частиц и античастиц, т. е.
'Тот факт, что среда стремится перейти в состояние с наименьшей свободной энергией, имеет
простое физическое истолкование: в этой фазе давление максимально, и достаточно большая
область этой фазы, образовавшаяся внутри фазы с меньшим давлением, будет расширяться,
«расталкивая» среду с меньшим р.
(10.20)
(10.21)
(10.22)
328
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
где V (ф) — скалярный потенциал, входящий в действие скалярного поля8
Sd> = J [δμφ3μφ-ν(φ)]ά4χ. (10.23)
Первый член в (10.22) возникает из-за того, что тензор энергии-импульса для
постоянного по времени и однородного в пространстве скалярного поля равен
Τμι/(φ) — gμι/ · У(Ф);
т. е. однородное скалярное поле вносит вклад в давление, равный
р(ф) — Тц — Т22 = Т33 = —У(ф).
Это, разумеется, — переформулировка того факта, что в пустоте свободная энер¬
гия совпадает с энергией, и её плотность равна V(ф) для однородного скалярного
поля. В дальнейшем мы будем считать, что скалярный потенциал даётся стан¬
дартным выражением
ν(Φ) = χ(?-γ),
где ν — вакуумное среднее скалярного поля при нулевой температуре, а λ —
константа самодействия, причём Л 1.
Второе слагаемое в (10.22) — это вклад среды в приближении невзаимодей¬
ствующих частиц, при этом
fi = ~Рг{Т,ГПг{ф)),
где pi(T, гПг(ф)) — вклад в давление частиц и античастиц г-го типа, масса которых
равна тп; и зависит от ф. Согласно разделу 5.1, имеем
д{ Гх k4dk 1
б71·2 Jo у/к2 + m2 e\A2+m?/T 1
(10.24)
где gi — число спиновых состояний, и введено обозначение к = верхний
знак относится к бозонам, а нижний — к фермионам. Вклады тяжёлых частиц
с ш; Т в свободную энергию экспоненциально малы, поэтому интерес пред¬
ставляет случай 777; < Т.
Интеграл (10.24) не удаётся взять аналитически. Поэтому мы проанализиру¬
ем его для частного случая высоких температур, Т пг, и используем разложе¬
ние по тп/Т (индекс г мы будем опускать, если это не будет приводить к недора¬
зумениям). Такой подход называют высокотемпературным разложением. В без¬
размерных переменных
к 777;
8 Несущественный для дальнейшего выбор коэффициента перед кинетическим слагаемым
в (10.23) сделан по аналогии со Стандартной моделью. В ней поле Энглера—Браута—Хиггса
является комплексным дублетом, кинетический член в лагранжиане которого соответствует
формуле (В.8). Связь рассматриваемого здесь поля ф с хиггсовским бозоном Стандартной мо-
,/ ч v+h(x)
дели имеет вид ф[х) = —^ '.
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
329
выражения (10.24) примут вид
г Qi грА
х4 dx 1
у/х2 + z2 e^-bz2 ψ 1
(10.25)
Нас интересует поведение этих интегралов при малых ζ.
В нулевом порядке по ζ вклады /* соответствуют давлениям свободных газов
безмассовых частиц (см. раздел 5.1); они не зависят от ф, и мы их будем опускать.
Подынтегральное выражение в (10.25) является функцией г2, и можно было бы
ожидать, что Ι(ζ) представляет собой ряд по г2. Первый член этого ряда равен
Ι(ζ) = ζ2
dl
dz2
z2=0
ζ2 ( f°° xdx f°° x2ex dx
2 V Jo e* =F 1 + Jo (e* =F l)2
(10.26)
Фигурирующие здесь интегралы конечны, так что первый нетривиальный член
высокотемпературного разложения действительно квадратичен по ζ. Выпол¬
няя интегрирование с использованием формул, приведённых в конце раздела 5.1
(при этом второе слагаемое в (10.26) удобно проинтегрировать по частям), полу¬
чаем в этом порядке
Уе//(ф) = \{ф2--
т2
+ 24
Σ 9i™%{0) + \ Σ 9ί™1{Φ)
L бозоны
фермионы
(10.27)
Это выражение приобретает особенно простой вид для моделей, в которых части¬
цы получают массы исключительно благодаря конденсату скалярного поля, т. е.
7Пг(ф) — Ηιφ, (10.28)
где hi — константы связи. Именно так обстоит дело в Стандартной модели. Ис¬
ключение составляет лишь само скалярное поле Энглера—Браута—Хиггса. Мы
сейчас увидим, что его вклад в эффективный потенциал, зависящий от ф, в рас¬
сматриваемом приближении имеет вид (10.27), (10.28) с
ghh\ = 6λ . (10.29)
Если включить в эффективный потенциал только выписанные в (10.27) слагае¬
мые, то с учётом (10.28) поведение эффективного потенциала вблизи ф = 0 имеет
вид
Уец(Ф) = + |^2) ф2 + Аф4 (10.30)
(не зависящие от ф слагаемые опущены), где
“= Σ 9ih2i+\ Σ 9ih2i (10.31)
бозоны фермионы
— положительная величина. Из (10.30) видно, что в ситуации, когда среднее
значение поля Энглера—Браута—Хиггса зафиксировано равным ф, квадрат эф¬
330
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
фективной массы бозона Хиггса (в унитарной калибровке) равен9
т^//2(0) = бЛ02-Лг;2+^Г2. (10.32)
Отсюда и из (10.27) и следует соотношение (10.29).
При низких температурах выражение (10.30) имеет минимум при ф ф 0
(симметрия нарушена), а при высоких температурах единственным минимумом
служит минимум при 0 = 0. соответствующий восстановленной симметрии. Ми¬
нимум при 0 = 0 исчезает и превращается в максимум, когда первое слагае¬
мое в (10.30) меняет знак. т. е. при температуре (смысл обозначений будет ясен
из дальнейшего)
/ Г Л \ ^2
Тс2 = 2 rf—J (10.33)
В дальнейшем, при общем обсуждении теорий с малыми константами связи мы
будем считать, что существенные константы 1ц малы и имеют порядок h 1, а
Л ~ /г2, (10.34)
так что масса скалярного бозона т/, ~ y/Xv имеет тот же порядок величины, что
массы остальных частиц, дающих заметные вклады в эффективный потенциал.
Формально соотношение (10.34) означает, что в пределе h —» 0 отношение А//?2
остаётся конечным. Это не мешает иметь А//?2 1, что требуется для возмож¬
ности изучения фазового перехода в рамках теории возмущений, см. раздел 10.4.
В рассматриваемой ситуации оценка для критической температуры имеет вид
Тс2 ~ V,
как это следует из (10.31) при не слишком большом числе типов частиц.
Отметим, что в Стандартной модели основной вклад в а дают наиболее тя¬
жёлые частицы — W=- и Ζ-бозоны, ί-кварк и бозон Хиггса, и сравнение формул
(10.28). (10.20) н (10.21) даёт
12M2v- + GД/§ -г 12т2 + Зт2
(10.35)
где имеются в виду массы при нулевой температуре. Здесь мы учли, что W~-
п И*"-бозоны вместе имеют шесть поляризаций, Ζ-бозон имеет три поляризации,
а f-кварк вместе со своей античастицей — четыре; кроме того, ί-кварк может
9Отметим, что мы здесь не обсуждаем важный и сложный вопрос о зависимости эффектив¬
ного потенциала от калибровки. Упомянем только, что хотя форма эффективного потенциала,
в том числе положение его экстремумов, зависит от калибровки, значения эффективного потен¬
циала в его экстремумах от калибровки не зависят [167]. Аналогичное утверждение справедливо
для эффективного действия — обобщения эффективного потенциала на случай фонового по¬
ля р(.т). зависящего от координат: последнее свойство гарантирует, например, независимость
от калибровки вероятности распада ложного вакуума. Вопрос о проявлении калибровочной за¬
висимости эффективного потенциала в конкретных вычислениях рассматривается, например,
в [168].
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
331
находиться в трёх состояниях по цвету. Вспоминая ещё. что масса бозона Хиггса
в вакууме равна
rrih — \/2λν,
получаем следующее однопетлевое выражение для критической температуры Тс2
в Стандартной модели:
ТС2 =
4ml
4М{у + 2М| + 4т2 4- τη}
1/2
ν = 146 ГэВ
(10.36)
(напомним, что Mw = 80,4 ГэВ, Mz = 91,2 ГэВ, mt ~ 173 ГэВ, mh = 126 ГэВ,
ν = 246 ГэВ, см. Приложение В). Как мы уже говорили, в Стандартной модели
теория возмущений неприменима для описания электрослабого перехода, поэто¬
му величину (10.36) следует воспринимать как приближённую оценку для обла¬
сти температур, в которой происходит переход. Более точные численные расчёты
дают для температуры перехода Тс = 159 ГэВ [182].
Если бы высокотемпературное разложение интегралов (10.24) действительно
представляло собой ряд по ζ2 = тп2(ф)/Т2, то можно было бы заключить, что мы
имеем дело с фазовым переходом II рода: поправки четвёртого и более высоких
порядков по ф малы по сравнению с членами, выписанными в (10.30) (см. ниже),
а положение минимума выражения (10.30) плавно меняется в сторону больших ф,
начиная с ф = 0, при уменьшении температуры от Тс2 до нуля, так что поведение
выражения (10.30) соответствует правой половине рис. 10.3. Однако на самом
деле интегралы (10.24) не аналитичны по ζ2, и однопетлевой эффективный по¬
тенциал в действительности соответствует фазовому переходу I рода. Отсутствие
аналитичности видно из поведения вкладов в интегралы (10.25) из области ма¬
лых импульсов к «С Т. т. е. х <С 1 (инфракрасная область). При малых г их
разложение экспоненты в подынтегральных выражениях даёт
7(/я) =
ГА х4 dx
JQ X2 + 22
I{IR) =
1 ГА X4 dx
2 Jo у/х2 + 22
— бозоны:
— ферхмионы,
(10.37)
где Λ < 1 - фиктивный параметр, ограничивающий инфракрасную область.
Формальное разложение подынтегральных выражений в этих формулах по ζ2
привело бы в порядке 2 4 к вкладам типа
ζ
4
dx
— бозоны;
iA dx
Jo х
фермионы,
Первый из них расходится на нижнем пределе интегрирования линейно, а вто¬
рой — логарифмически. Поэтому можно ожидать, что помимо вычисленного вы¬
ше вклада порядка ζ2 бозоны дают вклад порядка 23, а фермионы вклад по¬
рядка г4 In 2. Вклады последнего типа соответствуют членам в эффективном по¬
тенциале, имеющим вид
m-(©)ln^ = /ι404 1η^.
(10.38)
332
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
В режиме слабой связи они малоинтересны с точки зрения изучения фазово¬
го перехода при конечных температурах (см., однако, раздел 10.3), поскольку
при Л » hf (что выполняется в силу нашего предположения (10.34)) они малы
по сравнению с членом ХфА, происходяицш из скалярного потенциала V’ (©). На¬
оборот, члены порядка z3 существенны для описания фазового перехода: именно
благодаря этим членам переход (в рамках однопетлевого приближения) является
переходом I рода.
Для вычисления члена порядка z3 в бозонном интеграле /_ разобьём этот
интеграл на две части, введя фиктивный параметр Л,
т _ [ х dх 1 j{IR)
Ja Vx2 + z2 — 1
Первое слагаемое здесь аналитично по г2, а во втором слагаемом можно разло¬
жить экспоненту и ограничиться членом (10.37), т. е. записать
I(-R)=L wh-
Первое слагаемое в этом выражении снова аналитично по г2, а второе даёт ин¬
тересующий нас вклад порядка z3.
В результате эффективный потенциал в однопетлевом приближении имеет вид
Уе//(Ф) = х(ф2 - у) +^( Σ 9*™?{ф) + ~ Σ 9ί™ί(Φ)) -
' ' ' бозоны фермионы /
Σ 9М{ф) + о(т3{ф)\п7-^^-\
бозоны ' ^
В моделях, где массы частиц связаны со средним значением скалярного поля
соотношением (10.28), это выражение переписывается в виде
УС//(Ф) = ^(г2 - г;Ъ)Ф2 - ίΤΦ3 + λφ4. (10.39)
где параметр 7 положителен и равен10
.-έΣ*ί-|Σ.β
(10.40)
а остальные обозначения введены в (10.31) и (10.33).
10Квадрат эффективной массы бозона Хиггса 2 = α·(Τ2—Τ’2,)/24 мал вблизи температу¬
ры фазового перехода, поэтому сам бозон Хиггса даёт пренебрежимо малый вклад в кубичную
часть эффективного потенциала, то есть в параметр 7. Кроме того, временные компоненты ка¬
либровочных полей имеют дебаевскую массу тр ~ дТ 2> дФс· см. (10.46), поэтому их вклад в 7
также отсутствует: для каждого из калибровочных полей в формуле (10.40) следует положить
£/, = 2 (а не д{ = 3 как в формуле (10.31)).
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
333
> Задача 3. Вычислить слагаемые порядка фА In(ф/Т) в высокотемператур¬
ном разложении эффективного потенциала, используя соотношение (10.28).
Показать, что при Л ~ h? и hi 1 эти слагаемые малы по сравнению с вы¬
писанными в (10.39) во всей интересучощей нас области изменения ф, т. е.
0 < φ<ν.
Поведение эффективного потенциала (10.39) как функции температуры со¬
ответствует левой половине рис. 10.3, т. е. фазовому переходу I рода. Экстремумы
эффективного потенциала определяются уравнением
^ (г2 - 1%)ф - 3ΊΤφ2 + 4\ф3 = 0. (10.41)
При температуре Тсо такой, что
972Тсо = ^(Гс20-ТсУ,
у эффективного потенциала появляются два экстремума при ф ф 0 — минимум
и максимум. Видно, что эта температура лишь ненамного превышает ТС2‘. при
Л ~ /г2 справедливы оценки 7 ~ /г3, αλ h4, так что
Г|0-Гс| 277г 2
Ί% ~ 4аА ~ П
Из-за малого отличия Т от Тс2 в интересной области температур можно заме¬
нить Т на Тс2 во втором слагаемом в (10.41). Существенно, что второй минимум
эффективного потенциала (если ф = 0 считать первым минимумом) появляется
при отличном от нуля ф = Фс(Тсо):
Фсо = Фс(Гсо) = ^Тс0. (10.43)
С понижением температуры второй минимум становится глубже, эффективный
потенциал в этом минимуме сравнивается с эффективным потенциалом в мини¬
муме ό = 0 при температуре Тс\, причём выполняется как уравнение (10.41), так
и уравнение11 Уе// = 0. Решение этих двух уравнений даёт первую критическую
температуру Т&,
Т^-1% б72
αλ'
и положение второго минимума при этой температуре
$С1 =Фс(Гс1) = 3-Тс1. (10.44)
11 Напомним, что мы отбросили не зависящие от ф слагаемые в эффективном потенциале, т. е.
отсчитываем его от значения в фазе ф = 0.
334
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
С учётом (10.40) в пределе слабой связи, h <Cl, это значение гораздо меньше
критической температуры, ФС(ТС\) ~ hTc\. При дальнейшем понижении темпе¬
ратуры до второй критической температуры Тс2 минимум эффективного потен¬
циала при ф — 0 пропадает и превращается в максимум. В этот момент второй
минимум находится при
Фй = ФсСГс2) = ^Тс2. (10.45)
Таким образом, изменение однопетлевого эффективного потенциала, изображён¬
ное на рис. 10.3 слева, происходит в теориях с малыми константами связи в узком
интервале температур вблизи критической температуры (10.33). Тс2 <Т< Тсо,
где Тсо определяется соотношением (10.42). При этом сразу после фазового пе¬
рехода среднее значение скалярного поля значительно меньше его вакуумного
среднего.
Фс ~ ~Т’С2 ~ hTc2 ~ hv «С v. (10.46)
Л
Отметим, что условие применимости высокотемпературного разложения фор¬
мально выполняется в теориях со слабой связью, поскольку
и?;(Ф) = /?гФ ~ h2TC2 «С Тс2-
Ещё одно замечание касается скрытой теплоты фазового перехода. При Т =
Тс2 значение эффективного потенциала в минимуме (10.45), отсчитанное от его
значения при 0 = 0. равно
\'еП{Тс2,Фс(Тс2)) =
Это значение (с обратным знаком) определяет максимальную скрытую теплоту
перехода, которая по порядку величины равна
-V,!! ~ ЛбГс42 « Гс42. (10.47)
Таким образом, в результате фазового перехода выделяется мало энергии по срав¬
нению с энергией частиц в плазме, плотность которой по порядку величины равна
Т*. В результате фазового перехода космическая плазма подогревается слабо.
Приведём оценку поверхностного натяжения стенки пузыря новой фазы в ста¬
рой. При температуре Тс\ эффективный потенциал имеет вид
vei, = \ <?(φ-1τύ)\
Модифицируя выражение в (10.13) с учётом вида кинетического члена в (10.23),
получим
/•фс1 /Т -,з
" = 21 '^‘'*=24^·
Наконец, для производной разности эффективных потенциалов в ненарушенной
и нарушенной фазах можно записать (учитываем, что Veff(o = 0) = 0)
d&v = ЭУ(Фе) ЭФ, ___ дУ{Фс) ЭУ(Фс) а-,2 ( 6-,2 λ з
dT ' cL ОФс ОТ ' дТ дТ 48λ2 V αλ) с1‘
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
335
Отсюда следует выражение для параметра к. фигурирующего в (10.14),
8тг т*
9 У/2с? (1-%У
В рассматриваемом случае a ~ h2, Л ~ h2. η ~ h3 имеем к. ~ Л4, то есть пара¬
метр к мал в режиме слабой связи. Мы использовали этот факт в разделе 10.1.
> Задача 4. Дать оценки критических температур, значений поля в миниму¬
ме эффективного потенциала, скрытой теплоты перехода и поверхностного
натяжения пузыря новой фазы в режиме слабой связи, считая калибро¬
вочные и юкавские константы величинами порядка h. а константу само-
действия скалярного поля — величиной третьего порядка малости, Л ~ h3.
Высокотемпературное разложение интегралов (10.24) заведомо работает при
малых значениях ф. Поэтому сделанный на его основе вывод о том. что в рамках
использованного в этом разделе однопетлевого приближения фазовый переход
является переходом I рода, с этой точки зрения обоснован. В то же время, для
однопетлевого вычисления критических температур Тсо и Тс\. средних значений
Фс0. ФС1, ФС2 и других характеристик фазового перехода использование высо¬
котемпературного разложения отнюдь не обязательно. Интегралы (10.24) доста¬
точно просто вычислить численно, и таким образом найти точный однопетлевой
эффективный потенциал. В качестве примера мы приводим на рис. 10.9, 10.10
соответствующие графики для модели, совпадающей со Стандартной моделью
во всём, кроме массы хиггсовского бозона. Видно, что при ф < Т полученные с ис¬
пользованием высокотемпературного разложения результаты для эффективного
потенциала с разумной точностью согласуются с точным однопетлевым вычис¬
лением. В то же время, резутьтаты для ряда характеристик фазового перехода
совпадают лишь качественно, по порядку величины (см. рис. 10.11).
Для аналитических оценок этих характеристик оказываются важными опу¬
щенные нами старшие по m/Т поправки. Действительно, отношения Фс{Тс\)/ТС1
п ФДХД)/Тс2 обратно пропорциональны коэффициенту при о4 в эффективном
потенциале (см. формулы (10.44), (10.45)), а именно этот коэффициент полу¬
чает заметный вклад при учёте опущенных нами следующих членов разложе¬
ния (10.38).
> Задача 5. В рамках высокотемпературного разложения вычислить величи¬
ны Фc{Tci)/Tci и ФС{ТС2)/ТС2 с учётом вкладов вида (10.38). Убедиться,
что полученные результаты лучше согласуются с точными численными
результа та ми.
336
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
У(ф, Т)
·»:
50 100 150 200 250 300
Ф, ГэВ
ν(Φ, Т)
4
mh
/
/
о,б: /
0,4 Г = 70 ГэВ
20 40 60 80 100 120 140
ф, ГэВ
УЧФ, г) ν(φ, т)
4 4
mh mh
ф, ГэВ
У(Ф, т) ν(φ, т)
Рис. 10.9. Эффективные однопетлевые потенциалы при разных значениях
температуры Т, полученные численно (сплошные линии) и аналитически с ис-
пользовапием высокотемпературного разложения (пунктирные линии). Модель
совпадает со Стандартной моде.аыо во всём, кроме массы хиггсовского бозона;
здесь она выбрана равной mh — 50 ГэВ. Следует обратить внимание на разли¬
чия в масштабах по осям для разных температур
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
337
С ν(φ, Т)
г) ν(φ, Т)
4 Л
Рис. 10.10. То же, что и на рис. 10.9. но для массы хиггсовского бозона тщ, =
150 ГэВ.
Гораздо более серьёзным вопросом является вопрос о применимости самого
однопетлевого приближения и, говоря шире, о применимости теории возмущений
по константам связи при конечных температурах. Обсуждению этих вопросов по¬
свящён раздел 10.4. Результат состоит, в частности, в том, что в Стандартной
модели с ть = 126 ГэВ теория возмущений неприменима в области температур
и значений поля Энглера—Браута—Хиггса, существенной с точки зрения элек-
338
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
Фс(Ге1)
тс 1
Ф с(Тс2)
тс2
2.5
3.5
0.5
1.5
2
3
1
25 50 75 100 125 150
mh
25 50 75 100 125 150
mh
Рис. 10.11. Сравнение численных результатов (чёрные линии) с аналити¬
ческими результатами, полученными с использование^^· высокотелтературно-
го разложения (серые линии) для однопетлевых величин: a) Qc{Tci)/Tc\ и Ь)
$с{Тс2)/ТС2 при различных массах бозона Хиггса mh· Модель та же. что
на рис. 10.9. 10.10.
трослабого перехода. Как мы уже говорили, вместо фазового перехода в Стан¬
дартной модели имеет место гладкий кроссовер.
В заключение этого раздела продемонстрируем на простом примере, что
Стандартная модель может быть расширена таким образом, что электрослабый
переход станет фазовым переходом первого рода [163]. Идея состоит в том. что
электрослабый переход может происходить не из состояния с нулевыми конден¬
сатами, а из состояния с ненулевым средним некоторого нового скалярного поля.
Это состояние может быть отделено барьером от состояния с нарушенной элек-
трослабой симметрией, что и приводит к фазовому переходу первого рода.
Простейшая реализация состоит в добавлении в Стандартную модель дей¬
ствительного скалярного поля s — синглета относительно калибровочной группы
Стандартной модели. Потребуем для простоты инвариантности действия отно¬
сительно преобразований s —* — s. тогда единственно возможными дополнитель¬
ными перенормируемыми слагаемыми в лагранжиане будут
где Н — поле Энгл ера—Браута—Хиггса Стандартной модели. λ5 и >с — безразмер¬
ные константы связи, vs — новый параметр размерности массы. Таким образом,
скалярный потенциал модели при нулевой температуре имеет вид
где первое слагаемое — скалярный потенциал Стандартной модели. Потенциал
10.2. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении
339
V(H,s) имеет эксремумы в точках
II
^23
Со
II
о
(10.49)
и
Я = 0, s = vs.
(10.50)
Наложим на параметры модели условия
Xv2 > XV2,
(10.51а)
х2 > ЛЛ5.
(10.51Ь)
Тогда других ненулевых экстремумов потенциал (10.48) не имеет, экстремум
(10.50) неустойчив (седловая точка потенциала), а обычный экстремум Стан¬
дартной модели (10.49) — единственный минимум.
£> Задача 6. Доказать сделанные утверждения. Проверить, что условия (10.51)
обеспечивают устойчивость вакуума (10.49).
Рассмотрим теперь однопетлевой эффективный потенциал при конечных
температурах. Для нас достаточно будет учесть только квадратичные по тем¬
пературе вклады, и рассмотреть эффективный потенциал вдоль направлений
(Я ф 0,s = 0) и (Я = O.s Ф 0). Квадратичные по температуре вклады дают¬
ся общим выражением — вторым слагаемым в (10.27). При (Я ф 0, s = 0) кроме
И/=, Ζ-бозонов и t-кварка нужно учесть ещё хиггсовский бозон и s-бозон. Удобно
использовать канонически нормированное поле
χ = у/2ф = у/2\Н\.
В его терминах квадрат массы хиггсовского бозона при χ ф 0, s = 0 равен
mh = = 3λχ2 + ■ · ·, (10.52)
где не выписаны слагаемые12, не зависящие от χ. Для s-бозона имеем
ml = χχ2, (10.53)
где также опущены не зависящие от χ вклады. В результате квадратичный по тем¬
пературе вклад в эффективный потенциал вдоль направления (χ ф 0. s = 0)
равен
ΔΓ.// = (10.54)
где
ах = (9<?2 + 3g'2 + 12у2 + 12Л + 4х) .
12Как видно из (10.54), они включают в себя слагаемое, пропорциональное Т~ и обеспечи¬
вающее положительность массы в интересующей нас области значений χ вблизи минимумов
эффективного потенциала.
340
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
Первые четыре слагаемые в этом выражении приводят к вкладу в эффективный
потенциал, совпадающему с выражениями, фигурирующими в (10.30), (10.35),
а последнее соответствует (10.53). Отметим, что не выписанные в (10.52) слага¬
емые не дают вкладов в AVeff, зависящих от χ. Итак, эффективный потенциал
вдоль направления (χ ф 0, s = 0) имеет вид
— критическая температура для этого направления, и мы нормировали потен¬
циал так, что Vefj(0,0) = 0.
При вычислении эффективного потенциала вдоль направления (χ = 0, s ф 0)
учтём, что при s ф 0 имеется четыре бозона, входящих в комплексный дублет Н,
для каждого из которых т2н = xs2, а для s-бозона т2 = ЗАSs2 -1- Остальные
частицы масс не приобретают. Отсюда
Благодаря большой массе t-кварка, т. е. большому значению yt, это условие
не очень ограничительно. Например, можно выбрать Xs & А, κ « A, vs и v
(но так, чтобы неравенства (10.51), были выполнены), тогда
Видно, что неравенствам (10.51), (10.56) можно удовлетворить без сильной под¬
стройки параметров.
При выполнении условия (10.56) среда сначала (при температуре Т % Ts)
переходит в состояние с χ = 0. s Ф 0. При понижении температуры до Т и
появляется второй минимум эффективного потенциала с χ Ф 0, s = 0. Средние
поля в двух сосуществующих минимумах и их глубины равны
Veffix, 3 = 0) = \αχ(Τ2 - Τχ)χ2 + ^χ4,
(10.55)
где
где
Подберём параметры так, чтобы выполнялось
Ts > Тх.
(10.56)
Т2 _ 9д2 + Ъд'2 -Ь 12у^ + 16А
Τχ ~ 28А
s =
10.3. Электрослабый вакуум при нулевой температуре
341
и
Минимум с х ф 0, s = О сравнивается по глубине с минимумом с χ = 0, s ф 0 при
При температуре ниже Тс минимум с χ ф 0, s = 0 становится глубже, и проис¬
ходит фазовый переход первого рода. При этом в достаточно широкой области
значений параметров х{Тс) не мало по сравнению с температурой, что обеспечи¬
вает применимость использованной нами теории возмущений, см. в связи с этим
раздел 10.4.
о Задача 7. Пусть для простоты х = Xs. Найти область значений парамет¬
ров As и vs/v. в которой выполнены условия (10.51) (10.56) и, кроме того.
х{Тс) > Тс. Отметим, что модели, в которых выполнено последнее нера¬
венство. представляют особый интерес с точки зрения электрослабого ба-
риогенезиса. см. раздел 11.5.
> Задача 8. Найти область значений параметров модели, в которой выполне¬
ны условия (10.51) (10.56), х(Тс) > Тс, а кроме того, скаляр s составляет
компоненту тёмной материи, см. задачу 4 в главе 9. Может ли вся тёмная
материя состоять из скаляров s ?
В этом разделе мы отвлечемся от теории ранней Вселенной и рассмотрим
одно из свойств Стандартной модели при нулевой температуре.
Учёт квантовых поправок, вообще говоря, изменяет вид классического (дре¬
весного) скалярного потенциала [170]. Это имеет место и для потенциала скаляр¬
ного поля Энглера—Браута—Хиггса, причём если ограничиться рассмотрением
вопроса исключительно в рамках Стандартной модели физики частиц13, то ре¬
зультат оказывается весьма нетривиальным: вполне вероятно, что при больших
значениях поля ф 100 ГэВ у потенциала появляется минимум, расположен¬
ный существенно ниже «нашего» электрослабого минимума, так что Вселенная
сегодня пребывает в ложном вакууме.
Эффективный потенциал с учётом квантовых поправок в однопетлевом при¬
ближении можно получить, исходя из формулы (10.22), а вклады разных ча-
13 Это - довольно сильное предположение, означающее, в частности, что новая физика, от¬
ветственная за нейтринные осцилляции, тёмную материю и барионную асимметрию Вселен¬
ной, не изменяет вид скалярного потенциала поля Энглера—Браута—Хиггса и не даёт сколько-
нибудь заметных квантовых поправок к параметрам Стандартной модели при высоких энер¬
т2 = т2 =
10.3 * Электрослабый вакуум
при нулевой температуре
гиях.
342
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
стиц в энергию при нулевой температуре вычислены в разделе D.4 (см. фор¬
мулы (D.42), (D.45)),
МТ = О, ф) = ±| J ^ + т?(ф), (10.57)
где положительный (отрицательный) знак относится к случаю бозонов (ферми¬
онов), a gi, как обычно, обозначает число внутренних степеней свободы частицы
(здесь учтено, что для каждого дираковского фермиона gi = 4). Интеграл (10.57)
расходится при интегрировании по большим импульсам. Это довольно общая
ситуация в квантовой теории поля, где устранение ультрафиолетовых расходи¬
мостей достигается путём регуляризации расходящихся интегралов, переопреде¬
ления (перенормировки) параметров «затравочного» классического (древесного)
лагранжиана и последующего снятия регуляризации. Именно новые (перенор¬
мированные) параметры имеют физический смысл и определяют наблюдаемые
величины. Подробности можно найти в литературе по квантовой теории поля,
см. например [247, 248, 249].
В нашем случае можно регуляризовать интеграл (10.57), ограничив интегри¬
рование областью импульсов |р| < Ацу. Такой метод носит название регуляриза¬
ции обрезанием. Воспользовавшись нм, получим
f , 9i
fi ~ =4^
Άπ·
ρ| rf|pl ν ΙρΙ2 + ™*{Φ)
(10.58a)
= ±Ι^(α^+λ^(*) + ^
1η оУ + \ ) + °(1/Лш/)
ιυν
(10.58b)
В перенормируемых теориях затравочный (древесный) скалярный потенциал —
полином четвёртого порядка
Vr^0^(0) = Рд ^ + С^ф + 77?2 «V + Сз°^ф'3 + Х^ф4-
Параметры р^, т2^°К не зависят от ф (как и параметры с^0]) и имеют
смысл затравочной космологической постоянной, затравочного массового пара¬
метра и затравочной константы самодействия скалярного поля о. В Стандартной
(0) (0) О
модели линейный и куоичныи члены с параметрами с\ и С3 отсутствуют. В пе¬
ренормируемых теориях квадрат массы т2(Ф). фигурирующий в (10.58Ь), пред¬
ставляет собой полином не выше второго порядка по ф. поэтому эффективный
потенциал с учётом однопетлевых поправок имеет, вообще говоря, следующую
структуру
V = V'(0) + Y^fi = + Vdiv + Н(1).
где
T-r/it- . 9i /.4 , л7 ο. . ίη1(°) Λ /'
V = L· ±Ϊ6Ϊ2 (·Λΐ'ν + ЛЕ-„-т-(с) + — 11η
?· \ \
= δρ\ + (5ci · φ + δηι2 ■ φ2 + δϋ3 ■ ο3 + δΧ· φΛ
1
4Λ&ν + 2
(10.59a)
(10.59b)
10.3. Электрослабый вакуум при нулевой температуре
343
— ультрафиолетово расходящаяся часть с параметрами δρ\,..., όλ, зависящими
от Αυν (в Стандартной модели второе и четвёртое слагаемое в (10.59Ь) вновь
отсутствуют), и
— слагаемое, конечное в пределе снятия регуляризации14 Αυν оо. Отметим,
что мы ввели произвольный массовый параметр μ. являющийся масштабом пе¬
ренормировки. Он входит как в выражения для δρ\, dm2. δλ. <5ci.3, так и в У^1).
Физические результаты от него зависеть не должны.
Определим перенормированные параметры
τη2(μ) = 7?г2^ + δτη2
λ(μ) = Л(°) + δλ
(и аналогично для р\ и С1.3) и будем считать, что в пределе Αυν —» ос они остают¬
ся конечными (затравочные параметры, разумеется, в этом пределе расходятся).
В этом и состоит перенормировка теории на уровне однопетлевого эффективного
потенциала: перенормированный эффективный потенциал
V = рд(ц) + ci (μ)© + ιη2{μ)φ2 + Сз (μ)©3 + Λ(μ)<£>4 + У(1)
конечен в пределе снятия регуляризации. При этом в однопетлевом приближении
нужно считать, что параметры, входящие в У^1), являются перенормированны¬
ми: различие между затравочными и перенормированными параметрами в
проявилось бы в следующем, двухпетлевом приближении.
Нас интересует поведение эффективного потенциала при больших значениях
поля ф. В этой области имеем
П0) = ао«)*<+5>*# ,пдМ
*—7* ο47Γ^ μΔ
(10.60)
Несмотря на присутствие в этой формуле масштаба нормировки μ. однопетлевой
эффективный потенциал от этого параметра не зависит: изменение величины μ
во втором слагаемом компенсируется изменением константы самодействия в пер¬
вом. Это — простейшее проявление инвариантности относительно ренормализа-
циопной группы (ренормгруппы).
Поскольку массы частиц пропорциональны константам их связи со скаляр¬
ным полем, второе слагаемое в (10.60) приводит к поправкам в скалярный по¬
тенциал, пропорциональным этим константам: чем больше масса частицы, тем
больше константа и тем больше величина поправки. Для Стандартной модели
14Отметим, что имеется произвол в отнесении конечных в пределе Aυν —^■ ос полиномиаль¬
ных вкладов со структурой (10.59Ь) к \'dtv или У1). Этот произвол соответствует произволу
в выборе схемы перенормировки.
344
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
основной вклад дают ί-кварк, Ζ- и 1У±-бозоны, а также бозон Хиггса (самодей-
ствие). В лидирующем по полю ф порядке найдём в калибровке Ландау10
У(ф) = Хф4 +
+
зМ%{Ф) 1ηΜΐ(ό) ^ Ш^{ф) ^ Μ2ν{φ) 12тпЦф) ^ гп1(ф)
64тг2
36А2©4
μ4
+
64тг2 μ*
12\2ώΑ , 2Χό2
In
In —τ- +
64π2
1η
μ*
+
1η
(10.61)
64ττ2 μ2 ‘ 64π2 μ*
где массы частиц зависят от величины поля в соответствии с формулами (10.20).
Последние два слагаемых в (10.61) обусловлены вкладом самого скалярного
поля. Поясним способ их получения. Разложим поле Энглера—Браута—Хиггса
иа фоновую часть ф и квантовую часть:
Я =
0\_1(&+Ф
Ф ) у/2 V h +
= Ф + φ.
Квадратичная часть кинетического члена в лагранжиане этого поля имеет вид
1 3 1
(ОдЯ)1 D„H = - (d„h f+YI - (ο„ξα)2-&Αμθμφ+δμφ*ΑμΦ+Φ*ΑμΑμΦ, (10.62)
α= 1
где мы несколько условно записали Ομ = δμ + Αμ с антиэрмитовым матричным
полем Αμ. Последнее слагаемое в (10.62) представляет собой массовый член \\г±-
и Ζ-бозонов и для нас сейчас неинтересно. Выделенность калибровки Ландау
δμΑμ = 0 состоит в том, что перекрестные члены (третий и четвёртый в правой
части(10.62)) исчезают в действии после интегрирования по частям, и поля h
и ξα имеют канонические кинетические члены. При больших значениях фонового
поля ф древесный скалярный потенциал вплоть до членов второго порядка по h
и ξα равен16
А(Я1Я)2 = А©4 +
тЦф)
λ2+Σ
mi
М,2
■> ζα ■
α = 1
где
т2(ф) = 6А ф2, πΐξα(φ) = 2λ©2.
Подставляя эти массы в общую формулу (10.60), мы и получаем вторую
строку в (10.61).
Однопетлевой эффективный потенциал (10.61) можно представить в виде
К(ф) = λ(μ)©4 +
3 Mg т бЛ/ц,- — 12т4 + Зт£
16π2Γ4
(10.63)
1ϋΒ этом месте наш анализ отличается от проведённого в разделе 10.2, где использовалась
унитарная калибровка. Эта тонкость, однако, существенной роли не играет.
16Линейный по h член в потенциале не даёт вклада в действие, поскольку среднее значение
поля Энглера—Браута—Хиггса зафиксировано, так что f d4x h(x) — 0.
10.3. Электрослабый ваку}гм при нулевой температуре
345
где поправка выписана в главном логарифмическом приближении, а константы
связи выражены через вакуумные значения масс частиц. Из-за большой мас¬
сы ί-кварка второе слагаемое здесь отрицательно, и при больших значениях ф
эффективный потенциал становится отрицательным. Таким образом, в рамках
однопетлевого приближения «наш» вакуум ф = v/y/2 является метастабильным,
а не абсолютно стабильным.
Однопетлевого приближения, однако, недостаточно для решения вопроса
о стабильности вакуума ф = v/y/2. Полагая в (10.63) μ2 = ν2/2, и учитывая,
что с точностью до малых поправок λ\μ=ν/^/2 = 'mfl/2v2 = 0.13, найдём, что од¬
нопетлевой эффективный потенциал (10.63) отрицателен при ф > 10° ГэВ. При
столь больших полях становятся существенными высшие поправки. Их учёт про¬
изводится следующим образом. Выберем в (10.63) μ = ф, тогда эффективный
потенциал будет иметь вид
У(ф) = \{ф)ф4.
В таком виде поведение потенциала определяется поведением эффективной кон¬
станты самодействия1' Λ(©). В частности, потенциал становится отрицательным
при изменении знака этой константы, а достигает экстремума при некотором
большом ф = ©*, когда выполняется условие άΧ(μ)/ά\ημ + 4Λ ~ 0 при μ = ф*.
В общем случае «константа» Α(μ) вместе с другими «константами» теории
удовлетворяет уравнениям ренормгруппы. Учёт высших поправок теперь сводит¬
ся к нахождению ренормгрупповых коэффициентов в достаточно высоких поряд¬
ках теории возмущений и решению соответствующих ренормгрупповых уравне¬
ний. Поведение константы самодействия λ(μ) с учётом трёхпетлевых поправок
проиллюстрировано на рис. 10.12 (слева). Для центральных значений параметров
Стандартной модели константа самодействия становится отрицательной для по¬
лей ф > 1011 ГэВ. Это говорит о метастабильности «нашего» вакуума. Ситуация
здесь ещё не является однозначной: как видно из графика на рис. 10.12, неопре-
делённости в измерении значений констант связи на электрослабом масштабе до¬
пускают в рамках доверительного интервала 3σ стабильность «нашего» вакуума
и отсутствие другого вакуума. Если при некотором ώ* потенциал поля Энглера—
Браута—Хиггса всё-таки становится отрицательным, то это существенно ограни¬
чивает возможные динамические процессы в ранней Вселенной, когда плотность
энергии и значения скалярных полей могли быть велики. А именно, невозможна
ситуация, при которой величина этого поля превышает ф*, ведь тогда поле так
и осталось бы в «неэлектрослабом» вакууме. В частности, если в ранней Все¬
ленной до горячей стадии была инфляция, то поле Энглера—Браута—Хиггса
приобретает ненулевую величину порядка параметра Хаббла Hinf инфляцион¬
ной эпохи. Поэтому должно выполняться условие ф* < Hinf, дающее модельно
независимое ограничение на энергетический масштаб инфляционной динамики.
Отметим, что при больших значенииях поля ф ~ 109 — 1022 ГэВ (пренебрегая
гравитацией) наблюдается выполаживание константы самодействия скалярнного
поля вблизи нулевой величины, при этом остальные константы взаимодействий
Стандартной модели такого поведения не демонстрируют, см. рис. 10.12 (спра-
1' Мы опускаем здесь тонкость, связанную с наличием аномальной размерности у поля ф.
346
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
102 10* 10® 108 Ю10 1012 1014 1016 10!3 1020
Масштаб нормировки
Масштаб нормировки
Рис. 10.12. (Цветную версию рисунка см. на вклейке, стр. 600.) Сле¬
ва: Эволюция эффективной константы самодействия поля Энглера—Браута—
Хиггса в трёхпетлевом приближении в рамках Стандартной модели. Справа:
Эволюция основных констант взаимодействия Стандартной модели [1Ί1]
ва). Это может служить указанием на объединение физики частиц и гравитации
на высоких масштабах, детали которого пока неизвестны. Действительно, зна¬
чения констант связи Стандартной модели — в данном случае основными явля¬
ются константа скалярного самодействия (или масса бозона Хиггса) и юкавская
константа ί-кварка (масса ί-кварка) — оказались весьма специальными. А имен¬
но: электрослабый вакуум ложный, но стабилен на космологических масштабах,
константы связи остаются небольшими (находятся в пертурбативной области)
вплоть до планковских энергий, см. рис. 10.13.
Поскольку электрослабый вакуум ф = v/y/2 является, вероятно, метаста-
бильным (ложным), представляет несомненный интерес оценить его время жиз¬
ни. В общем случае вероятность туннелирования в единицу времени в единице
объёма определяется величиной
dP _ e-s^]
dtdV ~ RAC
(10.64)
где S[i?c] — величина евклидова действия на туннельном решении, Rc — размер
этого решения, см. подробности в книге [161]. Само туннельное решение пред¬
ставляет собой экстремум евклидова действия
+ У{ф) ,
где У(ф) — эффективный потенциал, суммирование по индексу μ производится
с евклидовой метрикой. Этот экстремум удовлетворяет евклидовому уравнению
10.3. Электрослабый вакуум при нулевой температуре
347
180
0 50 -СО 150 2С0
Масса бозона Хиггса Mh (ГэВ)
- Нестабиль¬
ность
0-
178
|- £ 176
2f
I 174
8 172
Έ.
Метаст'абшьнесть -;. -
■’ :Д-*ю,э
170
.1 "-
10ί0-ί
’’ JO11’
.-'"’ιΗ
_.·[.ΙΟη
-■
Стабильность
168
120
122 124 126 128 130 132
Масса бозона Хиггса Mh (ГэВ)
Рис. 10.13. Слева: Области сильной связи, стабильного, нестабильного и ме-
тастабилъного вакуумов в Стандартной людели. Чёрные точки и подписи
к ним обозначают величину скалярного поля, при которой возникает неста¬
бильность (константа салюдействия становится отрицательной). Справа:
Подробнее представлена область, заключённая внутри прялюуголъника на ле-
вол1 рисунке. Она предпочтительна с точки зрения современных изльерений па-
ральетров Стандартной людели, представлены области с доверительнылш ин¬
тервалами 1σ, 2σ, 3σ [171J
с граничным условием
ό(|χ| —»· оо) — ώ_,
где ф_ — значение поля в ложном вакууме.
Поскольку в Стандартной модели речь идёт об очень больших полях, мы
сделаем соответствующую оценку, пренебрегая массовым членом поля ф. Кро¬
ме того, для нахождения решения мы пренебрежём слабой (логарифмической)
зависимостью константы самодействия от поля ф, то есть положим
У{ф) = — | Л | ф4 (10.66)
с Л = λ(μ) = const. Тогда уравнение (10.65) принимает простой вид
δμδμφ + 2|λ|ό3 = 0, (10.67)
а граничным условием для него служит <р(|т| —» оо) = 0. Из уравнения (10.67)
видно, что решение параметрически ведёт себя как ф ос |Л|-1/2, поэтому действие
на нём с точностью до константы равно 5 = const/[Л|.
Для определения величины константы требуется найти решение нелиней¬
ного уравнения (10.67) с необходимым граничным условием. Таким решением
348
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
является [169]
Ф =
2 Rc
уДЦ x2 + RV
(10.68)
где х2 = χμχμ, Rc — произвольный размер, а значение константы самодействия Л
следует вычислить на масштабе энергий μ ~ R~1. Евклидово действие на реше¬
нии (10.68) равно
ЗД = щ|· (10.69)
Без учёта зависимости Л от энергетического масштаба теория с потенциалом
(10.66) масштабно-инвариантна, и именно поэтому размер Rc туннельного ре¬
шения произволен. Для его определения следует найти максимум вероятности
туннелирования (10.64), что с учётом её экспоненциальной зависимости от кон¬
станты самодействия скалярного поля означает нахождение максимума |Л|, то
есть решение уравнения ά\/άμ{μ = R~*) = 0.
Согласно рис. 10.12, значения |λ| весьма малы при отрицательных Л, что
соответствует сильному подавлению вероятности туннелирования. Вероятность
образования пузырька нового вакуума в видимой части современной Вселен¬
ной можно грубо оценить, считая её размер и возраст величинами порядка Hq1
(так что существенный четырёхмерный объём — это Ω4(£ο) ~ Hq4), а размер пу¬
зыря Rc — величиной па полтора порядка меньше планковской длины,
см. рис. 10.12. Тогда получим
P(to) = Г ■ Ω4(£0) ~
3 · 1017 ГэВ
Я0
4
е
£sl
3|λ|
(10.70)
и для |А| = 2 · 10 2 (см. рис. 10.12) будем иметь Р ~ 10 340, то есть вакуум
к настоящему времени распасться никак не успел.
> Задача 9. Уточнить оценку четырёхмерного объёма Ω4(£ο). фигурирующего
в (10.70). Возникающий при этом интеграл взять численно.
Заглянем в будущее. Для £ » to оценка времени туннелирования £tUnn из «на¬
шего», ложного электрослабого вакуума зависит от природы тёмной энергии: вре¬
мя жизни существенно больше для Вселенной, где доминирует космологическая
постоянная, по сравнению со Вселенной, в будущем которой вновь по тем или
иным причинам доминирует материя, см. рис. 10.14. Во Вселенной, доминиро-
ванной космологической постоянной, существенный пространственный размер —
это размер горизонта событий, Яд1 = Hq1Q~^1^2 ~ Hq1. Поэтому время тунне¬
лирования для неё оценивается из соотношения
£(Л)
Чипп
1
Rc (H0RcУ3
е
3|Л|
1.
(10.71)
Во Вселенной, где доминирует нерелятивистская материя, размер видимой части
оценивается как Я_1(£) ~ £, поэтому для времени туннелирования имеем
(Л/) '
tunn
Rr
е 3|λΐ ^ 1
(10.72)
10.4. Инфракрасная проблема
349
S
X
η
X
*
к
5
о
о.
со
ACDM \
1 <т интервалы для
Mh=125.7±0.3 ГэВ
(длинный пунктир)
о'з=0.1184±0.0007
(короткий
ПУНКТИр)
171 172 173 174 175
Масса ί-кварка Mt (ГэВ)
Рис. 10.14. Время жизни ложного вакуума для Вселенной, доминированной
в будущелι космологической постоянной (правая кривая) или материей, в зави¬
симости от массы t-кварка [171). Вертикальная полоса соответствует неопре¬
деленности в экспериментальном измерении mt
Соотношение t[^[n ^ ^tunn непосредственно следует из сравнения (10.71) с (10.72).
10.4 Инфракрасная проблема
В этом разделе мы увидим, что при конечных температурах теория возмуще¬
ний по константам связи применима далеко не всегда, даже если эти константы
связи малы [164, 147]. Обсудим этот вопрос сначала на качественном уровне. Фи¬
зическая причина неприменимости теории возмущений состоит в том, что функ¬
ции распределения бозонов
/в = (е"/т - I)-1
велики при малых энергиях частицы ω. Из-за этого взаимодействие между бозо¬
нами при низких энергиях усилено в среде. Действительно, при малых импульсах
и массах частиц, р -СТ. т <^Т, бозонная фунция распределения имеет вид
350
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
В квантовой теории поля это означает, что усреднённые по состоянию среды
плотности числа частиц с малыми импульсами,
(КаР'» = /в{рЩ р-рО,
велики сравнению с коммутатором
(([яр^р']» = <*(Р-Р')·
Поэтому инфракрасная часть соответствующего бозонного поля Ф — это класси¬
ческое поле. Для него запишем
где при малых импульсах ар, можно считать с-числами. Отсюда, опуская
численные факторы, имеем для флуктуации поля
«Ф2(х))> = /
J Up
Нас интересует вклад инфракрасной (IR) области.
«Ф2М»/я
Р2 dp Т = т f
иР ир J р ω\'
Таким образом, амплитуда флуктуаций поля с импульсами порядка р оценива¬
ется как
((Ф2(.т)))р = г4
ωρ
Поле находится в линейном режиме, если квадратичный (свободный) вклад в сво¬
бодную энергию велик по сравнению со вкладом взаимодействия. При р2 > та2
свободный вклад можно оценить как (УФ)2 = р2Ф2. В соответствии с процедурой,
используемой в этой Главе, самодействие поля Ф выберем в виде /г2Ф4, где h —
малая константа связи. Отношение вклада взаимодействия и свободного вклада
в свободную энергию оценивается как
/г2Ф4 h2T2p6 ( 2rrp3\~l h2Tp
(νΦ)2~ ω* {ΡΤω*ρ) ~ ω2
Отсюда для безмассового поля получаем
Н2Ф4 h2T
(УФ)2 ~ р '
(10.73)
Поле находится в линейном режиме, если это отношение мало, что выполняется
при р h2T. В инфракрасной области р < /г2Т, наоборот, имеет место сильно
10.4. Инфракрасная проблема
351
нелинейный режим, теория возмущений неприменима. Для массивного поля от¬
ношение (10.73) мало при всех импульсах, только если тпф h2T. В противном
случае инфракрасная область находится в режиме сильной связи. Отметим, что
это — режим сильной связи в классической теории поля.
В калибровочных теориях с механизмом Энглера—Браута—Хиггса приве¬
дённое рассуждение работает для пространственных компонент неабелева ка¬
либровочного поля, взаимодействие которых содержит, в частности, коммутатор¬
ное слагаемое типа д2А4. При этом вместо h2 имеем д2, и условие применимости
теории возмущений имеет вид
MW(T) > д2Т,
где М\,у — масса векторного поля. Для компоненты До данное рассуждение
неприменимо из-за дебаевской массы то ~ дТ :§> д2Т.
Итак, вычисление эффективного потенциала по теории возмущений оправ¬
дано тогда, когда Мц-(Т) д2Т, т. е.
ф » дТ. (10.74)
Отсюда следует, что эффективный потенциал невозможно вычислить по теории
возмущений вблизи ф = 0. Более того, описанная в разделе 10.2 картина фазо¬
вого перехода первого рода справедлива только тогда, когда положение второго
минимума эффективного потенциала, заданное формулами (10.43), (10.44) или
(10.45), удовлетворяет соотношению Фс дТс. В терминах констант связи это
ограничение имеет вид
Учитывая, что η ~ д3 (см. (10.40)), и опуская численные множители (они в дей¬
ствительности работают в сторону усиления ограничения), получим отсюда Λ «С
д2. т. е. в терминах нуль-температурных масс
ml < MvV (10.75)
Уточнить эту оценку трудно: найти более аккуратно, до каких именно значе¬
ний 77i/j имеет место фазовый переход первого рода, аналитически не удаётся.
Тем не менее, ограничение (10.75) показывает, что однопетлевые результаты раз¬
дела 10.2 не имеют отношения к реальности в области электрослабого перехода
в Стандартной модели с учётом экспериментального значения mh = 126 ГэВ.
Поскольку указанная трудность связана с взаимодействиями частиц среды
с низкими энергиями, её называют инфракрасной проблемой. Главную роль при
этом играют взаимодействия калибровочных бозонов между собой, имеющиеся
в любой неабелевой калибровочной теории.
Убедимся на формальном уровне, что применимость теории возмущений для
вычисления эффективного потенциала действительно ограничена средними ска¬
лярного поля, удовлетворяющими соотношению (10.74). Нас будут интересовать
352
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
вклады в эффективный потенциал, связанные с взаимодействием калибровоч¬
ных бозонов между собой. Эти вклады, как и в разделе 10.2, зависят от среднего
поля ф через массы векторных бозонов, М(ф) яФ-
Как показано в Приложении D, эффективный потенциал даётся функцио¬
нальным интегралом
е-РПФ) = J Τ)Αμβ~3{β)1ΑΚ, (10.76)
где мы опустили все поля, кроме калибровочных. Здесь β = Т-1, функционал
[А] — евклидово действие на интервале евклидова времени 0 <τ<β,
S{3)[A] = dr J
drx
1 pb Fb , М2{Ф) лЬ лЬ
γμν?μν + j ΑμΑμ
(10.77)
суммирование ведётся с евклидовой метрикой. Интегрирование в (10.76) ведётся
по полям Αμ(χ, т), периодичным по т с периодом β.
В силу периодичности, поле Л^(х, т) можно представить в виде дискретной
суммы
Αμ(χ,τ)
7^(χ)+ Σ
=±1.
VP
(10.78)
где
2 π η „ _
ωη = —— = 2ττηΤ
β
— мацубаровские частоты; мы опустили групповой индекс и явно выделили сла¬
гаемые в (10.78) с нулевой мацубаровской частотой. После подстановки разложе¬
ния (10.78) действие будет представлять собой действие трёхмерной евклидовой
теории с бесконечным набором полей αμ(χ), αμπ^(χ). Нас будет интересовать ин¬
фракрасная область, точнее, область пространственных импульсов
|р| < дТ.
При таких импульсах существенны только лёгкие трёхмерные поля, чья масса
много меньше дТ. Заметим прежде всего, что йсь лёгкими полями не являют¬
ся: они приобретают дебаевскую массу то ~ дТ (ср. с разделом D.5). Поэтому
поля по; можно из рассмотрения исключить. Далее, поля a\n^ сп^О также
являются тяжёлыми трёхмерными полями: слагаемое в исходном лагран¬
жиане приводит к появлению члена
Σ /
ά3χω
2α{η)α[-η).
η=±1.±2
т. е. массового члена в трёхмерной теории с большими массами |ωη|. В резуль¬
тате лёгкими полями являются только поля аг(х), т. е. однородные в евклидо¬
вом времени компоненты пространственных вектор-потенциалов Ai. Подставляя
выражение ДДх) = /3-1/2аг-(х) в действие (10.77), получим эффективное трёх¬
мерное действие, описывающее инфракрасные свойства теории при конечных
температурах
Se// = J d3x + 1-Μ2(^α\οή ,
(10.79)
10.4. Инфракрасная проблема
353
где
fij = дгй)- д3аьг
gVffbcdalad
(10.80)
и fbcd — структурные константы неабелевой калибровочной группы (в случае
калибровочной группы SU(2) имеем fbcd = ebcd). Фактор Т1/2 = /З-1/2 возник
в (10.80) из-за нормировки в (10.78), подобранной так, чтобы квадратичная часть
трёхмерного действия (10.79) имела канонический вид.
Отвлекаясь от основного изложения, сделаем замечание, касающееся фер¬
мионов. В рамках описываемого подхода все трёхмерные фермионы являются
тяжёлыми, поскольку они антипериодичны по β, и все их мацубаровские частоты
ωη> = 2πΤτι', η' = ±1/2, ±3/2,..., отличны от нуля и пропорциональны Т. Поэто¬
му фермионные поля несущественны с точки зрения инфракрасных свойств тео¬
рии. Это следует и из соображений, изложенных в начале этого раздела: функции
распределения фермионов fp — {еш/т + I)-1 не растут при низких энергиях ω.
в соответствии с принципом Паули.
Рис. 10.15. Пример диаграм¬
мы, дающей вклад в эффектив¬
ный потенциал
Возвращаясь к действию (10.79), заметим,
что оно представляет собой действие трёхмер¬
ных векторных полей с массой М(ф) и размер¬
ной константой связи
г(3) = gVT. (10.81)
Отношение размерных величин [g^]2/М(ф)
и представляет собой эффективную констан¬
ту связи. Действительно, в рамках теории
возмущений эффективный потенциал (точ¬
нее, —βν(φ)) даётся суммой одночастично¬
неприводимых диаграмм без внешних ли¬
ний (см. Приложение D), типа изображённой
на рис. 10.15. В данном случае речь идёт о диа¬
граммах в трёхмерной теории с действием
(10.79). Диаграммы с п петлями дают вклад
в βVejf, пропорциональный [g(3)]2(n_1). и про¬
сто из размерных соображении этот вклад
имеет порядок
0V.
(п)
eff
[5(3)]2(м-1)
WMF7
= [ЛСД]3
1£Ψ
М(ф)
п
Видно, что параметром разложения в теории возмущений служит [д^]2/М(ф),
т. е. теория возмущений применима при М(ф) ;§> д2Т, или, с учётом М(ф) ~ дф,
при выполнении соотношения (10.74).
В заключение этого раздела сделаем несколько замечаний. Прежде всего, от¬
метим, что при импульсах и энергиях, малых по сравнению с д2Т, теория эффек¬
тивно сводится к трёхмерной калибровочной теории (вообще говоря, со скаляр¬
ными полями) с калибровочной константой (10.81). Такая теория имеет вполне
нетривиальные непертурбативные свойства, её исследованию на решётке посвя¬
щён целый ряд работ.
Далее, для полей Дг-(х), не зависящих от евклидова времени т, статистиче¬
ская сумма (10.76) сводится к
е
-0F
VAi(x)e-3n[Ai],
354
Глава 10. Фазовые переходы в ранней Вселенной
где
Н[А{] = I A: + ...),
и многоточием обозначены члены, содержащие скалярные поля (мы здесь сохра¬
нили четырёхмерную нормировку векторного поля). Выражение в правой части
представляет собой статистическую сумму классической четырёхмерной калиб¬
ровочной теории поля (вообще говоря, со скалярными полями) с гамильтонианом
Н[А{]. Таким образом, наш анализ подтверждает вывод о том [165, 166], что по¬
ведение квантовой теории при высоких температурах на масштабах длин и вре¬
мён, сравнимых или превышающих (g2T)~l, по-существу совпадает с поведением
классической теории поля18. Этим обстоятельством бывает полезно воспользо¬
ваться для изучения статических, а особенно динамических (проявляющихся при
эволюции во времени) свойств теории при высоких температурах.
183десь имеется тонкость, связанная с необходимостью ультрафиолетового обрезания клас¬
сической теории поля: для распределения Рэлея—Джинса плотность энергии ультрафиолетово
расходится.
Глава 11
Генерация барионной
асимметрии
Как мы обсуждали в разделе 5.2, в современной Вселенной антибарионы
отсутствуют1, а современная концентрация барионов характеризуется величиной
ηΒ = ^ ^ 6,05 · 1(Г10.
^7,0
Отношение плотности барионного числа к плотности энтропии на достаточно
поздних этапах эволюции равно (см. раздел 5.2)
Дв = Пв ~ Пв ~ 0.86 · Ю~10. (11.1)
s
Эта величина остаётся постоянной на горячей стадии расширения Вселенной,
если в космической плазме отсутствуют процессы с несохранением барионного
числа и процессы с большим выделением энтропии. Одна из задач космологии
состоит в объяснении происхождения барионной асимметрии (11.1) [33, 34]. При
этом, как мы обсуждали в разделах 1.5.5 и 5.2, начальное состояние выбирается
симметричным по отношению к барионному числу.
Нужно сразу подчеркнуть, что однозначного ответа на вопрос о механизме
генерации барионной асимметрии пока нет. Было предложено несколько механиз¬
мов, однако сказать, какой из них действительно ответственен за генерацию на¬
блюдаемой барионной асимметрии, пока нельзя. Вообще говоря, барионная асим¬
метрия могла образоваться как на горячей стадии, так и на предшествующей ей
стадии постинфляционного разогрева. Стадию постинфляционного разогрева мы
будем обсуждать во второй части книги, а в этой Главе рассмотрим некоторые
механизмы генерации барионной асимметрии, которые могли работать на горя¬
чей стадии. Обсудим прежде всего общие условия, необходимые для генерации
барионной асимметрии.
1 Имеется, впрочем, довольно экотическая возможность того, что антибарионы «упакованы»
в компактные объекты [172]. Такая возможность не противоречит наблюдениям [173].
355
356
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Помимо барионной асимметрии в современной (и в ранней) Вселенной мо¬
жет иметься, и наверняка имеется, лептонная асимметрия. Однако если она
не слишком велика, то определить её значение в экспериментах или наблюдениях
не представляется возможным (пока?), поскольку лептонная асимметрия заклю¬
чена в избытке реликтовых нейтрино над антинейтрино или наоборот (плотность
электронов равна плотности протонов в силу электронейтральности), а точное
измерение концентрации реликтовых нейтрино надолго останется нерешённой
проблемой.
11.1 Необходимые условия генерации асимметрии
Для того чтобы на каком-то этапе эволюции Вселенной произошла генера¬
ция барионной асимметрии, необходимо выполнение трёх условий; их называют
условиями Сахарова. А именно, должны иметь место:
1. Несохранение барионного числа.
2. Нарушение С- и СР-симметрий.
3. Нарушение термодинамического равновесия.
То, что первое условие действительно необходимо для превращения барион-
симметричной среды в барион-асимметричную, очевидно. Далее, если бы С- или
CP-симметрия была точной, то процессы с участием кварков и с участием ан¬
тикварков происходили бы одинаково, и генерация асимметрии была бы невоз¬
можна.
На формальном уровне последнее утверждение следует из закона эволюции
матрицы плотности,
p{t) = е-{й{г~и)р(и) егА(‘“Ч (11.2)
где Н — гамильтониан системы, U — начальный момент времени. Симметрия
относительно С- или CP-преобразований означает, что соответствующий уни¬
тарный оператор Uc или Ucp коммутирует с гамильтонианом; например, для
СР-симметрин
UcpHUcp = Н.
Отсюда следует, что
UCpp(t)Ucp = p(t),
если начальное состояние среды (в момент ί,) симметрично, т. е. Ucpp(ti)Ucp =
p{ti). Отсюда и из нечётности оператора барионного числа, UcpBUqp = —В.
сразу следует, что
(B{t))=Tr(Bp(t))=b
т. е. среда остаётся барион-симметричной.
11.1. Необходимые условия генерации асимметрии
357
Наконец, третье условие также достаточно очевидно. В ситуации, когда име¬
ет место термодинамическое равновесие по отношению к процессам с несохра-
нением барионного числа, химический потенциал равен нулю. При приближе¬
нии к термодинамическому равновесию барионная асимметрия не генерируется,
а наоборот, в общем случае вымывается (см., однако, обсуждение возможного
исключения из этого правила ниже в этом разделе).
Это рассуждение нуждается, впрочем, в уточнении. Оно буквально справед¬
ливо, если барионное число является единственным существенным квантовым
числом. Мы увидим, что в Стандартной модели физики частиц и её расширени¬
ях существенными являются также лептонные числа, причём при температурах
выше Т ~ 100 ГэВ барионное число само по себе не сохраняется, но сохраняют¬
ся его линейные комбинации с лептонными числами, в частности (В — L), где
L = Le + + LT — полное лептонное число. В состоянии термодинамического
равновесия с ненулевым (В — L) выполняется
где константа С — порядка (но несколько меньше) единицы, т. е. барионное число
отлично от нуля. Это обстоятельство лежит в основе механизма лептогенезиса:
при достаточно высоких температурах генерируется лептонная асимметрия (и,
следовательно, (В — L)) за счёт процессов, не описываемых Стандартной моде¬
лью, а затем она частично перерабатывается, уже в результате электрослабых
процессов Стандартной модели, в барионную асимметрию.
Подчеркнём, что все три перечисленных в начале раздела необходимых усло¬
вия должны выполняться на одном и том же этапе эволюции Вселенной — этапе
генерации барионной асимметрии (в сценарии лептогенезиса на этапе генера¬
ции лептонной асимметрии должно иметь место несохранение лептонного числа,
а не барионного). Вообще говоря, каждый из перечисленных в этих условиях
эффектов является в той или иной степени малым, что и приводит к малому
значению барионной асимметрии. Мы рассмотрим, каким образом выполняются
указанные условия, на конкретных примерах в последующих разделах.
Что касается третьего условия Сахарова, то оно не обязательно необходимо
для производства асимметрии, хотя и должно выполняться на нектором этапе
космологической эволюции. А именно, модель может быть устроена таким об¬
разом, что равновесное значение глобального заряда (В, L, (В — L) или других)
оказывается ненулевым на некотором этапе эволюции. Для появления в среде
этого заряда процессы, нарушающие его сохранение, а также С- и СР-симметрии,
должны войти в равновесие.
Реализацию этой идеи можно получить, добавив в теорию взаимодействие
соответствующего глобального (для примера, барионного) тока Jq с нестацио¬
нарным внешним источником Ф,
Это взаимодействие нарушает СР-симметрию, и для однородного, УФ = 0,
но эволюционирующего в расширяющейся Вселенной поля, Ф Ф 0, спонтанно на¬
рушает инвариантность относительно обращения времени (Г-инвариантность),
B = C-{B-L), L = (С — 1) · {В - L),
(11.3)
С-ш ι = ι®δ"φ.
(11.4)
358
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
так что нарушена и СРТ-симметрия. Это изменяет баланс между частицами
и античастицами: взаимодействие (11.4) даёт вклад в плотность гамильтониана
системы
T^int = —Фпв,
(11.5)
что в условиях равновесия относительно нарушающих барионное число и СР-
нарушающих процессов приводит к асимметрии между плотностями барионов
и антибарионов
пв ~ Пв £
пв+Πβ Г
(11.6)
На языке термодинамики влад (11.5) соответствует наличию в плазме при темпе¬
ратуре Т ненулевого химического потенциала цв = Ф относительно барионного
заряда.
Если Ф зависит от времени, то равновесная асимметрия также непостоянна.
Её величина замораживается при температуре Тв выхода из равновесия процес¬
сов, нарушающих барионное число. Тогда для остаточной асимметрии получа¬
ем из (5.22) и (11.6)
Λ _ пв - п§ Ф{Тв)
s Тв
Роль внешнего источника может играть любой оператор — инвариант относи¬
тельно калибровочной группы Стандартной модели и лоренцев скаляр: специ¬
ально введённое скалярное поле, эволюционирующее в ранней Вселенной, поле
инфлатона, скалярная кривизна R или другие инварианты из секторов мате¬
рии или гравитации. Такой механизм образованния барионной асимметрии по¬
лучил в литературе название спонтанного или гравитационного бариогенезиса
[177, 178].
В заключение этого раздела убедимся, что независимо от механизма генера¬
ции барионной асимметрии сам факт её существования приводит к отсутствию
реликтового антивещества во Вселенной.
Для оценки остаточной концентрации антибарионов (антипротонов, анти¬
нейтронов) запишем уравнение Больцмана для плотности числа антибарионов пв·
^ = -{σαητ,ν) · (nBnsa3 - neqnja3), (11.7)
где σαηη — сечение аннигиляции (различием между сечениями аннигиляции ан¬
типротонов и антинейтронов пренебрегаем); в нерелятивистском случае σαηη =
oq/v (см. раздел 9.3). а
σ0 ~ 1 Фм2 = 10-26 см2 ~ 25 ГэВ"2. (11.8)
Уравнение (11.7) получается так же, как уравнение (9.7) для эволюции плотности
числа частиц тёмной материи; нужно только учесть, что антибарионы анниги¬
лируют с барионами. поэтому вероятность аннигиляции антибариона в единицу
времени равна (σαηηυ) ■ пв.
11.1. Необходимые условия генерации асимметрии
359
> Задача 1. Получить уравнение (11.7), исходя из уравнения (5.58). Указание:
учесть, что {aannv) ■ пв = τ~^η — вероятность аннигиляции одного антпба-
риона в единицу времени (т.е. тапп — время жизни аптпбарпона в среде).
Воспользоваться соотношением (5.51) и учесть, что концентрация барп-
онов гораздо выше концентрации антибарионов. а потому концентрация
барионов близка к равновесной.
Если вероятность аннигиляции велика по сравнению с темпом расширения
Вселенной, то концентрация антибарионов близка к равновесной. Такая ситуа¬
ция, как мы сейчас увидим, имеет место при достаточно высоких температурах.
Равновесие сильно нарушается тогда, когда необходимый для его поддержания
темп изменения числа антибарионов становится велик по сравнению с реальным
темпом процессов аннигиляции и рождения. Смена режимов происходит в мо¬
мент, когда (ср. с (9.14))
Примерно в это время количество антибарионов в сопутствующем объёме
закаливается.
Чтобы оценить температуру, при которой выполняется соотношение (11.9),
и концентрацию антибарионов пв ~ тг|9 в этот момент, нам осталось найти рав¬
новесную концентрацию антибарионов как функцию температуры. Учтём, что
в равновесии химические потенциалы частиц и античастиц равны и противопо¬
ложны по знаку, и запишем для концентраций барионов и антибарионов, считая
Т «С тпр (отличием масс протона тр и нейтрона тп пренебрегаем, спиновые
множители не выписываем),
Отметим, что при Т <С тр конечное (не экспоненциально малое) значение пв
имеет место только при μΒ = тр + 0(Т). Из (11.10) имеем, с учётом ηΒ = ηΒ ■ гг7,
(11.9)
(11.10)
(11.11)
Эта величина быстро меняется с температурой при Т «С тпр, поэтому
d(neBqa3) = д3 άηϊ
С учётом равенства |Т/Т\ = Н(Т) = Т2/Мр1 имеем из (11.11)
360
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
Соотношение (11.9) сводится теперь к
Отсюда для температуры выхода из равновесия получим
1/2
Мpi · 7]в ■ σ0
10 кэВ.
(11.12)
При такой температуре концентрация антибарионов фантастически мала:
из (11.11) имеем
(неважно, в каких единицах). В видимой части Вселенной не осталось ни одного
реликтового антибариона.
Разумеется, при столь малом числе антибарионов методы статистической
физики, на которых основывалось приведённое здесь вычисление, можно поста¬
вить под сомнение. Однако не подлежит сомнению сам факт того, что в барион-
асимметричной Вселенной все антибарноны выгорают в результате их аннигиля¬
ции с барионами.
о Задача 2. Решить уравнение Больцмана (11.7) в квадратурах. Вычислив по¬
лученный интеграл методом перевала, найти температуру, при которой
возникает наибольший вклад в современное значение η в, уточнив тем са¬
мым оценку (11.12). Найти выражение для современного значения Пв. Со¬
гласуется ли численное значение с (11.13)?
> Задача 3. Найти концентрацию реликтовых позитронов в современную эпоху.
11.2 Несохранение барионного и лептонных чисел
во взаимодействиях частиц
В этом разделе мы обсудим два механизма нарушения барионного числа.
Один из них имеется уже в Стандартной модели физики частиц, и он действи¬
тельно реализовался в ранней Вселенной [174], если в ней достигались темпера¬
туры заметно выше 100 ГэВ. Другой механизм характерен для теорий Большого
объединения. Хотя прямых экспериментальных доказательств Большого объеди¬
нения калибровочных взаимодействий пока не существует, эта гипотеза выглядит
весьма правдоподобной. Наконец, мы увидим в дальнейшем, что для генерации
барионной асимметрии могут быть существенными и процессы с несохранением
лептонных чисел; один из механизмов этого несохранения мы обсудим в конце
раздела.
(11.13)
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
361
11.2.1 Электрослабый механизм
Несохранение барионного и лептонных чисел в Стандартной модели имеет
неиертурбативный характер; его не видно на уровне диаграмм теории возмуще¬
ний. Мы здесь дадим лишь самое общее представление об этом механизме; за¬
интересованный читатель может узнать подробности в книге [161] или в обзорах
по этому вопросу.
Существенную роль в обсуждаемом эффекте — его называют эффектом
т’Хоофта [130] — играют калибровочные взаимодействия подгруппы SU(2)и,
группы Стандартной модели SU(3)с х SU(2)W х UY (см. Приложение В). В этих
взаимодействиях участвуют левые кварки и лептоны. Классический лагранжи¬
ан инвариантен относительно общих фазовых вращений всех кварковых полей
(соответствующая симметрия и приводила бы к сохранению барионного чис¬
ла В), а также фазовых вращений лептонов каждого поколения по отдельности
(три лептонных числа, Ln, η = 1,2,3; см. Приложение В). Однако на квантовом
уровне соответствующие токи j*, имеют аномалии
(11.14)
= > " = 1>2=3. (11.15)
где
V% = δμν; - дЛ‘ + geabcvX
— напряжённость калибровочного поля группы SU(2)VV.
α
— дуальный тензор, g — калибровочная константа связи группы SU(2)и,. Причи¬
на этой аномалии состоит именно в том, что левые и правые фермионы взаимо¬
действуют с полем V° по-разному2 (в данном случае правые фермионы вообще
с ним не взаимодействуют).
Соотношения (11.14) указывают на то, что барионное и лептонные числа
не сохраняются3, если в вакууме или в среде возникают ненулевые калибровоч¬
ные поля:
ΔΒ = B(t,) - B(t,) = J ' dt J <Pxd* ft = 3 £’ d*x ^V'"' “ГД, (11.16)
где t{ и tf — начальный и конечный моменты времени; аналогичное равенство
справедливо и для каждого из лептонных чисел. Нарушение барионного числа
2 В квантовой хромодинамике левые и правые кварки взаимодействуют с глюонами одина¬
ково. поэтому в сильных взаимодействиях барионное число сохраняется.
3Мы здесь не обсуждаем, в результате какого именно физического механизма изменяется
число кварков и лептонов в системе; см. по этому поводу [161] и ссылки там.
362
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Е
{ν,ώ}
п = —1
η = 1
п = 2
Рис. 11.1. Схематическое изображение статической энергии как функционала
классических калибровочных и скалярных полей. Горизонтальная ось соответ¬
ствует (бесконечномерному) пространству всех полевых конфигураций {V.<i>}.
Абсолютные минимумы, нумеруемые целым числом п = 0, ±1,±2,... — чисто
калибровочные конфигурации с нулевой энергией, в которых поля V(x), о(х)
имеют различные топологические свойства (топологически различные вакуу-
мы). Интеграл в правой части (11.16) равен единице при изменении полей от ва¬
куума с топологическим числом п к вакууму с числом (п + 1) и равен нулю, если
поля эволюционируют в окрестности какого-то одного вакуума. «Максимум»
с энергией Esph на самом деле является седловой точкой: вдоль одного направ¬
ления в конфигурационном пространстве статическая энергия понижается,
а вдоль всех остальных направлений — увеличивается
возникает тогда, когда интеграл (11.16) отличен от нуля; для этого требуются
сильные поля. V£u ос 1 /д. Энергия таких полей отлична от нуля и пропорци¬
ональна 1 /д2. Таким образом, мы приходим к заключению, что нарушение ба-
рионного и лептонного чисел связано с преодолением энергетического барьера,
см. рис. 11.1. Оценка для его высоты имеет вид
где множитель Му- вставлен из соображений размерности4 (все поля группы
SU(2)u- имеют массу Му. если различием между массами И'=- и Ζ-бозонов
пренебречь). Аккуратное вычисление высоты барьера даёт [17-5]
1 Обозначение Esph связано со следующим обстоятельством. Высота энергетического барье¬
ра равна энергии седловой конфигурации — экстремума функционала статической энергии.
Эту конфигурацию называют сфалероном (sphaleron) (от греческого σφαλερόν — ненадёжное,
готовое упасть).
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
363
где
а значение функции В(тн/М\у) изменяется в пределах от
В = 1,56.
mh
Mw
« 1,
до
В - 2,72,
mh
Mw
» 1;
и В ~ 2,4 при rrih = 126 ГэВ. Таким образом, в Стандартной модели высота
энергетического барьера составляет около 11 ТэВ.
При нулевой температуре (и нулевой плотности фермионов) преодоление
энергетического барьера, а значит, несохранение барионного и лептонных чи¬
сел, возможно только за счёт квантового туннелирования. Такое туннелирование
описывается инстантоном [176] и вероятность его экспоненциально подавлена:
Г a e~4n/aw.
С учётом того, что аи- ~ 1/30, множитель подавления здесь чрезвычайно мал,
Г ос 10“160. В обычных условиях процессов с нарушением барионного числа прак¬
тически не происходит.
Иная ситуация имеет место при конечных температурах [174]: в этом случае
преодоление энергетического барьера возможно в результате тепловых скачков
на его вершину (точнее, седловую точку). При не слишком высоких темпера¬
турах самая наивная оценка подавления таких скачков даётся больцмановским
множителем для конфигурации с энергией Esph,
Tsph ос e~E*ph/T.
Эта оценка, однако, неверна при наиболее интересных температурах, когда мно¬
житель подавления не слишком мал. Вероятность реализации той или иной кон¬
фигурации определяется не её энергией, а её свободной энергией. В данном случае
главный эффект состоит в том, что среднее значение поля Энглера—Браута—
Хиггса, а значит и Mw, зависит от температуры, см. Главу 10. Поэтому более
аккуратная оценка имеет вид
Tsph = С · TAe~F*?h{T)/T., (11.17)
где
W) = 2Mb(^l), (11.18)
причём можно считать, что аргументом функции В по-прежнему служит отно¬
шение нуль-температурных масс (в действительности это не совсем верно, но для
дальнейших оценок последнее обстоятельство не слишком существенно ввиду
слабой зависимости В от своего аргумента). Величина Г5р/, представляет собой
364
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
вероятность перехода через энергетический барьер в единичном объёме в единицу
времени, поэтому в (11.17) выделен множитель Т4 из соображений размерности.
Предэкспонента С — безразмерная и зависит от температуры, среднего значе¬
ния скалярного поля и констант связи; в дальнейшем мы, тем не менее, будем
полагать
С~1,
поскольку наиболее существенным в (11.17) является экспоненциальный множитель.
Итак, при не слишком высоких температурах вероятность электрослабых
процессов с несохранением барионного числа даётся формулой (11.17). Эта фор¬
мула, однако, перестаёт работать при высоких температурах, когда Fsph < Т.
и экспоненциальное подавление отсутствует. Последняя ситуация имеет место,
в частности, в фазе с ненарушенной электрослабой симметрией0, когда (ф) = О
и, следовательно, Мц-(Т) = 0. В этом случае можно воспользоваться размерной
оценкой
IV = κ'α’,Γ4, (11.19)
где х7 — численный коэффициент. Оценка (11.19) отчасти вытекает из резуль¬
татов раздела 10.4. Мы в нём видели, что в теории при высоких температурах
и М\у(Т) = 0 имеется непертурбативный параметр д2 = д2Т. Темп сфалеронных
переходов в основном определяется этим параметром; отсюда и из соображений
размерности следовала бы оценка
rsp/i ~ gt ~ (qh-T)4.
Дополнительный множитель ащ возникает благодаря специфически плазмен¬
ным эффектам [179]. Коэффициент х7 найден из решёточных вычислений и ока¬
зался довольно большим [182]:
ус ~ 18.
Отметим, что если в формулу (11.18) вместо М\у(Т) подставить непертурбатив¬
ный масштаб д%, то свободная энергия сфалерона будет порядка температуры,
т. е. больцмановское подавление будет действительно отсутствовать.
Воспользуемся оценками (11.17) и (11.19), чтобы найти, при каких темпе¬
ратурах электрослабые процессы с несохранением барионного числа находятся
в термодинамическом равновесии в ранней Вселенной. Эти процессы являются
быстрыми в расширяющейся Вселенной, если в течение хаббловского времени
каждая частица имеет возможность принять участие хотя бы в одном из них.
т. е. Tsph > Нп, где η ~ Т3 — плотность числа частиц в среде. Таким образом,
термодинамическое равновесие по отношению к сфалеронным процессам имеет
место, когда
ΥΓ Z ЩТ) = -Щ. (11.20)
°Мы здесь пользуемся общепринятой, хотя и не вполне корректной терминологией, см. об¬
суждение в Главе 10.
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
365
При высоких температурах используем (11.19) и получим
Т < 1012 ГэВ.
(11.21)
При относитапьно низких температурах требование (11.20) приводит к ограничению
MW(T) ^ Cl'vv , -Мpi
Т ~ 2B(mh/Mw) П~'
С учётом грубой оценки Т ~ 100 ГэВ, достаточной в аргументе логарифма, имеем
численно
MW(T) < 0,66
Т ~ B(mh/Mw)
0,28
(11.22)
для тли = 126 ГэВ. Итак, электрослабые процессы с несохранением барионного
числа находятся в термодинамическом равновесии в широком интервале темпе¬
ратур, приблизительно6 от 100 до 1012 ГэВ.
В заключение этого раздела остановимся на правилах отбора для электро-
слабых процессов с несохранением барионного числа. Они следуют из соотноше¬
ний (11.14), (11.15) и имеют вид
АВ = 3 ALe = 3ΑΣ,μ = 3 ALT.
Иными словами, сохраняющимися величинами являются три линейно-незави¬
симых комбинации барионного и лептонных чисел, которые можно выбрать в виде
(B-L), (Le — Ζ/μ), (Le-LT). (11.23)
При температурах 100 < Т < 1012 ГэВ плотности этих чисел, вообще говоря, мо¬
гут быть отличны от нуля, а сами барионное и лептонные числа подстраиваются
так, чтобы большой термодинамический потенциал был минимален.
Найдём в качестве примера плотности барионного и лептонного чисел при
температурах выше электрослабого перехода, но ниже (11.21), полагая заданной
плотность (В — L) и считая плотности различных лептонных чисел одинаковы¬
ми. Вычисление проведём в рамках Стандартной модели физики частиц с Vf
поколениями фермионов и vs дублетами скаляров Энглера—Браута—Хиггса.
Квантовые числа всех частиц Стандартной модели приведены в Приложении
В. причём выше электрослабого фазового перехода удобно работать в терминах
скаляров, образующих дублеты с компонентами hч" и h°. соответствующих им ан¬
тичастиц, а также безмассовых калибровочных бозонов с двумя поляризациями.
Для вычисления плотностей чисел всех частиц введём химические потенциалы
ко всем сохраняющимся квантовым числам. В данном случае существенными
квантовыми числами являются (В — L) и слабый гиперзаряд Y (см. задачу 4
6Точнее. для Стандартной модели темп расширения Вселенной начинает доминировать над
темпом сфалеронных переходов при температуре Т л: 132 ГэВ [182].
366
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
раздела 5.1). В результате частицы и античастицы типа I будут обладать хими¬
ческими потенциалами; для частиц это
μι = μ {Вι - Li) + μΥ —,
а для античастиц μ/ = —μ/. Здесь Βι, Li и У/ — барионное число, лептонное
число и слабый гиперзаряд частицы I соответственно, μ и μγ — химические
потенциалы к (В — L) и Υ/2. Например, для левого электрона и нейтрино
1
μ^ MeL μ 2 μγ ’
для заряженного и нейтрального скаляров (компонент одного из дублетов)
1
μh+ Μ/ι° <2^'γ
и τ. д. Воспользуемся результатами задачи 4 раздела 5.1 и запишем для асиммет¬
рии плотности числа фермионов типа F всех поколений
1 Т2
nF - 7?у = АпР = -и/ ■ μΡ —
и для асимметрии плотности числа скаляров типа Н
л Т
пн ~ пд = Δпн = us ■ μΗ - —
(считаем эти значения малыми, т. е. μ7 Т). Отсюда получаем
Т2
Апь- + Anho = vs ■ μγ · —,
Ant/ + AntL =Vf(^~ \μΥ - μ^ · γ,
1 Г2
= ^/(-μγ -μ)·γι
+ Ari(]L
/1 1 λ
ο Τ2
=+г)
AnUR
1/2 1 '
\ ο Τ2
= 2*4 8^ + 5",
)·3·τ
Λ 1 ( 1 1 \ τ2
^ = rv?'- + ?j Г
(11.24)
где множитель 3 в последних трёх выражениях — это число цветов кварков.
Калибровочные векторные бозоны имеют нулевые барионное и лептонные числа
п слабый гиперзаряд. поэтому асимметрия для них отсутствует.
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
367
Учтём, что среда нейтральна по отношению ко всем калибровочным зарядам
(это — аналог условия электронейтральности обычной плазмы). В частности,
плотность слабого гиперзаряда равна нулю,
Υ^Υί-Ащ =0.
I
Используя (11.24), получим
vf
5 4
3^ + 3Д
1
+ ■ μγ
= 0.
(11.25)
Отсюда видно, для чего мы ввели химический потенциал μγ: если бы мы изна¬
чально положили μγ = 0, то при μ ψ 0 среда не была бы нейтральной по отно¬
шению к слабому гиперзаряду.
Исключив с помощью уравнения (11.25) один из химических потенциалов,
например μ, выразим все асимметрии (11.24) через единственный оставшийся
химический потенциал. В результате для избытка барионного числа, который
будем обозначать просто В. получим
1 Т2 /1 1 λ
В ~ з(ЛПи^ +Δη^ +AnuR +And„) = —— ί -ν/ + -us \μγ. (11.26)
а избыток лептонного числа равен
L
Т1
3
8"' + Тб"*
μγ.
Таким образом, значение (В — L), которое считаем фиксированным, связано с μγ
соотношением
В
11 13 \
¥1/' + 1б1/-К
Вновь используя (11.26), получим окончательно
В -
&Vf -г 4us
22uf + 13ΐΛ;
■(B-L),
(11.27)
что и даёт константу С, фигурирующую в (11.3). В природе число фермионных
поколений равно 3. и в случае одного скалярного дублета имеем
8 у/ + 4у5
22Uf -г 13i^s
28
79
(yf = 3. us = 1).
(11.28)
Подчеркнём, что это значение, как и весь анализ, справедливо только выше элек-
грослабого перехода: в области этого перехода и ниже параметр С является
функцией температуры и несколько (хотя и несильно) отличается от (11.28),
см., например. [183].
о Задача 4. Для температур выше температуры электрослабого перехода
ввести, помимо μ и μγ. химический потенциал дз к диагональной (тре¬
тьей) компоненте слабого изоспина Т3, найти асимметрии плотностей всех
368
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
частиц, включая векторные бозоны, и показать, что требование равенства
нулю плотности слабого изоспина в среде эквивалентно условию рз = О при
любых μ и μγ. Примечание: этот результат перестаёт быть справедливым
ниже температуры электрослабого перехода.
> Задача 5. В случае температуры выше температуры электрослабого пере¬
хода рассмотреть общую ситуацию, когда плотности всех трёх сохраняю¬
щихся чисел (11.23) отличны от нуля. Показать, что плотность барионного
числа по-прежнему определяется формулой (11.27).
11.2.2 Нарушение барионного числа
в теориях Большого объединения
Другой механизм нарушения барионного и лептонных чисел возникает в тео¬
риях Большого объединения. В них имеются новые сверхмассивные частицы —
векторы и скаляры (а в суперсимметричных теориях — и фермионы). — во взаи¬
модействиях которых с обычными кварками и лептонами барионное и лептонные
числа нарушаются уже на уровне теории возмущений. Например, возможна вер¬
шина типа изображённой на рис. 11.2 а, описывающая взаимодействие векторно¬
го бозона V с двумя кварками (в отличие от калибровочных вершин Стандартной
модели, в которых фигурируют кварк и антикварк). Наличие такой вершины ещё
не означает несохранения барионного числа: если бы существовала только она,
то бозону V можно было бы приписать барионное число 2/3, и тогда барион¬
ное число сохранялось бы. Однако если имеется и вершина типа изображённой
на рис. 11.2 b (почему на нём показан антилептон, а не лептой, будет ясно из даль¬
нейшего), то нарушение барионного числа действительно имеет место: например,
обмен бозоном V приводит к процессу, изображённому на рис. 11.3, в котором ба-
рионное число явным образом не сохраняется.
Взаимодействия рис. 11.3 приводят к нестабильности протона, см. рис. 11.4.
а) Ь)
Рис. 11.2. Взаимодействие векторного бозона с кварками q, антикварками q
и антилетпонами I
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
369
На время жизни протона имеются жёсткие экспериментальные ограничения: в за¬
висимости от моды распада
Гр
> 1032-1033 лет.
(11.29)
Отсюда следуют сильные
ограничения на параметры
взаимодействий с нарушени¬
ем барионного числа. Из диа¬
граммы рис. 11.4 получаем
следующую оценку для шири¬
ны распада протона,
ГР
_1_
ТР
Mi
τη
О
Р’
Рис. 11.3. Процесс с обменом векторным, бо¬
зоном V, приводящий к нарушению барионного
числа
— г.2
где осу = д~/(4тг), gv —
константа связи, имеющаяся
в каждой из вершин; множи¬
тель М~2 в амплитуде (т. е.
М~А в ширине) возник из-за пропагатора И-бозона, а множитель т° поставлен
из размерных соображений. Отсюда и из (11.29) получаем ограничение
Μν > 1016 ГэВ.
(11.30)
Таким образом, взаимодействия, о которых идёт речь, могут быть существенны¬
ми для космологии, только если во Вселенной достигались температуры, срав¬
нимые с масштабом Большого объединения
Мсит ~ Ю15-1016 ГэВ. (11.31)
Р
+ о
е π
Рис. 11.4. Диаграмма, приводящая к распаду протона
Если в теорию не включать новых фермионов, а ограничиться только ферми¬
онами Стандартной модели, то взаимодействия, нарушающие бариониое число,
описываются диаграммами рис. 11.2, причём в 11.2 b фигурирует именно ан-
тилептон. Это следует из инвариантности относительно калибровочной группы
370
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Стандартной модели, как мы увидим в конце раздела. С точки зрения генера¬
ции барионной асимметрии замечательным является тот факт, что все эти вза¬
имодействия сохраняют (В — L), если векторным бозонам V и аналогичным им
скалярным бозонам S приписывать (В — L) = 2/3. Поэтому генерация барион¬
ной асимметрии только за счёт этих взаимодействий невозможна: такая генера¬
ция происходила бы при температурах выше электрослабого перехода, при этом
(В — L) оставалось бы равным нулю, и процессы, рассмотренные в предыдущем
разделе, приводили бы к практически полному вымыванию барионной асиммет¬
рии. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и в суперсимметричных
теориях.
Если в теории имеются новые
фермионы, то (В — L) может не сохра¬
няться во взаимодействиях, нарушаю¬
щих барионное число. Простой при¬
мер получается, если к фермионам
Стандартной модели добавить ферми¬
он Al, обладающий нулевыми бари-
онным и лептонным числами и ней¬
тральный по отношению ко всем ка¬
либровочным взаимодействиям Стан-
Рис. 11.5. Вершина взаимодействия, дартной модели. Тогда наряду с вер-
нарушающая (В - L) шинами рис. 11.2 возможна вершина,
изображённая на рис. 11.5. Конечные
состояния, показанные на рис. 11.2, имеют (В — L) = 2/3, в то время как конеч¬
ное состояние, изображённое на рис. 11.5, имеет (В — L) = —1/3, что и говорит
о нарушении (В — L). Другая возможность состоит в том, что Al является леп-
тоном. т. е. имеет лептонное число L = 1.
Причина, по которой в теориях Большого объединения имеются взаимодей¬
ствия типа изображённых на рис. 11.2 а. Ь, — следующая. Большое объединение
сильных и электрослабых взаимодействий подразумевает, что все эти калибро¬
вочные взаимодействия при сверхвысоких энергиях являются единым взаимодей¬
ствием. Иными словами, калибровочная группа Стандартной модели SU(3)с х
SU(2)u· х Ur является подгруппой простой калибровочной группы G, а известные
фермионы образуют (возможно, при добавлении новых фермионов) представле¬
ния группы G. Отсюда сразу следует, что в мультиплете, частью которого явля¬
ется лептонный дублет (и в мультиплете, возможно другом, которому принад¬
лежит правый заряженный лептон), должны иметься фермионы, нетривиально
преобразующиеся относительно группы SU(3)с, т. е. обладающие цветом. Если
не вводить слишком много новых фермионов, то эти цветные партнёры лептонов
следует отождествить с обычными кварками. Далее, поскольку кварки и лептоны
теперь находятся вместе в одном калибровочном мульгиплетс, должны существо¬
вать калибровочные бозоны, обладающие взаимодействием типа изображённого
на рис. 11.2 Ь. В одном мультиплете с цветными частицами, образующими дублет
относительно группы SU{2)u·, могут быть цветные частицы, синглетные относи¬
тельно SU(2)ц·. Иными словами, в мультиплете группы G. содержащем левые
кварковые дублеты, могут иметься 56г(2)и -синглетпые цветные фермионы, кото¬
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
371
рые также должны быть левыми. Таковыми являются левые антикварки. Итак,
возможны мультиплеты группы G. содержащие как кварки, так и антикварки,
что приводит к взаимодействиям типа изображённого на рис. 11.2 а.
Простейшим примером (однако, по-видимому, не реалистичным) служит тео¬
рия с калибровочной группой G = SU(5) [184], в алгебру которой калибровочные
алгебры Стандартной модели вложены следующим образом:
SU(3)с :
tf(l)v :
SU(3) 03х2\
С>2хЗ 02x2J ’
SU( 2)„-
ОзхЗ 0зх2
02X3 SU( 2)
1
2у/ТЕ
■ diag(2,2,2,
3,-3)
(11.32)
(11.33)
(индексы в (11.32) обозначают размерности матриц; 0тхп — нулевая матрица).
В этой модели нет необходимости вводить новые фермионы, если расположить
фермионы одного поколения Стандартной модели в одном представлении 5 (ан-
тифундаментальное представление SU(5)) и одном представлении 10 (антисим¬
метричное представление SU(5)):
ic)l d
(с)2 d(c)3
eL 5
г^е),
0
u{c)3
UL
(c) 2
-uy
UL
-п(с)3
UL
0
14c)1
ul
d\
4С)2
-4C)1
0
«i
d\
~UL
0
_L
eL
~d\
-4
~d\
-4
0/
где верхний индекс относится к цвету, а и обозначают поля левых анти¬
кварков (антитриплетов относительно SU{3)C и SU(2)и-синглетов).
о Задача 6. Показать, что в описанной модели все фермионы имеют в точ¬
ности квантовые числа фермионов Стандартной модели по отношению
к группе SU(3)с х SU(2)u, х UY, вложенной в SU(5) согласно (11.32), (11.33).
Калибровочные бозоны образуют присоединённое представление SU(5) (24-
илет). Помимо известных калибровочных бозонов, соответствующих алгебрам
(11.32). (11.33), имеется ещё 12 бозонов, поля которых вложены в алгебру SU(5)
следующим образом:
( °
0
0
Vх
μ
vi\
0
0
0
V2
u
ul
0
0
0
V3
r β
ul
V2*
u
у3*
u
0
0
и2*
μ
ufr
0
oj
где каждое из полей [/". V° комплексное и описывает два векторных бозона.
Взаимодействия этих бозонов с кварками и лептонами имеют в точности вид,
изображённый на рис. 11.2 а, Ь.
> Задача 7. Выписать все члены лагранжиана взаимодействия бозонов νμ
и Uμ с кварками и лептонами. Указание: для компактности записи учесть,
что поля (νμ, Uμ) вместе образуют SU(2)„--дублет и являются SU(3)с-
триплетами.
372
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Масштаб (11.31) появляется в теории естественным образом [185]. С учё¬
том квантовых эффектов (петель) «константы связи» в калибровочных теориях
в действительности слабо (логарифмически) зависят от энергии (точнее, от пе¬
реданного импульса Q). При низких энергиях значения калибровочных констант
групп SU(3)с, SU(2)и, и U(1)у Стандартной модели сильно различаются, однако
при увеличении энергии они сближаются, как схематично показано на рис. 11.6.
Рис. 11.6. Схематическое изображение эволюции калибровочных констант
с переданным импульсом в суперсимметричном расширении Стандартной мо¬
дели. ад — Qis — Ps /(47г) и α·2 = aw = д2/(4тт), где gs и g — констан¬
ты групп SU(3)с и SU(2)W; α·χ = (5/3) ■ g,2/{4π), где g' — константа груп¬
пы U{ 1)ν·; множитель 5/3 здесь связан с отличием нормировки генератора
U(1)Y от стандартной нормировки генераторов группы Большого объедине¬
ния (а именно, этим множителем отличается след квадрата генератора Т24
в SU(5). равный стандартному значению 1/2, от следа квадрата генератора Y.
см. (11.33); отсюда калибровочные константы SU(5) и U(1)Y связаны соотно¬
шением 05ΐ;(δ) = ν/δ73 ■ g')
В суперсимметричном расширении Стандартной модели все три константы
принимают одно и то же значение qgut ^ 1 /25 при Q = Д/gut ~ Ю16 ГэВ [186].
Именно так и должно быть в теории, где при энергиях выше Д/gut имеется еди¬
ное калибровочное взаимодействие, характеризующееся одной константой связи.
Объединение констант является сильнейшим аргументом, свидетельствующим
как об объединении всех трёх калибровочных взаимодействий в теории Большого
объединения, так и о наличии в природе суперсимметрии и суперсимметричном
расширении Стандартной модели при сравнительно низких энергиях.
Продолжая общее рассмотрение, обсудим, какие ограничения на структу¬
ру взаимодействий с несохранением бариоиного числа накладывают симметрии
Стандартной модели физики частиц. Будем пока считать, что других фермионов,
кроме известных кварков и пептонов, нет. В этой Главе все фермионы Стандарт¬
ной модели удобно считать левыми, т. е. вместо правых полей кварков и заряжен¬
ных пептонов Ur. Dr и Er удобно ввести левые поля, обозначаемые
11.2. Несохранение барионыого и лептонных чисел
373
fc)
и Ekl и описывающие левые антикварки и антилептоны. Они являются сингле-
тами по отношению к группе SU(2)W. антитриплетами (U^\ D^) и синглетами
{Е^) по отношению к группе цвета SU(3)с и имеют слабые гиперзаряды проти¬
воположного знака по отношению к соответствующим частицам, т. е.
V = -
4
3’
= 2.
Слабые гиперзаряды левых дублетов равны, как обычно,
Yql = \, Yll = - 1.
В терлшнах левых полей единственный лоренц-инвариантный тип перенор¬
мируемого взаимодействия с векторными полями имеет вид
'φ^η'μνμ,φ^ ос Уф^ф^ь\ (11.34)
а взаимодействие юкавского типа со скалярным полем 5 может иметь только вид
(ср. с майорановским массовым членом нейтрино, Приложение С)
ф^Эфь ос вф^ф^ или φι,Ξ'φ^ ос Бф^ф^, (11.35)
где в качестве ф(а\ ф^ могут фигурировать различные фермионные поля Стан¬
дартной модели. Подчеркнём, что в (11.34) фигурируют как ф, так и ф.
а в (11.35) — только ф или только ф.
Взаимодействия (11.34), (11.35) должны быть инвариантны относительно
всех калибровочных симметрий Стандартной модели. Как мы сейчас увидим,
это требование накладывает жёсткие ограничения на их структуру.
Прежде всего, если имеется вершина рис. 11.2 а, то К должен быть антит¬
риплетом или секстетом по цвету (поскольку для представлений группы SU(3)C
справедливо 3x3 = 64-3). В последнем случае других вершин нет (из инвариант¬
ности относительно SU(3)с), и этот случай неинтересен. Если V — антитриплет,
то инвариантность относительно SU(3)с разрешает ещё две вершины: верши¬
ну рис. 11.2 b и аналогичную вершину с лептоном вместо антилептона. Это же
справедливо для скаляра S. Мы видим, что случай (анти)триплетных бозонов ис¬
черпывает все возможности несохранения барионного числа в перенормируемых
взаимодействиях, если не вводить новых фермионов.
Дальнейшие ограштчения накладывает инвариантность относительно SU(2)W
и слабого гиперзаряда. Начнём со случая векторных частиц V. Учитывая, что
U^ и являются полями антикварков, получим, что имеются две комбина¬
ции полей, взаимодействие типц (11.34) с которыми приводит к вершине рис. 11.2 а:
I)·
(11.36)
-1)
(11.37)
(в скобках указано представление группы SU(2)и- в данном случае дублет¬
ное 2 — и слабый гпперзаряд соответствующего оператора). Такие же квантовые
374
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
числа должна иметь комбинация антикварка и лептона (или антилептона), с ко¬
торой взаимодействует поле V. Дублетными по SU(2)и- являются комбинации
^с)(2·!)’ 1и?(2-1)·· £^с)Н)
(напомним, что для группы SU(2) дублетное представление совпадает со своим
сопряжённым). Видно, что векторные бозоны должны быть дублетами относи¬
тельно SU(2)lV; при этом есть две возможности: либо векторный бозон V имеет
слабый гиперзаряд —1/3 и участвует во взаимодействиях вида
V'D^QL + ViLuP+ h.c.,
либо он имеет слабый гиперзаряд 5/3 и участвует во взаимодействиях
VW^Ql + V'QlE^ + V^LD{lc) + h. с.,
где лоренцева стрз'ктура и константы связи не выписаны. Для второго слу¬
чая вершины с участием верхней и нижней компонент дублета V изображены
на рис. 11.7 в терминах исходных кварков и лептонов.
Рис. 11.7. Взаимодействия векторных бозонов, нарушающие барионное число.
У4/3 и У1/3 обозначают верхнюю и нижнюю компоненту слабого дублета, 4/3
и 1/3 — электрические заряды соответствующих частиц. Показаны взаимо¬
действия с лептонами и кварками первого поколения; на самом деле в каждой
из внешних линий может фигурировать любая линейная комбинация кварко¬
вых или лептонных полей всех поколений с телш же квантовъши числами
Обратимся теперь к скалярам. В этом случае взаимодействия вида (11.35),
приводящие к вершине типа изображённой на рис. 11.2 а, могут включать
комбинации
QlQl
2
1; 3
υ\ο)ϋ\ο)
QlQl
-I
*'f)·
U^D^f
4)·
4С,4С)(:
(11.38)
(11.39)
Имеется единственная триплетная по SU(2)W комбинация вида (11.35), включа¬
ющая один аитикварк и приводящая к вершине типа изображённой на рис. 11.2 Ь:
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
375
Таблица 11.1.
Взаимодействия, нарушающие барионное число, в терминах обычных кварковых
и лептонных полей
Квантовые
числа относительно
SU{3)cXSU(2)wxUY
Взаимодействует с
вектор V\
3, 2, -1/3
DrQl, LUr
вектор V
3, 2, 5/3
UrQl, QlEr, LDr
скаляр S1
3, 3, 2/3
QlQl, QlL
скаляр S2
3, 1, 2/3
QlQl, UrDr, QlL, OrEr
скаляр 5з
3, 1, 8/3
UrUr, DrEr
и синглетные комбинации
4c)4c)(vf). (и·41)
Таким образом, триплетный относительно SU(2)ΙΛ· скаляр со слабым изоспином
2/3 может взаимодействовать с комбинациями (11.38), (11.40), а синглетные ска¬
ляры — с подходящими комбинациями из (11.39), (11.41). Все эти возможности
перечислены в табл. 11.1; все взаимодействия имеют структуру вершин, изобра¬
жённую на рис. 11.8. Итак, мы убедились, что в отсутствие новых фермионов
заряд (В — L) должен сохраняться.
а) 6)
Рис. 11.8. Во взаимодействиях со скалярами, как и с векторами, сохраняется
заряд (В — L)
Рассмотрим теперь взаимодействия, включающие синглет — фермион Λl-
Антитриплетные но цвету комбинации, участвующие во взаимодействиях с век¬
торами V типа изображённых на рис. 11.5, имеют вид
Qr.AL(2.-l). At4«>(l.|).
376
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
Первая из этих комбинаций имеет квантовые числа, совпадающие с (11.37), так
что векторный бозон с такими квантовыми числами (и антитриплетный по цвету)
действительно может иметь как вершину рис. 11.2 а, так и вершину рис. 11.5.
Скалярные комбинации антикварков и новых фермионов имеют вид
Две последние имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами ком¬
бинаций из (11.39), поэтому возможны два типа скаляров, обладающих как вер¬
шинами типа рис. 11.8 а, так и вершинами типа рис. 11.5.
Нейтральный фермион Al может иметь майорановскую массу, см. Прило¬
жение С. Если он стабилен, то он космологически разрешён (а при подходящих
значениях параметров может выступать в роли частицы тёмной материи), если
возможна аннигиляция двух Al (например, в пару хиггсовских бозонов за счёт
обмена новым нейтральным скаляром Σ, см. рис. 11.9), причём сечение анниги¬
ляции должно быть достаточно велико7. В то же время, если барионная асиммет¬
рия генерируется в процессах типа изображённых на рис. 11.2 и 11.5, то должны
быть запрещены (или сильно подавлены) взаимодействия с обычными лептонами
и дублетом Энглера—Браута—Хиггса типа
приводящие к вершине рис. 11.10 (такие вершины разрешены по калибровочным
квантовым числам Стандартной модели). В таких взаимодействиях нарушались бы
лептонное число и заряд (В — L), что вместе с электрослабым нарушением бари-
онного и лептонного чисел приводило бы к вымыванию барионной асимметрии.
Рис. 11.9. Пример диаграмлш. приводящей к аннигиляции двух Al
t> Задача 8. Считая, что массы частиц Al и Σ малы по сравнению с массами
бозонов V и S, участвующих во взаимодействиях с нарушением барионно-
го числа, и что при энергиях ниже mv,ms частицы Al участвуют только
во взаимодействих рис. 11.9, найти космологические ограничения па пара¬
метры этих взаимодействий (массы тп,\, τηΣ и юкавскпе константы). От¬
дельно рассмотреть случаи т,\ тЕ и m,\ тЕ. При каких значениях
параметров фермион Al будет частицей тёмной материи?
'Именно благодаря наличию таких процессов лептонное число фермиона Al естественно
положить равным нулю.
h\H' AlL + h. с.,
(11.42)
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
377
> Задача 9. Пусть фермион Аь имеет майорановскую массу шд тпь, где
тли — масса бозона Хиггса Стандартной модели.
1. При каких значениях юкавской константы /гд в (11.42) взаимодей¬
ствия рис. 11.10 несущественны с точки зрения космологии? Считать,
что процессы аннигиляции рис. 11.9 приводят к пренебрежимо малой
концентрации частиц А при низких температурах.
2. Взаимодействия (11.42) приводят к вкладам в массы обычных ней¬
трино за счёт механизма качелей (см. Приложение С). С учётом ре¬
зультатов предыдущего пункта найти ограничение на эти вклады.
> Задача 10. Пусть взаимодействия рис. 11.9 отсутствуют, а взаимодействия
рис. 11.10 имеются. Пусть барионная асимметрия генерируется во Вселен¬
ной при Т тпд (например, в распадах сверхтяжёлых скалярных бозо¬
нов S по каналам S —> qq и S —> qAi, ср. с рис. 11.8 а и 11.5). Считая, что
фермионы А£, имеют большую майорановскую массу тд тн, найти
ограничения па тд и h\ из требований: (а) барионная асимметрия долж¬
на сохраниться до современной эпохи; (б) фермионы Аь должны распа¬
даться задолго до эпохи нуклеосинтеза. Оценить при этих условиях вклад
взаимодействий (11.42) в майорановскую массу обычных нейтрино.
Обратимся, наконец, к ещё одному случаю, отмеченному выше. А именно,
рассмотрим новый нейтральный фермион Αι с лептонным числом +1, и будем
считать, что лептонное число сохраняется при энергиях и температурах ниже
Mgut (с точностью до электрослабых эффектов), а новый лептон имеет корот¬
кое время жизни. Минимальная возможность состоит в том, что Λl является
левой компонентой дираковского фермиона Λ. Тогда в лагранжиан Стандартной
модели можно добавить слагаемые (кинетический член для Λ не выписываем)
МдАЛ -Ь Л-д АН^ L Т h. с.
Если масса Л велика по сравнению с массой хиггсовского бозона, Мд > т^, то
лептон Л будет распадаться в основном по каналам Л —► hPv, А —> при
Мд < m/ι распад будет идти на три фермиона за счёт обмена бозоном Хиггса.
Такой тяжёлый нейтральный лептон с малым временем жизни космологически
разрешён.
а) Ь)
Рис. 11.10. Вершины взаимодействия с хиггсовским бозоном, нарушающие леп¬
тонное число
378
Глава 11. Генера ция барионной а симметрии
о Задача 11. Остаются ли в только что описанном расширении Стандартной
модели безмассовые нейтрино?
11.2.3 Несохранение лептонных чисел
и майорановские массы нейтрино
Как обсуждается в Приложении С, один из привлекательных способов [187.
188, 189, 190] объяснить малые массы известных нейтрино состоит в добавлении
к Стандартной модели физики частиц новых фермионных полей iV£. которые
мы будем считать левыми двухкомпонентными фермионами. Индекс а нумеру¬
ет эти поля; хотя это и не совсем обязательно, мы будем в дальнейшем считать,
что новых полей — три (по числу поколений фермионов Стандартной модели),
т. е. а = 1.2,3. Поля Аг£ имеют майорановские массы и взаимодействуют с .пепто¬
нами и полем Энглера—Браута—Хиггса Стандартной модели (только такое вза¬
имодействие разрешено инвариантностью относительно калибровочной группы
Стандартной модели, если не вводить в рассмотрение неперенормируемые вза¬
имодействия), так что лагранжиан, включающий Аг£. имеет вид (кинетический
член имеет стандартный вид, и мы его не выписываем)
£ = _ !£(3л1с)аЯ*1'? + h. с., (11.43)
где La — левые лептонные дублеты Стандартной модели. Н связано с по¬
лем Стандартной модели Н соотношением (см. Приложение В) Hi = tijHj,
i,j = 1,2 — индекс дублетного представления группы SU(2)и·. суммирование
по о. β подразумевается, юкавские константы уаз принимают, вообще говоря,
комплексные значения, а массы Ма — действительны.
В пренебрежении вторым членом в (11.43) (это приближение очень хорошо
выполняется в данном контексте) поля Аг£ описывают три частицы (фермиона)
с массой Ма. Юкавское взаимодействие в (11.43) приводит к тому, что эти части¬
цы распадаются. Нас будет интересовать случай высоких температур, когда сред¬
нее значение поля Энглера—Браута—Хиггса равно нулю (см. Главу 10). В этом
случае дублет скаляров Н описывает скалярные частицы (две электрически ней¬
тральные и одну заряженную). Считая, что MQ ν. получим, что выписанный
в (11.43) член юкавского взаимодействия описывает распад (рис. 11.11 а)
Να -» Ь1ц, (11.44)
где Ιβ обозначает обычный заряженный лептон или нейтрино поколения β. ah —
одну из хиггсовских частиц. Эрмитово сопряжённый член взаимодействия описы¬
вает распад, в конечном состоянии которого присутствует антилептон8 (рис. 11.11 Ь).
Να hig.
(11.45)
11.2. Несохранение барионного и лептонных чисел
379
h
УаЗ
Рис. 11.11. Диаграммы распада тяжёлого нейтрино
Ясно, что существование обоих этих процессов означает, что лептонные чис¬
ла не сохраняются, какие бы лептонные числа не приписать фермионам Na.
Этот же вывод следует из возможности рассеяния (рис. 11.12)
и из существования безнейтринного двойного /3-распада. Для дальнейшего по¬
лезно отметить, что по порядку величины ширина распада частиц Na равна
Более точно, полная ширина распада даётся величиной (считая Ма v)
Рис. 11.12. Диаграмма рассеяния лептона, сопровождающегося нарушением
лептонных чисел
8Вообще говоря, в (11.44) и (11.45) фигурируют различные скалярные частицы. Здесь и да¬
лее это обстоятельство будет несущественно для нас, и мы будем использовать для этих скаля¬
ров одно и то же обозначение h.
hi а
—»■ Μβ
(11.46)
380
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Подчеркнём, что в древесном приближении парциальные ширины распадов
(11.44) и (11.45) одинаковы,
Γ(Να -> hl0) = Γ{Να -> hip). (11.47)
Это не так при учёте петлевых поправок, что крайне существенно с точки зрения
генерации барионной асимметрии (см. обсуждение в разделах В.4 и 11.4).
с> Задача 12. Рассмотрим теорию одного левого фермионного поля Nl (ин¬
декс L в дальнейшем в этой и следующей зада чах опускаем) с лагранжианом
С = ιΝημδμΝ - Ц-Ν^Ν.
Найти уравнение поля и его решения с положительной энергией. Рассмот¬
реть, в частности, случай |р| М, где р — трёхмерный импульс. Волновые
функции каких частиц описывают найденные решения?
о Задача 13. Проквантовать модель предыдущей задачи. Добавив юкавское
слагаемое (у№с) φφ + /}.. с.), где ф π φ — левый фермион и скаляр соответ¬
ственно, найти ширины распада N —>■ Φφ π N —>· Φφ* в древесном прибли¬
жении. Убедиться в справедливости оценки (11.46) и соотношения (11.47)
в древесном приближении.
11.3 Генерация асимметрии в распадах частиц
В теориях, расширяющих Стандартную модель, нередко возникает простой
механизм генерации барионной асимметрии Вселенной в распадах частиц. Как
мы обсуждали в разделах 11.2.2 и 11.2.3, в таких теориях могут иметься новые
тяжёлые частицы, в распадах которых нарушается барионное и/или лептонное
числа. В действительности существенным является нарушение (В — L): в ранней
Вселенной распады этих новых тяжёлых частиц происходят при температуре вы¬
ше температуры электрослабого перехода, поэтому из-за электрослабых процес¬
сов, описанных в разделе 11.2.1, барионная асимметрия остаётся9 во Вселенной,
только если на ранних стадиях генерируется отличное от нуля (В — L).
Как мы обсуждали в разделе 11.2.2, в теориях Большого объединения воз¬
можны, например, процессы распада нового тяжёлого скалярного бозона S
(или векторного бозона V) по каналам:
(1) : S -> qq,
(2) : S —> дЛ,
(11.48)
где q обозначает обычные кварки, а Л — новый фермион, нейтральный по от¬
ношению к SU(S)C х SU(2)„,- х U(1)Y и имеющий лептонное число L\, равное 0
эМы обсудим возможность генерации барионной асимметрии за счёт самих электрослабых
процессов в разделе 11.5.
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц
381
или +1 (для определённости будем считать Рд = 0). Для упрощения последую¬
щих формул мы пренебрегаем распадами 5 —» ql, хотя это совсем не обязательно.
В конечных состояниях процессов первого и второго типа (B — L) имеет значения
(B-L)w = (В-£)(3) = -1
Бозон S — антитриплет по цвету, поэтому в теории должна иметься его антича¬
стица 5 — триплет. Распады последнего по каналам
(1) : S —> qq,
(2) : 5 —> qA
имеют в конечных состояниях
(B-L)m = -|, (B-L){i) = l
(11.49)
Если при температуре, превышающей массу 5-бозона т5. частицы 5 и 5 нахо¬
дятся в термодинамическом равновесии, то их количество, с точностью до цве¬
тового и спинового множителей, — такое же, как количество частиц других ти¬
пов. При понижении температуры термодинамическое равновесие нарушается:
5-бозоны распадаются, а обратный процесс их образования не идёт. В резуль¬
тате возможно образование (В — Р)-асимметрии; для этого требуется, чтобы ве¬
роятности распадов (1) и (2) не совпадали с вероятностями распадов (I) и (2)
соответственно. Обозначим парциальные ширины процессов (1), (2), (Ϊ) и (2),
через Г(!), Г(2). T(j), Г^)· В распадах одного 5-бозона и одного 5-бозона образу¬
ется (В — Р)-асимметрия
где Γίοί — полная ширина 5-бозона, которая, согласно СРГ-теореме, совпадает
с полной шириной 5-бозона,
Γίοί — Г(!) + Г(2) — Г(1) + Г(2)
(считаем для простоты, что других каналов распада нет). Учитывая последнее
равенство, получим для «микроскопической асимметрии»
г Γ(ΐ) ~Γ(ΐ)
Γίοί
Отличие друг от друга парциальных ширин распадов (1) и (Ϊ) возможно только
благодаря нарушению С- и СР-симметрий — так проявляется второе из условий,
рассматривавшихся в разделе 11.1.
На уровне древесных диаграмм (см. рис. 11.8 а) парциальные ширины рас¬
падов частицы и античастицы по сопряжённым каналам совпадают, например,
(11.50)
382
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Действительно, с точностью до одинаковых кинематических множителей эти ши¬
рины равны на древесном уровне квадрату модуля константы связи д(χ), стоя¬
щей в вершине взаимодействия, который одинаков для частицы и античастицы.
На однопетлевом уровне равенство типа (11.51), вообще говоря, не имеет места
(ср. с разделом В.4). Для того чтобы микроскопическая асимметрия (11.50) была
отлична от нуля, достаточно предположить, что помимо бозона S в теории име¬
ются другие бозоны S' с теми же квантовыми числами, и что константы связи
всех этих бозонов с фермионами комплексны: именно комплексность констант
связи обеспечивает СР-нарушение в моделях рассматриваемого типа. С учётом
однопетлевого вклада амплитуда распада S по каналу S —> qq даётся тогда сум¬
мой диаграмм, изображённых на рис. 11.13 (есть и другие диаграммы, но для нас
достаточно рассмотреть только эти).
Рис. 11.13. Во втором порядке теории возмущений амплитуда распады S —► qq
даётся суммой древесной диаграммы и диаграммы с обменами всевозможными
бозонами S'. аналогичными по квантовым числам бозону S. Показаны констан¬
ты связи, стоящие в вершинах взаимодействия
С точностью до общего кинематического множителя парциальная ширина
Γ(ΐ) в этом приближении равна
Г(1) = const- · |с/(!) + -^ff(2)ff(2')ff(l') |:
где D — фейнмановский интеграл для однопетлевой диаграммы рис. 11.13, сум¬
мирование по всем бозонам S' подразумевается. Аналогичная амплитуда для
античастицы содержит комплексно-сопряжённые константы связи, поэтому
10 Отметим, что в этом приближении δ = 0, если имеется только один 5-бозон, так что 9(\’) =
9(1) и 9(2') = 9(2)· Условия, при которых имеется ненулевая мнимая часть у величины D, кратко
обсуждаются в разделе В.4.
S
9(\)
Я
Я
Γ(ΐ) — const ■ + B>g^2)9(2')9(i')\·
В результате для микроскопической асимметрии получаем10
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц
383
Эта величина пропорциональна, грубо говоря, квадрату константы связи; Im(D)
содержит дополнительную «петлевую» малость (~ 1/(4тг)), так что оценка для δ
(в предположении, что фазы констант д(г) и не малы и никак не скоррели¬
рованы) имеет вид
δ ~
ms
ms>
(11.52)
где функция / отношения масс ms и тп5> по порядку величины равна едини¬
це при m5 > mst и убывает с уменьшением ms/ms> (массами фермионов мы
пренебрегли).
> Задача 14. Вычислить асимметрию δ для рассмотренных процессов, счи¬
тая S и S' скалярами. Найти её зависимость от отношения масс S- и S'-
бозонов. считая ms < ms> (но не обязательно ms ms>).
Обратимся теперь собственно к генерации космологической (В — ^-асим¬
метрии. Самая простая ситуация имеет место тогда, когда частицы S и 5 нахо¬
дятся в термодинамическом равновесии при Т ms, а при Т < ms доминиру¬
ющими процессами являются процессы их распада. Как первое предположение,
так и второе — нетривиальны: для первого требуется чтобы во Вселенной до¬
стигались высокие температуры, Т ms, и, кроме того, чтобы при таких темпе¬
ратурах интенсивно происходили процессы образования и аннигиляции 5-5 пар.
Второе предположение выполняется, только если эти процессы парного рожде¬
ния и аннигиляции «выключены» при Т < ms, и, кроме того, образование ча¬
стиц S и 5 в процессах, обратных к (11.48) и (11.49) (обратные распады), было
пренебрежимо мало. Для последнего требуется, чтобы ширина распада 5-частиц
была мала по сравнению с темпом расширения при Т ~ ms.
2
ТП
rtot<H(T~ms) = -f. (11.53)
1V1Pl
Если все эти условия выполнены, то при Т > ms плотность числа 5-частиц
(и их античастиц) — такая же, как всех других ультрарелятивистских частиц
в космической плазме, ns ~ Т3, т. е.
ns J_
s g*
где по-прежнему s — это плотность энтропии. В результате последующих распа¬
дов 5 и 5 образуется асимметрия
г
Δβ—l ~ δ—— ~ —. (11.54)
5 3*
Видно, что в этом случае асимметрия получается достаточно большой даже при
малой микроскопической асимметрии: необходимое значение Δb-l ~ 10“10 до¬
стигается при δ ~ 10-8 (считаем, что число степеней свободы <?* при Т ~ ms
несильно отличается от его значения в Стандартной модели, д^м ~ 100).
384
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Условие (11.53) предполагает, что масса 5-частиц весьма велика. Действи¬
тельно, учитывая оценку
д2
Γίοί ~ ^—ms, 11.55
47Г
где д — константа связи 5 с фермионами, получим, что условие (11.53) приво¬
дится к виду
(р·
ms > т-М^. (11.56)
47Г
Например, для д2/(4тг) ~ 10-2 получаем ms > 1016 ГэВ. Возможность разогре¬
ва Вселенной до таких температур представляется весьма проблематичной. При
малых константах связи условию (11.56) удовлетворить проще, однако и в этом
случае масса 5-частиц должна быть велика. Действительно, если не подгонять
параметры, оценка для микроскопической асимметрии имеет вид (11.52), т. е.
<5 < д2/(4тг). Вместе с (11.54) требование Δb-l ~ Ю-10 даёт д2/(4тг) > 10-8, т. е.
ms > Ю10 ГэВ.
Общее утверждение состоит в том, что генерация асимметрии в распадах ча¬
стиц может происходить в случае частиц большой массы и, соответственно, при
высоких температурах.
Отметим, что в описанном сейчас простом сценарии третье условие из пере¬
численных в разделе 11.1 (отклонение от термодинамического равновесия) вы¬
полняется довольно тривиально: при Т < ms процессы распада частиц имеют
место, а процессы обратного распада не происходят вовсе.
Рассмотрим теперь случай, когда неравенство (11.53) не выполняется. Вве¬
дём параметр
К =
Г tot
Н{Т ms)
Г
totMpf
m
(11.57)
и будем считать его большим,
К^> 1.
Зависимость от этого параметра в действительности не очень сильная, т. е. и в этом
случае возможна генерация (В — Г)-асимметрии, если величина ms достаточно
велика. В отличие от предыдущего случая, при оценке асимметрии не прихо¬
дится делать предположения о том, что 5 и 5 находились в термодинамическом
равновесии при Т ms: более того, максимальная температура во Вселенной
может быть даже несколько меньше ms.
Мы убедимся в конце раздела, что при К > 1 оценка для (B-L)-асимметрии
имеет вид
AB-l = const гг (11.58)
д*К In л
где константа — порядка единицы. Отсюда, как и в случае малых ширин распа¬
да (11.53), следует, что массы 5-частиц должны быть весьма велики. Если все
существенные константы связи имеют один и тот же порядок величины, то для
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц
385
микроскопической асимметрии имеем оценку (11.52), т. е. <5 < д2/(4тг), а для ши¬
рины — оценку (11.53), Гtot ~ g2ms/(4тг). С учётом определения (11.57) имеем
поэтому, с точностью до логарифма,
ms>AB-L · 9*Мр1,
т. е. снова получаем
ms > Ю10 ГэВ.
Это ограничение можно несколько ослабить, рассматривая модели, где констан¬
ты связи имеют разные порядки величины (например, константы и д^>)
велики по сравнению с д^ и др) на диаграмме рис. 11.13), но в любом случае
масса 5-частиц оказывается весьма большой.
Суммируя, можно сказать, что распады тяжёлых частиц дают весьма эф¬
фективный механизм генерации асимметрии (В — L) и, следовательно, барион-
ной асимметрии. Этот механизм может работать в теориях Большого объедине¬
ния с несохранением (В — L). Возможно и его обобщение на суперсимметрич¬
ные теории Большого объединения, при этом в роли 5-частиц могут выступать
как бозоны, так и тяжёлые фермионы. Некоторую (но преодолимую) трудность
для теорий Большого объединения представляет тот факт, что характерный мас¬
штаб масс в них очень велик (см. (11.29)), и соответствующие температуры могли
не достигаться во Вселенной (в большинстве инфляционных моделей это имен¬
но так).
Получим оценку (11.58). Будем пока считать, что при Т < ms доминирующи¬
ми процессами являются распады 5 и 5 и обратные распады. Может показаться,
что обратные распады, т. е. процессы типа
qq —► 5 (11.59)
должны происходить с очень малой вероятностью, поскольку энергия двух на¬
чальных частиц в системе центра масс должна быть подобрана равной массе 5-
частицы с точностью порядка её ширины Гtot. Вероятность обратных процессов,
тем не менее, не мала: в термодинамическом равновесии число распадов и об¬
ратных распадов 5-частиц должно быть одинаково. Следовательно, если кварки
и лептоны имеют равновесные функции распределения, число обратных распа¬
дов в единицу времени (в сопутствующем объёме) равно
(11.
где nesq — равновесная концентрация 5-частиц.
rf(no6p,g3)
dt
= Г tot · nesq ■ (t
t> Задача 15. Пренебрежём расширением Вселенной. Показать явным вычис¬
лением. используя равновесные функции распределения кварков, что ско¬
рость процесса обратного рождения (11.59) равна
dn,
qq~*S
= Г (5 —*■ qq)
η
dt
386
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
где Г (S —> qq) — парциальная ширина распада S —* qq. Указание: огра¬
ничиться случаем низких температур, Т <С ms; цвет кварков и S-частиц
не учитывать.
Распады S'-частиц дают следующий вклад в изменение их количества в еди¬
ницу времени в сопутствующем объёме:
d(ndeca3)
dt
— Г tot * ‘ & -
(11.61)
Складывая (11.60) и (11.61), получим уравнение Больцмана для концентрации
S-частиц
^ = “Γίοί · (ns · α3 - neq · о3). (11.62)
Рассмотрим теперь плотность (В — L) в среде (без ограничения общности будем
считать, что S- и S-частицы имеют (B — L) = 0), обозначив её пв-l· Её изменение
происходит из-за нескольких факторов. Во-первых, она образуется в результате
распадов S и S со скоростью
δ ■ Г tot ■ ■ β
(речь всюду идёт об изменении (В — L) в сопутствующем объёме). Во-вторых,
даже если (В — L) в среде равно нулю, СР-нарушение в обратных распадах при¬
водит к вкладу
-δ -Ttof neq - α3,
так что в термодинамическом равновесии (В — L) не образуется11. Наконец, если
в среде уже имеется ненулевое (В — L), то оно замывается за счёт образования S-
частиц. Действительно, если в среде больше кварков, чем антикварков, процессов
обратного распада qq —» S происходит больше, чем процессов qq —► S. Изменение
(В — L) за счёт этого механизма пропорционально полному количеству обратных
распадов, т. е. величине (11.60), и избытку фермионов с положительным (В — L),
т. е. соответствующий вклад равен
π еп 3 nB-L
—сГtot ■ rTq ■ ai ■
где nq — равновесная концентрация кварков, а константа с ~ 1 учитывает коли¬
чество каналов распада. В итоге получаем уравнение
d{nB-L ■ a3) , „ / 3 ео 3\ Т eg 3 nB-L
— — = d · rtot · (ns · ar - neq ■ αά) - cTtot ■ neq · αύ ■ .
dt na
Первый член в правой части отвечает за генерацию, а второй — за вымыва¬
ние (В — L).
11 Мы несколько упрощаем изложение: помимо распадов и обратных распадов в динамике
(В — L) играют роль и процессы резонансного рассеяния фермионов между собой. Последующие
формулы, тем не менее, справедливы: по-существу, они вытекают из того соображения, что
в термодинамическом равновесии (В — L) = 0 и ns = Нерезонансное рассеяние мы в нашем
несколько упрощенном изложении не учитываем, см. в связи с этим раздел 11.4.
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц
387
Удобно использовать уравнение (11.62) и записать
d{nB-La3) r d{nsa3) _ео _3 nB-L
j. —О · . dTtot ' ns ' α
at at Tin
(11.63)
Система уравнений (11.62) и (11.63) позволяет найти плотность числа 5-частиц
и асимметрию (В — L) в любой момент времени, если они заданы в некоторый
начальный момент t{.
Удобно ввести величины
ЛГ _ Us АТ - nB-L
~~ jp3 И ^ B — L — J,3 7
так что
nsa3 = const · Ns, ηΒ-Βα3 = const · NB-l
с одной и той же константой. Кроме того, введём переменную
ms
(11.64)
2 —
и воспользуемся тем, что
-1-нсп-нсг-^.
Тогда, с учётом соотношения nq ос Т3, уравнения (11.62) и (11.63) примут вид
dN
-j± = -Kz{Ns-Nt% (11.65)
dNB-L = -δ ■ Ip- - Κζ ■ Nf ■ NB-l, (11-66)
dz dz
где параметр К определён в (11.57) и
Г3
К = с— · К ~ К.
Tlq
Напомним, что нас интересует случай К 1. Далее, интерес представляют
низкие температуры, Т <§; ms. т.е. 2>1. Тогда равновесная концентрация 5-
частиц равна (спиновый и цветовой множители не выписываем)
η
е<? _
5 —
msT
2тг
3/2
| е“т*/т,
т. е. с точностью до несущественной численной постоянной с
Nesq = cz3/2e~z. (11.67)
Таким образом, входящие в уравнения (11.65), (11.66) величины определены явно.
388
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Начнём с уравнения (11.65). Его решение имеет вид
Ns{z) = ехр| —^ (z2 — z'2)^Kz'Nf1 (z) dz + exp| —^ (z2 — |>Ars(zi),
где Zi = ms/Ti — начальное значение переменной z, при котором задана плот¬
ность 5-частиц Ns(zi). Из этого решения видно, что при К 3> 1 начальное значе¬
ние плотности 5-частиц быстро забывается (второе слагаемое быстро стремится
к нулю). Далее, при К » 1 основной вклад в интеграл даёт область z', близких
к z (если iV|9(z) не слишком мало), поэтому
Ν;{ζ) = Ν? + θ(Γ\.
(11.68)
Оба этих свойства совершенно очевидны: большое К соответствует большой ве¬
роятности процессов распада и обратного распада, так что 5-частицы находятся
в состоянии, близком к термодинамическому равновесию со средой.
Обратимся теперь к уравнению (11.66). Опуская поправки порядка К~1, его
можно записать в виде, учитывающем (11.68):
(INb-l
dz
- Κζ ■ N? · NB-L.
(11.69)
Отклонение от термодинамического равновесия, приводящее к генерации асим¬
метрии благодаря первому слагаемому в правой части, теперь проявляется до¬
вольно тонким образом: хотя концентрация 5-частиц близка к равновесной в каж¬
дый момент времени, она всё же изменяется со временем (и, соответственно, с из¬
менением z), так что ситуация вполне равновесной не является.
Решение уравнения (11.69) имеет вид
NB-L{z) = -S
+ е“'<1ьг,Лгв-ь(г.),
(11.70)
где
J(z,z') = ^ Nesq{z")Kz" dz".
Видно, что как и начальная плотность 5-частиц, начальная асимметрия тоже
быстро забывается при больших К, если начальная температура — порядка или
несколько меньше ms (так что Nlq(zi) не слишком мала).
> Задача 16. Пусть максимальная температура во Вселенной равна Тг·.
и К 1. Оценить максимальное значение Тг, при котором начальная
(В — L)-асимметрия в большей своей части сохраняется до наших дней.
Считая, что начальная температура достаточно близка к ms или больше ms,
пренебрежём вторым слагаемым в (11.70) и запишем для асимметрии, остающей¬
ся при низких температурах,
Nb-l
U.tdN?
dz
dz,
e
(11.71)
11.3. Генерация асимметрии в распадах частиц
389
где
1(г) = Ι(ζ,
Νρ{ζ')Κζ'dz'.
Интеграл (11.71) набирается при довольно больших z (т. е. температурах, малых
по сравнению с ms)'· асимметрия, образованная при z ~ 1 (т. е. Т ~ ms) за счёт
первого члена в (11.69), замывается при последующей эволюции. Из (11.67) имеем
при больших z
dNs4
dz
= -cz^2e~z
-Ν?(ζ).
(11.72)
Таким образом, подынтегральное выражение в (11.71) является произведени¬
ем двух экспоненциальных множителей: убывающего множителя е~г из (11.72)
(убывание концентрации 5-частиц и, соответственно, эффекта генерации (В — L)
с ростом г, т. е. убыванием температуры) и растущего множителя е~ΓΖ) (ослаб¬
ление процесса вымывания асимметрии с понижением температуры). Такой сед¬
ловой интеграл определяется поведением подынтегрального выражения в точке
минимума показателя экспоненты, т. е. выражения
f(z) = I{z) + z.
Этот минимум достигается при z = г*, таком что
Nlq(z*)Kz* = 1. (11.73)
Вспоминая (11.72), имеем12 при больших К (см. Раздел 6.1 по поводу решения
уравнений такого типа)
г* = ΙηΚ + 0(\η{\ηΚ))=ΙηΚ + 0(\η(\ηΚ)).
(11.74)
В этой точке как сам интеграл ϊ(ζ*), так и его первая и вторая производные
порядка единицы, так что
/(z*) = 2« + e>( 1)
Последнее соотношение означает, что интеграл (11.71) набирается в области во¬
круг z* размера
Δζ ~ 1 «С ζ*.
В итоге получаем
NB-l = S ■ const · iV|9(z„)
и окончательно, с учётом (11.73),
Nb-l = const · — — const ■ ————, (11.75)
Κζ* К In К
где константа — порядка единицы. Отсюда и следует (11.58).
12При не слишком больших К приближение z* = In К работает плохо, но для нас это будет
несущественно.
390
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Обсудим полученный результат и приведённое вычисление. Во-первых, тем¬
пература Т*. при которой генерируется асимметрия, определяется форму¬
лой (11.74), т. е.
г* -
га5
In К'
(11.76)
При этой температуре вымывание асимметрии уже не слишком эффективно
(/(z*) ~ 1); а концентрация 5-частиц и количество их распадов всё ещё до¬
вольно велики.
NГ
dNesq 1
dz ~ К\пК'
Именно из-за этого результирующая асимметрия не слишком мала даже при
больших К. Далее, результат (11.75) справедлив, если во Вселенной достигалась
температура Т*. т. е. температура, несколько меньшая ms- Вся асимметрия гене¬
рируется при этом в интервале температур, малом по сравнению с самой темпе¬
ратурой.
АТ _ Аг _ 1
Т* г* In К'
Обратим внимание на следующий факт. В использованном нами основном
уравнении (11.69) в действительности потерялась информация о том, какие имен¬
но процессы поддерживают концентрацию 5-частиц вблизи её равновесного зна¬
чения. Вместо процессов распада и обратного распада (или вместе с ними) это
могут быть, например, процессы парной аннигиляции и рождения 5 и 5. Такая
ситуация имеет место для цветных 5 и 5, рассмотренных в разделе 11.2.2. Тем
не менее, результат (11.58) остаётся справедливым при К 1.
В завершение раздела обсудим кратко возможность одновременного реше¬
ния проблем барионной асимметрии Вселенной и тёмной материи через совмест¬
ное производство барионов и частиц тёмной материи, например в распаде гипо¬
тетических нестабильных частиц в ранней Вселенной. Этот механизм назвали
hylogenesis [180] (различные модели подробно рассмотрены, например, в обзоре
[181]). Идея состоит в том, что частицы тёмной материи несут отрицательный
барионный заряд, так что в целом Вселенная барион-нейтральна. В результате
распадов тяжёлых частиц на барионы и частицы тёмной материи образуется од¬
новременно асимметрия в видимом и тёмном секторах. Можно подобрать состав
полей и величины модельных параметров так, чтобы легчайшие частицы обоих
секторов были стабильны.
Сценарий привлекателен тем, что поскольку те и другие частицы образуются
в одном и том же распаде, естественно ожидать их близких реликтовых концен¬
траций, пв ~ пом, а потому соотношение Ωβ ~ Qdai естественно объясняется
в модели, где массы стабильных частиц одного порядка, тв ~ том- В простей¬
ших реализациях пв = QDMnDAl· где qdm ~ 1 обозначает величину барионного
заряда частицы тёмной материи. Таким образом, масса частицы тёмной мате¬
рии фиксирована, том = t^pQdm^dai/^в ~ §<Idm ГэВ. Такие частицы могут
рождаться в столкновениях протонов на Большом адронном коллайдере, при¬
чём по одной, а не парами, как WIMPs. Они могут аннигилировать с протонами
галактических гало, давая сигнал в космических лучах. Стандартные прямые
11.4. Барионная асимметрия и массы нейтрино: лептогенезис
391
поиски таких лёгких частиц тёмной материи не слишком перспективны, зато их
возможная аннигиляция в веществе детектора будет выглядеть как распад про¬
тона или нейтрона — поиски таких процессов ведутся, например в эксперименте
SuperK.
11.4 Барионная асимметрия и массы нейтрино:
лептогенезис
Как мы обсуждали в разделе 11.2.3, несохранение лептонного числа, а зна¬
чит и (В — L), может быть связано с отличием от нуля масс нейтрино. Поэтому
представляется привлекательным попытаться объяснить барионную асимметрию
в рамках того же подхода, который используется при объяснении масс нейтрино.
Источником барионной асимметрии в этом случае могут служить распады N-
частиц. рассмотренных в разделе 11.2.3. В этих распадах может образовываться
лептонная асимметрия, которая затем частично перерабатывается в барионную
асимметрию за счёт электрослабого механизма, обсуждавшегося в разделе 11.2.1.
В литературе этот сценарий генерации барионной асимметрии называют лепто-
генезисом [191].
По существу, механизм генерации лептонной асимметрии — тот же, что в раз¬
деле 11.3, только теперь вместо 5-частиц фигурируют майорановские фермио¬
ны Na. Если нет специальной подгонки параметров, лептонная асимметрия об¬
разуется в распадах легчайших из частиц: асимметрия, появившаяся в распадах
более тяжёлых частиц, замывается в процессах с участием более лёгких частиц.
Пусть Νι — самый лёгкий тип iV-частиц. Как мы отмечали в разделах 11.2.3
и 11.3, в древесном приближении парциальные ширины (вероятности) распадов
Ni —> lh и Λ'ι —> lh равны между собой. Однако при учёте петлевых вкладов
это не так, если константы связи, фигурирующие в лагранжиане (11.43), ком¬
плексны, т.е имеет место нарушение СР. Диаграммы, приводящие в однопетле¬
вом приближении к различию парциальных ширин распадов N\ —► lh и iVi —»lh
приведены на рис. 11.14.
Рис. 11.14. Амплитуда распада N\ —► lah даётся суммой вкладов древесной
диаграммы и одпопетлевых диаграмм. В последних суммирование по номераль
поколений β и η подразумевается. Однопетлевые диаграммы, не дающие вкла¬
да в асимметрию, не показаны. Около вершин указаны фигурирующие в них
юкавские константы
392
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Парциальная ширина распада iVi —» lh на однопетлевом уровне даётся, та¬
ким образом, выражением
Γ(ΛΓι -»lh) = const Σ νι* + ΣΌ \ ' y*0y^aymf0
a 5,7 '
(11.77)
где M7 — масса частиц ΝΊ (массами частиц Стандартной модели мы пренебрега¬
ем: мы увидим, что лептогенезис происходит при Т » 100 ГэВ), а
D(Mi/M7) — выражение для суммы однопетлевых диаграмм, изображён¬
ных на рис. 11.14.
Формула для парциальной ширины распада N\ —► lh получается из (11.77)
заменой юкавских констант на сопряжённые, уад —* у^д- Обозначая
Im D
(МЛ
\ΜΊ) 8тг \ΜΊ
имеем для микроскопической лептонной асимметрии
_ Г{Νι -> lh) - Γ(Ν\ -> lh) _
= -— τ /
8тг 4-'.
0=2,3
МЛ 1т^аУ^У*а)
Μ,
Σα \У1*\2
(11.78)
Здесь учтено, что Im(yiQy*a) = 0 для 7=1, так что вклада в асимметрию
диаграммы с обменом самой частицей ΛΓι не дают. В дальнейшем мы будем рас¬
сматривать случай иерархии масс М\ -С Л/2,3· Тогда
(МЛ _ 3 Μχ
\ΜΊ)~ 2 ΜΊ ’
и выражение для микроскопической асимметрии принимает вид
δ =
3 Mi 1
16 π Σα \У^\2
EIm
αβ-f
У1аУ\0
/7a
Μ-
■У 10
(11.79)
(11.80)
> Задача 17. Показать прямым вычислением фейнмановских диаграмм, что
при М7 Μι выполняется равенство (11.79).
В связи с выражениями (11.78) и (11.80) сделаем следующее замечание. Вхо¬
дящие в них комбинации юкавских констант отличаются от комбинаций кон¬
стант, фигурирующих в массовой матрице нейтрино (см. Приложение С, форму-
11.4. Барионная асимметрия и массы нейтрино: лептогенезис
393
Например, преобразование матрицы уа0 вида
у —► yU
(11.82)
с унитарной матрицей U изменяет массовую матрицу нейтрино тар, но оставляет
выражения (11.78) и (11.79) инвариантными. Это и не удивительно: преобразо¬
вание (11.82) соответствует изменению базиса лептонных полей 1а, а результат
для асимметрии от выбора этого базиса не зависит (в пренебрежении массами
лептонов Стандартной модели все базисы лептонных полей эквивалентны). От¬
сюда ясно, что асимметрия δ. вообще говоря, не связана прямо с параметрами
матрицы Понтекорво—Маки—Накагавы—Сакаты (PMNS), описывающей смеши¬
вание обычных нейтрино и ответственной за нейтринные осцилляции. Следова¬
тельно, измерение параметров нейтринных осцилляций не позволяет, вообще
говоря, однозначно ответить на вопрос, имеется ли асимметрия в распадах тяжё¬
лых фермионов Να. Тем не менее, факт существования нейтринных осцилляций
даёт некоторое указание на то, что матрица юкавских констант уаз имеет нетри¬
виальную структуру. Дополнительным указанием на возможность асимметрии
в распадах частиц Να послужит обнаружение в будущих экспериментах СР-
нарушения в осцилляциях нейтрино: оно будет означать, что элементы массовой
матрицы нейтрино, а значит, и юкавские константы комплексны по крайней мере
в калибровочном базисе.
Мы ещё вернёмся к обсуждению формулы (11.80) для микроскопической
асимметрии, а сейчас перейдём к генерации лептонной асимметрии в распадах
частиц ΛΓι. Её анализ дословно повторяет проведённый в разделе 11.3. так что
мы воспользуемся полученными в нём результатами. При фиксированном <5 ге¬
нерация асимметрии наиболее эффективно происходит при
при этом, правда, приходится предполагать, что частицы Ν\ эффективно рожда¬
ются в космической плазме при Т АД за счёт взаимодействий, дополнительных
по сравнению с юкавскими взаимодействиями (11.43). Учитывая, что
Тш{Мх) « Н(Т = АД),
(11.83)
а
И ЧТО
т2
получим, что неравенство (11.83) можно записать в виде
(11.84)
где
(11.85)
394
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
— сумма модулей вкладов частиц Ν\ в массовую матрицу нейтрино. Видно, что
в этом случае требуется сильная иерархия юкавских констант13: если бы все уар
имели один порядок величины, то вклады легчайшей частицы Ν\ в массовую
матрицу (11.81) были бы наибольшими, и массы всех лёгких нейтрино были бы
меньше 10-3 эВ в противоречии с экспериментом (см. обсуждение в Приложе¬
нии С перед формулой (С.57)). Продолжим, тем не менее, обсуждать этот случай,
и получим для него оценку массы Μι, считая для определённости, что в природе
реализуется прямая иерархия масс нейтрино (С.59) с малой массой легчайшего
массового состояния. При выполнении неравенства (11.83) оценка для образую¬
щейся лептонной (а значит, и барионной) асимметрии имеет вид (см. (11.54))
Al
<5
9*
Далее, формулу (11.80) можно записать как
δ
3 Μι 1
8 Σα ΙϊΠα|2
(11.86)
где
ma3 = ~Уа7 9Ί0 (11.87)
— вклад частицы ΛΓ-, в массовую матрицу нейтрино. Учитывая (С.59), имеем
δ <
3 Μι
n tyTHatm-
8 7Г1Г
Асимметрия Al ~ 10 10 получается при <5 ~ 10 8 (считая, что д* ~ 100, как
в Стандартной модели), поэтому
Μι > 108 ГэВ.
Если не вводить в рассмотрение подгонку параметров модели, то эта величина
даёт минимальный масштаб масс тяжёлых частиц Να. позволяющий объяснить
барионную асимметрию их распадами; при этом максимальная температура, ко¬
торая достигалась во Вселенной, должна превышать 108 ГэВ.
Пожалуй, более естественная возможность заключается в том, что суще¬
ствует прямая иерархия масс нейтрино (С.59) и связана она с обратной иерар¬
хией тяжёлых частиц Να. так что m3 ос М^1. пъ эс М^1- т\ ос М^1, причём
Μι «С М2 “С М3. В этом случае для выражения (11.85) имеем оценку
mi ~ rriatm — 0,05 эВ. (11.88)
13Хотя такая возможность не выглядит естественной, считать её исключённой нельзя. На¬
помним, в связи с этим, что сильная иерархия юкавских констант имеет место в Стандартной
модели для заряженных лептонов и кварков.
11.4. Барионная асимметрия и массы нейтрино: лептогенезис
395
так что неравенство (11.84) и, следовательно, неравенство (11.83) не выполня¬
ются, и генерация лептонной асимметрии подавлена процессом её вымывания.
Воспользуемся оценкой (11.58) и запишем
Ai ~ const ·
δ
д*К In Я’
где константа — порядка единицы, а
К =
Гtot
Я (Г - Ml)
4πν2
С учётом оценки (11.88) множитель подавления составляет
(11.89)
Я ~ 100,
и для получения Al ~ 10 10 требуется большее значение микроскопической
асимметрии
δ>10~5. (11.90)
С другой стороны, для 7 = 2,3 выражение (11.87) оценивается величиной ~
msoi, поэтому из (11.86) и (11.90) имеем
Μι > 1012 ГэВ.
Мы видим, что даже при наименее благоприятном для лептогенезиса случае тре¬
буемый масштаб масс новых частиц не является неправдоподобно большим. От¬
метим, что в этом случае не требуется привлекать дополнительных механизмов
образования Я-частиц при высоких температурах, поскольку они достаточно ин¬
тенсивно рождаются в процессах обратного распада; достаточно лишь предполо¬
жить, что Вселенная была разогрета до температур (см. (11.76))
Т>
Μι
In Я
Итак, в сценарии лептогенезиса требуемая барионная асимметрия действи¬
тельно образуется во Беленной, причём параметры модели могут лежать в доста¬
точно широком диапазоне значений. Замечательно, что значения масс нейтрино,
на которые указывают осцилляционные эксперименты, лежат не слишком далеко
от величины
4πν2
Mfi
10_3 ,
так что множитель подавления (11.89) в любом случае не слишком велик. Иными
словами, именно в случае масс нейтрино τη < 1 эВ имеется грубое (в пределах
двух-трёх порядков величины) равенство между темпом расширения Вселенной
при температуре лептогенезиса и шириной легчайшей iV-частицы, Гt0t ~ (1ч-
1000) · Н[Т ~ Μχ). Такое совпадение служит довольно серьёзным указанием
на то, что наблюдаемая барионная асимметрия образовалась именно в результате
лептогенезиса.
396
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
Рис. 11.15. Диаграммы рассеяния лептпонов на скалярах. Эти процессы приво¬
дят к замыванию лептонной асимметрии
Если массы нейтрино больше та*ш ~ 0,05 эВ, то между ними должно быть
вырождение (поскольку разности квадратов масс известны из осцилляционных
экспериментов и максимальная из них составляет Ат2 = m2atTn). В этом случае
интересные ограничения появляются из рассмотрения процесов нерезонансного
рассеяния (рис. 11.15)
lh-> Jh (11.91)
и кроссинг-ироцессов, которые также замывают лептонную асимметрию. Они
дают новый, не рассматривавшийся в разделе 11.3 вклад в уравнение Больцмана
для плотности лептонного числа в сопутствующем объёме
d±^*rlh.{nL.a%
где Гih — темп процессов рассеяния типа (11.91).
В терминах переменной 2 = М\/Т этот вклад имеет вид
М
ос —
Р1
МД
Π/t (г) · ЛГ£,
где Лг£ = пь/Т3. Замывание лептонного числа существенно после момента, соот¬
ветствующего г = 2* = \пК (см. раздел 11.3): именно в этот момент происходит
генерация лептонной асимметрии во Вселенной. Поскольку 2*. как правило, до¬
вольно велико, при интересующих нас 2 > 2* все Лг-частицы нерелятивистские,
и для сечения процессов типа (11.91) имеем оценку
aih = const ·
αβ~ΐ
У-,аУ~;3
(напомним, что частицы Ν-, — фермионы, пропагатор которых при малых им¬
пульсах и энергиях равен 1/А/~). Учитывая выражение (С.69) для массовой мат¬
рицы нейтрино, это сечение можно записать в виде
Tr(mmT) 1 9
aih — const ; = const ■ — > mt.
11.4. Барионная асимметрия и массы нейтрино: лептогенезис
397
Уже из размерных соображений следует, что
Tih = const · aih · Т3
(лептоны и хиггсовские бозоны — ультрарелятивистские при интересных темпе¬
ратурах). Имеем в итоге, что при z > z*, когда процессы распада и обратного
распада несущественны, лептонная асимметрия подчиняется уравнению
dNL
dz
—const ·
Mp,T2Zml
Mi v4
• Nl — —const ·
MptMi Σ™1
■Nl,
где константа — порядка единицы. Из этого уравнения следует, что процессы
рассеяния приводят к дополнительному подавлению результирующей асиммет¬
рии множителем
ехр
К
, const - r Л ml 1
dz —г— · λΙρ[λΙι · —-— > — exp
COnst H* u
MPIAJ1 · ——I—
Потребуем, чтобы это подавление было не слишком сильным, и получим
<
Μ*ριΜι
Даже для случая относительно малых Μι ~ 108 ГэВ, когда ζ* ~ 1 (случай
(11.84)), отсюда получается ограничение (с учётом вырождения масс нейтрино)
mu < 1 эВ.
(11.92)
Если же Μι > 1012 ГэВ (при этом z* ~ 10), то ограничение усиливается,
mu < 0,1 эВ.
Аккуратные оценки рассмотренного только что замывания лептонной асиммет¬
рии приводят к ограничению [192]
т„< 0,12 эВ (11.93)
для большинства значений параметров модели (в этом смысле наш результат
(11.92) не является точным). Это ограничение не противоречит имеющимся экс¬
периментальным и космологическим ограничениям на абсолютные значения масс
нейтрино, но вместе с изложенными выше результатами говорит о том, что массы
нейтрино находятся как раз в той области, которая необходима для генерации
барионной асимметрии в сценарии лептогенезиса. В то же время, лептогенезис14
как источник барионной асимметрии станет заметно менее привлекательной воз¬
можностью, если измерения безнейтринного двойного бета-распада войдут в про¬
тиворечие с ограничением (11.93).
14Речь идёт о лентогеиезиее на горячей стадии эволюции Вселенной («thermal leptogenesis").
Возможность лептогенезиса на стадии постинфляцнонного разогрева мы здесь не обсуждаем.
398
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
ε> Задача 18. Не принимая во внимание экспериментальные ограничения на мас¬
сы нейтрино и данные по нейтринным осцилляциям, показать. что успеш¬
ный лептогенезис возможен лишь при mu < 1 эВ, если считать, что все
юкавские константы у^а имеют один и тот же порядок величины.
Альтернативой распадному механизму лептогенезиса служит образование
лептонной асимметрии в осцилляциях активных и стерильных нейтрино в пер¬
вичной плазме. Этот механизм для успешной реализации не требует тяжёлых сте¬
рильных нейтрино, и работает даже для масс существенно ниже электрослабого
масштаба. Идея состоит в том [201], чтобы, используя CP-нарушение в нейтрин¬
ном секторе, перераспределить лептонный заряд между активными и стериль¬
ными нейтрино (для последних роль заряда играет спиральность, приближённое
сохранение которой гарантировано малостью масс). Полный лептонный заряд
при этом остаётся нулевым, а часть заряда из активного сектора переводится
электрослабыми сфалеронами в барионный заряд.
Механизм работает, если стерильные нейтрино, в которых накапливается
лептонный заряд, не входят в равновесие в плазме до эпохи электрослабого фа¬
зового перехода, иначе произойдёт вымывание асимметрии. Темп рождения сте¬
рильных нейтрино Аг- в рассеянии частиц Стандартной модели в плазме опре¬
деляется юкавскими константами у~,й, и из размерных соображений может быть
оценен как Гд· ~ Т|(/-а|2/(8тг), ср. (11.46). Как обычно, нейтрино входят в рав¬
новесие, когда темп их рождения сравнивается с темпом расширения Вселенной
Н = T2/Mpt, то есть при температуре
Т$ ~ М~Р1 |у7„|2/(8тг)
Для выполнения необходимого условия Ту9 < 100 ГэВ юкавские константы долж¬
ны быть малы
1г/7„|2«ю-14. (11.94)
Если стерильные нейтрино обеспечивают массу активным нейтрино через ме¬
ханизм качелей, то без специального выбора параметров справедлива оценка
(С.68), связывающая масштабы масс нейтрино и величины юкавских констант,
\у-,а\2 ~ M^niy/v2. Она показывает, что для выполнения необходимого условия
Гд г4 < 100 ГэВ; массы стерильных нейтрино действительно должны лежать ниже
электрослабого масштаба, Мд- < 10 ГэВ.
Для производства асимметрии требуются быстрые микроскопические про¬
цессы с СР-нарушением, обусловленным С P-нарушающими комплексными фа¬
зами матрицы юкавских констант у1<х. Как и в рассмотренном выше случае рас¬
падов, они идут на однопетлевом уровне, см. формулу (11.78), а потому подав¬
лены той же величиной |у7а|2, которая из требования неравновесности (11.94)
должна быть существенно меньше величины барионной асимметрии Ад — 10~10.
При таких малых величинах юкавских констант усиления процессов с СР-нару¬
шением можно достичь, воспользовавшись резонансом в когерентной системе
двух стерильных нейтрино Νι. Дг2, вырожденных по массе, AM «С Μι,2 ~ М.
Резонанс происходит, когда частота осцилляций между нейтрино
U' ~
IMf-Mfl/Γ ~ AM ■ М/Т
11.5. Электрослабый бариогенезис
399
сравнивается с темпом расширения Вселенной. ω(Τ) ~ Н{Т), откуда для темпе¬
ратуры резонанса получим
На более ранних временах, когда ω <С Н. резонанс не успевает развиться, а на бо¬
лее поздних временах, при ω Н, осцилляции слишком быстрые, и никакого
сокращения малого фактора |y7Q|2 в амплитуде перехода не происходит. Анализ
показывает, что механизм наиболее эффективен при температурах Tres в обла¬
сти нескольких сотен ГэВ; в этом случае возможно производство асимметрии
Al ~ 1 [202], однако это требует весьма сильного вырождения масс стерильных
нейтрино, AM/М 1.
Отметим ещё, что процесс генерации лептонной асимметрии может проис¬
ходить и после электрослабого фазового перехода. Эта асимметрия не перейдёт
в барионную, однако может способствовать производству стерильных нейтрино
другого типа — кандидатов на роль частиц тёмной материи, см. раздел 7.3.
Как мы обсуждали в разделе 11.2.1, несохранение барионного числа имеет
место уже в Стандартной модели физики частиц (равно как и в её обобщениях),
причём характерные температуры имеют порядок 100 ГэВ. Естественно поэтому
задать вопрос о возможности генерации барионной асимметрии при таких срав¬
нительно низких температурах за счёт самих электрослабых процессов (элек¬
трослабый бариогенезис). Такая возможность особенно интересна в связи с тем,
что существенная для электрослабого бариогсисзиса область энергий 100 ГэВ —
1 ТэВ доступна экспериментальному изучению на коллайдерах. Исследование
физики частиц в этой области энергий позволит выяснить свойства космической
плазмы при температурах порядка 100 ГэВ и надёжно ответить на вопрос, реа¬
лизовывался ли электрослабый бариогенезис в ранней Вселенной.
Как требование достаточно сильного CP-нарушения, так и необходимость
заметного отклонения от термодинамического равновесия существенно ограни¬
чивают класс моделей, где возможен электрослабый бариогенезис. В Стандарт¬
ной модели CP-нарушения в матрице Каббибо—Кобаяши—Маскава недостаточ¬
но для генерации барионной асимметрии, и, кроме того, отклонения от термо¬
динамического равновесия в ранней Вселенной слишком малы. В то же время,
в ряде расширений Стандартной модели имеются как дополнительные источни¬
ки CP-нарушения, так и возможность сильно неравновесной стадии космологи¬
ческой эволюции, так что сценарий электрослабого бариогенезиса может быть
реализован.
11.5.1 Условия нарушения термодинамического равновесия
При температурах порядка 100 ГэВ Вселенная расширяется весьма медлен¬
но: характерное время расширения составляет
11.5 Электрослабый бариогенезис
400
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
что гораздо больше времени, характеризующего слабые взаимодействия частиц
в среде (см. также раздел 10.4),
Unt ~ ^ ~ 1 ГэВ 1 ~ 10 24 с.
ocwT
Поэтому требование нарушения термодинамического равновесия (одно из необхо¬
димых условий генерации барионной асимметрии, см. раздел 11.1) весьма нетри¬
виально. По-видимому, единственная возможность ему удовлетворить — это по¬
требовать, чтобы электрослабый переход был фазовьш переходом первого ро¬
да. Как мы обсуждали в разделе 10.1, фазовый переход первого рода — сильно
неравновесный процесс, происходящий путём образования пузырей новой фазы,
их последующего расширения и перколяции. В процессе фазового перехода пер¬
вого рода, как мы увидим, действительно возможно образование асимметрии.
Требование, чтобы электрослабый переход был фазовым переходом перво¬
го рода, само по себе недостаточно. После фазового перехода среда переходит
в состояние, близкое к термодинамическому равновесию, и асимметрия, образо¬
вавшаяся в процессе фазового перехода, имеет тенденцию к замыванию. Чтобы
замывания не происходило, после фазового перехода темп электрослабых про¬
цессов с нарушением бариогшого числа должен быть меньше темпа расширения
Вселенной. Это условие (как и требование, чтобы фазовый переход был перехо¬
дом первого рода) не выполняется в Стандартной модели, но может выполняться
в некоторых её расширениях.
В фазе с ненулевым средним поля Энглера—Браута—Хиггса, образовавшей¬
ся после фазового перехода, электрослабые процессы с нарушением барионного
числа выключены, если выполняется неравенство, обратное к (11.22),
А/и-(Т) ^ 0.66
Т ~ B{mh/MwY
Учитывая, что
MW(T) = ΜΏ. и В « 2.4.
у/2 ’ 4тг 30
получим отсюда треоование
15
ч/2Фс
> 1,
(11.95)
где Тс и Фс — температура фазового перехода и среднее поля Энглера—Браута—
Хиггса сразу после него. Требование (11.95) весьма ограничительно. Чтобы уви¬
деть это, воспользуемся результатами, полученными в разделе 10.2 в однопетле¬
вом приближении. В этом приближении
Фс
Тс
= С ■
Λ'
1оНапомним. что нормировка поля о. согласно определениям главы 10. такова, что в вакууме
<Р> = v/y/2.
11.5. Электрослабый бариогенезис
401
где Л — константа самодействия поля Энглера—Браута—Хиггса, параметр 7 опре¬
делён формулой (10.40), а константа с принимает значения от1/2доЗ/4в зави¬
симости от того, насколько затягивается фазовый переход (см. формулы (10.44),
(10.45)). Учитывая связь массы бозона Хиггса и вакуумного среднего поля
Энглера—Браута—Хиггса, тпъ, = V2Xv, получим, что условие (11.95) могло бы
быть выполнено в Стандартной модели, только если бы бозон Хиггса имел
малую массу
™1 < с ‘ 1Г · - · Σ 9imb (11.96)
07Г V „
оозоны
где в качестве реалистического значения выступает с = 1/2. В Стандартной моде¬
ли (с одним дублетом Энглера—Браута—Хиггса) в правую часть дают вклад W-
и Ζ-бозоны с массами 80,4 ГэВ и 91,2 ГэВ и числами состояний д = 6 и д = 3 со¬
ответственно (вкладом самого бозона Хиггса при его малой массе можно было бы
для оценок пренебречь). Вспоминая, что v = 246 ГэВ, получим численно [193]
ти < 50 ГэВ.
Это свойство не имеет места в природе: масса бозона Хиггса составляет тпь =
126 ГэВ. Таким образом, в Стандартной модели электрослабый бариогенезис
невозможен.
В действительности в Стандартной модели не выполняется и более слабое
условие того, что электрослабый переход должен быть фазовым переходом пер¬
вого рода. Мы отмечали в Главе 10, что в Стандартной модели имеет место
не фазовый переход, а гладкий кроссовер. При этом среда всё время находится
в состоянии, близком к термодинамическому равновесию, и генерации барионной
асимметрии вообще не происходит.
Указанную трудность можно обойти в некоторых расширениях Стандартной
модели. Один пример мы приводили в конце раздела 10.2. Другая возможность
имеется (пока [194]) в суперсимметричном расширении Стандартной модели
с лёгкими суперпартнёрами έ-кварка — скварками t [195]. Если явные «мягкие»
массовые члены для них малы, то t приобретают массы за счёт взаимодействия
с полем Энглера—Браута—Хиггса. Их константы связи с этим полем равны юкав-
ской константе t-кварка, поэтому
πΐϊ(ψ) = yt(p.
Суперпартнёры t — два комплексных, триплетных по цвету скаляра. Они дают
вклад в правую часть (11.96), причём д^ = 12. Благодаря этому вкладу неравен¬
ство типа (11.96) может выполняться при mh = 126 ГэВ. Аналогично обстоит
дело и в других расширениях со скалярными сингл етами и /или дополнительны¬
ми скалярными дублетами.
11.5.2 Генерация барионной асимметрии на толстой,
медленно движущейся стенке
Как мы обсуждали в разделе 10.1, процесс фазового перехода первого ро¬
да происходит путём образования и последующего расширения пузырей новой
402
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
фазы. Стенки этих пузырей проходят макроскопическое расстояние до столкно¬
вения с другими стенками, так что они заметают основной объём космической
плазмы, в то время как объём областей, где происходит столкновение стенок, го¬
раздо меньше полного объёма (соответствующее отношение объёмов пропорцио¬
нально d/R, где d — толщина стенки, a R — размер пузыря к моменту перколя-
ции). Поэтому при вычислении результирующей барионной асимметрии процес¬
сами, происходящими при столкновении стенок, можно пренебречь, а основным
процессом является взаимодействие частиц среды со стенками пузырей при дви¬
жении последних через космическую плазму. Поскольку характерные размеры
расширяющихся пузырей велики, их стенки можно считать плоскими и движу¬
щимися с постоянной скоростью. Эта скорость определяется «трением» стенки
о среду и в большинстве моделей составляет порядка 0,1 от скорости света.
В этом и следующем разделах мы вкратце рассмотрим механизмы генерации
барионной асимметрии во взаимодействии частиц космической плазмы с дви¬
жущейся стенкой пузыря. По необходимости изложение будет довольно схема¬
тичным и не претендующим на полноту, поскольку мы не будем учитывать це¬
лый ряд факторов, существенных для этого довольно сложного динамическо¬
го процесса.
Простой, хотя и нс вполне реалистичный механизм электрослабого бариоге-
незиса возникает в так называемом адиабатическом режиме (детали см. в обзо¬
ре [196]). Предположим, что стенки образующихся в процессе фазового перехода
пузырей имеют размер, заметно превышающий длину свободного пробега частиц
в космической плазме. Предположим ещё, что эти стенки движутся сквозь среду
достаточно медленно. Тогда среда в каждый момент времени всюду, включая
область внутри стенки, находится в локальном термодинамическом равновесии
по отношению к быстрым процессам типа упругого рассеяния частиц или рожде¬
ния пар частица-античастица. В то же время, даже в фазе с ненарушенной сим¬
метрией скорости электрослабых процессов с несохранением барионного числа
невелики, как это следует из формулы (11.19). и мы предположим, что в области
внутри стенки локального термодинамического равновесия по ним не наступает.
Мы проиллюстрируем механизм генерации барионной асимметрии, который
работает в этом случае, на примере упрощённой модели с калибровочной груп¬
пой SU(2)l, двумя дублетами Энглера—Браута—Хиггса Н\ и #2 и одной парой16
фермионов Ql (дублет) и qn (синглет), взаимодействующей со скалярными по¬
лями примерно так же, как в Стандартной модели:
C-int = hiQLHiqR 4- h. с. (11.97)
(переопределением скалярных полей можно добиться того, чтобы юкавское взаи¬
модействие с Но отсутствовало). Случай двух и более скалярных дублетов выде¬
лен тем, что имеется дополнительный по сравнению со Стандартной моделью ис¬
точник СР-нарушення -- это СР-нарушение в секторе Энглера—Браута—Хиггса.
1СВ реалистических расширениях Стандартной модели основную роль играет юкавское взаи¬
модействие f-кварка. и в этом смысле рассматриваемая упрощённая модель вполне ухватывает
ситуацию.
11.5. Электрослабый бариогенезис
403
В дальнейшем будем считать hi вещественным параметром. Как в фазе с нару¬
шенной симметрией, так и в области доменной стенки поля Н\ и Н2 приобрета¬
ют средние
(Я1,2) = (,у, (11.98)
где ф\,2 — комплексные величины, которые изменяются вдоль профиля стен¬
ки. При калибровочных преобразованиях с калибровочной функцией е-гат /2
выполняется
φι ^е{а/2фъ ф2^е1а/2ф2.
Поэтому фазы этих полей представляют собой намбу-голдстоуновские поля, одно
из которых превращается в продольную компоненту массивного векторного поля
(в Стандартной модели — поля Ζμ), а другое является физическим. Чтобы по¬
нять, как выражаются эти фазы θ\ и θ2 через физическое намбу-голдстоуновское
поле, рассмотрим слагаемые в лагранжиане, приводящие к массе векторного
бозона
Lm = νμΗΐτ>μΗι + νμΗ\νμΗ2,
где νμΗ\.2 = δμΗ\,2 — ig^A^Hip (мы учли только аналог поля Ζμ). Запишем
вблизи вакуума ф\ = v\jy/2, ф2 = v2j\fi выражения для полей в виде
Виг = (ф,) ·
и получим
3 \2
^Α1(υΐ9Βθ1 + ν29μθϊ) + \ Κ(^μ^ΐ)2 + ^(3μ02)2] ·
Выберем калибровку так, чтобы поле описьшало физический массивный век¬
торный бозон (унитарная калибровка). Для этого потребуем, чтобы не было сме¬
шивания между Αμ и полями θι;2. Такое требование приводит к соотношению
ν2θι + ν2θ2 = 0. В результате получаем, что искомая связь имеет вид [198]
01
02
v2i + v22
"1 д
О , О ^ J
vf +
где θ = Θ\ — θ2 — относительная фаза полей ф\ и ф2. представляющая собой
физическое намбу-голдстоуновское поле.
В присутствии средних (11.98) фермионный лагранжиан имеет квадратич¬
ный вклад
£f = hiqLpiel01qR + h.c.,
где qb — нижняя компонента дублета Qi.
404
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
Если в скалярном секторе имеется CP-нарушение, то как pi, так и θ\ ме¬
няются вдоль профиля доменной стенки. Поскольку стенка движется, в фикси¬
рованной точке пространства р\ и θ\ зависят от времени. Имеем поэтому нетри¬
виальную зависимость от времени фермионного лагранжиана
Lf = hiqbpi{t)el9l^qR + h. с.. (11.99)
Зависящая от времени фаза θ\ (t) приводит к СР-нарушению в фермионном сек¬
торе и в конечном итоге — к генерации барионной асимметрии.
Модель проще всего проанализировать, сделав зависящее от времени фазо¬
вое вращение поля дд1',
дя -* (11.100)
Фазовое вращение (11.100) приводит к дополнительному слагаемому в фермион¬
ном лагранжиане, возникающему из кинетического члена
iqaYd^R -»гдд7м<9мдд + дтгЛя^·
Видно, что последний член здесь приводит к модификации гамильтониана теории
Н Н -BiNr, (11.101)
где
— оператор числа правых кварков.
Предположим, что переходы правого кварка в левый (например, дя —> gz, +
Я) — это быстрые процессы по сравнению со скоростью изменения θ\, а процессы
аномального несохранения барионного числа, как говорилось выше, — медлен¬
ные. В пренебрежении последними барионное число равно нулю. Для гамильтона
(11.101) это означает, что в среде имеется локальный химический потенциал μΒ
к барионному числу — единственному сохраняющемуся в указанных предполо¬
жениях квантовому числу. Вычисление свободной энергии при μΒ ^ 0 сводится
к дальнейшей замене гамильтониана (11.101) на
Я - Θ,Νη - μΒ(ΝΗ + Nl), (11.102)
где
{Nr + Nl) = В
— барионное число. Таким образом, эффективный химический потенциал для
правых кварков равен (μΒ + θ\). а для левых кварков он равен μΒ. Воспользо¬
вавшись результатом задачи 4 из раздела 5.1, получим для барионного числа
Т2
Δβ = Ar + Αι = — [(μΒ + θ\) + 2μβ],
1' Отметим, что фазовое вращение ql аномально, поэтому исключение с его помощью фа¬
зы 01 из лагранжиана (11.99) привело бы к 01-зависящему члену в эффективном лагранжиане
калибровочных полей; такой подход мы использовать не будем.
11.5. Электрослабый бариогенезис
405
где мы учли, что имеется два типа левых кварков (множитель 2 в последнем
слагаемом). Условие ΔΒ = 0 даёт
Включим теперь в рассмотрение процессы с аномальным несохранением барион-
ного числа. Из-за наличия химического потенциала μΒ в среде они приводят к ге¬
нерации барионного числа. Воспользуемся уравнениями (5.54) и (5.53) и запишем
dnB AF ■ ΔΒ
~дГ= т sph;
здесь ΔF и АВ — изменение свободной энергии и барионного числа в результате
одного сфалеронного процесса, а Гзрь — темп таких процессов. В случае одного
дублета левых кварков (триплетов по цвету) АВ = 1 и AF = μΒ · АВ = μΒ.
Таким образом,
~ = -ψΓίρΚ = ^Γ,ρ„ (11.103)
(в этом месте используется предположение о медленности сфалеронных процес¬
сов: считается, что влиянием этих процессов на эволюцию μΒ можно пренебречь).
В результате получаем плотность барионного числа, образовавшуюся в процессе
прохождения доменной стенки:
Пв = ^ J 0iTsph{t)dt. (11.104)
Здесь Г,р/1 зависит от времени, поскольку средние скалярных полей в фиксиро¬
ванной точке меняются при прохождении через неё доменной стенки. В качестве
неплохого приближения можно считать, что ГАр/г даётся формулой (11.19)
Tsph. = x'a°wTA, */«18,
до тех пор, пока величина \/\ф\ |2 + ]Фг I25 определяющая массу И'-бозона, мень¬
ше Т (см. (11.95)), и Tsph = 0 после этого. Учитывая, наконец, что плотность
энтропии равна s = (2тг2/45)д*Т3, получим оценку
П в
S
χ'^-Δ0ι = х'
9*
9* ν
’2 + г>2
ΑΘ.
(11.105)
где Δ^ — изменение относительной фазы от начала фазового перехода до момента
выключения сфалеронных переходов. Для д* ~ 100, аи- — 1/30 и ~ V2 имеем
^~10-8·Δ6,
• что вполне приемлемо с точки зрения генерации наблюдаемой асимметрии (11.1).
Выполнение необходимых условий генерации асимметрии проявляется в опи¬
санном случае следующим образом:
406
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
— Барионное число не сохраняется благодаря конечности Tsph·
— Источником СР-нарушения служит зависящая от времени фаза Θ. Этот
источник — дополнительный к имеющемуся в Стандартной модели (фазе
в матрице смешивания кварков). Такая ситуация является общей: для элек-
трослабого бариогенезиса требуются новые по сравнению со Стандартной
моделью механизмы нарушения СР-инвариантности.
— Нарушение термодинамического равновесия связано с зависимостью фа¬
зы Θ от времени и с медленностью электрослабых процессов с несохранени-
ем барионного числа.
о Задача 19. Рассмотрим лагранжиан взаимодействия калибровочного поля
SU(2)w (см. раздел 11.2.1) и гипотетического скалярного поля φ,
£ = № ■
γμν ay a
γ ν μι/
Считая, что в эпоху электрослабого фазового перехода величина / быстро
изменяется, оценить количество произведённой барионной асимметрии.
Как мы уже отмечали, описанный здесь простой механизм нереалистичен.
Среда в области стенки и вблизи неё существенно неоднородна; это видно уже
из выражения (11.102), в котором эффективные химические потенциалы μ в
и (μв + Θ) зависят как от времени, так и от положения в пространстве. Для
неоднородной среды характерны процессы диффузии, а мы их никак не учитыва¬
ли. Учёт диффузии заметно меняет всю картину генерации барионной асиммет¬
рии [197, 199]. Тем не менее, оценка (11.105) остаётся справедливой по порядку
величины, хотя зависимость барионной асимметрии от параметров (например,
масс частиц) оказывается более сложной. Современные подходы к анализу гене¬
рации барионной асимметрии используют методы теории переноса, они описаны,
например, в обзоре [200].
Убедимся в заключение этого раздела, что зависимость от времени относи¬
тельной фазы скалярных полей действительно возможна. Рассмотрим скаляр¬
ный потенциал вида
v(fh,H2) = vKtfttfO + V2(HIH2) +
+ λ+ (Fteftfjtfi) - mt-scos2£)2 +
+ A.(Im(H2tH1) — V\V2 sin2£)2,
где функции Vi и V2 имеют минимумы при ©ι = ν\ и ©2 = ^’2 соответственно,
а Х±, ξ — безразмерные параметры потенциала. При А± > 0 скалярный потенциал
имеет минимум при
©1 — егЧ’1, ©2 = 0_ίξΓ2,
что соответствует вакуумному значению относительной фазы
9Vac = С
11.5. Электрослабый бариогенезис
407
Пусть фазовый переход происходит так. что оба поля развивают средние. В на¬
чале фазового перехода ф\ и Ф2 малы, поэтому существенна лишь квадратичная
часть эффективного потенциала
Veff = |©ι|2) + V2,e//(|<f>2|2) - νιν2^(φΙφλ · Ae2iC), (11.106)
где
Ae2zi = A+ cos 2£ + iA_ sin ,
t. e.
tg2C = д— tg 2ξ.
Минимум эффективного потенциала (11.106) по относительной фазе скалярных
полей достигается при
0» = С-
Именно вдоль этого направления в пространстве скалярных полей происходит
«скатывание» в начале фазового перехода, т. е. в области доменной стенки, близ¬
кой к ненарушенной фазе. Таким образом, фаза Θ вдоль доменной стенки изме¬
няется от θί — С (передний край) до 9vac = ξ, что и требовалось.
11.5.3 ^Бариогенезис на тонкой стенке
Случай, когда толщина стенки мала по сравнению с длиной свободного про¬
бега частиц в среде, является более сложным для анализа. Мы здесь лишь вкрат¬
це обсудим физические процессы, приводящие к генерации барионной асиммет¬
рии в этом случае.
Предположим, как и в предыдущем разделе, что в области доменной стенки
имеется нарушение СР за счёт зависящей от координат и времени фазы ска¬
лярного поля. Мы будем работать пока в системе отсчёта, связанной с доменной
стенкой, поэтому вместо (11.99) запишем лагранжиан взаимодействия фермио¬
нов со стенкой
£/ = hiqLp(z)el9{z)qR + h. с., (11.107)
где 2 — координата, ортогональная стенке. Функция p{z) меняется от нуля (при
2 —> — og. ненарушенная фаза, считаем, что стенка движется справа налево)
до Фс (при 2 —»· -Ьоо, фаза с нарушением симметрии); при этом с учётом тре¬
бования (11.95) имеем
Ф с>Т. (11.108)
Будем считать юкавскую константу малой18, hi <С 1, тогда эффективная мас¬
са фермиона в нарушенной фазе также мала, т/ = ιФс Т. Для дальней¬
ших грубых оценок будем считать, что толщина стенки — порядка обратной
температуры,
lw~T~\ (11.109)
18Это не справедливо для ί-кварка, и связанные с этим эффекты требуют специального рас¬
смотрения.
408
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Также будем считать (и это действительно справедливо), что скорость стенки
мала, « 1. Наконец, без ограничения общности будем полагать фазу θ(ζ)
равной нулю в нарушенной фазе, т. е. θ(ζ) = 0 при 2 —► оо.
Фермионы среды, налетающие на стенку из симметричной фазы, частично
отражаются от неё. Из-за наличия зависящей от координаты 2 фазы θ(ζ) коэф¬
фициент отражения Rr левого фермиона не равен коэффициенту отражения Ri
соответствующей античастицы. Частицы с импульсами pz, значительно превы¬
шающими обратную толщину стенки, отражения от неё практически не испыты¬
вают (для них работает ВКБ-приближение), а частицы с несколько меньшими
импульсами частично отражаются от неё, хотя для них й < 1 (высота энерге¬
тического барьера равна гп/ и мала по сравнению с ρζ при pz ~ Z"1). С другой
стороны, частицы с pz < m/ вообще не проникают в область за стенкой. Поэтому
существенной особенностью импульсов является область
т/ < pz < l~l. (11.110)
В этой области можно пользоваться теорией возмущений по hi, так что ампли¬
туда отражения имеет, грубо говоря, порядок величины hi, а коэффициент отра¬
жения (квадрат амплитуды) имеет порядок h\. Асимметрия отражения частиц
от стенки грубо оценивается величиной
Rl ~ Rl ~ Ь\вср. (11.111)
где вер определяется изменением фазы Θ в области стенки.
Для дальнейшего полезно отметить, что левый фермион, отразившись от стен¬
ки, превращается в правый, и наоборот (см. ниже).
Если стенка покоится, то в системе имеется термодинамическое равновесие
и от стенки нет СР-асимметричного потока левых и правых частиц. Физическая
причина этого состоит в том. что асимметрии в потоках отражённых и проходя¬
щих сквозь стенку частиц уравновешивают друг друга. Для движущейся стенки
это уже не справедливо, и от стенки в сторону симметричной фазы идёт по¬
ток правых частиц, превышающий поток античастиц (или наоборот), пропорци¬
ональный скорости стенки vw (при vw <С 1). Для его оценки нужно учесть, что
от стенки отражаются частицы с произвольными рх, ру и с ρζ < 1~г, поэтому
асимметрия в потоке правых частиц по порядку величины равна
jR~vwT2hRL-RL] (11.112)
(мы учли, что отражённые правые частицы падали как левые). Здесь Т21~1 —
плотность числа частиц с импульсами в области (11.110). множитель vw учи¬
тывает, что асимметрия равна нулю в статическом пределе vw —» 0. Для левых
частиц имеем (см. ниже)
JL = ~Jr. (11.113)
Таким образом, вблизи стенки в симметричной фазе образуется избыток правых
частиц над античастицами и недостаток левых частиц (если Jr > 0). Обрат¬
ная ситуация имеет место за стенкой, в нарушенной фазе. Движущаяся стенка
пузыря выступает в качестве сепаратора частиц различных сортов.
11.5. Электрослабый бариогенезис
409
В области за стенкой (в нарушенной фазе) асимметрия между частицами
и античастицами не приводит к процессам с нарушением барионного и лептон-
ного чисел, если выполнено неравенство (11.95). В области перед стенкой это
не так: хотя в силу (11.113) поток барионного и лептонных чисел равен нулю,
в этой области имеется недостаток левых фермионов, а именно они участвуют
в электрослабых взаимодействиях с нарушением барионного числа. Эти взаи¬
модействия стремятся восполнить недостаток левых фермионов, приблизив тем
самым среду в симметричной фазе вблизи стенки к состоянию термодинамиче¬
ского равновесия.
Асимметричное отражение фермионов от стенки изменяет среду локально,
на расстоянии от стенки, меньшем некоторого расстояния I (значение I мы ско¬
ро найдём). Время, которое проходит с того момента, как в некоторой области
возник недостаток левых фермионов, до момента прохождения стенки через эту
область равно t = lfvw. Именно в течение этого времени в данной области дей¬
ствуют процессы с нарушением барионного числа. Чтобы найти I. заметим, что
за время t отражённая от стенки частица испытает t/tj столкновений и, в соот¬
ветствии с законом броуновского движения, удалится на расстояние
,=Ф
где tf и 1/ — время и длина свободного пробега; I/ = tf для интересующего нас
случая ультрарелятивистских частиц. Вместе с t = l/vw уравнение (11.114) даёт
1=^-, t = %. (11.115)
Vw К
Из-за потока частиц от стенки избыток (отрицательный) левых частиц, который
образуется в области размера I за время t (на единицу площади стенки) равен
по порядку величины
Nl = Jl -t,
так что соответствующая плотность равна
n™d = JL.i=3-li. (11.116)
1
Будем считать, что сфалеронные процессы настолько медленные, что они успе¬
вают переработать лишь небольшую часть избытка (11.116). Тогда (см. (11.104))
dnB μι „
dt ~ Т Tsph''
где, как обычно для ультрарелятивистских частиц, рь ~ пд/Т2. Отсюда получаем
гр3 ^sph · t.
(11.114)
пв ~
410
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
где время действия сфалероиных процессов даётся (11.115). Собирая формулы
(11.112). (11.115), (11.116) и учитывая, что плотность энтропии s ~ д*Т3, полу¬
чаем отсюда барионную асимметрию
ΔΒ
пв
s
1 tf ГSph
v^g* lw Т4
IRl-Rl)p,
■IZ‘
Для левых лептонов время свободного пробега — порядка
(11.117)
tf ~ (awT) *·
Для кварков оно меньше из-за столкновений, обусловленных сильными взаи¬
модействиями, поэтому наиболее существенным является т-лептон19 (в соответ¬
ствии с (11.111) асимметрия растёт с Λ-ι = m/v). Подставляя в (11.117)
r.pft = ^α°·Γ4,
и воспользовавшись грубой оценкой (11.111), получим для вклада т-лептона
А,
^■hltcp,
vlg*
причём h2 = m2fv2 ~ 10 4. Для vw ~ 10 1 и κ' « 18 имеем отсюда
Ав ~ 10~7θ0ρ, (11.118)
что вполне достаточно для объяснения наблюдаемой барионной асимметрии.
Разумеется, в приведённом упрощённом анализе мы не учли целого ряда
факторов, таких как наличие динамических масс частиц в среде, сохранение
квантовых чисел типа (В — L) или слабого гиперзаряда, эффект дебаевской экра¬
нировки калибровочных зарядов в среде и т. д. Так же, как и в случае раздела
11.5.2 существенную роль играют и процессы диффузии. Тем не менее, оцен¬
ка (11.118) остаётся справедливой по порядку величины, и описанный механизм
действительно является достаточно эффективным.
> Задача 20. При каких значениях скорости стенки предположение о медлен¬
ности сфеитеронных процессов, сделанное в тексте, справедливо?
> Задача 21. При какой скорости стенки процессы перехода левого т-лептона
в правый несущественны (примером такого процесса служит рассеяние
т-лептона на Ζ-бозоне, τχ + Ζ —» tr + h).
Уточним оценку (11.111). Для этого требуется решить уравнение Дирака для
фермионов, взаимодействующих со стенкой согласно (11.107). В системе отсчёта,
связанной со стенкой, сделаем преобразование Лоренца вдоль стенки так, чтобы 1919Для ί-кварка изложенный здесь анализ не применим, поскольку в среде левый t-кварк
быстро переходит в правый за счёт сильного юкавского взаимодействия.
11.5. Электрослабый бариогенезис
411
фермион двигался перпендикулярно стенке. Используем киральное (вейлевское)
представление 7-матриц (см. Приложение В). В выбранной системе отсчёта вол¬
новые функции фермионов не зависят от координат вдоль стенки, и с учётом
члена (11.107) в лагранжиане уравнение Дирака сводится к двум уравнениям
ido qR + ia3d3qR + m*(z)qL = 0, (11.119)
id0qL - ia3d3qL + m(z)qR = 0, (11.120)
где 771(2) = hiрегв. Волновая функция левого фермиона, налетающего на стенку
слева (т. е. из области с ненарушенной симметрией, где 771(2) = 0), при z —* —00
имеет вид
(11.121)
где р = ω > 0. Именно такая волновая функция удовлетворяет уравнению (11.120)
ст = 0. Для вычисления коэффициента отражения левого фермиона необходимо
найти решение уравнений (11.119), (11.120), в котором имеется падающая вол¬
на (11.121), при ζ —> —оо имеется также отражённая (бегущая налево) волна,
а при 2 —> +ос имеется только прошедшая волна. Из (11.119), (11.120) видно, что
решение следует искать в виде
д^п) = e-™t+ipz . ( 0
2 —> —ОО.
qL=e τωίφφ) ■ ц), <7я = е ш*^д(2) ■ f J).
Уравнения для числовых функций фь и ^r выглядят следующим образом:
—idzi>R + ифн + т*(г)фь = 0, (11.122)
гд2фь + <лфь + m{z^R = 0. (11.123)
Отражённая волна имеет при ζ — ос вид ф а е~грг. Видно, что отражённая
волна — целиком правая, поскольку уравнение (11.123) ст = 0 такого решения
не имеет. Этот общий результат в действительности следует из закона сохранения
углового момента. Итак, для отражённой волны
фк = Ae~ipz, ζ -► -00, (11.124)
где А — интересующая нас амплитуда отражения, а р — ω. Чтобы найти амплиту¬
ду Д, воспользуемся теорией возмущений по 771(2). В нулевом порядке фь = еГгрг,
φR = 0. В первом порядке φR определяется из уравнения (11.122), которое при¬
обретает вид
-гдгфя + ωφΆ = -тГ(г)е'рх.
Общее решение этого уравнения даётся формулой
Фн = e~ipz
—г
е2грг' dz, + с
(11.125)
где 2о и с — произвольные постоянные. Подберём константу с так, чтобы в об¬
ласти за стенкой (2 —* +эо) не было волны, движущейся налево. Выберем zq
412
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
в области за стенкой. Там τη* — тп/ (мы считаем константу h\ действительной
и θ(ζ —»■ +оо) = 0), и решение при г —* +оо имеет вид
Фн = е
— р-н»*
_^(e2ipz -е2*рго) +с
При z —> +оо имеется только прошедшая волна (фп ос егрг), если
c = _2Ve«p«.
2р
Решение (11.125) действительно имеет вид (11.124). причём
р — ОС
A = —i m*(z)e2ipz dz - T-Tle2ipz°.
Jzn 2 V
(11.126)
где нужно положить zq —> +оо. Амплитуда отражения А левой античастицы
отличается от (11.126) заменой m*{z) на m(z).
> Задача 22. Доказать последнее утверждение.
Коэффициент отражения левой частицы Яд равен квадрату модуля амплитуды.
Нас будет интересовать асимметрия отражения частицы и античастицы:
Rl~Rl = И|2 - \А\2. (11.127)
Для дальнейших оценок представим амплитуду (11.126) в виде
/-{—ОС
[:m*(z) — rrifQ(z)]e2tpz dz —
-ОС ^Р
где Θ(ζ) — обычная функция скачка и мы перешли к пределу zq оо. Будем
считать функцию Re[?n(2)] — rrifQ(z) антисимметричной по 2 и запишем
М гж
__2р+/-ос
1τπ[πι{ζ)]Φ1ιρζ dz,
где
/-{-ОС
(Re[m(2)] — m.fQ(z))sin(2pz)pdz.
-ОС
По порядку величины
М ~ тп/.
Теперь выражение для асимметрии (11.127) принимает простой вид
*-гОС
(11.128)
2Μ ί~°°
Rl — Rl = / Im[m(2)l cos(2pz) dz.
P J-DC
Вводя наконец
θορ{ρ) = ~. / lm[m{z)\cos(2pz) dz, (11.129)
1-wTTlf J_cx.
11.5. Электрослабый бариогенезис
413
получим
Rl — Rl — —
2 Μτη,Ι»
V
Интеграл в (11.129) быстро стремится к нулю с ростом импульса при р^> lw из-за
осциллирующего множителя cos(2ρζ), а при р < 1~λ он конечен и определяется
величиной фазы τη(ζ), т. е. θ(ζ). Учитывая (11.128), имеем оценку
где мы учли, что всюду в предыдущих формулах р был импульсом, перпенди¬
кулярным стенке. Эта оценка работает и при произвольных рх. ру, поскольку
преобразование Лоренца вдоль стенки величину ρζ не меняет. Подчеркнём, что
в (11.129) фигурирует масса фермиона в нарушенной фазе, т. е. тп/ = /иФс. Оцен¬
ка (11.111) получается из (11.130) для ρζ ~ 1~г. если считать, что толщина стен¬
ки — порядка Ф^1 (т. е. считать, что выполняются (11.108) и (11.109)).
Для асимметрии отражения правых частиц имеем
[> Задача 23. Доказать последнее утверждение в общем случае, используя
свойства уравнений (11.119) и (11.120).
11.5.4 Электрослабый бариогенезис,
В завершение раздела отметим, что во всех рассмотренных нами механизмах
генерации барионной асимметрии требуется привлекать дополнительные к име¬
ющимся в Стандартной модели источники нарушения CP-симметрии. И хотя
величины CP-нарушающих фаз, требуемые для генерации наблюдаемой барион¬
ной асимметрии, не выглядят неправдоподобно большими, в реалистичных мо¬
делях они часто оказываются сильно ограниченными из данных прецизионных
измерений.
Одними из наиболе чувствительных к новым источникам CP-нарушения яв¬
ляются эксперименты по поиску электрических дипольных моментов (ЭДМ)
электрона de и нейтрона dn. ЭДМ d определяется как параметр гамильтониана
взаимодействия электрического поля Е и спина S,
(11.130)
Rr- Rr = ~(Rl - Rl)·
(11.131)
CP-нарушение и ЭДМ нейтрона
Соответствующий релятивистски-инвариантный лагранижиан взаимодействия
фермиона ψ с электромагнитным нолем выглядит следующим образом:
414
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Видно, что ЭДМ нарушает Р- и Т-инвариантность (см. раздел В.З Приложения
В), а следовательно, и СР. ЭДМ составной частицы — нейтрона — по поряд¬
ку величины совпадает с наибольшим из ЭДМ составляющих нейтрон кварков,
dn ~ du,dd· Экспериментальные поиски ЭДМ электрона и нейтрона дают огра¬
ничения [5]
de < 1,05 · 1(Г27 ■ е · см = 0,5 · 1СГ12 · е ■ ГэВ-1, (11.133)
dn < 2,9 · ΙΟ”26 · е · см = 0,32 · КГ11 · е ■ ГэВ-1, (11.134)
где е — заряд электрона. В рассмотренной нами двухдублетной модели (11.97)
дополнительное нарушение CP-симметрии в секторе Энглера—Браута—Хиггса
приводит к появлению ЭДМ кварка за счёт однопетлевой диаграммы рис. 11.16,
где Н обозначает все хиггсовские бозоны и подразумевается суммирование по их
типам. По порядку величины вклад этой диаграммы равен
d-ц
бср
е rnqiUuqiU*iUYuYqi
(47г)2 тп2н
(11.135)
где m# — масштаб масс хиггсовских бозонов, 9ср — CP-нарушающая фаза,
U — матрица смешивания кварков (так что матрица юкавских констант равна
Ϋ = ^diag ■ U) 1 (4тг)-2 — петлевой множитель, а пропорциональность массам квар¬
ков связана с тем, что лагранжиан (11.132) нарушает киральность.
Рис. 11.16. Однопетлевой вклад в электрический дипольный момент и-кварка
Главный вклад в (11.135) даёт обмен виртуальным ί-кварком, поэтому при
Uut ~ 1 получаем
(1 ТэВ \2
· е · ГэВ-1. (11.136)
ТПН J
Из сравнения (11.136) с (11.134) видно, что фаза должна быть небольшой,
вер ^ 10-3, если смешивание во взаимодействиях хиггсовских бозонов с кварка¬
ми порядка единицы. Аналогичные ограничения на CP-нарушающие фазы име¬
ют место и во многих других моделях. Эти ограничения имеются независимо
11.6. Механизм Аффлека—Дайна
415
от соображений, относящихся к барионной асимметрии. С другой стороны, для
электрослабого бариогенезиса требуются довольно большие значения СР-фаз.
Поэтому во многих моделях, обеспечивающих правильную величину барионной
асимметрии Вселенной за счёт электрослабого механизма, предсказываются ве¬
личины ЭДМ, не слишком малые по сравнению с существующими эксперимен¬
тальными ограничениями (11.133), (11.134). Так, в рассмотренных нами моделях
сравнение предсказаний для генерируемой барионной асимметрии (11.118) с ве¬
личиной наблюдаемой асимметрии Ав ~ 10”10 даёт оценку для требуемой вели¬
чины CP-фазы, 9ср ~ Ю-2 — 10-3. Подставляя эту оценку в (11.136), получим
предсказание для величины ЭДМ нейтрона,
Для реалистичных значений масштаба масс хиггсовских бозонов, скажем, тн ~
200 ГэВ, данное предсказание близко к существующему экспериментальному
ограничению. Общее заключение состоит в том, что новые механизмы СР-наруше-
ния, приводящие к успешному электрослабому бариогенезису, будут, скорее все¬
го, доступны для косвенной проверки в экспериментах следующего поколения
по измерению электрических дипольных моментов.
11.6 * Механизм Аффлека—Дайна
11.6.1 Скалярные поля, несущие барионное число
В некоторых обобщениях Стандартной модели физики частиц барионное
число, помимо кварков, несут новые гипотетические скалярные поля. Возможны
также скалярные поля, несущие лептонные числа. В экспериментах скалярные
частицы с ненулевым барионным или лептонными числами не наблюдались. Это
говорит о том, что они имеют достаточно большие массы20; грубо говоря, эти мас¬
сы должны превышать несколько сотен ГэВ. Тем не менее, нетривиальная дина¬
мика таких скалярных полей в расширяющейся Вселенной может приводить к ге¬
нерации барионной асимметрии; класс соответствующих механизмов обобщённо
называют механизмом Аффлека—Дайна [203]. Разумеется, и в этом случае для
генерации барионной асимметрии требуется выполнение условий, перечисленных
в разделе 11.1. В частности, во взаимодействиях с участием скалярных полей ба¬
рионное число не должно точно сохраняться; должно иметься и СР-нарушение.
В качестве прототипа моделей с указанными свойствами можно выбрать мо¬
дель, в которой, помимо полей Стандартной модели, имеется комплексное ска¬
лярное поле ф, несущее барионное число В0 ψ 0, и фермион ф с нулевым ба¬
рионным числом. Кинетический и массовый члены в действии поля ф имееют
стандартный вид, действие скалярного поля выберем в виде
20В
предположении, что их взаимодействия с частицами Стандартной модели не слишком
слабы.
(11.137)
416
Глава 11. Генерация барионной а симметрии
где
У(ф) = тп? ф* ф + ф*ф)2 + ~^(Ф4 + Ф*4)· (11.138)
Параметры Л и Л' — действительны и положительны21. Наконец, взаимодействие
с участием фиф выберем в виде
Lint = Мфф + h. с., (11.139)
где h — юкавская константа связи, q — комбинация кварковых полей, преобра¬
зующаяся как спинор при преобразованиях Лоренца. При этом q может быть
(и, как правило, бывает) составным оператором; он может быть как цветным,
так и бесцветным. Важно, чтобы оператор q нёс отличное от нуля барионное
ЧИСЛО Bq, При ЭТОМ
Вф — Вд.
Мы не обсуждаем для простоты свойства полей ф и ф по отношению к калибро¬
вочной группе SU(3)C х SU(2)w х U(1)Y Стандартной модели; соответствующие
представления можно подобрать.
> Задача 24. Подобрать представления полей ф и ф по отношению к калиб¬
ровочной группе Стандартной модели и составной оператор q, несущий
барионное число, так, чтобы описанная выше модель сохраняла калибро¬
вочную инвариантность на древесном уровне.
Если бы последнего слагаемого в (11.138) не было, модель была бы инвари¬
антна относительно глобальных фазовых преобразований
ф —> егаВфф, q —> eiaB<?q, ф —»■ ф.
Соответствующее сохраняющееся квантовое число и было бы барионным числом,
при этом плотность барионного числа была бы равна
пв = гВф^дьф* ■ ф — ф* ■ дгф) + nB,q·, (11.140)
где nB.g = ^{пя — пя) — плотность барионного числа кварков. Если константа Λ'
в (11.138) мала, но конечна, барионное число сохраняется лишь приближённо.
о Задача 25. Получить выражение (11.140), используя теорему Нётер.
Ситуация, подобная изложенной выше, естественным образом возникает в су¬
персимметричном расширении Стандартной модели, см. раздел 9.6. В качестве
поля ф в нём может выступать комбинация полей скварков, слептонов и хиггсов-
ских бозонов, а полем ф Может служить комбинация калибрино — суперпартнё¬
ров калибровочных бозонов. Взаимодействие типа (11.139) действительно имеет
21Третий член в (11.138) можно было бы выбрать в виде |(λ'<^4 + h.c.) с комплексной λ'.
Однако переопределением поля ф его можно свести к виду, фигурирующему в (11.138).
11.6. Механизм Аффлека—Дайна
417
место, причём с точностью до численного множителя константа h совпадает с ка¬
либровочной константой gs группы SU(3)с. Взаимодействие типа \'(ф4 + h. с.) за¬
прещено для скварка калибровочной инвариантностью по отношению к SU(3)с,
однако возможны взаимодействия более высокого порядка (например, типа А'©6),
нарушающие барионное число и (B—L). Последнее обстоятельство особенно важ¬
но, поскольку для образования барионной асимметрии необходима и достаточна
генерация (В — L). если речь идёт о температурах выше 100 ГэВ.
Особенностью суперсимметричных обобщений Стандартной модели являет¬
ся наличие в них плоских направлений — таких направлений в пространстве
всех скалярных полей, вдоль которых скалярный потенциал мал вплоть до очень
больших значений полей. В терминах потенциала (11.138), в котором ф понима¬
ется как поле, параметризующее плоское направление, это означает, что масса т
мала (по сравнению, например, с массой Планка), а константы Л и Л' также
чрезвычайно малы.
11.6.2 Генерация асимметрии
Опишем механизм Аффлека—Дайна на примере модели, изложенной в раз¬
деле 11.6.1. Предположим, что поле ф в начальный момент времени (в инфля¬
ционной теории — сразу после окончания инфляции) было пространственно од¬
нородным и принимало некоторое комплексное значение ©* = г,егбг. Анализ
последующей эволюции этого поля особенно прост в случае
т2\фг\2 » А|©г|4. (11.141)
Из раздела 4.8.1 мы знаем, что в течение некоторого времени значение поля
остаётся практически неизменным, если выполнены условия медленного скаты¬
вания. В тот момент, когда эти условия нарушаются, поле, оставаясь однород¬
ным, начинает эволюционировать к минимуму потенциала ф = 0 и быстро, в тече¬
ние нескольких хаббловских времён, скатывается к окрестности этого минимума.
Вблизи минимума действительная и мнимая части эволюционируют независимо
(потенциал квадратичен), и каждая из них ведёт себя в соответствии с формулой
(4.64), т. е.
R еф = фя =
CR
α3/2(ί)
cos (mt + β я).
Im© ξξ ©7 =
С,
α3/2(ί)
cos (mt + 0j).
(11.142)
Отметим, что если бы масштабный фактор а был постоянным, то «траектория»
(11.142) представляла бы собой эллипс на комплексной плоскости (при β1 ψ ря)·
В действительности a(t) растёт со временем, поэтому эллипс превращается в эл¬
липтическую спираль, см. рис. 11.17. Наличие слагаемого в (11.138), нарушаю¬
щего барионное число (т. е. слагаемого с А'), весьма существенно: если бы его
не было, фазы 0я и β[ были бы равны и эллипс выродился бы в отрезок.
Поле φ(ί) вида (11.142) несёт барионное число, плотность которого даётся
формулой
пв = ιΒφ{8ιφ*φ - φ*8ιφ) = 2Βφ{φΆ8ιΦι - ©7^©я)
(11.143)
418
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
и равна
2B*^Wts Чвя-А). (11.144)
ad(i)
Как обычно, пв ос а-3, так что барионное число в сопутствующем объёме сохра¬
няется (несохранение барионного числа, связанное с последним членом в (11.138),
мало при малых ф).
За счёт взаимодействий
с кварками типа (11.139)
это барионное число в ко¬
нечном итоге перерабаты¬
вается в барионное число
кварков, и во Вселенной
остаётся барионная асим¬
метрия.
Как мы отмечали в раз¬
деле 4.8.1, на квантовом
языке полю (11.142) соот¬
ветствует когерентное со¬
стояние покоящихся ф-
бозонов и их античастиц,
причём <£-бозон несёт ба¬
рионное число Вф, а его
античастица — барионное
число (—Вф). В этом смысле отличие от нуля барионного числа (11.144) озна¬
чает, что числа ό-бозонов и их античастиц в этом состоянии различны. Распад
поля ф на кварки и фермионы Ф можно, хотя и с оговорками, воспринимать как
распады <£-частиц и их античастиц. На этом языке образование в конечном итоге
асимметрии между кварками и антикварками вполне очевидно.
Рис. 11.17. Траектория φ{ί) на комплексной
плоскости
Перейдём к оценке генерируемой таким образом барионной асимметрии.
Удобно записать действие (11.137) в переменных г и 0, таких что
Ф
ч/2
е
гв
В расширяющейся Вселенной действие для пространственно-однородного поля
имеет вид
Spm = J dt a3 {t)(^r2 + ^г202 - V(t\0)^s
где
2 \ \ /
V(r, 0) = Щг-г2 4- —r4 + —r4 cos 40. (11.145)
2 8 8
Отсюда имеем уравнение для 0
11.6. Механизм Аффлека—Дайна
419
Выражение для плотности барионного числа (11.143) в переменных г и 0 име¬
ет вид
пв = ВфГ26.
Поэтому уравнение (11.146) можно записать в виде
10,з ч
-zJt{a пв) = -В<
dV
00'
Если бы V не зависел от Θ, то это был бы закон сохранения барионного числа
(в сопутствующем объёме), а для зависящего от Θ потенциала это — уравнение
для генерации барионного числа.
Будем считать начальную фазу 0; не равной нулю. Это предположение озна¬
чает, что начальное состояние CP-асимметрично; именно в этом месте выпол¬
няется соответствующее условие генерации асимметрии. Данное предположение
действительно существенно, поскольку при 0; = 0 эволюция происходит вдоль
оси 1тф = О (Л' действительна), и плотность барионного числа (11.143) в конеч¬
ном итоге равна нулю. При отличном от нуля 0; имеем для плотности барионного
числа в поздний момент времени t
a3(t)nB(t) = -Вф £ ^α3(ί')
Вф\'
2
sin 40(i') dt'.
(11.147)
Поскольку r4a3 ос α-3 ос ί-3/2, интеграл в (11.147) набирается на нижнем пре¬
деле, то есть в течение нескольких хаббловских времён сразу после нарушения
условий медленного скатывания22: до этого 3V/89 постоянно, но α3(ί) мало; после
этого 8V/89 ос г4 и мало. Отметим, что мы сделали существенное предположе¬
ние о том, что нетривиальная эволюция поля ф происходит на горячей стадии.
В дальнейшем мы будем работать в этом предположении, а также в предположе¬
нии о том, что плотность энергии поля ф никогда не доминирует во Вселенной.
Мы обсудим ниже условия, при которых эти предположения выполняются.
Из (11.147) получаем оценку
nB(t) ~
а3(*г)
α3(έ)
8V 1
' d9{U)‘ H{trY
где tT соответствует моменту нарушения режима медленного скатывания. Учи¬
тывая, что a(t) ос. Т-1, получаем оценку для асимметрии
Δ„ = ^
1 9V(t )
g.T?H(Tr) ΘΘΚγ>
Λ'
9* Hr(M*piHr)з/2
sin 40;
(11.148)
где мы учли стандартное соотношение Н = Т2 /МР1. Мы учли также, что до на¬
чала быстрого скатывания поле практически не изменялось и к моменту t = tr
совпадало с начальным.
22Предположение (11.141) существенно именно в этом месте.
420
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
Для дальнейшего анализа вспомним, что при выполнении (11.141) условия
медленного скатывания нарушаются при
т2 ~ Я2. (11.149)
Используя это соотношение, оценку (11.148) можно переписать в виде
Δ*
Уд
-1/4
(11.150)
Видно, что результат зависит как от параметров модели (константы А7), так
и от начальных амплитуды г; и фазы θι скалярного поля ф. В общем случае
то или иное значение Δβ выглядит как результат случайного выбора начальных
условий.
Чтобы понять, при каких условиях асимметрия (11.150) равна наблюдаемой,
ΔΒ ~ Ю-10, необходимо сделать то или иное предположение о начальных значе¬
ниях Г{ и θ{. Одно из возможных предположений (хотя и далеко не единственное)
состоит в том, что начальная фаза не мала, sin 40* ~ 1, а начальная амплиту¬
да — порядка планковской, г,- ~ Мр\. Из (11.150) видно, что при тп <С Μρι
наблюдаемая асимметрия получается, только если нарушение барионного чис¬
ла чрезвычайно мало, А7 «С Ю-10. В противном случае асимметрия слишком
велика. Этот результат иллюстрирует довольно характерное свойство механиз¬
ма Аффлека—Дайна: генерируемая с его помощью барионная асимметрия часто
(хотя и не всегда) оказывается слишком большой.
При Гг ~ Μρι предположение о том, что режим медленного скатывания за¬
канчивается, когда Вселенная уже находится на горячей стадии, выполняется
лишь при весьма малых значениях m и чревычайно малых значениях А. Пусть
Τ,ηαχ — максимальная температура Вселенной на горячей стадии. Тогда требо¬
вание, чтобы соотношение (11.149) выполнялось при Тг· < Tmax. даёт
тп <
Т2
м m ax
Для Тр ~ 1010 ГэВ (наибольшее возможное значение для инфляционных теорий)
имеем численно
m < 1012 ГэВ. (11.151)
Кроме того, исходное предположение о том, что тп2\ф\2 А|ф|4, требует А <С
1СГ14, и при этом правильное значение барионой асимметрии получается при
X' < 10-2'. Эти результаты служат иллюстрацией ещё одной особенности меха¬
низма Аффлека—Дайна: для его реализации требуется, чтобы поле ф обладало
«плоским» потенциалом V(о). Как мы уже говорили, плоские потенциалы есте¬
ственным образом появляются в суперсимметричных теориях.
Обсудим ещё одну особенность механизма Аффлека—Дайна, по-прежнему
считая, что Г{ ~ Мpi. Из (11.149) следует, что в начале осцилляций плотность
энергии поля ф сравнима с плотностью энергии горячей материи,
Р«(*г) ™2т? г?
Praditr) ~ Н2М\, ~ М\{
11.6. Механизм Аффлека—Дайна
421
Плотность энергии осциллирующего поля убывает при расширении Вселенной
так же, как плотность энергии нерелятивистского вещества, рф ос а-3, а распад
осцилляций происходит тогда, когда Н ~ Г (см. раздел 5.3), где Г — ширина рас¬
пада <£-бозона. При Г « т (что согласуется с чрезвычайно слабым самодействием
поля ф) энергия осциллирующего поля становится доминирующей вскоре после
начала осцилляций. Существование промежуточной пылевидной стадии — ещё
одна характерная, хотя и не обязательная черта механизма Аффлека—Дайна.
> Задача 26. В ситуации с промежуточной пылевидной стадией оценка (11.150)
перестаёт быть справедливой. Оценить Ав для этого случая, считая по-
прежнему., что нарушение условий медленного скатывания происходит
на радиационно-доминированной стадии.
> Задача 27. Рассмотрим случай, противоположный (11.141). а именно
Λ|φΐ|4 » тп2\ф?\.
Будем считать, что У <С Л.
(a) Показать, что амплитуда осцилляций в потенциале четвёртого поряд¬
ка V = А©4 падает как а-1 (в отличие от закона а-3/2, справедливого
для квадратичного потенциала). Это означает, что dV/δθ в подынте¬
гральном выражении в (11.147) убывает как a~4(t') до тех пор, по¬
ка члены четвёртого и второго порядка в потенциале не сравняются,
Аг4 ~ m2r2, и только после этого dV/δθ ос а-6.
(b) Исходя из этого наблюдения и предполагая, что энергия поля ф нико¬
гда не доминирует во Вселенной, показать, что оценка для генериру¬
емой барионной асимметрии имеет вид
Δβ
/ -1/4
Уд
тА3/4
Гг
Μρι
3/2
sin 40i ·
(с) Показать, что при гг- ~ Μρι модель должна иметь те же характерные
особенности (малое значение т, очень малое значение X' и т. д.), что
и в рассмотренном в тексте случае.
Обсудим вкратце вариант механизма Аффлека—Дайна, в котором начальное
значение г* определяется динамически, а требования к плоскостности скалярного
потенциала слабее, чем в изложенном выше сценарии [204]. Предположим, что
помимо слагаемых, выписанных в (11.137), в действии имеется ещё одно слагаемое
Брф = - J d4x y/^cR \ф\2 , (11.152)
где с — положительная постоянная, которую мы выберем несколько большей
единицы. Для однородной изотропной Вселенной
R = —SttGT^ - —8πΰ(ρ - 3р).
422
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
На инфляционной стадии р « р и Л « —32т\Gp = —12Н2. в то время как
на радиационно-доминированной стадии23 |Д| Н2. Поэтому добавление сла¬
гаемого (11.152) эффективно изменяет массовый член на инфляционной стадии
(считаем А' <§; Λ):
тп2\ф\2 -> (т2 - 12сН2)\ф\2. (11.153)
При Н т, потенциал имеет максиму a t при ф — 0, и в пределе А7 —» 0 долину
минимумов на окружности в комплексной плоскости
2 _ г2 12с#2
“ 2 ~ А
(11.154)
Условия медленного скатывания при этом не выполняются для движения вдоль
радиального направления (для этого нам и нужно с > 1), поэтому r(t) при¬
ближённо определяется равенством (11.154). При малых, но конечных А7 долина
(11.154) слегка наклонена (потенциал зависит от фазы 0), но фаза является почти
плоским направлением, для которого возможно выпонение условий медленного
скатывания.
> Задача 28. Показать, что условия медленного скатывания выполняются
на инфляционной стадии с Н m для эволюции фазы 0 при А7 <С А.
На радиационно-доминированной стадии вклад (11.152) несущественен, и ди¬
намика определяется скалярным потенциалом (11.138). Если переход от инфля¬
ционной к горячей стадии происходит быстро, за несколько хаббловских времён,
то сразу после начала горячей стадии поле ф начинает скатываться к значению
ф = 0 в режиме, описанном в задаче 27. При этом начальное значение поля
определяется параметром Хаббла в конце инфляции, а в приближении мгно¬
венного пост-инфляционного разогрева — параметром Хаббла на момент начала
горячей стадии:
24сГДах
A Mpf
(11.155)
Пока в потенциате доминирует слагаемое четвёртой степени, r(i) падает как
а-1 ос Т. см. задачу 27. В момент tm, когда А г2 ~ т2, этот режим сменяется
на режим i' ос а-3//2, и генерация асимметрии быстро прекращается. В это время
температура оценивается как
rj-i ΤΤίΓ-πιαχ
В результате для барионной асимметрии получим из (11.147)
(11.156)
Δβ ~
ВФХ
2 9,
rj sin 40; ·
dt Βό A7 rf Μ
—
Г3
PI
rp 4
sin 40i;
23 Соотношение p = pf 3 не является точным для космической плазмы из-за взаимодействий
между частицами. Его нарушение, однако, мало для слабовзаимодействующих частиц.
11.7. Заклю чительные замечания
423
где tTeh — время начала горячей стадии, соответствующее температуре Tmax,
и для взятия интеграла используется соотношение (3.32). Вспоминая (11.156),
а затем (11.155) получим окончательно
ΔΒ~(24 С)^В4£Щ·.
Видно, что при не слишком низкой температуре Tmax чрезвычайной плоскост¬
ности потенциала требовать не нужно; например, даже при Tmax ~ 1012 ГэВ,
Л' = 0,1Л, m = 1 ТэВ реалистичное значение барионной асимметрии получается
при Λ ~ 10-4.
> Задача 29. Убедиться, что в рассмотренном сценарии начальное поле г\ ти¬
пично принимает сравнительно небольшие значения, г* «С Мр/. Это озна¬
чает, в частности, что слагаемое (11.152) мало по сравнению с действием
Эйнштейна—Гильберта; гравитация не модифицируется.
> Задача 30. Рассмотреть описанный только что механизм при с 1, где с —
параметр в действ1ш (11.152). Может ли этот механизм работать на горя¬
чей стадии и приводить к наблюдаемой барионной асимметрии при Tmax <
109 ГэВ?
Итак, механизм Аффлека—Дайна при достаточно жёстких ограничениях
на параметры теории может работать на горячей стадии расширения Вселенной.
При этом скалярный потенциал должен быть достаточно плоским, а максималь¬
ная температура во Вселенной — достаточно высокой. Интересная возможность,
связанная с этим механизмом, состоит в том, что на некотором этапе когерентные
осцилляции скалярного поля дают доминирующий вклад в плотность энергии,
и во Вселенной имеется промежуточная пылевидная стадия.
Если максимальная температура Вселенной не слишком велика, Tmax <
Ю10 ГэВ, а масса поля ф — порядка 1 ТэВ или выше, то поле ф скатывается
в сторону минимума потенциала до наступления горячей стадии. Это — вполне
реалистическая возможность. В таком случае механизм Аффлека—Дайна мо¬
жет работать на стадии разогрева Вселенной после инфляции. Соответствующие
оценки отличаются от сделанных выше, но общий вывод о возможности генера¬
ции наблюдаемой барионной асимметрии остаётся справедливым.
11.7 Заключительные замечания
Рассмотренные в этой Главе механизмы генерации барионной асимметрии
Вселенной далеко не исчерпывают обсуждаемые в литературе возможности. Кро¬
ме всего прочего, генерация барионной асимметрии могла происходить на ста¬
дии постинфляционного разогрева, а не на горячей стадии, как мы предпола¬
гали в этой Главе. К сожалению, многие механизмы (например, рассмотренные
в разделах 11.3 и 11.4) основываются на гипотетических физических явлениях,
которые могут иметь место лишь при сверхвысоких энергиях, недоступных для
424
Глава 11. Генерация барионной асимметрии
ускорителей в обозримом будущем. Поэтому прямые экспериментальные или
наблюдательные доказательства того или иного механизма генерации барионной
асимметрии получить будет крайне трудно, если вообще возможно. Исключе¬
ние составляет электрослабый механизм, который будет доказан или опроверг¬
нут коллайдерными экспериментами недалёкого будущего. Серьезным указа¬
нием на лептогенезис через нейтринные осцилляции может стать обнаружение
стерильных нейтрино с массами ниже электрослабого масштаба, однако это
потребует создания нового поколения экспериментов. Что касается механизма
Аффлека—Дайна, то сильным аргументом в его пользу послужило бы обнару¬
жение так называемых барионных возмущений постоянной кривизны в спектре
возмущений плотности энергии вещества в ранней Вселенной24. Поиски этой мо¬
ды возмущений космической среды идут и будут продолжены путём детальных
измерений анизотропии и поляризации реликтового излучения, распределения
галактик и т. д. Этот круг вопросов мы рассматриваем во второй части книги.
24 Генерация заметной амплитуды этой моды возмущений — возможное, но совсем не обяза¬
тельное следствие механизма Аффлека—Дайна, поэтому отвергнуть его на основании наблю¬
дательных данных будет нельзя.
Глава 12
Топологические дефекты
и солитоны во Вселенной
В этой Главе мы рассмотрим особенности космологии теоретико-полевых
моделей, допускающих существование солитонных или солитоноподобных реше¬
ний. Эти решения представляют собой специфические (иногда — макроскопиче¬
ские) конфигурации поля, чья стабильность обусловлена нетривиальной топо¬
логией пространства вакуумов теории (топологические дефекты) или существо¬
ванием сохраняющихся глобальных зарядов (нетопологические солитоны, в т. ч.
Q-шары). Интерес представляют как частицеподобные объекты (монополи, Q-
шары), так и протяжённые — космические струны и доменные стенки; мы будем
употреблять термины «дефект» и «солитон» для любого из таких объектов.
В Стандартной модели их нет (если не рассматривать экзотические возможно¬
сти типа кварковых самородков), но они возникают в различных обобщениях
Стандартной модели. Вообще говоря, могут представлять интерес также неста¬
бильные солитоноподобные решения, если их время жизни соизмеримо с хабб-
ловским временем.
В этой книге мы обсудим образование солитонных конфигураций в ранней
Вселенной, их последующую эволюцию и возможное влияние на процессы, про¬
исходящие в расширяющейся Вселенной. До сих пор данных о существовании
солитоноподобных объектов во Вселенной нет. Тем не менее, их теоретическое
изучение представляет несомненный интерес. Как мы увидим, в моделях с со-
литонами возможны изменение темпа расширения Вселенной, появление новых
механизмов образования структур, линзирование далёких источников, искаже¬
ние картины анизотропии реликтового излучения, новые процессы, приводящие
к генерации барионной асимметрии, и многое другое. Характерные энергетиче¬
ские масштабы процессов, приводящих к образованию дефектов, как правило,
заметно превышают электрослабый масштаб. Экспериментальное обнаружение
дефектов могло бы свидетельствовать о том, что в ранней Вселенной температу¬
ры действительно достигали соответствующих величин1. Кроме того, обиаруже-
1 Вообще говоря, существуют механизмы рождения дефектов, не требующие столь высо-
425
426
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
ние дефектов дало бы неоспоримое свидетельство в пользу существования новой
физики за рамками Стандартной модели физики частиц. Исследование свойств
дефектов позволило бы изучать масштабы энергий, намного превышающие воз¬
можности современных ускорителей.
Причиной, лежащей в основе существования топологических дефектов
в теоретико-полевых моделях, является нетривиальная структура множества ва-
куумов этих теорий. Математически «нетривиальность структуры» означает, что
некоторая гомотопическая группа тгдг многообразия М. вакуумов теории
нетривиальна.
7riV(.M)^0, (12.1)
т. е. существуют нетривиальные отображения JV-мерной сферы SN в многообра¬
зие вакуумов Λ4. В большинстве случаев это означает, что солитонная конфигу¬
рация задаёт нетривиальное отображение пространственных асимптотик (сфе¬
ры 5Л в общем случае) в многообразие вакуумов (поскольку на пространствен¬
ной бесконечности полевые конфигурации должны переходить в вакуумные, что¬
бы не нести бесконечно большой полной энергии). В пространстве-времени раз¬
мерности d-1-1 условие (12.1) указывает на существование солитонов пространст-
венно-врелюнной размерности d— N. Стабильность солитонов обусловлена требо¬
ванием конечности энергии, поскольку их разрушение требует перестройки ваку¬
ума на пространственной бесконечности. С каждой нетривиальной конфигура¬
цией связан сохраняющийся заряд — топологический инвариант. Для четырёх¬
мерного пространства-времени возможны топологические дефекты трёх типов:
пространственно-временных размерностей 2 -г 1 (стенки), 1 + 1 (струны) и 0 + 1
(частицеподобные дефекты, например монополи). а также возможны гибридные
варианты, включающие комбинации дефектов различных размерностей.
Отметим, что группа симметрии теории G может быть локальной (калиб¬
ровочной) или глобальной. Соответствующие дефекты также называются ло¬
кальными или глобальными. В первом случае энергия дефекта локализована,
а в случае глобальных дефектов плотность энергии (градиентная часть) падает
с расстоянием от центра настолько слабо, что интеграл энергии расходится. Рас¬
пределение плотности энергии одного глобального дефекта простирается за те¬
кущий горизонт. В физически интересном случае нескольких дефектов это озна¬
чает, что нельзя пренебрегать взаимодействием между ними. С учётом энергии
взаимодействия полная энергия поля оказывается конечной.
12.1 Образование топологических дефектов
в ранней Вселенной
Достаточно общим свойством теоретико-полевых моделей с дефектами яв¬
ляется то. что эти дефекты существуют лишь в фазе со спонтанно нарушенной
симметрией, в которой имеются отличные от нуля средние скалярных полей,
а в симметричной фазе они отсутствуют. Именно с этой ситуацией мы столк¬
нёмся в разделах 12.2-12.5. Как мы обсуждали в Главе 10, при достаточно вы¬
ких температур во Вселенной. Однако в любом случае плотности энергии в ранней Вселенной
должны быть достаточно высоки.
12.1. Образование топологических дефектов в ранней Вселенной
427
соких температурах, как правило, реализуется фаза с ненарушенной симметри¬
ей, а фаза с нарушенной симметрией возникает во Вселенной при понижении
температуры в результате фазового перехода. Таким образом, существование то¬
пологических дефектов возможно во Вселенной лишь при Т < Тс, где Тс —
температура фазового перехода2.
Одним из механизмов образования дефектов является тепловой механизм:
после фазового перехода возможно образование дефектов в результате взаимо¬
действия частиц среды. В отсутствие других механизмов оно стремится привести
концентрацию дефектов к равновесной. Тепловой механизм часто малоэффек¬
тивен: например, если речь идёт о частицеподобных солитонах (скажем, о маг¬
нитных монополях, которые мы рассмотрим в разделе 12.2), то их масса Мр,
как правило, велика по сравнению с критической температурой, и равновесная
концентрация подавлена больцмановским множителем
л^ч) ос е~Мо/Тс. (12.2)
Для струн и доменных стенок подавление ещё сильнее.
Имеется, однако, и другой механизм, который называют механизмом Киб-
бла [205]. Мы подробно рассмотрим этот механизм в разделе 12.2 на примере
магнитных монополей, но в действительности, как мы увидим, он имеет общий
характер. Этот механизм работает в эпоху фазового перехода и только для
топологических дефектов. Области хаббловского размера испытывают фазовый
переход независимо друг от друга. Внутри одного хаббловского объёма поле¬
вые конфигурации могут быть скоррелированы, и система может перейти в один
и тот же вакуум. С другой стороны, вакуумы в разных хаббловских объёмах —
это, вообще говоря, разные точки многообразия вакуумов. Поэтому топология
полевой конфигурации на пространственном масштабе, превышающем хабблов-
ский размер, может случайным образом оказаться соответствующей топологии
дефекта. Процессы релаксации после фазового перехода топологии не меняют,
и в результате образуется топологический дефект. Это и есть механизм Кибб-
ла. Из этих рассуждений понятно, что механизм имеет универсальный характер
и слабо зависит от отношения Мо/Тс.
Говоря точнее, плотность топологических дефектов, образовавшихся за счёт
механизма Киббла, сразу после фазового перехода определяется корреляцион¬
ной длиной /сог, которая заведомо не превосходит3 хаббловский размер, 1сог Сtc)<
Н 1{tc). Поэтому число образовавшихся дефектов по порядку величины состав¬
ляет по крайней мере 1 на хаббловский объём,
МУ ~Сг£Я3(«е) = 1Г$з· (12.3)
1X1Р1
2Образование топологических дефектов возможно как при тепловом фазовом переходе, про¬
исходящем в результате понижения температуры первичной плазмы, так и при нетепловых
фазовых переходах, возможных на стадии постинфляционного разогрева.
3 Для фазового перехода первого рода 1Сот представляет собой средний размер пузырей на мо¬
мент перколяции. Для фазового перехода второго рода 1СОг — это размер области, в которой
энергия, необходимая для разматывания топологически нетривиальных конфигураций, по по¬
рядку величины равна температуре.
428
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Эта оценка имеет общий характер для частицеподобных дефектов, с точностью
до модельно-зависимого численного множителя (который, впрочем, может до¬
вольно заметно отличаться от 1). Для протяжённых дефектов (струн, домен¬
ных стенок) приведенный аргумент работает для расстояния Id между ними.
МО £ н-Ци).
Дальнейшая эволюция различна для различных типов дефектов. Эта эволю¬
ция, как правило, является существенно неравновесным процессом: плотность
числа дефектов эволюционирует с масштабным фактором (а значит, и с тем¬
пературой) по степенному закону, в то время как равновесная плотность при
Т С Мд падает экспоненциально. Эта эволюция будет рассмотрена в следу¬
ющих разделах, здесь же отметим, что в первые моменты после образования
топологические дефекты не влияют на темп расширения Вселенной, поскольку
их плотность энергии подавлена степенью малого отношения Tc/Mpi по сравне¬
нию с плотностью энергии релятивистского вещества. Показатель степени здесь
зависит от типа дефекта и, как следует из оценки (12.3), равен 3 для частицепо¬
добных дефектов. На более поздних этапах эволюции Вселенной плотность энер¬
гии, накопленная в топологических дефектах, может стать существенной и даже
доминирующей.
12.2 Монополи т’Хоофта—Полякова
12.2.1 Монополи в калибровочных теориях
Классическим примером модели, где существуют решения вида монопо¬
лей [206, 207], является модель Джорджи—Глэшоу: 56г(2)-калибровочная теория
с триплетом скалярных полей ф°, о = 1,2, 3 (они преобразуются по присоединён¬
ному представлению группы SU(2)). Лагранжиан модели имеет вид
С = --.F°UF^ + \νμφαν*φα - ^(φαφα - ν2)2. (12.4)
4 2 4
где
F% = d„Al - d„Al
Όμφα = 9^ + 96^^^.
Помимо калибровочных взаимодействий между векторными полями Ααμ и ска¬
лярными полями, он включает самодействие скалярных полей. В модели имеет
место спонтанное нарушение симметрии: вакуумное среднее скалярного поля,
определяемое из условия минимума скалярного потенциала
(φαφα) = с2, (12.5)
инвариантно лишь относительно подгруппы 17(1) группы калибровочной симмет¬
рии SU(2). Выбрав основное состояние скалярного поля в виде
(Фа) = δϊικ
(12.6)
12.2. Монополи т’Хоофта— Полякова
429
найдём, что поле А3 остаётся безмассовым (калибровочное поле ненарушенной
подгруппы ϊ/(1)), а поля
W? = -^={Α1μ± ιΑ2μ) и Н = ф3 -V
приобретают массы
mw = gv и rrih = V2Xv
соответственно.
о Задача 1. Написав в модели (12 А) квадратичное действие для малых возму¬
щений над вакуумом (12.6). убедиться в справедливости сделанных утвер¬
ждений относительно спектра частиц.
Мы будем интересоваться статическими конфигурациями вида
А%= 0, Л?=А?(х), φα = όα(χ)
с граничными условиями, определяемыми требованием конечности энергии, ко¬
торая задается выражением
Е =
+ IVidTViФа + \(φ°ψ° - ν2)2
(12.7)
На пространственной бесконечности (г —» оо, где г2 = х2) поля принимают ваку¬
умные значения, т. е. фафа = г2, Αμ = 0 (с точностью до калибровочных преоб¬
разований), причём их поведение там ограничено условиями
Εζ(τ —*► оо) ос г-1_а, а >
Τ>ίφα(τ —> оо) ос г_1_/3, β >
[<ра0а(г —► оо) — г2] ос г-1-7, 7 >
(12.8)
следующими из требования интегрируемости плотности энергии в (12.7). На про¬
странственной бесконечности модуль вектора (ф1.ф2.ф3) отличен от нуля, не за¬
висит от направления и равен ν. Тем самым этот вектор задаёт отображение сфе¬
ры .пространственной бесконечности в сферу 52ас внутреннего пространства
(пространства всех вакуумов теории, т. е. векторов, удовлетворяющих (12.5)). По¬
скольку
772(52)=Z^0,
то это отображение может быть нетривиальным, а значит, данная конфигура¬
ция — топологически стабильной.
430
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
А
Υ
Простейшее нетривиальное отоб¬
ражение получается для асимптотиче¬
ской конфигурации скалярного поля,
напоминающей ежа, см. рис. 12.1,
фа(г —» оо) — νηα. па = —, (12.9)
г
при этом векторное поле должно
асимптотически совпадать с
Af(x) = —eaijnj. (12.10)
gr
чтобы удовлетворить требованию ко¬
нечности энергии (12.8). Таким обра¬
зом. интересующая нас конфигурация
может быть описана анзацем
фа = νηα · (1 - /(г)),
А* = —eaijnj(l — а(г)).
gr
(12.11)
Рис. 12.1. Асимптютика скалярного
поля монополя. Скалярное поле (показа¬
но стрелками) направлено во внутрен-
нел1 пространстве так оке, как радиус-
вектор в физическом пространстве
Этот анзац симметричен относитель¬
но пространственных вращений, до¬
полненных вращениями во внутрен¬
нем пространстве — глобальными 5[/(2)-преобразованиями. Функции /(г) и а(г)
должны удовлетворять требованиям отсутствия сингулярности в начале коор¬
динат и конечности полной энергии конфигурации, что приводит к граничным
условиям
/(г —► ос) = а(г —» ос) = 0,
[1 - /(г —»· 0)] сх cir -I- с2г3 + ...,
[1 - а(г —> 0)] ос d\r2 + d2r4 + ■ · ·,
где ci, с2, ... и rfi, rf2, ... — числа.
> Задача 2. Показать, что анзац (12.11) проходит через уравнения поля мо¬
дели Джорджи—Глэшоу (12.4). Убедиться, что при g ~ у/λ функции f(r)
и а ( г) экспоненциально убывают на пространственной бесконечности.
Построенная нами конфигурация является примером магнитного монополя.
Действительно, для асимптотики (12.10) неабелево электрическое поле равно ну¬
лю, а неабелево магнитное поле имеет вид
В? =
1
2
1
gr2
ЩПа.
(12.12)
12.2. Монополи т’Хоофта—Полякова
431
Напомним, что в обычной электродинамике магнитное поле вида
создавал бы монополь Дирака — магнитный заряд величины
_ 1
9т — — 1
9
расположенный в начале координат. Поэтому полученную нами конфигурацию
также называют монополем (точнее, монополем т’Хоофта—Полякова).
Отметим, что в случае малых отклонений полей от вакуумных значений
и при выборе калибровки (12.6) магнитным полем, соответствующим ненарушен¬
ной подгруппе U(1). является поле Bf. В произвольной калибровке такое маг¬
нитное поле параллельно во внутреннем пространстве вектору ф° и по величине
равно (В?фа/у). Используя (12.9), получим, что асимптотика (12.12) соответству¬
ет, как и следовало ожидать, магнитному монополю ненарушенной подгруппы
U( 1), причём последнее совпадает с полем монополя Дирака. Массивные ска¬
лярное и векторные поля экспоненциально убывают вдали от центра монополя.
Если отождествить ненарушенную подгруппу С/ (1) с группой электромагнетиз¬
ма, то монополи т’Хоофта—Полякова вдали от их центра выглядят как частицы,
обладающие магнитным зарядом.
Для дальнейшего полезно заметить, что наряду с монополями всегда имеют¬
ся решения типа антимонополей. Они отличаются поведением скалярного поля
фа = —vna(l — /(г)),
в то время как поле Af для них имеет такой же вид, как поле монополя. Магнит¬
ное поле {В*фа /у) имеет противоположный знак по сравнению с полем монополя.
Для моделей с т\у ~ массу монополя можно найти из размерных сооб¬
ражений, сделав в интеграле (12.7) замену переменных
х = (9v) λξ, Ααμ = νΑαμ, φα = νφα
В результате энергия (12.7) примет вид
т\\
Е =
1 1 77? “
_ φα φα , _Т)-'ОаТ>-сл° А
4Α;Λ, + 2^ +gm2
teV - i)J
Поскольку монопольная конфигурация минимизирует функционал энергии,
а подынтегральное выражение при гп\у ~ mh не содержит существенно отличаю¬
щихся от единицы (больших или малых) параметров, то массу монополя можно
оценить как
Атпп-w 4тг у
где множитель 4тг соответствует интегрированию по углам. Таким образом, масса
монополя превышает энергетический масштаб у, характеризующий нарушение
симметрии SU{2) —> U{ 1).
432
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Существование магнитных монополей является общим свойством теорий
Большого объединения. В контексте теорий Большого объединения монополи
имеют массы порядка тпм ~ Ю16 ГэВ и образуются при фазовом переходе Боль¬
шого объединения, т. е. при температуре Тс ~ 1016 ГэВ. Это верно, конечно,
в предположении, что такие температуры достигались в ранней Вселенной.
Сформулируем необходимое условие существования монополей в калибро¬
вочных теориях общего вида. Пусть лагранжиан теории инвариантен относи¬
тельно калибровочной группы G, а основное состояние инвариантно лишь отно¬
сительно группы Н, являющейся подгруппой G, Н С G. Многообразие Λ4 эквива¬
лентных вакуумов в такой теории представляет собой фактор-пространство G/H
(предполагается, хотя это и не необходимо, что группа G действует на многообра¬
зии М. транзитивно, т. е. все вакуумы связаны между собой преобразованием сим¬
метрии). Стабильные монопольные конфигурации — дефекты пространственно-
временной размерности 0+1 — возможны, если многообразие Λ4 вакуумов теории
содержит иестягиваемые сферы, т. е. вторая гомотопическая группа этого мно¬
гообразия нетривиальна,
tt2(G/H) ф 0. (12.13)
Если калибровочная группа G простая или полупростая (калибровочные груп¬
пы всегда компактны), а Н включает в себя одну фактор-группу U( 1), то
-2 (G/H) = τη (Я) = Z,
так что монополи в таких моделях всегда существуют. В Стандартной модели
G = SU{3) х SU{2) х U{ 1), Η = SU{3) χ U{ 1), ττ2{G/H) = 0;
таким образом, в Стандартной модели монополей нет. Иная ситуация имеет ме¬
сто в теориях Большого объединения: там калибровочная группа, как прави¬
ло, — простая (реже — полупростая), а нарушается она при высоких энергиях
до SU(3)cxSU(2)xv xU(l)Y. а в конечном итоге —до Н = SU(3)cxU(l)em (приме¬
ром служит теория SU(o). рассмотренная в разделе 11.2.2). Поэтому tt2(G/H) =
Z, откуда и следует сделанное выше утверждение о том, что монополи существу¬
ют во всех теориях Большого объединения.
12.2.2 Механизм Киббла
Обсудим на примере монополей т’Хоофта—Полякова в модели Джорджи-
Глэшоу, как работает механизм Киббла. При высоких температурах среднее поля
значение Энглера—Браута—Хиггса равно нулю, среда находится в фазе с ненару¬
шенной симметрией, и монополей не существует. В результате фазового перехода
скалярное поле становится отличным от нуля. На расстоянии больше корреля¬
ционной длины 1сог направления скалярного поля сразу после фазового перехо¬
да никак не скоррелированы. В результате во Вселенной имеются как области
со скалярным полем, направленным так, как изображено на рис. 12.2 а, так и об¬
ласти с конфигурациями скалярного поля, изображёнными на рис. 12.2 b и 12.2 с.
12.2. Монополи т’Хоофта—Полякова
433
Рис. 12.2. Возможные конфигурации скалярного поля сразу после фазового пе¬
рехода. Обведены области с линейными размерами порядка 1СОГ
Конфигурация рис. 12.2 а топологически тривиальна, и в результате дальнейшей
эволюции она релаксирует к состоянию без монополя. Конфигурация рис. 12.2 Ь
имеет топологию ежа (ср. с рис. 12.1); в результате её эволюции в системе обра¬
зуется монополь. Из конфигурации рис. 12.2 с в конечном итоге образуется ан-
тимонополь. Вероятности реализации всех трёх типов конфигураций примерно
одинаковы (а для рис. 12.2 b и 12.2 с в точности равны), поэтому концентрации
монополей и антимонополей сразу после фазового перехода можно оценить как
пм = пм ~ £?г· Образование скалярного конденсата заведомо происходит неза¬
висимым образом на расстояниях, превышающих размер космологического гори¬
зонта. Таким образом, концентрация монополей, образованных за счёт механизма
Киббла, действительно оценивается формулой (12.3).
12.2.3 Остаточная концентрация: проблема монополей
При температурах ниже температуры фазового перехода, сопровождаемо¬
го образованием монополей, последние являются (или быстро становятся) нере¬
лятивистскими объектами. Если бы их аннигиляция была несущественной, то
отношение их числа к плотности энтропии сохранялось бы. Это дало бы для
современного вклада монополей в плотность энергии во Вселенной
„ пм.тс г— Гс6 glTl
Рм,о = т.ипм.о = там ^ · so ~ v<7* · тм~
ГэВ-см"3, (12.14)
где мы учли выражение (5.28) для плотности энтропии в горячей Вселенной.
Для типичных энергетических масштабов теорий Большого объединения, Тс ~
тм ~ Ю16 ГэВ, получившаяся плотность энергии более чем на 17 порядков
превосходит критическую плотность рс ~ Ю-0 ГэВ см-3. В этом состоит про¬
блема монополей [208, 209]: полученный результат означает, что либо по тем или
10
12
тм
1016 ГэВ V 1016 ГэВ
434
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
иным причинам в ранней Вселенной не происходило рождение монополей (на¬
пример, на горячей стадии температуры не достигали значений Тс гЧУ 1016 ГэВ),
либо топология пространства вакуумов фундаментальной теории не подразуме¬
вает существования монополей. Последняя возможность не совместима с идеей
Большого объединения.
Учёт возможной аннигиляции монополей и антимонополей не изменяет
на качественном уровне вывода о том, что фазовые переходы с образованием
монополей в горячей Вселенной должны быть запрещены. Убедимся в этом.
Нерелятивистский монополь, двигаясь в плазме заряженных релятивистских
частиц, испытывает эффективную силу трения, вызванную электромагнитным
взаимодействием с частицами плазмы. Величину этой силы можно оценить как
/ ~ п(Т) ■ σ ■ Ар,
где п(Т) — плотность взаимодействующих с монополем частиц плазмы, σ ~
agfn/T2 — сечение взаимодействия, и Ар ~ Tvm — импульс, отбираемый у мо¬
нополя, движущегося со скоростью гд/ «С 1. Таким образом,
/ = -kT2vm,
где к ~ ~ g*. Записав второй закон Ньютона для монополя (расширением
Вселенной пока пренебрегаем),
тм
dv\i
dt
—κΤ2ν\ι,
найдём, что за время
, тм
tM ~ ^
монополь существенно меняет свою скорость за счёт взаимодействий в плаз¬
ме. Это время свободного пробега всегда много меньше хаббловского времени
MpJT2, поэтому монополи находятся в кинетическом равновесии с плазмой и,
следовательно, движутся с тепловой скоростью ид/ ~ νχ = д/Т/тд/. Длина
свободного пробега монополя в плазме равна
1м
VT'tM = Hf
тм
Т '
Видно, что длина свободного пробега монополя растёт при понижении темпера¬
туры.
Эффективная аннигиляция монополей и антимонополей происходила на ран¬
них этапах эволюции Вселенной, когда длина свободного пробега монополей
в плазме была мала. Нерелятивистские монополь и антимонополь сближаются
благодаря силе электромагнитного притяжения, а взаимодействие с плазмой поз¬
воляет уменьшить их относительную скорость и сформировать монополоний —
связанное состояние, которое в дальнейшем аннигилирует в обычные частицы
(аналог позитрония). Именно так. в две стадии, и происходит аннигиляция мо-
нополеп в ранней Вселенной.
12.2. Монополи т’Хоофта—Полякова
435
Связанное состояние будет образовано, если монополь и антимонополь сбли¬
зятся настолько, что энергия их электромагнитного взаимодействия превысит
температуру, т. е. при г < го = g^n/Τ. Отсюда получим для эффективного сече¬
ния образования монополония и, следовательно, аннигиляции монополей
&αηη
2 _ 9тп
О '
Эта оценка справедлива при высоких температурах, когда длина свободного про¬
бега 1м мала по сравнению с го; в противном случае монополоний не образуется,
и аннигиляция идёт медленно.
При высоких температурах концентрация монополей поддерживается такой,
что время свободного пробега монополя по отношению к аннигиляции примерно
равно хаббловскому времени, т. е.
Т2
СаппПМУм ~ ТТ~-
Μρι
Вспоминая, что монополи имеют тепловую скорость, получим отсюда
Пм
9*9
s
4
771
Mb
у/тмТ
~ 1,
(12.15)
где мы учли, что s ~ д*Т3. Видно, что за счёт аннигиляции отношение пм/s
падает с уменьшением температуры. Этот режим имеет место до тех пор, по¬
ка выполняется условие 1м <§С го, и при 1м ~ т~о аннигиляция прекращается.
Из последнего условия получаем температуру закалки
тм
9 тК2'
Концентрацию монополей в этот момент найдём из (12.15):
пм 1 тм
s ~ К9т mpi9* '
(12.16)
Это отношение сохраняется до нашего времени; подставляя ~ а 1 ~ 100,
« ~ д* ~ 100, имеем для современной плотности массы монополей
Пм
рм.о = там -so
S
107
тм
1016 ГэВ
2
I ГэВ-см_3.
Эта величина значительно меньше, чем вклад монополей без учёта аннигиля¬
ции (12.14), однако она всё равно слишком велика в случае теорий Большого
объединения, где для массы монополя имеется оценка тм ~ Ю16 ГэВ.
Исторически указанная проблема монополей была сильным аргументом про¬
тив экстраполяции теории горячей Вселенной в область температур выше 1016 ГэВ.
Этот аргумент был (и сейчас является) одним из доводов в пользу инфляционной
теории.
436
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
> Задача 3. Показать, что при Т < Г/ изменение отношения (12.16) за счёт
аннигиляции монополей пренебрежимо мало. Указание: считать, что эф¬
фектами среды на аннигиляцию монополей при таких температурах можно
пренебречь. Учесть фактор кулоновского усиления сечения аннигиляции.
> Задача 4. Найти температуру в воображаемой Вселенной, в которой при
температуреТ ~ 1016 ГэВ образовались монополи с массой тм ~ 1016 ГэВ,
а параметр Хаббла принимает значение, характерное для наблюдаемой
Вселенной.
12.3 Космические струны
12.3.1 Струнные конфигурации
Минимальная модель, в которой имеются топологические дефекты размер¬
ности один — космические струны, — это абелева модель Энглера—Браута—
Хиггса4 с лагранжианом
С = D"0*D„0- у) ,
D μφ — 6μΦ ϊβΑμφ, Γμμ — 9μΑμ Οι/Αμ,
(12.17)
где φ —- комплексное скалярное поле, Αμ — калибровочное поле группы U{ 1).
Лагранжиан (12.17) инвариантен относительно £/(1) калибровочных преобразо¬
ваний
ф -> ©е*а(1), ф* -> ф*е~{а(х\ Αμ^Αμ + ^θμα{χ).
В теории (12.17) имеет место спонтанное нарушение симметрии: вакуумы тео¬
рии, определяемые из условия минимума скалярного потенциала, описываются
равенством
1<0>|2 = у (12.18)
и нарушают симметрию G = U( 1) полностью (G —> Η, Η = I). Многообразие
эквивалентных вакуумов теории описывается уравнением (12.18) и представляет
собой окружность S1 (это соответствует соотношению G/H = U( 1)),
(Ф) =
Q € [0,2тг).
В результате спонтанного нарушения симметрии все поля становятся массивны¬
ми: в модели имеются вещественные векторное и скалярное поля с массами
А/4 = ev и Мф = y/2Xv
соответственно.
4В моделях с глобальной абелевой группой симметрии возможно образование глобальных
струн.
12.3. Космические струны
437
В горячей Вселенной при температурах Т ν как действительная, так
и мнимая компоненты комплексного поля ф принимают разные значения в раз¬
личных точках пространства: случайная фаза а(х), определённая в каждой точке
формально как arctg[Re<£/Im0], распределена равномерно. В момент фазового
перехода при некоторой температуре Тс скалярное поле приобретает ненулевое
среднее, и значения а(х) фиксируются. Они оказываются, вообще говоря, раз¬
ными в различных точках, однако поскольку в полную энергию конфигурации
даёт вклад и градиентный член, то с последующим охлаждением плазмы конфи¬
гурация стремится стать более однородной. В конечном итоге фазы а(х) могут
полностью сравняться во всём объёме горизонта, однако такого может и не про¬
изойти: при обходе по окружности фаза поля ф может измениться. Однознач¬
ность поля требует лишь, чтобы при полном обходе вдоль любого замкнутого
контура С фаза поля ф изменялась на величину, кратную 2тг,
где Θ — азимутальный угол в физическом пространстве. Конфигурации с N ^ О
получили название струн, а описанный механизм их образования является не чем
иным, как механизмом Киббла. Космическая струна вновь может быть проил¬
люстрирована рис. 12.1, однако теперь плоскость рисунка — это плоскость, пер¬
пендикулярная струне, а стрелки изображают векторы в двумерном внутреннем
пространстве (Re©, Im©). С этим уточнением механизм Киббла вновь иллю¬
стрируется рис. 12.2; он приводит к образованию порядка одного участка струны
длины 1сог в объёме 1^ог.
Непрерывность поля ф гарантирует, что струны должны быть либо зам¬
кнутыми, либо бесконечными — открытыми струнами с концами, уходящими
за горизонт0. Непрерывность поля © гарантирует также зануление ф на некото¬
рой линии, проходящей внутри контура С, по которому ведётся интегрирование
в (12.19). Это означает, что вблизи этой линии (сердцевины струны) рассмотрен¬
ная нами конфигурация сохраняет большую плотность энергии, 8 ~ Xv4.
Вдали от сердцевины полевая конфигурация струны удовлетворяет условию
минимума скалярного потенциала (12.18), но имеет для ф и Αμ нетривиальную
зависимость от угловых переменных. В частном случае бесконечной прямой стру¬
ны, направленной вдоль оси г, полевая конфигурация не зависит от 2 и имеет
следующую асимптотику на пространственной бесконечности в плоскости (х, у)
(здесь и далее мы опускаем произвольную постоянную фазу в значении ваку¬
умного среднего поля ф, поскольку её всегда можно обнулить переопределени¬
ем полей):
где Θ — полярный угол цилиндрической системы координат. Число намоток Дг яв¬
ляется топологическим инвариантом. Выписанная в (12.20) асимптотика поля Αμ
°По этой причине от космических струн, если они есть во Вселенной, довольно трудно «из¬
бавиться».
(12.19)
(12.20)
438
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
выбирается таким образом, что асимптотически, при х2 + у2 —► оо, выполняется
Βμφ -> 0, Ρμι/ -* О,
так что физических полей вдали от струны нет, и энергия струны (на единицу
длины) конечна.
Из (12.20) следует, что в сердцевине струны имеется магнитное поле. Для
потока магнитного поля В = V х А вдоль струны (т. е. вдоль оси ζ) получим
J В ds = j Αθάθ = Ц-Ν.
Магнитный поток, протекающий вдоль струны, квантован.
В теории конденсированных сред такие струны называют вихрями Абрико¬
сова — это трубки магнитного потока в сверхпроводниках. В физике частиц об¬
суждаемые решения называют струнами Абрикосова—Нильсена—Олесена [210,
211], или просто космическими струнами.
В калибровочных теориях общего вида необходимым условием существова¬
ния космических струн является то, что многообразие М. эквивалентных вакуу-
мов не должно быть односвязным, т. е. должно содержать нестягиваемые петли.
В обозначениях, использованных в (12.1), (12.13), это условие записывается как
m(G/H)^0. (12.21)
Анзац для полевой конфигурации, симметричный относительно простран¬
ственных вращений, дополненных фазовылга преобразованиями поля ф. и с асимп¬
тотическим поведением (12.20) имеет вид
Ф — (1 — /(p))eiiVe, Λ< = --^(1-«(/>)), U = 1.2, (12.22)
V 2 ер P
где p = у/(x1)2 + (.τ2)2 — радиальная координата на плоскости (х. у). Поскольку
при больших р поля струнной конфигурации должны выходить на асимптотики
(12.20), то для функций /(р), а(р) будем иметь
/(р —► ос) —*· 0, а(р —» оо) —> 0.
Поля ф и Αμ должны быть несингулярны при р —> 0, откуда следуют асимптотики
Др-»0)->1, а(р ~0) —» 1.
Функции /(р) и а(р) — решения уравнений поля — аналитически найти не уда¬
ётся, но их нетрудно получить численно.
Оценим энергию, приходящуюся на единицу длины струны (натяжение). По¬
ступая так же. как в случае монополя, запишем
dE _ Г
dz J
= ν2 ί ά2ξ
d2x
1 ( ν2 ^21
DjO*DiO + -F2j + λί φ*φ - —
(12.23a)
1
Djip Di<p \ ^Fij-\- 0\ φ 0
A,
(12.23b)
12.3. Космические струны
439
где сделана замена переменных ф = νφ, х = (ev) 1 ξ, Ai = vAi, а остальные
обозначения очевидны. Отсюда следует оценка для натяжения
μ ~ тиА (12.24)
если N ~ 1 и Л ~ е2. Отсюда также следует, что толщина струны, т. е. размер
области, где плотность энергии отлична от нуля, оценивается как ξ ~ 1, т. е. р ~
(еи)-1. Натяжение можно найти аналитически в специальном случае Мф = Мд:
μ = тχυ2, Мф = Мд, (12.25)
что подтверждает оценку (12.24).
> Задача 5. Выразить в кг/см плотность энергии струны μ при ν ~ 1016 ГэВ.
Сравнить массу Земли с массой струны, опоясывающей Землю по экватору.
При |Л"| > 1 асимптотики (12.20) одинаковы для одного вихря с намоткой Лг
и для А" вихрей с единичной намоткой. В зависимости от параметров модели
те или иные конфигурации могут быть предпочтительнее. При Мд < Мф стру¬
нам с |ЛГ| > 1 энергетически выгодно распадаться в струны с |Л'| = 1, а при
Мд > Мф, наоборот, выгоден процесс слияния вихрей (в теории сверхпроводимо¬
сти эти случаи соответствуют сверхпроводникам второго и первого рода). В ран¬
ней Вселенной образование струн с \Ν\ > 1 подавлено: в результате фазового
перехода образуются в основном струны с \Ν\ = 1.
Чтобы понять, какое влияние оказывают космические струны на геометрию
пространства, найдём тензор энергии-импульса струны. В общем случае для ла¬
гранжиана (12.17) имеем:
Τμν = -€μμι/ + 2Όμφ*ϋυφ - FmaF„pgXp, (12.26)
что для конфигурации (12.22) даёт после усреднения по сердцевине струны (см. ниже)
Τμν = -diag(1,0,0,-1) -С. (12.27)
Отметим, что как конфигурация (12.22), так и тензор энергии импульса (12.27)
инвариантны относительно лоренцевых бустов вдоль струны. Ясно, что в такой
ситуации перемещение всей конфигурации (как «единого объекта») вдоль на¬
правления струны нефизично.
В дальнейшем нас будут интересовать масштабы расстояний I 3> (ev)-1, т. е.
много большие толщины струны. При изучении таких масштабов тензор энергии-
импульса (12.27) можно положить равным
Τμ» = μ · diag (1,0,0, -1) 6(х)0{у), (12.28)
где натяжние μ оценивается согласно (12.24). Приближение (12.28) называют
приближением бесконечно тонкой струны, и для изучения основных гравитаци¬
онных и космологических эффектов, свзанных со струнами, этого приближения
нам будет вполне достаточно.
440
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
> Задача 6. Получить с точностью до численного коэффициента тензор
энергии-импульса бесконечной прямой струны (12.28), исходя из соображе¬
ний размерности, цилиндрической симметрии, сохранения тензора-энергии
импульса и требований лоренц-инвариантности относительно бустов вдоль
струны и локализованности энергии.
Убедимся явно, что усреднённый по сердцевине струны тензор энергии-им¬
пульса имеет вид (12.27). Тот факт, что Too = —Т33 = —С, очевиден из (12.26).
Рассмотрим поэтому (^-компоненты тензора энергии-импульса с i.j = 1,2.
Они, вообще говоря, отличны от нуля и содержат вклады, пропорциональные
Sij и хг χί. Усредним их прежде всего по углу на плоскости (х,у). Симметрия
струнной конфигурации относительно вращений гарантирует, что усреднённый
по углам тензор удовлетворяет
Из явного вида (12.26) получим
\та, = ^FikFa- - ν(φ).
где V{0) — скалярный потенциал. Поэтому усреднённые по сердцевине струны
(^-компоненты тензора энергии-импульса пропорциональны
J d2x (ifa-Fit- - Vtf)) . (12.29)
Чтобы убедиться, что этот интеграл равен нулю, вспомним, что струнная конфи¬
гурация является минимумом функционала энергии — правой части (12.23а) —
относительно любых вариаций полей, исчезающих на бесконечности. Рассмотрим
конкретную вариацию, а именно, конфигурацию вида ф(хг) = ф(кхг), Аг(х^) =
кЛ, (кх’г), где в правых частях фигурируют поля струнной конфигурации, а к —
параметр, близкий к 1. После замены переменных хг —» кхг функционал энергии
для новой конфигурации представляется в виде
ΟίφΌίφ + ^Ffj + κ~2ν(φ) .
Это выражение как функция к должно иметь минимум при к = 1, откуда и сле¬
дует равенство нулю интеграла (12.29). Отметим, что изложенный масштабный
аргумент восходит к Деррику и применим для широкого класса солитоноподоб-
ных решений.
dE - 2
-jzVp-.M =
drx
В тензоре энергии-импульса струны (12.28) две отличные от нуля компонен¬
ты — плотность энергии Too и давление вдоль струны Т33 — совпадают по вели¬
чине (но оказываются разного знака). Этот факт указывает на то, что мы име¬
ем дело с релятивистским объектом, для исследования гравитационных свойств
12.3. Космические струны
441
которого нельзя ограничиваться лишь ньютоновским приближением. Тем не ме¬
нее, можно думать, что вдали от струны метрика пространства-времени близка
к плоской, и поэтому можно использовать уравнение для статического скаляр¬
ного ньютонова потенциала Ф, определённого во внешней метрике Минковского
соотношением роо = 1 + 2Ф. Это уравнение имеет вид (см. (А.120), (А.122))
Для источника (12.28) ньютонов потенциал равен нулю, поскольку правая часть
уравнения (12.30) зануляется. Это означает, что вне сердцевины струны ньюто¬
новское гравитационное поле отсутствует. Прямые покоящиеся струны гравита¬
ционно не отталкивают и не притягивают ни пыль, ни друг друга! Мы подроб¬
но обсудим геометрию пространства в присутствии бесконечной прямой струны
в разделе 12.3.3.
Мы обсуждаем здесь бесконечные прямые струны. Для искривлённых струн,
или струн с рябью, тензор энергии импульса на расстояниях, много больших
характерных линейных размеров ряби, можно также считать локализованным
вдоль одной линии, однако плотность энергии Т00 и давление вдоль струны Т33
у такого эффективного тензора уже не будут совпадать по величине, [Too I Ф |7зз|.
При этом плотность энергии Too будет несколько больше плотности энергии
прямой струны μ. поскольку с точки зрения удалённого наблюдателя на одной
и той же единице длины «укладывается» больший отрезок струны с рябью, чем
отрезок прямой струны. По схожей причине натяжение |Тзз| < μ, причём между
натяжениями и плотностями энергий выполняется соотношение μ2 = Too - |Тзз|.
Поскольку для искривлённых струн [TooI Ф |Тзз|, правая часть в уравнении для
ньтонова потенциала (12.30) отлична от нуля; струны с рябью создают статиче¬
ское гравитационное поле.
В процессе эволюции струна заметает (1+1)-мерное многообразие в простран¬
стве-времени — мировую поверхность. Действие для тонкой космической струны
равно площади мировой поверхности струны (по аналогии с тем, как действие
для частицы — точечного объекта — равно длине мировой линии):
где £° — временная координата на струне, ξ1 — координата точки на струне,
Χμ = Χμ(ξ) — уравнение мировой поверхности, а 7 = det(7a/j), где
— индуцированная метрика на струне. Это действие называется действием
Намбу—Гото, и оно хорошо описывает динамику космических струн за исклю¬
чением точек их пересечений, где становится существенной ненулевая толщина
струны.
ΔΦ = 8тгG (т00 - \ιΓΤμΛ = 4π(?(Τοο + Тп + Т22 + Т33). (12.30)
(12.31)
Ίαβ = даΧμ (т, σ) δβΧ” (т, σ) gμν
442
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Действие Намбу—Гото можно получить как главное приближение к эффек¬
тивному действию для движущейся искривлённой космической струны в абеле¬
вой модели Энглера—Браута—Хиггса (12.17). Чтобы вывести это действие, нуж¬
но найти (приближённо) вид струнной конфигурации, подставить его в действие
(12.17) и произвести интегрирование по поперечным к струне координатам.
Введём ξ° и ξ1 как, соответственно, времениподобную и пространственнопо¬
добную координаты на пространственно-временном многообразии Χμ (ξ) — миро¬
вой поверхности — где скалярное поле ф принимает нулевое значение. Если кри¬
визна струны мала по сравнению с её толщиной, то вблизи каждой точки Χμ{ξ)
хорошим приближением к струнному решению будет статическая струнная кон¬
фигурация вида (12.22), обобщённая на случай ненулевой поперечной скорости.
В любой точке на мировой поверхности можно выбрать два пространственно¬
подобных вектора (нормали к мировой поверхности) a = 1,2, ортонорми-
рованных, e^ei^g^ = —δαί3, и ортогональных к тангенциальным к мировой
поверхности векторам 3Χμ/θξ^, т. е. ε^3Χμ/θξ& — 0. Координату любой точ¬
ки χμ. близкой к мировой поверхности Χμ(ξ), можно теперь представить в виде
2
х“ = χμ(ζ) = Χμ(ξ) + Σ е{с,НОт1°, ζ = (ξ°,ξ\η',ν2),
α=1
где мы ввели две новые координаты ηα. а = 1,2; в случае прямой струны они
параметризуют точки в перпендикулярной к струне плоскости. Новые координа¬
ты ζμ будут однозначно определёнными, если расстояние от точки χμ до мировой
поверхности струны меньше, чем её радиус кривизны. Якобиан перехода от ко¬
ординат χμ к координатам ζμ имеет вид
^ ■det (I)=fdet · · ■ ’ μ
причём в разложении мы учли только слагаемые, не подавленные обратным ра¬
диусом кривизны струны.
В новых координатах для струнной полевой конфигурации будем иметь:
0(я(О) = <?(s) (т?1,/?2) Я^(х(0) =
α=1
где функции с индексами (s) — это функции двух пространственных координат,
определяющие решение для прямой струны, ортогональной плоскости {х\,Х2)
(см анзац (12.22), при этом место переменных Х\,Х2 займут переменные η1,η2).
В лидирующем порядке разложения по обратному радиусу кривизны струны
получим также
ΟμφΌμφ^Ομφ^Όμφ^\ »F(2s)il„, ν(φ)^ν(φ<·ίΊ). (12.33)
Окончательно, подставляя в действие модели (12.17) якобиан (12.32) и выраже¬
ния (12.33) и интегрируя по «поперечным» координатам ηα, получим действие
Намбу—Гото (12.31).
> Задача 7. Убедиться, что к действию Намбу—Гото (12.31) не появляется по¬
правок, линейных по отношению толщины струны к радиусу её кривизны.
12.3. Космические струны
443
12.3.2 Газ космических струн
Вдали от залжнутпой струны длины L она выглядит как точечная частица
массы Ms = pL. Поэтому в пренебрежении диссипацией энергии струн влияние
газа замкнутых струн на темп расширения Вселенной — такое же, как для газа
релятивистских или нерелятивистких частиц, в зависимости от скоростей струн.
Более реалистичная ситуация, в которой диссипационные процессы важны, будет
рассмотрена в разделе 12.3.4.
Иначе выглядит космология газа бесконечных струн. В дальнейшем мы вос¬
пользуемся приближением идеального газа: космические струны6, удалённые друг
от друга на расстояние, много большее их толщины, взаимодействуют посред¬
ством полей Αμ и ф экспоненциально слабо. Гравитационное взаимодействие меж¬
ду струнами также несущественно. Чтобы найти уравнение состояния газа бес¬
конечных струн, рассмотрим сначала конфигурацию из N покоящихся струн, па¬
раллельных оси 2 и удалённых друг от друга в среднем на расстояние L, заметно
превышающее толщину струны. Тензор энергии-импульса такой конфигурации
имеет вид
N
Т${х, У) = μ · diag (1,0,0, -1) · ^ δ{χ - Xi)5{y - yi).
г= 1
В пределе большого числа струн получим для усреднённого тензора энергии-
импульса
/т(0)\ = !Tj${x,y)dxdy
Κμν) Jdxdy
jp -diag (1,0,0,-1).
(12.34)
Это — тензор энергии-импульса для статической конфигурации. Пусть теперь
струны движутся со скоростью и относительно покоящегося наблюдателя в по¬
ложительном направлении вдоль оси х. Тензор энергии-импульса для такой кон¬
фигурации можно получить из (12.34) посредством соответствующего преобра¬
зования Лоренца7 — буста вдоль оси х со скоростью и,
(«*) = л_
L2
72
72п 0
0 ^
о
7 *и
72п2 0
0
0
0
0
0
V 0
0
0
-V
1
\/1 — и2
Усредняя по направлениям буста, опустим линейные по скорости элементы
в {Τμι/)^χ^. Рассматривая аналогично конфигурацию струн, движущихся вдоль
оси у. и усредняя по обеим осям (напоминаем, что для рассмотренной нами кон¬
фигурации струн, параллельных оси г, движение вдоль оси ζ нефизично), получим
= diag
2 72н2 72и2
6Речь идёт о струнах Абрикосова—Нильсена—Олесена. Для глобальных струн ситуация
иная.
7 При этом учитывается не только изменение плотности энергии и импульса отдельных струн
в результате буста, но и изменение расстояния между струнами из-за лоренцева сокращения
длин.
444
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Наконец, повторяя всю процедуру для конфигураций струн, параллельных осям х
и у. и усредняя по всем трём направлениям, получим окончательно тензор энергии-
импульса для идеального газа бесконечных струн
r- = <V)<“> = £.diag(V, ^
1 u272 — 1 иг η* — 1
2Л,2
(12.35)
В пределе и —> 1 уравнение состояния газа струн, как можно было ожидать, пере¬
ходит в уравнение состояния релятивистского газа, р = р/3. В более интересном
для космологии случае медленных струн уравнение состояния принимает вид
р=-^р. (12.36)
В соответствии с результатами раздела 3.2.4 энергия и давление струнного газа
эволюционируют во Вселенной как
р,р <х a~2(t). (12.37)
Физическая причина такого поведения состоит в том, что расширение Вселен¬
ной изменяет расстояния между струнами в двух поперечных направлениях,
а не в трёх направлениях, как в случае газа частиц.
о Задача 8. Пренебрегая столкновениями струн и диссипацией их энергии
(что на самом деле неверно), оценить количество струн в видимой ча¬
сти Вселенной, если они были образованы в результате фазового перехода,
происходившего при температуре Тс ~ 100 ГэВ. То же для Тс ~ 1016 ГэВ.
Указание: считать, что струны образуются за счёт механизма Киббла, так
что сразу после фазового перехода имеется порядка одного участка струны
хаббловской длины па хаббловский объём.
Зависимость (12.37) показывает, что роль длинных струн в расширяющей¬
ся Вселенной (если они существуют) становится существеннее на более поздних
этапах эволюции. Плотность энергии струнного газа эволюционирует по тому же
закону, что и вклад пространственной кривизны (см. (4.2)), и убывает медленнее,
чем плотность энергии релятивистского или нерелятивистского вещества.
> Задача 9. Предположив в рамках модели (12.17), что струны образовались
в результате фазового перехода при температуре Т ~ ν, поставить огра¬
ничение на энергетический масштаб фазового перехода ν, исходя из тре¬
бования малости вклада струнного газа в современную плотность энергии
Вселенной. Считать, что реализуются условия, описанные в задаче 8.
Если бы на позднем этапе эволюции Вселенной доминировали длинные стру¬
ны, то масштабный фактор рос бы со временем по линейному закону
a(t) ос t.
12.3. Космические струны
445
Отсюда следует, что предположение о доминировании струн в современной Все¬
ленной противоречило бы наблюдениям; космологические данные показывают,
что Вселенная расширяется с ускорением. Если струны и существуют в нашей
Вселенной, их относительный вклад в плотность энергии падает, а следовательно,
на темп расширения нашей Вселенной космические струны никакого заметного
вклада как не оказывали, так и не будут оказывать.
12.3.3 Дефицит угла
Теперь перейдём к рассмотрению других гравитационных эффектов, харак¬
терных для моделей с бесконечными струнами.
Найдём искажение пространственной геометрии в присутствии бесконечной
прямой струны. Мы сейчас увидим, что оно весьма нетривиально. Рассмотрим
возмущение Ημι/ над метрикой Минковского и используем гармоническую
калибровку
ЭцК ~ = 0. (12.38)
В этой калибровке линеаризованные уравнения Эйнштейна принимают вид
(см. раздел А.9)
□V = —16JTG (т„„ - \ημ.τη, (12.39)
где □ = д\дх — даламбертиан в пространстве Минковского.
Для космической струны правая часть (12.39) определяется формулой (12.28)
и имеет ненулевые компоненты с индексами 11 и 22, так что нетривиальными яв¬
ляются лишь компоненты hu и /122, каждая из которых удовлетворяет уравнению
+ dy)h\\{22) — 16тг GpS(x)6(y).
Таким образом, для возмущения метрики получим в гармонической калибровке
V = 4Gpln (— · diag(0,l, 1,0), (12.40)
где параметр ро размерности длины произволен. С учётом (12.40) метрика бес¬
конечной тонкой струны имеет вид
ds2 — dt2 — dz2
1 — 4Gpln
Ро
(dp2 + ρ2άθ2).
где мы перешли к цилиндрическим координатам. Это выражение справедливо
при Gp <С 1 и р ро, но AGp 1п(р2/рд) «С 1; именно в этом случае возмущения
(12.40) малы, а деталями внутренней структуры струны можно пренебречь.
Удобно сделать координатное преобразование к новой радиальной коорди¬
нате р, такой что
dp2.
1 -4<2μ1η
(12.41)
446
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
В первом порядке разложения по Ωμ получим
Р = Р-
1 — 4(7μ In ——Η 4(?μ ]
Po )
так что
1 — 4(7μ1η
= ρ2 · (ΐ - 4<ЭД2 ·
(12.42)
Из соотношений (12.41) и (12.42) следует, что метрика покоящейся прямой стру¬
ны, протянутой вдоль оси 2, может быть представлена в виде [212] (тильду над р
опускаем)
ds2 = dt2 — dz2 — dp2 — (1 — 4<3μ)2 ρ2 άθ2. (12.43)
> Задача 10. Найти метрику для асимптотически плоского пространства с бес¬
конечной струной с рябью, Τμι/ = diag^', 0,0, — р")6(х)д(у), μ'μ" = μ2,
μ' > μ", работая в первом порядке теории возмущений по Ωμ', Ωμ". Убе¬
диться, что в этом случае пространство вне струны искривлено.
Метрика (12.43) представляет собой пример метрики с конической сингуляр¬
ностью. Окружности р = const имеют длину менее 2πρ. Заменой координат
Θ -► (1 -ΑΩμ)θ
метрика (12.43) переводится в метрику Минковского с той лишь разницей, что
полярный угол Θ теперь принимает значения в более узком интервале,
0 < Θ < 2тг (1 — 4Ωμ).
В связи с этим говорят, что у данного пространства имеется дефицит угла,
Αθ = 8ττΩμ. (12.44)
Таким образом, пространство-время остаётся локально плоским, но геометрия
(х, у)-плоскости представляет собой геометрию конуса8.
Отметим, что мы получили результат (12.43), используя линеаризованные
уравнения Эйнштейна. Однако утверждение о том, что метрика прямой струны
вне её сердцевины соответствует плоскому пространству-времени с дефицитом
угла, является в действительности точным. Мы в этом убедимся в конце этого
раздела.
Наличие дефицита угла приводит к ряду интересных физических явлений.
Одно из таких явлений — формирование двойного изображения объекта, рас¬
положенного за струной. Работая в системе координат, где метрика совпадает
с метрикой Минковского, это явление легко проиллюстрировать на рисунке. Рас¬
смотрим наблюдателя на расстоянии d от прямой бесконечной космической стру¬
ны: на рис. 12.3 изображена плоскость, перпендикулярная струне S и проходя¬
щая через наблюдателя О. Полупрямые 5А' и SA" на этом рисунке необходимо
8Метрика (12.43) получена в предположении 4G//ln(р2/Ро) 1. Однако ясно, что (12.43)
является решением уравнений Эйнштейна и при больших р, таких что 4G^ln(p2/pg) ^ 1: эта
метрика является локально плоской, и для неё = 0.
12.3. Космические струны
447
отождествить, а тёмную область — вырезать: именно в этом случае будет иметься
дефицит угла ΑΘ. Лучи света в этой плоскости, исходящие от наблюдателя под
одинаковыми углами а' = а" к направлению OS на струну, в конце концов оказы¬
ваются в одной точке, поскольку точки А! и А" отождествлены (расстояния SA'
и SA" одинаковы из-за симметрии). Если теперь в точке А' = А" поместить ис¬
точник света, то к наблюдателю О свет придёт с двух различных направлений:
О А' и О А". В результате наблюдатель будет видеть два одинаковых источни¬
ка в двух различных направлениях, причём угол между этими направлениями,
Δα = а' + а", пропорционален дефициту угла; при малых ΑΘ справедливо
ΑΘ = ^ρΔα, (12.45)
где I — расстояние от струны до источника, ad — расстояние от наблюдателя
до струны. Если расстояние от наблюдателя до источника можно определить (на¬
пример, измеряя красное смещение), то расстояние до струны d непосредственно
измерить нельзя, поэтому в общем случае измерение углового расстояния между
источниками (А1 и А") позволяет получить лишь нижнюю границу для дефицита
угла,
ΑΘ > Δα.
Поскольку дефицит угла пропорционален натяжению струны (см. (12.44)), изме¬
рение Δα даёт ограничение на масштаб энергий ν, характеризующий спонтанное
нарушение симметрии,
> Μρι /Δα
V ~ ~2V 2π'
Рис. 12.3. Распространение света до наблюдателя О от источника А' = А",
расположенного за струной S
Чтобы проиллюстрировать указанное явление линзирования в системе коор¬
динат (12.43), потребовалось бы вырезать тёмную область на рис. 12.3 и склеить
границы SA' и SA". В результате поверхность рисунка (ранее — плоский лист)
станет конусом с вершиной в точке S расположения струны. Свет распространя¬
ется по геодезическим — кратчайшим траекториям между двумя точками. Меж¬
ду источником А! = А" и наблюдателем О таких пути два — в обход вершины
конуса слева и справа. Отсюда и два образа для наблюдателя О.
448
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
о Задача 11. Используя уравнение геодезических в метрике (12.43), убедить¬
ся другим способом в линзировании источников космическими струнами.
В нашем рассмотрении мы пренебрегали расширением Вселенной. В общем
случае коэффициент пропорциональности между ΑΘ и Аа зависит от космологи¬
ческой эволюции. Например, в плоской Вселенной с Ωμ = 1 аналог соотношения
(12.45) имеет вид
где zs и zA — красные смещения струны и источника соответственно.
> Задача 12. Проверить формулу (12.46). Получить аналогичную формулу
для расширяющейся Вселенной, в плотности энергии которой доминиру¬
ет вклад космологической постоянной. Обобщить полученную формулу,
а также формулу (12.46) для струны, наклонённой к плоскости рис. 12.3
под произвольным углом δ.
Для простоты мы рассматривали линзирование точечного источника. Экспе¬
риментальным подтверждением «тождественности» образов было бы совпадение
их спектров. Для протяжёных источников связь между образами, вообще гово¬
ря, более сложная, однако и в этом случае за струной имеется такая область, что
для объекта, находящегося в ней, оба образа должны быть одинаковыми: одной
интенсивности и без искажений.
о Задача 13. Исследовать в общем случае вопрос о форме образов сфериче¬
ского объекта за струной.
Другое явление, обусловленное космическими струнами, состоит в специ¬
фическом искажении картины анизотропии реликтового излучения. Если стру¬
на и наблюдатель покоятся относительно реликтового излучения, то наблюда¬
тель обнаружит вдоль струны повторения в распределении температурных пя¬
тен реликтового излучения, что объясняется обсуждавшимся выше струнным
линзированием. В данном случае источник — элемент сферы последнего рассе¬
яния реликтовых фотонов — расположен от струны на более далёком расстоя¬
нии, чем наблюдатель, поэтому угловое расстояние между одинаковыми темпе¬
ратурными пятнами совпадает с дефицитом угла (см. формулу (12.45) в пределе
I » d), ΑΘ = Δα.
Если же струна движется в поперечном к лучу зрения направлении, то появ¬
ляется дополнительный эффект — систематический сдвиг частот (температуры)
реликтовых фотонов, «обходящих» струну с разных сторон [213]. Это явление
проиллюстрировано на рис. 12.4, где мы опять работаем в координатах, в кото¬
рых метрика совпадает с метрикой Минковского, и все обозначения совпадают
с обозначениями рис. 12.3. Рассмотрим снова два образа А' и А" одного и то¬
го же источника. Поскольку струна 5 движется со скоростью и± в поперечном
(12.46)
12.3. Космические струны
449
Рис. 12.4. Распространение света до наблюдателя О от источника А! = А",
расположенного за движущейся со скоростью и± струной S
к линии наблюдения направлении, то с той же скоростью движутся и все точ¬
ки угла A'SА". В момент испускания сигнала источник А! имел скорость h.j_,
проекция которой на ось наблюдения О А' сонаправлена импульсу испущенного
фотона. Для источника А" соответствующая компонента будет противонаправ¬
лена импульсу фотона. В результате продольного эффекта Допплера получим
изменение частоты фотона,
Дй ΛΩ
О А' : Αω = и±—7, О А" : Αω — —и^—η,
где 7 = 1/ yj 1 — и\ и мы положили Δα « Δ0, имея в виду фотоны реликтово¬
го излучения. Мы видим, что фотоны, пролетающие перед струной, краснеют,
а фотоны, пролетающие за струной, синеют. Вообще говоря, это приводит к ис¬
кажению спектра реликтового излучения, однако для малых ΑΘ и реалистичных
и±_ искажение мало: эффективное изменение температуры реликтовых фотонов
составляет
γ- = 7 и±А9 = 1,7
10
-6 и±
μ
ю-1 (Ю16 Тэву
Тем не менее, анализ анизотропии реликтового излучения позволяет исключить
существование сети струн с μ > (0,6 · 1016 ГэВ)2 [214] и одной-единственной
струны с μ > (1,0 · 1016 ГэВ)2 в видимой части Вселенной [215].
Данные о реликтовом излучении свидетельствуют о том, что флуктуации его
температуры гауссовы. Движущаяся струна приводила бы к появлению скачка
температуры вдоль линии — проекции струны на небесную сферу, и это была бы
негауссова особенность в распределении температуры реликтового излучения
по небесной сфере. Поскольку такой негауссовости не наблюдают, отсюда можно
получить ограничение на параметр μ [216]. Оно оказывается того же порядка,
что и остальные существующие ограничения, и составляет μ < (0,7 · 1016 ГэВ)2
для бесконечной прямой струны, движущейся со скоростью и± = 1/\/2.
Наконец, ещё одно явление, обусловленное движением космической струны,
на этот раз в пылевидной среде, — формирование в кильватере (за струной) об¬
ластей повышенной плотности материи [217]. Этот процесс проиллюстрирован
450
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
на рис. 12.5. где мы вновь используем систему координат, в которой метрика сов¬
падает с метрикой Минковского. Струна S перпендикулярна плоскости рисунка.
В плоскости рисунка рассмотрим два объекта (две пылинки) А\ и А2, покоящих¬
ся на расстоянии г/2 от прямолинейной траектории струны OS. движущейся
со скоростью и. После прохождения струны между объектами они начнут посте¬
пенно приближаться друг к другу, пока не встретятся в одной точке (на рис. 12.5
это совпадающие точки А\ = А2)\ Действительно, в системе покоя струны части¬
цы А\ и А2 движутся па неё со скоростью и, и в конце концов попадут в точки
А'х и А2 соответственно.
Найдём скорость, которую приобретают нерелятивистские частицы в на¬
правлении к кильватеру. Для частицы А\ это направление перпендикулярно ли¬
нии SA[ (эта линия и есть кильватер, как и линия SA2). а в системе покоя стру¬
ны эта частица движется со скоростью и по прямой ΑιΑ\. Поэтому её скорость
в точке А'х в направлении к кильватеру равна
ΑΘ
vy = и ■ sin — = 4π£μπ, (12.47)
где мы считаем ϋμ <С 1. В случае релятивистского движения струны формула
(12.47) обобщается следующим образом:
vy = 4π<3μ-^=Ζ=. (12.48)
Vl — и1
Полагая для оценки и ~ 0,1, получим численно
|Δν„| =0,8-ИГ6
β
(1016 ГэВ)2'
Видно, что эта скорость может быть довольно велика.
Покажем, что не только в линеаризованной, но и в полной теории гравитации
метрика прямой струны вне её сердцевины является плоской и имеет дефицит
угла. Поскольку струна инвариантна относительно бустов вдоль оси ζ, вращений
и пространственных отражений, то точную метрику можно искать в виде
ds2 = ζ2θίηηνάχηάχν — e2eSijdxldx^,
12.3. Космические струны
451
где xu = (t, z), хг = (х, у), ηην = (1, —1), и а и β зависят только от р = у/х2 + у2.
Отметим, что второе слагаемое здесь можно представить в виде
e23Sijdxldxj = e2f3^(dp2 + ρ2άθ2),
где по определению Θ € [0,2тг).
Ненулевые символы Кристоффеля (А.23) для такой метрики равны
Г“. = г^а, Г'„„ = Т)к = 6цдк0 + 6{кд,0-6ц<дф
(здесь и до конца этого раздела индексы г, j, к относятся к координатам (х, у)),
а ненулевые компоненты тензора Риччи (А.41) имеют вид
Ruv = е2(а-/3) (didia + 2diOidia) ηην
Rij = -2 did j a — 2dtad3a + 2 (diadj0 + djadi,3 — 5lJdkadiCl3) — SijdkdkP (12.49)
Рентам уравнения Эйнштейна с тензором энергии-импульса (12.28). Воспользу¬
емся уравнениями в форме
R-μν = 8тгС (τμι/ - .
(дг;)-уравнение имеет вид
Ruv = StvG \ Tuv - ^QuvTj = О,
что дает
а = const = О
(последнего равенства можно добиться выбором масштаба t и z\ именно при та¬
ком выборе μ является натяжением струны). После этого (^-уравнение пред¬
ставляется в виде
—Α^β = 8wGy6(x)6(y)
откуда
β = —4G/an (jd\ ,
где ро — произвольная постоянная. Таким образом, для метрики струны имеем
ds2 = dt2 - dz2 - eSG^p/po (μρ2 + p2d92).
Аналогом замены переменных (12.41) служит замена
dp = e~4Gp]np/podp,
то есть
Р =
Ро
1-40μ
N 1-4См
Ро)
После этой замены метрика в точности совпадает с (12.43), что и требовалось.
Отметим, что выражение (12.44) для дефицита угла является точным, однако
при нахождении натяжения μ в полной теории необходимо решать уравнения
поля совместно с уравнениями Эйнштейна в области сердцевины струны. В реа¬
листическом случае -С 1 этого, впрочем, не требуется.
452
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
12.3.4 Струны во Вселенной
Заметная скорость в направлении к кильватеру струны приводит к формиро¬
ванию вдоль кильватера области с повышенной концентрацией нерелятивистских
частиц. Эти неоднородности в распределении плотности могут служить зароды¬
шами структур — галактик и их скоплений. При этом галактики будут образо¬
вываться вдоль траекторий струн, формируя тем самым двумерные структуры.
Отметим, что наблюдения указывают, что на небольших масштабах в распределе¬
нии галактик действительно имеются двумерные (стенки) и одномерные (фила-
менты) структуры. Вычисления показывают, однако, что лишь небольшая часть
материи попадает в кильватеры [218], что не объясняет существования пустот
(voids) — больших областей Вселенной, обеднённых структурами.
Другой механизм формирования структур в моделях с космическими стру¬
нами основан на аккреции нерелятивистской материи на струнные петли [219,
220]. Получающийся спектр возмущений плотности материи оказывается почти
масштабно инвариантным, что согласуется с наблюдениями. Кроме того, с на¬
блюдениями согласуются и предсказываемые корреляционные длины галактик
и скоплений галактик. Однако струнный механизм формирования структур пред¬
сказывает противоречащую эксперименту картину анизотропии реликтового из¬
лучения (см. рис. 12.6), поэтому он сегодня является исключённым. Современ¬
ные ограничения на вклад струн в анизотропию реликтового излучения нахо¬
дятся на уровне 3 % от обычного вклада в моделях ACDM, что в свою очередь
примерно на таком же уровне ограничивает влияние струн на процессы форми¬
рования структур во Вселенной. Ещё более сильные ограничения могут быть
получены из измерения вихревой составляющей поляризации реликтового излу¬
чения (так называемой В-моды), поскольку струны приводят к образованию тен¬
зорных и, главное, векторных возмущений материи и метрики, индуцирующих
появление такой поляризации (см. вторую часть книги).
Отметим, что многие подробности, относящиеся к динамике космических
струн, на количественном уровне не удаётся получить с использованием лишь
аналитических методов. Поэтому для анализа эволюции системы космических
струн активно используют численные методы. Так, численное исследование про¬
цесса формирования струн показало, что сразу после фазового перехода мас¬
совая доля первичных бесконечных струн примерно в четыре раза превосходит
массовую долю струн замкнутых, а их скорости малы. В дальнейшем скорость
бесконечных струн во Вселенной повышается, так что средняя по струнному
ансамблю скорость достаточно велика, u w 0,15. Численные расчёты показали
также, что в процессе эволюции струны активно теряют энергию, так что их
вклад в плотность энергии Вселенной никогда не доминирует. Поэтому, в отли¬
чие от монополей и доменных стенок, космические струны всё ещё разрешены
космологией.
На эволюцию струн существенную роль оказывают два процесса. Во-первых,
это пересечения и самопересечения струн, в результате чего длинные струны об¬
разуют петли. Во-вторых, небольшие петли активно испускают гравитационные
волны и быстро исчезают. Обсудим сначала второй процесс. Мощность излу¬
чения гравитационных волн Pgw определяется третьей производной по времени
12.3. Космические струны
453
Рис. 12.6. Спектры анизотропии реликтового излучения, типичные для мо¬
дели ACDM (сплошная линия с пиками) и для моделей, где основным источ¬
ником флуктуаций материи являются космические струны и текстуры [221J
(по поводу текстур см. раздел 12.5). Отсутствие особенностей в моделях с де¬
фектами обусловлено тем. что неоднородности плотности материи никогда
не находятся за горизонтом, но форлшруются на протяжении довольно дли¬
тельного времени после входа под горизонт. Поэтому фазы осцилляций в (1.25)
не фиксированы
квадруиольного момента [78] струнной петли Q,
р
■Г gw
М%,
iQ\2
dt3 )
Для оценки квадрупольного момента петли радиуса R можно положить Q ~ pR3.
Уравнение движения петли, следующее из вариации действия (12.31), показыва¬
ет, что петли активно вращаются и осциллируют со скоростями порядка единицы,
dR/dt ~ 1. С учётом этого получим:
Р —С r
JTgw — '-'gw , г2 5
Μ pl
где константа Cgw получается из акккуратного вычисления и довольно вели¬
ка [222], СдЮ — Ю2. Таким образом, за время
pR
tgw ~ р
* QW
Д4,д
Cgwp
(12.50)
454
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
основная часть энергии петли перейдёт в энергию гравитационных волн. В ре¬
зультате размер петли уменьшится настолько, что её радиус станет порядка тол¬
щины струны, R ~ г;-1, и петля распадётся на энергичные частицы9.
Обратимся теперь к пересечению струн. Численные расчёты показывают, что
пересечение почти в 100 % случаев приводит к перезамыканию, т. е. самопересе¬
чения неизбежно приводят к распаду струн на более короткие петли [223]. Изуче¬
ние динамики струн в расширяющейся Вселенной дало несколько неожиданный
результат: на радиационно-доминированной стадии закон эволюции плотности
энергии струнных конфигураций быстро начинает совпадать с законом эволю¬
ции полной плотности энергии [224], р ос t~2 *. При этом в любой момент времени
в хаббловском объёме находится около десятка длинных струн размером с го¬
ризонт, множество замкнутых струн и особенно много небольших петель. Такое
несколько неожиданное поведение — результат активного образования петель
и последующего перехода энергии, накопленной в них, в излучаемые гравитаци¬
онные волны.
Чтобы понять на качественном уровне физику этого процесса, оценим плот¬
ность энергии небольших замкнутых струн на радиационно-доминированной ста¬
дии. Плотность числа петель радиуса R Η~λ из-за расширения Вселенной
убывает со временем как ni(R,t) ос α(ί)-3 ~ ί-3/2. В масштабно-инвариантном
режиме из размерных соображений получим
ni(R,t) ~ ^3/2 ~ ’
где Е Rp — масса петли. Для плотности энергии петель будем иметь
dE
Г^\ 112
pl{t) ~ /
J £min
Emax EdEdni^R,t^ ίμ^3/2 ^
Г ■С'та:
dE \t J JEi. £3/2'
Этот интеграл набирается на нижнем пределе, поэтому
Pi(t)
„ 3/2 т
М 1
t
у/К
(12.51)
(12.52)
где £min — минимально возможная энергия петель. Мы видим, что основной
вклад в плотность энергии дают самые лёгкие (но весьма многочисленные) петли.
Минимальный размер петель определяется из требования, чтобы их время
жизни (12.50) превышало хаббловское время. Это даёт
£min {t) ~ Cgw -^min(^) ~ Cgw j^-2
Окончательно для плотности энергии петель получаем
sfpMpi 1
Pi(t) -
*2 5
9Отметим, что это — один из возможных механизмов генерации во Вселенной космических
лучей сверхвысоких энергий. При μ = (1016 ГэВ)2 для этого механизма требуются замкнутые
струны размера R ~ 1 Мпк: из (12.50) следует, что время жизни именно таких струн имеет
порядок возраста современной Вселенной.
12.3. Космические струны
455
т. е. плотность энергии петель изменяется со временем так же, как и плотность
энергии радиации, prad ~ M'pjt2. При этом относительная доля энергии остаёт¬
ся малой, pi /prad ~ ^/p/Mpt, хотя она гораздо больше, чем относительная доля
длинных струн, которая по порядку величины равна μ/Mj,, (несколько длин¬
ных струн в хаббловском объёме Н~3 имеют энергию порядка μΗ-1, так что
плотность энергии длинных струн оценивается как μΗ2 ~ pprad/Mp{). Это по¬
казывает, что именно петли могли бы оказывать некоторое влияние на процессы
формирования структур за счёт аккреции на них нерелятивистской материи.
В справедливости закона тц{ЯЛ) ос (Et)~3^2 можно убедиться из следующе¬
го рассмотрения. Пусть ni(R,t) — плотность числа петель в момент времени t
с радиусом R. Петли с радиусами между Я и R + dR несут плотность энергии
pi (Я, t) dR = pRni(R, t) dR.
Плотность энергии петель падает из-за расширения Вселенной, и в то же вре¬
мя постоянно появляются новые петли благодаря (само)пересечениям длинных
струн. Масштабно-инвариантное поведение системы струн означает, что образо¬
вание петель также определяется масштабно-инвариантной функцией, которую
мы обозначим как /(R/Ih), где 1н — размер горизонта, определяющий харак¬
терный для Вселенной пространственный масштаб. Потеря энергии длинными
струнами в объёме горизонта на рождение петель с радиусами между Я и Я + dR
параметризуется тогда следующим образом:
dR JR
'‘ϊγ4£
Окончательно, уравнение баланса энергии петель в расширяющейся Вселенной
принимает вид
dpi{R, t)
dt
+ ЗЯ(*МД,0 = £/
LH
R_
1н
причём H(t) = 1/(21) и Iн = 21. Решение этого уравнения,
Pi(R,t)
на поздних временах, R/t —* 0, даёт закон эволюции плотности энергии петель (12.51).
456
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Вообще говоря, изложенный аргумент справедлив, только если типичный
размер образующихся петель существенно больше минимального. Как показыва¬
ют численные расчёты [225], образующиеся петли действительно имеют размер,
сопоставимый с размером горизонта: их типичный размер R(t) масштабируется
линейно со временем и как на радиационно-доминированной, так и на пылевид¬
ной стадиях оказывается равным R(t) = at, a ~ 0,1. Отметим, что более ранние
численные расчёты, проводившиеся с худшим разрешением, не позволяли опре¬
делить величину a, но показывали, что она мала, а < 1. Интерпретация этого
результата состояла в том, что размер типичной образовавшийся петли должен
определяться не размером горизонта, а характерным размером ряби на струне,
оставшейся с ранних времён. Такие петли распадались бы за хаббловское время.
В этом случае петли не оказывали бы заметного влияния на процессы форми¬
рования структур: возмущения плотности материи появлялись бы, в основном,
за счёт движения десятка бесконечных струн.
Наконец, оценим энергию, переходящую в гравитационные волны. С учётом
потери энергии гравитационных волн на красное смещение плотность энергии
гравитационных волн pgw определяется уравнением
Pgw Т ±HPgw
dpi ^ у/μ,Μρι 1
dt ~ s/Cgw t3'
Решением этого уравнения на радиационно-доминированной стадии служит
1
Ря™ — £2
t'2 dt' ~ 2
у/μΜρι 1
s/c^ ё
где t\ обозначает время испускания первых гравитационных волн — начало рас¬
пада струн. На радиационно-домированной стадии плотность энергии Вселенной
равна (см. раздел 3.2)
_ Ш2Р1
Р ~ 32тг£2 ’
что даёт для доли излученных струнами гравитационных волн в общей плотно¬
сти энергии
Pgw ^ 64тг yjji t
Р 3 Μρι y/Cgw h
Как мы видим, относительная доля энергии рождённых струнами гравитацион¬
ных волн изменяется со временем медленно, логарифмически, однако по вели¬
чине эта доля довольно велика. Таким образом, распадающиеся струны являются
мощным источником реликтовых гравитационных волн. Эффект генерации гра¬
витационных волн позволяет поставить сильные ограничения на модели с косми¬
ческими струнами. В частности, отсутствие влияния таких гравитационных волн
на анизотропию реликтового излучения даёт ограничение на натяжение струн
на уровне приведённых выше. Более сильное ограничение следует из измерений
временной зависимости сигналов от пульсаров [226]:
μ < (2 ■ 1015 ГэВ)2.
12.4. Доменные стенки
457
Отметим, что дополнительным источником интенсивного излучения грави¬
тационных волн служат негладкие особенности на струнах — изломы (kinks)
и клювы (cusps). Такие особенности формируются как в процессе эволюции за¬
мкнутых струн, так и при (само)пересечении струн (см., например, [227]). Ско¬
рость этих особых точек достигает скорости света, в результате чего из них ис¬
пускаются мощные импульсы гравитационных волн, которые могут оказывать
влияние на движение частиц вблизи струны. Такие особые точки могут также
служить источниками частиц больших масс и/или сверхвысоких энергий, что
представляет интерес с точки зрения физики космических лучей.
Возможность возникновения космических струн рассматривается также
в теории суперструн — наиболее известном кандидате на роль теории, объединя¬
ющей гравитацию с другими взаимодействиями. В теории суперструн существу¬
ют фундаментальные струны и другие струнные объекты. В простых случаях
существование таких струн во Вселенной запрещено экспериментально: их натя¬
жение оказывается порядка μ ~ Мр,, что противоречит данным по анизотропии
реликтового излучения. Кроме того, как мы уже неоднократно отмечали, на горя¬
чей стадии развития Вселенной температуры, вероятнее всего, были значительно
ниже планковских, поэтому струны с натяжением μ ~ Мр1 не образовывались
во Вселенной. В довершение, в простых версиях теории суперструн достаточно
длинные струны нестабильны на космологических временах.
Тем не менее, возможны варианты теории суперструн, в которых струны
имеют интересные и феноменологически приемлемые свойства(см., напри¬
мер, [228]). Помимо фундаментальных струн (D-струн), в последнее время ак¬
тивно изучается другой тип объектов, получивший название .D-струн. Это част¬
ный случай так называемых Dp-бран (где р — пространственная размерность
объекта).
F- и D-струны имеют особенности, которые отличают их от обычных кос¬
мических струн. Их образование происходит за счёт механизмов, отличающихся
от механизма Киббла. По-иному устроено и взаимодействие таких струн. В отли¬
чие от космических струн, пересечение F- и D-струн приводит к перезамыканию
лишь с малой вероятностью. Более того, при пересечении F- и D-струн возможно
образование гибридных DD-струн, соединяющих F- и D-струны. При этом об¬
разование петель (а значит, потери энергии) оказывается сильно подавленным.
В ряде струнных теорий F-, D и FD-струны образуют стабильные сети космоло¬
гических масштабов. Натяжения струн не обязаны быть планковского масштаба,
а потому подобные конфигурации могут быть феноменологически приемлемыми.
12.4 Доменные стенки
Рассмотрим простейшую теоретико-полевую модель, в которой есть решения
типа доменных стенок, теорию вещественного скалярного поля ф с самодействием,
С = ^ΘμφΘμφ — ^(ф2 — V2)2. (12.53)
Лагранжиан (12.53) инвариантен относительно изменения знака скалярного поля
ф —» —ф (группа симметрии Ζ2). В результате спонтанного нарушения симметрии
458
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
поле ф приобретает ненулевое вакуумное среднее
(Ф) = +V ИЛИ (Ф) = —V,
т. е. пространство вакуумов оказывается несвязным и состоит из двух точек. В ре¬
зультате фазового перехода во Вселенной образуются домены двух типов: в одних
среднее значение поля положительно10, (ф) = -1-г;, а в других (ф) = —ν. Полевые
конфигурации, интерполирующие в пространстве между различными вакуумами
ф = ±ν, получили название доменных стенок — это границы между областями
с различными вакуумами.
Необходимое условие существования доменных стенок в обозначениях, ис¬
пользованных в (12.1), (12.13), имеет вид
MG/H) ф 0.
Это условие означает, что многообразие вакуумов М. = G/Η состоит из несколь¬
ких несвязных компонент.
В простейшем случае статической бесконечной доменной стенки, лежащей
в плоскости 2 = 0, искомая конфигурация зависит лишь от координаты 2 и яв¬
ляется решением уравнения
- Х(ф2 - ν2)φ = 0
α ΖΔ
(12.54)
с граничными условиями φ{ζ —>■ ±ос) = ±.ν (кинк) или φ(ζ —> ±оо) = ^г; (анти-
кинк). Эти конфигурации имеют следующий вид:
кинк: φ(ζ) = ν th —,
У
антикинк: ό(ζ) = — v th -7-,
' 4 ' Δ
(12.55)
(12.56)
где Δ2 = 2/(Ас2).
t> Задача 14. Убедиться, что кинк действительно является решением уравне¬
ния (12.54).
Чтобы пояснить смысл параметра Δ, найдём тензор энергии-импульса для
кинка, полагая пространство-время плоским. Подставляя кинк (12.55) в общее
выражение для тензора энергии-импульса скалярного поля,
Тμι/ — ΦμφΘμΦ Γ.Τ]μι/.
получим для доменной стенки
= r-^T-r-diag(l,-1, -1,0). (12.57)
2ch й
10Температурное среднее поля ό сразу после фазового перехода не совпадает, вообще говоря,
с вакуумным значением ν. однако здесь это для нас не существенно.
12.4. Доменные стенки
459
Мы видим, что тензор энергии-импульса не зависит от координат х, у и отличен
от нуля лишь в области — Δ < ζ < Δ. Последнее позволяет интерпретировать Δ
как толщину доменной стенки. Отметим, что во Вселенной образовавшаяся до¬
менная стенка, вообще говоря, не является плоской. Тем не менее, для несильно
искривлённых стенок приближение кинка хорошо работает.
Интегралы
определяют поверхностную плотность энергии и давление вдоль доменной стен¬
ки, которые в точности совпадают друг с другом по величине11, однако имеют
разные знаки. Отметим тривиальность компоненты T£3W, что означает отсут¬
ствие натяжения стенки в перпендикулярном к ней направлении.
Большие пространственные компоненты тензора энергии-импульса указыва¬
ют на то. что доменная стенка является релятивистским объектом, у которого
можно ожидать нетривиальных с точки зрения гравитации свойств. Чтобы это
проиллюстрировать, рассмотрим линеаризованное уравнение (12.30) для ньюто¬
нова потенциала. Для тензора энергии импульса (12.57) оно имеет вид
ΔΦ = -4nGTg0w.
Его решение в пределе тонкой стенки, Too = ηδ(ζ), имеет вид
Ф = — 2πΰη\ζ\. (12.58)
В результате доменные стенки, если бы они покоились, были бы источниками
«антигравитации»: нерелятивистские частицы отталкивались бы от них!
В действительности представление о статической доменной стенке и линей¬
ное приближение для уравнений Эйнштейна в рассмотренной ситуации неприме¬
нимы. Поэтому изложенная здесь картина является чересчур упрощенной. Она
приведена здесь лишь для иллюстрации того, что гравитирующие доменные стен¬
ки обладают весьма нетривиальными свойствами.
Для доменных стенок тоже работает механизм Киббла. В общем случае по¬
сле фазового перехода Вселенная состоит из разделённых доменными стенками
областей разных вакуумов, в которые погружены замкнутые области противопо¬
ложного вакуума, где также есть замкнутые области противоположного вакуума
и т. д. Доменные стенки при этом образуют непересекающиеся открытые или за¬
мкнутые поверхности12.
Для подавляющего большинства моделей физики частиц существование хо¬
тя бы одной «бесконечной» стенки (с размерами порядка размера горизонта)
в видимой части современной Вселенной противоречило бы наблюдательным
11 Совпадение не является полным для искривлённых доменных стенок.
12Мы рассматриваем модель (12.53), в которой множество вакуумов состоит лишь из двух
точек. Для более сложных ситуаций (например, в моделях с симметрией Сп, п > 2) будет
больше различных типов доменов, а значит, и интерполирующих между ними стенок, которые
в общем случае уже смогут пересекаться.
460
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
данным. Это видно хотя бы из того, что энергия доменной стенки с размерами
порядка современного размера горизонта оценивается величиной Mow ~
в то время как полная энергия в видимой части Вселенной составляет величину
порядка pcHq3. Потребовав, чтобы энергия стенки была меньше полной энергии,
ηΗ^2 < РеЯ0-3,
получим ограничение на поверхностную плотность энергии стенки,
V < РсЯ0-‘ ~ (10 МэВ)3 . (12.59)
Таким образом, если не вводить в рассмотрение чрезвычайно малые константы
связи, то масштаб энергий, характеризующий доменную стенку, должен быть
заведомо меньше 10 МэВ, что является очень малой величиной с точки зрения
расширений Стандартной модели физики частиц. Иными словами, модели физи¬
ки частиц, обладающие дискретными симметриями, сталкиваются с «проблемой
доменных стенок» [229]: в них должен существовать механизм, запрещающий об¬
разование доменных стенок в ранней Вселенной или обеспечивающий их исчезно¬
вение в процессе космологической эволюции. Это требование является, конечно,
далеко не тривиальным.
> Задача 15. Найти уравнение состяния для газа невзаимодействующих до¬
менных стенок, движущихся с нерелятивистскими скоростями. Указание:
использовать соображения, аналогичные приведённым в разделе 12.3.2.
В заключение отметим, что помимо влияния на темп расширения Вселен¬
ной доменные стенки могли бы приводить и к другим наблюдаемым эффек¬
там. В частности, гравитационный потенциал доменной стенки влиял бы на ре¬
ликтовое излучение за счёт эффекта Сакса—Вольфа, подробно рассмотренного
во второй части книги. Численно для расширяющейся Вселенной с реалистич¬
ными значениями космологических параметров основной эффект [230] состоит
в изменении величины гравитационного потенциала (12.58) при пересечении фо¬
тонами доменной стенки, в результате чего появляется сдвиг частоты фотона
δω/ω = ΔΦ. Как следствие, температура реликтового излучения в направлении
на доменную стенку, расположенную на расстоянии I, изменяется на величину
Y = -2*Gril.
Полагая его, без ограничения общности, величиной порядка современного гори¬
зонта, I ~ Hq1. получим из отсутствия соответствующего анизотропного вклада,
<5Т/Т < 10_о, ещё более сильное чем (12.59) ограничение на параметры моделей
с доменными стенками,
η < (1 МэВ)3 .
12.5 * Текстуры
С точки зрения космологии интерес представляют и нестабильные тополо¬
гически нетривиальные конфигурации полей — текстуры [205, 231]. Они также
12.5. Текстуры
461
возникают в ранней Вселенной в результате фазовых переходов, сопровождаю¬
щихся спонтанным нарушением симметрии. Роль топологии здесь состоит в том,
что для текстур, как и для других топологических дефектов, работает механизм
Киббла. С другой стороны, в силу своей нестабильности текстуры не доживают
до современной эпохи, и их появление в ранней Вселенной можно обнаружить
лишь косвенно. Одна из возможностей здесь состоит в том, что текстуры вно¬
сят вклад в образование первичных возмущений плотности вещества, из кото¬
рых в конечном итоге образуются структуры — галактики, скопления галактик
и т. д. [232]. Следует сразу сказать, что до сих пор каких-либо эффектов, связан¬
ных с текстурами, экспериментально не обнаружено.
Как и стабильные топологические дефекты, текстуры могут появляться
в моделях со спонтанным нарушением глобальных или локальных (калибровоч¬
ных) симметрий. В качестве примера первого типа рассмотрим модель со спон¬
танным нарушением глобальной симметрии 0(4) —► 0(3) и одним скалярным
вещественным четырёхплетом φα, а = I,... ,4,
с = ia-w - \{ψαψα - А2· (12.60)
При нулевой температуре симметрия нарушена, и вакуум можно выбрать в виде
(φα) = υδ%. (12.61)
Поля φι. φ2. </?3 при этом остаются безмассовыми — это намбу-голдстоуновские
бозоны13, соответствующие нарушению глобальной симметрии 0(4) —» 0(3). По¬
ле h, определяемое как h = φΑ — ν, приобретает массу тп^· которую мы будем
считать достаточно большой.
t> Задача 16. Построив квадратичное действие для возм}чцений над вакуу¬
мом (12.61), проверить сделанное утверждение о спектре частиц в модели
(12.60).
Скалярный потенциал модели (12.60) равен нулю, если
φαφα=ν2. (12.62)
Это условие определяет многообразие вакуумов; в данном случае оно представля¬
ет собой трёхмерную сферу 53ас. Конфигурации поля ^“(х) с размерами, значи¬
тельно превышающими т^"1, имеют небольшую плотность энергии, если условие
(12.62) выполняется в каждой точке пространства. Такие конфигурации имеют
конечную полную энергию, если градиент φα стремится к нулю при г —» ос, т. е.
(р°(х) стремится к постоянному значению, не зависящему ни от углов, ни от г.
Без ограничения общности можно считать, что
ψα(τ —» ос) = νδ2·
13 Присутствие в теории безмассовых частиц — намбу-голдстоуновских бозонов — неизбеж¬
но в моделях со спонтанным нарушением глобальных симметрий и может привести к ряду
феноменологических трудностей, которые мы здесь оставляем без обсуждения.
462
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
С точки зрения топологии это означает, что наше трёхмерное пространство эф¬
фективно имеет топологию трёхмерной сферы S3pace, поскольку при описании
полевых конфигураций все точки на пространственной бесконечности отобража¬
ются в одну и ту же точку многообразия вакуумов 5^ас. Описанные только что
конфигурации поля <^°(х) задают, таким образом, отображения 3-сферы Sjpace
в 3-сферу S3ac, которые могут иметь нетривиальную топологию. Топологиче¬
ское число при этом является числом накрытий сферы S3ac при отображении
Sspace —* S^ac, это число является целым.
Простейшая топологически-нетривиальная конфигурация имеет вид
/ cos ф sin Θ sin у\
sin φ sin Θ sin у
φ = ν Q .
cos Θ sm у
\ cosy J
где ф и θ — сферические углы в нашем трёхмерном пространстве, а функция у(г)
удовлетворяет условиям
(12.63)
у (г = 0) = 0, у(?—► ос) = 7Г.
Такая конфигурация имеет единичное топологическое число. Это и есть текстура
(узел) с минимальным топологическим числом.
> Задача 17. Убедиться, что для конфигурации (12.63) топологическое число
равно 1.
Конфигурация (12.63) не является стабильной. Энергия этой статической
конфигурации полностью определяется градиентным членом
£ = i J ά3χ4φα·νφα
Поскольку при перемасштабировании координат х —* х' = ах энергия (12.64)
изменяется как Е —> Е' = аЕ, то данная полевая конфигурация нестабильна от¬
носительно сжатий14. Образовавшись, текстура начнёт сжиматься.
Для сжавшегося до размера порядка 1 узла условие (12.62) уже может
не выполняться, и узел исчезнет. Накопленная в узле энергия перейдёт в энергию
безмассовых частиц — намбу-голдстоуновских бозонов.
Отметим, что в случае статического трёхмерного пространства, представля¬
ющего собой сферу S3 не только топологически, но и геометрически, конфигура¬
ции типа текстуры могут не коллапсировать из-за ненулевой пространственной
кривизны. Соответствующее решение имеет вид (12.63), но теперь у совпадает
с координатой на S3pacc, в терминах которой метрика пространства имеет вид
dl2 = а2 [dX2 + sin2 у · (άθ2 -i- sin2 θ άφ2)]. (12.65)
1-1 Данное свойство иллюстрирует тот факт, что топология даёт необходимое, но не достаточ¬
ное условие существования нетривиальных стабильных конфигураций.
(12.64)
12.5. Текстуры
463
При этом решение (12.63) нетривиально на всей 3-сфере S3pace, причём вектор
(12.63) можно рассматривать как нормаль к сфере S3pace, погружённой в фик¬
тивное четырёхмерное евклидово пространство.
> Задача 18. Показать, что конфигурация (12.63) является решением в про¬
странстве с метрикой (12.65).
Приведём эвристический аргумент в пользу стабильности решения (12.63)
в пространстве с метрикой (12.65). Рассмотрим полевую конфигурацию вида
ψ = v
/cos с>sin 0sin (^)\
sin©sinΘsin (^)
cos0sin (^)
V cos ш /
ДЛЯ 0 < X < 7TQ.
φ = ν
ДЛЯ 7га < X < 7Г,
(12.66)
которая имеет число намоток 1 и когда а изменяется от 1 до 0 интерполирует
между нетривиальной (12.63) и тривиальной (12.61) конфигурациями, описывая
сжимающуюся текстуру. Энергия конфигурации (12.66) равна
Е = 4тг · a ■ ν2 ·
— 2π2 · a · ν2
Π
1 , nsiη2 (χ/а)
ο ' " .9
cr sin χ
2α
-г α -
sin(27ra) λ
4πα2 /
sin2 χ άχ
(12.67)
Поскольку и a = 0, и a = 1 представляют собой минимумы энергии, то обе
предельные конфигурации (т. е. конфигурация с a = 0 и конфигурация с a = 1)
являются классически стабильными и отделены энергетическим барьером друг
от друга, по крайней мере если ограничиться путём (12.66) в конфигурационном
пространстве.
Текстуры во Вселенной могут образовываться во время фазового перехода
за счёт механизма Киббла. Потом узлы сжимаются и в конце концов пропада¬
ют, излучая намбу-голдстоуновские бозоны. В результате области пространства,
в которых значения скалярного поля одинаковы, растут, пока их линейный раз¬
мер не становится порядка текущего размера горизонта Я’-1. Это достаточно
быстрый процесс, поэтому характерный размер текстур сразу после фазового пе¬
рехода составляет Н~1(ТС), где Тс — температура фазового перехода. При этом
во Вселенной имеется порядка одной текстуры в объёме Н~3(ТС).
В дальнейшем характерный размер текстур растёт и остаётся всё время по¬
рядка if-1(i). Поскольку плотность энергии узла определяется в основном гра¬
диентным членом, для неё имеем оценку
δρ ~ (V<^)2 ~ v2H2(t) ~ v2t~2.
Плотность энергии фона — обычного вещества — как на радиационно-домини-
рованной стадии, так и на стадии доминирования материи падает со временем
464
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
по тому же закону р ~ t~2. поэтому текстуры приводят к относительным флук¬
туациям плотности энергии постоянной величины, не зависящей от простран¬
ственного размера флуктуаций,
δρ
Р
= const
M%i
Важно, что флуктуации такой амплитуды имеются в широком диапазоне про¬
странственных размеров, поскольку в ходе эволюции Вселенной в ней суще¬
ствовали текстуры всех размеров, начиная с Н~1(ТС). Таким образом, в самом
первом приближении спектр флуктуаций плотности энергии будет масштабно¬
инвариантным.
Приближенная масштабная инвариантность действительно присуща изме¬
ренному спектру первичных возмущений плотности. Однако предположение о том,
что именно текстуры ответственны за формирование первичных неоднородно¬
стей, приводит к неправильному предсказанию свойств анизотропии реликтового
излучения: спектр анизотропии качественно совпадает со спектром, получаемым
в модели с космическими струнами, см. рис. 12.6. Поэтому текстуры как основной
источник первичных возмущений плотности исключены из наблюдений[221].
> Задача 19. Оцепить плотность фона намбу-голдстоуновских бозонов в мо¬
дели (12.63). Для каких значений v этот фон мог бы привести к искажению
предсказаний стандартного первичного нуклеосинтеза? Для v = 1016 ГэВ
оценить долю намбу-голдстоуновских бозонов в плотности энергии реля¬
тивистской компоненты вещества в современной Вселенной.
12.6 ^Гибридные топологические дефекты
В ряде моделей возможно образование структур, состоящих из топологиче¬
ских дефектов разной размерности. Такое случается, если спонтанное нарушение
симметрии происходит в два (или несколько) этапов. На каждом из этапов име¬
ет место перестройка вакуума, могут появиться новые топологические свойства
многообразия вакумов и новые типы дефектов. С точки зрения топологии это
означает, что на горячей стадии развития Вселенной с понижением температуры
происходит цепочка фазовых переходов
G ^ Ηλ ^ #2 -> ..., Т\>Тъ> ...,
причём для образующихся вакуумных многообразий существуют нетривиальные
гомотопические группы
7rVl (G/Нг) ф 0, ττ;ν2 (G/Яа) ф О,
Примерами возможных структур являются: «ворс» — конфигурации струн с кон¬
цами, расположенными на доменных стенках (и, вообще говоря, перемещающи¬
мися вдоль стенок), «ожерелья» — струны с нанизанными на них монополями
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
465
и др. Так, ожерелья образуются в моделях с двумя последовательными фазовы¬
ми переходами:
I этап: G -► G' х 17(1);
II этап: G' х 1/(1) —> Η х Ζλγ·
На первом этапе происходит образование монополей, а на втором между моно¬
полями натягиваются струны, причём ожерелья отвечают случаю N = 2, когда
каждый монополь оказывается связанным лишь с двумя другими монополями.
Эволюция гибридных конфигураций, вообще говоря, отличается от эволю¬
ций составляющих топологических дефектов. Мы не будем здесь обсуждать это
подробно; отметим лишь, что с точки зрения космологии наиболее интересными
представляются именно ожерелья.
12.7 Ήθτοποлогические солитоны: Q-шары
Помимо рассмотренных в предыдущих разделах топологических дефектов
существуют и другие типы локализованных конфигураций полей, чья стабиль¬
ность на космологических временах обусловлена причинами, непосредственно
не связанными с топологией. Популярным примером солитонов такого типа явля¬
ются Q-шары, которые являются стабильными благодаря существованию сохра¬
няющегося глобального заряда и отсутствию безмассовых заряженных частиц.
12.7.1 Модель с двумя полями
Простая модель, в которой имеются нетопологические солитоны типа Q-
шаров [233], содержит действительное скалярное поле χ и комплексное скалярное
поле ф. Лагранжиан модели имеет вид
С = δμφ♦ д“ф + d“x-V(x)- h2X2 \ф\2 , (12.68)
причём потенциал V (χ) имеет абсолютный минимум при
X = ν ф 0, (12.69)
так что
V(X = ν) = 0, V(x = 0) = Vb > 0.
В вакууме (12.69) поле ф имеет массу
πίφ — hv,
поле δχ = χ — ν также будем считать массивным.
Лагранжиан (12.68) инвариантен относительно глобальных фазовых преоб¬
разований (группа симметрии 17(1))
ф —*· егаф, ф*
*е~гаф\
(12.70)
466
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
причём вакуум (12.69) с ф = 0 инвариантен относительно этих преобразований.
В соответствии с этим в модели имеется сохраняющийся заряд
Q = i J rf3x [фф* - ф*ф). (12.71)
Зададимся вопросом о состоянии с минимальной энергией при фиксированном
заряде Q. Одно из состояний с зарядом Q — это набор покоящихся «^частиц
(в количестве Q штук) в вакууме (12.69). Энергия этого состояния равна Q · тпф.
Структура конкурирующего с ним состояния Q-шара — следующая. В области
размера г о, который нам предстоит найти, поле χ принимает нулевое значение,
а вне этой области реализуется вакуум (12.69); вблизи границы этой области х(г)
гладко меняется от нуля до ν (см. рис. 12.7).
Рис. 12.7. Конфигурация Q-шара: профиль поля х(г) и волновая функция ф-
частицы фо (г)
Все Q частиц ф находятся внутри этой области на нижнем уровне энергии,
так что их энергия равна по порядку величины Q/tq: внутри Q-шара части¬
цы ф — безмассовые, а минимальный импульс каждой из них имеет порядок 1/го,
такой же порядок имеет и энергия частиц ф, т. е. Еф = Ь/Гсь где Ь — константа
порядка единицы. Полная энергия Q-шара равна, таким образом,
Е = ■ Vo + 4TrrJ ■ σ + b—. (12.72)
3 го
где первое слагаемое — энергия поля χ внутри Q-шара (напомним, что Vq =
V(x = 0)), а второе — энергия, связанная с переходной областью на границе Q-
шара. поверхностная плотность которой (поверхностное натяжение) равна а. Мы
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
467
увидим ниже (см. (12.74)), что для достаточно больших Q размер Q-шара велик,
так что поверхностным вкладом можно пренебречь, и энергия (5-шара равна
Минимизация этого выражения по tq определяет радиус Q-шара при заданном Q,
с константой порядка единицы. Видно, что энергия Q-шара растёт с Q медленнее,
чем энергия m^Q свободных частиц ф в вакууме (12.69), так что при достаточно
больших Q наинизшим по энергии состоянием действительно является Q-inap.
Он стабилен относительно распада на частицы ф при
т. е. при Q > Qc, где критическое значение заряда по порядку величины равно
так что критическое значение заряда велико при Л ~ h2 <С 1, т. е. в теории со сла¬
бой связью и без специальной подстройки параметров. Если же оценка (12.77)
формально приводит к Qc < 1 (например, при Л < /г4), то приведённое выше
рассмотрение неприменимо для критических Q-шаров, и для получения реаль¬
ного значения Qc необходимо более аккуратное исследование. Отметим ещё, что
для приведённого вывода существенны два обстоятельства. Во-первых, части¬
цы ф предполагались легчайшими частицами, заряженными относительно гло¬
бальной группы симметрии £7(1); в противном случае в оценке (12.77) вместо πίφ
фигурировала бы масса легчайшей из частиц, заряженных по £7(1). Во-вторых,
существенно, что частицы ф являются бозонами, и внутри Q-шара они могут
находиться на одном энергетическом уровне.
о Задача 20. Пусть заряженные относительно £7(1) частицы ф — это фер¬
мионы. Являются ли стабильными Q-шары, аналогичные рассмотренным
выше, в теориях со слабой связью и с πίφ ~ тпх, где тпх — масса ча¬
стицы х в вакууме (12.69)? Указание: считать для определённости, что
Я (го) = ■ V0 + Ь—.
о Го
(12.73)
(12.74)
при этом его энергия (масса) равна
Е (г0 (Q)) = Mq = const · Vq/4Q3/4
(12.75)
Mq < mφQ,
(12.76)
(12.77)
Отметим, что для потенциала вида V (χ) = Л · (χ2 — ν2)2 оценка (12.77) прини¬
мает вид
ν(χ) = λ·(χ2-υ2)2, λ«1.
468
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Для дальнейшего полезно заметить, что описание Q-шаров возможно це¬
ликом в рамках классической теории поля. Такое описание в действительности
адекватно при больших значениях заряда Q. В рамках классической теории поля
вместо рассмотренных частиц ф внутри Q-шара следует рассмотреть классиче¬
скую конфигурацию скалярных полей ф αχ. Для статического поля χ и завися¬
щего от времени поля ф энергия конфигурации равна
Е = J ά3χ\ώ'φ + Чф* ■ νφ + /ι2χ2|0|2 + ivx · V* + V(x)J.
Для построения Q-шара требуется найти минимум этого функционала при задан¬
ном значении заряда (12.71). В качестве анзаца для \(г) выберем по-прежнему
конфигурацию рис. 12.7. а для 0(х, t) запишем
ό(χ, t) = Aelu;tf(x.), (12.78)
где А — неизвестная пока амплитуда, а /(х) нормирована условием
У |/(x)|2d3x = 1. (12.79)
С учётом этого условия энергия и заряд конфигурации равны
Е — up Ар -+■ А2 · Sj + ~7iTqVo. (12.80)
О
Q = 2 ωΑ2, (12.81)
где мы вновь пренебрегли поверхностным вкладом в энергию поля χ и обозначили
£/ = / Λ(|ν/|2 + /ϊ2χ2(Γ)|/|2).
Функцию /(х) выберем так, чтобы она минимизировала £/ при условии норми¬
ровки (12.79). т. е.
-Δ/ + h2\2(r)f = λ2/. (12.82)
где Л — множитель Лагранжа. Уравнение (12.82) совпадает со стационарным
уравнением Шредингера в потенциале h2x2(r): наименьшее собственное значе¬
ние Λ и определяет £/·:
£f = λ2.
Таким образом, /(х) совпадает с волновой функцией основного состояния части¬
цы ф в Q-шаре (/о(г) на рис. 12.7). при этом
λ = Εά = -,
Го
где Ь — тот же коэффициент, что и в (12.72).
Итак, функционал энергии (12.80) имеет вид
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
469
Нам осталось найти минимум этого функционала по остающимся переменным ω,
А и го при фиксированном значении заряда (12.81). Из (12.81) получим ω =
Q/{2A2). после чего минимизация (12.83) по А даёт
при этом ω = b/го, как и следовало ожидать, а энергия как функция единствен¬
ного оставшегося параметра го имеет вид (12.73). Дальнейший анализ совпадает
с приведённым выше, так что подход в рамках классической теории поля экви¬
валентен квантовомеханическому подходу.
Обсудим простой механизм, приводящий к космологической генерации Q-
шаров рассматриваемого типа в количестве, необходимом для объяснения ими
тёмной материи. Пусть при высоких температурах среднее значение поля χ рав¬
но нулю, а при понижении температуры до критического значения Тс происходит
фазовый переход первого рода, в результате которого поле χ приобретает среднее
значение χ€. Предположим, что в новой фазе массы частиц ф велики по сравне¬
нию с температурой15:
тф(Тс) = hxc > Тс. (12.84)
Предположим, наконец, что во Вселенной к моменту фазового перехода име¬
лась Q-асимметрия, т. е. была отлична от нуля величина
Δρ =
ТЬф Пф
S
Пф пф
Пф + Пф
(12.85)
(считаем ф легчайшей частицей, несущей глобальный С/(1) заряд).
Как мы обсуждали в разделе 10.1, фазовый переход первого рода происходит
путём образования небольшого количества пузырей новой фазы в хаббловском
объёме, которые затем расширяются и сливаются. В результате остаются ост¬
ровки фазы с χ = 0. Именно из этих островков и образуются Q-шары: в силу
(12.84) частицы ф не могут проникать из областей с χ = 0 в области с χ = χα,
т. е. Q-асимметрия (12.85) оказывается в основном сосредоточенной в островках
старой фазы, несущих, таким образом, большой заряд Q. Для оценки учтём, что
число Q-шаров сразу после фазового перехода совпадает по порядку величины
с числом пузырей новой фазы на момент перколяции, воспользуемся формулой
(10.19) и запишем
nQ{Tc)
8{ТС)
ч/^/З3
грЗ
-L с
м*3 ’
1UPI
где в обозначениях раздела 10.1
‘ UK'/2 1» 1.
1оЭго в действительности является довольно нетривиальным предположением. В соответ¬
ствии с (10.45). (10.40) требуется, в частности, чтобы константа самодействия поля ф была
мала, λ h4.
470
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
В один такой Q-шар собирается заряд из объёма порядка Яд1, так что для ти¬
пичного Q-заряда образовавшихся шаров имеем оценку
<г~Пд1РУ«(Тс)Д*. (12.86)
Воспользовавшись (12.75), оценим плотность энергии (массы) Q-шаров в совре¬
менной Вселенной:
/Τ' \ 3/4
PQ.0 = Mq · nQ.O ~ ν01/4Δ^4/33/45ί/8(^) «ο· (12.87)
Для окончательной оценки положим Vq4 и Тс равными энергетическому масшта-
бу v, имеющемуся в модели, вспомним, что «о — 3000 см-3, и положим р* ~ 100.
В итоге получим
PQ.0 ~ 3 · 10 9
0 Ν3/4 ( Δφ \3/J / υ \7/4 ГэВ
10® у V10-10/ \ 1 ТэВ / см3
Видно, что для объяснения тёмной материи требуется, чтобы энергетический
масштаб v был не слишком высок: например, при Аф ~ 10“10 (величина по¬
рядка барионной асимметрии) необходимое значение рдд = Pcdm ~ 0,25рс ~
10-6 ГэВ/см3 получается при v порядка нескольких десятков ТэВ. Более акку¬
ратные оценки[234] дают для ~ 10_1°
ν — 1-30 ТэВ.
При этом плотность числа Q-шаров составляет
1
nQ'° ~ (108 - 109 см)3’
т. е. среднее расстояние между Q-шарами оказывается порядка тысяч километ¬
ров. Массы и заряды Q-шаров составляют
Mq = 10“3 - 10~7 г, Q = 1019 - 1022,
а размер Q-шара оценивается величиной
го ~ ^ _ 2 . ю-14 см, при Аф = 10_1°.
3 pcdm
Отметим, что последняя оценка практически не зависит от параметров модели.
> Задача 21. Убедиться в справедливости последней оценки.
> Задача 22. В рассмотренном сценарии ф-частицы и их античастицы из вы¬
сокоэнергичного хвоста распределения по импульсам могут проникать
внутрь новой фазы даже при выполнении условия (12.84). Пренебрежём фф
аннигиляцией в новой фазе (что является вполне естественым предполо¬
жением при большом энергетическом масштабе модели, см. раздел (9.2)),
тогда эти частицы о иф не концентрируются в Q-шарах, а доживают до на¬
ших диен в свободном виде. Получить ограничения на параметры сценария
из требования, чтобы плотность массы свободных частиц фиф не превы¬
шала pc dm.· уточнив тем самым требование (12.84).
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
471
12.7.2 Модели с плоскими направлениями
Несколько иной класс Q-шаров имеется в моделях с достаточно плоским
скалярным потенциалом [235]. Простейшая из них — это модель комплексного
скалярного поля с лагранжианом
С = θμφ*δμφ - V (ф*ф), (12.88)
где потенциал V (ф*ф) имеет абсолютный минимум в нуле и обладает определён¬
ными свойствами, о которых пойдёт речь ниже. Лагранжиан (12.88) инвариантен
относительно глобальных фазовых преобразований (12.70), причём вакуум 0 = 0
также инвариантен относительно этих преобразований.
Уравнения движения для скалярного поля с лагранжианом (12.88) имеют
вид
9μθμφ+^;=0 (12.89)
(и аналогичное комплексно сопряжённое уравнение), а полная энергия опреде¬
ляется интегралом
Е = J [\д0ф\2 + \дгф\2 + У(ф*ф)]с13х. (12.90)
При выключении само действия уравнение (12.89) переходит в уравнение Клейна-
Гордона
δμδμφ + т2ф = 0,
описывающее свободные заряженные скалярные частицы с массой
I d2V
m=V»(0)· (12·91)
По аналогии с (12.78), мы будем интересоваться другим решением уравнения
(12.89) — осциллирующей (во внутреннем пространстве) сферически симметрич¬
ной конфигурацией вида
0 = ei“‘/W, Ф' = (12.92)
где )— радиальная координата. Подставляя этот анзац в уравнение (12.89), получим
(12.93)
Это уравнение формально совпадает со вторым законом Ньютона для матери¬
альной точки с координатой /, движущейся с трением в потенциале
V'ff(f) = - \v{f):
472
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
причём радиальная координата играет роль времени. Асимптотику функции /(г)
при больших г определим из требования конечности энергии (12.88), которая
на конфигурации (12.92) принимает вид
Е = 4тг ί [ω2/2 + Ш)2 + V(f)]r2 dr. (12.94)
Положив значение потенциала V(ф) в минимуме ф = 0 равным нулю, т. е.
v(0)=0, V{f? 0)>0,
получим из требования конечности интеграла (12.94), что
f(r -> оо) -»· 0. (12.95)
Это означает, что искомое решение описывает локализованный объект — со-
литон. Он и является Q-шаром.
Противоположная асимптотика при нулевом г определяется из требования
конечности «силы трения» в уравнении (12.93), что даёт
а г1"6, е > 0. (12.96)
Профиль Q-шара /(г) описывается решением уравнения второго закона Ньютона
(12.93) для «частицы», начинающей движение с нулевой скоростью в «момент
времени» г = 0 из некоторой точки
/о = f(r = 0) (12.97)
и скатывающейся по потенциалу Ve/f(f) к нулевому значению /(г —» -оо) —> 0.
Ясно, что для существования такого решения, во-первых, эффективный по¬
тенциал Veff(f) должен иметь минимум при / = 0, а во-вторых, в начале сво¬
его движения точка должна обладать некоторой положительной потенциальной
энергией, поскольку в конце движения её энергия равна нулю, а в процессе дви¬
жения часть энергии расходуется на работу против силы трения. Поэтому на¬
чальное значение поля обязано удовлетворять неравенству
Щг-=ωΙ<ω2. (12.98)
/о
Область пространства г < го, где функция /(г) существенно отлична от нуля,
0 < f(i') < /о, естественно назвать внутренней областью этого сгустка поля,
а область /* > го, где /(г) ~ 0, — внешней областью. Величину го естественно
назвать радиусом сгустка.
Получившуюся макроскопическую конфигурацию называют Q-шаром пото¬
му. что в ней содержится ненулевой (и обычно довольно большой) заряд (12.71)
относительно глобальной группы U(1),
S(—0)
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
473
где при получении равенства (12.100) мы положили
f{r) = /о · в(г0-г).
Это является хорошим приближением, если оправдано тонкостенное приближе¬
ние для описания сгустка, т. е. если область Аг, где существенно меняется /(г),
мала по сравнению с линейным размером сгустка, Аг го- Отметим, что равен¬
ство (12.100) можно считать формальным определением величины го — рассто¬
яния, на котором набирается интеграл (12.99).
Энергия (12.94) для Q-шара может быть приближённо оценена как
4<7Г
E*=Tr30[u2fZ + V(fо)], (12.101)
где мы пренебрегли вкладом градиентного члена (V/)2, который набирается
на стенке шара, а поэтому заведомо мал для достаточно больших Q-шаров. Раз¬
мер Q-шара можно определить, потребовав минимума энергии (12.101) как функ¬
ции размера шара при фиксированном заряде (12.100). Для этого из (12.100)
выразим частоту ω через Q и го и подставим результат в (12.101):
зГ^(/о)+1блтЩ
Приравнивая нулю производную этой функции по го, получим
4тг
Q
3 ° 2/о ДЙ'
Окончательно, экстремальное по го значение энергии при большом заряде Q равно
Е = ^-/пм,
а частота ω стремится к критическому значению ujq (см. (12.98)). Наконец, энер¬
гия стабильного стационарного решения должна быть минимальна как функция
оставшегося параметра /о — значения поля в центре Q-шара. Это возможно, если
функция V(f)//2 достигает нетривиального минимума при конечном / = /0 ф 0,
= -tF^0, /о ф 0, /о т^оо. (12.102)
J о
Именно это значение поля реализуется в центре солитона.
Условие существования нетривиального минимума функции V(/)//2, вместе
с глобальным минимумом потенциала V(/) при / = 0, является весьма нетриви¬
альным, особенно если учесть, что V(f) в действительности является функцией
/2 = ф*ф (последнее необходимо для инвариантности относительно глобальной
группы С/(1)). Например, обычно используемый перенормируемый потенциал
пл
f
V (ф) = т2ф*ф + Λ (ф*ф)2
474
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
этому условию не удовлетворяет. Для существования (5-шаров необходимы более
экзотические скалярные потенциалы, являющиеся достаточно плоскими,
по крайней мере в некоторой области изменения поля. Мы кратко обсудим в даль¬
нейшем, в каких моделях возникают потенциалы интересующего нас типа, а сей¬
час продолжим обсуждение (5-шаров, предполагая, что скалярный потенциал
обладает необходимыми свойствами.
Условие стабильности Q-шара по-прежнему имеет вид (12.76), что даёт
$VV(f0)<Q-m, (12.103)
JO
где выражением для массы служит (12.91). С учётом (12.91) это условие накла¬
дывает ещё одно нетривиальное ограничение на скалярный потенциал модели:
2У(/о) d2V (0)
/о2 dp '
о Задача 23. Построить приближённое решение для Q-шара (полагая заряд Q
большим) в модели с калибровочной группой (7(1). Оценить заряд Q и энер¬
гию Е для этого решения. Показать, что отношение Е/Q растёт с увели¬
чением Q из-за вклада электростатической энергии в Е. Это означает, что
в случае локальной U(1 )-симметрии из-за дополнительной силы отталкива¬
ния, вызванной калибровочным взаимодействием, при больших зарядах Q-
шары становятся нестабильными. Они стремятся увеличить энергию связи
путём испускания скалярных частиц с поверхности. Отметим, что при до¬
статочно малых калибровочных константах связи Q-шары с не слишком
большим зарядом являются стабильными и в моделях с локальной (7(1)
сидшегрией.
Соотношения между параметрами потенциала и параметрами Q-шара, по¬
лученные выше, справедливы для случая относительно больших Q-шаров, когда
можно пренебречь вкладами градиентных членов в энергию. В ряде моделей ак¬
куратный учёт всех вкладов показывает, что стабильными могут быть и неболь¬
шие Q-шары, «состоящие» из небольшого числа заряженных частиц.
Теперь рассмотрим случай, когда функция V(f)//2 не имеет минимума при
конечных и отличных от нуля /. Если V(/) растёт с увеличением / слабее, чем /2,
то минимум функции V(f)/f2 достигается при / —» ос и равен нулю,
min /
Г У (Я 1
Г^(/)1
L Р J
L я J
= 0.
(12.104)
Такое возможно в моделях с очень плоскими потенциалами. В случае (12.104)
использованный нами подход для оценки параметров Q-шара неприменим. Зато
в пределе достаточно плоского потенциала,
/ —»· ос : V(f)ccfa
a < 2,
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
475
в уравнении движения (12.93) можно пренебречь скалярным потенциалом, и су¬
ществует приближённое решение с асимптотиками, удовлетворяющими всем об¬
суждавшимся выше необходимым условиям (12.95)—(12.97),
/(г) = fQsmu>r . fl (r0 - г). (12.105)
uir
Требование самосогласованное™ решения вблизи границы Q-шара, т. е. непре¬
рывности /(г) при г = го, приводит к тому, что, в отличие от рассмотренного
выше случая (12.102), размер солитона оказывается связанным с частотой ос¬
цилляций во внутреннем пространстве:
π
г о - ~
ω
(12.106)
Из вида решения (12.105) ясно, что приближение тонкой стенки в данном
случае не работает: изменение /(г) происходит во всём интервале г < го- Под¬
ставляя решение (12.105) в интеграл (12.99), определяющий заряд солитона, и вы¬
ражая частоту ω через размер солитона (12.106), получим
Q = 4/ого- (12-107)
Для энергии такого Q-шара будем иметь из (12.94)
Λ sjr
Е = 4 π/04 + γφν(ίο), (12.108)
где константа b — порядка единицы и определяется формой потенциала V(d>).
Нам осталось найти минимум энергии (12.108) по /о и го при условии, что за¬
ряд (12.107) фиксирован. Выразив го через /о с помощью (12.107) получим для
энергии как функции /о
E(fo) = 27г/о<31/2 + jb^-V(fo).
0 / о
В точке минимума имеем
Ъ d (V(fo)\ _ 1
12 d/о V /о3 ) Q‘
(12.109)
(12.110)
Для рассматриваемых потенциалов левая часть убывает с ростом /о, т. е. реше¬
ние уравнения (12.110) fo{Q) растёт с ростом Q. В частности, для V(f) ~ fa
имеем из (12.110)
/о(<3)<х<31/(4-“),
так что энергия (12.109) ведёт себя как
E(Q) ОС Q(6—α)/(2(4-β))>
476
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
При а < 2 показатель степени здесь меньше единицы, поэтому при достаточно
больших Q энергия солитона меньше массы Q штук ώ-частиц, Е < mQ, и Q-
шар стабилен. Отметим, что в пределе a —> 0 (совсем плоский потенциал при
достаточно больших значениях поля) энергия ведёт себя как
т. е. аналогично (12.75).
Решения типа Q-шаров существуют и в реалистических теориях, например
в суперсимметричных обобщениях Стандартной модели физики частиц [236, 237,
238, 239]. В них всё построение решений типа Q-шара происходит так же, как
и для простейшей модели (12.88). Всё, за исключением одного важного обстоя¬
тельства: ограничение (12.103), связанное со стабильностью относительно распа¬
да на свободные заряженные по группе £7(1) частицы, видоизменяется. В резуль¬
тате взаимодействия скалярные частицы ф могут стать нестабильными и распа¬
даться в другие частицы меньшей массы. Именно масса легчайших заряженных
по этой группе частиц будет входить в правую часть модифицированного огра¬
ничения (12.103).
В реалистических моделях роль заряда Q могут играть, например, барион-
ный, лептонный заряды или их линейные комбинации. Плоскостность потенци¬
ала естественным образом реализуется в ряде суперсимметричных теорий, где
для низкоэнергетического скалярного потенциала характерно наличие плоских
направлений, вдоль которых значение потенциала почти не изменяется. В ре¬
зультате квантовых поправок эти плоские направления «поднимаются», однако
зависимость потенциала от величины поля остаётся слабой, поскольку поправки
ведут себя как логарифм величины поля, V ос 1п|0|.
В суперсимметричных моделях несущее барионный заряд поле ф может со¬
стоять из полей скварков (суперпартнёров кварков), при этом в обобщении фор¬
мулы (12.103) место параметра тп займёт масса протона — легчайшего стабильно¬
го бариона. В случае лептонного заряда поле ф может состоять из слептонов (су¬
перпартнёров лептонов), а место параметра m в обобщении формулы (12.103) зай¬
мёт масса соответствующего нейтрино. В моделях с потенциалами вида (12.104)
такие решения являются стабильными на космологических масштабах только
для достаточно больших величин заряда.
о Задача 24. В моделях с потенциалами вида (12.104) оценить заряды ста¬
бильного В-шара (солитона , несущего барионное число) и стабильного L-
шара (солитона, несущего лептонное число). Для численной оценки счи¬
тать, что при достаточно больших f потенциал имеет вид
и рассмотреть случаи а = 1 и а —► 0.
t> Задача 25. Рассмотрим модель, в которой существуют солитоны типа Q-
шара, однако скалярные частицы не являются стабильными, а распадают-
Е ос Q3/4,
(12.111)
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
477
ся в безмассовые фермионы. В такой теории Q-шары не являются стабиль¬
ными, однако могут иметь большое время жизни, поскольку из-за ферми-
евского подавления распад происходит в результате испарения фермионов
с поверхности Q-шара, а не из всего объёма. Полагая, что скорость ис¬
парения с единицы площади определяется только частотой ω, найти наи¬
меньшее значение заряда, начиная с которого время жизни Q-шаров будет
превышать современный возраст Вселенной. Для численной оценки взять
те же потенциалы V(/). что в предыдущей задаче.
Для больших Q-шаров важны гравитационные эффекты. Они несколько уве¬
личивают область пространства модельных параметров, допускающих существо¬
вание солитонных решений. В то же время при очень больших Q в решении появ¬
ляется гравитационная нестабильность, связанная с коллапсом в чёрную дыру.
> Задача 26. Оценить критические значения зарядов, при которых происхо¬
дит образование чёрных дыр из Q-шаров в моделях (12.102) и (12.104). Для
численной оценки все параметры потенциала размерности массы считать
равными 1 ТэВ. Сравнить с результатами двух предыдущих задач.
Основной механизм образования больших Q-шаров связан с распадом плос¬
ких направлений скалярного потенциала — полей модулей [240, 238]. В пределе
го —► оо найденные нами решения — Q-шары — вырождаются в однородный
скалярный конденсат, заполняющий всё пространство. Его образование в ранней
Вселенной происходит в определённой степени аналогично образованию заряжен¬
ного по барионному числу конденсата Аффлека—Дайна, рассмотренному нами
в разделе 11.6, но теперь этот конденсат заряжен по группе глобальной симмет¬
рии U( 1). Мы сейчас увидим, что такой конденсат на самом деле нестабилен.
Распад этого однородного конденсата приводит к образованию областей с суще¬
ственно различными плотностями заряда. Области с большой плотностью заря¬
да трансформируются в Q-шары, а в областях с малой плотностью заряда этот
заряд переходит в свободные частицы. Анализ эволюции возмущений скалярно¬
го конденсата показывает, что в моделях, допускающих существование стабиль¬
ных Q-шаров, распад плоских направлений действительно приводит к эффек¬
тивному рождению Q-шаров, причём заметная доля заряда, накопленная полем
модуля, оказывается в конце концов локализованной в Q-шарах.
Рассмотрим указанный механизм более подробно. В разделе 11.6 мы видели,
что процесс образования асимметрии (в данном случае речь идёт об асимметрии
по отношению к глобальному С/(1)-заряду Q) происходит в узком временном ин¬
тервале вблизи того момента, когда нарушаются условия медленного скатывания
скалярного поля16
УДА „ я2 (tc), (12.112)
Фг
где фг — начальное значение поля, а индекс с относится к окончанию периода
медленного скатывания (в разделе 11.6 мы использовали вместо этого индекс г).
16Здесь мы используем общее соотношение (4.58), а не соотношение (4.59), справедливое для
степенных потенциалов.
478
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Пусть в результате небольшого явного нарушения С/(1)-симметрии во Вселенной
образовалась (3-асимметрия
где riQ — плотность U(1)-заряда. В отличие от предыдущего раздела, ненулевая
плотность Q-заряда связана с самим полем ф, которое эволюционирует так, как
изображено на рис. 11.17.
Убедимся прежде всего, что однородный скалярный конденсат, несущий Q-
заряд, неустойчив по отношению к образованию неоднородностей. Для этого пре¬
небрежём расширением Вселенной (это упрощение мы вскоре обоснуем) и запи¬
шем скалярное поле в виде
Ф(х) = f(x) ·
При этом скалярный потенциал будет только функцией /. Уравнения поля для /
и а имеют вид
a — Да + jaf — j Vq · V/ = 0, (12.113)
/ - Δ/ - fa2 + fAa + V'(f) = 0. (12.114)
Рассмотрим для начала случай, когда однородный скалярный конденсат движет¬
ся по окружности во внутреннем пространстве,
/ = const, a — ωί, ω = const, (12.115)
причём из (12.114) сразу следует, что
η V' ,
ω2 = у. (12.116)
Заметим, что при t > tc, когда нарушены условия медленного скатывания, вы¬
полняется ω > Н. Это в конечном итоге и оправдывает сделанное выше прибли¬
жение, в котором мы пренебрегли расширением Вселенной.
Рассмотрим линейные возмущения над однородным конденсатом (12.115) и
будем искать экспоненциально растущие решения, причём с учётом трансляци¬
онной инвариантности сразу запишем
6f(x) = 6f · ext cos(px), Ja(x) = δα ■ eAt cos(px). (12.117)
Из уравнений (12.113) и (12.114) получим
2Χω ■ <5/ + / · (Λ2 + ρ2) · δα = 0,
(Λ2 + ρ2 + V"(f) -ω2)δ/~ 2\}ω · δα = 0.
Отсюда для каждого ρ2 найдем уравнение на собственные значения
Л4 + Л2 · (2р2 + V” + Ζω2) + ρ2 · (ρ2 + V" - ω2) = 0.
(12.118)
12.7. Нетопологические солитоны: Q-шары
479
В случае
р2 + V" - ω2 < 0, (12.119)
один из корней этого уравнения положителен, Л2 > 0, и имеется решение с Л > 0.
Это и означает неустойчивость однородного конденсата: моды (12.117) экспонен¬
циально растут со временем. Существенно, что эти моды не однородны в про¬
странстве: при р = 0 уравнение (12.118) не имеет решений с Л2 > 0.
С учётом (12.113) условие (12.119) может выполняться тогда, когда потен¬
циал достаточно плоский,
V
V" < —. (12.120)
Для степенного потенциата V ос /а это условие выполняется при а < 2, т. е. как
раз тогда, когда в модели имеются Q-шары. Наиболее сильная неустойчивость
(наибольшее по модулю отрицательное Л2) имеется при
|ρ|~ω, (12.121)
при этом |Л| ~ ω. Это окончательно убеждает в несущественности расширения
Вселенной для данного анализа.
Дальнейшее развитие неустойчивости в нелинейном режиме аналитически
изучить трудно, однако сам факт того, что условие существования неустойчи¬
вости (12.120) совпадает с условием существования Q-шаров, указывает на то,
что процесс заканчивается образованием Q-шаров. Численные исследования под¬
тверждают этот вывод [241, 242]. Оценка (12.121) показывает, что С/(1)-заряд
собирается в Q-шар с объёма порядка
|р|_3 ~ ω~3.
В расширяющейся Вселенной как эволюция конденсата, так и развитие неустой¬
чивости происходят сразу после нарушения условий медленного скатывания, так
что грубая оценка имеет вид
|р| ~ |λ| ~ H(tc),
где мы воспользовались (12.116) и (12.112). Таким образом, во Вселенной обра¬
зуется порядка одного Q-шара на хаббловский объём, взятый в момент tc.
Дальнейшие оценки можно провести почти так же, как мы сделали это
в конце раздела 12.7.1. Рассмотрим для определённости случай почти плоско¬
го потенциала
V(/) = t>4(£), α«1,
где ν — параметр размерности массы. В этом случае справедлива оценка (12.111),
т. е. масса Q-шара по порядку величины равна
MQ ~ vQ3/4.
480
Глава 12. Топологические дефекты и солитоны во Вселенной
Результаты раздела 12.7.1 прямо переносятся на рассматриваемую модель, при¬
чём параметр β нужно положить равным единице, поскольку в нашем случае
nQ(tc) ~ H~3(tc). Поэтому имеем (см. (12.87))
Отличие, впрочем, состоит в том, что температура Тс определяется условием
(12.112), так что в пределе малых а
Это вносит дополнительную неопределённость в оценку современной плотности
энергии Q-шаров, связанную с начальным значением поля ф. Если положить
fi ~ Μρι, как мы это делали в разделе 11.6, то будут буквально справедливы
результаты конца раздела 12.7.1 с β = 1. При надлежащем подборе парамет¬
ров Q-шары рассматриваемого типа могут выступать в роли тёмной материи.
Если заряд Q — барионное число, то Q-гпары могут оказывать влияние на ге¬
нерацию барионной асимметрии Вселенной [239]. Например, В-шары при превы¬
шающих электрослабый масштаб температурах, когда процессы с аномальным
нарушением барионного и лептонных чисел находятся в термодинамическом рав¬
новесии, предотвращают вымывание барионной асимметрии нарушающими ба¬
рионное и лептонные числа взаимодействиями.
Особенный интерес при этом представляют нестабильные (на поздних ста¬
диях эволюции Вселенной) Q-шары. Накопленный в Q-шарах барионный заряд
в результате распада в частицы переходит в барионную асимметрию Вселен¬
ной. Это, πο-существу, один из вариантов механизма Аффлека—Дайна. Наибо¬
лее интригующей выглядит ситуация, когда Q-шары нестабильны и распадаются
на барионы и новые стабильные тяжёлые частицы, способные играть роль тёмной
материи. В таких моделях возможно естественное объяснение совпадения (по по¬
рядку величины) плотностей энергии барионов и тёмной материи в современной
Вселенной. Например, в суперсимметричных моделях со стабильным легчайшим
суперпартнёром (LSP, обычно — нейтралино) при распаде когерентного состо¬
яния скварков рождается три частицы LSP на каждый барион. В результате,
если основная доля барионного заряда содержалась в Q-шарах, получаем про¬
стое соотношение между плотностями энергии барионов и частиц тёмной материи
Для реалистических масс нейтралино-LSP thlsp ~ 10-100 ГэВ масс соотноше¬
ние (12.122) даёт всего на один-два порядка меньшую величину рв/рсdm) чем
требуется. В приведённой оценке (12.122) мы не учли, однако, возможной анни¬
гиляции LSP вблизи поверхности Q-mapa, что ведёт к уменьшению остаточной
концентрации LSP. В моделях с гравитино-LSP масса гравитино в области 1 ГэВ
даёт нужную величину рв/Pcom-
(LSP):
рв mp
(12.122)
Pcdm 3mLSP
12.7. Нетолологические солитоны: Q-шары
481
В завершение раздела отметим, что класс нетопологических солитонов не огра¬
ничивается одними Q-шарами. К этому классу следует отнести также кварковые
самородки (quark nuggets), нейтринные шары (cosmic neutrino balls), солитонные
звёзды (soliton stars) и другие.
Приложение А
Элементы
общей теории относительности
А.1 Тензоры в искривлённом
пространстве-времени
В этом Приложении мы введём основные понятия, используемые в общей теории
относительности (ОТО). Наше изложение не претендует на математическую строгость
и полноту; его основная задача состоит в том, чтобы установить обозначения, использу¬
емые в тексте, и собрать в одном месте ряд полезных соотношений и формул. Для более
глубокого ознакомления с основами общей теории относительности мы рекомендуем об¬
ратиться к учебникам [78, 243, 244]. Читателю, заинтересованному в более математиче¬
ски строгом изложении дифференциальной геометрии, можно порекомендовать книгу
[245]. Используемые в этой книге соглашения и обозначения собраны в разделе А.11.
Основным объектом изучения ОТО является искривлённое четырёхмерное про¬
странство (многообразие) Л4, описывающее наблюдаемое нами пространство-время. Для
лучшего понимания абстрактных математических объектов, введённых ниже, иногда
бывает полезным представлять это пространство вложенным в плоское объемлющее
пространство большей размерности. Подчеркнём, однако, что наше пространство-время
в действительности никуда не вложено1, и мы нигде не будем опираться на возможность
какого-либо вложения. Стоит отметить, что все определения и факты, приведённые
в настоящем Приложении, без труда переносятся на (псевдо)римановы пространства
произвольной размерности.
Интервал (квадрат инвариантного расстояния) ds2 между двумя близкими точка¬
ми пространства-времени представляется в следующем виде2:
ds2 = дц„(х) άχμ dx”, (A.l)
где индексы μ, и принимают значения 0, 1, 2, 3, а метрику gμV(x) можно рассматривать
как симметричную матрицу размера 4x4. Таким образом, метрика определяется деся-
1Мы здесь не обсуждаем модели с дополнительными размерностями пространства.
2В дальнейшем, если не оговорено противное, подразумевается суммирование по повторяю¬
щимся индексам.
482
А.1. Тензоры в искривлённом пространстве-времени
483
тью независимыми функциями координат §μι/(χ), μ < и. В дальнейшем мы будем счи¬
тать, что метрика имеет сигнатуру т. е. что у матрицы „(х) в каждой точ¬
ке имеется одно положительное и три отрицательных собственных значения. Векторы
άχμ с положительными значениями ds2 соответствуют времениподобным направлени¬
ям, векторы с нулевыми значениями ds2 соответствуют светоподобным направлениям,
а векторы с отрицательными ds2 — пространственноподобным.
Основным принципом ОТО является то, что все выборы локальной системы коор¬
динат равноправны между собой. Поэтому естественно рассматривать функции (поля)
на многообразии Л4, определённым образом преобразующиеся при замене системы ко¬
ординат
χ^-^#μ(®μ). (А.2)
Простейшим примером такой величины является скалярное поле ф(х), определяемое
тем, что при замене системы координат оно преобразуется как3
ф'(х) = ф{х).
Это соотношение показывает, что значение поля в данной точке многообразия не изме¬
няется при преобразовании координат. Следующим важным примером величины, «хо¬
рошо» преобразующейся при заменах координат, служит контравариантный вектор —
набор из четырёх функций Αμ(χ), преобразующихся так же, как и малые приращения
координат άχμ, т.е.
A'V) = §£λ"(ι). (А.З)
Ковариантным вектором называется набор Αμ(χ) из четырёх величин, преобразующих¬
ся так же, как производные δ/δχμ, т.е.
А'Лх') = ^7 Αμ(χ). (А.4)
Пользуясь законами преобразования (А.З) и (А.4), нетрудно получить закон преобра¬
зования свёртки ΑμΒμ контравариантного и ковариантного векторов,
Α·>(χ’)Β'μ(χ·) = f£>0r)fАв,{х) =
= ^А“(х)Вх(х) = А"(х)В,(х). (А.5)
Мы видим, что такая свёртка преобразуется как скаляр при замене системы коор¬
динат, т. е. её значение в каждой точке не зависит от выбора локальных координат.
Геометрически контравариантный вектор Αμ(χ) можно представлять себе как ка¬
сательный вектор к поверхности Л4, если последняя вложена в некоторое объемлющее
пространство. К примеру, производная скалярной функции ф(х) вдоль направления,
определяемого касательным вектором Αμ(χ), имеет вид
дАф(х) = Αμ(χ)δμφ(χ). (А.6)
Инвариантность свертки (А.5) относительно замен координат показывает, что ковари-
антные векторы Βμ (х) можно воспринимать как линейные функционалы, отображаю¬
щие касательное пространство к М. в числа (с помощью свёртки).
3В дальнейшем все величины со штрихом относятся к новой системе координат, а величины
без штриха — к исходной.
484
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Аналогичным образом можно определить тензор с произвольным количеством
верхних и нижних индексов. Такой объект преобразуется так же, как и произведе¬
ние соответствующего числа ковариантных и контравариантных векторов. Например,
тензор Βμλ преобразуется при координатных преобразованиях следующим образом:
δχ'μ дхт дхр
δχσ δχ'ν дх'х
В%{х).
Непосредственно обобщая приведённые выше рассуждения для случая свёртки кова-
риантного и контравариантного векторов, нетрудно доказать, что производя свёртку
верхнего и нижнего индексов в тензоре произвольного ранга мы снова получаем тен¬
зор.
Из того факта, что интервал ds2 определяет инвариантное расстояние между дву¬
мя точками, т. е. не зависит от выбора системы координат, следует, что метрика 9μν(χ)
является ковариантным тензором второго ранга, т. е. преобразуется как
9μΐ'{Χ )
дхх дхр
δχ,μ δχ'υ
9λΡ(χ).
(А.7)
> Задача 1. Докажите закон преобразования (А.7).
Другим важным примером тензора второго ранга является 5-символ Кронекера
δ μ, определённый в произвольной системе координат как единичная диагональная мат¬
рица.
δμ = diag(l, 1,1,1).
Проверим, что такое определение δυμ совместно с тензорным законом преобразования
при замене координат. Если некоторый тензор равен δνμ в исходной системе координат,
то в новой системе координат он будет равен
δχ'μ дхр -λ _ 9χ'μ дхх
дхх δχ'υ р дхх δχ'ν
Правая часть здесь вновь равна символу Кронекера <5£. так что <5£ — действительно
тензор. С помощью метрического тензора ρμι> и тензора Кронекера δμ можно опре¬
делить новый контравариантный симметричный тензор второго ранга ςμι> с помощью
равенства
9μν9„χ=δρ. (А.8)
Другими словами, тензор gpt/ определяется матрицей, обратной к матрице ρμ„.
> Задача 2. Докажите, что gpu действительно является тензором.
Образуя свёртки с тензорами <?μμ и gpu, мы можем определить операцию поднятия
и опускания индексов. К примеру,
А" =9νμΛμ, Βμ.=9μΧ9^ΒΧρ,
причём если Αμ и ВХр — тензоры, то Αν и Βμν — тоже тензоры.
Ещё одним важным объектом, необходимым для построения функционала дей¬
ствия в ОТО, является определитель метрического тензора
9 — det 9μν·
Для того чтобы установить, как преобразуется g при заменах координат, запишем закон
преобразования (А.7) в матричной форме:
g(x') = Jg(x)JT.
(А.9)
АЛ. Тензоры в искривлённом пространстве-времени
485
Крышечки указывают на то, что все величины, входящие в равенство (А.9), представ¬
ляют собой матрицы размера 4x4. Символом J обозначена матрица Якоби, соответ¬
ствующая замене координат (А.2),
J£ =
δχμ
dx'u’
a JT — транспонированная матрица. Из равенства (А.9) вытекает следующий закон
преобразования для величины д:
9'{х') = J2g(x),
где J — якобиан замены координат (А.2),
(А.10)
J = det
δχμ
δχ'ν'
Из закона преобразования (А.10) следует, что произведение
у/—д dA х
определяет инвариантный элемент 4-объёма4.
В пространстве Минковского помимо символа Кронекера имеется ещё один тензор,
инвариантный относительно преобразований Лоренца — символ Леви—Чивиты εμι/λρ.
Напомним, что £μι/λρ полностью антисимметричен по своим индексам и, следовательно,
однозначно определяется условием
€°123 = 1.
Однако символ Леви—Чивиты не является инвариантным тензором при произвольных
заменах координат. Действительно, если некоторый тензор равен εμι/λρ в одной системе
координат, то в другой системе он равен
ιμν\ρ = 9χ'μ dx,v δχ/λ дх,р αβΊ.δ = 1 μνΧρ
dxa dx& δχΊ dxs
Из закона преобразования (А. 11) видно, что естественным обобщением символа Леви—
Чивиты на случай произвольных криволинейных координат (и искривлённого про¬
странства) является тензор5 Леви—Чивиты
rppuXp _Д_ μι/λρ
“ V4
Этот тензор полностью антисимметричен по всем своим индексам и переходит в εμ"Λρ,
когда метрика 9μν совпадает с метрикой пространства Минковского,
Ύ)μν - diag(1, —1, —1, —1).
43аметим, что поскольку матрица ςμί> имеет три отрицательных собственных значения и од¬
но положительное, её определитель д меньше нуля. Поэтому мы используем действительную
величину у/—д для определения инвариантного элемента объёма.
°Более аккуратно было бы называть ΕμνΧρ псевдотензором, поскольку он преобразуется
с неправильным знаком относительно преобразований координат, меняющих ориентацию
(с J < 0).
486
Приложение А. Элементы общей теории относительности
А.2 Ковариантная производная
Для того чтобы построить действие и выписать уравнения движения, инвариант¬
ные относительно произвольных замен координат, необходимо определить ковариант-
ную операцию дифференцирования Υμ, которая переводила бы тензоры снова в тен¬
зоры. Для скалярного поля естественно потребовать, чтобы эта операция совпадала
с обычным дифференцированием,
νμφ(χ) = Θμφ{χ). (А.12)
Как следует из определения (А.4), так определённая производная Vμφ является кова-
риантным вектором.
Определить, что такое ковариантная производная векторного поля Αμ(χ), таким
простым образом не удаётся. Действительно, для того чтобы продифференцировать
векторное поле, нужно научиться вычитать касательные векторы, относящиеся к раз¬
ным точкам пространства ΛΊ Следовательно, необходимо определить правила парал¬
лельного переноса векторов из одной точки пространства в другую.
Рассмотрим параллельный перенос касательного вектора Αμ из точки с координа¬
тами χμ в точку с координатами
χμ = χμ + άχμ
(см. рис. А.1).
Рис. А.1. Параллельный перенос вектора
Наложив на операцию параллельного переноса естественное требование линейно¬
сти (образ суммы двух векторов при параллельном переносе равен сумме образов),
получаем, что в первом нетривиальном порядке по приращению координат άχμ образ
Αμ вектора Αμ имеет следующий общий вид:
Αμ(χ) = Αμ{χ) - T»x{x)Av{x) dxx. (A.13)
Величины Г£Л, входящие в правило параллельного переноса (А.13), носят название ко¬
эффициентов связности. Для того чтобы определить закон преобразования коэффици¬
ентов связности при произвольных заменах локальных координат, произведём замену
координат в обеих частях равенства (А. 13) и воспользуемся тем, что величины Αμ, Αμ
и άχμ преобразуются по закону (А.З). Левая часть равенства (А. 13) перейдёт в
,μ , Θχ,μ(χ) - _ /δχ,μ(χ)
(χ)= Α (χ) = (^·
dxv
8χ,μ(χ) τ
дх1
дхидхх
άχλ )Αν(χ) =
92χ'μ{χ) . λ
дх1
Аи{х) +
дхидхх
dx Αν{χ)
(A-14)
А.2. Ковариантная производная
487
где во втором равенстве мы разложили производную в ряд вокруг точки χμ, а в третьем
равенстве воспользовались тем, что векторы Αμ(χ) и А1/(х) отличаются на величину
первого порядка малости по приращениям координат άχμ.
Правая часть равенства (А. 13) после замены координат примет следующий вид:
Α,μ(χ') - Г'Д(z/M,,V)dxx
δχμ AV( ч τ,/μ , ,χδχ APt sdxx j c
——A (x) - Τμχ(χ )——Αρ(χ)-τ—dx
QXU V. > ) Q p \ J Q σ
(A-1S)
Приравняв результаты преобразований (A. 14) и (A. 15) друг другу, умножив обе части
получившегося равенства на матрицу δχμ/дх/и, обратную к матрице
δχ,μ/δχν, и сравнив результат с исходным правилом параллельного переноса (А. 13),
получаем следующий закон преобразования для коэффициентов связности:
Сл(*#)
дх^_дх^_дх^ ξ δχ,μ д2хр
дх,и дх/λ дх$ ρσ дхр δχ'νδχ'^
(А-16)
Видно, что второй член в правой части равенства (А.16) приводит к тому, что коэффи¬
циенты связности не преобразуются как компоненты тензора относительно нелинейных
замен координат.
Для определения ковариантной производной векторного поля перенесём вектор
Αμ(χ) в точку х = х + dx, вычтем получившийся вектор из значения векторного поля
в точке х и запишем
Αμ{χ) - Αμ(χ) = ν„Αμ ■ dxv.
Пользуясь правилом параллельного переноса (А.13), приходим к следующему опреде¬
лению ковариантной производной векторного поля Αμ{χ)\
ν„Αμ(χ) = δ„Αμ{χ) + Γ^Αλ(χ). (А.17)
Из закона преобразования коэффициентов связности (А. 16) следует, что яв¬
ляется тензором второго ранга с одним ковариантным и с одним контравариантным
индексом.
Правило параллельного переноса ковариантного вектора Βμ вытекает из того фак¬
та, что свёртка ΑμΒμ является скаляром, т. е. переносится тривиальным образом:
(ΑμΒμ)(χ) = (ΑμΒμ)(χ).
(А.18)
Из соотношения (А. 18) и правила параллельного переноса контравариантного вектора
(А.13) вытекает следующий закон параллельного переноса ковариантного вектора Βμ:
Βμ(χ) = Βμ(χ) + ΓμχΒν(χ) dxx. (A.19)
Следовательно, ковариантная производная ννΒμ ковариантного векторного поля имеет
вид
ν^βμ(χ) = δνΒμ(χ) - Γμ„Βχ(χ). (А.20)
Теперь, когда мы определили ковариантную производную скаляра и векторов обо¬
их типов, не представляет труда обобщить эти определения на случай тензоров произ¬
вольного ранга с помощью правила Лейбница:
νμ(ΑΒ) = (νμΑ)Β + ΑνμΒ,
где А и В — два произвольных тензора (индексы при них не выписаны явно). К примеру,
ковариантная производная тензора третьего ранга с одним верхним и двумя нижними
индексами равна
= βμειτ + г^в'г - г;„в;г - г;„в;„.
488
Приложение А. Элементы общей теории относительности
В принципе, можно рассматривать многообразия с произвольным набором коэф¬
фициентов связности, преобразующихся по закону (А.16). Однако в ОТО, которая осно¬
вана на (псевдо)римановой геометрии6, накладывают дополнительные условия на ком¬
поненты связности Γ£λ. Первое из этих условий заключается в том. что операция парал¬
лельного переноса (или, что эквивалентно, операция ковариантного дифференцирова¬
ния) коммутирует с операцией поднятия и опускания индексов. В частности, требуется
выполнение равенства
9^4 χΑν = Va (9μνΑν)
для произвольного вектора А?. Из правила Лейбница следует, что такое возможно,
только если метрический тензор ςμυ ковариантно постоянен,
а = 0. (А.21)
Более явно это условие выглядит следующим образом:
д^их — ГΊμ9ρΧ “I- Г\μ9νρ·
Связности, для которых выполнено условие (А.21), называются связностями, совмест¬
ными с метрикой (метрическими связностями). Вторым условием, накладываемым на
коэффициенты связности, является требование обращения в нуль антисимметричной
по нижним индексам комбинации компонент связности
С£„ = Г£„ - Γ*μ = 0. (А.22)
Из закона преобразования связности (А. 16) следует, что является тензором («тензо¬
ром кручения»), следовательно, справедливость соотношения (А.22) не зависит от вы¬
бора системы координат. Коэффициенты связности, удовлетворяющие условиям (А.21)
и (А.22), носят название символов Кристоффеля.
о Задача 3. Найдите число независимых компонент метрической связности без кру¬
чения для пространства размерности D = 2, 3,4.
> Задача 4. Рассмотрим двумерную поверхность Σ, вложенную в трёхмерное ев¬
клидово пространство Я3. Из пространства Я3 на Σ индущируется метрика: ес¬
ли у1 (г = 1,2)— координаты на поверхности Σ, то квадрат расстояния между
близкими точками, принадлежащими Σ, можно записать в виде
ds2 = gij dyl dy3,
где метрика (у) однозначно определяется требованием, чтобы ds2 было квад¬
ратом расстояния в Я3. Для каждой точки поверхности Σ можно определить ка¬
сательную плоскость; контравариантные векторы, о которых шла речь выше —
это векторы, принадлежащие касательной плоскости. Их компоненты А1 (у) в вы¬
бранной системе координат на Σ можно, например, определить соотношением
длф(у) = А\у)^г,
6Псевдориманова геометрия отличается от римановой сигнатурой метрики, которая для ри-
мановой геометрии евклидова. Мы будем часто не обращать внимания на эту терминологиче¬
скую тонкость.
А.2. Ковариантная производная
489
где ф(у) — функция на поверхности у, а дАф — её производная в направлении,
задаваемом вектором А. Параллельный перенос касательного вектора вдоль по¬
верхности Σ осуществляется следующим образом (см. рис. А.2): сначала пере¬
носим вектор А из точки у в точку у как вектор в R3 (получая вектор А\\
на рис. А.2), а затем берём его проекцию на касательную плоскость в точке у.
Пусть поверхность Σ (локально) задана уравнениями
= /“(»*■ W2). а = 1,2,3,
где ха — координаты в R3.
1) Вычислить компоненты метрики gij(y).
2) Вычислить символы Кристоффеля (у) на поверхности Σ, соответствую¬
щие определённой выше операции параллельного переноса вектора.
3) Показать, что выполняются свойства (А.21) и (А.22), т. е. геометрия на по¬
верхности Σ является римановой.
4) Предложить обобщение операции параллельного переноса вектора, такое
что тензор кручения (А.22) отличен от нуля. Продемонстрировать это свой¬
ство явным вычислением компонент связности. Выполняется ли в этом слу¬
чае соотношение (А.21)?
Уравнения (А.21) и (А.22) позволяют однозначно выразить символы Кристоффеля
через компоненты метрического тензора.
Кх = ^(а,дРх + ЭхдрР - dpgPx). (А.23)
В дальнейшем мы всегда будем предполагать справедливость равенства (А.23).
о Задача 5.
Выведите формулу (А.23) из соотношений (А.21) и (А.22).
> Задача 6. Докажите следующие часто используемые свойства
Кристоффеля и ковариантной производной:
символов
Κμ = dv In
(A.24)
д<‘“Гхрр = --±=др(Д^дх“),
(A.25)
VPA“ = -l=d„(y=5 A“),
(A.26)
490
Приложение А. Элементы общей теории относительности
для антисимметричного тензора Αμν:
VH"" = Λ"”),
(Α.27)
для скаляра ф:
где
νμνμό = ~^=θμ(^ 9μι/0„φ),
(Α.28)
νμώ = 9μννυφ.
Из свойства (А.26) следует обобщение формулы Гаусса для интегралов от выраже¬
ний. имеющих вид полной ковариантной дивергенции:
J {VUA1') y/^gd4x = J du(\/ZIgA1') d*x = J л/^дА1'
где — элемент поверхности, ограничивающей область интегрирования. Совместно
с правилом Лейбница для ковариантных производных эта формула позволяет произво¬
дить интегрирование по частям в инвариантных интегралах.
К примеру,
^ Αμ4νΒμι'\/~^д dAx = — j(VνΑμ)Βμνy/—g d4x + поверхностные
В заключение этого раздела отметим следующий факт. Выбрав подходящую систе¬
му координат, можно локально, в заданной точке, обнулить все символы Кристоффе-
ля; это полностью соответствует принципу эквивалентности, поскольку позволяет ло¬
кально исключить гравитационное поле'. В этой системе координат все ковариантные
производные совпадают с обычными, а все первые производные метрического тензора
обращаются в нуль (в силу (А.21)).
Переход в такую систему для заданной точки, которую мы поместим в начало
координат, осуществляет преобразование:
ц /и
Г —► X И =
^ + £rj;A(o)*v
(А.29)
где Γ£λ(0) — значения символов Кристоффеля в нуле в координатах х. Воспользо¬
вавшись соотношением (А.16), несложно убедиться, что в новой системе все символы
Кристоффеля действительно обнуляются в начале координат. Отметим, что ключевую
роль здесь играет симметричность символа Кристоффеля по нижним индексам, фор¬
мула (А. 22).
Поскольку само преобразование (А.29) в начале координат является тождествен¬
ным, то дополнительно к обращению в нуль символов Кристоффеля можно произво¬
дить преобразования и с самим метрическим тензором. Этим обстоятельством можно
воспользоваться, чтобы свести метрический тензор в начале координат к тензору Мин¬
ковского. Для этого достаточно выбрать
= Лх
где Л не зависит от координат. В матричных обозначениях будем иметь соотношение
(А.9). Ортогональным преобразованием матрицу 9μυ можно привести к диагональному
' Вообще говоря, справедливо и более сильное утверждение: можно занулить все символы
Кристоффеля вдоль любой наперёд заданной мировой линии.
А.З. Тензор кривизны
491
виду, а затем свести к тензору Минковского растяжением координат. Получившаяся
в результате система координат, где
Ρμι/(0) — Τ]μ u, Г(Д(0) — О,
носит название локально лоренцевой системы.
А.З Тензор кривизны
Как видно из формулы (А.23), символы Кристоффеля отличны от нуля, если мет¬
рика нетривиальным образом зависит от координат χμ. Следует понимать, что отличие
от нуля ещё не говорит об отличие пространства от плоского. Поскольку величины
Гхи не образуют тензора, они могут быть тождественно равны нулю в одной системе
координат и отличаться от нуля в другой системе координат.
> Задача 7. Найдите символы Кристоффеля в полярной системе координат на дву¬
мерной плоскости и в сферических координатах в трёхмерном евклидовом про¬
странстве.
Величиной, которая действительно характеризует геометрию пространства, а не вы¬
бор системы координат, является тензор кривизны (тензор Римана) R„xp· Тензор кри¬
визны определяет то, как коммутатор ковариантных производных действует на тензо¬
ры. Например, для произвольного контравариантного вектора Ах имеем
νμν„Αλ - ν„νμΑλ = A°R\pv. (А.ЗО)
> Задача 8. Проверьте, что равенство (А.ЗО) действительно определяет тензор R^xp-
В частности, проверьте, что все члены с производными Ах, которые могли бы
возникнуть в левой части равенства, действительно сокращаются.
Явное выражение для тензора кривизны имеет следующий вид:
Кхв = ВхТ% - двг?х + - Γί,ΓΖν (А.31)
Для того чтобы лучше понять геометрический смысл тензора Римана, рассмотрим па¬
раллельный перенос вектора Ах из точки х с координатами χμ в точку х с координатами
χμ = χμ + άχ)μ + άζμ,
где направления векторов άρμ и άζμ не совпадают (см. рис. А.З).
Этот параллельный перенос можно произвести различными способами. Например,
можно сначала перенести вектор Ах вдоль пути 1 в точку у с координатами
χμν)=χμ + άνμ,
а потом вдоль пути 2 в точку х. Можно сделать наоборот, а именно, осуществить сначала
параллельный перенос вектора Ах вдоль пути 3 в точку ζ с координатами
χμΣ^ = χμ + άζμ,
а потом вдоль пути 4 в точку х. Конечно, в плоском пространстве результат параллель¬
ного переноса не будет зависеть от выбора пути. В случае искривлённого пространства
492
Приложение А. Элементы общей теории относительности
это уже. вообще говоря, неверно. Пользуясь правилом параллельного переноса (А. 13),
можно непосредственно убедиться, что результат переноса не зависит от пути в линей¬
ном порядке по приращениям координат. Однако в квадратичном порядке мы получим
,4λ(12) - Ла(34) = ΑσΡί\μ„ άζμ dy1', (A.32)
где .4λ(12) и ЛΛ(34) — образы вектора .4λ при параллельных переносах вдоль путей
(12) и (34) соответственно.
> Задача 9. Получите равенство (А.32). В частности, убедитесь, что члены второго
порядка малости по άχμ, опущенные в правиле параллельного переноса (А. 13),
не дают вклада в разность (.4λ(12) — Αλ(34)) в квадратичном порядке малости.
Таким образом, тензор ΡμυΧρ определяет зависимость параллельного переноса от пу¬
ти, вдоль которого он производится. Следовательно, тензор Римана действительно яв¬
ляется нетривиальной характеристикой кривизны пространства.
> Задача 10. Пользуясь символами Кристоффеля, найденными в задаче 7, про¬
верьте явным вычислением, что все компоненты тензора Римана равны нулю
в полярной системе координат на плоскости и в сферических координатах в трёх¬
мерном евклидовом пространстве.
Все рассуждения, приведённые выше, можно с минимальными изменениями пе¬
ренести на случай ковариантного вектора Αμ. Аналог формулы (А.30) имеет в этом
случае следующий вид:
νμ V„Aa — νμ.4λ = —ΑσΒ.σχμι/. (A.33)
Действие коммутатора ковариантных производных
[νμ,ν,] = νμν„ - ν„νμ
на тензор произвольного ранга вытекает из того факта, что для оператора
[νμ, V,/] выполнено тождество Лейбница. К примеру,
[νμ. V„]A£ = ϋρσμυΑΐ - Κ\μνΑρσ. (A.34)
> Задача 11. Проверить выполнение тождества Лейбница для коммутатора [νμ, У„].
А.З. Тензор кривизны
493
Перечислим ряд важных свойств тензора Римана
1) Тензор
R μι/Хр = 9μσΡ I/Хр
антисимметричен по первой и по второй паре индексов.
2) Тензор Κμι/Хр симметричен относительно перестановки пар индек¬
сов (μν) «-*· {Хр).
3) Для любых трёх индексов сумма трёх компонент тензора Ρμι/χρ, соответствующих
циклической перестановке этих индексов, равна нулю. Например,
Rpt/Xp + Ρχμι/ρ + Ri/Χμρ = 0. (А.35)
4) Справедливо тождество Бьянки:
νρί?λσμ1/ + VvR\pp + VpR\up = 0- (А.36)
> Задача 12. Пользуясь явным выражением (А.31) для компонент тензора Римана.
докажите свойства (1), (2).
> Задача 13. Пользуясь свойствами (1), (2), (3), определите число независимых
компонент тензора Римана в каждой точке для размерности пространства D =
2,3,4.
Доказательства свойства (3) и свойства (4) (тождества Бьянки), использующие яв¬
ный вид (А.31) тензора Римана, были бы слишком громоздкими. Вместо этого удобно
непосредственно использовать определение (А.30). А именно, воспользуемся следую¬
щим равенством (тождеством Якоби), справедливым для произвольных операторов,
[Л, [В, С]] + [С, [Л, В]] + [в, [С, Л]] = 0.
> Задача 14. Докажите тождество Якоби.
Возьмём в качестве операторов А, В, С ковариантные производные и подействуем
тождеством Якоби сначала на произвольный скаляр ф,
[νρ, [νμ, V„]]© + [νμ, [V„, Vp]]p + [V„, [Vp, νμ]]ό = 0. (A.37)
Раскроем коммутаторы и запишем для первого слагаемого
[Vp, ί^μ; Vi/]]0 = Vp[Vμ , V[,]G> [Vμ , Vi/]Vp£> =
— —[νμ, ν„]νρ0 =
= 3σφί2 ρμμ·
и аналогично для других слагаемых. Здесь мы сначала воспользовались тем, что
[νμ, V„]g> - δμβνφ - Γμ„3λ0
симметрично по индексам μ. u, а затем использовали (А.33). Таким образом, из тожде¬
ства (А.37) получаем
(·β°ρμ ν + R°pi/p + Rσ^/pμ)9σΦ = 0,
откуда и следует (А.35) в силу произвольности даф.
494
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Подействуем теперь тождеством Якоби на произвольный вектор Ах и получим
[νΡ;[νμ,ν„];μλ+ [Vm,[V„,Vp]]Aa + [ν„,[νΡινμ]]Λλ = 0. (А.38)
Далее, раскрывая один из коммутаторов и пользуясь определением (А.30), имеем
[Vp, [νμ, ν.]]Αλ = νρ(ΗλσμΙ/Ασ) - [νμ, νμ](νρΑλ). (Α.39)
Раскрывая правую часть в (А.39) с помощью тождества Лейбница, запишем
[VP! [νμ, V,]] Αλ = νρβλσμ„Ασ + RxafluVpAa - Rxatl„VpA° + ϋσρμυνσΑχ =
= νρΚχσμυΑσ + ΒΤρμννσΑχ. (Α.40)
При подстановке выражения (Α.40) и аналогичных выражений для двух других двой¬
ных коммутаторов в тождество Якоби (А.38) получаем, пользуясь свойством (3) тензора
Римана, что
(νρ.Κλσμ1, + V i/Rxopfl + νμΛλσ„ρ)Ασ = 0
для произвольного вектора Ασ. Следовательно, тождество Бьянки действительно вы¬
полняется.
Сворачивая индексы тензора Римана R^xp друг с другом, можно построить но¬
вый тензор с меньшим числом индексов, характеризующий кривизну пространства.
Из свойств симметрии тензора Римана относительно перестановки индексов следует,
что при свёртке любых двух его индексов получается либо нуль, либо следующий сим¬
метричный тензор второго ранга
R
μυ
= R
х
μΧν ·,
называемый тензором Риччи. В дальнейшем нам часто будет нужен явный вид этого
тензора:
= 9λΓ- a„rt + Γ*λΓ£„ - (а.«)
Производя свёртку тензора Риччи по его двум индексам, мы получаем скаляр
кривизны
R = 9μ^μ„.
> Задача 15. Найдите компоненты метрики, символы Кристоффеля, компоненты
тензоров Римана и Риччи и скаляр кривизны на двумерной сфере S2.
> Задача 16. Покажите, что на произвольной двумерной поверхности величина <JgR
является полной производной и, следовательно, интеграл скаляра кривизны по ин¬
вариантному объёму
4π
(А.42)
не зависит от выбора метрики на поверхности (теорема Гаусса—Бонне). Таким
образом, в случае двумерного пространства данный интеграл является характе¬
ристикой топологии. Скаляр кривизны совпадает с удвоенной гауссовой кривиз¬
ной. Интеграл (А.42) даёт степень гауссова отображения и совпадает с эйлеро¬
вой характеристикой двумерной поверхности. Найдите значение этого интеграла
на сфере и на торе.
АЛ. Уравнения гравитационного поля
495
А.4 Уравнения гравитационного поля
Теперь в нашем распоряжении имеются все объекты, необходимые для построения
действия ОТО. В ОТО метрический тензор является динамическим полем («гравита¬
ционным полем»), а уравнения ОТО возникают как условия экстремума для функци¬
онала действия. Как мы уже упоминали, один из основных принципов ОТО состоит
в том, что все выборы системы локальных координат равноправны. Это означает, что
вид уравнений на гравитационное поле записанных через ковариантные величины,
не зависит от выбора локальных координат. Для выполнения этого условия необходи¬
мо, чтобы действие для гравитационного поля Sgr было скаляром, т. е. записывалось
в виде интеграла от скалярной плотности Лагранжа Сдг по инвариантному 4-объёму:
Sgr = / d х у/ дС,дг·
Простейшая возможность заключается в том, чтобы взять в качестве плотности Ла¬
гранжа постоянную величину (—А), не зависящую от метрики:
S\ =
(А.43)
Такой член действительно может входить в действие для гравитационного поля и иг¬
рать важную роль в космологии. Из безразмерности действия следует, что величина Λ
имеет размерность (масса)4. Эта величина носит название космологической постоянной
или, по причинам, которые объяснены в Главе 3, плотности энергии вакуума. Однако
действие (А.43) не может быть полным действием для гравитационного поля. Действи¬
тельно, S\ не содержит производных метрики gpU, а следовательно, при его вариации
получились бы чисто алгебраические уравнения, что не позволяло бы интерпретировать
gμ„ как настоящее динамическое поле.
Ещё одна скалярная величина, имеющаяся в нашем распоряжении, — это скаляр
кривизны R. а точнее, произвольная функция f(R). Чтобы понять, какой выбор функ¬
ции f(R) в качестве плотности Лагранжа наиболее естественен, вспомним, что обычно
используются уравнения поля, имеющие первый или второй порядок по производным.
Чтобы уравнения поля имели порядок по производным не выше второго, обычно тре¬
буют, чтобы плотность Лагранжа не содержала производных выше первого порядка.
Действительно, рассмотрим теорию поля с действием вида
S = J <?хС{ф,дф,д2ф,...). (А.44)
Здесь символ о обозначает все поля теории, и мы опустили возможные тензорные ин¬
дексы. Вариация действия (А.44). соответствующая малым изменениям полей ф,
ό
ф + δφ,
имеет вид
6 S
δφ 4-
дС
■θδΦ +
8L
-82δΦ+...
д(дф) ~ ' д(д2ф)
Предполагая, что вариации полей δφ обращаются в нуль на бесконечности, и интегрируя
по частям, мы приходим к уравнениям движения следующего вида:
ас дс 2 дс
дф д(дф) д(д2ф)
которые, вообще говоря, содержат производные полей выше второго порядка.
(А.45)
496
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Тензор Римана (А.31), а следовательно, и скаляр кривизны R содержат первые про¬
изводные от символов Кристоффеля Γμ„. Последние, в свою очередь, содержат первые
производные от метрического тензора gμV. Следовательно, если плотность Лагранжа
Сдг нетривиальным образом зависит от скаляра кривизны, то действие обязательно
содержит производные второго порядка. Исходя из рассуждения, приведённого выше,
можно было бы прийти к выводу, что невозможно написать ковариантное действие для
гравитационного поля, приводящее к уравнениям второго порядка по производным. За¬
метим, однако, что если в уравнении (А.45) плотность Лагранжа С зависит от вторых
производных полей только через члены вида
НФ)д2ф
и не содержит более старших производных, то уравнения движения не содержат стар¬
ших производных. На самом деле это означает, что проинтегрировав действие по частям
и отбросив поверхностные члены, можно прийти к плотности Лагранжа, зависящей
только от первых производных полей.
Нетрудно убедиться, что действие
Seh — - J d^Xy/^gR (A.46)
зависит от вторых производных именно таким ооразом.
> Задача 17. С помощью интегрирования по частям найдите действие, эквивалент¬
ное действию (А.46) и не содержащее вторых производных. Является ли плот¬
ность Лагранжа для этого действия скаляром? А само действие?
Это действие носит название действия Эйнштейна—Гильберта. Как мы убедим¬
ся в дальнейшем, константа G, имеющая размерность (масса)-2, равна ньютоновской
гравитационной постоянной. Масса, соответствующая G, — это масса Планка
Μρι = -4= SS 1.2 · ю19 ГэВ.
VG
(А.47)
Полное действие для гравитационного поля имеет вид суммы членов
(А.43) и (А.46),
Sgr = Sa + Seh· (А.48)
Для того чтобы получить уравнения гравитационного поля, необходимо вычислить ва¬
риацию действия SSgr при малом изменении метрики
9μν
9μν
δgμι/.
Начнём с первого, более простого члена S\. Чтобы проварьировать Sa, воспользуемся
следующей хорошо известной формулой из линейной алгебры:
det(M + <5М) = det (М) (1 + Тг(М-1Ш) + ο(δΜ)), (А.49)
где М — произвольная невырожденная матрица.
> Задача 18. Докажите формулу (А.49).
А.4. Уравнения гравитационного поля
497
Применяя соотношение (А.49) для определителя метрического тензора,
получаем
t>9 = 99μι/δςμν (А.50)
Пользуясь этим результатом, приходим к следующему выражению для вариации S\:
SSA = ~Af d4xS(V=g) = J (A.51)
Перейдём теперь к вычислению вариации действия Эйнштейна—Гильберта Seh■ Вари¬
ация Seh может быть записана в виде следующих трёх членов:
SSeh = SSi 4- <S£>2 + δ S3,
SSi =
1
j d4 x Rdy/^g,
16 ttG J
δ So =
1
f d4x у/^дбд*11'Rpu
I67rG J
δ S3 =
16ttG J
f dtxy/^gg^SR^.
(A.52)
Пользуясь соотношением (А.51), мы сразу же получаем явное выражение для 6Si:
№ = - J d4x RgTSg,,*. (A.53)
Для того чтобы вычислить заметим, что варьируя уравнение (А.8), являющееся
определением дри, мы получаем
9Ρχδ9μρ = -дрр5др\.
Свернув обе части этого равенства с матрицей дХи, получим
δ9μυ = -g^5gpXgXu. (А.54)
Следовательно,
552 = 16/ άΑχ^Γ9Κμ1'δ9^· (А.55)
Остаётся найти вариацию δ S3, которая на первый взгляд выглядит наиболее слож¬
ным образом. Для того чтобы вычислить <55з, заметим, что из правила преобразования
символов Кристоффеля (А. 16) следует, что вариация <5Γ^λ является тензором. Далее,
пользуясь формулой (А.31), получаем следующее выражение для вариации тензора Ри¬
мана:
= βλίτϊρ - θΡίΓ;Λ + δΓ»λπ, + - δτϊ,τΐ* - rvn*.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что справедлива формула
^A„ = VA(iTW-V,>(irW, (A.S6)
где ковариантные производные берутся относительно невозмущённой метрики. Из ра¬
венства (А.56) получаем следующее выражение для вариации тензора Риччи:
δϋμί/ = Уа(<5Г£„) - ν„(ίΓ£λ).
(А.57)
498
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Подставляя выражение (А.57) в (А.52), получаем
SSs = У d^x^g^lvxisr^) - V„(ir2i)] =
= - γ^ J <?x V=jУл (<Г - 9μΧδΤ°,), (A.58)
где во втором равенстве мы внесли тензор 9μν под знак ковариантной производной
и переименовали индексы суммирования и и λ во втором члене. Наконец, пользуясь
свойством (А.26). мы можем переписать <55з в виде интеграла от полной дивергенции
553 = J с14хдх{д^6ГΧμ„-9μΧδΤσμσ).
Следовательно, <55з не даёт вклада в уравнения поля. Собирая вместе вариации (А.53)
и (А.55), получаем для вариации действия Эйнштейна—Гильберта
SSeh = \td / Л'х ^ ~ 5г'“'д) δ9μ·'· (Α·59)
Отсюда и из (А.51) вытекают следующие уравнения для гравитационного поля (урав¬
нения Эйнштейна):
Rn» _ = 8TrGAg^. (А.60)
Видно, что уравнения Эйнштейна действительно квадратичны по производным.
Уравнения Эйнштейна иногда записывают в форме
G μι/ — 87rGA^jy,
где
— тензор Эйнштейна.
Gill/ i?ij
А.5 Конформно-связанные метрики
Для некоторых приложений полезно иметь соотношения между тензорами Риччи
и скалярами кривизны для метрик, конформно связанных между собой. Пусть имеются
две метрики 9μι, и 9ри, такие, что
9μν(χ) = е2*{х)др1,(х), (А.61)
где φ(χ) — некоторая функция координат — скаляр относительно общековариантных
преобразований. Задача состоит в том, чтобы выразить Rpu и R — тензор Риччи и ска¬
ляр кривизны, построенные по метрике 9μι/, — через ϋμν и R, построенные по метрике
9ри · Для её решения найдём сначала связь между символами Кристоффеля. Прямая
подстановка (А.61) в (А.23) даёт
Г£а = ГСл + δμθ,φ + δ^φ - 9„χ9μρδρφ.
В результате подстановки этого выражения в (А.41) и прямолинейного (хотя и довольно
длинного) вычисления получим
RPu = Κμι/ - 2VpVwp - 9μ„9Χρ'4\¥ρφ -I- 2δμφδνφ - 29μν9Χρδ\ψδρφ,
(A.62)
А.5. Конформно-связанные метрики
499
где ковариантная производная берётся в метрике ρμι/. Отсюда для скаляра кривизны
R = §μι/ Αμν будем иметь
R = e~2tp (R - 69μννμννφ - %9μνδμψδνφ), (А.63)
а тензор Эйнштейна получим в виде
0μν = ΐίμν - ]^9μνΐΐ = Θμν - 2Vνφ + 2δμφθνφ + <?Mi/(2VaVAv? + θχφθλφ), (Α.64)
причём в правой части подъём и опускание индексов ведётся с метрикой <7μι,. Наконец,
для интеграла, входящего в действие гравитационного поля, связь имеет вид
4х = J e2*R^d4x + 6- J ε2φд*1”δμψθνψχ/—д d4x.
Последнее соотношение получается с использованием (А.63) путём интегрирования по ча¬
стям.
В качестве примера применения полученных формул приведём доказательство то¬
го, что «нелинейные гравитационные теории» с действиями вида
S = ~ J d4х \i~9 /(Я), (А.65)
где /(Я) — произвольная функция скаляра кривизны Я, динамически эквивалентны
обычной гравитации (т. е. общей теории относительности, описываемой лагранжианом
Эйнштейна—Гильберта) с самодействующим скалярным полем8.
Чтобы убедиться в этом, вначале найдём уравнения поля, обращающие
в нуль вариацию действия (А.65). Запишем эту вариацию снова в виде суммы трёх
слагаемых
SS = 5Si + SS2 + 55з:
SSi=~ J d4xf{R)S
SS2 = - J d4xy/^Sg^f'(R)Rfl„,
SSs = -J d4x^gtluf\R)SR^,
где
m
df(R)
dR '
Вариации SS 1 и SS2 являются простыми обобщениями аналогичных выражений для
лагранжиана Эйнштейна—Гильберта (см. (А.53) и (А.55)):
= ~\f d4xy/^f(R)g^S9(1„, (А.66)
SS2 = J d4x^jf(R)R,1,'Sg(lt,. (А.67)
8Из соображений удобства при записи действия (А.65) и до конца этого раздела мы будем
работать в системе единиц 16ttG = 1.
500
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Для вычисления δ S3 воспользуемся выражением (А.57), в которое подставим вариацию
символа Кристоффеля
STμι/ = — д Р μδ(}ι>р "Ь ^ρδ9μμ) ·
В результате этой подстановки получим из (А.57):
δΙΙμν = — V*V*(Si7Mi/ + νλνμ05λι> + νλνΐ/(5ρλμ — Vi/Vμδgχ^ . (А.68)
Тогда для вариации δ S3 имеем:
SS3 = - J άίχ^δ9μν{νμ4υ -gtlvVxVx)f{R)., (А.69)
где мы дважды проинтегрировали по частям. В случае лагранжиана Эйнштейна-
Гильберта выполняется /' = 1, поэтому выражение (А.69) зануляется и не даёт вклада
в уравнения движения.
Окончательно, приравнивая нулю вариацию 55, получаем уравнения движения
для теории с действием (А.65):
\f(R)g»» - f'(R)Rp. + (νμν„ - 5μ,νλνx)f'(R) = 0. (A.70)
Отметим, что полученные уравнения являются уравнениями четвёртого порядка.
Удобно ввести новые переменные 9μί/, сделав конформное преобразование
9μν = Ф~1др», Ф = /'(Я). (А.71)
Мы будем полагать, что ф > 0. тогда новая метрика §μν будет иметь ту же сигнатуру,
что и метрика 9μν. Связь между тензорами Риччи и скалярами кривизны для этих двух
метрик даётся формулами (А.62) и (А.63) с φ = — ^ \пф. Имеем, таким образом,
Rpu = R-μν + ·ψ_1 Vμ Vυφ + ~^~Γ9μν^^ Ψ ~
ΔΊΙ)
- —pj (ν,/ψνμιί> + 29μί,νχφνλφ). (Α.72)
R = фк + 3νμνμφ - ^_1Ψλ^νλώ, (Α.73)
где все символы с тильдой относятся к соответствующим величинам, вычисленным для
метрики 9μν.
Пусть Ro(M)) — решение уравнения
f'(Ro{rt)) - ф = 0
(дальнейшее рассмотрение обобщается и на случай нескольких решений), т.е. Ro —
функция, обратная к /'. Тогда из (А.71) следует, что
R = R0^). (А.74)
В новых переменных уравнение (А.70) примет вид
= V
Rpv ^ Rgpu —
1 3 _ _ 3
- (/(i?o(li’)) - ΦΐΙθ(Φ))9μν + ^μφ^νφ -
(A.75)
А.6. Взаимодействие материи с гравитационным полем
501
Необходимо ещё учесть уравнение (А.74). Левая часть этого уравнения даётся формулой
(А.73), a R найдём, свернув (А.75) с §μι/. Таким образом, получим уравнение
фУ\Чхф — Va φνχφ + ^ (фЯо(ф) — 2/(Яо(ф))) = 0. (А.76)
Итак, вместо системы уравнений четвёртого порядка (А.70) в новых переменных
и ф получаем расширенную систему уравнений второго порядка (А.75), (А.76). Эта си¬
стема совпадает с уравнениями обычной гравитации, взаимодействующей со скалярным
полем ф.
Можно построить действие, варьирование которого по §μ„ и по ф приводит к урав¬
нениям (А.75) и (А.76) соответственно:
= - J d*x \/—§ R + J d4
/—.z(3 §μι/\/μφννφ Ио{ф) _ 7(До(^))\
ф2 ф ф2 )
Х^~9\2
(А.77)
> Задача 19. Получить уравнения (А.75) и (А.76) варьированием действия (А.77).
В действии (А.77) кинетический член скалярного поля можно привести к канони¬
ческому виду заменой ф = . Окончательно получаем действие
= -fd*xV=
g\R- 9μ νμ<ρν„ό - e
s_p-\/2
Ro(e^2/3q) +
+ е-2^573«/[До(е^37зФ)]},
(A.78)
описывающее самодействующее скалярное поле ф в рамках обычной гравитации
Эйнштейна—Гильберта. Выполненные преобразования показали, что эта теория дина¬
мически эквивалентна теории «нелинейной» гравитации с действием (А.65).
> Задача 20. При каких условия на функции ω(φ) и V(ip) скалярно-тензорная тео¬
рия гравитации, описываемая действием
S = f d4xy/=g(^ - R+ ^ω(ψ)δμφδι'φ - V(v?)^
(здесь φ — скалярное поле), эквивалентна f{R)-гравитации?
Отметим, что в результате конформного преобразования поля материи начина¬
ют взаимодействовать с полем дилатона ф. В результате, например, для однородного
решения ф = ©(f) «космологические часы» (время, входящее в метрику Фридмана) от¬
личаются от «атомных часов» (времени, определяющего эволюцию и взаимодействие
полей материи). В этом смысле в присутствии полей материи /(А)-гравитация не эк¬
вивалентна ОТО со скалярным полем.
А.6 Взаимодействие материи
с гравитационным полем.
Тензор энергии-импульса
Уравнения (А.60) описывают динамику гравитационного поля без полей материи.
Однако в первую очередь представляет интерес изучение гравитации в присутствии по¬
лей материи, служащих источниками гравитационного поля. Для того чтобы описать
502
Приложение А. Элементы общей теории относительности
такую более общую ситуацию, необходимо добавить к действию (А.48) новое слагаемое
Sm = J d4х у/^дCm, (А.79)
описывающее материю и её взаимодействие с гравитационным полем. Здесь плотность
лагранжиана Cm является скалярной функцией гравитационного поля gμL, и полей
материи, которые мы не конкретизируем и условно обозначим символом ip:
Cm = Cmi^P· 9μι/')·
При добавлении члена (А.79) в действие теории уравнения Эйнштейна (А.60) модифи¬
цируются следующим образом:
ΪΙμν — — 8ttG(Apm„ + Τμν ), (A.80)
где мы перешли к тензорам с нижними индексами. Здесь симметричный тензор Τμι/
определяется следующим равенством:
5Sm = \j ά4χ^Τμνδβμι/. (А.81)
Последнее равенство можно переписать с учётом (А.54):
SSm = ~\! άΛχ^9Τ'11'δ9μ-
Уравнение (А.80) (с верхними индексами) получается теперь с использо¬
ванием (А.59).
Чтобы понять физический смысл тензора Τμι/, вычислим его для двух простых
теорий — теории скалярного поля и теории электромагнитного поля. Ковариантное
действие, описывающее действительное скалярное поле, взаимодействующее с гравита¬
цией, имеет следующий вид:
Ssc = J d4xy/^^g^dll<pdvp-V(<p)SJ, (А.82)
где скалярный потенциал У(ф) может быть произвольной функцией поля ф. Вообще
говоря, к действию (А.82) можно добавить следующий член, обращающийся в нуль
в плоском пространстве:
Ξξ = ξ J d4Xy/^RU{0), (А.83)
где и(ф) — произвольная функция. Мы ограничимся случаем ζ = 0. В этом случае
взаимодействие скалярного поля с гравитацией называется минимальным.
Используя определение (А.81), получаем следующее выражение для тензора Τμυ
скалярного поля:
ΤμΙ = Θμφθνφ - ди„С£С, (А.84)
где Csc — лагранжиан скалярного поля.
> Задача 21. Найти тензор Τμν для свободного безмассового скалярного поля, неми¬
нимальным образом взаимодействующего с гравитацией, ξ ф 0, выбрав
U(o) = ф2,
причём У(ф) = 0. При каком значении параметра ξ след gμt'Tμi, этого тензора
равен нулю на уравнениях движения?
А.6. Взаимодействие материи с гравитационным полем
503
Найдём теперь явный вид тензора Τμι/ для электромагнитного поля. Действие для
векторного поля Αμ, взаимодействующего с гравитацией, имеет вид
Sem = -^J d4x yf=~gF^F^g^g1"*, (A.85)
где Fμυ — обычный тензор напряжённости,
Ρμν = δμΑν - Θ„Αμ. (А.86)
На первый взгляд, в искривлённом пространстве необходимо заменить обычные произ¬
водные в определении (А.86) ковариантными производными, чтобы Ρμι, был тензором.
Однако легко проверить, что для симметричной связности члены с символами Кри-
стоффеля сокращаются при антисимметризации по μ и и, поэтому
VμАI/ - Vt/Αμ = 3μΑυ - δνΑμ.
Пользуясь действием (А.85), получаем следующее выражение для тензора Τμ„ электро¬
магнитного поля:
ΤμΤ = -ΡμχΡνρ9Χρ + ^9tlvFXpFXf>. (А.87)
Заметим теперь, что в случае пространства Минковского,
9μν — Ήμνι
и для скалярного, и для электромагнитного полей тензор Τμι> совпадает с тензором
энергиии-импульса. Для скалярного поля Τμ£ в точности равен нётеровскому тензору
энергии-импульса, а для электромагнитного поля отличается на уравнениях дви¬
жения от нётеровского на полную дивергенцию от антисимметричного тензора.
t> Задача 22. Проверьте эти утверждения.
В частности, в пространстве Минковского (ОО)-компоненты этих тензоров
Tooc = i(ao«)2 + i(a6)2 + v(0)
ТоТ = ifi2 + jFg = i(E2 + Я2)
представляют собой плотности энергии скалярного и электромагнитного полей.
Вообще, тензор Τμι/, определённый равенством (А.81). называется метрическим
тензором энергии-импульса. Подчеркнём, что он всегда симметричен. Ниже мы дока¬
жем, что в пространстве Минковского он всегда на уравнениях движения равен нёте¬
ровскому тензору энергии-импульса с точностью до полной дивергенции от антисим¬
метричного тензора.
В плоском мире тензор энергии-импульса сохраняется,
ΘμΤμν = 0, (А.88)
что приводит к законам сохранения энергии и импульса. Естественно предположить,
что обобщением закона сохранения (А.88) на случай искривлённого пространства яв¬
ляется ковариантный закон сохранения
νμτμ,/ = 0.
(А.89)
504
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Для того чтобы вывести уравнение (А.89), возьмём дивергенцию от обеих частей урав¬
нений Эйнштейна (А.80),
νμ (r^ - = 87τσ\/μΤμν, (А.90)
где
Vм = 9μννν.
Докажем, что левая часть уравнения (А.90) тождественно равна нулю. Для этого
сначала свернём тождество Бьянки (А.36) по индексам λ и μ. В результате мы получим
следующее тождество:
Vp Ren/ Vi/Дсгр + V\Rgvp = 0.
Свернём теперь это равенство с помощью тензора дар. Получим
0 = VpRt - VuR + VxRXv = 2νμ ^Κμι/ - |5|Х„Я
Таким образом, мы получили тождество
у^д^-^д) =0,
из которого следует, что ковариантный закон сохранения тензора энергии-импульса (А.89)
является необходимым условием совместности уравнений Эйнштейна.
С другой стороны, тензор энергии-импульса целиком определяется видом действия
для полей материи. Следовательно, для проверки совместности всей системы полевых
уравнений необходимо получить ковариантный закон сохранения (А.89) как следствие
уравнений поля для материи.
Мы сейчас убедимся, что закон сохранения (А.89) действительно следует из урав¬
нений поля для материи и из инвариантности действия относительно замены локальных
координат. Для этого найдём сначала вариацию метрики дри при малом изменении си¬
стемы координат
χμ = χμ+ξμ. (А.91)
Подставляя выражение (А.91) в общее правило (А.7) для преобразования тензора дри,
получаем
s"“V) = {К+{s;+a„r)sv(*) = «г (*)+s'e+э*г, (α,μ)
где во втором равенстве мы отбросили члены второго порядка по вариациям коорди¬
нат ξμ. Разлагая левую часть равенства (А.92) в ряд,
9''"V) = 9"“Ч*) + + ο(ξ) = 9"“» + &<Г (*)ίλ + о(0,
мы получаем следующую связь между значениями дри(х) и д'р1/{х) в точках с одними
и теми же значениями координат в старой и новой системе:
д'-^х) = 9““(χ) - Эхд“"(х)(х + ST + 34". (А.93)
> Задача 23. Проверьте явным вычислением, что соотношение (А.93) может быть
записано в следующем ковариантном виде:
g,μν =9μυ +
(A.94)
А.6. Взаимодействие материи с гравитационным полем
505
Из инвариантности действия полей материи относительно замен координат следу¬
ет, что вариация этого действия равна нулю при изменении метрики <7μι/(τ) согласно
формуле (А.94) и одновременно с этим изменении полей материи δφξ, соответствующих
замене координат (А.91). Например, для скалярного поля
δφξ = ~ξμ9μφ.
Итак, в общем случае имеем
| J d4x y/^g Τμι/ ('νμΓ + ν"ξμ) + Jd4x ^9 ^δΦξ = 0, (Α.95)
где для простоты мы опустили всевозможные индексы у полей материи ф. Равенство
(А.95) справедливо вне зависимости от выполнения уравнений поля. Предположим те¬
перь дополнительно, что удовлетворяются уравнения поля для материи. Это означает,
что второй член в левой части равенства (А.95) обращается в нуль. Следовательно, мы
доказали, что из уравнений поля для материи вытекает справедливость равенства
J d4x ν=9Τμ» (νμξ" + ν"ξμ) = 0.
Поскольку вектор ξμ может быть произвольным, а Τμν симметричен, после интегриро¬
вания по частям мы приходим к ковариантному закону сохранения (А.89), что и тре¬
бовалось.
Воспользуемся теперь равенством (А.95), для того чтобы доказать, что
в плоском пространстве метрический тензор энергии-импульса Τμν совпадает на урав¬
нениях движения с нётеровским тензором τμ„ с точностью до полной производной.
В плоском пространстве равенство (А.95) принимает вид
J ά4χΤμν9μξν + J d4x ^-δΦξ = 0
где мы вновь воспользовались симметрией тензора Τμν. В пространстве Минковско¬
го действие инвариантно относительно вариаций полей материи δφξ, соответствующих
сдвигам (А.91) с постоянными функциями ξμ. Следовательно, второй член в уравнении
(А.96) может быть записан в виде
J d4x ^ητ^-δφξ = - J ά4χτμ„δμξ1',
где τμι> на уравнениях движения совпадает с сохраняющимся нётеровским тензором
энерги и- и мпульса.
> Задача 24. Модифицировав вывод теоремы Нётер, убедиться в справедливости
соотношения (А.97), в котором τμν на уравнениях движения равен нётеровскому
тензору энергии-импульса.
Интегрируя по частям соотношение (А.96), мы видим, что выполнено равенство
δμ(Τμν — Τμν) = 0
Это может быть, только если разность (Τμν — τμ„) является полной дивергенцией анти¬
симметричного тензора,
Τμν Τμν = 9 ΑμνΧ, ГДв Αμν\ = Α\μμ·
(А.97)
(А.96)
(А.98)
506
Приложение А. Элементы общей теории относительности
что мы и хотели доказать. Полная производная вида (А.98) не даёт вклада в 4-вектор
энергии-импульса
Pv = J d3x Т°".
Действительно, в силу антисимметричности Αμνχ этот вклад имел бы следующий вид:
J d3x diA°%.
Такой интеграл равен нулю для полей, убывающих на пространственной бесконечно¬
сти. Итак, метрический и нётеровский тензоры энергии-импульса эквивалентны в том
смысле, что они приводят к одинаковым значениям энергии и импульса.
> Задача 25. Рассмотрим тензор вида
Θμι, = (ημνΘ2 - δμδν)/,
где j — произвольная функция. Очевидно, что этот тензор тождественно сохра¬
няется. Найдите его представление в виде θμν = θχΑμι>χ, где Αμνχ = —Αχυμ.
> Задача 26. Проверьте явно, что метрический тензор энергии-импульса для ска¬
лярного поля, неминимально взаимодействующего с гравитацией (см. выражения
(А.82) и (А.83)), отличается в плоском мире от нётеровского тензора энергии-
импульса на полную производную для произвольных и(ф) и ξ.
В заключение нашего обсуждения тензора энергии-импульса в ОТО стоит сде¬
лать следующее замечание. В плоском мире из дифференциального закона сохранения
(А.88) следует наличие в теории четырёх сохраняющихся с течением времени величин —
компонент 4-вектора энергии-импульса
Ρν = J d3xT0v.
Однако в искривлённом пространстве из равенства (А.89) вообще говоря не следует
существования четырёх интегралов движения, соответствующих энергии и импульсу
системы. В связи с этим понятия энергии и импульса, вообще говоря, не определены
в ОТО. Для локализованных в пространстве гравитирующих систем можно определить
энергию и импульс по асимптотике гравитационного поля вдали от системы, но в общем
случае такая конструкция невозможна. В частности, говорить о полной массе Вселенной
не имеет смысла.
А.7 Движение частиц в гравитационном поле
Отвлечёмся теперь на некоторое время от обсуждения свойств уравнений Эйн¬
штейна и изучим движение точечных частиц во внешнем гравитационном поле. Дей¬
ствие для точечной частицы в ОТО имеет такой же вид, как и в специальной теории
относительности:
Sp = —rri J ds. (А.99)
Разница состоит в том, что теперь определение интервала ds вдоль мировой линии
частицы включает в себя метрику пространства-времени:
ds = \Jάχμ άχυςμν (χ)
dx>* dxv
dr dr
9μν (®) άτi
А. 7. Движение частиц в гравитационном поле
507
где во втором равенстве мы ввели произвольный параметр т вдоль мировой линии.
С помощью этого параметра действие (А.99) можно записать в следующей форме:
Sp = —m J y/x*xxugpu {x) dr,
(A. 100)
где точка обозначает дифференцирование по параметру т. Уравнения движения, полу¬
чающиеся при вариации действия (А. 100), имеют следующий вид:
d ( Qpt/X ^ ^ 1 X ί 9μ§ι/\ Q
dr \ у/±а±а ) 2 y/±aXa
> Задача 27. Выведите уравнения (А.101).
(А.101)
Пользуясь произволом в выборе параметра т, можно выбрать его таким образом,
чтобы вектор 4-скорости
άχμ
νμ = Ц- (А.102)
dr
имел единичную длину в каждой точке мировой линии,
U. V 1
QlivWU = 1.
(А.103)
Такой выбор соответствует тому, что в качестве параметра вдоль мировой линии берётся
собственное время частицы, поскольку равенство (А. 103) эквивалентно равенству
ds = dr.
При таком выборе параметризации мировой линии уравнение движения (А. 101) прини¬
мает вид
-■j-{gpvu') + \dpgu\uxu' = 0. (А.104)
as λ
Раскрывая первый член в уравнении (А.104) по правилу Лейбница и сворачивая полу¬
чившееся равенство с тензором дрр, получаем
dup
ds 9 \ ds 2
Из определения 4-скорости следует, что
(А.105)
dg^
ds
— 9\gpt/U .
Подставляя это выражение в уравнение (А. 105) и пользуясь выражением (А.23) для
символов Кристоффеля, окончательно приходим к следующей записи уравнения дви¬
жения
du“ “ А - (А.106)
ЧГ + Γ>“«λ = ο.
Умножая это уравнение на малое приращение собственного времени ds и вспоминая,
что вдоль мировой линии частицы выполнено равенство
dxx = ux ds,
можно переписать уравнение (А.106) в форме
duv + Πλπμ dxx = 0.
508
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Вспоминая правило переноса контравариантных векторов (А. 13), мы видим, что гео¬
метрический смысл уравнения (А. 106) состоит в том, что при параллельном переносе
вдоль мировой линии нормированные касательные векторы ιιμ(χ(τ)) переходят друг
в друга. Кривые, для которых выполнено такое свойство, являются геодезическими
(кратчайшими), а уравнение (А. 106) — уравнением геодезической.
Действие (А.99) не имеет смысла для безмассовых частиц, тп = 0. Для нахождения
траекторий движения таких частиц в искривлённом пространстве-времени (например,
лучей света) можно непосредственно воспользоваться уравнением геодезической
^ + Γ£λΛλ = 0, (А.107)
где т — теперь уже произвольный параметр вдоль траектории, который, вообще го¬
воря, сам определяется из этих уравнений, а 4-скорость ιιμ по-прежнему определяется
соотношением (А. 102). Условие безмассовости состоит в том, что геодезическая должна
быть светоподобной, т. е. вдоль неё должно выполнятся условие
ds2 = 0,
или, в дифференциальной форме,
• Ц · V Ц 1/ Л
§μνΧ X = gμ^,UИU = 0.
(А.108)
> Задача 28. Показать, что уравнение (А.107) совместно с требованием (А.108).
> Задача 29. Проверьте, что как уравнение движения массивной точечной части¬
цы, так и уравнение светоподобной геодезической можно получить из следующе¬
го действия:
Sn = J άτ[η~ιχμχι'9μν{χ) + ψη2], (А.109)
где η(τ) — новая вспомогательная «динамическая» переменная, преобразующа¬
яся при изменении параметризации траектории по закону
V(r'(r)) = η{τ)
дт'(т)
дт
-1
Отметим, что η2 (т) можно воспринимать как внутреннюю метрику мировой ли¬
нии, тогда действие (А. 109) выглядит как действие четырёх полей χμ(τ) в одно¬
мерном пространстве с динамической метрикой.
К уравению (А. 107) для безмассовых частиц можно прийти и рассматривая вол¬
новое уравнение в искривлённом пространстве. Например, уравнение для электромаг¬
нитных волн, полученное исходя из действия (А.85), имеет вид
= 0.
Если длина и период волны малы по сравненю с характерными пространственным и вре¬
менным масштабами изменения метрики, то пропорциональным тензору Риччи Κμυ
вкладом можно пренебречь, и выбрав калибровку = 0, записать это уравнение
как
= 0.
(А.110)
А. 7. Движение частиц в гравитационном поле
509
Решение этого уравнения можно искать в виде
Αμ = a*eiS,
где αμ(χ) — медленно меняющаяся амплитуда, a S(x) — большая фаза, которую называ¬
ют эйконалом (см. например [246]). Локально (скажем, вблизи χμ = 0) эта фаза может
быть представлена как S = const + Ρμχμ. Это выражение имеет стандартный для плос¬
кой волны вид, причём Ро и Pi имеют смысл частоты и волнового вектора (вектора
импульса) в выбранной системе отсчёта. Таким образом, мгновенный 4-импульс равен
Ρμ = 0μ5.
Если метрика меняется медленно, то медленно меняется и Ρμ, хотя сам Ρμ — большой.
Последнее наблюдение позволяет понять, что главным в уравнении (А. 110) являет¬
ся член, содержащий квадрат производной S. Поэтому в главном порядке оно сводится
к
Рц Ρμ = 0. (A.Ill)
Кроме того, поскольку Ρμ является 4-градиентом S. для него справедливо
νμΡν — ννΡμ = 0.
Умножим последнее равенство на Ρμ, учтём, что из (А.111) следует Ρμ ν„Ρμ = 0 и по¬
лучим уравнение
ΡμνμΡ1' = ΡμθμΡν + ΤνμΧΡμΡχ = 0. (А.112)
Сопоставим векторному полю Ρμ{χ) набор мировых линий χμ(τ), для которых векто¬
ра Ρμ являются касательными векторами (аналоги силовых линий электрического поля
в электростатике). Это и будут мировые линии фотонов. Параметр т вдоль линии все¬
гда можно выбрать так, что Ρμ = άχμ/dr. Поскольку ΡμδμΡι'{χ) = (ά/άτ)Ρι/(χ(τ)),
уравнение (А.112) приводится к виду
dPu
dr
+ ΤμΧΡμΡχ = 0.
Это и есть уравнение геодезической (А. 107). Заодно мы выяснили, что 4-скорость ημ =
άχμ/dr имеет смысл четырёхмерного волнового вектора (4-импульса) фотона.
Чтобы понять, что параметр т не произволен, а сам определяется из решения урав¬
нения геодезической, будем параметризовать геодезическую не параметром т, а време¬
нем х°. Тогда
pr = p0dxi άΡμ _ άΡμ о
dx°! άτ dx° !
и временная компонента уравнений геодезической (А.107) записывается как
dP°
dx°
ГО U V 1->0 л
μ„υμυ Р = 0,
(А.113)
где νμ = (1, dx'/dx0). После этого пространственные компоненты уравнения геодезиче¬
ской превращаются в систему уравнений для dxl/dx°. Зная её решение х1(т°), и решив
уравнение (А.113), можно найти Ρμ(χ°), после чего параметр т определяется, например,
из уравнения dx°/dr = Р°(х°).
510
Приложение А. Элементы общей теории относительности
А.8 Ньютоновский предел
в общей теории относительности
Обсудим теперь, каким образом возникает в ОТО основной объект ньютоновской
теории тяготения — гравитационный потенциал и как из ОТО следует закон всемирного
тяготения. Для этого изучим движение частицы в слабом статическом гравитационном
поле, т. е. в пространстве с метрикой
9μι/ = ^μν “Η ^μι/(ρί), (А.114)
где ημι/ — метрика пространства Минковского, а все компоненты тензора 1ιμι/{χ) малы,
Λμ„(χ) <tC 1. (А.115)
Кроме того, мы будем рассматривать частицы со скоростями и2, много меньшими ско¬
рости света, так что
г dx2
v
Выпишем явный вид различных компонент уравнения геодезической (А.106) в линей¬
ном порядке малости по компонентам скорости vl и гравитационному полю /ιμ„. Для
этого заметим прежде всего, что в линейном порядке собственное время частицы ds
связано с координатным временем dt по закону
ds =
dt.
(А.116)
> Задача 30. Найти в общем случае соотношение между координатным временем
и собственным временем частицы, движущейся с координатной 3-скоростью ν2 =
dx2 /dt. Показать, что в линейном порядке это соотношение действительно пере¬
ходит в (А. 116).
Следовательно, компоненты 4-скорости ιιμ связаны с метрикой и физической ско¬
ростью ν2 следующим образом:
dt
ds
1
hop
2 ’
dxl
ds
Теперь нетрудно проверить, что в линейном порядке нулевая компонента уравнения
геодезической выполняется тождественно. Действительно, первый член d2t/ds2 зануля-
ется вследствие соотношения (А.116) и статичности метрики. Во втором члене Tl/Xut'ux
изначально имеется малость, связанная с тем, что для невозмущённой метрики ημ„ все
символы Кристоффеля обращаются в нуль. Дополнительная малость связана с тем, что
для статической метрики компонента Гоо символов Кристоффеля равна нулю, так что
этот член обязательно должен содержать хотя бы одну компоненту скорости и1.
Пространственные компоненты уравнения геодезической принимают в линейном
приближении следующий вид:
^-+По-°,
где мы снова учли, что во втором члене изначально имеется малость, связанная с при¬
сутствием символов Кристоффеля, так что вклады, зависящие от скоростей ν2, выпа¬
дают. Вспоминая явное выражение (А.23) для символов Кристоффеля, мы приходим
А.8. Ньютоновский предел в общей теории относительности
511
к следующему уравнению, описывающему движение нерелятивистских частиц в слабом
статическом гравитационном поле:
dvl
dt
-дгФ,
где мы ввели новую функцию Ф(х), определённую с помощью равенства
(А.117)
9оо = 1 + 2Ф.
Уравнение (А. 117) совпадает с уравнением ньютоновской механики, описывающим дви¬
жение частицы во внешнем потенциале Ф(х), так что поле Ф(х) естественно отожде¬
ствить с ньютоновским гравитационным потенциалом в случае слабого статического
гравитационного поля. Отметим, что, как следует из приведённого анализа, для опи¬
сания движения нерелятивистских частиц в таких полях необходимо знать только goo
компоненту метрики. Вклад всех остальных компонент метрического тензора подавлен.
Для того чтобы окончательно убедиться в справедливости интерпретации поля
Ф(х) как гравитационного потенциала, проверим, что из уравнений Эйнштейна дей¬
ствительно следует закон всемирного тяготения
ΔΦ = 4тxGp (А.118)
для малых статических плотностей р. Здесь Δ = (Э,)2 — оператор Лапласа по простран¬
ственным координатам. Заодно мы проверим, что константа G, входящая в действие
Эйнштейна—Гильберта, действительно равна ньютоновской постоянной.
Чтобы сделать это, найдём с помощью уравнений Эйнштейна (А.80) метрику, со¬
здаваемую статическим распределением нерелятивистской материи с плотностью р(х).
Для этого удобно переписать уравнения Эйнштейна в следующей эквивалентной форме.
Взяв след от обеих частей уравнений Эйнштейна, получаем равенство
R = —8π(?(4Λ + Т), (А.119)
где
Г = 9μνΤμν
— след тензора энергии-импульса. Подставив полученное выражение для скалярной
кривизны R обратно в уравнения Эйнштейна, мы приходим к следующим эквивалентым
уравнениям:
Rfiu — SttG {^Γμν — -9μι/Τ — . (A.120)
Такая форма записи уравнений Эйнштейна часто оказывается удобнее первоначальной
для практических вычислений, поскольку, как правило, тензор кривизны имеет
намного более громоздкую структуру, чем тензор энергии-импульса Τμν.
Возвращаясь к задаче вычисления гравитационного поля, создаваемого нереля¬
тивистской материей малой плотности, будем предполагать, что космологическая по¬
стоянная отсутствует, т. е. А = 0, и что как сама плотность р(х), так и все её про¬
странственные производные малы, а гравитационное поле, создаваемое таким телом —
слабое, т. е. метрика имеет вид (А. 114). Единственной отличной от нуля компонентой
тензора энергии-импульса для статического распределения нерелятивистской материи
является
Too = р(х).
(А.121)
512
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Рассмотрим (ОО)-компоненту уравнения (А. 120), полагая Л = 0. Заметим, что для
слабого гравитационного поля можно пренебречь квадратичными членами в выраже¬
нии (А.41) для тензора Риччи. Кроме того, второй член в выражении для Яоо обра¬
щается в нуль для статических метрик. Следовательно, левая часть (ОО)-компоненты
уравнения (А. 120) принимает вид
Roo = 9χΓοο = 2^500, (А. 122)
где последнее равенство также следует из слабости и статичности поля. Подставляя это
выражение и явный вид (А. 121) тензора энергии-импульса в уравнение (А.120) мы при¬
ходим при Л = 0 к уравнению (А.118), как и должно быть, если Ф — гравитационный
потенциал, a G — постоянная всемирного тяготения.
А.9 Линеаризованные уравнения Эйнштейна
на фоне пространства Минковского
Обобщим уравнение (А. 118) на случай произвольного слабого гравитационного по¬
ля на фоне пространства Минковского. В этом случае метрика имеет вид (ср. (А.114))
<7μι/(τ) = 1)μν + Λμι/ (*)>
где \Ημυ{χ)\ < 1. а возмущения /λμ„(χ) могут зависеть как от пространственных коорди¬
нат, так и от времени. Воспользуемся уравнениями Эйнштейна в виде (А.120), причём
положим Λ = 0 (так что пространство-время Минковского является их решением при
Τμν = 0). Вычисление тензора Риччи в линейном порядке по /ιμμ нами, по существу,
уже было проведено: достаточно воспользоваться формулой (А.68), рассматривая её
как выражение для отклонения тензора Риччи от нулевого тензора Риччи простран¬
ства Минковского. Таким образом, в (А.68) сделаем замену 5д^ —► Ημυ, ковариантные
производные заменим на обычные, а подъём и опускание индексов будем осуществлять
с помощью метрики Минковского. В результате получим линеаризованное уравнение
(А.120)
(-θλ<9λ/ιμί, -I- δχδμ1ΐ\ν + 3λ9μ/ιλμ “ θμδμϊΐχ) = 16πΟ^Τμμ ~ ψ]μνΤχ ^. (Α.123)
где Τμ„ считается малой величиной.
Уравнение (А.123) инвариантно относительно калибровочных преобразований
/ΐμι/ —► /ΐμιζ + δμξν + δνζμ, Τμν —► Τμν, (Α.124)
где ξμ(χ) — малые параметры преобразования. Преобразование (Α.124) — это
не что иное, как линеаризованное преобразование (А.93); тензор Τμν, будучи малой
величиной, не изменяется в линейном порядке при малом преобразовании координат
(А.91).
Часто бывает удобно воспользоваться этой калибровочной свободой и наложить
гармоническую калибровку
δμΚ - ^dvh\ = 0.
В этой калибровке линеаризованные уравнения Эйнштейна принимают особенно про¬
стой вид
Oh-μν = -16-KG |Τμν ~ ^ημνΤχ^ ,
где □ = δχδχ — даламбертиан в пространстве Минковского.
А. 10. Макроскопический тензор энергии-импульса
513
А. 10 Макроскопический тензор энергии-импульса
Чтобы искать решения уравнений Эйнштейна, описывающие расширяющуюся Все¬
ленную, заполненную веществом (например, релятивистской плазмой или «пылью»),
нам необходимо выражение для тензора энергии-импульса такого вещества. Для наших
целей достаточным является описание макроскопического состояния вещества с помо¬
щью усреднённого гидродинамического тензора энергии-импульса. Чтобы получить яв¬
ное выражение для этой величины в искривлённом пространстве-времени, рассмотрим
сначала случай плоского пространства. Как известно, изотропное покоящееся как це¬
лое вещество без внутренних вращений имеет в плоском пространстве-времени тензор
энергии-импульса вида
(р
0
0
°\
0
V
0
0
0
0
Р
0
\0
0
0
Р/
(А.125)
где р и р — плотность энергии и давление среды. Прежде всего, обобщим это выраже¬
ние на случай, когда вещество не находится в состоянии покоя. В этом случае тензор
энергии-импульса помимо зависимости от плотности энергии р и давления р должен
также содержать зависимость от вектора 4-скорости ημ. Чтобы найти эту зависимость,
заметим, что в системе покоя вектор 4-скорости равен
ημ = (1,0,0, 0).
Следовательно, если мы определим тензорную величину выражением
(р + ρ)ημ ии — prf
(А.126)
то, как легко проверить, она совпадет в системе покоя с тензором энергии-импульса
(А. 125). Поскольку обе величины преобразуются по тензорному закону, то они совпа¬
дают и во всех остальных системах отсчёта. Простейший способ обобщить выражение
(А. 126) на случай искривлённого пространства состоит в том, чтобы заменить метри¬
ку пространства Минковского ημι> на произвольную метрику <?μ". Действительно, как
мы обсуждали выше, для каждой выбранной точки пространства-времени существует
локально-лоренцева система отсчёта. В этой системе метрический тензор в данной точке
совпадает с тензором Минковского, а тензор энергии-импульса вещества в не слишком
сильном гравитационном поле имеет вид (А. 126). Переходя в произвольную систему
отсчёта, мы приходим к следующему окончательному выражению для тензора энергии-
импульса:
Τμι/ = (р + ρ)ημην - ρ9μν. (А. 127)
Стоит отметить, что, вообще говоря, выражение (А. 127) справедливо только в слу¬
чае слабого гравитационного поля. В случае сильного поля в выражении для тензора
энергии-импульса могут появиться дополнительные члены, зависящие от тензора кри¬
визны.
В общем случае плотность р, давление р и 4-скорость ημ являются произвольными
функции времени и пространственных координат, с теми ограничениями, что
ημημ = 1 (А.128)
и
νμτμ" = 0.
(А.129)
514
Приложение А. Элементы общей теории относительности
Равенство (А. 128) — это непосредственное следствие определения 4-скорости,
а равенство (А.129) — ковариантный закон сохранения тензора энергии-импульса.
> Задача 31. Выпишите различные компоненты закона сохранения (А.129) в яв¬
ном виде в случае плоского пространства и убедитесь, что в нерелятивистском
пределе (т. е. при |ν| < 1. р <С р) получившиеся уравнения совпадают с гидроди¬
намическим уравнением непрерывности и уравнением Эйлера.
В заключение этого раздела отметим, что в линеаризованной теории с Л = О
из (А. 120) и (А. 122) следует, что в общем случае статического источника уравнение
для ньютонова потенциала имеет вид
ΔΦ = 47rG(Too + Tu) (А. 130)
(суммирование по г подразумевается). Для тензора энергии-импульса вида (А. 125) име¬
ем
ΔΦ = AttG(p + Зр). (А.131)
В этом смысле источником гравитационного поля в общей теории относительности слу¬
жит не энергия, а комбинация (р + Зр). В частности, объект, состоящий из гипотети¬
ческой материи с р + Зр < 0, будет отталкивать, а не притягивать нерелятивистские
частицы (антигравитировать). При выполнении этого же условия однородная изотроп¬
ная Вселенная будет испытывать ускоренное расширение, см. раздел 3.2.4.
А. 11 Обозначения и соглашения
Индексы μ,ν,... — пространственно-временные и принимают значения 0, 1,
2, 3. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
Индексы i.j,... — пространственные, i,j = 1,2,3. Пространственные вектора обо¬
значаются жирным шрифтом. По повторяющимся нижним пространственным индексам
подразумевается суммирование, например, αώί = ab, сцсц = а2.
Сигнатура метрики (+, —, —, —).
Тензор Римана определён так, что
[νμ, ν„]Αλ = ΑσΙΙχσμν,
явное выражение для него приведено в (А.31). Тензор Риччи равен
Я„„ = дхГ^ - 8μΓλλν + - ΓχρμΤμχ.
Метрика пространства Минковского обозначается как
ημ„ = diag(l, -1, -1, -1).
Метрика с малыми возмущениями над пространственно-плоским решением Фридмана-
Робертсона—Уокера записывается как
ds2 = α2(η)(ημν + hμ„) άχμ dx1',
А.11. Обозначения и соглашения
где х° = η — конформное время. Иначе говоря
9μV — О, {χΐ){χΐμν "Η ίίμι/').
Индексы у hμν поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского ημν.
Соглашение о частотностях таково, что
е . ω > О
является отрицательно-частотной функцией.
Приложение В
Стандартная модель
физики частиц
В этом Приложении мы изложим основные элементы Стандартной модели физи¬
ки элементарных частиц. Разумеется, наше изложение не может быть исчерпывающим,
особенно в той части, которая касается многочисленных явлений в физике микромира,
обусловленных взаимодействиями элементарных частиц. Наша задача — кратко опи¬
сать те аспекты, которые используются в основном тексте.
В.1 Описание Стандартной модели
Стандартная модель — минимальная релятивистская квантовая теория, чьи пред¬
сказания хорошо согласуются со всеми известными на сегодняшний день эксперимен¬
тальными данными (за исключением осцилляций нейтрино, см. Приложение С), полу¬
ченными как в физике низких энергий и прецизионных измерениях, так и в физике
высоких энергий [5]. В основе Стандартной модели лежит математический аппарат
квантовой теории поля; подробно с методами квантовой теории поля можно ознако¬
миться по литературе [247, 248, 249].
Стандартная модель включает в себя следующие частицы, считающиеся
на сегодняшний день элементарными:
а) калибровочные бозоны — фотон, глюон, Wх-, Ζ-бозоны;
б) кварки — и, d, s, с, b и ί;
в) лептоны — электрически заряженные (электрон е, мюон μ и т-лептон) и нейтраль¬
ные (нейтрино: электронное ие, мюонное νμ и т-нейтрино ит)·,
г) нейтральный хиггсовский бозон h.
Частицы типов «а» и «г» являются бозонами, частицы типов «б» и «в» — фер¬
мионами. Поля, описывающие частицы типа «а», являются .калибровочными полями.
Они — векторы относительно группы Лоренца и служат переносчиками калибровочных
взаимодействий. Поля, описывающие частицы типов «б» и «в», в физике частиц ча¬
сто называют полями материи; мы будем по-возможности избегать этой терминологии.
516
В.1. Описание Стандартной модели
517
Они — спиноры по группе Лоренца и участвуют в калибровочных и юкавских взаимо¬
действиях1. Поле, описывающее хиггсовский бозон, — скалярное и является перенос¬
чиком юкавских взаимодействий. Кроме того, это скалярное поле (мы будем называть
его полем Энглера—Браута—Хиггса) играет специальную роль — ненулевое вакуумное
среднее этого поля обеспечивает массы всем массивным частицам Стандартной модели.
Стандартная модель имеет калибровочную группу
SU{3)с х SU(2)w х U(l)v
и описывает сильные взаимодействия (цветовая группа SU(3)с с калибровочной кон¬
стантой связи gs) и электрослабые взаимодействия (SU(2)u- х U(1)Y с калибровочными
константами связи g и д' соответственно). Электрослабая калибровочная группа нахо¬
дится в фазе Энглера—Браута—Хиггса, а ненарушенной остаётся абелева группа элек¬
тромагнетизма U(l)em· В соответствии с этим W~- и Ζ-бозоны являются массивными,
а фотон остаётся безмассовым. Поля Стандартной модели формируют полные мульти-
плеты относительно этих калибровочных групп, т. е. преобразуются по определённым
представлениям этих групп.
Калибровочные поля образуют присоединённые представления соответствующих
групп: имеется восемь глюонных полей Gμ, (а = 1,..., 8, по числу генераторов группы
SU(3)C), три калибровочных поля V* группы SU(2)W (г = 1,2,3, по числу генераторов
SU(2)vv) и одно поле Βμ группы U(1)у. В результате механизма Энглера—Браута—
Хиггса массивными становятся три комбинации полей νμ и Βμ, которые описывают
И/х и Ζ-бозоны:
wi = ^(νϊτ*νϊ), (B.l)
= Jf+g* № ~ »'Β") ■ (B·2)
Четвёртая комбинация,
К = * Дя'УЛ + аВ»), (в.з)
V 92 + 9'2
остаётся безмассовой и описывает фотон. Связь между полями Ζμ и Αμ и исходными
калибровочными полями записывают ещё в виде
Ζμ = COS0VI· ■ νμ - sin^tv · Вμ,
Αμ = COS0W ■ В μ + Sin$u' ’ ,
где θ\ν — слабый угол смешивания,
tgOw = —■
9
Экспериментально измеренное значение sin 6w составляет2
sin^w = 0,481.
1 Неабелевы калибровочные поля также несут заряд по калибровочной группе и участвуют
в калибровочных взаимодействиях.
2Здесь и в дальнейшем, если не оговорено особо, мы опускаем тонкости, связанные с ради¬
ационными поправками.
518
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
Таблица В.1.
Размерности представлений и заряды калибровочных (GM, νμ, Βμ) и скалярного (Н)
полей; символ 0* означает, что поля Βμ и Αμ являются калибровочными полями групп
U(1)Y и U(l)em соответственно
поля гР>гппа
SU( 3)e
SU( 2)w
U(1)Y
U (l)em
Ομ
8
1
0
0
Ум
1
3
0
Βμ
1
1
0*
1
±1
ζμ
1
0
Αμ
1
0*
Η
1
2
1
В табл. В. 1 приведены размерности представлений векторных полей и их заряды
по абелевым группам. Отметим, что в этой таблице, как и в ряде последующих формул,
используются матричные обозначения
α= 1 i=l
где λα — матрицы Гелл-Манна, а т1 — матрицы Паули (Ла/2 и т!/2 — наборы генера¬
торов SU(3)C и SU(2)w соответственно).
Поля материи «б» и «в» образуют три поколения кварков и лептонов:
I :
u, d. ve, e;
II :
c, s, νμ, μ;
III :
ί, b, ит, т;
при этом частицы внутри одного поколения различаются калибровочными взаимодей¬
ствиями (имеют разные калибровочные квантовые числа), а тройки частиц из разных
поколений (например, и-, с- и ί-кварки или электрон, мюон и т-лептон) имеют одина¬
ковые калибровочные квантовые числа, но разные массы и юкавские константы взаи¬
модействия с хиггсовским бозоном.
В (3 + 1)-мерном пространстве Минковского3 для описания фермионных полей
можно ввести левый двухкомпонентный (вейлевский) спинор xl и правый двухкомпо¬
нентный спинор xr. Эти спиноры преобразуются независимо относительно собственной
группы Лоренца4.
3Мы оставляем без обсуждения вопросы, связанные с описанием фермионных полей в ис¬
кривлённом пространстве-времени, см. вторую часть книги.
4Точнее, они преобразуются по фундаментальному (xl) и антифундаментальному (Хд)
представлениям группы SL{2, С), являющейся двулистной накрывающей группой для собствен¬
ной группы Лоренца 50(3,1). С двулистностью, в частности, связан тот факт, что не сами фер¬
мионные поля, но лишь их билинейные комбинации могут быть физическими наблюдаемыми.
В.1. Описание Стандартной модели
519
XLl°2XL,
XrW2XR
Т — μ
, τ Μ
XrV XL,
Xl<? XR
σμ = (1,σ),
σμ = (1, —'
Из двухкомпонентных спиноров можно составить лоренцевы скаляры, векторы
и тензоры. В частности, можно показать, что билинейные комбинации
XLW2XL, XTj-
являются скалярами, а
являются векторами. Здесь
причём <7 — обычные матрицы Паули, действующие на лоренцевы индексы.
> Задача 1. Убедиться в справедливости сделанных утверждений. Указание: вос¬
пользоваться эквивалентностью фундаментального и антифундаментального
представлений спиновой группы SU(2); найти закон преобразований спиноров
Xl и х д при лоренцевых бустах и трёхмерных вращениях.
Полная группа Лоренца кроме собственных преобразований (бустов и вращений)
содержит ещё отражение пространства Р и инверсию времени Т. При пространствен¬
ном отражении двухкомпонентный спинор xl (или xr) не переходит сам в себя. Пред¬
ставление полной группы Лоренца можно реализовать на 4-компонентных дираковских
спинорах ф. Дираковский спинор включает в себя два двухкомпонентных вейлевских
спинора, xl и xr,
\XRy
Дираковские свободные поля удовлетворяют уравнению Дирака
ϊημδμφ = тф,
где т — масса фермиона, а ημ — набор из четырёх 4x4 матриц Дирака, удовлетворя¬
ющих антикоммутационным соотношениям
{Ίμ,Ίν} = *Γ-
В киральном (вейлевском) представлении матрицы Дирака имеют вид
7μ =
О
В этом представлении уравнение Дирака записывается в матричном виде
' О
%σμθμ
Отметим, что для безмассового случая, т = 0, уравнение Дирака расщепляется на два
отдельных уравнения на каждую из компонент xl, Xr, являющихся собственными
функциями оператора спиральности р · σ/2|ρ| с собственными значениями —1/2 и +1/2
соответственно5. Поэтому в безмассовом случае минимальная возможность состоит в том,
5Как для безмассового, так и для массивного случая спиральность является проекцией спина
на направление движения. Разница состоит в том, что эта величина лоренц-инвариантна лишь
для безмассовых фермионов.
520
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
чтобы вводить в рассмотрение только двухкомпонентный спинор xl, так что в тео¬
рии будут только частицы левой спиральности и античастицы правой спиральности6.
Именно так описываются нейтрино в рамках Стандартной модели. Разумеется, в такой
ситуации пространственная чётность будет нарушена.
При описании взаимодействий частиц Стандартной модели в терминах дираков-
ских 4-компонентных спиноров необходимо выделить компоненты хь и χη, что дости¬
гается с помощью проекторов
1 =F75
2
5 _ · О 1 2 3
7 = П 7 7 7 >
причелг в киральном представлении
5
7
-1 0
О 1
В дальнейшем мы будем использовать обозначения
фь = Р-ф = 1 2 = 1 \ /θ Ψι
причём в киральном представлении для матриц Дирака
фь
XL
о
(В.4)
Отметим, что вне зависимости от выбора представления матриц Дирака левые и пра¬
вые компоненты 4-компонентного фермиона, определённые соотношениями (В.4), пре¬
образуются независимо при преобразованиях собственной группы Лоренца и образуют
лоренцевы дублеты и анти дублеты. Для некоторых приложений полезно отметить, что
Хя = г’<Т2Хя
представляет собой левый спинор.
о Задача 2. Доказать сделанные в последних двух предложениях утверждения. Ука¬
зание: Начните с того, что определите закон преобразования матриц Дирака под
действием генераторов группы Лоренца.
В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем использовать 4-компонентные
спиноры. Наиболее часто используемые билинейные по фермионным полям лоренцевы
структуры имеют вид
φ-ώ — скаляр, φημ/ώ — вектор,
_ . (В.5)
ф~/°ф — псевдоскаляр. фДуцф — псевдовектор,
где
7 _ , f О
ψ = ф 7
— сопряжённый дираковский спинор.
6 Или наоборот.
В.1. Описание Стандартной модели
521
> Задача 3. Убедиться в справедливости сделанных утверждений. Выразить эти
структуры в терминах вейлевских фермионов.
Таблица В.2.
Размерности представлений и заряды для фермионов первого поколения; фермионы
второго и третьего поколения имеют такие же квантовые числа
поля гРУппа
SU{ 3)с
517(2)w
U{ 1)у
U( l)em
III
1
2
-1
(-.)
Е = ед
1
1
-2
-1
з
III
о*
3
2
+1/3
(+2/3\
V-I/Sj
и = UR
3
1
+4/3
+2/3
D = d,R
3
1
-2/3
-1/3
В Стандартной модели нейтрино имеют только левые компоненты, в отличие от квар¬
ков и заряженных лептонов. По отношению к сильным взаимодействиям как левые,
так и правые компоненты кварков образуют фундаментальные (триплетные) представ¬
ления. так что с точки зрения сильных взаимодействий разделение кварков на левые
и правые не обязательно. С другой стороны, правые кварки и правые заряженные лепто-
ны являются синглетами по отношению к группе SU{2)w, а левые фермионы образуют
дублеты
Аналогично введённым сейчас обозначениям, правые фермионы трёх поколений обо¬
значают следующим образом:
Uη = Ur, Cr, tR;
Dn = d,R, sr, bR\ n = 1,2,3. (B.7)
En — ед, pr, tr;
Размерности представлений фермионов и их заряды по отношению к абелевым группам
приведены в табл. В.2.
Скалярное поле Энглера—Браута—Хиггса Н является синглетом относительно
группы сильных взаимодействий SU(‘3)C, дублетом относительно SU(2)w и имеет заряд
+ 1 по отношению к £/(1)у. Эти свойства отражены в табл. В.1.
В терминах полей, явно ковариантных относительно калибровочной группы SU(3)с х
522
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
SU(2)iv х U(1)y, лагранжиан Стандартной модели имеет вид:
Csu = -|TrG^G^ - ^Ττνμμνμν - \ΒμνΒμν +
+ ιΖηνμημΙη + ΐΕηνμημΕη + iQn'D,i')txQn + ιϋηΤ>μη'μυη + ίΌηνμημϋη -
- {Y^LmHEn + Y*nQmHDn + Y*nQmHUn + h.c.) +
+ ΌμΗ^νμΗ - \(н*Н - у') . (В.8)
Здесь первая строка включает только калибровочные поля, напряжённости которых
определены следующим образом:
Βμν = 8μ Βυ - δμΒμ.
νμν = Θμνν - δ„νμ - φ[νμ, Vu],
G-μυ = 9μGμ — dvGμ — igs[G μ * Gv\,
причём квадратными скобками обозначен коммутатор: например
\νμ,νν\ = νμνυ-νμνμ:
поле Βμ — действительное, а поля νμ, Gμ — эрмитовы. В терминах действительных
полей G" и νμ
TtG^G^' = ^G“„GQ μι/, TtV^V^ = \νιμνν{ μι/,
где
G“„ = Θμσΐ - dvGl + gsf^G^Gl, (Β.9)
Υμν = θμν' - ЭЛг; + geijkvjv£. (Β.10)
причём fabc и eljA: — структурные константы групп SU(3) и SU(2) соответственно (eljfc —
полностью антисимметричный символ, i.j.k — 1,2,3). Из-за наличия последних слага¬
емых в (В.9), (В.10) в Стандартной модели имеются взаимодействия глюонов между'
собой, а также взаимодействия между И™-, Ζ-бозонами и фотонами.
Вторая строка в (В.8) включает свободные лагранжианы фермионов и взаимо¬
действия фермионов с калибровочными полями. Входящие в неё ковариантные произ¬
водные однозначно определяются представлениями калибровочных групп, по которым
преобразуются фермионные поля, а также зарядами относительно U(l)y: для фермио¬
на /
V.J - (а„ - ig.TSGl - igrt-V' - ig'^-вЛ f.
где Т° и ГД· — генераторы SJ7(3)C и SU(2)w в представлениях, по которым преобразует¬
ся /. a Y/ — заряд этого фермиона относительно группы [7(1)у. Для кварков Т° = λα/2,
а для лептонов Tf = 0 (т. е. слагаемое, включающее глюонное поле, для лептонов от¬
сутствует — лептоны непосредственно не участвуют в сильных взаимодействиях). Для
левых дублетов (В.6) имеем Т\, = т1/2, а для правых синглетов (В.7) нужно подставить
U- = о.
В.1. Описание Стандартной модели
523
Отметим, что по повторяющимся индексам τη, п, нумерующим поколения, подра¬
зумевается суммирование. В терминах полей, используемых в (В.8), калибровочные
взаимодействия диагональны по поколениям7.
Третья строка в (В.8) описывает юкавские взаимодействия фермионов с полем
Энглера—Браута—Хиггса Я; h.c. в ней обозначает эрмитово сопряжение. В этой стро¬
ке фигурируют матрицы юкавских констант Υ^η, Υ£η и Y-mn· которые комплексны
и не диагональны по поколениям. Ниже мы кратко обсудим, к чему приводит это от¬
сутствие диагональности. Подчеркнём, что лагранжиан (В.8) не описывает осцилляции
нейтрино: соответствующие юкавские слагаемые в нём отсутствуют. Мы рассмотрим
в Приложении С, какие расширения Стандартной модели способны описать нейтрин¬
ные осцилляции.
По поводу третьей строки в (В.8) сделаем ещё одно замечание. Как и весь ла¬
гранжиан Стандартной модели, она инвариантна относительно калибровочной группы
SU{3)с х SU(2)w х Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим в качестве
примера первое слагаемое в третьей строке. Левый лептон и поле Энглера—Браута—
Хиггса являются дублетами относительно SU(2)w, в то время как правый лептон —
синглет. Рассматриваемое слагаемое имеет, таким образом, структуру Е и явля¬
ется SU(2)и'-синглетом. В соответствии с табл. В.2 суммарный Я(1)у-заряд полей, вхо¬
дящих в это слагаемое, равен нулю, так что оно инвариантно и относительно группы
Я(1) у. Аналогично обстоит дело со вторым юкавским слагаемым. В последнем слагае¬
мом фигурирует
Яа = irlaH* 0 = βαβΗ* β, (В.11)
где α = 1,2 и еар — антисимметричный символ. По отношению к SU(2)w поле Я преоб¬
разуется по фундаментальному представлению8. Поэтому третье юкавское слагаемое
является 5Я(2)и·-синглетом; оно инвариантно и по отношению к Я(1)у — именно для
этого в нём приходится использовать Я, а не само поле Я.
Важно подчеркнуть, что вторая и третья строки в (В.8) являются наиболее общим
калибровочно-инвариантным перенормируемым лагранжианом для фермионов Стан¬
дартной модели. В частности, явные массовые члены фермионов, которые должны
были бы иметь лоренцеву структуру (/l) · /я + h. с., запрещены инвариантностью от¬
носительно электрослабой калибровочной группы SU(2)W х Я(1)у.
Последняя строка в (В.8) — это лагранжиан самого поля Энглера—Браута—Хиггса.
В соответствии с табл. В.1 ковариантная производная скалярного поля равна
νμΗ = (δμ - ig^-Vj - г^вЛ Η.
(В-12)
Скалярный потенциал теории — последнее слагаемое в (В.8) — имеет минимум при
ненулевом значении поля Энглера—Браута—Хиггса, таком что
Используя калибровочную инвариантность теории, вакуум Энглера—Браута—Хиггса
'В действительности фермионные поля, фигурирующие в (В.8), совпадают с полями, введён¬
ными в (В.6) и (В.7), лишь с точностью до унитарных преобразований, см. ниже. Мы используем
для этих двух наборов полей одни и те же обозначения.
8Хотя Н* преобразуется по антифундаментальному представлению: соотношение (В.11) осу¬
ществляет изоморфизм между антифундаментальным и фундаментальным представлениями,
который существует для группы SU(2) и отсутствует для групп SU{N) с N > 2.
524
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
и возмущения скалярного поля над этим вакуумом без потери общности можно пред¬
ставить в следующем виде (унитарная калибровка):
я(*) = ( А+0М£) ) ■ (В.13)
\V2 + -Л )
Таким образом, над вакуумом Энглера—Браута—Хиггса имеется всего одно физическое
скалярное возбуждение — хиггсовский бозон, описываемый полем h.
Вакуум Энглера—Браута—Хиггса нарушает симметрию SU(2)и^ х U(l)y до V(1)ет ·
Переход от явно SU(2)ц.· х £/(1)у-инвариантных полей к физическим векторным полям
в этом вакууме осуществляется заменой (В.1), (В.З). Действительно, после замены (В.1),
(В.З) свободные градиентные члены для полей ΙΥμ, Ζμ и Αμ сохраняют канонический
вид:
1
4
Σ - д»К)2 + (д»в» - д-в*У
= - д„\у£)(δμιν
u - δμ\ν~ v) - -ΖμνΖμν -
’ 4 4
где
F,JU = 3μΑ„ — δ„Αμ, Ζμι/ = ΟμΖυ - di,Ζμ.
(Β.14)
При учёте (В.13) в квадратичном лагранжиане над вакуумом Энглера—Браута—Хиггса
возникают массовые члены
ναΗ^νμΗ
2 2
9 V
\νμ\νμ- +
4
Сg2 + g,2W
8
ΖαΖμ.
В этом и состоит механизм Энглера—Браута—Хиггса. Замена (В.1), (В.З) подобрана
именно так, чтобы эти массовые члены были диагональны. Таким образом, массы W^-
и Ζ-бозонов равны
л г gv л г vV9- + 9>2 Mw
Al\v = —, Μζ = = τ—-
2 2 cos θ\ν
Юкавское взаимодействие приводит к тому, что большая часть фермионов также ста¬
новится массивной. Массы фермионов / равны
ПХ/
у*
л
где У] — собственные значения матриц юкавских констант, фигурирующих в (В.8).
Из всех фермионных полей безмассовыми остаются только нейтрино (последнее свой¬
ство — дефект Стандартной модели).
Лагранжиан Стандартной модели в терминах физических полей получается под¬
становкой (В.1), (В.З) и (В.13) в лагранжиан (В.8) и переходом от базиса фермионных
полей, в котором калибровочные взаимодействия диагональны, к базису, в котором
диагональны массовые матрицы фермионов (и юкавские взаимодействия). Последнее
преобразование приводит к появлению в лагранжиане матрицы Каббибо—Кобаяши—
Маскава Vmn·. описывающей смешивание кварков. Подробнее этот переход описан в раз¬
деле В.З. Обратим внимание, что из соображений удобства мы будем часто использо¬
вать одни и те же обозначения для фермионов в обоих базисах (как мы уже это делали,
В.1. Описание Стандартной модели
525
ср. (В.8) и (В.6), (В.7)), хотя эти наборы не совпадают между собой, а связаны унитар¬
ным преобразованием.
Удобно представить полный лагранжиан Стандартной модели, записанный в тер¬
минах физических полей, в виде суммы нескольких слагаемых:
£sM = £qCD + £{ept + £/, етп “I" Cf, weak “I" £-V + Ch + £-HV- (Β.Ί5)
Здесь
Cqcd =-\θαμι/Οα ^ + Σ
кварки ^ ^
— лагранжиан, включающий кварки (суммирование идёт по всем типам кварков),
глюоны и их взаимодействия между собой. Это — лагранжиан теории сильных взаимо¬
действий, квантовой хромодинамики (КХД). Второе слагаемое в (В. 15) — свободный
лагранжиан лептонов
Clept = Σ/_η - ТГЦпУп + Σ ϋηίημΟμνη.
71 71
Здесь тг — номер поколения, Ιη = ε,μ, т. Третье и четвёртое слагаемые описывают
электромагнитные и слабые взаимодействия кварков и лептонов соответственно:
£f,em = 6 Qff ~{μ Αμ/.
f
где
e = gsmOw = — ^ (B.16)
— электрический заряд протона, так что eqj — электрический заряд фермиона /;
= тпщ Σ - +wv'»+hc) +
~ V “ 71
+ -£= Σ («"*7μ(1 - 75)W+Vmndn + h. с.) +
V “ m.n
+ Σ h“(tf3( 1 - -Г) - 2q, sin2 θιν) fZ„. (B.17)
Здесь суммирование по / означает суммирование по всем кваркам и лептонам, —
слабый изоспин, равный +1/2 для верхних кварков (u.c.t) и нейтрино и равный —1/2
для нижних кварков (d.s.b) и заряженных лептонов. Первые два слагаемых в С/. weak
описывают взаимодействия лептонов и кварков с И7-бозонами (заряженные токи), а тре¬
тье — с Ζ-бозоном (нейтральные токи). Отметим, что испускание и поглощение W-
бозона изменяют тип (аромат) фермиона (а для кварков — вообще говоря, и номер по¬
коления, благодаря недиагональной матрице Каббибо—Кобаяши—Маскава Утп), а вза¬
имодействие с Ζ-бозоном аромат не меняет.
> Задача 4. Убедиться, что для всех фермионов справедливо соотношение
526
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
Вклад £γ в лагранжиане (В. 15) описывает юкавские взаимодействия фермионов
с бозоном Хиггса.
где суммирование идёт по всем типам фермионов, кроме нейтрино. Это взаимодей¬
ствие также сохраняет аромат. Константы взаимодействия бозона Хиггса с фермиона¬
ми пропорциональны их массам; это, разумеется, является отражением того факта, что
все фермионы приобретают массы за счёт взаимодействия с полем Энглера—Браута—
Хиггса.
Слагаемое Cv в (В. 15) включает свободный лагранжиан фотонов, W±- и Ζ-бозонов
и их взаимодействие между собой,
Cv = - 7- 7+ ^-ΖμΖμ -
4 4 2
-+ Ml\w~\2 + £(w~w? - \νμ\ν~)2 -
- ^(F^sinOw + Ζμ" cosew)(W~Wj - W+W-), (B.18)
где и Ζμι/ определены в (В.14), и
W~v = (δμ + ιεΑμ + igcosΘ\\ Ζμ) W~ - (μ v). (В.19)
Связь между константой электромагнитного взаимодействия е и калибровочными кон¬
стантами д, д по-прежнему имеет вид (В.16). Отметим, что лагранжиан (В.18), как
и весь лагранжиан (В. 15), инвариантен относительно ненарушенной калибровочной
симметрии U(1 )ет, и в соответствии с (В.19) W■‘■-бозоны несут электрический заряд
±е.
Вклад Сн описывает хиггсовский сектор Стандартной модели,
Си = \δμΗδμΗ - ^mlh2 - \vhz - jhA.
где
rrih = \/2Xv
— масса бозона Хиггса.
Наконец, вклад СгиЬ описывает взаимодействие бозона Хиггса с массивными век¬
торными бозонами,
C'hv = \vh\W
ηΊ , _/2
'.Г I2 + 9—^-vhZ.
ζ» + £ h2\w;\2 + Σ±Σ
h1ζμζμ.
На сегодняшний день все частицы Стандартной модели обнаружены эксперимен¬
тально. Эксперименты по измерению параметров Стандартной моде¬
ли9 дают [5]:
тпе = 0,511 МэВ,
πιμ = 105,7 МэВ,
гпт = 1.78 ГэВ,
Μζ = 91,2 ГэВ,
mu = 1,8-3,0 МэВ,
1пс = 1,25-1,30 ГэВ,
mt = 172,0-174,4 ГэВ,
Mw = 80,4 ГэВ,
rrid = 4,5-5,3 МэВ,
ms = 0,09-0,10 ГэВ,
тпь = 4,15-4,21 ГэВ,
ш/, = 125,7 ГэВ,
v = 246.22 ГэВ. а = 4-
4π
1
137’
sin2 θ\γ
0,231.
9Мы опускаем тонкости, связанные с зависимостью этих параметров от точки нормировки.
В.2. Глобальные симметрии Стандартной модели
527
Неопределённое:™ в массах кварков (за исключением ί-кварка) связаны с тем, что они
не наблюдаются в свободном состоянии.
В.2 Глобальные симметрии Стандартной модели
Помимо калибровочных симметрий в Стандартной модели имеются глобальные
симметрии: лагранжиан (В. 15) инвариантен относительно фазовых вращений всех квар¬
ков:
гЗ/3 — — ίβ/3 —
q-*e qt g
и независимых фазовых вращений лептонов каждого поколения,
(В.20)
(ь'е, е) —► е1/3е {ие, е),
(Ре, ё) -»· е~г3* (Ре, ё),
(В.21)
(νμ. μ) -* βν3μ(^μ,μ),
(ΰμ,β) -> е~г3>*(^.Ц),
(В.22)
(ит, τ) —> ег3т (ι/τ, т),
Ο'τ,τ) -*· е~'3т (г/т, т).
(В.23)
Здесь β, /Зе, βμ и βτ — независимые параметры преобразований. Квантовое число, со¬
ответствующее симметрии (В.20), — это барионное число
В = i(N, - JV,),
где Nq и Nq — полное число кварков и антикварков всех типов соответственно. Бари-
онный заряд кварков по определению равен 1/3, а заряд антикварков равен —1/3. При
таком соглашении полный барионный заряд протона, в состав которого входят два и-
кварка и один d-кварк, равен 1. В терминах чисел барионов и антибарионов имеем,
таким образом,
В = £(Лв - NS),
где суммирование идёт по всем типам барионов. Итак, в Стандартной модели барион¬
ное число сохраняется10. Ярким свидетельством того, что барионное число сохраняет¬
ся в природе с высокой точностью, служит стабильность протона: протон — легчайшая
из частиц, несущих барионное число, и он должен быть абсолютно стабильным в случае
точного сохранения барионного числа. Распад протона действительно пока не обнару¬
жен, а экспериментальное ограничение на его время жизни составляет [5]
тр > 1031-1034 лет,
в зависимости от моды распада.
Симметриям (В.21), (В.22), (В.23) соответствуют три сохраняющихся по-отдельно-
сти лептонных числа (электронное, мюонное и тауонное)
Le = (Ne + NUe) - {Ne+ + Noe), (В.24)
L„ = (Νμ + Ν„μ) - (ΛΓμ+ + jVp„), (В.25)
LT = (Nr + N„r) - (NTr + JVO, (B.26)
где iVe, NUe, A’e-, — числа электронов, электронных нейтрино, позитронов и элек¬
тронных антинейтрино, и аналогично для других поколений. Проявлением сохранения
10Это утверждение справедливо в рамках теории возмущений. Непертурбативные эффекты
нарушают барионное и лептонные числа, однако эти эффекты крайне малы в обычных условиях
(но не в ранней Вселенной, см. Главу 11).
528
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
лептонных квантовых чисел является отсутствие процессов, нарушающих лептонные
числа, а в остальном разрешённых. Примером такого процесса служит распад
μ -» βη.
В нём нарушались бы электронное и мюонное числа. Экспериментальное ограничение
на его относительную вероятность имеет вид [5]
Βτ(μ —> е'у) < 5,7 · 10-13.
Это — один из лучших результатов по проверке сохранения мюонного и электронного
чисел. Отметим, что наблюдаемые осцилляции нейтрино свидетельствуют о том, что
в природе лептонные числа на самом деле нарушаются, см. При¬
ложение С.
Во многих моделях, обобщающих Стандартную модель физики частиц, барионное
и/или лептонные числа нарушаются, что должно приводить к новым физическим про¬
цессам, например распаду протона. Поиск таких процессов является важной задачей,
стоящей перед низкоэнергетическими экспериментами физики частиц. На сегодняшний
день, помимо осцилляций нейтрино (см. Приложение С), никаких экспериментальных
указаний на нарушение барионного или лептонных чисел не получено.
В.З С-, Р-, Т-преобразования
Рассмотрим кратко дискретные преобразования: обращение времени —
Т-преобразование: (х°,х) —> (—х°,х),
пространственное отражение —
Р-преобразование: (х°,х) —>· (х°, —х)
и зарядовое сопряжение —
С-преобразование: /(х) -Я /с(х).
При этом Р- и Т-преобразования вместе с собственной группой Лоренца образуют пол¬
ную группу Лоренца.
С точки зрения процессов рассеяния обращение времени означает замену начально¬
го состояния на конечное, а конечного состояния на начальное, инверсия пространствен¬
ных осей подразумевает обращение импульсов всех частиц, а зарядовое сопряжение —
замену частиц на античастицы. В квантовой теории поля справедлива СРТ-теорема,
которая утверждает, что физические процессы должны быть инвариантны относитель¬
но совместного действия всех трёх преобразований: амплитуда рассеяния, например,
в результате СРТ-преобразования может получить лишь физически ненаблюдаемый
фазовый множитель.
Лоренцевы скаляры, векторы и тензоры11 могут быть чётными и нечётными отно¬
сительно P-преобразований. Во втором случае их называют псевдоскалярами, аксиаль¬
ными векторами и псевдотензорами. Например, при P-преобразовании скаляр (чётный)
11 Мы здесь не останавливаемся на свойствах спиноров относительно Р-преобразований.
В.4. Смешивание кварков
529
и псевдоскаляр преобразуются как
ф(х°, х) ф'(х°, х) = Ф(х°, —х)
и
<£(ζ°,χ) ф'(х°,-х.) = -9(гг°,-х)
соответственно. P-преобразование вектора (чётного) имеет вид
К,(х°,х) Д К(х°,х) = 5°И)(х°, -х) - 61Щх°, -х),
а преобразование аксиального вектора — это
А,(х°,х) Д Х(х°,х) = -й°Ло(т0, -х) + <5luAi(x°, -х),
Некоторые билинейные комбинации спиноров, обладающие определённой
P-чётностью, приведены в (В.5).
Из вида лагранжиана (В.15), (В.17) ясно, что слабые взаимодействия нарушают Р-
чётность: слабые бозоны взаимодействуют не только с векторными токами φτηΊμΦη,
но и с аксиальными токами φτηΊμΊ°Φη· Кроме того, слабые взаимодействия нарушают
CP-инвариантность. Источником нарушения служит комплексный параметр матрицы
Кабиббо—Кобаяши—Маскава.
В.4 Смешивание кварков
Чтобы понять, как появляется матрица Кабиббо—Кобаяши—Маскава, рассмотрим
переход от калибровочного базиса фермионов к массовому, т. е. переход от базиса, в ко¬
тором калибровочные взаимодействия диагональны по поколениям и не перемешивают
поля фермионов разных поколений, к базису, в котором диагональна массовая матрица
и юкавские взаимодействия. Лагранжиан (В.8) выписан в терминах полей, разложен¬
ных по калибровочному базису, — все калибровочные взаимодействия имеют диаго¬
нальный вид. В результате спонтанного нарушения электрослабой симметрии после пе¬
рехода в унитарную калибровку (В. 13) юкавские члены в лагранжиане (В.8) приводят
к массовым членам для фермионов
Cm = —j=YLhmlRn - -j=Y*ndLmdRn - -Ду"пйьгаидп + h. с., (В.27)
и юкавским взаимодействиям с полем хиггсовского бозона
Су = —j=YLJLmlRn - ^=YmndLmdRn - -j=Y“nuLmuRn + h.c. (В.28)
При этом калибровочные взаимодействия с глюонами, фотонами и Ζ-бозонами остают¬
ся диагональными по фермионным ароматам, а взаимодействия с И7“-бозонами диаго¬
нальны по поколениям:
Cw = -Ц=йп1 + Ci-uLnl *Wj;dLn+h.c.
V2
\/2
Юкавские константы можно представить в виде
Y1 = tj1l уЧи1*)-1
yd rrrfi.yd/rrdflx-l
1 тп — ^тр J р ч1-' )рп 5
yu = UULYU(UUR)~1
■l mn — mp * p \w Jpni
530
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
где константы Υρ, Υρ и Υρ действительны, a U1l ,..., UUR — унитарные матрицы;
по повторяющемуся индексу р подразумевается суммирование.
> Задача 5. Доказать сделанное утверждение.
Именно эти матрицы осуществляют переход к массовому базису в пространстве полей:
iRm
II
£
3
djtm = Umndn„ ,
CmnV,R,
— TTlL 7
771711 L/n ?
d-Lm = UZtkdLn,
Стпп'й-Ь,
Действительно, в терминах полей с тильдой вклады (В.27) и (В.28) в лагранжиан Стан¬
дартной модели будут диагональны, например,
= Σ ^П'Мяр·
При таком преобразовании кинетические члены полей материи, а также калибровоч¬
ные взаимодействия с глюонами, фотонами и 2-бозоном по-прежнему останутся диа¬
гональными, а взаимодействие с W*-бозонами будет содержать матрицы смешивания
поколений.
В рамках Стандартной модели смешивание в лептонном секторе нефизическое —
его можно избежать, переопределив поля нейтрино:
Um * &τη · &m = (^ ^ Un.
Поскольку все калибровочные взаимодействия нейтрино пропорциональны единичной
матрице (в пространстве поколений), то такое переопределение не приведёт к появле¬
нию смешивания в секторе нейтрино. Причина отсутствия смешивания в лептонном
секторе Стандартной модели — безмассовость нейтрино. В реальном мире нейтрино
массивны, и смешивание между ними имеется. Это обсуждается в Приложении С.
В кварковом секторе ситуация иная, и переход к массовому базису приводит к по¬
явлению смешивания между кварками разных поколений в вершинах взаимодействия
с И "-бозонами:
C\v = йьт
\/2
YWpVmndLn + -j=dLn^w-vznuL
(В.29)
где
Ξ (tfUL)r* Udkf
— унитарная 3x3 матрица смешивания Кабиббо—Кобаяши—Маскава.
Унитарная матрица 3x3 общего вида задаётся девятью действительными пара¬
метрами (размерность группы унитарных матриц U{Z)). С точки зрения ортогональной
подгруппы вращений 50(3), эти параметры можно разбить на три действительных па¬
раметра — углы вращения, и шесть мнимых — фазы. Для матрицы смешивания кварков
пять из шести фаз оказываются нефизическими. Их можно изгнать из (В.29) в резуль¬
тате переопределения фермионных полей /п —* /пе,3п. Такое преобразование полей
фермионов не приводит к появлению комплексных коэффициентов в других частях ла¬
гранжиана (В.15), поскольку во все остальные его слагаемые, кроме (В.29), фермионные
поля входят в комбинациях, явно инвариантных относительно фазовых вращений, типа
fnfn и /η7μ fn ■ Оставшаяся единственная фаза в матрице Кабиббо—Кобаяши—Маскава
является источником CP-нарушения в слабых взаимодействиях (об этом речь ниже).
В.4. Смешивание кварков
531
В стандартной параметризации [5] матрица V имеет вид
(С12С13 S12C13
— S12C23 — Ci2523Si3eI<Sl3 С12С23 ~ Si2S23Sl3eltfl3
S12S23 — Ci2C23Sl3etil3 —C12S23 — Sl2C23Sl3el<513
где Cij = cos6ij, Sij = sin^ij, a 6ij, i,j = 1.2,3, — углы смешивания, и <Si3 — CP-
нарушающая фаза. Мы убедимся в конце этого раздела, что матрица V действительно
может быть представлена в таком виде. Величины входящих сюда параметров опреде¬
ляются с хорошей точностью из многочисленных экспериментов:
S12 = 0,2254, S13 = 0,0035,
S23 = 0,04118, 5i3 = 69°±5°.
si3e"i6l3\
S23C13 I i (B.30)
C23C13 /
Абсолютные величины элементов матрицы смешивания кварков равны [5]
/0,97427^0,00014
U, .ώΖυοΟ_ 0,00061
0,00355iS;SSg\
|У| =
U,ZZOZZ_0j00061
0
ю
-4
СО
со
1 +
о о
о о
о о
о о
о< сл
0,0414ΐ°;°°}2
Uoo866i°;K
0,0405i°;S°“
0,999141°;°°°^
где ошибки соответствуют одному стандартному отклонению (68 %-й доверительный
интервал). Отметим, что CP-нарушающая фаза матрицы Кабиббо—Кобаяши—Маскава
велика, однако соответствующие CP-нарушающие эффекты в Стандартной модели по¬
давлены малостью углов смешивания, что наглядно видно при использовании стандарт¬
ной параметризации (В.30).
Общий факт, что комплексность матрицы Vmn приводит к нарушению СР, выте¬
кает из закона преобразования полей при СР-преобразовании:
фь ЧУ°Фь, Фь г]~1фь7о, (В.32)
Фь$Сф1, Фь^Ф1(С~1)т, (В.ЗЗ)
где η — фазовый множитель (η2 = ±1), а 4 х 4 матрица С преобразует компоненты
дираковского спинора ф при зарядовом сопряжении. Конкретный вид этой матрицы
зависит от представления матриц Дирака, причём условия самосогласованности пре¬
образований фиф, требования инвариантности (чётности) свободного лагранжиана
дираковского фермиона и изменения знака (нечётности) электрического тока при за¬
рядовом сопряжении, вообще говоря, фиксируют вид матрицы С с точностью до фи¬
зически не наблюдаемого фазового множителя. В вейлевском представлении матриц
Дирака она имеет вид
С = —г727° =
—га 2 0
0 102
Для билинейной комбинации спиноров, образующих заряженный ток, взаимодействую¬
щий с бозон ом (см. (В.29)), вышеперечисленные условия приводят к простому закону
преобразования (тильду над полями в массовом базисе не пишем)
532
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
С учётом закона преобразования полей ТУ-бозонов при СР-сопряжении
W,
± СР
-w?, w± с3 w?,
окончательно находим, что при СР-преобразовании взаимодействие (В.29)) переходит
в
(В-34)
ГСР
L-W
= -^dLn^W-VnnuLm + -j=uLm^WiV^ndLn .
Сравнение (В.34) с (В.29) показывает, что взаимодействие (В.29)) нарушает СР, если
элементы матрицы смешивания Vmn — комплексные величины.
Этот результат отражает общее свойство теории поля: при СР-преобразовании ис¬
ходный лагранжиан переходит в лагранжиан с комплексно-сопряженными константами
связи. Если в наборе констант связи теории имеются неустранимые фазы, то в такой
теории СР-инвариантность нарушена.
В качестве иллюстрации оценим разность парциальных ширин
t W*b и ί -► W~b.
которые были бы одинаковы, если бы CP-симметрия сохранялась в Стандартной моде¬
ли (СРГ-симметрия требует, чтобы полные ширины частиц и античастиц совпадали).
На древесном уровне парциальные ширины одинаковы, и основной вклад в их разность
даёт интерференция древесного и однопетлевого вкладов. Для распада ί —* W~b эти
вклады следуют из диаграмм, приведённых на рис. В.1 (аналогичные диаграммы дают
вклад в распад t —> И’ “ 6).
Рис. В.1. Древесная и однопетлевая диаграммы распада t —> W~b. дающие
в рамках Стандартной модели основной вклад в разность парциальных ширин
t —> W~b и t —> W~b. Явно показаны элементы матрицы Каббибо—Кобаяши—
Маскава, которым пропорциональны соответствующие вершины
Если обозначить древесный вклад в амплитуду распада t —► IV^b как Y&Mtree, то
однопетлевой вклад можно представить в виде
2 3
Mtree ■ ' g 2 V3nVlnVl3(Anl + ΐπΒη[),
‘ η . i = 1
где Лп(, Bni — действительные функции, зависящие от масс И'-бозона, ί- и 6-кварков,
а также от массы верхнего кварка /-го поколения и нижнего кварка η-го поколения.
В дальнейшем нам понадобится только функция Βηι, которую удобно представить
в виде
Bni = —
Сп=6
-х~ +
/ xdx С η.
m-t ,
Jo
1 +
mdn
О
\
X T-
mi
m~t >
1 mi
В.4. Смешивание кварков
533
(здесь θ(ζ) — обычная функция скачка). Функция Βηι определяет мнимую добавку
в амплитуду, причём эта мнимость связана с кинематикой виртуальных процессов,
а не с комплексностью констант взаимодействия: вклад возникает в результате интегри¬
рования по таким виртуальным импульсам, что часть виртуальных частиц оказывается
вблизи массовой поверхности. Поскольку это кинематический эффект, он даёт в точ¬
ности такой же вклад в амплитуду распада t —► W~b, которая на однопетлевом уровне
будет иметь вид
2 3
Mtree ’ VsnVlnVi3(Ani +ίπΒηι).
η,1=1
Ширины распадов определяются квадратами модулей соответствующих амплитуд
(мы учли, что (Т-'зз | с хорошей точностью равен 1).
IM(t -> W+Ь) |2 = |Mtree|2 X
X I1+ χ^2 (^33 Σ V3nVl*nVi3(Ani + iirBni) + h.c?j + 0(54)}, (Β.35)
\M(t - W~b)\2 = \Mtreef X
X {i + ^2 (V33 Σ v*nVinVr3{Anl + ιττΒηΐ) + h. с.) + 0(54)}. (B.36)
Таким образом, окончательно получаем в главном порядке по д2
Л r(t-*W+b)-r(t->W~b)
СР ~ Г(t -> W+b) + T(t -f w-Ъ)
от» '
l, n
Численно разность ширин очень мала,
ДСр = 1,7· 10"7,
поэтому данный эффект вряд ли можно будет исследовать экспериментально в обозри¬
мом будущем. Отметим, однако, что CP-нарушающая фаза приводит ко многим другим
эффектам (в особенности в процессах с участием нейтральных каонов и В-мезонов),
часть которых наблюдается экспериментально. Для нас важно, что описанный меха¬
низм, обеспечивающий отличие парциальных ширин частиц и античастиц, является
довольно общим. В различных теориях, обобщающих Стандартную модель, этот меха¬
низм используется для генерации барионной асимметрии (см. Главу 11).
Убедимся в том, что фазовыми вращениями кварковых полей матрицу смешивания
кварков можно представить в виде (В.30). Речь идёт о преобразованиях
dL„ —*· eli3ndLn, η = 1,2,3
—» e~”' uLu , η = 1, 2, 3
(Β.37)
где Зп и 7η произвольны. Единственным эффектом таких преобразований является
умножение матрицы V на диагональную унитарную матрицу diag(e!;31. е1:3-. ег3я) справа
и другую диагональную унитарную матриц\г diag(e~!7l.e_,7-.e_t73) слева.
534
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
Начнём со случая двух кварковых ароматов, т. е. 2 х 2 матрицы V. Произвольную
унитарную матрицу 2x2 можно записать как
у _ е^е*т303е»(т1 sin х + т2 cos χ)^5
где Тг — матрицы Паули (общий рецепт состоит в том, чтобы написать произведение
экспонент от всех генераторов унитарной группы с произвольными коэффициентами,
при этом генераторы могут стоять в показателе экспоненты и по одиночке, и группами).
Первые два множителя здесь уже диагональны, и от них можно избавиться преобразо¬
ванием типа (В.37). Оставшаяся матрица имеет вид
e»(n sin χ+τ2 cos χ)φ
С
—se~ix
где s = sin φ, с = cos φ. Её можно представить в двух эквивалентных видах
где
и
А)
о-
о
О -
с
s
(В.38)
(В.39)
— вещественная матрица. От первого и последнего множителя в (В.38) вновь можно
избавиться фазовыми вращениями кварков, откуда следует, что матрица смешивания
в случае двух ароматов может быть выбрана действительной и равной (В.39).
Перейдём теперь к случаю трёх ароматов кварков. Запишем матрицу V в виде
V = e^elA303eiA608i/45i/67C/i2:
(В.40)
где
jji2 _ gi(Xl sin х + λο cos χ)θι2 _ 0ί(λ4 sin ζ-ί-λό COS ΟΘ23 JJQ7 _ е*(А6 sin ξ-Ηλ7 cos ξ)0ι3
Здесь Λα, a = 1,... ,8 — матрицы Гелл-Манна. Матрицы Аз и λβ диагональны, поэто¬
му первые три множителя в (В.40) вновь несущественны. Оставшиеся матрицы Гелл—
Манна равны
λι
Ac =
λ.1.5 —
О
η,2
0
1\
/0
0
—г
0
0 ’
о
II
I-
0
0
0
0
\г
0
0
Поступая аналогично случаю двух ароматов, запишем
U12 = diag(l,е-гх, 1) · O12 ■ diag( 1, е'х, 1) (В.41а)
U45 = diag(l, 1, е-г<*) · О4s · diag(l, 1, егС) (В.41b)
С/б? = diag(e,?, 1,1) · Об7 ■ diag(e-!?, 1,1), (В.41с)
В. 5. Эффективная теория Ферми
535
где
с 12
Sl2
0\
/1
0
°\
/ C13
0
Sl3
— Sl2
Cl 2
0 ,
0
II
Ю
•Ч1
0
C23
523 I ,
0&7 = 1 0
1
0
0
0
I/
Vo
— 523
С23 у
\-5l3
0
C13
и обозначения совпадают с использованными в (В.30). От последнего диагонального
множителя в (В.41а) и первого множителя в (В.41Ь) можно избавиться фазовыми вра¬
щениями кварков, поэтому эквивалентная форма матрицы V имеет вид
V = O45 ■ diag(e*?, 1,ек) · 0<vrdiag(e ζξ,β ιχΛ)·Οΐ2·
Произведём дополнительные вращения полей кварков, приводящие к умножению мат¬
рицы V слева и справа на диагональные матрицы, коммутирующие с Оаь и Ощ, соот¬
ветственно,
diag(e1Q. 1,1) · V ■ diag(e1">,el',e1'3) =
= Оаь ■ diag(ei(i+a), 1,είζ) · 067 ■ diag(ei(^°,el(7-x),ei3) · 012.
Прямым вычислением можно показать, что
diag(e^€' Q\
l,eic) -067 •diag(e,('>-°,ei(7“x),
, ei0) =
/ ci3ei(a+7) 0
5i3el(i+<
II
0
а>ы
Л
1
X
0
V-si3ei(7+c-5) 0
ci3el(l3·
Выбирая а = —7 = —χ, β = —ζ, получим, что единственный оставшийся фазовый
множитель стоит при S13, причём ξ 4- α + β = — (7 + С — ξ) = δ. Таким образом, матрица
Каббибо—Кобаяши—Маскава может быть представлена в виде
V =
что совпадает с (В.30).
0
°\
( C13
0
5i3et<5\
/ C12
512
O'
0
C23
523 I
0 ,
1
°
-Sl2
Cl2
0
0
—S23
C23J
\-513e lS
0
C13 У
V 0
0
1
(В.42)
В.5 Эффективная теория Ферми
Процессы при низких энергиях Е -С М\у хорошо описываются эффективной тео¬
рией Ферми. Лагранжиан этой теории получается из (В.15) в результате «отынтегри-
рования» полей массивных векторных бозонов.
В Стандартной модели взаимодействие массивных векторных бозонов с полями
материи имеет вид (см. (В.17))
β'/. weak —
2 COS θ\ν
^(3ζα\ν“ + +h.c),
536
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
PuPv
MZ,W
02_ v/2
P lUZ.\V
p2 <S Mz \y
Ί1μν
M'kw
Рис. В.2. Точечное приблио/сение для пропагаторов массивных векторных бо¬
зонов
а) Ь)
Рис. В.З. Связь между диаграммами Стандартной модели и теории Ферми
где слабые нейтральный J* с и заряженный J^c токи равны:
J?C =ΣΡ'Λ4(1 - 75) - 2,, sin3 в»,)/, (В.43)
f
c = ^ 2>ш7м(1 - 7 °)lm + - 'fWmndn. (B.44)
m m.n
При E -С М2 в начальных и конечных состояниях могут присутствовать только поля
материи — лептоны и кварки (кроме тяжёлого ί-кварка). При таких энергиях основной
вклад в слабые амплитуды даёт однократный обмен виртуальными массивными век¬
торными бозонами. В технике фейнмановских диаграмм «отынтегрирование» сводится
к стягиванию пропагаторов Z- и И'-бозонов в точку (см. рис. В.2). В результате диа¬
граммы Стандартной модели, типа приведённой на рис. В.З а, переходят в диаграммы
типа приведённой на рис. В.З Ъ и отвечающей теории Ферми — эффективному четырёх¬
фермионному взаимодействию. Таким образом, отынтегрирование Z-бозона приводит
к появлению взаимодействия вида
Gf
tNC jNC
Cn = - —£=J„ J
y/2
а отынтегрирование И7±-бозонов даёт
г _ Gf jCC jCC
Cc = “TT7" J
Константа связи Gf эффективного взаимодействия имеет размерность обратного квад¬
рата массы и определяет масштаб четырёхфермионного взаимодействия. Она получила
название константы Ферми. Эта константа связана с фундаментальными параметрами
Стандартной модели соотношением (см. рис. В.2)
Gf =
9~
4л/2М-у :
В. 6. Особенности сильных взаимодействий
537
и равна
Gf = 1.17 · 10-3 ГэВ-2.
В завершение раздела отметим, что аналогичная процедура отынтегрирования
хиггсовского бозона также приводит к эффективному четырёхфермионному взаимо¬
действию вида гртпфт · фпфп· Эффективные константы связи при этом пропорциональ¬
ны соответствующим юкавским константам фермионов, которые малы по сравнению
со слабой калибровочной константой12. Поэтому влиянием этого эффективного взаи¬
модействия на процессы при низких энергиях можно пренебречь.
В.6 Особенности сильных взаимодействий
Хотя переносчики сильных взаимодействий — глюоны — являются бсзмассовыми
частицами, для описания сильных взаимодействий при низких энергиях (точнее, при
мачых передачах импульса Q) прибегают к эффективным теориям. В отличие от тео¬
рии Ферми такая необходимость возникает из-за того, что КХД находится в режиме
сильной связи при энергиях порядка Aqcd ~ 200 МэВ и даже несколько выше.
Калибровочная константа сильного взаимодействия as(Q) = gl(Q)/(4тг) растёт
с уменьшением энергии и становится большой (на однопетлевом уровне — обращает¬
ся в бесконечность) при Q = Aqcd· Таким образом, при попытке описать сильные
процессы с характерными энергиями Е ~ Aqcd не только «взрывается» ряд теории
возмущений по калибровочной константе связи (т. е. основной метод вычислений в кван¬
товой теории поля выходит за пределы своей применимости), но и теряет смысл само
описание в терминах кварков и глюонов.
Эта особенность теории полностью согласуется с тем фактом, что кварки и глюо¬
ны не наблюдаются в свободном состоянии. Они «заключены» внутри бесцветных ча¬
стиц — адронов (мезонов и барионов) и начинают играть самостоятельную роль только
в процессах с характерными передачами импульса, превышающими Aqcd· Это явление
получило название конфайнмента — невылетания кварков и глюонов. Ясно, что харак¬
терный размер лёгких адронов — области «заключения» и-, d- и s-кварков и глюонов —
составляет как раз AqqD.
Взаимодействия легчайших адронов (протон, нейтрон, пионы, каоны и др.) между
собой и с частицами Стандартной модели, не заряженными по калибровочной груп¬
пе SU(3)c, при низких энергиях удовлетворительно описываются в рамках киралъной
теории возмущений. Для описания более тяжёлых адронов, а также сильных процессов
в промежуточной области Е > Aqcd используют различные, как правило, полуфеноме-
нологические подходы. Целый ряд величин, характеризующих КХД в области сильной
связи, можно вычислить «из первых принципов», рассмотрев теорию на решётке и вы¬
числив функциональные интегралы на компьютере. С точки зрения космологии интерес
представляют, например, решёточные вычисления температуры перехода КХД, кото¬
рая составляет Tqcd — 170 МэВ [250].
12 Исключение составляет юкавская константа ί-кварка, однако он не участвует в процессах
при низких энергиях, которые мы здесь обсуждаем.
538
Приложение В. Стандартная модель физики частиц
В.7 Эффективное число степеней свободы
в Стандартной модели
Используя спектр Стандартной модели и учитывая особенности сильных взаимо¬
действий, можно найти для первичной плазмы эффективное число релятивистских
степеней свободы 5* как функцию температуры. Результат оценки, использующей при¬
ближение 0-функции (ступенька) для описания поведения д* (Т) вблизи порогов частиц
и температуры перехода КХД, приведён на рис. В.4. Масса хиггсовского бозона поло¬
жена равной тн = 126 ГэВ.
Рис. В.4. Эффективное число степеней свободы д* в первичной плазме как
функция телтературы. Учитываются только частицы Стандартной модели
При температуре Т < 100 МэВ ультрарелятивистскими являются только фото¬
ны, электроны и нейтрино, так что при 1 МэВ < Т < 100 МэВ эффективное число
релятивистских степеней свободы равно
7 ля
д*(Т < 100 МэВ) = 27 + -(4е + 3 · 2.) = -р = 10,75.
8 4
Выше температуры перехода КХД в плазме присутствуют лёгкие кварки (и, d, s) и глю¬
оны, причём их взаимодействие не слишком сказывается на таких термодинамических
величинах, как плотность энергии или давление (об этом свидетельствуют результаты
решёточных вычислений). Поэтому при Т ~ Tqcd эффективное число релятивистских
степеней свободы изменяется на
A glQCO) = 8·2 + ^·3·3·4 = 47,5.
О
В. 7. Эффективное число степеней свободы в Стандартной модели
539
Первый вклад здесь связан с глюонами (безмассовые векторы в восьми цветовых со¬
стояниях), второй — с u-, d.-, s-кварками и антикварками, каждый из которых может
находиться в трёх цветовых состояниях. Чуть раньше включается мюон — его масса ста¬
новится малой по сравнению с температурой при Т > 100 МэВ. Ступеньки при более вы¬
соких температурах соответствуют более тяжёлым частицам, показанным на рис. В.4.
При Т > 200 ГэВ эффективное число степеней свободы равно (в рамках Стандарт¬
ной модели с одним скалярным дублетом):
д*(Т> 200 ГэВ) =
= 2-γ + 2 · 3w + 3z + 1ft +
= 106,75.
Здесь подстрочный индекс обозначает тип частиц, надстрочный индекс (с) относится
к числу цветовых состояний, последние множители — числа спиновых состояний. От¬
метим, что в приведённом подсчёте учитываются по 3 поляризации W- и Z-бозонов
и одна степень свободы хиггсовского бозона, что верно для Стандартной модели в фа¬
зе Энглера—Браута—Хиггса, В фазе с ненарушенной электрослабой симметрией W-
и Ζ-бозоны не обладают массами и имеют по 2 поляризации, зато скалярное поле —
комплексный дублет — описывает 4 скалярные частицы. Число степеней свободы одно
и то же в этих двух фазах, так что результат (В.45) верен в любом случае.
• 2σ + ? (3 · 4е + 3 · 2„ -I- 6 ■ 3(с) ■ 4д) =
О
Приложение С
Осцилляции нейтрино
Осцилляции нейтрино — переходы нейтрино с изменением аромата — единствен¬
ное на сегодняшний день прямое свидетельство неполноты Стандартной модели физики
частиц, полученное в лаборатории, а не из космологии или астрофизических наблюде¬
ний. Нейтринные осцилляции возможны, если нейтрино массивны, и при этом имеется
смешивание между поколениями лептонов, аналогичное рассмотренному в разделе В.4
смешиванию между кварками. В Стандартной модели перенормируемые калибровочно¬
инвариантные члены в лагранжиане, которые приводили бы к массам нейтрино, напи¬
сать невозможно. Именно поэтому для описания нейтринных осцилляций Стандартную
модель требуется расширять.
Исторически первыми экспериментами, результаты которых указывали
на нейтринные осцилляции, стали измерения потоков солнечных и атмосферных ней¬
трино. Впоследствии эти наблюдения были подтверждены экспериментами с нейтрино
от ядерных реакторов и с нейтрино от ускорителей.
С.1 Смешивание нейтрино и осцилляции
В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах механизм, приводящий к осцил¬
ляциям нейтрино. При этом мы пока опустим важные аспекты, связанные с тем, что
нейтрино имеют спин 1/2. Эти аспекты будут обсуждаться в разделе С.4.
С. 1.1 Вакуумные осцилляции
В обобщениях Стандартной модели, допускающих отличные от нуля массы ней¬
трино, возможны осцилляции между нейтрино разных типов. А именно, нейтрино рож¬
даются в слабых процессах в полном соответствии со Стандартной моделью1. Напри¬
мер, в бета-распаде нейтрона п —» ре+ ve рождается электронное нейтрино, в распаде
тг^ —* μ+ is μ — мюонное, а в адронных распадах т_-лептона — т-нейтрино. Однако
в базисе не, νμ, vr гамильтониан, описывающий дальнейшее свободное распростране¬
ние нейтрино, недиагонален, что и приводит к осцилляциям. В дальнейшем мы будем
называть этот базис калибровочным, поскольку'· в нём калибровочные взаимодействия
лептонов диагональны по поколениям.
гНас в этом Приложении будут интересовать процессы при не слишком высоких энергиях,
для которых это утверждение заведомо справедливо.
540
С.1. Смешивание нейтрино и осцилляции
541
Ситуация здесь во многом аналогична смешиванию кварков (раздел В.4). В базисе,
где калибровочные взаимодействия кварков диагональны (калибровочный базис), мас¬
совая матрица кварков недиагональна, и наоборот, в базисе, где диагональна массовая
матрица кварков (массовый базис), недиагональны их калибровочные взаимодействия.
В случае кварков удобно работать исключительно в массовом базисе. При обсужде¬
нии нейтринных осцилляций полезно использовать как калибровочный, так и массовый
базисы.
Будем считать, что в природе имеется три типа нейтрино; о возможности допол¬
нительных типов мы упомянем позже. Поскольку и рождение, и регистрация нейтрино
осуществляются посредством слабых взаимодействий, экспериментально наблюдаемы¬
ми состояниями являются именно состояния |ι/β), \νμ) и \ντ) — реперные вектора ка¬
либровочного базиса2. Переход от калибровочного базиса \ua), а = е, μ, г, к массовому
базису \ui), г = 1,2,3, осуществляет унитарное преобразование, которое традиционно
записывают в виде
| Vi) = UaiWa) (C.l)
(суммирование по повторяющимся индексам подразумевается). Здесь унитарная мат¬
рица Uai — это матрица смешивания в секторе нейтрино. Обратное преобразование
от массового к калибровочному базису имеет вид
W*) = (U')u*Wi)=U*i\vi) (С.2)
Состояния |Ui) являются собственными состояниями свободного гамильтониана, т. е.
они имеют определённые массы т*. Матрицу смешивания U называют матрицей
Понтекорво—Маки—Накагава—Саката (PMNS).
Удобство определения (С.1) состоит в том, что массовая матрица нейтрино в ка¬
либровочном базисе имеет простой вид
ма0 = Ы мы = [им{тп)и])а0, (с.з)
где м(т) — диагональная массовая матрица в массовом базисе,
Mij TTZiSij. (С.4)
Свободная эволюция нейтрино в системе покоя определяется собственными значениями
массовой матрицы:
Mt)>=e"im'‘M0)>. (С.5)
Если в момент t = 0 имелось чистое калибровочное состояние, — например, электронное
нейтрино |i/e), то через время t другие компоненты вектора состояния в калибровочном
базисе также становятся ненулевыми. Это означает, что существует ненулевая вероят¬
ность зарегистрировать мюонное или т-нейтрино через время t.
Для практических приложений ставится задача о вычислении в лабораторной си¬
стеме отсчёта вероятности перехода uQ —► v0 на удалении L от места рождения нейтри¬
но va. При этом формула (С.5) для эволюции нейтрино в массовом базисе обобщается:
2В литературе вместо термина «калибровочный базис» нередко используют термин «флэй-
ворный базис» («flavor basis”), а состояния \ve), \νμ) и \uT) называют «флэйворными состояни¬
ями» («flavor states”).
542
Приложение С. Осцилляции нейтрино
где pj и Ej — импульс и энергия нейтрино соответственно. Интерес представляет случай
ультрарелятивистских нейтрино. Считая, что энергия нейтрино фиксирована3, и учи¬
тывая, что в ультрарелятивистском случае
получим, что эволюция состояний в массовом базисе в зависимости от пройденного
расстояния описывается формулой (с точностью до общего для всех нейтрино фазового
множителя)
\vj{L)) = exp |М0».
Отметим, что эта эволюция соответствует эффективному гамильтониану
М2
H*ff = (С.6)
где М — массовая матрица нейтрино, выражения для которой в массовом и калибровоч¬
ном базисах имеют вид (С.4) и (С.З) соответственно. Из (С.1) следует, что амплитуда
перехода нейтрино иа в нейтрино νβ равна
А{а β) = ^{ив\и0Щ){и0{0)\иа) =
i
= ^M^>expj-^Lj(i/j|i/Q) = (C.7)
Формула (C.7) позволяет вычислить вероятность перехода между двумя состояниями
калибровочного базиса после преодоления расстояния L:
Р(иа -> ив) = |Λ(α - β)\2 =
= δαβ - 4^ Re[UZjUpjUaiUZi] sin2 (^-Lj +
j>i ' '
+ 2£Im[U"ajUejUbiU-gt] sin (^Φ-ΐ) , (C.8)
j>i ' '
где
Arriji = m2 — m2.
Полученная формула описывает осцилляции с амплитудой, определяемой нейтринной
матрицей смешивания, и длинами осцилляций, определяемыми отношениями разностей
квадратов масс нейтрино к энергии. Отметим, что в реальных ситуациях осцилляци-
онная картина может замываться, если источник имеет большой пространственный
размер и/или производится усреднение по некоторому интервалу энергий нейтрино.
3В литературе можно найти обсуждение тонких вопросов типа «являются ли состояния
рождённых нейтрино собственными состояниями оператора энергии Pq или оператора импуль¬
са Р?" Ответы на подобные вопросы важны для правильного описания осцилляций не слишком
релятивистских нейтрино, |ρι,| < ш„, а также для изучения пределов применимости осцил-
ляционной картины (она заведомо неприменима на больших расстояниях от источника, куда
нейтрино разных масс приходят за существенно разное время). Этих вопросов мы здесь не ка¬
саемся.
С.1. Смешивание нейтрино и осцилляции
543
Ясно, что наряду с осцилляциями нейтрино должны быть (и они наблюдаются экс¬
периментально) и осцилляции антинейтрино, для описания которых применим такой же
формализм. СРГ-теорема обеспечивает связь между вероятностями нейтринных и ан-
тинейтринных переходов:
P(ua —» Up) = Р(&3 —> Va)· (С.9)
Поскольку вероятность перехода up —> ua совпадает с вероятностью перехода ua —» up,
вычисленной с комплексно-сопряжённой матрицей смешивания нейтрино (см. (С.8)), то
связь (С.9) приводит к равенству
Ρ(ΰα —► ΰβ\U) = P(ua -*· up·, С/*).
Это равенство показывает, что отличие вероятностей осцилляций нейтрино и антиней¬
трино возможно лишь для комплексной матрицы U (см. формулу (С.8)); оно означа¬
ло бы нарушение СР-симметрии в лептонном секторе. Отметим, что нетривиальная
CP-фаза возможна, только если число типов нейтрино больше двух: в случае двух
типов нейтрино матрицу смешивания U можно сделать действительной путём пере¬
определения полей (см. ниже).
Важным примером является случай осцилляций между двумя типами нейтри¬
но. В этом случае 2x2 унитарная матрица Uai, г, a = 1.2, определяется четырьмя
действительными параметрами. А именно, в конце раздела В.4 мы показали, что вся¬
кую унитарную матрицу 2x2 можно представить в виде U = D1OD2, где Ρι,2 =
diagie*^1,2, е**1,2) — диагональные матрицы фазовых вращений (при этом одну из фаз
можно считать равной нулю), а О — действительная ортогональная матрица. Из фор¬
мулы (С.8) видно, что матрицы D\$ несущественны с точки зрения осцилляций, поэто¬
му можно считать, что переход от калибровочного к массовому базису осуществляет
матрица
/ cos0 sin0
у — sin 0 cos 0
(С.Ю)
зависящая лишь от одного параметра — угла смешивания 0.
В двухнейтринном случае формула (С.8) упрощается:
Р(^а
up) = δαρ 4- (—1)ίαί3 sin2 20sin2
(C.ll)
Иначе говоря, вероятность перехода нейтрино ua в нейтрино другого типа up равна
P{ua
Up^a) - sin2 20 sin2
(C.12)
а вероятность выживания нейтрино типа ua равна
P(ua —* va) = 1 — Р(иа —* ирфь) = 1 — sin2 20 sin
sin2(
Am2
\ AE
(C.13)
Угол смешивания определяет амплитуду осцилляции А = sin2 20, а длина осцилляции
равна
Л'тг 77?
(С.14)
_ АттЕ . Е эВ2
Lose = ——ό = (2,5 км)
Am2 ГэВ Ат2 '
На таком расстоянии нейтрино uQ возвращается в исходное состояние, максимальная же
вероятность осцилляций имеется в точках, удалённых от места рождения нейтрино
на расстояния Lk = LOSc{ 1/2 + к), к = 0,1,2,... .
544
Приложение С. Осцилляции нейтрино
С. 1.2 Осцилляции трёх типов нейтрино в частных случаях
В случае трёх типов нейтрино их матрица смешивания может быть представлена
в виде (см. конец раздела В.4)
t/PMNS = DiUD2j (СЛ5)
где Ад — снова диагональные матрицы фазовых вращений, D\ = diag(emi, ег“2,
е!&3), Di = diag(el/Sl, егв2, ег^3), а матрица U имеет ту же форму, что и матри¬
ца У в (В.ЗО), (В.42):
/ С12 S12 0\ / С13 0 δ!3βιδ\ /1 0 0 \
U = I — Si2 С12 О ) ( 0 1 Olio С23 S23 1
\ 0 0 \) \—Si3e-I<5 0 Ci3 / \0 —вгз сгз/
(С12С13 S12C13 si3e_t<5\
— S12C23 — Ci2S23Sl3eI<5 С12С23 — 5i2S23Sl3el<5 S23C13 I · (С.16)
S12S23 — Ci2C23Sl3ei5 —C12S23 — Sl2C23Sl3etl5 C23C13 /
Некоторые фазы, входящие в £>1д, могут быть физическими (см. раздел С.4), однако
так же, как в случае двух типов нейтрино, формула (С.8) показывает, что эти фазы
несущественны для осцилляций. Таким образом, в общем случае осцилляции между
нейтрино трёх типов описываются тремя углами смешивания и одной фазой, входящими
в (С. 16). Позволяя себе некоторую путаницу в терминологии, матрицу U вида (С. 16)
мы в дальнейшем также будем называть матрицей PMNS.
Как мы будем обсуждать в дальнейшем, в природе имеется иерархия разностей
квадратов масс нейтрино:
|Δττΐ3ΐ| » Amh. (С.17)
Здесь мы придерживаемся следующего соглашения о нумерации массовых состояний:
масса m3 сильно отличается от масс mi и m2; массы mi и m2 близки между собой,
причём
m2 > mi.
Отметим, что выполняются также соотношения
12 I I 2 2 I I 2 I о
Ат.з2 j = |Дт71з1 — А?211 ~ | Атпз^ | Αττι^ι ■
Свойство (С. 17) подразумевает, что реализуется либо прямая, либо обратная иерархия
масс, как это изображено на рис. С.1. Убедимся, что благодаря этому свойству форму¬
лы, описывающие осцилляции между тремя типами нейтрино, в двух частных случаях
похожи на те, которые относятся к описанным в конце предыдущего раздела двухней¬
тринным осцилляциям. Эти случаи в действительности представляют большой интерес,
поскольку первый из них нередко реализуется для ускорительных и реакторных ней¬
трино, а второй — для солнечных нейтрино.
Начнём со случая, когда энергия Е и расстояние от места рождения нейтрино г/а
до места детектирования таковы, что
Δ7ΤΙ21
2 Е
L < 1.
Тогда первое осциллирующее слагаемое, входящее в (С.8), выражается через
(С.18)
E, U^USJUatUSi-sm'2 (^pb) = !j;j3U3l(UaiU'ei+Ua,U-32) sin2 ■ (С. 19)
С.1. Смешивание нейтрино и осцилляции
545
о
тп ”
v
771
2
3
ттг
2
то
2
1
ТП
ТО,
ТО
2
3
а)
Ь)
Рис. С.1. Прямая (а) и обратная (Ъ) иерархии масс нейтрино
Учтём теперь условие унитарности
(UU%0 = Σ U*iU0i = δ«β (С.20)
и запишем выражение (С.19) в виде
υζ3υβ3{δαβ ~ иа3и;3) · sin2 . (С.21)
Последнее выражение действительно для всех а и β и содержит только \Ua3\2 и Щзз|2·
Аналогичная выкладка показывает, что последнее слагаемое в (С.8) равно нулю. Эти
результаты означают, в частности, что эффекты CP-нарушения сильно подавлены4 * *
в режиме (С. 18) (равны нулю в пределе А^21 L —* 0).
Из (С.8) и (С.21) следует формула для вероятности выживания,
Р(иа -» На) = 1 - sin2(20e//)sin2 γ-L) , (С.22)
где, по определению,
sin2 $eff = \иаз\2-
Формула (С.22) вполне аналогична выражению (С. 13), справедливому для двухней¬
тринных осцилляций. Вероятность появления нейтрино типа β Ф а равна
Р(на - ы = 4|{Лзз|2|С/аз|28т2 (С.23а)
= ESbsin2(2S'")sin2(^li)· (С23Ь)
4В экспериментах на Земле режим (С. 18), как правило, действительно реализуется. В связи
с изложенным, а также из-за малости угла θ\3 (см. ниже) наблюдение CP-нарушения в осцил¬
ляциях нейтрино является трудной экспериментальной задачей.
546
Приложение С. Осцилляции нейтрино
Последняя формула отличается от (С.12) первым множителем, который учитывает
соотношение между примесями двух состояний с β ф а в массовом
состоянии из.
Перейдём теперь ко второму частному случаю. Он относится к экспериментальной
ситуации, в которой область, где рождаются нейтрино, достаточно велика и/или ней¬
трино имеют достаточно большой разброс энергий, так что факторы, осциллирующие
с фазами, пропорциональными Am\i и Дт^, усредняются,
Нас будет интересовать вероятность выживания Р(иа —* иа). Вновь используя условие
унитарности (С.20), её можно представить в виде
P{V* - ^) = 1 - 2|£/аз|2(1 - |*7аз|2) -4|£/й2|2 · |Lrct112 sin2 ·
Введём соответствующий рассматриваемому случаю угол смешивания в'ец соотноше¬
ниями
\и0
\иа
е// |Ε/αΐ|2 + |£/α2|2 “ 1 - |С/оз|2
В результате получим окончательно
• 2 л/
Sill 6eff
\Ua
\Uai\2 + \Uao\f
2 \ 2
P(UQ -> Ua) = \Ua3\ + (1 “ |<Л>зГ)
1 — sin2(20eyy) sin"
( Ami
\ 4 E
(C.24)
В случае малой примеси нейтрино иа в массовом состоянии из. т. е. при |£/0з|2 <§С 1,
последняя формула также переходит в (С. 13).
С. 1.3 Эффект Михеева—Смирнова—Вольфенштейна
Все приведённые выше формулы относятся к вакуумным осцилляциям нейтрино,
т. е. переходам, для которых несущественно влияние среды, в которой нейтрино рас¬
пространяются. Однако в ряде ситуаций важную роль играют особенности, возника¬
ющие при распространении нейтрино в веществе. Соответствующее явление получило
название эффекта Михеева—Смирнова—Вольфенштейна (MSW) [251, 252]; оно возни¬
кает благодаря когерентному рассеянию нейтрино вперёд на электронах среды.
Влияние этого процесса можно учесть, вводя эффективную добавку к гамильтони¬
ану, описывающему распространение нейтрино. Напомним, что при
не слишком высоких энергиях лагранжиан лептонного сектора Стандартной модели
содержит эффективное четырёхфермионное слагаемое, обязанное обмену виртуальны¬
ми Ил-бозонами (заряженные токи)
С =
Gf
\/2
ие7μ(1 - 7°)е ■ έ7μ(1 - 7°)ие = -2s/2GFUe^e ■ βημ^
(С.25)
(см. раздел В.5), где мы учли в последнем равенстве, что нейтрино — это левые фер¬
мионы, так что |(1 — 7°)1/е = ^е· В среде с плотностью числа электронов пе имеем
((eklkiei)) = (<ете)) = пе,
(С.26)
С.1. Смешивание нейтрино и осцилляции
547
где двойными скобками обозначено усреднение по состоянию среды, и в начале формулы
мы явно выписали спинорные индексы. Предполагая, что электрические токи в среде
отсутствуют или малы (это заведомо справедливо для нерелятивистского вещества),
имеем
<(gfc7fciei»=0. (С.27)
С учётом того, что операторы ёк и е/ антикоммутируют, получим из (С.26) и (С.27)
(мы считаем матрицу 7° симметричной). Усредняя по среде лагранжиан (С.25), полу¬
чим вклад в эффективный лагранжиан, описывающий распространение
электронных нейтрино,
Ceff = -2\/2^ρ^ε7μ((εε))7μι/ε = 2л/2С^Пе^Ре7^7°7м1/е =
= - V2G FTlel>e^ Ue.
Отсюда мы заключаем, что в присутствии среды в операторе Дирака ϊημΘμ нужно
сделать замену
г'7°до —> г7°с?о — V2Gρη&η°,
т. е. оператор г до заменяется на
гдо - V,
где
V = V2GFne (С.28)
— вклад среды в эффективный гамильтониан. Подчеркнём, что этот вклад имеется
только для электронных нейтрино (постольку, поскольку в среде отсутствуют мюоны
и т-лептоны).
Последнее утверждение — не вполне точное. В эффективном четырёхфермионном
лагранжиане имеются слагаемые, связанные с обменом Ζ-бозоном (нейтральные токи).
Они имеют структуру типа (см. раздел В.5)
^ё7ме · Ρα7μι/Λ,
а
где суммирование идёт по всем типам нейтрино. В среде такие слагаемые приводят для
нейтрино к эффективному гамильтониану вида, аналогичного (С.28), но одинаковому
для всех типов нейтрино. Последнее означает, что в базисе |ι/α), как и в любом другом
базисе, этот вклад в эффективный гамильтониан кратен единичному оператору, поэто¬
му он не влияет на осцилляции нейтрино, приводя лишь к дополнительной зависящей
от времени общей фазе вектора состояния. В дальнейшем учитывать этот вклад нет
никакой необходимости.
Таким образом, эффективный гамильтониан, описывающий распространение ней¬
трино в веществе, изменяется по сравнению с (С.6):
H.„(L)=^ + V(L). (С.29)
В калибровочном базисе оператор V имеет единственный ненулевой матричный эле¬
мент,
V(L)a0 = V(L)6eaSee,
548
Приложение С. Осцилляции нейтрино
где
V(L) = V2GFne(L)
— вклад вещества на расстоянии L от источника нейтрино.
Влияние вещества на распространение нейтрино приводит к ряду важных и инте¬
ресных эффектов. Один из них мы обсудим в разделе С.2.1, а здесь сделаем одно простое
замечание. Оно состоит в том, что даже в двухнейтринном случае вероятности осцил¬
ляций нейтрино и антинейтрино не равны между собой благодаря влиянию вещества.
Физически это связано с тем, что в веществе присутствуют электроны и отсутству¬
ют позитроны, так что наличие среды явным образом нарушает СР-инвариантность.
Для обсуждения на более формальном уровне заметим, что при СР-преобразовании
оператор плотности числа электронов пе переходит в (—тге), поэтому вклад вещества
в эффективном гамильтониане антинейтрино отличается знаком от (С.28). Указанное
обстоятельство, в частности, представляет собой дополнительную трудность для поиска
СР-нарушения в нейтринных осцилляциях: нейтринные пучки, получаемые с помощью
ускорителей, будут проходить через вещество Земли и только потом детектироваться,
так что «истинное» CP-нарушение (возникающее за счёт комплексности элементов мат¬
рицы PMNS) нужно будет суметь отличить от эффектов вещества.
С.2 Наблюдения нейтринных осцилляций
С.2.1 Солнечные нейтрино и KamLAND
На Земле большой вклад в поток нейтрино естественного происхождения дают
термоядерные реакции в центре Солнца, которые служат источником солнечной энер¬
гии. Перечислим основные из реакций, протекающих в Солнце и сопровождающихся
образованием нейтрино:
р + р —► 2Н + еТ + 2/е,
(С.ЗО)
р-Ье-гр-+2Н-г^е,
(С-31)
3Не + р —► 4Не + е+ + i/e,
(С.32)
' Be + е- —*· 7Li + ve,
(С.ЗЗ)
8В —* 8Be + е~г + ие,
(С-34)
13N- 13С + е+ + ие,
150 — 13N + е+ + i/e.
В этих реакциях образуются только электронные нейтрино. Энергии этих нейтрино
лежат в диапазоне от нуля до десятка МэВ; энергетический спектр солнечных нейтрино
показан на рис. С.2. Поток нейтрино и их спектр рассчитываются в рамках Стандартной
модели Солнца (ССМ, Стандартная солнечная модель) [253, 254].
Нейтрино низких энергий чрезвычайно слабо взаимодействуют с веществом, они
проходят сквозь Солнце и Землю практически без поглощения. Несмотря на большой
поток регистрация нейтрино представляет собой очень сложную экспериментальную за¬
дачу: опять-таки из-за слабости взаимодействия количество событий на единицу массы
детектора мало, поэтому приходится использовать детекторы большой массы (от де¬
сятков тонн до десятков килотонн, в зависимости от типа детектора), набирать ста¬
тистику в течение многих лет, а для снижения фона применять радиоактивно-чистые
С.2. Наблюдения нейтринных осцилляций
549
Галлий
Хлор
SuperK, SNO
Рис. С.2. Спектр солнечных нейтрино на Земле [253]: поток нейтрино в за¬
висимости от энергии. Показаны вклады различных термоядерных реакций
(с оценкой точности вычислений), а также пороги нейтринных детекторов
материалы, помещать детекторы глубоко под землёй (где значительно снижен поток
заряженных частиц космических лучей) и т. д.
Исторически первым экспериментом, предназначенным для измерения потока солнеч¬
ных нейтрино, был эксперимент в шахте Хоумстейк (США), длившийся почти 30 лет [255].
В детекторе массой 615 тонн происходила реакция с участием солнечных электронных
нейтрино,
37С1 + ие -* 37Аг + е~. (С.35)
Единичные атомы 37Аг выделялись из материала мишени химическим путём, а затем
их количество определялось путём подсчёта распадов радиоактивных ядер 37Аг. Экспе¬
рименты такого типа называют радиохимическими. В них измеряется интегральный по¬
ток нейтрино, зависящий от энергетического поведения сечения используемой реакции,
в данном случае реакции (С.35). Эксперимент в Хоумстейке чувствителен в основном
550
Приложение С. Осцилляции нейтрино
к борным нейтрино, образующимся в Солнце в реакции (С.34), хотя довольно заметный
вклад должна давать реакция (С.33) и другие реакции (но не (С.30)). Измеренный ин¬
тегральный поток электронных нейтрино ФС1 оказался гораздо меньше потока Фссм>
предсказанного Стандартной моделью Солнца,
фС1
фС1
^ССМ
0,34 ± 0,05.
(С.36)
Этот результат стал первым указанием на то, что по пути из центра Солнца к Зем¬
ле электронные нейтрино превращаются в нейтрино других типов, которые в реакции
(С.35) не регистрируются.
Поток борных нейтрино в высокоэнергетической части спектра был затем изме¬
рен детектором Kamiokande [256] (шахта Камиока, Япония0, энергии нейтрино Еие >
7 МэВ), а впоследствии — Super-K [257] (там же, энергии нейтрино Е„е > 5,5 МэВ
и Е„е > 5,0 МэВ на разных этапах эксперимента). В этих детекторах (с массой мише¬
ни около 1 килотонны и 22,5 килотонн соответственно) в качестве рабочего вещества
использовалась вода. Нейтрино испытывает реакцию упругого рассеяния
v + е —» v + е
(С.37)
в результате которой появляется релятивистский электрон, чьё черенковское излуче¬
ние и регистрировалось. Измеренный поток солнечных нейтрино вновь оказался ниже
предсказанного Стандартной моделью Солнца (данные Super-K):
ф s-к
= 0,41 ±0,06
фссм
Отметим, что ошибка здесь (и в несколько меньшей степени в (С.36)) в основном свя¬
зана с неопределённостями в Стандартной модели Солнца; сам поток Φδ~κ измерен
с гораздо лучшей точностью.
(С.38)
Упругое рассеяние на электроне испытывают как электронные нейтрино, так и ι/μ,
ντ (см. подробности в Приложении В, в частности, лагранжиан взаимодействия (В.17)
и обсуждение в разделе В.5). В первом случае vee~-рассеяние происходит за счёт обме¬
на 1И-бозоном (заряженные токи, рис. С.З а) и обмена Ζ-бозоном (нейтральные токи,
рис. С.З 6), а в случае νμ и vr имеется только обмен Ζ-бозоном (рис. С.З Ь). Обмен Z-
бозоном приводит к меньшему сечению, чем обмен VV-бозоном, так что эффективный
поток нейтрино, регистрируемый в реакции упругого рассеяния (С.37), пропорционален
Фе// ОС ф„е + 0,15(ф^ + Ф„т). (С.39)
Это обстоятельство существенно для интерпретации результатов, полученных с помо¬
щью детектора SNO, о которых пойдёт речь ниже.
Следующими экспериментами по солнечным нейтрино стали радиохимические экс¬
перименты, в которых используется реакция
Ga -Ь t'e —* Ge + е
5 Здесь и далее указано географическое положение детектора. Сами эксперименты проводят¬
ся коллаборациями учёных разных стран, состав коллабораций можно узнать из оригинальной
литературы.
С. 2. Наблюдения нейтринных осцилляций
551
Рис. С.З. Диаграммы с обменом \¥-бозонол1 (а) и Ζ-бозоном (Ь), дающие основ¬
ной вклад в сечение рассеяния нейтрино на электроне
с последующим химическим извлечением атомов 71 Ge и подсчётом их радиоактивных
распадов. Это — эксперимент SAGE [259] (Россия, Баксанская нейтринная обсерватория
ИЯИ РАН, 60 тонн галлия) и GALLEX/GNO [260] (Италия, лаборатория Гран-Сассо,
30 тонн галлия). В отличие от других экспериментов, больший вклад в измеряемый
интегральный поток дают нейтрино от реакции (С.30), хотя есть и вклады в нейтрино
от реакций (С.33), (С.34) и др. Измеренный в галлиевых экспериментах интегральный
поток (длительность измерений составляет более 10 лет) также значительно ниже пред¬
сказанного Стандартной моделью Солнца,
ФСа
=т— = 0,54 ± 0,06
фОа
^ССМ
фСа
-р—- = 0.56 ± 0,06
фСа
^ССМ
Эти согласующиеся друг с другом результаты исключили гипотетическую возможность
того, что наблюдавшийся в описанных выше экспериментах дефицит борных нейтрино
связан с какими-то неточностями в Стандартной модели Солнца, т. е. имеет астрофизи¬
ческую природу: в отличие от реакции (С.34) реакция (С.30), к которой чувствительны
гатлиевые эксперименты, непосредственно определяет энерговыделение Солнца, поэто¬
му величина потока р—р нейтрино может быть найдена по существу безмодельно, исходя
из хорошо измеренной светимости Солнца.
Наконец, серьёзнейшим аргументом в пользу превращения ve в ι/μ и ντ по доро¬
ге из центра Солнца к Земле стали измерения на детекторе нейтринной обсерватории
Садбери [261] (SNO, Канада). В этом детекторе в качестве рабочего вещества использо¬
валась тысяча тонн тяжёлой воды. Нейтрино регистрировались как в реакции упругого
рассеяния (С.37), так и в реакциях
ие + 2Я^р + р + е~ (СС), (С.40)
ь> + 2Я —>p + n + v (NC). (С.41)
Как и детекторы Kamiokande и Super-K, детектор SNO чувствителен к борным нейтри¬
но (с энергией Еи > 5 МэВ). В реакции (С.37) измеряется комбинация (С.39) потоков
- SAGE,
- GALLEX/GNO.
552
Приложение С. Осцилляции нейтрино
нейтрино всех типов; реакция (С.40) идёт за счёт обмена И7-бозоном (заряженные токи,
charged currents, см. раздел В.5), поэтому в ней измеряется поток электронных ней¬
трино Ф„е; с другой стороны, реакция (С.41) идёт только за счёт обмена Ζ-бозоном
(нейтральные токи, neutral currents), и в ней измеряется полный поток нейтрино
ФКС — Φι/ε + Φι/μ + Φι/,-·
(С.42)
Измеренные в реакциях (С.40), (С.41) потоки нейтрино по отношению к предсказанию
Стандартной модели Солнца составляют
фЭмо
ф1/е,ССМ
fcSNO
Ф*
хс,ссм
0,30 ± 0,05,
0,87 ±0,19,
(С.43)
(С.44)
а результат SNO по реакции (С.39) находится в согласии с (С.38) (хотя имеет большую
статистическую ошибку по сравнению с результатом Super-K). Результат (С.44) демон¬
стрирует, что Стандартная модель Солнца правильно предсказывает излучаемый поток
борных нейтрино, а из (С.43) прямо следует, что около 2/3 из них превращается из ь>е
в и иТ при движении от центра Солнца к Земле. Существенно и то, что результаты
(С.43) и (С.44) согласуются с (С.38) при учёте (С.39).
В действительности согласие экспериментальных данных между собой даже не¬
сколько лучше, чем может показаться из сопоставления (С.38), (С.43) и (С.44). Как
уже отмечалось, большой вклад в погрешности в (С.38), (С.43), (С.44) даёт неопреде-
лённость в значении нейтринного потока, вычисленного в рамках Стандартной модели
Солнца. Сами по себе экспериментальные данные имеют погрешность не хуже 10 %:
это и есть та точность, с которой они согласуются между собой. Подчеркнём ещё раз,
что три измеренных комбинации потоков, Ф^, ΦΝσ (см. (С.42)) и Ф£// (см. (С.39)),
описываются двумя параметрами Ф^ и Φ„μ + Ф^_.
Фундаментальный результат об осцилляциях электронных нейтрино был
подтверждён экспериментом KamLAND [262] (шахта Камиока, Япония). Детектор
KamLAND содержит 1 тысячу тонн жидкого сцинтиллятора и регистрирует антиней¬
трино, образующиеся в ядерных реакциях на японских атомных электростанциях. Рас¬
стояния до них — от 70 до 250 км и более, так что эффективная база составляет около
180 км, в отличие от предыдущих реакторных экспериментов со значительно меньшей
базой. Детектор KamLAND зарегистрировал недостаток электронных антинейтрино
по сравнению со значением, вычисленным в предположении об отсутствии осцилляций,
фКатЬАМЭ
— = 0,66 ± 0,06.
^noosc
Таким образом, электронные антинейтрино с энергией Е ~ 3-6 МэВ (осцилляции ан¬
тинейтрино именно таких энергий изучаются в эксперименте KamLAND) испытывают
превращения в другие типы уже на расстоянии порядка 100 км.
Наконец, поток моноэнергетических солнечных нейтрино, рождённых в реакции
(С.33), измерен в эксперименте Borexino [263] (Гран-Сассо), использующем в качестве
мишени 280 тонн жидкого сцинтилятора. Отношение измеренного потока нейтрино
с энергией 862 кэВ к предсказанию ССМ составило[264]
ф*
ЛчВогехто
фссм
0,62 ± 0,05,
С.2. Наблюдения нейтринных осцилляции
553
что снова свидетельствует об осцилляциях электронных нейтрино в нейтрино других
типов.
Для описания осцилляций солнечных нейтрино и результатов эксперимента
KamLAND при современном уровне экспериментальной точности достаточно исполь¬
зовать двухнейтринную картину, т. е. рассматривать осцилляции между электронным
нейтрино i/e и некоторой линейной комбинацией v мюонного нейтрино и т-нейтрино.
При этом реализуется второй из случаев, рассмотренных в разделе С.1.2: разность квад¬
ратов масс Δm2soi = AmJi, отвечающая за эти осцилляции, является наименьшей, а мат¬
рица PMNS в действительности такова, что |С/ез|2 •С 1, см. раздел С.2.3. Для успешного
описания обсуждаемых экспериментов разность масс должна быть по порядку величи¬
ны равна (более точно разрешённые значения будут представлены в разделе С.З)
Δτη2„ι ~ ИГ4 эВ2, (С.45)
а угол смешивания должен составлять
9soi — 35°. (С.46)
При анализе измерений потока солнечных нейтрино важно учитывать эффект Михеева—
Смирнова—Вольфенштейна в Солнце. В двухнейтринном случае эффективный гамиль¬
тониан в базисе {ue. Р) имеет вид (с точностью до слагаемых, кратных единичной мат¬
рице и не влияющих на осцилляции)
H(L) =
Δτη2Βθ1
АЕ
- cos 2θ30ι
sin 2 ΘβοΙ
sin 29so[
cos 2 9soi
+ V(L) (£
o'
0
(C.47)
где V{L) = y/2 Gfti<,(L) учитывает неоднородное распределение электронов в Солнце,
а угол θΒΟι — это угол вакуумного смешивания в системе (z/e, й):
W2) = ll^sinflsoi + |£) cos0SOi,
\v\) = |^β)ΰθ5 05Ο/ - |ζ>) sin0soi·
Напомним, что в вакууме по определению более тяжёлым состоянием является состоя¬
ние |z/o).
Плотность электронов составляет величину пе = 6 · 102° см-3 в центре Солнца
и уменьшается при удалении от центра. Отсюда для максимального значения потенци¬
ала V имеем оценку
Vmax ~ 8 · 1(Г12 эВ.
Из неё следует, что соотношение
ΔιτιΒοΐ τ/
АЕ max
выполняется при Е ~ 3 МэВ. Для нейтрино заметно меньших энергий (например, для
рр-нсйтрино) влияние среды малосущественно, и можно использовать формулу (С.24)
с |£/ез|2 1. При Е > 3 МэВ влияние вещества Солнца, наоборот, важно. Двухнейтрин¬
ное смешивание в таком случае характеризует угол вм, связанный с углом вакуумного
смешивания Qsoi соотношением
sin2 2Θμ
sin2 2θ3οΐ
sin2 2θ£ΰι + (2V(L) E/Am2sol - cos 29soi)2
554
Приложение С. Осцилляции нейтрино
В качестве примера рассмотрим нейтрино, рождённые в результате распада ядер
8В. Характерные энергии нейтрино составляют 4-10 МэВ. В этом случае можно считать,
что в центре Солнца V(L) доминирует в гамильтониане нейтрино над вкладом массо¬
вой матрицы. Пусть \щ{Ь)) — собственные вектора матрицы (С.47), разные на разных
расстояниях L от места рождения нейтрино, причём состоянию \u2 (L)) соответствует
большее собственное значение. Из сказанного выше следует, что в центре Солнца [г^г)
совпадает с \ve) (из (С.28) видно, что V > 0). Итак, в результате распада 8В рождается
состояние \νϊ).
Дальнейшую эволюцию этого состояния будем рассматривать в адиабатическом
приближении. Напомним, что в этом приближении квантовая система в процессе эво¬
люции всё время остаётся на одном и том же энергетическом уровне. В нашем случае это
означает, что нейтрино всегда находится в состоянии \v2(L)), и на поверхности Солнца
оно будет в состоянии, которое совпадает с состоянием |V2) в вакууме. Это — чистое
массовое состояние, поэтому при дальнейшем распространении в вакууме оно ни во что
не переходит6. Таким образом, для вероятности регистрации на Земле электронного
нейтрино, появившегося в распаде бора-8, получаем:
P(z/e —► Ue) = |(l^e|^2)|2 = Sin20soi. (C.48)
Из (C.46) следует, что P{ve —> ve) < 0,5. Подчеркнём, что наблюдаемый факт то¬
го, что измеренный поток борных ие меньше половины предсказанного
(см. (С.43)), — это прямое свидетельство о MSW-эффекте: в случае вакуумных осцил¬
ляций двух типов нейтрино усреднённая по энергии вероятность выживания электрон¬
ных нейтрино не может опускаться ниже 50 %, см. формулу (С.11). Полученные данные
по осцилляциям солнечных нейтрино в области энергий 0.1 — 10 МэВ наглядно иллю¬
стрируют на Рис. С.4 переход от режима вакуумных осцилляций к режиму осцилляций
в плотной материи Солнца.
Отметим одну особенность, присутствующую в изложенном выше кратком анали¬
зе. Рассмотрим нереалистический случай малого смешивании в вакууме, |sin05O;| <§С 1.
В этом случае вероятность (С.48) того, что электронное нейтрино сохранит свой аро¬
мат. мала. В случае вакуумных осцилляций всё наоборот: из формулы (С. 11) следует,
что в вакууме Ρν^—ν*. = 1 — C*(sin2 2θεοι). Здесь мы имеем пример резонанса Михеева-
Смирнова, приводящего к усилению эффекта взаимопревращений нейтрино в веще¬
стве. Он состоит в следующем. В отсутствие смешивания вектора \ve) и \ΰ) были бы
собственными векторами оператора (С.47), причём в центре Солнца \ие) соответство¬
вал бы большему собственному значению, а в вакууме — меньшему (здесь существенно,
что рассматривается случай, когда в вакууме более лёгкое нейтрино — это в основном
|i/e}). Движение уровней в зависимости от L имело бы вид, изображённый на рис. С.5
а. Если включено малое смешивание, то уровни, как известно из квантовой механики,
не пересекаются, и картина уровней становится такой, как изображено на рис. С.5 Ь.
Более тяжёлое нейтрино в центре Солнца почти совпадает с электронным нейтрино,
а в вакууме — с линейной комбинацией νμ и ит. При адиабатической эволюции перехо¬
ды с уровня на уровень не происходят, что и объясняет малую вероятность выживания
электронного нейтрино, образовавшегося в центре Солнца, если sin0so( конечен, но мал.
> Задача 1. Убедиться, что при малых sin θΒΟι собственные значения гамильтониана
(С.47) действительно эволюционируют с L так, как изображено на рис. С.5 Ь.
сОтметим, что в адиабатическом режиме осцилляции между и Р как таковые отсутствуют:
нейтрино всё время находится в состоянии ι>2, при этом соотношение между ие и Р в этом
состоянии адиабатически меняется с расстоянием до центра Солнца.
С.2. Наблюдения нейтринных осцилляций
555
Рис. С.4. Вероятность выживания солнечных электронных нейтрино как
функция энергии [281J
а) Ь)
Рис. С.5. Эволюция уровней гамильтониана нейтрино при удалении от центра
Солнца
> Задача 2. Рассмотреть (нереалистичную) модель Солнца, в которой плотность
свободных электронов ne(L) изменяется линейно с L от своего значения в цен¬
тре, 6 ■ 102° см~я, до нуля на границе (при L = Lq = 7 · 105 км). В какой области
параметров Δm2oi и sin 9soi эволюция вектора состояния нейтрино с L действи¬
тельно является адиабатической? Рассмотреть отдельно случаи слабого и силь¬
ного смешивания, [sin0soi| <С 1 и |sin θεοι | ~ 1.
> Задача 3. Найти аналог формулы (С.48) в случае осцилляций между тремя ти¬
пами нейтрино, считая, что |£/ез|2 -С 1.
556
Приложение С. Осцилляции нейтрино
Отметим ещё. что MSW-эффект может приводить к ряду других особенностей
в экспериментах с нейтрино, таких как эффект «день — ночь» (различие в измеряемых
потоках солнечных нейтрино, проходящих ночью сквозь вещество Земли и приходящих
днём без пересечения Земли).
С.2.2 Атмосферные нейтрино, К2К и MINOS
В экспериментах другого класса были открыты осцилляции мюонных нейтрино.
Впервые это явление было обнаружено при измерениях потока атмосферных нейтрино
детекторами Kamiokande [265] и Super-K [266, 267].
Космические лучи — распространяющиеся в космической среде заряженные части¬
цы (протоны и ядра), — взаимодействуя с частицами, образующими атмосферу Земли,
рождают потоки вторичных частиц. Сечение рассеяния насыщается рождением боль¬
шого числа частиц, среди которых доминируют легчайшие адроны — пионы (и в мень¬
шем количестве каоны). Заряженные пионы (тг~) не долетают до поверхности Земли,
а распадаются в атмосфере, рождая мюоны и мюонные нейтрино:
тг~ —>■ μ ' ι/μ, it~ —► μ— ΰμ. (С.49)
Если энергия первичной частицы не слишком высока, то мюоны, в свою очередь, также
распадаются, вновь рождая нейтрино:
μ+ —► етиейц, μ~ —>■ е~ ΰ^νμ. (С.50)
Нейтрино, образующиеся в реакциях типа (С.49), (С.50), и называют атмосферными;
интересная с точки зрения осцилляций область энергий нейтрино составляет сотни
МэВ — десятки ГэВ.
о Задача 4. При каких энергиях первичной частицы большая часть мюонов будет
долетать до поверхности Земли? Считать, что множественность (количество ча¬
стиц, рождённых в результате одного столкновения) составляет в среднем от 10
до 500 при энергиях от десятка ГэВ до сотен ЕэВ. Учесть, что мюоны практиче¬
ски не взаимодействуют с атмосферой.
Поток космических лучей интересующих нас здесь энергий изотропен, поэтому
в отсутствие осцилляций изотропным должен быть и поток атмосферных нейтрино'.
Однако поток мюонных нейтрино и антинейтрино на самом деле зависит от зенитно¬
го угла (график на правой половине рис. С.6). Это означает, что мюонные нейтрино,
приходящие сверху и пролетающие всего несколько километров от места образования
до детектора, не успевают испытать осцилляции; в то же время, нейтрино, приходя¬
щие снизу, проходят сквозь всю Землю и успевают частично превратиться в нейтрино
других типов. В то же время, эффект осцилляций на поток электронных нейтрино неве¬
лик (левый график на рис. С.6); недостаток мюонных нейтрино означает, что должен
иметься избыток ит (если в природе отсутствуют нейтрино других типов, помимо ие, νμ
и ит, см. обсуждение в разделе С.З). Этот результат подтверждается всей совокупно¬
стью данных по атмосферным нейтрино, включая измерение абсолютных потоков ие,
йс и νμ, ΰμ. измерение потоков нейтрино с энергией выше 1 ГэВ и т. д.
Вывод об осцилляциях мюонных нейтрино подтверждён в эксперименте
К2К (268]. Источником мюонных нейтрино в нём служили пионы, рождённые пучком
'Для нейтрино с энергией несколько ГэВ и выше изотропия потока отсутствует: поток имеет
пик в горизонтальном направлении, связанный с тем, что горизонтальные пионы и мюоны
дольше распространяются в атмосфере, гак что большая их доля успевает распасться.
С. 2. Наблюдения нейтринных осцилляций
557
Рис. С.6. Зависимость потоков нейтрино с энергией меньше 1 ГэВ от зенит¬
ного угла[258]: график на левой половине рисунка относится к электронным
нейтрино, на правой половине рисунка — к мюонным нейтрино. Сплошные ли¬
нии соответствуют случаю отсутствия осцилляций, а пунктирные — осцил¬
ляциям с параметрами, полученными с помощью фитирования данных
протонов с ускорителя лаборатории КЕК в Японии и распадающиеся по каналу (С.49),
а в качестве детектора выступает Super-K. Расстояние, которое пролетают нейтрино
от места образования до места регистрации, составляет 250 км (расстояние между ла¬
бораторией КЕК и шахтой Камиока), а энергия нейтрино — 0,5-3 ГэВ. В эксперименте
К2К обнаружено «исчезновение» мюонных нейтрино: их поток, измеренный детектором
Super-K, меньше потока, рассчитанного на основе данных «ближнего» детектора ней¬
трино, находящегося непосредственно в лаборатории КЕК. Результаты эксперимента
К2К находятся в хорошем согласии с данными по атмосферным нейтрино.
Исследованию осцилляций мюонных нейтрино посвящены ещё два эксперимента
с нейтрино от ускорителей. В одном из них пучок мюонных нейтрино и антинейтрино
от ускорителя Fermilab (Батавия, США) регистрируется подземным детектором MINOS
(Миннесота, США), расположенным на расстоянии 735 км от ускорителя. Другой экс-
перимет Т2К использует пучок мюонных нейтрино от ускорителя JPARC (Токай, Япо¬
ния), а в качестве детектора вновь выступает Super-K; в этом эксперименте расстояние
от ускорителя до детектора равно 295 км. Особенностью эксперимента Т2К является
то, что ось пучка нейтрино, занимающего довольно широкий телесный угол, отклонена
от направления на детектор на угол 2,5°. Это приводит к более узкому распределе¬
нию детектируемых нейтрино по энергиям ценой некоторого уменьшения статистики.
Результаты экспериментов AIINOS [269] и Т2К [270] по «исчезновению» мюонных ней¬
трино находятся в согласии между собой и с результатами Super-K и К2К и позволяют
уточнить параметры осцилляций.
Результаты экспериментов, кратко рассмотренных в этом разделе, также с непло¬
хой точностью описываются двухнейтринной картиной8, при этом наиболее простой
sДвухнейтринная картина, вообще говоря, неприменима для атмосферных нейтрино. В этом
случае почти полное отсутствие искажения потока электронных нейтрино обусловлено слу-
558
Приложение С. Осцилляции нейтрино
и правдоподобной возможностью являются осцилляции г/μ в ι/7. В этом случае парамет¬
ры осцилляций оцениваются следующим образом (более аккуратные оценки приведены
в следующем разделе):
Отметим, что указанное значение 9atrn соответствует смешиванию, близкому
к максимальному: фигурирующий в (С.11) параметр sin2 2θαίτη близок к единице. Для
ускорительных нейтрино влияние вещества Земли малосущественно, так что речь идёт
о вакуумных осцилляциях.
е> Задача 5. Используя параметры νμ — υτ системы, определить, нейтрино каких
энергий должны сильно осциллировать при пересечении Земли. Успевают ли
пересечь атмосферу соответствующие мюоны?
> Задача 6. Оценить, какая доля νμ исчезнет (перейдёт в ит) в условиях экспери¬
мента К2К.
С.2.3 Ускорительные и реакторные нейтрино: \Uez\
Параметр Ucз определяет примесь электронного нейтрино ие в массовом состоя¬
нии 1/3. С ней связаны два эффекта, один из которых проявляется в экспериментах
с нейтрино от ускорителей, а другой — в экспериментах с антинейтрино, образующихся
в ядерных реакторах. Первый — это появление электронных нейтрино в пучке мюон¬
ных нейтрино на сравнительно небольшом расстоянии от источника нейтрино, второй —
выбывание электронных антинейтрино из пучка ve, также на сравнительно небольшом
расстоянии от источника. В обоих случаях влияние вещества Земли малосущественно
и, кроме того, выполняется неравенство (С.18). Таким образом, речь идёт о первом
из случаев, рассмотренных в разделе С.1.2. Появление ие в пучке ι/μ приближённо опи¬
сывается формулой (С.23а) с a = μ, β = е, а вероятность выживания электронных
антинейтрино приближённо имеет вид (см. (С.22))
Видно, что оба эффекта отсутствовали бы при Ue3 = 0.
Первые указания на отличие от нуля параметра Ueз были получены в уже упоми¬
навшихся экспериментах с ускорительными нейтрино Т2К [271] и MINOS [272], где на¬
блюдался избыток электронных нейтрино в пучках, состоящих преимущественно из мю¬
онных нейтрино (однако уровень статистической значимости этого избытка не позволял
говорить об открытии). Выбывание электронных антинейтрино из пучка было впервые
замечено (также на уровне достоверности, недостаточном для объявления об откры¬
тии) в эксперименте с реакторными антинейтрино Double CHOOZ во Франции [273].
Эффект выбывания был надёжно установлен в экспериментах Daya Вау [274] в Китае
и RENO [275] в Южной Корее. В первом из них электронные антинейтрино, образу¬
ющиеся в нескольких промышленных ядерных реакторах, регистрируются ближними
детекторами, расположенными на расстоянии 500-600 м от реакторов, и дальними де¬
текторами, находящимися на расстоянии 1,6-1,7 км. Энергия антинейтрино составляет
Δrn2atm ~ (2^3) -10“3 эВ2,
9atm — 45°.
latm
(С-51)
(С.52)
P(i/e -* ue) - 1 - 4|[/е3|2(1 - |С/ез|2) sin2
чайными причинами: близким к максимальному смешиванием (С.52) и соотношением между
рождёнными в атмосфере потоками электронных и мюонных нейтрино, Φν,,/Φ^ — 1/2.
С. 2. Наблюдения нейтринных осцилляций
559
2-3 λΐ3Β, поэтому для разности квадратов масс Δπι\1τη из (С.14) и (С.51) следует, что
вероятность выбывания невелика для ближних детекторов и близка к максимальной
для дальних. Это и наблюдается в эксперименте Daya Вау, см. рис. С.7.
Рис. С.7. Вероятность выживания электронных антинейтрино в эксперимен¬
те Daya Bay. ЕН1 и ЕН2 обозначают ближние детекторы. ЕНЗ — дальние
детекторы. Сплошная линия соответствует осцилляциям с параметром £/ез ■
полученным с помощью фитирования данных. Поскольку в эксперименте опре¬
деляются энергии регистрируемых антинейтрино, удаётся измерить осцилля-
ционную кривую
Похожая ситуация наблюдается в эксперименте RENO, в котором ближний и даль¬
ний детекторы расположены на расстоянии 294 ми 1,4 км от реактора, соответственно.
Результаты этих двух экспериментов дают (более аккуратные оценки приведены в раз¬
деле С.З)
|?7e3|2 ^ 0,025.
Таким образом, среди параметров матрицы PMNS (С. 16) остаётся пока неизвестной
только фаза <5.
560
Приложение С. Осцилляции нейтрино
С.З Значения параметров осцилляций
На рис. С.8 представлены области в пространстве параметров9 tg2 θΒΟι и Дт|15 раз¬
решённые экспериментами по солнечным нейтрино и KamLAND. Видно, что все данные
согласуются друг с другом в области (С.45). (С.46). На рис. С.9 представлены анало¬
гичные данные по атмосферным нейтрино, MINOS и Т2К. Здесь разрешённая область
соответствует (С.51), (С.52). На рис.С.10 представлены аналогичные данные по реак¬
торным нейтрино, эксперимент Daya Вау.
tan2 ΘΙ2 Δχ2
Рис. С.8. Экспериментально разрешённые области пространства параметров
для ve й осцилляций, следующие из экспериментов по солнечным нейтрино
и из эксперимента KamLAND [284]
Отметим, что результаты некоторых нейтринных экспериментов, возможно, ука¬
зывают на необходимость введения третьей разности квадратов масс Am2 Am2tTn.
Речь идёт об ускорительных экспериментах LSND [276] и MiniBooNE [277], галлиевых
экспериментах с искусственными источниками нейтрино [278] и отчасти об экспери¬
ментах с реакторными нейтрино [279, 280, 283]. Если существование третьей разности
квадратов масс подтвердится, то это будет означать, что в природе имеется четвёртый
тип нейтрино, лёгкого и стерильного по отношению к калибровочным взаимодействи-
9Иногда вместо параметра tg2 0 используют параметр sin2 20. В случае вакуумных осцилля¬
ций именно последний является наиболее естественным параметром, см. формулу (С. 11). Как
видно, например, из (С.48), sin2 20 не является адекватным параметром в случаях, когда су¬
щественны эффекты вещества. Действительно, sin 20 не меняется при замене 0 —(π/2 — 0),
а вероятность осцилляций в веществе не инвариантна относительно такой замены.
С.З. Значения параметров осцилляций
561
Рис. С.9. Экспериментально разрешённые области пространства парамет¬
ров для иμ <-»· иТ осцилляций [282}. Линиями (уровни достоверности 68%
и 90%) ограничена область пространства параметров, следующая из результа¬
тов ускорительного эксперимента Т2К, заштрихованные области показывают
аналогичные результаты (уровень достоверности 90%) ускорит^ьного экспе¬
римента MINOS и измерения атмосферных нейтрино на установке Super-K.
Представлены результаты для двух вариантов спектра масс нейтрино: нор¬
мальная иерархия (NH), обратная иерархия (IH). Точками обозначены стати¬
стически наиболее вероятные значения осцилляционных параметров для каж¬
дого из двух вариантов
ям Стандартной модели. Однако недостаточно высокая статистическая обеспеченность
указанных результатов и возможность систематических эффектов не позволяют пока
уверенно об этом говорить.
Ограничиваясь тремя известными типами нейтрино, напомним, что ответствен¬
ная за осцилляции матрица PMNS имеет вид (С. 16). Экспериментальные результаты
о параметрах осцилляций, представленные на рис. С.8 и С.9. соответствуют значениям
модулей элементов матрицы смешивания (Зст-интервалы достоверности [286]):
/0,795-0,846 0,513-0.585 0,126-0,178\
\Uai\ = 0,205-0,543 0,416-0,730 0,579-0,808 .
\0,215-0,548 0,409-0,725 0,567-0,800/
562
Приложение С. Осцилляции нейтрино
Рис. С. 10. Экспериментально разрешённые области пространства параметров
для йе йе осцилляций, (инедующие из эксперимента Daya Вау по ректорньим
антинейтрино [285]. Пунктирными линиями показаны результаты фитирова-
ния с исполъзованиел1 только измерения спектра антинейтрино. Горизонталь¬
ная линия с обозначением Δτη2 соответствует измерению аналогичного па¬
раметра в эксперименте MINOS
Современные разрешённые области углов смешивания имеют вид (интервалы достовер¬
ности 3σ) [286]:
0.273 < sin2 0i2 < 0.354, (С.53)
0,0181 < sin2 013 < 0,0327, (С.54)
0,341 < sin2 023 < 0,670 (С.55)
Отметим, что большинство элементов матрицы смешивания оказались одного поряд¬
ка, Uaj ~ 0,2 — 0,5. Эта «анархия» среди элементов матрицы смешивания нейтри¬
но существенно отличает её от аналогичной матрицы смешивания кварков — матри¬
цы Кабнббо—Кобаяши—Маскава (В.31), между элементами которой имеется заметная
иерархия.
Помимо элементов матрицы смешивания Uaj из результатов, приведённых на рис. С.8
и С.9, определяются также разности квадратов масс. Совместный анализ существую¬
щих данных даёт [286]:
7,04 · 10_3 эВ2 < Arnii = AmL < 8.12 ■ 10-5 эВ2,
2.27 · 10_3 эВ2 < |Am|2| = Am~atrn < 2,69 · 10_3 эВ2 ^С'°^
С.4. Дираковские и майорановские массы. Стерильные нейтрино
563
при уровнях достоверности 3σ. Как мы уже говорили, такие значения можно получить
для двух различных иерархий масс нейтрино, см. рис. С.1.
Какая из этих двух возможностей реализована в природе — пока неизвестно. В то же
время, из (С.56) следует ограничение снизу на массы нейтрино: по крайней мере одно
из них должно иметь массу
та > maim = \JДт2а{щ ~ 0,05 эВ, (С.57)
а масса другого — не меньше
msoi — yjЛт^, ~ 0.009 эВ. (С.58)
Минимальная возможность состоит в том, что
mi <С msot, m2 = msoi, таз = matm (C.59)
(прямая иерархия без вырождения), но широко обсуждаются и другие возможности,
включая случай достаточно тяжёлых нейтрино, почти вырожденных по массам,
ТП1 ? 772-2 ϊ 7713 772<αίτη ·
С.4 Дираковские и майорановские массы.
Стерильные нейтрино
Для фермионов в (3+1)-мерном пространстве-времени существует два разных типа
масс: майорановский и дираковский. Соответствующие лоренц-инвариантные массовые
члены в лагранжиане для фермиона / имеют вид:
Cf' = -^fifL + h.c., (С.60)
cf = -mofn/L + h.c., (C.61)
где /с — зарядово-сопряжённый фермион, см. (В.33). Напомним, что 4-компонентный
дираковский спинор / можно выразить в терминах 2-компонентных вейлевских спино¬
ров xl, (см. раздел В.1 Приложения В). В вейлевском базисе для матриц Дирака
связь между спинорами определяется соотношением
/ =
XL
В терминах вейлевских спиноров массовые члены (С.60) имеют вид
гм там т■ . .
£/ = ^XLl(T2XL+h.C.,
С? - -πίΩξηΧι. + h. с.
Дираковский тип массы возможен только при наличии в теории как левых Д, так и пра¬
вых /я компонент фермиона /, в то время как для майорановской массы достаточно
только левой (или только правой) компоненты. Все заряженные фермионы Стандарт¬
ной модели имеют массу дираковского типа (см. Приложение В).
564
Приложение С. Осцилляции нейтрино
В состав Стандартной модели входят только левые компоненты нейтрино, поэтому
её минимальное обобщение, приводящее к массивным нейтрино и не требующее допол¬
нительных полей, состоит во введении майорановских массовых членов:
СМ = _T^.i?iaUL0 +h ,с v (С.62)
где мы воспользовались калибровочным базисом для записи полей нейтрино. Массовая
матрица лёгких нейтрино таз симметрична, и её можно диагонализовать преобразова-
Η”Μ m=t7PMNSmd>“*(UPMNSf,
где t/PMNS _ унитарная матрица, a mdiag — диагональная матрица с действительными
матричными элементами. Именно матрица t/PMNS является матрицей PMNS в случае
майорановских нейтрино.
> Задача 7. Показать, что выражение ucLaUL3 симметрично по а. β. Указание:учесть,
что фермионные поля антикоммутируют.
> Задача 8. Показать, что переход от калибровочного к массовому базису нейтрин¬
ных полей происходит по правилу u, = {yPMNSUa; чт0 согласуется с (С.1).
Вернёмся к вопросу о наблюдаемости фаз, входящих в диагональные матрицы Dι
и D2, фигурирующие в общем выражении (С. 15) для матрцы PMNS. Прежде всего,
из матрицы D-2 можно выделить в качестве множителя матрицу, кратную единичной;
эта матрица коммутирует с матрицей U и может быть включена в D\. Поэтому без
ограничения общности можно считать, что Do = diag(e!'51. et<52,1). Далее, кинетиче¬
ские члены для нейтринных полей инвариантны относительно независимых фазовых
вращений каждого нейтринного поля и La —1■ е1/3а и La; члены взаимодействия с W- и Z-
бозонами также инвариантны, если соответствующее фазовое вращение выполнить для
полей заряженных лептонов. С помощью этих вращений можно превратить матрицу D\
в единичную. Следовательно, полная матрица PMNS может быть представлена в виде
jyPMNS _ иР)2 то есть
^rPMNS
0
°\
/ С13
0
еще'
0
с2з
S23
0 -
1
0
0
— S23
С23/
\-s13e 1д
0
С13
Си
512
0'
-Sl-2
С12
0
0
0
1
:<5j /2
0
O’
0
ei<5'-/2
0
0
0
1
Подчеркнём, что последний множитель (фазы <5ι, <52) является физическим только для
майорановских масс нейтрино; в случае дираковских масс от него можно избавиться
так же. как в разделе В.4.
Поскольку майорановский массовый член перемешивает поле с его зарядово-со¬
пряжённым, то понятия частицы и античастицы в отношении нейтрино становятся
не вполне адекватными. Это, в частности, означает, что нельзя ввести понятие со¬
храняющегося лептонного числа для нейтрино, поскольку майорановская масса его
явно нарушает: выражение (С.62) не инвариантно относительно фазовых вращений
и — e,cV. и —> e-mP. В случае ультрарелятивистских майорановских нейтрино соб¬
ственными состояниями гамильтониана являются состояния с левой и правой спираль-
ностыо. причём с точностью до поправок, подавленных отношением mJE, состояния
с левой спиралыюстыо совпадают с состояниями нейтрино безмассовой теории, а со¬
стояния с правой спиральностью — с состояниями антинейтрино.
С.4. Дираковские и майорановские массы. Стерильные нейтрино
565
> Задача 9. Проверить сделанное утверждение. Для этого обобщить уравнение Ди¬
рака на случай майорановской массы (С.60), найти его решения в терминах опе¬
раторов рождения и уничтожения и сравнить с решениями безмассового уравне¬
ния для левых фермионов.
о Задача 10. Убедиться, что в ультрарелятивистском случае недиагональная май-
орановская масса (С.62) приводит к осцилляциям между состояниями только
левой или только правой спиральности.
Из результата последней задачи следует, что в случае майорановского массово¬
го члена возможны осцилляции ua <-*· из, йа йз, но не осцилляции иа йз, если
под нейтрино и антинейтрино понимать левоспиралыюе и правоспиральное состояния
соответственно. При таком соглашении сохраняют смысл все результаты безмассовой
теории, относящиеся к взаимодействиям нейтрино: например, в /3-распаде нейтрона
η —► р + е~ + йе образуется именно антинейтрино (состояние с правой спиральностью),
а примесь состояния с левой спиральностью (нейтрино) подавлена степенью mu/Ev.
Массовые члены (С.62) нельзя получить из какого-либо SU{3) х 517(2)»· х С/(1)у-
инвариаптного перенормируемого взаимодействия. Отказ от перенормируемости позво¬
ляет записать, например, взаимодействие вида
СОсЗ
Cint = т 2—£соЯ“ · Я% + h. с., (С.63)
а,а 1 v
где мы опустили SU(2)-групповые индексы и ввели безразмерные константы взаимо¬
действия ξα'3: At/ — энергетический масштаб теории, обобщающей Стандартную модель
физики частиц при высоких энергиях и приводящей к неперенормируемому взаимодей¬
ствию (С.63) при низких энергиях, поле Н связано с полем Н соотношением (В.11).
Поле Н имеет ненулевое вакуумное среднее, поэтому взаимодействие (С.63) приводит,
в частности, к появлению массовых членов
гг
2Λΐ
гп.З ~г
ξ "а
из + h. с.,
что совпадает с (С.62). Отметим, что член (С.63) имеет наинизший возможный порядок
по А-1, поэтому мы выбрали именно его.
При ξα3 ~ 1 для обеспечения масс нейтрино порядка 10-2 эВ масштаб нового
взаимодействия должен быть порядка А^ ~ 101г> ГэВ. Этот масштаб близок к масштабу
Большого объединения в суперсимметричных обобщениях Стандартной модели физики
частиц.
Неперепормируемое эффективное взаимодействие вида (С.63) может возникнуть
из перенормируемого взаимодействия нейтрино с новыми тяжёлыми полями, аналогич¬
но тому, как возникает эффективное четырёх-фермионнос взаимодействие в результате
«отынтегрирования» массивных векторных бозонов Стандартной модели. Малость масс
нейтрино по сравнению с массами остальных фермионов Стандартной модели требует
большой иерархии между юкавскими константами полей Стандартной модели и кон¬
стантами нового взаимодействия т/|м 3> ξα3 и/или между электрослабым масштабом
и масштабом масс новых тяжёлых полей. В конкретных моделях эта иерархия может
получить то или иное естественное объяснение.
Одно из объяснений даёт механизм качелей (see-saw). Рассмотрим для начала этот
механизм на примере одного типа обычных нейтрино и — компоненты левого леп¬
той ного дублета L Стандартной модели. Пусть кроме этого дублета имеется ещё одно
566
Приложение С. Осцилляции нейтрино
левое лептонное поле Nl, которое представляет собой синглет по отношению к калиб¬
ровочной группе Стандартной модели SU(3)с х SU(2)w х U(1 )γ (эквивалентно можно
считать, что добавлено правое поле iV£). В отличие от известных полей Стандартной мо¬
дели, поле Nl может иметь майорановскую массу М, никак не связанную с вакуумным
средним поля Энглера—Браута—Хиггса Стандартной модели; более того, естественно
считать, что массовый масштаб М велик по сравнению с масштабом нарушения элек-
трослабой симметрии, т. е. Μ V. Замечательно, что калибровочная инвариантность
Стандартной модели разрешает юкавское взаимодействие, включающее Nl, у и ска¬
лярное поле Н Стандартной модели. Итак, перенормируемый лагранжиан для полей
Nl и L включает в себя слагаемые
1V1 — — - 4.
£ = —jNINl - yNLH'L + h. с.,
(С.64)
где у — юкавская константа связи. В результате нарушения электрослабой симметрии
поле Н^ приобретает вакуумное среднее (г>/\/2,0), поэтому в лагранжиане возникают
массовые члены
Cm = -yNlNl - V-j=NeLv + h. с.
(С.65)
Объединяя фермионы с левой киральностью Nl и у в столбец
Ф =
У
A'L
(С.66)
получим, что массовый член (С.65) можно записать в виде
Cm = —~фстпф + h. с.,
где матрица m равна10
тп =
0
то
то
М
(С.67)
и
то —
уу
ч/2‘
При М » то собственные значения массовой матрицы (С.67) равны (знак массы
фермиона несущественен)
mu = ~lr-A ί = “ΜΓ: = (С.68)
(с поправками, подавленными отношением то/М), причём меньшее собственное зна¬
чение (С.68) соответствует собственному вектору
(вновь с малыми поправками). Из (С.66) видно, что главной компонентой этого векто¬
ра является обычное нейтрино у. Итак, в результате описанного механизма нейтрино
10Если вместо левого поля Nl использовать правое поле Агд = Дг£, то второе слагаемое
в (С.65) будет выглядеть как дпраковский массовый член, в котором в качестве правой компо¬
ненты нейтрино выступает Дгд. Отсюда и обозначение то, используемое в дальнейшем.
С.4. Дираковские и майорановские массы. Стерильные нейтрино
567
приобретает майорановскую массу тп„, которая оказывается подавленной по малому
параметру mo/М в соответствии с (С.68). В этом и заключается механизм качелей11.
Отметим, что при у = 10_6 4-1 (значения известных юкавских констант в Стандартной
модели) значение тгц, ~ 10-2 эВ получается при
Μ ~ 103-101δ ГэВ,
т. е. условие М 3> то действительно выполняется.
Для дальнейшего полезно заметить, что результат (С.68) можно получить, «отын-
тегрировав» тяжёлое поле Nl- Запишем уравнение, которое получается варьированием
лагранжиана по Nl- С учётом градиентного члена в лагранжиане и массо¬
вых членов (С.65) получим
-ιθμ^ΐμ + MNt + ^=йс = 0.
v2
При импульсах и энергиях, малых по сравнению с М, первое слагаемое в левой части
пренебрежимо мало, и поле Nl алгебраически выражается через поле и.
Nl = —
yv
Это выражение можно подставить обратно в исходный лагранжиан и получить таким
образом эффективный лагранжиан для поля и. При этом кинетический член получает
несущественную малую добавку, а главным эффектом является массовый член
2 2
р У V _ С . I
£тпи = —T-rV v + h.c.
AM
Видно, что майорановская масса нейтрино v действительно даётся формулой (С.68).
Отметим ещё, что если вместо (С.65) в приведённом рассуждении использовать исход¬
ный лагранжиан (С.64), то эффективный лагранжиан после отынтегрирования тяжё¬
лого поля Nl будет иметь вид (С.63) с = М и ξ = у2.
Перейдём теперь к случаю трёх типов нейтрино, реализующемуся в природе. В этом
случае естественно ввести три типа полей Лга, а = 1, 2, 3 (индекс L в дальнейшем опус¬
кается), и обобщить лагранжиан (С.64) следующим образом:
L = -^Μο,βΝΖΝβ - уазКнДз + h. с.
Здесь Μαβ и у0.3 — матрицы 3x3, вообще говоря, комплексные, причём матрица Маз
симметричная. Базис в пространстве полей Na всегда можно выбрать так, чтобы мат¬
рица Моз была действительной и диагональной,
jV/ = diag(M1)M2,M3).
11 Обсуждаемый сценарий, основанный на введении в СМ синглетных фермионов [187] полу¬
чил в литературе название механизма качелей I типа. Есть ещё два других типа. Механизм
качелей типа II [190] основан на введении скалярного поля, триплета по слабой группе SU(2)
и заряженного по группе гиперзаряда; малые массы нейтрино получаются за счёт иерерхии
между вакуумными средними этого поля и поля Энглера—Браута—Хиггса. В механизме ка¬
челей типа III [287] вводят фермионы — триплеты по слабой группе, малость масс нейтрино
достигается аналогично механизму типа I.
568
Приложение С. Осцилляции нейтрино
В этом базисе поля Να описывают тяжёлые стерильные нейтрино с определённой мас¬
сой. Эффективный массовый член лёгких нейтрино, возникающий благодаря наруше¬
нию электрослабой симметрии, проще всего построить, отынтегрировав тяжёлые по¬
ля Να· В результате получим для майорановского массового члена лёгких нейтрино
выражение (С.62) с матрицей
тп — —тоМ~1тп'г). (С.69)
где
ТППар
У*0У
V2 ·
В общем случае массы лёгких нейтрино и параметры их смешивания, входящие в мат¬
рицу PMNS, нетривиальным образом зависят как от элементов диагональной матрицы
А/, так и от элементов матрицы юкавских констант уа3.
Обсудим теперь возможность того, что известные нейтрино имеют дираковские
массы. Для получения дираковских масс нейтрино к полям Стандартной модели тре¬
буется добавить новые лёгкие поля ι/да — правые компоненты нейтрино, тогда дира-
ковский массовый член будет иметь вид
С
D
V
—ma0URai/Lp + h. с.,
(С.70)
где опять использован калибровочный базис. Эти правые компоненты должны быть
нейтральными (стерильными.) относительно калибровочной группы Стандартной моде¬
ли, иначе они давали бы вклад, например, в полную ширину распада Ζ-бозона, которая
измерена с высокой точностью и согласуется с предсказанием Стандартной модели.
Поскольку дираковская масса инвариантна относительно операции зарядового со¬
пряжения, то в рассматриваемой теории имеет смысл понятие лептонного числа: массо¬
вые члены (С.70), как и все слагаемые лагранжиана Стандартной модели, инвариантны
относительно преобразований
if — — if —
Q, у о. —» е чма.
Для диагональной матрицы та3 можно ввести лептониые числа для каждого из лептон-
ных ароматов в отдельности. Наблюдаемые нейтринные осцилляции свидетельствуют
о нарушении этих чисел, т. е. о недиагональности массовой матрицы та3.
Массовые члены (С.70) могут возникнуть, например, за счёт перенормируемого
юкавского взаимодействия
С = -^ул9иНиЯ0 + к.с., (С·7!)
где использованы по существу те же обозначения, что используются в Приложении В,
индексы а, 3 — 1,2,3 нумеруют поколения. Юкавские константы уа3 при этом должны
быть чрезвычайно малы. В ряде обобщений Стандартной модели (например, в супер¬
симметричных теориях и моделях Большого объединения) малость юкавских констант
достигается естественным образом за счёт наличия в теории промежуточного (меж¬
ду планковским и электрослабым) энергетического масштаба, на котором появляется
эффективное взаимодействие (С.71). В результате юкавские константы оказываются
подавленымн отношением (или степенью отношения) промежуточного и гравитацион¬
ного масштабов. Иллюстрацией может служить взаимодействие с тяжёлым скалярным
полем S — синглетом относительно калибровочной группы Стандартной модели,
С = ■ V Ya3LaHvR3 + /ι. с.?
А Ιρι ^
а. 3
С.5. Прямые поиски масс нейтрино
569
где безразмерные константы Υαβ можно считать величинами порядка единицы. Если
на некотором энергетическом масштабе Л -С Μρι поле S приобретает ненулевое ваку¬
умное среднее, то при более низких энергиях в теории появляется эффективное пере¬
нормируемое взаимодействие (С.71) с юкавскими константами порядка Α/Μρι <С 1.
В заключение этого раздела отметим, что нельзя исключить возможность того,
что в лагранжиане нейтрино имеются и майорановские, и дираковские массовые чле¬
ны, и что оба типа масс существенны для описания свойств нейтрино. Такая возмож¬
ность, однако, выглядит не слишком естественной, поскольку механизмы, приводящие
к появлению двух разных типов массовых членов, вообще говоря, различны, и трудно
ожидать, что они приводят к значениям массовых параметров, одинаковым в пределах
нескольких порядков величины.
С.5 Прямые поиски масс нейтрино
Современные прямые экспериментальные ограничения на массы нейтрино имеют
вид [о]:
Эти ограничения справедливы вне зависимости от типа массы нейтрино. Для моде¬
ли с майорановскими массами ограничение на комбинацию масс нейтрино, существен¬
ную для процессов двойного /3-распада ядер (подробности см., например, в [5]) более
сильное:
Для сравнения отметим, что современное ограничение на сумму масс нейтрино, следу¬
ющее из измерения анизотропии реликтового излучения и изучения структур во Все¬
ленной, находится на уровне
в зависимости от того, какие космологические параметры фиксируются из иных наблю¬
дений.
Ожидается, что в ближайшее время чувствительность прямых лабораторных экс¬
периментов к массе электронного нейтрино повысится до 0,2-0,02 эВ (в зависимости
от типа массы). Точность космологических оценок (или ограничений) на сумму масс
нейтрино также будет повышаться.
mi/e < 2 эВ,
πΐνμ < 0,19 МэВ,
пг„т <18,2 МэВ.
(С.72)
(С.73)
(С.74)
т„ < 0,3 эВ.
Приложение D
Квантовая теория поля
при конечных температурах
В этом Приложении мы кратко рассмотрим метод вычисления некоторых величин
(свободной энергии, эффективного потенциала, статических функций Грина) в кван¬
товой теории поля при конечных температурах. Мы в основном будем рассматривать
наиболее интересный с точки зрения космологии случай нулевых химических потенци¬
алов, хотя весь подход допускает соответствующее обобщение.
Начнём с общего замечания. Квантовую теорию поля иногда полезно воспринимать
как квантовую механику большого, но конечного числа степеней свободы. Действи¬
тельно, теорию поля можно регуляризовать, введя пространственную решётку с ма¬
лым, но конечным шагом (ультрафиолетовая регуляризация) и рассматривая систему
в трёхмерном ящике конечного, хотя и большого размера (инфракрасная регуляри¬
зация). При этом время удобно для наших целей считать непрерывным1. Тогда поля
ό(χ, t) станут функциями узла решётки2 и времени, ф(х, t) —* ό(χη.ί). где хп — коор¬
динаты узла решётки, нумеруемые дискретным индексом п. При такой регуляризации
число динамических координат <£(хп,£) хотя и велико, но конечно, т.е. теория поля
сводится к квантовой механике.
Мы будем пользоваться этим взглядом для получения формальных результатов3.
А именно, мы разовьём температурную технику в квантовой механике, а затем прямо
перенесём её в квантовую теорию поля.
1В реальных численных расчётах на решётке время также дискретизуют. Нам в дальнейших
рассуждениях это будет неудобно.
2Калибровочные поля естественно считать живущими на рёбрах решётки, а не на узлах.
Для нас это несущественно.
3В связи с этим тонкие вопросы о снятии ультрафиолетовой и инфракрасной регуляризаций
мы обсуждать не будем.
570
D. 1. Бозонные поля: евклидово время и периодические граничные условия 571
D.1 Бозонные поля: евклидово время
и периодические граничные условия
Итак, рассмотрим квантовомеханическую систему с динамическими координата¬
ми q = (g^,<^2\ ... .q^). Для начала будем считать q бозонными координатами, как
обычно в квантовой механике. Пусть эта система находится при температуре Т. Как из¬
вестно из статистической физики, в состоянии термодинамического равновесия средние
операторов в фиксированный момент времени вычисляются по формуле
Тг(е-^О)
Тг(е-зя) ’
(D.1)
где оператор Н — это гамильтониан системы, параметр β равен
а след берётся по всем состояниям системы. Свободная энергия F определяется фор¬
мулой
e~0F = Тг(е~зй). (D.2)
Наша задача — найти удобное представление для правой части этого равенства.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы q и гамильтонианом
H = £+V(q).
(D.3)
В качестве полного набора состояний в (D.2) выберем собственные состояния оператора
q, т. е. используем координатное представление. Тогда
Tr(e-fl") = J dq{q\e-eA\q). (D.4)
Здесь, как и в дальнейшем, мы опустили численный множитель перед интегралом,
который приводит лишь к общему сдвигу свободной энергии, F —> F + const. Нас бу¬
дут интересовать средние типа (D.1), в которых эти множители сокращаются, а также
разности свободных энергий для разных фаз, поэтому такой сдвиг для нас будет несу¬
щественен.
Получим представление для правой части (D.4) в виде функционального интеграла
(см. подробнее, например, в [249]). Запишем
(?|е“ЗН|?) = <β| П= («1(1 - Δη · Я)(1 - Δη · Я)(1 - Δτ„ · Я)|«>
где мы разбили отрезок длиной 3 на η малых отрезков длиной Δτι,..., Δτη; нас будет
интересовать предел η —» ос, Δη —► 0. Вставим между каждыми скобками единицу
и запишем
х (до|(1
dqk 5{qo-qn) х
Δη · Я)ЫЫ(1 - Δτ2 · H)\q2).. ■ |(1 - Δτη · Я)|д„).
(D.5)
(D.6)
572
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
Далее, воспользуемся соотношениями
{q\vmq)
V(q)S(q -q) = J
^-V(q)eip{q-q,),
dPP?_Jp{<i-g')
2π 2
Опуская численный множитель, имеем для каждого сомножителя в (D.5)
2
<9ь_1|(1-Д^-Я)Ы = J dpkeipk^-qk-l)e-(^+viqk))ATk,
где мы вновь записали
(D.7)
1 - (f+n»)W=
Интеграл по dpk в (D.7) гауссов и вычисляется, как обычно, сдвигом
Pk Рк -iqk,
где
В результате имеем
Як =
qk-1 - Як
Δη-
(qk-i|(l - Δτ* · Я)Ы =
Подставляя это выражение в (D.5), получим в пределе η —* оо, Δτϊ —*■ 0 представление
для свободной энергии в виде функционального интеграла
-3F
-/
Jo(3) =
где
о(3)
я(3)=ч(0)
Г" (f
+ V(q) ,
(D-8)
(D.9)
причём q = dq/dt.
Поясним введённое обозначение. Se представляет собой евклидово действие систе¬
мы с гамильтонианом (D.3). Оно получается из исходного действия
■/
dt
К§)-™
формальной заменой
t = —гт.
(D.10)
после чего т считается действительным. Точнее, при замене (D.10) S переходит в iSe,
так что
eiS^e~sE (D.U)
Далее, в соответствии с (D.9) теория рассматривается на конечном интервале евклидова
времени т, длина которого равна β = Т-1. Наконец, функциональный интеграл (D.8)
берётся по траекториям, периодическим с перидом β.
D. 1. Бозонные поля: евклидово время и периодические граничные условия 573
Представление (D.8) для свободной энергии интуитивно понятно. Оператор е
можно воспринимать как оператор эволюции е_гЯ£-э на мнимом (евклидовом) проме¬
жутке времени ίβ = —ιβ. В соответствии с этим матричный элемент
<?/| е“5"Ы
представляется в виде функционального интеграла по траекториям в евклидовом вре¬
мени, начинающимся в точке q = (ц и заканчивающимся в точке q = q/. Из формулы
(D.4) ясно, что существенными являются периодические траектории qi = д/ = q, на ко¬
торые не накладывается никаких других условий.
Изложенный вывод непосредственно обобщается на квантовую механику
многих степеней свободы и, в соответствии со сказанным в начале раздела,
на квантовую теорию любых бозонных полей. Обозначая все бозонные поля коллек¬
тивным символом ф, представление для свободной энергии запишем в виде, аналогич¬
ном (D.8),
e~eF =
где интегрирование идёт по полевым конфигурациям, периодически*и4 в евклидовом
времени т с периодом β, евклидово действие имеет вид
S^ = J dr J 03х.£е(Ф,Ф)
и получается из исходного действия формальной заменой т —> — гт, iS —* —Se, так же,
как в (D.10), (D.11). Иначе говоря, евклидов лагранжиан Се в случае калибровочной
теории со скалярными полями получается из исходного лагранжиана заменой метрики
Минковского на евклидову метрику и изменением знака перед скалярным потенциалом
и лагранжианом калибровочных полей. Схематически,
СЕ = \F%F% + Όμφ'Όμφ + У(ф), (D.12)
где суммирование по четырёхмерным индексам μ, и ведётся с евклидовой метрикой.
> Задача 1. Убедиться, что изложенная процедура получения евклидова действия
действительно приводит к выражению (D.12), если исходный лагранжиан в про¬
странстве Минковского имеет вид
С = -\rfvVXpFZxFZp + - У(ф),
где — напряжённость калибровочного поля, соответствующего некоторой
калибровочной группе G, символ ф обозначает все скалярные поля, преобразую¬
щиеся по некоторому (вообще говоря, приводимому и комплексному) представ¬
лению этой группы. Указание: сначала наложить калибровку Aq = 0, а затем
восстановить калибровочную инвариантность уже в евклидовой формулировке.
4В случае неабелевых калибровочных теорий конфигурации должны быть периодичны
с точностью до «больших» (топологически нетривиальных) калибровочных преобразований,
см. [147]. Для нас эта тонкость будет несущественна.
574
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
D.2 Фермионные поля:
антипериодические условия
В случае фермионов представление для свободной энергии через функциональный
интеграл нужно выводить заново. Мы ограничимся случаем действия, квадратичного
по фермионным полям, хотя результат будет справедлив для общего случая. Точнее,
мы рассмотрим теории, в которых фермионная часть лагранжиана в пространстве Мин¬
ковского имеет вид
£ = ίφημθμφ — фМф, (D.13)
где М включает в себя массу фермиона и взаимодействие с бозонными полями (напри¬
мер, в электродинамике Μ = m — βημАμ). Фермионных полей может быть несколько;
обобщение на этот случай труда не представляет. Бозонные поля будем пока считать
внешними и фиксированными.
Учитывая, что ф = ф^70, запишем лагранжиан (D.13) в виде
С = гф^доф — Н, (D.14)
где
Η = —ιφ'ηαηιθίφ + φ^Ί°Μφ. (D.15)
Из (D.14) видно, что р# = гф* выступает в качестве обобщённого импульса, сопряжён¬
ного обобщённой координате ф, а Н — гамильтониан теории.
В отличие от бозонных полей фермионные поля обладают антикоммутационными
соотношениями; при равных временах
{φ(χ,ί)1φ(χ! ,t)} = = О,
{τ/>(χ,ί),ι/Λ(χ',ί)} =5(х-х/).
Последнее равенство эквивалентно каноническом}' соотношению
{^(х, ί),ρ·ψ{χ , ί)} = i<S(x — х').
Если ввести пространственную решётку и конечный объём пространства, то мы придём
к квантовой механике операторов, обладающих (в представлении Шредингера) анти¬
коммутационными соотношениями
{φτη,Φη} = {Φη,Ψη} = 0, {φτη,ΦΪ} = Smn,
а дискретизация гамильтониана (D.15) приводит к гамильтониану типа
Η — φπΗτηη'ψη·
Наша задача — найти представление для Тг(е_'зя) в такой теории в виде функциональ¬
ного интеграла.
Рассмотрим теорию с одним фермионным оператором ф и сопряжённым ему фт.
Они удовлетворяют соотношениям
{ф,ф} = {ф\гИ} = 0, {'0,'0*} = 1.
Это — коммутационные соотношения для фермионных операторов рождения и уничто¬
жения. Будем для определённости считать ф оператором рождения. Тогда пространство
состояний имеет два базисных вектора |0), |1), такие что
^|0)=0, ψ|0) = |1),
^|1) = |0), ф\1) = 0.
D.2. Фермионные поля: антипериодические условия
575
Удобно реализовать пространство состояний как пространство функций от антикомму¬
тирующей грассмановой переменной ф, основное свойство которой — это нильпотент¬
ность,
ф · ф = 0. (D.16)
Сопоставим вектору |0) числовую единицу, а вектору |1) — функцию Φι(φ) = ф. Тогда
линейное пространство с двумя базисными векторами |0) и |1) эквивалентно простран¬
ству функций вида
Ф (ф) = а + βφ,
где Ос в β — комплексные числа. В действительности, все функции Ф(ф) имеют такой
вид, в чём легко убедиться, записав разложение Тэйлора по ф и воспользовавшись
(D.16). Операторы ф и ф^ действуют в этом пространстве следующим образом:
о
ФФ(ф) = ФФ(Ф), Ф*Ф(Ф) = — Ф(Ф).
ОН)
Полезно эти формулы представить в интегральном виде. Введём интеграл Березина,
написав по определению
J άφ = 0, J άφ ■ ф = 1.
Этих определений достаточно, чтобы найти интеграл от любой функции Ф(ф). Нетрудно
убедиться прямой подстановкой, что выполняются следующие
соотношения:
ф №) = j
j άφάφ* е~^^~^Ф(ф),
(D.17)
ФФ(Ф) =
f' άφάφ' е~^^~^фФ(ф),
(D.18)
Ф^Ф(Ф) =
j άφ άφ^ e_v №~ν^φ^Φ(Φ),
(D.19)
φίφΦ(Φ) =
ί άφάφ^ е-и'^~^φ^φΦ(φ),
(D.20)
где все переменные и дифференциалы ф, ф, Ф^, άφ, άφ* считаются антикоммутирую¬
щими между собой.
Теперь нетрудно записать функциональный интеграл для величины
(е~эйФ)(Ф)
и для гамильтониана вида Н = сф^ф. Поступим так же, как и в бозонном случае,
и запишем
е~рЙФ = (1 - ЯДп)... (1 - ΗΑτη) · Ф.
Воспользовавшись формулами (D.17) и (D.20), получим
(е-3"ф)(^) = J ΥΙάφ^φΙβ-^-^-π^'^.-.β
-Φη)-Π{·φη)Δ.~η
У(фп)
Полезно заметить, что, как и в бозонном случае,
Фк-1 -фк = Ф{Тк) ■ АТк
576
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
при малых Атк. В пределе η -» оо, Δτ,· —» 0 отсюда получим представление в виде
функционального интеграла
(е~0ЙЯ/){ф) = (D.21)
где
SE] = £ (V§7 + ЩФ'Ф)) dr.
Отметим, что функциональный интеграл в (D.21) включает интегрирование по pi и р\
в начальный «момент» т = 0 (причём pi = ф(т = 0)), но не включает интегрирование
по ф и ф* в конечный «момент» т — β. Так же как и в бозонном случае, евклидово
действие Se получается из исходного действия в реальном времени
5 = [ dt [ip^dtp - Η)
формальной заменой t —* —гт, iS —► —Se-
Нам осталось выяснить, к каким граничным условиям приводит взятие следа. За¬
пишем
(е-'3^Ф) (ф) = J dpi и(Ф,фг)^(фг), (D.22)
где
U(р, фф = J V'pVp^ g~Se ,
а штрих означает, что по начальному значению переменной ф(т = 0) = ф, интегриро¬
вание не производится (оно оставлено в (D.22)). Запишем общее разложение функции
двух грассмановых переменных
и(ф, фф = uq + шф + u-ιφί + υ,2φφί·
Получим
dpi U(P, фф · 1 = -u_i — U2p,
dpi U{P, фф ■ pi = uq — u\p.
На операторном языке это означает, что
/■
/'
е 0Н\О) = u-i|0) - ΐίο11),
е_3^|1) = до|0) — tii 11) -
Следовательно,
Итак, мы получили
Тг(е 0Й) = и-\—и\= j dpiU(—pi,pi).
Тт(е~0Й) = f VPVp'e-SE\
J φ(β) = — ·ώ(0)
т. e. интегрирование ведётся по грассмановым траекториям с антипериодическьлш гра¬
ничными условиями для р(т) на интервале (0, в). Переменную г^(т) можно также счи¬
тать антипериодической: на отрезке (0,/?) любая р\т) представима в виде суммы пери¬
одической и антипериодической функций, а периодическая часть не даёт вклада в ,
поскольку интегрируется с антипериодической ф{т).
D.3. Теория возмущений
577
Весь этот вывод переносится на системы со многими фермионными степенями сво¬
боды и, соответственно, на теорию фермионных полей. При этом существенную роль
играют неиспользованные выше соотношения (D.18) и (D.19). Хотя при нашем выводе
мы считали бозонные поля внешними, нетрудно понять, что это в действительности
ограничением не является: в интеграле по бозонным и фермионным полям можно рас¬
сматривать интеграл по фермионам как внутренний (в нём бозонные поля будут фик¬
сированы). а затем интегрировать по бозонным полям. Итак, свободная энергия даётся
интегралом
e~3F = J VoVxf Voc~s^ = Z: (D.23)
где S^j> — евклидово действие теории на отрезке (0. β), причём бозонные поля о удовле¬
творяют периодическим, а фермионные ψ,ψ' — антипериодическим граничным усло¬
виям на этом отрезке.
Отметим в заключение этого раздела, что изложенный формализм можно обоб¬
щить на случай ненулевого химического потенциала. В общем случае химический по¬
тенциал вводится тогда, когда в среде имеется ненулевая плотность сохраняющегося
(при данной температуре) квантового числа; в космологическом контексте наибольший
интерес представляют барионное и лептонные числа. Соответствующие операторы име¬
ют структуру типа
Q = J с?3хг£>7°0.
Учёт ненулевого среднего от плотности п = и~° и сводится к добавлению в эффектив¬
ный гамильтониан слагаемого (—pQ). т. е.
Hcff = H-pQ, (D.24)
где μ — химический потенциал. В рассматриваемом формализме это приводит к изме¬
нению евклидова действия,
Si-J> —> — μ J dr J , (D.25)
в формуле (D.23). В этом случае для величины F(T. μ) используют термин «большой
термодинамический потенциал».
D.3 Теория возмущений
Изложенный в разделах D.l. D.2 подход полезен для вычисления свободной энер¬
гии. эффективного потенциала Vef f(T, ф), введённого в Главе 10, а также статических
функций Грина. Последние характеризуют отклик системы на нс зависящее от времени
внешнее воздействие. Например, пусть в теории с квантовым полем о введён стати¬
ческий источник ./(х). Это означает, что гамильтониан модифицируется следующим
образом:
Я -» Н - J J(χ)ό(χ) d3x = Hj,
где ф(х) — шредингерово поле. Статистическая сумма в присутствии этого
источника,
Zj = e~3Fj = Tr(e~3Hj),
578
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
представляется в виде функционального интеграла (D.23), а её разложение по степе¬
ням J имеет своими коэффициентами статические функции Грина
G(xi,..
. .х„) = Z~l J Voe~s 1Φ1 х
(D.26)
1 f3 1 f3
X-y dn ό(Χχ,Τι) X · · · X - j dTn0(Xn,Tn)
(D.27)
(нормировка со статистической суммой без источника и множители l/β введены для
удобства), индекс Е в обозначении для евклидова действия здесь и в дальнейшем опус¬
каем.
Простой пример — среднее поле, возникшее в среде благодаря введению статиче¬
ского источника
В низшем порядке по J оно равно
Тг(е 3Hjd>{x))
Tr(e-3Hj)
<<р(х)Ь = j G{x,y)J(y)dy.
Отличие G(x,y) от свободного пропагатора теории при нулевой температуре соответ¬
ствует модификации закона Кулона или закона Юкавы в присутствии среды.
Отметим, что статические корреляторы (D.26) далеко не исчерпывают всех инте¬
ресных классов функций Грина. Техника вычислений корреляторов при разных време¬
нах (например, метод Келдыша) достаточно сложна, но она нам не понадобится.
Обобщая (D.26), будем рассматривать евклидовы функции Грина
G(xi,n:...:xn.Tn) = Z~l j 1?Фе-5(3)[Ф!Ф(х1,т1)...Ф(хп,тп). (D.28)
где Ф обозначает все поля, имеющиеся в теории, интегрирование ведётся по бозонным
п фермионным полям, периодическим и антипернодическим на интервале [0, /3] соот¬
ветственно. Нормировочный множитель Z даётся аналогичным интегралом, см. (D.23).
Исходя из представления (D.28), несложно построить диаграммную технику для
вычислений но теории возмущений, аналогичную фейнмановской технике в теориях при
нулевой температуре. Как обычно, расмотрим сначала свободные теории с источниками.
В скалярном и фермионном случаях выражения для квадратичных действий имеют вид
S<” М = L dTJd3x + J*·Α > (D.29)
.Srt 3' [— J dr J Tx (ν-μ9μν: Η- τηυύ — ·]μιί< — (D.30)
Здесь x° = t. суммирование ведётся с евклидовой метрикой, а евклидовы 7-матрицы
эрмитовы и удовлетворяют соотношению = 2δμν.
> Задача 2. Убедиться, что евклидово действие свободного дираковского поля с ис¬
точником имеет вид (D.30).
Поскольку поле φ периодично по т с периодом ,3, источник J^(x, т) тоже можно
считать периодичным. Наоборот, Jc· и антипериодичны.
D.3. Теория возмущений
579
Функциональный интеграл (D.23) для квадратичного действия с источником (D.29)
гауссов и вычисляется сдвигом
причём <рс должно быть периодично по т с периодом 3. Решение этого уравнения имеет
вид
где D — свободный пропагатор при конечной температуре. С учётом периодичности Jψ
нетрудно видеть, что уравнение (D.31) и условие периодичности для ус удовлетворя¬
ются, если свободный пропагатор имеет вид
— мацубаровские частоты бозонных полей, нумеруемые целыми числами п = 0, ±1,....
В отличие от теории поля при нулевой температуре здесь частоты образуют дискретный
набор.
Свободный пропагатор векторного поля строится аналогичным образом и тоже
является суммой по частотам (D.32).
В случае фермионного поля уравнение, аналогичное (D.31), выглядит слудуюгцим
образом:
причём как J^(x, т), так и решение фс(х,т) антипериодичны по т с периодом β. Реше¬
нием этого уравнения служит
— мацубаровские частоты для фермионного случая. То, что п' пробегает полуцелые
значения, связано, разумеется, с аитнпериодичностью фермионных полей.
Дальнейшее развитие диаграммной техники происходит так же, как в евклидовой
теории поля при нулевой температуре. Выражения для вершин взаимодействия в тео¬
риях при Т = 0 и Т ф 0 совпадают. Из-за того что интегрирование по dr в действии
т) -> р(х, т) + ¥>с(х, т),
где (рс(х>т) удовлетворяет на интервале 0 < т < β уравнению
ifc — *
(D.31)
еф(х-х') + ыл(г-т')
p2 +ω% + m2
где
0
(D.32)
ΊμΟμφο + тпфс — Jv,
где свободный пропагатор равен
5(х, т; х', τ') =
(D.33)
Здесь
(D.34)
580
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
идёт от нуля до β. вместо 5-функции сохранения энергии в каждой вершине возникает
множитель
βδ (I», (D.35)
где Σ ω — сумма мацубаровских частот всех входящих линий (частот (D.32) для бозон¬
ных линий и частот (D.34) для фермионных), а функция δ(^2 ω) равна единице, если
Σ,ω = 0, и нулю во всех остальных случаях.
Отметим, что включение химического потенциала приводит, в соответствии с (D.25),
к замене до —► до — μ в действии (D.30). Соответствующее изменение свободного фер¬
мионного пропагатора (D.33) состоит в замене
ωη> -> ωη> -г ιμ
в предэкспоненте под интегралом в (D.33), при этом в экспоненте егШп,(-т~т ^ остаются
сами мацубаровские частоты.
D.4 Однопетлевой эффективный потенциал
В качестве первого примера получим в рамках изложенной в разделах D.l, D.2
техники выражение (10.24) для вкладов частиц различных типов в эффективный по¬
тенциал. Наша задача — вычислить свободную энергию как функцию внешнего одно¬
родного скалярного поля ф в пренебрежении взаимодействием между частицами сре¬
ды. Воспользуемся формулой (D.23) для свободной энергии. В указанном приближении
действие 5(,3) (индекс Е по-прежнему опускаем) квадратично по квантовым полям,
а внешнее поле ф входит в него только через массы частиц. Интеграл (D.23) факто¬
ризуется на произведение интегралов по различным полям, так что свободная энергия
действительно имеет структуру (10.22).
Отметим, что в рамках теории возмущений по константам связи в следующих по¬
рядках эффективный потенциал будет даваться диаграммами без внешних линий, в ко¬
торых массы и вершины зависят от внешнего поля ф. Простейшие из таких диаграмм
схематически изображены на рис. D.I. Эти диаграммы начинаются с двух петель. По¬
этому рассматриваемое нулевое приближение по константам связи в излагаемом фор¬
мализме естественно назвать однопетлевым.
Возвращаясь к однопетлевому приближению,
рассмотрим для примера вклад скалярного по¬
ля, действие которого даётся формулой (D.29)
с — 0. Интеграл по φ типа (D.23) является гаус¬
совым и равен
/
Т><ре
-S(3)!
= [άοΐ(-δμι9μ Ч-m2)]
-1/5
Рис. D.l. Схематическое изоб¬
ражение диаграмм, дающих
вклад в эффективный потен¬
циал в низших нетривиальных
порядках теории возмущений
по константе связи
где т2 = т2(ф). а детерминант можно понимать
как произведение собственных значений операто¬
ра (—дμдμ+ m2), причём собственные функции
должны быть периодичны по τ с периодом 3. Ес¬
ли поместить систему в пространственный ящик
большого размера L, то собственные значения ука¬
занного оператора будут равны
\ _ „2 , , 2 2
^п.гц.П2,Пз — Р "Г “Г .
D.4. Однопетлевой эффективный потешщал
581
где
Р =
2πηι 2πττ,2 2πη3
L ’ L '■ L
ni,n2)n3 6 Z,
(D.36)
a cjn
равен
мацубаровские частоты (D.32). Таким образом, вклад в свободную энергию
Fv
Σ Σ
П 71ΐ,Π2ν
1 ! ^ ρ2 + ωΐ + m2
54 Λ5
где обезразмеривающий параметр Λ приводит лишь к общему сдвигу свободной энергии,
и поэтому нам несущественен. В пределе большого L
Σ
Л1,П2,пз
d3 р
(2^’
так что свободная энергия действительно пропорциональна объёму, а вклад в эффек¬
тивный потенциал равен
и =
р2 + ω2 + m2
Λ2
(D.37)
Удобно вычислять не сам этот вклад, а его производную по т2 (вкладом, не зависящим
от т2, г. е. от среднего поля ф, не интересуемся),
9U _ [ d3p ST' 1
dm2 2β J (2π)3 " ρ2 + ω2 + τη2 '
Для вычисления суммы по всем целым η заметим, что её можно представить в виде
У" u(n) = <р ctg(7vz)u(z) dz,
η _L 1 — V
(D.38)
η=0.±1,
где интегрирование идёт по замкнутому контуру в комплексной плоскости, обходящему
действительную ось против часовой стрелки, см. рис. D.2 а. Для доказательства фор¬
мулы (D.38) достаточно заметить, что ctg7rz имеет полюса при целых z = 0, ±1,...
с вычетами, равными тг-1.
В нашем случае
u(z)
2
Р
(D.39)
Поскольку u(z) имеет особенности (полюса) только на мнимой оси, контур интегрирова¬
ния в (D.38) можно продеформировать так, как изображено на рис. D.2 Ь. В результате
вклад в интеграл дают два полюса
2 =
и мы получаем
QU _ [ rf3p
dm2 J (2тг)3 4^/р
Это выражение можно представить в виде
эи su(t = Q) dfP
dm2 dm2 dm2
582
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
а) Ъ)
Рис. D.2. а) Контур интегрирования, фигурирующий в (D.38); Ь) деформиро¬
ванный контур
где
dfv(T = 0)
■/
р
1
= _Ё_Г1 f d3p А
dm2 [2J (2тг)3 V
dm2 J (2π)3 Ay/p2 + m2 dm2 [2 J (2тг)г
не зависит от температуры, а температурный вклад равен
р2 + т?
df{P _ Г d3p 1 1
dm2 J (2-)3 2v/pr+m2 еЧ/Р2+т2/т _ χ'
(D.40)
(D-41)
Вклад (D.40) в эффективный потенциал при нулевой температуре — это просто сумма
энергий нулевых колебаний осцилляторов поля φ,
U(T= 0) = ^з Σ ξ\/ρ2 + ”·2, (D.42)
”1 ,«2^3
где мы для наглядности вернулись к теории в конечном пространственном объёме; им¬
пульс р даётся формулой (D.36). Этот вклад для нас интереса сейчас не представляет,
хотя он при определённых соотношениях между константами связи может приводить
к интересным следствиям в теориях при нулевой температуре0.
Вклад (D.41). существенный при конечных температурах, в точности соответствует
бозонному интегралу (10.24) с g, = 1 (поскольку мы рассматриваем одно вещественное
скалярное поле φ). Действительно, он равен
dfP = 1 Г°° р2 dp 1 (D 43)
dm2 4π2 J0 у/p2 + т2 е\/р2тт2/г _ ι
°Нуль-температурный однопетлевой вклад (D.42) ультрафиолетово расходится. Эта расхо¬
димость устраняется обычной перенормировкой массы и константы самодействия поля ф.
D.4. Однопетлевой эффективный потенциал
583
С другой стороны, производная по тп2 интеграла (10.24) равна
■Л а 1 1 1
_J_ Г к4...
бтг2 J0 dm2 ^л/А;2 + т2 е%/5^Г^2/т _ j
_ 1 Г.А..1 8 ( 1
-“ййУ.
δ/с V \/fc2 + m2 е\/k- + m-/т _ ^
(D.44)
что совпадает с (D.43) после интегрирования по частям.
Вычисление с помощью изложенной в этом Приложении техники вклада фермио¬
нов в однопетлевой температурный эффективный потенциал вполне аналогично выше¬
приведённому. Для теории с действием (D.30) с J-. — Jo = 0 функциональный интеграл
(D.23) равен
^ Т>с Τ>ι· е " s ' = det 4- ш(0)].
причём собственные функции евклидова оператора Дирака должны быть антнперио-
дичны по т с периодом β. Для фпксп[юнапного трёхмерного импульса р и мацубаров-
ской частоты (D.34) имеется два собственных значения оператора Дирака,
Л= = m ±iJ р2 4- ω2,,
причём имеется две собственных функции для каждого из них. В результате для каждо¬
го импульса имеем множитель в детерминанте (λ-ί-λ-)-. так что вместо (D.37) получим
Л
2 Г d3 р
PJ (2тг)3
Σ
In
р“ 4- ω", + m
Λ2
(D.45)
Подчеркнём, что отличие в знаке по сравнению с (D.37) связано с тем, что мы имеем
дело с фермионами. При вычислении dfo/dm2 встречается сумма по полуцелым η .
которую можно представить в виде
Σ
(D.46)
где контур интегрирования совпадает с изображённым на рис. D.2, a u(z) по-прежнему
даётся формулой (D.39). Дальнейшее вычисление по существу" повторяет выкладку" для
скалярного поля, и вклад фермионов также распадается на нуль-температурную и ко¬
нечнотемпературную части, причём
fv(T = 0) = —2 [
J {Zn)
представляет собой вклад моря Дирака (двужратио вырожденных для каждого р со¬
стояний с отрицательной энергией — >/р2 + т2), а
9)f1 Г р_ 2 1
dm2 J (2π)3 ^ρ2 4- m2 e\/p2-fm2/r + ^
что совпадает с производной от фермионного интеграла (10.24) с учётом того, что сум¬
марное число спиновых состояний фермиона и антифермиона равно g = 4.
584
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
Итак, в рамках рассматриваемого в этом Приложении формализма различие в функ¬
циях распределения бозонов и фермионов проявляется главным образом в различии
между мадубаровскими частотами (D.32) и (D.34). В разделе 10.4 мы обсуждаем, на¬
сколько важно это различие с точки зрения инфракрасных свойств теории при высоких
температурах.
> Задача 3. В однопетлевом приближении найти большой термодинамический по¬
тенциал фермионной среды и плотность фермионного числа Q в среде с хими¬
ческим потенциалом μ. Рассмотреть предельные случаи Т » μ » т и Т <С μ.
Указание: использовать вытекающее из (D.24) свойство
9Ρ{μ.Τ)
дц
-(Q)t.m-
D.5 Дебаевская экранировка
Рис. D.3. Однопетплевой поляризацион¬
ный оператор фотона
левой мацубаровской частоте, т. е.
В качестве второго примера рас¬
смотрим однопетлевой вклад Πμι, в по¬
ляризационный оператор фотона при ко¬
нечных температурах в квантовой элек¬
тродинамике, рис. D.3. Как обычно, он
модифицирует пропагатор фотона
Ώμν —' ['Ρμ,] + ПД
Мы рассмотрим статический пропагатор,
см. (D.26), поэтому нас будет интересо¬
вать поляризационный оператор при ну-
Πμμ(ρ) — ΙΊμ1/(р. CJn — 0).
Иными словами, искомый вклад модифицирует статические уравнения Максвелла, ко¬
торые (в импульсном представлении) приобретают в среде вид
р2Ло + ΠοοΠο + По; .4, = jo,
р2.4; - РгрА + П;оИо + П^Ла- = ji,
где j;i(p) - не зависящие от времени плотность заряда и плотность тока.
Прежде чем производить вычисление, заметим, что в силу калибровочной инвари¬
антности электродинамики, которая имеет место и в присутствии среды, поляризаци¬
онный оператор Πμμ(ρ. ω„) должен быть поперечным,
ρμ Πμμ = О,
где ρμ = (ύ/’η, р). В присутствии среды Лоренц-инвариантность не имеет места, но сим¬
метрия относительно пространственных вращений сохраняется. Поэтому общая струк¬
тура поляризационного оператора такова:
Поо = П(£),
_ PiPjPo-n(E) ,
о - +
П;о = -Щ?П(£).
р-
^ - аа)п<«>,
D.5. Дебаевская экранировка
585
где «электрический» и «магнитный» вклады. и зависят от р2 и ро =ωη.
В статическом пределе ро = ωη = 0 остаются только Поо и поперечная часть П^,
поэтому модификация уравнений Максвелла имеет вид
(р2 + П(Е)) Ао = jo. (D.47)
(р2 + П(Л/)) (sik - А = jk. (D.48)
Нас будет интересовать поведение полей на больших расстояниях, т. е. предел р2 —» 0.
При этом порядок предельных переходов существенен: сначала нужно положить ро ξ
ωη = 0. а затем брать предел малых р2.
Взаимодействие фермионов с электромагнитным полем вводится, как обычно, путём
замены θμ —► θμ — ΐεΑμ в действии (D.30), поэтому диаграмма рис. D.3 даёт
п= -е2 [ Tr[7μ5(x,ϊ/)7l'5(y,a:)]eίp^);гλe_ip*’/)v,, d4xd4y
где ρμ = (ujni,р^). ρ'μ = (uJnf,P^) — импульсы входящего и выходящего фотона,
интегрирование по х° и у0 ведётся в интервале (Ο.β), а пропагатор фермиона даётся
выражением (D.33). Выделяя 5-функции сохранения импульса и энергии (при этом
последняя понимается в смысле (D.35)) и полагая ωηί = u>nf = 0, р^ = р^ = р,
получим
П^(р)
(2тг)3/3
Тг|У*(-г<? + m)Y(-i(q + р) + т)]
(q2 + rn2)((q + р)2 + т2)
где q = 7μι?μ, импульс фотона равен ρμ = (0, р), qo = 2ττη/β, суммирование ведётся
по полуцелым п\ а квадраты в знаменателе понимаются в смысле четырёхмерного
евклидова пространства. Суммирование по мацубаровским частотам вновь выполним
с помощью формулы (D.46). Перейдя к пределу малого импульса фотона, получим
Πμ„(ρ
°’ш =0) = (Uf/d3q/ts (I90)
2<ίμ<7ι/ 5μι/(^0 “I- Q “Ь ТП )
(qo + q2 + m2)2
(D.49)
Полюса подынтегрального выражения находятся при qo = ±iy/q2 + то2; они показыва¬
ют, что по существ}^ мы имеем дело с рассеянием фотона вперёд на фермионах и анти¬
фермионах среды, что схематически изображено на рис. D.4, где крестики обозначают
частицы среды. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда формально однопетлевое вы¬
числение соответствует древесным диаграммам рассеяния в среде, причём взаимодей¬
ствие частиц среды между собой не учитывается; эта ситуация в определённом смысле
аналогична встретившейся в предыдущем разделе (формально однопетлевое вычисле¬
ние эффективного потенциала соответствует приближению, в котором частицы среды
не взаимодействуют между собой).
Выполняя интегрирование по dqo в (D.49) с помощью теоремы о вычетах и опуская
слагаемые, не зависящие от температуры, получим для 00-компоненты
П00(р^ 0,^ = 0) еП(£) =
_9
/I “
dq
UJq
2 , 2
Ug + q
e^q/T _[_ l ■
(D.50)
586
Приложение D. Квантовая теория поля при конечных температурах
Рис. D.4. Интерпретация поляризационного оператора с точки зрения рассе¬
яния фотона в среде
где ujq = y/q2 + т2 (в вычислении, приводящем к (D.50), удобно воспользоваться трю¬
ком с интегрированием по частям, аналогичным использованному в (D.44)). В то же
время, в пределе малого импульса фотона пространственные компоненты Пг^ равны
нулю. т. е.
П(Л/)(р —*■ Ο,ω = 0) = 0.
В соответствии с (D.47) и (D.48) это означает, что электрическое поле экранируется
в среде, а магнитное поле — не экранируется (разумеется, мы убедились в этом лишь
в рамках однопетлевого приближения). Действительно, решение уравнения (D.47) в ко¬
ординатном представлении в случае точечного заряда q, помещённого в начало коор¬
динат, на больших расстояниях имеет вид
, , . Г <Рр е,рх q е~т°|х|
.4о(х) — Я о -нг- — — г~,—!
./ (2тг) Р“ + rn~D 4тг |х|
где т% = (р —* 0,и; = 0) — квадрат дебаевской массы. Для магнитного поля яв¬
ление экспоненциального убывания на больших расстояниях отсутствует. Отметим, что
при Т <§: m дебаевская масса экспоненциально мала (напомним, что мы рассматрива¬
ем среду без химического потенциала; в ней плотность фермион-антифермионных нар
экспоненциально мала при низких температурах), а в обратном пределе
то = -Т, Т » /п,
7Г
т. е. дебаевский радиус экранировки электрического поля г о = шр1 убывает с темпе¬
ратурой.
В конце этого раздела упомянем, что дебаевская экранировка возникает и тогда,
когда в среде имеются заряженные бозоны, а не фермионы; вклад бозонов в квадрат
дебаевской массы по порядку величины совпадает с вкладом фермионов той же массы
и с тем же электрическим зарядом.
Наконец, дебаевская экранировка возникает и в среде с ненулевыми химическими
потенциалами. При этом температура может быть мала; в этом случае дебаевский
радиус определяется плотностью заряженных частиц. Важный для космологии пример
даёт электрон-протонная плазма.
> Задача 4. Найти дебаевский радиус в нейтральной элсктрон-протонной
плазме при температурах в случаях mp » Т » те и те Т ^$> Δ, где Δ —
энергия связи электрона в атоме водорода (А — 13.6 эВ). Считать заданными
температуру и плотность числа электронов. Указание: провести вычисление при
фиксированных химических потенциалах электронов и протонов, а для нахожде¬
ния связи с плотностями числа частиц воспользоваться результатами задачи 3.
Монографии, обзоры
Приведем (далеко не полный) список монографий и обзоров, в которых рассмат¬
риваются вопросы, затронутые в этой книге.
Монографии
Зельдович Я. Б.. Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
Zeldovich Ya. В. and Novikov I. D. The Structure and Evolution of the Universe //
Relativistic Astrophysics. Vol. 2. University of Chicago Press, 1983.
Долгов А.Д., Зельдович Я. Б.. Сажин М. В. Космология ранней Вселенной.
М.: Изд-во МГУ, 1988.
Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология.
М.: Наука. 1990.
Kolb Е. W. and Turner М. S. The Early Universe. Addison-Wesley, Redwood City, 1990.
Frontiers in physics, 69.
Peebles P. J. E. Principles of physical cosmology. Princeton University Press, 1993.
Vilenkin A. and Shellard E. P. S. Cosmic Strings and Other Topological Defects.
Cambridge University Press, 1994.
Peacock J. A. Cosmological Physics. Cambridge University Press, 1999.
Захаров А. В. Макроскопическая гравитация. M.: Янус-К, 2000.
Dodelson S. Modern Cosmology. Academic Press. Amsterdam, 2003.
Mukhanov V. Physical Foundations of Cosmology. Cambridge University Press, 2005.
Вайнберг С. Космология. Перевод с английского. М.: URSS, 2013.
Лукаш В. Н.. Михеева Е. В. Физическая космология. М.: Физматлит, 2010.
Обзоры общего характера
Dolgov A. D. and Zeldovich Y. В. Cosmology And Elementary Particles //
Rev. Mod. Phys. 1981. 53. 1.
Brandenberger R. H. Particle physics aspects of modern cosmology.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9701276
Turner M. S. and Tyson J. A. Cosmology at the millennium //
Rev. Mod. Phys. 1999. 71. S145.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/9901113
587
588
Монографии, обзоры
Freedman W. L. and Turner M. S. Measuring and understanding the Universe //
Rev. Mod. Phys. 2003. 75. 1433.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0308418
Rubakov V. Introduction to cosmology // PoS. 2005. RTN2005. 003.
Barielmann M.. The Dark Universe,//
Rev. Mod. Phys. 82 (2010) 331 [arXiv:0906.5036 [astro-ph.CO]].
Лекции на школах по физике высоких энергий для
молодых учёных
Peacock J. A. Cosmology and particle physics / Proc. 1998 European School
of High-Energy Physics, St. Andrews, Scotland, 23 Aug-5 Sep 1998.
Shaposhnikov M. Cosmology and astrophysics / Proc. 2000 European School
of High-Energy Physics. Caramulo, Portugal. 20 Aug-2 Sep 2000.
Rubakov V. A. Cosmology and astrophysics / Proc. 2001 European School
of High-Energy Physics. Beatenberg, Switzerland, 2001.
Tkachev 1.1. Astroparticle physics / Proc. 2003 European School on High-Energy Physics.
Tsakhkadzor, Armenia, 24 Aug-6 Sep 2003.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/hcp-ph/O405168
Обзоры по конкретным темам
Там, где это необходимо, в скобках указаны номера соответствующих
разделов книги.
Глава 4
Weinberg S. The cosmological constant problem // Rev. Mod. Phys. 1989. 61. 1.
Sahni V. and Starobinsky A. A. The case for a positive cosmological Lambda-term //
Int, J. Mod. Phys. D. 2000. 9. 373.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/9904398
Weinberg S. The cosmological constant problems.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/O005265
Чернин А.Д. Космический вакуум // Усп. физ. наук. 2001. 44. 1153.
Padmanabhan Т. Cosmological constant: The weight of the vacuum //
Phys. Rept, 2003. 380. 235.
Электронный ресурс: http://arxiv.org abs/hep-th Ό212290
Peebles P. J. E. and Ratra B. The cosmological constant and dark energy //
Rev. Mod. Phys. 2003. 75. 559.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0207347
Sahni V. Dark matter and dark energy // Lect. Notes Phys. 2004. 653. 141.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/O403324
Sahni V. and Starobinsky ,4. Reconstructing dark energy* /7
Int. J. Alod. Phys. D 15. 2006. 2105.
Электронный ресурс: http:/ /arxiv.org/abs/astro-ph/0610026
Монографии, обзоры
589
Caldwell R. R. and Kamionkowski M., The Physics of Cosmic Acceleration,
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 59 (2009) 397 [arXiv:0903.0866 [astro-ph.CO]].
Глава 6
Sunyaev R. A. and Chluba J., Signals From the Epoch of Cosmological Recombination,
Astron. Nachr. 330 (2009) 657 [arXiv:0908.0435 [astro-ph.CO]].
Глава 7
Dolgov A. D. Cosmological implications of neutrinos j j
Surveys High Energ. Phys. 2002. 17. 91.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0208222
Dolgov A. D. Neutrinos in cosmology // Phys. Rept. 2002. 370. 333.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0202122
Lesgourgues J. and Pastor S. Massive neutrinos and cosmology //
Phys. Rept. 2006. 429. 307.
Электронный ресурс: http: j j arxiv.org/abs/astro-ph/0603494
Boyarsky A., Ruchayskiy O. and Shaposhnikov M., The role of sterile neutrinos in cosmology
and astrophysics, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 59 (2009) 191 [arXiv:0901.0011 [hep-ph]].
Wong Y. Y. Y.. Neutrino mass in cosmology: status and prospects,
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 61 (2011) 69 [arXiv:lll 1.1436 [astro-ph.CO]].
Горбунов Д. С. Стерильные нейтрино и их роль в физике частиц и космологии //
Усп. физ. наук. 2014. 184. 545.
Глава 8
Boesgaard А. М. and Steigman G. Big Bang Nucleosynthesis: theories and observations /7
Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1985. 23. 319.
Sarkar S. Big bang nucleosynthesis and physics beyond the standard model //
Rept. Prog. Phys. 1996. 59. 1493.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9602260
Olive К. A.. Steigman G. and Walker T.P. Primordial nucleosynthesis:
Theory and observations // Phys. Rept. 2000. 333. 389.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/9905320
Iocco F., Mangano G., Miele G.. Pisanti O. and Serpico P.D.,
Primordial Nucleosynthesis: from precision cosmology to fundamental physics,
Phys. Rept. 472 (2009) 1 [arXiv:0809.0631 [astro-ph]].
Pospelov M. and Pradler J., Big Bang Nucleosynthesis as a Probe of New Physics,
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 60 (2010) 539 [arXiv:1011.1054 [hep-ph]].
Глава 9
Primack J. R., Seckel D. and Sadoulet B. Detection of cosmic dark matter / /
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1988. 38. 751.
Smith P. F. and Lewin J. D. Dark matter detection 7 Phys. Rept. 1990. 187. 203.
590
Монографии, обзоры
Bottino A. and Fomengo N. Dark matter and its particle candidates.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9904469
Olive К. A. Dark matter.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0301505
Bertone G., Hooper D. and Silk J. Particle dark matter:
Evidence, candidates and constraints // Phys. Rept. 2005. 405. 279.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0404175
Jungman G.. Kamionkowski M. and Griest K. Supersymmetric dark matter //
Phys. Rept. 1996. 267. 195.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9506380 (раздел 9.6).
Горбунов Д. С., Дубовский С. Л. и Троицкий С. В.
Калибровочный механизм передачи нарушения суперсимметрии j j
Усп. физ. наук. 1999. 169. 705.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9905466 (раздел 9.6).
Высоцкий М. И. и Невзоров Р. Б.
Избранные вопросы феноменологической суперсимметрии //
Усп. физ. наук. 2001. 44. 939 (раздел 9.6).
Kim J. Е. Light pseudoscalars, particle physics and cosmology //
Phys. Rept. 1987. 150. 1 (раздел 9.7.1).
Turner M. S. Windows on the axion /7 Phys. Rept. 1990. 197. 67 (раздел 9.7.1).
Kim J. E. and Carosi G., Axions and the Strong CP Problem.
Rev. Mod. Phys. 82 (2010) 557 (arXiv:0807.3125 [hep-phj] (раздел 9.7.1).
Kawasaki M. and Nakayama K.. Axions: Theory and Cosmological Role,
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 63 (2013) 69 [arXiv:1301.1123 [hep-ph]] (раздел 9.7.1).
Глава 10
Рубаков В. .4. и Шапошников Μ. Е. Электрослабое несохранение барионного числа
в ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энергиях //
Усп. физ. наук. 1996. 166. 493.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9603208
Глава 11
Kolb Е. W. and Turner M. S. Grand Unified Theories and the origin
of the baryon asymmetry / Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1983. 33. 645.
Dolgov A. D. NonGUT baryogenesis // Phys. Rept. 1992. 222. 309.
Dolgov A. D. Baryogenesis, 30 years after.
Электронный ресурс: http: /arxiv.org/abs/hep-ph/9707419
Riotto .4. and Trodden M. Recent progress in baryogenesis //
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1999. 49. 35.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9901362
Рубаков В. А. и Шапошников М.Е. Электрослабое несохранение барионного числа
в ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энергиях /
Усп. физ. наук. 1996. 166. 493.
Электронный ресурс: http://arxiv.org abs 'hep-ph/9603208
(разделы 11.2.1, 11.5).
Монографии, обзоры
591
Buchmuller W. and Plumacher M. Neutrino masses and the baryon asymmetry //
Int. J. Mod. Phys. A. 2000. 15. 5047.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/O007176
(раздел 11.4).
Buchmuller W., Di Bari P. and Plumacher M. Leptogenesis for pedestrians //
Annals Phys. 2005. 315. 305.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0401240
(раздел 11.4).
Buchmuller W.. Peccei R. D. and Yanagida T., «Leptogenesis as the origin of matter,»
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 55 (2005) 311 [arXiv:hep-ph/0502169] (раздел 11.4).
Strumia A. and Vissani F.. Neutrino masses and mixings and...,
arXiv:hep-ph/0606054 (раздел 11.4).
Davidson S.. Nardi E. and Nir Y.. Leptogenesis.
Phys. Rept. 466, 105 (2008) [arXiv:0802.2962 [hep-ph]] (Section 11.4).
Cohen A. G.. Kaplan D. B. and Nelson A. E.
Progress in electroweak baryogenesis /7 Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1993. 43. 27.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9302210 (раздел 11.5).
Trodden M. Electroweak baryogenesis /7 Rev. Mod. Phys. 1999. 71. 1463.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9803479 (раздел 11.5).
Констандин Г., Квантовая теория явлений переноса и электрослабый бариогенезис
Усп. физ. наук 183 (2013) 785 [arXiv: 1302.6713 [hep-ph]]
(раздел 11.5).
Enqvist К. and Mazumdar A. Cosmological consequences of MSSM flat directions //
Phys. Rept. 380 (2003) 99.
Электронный ресурс: http: ' arxiv.org/abs/hep-ph/0209244
(раздел 11.6).
Глава 12
Vilenkin A. Cosmic Strings And Domain Walls j j Phys. Rept. 1985. 121. 263.
Hindmarsh Μ. B. and Kibble T. W. B. Cosmic strings /7
Rept. Prog. Phys. 1995. 58. 477.
Электронный ресурс: http: //arxiv.org/abs/hep-ph/9411342
Enqvist K. and Mazumdar A. Cosmological consequences of MSSM flat directions /7
Phys. Rept. 380 (2003) 99.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0209244
(раздел 12.7).
Приложение С
Герштейн С. С.. Кузнецов Е. П., Рябов В. А. Природа массы нейтрино
и нейтринные осцилляции // Усп. физ. наук. 1997. 167. 811.
Mohapatra R. N. ICTP lectures on theoretical aspects of neutrino masses and mixings.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/O211252
Биленъкий С. М. Массы нейтрино, смешивание и осцилляции нейтрино / /
Усп. физ. наук. 2003. 173. 1137.
592
Монографии, обзоры
Алъберико У. М. и Биленъкий С. М.
Массы нейтрино, смешивание и осцилляции нейтрино // ЭЧАЯ. 2004. 35. 545.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0306239
De Gouvea А. 2004 TASI lectures on neutrino physics.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0411274
King S. F. Neutrino mass models // Rept. Prog. Phys. 2004. 67. 107.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0310204
Altarelli G. and Feruglio F. Models of neutrino masses and mixings //
Νβλν J. Phys. 2004. 6. 106.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0405048
Mohapatra R. N. and Smirnov A. Yu. Neutrino mass and new physics //
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 2006. 56. 569.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0603118
Smirnov A. Yu. Recent developments in neutrino phenomenology //
Proceedings of IPM School and Conference on Lepton and Hadron Physics (IPM-LHP06).
Teheran, Iran, 15-20 May 2006. P. 0003.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/O702061
Strumia A. and Vissani F.. Neutrino masses and mixings and... ,arXiv:hep-ph/0606054.
Avignone F. T., Ill, Elliott S.R. and Engel J..
Double Beta Decay. Majorana Neutrinos, and Neutrino Mass.
Rev. Mod. Phys. 80 (2008) 481 [arXiv:0708.1033 [nucl-ex]].
Приложение D
Shuryak E. V. Quantum Chromodynamics and the theory of superdense matter //
Phys. Rept. 1980. 61. 71.
Gross D. J.. Pisarski R. D. and Yaffe L. G. QCD and instantons at finite temperature /7
Rev. Mod. Phys. 1981. 53. 43.
593
Рис. 1.1. Пространственное распределение галактик и квазаров по данньим SDSS [3J. Зе¬
лёными точкалш отмечены все галактики (в данном телесном угле) с яркостью, превы¬
шающей некоторую. Красные точки указывают галактики наибольшей светимости из уда¬
лённых скоплений, образующие довольно однородную популяцию; в сопутствующей системе
отсчёта их спектр смещён в красную область по сравнению с обычнъши галактиками. Го¬
лубые и синие точки показывают расположение обычных квазаров. Параметр h примерно
равен 0,7 (см. раздел 1.2.2)
Рис. 1.6. Данные WMAP [6]: угловая анизотропия реликтового излучения, т. е. зависи¬
мость температуры фотонов от направления их прихода (показана цветом). Сред>1яя тем¬
пература фотонов и дипольная компонента (1-15) вычтены; изображённые вариации тем¬
пературы находятся на уровне ST ~ 100 μΚ, т. е. ST/Tq ~ 10 4 —10—°
594
Рис. 1.8. Скопление CL0024 -г 1654 (21]: синий цвет на верхнем рисунке иллюстрирует
распределение тёмной .материи: серповидные объекты голубого цвета на нижнем рисунке
.множественное изображение галактики, расположенной далеко за скопление.и
5r'5Srr'42s 36s 30s 24* 18s 12s
6h58m42s 36’ 30s 24= 18s 12’
Рис. 1.9. Результат наблюдения [23] стал¬
кивающихся скоплений 1Е0657 558: замкну-
пгы.ми линия.ми показан гравитационный по-
тенциа.<1. в основно.м создаваемый тёмной ма¬
терией. Светлые области на нижней диа-
гралиме показывают распределегше горячей
плазмы, белым отрезком показан масштаб
200 кпк в сопутствующей системе (z = 0:296^
ЛЭ.О 0.2 0.4 0.6 0.3 1.0 1.2 1.4
красное смещение
Рис. 4.8. Хаббловская диагра.м.ма
измерения расстояний до удалённых
объектов [65] (2011 год). Сплош¬
ная кривая соответствует лучшему
приближению, полученно.му в ра.м-
ках Aiodenu ACDM с пространствен¬
но плоской Вселенной
595
m
Рис. 6.9. Разрешённая область в пространстве (Ω,ί/. Ω.\) из данных по анизотропии релик¬
тового излучения (СМВ), и с учётолг особенностей в распределении галактик (ВАО) и нсза-
висилюго измерения современной величины парсьметра Хаббла (Но) [6). Отмечены области
пара л tempos, отвечающие 68 %-му и 90 %-му доверит.слъпъш интервалами
0.12
0.18 0.24 0.30 0.36
Στη., IэВI
0.16
4.25
0.08
CMB+DR11 + WZ
0.24 0.32
Στη„ |эВ|
0.40
Рис. 7.1. Ограничения на сумму масс нейтрино, получаемые при различных пердположе-
нинях о величинах остальных космологических параметров и при учёте различных наборов
космологических данных (951; ^0 (слева) — современное значение параметра Хаббла. Neff
(справа) — эффективное число типов нейтрино в эпоху рекомбинации, см. главу 8
С еченис рассеяния χ-нуклонов (см2)
596
Log [τχ (с)]
Рис. 8.6. Модельно-независимые ограничения из первичного нуклеосинтеза на модели с дол¬
гоживущими нестабильными частицами, распадающимися с образованием высокоэнергич¬
ных фотонов [109]. Модели с параметрами выше сплошных линий исключены результата¬
ми наблюдений распространённости соответствующих элементов. Верхние линии соответ¬
ствуют наиболее консервативным оценкам
Рис. 9.2. Исключённые области в пространстве параметров (Μχ,σρχ) [116] для не за¬
висящих от спина нуклона (слева) и зависящих от спина нуклона (справа) вариантов
взаилюдействий. Области выше кривых исключены соответствующими экспериментами
на 90 %-м уровне достоверности. CMS — поиски рождена тёмной материи в столкно¬
вениях на Большом адронном коллайдере (в предположении контактного взаимодействия
XXflf2, см. текст); IceCube и Super-K — поиски сигнала аннигиляции тёмной материи
в Солнце: остальные эксперименты — поиски упругого рассеяния частиц тёмной материи
в детекторе. Выделенная область в центральной части правого рисунка соответствует
возможному сигналу, объявленному экспериментом CDMS
597
тпх (ГэВ)
Рис. 9.3. Исключённые области в пространстве параметров {Μχ, σ^1^) [117] для анниги¬
лирующих по выбранным каналам частиц тёмной материи. Светло-серая горизонтальная
линия соответствует сечению аннигиляции при закалке тёмной материи θ ранней Все¬
ленной. Области выше кривых исключены соответствующими экспериментами на 90 %-м
уровне достоверности: AMS-02 — поиск античастиц, Fermi LAT — поиск фотонов от анни¬
гиляции в μ+ μ~ и т+т" (верхняя и нижняя линии), WMAP7 — ограничение из возможной
поздней аннигиляции в пару заряженных лептонов (верхняя граница отвечает т+т~ , ниж¬
няя е+е~), влияющей на рекомбинацию и последующие процессы. Как пример, для канала
е+е~ представлена полоса неопределённостей, обусловленных особенностями распределения
частиц тёмной материи, обычного вещества и электромагнитного излучения в Галактике
A NT ARES 2007-2008, b b
A NT ARES 2007-2008, W^V
ANT ARES 2007-2008 tV
Super-K 2011, b b
Super-K 2011, W^W
IceCube 2012, b b
IceCube 2012, W+W*_
Baksan 1978-2009, b b
Baksan 1978-2009, W+W'
Baksan 1978-2009, xV
Baikal 1998-2003, b b
Baikal 1998-2003, W*W
Baikal 1998-2003, xV
10 100 „ D 1000 10000
mmi, ГэВ
Рис. 9.4. Исключённые области в пространстве параметров {Μχ, σρχ) из данных ней¬
тринных телескопов [118] для аннигилирующих в Солнце по выбранным каналам частиц
тёлтой материи. Области выше кривых исключены соответствующими экспериментами
на 90 %-м уровне достоверности. Ограничения получены в предположении равновесия между
процессами аннигиляции и захвата частиц тёмной материи Солнцем, который происходит
в основном из-за зависящего от спина упругого рассеяния на протоне
598
10
5
0
I ·5
1C
^ -15
Ь“ -Ю -
η"
3 ->2 SIMH
Нейтрино v
Нейтралино χ
ADM
WIMP
о -20
-25
-30
-35
-40
Λ
□ иМ
Аксион а ι Аксино а
^ Стерильное
нейтрино N
Гравитино §3/η
мкэВ кэВ ГэВ
.1 I . Ι-. . I ■ . I .. I i I ... I I t 1 i I I
М GUT:
I I I I I I I UL.
-18 -15-12-9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
log10(mDM / ГэВ)
Рис. 9.5. Области, занимаелше различными кандидатами на роль частиц тёлтой мате¬
рии [123]. Пространство параметров образуют .масса частицы Μχ и сечение её упругого
рассеяния (конверсии для аксиона и аксино) на ядрах σχχ. Цветом обозначена колтонен-
та (красный — горячая, розовым — тёплая, голубым — холодная, синим — ультрахолодная·)
тёлтой материи, в которую наиболее вероятен вклад соответствующих частиц
ΓΠχο (ГэВ)
Рис. 9.8. Предсказания модели MSSM для спип-независимого сечения упругого рассеяния
нейтралино на нук.гоне [120]. Цветные области соответствуют значениям параметров,
не противоречащем ускорительным эксперимента.и и приводящим к Ω.γ ~ 0.25. Синяя об¬
ласть исключена прямыми поискалш тёлтой .материи в подземном эксперименте XENON
100. В зечёных областях сечение аннигиляции нейтралино велико за счёт резонансной анни¬
гиляции через Z-бозон или один из хиггсовских бозонов MSSM. при этом Μχ ~ Mzl2 или
Μχ ~ тн/2, см. обсуждение ниже. В жёлтых и фиолетовых областях емеется прибли¬
женное вырождение между нейтралино и каким-то другим суперпартнёром, ti подавление
концентрации нейтралино во Всегенной связано с аннигиляцией нейтралино с эти.м супер¬
партнёром. В серой области действуют другие .механизмы подавления, также связанные
с тонкой подстройкой парал1етроа. Показаны также области возможного сигнала в экспе¬
риментах DAMA. CoGENT и CRESST и ожидаелше уровни чувствительности эксперимен¬
тов LUX и XENON IT
599
Aq/Шо = 2 . μ > 0 mSUGRA: A,= tanp=30, μ > 0, т=173
Рис. 9.10. Фено.иенологичсски неприе.млсмыс области и космологически предпочтительные
область в пространстве (Λ/j .·■■_>. njо) для .моделей: mSL'GRA /72.5/ с .4о = mu и μ > 0 (слеваJ
и CMSSM fl26j с .4о = —ηΐι :·ι· tg 3 = 30 и μ > 0 (справа). Показаны линии постоянных .масс
легчайшего бозона Хиггса (реалистичный интервал 125-126 ГэВ). На рисунке слева вытяну¬
тая синяя область соответствует нейтралино тёмной .материи, область выше и коричне¬
вая область ниже космологически запрещены (слишком много реликтовых нейтралино и LSP
— электрически заряженная частица, суперпартнёр т-летопна. соответственно), ниже
коричневой области T.SP — это гравитипо (см. обсуждение в разделе 9.6.3). область левее
сплошной зелёной линии исключена данными Большого адронного коллайдера. серые линии
указывают ветчины tg3: феноменологически приемлемая область, где нейтралино может
быть тё-мной материей — ηΐχ/ο « 1300 ГэВ. то 850 ГэВ. На рисунке справа космологиче¬
ски. разрешённая область обозначена красны.м. чёрным цветом — область, где нейтралино
образует всю темную материю, в зелёной области LSP — электрически заряженная части¬
ца. суперпартнёр t-кварка; феноменологически приемлемая область, где нейтралино может
быть тёлтой материей — т1/2 ~ 1800 ГэВ. то ~ 7000 ГэВ.
Рис. 9.11. То же. что и на рис. 9.10. но для .модели [125) с одним дополнит.елънъим по срав¬
нению с CMSSM параииетром в хиггсовском секторе. Закрашенная розовым область в левом
верхнем углу запрещена из условия существования спонтанного нарушения электрослабой
симметрии. Внутри синей области темная *материя объясняется нейтрально
600
Рис. 9.14. Ограничения в пространстве параметров (М^^.то) модели mSUGRA (ели опи¬
сание модели в разделе 9.6.1) [110J. Интересная область, где LSP является гравитино и ерелья
жизни NLSP превышает 104 с. лежит правее чёрной сплошной линии. Закрашепая зелёным
область запрещена из распада Ь — S7. Область правее сплошной красной линии разреше¬
на из первичного нуклеосинтеза. Штрих-пунктирная синяя линия отделяет области пара¬
метров. для которых роль NLSP играют нейтралино (верхняя часть рисунка) и легчайший
слептон (правая часть рисунка). Для параметров внутри светло-голубой области части¬
цы NLSP.. ec.au бы были coece.\t стабильны, составляли бы тёмную материю во Вселенной
(Ό.094 < Ω/ι2 < 0.129). Розовые пунктирные линии соответствуют паралштралг. для кото¬
рых гравитино давало бы вклад в соврелгенную плотность энергии Вселенной, в точности
равный вкладу тёлтой материи. Только область ниже такой линии (на левом рисунке) и об¬
ласть Л1ежду двулгя такими линиями (на право.н рисунке) разрешены космологически
102 Ю4 1 06 1 08 Ю10 1012 Ю14 10'6 1018 10го
Масштаб нормировки
Масштаб нормировки
Рис. 10.12. Слева: эволюция эффективной константы салюдействия поля Энглера—
Браута—Хиггса в трёхпетлевом приближении в рамках Стандартной модели. Справа: эво¬
люция основных констант взаимодействия Стандартной модели (171 j
Литература
[1] http://www.sdss.org/
[2] http://magnurn.aiiu.edu.au/~TDFgg/
[3] Schneider D.P. et al. fSDSS Collaboration], Astron. J. 123, 567 (2002).
Электронный ресурс: www.sdss.org/drl /algorithms/edrpaper.html#fig-ZhistQso.
[4] Le Fevre O. et al. [The WDS Team Collaboration]. VVDS: early results on LSS distribution
to z 1.5. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0402203
[5] Olive К. A. et al. [Particle Data Group Collaboration] j j Chin. Phys. C 38, 090001 (2014).
[6] Bennett C. L. et al. [WMAP Collaboration], Astrophys. J. Suppl. 208 (2013) 20
[arXiv:1212.5225 [astro-ph.CO]].
[7] Ade P.A.R. et al. [Planck Collaboration], arXiv:1303.5062 [astro-ph.CO].
[8] Freedman W. L. et al. // Astrophys. J. 2001. 553. 47.
[9] Cornish N. J., Spergel D. N., Starkman G. D. and Komatsu E. j j
Phys. Rev. Lett. 2004. 92. 201302.
[10] Hansen В. M. S. et al.. Astrophys. J. 574, L155 (2002) [arXiv:astro-ph/0205087].
[11] Dauphas N.. Nature 435, 1203 (2005).
[12] Frebel A. et al. Astrophys. J. 660, L117 (2007).
[13] Gratton R., Bragaglia A., Carretta E., Clementini G., Desidera S., Grundahl F. and
Lucatello S., Astron. Astrophys. 408, 529 (2003) [arXiv:astro-ph/0307016].
[14] Hagiwara K. et al. [Particle Data Group Collaboration] // Phys. Rev. D 66, 010001 (2002).
Электронный ресурс: http://pdg.lbl.gov/2002/cmb_temp_00.ps
[15] Gawiser E. and Silk J. j j Phys. Rept. 2000. 333. 245.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0002044
[16] Mather J. C. et al. // Astrophys. J. 1999. 512. 511.
[17] Bennett C. L. et al. j j Astrophys. J. Suppl. 2003. 148. 1.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0302207
[18] Sunyaev R.A.. Zeldovich Ya. B., Astrophys. Space Sci. 7, 3 (1970);
Sunyaev R.A.. Zeldovich Ya. B., Comm. Astrophys. Space Phys. 4, 173 (1972).
[19] Greisen K.. Phys. Rev. Lett. 16 (1966) 748.
[20] Zatsepin G. T. and Kuzmin V. A., JETP Lett. 4 (1966) 78 [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 4
(1966) 114].
[21] Kneib J. P. et al. j j Astrophys. J. 2003. 598. 804.
Электронный ресурс: http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap980614.html L· /ap030814.html;
[22] Vikhlinin A.. Kravtsov A.. Forman W.. Jones C.. Markcvitch M.. Murray S.S. and Van L.
Speybroeck, Astrophys. J. 640, 691 (2006) [arXiv:astro-ph/O507092].
[23] Clowe D.. Bradac M.. Gonzalez A.H.. Markevitch M., Randall S. W.. Jones C. and
Zaritsky D. A direct empirical proof of the existence of dark matter.
Электронный ресурс: http: //arxiv.org/abs/astro-ph/0608407
601
602
Литература
[24] Begeman К. G., Broeils А. Н. and Sanders R. Н. if
Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1991. 249. 523.
[25] Alcock C. et al. [MACHO Collaboration], Astrophys. J. 542, 281 (2000)
[arXiv:astro-ph/0001272].
[26] Tisserand P. et al. [EROS-2 Collaboration], Astron. Astrophys. 469, 387 (2007)
[arXiv:astro-ph/0607207].
[27] Riess A. G. et al. [Supernova Search Team Collaboration], Astron. J. 116 (1998) 1009
[arXiv:astro-ph/9805201].
[28] Perlmutter S. et al. [Supernova Cosmology Project Collaboration],
Astrophys. J. 517 (1999) 565 [arXiv:astro-ph/9812133].
[29] Kirzhnits D. A.. JETP Lett. 15 (1972) 529 [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 15 (1972) 745].
[30] Kirzhnits D. .4. and Linde A. D.. Phys. Lett. В 42 (1972) 471.
[31] Dolan L. and Jackiw R., Phys. Rev. D 9 (1974) 3320.
[32] Weinberg S.; Phys. Rev. D 9 (1974) 3357.
[33] Sakharov A. D., Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 5 (1967) 32
[JETP Lett. 5 (1967 SOPUA,34,392-393.1991 UFNAA,161,61-64.1991) 24].
[34] Kuzmin V. A.. Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 12 (1970) 335.
[35] Старобипский А. А., Письма в ЖЭТФ 30 (1979) 719 [JETP Lett. 30 (1979) 682].
[36] Starobinsky A. .4., Phys. Lett. В 91 (1980) 99.
[37] Guth A. N.. Phys. Rev. D 23 (1981) 347.
[38] Linde .4. D.. Phys. Lett, В 108 (1982) 389.
[39] Albrecht A. and Steinhardt P. J.. Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1220.
[40] Bezrukov F. L. and Shaposhnikov Al.. Phys. Lett. В 659 (2008) 703 [arXiv:0710.3755 [hep-th]].
[41] Mukhanov V. F. and Chibisov G. V., JETP Lett. 33 (1981) 532
[Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33 (1981) 549].
[42] Hawking S. W., Phys. Lett, В 115 (1982) 295.
[43] Starobinsky .4..4., Phys. Lett. В 117 (1982) 175.
[44] Guth .4. H. and Pi S. Y., Phys. Rev. Lett, 49 (1982) 1110.
[45] Bardeen J. Al.. Steinhardt P.J. and Turner M.S.. Phys. Rev. D 28 (1983) 679.
[46] Harrison E. R., Phys. Rev. D 1, 2726 (1970).
[47] Zeldovich Y. B.. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 160, IP (1972).
[48] Rubakov V. A., Sazhin Al. V. and Veryaskin A. V.. Phys. Lett, В 115 (1982) 189.
[49] Fabbri R. and Pollock Al. D.. Phys. Lett. В 125 (1983) 445.
[50] Abbott L. F. and Wise Al. B.. Nucl. Phys. В 244. 541 (1984).
[51] Starobinsky A. A., Sov. Astron. Lett. 11, 133 (1985).
[52] Rees Al. J.. Astrophys. J. 153, LI (1968);
Basko Al. Al. and Polnarev A. G., Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 191, 207 (1980);
Negroponte J. and Silk J.. Phys. Rev. Lett. 44, 1433 (1980);
Kaiser N.. Mon. Not, Roy. Astron. Soc. 202. 1169 (1983).
[53] Polnarev A. G., Astron. Zh. 62, 1041 (1985) [Sov. Astron. 29, 607 (1985)].
[54] Sazhin Al. V. and Benitcs N., Astro. Lett, Commun. 32 105 (1995)
[55] Crittenden R. G.. Coulson D. and Turok N. G.. Phys. Rev. D 52, 5402 (1995).
[56] Kamionkowski AL. Kosowsky A. and Stebbins A., Phys. Rev. Lett. 78, 2058 (1997)
[arX i v: ast ro- p li 9609132].
[57] Seljak U. and Zaldarriaga Al., Phys. Rev. Lett. 78, 2054 (1997) [arXiv:astro-ph 9609169].
[58] Creminelli P.. Nicolis A. and Trincherini E.. JCAP 1011 (2010) 021
[arXiv:1007.0027 [hep-th]].
Литература
603
[59] Хокинг С., Эллис Дснс. Крупномасштабная структура пространства-времени.
М.: Мир, 1977. 431 с.
[60] Kamenshchik A. Y., Moschella U. and Pasquier V., Phys. Lett. В 511 (2001) 265
[arXiv: gr-qc/0103004].
[61] Busca N. G., Delubac T., Rich J., Bailey S., Font-Ribera A., Kirkby D., Le J. M. Goff and
Pieri Μ. M. et al., Astron. Astrophys. 552 (2013) A96 [arXiv:1211.2616 [astro-ph.CO]].
[62] Filippenko A. V. and Riess A. G. Evidence from Type la Supernovae for an Accelerating
Universe. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0008057
[63] Riess A.G. et al. [Supernova Search Team Collaboration] // Astrophys. J. 2004 607. 665.
[64] Astier P. et al. The Supernova Legacy Survey: Measurement of Од/, Ω.\
and w from the First Year Data Set // Astron. Astrophys. 2006. 447. 31.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0510447
[65] Suzuki N., Rubin D., Lidman C.. Aldering G., Amanullah R., Barbary K., Barrientos L.F.
and Botyanszki J. et al., Astrophys. J. 746 (2012) 85 [arXiv: 1105.3470 [astro-ph.CO]].
[66] Eisenstein D. J. et al. [SDSS Collaboration], Astrophys. J. 633 (2005) 560 [astro-ph/0501171].
[67] Anderson L., Aubourg E., Bailey S., Bizyaev D.. Blanton M., Bolton A.S., Brinkmann J.
and Brownstein J. R. et al., Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 427 (2013) 4, 3435
[arXiv: 1203.6594 [astro-ph.CO]].
[68] Ford L. H., Phys. Rev. D 35 (1987) 2339.
[69] Wetterich C., Nucl. Phys. В 302 (1988) 668.
[70] Ratra B. and Peebles P. J. E.. Phys. Rev. D 37 (1988) 3406.
[71] Copeland E. J., Liddle A. R. and Wands D., Phys. Rev. D 57 (1998) 4686
[arXiv:gr-qc/9711068].
[72] Ferreira P. G. and Joyce M.. Phys. Rev. D 58 (1998) 023503 [arXiv:astro-ph/9711102].
[73] Zlatev I., Wang L. M. and Steinhardt P. J., Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 896
[arXiv:astro-ph/9807002];
Steinhardt P. J.. Wang L. M. and Zlatev I.. Phys. Rev. D 59 (1999) 123504
[arXiv:astro-ph/9812313].
[74] Ландау Л.Д.. Лифшиц E.M. Теоретическая физика: В 10 т. Т. V: Статистическая
физика. 4.1. 5-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2001. 616 с.
[75] Zeldovich Ya. В., Kurt V. G. and Sunyaev R.A., Zh. E. T. F. 55 (1968) 278.
[76] Peebles P. J., Astrophys. J. 153 (1968) 1.
[77] Ландау Л.Д.. Лифшиц E.M. Теоретическая физика: В 10 т. Т. IV: Квантовая электро¬
динамика. 4-е изд., испр. / Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питпаевский Л. П.
М.: Физматлит, 2001. 720 с.
[78] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. II: Теория поля. 8-е изд.,
стереот. М.: Физматлит, 2001. 536 с.
[79] Goldman S. Р., Phys. Rev. А 40 (1989) 1185.
[80] Населъский П.Д., Новиков Д. И., Новиков И.Д., Реликтовое излучение Вселенной,
Наука, Москва, 2003.
[81] Naselsky Р.. Novikov D.. Novikov I.. The Physics of Cosmic Microwave Background.
Cambridge University Press, 2006.
[82] Rubino-Martin J. .4., Chluba J. and Sunyaev R. A., «Lines in the cosmic microwave
background spectrum from the epoch of cosmological helium recombination».
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/arXiv:0711.0594
[83] Chluba J. and Sunyaev R. A.. Astron. Astroph. 2006 458. L29. arXiv:astro-ph/0608120.
[84] Sunyaev R. A. and Khatri R., «Unavoidable CMB spectral features and blackbody photosphere
of our Universe», arXiv: 1302.6553 [astro-ph.CO].
[85] Jauch J. M., Rohrlich F.. «The Theory of Photons and Electrons», Springer, N.-Y., 1976.
604
Литература
[86] Lightman А. Р., Astrophys. J. 244 (1981) 392.
[87] Hu W. and Silk J., Phys. Rev. D 48 (1993) 485.
[88] Fixsen D. J., Cheng E. S., Gales J. M., Mather J. C., Shafer R. A. and Wright E. L.,
Astrophys. J. 473 (1996) 576 [astro-ph/9605054],
[89] Hu W. and Silk J., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2661.
[90] Jaffe A. H. et al. [Boomerang Collaboration] // Phys. Rev. Lett. 2001. 86. 3475.
[91] Lunardini C. and Smirnov Yu A. j j Phys. Rev. D. 2001. 64. 073006.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0012056
[92] Dolgov A. D., Hansen S. H., Pastor S., Petcov S. T.. Raffelt G. G. and Semikoz D. V. //
Nucl. Phj's. B. 2002. 632. 363. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0201287
[93] Dolgov A. D. j j Phys. Rept. 2002. 370. 333.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0202122
[94] Gershtein S. S. and Zeldovich Y. В., Письма в ЖЭТФ 4, 174 (1966)
[JETP Lett, 4, 120 (1966)].
[95] Giusarma E., Valentino Di E., Lattanzi M., Melchiorri A. and Mena O., «Relic Neutrinos,
thermal axions and cosmology in early 2014», arXiv: 1403.4852 [astro-ph.CO].
Электронный ресурс: http://arxiv.Org/abs/arXiv:1403.4852
[96] Laine M. and Shaposhnikov M., JCAP 0806 (2008) 031 [arXiv:0804.4543 [hep-ph]].
Электронный ресурс: http://arxiv.Org/abs/arXiv:0804.4543
[97] Lesgourgues J. and Pastor S. j j Phys. Rept. 2006. 429. 307.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0603494
[98] Notzold D. and Raffelt G. // Nucl. Phys. B. 1988. 307. 924.
[99] Dodelson S. and Widrow L.M., Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 17 [arXiv:hep-ph/9303287];
[100] Dolgov A.D. and Hansen S. H., Astropart. Phys. 16 (2002) 339 [arXiv:hep-ph/0009083];
[101] Boyarsky A., Neronov A., Ruchayskiy O. and Shaposhnikov M., JETP Lett. 83 (2006) 133.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0601098
[102] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. III: Квантовая механика
(нерелятивистская теория). 5-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2001. 808 с.
[103] Ade Р. A. R. et al. [Planck Collaboration], arXiv:1303.5076 [astro-ph.CO].
[104] Bernstein J.. Brown L.S. and Feinberg G., Rev. Mod. Phys. 61, 25 (1989).
[105] Sarkar S.. Rept. Prog. Phys. 59, 1493 (1996) [arXiv:hep-ph/9602260],
[106] Steigman G. and Nollett K.M.. «Light WIMPs, Equivalent Neutrinos, BBN, and the СМВ»,
arXiv: 1401.5488 [astro-ph.CO].
[107] Iocco F., Mangano G., Miele G.. Pisanti O. and Serpico P. D., Phys. Rept. 472, 1 (2009)
[arXiv:0809.0631 [astro-ph]].
[108] Smith M.S., Kawano L. H. and Malaney R. A. j j Astrophys. Suppl J. 1993. 85. 219;
Cyburt R. H. // Phys. Rev. D. 2004. 70, 023505.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/O401091
Serpico P. D. et al. // JCAP. 2004. 0412. 010.
Электронн ын ресурс: http: / / arxiv. org / abs/ast ro-ph /0408076
[109] Kusakabe M.. Kajino T. and Mathews G. J.. Phys. Rev. D 74. 023526 (2006)
[arXi\':astro-ph/0605255].
[110] Olive K. .4. TASI lectures on astroparticle physics.
Электронный ресурс: http://arxiv.org astro-ph/0503065
[111] Kawasaki M.. Kohri K. and Moroi T. / / Phys. Rev. D. 2005. 71. 083502.
Электронный ресурс: http:/ Arxiv.org/abs/astro-ph/0408426
Jedamzik K. // Phys. Rev. D. 2006. 74. 103509.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0604251
[112] X. -Shi D. and Fuller G. M., Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 2832.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs astro-ph/9810076
Литература
605
[113] Kaplinghat М., Keeley R.E., Linden T. and Yu H.B., Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 021302
[arXiv:1311.6524 [astro-ph.CO]].
[114] Moore B., Astrophys. J. 413, L93 (1993) [arXiv:astro-ph/9306004].
[115] Carr B. J. and Sakellariadou M., Astrophys. J. 516, 195 (1999).
[116] Khachatryan V. et al. [CMS Collaboration], «Search for dark matter, extra dimensions, and
unparticles in monojet events in proton-proton collisions at sqrt(s) = 8 TeV», arXiv: 1408.3583
[hep-ex].
[117] Bergstrom L., Bringmann T., Cholis I., Hooper D. and Weniger C., Phys. Rev. Lett.
Ill (2013) 171101 [arXiv: 1306.3983 [astro-ph.HE]].
[118] Avrorin A. D. et al. [Baikal Collaboration], Astroparticle Physics (2015), pp. 12-20
[arXiv: 1405.3551 [astro-ph.HE]].
[119] Hemmick T. K. et al., Phys. Rev. D 41, 2074 (1990).
[120] Han T., Liu Z. and Natarajan A., JHEP 1311 (2013) 008 [arXiv:1303.3040 [hep-ph]].
[121] Kudo A. and Yamaguchi M., Phys. Lett. В 516, 151 (2001) [arXiv:hep-ph/0103272].
[122] Lee B. W. and Weinberg S., Phys. Rev. Lett. 39, 165 (1977); Высоцкий M. И., Долгов А.Д.
и Зельдович Я. Б.. Письма в ЖЭТФ 26, 200 (1977) [JETP Lett. 26, 188 (1977)]; Hut Ρ·,
Phys. Lett. В 69, 85 (1977); Sato К. and Kobayashi M.. Prog. Theor. Phys. 58, 1775 (1977).
[123] Baer H., Choi K. Y., Kim J. E. and Roszkowski L., «Νοη-thermal dark matter: supersymmetric
axions and other candidates», arXiv: 1407.0017 [hep-ph].
[124] Golfand Yu. A. and Likhtman E. P., Письма в ЖЭТФ 13, 452 (1971)
[JETP Lett. 13, 323 (1971)].
[125] Buchmueller 0.. Dolan M.J., Ellis J., Hahn T., Heinemeyer S.. Hollik W.. Marrouche J.
and Olive K. A. et al., Eur. Phys. J. C 74 (2014) 2809 [arXiv: 1312.5233 [hep-ph]].
[126] Mayes V.E., Int. J. Mod. Phys. A 28 (2013) 1350061 [arXiv: 1302.4394 [hep-ph]].
[127] Gouvea A. de, Moroi T. and Murayama H. Phys. Rev. D. 1997. 56. 1281.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9701244
[128] Gorbunov D., Khmelnitsky A. and Rubakov V., JCAP 0810 (2008) 041
[arXiv:0808.3910 [hep-ph]].
[129] Queiroz F. S. and Sinha K., Phys. Lett. В 735 (2014) 69 [arXiv: 1404.1400 [hep-ph]].
[130] !t Hooft G., Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 8.
[131] Callan C. G., Dashen R. F. and Gross D. J.. Phys. Lett. В 63 (1976) 334.
[132] Jackiw R. and Rebbi C., Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 172.
[133] Crewther R. J., Vecchia Di P.. Veneziano G. and Witten E., Phys. Lett. В 88 (1979) 123
[Erratum-ibid. В 91 (1980) 487].
[134] Kim J. E. and Carosi G.. «Axions and the Strong CP Problem», arXiv:0807.3125 [hep-ph].
[135] Peccei R. D. and Quinn H. R.. Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 1440.
[136] Weinberg S.. Phys. Rev. Lett. 40 (1978) 223.
[137] Wilczek F.. Phys. Rev. Lett. 40 (1978) 279.
[138] Dine M., Fischler W. and Srednicki M., Phys. Lett. В 104 (1981) 199.
[139] Житницкий A. P.. ЯФ 31 (1980) 497 [Sow J. Nucl. Phys. 31 (1980) 260].
[140] Kim J. E.; Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 103.
[141] Shifman M.A., Vainshtein A. I. and Zakharov V.I.. Nucl. Phys. В 166 (1980) 493.
[142] Vilenkin A. and Everett .4. E.. Phys. Rev. Lett. 48, 1867 (1982).
[143] Battye R. A. and Shellard E. P. S., «Axion string cosmology and its controversies»,
arXiv:astro-ph/9909231.
[144] Preskill J.. Wise Μ. B. and Wilczek F.. Phys. Lett. В 120 (1983) 127.
[145] Abbott L. F. and Sikivie P.. Phys. Lett. В 120 (1983) 133.
606
Литература
[146] Dine М. and Fischler W., Phys. Lett. В 120 (1983) 137.
[147] Gross D. J., Pisarski R. D. and Yaffe L. G. Rev. Mod. Phys. 1981. 53. 43.
[148] Raffelt G. G. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0611118
[149] Barr S. M. and Seckel D., Phys. Rev. D 46 (1992) 539.
[150] Ringwald A.. J. Phys. Conf. Ser. 485 (2014) 012013 [arXiv: 1209.2299 [hep-ph]].
[151] Visinelli L. and Gondolo P., Phys. Rev. D 80 (2009) 035024 [arXiv:0903.4377 [astro-ph.CO]].
[152] Мамаев С.Г., Мостпепаненко В. M., Спгаробинский A. A. j j ЖЭТФ. 1976. 70. 1577.
[153] Witten Е. И Phys. Rev. D. 1984. 30. 272.
[154] Kajantie К., Laine M., Rummukainen K. and Shaposhnikov M.E. j j Phys. Rev. Lett. 1996.
77. 2887. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/9605288
Karsch F., Neuhaus T., Patkos A. and Rank J. j j Nucl. Phys. B. 1996. 474. 217.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-lat/9603004
Karsch F., Neuhaus T., Patkos A. and Rank J. // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. 53. 623.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-lat/9608087
[155] Fradkin E. H. and Shenker S. H.. Phys. Rev. D 19 (1979) 3682.
[156] Banks T. and Rabinovici E., Nucl. Phys. В 160 (1979) 349.
[157] Волошин M. Б., Кобзарев И. Ю. и Окунь Л. Б., ЯФ 20 (1974) 1229
[Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 644].
[158] Guth A. H. and Weinberg E. J., Phys. Rev. D 23 (1981) 876.
[159] Coleman S. R., Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 [Erratum-ibid. D 16 (1977) 1248].
[160] Callan C. G. and Coleman S. R.. Phys. Rev. D 16 (1977) 1762.
[161] Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.
М.: URSS, 1999. 336 с. (Неоднократно гтереизд. в URSS.)
[162] Coleman S. and De Luccia F. j j Phys. Rev. D. 1980. 21. 3305.
[163] Anderson G. W. and Hall L. J., Phys. Rev. D 45 (1992) 2685: Espinosa J. R., Konstandin T.
and Riva F.. Nucl. Phys. В 854 (2012) 592 [arXiv: 1107.5441 [hep-ph]].
[164] Linde A. D.. Phys. Lett. В 96 (1980) 289.
[165] Grigoriev D. Y. and Rubakov V.A., Nucl. Phys. В 299 (1988) 67;
Grigoriev D. Y., Rubakov V. .4. and Shaposhnikov Μ. E., Phys. Lett. В 216 (1989) 172.
[166] Ambjorn J.. Askgaard T.. Porter H. and Shaposhnikov Μ. E., Phys. Lett. В 244 (1990) 479;
Ambjom J.. Askgaard T., Porter H. and Shaposhnikov Μ. E.. Nucl. Phys. В 353 (1991) 346.
[167] Nielsen N. K., Nucl. Phys. B101 (1975) 173; Fukuda R. and Kugo T.,
Phys. Rev. D 13 (1976) 3469.
[168] Gamy M. and Konstandin T.. JHEP 1207 (2012) 189 [arXiv: 1205.3392 [hep-ph]].
[169] Lipatov L. N.. Sov. Phys. JETP 45 (1977) 216 [Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72 (1977) 411].
[170] Coleman S. R. and Weinberg E. J.. Phys. Rev. D 7 (1973) 1888.
[171] Buttazzo D., Degrassi G-, Giardino P. P., Giudice G.F.. Sala F., Salvio 4. and Strumia A.,
JHEP 1312 (2013) 089 [arXiv:1307.3536].
[172] Dolgov A. and Silk J., Phys. Rev. D 47, 4244 (1993); Khlopov Μ. Y.. Rubin S. G. and
Sakharov A.S., Phys. Rev. D 62, 083505 (2000) [arXiv:hep-ph/O003285]; Dolgov A.D.,
Kawasaki M. and Kevlishvili N.. Nucl. Phys. В 807, 229 (2009) [arXiv:0806.2986 [hep-ph]].
[173] Khlopov Μ. Y.. Rubin S. G. and Sakharov A. S.. «Antimatter regions in the baryon-dominated
universe». arXiv:hep-ph/0210012; Bambi C. and Dolgov A.D.. Nucl. Phys. В 784, 132 (2007)
[arXiv:astro-ph 0702350]; Dolgov A.D., «Cosmic antimatter: models and phenomenology».
arXiv: 1002.2940.
[174] Kuzmin V. A.. Rubakov V. A. and Shaposhnikov M.E.. Phys. Lett. В 155 (1985) 36.
[175] Klinkhamer F. R. and Manton N.S. / ' Phys. Rev. D. 1984. 30. 2212.
[176] Belavin A. .4.. Polyakov 4. M.. Schwartz A. S. and Tyupkin Yu. S.. Phys. Lett. В 59 (1975) 85.
Литература
607
[177] Cohen A. G. and Kaplan D. B.. Nucl. Phys. В 308 (1988) 913.
[178] Lambiase G.. Mohanty S. and Prasanna A. R., Int. J. Mod. Phys. D 22 (2013) 1330030
[arXiv: 1310.8459 [hep-ph]].
[179] Arnold P.. Son D. and Yaffe L. G. j j Phys. Rev. D. 1997. 55. 6264.
Электронный ресурс: http:/ /arxiv.org/abs/hep-ph/9609481
[180] Davoudiasl H., Morrissey D. E., Sigurdson K. and Tulin S., Phys. Rev. Lett. 105 (2010)
211304 [arXiv: 1008.2399 [hep-ph]].
[181] Davoudiasl H. and Mohapatra R. N.. New J. Phys. 14 (2012) 095011
[arXiv: 1203.1247 [hep-ph]].
[182] D’Onofrio M., Rummukainen K. and Tranberg A.,
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/arXiv: 1404.3565
[183] Khlebnikov S. Y. and Shaposhnikov M.E. /'/ Nucl. Phys. B. 1988. 308. 885; Kajantie K.,
Laine M., Rummukainen K. and Shaposhnikov M.E. // Nucl. Phys. B. 1996. 458. 90.
[184] Georgi H. and Glashow S. L., Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 438.
[185] Georgi H., Quinn H. R. and Weinberg S., Phys. Re\r. Lett. 33 (1974) 451.
[186] Amaldi U., de Boer W. and Furstenau H., Phys. Lett. В 260 (1991) 447.
[187] Minkowski P.. Phys. Lett. В 67 (1977) 421.
[188] Yanagida T., «Horizontal gauge symmetry and masses of neutrinos», In Proceedings of the
Workshop on the Baryon Number of the Universe and Unified Theories. Tsukuba, Japan,
1979, preprint KEK-79-18-95.
[189] Gell-Mann M., Ramond P. and Slansky R.. «Complex Spinors And Unified Theories», In
Supergravity. Eds. P. van Nieuwenhuizen and Freedman D. Z., North Holland Publ. Co., 1979.
[190] Mohapatra R. N. and Senjanovic G.. Phys. Rev. D 23 (1981) 165.
[191] Fukugita M. and Yanagida T., Phys. Lett. В 174 (1986) 45.
[192] Buchmuller W., Di Bari P. and Plumacher M. // Annals Phys. 2005. 315. 305.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0401240
Buchmuller W., Di Bari P. and Plumacher M. j j Nucl. Phys. B. 2003. 665. 445.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0302092
[193] Bochkarev A. I. and Shaposhnikov M.E.. Mod. Phys. Lett. A 2 (1987) 417.
[194] Krizka K., Kumar A. and Morrissey D. E.. Phys. Rev. D 87 (2013) 9, 095016
[arXiv:1212.4856 [hep-ph]].
[195] Carena M. S.. Quiros M. and Wagner С. E. M., Phys. Lett. В 380 (1996) 81
[arXiv:hep-ph/9603420].
[196] Cohen .4. G.. Kaplan D. B. and Nelson A. E., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 43 (1993) 27
[arXiv:hep-ph/9302210].
[197] Joyce M.. Prokopec T., Turok N. and, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1695
[Erratum-ibid. 75 (1995) 3375] [hep-ph, 9408339].
[198] Joyce M., Prokopec T., Turok N. and, Phys. Rev. D 53 (1996) 2930 [hep-ph/9410281].
[199] Joyce M., Prokopec T. and Turok N.. Phys. Rev. D 53 (1996) 2958 [hep-ph/9410282].
[200] Konstandin T., УФН 183 (2013) 785 [arXiv: 1302.6713 [hep-ph]].
[201] Akhmedov E. K., Rubakov V. .4. and Smirnov A. Y.. Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1359
[hep-ph/9803255].
[202] Asaka T. and Shaposhnikov M.. Phys. Lett. В 620 (2005) 17 [hep-ph/0505013].
[203] Affleck I. and Dine M., Nucl. Phys. В 249 (1985) 361.
[204] Dine M., Randall L. and Thomas S. D., Nucl. Phys. В 458 (1996) 291 [arXiv:hep-ph/9507453].
[205] Kibble T. W. B.. J. Phys. A 9 (1976) 1387.
[206] J Hooft G., Nucl. Phys. В 79 (1974) 276.
[207] Поляков A. M., Письма в ЖЭТФ 20 (1974) 430, JETP Lett. 20 (1974) 194.
608
Литерат\гра
[208] Zeldovich Y. В. and Khlopov Μ. Y., Phys. Lett. В 79 (1978) 239.
[209] Preskill J., Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 1365.
[210] Абрикосов А. А., ЖЭТФ 32 (1957) 1442, Sov. Phys. JETP 5 (1957) 1174.
[211] Nielsen Η. B. and Olesen P., Nucl. Phys. В 61 (1973) 45.
[212] Deser S., Jackiw R. and ’t Hooft G., Annals Phys. 152, 220 (1984);
Gott J. R. I.. Astrophys. J. 288, 422 (1985).
[213] Kaiser N. and Stebbins A., Nature 310 (1984) 391.
[214] Wyman M., Pogosian L. and Wasserman I. // Phys. Rev. D. 2005. 72. 023513 [Erratum-ibid.
D. 2006. 73. 089905]. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0503364
[215] Sazhina O.S.. Scognamiglio D. and Sazhin M., «Observational constraints on the types of
cosmic strings», arXiv: 1312.6106 [astro-ph.CO].
[216] Jeong E. and Smoot G. F. j j Astrophys. J. 2005. 624. 21.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0406432
[217] Silk J. and Vilenkin A., Phys. Rev. Lett. 53, 1700 (1984).
[218] Stebbins A., Veeraraghavan S., Brandenberger R.H.. Silk J. and Turok N..
Astrophys. J. 322, 1 (1987).
[219] Zeldovich Y. B., Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 192, 663 (1980).
[220] Vilenkin A., Phys. Rev. Lett. 46, 1169 (1981) [Erratum-ibid. 46, 1496 (1981)].
[221] Urrestilla J.. Bevis N., Hindmarsh M., Kunz M. and Liddle A.R., JCAP 0807, 010 (2008)
[arXiv:0711.1842 [astro-ph]].
[222] Allen B. and Shellard E. P. S.. Phys. Rev. D 45, 1898 (1992).
[223] Shellard E. P. S., Nucl. Phys. В 283, 624 (1987).
[224] Allen B. and Shellard E. P.S.. Phys. Rev. Lett. 64, 119 (1990).
[225] Olum K. D. and Vanchurin V. j j Phys. Rev. D. 2007. 75. 063521.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0610419
[226] Jenet F. A. et al. // Astrophys. J. 2006. 653. 1571.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0609013
[227] Vilenkin A. and Shellard E. P. S. Cosmic Strings and Other Topological Defects.
Cambridge University Press. 1994.
[228] Copeland E. J. and Kibble T. W. B., «Cosmic Strings and Superstrings», arXiv:0911.1345
[hep-th].
[229] ЗелгЛович Я. Б.. Кобзарев И. Ю. и Окунь Л. Б.. ЖЭТФ 67 (1974) 3
[Sov. Phys. JETP 40 (1974) 1].
[230] Friedland A.. Murayama H. and Perelstein M.. Phys. Rev. D 67 (2003) 043519
[astro-ph/0205520].
[231] Davis R. L.; Phys. Rev. D 35, 3705 (1987).
[232] Turok N.. Phys. Rev. Lett. 63, 2625 (1989).
[233] Friedberg R.. Lee T. D. and Sirlin A.. Phys. Rev. D 13 (1976) 2739.
[234] Krylov E.. Levin A. and Rubakov V., «Cosmological phase transition, baryon asymmetry and
dark matter Q-balls», arXiv: 1301.0354 [hep-ph].
[235] Coleman S. R.. Nucl. Phys. В 262 (1985) 263 [Erratum-ibid. В 269 (1986) 744].
[236] Kusenko A.. Phvs. Lett. В 405 (1997) 108 [arXiv:hep-ph/9704273].
[237] Dvali G. R.. Kusenko A. and Shaposhnikov Μ. E.. Phys. Lett. В 417 (1998) 99
[arXiv:hep-ph/9707423].
|238] Kusenko .4. and Shaposhnikov Μ. E.. Phys. Lett. В 418 (1998) 46 [arXiv:hep-ph/9709492].
[239] Enqvist K. and McDonald J., Phys. Lett. В 425 (1998) 309 [arXiv:hep-ph/9711514].
[210] Lee K.M.. Phvs. Rev. D 50 (1994) 5333 [arXiv:hep-ph/9404293].
Литература
609
[241] Kasuya S. and Kawasaki M.. Phys. Rev. D 61 (2000) 041301 [arXiv:hep-ph/9909509];
Kasuya S. and Kawasaki M.. Phys. Rev. D 62 (2000) 023512 [arXiv:hep-ph/0002285].
[242] Enqvist K., Jokinen A., Multamaki T. and Vilja I.. Phys. Rev. D 63 (2001) 083501
[arXiv:hep-ph/0011134];
Multamaki T. and Vilja I., Phys. Lett. В 535 (2002) 170 [arXiv:hep-ph/0203195].
[243] Вайнберг С. Гравитация и космология. M.: Мир. 1975.
[244] Мизнер Ч., Торн К., Уиигер Док. Гравитация. М.: Мир, 1977.
[245] Дубровин Б. А.. Новиков С.П., Фоменко А. Г. Современная геометрия: Методы и при¬
ложения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 760 с. 6-е изд. М.: Книжный дом
«Либроком» /URSS, 2013 (в 3 т.).
[246] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика; в 10 т.
Т. I: Классическая механика. 5-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2001. 224 с.
[247] Боголюбов Η. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 4-е изд., испр.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 600 с.
[248] Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: В 2 т. / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
[249] Вайнберг С. Квантовая теория поля: В 3 т. М., 2003.
[250] Bernard С. et al. [MILC Collaboration] // Phys. Rev. D. 2005. 71. 034504.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-lat/O405029
[251] Wolfenstein L., Phys. Rev. D 17 (1978) 2369.
[252] Михеев С. П. и Смирнов A. IO.; ЯФ 42 (1985) 1441 [Sov. J. Nucl. Phys. 42 (1985) 913].
[253] Bahcall J. N.. Serenelli A. M. and Basu S. // Astrophys. J. 2005. 621. L85.
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0412440
[254] Turck-Chieze S. et al., Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 211102 [arXiv:astro-ph/0407176].
[255] Davis R. J., Наттпет D. S. and Hoffman К. C.. Phys. Rev. Lett. 20 (1968) 1205;
Cleveland В. T. et al., Astrophys. J. 496 (1998) 505.
[256] Hirata K. S. et al. [KAMIOKANDE-II Collaboration], Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 16;
Fukuda Y. et al. [Kamiokande Collaboration], Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 1683.
[257] Hosaka J. et al. [Super-Kamkiokande Collaboration], Phys. Rev. D 73 (2006) 112001
[arXiv :hep-ex/0508053].
[258] Ishitsuka M. [Super-Kamiokande Collaboration] Super Kamiokande results: Atmospheric and
solar neutrinos. Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/hep-ex/O406076
[259] Abazov A. I. et al., Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 3332;
Abdurashitov J. N. et al. [SAGE Collaboration], Phys. Rev. C 80 (2009) 015807
[arXiv:0901.2200 [nucl-ex]].
[260] Anselmann P. et al. [GALLEX Collaboration], Phys. Lett. В 285 (1992) 376;
Altmann M. et al. [GNO COLLABORATION Collaboration], Phys. Lett. В 616 (2005) 174
[arXiv:hep-ex/0504037].
[261] Ahmad Q. R. et al. [SNO Collaboration], Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 011301
[arXiv: nucl-ex/0204008];
Aharmim B. et al. [SNO Collaboration], Phys. Rev. C 72 (2005) 055502
[arXiv:nucl-ex/O50202l];
Robertson R. G. H. [SNO Collaboration], J. Phys. Conf. Ser. 136 (2008) 022002.
[262] Eguchi K. et al. [KamLAND Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 021802
[arXiv:hep-ex/0212021];
Abe S. et al. [KamLAND Collaboration], Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 221803
[arXiv:0801.4589 [hep-ex]].
[263] Arpesella C. et al. [Borexino Collaboration], Phys. Lett. В 658 (2008) 101
[arXiv.0708.2251 [astro-ph]].
[264] Ludhova L. et al. [BOREXINO Collaboration], arXiv: 1205.2989 [hep-ex].
610
Предметный указатель
[265] Hirata K.S. et al. [KAMIOKANDE-II Collaboration], Phys. Lett. В 205 (1988) 116;
Hirata K. S. et al. [Kamiokande-II Collaboration], Phys. Lett. В 280 (1992) 146;
Fukuda Y. et al. [Kamiokande Collaboration], Phys. Lett. В 335 (1994) 237.
[266] Fukuda Y. et al. [Super-Kamiokande Collaboration], Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1562
[arXiv:hep-ex/9807003[.
[267] Ashie Y. et al. [Super-Kamiokande Collaboration], Phys. Rev. D 71 (2005) 112005
[arXiv:hep-ex/0501064].
[268] Ahn Μ. H. et al. [K2K Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 041801
[arXiv:hep-ex/0212007];
Ahn Μ. H. et al. [K2K Collaboration], Phys. Rev. D 74 (2006) 072003 [arXiv:hep-ex/O606032].
[269] Adamson P. et al. [MINOS Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 191801
[arXiv: 1202.2772 [hep-ex]].
[270] Abe K. et al. [T2K Collaboration], Phys. Rev. D 85 (2012) 031103 [arXiv:1201.1386 [hej>ex]].
[271] Abe K. et al. [T2K Collaboration], Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 041801
[arXiv: 1106.2822 [hep-ex]]; Abe K. et al. [T2K Collaboration], arXiv: 1304.0841 [hep-ex].
[272] Adamson P. et al. [MINOS Collaboration], Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 181802
[arXiv: 1108.0015 [hep-ex]];
Adamson P. et al. [MINOS Collaboration], [arXiv: 1301.4581 [hep-ex]].
[273] Abe Y. et al. [DOUBLE-CHOOZ Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 131801
[arXiv: 1112.6353 [hep-ex]].
[274] An F. P. et al. [DAYA-BAY Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 171803
[arXiv: 1203.1669 [hep-ex]].
[275] Ahn J. K. et al. [RENO Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 191802
[arXiv: 1204.0626 [hep-ex]].
[276] Aguilar-Arevalo A. et al. [LSND Collaboration], Phys. Rev. D 64 (2001) 112007
[hep-ex/0104049].
[277] Aguilar-Arevalo A. A. et al. [MiniBooNE Collaboration], Phys. Rev. Lett. 102 (2009)
101802 [arXiv:0812.2243 [hep-ex]]; Aguilar-Arevalo A. A. et al. [MiniBooNE Collaboration],
arXiv: 1207.4809 [hep-ex],
[278] Abdurashitov J. N.. Gavrin V.N.. Girin S.V.. Gorbachev V.V.. Gurkina P.P..
Ibragimova T. V., Kalikhov A. V. and Khaimasov N. G. et al., Pin's. Rev. C 73 (2006)
045805 [nucl-ex/O512041].
[279] Mention G.. Fechner M., Lasserre T., Mueller A. T., Lhuillier D., Cribicr M. and
Letourneau A., Phys. Rev. D 83 (2011) 073006
Электронный ресурс: http: arxiv.org abs arXiv: 1101.2755
[280] Huber P., Phys. Rev. C 84 (2011) 024617 [Erratum-ibid. C 85 (2012) 029901]
Электронный ресурс: http:/ /arxiv.org/abs/ arXiv: 1106.0687
[281] Bellini G. et al. [Borexino Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 051302
Электронный ресурс: http://arxiv.org/abs/arXiv: 1110.3230
[282] Abe K. et al. [T2K Collaboration], «Precise Measurement of the Neutrino Mixing Parameter
Θ23 from Muon Neutrino Disappearance in an Off-axis Beam», arXiv:1403.1532 [hep-ex].
Электронный ресурс: http: / /arxiv.org/abs/arXiv: 1403.1532
[283] Praszalowicz M. and Stebel T.. JHEP 1303 (2013) 090 [arXiv: 1211.5305 [hep-ph]].
Электронный ресурс: http: //arxiv.Org/abs/arXiv:1211.5305
[284] Gando A. et al. [KamLAND Collaboration], Phys. Rev. D 88 (2013) 3, 033001
Электронный ресурс: http: / /arxiv.org/abs/arXiv: 1303.4667
[285] An F. P. et al. [Daya Bay Collaboration], Phys. Rev. Lett. 112 (2014) 061801
Электронный ресурс: http: //arxiv.Org/abs/arXiv:1310.6732
]286] Gonzalez-Garcia M. C.. Maltoni M., Salvado J. and Schwetz T., JHEP 1212 (2012) 123
[arXiv:1209.3023 [hep-ph]].
[287] Foot R., Lew H., He X. G. and Joshi G. C., Z. Phys. C 44 (1989) 441.
Предметный указатель
Аномалия (аномальное несохранение
тока) 361
антибарионы, остаточная концентрация
358
аромат кварка 525
Аррениуса формула 319
асимметрия барионная 480
— лептонная 191
— микроскопическая 381, 392
— (В—L) 381
Барионное число 527
, нарушение в суперсимметричных
теориях 263
, плотность до электрослабого
перехода 365
Березина интеграл 575
Бете закон 240
Больцмана уравнение 144, 239, 282, 358,
386
Большое объединение 42, 270, 286, 432,
565
, группа SU(5) 371
большой разрыв 37
Бьянки тождество 493
Вакуум ложный 320, 323
вакуумов многообразие 426
возмущения ель. неоднородности
ворс 464
время конформное 58
Гало галактик тёмное 33
Гамова энергия 229
Гаррисона—Зельдовича спектр 45
Гаусса формула 490
Гаусса—Бонне теорема 494
геодезическая линия, уравнение 508, 56
светоподобная 508
глюино 262
Голдбергера—Треймана формула 277, 300
голдстино 277
горизонт частиц 74
— событий 80
гравитационные волны реликтовые 50
, излучение струнами 452
гравитино 135, 233
гравитон 277
грассманова переменная 575
Грейзена—Зацепина—Кузьмина эффект
26
Грина функции 578
группа гомотопическая 426, 432, 438, 458
Дебаевский радиус 586, 167
— масса 586, 167, 351, 352
действие евклидово 572, 352
— эффективное трехмерное 352
де Ситтера пространство 79
Дирака матрицы 519
— монополь 431
длина волны координатная, физическая
59
детальный баланс 141
Джорджи—Глэшоу модель 428
Заряд глобальный 425, 465
Зоммерфельда параметр 229
Импульс координатный (конформный),
физический 59
инстантон 363
Каббибо—Кобаяши—Маскава матрица
529, 399, 524
, параметризация 531
калибровочные константы 517
, объединение 372
611
612
Предметный указатель
калибровочные преобразования в ОТО
503, 512
кварк-глюонная плазма 41, 311
Киббла механизм 427. 437, 463
кильватер струны 449
кинк 322, 458
— на струне 457
клюв на струне 457
конденсат кварковый 297, 311
конфайнмент 537
космологическая постоянная 78
, проблема 35
Кристоффеля символы 488, 56, 66
, свойства 489
критическая плотность рс 84, 33
Кронекера тензор 484
кроссовер 315
кулоновский барьер 217
Леви—Чивиты тензор 485
лептонные числа 123. 527
, плотность до электрослабого
перехода 365
линзирование гравитационное 29
струной 447
IVIarHHTHbifi заряд 431
— поток 438
масштабный фактор 16
мацубаровские частоты 579, 352
мегапарсек 13
метрика конформно-плоская 58
— пространства со струной 445
механизм качелей 565
Михеева—Смирнова резонанс 554
Михеева—Смирнова—Вольфенштейна
эффект в Солнце 553
модель космологическая замкнутая,
открытая, плоская 55
модель mSUGRA 269, 288
монополоний 434
Намбу—голдстоуновский бозон 297, 461
Намбу—Гото действие 441
натяжение струны 438
нейтралино 233
—, проблема перепроизводства 269
нейтрино 516
— активные 192
—, калибровочный и массовый базисы 541
—, ограничение на эффективное число 214
нейтрино, осцилляции 393
, длина и амплитуда 543
—, эффективный потенциал в среде 547,
193
нелинейная гравитация, /(Д)-гравитация
499
неоднородности плотности 44
первичные 44, 46
постоянной кривизны 424
, генерация 452, 464
новые частицы, ограничения
из нуклеосинтеза 213, 231
нуклеосинтез, основные реакции 215
ньютонов потенциал 511, 514
Обратный распад 383, 385
ожерелье 464
Параметр порядка 312
параметры , Г2д, 8о
— Ωβ, Hcdm 86
Паули принцип 237, 268
первичные элементы 2H=D, 3Не, 4Не, 7Li
203, 39
7 Be 228
Печчеи—Куинн симметрия 296
планковские время, длина, масса 12
плоское направление (модуль) 292, 417,
422, 476
плотность свободных электронов
остаточная 156
поле аксионное, осцилляции 302
— бозонное, инфракрасная часть 350
классическое 350, 354
— векторное 483
— конформное 58
— медиатор 286
— скалярное 483
безмассовое 60
общего вида 113, 501
, режим быстрого скатывания
113
, режим медленного скатывания
113, 417, 422
массивное, осцилляции 116, 135, 417
минимальное 502
, конденсат 292, 477
, —, неустойчивость 478
— Энглера-Браута-Хиггса 521, 315
, среднее 317, 326
Предметный указатель
613
, — вакуумное 524, 334
, — после фазового перехода 334, 400
поле Энглера-Браута-Хиггса,
эффективный потенциал 336
— электромагнитное 57, 503
поляризационный оператор фотона 584
Понтекорво—Маки—Накагава—Саката
матрица 541, 393, 561, 564
пропагатор при конечной температуре 579
пространственная кривизна 23
— топология 23
протона распад 368, 527
процессы быстрые, медленные 139, 402
пузырь новой фазы 317, 402
, поверхностное натяжение 318,
322, 335
, свободная энергия 318, 322
— критический 319
Равновесие по отношению
к сфалеронным процессам 364
— термодинамическое 122, 356
локальное 402
, релаксация к р. т. 140
— химическое 122
разложение высокотемпературное 328
расстояние углового размера 109
— фотометрическое 100
резонанс ядерный 228
реликтовое микроволновое излучение,
анизотропия 24, 27, 45, 183
, —, дипольная компонента 25
, —, мультиполи Ci-m, Ci 26, 27
, —, негауссовость 449
, —, эффекты струны 448
, —, эффекты доменной стенки 460
, современная плотность числа
фотонов 134
, спектр 24
, поляризация 39
, температура 24
реликтовые нейтрино 187
Римана тензор 491, 54
, свойства 493
Риччи тензор 494, 54, 68
Саха уравнение 148, 210
Сахарова условия 356
сверхновые типа 1а 99, 102, 183
свободное перемешивание 236
сечение рассеяния
томсоновское 151
, формула Резерфорда 166
симметрия
—, восстановление 315, 330
— глобальная 461
—, нарушение 524, 312, 330, 426, 428, 436
— С 528, 356
— СР 528, 356, 381, 391, 402
, нарушение 530, 533, 543
, —, проблема в сильных
взаимодействиях 295
— Р 528
сингулярность коническая 446
— космологическая 74
система отсчета локально-лоренцева 491
сопутствующая 56
скаляр кривизны 494, 69
скварк 262, 268, 416, 476
слабый угол смешивания 517
слептон 268, 416, 476
собственное время 56
спинор 517
— вейлевский 518, 563
— дираковский 519, 563
— левый, правый 518, 520
стадия расширения пылевидная
промежуточная 421
сталкивающиеся скопления 1Е0657-558 32
степень свободы, число 76
, — эффективное 77. 126
спиновая 125, 262
супергравитация 277
суперпартнёр 262, 401
— легчайший (LSP) 264, 276
— следующий за легчайшим (NLSP) 272,
283
суперсимметричное расширение
Стандартной модели 263, 372, 401,
416
суперсимметрия 262
— локальная 277
—, нарушение 263, 277
—, —, гравитационный механизм передачи
269
—, —, калибровочный механизм передачи
286
суперструны 457
суперток 277
614
Предметный указатель
суперхиггсовский механизм 277
сфалеронные процессы 362, 405
, правила отбора в электрослабой
теории 365
Темная материя, плотность в Галактике
254
, поиски 254
, из Q-шаров 470, 480
температура эффективная 65
тензор энергии-импульса 70
, ковариантное сохранение 503, 70
метрический 503
нётеровский 503
струны 439
газа струн 443
т’Хоофта эффект 361
Уравнение состояния
нерелятивистское («пыль») 73
релятивистское («радиация») 75
вакуумное 78
Фазовый переход 312, 427
Большого объединения 432
квантовой хромодинамики 41, 311
, температура 325, 543
, — критическая 330
, первая, вторая 333
электрослабый 311, 400
I рода 312, 315, 400, 469
, протекание во Вселенной 320
, пузыри новой фазы 317
, скрытая теплота 334
II рода 315, 331
Ферми константа 542, 185, 204
флуктуации плотности
(см. неоднородности плотности)
функциональный интеграл 572
функция распределения бозонов
(Бозе—Эйнштейна) 124, 349
фермионов (Ферми—Дирака) 124
Максвелла—Больцмана 66, 124
черного тела (планковская) 65
Хаббла параметр 16, 55
во время инфляции 49
современное значение 17
Хиггса бозон 76, 313, 516
аксиальный 266
, масса 401
химический потенциал 122, 128, 404, 577
фотона 123
частиц и античастиц 123
эффективный 66
нейтрино, ограничение 191
к (В—L) 366
к слабому гиперзаряду 366
Чаплыгина газ 83
частота конформная, физическая 9
четырехскорость 56, 507
— координатная, физическая 62
четырехфермионное взаимодействие 536
Эйнштейна—Гильберта действие 496
Эйнштейна тензор 498
— уравнения 498, 66, 72
электрический дипольный момент
нейтрона 296, 413
электрона 413
Энглера-Браута-Хиггса механизм 312
— модель абелева 436
энергия связи водорода 148
дейтерия 210
стабильных легких ядер 212
энтропия видимой части Вселенной 49
—, плотность 49, 130
—, —, современное значение 121, 196
эффективный потенциал 314, 580
, теория возмущений 580, 351
, , применимость 351
Драспад двойной 379, 569
С-, CP-инвариантность (см. симметрия)
СРТ-теорема 528, 543
D-струна 457
F-струна 457
LSND
-аномалия 560
р- волна 268
P-инвариантность (см. симметрия)
Р-четность 263
s-волна 240
W-бозон 516
—, масса 524
Ζ-бозон 516
—, масса 524
Л-член 29
—, зависимость от времени 108
ΛQCD- масштаб сильных взаимодействий
537
3-гиперболоид, 3-плоскость, 3-сфера 23,
50