Text
                    Москва 2004

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (технический университет) В.А. Бархоткин, М.П. Кочетков Системы автоматического управления Учебное пособие Часть 1 Допущено учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия по специальности 230101 (220100) Москва 2004
Ы>1< 32.‘Л»5я73 1,24 УДК OKI 5(075.К) Рецепзеты: дот. icxn. наук, проф. ОМ. Брехов, доц. ГЛ. Шахназаров} А.В. Щагин Бархоткин В.А., Кочетков М.П. Б24 Системы автоматического управления: Учебное пособие. Часть 1. - М.: МИЭТ, 2004. - 172 с. ISBN 5-7256-0373-3 В первой части учебного пособия в краткой и доступной форме да- ны основные понятия и определения теории автоматического управле- ния. Рассмотрены принципы построения систем автоматического управ- ления. Приведены модели типовых звеньев, структурные схемы систем автоматического управления. Изложены правила преобразования структурных схем. Исследованы вопросы устойчивости линейных динамических систем. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности "ЭВМ, комплексы, системы и сети", а также студентов родственных на- правлений, специализирующихся в области разработки систем управле- ния, действующих в реальном масштабе времени. ISBN 5-7256-0373-3 © МИЭТ, 2004
Введение Теория автоматического управления (ТАУ) входит в число важ- нейших научных дисциплин, в совокупности составляющих пауку об управлении. Развитие ТАУ в современный период объясняется объек- тивной необходимостью разработки новых и совершенствования суще- ствующих автоматических систем, выполняющих те или иные функции управления самыми различными по физической природе процессами во всех областях техники без непосредственного участия человека. Достижения в ТАУ позволили создать автоматическое конвейерное производство, мобильные робототехнические комплексы, автопилоты, высокоточные системы вооружений и т.д. Основными причинами, обусловливающими необходимость ком- плексной автоматизации процессов и внедрения автоматики в сферу управления и контроля, являются: • стремление к дальнейшему освобождению человека от трудо- емких работ, повышению производительности труда и технико- экономических показателей производства; • непрерывное усложнение характера производственных процес- сов, а следовательно, функций управления ими; • ограниченность физиологических возможностей человека, ус- танавливающая предел его способности быстро и точно управлять тех- ническими средствами; • вредность или невозможность управления некоторыми процессами непосредственно человеком. История развития систем автоматического управления (САУ) не- разрывно связана с историей создания различных высокоточных меха- низмов, из которых наиболее известными являются водяные часы. Са- мое раннее упоминание о подобных устройствах относится к III веку до н.э. В Древней Греции Ксетибиос создал поплавковый регулятор уровня воды для водяных часов. В I столетии н.э. Херон из Александрии написал книгу "Пневматика", в которой привел несколько чертежей регуляторов такого типа. Первой системой с обратной связью, изобретенной в средневеко- вой Европе, был регулятор температуры голландского механика Корне- лиуса Дреббеля (1572 - 1633), который больше известен как создатель 3
одной из первых подводных лодок. Другой голландский ученый Хри- стиан Гюйгенс (1629 - 1695) изобрел в 1657 г. маятниковый регулятор хода часов, представил их теорию, установил законы колебаний физи- ческого маятника. Первый регулятор давления для паровых котлов предложил в 1681 г. француз Дени Папен (1647 - 1712). В 1765 г. талантливый русский ме- ханик И.И. Ползунов (1728 - 1766) изобрел поплавковый регулятор, поддерживающий постоянный уровень воды в котле паровой машины. В этом регуляторе нашла применение идея регулирования по отклоне- нию, которая легла в основу принципа построения современных авто- матических систем. В 1784 г. известный английский механик Дж. Уаттом (1736 - 1819) получил патент на центробежный регулятор скорости вращения вала для паровой машины. Это изобретение сыграло важную роль в развитии промышленных систем регулирования. В 1808 г. Ж. Жаккар построил первое программное устройство управления ткацким станком от перфокарты для воспроизведения узо- ров па копрах >то изобретение явилось прообразом современных уст- ройств программного управления. В основе систем автоматического управления, появившихся в пе- риод до второй половины XIX века, лежали главным образом интуиция и изобретательство. Попытки увеличить точность управления приводи- ли к медленному затуханию колебаний во время переходных процессов и даже к потере устойчивости систем. Именно тогда и возникла необхо- димость создания основ теории автоматического управления. Первыми фундаментальными работами, положившими начало ТАУ, считают труд Дж. Максвелла (1831 - 1879) "О регуляторах" (1868) и труды И.Л. Вышнеградского (1832 - 1895) "Об общей теории регуля- торов (1876) и "О регуляторах прямого действия" (1877). Дж. Максвелл в работе "О регуляторах", используя дифференци- альное уравнение как модель регулятора, заложил математические ос- новы теории управления. Его работа была посвящена исследованию влияния изменения параметров системы на ее поведение. Однако явно полезных практических выводов данная работа не содержала. Ее роль была оценена значительно позже, когда ТАУ сформировалась в само- стоятельную научную дисциплину. Особое значение имеют работы русского ученого-математика про- фессора Петербургского технологического института И.А. Вышнеград- ского, которого современники по праву считали основоположником 4
теории автоматического регулирования (раздела ТАУ). Его работы от- личались инженерным подходом, имели практические рекомендации, содержали истоки многих современных методов исследования качества регулирования. В целом заслуга Дж. Максвелла и И.А. Вышнеградского состоит в том, что они впервые рассмотрели регулятор и объект регулирования как единую динамическую систему на основе линеаризации дифферен- циальных уравнений. Их работами было положено начало так называе- мой классической ТАУ. В конце XIX века появились регуляторы для паровых турбин и гидротурбин, электрические регуляторы напряжения генераторов и ре- гуляторы скорости для двигателей постоянного тока. Однако во многих случаях регуляторы вместо того, чтобы поддерживать постоянное зна- чение выходной величины, позволяли ей совершать колебания относи- тельно заданного значения. Важную роль для решения подобных проблем имели труды акаде- мика А.М. Ляпунова (1857 - 1918). В работе "Общая задача об устойчи- вости движения" (1892) им были изложены основы общей теории ус- тойчивости динамических систем. В первые десятилетия XX века ТАУ вышла далеко за рамки при- кладной механики и сформировалась как общетехническая дисциплина. В этот период появляется целый ряд фундаментальных работ, посвя- щенных различным разделам ТАУ. Большие успехи были достигнуты русскими учеными в разработке теории нелинейных систем. Следует отметить основополагающие рабо- ты А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина "Теория колебаний", Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова "Введение в нелинейную механику", вышедшие в 1937 г. Эти труды вместе с классической работой А.М. Ляпу- нова являются основой для решения задач теории нелинейных автома- тических систем. Мощный толчок развитию теории и практики САУ дала вторая мировая война, когда возникла потребность в создании автопилотов, систем орудийной наводки, радиолокационных станций сопровождения целей и других устройств военного назначения, работающих на основе принципа обратной связи. Сложность подобных систем и ожидаемый эффект от их применения побудили ученых расширить круг используе- мых технических средств, повысили их интерес к принципам построе- ния систем управления и разработке новых методов их синтеза и анализа. 5
В послевоенные годы широкое применение в технике находят им- пульсные устройства. Ведущая роль в разработке основ теории дис- кретных систем управления принадлежит русским ученым Я.З. Цыпки- ну, В.В. Перову, Л. Г. Кузину, а также зарубежным ученым Э. Джури, Л.А. Заде, Дж. Рагаццини и др. Запуск первого искусственного спутника Земли и начало космиче- ской эры дали новый толчок развитию техники управления. Возникла необходимость создания сложных высокоточных систем управления для ракет и космических аппаратов. Возросшие требования к точности этих систем и желание минимизировать их массу обусловили повышен- ный интерес к теории оптимального управления. Именно поэтому в по- следние годы стали популярными методы анализа и синтеза, предло- женные А.М. Ляпуновым, А.А. Красовским, Л.С. Понтрягиным, А.А. Фельдбаумом в России и Р. Веллманом в США. Мировое признание получили фундаментальные труды по матема- тической теории оптимальных процессов, созданные Л.С. Понтрягиным и его учениками в 50 - 60-е годы XX века. Поскольку невозможно назвать всех выдающихся изобретателей, инженеров, математиков, внесших вклад в развитие ТАУ, так же как и перечислить все достижения в этой важной науке, приведем лишь крат- кие сведения о том, какие идеи и в какое время разрабатывали перечис- ленные выше ученые. Приблизительно до 60-х годов XX века ТАУ имела ярковыражен- ную инженерную направленность и базировалась преимущественно на рассмотрении процессов в системе "регулятор - объект управления". Как системная наука ТАУ объединила многие методы инженерных направлений из области электро-, радиотехники, связи и энергетики, существенно развив их. Прикладную или инженерную ТАУ сейчас на- зывают "классической", подчеркивая определенную завершенность ее как науки об управлении. Особенностью классической ТАУ является то, что она решает задачи оптимизации и адаптации "в малом", т.е. при ма- лых отклонениях относительно заданного режима работы. В 80-х годах XX века широкое распространение получило приме- нение ЭВМ в контуре систем управления, благодаря чему появилась возможность одновременного измерения и управления многими пара- метрами с использованием сложных алгоритмов обработки информа- ции. В настоящее время в США в системах цифрового управления функционирует более 400000 компьютеров. 6
Сейчас ТАУ продолжает интенсивно развиваться. Появление мик- ропроцессоров высокой производительности, микросхем памяти боль- шой емкости, возможность организации мультитранспьютерных сетей для реализации параллельных вычислений, с одной стороны, и необходи- мость обработки значительных массивов информации, применения базы знаний для формирования целенаправленной деятельности с другой, привели к созданию интеллектуальных систем управления. Основы ТАУ, которая названа "современной", заложены классиче- ской ТАУ и неразрывно связаны с ней. Современная ТАУ преследует цель оптимизации "в целом" применительно к сложным объектам управления. Она представляет собой совокупность методов и средств, обеспечивающих интеллектуальное управление. Характерной особен- ностью такого управления является эффективное использование всех ресурсов системы при многокритериальной оптимизации процессов в условиях высокой степени неопределенности информации о свойствах объекта управления и среде его функционирования. Результаты, полученные современной ТАУ, вышли за рамки тех- нических систем. ТАУ имеет много практических приложений в биоло- гии, биомедицине -и протезировании. В организме человека иерархия систем управления простирается от клеточного уровня до центральной нервной системы и включает в себя регуляцию температуры, сердечно- сосудистой деятельности и ритма дыхания. Таким образом, моделиро- вание биологических процессов приводит к построению систем управ- ления высоких порядков и достаточно сложной структуры. В США уст- ройства протезирования, построенные на базе последних достижений ТАУ, помогают миллионам инвалидов преодолеть их физические не- достатки. Наконец, большой интерес представляют попытки построения мо- делей процессов с обратной связью в социальной, экономической и по- литической сферах. Хотя эти модели разработаны еще недостаточно полно, они, скорее всего, будут востребованы уже в ближайшие годы. Основной проблемой ТАУ является разработка методов анализа и синтеза автоматических систем, а именно: 1) разработка принципов построения автоматических систем; 2) математическое описание (алгоритмизация) процессов автома- тического управления; 3) исследование структуры автоматических систем; 4) анализ устойчивости автоматических систем; 7
5)анализ качества процессов автоматического управления (точ- ное п> работы, Оысзродействие, помехоустойчивость); О) синтез автоматических систем - определение рациональной структуры и оптимальных параметров в соответствии с технико- экономическими требованиями к автоматизируемому процессу; 7) разработка экспериментальных методов исследования автомати- ческих систем. В настоящее время созданы и формируются новые разделы ТАУ, которые включают широкие классы сложных автоматических систем, в том числе интеллектуальных. В учебном пособии кратко изложены основные положения класси- ческой ТАУ, необходимые для последующего освоения ее новейших разделов. 8
Глава 1. Принципы построения, классификация и математическое описание процессов в автоматических системах 1.1. Теория управления. Основные понятия и термины Кибернетика - это наука об общих закономерностях процессов управления в различных системах (механических, электрических, био- логических, административных, социальных и т.д.)- Технической ки- бернетикой называется наука об управлении техническими устройства- ми. Важным разделом технической кибернетики, ее базовой основой является ТАУ. ТАУ - это наука о принципах построения автоматических систем и закономерностях протекающих в них процессов. ТАУ абстрагируется от физической природы и конструктивных особенностей систем. Задача ТАУ заключается в построении оптимальных или близких к ним рабо- тоспособных автоматических систем, выполняющих поставленные пе- ред ними цели без участия человека. Чтобы понять смысл и содержание ТАУ, необходимо усвоить ее основные понятия и термины. Управление каким-либо объектом - это процесс воздействия на не- го с целью обеспечения требуемого течения процессов в объекте или требуемого изменения его состояния. Основой управления является пе- реработка информации о состоянии объекта в соответствии с целью управления. Совокупность устройств, обеспечивающих управление каким-либо объектом, называют системой управления. Если функции всех элемен- тов системы управления выполняются различными устройствами без непосредственного участия человека, то система управления является автоматической. САУ может быть представлена двумя основными частями (рис. 1.1): объектом управления (управляемая система) и устройством управления (управляющая система). В качестве объекта управления может рассматриваться как управ- ляемое техническое устройство (станок, паровая турбина, самолет и т.д.) 9
Рис. 1.1. Система автоматического управления или их совокупность, так и более простая система управления. В по- следнем случае речь идет о некоторой иерархической системе управле- ния, в которой более сложная система управления включает в себя бо- лее простую как подсистему. Для автоматического управления большое значение имеет внешняя среда, под которой будем понимать все то, что не входит в рассматри- ваемую систему. Внешним или возмущающим воздействием /(г) называется воздей- ствие со стороны среды на любой элемент (подсистему) системы управ- ления, включая объект управления, затрудняющее достижение цели. Управляющее воздействие u(t) - воздействие со стороны управ- ляющей системы на объект управления, предназначенное для достиже- ния цели управления. Управление всегда имеет определенную цель. Цель управления - это то, что надо осуществить. Обычно она формулируется как ограни- чение на множество возможных состояний системы или как какой-либо показатель системы, который нужно поддерживать в заданных пределах либо максимизировать. Например, целью управления может быть под- держание на выходе схемы стабилизатора напряжения, равного 220 В, или перемещение мобильного робота по заданному дорожному полотну. Задающее воздействие g(r) - воздействие на устройство управления (управляющую систему), предназначенное для достижения цели управле- ния. Задающее воздействие g(t) определяет требуемый закон управления. Состояние объекта управления определяют конкретными значе- ниями управляемых величин. Управляемая величина x(t) - координата объекта управления, значение которой зависит от управляющего воз- действия u(t) и показывает степень достижения цели управления. Коор- дината объекта управления может быть представлена следующими па- раметрами: напряжением источника питания, температурой раствора, давлением воздуха, азимутом самолета в пространстве и т.д. С точки 10
зрения математического описания состояние объекта управления удоб- но представлять точкой, координатами которой являются значения па- раметров. Под автоматическим управлением понимается автоматическое (без участия человека) осуществление совокупности воздействий, выбран- ных из множества возможных на основании определенной информации и направленных на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта в соответствии с целью управления. С формальной точки зрения основная задача автоматического управления заключается в том, чтобы выработать управляющее воздей- ствие и(/) таким образом, чтобы управляемая величина x(t) изменялась по заданному закону с определенной точностью независимо от действия на автоматическую систему внешних возмущений/(г). В основу ТАУ положена теория автоматического регулирования. Регулирование представляет собой простейшую разновидность управ- ления. Автоматическим регулированием называется поддержание по- стоянной некоторой заданной величины, характеризующей процесс, или изменение ее по заданному закону. 1.2. Принципы автоматического управления Принцип автоматического управления (регулирования) определяет алгоритм формирования управляющего воздействия в автоматической системе. Выбор того или иного принципа построения системы зависит от ее назначения, условий работы, возможностей получения необходи- мой рабочей информации, стабильности характеристик отдельных эле- ментов и т.п. Одним из основных признаков, характеризующих принцип управления, является требуемая для выработки упраштяющего воздей- ствия информация. Информацию обычно подразделяют на начальную (априорную) и рабочую (текущую). Априорная информация может быть получена в ре- зультате предварительного теоретического или экспериментального ис- следования системы управления. Текущая информация получается в ре- зультате наблюдения за ходом процесса управления. Известны три фундаментальных принципа автоматического управ- ления: принцип разомкнутого управления, принцип управления по воз- мущению и принцип обратной связи. Кроме того, разработан принцип комбинированного управления, сочетающий достоинства второго и 11
третьего принципов. Таким образом, несмотря на многообразие автома- тических систем, основополагающие принципы их построения немно- гочисленны. Принцип разомкнутого управления состоит в следующем (см. рис. ]. 1). Пусть заранее известно, что параметры объекта управления и воздействие внешней среды f(t) остаются постоянными или изменя- ются по определенному закону. Тогда по заданной функции x(t) мож- но однозначно определить соответствующее изменение во времени управляющего воздействия u(f). В этом случае управление является полностью априорным, т.е. осуществляется управляющим устройством при заведомо абсолютно точном знании всех внешних и внутренних ус- ловий работы. Примером реализации этого принципа служит автоматическое управление токарным станком, изготавливающим детали одного опре- деленного образца. При этом положение резца задают как определен- ную функцию времени и осуществляю! автоматическое перемещение его по этому закону. Принцип разомкнутого управления отличается простотой техниче- ской реализации, но оказывается малоэффективным при недостаточной априорной информации относительно характера внешних воздействий. Принцип управления по возмущению заключается в том, что управ- ляющее воздействие вырабатывается в зависимости от результатов из- мерения возмущения, действующего на объект. Системы построенные на основе этого принципа, также работают по разомкнутой цепи. т.е. не имеют обратной связи. Структурная схема автоматической системы, использующей прин- цип управления по возмущению, изображена на рис. 1.2. На устройство управления воздействует возмущение /(?). Недостаточный объем ап- риорной информации относительно f(t) восполняется текущей ин- формацией о его изменении, поступающей в устройство управления. Рис. 1.2. Система, реализующая принцип управления по возмущению 12
При этом управляющее воздействие u(t) формируется в функции воз- мущающего воздействия /(А): u(t) = f/[/(A)]. Величина и направление управляющего воздействия на объект должны быть такими, чтобы полностью или в значительной степени компенсировать влияние возмущающего воздействия. Основное достоинство принципа управления по возмущению - вы- сокое быстродействие, поскольку в этом случае система реагирует не- посредственно на причину, вызывающую изменение управляемой вели- чины. Однако этот принцип предполагает наличие полной априорной или текущей информации о внутренних и внешних условиях работы системы, что обычно не выполнимо. Как правило, учитывается действие одного или нескольких наиболее существенных возмущений, которые измеряются соответствующими датчиками. Подобный принцип управления может быть реализован в системе стабилизации напряжения в синхронном генераторе при переменной электрической нагрузке на его выходе. При изменении нагрузки (воз- мущающего воздействия) чувствительное устройство вырабатывает сигнал в виде напряжения постоянного тока. Это напряжение пропор- ционально току генератора, который в свою очередь зависит от нагруз- ки. Выработанный сигнал поступает в цепь возбуждения генератора и изменяет величину тока (управляющее воздействие) в ней таким обра- зом, чтобы возвратить напряжение генератора (выходную величину) к исходному значению. Неполное знание свойств объекта управления, изменение его пара- метров вследствие старения элементов и действия неконтролируемых возмущений, а также ряд других факторов затрудняют реализацию сис- тем управления на базе этого принципа. В разомкнутых системах управляющее воздействие на объект управления задается без учета действительного положения управляемой величины л(а) , а только на основании цели управления, характеристик объекта и известных априори либо измеряемых в процессе управления внешних воздействий. Поэтому такое управление является жестким. Систему управления можно построить таким образом, чтобы точность выполнения алгоритма функционирования обеспечивалась и без измерения возмущений. Принцип обратной связи (управления по отклонению) заклю- чается в сравнении действительного значения управляемой величины с требуемым (предписанным) ее значением и в управлении объектом в 13
g(t) Е(0 Устройство управления Ы(О Объект управления X (1) I’uc. 1.3. Система, реализующая принцип обратной связи зависимости от результатов этого сравнения. Применение этого принципа приводит к построению автоматических систем с замкнутой цепью воздей- ствий, или систем с отрицательной обратной связью (рис. 1.3). В замкнутой системе управляющие воздействия формируются на основе информации о состоянии объекта, в частности, по отклонению управляемой x(t) величины от заданной g(t) величины. Таким обра- зом, отклонение (рассогласование) е(/) = g(t) — x(t) используется для формирования воздействия на объект, которое продолжается до тех пор, пока это рассогласование не станет достаточно малым. Следовательно, обратная связь, по которой поступает в устройство управления текущая информация о состоянии объекта управления или его выходных переменных, - это средство управления при неполной информации, обеспечивающее системе свойство адаптивности (приспо- собляемости) к изменениям внутренних и внешних условий ее работы. Принцип обратной связи используется в электронных стабилизато- рах напряжений, системах регулирования скорости вращения двигате- лей, системах автоматической подстройки частоты генератора, системах автоматического измерения угловых координат и т.д. Достоинства принципа управления по отклонению: • высокая точность управления и более низкая требовательность к точности изготовления элементов системы (по сравнению с принци- пом управления по возмущению); • успешное достижение цели управления при действии много- численных возмущающих факторов (в том числе и неконтролируемых). Однако быстродействие замкнутых систем сравнительно низкое, поскольку они реагируют не на причину, а на следствие (т.е. на откло- нение управляемой величины от заданного значения), а следовательно, имеют некоторое запаздывание и определенное допустимое отклонение управляемой величины. Автоматические системы, построенные на ос- нове принципа замкнутого управления, получили название систем ав- томатического регулирования (САР).
Рис. 1.4. Система, действующая на основе принципа комбинированного управления Современные автоматические системы высокой точности обычно строятся на основе принципа комбинированного управления, сочетающе- го достоинства принципа управления по отклонению и принципа управ- ления по возмущению. При этом в комбинированной системе (рис. 1.4) наряду с замкнутым контуром, образуемым отрицательной обратной связью, имеется цепь компенсации возмущающего воздействия, под- дающегося измерению. 1.3. Классификация математических моделей динамических систем При анализе и синтезе систем управления возникает необходи- мость выбора с определенной степенью приближения адекватных мате- матических моделей, которые позволяли бы определить изменение во времени переменных состояния системы. Остановимся на их классифи- кации по различным признакам. Методы ТАУ разработаны применительно к различным типовым математическим моделям реальных систем. Математическая модель - это формальное описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических урав- нений и т.д. По характеру входящих в САУ звеньев системы делятся на линей- ные и нелинейные. В линейных системах между выходной и входной ве- личинами существует линейная функциональная зависимость в статиче- ских и динамических режимах работы. Процессы, происходящие в этих системах, описываются линейными операторными уравнениями (на- пример, линейными дифференциальными уравнениями). Одно из ос- новных свойств всякой линейной системы заключается в том, что если на нее одновременно воздействуют несколько возмущений, то их 15
совместный эффект равен сумме эффектов, вызываемых каждым из возмущений в отдельности. Данный принцип сложения отдельных эф- фектов называется принципом суперпозиции. Системы, для которых не выполняется принцип суперпозиции, относятся к нелинейным. Линейные н нелинейные системы подразделяются на следующие три класса: непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные систе- мы. Непрерывные системы описываются дифференциальными уравнения- ми, дискретные - дифференциально-разностными уравнениями, а дис- кретно-непрерывные - обоими видами уравнений. Как линейные, так и нелинейные динамические системы могут быть стационарными или нестационарными. Стационарные системы пред- ставляются уравнениями, коэффициенты которых не зависят от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В нестационарных системах хотя бы один параметр зависит от времени. В свою очередь стационарные и нестационарные системы подраз- деляются на системы с сосредоточенными и распределенными парамет- рами. В системах с сосредоточенными параметрами каждый параметр сосредоточен в одной точке. Поэтому динамику системы можно описать с помощью дифференциального уравнения в полных производных, т.е. переменные величины будут зависеть только от времени. В системах с распределенными параметрами хотя бы один параметр распределен в пространстве (по одной или нескольким пространственным координа- там), т е. изменяется не только во времени, но и в пространстве. Кроме того, системы каждого из класса или подкласса могут быть подразделены на детерминированные и стохастические. Систему назы- вают детерминированной, если приложенные к ней воздействия и пара- метры модели являются постоянными или детерминированными функ- циями переменных состояния и времени. Система является стохастической, если приложенные к ней воздействия и параметры мо- дели являются случайными функциями или случайными величинами. п г Реальные системы могут вхо- Рис.1.5. Колебательный контур дить сразу в несколько классов. Приведем примеры моделей систем. Пример 1. Колебательный кон- тур (рис. 1.5) может рассматриваться как линейная непрерывная стацио- нарная детерминированная система с сосредоточенными параметрами: 16
ивх (Г) = L^- +1 [ i(t)dt + i(t)R. at C J o Пример 2. Канал передачи данных между двумя территориально удаленными ЭВМ представляет длинную линию, которая является ли- нейной непрерывной стационарной детерминированной системой с рас- пределенными параметрами (рис. 1.6). R L Дх ^111 Рис. 1.6. Длинная линия - пара длинных проводов В однородной длинной линии ее параметры распределены вдоль нее равномерно. Разделим длинную линию на малые отрезки длиной Дх, в пределах которых параметры можно считать сосредоточенными в одной точке. Пусть погонные сопротивление, индуктивность, емкость и прово- димость имеют значения R, L, С, G (см. рис. 1.6). В каждом сечении линии напряжение u = u(t,x) и ток t=t(f,x) являются функциями времени t и координаты X (удаления конкретного элемента Дх от ее начала): дх dt di(t, х) Эх Эи(/,х) = -Cru(t, х) - С------ dt Пример 3. Математический маятник (рис. 1.7) является нелинейной непрерыв- ной стационарной детерминированной сис- темой с сосредоточенными параметрами. На рис. 1.7 обозначены: гпм, 1„ - масса и длина подвеса маятника; 6(г) - угол от- клонения маятника в момент времени t. Уравнение движения маятника име- ет вид: Рис. 1.7. Математический маятник 17
, J26(/) _ . _ V >2 +gsm6(r) = 0, dt где g - ускорение свободного падения. Данное уравнение является нелинейным, так как выходная величи- на 6(0 находится под знаком синуса. Его решение представляет боль- шие трудности. Однако если предположить, что координата 6 в процес- се движения мало отклоняется от нуля, то приближенно можно заменить sin6(r) на 6(г). Получим линейное уравнение маятника: /M^^+g6(r) = o. dt Механический маятник при малых колебаниях представляет ли- нейную систему. Следует отметить, что почти все САУ являются нелинейными сис- темами, содержащими как переменные, так и распределенные парамет- ры, причем значения переменных в данный момент могут зависеть не только от текущих, но и от предыдущих значений этих переменных. Однако при выполнении определенных условий многие нелинейные модели можно в первом приближении рассматривать как линейные. 1.4. Типовые входные воздействия, их представление во временной и комплексной областях, практическое применение В процессе функционирования на САУ оказывают влияние задаю- щее и возмущающее воздействия. Чтобы охарактеризовать динамиче- ские свойства системы, необходимо знать ее реакцию на приложенные воздействия. Во многих случаях внешние воздействия изменяются во времени по сложным и часто заранее неизвестным законам. Определе- ние реакции системы на такие воздействия представляет сложную зада- чу. Поэтому первоначально при анализе динамических свойств САУ ис- следуют типовые воздействия. В качестве типовых воздействий выбираются такие, реакции на ко- торые достаточно полно характеризуют динамические свойства иссле- дуемой системы. Типовые воздействия должны быть близкими к реаль- 18
ным, при этом реакция на них должна определяться достаточно просто. Рассмотрим типовые входные воздействия более подробно. В качестве типового воздействия при анализе динамики САУ часто выбирают единичный скачок по амплитуде (координате). Этому воздей- ствию соответствует единичная ступенчатая функция, которая пред- ставляет собой мгновенное изменение воздействия от нуля до постоян- ной величины, равной единице: 1(0 = 1 при t > 0; 1(0 = 0 при t < 0. Изображение по Лапласу этого сигнала имеет вид: ZM = £[!(?)]=-. Если скачок не единичный, а его амплитуда равна .у G G, то Z(s) = —. s На рис. 1.8 представлены графики входного воздействия типа "ска- чок по положению" и варианты выходных сигналов для различных сис- тем. В данном случае х(0 является реакцией на "скачок по положению". В силу большой значимости этой функции она получила специальное название "переходная функция" и обозначение h(t). Определение. Переходная функция h(t) - это реакция системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях. Рис. 1.8. Реакция системы на единичную ступенчатую функцию: а - реакция входного воздействия типа "скачок по положению"; б и в - переходные функции соответственно апериодических и колебательных звеньев 19
(П Рис. 1.9. Сигшы, составленный из ступенчатых воздействий ние положения задающей оси в Если система хорошо отрабаты- вает единичные ступенчатые воздей- ствия, то она будет хорошо отраба- тывать и более сложные сигналу, составленные из ступенчатых воз- действий (рис. 1.9). Ступенчатыми воздействиями являются изменение нагрузки в элек- трической цепи при отключении электроприборов, внезапное измене- следящих системах, сброс ускорителей или отключение маршевого двигателя ракеты. По аналогии с сигналом "скачок по положению" можно рассмот- реть воздействия "скачок по скорости" и "скачок по ускорению". Единичный "скачок по скорости": v(t) = 1 при t > 0 и v(t) = 0 при t < О (рис. 1 10). Рис. 1.10. Единичный "скачок по скорости" (а); изменение координаты входного сигнала (б) Изображения по Лапласу единичного и неединичного (v = const) "скачков по скорости" имеют соответственно вид: Z(s)=~ и 5 2 V Z(s) — ——. Изменение координаты входного сигнала представляется 5 2 зависимостью: z(t) = vt. Аналогично вводится единичный "скачок по ускорению". Соответ- ствующие графики представлены на рис. 1.11. 20
Рис. 1.11. Единичный "скачок по ускорению" (п); изменение скорости (б) и координаты (в) входного сигнала Изображения по Лапласу единичного и неединичного (а = const) "скачков по ускорению" равны: Z(j) = — и Z(S) = ~Y При этом 5 sJ изменения скорости и координаты входного сигнала принимают вид: г(/) = at и z(t) = at ?72. Типовое воздействие может иметь форму 8-функции, т.е. прямо- угольного импульса большой амплитуды и весьма малой продолжи- тельности по сравнению с ожидаемым временем переходного процесса. В реальных условиях такое воздействие имеет место, например, при внезапном появлении импульсной помехи на входе приемника телеко- довой связи, кратковременном изменении напряжения в сети или попа- дании летательного аппарата в струю воздуха, движущуюся перпенди- кулярно траектории его движения. 8-функцию также называют единичной импульсной функцией, ее математическое представление: 8(t) = 0 при t Ф О, 8(t) —> оо при t —> О, причем площадь J 8(t)t/t = 1 -со Графически точно 8-функцию изобразить невозможно. Условно ее представляют в виде прямоугольного импульса длительностью а и высотой М а при а —> 0 (рис. 1.12). Изобра- жение по Лапласу 8(г) равно единице. Рис. 1.12. Условное представление 5-функции 21
Реальный сигнал, как правило, имеет значительно более сложную форму. В некоторых случаях его можно представить в виде ряда Фурье со /(/) = — + у1, \ак cos^/rf) + bk sin(<Dj/</)] 2 А-=1 (где С0| - круговая частота первой гармоники) и проанализировать, как отрабатывает система основные гармоники. Тогда в качестве типового сигнала рассматривается гармоническое колебание. Такие сигналы ши- роко применяются при частотных методах исследования САУ. Однако синусоидальные воздействия различных частот можно по- давать не на все объекты. Иногда удобно использовать колебания "пря- моугольной формы" (включено - выключено), "треугольной формы" (равномерное открьгтие и закрытие регулирующего элемента). Существуют и другие типовые сигналы для систем определенных классов, например, при исследовании систем сопровождения объекта в качестве типового воздействия используют функцию арктангенса (рис. 1.13,а): ( V z(r) = arctg —г , где v - скорость сопровождаемого объекта; р - курсовой параметр (пер- пендикуляр на траекторию движения). В случае прямолинейного равно- мерного движения объекта (рис. 1.13,6) z(f) представляет закон изменения Рис.1.13. Типовой сигнал для систем сопровождения объекта 22
угла между направлением на объект и некоторым фиксированным на- правлением (например, на север). В отдельных случаях типовые воздействия могут иметь сложную форму, которая определяется экс- периментальным путем. Иногда за- казчик САУ требует проверки ее работы на специальный заданный входной сигнал, например, пред- ставленный на рис. 1.14. Рис. 1.14. Сложное управляющее воздействие 1.5. Линеаризация динамических систем. Уравнения динамики и статики САУ. Пример линеаризации системы управления Для анализа САУ необходимо располагать ее математическим опи- санием (моделью), например, дифференциальным или интегродиффе- ренциальным уравнением. Существует два подхода к решению задачи математического моде- лирования динамических систем: теоретический и эмпирический. В первом случае математическая модель строится на основании общих за- конов той дисциплины, с которой связана природа изучаемой задачи. 11апример, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории элек- трических цепей - законы Кирхгофа и т.д. Во втором случае неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальные уравнения. Поэто- му принимаются различные предположения (гипотезы) относительно протекающих процессов при малых изменениях параметров - перемен- ных, а дифференциальные уравнения получаются путем предельного перехода. При этом согласование результатов исследования полученно- го дифференциального уравнения с экспериментальными данными оз- начает, что принятая гипотеза правильно отражает истинное положение вещей. В рассматриваемом случае необязательно знать природу процес- сов, протекающих в системе; достаточно иметь сведения об их внешних проявлениях. Обычно САУ представляются нелинейными дифференциальными уравнениями. Причинами нелинейностей являются насыщения, зазоры, 23
ограничения и т.д. Анализ нелинейных систем, как правило, достаточно сложен. Теория нелинейных дифференциальных уравнений, по сущест- ву, отсутствует. В аналитической форме можно решать только нелиней- ные дифференциальные уравнения частных видов невысокого порядка. Напротив, теория линейных дифференциальных уравнений разработана в самом общем виде для уравнений любого порядка. Поэтому для реше- ния математических вопросов, возникающих в приложениях, обраща- ются в первую очередь к линейным методам. При этом даже нелиней- ные системы стремятся приближенно рассматривать как линейные. Существует достаточно большой класс нелинейных систем, кото- рые можно при определенных условиях линеаризовать, т.е. сделать ли- нейными в математическом смысле. Необходимыми условиями для проведения линеаризации обычно яв- ляются- • отсутствие разрывных неоднозначных или резко изменяющихся характеристик; • справедливость установленного дифференциального (алгебраи- ческого) уравнения, связывающего входные и выходные величины в те- чение всего времени управления. Таким образом, сложную задачу интегрирования нелинейных уравнений можно свести к более простой задаче - решению линейных дифференциальных уравнений. В настоящее время известны различные методы линеаризации нелинейных систем, т.е. приближенного пред- ставления нелинейных систем практически равноценными линейными. Широкое распространение получил метод Ляпунова, или метод малых отклонений. Согласно этому методу нелинейная функция рас- кладывается в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки, соответст- вующей установившемуся процессу, и отбрасываются члены ряда, по- рядок которых выше первого. Например, если нелинейная зависимость у(г) = F[x(Z)] непрерыв- на и дифференцируема в некоторой окрестности точки установившегося процесса х — х{}, то линеаризация этой зависимости может осуществ- ляться путем ее разложения в ряд Тейлора в этой точке с учетом лишь линейного члена разложения: y(0 = y0+-^|o[Xf)-^0], dx где J'o = F[x0]; — |о - значение производной — в точке х0. dx dx 24
Чтобы пояснить методику линеаризации реальной физической сис- темы, рассмотрим практический пример. Необходимо получить модель (дифференциальное уравнение) электродвигателя постоянного тока и провести линеаризацию полученной зависимости. В соответствии со вторым законом Ньютона для вращательного движения уравнение моментов на валу двигателя имеет вид: .d(S ] — = Мл~Мс, (1.1) at где j - момент инерции подвижной части двигателя - якоря; со - угло- вая скорость якоря двигателя; Мл - движущий (крутящий) момент яко- ря двигателя; Мс - момент сопротивления или момент нагрузки на валу двигателя. Из курса электротехники для двигателя постоянного тока известно, что /Ис=УИс(со) - нелинейная функция одной переменной СО; Мд =Л7д(со,/) - нелинейная функция двух переменных: со и I, где I - управляющее воздействие. Управляющим воздействием для двигателя является изменение напряжения в цепи якоря или в цепи обмотки воз- буждения. Причем первый вариант имеет большее распространение из-за лучших статических и динамических характеристик по сравнению со вторым. Обычно нелинейные зависимости Мс =Л/С(со) и Мл = Л/Д(со,/) задаются аналитически или в виде графиков, они определяются типом двигателя, характером нагрузки и т.д. Установившийся режим работы двигателя (его рабочая точка) ха- рактеризуется двумя постоянными величинами: номинальным управ- ляющим воздействием /о и установившейся угловой скоростью со0 , соответствующей заданному значению /0 . Для наглядного отображения функциональной зависимости Мл =Л/Д(со,/) требуется два графика: первый график отображает за- висимость Мп =М,1(Г) при различных фиксированных значениях coz, / = 1 ... и, а второй - Мд =Мд(со) при различных фиксированных зна- чениях lj,i= 1 ... т. 25
Нелинейные зависимости М=МГ((£>) и М = Мп((й,Г) пред- V V v ХА /л, * ставлены на рис. 1.15. Рис. 1.15. Типичные нелинейные механические характеристики двигателя постоянного тока Для линеаризации воспользуемся первым методом малых отклоне- ний Ляпунова. В основу метода положено разложение нелинейных функций Мс и Мв ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки О с координатами со0 и /0 (см. рис. 1.15). ^с|о М с0 1 4- — 3! 'э3мс Эсо3 А Дсо3 + ..., Jo (1.2) где Мс0 - момент нагрузки на валу двигателя на частоте со0 . f ч Эсо3 ГЧ э/ (1.3) д/2+..„ Дсо3 +...+ >3 где Мт - крутящий момент двигателя на частоте со0 при управляющем напряжении /0. 26
Значения всех производных вычисляются в рабочей точке (<й0 , /0) и, следовательно, являются константами. В соответствии с первым методом малых отклонений Ляпунова при малых значениях приращений Дсо, Д/ можно пренебречь членами ряда Тейлора с порядком выше первого. После подстановки линеаризованных зависимостей (1.2) и (1.3) в исходное уравнение (1.1) получим: .da w др at д(0 Дсо- Л) д/ Д/-Мс0 Л> ЭМС > Эсо Д<й.(1 4) Уо Уравнение статики М ДО = Мс0 описывает поведение двигателя в установившемся режиме. Оно следует из уравнения динамики (1.1), ес- da ли приравнять нулю производную ——. at С учетом того, что МД0 = Мсо, проведем сокращения в уравнении (1.4) и сгруппируем в его левой части члены с Дсо: .Ао (ЭМ/ ]--+ ----— dt Эсо Jo Дсо= а/ д/. /о (1.5) < Э“ к В результате имеем линеаризованное уравнение двигателя в абсолют- ных приращениях (или отклонениях). Упростим уравнение (1.5). После деления его правой и левой час- тей на выражение, стоящее в квадратных скобках, получим: 'ЭМ/ < Jo da ---1- Дсо= dt Каждый член уравнения имеет определенную размерность. Однако для исследования системы желательно получить уравнение: • в относительных (нормированных) единицах; • с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени в степени, равной порядку производ- ной, при которой стоит данный коэффициент. 27
Введем относительные изменения для входной (управляющей) и выходной (управляемой) величин: А/ г Л Асо * * — = z(Z); -------= л(с) > причем Дсо= Асо(с). Для СО при С0о = const имеем: с/co d , . , Д(Асо) — - —(со„ + Асо) = —-—- dt dt dt Для перехода в уравнении (1.6) к величинам z(f) и x(t) выпол- ним следующие действия: 1) пронормируем приращение угловой скорости Асо величиной со0 , для чего разделим правую и левую части уравнения на со0 ; 2) пронормируем А/ величиной 1О, для чего умножим и разделим правую часть уравнения на /0 . Путем соответствующего группирования членов перейдем к относительным управляющим воздействиям: 1О ч /0 Юо А/ рЛ^ I Эю jo. (1.7) Введем обозначения: л(с) = Асо I Э/ jom<> А/ ^) = Д/ рмс А рЛМ ро ’ А Эю 1 Ij0. (1.8) 28
Вычислим производную x'(t)'. /(,)=д*а= dt ,[ Дсо а --- dt (1-9) Подставив (1.8) и (1.9) в (1.7), получим дифференциальное линеа- ризованное уравнение в относительных величинах, связывающее отно- сительные угловую скорость двигателя х(г) и изменение управляюще- 1 о воздействия z(t) : Tx\t) + x(t) = fe(?). (1.10) Коэффициент T называется постоянной времени двигателя (объ- екта регулирования) и имеет размерность времени (с). Он определяет быстродействие двигателя, т.е. как быстро устанавливается заданная уг- ловая скорость при изменении управляющего воздействия. Коэффициент к носит название передаточного коэффициента и является безразмерной величиной. Он характеризует зависимость меж- ду изменением выходной величины x(t) и управляющим воздействием z(z) в установившемся режиме. Следует подчеркнуть, что дифференциальное уравнение (1.10) описывает динамику линеаризованной системы управления двигателем и окрестности рабочей точки (со0, /„). Если в исходной нелинейной системе (1.1) изменится рабочая точ- ка, то это вызовет изменение коэф- фициентов Тик. Рассмотрим геометрический смысл линеаризации (рис. 1.16). Ли- неаризация нелинейной зависимости двух переменных означает: • замену исходной кривой АВ отрезком ее касательной А В в точ- ке О , соответствующей установив- шемуся режиму; • параллельный перенос нача- ла координат в точку О'. Рис. 1.16. Графическая интерпре- тация процесса линеаризации динамической системы 29
1.6. Частотные характеристики линейных динамических систем В дальнейшем будем рассматривать стационарные линейные ди- намические системы (ЛДС), т.е. системы, которые представляются сле- дующим дифференциальным уравнением: С1пх(п} (?) + (?) +... + а2х(?) + й]Х(?) + аох(?) = = Ь,пгм(Р) + +... + fe2f(?) + b^(t) + fcoz(?) ’ где x(?) и z(?) - соответственно выходной и входной сигналы, причем выполняется условие физической реализуемости п>т. В операторной форме дифференциальное уравнение (1.11) имеет вид: А{р )х(?) = B(p)z(?), где А(р) , В(р) -^дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения; А(р) = апРП + -«1Р + «о; = Ъп рт +.. Ь\ р + ьо; d р =-----оператор дифференцирования. dp Для математического описания ЛДС широко используются частот- ные характеристики, позволяющие судить о реакции системы на вход- ные гармонические воздействия различных частот. Пусть на вход ЛДС поступает гармоническое воздействие в виде бесконечной косинусоиды: z(?) = Zcos(co?). Определим х(?) - реакцию системы на этот сигнал. Известно, что согласно формуле Эйлера e+,t>>t = cos со? + / sin со?, е+№ + поэтому cos со? =----------- и входное воздействие можно записать 2 в следующем виде: 7 7 z(f) = Z cosom =—e+j(Ot +~e J<1>t =^i(?) + z2(?). 30
Для всех ЛДС справедлив принцип суперпозиции: реакция систе- мы на несколько одновременных входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие (рис. 1.17). z(f) Z|(') zo(0 Рис. 1.17. К пояснению принципа суперпозиции Отсюда следует практический вывод: если на вход ЛДС поступает сложный сигнал, который можно представить в виде совокупности не- скольких простых сигналов z,(?), то результирующим сигналом на вы- ходе системы будет сумма реакций этой системы на каждую состав- ляющую Xj(?). Другими словами, если на вход ЛДС подается сигнал N N Z(f) — (?), то на ее выходе будет сигнал х(?) = X х(- (?) , где N - ко- i=l i=l личество компонентов, на которые раскладывается входной сигнал ?(?). Для частного случая, когда входной сигнал имеет вид Z(?) = Zj(?) + Z2(?), выходной сигнал вычисляется по формуле: л, (?) = X) (?) + х2 (О • Определим эффекты, создаваемые каждым из двух экспоненциальных воздействий, на которые разложен исходный входной сигнал. Для ЛДС справедливо следующее правило: реакцию системы на входное воздействие можно вычислить путем умножения этого сигнала па функцию параметров системы: x,(?) = Zi(?)W, где W - некоторая функция параметров системы. Например, для радио- электронной системы функция И? зависит от номиналов резисторов, кон- денсаторов, индуктивностей, составляющих данную систему. При этом для стационарной системы W не является функцией времени (W * W(f)). 31
2 Продифференцируем т раз входной сигнал Zj(f) = — e+7<”f и п раз 2 выходной сигнал x^t) =—e+j(OtW , в результате получим: Z, (О = |(./Ы)г+7<'’'; *1 (О = ^-(ja)e+JmtW; Z, (О = |( jco)2e+7“r; х, (t) = ^ju)2e+jw,W-, z,'"'’ (,) = | (./«)'''Z7™; x[n\t) = ^(jti)ne+j(MW. После подстановки выражений для входного и выходного сигналов и их производных в дифференциальное уравнение (1.11) получим: U,(./«)" +а,|_1(./ю)""' + ... + a2(j(O)2 +«1(j(o) + a0]|Z7“' W = - К(./«>)'" + bm_t (,/со)"'-1 +... + Ь2(./(0)2 + Ь{ (J®) + Ьо ]у e+J<"‘. Откуда W = W( jaS) = b'»^m +fcm-10’to)m~1 +- + fc2(j'C0)2 +bi(j(£j) + bn atl(j(£))n +a,i_1(/w)'i“l +... + a2(/co)2 +a](/co) + ao причем для реальных динамических систем т < п. Если в числителе и знаменателе раскрыть скобки, то получим: С(и)+ уО(<0) где A((d)=b0 -b2(O2 +b4(£>4-Ь6(йв + ...; Z?(®) = fe1CO-Z?3CO3+fe5co5...; C(to) = n0 — а2(й2 +a4(£i4 -a6co6 4-...;D(co) = n1(O—а3(03 +а5(О5..., причем А(СО) и С(Ю) - четные функции; В((й) и О((D) - нечетные. 32
IV(/CO) носит название амплитудно-фазовой частотной характери- стики или просто амплитудно-фазовой характеристики (АФХ), иногда ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ). Непра- вильно называть W(/CO) передаточной функцией, так как данный тер- мин закреплен в ТАУ за другим важным понятием. С целью упрощения записи формул введем обозначения: А = Л (со) ; В = В(со); С = С(со); D = О(со). Тогда имеем: C + jD (C + jD)(C-jD) AC + BD .ВС —AD /Ф(о>) = T Y = t/((0) +./V(co) = H (co)e7W“J, С2 + Г>2 C2+Z)2 i де U(to) = Re[lV( /co)] - вещественная частотная характеристика ЛДС; V (со) = ImflV (/СО)] * мнимая частотная характеристика. Функция U (со) является четной в силу того, что и (-со) = Rc[vV (-./со)] = Re[W (/со)]=U (со). Здесь используются следующие соотношения: • произведение двух четных функций является четной функцией; • произведение двух нечетных функций является четной функцией; • произведение нечетной и четной функции дает нечетную функцию. Функция V(со) - нечетная, так как V(-co) = Im[lV(- /со)]=—Im[l¥( /со)]= -V(co). В полярных координатах на комплексной плоскости АФХ имеет: W(./CO) = Н(С0)е7<р(ю). Величина Н (со) называется амплитудно-частотной характеристи- кой (АЧХ) и определяется по формуле: Н(СО) = -Jt/2(CO) + V2(C0) . Так как Н (со) = Н(—со), то АЧХ является четной. 33
Функция ср(со) называется фазово-частотной характеристикой У(со) (ФЧХ) динамической системы. При этом <p(C0) = arctg------------. если [/(со) U(СО) > 0 (первый и четвертый квадранты). Формулы для вычисления <р(СО) для различных квадрантов представлены на рис. 1.18. JV(ro) А II I <р(со) = K + arctg[V(co)/[/(co)| О <р(со) =—л + arc tg f V( coj/l? (co)] III cpfco) = arctg[V(co)/(/(co)] --------------------------------- [/(co) cp(co) = arctg[V(co)/[/(co)] IV Puc. 1.18. К определению ФЧХ в зависимости от номера квадранта Функция ср(со) является нечетной, так как ф(со) = —ср(—СО) . На комплексной плоскости АФХ определяет вектор, модуль кото- рого равен Н(со), а аргумент ф(со) - угол, образованный этим векто- Рис. 1.19 Г одограф динамической системы ром с действительной положитель- ной полуосью. Кривая, которую прочерчивает конец вектора W( /CO) при измене- нии со от 0 до +°° (иногда от до ч-оо), называется годографом, или АФХ системы (рис. 1.19). Ранее было показано, что веще- ственная частотная характеристика является четной функцией, а мнимая частотная характеристика - нечетной функцией частоты. В силу этого 34
i одограф, построенный для положительных значений СО, является зер- кальным отображением годографа, построенного для отрицательных шачений СО. Таким образом, ЛДС могут представлять пять частотных харак- теристик, между которыми существуют следующие очевидные зави- симости: 1) АФХ или КЧХ Ж(усо) = Я(со)е/<()(со) = U (со) + jV (со) ; 2) вещественная частотная характеристика U(со) = //(со)cosф(со); 3) мнимая частотная характеристика V(CO) = //(СО)sinф(СО) ; 4) АЧХ Н(СО) = |W(JCO)| = 7^2(W) + V2(CO) ; 5) ФЧХ Ф(со) = argW (/со) = arg при U (со) > 0. //(со) Частотные свойства ЛДС будут полностью определены, если из- вестна функция И7(/СО) или соответствующие пары характеристик: (/(СО), R(co) или //(со), ф(со). Наиболее часто используются АФХ, а также АЧХ и ФЧХ, так как ни характеристики имеют ярковыраженный физический смысл. Еще раз подчеркнем, что введенные частотные характеристики от- носятся к стационарной ЛДС и не зависят от времени. Зная, что W = V/( /Co) = Н (СО)еУЧ)(ю\ определим реакцию ЛДС на сигнал z(t) = ZcosСОС. Ранее было показано, что = Z] (/) + z2(О, причем . Вычислим соответствующие г,(0 = |<’7“ составляющие выходного сигнала Х](Г) и х2(/) линейной динамиче- ской системы: 35
x, (t) = Z| (t)W =~е^иН((й)е^ ; x2(t) = z.2(t)W = |е-у“#(-со)^(-ю) =^e-jatH(oS)e-^(a\ здесь учитывается, что H (—(£>) = //(<£>), cp(-<0) = -ф(К>) . Применив принцип суперпозиции, получим общий (суммарный) выходной сигнал линейной динамической системы: е № У<р«о) , ^-усос -у<р«о) x(t) = лу (t) + х2 (Z) = ZH (to)----—------------= y[cw+<p«o)] -y[<ot+q>(<o)] = ZH (co)----------—-----------= ZH (co) cos [co/ + cp(z)J. Можно сделать следующий вывод: если на вход ЛДС подать гар- монический сигнал определенной частоты и определенной амплитуды, то на выходе также получим гармонический сигнал той же частоты, но его амплитуда изменится в //(со) раз и выходной сигнал сдвинется по фазе на угол ср(со). Графики входного z(Z) и выходного x(t) сигналов представлены на рис. 1.20. Рис. 1.20. Изменение амплитуды и фазы выходного сигнала относительно входного сигнала при прохождении через линейную динамическую систему 36
1.7. Экспериментальное определение частотных характеристик линейной динамической системы Амплитудная и фазовая частотные характеристики ЛДС могут быть построены на основании экспериментальных данных. Если систе- ма устойчивая, то переходные процессы с течением времени затухают. I Гуэтому возможна постановка эксперимента по определению амплиту- ды и фазы колебаний в установившемся режиме на выходе системы в ывисимости от частоты входных сигналов. Для этого на вход исследуемой системы подают гармонический сигнал с постоянной амплитудой, фиксированными фазой и частотой, которую при проведении эксперимента можно изменять: Zj (f) = Asin[co^ + ф], i = 1,2,... п. Использование входных сигналов одной амплитуды снижает тру- доемкость эксперимента и облегчает интерпретацию полученных ре- зультатов. Для упрощения последующего изложения примем фазу ф входных колебаний равной нулю. При постоянной амплитуде и нулевой фазе входных сигналов ам- плитуда и фаза установившихся колебаний на выходе линейной систе- мы зависят только от частоты входных колебаний: (г) = Д (со,) sin[co,r + ф;(со,)], i = 1,2,... п. Будем последовательно увеличивать частоту входного сигнала со,-, начиная с нуля. Для каждого значения входной частоты со- можно на- блюдать амплитуду А,- и фазовый сдвиг ф( выходного сигнала. Найдем отношение амплитуд выходного и входного сигналов Д //((0, ) = —, а также сдвиг фазы выходного сигнала ф; относительно А входного в зависимости от частоты (0,-, i = 1,2,..л. А; Результаты расчетов — и ф; для каждой фиксированной частоты А (О; представим в виде табл. 1.1. 37
Таблица 1.1 Обработанные результаты эксперимента Д = const со| со. со„ л, А, А 2 А» д /1 И, Н2 нп ф(сц) ф| ср2 ф„ Табличные данные изобразим в виде графиков. Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного и сдвиг фаз между ними в зависи- мости от частоты представляют собой соответственно АЧХ и ФЧХ системы. Сначала по данным, зафиксированным в таблице, нанесем отдель- ные точки графиков. Затем точки соединим ломаными линиями. После чего осуществим аппроксимацию этих линий плавными кривыми. Для этого используем один из известных методов сглаживания, например метод наименьших квадратов, сплайны и т.д Полученные графики АЧХ и ФЧХ могут иметь вид, представленный на рис. 1.21. Рис. 1.21. Графическое представление результатов эксперимента 38
График АФХ (годограф) можно строить двумя способами (в прямоугольной или полярной системе координат), используя для этого соответственно пары частотных характеристик: Н ((>)), ф((0) либо U(СО), (z(ro). В на- шем случае удобнее воспользо- ваться Н((0), ф(со). График ЛФХ системы показан на Рис. 1.22. График АФХ системы рис. 1.22, причем угол ф(СО,-) показан отрицательным, так как в реаль- ных системах вынужденные колебания имеют отставание по фазе отно- сительно задающих воздействий. 1.8. Передаточная функция линейной динамической системы и ее свойства Поведение линейной динамической системы можно описать юдующим дифференциальным уравнением: +... + а2х(0 + + аол(7) = Найдем преобразование Лапласа для обеих частей уравнения при пулевых начальных условиях: [ansn + ... + a2s2 + a^s + а0]Х(5) = = [bnism + bm_}stjn~l> +... + b2s2 + b{s + b0]Z(s), где X(s) - преобразование Лапласа выходного сигнала системы; Z(s) преобразование Лапласа входного сигнала. ц/(5) = Х(Х) = bmsm + bm_is(m~l} + ... + b2s2 +b{s + b0 Z(s) ansn + +... + a2s2 + a{s + a0 39
Определение. Передаточной функцией ЛДС называется отношение преобразования Лапласа выходной величины системы к преобразова- нию Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях. Следует отметить, что при ненулевых начальных условиях переда- точная функция не является исчерпывающей характеристикой ЛДС. В этом случае по ней нельзя восстановить дифференциальное уравнение системы и получить описание протекающих в ней процессов при произ- вольных начальных значениях. Рассмотрим основные свойства передаточной функции ЛДС. 1. Передаточная функция ЛДС представляет собой дробно-рацио- нальную функцию, причем в реальной системе порядок числителя не превышает порядок знаменателя, т.е. т < п . Это условие называется условием физической реализуемости системы. Оно означает, что нельзя создать систему, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию. Таким образом, степень полинома знаменателя переда- точной функции определяет порядок системы. 2. В реальной ЛДС коэффициенты передаточной функции и Ь, отражают свойства ее параметров и поэтому являются вещественными величинами. 3. Корни полинома числителя передаточной функции называются нулями, а корни полинома знаменателя - полюсами. Если передаточная функция имеет комплексные нули или полюсы, то они являются ком- Рис.1.23. Графическое представление корней передаточной функции на ком- плексной плоскости: х - полюсы; о - нули плексно-сопряженными. Дейст- вительно, так как коэффициен- ты Gj и bj передаточной функ- ции вещественные числа, то невещественные нули и полюсы могут быть только комплексно- сопряженными величинами. 4. При анализе динамиче- ских систем нули и полюсы (их называют особенностями пере- даточной функции) удобно изо- бражать точками на комплекс- ной плоскости s (рис. 1.23). Если полюсы передаточ- ной функции расположены в левой части комплексной плос- 40
кости (как показано на рис. 1.23), то это свидетельствует об устойчиво- сти системы. Если передаточная функция системы не содержит особенностей (пулей и полюсов) в правой части комплексной плоскости, то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неми- нимально-фазовой. Рассмотрим связь передаточной функции линейной динамической системы с ее АФХ. Для формального перехода от передаточной функ- ции W(.y) к АФХ производят замену .у на /СО, соответствующая заме- на справедлива и для обратного перехода. Х+ ... + fe2(./co)2 + ^(./со) + b0 IV ( /СО) =----=--------------------тт---------------z-------------» Z(./co) ал(/со)"+а„_1(/ЮГ" и + ...+а2(/со) +а1(./со) + а0 причем т< п . Можно дать трактовку W(/co), отличную от приведенной выше. 11редставим передаточную функцию в виде отношения двух преобразо- ваний Лапласа: оо Г x(t)e~stdt W(s) = ^ = -9-------------. v ' г-( \ 00 \z.(t)e~stdt о Произведем замену 5 = /со, в результате получим: J x{t~)ejVlldt W(ja)=^^=----------------------- О Интегралы в числителе и знаменателе последней формулы пред- ставляют односторонние изображения по Фурье выходного и входного Сигналов, которые являются частным случаем преобразования Лапласа при .у = /со. Таким образом, АФХ - это отношение изображений выходного и входного сигналов по Фурье. Подчеркнем, что в отличие от АФХ переда- I очная функция существует и для неустойчивых систем. Действительно, и "реходной процесс в неустойчивых звеньях представляется функцией ви- ла е"' при а > 1, для которой не выполняется условие абсолютной интегри- руемости и, следовательно не применимо преобразование Фурье. 41
Глава 2. Математические модели типовых звеньев автоматических систем 2.1. Общая характеристика типовых звеньев и их классификация Динамическая система состоит из динамических элементов. Дина- мический элемент - это устройство любого физического вида (механи- ческого, электрического, электромеханического и т.д.) и конструктив- ного оформления (блок, модуль, плата и т.д.)? описываемое определенным дифференциальным уравнением. Динамические элементы, встречающиеся на практике, чрезвычайно многообразны, а структуры, построенные на их основе, сложны. Это вынуждает при исследовании разделять систему на отдельные звенья и в дальнейшем изучать свойства системы по совокупности свойств звеньев. Так как ТАУ изучает динамические свойства систем, то деком- позицию систем на звенья следует проводить по их динамическим при- знакам, т.е. по виду дифференциальных уравнений. Часть САУ, которая обладает определенными динамическими свойствами, называется звеном. Любая часть САУ может быть рассмот- рена как некоторое звено, преобразующее входной сигнал в выходной. Например, если в качестве звена рассматривается объект регулирова- ния, то входными сигналами являются управляющие воздействия и внешние возмущения, а выходными - регулируемые величины. Звено принято изображать в виде прямоугольника, внутри которого записыва- ется его передаточная функция (рис.2.1). Звенья, у которых сигналы (воздействия) передаются только в од- ном направлении - со входа на выход, - называются звеньями направ- ленного действия. Звенья, у которых сигналы передаются в обоих на- Рис.2.1. Звено САУ с передаточ- ной функцией W(s) правлениях, называются звеньями ненаправленного действия. Примером звеньев ненаправленного действия может служить длинная линия, в кото- рой, как известно из курса физики, на- блюдается отражение входных сигна- лов. 42
Направление передачи сигнала в g(f) пене обычно указывается стрелками у входных и выходных величин или со- ответствующим знаком внутри прямо- угольника (рис.2.2). Отличительная особенность звеньев направленного действия заключается в л(0 Рис.2.2. Звено направленного действия том, что при соединении они не оказывают влияния друг на друга, сохраняя i пои прежние свойства. Реальные динамические системы состоят из многих устройств, причем передаточная функция каждого из них может иметь высокий порядок. Следовательно, передаточная функция всей системы будет иметь еще более высокий порядок. Расчет таких систем с помощью обычных методов теории дифференциальных уравнений весьма сложен. Поэтому передаточную функцию сложной динамической системы же- лательно представить в виде произведения передаточных функций ти- повых звеньев, характеристики которых не только весьма просты, но и хорошо исследованы. Под типовым звеном в ТАУ понимают элемент (или искусственно выделяемую часть автоматической системы), динамические процессы в иотором представляются дифференциальным уравнением не выше вто- рого порядка. Рассмотрим передаточную функцию стационарной линейной сис- 1емы, выраженной как отношение полиномов с действительными коэф- фициентами: wz , fe,n/”+fcm_ls(w ° + ... + b2s2 +blS + bo ’’ n (л-0 2 ’ ans +an_^s + ... + a2s + nrs+«o Найдем корни числителя и знаменателя и представим W (.$ ) в виде (22) Корни могут быть нулевыми, вещественными и комплексными по- парно-сопряженными. Для удобства дальнейшего использования сведения о количестве корней различного вида IV(.s) представим в виде табл.2.1. 43
Таблица 2.1 Корни передаточной функции W(.v) Передаточная функция VV(i') Количество корней Общее ко- личество корней "нулевых" вещест- венных комплекс- ных Числитель Q г g m Знаменатель 1 к и п Приведем передаточную функцию IV(.v) к стандартной форме за- писи, для чего предварительно рассмотрим форму записи множитёлей, соответствующих различным типам корней. Каждый нулевой корень дает дополнительный множитель а в числи- теле и знаменателе VK(.v). Применительно к табл.2.1 имеем множитель s' sv В реальных системах / > g , поэтому v = I - q > 0, где V - поря- док астатизма, как правило, V < 3. Приняты следующие названия сис- тем в зависимости от значения V : при v = 0 система статическая; при v = 1 система астатическая первого порядка; при V — 2 система астати- ческая второго порядка и т.д. Вещественному корню ос,- (обоих знаков) в числителе передаточ- ной функции соответствует запись: (.s- d,-) = (.s±oc,.) = oc,(— ,s±l) =—(7}s±l), а,- Т/ где 7} — 1 / а,- - постоянная времени. Таким образом, каждый действи- тельный корень дает линейный двучлен относительно переменной а. Аналогичное утверждение имеет место для вещественных корней X,- в знаменателе передаточной функции: (s-X,.) = -L(7fs±l). Т; 44
Рассмотрим пару комплексно-сопряженных корней числителя. Каж- дая пара комплексно-сопряженных корней образует квадратный трех- член с действительными коэффициентами относительно л: (.s - dj )(л- - dM ) = [л + (а, + Д )] [.s ± (а,- - jfy )] = = s2 ± 20С,-5 + (ос,-2 + Р,-2) = t- ai где Qi =—7====== - декремент затухания (иногда его называют от- / 2 । о 2 д/а,- +р,- посительный декремент затухания); т,- =—, = - постоянная вре- / 2 . о 2 мени. Аналогичные выкладки можно воспроизвести и для пары ком- плексно-сопряженных корней знаменателя. Окончательно передаточная функция W (.$) (с учетом количества корней разного типа в числителе и знаменателе) примет следующий вид: с г к/2 П*, • ШТ}* ± О • ПС1/* + +1) W(s) = . к и/2 о 5v n(^±l)-n(< s2±2$<s + l) /=1 1=1 При этом общее количество постоянных коэффициентов определяется общим количеством вещественных корней и пар комплексно- сопряженных корней числителя и знаменателя IV(.s) и составляет: C—2+r+k+g/2+u/2. Первое слагаемое, равное двум соответст- вует коэффициентам ап и Ьт из выражения (2.2). Из анализа W (s) следует, что в зависимости от значения (наличия пни отсутствия) тех или иных коэффициентов а,- или £>,- в выражении передаточной функции W(.s) существует 11 типов звеньев. 45
Рассмотрим их передаточные функции более подробно. 1. W(s) — k- безынерционное (усилительное, пропорциональное) звено. 2. W(s') = ks - идеальное дифференцирующее звено (не сущест- вует, так как порядок полинома числителя передаточной функции больше порядка полинома ее знаменателя). 3. W(s) = k/s - идеальное интегрирующее звено. 4. W(s) = k(Ts +1) - дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее звено), самостоятельно не существует. к 5. IV (л) =-апериодическое (инерционное) звено. Ts +1 6. W(j) = A(T2.s2 + 2^7\ + 1) - дифференцирующее звено второго порядка (не существует, так как порядок полинома числителя переда- точной функции больше порядка полинома ее знаменателя). 7. W(s) = —=——-------колебательное звено. T2s2 + 2^75 + 1 Эти семь передаточных функций на практике встречаются наибо- лее часто. Они относятся к минимально-фазовым звеньям. Определение Звено называют минимально-фазовым, если все нули и полюсы его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части. Минимально-фазовые звенья отличаются минимальным отставани- ем по фазе при любом значении частоты относительно других звеньев, обладающих той же АЧХ. Определение. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет положитель- ную вещественную часть. Формальным признаком неминимально-фазового звена является появление знака в записи его передаточной функции. Если знак стоит и в знаменателе ГЦл), то звено является также неустойчивым. 8. VV(.v) = k(Ts — 1) - неминимально-фазовое дифференцирующее звено первого порядка. к 9. IV (л) =-неминимально-фазовое неустойчивое апериоди- Ts-] ческое звено. 46
10. IV(x) = к.(Г2з2 — 2E,7x + l) - неминимально-фазовое диффе- ренцирующее звено второго порядка. 11. W(x) = ——-——-----неминимально-фазовое неустойчивое T2s2-2f,Ts + l колебательное звено. Типовое звено однозначно находится по его дифференциальному уравнению или по передаточной функции и является звеном направлен- ного действия. Свойства звеньев в статике определяются статическими, п в динамике - временными и частотными характеристиками. Образно говоря, звенья - это "кирпичики", из которых состоят ав- юматические системы. Поэтому одной из задач ТАУ является изучение свойств и возможностей типовых звеньев. Если имеется сложная САУ, включающая несколько типовых звеньев с известными передаточными функциями, и необходимо найти ее /У (со) и ф(со), то можно воспользоваться следующим приемом. Представим 1Т(л) в виде совокупности передаточных функций типовых звеньев: т П^(5) W)=^—• IWgo k=l Перейдем от передаточной функции системы к ее АФХ путем за- мены 5 = /СО: т ПВДсо) . ГЖ*(./ф) к=1 Представим АФХ сложной системы и ее отдельных звеньев в по- лярной системе координат: П//< (со) ехр[1’ср( (со)] Н(со)ехр[гср(со)] = . ПЯДсо)-ехр[«р*(со)] Л=1 47
Отсюда легко получить формулы для представления АЧХ и ФЧХ сложной системы через АЧХ и ФЧХ типовых звеньев, ее составляющих: т Я(со) = -^1 ; к=\ (2.3) ср(со) = £ср,- (со) - £ср* (“)• (2.4) Пример. Найти АЧХ и ФЧХ системы с передаточной функцией W(s) = к Ts + \ Передаточную функцию данной системы можно представить в ви- де дроби, в числителе которой записана передаточная функция усили- тельного звена (s) = к , а в знаменателе - передаточная функция дифференцирующего звена первого порядка IV2 (.s) = Ts +1. Перейдем от передаточной функции системы к АФХ: = к /Тсо + 1 Воспользовавшись общими формулами (2.3) и (2.4) для вычисле- ния АЧХ и ФЧХ системы, соответственно получим: Я2(“) д/12 4-(СйТ)2 л/1 + со2Т2 ср(со) = cpj (со) - <р2 (®); ф(®) — arctg— - arctg-^ = -arctgcoT 48
2.2. Апериодическое звено В динамике апериодическое звено описывается следующим диф- ференциальным уравнением: fljx(f) + aGx(t) = bVlz(t), (2.5) где 6/], cIq , b() - константы. Покажем, что это дифференциальное уравне- ние соответствует передаточной функции апериодического звена, приве- денной в § 2.1. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент a, bQ и введем обозначения: 1 =—,/с =—. В результате получим: °0 ао Tx(t) + x(f) = kz(f). (2.6) Пусть на вход апериодического звена подается входное воздейст- вие, имеющее форму "ступеньки": О, f<0; 1, t>0. Тогда решение дифференциального уравнения (2.5) имеет следующий вид: г х(г) = Ц1-е т)- График функции x(t) показан на рис.2.3. Постоянной времени Т можно дать различное толкование: • Т равна времени, за которое выходная функция достигнет 0,632 от своего установившегося значения; • Т - это время, за которое выходная функция достигла бы ус- тановившегося значения, если бы изменялась с постоянной скоро- стью, равной скорости процесса в начальный момент времени. По- пому Т определяется отрезком времени, отсекаемым на линии ус- тановившегося значения, касатель- ной к графику x(t) при t = 0. Рис.2.3. Реакция апериодического звена на единичное ступенчатое воздействие 49
В общем случае, чем больше постоянная времени Т, тем длиннее переходной процесс. Теоретически время переходного процесса (время нарастания экспоненты) равно бесконечности. Практически за длитель- ность переходного процесса tn принимают время от начала процесса до момента, когда выходная величина достигнет 0,95 установившегося значения. В случае экспоненты гп ~ ЗТ. Преобразуем по Лапласу обе части дифференциального уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях: TsX(s) + X(s) = kZ(s); W(s)=^- = —^-. Z(s) Ts +1 Вывод: апериодическое звено имеет передаточную функцию к VV(.v) =-----. Такое звено физически осуществимо, так как степень по- Ts + 1 линома числителя (m = 0) меньше степени полинома знаменателя (п = 1). Апериодическим звеном может быть представлен двигатель посто- янного тока после линеаризации его дифференциального уравнения (см. § 1.5). Приведем другие примеры технических устройств, передаточные функции которых являются апериодическими звеньями. Пример 1.7?С-цепочка (рис.2.4): U (s\ = и buxW /? + — Cs 1 Cs Рис. 2.4. /?С-цепочка УУ ( Ю - ^ВЫХ^) _ 1 C/BX(s) RCs + \ Если сравнить полученное вы- ражение с общей формулой переда- точной функции апериодического звена, то получим к = 1, Т = RC. Пример 2. Гидротехническое уст- ройство (рис.2.5). Изменение давления жидкости в магистрали через поршень изменяет давление в резервуаре. Пример 3. Тело, погруженное в сосуд с жидкостью (рис.2.6). Тем- пература жидкости влияет на температуру тела. Перейдем к рассмотрению основных частотных характеристик апериодического звена. Заменив 5 на j(£>, получим АФХ апериодиче- ского звена: 50
Рис.2.5. Пример апериодического звена в гидротехнике Рис.2.6. Пример апериодического звена в теплотехнике W(jO) = X (Jg>) _ к Zijti) jTa+1 Выделим вещественную и мнимую части АФХ, для чего предвари- тельно избавимся от мнимой части в знаменателе: к _ к{\ —](йТ) _ к _ . к(£>Т ]Т<ь+1 ~ (l + j®T)(l-j®T) “ 1 + и2Т2 ~ 71 + Л2 ’ tZ(co) = к 1 + со2?’2 ’ У(®) = — к(Р>Т 1 + со2Т2’ Графики полученных функций показаны на рис.2.7. Представленные графики отличаются наглядностью, их сложно интерпретировать. Более ясный физический смысл апериодического звена отражают его АЧХ и ФЧХ: tf(CO) = 7t/2(a) + V2(ra); Н(а) = -=^--; V1 + (®Т)2 <р(со) = arctg-^y^-; <р(со) = -arctg(coT). 51
Рис.2.7 Графики функций t/(co) и У(ю) апериодического звена Рис.2.8. График АЧХ апериодического звена (рис.2.8). Из АЧХ апериодиче- Построим график функции//(со) ского звена видно, что: • колебания низких частот |и| «1/Т пропускаются хорошо; • колебания высоких частот |со| » 1/Т пропускаются с сильным ослаблением амплитуды, причем с увеличением модуля частоты усиле- ние амплитуды падает. Можно сделать вывод, что апериодическое звено - это фильтр низ- ких частот. Оно хорошо пропускает низкие частоты и плохо - высокие. Коэффициент усиления апериодического звена в динамике всегда меньше статического коэффициента к. Следует иметь в виду, что каждое динамическое звено характери- зуется определенной полосой пропускания частот. Как известно из курса радиоэлектроники, ширина полосы пропускания обратно пропорцио- нальна Т. Для апериодического звена полоса пропускания отсчитывает- к ся по уровню —-j= и вычисляется по формуле 0)п = \/Т (см. рис.2.8). V2 Существует общее правило для звеньев и систем: чем шире на АЧХ полоса пропускания, тем быстрее затухает переходный процесс. Построим график ФЧХ апериодического звена <р = (р(со) = —arctgcoT при -оо < со< +оо (рис.2.9). 52
I‘itc.2.9. График ФЧХ апериодиче- Рис.2.10. Зависимость амплитуды сигна- ского звена при < со < +~ ла апериодического звена от частоты для различных значений постоянных времени Т ФЧХ показывает, что апериодическое звено обладает инерционно- гп.ю, его выходной сигнал отстает по фазе от входного сигнала, причем но отставание возрастает с увеличением частоты СО. Часто на практике передаточная функция или дифференциальное уравнение звена неизвестны, однако можно экспериментально опреде- лись их АЧХ и ФЧХ. Тогда, если последние будут похожи на типовые характеристики апериодического звена, рассмотренные выше, то можно у 1 нерж дать, что исследуемое звено также является апериодическим. При этом по характерным точкам снятых АЧХ и ФЧХ можно опреде- ли 1ь коэффициенты к и Т (см. рис.2.7 и 2.8) и по ним построить переда- 1очную функцию или записать дифференциальное уравнение звена. Анализ АЧХ и ФЧХ двух апериодических звеньев с различными постоянными времени (рис.2.10 и 2.11) приводит к следующему выво- ду: апериодическое звено с большей постоянной времени (Т2>7)) сильнее ослабляет амплитуду входного сигнала, а его ФЧХ асимптоти- чески ближе на высоких частотах к -90°, чем звено с меньшей постоян- ной времени. Следует заметить, что, определив по графику АЧХ постоянную времени Т , можно судить о длительности переходного процесса Тп Ра- псе было показано, что - ЗТ. Построим график АФХ апериодического звена. Это можно сделать по точкам, однако для апериодического звена легко получить уравнение ЛФХ. 53
Рис.2.11. Зависимость фазы сигнала апериодического звена от частоты для различных значений постоянных времени Т Легко убедиться в том, что выражения ГГ/ Ч TZZ ч ~ к(ОТ U(w) =---—У(го)=-------— 1 + го2Т2 1 + ю2Т2 удовлетворяют уравнению окружности [t/(co) - к / 2]2 + [V(ro)]2 = (к / 2)2, причем центр окружности находится в точке (к!Т, 0). Действительно, возведем в квадрат U(го) и V(го) и сложим полу- ченные выражения: [С7(го)]2 +[У(ю)] 2 к2 + (-каП )2 (1 + го2Т2)2 к2 _ !< ] + го2Т2 1 + ю2Т2 = Ш(со). 54
Перенесем kU(СО) в левую часть равенства. Добавим (к / 2)2 в новую и правую части полученного соотношения. Выполним соответст- вующие преобразования: [((7(со))2 - 2 - к/2 (/(со) + (к/2)2] + [V(co)J2 = (к/2)2. Окончательно получим: [t/(co) —(&/2)]2+[V(co)]2 =[&/2]2, т.е. ЛФХ апериодического звена при изменении частоты +<» > со > — представляет окружность радиуса к/2 с центром в точке (к/2, 0). При изменении частоты со от 0 до °° (V(co)<0) годографом дв- инется полуокружность, расположенная в четвертом квадранте, причем П(<о = у) = А:/2, У(щ = 1) = -А:/2. Годограф для положительных частот может быть дополнен своим Зеркальным отражением для отрицательных частот. В результате полная ЛФХ будет иметь вид окружности (рис.2.12). Вид АФХ апериодическо- го звена не зависит от постоянной времени Т. При к = const и различных значениях Т годограф представляет со- бой одну и т^ же окружность, каждой точке которой (кроме со = 0 и со _> оо) соответствуют различные значения частот в зависимости от величины времени Т. Указанная особенность вызывает сложности при практическом использовании АФХ. Пусть апериодическое звено имеет параметры к = кх Т - Т\ и неко- торой точке А его годографа соответствует определенная частота со( (рис.2.13). Допустим, что изменился только один параметр системы - постоянная времени (Т2 > Т(). При этом годограф сохраняет свою фор- Рис.2.13. К вопросу определения на годографе новой точки В, которая соответствует прежней частоте Гис.2.12. Годограф апериодического звена 55
му, так как к = const. Спрашивается, как найти на годографе новую точ- ку В, которая соответствует прежней частоте сор Нахождение новой точки годографа, соответствующей прежней час- тоте сй|, затруднено. Требуется провести дополнительные вычисления. Таким образом, использование АФХ при анализе и синтезе систем во многих случаях вызывает определенные сложности. 2.3. Логарифмические частотные характеристики. Методика построения асимптотических ЛЧХ на примере апериодического звена При исследовании САУ амплитудную и фазовую частотные харак- теристики удобно строить в логарифмических координатах. Во-первых, в логарифмическом масштабе на бланке определенного размера можно рассмотреть больший диапазон частот, при этом участок малых частот растягивается, а участок больших частот сужается, что позволяет более наглядно изучать частотные свойства САУ. Во-вторых, АЧХ в обычном масштабе являются кривыми линиями, а соответствующие логарифмические АЧХ можно приближенно заме- нить ломаными линиями (асимптотами), в результате упрощается их построение. В-третьих, упрощается построение логарифмических АЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев. АЧХ системы, включающей це- почку звеньев, равно произведению АЧХ составляющих ее звеньев: Н=^- или Н = , А Ai А2 “ где А, (1 < i < п) - амплитуда колебаний на входе z-ro звена системы; w — ^+1 ' А Для практических целей удобнее пользоваться десятичными лога- п рифмами. Если прологарифмировать обе части равенства Н = Н i , i=l п то получим lg7/ = ^lgjF/( . Следовательно, в логарифмическом мас- 1=1 штабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев. 56
Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) разомкнутой системы называют кривую, соответствующую 20 десятич- ным логарифмам модуля передаточной функции разомкнутой системы, построенной в логарифмическом масштабе частот. Величина 201g/7 обозначается Lm(bS) или простоLm. Окончательно в развернутой форме имеем: Lm — Lm (со) = 201g|jy(jco)| = 201g//(co). ЛАЧХ строится в логарифмических координатах в виде зависимо- сти 201g// от lg(co). Логарифмической фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ) ра- зомкнутой системы называют фазово-частотную характеристику ср(со), построенную в логарифмическом масштабе частот, т.е. в виде зависи- мости ср = cp[lg(co)]. ЛФЧХ строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде зависимости ср от lg(co), чтобы обе характеристики (амплитудная и фа- зовая) были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, поскольку фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получа- ется в виде суммы фазовых сдвигов отдельных ее звеньев. Рассмотрим координатные оси, в которых изображается ЛАЧХ (рис.2.14). По оси ординат ЛАЧХ откладываются значения логарифма мо- дуля передаточной функции //(со) = |1У(/со)|, выраженные в децибелах. Бел (Б) - это единица измерения десятичного логарифма коэффи- циента усиления мощности сигнала, т.е. 1 Б соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 Б - в 100 раз, 3 Б - в 1000 раз и т.д. Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, a lg//2 = 21g// , то усиление в белах, выраженное через отношение ам- £„;(со), дБ +40 -- +20 -- —2 -1 О I 2 3 1g со —i------------1-----------1-----------1-----------,----------1----£---- 0,01 о 0,1 1 10 100 1000 со, Гц -20 -- Рис.2.14. Разметка осей ЛАЧХ 57
плитуд Н, равно 21g//. Соответственно, в децибелах оно равно 201g// . Таким образом, для измерения величины 201g// используется децибел, равный одной десятой бела. Поясним введенные понятия на примере из электротехники. Уси- ление или затухание сигнала, выраженное в белах, рассчитывается по Р U U2 формуле lg— = 21g——,так как Pt =—— , где /р Р2 и Ц, U2 - зна- Р( U\ R' чения мощности и напряжения соответственно номинального и реаль- ного сигналов. Если усиление или затухание определяется числом к, то это соответствует 21g/c белам или 201g/c децибелам. Если отношение двух величин равно единице, то усиление (в дБ) равно нулю, так как lg(l) = 0. Это означает, что амплитуда выходных колебаний равна амплитуде входных колебаний. В случае, когда отно- шение двух величин меньше единицы, усиление в логарифмическом масштабе будет отрицательным. Отрицательное усиление означает ос- лабление сигнала или уменьшение амплитуды выходных колебаний по сравнению с амплитудой колебаний на входе. Существуют следующие соотношения между значениями //(со) и Lm : W(co) 0,01 0,1 0,32 0,89 1 1,12 3,16 10 100 Lm = 201g//((0), дБ -40 -20 -10 -1 0 1 10 20 40 Очевидно, что изменение отношения двух величин в 10 раз соот- ветствует изменению усиления (ослабления) на 20 дБ. Осью частот является ось абсцисс. На оси абсцисс непосредствен- но указываются значения Igco. Нередко на практике по оси абсцисс от- кладывают значения lg(со, / со0), где С00 - базовая частота, которую всегда можно принять равной единице. Иногда за со0 принимают час- тоту среза. Шкала оси lg(co, / со0) является равномерной. Для удобства использования на практике разметка оси абсцисс также производится и в значениях самой частоты со (см. рис.2.14) Заметим, что при использовании логарифмического масштаба точ- ка, соответствующая со = 0, находится слева в бесконечности, так как lg(0) —> — с» . Поэтому логарифмические характеристики строятся не от 58
нулевой частоты, а от любого значения (В, принятого за начальное, ко- юрое и откладывается в точке пересечения координатных осей. Если на оси абсцисс непосредственно указываются значения Igco, го единицей приращения Igco является декада (дек), соответствующая изменению частоты в 10 раз. Декада - отрезок по оси абсцисс между точками, соответствующими произвольному значению частоты со и ее удесятеренному значению. Все декады одинаковые. Разметку по оси абсцисс надо выполнять так, чтобы разместить на । рафике тот диапазон частот, в котором существенно изменяются час- тотные свойства системы. Обычно оба графика (ЛАЧХ и ЛФЧХ) строят в системе координат, на которой ось абсцисс имеет логарифмический масштаб, а оси ординат для 20lg//(m) и ср(со) - линейный. Построим ЛАЧХ апериодического звена. Чтобы наглядно предста- вить себе вид этой характеристики, найдем ее асимптоты, т.е. прямые, к которым она стремится при (В—и при (В—>0. Сначала определим лот арифм модуля передаточной функции: L,„ (св) = 20lg/7(св) = 201g . к = 20IgA: - 201gVl + <в2Т2 V1 + ki2T2 Если к = 1, то Д„(<в) = —201g-\/1 + (В2Т2. Рассмотрим два крайних случая: 1) для малых значений частот lim = 0, т.е. и—>oL низкочастотная асимптота совпадает с осью абсцисс; 2) для больших значений частот ((В—><») можно считать, что -201gVl + <в2Т"2 = -201g(BT Определим наклон высокочастотной асимптоты. Для этого рас- смотрим две частоты св = СВ| и св = 1 Осв( . Для данных частот имеем: Л»(®|) = -20|ё®17,; Lm (1 OcBj) = -20 lg(l Осв,Т) = -201g mJ - 20; = Lm G 0(B)) - Lm (CBj) - -20. 59
Таким образом, если частота увеличивается в 10 раз, то значение Д„(со) уменьшается на 20 дБ. Следовательно, изменение усиления, приходящееся на одну декаду, будет равно _ ДДЮсй!) - £,„(»!) _ - 20дБ —— ------------------------ —-----= -20 дЬ/дек. 1 дек 1 дек 1 дек Высокочастотная асимптота апериодического звена представляет со- бой прямую линию с наклоном -20 дБ/дек. Определим сос - частоту перегиба ЛАЧХ, называемую сопрягающей частотой. Для этого найдем точку пересечения двух асимптот: графика = — 201g со 7" с Lm(o3) = 0 . Решив уравнение — 2OlgCoT = O, получим сос = 1 / Т. ЛАЧХ, составленную из отрезков аппроксимирующих прямых, бу- дем называть асимптотической характеристикой. Для построения асимпто- тической ЛАЧХ апериодического звена следует: 1) определить сопрягающую частоту СОс=1/Т и нанести точку, соответствующую этой частоте, на ось абсцисс; 2) по оси частот до сос провести низкочастотную асимптоту; 3) через точку С0с провести прямую линию под наклоном -20 дБ/дек (высокочастотную асимптоту); 4) при необходимости уточнить асимптотическую ЛАЧХ, исполь- зуя шаблоны поправок для апериодического звена. Разность координат точной и асимптотической ЛАЧХ называется погрешностью аппроксимации. Оценим ее величину для апериодиче- ского звена. Максимальное отклонение реальной ЛАЧХ от асимптоти- ческой наблюдается в точке С0с =1/Т. Его величина может быть вы- числена следующим образом: Lra(coc) = -201g 1 + -?- • Г2 = -20lgT2 = -101g 2 = -3 дБ. V Т2 Следовательно, если в инженерных расчетах точную ЛАЧХ заме- няют приближенной (асимптотической), то максимальное отклонение не превышает -3 дБ. 60
Отклонение Д/ асимптотических ЛАЧХ от реальных уменьшается но мере удаления частоты СО от сос (уменьшения отношения со/сос) следующим образом: |С0/ €0j 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 AZ -3,010 -2,148 -1,335 -0,645 -0,170 -0,043 Рис.2.15. Шаблон поправок для асимпто- тических ЛАЧХ апериодического звена для двух апериодических звеньев: Используя приведенные данные, можно изготовить шаблон попра- вок (рис.2.15) для уточнения асимптотических ЛАЧХ. Шаблон выреза- г1ся из плексигласа (картона) и швиционируется на графике .к имптотической ЛАЧХ посред- ством дополнительных вырезов. С целью сокращения трудо- ыграт при выполнении графиче- ских работ и их упрощения ис- пользуется один и тот же масштаб как для построения ЛАЧХ апериодического звена, ык и для поправок к нему. Пример I. Построим ЛАЧХ aj Г| =10 с; б) Г2 = 100 с, причем в обоих случаях к = 1. Графики ЛАЧХ представлены на рис.2.16. Реальная ЛАЧХ получена путем сложения асимптотической ЛАЧХ с графиком поправок, построенным с помощью шаблона. Рис.2.16. Графики ЛАЧХ апериодических звеньев с различными значениями Т (То > 7)) 61
При увеличении частоты значение амплитуды выходного сигнала падает тем сильнее, чем больше значение постоянной времени Т, харак- теризующей инерционность звена. Пусть на входе апериодического звена действуют помехи, и они не попадают в полосу пропускания, т.е. > о>с = 1/7. Тогда, чем выше частота помехи, тем сильнее она ослабляется. Причем вредные воздей- ствия на конкретной частоте о>(- будут ослабляться сильнее тем звеном, постоянная времени которого больше; в данном случае звеном с посто- янной времени Т2 . Если к Ф1 , то ЛАЧХ перемещается параллельно самой себе вверх (к > 1) или вниз (к < 1) на величину 201 g/c (рис.2.17). При этом говорят, что апериодическое звено имеет при к = 1 "нулевое" усиление, к > 1 - усиление, к < I - ослабление входного сигнала. Рис.2.17. Графики ЛАЧХ апериодических звеньев с различными значениями коэффициента усиления к 62
Пример 2. Построим ЛФЧХ апериодического звена (рис.2.18). Характерные особенности ЛФЧХ апериодического звена: 1) lim [-arctg(cor)] = 0, lim [-arctg(cof)] = -л/2 ; (0—>0 СО—»СЮ 2) на сопрягающей частоте Ofc = 1 / Т сдвиг по фазе ср = -45°, так как cp(ccfe) = -arctg(cor) = -arctgl =-45°; 3) симметрична относительно точки (щ, -л / 4). Сопоставив рис.2.17 и 2.18 можно утверждать, что для низкочас- ютных сигналов в первую очередь следует учитывать фазовые искаже- ния, которые проявляются значительно раньше, чем амплитудные. 2.4. Дифференцирующее звено первого порядка Операцию дифференцирования при помощи технических средств идеально осуществить невозможно, ее выполняют с той или иной сте- пенью приближения, обусловленной инерционностью технических средств. Дифференцирующее звено первого порядка описывается следую- щим дифференциальным уравнением: я0х(г) = ^г'(О+^(0- 63
Определим выходной сигнал: x(t) = — [^-z'(O + z(O]. «о ьо Приведем выражение для выходного сигнала x(f) к стандарт- ной форме. Введем обозначения: к = Ьо / а() - коэффициент передачи; Т = bi / h0 - постоянная времени звена. В результате получим: x(t) = /c(tz'(Z) + z(/)). (2.7) Выходная величина дифференцирующего звена первого порядка имеет две составляющие: первая пропорциональна производной от входной величины; вторая пропорциональна самой входной величине. Благодаря этому дифференцирующее звено первого порядка хорошо передает быстрые изменения входного сигнала. Такое звено часто включают в автоматическую систему в качестве корректирующего уст- ройства для улучшения процесса регулирования. Преобразуем по Лапласу обе части дифференциального уравнения (2.7) при нулевых начальных условиях: X (.у) = k(rsZ(s) + Z(sJ). Найдем передаточную функцию дифференцирующего звена перво- го порядка: W(5)=^l> W(s) = £(l3 + 1). Z(^) Она имеет один нуль в точке 5 = —-. т Перейдем к изучению частотных характеристик. АФХ дифферен- цирующего звена первого порядка имеет вид: W(jCO) = A(TjCO + l). Вещественная и мнимая составляющие W(jco) равны <7(со) = Л; V(oS) = ki(O. Действительная часть АФХ не зависит от частоты, а мнимая часть зависит от частоты по линейному закону. Их графики для положитель- ных значений частот представлены на рис.2.19. 64
I‘uc.2.19. Графики функций Г/(<о) и V(ro) Рис.2.20. Годограф дифференци- дифференцирующего звена первого рующего звена первого порядка порядка (со > 0) Построим годограф дифференцирующего звена первого порядка для положительных частот. Если взять несколько различных значений частоты ГО,-, то всем им будет соответствовать одно и то же значение к на действительной оси и различные значения &ТГО, на мнимой оси. По- тому годограф представляет вертикальную линию, проходящую через точку с координатами (к, 0) (рис.2.20). Определим АЧХ и ФЧХ. Представим дифференцирующее звено первого порядка в виде последовательного соединения двух звеньев (усилительного звена VV[(.v) = A' и звена с передаточной функцией W2(a) = Ti’ + l ). По общему правилу (см. § 2.1) получим: Н (го) = к^1+т2(О2-, z ч 0 тго гр(со) = arctg— + arctg— = arctg(ror). к 1 Графики соответствующих зависимостей приведены на рис.2.21 и 2.22. Возрастающий характер АЧХ указывает на чувствительность диф- ференцирующего звена первого порядка к помехам (так же, как и иде- ального дифференцирующего звена). 65
Рис.2.21. График АЧХ дифференци- рующего звена первого порядка Рис.2.22. График ФЧХ дифференци- рующего звена первого порядка Из графика ФЧХ следует, что звено создает опережение по фазе, изменяющееся в пределах от ср = 0 при со=Одоср = тс/2 при со—><=°. При со = 1 / т имеем ср = тс / 4. Построим ЛЧХ дифференцирующего звена первого порядка (рис.2.23 и 2.24): Lm (со) = 201g Л + 201g Vl + coV Если к = 1, то Lm( со) =+201g-\/1 + (от Найдем низкочастотную и высокочастотную асимптоты: т->0 = 0; = 2Olgco7: Рис.2.23. Графики ЛАЧХ дифференцирующих звеньев первого порядка с различными значениями коэффициента усиления к 66
ср((о), рад Рис. 2.24. График ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка 11ричем частота среза С0с = — . На частоте С0с наблюдается наибольшая т погрешность аппроксимации, равная 3 дБ. Характерные особенности ЛФЧХ дифференцирующего звена пер- вого порядка: 1) lim [arctg(cof)]= 0, lim [arctg(tof)]= тс / 2; СО—>0 СО—»ОО 2) на сопрягающей частоте С0с = 1 / Т сдвиг по фазе составляет 45°. Из графиков, приведенных на рис.2.23 и 2.24, следует, что после частоты среза С0с дифференцирующее звено первого порядка усиливает входной сигнал. Выходной сигнал на всех частотах опережает по фазе входной сигнал. Данное звено физически не реализуемо, так как степень полинома числителя (m = 1) передаточной функции W(,v) больше степени поли- нома ее знаменателя (п = 0 ). С, В качестве дифференцирующего звена первого порядка на практике применяется ЛС-цепочка, изобра- женная на рис.2.25. Определим ее передаточную функцию и выясним условия, при которых она представ- ляет дифференцирующее звено пер- вого порядка. Рис.2.25. /?С-цепочка - пример реали- зации дифференцирующего звена первого порядка 67
Передаточная функция 7?С-цепочки: || / X _ ^2 00 _ ^2_________ ^2 (^1^ + 1) _ C7j(^) R 1 RlR2Cs + Rl+R2 R2 + lsC} Ri+~ 1 sC R2 R}Cs + l = (/?,+/?,) '"^2 Cj|1~ R{ +R2 Введем обозначения: к = ; Ti = RiC-, T2 = /?|/?2C или T2 = k7\. Ri + R2 R{+R2 В результате получим: /с 7> + 1 T2s +1' Звено с данной передаточной функцией называют реальным диф- ференцирующим звеном первого порядка. Если Т2«1, то справедливо соотношение IV(5) = k(7\s + l~) и реальное дифференцирующее звено может рассматриваться как диффе- ренцирующее звено первого порядка. Определим соотношение параметров цепочки для выполнения условия Т2«1. При фиксированных значениях С и R{ имеем Г] = RfC = const. Так как Т2=кТ1, то неравенство Т2«1 справедливо, если Ro к « 1 (-------« 1), т.е. при Ro « R,. Как известно, переходная функция звена определяется как его ре- акция на единичную ступенчатую функцию. Переходную функцию /г(Г) реального дифференцирующего звена первого порядка найдем на основании обратного преобразования Лапласа: 68
f- 1 , 7)л +1 5 T2S +1 h(t) = L~l —W(s) =Ul -к^ /_/<л — Т~ 1 1 5 Представим последнее выражение в квадратных скобках в виде двух дробей: , А в — к--------1-......... 5 T2S + 1 I 7^ + 1 5 T2S + 1 Сопоставив коэффициенты при одинаковых степенях .у в равенстве 7 j.v +1 = A(T2s + V) + Bs, получим: А = 1; В-Т{-Т2. Таким образом, h(t) = Lik 1 , Tt-T2 s T2s +1 T — T t = Л(1 + --1- -- exp(~—)). 12 72 При 7 = 0 h(t) = 1. Действительно, Л(0)==k^-=(—-------T--- T2 T2 \ + r2 (R^C/^ + R^ При 7 —> 00 Ti(7) = к =---------. 7?i + R2 График h(t) показан на рис.2.26. Так как к«1, то данная ^(’-цепочка ослабляет входной сигнал, Н после нее необходимо включать усилитель. Рис.2.26. График переходной функции 7?С-цепочки 2.5. Безынерционное звено Безынерционное звено воспроизводит входной сигнал без задерж- ки и изменения формы (возможно только изменение масштаба, т.е. уси- ление или ослабление входного сигнала). Другими словами, если вы- ходной сигнал пропорционален входному, то звено является безынерционным. В литературе его называют также пропорциональным или усилительным. 69
Уравнение безынерционного звена: a(x(f) - boz(f). Введем к - - коэффициент передачи звена, тогда x(t) — kz(f). Преобразуем уравнение по Лапласу при нулевых начальных усло- виях: X(s)=kZ(s). Передаточная функция звена: W)=^4 = /<- Z(5) АЧХ получим из передаточной функции, заменив 5 на /со: VK(jco) = Z(jco) Следовательно, U((i)) = k и У(со)=0 (рис.2.27). Г одограф безынерционного звена представляет собой точку на оси абсцисс с абсциссой к, положение которой не изменяется при измене- нии частоты со (рис.2.28). U (со), V (со) м к _________ V («) j L U (со) V (со) со О к О U (со) Рис.2.27. Графики функций С/(со) и У(со) безынерционного звена Рис.2.28. Годограф безынерционного звена Зная С7(со) = А;, У(со) = 0, можно определить что Н((£>) = к , ср(со) = 0; соответствующие графики показаны на рис.2.29 и 2.30. Постоянные значения АЧХ Н(ы) = к и ФЧХ ср(со) = 0 означают, что на всех частотах выходной сигнал всегда находится в фазе со вход- ным, а амплитуда выходного сигнала в к раз отличается от амплитуды входного. 70
к - Ср(СО)н 7Т/2 -- Рис. 2.29. График АЧХ безынерционного звена О --------------------------► со —Tt/2-- Рис.2.30. График ФЧХ безынерционного звена Логарифмические частотные характеристики безынерционного «вена определяются выражениями L (со) = 201g/c, ср(со) = arctg = arctg у = arctgO = 0. U(со) к Графики ЛАЧХ безынерционных звеньев с различными значения- ми к приведены на рис.2.31. График ЛФЧХ аналогичен графику, пред- с гавленному на рис.2.30. Рис.2.31. Графики ЛАЧХ безынерционных звеньев с различными значениями коэффициента усиления к Примерами безынерционных звеньев могут служить ненагружен- пый линейный потенциометр, электронный усилитель в определенном диапазоне частот, механический редуктор (рис.2.32). Реальные устройства обладают инерционными свойствами: элек- цюнный усилитель - запаздыванием, редукторы - люфтом (скручивани- ем валов), поэтому их можно считать безынерционными устройствами только в том случае, если можно пренебречь указанными факторами. 71
Для потенциометра и электронного усилителя {7ВЫХ- Швх Для редуктора гц = Атц, где Д1, Т|2 - угловая ско- рость входного и выход- ного вала соответственно Рис. 2.32 Примеры реализации безынерционных звеньев К безынерционному звену сводятся все звенья первого порядка, если можно пренебречь инерционностью, т.е. принять Т = 0. Это звено является Рис. 2.33. График АЧХ реального элек- тронного усилителя идеализацией реальных звеньев, так как в действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до °°. Реальные устройства харак- теризуются определенной полосой пропускания, в пределах которой они могут рассматриваться как безынерционные, например, АЧХ реального электронного усилителя показана на рис.2.33. 2.6. Интегрирующее звено Интегрирующим называется звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу от входного воздействия. Дифференциаль- ное уравнение интегрирующего звена имеет вид: a,A(Z)=Z20z(/); х(А) = kz(t), где к = — - коэффициент передачи звена. «1 72
В стандартной форме уравнение интегрирующего звена записыва- ется следующим образом: л(г) = kf z(t)dt. о Определим передаточную функцию интегрирующего звена: .sX(.v) = kZ(s); X(s) = k^--, s W(s) = ^- = -. Z(s) s Запишем выражение для АФХ: Ж( /со) =-(/t0) = — = Z( joS) jin ' co к Вещественная и мнимая части U (со) = О, V(со) =-, их графики со показаны на рис.2.34. Годограф интегрирующего звена расположен на отрицательной части мнимой оси (рис.2.35), причем lim IV (/со) = 0; lim W(/со) = -°о. о)—со—>0 Рис. 2.35. Годограф интегрирующего звена Гис.2.34. Графики функций С/(со) и Исо) интегрирующего звена 73
Частотные характеристики интегрирующего звена: Н(со)=-; со <р(со) = arctg = arctg(-oo), ср(со) = -90°. (7(со) АЧХ с ростом частоты убывает. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на всех частотах на величину 90° (рис.2.36 и 2.37). ЛАЧХ интегрирующего звена имеет вид Lm (со) = 201g к - 201g со и представлена на рис.2.38. Характерные точки: при со= 1 /.„,(!) = 201gA:, при со = к Lm(k) = Q. График ЛФЧХ аналогичен ФЧХ (см. рис.2.37). Рис.2.36. График АЧХ Рис.2.37. График ФЧХ интегрирующего звена интегрирующего звена 74
Приведем примеры реализации интегрирующих звеньев. Пример 1. В резервуар поступает поток жидкости со скоростью v (рис.2.39). Выходной величиной Н является уровень жидкости в резервуаре. ( корость H'(t) изменения уровня Н (выходного сигнала) пропорциональна нс личине входного сигнала, т.е. v. Пример 2. Интегрирующим зве- ном является устройство "золотник-гидроцилиндр" (гидравлический интегратор), приведенное на рис.2.40. Это устройство входит в состав пвтопилота, служащего для поддержания заданного режима полета ле- ь!Тельного аппарата. Рис. 2.39. Резервуар - пример реа- лизации интегрирующего звена в гидродинамике Рис.2.40. Гидравлический интегратор - пример реализации интегрирующего звена Входной величиной является смещение z(f) поршня гидравличе- ского клапана (золотника) относительно нейтрального положения, а вы- ходной - смещение л(/) поршня исполнительного цилиндра. Сигнал z(t) вызывает смещение поршня гидравлического клапана и, следовательно, возникает перепад давления масла в левой и правой частях гидроцилиндра и соответственно движение поршня x(t). 75
Так как р = const, то скорость перемещения поршня гидравличе- ского цилиндра пропорциональна степени открытия клапанов, t т.е. x(t) = /cz(t) или x(t) = kjz(t)dt. о 2.7. Идеальное дифференцирующее звено Выходной сигнал дифференцирующего звена пропорционален производной от входного сигнала. Дифференциальное уравнение диф- ференцирующего звена: aox(t) = btz(t); x(t) = kz{t), где k~h{ / «0. Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей дифференциаль- ного уравнения при нулевых начальных условиях и определим переда- точную функцию: X(x) = faZ(x): W(s) =-----= ks . Z(x) Заменив в передаточной функции 5 на /со, получим АФХ: W ( /СО) = к/Ы; /7(со) = 0; V(co) = jkao. Найдем частотные характеристики дифференцирующего звена: //(со) = к(О; ср(со) = argtg-^—-^ = arctg(+°°) = +л / 2 . //(со) Графики соответствующих функций показаны на рис.2.41 и 2.42. Годограф АФХ расположен на мнимой оси (рис.2.43). Для положи- тельных частот годограф совпадает с положительной частью мнимой полуоси: lim W(рл) = 00; lim W(j’co) = 0. оз—>cy-' оз—>0 76
ЛАЧХ дифференцирующего звена: Lm (со) = 20lg/cco = 20lg/c + 201gco. Таким образом, ЛАЧХ соответству- ет прямая линия с наклоном +20 дБ/дек. Определим характерные точки ЛАЧХ. При к = \ Lm(pi)=+2Q\g(a. Точка пересечения ЛАЧХ с осью час- тот находится из уравнения Lm (со) = 0 , 201gco = 0 откуда <ос = 1. Если к А1 , то из уравнения Lm (со) = 0 следует, что 2Olg(/<co) = 0 и Рис.2.41. Вещественная и мнимая части АФХ идеального диффе- ренцирующего звена для со > 0 Рис. 2.42. Графики АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена для со > 0 ЛФЧХ подобна ФЧХ и представ- ляет собой прямую линию, проведен- ную на уровне +л / 2. Идеальное дифференцирующее 1вено хорошо пропускает высокочас- тотные сигналы и плохо - низкочастот- ные, т.е. является фильтром высоких частот. В реальных условиях на вход дифференцирующего звена одновре- менно с полезным сигналом поступает помеха, которая, как правило, является высокочастотной. График ЛАЧХ имеет возрастающий характер, поэтому на Рис. 2.43. Годограф идеального дифференцирующего звена 77
выходе звена удельный вес помехи больше, чем полезного сигнала, что является недостатком применения этого звена в данной ситуации. Приведем примеры реализации дифференцирующего звена. Пример 1. 7?С-цепочка (рис.2.45) * W(s) = £г(£) K™L=JL T = RC + J_ flCs + l 7\ + 1 sC Этой передаточной функции со- --------- ----------1---- ответствует дифференциальное урав- гЧ нение Ц R и2 L^J Tu'2(t)+u2(t) = TU'i(t). Очевидно, что 7?С-цепочка не яв- Рис.2.45. /?С-цепочка-примерреа- ляется идеальным дифференцирую- лизации дифференцирующего звена щим звеном, однако при условии, что TU'2(f) « U2(t), можно считать, что U2(t) = TU{(t). Пример 2. В качестве дифференцирующего элемента в САУ наряду с электронными дифференциаторами часто используют тахогенераторы (тахометры) постоянного тока. Они представляют собой малогабарит- ные электрические генераторы постоянного тока, применяемые для из- мерения угловой скорости вращения валов различных машин и меха- низмов (рис.2.46). 78
Входной величиной тахоге- нератора является угол поворота якоря a(t). Выходная величина - напряжение Это напряже- ние линейно зависит от угловой скорости вала Q(f). Так как £l(t) = , то Clr(z) = dt тт , ч , da(f) = k£l(t), или £7.^ (Г) = к---. dt Рис.2.46. Тахогенератор - пример реа- лизации дифференцирующего звена Взяв преобразование Лапласа от обеих частей последнего равенст- ва при нулевых начальных условиях, получим: UTr (s') = ksa(.s)', W(s) = ^^- = ks. a(s) 2.8. Колебательное звено Колебательное звено является частным случаем звена второго по- рядка, динамика которого описывается дифференциальным уравнением a2x(t) + Я| x(t) + aGx(t) = boz(t) . Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей дифференциаль- ного уравнения при нулевых начальных условиях: а2Х (s) • s2 + atsX (s) + a0X(s) = b0Z(s); X(s) (a2s2 + a{s + a0) = boz(s). Следовательно, передаточная функция колебательного звена имеет вид: А--------. Z(j) a2s^ +а^ + а0 79
Во многих случаях (радиоэлектроника, электротехника, механика) бывает удобно использовать дифференциальное уравнение колебатель- ного звена в несколько ином виде: 7’2л(/) + 27^X0 + ХО = - Между двумя формами записи дифференциального уравнения су- ществует однозначное соответствие: Т = I— , Т - постоянная времени; 6Z[ £ 7=—, С, - относительный коэффициент затухания (коэф- 2-\1а0 а2 фициент демпфирования). В колебательном звене 0 < с, < I ; 7>0 к —-----коэффициент передачи. а0 Второй форме записи дифференциального уравнения колебатель- ного звена соответствует следующая передаточная функция: №(Л) = 2229 = —- к------- Z(.v) Т V + 2^7л + 1 Полюсами W(у’со) или корнями характеристического уравнения (2.8) 7’2.v2 + 2£,Тл+1 = О при ()<£,<! будут два комплексных числа: -2^Т±л/4^2Т2 -4Т2 -E,±Je,2—1 о Л1,2 =--------------------------= I --------------= -Р ± М (2.9) Т 27 2 где р - коэффициент, характеризующий скорость затухания колебаний - собствен- R £ е 1 звена, р = - = соо^; (00=у; (0, = (00 ная частота колебаний звена. Переходная функция звена (реакция системы на единичную сту- пенчатую функцию): 80
Й(Г) = 5 h(t) = E~' к 1 T2s2+2^,Ts + ls С учетом введенных обозначений h(t) = k(t) 1 — e ^(cosayn----sin ay) <D| Вид функции A(f) показан на рис.2.47. Рассмотрим частотные характеристики колебательного звена. АФХ колебательного звена: к W (j<jS) = -Т2(й2 + 2^7)0+1 _________к_________ (1-Т2(£>2) + 2^Ты’ U(СО) = Л(1 — со2Г2) (1-Т20)2)2 + (2^Тсо)2 -2кс,Т(й У(со) =------ ъ (1 —Т2со2)2 +(2£Гсо)2 Графики вещественной и мнимой частей АФХ колебательных звеньев с различным соотношением относительных коэффициентов за- тухания показаны на рис.2.48. На рис.2.49 представлено се- мейство кривых годографа АФХ колебательных звеньев при раз- личных значениях . Годограф при О) = 0 начинается на вещест- венной оси, так как W(0) — к, и с ростом частоты от о> = 0 до О) = оо последовательно проходит четвертый и третий квадранты. С уменьшением годограф расши- ряется ("разбухает"). н Рис.2.47. Переходная функция колебательного звена 81
Рис.2.48. Вещественная и мнимая части АФХ колебательных звеньев: I - звено с относительным коэффициентом затухания 2 - звено с относительным коэффициентом затухания Й1 < ^2) Рис.2.49. Годограф)ы колебательных звеньев при различных значениях отно- сительного коэффициента затухания Е,: 1 - звено с 2 - звено с Е,2 (£1 < ^2) АЧХ колебательного звена можно получить обычным обра- зом, но проще это сделать, рас- сматривая его передаточную функцию в виде дроби (см. § 2.1), в числителе которой записана пе- редаточная функция усилительного звена ( W] (s) = к ), а в знаменателе - передаточная функция дифферен- цирующего звена второго порядка (W2(s) = T2s2 +2^Ts+l\. н«о) = к -J(l-to2T2)2+(2^Tto)2 На частоте со0 —1/7" при £, = 0 колебания не затухают (рис.2.50). Колебательное звено, для которого ^ = 0, называют консервативным звеном. ФЧХ колебательного звена найдем путем вычитания из ФЧХ уси- лительного звена (ср|(и) ~0) ФЧХ дифференцирующего звена второго порядка. В результате получим следующие формулы: 82
, ч 2^Тсо I ср( со) =—arctg---—- при С0< —; 1-со2Т2 т 2ЕТа> 1 ср( со) = —л — arctg--—— при со> — ; 1-со2Т2 Т ср(со) = —л/2 при со — — . Колебательное звено вносит отри- цательный сдвиг фаз между входным и выходным сигналами в пределах от ср = 0 при СО = 0 до ср = —л при СО —> оо. При СО=СОО=1/Т независимо от Рис.2.50. График АЧХ колеба- тельного звена при различных значениях относительного ко- эффициента затухания: 1 - = 0,05; 2 - = 0,5; 3 - = 0,7 Ср(СОо) = -71/ 2. ЛАЧХ колебательного звена: Tm(co) = 201gH(rn); Lm (со) = 201g к ; д/(1-Т2С02)2+ (2^Тсо)2 Lm (со) = 201 g/c - 201gA/( 1 - Т2(£>2)2 + (2Е,Тсо)2. При к = 1 имеем Т„,(со) = -201g7(l - Т2а>2)2 + (2^Тсо)2. Определим низкочастотную и высокочастотную асимптоты ЛАЧХ. При малых значениях СО (СО —> 0) имеем: lim —201gV(1 - Т2(й2)2 + (2^7'со)2 = -201gl = 0. Следовательно, низкочастотная асимптота ЛАЧХ приближается к оси абсцисс. При больших значениях СО (СО —> °°) имеем: Lm (со) = -2Olg7(l-r2co2)2 + (2^Тсо)2 = -2Olg7(l-T2co2)2 = = -201g Т2(£)2 = -401g Тео. Поступив по аналогии с определением наклона ЛАЧХ апериодическо- го звена (см. § 2.2), найдем, что наклон высокочастотной асимптоты ЛАЧХ 83
колебательного звена составляет -40 дБ/дек. Точка пересечения низкочас- тотной и высокочастотной асимптот соответствует частоте С0с = 1 / Т . На этой частоте имеет место максимальное отклонение асимптотических ЛАЧХ от реальных. Его величина определяется по формуле ALm (со) = -2Olg7(l-T2co2)2 +(2^Тю)2 для £ = 1. При w=~7 имеем: Lm (со) = —201g-JО2 + (2 • 1 I)2 =-201g 2 = -6 дБ. В интервале частот вблизи С0с — ИТ ЛАЧХ колебательного звена не могут быть заменены прямолинейными асимптотами. Для уточнения асимптотических ЛАЧХ в окрестности частот, близких к частоте С0с =1/7", необходимо ввести поправки АЛ в зависимости от величины £,. Поправки для некоторых значений £, приведены в табл.2.2 и на рис.2.51. Таблица 2.2 Таблица поправок AL к асимптотическим ЛАЧХ колебательного звена £ оУсД) 0,1 0,3 0,6 0,8 1,0 0,1 0,086 0,800 3,726 8,091 13,979 0,3 0,071 0,653 2,683 4,437 4,437 0,6 0,024 0,188 0,325 -0,217 -1,584 0,8 -0,025 -0,247 -1,242 -2,475 -4,082 1 -0,086 -0,749 -2,671 -4,297 -6,021 Из графиков поправок видно, что скачок может быть вверх или вниз в зависимости от величины . Поэтому для уточнения асимптоти- ческих ЛАЧХ удобно применять комплект шаблонов, каждый из кото- рых изготовлен для постоянного значения Е,. ЛФЧХ колебательного звена подобна ее ФЧХ в обычном масшта- бе, но деформирована по оси частот. На частоте (0с = при Е, = 0 ЛФЧХ получает скачкообразное изменение фазы от 0 до 180° . Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ показаны на рис.2.52. 84
Рис.2.52. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях относительного коэффициента затухания 85
R L u2 Рис.2.53. RLC-контУГ - пример реа- лизации колебательного звена Колебательные звенья способны накапливать два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Процесс колебаний сопровождается переходом одной энергии в другую, и наоборот. Примерами колебательного зве- на могут служить: • металлический демпфер; • акселерометр (измеритель ускорения); • ЛСС-контур в радиотехнике (рис.2.53). Входным сигналом 7?£С-контура является напряжение Ul, выход- ной величиной - напряжение на конденсаторе U2. Если цепь не нагру- . du2 жена и ток в цепи dt) = С----, то в соответствии с законом Кирхгофа dt уравнение динамики контура: Ui = Ri(t) + L^- + U2. dt После несложных преобразований с учетом того, что i{t) =C^U—, dt получим: R C^- - dt , ~d2u „„du LC —-—f RC----F (/9 = (71. dt2 dt 2 1 Последнее уравнение после введения обозначений Т = yjLC ; — 0,5/?л/С / L приводится к стандартному виду: du + L— С^- +U2=Ul- dt dt dt T2^-+2t,T^.+U2=U,. dt dt Этому дифференциальному уравнению соответствует передаточ- ная функция (2.8): 86
W) = 1 T2s2 + 2%Ts + l' Ранее указывалось, что для колебательного звена должно выпол- няться соотношение 0 < ^ < 1. Исследуем поведение звена с передаточ- ной функцией W(s) = —z—;— ------- вне указанного диапазона зна- T2s2+2%Ts + l чений . Первый случай'. = 1. W)=----------------=—к—^. Ts+2Ts + \ (7s + I)2 Колебательное звено преобразуется в цепочку из двух одинаковых апе- риодических звеньев; переходной процесс в такой системе имеет апе- риодический характер. Второй елучайг. £, > 1. Колебательное звено преобразуется в произ- ведение передаточных функций двух различных апериодических звень- ев. Действительно, при > 1 корни ,5| и s2 (2.9) являются отрицатель- ными действительными числами = —al, s2 = — а2, поэтому W)=_________‘‘___________________________=_______—______, U + OiXs + o,) „ (±i + lx±s + 1) (Т,л + 1)(Т2» + 1) а1 а2 * к 1 1 где к =-----'Т\=—'Т2= — . ^2 В этом случае, как и в первом, колебания отсутствуют, процесс имеет апериодический характер. Третий случай'. £, = 0. Колебательное звено преобразуется в кон- сервативное: lim ы—>1/7 -201gV(l - Т2®2)2 + (2^7о))2 = — 201g0 = °°. 87
АЧХ и ЛАЧХ этого звена имеют разрыв на сопрягающей частоте I С0с = — . В реальных системах амплитуда выходных колебаний вблизи со- прягающей частоты сильно возрастает по мере уменьшения коэффици- ента Е,. 2.9. Дифференцирующее звено второго порядка Дифференциальное уравнение дифференцирующего звена второго порядка имеет вид: х(0 = k^2z{2\t) + 2E,'lz(1)(Z) + z(0), (2.10) где к , 1, Е, - соответственно коэффициент передачи, постоянная вре- мени и коэффициент затухания звена. При этом выходная величина x(t) определяется не только входной величиной z(J), но и первой и второй производными от нее. Предпола- гается, что выражение (2.10) нельзя разложить на два множителя первой степени, т.е. 0 < Е 1 - Это условие означает, что корни характеристиче- ского уравнения Т2№ + 2тх + 1 = 0 являются комплексными числами. Если Е > 1, то звено, описываемое дифференциальным уравнением (2.10), не является элементарным. Его можно представить в виде после- довательного соединения двух дифференцирующих звеньев первого по- рядка. Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей дифференциаль- ного уравнения (2.10) при нулевых начальных условиях: X (.V) = k(x2s2Z(s) + 2^xsZ(s) + Z(s)). Передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка: W (s) = = k(x2s2 + 2^ts +1). Z(a) После замены s = jco получим АФХ: 88
IV (/со) = &[(1 - т2со2) + ;2£тсо]. АФХ дифференцирующего звена второго порядка (рис.2.54) является параболой, которая начи- нается из точки (Л, 0). Исследуем поведение АЧХ и ФЧХ: Н (СО) = А:7(1-т2а)2)2 +4^2Т2С02 При изменении частоты СО от Гршрик АФХ дифференци- Л г т руюшего звена второго порядка 0 до 00 величина Н (СО) изменяет- г г ся в диапазоне от Л до 00 . ср(со) = argliv(JCO)| = arctg 2^Ю при со < - ; 1 —т2со2 т ср(со) = — при со = —; 2Нсо 1 ср(со) = п + arctg----—— при со > —. 1- т со2 т Диапазон изменения фазы выходного сигнала при изменении час- тоты СО от 0 до 00 определяется следующим образом: lim <р(со) = arctgO = 0; ы—>0 lim ср(со) - л - lim(arctg 2^Ю ) = л- arctg(O) = л. Т“СО _ J Следовательно, дифференцирующее звено второго порядка создает опережение по фазе в пределах от ф = 0 при со = О до ф = л при OJ—>'=<' . АЧХ и ФЧХ дифференцирующего звена второго порядка являются обратными (инверсными) соответствующим частотным характеристи- кам колебательного звена. Поэтому ЛЧХ дифференцирующего звена второго порядка представляют собой зеркальное отображение относи- тельно оси частот ЛЧХ колебательного звена (рис.2.55). 89
Рис.2.55. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена второго порядка На низких частотах дифференцирующее звено второго порядка да- ет усиление (при k > 1) или ослабление (при к < 1) входного сигнала. На высоких частотах это звено подобно двойному дифференцирующему звену. Его ЛАЧХ имеет наклон +40 дБ/дек. При реализации дифференцирующего звена второго порядка в виде КС-цепочек его дифференциальное уравнение имеет вид: а2х(2) (Г) + а[Х(1)(Г) + aox(t) = b2z^ (f) + z(l) (Г) + boz(f) , которому соответствует передаточная функция 2 a2sz + a{s + а0 Подобное звено называется реальным дифференцирующим звеном второго порядка. 90
2.10. Запаздывающее звено Запаздывающее звено передает входной сигнал без искажения по величине, однако при этом выходной сигнал запаздывает по отношению ко входному на определенную постоянную величину. Уравнение звена имеет вид: x(t) = kz{t — 't), (2.11) причем х(г) = 0 при t <т, т - время запаздывания. Согласно теореме запаздывания L[z(f-i:)]=e~nZ(s), где Z(s) = L[z(Z)]. Взяв преобразование Лапласа от обеих частей дифференциального уравнения (2.11) при нулевых начальных условиях, найдем передаточ- ную функцию W(s)=^-=k-e-v. Z(s) Запаздывающее звено относится к особым динамическим звеньям. Его передаточная функция не является алгебраическим выражением, а представляет собой трансцендентное выражение. АФХ запаздывающего звена: W(jto) = ke~j(m. Приняв во внимание, что _ cos щд- _ j sjn jjyj. , получим: W(JoS) = k(cos сот - j sin сот). Действительная и мнимая части АФХ равны (/(со) = к cos((£rt); V(ai) = -k sin((DT;). С учетом того, что U2(bS) + V2(a>) = к2, получим АФХ запаздывающего звена (рис.2.56). 91
Рис. 2.56 АФХ запаздывающего звена АФХ звена чистого запаздывания представляет собой окружность с цен- тром в начале координат и радиусом к. По этой окружности конец вектора РГф'со) многократно проходит по часо- вой стрелке при изменении частоты от нуля до бесконечности. Годограф начинается на поло- жительной полуоси действительной оси (при со = 0 WYjco) = /<). Каждой точке АФХ соответствует бесчисленное множество значений частот вход- ного сигнала, отличающихся на величину 2nkll, где к - целое число. Действительно, возьмем, например, ряд частот со = 0, 2л/т, 4л/т, ....,2л£/т, для него имеем: <р(0) = 0; <р(2л/т) = -2л; ср(4л/т) = -4л; ср(2л//т) = —2л/:. Изменение частоты CD на величину 2л/: / т вызывает поворот век- тора И'(/со) на к оборотов по часовой стрелке. Всем этим частотам соот- ветствует одна точка АФХ с координатами (к, 0). Можно показать, что передаточная функция запаздывающего звена имеет в правой полуплоскости бесчисленное множество нулей с моду- лем, стремящимся к бесконечности, Следовательно, запаздывающее звено является неминимально-фазовым (см. §2.1). АЧХ и ФЧХ запаздывающего звена: //(со) = J(/2(CD) + V2(CD) = к; ср(со) = arctg—— = -тсо; /7 (со) их графики показаны на рис.2.57. 92
Рис.2.58. Графики ЛЧХ запаздывающего звена АЧХ запаздывающего звена не зависит от частоты. Сдвиг фаз на ФЧХ линейно зависит от частоты: чем выше частота входного сигнала, тем больше фазовое запаздывание выходного сигнала. ЛАЧХ (рис.2.58,а) звена чистого запаздывания совпадает с ЛАЧХ безынерционного звена с передаточной функцией W(s) = k и пред- ставляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс и проведен- ную от нее на расстоянии 201gA:. Особенностью построения ЛФЧХ (рис.2.58,б) является то, что при переходе по оси частот к логарифмическому масштабу прямая линия 93
<p(CD) = -СОТ деформируется в кривую. Эта кривая может быть аппрок- симирована зависимостью у = —10* г, где х - показатель степени, оп- ределяемый по формуле х = 1g®. Примерами запаздывающего звена могут служить: • система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера (т: - время движе- ния ленты на определенном участке); • система регулирования толщины прокатываемого металла (т время движения металла от валков до измерителя толщины); • акустическая линия связи ( т - время прохождения звука); • вычислительная система (т - время, требуемое на обработку входной информации). 2.11. Неминимально-фазовые и неустойчивые звенья. Неустойчивое апериодическое звено Определение неминимально-фазовых неустойчивых звеньев было дано в § 2.1. У минимально-фазовых звеньев существует однозначная связь между видом ЛАЧХ и видом ЛФЧХ, т.е. можно построить одну характеристику и по ней судить, как ведет себя другая. Например, при изменении ЛАЧХ типового звена на ±20 дБ/дек ЛФЧХ стремится к ±90°, а при изменении ЛАЧХ на ±40 дБ/дек ЛФЧХ стремится к +180°. Для неминимально-фазовых звеньев обязательно построение двух ха- рактеристик: и ЛАЧХ, и ЛФЧХ. Особенности неминимально-фазовых и неустойчивых звеньев про- демонстрируем на примере неустойчивого апериодического звена. Дифференциальное уравнение и передаточная функция неустойчи- вого апериодического звена имеют следующий вид: Тх (t)-x(t) = kz(f); к Ts-1 ’ Передаточная функция W (х) имеет полюс в точке s = —. 94
Определим вещественную и мнимую части АФХ: к и'°“)=д^-г ®т-1)(-Д<о-1) 1+tV К izz КТо =-----ГТ ’ =-----ГТ 1 + Г2со2 1 + Т2со2 _ . КТ(й 11 + Т2<02 ’ АФХ неустойчивого апериодического звена, как и устойчивого апериодического звена, имеет вид полуокружности (рис.2.59) и симмет- рична ей относительно оси координат. Рис. 2.59. АФХ неустойчивого (а) и устойчивого (б) апериодических звеньев АЧХ неустойчивого апериодического звена представляет следую- щую зависимость: Я(со) = к л/1 + со2Г2 При выводе формулы ФЧХ следует учитывать, что Re(co) < 0 и Im(co) < 0 при 0 < со < с». Поэтому угол ср лежит в третьем квадранте и изменяется в пределах от <р = -180° (при со = 0) до <р = -90° (при со —> ): <р(со ) = -л + arctgcoT. Таким образом, ЛАЧХ устойчивого и неустойчивого апериодиче- ских звеньев имеют одинаковый вид, а их ЛФЧХ отличаются. Соответ- ствующие зависимости приведены на рис.2.60. Рассмотрение ЛФЧХ показывает, что неустойчивое апериодиче- ское звено создает по абсолютной величине больший сдвиг фаз, чем 95
Рис. 2.60. ЛАЧХ и ЛФЧХ устойчивого (а) и неустойчивого (б) апериодических звеньев устойчивое апериодическое звено. Общий вывод заключается в том, что величина фазового запаздывания для устойчивых звеньев меньше, чем для соответствующих неустойчивых звеньев. Определим переходную функцию неустойчивого апериодического звена как реакцию на единичную ступенчатую функцию: X(s) = ^(5) — ; Л' .... к 1 kTs к X (,v) =-------------------. Ts -1 5 Ts -1 .v Выполнив обратное преобразование, получим: Рис.2.61. Графики переходных функ- ций неустойч ивого апериодического (/), интегрирующего (2) и устойчивого апериодического (3) звеньев x(t) = k[e‘/T -1]. Переходная функция неустой- чивого апериодического звена представляет собой бесконечно воз- растающую функцию. Она приве- дена на рис.2.61, там же для сравне- ния даны переходные функции устойчивого апериодического и ин- тегрирующего звеньев. 96
2.12. Методика построения ЛЧХ сложных САУ Пусть имеется сложная САУ, состоящая из цепочки последова- тельно соединенных типовых звеньев. Тогда ее передаточная функция: N ГТ w)=nn^w> /=1 *=• где N - количество различных типов звеньев, входящих в состав слож- ной САУ; Li - количество звеньев Z-го типа; Wik(s) - передаточная функция /с-го звена / -го типа. Исследование сложной САУ можно проводить по ее годографу. Однако построение годографов сложных САУ представляет трудоем- кую вычислительную процедуру: N Ц i=i t=i Задача исследования САУ значительно упрощается при переходе к логарифмическим характеристикам: N L 2О1ёА(со) = 2О^££д.Дсо); N Ц 1=1 Jt=l В настоящее время имеется ряд математических пакетов, которые могут успешно использоваться для построения и дальнейшего исследо- вания ЛЧХ сложных динамических систем. Однако в некоторых случа- ях, например на этапе предварительного качественного исследования САУ или при проверке адекватности разработанных программных мо- делей, возникает необходимость использования упрощенных асимпто- тических ЛЧХ. Кроме того, рассмотрение последних представляет са- мостоятельный интерес с точки зрения более глубокого понимания динамики функционирования САУ. 97
Можно выделить два вида ЛАЧХ типовых звеньев, имеющих вид: • одной линии (например, ЛАЧХ безынерционных, интегрирую- щих и дифференцирующих звеньев); • двух сопрягаемых линий (горизонтальной - низкочастотной асимптоты и наклонной - высокочастотной асимптоты) (например, ЛАЧХ апериодического звена, дифференцирующего звена первого по- рядка). Процедуру сложения графиков ЛАЧХ можно упростить, если пер- вым построить график ЛАЧХ безынерционного интегрирующего звена (или интегрирующих звеньев, если их несколько), а затем к нему после- довательно пристраивать графики ЛАЧХ остальных звеньев. Причем очередность сложения графиков определяется постоянными времени имеющихся звеньев Tt. Графики упорядочиваются по убыванию 7} или, что то же самое, по возрастанию сопрягающих частот С0а- = 1/7}. Пример. Разомкнутая система состоит из четырех типовых звеньев, включенных последовательно, а именно, интегрирующего, дифферен- цирующего звена первого порядка и двух апериодических звеньев. Для простоты изложения примем, что коэффициенты усиления всех звеньев равны единице. Передаточная функция системы: 5(Гь5 + 1)(Т;.5 + 1) Путь Ть > Та > Тс, тогда имеем ряд сопрягающих частот, которые для удобства дальнейшего использования обозначим следующим образом: 1 1 1 ®с1 - ~ ’ юс2 - “сЗ-^Г’ Jb *а Jc причем (Dcl < сос2 < (0с3 . На рис.2.62 показаны ЛАЧХ четырех звеньев, составляющих сис- тему. Они приведены в порядке возрастания сопрягающих частот. Эти четыре графика легко сложить последовательно в порядке, приведенном на рисунке. Сначала ЛАЧХ интегрирующего звена складывается с ЛАЧХ первого апериодического звена, после чего к полученному ре- зультату добавляется ЛАЧХ дифференцирующего звена первого поряд- ка и, наконец, прибавляется ЛАЧХ второго апериодического звена. 98
Рис. 2.62. Графики ЛАЧХ отдельных звеньев, упорядоченных по возрастанию О)с„ и график результирующей ЛАЧХ 99
Можно видеть, что до частоты сос1 ЛАЧХ сложной системы, включаюшей четыре звена, определяется только ЛАЧХ интегрирующе- го звена, имеющей наклон -20 дБ/дек (ЛАЧХ всех остальных звеньев до частоты С0с1 имеют нулевые значения). В диапазоне частот сос1 — сос2 следует учитывать ненулевые зна- чения только ЛАЧХ интегрирующего и апериодического звеньев. Ре- зультат их сложения в указанном диапазоне дает прямую линию с на- клоном -40 дБ/дек. В следующем диапазоне сос2 — сос3 нужно добавить ЛАЧХ диффе- ренцирующего звена первого порядка. Для чего необходимо сложить ранее полученный график с ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка и т.д. В результате получается линия, имеющая наклон -40 дБ/дек + 20 дБ/дек = -20 дБ/дек. Наконец, в интервале сос3 — сос4 наклон изменяется на величину -20 дБ/дек из-за появления высокочастотной асимптоты второго апе- риодического звена и составляет -40 дБ/дек. Разумеется, вид ЛАЧХ сложной системы не зависит от последова- тельности сложения графиков. Однако добавление (пристраивание) гра- фиков по мере возрастания сопрягающих частот (О,- = 1/7} является удобным упрощением операции построения обшей ЛАЧХ сложной САУ и позволяет оценить влияние соответствующих звеньев. На практике ЛАЧХ цепочки звеньев строится сразу без построения ЛАЧХ отдельных звеньев. Опишем методику построения ЛАЧХ системы, включающей не- сколько звеньев. 1. Определяются сопрягающие частоты С0(- =1/7}, где Т( - посто- янные времени звеньев. 2. На ось абсцисс наносятся значения сопрягающих частот. Напом- ним, что для удобства дальнейших исследований целесообразно указы- вать наряду с 1g со непосредственно значения со. 3. Определяется исходная точка ЛАЧХ, относительно которой строится ЛАЧХ системы. Ее координаты: по оси абсцисс со = 1 (lg(l) = 0), по оси ординат 201g/< , где к- коэффициент усиления системы. 4. Через найденную точку проводится первая асимптота с накло- ном -20(<7 - г) дБ/дек, где q - число интегрирующих; г - число идеаль- 100
пых дифференцирующих звеньев. Первая асимптота продолжается до наименьшей сопрягающей частоты. 5. После каждой из сопрягающих частот С0( = 1/7’ изменяется на- клон ЛАЧХ по сравнению с тем, который она имела до сопрягающей частоты: • на -20 или -40 дБ/дек соответственно для апериодического или колебательного звена; • на +20 или +40 дБ/дек соответственно для дифференцирующих звеньев первого и второго порядков. 6. При необходимости проводится уточнение ЛАЧХ путем введе- ния поправок в построенные графики, что особенно важно для колеба- тельных звеньев и дифференцирующих звеньев второго порядка вблизи частот С0( =1/7}. 7. По завершении построения ЛАЧХ системы выполняется провер- ка. Высокочастотная асимптота ЛАЧХ (участок ЛАЧХ на частотах выше наибольшей из сопрягающих частот) должна иметь наклон -20(/г - т) дБ/дек, где п - порядок полинома знаменателя передаточной функции l+(.v); т - порядок полинома числителя. ЛФЧХ сложной САУ может быть построена сложением ЛФЧХ ее отдельных звеньев. Однако, как и для ЛАЧХ, удобнее воспользоваться методом ускоренного построения ЛФЧХ. Суть метода состоит в том, что фазовая характеристика системы строится путем последовательного прибавления фазовых характеристик менее инерционных звеньев. При этом характеристика каждого последующего типового звена располага- ется не относительно оси абсцисс, а в полосе, ограниченной с одной стороны значением фазы, к которой стремится суммарная фазовая ха- рактеристика ранее построенной совокупности звеньев, а с другой сто- роны - значением фазы, к которой будет стремиться суммарная фазовая характеристика с учетом прибавляемого звена. При таком методе суще- ственно облегчается построение суммарной фазовой характеристики, гак как она на отдельных участках почти повторяет предыдущую и по- следующую фазовые характеристики. Используем этот метод для построения ЛФЧХ системы вышеприве- денного примера. Предварительно строим ЛФЧХ интегрирующего звена, для чего проводим горизонтальную линию на уровне —п/2 рад. Далее в полосе (— я/2;— л) строим ЛФЧХ апериодического звена, имеющего со- прягающую частоту сос1 (график 2 на рис.2.63). Из графика видно, что на высоких частотах (при со —> ^) интегрирующее и апериодическое звенья 101
Ф(СО)| Рис.2.63. К пояснению метода ускоренного построения ЛФЧХ сложной системы: 1 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, построенная относительно уровня 0 рад; 2 - суммарная ЛФЧХ интегрирующего и апериодического звеньев; 3 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, перенесенная в полосу (-л/2; -л); 4 - суммарная ЛФЧХ системы после добавления ЛФЧХ дифференци- рующего звена первого порядка в совокупности дают фазовый сдвиг, равный —я рад, а на низких частотах (при со —> 0) интегрирующее и апериодическое звенья в совокупности да- ют фазовый сдвиг, равный —л / 2 рад; на высоких частотах (при со —> «> ) фазовый сдвиг составляет —л рад. Затем учитываем дифференцирующее звено первого порядка с со- прягающей частотой сос2. ЛФЧХ этого звена будет лежать в следую- щих границах: • -л рад (предельное значение ЛФЧХ при со —> °° для ранее по- строенных звеньев); • —л / 2 (предельное значение, к которому стремится ЛФЧХ после добавления дифференцирующего звена первого порядка при со —> о°). ЛФЧХ системы, включающей интегрирующее, первое апериодиче- ское и дифференцирующее звено первого порядка, дополняем ЛФЧХ второго апериодического звена: его график строим по аналогии в диапа- зоне (—л/ 2 ; —Л ) рад и складываем с ранее построенной ЛФЧХ. После построения ЛФЧХ всей системы рекомендуется выполнить проверку. Предельное значение ср(со) цепочки звеньев, получаемое при со—должно равняться — (л/2)(п — т), где п - порядок полинома знаменателя передаточной функции W(s); т - порядок полинома ее числителя. 102
Глава 3. Структурные схемы и передаточные функции автоматических систем 3.1. Сложности реализации разомкнутых систем управления. Преимущество использования замкнутых систем управления Разомкнутая система управления - это система, в которой управле- ние осуществляется без обратной связи. Чтобы показать сложности реа- лизации подобных систем, рассмотрим проблему передачи вращения от маломощного вала Л на вал большой мощности В (рис.3.1). При этом не- обходимо добиться, чтобы угловая скорость вращения выходного вала В _ т/0вых была равна угловой скорости вращения входного вала А Л dt т.е. £2^ — О,£, где 0ВХ и 0ВЫХ - соответственно угол поворота вала Л и В. Сразу отметим, что самое простое решение проблемы, заключаю- щееся в механическом соединении валов, неприемлемо. Оно приведет к разрушению маломощного вала, который не может поворачивать мощ- ный вал, связанный с массивной на- грузкой. Следует использовать ис- точник внешней энергии (рис.3.2). Чтобы ясней выразить суть ре- шения проблемы рассмотрим ее уп- рощенно, не обращая внимания на динамику. Будем считать систему передачи вращения вала идеальной, т.е. полагать, что все ее устройства работают без запаздывания. А А '--'вх Чвых Рис.3.1. Постановка задачи: мощный вал должен вращаться со скоростью маломощного вала 103
^ТГ ®вых Рис 3 2. Структурная схема разомкнутой системы передачи вращения вала Дадим краткую характеристику используемых элементов. Тахоге- нератор измеряет скорость вращения вала Л. Напряжение на его выходе: ^тг=Чг-^- = ^тг(3.1) dt где Атг - коэффициент передачи тахогенератора. Выходной сигнал усилителя иу=]су-итг (3.2) (ку - коэффициент усиления) пос1упает на вход двигателя. Двигатель вращает вал В со скоростью = (3.3) dt где к№ - коэффициент пропорциональности. С учетом соотношений (3.1) - (3.3) получим выражение, связы- вающее входную и выходную угловые скорости: rig — knBUy =а kaBkyUтг — кдвку/<тг£2д . Равенство , например, можно обеспечить, если (-дв = ку ктг — 1 • Последнее условие выполнить сложно. Следует учитывать, что па- раметры элементов и устройств, входящих в систему, характеризуются определенным разбросом относительно их номинальных значений. Факторы внешней среды также не остаются постоянными. Поэтому при колебаниях температуры, давления, скорости ветра, механических виб- рациях, пульсациях питающих напряжений каждый из параметров сис- темы может изменяться в значительных пределах. 104
Введем обозначение &общ = /<двА:уАтг и построим график зависи- Рис.3.3. Зависимость отношения /£2В от &о6щ при разомкнутом контуре управления Из рассмотрения графика можно сделать вывод о том, что при от- клонении значения &об1ц от 1 существенно изменяется точность отра- ботки входного сигнала. Поэтому необходимо иметь информацию об отклонении £1В от £1Л и использовать ее для поддержания равенства угловых скоростей валов А и В. Структурная схема замкнутой системы передачи вращения мало- мощного вала на вал большой мощности показана на рис.3.4. Датчик рассогласования определяет сигнал ошибки: де=евх-евых. <з.4) Напряжение на выходе тахогенератора: at at at евх де и.п. Рис. 3.4. Структурная схема замкнутой системы передачи вращения маломощного вала на вал большой мощности 105
Приняв во внимание, что Uy = kyUTr и fig = кдв Uy, можно за- писать выражение для угловой скорости вала В: к^в = кдвкуктг(к1А — Qg) = &одщ(£2д — fig). (3.5) Выясним степень влияния коэффициента передачи замкнутой сис- темы £об1ц на точность отработки входных сигналов. £1А Из уравнения (3.5) найдем отношение —Для чего предвари- тельно перепишем уравнение в виде fig (1 + &О(5Щ) — , ^В ^"общ Построим график найденной зависимости (рис.3.5). Для хорошей работы системы коэффициент £обш должен иметь достаточно большое значение. Действительно, в этом случае изменение величины кобщ мало влияет на изменение отношения —— • ^в Чрезмерно увеличивать £общ нельзя, так как возникает другая проблема - замкнутая система при больших коэффициентах передачи может стать неустойчивой. L06
Хотя сложности реализации разомкнутой системы и преимущество замкнутой системы управления показаны на примере передачи враще- ния маломощного вала на вал большой мощности, полученные выводы имеют общий характер и могут быть распространены на другие САУ. 3.2. Функциональная схема замкнутой САУ, назначение отдельных устройств и элементов. Классификация САУ Независимо от назначения (управление мартеновской печью, ядер- ным реактором, установкой вакуумного напыления или наведением космического аппарата), а также независимо от физических принципов работы отдельных элементов, любая САУ может быть представлена функциональной схемой, отражающей ее динамические свойства. Рассмотрим обобщенную функциональную схему САУ (рис.3.6). Рис. 3.6. Функциональная схема САУ: 1 - задающее устройство; 2 и 5 - устройст- ва сравнения; 3 - преобразующее устройство; 4 и 10 - корректирующие устрой- ства (регуляторы); 6 - усилительное устройство: 7 - исполнительное устройство; 8 - орган управления; 9 - объект управления; 11 - измерительный элемент (датчик); 12 - элемент главной обратной связи Задающее устройство преобразует входное воздействие в управ- ляющий сигнал g(t), который определяет закон изменения выходной (регулируемой) величины х(7). Исторически первыми задающими уст- ройствами были пружины (часовой механизм), уровни (поплавковый регулятор уровня жидкости), калиброванные сопротивления и т.п. В со- временных САУ выработка заданной функции управления может осу- ществляться специализированными вычислительными устройствами и универсальными ЭВМ, что позволяет изменять значение регулируемой величины x(f) по сложному закону. 107
Устройства сравнения - это преобразователи с двумя входами, они предназначены для определения рассогласований, т.е. отклонения регу- лируемой величины от заданного значения, соответственно в контурах основной и местной обратной связи. Устройства сравнения также назы- вают датчиками ошибки (отклонения). В ряде систем устройство сравнения может представлять собой арифметическое устройство, которое осуществляет вычитание из изме- ренного датчиком значения регулируемой величины другой величины, принятой за опорную. В большинстве случаев непосредственное использование выходно- го сигнала устройства сравнения для приведения в действие органа управления невозможно. Возникает необходимость преобразования его из одной формы представления в другую и усиления его как по величи- не, так и по мощности. Преобразующее устройство служит для преобразования одной физической величины в другую, более удобную для использования в процессе управления, но без выполнения функций измерения, усиле- ния или коррекции. К преобразующим устройствам относятся датчики "угол - код", реле и др Корректирующие устройства предназначены для обеспечения за- данных динамических свойств и повышения устойчивости замкнутой системы. С их помощью, например, обеспечивается высокая точность работы в установившемся режиме, демпфируются колебания для сильно колебательных объектов (таких как летательные аппараты, морские су- да и т.д). Функции корректирующих устройств могут выполнять ЭВМ или аналоговые вычислительные устройства. Усилительное устройство служит для усиления мощности сигна- лов. В хорошо спроектированной системе отклонение регулируемой ве- личины от заданного значения е(Г) должно быть малым. Вместе с тем на объект управления должны поступать достаточно мощные воздейст- вия. На практике широко используются электронные, магнитные, гид- равлические, пневматические усилители. Исполнительное устройство вырабатывает управляющее воздей- ствие на орган управления объекта, например, руль летательного аппа- рата. В САУ в качестве исполнительных устройств используются сле- дующие типы: пневматические, гидравлические и электрические. Орган управления позволяет путем изменения его положения или состояния воздействовать на объект управления. 108
Для пояснения функций исполнительного устройства и органа управления приведем два примера. В автопилоте рулевая машинка (исполнительное устройство) пово- рачивает на определенный угол рули (орган управления), что создает момент, вращающий летательный аппарат (объект управления) вокруг центра масс. В системе регулирования уровня жидкости электродвигатель (ис- полнительное устройство) поднимает или опускает задвижку (орган управления) соответственно при недостатке или избытке жидкости. Следует отметить, что орган управления иногда рассматривается как компонент объекта управления. Объект управления - элемент, который подвергается управляюще- му воздействию. Как указывалось, объектом управления может быть мартеновская печь, ядерный реактор космический аппарат и т.д. Принципиальным отличием объекта управления от всех остальных элементов системы является то, что он обычно задан и при разработке САУ не может быть изменен, тогда как остальные элементы выбирают- ся специально для решения конкретной задачи управления. В связи с большим разнообразием объектов управления разными могут быть и управляемые переменные: напряжение, число оборотов, угловое положение, курс, мощность и т.д. Изучением конструкций объ- ектов управления занимаются специальные дисциплины: электротехни- ка, энергетика, аэродинамика и т.д. Измерительный элемент предназначен для преобразования регу- лируемых величин или возмущающих воздействий в сигналы управле- ния, удобные для дальнейшего использования. Чаще всего значения регулируемых величин преобразуются в пропорциональные электриче- ские сигналы или механические перемещения. Элемент главной обратной связи - вырабатывающий сигнал, кото- рый находится в определенной функциональной зависимости от регу- лируемой переменной. Конкретные схемы САУ могут отличаться от типовой схемы. Часть рассмотренных устройств может отсутствовать или конструктивно объ- единяться в одном устройстве. Кроме того, САУ могут иметь другие элементы, не показанные на схеме (см. рис.3.6). Возможно наличие не- скольких контуров местной обратной связи. Классификация САУ проводится по различным признакам. В част- ности, в зависимости от того, используется или нет информация об управляемой величине для выработки управляющих воздействий, раз- личают два основных типа САУ - замкнутые и разомкнутые (см. § 1.2). 109
Рассмотрим классификацию САУ по виду задающего сигнала. По этому признаку САУ подразделяются на системы стабилизации, про- граммного управления и следящие. Система стабилизации - система, управляющее (задающее) воз- действие которой является постоянным ( g(f) = const), а выходной па- раметр поддерживается на определенном постоянном уровне (x(f) — const). Примеры систем стабилизации: автоматический стаби- лизатор напряжения, система поддержания постоянной температуры в холодильнике и т.д. Система программного управления - система, задающий сигнал g(t) которой изменяется по определенной программе. В данном случае g(t) = F(t) , где F(t) - функция, известная на всем интервале управле- ния. Примерами систем программного управления могут служить про- грамма выхода на режим технологического процесса и программа раз- гона двигателя самолета. Следящая система - это система, у которой изменение задающего сигнала происходит по случайному закону (g(t}= var). Примерами сле- дящих систем являются системы наведения ракет на цель по данным РЛС, системы управления автоматической стыковкой космических аппаратов. 3.3. Передаточная функция динамической системы в замкнутом и разомкнутом состояниях по различным видам воздействий Типовое звено САУ характеризуется наличием одного входного и одного выходного сигналов. Поэтому его динамические свойства пол- ностью определяются одним дифференциальным уравнением или одной эквивалентной ему передаточной функцией. Однако при исследовании сложных САУ возникает необходимость выделения нескольких вход- ных и выходных сигналов. Такими сигналами могут быть полезные и вредные входные воздействия, сигнал рассогласования, выходной сиг- нал и другие. Поэтому динамические свойства САУ описываются не- сколькими дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, устанавливающими связь между выбранными сигналами. Рассмотрим обобщенную структурную схему САУ, включающую регулятор и объект управления (рис.3.7). 110
Рис.3.7. Обобщенная структурная схема САУ: g(f) - задающее воздействие; е(г) - сигнал ошибки (рассогласования); z(/) - управляющее воздействие; /(г) - возмущающее воздействие; х(г) - выходной сигнал Для линейной динамической системы можно записать систему трех уравнений, представляющих следующие процессы: 1) формирование сигнала ошибки: E(t) = g(t)-x(ty (3.6) 2) функционирование регулятора: R(p)-z(t) = Up)E.(ty, (3.7) 3) функционирование объекта управления: D(p) x(t) = М{р\ z(t) + N(p) f(t), (3.8) где R{p), L(jp), D(p), M(p), N(p) - операторные полиномы, они определяются структурой исходных дифференциальных уравнений. Для упрощения записи дифференциальных уравнений применяют- ся символы дифференцирования: d I d' р:=—; Р =—- dt dt' Возьмем преобразования Лапласа от правых и левых частей урав- нений (3.6) - (3.8) при нулевых начальных условиях: E(s) = G(s) — X (s); (3.9) R(s) Z(s) = L(s) E(s); (3.10) D(s) X(s~) = M(s) Z(s) + N(s) - F(s). (3.11) 111
Найдем передаточную функцию регулятора. Согласно рис.3.6 имеем: Так как из уравнения (3.10) следует, что Z(s) L(s) E(s) R(s) то выражение для Wp (л) можно представить в следующем виде: САУ имеет несколько входов, каждый из которых оказывает влия- ние на выходной сигнал. Для определения передаточной функции по конкретному входу необходимо сигналы, поступающие на другие вхо- ды, приравнять нулю. Найдем передаточную функцию объекта управления. По определе- нию (см. рис.3.7) Примем, что возмущающее воздействие f (/) = (), тогда F(s) = 0, и на основании (3.11) найдем: В дальнейшем для упрощения промежуточных выкладок будем опускать в записи операторных полиномов обозначение переменной s , т.е. будем полагать, что R = R(p), L = ЦР), D = D(p), M = M(p), N = N(p). С учетом сделанного замечания систему из трех уравнений (3.9) - (3.11) можно записать в виде E = G-X- R Z = L Е -, DX=M-Z + N-F. (3.14) (3.15) (3.16) 112
Выразим изображение выходного сигнала X через изображения управляющего G и возмущающего F воздействий. На основании (3.16) имеем: D D Из (3.15) с учетом (3.14) получим: Z = -(G-X). R Подставив (3.18) в (3.17), найдем: X =—-G- — — Х+ — F. D R D R D После несложных преобразований получим: N —---F. м А DR (3-17) (3.18) M_L v - DR Х , ML D R Введем обозначения: М L T1Z N W =------,Wf -—. DR 1 D Тогда w Wf X =-----G +——F. l + W 1 + IV Отметив важность последней формулы, представим ее в развернутом виде' (3.19) X (s) = G(5) + Wf^ F(5) 1+W) 1 + ivco (3.20) Таким образом, выходной сигнал САУ при поступлении несколь- ких воздействий определяется на основании принципа суперпозиции, в нашем случае первое слагаемое характеризует эффект управляющего воздействия, второе - возмущающего. Применив соотношение (3.20), найдем передаточные функции замкнутой системы отдельно по управ- ляющему и возмущающему воздействиям.
Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воз- действию ф(5)= G(s) получается из (3.20) в предположении, что возмущающее воздействие отсутствует ( F(s) = 0 ): ФМ=2ад_^ (3.21) (3.22) G(s) 1 + W(x) Аналогично определим передаточную функцию замкнутой систе- мы по возмущающему воздействию: Ф/М=ж В этом случае G(.s’) = 0, и на основании (3.20) Wf(s) = ------ 1 1 + W(x) Подставив (3.21) и (3.22) в (3.20), получим формулу для вычисле- ния изображения выходного сигнала через изображения управляющего и возмущающего воздействий и соответствующие передаточные функ- ции: X(s) = Ф(s)G(s) + Фf(s)F(s). (3.23) Часто на практике рассматривают не реакцию системы, а величину ошибки, с которой система отрабатывает соответствующее входное воздействие. Из (3.14) с учетом (3.19) получим: W Wf 1 W.f E = G — X = G-(——G+——F) = ——G-------f—F. (3.24) 1 + W 1 + W 1 + W 1 + W Найдем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от управляющего воздействия (см. рис.3.7): G(s) 114
• я (3-25) Предположив, что возмущающее воздействие отсутствует (F(s) = 0 ), из (3.24) получим: Е _ 1 G ~ 1 + VV ’ Следовательно, в развернутой записи: Фе(*) =-------- 1 + VV(5) Аналогично определим передаточную функцию замкнутой систе- мы по ошибке от возмущающего воздействия (см. рис.3.7): ФеГ(*) = —• f F{s) При G(s) =0 из (3.24) имеем: Е_ Wf(s) F~ 1 + W(s)’ Таким образом, Wf(s) фе/М = —-— f l + VV(s) Применив зависимости, полученные для замкнутой системы, уста- новим соответствующие зависимости для разомкнутой системы. При размыкании обратной связи исчезает сигнал ошибки. Система уравне- ний (3.14) - (3.16) принимает вид: Е = G; R Z = L E = LG; D X =М Z + N-F. (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) Выразим выходной сигнал разомкнутой САУ через изображения управляющего и возмущающего воздействий. Из уравнения (3.29) найдем: X = "Z+Af. D D В правую часть последнего равенства подставим выражение, най- денное из уравнения (3.28): 115
7? В результате получим: X = М L „ N --G +— D R D (3.30) Приняв возмущающее воздействие равным нулю (F = 0), найдем передаточную функцию разомкнутой системы по управляющему воз- действию X=——G, D R откуда ^- = ^ = W. G DR Последнее выражение перепишем в развернутой форме следую- щим образом: G(s) D(s)R(s~) Приняв во внимание (3.12) и (3.13), получим: W(s) = %(s)Wo(s). (3.31) В заключение найдем передаточную функцию разомкнутой систе- мы по возмущающему воздействию. При отсутствии управляющего воздействия (Z = 0) из (3 29) имеем: откуда следует, что или окончательно f F(s) D(s) 116
3.4. Правила преобразования структурных схем Структурные схемы САУ могут иметь различную сложность. С целью их упрощения и приведения к виду, более удобному для исследо- вания, используют определенные правила. Эти правила базируются на принципе суперпозиции и однонаправленности звеньев и легко доказы- ваются сопоставлением между собой исходных и эквивалентных схем. Правило преобразования цепочки последовательно соединенных звеньев. Дана цепочка звеньев с известными передаточными функциями ДД.у) , i = 1, 2, ...,п (рис.3.8). Несложно показать, что данную цепоч- ку звеньев можно представить одним звеном (рис.3.9) с эквивалентной передаточной функцией п 1У(л) = П^^)- (3-32) (=1 Рис. 3 8 Схема цепочки последовательно соединенных звеньев Передаточная функция цепочки п последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих п звеньев. Кроме того, из уравнения (3.32) следует, что результат последователь- ного соединения звеньев не зависит от порядка соединения звеньев. Правило преобразования цепочки параллельно соединенных звеньев. Дана цепочка звеньев (рис.3.10). Звено, эквивалентное данной системе звеньев, имеет передаточную функцию ставление цепочки последова- Рис.3.10. Преобразование цепочки тельно соединенных звеньев параллельно соединенных звеньев 117
(3.33) п W(s) = ^WSs). i=l Передаточная функция цепочки п параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев. Правило определения передаточной функции замкнутой цепи с единичной отрицательной обратной связью. Если передаточная функ- ция разомкнутой цепи равна VV(.y) и используется единичная отрица- тельная обратная связь (рис.3.11), то передаточная функция замкнутой системы вычисляется по формуле ф )=X«=W) G(5) 1 + W(5) (3.34) Правило определения передаточной функции замкнутой цепи с неединичной отрицательной обратной связью. Пусть известны переда- точные функции разомкнутой цепи IV(.s) и цепи обратной связи WoC(s) (рис.3.12), Тогда передаточная функция замкнутой системы оп- ределяется соотношением ф(5) = G(s) W(s) 1 + Woc(s) W(s) (3.35) X(s) Рис.3.11. Преобразование замкнутой цепи с единичной отрицательной обратной связью Рис.3.12. Преобразование замкнутой цепи с неединичной отрицательной обратной связью 118
Правило определения передаточной функции замкнутой цепи с неединичной положительной обратной связью. При использовании неединичной положительной обратной связи (в цепи обратной связи стоит звено с передаточной функцией Woc (5) ) передаточная функция замкнутой системы (рис.3.13) рассчитывается следующим образом: ФМ =-------Щ. Правило определения передаточной функции замкнутой цепи с единичной положительной обратной связью. Если положительная об- ратная связь является единичной (Woc (5) = 1) (рис.3.14), то передаточ- ная функция системы определяется по формуле <D(s) = IV (5) 1 - W(s)' Рис.3.13. Преобразование замкнутой Рис.3.14. Преобразование замкнутой цепи с неединичной положительной цепи с единичной положительной обратной связью обратной связью Правило переноса узла. При преобразовании структурных схем часто возникает необходимость в переносе узла (точки разветвления сигнала) через звено, либо по направлению распространения сигнала, либо против направления передачи сигнала. 119
При переносе узла по направлению распространения сигнала через звено с передаточной функцией W(s) (рис.3.15) необходимо в новое ответвление включить элемент с передаточной функцией 1/W(s) . Рис.3.15. Перенос узла по направлению распространения сигнала При переносе узла против направления распространения сигнала через звено с передаточной функцией И7 (л) (рис.3.16) необходимо в новое ответвление включить звено с той же передаточной функцией Ж(5). Рис.3.16. Перенос узла против направления распространения сигнала 120
Правило переноса узла удовлетворяет условию: в исходной и пре- образованной эквивалентной схемах входной сигнал оказывает одина- ковое влияние на формирование выходного сигнала. Правило переноса сумматора. При переносе сумматора против на- правления распространения сигнала через звено с передаточной функ- цией W(s) (рис.3.17) необходимо в линию связи по второму входу сумматора включить элемент с передаточной функцией 1/W(s) . Рис. 3.17. Перенос сумматора против направления распространения сигнала При переносе сумматора по направлению распространения сигнала через звено с передаточной функцией IVf.s) (рис.3.18) нужно в линию связи по второму входу сумматора включить элемент с передаточной функцией W (s). Приведенные правила переноса сумматора не оказывают влияние на формирование выходного сигнала под действием входных сигналов, следовательно, схемы являются эквивалентными. Правило перестановки сумматоров. Элементы сравнения (рис.3.19) и сумматоры (рис.3.20), в которых осуществляется сложе- ние либо вычитание сигналов можно менять местами. 121
ио Рис.3.18. Перенос сумматора по направлению распространения сигнала Рис.3.19. Правило перестановки элементов сравнения Рис.3.20. Правило перестановки сумматоров Применение изложенных правил к преобразованию структурной схемы САУ позволяет получить несколько различных по виду эквива- лентных структурных схем. Однако все они будут иметь передаточные функции, одинаковые с передаточной функцией исходной структурной схемы. 3.5. Примеры преобразования структурной схемы сложной динамической системы Рассмотрим структурную схему сложной САУ, представленную на рис.3.21. Необходимо упростить ее, используя правила преобразования структурных схем, изложенные в § 3.4. 122
Рис.3.21. Структурная схема сложной системы Примечание. Цифра внутри прямоугольника указывает номер бло- ка и соответствует индексу его передаточной функции. Например, пя- тый блок имеет передаточную функцию VV'S (.v) . Решать поставленную задачу будем путем последовательных пре- образований исходной схемы в более простые. Сначала вычислим эквивалентную передаточную функцию для це- почек звеньев с нижеуказанными номерами, приняв во внимание, что: 1 и 2 - последовательное соединение звеньев; 4 и 11 - замкнутая цепь с неединичной отрицательной обратной связью; 5 и 6 - последовательное соединение звеньев; 12 и 15 - параллельное соединение звеньев; 13 и 14 - последовательное соединение звеньев. По формулам преобразования структурных схем получим: W18(s) =----------------, 1 + W4(S) W1|(S) W|9(s) = W5(s)W6(s); VV20(s) = W12(s) + W15(s); W21U) = ^13(^) W14(5). С учетом обозначений введенных передаточных функций струк- турная схема приобретает- вид, показанный на рис.3.22. Далее определим эквивалентные передаточные функции для пар звеньев: (3 и 18) и (9 и 20). При этом примем во внимание, что: 3 и 18 - последовательное соединение звеньев; 9 и 20 - замкнутая цепь с неединичной отрицательной обратной связью. 123
Рис.3.22. Структурная схема сложной системы после первого шага преобразования W22(s) = W3(s)-W18(5); „Л / ч- ВД w?3 СО------------------ l + W9(s)-W20(s) После чего получим структурную схему рис.3.23. Рис.3.23. Структурная схема сложной системы после второго шага преобразования Далее учтем, что звенья 8, 23 и 10, показанные на рис.3.23, соеди- нены последовательно и поэтому могут быть заменены одним звеном с эквивалентной передаточной функцией. W24(s) = W8(s)-W23(x)W10(s). После чего структурная схема примет вид рис.3.24. Полученную схему также можно упростить. Воспользуемся прави- лом переноса сумматора против направления распространения сигнала. Выход звена 16 перенесем и подключим к входу звена 22. Однако при этом необходимо ввести дополнительное звено 25, передаточная функ- 124
Рис. 3.24. Структурная схема сложной системы после третьего шага преобразования ция которого является обратной по отношению к передаточной функ- ции звена 22 (рис.3.25). W25(5) = l/W22(5). Рис.3.25. Структурная схема сложной системы после четвертого шага преобразования Выполним последующие преобразования схемы. Легко видеть, что пары звеньев (22, 19) и (25, 16) соединены последовательно, а звено 21 стоит в цепи отрицательной обратной связи звена 26, поэтому W26(S^W22(s)-Wl9(sy, W27(s) = ^26 (s) l + fy26(s)jy2](5)’ Ww(S) = W25(s)-Wl6(s). Таким образом получим структурную схему рис.3.26. 125
Рис. 3.26. Структурная схема сложной системы после пятого шага преобразования С учетом опыта предыдущих преобразований сразу запишем формулу для системы, включающей три звена: 7,27,28; согласно рис.3.26 получим: Рис. 3.27. Структурная схема сложной системы после шестого шага преобразования В результате имеем цепочку из трех последовательных звеньев, охва- ченную единичной отрицательной об- ратной связью (рис.3.27). Ее передаточная функция имеет вид: w z„x_ ^17^ ^29^-^24^) 1 + ^7(x)-FF29(5)-FF24(x) 126
Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления 4.1. Понятие устойчивости. Устойчивость и корни характеристического уравнения Любая САУ прежде всего должна быть работоспособной. Это зна- чит, что она должна нормально функционировать и быть нечувстви- тельной к возмущениям различного рода, которые могут возникнуть!в процессе ее эксплуатации. Такое поведение возможно лишь в САУ, об- ладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Вначале кратко остановимся на самом понятии устойчивости. Для этого напомним известный пример, иллюстрирующий устойчивость по- ложения шара на поверхности (рис.4.1). Очевидно, что для определения характера равновесного состояния шара необходимо: 1) отклонить шар от исходного состояния; 2) убрать причину, вызвавшую это отклонение; 3) наблюдать, возвратится ли шар в исходное положение равновесия. В простейшем случае устойчивость - это способность системы воз- вращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после прекращения действия внешнего возмущения (исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния). Неустойчивая система не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели внешние воздействия. Она либо удаляется от него, либо совершает относительно него недопустимо большие колебания. Рис.4.1. Система (шар) с различной устойчивостью: а - устойчивая "в большом" или просто устойчивая; б - неустойчивая; в - нейтрально-устойчивая; г - устойчивая "в малом", но неустойчивая "в большом" 127
Однако даже в простейшем случае все не так просто. Это иллюст- рирует рис.4.1,г. Состояние равновесия шара устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу. В этом случае говорят, что система устойчива "в малом" или "в ограниченной облас- ти", но неустойчива "в большом". Отметим отличие устойчивости линейных и нелинейных систем Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения, и система, устойчивая при малых возмущениях, будет оставаться устой- чивой и при больших возмущениях. Иначе обстоит дело в нелинейных системах, описываемых нели- нейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные системы мо- гут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при боль- ших возмущениях. Поэтому для нелинейных систем понятие устойчивости расширяется и рассматривается отдельно для случая больших и для случая малых возмущений. В дальнейшем будем рассматривать вопросы устойчивости ста- ционарных линейных динамических систем, поведение которых пред- ставляется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: апх^ (t) + an_tx(n~l) (?) + ...+ a7x"(t) + atx'(t) + aox(t) = (4.1) = bmz(m) (t) + (/)... + b^'(t) + boz(j), n > m. Будем полагать, что система является устойчивой, если она, будучи выведенной из состояния равновесия, с течением времени возвратится в исходное состояние. Как применить это определение для выяснения во- проса устойчивости САУ? Очевидно, что в первую очередь необходимо вывести систему из положения равновесия. Этого можно достигнуть или заданием ненуле- вых начальных условий, или кратковременным действием возмущаю- щего воздействия. При этом важно подчеркнуть, что речь идет именно о кратковременном действии, так как в определении устойчивости указы- вается необходимость прекращения действия возмущения ( z(t) = 0 ). После того, как система выведена из состояния равновесия, необ- ходимо знать, возвратится ли она в исходное состояние. Иначе говоря, необходимо наблюдать за собственным движением, которое определя- ется однородным дифференциальным уравнением замкнутой системы: апхМ(f) + (0 + • • + a2x"(t) + atx'(t) + aox(t) = 0. (4.2) 128
Система будет устойчивой, если с течением времени (при t 00 ) собственное движение, определяемое решением уравнения (4.1), будет затухающим: lim x(f) 0. (4.3) t— Таким образом, устойчивость является асимптотической, так как характер движения системы к устойчивому положению не имеет значе- ния, а важен предел х(1) при t 00. Известно, что общее решение данного дифференциального уравне- ния имеет вид: хса) = Се'7. (4.4) Продифференцируем п раз (4.4) и подставим результаты диффе- ренцирования в (4.2). После сокращения на общий множитель Cest по- лучим следующее алгебраическое уравнение: ansn + an_1sn~l +... + a2s2 + + a0 — 0. (4.5) Уравнение (4.5) называется характеристическим уравнением, кор- ни которого S(- = «, + /Р,- определяют характер переходного процесса в системе. Так как характеристическое уравнение имеет п корней, то его общее решение при отсутствии кратных корней может быть записано в виде х(Г)=£де’"> (4.6) /=1 где Д - константы, значения которых определяются начальными усло- виями; s{, i — - корни характеристического уравнения. Чтобы узнать, устойчива или неустойчива система, нет необходи- мости решать характеристическое уравнение и находить его корни. Оказывается, по свойствам корней можно определить необходимые и достаточные условия устойчивости системы. Рассмотрим влияние корней характеристического уравнения (4.5) на устойчивость системы. В общем случае корни характеристического 129
‘ h f / * . \|i • 1 • । = ea',(A^,,+A+i^)^ (4-7) II* л уравнения янляются комплексными. При этом они образуют пары со- пряженных корнуй: • ' • . * -гТч . < I *»-я 5,=а,- +jp(-, л1+1=а,’7р/. ’ i Каждая такая пара корней дает составляющую переходного про- цесса, равную Л.^+А)1+л.+1е(а1-’7Р,)г = A|V*|f sin(P;t + Ф(), Л* где Ai , ср, - новые постоянные интегрирования. Можно доказать, что Al*=7Ji2+4+U Ф, = arctg j1 - ^l+1. 4 ~4+i Составляющая (4.7) представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Исследуем ее поведение при различных значениях а,. Для первых трех случаев будем полагать, что Р/ 0, т.е. на выходе системы имеет место колебательный процесс. Первый случай: а, < О - колебания с течением времени затухают (рис.4.2); устойчивая система возвращается в состояние покоя. Второй случай: а,- > О - колебания расходящиеся (рис.4.3); систе- ма неустойчивая. Н/)| Рис.4.2. Затухающие колебания Рис.4.3. Расходящиеся колебания (a,<O,p,^Q) (а,>0,р,*0) 130
'.'М Я ' '..Io ЯП >| ч| I Ш'ЧИ| • .4 I f> М«Ы1 ' И'1 »• Ч <Ц| И**' Н Ч > * йиг; М , » || . f »»' 'h \ *4 f м Третий случай. а,'=0 (кбряй чисто мнимые} колеЙания незату* * / U хающие с постоянной амплитудой (рис.4.4), состояние системы ней* ральное, причем незначительное изменение параметров может привес ти систему к неустойчивости. Четвертый случай: р(- =0 (корни действительные) - соответст- вующая ему составляющая переходного процесса А(ел'г представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться тольк в зависимости от знака а(- (рис.4.5). X(t)i, Рис.4.4. Незатухающие колебания Рис. 4.5. Апериодический процесс /‘pat- холящийся (а, > 0); 2 - сходящийся (С^ < 0) Итак, в общем случае переходной процесс состоит из колебатель них и апериодических составляющих. Каждая колебательная состав- ляющая обязана своим появлением паре комплек но-сопряженных кор- ней, а апериодическая - действительном j корню. Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения бы- ли отрицательными. Только тогда каждое слагаемое будет стремиться к нулю и в целом lim x(t) —> 0 . f—^ехз Таким образом, необ: одимым и доста очным условием устойчиво- сти системы Является отрицательность вещественных частей всех кор- ней характеристического уравнения. Корни характеристического уравнения - комплексные, величины, остоящие й общем случае из вещественной и мнимой частей. Их мож- но представить на плоскости, которую называют комплексной плоско- стью корней характеристического уравнения (рис!4.6). Из, рисунка видно, что все корни, лежащие слева от мнимой оси, имеют отрицательные вещественные части. С учетом этой особенности расположения корней условие устойчивости системы можно сформули- 131
Рис.4.6. Комплексная плоскость корней характеристического уравнения с нане- сенными корнями: () - комплекс- но-сопряженные с отрицательной веще- ствениой частью; (s2, .v2 ) " комплексно- сопряженные с положительной вещест- венной частью; (s3, s4) - положитель- ный и отрицательный вещественные; (,v5, s5 ) - чисто мнимые ровать следующим образом: для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ха- рактеристического уравнения на- ходились в левой полуплоскости комплексной плоскости s. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения находится в правой полуплоскости, система неустойчивая. Если хотя бы два корня рас- положены на мнимой оси, т.е. яв- ляются чисто мнимыми, система находится на границе устойчиво- сти. В этом случае незначитель- ными изменениями можно сделать систему или устойчивой, или не- устойчивой. Следовательно, для суждения об устойчивости линейной системы нет необходимости в определении точных значений корней ее характеристического уравнения, а достаточ- но знать, что эти корни располагаются левее мнимой оси. Процессы в реальных САУ описываются, как правило, нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако исследование устойчивости движения нелинейных систем "в малом" часто осуществляется по урав- нениям первого приближения. Линеаризация проводится путем отбрасы- вания членов ряда Тейлора порядка выше первого. Возникает вопрос; как влияют принятые при линеаризации допущения на достоверность сужде- ний относительно устойчивости исходной нелинейной системы? А.М. Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устой- чивости "в малом" нелинейной системы по устойчивости линейной сис- темы, полученной путем линеаризации исходной системы. Теорема 1. Нелинейная система устойчива "в малом", если все кор- ни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части. Теорема 2. Нелинейная система неустойчива "в малом", если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной сис- темы имеет положительную вещественную часть. 132
В тех случаях, когда характеристическое уравнение первого при- ближения имеет нулевые или чисто мнимые корни, а все другие его корни имеют отрицательную действительную часть, судить об устойчи- вости исходной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Неучтенные нелинейности могут по-разному влиять на поведение сис- темы. Для оценки устойчивости исходной системы необходимо учиты- вать отброшенные при линеаризации члены высшего порядка малости. Этот случай называется критическим. Определение устойчивости системы по виду корней характеристи- ческого уравнения возможно лишь в наиболее простых случаях. Обыч- но устойчивость системы определяется косвенными методами с помо- щью так называемых критериев устойчивости. 4.2. Алгебраический критерий устойчивости Рауса - Гурвица Алгебраическими называются такие критерии устойчивости, кото- рые позволяют вынести суждение об устойчивости системы путем вы- числений, производимых над коэффициентами ее характеристического уравнения. Из алгебраических критериев устойчивости наибольшее распространение получил критерий Рауса - Гурвица. В разной форме он был предложен сначала английским математиком Е. Раусом (Routh), а затем швейцарским математиком А. Гурвицем (Hurwitz) в конце XIX века. Приведем формулировку критерия Рауса - Гурвица. Для того что- бы динамическая система была устойчива (т.е. чтобы все корни харак- теристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости s), необходимо и достаточно, чтобы при ап > 0 определи- тель Рауса - Гурвица и все его диагональные миноры были больше нуля. Таким образом, критерий Рауса - Гурвица позволяет судить о по- ложении корней характеристического уравнения на комплексной плос- кости 5, а следовательно, об устойчивости системы, не решая характе- ристического уравнения. Правило составления главного определителя Рауса - Гурвица, имеющего п строк и п столбцов, где п - порядок характеристического уравнения, состоит в следующем: 1) сначала заполняется главная диагональ определителя, начиная с коэффициента ап_^ и заканчивая коэффициентом а®; 133
2) затем заполняются остальные места в строках матрицы таким образом: • индексы коэффициентов в строке определяются относительно индекса коэффициента, находящегося на главной диагонали. Индексы коэффициентов, стоящих слева от него, последовательно убывают, а стоящих справа, возрастают, причем также используется Индекс п; • все недостающие коэффициенты, т.е. коэффициенты с индекса- ми, большими п или меньшими нуля, заменяются нулями. В соответствий с указанным правилом определитель Payda - Гурвица имеет следующий вид: *л-1 ап 0 ... О ^я-3 ап-2 ап-\ ........... О 0 Йд О 0 0 0 аб Пример. Построить главный определитель Рауса - Гурвица для системы, которая характеризуется следующим характеристическим уравнением: 4 3 2 а4 • s + • s’ + а2 s + О] • s + а0 = 0. г зА'ф’ Л1 •ПЯЧ | - _i ( ». .3'-, М <♦» - I « - : ' 'И J ' I Ч off Воспользовавшись правилом составления главного определителя Рауса - Гурвица, получим: а3 а4 О О ^3 ^4 0 CIq 6^2 •• ' М ИП ПОН». 0 0 0 п0 Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости систе- мы по данному критерию является положительность всех коэффициен- тов. Анализ устойчивости САУ следует начинать с этого простого, не- обходимого, но не достаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и про- верке остальных неравенств. 134
Достоинствами критерия Рауса - Гурвица являются: I) возможность простой аналитической проверки факта устойчи- вости (особенно для систем первого и второго порядков); 2) удобство использования на ЭВМ. Рассмотрим методику исследования устойчивости системы по кри- терию Рауса - Гурвица на примере замкнутой САУ, включающей усили- тель и двигатель (рис,4.7). U(t) евх(0 е(о Усилитель ®вых(О Рис.4.7. Структурная схема замкнутой САУ Составим систему уравнений, описывающих поведение САУ, при этом будем учитывать не только коэффициенты передач отдельных уст- ройств, но и их динамику (инерционность): е^0Вх-0ВЫх; (4-8) Гу -Uy + Uy =ку е; (4.9) ТдВ 0'вых + 6'вых = кпв иV. (4.10) ДО лЬ1А ПЫЛ ДИ у X ' Из системы трех уравнений (4.8) - (4.10) получим линейное неод- нородное дифференциальное уравнение, связывающее 0ВЫХ и 0ВХ . Для чего выполним следующие действия. Из дифференциального уравнения (4.10) найдем: (/ = /дв ‘ °вых РВЬ1Х (4 11) У *ДВ ’ После дифференцирования (4.11) имеем: У I о" [/' = >..'Рвь,х^РвЫх (4 12) ^дв 135
Подставив (4.11) и (4.12) в (4.9), с учетом (4.8) получим: Т 1 -—(т^ -е;нх+овых)+—-(7дВ -е;ых +е;ых)= к№ к№ (4 13) — ку (6ВХ — 6выХ)- Запишем уравнение вынужденных колебаний системы, для чего выходные величины и их производные переместим в левую часть уравнения (4.13): Т —~— (Т№ евых + овь1х) +• > j v ДЬ ВЫЛ ВЫХ у ^ДВ ’ У (4.14) + т—т~ <гдВ евых + евых) + евь1х = евх. «да ’ Лу Устойчивость определим по свободным колебаниям (4.14), т.е. при 6ВХ =0: ТУ гДв е7ыХ + (ту + тдв) евых+евых + ку кдв евых = о. (4.15) На основании (4.15) запишем характеристическое уравнение сис- темы: Ту Тда '5'3 +(Ту +ТДВ) s2 +s + ку к№ =0. (4.16) Проанализируем функционирование системы при Ту = 0,007 с; Т№ = 0,2 с ; ку kJ№ = 300. Применительно к (4.16) имеем: 0,0014 ? + 0,207 s2 + 5 + 300 = 0. (4.17) Воспользуемся критерием Рауса - Гурвица: все коэффициенты уравнения (4.17) положительные. В соответствии с алгебраическим кри- терием для характеристического уравнения a3sJ +a2s2 +а^ + ап =0 имеем определитель а2 Д3 - а0 0 аз 0 П] а2 0 67q 136
Для рассматриваемой системы а3 = 0,0014 > 0 0,207 0,0014 О 300 0 1 0,207 = -63,9<0. О 300 Главный определитель Рауса - Гурвица отрицательный, поэтому система неустойчива. Перечислим основные недостатки критерия Рауса - Гурвица: 1) громоздкий; условия устойчивости усложняются с ростом по- рядка характеристического уравнения или, что то же самое, с ростом порядка системы; 2) показывая степень устойчивости системы, не определяет влия- ние тех или иных параметров и структуры системы на ее устойчивость. Эти недостатки привели к поискам других критериев, более удоб- ных в инженерной практике. В частности, в 1914 г. П. Льенар и Р. Шипар на основе критерия Рауса - Гурвица разработали критерий, содержащий примерно вдвое мень- ше проверок и состоящий в следующем: чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, а следовательно, система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все коэффици- енты уравнения были положительными а0 > 0, > 0,..., ап > 0, а так- же, чтобы все диагональные миноры четного порядка А2, Ад, А6,... или все диагональные миноры нечетного порядка А|, А3, Д5 главного оп- ределителя Рауса - Гурвица тоже были положительными. 4.3. Критерий устойчивости Михайлова Частотные критерии позволяют вынести суждение об устойчиво- сти САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии имеют простую интерпретацию и наглядность. Они дают возможность: • не только выяснить вопрос об устойчивости систем высокого порядка, но также определить влияние отдельных звеньев и параметров на устойчивость и качество системы; • опираться на экспериментальные данные и переходить непо- средственно к синтезу САУ; • широко использовать графические построения. 137
В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из принципа аргумента, изучаемого в теории функций комплексного пере- менного. Рассмотрим алгебраическое уравнение cznA” + А” ' +... + <2]А + г/р — 0, где at - рациональные числа, i = 1, 2 ... п. Обозначим: D(k ) = + а„_1Аи-1 +... + cijA + а0. Если А, - корни алгебраического уравнения, то: В(А) = а„(А - Aj )(А - А2)...(А - А„). (4.18) Возьмем комплексную плоскость и отображение на ней векторов, соответствующих корням алгебраического уравнения (рис.4.8). На ком- плексной плоскости каждый корень А(- можно изобразить в виде векто- ра А(-, проведенного из начала координат к точке А(- = а, + /0г-. Раз- ность двух векторов А — А, - это вектор, проведенный из точки А, к точке А. Пусть А —/СО. Модуль вектора j(£>—\ обозначим через | /со—А(- |, его аргумент или фазу - через arg| |.Соответст- а б в Рис. 4.8. К пояснению принципа аргумента: а - представление корня уравнения в виде вектора; б - разность векторов, являющихся сомножителями для выражения (4.18); в - разность векторов при А = /О) 138
венно модуль и аргумент вектора D(j(ri) определяются следующим образом: \D(J& )| = ап | jco | |j& - 121 .. |> - |; arg(Z)( ja )) = arg(yco - ) + arg(jco -12) +... + arg( ja - kn) При изменении частоты co от —ю до +°о каждый элементарный вектор /со — А. , скользя вдоль мнимой оси Im (рис.4.9), повернется на угол: • +71, если его начало (корень алгебраического уравнения) лежит в левой части комплексной плоскости; • —71, если его начало находится в правой части комплексной плоскости. Напомним, что за положительное направление принимается вра- щение вектора против часовой стрелки. Корень определяет точку на комплексной плоскости, относительно которой поворачивается вектор JCD-XZ. Предположим, что уравнение D(Z) = 0 имеет I корней в левой части комплексной плоскости и т корней в правой, причем 1 + т = п. Тогда при изменении частоты со от —до +°о угол поворота вектора D(j’co) будет равен сумме изменений аргументов элементар- ных векторов и составит величину arg[D(jCO)] = л/ - ли = л(/ - т). Рис. 4.9. Поворот векторов при изменении частоты со 139
Приведем формулировку принципа аргумента-, изменение аргу- мента вектора D(jCO) при изменении частоты (0 от —°одо +<х> равно разности (/ — т) корней уравнения D(X) = 0, лежащих соответственно в левой и правой части комплексной плоскости, умноженной на число п. По углу поворота вектора D(J(£>) можно судить об устойчивости САУ. Ниже будут рассмотрены основные частотные критерии устойчи- вости: критерий Михайлова, амплитудно-фазовый критерий Найквиста и его аналог - логарифмический критерий устойчивости. Критерий Михайлова сформулирован русским ученым В.А. Михайловым в 1938 г. Критерий устойчивости Михайлова являет- ся геометрической интерпретацией принципа аргумента и позволяет су- дить об устойчивости системы на основании некоторой кривой. Рассмотрим полином M(s) =Qnsn + an_1sn~l + ...ajS + a0, образованный из характеристического уравнения замкнутой системы, если исследуется устойчивость замкнутой системы, или образованный из характеристического уравнения разомкнутой системы, если исследу- ется устойчивость разомкнутой системы. Заменив оператор 5 на jсо, получим комплексный полином М(/оУ), который после выделения мнимой и вещественной частей имеет вид: М {jca} = [/(со) + j V (со), где U(со) и V(СО) - вещественная и мнимая части. При фиксированном значении СО комплексное выражение М можно представить вектором на комплексной плоскости, который назы- вают вектором Михайлова. При изменении значения СО в интервале —< со < вектор Ми- хайлова будет поворачиваться относительно начала координат и описы- вать траекторию на комплексной плоскости ([/, j’V). Полученный график функции M(jco) называется кривой Михайлова, или годографом Михай- лова По очертанию кривой Михайлова можно судить о знаках веществен- ной части корней многочлена М (/СО), т.е. об устойчивости САУ. Критерии Михайлова, для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор Михайлова при изме- 140
нении параметра со от — <=° до +°° повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол +пп, где п - степень характеристического многочлена. Годограф Михайлова достаточно строить для частоты со, изме- няющейся только в диапазоне от 0 до , так как годограф симметри- чен относительно вещественной оси. В этом случае (для положительных значений частот) вектор Михайлова устойчивой системы повернется на угол, в два раза меньший, т.е. равный ‘гпк/2, последовательно проходя п квадратов комплексной плоскости. На рис 4.10 приведены приме- ры годографов устойчивых систем первого, второго и пятого порядков. Для большей наглядности все годо- графы имеют одинаковое значение коэффициента а0. Если вектор Михайлова повер- нется на угол, меньший +лтс/2, то это значит, что характеристический полином M(s) имеет корни с по- ложительной вещественной частью, а следовательно, САУ является не- устойчивой. Примеры годографов неустой- чивых систем приведены на рис.4.11: Рис.4.10. Примеры годографов ус- тойчивых систем первого, второго и пятого порядков а) при со=0 кривая Михайлова начинается на отрицательной оси. Это значит, что коэффициент а0 < 0, следовательно, система неустойчивая; б) количество квадрантов, пройденных кривой Михайлова, не со- ответствует порядку характеристического уравнения. Кривая Михайло- ва расположена в одном квадранте, для устойчивой системы пятого по- рядка она должна обойти пять квадрантов; в) нарушена последовательность прохождения квадрантов кривой Михайлова. Она должна проходить квадранты в строгой последова- тельности (первый, второй и т.д.). Примеры годографов систем, находящихся на границе устойчиво- сти, показаны на рис.4.12: а) кривая Михайлова начинается в начале координат. Это значит, что характеристическое уравнение имеет нулевой корень; 141
Рис.4.11. Примеры годографов неустойчивых систем третьего, четвертого и пятого порядков Рис. 4.12. Примеры годографов систем, находящихся на границе устойчивости б) кривая Михайлова проходит через начало координат, следова- тельно, характеристическое уравнение имеет чисто мнимый корень. Пример 1. Передаточная функция разомкнутой системы по управляющему воздействию имеет вид: w)=-A-. Ts-1 Применив критерий Михайлова, оценить устойчивость замкнутой системы. Находим передаточную функцию замкнутой системы: 1 + W(s) Ts-1 + А: 142
По знаменателю передаточной функции определяем уравнение кривой Михайлова: М (jbi) = к — 1+ )(лТ. Следовательно, U(со) = к — 1 и V(со) = j’coT. Строим годограф Михайлова (рис.4.13). Годограф имеет вид прямой. При к < 1 он начинается на отрица- тельной действительной оси, поэто- му условия критерия не выполняют- ся, и замкнутая система является неустойчивой. При к > 1 годограф размещается в первом квадранте, условия критерия выполняются, и замкнутая система устойчива. Рис.4.13. Система неустойчивая - к < 1 Пример 2. Передаточная функция разомкнутой системы по управ- ляющему воздействию имеет вид: 1Г(5) = к s(Ts—{) ' Применив критерий Михайлова, оценить устойчивость замкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы: 1 + 1V(S) Ts1 2-s + k По знаменателю Ф(х) определя- ем уравнение кривой Михайлова: M(ja>) = к-Ты2 - ja>. 2 Следовательно, U (со) = к—Т(л и V(co) = —со. Строим годограф замкнутой сис- темы (рис.4.14). Годограф проходит сначала чет- вертый, а потом третий квадрант, что не соответствует условиям критерия Михайлова. Следовательно, система в замкнутом состоянии неустойчива. Рис.4.14. Система неустойчивая - нарушена очередность прохождения квадрантов 143
Пример 3. Свободное движение системы описывается дифферен- циальным уравнением (а4р4 +а3р3 + а2р2 + а{р+ 1 +k)x(f) = 0, где оператор дифференцирования; а4=0,02; а3=0,25; а2 =1; = 5. Определить значение коэффициента передачи к , соответст- вующее границе устойчивости. Записываем характеристическое уравнение: a4s4 + а353 + a2s2 + eqs +1 + к = 0. После подстановки х = /СО U (со) = 1 + к — аг®2 +а4со4; V(co) = alco-a3co3. Значение коэффициента передачи, соответствующее границе ус- тойчивости, можно определить, если решить систему уравнений, полу- ченную приравниванием действительной и мнимой частей к нулю: I + к - а2со2 + «4со4 = 0; <7]СО-а3со3 =0. Решая систему уравнений, получаем: _ аха2 а4а2 что с учетом значений коэффициентов, заданных по условию задачи, дает к = 11. 4.4. Следствия из критерия Михайлова На практике не обязательно строить годограф Михайлова. Для ис- следования устойчивости системы достаточно воспользоваться следст- виями из критерия Михайлова. Критерий Михайлова может быть сформулирован в виде правила чередования (перемежаемости) корней уравнений V (со) = 0 и V (со) = 0, при этом полином Михайлова = U(со) 4- /V(co). 144
Известно, что при изменении частоты со от 0 до °° вектор Михай- лова устойчивой системы должен последовательно проходить квадран- ты комплексной плоскости. В этом случае он поочередно пересекает мнимую и вещественную оси. В точках пересечения вещественной оси обращается в нуль мнимая часть функции Михайлова (V(co)=0), а в точках пересечения мнимой оси - действительная ее часть ([/(со) = 0). Пример. Рассмотрим годо- граф Михайлова для характери- стического уравнения пятого по- рядка (рис.4.15). Отметим точки пересечения координатных осей COj , CD2 > С03 ’ ^4 ’ ^5 ' Вещественную и мнимую час- ти полинома Михайлова можно представить графически в виде кри- вых. Изобразим функции U (со) и V (со) на одном графике (рис.4.16). Рис. 4.15. Годограф Михайлова для п = 5 Годограф поочередно пересекает мнимую и действительную оси, поэтому на совмещенном графике корни уравнений U (со) = 0 и V(co) = 0 чередуются. Приведем три следствия из критерия Михайлова и проиллюст- рируем их на примере рассмотренного годографа Михайлова. 145
Первое следствие. Суммарное число корней вещественной и мни- мой частей годографа Михайлова должно равняться порядку характери- стического уравнения системы. В нашем примере уравнение U (со) = 0 имеет два корня: со2, со4, уравнение V(co) = 0 имеет три корня: С0|,С0з,С05. Суммарное число корней равно порядку характеристического уравнения. Второе следствие. Корни вещественной и мнимой частей полино- ма Михайлова должны быть только действительными и чередоваться по оси частот между собой. Из рис.4.16 видно, что это условие выполняется. Третье следствие. При СО = О должно выполняться соотношение: [/(0) > 0. Действительно, для устойчивой системы все коэффициенты характеристического уравнения, в том числе коэффициент п0, должны быть больше нуля ([/(0) = а0 > 0). Кроме того, первая производная функции V(со) при со = 0 должна быть положительной, т.е. V (0) > 0. Это необходимо, чтобы обеспечить поворот вектора М ( jb)) из началь- ной точки против часовой стрелки при увеличении частоты. Следствия из критерия Михайлова являются необходимым услови- ем устойчивости. Выполнение одновременно трех следствий дает необ- ходимое и достаточное условие устойчивости. Таким образом, система будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая части полинома Михайлова имеют только действительные и чередую- щиеся на оси частот корни, суммарное число корней равно порядку ха- рактеристического уравнения и при со=0 выполняются неравенства (7(0)>0 и Г(0)>0. Рассмотрим использование следствий из критерия Михайлова для устойчивости системы "усилитель - двигатель" (см. рис.4.7). Характери- стическое уравнение (4.16) после подстановки х = ja> имеет вид: - >к>3ТуТда - со2(Ту + ТДЕ) + jto+ кукДВ = 0. Выделим действительную и мнимую части: (7(со) = -to2 (Ту + ТДЕ ) + кукДВ; У(со) =-со3ТуТдв + со. 146
Подставив Ту = 0,007 с ; ТДЕ = 0,2 с; ку кав = 300, получим: [/(со) = -0,207to2+300; V(co) = —со3 -0,0014 +со. Определим корни годографа Михайлова: • для вещественной части: — 0,207со2 + 300 = 0, откуда со12 = ±-^/1449,2 = ±38,1 (отрица- тельные значения частот отбрасываются); • для мнимой части: 3 2 1 — со' 0,0014 +со = 0, имеем три корня: со, =0, со9Ч =---, ’ 0,0014 со2 з — ±26,7. Проверим выполнение следствий из критерия Михайлова: 1) суммарное число корней равно порядку характеристического уравнения; 2) корни уравнений U (со) = 0 и V (со) = 0 являются действитель- ными числами, однако не череду- ются по оси частот (рис.4.17), сле- довательно, данная система неустойчива; 3) третье следствие выполня- ется, однако это уже не влияет на устойчивость системы. Перечислим достоинства кри- терия Михайлова: 1) он проще, чем алгебраиче- ский критерий Гурвица; 2) V(co) Рис.4.17. Графики функций [/(со) и Ци) для системы "усилитель - двигатель" позволяет определить при малых порядках характеристического уравнения, какая система более устойчива; 3) дает возможность установить в ряде случаев, что необходимо сделать, чтобы система стала более устойчивой. Рассмотрим две устойчивые системы (рис.4.18). Более устойчивой является первая система, так как корни ее уравнений U (со) = 0 и V(со) = 0 больше "разнесены" по оси частот. Если бы кривые [/(со) и 147
Рис.4.18. Исследование устойчивости системы по виду функций 1/(ф) и У(и): а - более устойчивая система; б - менее устойчивая система V((О) пересекались на оси абсцисс, то кривая Михайлова проходила бы через начало координат и система находилась бы на границе устойчиво- сти. Малейшее отклонение от этого состояния может перевести систему в неустойчивое состояние. 4.5. Критерий устойчивости Найквиста На практике при исследовании устойчивости САУ широкое рас- пространение получил амплитудно-фазовый критерий Найквиста. Этот критерий был предложен американским ученым Г. Найквистом в 1932 г. В отличие от критерия Михайлова, в котором для исследования устой- чивости замкнутой системы используется полином, полученный из ха- рактеристического уравнения также замкнутой системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике системы в разомкнутом состоянии. Передаточная функция разомкнутой системы (рис.4.19) имеет вид: X(s) M(s) = = (4.20) Е(5) D(s) Разомкнутая система может быть устойчивой или неустойчивой. Проблема заключается в том, чтобы в любом из двух случаев сделать замкнутую систему устойчивой. Для определения устойчивости замкну- 148
Рис. 4.19. Исследование устойчивости замкнутой системы по поведению разомкнутой системы той системы запишем формулу для ее передаточной функции (см. рис.4.18) с учетом соотношения (4.20): Л/(л) Ф(.) = (4.21) H-FT(s) 1 +W) D(s)+M(s) Устойчивость замкнутой системы определяется знаменателем (4.21), т.е. полиномом D(s) + M(s). При обосновании амплитудно- фазового критерия устойчивости важную роль играет вспомогательная функция . , ТТЛ/ \ , M(s) D(s)+M(s) 71(5) = 1+Ж(5) = 1+—птч • (422) D(s) D(s) Заметим, что числитель функции представляет собой характери- стический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристи- ческий полином той же системы, но разомкнутой. Рассмотрим важное свойство аргумента функции Г](5), в теории функции комплексного переменного носящее название принципа аргу- мента. Пусть уравнение D(s) + M(s) = 0 имеет корней в правой полуплоскости комплексной плоскости (правых корней) и /] корней в ее левой полуплоскости (левых корней), а уравнение D(s) = 0 - соот- ветственно т2 и /2 таких корней. Тогда при изменении частоты со в диапазоне от —до +°° соответствующее изменение угла поворота вектора т]( /со) = 1 + VV'(/co) будет равно Л arg[T](jco)] = Л arg[£>( jco) + М (jco)] - Л arg D(./co). -И < СО < +°° 149
На основе принципа аргумента (см. § 4.3) соотношение (4.23) мож- но записать: Aarg[T)(»] = я[(/1 - - (/2 - m2)]. j —со < СО < -1-00 Для реальных систем степень многочлена M(s) не превышает степени многочлена D(s), т.е. deg M(s)< deg D(s~), отсюда следует, что deg[M (s) + D(5)] = degD(^). (4.25) Таким образом, с учетом (4.25) имеем: li+mi=l2+m2=n, (4.26) где п - порядок характеристического уравнения разомкнутой системы или замкнутой системы (оба порядка имеют одинаковую величину). Следовательно, приняв во внимание (4.26), 1\ =п-; /2 = п - т2, (4.27) после подстановки (4.27) в (4.24) получим: Aarg[r|( /со)] = я[(/1 -mi-mi)—{n — m2-т2)] = 2п(т2 -) ’ (4.28) —оо < (0< -f-oo Часто рассматривают изменение частоты на интервале 0 < со < °°. В этом случае изменение угла будет в два раза меньше, поэтому Aarg[T)( /со)] = п(т2 -т,). 0<со<-н>= Последнее соотношение представляет собой аналитическую запись принципа аргумента. Критерий устойчивости Найквиста подразделяется на два частных критерия, связанных с поведением разомкнутой системы, которая мо- жет быть устойчивой или неустойчивой. Формулировка критерия 1. Для того чтобы система, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая р правых корней, была устойчи- вой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при изме- нении частоты (О в диапазоне от 0 до °° годограф разомкнутой систе- мы W(/co) охватывал критическую точку (—1,/0) в положительном направлении р/2 раз. 150
Этот критерий следует из свойства (4.29) функции T](.v). Характе- ристическое уравнение D(s) + M(s) = 0 устойчивой замкнутой систе- мы не имеет правых корней, подставив = 0 в (4.29), получим: Дагё[Т1(»] = 2лД (430) О<оэ<-Н-=> Соотношение (4.30) эквивалентно тому, что годограф функции Т]( /ОЭ) должен сделать р!2 оборотов вокруг начала координат. Функция т](/со) = 1 + Ж(/со) отличается от функции Ж(/со) на единицу. Чтобы не строить годограф T|(jco) по выражению (4.22), мож- но построить годограф l¥(усо) по более простому выражению (4.21) и в дальнейшем использовать его вместо годографа т|( /со) (рис.4.20). а б в Рис.4.20. К пояснению формулировки критерия устойчивости Найквиста: а - V7(/co) в системе координат Re[W(/co)] и Im[W(/co)]; б - т)(/со) в системе ко- ординат Re[W(/co) + 1] и Im[W(/co) + 1], поворот вектора т](/со) рассматривается относительно начала координат (0, j0); в - W(jco) используется вместо функции т|(/со) в системе координат Re[W[/co)] и Im[W(/co)], поворот вектора Шдо) рассматривается относительно точки (-1,/0) Годограф W(j(ti) (рис.4.20,в) получается из годографа 11(.7со)-1 + Н,(./со) (рис.4.20,б), если вектор l + W(/co) сложить с -1 при 0 < со< оо . Поэтому точке (0; /0) на плоскости T](jco) = 1 + W(,/со) соответствует точка (—1; /0) на плоскости IV(/co). 151
Таким образом, для определения устойчивости системы годограф строится в системе координат Re[VT(/co)] Im[VV(/со)], однако его поворот рассматривается относительно точки (—1; /0) , а не (0;/0). Из рис.4.20 также следует, что число оборотов годографа T](jco) вокруг начала координат равно числу оборотов годографа FF(jco) во- круг точки (—1; уО). Рассмотрим примеры систем, которые являются неустойчивыми в разомкнутом состоянии и устойчивыми в замкнутом. Рис.4.21. Годограф системы, неустой- чивой в разомкнутом и устойчивой в замкнутом состояниях при р = 2 Пусть характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет два правых корня (/? = 2) и ее годограф показан на рис.4.21. Тогда замкнутая система будет ус- тойчивой, так как годограф ра- зомкнутой системы охватывает критическую точку (—1; /0) в по- ложительном направлении только один раз и р / 2 = 1. На рис.4.22 приведены еще два годографа устойчивых замкнутых систем, которые являются неустойчивыми в разомкнутом состоянии, так как имеют соответственно один и два правых корня. Формулировка критерия 2. Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была также устойчивой в замкнутом состоя- нии, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты со от 0 до °° АФХ разомкнутой системы не охватывала критическую точку. Рис. 4.22. Годографы систем, неустойчивых в разомкнутом и устойчивых в замкнутом состояниях при различном числе правых корней р 152
Этот критерий, как и критерий 1, следует из свойства (4.29) функ- ции . Действительно, характеристические уравнения устойчивых замкнутой и разомкнутой систем не имеют правых корней, т.е. н?1 = /и2 = 0 > следовательно, A arg[T]( /со)] = 2пт2 = 0. —оо < (О < +°° Данное условие будет выполняться, если годограф T](/CO) = 1 + УУ(/СО) не охватывает начало координат, а значит, годо- граф 1У( /со) не должен охватывать критическую точку (—l;jco). При сложной структурной схеме САУ форма АФХ бывает на- столько усложнена, что по ней трудно судить о попадании точки (— 1; J0) в замкнутый KOinyp. Для практического применения критерия устойчивости Найквиста удобнее использовать другую его формули- ровку, которая не требует вычисления изменения аргумента. В основе этой формулировки лежат два утверждения. Утверждение 1. Изменение аргумента вектора Т]( /со) при возрас- тании со от 0 до +°° будет равно нулю, если числа переходов ИД /со) через отрезок действительной оси (—°°; — 1) с верхней полуплоскости в нижнюю и с нижней полуплоскости в верхнюю равны между собой. Утверждение 2. Указанное изменение аргумента вектора Д(усо) будет равно ±лр , если разность между переходами равна р!2. Назовем переход АФХ W( /со) положительным, если при возрас- тании частоты со годограф через отрезок действительной оси (—°°; — I) проходит с верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным - в про- тивоположном случае Установленные ранее критерии устойчивости можно теперь сформулировать следующим образом. Модификация формулировки критерия 1. Если разомкнутая систе- ма неустойчивая, то замкнутая система будет устойчивой, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ W(ja>) отрезка действительной оси (—— 1) равна р/2. Модификация формулировки критерия 2. Если разомкнутая система устойчивая или нейтрально-устойчивая (р = 0), то замкнутая система бу- дет устойчивой, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ отрезка действительной оси — 1) равна нулю. 153
Применение критерия устойчивости Найквиста в таких формули- ровках крайне просто и сводится к выполнению следующей последова- тельности действий: 1) найти точки пересечения годографом отрезка действительной оси (—°°; — 1), 2) в точках пересечения годографом оси (—°°; — 1) проставить стрелки, направленные в сторону возрастания частоты (О; 3) найти разность между числом стрелок, направленных вверх и вниз; сделать вывод об устойчивости системы. При подсчете числа переходов надо учитывать следующее обстоя- тельство. Если JV(j(O) при (0=0 начинается на отрезке действитель- ной оси (—°°; — 1), то считается, что W(j(0) совершает половину пере- хода. Пример. Пусть разомкнутая система неустойчива и р = 2. Для ам- плитудно-фазовой характеристики, изображенной на рис.4.23, имеем разность положительных и отрицательных переходов: 2-1 = 1, поэтому замкнутая система будет устойчивой, так как р/2 = 2/2 = 1. Рис.4.23. К пояснению формулировки критерия устойчивости Найквиста, не требующей вычисления изменения аргумента 154
Отметим следующие достоинства критерия устойчивости Найквиста: 1) исследует устойчивость замкнутых динамических систем по частотным характеристикам разомкнутых систем, которые строить зна- чительно проще, поэтому его целесообразно использовать при исследовании сложных систем; 2) оказывается единственно применимым, когда некоторые или все характеристики отдельных элементов системы заданы экспериментально; 3) удобен при анализе систем, описываемых аналитическими функциями, отличными от дробно-рациональных (например, иррацио- нальными, показательными, трансцендентными и др.), а также при ана- лизе систем с запаздыванием; 4) имеет ясный физический смысл; позволяет наглядно проследить влияние параметров передаточной функции на устойчивость системы; 5) дает возможность использовать частотные характеристики разомкнутых систем, полученные при анализе устойчивости, и на других этапах исследования САУ (при анализе качества регулирования, для построения частотных характеристик замкнутых систем). 4.6. Применение критерия устойчивости Найквиста для астатических систем АФХ статических систем при изменении частоты от 0 до +<*> образуют замкнутый контур (рис.4.24). Для устойчивых систем он начинается на вещественной оси в точке (&;0). Сдвиг фаз изменяет- ся в пределах от (р = 0 при (0 = 0 до <р = — пл/2, где п - порядок системы при О) —> <=«. Астатические системы содержат интегрирующие звенья. Поэтому их пе- редаточные функции имеют полюс 5 = 0, находящийся на границе левой и правой полуплоскостей корней (т.е. ра- зомкнутая система нейтрально- устойчивая). АФХ разомкнутой астатической системы может быть представлена в следующем виде: Рис.4.24. График АФХ статиче- ской системы третьего порядка 155
л=.До kW0(s) _ kW0Uai) Sy s=ja (_/<0)7 (4.31) где у - порядок астатизма системы. Будем полагать, что Wq (.v) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости 5 . При со —> О АФХ разомкнутой системы стремится к бесконечности, а ее график претерпевает разрыв, т.е. не образует замкнутый контур. График АФХ астатической системы с двумя интегрирующими звеньями (V = 2) показан на рис.4.25. Для астатических систем трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, охватывает график ее АФХ критиче- скую точку (—1; у’О) или нет. Соответствующие доказательства показы- вают, что критерий устойчивости Найквиста для замкнутых астатических систем по отношению к ранее рассмотренным статическим системам не изменяется, но вносятся специфические изменения в вид АФХ. Во-первых, будем, как и ранее, полагать .v = /со, если со изменяет- ся в пределах 0 < со < <=° . Во-вторых, при со —»0 положим s — рехр(уср), причем р —> 0, а ср изменяется в пределах 0 < ср < л / 2. Геометрически это означает, что на комплексной плоскости начало ко- ординат, в котором аргумент argFH(jco) не имеет определенного зна- чения, обходится по дуге бесконечно малого радиуса (рис.4.26). Рис.4.25. График АФХ астатической системы второго порядка, имеющий разрыв при со —э О Рис.4.26. Устранение неопреде- ленности аргумента в точке начала координат 156
При изменении s вдоль дуги бесконечно малого радиуса р, с уче- том того, что J = рехр(уф); K(s) 1ПП------ .v->o Q(s) = k, получим: Г U/i A r A Z ,> W limIV(5) = lim———- = -----------r------= v y(‘ "• •’-»0 (s)y Q(s) (pe/<fj<2(5) р7'’ РУ <’ (4.32) Из соотношения (4.32) можно сделать следующий iibiiuMi: если точ- ка л' на комплексной плоскости корней обходи i и положи 1ельиом на- правлении (против часовой стре и) дугу бесконечно миноги радиуса, то соответствующая ей точка на плоскости П (*) /инн к ни и oipim.i- тельном направлении по дуге бесконечно больниц о раним <1 lim — е~^у =о®, p-^OpV при этом 0 < <р < тг / 2 и приращению аргумент A n«ii*i п/ кин ветствует приращение аргумента AargM (л). иычп< а. но форм\ле Aarg(F (.$)= у<р т.е. равное AargPHGs') =- П г1 С помощью такого приема удается ycip.unim о»» ленность аргумента argl'KCv) при 5=0 IIhiihmiiiim • комплексным числом, не имеющим опредеис iiiioi.. ......... *1"> Следовательно, чтобы судить об ycioll4iin>>i >н < тегрирующие звенья, необходимо график VI1 |............ дополнить следующим построением Гочку А'1 вечность при (о—>0, соединить с 1юло*нп,'п.и "< II тельной оси дутой. Эта дуга проводшея p.i in оМ
модуля из начала координат по часовой стрелке (в отрицательном на- . гт л правлении). Поворот вектора составляет угол---у. После указанного построения критерий устойчивости Найквиста к астатическим системам применяется обычным способом. Пример использования полученного подхода иллюстрирует рис.4.27 применительно к астатической системе второго порядка. Дан- ная система в замкнутом состоянии является устойчивой, так как гра- фик ее АФХ после проведенных дополнений не охватывает критиче- скую точку (—1;/0). Рис.4.27. График АФХ астатической системы второго порядка после дополнительных построений На рис.4.28 показаны графики АФХ еще двух систем с астатизмом второго порядка. Левый график относится к неустойчивой системе, кри- тическая точка попадает в замкнутый контур, правый график - к устой- чивой, критическая точка находится вне замкнутого контура. Соответ- ствующие примеры систем третьего порядка приведены на рис.4.29. При определении устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии и содержащей интегрирующие звенья, крите- рий устойчивости Найквиста после дополнительных построений приме- няется обычным способом. 158
Рис.4.28. Графики АЧХ астатических систем второго порядка после дополни- тельных построений: а - неустойчивой в замкнутом состоянии; б - устойчивой в замкнутом состоянии Рис.4.29. Графики АФХ астатических систем третьего порядка после дополни- тельных построений: а - неустойчивой в замкнутом состоянии; б - устойчивой в замкнутом состоянии Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы график АФХ разомкнутой системы после проведенных дополне- ний охватывал в положительном направлении точку (—1; 0) I / 2 раз, где I - число корней ее характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости. 159
4.7. Логарифмический критерий устойчивости Для определения устойчивости САУ по критерию Найквиста мож- но строить ЛЧХ, а не АФХ, что значительно упрощает применение кри- терия. Кроме того, построенные ЛЧХ могут быть использованы в даль- нейшем при исследовании качества САУ и синтезе корректирующих устройств. При использовании ЛЧХ об устойчивости замкнутой САУ судят по совместному поведению ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Ранее было показано, что устойчивость замкнутой системы связана с числом переходов АФХ разомкнутой системы через отрезок —1). Рассмотрим, как, используя ЛЧХ разомкнутой системы, оп- ределить число пересечений отрезка (-«>; —1) АФХ разомкнутой сис- темы. В том случае, когда АФХ пересекает отрицательную веществен- ную ось, ЛФЧХ пересекает одну из линий: ±71; ±3л; ±5л, .... Так как фазовая характеристика системы определяется с точностью до периода 2л, то чтобы сделать ее однозначной, условимся рассматривать значе- ния фазы в интервале (-2л; 0). Тогда пересечению АФХ разомкнутой системы отрезка (—°°; — 1) сверху вниз (положительный переход) будет соответствовать пересече- ние уровня —л снизу вверх при положительной логарифмической ам- плитудной характеристике. Следовательно, пересечение ЛФЧХ уровня —л снизу вверх при положительной ЛАЧХ следует считать за положи- тельный переход, а пересечение уровня —л сверху вниз при положи- тельной ЛАЧХ - за отрицательный. Соответствие между переходами уровня -л на АФХ и ЛФЧХ поясняется рис.4.30 и 4.31, где стрелками обозначены направления переходов и их знаки. Формулировка логарифмического критерия. Для того чтобы систе- ма, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая р полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости s, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы на тех частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ пересекала уровень —л так, чтобы + - Р + п —п = —, где п н п - соответственно количество положитель- 2 ных и отрицательных переходов. 160
Рис. 4.30. График АФХ неустойчивой разомкнутой системы (р = 2), устойчивой в замкнутом состоянии Рис.4.31. Графики ЛЧХ неустойчивой разомкнутой системы (р = 2), устойчивой в замкнутом состоянии Пример. Определить устойчивость замкнутой системы, которая в разомкнутом состоянии неустойчива (количество правых корней р = 2). АФХ системы приведена на рис.4.30. Из рассмотрения АФХ видно, что она один раз охватывает критическую точку в положительном направ- 161
лении. Следовательно, замкнутая система устойчивая. Тот же вывод от- носительно устойчивости замкнутой системы можно получить гораздо проще на основании ЛЧХ (см. рис.4.31) по логарифмическому крите- рию, подсчитав количество положительных (два) и отрицательных (один) переходов и найдя их разность (один). Аналогичные соображения справедливы и для замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. Например, рассмотрим АФХ и ЛЧХ системы, показанные соответственно на рис.4.32 и 4.33. Количест- во положительных и отрицательных переходов одинаковое, равное двум, следовательно, замкнутая система устойчивая, однако ЛЧХ ана- лизировать проще. Из формулировки логарифмического критерия можно сделать сле- дующий важный вывод: для того чтобы система, устойчивая в разомк- нутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна ( Lm (со) > 0), фазовая частотная характеристика: • либо не пересекала линию, соответствующую значению фазы (р = —тс (рис.4.34); • либо пересекала линию ср = — я четное число раз, т.е. чтобы п+ = п~ (рис.4.35). Аналогично исследованию устойчивости статических систем уста- навливается устойчивость астатических систем. Однако следует пом- нить об особенностях дополнительного построения на графике АФХ. На рис.4.36 показана АФХ астатической системы, дополненная дугой бес- конечно большого радиуса. Эта система является устойчивой в замкну- том состоянии, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает кри- тическую точку. Данной АФХ соответствуют ЛЧХ, представленные на рис.4.37. Точка 1 (рис.4.36) имеет значение фазы —тс рад, поэтому дан- ную точку также необходимо нанести на график ЛФЧХ (рис.4.37). Из ЛЧХ разомкнутой системы следует, что на тех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительна, количество отрицательных переходов равно количеству положительных (и+= 1, п~ = 1), поэтому система в замкнутом состоянии является устойчивой. 162
Рис.4.32. График АФХ устойчивой разомкнутой системы, имеющей по два положительных и отрицательных перехода Рис.4.33. Графики ЛЧХ устойчивой разомкнутой системы, имеющей по два положительных и отрицательных перехода 163
Рис.4.34. Графики ЛЧХ разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. На частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ не пересекает линию -л Рис.4.35. Графики ЛЧХ разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. На частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ пересекает линию -л по два раза в отрицательном и положительном направлениях 164
Рис.4.37. Дополнение ЛЧХ для астатических систем (пунктирная линия). Имеются один положительный и один отрицательный переходы 165
4.8. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе Часто система характеризуется формальным признаком устойчиво- сти, однако это еще не является гарантией того, что реализованная сис- тема на практике окажется устойчивой. Действительно, уравнения, опи- сывающие поведение системы, лишь приближенно отражают реальную картину ее функционирования. Параметры системы, принятые при рас- четах, лишь приблизительно соответствуют действительным парамет- рам, меняющимся в процессе эксплуатации. Например, происходит из- менение номиналов резисторов при изменении температуры окружающей среды, не остаются постоянными коэффициенты усиления транзисторов при случайных флуктуациях напряжения, имеет место из- менение сопротивления полупроводниковых выпрямителей с течением времени и т.д. Если по данным вычислений система близка к границе устойчивости, то на практике ввиду отличия реальных и расчетных па- раметров система может оказаться неустойчивой. Поскольку такое по- ложение недопустимо, проектируемая система должна обладать некото- рым запасом устойчивости, характеризующим удаленность системы от границы устойчивости и гарантирующим сохранение устойчивости при реальной эксплуатации. Устойчивость системы можно количественно оценить запасом ус- тойчивости по фазе и амплитуде (усилению). Предположим, что АФХ и ЛЧХ устойчивой системы в разомкнутом состоянии имеют вид, пред- ставленный на рис.4.38 и 4.39. Поставим два эксперимента. 1. Будем уменьшать коэффициент передачи разомкнутой системы, тогда все векторы АФХ 1V(/<o) будут, не изменяя фазы, уменьшать свой модуль (рис.4.38). Таким образом, точка а АФХ начнет смещаться вправо по оси абсцисс и приближаться к критической точке (-1; /0). Дальнейшее уменьшение коэффициента передачи сделает систему неус- тойчивой. Из рис.4.39 следует, что для выхода на границу устойчивости нуж- но уменьшить £„,(со) на величину ЗО^И^/о))] = . 2. Из исходного положения будем увеличивать коэффициент пере- дачи. Точка в (рис.4.38) начнет перемещаться по оси абсцисс влево и приближаться к критической точке (-1; /0). Для выхода на границу ус- тойчивости нужно увеличить Lm (со) на величину 20lg|Hz(/C'))| = т2 (рис.4.39). 166
Рис.4.38. К пояснению запасов устойчивости по амплитуде и фазе на АФХ разомкнутой системы Рис. 4.39. К пояснению запасов устойчивости по амплитуде и фазе на ЛЧХ разомкнутой системы (точка б соответствует частоте среза) 167
Величина, показывающая, во сколько раз нужно увеличить или уменьшить коэффициент передачи системы, чтобы она вышла на грани- цу устойчивости, называется запасом устойчивости по модулю. Запас по модулю должен быть не меньше 6-8 дБ, чтобы при измене- нии коэффициента передачи в 2 - 2,5 раза из-за изменения температуры, давления, старения механизмов и т.д. система не сделалась неустойчивой. Запас устойчивости по фазе соответствует значению угла у, пред- ставляющему превышение фазовой характеристики уровня -л радиан на частоте среза, т.е частоте, на которой ЛАЧХ принимает значение, рав- ное нулю (рис.4.39). Обычно в удовлетворительно работающей системе запас по фазе должен быть порядка 30 - 60°. В заключение отметим, что существуют противоречивые требова- ния относительно выбора величины коэффициента усиления. Повыше- ние точности предполагает увеличение коэффициента усиления, а дос- тижение необходимой устойчивости требует его уменьшения. Разрешение противоречия заключается в использовании корректирую- щих звеньев, позволяющих обеспечить устойчивость системы, не уменьшая значение коэффициента передачи. 168
Литература 1. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. - 768 с. 2. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 832 с. 3. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. - СПб.: Политехника, 1998. - 295 с. 4. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учеб, в 3-х т. Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. П.Д. Егупова. - М.: Изд- во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 748 с. 5. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 1985. - 536 с. 6. Теория автоматического управления: В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с. 7. Теория автоматического управления: 4.1 / Под ред. А.В. Нету- шила. - М.: Высшая школа, 1967. - 424 с. 8. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. Линейные стационарные и нестационарные модели. - М.: Энергоатомиздат, 1997. - 656 с. 9. Основы автоматического управления / Под ред. В.С. Пугачева. - М.: Наука, 1967. - 680 с. 10. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. - М.: Энергия, 1969. - 375 с. 169
Оглавление Введение............................................... 3 Глава 1. Принципы построения, классификация и матема- тическое описание процессов в автоматических системах.. 9 1.1. Теория управления. Основные понятия и термины. 9 1.2. Принципы автоматического управления ....... 11 1.3. Классификация математических моделей динамиче- ских систем...................................... 15 1.4. Типовые входные воздействия, их представление во временной и комплексной областях, практическое применение....................................... 18 1.5. Линеаризация динамических систем. Уравнения ди- намики и статики САУ. Пример линеаризации сис- темы управления.................................. 23 1.6. Частотные характеристики линейных динамических систем........................................... 30 1.7. Экспериментальное определение частотных характе- ристик линейной динамической системы............. 37 1.8. Передаточная функция линейной динамической сис- темы и ее свойства............................... 39 Глава 2. Математические модели типовых звеньев автома- тических систем....................................... 42 2.1. Общая характеристика типовых звеньев и их клас- сификация ....................................... 42 2.2. Апериодическое звено....................... 49 2.3. Логарифмические частотные характеристики. Мето- дика построения асимптотических ЛЧХ на примере апериодического звена............................ 56 2.4. Дифференцирующее звено первого порядка..... 63 2.5. Безынерционное звено....................... 69 2.6. Интегрирующее звено........................ 72 2.7. Идеальное дифференцирующее звено........... 76 2.8. Колебательное звено........................ 79 2.9. Дифференцирующее звено второго порядка..... 88 170
2.10. Зана 1дываю1Цее звено........................ 91 2.11. Неминимально фазовые и неустойчивые звенья. 1leyc гончпвос апериодическое звено................ 94 2.12. Me годика построения ЛЧХ сложных САУ......... 97 Глава 3. Структурные схемы и передаточные функции автоматических систем..................................... ЮЗ 3.1. Сложности реализации разомкнутых систем управ- ления. Преимущество использования замкнутых систем управления................................. 103 3.2. Функциональная схема замкнутой САУ, назначение отдельных устройств и элементов. Классификация САУ............................................... 107 3.3. Передаточная функция динамической системы в замкнутом и разомкнутом состояниях по различным видам воздействий................................. ПО 3.4. Правила преобразования структурных схем....... 117 3.5. Примеры преобразования структурной схемы слож- ной динамической системы.................'......... 122 Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления... 127 4.1, Понятие устойчивости. Устойчивость и корни харак- теристического уравнения........................... 127 4.2. Алгебраический критерий устойчивости Рауса - Гур- вица................................................ 133 4.3. Критерий устойчивости Михайлова................ 137 4.4. Следствия из критерия Михайлова................ 144 4.5. Критерий устойчивости Найквиста................ 148 4.6. Применение критерия устойчивости Найквиста для астатических систем................................. 155 4.7. Логарифмический критерий устойчивости.......... 160 4.8. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе........ 166 Литература................................................ 169 171