/
Author: Медведев Ф.А.
Tags: анализ математика интегралы интегральные уравнения издательство наука
Year: 1974
Text
РАЗВИТИЕ
(AAJdedfctM понятия
ИНТЕГРАЛА
А'К А Д Е М И Я НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
Ф. А. Медведев
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ
ИНТЕГРАЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «Н А У К А«
Москва 1974
УДК 517.3
Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. М., «Наука»,
1974.
В монографии рассматривается развитие понятия интеграла
от появления начатков интеграционных приемов до формиро-
вания понятия интеграла Лебега — Стилтьеса. Изложение
тесно связывается с развитием анализа и его приложениями,
различные обобщения понятия интеграла представляются как
необходимые следствия развития анализа и теории функций.
Книга рассчитана на широкие круги математиков и истори-
ков науки.
Библ. 819 назв., илл. 11.
Ответственный редактор
доктор физ.- матем. наук
А. П. ЮШКЕВИЧ
0221-0801
042(02)-74 385-73
'© Издательство «Наука», 1974 г.
ВВЕДЕНИЕ
Интегрирование дает общий метод
измерения физических величин.
В. И. Гливенко
Со словом «интеграл» в той или иной мере связаны вся мате-
матика и математическое естествознание. Действительно, до-
статочно поставить его в словосочетание «интеграл дифферен-
циального уравнения», как перед нами возникает беспредельная
область дифференциальных уравнений и их необозримых при-
ложений. Стоит произнести «интеграл Коши», как открывается
не менее обширная область теории функций комплексного пере-
менного. «Интеграл Фурье», «интеграл Лапласа», «сингулярные
интегралы», «специальные интегралы» — сколько их, различных
«интегралов», над которыми трудились и трудятся неисчисли-
мые когорты исследователей всех возможных рангов! Не слу-
чайно знак интеграла был выбран символом Международного
математического конгресса в Москве летом 1966 г.
Развитие понятия интеграла в самом общем значении этого
слова является в значительной степени развитием математики
в целом, и писать о более или менее подробной эволюции представ-
лений об интеграле вообще — практически безнадежное предприя-
тие. Мы существенно ограничим значение слова «интеграл»,
которым будем пользоваться далее. Здесь не будут рассматри-
ваться интегралы как функции, являющиеся решением тех или
иных дифференциальных уравнений. Не будет речи о функциях,
выражаемых интегралами с параметрами, вроде эйлеровых
интегралов первого и второго рода. Мы оставим в стороне инте-
гралы Коши и типа Коши теории функций комплексного пере-
менного. Не будем касаться интеграла Фурье, интегральных
преобразований Лапласа, всевозможных особых интегралов, при-
ближенных методов вычислений интегралов и т. д. Предметом
нашего исторического рассмотрения будут лишь интегралы, опре-
деляемые как пределы разного рода интегральных сумм, по-
строенных из одной или нескольких функций, и в меньшей мере ин-
тегралы — как разности значений примитивных, тесно связан-
ные с первыми, хотя и не совпадающие с ними.
Даже в таком ограниченном объеме история интеграла пред-
ставляет собой столь многогранную и многокрасочную картину,
что трудно обрисовать все ее детали с одинаковой степенью тща-
тельности. Понятием интеграла в этом смысле занимались тысячи
математиков, начиная с древнегреческого периода развития ма-
тематики и кончая сегодняшними днями; особенно интенсивные
3
исследования велись с начала XX столетия, и их поток не исся-
кает, а наоборот, все ширится и углубляется с каждым годом.
Пристальный интерес математиков к понятию интеграла в
указанном смысле не случаен. Как мы постараемся показать
в ходе настоящей работы, развивая мысль видного советского
математика В. И. Гливенко, приведенную в эпиграфе, интегри-
рование представляет собой абстрактное выражение разнообраз-
нейших способов измерения величин, и по мере вовлечения в чело-
веческое познание все новых и новых объектов реальной дей-
ствительности математики создают все более и более общие схемы
интеграционных процессов с тем, чтобы охватить все расширяю-
щийся круг объектов, подлежащих измерению. С этой точки
зрения развитие теории интегрирования оказывается столь же
безграничным, как и развитие человеческого познания. Поэтому,
чем ближе к нынешним дням, тем интенсивнее поток исследова-
ний, связанных с понятием интеграла: интенсивнее становится
рост научных знаний, в них вовлекается все больше новых объек-
тов, измерение которых требует новых методов. В качестве иллюст-
рации приведем здесь факт введения понятия континуального
интеграла, оказавшегося удобным средством математического
описания некоторых явлений, изучаемых квантовой механикой.
История понятия интеграла теснейшим образом связана с ис-
торией математики вообще. В качестве предварительных заме-
чаний укажем на некоторые из таких связей.
Введение в математику понятия функции надолго определило,
и в значительной степени определяет сейчас, развитие инте-
грального исчисления. Более определенно была указана задача
этого исчисления — интегрирование функций. И почти каждый
шаг в расширении понятия функции вызывал необходимость
в обобщении понятия интеграла. С другой стороны, интеграл
стал неотъемлемым орудием изучения свойств функций, и изъя-
тие этого орудия из арсенала теории функций мало что оставляет
от последней.
Появление интеграла Римана связано с теорией тригономе-
трических рядов. Вместе с тем сама эта теория до начала нашего
столетия базировалась на этом понятии, и многие ее тонкие ре-
зультаты были получены благодаря изучению свойств интеграла
Римана. В свою очередь разработка теории тригонометрических
рядов приводила, и приводит теперь, ко все новым, все более
усложненным концепциям интегрированного (ряд интегралов,
введенных Данжуа, Д-интеграл, чезаро-перроновские интегралы
и т. д.), которые оказываются необходимыми при изучении рядов.
От интеграла Римана ведет свое начало идея меры множеств,
выросшая в большую самостоятельную теорию. Но идея меры
множеств помогла сформулировать само понятие интеграла Ле-
бега, а также изучить многие его свойства. Обобщение понятия
меры, с одной стороны, приводило к более общим интегралам,
а с другой — обогащалось само представление о мере. Здесь
4
даже трудно в каждом отдельном случае установить, что чему
предшествовало в историческом развитии — мера или интеграл,
настолько эти понятия оказались взаимосвязанными.
Разработка теории интеграла в значительной мере способ-
ствовала появлению теории множеств, а построение последней
оказалось необходимым условием развития теории интегриро-
вания. Помимо уже отмеченной связи с теорией меры, укажем
еще на один факт. Понятие функции множества, введенное Коши
в 1841 г. из элементарных геометрических и физических сообра-
жений, долго оставалось в забвении, несмотря на попытки Пеано
(1887 г.) оживить его. И только в 1910 г., когда Лебег связал
это понятие с новым понятием интеграла, начался бурный про-
цесс разработки теории функций множеств, в ходе которой опять-
таки обогащалась и идея интегрирования.
Поскольку в само определение интеграла как предела сумм
входит понятие предела, то развитие последнего сопровождается
развитием теории интегрирования, и вновь трудно установить,
изучение какой идеи предшествует: и здесь, то из потребностей
рассмотрения более общих представлений об интеграле прихо-
дилось прибегать к более общим предельным переходам, то
благодаря наличию более общего понятия предела становилось
возможным строить более общую концепцию интегрирования.
Когда в математику были введены функции, заданные на аб-
страктных множествах и принимающие численные значения (функ-
ционалы), то при изучении интегрирования таких функций по-
надобилось привлечь средства функционального анализа и то-
пологии, и самые тонкие результаты последних математических
дисциплин оказались необходимыми при построении теории ин-
тегрирований, обобщающих прежние. Когда же, наряду с функ-
ционалами, стали рассматривать операторы, т. е. функции, за-
данные на абстрактных множествах и принимающие абстракт-
ные же значения, то в вопросах интегрирования пришлось об-
ратиться к средствам современной абстрактной алгебры. Как
и в предшествующих случаях, понятие интеграла не только обо-
гащалось при соприкосновении с новыми математическими дис-
циплинами, но и оказывалось существенньш в исследованиях
по этим наукам. Например, при изучении понятия функционала
основным средством аналитического изображения последнего
оказалось понятие интеграла в различных его модификациях;
аналогично обстояло дело и с понятием оператора.
Наиболее тесно интегрирование оказалось соединенным с
другой основной операцией математического анализа — с диф-
ференцированием. После длительного (от Архимеда и практи-
чески до Ньютона — Лейбница) раздельного изучения эти опе-
рации в XVH в. были объединены в том смысле, что одна опера-
ция стала рассматриваться как обращение другой, и они долго
изучались в этой их взаимосвязи. Введение интеграла Римана
5
в середине прошлого века нарушило эту связь. Оказалось, что,
с одной стороны, дифференцирование неопределенного интеграла
не всегда приводит к интегрируемой функции, а с другой — ин-
тегрирование не всегда позволяет восстанавливать по производ-
ной функции ее примитивную. Этот разрыв оказался стимулом
многих замечательных исследований, посвященных как той,
так и другой операции. Стремление восстановить нарушенную
связь интегрирования и дифференцирования, оказавшуюся пло-
дотворной на протяжении двухвекового развития математики
(середина XVII в.— середина XIX в.), привело к новым прекрас-
ным концепциям в области обеих этих операций. И хотя эта связь
не установлена до конца (имеются как интегрирования без соот-
ветствующих дифференциальных процессов, так и наоборот),
хотя высказываются предположения о принципиальной невоз-
можности единой теории интегрирования (А. Н. Колмогоров
[4, стр. 655]), однако идея этой связи становится все более и более
богатой, все более и более плодотворной.
Сказанное выше не означает, что развитие понятия интеграла
обусловливалось только внешними по отношению к нему фактора-
ми. На каждом этапе развития теории интегрирования всегда дей-
ствовали внутренние факторы, потребности, выраставшие в нед-
рах самой этой теории. Введение всякого нового интеграла, чем
бы оно не вызывалось, всегда ставило вопрос об основных свой-
ствах вновь введенного понятия, о сравнении этих свойств со свой-
ствами прежних понятий. Малейшее усложнение, допущенное
на начальных этапах и не обусловленное существом делат матема-
тики всегда стремились устранить, руководствуясь критерием
предельной простоты. Нередко одно и то же понятие разными мате-
матиками вводилось различными способами, внешне настолько
не схожими, что сами введенные объекты казались отличающимися
по существу. Доказательство эквивалентности внешне различных
понятий всегда было одной из значительных задач внутреннего
развития теории интегрирования. Точно так же обстояло дело
в случае неэквивалентности: всегда было важно установить,
какое понятие является более общим, или обнаружить область
пересечения новых понятий.
Тем не менее необходимо подчеркнуть, что указанные выше
внешние нужды были основными стимулами развития теории
интеграла. И хотя факторы самостоятельного развития далее по
необходимости будут рассматриваться более или менее подробно,
однако основное внимание мы постараемся сосредоточить на
потребностях внешнего порядка. Такой подход к эволюции поня-
тия интеграла усложняет наше изложение тем, что придется де-
лать экскурсы вне пределов собственно теории интегрирования.
Но без таких экскурсов реальный ход идеи интегрирования в ее
историческом развитии был бы настолько обеднен, что дело све-
лось бы к полухрестоматийному изложению различных концеп-
ций интегрирования в их исторической последовательности. Такое
6
изложение тоже представляет определенный интерес, но оно все же
недостаточно.
Разумеется, идеальным случаем было бы рассмотрение истори-
ческой картины развития понятия интеграла в рамках общей ис-
тории математики, а последней — в рамках общей истории есте-
ствознания, и еще лучше — развития человеческого познания
вообще. Однако такой подход был бы решением совсем другой
задачи, нежели та, которая ставится в настоящей работе. Со-
знательный отказ от того и другого, придание самостоятельного
существования одной части целого и вместе с тем учет влияния
этого целого на его составную часть — одна из самых трудных
задач, которые предстоит решить здесь.
Во введении хотелось бы выделить и следующую мысль, кото-
рая в ходе изложения не будет формулироваться отдельно, но будет
присутствовать в качестве подтекста на всем протяжении книги.
В результате большого труда математиков — преподавателей
и авторов учебных руководств — основные понятия анализа от-
работаны настолько, что ими могут овладевать и фактически
овладевают студенты младших курсов высших учебных заведений
(а сейчас в известной мере и учащиеся средних школ). Методиче-
ская отработка этих понятий, сравнительно легко обозримая
связь различных идей друг с другом обычно прочно скрывают то,
«благодаря какому огромному накоплению труда мы владеем
даже самыми обыкновенными нашими знаниями» Ч
Действительно, что может быть обыкновеннее определения
интеграла по Риману для человека, прослушавшего курс выс-
шей математики: если на отрезке (а, Ъ) задана однозначная огра-
ниченная функция / (х), то интегралом от / (я) в пределах от а
до b называется предел сумм
п
2 / (£i) (жг — Zi_l)
г 1
при стремящейся к нулю максимальной длине разбиения (а, Ь),
если этот предел существует. А между тем в этом определении,
как в капле, отражается море почти всей истории математики,
усилия необозримого числа ее создателей.
В самом деле, в нем мы прежде всего встречаемся со словом
«функция». А это слово столь емко, что его истории можно посвя-
тить целую книгу и связать с ним имена тысяч математиков прош-
лого, в результате трудов которых оно выкристаллизовалось
до такой прозрачности, что его теперь считают возможным пре-
поднести учащемуся средней школы. п
Далее мы находим в нем слова «сумма 2
Над этими «суммами» работали многие великие ученые, начиная
1 Ч. Дарвин. Цит. по книге В. П. Зубова [2, стр. 152].
7
По крайней мере с Архимеда, прежде чем преподаватель полупил
возможность в нескольких словах пояснить и притом сделать
в основном понятным для учащихся смысл этого выражения.
А ведь даже такой великий математик, как Эйлер, который рас-
сматривал эти суммы в качестве средства приближенного вычис-
ления (интегралов [3, стр. 161—162], не увидел возможности
использовать их для определения самого понятия интеграла.
И не увидел не случайно: «накопление труда», в этой области еще
не было достаточным, чтобы тогда можно было сформулировать
такое определение.
Наконец, мы сталкиваемся здесь со словом «предел» — словом
не менее емким, чем слово «функция», с которым связано столько
драматических событий истории математики.
А если еще принять во внимание, что в указанном определении
мы встречаемся со сложениями, вычитаниями, умножениями,
со значениями функции в точке, с многообразной символикой,
также имеющей свою трудную историю, с идеей арифметизации,
то действительно приходим к выводу, что это понятие интеграла
есть результат громадного труда математиков прошлого.
Одной из целей настоящей книги и является показ того про-
цесса накопления знаний, который па соответствующих этапах
позволял переходить ко все более и более общим концепциям ин-
теграла, опирающимся на все расширяющийся круг знаний и
применяющихся ко все более широкому кругу объектов реаль-
ного мира.
С идеей накопления знаний, необходимых для формулировки
того или иного положения, тесно связана мысль об исторической
обусловленности математического открытия. Как правило, науч-
ные открытия делаются тогда, когда для них подготовлена почва.
Раньше они не могут появиться (а если и появляются, то в виде
смутных и неопределенных догадок), просто потому, что нет
надлежащего материала для формулировки соответствующего
результата. Позднее они не должны появляться из-за того, что
отсутствие их сдерживает поступательный путь развития науки.
Обычно йаучные открытия, особенно значительные, настолько
назревают, что к ним с разных сторон приходят разные матема-
тики. Различным бывает уровень подхода, но суть дела от этого
не меняется. Наиболее яркой иллюстрацией этой мысли является
открытие Ньютоном и Лейбницем исчисления бесконечно малых.
Истории понятия интеграла посвящены многочисленные работы
как специально историков математики, так и самих математиков.
Большой материал по данному вопросу содержится прежде всего
в общих курсах истории математики. Ниже мы отметим только те,
которыми нам пришлось часто пользоваться. Это, прежде всего,
фундаментальные «Лекции по истории математики» М. Кантора [1],
содержащие многочисленные сведения по рассматриваемым вопро-
сам. Это, далее, ценные «История математики в древности в сред-
ние века» и «История математики в XVI и XVII веках»» Цейтена
8
[4, 5]; в первой рассматриваются, в частности, инфинитезималь-
ные методы Архимеда, а половина второй посвящена возникно-
вению и первоначальному развитию анализа бесконечно малых.
Это — основной источник сведений по средневековой матема-
тике — «История математики в средние века» А. П. Юшкеви-
ча [13]. Это, наконец, «История математики от Декарта до середи-
ны XIX столетия» Вилейтнера [4] и «Очерки по истории мате-
матики» Бурбаки [1]. Указанные курсы не исчерпывают, разу-
меется, всех тех курсов, к которым нам приходилось обращаться.
Некоторые из них будут указаны далее.
Имеется ряд книг, посвященных специально истории анализа
бесконечно малых. Здесь опять-таки укажем только те, с кото-
рыми нам чаще всего приходилось иметь дело. Такими являются
«Открытие высшего анализа» Герхарда [1], «История анализа и
развитие его понятий» Бойера [1] и «Происхождение анализа бес-
конечно малых в современную эпоху» Кастельнуово [1]. Особенно
полезной для нас была книга И. Н. Песина «Развитие понятия
интеграла» [1] 2.
Что касается журнальных статей, в которых в той или иной
мере затрагиваются вопросы истории интегрального исчисления,
то общее их число достигает сотен, и в последующем на многие
из них будут делаться соответствующие ссылки. Упомянем здесь
следующие: «О развитии понятия интеграла» Лебега [18], «Предмет
и смысл обобщений понятия интеграла после Лебега» Данжуа [8],
«Эволюция понятия интеграла после Лебега» Рисса [15], «Об ин-
тегралах, связанных с интегралом Лебега и обобщающих его»
Гильдебрандта [1].
В совокупности этих работ содержится довольно полная кар-
тина эволюции понятия интеграла от начала возникновения ин-
теграционных методов до середины XIX в. Подобной полноты нет
для последующего периода. Указанная книга И. Н. Песина имеет,
так сказать, полухрестоматийный характер. В ней в историчес-
кой последовательности, в основном с сохранением оригиналь-
ных с;<ем рассуждений, но в современной терминологии и обо-
значениях, изложены наиболее важные определения все более
общих концепций определенного интеграла. Однако там совер-
шенно недостаточно освещены взаимосвязи интегрирования с дру-
гими отделами математики, вследствие чего различные обоб-
щения выступают, как правило, не в виде неизбежных следствий
предшествующего развития математики и в то же время необ-
ходимых условий ее продвижения вперед, а как в известной мере
произвольные творения тех или иных математиков. К тому же
неоправданно сужен круг первоисточников, особенно посвящен-
2 Наша книга была написана еще в 1969 г. После этого появилось мно-
го работ, которые следовало бы учесть при окончательном редактировании
рукописи; особенно это относится к книге Хокинса [1?, содержащей боль-
шой и интересный фактический материал по истории интегралов Римана и
Лебега. К сожалению, это удалось сделать лишь отчасти.
9
ных свойствам различных интегралов, что обеднило их факти-
ческую историю.
Это в значительной мере определило характер настоящей
книги. А именно, история понятия интеграла с первых ростков
интеграционных методов до введения интеграла Коши (20-е годы
XIX в.) в основном изложена по историко-математическим рабо-
там, и лишь в отдельных случаях привлекаются те или иные
первоисточники. Одной из основных трудностей на этом пути
является наличие довольно различных точек зрения у разных
авторов на одни и те же вопросы истории интеграла. Мы в ос-
новном отказываемся от сопоставления и анализа этих расхожде-
ний и лишь иногда приводим различные мнения с тем, чтобы
выбрать из них наиболее, на наш взгляд, правдоподобное; как раз
при подобных обстоятельствах чаще всего приходится прибегать
к первоисточникам. Последнее будет иметь место и тогда, когда
автор в чем-либо не согласен с установившимися мнениями.
История понятия интеграла в XIX—XX вв. будет изложена
почти исключительно по первоисточникам. При этом возникают
трудности в некотором смысле противоположного характера,
так как значительная часть вопросов истории «интегрального ис-
числения в этот период вообще не освещена в историко-научной
литературе.
Обилие исторических работ по первому из названных перио-
дов, а особенно многообразие математических работ по второму
ставит проблему указания библиографических источников. Если
попытаться перечислить все (общее число работ, посвященных
теории интеграла или его истории, сведениями о которых мы рас-
полагаем, превышает 3000 названий) с указанием необходимых
библиографических сведений, то это займет существенную часть
объема настоящей книги. Поэтому мы предполагаем разными спо-
собами сократить количество библиографических ссылок.
Прежде всего, большой класс работ, библиографические дан-
ные о которых у нас имеются, но которыми мы по разным при-
чинам (недоступность языка, отсутствие в основных библиотеках
и т. п.) не располагали, в библиографию не включен. Отсутству-
ют в ней и те работы, которые, на наш взгляд, не представляют
особого интереса для развития теории интеграла. Далее, в тех
случаях, когда имеются собрания сочинений математиков, после
названия работы будет указываться лишь год ее первой публи-
ции. Переведенные на русский язык статьи и книги указываются
только в переводе. Перед библиографией помещен перечень приня-
тых сокращений названий некоторых журналов; остальные сокра-
щения или общепонятны, или даны в соответствии с принятыми
в реферативном журнале «Математика» (см. «Мировая научная
и техническая литература», аннотированный справочник перио-
дических и продолжающихся изданий; астрономия, геодезия,
математика, механика, т. I. М., изд-во «Наука», 1968).
Глава I
ИНТЕГРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ДРЕВНОСТИ
И В СРЕДНИЕ ВЕКА
§ 1. О соотношении интегрирования
и методов измерения
Вопросы измерения физических и геометрических величин
неразрывно связаны со всем ходом исторического развития мате-
матики, начиная от ее возникновения вплоть до сегодняшних
дней. Особенно тесно связана с ними теория интегрирования.
Математическая операция интегрирования постоянно встре-
чается при измерениях длин, площадей и объемов, при вычис-
лениях масс, количеств энергии, статических моментов и мо-
ментов инерции, при определениях положений центров тяжести,
при отыскании пути по скорости или скорости по ускорению,
при ^нахождении вероятностных значений случайных величин и
в очень многих других случаях.
Мы постараемся показать, как появлявшиеся в ходе научного
познания проблемы измерения тех или иных величин заставляли
математиков прибегать к операции интегрирования различных
типов, как обогащалось и углублялось понимание этой операции
и как, в свою очередь, каждый новый шаг в развитии понятия
интеграла позволял расширять круг измеряемых величин. При та-
ком подходе к пониманию интегрирования сразу возникает ряд
вопросов историко-математического характера. Некоторые из
них, относящиеся к периоду зарождения интеграционных методов,
мы и рассмотрим.
Если интегрирование дает общий метод измерения физиче-
ских величин, то каково соотношение интегрирования с теми
измерениями, которые математики умели осуществлять еще в
глубокой древности, до появления каких-либо идей, связанных
с традиционным интегрированием? Являются ли, например, те
методы измерения длин, площадей, объемов, которые были из-
вестны вавилонским или египетским ученым, интеграционными
методами? Являются ли, далее, интеграционными те методы,
которые применяли древнегреческие ученые при определении
длин, площадей и объемов криволинейных фигур?
Что касается второго из поставленных здесь вопросов, то
историки математики единодушны в ответе на него: методы изме-
рения длин, площадей и объемов, не связанные с инфинитезималь-
ными процедурами (например, определение длины отрезка, пло-
щади плоского n-угольника, объема параллелепипеда и т. п.),
а тем самым все измерительные процедуры вавилонской или еги-
11
йетской математики, не являются интеграционными методами.
Этого прямо никто не говорит, ио это следует из всего контекста
историко-математических работ, посвященных методам вычисле-
ний названных величин у древних.
При ответе на третий вопрос такого единодушия уже нет.
Большинство историков математики сходны в одном: истоки ин-
тегрирования восходят к Архимеду. Однако при этом выражаются
различные мнения относительно того, в какой связи с понятием
интеграла находятся методы определения площадей, объемов и
положений центров тяжести у Архимеда. Одни утверждают, что
у Архимеда имело место «настоящее интегрирование» (Цейтен
14, стр. 126]; И. Г. Башмакова [3, стр. 380]; Вилейтнер [3, стр.
220]). Другие, отрицая у него наличие достаточно общего
понятия интеграла, все же счиают его предшественником совре-
менного интегрального исчисления (Ван дер Варден [1], стр. 310).
Третьи не признают права передавать на языке определенного
интеграла не только методы Архимеда, но и все последующие
исследования в этой области, вплоть до работ Паскаля и Валлиса
(Вальнер, [1], стр. 117). Бурбаки даже сделал несколько парадок-
сальный вывод о том, что сделанное Архимедом в этой области
«в какой-то мере противоположно интегральному исчислению»
(Бурбаки [1], стр. 172). Четвертые, наконец, склоняются к мне-
нию, что у Архимеда не было ни настоящего интегрирования,
ни общего понятия интеграла, ни тем более интегрального ис-
числения, но что в связи с его работами правильнее говорить об
«интегральных методах», бесспорно имевшихся у него (приме-
чание И. Г. Башмаковой в книге Бурбаки [1], стр. 172).
При этом почти все указанные авторы сходятся в одном: при
определении площадей, объемов и положений центров тяжести
Архимед часто пользовался римановыми верхними и нижними
интегральными суммами и некоторой предельной процедурой,
позволяющей найти общее значение пределов этих сумм в отдель-
ных частных случаях. Как правило, метод Архимеда определе-
ния площади сегмента параболы, основанный на несколько иных
соображениях, интеграционным методом не считают. И. Г. Баш-
макова, например, пишет об этом прямо [3, стр. 339], другие же
чаще всего выражают эту мысль тем, что никак не связывают
названную квадратуру с интегрированием.
Существует еще одна точка зрения, согласно которой инте-
грационные методы возникли задолго до Архимеда. Наиболее
последовательно ее проводил С. Я. Лурье [1, стр. 16], считавший
истоком, из которого вырос современный анализ, в том числе и
теория интегрирования, математический атомизм Демокрита.
С. Я. Лурье [1, стр. 156—157] подтверждал свой тезис тем, что пред-
ставление о величине как состоящей из чрезвычайно большого
числа^ чрезвычайно малых элементов (математических атомов
Демокрита или некоторых их модификаций), представление, по-
зволявшее после нахождения какой-либо зависимости, верной
12
для каждого элемента, перенести эту зависимость на саму рассма-
триваемую величину, использовалось в той или иной форме
самим Демокритом при нахождении объема конуса, Архимедом,
Кавальери, Кеплером, Лейбницем, Ньютоном и другими в их
квадратурах и кубатурах. Как довод в пользу своего тезиса,
С. Я. Лурье [1, стр. 18] указал также на то, что применяющееся
еще и сегодня разложение площадей и объемов на элементарные
«площадки» и «столбики» «есть только несколько видоизмененная
и модернизированная основная процедура математического
атомизма — процедура разложения на „материальные линии" и
„материальные плоскости"».
Каждый из указанных авторов исходил в своей точке зрения
па возникновение понятия интеграла из тех представлений, кото-
рых он придерживался относительно понятия интеграла вообще.
Если, например, смотреть на интеграл как на разность значений
примитивной, как это делали математики XVIII в., то все спо-
собы определения площадей, объемов и положений центров тяже-
сти не только в древней Греции, но и в значительно более поздний
период, вплоть до Ньютона и Лейбница, должно объявить не ин-
теграционными, поскольку в них не видно взаимосвязи между
дифференцированием и интегрированием, предполагаемой в таком
взгляде на определенный интеграл. Если рассматривать инте-
грал как предел сумм типа Коши — Римана, то приходится
в какой-то мере причислять указанные приемы к интеграционным
методам, ибо у того же Архимеда такие пределы сумм налицо, хотя
они и выражены не в привычной для нас форме. Оттенки в оцен-
ках античных способов вычисления названных выше величин про-
истекают тогда из роли, которую отводит оценивающий, напри-
мер, алгоритмической стороне этих вычислений.
Можно, далее, смотреть на понятие интеграла с несколко более
неопределенной точки зрения, как на выражение для бесконеч-
ной суммы бесконечно малых элементов, и тогда приходится на-
чало зарождения инфинитезимальных процедур переносить на
более ранний период.
Возможен, однако, иной подход, основанный не на методах
интегрирования, которые были разными в различные историче-
ские эпохи, а порою и в одно и то же время, но на самих предме-
тах, являющихся объектами интегрального исчисления. С точки
зрения такого подхода совершенно непонятно, например, почему
метод Архимеда определения площади сегмента параболы, когда
он не пользовался интегральными суммами типа Коши — Ри-
мана, не является интеграционным, а несколько иной способ
определения совершенно аналогичных площадей объявляется ин-
теграционным. Правда, в приеме Архимеда определения площади
сегмента параболы отсутствует разбиение этой площади на бес-
конечное число частей, каждая из которых неограниченно убыва-
ет. Но этого вообще не требуется от каждого интеграционного
приема; к тому же для определения той же площади сегмента па-
13
раболы Архимед мог бы с успехом воспользоваться методом инте-
гральных сумм, как это впоследствии делали другие, и тогда
его метод был бы назван интеграционным. Следовательно, в зави-
симости от того, как определяют меру одной и той же величины, ме-
тод определения объявляется интеграционным или нет, если он
соответствует или не соответствует представлению того или иного
автора об интегрировании. Но ведь речь идет об одной и той же
мере, которая может быть найдена (и фактически обычно находит-
ся) разными способами. Не правильнее ли будет взять за основу
не то, как осуществляется процесс измерения, а то, что изме-
ряется, сами предметы измерения. Тогда тот же метод вычисления
сегмента параболы определенно является интеграционным ме-
тодом, поскольку здесь речь идет о решении совершенно такой же
задачи, какие теперь решаются методами интегрального исчисле-
ния.
Такой предметный подход отнюдь не требует, чтобы в момент
рассмотрения тех или иных способов определения мер геометри-
ческих или физических величин существовало общее понятие ин-
теграла, которое охватило бы единой процедурой все наличные
способы измерения того или иного класса величин. Тем не менее,
если подобное понятие существует, то оно существенно облегчает
и решение первого из поставленных выше вопросов о соотношении
интегрирования и методов измерения.
Такие общие определения интеграла имеются: например, в по-
нятие интеграла В. И. Гливенко вкладывает не только обычные
представления об интеграле как о пределе сумм, но и другие ма-
тематические приемы нахождения чисел, сопоставляемых измеряе-
мым величинам, которые не вмещаются в обиходные интегра-
ционные схемы. В частности, гливенковским определением охва-
тываются случаи измерения, когда речь идет об укладывании
в измеряемой величине несколько раз выбранного масштаба;
под него подпадает и архимедовский способ определения площади
сегмента параболы. Так что математическая операция интегри
рования, какой мы знаем ее сегодня, тесно связана и с методами
измерения длин, площадей, объемов центров тяжестей у древних
математиков; она является абстрактным выражением и этих
методов. Тем самым мы получаем ответы на поставленные в на-
чале параграфа вопросы.
Это, однако, не означает, что столь простое решение указанных
вопросов снимает трудности рассмотрения интеграционно-изме-
рительных методов древности. Напротив, трудности еще воз-
растают, поскольку при таком подходе проблема появления этих
методов отодвигается в глубь веков и должна решаться с учетом
значительно более отдаленных периодов истории математики,
намного предшествовавших не только Архимеду и Демокриту,
но даже началу древнегреческой математике вообще. Для исто-
рика математики совершенно недостаточно обнаружить, что ука-
занные измерительные процедуры подпадают под некий общий
14
способ интегрирования. Ему необходимо также рассмотреть
их историческую специфику, конкретное проявление их в раз-
ные исторические эпохи, обусловленность последовательной смены
этих процедур.
§ 2. Замечания об измерительных процедурах
до возникновения инфинитезимальных задач
Поскольку в предшествующем параграфе мы приняли ту
точку зрения, что математические способы измерения длин, пло-
щадей, объемов и т. п. являются вместе с тем интеграционными
методами, то естественно, что эти способы должны быть рассмо-
трены в качестве ранней предыстории понятия интеграла. Однако
намерение рассмотреть приемы древних в этом отношении, как
и во многих других, сталкивается с такой недостаточностью ис-
точников, что большая часть суждений, которые можно было бы
высказать по этому поводу, будут всего-навсего не слишком
достоверными гипотезами. Поэтому мы ограничимся лишь не-
сколькими замечаниями, которые, как мы полагаем, хотя бы кос-
венно подтверждают принятую нами точку зрения или же по-
могают в какой-то мере переходу к рассмотрению следующего
этапа развития интеграционных методов.
Первое замечание состоит в том, что^задачи измерения длин,
площадей и объемов в древней математике связаны с математикой
того времени в целом. Действительно, уже самое простое изме-
рение длин требует умения производить арифметическое сложение
единиц или целых чисел, если масштаб не единичный; оно же
требует введения дробей, если принятый масштаб не укладыва-
ется целое число раз в измеряемой длине, а также умения осу-
ществлять сложение дробей. Измерение самых элементарных
площадей и объемов должно сопровождаться не только неко-
торым запасом геометрических знаний, но и определенными на-
выками в умножении целых чисел и дробей, а задача на нахож-
дение стороны геометрической фигуры по ее площади или объему
предполагает умение производить действия деления и извлечения
квадратного или кубического корней. Интересной в связи со
сказанным является одна из ошибок в измерении площади рав-
нобедренного треугольника, содержащаяся в древнеегипетском
папирусе примерно XVIII в. до н. э. Автор этой математической
работы определяет площадь такого треугольника по формуле
где а — основание, а Ъ — боковая сторона. По поводу этой ошиб-
ки М. Кантор [1, стр. 55] заметил, что использование правильной
формулы
s=Hr]/b’—¥
15
было невозможно, так как египетский математик не умел, по-
видимому, извлекать квадратный корень. К этому можно доба-
вить, что только знания алгебраической операции извлечения квад-
ратного корня здесь недостаточно. Древнему египтянину для
правильного решения этой задачи нужны были существенные
знания и по геометрии: он должен был знать, что площадь тре-
угольника равна половине произведения основания на высоту,
что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на осно-
вание, делит основание пополам; он должен был бы владеть
теоремой Пифагора — словом, ему был необходим целый ком-
плекс математических знаний. В целом проблема измерения даже
тех сравнительно простых объектов, которые рассматривались
в древнеегипетской или древневавилонской математике, тре-
бовала довольно высоко развитых знаний по арифметике, гео-
метрии и алгебре. При этом нам достоверно не известно, что чему
предшествовало; то ли вследствие потребностей измерения были,
например, введены дроби, то ли введение дробей позволило осу-
ществить требовавшиеся тогда измерительные процедуры. Во вся-
ком случае, априори достоверно, что взаимосвязь проблем изме-
рения и древней математики в целом определенно имела место.
Это мы хотели бы подчеркнуть здесь как утверждение, указы-
вающее, хотя бы и весьма отдаленно, на родство измерительных
процедур с интеграционными методами.
Второе, уже значительно более гипотетическое, замечание
состоит в том, что измерительные процедуры древних могли спо-
собствовать возникновению инфинитезимальных представлений,
которые, как правило, обычно связываются с той или иной формой
интегрирования. Измерение длин, площадей и объемов путем
простого наложения масштабной единицы не приводило к цели —
измерению рассматриваемой величины,— когда измеряемый объект
не вмещал в себе целое число раз единицу масштаба. Возможно,
что одним из первых шагов по направлению к инфинитезималь-
ным представлениям было дробление единицы на более мелкие
части, особенно в тех случаях, когда приходилось иметь дело
с достаточно сложными объектами. А таковые встречались уже
давно. Так, за две с половиной тысячи лет до н. э. в древнева-
вилонских текстах встречаются планы участков полей, образо-
ванные из сложной системы прямоугольников, треугольников и
трапеций. В одном из таких дошедших до нас планов (Фогель
[1, стр. 64]) насчитывается четыре прямоугольника, семь тре-
угольников и четыре трапеции. Не говоря уже о том, что опреде-
ление площади подобного участка требовало достаточно высоких
теоретических представлений, в этом примере важен сам факт дроб-
ления измеряемого объекта на большое число частей. Даже если
масштабная единица укладывалась целое число раз в каждой
части, что вообще крайне невероятно, то и тогда измеряемый объект
разбивался на 15 единичных площадок. Если же единичный
масштаб приходилось разбивать на более мал кие единицы, то,
учитывая шестидесятиричную систему исчисления вавилонян, мы
приходим к очень большому числу составных элементов, на ко-
торые разбивается измеряемая величина. Подобная процедура,
повторявшаяся многократно, вполне могла служить одним из
истоков будущих инфинитезимальных спекуляций.
Подобного же рода истоком могли явиться наблюдения над
кладками из камней и кирпичей, характерные для строительных
конструкций древнего мира. Не'исключена возможность, что
такие кладки вообще дали повод для введения квадратных и
кубических мер. Довольно точные формулы площадей треуголь-
ника, прямоугольника, трапеции, круга, объемов параллелепи-
педа, пирамиды и т. п., найденные не известными нам способами
египетскими и вавилонскими учеными, достаточно просто про-
верялись разными видами каменной или кирпичной кладки.
«Приняв за единицу каменную плиту и найдя число плит в основа-
нии (или в поперечнике) и число слоев плит (высоту), нетрудно
теоретически вычислить искомую поверхность или объем; в то же
время можно сосчитать число плит, фактически пошедших на за-
полнение искомой поверхности или объема. Сличая число ка-
менных плит с числом для площади данной фигуры, получаемым
по точной формуле, получали каждый раз разницу, приходящую-
ся на счет ступенчатых краев кладки, которые при этом либо
отбиваются, либо, наоборот, замазываются в промежутках до
нужной линии профиля цементом; чем меньше каждая плита, тем
меньше оказывалась и разница между прямыми и ступенчатыми
краями. Сопоставление тех и других чисел могло породить спе-
куляции, которые привели к началам учения о бесконечно ма-
лых» (С. Я. Лурье, I, стр. 24).
Однако, даже если принять подобного рода гипотезы относи-
тельно первоначальных истоков последующих представлений
о бесконечно малых, вряд ли целесообразно утверждать, что
подобного рода измерения и сличения были единственными источ-
никами происхождения инфинитезимальных взглядов. В этом
играли свою роль и многие другие факторы. Как бы то ни было
фактически, уже более достоверно известно, что к началу V в.
до н. э. у древних греков появляются зачатки инфинитезимальных
представлений.
§ 8. Первый период инфинитезимальных процедур
в Древней Греции
Одно из существенных отличий греческой математики от ма-
тематики Египта и Вавилона состоит в том, что у греческих ученых
впервые в истории науки появляется потребность видеть в неко-
торых типах конечных величин совокупности бесконечно боль-
шого числа бесконечно малых частиц. Такая потребность не могла
возникнуть только из практических потребностей при измерении
элементарно-геометрических длин, площадей и объемов. Она по-
17
является тогда, когда математики столкнулись с необходимостью
определения мер несоизмеримых и криволинейных объектов,
когда теоретические представления переросли простые практиче-
ские потребности и приобрели самостоятельный интерес, когда
геометрия стала оформляться в научную дисциплину. Послед-
нее, вероятно, произошло в VI в. до н. э. в Древней Греции. «Геоме-
трию стали изучать систематически, интересуясь всеми свойства-
ми отвлеченных фигур, а не только теми, которые были непо-
средственно необходимы для той или иной задачи землемерной
практики. При этом предложения геометрии устанавливались не
с помощью проверки путем непосредственных измерений, а на
основе доказательств» (И. Г. Башмакова [3, стр. 242]).
Такой подход стал характерным не только для геометрии
в целом, но и для проблем измерения в частности. А это вскоре
привело к постановке двух кардинальных вопросов древнегрече-
ской математики: 1) всякие ли два отрезка имеют общую меру?
2) можно ли линейной, плоской или объемной единицами меры
измерять соответствующие криволинейные объекты? При этом
речь, разумеется, шла уже не о приближенном измерении удо-
влетворяющем тем или иным практическим запросам. Прибли-
женная мера двух отрезков могла быть найдена со сколь угодно
большой точностью; более чем за тысячу лет до теоретической
постановки вопросов о длине окружности и площади круга древ-
ним египтянам было известно приближение зт = (16/9)2 (М. Кан-
тор, [1, стр. 57]), позволявшее определять длину окружности и
площади круга со степенью точности, далеко превосходившей
практические потребности жизни греков VI—V вв. до н. э. (при'
таком значении погрешность равна 0,01 диаметра). Указанные
вопросы были поставлены в теоретическом плане по отношению
к абстрактным линиям, фигурам и телам. Нужно было доказать
существование или несуществование такой меры. Этот новый под-
ход к проблемам измерения потребовал введения новых теоре-
тических представлений, новых методов рассуждений о самих
геометрических объектах.
Достоверно неизвестно, рассмотрение каких вопросов привело
к открытию греками несоизмеримых величин, но очень вероятно,
что одним из них был вопрос о том, соизмерима ли диагональ
квадрата с его стороной или же нет. Установление их несоизме-
римости потребовало нового типа доказательства — от противного.
Двумя другими проблемами, занимавшими греков V в. до н. э.
и более позднего периода, были проблемы определения длины
окружности и площади круга. Их решения не были тогда найде-
ны, но в ходе поисков этих решений греческие ученые выработали
ряд представлений, оказавшихся плодотворными для последую-
щего развития математики. Одно из таких представлений — введе-
ние математического атомизма.
Описанная выше процедура измерения реальных объектов при-
водила к учету все увеличивающегося числа все уменьшающихся
частиц — отрезочков, квадратиков, кубиков. При переходе к иде-
альным объектам геометрии этот процесс в случаях несоизмери-
мости и криволинейности оказывался бесконечным, приводил
к представлениям о непрерывности.
Сказанное не означает, что проблемы измерения были един-
ственными, приводившими к идеям непрерывности и бесконечно-
сти. Эти глубокие идеи математики и философии имели, видимо,
многочисленные истоки, из которых только одним, и быть мо-
жет не главным, были вопросы измерения идеальных объектов.
Нам неизвестен процесс формирования и развития категорий
непрерывности и бесконечности у древнегреческих мыслителей
VI—V вв. до н. э. Имеются отдельные и разрозненные свиде-
тельства о том, что эти идеи глубоко интересовали тогда ученых,
сохранились некоторые их высказывания по этим вопросам,
причем чаще всего не в первоисточниках. С некоторой степенью
достоверности можно утверждать, что в указанное время имели
место попытки рассматривать конечные объекты геометрии состоя-
щими из бесконечного числа мельчайших неделимых частиц
(С. Я. Лурье [1, стр. 23]; И. Г. Башмакова [3, стр. 324]), что,
видимо, с одной стороны, способствовало прогрессу математи-
ческих знаний того времени, а с другой — могло привести к ряду
ошибок и произвольных допущений. Естественно, что первые пред-
ставления, связанные с непрерывностью и бесконечностью, были
недостаточно четкими и безупречными 1 и их распространение
вызвало резкое противодействие, выразившееся, в частности,
в формулировке Зеноном Элейским (первая половина V в. до н. э.)
45 апорий или парадоксов, вытекающих из них, из которых до нас
дошли лишь девять 2.
Критика Зеноном первоначальных представлений о непрерыв-
ности и бесконечности в определенной мере способствовала разра-
ботке двух больших математических теорий, связанных с интере-
сующим нас вопросом измерения: теории математического атомиз-
ма Демокрита и метода исчерпывания Евдокса.
§ 4. Математический атомизм Демокрита
Великий философ-материалист Древней Греции, родоначаль-
ник атомистических представлений Демокрит из Абдер (ок. 460—
370 гг. до н. э.) был, по выражению К. Маркса и Ф. Энгельса,
«первым энциклопедическим умом среди греков» [1, стр. 126].
Существуют свидетельства о том, что ему принадлежат семьдесят
работ по различным вопросам естествознания, математики и
философии, из которых по крайней мере шесть были математи-
ческими. Однако до нас не дошло ни одного сочинения Демо-
крита, и о его математических представлениях и открытиях можно
1 Какими, впрочем, они во многом остаются и сегодня.
2 О парадоксах Зенона см., например, G. Я. Лурье [1, стр. 31—37],
И. Г. Башмакова [3, стр. 325—333], С. А. Яновская [1].
19
Судить с некоторой степенью достоверности лишь по свидетель-
ствам других древнегреческих авторов.
Как мы отмечали в § 1, С. Я. Лурье [1] ставит Демокрита
у самых истоков современного анализа. С. Я. Лурье проделал боль-
шую работу по выявлению и осмысливанию того, какой вклад
сделал в развитие математики Демокрит. Далее мы следуем
содержанию книги С. Я. Лурье [11.
Наряду с физическим атомизмом 3 Демокрит разработал пред-
ставления о математическом атомизме, основные черты которого
следующие: «Первоначалом всего являются сверхчувственно
(но не бесконечно) малые минимальные частицы, неделимые,
т. е. не имеющие частей — материальные точки. Складывая
две или более точек, получаем элементарную материальную ли-
нию. Из наложения двух или более материальных линий друг на
друга получается элементарная материальная плоскость; из нало-
жения материальных плоскостей друг на друга получается, на-
конец, физический минимум материи — атом, неделимый вследствие
своей твердости (отсутствия пустоты). Время тоже не непрерывно,
а состоит из ряда отдельных «теперь» (rovv'ft), «настоящих момен-
тов». Длина любого отрезка каждой отдельной линии есть функ-
ция, зависящая только от числа неделимых, заключенных в дан-
ном отрезке линии, число неделимых является поэтому мерилом
и критерием для определения длины линии. Все числа рациональ-
ны, никаких иррациональных чисел существовать не может»
(С. Я. Лурье [1, стр. 9]).
Используя подобного рода представления, Демокрит, по-
видимому, пришел к идее построения математики без привле-
чения понятия бесконечности. Известно, например, что конус
он представлял сложенным из очень тонких цилиндрических
слоев, а шар — в виде выпуклого многогранника с очень боль-
шим числом граней. Можно предполагать также, что, пользуясь
этими представлениями, он нашел, что объем пирамиды или
конуса составляет одну треть объема призмы или цилиндра с со-
ответственно равными основаниями. При этом переход от объема
пирамиды к объему конуса в системе Демокрита не нужно было
осуществлять путем привлечения идеи предела, так как послед-
няя не имела смысла в такой математике; данный переход естест-
венно вытекал из того, что сам конус представлял собой просто
пирамиду с очень большим числом граней и с окружностью осно-
вания, представляемой в виде многоугольника, каждая сторона
которого состоит из двух неделимых. Возможно, что таким же
путем Демокрит установил, что объем шара равен трети произ-
ведения площади поверхности шара на его радиус (С. Я. Лурье
[1, стр. 77—78]).
С. Я. Лурье [5, стр. 69—70] также полагает, что Демокриту
или по крайней мере ближайшим его последователям-атомистам
3 О физическом атомизме Демокрита см., например, П. С. Кудрявцев [1,
стр. 30—32], В. П. Зубов [3, § 1].
20
было известно Понятие центра тяжёётй и они умели находить цен-
тры тяжести простейших фигур, исходя из атомистических пред-
ставлений.
Из работ последователей Демокрита в области математики
известна лишь квадратура круга Антифона (V в. до и. э.). Послед-
ний рассуждал так. Он вписывал в круг какой-то многоугольник,
возможно квадрат. Разделяя пополам дуги, стягиваемые сторо-
нами вписанного многоугольника, он получал многоугольник
с удвоенным числом сторон; с последним он поступал аналогич-
ным образом и так действовал до тех пор, пока, по его мнению,
не получался многоугольник, который, вследствие малости его
сторон, совпадает с окружностью, ибо окружность у Антифона,
как и у Демокрита, являлась многоугольником с очень большим
числом очень малых сторон. Поскольку тогда было известно,что
для всякого многоугольника можно построить равновеликий ему
квадрат, то отсюда вытекала возможность квадратуры круга.
С точки зрения математического атомизма рассуждение Анти-
фона вполне последовательно. Однако результат, полученный
Антифоном, в отличие от демокритовских, найденных аналогич-
ным способом, не совпадал с результатами, находимыми пред-
ставителями другого математического направления, в котором
использовались представления о непрерывности и бесконечной
делимости. И в то время как утверждения Демокрита об объемах
пирамиды и конуса считались верными, но не доказанными с
нужной степенью строгости, квадратура круга Антифона стала
рассматриваться как образец неправильного умозаключения.
Однако, как бы не рассматривался сам результат Антифона,
следует все же подчеркнуть тот путь, которым Антифон пришел
к нему. Здесь мы имеем исторически первую известную нам по-
пытку применить метод вписанных многоугольников в качестве
прямолинейных фигур, аппроксимирующих криволинейную пло-
щадь. Этот метод получил затем широкое распространение.
§ 5. Метод исчерпывания Евдокса
Другим великим ученым Древней Греции, которого также
с полным правом можно назвать одним из первых энциклопеди-
ческих умов, был астроном, географ, медик, философ и матема-
тик Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) 4 *. Судьба
его научного наследия во многом сходна с демокритовской: соб-
ственно работы Евдокса до нас не дошли, и его научные дости-
жения известны по вторичным источникам, зачастую в пред-
положительной форме.
4 Подробнее о Евдоксе см., например, П. С. Кудрявцев [1, стр. 243—261),
И. Г. Башмакова [3, стр. 306—323, 333—340]; кинематика небесных дви-
жений по Евдоксу вкратце изложена в книге В. П. Зубова [2, стр. 135—
21
Объединяет его с Демократом а характер подхода к рассма-
триваемой нами проблеме измерения. Как тот, так и другой раз-
рабатывали свои математические представления в известной мере
как реакцию на критику Зеноном первоначальных представлений о
непрерывности и бесконечности; и тот, и другой отказались от
понятия бесконечности; оба применяли свои методы к решению
одних и тех же или сходных задач.
Вместе с тем их подходы к трактовке математических проблем
были глубоко различны. Демокрит был более последователен
в том, что вместе с бесконечностью отбросил и непрерывность.
Евдокс, напротив, сохранил непрерывность, а рассуждения, содер-
жавшие бесконечность, преобразовал в метод доказательства от
противного б, вошедший неотделимой составной частью в общий
метод исчерпывания — древнегреческий аналог современного ме-
тода пределов.
Схему метода исчерпывания проиллюстрируем на примере
определения площади криволинейной фигуры. Пусть требуется
доказать, что площадь фигуры А равна S (рис. 1). Для этого в А
вписывается последовательность прямолинейных фигур Ап с из-
вестными монотонно возрастающими площадями Sn. Эти фигуры
Ап нужно выбирать так, чтобы разность S — Sn могла быть сде-
лана меньше любой наперед заданной конечной величины Ъ при до-
статочно большом числе последовательных вписываний.
При оценке данной разности использовалась лемма Евдок-
са — Архимеда: если а и Ь, а Ь,— любые величины и если от
величины а отнять больше ее половины, от полученного остатка —
больше его половины и т. д., то на некотором шаге после конеч-
ного числа подобных вычитаний получится остаток, меньший Ь.
Для доказательства того, что последовательность Sn обладает
нужным свойством, прибегали к описанным прямолинейным фи-
гурам Ап с известными площадями Sn- При этом пользовались
тем, что S — Sn < Sn — Sn, так как Sn S.
После этого, вместо нашего теперешнего умозаключения, что
поскольку Sn — Sn может быть сделана сколь угодно малой,
6 О замене бесконечного процесса косвенными доказательствами см. Юнге
[1, стр. 151—154]; об отсутствии бесконечности в методе исчерпывания
см. Д. Д. Мордухай-Болтовской [1, стр. 229—231], А. П. Юшкевич [7,
стр. 174].
22
т. е. имеет пределом нуль, то и предел Sn равен S, греки, не прини-
мавшие бесконечно малых величин и бесконечных приближений,
рассуждали следующим образом. Требуется доказать, что пло-
щадь фигуры А равна S. Пусть это не так, т. е. заведомо суще-
ствующая площадь фигуры А есть некоторая величина X. Тогда,
поскольку величины площадей сравнимы, должно быть' или
S = X, или" S<X, или S > X. Рассматривая последние^две
возможности, греки показывали, что они исключаются. Действи-
тельно, допустим, что S X; тогда можно вписать такую фигуру
Ап, что S — Sn < S — X, но в этом случае Sn X, что невоз-
можно, так как Sn — площадь вписанной в А фигуры с пло-
щадью X. Аналогично невозможно S < X. Поэтому остается
одна возможность S = X, т. е. площадь фигуры А действительно
равна S.
Методом исчерпывания Евдокс передоказал теоремы Демо-
крита об объеме пирамиды и конуса; он доказал также предло-
жение, известное еще Гиппократу Хиосскому, что площади двух
кругов относятся как площади квадратов, построенных на их
диаметрах. Других результатов Евдокса в подобных вопросах,
если они и были, нам не известно.
Кроме того, Евдоксу приписывается создание теории отноше-
ний — античного аналога наших теорий действительных чисел
(И. Г. Башмакова [3, стр. 309—323]).
Теперь, пожалуй, уместно сделать следующее замечание.
И. Г. Башмакова [3, стр. 307—308] противопоставляет историче-
ский ход развития анализа бесконечно малых в Древней Греции и
в Западной Европе в следующем смысле. В Европе в XVI—
XVII вв. происходило интенсивное развитие интеграционных и
дифференциальных методов, затем в конце XVII в. создается
исчисление бесконечно малых, в начале XIX в. вводится теория
пределов и лишь в 70-х годах XIX в. строятся теории действи-
тельных чисел, позволяющие обосновать инфинитезимальные
методы. В античной же математике дело обстояло наоборот: начало
было положено построением общей теории отношений, т. е. ана-
лога нашей теории действительных чисел; на основе этой тео-
рии был создан метод исчерпывания, «...явившийся первым ва-
риантом учения о пределах, и только в конце III в. до н. э. Архи-
мед применил обе теории Евдокса для обоснования интеграци-
онных и дифференциальных методов. Таким образом, последо-
вательность обоснования проблем математического анализа была
в древности логически более естественной, мы всегда ей следуем
в преподавании анализа» (И. Г. Башмакова [3, стр. 308]).
Такое представление было бы правильным, если принять в
качестве посылки, как это делает И. Г. Башмакова, что инте-
грирование началось лишь тогда, когда Архимед ввел верхние
и нижние суммы Римана. Если же стать на нашу точку зрения
относительно возникновения интегрирования или даже считать
вместе с С. Я. Лурье, что интегрирование началось с Демокрита,
23
то можно утверждать, что исторический ход развития представ-
лений об интеграле в древности в основном таков же, как и в
XVI—XIX вв. в Западной Европе: сначала создаются разроз-
ненные интеграционные методы, затем строится теория недели-
мых Демокрита, потом закладываются основы метода исчерпы-
вания и теории отношенийв. Архимед же по отношению к Евдок-
су выступает примерно так же, как Риман по отношению к Коши.
Таким образом, в этом случае развитие анализа в Западной
Европе выступает в виде витка спирали более высокого уровня
в общей истории анализа.
Другое замечание таково. Обычно (см., например, Юнге [1,
стр. 154]; И. Г. Башмакова [3, стр. 335]) метод исчерпывания
считают логически чуть ли не абсолютно строгим, равнозначным
по строгости с нашими недавними методами доказательств 6 7.
Это отчасти так, если молчаливо принять некоторые посылки,
которые древние действительно принимали: существование рас-
сматриваемой величины (площади S у фигуры А в нашем примере),
а также сравнимость любых однородных величин. В рассма-
триваемых древними относительно простых случаях площадей,
объемов и т. п. уверенность в их существовании более или менее
оправданна, хотя даже для обычного круга не столь уж ясно,
что имеют в виду, когда говорят о его площади: ведь для прямо-
линейных фигур с соизмеримыми сторонами за меру площади при-
нималась сумма единичных квадратов, укладывающихся в ней,
чего нельзя было делать по отношению к кругу. Метод доказа-
тельства от противного требовал введения величины X, вообще
не имеющей определенной связи с доказываемым утверждением,
и сравнимости ее с S. В XIX в., когда математики столкнулись
с довольно сложными площадями и объемами, такой уверенности
в существовании меры оказалось недостаточно. Прежде чем
рассуждать о той же площади, оказалось необходимым ввести
определение понятия площади и доказать существование объек-
тов, удовлетворяющих такому определению, для соответствую-
щего класса фигур. Поэтому говорить о строгости метода исчер-
пывания можно лишь в относительном смысле: во всяком случае
он менее строг, чем методы доказательств XIX в.
§ в. Задачи, решавшиеся методом исчерпывания
В дошедших до нас греческих источниках метод исчерпывания
применяется Евклидом в его «Началах» (около 300 г. до н. э.),
Архимедом — в ряде произведений, относящихся к III в. до н. э.,
Паппом — в его «Математическом собрании» (III в. и. э.); рассма-
6 Что в древности было построено раньше — метод исчерпывания или тео-
рия отношений,— в дошедших источниках не засвидетельствовано, поэтому
равновероятны оба предположения.
7 Имеются в виду не формализованные и не аксиоматизированные рассуж-
дения, т. е. доказательства того типа, которые были характерны для XIX в.
24
тривается он й некоторыми комментаторами Евклида и Архй-
меда.
В «Началах» Евклида [1] метод исчерпывания применяется
в доказательствах следующих предложений:
.1) XI12 8. Площади кругов относятся как квадраты их диаме-
тров [1, стр. 64—66].
2) XII5, ХПВ. Объемы пирамид с равными высотами относятся
как площади оснований [1, стр. 73—76]. (Предложение ХП5
относится к треугольным пирамидам, а ХП6 обобщает его на пи-
рамиды с многоугольными основаниями.)
3) XII10. Объем конуса равен трети объема цилиндра с теми
же основанием и высотой [1, стр. 81—85].
4) ХПц. Объемы конуса и цилиндра, имеющих одинаковые
основания и высоты, относятся как площади оснований [1,
стр. 85—87].
5) ХП12. Объемы подобных конусов и цилиндров относятся
как кубы диаметров их оснований [1, стр. 87—92].
6) ХП18. Объемы двух сфер относятся как кубы их диаметров
[1, стр. 103—104].
В работах Архимеда [1—6] методом исчерпывания доказаны
следующие предложения 9:
1) Квадратура сегмента параболы [1, стр. 93—94].
2) Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади
круга, радиус которого равен среднему пропорциональному между
образующей этого цилиндра и диаметром его основания [2,
стр. 109^—111].
3) Площадь боковой поверхности конуса равна площади кру-
га, радиус которого есть среднее пропорциональное между обра-
зующей конуса и радиусом его основания [2, стр. 111—ИЗ].
4) Площадь боковой поверхности равнобедренного конуса
относится к площади его основания как образующая к радиусу
основания [2, стр. ИЗ].
5) Площадь поверхности шара равна учетверенной площади
круга [2, стр. 128—129].
6) Объем шара равен учетверенному объему конуса, основа-
нием которого служит большой круг шара, а высотой — его ра-
диус [2, стр. 129—131].
7) Площадь поверхности шарового сегмента равна площади
круга, радиус которого равен длине отрезка, соединяющего вер-
шину сегмента с окружностью его основания [2, стр. 138—140].
8) Объем шарового сегмента равен объему конуса, основание
которого равно поверхности сегмента, а высота — радиусу шара
[2, стр. 140—141].
Римская цифра указывает на номер книги «Начал», арабская цифра в ин-
дексе — номер предложения этой книги.
Хронология работ Архимеда спорна. Мы приводим результаты Архимеда
в той последовательности, в какой они помещены в русском издании.
25
9) Площадь эллипса так относится к Площади круга, диаметр
которого равен большой оси эллипса, как меньшая ось эплипса
к его большей оси [3, стр. 177—178].
10) Объем сегмента параболоида вращения, отсеченный плос-
костью, перпендикулярной оси вращения, в полтора раза превы-
шает объем конуса с теми же основанием и осью [3, стр. 197—200].
11) Объем сегмента гиперболоида вращения, остеченный плос-
костью, перпендикулярной оси вращения, так относится к объему
конуса с теми же, что и у гиперболоида, основанием и высотой,
как два отрезка, образованные: первый — осью сегмента и ут-
роенной полуосью гиперболы, второй — осью сегмента и уд-
военной ее полуосью 10 [3, стр. 204—211].
12) Если эллипсоид вращения рассечь плоскостью, прохо-
дящей через центр и перпендикулярной оси вращения, то объем
половины эллипсоида вращения будет вдвое больше объема ко-
нуса, имеющего те же основания и ось, что и отсеченный эллипсоид
[3, стр. 211—216].
13) Если эллипсоид вращения рассечь плоскостью, не прохо-
дящей через центр и перпендикулярной оси вращения, то объем
меньшего сегмента так относится к объему конуса с теми же осно-
ванием и высотой, как сумма полуоси эллипсоида и оси большего
сегмента к оси большего сегмента [3, стр. 216—222].
14) Площадь первого витка спирали Архимеда равна трети
площади первого круга [4, стр. 254—256].
15) Площадь первых двух витков спирали Архимеда отно-
сится к площади второго круга как 7 к 12 [4, стр. 256—258].
16) Площадь сектора спирали Архимеда так относится к пло-
щади сектора круга, имеющего радиусом больший радиус-вектор
спирали, который образован этим большим радиус-вектором и
продолжением меньшего радиус-вектора, как сумма произведения
радиус-векторов и трети квадрата их разности к квадрату большего
радиуса-вектора [4, стр. 258—260].
17) Площадь круга равна площади прямоугольного треуголь-
ника, катеты которого равны соответственно радиусу круга и длине
его окружности [5, стр. 266—267].
18) Несоизмеримые величины уравновешиваются на рычаге,
если длины плеч рычага обратно пропорциональны этим вели-
чинам [6, стр. 276].
19) Центр тяжести параллелограмма находится на прямой,
соединяющей середины противоположных его сторон [6,
стр. 277].
20) Центр тяжести треугольника расположен на его медиане
[6, стр. 280-281].
21) У всякого сегмента параболы центр тяжести расположен
на его диаметре [6, стр. 286].
10 Речь идет о гиперболе, получающейся при рассечении гиперболоида плос-
костью, проходящей через ось гиперболоида.
26
22) Центр тяжести сегмента параболы сколь угодно близок
к центру тяжести «вписанной определенным образом» прямоли-
нейной фигуры11 [6, стр. 288—289].
23) У двух подобных сегментов параболы центры тяжести
делят диаметры в том же самом отношении, в каком находятся
эти диаметры [6, стр. 289].
Таковы дошедшие до нас предложения, доказанные методом
исчерпывания в классической древности. Мы видим, что все они
относятся к трем категориям объектов: площадям, объемам и
центрам тяжести, т. е. объектам, определяемым теперь при помощи
интегрального исчисления 12.
Видимо, некоторые квадратуры, найденные древними, до нас
не дошли, о чем свидетельствуют некоторые места из работ^Ар-
химеда (см., например [1, стр. 77]).
Если говорить о методе исчерпывания в целом, то прежде всего
следует отметить, что это — метод доказательства, метод, по-
зволявший убедиться в истинности того или иного предположен
ния, найденного прежде. Действительно, предложение об отно-
шении площадей кругов было известно еще во второй половине
V в. до н. э. Гиппократу Хиосскому (И. Г. Башмакова [3, стр. 335]);
предложения об объемах пирамиды и конуса были сформули-
рованы, исходя из атомистических представлений, Демокритом
до введения метода исчерпывания; сам Архимед в своем «Послании
к Эратосфену о механических теоремах» прямо говорит, что
большая часть из указанных выше его предложений, доказанных
методом исчерпывания, была предварительно найдена им при
помощи «механического метода» (Архимед [7, стр. 299]), т. е. путем
«уравновешивания» элементов площади или объема неизвестной
фигуры элементами площади или объема известных фигур на
рычаге, плечи которого известны; относительно способов обнару-
жения других предложений можно делать лишь те или иные пред-
положения: возможно, что при этом, как предполагал Д. Д. Мор-
духай-Болтовской [1, стр. 238—239], играла определенную роль
аналогия, неполная индукция и т. п.
§ 7. Интеграционные методы Архимеда
Выше уже говорилось об отдельных, еще не слишком опре-
деленных элементах интеграционных приемов до Архимеда;
о делении искомой площади на все увеличивающееся число все
уменьшающихся площадок в древнем Вавилоне; о необходимости
привлечения бесконечности при рассмотрении идеальных криво-
1 «Вписанной определенным образом» в сегмент прямолинейной фигурой
Архимед называл фигуру, указанную на рис. 1, при неограниченном
1а продолжении процесса вписывания.
О предложениях, доказывавшихся тем же методом позднее (Папп, ал-
Хайсам и др.), речь будет далее.
27
линейных образований в древнегреческой математике VI в. до
н. э.; о методе вписывания многоугольника в окружность путем
удвоения числа сторон у Антифона (добавим, что Бризон «по-
шел еще дальше Антифона, присоединив к вписанным многоуголь-
никам описанные и введя, таким образом, в математику понятие
о нижней и верхней границе» (Рудио [1, стр. 30]); о методе исчер-
пывания Евдокса, где систематически стали применяться впи-
санные и описанные прямолинейные фигуры; наконец, о мате-
матическом атомизме Демокрита.
Все это мы относим к зачаткам интеграционных методов.
Их высшим воплощением, в известной мере синтезом и дальней-
шей разработкой, явились методы определения площадей, объемов
и центров тяжести у Архимеда. Его фактические результаты мы
уже указали в § 6. Здесь же постараемся выявить то новое в его
приемах, чего не было у предшественников.
Прежде всего следует отметить существенное расширение кру-
га задач, для решения которых потребовалось привлечь интегра-
ционные приемы. Если в «Началах» Евклида, подытоживших
предшествующие исследования, содержится всего шесть квадратур
и кубатур, то в работах Архимеда их уже свыше двух десятков.
При этом Архимед не только определяет площади и объемы гео-
метрических фигур, известных в его время, но вводит в рассмо-
трение новые геометрические объекты (например, площади одного,
двух витков спирали Архимеда, площади ее сектора, объемы
сегментов параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения).
Характерно при этом то, что большинство нововведений Архимеда
основано на привлечении в геометрию идеи движения (в определе-
нии самой спирали, самих тел вращения), например, спираль у него
получается в результате некоторого движения точки на плоскости
(Архимед [4, стр. 229]). Хотя понятие движения применялось в
геометрии и до Архимеда (Гиппий, Архит, Евклид), но широта
архимедовских применений, вопреки достаточно авторитетному
мнению Аристотеля, осуждавшего использование движения в гео-
метрии, свидетельствует о том, что в данном вопросе Архимед
предвосхитил многое из последующего развития интегрального
исчисления.
Все квадратуры и кубатуры, выполненные Архимедом, мы
теперь можем свести к двум интегралам:
ъ
а
И
x^dx,
к которым можно добавить установленное им геометрическое
соотношение, эквивалентное
а
sin cpdcp = 1— cos а,
о
28
а также некоторые частные случаи его13. Однако у Архимеда не
было общих понятий предела, интеграла, интегральной суммы;
отдельные, вполне общие для нас теперь теоремы он передока-
зывал каждый раз заново, максимально используя специфиче-
ские свойства изучаемых объектов. Как отмечает Бурбаки
[1, стр. 172], у него нельзя найти даже следов какого-либо на-
броска классификации разнообразных геометрических .проблем
в соответствии с видом интеграла, лежащего в их основе 14. Но де-
лать отсюда вывод о том, что Архимед не пришел к подобным
идеям потому, что они казались ему слишком абстрактными, как
это делает Бурбаки, вряд ли правильно, даже если формулиро-
вать этот вывод в предположительной форме. Фактическое объяс-
нение этого обстоятельства, на наш взгляд, значительно проще:
у Архимеда слишком недостаточен запас квадратур и кубатур,
слишком мал запас математических знаний, чтобы он смог сформу-
лировать такие общие понятия, как предел, интеграл и т. п.,
или дать какое-либо подобие требуемой Бурбаки классификации.
Это не противоречит предыдущему положению о существенном
обогащении Архимедом круга задач, решавшихся интеграцион-
ными приемами. Он расширил его по сравнению с тем запасом,
которым располагали его предшественники. Но он был порази-
тельно беден по сравнению с тем запасом проблем, который был
накоплен к середине XVII столетия. Что касается упрека Бур-
баки в адрес Архимеда относительно того, что он не заметил,
что вычисление объема пирамиды, площади сегмента параболы,
центра тяжести треугольника и площади спирали сводятся к
нахождению интеграла §x2dx (Бурбаки [1, стр. 169—170]), то по
этому поводу можно сказать следующее. Ввиду того, что у Ар-
химеда не было, да и не могло быть сколько-нибудь общего поня-
тия интеграла, заметить это было довольно трудно. Даже если бы
он заметил этот факт, вряд ли, например, он стал бы определять
центр тяжести треугольника через указанный интеграл, ибо это
означало бы стрельбу из пушки по воробьям: существенно проще
определить его элементарно-геометрически, как точку пересече-
ния медиан.
Чрезвычайно важным шагом Архимеда в подготовке понятия
интеграла явилось введение верхних и нижних интеграль-
ных сумм, называемых теперь суммами Римана, и применение их
к определению площадей и объемов (И. Г. Башмакова [3, стр. 376]).
Но видеть в этом «настоящее интегрирование» (Цейтен [4, стр. 126])
было бы все же преувеличением, поскольку в интегральных сум-
мах от способа разбиения требуется лишь стремление к нулю
наибольшего частичного отрезка, и если не доказано, что значе-
13 Подробнее см., например, И. Г. Башмакова [3, стр. 376—3851 или Цейтен
[4, стр. 124—130].
14 Именно на этом основан указанный в § 1 вывод Бурбаки о том, что дос-
тижения Архимеда в какой-то мере противоположны интегральному
исчислению.
29
ния пределов этих сумм не зависят от способов разбиения и выбо-
ра значений функции, то нельзя быть уверенным, что мы не полу-
чим разных значений пределов при выборе того или иного
способа разбиения и определенного значения функции в частич-
ном интервале. Архимед же во всех случаях выбирал конкретный
способ разбиения: он разбивал область интегрирования на рав-
ные промежутки и в качестве значений функции выбирал значе-
ния ее в концах промежутков. Это не только не давало уверенно-
сти в существовании единственного предела, но и в известной мере
препятствовало применению этого метода для некоторых других
квадратур и кубатур. Как мы увидим далее, одно изменение спо-
соба разбиения позволило относительно просто найти ряд квад-
ратур в последующем.
Это, впрочем, не упрек в адрес Архимеда, ибо указанная об-
щая точка зрения на интегральные суммы стала возможной лишь
в XIX в. Для эпохи же Архимеда введение интегральных сумм,
даже в этом ограниченном смысле, было весьма большим дости-
жением.
Быть может, еще более важным для истории интегрального
исчисления было преобразование Архимедом идеи Демокрита
о разложении геометрических объектов на элементарные состав-
ляющие. В работах Архимеда это преобразование было совер-
шено в двух направлениях. Во-первых, искомые площадь или
объем разбивались на бесконечное множество прямолинейных
отрезков или кусков плоскостей, затем находилось некоторое
соотношение между элементами разбиения, позволявшее обна-
ружить соотношение между целыми объектами. Во-вторых, пло-
щадь или объем разбивались на конечное, но сколь угодно боль-
шое число полосок или слоев, и затем с ними поступали, как в
предыдущем случае. Эти два способа подхода к проблемам изме-
рения явились истоком идей Кавальери и Кеплера, а затем и мно-
гих других математиков.
Архимед [7, стр. 299] рассматривал оба эти подхода лишь
как эвристические приемы, нуждающиеся затем в дополнении
доказательствами методом исчерпывания правильности полу-
ченных при их помощи результатов. Однако он их высоко ценил
и не только пользовался ими, но и рекомендовал применять дру-
гим. Правда, Архимед считал применяемым им эвристическим
приемом скорее не указанные способы разбиения, а возможность
применения принципа рычага к элементам разбиения, почему он
и называл это механическим методом. Однако в исторической пер-
спективе оказались более плодотворными именно эти разбие-
ния, а не принцип рычага.
И Наряду с интеграционными методами, Архимед сделал сущест-
венный вклад в методы построения касательных и нахождения
максимумов и минимумов. Однако у него не содержалось какого-
либо намека на взаимосвязь дифференцирования и интегриро-
вания, поэтому мы не будем останавливаться на данном вопросе,
30
отослав читателя к работам И. Г. Башмаковой [1, 4], специально
посвященным дифференциальным методам Архимеда.
Таким образом, как справедливо отметил Бурбаки [1, стр. 168],
почти все дошедшие до нас работы Архимеда посвящены инте-
грационным проблемам. И тем не менее Архимед никогда не рас-
сматривался как узкий специалист в определенной области.
Наоборот, его считают величайшим математиком и механиком
древности в самом широком смысле. И это не случайно, ибо в его
работах интеграционные проблемы связаны с самыми новейшими
достижениями математики и механики того времени. У него
порою трудно различить, где кончается теория конических се-
чений или механика и начинается интегрирование или наобо-
рот. Интеграционная проблема требует привлечения последних
достижений теории конических сечений или тригонометрии.
Решение первой приводит к новой механической или математи-
ческой проблеме, которую он решает, используя решение инте-
грационной задачи. Говорить об этом подробно — значит изло-
жить большую часть работ Архимеда, что потребовало бы много
места, поэтому мы ограничимся одним примером.
Мы уже говорили, что Архимед определил площадь сег-
мента параболы. Для этой цели он сначала приводит лемму Ев-
докса, а затем сообщает без доказательств три известных тогда
основных предложения о параболах, ссылаясь при этом на не до-
шедшее до нас сочинение «Начала теории конических сечений»
Евклида или Аристея. Далее он формулирует и доказывает два
предложения о параболах, нужных ему в дальнейшем, которые,
по-видимому, являлись тогда новыми.
Второе из них (предложение V из [1, стр. 79—80]), с совре-
менной точки зрения, равносильно преобразованию уравнения
параболы к другим координатным осям (И. Н. Веселовский
[2, стр. 448]). Такое преобразование нужно ему для того, чтобы
затем удобнее было уравновешивать на рычаге элементы сегмента
параболы и элементы площади треугольника. Этому сравнению
Архимед предпосылает ряд предложений механики (статики)
о равновесии плоских фигур [1, стр. 81—84]. Они, по-видимому,
также были новыми для того времени, поскольку Архимед под-
робно их доказывает. После этого он разбивает основание сегмента
параболы на произвольное конечное число равных отрезков и на
них строит верхние и нижние суммы, образованные, правда, не
из прямоугольников, а из трапеций, и, используя принцип рычага,
показывает, что каждая такая верхняя сумма больше площади
некоторого треугольника, а каждая нижняя сумма меньше ее.
Такое рассуждение повторено им для другого способа получения
сегмента параболы. А затем уже при помощи метода исчерпыва-
ния показывается, что площадь сегмента параболы равна трети
площади треугольника ВАГ (рис. 2), построенного на основании
сегмента параболы проведением касательной к параболе в точке Г
и прямой ВД, параллельной диаметру параболы В(ЭГ (предложе-
31
йие XVI). Доказав затем, что площадь треугольника В@Г, где
точка 0 определяется тем условием, что касательная в ней па-
раллельна основанию ВГ сегмента, равна четверти площади
треугольника ВАГ, Архимед делает основной вывод, что площадь
сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника В0Г. На этом
заканчивается, так сказать, механическая часть его работы.
После этого дается несколько
Я ____________________ Г предложений о свойствах пара-
бол, а затем та же площадь опре-
\ деляется методом исчерпывания.
\ / Таким образом, мы видим, что
\ в / в этом, для нас теперь несложном
\ / примере квадратуры как бы син-
\ / тезируются высшие достижения
\ / античной механико-математичес-
кой мысли: теория конических
* 4 сечений, теория рычага, метод ис-
РИС 2 черпывания; производится сумми-
рование геометрической прогрес-
сии и т. д. Другими словами, интег-
рирование соединяется с высшими достижениями науки. И это
свойственно не только рассмотренному сочинению Архимеда, но
и всем остальным его работам.
§ S. Элементы интеграционных приемов у Паппа
Папп, живший примерно в III—IV в. н. э., является ученым
значительно меньшего масштаба, нежели Архимед. Он известен
более как комментатор древнегреческих классиков, а не как
самостоятельный творец. И если здесь мы уделяем ему значи-
тельное место, то это объясняется целым рядом обстоятельств.
Во-первых, мы считаем Паппа не только замечательным ком-
ментатором, благодаря которому мы знаем многое о древнегре-
ческой математике. По нашему мнению, он является и ориги-
нальным мыслителем, конечно, значительно меньшего ранга,
чем Архимед, но все же стоящим на уровне выше простого ком-
ментатора, даже самого высокого класса. В дальнейшем мы по-
стараемся показать это на примере его исследований по квадра-
турам.
Во-вторых, квадратурное наследие Паппа историками мате-
матики рассмотрено совершенно недостаточно и обычно описы-
вается весьма кратко (см., например, И. Г. Башмакова [3,
стр. 404]; Цейтен [4, стр. 163—164]; Ван дер Варден [1, стр. 385—
386]).
В-третьих, в вопросе о квадратурах и кубатурах в промежутке
времени между Архимедом и Паппом мы просто ничего не знаем.
Поэтому рассмотрение работ Паппа вслед за работами Архимеда
практически неизбежно. Ирония ли это исторических обстоя-
32
тельств, не позволяющих нам знать, что происходило в это время
в рассматриваемом вопросе, или же это некая закономерность
исторического процесса развития математического мышления,
но фактом является то, что в вопросе о квадратурах и кубатурах
мы вынуждены ставить рядом, сопоставлять и сравнивать работы
Архимеда и Паппа.
Прежде всего, работы Архимеда и Паппа имели различный
характер. Первые представляли собой тщательно отделанные на-
учные сочинения, предназначенные для идеального, в известном
смысле, читателя, знающего современное ему состояние науки,
посвященного во все ее тонкости, внимательного настолько, что
достаточно иногда простого упоминания того или иного поло-
жения, чтобы в дальнейшем, не ссылаясь на него, использовать
его в ходе рассуждений. Вторые же, «Collection mathematique»
Паппа, были, по принятому мнению, записью лекций, прочитан-
ных последним «перед аудиторией, у которой уже начала те-
ряться научная традиция» (Вер Экке [2, стр. XIV]), хотя не ис-
ключено, что этой традиции у аудитории еще вообще не сущест-
вовало, так как лекции могли быть обращены к молодежи 15.
Отсюда детальное изложение относительно простых предложе-
ний, оставшихся недоказанными в работах Евклида, Архимеда,
Аполлония и других ученых древности; отсюда утомительные
порой длинноты, неоднократные повторы одних и тех же ша-
блонных выражений. Однако делать из этого вывод, что эти
«мелочи» загораживали от Паппа целое здание математического
творения более древних авторов, отрицать у него наличие хотя
бы «одной поистине новой теоремы» и даже принимать это как
характерный признак упадка древнегреческого мышления, как
это делал, например Цейтен [4, стр. 164], было бы довольно рис-
кованно. Папп, несомненно, знал, превосходно понимал и, глав-
ное, обогащал труды своих предшественников. И даже в том, в чем
он потерпел, казалось бы, научное фиаско, например в доказа-
тельстве теоремы, что объем, сферы больше объема всякой выпук-
лой пространственной фигуры, имеющей ту же поверхность, мы
видим величие Паппа как ученого: известно, что это утверждение
бросало вызов многочисленным поколениям математиков.
Общее число квадратур и кубатур у Паппа достигает полутора
десятков. Некоторые из них являются воспроизведением уже имев-
шихся, а некоторые — новыми. Начнем с определения площади
витка спирали Архимеда (Папп [1, стр. 179—182]). Архимед
доказал [4, стр. 254—256], что площадь витка спирали АВГАЕ6А
равна трети площади круга AZHIA (рис. 3). В ходе доказатель-
ства он описывал вокруг спирали фигуру AKAMNPT и вписывал
фигуру OAHNSr, показывал, что при достаточно далеком раз-
15 Этот труд Паппа содержал восемь книг; первая из них, где можно было
бы, вероятно, узнать назначение лекций, потеряна полностью, вторая
дошла в измененном виде, и лишь шесть остальных книг сохранились в
более или менее первоначальной форме.
2 Ф. А. Медведев
33
биении площадь описанной фигуры будет отличаться от вписан-
ной на сколь угодно малую величину (Архимед [4, стр. 252]);
затем методом от противного он находил, что площадь витка
спирали не может быть ни больше, ни меньше трети площади
круга. В ходе рассуждений он опирался на формулу для суммы
квадратов конечного ряда натуральных чисел, установленную им
в той же работе [4, стр. 235—240].
Рассуждения Паппа при доказательстве этой теоремы построе-
ны иначе. Наряду со спиралью и окружностью он рассматривает
прямоугольник NKHA (рис. 4).
Вырезая произвольный сектор
АВГ, на КП он выбирает точку Р
так, чтобы КП так относился к
КР, как длина всей окружности
АГ ДА к длине дуги АГ, и через
точку Р проводит РТ || KN. Опира-
ясь на свойства спирали 16 и спо-
соб построения прямоугольников,
он находит ряд пропорций, из
которых получает следующую про-
порцию:
РТ2 В Г2
"tA2"-"BZ2" ’
, что объемы цилиндров с одинаковой
Привлекая затем предложения из «Начал» Евклида, что площади
секторов относятся, как квадраты радиусов (в данном случае
площадь сектора АВГ В Г2
площадь сектора ZBH BZ2
высотой относятся, как площади их оснований (в данном случае
объем цилиндра, порожденного вращением параллелограмма
NKPT вокруг оси TN, так относится к объему цилиндра, поро-
жденного вращением параллелограмма NMQT вокруг той же оси,
как РТ 2 : Тй 2), и что, наконец, площадь сектора АВГ так от-
носится к площади сектора ZBH, как РТ2 : Тй2, Папп получает
объем цилиндра с радиусом основания РТ, и высотой NT
объем цилиндра с радиусом основания TQ и высотой NT
площадь сектора АВГ
площадь сектора ZBH
Откладывая затем на дуге ГА дугу, равную дуге АГ, и отрезок РХ,
равный отрезку КР, Папп находит аналогичную пропорцию
для соответствующих цилиндров и секторов.
Отсюда Папп делает вывод, что объем цилиндра, порожден-
ного вращением всего прямоугольника NKIIA вокруг оси NA,
16 Доказанные Архимедом, а также Паппом в предшествующих предложе-
ниях.
34
так относится «ко всем фигурам 17, образованным цилиндрами,
вписанными в конус, порожденный вращением треугольника
KNA вокруг оси AN, как весь круг 18 ко всем секторам, вписан-
ным в спираль, а также, что цилиндр 19 будет так относиться
ко всем фигурам, образованным цилиндрами, описанными вокруг
того же конуса, как весь круг относится ко всем фигурам, обра-
зованным секторами, описанными вокруг спирали; отсюда, оче-
видно, следует, что цилиндр так относится к конусу, как круг
относится к фигуре, заключенной между спиралью и прямой АВ.
И
Рис. 4
Но цилиндр является утроенным конусом 20, следовательно, круг
также является утроенной фигурой, рассматриваемой нами»21
(Папп [1, стр. 182]).
В этом доказательстве мы видим ряд интересных особенностей.
Как и Архимед, Папп начинает с вписанных в спираль и описан-
ных вокруг нее фигур. Но на этом сходство доказательств окан-
чивается. Архимед не выходит за пределы плоскости. Папп же
использует пространственные соображения. Первый привлекает
для доказательства формулу суммирования квадратов натураль-
ных чисел, а второй обходится без нее, опираясь на известные
предложения «Начал» Евклида. Архимед, наконец, завершает дело
апогагическим рассуждением, а Папп опускает его, говоря просто
о всех цилиндрах, вписанных в конус (описанных вокруг него),
или о всех фигурах, вписанных в спираль (описанных вокруг
нее), вроде неделимых Кавальери.
Указав затем, что аналогичное предложение доказывается так
же для сектора спирали и соответствующего ему сектора круга,
Папп находит, что площадь, описываемая радиус-вектором ар-
18 То есть к объему всех фигур.
i0 То есть площадь круга АГДА.
2о-2^ъем того же самого цилиндра.
iTo есть объем цилиндра равен утроенномуЪбъему конуса, если они имеют
21 2Динак°вые основания и высоты.
То есть площадь круга равна утроенной площади первого витка спирали.
35
2*
химедовской спирали, пропорциональна кубу радиуса (Папп,
[1, стр. 183—184]). Этой теоремы не было у Архимеда, но она не-
сложно получалась из предшествующих, и мы не будем на ней
останавливаться. Не будем говорить и о квадратуре круга (Папп,
[1, стр. 243—245]), так как она осуществлена, по-существу,
так же, как и у Архимеда [5, стр. 266—267]. Заметим лишь,
что здесь Папп пользуется апогагическим рассуждением.
Более подробно рассмотрим квадратуру сферической спирали,
представляющей оригинальный вклад Паппа. Построение ее
Рис. 5
Папп описывает следующим образом. Пусть задана полусфера
M0K и 0NK представляет собой четвертую часть большого круга
(рис. 5). Из точки 0 в точку К по дуге 0NK равномерно движется
точка, а сама дуга равномерно вращается, перемещаясь по по-
верхности сферы. Тогда подвижная точка за время полного обо-
рота опишет на сфере некоторую кривую линию 001 К, называе-
мую сферической спиралью и являющуюся аналогом спирали
Архимеда на плоскости. Папп доказывает следующую теорему.
Пусть АВГА — четвертая часть большого круга исходной сферы,
а АГ — его хорда (рис. 6); тогда площадь, вырезаемая на сфере
спиралью 0OIK (рис. 5) и начальной (она же конечная) дугой
0NK, так относится к поверхности полусферы, как площадь
сегмента АВГ (рис. 6) к площади сектора АВГА.
Дополнительные построения таковы: на рис. 6 в точке Г про-
водим касательную до пересечения в точке Z,c дугой окружности,
проведенной вокруг точки Г, как центра, радиусом, равным АГ;
на рис. 5 берем произвольный меридиан 0ОЛ; через точку О
пересечения его со спиралью проводим окружность ON из точки 0;
на рис. 6 точку Е выбираем так, чтобы дуга ZE составляла такую
же часть дуги ZA, какую дуга КА на рис. 5 составляет от всей
окружности КЛМК; В (на рис. 6) — пересечение ЕГ с дугой АГ,
ВН — дуга окружности с центром в Г радиуса ВГ.
Сначала Папп отмечает, что площади секторов АВГА и АЕ7Г
равны, а также, что дуга ВГ составляет такую же часть дуги
АВГ (см. рис. 6), какую на рис. 5 дуга КА составляет от длины
36
окружности КЛМК 22. Далее он заключает, что площадь поверх-
ности полусферы так относится к площади поверхности сфериче-
ского сегмента с вершиной © и основанием ONO, как площадь
сектора Л0К на сфере к площади сектора ONO на сфере. Папп
не указывает, откуда это следует. Вер Экке 23 предполагает, что
Папп рассуждал в данном случае, как Архимед в своем «Посла-
нии к Эратосфену» [7, стр. 298—327, особенно стр. 303], рассма-
тривая сферическую поверхность, как образованную из парал-
лельных кругов. Тогда поскольку (рис. 5) дуги ЛК и ON заклю-
Рис. 7
Рис. 6
чают один и тот же угол, то длина окружности МЛКМ так от-
носится к длине дуги ЛК, как длина окружности ONO к длине
дуги ON. Отсюда, «суммируя» эти неделимые, Папп действительно
смог сделать этот вывод.
Учитывая отмеченное, очень кратким рассуждением Папп по-
казывает, что пдощадь сектора EZT так относится к площади
сектора ВНГ (рис. 6), как (см. рис. 5) площадь сектора КЛ0
на сфере к площади сектора ON0 на сфере24.-Эта пропорция
’ доказана теперь для произвольного сектора КЛ0 на сфере и со-
ответствующих ему при указанном построении секторов на плос-
кости (см. рис. 6). Далее сектор Л0К на сфере (см. рис. 5) рассма-
тривается как элементарный сектор разбиения полусферы на
равные секторы, а соответствующий ему плоский сектор EZF
(см. рис. 6) — как элементарный сектор соответствующего раз-
биения плоского сектора AZr. Такое разбиение представлено на
рис. 7 в плоском случае (у Паппа и Вер Экке его нет). Тогда сумма
площадей секторов типа ВНГ представляет собой площадь сег-
мента АВГ с избытком, образованным суммой площадей смешан-
22 Доказательства элементарны, и в примечаниях Вер Экке они приведены
(Папп [1, стр. 202—203, сноска]).
24 Там же, стр. 204, сноска.
Подробно это рассуждение проведено в примечании Вер Экке (Папп [1,
стр. 204, сноска]).
пых треугольников типа ВНГ (стороны которого — дуги ВГ, ВН
и прямая НГ). Аналогично сумма площадей секторов на сфере
(см. рис. 5) типа ©ON представляет площадь, заключенную между
спиралью и дугой ©NK на сфере, с избытком, образованным
суммой площадей смешанных треугольников типа 0©N (стороны
которого ©N, ON — дуги на сфере, а третья сторона ©О — кусок
дуги спирали). Сумма же площадей секторов типа TBR (см. рис. 7)
образует площадь того же сегмента АВГ с недостатком, образо-
ванным суммой площадей смешанных треугольников типа RBT
(стороны которого — дуги BR, ТВ и прямая TR); аналогичная
сумма на сфере даст площадь, заключенную между спиралью и
дугой ©NK на сфере, с недостатком. Наконец, сумма секторов
типа EZT (см. рис. 5) представляет собой сектор AZT, а сумма
секторов типа ЛК© образует полусферу.
Теперь из предыдущей пропорции Папп делает вывод, кото-
рый мы приведем полностью для характеристики стиля рассуж-
дений Паппа 25: «Аналогично доказывается, что все секторы [см.
рис. 6], равные сектору EZT, содержащиеся в секторе AZT, так
относятся к секторам, описанным вокруг сегмента АВГ, соответ-
ствующим сектору ГВН, как все секторы [см. рис. 5], равные
сектору ЛК©, содержащиеся в полусфере, которые образуют всю
полусферу, относятся к секторам, описанным вокруг спирали,
которые соответствуют сектору 0©N. Аналогично докажем, что
сектор AZT [см. рис. 6] так относится к секторам, вписанным
в сегмент АВГ, как поверхность полусферы относится к секторам,
вписанным в спираль; отсюда вытекает, что сектор AZr, т. е.
квадрант АВГА, будет так относиться к сегменту АВГ, как по-
верхность полусферы относится к поверхности, вырезанной спи-
ралью» (Папп [1, стр. 205]). Имея в виду, что под словами «сек-
тор», «сегмент» и т. д. Папп разумеет везде площадь сектора,
площадь сегмента и т. д., мы получаем утверждение теоремы.
Папп в заключение добавляет также, что поскольку площадь
поверхности полусферы в восемь раз больше площади сектора
АВГД (см. рис. 6) (простое следствие их теоремы Архимеда о том,
что площадь поверхности сферы равна учетверенной площади
большого круга), то из последней пропорции получается, что
площадь сферической поверхности, заключенная между спиралью
и дугой ©NK (см. рис. 5), в восемь раз больше площади сегмента
АВГД (см. рис. 6). Заканчивается все это выводом о том, что пло-
щадь, заключенная между спиралью и основанием полусферы,
т. е. разность между площадью поверхности полусферы и пло-
щадью под спиралью и дугой ©NK, равна восьми площадям тре-
угольника АГД или квадрату диаметра сферы26.
25 Все написанное выше после установления пропорции является лишь ре-
конструкцией, вытекающей из приводимого далее вывода. Папп этот
вывод делает непосредственно на основании указанной пропорции.
26 Подробно оправдание этих выводов Паппа см. в примечаниях Вер Экке
(Папп [1, стр. 205—206, сноска]).
38
Вер Экке (Папп (1, стр. 205, сноска!) считает, что Папп рас-
суждает здесь на манер Архимеда, вписывая в спираль (и соответ-
ственно плоский сегмент) и описывая вокруг нее (соответствен-
но — него) сферические (плоские) фигуры так, что разность меж-
ду их площадями меньше любой наперед заданной величины, и,
переходя к пределу, получает искомый результат. Действительно,
вписанные и описанные фигуры имеются. Что же касается вы-
вода о сколь угодно малой разности между их площадями, то
на это нет никакого намека; тем более ничего не говорится о
предельном переходе. Поэтому трудно согласиться с Вер Экке, что
Папп здесь рассуждал таким образом. Апогагического доказа-
тельства здесь нет. По-видимому, как и в случае квадратуры
плоской спирали Архимеда, рассмотренном выше, Папп говорит
просто о всех вписанных и описанных секторах, как о своего рода
неделимых.
Во всяком случае, здесь мы имели первый пример квадратуры
кривой, расположенной на криволинейной поверхности. Можно
заметить, что последняя указанная Паппом площадь между спи-
ралью и основанием полусферы есть как раз площадь поверхно-
сти свода Вивиани, найденная последним в XVII в.
Обратимся, наконец, быть может, к самому замечательному
результату, связанному с кубатурами и квадратурами, содержа-
щемуся в одной из дошедших до нас рукописей книги Паппа.
Имеется в виду так называемая теорема Гульдина.
Большинство историков математики считают этот результат
принадлежащим Паппу (см., например, Цейтен [4, стр. 163—
164]; Ван дер Варден [1, стр. 386]; И. Г. Башмакова [3, стр. 404];
М. Кантор [1, стр. 421]; Э.Я.Кольман [2, стр. 205]). Существует,
однако, мнение, что эта теорема не принадлежит ему. Наиболее
отчетливо последнюю точку зрения сформулировал Вер Экке.
Прежде чем говорить о его возражениях против принадлежности
теоремы об объемах тел вращения Паппу, обрисуем фактическое
положение вещей.
В седьмой книге «Собрания» Паппа излагается содержание
ряда важнейших работ древнегреческих математиков, в частности
Аполлония. Изложив некоторые результаты последнего, Папп
пишет: «Те, кто рассмотрят эти предложения, встретят здесь мало
приложений, так как древние авторы в своих сочинениях менее
всего занимались этим. Заметив, что большая их часть относится
к началам математики и к вопросам материальной природы,
я был побужден этим и доказал предложения, являющиеся более
возвышенными и весьма полезными... 27, но чтобы не быть голо-
словным, я предложу читателю следующее:
27 Здесь пробел в рукописи. По мнению Вер Экке (Папп [1, стр. 510, сноска
2]), в недостающей фразе, вероятно, давалось указание на отдельную
работу, в которой автор приведенных слов доказал следующее далее
утверждение.
39
«Отношение полных вращений28 составляется из отношения
вращающихся и отношения прямых, подобно опущенных из
центров тяжести вращающихся на оси 29, а отношение неполных
вращений составляется из отношения вращающихся и отношения
дуг, описываемых центрами тяжести вращающихся; в то же вре-
мя, очевидно, отношение этих дуг составляется из отношения опу-
щенных прямых и отношения углов, заключающих концы дуг
и с вершинами на оси вращения. Эти предложения, образующие
в некотором смысле единое предложение, охватывают собою мно-
гие разнообразные теоремы о линиях, поверхностях и телах, ко-
торые можно доказать одним и тем же способом; ранее они не
были доказаны, а теперь таковы же, как и содержащиеся в две-
надцатой книге „Начал“, ибо опираются на последние» (Папп
[1, стр. 510-512]).
После этого Папп доказывает несколько десятков лемм, пояс-
няющих и дополняющих содержание книг Аполлония.
Вер Экке приведенные выше слова заключает в квадратные
скобки и считает их позднейшей вставкой. Основанием для такого
мнения (Папп [1, стр. 512, сноска 2) он считает то, что, во-первых,
язык данного отрывка менее чист и выражения недостаточно четки
по сравнению с обычным языком Паппа; во-вторых, рассматри-
ваемый здесь вопрос не имеет ничего общего с текстом, окаймляю-
щим этот отрывок; наконец, что данный отрывок отсутствует в
первом латинском издании «Собрания» Паппа, осуществленном
Коммандино в 1588 г., а появляется лишь во втором издании,
опубликованном Манолессиусом в 1660 г. На основании этого
Вер Экке делает вывод, что приписывать Паппу авторство при-
веденного отрывка, значит совершить ошибку; что этот отрывок
принадлежит «некоторому, к несчастью неизвестному геометру,
величие которого может лишь удивлять и который жил несколько
позднее Паппа, т. е. в эпоху упадка эллинской науки» (там же).
Аналогичные соображения Вер Экке привел и во введении
(Вер Экке [2, стр. XCIV-XCIV]).
Вопрос о принадлежности или непринадлежности Паппу дан-
ного результата не может быть, разумеется, решен без тщательного
изучения самих греческих рукописей и привлечения многих
историко-научных материалов. Все же кое-какие соображения
в пользу того, что теорема об объемах тел вращения могла быть
сформулирована и доказана Паппом, можно привести. Прежде
всего, вряд ли можно согласиться с Вер Экке, что данный отрывок
является чужеродной вставкой, не соответствующей по содержа-
нию предшествующему и последующему тексту. В предшествую-
щем тексте перечисляются вообще довольно разнородные резуль-
28 По общепринятому пониманию, в частности по Вер Экке (Папп [1, стр. 510,
сноска 3]), речь здесь идет об отношении объемов тел вращения, по-
рожденных вращением плоской линии, ограниченной полигональными или
кривыми линиями, вокруг оси, расположенной в плоскости этой площади.
29 То есть перпендикуляров из центров тяжести на оси вращения.
40
таты греческих геометров. В самом конце их и помещен указан-
ный текст, как последнее из значительных достижений поздне-
античной геометрии. Непосредственно за ним следуют слова,
относящиеся ко всему остальному тексту седьмой книги, посвя-
щенной разъяснению и дополнениям Аполлония.
Достаточно весом и тот довод, что Папп располагал всеми
данными, необходимыми для того, чтобы догадаться о возможности
существования такой общей теоремы. Действительно, в пятой
книге «Собрания» Папп сформулировал и доказал ряд частных
случаев этой теоремьц правда, без привлечения понятия центра
тяжести. А именно, он доказал теоремы об объемах тел вращения,
порождаемых вращением треугольника относительно различных
положений оси вращения (Папп [1, стр. 299—303]), тел, порож-
даемых вращением четырех, пятиугольников и вообще п-уголь-
ников таких, что равны перпендикуляры, опущенные па их сто-
роны из точки оси вращения, в которой расположена одна из
вершин рассматриваемого многоугольника (Папп [1, стр. 304—
305], а также тел, порожденных вращением ломаной, описанной
вокруг полуокружности или вокруг части ее (там же, стр. 305—
306). Далее, Папп владел понятием центра тяжести в столь от-
четливой форме, что ему иногда приписывается самое определение
этого понятия [1, стр. 815] 30. Он применял его в целом ряде задач
и теорем геометрико-механического характера восьмой книги. Так
что допущение о возможности возникновения у Паппа идеи общей
теоремы об объемах тел вращения, основанной на понятии
центра тяжести, вполне законно. Что же касается доказательства
ее, то, как мы видим, Папп достаточно виртуозно владел методом
исчерпывания, чтобы суметь доказать эту теорему. Поэтому есть
основания согласиться с Цейтеном, писавшим, что «при наличии
того геометрического представления, которое применяли уже
во времена Архимеда к интегрированиям, необходимым для опре-
деления центров тяжести, теорема эта как бы носилась в воздухе,
по Паппу все же принадлежит заслуга общей ее формулировки»
[4,; стр. 163—164].
Выдумывание же какого-то нового, абсолютно неизвестного
нам геометра, как это делает Вер Экке, является гораздо менее
продуктивным занятием, тем более, что вставочный характер
приведенной цитаты, если он таков на самом деле, вполне может
быть объяснен предположением, что это действительно вставка,
но вставка Паппа, написанная после того, как был завершен ос-
новной труд Паппа, разошедший в первоначальных списках.
Папп мог открыть и доказать эту теорему после написания «Со-
брания» и лишь затем включить в одну из прежних рукописей.
Во всяком случае, не имея более серьезных доводов в пользу
30 Архимед также в совершенстве владел этим понятием, но не давал дефи-
ниции его. Подробнее о понятии центра тяжести у Архимеда см. И. Н.
Веселовский [1,стр. 14—16]; Штейн [1]; С. Я. Лурье [5, стр. 84—97].
41
какого-то другого геометра, мы разделяем точку зрения боль-
шинства историков математики.
Сказанное в настоящем параграфе, как нам кажется, оправ-
дывает отведение существенного места в предыстории интеграль-
ного исчисления работам Паппа. Значение его работ возрастает
еще более, если принять во внимание, что они читались матема-
тиками XVI в.
§ 9. Квадратуры и кубатуры в средние века
Если при изучении древнегреческой математики вообще, а
в частности и интеграционных методов, одной из основных труд-
ностей является то, что до нас не дошли очень многие математи-
ческие произведения эллинов, то при изучении средневековой
математики выступает трудность чуть ли не противоположного
характера. В разнообразных библиотеках мира хранится огром-
ное количество оригинальных научных трудов, главным образом
рукописей, которые, по-видимому, еще не скоро будут изучены
и расклассифицированы, не скоро станут доступными специаль-
ному анализу. Работа в этом направлении проводится, но еще
недостаточно интенсивно 31.
В отношении же вопросов о квадратурах и кубатурах дело
обстоит даже хуже. Об исследованиях в странах Западной Европы
в этом направлении до XVI столетия вообще почти ничего не-
известно. Очень скудны и сведения о квадратурах и кубатурах
в странах арабской культуры, хотя достоверно известно, что эти
вопросы разрабатывались там довольно успешно.
Наиболее важные из известных нам работ арабов по данному
вопросу вошли в обиход историков математики благодаря Г. Зу-
теру, из работ которого укажем статью [1]. Впоследствии к ним
обращались А. П. Юшкевич [13, 14, 16] и ад-Даббах [1—3].
По этим данным представляется следующая картина.
На рубеже VIII и IX вв. багдадские ученые познакомились
с методом исчерпывания по «Началам» Евклида, а несколько поз-
же — и по сочинениям Архимеда. Наиболее раннее применение
его, известное нам, это применение братьев Бану Муса в работе
«Книга измерения плоских и шаровых фигур», относящейся
к IX в. Здесь излагались некоторые из результатов Архимеда,
содержавшиеся в «Измерении круга» и «О шаре и цилиндре».
Хотя и имелись некоторые отличия от последнего 32, но они столь
несущественны, что здесь вряд ли следует говорить об этом.
Значительно более важными в истории интегрального исчис-
ления были работы Сабита ибн Корры о квадратуре параболы и
кубатуре параболоида, относящиеся к IX в. Мы не располагаем
31 О состоянии работы в изучении истории средневековой математики и пер-
спективах см. В. П. Зубов, Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич [1],
А. П. Юшкевич [20].
32 Подробнее об этом см. ад-Даббах [1].
42
Данными о том, что ему были известны сочинения Архимеда [1,
3, 7]. Он знал лишь результат Архимеда о площади сегмента
параболы, так как последний упомянут в начале архимедовской
работы «О шаре и цилиндре», которую ибн Корра перевел на
арабский язык. Так что ему приходилось реконструировать
в первом случае доказательство Архимеда. И доказательство ибн
Корры вполне оригинально. Сам Архимед определял площадь
сегмента параболы без применения интегральных сумм Римана.
Ибн Корра, знакомый с методом последних по переведенной им
работе, применил для квадратуры параболы именно римановские
суммы. Но и здесь он ввел существенное изменение в архимедов-
скую процедуру. Если следовать обычаю Архимеда при вычис-
лении интеграла, которое производил ибн Корра,— разбивать
область задания функции на равные промежутки,— то приме-
а
пенный
последним прием
нахождения
интеграла
Ух dx тре-
_ _ _ о
бовал знания суммы У1 + У2 + . . . -}~Уп, которую тогда не
умели находить. Ибн Корра остроумно обошел возникшую труд-
ность тем, что область задания функции он разбил на такие части,
чтобы значения / (х) = Ух в точках деления были целыми числа-
ми, а именно, абсциссы точек деления он взял пропорциональны-
ми целым квадратам 1:4:9:.... Вследствие этого отрезки,
на которые разбивался аргумент, образовывали арифметическую
прогрессию, члены которой пропорциональны нечетным числам
1:3:5... Теперь задача вычисления указанного интеграла
свелась главным образом к вычислению сумм некоторых рядов
целых чисел 33.
Во второй своей работе 34 ибн Корра существенно расширил
класс кубатур. Архимед рассматривал лишь параболоид враще-
ния, получаемый при вращении параболы вокруг ее оси. Ибн
Корра ввел также тела, получаемые при вращении вокруг оси
параболы частей последней, получаемых при делении параболы
каким-либо диаметром; кроме того, он выделил тела, получае-
мые при вращении прямого сегмента параболы вокруг основания,
а также тела, получаемые при вращении косых сегментов вокруг
основания. Сам ибн Корра нашел кубатуры только тел, получае-
мых при вращении частей параболы вокруг диаметра. Принци-
пиально новых моментов здесь уже не содержалось; заслуживает,
разве, упоминания, что при этом пришлось вычислить суммы
некоторых рядов квадратов целых чисел, а также видоизменить
лемму Евдокса — Архимеда (первое предложение десятой книги
«Начал») с тем, чтобы приспособить ее к проводимым вычислениям.
Последняя из указанных работ Сабита ибн Корры дала толчок
к последующим изысканиям.
33 Подробнее см. А. П. Юшкевич [14, 16].
34 См. Зутер [1], А. П. Юшкевич [14, 16].
43
Видимо, наиболее интересной из известных нам работ этого
периода является «Трактат об измерении параболического тела»
ибн ал-Хайсама (Зутер fl], А. П. Юшкевич [13, стр. 278—280]).
Он интересен в нескольких отношениях. Во-первых, здесь впер-
вые определены объемы тел, получаемых при вращении сегмента
параболы вокруг произвольной ординаты, ограничивающей
параболу. Хотя тела эти были, как мы сказали, введены еще Са-
битом ибн Коррой, но ни он сам, ни его последователи не сумели
найти эту кубатуру. Для осуществления указанной кубатуры,
а
р
равнозначной вычислению интеграла \ x4dx, требовались новые
о
вычислительные средства, которыми не располагали ни древне-
греческие, ни предшествовавшие ему арабоязычные математики,
а именно нужно было найти сумму четвертых степеней натураль-
п
ных чисел 2 Видимо, ал-Хайсам впервые определил эту сумму,
fc=i
и это второй интересный момент его работы 35. Наконец, здесь мы
встречаемся со следующим любопытным фактом. Все свои рассуж-
дения ал-Хайсам проводил в духе метода исчерпывания древних
греков. Однако после того, как искомые объемы были найдены
таким способом, он отмечает (Зутер [1, стр. 317]), что некоторые
математики считают неубедительными апогагические доказа-
тельства, и пытается видоизменить свое первоначальное дока-
зательство. Хотя его «обоснование» и не выводит, по-видимому,
за пределы метода исчерпывания, однако то, что на рубеже X—
XI вв. уже возникли сомнения в правомерности апогагических
доказательств, весьма знаменательно. К сожалению, ибн ал-Хай-
сам весьма глухо упоминает об этом.
Еще одним заметным вкладом ал-Хайсама является определе-
ние объема шара при помощи интегральных сумм. Архимед [2]
при кубатуре шара не пользовался этими суммами, а, вписывая
в круг, порождающий шар, правильные многоугольники с четным
числом сторон и представляя последние в виде суммы треуголь-
ников с вершинами в центре круга, методом исчерпывания нашел
объем шара. Ал-Хайсам воспользовался для этого верхними и
нижними интегральными суммами 36.
35 Ибн ал-Хайсам в своем трактате определил последовательно суммы
п п п
2 2 ^2’ 2 ^3’ но эти СУММЫ известны были ранее (см. Цейтен [4,
ill
стр. 127,167]); указание Цейтена на то, что сумма четвертых степеней най-
дена ал-Каши в XV в. [4, стр. 20], не соответствует действйтельности.
36 Подробнее см. ад-Даббах [2, 3]. Ад-Даббах считает [2, стр. 131], что метод
самого Архимеда не эквивалентен интегрированию. Это — тот же самый
подход, который мы охарактеризовали ранее: соотнесение применяемого
ученым метода с представлением историка, пишущего о нем, о сущности
интегрирования (для ад-Даббаха прием вычисления, не основанный на
интегральных суммах, не является интеграционным).
44
Таковы известные нам факты о квадратурах и кубатурах на
среднем Востоке.
Что касается периода раннего средневековья в Западной Ев-
ропе, то относительно него по рассматриваемому вопросу мало
что известно. Общий уровень математических знаний в странах
Европы до XIII в.37 дает возможность сделать предположение,
что вопросами квадратур и кубатур там не занимались. Возникно-
вение интереса к инфинитезимальным исследованиям в более
позднее время, обусловленное, разумеется, потребностями об-
щественной практики, было тесно связано с изучением наследия
древних.
В самом начале XVII в. сначала на основе собственно тради-
ций Архимеда, а затем с большими или меньшими отклонениями
от них начинается самостоятельная разработка европейскими уче-
ными инфинитезимальных проблем.
87 Об этом см. А. П. Юшкевич [13, стр. 315—362], Г. П. Матвиевская [1]
Глава II
ИНТЕГРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В XVI—XVII ВЕКАХ
§ 1. Первые исследования о центрах тяжести
Как в развитии математики в целом, так и в развитии инфини-
тезимальных представлений в частности, последние столетия
средневековья в Европе характеризуются преимущественно по-
степенным усвоением научных достижений греков, индусов и ара-
боязычных народов. Только к началу XVI в. европейская мате-
матика начинает заметно выходить за пределы знаний, получен-
ных ею в наследство от своих предшественников. Это не означает,
что в средневековой Европе до XVI столетия математическое
мышление ограничивалось только овладением созданного ранее;
наряду с этим уже в тот период начали появляться, правда в за-
родышевой форме, элементы новой математики. «В арифметике
и алгебре исподволь подготовлялось создание развитой символи-
ки, отсутствие которой тормозило прогресс теории уравнений
ранее. Введены были дробные и отрицательные показатели
и отрицательные числа; поставлена на очередь проблема решения
в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени — проблема, перед ко-
торой остановились ученые стран ислама и решение которой,
чреватое важными последствиями, было найдено в первое деся-
тилетие XVI в. Успешно продолжалась разработка тригонометрии,
в частности вычисление таблиц. В университетской математи-
ке зарождалась идея функциональной зависимости и ее геомет-
рического представления; параллельно ученые приступили к изу-
чению конических сечений Аполлония и квадратур и кубатур
Архимеда. И главное, математика во все большей мере станови-
лась мощным средством решения быстро ширившегося круга задач
не только торговли и землемерия, но и новой техники и нового
естествознания. Лучшие умы справедливо начинали видеть в ма-
тематике основной, наряду с экспериментом, метод изучения
природы. Долгий период математики постоянных величин под-
ходил к завершению, открывалась эпоха математики переменных
величин, символической алгебры, аналитической геометрии, диф-
ференциального и интегрального исчисления» (А. П. Юшкевич
[13, стр. 425]).
В первой главе отмечалось, что инфинитезимальные представ-
ления имели одним из своих истоков исследование центров тяжести
разнообразных геометрических фигур. Однако, если в древности
квадратуры и кубатуры были найдены практически для всех из-
вестных тогда геометрических объектов, то с определением цент-
46
ров тяжести дело обстояло иначе. Для ряда геометрических об-
разований с известными квадратурами или кубатурами центры
тяжестей оставались не установленными (по крайней мере не
содержались в дошедших до нас источниках). Наряду с этим,
существенным был факт пробуждения интереса в XV столетии
к ряду механических, особенно статических, исследований, одним
из важных составных элементов которых являлось тогда опреде-
ление положений центров тяжести.
И подобно тому, как в математике средневековья в целом,
так и в этом вопросе, вместе с овладением древним наследием
относительно центров тяжести, работа усвоения сопровождалась .
элементами самостоятельных поисков. Начаты они были перевод-
чиками сочинений/Евклида, Архимеда и Паппа Командино и
Мавролико1, а затем продолжены Стевином (1586 г.), Валерио
«О центрах тяжести тел» (1604 г.), ла Файл ем «О центре тяжести
частей круга и эллипса» (1632 г.) и другими, а в известном смысле
завершены Гульдином в его четырехтомном труде «О центре тя-
жести» (1635—1647 гг.). Отсылая читателя к специальной литера-
туре, где изыскания о центрах тяжести в XVI—XVII веках рас-
смотрены более или менее подробно (см., например, Цейтен [5,
стр. 230—236]; Кастельнуово fl, стр. 36—401; особенно Вилейт-
нер [2]), остановимся лишь на некоторых моментах.
Несомненно то, что уже одно выявление плодотворности инфи-
нитезимальных соображений древних в актуальных тогда про-
блемах нахождения центров тяжести способствовало возникно-
вению интереса к ним у математиков.
Далее, к найденным в древности и в средние века квадратурам,
кубатурам и положениям центров тяжести добавлялись новые,
так что увеличивалось общее число проблем, решавшихся инфи-
нитезимальными методами. При этом в указанных работах дело
не ограничивалось отысканием центров тяжести; иногда в них
оригинально решались и задачи на квадратуры. Так, Валерио,
например, своеобразно подошел к решению задачи о квадратуре
параболы; Небезынтересно также, что Коммандино, переводя
известные ему сочинения Архимеда на латинский язык, заметил,
что в них содержатся лишь формулировки о центрах тяжести не-
которых тел, но не имеется доказательств 2. Исходя из этого,
он дал своеобразную реконструкцию доказательств Архимеда,
отличную от фактически имевшихся у Архимеда, а также расши-
рил круг задач, рассмотренных Архимедом.
Несомненно, большим достижением, связанным с исследова-
ниями о центрах тяжести, явилось переоткрытие так называемой
1 Первый — в специальной работе «Книга о центрах тяжести тел» (1565 г.),
а второй — в особом добавлении к переводу сочинения Архимеда о цент-
рах тяжести."
2 В то время не было известно сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену»
[7], где Архимед доказал свои утверждения.
47
теоремы Гульдина об объемах тел вращения. Mj/ уже говорили
в конце § 10 первой главы, что это предложение содержалось
в сочинениях Паппа. Достоверно неизвестно/, знал ли об этом
Гульдин 3. Родившийся в 1577 г., он по всей вероятности был
знаком с работами Паппа в переводе Коммандино, опубликованном
в 1588 г. Но в этом переводе работ Паппа не содержался рассматри-
ваемый результат. Впервые перевод Паппа, содержавший теорему
Гульдина, был опубликован только в 1660 г., уже после смерти
Гульдина, последовавшей в 1643 г. Но сама рукопись, с которой
был сделан последний из указанных переводов, могла быть доступ-
ной Гульдину, так как она хранилась в Ватикане, а он одно время
преподавал в Риме. Однако никаких свидетельств на этот счет не
имеется. Гульдин, опубликовавший свою теорему в 1640 г. в об-
щем виде как индуктивное обобщение нескольких доказанных
им частных случаев (во втором томе «О центре тяжести») 4, не
упоминает о Паппе в этой связи.
В исследованиях о центрах тяжести наметились элементы,
существенно выходившие за пределы инфинитезимальных изы-
сканий древних. Так, Валерио по существу рассматривал доволь-
но общее понятие кривой, соответствующее современному графику
монотонной функции. Он в достаточно общем виде поставил зада-
чу определения площади, заключенной между такой кривой,
осью х и двумя ординатами х = 0 и х = а. Интервал (0, а)
он делил на п равных частей, проводил через точки деления ор-
динаты и рассматривал прямоугольники, с основанием, равным
aln, и с высотами, равными ординатам в правом или левом
конце основания. Из этих прямоугольников он обычным теперь
способом образовывал вписанные в кривую и описанные вокруг
нее ступенчатые фигуры и площадь под кривой рассматривал как
общий предел этих ступенчатых фигур при п-+- оо. На своеоб-
разном геометрическом языке Валерио изложил также ряд пред-
ложений общей теории пределов, вроде теоремы о том, что из
ап1Ъп — & при любом п следует, что lim an/lim bn = к (Кастель-
нуово [1, стр. 38—39]). Он же фактически руководствовался
в своих исследованиях так называемым принципом Кавальери,
не формулируя его явно (Цейтен [5, стр. 232]).
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном
вопросе. Как вытекает из трудов историков, занимавшихся
изучением работ о центрах тяжести, все рассуждения и доказа-
тельства проводились в строгом соответствии с древнегреческим
методом исчерпывания и в них не отмечено следов метода беско-
нечно малых в том виде, в каком они имелись ранее у Архимеда
в его «Послании к Эратосфену» и в работах Паппа, или в более
3 М. Я. Выгодский [1, стр. 871 считает очень маловероятным, что Гульдин
не знал этого результата Паппа.
4 Первое общее доказательство этой теоремы было опубликовано Кавальери
в 1647 г. Оно воспроизведено М. Я. Выгодским [1, стр. 90—91].
48
поздней форме Кеплера и Кавальери 5. Однако к началу XVII
столетия этот метод по существу исчерпал себя как метод дока-
зательства. Он еще некоторое время признается в качестве об-
разца математического рассуждения, но это скорее дань тради-
ций. Начиная со Стевина и Кеплера, и чем далее, тем более, метод
исчерпывания сходит со сцены. Анализ причин этого сложного
явления довольно затруднителен.
Выше отмечалось, что в исследованиях Валерио зарождались
элементы метода пределов. Ростки последнего можно обнаружить
у многих математиков XVII столетия, что в последующем будет
порой указываться. Но понятие предела в XVII—XVIII вв.
оказалось в целом преждевременным. Прежде чем метод пределов
стал основным методом анализа, математика должна была пройти
стадию метода бесконечно малых в его многообразных проявле-
ниях. Его инициатором явился Кеплер, к рассмотрению резуль-
татов которого, связанных с понятием интеграла, мы и переходим.
§ 2. Интегрирования у Кеплера
Прежде чем говорить об интегрированиях у Кеплера, необ-
ходимо, хотя бы вкратце, остановиться на общей характеристике
науки его времени, ибо если достижения его предшественников,
значительные при подходе к оценке их с точки зрения преды-
дущего периода, все же не выходили за рамки, намеченные древ-
ними, то результаты Кеплера начинают выходить за их пределы,
и этот выход тесно связан с общим подъемом естествознания
в XVI-XVII вв.
Жизнь Кеплера протекала в период становления научного
мировоззрения нового времени, которое основывалось на наблю-
дении явлений природы, на эксперименте и на математической
обработке получаемых при этом фактов; одной из характерных
черт того периода была борьба, открытая или замаскированная,
против авторитарного мышления.
В основном две науки — астрономия и механика — опреде-
ляли характер нового мировоззрения. И в обеих этих науках
наблюдения, математическая обработка результатов, борьба с уко-
ренившимися, освященными традициями, мнениями явились той
основой, на которой было возможно их дальнейшее существование.
Прогресс астрономии и механики был неразрывно связан с раз-
работкой такого математического метода, который давал бы воз-
можность решать в достаточно общем виде задачи измерения длин
кривых, криволинейных площадей и объемов тел. Приведем лишь
один пример, свидетельствующий о наличии такой потребности.
Одним из прочно укоренившихся еще с древнегреческих вре-
мен представлений было то, что планеты описывают 'кругообраз- 6
6 За исключением, разве, Стевина, одним из первых отбросившего апогаги-
ческие доказательства (см. Бойер [1, стр. 99—104]).
49
ные орбиты. Однако, например, оказалось, что таблицы Коперни-
ка, составленные для вычисления положения Марса, исходя из
представлений о круговом его движении вокруг Солнца, не дают
достаточного согласия с наблюдениями: к 1608 г. действительное
положение Марса уклонялось от вычисленного почти на 5°. Пер-
воначально Кеплер пытался описать движение Марса круговой
орбитой, лишь сдвигая положение Солнца из центра окружности.
Неудачи в этом направлении вынудили его нарушить вековую
традицию и предположить эллиптичность орбит планет. В 1609 г.
он показал, что все расхождения между вычислениями и факти-
ческими наблюдениями положений Марса исчезают, если пред-
положить, что планета при своем движении вокруг Солнца опи-
сывает эллипс, в одном из фокусов которого находится последнее,
а также, что это движение происходит не равномерно (еще одна
древняя традиция!), а так, что одинаковы площади, описываемые
в одинаковые времена радиус-вектором планеты. Так были най-
дены астрономические предложения, называемые теперь первым
и вторым законами Кеплера.
Но для того, чтобы иметь возможность сформулировать и под-
твердить вычислениями второй закон движения планет, необ-
ходимо было уметь вычислять площадь сектора эллипса. А это
уже трудная задача математического анализа, которую не умели
решать не только древние, но и математики XVII столетия, в том
числе и Кеплер. Данную трудность последний обошел тем, что он
заменил изучение изменения площади сектора эллипса изучением
изменения пропорциональной ей площади сектора круга в, вы-
числять которую приближенно умел еще Архимед; однако при
этом Кеплер ввел такой новый элемент, который отсутствовал
у его предшественников. Второй закон он сформулировал следу-
ющим образом: при движении планеты по эллиптической орбите
время, необходимое для того, чтобы планета переместилась от
конца оси до любого положения, относится ко времени полного
оборота, как «сумма радиус-векторов», проведенных из фокуса,
в котором находится Солнце, в точки рассматриваемой дуги,
к «сумме радиус-векторов» всего эллипса, проведенных из того
же фокуса. Это понятие «суммы радиус-векторов» не означало
у него действительного суммирования отрезков, а имело тот смысл,
который вкладывается нами теперь в понятие определенного ин-
теграла.
Кеплерова формулировка второго закона была очень удобна
тем, что позволяла проверить его на полученном из наблюдений
числовом материале. Разумеется, Кеплер не мог суммировать
длины несчетного множества отрезков, но он имел возможность,
фактически осуществленную им, вычислить суммы длин конечно-
го ряда радиус-векторов как для эллипса в целом, так и для того
в Подробнее об этом см. Цейтен [5, стр. 245—2461; М. Я. Выгодский [1 ,
стр. 32—37].
50
йлй иного его сектора, определить отношение этих сумм и сравнить
последнее с отношением времени движения. Вычисления показа-
ли, что чем большее число соответствующих радиусов-векторов
бралось, тем больше отношение их сумм приближалось к отноше-
нию соответствующих времен.
Подобного рода примеров можно было привести много 7.
Характерным для них являлось то, что они отражали насущные
задачи естествознания, требовавшие разработки как новых ес-
тественно-научных представлений, так и новых математических
методов, позволивших определять вводившиеся в науку величи-
ны: пути, проходимые телами, моменты инерции, площади и т. п.
Метод исчерпывания древних, применявшийся в аналогичных
обстоятельствах прежде, так сказать, исчерпал себя до дна.
Назревала пора разработки метода бесконечно малых, в зароды-
шевой форме, впрочем, имевшегося в древнегреческой матема-
тике.
Одним из источников метода бесконечно малых была, по-ви-
димому, большая чисто вычислительная работа, проводившаяся
в XVI—XVII вв. Кеплер сам был прекрасным вычислителем,
«вероятно, именно в школе вычислительной практики он приоб-
рел умение успешно пользоваться понятием бесконечно малой
величины, хотя ничем, кроме самого названия, он и не пояснил
столь трудного в логическом отношении понятия. Отбрасывание
высших степеней малых величин в приближенных числовых вы-
кладках практически научило его тому, какие величины можно
отбрасывать и при точных инфинитезимальных расчетах. Во
всяком случае в его работах, особенно астрономических, число-
вые и инфинитезимальные расчеты часто тесно связаны между
собой» (Цейтен [5, стр. 242]).
Интеграционные методы Кеплера содержатся во многих его
научных работах, но наиболее концентрированное выражение
они нашли в его «Стереометрии винных бочек» [1], опубликован-
ной в 1615 г. Эти методы не раз рассматривались в историко-ма-
тематической литературе 8, поэтому мы можем ограничиться сум-
марным изложением.
Эта книга состоит из двух частей: «Стереометрия правильных
кривых тел» и «Специальная стереометрия австрийской бочки».
В первой из них общим образом изучаются геометрические тела,
из частей которых можно составлять с достаточной степенью точ-
ности объемы винных бочек; во второй рассматриваются способы
образования бочек из частей изученных в первой части стерео-
метрических объектов, способы практического измерения объемов
бочек и вопрос о наиболее выгодной (с точки зрения вместимости)
форме их.
7 Некоторые из них рассмотрены Цейтеном [5, стр. 228—258].
8 См., например, Цейтен [5, стр. 242—248j; М. Я. Выгодский [1]; Энест-
рём [1], а также примечания к книге Кеплера [1, стр. 335—358].
51
В свою очередь, первая часть подразделяется на два раздела:
в первом излагается ряд результатов Архимеда, а во втором пред-
ставлены собственные находки Кеплера. Каждая из указанных
трех частей книги имеет свои особенности. На особенностях пер-
вых двух мы вкратце остановимся, второй части мы касаться не
будем, как не относящейся к теме нашего исследования.
Главной особенностью первого раздела является способ мате-
матического рассуждения, которым Кеплер получает результаты
Архимеда. Чтобы оттенить эту особенность, напомним, что гос-
подствующим в эту эпоху методом доказательства фактов, относя-
щихся к площадям, объемам, положениям центров тяжести, был
метод исчерпывания, что инфинитезимальный способ рассужде-
ний Архимеда, изложенный им в «Послании к Эратосфену»,
почти наверняка был неизвестен в XVII столетии. Единственным
источником, из которого Кеплер мог почерпнуть идею инфините-
зимальных рассуждений, являлись сочинения Паппа; он, однако,
не ссылается на последнего в этой связи 9, хотя прямо отсылает
читателя к V книге Паппа в вопросе об экстремальных свойствах
геометрических фигур (Кеплер [1, стр. 234—235]).
Кеплер совсем отказывается от доказательств при помощи ме-
тода исчерпывания. И хотя он считает их полными и строгими
[1, стр. 109], однако полагает возможным обойтись без них, за-
менив их инфинитезимальными соображениями. Более того, са-
мый смысл косвенного доказательства он видит именно в такой
замене [1, стр. 114] и прямо пишет, что как раз составление гео-
метрических фигур из бесконечно малых элементов и нахождение
искомой величины из сравнения таких элементов «и имеет в виду
архимедово приведение к нелепости» [1, стр. 115]. Приведем лишь
один пример из книги Кеплера, быть может наиболее прозрачно
передающий ход его рассуждений.
При доказательстве теоремы Архимеда, что площадь круга
равна площади прямоугольного треугольника, катеты которого
соответственно равны радиусу круга и его окружности, Кеплер
[1, стр. 114—116] поступает следующим образом. Окружность он
рассматривает как содержащую «столько же частей, сколько то-
чек,— именно бесконечное число» [1, стр. 114]. Каждая из таких
частей принимается за основание некоторого равнобедренного
треугольника с боковой стороной, равной радиусу, и «таким об-
разом в площади круга окажется бесконечное множество тре-
угольников, соединенных вершинами в центре А» [1, стр. 114—115].
Затем окружность выпрямляется («вытягивается») в прямую ВС
(рис. 8), проведенную через конец радиуса перпендикулярно к не-
му. «Тогда основания всех этих бесчисленных треугольников,
или секторов, будут представляться расположенными друг за
9 Впрочем, некоторым косвенным намеком на такого рода ссылку можно
считать слова Кеплера [1, стр. 235] о том, что Папп рассматривал окруж-
ность как многоугольник с бесконечным числом сторон.
52
другом по прямой ВС', пусть одно из таких оснований будет BF,
и какое-нибудь равное ему — ЕС; наконец, соединим точки
F, Е, С с А. Таких треугольников ABF, АСЕ над прямой по-
лучится столько же, сколько секторов в площади круга, и их ос-
нования BF, ЕС и общая высота АВ будут такие же, как у секто-
ров; следовательно, все эти треугольники ABF, АСЕ и т. д.
будут равновелики (друг другу) и каждый из них будет равновелик
соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти тре-
угольники, имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник
ВАС, всеми ими составленный, будет равновелик сумме всех сек-
торов круга, т5 е. составленной ими площади круга» [1, стр. 115].
Аналогично сфера разбивается на бесчисленное множество
конусов, сходящихся вершинами в центре, «с основаниями, роль
которых выполняют точки, опирающиеся на поверхность сферы»
[1, стр. 129]; цилиндр рассекается на бесконечное число тре-
угольных призм, «сходящихся по его оси и имеющих вместо че-
тырехугольных призматических граней прямые линии, равные
оси, и все эти грани расположены друг за другом по кривой поверх-
ности цилиндра, подобно тому, как мы выше в теореме II10 пред-
ставляли себе об окружности круга» [1, стр. 130] и т. д.
Нельзя сказать, что рассуждения Кеплера вполне ясны:
можно, однако, утверждать, что, не вдаваясь в метафизику беско-
нечно малых, таким путем можно находить величины площадей
и объемов с достаточной степенью достоверности во многих слу-
чаях.
.Если бы Кеплер ограничился применением такого способа
рассуждений только для доказательств уже известных фактов,
как это сделано им в первом разделе первой части книги, то,
несомненно, его работа не оказала бы существенного влияния;
в эпоху господства метода исчерпывания в данных вопросах она
осталась бы курьезом, вызвавшим осуждение со стороны тради-
ционно мысливших математиков. Однако Кеплер пошел значи-
10 То есть в приведенной ранее теореме Архимеда.
53
тельно дальше. Во втором разделе книги, Считавшимся самим’
Кеплером «головой и сердцем всего рассуждения» [1, стр. 154]
и названном им «Дополнение к Архимеду», инфинитезимальные
способы рассуждений были применены для нахождения большого
числа объемов геометрических тел, в большей части не известных
предшествующим авторам 11. Так что отмеченная нами основная
особенность первого раздела сохраняется и для второго.
Другой особенностью второй части книги [1] является то,
что Кеплер ввел в обиход математиков широкий класс тел, полу-
чаемых при вращении конических сечений вокруг осей, занимаю-
щих различное положение по отношению к вращающимся фигурам.
Такой способ порождения геометрических объектов не был но-
вым, он применялся Архимедом, Паппом, ал-Хайсамом и другими
задолго до Кеплера, и объемы отдельных получаемых таким об-
разом тел были уже известны. Но, как пишет Кеплер, эти тела
были рассмотрены потому, что «они самые простые, ближе всего .
к шару и легко поддаются исследованию» [1, стр.175]. Их вводили,
как правило, тогда, когда умели находить объемы их, а о прочих
возможностях получения тел обычно не упоминали, кроме, разве,
ибн Корры.
Кеплер поступил по-иному. Рассмотрев четыре типа кониче-
ских сечений (окружность, эллипс, параболу и геперболу), он
ввел всевозможные типы тел, получаемых при вращениях вокруг
осей, различно расположенных по отношению к тому или иному
сечению конуса, независимо от того, мог ли он найти объем рас-
сматриваемого тела или нет.
Так, при различных положениях окружности относительно
оси вращения, расположенной в плоскости круга, получается
пять тел:
1) если ось вращения отстоит от центра круга на расстоянии,
большем радиуса, то получается тело, которое Кеплер назвал
кольцом и которое теперь называется тором;
2) если ось вращения касается вращающегося круга, то по-
лучается тело, названное Кеплером суженным кольцом;
3) если ось вращения проходит через вращающийся круг
слева от центра и вращается большая часть круга, то получается
то, что он назвал яблоком;
4) если ось вращения проходит через центр круга, то полу-
чается шар;
5) наконец, если ось вращения проходит через круг справа
от центра и вращается меньшая часть, то налицо фигура, назван-
ная им лимоном.
Для других конических сечений картина существенно услож-
няется вследствие большей, по сравнению с окружностью, слож-
ностью самих вращающихся линий. Блестящее знание теории
11 Для Кеплера все эти тела были новыми, так как он не знал, что объемы
некоторых из них были найдены ранее.
конических сечений, громадную пользу которой Кеплер вполне
осознал в своих предыдущих астрономических исследованиях,
позволило ему учесть особенности эллипса, гиперболы и парабо-
лы, вследствие которых, при аналогичных с окружностью поло-
жениях оси вращения, получается не пять тел, а значительно
больше. Их описание заняло бы довольно много места, поэтому
мы отошлем читателя к соответствующему месту книги Кеплера
[1, стр. 160—175], отличающемуся, кстати, замечательной образ-
ностью стиля, не свойственной традиционным математическим
сочинениям.
Не все получаемые таким образом объемы Кеплер смог опре- •
делить. Для одних он дал точные теоремы; относительно других
высказал те или иные предположения, некоторые из которых ока-
зались неправильными; нахождение, наконец, третьих он предо-
ставил другим геометрам.
При определении новых объемов Кеплер пользовался своим
инфинитезимальным методом. Так он поступает, например, в слу-
чае тора, рассекая его плоскостями, проходящими через ось вра-
щения, «на бесконечное множество тончайших кружочков» (Кеп-
лер [1, стр. 176]), в случае суженного кольца [1, стр. 178], яблока
[1, стр. 179—182] и т. д.
Не все найденные Кеплером объемы тел и во втором разделе
первой части были новыми. Так, объем тора был известен еще
древнегреческим математикам; его определение изложено в «Мет-
рике» Герона и притом способом, очень близким к применявшему-
ся Кеплером (Лориа [1, стр. 94, 414]) 12. Тем не менее существенно
то, что Кеплер, введя весьма широкий класс объемов, подлежа-
щих вычислению 13, обогатил класс задач, требовавших решения,
подчеркнув, что многие из этих задач имеют непосредственное
практическое значение.
Вместе с тем, для решения их он предложил своеобразный
метод, показав плодотворность его на целом ряде задач. В ходе
применения последнего Кеплер пользовался приемами, представ-
лявшими собой зародыш некоторых приемов будущего интеграль-
ного исчисления. Так, например, при доказательстве теоремы XX
Кеплер fl, стр. 179—182] в геометризированной форме пользо-
вался преобразованиями одного интеграла в другой 14.
Квадратурами Кеплер занимался не только в «Стереометрии
винных бочек», но и в некоторых астрономических работах.
Так, в «Новой астрономии» (1609 г.) и в «Изложении астрономии
Коперника» (1618—1625 гг.) многие историки математики (Цейтен
[5, стр. 247—248]; М. Кантор [1, т. 3, стр. 756—757] и др.)
12 «Метрика» Герона ко времени выхода книги Кеплера еще не была издана.
13 Общее чйсло тел, полученных им, достигало 92, что значительно превы-
шало общее число квадратур, выполненных до Кеплера, особенно, если
учесть, что приходилось определять не только их объемы, но и части этих
объемов.
14 Подробнее об этом см. Примечание 14 к книге Кеплера [1, стр. 340—342].
55
находили вычисление интеграла 15 16
<₽
sin cpdkp = 1 — cos <р.
о
Более того, указанные историки полагают, что Кеплер нашел
этот результат первоначально индуктивным путем, на основе чи-
сленных подсчетов, лишь впоследствии доказав его теоретически
«почти в той же форме, в какой Кеплер познакомился с ним
у Паппа» (Цейтен [5, стр. 247]). И хотя Энестрём fl] не согласен
с указанными авторами относительно толкования соответствующих
мест из астрономических работ Кеплера, тем не менее он согласен,
что по крайней мере Кеплер знал этот результат Архимеда и что
во второй из его указанных работ он действительно вел речь
«о некотором предложении, соответствующем интегрированию,
sin ср» (Энестрём fl, стр. 240]). Но независимо от того, как более
правильно следует истолковывать соответствующие места кепле-
ровских работ, остается фактом, что связь интегрирования с на-
хождением соответствующих величин астрономического проис-
хождения имела у Кеплера место. А это имело определенное зна-
чение для привлечения внимания математиков к возрождавшимся
тогда проблемам интегрального исчисления.
§ 3. Интегрирования у Кавальери
Ближайшим последователем Кеплера оказался большой италь-
янский математик Бонавентура Кавальери. Его жизни и научной
деятельности посвящено большое число историко-математических
исследований1в, что позволяет нам опять-таки обойтись лишь
некоторыми итоговыми соображениями. Перед рассмотрением
непосредственного вклада Кавальери в теорию интеграла остано-
вимся на некоторых связанных с этим вопросах.
Прежде всего, те замечания относительно эпохи, в которой
протекала деятельность Кеплера, сделанные нами в предыдущем
параграфе, полностью относятся и к Кавальери.
Круг научных интересов Кавальери почти столь же широк,
как и у Кеплера: ему принадлежат работы по астрономии, оптике,
математике; даже астрологические труды Кавальери и Кеплера
объединяют их, характеризуя их как ученых одной и той же эпо-
хи. И тем не менее, научная деятельность Кавальери отвечала
потребностям того времени в более ограниченной области, нежели
деятельность Кеплера, в том смысле, что в других областях науки,
15 Найденного, как мы говорили, еще Архимедом.
16 См., например, С. Я. Лурье [4], Цейтен [5, стр. 248—255], Челлини [1, 2],
Лориа [1, стр. 422—428[; Бойер [1, стр. 117—122], Фаваро [1], что состав-
ляет лишь малую часть литературы о Кавальери. Указанную в книге Ка-
вальери [1, стр. 412—413] библиографию из 26 работ о нем теперь можно
существенно дополнить.
56
кроме математики, ему не удалось добиться таких существенных
достижений, какие получил Кеплер. Зато в рассматриваемых нами
вопросах успехи Кавальери следует признать более значитель-
ными.
Теоретической основой исследований Кавальери по нахожде-
нию площадей и объемов являлось его учение о неделимых. Мы
уже говорили, что оно восходит по крайней мере к Демокриту,
широко дебатировалось в средние века 17 и во времена Кавальери,
и последнему, собственно, принадлежит лишь та своеобразная
форма учения о неделимых, которая в его руках, а также у неко-.
торых его последователей, оказалась пригодной для получения
многих новых результатов в математике XVII в. Об этом будет
речь несколько далее. Теперь же остановимся на одном сообра-
жении, относящемся к первой книге «Геометрии» Кавальери и ка-
сающемся тех обобщений, которые им сделаны в геометрии.
Многие понятия античной геометрии относились только к част-
ным видам фигур. Так, понятие касания у Евклида объяснено
только для случая касания прямой с окружностью и окружности
с окружностью; понятие высоты определено только для прямо-
линейных фигур; понятие вершины у Аполлония давалось
лишь для конуса; понятие основания вообще не определялось
(С. Я. Лурье [4, стр. 337—339]). Далее, древние авторы рассматри-
вали только круговые конусы и цилиндры. Евклид определил
подобие только для прямолинейных фигур, конусов и цилиндров,
а Аполлоний — для конических сечений (С. Я. Лурье [4, стр. 342]).
Такие определения были достаточны для целей древнегреческой
геометрии.
Как отмечалось в предшествующем параграфе, Кеплер ввел
в обиход математиков несколько десятков новых объектов. Для
изучения их при помощи метода неделимых требовалось обоб-
щить указанные выше понятия, и ставя одной из своих целей на-
хождение объемов тел, введенных Кеплером, Кавальери [1, стр. 89]
в первой книге своей «Геометрии» вводит новые понятия касатель-
ных, высот, оснований, вершин, подобия, цилиндров и конусов,
доказывает ряд теорем относительно введенных понятий, которые
являются весьма широкими обобщениями соответствующих по-
нятий и теорем античной математики, включая последние как
весьма частные случаи, чем существенно расширялась область
евклидовой геометрии вообще. Это позволяет ему проводить рас-
суждения с большой общностью. Сам он писал в связи с этим:
«Кроме прочего, я должен обратить особое внимание на макси-
мальную всеобщность этого способа доказательства 18: в самом
деле, то, что другие доказывают для одного или в лучшем случае
для немногих видов тел, мы доказываем сразу для бесконечного
числа видов. Так, например, здесь доказывается не только то,
17 Об этом см., например, В. П. Зубов [3, стр. 96—143].
18 То есть доказательства методом неделимых.
57
что цилиндр в три раза больше конуса или призма — пирамиды,
если они имеют одни и те же основание и высоту; но, как бы мы
не изменяли форму оснований (а число такого рода возможных
изменений не может быть ограничено никаким определенным
числом), тело, имеющее такое основание и названное нами цилин-
дрикой, будет в три раза больше того, которое имеет с ним общее
основание и общую высоту и которое мы называем коникой. По
этому одному примеру, как ex ungue leonem исследователь может
понять, насколько геометрическая нива становится благодаря
этому плодотворнее и обширнее. Такой же всеобщностью будут
отличаться выводы почти относительно всех тел, рассмотренных
в этой книге» (Кавальери [1, стр. 90—91]).
Другим соображением, связанным с «Геометрией» Кавальери,
является то, что здесь он фактически разработал элементы ана-
литической геометрии. Разумеется, последние имелись и в древ-
негреческой геометрии, о чем вкратце говорилось в предыдущей
главе. «Геометрия» Кавальери опять-таки отличается универса-
лизацией этих элементов в том же духе, как это сделано им по
отношению к указанным выше понятиям. Если Аполлоний вводил
координатную систему только для рассмотрения конических
сечений, то у Кавальери она вводится для рассмотрения произ-
вольных фигур плоскости; если первый за начало системы обя-
зательно брал вершину кривой, а за одну из осей ее диаметр,
то последний специально подчеркивает возможность как парал-
лельного переноса координат, так и взаимозамены координатных
осей и поворота системы 19. И эти элементы аналитической гео-
метрии у Кавальери служат основой его инфинитезимальных со-
ображений. Следует принять во внимание, что «Геометрия» Ка-
вальери опубликована в 1635 г., т. е. за два года до появления
«Геометрии» Декарта.
Мы подчеркиваем эти элементы нововведений Кавальери, что-
бы еще раз проиллюстрировать одно из основных положений
нашей работы о взаимосвязи теории интегрирования с развитием
математики в целом. Обобщения Кавальери были вызваны потреб-
ностями определения мер геометрических объектов. И, с одной
стороны, для нахождения этих мер потребовалось привлечь самые
высшие достижения математики, а с другой — в самом процессе
нахождения их складывались элементы новой математики. Тем
не менее, нельзя не отметить одной отрицательной стороны ма-
тематического творчества Кавальери. Воспитанный на трудах
геометров-классиков, он не сумел в достаточной мере оценить
зарождавшейся в его время новой алгебры. И даже признавая,
что некоторые его результаты получаются легче при помощи ал-
гебры (Кавальери [1, стр. 303]), он все же остается в своих рас-
суждениях последователем античной геометрической алгебры. 18
18 Подробнее см. С. Я. Лурье [4, стр. 76—78].
58
Обратимся теперь непосредственно к интегрированиям у Ка-
вальери.
Прежде всего, Кавальери объединяет с Кеплером созна-
тельный отказ от применения метода исчерпывания. И хотя в сво-
ей «Геометрии» Кавальери дважды пользуется им ([1, стр. 242—
245] и в конце VII книги, не содержащейся в русском переводе),
это объясняется тем, что в первом случае он не сразу нашел дока-
зательство нужного ему предложения методом неделимых и после
того, как к 1647 г. такое доказательство было им найдено, он пуб-
ликует его в своих «Шести геометрических этюдах»; что же ка-
сается применений метода исчерпывания в конце VII книги,
то они даны им с единственной целью показать, что его метод
неделимых не приводит к ошибочным результатам, что результа-
ты, полученные его методом, могут быть получены и при помощи
апогагического доказательства. Сам же метод неделимых он счи-
тал более убедительным. Так, возражая основному противнику
метода неделимых —' Гульдину, он в 1647 г. показал, что основ-
ные положения Гульдина, доказанные последним методом исчер-
пывания, проще доказываются методом неделимых, и добавляет
к этому: «Я знаю, что все сказанное выше можно переделать на
архимедов лад. Этим указанием, исходящим от самих неделимых,
Гульдин мог бы в свое время в достаточной мере воспользоваться
и переделать доказательства по методу Архимеда — таково всякое
доказательство по методу неделимых. Однако ему, пожалуй,
не следовало бы отвергать этот метод ввиду благородного изя-
щества непосредственно убедительного доказательства, которое
он может найти только у неделимых» (цитировано по С. Я. Лурье
[4, стр. 63]).
Что же представлял собой метод неделимых Кавальери?
Если Кеплер воображал себе фигуру или тело разложенным на
бесконечное число элементов той же размерности, что и сама
фигура или тело, то Кавальери рассматривает геометрические
объекты как образованные совокупностью неделимых элементов,
размерность которых на единицу меньше размерности рассматри-
ваемого объекта; тело разлагалось у него на куски плоскости,
плоская фигура — на отрезки прямых, линия — на точки. Своео-
бразие его подхода к такому разложению геометрических объектов
на образующие их неделимые состояло для случая тела, например,
в том, что он задавался определенной плоскостью, или, как он
выражался, регул ой, и разбиение рассматриваемого образа про-
изводил плоскостями, параллельными регуле. Совокупность все-
возможных сечений тела и являлась для него совокупностью всех
неделимых этого тела. И хотя он допускал, что тело может не
исчерпываться совокупностью всех таких неделимых (Кавальери
[1, стр. 207]), тем не менее, в большей части своих рассуждений
он поступал так, как будто бы это тело не содержало ничего ино-
го, кроме своих неделимых. Суть своего метода Кавальери выра-
жал так: «... для нахождения отношения между двумя фигурами
59
или телами 20 достаточно найти отношение всех линий (в фигурах)
или всех плоскостей (в телах), взятых по любой регуле. Это
основное положение моей новой геометрии, здесь излагаемой»
(Кавальери [1, стр. 211]).
Мы не будем, приводить примеров вычислений площадей или
объемов из текста самой «Геометрии». Эта книга построена столь
своеобразно, что вырвать из нее и изложить отдельное рассу-
ждение практически невозможно без очень длинных пояснений,
поскольку вся книга представляет единое целое, в котором все
Рис. 9
части тесно переплетены между собою. Проиллюстрируем только-
ход его рассуждений одним простым примером более или менее
соответствующим духу его книги и заимствованным у С. Я. Лурье
[4, стр. 35, 43]. Пусть фигура, изображенная на чертеже (рис. 9),
вращается вокруг оси CG; тогда фигура ADG при вращении об-
разует «чашу», треугольник CDG — конус. Если мы проведем где
угодно плоскость, параллельную основанию DF, то оказывается,
что сечение внутри чаши (полученное, например, при вращении
тп) равно сечению внутри конуса (полученному при вращении
pq) 21. Это с точки зрения Кавальери означает, что и все сечения
чаши равны всем сечениям конуса, а значит, и объем чаши равен
объему конуса. Зная теперь объем конуса, мы можем определить
и объем чаши.
При помощи подобного рода соображений Кавальери в своей
«Геометрии» нашел площади и объемы большого числа фигур и тел
как уже известных, так и некоторых новых. Своим методом он
доказал и такую, например, давно известную элементарную тео-
рему, что площадь параллелограмма вдвое больше площади
треугольника, отсеченного от этого параллелограмма его диаго-
налью (Кавальери [1, стр. 238—239]), и дал обобщение известных
теорем, что площади подобных фигур относятся как квадраты
сходственных сторон [1, стр. 222—225], а объемы подобных тел
20 Имеется в виду отношение между площадями двух плоских фигур или
объемов двух тел.
21 Доказательство см. С. Я. Лурье [4, стр. 35].
60
относятся как кубы сходственных сторон 22 [1, стр. 227—237];
он определил также объемы более двадцати тел из числа, указан-
ных Кеплером, площадь спирали Архимеда и объемы некоторых
тел, полученных при помощи спирали.
С точки зрения интегрального исчисления все квадратуры и ку-
батуры, которые Кавальери осуществил в своей «Геометрии», не вы-
ходят за пределы вычисления интеграла от различных многочленов
второй степени. Тем не менее, по сравнению.с Кеплером им был сде-
лан тот важный шаг вперед, что он делает интегрирование «пред-
метом особых исследований, результаты которых могут быть затем
применены в самых разнообразных областях» (Цейтен [5, стр. 249]).
Даже если бы он ограничился этим, то и тогда ему следовало бы
отвести значительную роль в развитии понятия интеграла. Он,
однако, совершил больше.
Одной из очередных задач, которой занялся Кавальери после
выхода в свет его «Геометрии», явилось нахождение объема пара-
болического «веретена» (образуемого при вращении дуги пара-
болы вокруг ее хорды). Кеплер [1, стр. 206—211] нашел кубатуру
этого тела лишь приближенно. Как Кеплер, так и Кавальери,
разумеется, не знали, что эта кубатура была найдена ал-Хай-
самом более полутысячелетия тому назад; она была для них важ-
ной актуальной задачей, представлявшей особую трудность для
Кавальери вследствие того, что он строго придерживался идей
античной геометрической алгебры. Остановимся на этом моменте.
а
При вычислении Кавальери [1, стр. 250—251] на каждом
о
неделимом параллелограмма и треугольника строил квадрат
и, образуя затем суммы квадратов параллелограмма и треуголь-
ника, находил, что эти суммы относятся как 3:1, другими сло-
а
вами, он находил, что 2 = 1/3а3. Для этих рассуждений не
о
было нужды выходить за пределы наглядных представлений.
Когда же он попытался найти объем параболического веретена,
то он заметил, что для этой цели необходимо уметь вычислять
отношение суммы четвертых степеней неделимых параллелограмма
к сумме четвертых степеней треугольника, другими словами, найти
сумму четвертых степеней ряда натуральных чисел, как это сделал
ибн ал-Хайсам. Но для такого вычисления методами геометри-
ческой алгебры, которыми пользовался Кавальери, нужно было
выйти за пределы наглядных представлений, которые он применял
в случае суммы квадратов. И Кавальери нашел любопытный вы-
ход. Применяя ту же схему неделимых параллелограмма и неде-
22 Обобщение состояло в том, что в древности эта теорема доказывалась от-
дельно для подобных многоугольников, для кругов и некоторых других
отдельных фигур; Кавальери же доказал ее сразу для любых подобных
в его смысле объектов.
61
лимых треугольника, отсеченного от параллелограмма его диа-
гональю, он вообразил «мнимые тела», построенные на этих не-
делимых, основаниями которых служат не двумерные фигуры,
а четырехмерные тела, и вообще ввел тела произвольной размер-
ности (Кавальери [1, стр. 290, следствие 1]). Правда, он преду-
преждает о трудности таких представлений и отмечает, что здесь
легче работать алгебраическими методами [1, стр. 302—303].
С. Я. Лурье [4, стр. 79] предполагает даже, что сам он, «по-види-
мому, предварительно решал эти задачи алгебраически, а затем
„для строгости" переводил эти решения на язык геометрической
алгебры». а
Как бы то ни было, но Кавальери нашел, что = 1fba5.
о
И как он пишет: «...тогда я восстановил в памяти предложение
XIX книги II моей „Геометрии", в силу которого все линии назван-
ного параллелограмма вдвое больше всех линий названного тре-
угольника 23, и предложение XXIV, в силу которого все квадра-
ты (первого) втрое больше всех квадратов (второго) 24.
Чтобы не образовалось пробела между квадратами и квадра-
то-квадратами, я приложил старание к нахождению также и от-
ношения всех кубов параллелограмма ко всем кубам указанного
треугольника и обнаружил, что оно равно отношению 4 к 1 2б.
Так что в конце концов я с превеликим удивлением постиг, что
все линии относятся, как 2 к 1, все квадраты, как 3 к 1, все кубы,
как 4 к 1, все квадрато-квадраты, как 5 к 1 и т. д., на основании
чего я утверждал, что квадрато-кубы должны относиться, как
6 к 1, все кубо-кубы как 7 к 1, и так далее, согласно натуральному
ряду чисел, расположенных по порядку, начиная от единицы» 28
(Кавальери [1, стр. 287—288]).
Приведенный вывод содержался в предисловии к четвертому
«Опыту» книги Кавальери «Шесть геометрических опытов» (Exerci-
tationes geometricae sex), опубликованной в Болонье в 1647 г.
Однако этот вывод был обнародован Кавальери еще в 1640 г.
23
24
25
26
а
То есть ^xdx=1/2a2,
о
а
То есть x2dx =
о
а
То есть otPdx =
° а
То есть фактически утверждается, что = ап+1/(л + 1)
о
при любом
натуральном и.
62
в его «Ста различных задачах» (Centuria di varii problemi)
(С. Я. Лурье [4, стр. 395]), а еще ранее, в 1637 г., он сообщил о нем
в одном из писем Галилею (С. Я. Лурье [4, стр. 394]). В 1640 г.
он еще отмечал, что этот вывод лишь правдоподобен и что доказал
его он лишь для первой, второй, третьей и четвертой степеней.
В 1647 г. Кавальери ведет речь уже о доказательстве данного
положения в общем виде [1, стр. 319, следствие]. Не останавлива-
ясь на нем подробно 27, заметим только следующее. Кавальери
доказал здесь это предложение своим методом для п = 1, 2, 3, 4.
Затем оно доказывается для п = 5, 6, но Кавальери отмечает,
что эти предложения принадлежат парижскому геометру Жану
де Бограну28, который прислал ему их доказательства. После
этого Кавальери пишет: «... так как ход рассуждения такой же
и для остальных степеней, то Богран не присоединил сюда дока-
зательства для других степеней, за исключением лишь данного
им для большей ясности доказательства для кубокубов, каковое
и приводим» [1, стр. 318]. И изложив его, Кавальери делает за-
тем вывод, что так как ход доказательства будет одинаковым для
всех степеней, то предложение справедливо при любом натураль-
ном п [1, стр. 319]. Некоторые историки математики считают,
что общий вывод Кавальери является лишь заключением по ана-
логии (Вилейтнер [3, стр. 244], С. Я. Лурье [4, стр. 79]). Это
действительно так, поскольку, с нашей точки зрения, в ходе рас-
суждений Кавальери (даже если принять за правильные его дей-
ствия с неделимыми) отсутствует существенный шаг: нет индук-
тивного заключения от п к п + 1. Однако следует иметь в виду,-
что данное рассуждение Кавальери опубликовал в 1647 г., т. е.
почти за два десятилетия до появления метода индукции у Паскаля.
Поэтому факт отсутствия индуктивного умозаключения у Кавалье-
ри отнюдь не обесценивает доказательной силы его рассуждений
для того времени. Как справедливо заметил Босманс [1, стр. 456],
«геометр первой половины XVII в. не мог поступить лучше».
Помимо этого важнейшего предложения интегрального ис-
числения «Шесть геометрических опытов» содержат из интересу-
ющих нас фактов первое общее доказательство теоремы Гульдина,
о чем мы уже упоминали; там рассмотрены также два варианта
метода неделимых, возражения Гульдина против него и ряд дру-
гих вопросов 29.
27 Анализ этого доказательства Кавальери содержится в статье Босманса [1].
28 Как отмечает Босманс [1, стр. 369, сноска], имя Жана де Бограна обхо-
дится молчанием, историками математики.
29 См. Босманс fl], Челлини [1, 2].
63
a
§ 4. Вычисление интеграла J х™ dx при целом п
о
Если бы мы и далее попытались, даже столь общим образом,
как это сделано по отношению к Кеплеру и Кавальери, излагать
все, что было сделано математиками XVII столетия в области ин-
тегрального исчисления, то это одно потребовало бы целой книги.
Действительно, нам пришлось бы говорить об исследованиях
Торричелли, Ферма, Роберваля, Сен-Винцента, Такэ, Паскаля,
Лалубера30, Валлиса, Гюйгенса, Грегори, Барроу и других;
каждый из этих математиков достаточно своеобразен и о каждом
из них существует обширная историко-математическая литера-
тура; их результаты порою переплетаются столь тесно, что за-
частую трудно приписать их одному определенному лицу. Мы
проиллюстрируем это следующим важным примером.
Последний раздел предыдущего параграфа мы посвятили уста-
а
новленному Кавальери факту, что = an+1/(n -f. 1). Обнаружил
о
его Кавальери не позже 1637 г., сообщил о нем широкому кругу
математиков в 1640 г. и опубликовал доказательство в 1647 г.
Вот как, например, оценивает значение данного открытия Бойер:
«Как хорошо известно, анализ Ньютона и Лейбница основан на
осознании и формализации того правила, что площадь под кривой
у = хп дается посредством яп+1/(п + 1) и обратно, что наклон
касательной к той же самой кривой определяется выражением
а
пх71-1. Таким образом, эквивалент утверждения, что xndx =
о
— ап+1/(п -j_ 1), играет центральную роль в развитии анализа бесконеч-
но малых. Он был известен математикам за поколение до Ньютона
и Лейбница и может рассматриваться как первая общая теорема,
указывающая на возможность интегрального исчисления» [1,
стр. 85]. ®
Не удивительно, что теорема \xndx — ап+1'./(п + 1) привлекала
о
внимание многих математиков XVII в. Помимо Кавальери, ею,
а также ее обобщениями, занимались Декарт, Ферма, Роберваль,
Торричелли, Паскаль, Валлис, Барроу, Ньютон и Лейбниц,
причем как одновременно, так и в более или менее разное
время.
Наиболее ранняя формулировка ее приписывается Ферма и
Робервалю (Цейтен [5, стр. 257—258; 1, стр. 40—43]), а именно,
30 Имя Лалубера (или Лалувера) вставлено в этот перечень на основании
работы Кроппа [1]; Кропп [1, стр. 2] считает Лалубера предшественником
интегрального исчисления, стоящим в одном ряду с перечисленными
математиками.
64
она относится еще к 1636 г. и содержится в переписке этих уче-
ных. Если Кавальери подходил к ней с точки зрения геометри-
ческой алгебры, то подход Ферма и Роберваля был арифметическим.
Они, продолжая традиции Архимеда, доказывавшего равенство
а
^x2dx = исходя из неравенствh2 + (27г)2-]-... + [(и — 1)Д]2
о
< n%2/3 < h2 + (27г)2 + . . . + (пТг)2, а также неизвестные им
традиции ал-Хайсама, обобщившего эти неравенства на бо-
лее высокую степень, подходили к формулировке теоремы
с точки зрения суммирования рядов целых степеней натураль-
ных чисел, т. е. они осуществляли это интегрирование в общем
виде, исходя из неравенств
Заметим, что для такого подхода (и это еще больше относится
к обобщениям теоремы на рациональные степени) нужен был реши-
тельный отказ от традиционной геометрической алгебры и пере-
ход на точку зрения новой алгебры с ее свободным обращением
с понятием степени. Этот отход, как мы видели, был в известной
мере совершен и Кавальери, но он был для него более мучитель-
ным, вследствие приверженности к геометрической алгебре древ-
них. Ферма и.Робервалю, сжившимися с новыми представлениями
о понятии степени, не было нужды привлекать для оправдания
своих соображений гипертела, как это делал Кавальери. В свою
очередь нахождение сумм степеней ряда натуральных чисел
было связано с изучением биномиальных коэффициентов, имеющем
свою довольно длинную историю 31.
К 1638 г. относится формулировка близких к рассматриваемо-
му предложений Декарта, сообщенных им Мерсенну. Способ до-
казательства их Декартом остается неизвестным и делаются пред-
положения, что он пользовался здесь методом неделимых Кавалье-
ри (А. П. Юшкевич [9, стр. 622—623]).
Результаты Ферма, Роберваля и Декарта, относящиеся к Ha-
tt
хождению интеграла xndx, установленные по их частной пе-
о
реписке, да к тому же в части, относящейся к способам доказа-
тельств, в довольно предположительной форме, долго не появля-
лись в печати; «Шесть геометрических опытов» Кавальери были
недоступны многим математикам, а некоторых не удовлетворяли
своим подходом к рассматриваемым проблемам. Поэтому вычисле-
нием указанного интеграла при целых положительных п занима-
лись и другие математики, увидев в таком вычислении ключ
31 Об этом см., например, Цейтен [5, стр. 166—168].
3 Ф. А. Медведев
65
к решению многочисленных задач тогдашней математики, осо-
бенно связанных с квадратурами кривых. Мы остановимся только
на результатах Паскаля и Валлиса.
Паскаль опубликовал эту теорему в 1654 г. в работе «Сумми-
рование числовых степеней». Его доказательство формулы
а
^zndz = ап+1/(п + 1) опиралось на соображения, аналогичные со-
о
ображениям Ферма и Роберваля, видимо в то время ему неизвест-
ные. Как и у его предшественников, общее утверждение этого
предложения получено с помощью неполной индукции (А. П. Юш-
кевич [11, стр. 82]) 32, и это небезынтересно ввиду того, что Пас-
каль обычно считается основоположником метода полной матема-
тической индукции, введенном им в 1665 г. Видимо, Паскаль более
отчетливо, нежели его предшественники, осознал связь своих сум-
мирований с квадратурами, подчеркнув эту связь в указанной
работе. Вместе с тем, в рассуждениях Паскаля, сочетавших в себе
рассуждения арифметизированного типа с рассуждениями типа
Кавальери, имелся тот существенный момент, что в них он прене-
брегал элементами низших измерений. Это оказало в последующем
сильнейшее влияние на формирование взглядов Лейбница.
Видимо, совершенно самостоятельно к вычислению интеграла
а
пришел и Валлис (Ф. Д. Крамар [2, стр. 17— 19]; Праг
о
[1, стр. 386]). Подробное изложение его результатов по данному
вопросу содержится у Ф. Д. Крамара, поэтому мы ограничимся
лишь некоторыми замечаниями.
Одной из наиболее характерных черт «Арифметики бесконеч-
ных» Валлиса, содержавшей в частности указанные квадратуры,
было преобразование метода неделимых Кавальери при помощи
новейших достижений алгебры и аналитической геометрии. Вал-
лис показал, что вычисление площадей и объемов криволинейных
фигур является лишь частным случаем более общей задачи о сум-
мировании числовых рядов, и с него «берет свое начало системати-
ческое внедрение арифметики и буквенной алгебры в инфините-
зимальные исследования» (Ф. Д. Крамар [2, стр. 94—95]). При
геометрической интерпретации бесконечно малых элементов Вал-
лис по существу возвращается к представлениям Кеплера, счи-
тая бесконечно малые элементами того же измерения. При реше-
п
нии задач на интегрирование Валлис «исходит из суммы 2 /(#;)
г=1
при условии, что элемент абсциссы Ах стремится к нулю, когда
число делений п стремится к бесконечности» (Ф. Д. Крамар
[2, стр. 93]). Последний момент требует, пожалуй, некоторого
32 Подробнее см. Бойер [1, стр. 147—150].
66
отступления, связанного с символом / (х*),' входящим под знак
суммы. Насколько правомерно употребление понятия функции
при рассмотрении интегрирований у Валлиса, особенно если
учесть замечание Ф. Д. Крамара, что в «Арифметике бесконеч-
ных» на первое место выдвигалась общая задача интегрирования
функций [2, стр. 32]? Присоединяясь в данном вопросе к
Ф. Д. Крамару, мы предполагаем остановиться на этом несколь-
ко позднее и более подробно, чем это сделано последним. Сейчас
же скажем несколько слов о способе рассуждений Валлиса, в
п.
частности при рассмотрении интегралов \ xndx.
о
Кавальери рассматривал свои рассуждения как доказатель-
ства в традиционном смысле слова. Выступавшие против него
математики возражали, собственно, против основной его исход-
ной посылки-концепции неделимых. Если эту концепцию принять,
то в остальном рассуждения Кавальери, видимо, не вызывали воз-
ражений. Более того, некоторые результаты своей «Геометрии»
он доказал в VII книге методом исчерпывания, подтвердив тем са-
мым правомочность метода неделимых. Иначе обстоит дело в
«Арифметике бесконечных» Валлиса. Одной из характерных черт
его книги является то, что он и сам не смотрел на свои рассужде-
ния при получении математических фактов как на доказательства.
«Во всей „Arithmetica infinitorum" в точности один только раз ...
встречается слово „demon strare“» (Праг [1, стр. 390]). «В боль-
шинстве случаев Валлис удовлетворяется индуктивным установ-
лением результата. Иногда он намечает путь доказательства ме-
тодом исчерпывания и говорит, что доказательство не представля-
ло бы принципиальных затруднений, но сделало бы изложение
громоздким. В других случаях, когда он вряд ли умел бы логи-
чески обосновать индуктивно полученный результат, он обходит
молчанием вопрос о доказательстве» (Ф. Д. Крамар [2, стр. 26]).
В этом он стоит ближе к Кеплеру, чем к Кавальери, идя однако
еще дальше первого.
Такой подход к установлению математических истин вызвал
отрицательную реакцию у многих его современников, в частности
у Ферма, и историки математики нередко упрекают Валлиса в не-
строгости его рассуждений, в логическом несовершенстве его прие-
мов 33. Если мы, однако, примем во внимание, что метод неполной
индукции широко применялся такими учеными, как Ньютон
и Эйлер (первый вообще не пользовался полной математической
индукцией даже после работ Паскаля), как и большинством
математиков XVIII в., что Лейбниц опубликовал свои основные
правила дифференцирования вообще без какого-либо доказатель-
ства; что доказательства Коши являлись примитивными с точки
зрения Вейерштрасса, а доказательства Вейерщтрасса недоста-
83 См., например, Цейтен [5, стр. 272].
67
3*
точны с точки зрения математиков нового поколения; что вообще
понятие математического доказательства в современной матема-
тике не является четко установленным, то вопрос о логической
строгости, об убедительности того или иного математического рас-
суждения прошлого становится крайне сложным и требует сугубо
осторожного подхода. Мы можем в данном случае лишь конста-
тировать, что тот способ рассуждений, который Валлис, видимо
впервые, сознательно положил в основу изучения математических
фактов, хотя и недостаточно строг, с нашей точки зрения, тем
не менее, в его время и довольно длительное время спустя оказы-
вался весьма плодотворным.
§ б. Вычисление интеграла^ ж 71 dx
6
при любом действительном п
а
Для середины XVII столетия обобщение теоремы xndx =
о
= ап+1](п + 1) с целого до действительного п являлось одной из цент-
ральных задач становящегося тогда интегрального исчисления. По-
этому, как и в случае целого п, за эту задачу берутся разные ма-
тематики и решают ее различными способами.
Опять трудно установить, кто первым высказал, сделал об-
а
щеизвестным, доказал, что xndx = ап+1/(п + 1) при любых дейст-
о
вительных п, кроме п = —1. Одни, например Цейтен [5, стр. 258],
связывают этот результат с именем Ферма и относят его к 1644 г.
в качестве предварительного сообщения и к 1657 г., когда метод
доказательства был окончательно отредактирован. Другие, на-
пример Бортолотти [1, стр. 205—206], определенно выступают за
приоритет в этом вопросе Торричелли, датируя это открытие и его
доказательство 1646 г. За независимое открытие того же обобщения
Валлисом в 1656 г. высказывается Ф. Д. Крамар [2, стр. 17—18],
причем, если Ферма и Торричелли приписывается обобщение
только на рациональные п,: то у Валлиса рассматривались и
некоторые ""иррациональные 'значения "(Ф- Д- Крамар [2, стр.
46-47]).
Оставляя в стороне вопрос о приоритете, мы вкратце рассмот-
рим способы доказательства этой теоремы упомянутыми авторами
и сделаем ряд замечаний, связанных с этим результатом.
Торричелли изложил свое доказательство в трактате «О бес-
конечных гиперболах» (1646 г.) для случая произвольных гипер-
бол, т. е. при отрицательных рациональных п, кроме п = — 1.
Оно проведено чисто геометрически с использованием метода
исчерпывания. А именно, если задана гипербола DC (рис. 10),
то он, пользуясь вписанными и описанными фигурами и приме-
58
няя одно из предложений Валерио, показывает, что площадь че-
тырехсторонника EDCF так относится к площади четырехсторон-
ника DCBG, как соответствующая степень отрезка АВ к такой
же степени отрезка АЕ. После этого он мимоходом отмечает, что
та же самая процедура и заключение применимы, после несущест-
венных изменений, и для рациональных парабол, т. е. когда п яв-
ляется положительным рациональным числом. В совокупности
это как раз эквивалентно тому, что если кривой является xpyq --
= к, то отношение площадей EDCF и DCBG равно р/g, где
р и q — целые числа. Это же, в свою очередь, эквивалентно со-
р
а q1
временной формуле 3^\xp‘^dx = —--.
" f+1
Ферма применяет при доказательстве тот же арифметизирован-
ный метод, как и для целого п. Однако при этом он вводит сущест-
венное изменение, состоящее в том, что вычисляемую площадь
он разбивает на полоски не равноотстоящими ординатами, а такими,
что их абсциссы образуют геометрическую прогрессию. Вслед-
ствие этого ему приходится суммировать бесконечную геометри-
ческую прогрессию вида
Р+Q р+а р+д 2 р+д Р+д
(1 — а) х ч , (1 - ар х « , (1 — а) х ч , ...,
где для парабол и а ^>1 для гипербол, р и q — целые числа.
Предел этой суммы при а 0 и дает искомую площадь. Доказа-
тельство проводится Ферма применительно к частным случаям
гиперболы у = a? lx2 и парабол у2 = ах, х2 = ау3. Однако он,
явно отмечая это, строит доказательство таким образом, что ход
рассуждений применим и в общем случае 34 35.
Валлис в «Арифметике бесконечных» при распространении
а
формулы ^xndx = ап+1/(п + 1)с целых на положительные дробные
• о
п применил специально разработанный им для этого метод интер-
34 Подробнее об этом доказательстве, см. Сурико [1].
35 Подробнее см. Цейтен [5, стр. 258—260].
полирования функций. Под интерполированием он понимал в дан-
а
ном случае операцию отыскания значения интеграла
о
для каких-либо значений показателя к по известным его значе-
ниям для заданных значений к. Он обнаруживал определенную
закономерность для последних и распространял ее на искомую
величину, молчаливо предполагая, что такое интерполирование
является единственным. В случае указанных интегралов интерпо-
лирование сводилось «к вставлению нескольких средних ариф-
метических между двумя произвольно взятыми членами арифме-
тического (разностного) ряда и к вставлению такого же числа
среднегеометрических для двух соответственных членов геометри-
ческого ряда. Такого элементарного интерполирования было до-
статочно для Валлиса, чтобы обобщить, например, формулу ин-
1
тегрирования = i/(k + 1) на дробные к» (Ф. Д. Крамар
о
[2, стр. 43]). Эти результаты, полученные при помощи интерпо-
лирования, Валлис подтвердил некоторыми примерами, найден-
ными прямым суммированием или путем привлечения особых
геометрических соображений. После формулировки общего пра-
вила для положительных рациональных степеней он прямо отме-
чает, что в качестве степени можно брать и иррациональные зна-
чения.
Перед обобщением формулы на отрицательные степени Вал-
лис показал, что вообще действия над рядами, в которые сумми-
руемая величина входит в отрицательных степенях, совершаются
по тем же правилам, что и действия над рядами с положительными
степенями членов. А отсюда он заключил, что и операция интегри-
рования справедлива для отрицательных показателей степени 36.
Переходя к замечаниям по поводу рассматриваемого обобще-
ния, подчеркнем прежде всего тот факт, что с установлением
а
формулы = ап+1/(п + 1)в область математики вошел чрез-
о
вычайно широкий класс квадратур кривых, находимых едино-
образным способом. Действительно, при целых положительных
п получаются квадратуры всевозможных парабол целого поряд-
ка; при целых отрицательных п, кроме п = —1 37, получаются
квадратуры всевозможных гипербол целого порядка, при рацио-
нальных п — квадратуры кривых у = аяр/*. Если Архимед рас-
полагал весьма органиченным запасом квадратур, кубатур и по-
ложений центров тяжести, а потому не мог сформулировать
сколько-нибудь общего понятия интеграла; если Кеплер ввел
в обиход математиков еще несколько десятков новых кубатур;
36 Подробнее см. Ф. Д. Крамар [2, стр. 41—56].
37 На случае п =? — ij мы остановимся в начале следующего параграфа.
70
если, йаконец, Кавальери й вЬёл бесконечное множество тёЛ,
кубатуры которых он сумел найти (его коники, цилиндрики и
т. п.), отчасти благодаря чему он очень близко подошел к общему
понятию интеграла, выраженному на языке неделимых,— то ука-
занная формула, установленная трудами многих математиков
середины XVIII столетия, давала единый алгоритмический прием
определения квадратур кривых, объем класса которых неизмери-
мо превосходил объем класса всех предшествующих квадратур.
Принимая же во внимание, что к этой формуле математики тогда
умели сводить почти все известные кубатуры и ректификации,
можно было бы предположить, что теперь путь к общему понятию
интеграла близок к завершению. Однако на самом деле оказалось,
что этого недостаточно. Потребовались новые задачи, решения
которых, в сочетании с уже описанным, позволили создать интег-
ральное исчисление.
Далее обратим внимание на то, что в рамках геометрической
алгебры древних, которых еще придерживался тот же Кавальери,
талое обобщение было принципиально невозможно. Если в слу-
чае п = 3, 4 он сумел выйти за эти рамки введением гипертел,
а для дальнейших обобщений ему потребовалось привлечь алгеб-
раическое понятие целой положительной степени (без которого он,
вообще говоря, сумел бы обойтись, используя свои гипертела
высших порядков, которые также были им введены), то для обобще-
ний на случай отрицательных и дробных степеней метод гипертел
уже принципиально не годился, поскольку пространства с отри-
цательным, дробным, а тем более иррациональным числом изме-
рений введены в науку только в XX в. Для обобщений такого
рода нужно было совершить решительный переход на позиции
новой алгебры с ее свободным оперированием понятием степени.
Да и само это свободное оперирование степенями в значительной
мере рождалось в связи с квадратурами кривых. Действительно,
хотя степенями с отрицательными и дробными показателями поль-
зовался еще в 1544 г. Штифель, но обиходность их во многом обя-
зана именно изучению кривых у = ахп при произвольном п.
Заслуживает, несомненно, внимания и то, что при решении
задач обобщения рассматриваемого предложения на рациональ-
ные показатели степени у Валлиса зарождается идея интерполи-
рования функций. Его он применяет к довольно конкретной за-
даче, да и само интерполирование осуществляется весьма скром-
ными средствами, тем не менее, то, что эта важная математическая
операция рождалась в ходе разработки понятия интеграла, еще
раз подчеркивает взаимосвязь последнего с развитием математики
в целом. Таким образом, одна только формула интегрального ис-
числения 38, с одной стороны, оказалась связанной со становящей-
38 Здесь и ранее мы почти все время говорим «формула» просто ради крат-
кости. Никакой формулы у математиков XVII в. не было. У Валлиса,
например, это предложение формулировалось так: «Пусть имеется бес-
71
ся тогда алгеброй, а с другой — ее разработка послужйла^одним
из истоков обширной новой математической теории — интерпо-
лирования функций, а также одним из стимулов разработки ряда
понятий алгебры.
§ 6. Некоторые другие результаты
В предшествующем параграфе мы указали, что в 40—50-х го-
дах XVII в. математики научились квадрировать параболы и ги-
перболы любых порядков, кроме гиперболы у = Их. Видимо,
многие из названных выше математиков пытались найти квадра-
туру этой кривой, называвшейся ими аполлониевой гиперболой,
но этого им не удавалось, и при формулировке общего правила
из § 5 они обычно оговаривали, что оно не применимо при п =
= —1, или же давали, как Валлис, весьма смутные толкования
его (Ф. Д. Крамар [2, стр. 50—53]). Причина их неудач вполне
понятна. При любом действительном п неопределенный интеграл
J xndx выражается через функцию того же типа, что и подынтег-
ральная, если п =[=. —1, а в последнем случае имеем J x~rdx =
= In х + С, т. е. получаем неэлементарную функцию, которая к то-
му времени только начинала входить в математику.
Впервые аполлониеву гиперболу сквадрировал Григорий Сен-
Винцент в 1647 г.; аналогичный результат был получен Ферма
в 1657 г. Однако, хотя они, видимо, осознавали связь квадратуры
этой гиперболы с логарифмами, но для них была чуждой идея,
выражаемая теперь нами формулой J x~rdx = In х + с, так как
площадь под гиперболой являлась в то время более или менее
известной величиной (сама эта гипербола известна с древнегре-
ческой эпохи), тогда как понятие логарифма было сравнительно
новым 39). Они, скорее, рассматривали площадь под гиперболой
как геометрическую иллюстрацию понятия логарифма. Только
после того, как в 1668 г. Меркатор и Броункер нашли выражение
логарифмов в виде бесконечных рядов, стало возможным говорить
о квадратуре аполлониевой гиперболы в логарифмах.
Здесь опять исследование конкретного вопроса интегрирования
оказалось связанным с весьма глубокими вопросами математики.
Его решение стало возможным только после того, когда под воз-
действием потребностей в практических вычислениях была раз-
вита достаточно далеко теория логарифмов. С другой стороны,
при решении его получает дальнейшее развитие теория бесконеч-
ных рядов. На последнем вопросе более подробно мы остановимся
далее.
конечный ряд количеств, начинающихся от точки или нуля и непрерывно
возрастающих в отношении любой степени, либо простой, либо составлен-
ной из простых. Тогда отношение этого ряда к ряду стольких же коли-
честв, равных наибольшему, равно отношению единицы к индексу сте-
пени, увеличенному на единицу» (цит. по Ф. Д. Крамару [2, стр. 46]).
39 Об истории логарифмов см., например, Л. Я. Гришвальд [1], Но [2].
72
При рассмотрении квадратур кривых у = ахп одновременно
разрабатывались многие важные приемы будущего интегрального
исчисления. Разложение интеграла в виде
А (х) dx
и вынесение постоянного множителя за знак интеграла были из-
вестны математикам со времени Архимеда. Этими приемами поль-
зовались Кавальери, Торричелли, Ферма, Валлис и другие. В ис- .
следованиях Ферма и Паскаля широко используются приемы
интегрирования по частям и интегрирования при помощи подста-
новки. Это, конечно, не означает, что они пользовались этими
приемами в том смысле, как и мы. Им приходилось применять свое-
образные методы, приводящие к той же цели 40. В этой же связи
Ферма пользуется одним приемом при вычислении интеграла
от у = хр у, который важен для более общего понятия интеграла.
А -именно, он разбивал промежуток интегирования не на равные
части, как это делали все математики, за исключением, по-видимо-
му, неизвестного ему ибн Корры, а на неравные. Если последний
производил разбиение в арифметической прогрессии, то Ферма —
в геометрической 41. Отсюда, правда, еще^ далеко до разбиения
области интегрирования на произвольные участки, длины которых
стремятся к нулю, однако это все же шаг к установлению общего
понятия интеграла.
Наряду с квадратурами парабол и гипербол различных поряд-
ков математики рассматриваемого периода занимались квадрату-
рами других геометрических кривых, а также кубатурами.
ф
г ’ Мы говорили о вычислении Архимедом интеграла \ sin cpdcp,
о
найденном вновь Кеплером; о квадратуре спирали Архимеда 42
и спирали Паппа. В связи с квадрированием конхоиды Никомеда
ф
Роберваль вычислил интеграл dtp/cos2 ср = tg<p; он же осуществил
о
квадратуру циссоиды. Менголи в 1659 г. нашел биноминальные
интегралы вида J хг (а — x)s dx; Ферма проинтегрировал
j (а2 — х2)п!2 dx при нечетном п, вычислил площади декартова
листа х? + у3 = аху и так называемого «локона Аньези», т. е.
1
кривой у (х2 + У2) = а3; Валлис выразил интеграл ^)^1 —x2dx
о
40 Подробнее об этом см. Цейтен [1, стр. 50—56; 5, стр. 261—268].
41 Об этом приеме Ферма см. Цейтен [5, стр. 258—259].
42 Другим способом осуществленной Кавальери в 1635 г. путем введения
кругообразных неделимых, соответствующего нашему интегрированию в
полярных координатах.
73
через факториалы дробных величин, заметив, что точная квадра-
тура круга невозможна; он нашел также, наряду с Гюйгенсом
и Ферма, квадратуру площади, заключенной между циссоидой
Диоклеса и ее асимптотой; ему принадлежат исследования ин-
1
тегралов вида + хк)п dx. Многочисленные квадратуры нашел
о
Паскаль, в частности интегралы
а
О
(а2 — x*)42x3dx,
о
а также интегралы от многих тригонометрических функций
(1659 г.). Паскаль не только вычислил интегралы JsincpdcpH
cos (jpdcp, но и по существу пользовался преобразованием
J sinn <рйф = (—l)n J sinn_1 ф d cos ф; ему же удалось свести оп-
ределение длин дуг циклоид к длинам эллиптических дуг, чем он
наметил путь в область эллиптических интегралов.
Параллельно вычислялись и кубатуры. Как указывалось выше,
Кавальери вычислил кубатуры нескольких десятков кеплеровских
тел вращения. Одним из важных результатов Торричелли было
определение объема тела, простирающегося в бесконечность,
а именно, тела, образованного при вращении равнобочной гипер-
болы вокруг одной из ее асимптот (1641 г.); другими словами, здесь
впервые был вычислен несобственный интеграл. Ряд кубатур
был найден Григорием Сен-Винцентом, Ферма, Робервалем,
Паскалем, Валлисом, Гюйгенсом и другими. Важно отметить при
этом, что большинство этих математиков осознавали, что нахожде-
ние кубатур сводится к квадратурам.
Почти все те же самые математики определяли положения цент-
ров тяжести различных геометрических фигур. Наиболее закон-
ченные результаты, выражающиеся в том, что положение центра
тяжести определяется отношением двух интегралов, принадлежат
Торричелли и Паскалю.
В середине XVII века появился и совершенно новый класс
задач, также сводившихся к квадратурам, а именно, задач на
спрямление кривых. В древности была решена лишь задача о при-
ближенном нахождении длины окружности (Архимед). То, что
криволинейные площади могут выражаться через площади пря-
молинейных фигур, а криволинейные объемы — через объемы
тел, образованных плоскостями — это знали еще древнегреческие
математики. Но то, чтобы кривая имела длину, в точности равную
длине определенного отрезка прямой, этого не знали не только
древние. В этом сомневались Декарт, Ферма, Паскаль и другие.
Декарт первоначально даже придерживался в этом отношении,
если говорить философским языком, агностических взглядов.
В своей «Геометрии» (1637 г.) он прямо писал, что «отношение
74
между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может
быть познано людьми» (Декарт [1, стр. 341]). Однако этот агно-
стический взгляд не помешал самому же Декарту вскоре произвести
спрямление логарифмической спирали р = е1^. Саму эту кривую
он нашел при решении одной из механических задач, и в письме
Мерсенну от 12 сентября 1638 г. сообщил, что длина дуги этой
спирали пропорциональна радиус-вектору конца дуги (А. П. Юш-
кевич [9, стр. 622]). Через несколько лет (не позднее 1645 г.)
Торричелли, вероятно независимо, нашел не только длину дуги
этой кривой, но и общую длину всей спирали, несмотря на то,
что число витков .у этой спирали бесконечно (Бортолотти [2,
стр. 129—130]). После этого последовали многочисленные ректи-
фикации, причем их, как правило, также сводили к квадратурам.
Если к этому добавить еще задачи на определение площадей
поверхностей вращения, на нахождение длин приведенных маят-
ников 43 моментов инерции44, то картина применений понятия
интеграла становится достаточно полной. Поразительным в ней
является то, что несмотря на огромный материал, трактовавшийся
практически с единой точки зрения, даже таким большим ученым,
как Ферма, Паскаль, Валлис, не удалось стать создателями сов-
ременного интегрального исчисления. На причинах этого мы оста-
новимся несколько далее, а сейчас коснемся еще одного вопроса,
тесно связанного с понятием интеграла.
До сих пор мы рассматривали интеграл как некоторое число,
ставящееся в соответствие определенной геометрической или
механической величине 45 46, т. е. другими словами, как определен-
ный интеграл. Однако в рассматриваемый период зарождалось
и понятие неопределенного интеграла. Если не считать Орема,
у которого, при определенном желании видеть это, можно вы-
читать зародыш идеи неопределенного интеграла 4в, то введение
ее в науку связывают с именами Декарта и Галилея (Вилейтнер
[1, стр. 86]), главным образом с последним.
В 1638 г. в «Диалогах о двух новых науках» Галилей опреде-
лил прямолинейное равномерно ускоренное движение как такое,
которое, пользуясь современной символикой, можно описать
формулой v = gt, где v — скорость движения тела, t — время
движения, a g — постоянный множитель. Затем он доказал, что
путь, пройденный телом к моменту времени t, выражается, запи-
сывая опять-таки в современной символике, в виде
*=-4-
43 Об этом см. Цейтен [5, стр. 288—291].
44 Там же, стр. 240—241.
45 Здесь, как и почти везде выше, мы несколько модернизируем соображения
математиков того периода: они, как правило, находили не само число, а
отношение меры величины (площади, объема и т. д.) к мере известной
величины.
46 Об этом см. А. П. Юшкевич [13, стр. 400].
75
«т. е. неопределенным интегралом
t \
v (t) dt = gtdt = -i- gt2.
о о
И это является первым примером неопределенного интегриро-
вания в истории науки» (Бортолотти [2 стр. 124]).
Эти соображения Галилея были существенно обобщены его уче-
ником Торричелли в том смысле, что он рассматривал более общие
зависимости от времени. Он также пришел к тому, что при задан-
ной скорости движения, как достаточно общей функции времени,
путь, проходимый телом за время t, выражается при помощи
квадратуры, т. е. через ^у(£)сй47.
о
Здесь мы опять встречаемся с тем фактом, что потребности
другой науки, в данном случае механики, привели к важному
шагу в развитии понятия интеграла: задача измерения новой фи-
зической величины — пути, проходимого телом,— привела к та-
кой вариации понятия интеграла, которая в недалеком будущем
стала преобладающей в истории его развития. В свою очередь,
установление такого понятия интеграла позволило в более стро-
гом и отчетливом виде формулировать в дальнейшем основные
понятия механики.
Данный параграф мы завершим длинной цитатой из Цейтена
[5, стр. 281—282], вполне выражающей итог наших предшеству-
ющих страниц: «Как мы видели из предыдущего, на первых по-
рах операция, которую мы назвали интегрированием, так как она
ведет к тому же, что и последнее, была связана с ее применениями.
Сперва отыскивались площади, объемы, центры тяжести: стара-
ния найти их совпадали, по существу, со стремлением найти ин-
тегралы, выражающие на языке современной математики решения
поставленных задач. При этом нельзя было не заметить совпаде-
ния, существовавшего между решениями различных задач, ко-
торые мы теперь сводим к одному интегралу, и не увидеть, что
все эти задачи можно было решить сразу, преодолев только одну
общую для всех трудность. Таким образом появилось, правда,
в несколько ином виде, понятие, соответствующее нашему понятию
интеграла. Понятие это можно было установить, связывая его
с каким-либо одним определенным применением; всего естествен-
нее было —- в согласии с унаследованным от древних изображением
произведений в виде прямоугольников — представлять то, что
ь
мы называем интегралом ydx, как площадь, ограниченную осью
а
47 Подробнее см. Бортолотти [2, стр. 124—126].
76
абсцисс, ординатами х=алх=Ьи самою кривою, изобража-
ющею изменение ординаты...
Необходимым следствием установления абстрактного понятия
интеграла явилась возможность применять раз вычисленные инте-
гралы к разнообразным величинам, определяемым с помощью
этих интегралов. Во многих случаях этим обстоятельством поль-
зовались также, идя обратным путем. А именно, когда некоторые
приложения интеграла касались области, в которой можно было
применить особенно простые соображения, то сперва прибегали
к ним, чтобы решить частные задачи, относящиеся к этой области;
таким образом, определялся тогда и служащий для решения этой
задачи интеграл».
§ 7. Некоторые результаты Грегори и Барроу
После того, как выше мы очень бегло рассмотрели результаты
таких больших математиков, как Ферма, Паскаль, Валлис и дру-
гие, выделение достижений Грегори и Барроу в самостоятельный
параграф может вызвать некоторое недоумение. Если обратиться
к более старым историческим исследованиям, в которых изучались
вопросы становления математического анализа, то окажется, что
имена Грегори и Барроу занимают в них довольно скромное место.
Наоборот, в более современных работах по истории анализа эти
имена фигурируют все чаще, и можно даже говорить о некотором
преувеличении их роли. Последнее особенно относится к работе
Скрибы [1], посвященной Грегори. Известное пренебрежение ра-
ботами Грегори и Барроу со стороны более старых историков
анализа отчасти объяснимо, если выразиться образно, тем, что
авторы их исторически очень близко располагались к таким ги-
гантам, как Ньютон и Лейбниц, и лучи славы последних затме-
вали относительно скромный блеск имен Грегори и Барроу. Пере-
оценка же их роли в создании анализа в более поздний период
объясняется, разумеется, также отчасти, понятной реакцией на
прежнюю недооценку. Если мы все же решили уделить особый
параграф исследованиям по анализу Грегори и Барроу, то не по-
тому, что оцениваем их, как ученых, выше, чем Ферма, Торичел-
ли, Паскаля или Валлиса, а вследствие того, что результаты пер-
вых были важнее для истории анализа, нежели результаты по-
следних. То, что эти результаты получены учеными более низкого
ранга, объясняется просто тем, что они творили в более поздний
период и опирались на плечи своих предшественников и современ-
ников. Выделением Грегори и Барроу мы хотели бы также под-
черкнуть, что решения изученных ими проблем назрели настоль-
ко, что осуществление их оказалось по плечу ученым среднего
масштаба.
Джемс Грегори, английский математик, астроном и механик,
воспитанник итальянской математической школы (он был учени-
ком Анджели и период 1664—1668 гг. провел в Италии), был хоро-
77
шо знаком с большинством научных достижений как предшест-
венников, так и современников. Ему были известны труды Ка-
вальери, Торричелли, Григория Сен-Винцента, Гюйгенса, Вал-
лиса и других; он даже знал от Коллинса содержание работы
Ньютона «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом
членов», относящейся примерно к 1669 г. и опубликованной лишь
в 1711 г., т. е. спустя много лет после смерти Грегори. Это широкое
знакомство с трудами предшественников и современников позво-
лило ему в ряде вопросов подойти совершенно общим образом
к решавшимся ими проблемам.
Первой из них явилась проблема бесконечных последователь-
ностей. В работе «Истинная квадратура круга и гиперболы» (1667 г.)
Грегори поставил целью создать общий метод, позволяющий
решать широкий круг вопросов, относящихся теперь к анализу
бесконечно малых. Наряду с обычными операциями математики
того времени — сложением, вычитанием, умножением, делением
и извлечением корня — он общим образом, правда, в геометри-
ческом одеянии, вводит понятие сходящихся к одному пределу
пары последовательностей или, другими словами, принцип вло-
женных интервалов для того, чтобы получать новые, неизвестные
величины, которые нельзя найти при помощи указанных пяти
операций. Общее изучение таких последовательностей, определе-
ние их пределов, применение полученных результатов к конкрет-
ным проблемам (квадратурам конических сечений и их секторов,
вычислению логарифмов и т. д.) и составляет содержание указан-
ной работы Грегори.
Последний не только сделал попытку построить общую тео-
рию рядов, основанную на понятии предела, но и установил ряд
важных положений теории рядов, а также нашел несколько кон-
кретных разложений. Он, независимо от Ньютона и одновременно
с ним открыл теорему о биноме; он, задолго до Тейлора, владел
понятием о ряде Тейлора; ему, наконец, принадлежат конкретные
разложения в ряды следующих функций arctg х, In tg х, In sec х,
In [(1 -(- х)/(1 — ж)].
Вторым большим достижением Грегори явилось осознание
взаимно обратного характера задач на касательные и задач на
квадратуры («Универсальная часть геометрии», 1668 г.). Нельзя
сказать, что он был первым математиком, для которого стала
ясной эта связь. Ее в некотором смысле осознавал Ферма (Бойер
[1, стр. 164]), пытаясь обосновать утверждение о том, что если
известна f (х), то можно определить и / (х), «туманным рассужде-
нием, не имеющим никакой доказательной ценности» (Бурбаки
[1, стр. 188]). То, что проблема касательных является обращением
проблемы квадратур, по-видимому, осознавал и использовал в
своих исследованиях Торричелли (Бойер [1, стр. 134]). Более
абстрактный подход Грегори к задачам анализа вообще позволил
ему подойти и к этой проблеме более общим образом. Выше, говоря
о теории бесконечных рядов у Грегори, мы отметили, что эта тео-
78
рия имела у него геометрическое одеяние. Последнее имеет тот
смысл, что рассматриваемые Грегори последовательности были не
последовательностями действительных чисел, а последователь-
ностями геометрических величин, обычно выступающих в конкрет-
ных приложениях его общей теории в качестве площадей.
В том же геометрическом одеянии у него выступает и понятие
функции, эквивалентом которого оказывается понятие абстракт-
ной геометрической кривой. Аналогично обстоит дело и с поня-
тием интеграла. Именно у Грегори с полной отчетливостью вы-
ступает то абстрактно-геометрическое понятие интеграла в виде
площади под кривой, о котором говорил Цейтен в цитате, приве-
денной на стр. 76—77. А раз такое абстрактное понятие интег-
рала введено, то естественно, что Грегори стремится свести к нему
другие вопросы. Как раз при таком сведении и возникает у него
идея связи дифференцирования и интегрирования, выраженная
также в геометрической форме в виде взаимной связи длины дуги
кривой и площадью под этой кривой: от интеграла, выражающего
площадь, он переходит к интегралу, выражающему длину кривой,
и обратно 48.
Вклад Грегори в теорию интеграла не ограничился установле-
нием взаимной связи двух операций анализа. Для конкретных
вычислений интегралов он в той же «Универсальной части гео-
метрии» разработал способ целесообразного преобразования кри-
вой, сводящийся, говоря современным языком, к преобразованию
прямоугольных координат к полярным. При таких преобразова-
ниях параболы высших порядков переходят в соответствующие
спирали, в частности, прямая — в спираль Архимеда, логариф-
мическая кривая — в логарифмическую спираль и т. д. Поэтому,
зная квадратуру одной кривой, можно получить квадратуру со-
ответствующей ей при таком преобразовании другой кривой,
и обратно; аналогично и для касательных 49. Занимался Грегори
и приближенными вычислениями интегралов. К тому же 1668 году
относится введение им формулы приближенных квадратур, лишь
внешне отличающейся от формулы Симпсона, опубликованной
последним в 1743 г. (Вилейтнер [4, стр. 110, 164]). Вычислил он
и ряд конкретных интегралов, вроде $tgxdx, §logxdx, ^secxdx,
наряду, конечно с вычислением интегралов, уже известных до
него.
Сказанное о Грегори заставляет очень высоко оценить его роль
не только в разработке понятия интеграла, но и в создании мате-
матического анализа вообще. Недаром Скриба, изучивший твор-
чество Грегори, ставит его имя в один ряд с именами Лейбница
и Ньютона в связи с созданием анализа бесконечно малых [1,
стр. 6, 70]. И хотя можно согласиться с Э. Я. Бахмутской [1],
что здесь налицо переоценка роли Грегори, тем не менее она весь-
48 Подробнее об этом см. Скриба [1, стр. 32—39]; Цейтен [5, стр. 340—341].
49 Подробнее см. Скриба [1, стр. 44—49].
79
ма велика, особенно если учесть, что почти все основные свои ре-
зультаты Грегори получил и опубликовал еще до того, как Нью-
тон передал первую свою работу «Об анализе при помощи уравне-
ний с бесконечным числом членов» Коллинсу, и до того, как Лейб-
ниц вообще приступил к занятиям анализом бесконечно малых.
Чем же объяснить тогда то, что имя Грегори так долго занимало
столь скромное место в истории анализа? Первое и основное —
это то обстоятельство, что его подход к проблемам интегрального
и дифференциального исчисления был сплошь геометричным.
Все его рассуждения имели словесно-геометрическую форму,
и «именно эта форма и не позволила как Грегори, так и многим
другим выдающимся математикам того времени осознать всю
общность содержания полученных ими в геометрической форме
результатов и создать новое исчисление, как это сделали Ньютон
и Лейбниц» (Э. Я. Бахмутская [1, стр. 179]). Зато в рамках гео-
метрических представлений Грегори достиг той вершины в инфи-
нитезимальных исследованиях, которой вообще можно достичь.
Можно сказать, что Грегори построил, так сказать, геометриче-
ский анализ, завершив тем самым то, что было начато Архимедом.
Однако такой геометризированный анализ оказался нежизнеспо-
собным. Словесно-геометрическая форма изложения, к тому же
сопровождавшаяся обычно апогагическими доказательствами, прак-
тически изжила себя. Другой причиной отчасти было то, что
некоторые соображения Грегори значительно опередили свое вре-
мя. «Дж. Грегори был особенно хорошо подготовлен своими рас-
суждениями о переходе к пределу и своим знакомством с доста-
точно абстрактной формой принципа „вложенных интервалов**
и даже, по-видимому, составил тщательно отработанное доказа-
тельство сходимости, оставшееся неизданным,... которым мог
бы почти без изменений воспользоваться Коши, если бы он его
знал» (Бурбаки [1, стр. 207—208]).
Понятию же предела еще предстоял долгий путь развития,
прежде чем оно, в руках Коши, стало основой анализа вообще
и интегрального исчисления в частности 50. К тому же, как мы
уже отметили, блеск славы Ньютона и Лейбница затмил более
скромное научное наследие Грегори и на некоторое время ослепил
не только математиков следующего поколения, но и историков
математики более позднего периода.
Примерно аналогичная картина вырисовывается и в случае
Барроу. Ему, разве, повезло несколько больше, чем Грегори,
в том отношении, что его историки математики «открыли» несколь-
ко ранее. Уже в 1895 г. Цейтен посвятил ему отдельную работу,
50 Мимоходом следует, пожалуй, отметить, что Вилейтнер ставит в особую
заслугу Грегори определение действительного числа как предела после-
довательности [4, стр. 109]. Такое определение, хотя оно и употребля-
лось математиками долгое время после Грегори, представляет собой ло-
гический круг, на что в 1883 г. совершенно определенно указал Г. Кантор
[1, стр. 36].
80
в 1916 г. его «Геометрические лекции» рассмотрел Чайльд, в
1944 г. появилась книга Осмонда, посвященная ему, а совсем не-
давно вклад Барроу в исчисление бесконечно малых оказался
предметом кандидатской диссертации А. А. Туякбаевой [1]. И если
результаты Грегори стали более обстоятельно отмечаться в общих
курсах истории математики лишь недавно (Бурбаки [1]), а в более
ранних, например Вилейтнер [4] (опубликовано впервые в 1923 г.),
они представлены далеко неполно и редактору русского перевода
1960 г. А. П. Юшкевичу пришлось дополнять их в примечаниях
(Вилейтнер [4, стр. 114, 119, 139]), то основные достижения Бар-
роу вошли в общую историко-математическую литературу с
1903 г. — года выхода книги Цейтена [5], и с тех пор они не упу-
скаются из поля зрения. Поэтому в отношении Барроу мы можем
быть покороче.
Первое, что следует подчеркнуть в связи со вкладом Барроу
в анализ, это широкое введение туда кинематических соображений.
Мь! уже отмечали, что такое введение имеет давнюю традицию.
Кинематическими соображениями пользовался еще Архимед и
другие древнегреческие математики. В эпоху средневековья,
хотя и не совсем в отчетливой форме, разрабатывается теория
изменения величин как функций времени и графическое изобра-
жение таких величин (Орем и др.). В работах Галилея проблема
дифференцирования связана с понятием скорости, а при нахожде-
нии пути, проходимого телом, у него появляется идея неопреде-
ленного интегрирования как операции, позволяющей найти путь
по заданной скорости. Соображения Галилея существенно обоб-
щаются его учеником Торричелли. При изучении касательных
к кривым кинематические представления широко использовали
Роберваль и Декарт 51. Еще ранее Непер, пользуясь ими, ввел
понятие логарифма 52. Так что Барроу не был пионером в данном
вопросе. Из всех предшествующих исследователей Барроу в этом
отношении выделяется тем, что он задумал «сделать из одно-
временных изменений различных величин как функций универ-
сальной независимой переменной, принятой за „время", основу
исчисления бесконечно малых, изложенного геометрических» (Бур-
баки [1, стр. 181]). В этом он настолько тесно примыкает к Нью-
тону, что известную трудность составляет отделить результаты
одного от результатов другого.
Второе, что, впрочем, объединяет его с Грегори, это наличие
у Барроу совершенно общего понятия функции, которое можно
получить, исходя из геометрических представлений. Он рассуж-
дает не о касательной к отдельной кривой или о квадратуре кон-
кретной кривой, а формулирует и доказывает свои предложения
в «Геометрических лекциях» (1669—1670 гг.) сразу для любой,
как мы теперь сказали бы, дифференцируемой функции, образом
51 Об этом см. Цейтен [5, стр. 313—316].
52 См. Л. Я. Гришвальд [1, стр. 9—15].
81
которой может служить совершенно произвольная кривая 53.
При этом кривая, как образ функции, применяется для изображе-
ния как алгебраических, так и трансцендентных функций, между
ними не делается никакого различия.
И, наконец, третье — совершенно отчетливое установление
взаимозависимости операций дифференцирования и интегрирова-
ния. Поставив во главу своих исследований понятие движения,
он показывает, как, с одной стороны, получить путь, пройденный
точкой, зная время и скорость ее движения, а с другой — как
выразить скорость движения, зная путь и время его. Именно
в такой форме Барроу сопоставляет взаимно обратные проблемы
интегрирования и дифференцирования, выдвигая тем самым в тео-
рии интеграла на авансцену аналитическое исследование неопре-
деленного интеграла, что уже делали Галилей и Торричелли, одна-
ко не столь общим образом. Хотя формулировка проблем произ-
водится в кинематической форме, их решение осуществляется
в геометрическом духе.
Предложение Барроу давало возможность, зная результат
какого-либо дифференцирования или интегрирования, получить
из него результат применения к нему обратной операции. Это
отчетливо осознал сам Барроу, давая многочисленные примене-
ния своего предложения. Однако исторический ход развития
анализа сыграл с ним злую шутку. Мы знаем теперь, что операция
дифференцирования осуществляется проще; находя производные
функции, мы составляем таблицы примитивных, пользуясь кото-
рыми, если это необходимо, можем вычислить определенный инте-
грал, т. е. осуществить квадратуры, которыми занимались мате-
матики XVII в. Но в то время, когда Барроу писал свои «Гео-
метрические лекции», дело обстояло так, что методы нахождения
квадратур были разработаны более подробно, методы же опреде-
ления касательных были менее известны. Поэтому Барроу преиму-
щественно решает не задачи определения квадратур по данным
относительно касательных, а наоборот, из известных квадратур
ищет способы определения касательных.
При этом, в частности, Барроу сознательно применял некото-
рые правила, встречающиеся при определении касательных,
к преобразованию квадратур. Так, например зная, что, если вос-
пользоваться современными обозначениями d sin ср = coscpdcp, он
ф ф
получит формулу sec2cp d sin ср = sec ср dcp.
о о
Занимается Барроу и задачами, которые мы выражаем теперь
в виде дифференциальных уравнений. Мы, однако, не будем на
этом останавливаться, отметив лишь, что сведение обратной за-
дачи о касательных к квадратуре Барроу удалось в ряде довольно
трудных для того времени случаев. При рассмотрении их он от-
53 Имеющая, разумеется, касательную.
82
крыл прием, являющийся эквивалентом нашего разделения пе-
ременных.
«Открытия Барроу заключали цепь предварительных работ,
предшествовавших открытию исчисления бесконечно малых. Со-
державшееся в его работах возобновление и развитие механи-
ческих идей Галилея и Торричелли, его сопоставление взаимно
обратных инфинитезимальных задач, несомненно, оказали столь
же направляющее влияние на Ньютона, как метод неделимых
Кавальери и вычисления с бесконечно малыми величинами Паска-
ля на Лейбница. Но все еще недоставало систематического приме-
нения отношений двух исчезающих величин, ясной точки зрения
на понятие функции и прежде всего особого вычислительного
алгорифма, который мог бы, при подходящем определении его
формальных операций, оттеснить на задний план лишнюю работу
мысли, ранее необходимую при отдельных инфинитезимальных
исследованиях. Введение всего этого в математику выпало на долю
двух великих умов, деятельностью которых мы займемся в следу-
ющей главе» (Вилейтнер [4, стр. 115—116]).
Глава III
СОЗДАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
НЬЮТОН, ЛЕЙБНИЦ И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛИ
§ 1. К проблеме математизации
естествознания в XVII веке
Идея математизации науки — одна из наиболее привлекатель-
ных идей в истории науки; она в той или иной форме сопутствует
последней по меньшей мере со времен Пифагора до наших дней,
принимая самые разнообразные формы — от мистики до строго на-
учных представлений.
Не касаясь социально-политических корней пифагоризма х,
мы можем констатировать как факт, что математика была одной
из важных составных частей религиозных представлений пифаго-
рийцев (Вандер Варден [1, стр. 129]). Корни взглядов такого рода
уходят в религию и числовую мистику народов Древнего Востока,
но расцвет пифагоризма был связан с выявлением той роли, ко-
торую простые числовые отношения играют в явлениях окру-
жающего мира, в частности в астрономических и музыкальных
явлениях. Обобщение этих простых отношений, возведение их
в общий принцип пифагорийского учения: «все есть число» или
«все упорядочивается в соответствии числами» (Ван дер Варден
[1, стр. 132]) имело двоякий результат. С одной стороны, такая
установка нацеливала на необходимость изучения чисел, вела
к созданию элементов теории чисел. С другой — ограниченность
самого представления о числе, мыслившегося пифагорейцами толь-
ко как целое положительное число, как собрание единиц, содер-
жало в себе зародыш краха этого общего принципа. Открытие
несоизмеримости нанесло ему такой удар, от которого трудно было
оправиться. Арифметизированная математизация надолго пре-
кратила свое существование.
Но вскоре на передний план выдвигается геометрия. И опять
философы берут на вооружение математику. Однако вместо ариф-
метизированной математизации пифагорейцев у платоников ста-
вится цель построения геометризированной картины мира. В ка-
честве отправных пунктов философских спекуляций берутся две
простые геометрические фигуры: равнобедренный прямоугольный
треугольник и половина равностороннего треугольника; из этих
первичных треугольников составляются основные формы четырех
элементов — четыре правильные многогранника; огню соответст-
вует тетраэдр, воде — икосаэдр, воздуху —октаэдр, земле—куб;
1 Об этом см., например, Э. Я. Кольман [2, стр. 82—85].
84
пятый правильный многогранник являлся прообразом вселенной
в целом 2.
Но такого рода спекуляции, хотя они и служили некоторого
рода стимулами последующих исследований в области математики,
не имели решающего значения ни для развития самой математи-
ки, ни для подлинной математизации науки. Последняя соверша-
лась иным путем, к сожалению, нам почти совсем неизвестным.
Мы практически не знаем, как совершалась математизация древ-
негреческих механики, астрономии и геометрической оптики.
В сочинениях Архимеда, например, мы встречаемся уже в извест-
ном смысле с завершенным процессом. Неизвестно, когда и как
материальная балка превратилась в отрезок прямой линии, ма-
териальный груз — в идеальную точку, наделенную тяжестью,
ит. п. В архимедовской работе [6] перед нами законченно идеали-
зированные объекты, имеющие форму, пригодную для математи-
ческого оперирования с ними на манер евклидовских «Начал»:
открывается она формулировкой семи допущений или аксиом, из
которых затем дедуктивными рассуждениями получаются основ-
ные предложения относительно центров тяжести плоских гео-
метрических фигур. Архимед даже не намекает на что-либо подоб-
ное пифагорейским или платоновским домыслам о математизиро-
ванной картине мира. Он просто гениально выбирает конкретную
область науки — статику — и делает значительный кусок ее пол-
ностью математизированным 3.
Аналогичные процессы происходили в астрономии и в оптике.
Мы не предполагаем входить в более подробное рассмотрение хода
математизации естествознания в древней Греции, так как это да-
леко увело бы нас от нашей темы. Заметим лишь, что математи-
зация механики, астрономии и оптики уже тогда была такой, что
«сами греки удивлялись, действительно ли и в каком смысле
эти науки могут отличаться от собственно математики» (Бохнер
[2, стр. 189]).
В ходе такой математизации происходило оплодотворение обеих
взаимодействующих частей науки. Выше мы отчасти касались
этого вопроса и здесь напомним лишь, что механические соображе-
ния помогли Архимеду найти многие квадратуры, а один из ос-
новных результатов Паппа — теорема об объемах тел вращения —
прямо опиралась на статическое понятие центра тяжести. В свою
очередь, разработка геометрического метода исчерпывания яви-
лась необходимым условием создания самого учения о центрах
тяжести.
Вопрос о проявлениях идеи математизации науки в эпоху
средневековья исследован совершенно недостаточно. Однако то,
2 См. Э. Я. Кольман [2, стр. НО]; Гейберг [1, стр. 36]; подробнее о плато-
низме см. Бруншвич [1, стр. 56—69].
3 Этим мы не утверждаем, что Архимеду принадлежит первенство в данном
вопросе. Иногда отмечается, что первым применил геометрию в механике
Архит Таренский еще за полтора века до Архимеда (Либри [1, стр. 31]).
85
что эта идея была живой и в ту пору, подтверждается рядом
свидетельств. Так, еще в первой половине XVI столетия англий-
ский философ и ученый Гроссетест утверждал, что «все причины
природных действий должны быть даны посредством линий, углов
и фигур» (А. П. Юшкевич [13, стр. 239]). Более конкретное прояв-
ление она получила у Ричарда Суайнсхеда и Николая Орема
в XIV в.4 А в первой половине XVII в. Галилей, наряду с общими
декларациями по поводу математизации естествознания, кладет
начало конкретному ее осуществлению.
Семнадцатое же столетие в своем научном мышлении было
настолько связано с математикой, что Даннеман с известным
правом мог утверждать, что тогда «математику и математическую
физику, вместе с освободившейся от схоластических пут филосо-
фией, стали отождествлять с наукой вообще; они стали, так ска-
зать, новым евангелием» [1, стр. 199]. При этом в то время были
перемешаны самые разнообразные подходы к связи науки с мате-
матикой — от планетарной схемы Кеплера в виде чередования
правильных многогранников и сфер в платоновском духе 5, а так-
же евклидоподобной «Этики» Спинозы до чеканной строгости нью-
тоновских «Начал». Для нас было бы излишним говорить здесь
о всей взаимосвязи математики с наукой в XVII столетии, обоюдо-
полезной для обеих сторон настолько, что, как нам кажется, было
бы затруднительным ответить на вопрос: больше ли выиграли ме-
ханика и физика от применений математики или же математика
от использования физико-механических идей. Мы остановимся лишь
на одной стороне этой взаимосвязи, определившей, на наш взгляд,
характер понятия интеграла на очень длительный период, а имен-
но, на том, что впоследствии назвали дифференциальной карти-
ной мира.
Как подчеркнул А. Н. Колмогоров 6, основной идеей, которой
руководствовался Ньютон в своей научной деятельности, была
идея математизации естествознания, и строившийся им матема-
тический анализ явился реализацией этой идеи. Однако эта ма-
тематизация предполагала самый объект ее — совокупность пред-
ставлений об основных понятиях прежде всего механики — сло-
жившимся в значительной мере независимо от привлечения средств
математики7, имеющимся налицо. И действительно, такой объ-
ект — учение о движении — был ко времени Ньютона во многом
создан, главным образом в трудах Галилея. Наиболее существен-
ным в сложившемся представлении о движении был дифференциаль-
ный характер механического движения, т. е. движение мыслилось
происходящим в пространстве от точки к точке через прохождение
всех промежуточных состояний, непрерывно следующих друг за
4 Подробнее см. А. П. Юшкевич [13, стр. 396—403].
6 О ней см. Даннеман [1, стр. 102].
6 Во вступительном слове на вечере, посвященном 250-летию со дня смерти
Г. В. Лейбница, состоявшемся в Доме дружбы 1 декабря 1966 г.
7 Главным образом благодаря разработке экспериментального метода.
86
другом в ходе непрерывного течения времени 8. Для описания та-
кого движения было недостаточно знать, как это имело место в
аристотелевской физике, только начальное и конечное положения
движущегося тела; нужно было уметь учитывать положение
объекта движения в каждый момент. Интегральные характеристи-
ки движения — путь как функция времени; конечная скорость
как функция ускорения и т. п. — выступали как результаты
совершившихся дифференциальных движений, как нечто произ-
водное, вторичное по отношению к происходящему движению.
При этом сами эти интегральные характеристики не были непод-
вижными: путь, пройденный движущимся телом, оказывался за-
висящим от протекшего времени, скорость — от ускорения и т. п.
Из такого рода представлений вытекали по крайней мере два
важных для математики вывода. Ранее мы видели, что в XVII сто-
летии основные понятия анализа — интеграла и производной —
были разработаны довольно глубоко. Была даже установлена
взаимосвязь дифференцирования и интегрирования. Но два су-
щественных момента совершившегося к тому времени развития
анализа противоречили описанному выше представлению о меха-
ническом движении. Во-первых, вследствие исторических обсто-
ятельств интегрирование рассматривалось как первичная опера-
ция, большей частью даже как не зависимая от дифференцирова-
ния. Во-вторых, сам интеграл мыслился в виде фиксированного
числа, соотносимого рассматриваемой величине, а не как некая
функция, меняющая свои значения в зависимости от некоторой
другой величины. Чтобы математизировать сформировавшееся
понятие о движении, нужно было прежде всего выдвинуть на пер-
вое место операцию дифференцирования, а интегрирование счи-
тать производным от него, а также сделать переход от определен-
ного интегрирования к неопределенному; во взаимосвязи же диф-
ференцирования и интегрирования исходить не из интеграла
для нахождения производной, а, наоборот, по значениям произ-
водной определять значения интеграла. Это-то как раз сделали
Ньютон и Лейбниц, и одна только что указанная ломка привыч-
ных представлений давала им известное право на честь называться
основателями анализа. Присоединение к этому их чисто матема-
тических достижений еще более закрепляет такое право.
§ 2. Замечания о развитии алгебры
в XVII столетии
Для реализации идеи математизации механики в XVII столе-
тии было, однако, совершенно недостаточно тех общих соображе-
ний о первичности дифференцирования по отношению к интегри-
рованию в их взаимосвязи, которые вызывались представлениями
8 Подробнее о таком «дифференциальном мировоззрении» см. Б. Г. Кузне-
цов [1, стр. 30, 64—65, 160].
87
о типе движения, подлежащего математическому описанию. Нужен
еще был такой математический аппарат, который можно было ис-
пользовать для конкретного изображения рассматриваемых дви-
жений; быть может еще нужнее были такие образцы новых мате-
матических рассуждений, которые можно было использовать в но-
вой появляющейся тогда математической дисциплине — анализе
бесконечно малых. Все это имелось в складывавшейся в XVII сто-
летии алгебре.
В предыдущей главе в отдельных случаях отмечалось, что ал-
гебраические представления играли существенную роль в разра-
ботке понятия интеграла. Такого рода замечания не дают, однако,
более полного представления о характере связи понятия интегра-
ла с алгебраическими методами. Здесь мы считаем целесообразным
несколько более подробно остановиться на развитии алгебры
в XVII столетии. Это позволит нам далее правильнее воспринять
ход развития интегрального исчисления.
Алгебра является одной из самых древних математических
наук 9. Однако очень длительное время ее развитие происходило
в недрах арифметики и геометрии, и лишь ученые Средней Азии
в IX—XI вв., особенно Омар Хайям, выделяют ее как самостоя-
тельную науку (А. П. Юшкевич [8, стр. 532], Б. А. Розенфельд,
А. П. Юшкевич [1, стр. 37—65, особенно стр. 52]). Ученые сред-
невековой Европы разработали алгебру главным образом в на-
правлении ее арифметизации, а также развивали буквенные ал-
горитмы алгебраических операций. Открытие дель Ферро, а затем
Тартальей в XVI в. способа решения в радикалах уравнений
третьей степени, а также Феррари уравнений четвертой степени
знаменовало собой новую веху в развитии не только алгебры,
но и математики вообще. «Было бы трудно переоценить значение
этих фундаментальных открытий: и огромное впечатление, кото-
рое они произвели на современных им ученых, внушив им уве-
ренность в необычайной мощи алгебраических методов, и важность
ряда связанных с ними проблем, например, „неприводимого слу-
чая" кубического уравнения, в котором заведомо действительный
корень выражается через квадратные корни из отрицательных
чисел» (А. П. Юшкевич [6, стр. 348]), — все это явилось немало-
важным фактором последующего развития науки.
Следующим большим успехом на пути становления алгебры
как ведущей математической дисциплины явилась окончательная
ее символизация, окончательная в том смысле, что больше с этого
пути она на сходила, а, наоборот, все с большей уверенностью
шла по нему вперед. Готовившееся длительное время, начиная
с Диофанта, а быть может и ранее, буквенное исчисление в трудах
Виеты и его последователей стало основным аппаратом исследо-
вания. И хотя еще до Виеты догадывались о возможности построе-
9 Нейгебауэр [1] относит возникновение алгебраических методов ко второму
тысячелетию до н. э.
88
ния некоторой общей математической науки, задачей которой
явилось бы изучение общих свойств величин и чисел (А. П. Юш-
кевич (8, стр. 534—535]), но только в его буквенной символике
эта идея начала осуществляться.
Аналитическая геометрия Ферма и Декарта явилась новым
большим триумфом алгебры. Ученые Западной Европы относи-
тельно рано овладели «Началами» Евклида. Вслед за тем им уда-
лось достичь, а вскоре, начцная с Кеплера, во многих отношениях
и превзойти те высоты, которых достиг Архимед в своих инфини-
тезимальных изысканиях. Существовала еще одна вершина гре-
ческой науки, которую штурмовали ученые XVII в.,— теория
конических сечений Аполлония 10 11. Те, кто пытались ею овладеть
при помощи геометрической алгебры древних, если и добирались
до ее вершин, то на дальнейшее продвижение у них уже не хва-
тало сил. Наоборот, нарождавшаяся новая буквенная алгебра
позволяла сделать доступным подъем на указанную высоту гре-
ческой науки практически любому рядовому математику. Более
важным, однако, явилось то, что аналитическая геометрия откры-
вала новые грандиозные перспективы перед математикой и прежде
всего перед анализом бесконечно малых.
Каковы же те черты алгебры, которые связывали ее с зарождав-
шимся исчислением бесконечно малых?
По-видимому, первой, если не по времени, то по значимости,
было введение понятия переменной величины. «Поворотным пунктом
в математике была декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и диалек-
тик а и благодаря этому же стало немедленно необхо-
димо дифференциальное и интегральное
исчисление...» (Энгельс [1, стр. 203]). Именно та форма общ-
ности, которая родилась в алгебраической символике, позволяла
мыслить переменным содержание, отражаемое алгебраическим
символом. И как раз у Декарта это содержание начинало приобре-
тать подвижный, текучий характер и. Изучение же переменных
величин и их взаимосвязи вскоре стало осознанной основной за-
дачей математического анализа.
Во-вторых, хотя главной целью алгебры того времени счита-
лось нахождение корней целых рациональных функций, тем не
менее, наряду с этим, алгебру порой рассматривали и как учение
об общих свойствах алгебраических операций. Это, например,
отчетливо выражено уже у Декарта (А. П. Юшкевич [8, стр. 548]);
это же в некоторой мере можно отнести и к Ньютону, значительная
часть «Всеобщей арифметики» которого посвящена изложению
10 Некоторые авторы склонны видеть в теории конических сечений Аполлония
саму аналитическую геометрию (см., например, Цейтен [4, стр. 141],
Кулидж [1, стр. 119]); другие не разделяют этого мнения (см., например,
А. П. Юшкевич [8, стр. 529—532]).
11 Подробнее о понятии переменной величины у Декарта см. А. П. Юшкевич
[8, стр. 526].
89
теории алгебраических операций. Эти операции носили взаимно-
обратный характер: сложение и вычитание, умножение и деле-
ние, возведение в степень и извлечение корня, возведение в сте-
пень и логарифмирование. При установлении взаимосвязи опера-
ций дифференцирования и интегрирования естественно было
распространить на них взаимообратность алгебраических опера-
ций, что фактически и было сделано в анализе, и это во многом
определило характер его развития.
Далее, как заметил А. П. Юшкевич 12, тот факт, что к концу
XVII в. основной математической наукой была алгебра, что ее
символизация являлась образцом для других наук, явился сти-
мулом для Лейбница к введению его «универсальной характери-
стики»; математический же анализ Лейбница оказался частной
реализацией его «универсальной характеристики».
И, наконец, еще одно общее соображение. Примерно до 60-х го-
дов XVII в. интегрирование развивалось на геометрических ос-
новах, о чем мы уже неоднократно говорили. Были определены
площади практически всех известных тогда кривых, объемы тел
вращения этих кривых и их поверхности, центры тяжести площа-
дей и объемов. На этом геометрическом пути были исчерпаны
чуть ли не все достаточно простые геометрические образы. Даль-
нейшее продвижение в этом направлении требовало настолько
сложных геометрических конструкций, что их наглядное пред-
ставление становилось все более трудным, доступным все меньше-
му числу математиков.
Алгебра радикально изменяла такое положение. В ней гео-
метрический образ заменялся относительно простой, «наглядной»
формулой, над которой производились преобразования по четким,
раз и навсегда установленным правилам. Свойства кривых, поверх-
ностей, объемов и т. д. выражались простыми алгебраическими
соотношениями, из которых эти свойства получались достаточно
элементарно при помощи указанных соотношений. При этом,
и это также достаточно важное соображение, вследствие того,
что в алгебраические выражения входят такие буквы, которые
можно рассматривать как параметры, решение задачи в алгебраи-
ческом виде выступало не как решение конкретной единичной
проблемы геометрии (например, квадратуры предложенной кри-
вой), а как решение целого класса (даже бесконечного) подоб-
ного рода задач. И хотя при последующем развитии анализа гео-
метрические представления играли определенную роль, но эта
роль становилась все более и более второстепенной; в XIX же
столетии от них сознательно начали отказываться.
Связи развития понятия интеграла с развитием алгебры ска-
зались не только в подобного рода общих аспектах. Как указы-
валось ранее, алгебраическое понятие степени оказалось необхо-
12 В выступлении на вечере, посвященном 250-летию со дня смерти Лейб-
ница, состоявшемся в Доме дружбы 1 декабря 1966 г.
90
димым для установления одной из основных теорем интегрального
исчисления; в алгебре же постепенно формировалось общее поня-
тие действительного числа, явившееся затем фундаментом анали-
за; через неприводимый случай кубического уравнения в нее
вошло понятие комплексного числа, оказавшееся затем весь-
ма полезным и в интегральном исчислении; в алгебре, наконец,
разрабатывалось то искусство аналитических выкладок, без ко-
торых немыслима была вообще разработка интегрального исчис-
ления, и не случайно первые курсы анализа порой наполовину
состояли из алгебраических введений13. К другим элементам
связей алгебры и анализа мы будем обращаться далее по мере на-
добности, а сейчас в предварительном порядке заметим, что взаи-
мосвязи алгебры и интегрального исчисления не были такими
односторонними, как это описано выше: развитие анализа, в свою
очередь, оказывало существенное влияние на разработку алгебры.
§ 3. Понятие функций14; бесконечные ряды
У математиков современности нет единого определения поня-
тия функции. Чаще всего оно определяется следующим образом:
«Если каким-нибудь образом каждому элементу х некоторого мно-
жества х поставлен в соответствие определенный элемент у неко-
торого множества У, то мы говорим, что имеется отображение
множества X во множество У, или функция /, аргумент которой
пробегает множество X, а значения принадлежат множеству У»
(П. С. Александров [3, стр. 21]).
В такой формулировке понятие функции определяется при
помощи двух неопределяемых понятий: множества и соответст-
вия. Иногда эту формулировку модифицируют так, чтобы устра-
нить одно из неопределимых понятий, введя его в терминах дру-
гого. Чаще в качестве неопределяемого понятия берется понятие
множества, а понятие соответствия определяется через него
(Ю. А. Шиханович [1, стр. 202]). Иногда вводится смешанное
определение, в котором с теоретико-множественным неопредели-
мым понятием множества соединяется также неопределяемое
логико-математическое понятие предиката или отношения (Дъе-
донне [1, стр. 17]). Порою дается чисто логико-математическое
определение в терминах одного только неопределяемого понятия
предиката (Тарский [1, стр. 142]). Нередко, наконец, мнение,
что понятие функции можно рассматривать как первоначальное,
неопределяемое понятие (Чёрч [1, стр. 351]).
Все указанные подходы к понятию функции в некотором смыс-
ле эквивалентны, а потому мы примем за основу первое. Хотя
оно является общим, но не охватывает всего содержания этого
13 В качестве примера такого курса можно указать двухтомные «Основания
анализа» Аньези [1 ’, первый том которых полностью посвящен алгебре и
I аналитической геометрии.
14 Более детальная картина развития понятия функции содержится в ра-
Г боте А. П. Юшкевича [18].
91
понятия, каким оно сложилось к настоящему времени. К этому
мы еще возвратимся, так как выход за пределы указанных опре-
делений был тесно связан с развитием понятия интеграла. Для
изложения содержания нескольких последующих глав более
чем достаточно приведенное определение.
Это чрезвычайно общее определение позволяет смотреть на
понятие функции, как на очень старое математическое понятие.
Действительно, в том соответствии, о котором идет речь в приве-
денной дефиниции, отнюдь не требуется, чтобы соответствие было
задано каким-либо определенным образом: аналитической форму-
лой, графиком кривой, конкретным видом табличных соответст-
вий и т. п. И если мы прочитаем теперь следующие слова:
«1. На плоскости существуют некоторые ограниченные кри-
вые линии, которые или целиком находятся по одну сторону от
прямых, соединяющих их концы, или ничего не имеют по другую
их сторону.
2. Тогда выпуклой в одну и ту же сторону я называю такую
линию, для которой прямые, соединяющие две произвольные ее
точки, будут или все находиться по одну сторону этой линии,
или же некоторые по одну ее сторону,—другие же на самой линии,
но никакая такая прямая не будет находиться по другую ее сто-
рону»,— то всякий непредубежденный читатель скажет, что
в них речь идет о семействе выпуклых функций, заданных на
определенном интервале. Между тем эти слова принадлежат
Архимеду [2, стр. 96] и написаны они в III в. до н. э. Правда, Ар-
химед не определил самого понятия кривой линии; оно для него
первоначально, не подлежит определению; в нем он лишь выделяет
некоторый класс кривых, нужных ему в его работе. Самостоятель-
ного объекта исследования — понятия функции со всеми его ат-
рибутами, имеющимися в формальных определениях наших
дней,— тогда не было, да и не могло быть. Но некоторый заме-
нитель его — понятие кривой линии достаточно общего вида —
определенно введен был в древнегреческой математике и изучался
довольно тщательно не только в отношении элементарно-геометри-
ческих его свойств, но и в отношении довольно глубоких свойств,
которые изучаются теперь в анализе бесконечно малых, что мы
отчасти уже видели в гл. I. В этой форме понятие функции просу-
ществовало фактически до середины XIX в.
В древнегреческой же математике известна и та модификация
кривой, при которой последняя задается кинематически. Так,
тот же Архимед определяет спираль как кривую, получающуюся
в результате сложения двух движений точки: равномерного вра-
щения по окружности и равномерного перемещения по радиусу
от центра [4, стр. 241]. Аналогично определял Папп и спираль на
сфере. Такой подход к понятию функции также сопровождал
развитие математики очень длительное время, получив особое
развитие в XVII столетии, что мы отчасти видели в предшеству-
ющей главе.
Приведенное определение функции позволяет проследить идею
функциональной зависимости даже в периоды, предшествовавшие
древнегреческой математике. Действительно, в рамки этого опре-
деления вполне укладываются таблицы квадратов и кубов древ-
них вавилонян, таблицы обратных величин натуральных чисел
древних египтян. Более поздние таблицы тригонометрических
функций обогащали запас таблично задаваемых функциональ-
ных зависимостей. Но, видимо, наиболее глубоко такой способ
задания и изучения функций в древности был разработан вави-
лонянами в их астрономических таблицах, относящихся ко II в.
до н. э., когда по таблицам изучалось даже поведение функций
в их точках экстремумов 1б. Он также сопровождал развитие ма-
тематики с давних пор и получил особое развитие в XVII в.
Однако ни в форме геометрической кривой, статической или
полученной при помощи кинематических соображений, ни в форме
табличных зависимостей понятие функции не приобрело ранга
самостоятельного объекта исследования в математике. Только
тогда, когда понятие функции приняло форму аналитической за-
висимости, когда на передний план выступила аналитическая
формула, стало возможным (и необходимым) изучать функциональ-
ные зависимости сами по себе, вне связи с породившими их отно-
шениями объективной действительности.
Понятие же функции в форме аналитической зависимости
смогло появиться и фактически появилось тогда, когда аналити-
ческий язык достиг определенной стадии зрелости. Случилось
это в аналитической геометрии Декарта. Введя понятие перемен-
ной величины и выделив символику для переменных, Декарт при-
менил буквенное исчисление к уравнениям, связывающим пере-
менные величины. Эти уравнения и стали первой аналитической
формой функциональных зависимостей.
«Так в декартовой „Геометрии" развивалась новая математи-
ка — наука о функциональных зависимостях, записанных в
символических выражениях, подчиненных правилам некоторого
алгоритма и, вместе с тем, геометрически представимых с помощью
плоских линий. Анализ (простейших) алгебраических функций
в сочетании с координатами — таков был новый, декартов метод
исследования количественных и пространственных взаимосвязей,
а, значит, и проблем механики, астрономии, физики и т. д.»
(А. П. Юшкевич [8, стр. 527]).
Вместе с тем, декартовские алгебраические функциональные
зависимости вскоре оказались слишком узкими. Издавна были
известны кривые, которые не выражались алгебраическими урав-
нениями. Запас этих кривых постепенно нарастал. Их свойства
представляли тем больший интерес, что, с одной стороны, эти
кривые находили применение в практике научных исследований,
16 Об этом см. Хоппе [1, стр. 150—151] и указанную там литературу. Об
аналогичных исследованиях ал-Бируни см. М. М. Рожанская [1],
93
а с другой — наиболее простые свойства алгебраических кривых
относительно скоро были исчерпаны, между тем как свойства
неалгебраических кривых еще предстояло изучить. И ученые
XVII в. усердно занимались такими кривыми, определяя, в част-
ности, их квадратуры, длины их дуг и т. п. Однако методы изу-
чения этих кривых были не алгебраическими, что противоречило
общей тенденции эпохи — алгебраизации математики. Из такого
положения было два выхода. Один из них указал Декарт, который,
находясь под сильным влиянием чисто алгебраических представ-
лений, превратил, так сказать, бедность в добродетель, объявив,
что неалгебраические образования не входят в предмет математи-
ки. Другим выходом из этой ситуации, оказавшимся неизмеримо
более целесообразным, явилось расширение области применимо-
сти алгебраических методов за пределы конечных алгебраических
образований, переход к бесконечным выражениям, прежде всего
к степенным рядам.
Идея бесконечного ряда, как и многие идеи анализа, восходит
к древним грекам. И Архимед при квадратуре параболы факти-
чески вычислил сумму конкретной бесконечной геометрической
прогрессии. Отдельные числовые бесконечные ряды нередко встре-
чались в схоластической литературе, например у Суайнсхеда
и Орема в XI столетии, у Томаса в XV столетии 16. К этому же
времени относится введение бесконечных рядов в форме десятич-
ных дробей 17, в форме, которая, как мы увидим несколько далее,
сыграла важную роль в ньютоновских представлениях о беско-
нечных рядах. Довольно общим образом к учению о рядах подо-
шел Менголи 18 в середине XVlI в. и почти совершенно общим
образом Грегори. И все же у предшественников Ньютона не до-
ставало той весьма важной для интегрального исчисления идеи,
что бесконечный ряд может служить аппаратом для выражения
практически любой функциональной зависимости.
§ 4. Дифференцирование
Возникновение операции дифференцирования связано с реше-
нием ряда математических, астрономических, оптических и меха-
нических проблем, появившихся в науке опять-таки в древне-
греческий период ее развития. Этими проблемами были: построе-
ние касательных к кривым линиям, определение максимумов или
минимумов тех или иных процессов, нахождение скоростей дви-
жений. Первые зачатки дифференциальных методов встречаются
у Архимеда при решении задачи о касательной к спирали и в не-
которых экстремальных задачах 19. Проблема максимумов и мини-
мумов при изучении астрономических явлений рассматривалась
См. А. П. Юшкевич [13, стр. 396—397, 400—401].
г7 А. П. Юшкевич [13, стр. 352—356].
18 Бортолотти [2, стр. 98—101]; Лориа [1, стр. 525—526].
1» И. Г. Башмакова [1, 4].
94
вавилонскими астрономами II столетия до н. э., причем уже ими
было установлено, что вблизи точки экстремума функции (зада-
ваемые в виде таблиц) изменяются весьма медленно 20. Несколько
позднее аналогичное замечание сделал Папп, а в средние века
его повторил Орем. Проблему максимумов и минимумов, также
в связи с астрономическими явлениями, в духе вавилонян рас-
сматривали средневековые арабские ученые 21.
Чрезвычайно большую роль в подготовке понятия производ-
ной сыграло введение в механику понятий скорости и ускорения.
Этими понятиями владели ученые XljV столетия 22, но в повседнев-
ный обиход науки они вошли со времени Галилея.
Особенно энергично понятие производной начало исследо-
ваться, как и понятие интеграла, в XVII столетии, когда задачи
на касательные, на скорости и ускорения, на максимумы и мини-
мумы стали одними из самых насущных проблем науки.
В подходе к проблеме касательных наметились три пути, свя-
занные с самим представлением о касательной. Если древние
рассматривали касательную как прямую, имеющую с рассматри-
ваемой кривой только одну общую точку, то в XVII в. сложились
три следующие представления о касательной: во-первых, каса-
тельная выступала как предельное положение секущей, когда точки
пересечения сливаются в одну; во-вторых, сами кривые мыслились
многоугольниками с бесконечно большим числом бесконечно ма-
лых сторон, а касательная при этом выступала как конечное про-
должение одной из этих бесконечно малых сторон; наконец, кри-
вые считались порождаемыми движением точки, и в этом случае
касательная в точке кривой задавалась направлением скорости
в этой точке.
Если говорить только об основных представителях этих трех
подходов к понятию касательной, то в качестве представителей
первого можно назвать Декарта и Ферма, второго — Барроу,
третьего — Торричелли и Роберваля 23. Усилиями названных,
а также ряда других ученых меньшего масштаба, теория диф-
ференцирования была развита настолько, что нередко само со-
здание дифференциального исчисления приписывалось исключи-
тельно некоторым из них. Особенно в этом отношении повезло
Ферма. Мы приведем лишь одно высказывание на этот счет.
«Этот великий геометр [т. е. Ферма — ф. М.] обозначает характе-
ристикой е приращение абсциссы, и, принимая во внимание толь-
ко первую степень этого приращения, он определяет точно, как
это делается при помощи дифференциального исчисления, под-
касательные кривых, точки их перегиба, maxima и minima их
20 Хоппе [1, стр. 150—151].
21 jyj. jyj Рожянскяя [1]
22 А. П. Юшкевич [13, стр. 396—403], Бойер [1, стр. 81—84].
23 Сказанное не означает, что каждый из этих ученых строго придерживал-
ся только одного подхода к касательной, который нами связан с его име-
нем. В той или иной мере они пользовались и другими методами.
95
ордийат, и все это вообще для рациональных функций. Из данного
им красивого решения задачи преломления света, помещенного
в сборнике писем Декарта, видно, что он умел распространять
свой метод и на иррациональные функции, избавляясь от ирра-
циональностей возведением радикалов в степень. Поэтому Фер-
мата следует считать истинным изобретателем дифференциаль-
ного исчисления». Эти слова принадлежат Лапласу [1, стр. 51—52],
но кроме него аналогичные соображения высказывали Даламбер,
Лагранж, Таннери и др.24
В известной мере отнесение создания дифференциального ис-
числения к эпохе, предшествующей Ньютону и Лейбницу, оправ-
дывается тем, что такие ученые, как Ферма, Валлис, Роберваль,
Грегори, Барроу и т. д. по существу умели решать все задачи
того времени на дифференцирование и фактически решали их без
особого труда 25: при этом они пользовались основными правила-
ми дифференциального исчисления, правда, не выделяя их особо.
Как мы отмечали ранее, Ферма, Торричелли, а особенно Грегори
и Барроу в большей или меньшей мере осознали взаимообратный
характер операций дифференцирования и интегрирования. Им
недоставало, пожалуй, только нескольких существенных идей:
рассмотрения дифференцирования как первичной по отношению
к интегрированию операции и придания алгоритмичности спосо-
бам нахождения производных. Вместе с тем задачи на дифференци-
рование обычно рассматривались тогда скорее как прикладные
задачи; их совокупность была быть может недостаточной, чтобы
кто-либо из названных ученых осмелился утверждать, что одна
только эта операция может претендовать на право дать повод
для построения самостоятельной ветви математики.
Реализация последних идей выпала на долю тех, кого назвали
впоследствии творцами дифференциального (и интегрального)
исчисления — Ньютона и Лейбница, к рассмотрению творчества
которых в области интегрального исчисления мы и переходим.
§ 5. Интегрирование у Ньютона и Лейбница
Научное наследие Ньютона и Лейбница в целом, а также и в
интересующем нас вопросе — в создании интегрального исчисле-
ния — рассматривалось в столь большом числе работ, что невоз-
можно учесть все соображения, высказанные в них. Мы поэтому
ограничимся привлечением лишь нескольких работ, в которых рас-
смотрен вопрос о создании Ньютоном и Лейбницем интегрального
исчисления, и которые, на наш взгляд, дают достаточно правиль-
ное освещение действительного вклада этих ученых.
24 По этому вопросу см. Шаль [1, стр. 65—67], а также Кэджори [1].
26 Укажем, например, что Роберваль при помощи своего метода дифферен-
цирования определил касательные к таким кривым, как парабола, гипер-
бола, эллипс, конхоида Никомеда, спираль Архимеда, улиткообразная
кривая Паскаля, квадратрисса Динострата, циссоида Диоклеса и др.
96
В первой главе этой книги и на предшествующих страницах
настоящей главы мы старались показать, что к началу второй
половины XVII в. сложились необходимые и достаточные условия
для создания анализа бесконечно малых. Достаточность была
обеспечена той длительной его историей, которую мы проследили
выше; необходимость обусловливалась как внутренними потреб-
ностями развития самой математики, так и особенно потреб-
ностями развивавшейся тогда механики, земной и небесной, в
свою очередь выраставшей в ответ на запросы общественно-эко-
номической жизни. Во второй половине XVII столетия эти усло-
вия созрели настолько, что порой кажется, что если бы даже в ту
пору на научную сцену не вступили Ньютон и Лейбниц, тем не
менее математический анализ был бы создан и притом примерно
в то же самое время. Действительно, выше мы видели, что Бар-
роу и Грегори настолько близко подошли к нему, что отдельные
исследователи приписывают им само создание анализа; сам факт
почти одновременного выступления Ньютона и Лейбница по этому
вопросу тоже является доводом в пользу такого представления.
Из сказанного в последнем абзаце не следует, что создание
анализа после этой подготовительной работы являлось не очень
сложным делом. Напротив, предстояло выполнить огромную ра-
боту по построению грандиозного здания новой математической
дисциплины, в которой приняли участие, наряду с Ньютоном и
Лейбницем, целая плеяда блестящих математиков. Ньютон и
Лейбниц, особенно это относится к последнему, по своей истори-
ческой роли были скорее архитекторами величественного соору-
жения, набросавшими его более или менее явные контуры.
Ньютон начал свои исследования по анализу раньше Лейбни-
ца. От середины 60-х годов сохранилось несколько заметок, наи-
более интересной из которых является «Анализ с помощью урав-
нений с бесконечным числом членов» (Ньютон [1]). Эта небольшая *
как бы сказали теперь, статья написана им в 1665—1666 гг., но
оставалась не опубликованной в нашем смысле до 1711 г., когда
анализ бесконечно малых стал уже достаточно сложившейся мате-
матической дисциплиной. Если бы так обстояло дело с какой-либо
работой более позднего периода, когда была налажена более или
менее регулярная публикация научных сообщений, то указанная
статья Ньютона могла не приниматься во внимание в общеистори-
ческом плане, а представляла бы интерес только при рассмотрении
формирования представлений Ньютона как математика. Однако до
1665 г. вообще не существовало научных журналов, в которых
можно было бы публиковать статьи типа ньютоновского «Анали-
за», поэтому подходить к этой работе с оценками, пригодными для
более позднего периода, значит совершать грубую историко-на-
учную ошибку. До того, как была налажена систематическая
публикация научных сообщений, существовали особые формы об-
щения между учеными, и, только исходя из них, можно правильно
оценить историческую роль работ того периода. Такими формами
4 Ф. А. Медведев
97
был обмен письмами между учеными, передача рукописи опреде-
ленному лицу, которое оповещало о ней других ученых и т. п.
Как же обстояло дело с этой ньютоновской работой?
До 1669 г. Ньютон, видимо, не показывал ее никому. В июле
1669 г. он передал ее вместе с некоторыми другими материалами
Барроу. Последний ознакомил с ними Броункера, тогда президен-
та Королевского общества, и Коллинса. Коллинс, же в это время
как раз являлся в Англии лицом, осуществлявшем функции по-
средника между учеными, играя там примерно ту же роль, что и
Мерсенн несколько ранее во Франции, и передача ему рукописи
была в некотором смысле эквивалентом современной публикации.
Коллинс переписал ее и в 1670 г. сообщил о ней Грегори и другим
известным математикам (Тернболл [1, стр. 20]; Бюффон [1, стр.
XIV]). Исходя из сказанного, можно считать, что 1669 год явля-
ется годом обнародования работы Ньютона [1] и далее именно этим
годом мы будем ее датировать во временной последовательности
создания интегрального исчисления.
Эта работа интересна тем, что она связывает ^предшествующий
анализ бесконечно малых с ньютоно-лейбницевским анализом,
является как бы переходным мостом от первого ко второму.
Основная задача — вычисление площадей. Основной метод —
разложение функций в бесконечные ряды. Сам этот метод не слиш-
ком нов. Новым, однако, является рассмотрение разложения
функций в степенные ряды как универсального средства, позволя-
ющего решать вопрос о площадях кривых любого типа: заданных
простым алгебраическим выражением вида у = f (х), причем / (х)
может быть и рациональной функцией и содержать иррациональ-
ные выражения; заданных в неявном виде посредством алгебраи-
ческого соотношения между двумя или более переменными типа
/ (х, у) = 0; наконец, произвольных механических кривых. Нью-
тон прямо утверждает, что он не знает «случаев такого рода, на
которые не распространяется этот метод в его различных выраже-
ниях» [1, стр. 21]. Действительно, если известно разложение
функции в степенной ряд, то площадь получается почленным ин-
тегрированием этого разложения. Именно так поступает Ньютон
при вычислении площадей.
Но для этого надо уметь разлагать функции в степенные ряды.
По крайней мере два способа были к тому времени известны:
разложение при помощи деления и при помощи извлечения кор-
ня. Ньютон иллюстрирует их рядом примеров. Помимо них он
предлагает новый способ для того случая, когда кривая задана не-
явным уравнением— известный ньютоновский метод нахождения
корня уравнения 26. Так, решение интеграционных проблем при-
водит к существенному успеху в алгебре. Правда, этим последним
методом владел еще Виет 27, но заслугой Ньютона является то, что
26 О методе Ньютона см., например, Д. Д. Мордухай-Болтовской [3, стр.
275—276].
27 Цейтен [2, стр. 200].
указанный метод стал общим достоянием математиков. Получает
Ньютон ряды и при помощи теоремы о биноме в случае целых по-
ложительных показателей, не формулируя ее явно, применяет
обращение рядов и почленное интегрирование. Каждый из указан-
ных приемов в той или иной мере был известен и до Ньютона, но
примененные вместе, расширенные и углубленные благодаря обще-
му алгебраическому подходу, они позволяют связать с именем
Ньютона «принципиальное введение в математику
бесконечных рядов» (Вилейтнер [4, стр. 118]). Таким
образом, интеграционные проблемы и в этом случае послужили
делу прогресса анализа в целом.
Применяемые Ньютоном интеграционные приемы также не но-
вы. Три сформулированных им общих правила: вычисления ин-
теграла ^cxndx, аддитивность интеграла от функций у = схп и
указание на необходимость преобразования алгебраического вы-
ражения функции к виду, позволяющему применять первые два
правила — были известны. Но опять-таки в сочетании с широким
алгебраическим подходом они получают новую качественную
окраску. Благодаря тому, что в распоряжении Ньютона имеется
общее выражение функций в виде рядов, частные приемы интегри-
рования перерастают по существу в интегральное исчисление.
И это исчисление применяется не только к квадратурам кривых.
Ньютон подчеркивает, что все задачи о длине кривых, об объемах
и поверхностях тел, о положениях центров тяжести могут быть
сведены в конце концов к вопросу о нахождении площади, ограни-
ченной плоской кривой [1, стр. 16]. Так что интегрирование вы-
растает в достаточно общий самостоятельный раздел математики.
При этом интегрирование оказывается не только средством изу-
чения известных функций, но и средством получения новых транс-
цедентных функций. Так, например, разлагая (1 — х2)'1^ в сте-
пенной ряд, Ньютон получает при помощи почленного интегри-
рования выражение в виде ряда функции arcsin х, и это не явля-
ется единичным результатом, так что он, вероятно, понимал, что
интегрирование по крайней мере может привести к новым тран-
сцедентным функциям, хотя такого вывода в общем виде не сделал.
В статье [1] Ньютон еще не сформулировал общих выводов о
взаимосвязи интегрирования и дифференцирования и о первич-
ности второй операции по отношению к первой. Тем не менее и
здесь эти выводы выступают достаточно отчетливо. При нахожде-
нии разложения arcsin х Ньютон сначала показывает, что произ-
водная функции arcsin х равна 1//1 — ж2, и лишь после этого
разлагает 1/]Л 1 — ж2 в степенной ряд, который после почленного
интегрирования дает ему разложение arcsin х [1, стр. 16—17].
Так что уже в этом примере оба эти вывода налицо. Еще более от-
четливо’они выступают при доказательстве основного предложе-
а
ния, что ^cxndx = can+1/(n1) [1, стр. 22—23]. Сущность дока-
о
99 4*
зательства заключается в показе, что производная функции у —
= e#n+1/(n + 1) равна схп.
Говоря об «Анализе с помощью уравнений с бесконечным чис-
лом членов», мы все время пользовались словом «функция». На са-
мом деле этот термин Ньютон не употребляет. Но это понятие
здесь явно присутствует. Для его выражения Ньютон пользуется
словом «ордината», понимая под этим ординату кривой, выражен-
ную при помощи конечного алгебраического выражения или беско-
нечного степенного ряда через абсциссу этой кривой. В тех же
случаях, когда кривая задана неявным уравнением, он стремится
найти ее явное задание.
Таким образом, если здесь и нет интегрального исчисления,
основанного на дифференцировании, то вполне можно говорить об
интегральном исчислении, базирующемся на разложении функций
в ряды. Перед нами законченный алгоритм, позволяющий отнести
заданной функции вполне определенное число; это число не всегда
можно вычислить вполне точно, тем не менее, оно может быть по-
лучено с желаемой степенью точности для достаточно широкого
класса функций. Значение этого алгоритма вырастает тем более,
что он применим не только для нахождения площадей, но и целого
ряда других величин.
Значительно более зрелым произведением Ньютона является
его «Метод флюксий и бесконечных рядов» [2]. О времени его на-
писания мнения историков математики расходятся. Одни, напри-
мер Бюффон [1, стр. 111], датируют выполнение этой работы
1664—1671 гг., другие, например Вилейтнер [4, стр. 121], указы-
вают более узкий временной промежуток, а именно 1670—1671 гг.
Мы вместе с Уайтсайдом (Ньютон [8, стр. XI]) полагаем, что вто-
рая датировка более соответствует действительности, так как в
«Методе флюксий» налицо принципиально новые моменты по срав-
нению с «Анализом» и переход к ним вряд ли совместим с одновре-
менным написанием обеих указанных работ.
«Метод флюксий и бесконечных рядов» опубликован был только
в 1736 г. По отношению к этой работе мы не можем даже сказать,
что до 1736 г. она была опубликована в том же смысле, в каком
мы ранее считали опубликованным «Анализ». Тем не менее, можно
все же утверждать, что дата публикации «Метода флюксий» мало
связана с фактическим распространением содержавшихся там идей.
Они получили довольно широкую известность задолго до 1736 г.
как из писем Ньютона и других ученых того времени, так и из на-
печатанных трудов математиков этого периода 28.
Первая часть «Метода флюксий» [2, стр. 25—44] посвящена
способам получения бесконечных рядов. Здесь нет чего-либо прин-
ципиально нового по сравнению с предыдущим сочинением; можно
только заметить, что если ранее Ньютон лишь косвенно указывал
28 Об этом см. Д. Д. Мордухай-Болтовской [2, стр. VII—VIII], а также
Уайтсайд в кн.: Ньютон [8, стр. 10—11].
100
на аналогию между бесконечными рядами и бесконечными деся-
тичными дробями, то теперь он подчеркивает ее: «... учение о бук-
венных выражениях находится в таком же отношении к алгебре,
как учение о десятичных дробях к обыкновенной арифметике.
Поэтому тот, кто знаком с десятичной и буквенной арифметикой и
кто учитывает аналогию, существующую между десятичными чис-
лами и бесконечно продолжающимися алгебраическими выраже-
ниями, сможет тогда легко изучить сложение, вычитание, деле-
ние, умножение и извлечение корней... И так же, как десятич-
ные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них
обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени
свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с по-
следними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу,
что всякие сложные ^выражения... можно с их помощью привести
к роду простых количеств...» [2, стр. 25—26]. Эта актуализация
бесконечных выражений, подчеркивание общности, как бы мы
сказали теперь, суммы бесконечного ряда и конечного выражения,
умолчание о специфике таких бесконечных выражений были по-
лезными на протяжении большого промежутка развития анализа.
Начиная со второго отдела «Метода флюксий» ([2, стр. 45]),
мы встречаемся с принципиальным отличием данной работы не
только от предшествующей ньютоновской работы, но и вообще от
всех предшествующих работ по анализу. Суть этого отличия тако-
ва. В «Анализе» на переднем плане стояла проблема квадратур; о
связи ее с дифференцированием можно было лишь догадываться по
отдельным местам. Напротив, в «Методе флюксий» первичной яв-
ляется операция дифференцирования, а интегрирование рассмат-
ривается как обратная операция [2, стр. 45, 51]. При этом явно
сказывается та механическая тенденция дифференциального под-
хода к понятию движения, о которой мы говорили в конце § 1 на-
стоящей главы. Основные операции анализа — дифференцирова-
ние и интегрирование — выступают как решение двух основных
проблем механики:
«I. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент
времени) дана; требуется найти скорость движения в предложен-
ное время.
II. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину
пройденного в предложенное время пути» [2, стр. 45].
И хотя Ньютон тут же стремится истолковать независимую
переменную более абстрактным образом, независимо от времени,
тем не менее язык механики в данной работе — далеко не только
чисто внешнее одеяние. В сам анализ вкладывается механическое
содержание: понятие механического движения и связанные с ним
понятия скорости, пути и т. д. являются не иллюстрациями мате-
матических понятий; напротив, они выступают как самая суть
этих понятий; рассуждения о математических объектах приобре-
тают кинетические характеристики, а отсюда неизбежность под-
хода к определенной форме теории пределов, и притом не в той
101
статической форме, которую ей придал впоследствии Вейерштрасс,
а в той, которая близка к концепции предела у Коши.
Другим обстоятельством, которое мы также хотели бы под-
черкнуть, является следующее. Выше мы говорили, что понятие
функции было одним из старейших и необходимейших понятий ма-
тематики и что в предыдущей работе оно присутствовало у Ньюто-
на. Не мог, разумеется, он обойтись без него и здесь. Казалось бы,
дело обстоит просто. Понятие независимой переменной величины
в форме времени он формулирует явно и даже подчеркивает его аб-
страктный характер [2, стр. 45]. Оставалось сделать еще вроде бы
один небольшой шаг: явно сформулировать понятие функции как
переменной величины, зависящей от этого аргумента. На протяже-
нии всей работы Ньютон многократно совершает этот шаг в много-
численных конкретных случаях. Тем не менее общего перехода он
не делает. И как это не показалось бы странным, такому общему
переходу помешал скорее всего слишком общий подход Ньютона
к рассматривавшимся им проблемам. Если бы Ньютон ограничился
функциями одной переменной, то переход к понятию функции как
зависимости одной переменной величины от другой не представлял
бы труда и он, вероятно, им был бы совершен. Но одной из проб-
лем алгебры того времени была проблема решения неявных урав-
нений, содержащих по крайней мере две переменных величины, а
Ньютон был и алгебраистом; но многие механические зависимости
выступали в форме дифференциальных уравнений для функций не-
скольких переменных, а Ньютон был величайшим механиком;
аналогично обстояло дело с кривыми, поверхностями, телами в
геометрии: традиционной формой их задания было не выражение
их в виде у = f (х) или z = f (х, у), а представление в форме / (я, у) =
= 0, f (х, у, z) = 0 и т. п. И хотя Ньютон все время старается
свести уравнения последнего типа к более простому виду у = f (х),
z = f (х, у), для чего разрабатывает метод решения неявных урав-
нений, широко вводит в практику исследований ряды, тем не ме-
нее сведение подобного типа представляло собой задачу, непосиль-
ную даже для Ньютона. Поэтому он, сводя, когда это возможно,
уравнения f (х, у) = 0 к виду у = f (х), тем не менее центральной
задачей своих исследований считает не изучение зависимостей вида
у = / (х), z = f (х, у), а рассмотрение зависимостей в форме f {х, у) =
= 0, f (х, у, z) = 0 и т. п. Видимо, именно это помешало ему
выделить понятие функции как самостоятельное понятие, как от-
дельный предмет исследования. А это, в свою очередь, наложило
печать на все инфинитезимальные занятия Ньютона, в том числе
и на его занятия по дифференцированию и интегрированию.
Ньютон, как правило, не дифференцирует функции в нашем
смысле. Введя понятие флюенты как некоторой возрастающей
функции абстрактного времени и понятие флюксии как скорости
возрастания флюенты [2, стр. 45], он в качестве первоочередной за-
чи ставит такую: «По данному соотношению между флюентами
феделить соотношение между флюксиями» [2, стр. 46]. Исходная
102
его задача — по заданной длине проходимого пути найти скорость
движения в заданное время,— сформулированная им на предшест-
вующей странице (русского перевода), растворяется в более общей
задаче: по заданному соотношению между независимыми перемен-
ными величинами найти дифференциальное уравнение, связываю-
щее флюксии или скорости изменения этих переменных. Для ре-
шения ее он предлагает правило, которое, говоря современным
языком, состоит в определении производной по t полинома / (х, у) =
= 0, в котором X = ф (t) и у = ф (t) являются функциями от t
[2, стр. 46] 29. То, что это правило сформулировано только по от-
ношению к полиномам, не мешает ему дифференцировать дроби и
радикалы. Он просто избавляется от них путем введения новой
переменной, полагая дробь или радикал равными этой перемен-
ной. После рассмотрения двух простых примеров, в которые не
входят дроби или радикалы, Ньютон пишет: «Если в каком-либо
предложенном уравнении имеются сложные дроби или иррацио-
нальные величины, то я вместо них пишу какие-нибудь буквы и
предполагаю, что они выражают текущие величины, и затем дей-
ствую по вышеуказанному способу. Потом я исключаю введенные
мною буквы, как ты это сейчас увидишь» [2, стр. 47]. Введение
дополнительных переменных не выводит его за рамки той общно-
сти, в которой он сформулировал основную задачу: вместо
уравнения / (х, у) = 0 или / (х, у, z) = 0 и т. п., в котором име-
ются члены в виде дробей или радикалов, приходится соответст-
венно рассматривать уравнения / (х, у, z) = 0 или / (х, у, z, и) = О
и т. п., являющиеся полиномами от большего числа переменных.
Такая общность постановки и решения проблемы позволяет
ему обойтись лишь двумя правилами дифференцирования: (хп)' =
= пх71-1 nd{uv) = vdu udv и не прибегать к правилам дифференци-
рования частного, корня и т. п.; правила дифференцирования
суммы, разности и произведения предполагаются сами собою
разумеющимися и не формулируются отдельно 30.
В такой же общности ставится и обратная проблема: «По дан-
ному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение
между флюентами» [2, стр. 51].
Опять, как и в случае прямой задачи, здесь речь идет не об
интегрировании функций, как это можно было бы предполагать
на основании первоначальной формулировки («скорость движения
дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время
пути») [2, стр. 45], а ставится проблема решения дифференциаль-
ного уравнения общего вида. И только в том очень частном случае,
20 Объяснение см. Д. Д. Мордухай-Болтовской [3, стр. 306—307, прим. 84,
85].
30 Нельзя согласиться с Д. Д. Мордухай-Болтовским, что Ньютон пользу-
ется единственно правилом дифференцирования хп и что у него нет пра-
вила дифференцирования произведения [3, стр. 306]. Напротив, Ньютон
систематически применяет последнее правило, хотя и не формулирует его
явно, а тем более не доказывает.
103
когда это уравнение сводится к виду dyldx — f(x), мы приходим к
тому, что образует предмет нашего изучения. Поскольку мы не
занимаемся вопросами истории дифференциальных уравнений, то
мы не будем рассматривать и ход мысли Ньютона в его общем ви-
де 31. Заметим только, что Ньютон, как правило, находит решение
в виде степенного ряда, и главным образом для этой цели исполь-
зуется им теория рядов, изложенная во вводной части «Метода
флюксий».
После постановки и более или менее общего решения двух ука-
занных проблем относительно дифференциальных уравнений Нью-
тон переходит к различным приложениям: нахождению максиму-
мов и минимумов, касательных, квадратур, точек перегиба и т. п.
[2, стр. 73—166]. И как раз здесь мы находим интересующие нас
моменты.
В проблеме VII [2, стр. 111—112] требуется «найти сколько
угодно кривых, площади которых можно представить с помощью
конечного уравнения», т. е. если задана площадь, ограниченная
кривой, осью абсцисс и переменной ординатой (начальная орди-
ната предполагается равной нулю), то требуется, говоря словами
Ньютона, «по площадям, каковы бы они ни были... определить
ординаты, которым соответствуют эти площади» [2, стр. 112]. Мы
бы сказали теперь, что речь идет о нахождении производной не-
определенного интеграла. Ньютон применяет в этом случае то об-
щее правило дифференцирования, о котором мы говорили выше, и
иллюстрирует это примерами на дифференцирование функций
z = я2, z = я3/а, z = al4r32, z = аРх"1, z = Уа2с2 + с2#2, где z
является значением площади, ах — значением ординаты, соответ-
ствующей этой площади.
В проблеме IX он задается целью «определить площадь какой-
либо заданной кривой» [2, стр. 117] и решает ее, осуществляя не-
определенные интегрирования функций. Неопределенный инте-
грал он находит путем обращения выполненных ранее дифферен-
цирований. В приводимых им примерах он находит интегралы от
х21а, з?1а\ а31х2, аЧх3, У ах. х + я2/а, а + а3/#2, ЗУх — 5/х2 —
— 2)У х и т. п. Несколько более сложные случаи вычисления ин-
тегралов от а2/(Ь + х), 1/(1 + х2), У а2 + х2, У а2 — х2, У х — х2,
У а2 — Ьх — х2 и т. д. Ньютон осуществляет посредством разложе-
ния этих функций в ряды.
Во всех указанных примерах интегрирований функций речь
шла о неопределенных интегралах. Поскольку Ньютон не вводил
константы интегрирования, то мы не могли говорить о теореме,
известной теперь под наименованием теоремы Ньютона — Лейб-
ница. Однако Ньютон в этой же работе решает и задачи на опре-
деление конкретных площадей, ограниченных кривой, осью абс-
81 Об этом см., например, Д. Д. Мордухай-Болтовской [3, стр. 311—318];
А. П. Юшкевич [10, стр. 430—433].
104
цисс и двумя заданными ординатами. Здесь-то у него и появляется
ъ
названная теорема, выражаемая формулой (x)dx = /(&)— / (а).
а
Он формулирует ее следующим образом:
«Так как найденные здесь значения z82 соответствуют площадям,
которые прилегают иногда к конечной части абсциссы АВ, иногда
к части ВН, бесконечно протяженной в направлении к Н, иногда,
в соответствии с различными членами, к обеим таким частям, то
для получения должного значения площади, прилежащей к не-
которой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной
разности значений z, соответствующих частям абсцисс, ограничен-
ным началом и концом площади» [2, стр. 121]. После этого следует
ряд примеров на указанное правило, вплоть до численных рас-
четов.
В «Методе флюксий» имелся и еще один момент, существенно
отличавший эту работу от предшествующей. В «Анализе» Ньютон
занимался лишь интегрированием многочленов; в том же случае,
когда интегрируемая функция содержала дробные или иррацио-
нальные члены, последние разлагались в бесконечные ряды, и
дело опять сводилось к интегрированию функций вида у = ахп и к
счетной аддитивности интеграла от суммы таких функций. То же
самое имело место и в большей части «Метода флюксий». Однако
в заключительной части последней работы ситуация изменяется.
Это изменение Ньютон выражает так:
«До сих пор речь шла о квадратурах кривых, которые выража-
ются уравнениями, состоящими из сложных членов, посредством
их приведения к другим уравнениям, составленным из бесконеч-
ного числа простых членов * 33. Однако квадратура этих кривых
может быть иногда найдена также с помощью конечных уравнений
или же эти кривые иногда можно сравнить с другими кривыми,
площади которых можно считать некоторым образом известными,
каковы, например, конические сечения» [2, стр. 131].
Эта тенденция не была совсем новой в анализе. Мы видели в
предыдущей главе, что у ряда предшественников Ньютона были
выполнены интеграции подобного типа, например, интегрирование
биномальных дифференциалов вида J х2 (а — x)sdx у Менголи, или
же сведение интеграла J x~1dx к логарифмам. Однако такого рода
интеграции еще выполнялись только в отдельных случаях. В при-
веденных же словах Ньютона совершенно отчетливо выражена
общая тенденция находить неопределенные интегралы в конечном
виде в тех случаях, когда это возможно, тенденция, надолго опре-
делившая развитие интегрального исчисления. Непосредственные
продолжатели ньютоновских идей в теории интеграла лишь не-
52 То есть неопределенные интегралы.
33 То есть из членов вида ахп,
105
сколько видоизменили вторую половину программы Ньютона. Они
не довольствовались сведением тех или иных интегралов просто к
сравнению с другими интегралами, принимавшимися за известные,
хотя порой поступали и так. Но они главным образом начали вво-
дить новые функции, вроде In х, arcsin х, ех и т. п.; затем свойства
этих функций были столь детально изучены, что они наряду с ал-
гебраическими получили титул «элементарных функций» и соот-
ветствующие интегралы выражались через них. При таком подходе
вторая часть программы Ньютона в некотором смысле становйлась
такою же, как и первая: нахождение интегралов в конечном виде,
причем такое конечное выражение включало, в частности, и пред-
ставление интегралов через вновь введенные функции.
В качестве реализации своей программы Ньютон составил две
таблицы интегралов, в первой из которых даны интегралы, выра-
жающиеся в конечном виде алгебраически, а во второй — пред-
ставимые через интегралы, принимаемые за известные. В них речь
идет об интегралах от дробно-рациональных функций переменной
z, от радикалов вида |/ е + fzn и 4- fzn 4- gz2n. Некоторые из
помещенных в таблицах Ньютона интегралов были уже известны.
Но составление таких таблиц, фактически содержащих бесконеч-
ное множество интегралов из-за входивших туда параметров, бы-
ло, несомненно, большой его заслугой.
Здесь Ньютон еще не ставит задачи поиска критериев, позво-
ляющих установить, является ли интеграл заданного алгебраи-
ческого дифференциала в свою очередь алгебраическим. Можно,
однако, полагать, что эта задача по крайней мере была уже по-
ставлена им перед собою. Действительно, через несколько лет,
24 октября 1676 г., в письме к Ольденбургу, предназначенном для
передачи Лейбницу, он уже утверждает (Ньютон [4, стр. 238—
239]), что J z° (е 4- fz^y dz имеет конечную и притом алгебраиче-
скую форму для всех 0, ц, %, если выражения (0 4- 1)Л] или
(О 4- 1)/ц 4- являются целыми положительными числами, устанав-
ливая тем самым два главных случая конечной алгебраической ин-
тегрируемости биноминальных дифференциалов.
Не будем останавливаться на интегрированиях, выполненных
Ньютоном в связи с задачами на спрямление кривых, так как он
или сводит такие интегрирования к уже известным, или же прибе-
гает к разложениям в ряды. Отметим лишь, что при спрямлении
дуги гиперболы [2, стр. 165] у него появляется эллиптический ин-
теграл и он говорит, что поскольку этого интеграла нет в его таб-
лицах, то подынтегральное выражение нужно разлагать и в бес-
конечный ряд.
Если бы Ньютон своевременно опубликовал «Метод флюксий»,
то развитие анализа бесконечно малых пошло бы, видимо, несколь-
ко по-иному, если и не по внутреннему содержанию этого развития,
то хотя бы по внешним формам его проявления. Этого, однако, не
случилось. Достоверно неизвестны причины, помешавшие Ньютону
106
своевременно опубликовать названную и другие работы. В связи с
этим можно высказать много более или менее правдоподобных
предположений, остающихся все же лишь предположениями 34 35.
Напрашивается, например, замечание о тактической, если можно
так выразиться, ошибке Ньютона. В вопросах интегрального
исчисления основной задачей считается не интегрирование функ-
ций, а неизмеримо более сложная задача интегрирования диффе-
ренциальных уравнений. Для решения же второй проблемы во
времена Ньютона не было условий. Осознание Ньютоном ее зна-
чимости для развития науки вообще и невозможность сколько-
нибудь общего ее решения, отсутствие даже подхода к нему, за
исключением специальных случаев, а также не оправдавшая себя
переоценка, хотя явно им и не высказанная, но чувствующаяся
при чтении.его работ, особенно «Анализа», роли бесконечных ря-
дов, расположенных по степеням неизвестной, вероятно несколько
ослабили первоначальный энтузиазм Ньютона в отношении ана-
лиза вообще. В 1676 г. в письме к Ольденбургу он писал:
«Впрочем стать вполне универсальным без привлечения неко-
торых дальнейших приемов выводов рядов анализ не может. В са-
мом деле, существуют некоторые проблемы, в которых нельзя по-
лучить ряды посредством деления или извлечения корней, или
решения неявных уравнений.
Однако мне сейчас недосуг рассказывать, как поступать в этих
случаях, а также сообщить о том, что я придумал для приведе-
ния, когда это позволяет природа дела, бесконечных рядов к ко-
нечным Зб. Я кратко пишу об этом потому, что исследования 36
мне надоели до того, что я не занимаюсь ими уже почти пять лет»
(Ньютон, [4, стр. 228]).
К этому добавлялась неудовлетворенность в вопросах обосно-
вания анализа, загруженность работами по механике, физике и
астрономии, где он работал над не менее грандиозными проблема-
ми. Все это, разумеется отвлекло Ньютона от более узкой, с его
точки зрения, задачи интегрирования функций, явно поставленной
им, в значительной мере решенной, но выступавшей перед ним до-
статочно частной, да к тому же довольно не обоснованной. Это
или что другое побудило Ньютона не публиковать свой «Метод флюк-
сий», но исторически дело сложилось так, что при его жизни
данная работа осталась не опубликованной.
Но требование построения анализа настолько назрело, что,
как мы уже говорили, за это дело взялись несколько математиков,
в число которых вскоре включился Лейбниц. Свои исследования
по анализу бесконечно малых он начал в 1763 г. (Вилейтнер [4,
стр. 127]; Гофман [3, стр. 27—29]), т. е. некоторое время спустя
после того, как Ньютон получил свои основные результаты в этой
области и известил о многих из них довольно широкий круг мате-
34 См., например, Цейтен [5, стр. 67]; С. И. Вавилов [1, стр. 420].
35 Видимо, имеется в виду нахождение сумм бесконечных рядов.
36 Имеются в виду, разумеется, исследования по анализу.
107
матиков. Тем не менее большинство историков математики на-
стаивают на самостоятельном характере наиболее важных откры-
тий Лейбница в этой области 37, хотя есть и сторонники взглядов
о заимствовании 38. Учитывая сложность самого вопроса: что
понимать под открытием анализа бесконечно малых? — вопроса,
который историки математики понимают по-разному; принимая во
внимание, что хотя ответ на этот вопрос существен для правиль-
ного понимания хода эволюции понятия интеграла, но он не равно-
значен ответу на вопрос о том, что нужно понимать под открытием
интегрального исчисления, а потому первый ответ имеет для нас
второстепенный интерес, мы не будем говорить далее об открытии
анализа бесконечно малых в целом, а будем вести речь лишь об
открытии интегрального исчисления.
Открытие интегрального исчисления не требовало в XVII в.
введения нового общего понятия. То, что изучали предшественники
и современники Ньютона и Лейбница,— площадь, ограниченную
осью абсцисс, кривой достаточно общего вида и двумя ординатами,
— это понятие сохранилось не только у Ньютона и Лейбница, но и
значительно позднее. Эта площадь играла роль более позднего
понятия интеграла и применялась практически во всех тех слу-
чаях, где сейчас применяется интеграл. Более того, можно с из-
вестным правом утверждать, что геометрическая природа понятия
площади делала ее даже более удобным орудием исследования в
это время вследствие общего преобладания тогда геометрических
методов. Так что под открытием интегрального исчисления
в XVII в. следует понимать не введение нового понятия интеграла
и способов его нахождения, а только открытие новых алгоритмов,
позволяющих находить единообразным способом достаточно ши-
рокий класс квадратур или интегралов, как их стали называть
позднее.
Такими двумя основными алгоритмами явились тогда алгорит-
мы разложений в ряды и нахождение квадратур путем выражения
их при помощи прямой математической операции — дифференци-
рования. Но для реализации последнего нужно было само инте-
грирование сделать особой математической операцией, а также раз-
работать технически удобные средства ее осуществления. Что сде-
лал в этом отношении первоначально Ньютон, мы уже видели,
поэтому обратимся к Лейбницу.
В какой мере Лейбниц знал результаты Ньютона до 1675 г. 39,
достоверно не установлено. Первая публикация Лейбница, содер-
жавшая элементы дифференциального исчисления, относится к
1684 г., когда ему определенно были известны очень многие ре-
зультаты своего соперника. Несомненно, однако, и то, что Лейб-
ниц был большим, хотя и очень своеобразным, математиком. За-
87 См., например, А. П. Юшкевич [5, стр. 162—163]; Флеккенштейн [1,
стр. 19].
88 См., например, Бюффон [1]; Хэтвей [1].
89 К этой дате мы вернемся далее.
108
нявшись вопросами анализа, он после ознакомления с трудами
Григория Сен-Винцента, Паскаля, Гюйгенса, Меркатора, Грегори,
Барроу и др. практически не мог не сделать того, что им сделано,
даже если бы он совсем не знал изысканий Ньютона.
То, что обычно подчеркивается как важное достижение Лейб-
ница — это его символика в анализе. Такое подчеркивание оправ-
дано тем исторически непреложным фактом, что именно она завое-
вала анализ. Еще более существенным фактором была не сама сим-
волика, а создание на ее основе алгоритмов дифференциального
и интегрального исчислений. Основы же символизации Лейбница
и алгоритмичности его исследований в анализе, несомненно, впол-
не независимы от Ньютона.
Не касаясь вопроса об идейных предшественниках Лейбница
в связи с его «всеобщей характеристикой», т. е. системой точно
установленных знаков, при помощи которых в дедуктивных нау-
ках обозначаются простые исходные идеи и над которыми осущест-
вляются преобразования по строго зафиксированным правилам 40,
мы должны, однако, отметить, что свои соображения по этому вопро-
су Лейбниц высказал задолго до того, как он приступил к занятиям
анализом бесконечно малых. Он опубликовал их уже в 1666 г. Его
же символизация и алгоритмизация анализа были лишь частными
конкретизациями этих общих идей 41. И если Ньютон при создании
анализа ставил перед собой задачу построения аппарата для мате-
матизации механики и астрономии и в этом отношении был идейно
выше Лейбница для науки XVIII—XIX вв., то лейбницевская
всеобщая характеристика, с ее частной конкретизацией в анализе,
ближе к представлениям современной математики, в которой по-
нятия символа и алгоритма имеют первостепенное значение, и в
этом отношении Лейбниц оказался идейно выше Ньютона 42, по
крайней мере на сегодняшнем уровне развития математики.
Обратимся, однако, к самим работам Лейбница.
До 1684 г. он ничего не опубликовал по вопросам дифферен-
цирования и интегрирования. Его результаты о них содержались
в черновых записях, обнаруженных только в середине XIX столе-
тия, и отчасти в переписке с учеными XVII в. При рассмотрении
этого периода деятельности Лейбница мы будем пользоваться
главным образом книгами Герхарда [1, стр. 53—72] и Гоф-
мана [3].
После, ознакомления с трудами своих предшественников в об-
ласти анализа, Лейбниц в 1673 г. приступает к самостоятельным
изысканиям. В рукописи, датированной августом этого года, он
ставит задачу нахождения единого метода построения касатель-
40 Об этом см., например, Н. И. Стяжкин [1, стр. 198—206].
41 Это подчеркнул А. П. Юшкевич в выступлении на вечере, посвященном
250-летию со дня смерти Лейбница, состоявшемся в Доме дружбы 1 де-
кабря 1966 г.
42 Это — мысль А. Н. Колмогорова, высказанная в выступлении на вечере
памяти Лейбница.
109
ной, применимого ко всякой кривой (разумеется, слова «всякая
кривая» понимаются в том смысле, как их понимали математики
того времени). Ему удается, опираясь на представление кривой
как многоугольника с бесконечно большим числом сторон и на
принцип пренебрежения членами уравнения, содержащими бес-
конечно малые величины, получить такой общий метод, близкий к
методам Ферма и Барроу. Он убедился в справедливости метода на
примере параболы. Но его не удовлетворяет логическая необосно-
ванность принципа пренебрежения членами с бесконечно малыми
множителями и он ищет другой способ построения касательных
(точнее подкасательных). Уже здесь он высказывает также до-
гадку о связи прямой и обратной задач на касательные и о воз-
можности сведения обратной задачи на касательные к квадра-
турам.
После того как Лейбниц осознал связь обратной задачи на ка-
сательные с квадратурами, он, естественно, заинтересовался по-
следними и с 1674 г. начинает применять для нахождения квадра-
тур обычный тогда метод разложения в ряды. Он не получает но-
вых результатов, точнее получает уже известные. Но в ходе этих
работ он постепенно развивает свою символику анализа, и в связи
с его алгоритмическими идеями исследования по анализу превра-
щаются в производимое по определенным правилам исчисление.
К 1675 г. он уже вводит специальные символы для дифференциала
и интеграла, пока еще в виде x/d для dx и Sy (x/d) для j ydx, а
вместе с тем отчетливо осознает взаимообратность дифференци-
рования и интегрирования. Он вычисляет простейшие неопределен-
ные интегралы, вроде J xdx, § х2 dx, основываясь на том, что диф-
ференцирование подтверждает правильность полученного резуль-
тата; тогда же он замечает, что константу можно выносить за знак
интеграла. Из этих элементарных результатов он делает, однако,
совершенно общий вывод о том, что и вообще производная неопре-
деленного интеграла равна интегрируемой функции, разумеется,
в соответствующей терминологии и обозначениях.
После того как он построил первые элементы своего исчисле-
ния, зная о том, что над аналогичными проблемами работают уче-
ные Англии, он обращается к Ольденбургу с просьбой известить
его о методах, применяющихся им. Ольденбург сообщает ему о
работах англичан и посылает также особое письмо Ньютона от
13 июня 1676 г. В этом письме Ньютон сообщает Лейбницу свои
методы разложений в ряды и применения таких разложений к на-
хождению квадратур F4, стр. 218—233]. В идейном отношении
это письмо очень близко к ньютоновскому «Анализу с помощью
уравнений с бесконечным числом членов», поэтому мы остановимся
лишь на двух моментах.
Для Лейбница, относительно недавно начавшего исследования
по анализу, это явилось откровением. Недаром он писал Оль-
денбургу в связи с указанным письмом Ньютона: «Твои письма
содержат больше и более замечательные вещи по вопросам анали-
110
за, чем многие толстые томы, посвященные им» 43. Особенно важ-
ными для него были некоторые общие замечания по вопросам ин-
тегрирования, в частности, несомненно было полезным замечание
Ньютона, что его методы имеют очень широкий диапазон примене-
ний: в нахождении площадей, длин дуг кривых, объемов и площа-
дей поверхностей тел, их центров тяжести; что эти методы при-
менимы также ко всем механическим кривым [4, стр. 222—223].
Свое замечание Ньютон иллюстрировал рядом достаточно сложных
для того времени примеров.
Лейбница, однако, не удовлетворило указанное письмо Нью-
тона и .он попросил у последнего дальнейших разъяснений. Нью-
тон послал второе письмо, датированное 24 октября 1676 г. [5].
Оно’ в идейном смысле примыкает к «Методу флюксий», с тем, од-
нако, отличием, что одна из главных идей — идея взаимосвязи
дифференцирования и интегрирования — была зашифрована в ви-
де перестановки букв. Это было уже секретом полишинеля, так
как не говоря уже о том, что она была явно высказана в опубли-
кованных работах Грегори и Барроу, ею владел и Лейбниц. Что
же касается фактического содержания письма, то оно могло суще-
ственно обогатить Лейбница. Упомянем только, что здесь Ньютон
формулирует свою биномиальную теорему, устанавливает при-
знак интегрирования в конечном виде биномиальных дифферен-
циалов, приводит многочисленные примеры на вычисление до-
вольно сложных интегралов. Остановимся несколько подробнее
только на одном примере из того, что было сообщено Лейбницу в
этом письме, хотя и не относящемся непосредственно к инте-
гральному исчислению, но тесно с ним связанному. Для последую-
щего развития анализа важно было выделение понятия функции
как аналитического выражения, а именно с таким представлением
этого понятия мы встречаемся в рассматриваемом письме. Ко-
нечно, здесь нет слова «функция» и термина «аналитическое выра-
жение». Тем не менее их содержание налицо. Действительно, если
мы примем во внимание, что слово «функция» равнозначно с нью-
тоновским словом «ордината», то сразу же можем увидеть, на-
сколько широко и плодотворно пользуется Ньютон понятием
функции как аналитическим выражением и притом совершенно
сознательно. Это имело место и в рассмотренных ранее его работах
[1, 2], и мы отчасти касались этого. В письме же к Лейбницу мы
встречаем прямое утверждение, что в интегрировании важно по-
нятие функции как аналитического выражения, что рассмотрение
функций в виде геометрических кривых не может служить в более
сложных случаях. После многочисленных примеров функций, за-
данных в виде аналитических выражений, и их интегралов он пи-
сал: «Я никак не мог, конечно, получить этих общих результатов,
прежде чем не отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто
43 Цитата дана по русскому переводу отрывка из ответа Лейбница, помещен-
ного в кн.: Исаак Ньютон. Математические работы. М.— Л., ОНТИ,
1937, стр. 231; см. также Гофман [3, стр. 152].
Ш
к исследованию ординат» (Ньютон [5, стр. 243]). А так как когда он
говорит об ординате, то подразумевает функцию, заданную в виде
аналитического выражения какой-либо алгебраической формулой
или бесконечным степенным рядом, то в приведенных словах на-
лицо идея необходимости перехода в интегральном исчислении от
рассмотрения геометрических объектов — кривых — к аналити-
ческим объектам — функциям. Так в интегральном исчислении
возникает новый самостоятельный объект математического иссле-
дования — понятие функции. Вместе с тем уже налицо и методы
изучения этого объекта — разложение в степенные ряды, диффе-
ренцирование и интегрирование.
Это письмо показало Лейбницу, что Ньютон ушел значительно
дальше его в вопросах анализа, и возможно это обстоятельство
послужило одной из причин того, что Лейбниц долго ничего не пуб-
ликовал по дифференциальному и интегральному исчислениям 44.
Первой опубликованной работой Лейбница по этим вопросам
явилась его статья «Новый метод максимумов и минимумов, а так-
же касательных, для которого не служат препятствием ни дробные,
ни иррациональные величины, и особенный для этого род исчисле-
ния» [1], появившаяся в 1684 г. Здесь он ввел определение диф-
ференциала, предложил для него обозначение и сообщил без до-
казательства правила дифференцирования суммы, разности, про-
изведения, частного и степени. Эти правила не были чем-то новым
в математике, ими более или менее осознанно пользовались все те,
кто занимался тогда проблемами касательных, максимумов и
минимумов и т. п. Тем не менее указанная заметка Лейбница до-
вольно долго оставалась не понятой. Ее не сразу осознали не
только представители старшего поколения, вроде Гюйгенса —
сторонника классических способов рассуждений, к тому же обла-
давшего своим методом построения касательных и изучения мак-
симумов и минимумов 45,— но и выразители новых сил в лице Яко-
ва Бернулли, которому понадобилось несколько лет самостоятель-
ных размышлений, чтобы понять смысл этой работы (Флеккенш-
тейн [2, стр. 3—4]) 46. Причину такого положения с рассматривае-
мой лейбницевской работой нередко видят в новизне его алгорит-
ма. С этим нельзя не согласиться, и тому не противоречит, что
сформулированные правила дифференцирования не были новыми.
Новым было то, «что они выставлены Лейбницем в качестве общего
исходного пункта для всех инфинитезимальных исследований,...
что связь их с символикой делает их основой исчисления,
44 Герхард [1, стр. 67—72] полагает, что причиной длительного молчания
Лейбница были опасения Лейбница, что претензии на открытие анализа
предъявит Чирнхаузен.
46 О методе Гюйгенса см. И. Н. Веселовский [3]; о его непонимании работы
Лейбница см. Бертран [1, стр. 467].
46 Небезынтересно, что Я. Бернулли обратился в 1687 г. к Лейбницу с пись-
мом, в котором просил разъяснить содержание указанной работы. Лейб-
ниц ответил на это письмо только в 1690 г., когда Бернулли уже самостоя-
тельно овладел методом Лейбница (Флеккенштейн [2, стр. 5]).
112
с помощью которого можно производить разнообразные инфини-
тезимальные исследования таким же образом, как исследования
анализа конечной величины с помощью буквенного исчисления»
(Цейтен [5, стр. 409]).
Но непонимание лейбницевской работы проистекало и из того,
что она написана была очень сжато, к тому же содержала значи-
тельное число опечаток и ошибок, допущенных самим Лейбни-
цем, что вообще в какой-то мере характерно для многих его
работ.
Через два года Лейбниц [7] публично сообщает свои первые
сведения, относящиеся к интегральному исчислению. Здесь очень
кратко указывается, что интегрирование (или, по терминологии
Лейбница, суммирование) есть операция, обратная дифференциро-
ванию, и на основе их обратной зависимости производятся неко-
торые простые интегрирования, уже известные к тому времени.
Здесь для интеграла предлагается знак S, являвшийся сокраще-
нием слова «сумма». Здесь же, наконец, устанавливается в общем
виде восходящее к Декарту различение между алгебраическими и
трансцедентными кривыми и показывается, что его исчисление
применимо также к последним.
Ранее мы говорили, что к алгоритмам исчисления бесконечно
малых Лейбниц пришел еще в 1675 г. Но даже в публикации 1686 г.
не содержалось всего того, что он достиг в новой науке. В остав-
шихся от него неопубликованных материалах имеются сущест-
венные факты, относящиеся к интегрированию, в частности важный
метод интегрирования по частям (Цейтен [5, стр. 400]; Герхард [1,
стр. 154]).
Интегрирование по частям, выражаемое формулой
udv = uv — \ vdu,
в геометрической форме было известно предшественникам Лейб-
ница, в особенности Паскалю, труды которого Лейбниц изучал
весьма тщательно. Однако выражение этого приема интегрирова-
ния в аналитической форме, а особенно его логическое оправда-
ние, стало возможным лишь после обнаружения факта взаимооб-
ратности операций дифференцирования и интегрирования и после
четкой формулировки правила дифференцирования произведения
двух функций: d (uv) = udv -4- vdu. И то и другое было у Лейбни-
ца, поэтому ему достаточно было сопоставить эти два обстоятель-
ства, чтобы получить названную формулу, что он и сделал в одной
из своих рукописей (Герхард [1, стр. 154]). Правда, в этой руко-
писи он лишь отметил, что поскольку d (uv) = udv -f- vdu, то
uv = J udv + J vdu, и не указал, что это обстоятельство можно
использовать для вычисления интеграла С udv = uv — J vdu, как
это стали делать впоследствии, но, несомненно, корни данного вы-
числительного приема содержались в приведенном замечании
Лейбница.
ИЗ
Теперь мы временно покинем Лейбница, чтобы опять обратить-
ся к Ньютону.
Если до сих пор мы рассматривали или совсем к этому времени
не опубликованные работы Ньютона или опубликованные в старом
смысле, т. е. оформленные в виде письменного сообщения посред-
нику между математиками, то теперь речь будет идти о труде
Ньютона не только напечатанном, но и получившем широкое рас-
пространение и всеобщее признание, а именно, о его знаменитых
«Математических началах натуральной философии» [6].
Надо сказать, что «Началам» Ньютона не повезло в истории
математики. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
в серьезных «Очерках по истории математики» Бурбаки [1] они
практически не упоминаются; что в «Кратком очерке истории ма-
тематики» Стройка им отведено лишь несколько строк [1, стр. 128],
за которыми почти сразу же последовали критические замечания
(Стройк [1, стр. 129—130]); что в солидной «Истории математики
от Декарта до середины XIX столетия» Вилейтнера ньютонов-
ские «Начала» хотя и упоминаются несколько раз (Вилейтнер [4,
стр. 124, 200, 207, 236, 266]), но по этим упоминаниям трудно
составить сколько-нибудь отчетливое представление об их мате-
матическом содержании. Более серьезно отнесся к «Началам»
Цейтен, отведя им целый параграф [5, стр. 372—388].
Сказанное не означает, что историки математики вообще мало
касались «Начал» Ньютона. По отдельным вопросам имеется
довольно много работ, особенно по ньютоновской теории преде-
лов; в упомянутом параграфе книги Цейтена значительное внима-
ние уделено описанию механического содержания «Начал» и реше-
ния дифференциальных уравнений и т. д. Тем не менее ни одна из
этих работ, ни все они в совокупности не дают цельного описания
математического содержания этого величайшего творения челове-
ческого гения, хотя оно доступно почти каждому историку ма-
тематики (имеются переводы «Начал» на английский, француз-
ский, русский и другие языки).
Здесь не место заниматься математическим содержанием «На-
чал» в целом. Мы преследуем значительно более скромную цель —
выявить то, что в них имеется по понятию интеграла и по инте-
гральному исчислению, да и то не во всем объеме, так как это по-
требовало бы очень много места. И все же нельзя не сделать не-
сколько общих замечаний.
«Начала» Ньютона — это прежде всего трактат по механике,
земной и небесной. Математика в нем тоже занимает центральное
положение, но тем не менее подчиненное. Впрочем математизация
науки, о которой мы говорили выше, достигла здесь таких вершин,
что в тесном переплетении механических и математических пред-
ставлений часто трудно отделить математическое содержание тех
или иных рассуждений от их механического смысла.
Не следует думать, что Ньютон к создаваемой им механике
применял какой-то готовый аппарат математики. Такого аппарата
Н4
тогда в йауке не было (хотя имелись все предпосылки для его по-
строения), и Ньютону приходилось вести параллельную работу:
развивать соответствующие механические соображения и разраба-
тывать необходимые для этой цели математические предложения.
Поэтому в его изложении на протяжении всей книги механика че-
редуется с математикой. Но, как мы сказали, математике все же
отводится второстепенная роль; математические идеи вводятся
тогда и постольку, когда и поскольку они нужны для развития
рассматриваемого вывода механики.
Ньютона нередко упрекают за то, что он изложил свои резуль-
таты не пользуясь теми методами, которыми он их получил. Упрек
более чем странный! Это все равно, как если бы мы упрекали Архи-
меда в том, что он изложил свои работы, опираясь на метод исчер-
пывания, а не на механический метод, при помощи которого фак-
тически были получены его основные результаты. Это все равно,
как если бы мы упрекали математика, пришедшего к тому или
иному предложению индуктивным путем, за то, что он изложил это
предложение в строго дедуктивной форме: законченное изложение
математических результатов, как правило, отлично от способов их
получения. Это, несомненно, имело место и в данном случае. Мы
практически совсем не знаем, как Ньютон пришел к тем или иным
своим выводам, за исключением отдельных его указаний. Но зато
мы знаем, в каком виде он преподнес их читателю. Форма такого
преподнесения была обусловлена теми историческими обстоятель-
ствами, которые имелись налицо в эпоху, в которую писалась
эта книга. И можно определенно утверждать, что «Начала» Ньюто-
на написаны так, как они должны были быть написаны в 1687 г.
Доказательство этого утверждения во всем его объеме потребова-
ло бы самостоятельной работы. Мы ограничимся лишь следующими
замечаниями.
В качестве конкретизации только что указанного упрека не-
редко утверждается, что свои механические результаты в «Нача-
лах» Ньютон получил при помощи средств анализа, но изложил
их на геометрическом языке. Но дело-то в том, что анализа в
том объеме, каким обладал Ньютон, было совершенно недоста-
точно для его механических предложений. Тем более это относится
к тому объему анализа, каким владел к тому времени Лейбниц,
и еще более к тому запасу аналитических методов, какие были
опубликованы ко времени появления «Начал». Проиллюстрируем
это некоторыми примерами.
Для доказательства многих механических предложений Нью-
тону требовались понятия логарифмической и показательной
функций, умение интегрировать их (например, предложение II вто-
рой книги, стр. 311—313, предложение IV той же книги, стр.
317—320 и т. д.). И Ньютон представляет показательную функ-
цию в виде абсциссы или ординаты точки гиперболы, которая за-
висит от площади, ограниченной этой гиперболой и ее абсциссой,
а логарифмическую функцию — в виде зависимости ее абсцисс от
115
пЛощадй некоторой равнобочной гиперболы. Если Ньютой хоть в
какой-то мере желал оставаться понятым его современниками, то
иначе он поступать не мог. Да и нельзя требовать от него самого,
чтобы он, так сказать, перепрыгнул через свою голову, ибо в дан-
ном случае он иначе мыслить не мог: ведь И. Бернулли еще не вводил
указанных функций в их аналитической оболочке, не было еще
произнесено самого слова «интеграл» и его заменял тогдашний
эквивалент его — площадь кривой.
Совершенно неверно часто встречающееся утверждение, что
«Начала» Ньютона написаны в стиле древнегреческих математи-
ков 47. Мы присоединяемся в этом к мнению В. И. Антроповой [5,
стр. 206] и быть может идем дальше. Ведь один факт, что метод
исчерпывания древних, где он был бы необходимым в ньютонов-
ских рассуждениях (а он требовался во многих важных местах),
всюду заменен ньютоновским методом пределов, достоверно пока-
зывает, насколько далеко отстоят ход мыслей и способ изложения
Ньютона от античных образцов. И неверно, что понятие предела
у Ньютона имело такой вид, «что применять его было трудно»
(Стройк [1, стр. 129]): он весьма успешно пользовался им. Мы от-
выкли от геометрического мышления того времени, но тогда-то
это было нормой, и естественно, что Ньютон формулировал и
применял это понятие в его геометрической оболочке и для того,
чтобы быть понятным современникам, и потому, что какого-либо
намека на аналитическое выражение этого понятия тогда не было.
Какой же это далее «стиль древнегреческой математики», если
Ньютон самым общим образом формулирует свою биноминаль-
ную теорему, специально подчеркивая, что она справедлива для
любых действительных чисел 48 [6, стр. 193].
Или еще пример. В лемме XXII отдела IV первой книги Нью-
тон рассматривает преобразование геометрических фигур, которые
мы можем задать теперь формулами х = аЫх^ у = by-Jx^. Ему
нужно показать, что такое преобразование не меняет порядка
кривой. Рассуждает он при этом не в древнегреческом стиле, а в
манере аналитической геометрии XVII в. Суть его рассуждения
в этой лемме состоит в том, что при данном преобразовании степень
аналитического уравнения кривой не изменяется [6, стр. 133].
Если к сказанному добавить использование Ньютоном беско-
нечных рядов для решения дифференциальных уравнений, постоян-
47 См., например, Фирц [1].
48 Быть может здесь целесообразно заметить, что Ньютон, формулируя эту
теорему, называет ее «наш ряд» и считает ее уже известной другим. В свя-
зи с этим А. Н. Крылов в примечаниях к ньютоновским «Началам» (Нью-
тон [6, стр. 193]) делает общий вывод, что Ньютон здесь пользовался из-
вестными ему, но не опубликованными математическими методами. Такой
вывод из слов Ньютона нам представляется неверным. Во-первых, эту
теорему, если и не во всей ее общности, то хотя бы в частных случаях
Ньютон применял еще в «Анализе», который был «опубликован», с точки
зрения ученых XVII в. К тому же, биноминальный ряд был напечатан в
«Алгебре» Валлиса в 1685 г. Так что Ньютон имел все основания называть
этот ряд своим рядом без особых пояснений.
116
ное обращение к произвольным показателям степеней и т. ii., to
от ньютоновского «стиля древнегреческой математики» остается
весьма малое, состоящее главным образом в манере выражений.
Геометричность мышления Ньютона иногда рассматривается
как недостаток его «Начал». Мы пока подчеркивали только то, что
иначе Ньютон не мог поступать просто потому, что он был сыном
своей эпохи. Но в этом есть и другая сторона. Не слишком ли
мы — историки математики — переоцениваем мощь и изящество
аналитических методов? Геометрические методы порой предпочти-
тельнее аналитических. Сам Ньютон дал многочисленные примеры
подобного рода, и при рассмотрении «Начал» этого нельзя не учи-
тывать (ср. Шаль [1, стр. 195—196]).
Ограничиваясь сказанным относительно общего характера
«Начал», перейдем теперь к непосредственно интересующему нас
вопросу о понятии интеграла в этом трактате.
В литературе по теории и истории интеграла нередко высказы-
валось мнение, что Ньютон был сторонником взгляда на определен-
ный интеграл только как на разность значений примитивной, а
Лейбниц подходил к нему только через понятие суммы. В соответ-
ствии с этим две фундаментальные концепции интегрирования —
идея неопределенного интеграла как примитивной и идея опреде-
ленного интеграла как предела приближающих его сумм — назы-
ваются соответственно ньютоновской и лейбницевской. И если
у А. Н. Колмогорова [4, стр. 655] и Сакса [10, стр. 268—269]
последние наименования еще можно истолковать просто как ус-
ловные сокращения для обозначения указанных концепций, то
Н. Н. Лузин идет далее [11, стр. 408—409, сноска 2]:
«Большой принципиальной разницы между обоими авторами,
Ньютоном и Лейбницем, в отношении дифференциального исчис-
ления нет... Но в отношении интегрального исчисления разница
между ними чрезвычайно велика. Ньютон рассматривает инте-
гральное исчисление как „обращение дифференцирования"; для
него, следовательно, интегральное исчисление было по преимуще-
ству исчислением неопределенных интегралов, т. е. исчислением
первообразных...
Точка же зрения Лейбница была совсем иной; для него инте-
грал был стационарной суммой бесконечно большого числа беско-
нечно малых слагаемых, т. е. он рассматривал интегральное исчис-
ление как исчисление определенных интегралов...
В связи со своей точкой зрения, Ньютон все свое внимание
перенес на исчисление неопределенных интегралов, в котором до-
стиг величайшего искусства и глубины; Эйлеру после Ньютона
оставалось почти одно только систематизирование материала».
Категоричность приведенных слов Н. Н. Лузина практически
не изменяется от добавления к ним двух последующих абзацев в
той же сноске, где он говорит, что Ньютону не были чужды пред-
ставления об интеграле как о пределе сумм бесконечно увеличи-
вающегося числа бесконечно умаляющихся слагаемых. Не аргу-
117
мейтйроЁаппые в достаточной мере, они не сглаживают основного
впечатления от приведенных слов, впечатления, что Ньютон был
представителем взгляда на интеграл как па примитивную функцию,
а Лейбниц — представителем той точки зрения, что интеграл яв-
ляется суммой дифференциалов.
Еще дальше пошел Д. Д. Мордухай-Болтовской, утверждая,
что Ньютон вообще не рассматривал интеграл как сумму [2, стр.
IX], «избегал этого суммирования, заменяя его нахождением пер-
вообразной функции» [3, стр. 290].
Рис. И
Такая точка зрения является неправильной как по отноше-
нию к Ньютону, так и по отношению к Лейбницу. И у того, и у
другого оба указанных подхода к понятию интеграла выражены
достаточно прозрачно.
Выше мы уже видели, что взгляд на интегрирование как на
обращение дифференцирования достаточно явно высказан Ньюто-
ном в его «Методе флюксий». Особое развитие такое представле-
ние получило в его работе «Рассуждение о квадратуре кривых»,
к которой мы обратимся несколько позднее. Сейчас же рассмотрим
подход Ньютона к понятию интеграла как к пределу сумм.
Отдел I первой книги «Начал» открывается леммой, утверж-
дающей, говоря на более позднем языке, что если разность двух
переменных величин сколь угодно мала, то пределы таких величин
равны. Опираясь на неё, Ньютон доказывает лемму II: «Если
в какую-либо фигуру АасЕ [рис. 11], ограниченную прямыми Аа
и АЕ и кривою асЕ, вписывать любое число параллелограммов
Ab, Вс, Cd и т. д., имеющих равные основания А В, ВС, CD
и т. д. и стороны ВЪ, Сс, Dd и т. д., параллельные стороне Аа
фигуры, и дополнить параллелограммы аКЫ, bLcm, cMdn и т. д.,
затем, уменьшая ширину этих параллелограммов, увеличивать
их число до бесконечности, то я утверждаю, что в пределе от-
ношения вписанной фигуры AKbLcMdD, описанной AalbmcndoE
и криволинейной AabcdE друг к другу равны единице.
Разность вписанной и описанной фигуры есть сумма паралле-
лограммов KI, Lm, Мп, ..., которая (вследствие равенства всех
оснований) равна прямоугольнику, построенному на одном из
оснований КЪ, и сумме высот Аа, т. е. прямоугольнику ABla.
118
Но этот прямоугольник, так как его ширина АВ уменьшается
бесконечно, может быть сделан менее любой заданной величины.
Следовательно (по лемме I), в пределе фигура вписанная и фигура
описанная и тем паче заключающаяся между ними криволиней-
ная будут между собою равны» (Ньютон [6, стр. 57—58]).
Такой способ подхода к понятию интеграла и метод доказа-
тельства равенства криволинейной площади пределу прямолиней-
ных фигур не являлись нововведением Ньютона. Аппроксимирую-
щие фигуры для пространственного случая имелись еще в «Конои-
дах и сфероидах» Архимеда. Валерио перенес их на плоский слу-
чай (Агостини [1, стр. 139]). Сама лемма II (для более частного
сйучая) имелась в «Геометрии» Кавальери (С. Я. Лурье [2, стр.
68—69]). Почти так же, как и Ньютон, рассуждал Менголи для
случая кривых у = хп и у-= (а — х)г (Агостини [1, стр. 139—
145]). Ньютон только более общ в том отношении, что он рассмат-
ривает не частные случаи конкретных кривых, а произвольную
монотонную кривую, а также более четок в проведении идеи пре-
дельного перехода.
Зато здесь мы вполне отчетливо видим, что Ньютон еще в
1686 г., т. е. в том же году, когда Лейбниц опубликовал свою пер-
вую работу по интегральному исчислению, в которой интегриро-
вание рассматривалось как обращение дифференцирования и
содержались лишь неясные намеки на интеграл как сумму диффе-
ренциалов (эти намеки можно усмотреть в его символике и наиме-
нованиях) совершенно сознательно вводит понятие определенного
интеграла как предела сумм, ставя именно такое понятие основным
в своем изложении.
В приведенной лемме Ньютон отрезок АЕ разбивает на рав-
ные части. Но вслед затем он доказывает лемму III [6, стр. 58],
в которой утверждается, что указанное отношение площадей не
изменится, если отрезки, на которые разбивается АЕ, не равны
между собой, но «все уменьшаются бесконечно». И если мы примем
во внимание, что Ньютон ограничивался непрерывными моно-
тонными* функциями (кривыми), то можем утверждать, что его
аппроксимирующие суммы являются фактически верхними и
нижними суммами Дарбу.
Для сформулированного таким образом понятия определен-
ного интеграла Ньютон далее доказывает лемму IV [6, стр. 58—
59], являющуюся для него основой вычисления интегралов при по-
мощи подстановки; этой леммой он многократно пользуется впос-
- ледствии.
После доказательства еще семи лемм, содержание которых
не относится непосредственно к нашей теме, Ньютон добавляет
поучение относительно метода пределов, один отрывок из кото-
рого, нередко цитировавшийся, мы также** считаем* целесообраз-
ным привести:
«Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими
площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.
119
Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительно-
сти длинных доказательств, основываясь по образцу древних на
приведении к нелепости.
Доказательства делаются более краткими и при помощи спо-
соба неделимых, но так как самое представление неделимых гру-
бовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным,
почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего
к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отноше-
ний; поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства
свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и
способом неделимых, и после того, как его основания доказаны,
мы можем ими пользоваться с еще большей уверенностью. Поэто-
му, если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-
либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если
я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то сле-
дует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые
величины, что это — не суммы и не отношения определенных ко-
нечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих
величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все
приводить к предыдущим леммам».
В приведенных словах содержится указание и на общность
понятия интеграла и намек на равнозначность метода пределов
с методами исчерпывания и неделимых, причем предпочтение от-
дается первому, и достаточно прозрачно выраженная идея (в за-
ключительных словах) основоположенности понятия предела в
анализе.
Последнюю обычно связывают с именем Коши. Это отчасти
оправдано тем, что последний действительно сделал понятие пре-
дела центральным понятием анализа; для него уже не существова-
ло других способов его обоснования, тогда как Ньютон еще ко-
лебался, какой из способов принять. Тем не менее нельзя не от-
дать должного и Ньютону 49.
Основным содержанием ньютоновских «Начал» являются меха-
нические предложения. Причем последние формулировались им в
общем виде. Но такая их формулировка и доказательства этих
предложений требовали применения не определенного интеграла с
фиксированными верхним и нижним пределами, а интеграла с пе-
ременным пределом, т. е. неопределенного интеграла. Именно та-
кой интеграл и применял Ньютон. Однако мы напрасно пытались
бы найти у него отдельное определение этого понятия. Оно у него
слито с понятием интеграла с означенными пределами, только один
из пределов остается не фиксированным.
Общие соображения Ньютона относительно интеграла конкре-
тизируются им в многочисленных частных случаях. Их рассмотре-
ние заняло бы очень много места, поэтому мы ограничимся ска-
4® О понятии предела у Ньютона см. А. П. Юшкевич [1, 4], Н. Н. Лузин
[10], А. Н. Колмогоров [5], Ф. Д. Крамар [1], К. А. Рыбников [1],
120
данным, добавив лишь, что он неоднократно интегрирует не’только
функции, неопределенные интегралы которых являются алге-
браическими функциями, но и те алгебраические функции, интегра-
лы которых представляют собой относительно новые тогда транс-
цедентности, вроде у= т/(а — х), у = а/(к2 + тАс2), у =
= а/(к2 — п2х2), приводящие соответственно к In х, arctg х, arth х и
т. д. Эти интегрирования он осуществляет при решении общих
механических задач, а сами вычисления производятся, естествен-
но, в геометрической форме вследствие отсутствия тогда соответ-
ствующих аналитических средств.
Возвратимся опять к Лейбницу, начав с очень интересной
работы [4]. Написанная довольно неясно, она в свое время не
привлекла особого внимания математиков. По поводу ее содержа-
ния мы отошлем читателя к статье А. Б. Штыкана [1] и отметим
в ней лишь основной для нас результат: геометрически-кинемати-
ческое доказательство утверждения, что общая проблема квадра-
тур сводится к нахождению кривой, имеющей заданный закон
наклона касательной, и что численное значение квадратуры да-
ется величиной площади, определяемой этой кривой (Лейбниц [4,
стр. 30—33]). По существу здесь мы встречаемся с первой публи-
кацией теоремы Ньютона — Лейбница
ъ
f (i) dx = / (fe) — / (a).
a
Та же теорема, как мы говорили выше, имелась в «Методе флюк-
сий» Ньютона, написанном гораздо ранее, но опубликованном
много позже.
В 1694 г. Лейбниц вводит постоянную интегрирования при
решении конкретной задачи; однако он тут же подчеркивает, что
так «можно поступать при суммировании, если это не запрещается
условиями..., ибо это важно для общности решений» [7,
стр. 177]. И хотя этот вывод является естественным при рассмотре-
нии интегрирования как обращения дифференцирования вследст-
вие равенства нулю производной постоянной величины, тем не
менее первым его сделал Лейбниц.
Та же взаимообратность операций дифференцирования и инте-
грирования приводила к следующей аналогии, игравшей значи-
тельную роль в последующем развитии анализа. Из алгебры было
известно, что в то время как прямые операции не приводят к рас-
ширению рассматриваемой числовой области, обратные, как пра-
вило, требуют введения величин нового рода: отрицательных, дроб-
ных, иррациональных, мнимых. Можно было ожидать, что и ин-
тегрирование как обращение дифференцирования приведет к но-
вого рода величинам. И эту мысль настойчиво подчеркивал Лейб-
ниц начиная с 1686 г. Особенно отчетливо она выражена им в 1710 г.
«Подобно тому как невозможность произвести требуемое извле-
121
чение корня в рациональных числах порождает иррациональные
величины, так невозможность произвести требуемое интегрирова-
ние (summatio) в алгебраических величинах порождает трансцен-
дентные величины, изучение которых мы уже ранее ввели в ана-
лиз» (Лейбниц, [7, стр. 175]). Изучение таких, если пользоваться
терминологией Лейбница, «трансцендентных величин» было нача-
то еще задолго до Лейбница, некоторые из них были детально ис-
следованы, но то, что вопрос был поставлен в столь общей форме,
что новое исчисление в одинаковой мере было применимо и к та-
ким трансцендентностям, было немаловажным фактором последую-
щего развития анализа. Ньютон, как мы видели, также вводил
посредством интегрирования новые трансцендентные функции и
изучал свойства последних; для Лейбница же характерно, скорее,
не изучение конкретных новых функций, а общая постановка проб-
лемы.
В связи с этим находился и другой вопрос. В отдельных слу-
чаях интегралы от алгебраических дифференциалов выражались
алгебраически; при фактическом нахождении интегралов, пред-
ставляющем обычно довольно сложную аналитическую проблему,
важно знать заранее, имеет ли смысл вообще искать алгебраическое
выражение интеграла предложенного алгебраического дифферен-
циала, другими словами, полезно знать критерии алгебраичности
таких дифференциалов. Эта проблема занимала и Ньютона, кото-
рый дал первый такой критерий для одного класса алгебраических
дифференциалов. Ею усиленно занимался и Лейбниц, но его опять
больше интересовала общая постановка вопроса, нежели нахожде-
ние конкретных критериев. Поскольку вопрос об алгебраических
интегралах алгебраических дифференциалов у Лейбница и его
современников подробно изложен в обстоятельной работе Гофмана
[2], мы позволим себе не останавливаться на этом, тем более, что в
том аспекте, в каком мы интересуемся развитием понятия инте-
грала, этот вопрос представляет второстепенный интерес.
После того как в XVII столетии научились интегрировать лю-
бой многочлен и бесконечный степенной ряд, на очередь встала
проблема интегрирования дробно-рациональной функции у =
= (р (я)/ф (ж), где ср (х) и ф (х) — многочлены, т. е. выражения, по
своей сложности непосредственно следующего за целой рациональ-
ной функцией. При этом речь шла не о частных случаях этой функ-
ции, а о самом общем ее виде, ибо многие частные случаи были к
тому времени проинтегрированы.
Решение этой проблемы упиралось в предварительное решение
ряда чисто алгебраических проблем. Первой из них, хотя и самой
простой, была проблема искусных навыков в чисто аналитических
преобразованиях. Мы знаем теперь, что хотя такого рода преобра-
зования относительно элементарны, но они довольно длинны и
утомительны. Для математика XVII столетия, привыкшего к об-
разному геометрическому мышлению, эти преобразования были,
видимо, особенно трудны: ведь приходилось оперировать по фик-
122
сированным правилам над объектами, лишенными привычной гео-
метрической сути.
Значительно более важным обстоятельством было овладение
так называемой основной теоремой алгебры — теоремой о сущест-
вовании корня у многочлена. Высказанная в 1629 г. Жираром и в
1637 г. Декартом в виде утверждения, что всякое алгебраическое
уравнение может иметь столько корней, какова его наивысшая
степень, она долго не прививалась в математике, так как требовала
безусловного признания комплексных чисел. Идея же комплекс-
ного числа усваивалась математиками с большим трудом, и хотя
еще в 1545 г. Кардано показал необходимость их при решении ку-
бических уравнений, а Бомбелли в 1572 г. ввел основные операции
над ними, тем не менее нельзя сказать, что к началу XVIII в. они
получили сколько-нибудь широкое признание. Между тем решение
задачи об интегрировании дробно-рациональной функции вообще
требовало теорему о существовании корня, точнее говоря, следст-
вие из нее о том, что всякое такое уравнение можно разложить на
линейные множители, а значит и безусловного признания комп-
лексных чисел. Если вспомнить к тому же, что эта теорема остава-
лась недоказанной, то можно оценить смелость математиков, взяв-
шихся за общее интегрирование указанной функции.
Такими математиками оказались двое ученых — Лейбниц и
Иоганн Бернулли. Относящиеся к этому вопросу факты мы изло-
жим, следуя в основном работе Штеккеля [1, стр. 109—111].
10 июня 1702 г. Бернулли написал Лейбницу, что он решил
задачу нахождения интеграла от любой рациональной функции,
если считать известными квадратуру круга и квадратуру гипербо-
лы. Другими словами, Бернулли к этому времени научился разла-
гать функцию у = ср (^)/ф (х) на сумму членов, одни из которых
сводятся к обычным многочленам, другие — к членам вида
а/(Ь2 + ж2), третьи—к слагаемым вида 1 /(а + х). Интегрирование
каждого члена в отдельности было известно до этого, и основной
задачей здесь была чисто алгебраическая проблема разложения
предложенной дроби, требующая значительно развитого искусства
аналитических выкладок.
В ответ на это письмо Лейбниц указал 24 июня того же года, что
этой проблемой он занимался давно, и, чтобы побудить к занятиям
ею других ученых, он вкратце изложил свое решение и представил
соответствующую работу для опубликования. Действительно, уже
в майском выпуске «Acta Eruditorum» за указанный год появилась
заметка Лейбница «Новый пример анализа для науки о бесконеч-
ном, относящийся к суммам и квадратурам» [5]. Здесь Лейбниц
совершенно четко поставил и отчасти решил рассматриваемую про-
блему: определил дробно-рациональную функцию, указал на не-
обходимость выделения из нее целой части и предложил разложе-
ние правильной дроби для того случая, когда знаменатель имеет
разные действительные или комплексные корни. Случая кратных
корней он в этой работе касался, но, как отмечает А. П. Юшкевич,
123
«лишь мельком и в совершенно неясной для читателя форме»
(Лейбниц [7, стр. 184, сноска]). Тот, новый для анализа факт, что
при интегрировании членов вида 1/(а + ПРИ комплексных а
приходилось иметь дело с интегрированием комплекснозначной
функции, Лейбниц обходит просто: интегрирование он выполняет
в точности так же, как и в действительной области, а оправдывает
эти действия тем известным из алгебры фактом, что комплексные
корни алгебраического уравнения всегда наличествуют в виде со-
пряженной пары, а потому всегда возможно пару дробей с сопря-
женными знаменателями объединить в одну дробь, которая будет
действительной. Однако перед этим он высказал неоднократно
цитировавшиеся слова о комплексных числах как об «уродах
мира идей», находящихся между бытием и небытием (Лейбниц [5,
стр. 52]), что в известном смысле характеризовало отношение к
ним тогдашних математиков.
Остановимся па одной любопытной ошибке, совершенной Лейб-
ницем в работе [5]. Как мы сказали, разложение дробей на простые
множители требовало известного искусства в аналитических вы-
кладках, в частности в действиях с комплексными числами. Лейб-
ниц не обладал достаточными навыками в оперировании с послед-
ними и не сумел разложить ж4 + о4 на два действительных квад-
ратных трехчлена. До этого он неоднократно высказывал идею, что
интегрирование приводит к новым трансцендентным функциям,
связывая ее с тем, что j (х + a)1 dx дает логарифм, а
J (а^+а2)'1 dx — арктангенс, и опираясь на свой ошибочный вывод о
неразложимости ж4 + а4 на действительные множители, Лейбниц
заключает по аналогии, что и J (х* + a4)”1 dx приводит к новой
трансцендентной функции, а также, что новые трансцендентности
получатся из ( (ж8 + a8)-1 dx и т. д. [5, стр. 56]. Тем самым Лейбниц
закрыл себе дорогу к открытию очень важного для того времени
положения, что всякая дробно-рациональная функция интегриру-
ется в конечном виде, если к элементарным функциям причислить
логарифм и арктангенс.
10 июня 1702 г., т. е. еще до выхода из печати указанной статьи
Лейбница, И. Бернулли направил Парижской Академии наук свою
работу на эту тему, в мемуарах которой за 1702 г. она и появилась
(публикация 1704 г.). Метод Лейбница, кропотливый и сложный по
выражению М. В. Остроградского, состоял в разложении дроби
способом неопределенных коэффициентов. Бернулли же, говоря
опять словами М. В. Остроградского, «мы обязаны способом ин-
тегрирования, который с некоторыми упрощениями и видоизмене-
ниями вошел во все курсы интегрального исчисления» (М. В. Ост-
роградский [7, стр. 180]).
Но Лейбниц не согласился с Бернулли и, опять-таки опираясь
на свой ошибочный пример, вновь утверждал, что «имеется не-
ограниченный ряд разновидностей трансцендентных рациональных
квадратур, одна выше другой, не зависящих друг от друга, и что
124
квадратура гиперболы и квадратура круга являются лишь первы-
ми и простейшими их примерами» [6, стр. 64].
В связи со сказанным, вряд ли можно согласиться с Вилейт-
нером [4, стр. 130], который общим образом декларирует приоритет
Лейбница в этом вопросе. Лейбниц не только не полностью решил
его, но и допускал принципиальную ошибку. Более правильно по-
ступали те математики следующего поколения (см., например,
Бугенвилль [1, стр. 141], Лакруа [1, т. I, стр. XVII]) и историки
математики (см., например, И. Ю. Тимченко [1, стр. 207—208]),
которые относили этот результат к И. Бернулли.
Обратим еще внимание на следующее. Как уже говорилось,
идея комплексного числа с трудом прокладывала себе дорогу в
математике. Первоначально она оказывалась полезной только в
алгебре. Но этого было еще недостаточно, чтобы она утвердилась в
науке. Второе обширное поле применений идея комплексного чис-
ла нашла в самом начале XVIII столетия во вновь создаваемой
науке — математическом анализе, и здесь она еще раз подтвердила
свою плодотворность. И Лейбниц, и особенно Бернулли начинают
широко пользоваться комплексными числами; вскоре к ним при-
мыкают Даламбер и Эйлер, и с тех пор эта идея находит себе все
большее и большее применение не только в математике, но и в ма-
тематическом естествознании. В утверждении этой идеи важную
роль сыграло как раз интегральное исчисление: и не только тем,
что подтверждало плодотворность ее лишний раз, но и тем, что при
применении комплексных чисел в анализе возникали новые инте-
ресные проблемы, требовавшие дополнительных исследований.
Подводя итоги деятельности Лейбница в области интеграль-
ного исчисления, можно сказать следующее. Его фактические до-
стижения не так уж значительны и заметно уступают достижениям
Ньютона. Однако умение Лейбница четко ставить общие проблемы
и намечать пути их решения несомненно сыграло огромную роль
в развитии анализа вообще и теории интегрирования в частности.
Идея взаимной обратности дифференцирования и интегрирования;
идея алгоритмичности новых исчислений при надлежаще выбран-
ной удобной символике; идея новых трансцендентных функций,
появляющихся при интегрировании; идея применения комплекс-
ных чисел; некоторые меньшего масштаба результаты (интегриро-
вание по частям, интегрирование рациональных дробей и т. д.) —
все это, несомненно, дает право на отнесение Лейбница к числу
основных создателей анализа. И хотя Ньютон еще раньше пришел
почти ко всем перечисленным идеям, хотя его результаты богаче
по своему содержанию, но Лейбниц оказал на развитие анализа,
видимо, большее воздействие. Причины этого многообразны. Во-
первых, последний, будучи математиком-самоучкой, не был об-
ременен классическим тогда наследием геометрического склада
мышления, ему было легче перейти к новым аналитическим пред-
ставлениям. Не был он приучен и к требованиям древнегреческой
строгости, толкавшим Ньютона на все новые и новые поиски спо-
125
собов обоснования, вплоть до разработки довольно четкой, но все
же преждевременной тогда теории пределов. Рассуждения Ньюто-
на, особенно в его «Началах», еще и сегодня покоряют своей дока-
зательной силой, в то время как практически все работы Лейбни-
ца, как опубликованные, так и оставшиеся в рукописях, не содер-
жат доказательств в традиционном математическом смысле. От-
сутствие последних не означает неаргументированности рассуж-
дений Лейбница, напротив, следующему поколению математиков
его краткие указания, разбросанные в его работах и письмах,
оказалось несложным развить в более или менее стройную систему
способов доказательств, основанных на представлениях о диф-
ференциалах, их суммах и отношениях, систему, привлекательную
настолько, что и сегодня делаются попытки возродить ее чуть ли
не в ее первозданном виде 50. Во-вторых, методы Лейбница были
облечены в такую форму, в которой их относительно легко можно
было усвоить и применять затем чуть ли не механически, соблюдая
определенные правила для простых операций; алгоритмичность
методов Лейбница была важна именно в эту эпоху, когда к заня-
тиям математикой стали привлекаться значительно более широкие
круги людей. В-третьих, сказались и различия в характере этих
двух ученых: замкнутого и недоверчивого Ньютона и общитель-
ного Лейбница. Наконец, немаловажным оказалось и то обстоя-
тельство, что в лице Якова и Иоганна Бернулли Лейбниц нашел
таких последователей и продолжателей своих идей, которые раз-
вили их наилучшим для того времени способом.
В заключение этого параграфа мы вкратце остановимся на ра-
боте Ньютона «Рассуждение о квадратуре кривых», которая исто-
риками математики квалифицируется как «первая попытка связ-
ного изложения круга вопросов, принадлежащих области интег-
рального исчисления» (Цейтен [5, стр. 418]), и которая впервые
была напечатана в 1704 г. в виде второго приложения к его
«Оптике».
О влиянии ее на развитие математики судить еще более трудно,
нежели о влиянии предшествующих работ. К 1704 г. на континенте
уже в значительной мере был разработан анализ бесконечно малых,
и кое-какие результаты Ньютона были перекрыты. Вместе с тем
некоторым идеям Ньютона, содержащимся в этой работе, пред-
стояло дальнейшее развитие. Можно полагать также, что ее содер-
жание было известно задолго до выхода в свет многим математи-
кам. Но что и после опубликования ее влияние на развитие ана-
лиза продолжалось сказываться, это подтверждается тем, что в
курсах анализа XVIII столетия, вплоть до «Трактата по диффе-
ренциальному и интегральному исчислению» Лакруа [1], она ука-
зывается как один из основных источников.
Первая важная идея «Рассуждения о квадратуре кривых» —
последовательное проведение предельного обоснования инфините-
60 См. Робинсон [1].
126
зимальных понятий и подчеркнутый отказ от понятий, связанных
с представлением о бесконечно малых и бесконечно больших ве-
личинах. Здесь она изложена более последовательно и система-
тично. Но в отличие от «Начал» сама идея предела уже не пер-
вична: ей предшествует кинематическая идея скорости, имевшаяся
и в более ранних работах Ньютона, в том числе и в «Началах»,
но носившая там скорее иллюстративный характер.
Из новых фактов здесь следует отметить введение и символиза-
цию понятий высших производных и интегралов. Последователь-
ные производные функции х (t) (или, в терминологии Ньютона,
флюенты величины х) он обозначает через А, х, х, £ и т. д., называя
их соответственно первыми, вторыми и т. д. флюксиями [3,
стр. 170]. Соответствующие интегралы J x(t) dt, j (f x(t) dt) dt и т. д.
I II III
обозначаются x, x, x и т. д. Вилейтнер [4, стр. 126] связывает эту
попытку символизации интегрирования с подражанием Ньютона
Лейбницу. Цейтен [5, стр. 367] относит символизацию для флюк-
сий двух первых порядков к 1666 г., когда Лейбниц еще вообще
не занимался вопросами анализа. К этому мы добавим, что пунк-
тирование буквы для обозначения флюксий Ньютон употреблял
не всегда; в его бумагах, относящихся к семидесятым годам,
производные иногда обозначались буквами р и q (Виттинг [1]).
Укажем также, что замечание Вилейтнера [4, стр. 126] о том, что
обозначения Ньютона не укоренились в математике, хотя и явля-
ются правильными, но в то же время оно односторонне: ньютонов-
ское пунктирование букв для обозначения производных и обо-
значение их в виде р и q дожили до наших дней.
Далее Ньютон дает правила дифференцирования довольно
сложных функций у = z0/?x и у = z^R^S^ в которых R и S оз-
начают многочлены (конечные или бесконечные) относительно z^.
Он находит, что производные этих функций выражаются соответ-
ственно как z0-1 R^Q, z^R^S^Q, где Q — некоторый много-
член относительно z\ коэффициенты которого можно определенным
образом выразить через коэффициенты многочленов R и S.
Оборачивая эти дифференцирования, Ньютон находит неопре-
деленные интегралы (z^R^Qdz и j ^R^S^Qdz в виде zQR^Q±
и zqR'kS^Q2, где Q± и Q2 — также многочлены от z\ коэффици-
енты которых определяются через коэффициенты многочленов R
и S. Эти интегрирования обобщают все произведенные им ранее
интегрирования, имея в виду, что 0, X, ц могут быть и отрицатель-
ными числами. Вообще говоря, при этом выражения для Q± и Q2
оказываются бесконечными рядами. Если же ряды обрываются, то
налицо алгебраическая квадратура, что Ньютон явно отмечает
[3, стр. 176] и приводит ряд примеров такого рода квадратур.
Вместе с тем тогда, когда конечное алгебраическое выражение
этих интегралов невозможно, он предлагает способ сведения таких
интегралов к сумме некоторых алгебраических выражений и ин-
тегралов той же формы, но более простых.
127
В процессе вычислений широкое применение получает прием
интегрирования при помощи подстановки. Ньютон формулирует
этот способ нахождения интегралов в виде теоремы: «Площади
кривых, у которых ординаты находятся в обратном отношении с
флюксиями абсцисс, равны между собой» [3, стр. 183] 51. Говоря
более поздним языком, это означает, что [ydy = §udu, если поло-
жить у = и (t). Им Ньютон пользуется и при интегрировании диф-
ференциальных уравнений.
Опять, как и в «Методе флюксий», одной из центральных задач
является выражение интегралов в конечном виде, когда это воз-
можно, или же представление их при помощи интегралов, прини-
маемых за известные, или, как мы сказали бы теперь, выражение
их через интегралы от элементарных трансцендентных функций.
Последнюю он формулирует весьма обще: «Найти простейшие фи-
гуры, с которыми может быть геометрически сравнена любая
кривая [выделено мною.— Ф. М.1, у которой ордината у опре-
деляется по данной абсциссе z явным образом» [3, стр. 186]. Дру-
гими словами, здесь прямо ставится задача интегрирования любой
функции у = / (z), причем теперь понятие функции одного пере-
менного, хотя и не формулируемое явно, приобретает то содержа-
ние, которое оно получило позднее, т. е. содержание, выражаемое в
виде формулы, составленной из переменной и констант. Последнее
не очень видно из приведенных слов, но оно определенно вытекает из
приводимых далее примеров и таблиц интегралов, более простран-
ных, чем в «Методе флюксий», которые Ньютон приводит вслед за
сформулированной им в геометрическом одеянии задачей. В них
функция, или, как и здесь называет ее Ньютон, ордината, всегда
задана некоторым аналитическим выражением.
Заключает свою работу Ньютон проблемой решения дифферен-
циального уравнения dny!dxa = f (ж), неявно вводя кратное инте-
грирование, причем им используется формула 52
х'
1-2 ... (n — 1) 5 —
О
некоторые другие дифференциальные уравнения более общего типа
также рассматриваются в этой работе.
Подведение итогов деятельности Ньютона в области интеграль-
ного исчисления почти не требуется, поскольку в значительной
мере это сделано, когда мы говорили о Лейбнице. Добавим только,
51 Приводя формулировку Ньютона, мы хотели бы обратить внимание и на
то, насколько еще неустановившимся для него является понятие неопре-
деленного интеграла, не зависящее от господствовавшего тогда взгляда
на интеграл как на площадь, хотя сам же Ньютон, как мы видели выше,
в начале работы вводит общее понятие неопределенного интеграла и даже
специальный символ для него.
62 Ньютон [3, стр. 189—190]; см. также Д. Д. Мордухай-Болтовской [3,
стр. 375].
128
что его переход от взгляда на интегрирование как на метод на-
хождения определенных геометрических величин к представлению
этой операции как интегрирования функций явился важной вехой
в развитии интегрального исчисления. Не менее важной явилась
его работа по составлению первых таблиц неопределенных инте-
гралов. Если первую из указанных идей не в меньшей мере проводил
и Лейбниц, то составлением таблиц интегралов йе занимался не
только сам Лейбниц 53, но и его ближайшие последователи; напро-
тив, для последователей Ньютона работа по составлению таких таб-
лиц являлась одной из первоочередных задач, и эта первоочеред-
ность была оправдана тем подходом к задачам интегрирования,
которому предстояло развиваться в течение последующего сто-
летия.
' Как бы ни были значительны заслуги Ньютона и Лейбница в
создании анализа, нельзя забывать и их предшественников. Диф-
ференциальное и интегральное исчисление, говоря словами Энгель-
са, «было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и
Лейбницем» [1, стр. 208]. К этому следует только добавить, что
лейбнице-ньютоновское завершение анализа явилось вместе с тем
й началом нового периода его развития, еще более бурного и более
значительного.
§ 6. Интегрирование у непосредственных продолжателей
дела Ньютона и Лейбница
Идеи Ньютона и Лейбница как в отношении анализа в целом,
так и в отношении интегрального исчисления в частности упали
на благодатную почву. Те факторы, о которых мы говорили в на-
чале настоящей главы, еще с большей силой продолжали действо-
вать в последующий период. Разработка практики интегрирования
была насущнейшей научной задачей, и за нее бралось все увеличи-
вающееся число математиков.
К этому времени начали складываться более благоприятные
общественные условия, способствовавшие развитию науки вообще:
общество могло позволить себе выделить большее число людей,
могущих заняться наукой; стало возможным издавать не только
отдельные научные книги, но и наладить довольно систематически
выходящую научную периодику — научные журналы начали вы-
ходить во Франции, в Италии, в Германии, в Англии, в Голландии;
научная переписка, служившая ранее основным средством обще-
ния между учеными, все более и более отступала на задний план;
монументальные научные труды, требовавшие громадных духовных
и материальных ресурсов, могли быть заменены серией небольших
научных сообщений. Этот новый дух эпохи в достаточной мере уло-
вил Лейбниц, а тем более он свойствен представителям последую-
щего поколения.
Бз Хотя идея составления таких таблиц у него была; см. Скриба [2, стр. 114—
‘ 117].
5 Ф. А. Медведев
129
В области интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем
были выдвинуты основополагающие идеи, требовавшие тщатель-
ной и длительной разработки, притом разработки именно в дета-
лях, и за такую разработку берутся ученые меньшего масштаба.
Теперь становится невозможным даже такой относительно бег-
лый обзор исследований по интегральному исчислению, которому
посвящены предыдущие страницы. Да в этом и нет необходимости
по замыслу настоящей книги. Поэтому промежуток времени между
Ньютоном — Лейбницем и Эйлером мы опишем как можно более
сжато.
Одной из самых основных и первоочередных задач дальней-
шего развития анализа бесконечно малых являлось доведение глу-
боких идей Ньютона — Лейбница до сознания расширяющегося
круга ученых и учащейся молодежи. Иными словами, речь шла о
создании учебных руководств. Этот процесс начался «Анализом
бесконечно малых» Лопиталя — И. Бернулли (1696 г.), и до эйле-
ровских монографий, о которых речь будет в следующем параграфе,
появилось около двух десятков книг различного содержания и до-
стоинства.
Большая часть этих учебников и монографий изучена совер-
шенно недостаточно. Между тем даже беглое ознакомление с неко-
торыми из них позволяет сделать ряд выводов историко-математи-
ческого характера, подтверждающих или не подтверждающих от-
дельные утверждения общего типа. Остановимся лишь на одном
из них.
Нередко очень большое значение придают лейбницевской симво-
лике в развитии анализа вообще и интегрального исчисления в
частности. Это, видимо, справедливо, если говорить о развитии
анализа в течение очень длительного промежутка времени. В пер-
вой же половине XVIII в. она не играла существенной роли: знак
интеграла практически не применялся ни сторонниками лейбни-
цевской школы, ни тем более сторонниками школы Ньютона, а
знак дифференциала dx уступал по своей распространенности
знаку флюксии х. Для обозначения неопределенного интеграла в
английской литературе употреблялось слово «флюента», и ученые
Англии прекрасно вычисляли такие интегралы, не испытывая осо-
бых неудобств. Впервые, пожалуй, у Симпсона в 1750 г. появля-
ется потребность в чем-то, напоминающем знак интеграла [1,
стр. 398—399].
В идейном отношении развитие понятия интеграла в этот пе-
риод не представляло значительного интереса. Ньютоно-лейбни-
цевское представление об интегрировании было прочно и надолго
усвоено, и основным содержанием развития интегрального исчис-
ления явилась разработка способов вычислений неопределенных
интегралов от предложенных дифференциалов. При этом вставали
по крайней мере две трудности.
Первой из них явилось овладение достаточно виртуозным ис-
кусством алгебраических преобразований: нужно было уметь сво-
130
дить дифференциалы различных форм к таким, интегралы от кото-
рых в какой-то мере были известными или принимались за из-
вестные.
Вторая трудность состояла во введении новых функций. Пер-
воначально ее обходили в некотором смысле тем, что интегралы
от ряда дифференциалов сводили к квадратурам известных кри-
вых; например, если дифференциал путем соответствующих преоб-
разований сводился, как бы мы сказали теперь, к дифференциалу
логарифма, то объявляли задачу решенной, и интегралом от рас-
сматриваемого дифференциала объявляли квадратуру гиперболы,
точнее, говорили, что интеграл от заданного дифференциала сво-
дится к квадратуре гиперболы. Так в очень многих случаях посту-
пал Ньютон, и его традиция продолжалась в течение всего рас-
сматриваемого периода. Но в тот же период понятие функции
постепенно приобретало все большую самостоятельность; возни-
кала необходимость в выделении отдельных функций, в отрыве их
от геометрической оболочки, в изучении их свойств. Началось
введение элементарных трансцендентных функций, вроде логариф-
ма, показательной функции, прямых и обратных тригонометриче-
ских функций, гиперболических функций и др.; для них вводились
специальные обозначения, разрабатывались своеобразные исчис-
ления над ними. Этот процесс происходил не только в рамках ин-
тегрального исчисления, но последнее ответственно за него, види-
мо, в наибольшей степени. Первый период указанного процесса
заканчивался «Введением в анализ» Эйлера, когда были предложе-
ны почти современные определения и обозначения для элементар-
ных функций. Теперь уже не было нужды говорить, что интеграл
от предложенного дифференциала сводится к квадратуре круга, к
квадратуре гиперболы и т. п., а попросту говорилось, что интегра-
лом от него является соответствующая трансцендентная функция.
Искусство аналитических преобразований стало применяться к
более широкому классу аналитических выражений, включающему
не только алгебраические, но и трансцендентные выражения. Этот
процесс не закончился в середине XVIII столетия, а продолжался
почти до самого конца XIX в. Соответственно усложнились толь-
ко вводимые функции и связанные с ними аналитические вы-
кладки 54.
В тех же случаях, когда предложенный дифференциал не удава-
лось преобразовать к дифференциалу от какой-либо известной
алгебраической или трансцендентной функции, поступали так же,
как это делал Ньютон,— разлагали его в степенной ряд и затем
интегрировали последний почленно. При этом происходило, с од-
ной стороны, расширение класса степенных рядов, а с другой —
его сужение. Мы видели в предшествующем параграфе, что в пер-
вой работе Ньютона «Анализ при помощи уравнений с бесконеч-
64 Этот процесс во второй половине XVIII в. достаточно полно описан в
обстоятельной работе Виванти[1].
131
5*
ным числом членов» все неалгебраические интегралы задавались в
виде рядов. По мере введения трансцендентных функций соответст-
вующие интегралы все реже и реже представлялись в виде ряда, а
просто записывались обозначениями этих функций. Однако такому
сужению класса степенных рядов противостоял мощный поток но-
вых разложений, за которым не поспевал процесс оформления тех
или иных конкретных разложений в виде самостоятельных функ-
ций. Начало формироваться новое учение о рядах как учение о
самостоятельном разделе анализа, независимом от породившего их
источника — интегрального исчисления.
Если бы интегральное исчисление замкнулось в рамках очер-
ченных направлений, то даже продолжавшееся бесконечное время
такое развитие не обогатило бы понятие интеграла. Интегрирова-
ние по-прежнему оставалось бы только обращением дифференциро-
вания, а поскольку теория дифференцирования для функций одной
переменной считалась законченной чуть ли не Лейбницем (М. Кан-
тор [1, т. III, стр. 412]; Виванти [1, стр. 695]), то и перед интеграль-
ным исчислением для функций того же класса маячила перспек-
тива регресса в бесконечность по вечно повторяющимся кругам.
Этого не случилось с понятием интеграла отчасти вследствие
внутренней логики развития этого понятия в некоторых не упо-
минавшихся нами до сих пор направлениях, а главное вследствие
того, что развитие математики в целом требовало нового подхода
к нему. Этим мы займемся позднее, а сейчас коротко о работах
некоторых последователей Ньютона и Лейбница.
В разработку интегрального исчисления вслед за Ньютоном
и Лейбницем включалась большая группа математиков разных
стран. Как непосредственно, так и через исследование других во-
просов, особенно связанных с дифференциальными уравнениями,
участие в этом приняли Яков и Иоганн Бернулли, Лопиталь, Му-
авр, Гранди, Коутс (Котес), Тейлор, Маклорен, Риккати, Симп-
сон и др. Мы остановимся на отдельных результатах некоторых из
них.
Династия Бернулли является исключительным феноменом в
истории науки конца XVII и всего XVIII столетий. Из нее вышли
выдающиеся представители физико-математических наук, среди
которых в построении анализа особое место занимают братья Яков
и Иоганн Бернулли. Их иногда называют учениками Лейбница
(Бурбаки [1, стр. 204)]. Это, однако, не следует понимать в том
смысле, что они действительно учились у Лейбница как обыкновен-
ные ученики. Мы уже приводили ранее пример того, как Яков
Бернулли «учился» у Лейбница: чтобы понять Опубликованную
последним его первую работу по дифференциальному исчислению,
он по существу самостоятельно переоткрыл это исчисление (Флек-
кенштейн [2, стр; 5]). Бернулли являются скорее не учениками, а
сотоварищами Лейбница по созданию математического анализа>
находившегося с ними настолько в тесной научной связи, что по-
рою трудно отделить их результаты от результатов Лейбница,
132
пример чего мы уже приводили в связи с вопросом об интегрирова-
нии рациональных дробей.
Одной из основных заслуг Якова и Иоганна Бернулли является
создание монографий по трем основным разделам тогдашнего ана-
лиза: теории рядов, дифференциальному и интегральному исчис-
лениям. Теорией рядов преимущественно занимался Яков I Бер-
нулли, изложивший ее в пяти мемуарах 1689—1704 гг. под общим
названием «Арифметические предложения о бесконечных рядах и
их конечных суммах». Значительны его заслуги и непосредствен-
но в интегральном исчислении. Мы коротко остановимся только на
его работе «Решение задачи о кривой, проходимой тяжелым телом
при опускании его с равных высот за равное время» (1690 г.), в
которой речь идет о так называемой изохроне 55.
Эту задачу, поставил Лейбниц в 1687 г. Вскоре Гюйгенс сооб-
щил без доказательства, что такой кривой является полукубичес-
кая парабола. Лейбниц в 1689 г. доказал это утверждение Гюйгенса
и опубликовал свое доказательство [2], но не пользовался при этом
дифференциальным й интегральным исчислением, а рассуждал в
доанализовой манере 56. Я. Бернулли же, напротив, поступил так,
как казалось бы надлежало поступить Лейбницу: он рассмотрел
вопрос при помощи анализа бесконечно малых, чтобы, как он
утверждал, «побудить знаменитого геометра (Лейбница) к примене-
нию его метода к новой предложенной им задаче» (Мари [1, т. VII,
стр. 78]). Ситуация достаточно забавна: в 1690 г., т. е. через полто-
ра десятилетия после открытия Лейбницем дифференциального
исчисления, Я. Бернулли призывает применять лейбницевский ме-
тод для решения поставленной им же задачи и показывает, как это
нужно делать в данном случае. Исходя из геометрических сообра-
жений, Я. Бернулли находит характеристическое свойство изо-
хроны, записывает его в виде дифференциального уравнения
У^Ь2у — a3 dy = У a3 dx
и, интегрируя его, получает уравнение кривой
2b I а3 \ -w Г а2 -|/—о
\уу--^- = хУ а
""" Такогорода интегрирования умели делать еще предшествен-
ники Лейбница,-так что дело заключалось лишь в применении ал-
горитма интегрального исчисления к одному из простейших во-
просов, да в привлечении некоторых достаточно простых алгебраи-
ческих преобразований. В это время вычисляли уже гораздо более
сложные интегралы, хотя и не таким способом, и именно в спо-
65 Мы будем основываться на детальном изложении ее в книге Мари [1К
• т. 7, с1р. ’77--80Г;
56 Любопытно, что Лейбниц, судя по черновым бумагам, при решении этой
' 1задачй: Применял дифференциальное и интегральное исчисления (Цейтен
[5, стр. 421]).
433
собе вычисления заключается значение рассматриваемой работы
Я. Бернулли: она подтвердила работоспособность нового алгоритма.
В связи с этой работой нужно также отметить следующее. Как
мы говорили ранее, знак интеграла J Лейбниц опубликовал впер-
вые в 1686 г. Спустя четыре года Я. Бернулли также берет на воо-
ружение этот символ, давая ему к тому же принятое теперь наиме-
нование 57.
Не будем останавливаться на других его работах 58. Он изучил
ряд кривых, произвел много квадратур и спрямлений и т. п., ши-
роко применяя новый алгоритм дифференциального и интеграль-
ного исчисления. Как и в разобранном случае, не столько зна-
чительными были для интегрального исчисления вычисленные им
интегралы, хотя среди них были и более сложные, сколько методы
их вычислений, показавшие преимущества нового подхода как к
новым, так и старым задачам. Я. Бернулли, однако, не совсем
покинул почвы старых методов, и Мари так выражался о его ре-
зультатах: «Яков Бернулли всегда строго точен; поскольку он
не жалеет труда проверить каждый из результатов, который он
получил, при помощи нового доказательства, синтетического, если
первоначальное было аналитическим, и наоборот» (Мари [1, т. VII,
стр. 80]). Этого уже нельзя сказать об исследованиях его млад-
шего современника, его брата и ученика Иоганна Бернулли. Он
без оглядки начал работать новыми методами.
Первой опубликованной монографией по дифференциальному
исчислению, долго служившей основным учебным руководством,
явилась выпущенная Лопиталем книга «Анализ бесконечно малых»,
опубликованная впервые в 1696 г. [1]. После довольно продолжи-
тельных споров относительно авторства этой книги теперь почти
достоверно установлено, что основным ее автором следует все же
считать Иоганна Бернулли (А. П. Юшкевич [2, стр. 32—46, осо-
бенно стр. 43]; Флеккен штейн [3, стр. 7—8]), так как книга воз-
никла из курса лекций, которые прочел И. Бернулли в 1691—
1692 гг. Лопиталю, и примыкающим к ним письмам И. Бернуллил
(соответствующая рукопись последнего была обнаружена только
в 1921 г.). В «Анализе бесконечно малых» не содержится интегри-
рований, зато в нем имеется все необходимое для того, чтобы при
подходе к интегрированию как обращению дифференцирования
приступить к решению этой задачи. Мы не останавливаемся на со-
держании этой книги, отсылая читателя к работе А. П. Юшке-
вича [2].
Тогда же И. Бернулли прочел для Лопиталя курс лекций и по
интегральному исчислению. И хотя эти лекции были опубликованы
только в 1742 г. в собрании сочинений И. Бернулли, однако их
Позднее И. Бернулли утверждал, что термин «интеграл» был предложен
им (М. Кантор [1, т. III, стр. 219]).
58 Они подробно описаны Мари [1, т. VII, стр. 72—119]; глубокий их анализ
сделан Гофманом [4].
134
воздействие на развитие интегрального исчисления восходит не-
сомненно к более раннему периоду. Лопиталь поддерживал ожив-
ленную переписку со многими видными математиками того време-
ни, и через него содержание этих лекций могло быть достаточно
известным. Очевидно также, что некоторые выполненные самим
И. Бернулли интегрирования имели своим истоком эти лекции.
О раннем их воздействии свидетельствует, например, тот факт, что
в одном из первых курсов интегрального исчисления, опубликован-
ного в 1708 г. 5в, сказалось влияние лекций И. Бернулли (Ковалев-
ский [3, стр. 164]). Остановимся на их содержании.
Интегрирование определяется как операция, обратная диффе-
ренцированию. Исходя из этого определения, И. Бернулли вычис-
лил многочисленные неопределенные интегралы, причем четко ука-
зал на необходимость добавления произвольной константы. В этих
вычислениях отчетливо проявляется искусность И. Бернулли в
алгебраических преобразованиях, так как в большинстве случаев
предложенный дифференциал (в лекциях И. Бернулли рассмат-
риваются алгебраические дифференциалы) приходится преобразо-
вывать к такому виду, чтобы стало очевидным, дифференциалом
какого алгебраического выражения он является; тогда это выраже-
ние и является интегралом заданного дифференциала.
Наиболее общим методом, использованным И. Бернулли при
вычислении интегралов, является метод замены переменных. Его
подстановки порою достаточно остроумны. Приведем два примера
(И. Бернулли [1, стр. 10—11]). Требуется найти интегралы
J(я ]/ ах — х2)"1 a3dx и У#”1 уЛг2 + 2 ах + a2 dx. Первый из них
подстановкой т2 = а2х21(ах — х2) сводится к У (2 a3lm2) dm, а вто-
рой подстановкой у3 = х + а преобразуется в J [3 у*1(у3 — a)] dy.
Что касается интеграла У (2 a3/?n2) dm, то он берется элементарно,
и И. Бернулли его вычисляет. По поводу же интеграла
У [3 уЧ^у3 — a)] dy, он осторожно пишет: «Если отсюда можно по-
лучить интеграл, то имеем интеграл и от заданной величины»
(И. Бернулли [1, стр. 11]). Дело в том, что для его вычисления, если
оставаться в действительной области, нужно представить подын-
тегральную дробь в виде
Зу4 __ 9 | с2 с2у ।_________с3____
у3 — с8 * у — С у2 + су + С2 * У2 + су -|- с2 ’
где с = у' а. Математики более позднего времени получили бы от-
сюда интеграл
У2 + 1п (у — с)---у1,1 (у+ су + с2)+ с2 V3 arct£ *
69 Рёге Reyneau. L'analyse demontre. Paris, 1708. Данной книгой мы не рас-
полагали. Очень краткая ее характеристика содержится у Бугенвилля
[1, стр. XI].
135
Но для 1692 г. это было не столь просто. Ведь рациональные дроби
научились разлагать на элементарные позднее. Функция у• = In х
еще не получила прав гражданства в математике, хотя сведения о
ней в связи с интегрированием восходят к Сен-Винценту (1647 г.);
еще неизвестна была в требующемся виде функция у = arctg х, к
тому же И. Бернулли вообще не касался здесь вопроса о тригоно-
метрических функциях. Интеграл же j (dxlx) он вычисляет оши-
бочно еще по правилу интегрирования степени, полагая его просто
равным бесконечности [1, стр. 4].
Вряд ли можно согласиться с той невысокой оценкой лекций
И. Бернулли в части, касающейся интегрального исчисления, кото-
рую им дал М. Кантор [1, т. III, стр. 226]. Для 1692 г. они были
большим достижением. Новый алгоритм был отработан очень тща-
тельно, хотя и на узком, с нашей точки зрения, классе задач.
К тому же удобства его были продемонстрированы в многочислен-
ных применениях, содержавшихся в этих лекциях.
Не будем останавливаться на других работах И. Бернулли 60.
Как и у его старшего брата, нахождение интегралов от тех или
иных дифференциалов осуществлялось им чаще всего в ходе реше-
ния конкретных задач. Однако имелись и работы, специально по-
священные дифференцированию и интегрированию, независимо от
приложений. Об одном из наиболее значительных его достижений
в интегральном исчислении — интегрировании дробно-рациональ-
ной функции — мы уже говорили. Добавим вкратце, что в 1694 г.
он получил разложение
(* j х2 du . х3 d2u х4 d3u
\ ydx = ух--777- -г- + ТГ -----7Г ТГ + • • •
j 2! dx 3! dx2 4! dx2
и применил его для вычисления интегралов; в этом же году он
вычислил дифференциал логарифма 61, а значит и узнал выражение
интеграла от dxlx через логарифм; в 1697 г. он занялся дифферен-
цированием и интегрированием экспоненциальных и логарифми-
ческих функций. В своих исследованиях И. Бернулли не пользо-
вался символом интеграла, хотя термин «интеграл» употреблял
регулярно.
Покидая И. Бернулли, мы не можем не привести оценку обоих
братьев, данную им Лейбницем в 1701 г. 62: «Я ценю их обоих как
только можно ценить наиболее глубоких гениев в математике.
Я многим обязан тому и другому ..., так как главным образом бла-
годаря их открытиям разрозненные семена моего метода смогли
принести столько добрых плодов» (цит. по Мари [1, т. VII, стр.
156]).
60 Они подробно описаны в сочинении Мари [1, т. VII, стр. 154—198]; см.
также М. Кантор [1, т. III, стр. 226—230].
81 М. Кантор [1, т. III, стр. 229] предполагает, что этот дифференциал он уз-
нал из письма Лейбница.
62 Оценка Лейбница относится, разумеется, не только к их достижениям в
области интегрального исчисления.
136
Теперь с континента возвратимся в Англию. Мы уже заметили,
что оба Бернулли относительно мало внимания обращали на само-
стоятельное вычисление интегралов. Это в значительной мере отно-
сится и к самому Лейбницу и ко всем его ближайшим последова-
телям.
В Англии ситуация была несколько иной. Работы Ньютона
[1—3] были посвящены по сути дела специально вычислениям
интегралов. И если начинал он почти исключительно с интеграций
при помощи разложений в ряды, то уже во второй работе наряду с
получением интегралов путем почленного интегрирования ряда,
изображающего подынтегральную функцию, совершенно отчетли-
во выражено стремление вычислять интегралы в замкнутой форме,
и в приложенных к ней таблицах интегралов, с одной стороны,
содержатся интегралы, вычисленные в конечном виде алгебраи-
чески, а с другой — интегралы, сводящиеся к квадратурам кони-
ческих сечений, как выражался Ньютон, или, как бы мы сказали
теперь, интегралы, вычисленные в конечном виде при помощи эле-
ментарных трансцендентных функций. Его третья работа, также
содержавшая еще более обширные таблицы интегралов, расширяла
и углубляла идеи второй 63. Слово «кривая», фигурирующее в на-
звании и содержании самой работы, уже далеко не означает того
смысла, который в него вкладывается ранее — какого-то мыслен-
ного конкретного геометрического образа. «Кривые», квадратуры
которых изучал здесь Ньютон, по своему содержанию представ-
ляют собою то, для чего впоследствии был принят более абстракт-
ный термин «функция», ибо и до настоящего времени, даже для
частных случаев ньютоновских «кривых» не существует изученных
индивидуальных геометрических объектов.
Но у Ньютона, хотя он сам ввел почти все элементарные тран-
сцендентные функции, нашел их разложения в ряды, вычислил
при их помощи многочисленные интегралы, еще не родилась идея
придания этим функциям независимого существования, их символи-
зации и применения их вне связи с коническими сечениями при
интегрировании. То, что интегрирование приводит к трансцендент-
ным функциям, он знал, и это мы отмечали в своем месте. Но он
не сделал последнего шага, на первый взгляд мелкого, но все
же принципиального: в его интеграциях еще сохранялся «неанали-
тический» элемент — тот кусок площади, который задавался кони-
ческим сечением; и когда он говорил, что данный интеграл сво-
дится к квадратуре конического сечения, то за этим у него стояла
не та или иная индивидуальная трансцендентная функция, а
соответствующий участок площади (правда, могущий обычно быть
представленным в форме ряда).
Вот этот-то очередной шаг в индивидуализации некоторых
трансцендентных функций, возникающих при определенных инте-
63 Напротив, в «Началах» интегрирования производятся в ходе решения
конкретных задач.
137
грациях, и осуществил Коутс, который ньютоновские биномиаль-
ные и трехчленные интегралы вычислил посредством логарифми-
ческих и тригонометрических таблиц, т. е. свел эти интегралы к
логарифмическим и тригонометрическим функциям, правда, еще
не вводя для них специальных обозначений. Такое сведение выпол-
нено им, например, для интегралов
\---\---------------------7=- dz,
J к + lz J (к + lz) Vz
где Z = а + bz^ + cz211,t] —положительное рациональное число,
0 — целое (положительное или отрицательное) число, а, Ь, с, к,
I — константы. По оставшимся от него материалам 64 Р. Смит соста-
вил еще несколько таблиц интегралов и добавил к ним, пользуясь
теоремами Коутса о разложении бинома на действительные множи-
тели, новые обширные таблицы интегралов (1722 г.). Основные ре-
зультаты Коутса были получены им около 1714 г., но опубликова-
ны они были полностью уже после его смерти в его известном труде
«Harmonia mensurarum» (1722 г.) 65, хотя отчасти публиковались
ранее. Его достижения в интегральном исчислении довольно об-
стоятельно рассмотрены в работе Браунмюля [1]. Если к этому до-
бавить, что в том же труде Коутсом найдены формулы дифферен-
цирования тригонометрических функций sin я, tg rr, sec х (Лориа
[1, стр. 6511), что открывало путь для вычисления интегралов от
тригонометрических функций, то его заслуги, несомненно, следует
рассматривать как весьма значительные.
Указанная ньютоновская традиция вычисления неопределен
ных интегралов продолжалась многочисленными его последовате-
лями на протяжении всего XVIII в. (Маклорен, Муавр, Симпсон
и др.). Их фактические достижения в области интегрального исчис-
ления были, пожалуй, богаче, нежели у последователей Лейбница.
Однако их не совсем удобный язык и недостаточно развитая сим-
волика привели не только к тому, что математики приняли способы
выражений и символику лейбницевской школы, но и к тому, что
историки математики принизили их роль в развитии анализа.
Одной из многочисленных заслуг Эйлера явилось то, что он сумел
сочетать богатства фактических достижений ньютоновской школы
с более удобными и выразительными языком и символикой лейб-
ницианцев, переработать первые в духе вторых, и из этого соеди-
нения, обогащенного творчеством самого Эйлера, выросло гран-
диозное здание анализа XVIII столетия.
64 Роджер Коутс, ученик и близкий друг Ньютона, жил очень недолго
(1682—1716 гг.) и не успел опубликовать свой основной труд.
65 В 1748 г. вышел французский перевод этой работы.
138
§ 7» ЭйлеровскиИ период
интегрального исчислении
Термином «эйлеровский период» в истории понятия интеграла
мы условно обозначим вторую половину XVIII столетия с некото-
рым выходом в следующий век. Сам Эйлер (1707—1783 гг.) начал
свою деятельность и закончил ее несколько ранее начала и конца
указанного исторического срока и он, разумеется, не был единст-
венным математиком, работавшим в этом направлении. Однако то
обстоятельство, что именно в работах Эйлера развиты и подытоже-
ны почти все основные направления в развитии интегрального ис-
числения и связанных с ним разделов анализа, дает нам право на
принятое выше наименование.
В самом общем смысле указанный период характеризуется тем,
что, с одной стороны, в это время расширяется, углубляется, уточ-
няется и в известном смысле доводится до своего логического за-
вершения ньютоно-лейбницевское понимание интегрирования как
операции, обращающей дифференцирование, с преобладающим
вниманием к неопределенному интегралу; с другой стороны, в
различных частях огромного здания интегрального исчисления,
построенного в течение XVIII в., все чаще и чаще начинают про-
биваться ростки новых представлений об интеграле, когда на пе-
редний план выдвигается понятие определенного интеграла. Обе
эти тенденции нашли концентрированное выражение как раз в
творчестве Эйлера, и главным образом они реализованы в трех его
монументальных произведениях: двухтомном «Введении в анализ
бесконечно малых», однотомном «Дифференциальном исчислении»-
и в трехтомном «Интегральном исчислении», опубликованных соот-
ветственно по томам в 1748, 1748, 1755, 1768, 1769 и 1770 гг. Они
послужили предметом многочисленных историко-научных иссле-
дований. Не приводя перечня последних, укажем лишь работы
С. Я. Лурье [3], М. Я. Выгодского [2], И. Г. Башмаковой и А. П.
Юшкевича [1], Н. И. Симонова [1], А. П. Юшкевича [13, стр.
233-251; 19, стр. 128-156].
Мы ограничимся замечаниями по поводу именно этих трех мо-
нографий, лишь в отдельных случаях обращаясь к другим источ-
никам, отсылая за подробностями к указанной литературе.
Ранее мы не раз подчеркивали, что развитие интегрального
исчисления происходило в неразрывной связи с развитием мате-
матики в целом. Эта связь особенно наглядна в названных работах
Эйлера.
Как для понимания интегрального исчисления, так и для овла-
дения практическими навыками в этой области, для выработки
умения применять это исчисление в других математических нау-
ках был необходим большой запас знаний из других областей. Это
совершенно отчетливо понимал Эйлер. 4 июля 1744 г. он писал
Гольдбаху: «Когда я составил себе план полного трактата об ана-
лизе бесконечно малых, я заметил, что для изучения разбираемых
139
в нем вопросов необходимо знание очень многих вещей, которые,
собственно говоря, не относятся к анализу и нигде еще пе разрабо-
таны» 66. Эти-то «очень многие вещи» и образуют предмет его двух-
томного «Введения в анализ бесконечно малых».
Эйлер несколько преувеличивал, говоря, что эти «вещи» еще
не были разработаны. Наоборот, преобладающая часть содержания
его «Введения в анализ» была к этому времени разработана усилия-
ми многих математиков 67. Более того, ко времени появления его
книги даже предпринимались попытки, хотя и менее удачные, вы-
деления и систематизации математических сведений, необходимых
для изложения курса анализа. В качестве примера можно указать
«Instituzioni Analitiche» Аньези, вышедшие в том же 1748 г. в
двух томах, первый из которых был посвящен теории алгебраиче-
ских уравнений и элементам плоской аналитической геометрии.
И тем не менее Эйлер прав в том отношении, что никто до него не
собрал всего того, что тогда действительно было нужно для пони-
мания анализа, и не изложил этого столь систематически, по еди-
ному плану, на единообразном языке, ставшем затем общеприня-
тым, пополнив все это собственными результатами.
Остановимся только на некоторых вопросах, относящихся к
содержанию эйлеровских монографий.
Ранее мы говорили, что в трудах Ньютона и Лейбница, особен-
но первого, а затем и в работах их последователей, интегрирова-
ние превратилось из приема вычисления некоторого рода величин,
связанных с геометрическими и механическими объектами, в опе-
рацию, осуществляемую над более абстрактными объектами мате-
матики — функциями, стало интегрированием функций. Вследст-
вие этого основным вспомогательным понятием 68 стало понятие
функции. Естественно, что в эйлеровском «Введении в анализ»
оно занимает центральное положение: «учение о функциях осо-
бенно обстоятельно изложено в первой книге, так как весь анализ
бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их
функций» (Эйлер [1, стр. 25]). Здесь Эйлер обходится еще нью-
тоно-бернуллиевским определением функции: «Функция перемен-
ного количества есть аналитическое выражение, составленное
каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или
постоянных количеств» [1, стр. 30], отказываясь, однако, от ньюто-
новского наименования ее «кривой» или «ординатой» в пользу более
абстрактного лейбницевского термина 69.
В зависимости от характера аналитического выражения, при-
нимаемого за определение функции, Эйлер выделяет алгебраиче-
ские (рациональные и иррациональные) и трансцендентные, одно-
значные и многозначные, четные и нечетные, явные и неявные
66 Цит. по С. Я. Лурье [3, стр. 9—10\
67 Что, кстати, отмечается и самим Эйлером [1, стр. 28].
68 По отношению к интегральному и дифференциальному исчислениям.
69 О понятии функции у Эйлера см. А. П. Юшкевич [18, стр. 144—149].
140
функции. Для обозначения функции он не пользуется символом
/ (х) или каким-либо другим, ему эквивалентным, хотя еще ранее
и он сам, а также Клеро и Даламбер, а еще ранее И. Бернулли,
применяли различную символику для этой цели (Вилейтнер [4,
стр. 145]). Он всюду обходился словесным описанием. Зато он
вводит почти современную символику для многих элементарных
функций, позволяющую ему осуществлять над ними многочислен-
ные аналитические преобразования, трудно осуществимые без
таких обозначений. Все это позволяет ему разработать учение о
функциях до уровня, который был необходим в исследованиях по
анализу в XVIII в.
Как мы говорили, идея разложения функций в бесконечные ря-
ды возникла и развилась в связи с вопросами интегрирования. И у
Ньютона и у его последователей представление алгебраических
и трансцедентных функций при помощи бесконечных рядов явля-
лось почти исключительно средством нахождения интегралов. Эй-
лер по отношению к бесконечным рядам становится на более вы-
сокую точку зрения. Он осознает, что представление функции
бесконечным рядом не только позволяет найти приближенное зна-
чение интеграла, но что оно дает ясное понимание сущности и
свойств самих функций: «Как природа целой функции видна лучше
всего, если эта функция разложена по различным степеням z,
т. е. если она приведена к форме А 4- Bz + Cz2 + Z)z3 4- и т. д.,
так эта же форма кажется наиболее удобной для восприятия разу-
мом природных свойств всех остальных функций, если даже число
членов окажется в действительности бесконечным..., если же кто
сомневается, чтобы можно было выразить функцию посредством
бесконечного ряда членов подобного рода, то это сомнение устра-
нится при развертывании каждой функции» (Эйлер [1, стр. 77]).
И он пользуется бесконечными рядами во всех трех его названных
книгах при изучении функций с самых различных сторон. Можно
сказать, что ряды служат у него основным аппаратом исследования
функций.
Историки математики до недавнего времени, как правило, упре-
кали Эйлера за то, что при употреблении бесконечных рядов он не
обращал внимания на их сходимость и широко пользовался рас-
ходящимися рядами 70. Можно, однако, утверждать, что в этом
отношении Эйлер стоял на более высокой точке зрения, нежели
не только математики XIX в., но и некоторые историки математи-
ки нашего столетия.
Бесконечные ряды представляют собой один из классов беско-
нечных выражений, используемых в математике. Первоначально
их введение сопровождалось переносом на них правил действий
над обыкновенными числами и многочленами. Ньютон даже спе-
циально подчеркивал, что действия над рядами нужно произво-
дить так же, как и действия над десятичными дробями [2, стр. 25].
70 См., например, Вилейтнер [4, стр. 153].
141
Такой перенос оказался весьма плодотворным на протяжении дли-
тельного периода развития анализа. По существу лишь в XIX
столетии возникла настоятельная необходимость в некоторых ог-
раничениях класса используемых бесконечных рядов. Из них
был выделен подкласс так называемых сходящихся рядов, а при
изучении отдельных вопросов и еще более узкие подклассы —
абсолютно сходящиеся, равномерно сходящиеся, квазиравномер-
но сходящиеся и т. п. Такие ограничения были обусловлены тем
кругом задач, которые решались при помощи соответствующего
подкласса рядов. Наибольшее распространение получил класс
сходящихся рядов.
Но бесконечность достаточно разнообразна, чтобы отграничи-
ваться в ней теми или иными отдельными частными случаями и,
совершенно не обязательно, чтобы при действиях над бесконеч-
ными выражениями насильно сохранять аналогии там, где они
вообще отсутствуют. Априори нет никакой нужды отбрасывать
те или иные бесконечные ряды только потому, что к ним не при-
менимо понятие суммы ряда, установленное для одного частного
класса рядов. Это понятие суммы сложилось в определенных ис-
торических условиях и естественно, что когда возник новый
круг задач, для решения которых прежнее понятие суммы ряда
оказалось недостаточным, математики изменили смысл термина
«сумма». Это случилось только в конце XIX— начале XX столе-
тий. Тем более удивительно, что Эйлер еще в середине XVIII в.
сумел стать на столь высокий уровень понимания термина «сум-
ма» для бесконечного ряда.
Расходящиеся ряды рассматривались математиками еще до
Эйлера, и на протяжении XVII—XVIII вв. между ними происхо-
дил довольно оживленный обмен мнениями относительно того, че-
му равна сумма расходящегося ряда? Эйлер понял, что прежде,
чем говорить о сумме бесконечного ряда, нужно предварительно
условиться относительно самого термина «сумма», а не ограничи-
ваться вкладыванием в него прежнего содержания. И в «Дифферен-
циальном исчислении» он писал: «. . вся трудность кроется в наз-
вании „сумма44. Действительно, если под „суммой44 ряда понимать,
как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то...
суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, кото-
рые являются сходящимися и дают результаты, тем более близ-
кие к некоторому определенному значению, чем больше членов
складывается. Расходящиеся же ряды, члены которых не убы-
вают, . . вообще не будут иметь никаких определенных сумм, ес-
ли только слово „сумма44 понимается в смысле результата сложе-
ния всех членов. ..
Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно
избежим, если мы припишем слову „сумма44 значение, отличное от
обычного. А именно, мы скажем, что СУММА некоторого беско-
нечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого
возникает этот ряд. .. При этом соглашении, если ряд будет сходя-
142
щимся, то новое определение слова сумма совпадет с обычным,
а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собствен-
ном смысле слова, то из этого нового наименования не происте-
чет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сох-
ранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же вре-
мя защититься от всяческих обвинений» [2, стр. 101].
Но Эйлер не ограничивался приведенным определением сум-
мы ряда 71. Он считал, что всякий бесконечный ряд должен обла-
дать определенным значением, если только слову «сумма» придать
подходящий смысл (Харди, [8, стр. 29]). И он пользовался беско-
нечными рядами как сходящимися, так и расходящимися, в са-
мых разнообразных вопросах: учение о рядах занимает в его три-
логии относительно больший объем, чем какой-либо из других
разделов анализа. Смелость Эйлера в обращении с бесконечными
рядами тем более заслуживает почтения, что многие математики
того периода категорически возражали против употребления бес-
конечных рядов. Так Даламбер в 1768 г. писал, что всякое рас-
суждение, основывающееся на расходящихся рядах, сумма кото-
рых полагается конечной, может приводить к ошибкам [2, стр. 134].
Дальнейшее развитие получает у Эйлера и дифференциальное
исчисление. Отсылая читателя по этому вопросу к обзору М. Я. Вы-
годского [2, стр. 21—34], мы отметим лишь, что Эйлер, продолжая
традицию Ньютона, рассматривал дифференцирование более об-
щим образом, нежели это делается теперь: «... дифференциальное
исчисление учит находить соотношение между дифференциалами
по данному соотношению между переменными количествами...»
[3, т. 1, стр. 9]; дифференцирование функций выступает при этом
как частный случай более общей проблемы. Подчеркнем также
значительно больший отход Эйлера ’ от своих предшественников
в смысле упора на чисто аналитический характер операции диф-
ференцирования, когда эта операция перестала быть операцией
нахождения касательных, подкасательных, максимумов, мини-
мумов и т. п., а превратилась в операцию над уравнениями и функ-
циями, заданными аналитическими выражениями. «Применения
же дифференциального исчисления к геометрии кривых линий
я здесь |в «Дифференциальном исчислении».— Ф. М.] вовсе не
касаюсь ... все изложение ограничено пределами чистого анали-
за, так что для изложения всех правил этого исчисления не пона-
добилось ни одного чертежа» (Эйлер [2, стр. 44]).
Для подхода к интегральному исчислению, наибольшая часть
которого, по словам Эйлера, оставалась к тому времени неразра-
ботанной [2, стр.'42], ему понадобилось не только изучение поня-
тия функции, теории рядов и операции дифференцирования, т. е.
вопросов собственно анализа, но и многое из других разделов
математики. Поэтому в эйлеровской трилогии мы находим много-
71 Об этом методе суммирования расходящихся рядов у Эйлера см. Харди
[8, стр. 28—32].
143
численные экскурсы в другие математические дисциплины. Так,
второй том его «Введения в анализ бесконечно малых» полностью
посвящен аналитической геометрии и элементам дифференциаль-
ной геометрии. Во всех трех монографиях имеются важные состав-
ные части тогдашней алгебры, в частности, во «Введении» со всей
определенностью утверждается и иллюстрируется на частных слу-
чаях теорема, что всякое алгебраическое уравнение n-й степени
разлагается на п множителей первой степени (Эйлер, [1, стр. 41]) 7?;
там же содержится изящное доказательство теоремы, что всякое
уравнение, наивысший показатель степени которого четный и
свободный член отрицателен, имеет по крайней мере два вещест-
венных корня, из которых один отрицателен, а другой положи-
телен (Эйлер [1, стр. 46]); во всех трех книгах широко использу-
ются комплексные числа вплоть до первых набросков теории функ-
ций комплексного переменного 72 73 и т. д.
Все эти и многие другие вопросы, здесь не отмеченные, были
тесно связаны с главным предметом эйлеровской трилогии — с
интегральным исчислением, которому Эйлер посвятил свое
трехтомное «Интегральное исчисление».
Первое, что следует отметить в связи с эйлеровским «Интег-
ральным исчислением», это понимание им термина «интегрирова-
ние» : «Интегральное исчисление есть метод, посредством которого
по данному соотношению между дифференциалами количеств
находят соотношение между самими количествами, а действие^
с помощью которого это достигается, называется интегрирова-
нием» (Эйлер [3, стр. 9]). Операция интегрирования рассматри-
вается при этом как обращение дифференцирования в том обоб-
щенном смысле, который мы отметили выше. Это — та точка зре-
ния, которой придерживались математики XVII—XVIII столе-
тий, начиная с Ньютона и Лейбница. Но опять-таки, как и в слу-^
чае дифференцирования, интегрирование уже полностью превра-
щается в операцию аналитическую, осуществляемую над диф-
ференциальными уравнениями, частным случаем которой являет-
ся решение дифференциального уравнения dyldx = f (х), т. е.
интегрирование функций в более позднем смысле. Вычисление
площадей, объемов, длин дуг и т. п., бывшее исходным пунктом
интегрального исчисления, отступает на второй план.
Мы заранее отказались рассматривать термин «интегрирова-
ние» в столь широком смысле и ограничились рассмотрением раз-
вития интегрирования преимущественно для функций одного пере-
менного. Поэтому далее мы будем вести речь лишь о первой части
первого тома «Интегрального исчисления» (Эйлер [3, стр. 8—224] ),
72 Ргщее это утверждение Эйлер высказал в письме Гольдбаху от 15 декабря
1742 г. В 1747 г. Даламбер опубликовал первое доказательство этой тео-
ремы.
73 В частности, при определении понятия функции Эйлер допускает, что
аргумент ее может быть комплексным переменным [1, стр 30]. Подробнее
о функциях комплексного переменного у Эйлера см. у А. И. Маркуше -
вича [2].
144
притом опять-таки с ограничениями, указанными во введении74.
Относительно дифференциальных уравнений мы отсылаем чита-
теля к работам Н. И. Симонова [1] и А. П. Юшкевича [19, стр.
157—174]. Лишь в связи с эллиптическими интегралами мы крат-
ко остановимся на шестой главе второй части первого тома.
Говоря ранее, что в трудах предшественников Эйлера инте-
грирование фактически сделалось интегрированием функций как
более абстрактных объектов исследования, мы имели в виду ско-
рее объективные тенденции их творчества, нежели вполне осоз-
нанное ^субъективное стремление, сформулированное ими с дос-
таточной определенностью. Последнему в значительной мере меша-
ла недостаточная разработанность аналитического аппарата теории
функций. Эйлер сделал в этом отношении решающий шаг: интегри-
рование у него является исключительно интегрированием функций
и его результатом также является функция, т. е. неопределенный
интеграл, точнее примитивная. Разделу, посвященному интегриро-
ванию функций, предпослано определение 2: «Поскольку диф-
ференциал какой-либо функции от х имеет вид Xdx, пусть теперь
предложено такое дифференциальное выражение Xdx, в котором
X есть какая-либо функция от х', тогда та функция, дифференциал
которой = Xdx, называется его интегралом и обозначается зна-
ком J 75 76, поставленным спереди, так что $ Xdx означает то пере-
менное количество, дифференциал которого = Xdx» (стр. 11).
И Эйлер отказывается от лейбницевского толкования интеграла:
«Это толкование возникло из мало подходящего представления,
согласно которому интеграл рассматривается как сумма дифферен-
циалов, и допустить его можно не с большим правом, чем широко
распространенное представление, будто линия состоит из точек»
(стр. 12).
Хотя интегрирование уравнения вида dyldx — f (х) является
наиболее узким случаем решений дифференциальных уравнений
вообще, тем не менее Эйлер предупреждает, что сам по себе ука-
занный частный случай весьма широк и связан с очень многими
трудностями вследствие многообразия функций / (х) (стр. 24).
Первая глава рассматриваемого тома Эйлера посвящена ин-
тегрированию рациональных функций. Поскольку во «Введении»
он обстоятельно рассмотрел вопрос о разложении рациональной
функции на простейшие дроби, то ему удается решить данную за-
дачу с исчерпывающей полнотой. Сама возможность разложения
целой функции на множители, требующаяся при этом, прини-
мается как аксиома, ибо «алгебра и поныне отнюдь не доведена
до такого состояния, чтобы такое разложение можно было выпол-
нить до конца» (стр. 31). И хотя при разложении на мнимые мно-
жители интегрирование рациональной функции является делом
74 Далее при ссылках на Эйлера мы указываем только страницы в тексте,
имея в виду его книгу [3].
76 В оригинале эйлеровской книги стоит знак S, замененный в русском пе-
реводе тепершним знаком интеграла.
145
более простым 76, Эйлер, однако предпочитает разлагать знаме-
натель дроби на множители вида (а + Ъх)п и (а2 — 2abx cos t +
+ Ъ2х2), ибо при первом способе «будет утомительно попарно
соединять мнимые слагаемые, чтобы получить вещественное вы-
ражение; однако этого безусловно требует суть дела» (стр. 31).
Эйлер не поясняет своих слов. Можно предполагать, что смысл
их следующий. В данном разделе курса Эйлер занимался интег-
рированием вещественных функций. При интегрировании ра-
циональной дроби его интересовала вещественная же примитив-
ная, с помощью дифференцирования которой всегда можно про-
верить правильность выполненной интеграции. При разложении
же на мнимые сомножители в качестве примитивной появляется,
как правило, функция комплексного переменного, и для провер-
ки результата интегрирования нужно дифференцировать такую
функцию. Но теория функций комплексного переменного тогда
только что начала складываться, и видимо поэтому Эйлер не стал
применять таких разложений.
Во второй главе речь идет об интегрировании иррациональных
дифференциалов. Основным приемом при этом является преобра-
зование предложенного дифференциала при помощи соответству-
ющей подстановки в дифференциал рациональной функции, после
чего задача интегрирования решается приемами первой главы.
Еще Ньютон, а за ним Коутс вычислили многие неопре-
деленные интегралы от дифференциалов, содержащих квадрат-
ный корень из квадратного трехчлена. Эйлеру удалось завер-
шить круг решений подобных задач в случае интегралов
J F (х, а + 2Ъх + ex2) dx, где F — знак рациональной функ-
ции, а, Ъ, с — постоянные (стр. 50—53). При помощи соответст-
вующих подстановок, называемых теперь обычно подстановками
Эйлера, ему удалось привести дифференциал такого вида к ра-
циональной форме 76 77.
Следующим видом интегралов от иррациональных дифферен-
циалов, которые Эйлеру в общем виде удалось свести к интегра-
лам от рациональных дифференциалов, были
р г t
Г „ ( / а 4- Ьх \”7 7 а + Ьх / а + Ьх \7Г 1
j l*2'’ \ а' + Ь'х ] ’ у а' + Ь'х ) ’ \ az + Ь'х j ’ ’ ’ J Х
(стр. 55—56).
Далее решается задача интегрирования биноминальных диф-
ференциалов, т. е.
( хт (а bxn)p dx,
76 Так, например, поступает Бугенвилль [1, стр. 139—1441, излагая метод
И. Бернулли.
77 Современные способы вычисления этих и указанных далее интегралов
см., например, в книге А. Ф. Тимофеева [1].
146
где тп, п, р — рациональные числа (стр. 56—57). Эйлер указы-
вает условия рационализации этих дифференциалов: 1) р — це-
лое число, 2) (т + 1)/п — целое число или нуль, 3) (т 4- 1)/п 4-
4- р — целое число или нуль и утверждает, что «невозможно
придумать другие подстановки для этой цели» (стр. 59), т. е.
рационализация этого дифференциала возможна только в ука-
занных случаях. Таким образом, он утверждает не только доста-
точность этих условий для интегрируемости биномиальных диф-
ференциалов (что сделано было Ньютоном еще в 1676 г.), но и их
необходимость. Доказательство этого утверждения было дано толь-
ко в 1853 г. П. Л. Чебышевым [1]. Для иррациональных же пока-
зателей степени соответствующая теорема была установлена
Д. Д. Мордухай-Болтовским в 1926 г.
В следующих двух задачах (стр. 61—69) содержатся формулы
приведения интеграла J хт (а 4" bxn)pdx к более простым интег-
ралам У хт~п (а 4- bxn)p dx или J хт (а 4~ bxn)p~l dx. «Что ка-
сается других иррациональных выражений более сложных, то
для них вряд ли можно дать правила, при помощи которых их
можно привести к более простому виду. В каждом отдельном слу-
чае, когда такие выражения встречаются, приведение по большей
части напрашивается само собой, если только эти выражения
допускают приведение» (стр. 69). Далее рассматривается пример
Приведения интеграла J(PQ'~n'~1dx к интегралу \RQ~n dx.
Главу об интегрировании иррациональных дифференциалов
Эйлер заканчивает (стр. 70—71) условиями рационализации диф-
ференциала
F (х, v) (х 4" ^)р dx,
в котором F является рациональной функцией от х и v =
= У*1 4" я2, & Р — рациональное число.
В связи с задачей интегрирования иррациональных дифферен-
циалов Эйлер в общем виде ставит вопрос о введении трансце-
дентных функций: «Так, если Xdx будет таким дифференциальным
выражением, которое никак не может быть приведено к рацио-
нальному виду, то его интеграл j Xdx придется отнести к новому
роду трансцендентных функций, и нам не остается ничего другого,
как попытаться найти его значение, сколь угодно близкое к ис-
тине. Но допустив существование нового рода трансцедентных
количеств, мы сможем свести к нему интегрирование бесчислен-
ных других выражений» (стр. 53). И после третьей главы «Об
интегрировании дифференциальных выражений при помощи бес-
конечных рядов» (стр. 72—100), на содержании которой мы не ос-
танавливаемся, Эйлер переходит к интегрированию трансцен-
дентных функций.
Первой трансцендентной функцией, появляющейся еще при
интегрировании рациональных дробей, является функция у =
= In х. И Эйлер четвертую главу своей книги начинает
147
с вычисления интеграла
F (х) In [f (ж)] dx
в случае алгебраических F и / (стр. 101—112). Эйлер завершает
здесь исследования, начатые И. Бернулли. Основным приемом
вычисления такого рода интегралов является у него формула
интегрирования по частям, которую он квалифицирует как очень
полезную и в общих чертах характеризует случаи ее применимос-
ти (стр. 102—103).
При рассмотрении интеграла j.7r"(ln х)~п dx Эйлер сталкивается
с новой трансцендентной функцией. При помощи формул приведе-
ния он получает, что этот интеграл сводится к конце-концов к
У.гт(1п.г)-1 dx, а последний подстановкой xm+1 = z сводится к ин-
тегралу У (dz/ln z), По поводу последнего он пишет: «По-видимому,
это выражение представляет особый вид трансцендентных функ-
ций, который заслуживает весьма тщательного изучения» (стр.
111). Подстановкой Z = ех он преобразует ее к виду У (exlx) dx
и разлагает в ряд
соответственно
1 1 /1 \ । In z . (In z)2 .
^4“ In(lnz) 4 j-j-j | 272! b • • • (стр. 115),
где С — так называемая константа Эйлера, введенная последним
в «Дифференциальном исчислении» [2 стр. 303—304]. Эта функ-
ция затем получила наименование интегрального логарифма и
широко применяется в математике.
Для Эйлера вполне очевидна связь логарифметической и
показательной функций, поэтому вслед за этим он изучает интег-
ралы § f (х) axdx (стр. 112—117). Кроме того, в том же разделе
интегрируются при помощи разложений в ряды дифференциалы
xnxdx и xnXxmdx (стр. 117—119).
При интегрировании рациональных дробей, а также при инте-
грировании некоторых иррациональных выражений приходится
сталкиваться с обратными тригонометрическими функциями, а
тем самым и просто с тригонометрическими функциями. И следую-
щая глава книги посвящается изучению дифференциалов, в кото-
рые входят такие функции. Сначала он вычисляет интегралы
J (arcsin х)т F (x)dx, j (arccos х)т F (х) dx, У (arctg x)™F(x) dx,
где F (х) — алгебраически интегрируемая функция (стр. 120—
123). Вслед за этим он переходит к интегрированию выражений,
содержащих тригонометрические функции. Здесь он вычис-
ляет интегралы: У sinncp dtp (стр. 124—125) и У cosncp dtp (стр.
125—126), У sin wcp cosncp dtp (стр. 126—127), У (sinwcp / cosncp) dtp и
148
j cosmcp /siiAp) dtp (стр. 128—132), ^dcp/(sinm ср cosn ср) (стр. 132—
134), J [(a + P cos <p)/(a + b cos cp)n ]dcp (стр. 134—137),
У eac₽sinn cpdcp и j eac₽ cosn cpdcp (стр. 137—140), давая в необходи-
мых случаях соответствующие формулы приведения.
Этим исчерпывается круг интегрирований в конечном виде в
эйлеровском «Интегральном исчислении». Но Эйлер не был бы
Эйлером, если бы в трактате по интегральному исчислению он
опустил вопросы, связанные с эллиптическими интегралами.
Эти вопросы тогда живо интересовали математиков, и ко времени
написания его книги существовала довольно обширная литера-
тура по эллиптическим интегралам, в которую и сам он внес
существенный вклад. Им он посвятил шестую главу второй части
первого тома (стр. 246—376). Мы не собираемся останавливаться
на истории эллиптических интегралов 78, сделаем в связи с этим
только одно замечание.
Казалось бы естественным для Эйлера отнести материал этой
главы в первую часть своей книги, где речь идет об интегрирова-
нии функций, вслед за интегрированием алгебраических ирра-
циональностей, как это сделано, например, у А. Ф. Тимофеева
[1, стр. 179—188]. Эйлер, однако, отнес его в раздел, посвященный
дифференциальным уравнениям, и это требует пояснений.
Ранее не раз подчеркивалась аналитичность труда Эйлера,
его сознательный отказ от привлечения геометрических сообра-
жений. Однако в то время эллиптические интегралы рассматри-
вались преимущественно геометрически, как дуги конических
сечений. К такой их интерпретации был вынужден прибегнуть и
Эйлер [3, стр. 356—357], ибо аналитический аппарат эллипти-
ческих функций, а тем более им обратных, еще не был создан.
Геометрическая же интерпретация противоречила основным ус-
тановкам Эйлера. С другой стороны, такие интегралы оказались
тесно связанными с дифференциальным уравнением
dx __ dy
VА-у 2Вх + Сх* 2Dx* + Ex* “ / А + 2Bi/ + Су* + 2Dy* + Еу* '
интегрируемым алгебраически. Видимо, это и явилось при-
чиной того, что он отнес вопросы, связанные с эллиптическими
интегралами, в раздел дифференциальных уравнений.
Говоря о Ньютоне, мы отмечали, что на первых порах он рас-
сматривал разложение функций в степенные ряды как универсаль-
ное средство интегрирования, лишь позже у него отчетливо выя-
вилась тенденция находить интегралы в конечном виде. Первый
подход Ньютона сохранялся известное время и у других матема-
тиков, и тот же И. Бернулли в своем курсе интегрального исчис-
ления после первых элементарных интегрирований сразу пере-
78 Краткий обзор истории эллиптических интегралов содержится в книге
Вилейтнера [4, стр. 160—164].
149
ходит к интеграциям при помощи степенных рядов. Заметно вы-
ражено это и в других первых руководствах по интегральному
исчислению. Однако к середине XVII в. стремление проинтегри-
ровать предложенный дифференциал в конечном виде становится
преобладающим, что нашло свое отражение, например, в «Трак-
тате по интегральному исчислению» Бугенвилля 11]. Беском-
промиссно выражена эта тенденция и у Эйлера. Его не интере-
сует вопрос об интегрировании при помощи степенных рядов,
и хотя название третьей главы, казалось бы, противоречит ска-
занному, однако если внимательнее вглядеться в ее содержание,
то можно обнаружить, что дело обстоит именно так: здесь не идет
речь о разложении функции с целью нахождения ее интеграла;
во всех случаях Эйлер знает, как находить рассматриваемый ин-
теграл и без разложения подынтегральной функции в ряд; поэто-
му здесь ведется речь по сути дела не о применении рядов для
интегрирования функций, а, наоборот, о применении интегриро-
вания для разложения функций в ряды. И только в шестой главе
речь идет о применении разложений в ряды для нахождения
интегралов; но здесь рассматриваются уже не степенные ряды,
а тригонометрические. Более ранняя идея о применении разло-
жений в степенные ряды для приближенного вычисления любо-
г о интеграла практически совсем испарилась. Взамен ее в седь-
мой главе предлагается другой метод нахождения интегралов с
любой степенью точности, к которому мы обратимся в следующей
главе.
Если интеграции Эйлера в конечном виде сопоставить с ин-
теграциями, содержащимися в достаточно полной монографии
А. Ф. Тимофеева «Интегрирование функции» [1], написанной поч-
ти два столетия спустя, то можно придти к выводу, что никаких
принципиально новых моментов, которых бы не было у Эйлера, в
последней не имеется. Действительно, в качестве основных спо-
собов вычисления интегралов в ней предлагаются: метод разло-
ложения дифференциала на слагаемые (стр. 26—28,) метод под-
становки или введения новой переменной (стр. 29—37), метод ин-
тегрирования по частям. Восходящие чуть ли не к самым истокам
интегрального исчисления, у Эйлера все они применяются в той
же общности, как в книге А. Ф. Тимофеева. Единственным суще-
ственным пунктом, отсутствующим у Эйлера, является формули-
ровка и доказательство так называемой основной теоремы ин-
тегрального исчисления, т. е. теоремы, что всякая непрерывная
функция есть производная от некоторой другой непрерывной
функции (А. Ф. Тимофеев [1, стр. 12—19]). Однако возможность
такой формулировки, и тем более ее доказательства, исторически
появилась только после изменения подхода к самому понятию ин-
теграла, после установления понятий непрерывной функции и
определенного интеграла как предела интегральных сумм.
Это говорит о том, что идея интегрирования как операции,
обращающей обычное дифференцирование, уже в трудах Эйлера
150
и его современников была разработана до своего логического за-
вершения. Правда, в книге А. Ф. Тимофеева мы сможем найти ряд
интеграций, не содержащихся в «Интегральном исчислении» Эйлера
(некоторые ультраэллиптические и псевдоэллиптические интегралы,
интегралы, содержащие тригонометрические функции под зна-
ком радикала и некоторые другие), но в том виде, как они изло-
ложены у А. Ф. Тимофеева 79, они не выходят за рамки общих
идейных установок Эйлера и связаны скорее с большей отточен-
ностью вычислительной техники. Именно поэтому с известным
правом мог в 1933 г. утверждать Н. Н. Лузин, что «математики в
течение 150 лет после смерти Эйлера не смогли пробить бреши в том
кольце интеграций, которое было выковано Эйлером» [7, стр. 363].
То же самое утверждение одновременно было высказано и
А. Н. Крыловым [1, стр. 16].
Сказанное не следует понимать в том смысле, что оконча-
тельное завершение развития понятия интеграла в этом направле-
нии является исключительно делом Эйлера. Он скорее кистью
великого мастера наложил заключительные штрихи на картину
развития, рисовавшуюся целой плеядой его предшественников и
современников, отчасти названных, а отчасти даже не упомяну-
тых 80.
Не следует это понимать и в том смысле, что после Эйлера
в интегральном исчислении в обрисованных пока рамках нечего
было делать. Напротив, работы оставалось сколько угодно, и от-
части она продолжается до наших дней. Но в идейном плане, в
плане развития общего понятия интеграла, дело было завершено.
Для последующего развития математики необходим был новый
подход к самому понятию интеграла.
79 Здесь, например, не указаны глубокие результаты Абеля, Лиувилля,
П. Л. Чебышева и др. относительно интегрируемости в конечном виде.
80 Как мы указывали ранее, подробности относительно этого периода раз-
вития интегрального исчисления содержатся у Виванти [1].
Глава IV
ИНТЕГРАЛ КОШИ
§ 1. Еще несколько замечаний
о математизации естествознания
Предыдущую главу, посвященную тому этапу развития ин-
теграла, когда на передний план выступало неопределенное ин-
тегрирование, мы также начинали с проблемы математизации
естествознания. Вряд ли можно построить непрерывную цепочку
логических доводов, ведущих от общих соображений о математи-
зации естествознания до того относительно частного заключения,
что первичным, исходным в интегральном исчислении следует
брать понятие неопределенного интеграла, рассматриваемого как
обращение операции дифференцирования функций. Тем не менее,
хотя и в весьма общих чертах, такую связь оказалось возможным
наметить. Еще более трудным делом является установление связи
общей идеи математизации науки в XVIII—XIX вв. с тем част-
ным математическим выводом, что основным понятием в интег-
ральном исчислении должно быть понятие определенного интег-
рала. Однако такая связь также представляется несомненной, ибо
именно в проблемах математического естествознания XVIII—
XIX столетий первичным оказывается как раз понятие определен-
ного интеграла, и интеграл неопределенный отступает на второй
план. Однако, прежде чем говорить об этом, сделаем кое-какие
замечания о математизации науки в этот период вообще.
Когда в предыдущей главе речь шла о математизации естество-
знания, то имелась в виду математизация, которая проистекала
из господства геометрических представлений в математике в це-
лом. Эта традиция восходила к грекам и охватывала период до
конца XVII столетия, лишь изредка прерываясь отдельными
аналитическими тенденциями, вроде алгебраических достижений
XVI в. И хотя в конце XVII в. уже достаточно ощутимо проник-
новение в математику аналитических методов, тем не менее лишь
в XVIII в. аналитичность математики стала преобладающей ее
тенденцией, что мы отчасти стремились показать в заключитель-
ных параграфах предыдущей главы х.
В соответствии с этой аналитизацией математики совершался
переворот и в представлениях о математизации естествознания.
Последняя фактически осуществлялась на пути применения во мно-
гих вопросах естествознания именно аналитических методов. Что-
бы убедиться в этом, достаточно вспомнить, например, «Механику
1 Подробнее об этом см. А. П. Юшкевич [3, стр. 384—386].
152
или науку о движении, изложенную аналитически» Эйлера
(1736 г.) или «Аналитическую механику» (1788 г.) Лагранжа.
Анализ стал не только главной математической дисциплиной,
но и главным орудием математического описания действительно-
сти. Открытие анализа не только произвело подлинный переворот
в математике: «ни одно другое открытие не доставило более прос-
тых и более действенных средств для проникновения в познание
законов природы» (Карно [1, стр. 63]). Более того, «для многих
тогда математический анализ был не только математической дис-
циплиной, а универсальной физической теорией» (И. Б. Погре-
бысский [стр. 16]).
Однако, чтобы анализ мог служить в качестве такой универ-
сальной теории, его следовало существенно расширить. Это расши-
рение диктовалось главным образом потребностями естествозна-
ния. Дело в том, что хотя движение по-прежнему составляло глав-
ный предмет исследований в математическом естествознании, хотя
отмеченный ранее дифференциальный характер движения все еще
считался основным его свойством, тем не менее само понятие дви-
жения существенно обогатилось и углубилось, и для его описа-
ния, его аналитического истолкования недоставало тех анали-
тических средств, которыми располагали аналитики XVII и первой
половины следующего столетий. Относилось это прежде всего к
двум важным тйпам движений, изучение которых было тогда пер-
востепенным делом,— различным колебательным процессам ас-
трономии и физики, а также распространению тепла в разнообраз-
ных средах.
При изучении движений названных типов оказалось, что для
их математического описания необходимо было привлечь совер-
шенно новый аппарат аналитического изображения функций —
аппарат тригонометрических рядов 2.
Тригонометрические ряды первоначально возникли преиму-
щественно из рассмотрения ряда задач астрономии и физики и на
первых порах «методы, которыми были выведены эти тригонометри-
ческие разложения, были различны в зависимости от разлагаемой
функции, но, как правило, они по существу дублировали те
методы, которыми пользовались при разложении в степенной
ряд» (А. Б. Паплаускас [1, стр. 7]). Однако по мере накопления
таких разложений, особенно когда Д. Бернулли, исходя из физи-
ческих соображений, сформулировал общий принцип возмож-
ности составления любого колебания в виде суммы синхронных
колебаний (В. И. Смирнов [1, стр. 483]), в математике постепен-
но вставала задача изучения обширного класса тригонометриче-
ских рядов, превратившаяся в XIX в. в одну из центральных за-
дач математики.
При изучении этих рядов чуть ли не основной проблемой
оказалась проблема определения коэффициентов тригонометри-
2 Подробнее об этом см. в книге А, Б. Паплаускаса [1, стр. 17—32].
153
ческого разложения. Когда приступили к ее решению, то нашли,
что наиболее целесообразным способом эти коэффициенты опре-
делялись при помощи определенного интеграла 3. Таким образом,
вопрос о разложении функции в тригонометрический ряд и вопрос
об определенном интеграле оказались тесно связанными. Эта
связь плодотворно проявляется до настоящего времени, и мы не
раз будем обращаться к ней в последующем.
Определенные интегралы выдвигались на авансцену аналити-
ческих методов не только в теории тригонометрических рядов.
Многочисленные задачи теории потенциала сводились к задачам
на вычисление именно определенных интегралов, причем сами
интегралы выступали зачастую в виде некоторых сумм, а не в
виде частных значений примитивной. Понятие определенного ин-
теграла становилось одним из центральных понятий, и Ланграж,
введя его в своей «Аналитической механике» [3, т. I, стр. 114—
115], пользуется им на протяжении всей книги для выражения
самых разнообразных явлений. Поэтому прежний взгляд на оп-
ределенный интеграл как на какую-то частность, получаемую
из неопределенного, вступал в противоречие с той фундаменталь-
ной ролью, которую понятие определенного интеграла начинало
играть при математическом описании действительности.
§ 2. Проблемы обоснования анализа»
Понятия функции и предела
Проблема обоснования анализа в XVII—XVIII вв. является
большой и сложной проблемой истории метематики и ей посвя-
щены многочисленные работы. Мы ограничимся указанием здесь
некоторых работ, где она рассматривается гораздо квалифици-
рованнее, отсылая читателя к работам А. П. Юшкевича [1; 3,
стр. 384—389; 12]; С. Я. Лурье [2]; М. Я. Выгодского [2];
Н. Н. Лузина [10], к которым можно было бы добавить многие
другие, и коснемся в этом параграфе только некоторых сообра-
жений, более или менее связанных с нашим последующим изло-
жением.
В связи с бурным ростом анализа и подчинением им себе раз-
нообразных ветвей математического естествознания по-новому
вставали и проблемы обоснования. Почти до самого XIX столе-
тия образцом математической строгости считались рассуждения
древнегреческих математиков. И, например, тот же Лагранж,
предпринимая в самом конце XVIII — начале XIX веков еще од-
ну очередную попытку обоснования дифференциального исчисле-
ния, выражал надежду, что построенная им теория примитивных
и производных функций позволит «решить . . . основные пробле-
мы анализа, геометрии и механики, зависящие от дифференциаль-
ного исчисления, и придать тем самым решению этих задач всю
строгость доказательств древних» (Лагранж [4, стр. 20]). Действи-
? Подробнее см. А. Б. Паплаускас [1, стр. 32—38].
164
тельно, последними были созданы образцы таких математических
дедукций, которые затем не были превзойдены на протяжении
свыше двух тысячелетий. Однако в их построениях имелся один
существенный элемент, находившийся в противоречии со всеми
основными тенденциями в развитии математики XVII—XVIII вв.—
геометричность строя мышления. Между тем геометрические
представления и соображения все более и более отступали на
второй план. Этот процесс начался очень давно, но особенно он
стал ощутимым со времени создания Ферма и Декартом аналити-
ческой геометрии. И все же, как ни отчетливо были выражены
тенденции к аналитизации, к арифметизации математики до
XIX столетия, когда ученые обращались к исходным принципам
науки, оказывалось, что в их основе лежали геометрические пред-
ставления.
Это противоречило объективному положению, сложившемуся
в математике к концу XVII, когда анализ не только сам вырос в
огромное здание, когда на его основе начали складываться но-
вые обширные математические дисциплины, вроде теории диф-
ференциальных уравнений и вариационного исчисления, но и
когда он сам все более и более подчинял «воздействию своих
мощных методов все новые области знания, от геометрии кривых
и поверхностей, до теории вероятностей, от теории чисел до меха-
ники твердых и жидких тел и молодой в те времена математической
физики» (А. П. Юшкевич [3, стр. 385]).
Ссылаться в этих условиях на геометрические или механиче-
ские представления в целях оправдания основных понятий анали-
за, подтверждать наличие производной у функции существова-
нием касательной у кривой или существованием скорости у точки,
описывающей линию, и подпирать понятие интеграла понятием
соответствующей площади или отрезком пути, пройденного дви-
жущимся телом, означало допускать логическую ошибку. Ведь
к этому времени установившимся принципом изложения анализа
стало следующее построение: первоначально описывались основ-
ные правила анализа — алгоритмы дифференцирования и ин-
тегрирования, затем их применяли к чисто аналитическим и уж
потом к геометрическим и механическим задачам: определяли
касательные, скорости, площади, пути двищущихся тел и т. п.
И если в таком изложении оправдывать, например, существова-
ние производной наличием касательной или скорости, то это оз-
начает определение касательной через понятие касательной, а
скорости — через понятие скорости. Любопытно, что этого круга
в определениях просто не замечали или по крайней мере старались
явно не говорить о нем. Единственным известным нам указанием
на логический круг в доказательствах при ссылках на геометри-
ческую очевидность является замечание Больцано [1,стр. 172—
173]. Отказ от ссылок на геометрическую или механическую
наглядность сопровождался обычно более сложными соображе-
ниями. Так, Лагранж, критикуя ньютоновскую апелляцию к
155
скорости для оправдания понятия производной, писал, что идея дви-
жения чужда анализу и что мы не располагаем отчетливой
идеей того, что есть скорость точки [4, стр. 17], и, напротив, оп-
ределял механическое понятие скорости (или ускорения) через
аналитическое понятие первой (или второй) производной пути по
времени [3, т. 1, стр. 342], добавляя, что при таком к ним подходе
они оказываются «весьма простыми и не зависящими от всякой
метафизики» [3, т. 1, стр. 343].
Когда же геометрия и механика оказались прикладными по
отношению к анализу дисциплинами, то естественным было стремле-
ние построить анализ как автономную, не зависящую от них нау-
ку, основанную на внутреннее присущих ей принципах. И в
1817 г. Больцано совершенно определенно высказывает эту идею
«. . . Нетерпимым нарушением хорошего метода является, когда
истины чистой (или общей) математики (т. е. арифметики, алгеб-
ры или анализа) желают вывести из соображений, которые при-
надлежат прикладной (или частной) ее части, а именно — геомет-
рии» [1, стр. 171]. Несколько далее он выражается еще решитель-
ней, утверждая, что «понятие времени, а тем более движения,
столь же чужеродно общей математике, как и понятие простран-
ства» [1, стр. 173].
Однако для такого перехода к построению математического ана-
лиза нужно было провести огромную подготовительную работу,
особенно в отношении понятий функции и предела.
По поводу понятия функции мы- не раз уже говорили ранее.
Здесь добавим только следующее.
Бернуллиевское определение функции как аналитического вы-
ражения, составленного каким-либо образом из переменных и кон-
стант, сколь бы неопределенным оно ни было, в течение всего
ХУШ столетия оставалось основным рабочим инструментом.
Лагранж в «Теории аналитических функций» продолжал его фор-
мулировать в следующих словах: «Функцией одной или несколь-
ких величин называется всякое аналитическое выражение (toute
expression du calcul), в которое величины входят произвольным
образом, в сочетании или нет с другими величинами, которые
рассматриваются как имеющие заданные и неизменные значения,
тогда как величины функции могут получать все возможные зна-
чения. Таким образом, у функций рассматриваются только вели-
чины, предполагаемые переменными, не обращая внимания на
константы, которые могут содержаться там» (Лагранж, [4, стр. 15]).
Впрочем, были попытки определять понятие функции и более
общим образом. Еще в 1755 г. Эйлер формулировал его так: «Ког-
да некоторые количества зависят от других таким образом, что при
изменении последних и сами они подвергаются изменению, то пер-
вые .называются функциями вторых. Это наименование имеет
чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, ка-
кими одно количество может определяться с помощью других»
[2, стр. 38]. Эту формулировку воспринял затем Лакруа, подчерк
136
кнув при этом, что зависимость мыслится такой, что не обязатель-
но знать, какие операции нужно совершить над независимым
переменным, чтобы получить значение функции [1, т, 1, стр. 1].
Ее же он воспроизвел в последующих изданиях своего трактата
и в многочисленных переизданиях своего элементарного курса
дифференциального и интегрального исчисления. В 1822 г. ана-
логичную дефиницию предложил Фурье 4, а в 1834 г.— Н. И. Ло-
бачевский 5; она имелась в рукописи Больцано (1830 г.) 6.
Поэтому не столь уже неожиданным было определение Ди-
рихле 1837 г. [2, стр. 133]: «Пусть а и Ъ — два фиксированных зна-
чения, ах — переменная величина, принимающая все значения,
расположенные между а и Ь. Если теперь каждому х соответствует
одно единственное конечное у и притом так, что когда х непрерыв-
но пробегает интервал от а и Ь, у — f (х) также постепенно (al-
Imalich) изменяется, то у называется непрерывной (stetige oder
continuirliche) функцией от х в этом интервале. При этом совсем
не обязательно, чтобы у во всем этом интервале зависела от х
по одному и тому же закону. ..». Более того, определение Ди-
рихле, будучи более четким, в некоторых отношениях, по сущест-
ву все же менее общее, чем эйлеровское, так как в нем речь идет
только о непрерывных функциях, хотя Дирихле широко поль-
зовался и разрывными функциями и за несколько лет до того
даже рассматривал функции с бесконечным числом разрывов и
дал пример знаменитой функции Дирихле [1, стр. 22—23].
На этом мы столь подробно остановились, исходя из следую-
щих соображений. В общем-то сказанное отмечалось в историко-
математической литературе7. И все же отнесение этого определе-
ния к XIX столетию в известной мере оправдано. Дело в том,
что определение Эйлера носило очень долго чисто номинальный
характер, рабочим же определением было то, которое сформулиро-
вали И. Бернулли и Лагранж. Это подтверждается тем фактом,
что в известном споре о звучащей струне, когда, казалось бы, бы-
ло уместным воспользоваться приведенной дефиницией (этот спор
происходил между Даламбером, Эйлером, Д. Бернулли я др.
в 40—70-х годах XVIII столетия) 8, участники полемики в общем
случае прибегали к геометрическому понятию произвольно на-
черченной кривой, а не к указанному определению Эйлера. Так
что хотя формально это понятие существовало, но его не приме-
няли даже тогда, когда оно, казалось бы, было необходимым по
самой сути дела.
Условия для применения столь общего понятия функции еще
не созрели. Для интересующего нас в данном случае периода ис-
тории интеграла было нужно еще не это общее определение, а его
4 См. К. А. Рыбников [2, стр. 34].
6 Н. И. Лобачевский [1, стр. 43] и комментарий к этому определению.
6 Э. Я. Кольман [1, стр. 53—54].
? См. А. П..Юшкевич [18].
8 О нем см. Н. Н, Лузин [9, стр. 319—328]; А. Б. Паплаускас [1, стр. 17—38].
157
частный случай — понятие непрерывной функции. К сожалению,
история возникновения этого важного понятия еще не прослеже-
на, и мы вынуждены ограничиться ссылкой на Больцано (1817 г.),
у которого соответствующее определение сформулировано вполне
четко: «... понимают под выражением, что функция / (х) изме-
няется по закону непрерывности для всех значений х, которые ле-
жат внутри или вне известных границ, лишь то, что если х какое-
нибудь из этих значений, тогда разность / (х + со) —/ (х) мо-
жет быть сделана меньше, чем любая заданная величина, если
можно принять о столь малым, сколь мы хотим» [1 стр. 174—
175]. Если добавить очевидное требование взятия абсолютной
величины разности / [х + о) — / (х), то перед нами вполне сов-
ременное (разумеется не в конструктивистском смысле и не в
смысле нестандартного анализа) определение непрерывности функ-
ции одного действительного переменного, вполне пригодное для
той формулировки понятия интеграла, которым мы предполагаем
заняться в настоящей главе. Более позднее определение Коши
[1, стр. 32—33] является менее четким вариантом приведенного
определения Больцано.
И в заключение параграфа немного о понятии предела.
Это фундаментальное понятие математики явилось предметом
многочисленных историко-научных исследований. Историки мате-
матики довольно радикально расходятся в вопросе о времени
введения его в математику. Одни относят его появление к периоду
древнегреческой математики и даже доходят до утверждения,
что до XX столетия в понятие предела не было внесено ничего
принципиально нового по сравнению с древнегреческими уче-
ными 9. Другие связывают первую отчетливую формулировку
понятия предела с именем Григория Сен-Винцента (Но [1]).
Третьи утверждают, что научная идея предела исходит от Нью-
тона и лишь у некоторых его предшественников, например у
Грегори, можно найти следы вопроса о пределе (Н. Н. Лузин
[10, стр. 392—393]). И т. д. и т. п. Не наше дело разбираться здесь
в этом, устанавливать, кто из указанных авторов, а также и не
указанных, прав. Для нас несомненно то, что такая основопола-
гающая идея, какой является идея предела, имеет очень древнее
происхождение; только в различные исторические эпохи развития
математики она принимала разные формы, и расхождение во
взглядах историков математики обусловлено тем, что еще не под-
ведена единая общая основа под эти разнообразные формы. Не-
сомненно, что в разработке ее принимали участие многие поколе-
ния математиков. К названным именам можно было бы добавить
имена Стевина, Такэ, Даламбера, Люилье, С. Е. Гурьева, Боль-
цано и многих других. Так что ко времени Коши (1821 г.) понятие
—предела было развито настолько, что Коши к нему мало что до-
бавил.
9 Так, например, заявляла И. Г. Башмакова в одном из своих выступлений
на семинаре по истории математики в МГУ в октябре 1967 г.
158
Однако до Коши ситуация в анализе была своеобразной. На-
ряду с предельным обоснованием анализа (отчасти у Ньютона,
Даламбера, Лакруа и др.), широкое распространение имели и
другие способы его обоснования (метод исчерпывания, примене-
ние бесконечно малых величин, исчисление нулей и т. д.). И в
1797 г. Карно [1] имел некоторое право объявить их в известном
смысле равноправными.
Основная заслуга Коши заключалась не в том, что он создал
понятие предела, а в том, что он радикально изменил указан-
ную ситуацию, установив центральное положение этого понятия
в анализе и отбросив все другие способы его обоснования. Такому
изменению способствовало главным образом то, что Коши не огра-
ничился, как большинство его предшественников, применением
идеи предела к обоснованию существовавшего здания анализа,
а стал пользоваться им как орудием исследования весьма много-
численных новых фактов анализа, получив на этом пути тонкие
и существенные результаты. В частности, на понятии предела им
была построена новая теория интеграла.
§ 3. Обстоятельства, выдвигавшие на передний план
понятие определенного интеграла
В двух первых главах мы старались показать, что первона-
чально понятие интеграла выступало в форме определенного ин-
теграла. В этой его форме оно прямо давало ответ на разнообраз-
ные вопросы геометрии и статики: при нахождении длин, площа-
дей, объемов, моментов инерции, статических моментов и т. д.
нужно было научиться вычислять определенные интегралы как
некоторые суммы. Дифференциальное исчисление дало такой прием
вычисления интегралов, который включал в себе все предшеству-
ющие приемы и вместе с тем позволял решить ряд новых проблем,
не поддававшихся решению прежними способами. Закономерным
явилось то, что вычисление интегралов при помощи обращения
дифференцирований было возведено в принцип и стало главным
предметом исследований. При этом определенный интеграл в той
его форме, в которой он появился вначале, подвергнутый к тому
же сомнениям разнообразными критиками, настолько отступил
в тень, что для него долго не было введено специального обозна-
чения, а термин «определенный интеграл», применялся лишь для
обозначения частного значения неопределенного интеграла.
Главной задачей интегрального исчисления стало отыскание
примитивной для предложенного дифференциального выраже-
ния. Как мы говорили, при таком подходе к интегральному ис-
числению его можно было замкнуть в рамки определенных задач,
решение которых могло бы занять умы многих и многих поколе-
ний математиков: достаточно было бы вводить все новые и новые
трансцендентные функции, изучать их свойства, составлять с их
помощью новые дифференциальные выражения, в случае невы-
159
числимости интегралов от них вводить трансцендентности вновь
и т. д. Небезынтересно, что в 1808 г., т. е. незадолго до коренной
ломки в концепции интеграла, такой большой математик, как
Гаусс, по-видимому, представлял себе развитие интегрального
исчисления именно в этом направлении и даже собирался писать
большой труд на эту тему: «В интегральном исчислении меня зна-
чительно меньше интересует то, что относится только в подстанов-
кам, преобразованиям и т. п., короче говоря, к известному ис-
кусно применяемому механизму, сводящему интегралы к алгеб-
раическим, логарифмическим или круговым функциям, чем тща-
тельное и глубокое исследование таких трансцендентных функ-
ций, которые не могут быть сведены к тем функциям. С круговы-
ми и логарифмическими функциями мы умеем теперь обходиться,
как единожды един, но великолепный золотой родник, хранящий
сокровенное высших функций, остается пока terra incognita.
Я очень много работал над этим прежде и со временем дам собст-
венный большой труд об этом. . .» 10.
Однако развитие понятия интеграла пошло не в этом направ-
лении, а в возвращении к концепции определенного интеграла.
Причин для такого возвращения было много.
Прежде всего с повестки дня не снимались те вопросы, которые
решались при помощи определенного интеграла: то же, например,
нахождение площадей в случаях кривых, более сложных, чем
кривые более раннего периода развития математики, по-прежнему
стояло на повестке дня. Теоретически этот вопрос решался очень
просто в рамках взгляда на интегрирование как обращение диф-
ференцирования: чтобы найти площадь, задаваемую любой|кри-
вой, достаточно знать ее уравнение, представляемое в явном виде
как функция у = / (х), вычислить неопределенный интеграл
F (х) — J/ (х) dx, затем найти значение F (х) в искомых точках а
и & и определить разность F (6) — F (а). Это было известно, как
мы отмечали в своем месте, со времени Ньютона. Однако практи-
чески эта задача оказывалась очень сложной. Дело в том, что
находить функцию F (х) по заданной f(x) за полтора столетия, про-
текшие с середины XVII до начала XIX вв., научились только
в весьма ограниченном числе случаев, почти исчерпанном Эйле-
ром. Ньютоновский прием разложения функции / (х) в степенной
ряд очень скоро исчерпал себя по двум причинам: во-первых,
даже в достаточно, казалось бы, простых случаях, вроде разло-
жения в ряд дифференциала дуги эллипса, получались ряды, за-
кон следования коэффициентов которых не удавалось очень дол-
го обнаружить и которые сходились очень медленно; во-вторых,
нередко при разложении / (х) получались расходящиеся ряды,
которые вообще вызывали сомнения. И как мы видели, уже Эйлер
отказался от такого способа приближенного вычисления интегра-
лов, а степенные ряды стали выполнять у него другую роль.
10 Цит. по А. И. Маркушевичу [3, стр. 170].
160
Кроме того, при помощи определенных интегралов оказалось
возможным решить целый ряд новых проблем, встававших в ма-
тематике XVIII в. Мы не можем сколько-нибудь подробно оста-
навливаться на этих проблемах и ограничимся простым их пере-
числением. В XVIII столетии при помощи определенных интег-
ралов начали вычислять суммы разнообразных бесконечных сте-
пенных рядов; определенные интегралы выступали как средство
аналитического изображения некоторых трансцендентных функ-
ций (например, бета- и гамма-функций Эйлера); с их помощью
начали представлять решения многих дифференциальных урав-
нений; определенными интегралами стали выражать остаточные
члены рядов; отдельные определенные интегралы начали играть
важную роль в теории вероятностей, в разнообразных вопросах
математической физики и т. д.
Естественно, что к вычислению отдельных определенных ин-
тегралов было приковано внимание большинства аналитиков.
Особенно большой вклад в это дело внес Эйлер: достаточно указать,
что его работы-на эту тему занимают два тома его Opera omnia,
не считая других работ, где вычисление определенных интегралов
не является основной проблематикой. Много внимания этим воп-
росам уделяли Лагранж, Л апл ас,. Пуассон, Коши, не говоря уже
о математиках меньшего ранга. Были разработаны специальные
приемы вычислений, из которых упомянем метод замены у интег-
рируемой функции действительного аргумента комплексным с
последующим отделением действительной и мнимой частей, а
также методы дифференцирования и интегрирования по парамет-
ру п.
Еще, пожалуй, острее проблема определенных интегралов ста-
вилась при многомерном интегрировании: вся история кратного
интегрирования в XVII—XVIII вв., особенно в применении ее
в задачах математического естествознания, неразрывно связана с
представлением интеграла как суммы.
Эти обстоятельства, разумеется, способствовали выдвижению
на передний план понятия определенного интеграла. Однако для
того, чтобы оно приобрело ранг самостоятельного понятия, не
зависящего от понятия примитивной функции, нужно было, во-
первых, убедиться, что в ряде случаев старое определение интегра-
ла как разности примитивных не действует, а во-вторых, найти но-
вый (вернее, возродить старый, но на более высоком уровне) спо-
соб его определения, не связанный с дифференцированием. В не-
которой мере и то и другое случилось во второй половине XVIII
столетия, и два следующих параграфа мы посвящаем этим собы-
тиям. *
11 Своеобразное изложение методов вычисления определенных интегралов
содержится в книге Раабе [2].
6 Ф. А. Медведев
161
§ 4. Обнаружение непригодности рассмотрения
определенного интеграла кап разности значений
примитивной в случае функций,
принимающих бесконечные значения
в промежутке интегрирования
По-видимому, первым, кто столкнулся с этим фактом, был
Даламбер. Рассматривая в 1768 г. несколько искусственную зада-
чу об определении скорости тела, движущегося по прямой и на-
ходящегося на расстоянии а от центра силы, равной 1/х2 и сох-
раняющей одно и то же направление до и после прохождения тела
через центр, он составляет дифференциальное уравнение
7 dx
и du = --------- ,
(а — ху
(1)
где и — скорость тела в точке с координатой х. Интегрируя, он
находит, что
Из формулы 2 вытекает, что при х а значение и становится
мнимым. После этого Даламбер делает не очень ясное заключе-
ние, которое мы изложим его словами: «Однако значение udu
при х > а всегда положительно 12, как это и должно быть в рас-
сматриваемом случае, ибо если мы предположим, что при х а
сила из центростремительной превращается в центробежную 13,
то скорость, являющаяся бесконечной в центре? должна затем
увеличиться еще, когда подвижная точка прошла через центр,
поскольку тело получит толчок в том же направлении, что и
прежде. Выражение для скорости, чтобы быть соответствующим
истине, должно, следовательно, содержать величину, которая
остается бесконечной при х а. Таким образом, вычисление
здесь является тем более ошибочным, что выражение 1/я2 для си-
лы является точным и с той и с другой стороны от центра,
поскольку направление силы все время одно и то же»
[1, стр. 63] 14.
Затем это же явление он иллюстрирует и геометрически на
примере площади гиперболы, получая, что хотя рассматриваемая
площадь всегда положительна, однако вычисление ее по формуле
Лейбница — Ньютона дает для нее отрицательное значение, и,
наконец, рассматривает аналогичный случай интеграла J (l/xw) dx.
Из всего этого он делает такой вывод: «Мне кажется, что геомет-
ры еще не заметили этого парадокса, парадокса величины, выра-
жение которой делается в некоторых случаях ошибочным после
12 Это следует из формулы (1).
13 По условию задачи она должна сохранять одно и то же направление.
14 Мы не останавливаемся здесь на выяснении существа дела, так как далее
все встанет на свои места.
162
того, как она проходит через бесконечность, если после этого пере-
хода она не становится отрицательной» [1, стр. 64].
Как раз случай Даламбера функции, принимающей бесконеч-
ное значение в промежутке интегрирования, в 1804 г. рассмотрел
Лагранж, не ссылаясь, однако, на Даламбера. В девятой лекции
своих «Лекций по исчислению функций» [5] он рассматривает фор-
мулу
ъ
$ f (х) dx = f(b) — j (а). (3)
а
Доказав ее в предположении ограниченности /' (х), Лагранж да-
лее продолжает: «В дифференциальном исчислении предыдущее
заключение является непосредственным и необходимым следствием
того способа, которым исследуется само это исчисление, и оно
представляется даже без какого-либо ограничения относительно
бесконечных значений» [5, стр. 69] 15.
Показав затем, что в предположении ограниченности производ-
ной примитивная от /' (х) будет того же знака, если х > 0, Лаг-
ранж пишет: «Однако, если, например, z/=l/(a — z)— 1/а,
где а — какая-либо положительная константа, то при z = 0,
будем иметь у = 0, а значение dyldz по известным правилам диф-
ференцирования будет 1/(а — z) 2. Последнее значение всегда поло-
жительно, каково бы ни было значение z; следовательно, нужно
было бы, чтобы значение у всегда было положительным, чего
на самом деле нет, ибо беря z больше а, получаем у отрицательным.
Таким образом, в этом случае принципы дифференциального
исчисления ошибочны.
В соответствии с только что установленным принципом зна-
чения у будут положительными лишь постольку, поскольку про-
изводная dyldz не становится бесконечной в области изменения
значений z. Но dyldz, равная 1/(а — z)2, становится бесконечной
при z = а. Следовательно, значения у будут необходимо положи-
тельными от z = 0 до z = а; но они могут не быть таковыми, ког-
да z а, хотя значения производной функции 1/(а — z)2 всегда
положительны» [5, стр. 69—70].
Таким образом, Лагранж фактически запрещает пользоваться
понятием интеграла в случае функций, обращающихся в беско-
нечность в интервале интегрирования. Тот же факт, что при вы-
воде формуле (3) обращение функции в бесконечность никак не
учитывается, он рассматривает как дефект традиционного диф-
ференциального исчисления, служащий доводом в пользу пере-
стройки анализа на новых основах, именно на тех, которые пред-
лагал Лагранж [5, стр. 69]. Это был один из подходов к вопросу
интегрирования неограниченных функций. Другой путь вскоре
наметили Гаусс и Пауссон.
15 Лагранж имеет в виду традиционное доказательство, на котором мы ос-
тановимся далее.
163
6*
Сам Гаусс ничего не опубликовал по этому вопросу. Однако
в конце 1811 г. он послал письмо Бесселю, в котором изложил
свое мнение об интегрировании неограниченных функций [1] 16,
В этом письме он подчеркивает, что в точках, в которых функция
обращается в бесконечность, «понятие интеграла ср (#) dx теряет
ясность и приводит к противоречиям» (А. И. Маркушевич [3,
стр. 183]).
Выход из создавшегося положения Гаусс видит не в том, чтобы,
как Лагранж, отказаться от применения понятия интеграла к
неограниченным функциям, а в переходе к теории функций ком-
плексного переменного, ибо если ограничить анализ функциями
только действительного переменного, то эта наука «теряет исклю-
чительно много в красоте и законченности и вынуждена каждое
мгновение присоединять в высшей степени обременительные ог-
раничения к истинам, которые иначе имели бы значение всеоб-
щих» (А. И. Маркушевич [3, стр. 182]). Чтобы снять одно из та-
ких ограничений в отношении понятия интеграла, Гаусс предла-
гает рассматривать интегрирование в комплексной плоскости и в
качестве промежутка интегрирования выбирать такой путь в
плоскости, на котором интегрируемая функция комплексного
переменного не обращается в бесконечность. А так как в плоскос-
ти таких путей, соединяющих две заданные точки, бесконечно
много, то Гаусс формулирует без доказательства (обещая его дать
при удобном случае, который ему, однако, не представился) тео-
рему, что интеграл J ср (х) dx при двух различных переходах
от одной точки к другой сохраняет одно и то же значение, если
внутри части плоскости, заключенной между двумя путями ин-
тегрирования, функция ср (х) не обращается в бесконечность17.
В том же случае, если путь интегрирования, не проходя через
точку х, в которой ср (х) = оо, содержит ее внутри себя, функция
становится многозначной, принимая столько значений, сколько
раз совершается обход вокруг этой точки. В качестве примера
х
Гаусс приводит функцию 1пя =
dx^ для которой точка
х — 0 является особой и при каждом ее обходе к значению функ-
ции будет прибавляться константа + 2т.
Однако наиболее ясным был ход мыслей по этому вопросу у
Пуассона. В цикле статей под общим названием «Мемуар об опре-
деленных интегралах», опубликованных в 1813—1823 гг., он за-
нимался вычислением многих определенных интегралов. В пер-
вых двух мемуарах (1813, 1815 гг.) при этих вычислениях он на
интегрируемую функцию накладывал условие ограниченности.
16 Перевод основной части этого письма содержится в статье А. И. Марку-
шевича [3, стр. 182—184].
17 При соответствующих ограничениях это является основной теоремой тео-
рии функций комплексного переменного.
164
В 1820 г. он рассмотрел и тот случай, когда функция обращается
в бесконечность (Пуассон [1]).
Пуассон не ссылается при этом ни на Даламбера, ни тем более
на Гаусса, ограничившись ссылкой на приведенные выше указа-
ния Лагранжа. Удивительно, однако, то, что почти все рассмот-
ренные им примеры неограниченных функций совпадают с далам-
беровскими и гауссовыми. Ход его рассуждений следующий 18.
Указав на то, что значение интеграла dx/x, а также ин-
—1
• тегралов \ dxjx™ в случае четных т отрицательны (имеется в виду
—г
ъ
вычисление их по формуле \f(x)dx==f(b) — /(а)), хотя подын-
а
тегральная функция во всех случаях положительна, а так-
же что значение dx/x равно In (— 1), т. е. бесконечному числу
—1 ______________________________________
комплексных величин вида (2n + 1) л У—1, при действитель-
ных я, Пуассон пытается выяснить это затруднение. Для этого
он обычным способом сначала доказывает формулу (3). Затем
замечает, что с самого начала интегрального исчисления опреде-
ленный интеграл рассматривался как сумма дифференциалов, и
продолжает: «Давно чувствовалось, что это понятие является
истинной теоремой, требующей доказательства» (Пуассон [1, стр.
319]), отмечая далее, что теперь в интегральном исчислении дока-
зывают (следует ссылка на Лакруа)19, что / (Ь) — / (а) есть сум-
ма дифференциалов /' (я) dx при изменении х от х = а до х = Ъ
в предположении ограниченности /' (я), а также, что это справед-
ливо и для комплексных х. Отметив после этого, что, как показы-
вают приведенные выше примеры, представление интеграла как
суммы дифференциалов отказывает работать в случае неограничен-
ной f (х), Пуассон, подобно Гауссу, предлагает сохранить такое
представление об интеграле путем выхода в комплексную плос-
кость. На примерах функций у = Их и у = i/x™ он показывает,
что, введя новую переменную х =— (cos z + isin z), можно вы-
4-1 +1 ь
числять интегралы dxfx и dxjxm по формуле /' (х) dx =
—1—1 а
= f (b) —f (а), при этом теряется их прежний парадоксальный
характер: в первом из них теперь суммируются комплексные эле-
менты, поэтому не удивительно, что его значение комплексно, а
во втором при четном т дифференциалы получаются отрицатель-
18 Он описан также А. П. Юшкевичем [3, стр. 397—399].
19 О доказательстве Лакруа речь будет в следующем параграфе.
165
ными, «а потому нет абсурда в том, что их сумма будет отрица-
тельной величиной» (Пуассон [1, стр. 321]).
Пуассон, однако, не делает тех далеко идущих выводов, ко-
торые сделал ранее Гаусс, ограничиваясь применением комплекс-
ных чисел к вычислению определенных интегралов. Оставляя это
в стороне, мы заметим только, что в этой же работе он обратил
внимание на то, что свойство аддитивности интеграла, т. е. ра-
Ъ с Ъ
венство
не сохраняется
а а с
в случае / (х), обращающейся в бесконечность в точке с, и про-
оо
иллюстрировал это примером интеграла dx/(i — х2) с точкой
с=1, (Пуассон [1, стр. 324—325]). 0
Таким образом, в случае неограниченных функций то понятие
об определенном интеграле, с которым работали математики
XVIII в., т. е. понятие, вытекающее из рассмотрения интегри-
рования как обращения дифференцирования, оказывалось непри-
годным. Вместе с тем при рассмотрении интегралов от неограни-
ченных функций наметился возврат к старой концепции определен-
ного интеграла как суммы.
§ 5. Подход к новому способу рассмотрения
определенного интеграла
Математики первой половины XVIII в., как правило, рас-
сматривали разложение в степенной ряд интегрируемой функции
как универсальное средство приближенного вычисления интегра-
лов. Однако еще в 1676 г. Ньютон в письме к Лейбницу отметил,
что в некоторых случаях ряды неудобны для вычислений и что в этих
случаях он предпочитает другой имеющийся в его распоряжении
метод, дающий «произвольное приближение к искомому», в основе
которого лежит «удобное и легкое общее решение следующей
проблемы: описать геометрическую кривую, проходящую через
любое заданное число точек» [5, стр. 242], квалифицируя эту про-
блему как одну из прекраснейших задач, которые он желал бы
решить [5, стр. 243]. Здесь он, однако, не раскрыл ни этого метода,
ни способа применения его к приближенному вычислению ин-
тегралов.
В «Математических началах натуральной философии» (кн. 3,
лемма 5) он для приближенного вычисления интегралов предла-
гает находить кривую параболического типа, проходящую через
произвольное число точек кривой, указывая на необходимость
вычисления последовательных разностей для этой цели, а затем
заменять рассматриваемую кривую построенной таким образом
параболической кривой. Значение интеграла этой параболиче-
ской кривой он и принимает за приближенное значение искомого
интеграла.
166
Но только в «Методе разностей» Ньютон несколько более об-
стоятельно разъясняет этот свой способ. Здесь он дает известную
интерполяционную формулу20, а затем разъясняет, как ею
пользоваться для определения площадей кривых [7, стр. 216—
217]. После Ньютона были предложены другие способы. Однако
в интересующем нас отношении с наиболее чреватым последст-
виями оказался способ Эйлера.
Этому способу посвящена VII глава эйлеровского «Интеграль-
ного исчисления», называющаяся «Общий метод приближенного
нахождения каких угодно интегралов» (Эйлер [3, стр. 161—183]).
Здесь он с самого начала ставит задачу «отыскать с любой точ-
ностью значение какого угодного интегрального выражения ‘
у — j Xdx».
Мы не будем подробно останавливаться на способе Эйлера,
так как он обстоятельно разобран в уже не раз упоминавшейся
работе А. П. Юшкевича [3, стр. 377—380], и коротко опишем лишь
общую схему его рассуждений.
Эйлер разбивает промежуток от а до х на частичные промежут-
ки и, беря значения / (х) в левых (или в правых) концах частичных
промежутков, составляет суммы
п п
2 f (*^г+1 *^г), 2 f (^i+1) (^г+1 *^г)>
i =0 г=0
которые и принимает за приближенное значение интеграла, полу-
чаемое тем точнее, чем мельче берется разбиение интервала (а, х).
В некоторых случаях он рекомендует умножение длины частич-
ных промежутков не на значение функции в том или ином конце,
а на их среднее арифметическое.
Казалось бы, что здесь оставалось сделать лишь один шаг,
чтобы вообще рассматривать определенный интеграл как предел
сумм. Эйлеру, однако, такая точка зрения совершенно чужда:
для него определенный интеграл представляет собой только част-
ное значение неопределенного и давать специальное определе-
ние ему — это значит давать специальное определение частному
значению функции. Кроме того, он не разделял концепции преде-
ла и взгляда на интегрирование как суммирование, о чем мы го-
ворили в предыдущей главе. Правда, вопреки своим первоначаль-
ным соображениям на этот счет, он все же вынужден здесь на-
писать: «Интегрирование обычно определяется так. Говорят,
что это есть суммирование дифференциального выражения xdx,
если переменному х придавать последовательно все отличающиеся
друг от друга на разность dx значения, начиная от некоторого
данного значения вплоть до х, разность же эту нужно считать
бесконечно малой. Таким образом, этот способ представления
интегрирования подобен тому, согласно которому в геометрии
20 Ранее он опубликовал ее в «Началах» (Ньютон [6, стр. 544]).
167
линии мыслятся как совокупности бесчисленных точек. Подобно
тому как это последнее представление, если его правильно выра-
зить, может быть допущено, так можно допустить и приведенное
объяснение интегрирования 21, когда на помощь ему призваны,
как это нами здесь сделано, истинные начала, чтобы можно было
отразить всякие нападки» (Эйлер [3, стр. 163]). г
Однако, хотя Эйлер и не пошел далее в направлении подхода
к представлению интеграла как предела сумм, тем не менее его
прием приближенного вычисления интегралов послужил мостом
к этому переходу. Более того, в той же главе VII мы можем найти
прямое указание на то, что такой способ приближения неприме-
ним к неограниченным функциям (Эйлер [3, стр. 164]).
Нельзя также не остановиться на такой любопытной детали.
В предыдущей главе мы отмечали, что то, что мы называем теперь
теоремой Лейбница — Ньютона, ни Ньютон, ни Лейбниц ни их
ближайшие последователи не формулировали как самостоятель-
ную теорему. Не сделал этого даже Эйлер. Это не означает, что
они не пользовались ею. Напротив, в приложениях интеграль-
ного исчисления она выступает у них как необходимое орудие,
и ею все время пользовались. Но выделять ее как самостоятель-
ное, а тем более важное, положение интегрального исчисления
они не считали нужным. Объясняется это все тем же господству-
ющим взглядом на интеграл как на разность двух частных зна-
чений функции; стоило ли говорить об этом как о чем-то достой-
ном высокого имени теоремы?
Дальнейшее развитие идеи Эйлера получают у Лакруа. Мы
тоже не будем останавливаться подробно на этом, отсылая читателя
опять-таки к статье А. П. Юшкевича [3, стр. 380—384]. Скажем
только, что период, протекающий между выходом первого тома
эйлеровского «Интегрального исчисления» (1768 г.) и опублико-
ванием первого издания второго тома «Трактата по дифференциаль-
ному и интегральному исчислению» Лакруа (1798 г.), был перио-
дом энергичной борьбы Даламбера и других за широкое исполь-
зование в анализе понятия предела, и это не прошло бесследно.
Лакруа, несомненно, находился под заметным идейным воздей-
ствием Даламбера, поэтому при изложении эйлеровского способа
приближенного вычисления интегралов он чуть-чуть не начал
определять интеграл как предел интегральных сумм. А. П. Юш-
кевич даже пишет в этой связи, что Лакруа «более ясно и уже в
духе укреплявшейся в его время теории пределов развил точку
зрения на интеграл как результат процесса суммирования» [3,
стр. 381], что он «очень близко подошел к формулировке опреде-
ления интеграла как предела некоторой суммы» [3, стр. 382],
что, «исходя в основном еще из позиций XVIII в., Лакруа, таким
образом, подошел уже к идее об определенном интеграле, как пре-
21 Как мы отмечали ранее, в первой главе этой же книги он считал недо-
пустимым и то и другое (Эйлер [3, стр. 12]).
168
деле числовой суммы, заодно введя две суммы, изученные много
позднее и более полно французским математиком Дарбу» [3, стр.
383J.
Такому подходу способствовал также усилившийся интерес к
определенному интегралу как самостоятельной сущности, о чем
мы уже говорили. Не случайно, что именно в этом курсе форми-
руется почти вся терминология, относящаяся к определенному
интегралу. Получает здесь определенный интеграл и свое опреде-
ление как разности значений примитивной. Здесь же, видимо
впервые, с полной определенностью формулируется и доказы- .
вается теорема Лейбница — Ньютона.
И все же Лакруа не стал создателем того понятия определен-
ного интеграла, которое несколько позднее ввел Коши. Этому по-
мешал дух XVIII столетия: первичным пока был интеграл неоп-
ределенный, и все устремления Лакруа направлены только на
приближенные вычисления, а не на дефиницию. Впрочем, получив
свою приближенную формулу, Лакруа, как бы оправдывая сум-
маторную точку зрения, писал: «При рассмотрении разностей
а± — а, а2 — а±, а3 — а2 и т. д. как бесконечно малых величин
Y' (аг — a), Yi (а2 — aj, У2 (а3 — а2) и т. Д. станут тем, во что
превращается дифференциал X dx, когда последовательно пола-
гают х = а±, х = а2 и т. д. Именно с этой точки зрения понимают
интеграл как сумму бесконечного числа бесконечно малых эле-
ментов, равных последовательным значениям, принимаемым диф-
ференциалом при различных изменениях, испытываемых перемен-
ной х» [1, стр. 137]. И тем не менее такая точка зрения для него
чужда, и он лишь отдает дань старой традиции, хотя при этом
чувствуются и новые веяния.
Таким образом, идея приближенного вычисления интегралов
вплотную привела к порогу новой концепции интеграла, но она
не дала импульса для преодоления этого порога. Действовали, од-
нако, и другие факторы, приводившие к той же цели.
Возвратимся опять к Лагранжу. В своей «Теории аналитиче-
ских функций» [4] он, в частности, выводит формулу Тейлора с
остаточным членом. Для оценки остаточного члена ему потребо-
валась лемма, в которой утверждается, что если /' (х) О,
ь
а х Ъ, то^ f (x)dx>0. Доказательство Лагранжа этой лем-
ех
мы заслуживает внимания с точки зрения предыстории понятия
определенного интеграла. Он разбивает интервал (а, Ь) точками
а, а + i, а -|- 21, .. ., аД- ni, а + (и + 1) f = Ъ,
где i сколь угодно мало. Поскольку он рассматривает только
аналитические функции, то всегда при /' (%) 0 можно выбрать
такое i, что разность / (х + i) — f {х)^> 0. Поэтому, поскольку
положительны /' (а), /' (а + i), .., /' (а + ni), то при достаточно
малом i будут положительны / (а + I) — / (а), / (а + 21) —
169
— f (a + i), . / [a + (n + 1) i] — / (a + nr). Но тогда будет
положительной и сумма последних, равная / [а + (п + 1) i] —
— / (а). Чтобы подчеркнуть, насколько он близко подошел к
идее определенного интеграла как некоторой суммы и вместе с тем
настолько он беспомощен без понятия предела, от которого он
заранее отказался, хотя в известной мере и признавал его закон-
ность, приведем конец доказательства в его изложении.
«Положим теперь а + (п + 1) i = Ь. Тогда i = (b — a)/(n+l),
и отсюда заключаем, что величина / (6) — / (а) будет положи-
тельной, если все величины
Ь — а
2(Ь — а)
3 (Ь — а)
п(Ъ — а)
положительны, если взять п сколь угодно большим.
Следовательно, тем более величина / (6) — / (а) будет поло-
жительной, если /' (х) всегда является положительной величиной,
когда х даются всевозможные значения от х = а до х = Ь, по-
скольку среди этих величин необходимо находятся значения
•а,
cl
2 (Ъ — а)
п -|- 1 ’
Ъ — а
п + 1 ’
CL -j“
при сколь угодно больших п» (Лагранж [4, стр. 79]).
Для нас здесь не столь существенно то, что доказательство
Лагранжа, мягко говоря, не очень строгое. Не так уж важно, что
ему здесь пришлось возвратиться чуть ли не к представлениям
Кавальери, хотя и в аналитическом одеянии (он суммирует не все
ординаты, а все значения производной). Важен сам факт, что в
конкретном вопросе анализа ему потребовалось представление об
интеграле как некоторой сумме.
Некоторое время спустя более общим образом, хотя почти
в столь же туманной форме, к аналогичному представлению инте-
грала приходит Гаусс. В уже упоминавшемся письме к Бесселю
Гаусс пишет: «Что нужно понимать под j(p (х) dx для х = а + Ы?
Очевидно, если хотят исходить из ясных понятий, нужно принять,
что х, отправляясь от значения, для которого интеграл должен
равняться нулю, посредством бесконечно малых приращений (каж-
дое вида а + Ы), переходит к х = а + bi, и тогда сложить все
q(x)dx- Так смысл вполне установлен» (А. И. Маркушевич [3,
стр. 182-183]).
И опять-таки здесь не столь существенно, что мы вновь стал-
киваемся с представлениями Кавальери, правда, одетыми в еще
более пышные одежды комплексных величин. Для начала
XIX столетия здесь характерно то, что «ясным понятием» считается
именно интеграл как сумма.
Еще спустя несколько лет к той же концепции интеграла об-
ращается Пуассон. Мы говорили в предыдущем параграфе, что
170
при вычислении некоторых определенных интегралов он стол-
кнулся с тем, что представление об интеграле как разности зна-
чений примитивной приводит к определенным противоречиям,
хотя при доказательстве теоремы
ь
f (ж) dx = f (b) — / (а)
а
с точки зрения старого представления об интеграле этого противо-
речия не должно быть, ибо доказательство в равной степени при-
менимо как к ограниченным, так и не ограниченным функциям.
Действительно, по определению,
/' (х) dx = / (х) + С,
и в этом определении совсем ничего не говорится об ограничен-
ности или неограниченности f (х). Полагая интеграл обращаю-
щимся в нуль при х = а, получают j (а) = — с, а значит
х
/' (ж) dx = / (ж) — / (fl),
а
откуда при х = Ъ и вытекает формула Лейбница — Ньютона, ко-
торую именно таким образом доказал Лакруа и которую затем
доказывали так все последующие математики, в том числе и Пуас-
сон в указанном месте.
Но раз эта формула противоречива в применении к неограни-
ченным функциям, то налицо дефект в доказательстве и требуется
какое-то новое рассуждение, чтобы более безукоризненно получить
эту очень полезную и оправдавшую себя в приложениях формулу.
Пуассон приводит такое доказательство в предположении огра-
ниченности /' (х), сохраняя подход Лакруа. Он составляет соот-
ветствующую интегральную сумму S и показывает, что / (6) —
— / (а) как раз является пределом этой суммы. Он так и пишет,
что эта разность «есть строго предел суммы, обозначенной через
5» (Пуассон [1, стр. 323]).
А. П. Юшкевич в связи с этим доказательством Пуассона спра-
ведливо замечает тот принципиальный недостаток, что в нем за-
ранее предполагается существование примитивной / (сс) [3, стр.
401]. Это показывает, что первичным для Пуассона был все же
неопределенный интеграл, а переход к представлению определен-
ного интеграла пределом сумм нужен ему еще как вспомогатель-
ное средство для более строгого, с его точки зрения, доказательства
указанной выше формулы, а также, как и у Гаусса, для распростра-
нения понятия интеграла на функции комплексного переменного.
К этому нужно еще добавить и тот недостаток доказательства Пуас-
сона, что при его фактическом проведении он предполагает анали-
тичность /' (х). Это также существенно ограничивало значимость
указанного результата Пуассона, ибо к этому времени (1820 г.;
171
уже получило права гражданства понятие непрерывной функции
и его доказательство могло быть обобщено и на этот случай. Од-
нако и то и другое — это уже дело Коши.
§ 6. Вопросы существования
и неизбежность нового подхода
к понятию интеграла
В начале XIX в. одной из важных тенденций развития мате-
матики становится тенденция решения вопросов о существовании
тех математических объектов, над которыми приходится опериро-
вать в ходе научных исследований. Возникновение необходимости
постановки этих вопросов обусловливалось многими причинами
Во-первых, математика в целом все больше и больше отры-
валась от породившей ее почвы — объективной действительнос-
ти; ее абстракции становилось еще более общими, порою не нахо-
дя себе прообразов в реальных явлениях. Последнее особенно
проявлялось в анализе, основными понятиями которого в XVII—
XVIII вв. были понятия бесконечно малой и бесконечно большой
величины. Попытки найти прообразы этих понятий, вроде лейб-
нице-вольфовского сравнения горы и песчинки для иллюстра-
ции соотношения между конечной и бесконечно малой величиной,
практически никого не удовлетворяли.
Бурный рост науки в указанные века приводил к тому, что гор-
дому универсализму ученых, имевшему место в предшествовавший
период, приходил конец: человеку науки становилось не под силу
овладеть совокупностью основных фактов науки в целом, и он
вынужден был ограничиваться одной отраслью знания. Матема-
тик становился только математиком, и он уже не мог в своих рас-
суждениях опираться на физическую, например, наглядность.
Сказанное не противоречит тому, что ранее говорилось о про-
цессе математизации естествознания. Этот процесс все ширился
и рос, только осуществлялся он теперь большею частью не сами-
ми творцами математики, а специалистами в соответствующих
областях, которые применяли изготовленный другими математи-
ческий аппарат в тех областях, в которых они работали.
Но когда математика становилась самостоятельной наукой,
относительно не зависящей от приложений, рассуждения над
объектами математики приобретали значение лишь тогда, когда
предварительно в каком-то смысле доказано, что этот объект
фактически существует.
«Проблемы существования в математике XVII—XVIII вв.
всплывали неоднократно. Математики дебатировали вопросы о
существовании отрицательных чисел и мнимых величин в ариф-
метике, о существовании корней алгебраических уравнений и
логарифмов отрицательных чисел, о существовании сумм беско-
нечных рядов и особых решений дифференциальных уравнений
и т. д. и т. п.» (А. П. Юшкевич [3, стр. 386]).
172
Очень наглядно это выступало и в понятии интеграла.
Эйлеровское представление об интегрировании как обращении
дифференцирования привело к невиданному расцвету анализа.
Но все же в своем развитии оно очень скоро выявило свою огра-
ниченность. Алгоритмически-вычислительные приемы, построен-
ные на основе такого представления после столь больших дости-
жений в интегрировании, как подтверждение правильности
вычисления интегралов от целых рациональных функций, опреде-
ленных ранее другим способом, и нахождение интегралов от дробно-
рациональных функций, а также некоторых классов иррациональ-
ных и трансцендентных функций, все чаще и чаще стали давать
осечку. Уже в случае интегралов, содержащих рациональные
функции от радикалов из многочленов третьей и четвертой сте-
пеней, встретились трудности, оказавшиеся непреодолимыми и
для крупнейших аналитиков XVII в., включая Эйлера. Казав
шийся простым прием введения новых трансцендентных функций
в случае невычислимости интегралов, так хорошо оправдавший
себя для логарифмов и обратных тригонометрических функций,
здесь не приводил к цели. Разнообразных типов интегралов этого
вида можно б*ыло придумать сколько угодно; вместе с тем, для эл-
липтических интегралов было установлено множество соотноше-
ний, заставлявших подозревать, что многие из них выразимы че-
рез другие,— все это делало неясным вопрос о том, сколько и
каких новых функций нужно ввести, чтобы проинтегрировать
указанные дифференциалы. Только к концу XVIII в. Лежандру
удается свести все разнообразие эллиптических интегралов к
трем несводимым друг к другу типам. Но для этого ему потребо-
валось написать двухтомный трактат на эту тему. Следовательно,
чтобы решить, хотя еще далеко не полно, один только вопрос об
эллиптических интегралах алгоритмически-вычислительными при-
емами, потребовался колоссальный труд в течение двух столетий
многих математиков. Результаты этого труда представлены были
в трудно обозримом итоговом трактате Лежандра. Идти по этому
пути и далее в более сложных случаях не представлялось возмож-
ным. По тогда закономерной была постановка следующего вопроса.
Пусть требуется найти конкретный интеграл ^ffac)dx для
относительно сложной f(x)- Вычисление такого интеграла даже
в относительно простых случаях требовало неимоверного труда,
а в некоторых случаях вообще не приводило к цели. А имело ли
смысл пытаться вычислять этот интеграл не только точно, но даже
и приближенно, если математик не знает, существует ли объект,
обозначенный символом J/ (х) dx?
Когда речь шла о нахождении конкретной площади, выражае-
ь
мой через ^f(x)dx, то это еще не вызывало сомнений: понятие
а
площади казалось понятным. Но когда речь идет о функции
173
J/ (x) dx, то это плавало в тумане. Вплоть до конца XIX в. не было
никакого доказательства того, что для предложенной функции
того или иного класса функций действительно существует при-
митивная 22.
Между тем, как мы вскоре увидим, доказательство существо'
вания определенного интеграла оказалось возможным для очень
широкого класса функций. Это также явилось одной из причин
перехода к новой концепции интегрирования.
§ 7. Интеграл Коши 23 и его свойства
Как ни значительны достижения предшественников Коши,
особенно Лакруа и Пуассона, в подходе к новой концепции ин-
тегрирования, они существенно умаляются в двух отношениях.
Во-первых, когда они рассматривали определенный интеграл, то
он для них был все же вторичным понятием по отношению к не-
определенному интегралу; отдельные высказывания о рассмотре-
нии интегрирования как суммирования у Лагранжа и Гаусса
(кстати, последним своевременно не опубликованные), а также
у Лакруа и Пуассона, оставались не развитыми далее. Во-вторых,
все они имели в виду интегрирование аналитических функций.
Переход к новой концепции интегрирования и распростране-
ние ее на более широкий класс функций — это, несомненно, за-
слуга Коши. И то и другое сделано им одновременно в 1823 г.
Этот переход готовился как развитием математики, так и
развитием самого Коши как математика. Первая ответственна за
то, что внутри нее назрела потребность выделения понятия опре-
деленного интеграла как самостоятельного понятия, которое по-
лучило широкое распространение, для которого установилось
определенное наименование 24 и обозначение 25 *, а вместе с тем
выявились препятствия, с которыми сталкивалась концепция
интегрирования как обращения дифференцирования; она от-
ветственна также за то, что в ней выкристаллизовались понятия
22 Кроме, как говорилось, целых и дробно-рациональных функций.
Термином «интеграл Коши» сейчас обозначают несколько понятий. Здесь
Ь п
и далее под ним мы понимаем только
а
f (х) dx = lim 2 / (5j) (*г+1— тг)>
х-*° 1=1
24
26
где / (х) — непрерывная функция в пределах от а до Ъ, заданная для дей-
ствительных значений и принимающая также действительные значения; X —
максимальная длина интервалов (х^, х>^), £ (^, ^+1). Иное употребле-
ние этого термина будет оговариваться.
Термин «определенный интеграл», видимо, впервые ввел Лаплас (А. П. Юш-
кевич [3/стр. 377]), ему же принадлежит термин «пределы интегрирования»
(А. П. Юшкевич [3, стр. 376; стр. 408, сноска 23]); позднее эта терминоло-
гия была принята Лакруа.
Первые обозначения определенного интеграла восходят к Эйлеру и
Лапласу (А. П. Юшкевич [3, стр. 376])- С 1822 г. Фурье вводит современ-
ное обозначение.
174
предела и непрерывной функции. Коши, со своей стороны учел
эти тенденции в развитии математики, пройдя самостоятельно
через соответствующие этапы развития.
Мы не будем останавливаться на мемуаре Коши 1814 г., об-
стоятельно разобранном А. П. Юшкевичем [3, стр. 389—397].
Заметим лишь следующее.
В исследованиях многочисленных проблем математики и ма-
тематической физики Коши постоянно сталкивался с тем фактом,
что их решение сводится к конце концов к вычислению опреде-
ленных интегралов. При их вычислении применяли различные
приемы, приводившие в ряде случаев к парадоксам. В этих ис-
следованиях выявилась также важная роль понятий непрерыв-
ности и предела.
Поэтому, когда Коши предпринял систематическое изложение
основ анализа в Политехнической школе, перед ним встала- проб-
лема построения некоторой единой системы понятий, с помощью
которой можно было бы избегнуть тех трудностей, с которыми
приходилось сталкиваться в рамках прежних представлений.
И это относилось не только к понятию интеграла, но и к ряду
других понятий анализа.
В основу анализа Коши кладет два понятия: переменной ве-
личины и предела 26. Мы набросаем вкратце схему рассуждений
Коши, подводящую к его определению интеграла, опираясь в
основном на его работу [3] 26 27.
Рассматривая понятие величины в качестве неопределяемого
понятия 28, Коши называет переменной или изменяемой величи-
ной 29 такую величину, которая последовательно проходит через
многие различные между собой значения, понимая под значе-
нием величины действительные или комплексные числа (стр. 3).
Постоянной величиной называется величина, не изменяющая
своих значений. Если значения переменной величины все более
и более приближаются к некоторой постоянной величине таким
образом, что разность их становится в конце концов сколь угод-
но малой, то эта постоянная величина является пределом первой
(стр. 3). Переменная величина, пределом, которой является нуль,
называется бесконечно малой величиной (стр. 7), Наконец, не-
26 Мы не будем вдаваться в трудности, связанные с понятием величины во-
обще и тем более с понятием переменной величины, определение которой
П. С. Александров и Л. Д. Кудрявцев, например, квалифицируют как
введение obscurum per obscurum (смутного через неясное) [1, стр. 2-18].
Во времена Коши, когда не была разработана теория действительных чисел,
а тем более теория множеств, вряд ли можно было придумать что-либо луч-
шее. На понятии предела нам придется останавливаться далее неодно-
кратно.
27 Далее до конца параграфа при ссылках на эту книгу будут указываться
лишь страницы.
Сам Коши этого не говорит, он просто так поступает, не давая каких-
либо пояснений термину «величина».
В переводе В. Я. Буняковского термин Коши quantite передан словом
«количество». Мы предпочитаем пользоваться словом «величина».
175
прерывной функцией он называет такую функцию / (х), что для
бесконечно малого приращения аргумента значение функции
также изменяется бесконечно мало (стр. 11).
Для определенной таким образом непрерывной функции он
вводит понятие определенного интеграла как предела сумм
S = / (х0) (Xi — X0) + f (Х1) (хг — Х^ + . . . +• / (хп_!) (хп — Хп_1), (1)
где промежуток интегрирования (а, Ь) разбит точками Xi (i =
= 0, 1». ., п), xQ = а, хп — b, / (xi) — значение / (х) в точке
Xi, когда частичные интервалы разбиения (Xi, xi+1) становятся
бесконечно малыми (стр. 111—117). Самому этому определению
(стр. 116—117) предшествует доказательство существования
указанного предела 30. В связи с этим сделаем одно замечание.
При рассмотрении определенного интеграла как разности
значений примитивной доказательство существования должно
было бы относиться не к существованию этой разности, ибо не
имело смысла доказывать, что существует разность двух значений
определенной функции, а к существованию самой примитивной.
Но само понятие примитивной функции возникло задолго до того,
как в математике появилась потребность в теоремах существова-
ния. Поэтому существование примитивной даже в тех случаях,
когда ее не удавалось найти, не вызывало сомнений.
У Коши пока нет примитивной. У него есть определенная
непрерывная функция / (х), заданная в промежутке (а, Ъ), и с нею
связывается определенное число, являющееся пределом сумм (1).
Естественно поэтому появилась необходимость доказательства
того, что такое число существует. И Коши (стр. ИЗ—116) прово-
дит такое доказательство. Существование этого предела, как мы
отмечали, доказывал и Пуассон, но имелась существенная разница
в их подходах. Последний исходил из того, что само это число
уже существует как разность значений примитивной, которую он
мыслил существующей априори. Он доказывал, что число может
быть выражено пределом сумм (1); из его же рассуждений следова-
ло, что доказательство действительно только для аналитических
функций (он раскладывал подынтегральную функцию в ряд
Тейлора). Постановка вопроса у Коши гораздо общее: интег-
рируемой функцией у него является произвольная непрерывная
функция, а доказывается существование предела сумм (1). Сле-
довательно, необходимость доказательства существования выз-
вана в данном случае изменением подхода к понятию интеграла
(а возможно, наоборот, необходимость в доказательстве существо-
вания, не получавшегося для примитивной, была одним из доводов
в пользу изменения подхода к понятию интеграла). Возможность
проведения доказательства была обусловлена развитием понятий
30 О сущности доказательства см. И. Н. Лесин [1, стр. 13—14]; более под-
робно А. П. Юшкевич [3, стр. 402—403].
176
функции и предела, в частности теми свойствами непрерывной
функции, что она принимает всякое промежуточное значение и
что она равномерно непрерывна в замкнутом промежутке 31.
Как нечто само собою разумеющееся И. Н. Лесин пишет, что
определение интеграла, «данное Коши, принято считать первым
определением интеграла, удовлетворяющего современным требо-
ваниям строгости» [1, стр. 13]. Нам кажется, что такое утвержде-
ние дезориентирует читателя. Во-первых, неясно, что автор имеет
в виду, говоря о современных требованиях строгости. Они сей-
час настолько разнообразны, что говорить о каких-то единых тре-
бованиях вряд ли имеет смысл. Во-вторых, сами понятия стро-
гости определения или доказательства, хотя и очень часто упо-
требляются в математической литературе, отнюдь не являются
сколько-нибудь четко установленными понятиями, они текучи
и изменчивы, меняясь не только от эпохи к эпохе (Клейн [1, стр.
83]), но и в очень широком диапазоне внутри данной эпохи, причем
не только во временном порядке в разные периоды эпохи, но и в
пространственном, являясь различными в пределах разных матема-
тических школ, существующих в одно и то же время.
Мы бы сказали осторожнее, что определение Коши было
строгим настолько, насколько это было возможным в 1823 г.
Но тогда и определение Лакруа интеграла как разности значе-
ний, примитивной является не менее строгим для своего времени
(1798 г.): ведь тогда, по-видимому, не возражали против такого
определения как нестрогого, да и трудно представить возмож-
ность подхода Коши в ту эпоху. Так что эпитет «первое», а тем
более «первое строгое» вряд ли уместен.
В своем определении Коши не пользуется геометрическими
соображениями: он, опираясь на свойства функции / (х), строил
суммы [1] 32 как некоторые числа, а сам интеграл рассматривал
как новое число, являющееся пределом уже найденных чисел.
В связи с этим Лебег писал: «Математики очень часто поступают
так, как‘это делает здесь Коши, т. е. принимают процесс вычисле-
ния некоторого числа за само определение этого числа. . .
Следует обратить внимание на интерес, который представляет
столь простое преобразование, совершаемое здесь Коши: оно
сокращает число первоначальных понятий, служащих отправной
точкой наших определений. Часто говорят, что Декарт свел
геометрию к алгебре; это не было бы верным, если бы Коши своим
определением интеграла не дал логической конструкции понятий,
выводившихся ранее лишь из геометрической интуиции: пло-
щадей, объемов и т. д.
81 Коши не формулирует явно последнего свойства, хотя и пользуется им в
своем доказательстве.
32 Подчеркнем, что несколько далее Коши при построении сумм (1) заменил
в них значение / (х) в конце частичного промежутка значением этой функ-
ции в любой точке такого промежутка (стр. 119).
177
Здесь мы имеем прогресс, философское значение которого
исключительно; но так как работа Коши не дает никакого обога-
щения понятия интеграла, ее математический интерес минимален;
поэтому и сам Коши дал ее лишь как простой пример педагоги-
ческого изложения» (Лебег [19, стр. 14, сноска]).
Следует заметить, что оценка достижения Коши в этом воп-
росе, данная в приведенных словах Лебега, совершенно неверна.
Отчасти это отмечено А. П. Юшкевичем [3, стр. 406]. Опираясь на
его соображения и несколько расширяя их, мы могли бы сказать
следующее. Неверно, что Коши первый отказался от привлечения
геометрических соображений при определении интеграла. Это
было сделано еще Эйлером и его последователями. Определение
интеграла как разности значений примитивной совсем не связано
с геометрическими соображениями, и в нем тоже процесс вычис-
ления некоторого числа принимается за его определение. Невер-
но, что работа Кошине обогатила понятия интеграла. Уже только
то, что оно было применено к более широкому классу непрерыв-
ных функций, говорит против этого; если же добавить, что оно
одновременно было распространено им на функции комплексного
переменного и применялось при решении многочисленных еще
не решенных проблем анализа, что оно послужило исходным пунк-
том последующих обобщений интеграла, в том числе и у самого
Лебега, то становится очевидной ошибочность второго тезиса
Лебега.
Верно то, что Коши сформулировал свое определение в курсе
лекций в Политехнической школе и опубликовал его впервые
в учебном руководстве, предназначенном для слушателей этой
школы. Но из этого не следует только педагогический интерес оп-
ределения Коши. Ведь очень многие важнейшие понятия анализа
были, например, введены Вейерштрассом в его лекциях в Берлин-
ском университете и вообще не публиковались им самим, а стали
известны из публикаций его учеников. Да и сам Лебег в той же
самой книге, где он высказал приведенные слова, признается, что
он собрал в ней лекции, прочитанные им в College de France [19,
стр. 3]; от этого содержание его книги отнюдь не оказывается толь-
ко «примером педагогического изложения», а несет в себе не-
преходящие научные ценности. Примеров подобного рода можно
привести сколько угодно, и они скорее говорят о важной
роли преподавания в создании научных понятий высокой зна-
чимости.
В книге [3] Коши не только ввел новое понятие интеграла,
но по существу разработал теорию интегрирования для того слу-
чая, когда интегрируется непрерывная функция на конечном про-
межутке 33.
Опираясь на представление этого интеграла как предела
сумм и свойства непрерывных функций, он доказал следующие
33 Коши рассматривал и более общие случаи; к этому мы еще возвратимся.
178
свойства интеграла:
Ъ а
а
Ъ
/ (х) dx
ь
ъ
(стр. 120);
с = const
f (х) dx
а
b п
п Ъ
- р
dx = 2 \ fi
i=l а
(стр. 121);
(стр. 121),
0 < е < 1 (стр, 122);
(стр. 125—126);
а
Ъ
а
а
Ъ
b п
6) \/ (х) dx = 2 \ а = ао<«1< • • • <ап_1<ап=Ь
а ’=1
(стр. 126);
7) если ф (я) и гр (х) непрерывны на (а, Ь) и ср (х) сохраняет
один и тот же знак на (а, 6), то
ъ ь
ф (х) гр (х) dx = ф (£)^ гр (х) dx, а В Ъ (стр. 128-129).
а а
Неопределенный интеграл вводится как интеграл определен-
ный с переменным верхним пределом (стр. 141); доказывается, '
что он является непрерывной функцией верхнего предела
(стр. 140—141) и что производная неопределенного интеграла равна
интегрируемой функции (стр. 142) 34. Здесь же устанавливается
различие между примитивной функцией и неопределенным ин-
тегралом.
Не забывает Коши и формулу Ньютона — Лейбница, дока-
зывая, что
ъ
8) U /' (х) dx = / (Ь) - / (а)
а
(стр. 145),
а имея в виду последующие приложения к вычислению опреде-
ленных интегралов, он специальную главу посвящает вопросам
дифференцирования и интегрирования под знаком интеграла
34
Заметим, что Клейн [1, стр. 119] ошибочно утверждает, что эта теорема
«впервые отчетливо сформулирована» в 40-х годах.
179
(стр. 182). При рассмотрении дифференцирования по параметру
он вообще ничего не говорит об условиях, которым должны удов-
летворять функция и параметр, и просто утверждает, что (в его
обозначениях) если
ь
f (х, у) dx= F (у),
а
ТО
ъ
df (х, у)
dy
а
х
f (x,y)dx= F (х,у),
а
f(x,y)dx=F(x,y)+C,
dx =
dF (у)
dy ’
dx
dF (г, у)
С df (ж, у)
J dy
dF_ (х, у)
dy ’
(стр. 182—183).
При рассмотрении интегрирования по параметру он требует толь-
ко непрерывности / (х, у) по обоим переменным. Опять-таки
без доказательства утверждается, что
ХУ у
f (х, у) dydx = \ F
ас с
У х
(х, y)dy = \\f (х,у)dxdy,
с а
где
х
F(x,y) = \f (х, у) dx
а
(стр. 184).
И, наконец, в заключительной лекции (стр. 221—222) он доказы-
вает теорему: Если {/п (х)} — последовательность непрерывных
со
на (а, Ъ) функций и ряд 2 fn(x) сходится в каждой точке (а, Ь)
г=а
к функции / (х), то
Ь ОО Ь
9) {f(x)dx — 2 \fn(x)dx.
а а
Три последние результата Коши (дифференцирование и ин-
тегрирование по параметру, почленное интегрирование рядов)
оказались ошибочными в том виде, как он их сформулировал.
Потребовались последующие довольно длительные изыскания
других математиков, чтобы установить, при каких ограничениях,
накладываемых на функции, параметры и сходимость, они ока-
зываются справедливыми.
Большинство свойств интеграла, найденных Коши, было из-
вестно ранее, правда, в применении к более узким классам функ-
ций. Мы уже говорили, что свойства 2), 5), 6), 9) использовались с
самого начала появления интегрального исчисления. В 1785 г.
180
Эйлер [6], введя кстати и первую символику для определенного
от х = а
до х = Ъ
интеграла в виде
, доказал, опираясь на геомет-
рическую наглядность, свойство 6), а также свойство интеграла
быть положительным при положительной интегрируемой функ-
ции, доказанное также Лагранжем [4, стр. 78—80] для аналити-
ческих функций. Дифференцирование по параметру было извест-
но со времени Лейбница (см. Вилейтнер [4, стр. 129—130]); диф-
ференцированию и интегрированию по параметру специальную
работу посвятил Эйлер [5] в 1775 г. Теорему о том, что производ-
ная неопределенного интеграла равна интегрируемой функции,
установил для аналитических функций Лагранж [4, стр. 239].
О доказательствах теоремы Ньютона — Лейбница Лакруа и
Пуассоном мы говорили ранее. Коши почему-то не отметил свой-
ства интеграла, имевшегося как в первом (1898 г.), так и в после-
дующих изданиях книги Лакруа [1]: .
(л??, М — соответственно наименьшее и наибольшее значения
/ (х) на (а, 6)), из которого свойство 7) Коши получается элемен-
тарно. Заслугой Коши было то, что он четко сформулировал и
доказал эти свойства для широкого класса непрерывных функций.
Глава V
ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 1. Определение Римана
В отличие от предыдущих, настоящую главу мы начнем сразу
с определения Римана и лишь потом рассмотрим, какая подго-
товительная работа должна была быть проделана в математике,
чтобы такое определение стало возможным и необходимым. Само
это определение мы несколько модернизируем, указав одновре-
менно, в чем оно отличалось у Римана.
Пусть на конечном отрезке (а, Ь) задана ограниченная функ-
ция / (х). Образуем сумму
п
(1)
1=1
где Xi — точки, которыми (а, Ь) разбит каким-либо образом на
конечное число п частичных промежутков (х^, х$), причем xQ =
— а, — b, a — любая точка отрезка (х^, хг).
Если при всяком разбиении (а, Ь) на отрезки (х^, х^ и при
любом выборе точек & в отрезочках (х^±, х£ существует един-
ственный предел
п
Иш 2 /(&)(*; — (2)
Х-Н) j=1
где X = max то этот предел называется определенным
г
интегралом функции / (х) на (а, Ь) и обозначается символом
ь
$ / (х) dx. (3)
а
Коши, как мы говорили, тоже исходил из аналогичного опре-
деления интеграла как предела (2) интегральных сумм (1). Но
между формулировками Коши и Римана имеется существенное
различие. Первый определял понятие интеграла для четко оп-
ределенного класса функций — для непрерывных. Главной его
задачей было дать оправдание этому определению, доказав что
интеграл (3) существует для любой функции указанного класса.
Риман, на первый взгляд, никак не сужает класса ограничен-
ных функций, к которым он собирается применить свое определе-
ние интеграла (3). Его интеграл применим к любой такой функ-
182
ции, лишь бы существовал предел (2). Фактически же сужение
класса рассматриваемых функций дается самой конструкцией
интеграла. Поскольку, однако, вследствие достаточной сложнос-
ти этой конструкции, судить о том, интегрируема или нет предло-
женная функция, оказывается затруднительным, то Риман пре-
образует условие существования, требующееся в рассуждениях
Коши, в условие интегрируемости, получаемое из самой кон-
струкции интеграла. Это условие мы также изложим в несколько
модернизированном виде. Для этого введем понятие колебания
функции на отрезке (а, р) как разности между верхней и нижней
гранями значений функции f (х) на (а, Р). Тогда условие инте-
грируемости Римана можно сформулировать следующим образом.
Для того чтобы функция f (я), заданная на (а, Ъ) была интег-
рируема на этом отрезке, необходимой достаточно, чтобы для лю-
бого 8 0 можно было указать такое 6 > 0, чтобы как только
(х{ — ^_х)< е (i = 1, 2, ..., п), так
i — Х^) < 5, (4)
п
1=1
где (дг — колебание / (х) на (х^х, или, другими словами, что-
бы сумма (4) стремилась к нулю вместе с максимальной длиной
частичных промежутков.
Примерно такое определение интеграла и подобные же условия
интегрирования были сформулированы Риманом в работе «О пред-
ставлении функции тригонометрическим рядом», представлен-
ной в декабре 1853 г. философскому факультету Геттингенского
университета. Эта работа оказавшаяся большой вехой в развитии
математики вообщех, осталась неопубликованной при жизни
Римана, как и вторая его работа, еще более важная, «О гипоте-
зах, лежащих в основании геометрии», также представленная
Риманом на право чтения лекций в июне 1854 г. Обе они впервые
’опубликованы Дедекиндом в 1868 г. 1 2
Остановимся теперь на некоторых отличиях в формулировках
Римана. Первое — терминологическое, хотя и оно связано с уточ-
нением некоторых представлений о функции. Математики XVIII
и начала XIX века в тех случаях, когда мы говорим теперь об
ограниченной функции, употребляли термин «конечная функция»
(Эйлер, Даламбер, Лагранж, Пуассон и др.). Они еще не подо-
зревали, что функция может быть конечной, не будучи ограничен-
ной. Не избежал этого и Риман, пользуясь термином «конечная
функция». Не исключено, что если бы он готовил свою работу к
печати, то он уточнил бы и это и некоторые другие недостатки его
изложения; из контекста следует, что он имел в виду именно ог-
раниченные функции.
1 О ней см. также у А. Б. Паплаускаса [1, стр. 203—215].
2 Об этом см. Клейн [1, стр. 2931.
183
Более существенным является другое. Выше мы определили
колебание функции на интервале как разность граней значений
функций на этом интервале. Риман определил колебание функции
как разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции на этом промежутке [2, стр. 237], не пояснив, что он по-
нимает под наибольшим и наименьшим значениями. Скорее всего
(это вытекает из рассуждений, которые он проводит при доказа-
тельстве критерия интегрируемости [2, стр. 237—238]), он имел
в виду, что ограниченная функция фактически обязательно при-
нимает максимальное (минимальное) значение по крайней мере
в одной точке области ее задания, что верно для непрерывных
функций, но не обязательно справедливо для разрывных. В то же
время множество значений ограниченной функции всегда имеет
точные верхнюю и нижнюю грани, а вследствие этого определение
колебания функции на промежутке всегда имеет смысл, тогда
как составление разности между максимумом и минимумом для
произвольной ограниченной функции возможно далеко не всегда.
В ходе рассуждений при доказательстве критерия интегри-
руемости Риман пользуется наибольшим значением сумм
п
2 coi(#i — атг-i), соответствующих всевозможным разбиениям с
1=1
л d, где d — фиксированное положительное число. Однако су-
ществование этого наибольшего значения он не обосновывает.
Затруднительно ответить на вопрос о том, сознавал ли Риман
пробелы в своих определениях и рассуждениях. Видимо, в ка-
кой-то мере он их чувствовал. Об этом косвенно свидетельствует
то, что его работа [2] осталась неопубликованной при его жизни.
Об этом же, возможно, говорит и следующее. В 1854—1855 и в
1860—1861 гг. он читал лекции по теории уравнений в частных
производных. Первый раздел их [3, стр. 5—38] был посвящен поня-
тию интеграла. Однако здесь Риман ввел последнее не в той общ-
ности, в какой оно было сформулировано в [2], а ограничился,
как и Коши, непрерывными функциями, принимающими разве
бесконечные значения в конечном числе точек.
В определении интеграла Римана, или, как мы для краткости
будем называть его, 2?-интеграла, существенны следующие момен-
ты: а) понятие функции, б) образование сумм (1), в) предельный
переход (2), г) понятие колебания функции на промежутке.
Как же обстояло дело с этими составными элементами рима-
новского интеграла в 1853 г.?
Общим понятием функции Риман владел по крайней мере с
1851 г. В этом году была опубликована его докторская диссерта-
ция «Основы общей теории функций одной комплексной перемен-
ной», начинавшаяся с определения произвольной функции дей-
ствительного переменного [1, стр. 49].
Способ образования сумм (1), как мы видели, восходит к
Эйлеру и стал к этому времени обиходным, особенно после Коши.
184
Предельный переход (2), хотя и употреблялся со времени Лакруа
и был положен Коши в основу его определения интеграла, был,
однако, не выяснен. Этот предельный переход отличен от не-
сколько более прозрачных пределов последовательности и функ-
ции 3. Однако выяснение этого обстоятельства фактически отно-
сится к XX в. и связано вообще с расширением понятия предела,
к которому мы обратимся в своем месте. Здесь же ограничимся
простой констатацией факта, что то понятие предела, которое
применено в (2), представлялось математикам прошлого века ин-
туитивно ясным, не требующим специального определения. По
поводу колебания функции мы уже сказали.
Если подойти к определению Римана с формально-логической
точки зрения даже второй половины XIX в., то оно окажется со-
вершенно неудовлетворительным: в нем участвует не определенное
понятие предела; речь идет о неправильно определенных функ-
циях (конечных); рассуждения проводятся по отношению к не-
существующим сущностям (разностям между максимумами и мини-
муми, которые в той общности, в которой проводил свои рассуж-
дения Риман, могут не существовать вообще) и т. д. Ситуация
здесь почти такая же, как и в случае определения Коши. Анало-
гичное можно будет сказать почти по поводу всякого определе-
ния: вчерашнего — сегодня, а сегодняшнего — завтра, и чем
более это понятие важно в математике данного периода, тем боль-
ше критики можно навести на него с точки зрения последующего
периода. Явление это, еще не изученное историками математики,
несомненно, чрезвычайно интересно, но оно не служит предметом
нашего рассмотрения, поэтому далее мы не предполагаем останав-
ливаться на подобного рода соображениях, которые можно было
бы высказать по поводу почти каждого вновь вводимого понятия
интеграла (и, разумеется, не только интеграла).
§ 2. Необходимость введения .В-интеграла
Мы начнем с наиболее непосредственного повода, вытекавше-
го из содержания самой работы Римана, в которой был введен
Л-интеграл 4. Сам он, после исторического введения и определе-
ния 2?-интеграла, так характеризует те изменения в направлении
исследований по теории тригонометрических рядов, которые
он намеревается ввести в эту теорию.
«Предшествующие работы, посвященные рассматриваемому
вопросу, имели целью обосновать разложение функций в ряд
Фурье для случаев, встречающихся в природе, поэтому доказа-
тельство могло быть начинаемо для совершенно произвольных
функций и в дальнейшем на поведение функции могли быть нала-
3 Об этом отличии см., например, А. Я. Хинчин [7, стр. 55—63].
4 Общее описание ее содержания и анализ результатов Римана см.
А. Б.Паплаускас [1, стр. 205—215].
185
гаемы те или иные требуемые самим доказательством искусствен-
ные ограничения [выделено мною.— Ф. М.] при условии, что
эти ограничения не стояли в противоречии с поставленной зада-
чей. Мы же имеем целью установить лишь те условия, которые
действительно необходимо наложить на поведение функции для
того, чтобы она могла быть представлена тригонометрическим ря-
дом; поэтому нам нужно сначала найти необходимые условия пред-
ставимости и потом выбрать из них те, которые являются и дос-
таточными. Итак, предшествующие авторы доказывали: если функ-
ция обладает такими-то и такими-то свойствами, то она представи-
ма рядом Фурье. Мы же ставим перед собою обратный вопрос: ес-
ли функция представима тригонометрическим рядом, то что мож-
но сказать о ее поведении, об изменении ее значения при непре-
рывном изменении аргумента?» (Риман [2, стр. 251]).
Но раз вопрос ставится таким образом, то изменяется и сам
подход к понятию интеграла. Те «искусственные ограничения»,
о которых говорит Риман, были обусловлены главным образом
ограниченностью понятия интеграла: хотя номинально имелось
более общее понятие функции, но инструмент для изучения его
годился только для частного случая. Риман же ставит задачу изу-
чения самого аппарата тригонометрических рядов как средства
аналитического изображения функций, которые не обязательно
являются рядами Фурье. В область его исследований входит лю-
бая функция, поскольку ее можно представить тригонометричес-
ким рядом, совсем не обязательно непрерывная. А ведь такую
функцию теперь приходилось изучать, а основными инструмен-
тами изучения функций являются операции интегрирования и
дифференцирования. Следовательно, сама постановка такого воп-
роса априори требует обобщения понятия интеграла, распростра-
нения его на разрывные функции. Это-то и сделал Риман. Небез-
зынтересно при этом, что в подходе к понятию интеграла он пос-
тупает подобно тому, как он делает с вопросом о тригонометри-
ческих рядах. Если Коши брал непрерывную функцию и для нее
определял интеграл, то Риман брал любую функцию, для которой
существует число, определяемое некоторым способом, и уже по-
том устанавливал критерий интегрируемости.
Риман, распространяя определение Коши на более широкий
класс функций, был излишне осторожен. Видимо, под воздей-
ствием Дирихле, а может просто отдавая ему дань уважения,
Риман писал, что «мы можем с уверенностью считать, что те функ-
ции, на которые не распространяются исследования Дирихле,
в природе не встретятся» [2, стр. 234] и что изучение понятия
функции в более широком смысле представляет лишь внутри-
математический интерес' (для выяснения принципов анализа и реше-
ния некоторых вопросов теории чисел). Он был неправ в этом отно-
шении, и разрывные функции, начавшие появляться еще в XVIII
столетии, к концу XIX в. стали чуть ли не основным объектом иссле-
дования в теории функций действительного переменного, в частности
186
потому, что они получали все более широкое применение при опи-
сании законов природы. И позднее, уже в нашем столетии, Дан-
жуа, говоря о значении разрывных функций именно при изуче-
нии природы, писал: «Мы не можем открыть глаза без того, чтобы
не увидеть разрывность» [10, стр. 8], для выражения которой
необходимы как раз разрывные функции. Так что, если даже Ри-
ман был искренне убежден в истинности приведенных его слов,
все же объективно введенное им понятие интеграла служило для
изучения явлений природы, описываемых разрывными функция-
ми, ибо для изучения непрерывных функций было достаточно
интеграла Коши. Он предугадал направление последующих ис-
следований, выковав для них надежное орудие. Ине столь сущест-
венно, что из рук Римана это орудие вышло не совсем отработан-
ным; его последователи сумели отшлифовать его до необходимой
точности.
Но не только потребности конкретного вопроса теории триго-
нометрических рядов и предугадание общего направления ис-
следований в теории функций действительного переменного
стимулировали необходимость введения нового понятия интеграла.
Действовали и другие факторы.
Выше упоминалась работа Дирихле «О представлении совер-
шенно' произвольных функций рядами из синусов и косину-
сов» [2]. Она содержала изложение основных свойств интеграла
Коши, с применением их к теории тригонометрических рядов.
Но в смысле подхода к интегралу Римана большее значение
имела более ранняя его работа (1829 г.) «О сходимости тригоно-
метрических рядов, служащих для представления в данных
пределах произвольной функции» (Дирихле [1]). В ней, после
установления своей основной теоремы о представлении функции
тригонометрическим рядом в случае, когда функция имеет ко-
нечное число разрывов и экстремумов, он писал:
«Нам остается рассмотреть случаи, когда наши предположе-
ния о числе разрывов непрерывности и о числе maximum’oB и
minimum’oB перестают иметь место. Эти особенные случаи могут
быть приведены к тем, которые мы рассмотрели раньше. Для того,
чтобы ряд (7) [т. е. ряд Фурье.— Ф. М.) имел смысл, когда число
разрывов непрерывности бесконечно, нужно только, чтобы функ-
ция <р (х) удовлетворяла следующему условию.
Каковы бы ни были два количества а и Ь, находящиеся в пре-
делах — лил, всегда между ними можно вставить такие два
другие количества г и $, настолько близкие, что функция ср (х)
будет непрерывной в промежутке от г до 5.
Необходимость этого ограничения мы почувствуем, если при-
мем в соображение, что различные члены ряда представляют из
себя определенные интегралы, и обратимся к основному определе-
нию интеграла. Тогда мы увидим, что интеграл функции только в
том случае имеет смысл, если она удовлетворяет данному выше
условию. Пример функции, не удовлетворяющей этому условию,
187
мы получим, если положим <р (х) равной некоторой определенной
постоянной с, когда х получает рациональные значения, и равной
другой постоянной d, когда х получает иррациональные значения.
Определенная таким образом функция для всякого х имеет ко-
нечные и определенные значения, и, однако, мы не можем разло-
жить ее в ряд, так как в этом случае различные интегралы, вхо-
дящие в ряд, теряют всякий смысл.
Ограничение, которое я только что ввел, и условие, чтобы
функция не становилась бесконечной, это единственные ограниче-
ния, которые должны налагаться на функцию <р (я), и все случаи,
которые не исключены ими, могут быть приведены к случаям,
нами исследованным. Но чтобы сделать это со всей желательной
ясностью, необходимо исследовать некоторые подробности, свя-
занные с основными принципами анализа бесконечно малых; я
предполагаю вернуться к этому в другой работе, где я займусь
также некоторыми другими довольно замечательными свойствами
ряда (7)» (Дирихле [1, стр. 22—23]).
Дирихле отчасти выполнил свое последнее обещание в работе
[2]. Однако при этом он потерял очень многое из того, что содержа-
лось в его более ранней работе [1]. В последней он «забыл» почти
весь приведенный здесь отрывок: в ней он занимался почти
исключительно непрерывными функциями; интеграл определял
только для них; никаких существенных подробностей, связанных
с принципами анализа бесконечно малых, в ней не содержится,
кроме общего определения непрерывной функции.
Между тем в приведенных словах имеется многое действитель-
но важное для последующего развития анализа. Мы говорили,
что вообще-то Дирихле под произвольной функцией понимал
непрерывную функцию. Однако знаменитый пример его функции,
приведенный в процитированном отрывке, показывает, что он
владел и общим понятием функции. Он, видимо, чувствовал, что
последнее слишком широко, чтобы быть предметом изучения сред-
ствами существующего анализа. Действительно, его функция не
разложима в ряд Фурье; не интегрируема не только в смысле Ко-
ши, но и в смысле будущего римановского обобщения; о диф-
ференцировании ее вообще не могло быть речи. Действительно,
для изучения подобного рода функций был необходим пересмотр
принципов анализа, и притом нужно было исследовать не только
некоторые подробности, связанные с ними, а произвести коренную
ломку их, которая оказалась не под силу Дирихле. Видимо,
потому-то он отказался от такого пересмотра, сделав шаг
назад.
Замечательны его слова, относившиеся к вопросу интегрируе-
мости. Определение интеграла по Коши до Дирихле было рас-
пространено (самим Коши) на разрывные функции, имеющие ко-
нечное число точек разрыва. Дирихле пошел существенно дальше,
наметив путь для рассмотрения бесконечного множества точек
разрыва у подлежащей интегрированию функции. Липшиц в
188
1864 г. не совсем удачно попытался реализовать замысел Дирихле
(Липшиц [1, стр. 96—971). Но еще до этого Риман пришел к из-
ложенной выше концепции интегрирования, ставшей основной
для XIX в. 5 6
Риману, ученику Дирихле, были, разумеется, хорошо извест-
ны соображения Дирихле, и он прямо ссылается в этой связи
на последнего (Риман [2, стр. 235]). Уточнение же и выяснение
основных принципов анализа в середине XIX в. было вполне наз-
ревшей самостоятельной математической задачей, и каждый шаг
в ее решении, в том числе обобщение и углубление понятия ин-
теграла, был вместе с тем ответом на эту потребность развития
математики.
Далее, если все XVIII столетие и первая половина XIX в.
прошли под знаком теснейшей взаимосвязи между дифференциро-
ванием и интегрированием, то к середине этого века обязатель-
ность такой связи уже ставится под сомнение. Отчасти это выра-
жалось в уже рассмотренных попытках дать дефиницию опреде-
ленному интегралу вне связи с дифференцированием, завершив-
шихся определением Коши интеграла как предела сумм. Но
поскольку Коши определил свой интеграл для непрерывных функ-
ций, а для них связь между дифференцированием и интегрирова-
нием сохраняется в том же виде, в каком она существовала ра-
нее, то подход Коши в общем-то не поколебал необходимость этой
связи. Отход от этой связи начался не только со стороны интег-
рирования, но и со стороны дифференцирования. Последнее ранее
рассматривалось как более простая, прямая операция, всегда
выполнимая для рассматриваемых функций. Предпринимались
неоднократные попытки даже доказать, что всякая непрерыв-
ная функция имеет производную. Производную умели вычис-
лять для всякой предложенной функции.
Однако к середине века ситуация начала осложняться.
В своих лекциях в Берлинском университете 6 Дирихле приводит
пример непрерывной всюду функции
f . 1 , п
х sin — при х Ф О,
/(*)=--
I 0 при х = О,
у которой производная в точке х = 0 вообще не существует [3,
стр. 19—20], отмечает, что в общем случае нельзя доказать суще-
ствование производной у произвольной непрерывной функции и
даже утверждает, что «можно чисто графически задать определен-
ные функции, которые нигде не имеют производной» [3, стр. 20].
5 Анализ определения Дирихле — Липшица см. у Лебега [19, стр. 17—21];
см. также Хокинс [13, стр. 12—16].
6 Далее будет идти речь о лекциях Дирихле [3],читавшихся им летом 1854г.
и изданных Арендтом. Возможно, что аналогичные лекции Дирихле читал
ранее и о них мог знать Риман.
189
Вместе с тем всякая непрерывная функция интегрируема.
Следовательно, между этими двумя аналитическими операциями,
в применении к одному и тому же классу непрерывных функций,
нет необходимой связи, и отсюда Дирихле делает даже такой
радикальный вывод: «Из-за этого различного по самой сути дела
характера определенного интеграла и производной и из того, что,
как мы видели, понятие определенного интеграла может быть
получено совершенно независимо от дифференциального исчисле-
ния, вопреки обычаю рассматривать интегральное исчисление как
его обращение, многое говорит за то, чтобы оба понятия — ин-
теграл и производную — обосновывать полностью самостоя-
тельно,тем более что тогда и многие трудности, преодоление кото-
рых доставляет много хлопот, можно легко преодолеть» [3, стр. 20].
Видимо, не без влияния Дирихле молодой Дедекинд в 1852 г.
также выступает, правда не на слишком прочном основании, про-
тив определения интеграла через операцию дифференцирования
(Дедекинд [1, стр. 11]).
Такое умонастроение окружения Римана сказалось на его на-
учной установке. Если Коши, определив свой интеграл, сразу же
связывает его с дифференцированием, введя неопределенный ин-
теграл и доказав, что производная неопределенного интеграла
есть подынтегральная функция, то Римана уже мало интересует
связь интегрирования с дифференцированием. Как мы увидим да-
лее, введением своего интеграла Риман нарушил эту связь на-
столько, что, несмотря на громадный последующий труд, ее не
удается восстановить вплоть до настоящего времени.
Был еще один немаловажный момент в подходе к понятию
интеграла до появления римановской работы [2], который вряд
ли можно не рассматривать в качестве предпосылки римановского
определения.
Все время подчеркивая важность понимания интеграла как
предела суммы, мы оставили в тени ньютоно-лейбницевский под-
ход к определенному интегралу как разности значений примитив-
ной. Между тем такой подход не только существовал, но и про-
должал развиваться; более того, его продолжали придерживаться
большинство математиков. Они просто считали, что функция
/ (х) имеет интеграл на (а, Ь), если она имеет на (а, Ь) примитив-
ную F (х), и тогда, по определению,
ь
\f(x)dx=F(b)-F(a). (1)
а
Лебег [19, стр. 87] связывает это определение с именами Дюаме-
ля и Серре. Однако, как мы видели выше, так вводили определен-
ный интеграл еще в XVIII в.
Такое определение неудовлетворительно в том отношении, что
оно требует доказательства существования примитивной. А это
доказательство осуществляется во многих случаях очень просто,
190
если принять определение интеграла как предела сумм. Но в ус-
ловиях определения (1) оно не годилось, так как налицо логи-
ческий круг. Без интеграла же как предела сумм такое доказа-
тельство довольно трудно. Не случайно, что существование при-
митивной даже у непрерывной функции без использования поня-
тия интеграла было доказано только в 1905 г. Лебегом [12], для
чего ему предварительно потребовалось передоказать теорему
Вейерштрасса, что всякая непрерывная функция представима
равномерно сходящимся рядом многочленов, не пользуясь ин-
тегрированием [ 1 ].
Тем не менее отмеченная неудовлетворительность определения
(1), видимо, не очень-то смущала, а может, и не замечалась. К тому
же это определение имеет определенные преимущества по срав-
нению с дефинициями Коши и Римана. Коши ограничился непре-
рывными функциями. В определении же (1) от интегрируемой функ-
ции отнюдь не требуется каких-либо иных свойств, кроме суще-
ствования примитивной, а к середине XIX в. разрывные функции
стали обиходными, и многие из них удавалось проинтегрировать
в смысле определения (1). Римановский интеграл чрезвычайно
расширил класс интегрируемых функций, но и он, как мы увидим
далее, не охватывал случаев интегрируемости в смысле (1): уда-
лось построить ограниченные производные, не интегрируемые
(R) \ Еще одним преимуществом было то, что в соответствии с
определениями Коши или Римана вычисление интегралов почти
никогда, не производится, и даже для очень простых функций
оно довольно сложно, тогда как находить примитивную во мно-
гих случаях удается достаточно просто. Поэтому, когда речь идет
о вычислении, то удобнее пользоваться им. Но XIX столетие в
математике отчасти характерно тем, что вычислительные про-
цедуры все более и более отступали на второй план, а вперед
выдвигались вопросы существования, в частности вопросы ин-
тегрируемости функций. Для решения последних интеграл в виде
предела сумм имеет неизмеримо большие преимущества. Это и
предопределило победу концепций Коши и Римана.
Однако до этой победы было еще далеко, и пока математики
по преимуществу пользовались определением (1). Мы упоминали
обобщение Дирихле понятия интеграла; оно сформулировано им
именно в плане этого определения; так же подходит к нему и
Липшиц [1, стр. 96—98]. Рассмотрим теперь еще несколько ре-
зультатов, полученных, видимо, на основе концепции (1), которые
затем были связаны с интегралом Римана.
Прежде всего остановимся на важной второй теореме о среднем
в форме Бонне. Если принять во внимание, что его работа [1]
опубликована в 1849 г., т. е. почти за два десятилетия до появле-
ния в печати римановской работы [2], то его формулировкам
7 Последнее не означает, что римановское определение уже: существуют
интегрируемые (J?) разрывные функции, не являющиеся производными
никакой непрерывной функции.
191
X
«Если определенный интеграл \ ср (х) dx, в котором ф (х) представ-
ляет собой какую-либо конечную функцию, постоянно остается
заключенным между А и В при изменении я от а до Ь, то интеграл
х
(x)y(x)dx, в котором f (х) положительна и не возрастает, для
а
тех же значений х заключен между Af (Ь) и Bf (а)» — весьма ин-
тересна. В ней отнюдь нет речи о непрерывных / и ф, чтобы можно
было привязать ее к определению Коши. Напротив, прямо гово-
рится о любой конечной (правильнее, ограниченной) ф (х) и лишь
положительной невозрастающей / (х). Да и доказательство этой
теоремы, намеченное Бонне, основывалось на преобразовании Абе-
ля и оказалось пригодным в римановской общности формулировки
этой теоремы.
Аналогична картина и в случае второй теоремы о среднем в
форме Дюбуа-Реймона. В 1868 г. он изучал интегралы, являющиеся
обобщениями интегралов Фурье и Дирихле 8. Для доказательства
ряда утверждений, относящихся к последним, ему и понадоби-
лась эта теорема, которую он сам рассматривал как лемму [1,
стр. 78]. Доказывая формулу
ь е ъ
/ (х) ф (х) dx = / (a) J Ф (х) dx f ф (х) dx,
а а Е
(2)
Дюбуа-Реймон явно наложил только условие непрерывности
^ф (х) dx и монотонности / (х); кроме того, он молчаливо предпо-
лагал, что рассматриваемые им интегралы обладают некоторыми
обычными свойствами. Один любопытный штрих его доказатель-
ства мы передадим его же словами: «Эта формула [речь идет о
формуле (2).— Ф. МЛ получается весьма просто из тождества
ъ ъ ь
а а а х
в котором, при условии, что /' (х) не меняет свой знак в интервале
ь
от а до Ъ, среднее значение интеграла ^q)(u)du получается из
X
второго интеграла. Если я все же пользовался более сложным ме-
тодом, то это имело целью избежать употребления ч у ж д о г о
[разрядка моя.— Ф. МЛ настоящему вопросу элемента, а имен-
но: производной /' (я)» [1, стр. 82]. Дюбуа-Реймон как бы пред-
чувствует здесь, какие сложности могут возникнуть при при-
8 См. А. Б. Паплаускас [1, стр. 247—256].
192
влечении понятия производной и как они ограничили бы общность
формулы (2).
Его работа [1] появилась в печати в том же году, что и работа
Римана [2], так что при ее подготовке он не знал о последней.
Если говорить об интеграле как о пределе сумм, то для Дюбуа-
Реймона существовало . только определение Коши интеграла.
Между тем свойство непрерывности подынтегральной функции
нигде в его рассуждениях не используется. Напротив, он под-
черкивает, что ср (х) может быть любой интегрируемой, а / (я) —
любой монотонной. Следовательно, его рассуждения относились к
интегрируемости по (1).
Не касаясь других примеров, когда в рамках определения (1)
были получены фактически результаты будущей теории инте-
грала Римана, мы можем сказать, что эта подготовительная ра-
бота оказалась важным условием разработки римановской тео-
рии. Большой цикл работ XIX в. состоял в переводе подобного
рода результатов на язык этой теории, а сам перевод был необ-
ходим вследствие отмеченной недостаточности определения (1).
Сама же недостаточность, осознавалась она или нет, была одним
из необходимых условий введения римановской концепции.
§ 3. Свойства интеграла Римана
Поскольку интеграл Римана формально определяется как
предел интегральных сумм, как и в случае Коши, то большая
часть свойств у этих интегралов оказывается одинаковой. Вместе
с тем, поскольку интеграл Римана распространяется на широкий
класс разрывных функций, постольку в нем обнаруживаются спе-
цифические особенности, обусловленные не конструкцией интег-
рала, а характером интегрируемых функций. Вторые значительно
интереснее, и мы на них остановимся подробнее, но позднее, а
сейчас рассмотрим некоторые свойства первого типа.
Сам Риман в работе [2] не сформулировал в явном виде и тем
более не доказал ни одного свойства введенного им интеграла,
кроме, разве, условия jR-интегрируемости, относящемуся скорее
не к самому понятию интеграла, а к понятию функции, почему
мы и не будем об этом говорить в настоящем параграфе; но в ходе
применений интеграла в вопросах, относящихся к тригонометри-
ческим рядам, он пользовался некоторыми из них.
Как самоочевидное он применяет равенство
Ъ оо оо Ъ
J 2 (^) = SJ fn
а п=1 п=1 а
верное лишь при некоторых ограничениях, накладываемых на
сходимость (о чем несколько позднее); в случаях, когда его при-
менял Риман [2, стр. 245], эти ограничения выполнялись, и он
ничего не говорил об этом специально. Точно так же он применял
7 Ф. А. Медведев
193
[2, стр. 246] формулу
ъ ъ
§ /' (х) Ф (х) dx = [/ (ж) ф (z)]a — J / (х) ф' (ж) dx,
а а
представляющую собой просто перенос на jR-интеграл формулы
интегрирования по частям, известной уже давно, а также равен-
ство
ъ
/ (х) dx =
а
1=0
/ (х) dx,
где а = х0 < Xi < . .. < хп < хпА1 = b [2, стр. 250], и свойство,
дающееся неравенством
ъ
т ф (я) dx
а
Ъ
/ (я) ф (х) dx
а
Ь
М ф (х) dx
а
[2, стр. 261], причем, как и в самом определении интеграла, за
т и М берутся не грани / (х} на {а, Ъ), а минимум и максимум
/ (х) на этом отрезке.
Всеми перечисленными свойствами Риман пользовался так,
словно они были давно известны, и он просто применял их в ходе
рассуждений, конечно, не в такой общности, а в той, которая тре-
бовалась в тех или иных обстоятельствах. Никаких намеков на
их доказательства на основании определения /?-интеграла у него
не содержится.
Мы не будем останавливаться на доказательствах тех свойств
7?-интеграла, которые относительно просто получаются из рас-
смотрения его как предела сумм. Они были приведены в соответ-
ствующих дидактических курсах анализа и являлись липц> при-
менением соответствующих рассуждений Коши к более общему
случаю. Обратимся к более интересным.
Прежде всего еще раз займемся второй теоремой о среднем.
Через некоторое время после ее открытия она стала одной из
важнейших теорем интегрального исчисления благодаря чрез-
вычайно широким и плодотворным ее применениям, особенно в
теории тригонометрических рядов. Вследствие этого к ней неодно-
кратно обращались видные математики прошлого века вплоть до
конца столетия; имела место даже некоторая перепалка приори-
тетного характера.
Вторая теорема о среднем приводится обычно в двух формах:
а < £ < b,
194
где ср (х) — произвольная интегрируемая функция, а / (я) в (I)
положительна и не возрастает, в (II) просто монотонна 9.
Дюбуа-Раймон, доказав (II), заметил, что / (6) = 0 получается
форма (I), но не указал, что она принадлежит Бонне. Из этого
замечания вроде бы вытекало, что форма Бонне (I) является част-
ным случаем теоремы Дюбуа-Реймона (II). Так, видимо, полагал,
по крайней мере первоначально, сам Дюбуа-Реймон; так считали
и некоторые другие математики. На самом деле, несмотря на ка-
жущуюся большую общность формы (II), теорема Бонне не вы-
водима из (II), кроме особого случая f (b) = 0; напротив, (II)
можно вывести из (I), а обе они являются частными случаями
теоремы:
Ъ £ ь
(П1) $/(*) Ф (х) dx = А ф (х) dx + В ф (х) dx,
a a Z
где А / (а + 0) < / (Ь — 0) < В или А / (а + 0) / (Ь —
— 0) В, а Ь, и никаких других ограничений на числа
А и В не накладывается; ф(я) — произвольная интегрируемая,
а / (х) — монотонная функции.
Формулировка теоремы (III) также принадлежит Дюбуа-
Реймону [5, стр. 126]. Однако четкое ее доказательство и выяснение
взаимоотношений с формами (I) и (II) осуществил Прингсгейм
[2] только в 1901 г.
Теоремам (I) и (II) были даны различные доказательства.
Укажем, к примеру, первые из них Ганкеля [1], Мейера [2], Томе
[1, стр. 18—19; 2], Дини [1, стр. 286—288, 296—297]. Впоследствии
их передоказывали К. Г. Нейман, Кронекер, Гёльдер, Жордан,
Штольц и др. 10 Мы отметим лишь, что первым доказательством,
явно основанным на понятии интеграла Римана как предела сумм,
было, видимо, доказательство Томе [1, стр. 18—19]; в предшест-
вующих доказательствах Ганкеля и Мейера не уточнялось к
какому определению интеграла они относились.
В заключение несколько слов о приоритете. Сказанное выше
позволяет утверждать, что Бонне раньше сформулировал и на-
метил правильное доказательство второй теоремы о среднем;
он же применил ее для нахождения некоторых определенных ин-
тегралов. Дюбуа-Реймон [1] пришел к другой форме этой теоре-
мы, видимо, независимо; он глубже осознал ее значение, применил
в теории тригонометрических рядов; воспользовался ею он и для
некоторого обобщения первой теоремы о среднем (Дюбуа-Реймон
12]); ему принадлежит формулировка (III); именно после его ра-
бот теорема получила общее признание и широкое распростра-
9 ^^??еДенная Ранее формулировка Бонне для (1) несложно переводится
ю В 1 *
Ряд замечаний по поводу этих доказательств высказан Прингсгеймом [2,
стр. 227—233]. Некоторые дополнительные соображения о рассматри-
ваемой теореме имеются в заметке Г. М. Идлиса [1].
195
7*
некие. Раньше Дюбуа-Реймона ко второй теореме о среднем при-
шел Вейерштрасс; он, однако, не опубликовал своего доказатель-
ства, состоявшего в использовании интегрирования по частям,
что, как справедливо отметил Дюбуа-Реймон в приведенном выше
его высказывании, требует привлечения понятия производной.
Но тогда теорема о среднем не только многое проигрывает в общ-
ности, но и теряет самостоятельный интерес, а главное, оказы-
вается непригодной при рассмотрении многих вопросов теории
рядов и интеграла Фурье. Так что вряд ли было целесообразно
связывать ее с именем Вейерштрасса. Дюбуа-Реймон знал о вейер-
штрассовском доказательстве и отметил это в первой же своей ра-
боте, в которой у него появилась вторая теорема о среднем [1,
стр. 82, сноска]. Доказывая теорему в общности Дюбуа-Реймона
Томе в 1875 г. заметил, что «Вейерштрасс сообщил ее своим слуша-
телям, но опубликовал ее первым г. Дюбуа-Реймон» (Томе [1,
стр. 18, сноска]). Последний выразил протест, и в следующей
своей работе Томе уточнил предыдущие слова: «Это замечание не
следует понимать в том смысле, что г. Дюбуа-Реймон только опуб-
ликовал известную Вейерштрассу теорему. Дело обстоит так, что
г. Вейерштрасс получил предложение при помощи интегриро-
вания по частям и притом при существенных ограничениях и
применил это в лекциях, о чем г. Дюбуа-Реймон не знал. К тому
же г. Дюбуа-Реймон освободил эту теорему от ограничительных
условий и впервые придал ей то значение, которое она имеет
теперь» (Томе [2, стр. 475]). Тем не менее в 1878 г. Дини, дока-
зывая (II), утверждал, что она принадлежит Вейерштрассу (Ди-
ни [1, стр. 296]) и даже не упомянул имени Дюбуа-Реймона. Дис-
куссия о приоритете имела продолжение, однако на этом мы не бу-
дем больше задерживаться, а перейдем к другим свойствам ин-
теграла Римана.
К работам Дарбу «Мемуар о разрывных функциях» [1] и Томе
«Введение в теорию определенного интеграла» [1], замечательным
во многих отношениях, мы будем обращаться еще не раз. Сейчас
остановимся только на тех частях их содержания, которые отно-
сятся к свойствам Л-интеграла.
Говоря об интеграле у Римана, мы заметили, что ни он сам,
ни тем более его предшественники не делали различий между
конечностью и ограниченностью функции. Видимо, впервые в пе-
чати это различие совершенно отчетливо проведено в мемуаре
Дарбу вместе с прозрачным примером конечной, но неограничен-
ной функции
(— , 0 <^х 1,
/(*) = х
11, х = 0.
[1, стр. 61—62]. Томе в работе, появившейся в том же году, но
несколькими месяцами позже, такого разграниченйя~не проводит
и говорит даже при определении интеграла о конечных функциях,
196
однако саму конечность он определяет как ограниченность [1,
стр. 4]. Точно так же у обоих, тоже, видимо, впервые, колебание
функции на интервале определяется как разность между верхней
и нижней гранями значений функции на этом интервале, а не как
разность между максимальным и минимальным значениями функ-
ции. Понятия граней у обоих определены правильно (Дарбу [1,
стр. 61], Томе [1, стр. 4]), и доказано их существование. В связи с
этим нужно заметить следующее.
Обычно понятие грани множества (в частности, грани множе-
ства значений функции) относят к Больцано и Вейерштрассу
(Штольц [2, стр. 257—258]) или только к Вейерштрассу (Прингс-
гейм [3, стр. 12]). В отношении Больцано ссылаются на его
статью И]. опубликованную в 1817 г., а в отношении Вейерштрас-
са — на изложение его лекций у Пинкер ле [1]. Действительно,
Больцано доказал теорему существования верхней грани у огра-
ниченного сверху множества [1, стр. 181—182], но само понятие
грани он в явном виде не сформулировал. У Пинкерле содержится
вполне четкое определение [1, стр. 242]; однако, как указывает
он сам, его работа составлена по лекциям Вейерштрасса, читав-
шимся в 1877/78 учебном году. Между тем, как мы сказали, у
Дарбу и Томе, а также, как увидим несколько далее, у Асколи,
понятие грани множества сформулировано совершенно четко в
1875 г. Вследствие важности понятия грани множества в математи-
ке вообще и особенно в теории интеграла, видимо, целесообразно
остановиться подробнее на вопросе введения его в математику.
В одной из заметок Гаусса [3] 11, датируемой 1800 г., имеется
определение грани множества почти в том виде, в каком оно вхо-
дит в современные учебные руководства. Однако эта заметка была
напечатана только в 1912 г., в опубликованных же при жизни
Гаусса работах это понятие, кажется, не использовалось. Статья
Больцано [1] довольно долго оставалась не замеченной, хотя не
исключено, что Вейерштрасс знал о ней, о чем косвенно свидетель-
ствует такой факт: ученик Вейерштрасса Г. А. Шварц в 1872 г., т. е.
за девять лет до «открытия» Больцано Штольцем, прямо сопоставлял
методы рассуждений Больцано и Вейерштрасса (Шварц [1, стр. 178,
сноска]). В печати определение грани множества значений функ-
ции появилось впервые, вероятно, в одной из статей Г. Кантора
[1, стр. 86—86] в 1871 г., после того как в предыдущей работе он
допустил ошибку, состоявшую в подмене грани максимумом функ-
ции. Перед этим в 1870 г. Г. Кантор получил от Шварца письмо, в ко-
тором фигурирует понятие грани множества значений функции
при доказательстве одной из теорем, причем отмечается, что это
доказательство принадлежит Вейерштрассу 12. Так что в лекциях
Вейерштрасса понятие грани множества появилось значительно
раньше указывавшихся выше 1877—1878 гг. Во всяком случае,
12 Изложение ее см. у А. И. Маркушевича [3» стр. 188—189].
ото письмо впервые опубликовано в 1961 г. в книге Мешковского [1].
197
к 1875 г. оно получило столь широкое распространение, что по
крайней мере три математика из разных стран применяют его в
сходных ситуациях.
После этого несколько затянувшегося отступления возвратим-
ся к вопросу о свойствах интеграла Римана.
Дарбу [1], опираясь на определение 72-интеграла как предела
сумм, устанавливает следующие его свойства:
Ь а
1) / (х) dx = — ^f(x)dx (стр. 72—73);
а b
b
2) B(b — a)^f(x)dx<A(b — а) (стр. 73),
где В и А — соответственно нижняя и верхняя границы (не обя-
зательно точные) значений / (х) на (а, Ь);
3) если / (х) интегрируема на (а, Ь), то значение интеграла
ъ
/ (х) dx не изменится при изменении значений / (х) в конеч-
ен
ном числе точек (стр. 75);
х
4) f (х) dx является непрерывной функцией своего верхнего
а
предела (стр. 75—76):
5) если
X
F (я) —- j / (х) dx, то F' (х) = / (х)
а
во всех точках непрерывности f (х) (стр. 76); в точках разрыва
/ (х) производная неопределенного интеграла, вообще говоря, не
существует (стр. 92—94);
X
6) / (х) dx = F (х) — F (а) (стр. 76);
а
оо
7) пусть 2 fn = f GO, причем ряд сходится равномерно на
(а, Ь); тогда, если функции fn (х) интегрируемы на (а, Ь), то ин-
тегрируема и / (х) причем
п=1 а
(стр. 82)
(после доказательства этой теоремы Дарбу построил пример всю-
ду сходящегося ряда, имеющего суммой непрерывную пункцию,
но такого, что последнее равенство не выполняется хотя все
интегралы существуют);
198
8) если для всякого х (a, b) lim / (х + h) существует,
Л-*0
то / (х) интегрируема на (а, Ь) (стр. 90—91).
На следующем результате Дарбу остановимся подробнее. Да-
лее мы не раз будем сталкиваться с вопросом о том, какова связь
неопределенного интеграла и примитивной (т. е. функции, произ-
водной которой является заданная функция). Для интеграла Коши
он гораздо проще, поскольку в области непрерывных функций
неопределенный интеграл и примитивная совпадают с точностью
до константы (аддитивной). Для интеграла же Римана дело об-
стоит неизмеримо сложнее. Эту сложность, по-видимому, почув-
ствовал уже Дарбу. Последний раздел своей работы он начинает
словами: «Кажется трудно указать общее свойство, позволяющее
распознать, имеет ли f(x) примитивную, т. е. является ли она про-
изводной некоторой другой функции» (стр. 111]. Такое общее
свойство ему удается найти только для функций, интегрируемых
(7?):
9) если / (х) интегрируема и если существует непрерывная
функция F (х) такая, что F' (х) = f (х), тогда
х
F (х) = J / (z) dx + С (стр. 111-112).
а
Томе подходил к понятию определенного интеграла с двух
сторон. О его первом подходе речь будет далее, что же касается
второго, то он был таким же, как и у Дарбу. Исходя из определения
интеграла как предела сумм, он также доказал многие из указан-
ных свойств, но к сказанному требуются некоторые комментарии.
Во-первых, в то время как Дарбу пользовался обычным понятием
производной, Томе ввел понятия производных справа и слева
[1, стр. 8]13. Поэтому теорема 5) Дарбу им несколько уточняется:
Томе показывает, что в точках непрерывности обычная производная
равна подынтегральной функции; если же / (х) в точке х0 имеет
/ (#0 + 0) (или / (хо — 0)), то правая (или левая) производная
неопределенного интеграла равна / (xQ + 0) (или f (я0 — 0));
в точках же, в которых у интегрируемой функции пределы справа
или слева не существуют, не существует и соответствующей про-
изводной. Далее, теорему 2) Дарбу он доказал в более точной форме
теоремы о среднем:
X
^f(x)dx = [g-\-£(G — g)](x — d),
а
где g и G — грани f (х) на (а, х) и 0 | 1; при доказательстве
ее как промежуточный результат он имел неравенство 2).
Кроме того, он, как мы уже говорили, доказал вторую теорему
о среднем [1, стр. 18—19], а также установил свойство, которое
А* Р‘ Юшкевичем [19, стр. 170] отмечено наличие этих производных у
Арбогаста в 1791 г.
199
не рассмотрел Дарбу:
[1, стр. 16—17],
причем отметил произвольность расположения точек, а, Ь, с,
лишь бы функция была интегрируемой на интервале, содержащем
точки а, Ь, с; в этом результате, в частности, содержалось и свой-
ство 1), отмеченное Дарбу:
б) если / (я) > Ф (я), то
ь ъ
f (х) dx ф (х) dx
а а
[1, СТр. 19].
Томе рассмотрел также вопрос об интегрировании и дифферен-
цировании под знаком интеграла.
Теперь о первом подходе Томе к понятию интеграла. Если Дар-
бу [1] сразу же вводит интеграл по Риману и занимается исключи-
тельно им, то для Томе исходным является все же определение ин-
теграла как разности значений примитивной [1, стр. 9]14. И лишь
после того, как им была доказана теорема: «Если числа а2, •••
..., расположены между а и Ь, то
ь
$ / (х) dx = (ах — a) [g0 + (Go — go) Во] +
а
+ (а2 — д1) [gl + (&1 — gl) S1] + • • •
. . . -f- (Ь — Л?г-1) [gn-1 + (fin-1 — gn-1) Sn-1L
где So, £i, •••» £n-i расположены между нулем и единицей, а Сии
gp. — соответственно верхняя и нижняя грани / (х) в интервале от
Opt до а^-н» [1, стр. 11], он переходит к интегралу как пределу сумм,
для чего доказывает [1, стр. 11—13[, что если
71—1
2 (^i+l
i=l
— di) CDi
<e,
где О; = Gi — gi — колебание / (x) на (ai7 ai+1), то
n—1
lim 2 (ai+i “ ai) + fii — gi}
X->0 1=0
не зависит от выбора Si и выбора точек разбиения. Поскольку он
исходит из интеграла как разности значений примитивной, то пе-
ред ним встает вопрос о существовании примитивной. В решении
его Томе допускает логическую ошибку, доказывая это суще-
ствование при помощи неопределенного интеграла Римана [1,
стр. 16—17].
14 Примитивную он рассматривает по отношению к правому или левому
дифференцированию.
200
Таким образом, у Томе еще два почти равноправных опреде-
ления интеграла. Все же он предпочитает римановское, ибо, с од-
ной стороны, ему неизвестно, может ли существовать ограничен-
ная производная, не интегрируемая (Я) [1, стр. 11, сноска] 1б,
а с другой — в исходном определении требуется, чтобы кроме
функции / (х) = О, не существовало другой функции, примитив-
ная которой равна константе; Томе же известно бесконечно много
различных разрывных функций, интеграл от которых равен нулю
[1, стр. 14—15]. Поэтому он считает римановское определение
более общим [1, стр. 18] и в остальной части книги пользуется
только им.
Через три года Дини полностью отказывается от определения
интеграла через примитивную, так как доказательство существо-
вания примитивной его не удовлетворяет, даже если интегрируется
непрерывная функция (Дини [1, стр. 232]). «Это определение не
дает общего способа эффективного нахождения интеграла, посколь-
ку ставит его в зависимость от выполнения операций, совершае-
мых над совершенно неизвестной функцией»16 (Дини [1, стр. 233]).
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном
свойстве Л-интегр ал а.
В 1880 г. Дюбуа-Реймон [6] сформулировал без доказательства
теорему:
Пусть функции ф! (я), <р2 (я), фп (х) заданы и интегрируе-
мы на a^Zx^Zb, причем а функция F (хг, х2, ...,яп)
задана и непрерывна в области, определяемой неравенствами
< Xi С Тогда функция / (х) = F [<рг (х), <р2 U), •••» Фп (* *)1
интегрируема на [а, Ь].
Эту теорему, в справедливости которой некоторые математики
тогда сомневались17, Дюбуа-Реймон доказал в 1882 г. [8]. В кон-
це заметки [8] он высказала утверждение, что теорема остается спра-
ведливой, если вместо непрерывности F (х) потребовать только
ее интегрируемость. Последнее утверждение оказалось ошибоч-
ным, что в 1900 г. было установлено Муром [1], построившим при-
мер суперпозиции двух Л-интегрируемых функций, не интегри-
руемой по Риману. Возникающий в связи с этим вопрос о том, ког-
да все же суперпозиция Л-интегрируемых функций Л-интегри-
руема,гбыл исследован только в 1959 г. И. Д. Заславским [1].
§ 4. Условия интегрируемости
Приступая к рассмотрению этого вопроса, мы вынуждены сде-
лать отступление, связанное с появлением на сцене но^ой мате-
матической дисциплины — теории множеств. Ее возникновение
1Б Такая производная была построена только в 1881 г., а книга Томе поя-
вилась в 1875 г.
*6 То есть примитивной, существование которой не доказано.
Впрочем, ее при некоторых ограничительных предположениях доказал в
1881 г. Вольтерра [1, стр. 151.
201
обусловлено всем развитием математики XIX в.; в частности,
одним из истоков, из которых вырастала теория множеств, явилось
римановское понятие интеграла. На последнем, как истоке тео-
рии множеств, мы коротко и остановимся.
Определение Римана позволяло включить в круг исследований
математиков функции, имеющие достаточно сложные множества
точек разрывов. Сам он рассмотрел некоторые примеры таких
функций, в частности функцию
оо
/и-2^,
?г=1
где символ (х) означает разность между х и ближайшим к нему
целым числом; в случае, если х расположена точно посредине меж-
ду двумя целыми числами, (х), естественно, принимается равным
нулю. Эта функция разрывна для всех тех рациональных ординат
х, которые, будучи представлены в виде несократимых дробей,
имеют четные знаменатели (Риман [2, стр. 239]). Но такого рода
точек бесконечно много, и они расположены всюду плотно на оси
абсцисс. И тем не менее эта функция /f-интегрируема. Показы-
вая это, Риман заключает точки, в которых скачки функции пре-
восходят заданное число, в интервалы и показывает, что общая
сумма длин указанных интервалов может быть сделана сколь угод-
но малой (стр. 239).
Таким образом, только в приведенном примере в зародышевой
форме содержалось несколько фундаментальных идей: вопрос об
интегрировании связывается с изучением множества точек раз-
рыва рассматриваемой функции; при этом само вычисление инте-
грала для решения вопроса об интегрируемости ее оказывается
ненужным: вывод о существовании интеграла делается на основа-
нии свойств множества точек разрыва; фактически намечается
путь к идее меры множества заключением его точек в интервалы и
определением совокупной длины этих интервалов. Все это, однако,
скрыто в конкретных рассуждениях Римана, и понадобились дли-
тельные усилия, чтобы эти конкретные соображения Римана пере-
росли в новый подход к теории интегрирования. Этот процесс
перерастания начался почти сразу после появления его работы [2].
Уже в марте 1870 г. появляется работа Ганкеля «Исследования
о бесконечно часто колеблющихся и разрывных функциях» [2].
Остановимся только на двух моментах этого интересного во мно-
гих отношениях сочинения 18.
Риман, вводя общее понятие функции и рассматривая доста-
точно сложные разрывные функции, все же писал, как указы-
валось, что наиболее важным является класс функций, исследо-
ванных Дирихле, т. е. имеющих самое большее конечное число
разрывов и экстремумов. Ганкель, опубликовавший свою работу
[2] чуть ли не вслед за публикацией Римана, стоит в этом вопросе
18 О нем см. также Хокинс [1, стр. 28—33].
202
на более высокой точке зрения. Для него указанный класс функ-
ций является лишь узким частным случаем и, напротив, основные
его интересы сосредоточены на разрывных в бесконечном числе
точек и на непрерывных, но имеющих бесконечное число экстре-
мумов, функциях. И хотя в этом он имел предшественника в лице
Липшица [1], но подход Ганкеля общее: Липшиц сосредоточил свои
интересы на представлении функции тригонометрическими ря-
дами, а Ганкель поставил задачу изучения таких функций вообще,
попытался установить их классификацию и т. д. Более того, своим
принципом конденсации особенностей 19 он дал довольно сильное
средство построения разнообразных функций, обладающих теми
или иными особенностями (разрывами, экстремумами, отсут-
ствием производных и т. п.) на бесконечных множествах точек.
Аппарат римановского интегрирования как раз и был пред-
назначен для исследования разрывных функций, и при рассмот-
рении его Ганкель также пошел дальше Римана в одном отноше-
нии. Опираясь на совершенно конкретные соображения послед-
него, Ганкель обобщил их до теоретико-множественного под-
хода к вопросам интегрирования вообще, и это тем более инте-
ресно, что самой-то теории множеств еще не существовало.
Риман, как мы говорили несколько выше, при рассмотрении
функции
оо
9 V
п=1
обнаружил у нее бесконечное множество точек разрыва и дока-
зал ее интегрируемость путем подсчета суммы длин интервалов,
содержащих точки разрыва. Ганкель рассматривает уже вопрос
не об интегрировании отдельной функции, а всего класса раз-
рывных функций. Разнообразие разрывов теперь сколь угодно
велико, следовательно, сколь угодно много и различных беско-
нечных точечных множеств. Он,. по-видимому, догадывается (хо-
тя прямо этого не говорит), что вопрос об интегрируемости тесно
связан с характером множества точек разрыва. Поэтому перед ним
встает проблема изучения точечных множеств вообще, и Ганкель
делает первые шаги в этом направлении, выделив два класса таких
множеств — всюду плотных и нигде не плотных 20, а также вплот-
ную подойдя к идее меры множества.
Мера точечного множества выступает у Ганкеля как самостоя-
тельное понятие, и для него он вводит специальный термин «длина».
Если множество образовано из конечного числа точек, то эта
«длина» образуется из интервалов, заключающих эти точки, при
стремлении длины каждого из них к нулю, т. е. может быть сде-
лана сколь угодно малой. Если же множество бесконечно, то для
10 Состоящем по сути дела в образовании равномерно сходящегося ряда
функций, члены которого имеют ту или иную особенность. О принципе
го Урнденсяции особенностей см., например, Лебег [19, стр. 23].
Не очень четко определенные, эти классы имелись у Липшица [1].
203
Некоторых из них может случиться) то же Самое* и Ганкель даЖё
полагал, что ему удалось доказать, что точки всякого нигде не
плотного множества можно заключить в интервалы, суммарная
длина которых может быть сделана сколь угодно малой.
Называя точечно-разрывными функциями такие разрывные
функции, у которых точки со скачками больше ст, где от — сколь
угодно малое положительное число, образуют нигде не плотное
множество, Ганкель пытается доказать неправильную теорему:
необходимое и достаточное условие того, чтобы функция была
точечно-разрывной, заключается в том, чтобы общая длина интер-
валов, в которых колебание функции больше а21, могла быть сде-
лана сколь угодно малой (Ганкель [2, стр. 74]). Сопоставляя это
с римановским условием интегрируемости, Ганкель делает вывод,
что всякая точечно-разрывная функция интегрируема.
Для нас не столь уже существенно, что этот вывод ошибочен
из-за ошибочности самой теоремы Ганкеля. Важно то, что он впол-
не осознал роль множества точек разрывов функции в вопросах
интегрирования и связал вопрос об интегрируемости с вопросом
о мере множества, предвосхитив, хотя и в несовершенной, в заро-
дышевой, форме, пути последующего развития теории интеграла.
После этого отступления по поводу работы Ганкеля, которая,
как мы увидим, связана и с темой, поставленной в названии па-
раграфа, перейдем непосредственно к условиям Д-интегрируе-
мости.
В 1875 г. вполне определенно три, а с небольшой натяжкой еще
два, математика независимо приходят к одной и той же новой фор-
ме условий ^-интегрируемости функций: Дарбу [1] во Франции,
Томе [1] в Германии, Г. Смит[1] в Англии, Асколи[1] в Италии, Дю-
буа-Реймон [4], [6] в Германии. Каждый из них исходил из разных
позиций, каждый подошел к этому вопросу весьма своеобразно,
по-разному сложилась судьба их результатов, но все они полу-
чили в отношении ^-интегрируемости одно и то же.
Перед освещением подхода каждого разъясним, о чем идет речь,
если говорить на языке сегодняшних учебников.
Пусть на (а, Ь) задана ограниченная функция / (х). Разобьем
(а, Ь) на частичные промежутки (х^ #i+1) (i = 0, 1, 2, ..., n),
п
2 fe+i — х^ — b — а,и образуем суммы
i=0 n
2 АГ, (a,-i+1 — Xi), (1)
i=0
n
2 (#i+l #i)» (2)
i=0
21 Колебание он неправильно определяет как разность между максималь-
ным и минимальным значениями функции на интервале (Ганкель [2, стр.
69]).
204
где Mi, т-. — соответственно верхняя и ниЖняя грани f (х) на
xi+1). Эти суммы называются верхними и нижними интеграль-
ными суммами (нередко суммами Дарбу или Римана). Несложно
доказать, что если диаметр разбиения, под которым мы будем
понимать наибольшую из длин (#г+1_— х^, стремится к нулю, то
существует единственный предел I сумм (1), совпадающий с
нижней гранью множества всех верхних сумм, и единственный
предел I сумм (2), совпадающий с верхней гранью множества всех
нижних сумм.
Эти пределы часто называются соответственно верхним и ниж-
ним интегралами Римана или Дарбу.
При таких определениях условие ^-интегрируемости форму-
лируется так:
1) для того чтобы / (х) была интегрируема на (а, Ь), необходимо
и достаточно, чтобы 1=1,
или, если ввести колебание со* функции / (х) на (хг, xi+1) как
разности Mi — т^
2) для того чтобы / (х) была интегрируема на (а, Ь), необходимо
и достаточно, чтобы
п
lim 2 — Zi-1) = 0, (3)
1=1
где X — диаметр разбиения.
О работе Дарбу [1] в связи с этим условием нам мало что оста-
ется сказать. Почти все сказанное у него было ([1], стр. 64—73).
Заметим лишь следующее.
Термин «верхний интеграл» и «нижний интеграл» он не вводил:
он просто доказал, что существуют пределы (1) и (2) и обозначил
их символами МаЬ и таЬ. Обозначив затем через ДаЬ разность
МаЬ — таЬ он показал, что римановское условие интегрируе-
мости необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
Дай = 0 (Дарбу [1, стр. 71]) и, наоборот, для того, чтобы предел
сумм
п
2 (4)
1=1
при максимальном диаметре разбиения, стремящемся к нулю, су-
ществовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равен-
ство ДаЬ = 0 [1 стр. 72]. Отсюда можно было бы сделать вывод,
что Дарбу здесь не только ввел новое условие /^-интегрируемости
в терминах совпадения верхнего и нижнего интегралов функции,
но и само определение 22-интеграла как общего значения этих ин-
тегралов. Однако такое заключение было бы ошибочным, ибо сам
Дарбу определял интеграл именно как предел сумм (4); условие
же &аъ — 0 для него только обеспечивало существование интег-
рала. Нам хотелось бы подчеркнуть это обстоятельство по причи-
нам, о которых будет речь в следующем параграфе.
205
По-своему оригинальна работа Томе «Введение в теорию опре-
деленных интегралов» [1], опубликованная в том же 1875 г. Ори-
гинальность ее прежде всего заключается в том, что это — первая
книга, посвященная специально теории интеграла в том смысле,
в котором мы эту теорию рассматриваем. К ее содержанию мы еще
будем обращаться далее, сейчас же опишем только то, что отно-
сится к ситуации с условием ^-интегрируемости в том виде, как
оно изложено в данной книге.
Сам Томе отмечает,! что в качестве основы его книги берется
работа Римана [1] и сообщения о лекциях Вейерштрасса учени-
ков последнего [1, стр. 111].
Томе, как мы уже говорили, правильно ввел понятия ограни-
ченной функции, верхней и нижней грани, а также колебания
функции на интервале. Это позволило рассмотреть ему не только
суммы (4), но и суммы (1) и (2)([1], стр. И). Он доказал, что в слу-
чае I = I предел сумм (4) существует и единствен [1, стр. 11—12],
а также, что существуют и единственны пределы сумм (1) и (2)
[1, стр. 13]. Из своего условия интегрируемости Томе выводит
затем римановское условие [1, стр. 14]. Здесь, следовательно, мы
также имеем подход к идее верхнего и нижнего интегралов, а так-
же выражение условий ^-интегрируемости через их совпадение.
Обратная теорема о том, что если выполняется римановское
условие, то равны верхний и нижний интегралы, Томе не была
доказана.
Работа Г. Смита [1], опубликованная в июне 1875 г., в отношении
рассматриваемого вопроса менее четка, чем работы Дарбу или
Томе. Основной ее недостаток в смысле формальной строгости
тот же, что и у Римана: отсутствуют понятия точных граней функ-
ции на интервале и ограниченности функции. Поэтому колеба-
ние функции на отрезке определяется им как разность между
наибольшим и наименьшим значениями функции (Смит [1, стр. 140]).
Более того, само условие ^-интегрируемости сформулировано
им так же, как и у Римана (стр. 142). Тем не менее, делая по-
правку на определение колебания и относя рассуждения Смита
к ограниченным функциям, можно вычитать в его работе и усло-
вие интегрируемости в смысле
п
lim 5} (xi — xt-i) = 0.
*о
Дело в том, что условие интегрируемости в формулировке Римана он
п
доказывал, исходя из рассмотрения поведения сумм 2 — ^i-i)
2=1
(Смит [1, стр. 141—144]). Более того, верхний и нижний инте-
гралы (не называя их так), Смит ввел совершенно явно и до-
казал их существование (с отмеченной поправкой), вместе с тем
осторожно заметив, что неинтегрируемые (7?) ограниченные функ-
206
ции можно характеризовать средним арифметическим этих инте-
гралов (Смит [1, стр. 151]).
Таким образом, в отношении четкости формулировок и стро-
гости доказательств работа Смита уступает работам Дарбу и Томе.
Однако первая превосходит последние в следующем.
Как мы говорили, Ганкель наметил теоретико-множественный
подход к вопросам интегрирования. Дарбу знал работу Ганкеля
и даже сделал в ее адрес несколько общих критических замеча-
ний (Дарбу [1, стр. 57—58]). Но ее теоретико-множественного
духа он не уловил, хотя и располагал для этого всеми, казалось
бы, данными: многочисленные его примеры разрывных и непре-
рывных недифференцируемых функций являли благодатную поч-
ву для теоретико-множественных соображений. Последние, видимо,
остались чуждыми для него 22.
В противоположность ему, Смит пошел дальше Ганкеля в прив-
лечении теоретико-множественных соображений к вопросам интег-
рирования. Ганкель, «доказав» ошибочное утверждение, что вся-
кое нигде не плотное множество имеет нулевую внешнюю меру,
сделал из него неправильный вывод, что всякая ограниченная
функция, имеющая нигде не плотное множество точек разрыва,
является 2?-интегрируемой. Чтобы показать, что эти утверждения
Ганкеля несправедливы, Смит предпринял изучение нигде не плот-
ных множеств с точки зрения их меры. Он построил очень простые
примеры множеств, которые Г. Кантор называл множествами
v-порядка или приводимыми множествами любого конечного по-
рядка 23, показал, что все они являются нигде не плотными и что
если ограниченная функция / (х) имеет разрывы во всех точках
множеств такого типа, то она 7?-интегрируема (Смит [13, стр. 146—
147]). Более того, он построил совершенные нигде не плотные мно-
жества, мера которых равняется нулю, и показал, что функция
с разрывами в точках такого множества также 1?-интегрируема
[1, стр. 147—148]. Казалось бы, что все это только подтверждает
тезис Ганкеля. Однако вслед за тем Смит [1, стр. 147—148] строит
пример совершенного нигде не плотного множества положитель-
ной меры 24 и доказывает, что функция, имеющая разрывы в точ-
ках такого множества, не может быть 7?-интегрируемой [1, стр. 149].
Мы видим, следовательно, что изучение условий интегрируе-
мости не только потребовало привлечения теоретико-множествен-
ных соображений, но и приводило к обогащению самой теории
множеств. Ведь если понятия всюду плотного и нигде не плот-
ного множества уже существовали в науке и Смит знал о них хотя
бы из работы [2] Ганкеля, если примеры приводимых множеств
уже рассматривались Г. Кантором и Дюбуа-Реймоном (Смит о
них, видимо, не знал), то совершенные нигде не плотные множе-
22 Томе, кажется, не знал тогда работы Ганкеля [2].
23 Об этом см. Ф. А. Медведев [5, стр. 99—100].
4 Об этом см. там же, стр. 100—101.
207
ства нулевой и положительной меры вводились в науку впервые
именно Смитом. Сведя вопрос об интегрируемости функции к
вопросу о мере множества точек ее разрывов, он продемонстри-
ровал силу теоретико-множественных методов еще до того, как
у Г. Кантора возникла идея построения самостоятельного учения
о множествах, когда он делал еще первые робкие шаги в этом на-
правлении. Аналогичный подход Ганкеля, вследствие допущенной
им ошибки, мог бы дискредитировать такую тенденцию, и воз-
можно, что Дарбу не пошел по этому пути отчасти из опасений в его
ошибочности. Смит не побоялся нового подхода, показав, что
ошибка Ганкеля состоит не в самом подходе, а в его неправильной
реализации [1, стр. 149—150].
О работе Асколи [1] мы скажем пока очень коротко, имея в виду
возвратиться к ней в следующем параграфе. Доложил он ее Рим-
ской академии наук в июне 1875 г., а опубликована она была
все в том же 1875 г. Асколи, как Дарбу и Томе, пользовался поня-
тиями точных граней. Он доказал существование пределов сумм
(1) и (2) (Асколи [1, стр. 863—867]), которым не давал специального
наименования, а просто обозначал их буквами L и I. Он установил,
что из равенства L = I вытекает римановское условие интегри-
руемости [1, стр. 869—871], а также условие (3) [1, стр. 868].
Обратного перехода он, как и Томе, не сделал.
Дюбуа-Реймон [5, стр. 121] писал, что в своих исследованиях
по вопросам интегрирования он исходил из намерения получить
различные теоремы интегрального исчисления из единого прин-
ципа, в качестве которого избрал условия интегрируемости. Так,
еще в 1874 г., т. е. за год до появления соответствующих работ
Дарбу, Томе, Смита и Асколи, он показал эквивалентность рима-
новского условия интегрируемости с условием
п
lim 2 (xi — *i-i) = 0 (Дюбуа-Реймон [3, стр. 22—25]).
? -Н) г=1
Правда, сумм (1) и (2) и их пределов он в явном виде не рассматри-
вал, но их существование вытекает из его рассуждений при про-
ведении доказательства. Далее, под колебанием он понимал раз-
ность между максимальным и минимальным значениями функции.
В 1875 г., еще не зная других работ по этому вопросу, где рассмат-
ривалось аналогичное условие интегрируемости, он исследовал
условие (3) в том смысле, меняется ли оно, если брать открытые
или замкнутые интервалы (х^ъ Он доказал, что условие
остается тем же самым: класс интегрируемых функций не рас-
ширяется и не сужается (Дюбуа-Реймон [4]).
Наконец, все в том же 1875 г., но теперь уже зная книгу Томе,
он в рецензии на нее явно вводит верхние и нижние интегралы
ограниченных функций (Дюбуа-Реймон [5, стр. 123]), уточняя
в некоторых отношениях рассуждения Томе (напомним, что Томе
в явном виде не вводил этих понятий). Дюбуа-Реймон, после рас-
208
смотрения доказательства, что функция /?-интегрируема, если
выполняется условие (3), писал: «Второй способ доказательства
заметно длиннее первого 25, но он имеет то преимущество, что при-
водит нас к введению нового понятия, относящегося к произволь-
ным функциям, не удовлетворяющим условиям интегрируемости.
п п
Если f такая функция, то тогда Кт 2 бр?р, Ит2бр&р при
п 71=00 1 П=О0 1
2бр = b — а являются определенными величинами, а значит и функ-
1
циями от х, которые можно обозначить через G (х) и К (х\ и при
этом эти функции непрерывны» (Дюбуа-Реймон [5, стр. 124]). Да-
лее Дюбуа-Реймон пишет, что он много занимался этими функ-
циями (это-то в 1875 г.!), и обещает сообщить свои результаты по
данному вопросу в свое время. Это обещание осталось, кажется,
не выполненным.
Итак, пять разных математиков из разных стран практически
одновременно и независимо друг от друга пришли к одному и тому
же условию /^-интегрируемости; в той или иной форме, явно или
неявно, с большей или меньшей определенностью, они ввели верх-
ние и нижние интегралы для произвольной ограниченной функ-
ции. Отчасти этот факт объясняется тем, что в работах Римана,
незадолго до этого опубликованных, имелось многое, что подво-
дило к введению верхнего и нижнего интегралов и к условию ин-
тегрируемости в виде их совпадения. Действительно, в работе
Римана [2], появившейся в 1868 г., условие (3) фактически фигу-
рирует, правда, с иным определением колебания. Суммы (1) и (2)
он явно здесь не ввел, но ведь сумма в пределе (3) является раз-
ностью суммы (1) и (2). Более того, в опубликованных в 1869 г.
его лекциях [3], хотя и при менее общих предположениях — для
непрерывной интегрируемой функции — суммы (1) и (2) введены
явно и показано, что с уменьшением диаметра разбиения первая
из них не возрастает, а вторая не убывает (Риман [3, стр. 7]), т. е.
они стремятся к определенным пределам. В начале 70-х годов по-
лучает распространение вейерштрассовское понятие грани мно-
жества и связанные с ним рассуждения. Сочетание идей Римана и
Вейерштрасса позволяло осуществить тот комплекс исследований,
о’котором рассказано выше.
Обратимся теперь к другому аспекту ^-интегрируемости.
Об ошибочном утверждении Ганкеля относительно интегри-
руемости уже говорилось. Дини к 1878 г., кажется, не знал ра-
боты Смита [1], но заметил недостаточность доказательства Ган-
келя и, указав на его нестрогость (Дини [1, стр. 250]), оставил
вопрос открытым. Из этого исходил Вольтерра [1], также не
знавший результата Смита. Он, как и Смит, построил пример то-
25 Речь идет о разных’’доказательствах предложения, что из (3) вытекает
существование интеграла Римана.
209
чечно-разрывной функции, не интегрируемой (/?), но затем сде-
лал шаг дальше.
Не зная в 1881 г. не только результатов Смита, но и работы Дар-
бу, Томе, Асколи и Дюбуа-Реймона, в которых вводились и изу-
чались верхний и нижний интегралы, Вольтерра, тогда еще сту-
дент, опирался почти исключительно на недавно вышедший трак-
тат Дини [1], в котором широко использовалось понятие грани и
было доказано условие интегрируемости (3), но не упоминались
результаты Дарбу и др. И Вольтерра независимо ввел в [2] верх-
ний и нижний интегралы, предложив, кстати, современные на-
именования и обозначения, изучил их свойства и применил послед-
ние для доказательства теоремы: если производная] известна во
всех точках интервала, за исключением некоторого заданного мно-
жества М и его предельных точек, тогда необходимым и достаточ-
ным условием возможности определения ее примитивной является
то, чтобы М можно было заключить в конечное число интервалов
со сколь угодно малой длиной (Вольтерра [2, стр. 24]).
Здесь Вольтерра подошел к одной из основных теорем теории
интеграла Римана: для того чтобы ограниченная функция была
интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы при всяком е О
множество точек, в которых колебание больше е, образовывало
интегрируемую группу 2б. В таком виде ее сформулировал Дюбуа-
Реймон в 1882 г., выделив понятие интегрируемой группы как
множества, точки которого можно заключить в конечное число
промежутков со сколь угодно малой длиной [9, стр. 152—153],
а вслед за ним Гарнак [2, стр. 218], который заменил термин
«интегрируемая группа» термином «дискретная система» (Паш [2]
и др.).27
Чтобы больше не возвращаться к условиям 7?-интегрируемо-
сти, отметим, что в начале XX столетия, когда было введено лебе-
беговское мероопределение, условие Дюбуа-Реймона было преоб-
разовано в новое: для ^-интегрируемости ограниченной функции
/ (х) необходимо и достаточно, чтобы множество разрывов / (х)
имело меру нуль. Это было сделано независимо Лебегом и Витали.
То, что это условие достаточно, Лебег [3] установил еще в 1902 г.,
а что оно и необходимо, им было отмечено в 1904 г. [7]; Витали
[1] в 1904 г. сформулировал и доказал его одновременно как не-
обходимое и достаточное. Небезынтересно, что для того, чтобы
сформулировать его, Витали пришлось по существу переоткрыть
понятие меры Лебега (с работами [2, 3, 7] последнего он тогда не
был знаком).
Разумеется, цикл работ по условиям ^-интегрируемости далеко
не исчерпывается указанными. В качестве примеров можно при-
вести заметки У. Г. Юнга [1] и Гобсона [3], а как любопытный
пример — такой факт: в 1918 г. молодой А. С. Безикович, прожи-
26 О ней см. Лебег [19, стр. 31—32] и Валле-Пуссен [4, стр. 268].
27 См. И. Н. Песин [1, стр. 26—29]; Хокинс [1, стр. 28—42].
210
вая в Перми и не имея возможности ознакомиться с соответствуй
щей литературой, передоказал теорему Витали — Лебега (форму-
лировка теоремы ему была известна) и опубликовал свое дока-
зательство [2].
§ 5. Другое определение интеграла Римана
Далее речь будет о таком определении. Если при сохранении
обозначений предыдущего параграфа верхний интеграл I совпа-
дает с нижним Z, то число 1 = 1 — 1^ принимается за опреде-
ь
ление / (ж) dx,
а
Определение, приведенное в начале главы, и только что опи-
санное существенно различны: первое основывается на понятии
предела, а во втором оно заменяется понятием грани множества.
В случае интеграла Римана эти два определения эквивалентны;
не так обстоит дело при применении указанных схем к более общим
интегралам.
Обычно существование чисел 7, 7 доказывается двумя рассуж-
дениями. Первым из них показывается, что суммы (1) при умень-
шении нормы разбиения не возрастают, а суммы (2) не убывают,
причем первые ограничены снизу, а вторые сверху, отсюда и де-
лается вывод о существовании /, 7 на основе теоремы о пределе
монотонной последовательности. Во втором рассуждении понятие
предела вообще не используется: отмечается, что суммы (1), (2)
ограниченны, а затем на основе теоремы Больцано — Вейерштрасса
заключают о существовании 7 или 7.
Мы уже говорили, что второе определение чаще всего относят
к Дарбу. Действительно, он ввел верхний и нижний интегралы
(как и Томе, Асколи, Смит); им фактически была доказана экви-
валентность обоих определений, когда он установил, что из ри-
мановского критерия интегрируемости вытекает равенство 1 = 1,
и наоборот. И тем не менее вряд ли будет правильным связывать
это определение с его именем. При рассмотрении мемуара Дарбу
[1] было отмечено, что он прямо определял интеграл как предел
сумм; равенство же 7 = 7 служило просто другим выражением
условия интегрируемости, и доказывал он не эквивалентность
Двух определений интеграла, а эквивалентность именно условий
интегрируемости. Даже если у него и возникала идея второго опре-
деления интеграла, она могла быть заглушена самим фактом эк-
вивалентности.
Верхние и нижние интегралы вводились Томе, Смитом, Дюбуа-
Реймоном, Вольтерра; в качестве условия интегрируемости они
тоже пользовались равенством I = 7, но и с их именами нельзя
связать второе определение. Иначе обстоит дело с Асколи.
Он, введя верхний и нижний интегралы, обозначенные им че-
рез L и Z, и доказав их существование, сразу же определяет ин-
211
b
Тёграл J f (x) dx так: «Если мы имеем L = /, то Скажем, что за-
а
Данная функция интегрируема, а значение L назовем интегралом
от нее в пределах от а до Ь» ([1], стр. 867).
Если при чтении работ Дарбу, Томе и др. о таком определении
можно только догадываться, то у Асколи оно сформулировано оп-
ределенно. Вслед за этимон устанавливает, что из равенства I = Z
вытекает римановское условие интегрируемости. Он доказал так-
п
же, что из того же равенства следует, что lim 2 — ^w) = 0.
А->0 i=l
Но им не доказано обратное. То ли он и не намеревался делать
это, то ли это ему не удалось, и он мог посчитать свое определение
общее римановского.
Статья Асколи [1] осталась на некоторое время незамеченной.
В 1884 г. вышел в свет учебник Дженокки [1], в котором, без ука-
зания авторства, были введены верхний и нижний интегралы и
ZZ-интеграл определен равенством J = /, а условие интегрируе-
мости сформулировано (без доказательства) в виде равенства
п
lim 2 — хг-1) = 0- Исторические примечания к этой книге
*-*0 1=1
(в конце ее) подготовил Пеано и в примечаниях к § 193 он написал
(Дженокки [1, стр. 396]), что I и 7 введены Вольтерра и что дока-
зательство предельного равенства из равенства I = I дано им
самим в работе [1] 1883 г.; другие имена он не упомянул.
Действительно, Пеано также ввел верхний и нижний интегра-
лы и доказал это равенство в [1]. Но, хотя все это было проделано
еще в 1875 г., в его статье имелся один существенный момент, ко-
торого не было у его предшественников.
Мы сказали, что имеются два типа рассуждений, которыми
доказывают существование I или I. Все предшественники Пеано
рассуждали в соответствии с первым типом, т. е. обращались к
теореме о пределе монотонной последовательности. В этом была
известная непоследовательность: применив понятие грани множе-
ства при образовании интегральных сумм, отказывались от него
в доказательстве существования. Отказ объясним, разумеется,
тем, что теорема о пределе монотонной последовательности давно
и прочно вошла в обиход математических рассуждений, и после
того, как несложно устанавливалась монотонность изменения ин-
тегральных сумм при уменьшении нормы разбиения, оставалось
лишь применить эту теорему. Понятие же грани множества было
относительно новым. Поскольку избежать его совсем было нельзя,
то к нему прибегали, а там, где без него можно было обойтись,
его опускали. Все же применение в одном рассуждении двух раз-
нородных понятий — предела и грани множества — должно было
обратить на себя внимание. Это заметил Пеано и, доказывая суще-
212
Ствование 7, 1 при помощи Тёорёмы Больцано — ВейерштрёСса,
он указал, что его предшественники привлекали для этого «ненуж-
ное понятие предела» (Пеано [1, стр. 29, сноска]). Специально вто-
рому определению интеграла Римана Пеано посвятил заметку [4],
где особенно подчеркнуто, что эта схема определения вообще не
требует понятия предела, которое он считал более трудным, не-
жели понятие грани множества (Пеано [4, стр. 279]).
С начала 90-х годов второе определение интеграла начинает
широко применяться. В 1891 г. его принял на вооружение Пикар
в своем «Курсе анализа». В 1892 г. Жордан [2] именно так опре-
делил кратный интеграл, а через год в таком виде изложил его в
учебном руководстве [3]. Ту же схему определения принял Пеано
в «Лекциях по анализу бесконечно малых» (1893 г.). Еще ранее,
в 1887 г., Пеано [2] применил эту схему для определения более
общего понятия интеграла, чем интеграл Римана, но к нему мы
обратимся значительно позднее.
При введении так определяемого интеграла ссылались на Дар-
бу и Вольтерра и совсем не упоминали имени Асколи. Это послу-
жило поводом для заметки [2] последнего. В ней Асколи с обидой
констатировал, что ^математики не обратили внимание на его
статью [1] и содержавшиеся там идеи приписывают другим, сослав-
шись при этом на § 1 «Курса анализа» Пикара и упомянутое приме-
чание Пеано к книге Дженокки. Затем Асколи повторил и в неко-
торых отношениях уточнил соображения, развитые им еще в
1875 г., не внося чего-либо существенно нового.
Работа Пеано [4] была в некотором смысле ответом на заметку
[2] Асколи. В ней он признал права последнего на независимое
введение верхнего и нижнего интегралов, отметив вместе с тем, что
Дарбу ввел их в том же 1875 г., но опубликовал свой мемуар не-
сколько раньше. О том, что у Асколи, а затем и у Жордана, име-
лось определение интеграла через совпадение верхнего и нижнего
интегралов, Пеано не упомянул (работ Томе, Смита и Дюбуа-
Реймона он, видимо, не знал). При чтении пеановских статей
[1, 4] создается впечатление, что второй способ определения ин-
теграла является исключительно делом Пеано. Очевидно, по-
этому Кассина в примечаниях, помещенных в «Избранных трудах»
Пеано перед началом статей [1, 4], ведет речь о «понятии интегра-
ла по Пеано», имея в виду как раз второе определение, и не упоми-
нает в связи с ним имен других математиков.
В общем, по поводу второго определения можно сказать сле-
дующее. Оно в окончательном виде сложилось в работах [1, 4]
Пеано. Однако слагаемые этого определения далеко не все при-
надлежат ему: верхние и нижние интегралы независимо ввели
Дарбу, Томе, Асколи, Смит и, быть может, Дюбуа-Реймон; неко-
торый вклад в их математический статут внесли Вольтерра, Пе-
нно и Жордан; в рассуждениях Дарбу в неявной форме имелось
и второе определение, и он по сути дела доказал эквивалентность
первого и второго; Асколи явно сформулировал определение ин-
213
теграла через совпадение верхнего и нижнего интегралов, что не-
сколько позже сделал и Жордан, но в доказательствах существо-
вания они опирались на предельные соображения. Пеано осуще-
ствил последний шаг в том смысле, что высвободил определение
интеграла от понятия предела.
Если бы речь шла только об интеграле Римана, то столь резкое
подчеркивание различия в способах его определения, а особенно
в методах доказательства существования, было бы не совсем оп-
равданным, так как класс интегрируемых функций остается одним
и тем же при том и другом подходе. Однако в следующих главах
мы увидим, что при введении более общих интегралов ситуация
существенно изменяется. И то, что некоторые математики XX сто-
летия не знали или забыли описанные подходы, доставило им не
мало хлопот. Отчасти поэтому мы и остановились, быть может
излишне подробно, на втором определении интеграла.
§ 6. Связь между дифференцированием и интегрированием
в теории интеграла Римана
Как ни революционно выглядел подход Коши к понятию интег-
рала, он все же не выводил за рамки привычной связи между
дифференцированием и интегрированием и в некотором смысле
даже укреплял эту связь.
Действительно, при подходе к определенному интегралу как
разности значений примитивной с точки зрения требований XIX в.
до Коши имелся уже отмечавшийся пробел: отсутствовало дока-
зательство существования примитивной. Как бы математики твер-
до ни верили, что для любой заданной производной всегда имеется
непрерывная функция, являющаяся по отношению к ней прими-
тивной, тем не менее неумение найти такую примитивную во мно-
гих случаях не могло не вызывать определенных сомнений. Идея
Коши об интеграле как о пределе сумм устраняла такого рода
сомнения. Интеграл с переменным верхним пределом как раз
и давал примитивную с точностью до аддитивной константы, а
производная его в каждой точке совпадала с интегрируемой функ-
цией. Двусторонняя связь между дифференцированием и инте-
грированием оказывалась налицо: дифференцирование неопределен-
ного интеграла всегда приводило к интегрируемой функции, а
интеграл от нее давал примитивную.
С введением интеграла Римана дело приняло совершенно не-
ожиданный поворот. Математики вплотную вступили в область раз-
рывных функций, для которых ситуация оказалась неизмеримо
сложнее.
Как бы предчувствуя непомерные трудности, появляющиеся
при рассмотрении взаимосвязи введенного им интегрирования с
дифференцированием, Риман вообще не рассматривал ее. Следуя
завету своего учителя Дирихле, он ввел интеграл вне связи с
какой-либо дифференциальной операцией.
214
Вторая половина XIX столетия в теории интеграла характе-
ризуется развитием двух противоположных тенденций: с одной
стороны, проводится колоссальная работа по разрушению связи
между дифференцированием и интегрированием, с другой — де-
лаются многочисленные попытки восстановить эту связь.
Прежде всего, в самом дифференциальном исчислении насту-
пили тяжелые времена. Были построены не только отдельные
примеры недифференцируемых функций, но и целые классы таких
функций28. По отношению к ним не могло быть и речи о взаимо-
связи между дифференцированием и интегрированием.
Но эта связь нарушалась и в рамках самого интегрального ис-
числения. Мы уже говорили, что в 1875 г. Дарбу доказал, что
обычное дифференцирование неопределенного интеграла Римана
не обязательно приводит к интегрируемой функции в точках раз-
рыва. Не спасло и существенное обобщение понятия производной
до односторонней: в том же 1875 г. Томе доказал, что положение
исправляется только в точках, в которых функция непрерывна
с соответствующей стороны. Так что неопределенный интеграл ока-
зался не совпадающим с примитивной, если последнюю понимать
как функцию, производная которой всюду совпадает с интегри-
руемой функцией. Отсюда попытки обобщить понятия производ-
ной и примитивной в том смысле, чтобы определять производную
как предел
’ F(x + h) — F(x)
hm —-——7-------—
П-»0 h
всюду, за исключением некоторого класса множеств. Такие обоб-
щения пытались осуществить неоднократно: сначала в качестве
исключительных точек брались точки конечных множеств, затем
приводимых (особенно Дини [1]) и дискретных (особенно Гарнак
[2]). Наибольшего успеха в этом направлении добился Лебег,
когда стал пренебрегать множествами меры нуль, к чему мы об-
ратимся в следующей главе. Но спасти положение на этом пути за-
ведомо не удавалось, если не ограничить как-то класс непрерыв-
ных функций, которые могут быть неопределенными интегралами,
ибо произвольная непрерывная функция может не иметь произ-
водной ни в одной точке.
Героические усилия в выделении класса непрерывных функций,
являющихся неопределенными Л-интегралами, предпринял Дини,
и на этом мы остановимся подробнее.
Книга Дини «Основы теории функций действительного пере-
менного» [1], вышедшая в 1878 г., явилась одним из краеуголь-
ных камней, на котором строилась эта наука в последней четверти
прошлого века.
28 Многие работы, этого цикла проанализированы Кноппом [1]; некоторые ис-
торические и библиографические данные имеются у Е. Паскаля [1, стр. 124—
128], более подробное изложение см. у Хокинса [1, стр. 42—54]; о функ-
ции, не имеющей производной у Больцано, см. Э. Я. Кольман [1, стр.
210—2111, К. А. Рыбников 12, стр. 191—193].
215
Помимо четкого изложения достижений других математиков,
здесь содержались многочисленные результаты самого Дини. Из
них отметим пока только два. Первый — это обобщение им понятия
равномерной сходимости ряда до обобщенной равномерной схо-
димости 29 и доказательство теоремы, что всякий ряд из непре-
рывных функций, сходящийся, в этом смысле, имеет суммой не-
прерывную же функцию (Дини [1, стр. 103, 110]). Второй тесно
связан с темой нашего исследования, и мы его изложим подробнее.
Различных обобщений понятия производной в прошлом веке
предлагалось несколько: помимо уже упоминавшихся односто-
ронних производных, можно указать симметрическую производ-
ную, введенную М. В. Остроградским в 1841 г. [5, стр. 166—167]30,
а также независимо Дюбуа-Реймоном [5, стр. 122—123; 7] и обоб-
щенную вторую производную Римана [2, стр. 242]; Дини также
предложил очень важное обобщение — понятие производных чи-
сел.
Заменяя несколько длинное определение Дини [1, стр. 190—
191] современным, можно сказать, что он определил производные
числа функции F (х) как
Л -------- h ’
fl->о
h>0
1' _ lim F(x + h) — F(x)
h-*0
h>0
Л, = ita + ;
h-*0 h
h>Q
h—*o h
h<0
На них он распространил ряд теорем об обычных и односторонних
производных.
После этого отступления возвратимся к вопросу о взаимосвязи
дифференцирования и интегрирования.
Дини удалось доказать [1, стр. 276], что если непрерывная на
(а, Р) функция F (х) не имеет бесконечного числа максимумов и
минимумов и не приобретает их даже при прибавлении или вы-
читании произвольной линейной функции p/r + v, а ее правая
F+ (.г) и левая (х) производные ограниченны, то эти производ-
ные интегрируемы и неопределенный интеграл восстанавливает
примитивную с точностью до константы, т. е.
х х
F (х) — F (а) — J F+ (х) dx = (х) dx.
а а
Другими словами, в этом случае интегрирование выступает как
обращение дифференцирования.
Фактически Дини доказал несколько более общее предложение
[1, стр. 273—275], мы же ограничились предыдущим потому, что
29 Об этом см. Н. Н. Лузин [12, стр. 252—255].
30 На наличие этого определения у М. В. Остроградского обратил внимание
Е. Я. Ремез [1, стр. 58, сноска1.
216
только в 1909 г. Лебегу [13, стр. 40—42] удалось охарактеризо-
вать этот класс функций: для того чтобы F (х) была неопределен-
ным интегралом Римана, необходимо и достаточно, чтобы она имела
ограниченные производные числа и чтобы, кроме того, одно из
этих чисел было непрерывно почти всюду.
Но Дини получил и этот результат. Действительно, несколько
далее он доказал, что если непрерывная на [а, р] функция F (х)
такова, что одно из производных чисел ее, например Хх, ограни-
ченно и интегрируемо, то
XX XX
§ Kxdx = J Nxdx = \xdx = Xxdx = F (х) — F (а)
а а а а
(Дини [1, стр. 280]). Другими словами, он установил достаточность
условия Лебега, ибо интегрируемость по Риману ограниченного
производного числа равнозначна с непрерывностью его почти
всюду. Более того, он высказал (стр. 281—283) ряд косвенных
соображений, что такие производные существуют. И действитель-
но, вскоре Вольтерра [2] построил не интегрируемую (7?) ограни-
ченную производную 31.
Таким образом, между дифференцированием и интегрирова-
нием образовалась глубокая пропасть: с одной стороны, дифферен-
цирование неопределенного интеграла не всегда давало интегри-
руемую функцию, а с другой — интегрирование не позволяло
восстанавливать заведомо существующую примитивную по ее
достаточно хорошей производной. Интегрирование как обраще-
ние дифференцирования оказалось возможным рассматривать
только в относительно узких пределах.
§ 7. Несобственные интегралы
С интегралами от неограниченных функций математики столк-
нулись на самой заре интегрального исчисления. На стр. 74 мы
указывали, что первый интеграл такого рода был вычислен еще
Торричелли. Ряд интегралов вычислил Ньютон [2, стр. 122, 139]
и некоторые другие математики.
В 1742 г. Маклорен [1] доказал несколько общих теорем о не-
собственных интегралах, из которых отметим так называемый
интегральный признак сходимости Коши [1, стр. 289—290].
Первые трудности возникли тогда, когда был разработан фор-
мальный аппарат интегрального исчисления. Как мы видели на
примере Даламбера, обращение функции в бесконечность в проме-
жутке интеграции приходило в столкновение с формулой Лейб-
ница — Ньютона. Те же столкновения в более резкой форме появи-
лись у Гаусса, Пуассона, Коши (см. стр. 162—166). Выход из этой
коллизии был найден отчасти в отказе оперировать с неограни-
51 Пример Вольтерры изложен у Лебега [19, стр. 87—88].
217
ченными функциями, а отчасти в переходе от действительной к
комплексной области. Но отказ от рассмотрения неограниченных
функций в действительной области не мог продержаться сколько-
нибудь долго, и те же Коши и Риман, сформулировав свои основ-
ные определения интегралов от ограниченных функций, вслед
за тем обобщали их на функции, обращающиеся в бесконеч-
ность.
До Коши математики не имели правильных общих представле-
ний о несобственных интегралах. Это не означает, что они не умели
правильно вычислять их. Напротив, в течение XVIII и первой
четверти XIX столетий они вычислили многообразные несобствен-
ные интегралы. Основным приемом при этом служил следующий.
Считая подынтегральную функцию обычной, они находили ее
примитивную, а затем подставляли в нее требующиеся пределы,
в том числе и бесконечные. Как раз эти соображения общим обра-
зом оформил в относительно строгую систему Коши. Он только
заменил грубоватый прием непосредственного вычисления прими-
тивной в особых точках некоторым дополнительным предельным
переходом, прибавляемым к основному в самом определении ин-
теграла и совершаемым при стремлении аргумента к особому зна-
чению.
Несобственным интегралам Коши посвятил две лекции своей
книги [3, стр. 130—140]. Рассмотрев перед этим основные свой-
ства интегралов
ъ
§/(я)Жг (!)
а
в предположении конечности а и b и непрерывности / (я), он из
них выделяет свойство
г-1
(2)
и кладет его в основу последующих выводов.
Если таких промежуточных значений только два, а именно
е0 и 8Х, то (2) принимает вид
ъ
/ (х) dx =
а
е0
а
£1
J f(x)dx +
ео
Ъ
f(x)dx;
£1
это равенство можно преобразовать к виду
ъ
а
£1
£о
218
где 0 0О <1 1, О 0i 1. При стремлении е0 к а и Ej к Ъ в
предположении конечности а и Ъ и непрерывности / (х) имеем,
что
Ъ Ei
/ (х) dx — lim / (х) dx.
а [°tZb е°
(3)
Далее Коши рассуждает так. Если пределы а, b становятся беско-
нечными или же / (х) перестает быть непрерывной, «то в таком
случае нельзя судить, имеет ли количество, означенное в преды-
ь
дущих уроках через S [т. е. интегральная сумма для^ f(x)dx.—
а
ф. М.], определенный предел, и следовательно, не знаем также,
какой смысл заключает в себе знакоположение (1), вообще озна-
чающее предел S. Для избежания недоразумения мы распростра-
ним по аналогии формулы (2) и (3) и на те случаи, когда оные не
могут быть строго доказаны; посему знакоположение (1) во всех
случаях будет иметь ясное и определенное значение» [3, стр. 131].
Таким образом, к несобственным интегралам Коши подходит
единообразно, определяя их при помощи соотношения [3]:
1) если / (х) ограниченна (и непрерывна) в (е0, eJ и становит-
ся неограниченной в а или в b или же в обоих концах, то
Ъ Е1
\ f (х) dx = lim \ / (ж) dx, (4)
а е0
Е1->Ь
если такой предел существует;
2) если / (х) ограниченна (и непрерывна) для любого х, но а или
b или же оба сразу становятся бесконечными, то интеграл опре-
деляется той же формулой (4), но при условии а — оо или
Ъ оо, или же одновременно а -> — оо, Ъ + оо, если соответ-
ствующие пределы существуют. Кроме того, как это следует из
приведенных слов Коши, он требует, чтобы интеграл (4) обладал
свойством (2), даже если в качестве точки деления взята точка,
в которой / (х) обращается в бесконечность. Это подтверждается
+1
и рассмотренным им примером \ — , в котором он разбивает
<✓ ОС
— 1
промежуток интегрирования точкой нуль [3, стр. 132]. Правда,
при фактических вычислениях он поступает аккуратнее, тем не
менее такое впечатление все же остается.
Из приведенных Коши примеров [3, стр. 131 —132], вытекает,
что бесконечное значение любого из этих пределов (4) он считает
вполне определенным значением; интегралы в них вычисляются
путем нахождения примитивной и переходом к пределу у найден-
ной примитивной.
219
Так, к основному определению интеграла (1) для ограниченных
непрерывных на конечном промежутке функций, рассмотренному
нами в предыдущей главе, Коши присоединил важное обобщение
первоначального понятия — распространение его на случай не-
прерывных функций, заданных на бесконечных промежутках или
же становящихся неограниченными в конечном числе точек.
Но Коши сделал еще шаг в углублении понятия интеграла.
Его дальнейшие соображения [3, стр. 133—134] мы изложим для
краткости в несколько упрощенном виде.
Пусть в интервале (а, Ь) / (х) непрерывна и ограниченна, за
исключением точки £, а Ь, в которой / (х) неограниченна.
В предыдущем определении несобственного интеграла как
Ъ
lim ( f(x)dx-\- J f(x)dx\ (5)
Е1-»0 \ а
е2—»0
числа вь е2 стремились к нулю независимо друг от друга, а от пре-
дела (5) требовалось, чтобы он не только существовал, но и был од-
ним и тем же для всех способов стремления к нулю ех и е2.
Вообще это определение применимо только в ограниченном чис-
ле случаев, так как часто предел (5) оказывается не существующим,
если не наложить некоторых ограничений на характер стремле-
ния к нулю 8Х, е2. Но он может существовать, если е1т е2 удовлет-
воряют некоторым соотношениям. Таких соотношений можно
предложить много, и Коши особо выделяет одно из них, а именно:
когда ех = е2 = е в течение всего стремления их к нулю. Предел
е Ъ
lim ( / (х) dx + / (я) dx\ , (6)
£~*° а Я+£
если он существует для рассматриваемой / (х), Коши назвал глав-
ным значением интеграла. Очевидно, что если предел (5) суще-
ствует, то существует и (6), однако главное значение в смысле Ко-
ши очень часто имеет смысл без того, чтобы получался единствен-
ный предел (5). Следовательно, главное значение интеграла яв-
ляется существенным обобщением понятия несобственного интег-
рала. Аналогично Коши определил главные значения для интегра-
ла с бесконечными пределами, на чем мы не будем останавливать-
ся. Он ввел также так называемые близкопредельные или сингу-
лярные интегралы, т. е. интегралы, разность пределов которых
сколь угодно мала, и установил их связь с обоими предыдущими,
что мы тоже не будем рассматривать.
В 1839 г. Раабе [1], не зная приведенных результатов Коши,
попытался по-своему подойти к несобственным интегралам. Исходя
из уже устаревших представлений об определенном интеграле 32,
82 Рассматривавшегося им как разность значений примитивной [1, стр. 35—36]
и вместе с тем как сумма дифференциалов в духе Лейбница (стр. 37).
220
он довольно путанным рассуждением пришел к выводу, что для
ъ
существов ания
от функции / (х), имеющей бесконечное
а
значение в точке с, а с Ъ, достаточно, чтобы lim (х — c)f(x)
был равен нулю,— одним из частных случаев общих результатов
Коши. Еще позднее, в 1844—1845 гг.,при вычислении некоторых
несобственных интегралов полнейшую путаницу обнаружили
Шлёмильх и Барфус в их полемике, опубликованной в 4-м и 5-м
томах Archiv der Mathematik und Physik. В связи с этим малоизве-
стному математику Егеру [1] пришлось разъяснять, правда, не
в слишком уж отчетливой форме, подход Коши к несобственным
интегралам.
Некоторые модификации (впрочем, несущественные) опреде-
лений Коши несобственных интегралов предложил Дирихле в лек-
циях 50-х годов [3]. В частности, он указал один из очевидных
признаков сходимости несобственных интегралов; если при
а оо, имеет место 0 ^/(я)^ф(я), то из сходимости интег-
оо оо
рала \ <р\х) dx следует сходимость интеграла \ / (х) dx (Дирихле
а а
[3, стр. 55—45]).
Риман распространил на свой интеграл только определение (5)
для / (ж), обращающейся в бесконечность в одной точке (а значит
и в любом конечном их числе). Определения Коши близкопредель-
ных интегралов и главных значений Риман рассматривать не стал,
ибо «они не являются общепринятыми, и не без оснований, так как
в них содержится большой произвол» [2 стр. 237].
Для определения (5), в предположении, что f(x) не имеет беско-
нечного числа экстремумов в окрестности точки неограниченности,
Риман установил логарифмические признаки сходимости, несколь-
ко ранее сформулированные Бертраном для рядов (см. В. Л. Гон-
чаров [2, стр. 505]).
Соображения Римана затем развивали Томе [1, стр. 24—30],
Дини [1, стр. 299—362] и многие другие математики. Из результа-
тов Дини особо надлежит отметить то, что определения Коши —
Римана он распространил на случай, когда интегрируемая функ-
ция становится неограниченной в точках бесконечных приводимых
множеств 33. Дальнейшее развитие теории множеств позволило
поднять и теорию несобственных интегралов на качественно но-
вый этап. Сколь-нибудь подробное изложение соответствующих
исследований Дюбуа-Реймона, Гарнака, Гёльдера, Валле-Пуссена,
Жордана, Штольца, Шёнфлиса, Мура, Фрейда и некоторых других
заняло бы очень много места; а так как имеется довольно хорошее
изложение этого вопроса в книге И. Н. Песина ([1], стр. 21—39),
33 Не слишком прозрачное, но по существу то же распространение осу-
ществлено Дюбуа-Реймоном еще ранее [3].
221
то мы позволим себе отослать читателя к ней. Ряд интересных за-
мечаний содержится также в книге Хокинса [1, стр. 75—79].
Скажем только несколько слов об интегралах в смысле глав-
ного значения. Если первые два определения Коши, начиная
с Римана, углубляются и расширяются на протяжении всего XIX
столетия, то главному значению интеграла не повезло. Выше было
приведено высказывание Римана; аналогично писал Томе [1,
стр. 24]; можно было бы привести и другие. Суть этих возражений
сводилась к тому, что накладывание условия = е2 в определе-
нии (6), т. е. чтобы особые точки оставались все время в центре
стягивающихся к ним интервалов, ничем не обусловлено; ведь
можно было бы наложить другие условия, и тогда могли полу-
чаться иные значения интеграла. Поэтому понятие интеграла в
смысле главного значения Коши до начала XX столетия остава-
лось вне поля зрения математиков 34.
В 1901—1903 гг. к нему обратился Харди. В цикле статей [2] —
[4] он разработал детальную теорию интеграла в смысле главного
значения, перенеся на него основные свойства обычных интегра-
лов. После этого данный интеграл получил широкое распростра-
нение, особенно в теории тригонометрических рядов.
§ 8. Кратный интеграл у Жордана
История кратного интегрирования представляет собой большую
и сложную проблему, заслуживающую самостоятельного изуче-
ния, Отослав читателя к обзору Фосса [1, стр. 103—116, 127—
128], содержащему довольно полные библиографические указа-
ния, к книге Н. Н. Зинина [1] о формулах преобразования крат-
ных интегралов и к работам Г. М. Фихтенгольца [8], Ю. Л. Раби-
новича [1], В. И. Антроповой [1—4], А. П. Юшкевича [15, 17],
посвященных отдельным вопросам истории кратных интегралов,
мы ограничимся изложением некоторых результатов Жордана,
так как они, особенно после изложения их в его «Курсе анализа»
[3], послужили отправным пунктом обобщений Лебега.
Создание теории множеств привело к пересмотру многих на-
правлений исследований, в том числе и в теории интеграла. Отчасти
этого вопроса мы уже касались. Сейчас остановимся на этом не-
сколько подробнее.
Видимо, впервые целесообразность изучения функций, задан-
ных на произвольных множествах, а не только на отрезках, как
это делалось обычно, осознал еще в 1882 г. Паш [1]. Но он не полу-
чил сколько-нибудь интересных результатов, поэтому мы не бу-
дем больше ничего говорить об этой книге.
Первыми поразительными достижениями в этом направлении
были результаты, содержащиеся в книге Пеано «Геометрические
приложения анализа бесконечно малых» [2], интересной во многих
84 Впрочем, Дини не только не возражал против понятия интеграла в этом
смысле, но и пользовался им [1, стр. 302—303].
222
отношениях, в том числе и с точки зрения истории понятия инте-
грала. Тем не менее мы не будем останавливаться на ней в данном
месте, так как основные идеи относительно понятия интеграла,
содержащиеся в ней, выходят далеко за рамки математического
мышления XIX столетия и, по-видимому, не сказались на нем,
оставшись не осознанными в свое время не только другими мате-
матиками, но и самим Пеано. Соображения Пеано мы рассмотрим
в одной из следующих глав.
В настоящем параграфе сосредоточим внимание на работе Жор-
дана «Замечания об определенных интегралах» [2], опубликован-
ной в 1892 г.
Очертив Предшествующие ему схемы подхода к понятию ин-
теграла, Жордан отмечает,что в них преимущественное внимание
уделялось характеру функции и, несколько преувеличивая полу-
ченные своими предшественниками результаты, пишет, что ис-
следования в этом направлении «полностью выяснили ту роль,
которую в интеграле играет функция» (Жордан [2, стр. 427]).
Своею же целью он ставит изучение влияния на понятие интеграла
области задания функции, рассматривая в качестве такой области
произвольное точечное множество. Для этого ему пришлось не
только привлечь очень многое из отчасти уже построенной, а от-
части еще строившейся теории множеств, но и самому внести из-
вестный вклад в создание этой теории, а если о последнем говорить
точнее — в создание теоретико-множественной топологии, кото-
рой тогда вообще еще не существовало как сколько-нибудь цель-
ной дисциплины. Земетим, что именно в этой работе Жордан впер-
вые ввел понятия дополнения множества [2, стр. 430], расстояния
между множествами (стр. 432), диаметра множества (стр. 434),
доказывал ряд теорем о связных множествах (стр. 433—434).
Здесь же вводится и изучается понятие меры, получившее
впоследствии наименование меры Пеано — Жордана. Это меро-
определение несколько ранее ввел Пеано [2]. Жордан не упо-
минает имени Пеано и, видимо, не зная его работы, построил оп-
ределение меры самостоятельно. Через некоторое время он широ-
ко пользовался этим мероопределением в распространенном «Кур-
се анализа» [3], а потому оно некоторое время был известно просто
под наименованием «меры Жордана» и лишь впоследствии ее ста-
ли называть мерой Пеано — Жордана.
В данном месте уместно изложить вкратце это мероопределение.
Следуя Жордану, мы сформулируем его для плоскости; сужение
его для множеств на прямой или расширение для множеств п-мер-
ного пространства очевидно.
Пусть на плоскости задано ограниченное множество Е. Возь-
мем какую-либо прямоугольную систему координат и разложим
плоскость параллелями к координатным осям на квадраты со сто-
роной г. Совокупность тех из этих квадратов, все точки которых
являются внутренними по отношению к Е, образуют некоторую
область S, целиком, содержащуюся в Е; совокупность квадратов,
223
которые содержат или только точки £*, или же и точки границы
множества Е, образуют некоторую другую область S + 51, ко-
торая содержит в себе Е. Этим двум областям, состоящим из квад-
ратов, можно поставить в соответствие два числа, равные суммам
площадей квадратов, образующих их. Обозначим эти числа через
mS и т (S + S1).
Будем теперь изменять разложение плоскости на квадраты
так, чтобы г стремилось к нулю. Тогда mS и т (5 + 51), как до-
казывает Жордан [2, стр. 435], стремятся к определенным пре-
делам, которые мы обозначим через гщЕ и теЕ и назовем соответ-
ственно внутренней и внешней мерами Пеано — Жордана множе-
ства Е (Жордан называет их просто внутренней и внешней пло-
щадью). В том случае, если гщЕ = теЕ, а значит mSr = 0, мно-
жество Е называется измеримым в смысле Пеано — Жордана,
а число тЕ = тщЕ = теЕ называется его мерой (Жордан назы-
вает такое множество квадрируемым, а за его мерой сохраняет
термин «площадь» (стр. 436)); и лишь имея в виду множества в про-
извольном n-мерном пространстве, говорит о внутренней и внешней
протяженности множества или об их измеримости в случае совпа-
дения этих протяженностей (стр. 437).
Он доказывает, что если Е' cz Е, то тщЕ' теЕ' miE
п п п
(стр. 436); что если Е = 2 чогпгЕ 2 а
к=1 /с=1 к=1
(стр..436), а также, что значения пцЕ и те Е не зависят от спосо-
ба разбиения на квадраты (стр. 436—437).
Введенное мероопределение позволяет Жордану распростра-
нить понятие интеграла на функции, заданные на измеримых в
описанном смысле множествах. Это он осуществляет так.
Пусть / (х, у, ...) — ограниченная функция, заданная на из-
меримом множестве Е 35. Разложим Е на измеримые подмноже-
п
ства eh так, чтобы = 0 при i ={= / и el( = Е. Затем обра-
к=1
зуем суммы
п п
5=2 Gkmek> s = 2 gk™ek,
k=i fc=i
где^С/f, gK — соответственно верхняя и нижняя грани значений
/ на вд.36. Обычным методом доказывается (стр. 440—441), что
при стремлении к нулю диаметров множеств ек суммы S и s стре-
мятся к определенным пределам Z, Z, которые не зависят от спо-
соба разбиения множества Е на измеримые подмножества. Число
I Жордан называет интегралом по избытку, а число I — интег-
?5 В этом параграфе измеримость везде понимается в смысле Пеано — Жор-
дана.
36 Жордан говорит о максимуме и минимуме / на имея в виду, однако,
именно грани [2, стр. 432].
224
ралом по недостатку функции / па множестве Е. Если I = Z, то
функция называется интегрируемой и ее интегралом является
число I = 1 = Z. Жордан обозначает его символом SEj (х, у,...) de.
Заметим, что Жордан не ограничился определением интегра-
ла для функций, заданных на измеримых множествах: «До сих пор
мы принимали, что область Е измерима. Теперь мы можем устра-
нить это ограничение. В самом деле, эту область можно рассматри-
вать как предел последовательности измеримых областей Е1Ч
Е2, ..., Еп, ..., протяженности которых сходятся к некоторому пре-
делу, который по определению является внутренней протяжен-
ностью Е31. Интеграл (по избытку или недостатку), взятый по Еп,
стремится к некоторому пределу, так как разность между интег-
ралами, взятыми по Еп и Еп+Р, по модулю самое большее
равна 37 38
L (Еп+Р Еп) L (Е Еп)
и стремится к нулю при п = оо. Мы будем рассматривать этот
предел интегралов, взятых по Еп, как представляющий значение
интеграла по Е» (стр. 442).
Как мы видим, Жордан пользуется вторым определением ин-
теграла Римана как общим значением верхнего и нижнего ин-
тегралов. На возникающий вопрос: не могут ли получаться иные
результаты, если при столь общем подходе воспользоваться пер-
вым способом определения интеграла, т. е. через предел сумм ри-
мановского типа? — отрет был дан в 1905 г. Пирпонтом. Он оп-
ределил интеграл как предел сумм
п
1 / (^г? ^1г)
1=1
где /•(£,, т]^) — значение функции в некоторой точке et, а все
остальные обозначения те же, что и в определении Жордана, и
показал, что, как и при менее общих предположениях, когда рас-
сматриваются функции, заданные на отрезках (или двумерных,
трехмерных и т. д. интервалах), оба определения эквивалентны
(И. Н. Песин [1, стр. 50—51]).
Еще одно определение интеграла, данное Пирпонтом, таково.
Пусть / (х, у) ограничена на ограниченном множестве Е (не обя-
зательно измеримом). Рассмотрим разбиение плоскости на пря-
моугольники б, и пусть {6J — прямоугольники, содержащие
хотя бы одну точку из Е. Обозначим через верхнюю грань зна-
чений / (х, у) на точках Е, содержащихся в б{, а через gi —
37 Имеются в виду множества такие, что Е{ CZ CZ Е и lim Еп = Е.
n—»JQ
Существование такой последовательности для любого множества Е, из-
меримого или нет, было доказано Жорданом ранее в той же работе.
38 L означает наибольший из модулей | G |, | g | граней значений / на множе-
стве. Символом Ei Жордан обозначал не только множество Е^ но и его
меру.
8 Ф. А. Медведев
225
нижнюю грань тех же значений / (я, у) и образуем суммы
п п
2 GiTnbi, 2
1=1 1=1
Эти суммы стремятся к определенным пределам I, Z, когда диа-
метр разбиения стремится к нулю. В случае 1=1 функция на-
зывается интегрируемой, а их общее значение называется инте-
гралом от / (х, у) по множеству Е. Легко видеть, что это определение
является лишь модификацией приведенного выше замечания Жор-
дана относительно распространения его определения интеграла на
неизмеримые множества: здесь произвольные множества Жор-
дана лишь заменены более частными их представителями 26^.
Поэтому нельзя согласиться с И. Н. Лесиным [1, стр. 51], когда
он говорит о большей общности определения Пирпонта по срав-
нению с определением Жордана; это верно, если ограничиться
основным определением Пирпонта и не учитывать его дополни-
тельных замечаний; если же учесть и последующие его дополнения,
то можно сказать, что Пирпонт не вышел за рамки представлений
Жордана.
Подход Жордана не дал принципиально чего-либо нового в
теории интегрирования. Его интеграл был формально более общим,
чем интеграл Римана, поскольку определялся он для функций,
заданных на множествах, а не только на отрезках или п-мерных
интервалах, однако по своей сути он оставался все же интегралом
Римана. Жордан и не мог получить что-либо существенно новое
в теории интегрирования, так как она у него строилась на основе
мероопределения, целиком вытекавшего из римановского подхо-
да к интегралу. Жордан и пришел к нему, только на более высоком
уровне абстрактности.
Сказанное, однако, не означает, что исследования Жордана
в теории интегрирования были несущественны для развития по-
нятия интеграла. Напротив, они оказались истоком, из которого
вырос интеграл Лебега, и тут напрашивается аналогия, которой
мы будем пользоваться в дальнейшем не раз.
Коши, создавая понятие интеграла как предела сумм, применил
свою конструкцию для такого класса функций, для которого эта
конструкция по сути дела была не нужна. Ведь для непрерывных
функций может быть доказана теорема: всякая непрерывная функ-
ция имеет примитивную, причем доказательство не опирается на
существование определенного интеграла. Но раз для всякой не-
прерывной функции / (х) доказано существование примитивной
F (х), то отпадает и надобность в определении интеграла как пре-
дела сумм, так как достаточно определить его как разность зна-
чений примитивной, чтобы не только получить сущность со всеми
требующимися свойствами, но и сущность, более привычную, а глав-
ное более полезную в приложениях. Введенное Коши определение
интеграла для непрерывных функций как предела сумм было
226
необходимым в историческом порядке, но отнюдь не в логичес
ком.
Риман не давал новой конструкции интеграла, а просто при-
менил конструкцию Коши к более широкому классу функций. Но
результат этого «простого» применения оказался совершенно не-
ожиданным: можно определенно утверждать, что истоки совре-
менной теории функций действительного переменного начинаются
в интеграле Римана, что с ним в значительной мере связано разви-
тие теории множеств и многих других ветвей математики.
Аналогично обстоит дело и в случае Жордана и Лебега. Жор-
дан не дал новой конструкции интеграла. Но он связал эту кон-
струкцию с теорией множеств так, что через несколько лет оказа-
лось достаточным несколько углубить эту связь, чтобы получить
принципиально новые результаты в теории интегрирования. Без
работ Жордана немыслимы работы Лебега и У. Г. Юнга, о которых
будет речь в следующей главе.
Глава VI
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЕМУ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. Условия возникновения
понятия интеграла Лебега
К началу столетия в математике сложились условия, которые,
с одной стороны, настоятельно требовали очередного обобщения
понятия интеграла, а с другой — позволяли сделать такое обоб-
щение.
В последнем параграфе предыдущей главы мы рассмотрели ра-
боту Жордана [2], в которой теоретико-множественный подход
к понятию интеграла достиг кульминационной точки для XIX в.:
интеграл определялся для функций, заданных на множествах,
в основе конструкции интеграла явно лежало понятие меры множе-
ства. В вышедшем в 1893 г. «Курсе анализа» Жордана этот под-
ход был еще более детализирован [3, стр. 18—48]. Но помимо этого,
такой теоретико-множественный подход был распространен здесь
и на многие другие вопросы анализа, и можно сказать, что эта кни-
га являлась первым примером построения анализа в целом на тео-
ретико-множественном фундаменте. Кроме того, в этой книге Жор-
дана был подробно рассмотрен чрезвычайно важный в теории ин-
теграла класс функций с ограниченным изменением, впервые вве-
денный им же еще в 1881 г. [1].
«Курс анализа» Жордана в значительной мере подготовил по-
следующий взлет во Франции исследований по теории функций дей-
ствительного переменного, отмеченный именами Бореля, Бэра и
Лебега. Мы остановимся на трех вопросах, связанных с работами
Бореля, Бэра и Лебега, которые могли прямо или косвенно воз-
действовать на Лебега и У. Г. Юнга в смысле необходимости обобще-
ния понятия интеграла.
Начнем с так называемой теоремы Бэра о точечно разрывных
функциях.
В 1895 г. Борель общим образом ставит вопрос об изучении не-
аналитических функций действительного переменного, хотя еще
и выражает сомнение в наличии большого числа общих свойств у
такого рода функций [1, стр. 40]. Как бы в ответ на эти сомнения,
с 1897 г. начинается цикл работ Бэра по теории функций действи-
тельного переменного, посвященных как раз обнаружению таких
общих свойств. Одним из основных его результатов в этом на-
правлении была теорема о функциях, являющихся пределами схо-
дящихся всюду последовательностей непрерывных функций. Этот
класс функций, отнесенный Бэром к первому классу разрывных
функций, весьма важен в анализе вследствие того, что он содержит
228
в себе наиболее употребительные в анализе функции, в частности
все производные непрерывных функций, а Бэр нашел общее струк-
турное свойство всех функций этого класса: для того, чтобы функ-
ция / (х), определенная на совершенном множестве Р, была пре-
делом последовательности {/п (я)} непрерывных на Р функций,
сходящейся к / (х), необходимо и достаточно, чтобы / (х) была
точечно разрывной на всяком совершенном подмножестве множе-
ства Р. Впервые эта теорема была доказана Бэром [1] в 1898 г., а
затем ее доказательство воспроизведено в его диссертации [3] и в
книге [4].
Приведенная теорема представляет интерес для нас в следую-
щих отношениях. Прежде всего, для ее доказательства Бэру по-
надобился чуть ли не весь арсенал имевшейся к тому времени
теории точечных множеств; ему даже пришлось обобщить и рас-
ширить его в некоторых отношениях1. Более того, Бэр в ходе своих
исследований, связанных в значительной мере с этой теоремой,
пришел к выводу, что «все проблемы относительно функций сво-
дятся к некоторым вопросам, относящимся к теории множеств;
и в той мере, в какой эти последние продвинуты или могут быть
продвинуты вперед, в той же мере возможно более или менее ре-
шить и данную проблему [теории функций,— Ф. М.]» [3, стр. 121].
Раз это относится ко всем проблемам теории функций, то значит
и к проблемам интегрирования; следовательно, в случае поисков
обобщения понятия интеграла также нужно вступать в теорию
множеств и даже продвинуться в ней далее, ибо наличные запасы
теоретико-множественных сведений были в значительной мере ис-
пользованы в исследованиях Жордана, Гарнака и др.; это, как мы
увидим вскоре, и было сделано.
Далее, теоремой Бэра описывался класс функций, содержащий,
в частности, все производные. Но, как мы знаем, не все производ-
ные интегрируемы. Поэтому, давая в некотором смысле исчерпы-
вающую относительно простую структурную характеристику
функций этого класса, указанная теорема становилась импульсом
в поисках расширения понятия интеграла.
И, наконец, выделение и описание первого класса разрывных
функций естественно, привело Бэра к другим классам функций,
еще более сложным. В том же 1898 г. появляется классификация
разрывных функций Бэра [2]2. Если уже функции первого класса,
т. е. точечно разрывные функции, не все 7?-интегрируемы, то с
введением функций более высоких классов запас неинтегрируе-
мых функций существенно расширялся, и это тем более дикто-
вало необходимость расширения интеграла, ибо математическая
практика свидетельствовала, что одним из самых надежных ору-
дий исследования функций было как раз интегрирование.
1 Подробнее см. Ф. А. Медведев [5, стр. 211—216].
2 О классификации Бэра см. Н. Н. Лузин [12, стр. 307—318] или И. П. На-
тансон [2, стр. 422—451].
229
Лебег был в курсе указанных работ Бэра; в частности, в
1898 г. он обобщил теорему Бэра на функции двух переменных.
Все тот же 1898 год ознаменовался также борелевскими «Лек-
циями по теории функций» [2]. Эта книга явилась первым учеб-
ным руководством по теории множеств, и хотя последняя была пред-
ставлена в ней далеко не во всем объеме, в котором она сло-
жилась к тому времени, тем не менее названная теория была пред-
ставлена достаточно полно, а главное она была изложена не как
самодовлеющая теория в учебном плане, а в неразрывной связи
с теорией функций, как необходимый инструмент изучения воп-
росов последней. Непосредственно вопросы теории интегрирова-
ния в ней не рассматривались, но зато в ней был рассмотрен во-
прос, теснейшим образом связанный с понятием интеграла.
Как мы говорили, в 1887 г. Пеано и в 1892 г. Жордан предло-
жили определение меры точечных множеств. Но оно было слишком
ограничительным в том смысле, что некоторые относительно про-
стые множества (например, множество точек единичного круга
с рациональными координатами и вообще любое плотное множе-
ство без внутренних точек) оказывались неизмеримыми, что знали
и сами создатели этого понятия меры. Ограниченность пеано-
жордановского мероопределения в конечном счете объяснялась
конечной аддитивностью. Между тем, благодаря расширяющемуся
проникновению теоретико-множественных представлений в мате-
матические рассуждения, все большее распространение получали
счетные процессы, которые во многом оказывались схожими с ко-
нечными. На повестку дня ставилась проблема распространения
условия счетности и на меру.
На этом пути Борель в своих лекциях пришел к новому важно-
му мероопределению. Непосредственным поводом для обобщения
понятия меры у Бореля явились его исследования по теории функ-
ций комплексного переменного при возникшей в них потребно-
сти дать метрическую характеристику множествам разрывов
функций3. На этот факт указывал впоследствии сам Борель
[4, стр. 318]. Мы сейчас не будем останавливаться на этом меро-
определении, имея в виду возвратиться к нему позднее. Оно не
сразу оказало прямое влияние на теорию интегрирования, но не-
сомненно явилось одним из решающих толчков, приводивших к
новой концепции интеграла, что мы подтвердим несколько далее
непосредственной цитатой из Лебега. Сейчас же выскажем только
следующее общее соображение: раз предшествующее мероопреде-
ление было положено Жорданом в основу определения интеграла,
раз прежний интеграл оказался недостаточным, наконец, посколь-
ку новая мера была введена, то априори естественна попытка свя-
зать новое определение меры с возможностью обобщения интег-
рала.
з Хокинс [1, стр. 97—106].
230
Необходимость же такого обобщения диктовалась не только
расширением класса неинтегрируемых в смысле Римана функций.
Выше уже много говорилось о плодотворности взаимосвязи диф-
ференцирования и интегрирования, разрушенной введением R-
интеграла. Желание восстановить в какой-то мере эту связь ока-
залось одним из решающих стимулов в поисках новых путей
обобщения понятия интеграла.
Имелись и более специальные (с точки зрения теории интегри-
рования) проблемы, решение которых в той или иной мере было
связано с обогащением методов интегрирования.
Наряду с вычислением площадей плоских фигур одной из ос-
новных задач геометрии, которые в XIX в. решались методами
интегрального исчисления, была задача определения длины дуги
кривой. Для непрерывных кривых, выражаемых непрерывной
функцией f (х) с непрерывной производной, вопрос решался до-
статочно просто: длина участка кривой у = / (х) от а до b опре-
делялась как предел ломаной, вписанной в эту кривую при без-
граничном мельчании разбиений (а, 6), причем это определение
строилось таким образом, чтобы аналитическое выражение длины
давалось интегралом
ъ
$/1 + [/'(я)]2 (1)
а
После обнаружения непрерывных функций с разрывными про-
изводными, а тем более функций, не имеющих производных на
том или ином множестве точек из (а, Ь) и даже на всем (а, 6), ока-
зались непригодными как само определение длины, так и ана-
литическое ее представление в виде интеграла. После ряда попы-
ток удалось найти достаточно четкое определение понятия длины
кривой в виде верхней грани длин ломаных, вписанных в кри-
вую, и доказать существование конечной грани у достаточно ши-
рокого класса кривых. Это сделано было Шеффером [1] в 1884 г.
Но тот же Шеффер построил несколько примеров кривых, имею-
щих конечную длину в этом смысле, для которых интеграл (1)
не существовал не только в смысле Коши, по и в смысле Рима-
на. Следовательно, геометрический объект, который привыкли
выражать при помощи интеграла, оказывался невыразимым таким
образом. Это не могло не явиться дополнительным стимулом по-
исков обобщения понятия интеграла 4.
Еще более сложная картина раскрывалась в случае площади
криволинейной поверхности. В XIX в. площадь криволинейной
поверхности, задаваемой уравнением z = / (х, у) с непрерывными
частными производными dzldx и dz/dy, определялась как предел,
к которому стремятся площади поверхностей вписанных много-
гранников, контуры которых имеют пределом спрямляемую кри-
Подробнее ciu. Хокинс [1, стр. 79—85].
231
вую. Оно казалось согласованным с аналитическим выражением
этой площади в виде двойного интеграла
<2>
VI/ у (УЛ/ у (Уу у
Однако в 1880 г. Г. А Шварц [2] сообщил свой известный пример,
показавший некорректность бытовавшего определения. Теперь
уже нельзя было доказывать, что площадь поверхности равна ин-
тегралу (2), ибо больше не существовало самого определения пло-
щади. Так что к трудностям, вызываемым неинтегрируемостью
подынтегрального выражение в (2), аналогичным трудностям
для длины кривой, указанным Шеффером, добавлялась необхо-
димость дефиниции понятия площади поверхности.
Таким образом, выявление широких классов неинтегрируемых
по Риману функций, нерешенность проблемы отыскания прими-
тивных функций при помощи прежнего интегрирования, недоста-
точность .R-интеграла для выражения длин кривых и площадей
поверхностей — все это толкало к поискам нового, более широ-
кого понятия интеграла. Вместе с тем наличие хорошо разрабо-
танных теоретико-множественных методов, широкое применение
счетных процессов, построение теории R-интеграла на основе по-
нятия меры подводили к возможности совершить новый важный
шаг в интегрировании.
§ 2. Подход Лебега к новом у понятию инте1рала
Первой работой Лебега, посвяпцеесй гсгсму гсвяию инте
грала, была его заметка, опубликованная в Докладах Парижской
академии наук в 1901 г. под названием «Об обобщении понятия ин-
теграла». Здесь он, во-первых, с самого начала и без всяких око-
личностей указывает мотив, приведший его к необходимости обоб-
щения понятия интеграла: «В случае непрерывных функций имеет
место идентичность между понятиями интеграла и примитивной
функции. Риман определил интеграл для некоторых разрывных
функций, но в смысле Римана не все производные фукции интег-
рируемы. Следовательно, проблема отыскания примитивных
функций интегрированием не решена, и поэтому желательно оп-
ределение интеграла, включающее как частный случай определе-
ние Римана и позволяющее решить проблему примитивных функ-
ций» [2, стр. 1025].
Лебег начинает с того, что указывает на возможность двоя-
кого подхода к конструкции интегральных сумм: для заданной
на (а, Ь) ограниченной функции / (л?) можно строить интегральные
суммы Римана; можно также разбить на частичные промежутки
Уь] область изменения функции с тем, чтобы объединить
в группы малоотличающиеся значения функции. Но такие значе-
ния функции, за исключением не очень интересных случаев сту-
пенчатых функций, соответствуют значениям аргумента, не обра-
232
зующим целых промежутков иа оси х, а составляющим в общем
случае чрезвычайно сложные множества ек точек х, для которых
У к-i <С У*- Следовательно, с первого же шага здесь в
вопросы интегрирования врываются самые разнообразные точеч-
ные множества.
Далее, для образования интегральных сумм нужно умножать
значение ук-г (являющееся или нет значением функции, но удо-
влетворяющее неравенству т М, где т и М — соответ-
ственно нижняя и верхняя грани значений функции) на меру мно-
жества ек, И тут перед Лебегом открывались следующие возмож-
ности:
1) воспользоваться мероопределением Пеано — Жордана;
2) применить понятие меры Бореля;
3) создать новое понятие меры точечных множеств.
Если бы он встал на первый путь, то он попросту не вышел бы
за рамки конструкции Жордана и его новая конструкция инте-
гральных сумм не дала бы ничего нового. Борелевское мероопре-
деление, несомненно, привело бы к обобщению понятия интеграла,
но при этом появилась бы следующая трудность, вытекающая из
самого подхода Бореля к понятию меры. Измеримым в смысле Бо-
реля линейным точечным множеством является всякое точечное
множество, которое может быть построено, исходя из интервалов,
при помощи двух таких операций;
а) построение суммы счетного множества уже определенных
множеств без общих элементов;
б) построение разности двух множеств, уже определенных, из
которых одно содержится в другом.
Другими словами, Борель отправляется от некоторых принци-
пов построения самих множеств, и уже в зависимости от возмож-
ности построения того или иного множества в соответствии с эти-
ми принципами он наделяет это множество мерой в виде суммы
или разности мер множеств, при помощи которых оно строилось.
Но в конструкцию интегральных сумм Лебега входят множе-
ства точек, в которых выполняются неравенства ук-г f (х)
ук, относительно которых вообще неизвестно, как доказывать
их измеримость по методу Бореля (а как оказалось впоследствии —
доказать это в общем случае и нельзя, так как среди всевозможных
ек множества, измеримые в смысле Бореля, образуют лишь отно-
сительно узкий класс). Возможно, что это и подтолкнуло Лебега
к новому определению меры.
В заметке [2] Лебег вообще не указывает, чем он руководство-
вался в своем подходе к понятию меры. В следующем году он ука-
зал на то обстоятельство, что множество всех множеств, измеримых
в смысле Бореля, имеет только мощность континуума, тогда как
множество всех подмножеств заданного множества мощности кон-
тинуума имеет большую мощность, а следовательно, определение
Бореля охватывает сранительно бедный класс множеств [3,
стр. 241]. Позднее же он писал, что принципиальное отличие его
233
мероопределения от мероопределения Бореля «заключается не
в том, что рассматривают более широкий класс множеств, но в том,
что отправляются от основного свойства множеств, которым мож-
но приписать меру, а не от некоторого процесса построения в
стадии вечного созидания» (Лебег [19, стр. 100—101, сноска]).
Мы склонны предполагать, что в 1901 г. Лебег подходил к это-
му вопросу даже еще проще. Ему нужно было приписать меру
множествам ек, пеано-жордановское определение было слиш-
ком узким, борелевскую же их измеримость он доказать не мог
для того общего случая, который он хотел бы рассмотреть. Поэто-
му он решил соединить достоинства обоих определений: рассмат-
ривать внешнюю меру как нижнюю грань длин интервалов, за-
ключающих точки множества, но брать не конечное число интер-
валов, как это делали Пеано и Жордан, а применить счетный про-
цесс, имевшийся в мероопределении Бореля. Ни в заметке [2], ни в
диссертации [3] Лебег прямо этого не указывал, но впоследствии
он отметил это с полной определенностью: «Способ определения
меры, использованный здесь, есть метод К. Жордана (Курс ана-
лиза, т. I), но с тем видоизменением, существенным для нашей
цели, что для измерения множества Е мы заключаем его в интер-
валы, число которых может быть бесконечным, тогда как К. Жор-
дан всегда пользовался лишь конечным числом интервалов. Это
использование счетной бесконечности вместо конечного числа под-
сказано работами г-на Бореля, который, впрочем, сам пользовал-
ся этой идеей, в частности и для определения меры» [18, стр. 59—
60].
Таким образом, для заданного на интервале (а, Ь) линейного
точечного множества Е получается следующее определение
меры.
Точки Е заключаются всевозможными способами в счетное
множество интервалов; нижняя грань суммы длин этих интерва-
лов, существующая по теореме Больцано — Вейерштрасса, есть
число, называемое внешней мерой Лебега. В [2] Лебег называл ее
еще просто мерой. Идея внутренней меры Е как внешней меры его
дополнения здесь явно не вводилась и была еще скрыта в следую-
щих словах: «Множество Е называется измеримым, если его мера,
увеличенная на меру множества точек, не входящих в Е, дает
меру (а, Ь)» (стр. 1026). Внутренняя мера явно была введена в [3,
стр. 237—238].
После введения нового понятия меры точечных множеств кон-
струкция интегральных сумм Лебега получает вполне определен-
ный смысл. И сразу же встает вопрос о том, к какому классу функ-
ций она применима. И все в той же заметке [2] Лебег вводит по-
нятие ограниченной измеримой функции: ограниченная функция
/ (х) называется измеримой б, если, каковы бы ни были два дей-
6 Лебег называет здесь такие функции суммируемыми. Он не отличал еще
измеримость и суммируемость; об этом несколько далее..
234
ствительных числа а и Ь, множество значений х, для которых
а < у Ь, измеримо [2, стр. 1027]. Лебег утверждает, что каждая
такая функция интегрируема в его смысле, что всякая Д-интег-
рируемая функция измерима, а значит и L-интегрируема, т. е.
его интеграл является обобщением интеграла Римана, так как
существуют функции, не интегрируемые по Риману, но интегри-
руемые по Лебегу (примеры он строит; в частности, приводится
функция Дирихле).
Формулируются два свойства измеримых ограниченных функ-
ций: 1) если / и ф измеримы, то измеримы / + ф и /• ф, причем ин-
теграл от суммы таких функций существует и равен сумме инте-
гралов; 2) если последовательность {fn} измеримых ограниченных
функций сходится к функции /, то / измерима, а значит интегри-
руема. Это позволяет ему показать, насколько его определение
шире римановского. Так как функции у = с и у = х измеримы, то
по 1) измеримы (и интегрируемы) многочлены; но тогда по 2) из-
меримы непрерывные функции; по 2) же тогда измеримы все функ-
ции Бэра первого класса, поскольку они суть пределы непре-
рывных функций, в частности все ограниченные производные (Ле-
бег [2, стр. 1027]), чем проблема примитивных сразу же продви-
гается далеко вперед.
Таким образом, в первой же, по необходимости очень краткой,
заметке Лебега содержались идеи, определившие не только почти
все направление последующей научной деятельности самого Ле-
бега, но наложившие существенный отпечаток на математику
XX в.
Прежде всего здесь было введено чрезвычайно мощное поня-
тие интеграла, ставшее вскоре главным орудием исследования
самых разнообразных вопросов математики и математического есте-
ствознания. В этом понятии не только проявилась мощь теоретико-
множественного метода, но и сама теория множеств получила су-
щественное обогащение. Введение лебеговской меры множеств
явилось сильным толчком к продолжению исследований по теории
множеств. Углубилось и понятие функции. На последнем моменте
мы остановимся несколько подробнее.
Определение функции как произвольного однозначного соот-
ветствия элементов двух точечных множеств существовало, как
мы отмечали ранее, давно. Но давно также Ганкель (1870 г.) ука-
зал на чисто номинальный характер этого определения, номиналь-
ный в том смысле, что математическому объекту, подпадающему
под это определение, дано имя, но не установлены общие свойства,
присущие ему [2, стр. 49]. Последнюю треть прошлого столетия
в развитии математического анализа в значительной мере можно
охарактеризовать тем, что в этот период происходил процесс на-
полнения этого номинального определения реальным математи-
ческим содержанием: выделялись все более и более широкие клас-
сы функций; для их представления отыскивались аналитические
средства изображения, главным образом через тригонометричес-
235
кие ряды; выковывались орудия исследования этих классов
функций, начиная с интеграла Римана и т. п. Введение интеграла
Лебега в некотором смысле завершило этот процесс, по крайней
мере для ограниченных функций.
Мы уже заметили, что в работе [2] Лебег еще не различал сум-
мируемые и измеримые функции. Для этого у него были опре-
деленные основания. Действительно, всякая ограниченная изме-
римая функция суммируема, т. е. интегрируема (L). Тогда еще не
были открыты неизмеримые множества (функции), так что прово-
дить такое различение было просто невозможно. Более того, по-
строение примеров неизмеримых по Лебегу множеств (функций)
еще и до сегодняшних дней связано с применением аксиомы Цер-
мело, а сам Лебег не признавал ее законности, так что фактически
неизмеримые функции для него просто не существовали, и произ-
водить указанное различение между суммируемостью и измеряе-
мостью для ограниченных функций ему не было необходимым и
впоследствии. Так что первоначальное номинальное определение
ограниченной функции в его глазах приобрело достаточно реаль-
ный смысл: его конструкцией интеграла всякому объекту этого
рода соотносилось вполне определенное действительное число;
эти, ранее номинальные, сущности можно было изучать при по-
мощи достаточно конкретного математического орудия.
Вместе с тем введение интеграла Лебега вывело такое каза-
лось бы чисто математическое построение, как понятие интеграла,
на стык математики и философии. Решение вопроса о том,, всякая
ли ограниченная функция интегрируема по Лебегу, оказалось
связанным с философским вопросом о принятии или отвержении
способов рассуждений, опирающихся на применение аксиомы
Цермело. Мы ограничимся констатацией этого факта, не вдаваясь
в тяжелые дискуссии, вскоре начавшиеся в математике в связи с
этой аксиомой 6.
Настоящий параграф мы начали с изложения лебеговской за-
метки [2] — первой его публикации по теории интегрирования,
в которой путь к новому понятию интеграла был намечен через
своеобразную конструкцию интегральных сумм. Можно, однако,
привести некоторые косвенные соображения в пользу тезиса, что
само открытие этого понятия интеграла могло совершиться не на
этом пути.
В конце 90-х — самом начале 900-х годов Лебег готовил док-
торскую диссертацию, которая в 1902 г. была опубликована в
итальянском математическом журнале «Annali di matematica».
При подготовке диссертации он столкнулся с определенным про-
тиводействием со стороны некоторых ведущих французских мате-
матиков, вследствие чего диссертация «Интеграл, длина, пло-
6 С первоначальной фазой указанных дискуссий можно познакомиться, напри-
мер, по книге Бореля [8, дополнение V], отчасти изложенной Н. Н. Лузи-
ным [6, стр. 510—511]; в последующем об этом появилась необъятная
литература.
236
щадь» [3], написанная около 1900 г., была защищена только в
1902 г. и опубликована за пределами Франции 7. Заметка [2],
хотя она появилась в печати на год раньше диссертации [3], ви-
димо, явилась лишь выдержкой из диссертации. В последней же
первоначальный ход рассуждений Лебега, приводивший к новому
понятию интеграла, был отличным от изложенного выше.
Анализируя там определение jR-интеграла в форме Дарбу, Ле-
бег приходит к выводу, что в случае неотрицательной / (х) верх-
ний и нижний интегралы суть не что иное, как внешняя и внут-
ренняя меры Жордана ординатного множества Е (f, [а, 6]) функ-
ции / (х), т. е. плоского множества точек, координаты которых
удовлетворяют неравенствам а ^х Ь, 0 у / (х), а значит
сам интеграл есть не что иное, как жорданова мера этого плоско-
го множества Е:
ъ
/ (я) dx — тЕ (f, fa, 6]) [3, стр. 249—250].
а
В случае функций произвольного знака ординатное множество ог-
раниченной / (х) разбивается на два множества: Е (/+, [а, 6]), где
/ (х) 0, и Е [а, 6]), где / (х) 0, и интеграл оказывается
равным
ь
§ / (х) dx = тЕ (f+, \a,b]) — mE (f~, [а, Ь])
а
[3, стр. 250].
Поскольку же перед этим Лебег ввел более общее мероопре-
деление [3, стр. 237—238], то анализ определения интеграла Ри-
мана сразу же позволяет дать следующее геометрическое опреде-
ление L-интеграла: «Если множество Е измеримо (тогда измеримы
Е± и Е28), то мы будем называть определенным интегралом от /
в пределах от а до Ъ количество т (Е^ — т (Е2)» [3, стр. 250]. Та-
ким образом, интеграл ограниченной функции выступает здесь
просто как лебеговская мера ординатного множества этой функ-
ции.
При таком подходе Лебегу пришлось совершить лишь один
шаг: внести в схему жордановских рассуждений элемент, внесен-
ный Борелем в теорию меры,— счетную аддитивность, и новый
интеграл получался предельно просто.
Мы не решаемся утверждать, что именно таким был первона-
чальный ход мыслей Лебега, возможно, что к более общей кон-
цепции интегрирования его привела именно его конструкция ин-
7 Перрен по этому поводу пишет: «К этой дерзкой на вид работе, выглядев-
шей революционно, неблагосклонно отнеслись «великие жрецы» того вре-
мени (около 1900 г.), и автор смог защитить свою диссертацию в 1902 г.,
лишь преодолев известные трудности» [1, стр. 287]. Бёркил [8, стр. 57j
отмечает неприязненное отношение Дарбу к лебеговскому определению
площади поверхности.
у Лебега соответствует Е (f+, [а, ЬА), Е2 — Е [а, Ь,).
237
тегральных сумм, а скорее — сочетание того и другого. Во всяком
случае, последовательность рассуждений в его диссертации та-
кова, что он сначала вводит меру, затем дает геометрическое оп-
ределение интеграла в виде меры ординатного множества и лишь
после этого обращается к той конструкции, которую мы рассмот-
рели в начале параграфа и которую сам Лебег называл аналити-
ческим определением интеграла, доказав эквивалентность его
с геометрическим определением 9 [3, стр. 253—254].
§ 8. Некоторые результаты лебеговской диссертации
и его книги
«Лекции об интегрировании
и отыскании примитивных функций»
Начнем с вопроса о почленном интегрировании последователь-
ностей функций. В предыдущей главе отмечалось, что первым важ-
ным достижением в этом вопросе было открытие того факта, что рав-
номерная сходимость последовательности достаточна, но не необ-
ходима, для возможности почленного интегрирования. Матема-
тики XIX в. уделяли значительное внимание проблеме предель-
ного перехода под знаком интеграла — Дюбуа-Реймон, Дини,
Кронекер, Д. Ф. Селиванов, Штольц и др. Было бы слишком
длинным описывать их поиски и находки 10. Вкратце остановимся
лишь на некоторых результатах Арцела, Осгуда и Лебега.
Арцела посвятил предельному переходу под знаком интеграла
ряд работ, самыми ранними из которых были его статьи [2, 3].
Он задался целью найти необходимые и достаточные условия по-
членной интегрируемости рядов. В общем это ему не удалось,
но он получил ряд интересных результатов. Упомянем лишь, что
в ходе подготовки решения этого вопроса он в заметке [1] дока-
зал теорему, которую на современном языке можно передать так:
если функциональный ряд сходится в каждой точке, то он сходится
и по мере. Ему, далее, удалось найти необходимое и достаточное
условие того, чтобы предельная функция последовательности
интегрируемых функций была интегрируемой (равенство интегра-
лов необязательно), а также получить одну из основных теорем
о почленной интегрируемости — теорему о возможности почлен-
ного интегрирования рядов Н-интегрируемых функций с равно-
мерно ограниченными остатками. Лишь через двенадцать лет
Осгуд [1] независимо доказал частный случай последней теоремы
Арцела, когда члены ряда являются непрерывными функциями11.
9 Доказательство этой эквивалентности имеется в книге И. Н. Лесина [1,
стр. 77—78].
10 Многие результаты по этому вопросу рассмотрены Хокинсом [1, стр.
21—28, 110—119].
11 Результаты Арцела и Осгуда для /^-интегрируемых функций впоследст-
вии передоказывались разными математиками неоднократно. Укажем, к
примеру, работы Гобсона [11, Рисса [8., Бибербаха [II, Ландау [1], Безико-
вича [1]. Как курьез отметим, что Бибербах, желая упростить соображе-
238
Даже после всех тех упрощений, которые были внесены в рас-
суждения, относящиеся к предельному переходу под знаком ин-
теграла Римана, эта операция оставалась, как выразился Валле-
Пуссен, «деликатной и требующей больших предосторожностей»
[3, стр. 278]. В случае ограниченных суммируемых функций дело
оказалось значительно проще.
Мы уже говорили, что в 1901 г. Лебег [2] сформулировал тео-
рему о том, что сходящаяся последовательность измеримых функ-
ций является измеримой функцией. Он доказал ее в своей диссер-
тации [3, стр. 257]. Тем самым впервые было открыто метрическое
свойство функций, инвариантное по отношению к операции пре-
дельного перехода. Опираясь на него, Лебег смог доказать теорему
о почленном интегрировании при очень общих предположениях:
если измеримые функции fn (х), ограниченные в их совокупности,
имеют предел / (гг), то
ь ъ
lim ( fn (х) dx = (х) dx [3, стр. 259].
71 а а
И, как писал Валле-Пуссен, «эту основную теорему можно рас-
сматривать как заключение и венец той теории, которую Лебег
изложил в своей диссертации» [3, стр. 273]. Дело здесь не только
в том, что оказались излишними многие из предосторожностей,
которые приходилось соблюдать ранее. Это свойство интеграла
Лебега в некотором смысле является характеристическим для не-
го, отличая его от интеграла Римана. К тому же почленное интег-
рирование играло большую роль в других конструкциях интегра-
ла, о которых речь будет далее.
Остановимся еще на одном свойстве интеграла Лебега, уста-
новленном в его диссертации. Одной из основных целей исследо-
ваний по обобщению понятия интеграла Лебег считал восстанов-
ление взаимосвязи дифференцирования и интегрирования. Этому
вопросу посвящена вторая глава его диссертации.
Поскольку им построен более общий процесс интегрирования,
то перед ним естественно встал вопрос о разрешимости задачи
нахождения примитивной по ее производной, в общем виде не ре-
шавшуюся, как мы видели, интегралом Римана даже для ограни-
ченной производной. Для этой цели он начинает изучение неопре-
деленного L-интеграла, определив его для суммируемой функции
/ (0 формулой
а
ния Рисса при доказательстве теоремы Осгуда, в качестве особого до-
стоинства своего доказательства указал на то, что оно опирается на отно-
сительно простую лемму, получаемую без привлечения теории меры. Но
именно эта лемма за 30 лет до того была доказана Арцела и служила ос-
новой его рассуждений, что и было замечено Ландау [1].
239
Сначала он, опираясь на «Курс анализа» Жордана, отмечает, что
если / (t) ограниченна, то F (х) есть непрерывная функция с огра-
ниченным изменением, а затем доказывает последнее свойство и
для случая неограниченной, но суммируемой / (t) (стр. 261).
После этого он показывает, что если / (х) в каждой точке имеет
ограниченную производную то последняя интегрируема его
методом и
х
/(гс) = /(а) + $/'(*Ж
а
другими словами, решает проблему отыскания примитивной по ее
точной ограниченной производной.
Доказав затем, что необходимым и достаточным условием того,
чтобы интеграл от точной производной (ограниченной или нет)
некоторой дифференцируемой функции существовал, заключает-
ся в том, чтобы эта функция имела ограниченное изменение 12
(стр. 265), он пе,реходит к случаю отыскания примитивной, когда
эта производная существуя всюду, не является ограниченной. По
самому характеру проблемы здесь требуется обобщение интегра-
ла Лебега, построенного им в первой главе для ограниченных из-
меримых функций, на функции неограниченные. Указав на то,
что можно «было бы весьма легко обобщить понятие определенного
интеграла так же, как и классическое определение» (стр. 270),
он тем не менее не делает такого обобщения, а подходит к вопросу
»иначе. Он пишет: «Функция /(я), определенная на (а, Р), имеет
в этом интервале неопределенный интеграл F (х), если суще- ’
ствует одна и только одна непрерывная функция F (х) (с точностью
до аддитивной константы) такая, что
ъ
F(b) — F(d) = ^f(t)dt
а
для всякой системы чисел а и b между аир при условии, что вто-
рой член имеет смысл» (стр. 271—272). В этих предположениях
он показывает, что его интеграл иногда дает решение задачи отыска-.
ния примитивной по ее точной производной и тогда, когда эта
производная не является ограниченной. Но он сразу же строит
примеры точных производных, не имеющих неопределенного ин-
теграла, ибо эти производные имеют неограниченное изменение.
Тем самым оказывается, что проблема нахождения примитивной*
его интегралом до конца не решается.
Полезность нового понятия интеграла Лебег продемонстри-
ровал не только на вопросе восстановления примитивной по ее
производной функции. Он успешно применил его к проблемам
длины кривой (глава III) и площади поверхности (глава IV).
12 Мы увидим далее, что это вообще неверно.
240
К некоторым другим вопросам, затронутым Лебегом в его дис-
сертации, мы еще возвратимся далее.
В 1902/03 учебном году Лебег прочел в College de France курс
лекций, посвященных обобщению понятия интеграла. В конце
1903 г. он подготовил этот курс к печати, и в 1904 г. вышла его
книга «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных
функций» [7].
Перед тем как говорить о том, что нового добавил Лебег, оста-
новимся на одном факте из истории математики, в общем-то далеко
отстоящем от изучаемого нами вопроса, но сказавшемся и на нем.
Во второй половине XIX столетия в различных областях ма-
тематики начали закладываться основы современного аксиомати-
ческого метода. В известном смысле кульминационным моментом
развития аксиоматического метода в прошлом веке явился выход
«Оснований геометрии» Гильберта (1899 г.). Эта весьма глубокая
тенденция математических исследований оказала известное влия-
ние и на развитие теории интеграла. Правда, в последней она, по-
видимому, не оказалась столь плодотворной, как в других отрас-
лях математики, тем не менее и в ней влияние этой тенденции ска-
залось довольно ощутимым образом, приведя к ряду работ, от-
крываемому как раз лебеговскими «Лекциями» (Лебег [7])13.
Подход Лебега к аксиоматизации теории интеграла своеобра-
зен. Гильберт начинает свои «Основания геометрии» с введения
неопределяемых понятий «точка», «прямая», «плоскость» и неопре-
деленных соотношений между ними — «лежать на», «между»,
«параллельный», «конгруэнтный», «непрерывный», являющихся
первоначально лишь терминами, математический смысл которым
придается совокупностью аксиом (правила вывода он еще само-
стоятельно не формулировал). И затем на основе этих аксиом стро-
ится здание геометрии. Возможность такого подхода к геометрии
была обусловлена тем, что аксиоматические изыскания в области
геометрии насчитывали более чем двухтысячелетнюю историю и к
концу прошлого века были практически выявлены все необхо-
димые основные понятия, соотношения, аксиомы, была в доста-
точной. мере изучена роль тех или иных аксиом, и нужна была
только более четко построенная система геометрии, выдержан-
ная в строго (для того времени) аксиоматическом духе. Такой
системой и оказались «Основания геометрии» Гильберта.
Чего-либо подобного в теории интеграла (да и в анализе во-
обще) не было. Правда, во второй половине XIX столетия основ-
ным свойствам интеграла уделялось серьезное внимание. Но
сколько-нибудь систематического изучения этих свойств с этой
точки зрения и их взаимосвязи друг с другом не предпринимав
13 Поскольку далее мы не предполагаем останавливаться на послелебегов-
ских подходах к понятию интеграла с аксиоматической точки зрения, то
укажем здесь работы в этом направлении Н. Н. Лузина [4, стр. 115—119],
Банаха [1], А. Н. Колмогорова [1], П. И. Романовского [11, Виолы [1],
В. В. Немыцкого [II, Г. П. Толстова [7, 8].
241
лось. Поэтому Лебег в своих «Лекциях об интегрировании и оты-
скании примитивных функций» встает на путь, в некотором отно-
шении противоположный гильбертовскому. Первые шесть глав
его книги посвящены изложению предшествующих исследований
в этой области, чтобы выявить в них действительно основные
свойства интеграла. Такой исторический подход впоследствии он
оправдывал тем, «что для пользы дела надо идти по одному из пу-
тей, открытых предшествующими работами; что было бы слишком
рискованно, действуя иначе, создать науку, лишенную связи с
остальной математикой» [19, стр. 6]. И лишь заключительную VII
главу своей книги Лебег начинает с формулировки аксиом, ко-
торым, по его мнению, должно удовлетворять понятие интегра-
ла 14.
Второе отличие подхода Лебега от подхода Гильберта, которое
первый отметил сам, состоит в том, что Лебег не претендовал на
перечисление всех аксиом, необходимых для развития теории
интеграла, поэтому он предпочел назвать свой подход дескрип-
тивным, а не аксиоматическим [19, стр. 92, сноска 3]. Аксиоматика
Гильберта претендовала на законченный, самодовлеющий харак-
тер 15: «настоящее исследование представляет собою новую попыт-
ку установить для геометрии полнуюи возможно бо-
лее простую [выделено Гильбертом.— Ф, М.] систему ак-
сиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы
так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различ-
ных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдель-
ных аксиом» (Гильберт [1, стр. 55]). Напротив, при дескриптив-
ном подходе аксиоматизируется лишь небольшой участок внутри
некоторой, значительно более широкой, неаксиоматизированной
теории, и, как писал Лебег, «дескриптивные определения не обра-
зуют законченного целого и не могут быть отделены от изложения
остальной части теории» [19, стр. 92, сноска 3].
Такие определения, в которых высказываются характеристи-
ческие свойства рассматриваемой математической сущности, Ле-
бег назвал дескриптивными определениями и противопоставил
их конструктивным определениям, когда определяются матема-
тические действия, необходимые для получения изучаемого объ-
екта [19, стр. 92]. Дескриптивные определения 16 не являются но-
вовведением Лебега. Так, например, определение меры у Бореля
также было дескриптивным в отмеченном смысле (И. Н. Лесин
[1, стр. 55]). Заслугой Лебега было явное общее описание такого
подхода и сближение его с аксиоматическим методом путем по-
становки по отношению к дескриптивным аксиомам тех же требо-
14 Мы не приводим их, отсылая читателя к книге Лебега [19, стр. 91—92]
или к книге И. Н. Лесина [1, стр. 57—58].
15 Теперь известно, что такая претензия является необоснованной.
16 Словам «дескриптивный» и «конструктивный» порой придают и другие
смысловые оттенки; на этом мы не будем останавливаться.
242
ваний, которые обычно ставятся по отношению к любой системе
аксиом: их непротиворечивости, независимости и полноты17.
Сформулировав дескриптивное определение интеграла, Лебег
затем показал, что его первоначальное конструктивное определе-
ние, данное в [2] и [3], эквивалентно этому дескриптивному в том
смысле, что они сопоставляют всякой ограниченной функции
одинаковые числа — их интегралы.
Из остального содержания книги Лебега [7] мы отметим еще
следующее.
Как мы говорили, в [2] и [3] Лебег еще не различал классов
измеримых и суммируемых функций. Для ограниченных функций
такое неразличение еще имело некоторый смысл, если принять во
внимание, что Лебег не признавал аксиомы Цермело. Для неогра-
ниченных функций дело обстоит далеко не так; существуют до-
статочно простые измеримые, но не суммируемые функции. Этот
факт Лебег обнаружил еще в своей диссертации, приведя там при-
мер функции, неинтегрируемой в его смысле. Следовательно, уже
тогда появилась необходимость различения суммируемых (т. е.
интегрируемых в смысле Лебега) и измеримых (т. е. тех, у которых
множества Е (f а), где а — любое действительное число, изме-
римы) функций. Однако этой необходимости в 1902 г. он еще не
осознал в достаточной мере или по крайней мере не придал этому
надлежащего значения. Общее понятие измеримой функции Ле-
бег ввел в 1903 г. [5], а в «Лекциях» писал; «Я отступаю здесь от
терминологии, принятой в моей диссертации, где суммируемыми
функциями я называл те, которые теперь называю измеримыми»
[7, стр. 115, сноска]. Тем самым из всех мыслимых функций од-
ного переменного (ограниченных или нет) был выделен важнейший
класс функций.
Ограничение, наложенное Лебегом на общее понятие функции
и требующее, чтобы при любом действительном числе а были изме-
римы множества Е (J а), а также само множество Е, на котором
задана функция, оказалось весьма удачным. Оно достаточно слабо,
чтобы к этому классу принадлежали практически все рассматри-
вающиеся до настоящего времени функции, ибо хотя примеры не-
измеримых функций построены, но их математическое содержание
остается пока довольно бедным18. Вместе с тем ограничение быть
измеримой и разумно жестко; для изучения таких функций име-
ются соответствующие математические орудия — интеграл Лебега
и его обобщения, аппарат тригонометрических рядов и вообще
ортогональных разложений, арсенал средств рассуждений, до-
17 Впрочем, требование полноты сам Лебег не формулировал; оно было до-
бавлено позже.
18 Подробнее о неизмеримых функциях см. Н. Н. Лузин [8, стр. 351—355].
Впрочем, имеется ряд работ, в которых рассматривается вопрос об интегри-
ровании неизмеримых функций. Мы уже упоминали в связи с этим опре-
деление Пирпонта. Укажем еще работы Ламонда [1], Полларда [2], Фана
[11, Кестельмана [2].
243
ставляемых теорией множеств и т. п.; все обычно применяемые ма-
тематические операции не выводят за пределы этого класса, если
эти операции применяются к функциям указанного класса.
§ 4. Подход Юнга в обобщению интеграла
Многочисленны и многообразны исследования по теории ин-
теграла выдающегося английского математика У. Г. Юнга, и нам
неоднократно придется впоследствии иметь дело с его работами.
В настоящем параграфе мы остановимся только на двух его опре-
делениях интеграла.
У. Г. Юнг начинал свои исследования по теории интеграла
независимо от Лебега, несколько позднее последнего и шел иным
путем. Как и Лебег, он отталкивался от исследований предшест-
венников, но за исходный пункт брал другие моменты их работ;
это относится как к теории меры, так и к теории интеграла.
Юнговская теория меры изложена им в работе [3] 19. В ней
он исходит из понятия меры замкнутого множества и, определяя
внутреннюю меру произвольного множества как верхнюю грань
замкнутых множеств, содержащихся в нем [3, стр. 28], а его внеш-
нюю меру так же, как Лебег (У. Г. Юнг [3, стр. 40]), считает измери-
мыми те множества, для которых совпадают внутренняя и внешняя
меры.
Одновременно с [3] У. Г. Юнг готовил работу [4], посвящен-
ную изучению верхних и нижних интегралов Римана для функ-
ций нескольких переменных, в которой по существу пришел к ле-
беговскому интегрированию, но обнаружил он это уже после того,
как его работа была готова, и этот факт он успел отразить лишь
во введении [4, стр. 52]. Специально разработке нового понятия
интеграла посвящены работы У. Г. Юнга [2] и [5], из которых
первая является лишь резюме второй; поэтому мы ограничимся
рассмотрением последней.
Перед тем, как делать это, напомним некоторые факты из пре-
дыдущей главы.
Интеграл Римана определялся двумя эквивалентными спосо-
бами: как предел интегральных сумм Коши при стремящейся к
нулю максимальной длине интервалов разбиения промежутка
интегрирования на конечное число частей и как общее значение
верхней грани нижних интегральных сумм и нижней грани верх-
них интегральных сумм; при этом во втором определении суще-
ствовал двоякий подход к доказательству существования верхних
и нижних интегралов: с одной стороны, существование доказы-
валось на основании теоремы о пределе монотонной последова-
тельности (Дарбу и др.) — наиболее распространенный способ
доказательства, — с другой — при помощи теоремы Больцано —
Вейерштрасса о существовании грани у ограниченного множества
19 Более ранними работами У. Г. Юнга по теории меры мы не располагали.
244
(Пеано). Юнг, очевидно, не был знаком с соответствующими ра-
ботами Пеано, и это, как мы сейчас увидим, ощутимо сказалось на
его подходе к определению интеграла.
Юнг был в курсе последних исследований в области теории
множеств и отчетливо осознал как роль точечных множеств в тео-
рии интеграла, так и значение счетности во многих математических
рассуждениях. Поэтому при подходе к проблеме интегрирования
он начинает со следующих вопросов: 1) можно ли в конструкции
интеграла Римана область задания функции разбивать не на ин-
тервалы, а на измеримые множества? 2) можно ли производить
разбиения не на конечное число интервалов, а на счетное их множе-
ство? 3) можно ли комбинировать эти приемы?
На простейшем примере он убеждается, что в определении ин-
теграла Римана по первому способу промежутки разбиения нель-
зя заменить конечным числом множеств, если рассматривать пре-
дел интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшей меры
множества разбиения. Напротив, разбивать область задания функ-
ции на счетное множество непересекающихся интервалов, удов-
ftN
летворяющих условию т
~ 0, оказывается возмож-
г
Ъ
ным, и если / (х) /^-интегрируема,
то
/ (х) dx
является пределом
сумм гДв {А*} — счетная система взаимно неналегаю-
щих промежутков, причем предел берется при max —> 0. Но
ничего нового такой способ подхода к интегралу не дает.
Затем У. Г. Юнг переходит ко второму способу определения
(по Дарбу, как он его называет). Здесь он также убеждается, что
при разбиении промежутка интеграции на конечное число изме-
римых множеств и рассмотрении предела верхних и нижних ин-
тегральных сумм оказывается, что такие пределы не существуют
даже в случае /^-интегрируемых функций. При разбиении же на
счетное число промежутков положения складывается такое же,
как и в случае первого определения.
Следовательно, попытки использовать новые идеи теории мно-
жеств пока дают осечку. Тогда его озаряет мысль (напомним, что
не имеется никаких данных насчет того, что он знал подход Пе-
ано), видимо показавшаяся ему новой, поступить следующим об-
разом.
Пусть на измеримом множестве Е задана ограниченная функ-
ция / (х). Разбиваем Е на конечное или счетное множество изме-
римых множеств Ек так, чтобы E^Ej = 0 при i =f= j, и образуем
суммы
^МктЕк, ^тктЕк,
к к
245
гдеЛ/к= sup /(ж), == inf /(ж), a mEk — мера Eh. Тогда ниж-
xgeeE x^E
няя грань верхних сумм есть верхний интеграл I, а верхняя грань
нижних сумм есть нижний интеграл I.
Так введены верхние и нижние интегралы Пеано — Юнга.
Но У. Г. Юнг еще не доверяет им, ибо они не являются предела-
ми, каковыми они были у Дарбу. Поэтому он не совершает в дан-
ном месте того естественного шага, который бы сделал математик,
знакомый с подходом Пеано: он не определяет интеграл как общее
значение верхнего и нижнего интегралов [5, стр. 227]. Он откла-
дывает это на последующее. А пока, назвав такие определения
пробными, он решает изучить введенные им определения, ибо, как
он писал, «очевидно не имеется логических оснований, мешающих
рассмотреть эти пределы» 20 [5 стр. 227].
Перед тем как продолжать следовать за ходом мыслей Юнга,
обратимся к некоторым результатам Бэра, на которые Юнг да-
лее существенно опирался.
В 1899 г. Бэр [3] ввел важное понятие полунепрерывной сверху
(снизу) функции: функция / (гс), заданная на 1а, 6], называется
полунепрерывной сверху (снизу) в точке х0 EE [«, 6], если
lim / (ж) = f (х0), [ Jim f(x) = f (х0)];
х—>х0 х—»х0
/ (х) называется полунепрерывной сверху (снизу) на 1а, &], если
она полунепрерывна сверху (снизу) в каждой точце [а, &]21.
Бэр показал, что для всякой ограниченной функции / (х) мож-
но построить две функции 22: одна из них фх (х) равна в каждой
точке верхнему пределу значений / (гс) в этой точке, а другая
фг — нижнему, причем фх (х) полунепрерывна сверху, а
ф2 (х) полунепрерывна снизу.
А теперь возвратимся к ходу мыслей У. Г. Юнга. Для введен-
ных им интегралов он показывает, что I I, т. е. для них со-
храняется свойство римановских верхнего и нижнего интегралов.
Однако юнговский I оказывается в общем случае меньше соответ-
ствующего верхнего интеграла по Дарбу (рассматриваемого как
предел), а юнговский I — больше нижнего по Дарбу. Строится •
соответствующий пример (У. Г. Юнг [5, стр. 228]). В то же время,
если / (х) jR-интегрируема, то юнговские I, I равны, а значит они
равны соответствующим интегралам Дарбу. Более того, для полу-
непрерывных сверху функций верхний интеграл Юнга оказывает-
ся равным верхнему интегралу в смысле Дарбу, а для полунепре-
рывных снизу оказываются равными нижние интегралы. Следова-
тельно, в случае полунепрерывных функций верхний и нижний
20 Здесь У. Г. Юнг имеет в виду верхний или нижний пределы — термины, .
которыми он обозначал, как и многие математики XIX в., понятия,
соответствующие нашим верхней и нижней граням.
21 О полунепрерывных функциях см. И. П. Натансон [2, стр. 443—451].
22 Собственно три; о третьей мы не будем, ради краткости, говорить, хотя
и она используется У. Г. Юнгом.
246
интегралы Юнга работают почти столь же хорошо, как и класси-
ческие экстремальные интегралы.
А теперь привлекаются идеи Бэра, и рассуждение продол-
жается следующим образом. Берем произвольную функцию / (гс);
по Бэру для нее существуют единственные полунепрерывная свер-
ху функцця (х) и полунепрерывная снизу функция ф2 по
отношению к последним можно пользоваться его пробными опре-
делениями. В предыдущей работе Юнгом было доказано, что верх-
ний интеграл от / (х) равен верхнему интегралу от фх (х), а нижний
интеграл равен нижнему интегралу от ф2 (х) [4, стр. 56—57];
поскольку же для полунепрерывных функций введенные им ин-
тегралы работают, то тем самым оправдано их применение, и по
отношению к произвольным функциям. Если / (х) такова, что
I = /, то / (х) называется интегрируемой. Так получается опре-
деление интеграла, которое на современном языке можно изло-
жить следующим образом.
Пусть S — множество положительной меры и {Е*}— разбиение
S на измеримые множества. Пусть ф = цт f Мг = sup ф (х).
Тогда число infSM^ mEi, где infimum берется по всевозможным
системам {Et\ называется верхним интегралом функции / (х) по
множеству 523.
Нижний интеграл определяется аналогично. В случае совпаде-
ния этих интегралов функция называется интегрируемой по мно-
жеству 5, а их общее значение есть интеграл от / (х) по множеству
S.
Так было получено одно из определений Юнга интеграла, экви-
валентное лебеговскому. Оно не получило почти никакого отклика
у математиков, и даже Гобсон в своей фундаментальной моногра-
фии [4], скрупулезно упоминавший даже малозначительные ре-
зультаты, не упомянул о нем. Напротив, второе определение Юн-
га, к которому мы сейчас пёрейдем в этой работе, рассмотрено [4,
стр. 395].
Теперь, когда юнговские верхние и нижние интегралы, опре-
деление которых он называл пробным, оправдали себя, У. Г. Юнг
возвращается к ним в § 24 своей работы [5]. Но и здесь он не сразу
формулирует определения интеграла в терминах совпадения I и
I. Он сначала показывает, что они выражают собою соответствен-
но внешнюю и внутреннюю меры ординатного множества функ-
ции / (х) и лишь после этого определяет интеграл [5, стр. 243].
Так был введен интеграл, известный в математической лите-
ратуре как интеграл Юнга. По поводу его, видимо, целесообразно
сказать следующее. И. Н. Песин [1, стр. 99], рассмотрев ряд до-
стоинств определения У. Г. Юнга, добавляет: «Исследование Юнга
ценно еще тем, что оно показывает, каким образом определение
Лебега, кажущееся на первый взгляд совершенно оригинальным,
3 Эту формулировку мы привели по книге И. Н. Лесина [1, стр. 92].
247
нетрадиционным, фактически может быть получено из классиче-
ского определения путем весьма естественного обобщения».
Соглашаясь в целом с приведенными выше словами, нельзя
не заметить, что естественность обобщения Юнга кажется таковой
теперь, когда мы привыкли к подобного рода определениям. Не
совсем так было в начале века. Мы видели, какие сомнения при-
шлось преодолеть У. Г. Юнгу, чтобы прийти к своему определению.
И это не удивительно. Начиная с Коши, в определения различных
интегралов входило понятие предела. Первым, кто полностью
освободился от предельных соображений при подходе к понятию
интеграла, был Пеано. Юнг же не знал работ Пеано, поэтому для
него отказ от привлечения понятия предела оказался трудным 24.
Можно даже предположить, что если бы к этому времени не су-
ществовало лебеговского определения, то формулировка У. Г. Юн-
га по крайней мере доставила бы больше хлопот: ведь перед окон-
чательным шагом У. Г. Юнг по сути дела копирует Лебега, свя-
зывая интеграл с мерой ординатного множества. И это существен-
но помогло ему. Дело в том, что при рассмотрении интеграла как
меры ординатного множества как раз не привлекаются предель-
ные соображения, так как мера определяется только с помощью
точных граней, а отсюда легче сделать и другой шаг — освобо-
диться от них и в прямом определении интеграла, что и сделано во
втором определении Юнга.
Не будем останавливаться на многочисленных деталях, содер-
жащихся в упомянутых работах У. Г. Юнга 25, в частности на
произведенном им сравнении своего определения с лебеговским.
Заметим, однако, что Юнг не ввел понятия, эквивалентного ле-
беговскому понятию измеримой функции, и это еще усложнило
его изложение: ему понадобилось придумывать особый критерий
интегрируемости ограниченной функции, совершенно не нужный
при наличии понятия измеримой функции.
§ б. Первые применения интеграла Лебега
Вряд ли можно назвать сколько-нибудь значительный раздел
математики, от теории чисел до функционального анализа или
математического естествознания, от теории упругости до кванто-
вой механики и теории поля, где бы мы ни встретились с идеей
лебеговского интегрирования. Мы отнюдь не ставим своей целью
даже схематически набросать область применений L-интеграла.
В настоящем параграфе просто предлагается несколько замечаний
о первых его применениях.
24 Ход рассуждений Юнга нами изложен довольно схематически; его рас-
суждения еще более длинны и путанны. Он проверял свое определение
еще и еще, ибо оно казалось ему «несогласованным с обычным определе-
нием», «более искусственным» (У. Г. Юнг [5, стр. 240]).
25 Некоторые из них есть у И. Н. Лесина [1, стр. 89—99 |.
248
О некоторых из них мы уже говорили. Самым первым явилось,
естественно, применение его к вычислению интегралов от функ-
ций более широкого класса, в частности для решения задачи оты-
скания примитивной по ограниченной производной, не решав-
шейся интегралом Римана. Уже в 1901 г. Лебег показал, что при-
митивная функция всякой точной ограниченной производной вос-
станавливается при помощи его интеграла, и через год он с неко-
торой гордостью писал: «Следовательно, основная проблема интег-
рального исчисления теоретически решена раз и навсегда, как
только заданная производная функция ограничена» [3, стр. 233].
В диссертации 1902 г. он пошел дальше, доказав, что с помощью
его интеграла задача отыскания примитивной, решается и в том
случае, когда производная конечна и суммируема [3, стр. 271—
272]. Вместе с тем им сразу же обнаруживается, что Л-интегралом
проблема примитивных не решается в том смысле, что существуют
точные конечные производные, которые не интегрируемы (L),
что он и констатирует в своей диссертации [3, стр. 272]. Это об-
стоятельство явилось одним из решающих стимулов некоторых
дальнейших обобщений понятия интеграла.
В диссертации и в книге [7] Лебег применил свое определение
интеграла для вычисления длин кривых, площадей криволи-
нейных поверхностей и при решении ряда других вопросов, на
которых мы будем останавливаться. Несколько подробнее кос-
немся проблемы дифференцирования.
Можно утверждать, что со второй половины XVII и до сере-
дины XIX вв. развитие анализа происходило под знаком преоб-
ладания операции дифференцирования над интегрированием в ло-
гическом плане. Она рассматривалась как более простая, как
прямая операция, тогда как интегрирование считалось, как и все
обратные операции, более трудной. Такая точка зрения оказалась
весьма плодотворной и успешно применялась на протяжении двух
столетий (да, впрочем, применяется и теперь). Тем не менее в ходе
развития анализа постепенно выявилось весьма интересное об-
стоятельство. После введения Коши и Риманом определений ин-
теграла сразу же удалось выделить целые большие классы функ-
ций (непрерывных, с ограниченным изменением и т. д.), к которым
то или другое определение заведомо применимо. Соответствую-
щие теоремы существования позволяли без непосредственных
вычислений решать вопросы об интегрируемости функций того
или иного класса, что было важно при решении многих задач,
например теории тригонометрических рядов., когда достаточно
было знать не численное значение интеграла, а лишь сам факт
интегрируемости.
С дифференцированием дело обстояло гораздо сложнее. Кроме
класса аналитических функций, который сам определялся через
дифференцирование, не было известно ни одного сколько-нибудь
более общего класса дифференцируемых функций. Это обстоятель-
ство выглядело несколько странным: для всякой предложенной
249
конкретной функции операцию дифференцирования можно было
практически довести до конца — найти производную в заданной
точке (интегрирование же, напротив, редко удавалось довести до
численных результатов), но не имелось ни одной теоремы суще-
ствования для дифференцирования; это было тем более странным
для XIX в., когда теоремы существования стали занимать важное
место в математике в целом 26 27 28. Нельзя сказать, что не делалось
попыток найти такие теоремы существования и для дифферен-
цирования. Наиболее известной является попытка Ампера 1806 г.
доказать дифференцируемость «любой» функции всюду, за исклю-
чением некоторых, «отдельных и изолированных» значений пе-
ременного. Но она не была единственной; напротив, попытки «дока-
казательства» аналогичного утверждения были весьма многочис-
ленны, ибо, как справедливо заметил Бруншвич, «то, что непре-
рывность функции влечет существование производной,— это ос-
новное предложение в интуитивной концепции инфинитезималь-
ного исчисления» [1, стр. 3371, порожденное самими истоками диф-
ференциального исчисления, когда производная появилась в виде
скорости движущейся материальной точки или в виде касатель-
ной к кривой, а движение без скорости или кривую без касатель-
ной еще не могли вообразить; это убеждение не могло не толкать
ко все новым поискам доказательств, не прекратившимся даже пос-
ле появления примера Вейерштрасса нигде не дифференцируемой
непрерывной функции. В общем, убеждение в том, что дифферен-
цируемость функции есть следствие ее непрерывности, оказалось
глубоко ошибочным, как показали работы Больцано, Римана,
Вейерштрасса и других ученых: непрерывность функции является
лишь необходимым условием существования обычной производ-
ной, но далеко не достаточным. Тем не менее, доля истины в этом
представлении все же содержалась 27. Эту истину вскрыл Лебег.
А именно он в качестве последнего следствия всей своей теории
меры и интегрирования в книге «Лекции об интегрировании и оты-
скании примитивных функций» (1904 г.) доказал теорему, которая
по оценке Рисса является одной из самых важных и поразительных
в анализе (Рисе [12, стр. 2641), а именно, что всякая непрерывная
функция с ограниченным изменением почти всюду обладает ко-
нечной и определенной производной (Лебег [7, стр. 128]) 28.
26 Исключением является один выделенный Дини [1, стр. 214—215] класс
дифференцируемых функций; хотя Дини в своей книге широко пользо-
вался функциями этого класса, они не привлекли внимания математиков.
27 Заметим, кстати, что обычно рассуждения, доказывающие существование
производной у непрерывной функции, квалифицируются просто как явно
ошибочные. Более осторожно к этому вопросу подошел такой большой ма-
тематик, как Рисе. Учитывая нечеткость самого определения понятия не-
прерывной функции в то время, Рисе делает предположение, что такую
функцию Ампер мыслил составленной из монотонных кусков, а тогда его •
результат почти верен (Рисе [12, стр. 264]).
28 Ранее эта теорема была высказана Лебегом в [4].
250
Впоследствии эта теорема передоказывалась и обобщалась уже
без опоры на теорию интегрирования 29, но впервые-то ее удалось
установить как раз с использованием нового понятия интеграла,
поэтому мы считаем важным и это применение L-интеграла, поз-
волившее доказать по существу первую теорему существования
в дифференциальном исчислении.
Другой цикл применений интеграла начался с использования
его в теории тригонометрических рядов также самим Лебегом. Он
начал работы в этом направлении в 1903 г. и подвел первый итог
им в книге «Лекции по теории тригонометрических рядов» [9].
§ 6. Интегрирование по Лебегу
как обращение операции дифференцирования
Идея интегрирования как обращения дифференцирования была
весьма плодотворной на протяжении очень большого промежутка
времени. Даже тогда, когда после введения интеграла Римана та-
кой подход был явно дискредитирован, она не оставляла умов
математиков, и, как мы видели, даже после Римана определенный
интеграл зачастую вводили просто соотношением
ь
^f(x)dx = F(b)--F(a), (3)
а
в котором / (х) рассматривалась как производная функция при-
митивной функции F (х).
Оправданное для класса непрерывных функций / (х) 30, такое
определение для разрывных / (х), хотя и нередко использовалось,
являлось неудовлетворительным в том смысле, что долго не суще-
ствовало описания класса производных, для которых оно годится.
Применялось же такое определение нередко потому, что оно поз-
воляло определить интеграл для функций, неинтегрируемых в
смысле Римана, в частности, все ограниченные производные име-
ли интеграл в этом смысле, а значит и функции, построенные
Вольтерра и др.
В XX в. появились два фактора, которые в известном смысле
позволили восстановить подход к понятию определенного интег-
рала с этой точки зрения. Во-первых, был выделен широкий класс
дифференцируемых функций, о чем говорилось в предшествую-
щем параграфе. Во-вторых, и это главное, существенной моди-
фикации подверглась сама операция дифференцирования или же,
что то же самое, понятие производной. На последнем остановимся
подробнее.
29 См., например, статьи У. Г. и Г. Юнгов [1], а также Рисса [11].
30 Разумеется, с доказанным без понятия интеграла фактом, что всякая
непрывная функция имеет примитивную, иначе определение будет содер-
жать порочный круг. Для более общих производных аналогичный факт
был доказан Лебегом [17] в 1926 г.
251
Понятие производной почти всюду функции / (х) на измеримом
множестве Е вводится как
Ит
h-^ А
если этот предел существует в каждой точке множества Е, за ис-
ключением, быть может, множества точек Е'^Е меры нуль. В этом
случае / (х) называется производной почти всюду функции F (х),
a F (х) — примитивной почти всюду функции / (х), операция же
нахождения / (х) по F (х) — дифференцированием почти всюду.
Употребляя далее эти термины, мы будем понимать их в только
что описанном смысле.
В лебеговских теориях дифференцирования и интегрирования
имеют значение именно указанные понятия, а не классические
понятия точных призводных, примитивных и дифференцирования,
и они имеют к последним примерно то же отношение, что и опреде-
ление интеграла Коши для непрерывных функций к определению
интеграла по Лебегу. Именно это обстоятельство позволяет рас-
сматривать лебеговское интегрирование в известной мере как
обращение дифференцирования.
Для теории интеграла Лебега понятия точной производной и
точной примитивной недостаточны, как это показал Н. Н. Лузин
в 1915 г. [4, стр. 79—82] 31.
Любопытен тот исторический факт, что если обобщение поня-
тия интеграла воспринималось как большое математическое до-
стижение с самого момента его введения, то переход от производ-
ной всюду к производной почти всюду произошел совершенно не-
заметно и даже сейчас чаще всего не считается заслуживающим
внимания обобщением. Причину этого частично следует видеть
в том, что сам переход происходил очень постепенно. Действи-
тельно, еще Коши заметил, что дифференцирование неопределен-
ного интеграла может не давать значение интегрируемой функции
в отдельных точках. Риман сделал следующий принципиальный
шаг, построив пример функции, производная неопределенного
интеграла которой не существует на всюду плотном множестве то-
чек. Принцип конденсации особенностей Ганкеля позволял строить
сколько угодно функций, относительно которых, вообще гово-
ря, было неясно, можно ли их рассматривать как имеющие произ-
водные в старом смысле. Дарбу и Томе доказали, что неопределен-
ный интеграл Римана имеет своей производной интегрируемую
функцию только в точках непрерывности последней, а так как
Д-интегрируемая функция может иметь точками разрыва мно-
жества точек меры нуль, то по сути дела они доказали, что неопре-
деленный интеграл Римана дифференцируем в общем случае
31 С м. также Н. Н. Лузин [5, стр. 223].
252
только почти всюду. Аналогичный результат был получен Воль-
терра для неопределенных верхних и нижних интегралов Римана
и т. п. Таким образом, хотя в указанных случаях понятия произ-
водной и примитивной в их первоначальном смысле были не при-
менимы, это обстоятельство обходилось стороной при фактическом
использовании операции дифференцирования. Такое пренебреже-
ние при дифференцировании разнообразными множествами точек
(в сочетании с практикой пренебрежения разнообразными мно-
жествами во многих других вопросах, что уже не раз отмечалось),
видимо, и привело к тому, что когда с производной почти всюду
пришлось встретиться Лебегу, то он не выделил этого понятия
в самостоятельное, а просто начал говорить о нем, как о чем-то
вполне известном. Именно так он поступил в 1903 г., когда вел
речь о теоремах, что производная неопределенного L-интеграла
почти всюду равна интегрируемой функции, и что всякая моно-
тонная непрерывная функция дифференцируема почти всюду
(Лебег [4]).
После того как было фактически введено понятие производной
почти всюду и доказано существование такой производной у вся-
кой монотонной (а значит, и у всякой с ограниченным изменением)
функции, с учетом того, что не всякая непрерывная функция диф-
ференцируема почти всюду, для рассмотрения интегрирования
как обращения дифференцирования оставалось как-то охарактери-
зовать класс неопределенных интегралов Лебега способом, не за-
висящим от понятия интеграла.
Как упоминалось, в диссертации Лебег сделал такую попытку,
сформулировав и попытавшись доказать теорему, что необходи-
мым и достаточным условием того, чтобы заданная непрерывная
функция была неопределенным интегралом Лебега, является ог-
раниченность вариации этой функции. Фактически это утвержде-
ние оказалось справедливым лишь в одну сторону: всякий неопре-
деленный интеграл есть непрерывная функция с ограниченным из-
менением, однако не всякая такая функция является неопределен-
ным интегралом, что заметил сам Лебег уже в 1904 г. [7, стр. 129].
Следовательно, этот класс как-то нужно было сузить. Последнее
и было сделано Лебегом в той же работе [7, стр. 129, сноска], но,
видимо, недостаточно осознанно: он не выделил нового класса
функций, а лишь сформулировал, да и то не слишком четко, до-
статочные и необходимые условия того, чтобы предложенная
функция была неопределенным интегралом, из которых вытекало
определение нового класса функций. Как он сам отмечал впослед-
ствии, формулировку этих условий он указал «совершенно мимо-
ходом и без доказательства» (Лебег [19, стр. 157, сноска]).
Одновременно с ним и независимо от него, причем с полной
осознанностью того, что он делает, к новому классу функций при-
шел Витали [2]. Он выделил класс функций, которые назвал
абсолютно непрерывными, установил ряд их свойств и, в частно-
сти, доказал, что необходимым и достаточным условием того, что-
253
бы заданная F (х) была неопределенным интегралом, является
абсолютная непрерывность F (х) 32.
Теперь, когда был определен этот новый класс функций, стало
возможным сформулировать определение интегрирования как об-
ращения дифференцирования почти всюду. А именно появилась
возможность назвать неопределенным интегралом функции / (х)
на [а, Ь] такую абсолютно непрерывную функцию F (х), что
F ' (х) = f (х) почти всюду, а определенный интеграл задать
формулой (3). Из такого определения нетрудно получить все ос-
новные свойства интеграла, и особенно такие свойства, как воз-
можность интегрирования по частям и при помощи подстановки,
которые труднее получить вне рамок такого определения.
Небезынтересно, что такой подход к определению интеграла
Лебега произошел исторически позднее, нежели по отношению
к другим, более общим интегралам. Систематическое проведение
описанной точки зрения, насколько нам известно, осуществлено
впервые Риссом только в 1935—1936 гг. [14].
Это не означает, что до 30-х годов не предпринимались такие
попытки в отношении L-интеграла. Напротив, начало этих попы-
ток восходит к диссертации Лебега [3]. Показав, что его неопре-
деленный интеграл всегда является функцией с ограниченным
изменением, он вслед за тем приводит пример непрерывной функ-
ции с неограниченным изменением у = х2 sin (1Лг2), / (0) = 0,
производная которой
у' = 2х sin -L _ JL cos , у' (0) = (0),
будучи измеримой, не интегрируема в его смысле (Лебег [3,
стр. 269]), но интегрируема в обобщенном смысле Римана, Лебег
пишет, что его определение очень легко можно было бы обобщить
так же, как и классическое определение, но не делает этого, а пред-
почитает в этом случае расширить смысл понятия неопределен-
ного интеграла, трактует интегрирование как обращение диффе-
ренцирования [3, стр. 270].
Еще далее в этом направлении Лебег идет в «Лекциях об ин-
тегрировании и отыскании примитивных функций» [7]. По поводу
суммируемой (L-интегрируемой) функции он пишет: «Ограничен-
ная функция / (х) называется суммируемой, если существует функ-
ция F (х) с ограниченными производными числами и такая, что
F (х) имеет / (х) своей производной всюду, кроме множества зна-
чений х меры нуль. По определению в этом случае интеграл на
(а, Ь) есть F (Ъ) — F (а)» 33 [7, стр. 94]. Добавив условие абсолют-
ной непрерывности, он распространил это определение и на неог-
раниченные функции и указал, что на этом пути получается опре-
32 О более ранних подходах к понятию абсолютно непрерывной функции у
Гарнака, Валле-Пуссена, Штольца и Мура см. Хокинс [1, стр. 142—144].
33 В русском переводе [19] второго издания [7] эти предложения находятся
на стр. 88.
254
деление интеграла, эквивалентное первоначальному [7, стр. 129,
сноска].
Однако последнее определение Лебег не развил в [7] ни для
ограниченных функций (хотя на следующих страницах и набросал
некоторые свойства интеграла, определяемого таким образом),
ни тем более для производных суммируемых функций, в частно-
сти, по-видимому, потому, что тогда Лебег не 'знал ответа на во-
прос о том, во всех ли случаях функция определяется с точностью
до аддитивной константы по ее точной (не обязательно конечной)
производной. Этот вопрос Лебег поставил в своих «Лекциях»
[7, стр. 75]. В следующем году на него был дан отрицательный ответ
в заметке Гана [1], в которой он построил две функции /х (х) и
/2 (^), имеющие всюду одну и ту же определенную (но не конеч-
ную) производную без того, что их разность f±(x) — f2 (х) равня-
лась постоянному числу 34. Пример Гана показал, что в случае
бесконечных производных среди точных примитивных {F (х)},
F (0) = 0, функции / (х), заданной на (0,1), имеются по крайней
мере две различные примитивные Fr (х) и F2 (%), отличающиеся не
на константу, дифференцирование которых дает одну и ту же
функцию / (х) 35 36. Это затрудняло выбор той функции F (х) из
пучка примитивных для / (х), которую нужно было принять за
ъ
неопределенный интеграл, с тем чтобы определить ^f(x)dx как
разность F(b) — F (а). Требовалась дополнительная характери-
стика функций F (х), могущих служить неопределенными L-ин-
тегралами. К таким характеристикам, как мы сказали выше,
пришли независимо Лебег и Витали. Затем такие F (х) изучали
многие математики, из которых отметим Леви [1, 2], Лебега
[8, 10, И] и Н. Н. Лузина [4, стр. 82—86]. Указанные авторы со-
средоточивали свое внимание, однако, не на интересующем нас
здесь вопросе определения интегрирования как обращения диффе-
ренцирования, а на близко связанным с этим вопросом о том,
в каких пределах лебеговское интегрирование позволяет восста-
навливать примитивную функцию по ее производной или по ее
производному числу, или на другой характеристике, отличной от
характеристик Витали неопределенных интегралов. Мы не будем
на этом останавливаться подробно, и сделаем лишь два следую-
щих замечания.
В работе Леви [1, стр. 681] введено важное понятие теории
функций, которое носит название TV-свойства. Мы хотели бы под-
черкнуть это обстоятельство, так как его введение обычно связы-
вают с именем Н. Н. Лузина. Н. Н. Лузин действительно ввел
его в 1915 г. [4, стр. 123], не ссылаясь при этом на Б. Леви. Ему,
34 Этот пример воспроизведен Лебегом [19, стр. 71—72\ Впоследствии ана-
логичные примеры были построены Н. Н. Лузиным [4, стр. 80—81],
Д анжуа и др.
36 Фактически таких примитивных даже бесконечно много.
255
видимо, не были известны ни работа [1] Б. Леви, ни работа [11]
Лебега, в которой анализировалось это понятие (в списке лите-
ратуры, приложенном Н. Н. Лузиным к своей диссертации [4,
стр. 209—212], они не значатся). Леви пользовался этим свойст-
вом именно для Характеристики неопределенных интегралов
Лебега [1, стр. 682], доказав, в частности, что неопределенный ин-
теграл Лебега обладает TV-свойством, что позднее делал и Н. Н. Лу-
зин более общим образом и более точно. Правда, в своих рассужде-
ниях Леви молчаливо принимал утверждение, что сумма двух
функций, обладающих TV-свойством, также является функцией,
обладающей TV-свойством, что, как показал соответствующим при-
мером Лебег [11, стр. 284—285, сноска], вообще неверно. Тем не
менее сам факт введения Леви TV-свойства и использование им его
в теории интеграла не подлежит сомнению; это свойство он при-
менял и в работе [2].
Второе замечание связано с самим подходом к независимой от
понятия интеграла характеристике функций, являющихся неопре-
деленными интегралами. Характеристика Витали, как и анало-
гичные последующие характеристики Лебега [11, стр. 286—288],
связаны с поведением примитивной функции на малых интервалах,
т. е. они в некотором смысле являются дифференциальными харак-
теристиками. Несколько иначе подошел к тому же вопросу
Н. Н. Лузин [4, стр. 82—86; 5, стр. 240], который описал поведе-
ние примитивных на всем рассмотриваемом интервале, доказав,
что неопределенный интеграл выделяется его свойством иметь
на этом промежутке наименьшее полное изменение.
Последнее интересно тем, что именно это характеристическое
свойство неопределенного интеграла взял за исходное, не ссылаясь
при этом на Н. Н. Лузина, Рисе, когда он начал изучение инте-
грирования как обращения дифференцирования: «...функция на-
зывается интегрируемой, если существует функция с ограничен-
ным изменением, для которой она является производной почти
всюду. Среди этих функций существует одна, определенная с точ-
ностью до константы, полная вариация которой на рассматривае-
мом интервале является наименьшей из возможных..., именно эта
экстремальная функция является неопределенным интегралом
рассматриваемой функции, и она дает определенный интеграл
при обычном способе вычисления 36. Эта функция могла бы быть
охарактеризована свойством быть абсолютно непрерывной, однако
мы в нижеследующем предпочтем именно экстремальное свойст-
во» (Рисе [14, стр. 306]).
Исходя из этого определения интеграла и используя в своих
соображениях лишь понятие множества меры нуль, Рисе [14] 36
36 То есть, если задана / (х) на (а, 6), а ее экстремальная примитивная есть
ь
F (х), то (L) f (х) dx = F (b) — F (а).
а
256
развил довольно полную теорию лебеговского интегрирования,
доказав все основные свойства L-интеграла, а также эквивалент-
ность такого определения с первоначальным лебеговским. Подход
Рисса к понятию интеграла в этом случае уже не представлял
особого интереса, так как ко времени написания его работы [14]
аналогичный путь был проделан для более общих интегралов, что
он отметил и сам (Рисе [14, стр. 306]).
§ 7. Вклад других ученых
в разработку теории интеграла Лебега
(первое десятилетие текущего века)
Если в теории римановского интегрирования самому Риману
принадлежат лишь некоторые основные идеи, то про теорию Лебе-
га можно сказать, что почти вся она является единоличным его
творением. Прецедентов подобного рода для больших математиче-
ских теорий (а таковой, несомненно, является лебеговская теория)
не так уже много. И все же можно говорить о вкладе других уче-
ных. Отчасти это уже сделано на предыдущих страницах, когда мы
говорили о работах Витали, Леви, Н. Н. Лузина, Рисса. Здесь
мы дополним сказанное некоторыми подробностями, без которых
теория лебеговского интегрирования (пока в том аспекте, в каком
мы ее рассматриваем) не была бы полной и стройной. При этом
нам придется возвращаться вновь к уже рассмотренным работам,
чтобы представить дело в исторической последовательности.
По самой форме определения интеграла для функций одного
действительного переменного в случае римановского определения
распространение его на функции нескольких переменных не пред-
ставляло особых затруднений, и мы видели, что Жордан вводил
свое определение сразу для функций нескольких аргументов.
При рассмотрении интеграла как меры ординатного множества
лебеговское определение интеграла выступало одинаково для лю-
бого числа переменных; то же самое справедливо и для основной
конструкции Лебега. И в диссертации [3] Лебег рассмотрел эти
определения (§ 3 гл. II) в очень беглой форме. В «Лекциях по
интегрированию» [7] он совсем не касался этого вопроса.
Если, однако, форма определения самого понятия интеграла
для случая нескольких переменных не представляла каких-либо
трудностей, то изучение свойств многомерного интеграла, особенно
взаимоотношения дифференцирования и интегрирования, оказа-
лось довольно сложным делом. Последний вопрос мы отложим на
дальнейшее, а сейчас остановимся на более простых моментах.
Жордан в своем «Курсе анализа» показал, что в случае кратного
интеграла.Римана вычисление последнего можно свести к вычис-
лению последовательности простых интегралов [3, стр. 41—42].
Лебег, обобщивший в диссертации большую часть результатов Жор-
дана, обобщил и эту теорему, но только для случая ограничен-
ной функции [3, стр. 276—281]; на неограниченные функции (сум-
9 Ф. А. Медведев 257
Мйруемые) он ее не распространил. Возможно, одной из причин
этого было то, что обычно в ее доказательстве для интеграла Ле-
бега требуется теорема Леви о почленном интегрировании сходя-
щейся неубывающей последовательности 37. Между тем последний
доказал ее лишь в 1906 г. [3]. Леви же мимоходом в одной из ра-
бот 1906 г. сформулировал общее предложение о сведении кратно-
го интеграла к поворотному, не дав, однако, его доказательства.
А в 1907 г. Фубини [1] независимо формулирует и дает доказа-
тельство для случая произвольной суммируемой функции, причем
не только для прямоугольных, но и полярных координат. Не будем
останавливаться на формулировке и доказательстве этой теоремы,
отослав читателя к книге И. П. Натансона [2, стр. 379—384]. За-
метим только, что эта теорема является одной из основных в теории
кратного лебеговского интегрирования; поэтому впоследствии
предлагались и другие способы доказательства этой теоремы;
укажем, например, доказательство Гобсона [7, стр. 24—31].
Второй важной теоремой теории кратного интегрирования
является теорема о замене переменных в кратном интеграле.
Жордан еще в 1892 г. дал формулу замены переменных и установил
ее применимость в широких пределах для интеграла Римана [2,
стр. 452—457]. Лебег на первых порах не рассматривал не только
обобщение этой формулы на свой интеграл в кратном случае, но
не касался этого для одного переменного. Вопрос оказался доволь-
но сложным, и мы специально займемся им в одном из последую-
щих параграфов. Сейчас же только ограничимся замечанием, что
в 1909—1910 гг. за это дело, как в случае одного переменного, так
и для кратных интегралов взялись сразу три математика — сам
Лебег, Валле-Пуссен и Гобсон.
Несколько подробнее остановимся на вопросе перемены поряд-
ка интегрирований в двойном интеграле.
Из теоремы Лебега — Фубини непосредственно вытекает, что
если функция / (х, у) суммируема в прямоугольнике Р (а, Ь; с, d),
т. е. если существует интеграл
\f(x,y)dxdy, (4)
р
то всегда существуют оба повторных интеграла, причем
$ dy^ f(x,y)dx = § dx§ f(x,y)dy, (5)
F E E F
87 Ее точная формулировка такова: пусть на измеримом множестве Е задана
неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций
fi (*) < /2 (х) < /з (*)<•• • Если F W = lim fn T0 \ F (*)dx =
71—*00
E
= lim f f (x) dx (см. И. П. Натансон [2, стр. 156—157]).
1 7с» “
n“*°° e
258
при условии, что измеримые множества Е и F заключены соответ-
ственно в интервалах (а, Ь) и (е, d) 38. Таким образом, существова-
ние интеграла (4) влечет существование и равенство интегралов
(5). Это, однако не означает, что верно обратное. Напротив, как
показал Гобсон, даже в простых случаях может произойти, что
оба повторные интегралы (5) существуют, но не равны. Его
пример функции / (гг, у) =
^ + ^^0, /(0,0) = о,
у которой существуют оба повторных интеграла, не будучи равны-
ми [7, стр. 31, сноска], стал стандартным в учебниках анализа39.
Естественно, что математиков заинтересовал вопрос о том,
при каких ограничениях все же справедливо и обращение преды-
дущей теоремы. Одно такое, довольно сильное, ограничение уста-
новил Гобсон: если / (х, у) измерима на Р (а х Ь, с у d)
Ь d
n}dx^\f(x,y)\dy<Z +
оо, то существуют интегралы (4) и (5) и
а с
имеет место равенство (5) [7, стр. 30—31].
Однако еще за год до того Тонелли [2] было установлено, что
если / (х, у) измерима и не меняет знака в области ее определения,
то достаточно существования одного из интегралов (5), чтобы су-
ществовал и другой, а также интеграл (4) и выполнялось равенст-
во (5). Отсюда результат Гобсона получается как простое
следствие, что было отмечено Тонелли [2, стр. 248]. Само это пред-
ложение служило у Тонелли одной из лемм при установлении
формулы интегрирования по частям для двойного интеграла
Лебега.
На вопрос о том, не обеспечивает ли существование и равенст-
во интегралов (5) существования интеграла (4) при некотором
специальном выборе множеств Е и F, отрицательный ответ был
дан Г. М. Фихтенгольцем в 1917 г. (опубликовано в 1924 г.). Он
[4] построил пример функции / (х, у), заданной на (a х Ь,
с У d) и такой, что оба повторных интеграла существуют и
равны для любых измеримых Е и F, содержащихся соответственно
в 1а, Ь] и [е, d], между тем как сама / (х, у) несуммируема 40.
В предыдущей главе мы видели, сколь важны теоремы о сред-
нем в самых различных вопросах математики. Естественно, что
обобщение их на интеграл Лебега представляло немаловажный
интерес. Это впервые сделано опять-таки Гобсоном в 1909 г. Он
доказал, что если / (х) монотонна на (а, Ь), а <р (х) — любая
38 См. И. П. Натансон [2, стр. 384—385].
39 Для интегралов Римана соответствующие более сложные примеры были в
1900 г. построены Прингсгеймом. Он показал, что оба повторных интег-
рала (равные или нет) могут существовать без того, чтобы существовал
двойной интеграл.
40 Основываясь на факте существования и равенства интегралов (5)
при несуммируемой / (х, у), Г. П. Толстов [3] ввел более общее интег-
рирование.
259
9*
суммируемая на (а, Ь) функция, то
ь % ь
/ (х) ср (х) dx = f (а 4- 0)^4>(x)dx 4- / (b — 0) ср (х) dx,
а а £
£ ЕЕ (а, Ь) [5, стр. 16—17], а также, что если / (я) неотрицательна,
то
ъ
а
а
где Л > / (а + 0), (а, Ъ) и зависит от выбора А, если / (х)
убывает при возрастании х, и
Ъ
5 / (х) ф (я) &х — в ф (я) dtf,
а £
где В f (Ъ — 0), Е (а4) и зависит от выбора В при возраста-
нии / (х) с ростом х [5, стр. 18—19]. Здесь же эти теоремы были
обобщены на случай гарнак-лебеговского определения интеграла.
Рассуждения Гобсона при доказательстве этих теорем несколько
усложнены и отступают от традиционных рассуждений.
Говоря о вкладе других математиков в изучение свойств инте-
грала Лебега, нельзя, как уже говорилось, не учитывать, что все
же важнейший вклад внес сам Лебег. Поэтому даже в этом пара-
графе мы вновь вынуждены обращаться к его работам, даже
в связи с теми результатами, о которых мы уже сказали, так как у
него имеются такие элементы, которые нельзя обойти стороной.
О фактическом содержании теоремы о среднем в работе [13] Лебега
можно было бы не говорить, так как оно совпадает со сказанным
в связи с работой Гобсона в предыдущих строках. Но интерес
подхода Лебега к доказательству теорем о среднем выходит за
рамки самих теорем, поэтому мы остановимся главным образом
на характере доказательства.
В предыдущей главе мы видели, что наиболее четкими доказа-
тельствами теорем о среднем были доказательства, основанные на
лемме Абеля. Ее применения к интегральным суммам Коши —
Римана было непосредственно очевидным: достаточно было один
из числовых множителей рассматривать как значение функции
в частичном промежутке интервала интегрирования, а другой —
как выражение длины этого частичного промежутка, чтобы совер-
шить непосредственный переход от числовых сумм к интегральным.
Для интеграла Лебега, с его иной конструкцией интегральных
сумм, такой простой переход, такое простое перетолкование число-
вых сумм как сумм интегральных оказалось невозможным. Но спо-
соб рассуждений при доказательстве теорем о .среднем для интег-
рала Римана был столь прост и элегантен, что соблазнительно
было применить его и в случае интеграла Лебега. Однако прямой
путь был закрыт вследствие иного характера интегральных сумм.
260
И Лебег, придававший особое значение именно конструкции инте-
гральных сумм, все же, желая дать доказательство теорем о сред-
нем именно такого типа, изменил пристрастию к своей конструкции
и перед доказательством решил предварительно показать, что
введенный им интеграл может быть сколь угодно точно аппрокси-
мирован суммами Римана.
Рассмотрев в [13] нужные ему числовые тождества, Лебег далее
пишет: «Чтобы распространить на интегралы свойства..., доказан-
ные для сумм, часто удобно, если мы примем данное мною опреде-
ление интеграла, сблизить его с определением Римана, показав,
что интеграл в моем смысле всегда может быть определен при помо-
щи некоторых подходяще выбранных сумм, используемых в рима-
новском определении интеграла» [13, стр. 30]. И с этой целью он
показывает, что если / (х) суммируема на (a, fe), то всегда (а, Ь)
можно разложить на частичные промежутки (a-i, xi) и выбрать
в них точки так, чтобы при достаточно большом п сумма
п
S = 2 / &) — х^) сколь угодно мало отличалась от
i=i
ь
(L) ^f(x)dx. При этом на характер разбиений (а, Ь) и выбор точек
а
накладываются определенные ограничения по сравнению с про-
извольным характером их в определений обычного интеграла Рима-
на (Лебег [13, стр. 30—34]). Изучив такое представление интеграла
суммами Римана, Лебег затем пишет: «Предыдущие соображения-,
которые часто полезны, отнюдь не обязательны для доказательства
нижеследующих теорем [он уже знал о доказательствах Гобсона.—
Ф. М.]ч однако благодаря им эти теоремы выступают с максималь-
ной простотой и однородностью» [13, стр. 34].
Действительно, поскольку L-интеграл теперь выражен сум-
мами Римана, то для доказательства теорем о среднем достаточно
поступить, как и в случае интеграла Римана. Так Лебег и получает
теоремы:
А. Если три функции /, <р, /ср суммируемы на (a, fe), а
если
ф (х) 0,
то
b
т \
а
ь
а
ъ
М ф (х) dx.
а
В.
то 41
Если / ограничена и монотонна на (a, fe), а ср суммируема.^
41 Из более поздних работ об этой теореме укажем статью А. И. Маркуше-
вича [1].
264
В той же работе [13] Лебег рассмотрел многие другие свойства
введенного им интеграла: интегрирование по частям (стр. 40—43),
интегрирование при помощи подстановки (стр. 44—47) и т. д.
Мы не будем здесь касаться всего этого, имея ввиду возвратиться
к его соображениям, а также к соображениям других ученых далее
несколько в другой связи. Сейчас же остановимся еще на одном
вопросе, вклад в решение которого других математиков сущест-
вен.
В теории интеграла Лебега важную роль, как отмечалось,
играют предложения об интегрировании последовательностей или
рядов функций.
Мы говорили ранее, что еще в диссертации Лебег нашел один
из достаточных критериев почленной интегрируемости последова-
тельностей суммируемых функций. Упоминали мы и о теореме
Леви. Оба эти условия являются лишь достаточными.
Глубокое исследование условий почленного интегрирования
провел в 1907 г. Витали [4]. Прежде всего отметим, что для этого
он ввел важное понятие равностепенной абсолютной непрерывно-
сти интегралов семейства функций: пусть {/ (я)} — семейство
суммируемых на измеримом множестве Е функций; если для
всякого 8 0 существует такое S 0, что из е cz Е, те < S,
вытекает
| J / (x) dx | < 8
e
для всякой функции рассматриваемого семейства, то говорят, что
эти функции имеют равностепенно абсолютно непрерывные инте-
гралы. Основной его теоремой является следующая.
Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность
суммируемых функций {/п (ж)}, сходящаяся к суммируемой функ-
ции / (х). Для того чтобы равенство
е
е
выполнялась для всякого измеримого множества е с- Е, необхо-
димо и достаточно, чтобы функции последовательности имели рав-
ностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Из других результатов по этому вопросу, полученных в рас-
сматриваемый период, отметим теорему Рисса [1]: если на'измери-
мом множестве Е задана последовательность суммируемых с квад-
ратом функций fn (х), сходящаяся почти всюду к функции / (х),
и интегралы
равномерно ограничены, то
\ / (х) dx = lim \ fn (х) dx,
(6)
262
а также Лебега [13, стр. 49—50J: если на измеримом множестве Е
последовательность суммируемых функций {fn (я)} сходится
к суммируемой же функции / (х) и существует такая суммируемая
функция F (х), что при всех п и х [ /п (х) | F (х), то выполняется
равенство (6).
Впоследствии вопросами почленного интегрирования занима-
лись многие математики, и к этому мы еще возвратимся.
§ 8. Функции множества
Говоря о понятии функции во всем предыдущем изложении,
мы имели ввиду представление о ней как о произвольном однознач-
ном соответствии между элементами двух числовых или точечных
множеств: каждому числу или определенному набору чисел (то-
чек в одномерном или n-мерном пространстве) ставилось в соот-
ветствие одно и только одно число другого множества чисел (то-
чек). И хотя в конце XIX в. даже столь абстрактный подход к по-
нятию функции был обобщен еще более до соответствия между
элементами двух произвольных множеств, тем не менее даже и
такой общности не доставало не только для абстрактных разделов
самой математики, но и для обслуживания некоторых элементар-
ных нужд математического естествознания.
Чтобы подтвердить последний тезис, нам придется обратиться
к некоторым относительно простым физическим понятиям и отме-
тить некоторые соображения крупнейшего представителя физико-
математической мысли прошлого столетия — Коши, который,
видимо, стоял у истоков одного из значительных направлений
современных математики и математической физики.
Говоря ранее о соотношении механического понятия скорости
и математического понятия производной, мы обрисовали его сле-
дующим образом. На первых порах, когда понятие производной
еще не установилось, понятие мгновенной скорости привлекалось
для иллюстрации и оправдания производной (Ньютон). Затем
это отношение было обращено: для иллюстрации и придания
смысла механической мгновенной скорости, последнюю стали рас-
сматривать просто как значение производной от пути по времени
(Лагранж). Аналогично обстояло дело в случае других подобных
физико-механических величин, вроде плотности, напряжения,
удельной теплоты и т. д.
Но ситуация столь «проста» только для одномерного случая.
Действительно, рассмотрим, например, понятие плотности в трех-
мерном случае. Представитель естествознания рассуждает «естест-
венно»: пусть речь идет о плотности тела М в точке а; точка а
окружается некоторым переменным объемом v с переменной же
массой т; затем составляется частное m/р, представляющее собой
среднюю плотность в объеме р, и предел отношения этого частного,
когда объем стягивается к точке а, принимается за определение
понятия плотности тела М в точке а. Для одномерного пространст-
263
ва описанный метод по существу совпадает с определением произ-
водной от неубывающей функции распределения массы. Для трех-
мерного пространства параллелизм нарушается просто потому, что
математического понятия, соответствующего описанной схеме
рассуждений естественника, в математике не было фактически до
XX столетия. «Естественность» рассуждений физика в том же
примере определения плотности в точке совершенно неудовлетво-
рительна для математика: какие объемы допустимы при состав-
лении отношения ni/v- — сферы, кубы, призмы, додекаэдра или
еще что?; что понимать под предельным переходом в этом случае —
только ли стремление к нулю величины объема? — ведь он может
стремиться к нулю и без того, чтобы все размеры, например, парал-
лелепипеда, если они выбраны в качестве стягивающихся тел,
стремились к нулю!; одинаковыми ли окажутся эти пределы при
различных выборах системы стягивающихся к точке а объемов v?
и т. д. Словом, вопросов много, а ответов на них не было. И для
описания математическим языком многих физико-механических
соображений требовалось пополнение аппарата математических
понятий.
Такая потребность появилась давно: ведь в механике и физике
никогда не ограничивались только линейными явлениями. Но от-
ветить на эту потребность математика сумели только в XX столе-
тии, создав аппарат теории функций множеств.
Описанную дисгармонию между математикой и естествознани-
ем вполне осознал впервые, видимо, только Коши. По крайней
мере он, имея в виду недостаточность обычных дифференциаль-
ного и интегрального исчислений, попытался построить новое
исчисление — так называемое исчисление сосуществующих вели-
чин, которое по его замыслу должно было включить в себя обыч-
ный анализ как частный случай. Свои соображения по этому по-
воду он в 1841 г. изложил в «Мемуаре о дифференциальном отноше-
нии двух величин, которые изменяются одновременно» [5]. Мы не
будем останавливаться на содержании этого мему ара, отослав чи-
тателя к нашей статье (Ф. А. Медведев [2]), и ограничимся толь-
ко несколькими замечаниями.
Во-первых, Коши исходил из элементарных физических и гео-
метрических соображений, и тот же пример с плотностью был
у него одним из основных примеров; следовательно, необходимость
в новом исчислении обусловливалась у него потребностями есте-
ствознания. Во-вторых, проблема построения нового исчисления
занимала его на протяжении длительного времени, по крайней
мере в течение почти полутора десятков лет: понятие о дифферен-
циальном отношении сосуществующих величин Коши излагал,
в лекциях в Политехнической школе до 1830 г., посвятил этому
вопросу названный мемуар [5], вновь обратился к тому же предмету
в работе [6], так что указанная проблема не была мимолетным
увлечением Коши. В-третьих, несмотря на то, что за создание
нового исчисления взялся такой большой математик и естествоис-
264
пытатель, как Коши, удовлетворительно построить это исчисление
все же не удалось, хотя необходимость в нем имелась, и Коши
вполне осознавал эту необходимость; причиной была неподго-
товленность самой математики для возможности реализации идей
Коши. В-четвертых, наконец, насколько это сейчас известно, идеи
Коши не встретили поддержки у других математиков, хотя вслед
за Коши их изложил его ученикМуаньо в 1868 г. [1, стр. 172—205].
Это не значит, что идеи Коши пропали бесследно для развития ма-
тематики. Когда в 70—80-х годах XIX в. теория множеств начала
вырастать в самостоятельное учение о множествах, в математике
создались более благоприятные условия для реализации идей Коши.
Вполне осознанно за это дело взялся Пеано. Пятая глава его
книги «Геометрические приложения анализа бесконечно малых»
[2] посвящена изучению функций множеств, которые он прямо
связывает с сосуществующими величинами Коши [2, стр. 167].
Опять-таки, не останавливаясь подробно на соображениях
Пеано 42, сделаем несколько замечаний.
Понятие функции множества Пеано ввел самым общим обра-
зом, рассматривая даже функции множества, значения которых
являются векторами. Он выделил класс конечно-аддитивных
функций множества и изучил дифференцирование и интегрирова-
ние одной функции множества по другой, в значительной мере
предвосхитив теорию стилтьесовского интегрирования. Однако
его идеи, являвшиеся уточнением и дальнейшим развитием замыс-
ла Коши, разделили судьбу последнего: они остались незамечен-
ными. Причины этого многообразны, и одной из них несомненно
было то, что для более четкой их реализации нужно было дальней-
шее развитие теории множеств и теории функций действительного
переменного, происшедшее на рубеже XIX—XX вв., которое отча-
сти обрисовано в предыдущих параграфах.
Только с 1910 г., когда развитие математики в целом, и особен-
но теории множеств, достигло достаточной степени зрелости,
когда появились внутриматематицеские потребности в построении
нового исчисления, другими словами, когда условия создания
нового исчисления стали не только необходимыми, но и достаточ-
ными, это исчисление стало создаваться как новая математическая
дисциплина, сразу же привлекшая к себе внимание большого
числа исследователей. Это раздел математики получил название
теории функций множества, и его рождение обычно связывают
с появлением работы Лебега «Об интегрировании разрывных
функций» [15].
Основу теории функции множества образует понятие функции
множества. Под ним понимают следующее. Пусть {е} — некоторое
семейство множеств (например, совокупность В-измеримых мно-
жеств отрезка прямой или участка плоскости); если каждому
множеству семейства {е} по некоторому правилу поставлено в со-
42 См. Ф. А. Медведев [6|.
265
ответствие одно и только одно число Ф (е), то говорят, что на
семействе {е} задана функция множества Ф (е).
В начале этого параграфа мы описали самый абстрактный тип
поэлементного соответствия между двумя произвольными множест-
вами. В нем, однако, всегда имеется в виду, что отдельному
элементу одного множества соответствует тоже отдельный
элемент другого множества. В понятии же функции множества
речь идет о соответствии множество — число. И хотя последнее
формально также можно описать в терминах первого, если мно-
жества е семейства {е} рассматривать как элементы некоторого но-
вого множества множеств М = {е}, однако такой подход к поня-
тию функции множества встречается с определенными трудностя-
ми логико-математического характера. Поэтому математики про-
дошли к изучению функций множества иначе, выделив их в ка-
честве самостоятельного объекта исследования, не сводящегося
к поэлементному однозначному соответствию.
При введении функций множества отпадают, в частности, те
трудности, на которые мы указали при рассмотрении понятия
плотности: масса и объем истолковываются как функции множе-
ства, для которых соответствующим образом определяются мате-
матические операции дифференцирования и интегрирования.
При этом любопытно то, что, как мы увидим впоследствии, схема,
например, определения производной очень близка к ходу рассуж-
дений естественника, который был выше приведен при описаний
понятия плотности, разумеется с соответствующими уточнениями.
Да и само понятие функции множества лучше соответствует спо-
собам описания физических величин, нежели понятие функции
точки, даже в одномерном случае. Дело здесь в том, что, как писал
Лебег, «...физические величины, поддающиеся непосредственному
измерению, всегда оказываются функциями области 43, только этй
области не всегда бывают трех измерений... Нас не должно удив-
лять, что функции области появляются в физике и выглядят даже
более приспособленными к нуждам физики, чем функции точек.
Точка есть предельная концепция все более и более уменьшающе-
гося тела, функция точки может войти в физику лишь как предел
функции тела, функции области. Если все же мало говорят об этих
функциях, то только потому, что математики еще не создали ал-
гебру и анализ функций области» [19, стр. 238—239]. Эти слова
Лебег опубликовал в 1928 г., а через два десятилетия уже вообще
был подвергнут сомнению бытовавшей в математике и в математи-
ческом естествознании на протяжении столетий способ описа-
ния явлений в терминах функций точек. В 1948 г. В. И. Смирнов
и С. Л. Соболев писали: «Использование понятия функции точки
привело математическую физику к абстрактным понятиям, кото-
рые не соответствуют реальной действительности явления, и ос-
43 О понятии области, как частного случая общего понятия множества, бу-
дет сказано далее.
266
новные уравнения математической физики строятся в терминах
этих абстрактных понятий. Ряд искусственных дополнительных
ограничений, которые приходится накладывать для решения за-
дач математической физики, происходит именно вследствие их
неправильной постановки. Вместо того чтобы говорить о темпера-
туре в данной точке [т. е. о значении функции точки.— Ф. М.]>
естественнее говорить о температуре в данной области [т. е. о зна-
чении функции области или множества. — Ф. М.]\ вместо того,
чтобы говорить о скорости в данный момент времени, естественнее
говорить о средней скорости за данный промежуток времени;
вместо того чтобы говорить о нормальной производной в данной
точке, естественнее говорить о потоке через заданную область по-
верхности и т. д.» [1, стр. 12].
Это не означает призыва к изгнанию функций точек вообще из
математической физики; в необходимых случаях они должны при-
меняться, и $ни, как мы увидим, необходимо появляются при са-
мом изучении функций множества; но функции точек уже не мо-
гут иметь прежнего универсального применения, область их ис-
пользования сужается до таких размеров, в которых ими целе-
сообразно работать; вне естественной области их применения не-
обходимо привлечь новый математический аппарат — теорию
функций множеств, в которой, кстати, концепции функции мно-
жества и функции точек не противопоставляются, а замечатель-
ным образом сочетаются, образуя нечто гармонично цельное.
Мы сказали, что рождение теории функций множества датиру-
ется работой Лебега [15], увидевшей свет в 1910 г. Это не нужно
понимать так, что до 1910 г. математики не обращались к изуче-
нию функций множества. Напротив,„дело обстояло таким обра-
зом, что в математике, как и в физике, идея функции множества
в некотором смысле предшествует идее функции точки. Действи-
тельно, длина кривой, площадь или объем фигуры, неопределен-
ный интеграл, мера множества и т. д. являются вообще частными
случаями функций множества, и их нередко целесообразно выра-
жать именно в терминах последних, а не через функции точек.
Отдельные функции множества в явном виде появляются у Паша,
Дедекинда и др. 44 Многие математики XIX столетия (М. Кантор,
Жордан, Гарнак и др.) изучают понятие меры множества — одно-
го из важнейших примеров функций множества; Борель и Лебег
на рубеже XIX—XX вв. изучают еще более общие мероопределе-
ния. Более того, пусть и на ином языке, но ведь Коши своим уче-
нием о сосуществующих величинах начал систематически разра-
батывать самостоятельное учение о функциях множества — имен-
но так интерпретировали его соображения Пеано [5], а затем,
кажется независимо, Лебег [19, стр. 237—242]. Труд Коши, как
отмечено выше, существенно продвинул вперед Пеано в 1887 г.
Вероятно, можно было бы привести и другие факты. Так что к мо-
44 Об этом см. Ф. А. Медведев [5, стр. 82, 103—105, 158—159].
267
менту написания работы [15] Лебега в теории функций множества
имелся фактически большой задел. Но, как это нередко случается,
Лебег, видимо, не знал тогда не только давнишних работ Коши, но
и более поздние работы Пеано и др., и начинал как бы на пустом
месте, опираясь, разумеется, на последние достижения теории
множеств и теории функций действительного переменного.
Теорию функций множеств он начал создавать в процессе по-
строения дифференциального и интегрального исчисления для
функций нескольких переменных, точнее при попытке перенесе-
ния своих теорий дифференцирования и интегрирования для слу-
чая одного переменного на случай большего числа измерений.
§ 9. Распространение лебеговслой теории интегрирования
на функции нескольких переменных.
Новый взгляд на неопределенный интеграл
Интегрирование функций нескольких переменных по Лебегу
не началось в 1910 г. работой Лебега [15]. Напротив, как мы уже
упоминали, свое определение он распространил на функции не-
скольких переменных еще в диссертации 1902 г. В § 7 настоящей
главы были отмечены многие результаты в теории кратного лебе-
говского интегрировайия. К сказанному там можно добавить,
что Гобсон в [6] подробно рассмотрел вопрос о замене переменных
в кратных интегралах, а Витали [5] обобщил понятие ограничен-
ности изменения и абсолютной непрерывности на функции не-
скольких переменных, ввел понятия неопределенного интеграла
и производного числа для таких функций, а также, несколько
модифицировав рассуждения своей предыдущей работы [2], ука-
зал, как распространить на кратные интегралы такие положения
теории одномерного интегрирования: необходимым и достаточ-
ным условием того, чтобы заданная функция была неопределен-
ным интегралом, является ее абсолютная непрерывность; неопре-
деленный интеграл от производной абсолютно непрерывной функ-
ции совпадает с этой функцией с точностью до аддитивной констан-
ты — две функции, имеющие один и тот же интеграл, могут отли-
чаться лишь на множестве меры нуль; суммируемая функция поч-
ти всюду совпадает с производным числом своего неопределенного
интеграла.
Так что к 1910 г., когда появилась лебеговская работа [15], в тео-
рии кратного интегрирования имелся большой задел. И все же
в ней не было той стройности и прозрачности, которых к тому
времени достигла теория одномерного интегрирования, особенно
в ее связях с дифференцированием. Дифференцирование, введен-
ное Витали, относилось к функциям, заданным (в случае функций
двух переменных) па прямоугольниках плоскости, между тем как
интегрирование определялось для произвольных измеримых мно-
жеств; далее, его дифференцирование связано с выбором системы
координат, и при установлении взаимосвязи дифференцирования
268
и интегрйрования была необходимость в разработке теории преоб-
разований^ (.т, ?/) к аналогичной функции в другой координатной
системе, которая довольно сложна в тех случаях, когда это пре-
образование функций не сводится к простой замене переменных.
Эти обстоятельства побудили Лебега предпринять детальное ис-
следование теории кратных дифференцирования и интегрирова-
ния, которое он осуществил в [15]. Свой мемуар он открывает
словами:
«Я намереваюсь распространить на функции нескольких пере-
менных результаты, доказанные в последней главе моих „Лекций
об интегрировании и отыскании примитивных функций44. Я изу-
чаю, главным образом дифференцирование кратных интегралов»
(стр. 361).
Для функции / (х1ч х2, . . ., xh), заданной на множестве или
области 45 М, Лебег ставит проблему интегрирования аналогично
тому, как это сделано им в [7] для функций одного переменного,
т. е. как проблему соотнесения заданной / некоторого числа, удов-
летворяющего определенным условиям. Два момента отличают
описание этих условий в [7] и [15]. В [7] Лебег требовал только ко-
нечной аддитивности интеграла, но зато выставлял требование:
если fn, возрастая, стремятся к /, то интеграл от fnстремится к ин-
тегралу от /. В [15] Лебег требует от интеграла счетной аддитивно-
сти, т. е. оо
5 fdp= 2 $ fdp>
ОО /С=1 вг.
fc=l
но зато теперь второе условие оказывается излишним, так как
справедлива теорема, что предел / последовательности суммируе-
мых функций /п, ограниченных по абсолютной величине, сумми-
руем и интеграл от / равен пределу при п оо интегралов от /п
[стр. 375], следствием которой является выставленное требование.
Мимоходом он отмечает, что если сохранить только требование
конечной аддитивности и не налагать условия почленной инте-
грируемости последовательности функций, то получится интеграл
Римана, определенный для измеримых в смысле Жордана функ-
ций (стр. 375—376). Эту конструкцию осуществил в 1933 г.
Оррин [1].
Более подробно Лебег остановился на следующем вопросе
(стр. 377—378). Как мы сказали, исходную функцию / он опреде-
лил путем задания ее на измеримом множестве или на области.
Областью в одномерном случае является сегмент, и при изучении
вопросов интегрирования функций одного переменного область
оказывалась частным случаем множества и в отношении меры, не
45 Областью Лебег называет ограниченное множество, образованное из
точек и-мерного пространства, которое совершенно, односвязно и все
точки которого являются или внутренними или же пределами внутренних
точек.
269
требующем специального изучения. Не так обстоит дело для не-
скольких переменных. Область является обязательно множеством
по самому ее определению. Но есть существенное различие между
мерой множества и мерой области, проистекающее из того, что
при определении меры множеств, говоря об аддитивности меры,
обычно требуют рассмотрения суммы непересе кающихся
множеств. Между тем при переходе к вопросам интегрирования
функций, заданных на областях, приходится иметь дело с сумма-
ми областей, имеющих общую границу, а граница, например
плоской области, вообще может оказаться отличной от нуля меры46,
и требование аддитивности не может ограничиться условием не-
пересечения по самому характеру рассматриваемых задач, в кото-
рых области с общими границами — обычное явление. Но посколь-
ку область — это частный случай множества, то меру для области
надо определить так, чтобы свойства меры оставались справедли-
выми и для меры областей. Для этого приходится ограничить
класс рассматриваемых областей так, чтобы их границы имели
нулевую меру. Лебег по этом поводу выражается так: «Мера обла-
сти как области не может, очевидно, отличаться от своей меры как
меры множества, поэтому единственными областями, для которых
возможна проблема меры областей, являются области с границами
нулевой меры. Мы их назовем квадрируемыми областями» (стр.
377).
Для квадрируемых областей проблема интегрирования тракту-
ется так же, как и для множеств, поэтому Лебег в основном инте-
ресовался изучением вопроса для функций, заданных на измери-
мых множествах. Саму конструкцию n-кратного интеграла, удов-
летворяющего выставленным дескриптивным требованиям, Лебег
строит обычным образом, и на этом мы не будем задерживаться.
Но сразу же подчеркнем следующее. Для доказательства приведен-
ной теоремы об интегрировании последовательности суммируе-
мых функций ему понадобилась вспомогательная теорема: если
суммируемая функция / определена на измеримом множестве Е
и е а Е — измеримое подмножество, то интеграл
е
существует и стремится к нулю вместе с мерой е (стр. 374—375),
т. е. это по сути’дела теорема об абсолютной непрерывности неоп-
ределенного интеграла Лебега. Мы можем, следовательно, ска-
зать, что выставленное Лебегом требование счетной аддитивности
по крайней мере было одним из поводов для введения понятия
функции множества, так как в этой теореме 47 переменному мно-
46 Еще в 1890 г. Пеано построил кривую, заполняющую квадрат.
47 Потребовавшейся ему первоначально, как сказано, только для доказатель-
ства условия почленной интегрируемости. Отметим, что для одномерного
случая абсолютная непрерывность неопределенного интеграла была уста-
новлена в 1907 г. Витали [5, стр. 139].
270
жеству е Ставится в соответствие определенное число p(p)dp.
И вторую Г^аву своей работы,-посвященную неопределенному ин-
тегралу, он начинает следующими словами: «Выше мы пришли
к тому, что если на измеримом множестве Е задана суммируемая
функция /, то можно брать интеграл от / на измеримых множествах
е [являющихся подмножествами Е.— Ф. МЛ. Эта операция при-
водит к тому, чтобы связать с каждым из этих множеств некоторое
число, и далее мы немного изучим это соответствие, определяющее
то, что можно назвать функцией измеримого мно-
жества» (стр. 381).
Нам кажется целесообразным подчеркнуть, что само понятие
функции множества появляется здесь именно в связи с интегриро-
ванием. Тогда, да в значительной мере и до сегодняшнего времени,
интегрирование было единственным средством изучения функций
множества, поскольку L-интегрирование вполне определенным
образом позволяло выделить класс функций множества, являю-
щихся неопределенными L-интегралами, то Лебег преимуществен-
но и ограничил себя изучением именно функций этого класса.
Можно было, конечно, принять и более общую точку зрения,
рассматривая в качестве определения функции множества про-
извольное соответствие подмножества — число, не связывая это
соответствие с той или иной аналитической операцией, как это
делал Пеано еще в 1887 г. Можно было бы стать и на еще более об-
щую точку зрения и рассматривать соответствие подмножество —
элемент для произвольных множеств; абстрактно говоря, такая
общность была вполне возможна тогда, когда Лебег писал свою
работу: достаточно вспомнить, что в 1906 г. вышла диссертация
Фреше [2]. Но такая общность для теории функций множеств в
1910 г. вряд ли была бы полезна. И Лебег сознательно ограничил
себя именно теми функциями множеств, которые получаются при
помощи хорошо изученной им операции и которые полезны для
дальнейшего изучения этой операции. Но зато эта относительная
узость позволила ему достичь такой глубины, получить столь
стройную и красивую теорию, что математики уже не могли те-
перь оставить ее без внимания, как это случилось с теориями
Коши или Пеано. Лебеговская теория вскоре приковала к себе
интересы очень многих математиков, больших и малых, и выросла
в огромную теорию, со своими предметом и методом, с необъятным
полем приложений.
После того как новое понятие было введено, стало возможным
по новому подойти к понятию кратного неопределенного интегра-
ла. До работы Лебега [15] неопределенный интеграл рассматри-
вался как функция точки, которую можно описать следующим об-
разом. Пусть а1? а2, . . ., ап какая-либо переменная точка а рас-
сматриваемого тг-мерного пространства, в котором изучается сум-
мируемая функция / (х1? .т2, . . ., хп). Неравенства 0 Щ
(i = 1, 2, . . ., п) определяют тг-мерный интервал, который мы
271<
обозначаем через I (аь а2,
., ап) или просто Za. Положим
F(a) = F(aj,a2,.
,a„) = J /(P)dP =
1(a)
ai a2
(*^1’ *^2’ *
0 0 0
Тогда функция
.., xn) dxy, dx2,... , dxn.
7 IL f Л. 7 4 7 7 /{,
Ф («) = F (a) + A («2, • • • , an) + /2 (»i, a3,..., an) + ...
• • • + fn (al> a2» • • • ? an-l)?
где / — произвольные функции (n — 1) переменных 48, называет-
ся неопределенным интегралом функции / (хъ х2, . . . хп), выра-
женным с помощью п переменных
Уже одна столь громоздкая форма определения говорит против
такого подхода к понятию неопределенного интеграла, и не слу-
чайно в современных учебниках анализа избегают, как правило,
даже упоминать сформулированное определение 49. Но не только
громоздкость тому причиной; есть и более существенные причины,
на которых мы остановимся далее, того, что большинство математи-
ков отказалось при описании неопределенного интеграла от терми-
нологии функций точек 50.
Лебег следующим образом сформулировал понятие неопределен-
ного интеграла. Пусть на измеримом множестве Е задана сум-
мируемая функция /. «Функция множества, которую можно свя-
зать с функцией / при помощи интегрирования, будем называть
неопределенным интегралом от/» [15, стр. 381].
Другими словами, если е означает переменное измеримое подмноже-
ство множества Е, то неопределенным интегралом от / называется
выражение
$/(р)йр.
е
Это определение инвариантно по отношению к любому конеч-
ному числу п измерений пространства, в котором рассматривается
множество Е, в том числе и для п = 1.
Из свойств интеграла тотчас же получается, что эти функции
обладают свойствами:
1. Абсолютной непрерывности, т. е.
/ (е) —> 0 при те —> 0.
со
2. Счетной аддитивности, т. е. если е = 2 еген = 0 при i=f=k,
то f(e)=^f(ek).
к=1
48 Если п = 1, то имеется единственная функция /, являющаяся константой.
49 См., например, Валле-Пуссен [5, стрД97|, Б. М. Будак и С. В. Фомин
[1, стр. 36).
50 См., однако, А. С. Кронрод [1, 2].
272
Аналогично, если рассматривать / заданной на квадрируемых
областях, йолучается неопределенный интеграл как функция об-
ласти. Лебег показал [15, стр. 383—384], что рассмотрение функ-
ций области вместо функций множества не уменьшает общности
подхода, так как от абсолютно непрерывной и аддитивной функции
множества можно перейти к аналогичным функциям области, и
наоборот. Более того, круг рассматриваемых областей можно су-
зить еще, беря вместо произвольной п-мерной области тот довольно
частный случай, когда этими областями являются n-мерные ин-
тервалы, и тогда неопределенный интеграл выступает как функция
интервала (стр. 385), причем опять-таки общность не теряется.
Так были введены три типа функций — функций множества,
функций области и функций интервала, каждый из которых при-
менялся затем в зависимости от обстоятельств, а иногда и симпа-
тий исследователей, уже независимо один от другого или во взаим-
ной связи.
Не забыл Лебег и прежнего способа задания неопределенного
интеграла как функции точки, показав, как из функции точки яв-
лявшейся неопределенным интегралом, получить неопределенный
интеграл как функцию интервала (стр. 385—386),а значит и как
функцию множества. Свой этюд о неопределенном интеграле
Лебег заканчивает словами:
«Отмечу в заключение, что задание абсолютно непрерывной
и аддитивной функции множества [или, добавим, аналогичных
функций области или интервала.— Ф. М.] и задание функции коор-
динат с ограниченным изменением и абсолютно непрерывной суть
две эквивалентные операции. Поэтому нам достаточно знать неоп-
ределенный интеграл в одной из этих форм, чтобы иметь возмож-
ность рассматривать его в другом аспекте; поэтому мы часто гово-
рим о неопределенном интеграле без упоминания того, в каком
виде мы его рассматриваем» (стр. 386—387).
§ 10. Дифференцирование функций множества
Обычно, когда говорят о научных заслугах Лебега, то выде-
ляют прежде всего создание им теории интегрирования. Выше мы
видели, что его достижения в вопросах дифференцирования функ-
ций точек тоже достаточно велики, и, как увидим вскоре, они еще
более значительны в теории функций множества. Иногда его за-
слуги в вопросах дифференцирования даже не упоминаются, как
это имеет место, например, в статье Перрена [1]. Но вот что писал
по этому поводу один из наиболее компетентных специалистов по
теории функций действительного переменного Сакс: «Много раз
пытались обобщить старый процесс интегрирования Коши — Ри-
мана, но лишь Лебегу первому удалось достичь действительного
прогресса в этой области. В то же время заслуга Лебега состоит
пе только в создании нового и более общего понятия интеграла и
даже не только в установлении связи этого понятия с теорией
273
меры,— значение работ Лебега состоит прежде всего в создании
им теории дифференцирования, параллельной его теории интегри-
рования. Это дает возможность приложения открытий Лебега
в самых различных областях анализа. С точки зрения метода де-
лается возможным объединение двух концепций интеграла, имен-
но концепции определенного интеграла и концепции примитив-
ной, казавшихся навсегда разъединенными, если только интегри-
рование рассматривалось вне области непрерывных функций»
[10, стр. 8]. И если относительно оптимистической возможности,
выраженной в последнем предположении, и можно сделать неко-
торые оговорки, то подчеркивание значимости идей Лебега в тео-
рии дифференцирования, безусловно, справедливо, о чем иногда
забывают. Последнее же нельзя забывать и потому, что без лебегов-
ских исследований в вопросах дифференцирования не понять его
достижений и в теории интегрирования, и последние многим обя-
заны первым.
Мы остановимся поэтому на лебеговском дифференцировании
функций множеств, так как многие определения и теоремы, введен-
ные и доказанные им в этой связи, не только позволили по-новому
взглянуть на лебеговское интегрирование, но и нашли широкое
применение в более общих теориях интегрирования.
Построив неопределенный интеграл по известной суммируемой
функции, Лебег ставит обратную задачу: найти суммируемую
функцию, зная ее неопределенный интеграл [15, стр. 387].
Поскольку неопределенный интеграл является теперь у него функ-
цией множества, то для решения поставленной задачи ему при-
шлось ввести новую операцию дифференцирования — дифферен-
цирование функций множества.
Начинает он следующим образом: «Пусть дана функция множест-
ва F (Е). Назовем производной этой функции в точке Р предел,
если он существует, отношения F (D)/m (Z)), где D — область, со-
держащая Р, все измерения которой стремятся к нулю. Когда этот
предел не существует, то наименьший и наибольший пределы не-
определенности этого отношения являются нижним и верхним
производными числами в Р. Таким образом, производная и про-
изводные числа функции множества являются функциями точек,
которые получаются из сравнения предложенной функции с функ-
цией определенного типа тЕ» [15, стр. 387—388].
Оказывается, однако, что такое определение дифференцирова-
ния слишком узко вследствие чрезмерно широкого класса обла-
стей, которым дозволено стягиваться к точке, в которой ищется
производная или производное число; для определенного таким
образом дифференцирования оказываются недифференцируемыми
даже неопределенные интегралы Лебега, главным образом для
изучения которых ему и нужно было ввести новую операцию.
Поэтому Лебег ограничивает класс допустимых областей D,
входящих в определение производной от функции множества F (Е)
по мере mD. Это ограничение он находит в требовании, чтобы отно-
274
шение между наименьшим и наибольшим радиус-векторами, про-
веденными из точки Р к границе области D, при стягивании
областей к точке Р стремилось к фиксированной положительной
величине.
Такие области Лебег называет регулярными. Расширяя затем
понятие регулярности и на множества, он видоизменяет предшест-
вующее определение: «Уточним определения производной и про-
изводных чисел. Пусть дана функция множества F (Е). Для того
чтобы определить производные числа в некоторой точке Р, рас-
сматривается измеримое множество £', содержащее Р, и образует-
ся отношение F(E)/m(E). Затем Е изменяется так, чтобы оно не
переставало принадлежать произвольному регулярному семейству
множеств и чтобы его диаметр стремился к нулю. Наименьший и
наибольший пределы, соответствующие F (Е)/т (£'), являются
производными числами. Производная есть общее значение этих
двух чисел, если они равны» [15, стр. 395].
Введя это определение, Лебег формулирует и доказывает основ-
ную теорему: абсолютно непрерывная и аддитивная функция
множества имеет конечную и определенную производную почти
всюду и является неопределенным интегралом от функции, равной
этой производной там, где она конечна и определенна, имея произ-
вольные значения в остальных точках [15, стр. 399].
Тем самым установлена идентичность аддитивных абсолютно
непрерывных функций множества и неопределенных интегралов от
суммируемых функций. По сути дела эта теорема является иным
выражением формулы Лейбница — Ньютона
ъ
F (Ь) — F (а) = f (я) dx.
а
Действительно, роль разности F (Ь) — F (а) здесь играет значе-
ние функции на множестве. Это становится совсем наглядным,
если формулировку лебеговской теоремы мы запишем на языке
формул: если F (е) — рассматриваемая функция множества, а
/ (х) — ее производная, то теорема Лебега утверждает, что
F (е) = / (ж) dx,
т. е. то, что собственно и утверждается в формуле Лейбница —
Ньютона. Не будем останавливаться на многочисленных других
результатах Лебега, связанных с производными числами, точками
плотности, с изучением дифференцирования функций с ограничен-
ным изменением, функциями скачков и функциями особенностей
последних, с исследованием взаимосвязи неопределенных инте-
гралов и частных производных и т. д. Заметим лишь, что теорема
о дифференцируемости почти всюду функции с ограниченным из-
менением была обобщена им на аддитивные функции множества
с ограниченным изменением [15, стр. 408—425], а также, что в той
275
же работе Лебег распространил на кратные интегралы такие важ-
ные свойства, как первую и вторую теоремы о среднем, теоремы об
интегрируемости по частям и при помощи подстановки [15, стр.
441—450]. К некоторым последним результатам мы в дальнейшем
еще будем обращаться.
Зато в этом параграфе, видимо, уместно изложить некоторые
дальнейшие результаты, связанные с дифференцированием функ-
ций множества по мере Лебега.
Мы сказали, что при дифференцировании абсолютно непрерыв-
ных и аддитивных функций множества Лебег пользовался регу-
лярными семействами множеств, стягивающихся к точке, в кото-
рой ищется производная. Впоследствии другие авторы определяли
дифференцирование для иных семейств множеств. Но прежде чем
говорить об этом, уместно сказать несколько слов о теореме Витали
относительно покрытий множества семействами множеств, так
как эта теорема играет фундаментальную роль почти во всех
исследованиях, связанных с дифференцированием лебеговского
типа (имея в виду и существенно более общие, нежели лебегов-
ское).
В 1908 г. Витали [5] при рассмотрении вопросов кратного ин-
тегрирования и дифференцирования понадобилась теорема о том,
что если задано некоторое множество £', для каждой точки которо-
го существует некоторая система множеств, стягивающаяся к этой
точке, то из совокупности множеств подобных систем можно вы-
брать конечную или счетную последовательность попарно непере-
секающися множеств, такую, что мера суммы множеств этой после-
довательности равна мере заданного множества. Суть этой теоре-
мы и ее связи с вопросами дифференцирования заключается в том,
что при рассмотрении систем множеств, стягивающихся к точке
в операции дифференцирования, вообще приходится рассматри-
вать несчетную совокупность условий; теорема Витали позволяет
избавиться от этой несчетности и ограничиться счетными процес-
сами. Приведенная формулировка теоремы Витали не является
собственно корректной формулировкой, так как в пей, например,
ничего не сказано, о каких системах стягивающихся множеств
идет речь. Это сделано отчасти умышленно для выяснения в общем
виде роли этой теоремы в вопросах дифференцирования функций
множества, когда необходимо приходится рассматривать какие-то
системы окрестностей, стягивающихся к рассматриваемой точке,
различные при различных подходах к дифференцированию.
Сам Витали рассматривал дифференцирование функций точек
n-мерного пространства и в качестве окрестностных множеств
ограничивался просто п-мерными кубами, стягивающимися к рас-
сматриваемой точке, поэтому в формулировке его теоремы речь
шла лишь о выборе конечной или счетной совокупности из несчет-
ной их совокупности.
Лебегу, при его более общем подходе к проблеме дифференци-
рования, пришлось обобщить формулировку теоремы Витали и до-
276
казать ее в этой обобщенной формулировке. Поскольку он рас-
сматривал дифференцирование по регулярным семействам мно-
жеств, то в теореме Витали кубы были заменены регулярнььми се-
мействами множеств (Лебег [15, стр. 390—395]). Впоследствии
предлагались другие формулировки и доказательства названной
теоремы. Укажем к примеру доказательства Каратеодори [1,
стр. 299—307] и Банаха [2]51. К этой теореме мы еще возвратимся
в связи с более общими понятиями интеграла, тогда же отметим
и некоторые другие доказательства ее 52.
Вопросы дифференцирования функций довольно многообраз-
ны, и мы не имеем возможности касаться здесь их сколько-нибудь
обстоятельно. Назовем лишь некоторые другие подходы к диффе-
ренцированию, помимо лебеговского. Так, уже в 1916 г. Валле-
Пуссен, кроме лебеговского, рассмотрел еще два других типа-
производных: симметрическую производную [2, стр. 59] и произ-
водную по сети (стр. 61—67), причем последняя была введена им
за год до того [1]. Затем были добавлены обобщенные и сильные
производные и производные числа. Не будем, однако, задержи-
ваться на этом (имея в виду сказать о сильном дифференцирова-
нии несколько слов в конце настоящего параграфа). В данном ме-
сте нам представляется целесообразным рассмотреть вопрос о том,
какова связь вообще дифференцирования функций множества
с лебеговским интегрированием, и в этом отношении, на наш
взгляд, наиболее интересна работа Буземана и Феллера «К диффе-
ренцированию интеграла Лебега» [1]. Основным вопросом, кото-
рый был решен этими авторами, следующий. Пусть задано некото-
рое семейство R измеримых множеств {р}, таких, что всякой точке
Q n-мерного пространства сопоставляется некоторая последова-
тельность {р} множеств из R. Спрашивается, какими свойствами
должно обладать семейство R, чтобы для всякой суммируемой функ-
ции точки / (Р) и для всякой точки Q дифференцирование неопре-
деленного интеграла Лебега почти всюду приводило к значению
/ (0, другими словами, чтобы дифференцирование было возмож-
ным и производная абсолютно непрерывной и аддитивной функции
множества была почти везде равной интегрируемой функции. Они
доказали (стр. 250—253), что, для того чтобы неопределенный ин-
теграл Лебега можно было дифференцировать относительно /?,
необходимо и достаточно, чтобы для любого набора положительных
чисел аь ..., ап и любых непересекающихся множеств Е1Ч ...,Еп
сумма S любых множеств р из 2?, для которых выполняется нера-
венство
п
2 а^п > т (р),
V=1
51 Доказательство Банаха воспроизведено в книге Сакса [10, стр. 167—171’.
52 Впрочем, при некоторых специальных выборах систем стягивающихся
окрестностей можно обойтись и без теоремы Витали (см., например, Вал-
ле-Пуссен [2, стр. 61—71 j).
277
удовлетворяла условию
п
wi(5)<c2 dyjTt (Ev),
v=i
где mE есть мера Е, а С — константа, зависящая лишь от выбора
сейейства R.
Этому условию удовлетворяют n-мерные кубы, шары, паралле-
лепипеды с ограниченным отношением длин ребер, регулярные
семейства множеств вообще, но, например, не удовлетворяет
в двумерном случае система произвольных прямоугольников, так
что в случае произвольной суммируемой / (Р) по системе стягиваю-
щихся произвольных прямоугольников дифференцировать неопре-
деленный интеграл вообще нельзя 53, однако для ограниченных
/ это делать можно. Последний вопрос несколько с другой стороны
рассмотрели Рисе [13], Сакс [7] и Чезари [1].
Общее число работ о дифференцировании кратного интеграла
Лебега очень велико и рассматривать все их было бы довольно
сложной и не слишком благодарной задачей. Мы проиллюстриру-
ем несколькими примерами только одно из направлений исследо-
ваний по этому вопросу, связанное с так называемым сильным
дифференцированием кратного интеграла.
Под сильным дифференцированием функции множества F (Г)
понимается отыскание производной вида
lim
S(I)-0
F(J)
ml
где I — произвольный параллелепипед, содержащий точку Р,
6 — диаметр I 54. Сильным это дифференцирование называется по-
тому, что не требуется условие регулярности множеств, стягива-
ющихся в точке Р, в которой ищется производная. Мы упомина-
ли, что Лебег отказался от последовательностей множеств, не удов-
летворяющих условиям регулярности, между тем применение
сильного дифференцирования к неопределенному интегралу дает
некоторые любопытные результаты.
Сакс в 1933 г. доказал, что существуют неопределенные //-инте-
гралы, которые нигде сильно не дифференцируемы. Вместе с тем
было показано, что если / (Р) ограничена, то неопределенный ин-
теграл от / (Р) почти всюду сильно дифференцируем. Отсюда воз-
никал вопрос о том, какие ограничения требуется наложить на
произвольную суммируемую функцию / (Р), чтобы ее неопределен-
ный интеграл был сильно дифференцируемым почти всюду.
Первое такое условие удалось найти Зигмунду. Он показал [1],
что для возможности сильного дифференцирования почти всюду
63 О последнем факте догадывался уже Лебег [15, стр. 395, сноска], но
установили это Банах и Бор.
54 Это дифференцирование формально было введено впервые, кажется, в пер-
вом издании книги Сакса [10] в 1933 г.
278
неопределенного интеграла Лебега достаточно, чтобы f (Р) была
такой, что суммируема ее к-я степень (к 1). В следующем году
Иессен, Марцинкевич и Зигмунд в совместной работе [1] расши-
рили класс суммируемых функций, неопределенные интегралы
которых сильно дифференцируемы почти всюду. Их условие диф-
ференцируемости в некотором смысле окончательно, но доказа-
тельства чрезвычайно сложны 55. Лишь в 1951 г. их рассуждения
удалось несколько упростить Бёркилю [10].
§ 11. О других определениях интеграла,
эквивалентных лебеговскому
Определений интеграла, эквивалентных лебеговскому, имеется
столько, что подробное их описание и сравнение потребовало бы
отдельной книги. Мы ограничимся очень краткой характеристи-
кой их, отчасти пользуясь тем, что многие из них описаны, хотя
тоже не очень пространно, в книге И. Н. Песина [1, стр. 89—121].
Различны были поводы для введения таких определений. Здесь
как мы видели, имел место факт независимого от Лебега подхода
к понятию интеграла, хотя и в этом случае полной независимости
не было. В какой-то мере сказалось сожаление об упущенных воз-
можностях и некоторое соперничество (Борель). Появилось стрем-
ление создать максимально простую конструкцию, которую
можно было бы относительно легко ввести в преподавание (Бо-
рел ь, Рисе). Хотелось как-то вырваться за рамки измеримости
функции, требующейся в конструкции Лебега (Леви, Пирпонт).
Желательно было построить конструкцию, единообразно охваты-
вающую не только лебеговскую, но и позволяющую интегриро-
вать более широкие классы функций (Борель, Перрон). Наконец,
давала себя знать простая научная любознательность: нельзя ли
подойти к одному и тому же вопросу с другой стороны, когда вы-
явились некоторые новые тенденции в развитии математики?
(Данжуа, У. Г. Юнг и т. д.).
Сказанное не означает, что у указанных авторов была лишь
одна отмеченная тенденция. Эти тенденции в общем переплета-
лись зачастую у одного и того же автора.
Различны судьбы этих определений. Одни из них остались
почти совсем в стороне от хода развития математики, другие ис-
пользовались очень ограниченно, третьи оказали более или менее
существенное влияние на ход развития математики. Наиболее
важным из них все же оказалось определение Лебега. Но даже
и малоупотребительные определения были не бесполезными: они
раскрывали некоторые новые стороны в понятии интеграла, не
всегда заметные сразу в наличном определении.
Для удобства обзора мы будем рассматривать различные опре-
деления не в строго хронологическом порядке, а подчинив ход
обзора идее соотношения меры и интеграла, начиная с тех, кото-
55 См. Сакс [10, стр. 213—224].
279
рые полностью зависят от теории меры, и кончая определениями,
в которых понятие меры полностью устраняется. К самой первой
категории относятся и рассмотренные ранее определения Лебега
и Юнга.
Если, как мы сказали, Юнг начинал свои исследования по тео-
рии интеграла по крайней мере независимо от Лебега, то с Боре-
лем дело обстояло иначе. Он был в курсе работ Лебега с самого
их начала. Но он, по-видимому, хотя и признавал их важность 56,
тем не менее не вполне и не сразу оценил их значение. Однако
в течение первого десятилетия выявилась та огромная роль, ко-
торую играет понятие интеграла Лебега в самых разнообразных
вопросах математики, поэтому Борель в начале второго десятиле-
тия сам занялся вопросами интегрирования.
Перед тем как рассматривать борелевские определения, не-
обходимо остановиться на двух моментах.
Первый является чисто математическим и связан с мероопреде-
лением Бореля. Борель, вводя 5-множества, назвал их измери-
мыми [2, стр. 48]. Это, однако, не означало исключения им из
рассмотрения множеств, неизмеримых (В). Правда, тогда в мате-
матике еще не существовало неизмеримых в смысле Бореля мно-
жеств, тем не менее Борель, введя свое определение меры, преду-
смотрительно, хотя быть может и не осознавая тогда значения этой
предусмотрительности, сделал такую оговорку: «Если множество
Е содержит все элементы измеримого множества Ег меры а, то мы
можем сказать, что мера Е больше а, не беспокоясь о том, изме-
римо Е или нет. Обратно, если Ег содержит все элементы В, то мы
скажем, что мера Е меньше а. Впрочем, слова „больше" и „меньше"
не исключают равенства» [2, стр. 48]. Следовательно, Борель не
только не исключал неизмеримых 5-множеств, но и даже указы-
вал на возможность определения меры для них. Более того, когда
в его исследованиях появилась априорная возможность появле-
ния неизмеримых В-множеств частных видов, он, не колеблясь,
приписал им меру. В изучавшихся им в [2] вопросах ему при-
шлось столкнуться с совершенно произвольными множествами
меры нуль, по поводу которых Борель все в той же книге писал:
«Мы не уверены, что это множество измеримо [в смысле Бореля.—
Ф. М.]; используя язык стр. 48, мы должны сказать, что его мера
равна или меньше нуля; но мера никогда не отрицательна» [2,
стр. 67]. Следовательно, при фактическом столкновении с произ-
вольным множеством меры нуль он, не колеблясь, приписал ему
меру, равную нулю, хотя это множество могло быть неизмеримым
в ранее установленном им смысле. Впоследствии он сетовал на
то, что в 1898 г. он выбрал неудачный термин для обозначения
5-множеств, и это, якобы, дало повод к мнению, будто он не опре-
делил меру для неизмеримых 5-множеств (Борель [9, стр. 241]).
66 Достаточно, например, указать, что книга Лебега [7j была первой из
книг, опубликованных в издаваемых под руководством Бореля моно-
графиях, отличной от собственных монографий Бореля.
280
Но даже й без этих добавлений первоначальное определение
Бореля годилось в лебеговской теории интегрирования, /ело
в том, что в ней всегда можно пренебрегать множествами нулевой
меры, а как заметил Лебег в первой своей работе, в которой вводи-
лось понятие меры: «Если мы добавим к этим множествам [измери-
мым в смысле Лебега.— Ф. М.] подходяще выбранные множества
меры нуль, то получим множества, измеримые в смысле Бореля»
(Лебег [2, стр. 1026, сноска]). Если же учесть приведенное требо-
вание Бореля: Е' CZ Ег -> тЕ' ^тЕ1 и Ег cz Е" тЕг тЕ",
присоединив его к первоначальным основным принципам мерооп-
ределения Бореля, то вообще получается мероопределение, экви-
валентное лебеговскому. По сути дела это также было отмечено
самим Лебегом, когда он показал, что всякое измеримое в его
смысле множество содержится в некотором 5-множестве и содер-
жит в себе некоторое 5-множество, причем оба эти 5-множества
имеют одну и ту же меру (Лебег [3, стр. 241]), и все различие меж-
ду этими мероопределениями сводится к уже указанному ранее
различию в самих методах определения меры 57. Сказанное было
осознано Борелем как раз к 1910 г., и он обратил на это внимание
впервые в [6, стр. 509].
Перейдем теперь к другому моменту, связанному уже с миро-
воззренческими установками Бореля и Лебега. Дело в том, что
эти установки нашли свое выражение в самом математическом
творчестве этих, да и не только этих, математиков, даже в вопро-
сах интегрирования.
Понятие бесконечности всегда было предметом острых идеоло-
гических разногласий в математике, начиная с ее древнегреческого
периода, а может и ранее. Развитие теории множеств, в которой
понятие бесконечности выступило в обнаженном виде как основное
исходное понятие, приняв форму актуального бесконечного множе-
ства, привело к резкому обострению разногласий. Особенно это
выяснилось в связи с обсуждением аксиомы Цермело, о чем мы
уже упоминали. Здесь нет возможности, да и необходимости, оста-
навливаться на этом вопросе в целом. Для нашей цели достаточно
проиллюстрировать ситуацию описанием подходов Бореля и Лебе-
га к определению понятия меры.
Б орел ь поступает так:
I. Всякому отрезку [а, &], расположенному на [0, 1], приписы-
вается мера, равная его длине Ъ — а.
II. Если меры множеств Ех и Е2 уже определены, если Ех cz Е2,
то мера разности Е2 — Ег равна разности мер множества Е2 и Ег.
IIL Если меры счетной последовательности попарно непере-
секающихся множеств Е1Ч Е2, . . ., Еп, ... уже определены, то
мера суммы этих множеств равна сумме их мер.
Лебег же к определению меры множества Е cz [0, 1] подхо-
дит следующим образом:
67 К этому мы еще обратимся при рассмотрении второго момента.
281
I. Множество E покрывается счетной системой интервалов и
подсчитывается нижняя грань длин интервалов, покрывающих
множество Е; так определяется внешняя мера.
II. Далее определяется внешняя мера дополнения, т. е. мно-
жества [0,1] — Е, и полученное число принимается за внутрен-
нюю меру множества Е.
III. Если внешняя мера множества Е равна внутренней его
мере, то число, равное общему значению этих мер, принимается
за меру множества Е, а само Е называется измеримым.
Существенным различием описанных подходов является то, что
процесс получения меры у Бореля счетный, тогда как в мероопреде-
лении Лебега дважды требуется совершать несчетный процесс —
определение нижних граней длин интервалов, покрывающих мно-
жество и его дополнение. Исторически, видимо, дело сложилось
так, что при введении своих мероопределений ни Борель, ни
Лебег заранее сознательно не ставили себе цели ограничиться теми
или иными допустимыми способами рассуждений: они решали
конкретные математические задачи и нашли определенные способы
решения. Однако тогда, когда каждый из них свыкся со своими
методами, когда они стали обиходными в их работе, на поверх-
ность математической жизни выплыла дискуссия о принципах
математики, о способах допустимых в ней рассуждений, нашедшая,
в частности, свое выражение в переписке между Адамаром, Боре-
лем, Бэром и Лебегом, относящейся к 1905 г., о которой упоми-
налось выше. И Борелю, и Лебегу пришлось определить свое от-
ношение к поднятым вопросам, определить свои позиции, в част-
ности в понимании меры множества.
Борель ограничил себя только счетной бесконечностью; любой
несчетный процесс представляется для него расположенным вне
пределов математики. Область Лебега — множества мощности
континуум; всякая операция, требующая континуум элементар-
ных действий, для него является допустимой операцией, в том
числе и нахождение граней ограниченного точечного множества.
Для Лебега возможны оба подхода, но его раздражает то, что
на пути Бореля к понятию меры требуется исходить из «некоторого
процесса построения в стадии вечного создавания» (Лебег [19,
стр. 101, сноска]), тогда как при его подходе можно отправляться
«от основного свойства множеств, которым можно приписать
меру» (стр. 100—101, сноска).
Напротив, для Бореля мероопределение Лебега неприемлемо
именно вследствие несчетности, ибо для него «счетная бесконеч-
ность является единственной бесконечностью, с которой практи-
чески всегда согласны все математики (я имею в виду, когда они
создают математику)» (Борель [13, стр. 92]).
Около 1910 г. Борель обнаруживает, что его подход к понятию
меры, удовлетворяя методологическим установкам, которых он
придерживался, позволяет подойти к понятию интеграла по-ино-
му. Свои исследования в этой области Борель начал заметками
282
[5, 6] и затем продолжал их в [9]. Относительно их содержания мы
можем отослать к книге И. Н. Песина [1, стр. 101—111] и лишь
добавим пару замечаний.
Одно из них состоит в том, что если в первом определении Бо-
реля [5] понятие меры сохраняется в полном объеме, то во втором
[6] скрывалась возможность ослабления связи понятий меры и
интеграла — возможность, реализованная Борелем в [9], где в кон-
струкции интеграла привлекалось лишь понятие множества
сколь угодно малой меры.
Второе относится к модификации Гана [4] одного из определе-
ний Бореля.
Пусть / (х) обладает тем свойством, что сколь бы малым ни
было 0, на (а, Ь) существует замкнутое множество Р с мерой
тР Ъ — а — е, на котором существует интеграл в смысле Ри-
мана fdx. Тогда , как показал Ган [4, стр. 9—10], существует
р
такое число /, что выполняется неравенство
где ц — произвольное положительное число. Это-то число Г Ган
и принял за определение интеграла от f (х), доказав эквивалент-
ность определенного таким образом интеграла с L-интегралом.
Если же вспомним теперь, что измеримая функция обладает
С-свойством, т. е. на указанном множестве Р она непрерывна, то тот-
час же получаем, что существование числа I Гана непосредственно
следует из С-свойства. Этого напрашивающегося вывода Ган не
сделал, и это тем более странно, что при доказательстве эквива-
лентности он как раз пользовался С-свойством измеримых функ-
ций [4, стр. 10].
Этот вывод сделал спустя десять лет Тонелли [4]. Он прямо
определил интеграл при помощи С-свойства измеримых функций,
не ссылаясь при этом на Гана. Тонелли разработал подробную
теорию такого интеграла, вплоть до дифференциальных свойств
функций, переформулировав на разработанном им языке основные
факты лебеговской теории. Отметим такой любопытный факт.
Как указали Н. К. Бари и Л. А. Люстерник [1, стр. 35], в неопуб-
ликованных лекциях Н. Н. Лузина 1920—1921 гг. уже имелась
конструкция Тонелли.
Хотя собственно борелевское определение уже лебеговского
даже для ограниченных функций, оно методом Гана может быть
обобщено до эквивалентного последнему. Более того, Н. Н. Лу-
зин установил, что определение Бореля можно сделать общее
лебеговского [4, стр. 111—112]. А так как к этому времени уже
существовало определение интеграла Данжуа [1, 2] 58, то возник
88 О нем см. И. Н. Лесин [1, стр. 150—164].
вопрос о соотношении обобщенного борелевского определения и
определения Данжуа. II. Н. Лузин [4, стр. 112], указав, что
первое не шире второго, высказав также предположение, что они
эквивалентны. Однако в следующем году Д. Е. Меньшов [1] уста-
новил ошибочность последнего предположения, построив пример
интегрируемой тщ Данжуа, по неинтегрируемой по Борелю —
Лузину функции.
Если абстрагироваться от хронологической последовательно-
сти, то дальнейший шаг в рассматриваемом нами направлении в
высвобождении понятия интеграла от понятия меры был сделан
Риссом. Свой подход Рисе первоначально наметил в заметке [7],
затем детально развил в статье [9] и, наконец, метод Рисса был
изложен в его и Секефальви-Надя книге [1].
Существенным моментом подхода Рисса к понятию интеграла
является вполне осознанное применение новой концепции предель-
ного перехода, а именно, понятия сходимости последовательности
почти всюду. Он отправляется от ступенчатых функций, опреде-
ленных на (а, Ь), т. е. функций, принимающих постоянные значе-
ния ck на интервалах ik конечной длины | ik |, взятых в конечном
числе на (а, Ь), и равных нулю вне этих интервалов. В концах ik
такие функции могут принимать любые конечные значения. Для
каждой такой функции интеграл определяется очевидным образом
как си I h I-
к
Дальнейшее основывается на двух леммах:
I. Для любой убывающей последовательности ступенчатых
функций, почти всюду сходящейся к нулю, последовательность их
интегралов также стремится к нулю.
II. Если для некоторой неубывающей последовательности сту-
пенчатых функций {<рп (х)} последовательность их интегралов
является ограниченной, то {<р„ (,г)} почти всюду стремится к ко-
нечному пределу.
Обозначая затем через CQ класс ступенчатых функций, он вво-
дит новый класс Ci функций, являющихся пределами почти всюду
последовательностей {<рп (х)}, описанных в лемме II.
Итак, пусть f (х) ЕЕ т. е. f (х) является пределом почти всю-
ду неубывающей последовательности ступенчатых функций с ог-
раниченной последовательностью интегралов. Тогда последова-
тельность интегралов, будучи монотонной и ограниченной, сходит-
ся к некоторому пределу, который и принимается по определению
ь
за ^f(x)dx для f (х) ЕЕ С\. Доказывается, что если две различные
а
последовательности {<рп (я)} описанного типа сходятся почти всюду
к одной и той же / (.т), то пределы интегралов, от функций этих по-
следовательностей будут одинаковы.
Наконец, вводится еще более широкий класс функций С2,
образуемый всевозможными разностями функций4 класса
284
а интеграл от разности определяется как разность интегралов
ъ ъ ъ
\ 1/1 (^) — /г (я)] dx = \ /1 (х) dx — \ /2 (х) dx,
а а а
причем, разумеется, показывается, что если /х — /2 = gx — g2,
то и интегралы этих разностей одинаковы.
На этом определение заканчивается. Не входящая явно в опи-
санную конструкцию идея меры множества все же Риссом исполь-
зуется, хотя и в несколько ограниченном объеме: при доказатель-
стве леммы II приходится привлечь понятие множества меры нуль,
определяемого как множество, все точки которого можно заклю-
чить в счетное множество интервалов со сколь угодно малой об-
щей длиной; кроме того, это понятие входит в саму сходимость
почти всюду.
Еще более решительным шагом в теориях интегралов, эквива-
лентных лебеговскому, явились попытки вообще освободиться
от понятия меры при определении интеграла. Из всех попыток по-
добного рода мы остановимся только на нужном нам впоследствии
подходе У. Г. Юнга.
Первоначальный вариант еще одной юнговской трактовки ин-
теграла был изложен в работе [11], однако здесь он еще не ставил
перед собой цели освободиться от понятия меры, и в ней оба подхо-
да перемешаны. Поэтому в рассматриваемом нами плане работа
У. Г. Юнга [11] представляет вспомогательный интерес, и мы
почти не будем к ней обращаться. Задачу прямого освобождения
от понятия меры У. Г. Юнг решил в работе 1913 г. под названием
«О новой теории интегрирования» [12]; ее мы и кладем в основу
изложения, привлекая, разумеется, по мере надобности сообра-
жения из других его работ.
Прежде чем переходить к определению интеграла, необходимо
остановиться на классификации функций по У. Г. Юнгу.
Пусть на (а, Ь) задана ограниченная функция f (х), постоянная
на каждом из частичных интервалов, на которые (а, Ь) разделен
конечным числом точек деления. В точках деления значения f (х)
могут выбираться любыми, при условии, что эти значения конечны.
Другими словами, речь идет о ступенчатых функциях. Если в
каждой точке деления значение / (#$) не превосходит значений
/ (х) в окретности Xi, то f (х) называется простой /-функцией. Если
же в точках деления значения f (^) не меньше значений / (х)
в этих точках, то / (х) называется простой ^-функцией.
Пределы неубывающих последовательностей простых /-функ-
ций У. Г. Юнг называет просто /-функциями, и такие функции
оказываются полунепрерывными снизу функциями, если поль-
зоваться терминологией Бэра. Аналогично, пределы невозрастаю-
щих последовательностей простых ^-функций дают юнговские
w-функции, являющиеся полунепрерывными сверху функциями
Бэра.
285
Из функций последних двух классов можно в свою очередь
образовывать монотонные последовательности (невозрастающие и
неубывающие). При этом оказывается, что предельная функция
неубывающей последовательности функций типа I также оказы-
вается /-функций. Аналогично, предельная функция невозрастаю-
щей последовательности w-функций оказывается тоже н-функци-
ей. Так что на этом пути новых функций получить нельзя. Одна-
ко если взять невозрастающую последовательность /-функций
или неубывающую последовательность п-функций, то вообще полу-
чаются функции, уже не являющиеся /-илин-функциями. Эти пре-
дельные функции У. Г. Юнг обозначает соответственно как ul-
или /н-функции.
По отношению к функциям последних классов можно приме-
нить такие же рассуждения, и получаются соответственно функции
классов ulu и lul. Эти рассуждения можно продолжить и далее до
любого конечного сочетания букв ил I, причем в каждом из этих
сочетаний не будет двух одинаковых рядом стоящих букв, так как
при повторении двух одинаковых букв класс не повышается. По-
добно бэровской классификации, классификацию У. Г. Юнга
можно продолжить и до любых трансфинитных чисел второго
числового класса.
Как оказалось впоследствии, классификация У. Г. Юнга во
многом сходна с классификацией Бэра, хотя и отличается в ряде
отношений; она изучалась многими математиками в разных аспек-
тах — чего мы не будем касаться, отметив лишь, что она охватыва-
ет, как и классификация Бэра, все функции, измеримые в смысле
Бореля.
Принцип определения интеграла по У. Г. Юнгу, говоря его
словами, формулируется так: «Будем говорить, что некоторая
функция имеет интеграл, если она может быть выражена как
предел (конечный или бесконечный, но с определенным знаком)
монотонной последовательности функций, принадлежащих к клас-
су функций, интегралы от которых уже определены, при единст-
венном условии, что предел интегралов от функций каждой такой
последовательности один и тот же; этот предел называется тогда
интегралом от данной функции» (У. Г. Юнг [12, стр. 172]).
У. Г. Юнг доказывает, что интегрирование монотонных после-
довательностей, рассматриваемых им, действительно дает сходя-
щиеся последовательности интегралов и что разным монотонным
последовательностям, сходящимся к одной и той же функции
/ (ж), соответствуют разные последовательности интегралов, схо-
дящиеся, однако, одному и тому же пределу, который принимает-
ся за значение интеграла от f (х).
Поэтому, если сформулировано определение интеграла хотя
бы для простых I- и w-функций, то указанный метод позволяет
определить интегралы для всех ограниченных 5-функций. За
определение интеграла от простых /- или w-функций У. Г. Юнг
принимает самое естественное. А именно, если / (х) — простая
I- или u-функция, заданная на (а, Ь) и постоянная на интервалах
(xh где она принимает значения с$, то
ь
f (х) dx
а
71—1
г=0
независимо от того, какие конечные значения принимает / (х)
в точках деления х^, отказ в этом определении от учета значений
в точках деления оправдывается тем, что приращение независимо-
го переменного в отдельной точке равно нулю.
Это определение в сочетании с первым указанным принципом
позволяет получить интегралы для любых ограниченных 5-функ-
ций. Для того чтобы расширить класс интегрируемых функций,
У. Г. Юнг вводит новый принцип интегрирования, формулируе-
мый им следующим образом: «Образуем интегралы от всех полу-
непрерывных сверху функций, меньших, чем данная функция, и
возьмем верхнюю грань этих интегралов; образуем, далее, ин-
тегралы от всех полунепрерывных снизу функций, больших, чем
данная функция, и возьмем нижнюю грань этих интегралов;
когда верхняя грань предыдущих и нижняя грань последующих
совпадают, то говорят, что функция обладает интегралом, и зна-
чение интеграла есть общее значение этих граней» [12, стр. 174].
Применение введенного определения позволяет Юнгу пока-
зать, что всякая ограниченная измеримая функция интегрируема.
Он также указал на способ распространения своего определения
на неограниченные функции, обобщив тем самым его на все сум-
мируемые функции.
Сопоставляя конструкции Рисса и У. Г. Юнга, можно отме-
тить следующее. Как Рисе, так и У. Г. Юнг отправляются от ин-
тегралов для ступенчатых функций. Следующим шагом у
У. Г. Юнга является рассмотрение монотонных последователь-
ностей функций, сходящихся всюду, и интегралов от них; при
этом на таком пути удается получить интегралы лишь для 5-функ-
ций; обобщение на суммируемые функции достигается привлече-
нием понятия грани множества. Второй шаг Рисса состоит в привле-
чении понятия сходимости почти всюду, и это позволяет ему обой-
тись в конструкции интеграла без понятия грани множества.
Рисе пользуется понятием меры множества, если можно так вы-
разиться, в минимальном объеме — в его рассуждения входит поня-
тие меры нуль; у У. Г. Юнга мера множества не применяется.
Ограничимся краткой информацией еще о двух определениях,
не опирающихся на понятие меры.
Идея первого из них восходит к Перрону [2]. Он, вводя свое
определение 59, еще не знал, что оно общее лебеговского; это по-
казал в 1915 г. Бауэр [1] 60. Но оно и может быть сужено так, что
69 О нем см. И. Н. Лесин [1, стр. 177—188].
60 Что оно эквивалентно определению Данжуа, установлено Хаке [1],
П. С. Александровым [1, 2] и Луманом [2].
287
превратится в эквивалентное лебеговскому. По существу это
сужение в неявном виде имелось у Валле-Пуассепа [4, стр. 286—
291], явно же его осуществила Кеннеди [2] в 1930 г. Модификация
Кеннеди состояла в ограничении классов над- и подфункций с тем,
чтобы получился интеграл, эквивалентный лебеговскому.
Идея второго принадлежит Лебегу. В § 7 данной главы было
указано, что Лебег [13] для доказательства теорем о среднем ап-
проксимировал L-интеграл суммами Римана, наложив некоторые
ограничения на характер разбиений интервала интегрирования и
на выбор точек в них. Но он не касался возможности использо-
вания модифицированных таким образом римановских сумм для
определения понятий интеграла. Его соображения развивали
затем Ган [3], А. Я. Хинчин [6], Иессен [1], А. С. Безикович [6].
Но только Данжуа фактически ввел понятия интегралов, опираю-
щихся на модифицированные суммы Римана 61. В его работах
[7, 9] предложены три определения, два из которых выводят за
пределы класса суммируемых функций62, а одно является _экви-
валентом L-интеграла.
§ 12. Некоторые другие исследования
по теории интеграла Лебега
Исследования, связанные с теорией интеграла Лебега, столь
многочисленны и многообразны, что дать даже краткий очерк
о них после выхода в свет основных работ самого Лебега не пред-
ставляется возможным. Эта невозможность в значительной мере
обусловливается и тем, что они, как правило, не изолированы от
исследований по теории функции вообще и даже по многим смеж-
ным предметам; в связи с ними возникают новые циклы изысканий,
порой выходящие за пределы собственно теории интеграла, но
этот выход часто как раз тем и интересен, что в свою очередь при-
водит к обогащению этой теории. Мы зададимся здесь скромной
целью — проиллюстрировать сказанное на одном примере во-
проса о замене переменных в L-интеграле.
Ранее уже упоминалось (стр. 258), что этим вопросом матема-
тики начали интересоваться в конце первого десятилетия XX в.
А именно, независимо сам Лебег [13], Валле-Пуссен во втором
издании книги [4] в 1909 г. и Гобсон в 1910 г. [6] сформулировали
три разных предложения о замене переменных в L-интеграле.
Самым общим из них было предложение Валле-Пуссена, кото-
рый доказал, что если / (х) конечна и суммируема на (а, Ь), а
Ф (t) является абсолютно непрерывной функцией от t, изменяю-
щейся от х0 = ф (t0) до х = ф (Г), а х^ <С х Ь, то
х Т
f(x)dx = (7)
Xq I о
61 А. Я. Хинчин в конце заметки [6] лишь указал на возможность подобного
определения.
62 Об этих определениях см. И. Н. Песин [1, стр. 119—121].
288
при условии, что произведение F' (ср) ср' (/) суммируемо па
Оо. Т), где
Л’
F (.г) = f (х) dx [4, стр. 280—284].
х0
При доказательстве этой теоремы Валле-Пуссен рассматривал
вспомогательную функцию
являющуюся суперпозицией двух абсолютно непрерывных функ-
ций (ф (t) абсолютно непрерывна по условию, a F (,т) — как не-
определенный интеграл Лебега). Первоначально он считал, что
вообще суперпозиция двух абсолютно непрерывных функций яв-
ляется также абсолютно непрерывной функцией и даже повторил
эту ошибку в третьем издании (1914 г.) указанной книги; лишь
в 1915 г. он исправляет это ошибочное утверждение (1, стр. 462,
сноска].
В связи с этим возник вопрос о том, при каких условиях супер-
позиция двух абсолютно непрерывных функций является абсо-
лютно непрерывной. Первое общее достаточное условие установил
Валле-Пуссен: абсолютно непрерывная функция от абсолютно
непрерывной и монотонной функции абсолютно непрерывна
[1, стр. 462]. Необходимое же и достаточное условие абсолютной
непрерывности суперпозиции двух таких функций нашел
Г. М. Фихтенгольц [1, 3].
Пусть F (х) и <р (0 абсолютно непрерывны. Для того чтобы
функция <р (0 = F (ф (t)) была абсолютно непрерывной, необхо-
димо и достаточно, чтобы при произвольной F (х) функция ср (/)
удовлетворяла дополнительному требованию принимать любое
свое значение х() в отдельных точках и в промежутках постоян-
ства, общее число которых не превосходит некоторого постоянно-
го числа к, независящего от х0.
При доказательстве необходимости Г. М. Фихтенгольц постро-
ил пример абсолютно непрерывной F (х), суперпозиция которой
с абсолютно непрерывной <р (t), не удовлетворяющей указанному
дополнительному требованию, дает не абсолютно непрерывную
функцию 63.
В приведенной формулировке F (х) — произвольная абсолют-
но непрерывная функция, а на ср (t) накладывается определенное
ограничение. Но вопрос можно поставить и иначе: произвольной
брать абсолютно непрерывную ф (t) и искать ограничения для
F (х). В указанных работах [1, 3] Г. М. Фихтенгольц решил и его:
чтобы Ф (t) = F (ф (£)) была абсолютно непрерывной при произ-
вольной абсолютно непрерывной ф (£), необходимо и достаточно,
чтобы F (х) удовлетворяла условию Липшица.
63 Ранее пример не абсолютно непрерывной суперпозиции двух абсолютно
непрерывных функций построил Каратеодори [1, стр. 554—555].
10 Ф. А. Медведев
289
Наконец, в тех же статьях Г. М. Фихтенгольц установил, что
необходимым и достаточным условием абсолютной непрерывности
сложной функции Ф (0 — F (ф (£)), составленной из абсолютно
непрерывных же F (х) и ф (t), является ограниченность измене-
ния Ф (t).
Эти результаты позволили Валле-Пуссену доказать, а
Г. М. Фихтенгольцу уточнить его доказательство теоремы о замене
переменных в интеграле Лебега, приведенной выше.
Кроме того, Г. М. Фихтенгольц нашел, что условие абсолют-
ной непрерывности ф (t) при интегрировании путем подстановки
отнюдь не обязательно: если / (х) суммируема, то формула (7)
остается справедливой для любой непрерывной и монотонной
ф (t), лишь бы Ф (t) оставалась абсолютно непрерывной.
Возникший из проблемы подстановки в L-интеграле вопрос о
суперпозициях абсолютно непрерывных функций стал затем
предметом самостоятельных изысканий.
Обобщение результатов Валле-Пуссена и Г. М. Фихтенголь-
ца было получено в 1937 г. Морсом [1], который показал, что если
Ф (t) лишь дифференцируема почти всюду, то формула (7) остается
справедливой, если и только если Ф (t) абсолютно непрерывна.
Вопрос о замене переменных в кратных интегралах более гро-
моздок, и мы ограничимся лишь несколькими замечаниями. В наи-
более простом случае его решил Валле-Пуссен [5, стр. 24—28].
Большое внимание ему уделил У. Г. Юнг, посвятив этому ряд
работ, из которых отметим статьи [20, 21]. Из работ последнего
времени можно указать на заметки Л. Д. Кудрявцева и Ю. Д. Ка-
щенко [1] и Г. П. Толстова [4].
По теме заглавия настоящего параграфа можно было бы много
сказать о TV-свойстве измеримых функций (Н. Н. Лузин [4],
Н. К. Бари [2], Банах [4,5] и др.), об обширной теории кратных
дифференцирования и интегрирования в их взаимной связи
(Банах [3, 4], Витали [6] и др.), о цикле работ, примыкающих
к необходимым и достаточным условиям сходимости почти всюду
рядов Фурье — Лебега от функций с суммируемым квадратом
(Н. Н. Лузин [3, 4], А. С. Безикович [4, 5], И. П. Натансон [1]
и др.) 64; можно было бы остановиться на длинном перечне работ
Лебега [3, 7, 13], Леви [3, 4], Витали [4], Рисса [1, 4, 14], У. Г. Юн-
га [7, 8], Валле-Пуссена [1], Г. М. Фихтенгольца [2, 5], А. С. Ко-
ванько [1, 2], Качьопполи [2], Джеффери [1], Гильдебрандта [3, 4],
Я. А. Тагамлицкого [1, 2], Фишера [1], посвященных предельному
переходу под знаком интеграла Лебега; на статьях Лебега [3], Фу-
бини [1], Ламонда [1], Бохнера [1], Камерона и Мартина [1],
Л. Юнга [7] относительно сведения кратных интегралов к повтор-
ным; на очень интересных вопросах взаимосвязи двойного инте-
грирования и смешанного дифференцирования, подробно рас-
смотренной Беттацци [1] для римановского интегрирования, а за-
64 См. Н. К. Бари и Д. Е. Меньшов [3, стр. 458—473].
290
тем изучавшейся Лебегом [15], Фубини и Тонелли [1], У. Г. Юнгом
[22] и др. для L-интеграла; на взаимосвязи между производными
числами и неопределенными интегралами, рассмотренной Лебегом
[7, 8, 10, 11], Леви [1, 2], У. Г. Юнгом [9, 10, 14] и др. и т. д.
Если же затрагивать применения L-интеграла, то ситуация ста-
новится совсем безнадежной. Поэтому мы завершим эту главу
последним параграфом.
§ 13. Некоторые общие замечания
об интеграле Лебега
Вкратце подведем некоторые итоги написанного выше по по-
воду интеграла Лебега.
Первое, что хотелось бы подчеркнуть еще раз, это наличие на
рубеже XIX—XX вв. всех условий, необходимых и достаточных
для введения нового понятия интеграла: существовала настоя-
тельная потребность в этом понятии и вместе с тем в предшествую-
щем развитии математики было подготовлено все то, что требова-
лось для его введения. Немыслимо представить себе такую
ситуацию, что кто-либо мог, например в середине прошлого столе-
тия, разработать теорию, подобную лебеговской теории интегриро-
вания и дифференцирования. Вместе с тем невозможно также во-
образить, что в начале XX в. из общего цикла математических
работ вдруг исчезли бы работы Лебега или им подобные, которые
должны были быть обязательно написаны, если бы не появились
работы Лебега (а что такая возможность не слишком фантастична,
показывает пример работ У. Г. Юнга): от теории функций дейст-
вительного переменного, от функционального анализа и многих
других математических дисциплин (да и не только математических)
остались бы лишь бледные тени того высокоорганизованного комп-
лекса идей, которые они представляют теперь. Лебеговская теория
интегрирования должна была быть создана, ее построение дикто-
валось самим ходом развития математики в целом; и она была
создана как закономерный шаг общего развития математики, как
очередное звено цепи развития.
Второе, что нельзя не отметить, это необычайно широкие связи
понятия интеграла Лебега с очень многими другими большими
понятиями математики: с понятиями множества, функции, преде-
ла, меры, производной, вероятности и т. п. Благодаря новому
понятию интеграла многие старые понятия уточнялись, углубля-
лись, обогащались, между ними устанавливались новые связи,
казавшиеся до этого невозможными.
Сочетание слов «интеграл Лебега» является относительно ред-
ким исторически правильным соединением большого математиче-
ского понятия с именем одного человека. В разработке теории ле-
беговского интегрирования принимали участие многие большие
и малые математики. Но совокупность работ любого из них по
этому вопросу не выдерживает никакого сравнения с совокупно-
го
10*
стью соответствующих работ Лебега ни по глубине идей, ни по
размаху исследований, ни по богатству методов, ни по фактиче-
ским результатам (подчеркиваем, речь идет только о теории инте-
грирования). Лебег был относительно узким специалистом (если
можно назвать специалиста по теории интеграла узким), так ска-
зать, рыцарем одной идеи 65 6б, но эта верность на протяжении всей
жизни одной идее принесла необычайно благодатные плоды.
В связи со сказанным в предыдущем абзаце небезынтересно,
быть может, суммарное сравнение научного творчества Лебега
с творчеством его современника и отчасти соперника Бореля. Бо-
рель родился несколько раньше Лебега (первый в 1871 г., второй
в 1875 г.) и пережил его на полтора десятилетия (первый умер
в 1956 г., второй в 1941 г.). Первые публикации Бореля датиру-
ются 1889 г., а лебеговские — 1898 г. Общее число научных публи-
каций Бореля более чем в 3 раза превышает число публикаций
Лебега.
В сравнении с лебеговским, круг научных интересов Бореля
неизмеримо шире; последний занимался теорией функций комплек-
сного и действительного переменных, теорией множеств, расходя-
щимися рядами, теорией чисел, дифференциальными уравнениями,
теорией вероятности, математической физикой, философскими
вопросами математики и математического естествознания, социаль-
ными вопросами, историей и методикой математики и даже при-
кладными вопросами технического характера.
Вклад Бореля в теорию функций как комплексного, так и дей-
ствительного переменного, в теорию множеств, в теорию рядов,
в теорию вероятностей очень весом; он считается основоположни-
ком некоторых важных направлений исследований в математике
XX столетия, например теории расходящихся рядов; его идеи
встретили широкую поддержку и понимание, они развивались
сотнями его учеников и последователей. И тем не менее трудно
сказать, чей вклад в развитие науки в целом является более зна-
чительным. Борелевские работы по теории интегрирования не
идут ни в какое сравнение с лебеговскими, и чтобы их уравнове-
сить на чашах весов, если бы такие весы можно было придумать,
на борелевскую сторону, видимо, пришлось бы бросить совокуп-
ность всех остальных его исследований, и лишь тогда можно было
бы ожидать равновесия, быть может с некоторым перевесом сторо-
ны Бореля.
Это несколько странное обстоятельство объясняется тем, что
Лебег занялся разработкой действительно одной из центральных
65 Есть у него, разумеется, работы и в других областях математики — по
теории поверхностей, по проблеме Дирихле, по теории множеств, по ис-
тории и методике математики. Значительные порою сами по себе, они
тем не менее не идут ни в какое сравнение с циклом его работ по теории
интегрирования как в отношении богатства и разнообразия содержания,
так и в отношении воздействия их на развитие математики в целом.
К тому же многие из ни хв той или иной мере связаны с работами его ос-
новного цикла.
292
идей математики XX столетия и разработал ее с такой глубиной
и тщательностью, какие редко встречаются в истории математики
у одного лица. Дальше в истории интеграла можно было идти лишь
на основе каких-то существенно новых принципов.
Интересно, что эти новые принципы теории интегрирования
были выдвинуты еще до создания лебеговской теории; они суще-
ствовали, однако, как бы в скрытом состоянии, проходили пери-
од, так сказать, внутриутробного развития. Интересно также, что
«роды» новой теории интегрирования — теории интеграла Стилтье-
са — совершились в 1909—1910 гг., когда лебеговская теория
достигла наивысшего расцвета. Лебег, почти все научные интере-
сы которого были сосредоточены на вопросах интегрирования, ко-
торый специально занимался историей интегрального исчисления
и следил за развитием понятия интеграла не только в текущей
литературе, но и в прошлом 66, сумел до 1910 г. не заметить идей
нового типа, о чем сожалел в 1928 г. (Лебег [19, стр. 7]). Более того,
когда не замечать их стало уже невозможно, он сделал попытку
втиснуть новые идеи в прокрустово ложе старых представлений,
попытку свести стилтьесовское интегрирование к своему. Мате-
матика, однако, отвергла такое сведение, да и сам Лебег в сущ-
ности признал неудачу своей попытки, если и не по форме, то по
существу: во втором издании «Лекций об интегрировании и оты-
скании примитивных функций» он, хотя и сохранил идею сведения
интеграла Стилтьеса к своему интегралу, но в то же время подчер-
кивал неудобство этого своего метода, не позволяющего выявить
интерес, представляемый интегралом Стилтьеса (Лебег [19,
стр. 215]). Об этой сущности будет речь далее, а сейчас еще одно
общее замечание по поводу лебеговского интегрирования.
Интегрирование — аналитическая операция 67 математического
анализа. Но сам-то классический анализ по своей сути является
аналитическим одеянием главным образом геометрических пред-
ставлений. Он рождался для описания на аналитическом языке
геометрических образов: длины кривой, касательной к ней, площа-
ди под ней, площади поверхности, объема тела и т. д. Эти геомет-
рические объекты образовывались из точек, но не сводились к ним:
точки в одномерном случае, линии в двумерном и вообще объек-
ты размерности к — 1 в пространстве к измерений не имели инди-
66 В предисловии к [19] Лебег писал: «Хотя первое издание моей книги и
показалось некоторым смело и сознательно наполненным несколькими
скандальными новшествами, оно все же было произведением робкого че-
ловека, который из семи написанных им глав шесть посвятил изложению
предшествовавших исследований, прежде чем перейти к работам, которые
считались революционными» (стр. 6).
67 В том смысле, что эта операция осуществляется по определенным анали-
тическим правилам, аналогичным тем, которыми руководствуются при
обычных аналитических операциях. Если же слова «анализ» и «синтез»
понимать в смысле способа подхода к изучаемым объектам, хода рассужде-
ний при этом подходе, то интегрирование является синтетическим процес-
сом (об этом см. Данжуа [8, стр. 144—146]).
293
видуального существования в метрических вопросах, они играли
в них роль только своеобразными бесконечными совокупностями,
входили туда лишь в их массе; по отношению друг к другу точки
пространства считались совершенно одинаковыми. Это представ-
ление нашло свое выражение особенно в метрической теории то-
чечных множеств: в ней как элементарно-геометрические образо-
вания, вроде площадей, объемов и т. п., так и более сложные по-
строения в виде разного рода точечных множеств выступали как
некоторого рода совокупности, состоящие из индивидуально не-
различимых объектов-точек. В вопросах метрики, —а интеграл как
раз является метрическим понятием,— можно было пренебрегать
множеством сколь угодно сложной природы, лишь бы эти множе-
ства имели меру нуль, а иногда даже могли быть и отличной от
нуля меры, но сколь угодно малой. Сама эта мера была мерой со-
вокупностей неиндивидуализируемых точек; она являлась лишь
обобщением элементарно-геометрических понятий длины, площа-
ди, объема на более сложные образования — множества; при этом
обобщении отношение точка — множество оставалось прежним.
Геометрия была наукой о пустом пространстве.
Но для естествоиспытателя пространство не пусто. Оно запол-
нено различного рода субстанциями: массой, электричеством, слу-
чайными событиями и т.- п. Поэтому отдельные точки такого про-
странства отличаются не только их положениями по отношению
к выбранной системе координат; они различаются и по тому носи-
телю, который сосредоточен в них: если в рассматриваемой точке
сосредоточен, например, заряд, то эта точка не может рассматри-
ваться как тождественная точке, не несущей заряда; более того,
даже если заряды имеются в обеих точках, то в одной из них кон-
центрация может быть больше или меньше; поэтому при вычисле-
нии меры множества такого рода «точек» уже нельзя пренебрегать
не только целыми совокупностями их, но даже отдельными точ-
ками. Да и функции, заданные на множествах, состоящих из та-
ких точек,— это уже не классические функции, и вопросы инте-
грирования для них оказываются сложнее. Для этого приходится
строить иную теорию — теорию интеграла Стилтьеса. Идея стил-
тьесовского интегрирования оказалась богаче и плодотворней ле-
беговской, включив в себя последнюю как частный случай. К рас-
смотрению создания теории интеграла Стилтьеса мы и переходим в
следующей главе.
Глава VII
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1. Проблема моментов; некоторые результаты
П. Л. Чебышева и А. А. Маркова по этой проблеме
Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его
разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следую-
щем. Пусть задана последовательность чисел с0, с19 . . ., ск,...;
требуется найти такую функцию распределения ср (х), чтобы члены
ъ
заданной последовательности были моментами, т. е. ck = ^хкскр(х).
а
Если а и Ъ конечны, то поставленная задача называется
проблемой моментов в конечном интервале; если а = О, Ъ = + оо,
то получаем проблему моментов Стилтьеса; если, наконец,
а = —оо, Ъ = + оо, то имеем проблему Гамбургера. Числа
ъ
сь = хкскр (х) называются моментами порядка к по аналогии с
а
физическими понятиями статического момента и момента инер-
ь
ции.
Более общим образом, числа
0 (х) dcp (х)
где 0 (х) — не-
ci
которая функция, называют моментом порядка 0 (х).
Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей
форме. А именно по заданной последовательности чисел {cfc}
ищется такая функция / (х), чтобы имели место равенства
ъ
си = ^xkf(x)dx. Целесообразность привлечения интеграла Стил-
а
тьеса для постановки и решения проблемы моментов напраши-
вается довольно естественно. С таким положением вещей и столк-
нулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в
результате этих исследований он предложил свое обобщение ин-
теграла. Однако, прежде чем говорить об изысканиях Стилтьеса,
остановимся на некоторых результатах П. Л. Чебышева,
А. А. Маркова и К. А. Поссе.
Исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова по теории
предельных величин интегралов уже не раз освещались. Укажем
для примера большую работу М. Г. Крейна [1], в которой дан
обстоятельный историко-математический анализ работ П. Л. Че-
бышева и А. А. Маркова по названному вопросу. Все же некото-
рые из соображений П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, высказап-
295
ные ими в работах о предельных величинах интегралов и пред-
ставляющие интерес в связи с рассматриваемым здесь вопросом,
не нашли отражения в соответствующей литературе.
В 1874 г. П. Л. Чебышев опубликовал работу «О предельных
величинах интегралов» [2]. Содержание этой краткой заметки
лучше всего изложить словами ее автора, которыми она и исчер-
пывается. «Пытаясь получить для предельных величин интеграла
ъ
5 f (*)
все, что могут доставить величины интегралов
в
/ (л*) dx,
а
в
xf(x)dx,
А
в
x2f(x)dx,
А
в
.. . , xmf (х) dx,
где Л<а, и где / (х) остается положительною, я пришел
к заключению, что эти изыскания приводят к нового рода тео-
ремам, касающихся разложения выражения
в непрерывную дробь — разложения, играющего столь важную
роль в теории рядов. Вот, например, одна из таких теорем:
Если ср (z)Ap (z) есть одна из подходящих дробей для интеграла
получаемая при разложении его в непрерывную дробь
otiz + Pi -|-
и если
^li ^2? • • •» %l+li • • •» ^п-l» • • • » ^тп
суть корпи уравнения
Ф (z) = О,
расположенные в порядке возрастания, то всякий раз, когда
между пределами х = А, х — В функция / (х) остается положи-
тельной, величина интеграла
296
превышает сумму
и остается менее следующей:
Ф(*п)
Г(2П) ‘
Как на один из примеров задач, решаемых этим методом, я
укажу следующую:
Даны: длина, вес, место центра тяжести и момент инерции
материальной прямой линии с неизвестной плотностью, изменяю-
щейся при переходе от одной точки к другой. Требуется найти
наиболее тесные пределы для веса некоторого отрезка этой пря-
мой» (П. Л. Чебышев [2, стр. 63—65]). Далее для последней ’
задачи приводится ответ.
Постановка проблемы моментов, как она сформулирована ра-
нее, отличается от формулировки П. Л. Чебышева, помимо, ко-
нечно, общности, тем, что П. Л. Чебышев ищет не функцию рас-
пределения по ее моментам, а границы изменения интеграла
ъ
f (х) dx.
а
Если, однако, принять во внимание, что этот интеграл дает мас-
су субстанции, плотность которой задана на (а, Ь) функцией
ь
/(я), и что (а, b) cz (Л, В), то, зная ^f(x)dx для любых (а, Ь),
мы тем самым знаем распределение субстанции, т. е. знаем функ-
цию ср (х), производной которой является / (х).
Значительно большим, чем иллюстративным примером, оказа-
лась и механическая интерпретация задачи моментов, предложен-
ная П. Л. Чебышевым. Развитая затем А. А. Марковым, эта ин-
терпретация стала впоследствии неизменным спутником пробле-
мы моментов. Существенную роль она сыграла и у самого Стил-
тьеса. Остановимся поэтому на ней несколько подробнее.
Чебышевские неравенства
(1)
г=Н1 Т V zi is=l Т V 1
в его механической интерпретации могут быть истолкованы сле-
дующим образом.
Пусть на (Л, В) каким-либо образом распределена некоторая
масса. В частном случае, когда распределение массы удовлетво-
ряет некоторым специальным требованиям, масса может быть за-
дана с помощью функции распределения плотности / (х).
297
Вообще функций / (гг), имеющих заданные моменты =
в
= xkf (х) dx, бесконечно много, и каждая из них дает то или иное
распределение массы. Однако каждая из них удовлетворяет нера-
венствам (1).
Если, следуя мысли магистерской диссертации А. А. Марко-
ва [1], продолжить механическую интерпретацию П. Л. Чебышева
и истолковать числа <р(^)/фх (z$) как точечные массы сосре-
доточенные в корнях уравнения ф (х) = 0, то неравенства
П. Л. Чебышева будут означать следующее: какова бы ни была
функция / (х) > 0, имеющая своими моментами заданные числа
q, количество массы, сосредоточенной на отрезке (zz, zn), меньше
суммы масс ср (г^/ф' (zj, сосредоточенных в точках z^ (i = Z,
. I + 1, . . ., n), и больше суммы масс ср (zj)A|/ (z7), сосредоточен-
ных в точках zj (/ = I + 1, I + 2, . . . п — 1). Следовательно,
любое непрерывное распределение массы с заданными моментами
заключено между двумя дискретными распределениями Ч
Неравенства П. Л. Чебышева и А. А. Маркова показывают, что
если по заданным моментам q мы сможем найти функции ср (z) и
ф (z), указанные П. Л. Чебышевым, то, решив уравнение ф (z) = О
и определив числа ср (z)A|f (z), мы найдем два таких распределе-
ния массы на заданном отрезке, которые решают поставленную
П. Л. Чебышевым задачу о предельных величинах интегралов,
если, конечно, удастся показать, что q являются моментами и
этих дискретных распределений. Последнее обстоятельство яви-
лось источником интересных соображений А. А. Маркова,
П. Л. Чебышева и К. А. Поссе. Но прежде чем переходить к
этому, наметим вкратце способ нахождения функций ср (z) и
ф (z), точнее цепной дроби, для которой они являются подходя-
щими дробями.
ъ
Интеграл dx можно разложить в ряд по убывающим
степеням z:
При этом оказывается, что рц являются моментами порядка i
функции / (х). Поэтому, не зная самой функции / (х), а зная только
ее степенные моменты, можно тем не менее записать разложение
(2). А с помощью ряда (2) можно построить и цепную дробь, по-
1 Аналогичный характер носят и неравенства А. А. Маркова [1, стр. 41 —
46]. Здесь и далее мы говорим о двух дискретных распределениях массы.
Фактически, как показывают суммы слева и справа, это одно и то же рас- ‘
пределение, но в первом случае первая точка не входит в сумму масс, а
во втором — входит, и в этом все отличие.
298
b
лучаемую при разложении интеграла —-dx. Зная же цепную
</ Z ’ JC
а
дробь, можно определить ее подходящую дробь нужного нам
порядка и тем самым найти два дискретных распределения массы.
Чтобы показать, что они являются верхней и нижней гранями
всевозможных распределений массы с заданными моментами, ос-
тается доказать, что эти дискретные массы обладают именно эти-
ми моментами. Проводимые с этой целью рассуждения А. А. Мар-
кова, П. Л. Чебышева и К. А. Поссе весьма интересны. Наиболее
прозрачно они изложены у К. А. Поссе, поэтому мы начнем с
него.
Эти три математика пользовались определением момента че-
ъ
рез интеграл ^xif(x)dx, где / (х) —функция, задающая плот-
а
ность массы в точке х еЕ (а, Ь). Но понятие плотности для от-
дельной изолированной материальной точки не имеет смысла.
Поэтому, казалось бы, поскольку к ней нельзя применить это
определение момента, а моменты, повторяем, мыслились тогда толь-
ко в таком определении, то, казалось, нельзя говорить, что
найденные указанным способом дискретные распределения дают
точные верхние и нижние грани массы на заданном интервале
(т. е., по терминологии П. Л. Чебышева, предельные величины
интегралов). Чтобы обойти эту трудность, К. А. Поссе [1], на-
ряду с обычными функциями анализа, вводит особые функции. Вот
что он писал:
«Так как функция / (у) может быть разрывной, то из всех зна-
чений мы не исключаем и значений интеграла
X
§ Й (у) / (у) dy>
а
которые соответствуют предположению, что / (у) равна нулю для
всех значений у между а и Ь, за исключением некоторого конеч-
ного числа значений хх, х2, . . ., хп, для которых f(y) делается
бесконечною, но такой, что
lim
хг+£
5 / (*/) = тг
xi~~z
для е = О,
где nil — данное конечное положительное число. Соответствующее
X
значение интеграла Q (y)f (у) dy, представляется тогда суммой
а
Q (х2) тп! + й (х2) ттг2 + . . . + £2 (хл) ттгл,
где х1? х2, . . ., хк —те из количеств х1? х2, . . ., хп, которые не
превосходят х» (К. А. Поссе [1, стр. 91—921).
299
Введение таких функций позволило К. А. Поссе показать, что
момент порядка й (х) дискретного распределения масс сос-
редоточенных в точках х^ также можно рассматривать как ин-
ь
теграл Q (у) / (у) dy, т. е. включить два дискретных распре-
деления, даваемых неравенствами П. Л. Чебышева и А. А. Мар-
кова, в общую совокупность распределений, обладающих задан-
ными моментами.
Аналогично за два года до К. А. Поссе рассуждал А. А. Мар-
ков. Цепная дробь, с помощью которой решался вопрос о предель-
ь
С Ж л
ных величинах интегралов, получалась из интеграла ) _ ю.
а
Подходящая дробь для нее может быть представлена в виде
ФСО _ у
где хн — корни ф (z) = 0, а тл = Имея в виду это
обстоятельство, А. А. Марков писал: «Пусть
ь
= или \^.
v 2 — Ук J 2 — у
а
Здесь под знаком суммы У буква z означает произвольное пере-
менное, к получает все целые значения от 1 до оо включительно!
можно перейти к сумме
наконец, у19 т2, у2, . . ., ms, ys —некоторые данные числа..-
От суммы S \mkl(z — уК)\ нетрудно перейти к интегралу
ъ
^z^ ^у ’ беспредельно увеличивая s и в то же время уменьшая
модули разностей у2 — уг, у3 — у2, . . ys — ys^ до нуля.
ь
И обратно, от интеграла
а
S [mK/(z —ук)], беспредельно увеличивая / (у) для некоторых
отдельных значений у и вместе с тем приближая ту же функцию
/ (у) к нулю для всех остальных значений у.
По этой причине мы рассматриваем оба выражения вместе и
обозначаем одним и тем же знаком F (z)» (А. А. Марков [1, стр.
1 -2]).
По поводу приведенных словА. А. Маркова заметим следующее.
ь
Если интеграл ( j- dy существует, то он действительно явля-
J 2 - У
а
ется пределом сумм 2 просто по самому определению ин-
, • 2 — У к
теграла как предела сумм Римана, если считать т1: = f (y^).
300
Однако обратный переход от интеграла к суммам не столь естест-
венен и требует введения обобщенных функций 2. Если их ввести,
что фактически неявным образом и сделано А. А. Марковым, то
действительно можно рассматривать совместно суммы, описы-
вающие дискретные распределения массы, и интеграл, характе-
ризующий непрерывное ее распределение. Именно это совмест-
ное рассмотрение двух различных распределений позволило
А. А. Маркову сделать отмеченный выше переход к верхней и
нижней граням.
Почти такое же рассуждение применил в 1887 г. и П. Л. Че-
бышев. Придя к сумме 2 7“^"’ он писал: <<---а эта сумма мо-
жет равняться интегралу
ъ
J Z — X
а
только в том случае, когда функция / (х) при всех величинах х,
лежащих между а и Ъ не в смежности с
# Zq, Z-£, • • 2/71-1 >
остается равною нулю, а при величинах х, бесконечно близких к
# --- 20> 21> • • •> 2tn-17
имеет такие значениям при которых интегралы
2q-|- со Zj-f- со —1~Н^
§ f(x)dx, § f(x)dx, ..., f(x)dx
?о Zi—ы z.^^—со
в пределе, когда со делается нулем, приводятся к величинам
Фтп (М <Pm (zi) <Pm(zm-i) ?
€п(М’ С(М’ Ci(zm-1)
(П. Л. Чебышев [3, стр, 203]).
Таким образом, желание объединить непрерывные и дискрет-
ные распределения массы в единое целое и использовать интег-
ральное определение момента для обоих случаев побудило
А. А. Маркова, К. А. Поссе и П. Л. Чебышева ввести в свои
рассуждения обобщенные функции. Необходимость введения
обобщенных функций в этом вопросе исчезает, если воспользо-
ваться интегралом Стилтьеса. И хотя никто из названных мате-
матиков не подошел в рассмотренных работах к идее нового
процесса интегрирования, они получили на этом пути результа-
ты, которые, по-видимому, оказали хорошую услугу Стилтьесу.
Последний ко времени написания своих «Исследований о не-
2 О понятии обобщенной функции см. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [1,
стр. 13—15J.
301
прерывных дробях», где было введено новое понятие, тщательно
изучил работы своих русских предшественников. Об этом можно
судить по таким фактам.
Как известно, иссдедования^Стилтьеса по непрерывным дро-
бям тесно переплетались с исследованиями II. Л. Чебышева и
А. А. Маркова и, например, А. А. Марков и Стилтьес одновремен-
но доказали неравенства П. Л. Чебышева [1]. Так как А. А. Марков
многие свои работы писал на русском языке, то на Западе
многие его результаты, в том числе и результаты, содержавшиеся
в диссертации [1], в которой доказывались неравенства (1), не
были известны. Когда он узнал об аналогичных результатах Стил-
тьеса, то написал письмо Эрмиту, в котором изложил основное
содержание своих и чебышевских исследований о предельных
величинах интегралов. Извлечение из этого письма было напе-
чатано в «Научном ежегоднике Нормальной школы» в 1886 г.
(А. А. Марков [3]). Стилтьес ознакомился с письмом А. А. Мар-
кова через Эрмита, с которым у него в это время происходила
оживленная переписка, и еще до публикации письма А. А. Мар-
кова к Эрмиту напечатал в том же ежегоднике ответ на сделанное
А. А. Марковым заявление о приоритете, где указал, что резуль-
татов II. Л. Чебышева и А. А. Маркова он до письма последнего
не знал (Стилтьес [3, стр. 183—г 184]).
Далее, как показывает одна рукописная заметка Стилтьеса,
опубликованная только в 1918 г. в полном собрании сочинений
под названием «О некоторых неравенствах П. Чебышева» [5],
он знал в подрообностях все рассмотренные выше работы
П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и К. А. Поссе. Поскольку сам
Стилтьес во многом шел по тому же самому пути, приходя к тем
же результатам и даже повторяя порой методы доказательств
русских ученых, роль работ П. Л. Чебышева и А. А. Маркова в
подготовке нового понятия интеграла достаточно очевидна. Дей-
ствительно, как мы увидим несколько далее, чебышевско-марков-
ская интерпретация проблемы моментов при помощи точечных
масс стала составной частью подхода Стилтьеса к новому понятию
интеграла. Далее, своеобразная неудача (если это можно назвать
неудачей) П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и К. А. Поссе в по-
пытке описать дискретное распределение массы в терминах не-
прерывного заставила их ввести обобщенные функции. Но почва
для удовлетворительного введения таких функций в математику,
хотя аналогичные попытки имелись и у других математиков,
тогда еще не созрела. Не случайно П. Л. Чебышев говорил о
них столь невнятно: он, видимо, яснее других чувствовал шат-
кость такого рода рассуждений. Несколько прозрачнее они вы-
ступают у А. А. Маркова, но и он умышленно не договаривает до
конца: он декларирует переход от интеграла к сумме, не под-
тверждая его математическим рассуждением. Наиболее же откро-
венно об обобщенных функциях говорится у ученого меньшего
калибра — К. А. Поссе.
302
Стилтьес, когда он ознакомился с рассуждениями своих рус-
ских коллег, лучше других мог осознать логическую неудовлетво-
рительность рассмотренных выше рассуждений русских ученых
хотя бы потому, что он сам занимался теми же вопросами. У него
поэтому могла зародиться, и на самом деле зародилась, мысль об
ином подходе: изменить не понятие функции, а понятие интеграла;
к этому его приводили и другие соображения.
§ 2. Ранние исследования Стилтьеса,
подводившие его к необходимости обобщения
понятия интеграла
Разбор исследований Стилтьеса естественно начать с его ста-
тьи о механических квадратурах [1], в которой выясняется, по-
зволяют ли формулы квадратур получать неограниченное при-
ближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи
Стилтьес решает задачу об определении многочлена
Р (X) = X' + ai^n_1 + + • • • + ^п-1Х + ап
условиями
ь
/ (х) Р (х) xkdx = 0 (к — 0, 1, 2,..., п—1) (3)
а
при неотрицательной / (х) на (а, Ь). По условиям (3) он находит
полиномы Р± (х), Р2 (х), . . ., Рп (х), изучает их свойства и
соотношения. Вообще их свойства такие же, как и у знамена-
телей подходящих дробей цепной дроби, получаемой из разложе-
ъ
ния интеграла \ dx, которые были уже рассмотрены А. А. Мар-
а
ковым в его диссертации [1].
Излагать содержание статьи Стилтьеса [1] нет необходимости,
так как в интересующей нас части она является сокращенным
вариантом диссертации А. А. Маркова. В частности, именно
здесь Стилтьес, не зная чебышевской работы [2], доказал нера-
венства последнего. Конечно, у него не было непосредственно
сумм Sep (Х|)/ф' (х{); они заменялись суммами, образованными из
полиномов Стилтьеса, обладающими свойствами числителей и
знаменателей подходящих дробей соответствующей цепной дроби.
Доказательство Стилтьеса этих неравенств настолько близко к
доказательству А. А. Маркова, что иногда совпадает с ним вплоть
до обозначений. Эта близость отмечена самим Стилтьесом, указав-
шим, что «его доказательство не отличается от доказательства,
данного г-ном Марковым» [5, стр. 587]. Сказанное не означает,
что Стилтьес до опубликования своей статьи [1] знал работы
П. Л. Чебышева и А. А. Маркова. Он отрицал это сам [3], да и
подход его все же отличен от подхода последних. Здесь налицо
одно из тех нередких в истории науки совпадений путей научных
исследований.
303
Мы отдельно коснемся двух моментов из содержания его ста-
тьи [ 1 ].
Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого
квадратурной формулой Гаусса:
1 п
F(x)dx^ 2
—1 /1=1
(-1
Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П. Л. Че-
бышева в виде
А Л-2 + ... + А^ f (х) dx (к = 1,2,..., /?),
а
хк+1
А 4- А2 + ... + Л,.< \j{x)dx ,(к — 1,2, — 1),
а
где
(4)
Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в каче-
стве брать числа Ai4 получаемые по формуле (4) из цепной
ъ
(* йз?
дроби, соответствующей интегралу\------- , a tK будут корнями
1 Z ОС
а
знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь
угодно точное . приближение при возрастании п. Для этой цеп-
ной дроби числа Ah очевидно, удовлетворяют неравенствам
так как в этом случае / (х) = 1.
Вторым моментом является следующий/ Отметив, что его
результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интег-
ъ
рала ^f(x)dx, Стилтьес ставит вопрос о квадратурных фор-
о
мулах для интеграла вида
ъ
^f(x)F (х) dx. (6)
а
Он ограничивается тем частным случаем, когда F (х) — произ-
вольная интегрируемая по Риману функция, а / (х) такова, что
внутри (а, Ъ) не существует интервала (а, Р), в котором f (я) dx = О
304
и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна
со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство это-
го факта опирается на то, что функция
X
y = \f(x)dx (7)
а
является непрерывной и строго монотонной, а потому существует
обратная функция х = ф (у), и в интеграле (6) возможна замена
переменных
Ь G
\f(x)F (х) dx = J F [\|) (у)] dy,
а О
сводящих интеграл (6) к уже изученному Стилтьесом случаю.
По поводу же общего случая Стилтьес указал, что «условия»
налагаемые на функции / (я), F (х), делаются источником труд-
ностей, которых удастся избежать лишь с помощью но-
вых исследований о самих принципах ин-
тегрального исчисления» (1, стр. 393) [разрядка
моя.— Ф. МД. Действительно, если / (х) не удовлетворяет ус-
fl
ловию отсутствия в (а, Ъ) интервала (а, Р), в котором ^f(x)dx = О,
а
то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение
х = ф (у) в том виде, в каком такую замену тогда производили,
становится невозможным, и квадратуру интеграла (6) уже нельзя
ъ
свести к квадратуре интеграла F (х) dx.
а
Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г.
он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия
интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием за-
мены переменных, который играл заметную роль в последующей
истории интеграла Стилтьеса.
В том же 1884 г. при дальнейшем изучении формулы Гаусса
Стилтьес в [2] обратил внимание на показавшуюся ему удиви-
тельной связь между непрерывными дробями и определенными
интегралами в одном частном случае. Пусть
Q (Z) = -JL- (8)
Z .—
z--- • • •
и ф (я)/ф (z) — ее подходящая дробь порядка п. Эта дробь может
быть выражена и иначе:
+ —— + ... + , (9)
ф (z) Z — Xi Z — Х2 z — хп '
305
где Xi — корни ф (z) = 0, a = ср (я?). В предыдущей
работе Стилтьес показал, что эта дробь, получаемая из разло-
жения интеграла
dx
Z — X '
(10)
позволяет определить с любой степенью точности значение ин-
1
теграла F(x)dx по формуле Гаусса. Оставался открытым воп-
—1
рос о сходимости дроби (8). Доказательство ее сходимости и со-
ставляло содержание заметки Стилтьеса [2].
Из неравенств (5) просто получаются неравенства
— 1 + Aj + . . . + <ЯП<1, (И)
позволяющие решить вопрос о сходимости дроби (8). В самом
деле, если мы рассмотрим интеграл (10), то по самому определе-
нию интеграла он есть предел интегральных сумм
2 ~
если z фиксировано и принадлежит промежутку (—1,1). Но нера-
венства (11) дают нам, что
т. е. интеграл (10) есть предел сумм (9) при п—> оо. А этот ин-
теграл для указанных z сходится, а значит сходится и дробь (8).
В заключение Стилтьес писал: «Этот результат известен, но
предыдущее доказательство кажется весьма простым; более того,
оно приложимо также и к непрерывной дроби, получаемой из ин-
ъ
теграла ~~ где f — неотрицательная функция в интервале
(а, 6)» [2, стр. 396].
Кроме этого результата, который был целью заметки Стил-
тьеса, интересным было здесь то, что устанавливалась взаимо-
связь между двумя аналитическими выражениями — дробью (8)
и интегралом (10): интеграл (10) оказывался тождественным пре-
образованием дроби (8), и наоборот. Как отмечает биограф Стил-
тьеса Бурже, «удивившись странной аналогии между определен-
ным интегралом и некоторым специальным типом непрерывных
дробей, он [Стилтьес.— Ф. МД в течение десяти *лет стремится
пролить свет общности на этот факт. Результатом его усилий был
306
замечательный мемуар, который он опубликовал в 1894 г. неза-
долго до своей смерти» (Стилтьес [6, т. 2, стр. XVIII]).
Преобразование интеграла (10) в цепную дробь (8), и обрат-
но, удивившее Стилтьеса, уже не было новым в математике: в
значительно более общем виде оно фактически было у А. А. Мар-
кова. Действительно, А. А. Марков рассматривал интеграл
(12)
как предел интегральных сумм
- г«е тк = Ф М V М,
х1г — корни ф (z) = 0, а ср (z) и ф (z) — соответственно знамена-
тель и числитель подходящей дроби для цепной дроби, получае-
мой из разложения интеграла (12). Совершал он и обратный пе-
реход, о чем мы уже говорили на стр. 300. Правда, в своей дис-
сертации А. А. Марков не доказал, что цепная дробь, соответст-
вующая интегралу (12), сходится, и за это его впоследствии упре-
кал Стилтьес. Однако упрек был несправедлив, так как уже в
1885 г. А. А. Марков опубликовал работу [2], где доказал эту
сходимость.
Мы уже говорили, что работы П. Л. Чебышева, А. А. Маркова
и К. А. Поссе, кроме, быть может, последней из упомянутых,
были известны Стилтьесу и, несомненно, оказали на него серьез-
ное влияние. Оно оказалось тем более плодотворным, что о ре-
зультатах русских ученых Стилтьес узнал как раз в то время,
когда сам пришел к аналогичным фактам и когда его собственные
изыскания заставили задуматься о принципах интегрального
исчисления и связи их с теорией непрерывных дробей.
§ 3. «Исследования о непрерывных дробях» Стилтьеса
Не останавливаясь на всем содержании этого замечательного
во многих отношениях мемуара, мы будем вести речь лишь о том,
что непосредственно относится к введенному им интегралу. Стил-
тьес рассматривал непрерывные дроби вида
fl]Z +
азз -f-
(13)
где z — в общем случае комплексное число.
307
Пусть <pn (z)/ipn (z) — подходящая дробь порядка п для непре-
рывной дроби (13). Тогда существуют пределы
lim ф2п (z) - р (z),
71—»оо
lim тр2п+1 (z) = pi (z),
71—>ос
lim<p2)1(z) = g(z),
71—»зо
lim<p2n+i(z) = qL (z),
n—>x
oo
причем, если ряд 2 an расходится, то
71=1
lim
• zji ' ' i.
-----—с = lim
Ф271. (Z) П->JC
^2n+l (z)
^271+1 (Z)
oo
если же ряд сходится, то
71=1
п—»оо ^211
lim
= Pi (z)
и функции F± (z) и F2 (z) различны.
К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными
дробями, была известна связь между интегралом
ь
а
dx
Со
и непрерывной дробью
(z) =
(14)
(15)
J
где qi — суть линейные функции z, а числа q связаны с коэф-
фициентами разложения (14) в ряд по убывающим степеням z:
формулами
ъ
xkf (х) dx.
а
Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследова-
ниях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей
дроби (13) справедливы те же свойства, которыми обладали дроби
(15), в частности, корни (z) и <pn (z) действительны и различ-
ны, степень (z) меньше степени cpn (z). Для n-й подходящей
308
дроби справедливо равенство
01
2 + Х1
02
2 + #2
или, в другой форме,
4’п (2 * * * * * В) _ VI Я’п ( Хг)/Ч>п( хг)
<Pn (z) ._1 z “h xi
В частности,
%n (Z) = у Mj м = %n (~*i)
<Р2П (г) Д2 + xi ’ 1 <p'2n (-Xi) ’
Фгп+i (z) = у Nj N = %n+i (~*i)
4>2n+l(Z) £1Z + Xi' ‘
Как уже говорилось гр2п(2) p(z), Ф2п (2) (7 С2) при п—>сю,
а потому, если обозначить через Хк нули q(—z), то xk-^~hk и
Мк -> (J,/,. = р(— hk)/q'(—\) при оо. Аналогично, если
0fc — нули функции q± (— z), то хк -> вк и Nk -> vk =
= р± (— Qk)/q[ (—0fc) для случая нечетных п. В случае расходимости
оо
ряда 2 ап очевидно, что А* = 0Л, p,fc = vfc.
n=l
Пусть дробь (13) задана разложением в ряд по убывающим
степеням z\
Тогда оказывается, что ряды
оо оо оо
2 2 Н/Лк» 2
k=0 fc=i k=i
сходятся и
оо оо оо
2 Н/Л/£ = 2 — СЪ 2 == с0- (17)
к=1 к=1 к=о
Эти формулы позволяют по цепной дроби (13) найти ее разложе-
ние в ряд (16). Обратная же задача — по разложению (16) найти
дробь (13) — неизбежно приводит к решению более или менее
общей проблемы моментов.
В самом деле, как указывалось, Стилтьесу была известна че-
бышевско-марковская интерпретация фп (я$)/(рп (#0 как массы,
сосредоточенной в точке являющейся корнем срп (х) = 0.
Естественно было распространить эту интерпретацию и на пре-
дельный случай, рассматривая (или vj как массы, располо-
женные в нулях функции q (—z) (или qr (—z)). После введения
309
формул (17) Стилтьес пишет: «Рассмотрим на бесконечной прямой
Ох распределение массы (положительной), при котором на рас-
стоянии от начала сосредоточена масса
Сумма
может быть названа моментом порядка к масс относительно нача-
ла. В таком случае из предшествующих формул [т. е. формул (17). —
Ф. МЛ следует, что момент порядка к системы масс
(Нь К) (* = 1,2,3,...)
имеет значение ck (к = 0, 1, 2, . . . ).
Равным образом система масс (vi, Oj) (i = 0, 1, 2, 3, . . .), где
0о = 0, будет иметь те же моменты ск.
Мы назовем проблемой моментов [выделено Стил-
тьесом.— Ф. МЛ следующую задачу:
Найти распределение положительной массы на прямой (0, оо),
если даны моменты порядка к (fc = 0, 1, 2, 3, . . .)» (Стилтьес [4,
стр. 48].
Действительно, формулы (17) приводят к постановке пробле-
мы моментов, если принято истолкование и как масс, а
0л как соответствующих расстояний этих масс от начала
координат.
Цепные дроби рассматривавшегося П. Л. Чебышевым и
А. А. Марковым типа получились из разложения интеграла (14) и
все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены
в промежутке (а, Ь). Стилтьес же не связывал рассматриваемые им
дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде ин-
теграла, и корни q (—z), q± (—z) оказывались в общем случае
распределенными по всей положительной части числовой оси.
Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пре-
делы конечного интервала и рассмотрение ее на интервале (0, оо).
Далее, поскольку q рассматриваются как моменты массы отно-
сительно начала координат, то прежнее определение момента че-
ь
рез интеграл Римана xnf (х) dx становилось недостаточным, су-
а
щественно ограничивая класс последовательностей чисел q;
даже для таких распределений массы, как концентрация ее в
отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные
предположения относительно функции плотности / (х), как это
было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес [4,
стр. 48—49], на последовательность чисел q достаточно было
наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (16) можно
было обратить в цепную дробь (13), а тем самым найти функции
g (z), qr (z),P (z), p± (z). Зная же эти функции, мы тем самым знаем
решение системы уравнений (17), т. е. решение проблемы момен-
310
тов. Если при этом q (z) и ^(z), p(z) и p±(z) попарно совпадут,
то получится определенное решение: если же они попарно раз-
личны, то решений по крайней мере два: системы (р,£, ХЛ) и (vfc, 0Я.).
Следовательно, общность цепных дробей вида (13) достаточно
широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов
для интервала (0, оо), но для этого требовалось дать иное опре-
деление моментов.
Физическое определение момента материальной точки в сое-
динении с обычным для физиков и математиков переходом от мо-
мента точки к моменту отрезка приводило к новому определению
интеграла, тесно связанному с функциями распределения. Сам
Стилтьес писал: «Задача моментов, которую мы поставили в п. 24
[т. е. в приведенной на стр. 310 цитате.— Ф. М.], приводит нас
к рассмотрению распределения некоторой массы на прямой Ох.
Такое распределение полностью определено, если мы можем вы-
числить полную массу, приходящуюся на отрезок Ох. Ясно, что
эта масса является некоторой возрастающей функцией от х и,
наоборот, если задана возрастающая функция от х, то можно всегда
представить себе, что она выражает некоторое распределение
массы. Это дает повод сделать несколько замечаний о возрастаю-
щих функциях» [4, стр. 65].
Этими замечаниями являются доказанные Стилтьесом тео-
ремы:
1) Во всякой области определения возрастающей функции
<р (х) существуют пределы справа и слева, причем (р (х — 0)
Ф (я) (р (х + 0).
2) Во всяком интервале (а, Р) имеются точки непрерывности.
3) Множество разрывов ф (х) не более чем счетно.
4) Сумма скачков ф (х) на (а, Ь) не превосходит ф (Ь) — ф (а).
После этого Стилтьес продолжает: «Если мы теперь это понятие
о возрастающей функции захотим ассоциировать с представлением
о распределении массы, то мы будем принуждены сказать, что в
точке разрыва имеется накопление конечной массы. Такая точка
представляет собой материальную точку с массой ф+ (х) — ф“ (х);
кроме того, имеется еще наложенное на эти сосредоточенные в
точках массы некоторое непрерывное распределение массы.
Удобно всегда рассматривать ф (Ь) — ф (а) как массу, заклю-
ченную на интервале (а, Ь). Тогда интервал (0, х) содержит мас-
су ф (х) — ф (0) или просто ф (х), если мы предположим ф (0) = 0.
Мы видим тогда, что ф (х) — ф“ (х) есть часть массы, сосредото-
ченной в точке х, которую мы полагаем входящей в интервал
(х, х'), тогда как массу ф+ (х) — ф (х) мы полагаем входящей в
интервал (х, х') (где х' > х). Изменяя, следовательно, значения
Ф (х) в точке разрыва (естественно, что при этом должно быть все
время ф“ (х) ф (х) ф+ (х), мы ничего не изменяем в распре-
делении массы, а даем только новое условие относительно способа
считать массу, сосредоточенную в х, как принадлежащую интер-
валам (0, х) и (я, х'у» [4, стр. 67].
311
После трактовки возрастающих функций как функций рас-
пределения массы Стилтьес обращается к вопросу о моментах
массы отрезка. Он пишет: «Рассмотрим теперь момент такого
распределения массы.
Полагая а = х0, Ъ = хп, введем между xQ и хп п + 1 зна-
чений
Далее возьмем п чисел • • •, 2п таких, что
Пределом суммы
•^/с-1 2/с
21 [<р (*i) — ф (*o)] — 22 [ф (*2) — ф (*i)] + • • • + 2п [ф W — Ф
будет, по определению, момент. Обобщая, рассмотрим сумму
/ (21) [ф (*i) — ф + / (22) [ф (*2) — ф (*1)] + • • •
• • • / (2п) [ф W Ф (^n-i)b
она также имеет предел, который мы обозначим через
<?
/(u)d(p(u)» [4, стр. 67—68].
Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме не-
которого аналитического выражения физическое понятие мо-
мента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем послед-
нее, как это обычно и случается в математике, оказалось имею-
щим более общий характер, чем исходное физическое понятие.
ь
Он рассмотрел интеграл / (х) dcp (х)
для случая произволь-
а
ной непрерывной f (х) и произвольной возрастающей ср (х).
В этих предположениях он высказал без доказательства теорему
существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть
осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана
(Стилтьес [4, стр. 68]). Затем в этих же общих приложениях он
доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а
именно формулу интегрирования по частям
ъ ъ
$ / (ж) dtp (х) = / (6) <р (6) — / (а) <р (а) — § <р (ж) df (tc).
а а
Поскольку с помощью нового интеграла Стилтьесу приходи-
лось решать проблему моментов в предположении распределе-
ния масс на полупрямой (0, оо), то для частных случаев f (х) = хп
и / (х) = i/(z -|- х) он обобщил свой1 интеграл до несобственного
оо
интеграла f(x)dop(x).
о
312
Интеграл, введенный Стилтьесом, оказался в его руках весь-
ма удобным аппаратом для его последующих исследований по ана-
литическому представлению непрерывных дробей. Из элементов
цепной дроби (13) он построил функцию распределения Ф (и), с
помощью которой эта дробь в случае определенной проблемы мо-
ментов получила аналитическое представление в виде интеграла
F (2)=\ • <18)
О
Функция распределения массы Ф (и), имеющая, как показал
Стилтьес, заданные моменты [4, стр. 88], строилась им как пре-
дел последовательности возрастающих функций (и), характе-
ризующих распределение масс, получаемых из последовательных
подходящих дробей исходной цепной дроби.
Отметим, что фактически Стилтьес пришел к новому понятию
интеграла по крайней мере в 1892 г., о чем свидетельствует его
письмо к Эрмиту от 25 октября 1892 г. (Стилтьес [6, т. 2,
стр. 273]).
Мемуар Стилтьеса [4] был опубликован в 1894—1895 гг. уже
после смерти его автора, так что последующих изысканий по
теории нового интегрирования ему не пришлось осуществить, и
неизвестно, были ли у него какие-либо планы в этом отношении.
Новое понятие интеграла было нужно Стилтьесу в разрабаты-
вавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в ин-
тересовавших его вопросах, сделав лишь первые шаги в область
теории введенного интеграла; разработка же теории выпала на
долю других. И нельзя не отметить напрашивающуюся пареллель:
Риман ввел понятие (7?)-интеграла при разработке теории триго-
нометрических рядов в качестве вспомогательного аппарата ис-
следований; он сформулировал определение и наметил доказа-
тельство существования, применил 77-интеграл при изучении
тригонометрических рядов; его работа [2], подобно стилтьесовской
[4], не имела в названии даже намека на преобразование интеграль-
ного исчисления; она также была опубликована посмертно, и
изучение свойств 77-интеграла оказалось уделом его продолжа-
телей.
§ 4. Обобщение понятия интеграла Кёнигом
Определение, предложенное Стилтьесом, можно было бы наз-
вать интегралом Коши — Стилтьеса, так как в нем речь идет
только о непрерывной интегрируемой функции. Но этот термин
закрепился за другим понятием, поэтому мы будем пользоваться
им очень редко.
Существенно более общим образом к новому понятию незави-
симо подошел венгерский математик Кёниг, и его подход отно-
313
сится к подходу Стилтьеса примерно так же, как относятся меж-
ду собою подходы Коши и Римана.
Как свидетельствует Рисе [3], к этому обобщению Кёниг при-
шел ранее 1894 г. и даже излагал его до этого в своих лекциях.
Однако сообщение по этому вопросу он опубликовал только в
1897 г. [1], через три года после появления работы Стилтьеса
[4]. Статья Кёнига почти не содержит указаний на мотивы, ко-
торые побудили его ввести новый интеграл. Только в самом на-
чале в нескольких словах подчеркивается роль второй теоремы
о среднем для теории интеграла Римана и отмечается, что именно
в связи с нею автор дает «весьма обширное понятие определенного
интеграла, которое само по себе представляет интерес» (Кёниг
[1, стр. 380]).
Действительно, определение Кёнига чрезвычайно общее и яв-
ляется определением интеграла Римана — Стилтьеса. Именно,
при любых ограниченных и однозначных функциях <р (х) и ф (х)
на интервале (а, Ь) интеграл от ф (х) по ф (х) определяется как
предел
Ь п
\Ф(х)dty(ж) = lim 2 Ф(£г)ГО(яг)—Wr-i)L
где xt = а, хп = b, хг— хг_± стремится к нулю, а = хг_х +
+ 0г (хг — хг-г) (0 0Г 1) (здесь мы сохранили обозначения Кё-
нига).
Автор не рассматривает вопрос о том, при каких ограничениях,
налагаемых на ср (х) и ф (х), этот предел существует. Он лишь
отмечает, что подобно тому, как это сделал Риман для интеграла
ъ
^q)(x)dx, для его интеграла можно дать общий критерий суще-
а
ствования, «однако это не является нашей окончательной целью
и представляется для нас излишним» (Кёниг [1, стр. 384]).
Далее Кёниг получает своеобразное обобщение формулы инте-
грирования по частям. Он исходит из тождества Абеля
71 71
«0^0 “1“ 2 Фг ^г-1) 4" 2 G"r-1) G"rfin 0
т=1 Г=1
и, вводя обозначения
1 = Ф (^г)» = ф (ГГГ), ^n+1 хп =z Ь,
путем несложных преобразований получает
71 71
2 ф dr) го см — + 2 ф «) 1ф —ф <^г)] =
Т=1 г=0
= 1ф (ж) Ф (*)]а + [ф (£1) — ф (а)1ГО (*о) — Ф (а)1 +
+ [ф(Л) — ф(£п)| ГО«) — ф(Ь)].
314
Переход к пределу при стремящейся к нулю максимальной длине
разбиения дает
ь ъ
+ \фй<р — Г Ф (ж) “ф (ж) =
а а
= ПтГф^) —<р(а)]Ит[ф(^) — ф(а)] —
х'—HI
— lim [ф (В„) — Ф (ft)] Кт [ф (х ) — ф (Ь)],
V*b X ->Ъ
п
где
не доказывал существования интегралов
или иных предположениях относительно
то на эти символы можно смотреть просто
Поскольку Кёниг
b ь
фйф, фйф при тех
а а
функций ср (х) и ф (х),
как на формальные обозначения. Однако, предыдущая формула
позволила Кёнигу сделать следующее заключение относительно
одновременной интегрируемости ф (х) по ф(^) и ф (х)
по ф (х): если
а) обе функции в концевых точках (а, Ь) имеют конечные и
определенные пределы при любом стремлении к а и b какой-либо
точки из середины интервала;
б) одна из функций ф (х), ф (х) непрерывна внутри промежутка
(а, Ь) (или даже односторонне непрерывна), то обе функции ф (х)
и ф (х) либо одновременно интегрируемы, либо одновременно неин-
тегрируемы друг относительно друга. В частности, отсюда полу-
чается, что если один из интегралов от функций, удовлетворяю-
щих указанным условиям, существует, то существует и другой,
и для них справедлива формула интегрирования по частям.
Затем Кёниг рассмотрел такие свойства введенного им ин-
теграла:
X
1) Если / (х) интегрируема (7?) на (а, Ь) иф(я)= ^f(x)dx,
а
то в случае интегрируемости ф (х) по ф (х)
\ъ ъ
фйф = § Ф (я) / (rr) dx.
а а
2) Если ф (х) монотонна на (а, Ь), а ф (х) непрерывна и ин-
тегрируема по ф (х), то
ъ
фйф — ф (и) [ф (Ь) — ф (а)] {а и Ь).
а
315
После этого Кёниг переходит к основному, как он полагал,
вопросу, т. е. к доказательству второй теоремы о среднем. Он
ее формулировал так:
Если ср (х) монотонна, а / (х) интегрируема на (а, Ь), то
ъ
(а и Ь).
а
а
и
В доказательстве используется определение и свойства 1), 2)
интеграла Стилтьеса.
Работа Кёнига, опубликованная на венгерском языке, оста-
лась не известной почти всем, кто работал затем в области теории
интеграла Стилтьеса, за исключением Рисса, который в 1909 г.
мимоходом (в сноске) отметил существование рассмотренной ра-
боты, не охарактеризовав, даже вкратце, ее содержания.
И интересно, что в 1905 г. Ковалевский [1], видимо, не зная
работы Кёнига [1], почти повторил ее содержание. Он, как и
Кёниг, основной целью своей работы считал доказательство вто-
рой теоремы о среднем для интеграла Римана. Для этого он ввел
интеграл Римана — Стилтьеса, доказал его существование при
непрерывной интегрируемой и с ограниченным изменением ин-
тегрирующей функциях, установил для него формулу интегри-
рования по частям
ь ь
[ф’Иа = (19)
а а
в предположении существования обоих интегралов и получил из
нее вторую теорему о среднем для Л-интеграла. Менее интересно
то, что в 1947 г. А. С. Кованько [6] получил эту же теорему из
формулы (19), не сославшись ни на Ковалевского, ни тем более
на Кёнига.
Отметим еще следующее. Формула Абеля, на которую опирал-
ся Кёниг, представляет собой дискретный аналог (для рядов)
формулы интегрирования по частям для интеграла Римана. Фор-
мула же интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса явля-
ется обобщением того и другого, включая их как частные случаи,—
отсюда взаимосвязь теоремы о среднем с формулой (19), а зна-
чит с интегралом Стилтьеса. Тождество Абеля применялось затем в
теории стилтьесовского интегрирования многократно. В частности,
здесь же можно указать, что Кармайкл [2] в 1919 г., обобщив
его надлежащим образом, получил более общую формулу инте-
грирования по частям:
ъ ъ ъ
5 f (я)d {у1 (?) v2 (*)} = 5 f (я) (ж) d»2 (ж) + ) / (ж) ^2 (*) dVi (х),
CL О» CL
переходящую в (19), если f (х) = 1. Рассуждения, приведшие
Кармайкла к этой формуле, близки к рассуждениям Кёнига,
316
§ 5. Интеграл Стилтьеса
в исследованиях А. А. Маркова, Г, Ф. Вороного
нА. М. Ляпунова
Вопрос, содержащийся в названии настоящего параграфа,
рассмотрен нами в статьях [3; 4, стр. 205—217], поэтому здесь мы
ограничимся изложением самых необходимых для цельности
картины сведений.
Новое понятие интеграла, введенное Стилтьесом и обобщен-
ное Кёнигом, далеко не сразу встретило понимание и признание.
Приведем один факт.
Между Стилтьесом и видным французским математиком Эрми-
том в 90-х годах прошлого столетия происходила довольно ожив-
ленная переписка по разным вопросам математики. Стилтьес,
в частности, сообщил последнему и о новом понятии интеграла,
о чем мы упомянули в конце § 3. Ответ Эрмита был очень красно-
речив. В письме Стилтьесу от 26 октября 1892 г. он вроде и при-
знает полезность нового понятия интеграла при некоторых рас-
суждениях, но, с другой стороны, он вслед за этим пищет: «Но
не следует ли снова писать
ъ ъ
/ (х) ф' (х) dx вместо / (х) dtp (х)»
(Стилтьес [6, т. 2, стр. 276—277]).
Неизвестно, что на это ответил Стилтьес и ответил ли вообще,
ибо трудно отвечать на это столь заслуженному математику, но
и сам вопрос Эрмита достаточно выразителен: он явно свидетель-
ствует о непонимании Эрмитом существа дела. Сейчас, конечно,
легко бросить упрек Эрмиту. Но если вспомнить, что его вопрос
относился к еще не родившемуся понятию, проходившему, так
сказать, внутриутробный период развития (в печати оно появилось
только три года спустя), если к тому же учесть, что в тех случаях
применений нового интеграла, которые тогда мог указать Стил-
тьес, его интеграл мог быть сведен к интегралу Римана, то не-
понимание Эрмита не только можно объяснить, но и даже оп-
равдать.
Насколько трудным было это понятие на первых порах, сви-
детельствует и работа А. А. Маркова [4]. Трудно предположить,
что в 1900 г. А. А. Марков не знал мемуара Стилтьеса. И вместе с тем
А. А. Марков, когда ему понадобился интеграл Стилтьеса для
решения вопросов, очень близких к решенным Стилтьесом, не
воспользовался готовым аппаратом, а предпочел построить его
вновь с гораздо меньшей степенью математической четкости, даже
не отметив, что нечто аналогичное уже существует, быть может
даже не увидев этой аналогии. Отчасти это, видимо, объясняется
следующим.
Характерный для XVIII столетия подход к определенному
интегралу как разности значений примитивной, хотя и поколеб-
317
ленный представлением о нем как о пределе сумм, все же продол-
жал существовать на протяжении всего XIX столетия и даже в
XX в., о чем мы уже не раз говорили. Среди математиков были
сторонники как того, так и другого взгляда на интеграл.
А. А. Марков, по-видимому, считал первый взгляд на интеграл
более правомерным. Однако такой подход к понятию интеграла
Стилтьеса был значительно более трудным, так как требовалось
предварительно ввести совершенно новую дифференциальную
операцию — дифференцирование функции по функции. В работах
Стилтьеса на это не содержалось никакого намека; для него инте-
грал был исключительно пределом сумм, никак не был связан
с какой-либо дифференциальной операцией. Если А. А. Марков
знал стилтьесовский мему ар о непрерывных дробях, то вполне
вероятно, что его, как сторонника другого взгляда на интеграл,
не устраивал стилтьесовский подход к понятию интеграла. Но в
марковских исследованиях о предельных величинах интегралов,
близких к исследованиям Стилтьес^, нужен был именно интеграл
последнего, и А. А. Марков ввел его по-своему.
А. А. Марков предпочел обобщать не понятие определенного
интеграла, а понятие неопределенного. При этом нужно было,
помимо введения новой, дифференциальной операции, отказаться
от одного традиционного, прочно укоренившегося представления —
считать неопределенный интеграл обязательно непрерывной
функцией. И первым же шагом А. А. Маркова в обобщении по-
нятия неопределенного интеграла явилось допущение разрывно-
сти его в отдельных точках — допущение, описанное им не на языке
разрывности, а на языке многозначности интеграла в отдельных
точках [4, стр. 1—2].
Другим его принципиально важным шагом явилось введение
операции дифференцирования функции по функции как предела
отношения
lim = lim F F - г\ .
е-н) <Р (* + е) — <р (*) е—>о <р (*) — Ф (х — е)
Он ввел ее не в качестве самостоятельной операции, а как одно
из условий, которым должна удовлетворять примитивная, чтобы
ее можно было рассматривать как неопределенный интеграл [4,
стр. 3—4].
Не следует думать, что А. А. Марков, выражался языком,
сколько-нибудь близким к тому, на котором мы изложили все это.
Такого языка попросту не существовало, и для описания сказан-
ного А. А. Марков вынужден был отказаться от специфически
математического способа выражений и привлечь физические до-
воды в виде описания распределения массы на прямой. Его неоп-
ределенный интеграл это просто слепок с распределения момента
массы вдоль прямой. И стоит прочитать работу А. А. Маркова
[4], чтобы лишний раз убедиться, насколько трудным было новое
понятие даже для такого математика, каким был А. А. Марков,
318
насколько трудно перевести его рассуждения на привычный нам
теперь математический язык, а также, что в тех случаях, когда
отказывает математика, можно прибегнуть к физической интер-
претации, которая нередко позволяет выйти из затруднительного
положения.
Введенный им интеграл А. А. Марков, как и Стилтьес, обоб-
щил до несобственного и даже не с одним, а с обоими бесконеч-
ными пределами, и применил его для рассмотрения проблемы мо-
ментов не только стилтьесовского типа (т. е. на полупрямой), но
и, это мы хотели бы подчеркнуть, в смысле Гамбургера (т. е. на
всей действительной прямой) задолго до появления соответст-
вующей работы последнего (1920 г.).
Хронологически следующими работами, в которых вводилось
и использовалось понятие интеграла Стилтьеса, были работы
Г. Ф. Вороного. Мы, однако, предпочитаем коротко сказать здесь
об одном мемуаре А. М. Ляпунова [1].
Если Стилтьес и А. А. Марков пришли к новому понятию ин-
теграла, отправляясь от проблемы моментов, если Кёнига к но-
вому обобщению привела взаимосвязь теоремы Абеля со второй
теоремой о среднем интегрального исчисления, то путь А. М. Ля-
пунова к интегралу Стилтьеса был очень далеким от обоих этих
направлений. Его к нему привела задача небесной механики о
формах фигур равновесия вращающейся жидкости.
Рассматривая интегро-дифференциальное уравнение Клеро для
фигуры равновесия вращающейся жидкости, А. М. Ляпунов за-
метил, что неизвестная функция содержится в нем под знаком
дифференциала в подынтегральном выражении. При сохранении
прежнего смысла у символов дифференциала и интеграла прихо-
дилось накладывать довольно жесткие ограничения на искомую
функцию, не обусловленные сущностью рассматриваемой задачи.
Желание сбросить эти ограничения и привело А. М. Ляпунова
к обобщению интеграла до интеграла от произвольной монотон-
ной функции по произвольной непрерывной функции.
Он доказал существование введенного им интеграла и впервые
обнаружил ряд его свойств; сделал большой шаг к установлению
понятия интеграла Римана — Стилтьеса, сформулировал некото-
рые необходимые условия существования последнего при доста-
точно широких предположениях относительно интегрирующей
функции; А. М. Ляпунов, наконец, впервые записал интегро-
дифференциальное уравнение для фигуры равновесия вращаю-
щейся неоднородной жидкой массы в интегралах Стилтьеса и дал
метод последовательных приближений для его решения, показав
одновременно равномерную сходимость приближений к искомой
функции.
А. М. Ляпунов был знаком со стилтьесовскими «Исследова-
ниями о непрерывных дробях». Но, доказав формулу интегриро-
вания по частям для введенного им интеграла, он о Стилтьесе
написал только следующее: «Заметим, что подобное обобщение
319
было указано Стилтьесом в его знаменитом мему ape «Recherches
sur les fractions continues». Но Стилтьес рассматривал только слу-
чай, когда функция / (х) допускает непрерывную производную;
ь
в этом случае символ <р (х) А/ (х) сводится к интегралу
а
Ъ
Ф (х) F (я) dx»
а
[1, стр. 154—155].
Приведенные слова А. М. Ляпунова могут вызвать некоторое
недоумение сейчас, когда интеграл Стилтьеса определяется так,
что его определение охватывает собой и стилтьесовское и ляпу-
новское.
Формула интегрирования по частям доказывается сразу для
этого общего определения. И только тогда, когда переходят к
вопросу о существовании интеграла, делаются те или иные огра-
ничения относительно функций / (х) и ср (х), при этом меняется
характер самого доказательства существования. Поэтому сейчас
ъ
и интеграл вида
когда / (х) непрерывна, а ср (х) возрастает
а
Ъ
(или убывает), и интеграл вида^срй/ при тех же предположениях
а
относительно / (х) и ср (х) — оба являются частными случаями
общего определения, и один из другого получается при помощи
формулы интегрирования по частям.
Не так было в то время, когда писался мемуар А. М. Ляпу-
нова. И в определении Стилтьеса, и в определении А. М. Ляпу-
нова соответствующие ограничения для / (х) и ср (х) входили как
элементы, необходимые для доказательства существования того
или иного интеграла. Поэтому эти интегралы могли казаться
существенно различными. Возможно, поэтому-то А. М. Ляпунов
и не посчитал нужным особо говорить об обобщении интеграла
Стилтьеса. Не исключено, впрочем, что А. М. Ляпунов знал о
работе Стилтьеса понаслышке, иначе- трудно объяснить заведомо
неверное его утверждение, будто Стилтьес рассматривал только
случай интегрирующей функции с непрерывной производной.
Еще одна, далекая от рассмотренных, область математики при-
нуждала к введению и использованию нового понятия. И мы
теперь коснемся некоторых работ Г. Ф. Вороного.
Исходным пунктом обобщения понятия интеграла Г. Ф. Во-
роным было применение им в работах по теории чисел сумматор-
ной формулы Эйлера — Маклорена в обобщенной Н. Я. Сони-
ным форме. Н. Я. Сонин, введя функцию
1
г (и) = [и] — и + у ,
320
где [id означает целую часть переменной и, записал формулу
Эйлера — Маклорена в виде
ь
2 f(n) == $ f(u)du + r(b)f(b) — r(a)f(a)
‘La<n^.b a
b
r (u) df (u).
a
Намерение воспользоваться этой формулой в случае достаточно
общей функции / (и), например непрерывной, сразу же выявляет
надобность в более общем понятии интеграла. Именно так слу-
чилось у Г. Ф. Вороного.
Введение Г. Ф. Вороным нового понятия интеграла относится
к 1901 г. и было сделано в неопубликованной при его жизни ру-
кописи. Однако прежде, чем говорить об этом, остановимся на
одной опубликованной в 1903 г. работе Г. Ф. Вороного. По сво-
ему идейному содержанию в отношении понятия интеграла она
предшествует указанной рукописи. Вероятно, она и была напи-
сана еще до 1901 г. Такое предположение подтверждается стилем
работы Г. Ф. Вороного, тщательно отрабатывавшего свои руко-
писи и подолгу не публиковавшего их 3.
В статье «Об одной задаче из теории асимптотических функ-
ций» [1] Г. Ф. Вороной задался целью дать аналитическое пред-
ставление суммам 2ф (иг), 2ф (п) целоисчисленных значений
функций ф (т) и ф (п), выражаемых формулами
<₽(*») =
ф(п) =
(ab' — а'Ь) т — У т2 — 4аЬх
2аЬ
(аЬ' Ц- а'Ь) п — п2 — 4а'Ь'х
2а'Ь'
где а, Ь, а, Ъ' — целые положительные числа, удовлетворяющие
соотношению ab’ — а’Ъ = 1, а я — параметр.
Эти функции непрерывны в области их определения и имеют
определенные производные ср' (иг), ф' (п) во всех точках, кроме
т, — 2 ]/ аЪх и п = 2 У а'Ъ'х, где производные обращаются в бес-
конечность. Поэтому для аналитического изображения сумм
2ф (т) и S ф (п) не применима формула Н. Я. Сонина. Однако
ь ь
интегралы г (и) йф (и) и г (и) с/ф (и) имеют определенный смысл
а а
как интегралы Стилтьеса, так как на [а, Ы г (и) кусочно-
постоянна, а ф (и) и ф (и) непрерывны там. Поэтому если в фор-
муле Н. Я. Сонина интегралы понимать в смысле Стилтьеса, то
с ее помощью суммы 2ф (т) и 2ф (п) представимы.
Г. Ф. Вороной в это время еще не знал работ других матема-
тиков о новом понятии интеграла. Перед ним стояла дилемма:
либо отказаться от применения формулы Н. Я. Сонина в указан-
3 Об этом см. И. 3. Штокало и И. Б. Погребысский [1, стр. 294—295].
11 Ф. А. Медведев
321
ной задаче, либо придать ей другой смысл. В [1] он выражается
еще не совсем определенно. Отметив обращение в бесконечность
производных ср' (и) и г|/ (и), он без доказательства утверждает,
ъ ъ
что интегралы г (и) dip (и) имеют смысл, не рас-
а а
шифровывая его (Г. Ф. Вороной, [1, стр. 29]). В последующем
изложении он пользуется представлением сумм 5<р (т), 5ф (п)
по формуле Н. Я. Сонина.
Явно новое понятие интеграла Г. Ф. Вороной ввел в рукописи
«О разложении некоторых числовых функций в бесконечные
ряды, подобные тригонометрическим»4. В ней он, как и Стилтьес,
сформулировал определение интеграла для непрерывной интегри-
руемой и неубывающей интегрирующей функций (именно такое
определение было нужно в решавшейся им задаче) и дал доказа-
тельство существования. Она осталась неопубликованной в то
время.
Ту ее часть, которая относится к вопросу об обобщении ин-
теграла, Г. Ф. Вороной не опубликовал, очевидно, потому, что
вскоре он узнал об аналогичном обобщении Стилтьеса. Но зато
он вскоре начал широко пользоваться новым понятием в своих
исследованиях.
В 1904 г. в статье Г. Ф. Вороного «Об одной трансцендентной
функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов»
[3] со ссылкой на работу Стилтьеса [4] формулируется определение
интеграла, приводится формула интегрирования по частям, а также
еще никем не отмеченное элементарное свойство
ъ ь ъ
/йф + У/dip = $/<2[<р + 1р]
а а а
(Г. Ф. Вороной [3, стр. 104—105]). Интеграл Стилтьеса использу-
ется Г. Ф. Вороным как для обобщения формулы суммирования
Н. Я. Сонина, так и для выражения одной важной теоретико-
числовой суммы
ъ
2 т (п) / (п) = $ / (ж) <2ф (ж),
„ а<п^Ь а
где т (п) определена для всех целых п, превышающих некоторое
фиксированное число, f (х) — произвольная непрерывная функ-
ция, а
ф (ж) = 2 т (»)•
с<п^х
Сумма 2 т (п) / (и) была до того предметом ряда исследований,
4 Эта рукопись датирована 12 января 1901 г. и хранится в Государственной
публичной библиотеке УССР. Краткое ее содержание напечатано в III
томе собрания сочинений Г. Ф. Вороного [2].
322
но при этом на / (х) обычно налагались довольно жесткие огра-
ничения, вроде ее аналитичности. Г. Ф. Вороной представил эту
сумму достаточно удобным аналитическим выражением, предпо-
лагая / (х) лишь непрерывной.
В следующем году был опубликован доклад Г. Ф. Вороного
на Третьем Международном математическом конгрессе в Гейдель-
берге [4]. В нем он также сформулировал определение интеграла
Стилтьеса со ссылкой на мемуар последнего и применил этот ин-
теграл для аналитического изображения двойных сумм вида
5=2 f(Pm* + 2qmn + rn2), где суммирование производится по
т,п
всем целым т и и, определяемым неравенствами а pm2 + 2qmn Ц-
+ гп2 Ь, в которых а и Ъ — положительные параметры, рт2 +
+ 2qmn + гп2 — положительная квадратичная форма с целыми
коэффициентами, а функция / (х) непрерывна в промежутке (а, 6).
Таким образом, исследования Г. Ф. Вороного по теории чисел
привели к необходимости обобщения интеграла до интеграла
Стилтьеса, а вместе с тем новое понятие позволило получить новые
теоретико-числовые результаты.
Приведем некоторые итоги предшествующих параграфов.
В исследованиях П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, К. А. Пос-
се и ранних исследованиях Стилтьеса по проблеме моментов поя-
вилась необходимость во введении нового понятия интеграла, су-
щественно обобщавшего существовавшие. В 1895 г. Стилтьес
опубликовал свое определение и показал неизбежность его в
проблеме моментов и полезность в теории цепных дробей. Спус-
тя два года Кёниг предложил более общее определение интеграла
того же типа; однако опубликованное на венгерском языке в ма-
ло распространенном математическом журнале, оно осталось
практически недоступным тем, кого могло заинтересовать это
определение, за исключением Рисса; исключение, впрочем, ока-
залось существенным, ибо, как мы увидим в следующем параграфе,
именно Рисе многих заставил понять значение нового понятия.
В первом десятилетии XX в. наряду с продолжением исследо-
ваний по проблеме моментов, в которых интеграл Стилтьеса
получил новую форму (А. А. Марков, 1900 г.), появились другие
проблемы, решение которых требовало применения нового по-
нятия. Такие проблемы возникли в небесной механике и в теории
чисел. Г. Ф. Вороной и А. М. Ляпунов, независимо друг от дру-
га и независимо от Стилтьеса и Кёнига, пришли к необходимости
обобщения интеграла стилтьесовского типа. Они успешно при-
менили это новое понятие к решению ряда актуальных
для того времени задач. Ковалевский дополнил и уточнил сооб-
ражения Кёнига. Гильберт в 1906 г. воспользовался интегра-
лом Стилтьеса в создававшемся им функциональном анализе б.
* Об этом см* Бернкопф [1, стр. 23].
823
11*
Хеллингер не только применял этот интеграл [1, стр. 270], но и
существенно обобщил его. К этому следует добавить, что в 1903 г.
Ван Флек, продолжая изыскания Стилтьеса по непрерывным
дробям, пользовался и его интегралом [1, стр. 311—317]. Указан-
ные работы были опубликованы в «Записках императорской Ака-
демии наук» (1900, 1904 гг.), в «Трудах Американского матема-
тического общества» (1903 г.), в «Трудах Третьего Международ-
ного конгресса математиков» (1905 г.), в «Геттингенских изве-
стиях» (1906 г.), в «Журнале чистой и прикладной математики»
(1909 г.) на русском, английском, французском, немецком и вен-
герском языках.
В свете сказанного известное недоумение вызывает следующее
довольно распространенное мнение. В 1928 г. Лебег писал, что
«после Стилтьеса никто не занимался интегрированием одной
функции по отношению к другой. . . » [19, стр. 216]. Аналогичное
утверждение повторили Рисе и Секефальви-Надь [1, стр. 118]. Бо-
лее того, даже в специальной книге, посвященной истории поня-
тия интеграла, И. Н. Песин написал: «Интеграл Стилтьеса возник
в совершенно новой, нетрадиционной области, именно в теории
цепных дробей; оставаясь в пределах этой теории, он являлся
частностью, мало заметной со столбовой дороги, специфическим
обобщением интеграла Римана. Таким он продолжал быть в те-
чение примерно 15 лет» [после опубликования работы Стилтьеса
[4].-Ф. МЛ [1, стр. 122].
После сказанного ранее нам нет нужды добавлять что-либо
по поводу ошибочности таких представлений 6. И тем не менее
доля истины в них все же содержится. Эта доля состоит в том, что
математики, занимавшиеся специально теорией интегрирования
в начале XX в., сумели не заметить новое понятие. Его вводили,
изучали и применяли при разработке конкретных вопросов ма-
тематики и механики, и оно родилось не из размышлений о
природе чистого интегрирования, а при решении злободневных
задач, прикладного по отношению к интегрированию характера,
как необходимое орудие их решения. Но несмотря на то, что
применения интеграла Стилтьеса были довольно широки и пло-
дотворны, не доставало еще применения нового понятия к ка-
кой-либо из узловых, проблем тогдашней математики, на кото-
рой скрещивались бы пути большого числа исследователей. Толь-
ко после эффективного применения к подобной проблеме стало
невозможно игнорировать его. Такое эффективное применение
было сделано в 1909 г. Этому мы и посвящаем следующий параграф.
6 Можно, впрочем, отметить, что исследования по теории цепных дробей ни
в коей мере нельзя назвать «совершенно новой/нетрадиционной областью»;
начало их восходит по крайней мере к XVII в.; они интенсивно развива-
лись в XVIII и XIX вв.
§ 6. Интеграл Стилтьеса и линейные функционалы
Роль узлового момента, на котором была испытана мощь но-
вого математического орудия, сыграла проблема аналитического
изображения функционала. В настоящем параграфе речь будет
идти исключительно о линейных функционалах, заданных на мно-
жестве непрерывных функций, определенных на фиксированном
отрезке числовой прямой, так как, во-первых, в XIX и в начале
XX вв. именно такие функционалы и изучались по преимуществу,
а, во-вторых, как раз для этого класса функционалов первоначаль-
но была обнаружена аналитическая сила интеграла Стилтьеса.
Даже при столь жестких ограничениях на объем понятия
функционала, как его линейность и задание только на непрерыв-
ных функциях, определенных на фиксированном отрезке прямой,
оно остается чрезвычайно широким и явилось предметом много-
численных исследований, восходящих еще к Эйлеру 7. Среди
этих исследований важное место на рубеже XIX — XX вв. за-
няли изыскания по аналитическому изображению функционалов.
Ситуация здесь оказалась в некотором смысле аналогичной ситуа-
ции с общим понятием функции: подобно тому, как последнее
обретает плоть и кровь, становится зримым, когда математик
придал аналитическую оболочку тому или иному классу функ-
ций, так и понятие линейного функционала в пространстве не-
прерывных функций становится более прозрачным, более доступ-
ным, когда имеются способы его аналитического изображения.
Поэтому вскоре после появления понятия функционала многие
математики начали поиски его аналитических представлений.
В явной форме понятие функционала сформулировал Воль-
терра в 1887 г. Он же дал и первое аналитическое выражение для
некоторого класса функционалов в виде выражения, аналогично-
го ряду Тейлора с привлечением, конечно, понятия производной
функционала. Более естественным было стремление выразить
функционалы аналитически через более простые линейные опе-
рации, выбранные раз и навсегда для данного класса функциона-
лов. В теории функций наиболее распространенным способом
изображения функций является выражение их рядами того или
иного типа. По аналогии начались попытки представления функ-
ционалов в виде рядов по функционалам
U [/] = а0<7° Г/] + [/] + ...+ anU^ f/]
где ап — некоторые константы, зависящие от природы разлагае-
мого в ряд функционала U [/], a [/] — определенная последо-
вательность фиксированных функционалов. Первым таким разло-
жением было разложение, предложенное Пинкерле и Амальди в
1901 г. Оно имело вид
U[f] = U°f(c) + + ... + + ..., (20)
7 К. А. Рыбников [2, стр. 81—88].
325
где с — некоторое фиксированное число промежутка (а, 6), на
котором задано рассматриваемое множество функций {/ (я)}*
a — функционалы, даваемые выражениями
U° = U\ Ul = U{c-x], U™ = -^U[(c-x)n],...
Понятно, что сам характер выражения (20) предполагал анали-
тичность функций / (х), в пространстве которых рассматривались
функционалы U [/].
В 1904 г. Фреше [1] нашел общее выражение линейных функ-
ционалов, заданных в пространстве непрерывных функций, удов-
летворяющих условиям Дирихле на интервале (0, л), в виде
ряда
и [/] = ~{2аои° + a-JJ1 + ... + anU™ + -..),
(21)
где аг — коэффициенты разложения / (х) в ряд Фурье по cos ix^
а
U [cos а:], £ЛП> = -jL U [cos пх],...
Используя затем теорему Фейера о представимости всякой непре-
рывной функции ряда Фурье суммируемым к ней методом Че-
заро 8, Фреше распространил формулу (21) и на пространство
всех непрерывных функций. Другими словами, всякий линейный
функционал в пространстве непрерывных функций, заданных на
(0, 2л), представим формулой (21), если под суммой ряда справа
понимать чезаровскую сумму.
Иного типа выражение для функционала предложил в 1903 г.
Адамар. Во-первых, он выразил определенный класс функциона-
лов формулой
ь
и [/] = $ / (®) i|> (х) dx, (22)
а
в которой ф (х) однозначно определяется видом функционала. Да-
лее он дал более интересное в рассматриваемом отношении пред-
ставление. Приведем слова Адамара:
«Мне представляется необходимым трактовать это.т вопрос,
полностью абстрагируясь от аналитичности / (х). Именно к этому
мы придем, следуя пути, проложенному Вейерштрассом и Кирх-
гофом, и вводя функцию F (х), которая имеет лишь конечное
число максимумов и минимумов и такова, что
оо
j F (х) dx = 1 $
8 Об этом см. А. Б. Паплаускас [1, стр. 145—146];
826
например, функцию
F (х) = <г*.
У л
Если мы воспользуемся тогда известным тождеством
ъ
lim |x\f (x)F [ц(я— xQ)]dx = f(x0), a<^xQ<^b, (23)
а
и если предположим..., что операция U непрерывна..., то доста-
точно положить
U [pJ7 (И (* — *о))1 = Ф (*о, И),
для того, чтобы показать, что наша операция [т. е. рассматривае-
мый линейный функционал.— Ф. 711.] может быть представлена
в форме
ь
С7[/(а;)] = Ит ^f(x)Q>(x,yt)dx» (24)
Н=± 00 а
(Адамар [1, стр. 352 — 353]).
Это выражение интересно тем, что для его доказательства Ада-
мар фактически пользовался обобщенными функциями. Действи-
тельно, известно, что б-функция Дирака может быть задана как
6(0= lim —у=-
(J- —> оо У ТС
Указанный Адамаром пример функции F (х) = (l/jAjt)^'*2 как раз
и принадлежит к этому типу. Более того, тождество (23), исполь-
зованное Адамаром, есть не что иное, как основное характерис-
тическое свойство б-функции:
оо
/ (х) б (х — я0) dx^ f (Яо)-
Фреше в указанной работе [1] обобщил формулу (22) Адамара,
предложив понимать в ней интеграл в смысле Лебега. Там же
Фреше, используя свой результат о представимости функциона-
лов (с; 1)-суммируемым рядом, получил иное доказательство
формулы (24).
Таким образом, в начале XX столетия было предложено
несколько различных способов задания общей формы линейного
функционала. Способы (20), (21) и (22) пригодны только для
относительно узких классов непрерывных функций. Способ Фреше
суммирования по Чезаро ряда функционалов и способ Адамара,
требующий в общем случае привлечения обобщенных функций,
хотя и давали возможность выразить любой линейный функцио-
327
нал в пространстве непрерывных функций, но нуждались в при-
менении новых методов, тогда еще не утвердившихся: расходя-
щиеся ряды и методы их суммирования только что начали
прививаться в математике, а обобщенные функции были пока ред-
кими ее гостями. Поэтому поиски новых аналитических выраже-
ний для функционалов продолжались.
Решающим в этом направлении был результат Рисса. В 1909 г.
он доказал [3], что всякий линейный функционал U [/], определен-
ный в пространстве непрерывных функций / (х), заданных на
[а, Ы, расстояние между которыми р (/1?/2) = шах |А(0 — /а(^) I»
выражается интегралом Стилтьеса
ь
1/1 = \f(x)
и
где ср (х) — функция с ограниченным изменением, определяемая
через U [/].
Это большое открытие Рисса явилось переломным пунктом
в развитии интеграла Стилтьеса. К циклу его применений в тео-
рии цепных дробей (Стилтьес, А. А. Марков, Ван Флек) в теории
72-интеграла (Кёниг, Ковалевский), в теории чисел (Г. Ф. Во-
роной), в небесной механике (А. М. Ляпунов) и в теории интег-
ральных уравнений (Гильберт, Хеллингер) прибавилось важное
применение в новой математической дисциплине, становившейся
тогда в центр научных интересов большого числа выдающихся
математиков. Для тех, кто занимался проблемами интегрирования,
теперь уже стало невозможным игнорировать новое понятие ин-
теграла, и вскоре после опубликования работы Рисса [3] начали
появляться исследования, посвященные анализу и дальнейшей
разработке этого понятия. Не остался в стороне и Лебег.
§7. Первая реакция Лебега
на новое понятие интеграла
Прежде чем говорить о реакции Лебега на выявление роли
интеграла Стилтьеса, целесообразно обратиться к сравнению
римановского и стилтьесовского процессов интегрирования.
Ко времени введения интеграла Лебега математики в значи-
тельной мере свыклись с теоретико-множественными представле-
ниями, и идея лебеговского интегрирования вскоре уже не пред-
ставлялась чем-то слишком необычным.
По-иному обстояло дело с интегралом Стилтьеса. Если ломка
прежних представлений, необходимая для восприятия идей ле-
беговского интегрирования, в значительной мере произошла вне
рамок собственно теории интеграла, то для восприятия идеи
стилтьесовского интегрирования требовалось отказаться от мно-
гих классических представлений, утвердившихся в самом интег-
ральном исчислении.
328
Прежде всего, хотя в XIX в. и произошел разрыв операций
дифференцирования и интегрирования, но все же связи этих
операций были налицо во всех достилтьесовских интегралах; от-
сутствие этой связи только толкало к усовершенствованию, к
дальнейшему обобщению прежнего понятия интеграла. Интеграл
же Стилтьеса выступал пока (за исключением упоминавшейся
работы А. А. Маркова, оставшейся незамеченной и трудной для
понимания) вне какой-либо связи с обратной операцией.
Далее, в существовавших определениях интеграла Стилтьеса
(за исключением определения А. М. Ляпунова) интегрирующая
функция была произвольной монотонной (или с ограниченным
изменением) функцией. При таком определении неопределенный
интеграл оказывался в общем случае разрывной функцией, что
противоречило сложившимся представлениям о неопределенном
интеграле как функции, всегда принадлежащей относительно уз-
кому классу непрерывных функций.
Еще более необычным оказывался дифференциал под знаком
интеграла. Во-первых, он относился не к независимому перемен-
ному, а к некоторой функции, которая в общем случае могла быть
разрывной, тогда как в то время привыкли дифференцировать
относительно узкие классы непрерывных функций. Во-вторых,—
и это уже совсем скандальное новшество — дифференциал в инте-
грале Стилтьеса не обязательно бесконечно малая величина, он
прекрасно мог оказаться и определенным конечным числом.
Наконец, и это, быть может, самое главное, понятие интеграла
Стилтьеса не укладывалось в рамки общих представлений об
интегрировании как способе . соотнесения рассматриваемой
функции единственного числа. При заданной / (х) и заданных
пределах интегрирования можно было получать сколько угодно
чисел в зависимости от интегрирующей функции, причем каждое
из них являлось определенным интегралом в смысле нового опре-
деления. Определенный интеграл оказывался не единственным
числом, определяемым видом функции / (х) и областью ее зада-
ния. Область определения оказывалась переменной, текучей, ее
характер обусловливался выбором интегрирующей функции,
а сам этот выбор мог производиться в зависимости от характера
решаемой задачи.
Таким образом, определенный интеграл выступает как пере-
менная величина, зависящая от интегрирующей функции. Дру-
гими словами, определенный интеграл Стилтьеса при заданной
интегрируемой / (х) и промежутке интегрирования [а, Ы оказы-
вается линейным функционалом. Именно этим характером интег-
рала Стилтьеса и была обусловлена возможность использования
его Риссом для аналитического изображения линейных функцио-
налов в пространстве непрерывных функций.
Чтобы понять первую реакцию Лебега на работу Рисса о
представлении линейного функционала, необходимо сделать еще
несколько замечаний.
329
Работа Рисса «О линейных функциональных операциях» была
опубликована в 1909 г. До этого Лебег не был знаком с идеей
стилтьесовского интегрирования и целиком находился под властью
своей концепции. Интеграл Лебега был введен всего за несколько
лет до того и оказался чрезвычайно мощным и плодотворным
орудием исследования в самых разнообразных вопросах матема-
тики. К этому времени он стал уже рассматриваться как совер-
шенно естественное обобщение классического интеграла Римана
и подобно последнему в прошлом веке стал представляться един-
ственным орудием исследовании в вопросах, требующих приме-
нения интегрирования; казалось, что это орудие можно было со-
вершенствовать далее, но не было нужды в радикальном измене-
нии самой концепции. Его триумфальное шествие по различным
областям математики лишь подтверждало такое представление.
Между тем, как показывал результат Рисса, интеграл Стил-
тьеса мог претендовать на очень большую значимость в матема-
тике, ибо роль понятия функционала была осознана к этому вре-
мени достаточно глубоко. Для аналитического представления
функционалов был успешно применен не утвердившийся интеграл
Лебега, а малоизвестный, а большинству и совсем неизвестный,
интеграл Стилтьеса. Более того, указанный в предыдущем параг-
рафе результат Фреше о представлении функционалов при помощи
интеграла Лебега говорил о недостаточности последнего в этом
вопросе: кроме самого интеграла нужно было привлекать отно-
сительно сложный метод суммирования. Открытие Рисса грозило
разрушением того привилегированного положения, которое за-
нимал интеграл Римана и его обобщение — интеграл Лебега.
Это не могло не задеть Лебега. Его ответ на открытие Рисса
был поразительным по замыслу: он поставил перед собой задачу
показать, что интеграл Стилтьеса может быть сведен к интегралу
от суммируемой функции. В известном смысле это Лебегу уда-
лось. В 1910 г. он опубликовал работу [14], в которой дал решение
поставленной задачи.
Ход его рассуждений во многом схож с ходом рассуждений
А. М. Ляпунова при доказательстве существования интеграла
ъ
Стилтьеса. Сначала он приводит определение интеграла / (x)'du (х)
а
для непрерывной f (х) и с ограниченным изменением а (ж),
а затем, применяя относительно сложный прием замены перемен-
ного, показывает, что указанный интеграл можно преобразовать
в интеграл от суммируемой функции. Его рассуждения в [14] не
безупречны, и в 1928 г. он вновь обратился к этому вопросу, более
корректно показав возможность сведения интеграла Стилтьеса
к интегралу Лебега [19, стр. 208—213], чем в известном смысле
реабилитировался его интеграл.
Математики не пошли по намеченному Лебегом пути. Если к
этому добавить, что, как вскоре было показано, интеграл Лебега
330
тгёорётичёскй гораздо проще сводится к интегралу Стилтьеса
(Ван Флек [2, стр. 327—328]), то можно охарактеризовать направ-
ление Лебега как практически бесплодное.
Особенно ярко эта бесплодность проявилась в случае кратно-
го интегрирования. Здесь вопрос о замене переменных является
более запутанным. Видимо, не случайно Лебег даже не пытался
применить аналогичный прием в интеграле от функции несколь-
ких переменных. Тем более любопытна такая попытка, осуществ-
ленная 23 год£ спустя Ноайоном [1].
Ноайон как раз поставил перед собой цель свести кратный
интеграл Стилтьеса к интегралу от суммируемой функции и при-
менить этот результат для выражения линейного функционала в
пространстве непрерывных функций к переменных через /с-крат-
ный интеграл Лебега. Автор полагает, что ему удалось решить
поставленную перед собой задачу. Позволительно, однако, в
этом усомниться.
Во-первых, в своих рассуждениях он вынужден был выйти за
пределы собственно математики и привлечь физические сообра-
жения. Евклидовское пространство он заполнил жидкостью, ввел
точечные истоки (les debits), рассматривал поведение этих исто-
ков при преобразовании координат, не дав всему этому матема-
тического определения. Такие рассуждения допустимы в каче-
стве интерпретации, а у него они выступают как существенные
элементы самого рассуждения.
Во-вторых, при преобразовании интеграла Стилтьеса в ин-
теграл Лебега ему пришлось столкнуться с очень сложной систе-
мой дифференциальных уравнений, которая не решается извест-
ными методами. Автор утверждает, что их можно решить на ос-
нове разработанной им теории, которую он обещает изложить
позднее. Не знаю, появилась ли такая теория, что весьма сомни-
тельно. Но во всяком случае в работе [1] Ноайона нет даже на-
мека на такую теорию, без чего его выводы, даже если и признать
убедительными его физические соображения, повисают в воздухе.
Других попыток в указанном направлении, кажется, не су-
ществует 9. Это говорит о том, что попытки обойтись без интеграла
Стилтьеса даже в одном частном вопросе, каким является вопрос
об аналитическом изображении функционалов, потерпели неудачу.
Напротив, как мы увидим впоследствии, с помощью интеграла
Стилтьеса этот вопрос решается столь же просто и в многомерном
случае.
§ 8. Работы об интеграле Стилтьеса
в 1910—1914 гг.
В настоящем параграфе мы кратко охарактеризуем относи-
тельно короткий, но важный период пятилетней истории интег-
рала Стилтьеса, последовавший за появлением рассмотренных вы-
9 Если не считать статьи Налли и Андреоли [3], в основном повторяющей
соображения Лебега.
331
nie работ Рисса [3] и Лебега [14]. При этом мы исключим, од-
нако, работы Радона [1| и У. Г. Юнга [16], посвятив им сле-
дующие два параграфа: по степени осознанности смысла и зна-
чения нового понятия последние, особенно радоновская, стоят
неизмеримо выше тех, которым посвящается настоящий параграф.
Если действительно одной из тайных мыслей, руководившей
Лебегом при написании его заметки [14], была мысль покончить
с интегралом Стилтьеса путем сведения его к интегралу от сум-
мируемой функции, то надо признать, что этот замысел потерпел
полное фиаско. Наоборот, непосредственно за опубликованием
статьи [14] интерес математиков к интегралу Стилтьеса усилился
еще более.
Только в 1910 г., т. е. в том же году, когда была опубликована
заметка Лебега [14], появилось еще три статьи, в которых интег-
рал Стилтьеса как изучался сам по себе, так и вновь показал себя
важным инструментом исследований. Это — работы Фреше [3, 4]
и Рисса [5].
В [3] Фреше распространил понятие интеграла Стилтьеса на
функции нескольких переменных. Прежде чем говорить об этом,
сделаем несколько предварительных замечаний.
Подобно тому как понятие функции с ограниченным измене-
нием одного независимого переменного играет фундаментальную
роль в теории одномерного интеграла Стилтьеса, так и аналогич-
ное понятие для функций двух и большего числа переменных
столь же важно в теории кратных интегралов Стилтьеса. Поэтому
вопросу о введении n-кратного интеграла мы предпошлем ряд за-
мечаний о функциях с ограниченным изменением для многомер-
ного случая.
Вообще говоря, не существует единого и общепринятого оп-
ределения функции с ограниченным изменением, когда функция
зависит от более чем одного аргумента. Здесь, как и во многих
других случаях, переход от одного измерения к двум и более вы-
зывал определенные трудности. Преодоление этих трудностей
происходило по различным направлениям, в зависимости от ха-
рактера задач, решавшихся тем или иным исследователем. Вслед-
ствие этого было предложено несколько определений понятия
функции с ограниченным изменением. Эти определения являются
не просто вариантами, мало отличающимися один от другого,
напротив, их взаимосвязи и взаимоотношения оказались доволь-
но сложными и явились объектом ряда чисто математических
исследований, в качестве примера которых можно указать ра-
боту Кларксона и Адамса [1].
До появления статьи [3] Фреше были опубликованы три оп-
ределения функции с ограниченным изменением (Арцела, Харди,
Витали); Фреше не отметил существования других формулиро-
вок. Его определение приспособлено для возможности доказатель-
ства существования интеграла Стилтьеса и сформулировано оно
у него так [3, стр. 241—242].
332
Пусть функция ф (ж1? .г2, . . хп) от п переменных определена
в области Т, задаваемой неравенствами
^2? • • • »
где ах, Ь1? а2, Ъ2, . . ап, Ъп — определенные числа. Разобьем Т
на ячейки следующим образом: каждый интервал изменения пе-
ременных, скажем (ар, 6Р), разбиваем на частичные интервалы,
ограниченные координатами
др
= b
р ир->
и через точки деления проводим плоскости, параллельные осям
координат. Затем образуем сумму
2 (25)
ЬЬ-*’»Г»8
в которой
Д(п) ср = ф (а:1/1,4+1,.. ., Хп-1, ^п1) — [ф (*i,4+\ • • •, Яп+1) +
Если, каково бы ни было разбиение области Т на ячейки указан-
ного типа, сумма (25) оказывается ограниченной, то функция
Ф (а?!, я2, . . ., хп) называется функцией с ограниченным измене-
нием на Т. Верхняя грань сумм (25) при всевозможных разбие-
ниях указанным образом называется, по Фреше, полной вариа-
цией ф на Т.
Фреше доказал, что сумма, разность и произведение функций
с ограниченным изменением являются функциями того же самого
класса.
Интеграл Стилтьеса он определил первоначально вне зависи-
мости от ограниченности вариации интегрирующей функции
(Фреше [3, стр. 247]). Пусть / (х15 . . ., хп) и <р (хг, . . .,хп) — две
ограниченные функции, заданные в области Т указанного типа.
Рассмотрим сумму
s = 2 Д(п)ф, (26)
i,j.r,s
где I}, . . ., — числа, соответственно заключенные между х[,
х[+г, . . х£, а£+1. Если независимо от выбора точек £ суммы (26)
стремятся к определенному пределу при стремящейся к нулю
максимальной длине каждого из частичных интервалов, то этот
предел называется n-кратным интегралом Римана — Стилтьеса
от функции / (х19 . . ., хп) по функции ф (х19 . . . , хп) в области Т.
333
Его Фреше обозначил через
bi ъп
\ fdnq или \ ... \ f (хъ . ..,xn)dХц • • • ? ,Хп).
V л/ %/ IL
Qi ап
Это определение является аналогом обычного определения
кратного интеграла Римана и требует критерия интегрируемости,
аналогичного римановскому. Фреше, по-видимому, такого кри-
терия найти не удалось, поэтому он ограничился доказательством
существования тг-мерного интеграла только в предположении не-
прерывности/и ограниченности изменения у ф [3, стр. 247—248].
Во второй из указанных работ [4] Фреше несколько допол-
нил результат Рисса о выражении линейного функционала в про-
странстве непрерывных функций. В выражении
и [/] = $ / (х) йф (х)
функция ф (х) у Рисса определялась функционалом всюду, за ис-
ключением счетного множества точек. Фреше предложил устра-
нить эту неопределенность дополнительным требованием, накла-
дываемым на функцию ф (х): она должна быть такова, чтобы в
каждой точке [а, 6] выполнялось равенство
ф(«) =
Ф (х 4- 0) — ф (х — 0)
В этом случае ф (х) определяется через U [/] единственным обра-
зом.
Фреше дал здесь и несколько иное выражение функционала
и [fl = \ / (х) d<Pi (х) + 2 Яг/ С*ч)
где фх (х) уже непрерывная и с ограниченным изменением функ-
ция, a at и Х{ — независимые от / (х) константы.
Здесь же, наконец, Фреше воспользовался интегралом Стил-
тьеса для представления так называемых функционалов целого
порядка.
В работе [5] Рисса того же 1910 г. были указаны новые важ-
ные применения интеграла Стилтьеса. Мы остановимся только
на одном из них, опираясь при этом на работу [6] Рисса, явля-
ющуюся обобщением и расширением его работ [3] и [5], которая
была опубликована в следующем году и к которой нам еще при-
дется обращаться в другой связи.
Вопрос, о котором идет речь, состоит в следующем.
Одним из основных результатов теории функций действитель-
ного переменного последней четверти XIX в. была теорема Вейер-
штрасса об аппроксимации произвольной непрерывной функции
334
равномерно сходящимся к ней рядом многочленов (1885 г.). Этот
результат Вейерштрасса явился источником огромного числа
работ. В частности, с ним связан следующий вопрос, который
обобщает подход Вейерштрасса и которым в 1905 г. занимался
Э. Шмидт: пусть на (а, Ь) задана счетная система непрерывных
функций <pi(z), ф2 (ж), . . фп (ж), . . . ; каким необходимым и
достаточным условиям должны удовлетворять функции q,\ (х),
чтобы с помощью линейной комбинации функций заданной сис-
темы можно было равномерно аппроксимировать произвольную
непрерывную функцию / (х), определенную на (а, 6)?
Э. Шмидт, используя интеграл Римана, нашел два разных
условия, накладываемых на <р<; одно из них было необходимым,
но не достаточным, а другое — только достаточным, но не необ-
ходимым. Сам Рисе в 1907 г. обобщил эти условия Э. Шмидта,
воспользовавшись интегралом Лебега, и предложил некоторые
другие. Однако ни одно из сформулированных им условий не
было одновременно необходимым и достаточным. Условия пос-
леднего типа были сформулированы Риссом в указанных его ра-
ботах уже с применением интеграла Стилтьеса и, как подчерки-
вал Рисе, лишь благодаря именно такому применению [6, стр.
818]. Для того чтобы произвольная непрерывная функция / (х),
заданная на интервале (а, 6), могла быть равномерно аппрокси-
мирована с точностью до е при помощи линейной комбинации неп-
рерывных на (а, Ь) функций q^ (х), необходимо и достаточно,
чтобы система уравнений
ъ
§ / (х) da (х) = 1,
а
Ь
§ q>i (х) da (х) = 0
а
не имела решения а (х), полное изменение которого на (а, Ь)
меньше 1/е.
Отсюда, в частности, вытекало, что для того чтобы / (х) мог-
ла быть равномерно аппроксимирована сколь угодно точно линей-
ными комбинациями q^. (х), необходимо и достаточно, чтобы эта
система интегральных уравнений совсем не имела решения а (х)
с ограниченным изменением (Рисе [6, стр. 816—818]).
Для решения этого и других рассматривавшихся им вопросов
Риссу пришлось обратиться к некоторым вопросам теории интег-
ь
рала Стилтьеса. В [6] Рисе передоказал существование^ / (ж) dtp (х)
а
при непрерывной / (х) и с ограниченным изменением ср (х)
(стр. 801—802). Доказал он также, что
ь
J / (х) d(p (х) < max | / (х) | х Уаф (х),
а
335
где Va ф (ж) означает полную вариацию ф (х) на (а, Ь) (стр. 802);
привел, ссылаясь на Стилтьеса, формулу интегрирования по
частям и, кроме того, установил, что необходимым и достаточным
ъ
условием обращения в нуль интеграла / (х) йф (х) при любой ne-
tt
прерывной / (х) является то, чтобы ф (х) = const на (а, 6), за
возможным исключением счетного множества точек, не содержа-
щего концов интервала (а, Ь) (стр. 803—804). Из последнего утверж-
ъ
дения Рисе вывел следствие, что интеграл / (х) йф (х) не изме-
а
няется, если в каждой внутренней точке (а, Ь) значение ф (х)
заменить на ф (х — 0), или ф (х + 0) или на любое промежуточ-
ное между ф (х — 0) и ф (а? + 0) значение (стр. 804). Это след-
ствие является точным выражением факта неразличимости в тео-
рии интеграла Стилтьеса функций распределения, которые в точ-
ках разрыва могут принимать любые промежуточные значения
между пределами слева и справа.
Конечно, теперь все эти вещи довольно тривиальны, но в
1911 г. они не были таковыми, и большой математик Рисе законо-
мерно посвятил им самостоятельный раздел своей работы [6].
Там же Рисе установил связь интегралов Стилтьеса и Хел-
лингера.
В § 6 настоящей главы мы уже много говорили о проблеме
отыскания аналитических выражений для функционалов в про-
странстве непрерывных функций. Мы, отнюдь, не исчерпали
круга работ, посвященных этому вопросу в первое десятилетие,
в частности не касались некоторых работ того же Рисса и Адамара.
Исследования по аналитическому изображению функционалов
продолжаются до сегодняшних дней и в них большую роль играет
понятие интеграла Стилтьеса, поэтому при рассмотрении истории
последнего нам так или иначе придется обращаться к этому воп-
росу. Однако далее мы не будем останавливаться на нем столь
подробно, как это сделано в § 6, а лишь в общих чертах будем
упоминать о соответствующем факте в том случае, если он как-то
связан с разработкой теории интеграла Стилтьеса, с обогащением
этого понятия. В этой связи представляет интерес работа 1912 г.
Хелли «О линейных функциональных операциях» [1].
В 1910 г. Адамар нашел новое выражение для линейного функ-
ционала в виде предела последовательности интегралов Римана
ь
U [f] = lim \ / (х) ап (я) dx,
п~*ха
где ап (х) непрерывны. Одной из задач Хелли в [1] была задача
получить результат Рисса, о котором говорилось в § 6, из резуль-
тата Адамара иным способом, чем это сделал Рисе в [6]. Чтобы
336
решить ее Хелли понадобились два вспомогательных утвержде-
ния, которые, как отметил он сам [1, стр. 283] и как это действи-
тельно оказалось впоследствии, представляли самостоятельный
интерес.
Одно из них явилось известным принципом выбора Хелли [1,
стр. 283—288] 10, а во втором устанавливались условия, при ко-
торых возможен предельный переход под знаком дифференциала
в подынтегральном выражении в интеграле Стилтьеса. А именно,
Хелли сформулировал и доказал [1, стр. 288—289] предложение.
Пусть на (а, Ь) задана бесконечная последовательность функ-
ций
<Р1 (Д ф2 (®), . . Фп (ж)> • • •
с ограниченным изменением, полные изменения которых не пре-
восходят некоторого конечного числа М, не зависящего от тг,
сходящаяся к предельной функции ф (х). Тогда для всякой не-
прерывной на (а, Ь) функции / (ж) справедливо равенство
ъ ъ
lim \ / (х) dqn (x) = \f (х) dq> (х).
п _*°° а а
Хелли также использовал интеграл Стилтьеса для выражения
необходимого и достаточного условия равномерной аппроксима-
а
ции непрерывной функции / (х) интегралом К (х, у) ф (у) dy [1,
стр. 297]. ь
Из других работ рассматриваемого периода упомянем книгу
Перрона [1], в которой отдельная глава была специально посвя-
щена определению и доказательству простейших свойств интег-
рала Стилтьеса и где последний нашел себе широкое применение
в теории функций комплексного переменного; статью Фреше [5]
о представлении при помощи интеграла Стилтьеса билинейных
функционалов — результат, полученный некоторое время спустя
иначе Фишером [1]. О работах У. Г. Юнга того же периода, кро-
ме его основной статьи [16], будет сказано в конце следующего
параграфа.
Все это говорит о том, что интеграл Стилтьеса во втором деся-
тилетии XX в. был взят на вооружение в очень многообразных ис-
следованиях различными математиками; если к этому добавить
его применения в первом десятилетии, то плодотворность нового
понятия теперь уже не могла вызвать каких-либо сомнений. На
повестку дня вставала проблема разработки теории интеграла
Стилтьеса, не обязательно уже в связи с теми или иными прило-
жениями. Разработкой такой теории занялись Радон (1913 г.)
и У. Г. Юнг (1914 г.). По некоторым соображениям, ясным из
последующего, мы предпочитаем начать с хронологически более
поздних работ У. Г. Юнга.
10 О нем см. И. П. Натансон [2, стр. 240—243].
337
§ 9. Первые исследования У. Г. Юнга
по теории интеграла Стилтьеса
Все возраставшая роль интеграла Стилтьеса в разнообразных
математических исследованиях и известный параллелизм теорий
обычного и стилтьесовского интегрирований в простейших слу-
чаях, особенно в условиях наличия детально разработанных ри-
мановской и лебеговской теорий,— все это подсказывало воз-
можность разработки теории интеграла Стилтьеса, параллельной
лебеговской. Одним из первых математиков, осознавшим эту воз-
можность и приступившим к ее реализации, был, если забыть пока
о Радоне, У. Г. Юнг. Перед тем, как приступить к изложению
его первых работ по этому вопросу, возвратимся еще раз к ра-
боте Лебега [14].
В § 7 мы говорили, что Лебегу способом замены переменных
ъ
удалось свести интеграл ^f(x)da(x) при непрерывной / (х) и с
а
ограниченным изменением а (х) к интегралу от суммируемой
функции. Вместе с тем он намекнул и на существенно более общий
результат: «интеграл Стилтьеса для ограниченной суммируемой
/ (х) при а (х) с ограниченным изменением мы определяем так же;
это кажется трудным осуществить без за-
мены переменнн ых» [14, стр. 88] [выделено мною. —
Ф. МД. Ничего большего относительно столь широкого понятия
интеграла в [14] не содержалось, то теперь ясно, что речь здесь
идет о понятии интеграла, который теперь называют интегралом
Лебега — Стилтьеса. Но такую конструкцию Лебег фактически
опубликовал только в 1928 г. [19, стр. 214—215]; в 1910 г. эта
конструкция не была столь очевидной.
Если принять во внимание, что до 1913 г. и даже некоторый
промежуток времени после этого главной разновидностью интег-
рала Стилтьеса был интеграл от непрерывной функции по функ-
ции с ограниченным изменением (интеграл Коши — Стилтьеса),
то нельзя не признать, что переход от него сразу же к интегралу
Лебега — Стилтьеса представлялся довольно смелым предприя-
тием. Это-то и сделал У. Г. Юнг в 1914 г. в работе «Об интегри-
ровании по отношению к функции с ограниченным изменением»
[16].
У. Г. Юнг отмечает, что одним из побудительных мотивов его
занятий теорией интеграла Стилтьеса была необходимость в ис-
пользовании нового понятия при рассмотрении некоторых свойств
тригонометрических рядов [16, стр. 110]. Не останавливаясь на
этом (кое-что в этой связи будет сказано в конце настоящего
параграфа), мы все же хотели бы подчеркнуть (в который раз!)
роль теории тригонометрических рядов в развитии теории ин-
теграла.
К этому времени У. Г. Юнг разработал иные методы опреде-
лений интегралов, эквивалентных лебеговскому. В силу извест-
338
його параллелизма обычной и стилтьесовской теорий в частйык
случаях можно было ожидать этого параллелизма и при более
общих обстоятельствах. Так что в известном смысле было есте-
ственным для У. Г. Юнга испытать свои конструкции в более об-
щей ситуации. Такая попытка представлялась тем более оправ-
данной, что Лебег в приведенных выше словах о роли метода за-
мены переменных при обобщении интеграла Стилтьеса выражал
сомнение, хотя и косвенное, в возможностях юнговских методов.
Вот что писал У. Г. Юнг:
«Лебег рассмотрел вопрос относительно возможности обобщения
понятия интеграла Стилтьеса в том смысле, чтобы охватить ин-
тегрирование всех ограниченных суммируемых функций по функ-
циям ограниченной вариации... Фактически он дает определение
такого интегрирования, основанное на замене независимого пе-
ременного..., и выражает мнение, что было бы трудно построить
определение иного рода.
В настоящей статье я намерен показать, что два из методов,
очерк которых я уже дал для теории интегрирования по непре-
рывному переменному, применим почти в том же виде, когда это
переменное заменяется разрывной функцией ограниченной ва-
риации. Таким образом оказывается, что все теоремы обычной
теории оказываются справедливыми и в более общей теории.
Более того, мы можем использовать почти те же самые рассуж-
дения» [16, стр. 109—110].
Действительно, построение У. Г. Юнгом теории интеграла
Стилтьеса мало чем отличается от построения им теории интег-
рала Лебега, которое изложено в предшествующей главе. Исход-
ным является определение интеграла от простых I- или п-функций.
Ь п—1
Если / (х) dx определялся просто как сумма 2 ci (xi+i — #г)> а
а г=0
точки деления в расчет не принимались, то последнее объяснялось
тем, что приращение аргумента в них равно нулю. Однако когда
мы переходим к определению интеграла по произвольной неубы-
вающей функции g (х), то приходится учитывать и точки деле-
ния.
После того, как интеграл Стилтьеса определен для простых
I- или u-функций, дальнейшее его построение происходит так же,
как и в случае обычного интеграла. Опять используется основной
принцип: если / (х) является пределом монотонной последова-
ь
тельности {/п (ж)}, если интегралы fn (х) dg (х) существуют и
а
предел последовательности этих интегралов (конечный или бес-
конечный с определенным знаком) не зависит от выбора последова-
ъ
тельности {/п (#)}, то этот предел принимается за (х) &8
а
339
, сходящимся тем не
менее
Вновь доказывается, что интегрирование монотонных после-
довательностей функций приводит к последовательностям сходя-
щихся интегралов и что разные монотонные последовательности
{fn (я)}, сходящиеся к / (х), приводят к различным вообще после-
ъ
довательностям интегралов
b а
одному числу (x)dg(x). Действуя таким образом,
а b
У, Г. Юнг получает интегралы f (х) dg (х) для всех ограничен-
ных В-функций f (х). а
Чтобы перейти к более общему классу, чем В-функции,
У. Г. Юнг поступает как и в случае L-интеграла:
«Образуем интегралы по отношению к g (х) всех и-функций,
меньших чем данная функция, и возьмем верхнюю грань этих
интегралов; образуем интегралы по отношению к g (х) от всех
/-функций, больших чем данная функция, и возьмем нижнюю
грань этих интегралов; если верхняя грань предыдущих равна
нижней грани последующих, то мы говорим, что наша функция
имеет интеграл по отношению к g (х) или является суммируемой
по отношению к g (х), и значение интеграла есть общее значение
этих двух граней» [16, стр. 128].
Если сравнить эти рассуждения с рассуждениями У. Г. Юнга
при определении интеграла Лебега, то становится видным, что
У. Г. Юнг рассуждает в обоих случаях почти одинаково. Един-
ственным отличием является только учет на протяжении изло-
жения всей теории того факта, что аргумент у интегрируемой
функции / (х) становится качественно иным, зависящим от ха-
рактера интегрирующей функции.
Что касается второго из упомянутых им методов определения
интеграла Стилтьеса для суммируемых функций, то он состоит
в следующем. В первом У. Г. Юнг отправлялся от интегралов для
простых и- или /-функций. Здесь же исходным для него является
стилтьесовское определение интеграла для непрерывных функ-
ций. Прежде всего он показывает (У. Г. Юнг, [16, стр. 130—131]),
что поскольку всякую непрерывную функцию можно рассмат-
ривать как предел монотонно убывающей последовательности прос-
тых /-функций, то интеграл Коши — Стилтьеса
b п—1
J / (ж) dg (х) = lim 2 / (В,) [g («i+i) — g (*i)J
a Q
совпадает с интегралом
дом.
$ / (z) dg (x),
определенным его первым мето-
Для перехода к интегралу Римана — Стилтьеса, т. е. когда
интегрируемая функция / {х) разрывна, но множество точек раз-
340
рыва имеет меру нуль, У. Г. Юнгу понадобилось новое понятие —
понятие полной вариации g (х) по отношению множеству точек
разрыва / (х). Под вариацией g (х) по отношению к множеству
точек Е У. Г. Юнг понимает нижнюю грань вариацией g (х) для
множества непересекающихся интервалов, содержащих точки
Е11.
После этого У. Г. Юнг в классическом стиле вводит интеграл
Римана — Стилтьеса. Он поступает здесь так же, как сделал
Риман по отношению к определению Коши. Как мы уже отмечали,
Риман взял определение Коши и распространил его на разрыв-
ные функции, указав условие, необходимое и достаточное, для
существования предела интегральных сумм Коши. Это условие
интегрируемости, преобразованное Витали и Лебегом, формули-
ь
руется так: для того чтобы существовал (R) f (х) dx, необходимо
а
и достаточно, чтобы множество точек разрыва / (х) на (а, Ь) имело
меру, равную нулю.
У. Г. Юнг вполне аналогично распространяет определение
Ь п-1
Стилтьеса интеграла fdg как предела сумм 2 / (£i) I# (^i+i) — 8 (^i)l
а 1=0
при А 0 па более широкий класс разрывных функций^ Естест-
венно, что ему приходится дать условие интегрируемости / (х) по
g (я).
Это условие он формулирует в виде теоремы.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы функция / (х)
имела «римановский» интеграл по монотонно возрастающей
функции g (х), заключается в том, чтобы вариация g (х) относи-
тельно множества точек разрыва / (х) была равной нулю (У. Г. Юнг
[16, стр. 133]).
Отметим мимоходом, что юнговское условие существования
интеграла Римана — Стилтьеса в 1917 г. было передоказано
Блиссом [2]. У последнего такие же, как у У. Г. Юнга, форму-
лировка теоремы, определение полной вариации g (х) относитель-
но множества точек и в основном тот же метод доказательства 12.
Все различие состояло только в том, что у У. Г. Юнга g (х) была
монотонной, а у Блисса — с ограниченным изменением. Новым
в указанной статье Блисса было другое необходимое и достаточ-
ное условие, -нередко затем использовавшееся в исследованиях по
теории интеграла Стилтьеса: для существования, интеграла
ь
^f(x)dg(x), необходимо и достаточно, чтобы / и g не имели об-
а
Ъ
щих точек разрыва и чтобы существовал интеграл ^/(#)dgi(#),
а
11 То есть вариация рассматривается как аналог внешней меры множества.
12 Блисс при этом вообще не ссылался на какие-либо другие работы.
341
Где gi (х) — непрерывная функция, получаемая из g (х) удале-
нием ее функции скачков.
Распространение определения интеграла Стилтьеса на более
общие классы функций у У. Г. Юнга такое же, как и при исполь-
зовании первого метода.
Таким образом, У. Г. Юнгу действительно удалось наметить
теорию интегрирования стилтьесовского типа, не менее общую,
чем та, на которую указал Лебег. Его построение было осущест-
влено по такому же плану, как и предшествующая переделка тео-
рии классического интеграла, осуществленная им ранее. Дейст-
вительно, можно было обойтись без приема замены переменных, в
чем сомневался Лебег, и что делало его подход довольно искус-
ственным.
Теория интегрирования, построенная Риманом — Лебегом, ока-
зывалась частным случаем нового интегрального процесса, и всякое
сведение второго к первому выступало как крайне искусственное
построение. Закономерным было намерение построить уже раз-
работанную во всех подробностях цельную теорию по отношению
к неубывающей функции, и, как свидетельствует Л. Юнг [1, стр.
VII], У. Г. Юнг намеревался сделать это. Однако данную задачу
решил Л. Юнг в указанной книге [1] только в 1927 г.
Оценивая статью У. Г. Юнга [16], Лебег впоследствии писал,
что «эта работа Юнга есть первая из тех, которые в конце-концов
заставили хорошо понять [разрядка Лебега.— Ф. М.], что
такое интеграл Стилтьеса» [19, стр. 217, сноска].
Однако, как бы ни была стройна и красива юнговская теория
интеграла Стилтьеса, ей не хватало одного весьма существенного
момента, делавшего классическую теорию интеграла значительно
богаче; не хватало параллельной теории дифференцирования, де-
лавшей классическую теорию более цельной, более богатой по
своему идейному содержанию, более разнообразной по практи-
ческим приложениям. Такая параллельная теория дифференци-
рования была создана несколько позднее, и мы к ней обратимся
через один параграф. У. Г. Юнг, как мы увидим, внес и в нее
значительный вклад, оказавшись в этом даже в некотором роде
пионером, в отличие от многих его других работ, в которых он,
хотя и своеобразно, большей частью независимо, но все же пов-
торял уже установленные результаты. Сейчас же укажем на не-
которые применения интеграла Стилтьеса в теории тригономет-
рических рядов.
Одновременно с разработкой теории интегрирования У. Г. Юнг
много работал в области теории тригонометрических рядов. И
его исследования в этой области требовали более общего понятия
интеграла.
В это время У. Г. Юнг изучал свойства тригонометрических
рядов, получающихся при дифференцировании рядов Фурье от
функций с ограниченным изменением. Эти ряды вообще не явля-
342
ются рядами Фурье, но оказываются обладающими некоторыми
свойствами, общими для них и для обычных рядов Фурье. И
подобно тому, как при исследовании рядов Фурье весьма полез-
ным является метод их почленного интегрирования, так и при
исследовании производных рядов Фурье функций с ограничен-
ным изменением оказался целесообразным метод их почленного
интегрирования по отношению к функции с ограниченным из-
менением.
Впервые интеграл Стилтьеса для изучения свойств тригоно-
метрических рядов указанного вида Юнг использовал в работе
[13]. Поскольку, как мы сказали, при этом приходилось при-
менять почленное интегрирование по Стилтьесу, то прежде всего
необходимо было установить, когда это возможно. И Юнг дока-
зывает сначала две теоремы:
1) Если последовательность {/п (ж)} равномерно сходится к
ь
функции / (ж) и интегралы ^fn(x)dg (х), где g (х) с ограниченным
а b
изменением, существуют, то существует интеграл $ / (®) dg (х)
причем а
ъ ъ
lim \ /„ (х) dg (х) =г= \ / (х) dg(х).
п —°°а а
2) Аналогичная теорема справедлива, если последовательность
{/п (#)} сходится только ограниченно.
Используя эти свойства, Юнг устанавливает ряд интересных
результатов относительно тригонометрических рядов. Вскоре он,
опираясь на теоремы о почленном интегрировании, распростра-
няет некоторые результаты относительно рядов Фурье на триго-
нометрические ряды, получаемые при почленном дифференциро-
вании рядов Фурье от функций с ограниченным изменением. По
поводу метода доказательств он писал:
«Что касается используемого метода, то не требуется ничего
большего, чем внести необходимые изменения в некоторые ре-
зультаты, принадлежащие Лебегу и мне, в смысле применимости
к ним интегрирования по функции с ограниченным изменением»
[15, стр. 14].
Интеграл Стилтьеса оказался необходимым Юнгу и для на-
хождения необходимого и достаточного условия того, чтобы три-
гонометрический ряд
оо
2 (лп cos пх + sin пх)
п=1
был производным рядом от ряда Фурье для некоторой функции с
ограниченным изменением.
Использование интеграла Стилтьеса в теории тригонометри-
ческих рядов широко и многообразно, и по этому вопросу сущест-
ве
вует обширная литература. Мы вкратце остановились лишь на
первых статьях Юнга, связанных с этим, чтобы еще лишний раз
продемонстрировать, что разработка нового понятия и диктова-
лась потребностями теории функций действительного перемен-
ного и вместе с тем новый интеграл позволял решать вопросы,
которые не удавалось решить прежними средствами.
§ 10. Мем у ар Радона «Теория и применения
абсолютно аддитивных функций множества»
Рассматриваемая в этом параграфе работа Радона является
одной из важнейших в теории функций действительного перемен-
ного вообще, в теории функций множества в частности. Значи-
тельную роль она сыграла и в целом ряде-других разделов мате-
матики: в интегральных уравнениях, в квадратичных формах, в
интеграле Хеллингера, в теории потенциала и т. д.
Значение ее для теории интеграла Стилтьеса Лебег характе-
ризовал так: «Но действительно проникли вглубь этого понятия
благодаря тому определению, которое для него дал Радон» [19,
стр. 217, сноска]. Он действительно проник в него настолько глу-
боко, что потребовалось более десятка лет (а для XX столетия
это уже довольно много), чтобы математики начали осваиваться с
радоновской формой интеграла Стилтьеса (заметим, что отчасти
в этом повинны обстоятельства военного времени, ибо работа
Радона появилась накануне первой мировой войны и была не-
доступна многим математикам).
Лебег ввел понятия абсолютно непрерывной и аддитивной
функции множества, подобных же функций области и интервала.
Радон, руководствуясь некоторыми соображениями, связанными
главным образом с теорией потенциала, задался целью обобщить
результаты теории Лебега. На первый взгляд общность подхода
Радона к функциям множества выглядит не особенно существен-
ной: понятие абсолютно непрерывной и аддитивной функции мно-
жества он изменяет другим — понятием абсолютно аддитивной
функции множества. Последнее он определяет так.
Пусть в n-мерном евклидовском пространстве задан незамк-
нутый интервал Г.
(ь —4,2,
а в нем некоторое семейство Т множеств, удовлетворяющих сле-
дующим условиям:
1) все интервалы из I принадлежит Т (включая сам 7);
2) если Е Г и Е2 Е Т, то Ех Е2 и Ех — Е2 принадлежат Г;
3) если Еи Е2, ... — непересекающиеся множества из Т в
любом конечном или счетном числе, то
Функция множества / (Е) называется по Радону абсолютно адди-
тивной, если для любой совокупности попарно не пересекающихся
множеств Ei из Т, конечной или счетной, имеет место
/ (£х + Я2 + ...)= / (£>) + / (#2) + • • • ,
причем ряд справа сходится. Если применять установившуюся
позднее терминологию, то эти функции следует назвать вполне
аддитивными. Несложно показать, что эти функции включают
тот класс функций множества, которые ввел Лебег 13. Обратное
неверно.
Так как функции множества явились новым математическим
понятием, то для большего удобства работы с ними Лебег дал
абсолютно непрерывным и аддитивным функциям множества
достаточно удобное и сравнительно известное аналитическое пред-
ставление в виде неопределенных интегралов от суммируемых
функций. Его результат был в некоторых отношениях исчерпы-
вающим: для того чтобы функция множества / (Е) была аддитив-
ной и абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы
она была неопределенным интегралом от суммируемой функ-
ции.
Поскольку Радон расширяет класс функций множества, то
аналитическое представление последних в виде неопределенных
интегралов Лебега становится недостаточным. Вполне аддитивные,
но не абсолютно непрерывные функции множества таким образом
представлены быть не могут. Поэтому Радон ставит задачу обоб-
щения понятия интеграла с тем, чтобы последний мог выполнять
ту же роль, как и интеграл Лебега для класса аддитивных и аб-
солютно непрерывных функций множества. Это ему и удается
путем введения понятия так называемого интеграла Радона, или,
как чаще его называют, интеграла Лебега — Стилтьеса.
Интеграл Лебега связан с понятием меры по Лебегу. Подобно
этому обобщение интеграла Лебега до интеграла Лебега — Стил-
тьеса у Радона связано с расширением понятия меры Лебега до
меры, называемой мерой Лебега — Стилтьеса.
Радон определяет последнюю в полном соответствии со спо-
собом определения меры Лебегом. А именно пусть Е — любое
множество из основной области определения Z, а СЕ I ~ Е —
его дополнение до I. Пусть
f (Е) = inf 2 f (аД
/С
где ah — интервалы, сумма которых содержит Е. Это, очевидно,
есть ничто иное, как внешняя мера Лебега — Стилтьеса, пере-
ходящая во внешнюю меру Лебега, когда функция множества
/ (Е) такова, что функция интервала, соответствующая ей, имеет
13 См., например, И. П. Натансон [2, стр. 389].
345
ВИД
п
/(ал) =П (Зк —ак)>
к=1
т. е. равна произведению измерений n-мерного интервала.
Внутреннюю меру множества Е Радон определяет равенством
/ (Е) = / (СЕ),
т. е. опять-таки в соответствии с лебеговским определением, и
/ (£) переходит в т (Е) при тех же обстоятельствах.
Наконец, когда / (Е) = / (Е), получаем измеримое в смысле
Лебега — Стилтьеса множество Е, и это общее значение назы-
вается /-мерой множества Е.
Радон показывает, что вполне аддитивные функции множества
имеют ограниченное изменение; что полное изменение / на мно-
жестве Е, т. е. supS |/ (Ек) |, взятый по всевозможным разбиениям
Е на конечное число Eh ЕЕ Т, также является вполне аддитивной
функцией множества с той же областью определения; что всякая
вполне аддитивная функция множества представима как разность
двух монотонных функций; что функции точки F (р) можно пос-
тавить в соответствие некоторую вполне аддитивную функцию
множества и ряд других утверждений.
На основе этого он находит, что всякая вполне аддитивная
монотонная функция / (Е) обладает свойствами лебеговской меры
т (Е), кроме свойства абсолютной непрерывности, и может рас-
сматриваться как определенное обобщение меры Лебега.
Все изложенное относительно меры Лебега — Стилтьеса поз-
волило Радону ввести понятие и об интеграле Лебега — Стил-
тьеса, почти в точности следуя способу построения интеграла
Лебегом. Сначала он вводит некоторое частное определение ин-
теграла для равномерно непрерывных функций точек F (р) отно-
сительно вполне аддитивной функции множества / (Е), рассмат-
ривая его как предел
п
Кт 2 F (рк) f (Ек) = { F (р) df,
Р“*° 1 Ео
где Eq — основное множество, на котором задана F (р),
п
Eq= 2 Eq, Eh ЕЕ Т м /-измеримы, ph G= Eh, ар — диаметр
к=1
множеств Ek.
После этого Радон переходит к основному определению: «Те-
перь мы хотим сделать второе обобщение, которое к только что
рассмотренному находится в том же отношении, как лебеговское
определение интеграла к определению интеграла от непрерывной
функции» [1, стр. 1324].
346
Функцию точки F (р) n-мерного евклидового пространства,
заданную на /-измеримом множетве EQ, Радон называет изме-
римой по отношению к абсолютно аддитивной функции множества
/ (Е), если для всякого действительного числа а множество тех
точек Ео, в которых F (р) > а, измеримо в смысле Лебега —
Стилтьеса. Относительно функций, которые измеримы по отно-
шению к /, теми же методами, что и в теории функций, измеримых
в смысле Лебега, доказывается ряд теорем, которые сводятся к
тому, что класс функций, измеримых по отношению к /, содержит
в качестве своих элементов функции, получаемые посредством
элементарных операций, и что предельные процессы не выводят
за пределы этого класса.
Для (L — 5)-измеримых функций интеграл Лебега — Стил-
тьеса определяется так.
Пусть сначала / — монотонная функция множества, F — не-
отрицательная функция точки, заданная на множестве Е и изме-
римая относительно /. Назовем последовательность чисел
о < у0 < У1 < у2 < ...
фундаментальным рядом с максимальной разностью а, если
limi/n = + оо,
п—*ОО
а разности уп+1 — уп (п = 1, 2, . . .) имеют конечную верхнюю
границу а. Выберем любой фундаментальный ряд и построим
сумму
оо
5=2 Ук1 (Ек), (27)
fc=o
где Ek — множество тех точек р из Е, для которых
Ук < Р (Р) < Ук+1-
Если ряд (27) сходится, то функция F (/?) называется суммируе-
мой относительно /.
Из этого определения сразу же вытекает, вследствие полной
аддитивности / (Е), что всякая ограниченная положительная и
измеримая относительно / функция F (р) является суммируемой
по отношению к /.
Точно так же, как и в теории интеграла Лебега, показывается,
что всякая нижняя сумма (27) не превосходит верхней суммы:
оо
s = ^Ук+1/(Ек), (28)
/с=о
что при Добавлении новых точек деления верхние суммы не воз-
растают, а нижние не убывают, что, наконец, при а —> 0 верх-
няя грань нижних сумм стремится к нижней грани верхних сумм.
Поэтому можно говорить об интеграле Лебега — Стилтьеса как
347
общем значении граней сумм (27) и (28):
sup5 = infiS,= ^F(p)df.
Е
Указанный интеграл можно рассматривать и как
оо оо
lim 2 ^f(Ek) = lim 2 y^f (Ек) = ^F(p)df,
П-*«> fc=0 n=oo k=0 E
(fi\ w
где f означает последовательность чисел co стремящейся к
нулю максимальной разностью ап.
Последующие расширения интеграла Лебега — Стилтьеса на
случай ограниченных F произвольного знака производятся в пол-
ном соответствии с тем, как это делается в лебеговском интеграле.
Для интеграла Радона (Лебега — Стилтьеса) справедливы
теоремы, аналогичные основным теоремам теории интеграла Ле-
бега:
1) J F (p)dj в области определения / является вполне адди-
Е
тивной функцией множества, если во всем интервале I функция
F (р) измерима по отношению к / (Радон, [1, стр. 1329—1330]).
2) Если {Fn} есть сходящаяся последовательность измеримых
по отношению к / функций и | Fn | < М, то
lim yFndf= \^\im Fn)df (Радон [1, стр. 1330]),
п—»ОО Е Е П-*ОО
И Т. Д.
Таким образом, исторически впервые именно в данной работе
Радона интеграл Стилтьеса стал в один ряд с интегралом Лебега,
охватывая его собою как частный случай и в многомерных про-
странствах Евклида.
Но Радон не ограничился построением своего интеграла и раз-
работкой основ его теории. Он предложил и различные приме-
нения его.
Как отмечалось ранее, одним из важнейших применений одно-
мерного интеграла Стилтьеса было доказательство Риссом того,
что всякий линейный функционал может быть аналитически выра-
жен через интеграл Стилтьеса. Этот результат Рисса Радон рас-
пространяет на n-мерное евклидово пространство.
Вторым важным применением интеграла Радона было обоб-
щение результата Лебега относительно представления всякой ад-
дитивной и абсолютно непрерывной функции неопределенным ин-
тегралом Лебега от некоторой суммируемой функции точки: вся-
кая вполне аддитивная функция множества g (Е) представима в
виде
g (Е) = Я5 (р) df,
Е
348
где ф некоторая суммируемая относительно / (Е) функция
точки, заданная на множестве Е. В этой теореме интеграл берется
уже во всей его общности, приданной ему Радоном. Тем самым
не только абсолютно непрерывные функции множества, но и
вполне аддитивные получают удобное аналитическое выражение.
Не будем останавливаться на других результатах Радона.
Упомянем лишь, что он аналогичным путем обобщил понятие ин-
теграла Хеллингера, доказал, что всякий интеграл Хеллингера
можно выразить через интеграл Лебега — Стилтьеса, применил
интеграл Хеллингера для рассмотрения ряда вопросов теории
интегральных уравнений и т. д.
В связи с разработкой столь полной теории интеграла Лебега —
Стилтьеса закономерным был вопрос об операции, обратной по
отношению к этому интегрированию. Это тем более казалось не-
обходимым, что в своей работе Радон весьма во многом следовал
ходу идей Лебега, изложенном в его мемуаре [15]. Как мы уже
заметили ранее, ведущей идеей Лебега там была как раз идея
взаимосвязи дифференцирования и интегрирования как двух
взаимно обратных операций. Однако даже намека на постановку
вопроса такого рода у Радона нет. Между тем одна из основных
теорем, устанавливающих эту связь, фактически Радоном была
установлена. А именно теорема, что всякая вполне аддитивная
функция множества g (Е) представима в виде
g (Е) = i|) (р) df,
Е
является по-существу аналогом теоремы Лейбница — Ньютона
для интеграла Лебега — Стилтьеса. Но для того чтобы эта теоре-
ма рассматривалась как теорема 6 связи дифференцирования и
интегрирования, необходимо было обобщить лебеговское диф-
ференцирование функции множества по мере до дифференциро-
вания одной функции множества по другой функции того же са-
мого множества. До такого обобщения был всего один шаг, пос-
кольку Радон уже обобщил понятие меры Лебега до меры Лебега
— Стилтьеса, и нужно было в определении производной (или
производных чисел) по Лебегу заменить лебеговскую меру обоб-
щенной. Однако этого Радон не сделал. По-видимому,, одной из
причин этого было то, что к тому времени еще никто из математиков,
за исключением Коши, Пеано и А. А. Маркова, работы которых
оставались или совершенно неизвестными, или непонятными, во-
обще не обращался к дифференцированию одной функции по
другой; сама идея такого дифференцирования казалось чужерод-
ной. То, что Лебег в [15] фактически разработал такое дифферен-
цирование для того частного случая, когда функция, по которой
производится дифференцирование, является мерой Лебега, еще
не воспринималось как обобщение операции дифференцирования
до дифференцирования функции по функции — слишком частной;
была дифференцирующая функция. Сам интеграл Стилтьеса пока.
349
представлялся исключительно как предел сумм вне связи с ка-
кой-либо дифференциальной операцией. Потребовалось довольно
значительные усилия целого ряда математиков, о работах кото-
рых речь отчасти будет идти в следующем параграфе, чтобы идея
нового дифференцирования пробила себе дорогу в умы матема-
тиков и чтобы, в частности, теорема Лебега — Радона (называемая
в математической литературе чаще теоремой Радона — Никодима)
стала именно многомерным аналогом теоремы Лейбница — Нью-
тона, в том числе и для интеграла Стилтьеса.
Работы Радона [1] и Юнга [16] остались на некоторое время
незамечеными отчасти по обстоятельствам военного времени.
Война 1914—1918 гг. нарушила общение между математиками,
особенно с теми из них, кто принадлежал к вражескому лагерю.
Идеи Лебега в [15] получили наиболее значительное продолжение
у Радона [1], но это продолжение осталось неизвестным тем, кто
понял Лебега и желал продолжать его изыскания в намеченном
им направлении. Так это, в частности, случилось с Валле-Пус-
сеном. Он не сумел своевременно ознакомиться с мемуаром Ра-
дона. Но он овладел идеями Лебега и хотел распространить их
и развить далее. Этому Валле-Пуссен посвятил две свои работы
[1, 2], которые мы уже не раз упоминали. Стилтьесовский интег-
рал не нашел себе места в них, но одно обстоятельство заслужи-
вает быть отмеченным.
В книге [2] Валле-Пуссен ввел и изучил понятия внешнего
и внутреннего веса множества, а также понятие нормального мно-
жества, являющееся соответственно внешней и внутренней ме-
рами Лебега — Стилтьеса и измеримыми в этом смысле множе-
ством.
Таким образом, у Валле-Пуссена налицо обобщение меры Ле-
бега до меры Лебега — Стилтьеса, но у него не было и намека
на интеграл Радона, хотя до перехода к нему оставалось сделать
немногое: по отношению к более общему понятию меры строить
более общее понятие интеграла. Но для такого построения требо-
валось прочувствовать саму идею стилтьесовского интегрирова-
ния, а Валле-Пуссен, видимо, тогда не был с нею знаком (по край-
ней мере ее не видно в его работах того времени).
Все же, несмотря на отсутствие у Валле-Пуссена идеи стил-
тьесовского интегрирования, его книга сыграла значительную
роль в подготовке почвы для ее распространения. В ней детально
были изучены функции множества, а это было необходимо для
овладения теорией радоновского интегрирования и дальнейшего
ее развития.
Не менее значительную роль в распространении идей теории
функций множества сыграли «Лекции по теории функций дейст-
вительного переменного» Каратеодори [1]. Каратеодори полностью
овладел идеями Лебега в этой области; ему была известна книга
[2] Валле-Пуссена и работа [1] Радона (по крайней мере Кара-
теодори приводит их в списке литературы на стр. 690—691). Он
КО
даже продвинулся дальше последних в теории меры в том смыс-
ле, что общим образом ввел функцию меры (или, как он чаще
говорил, внешнюю меру) как функцию множества |Л*Л, удовлет-
воряющую условиям:
I. Число |Л*Л, ставящееся в соответствие любому множеству Л,
или равно нулю, или конечно и положительно, или равно + оо.
Существуют множества, для которых это число не равно нулю и
конечно; для пустого множества это число равно нулю.
II. Если В cz Л, то |д,*В р*Л.
III. Если V = где суммирование конечно или счетно, то
i
IV. Если АВ = 0, то
|1* (Л + В) — р*Л + [1*В Каратеодори ([1, стр. 288 — 289]).
Этот класс функций множеств содержит как частные случаи
меры Лебега и Радона (а также Валле-Пуссена) 14. В рамках изло-
женного в [1] материала вполне можно было вместить и теорию
интеграла Лебега — Стилтьеса в том объеме, в котором она была
представлена у Радона. Тем не менее Каратеодори, обстоятель-
но изложив теорию интегрирования по Лебегу (и Риману), даже
не упомянул не только об интеграле Лебега — Стилтьеса, но и
о самом простейшем виде интеграла стилтьесовского типа. Вряд
ли это можно объяснить только дидактическими соображениями.
Видимо, несмотря на относительно широкое распространение
(напомним имена Стилтьеса, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного,
Кёнига, Гильберта, Перрона, Рисса, Юнга, Фреше, Лебега — все
это были достаточно известные уже и тогда математики), идея
стилтьесовского интегрирования еще не дошла до широких кру-
гов математиков, если в такой фундаментальной монографии, как
книга [1] Каратеодори, она не упомянута ни единым словом. Что
же касается соображений Юнга и Радона, то они в некотором
смысле даже вырвались слишком вперед; потребовался еще цикл
работ, прежде чем интеграл Стилтьеса завоевал прочные позиции.
Хронологически следующими важными работами в теории
интеграла Стилтьеса были статьи [18, 19] Юнга. По поводу них
скажем лишь следующее. Если Радон обобщал лебеговский подход
с точки зрения теории функций множества, то Юнг, как ранее
в одномерном случае, так и здесь в многомерном, оставался на
точке зрения функций точки многомерного пространства. Для
них он ввел определения кратных интегралов Стилтьеса и изу-
чил многие их свойства 15. Громоздкие определения и формули-
ровки теорем, своеобразные и нетрадиционные методы и язык не
позволяют изложить коротко его результаты. * 16
14 Свое мероопределение Каратеодори первоначально изложил в 1914 г.
16 Заметим, что в известных мне работах Юнг не ссылался на Радона.
351
Упомянем еще замечательный обзор Гильдебрандта [1], кото-
рый рассмотрел все известные ему определения интегралов, их
взаимосвязи и взаимоотношения. Большое внимание он уделил
и интегралу Стилтьеса, выразив убеждение, что последний пред-
назначен играть центральную роль и в интеграционных и сумма-
ционных методах в будущем, что для 1917 г. было замечательным
предвидением. Если Радон обобщил метод Лебега 1910 г., а Юнг —
некоторые свои методы, то Гильдебрандт проделал в отношении
интеграла Лебега — Стилтьеса то, что Лебег сделал в 1904 г. [7],
т. е. выделил дескритивные свойства этого интеграла [1, стр. 186—
187] и дал конструкцию, наиболее близкую к первоначальной ле-
беговской; он сформулировал также определение этого интеграла
в форме Пеано — Юнга как общего значения верхнего и нижнего
интегралов [1, стр. 190] 16.
Одновременный обзор Блисса [1] касался преимущественно тео-
рии интеграла Лебега, хотя в нем и подчеркивалась важная роль
интеграла Стилтьеса [1, стр. 2]. Отметим его формулу ^f(x)dx =
м
— ydx (а) = Мте —
Н
ная числами ц, М измеримая функция, а (у) — лебеговская мера
е?/, еу = е (ц у), а последний интеграл понимается в смысле
Римана (Блисс [1, стр. 28—29]).
м е
$ u(y)dy, в которой / (х) — любая ограничен-
§ 11. Первые работы
относительно дифференцирования функции по функции
За первые полтора десятилетия XX в. теория интеграла Стил-
тьеса развилась настолько, что претендовала на полное поглоще-
ние классической теории. Однако, наряду с прочим, этому мешало
то существенное обстоятельство, что операции стилтьесовского ин-
тегрирования не доставало ее обращения,
Поскольку к этому времени математиком, достаточно глубоко
осознавшим роль и значение интеграла Стилтьеса был Юнг, то
неудивительно, что он первым взялся за разработку новой теорий
дифференцирования. Это начато им в 1916 г. в работе «Об интегра-
лах и производных по отношению к функции» [17].
Весьма интересным представляется тот факт, что идея диффе-
ренцирования функции по функции родилась у Юнга за несколь-
ко лет до занятий им стилтьесовским интегрированием и притом по
другому поводу.
Правило Бернулли — Лопиталя раскрытия неопределенностей
привлекло в XIX в. внимание многих математиков. После Коши
к нему обращались Дюбуа-Реймон, Штольц, Осгуд и др. В 1910 г. 16
16 Сам Юнг такое определение не рассматривал, хотя оно было обобщением
одной из предложенных им в 1905 г. форм определения интеграла Лебега.
352
этим вопросом занялся и Юнг [6]. Он стремился найти наиболее
общие границы справедливости формулы
/ fo) _ / С37) /OQ\
ф(х) “ ф'(х) * ' ;
Если вспомнить, что производная функция / (х) по функции ф (х)
определяется как предел разностного частного
у (х + /t) _ у (х)
<р (х h) — ф (х) ’
(30)
то связь последней с формулой (29) становится прозрачной, по-
скольку при выводе (29) используется разностное частное (30).
Это разностное частное использовалось давно. Но его сводили (пу-
тем деления числителя и знаменателя на h) к отношению двух раз-
ностных частных для дифференцируемых функций. Юнг заметил
[6, стр. 61], что предел отношения (30) при h —» 0 может существо-
вать без того, чтобы функции / и ф были дифференцируемы в х,
а значит предел lim (/ (х)/ф (х)) может быть найден при менее
жестких ограничениях на функции / и ф. Это дало ему повод вве-
сти понятие производной функции по функции [6, стр. 61]. Здесь
он еще не изучает его как самостоятельное понятие, а тем более не
рассматривает его в связи с интегрированием.
До статьи [17] Юнг, кажется, больше не обращался к этому по-
нятию. В [17] он пользуется им как пределом lim ~ J ;—Ц-у =
П--М) Ф \х "Г — Ф \х)
= f(p(x) при монотонно возрастающей ф (х). Интересно, что
хотя это новое понятие является довольно широким обобще-
нием классической производной, сводящимся к последней при
Ф (х) = х, и Юнг в [17] глубоко изучает не только его, но и еще
более общее понятие производного числа функции / (х) по функ-
ции ф (х), в его довольно обширной работе не чувствуется новизны
этих понятий. Он даже не дал им формальных определений, и в
его предложения производная /ф (х) или соответствующее произ-
водное число входят как нечто давно известное. Вполне возможно,
что сам Юнг не считал их особенно новыми, так как их определения
действительно по своей форме близки к классическим, если сделать
некоторые дополнительные оговорки. К тому же, основанием для
такого взгляда на них было для него и то, что в его предыдущих
исследованиях, связанных с интегралом Стилтьеса, дело обстоя-
ло так, что замена аргумента монотонной возрастающей функцией
почти ничего не изменяла в рассуждениях и приводила к внешне
схожим результатам.
Не будем останавливаться на результатах Юнга, содержащих-
ся в указанной статье и относящихся к обобщению ряда теорем
теории функций относительно производных чисел. Укажем только
те, которые связаны с интегралом Стилтьеса.
В качестве первого из них приведем теорему:
12 Ф. А. Медведев
353
Пусть F (х) непрерывна на (а, Ь) и ее правая производная по
монотонно возрастающей функции <р (х), т. е.
/ (х) = lim -F ~ f ,
' ' м Ф (’- + '‘l -<Р И
Л>0
суммируема по ф (я). Тогда
1) или / (х) принимает бесконечные значения на множестве
мощности континуум,
х
2) или F (х) — F (а) = J /(ж) йф (х) (Юнг [17, стр. 55—56]).
а
Эта теорема является обобщением теоремы Лейбница — Нью-
тона для случая интеграла Лебега — Стилтьеса.
Перед тем как говорить о следующем результате, отметим, что
подобно тому, как в теории интеграла Лебега важную роль играет
выражение «почти всюду», так и в теории интеграла Лебега —
Стилтьеса не менее значительна роль аналогичного выражения «по-
чти всюду по отношению к ф (х)». А именно говорят, что некоторое
обстоятельство справедливо почти всюду по отношению к ф (я),
если это обстоятельство выполняется всюду, за возможным исклю-
чением некоторого множества точек, мера Лебега — Стилтьеса
которого равна нулю. Множество, лебего-стилтьесовская мера ко-
торого равна нулю, не обязательно имеет равной нулю лебеговс-
кую меру; наоборот, если мера множества есть нуль по Лебегу,
то это не означает, что его лебего-стильтьесовская мера равна
нулю. Следовательно, понятия «почти всюду» и «почти всюду по
отношению к ф (х)» являются независимыми, и ни одно из них не
содержится в другом. Фактически выражение «почти всюду по от-
ношению к ф (х)» введено было Юнгом в предыдущей работе [16,
стр. 133], но только в рассматриваемой его статье оно получил ©^са-
мостоятельное значение, аналогичное значению «почти всюду» в
лебеговской теории интеграла. В частности, пользуясь им, Юнг до-
казал такую теорему:
Неопределенный интеграл Лебега — Стилтьеса от ограничен-
ъ
ной функции / (х) по возрастающей функции ф (х), т. е. / (х) скр (#),
а
имеет своей производной по ф (х) интегрируемую функцию
/ (х) почти всюду по отношению к ф (х) (У. Юнг [5, стр. 56—58]).
В § 5 гл. VI мы уже много говорили о теореме Лебега, утверж-
дающей, что производная у монотонной функции существует почти
всюду. Фактически Лебег доказал ее только для непрерывных моно-
тонных функций. В 1911 г. У. Г. Юнг [9], а также У. Г. Юнг и Г. Юнг
[1] сняли ограничение непрерывности и доказали эту теорему для
произвольной монотонной функции. Поскольку же всякая функ-
ция с ограниченным изменением является разностью монотонных
функций, то отсюда вытекало, что всякая функция с ограничен-
354
ным изменением имеет производную почти всюду. Эту-то фундамен-
тальную теорему У. Г. Юнг распространил и на дифференцирование
функции по функции: если F (х) — произвольная функция с ог-
раниченным изменением, то она имеет конечную производную
почти всюду по отношению к монотонной ф (х).
В 1918 г. была опубликована работа Даниеля «Дифференциро-
вание по отношению к функции с ограниченным изменением» [1],
где он несколько иным путем, чем У. Г. Юнг, получил ряд аналогич-
ных результатов. По утверждению Даниеля [1, стр. 353] его статья
была написана независимо от статьи У. Г. Юнга и даже раньше опуб-
ликования последней. Однако представлена Американскому
математическому обществу она была только 6 сентября 1918 г.
В отличие от Юнга, Даниель дает явное определение произ-
водной функции по функции.
Пусть F (х) и а (х) определены в промежутке 0 х 1, при-
чем а (х) имеет ограниченное изменение. Расмотрим отношение
F (я; + е) — F (я; — е) = &F
а (х + 8) — а(х — 8) Да ' '
Это отношение может иметь верхний и нижний пределы при 8 ->
—> 0. Эти пределы Даниель называет верхним и нижним произ-
водными числами/7 (я) по отношению к а (х) в точке х и обозначает
lim
е->0
= DaF (х),
lim
е->0
= DaF (я).
Когда оба этих производных числа конечны и равны, т. е. когда
отношение (31) имеет единственный предел при 8 -> 0, этот предел
Даниель называет производной от функции F (х) по функции а (х)
в точке х е [0, 1], обозначая его символом D^F.
Определение Даниеля отличается от юнговского тем, что если
последнее является аналогом обычного определения производной, то
первое ближе к менее общему определению производной как предела
lim ,F^~F^ ,
*2 - ГЛ
х2—>х
Х1<х< х2
предложенного Пеано [3] в 1928 г. Лебег в своих «Лекциях об ин-
тегрировании» [19, стр. 242] отказывается от определения подоб-
ного типа, замечая, что при его использовании в задаче отыскания
примитивной F (х) по ее производной / (х) относительно а (х) оп-
ределяются лишь F (х — 0), F (х + 0). Поскольку, однако, при-
митивная обычно является достаточно хорошей функцией, имею-
щей «много» точек непрерывности, а в точках непрерывности
F (х — 0) = F (х) = F (х + 0), то определение Даниеля не так
уж плохо. Ему в своих исследованиях приходилось лишь делать
ту оговорку, чтобы функции F (х) и а (х) были определены и’вне
(0, 1), чтобы они были там непрерывны и их пределы слева от нуля
и справа от единицы совпадали со значениями их в этих точках,
355
12*
без чего оставались бы неопределенными
F (0 — е), а (0 — е),
F (1 + 8),
а (1 + е).
Мы уже отмечали, что в теорию интеграла Лебега — Стилтьеса
приходится переносить многие понятия теории интеграла Лебега,
соответствующим образом перерабатывая их. Такую же работу
пришлось выполнить и Даниелю. Так, он вводит понятия абсо-
лютно непрерывной функции по отношению к функции с ограни-
ченным изменением, повторяет определение множества а-меры
нуль, пользуется понятием суммируемой относительно а (х)
функции. Приведем даниелево определение абсолютной непрерыв-
ности по отношению к а (х) с ограниченным изменением.
Пусть на [0, 1] заданы функции F (х) и а (ж), обе с ограничен-
ным изменением, и пусть Q (х) и со (х) — соответственно их полные
вариации. Функция F (х) называется по Даниелю абсолютно не-
прерывной по отношению к а (я), если для любого 8 0 можно
найти такое 6 0, что для всех измеримых в смысле Бореля мно-
жеств е
dQ (х) 8
е
как только
Эти понятия позволяют Даниелю сформулировать и доказать
основную теорему его статьи:
Если F (х) абсолютно непрерывна относительно а (х), то она
почти всюду относительно а (х) имеет производную по а (я); эта
производная суммируема относительно а (х) там, где она сущест-
вует; если, наконец, Е — любое измеримое по Борелю множество,
то
dF (х) = DaF (х) da (х),
Е Е
где ^dF(x)— абсолютно аддитивная функция множества, со-
Е
ответствующая функции F (х) с ограниченным изменением, а
DaF (х) — производная от F (х) по а (х) в тех точках, где она су-
ществует, и любое конечное число там, где эта производная не су-
ществует.
Эта теорема является тою же теоремой Лейбница — Ньютона
для интеграла Стилтьеса — Лебега, которую доказал Юнг только
в применении к функциям, заданным не на интервалах, а на мно-
жествах (В).
Из других результатов Даниеля в [1] укажем только его дока-
зательство формулы интегрирования по частям для интеграла Ле”
бега — Стилтьеса (стр, 360—361),
956
§ 12. Несколько работ 1919 г.
В конце § 10 мы упомянули, что идеи Радона и Юнга по стилтье-
совскому интегрированию несколько опередили общий ход раз-
вития математики, осложненный обстоятельствами военного вре-
мени. К тому же понимание юнговских работ затруднялось своеоб-
разием его методов и языка, выходящих за рамки установившихся
канонов. Его способы определения интегралов Римана и Лебега,
которые он положил в основу определения интегралов Стилтьеса,
тогда (а в известной мере и позже) не получили распространения.
Математики в своей повседневной практике привыкли пользовать-
ся традиционными схемами определений интегралов Римана и
Лебега. Поскольку же, с одной стороны, в исследованиях Рисса,
Юнга и др. выявилась большая значимость нового обобщения по-
нятия интеграла, а с другой — работы Юнга показали, что эти
обобщения осуществляются относительно просто в рамках его под-
ходов, то естественно вставала задача обобщения обычных
способов определения интегралов до соответствующих интегралов
Стилтьеса. В частности, закономерной была идея взять какое-либо
хорошее изложение теории интеграла Римана и на основе его дать
изложение теории интеграла Римана — Стилтьеса. Так, в 1919 г.
поступили Харди 17, Кармайкл и отчасти Брэй.
Основной целью своей работы 17] Харди ставит изучение фор-
мулы интегрирования по частям для интегралов Стилтьеса. Соот-
ветствующую формулу для интеграла Римана он берет в виде
Ь х b х b Ъ
fdx gdt + gdx ^f(t)dt = ^ fdx § gdx. (32)
a a a a a a
Ее предпочтительность он видит в том, что она доказывается не пу-
тем обращения дифференцирования произведения двух функций,
а путем использования преобразования Абеля, о котором мы уже
не раз упоминали. Таким путем он доказал формулу (32) еще в
1901 г., не зная тогда, что этот метод доказательства употреблялся
неоднократно. К 1919 г. он узнал, что Томе аналогичное рассуж-
дение применял еще в 1875 г., и отметил этот факт (Харди [7, стр.
90]).
Теперь Харди желает обобщить (32) до формулы
Ъ х b х b Ъ
$ /ЙФ J gdV + J gd-v ^fd® = ^ fd<& J gdV,
a a a a a a
(33)
17 Можно заметить, что незадолго до этого Харди заинтересовался пробле-
мой моментов, и хотя в 1917 г. он еще пользовался определением мо-
мента через интеграл Римана (Харди [5])., тем не менее сама эта пробле-
матика могла подтолкнуть его к рассмотрению нового понятия интеграла.
Действительно, в следующем году он уже привлекает в этом вопросе
интеграл Стилтьеса (Харди [6]).
357
где Ф (ж) и ¥ (х) — функции с ограниченным изменением на (а, Ъ)
и не имеют общих разрывов, а / (х) и g (х) — ограниченные на (а,
Ъ) функции, причем интегралы
ь
$/йф,
существуют. Для доказательства формулы (33) Харди потребова-
лось рассмотреть некоторые свойства интеграла Стилтьеса, а по-
тому своему доказательству он предпослал раздел статьи, в кото-
ром дал два определения интеграла Римана — Стилтьеса и ука-
зал на некоторые свойства последнего. В связи с этим он писал:
«В этой заметке я рассматриваю только то, что называют интегра-
лом Римана — Стилтьеса. Я развил эту теорему совершенно иным
путем, чем профессор Юнг; моя цель — уподобить ее как можно
ближе трактовке Валле-Пуссена теории интеграла Римана»
(Харди [7, стр. 91, сноска]).
Первым его определением было обычное
Ь п
/йф = lim 2 / (li) [ф (^i) — ф («г-1)], (34)
а второе аналогичное тому, какое Пеано дал интегралу Римана, а
Юнг — интегралу Лебега.
Пусть / (х) и ф (х) — две ограниченные функции на (а, 6). Ра*
зобьем (а, Ь) на частичные интервалы (хъ xi+1) и составим суммы
п—1
2 Mi (Ф (*1+1) — Ф (*i)l ’’ (35)
г=0
п—1
2 mi [ф (xi+1) — ф (ж;)], (36)
г=0
где Мг и mi — соответственно верхняя и нижняя грани значений
/ (х) на (хь #i+1). Если нижняя грань сумм (35) и верхняя грань
сумм (36) при всевозможных разбиениях (а, Ъ) на конечное число
частичных интервалов совпадают, то их общее значение понима-
ется за
ь
J f (?) Йф (ж).
а
Мы уже отмечали, что эти два способа определений интеграла,
приводящие к эквивалентным понятиям в теории интеграла Рима-
на, дают неэквивалентные понятия в теории интеграла Стилтьеса.
К этому вопросу мы еще возвратимся, а сейчас отметим, что Харди
не увидел этого, и более того, даже утверждал совпадение двух
приведенных определений (Харди [7, стр. 92]).
358
Харди перед оказал теорему Юнга о том, что необходимое и до-
статочное условие существования интеграла Римана — Стилтье-
са (в первом определении) состоит в том, что полная вариация
Ф (х) на множестве разрывов / (х) должна быть равной нулю, под-
черкнув при этом, что вариация ф (х) обладает характеристиче-
скими свойствами меры [7, стр. 94—95]. Далее он сформулировал
ряд свойств интеграла, вроде теоремы о среднем:
ь
т [<р (Ь) — <р (а)]< ^fdq> < М [<р (Ъ) — ф (а)).
а
гдетпиМ — соответственно нижняя и верхняя грани / (х) на (а, Ь);
теоремы об интегрируемости произведения двух функций, если
интегрируема каждая из них и т. д. В заключение своей статьи
Харди доказал обобщенную формулу интегрирования по частям
(33).
Брэй [1] взял за основу определение (34) интеграла Римана —
Стилтьеса, но в доказательстве существования он ограничился
только случаем непрерывной / (х) и с ограниченным изменением
Ф (х) (стр. 177). Основным в его исследовании было понятие рав-
номерной ограниченности вариации функции по параметру. Под
этим он понимал следующее.
Пусть а (х, s) для каждого х (с ^.х d) имеет ограниченное
изменение по 5 (а Ь); пусть, далее Т (х, s) — полная вариа-
ция а (я, s) по $ при фиксированном х. Тогда, если Т (х, Ь) такова,
что Т (а, Ь) К, с^х d, где К — некоторая константа, то
а (я, $) называется функцией с равномерно ограниченной вариаци-
ей по $ для всех значений х ЕЕ [с, d].
Три теоремы Брэя связаны с этим понятием:
1) Если ф ($) непрерывна на а s Ь, а а (х, s) имеет равно-
мерно ограниченную вариацию по 5 для всех х интервала с х
d; если для каждого х из [с, d] можно указать всюду плотное на
(а, Ь) множество значений $, включающее точки а и Ь, и такое, что
на этом множестве а (ж, s) непрерывна по х, то функция
ь
Ф (s) = J ф (s) dsa (х, s)
а
непрерывна на с х d.
2) Если у (х) имеет ограниченное изменение на с х d,
а а (ж, $) равномерно ограниченной вариации по 5 на а 5 Ъ
для каждого значения х и непрерывна по х для каждого значения
$, то функция
d
Т (s) = a (х, s) dy (х)
с
имеет ограниченное изменение на а <1 s Ь;
359
3) Если ф (s) непрерывна на а s b; если 7 {х) имеет огра-
ниченное изменение на с х d, а а (х, $) непрерывна по х цля
всех х из lc, d], то интегралы
d b
ср (s) dsa (х, s)| d% (х),
с а
b d
ср (s) ds а (х, s) dy (ж)
а с
существуют и равны.
О работе [2] Кармайкла мы уже упоминали в конце § 4 в связи
с обобщением им формулы интегрирования по частям. Следует
упомянуть еще две его заметки [1, 3], посвященные интегралу
Стилтьеса.
Относительно [3] скажем только, что именно в ней предложена
та физическая интерпретация интеграла Стилтьеса, которая из-
ложена в конце предыдущей главы.
В [1] Кармайкл, подобно Харди, взяв за образец одно из из-
ложений теории интеграла Римана, рассмотрел совокупность ус-
ловий, необходимых и достаточных для существования интегра-
ла Римана — Стилтьеса при ограниченной / (х) и с ограниченным
изменением ф (х).
Он, как и Харди в [7], на которого он, конечно, не ссылается,
так как их статьи появились одновременно, ввел верхний и ниж-
ний интегралы Римана — Стилтьеса и показал их существование
при непрерывности / (х) в точках разрыва ф (х). Введя затем функ-
цию Ф (х), равную полной вариации ф (х) на (а, х), он установил,
ъ
что необходимым и достаточным условием существования /йф
а
являются:
ъ
1) существование ^fd&;
2) существование и равенство верхнего и нижнего интегралов
от / по Ф;
3) равенство нулю предела
п
lim 2 (^i — тг) [Ф (xj — Ф
^-*0 2=0
где mi — верхняя и нижняя грани значений / (х) на (х^, х^);
4) возможность разделить (а, Ь) на частичные интервалы та-
ким образом, чтобы в тех из них, в которых колебание / (х) больше
сколь угодно малого положительного числа, полная вариация ф (х)
была сколь угодно малой;
5) равенство нулю полной вариации ф (х) на множестве разры-
вов / (х).
Эти условия являются полными аналогами соответствующих
условий для интеграла Римана. Автор ссылается только на работу
360
Блисса [2] в связи с условием (5), хотя, как мы видели, Юнг ус-
тановил его еще в 1914 г., и Харди отметил это в [7], также передо-
казав эту теорему. У Харди же в [7] без доказательства сформули-
рованы условия (2) и (3).
Из работ 1919 г. следует также упомянуть большую статью
Мизеса [1], важную тем, что она открыла новую огромную область
приложений интеграла Стилтьеса — теорию вероятностей. Мизес
также, видимо не зная соответствующих работ Фреше и Юнга, са-
мостоятельно ввел (стр. 55) n-мерный интеграл Римана — Стилтьеса
в целях изучения функций распределения в n-мерном простран-
стве.
§ 13. Интеграл Стилтьеса и обобщенный предел
Мы не раз подчеркивали своеобразие интеграла Стилтьеса, его
отличия от римано-лебеговского интегрированя. Вместе с тем при
рассмотрении различных определений, различных свойств ин-
теграла Стилтьеса больше выделялось то, что объединяет его с
прежними. Видимо, настала пора несколько подробнее остановить-
ся на своеобразии интегрирования по Стилтьесу, на тех его чертах,
которые еще более отличают его от предшествующих интеграль-
ных процессов, связать интегрирование по Стилтьесу с одной из
центральных идей современной математики — с понятием обоб-
щенного предела или сходящегося фильтра, в свою очередь свя-
занную с другой важнейшей концепцией математики наших дней—
концепцией частично упорядоченного множества.
Видимо, впервые интегрирование по Стилтьесу было соедине-
но с обобщенным пределом в работе Полларда «Интеграл Стилтьеса
и его обобщения» [1].
Поллард начинает с анализа обычного определения интеграла
Римана — Стилтьеса как предела сумм
b I п
fdtp = lim 2 f (Bi) [ф (*i) — Ф (^i-i)l, (37)
a i=l
если таковой отсутствует (/ и ф ограничены). Он обнаруживает, что
в то время как многие свойства введенного таким образом интегра-
ла аналогичны свойствам интеграла Римана, аналогия нарушается
для свойства
Ъ с а
J + j + J = 0. (38)
а Ь с
Ъ
В римановском интеграле, если а с Ъ, из существования fdx
с Ь а
вытекает существование \fdx и ^fdx и равенство (38), и наоборот,
п. С
361
из существования двух последних интегралов следует существо-
вание первого и то же самое равенство. Для интеграла Стилтьеса
(37) положение оказывается более сложным: интегралы \fdty
ъ ь
и /dtp могут существовать, а интеграл /dtp нет. Простым примером
с а
(к > 0),
беря в качестве точки с точку х = 1. Поллард иллюстрирует этот
факт.
Любопытно, что математики просмотрели это обстоятельство и
пользовались свойством (38) без каких-либо оговорок. Так, на-
пример, незадолго до того Гильдебрандт даже положил его в осно-
ву аксиоматического подхода к интегралу Стилтьеса [1, стр. 186].
Оно, однако, выполняется при условии существования всех трех
интегралов.
Обнаружив указанный факт, Поллард делает вывод, что по
отношению к интегралу недостаточен тип предельного перехода,
применяемый при определении (37), и ставит задачу введения бо-
лее общего предельного перехода.
Ему, видимо, было неизвестно, что к этому времени нужное
ему более общее понятие предела уже существовало 18, и он вво-
дит его самостоятельно (Поллард [1, стр. 87—891).
После этого интеграл Стилтьеса он определяет (стр. 90) как
обобщенный предел тех же сумм, которые фигурируют в определе-
нии (37). Такой интеграл сохраняет свойства предыдущего, но,
кроме того, для него справедлива и формула (38) в тех же условиях,
что и для интеграла Римана. Полларду не удалось однако, до-
казать формулу интегрирования по частям для вновь введенного
интеграла, и он даже высказал предположение, что она вообще не
справедлива.
Это предположение оказалось неверным, что в 1957 г. было по-
казано Э. X. Гохманом [1, стр. 15—16] 19.
В § 5 своей работы Поллард определил также интеграл Стил-
тьеса по способу Пеано, т. е.
ь
$ fdq = I = I,
а
(39)
8 Укажем, например, работу Мура и Г. Л. Смита [1].
9 Кальтенборн [2, стр. 5, сноска] указал, что это свойство было доказано
Душником* в 1931 г.
362
где
п
I = inf {2 Mi 1ф (^i) — Ф (*i-l)l} ,
г=1
п
I = sup {2 mi ]<р (Xi) — <р (Zi-i)]} ,
г=1
где М„ mL — верхняя и нижняя грани значений / (х) на
а инфимум и супремум берутся по всевозможным разбиениям
(а, Ь) на конечное число частичных интервалов (гсЬ1, хг), и прове-
рил у него наличие обычных свойств.
Как мы говорили в гл. V в случае интеграла Римана способы
(37) и пеановский эквивалентны. Для интегралов Стилтьеса дело
оказалось сложнее. Поллард показал, что если существует интег-
рал в смысле определения (37), то существует и интеграл в смысле
определения (39). Обратное же оказывается неверным. Для дока-
зательства последнего Полларду служит все тот же пример, кото-
рым он иллюстрировал невыполнение равенства (38). Но если
взять второе определение Полларда интеграла Римана — Стил-
тьеса, то эквивалентность этих двух способов определения ин-
теграла восстанавливается (Поллард [1, стр. 120—121]). При этом,
как и в случае интеграла Римана, верхний и нижний интегралы
оказываются обобщенными пределами верхних и нижних сумм со-
ответственно. Аналогичную теорему для обычного предела Пол-
ларду удалось доказать только для непрерывной интегрируемой
функции [1, стр. 129].
Спустя два года обобщенный предел для определения интег-
рала Стилтьеса привлек Смит [1]. Он, не отметив наличия статьи
Полларда, также ввел интегралы Стилтьеса как пределы, обыч-
ный и обобщенный, сумм (37). Кроме того, он сформулировал
еще два определения. Перед тем как говорить о них, следует сде-
лать одно отступление.
При обычном определении интеграла Римана как предела
Ъ п
5 / (х) dx = lim 2 / (li) (^i — ^i-1) (40)
a X—*0 г=1
требуется, чтобы предел не зависел от характера разбиений (а, Ь)
точками Xi и от выбора точек в этих интервалах. Можно, одна-
ко, ослабить эти требования и рассматривать, например, предел
(40) при специальных выборах точек Так, например, поступал
Коши, когда он в качестве брал левые концы частичных интер-
валов. Априори кажется, что такой подход к определению интег-
рала может привести к более общим понятиям, чем обычный ин-
теграл Римана. Однако в теории римановского интегрирования
довольно широкий класс специальных выборов точек не приво-
дит к чему-либо отличному от интеграла (40). В частности, если в
363
определении (40) брать, как это делал Коши, левые концы частич-
ных интегралов, то, как в 1915 г. показал Гиллеспи [1], интеграл,
определяемый как предел сумм (40) с этим специальным выбором
точек эквивалентен обычному. Точно также, если в (40) вместо
/ (&0 брать среднее арифметическое значений / (х) в концах интер-
вала (^-1? то нового ничего не получится, как это заметил
Кристенсен, Пульсен и Райх [1, стр. 505] 20. Они же, кстати, нашли
достаточно общие условия, при которых специальный выбор точек
не приводит к обобщению интеграла Римана 21.
Картина радикально изменяется при переходе к стилтьесов-
скому интегрированию, и первые наброски этой картины стали вы-
рисовываться в работе [1] Смита. Как мы сказали, он предложил
еще два определения интеграла Стилтьеса. Первым из них являет-
ся определение (37), но с тем ослаблением, что в суммах (37) вме-
сто / (£0 берется [/ (^г-х) + / (^)1/2, т. е. среднее арифметическое
значение функции в концах частичных интервалов. Вторым —то
же самое, но при замене обычного предела обобщенным.
Смит показал, что самым общим из рассмотренных им определе-
ний является последнее, а самым узким — первое. Что же каса-
ется второго и третьего, то они не сравнимы по степени общности:
имеются пары функций, интеграл для которых существует в смы-
сле второго определения, но не существует в смысле третьего и,
наоборот, есть пары, интегрируемые по третьему и неинтегрируе-
мые по второму определениям. Приводимые им примеры весьма
элементарны. Смит нашел также необходимые и достаточные ус-
ловия существования каждого из четырех рассмотренных им ин-
тегралов.
То обстоятельство, что в условиях существования того или ино-
го типа интеграла почти обязательно, в явной или скрытой форме,
фигурируют точки разрыва, отчасти объясняется поведением
f (х) в концевых точках частичных промежутков, на которые раз-
бивается область интегрирования. Это подсказывало такую моди-
фикацию определений интегралов, когда поведение функций в точ-
ках деления исключалось бы в самих определениях. В частности,
такой модификацией является исключение рассмотрения / (х) в
точках деления требованием, чтобы точки фигурирующие в ин-
тегральных суммах, удовлетворяли условию х^ < Та-
кое определение в 1931 г. предложил Душник. Мы не располагали
. его диссертацией и опираемся здесь на обзорную статью Гильде-
брандта [6].
Определение Душника имеет вид
Ъ п
$ / (я) dg (х) = Lim 2 / (&) [ф (xi) — ф (ж^)], х^ < < хг, (41)
а г=1
20 Они повторили и результат Гиллеспи, не сославшись на него.
21 Что, впрочем, также было установлено давно Дантони [1].
364
для ограниченных / (х) и g (я), где предел понимается в обобщен-
ном смысле 22. Необходимое и достаточное условие существования
такого интеграла состоит в том, что в каждой точке [а, Ы или g (х)
была непрерывной справа, а / (х + 0) существовало, или же g (х)
была непрерывной слева, а существовало f (х — 0). В формуле
интегрирования по частям появляется добавочный член в виде
суммы
2 {/(ж — 0)[g(x) — g(x — 0)] — f(x) [g (x -l-О) — g (x — 0)1 4-
X
+ f(x + 0) [g(z + 0) — g (x)]},
где суммирование распространяется на общие точки разрыва / (ж)
и g (х).
Аналогичное определение, но не через обобщенный предел, а
в форме общего значения граней интегральных сумм раньше было
введено Поллардом [1, стр. 123].
Гильденбрандт в [6, стр. 273] заметил, что можно было бы рас-
смотреть интеграл Стилтьеса типа
Ь п
$ / (*) dg (х) = Lim 2 / (*i-i) [g (*i) — g (42)
a i=l
или такого же, но в сумме справа / (^-х) заменить на /(хг), и вы-
сказал предположение, что такое определение будет эквивалент-
ным обычному в случае, если g (х) непрерывна и с ограниченным
изменением. Такую модификацию определений с использованием
обобщенного предела рассмотрел в 1943 г. Прайс [1]. Он назвал их
соответственно левым и правым интегралом Коши — Стилтьеса.
Кроме того, он видоизменил определение Душника, потребовав, что-
бы точка удовлетворяла неравенствам х^ < xh и назвал
его правым модифицированным интегралом.
Прайс показал, что один из интегралов первых двух типов мо-
жет существовать, а другой нет, а также, что оба эти интеграла мо-
гут существовать (с равными или неравными значениями), хотя
правый модифицированный интеграл не существует. Отсюда, в
частности, вытекало, что интеграл Полларда, в форме ли совпаде-
ния 7, / или в форме (37) с обобщенным пределом, является менее
общим, чем любой из трех определенных Прайсом интегралов. Не-
правильно, поэтому утверждение Э. X. Гохмана [1, стр. 14—15],
что определение (37) с обобщенным пределом эквивалентно опреде-
лениям левого или правого интегралов Коши — Стилтьеса 23.
Прайс рассмотрел также различные условия существования
введенных им интегралов и условия совпадения их с менее общи-
ми интегралами.
22 Душник рассмотрел и определение такого же типа при обычном пределе.
23 Э. X. Гохман в [1] сформулировал эти три определения (точнее два, так
как правый и левый интегралы он не различает), не ссылаясь на кого-
либо из предшественников.
365
Теории интеграла Стилтьеса, определяемого через (37) с обоб-
щенным пределом, посвящена книга Э. X. Гохмана [2]. Каких-ли-
бо модификаций этого определения здесь он не рассматривал, по-
этому мы ограничимся простым упоминанием этой книги.
Возвращаясь к определениям Смита, заметим, что в 1932 г. их
изучал и применял Стеффенсен 24, а в 1934 г. им посвятил доктор-
скую диссертацию Кальтенборн. Последний опубликовал также
статью [2], в которой изучил необходимые и достаточные условия
существования средних интегралов, доказал для них формулу ин-
тегрирования по частям и теорему о перемене порядка интегриро-
ваний у повторных интегралов. Спустя полтора десятилетия его
основные результаты были повторены Лейном [1]. Своеобразное
необходимое и достаточное условие среднего интеграла с обоб-
щенным пределом установил Порчелли [2]. Бзох [1] рассмотрел
взаимоотношения между этим интегралом и правым (левым) ин-
тегралом Коши — Стилтьеса; он доказал, что если оба послед-
ние существуют, то существует и интеграл Смита и равен их сред-
нему арифметическому. Кроме того, он построил примеры пар
функций, у которых один интеграл, правый или левый, существу-
ет, а другой нет, а потому не существует и смитовский интеграл,
что впрочем, вытекало из сопоставления его теоремы и отмеченных
ранее результатов Прайса о левых и правых интегралах.
Не останавливаясь на еще некоторых работах того же типа, на-
пример, Шерфа [1, 2], Деннистона [1], Риддера [6, 7], в заключение
остановимся на отдельных применениях рассмотренных определе-
ний интеграла с обобщенным пределом.
Ранее, говоря о связи линейных функционалов и интегралов
Стилтьеса, мы ограничивались исключительно пространством не-
прерывных функций, заданных на [а, Ь], или на ограниченных
замкнутых множествах, n-мерного евклидового пространства.
К 30-м годам были найдены также общие аналитические выраже-
ния для функционалов в ряде других пространств. Однако до
1934 г. при изучении форм линейных функционалов ограничива-
лись сепарабельными пространствами, и для этого было достаточ-
но или обычных интегралов Стилтьеса, или интегралов Лебега
или, наконец, рядов. Ситуация осложнилась при переходе к несе-
парабельным пространствам, когда пришлось привлечь более
сложные формы интеграла Стилтьеса, определяемые через обоб-
щенный предел.
Первый пример такого применения предложил Кальтенборн
[1]. Он рассмотрел несепарабельное пространство D функций, за-
данных на [а, Ь] и имеющих разрывы первого рода, с нормой
/W| = sup |/( х) |. Оказалось, что общее аналитическое выра-
хе[а,ь]
4 Его статьей «On Stieltjes integral and its applications to actuarial ques-
tions» (Journ. of the Inst, of Actuaries, 1932, 63, 443—483), мы не распо-
лагали.
366
жение линейного ограниченного функционала в D имеет вид
Ъ оо
и [/] = S / (*) Лр (х) + 2 [/ (Ci) -i(Ci- 0)] ip (Ci),
a 1=0
где {c^ — точки разрыва f (x), а функции ф (x) иф (x) зависят толь-
ко от U, причем ф (х) имеет ограниченное изменение, а ф (х) равна
нулю всюду, за исключением счетного множества точек и
S | Ф (li) | < оо’, интеграл в этом выражении понимается в смы-
сле (41) Душника.
В том случае, если / (х) = X/ (х — 0) + (1 — X) f (х + 0),
где к — некоторое действительное число, сумма справа исчезает,
и функционал выражается просто через интеграл; в частности, по-
следнее справедливо для односторонне непрерывных / (х) или та-
ких, что/(х) = 1/2 [f(x — 0) + /(х + 0)] в каждой точке [а, Ы; если
же ф (х) = 1/2 [ф (х — 0) + ср (х + 0)], то функционал выражает-
ся четвертым интегралом Смита. В заключение Кальтенборн [1,
стр. 708] показал, что функционал в D вообще не может быть вы-
ражен даже при помощи интеграла Лебега — Стилтьеса, объяс-
няя это тем фактом, что для последнего справедливо равенство
ь ъ
а а
если g (х) с ограниченным изменением, при монотонном предель-
ном переходе lim/n (х) = / (х), тогда как этим свойством не обла-
дает интеграл с обобщенным пределом.
В том же 1934 г. к вопросу об аналитическом выражении линей-
ных ограниченных функционалов в несепарабельных пространст-
вах: а) ограниченных последовательностей, б) ограниченных изме-
меримых функций на конечном и в) бесконечном интервалах,
причем в последнем случае рассматриваются только функции с
разрывами первого рода, г) ограниченных непрерывных функций
на бесконечном интервале и д) почти всюду ограниченных изме-
римых функций — более общим образом подошел Гильдебрандт
[5]. В его исследованиях также играли важную роль интегралы
Стилтьеса, определяемые через обобщенный предел, как рассмо-
тренные выше, так и те, о которых мы еще не говорили.
§ 14. Некоторые другие формы определений
интеграла Стилтьеса римановского типа
При определении интегралов коши-римановскими суммами пер-
воначально требовали, чтобы в суммах
п
2 / (&) (Xi ~ ^-1)
1=1
(43)
367
или
п
2 / (&) 1ф (*i) — Ф 1 (44)
г=1
ни на характер разбиений на частичные интервалы (xi_n xj, ни
на выбор в них точек не накладывалось никаких ограничений.
Для интегралов римановского типа столь жесткие требования в из-
вестной мере оправдывались тем, что даже существенное ослабле-
ние их не выводило за пределы обычного интеграла Римана. Для
интегралов стилтьесовского типа дело обстоит далеко не так не
только при применении обобщенного предела, как это было вид-
но в предыдущем параграфе, но даже и в случае обычного предела
по последовательностям разбиений со стремящейся к нулю макси-
мальной длиной частичных промежутков.
Идея ослабления требований произвольности разбиений про-
межутка интегрирования на частичные промежутки и выборы точек
& зародилась чуть ли не с появлением самих сумм (43). Действи-
тельно, при определении несобственных интегралов еще у Коши
точки, в которых функция принимает бесконечные значения,
трактовались по-особому. По сути дела той же идеей руководство-
вались при распространении определения Коши на интегралы ог
ограниченных разрывных функций. С введением интеграла Рима-
на идея ослабления указанных требований для ограниченных функ-
ций временно отпала, продолжая все же жить в исследованиях по
несобственным интегралам (Гарнак, Гёльдер, Штольц, Мур
и др.).
Возрождение ее и для ограниченных функций произошло в 1909 г.
у Лебега, а затем и других математиков в связи с намерением по-
лучить приближение лебеговского интеграла от суммируемых
функций посредством сумм Римана, о чем мы упоминали в преды-
дущей главе (стр. 261). Применение же ее для определения интег-
рала и получение на этом пути новых типов интегралов восходит
к 1919 г. и сделано Данжуа, о чем мы также упоминали. Исследо-
вания Данжуа продолжил его ученик Бокс [1], а затем несколько
лет спустя Кемписты [1—3] и ряд других математиков. Они, од-
нако, на наш взгляд, не столь прозрачны, как соответствующие ис-
следования в теории интеграла Стилтьеса, хронологически более
поздние, но более наглядные с точки зрения зависимости типа ин-
теграла от характера интегральных сумм (44).
Мы упоминали о модификации Смита [1], когда в интегральных
суммах (44) значения / (|) заменяются средним арифметическим
значений / (х) в концевых точках частичных интервалов. Говорили
мы и о модификации Душника, когда выбор ограничивался ус-
ловием Xj-i <С £1 < Эту модификацию он осуществил не только
для обобщенного предела, но и для предела по стремящейся к
нулю максимальной длине разбиений на частичные интервалы.
Ограничения на выбор точек деления в определении интеграла
Стилтьеса рассмотрел Лебег [19, стр. 223—226]. Он хотел как мож-
368
но более сблизить определения интегралов Римана и Стилтьеса.
Для этого он ввел несколько новых понятий.
Пусть рассматривается ограниченная f (х) и с ограниченным
изменением g (х). Пусть, далее, тщ — соответственно верхняя
и нижняя грани / (я) на частичном интервале (#<, Обозначив
числа g te+i)— g te) через 6;g, а через
если
тп;, если S^g
Ь / t»*—*
mi4 если S4g О
Мъ если 6|£ < О
Лебег называет соответственно верхней и нижней гранями относи-
тельно g (х) на (х;, #1+1) ЭТИ Mi И Шг.
Затем он вводит верхние и нижние интегральные суммы
5 = 2
(45)
г=0
п
5 = 2 m&g-
(46)
Лебег, видимо, не владел методом Пеано определения интегра-
ла Римана (или не хотел им пользоваться), а опирался на Дарбу.
Поэтому он не определил верхний и нижний интегралы как соот-
ветствующие грани сумм (45) и (46), а хотел их рассматривать по
способу Дарбу — как пределы этих сумм при стремящейся к нулю
норме разбиения. Однако он, вероятно, обнаружил (об этом он
ничего не пишет), что такие пределы при ограниченной / (х) и с
ограниченным изменением g (х) могут не существовать, если разбие-
ние оставить совершенно произвольным, как в интеграле Римана.
Поэтому он накладывает ограничения на характер разбиений, тре-
буя, чтобы последовательности разбиений {Dk} со стремящейся к
нулю нормой были такими, что всякая точка разрыва функции
g (х) принадлежит всякому разбиению Dk, начиная с некоторого к.
После этого ему удается доказать, что пределы этого типа сумм (45)
и (46) существуют и единственны; эти пределы он называет соответ-
ственно верхним и нижним интегралами Дарбу — Стилтьеса (Ле-
бег [19, стр. 224]).
Лебег, однако, не делает следующих, теперь кажущихся есте-
ственными, шагов: он не определяет интеграл в терминах совпаде-
ния верхнего и нижнего интегралов и не пытается доказать, явля-
ется ли такой интеграл модифицированным пределом сумм (44).
Такое определение изучил В. И. Гливенко, который показал, что
оно эквивалентно определениям как через модифицированный ле-
беговский, так и через обобщенный пределы сумм (44) [2, стр.
105-114].
Сочетание идей Душника и Лебега нашло. свое развитие у
Г. М. Фихтенгольца [6]. Для ограниченной / (х), имеющей лишь
369
разрывы первого рода и с ограниченным изменением <р (х) на (а, Ь),
он определил интеграл как лебеговский предел сумм (44) с душни-
ковским ограничением х^ < < Xi и указал, что этот предел
существует и единственен при сделанных предположениях относи-
тельно f и ф. Г. М. Фихтенгольц установил ряд свойств такого ин-
теграла и несколько дополнил результаты Кальтенборна.о предста-
влении линейного функционала в пространстве функций с разры-
вами первого рода, о которых говорилось в конце предыдущего па-
раграфа.
Своеобразен подход к интегралу Римана — Стилтьеса у Рид-
дера [4]. Для этого он вводит так называемые е-разбиения проме-
жутка интегрирования, мотивируя необходимость их введения так.
В обычном определении через суммы (44) требуется существо-
вание предела при max (^ — х^) 0. Однако по самой конст-
рукции этих сумм роль разности (^ — х^) для Я-интеграла в
них играет разность <р (а^) — ф(^-1), а последняя вообще не стре-
мится к нулю при стремлении к нулю (я* — Поэтому он на-
меревается так построить разбиения промежутка интегрирования,
чтобы обеспечить достаточную малость <р (а^) — <р (^_1). Лебег до-
бивался этого включением точек разрыва <р (х) в число точек деле-
ния. Риддер идет несколько дальше и получает более общий ин-
теграл.
Пусть ф (х) имеет ограниченное изменение на [а, 6]. Точка х
называется двойной точкой относительно ф (я), а если ф (х) раз-
рывна в х; в х мыслятся две точки х — 0 и а? + 0, а ф (а?) определя-
ется в них как ф (х — 0) и ф (х + 0), причем если
то хг < х — 0 < х + 0 < х2. Относительно / (х) принимается
ограничение, что если х — двойная точка относительно <р (а;), то
/ (^ — 0) = / (х + 0). Наконец, само е-разбиение вводится так.
При произвольном положительном е разбиение а или а — 0 =
= Хц <С хА <С х2 < ... < хп = b или 6 + 0 называется е-разбие-
нием относительно ф (х) с ограниченным изменением, если:
1) точки деления являются или точками непрерывности ф (х)
или точками (х — 0), (х + 0) (соответствующими двойным точкам);
2) для каждой двойной точки х функции ф (х) с v (х + 0) —
— v (х — 0) е, где v (х) — полное изменение ф (х) на (а, х),
среди точек деления содержатся две следующие друг за другом
точки Xj и Xj+1 такие, что х$ = х — 0, Xj+1 = х + 0;
3) для всякой пары следующих друг за другом точек деления
хк, xk+i^ не принадлежащим рассмотренным в 2) парам,
(xk+i) — » (ял) < 8.
Затем вводятся интегральные е-суммы как суммы (44), но бе-
рущиеся только по отношению к е-разбиениям, а интеграл опреде-
ляется или как единственный предел е-сумм (Риддер [4, стр. 68]),
или как общее значение граней верхних и нижних интегральных
е-сумм (стр. 68—69), причем доказывается эквивалентность этих
определений.
370
Спустя много лет Риддер [6], опираясь на е-разбиения, ввел
левые и правые интегралы как с обычным, так и с обобщенным
пределом.
Еще сложнее к определению интеграла Стилтьеса подошел Ко-
пеланд [1]. Ход его рассуждений таков.
Пусть пока g (х) определена на (а, Р), монотонна там, причем
g (а + 0) = 0, ag (Р) = 1. Возьмем любой интервал (а, Ь) с: (а, Р)
и какое-либо разбиение интервала (а, Р) последовательностью
точек х1ч х2, ..., хп. Пусть Нп означает число тех точек хг (i =
= 1, 2, ..., м), которые попадают в (а, Ь) при заданном п. Будем
рассматривать такие последовательности {яп}, чтобы выполнялось
условие
lim = g (b + 0) - g (а + 0). (47)
Оказывается, что для заданной g (х) всегда можно выбрать после-
довательность {#/,}, удовлетворяющую условиям (47).
Пусть теперь на (а, Р) заданы произвольная ограниченная
/ (х) с разрывами только первого рода и функция g (х) рассмотрен-
ного типа. По g (х) строим последовательность {xk} и образуем
сумму
п
G„=S/(^n), (48)
i=l
где хп означают первые п членов последовательности {#&}. Копе-
ланд доказывает, что у сумм (48) существует единственный предел
в смысле Чезаро [1, стр. 583—584], т. е.
и этот-то предел он и принимает за определение интеграла от
/ (х) по g (х) на (а, Р). Затем Копеланд показывает, что в этом
определении можно снять наложенные Hag(х) ограничения, оста-
вив у нее лишь свойство быть с ограниченным изменением
[1, стр. 584].
В 1940 г. Джеффери [5] существенно сузил определение Копе-
ланда и тем не менее у него получился интеграл, не менее общий,
чем интеграл Лебега — Стилтьеса. Что же касается первоначаль-
ного определения Копеланда, то Джеффери построил пару функ-
ций, интегрируемых по Копеланду, но не интегрируемых в смысле
его собственного определения, а значит и в смысле Лебега — Стил-
тьеса.
Метод Копеланда был обобщен Зримом [1] на функции не-
скольких переменных.
Суммирование по Чезаро для введения еще двух типов инте-
грала Стилтьеса применили в одно время с Копеландом, но совсем
иначе, Ицуми и Кавота [1]; они же воспользовались этими интег-
371
ралами для аналитического представления некоторых функциона-
лов.
Ранее, говоря об интегральной сумме (44), мы относительно
мало внимания уделяли характеру разбиений промежутка ин-
теграции на частичные промежутки в том смысле, являются ли
последние замкнутым, открытыми или полуоткрытыми.* Это дела
лось, в какой-то мере обдуманно, ибо и сами математики довольно
долго не особенно обращали на это внимание. Но ведь при рас-
смотрении разрывных функций поведение их в точках деления иг-
рает существенную роль в вопросах существования интеграла и
его свойств. Математики вообще учитывали последнее, но это про-
исходило неявно. Первым вполне осознанным шагом в этом напра-
влении явилась четкая классификация элементов разбиения,
предложенная в 1936 г. В. И. Гливенко [2, стр. 78—79]. Он внес
в нее не только упомянутые промежутки, но и отдельные точки, и,
наложив на интегрирующую функцию некоторые ограничения,
показал, как определять ее приращения на этих элементах. В по-
следующих рассуждениях он соблюдал выставленные им требо-
вания.
Соображения В. И. Гливенко развил Динс в интересной ра-
боте [1], опубликованной, к сожалению, не в математическом жур-
нале и, видимо, не очень хорошо известной математикам. Нель-
зя сказать, что работа Динса является четкой. Поэтому трудно
коротко изложить даже ее основное содержание. Мы ограничимся
выделением в ней некоторых элементов, представляющих, на наш
взгляд, интерес для теории интеграла Стилтьеса.
Динс, как и В. И. Гливенко, выделяет пять элементов разби-
ения промежутка интеграции: отдельные точки, замкнутые, от-
крытые, полуоткрытые слева или справа промежутки, обозначая
последние четыре соответственно символами: ][,)(, )[, ](, и требует,
чтобы при построении интегральных сумм происходил учет свое-
образия этих элементов разбиения и поведения функций при соот-
ветствующих разбиениях.
Второе, что нам кажется заслуживает внимания, это его ана-
лиз сумм Дарбу и верхних и нижних интегралов Стилтьеса. Динс
рассматривает произвольную ограниченную действительнознач-
ную функцию / (я), заданную на [a, &J, и ограниченную аддитив-
ную функцию интервала Г (о), определенную на множестве
образованном из конечных сумм интервалов а с: [а, 6]. Для этих
функций он вводит три суммы:
б(/,Г,П) = 2/(^)Г(о{); (49)
8 (/, Г, D) = 2 / (6i) Г (Oi) + 2 f (б|) г (Oi); (50)
s (J, г, D) = 2/ (6i) Г (6i) + 2/ (3i)r (*i), (51)
в которых GE cFi, / ((Ji) и f (Oi) означают соответственно нижнюю
и верхнюю грани значений / (х) на о*, причем первые суммы спра-
372
ва в (50) и (51) соответствуют тем сг^, на которых Г 0, а вто-
рые тем оь на которых Г (сгЭ < 0. Если функцию интервала Г (о)
положить равной g (х) — g (?/), где х и у — концы интервала о,
то суммы (49) — (51) Динса переходят соответственно в суммы
(44) — (46), рассмотренные выше.
Динс знаком с пеановски мспособом определения верхних и
нижних интегралов, так как он ссылается на работу [1] Полларда,
в которой этот способ был применен, правда, по отношению к не-
сколько иным суммам, нежели (50) и (51) Динса или (45) и (46) Ле-
бега. Тем не менее он не применяет для определения верхних и
нижних интегралов понятий верхней грани нижних сумм
и нижней грани верхних сумм, а пользуется, как и Дарбу,
предельным переходом, причем сам предельный переход понима-
ется только в смысле стремления к нулю нормы разбиения. При
этом-то как раз и вскрываются любопытные обстоятельства.
Для интеграла Римана, когда Г (о) = х — у, Г (х, у) =
= Г [х, у) = Г (х, у] = Г [х, у], и теорема Дарбу устанавливает,
что какую бы последовательность разбиений [a, fe] мы ни взяли,
при условии стремления к нулю нормы все суммы (50) для ограни-
ченных / (х) стремятся к одному и тому же пределу/, а все суммы
(51) — к одному и тому же пределу I, причем / I. Не так об-
стоит дело в случае, когда Г (о) = g (х) — g (?/), т. е. в случае ин-
теграла Стилтьеса. Вообще для различных последовательностей
разбиений пределы сумм (50) и (51) оказываются различными, и
эти пределы образуют два множества чисел, которые Динс обо-
значает соответственно через (Z_) для сумм (50) и (Z+) для сумм (51).
Следовательно, при таком подходе вообще нельзя вести речь о
нижних и верхних интегралах, так как и (Z_) и (Z+) могут состоять
каждое из бесконечного множества различных чисел. Более
того, множества (Z_) и (Z+) могут перекрываться, т. е. существуют
такие последовательности разбиений {Dn} и {Z?™}, что один из
пределов сумм (50) может оказаться числом из (Z+), если этот пре-
дел взять по {Dn}, а один из пределов по Dm сумм (51) может
оказаться числом из (ZJ.
Мы ранее видели, как Лебег пытался обойти эту трудность мо-
дификацией предельного перехода, потребовав, чтобы точки раз-
рыва в конце концов входили в точки рассматриваемой последова-
тельности разбиений. Обозначая пределы сумм (50) и (51) для та-
кого предельного перехода соответственно через (L.) и (L+), Динс
показывает [1, стр. 268—269], что если не требовать некоторых
дополнительных ограничений от поведения функции в точках раз-
рыва, то нельзя определить верхние и нижние интегралы так, как
делал Лебег, ибо даже в этом случае может оказаться, что каждое
из множеств (L_), (L+) состоит не из одного числа и даже более то-
го — эти множества могут перекрываться.
И, наконец, третий момент работы Динса, на котором мы хо-
тели бы остановиться,— это анализ Динсом проблемы разложе-
ния интегрирующей функции.
373
Обычным приемом при определении интеграла Стилтьеса для
интегрирующей функции g (х) произвольного знака является раз-
ложение ее на две неотрицательные функции. После этого интег-
рал определяется для неотрицательной интегрирующей функции,
а интеграл по g (х) выступает затем как разность двух интегралов
по неотрицательным функциям. Динс показывает [1, стр. 270—
271], что такой прием допустим только при некоторых дополни-
тельных предположениях.
Мы не исчерпали в какой-то мере даже основного содержания
работы Динса: более обстоятельное изложение потребовало бы
слишком длинных пояснений.
Внимательный читатель, безусловно, заметил, что суммы (49)—
(51) Динса существенно отличаются от соответствующих сумм для
интегралов Римана и Стилтьеса. Если в римановских суммах сла-
гаемые образуются умножением значения функции (или грани
значений функции) на длину частичных интервалов, если в стил-
тьесовских суммах — аналогичные значения функции (или обыч-
ные, а иногда и модифицированные грани значений этой функции)
на обобщенную длину, выражаемую разностями значений интег-
рирующей функции на концах частичных промежутков, то суммы
(49) — (51) имеют более сложную природу. В последних второй
множитель состоит из значения достаточно общей функции ин-
тервала на частичном промежутке, и от F (и) не требуется, чтобы
она представлялась такими разностями. Так что интегралы, рас-
смотренные Динсом, имеют, вообще говоря, более сложную при-
роду, нежели те, о которых до сих пор шла речь. Мы же не акценти-
ровали на этом внимание читателя, и это сделано по следующим
соображениям.
Еще в 1924 г. Бёркил, а в 1930 г. А. Н. Колмогоров предложи-
ли такие обобщения интегралов, которые включают в себя как уз-
кие частные случай не только римано-стилтьесовское интегрирова-
ние, но и интегрирование, фигурирующее в рассуждениях Динса,
который, кстати, был далеко не первым, кто рассматривал интег-
ралы с интегральными суммами типа (49) — (51).
Интегралы этого типа в общем виде начала рассматривать
Р. Юнг [1—3, 5]; их же впоследствии изучал П. И. Коваль [1—3];
некоторые специализации таких интегралов, когда функция ин-
тервалов, по которой производится интегрирование, имеет тот или
иной частный вид, изучали Ган [6], Л. В. Канторович [1], Минь
Сы-хэ [1], Дунь Хуай-юнь [1], Н. А. Столяров [1—4].
В заключение настоящего параграфа — коротко о цикле иссле-
дования Н. М. Гюнтера.
В классической математической физике обычно оперировали с
достаточно хорошими функциями, имеющими нужное число про-
изводных, для исследования которых применялся хорошо разра-
ботанный математический аппарат. Однако в конце XIX — нача-
ле XX вв. потребовалось ввести функции, которые не обладали
нужным числом производных, чтобы к ним можно было применить
374
обычные математические средства. В частности, с таким положе-
нием столкнулся В. А. Стеклов. Для избежания трудностей, воз-
никающих при этом, В. А. Стеклов часто пользовался так назы-
ваемым методом сглаживания, т. е. заменой исследуемой функции,
которая является недостаточно «хорошей», ее средним значением
на малом промежутке h:
x+h
-1- f(t)dt. (52)
X
Этот прием пригоден и для функций нескольких переменных. Он
применялся в математике уже давно, и работы В. А. Стеклова вы-
деляются разве лишь тем, что в них он использовался более систе-
матически. Мы не собираемся говорить о работах В. А. Стеклова,
и сказанное выше вызвано лишь тем, что они оказали сильное влия-
ние на Н. М. Гюнтера, воспринявшего у В. А. Стеклова этот
прием и развившего его далее.
Дело в том, что выражение (52) фактически представляет собой
функцию интервала, поэтому переход от выражений типа (52) к
функциям интервала и, общее, к функциям области довольно есте-
ственен. Именно этим путем к изучению функций области, а затем
и интеграла Стилтьеса пришел Н. М. Гюнтер.
К 1926 г. Н. М. Гюнтер, не зная работ Лебега, Радона, Валле-
Пуссена, пришел к идее рассмотрения функций области как само-
стоятельного и важного объекта исследования, а также к идее обоб-
щения понятия интеграла Стилтьеса. Свои соображения он изло-
жил вкратце в заметке [1], опубликованной в Докладах Париж-
ской Академии наук. Любопытно при этом не столько то, что
Н. М. Гюнтер в 1926 г. не был знаком с идеями указанных авто-
ров, что отчасти можно объяснить обстоятельствами военного и
послевоенного времени, сколько факт представления этой заметки
Адамаром, не увидевшем в ней повторения уже сделанного, причем
в значительной мере его соотечественниками.
В 1927 г., еще не зная соответствующей работы Радона,
Н. М. Гюнтер доложил свое определение интеграла на Всесоюз-
ном математическом съезде [2]. Но уже к 1929 г. он ознакомился
с мемуаром Радона [1] и ссылается на него как на работу, в которой
содержится такое же определение интеграла, как и его собствен-
ное (Н. М. Гюнтер [3, стр. 447, сноска]). За эти годы Н. М. Гюн-
тер прошел довольно трудный путь самостоятельного подхода к
идее лебего-стилтьесовского интегрирования, выработал собствен-
ный язык и символику, и понятно, что для него был труден переход
на более или менее установившиеся язык и символику Лебега —
Радона — Валле-Пуссена. Поэтому он полностью сохраняет
свой стиль изложения и в [4], и в его основной работе [5] по рас-
сматриваемому вопросу, а также и в последующих.
В общеидейном плане соображения Н. М. Гюнтера о понятии
интеграла в общем-то не представляют особого интересами не в этом
375
значение его работ по теории интеграла Стилтьеса25. Их значимость
определяется прежде всего тем, что Н. М. Гюнтер вскрыл нео-
бычайно широкий диапазон применений функций областей и ин-
теграла Стилтьеса в самых разнообразных вопросах математиче-
ской физики.
В § 10 гл. VI мы уже говорили о значении функций множеств
для теоретической физики в связи с исследованиями Лебега. Но
последний не пошел по отношению к физическим проблемам даль-
ше соображений общего характера. Напротив, в работах
Н. М. Гюнтера, как в указанных, так и в ряде других, эти общие
соображения начали получать конкретную реализацию. Одной из
основных его научных целей была попытка перестроить здание тео-
ретической физики, основываясь не на концепции функции точки,
как это делалось ранее, а на понятии функции области, и как в
1948 г. писали В. И. Смирнов и С. Л. Соболев, «в той новой мате-
матической физике 26, которая сейчас строится, работы Н. М. Гюн-
тера займут почетное место» [1, стр. 12]. Чтобы дать хотя бы общее
представление о направленности исследований Н. М. Гюнтера,
перечислим название глав в [5]: 1. Средние функции; 2. Интегра-
лы Стилтьеса; 3. О разложениях по фундаментальным функциям;
4. Интегральные уравнения в интегралах Стилтьеса; 5. О некото-
рых вопросах теории потенциала; 6. Проблема К. Неймана; 5. Проб-
лема Дирихле; 8. О ньютоновском потенциале; 9. О некоторых
проблемах, относящихся к лапласиану 27. Последующие примене-
ния даны Н. М. Гюнтером в [6—10].
§ 15. Несколько заключительных замечаний
по поводу теории интеграла Стилтьеса
Если бы мы захотели продолжать описание исследований по
теории интеграла Стилтьеса в том же духе, как это сделано выше,
даже не касаясь его обобщений за пределы интеграла Лебега —
Стилтьеса для функций, заданных в n-мерных евклидовых прост-
ранствах, то нам бы понадобилась еще минимум сотня страниц
текста. Не располагая такими возможностями, ограничимся неко-
торыми замечаниями полубиблиографического характера, лишь в
некоторых случаях позволяя себе быть чуть пространнее.
Ранее относительно подробно мы остановились лишь на двух
формах определения интеграла Лебега — Стилтьеса — юнговс-
кой и радоновской, да упомянули о подходах Гильдебранта и Ле-
бега. Существует еще много способов определения такого интегра-
ла. Многие из схем определения интеграла Лебега как рассмот-
26 Впрочем, в некоторых вопросах математики полезна и гюнтеровская
форма определения интеграла, и ею иногда пользуются (см., например,
Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1, стр. 206—207]).
26 Имеется в виду теоретическая физика, перестраиваемая в указанном на-
правлении.
27 Заметим мимоходом, что книга Н. М. Гюнтера [5] была переведена на
английский язык и издана в США в 1949 г.
376
ренные в предыдущей главе, так и не рассмотренные там, были
обобщены до схем введения интеграла Лебега — Стилтьеса. В ка-
честве примера можно привести статью Мотта [1], в которой рис-
совский метод ступенчатых функций и предела почти всюду был
перенесен в сферу стилтьесовского интегрирования. Наиболее
распространенной оставалась схема Радона, но и она подверглась
модификациям: например Рисе [10] в основу положил не понятие
функции измеримых множеств, как у Радона, а понятие функции
открытых множеств.
Очень своеобразна по тонкости результатов теория интеграла
Лебега — Стилтьеса, построенная Н. К. Бари и Д. Е. Мень-
шовым [1, 2]. Они ввели интеграл с абсолютно непрерывной ин-
тегрирующей функцией. Их неопределенный интеграл вообще яв-
ляется разрывной функцией; он даже может не существовать ни
в одной точке области интегрирования при условии, что определен-
ный интеграл по всему промежутку существует. При некоторых
предположениях относительно интегрируемой функции неопре-
деленный интеграл оказывается суперпозицией абсолютно непре-
рывных функций, и наоборот,— тем самым исследования о супер-
позициях, о которых шла речь в предыдущей главе, нашли про-
должение в теории интеграла Стилтьеса.
Сознательное изучение связи дифференцирования функции по
функции и интегрирования по Стилтьесу началось, как мы говори-
ли, У. Г. Юнгом и Даниелем только во втором десятилетии нашего
века. В 1923 г. к ней обратился Френсис [1,2], затем вновь Даниель
[6, 7]. Но лишь после появления лебеговских «Лекций» [19] в
1928 г. открылся широкий фронт работ по изучению такого дифе-
ренцирования. Укажем, к примеру, работы Руссела [1, 2],
И. Г. Петровского [1, 2], Качьопполи [3, 4].
В рассмотренных ранее работах по теории кратного стилтье-
совского интегрирования в качестве интегрирующей функции
обычно бралась монотонная или с ограниченным изменением функ-
ция того же числа переменных, какой кратности интеграл рас-
сматривался, или же соответствующие функции множеств. Можно,
однако, роль интегрирующей функции заставить играть пару,
тройку и т. д. функций, и тогда получаются новые типы интегра-
лов, полезные при рассмотрении ряда вопросов, особенно при изу-
чении аналитического выражения площадей криволинейных по-
верхностей. Видимо, истоком этого направления явилась работа
Юнга [20], в которой он впервые применил интеграл Стилтьеса
для выражения площадей. Используя его выражение для площади,
Налли и Андреоли [1, 2] ввели понятие интеграла указанного ти-
па. Их исследования продолжили Качьопполи [2], А. С. Ковань-
ко [4, 5] и др.
Своеобразной оказалась проблема несобственных кратных ин-
тегралов Стилтьеса. Видимо, первой к ее разработке, и притом не
очень удачно, приступила Р. Юнг [3]. Более успешными были по-
пытки Тауца [1] и Н. М. Гюнтера [6].
377
Небезынтересна связь интеграла Стилтьеса с криволинейным
интегралом. Впервые ее отметил Поллард [1, стр. 75] в виде не-
выполненного обещания рассмотреть ее. Динс в 1931 г. прямо оп-
ределял последний интеграл через первый, а затем эту связь изу-
чили Хеффтер [1], Г. М. Фихтенгольц и И. П. Натансон [1, стр.
80—81] и особенно детально А. С. Джанумянц [1]. .
Ранее, говоря о работах У. Г. Юнга, мы лишь упомянули о
книге его сына Л. Юнга [1]; лишь упомянуты и работы [2, 3, 5]
Р. Юнг.
Между тем, если к ним добавить статьи Л. Юнга [2—6] и
Р. Юнг [1, 4, 6], а также диссертацию последней, то получим це-
лый мир, созданный династией Юнгов, со своеобразными идеями,
методами и языком. Упомянем лишь об оригинальной трактовке
Р. Юнг интеграла Стилтьеса в [4] как многозначной величины,
образованной всевозможными числовыми значениями пределов
римано-стилтьесовских сумм при произвольных интегрируемой и
интегрирующих функциях. Для этой цели ей пришлось разрабо-
тать особую алгебру многозначных величин и даже привлечь со-
ображения о бесконечностях различных типов вроде тех, которые
рассматривались некоторыми математиками XIX столетия (напри-
мер, де Морганом).
Очень велико число работ, посвященных изучению различных
свойств интеграла Стилтьеса. Укажем, к примеру, некоторые из
них, посвященные вопросу о предельном переходе под знаком ин-
теграла относительно интегрирующей функции. Его изучение бы-
ло начато Хелли [1], а затем продолжалось Брэем [1], Гильдебран-
дтом [2], Р. Юнг [6], Г. М. Шварцем [1], Яджи [1] и др.
Совершенно необозримо поле приложений различных типов ин-
теграла Стилтьеса. О некоторых из них сказано ранее, и здесь мы
ограничимся отдельными добавочными замечаниями.
Разумеется, та исходная проблема, из которой родилось само
понятие интеграла Стилтьеса,— проблема моментов,— не пере-
ставала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса,
А. А. Маркова, Гамбургера, о которых говорилось ранее, поток
применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комп-
лекс. Нет нужды указывать хотя бы отдельные статьи в этом напра-
влении, ибо большое число их перечислено в библиографии к кни-
ге Н. И. Ахиезера [1, стр. 299—307].
Начатое Г. Ф. Вороным применение интеграла Стилтьеса в
теории чисел также оказалось весьма плодотворным. Определен-
ное представление о возможностях, открываемых его применением
в этой области, и некоторых полученных там с его помощью ре-
зультатах можно получить из книги [1] Караматы. Точно также
применение интеграла Стилтьеса в теории тригонометрических ря-
дов, зачинателем которого был У. Г. Юнг, стало обычным в этой
теории, и здесь можно сослаться на книгу Зигмунда [2], содержа-
щую, кстати, и библиографию работ по применению здесь этого
понятия интеграла.
378
Особенно широко интеграл Стилтьеса используется в теории
вероятностей и в математической статистике. Понятие математиче-
ского ожидания может быть адекватно выражено только в терми-
нах интеграла Стилтьеса. Тем не менее небезынтересен и тот факт,
что систематическое применение этого интеграла в этих областях
математики началось несколько позднее, чем в ряде других обла-
стей. В теорию вероятностей, как уже говорилось, его ввел Мизес
[1]. В математическую статистику его привлекли Шохат [1] и Бей-
тен [1], особенно подчеркнув при этом полезность его для единой
трактовки дискретных и непрерывных распределений. Когда же
А. Н. Колмогоров в 1933 г. разработал новую аксиоматику теории
вероятностей, рассматривая последнюю как ветвь теории вполне
аддитивных функций множеств, аппарат стилтьесовского интегри-
рования стал неизбежной составной частью этой теории.
О риссовском применении интеграла Стилтьеса для аналитиче-
ского изображения функционалов и о продолжении исследований
в этом направлении сказано было довольно много, и добавление
здесь новых работ и имен математиков (что было бы очень легко
сделать) мало что дало бы нового для подчеркивания важности
этого применения.
Даже подобного рода перечень приложений, а тем более если
сопровождать его несколькими, порой случайными, библиографи-
ческими указаниями, занял бы много места: при помощи интегра-
ла Стилтьеса получили широкие обобщения преобразования Лап-
ласа, Фурье, Ганкеля; претерпела существенное преобразование
теория интегральных уравнений; он вошел полноправным и важ-
ным орудием в теорию функций комплексного переменного, в тео-
рию рядов и т. д. Словом, где раньше работали интегралами Ри-
мана и Лебега, теперь все больше и больше предпочитают работать
интегралами Стилтьеса, так что полем его приложений становится
практически вся математика. И это не случайная прихоть, желание
просто сделать обобщение ради самого обобщения; применения ин-
теграла Стилтьеса становятся необходимыми по самой сути решаю-
щихся задач.
Все же в заключение мы остановимся чуть подробнее на одном
применении интеграла Стилтьеса, которое на наш взгляд представ-
ляет интерес в том отношении, здесь он столкнулся с одним до-
стойным соперником — с теорией обобщенных функций. Как от-
мечалось, он сталкивался с нею в проблеме моментов и в проблеме
аналитического изображения функционалов; но если там ему уда-
лось одержать поразительно легкую победу, то в вопросе, о кото-
ром речь будет далее, интеграл Стилтьеса почти потерпел пора-
жение.
На протяжении всей нашей работы мы неоднократно подчер-
кивали ту мысль, что аппарат стилтьесовского интегрирования
приспособлен для единообразного описания дискретных и непре-
рывных явлений. Это обстоятельство оказалось решающим и при
введении его в математический арсенал квантовой механики.
379
Если в механике недавнего прошлого пользовались в основном
классическим математическим анализом — аппаратом, приспособ-
ленным для описания определенного класса непрерывных явле-
ний, а в тех случаях, когда нужно было описать дискретные явле-
ния, прибегали к теории рядов, конечных или бесконечных, то
в квантовой механике такие приемы оказались недостаточными.
Непрерывные и дискретные аспекты переплелись в ней настолько
тесно, что идея их единообразного описания напрашивалась сама
собой.
Мы уже говорили, что при изучении распределения массы у
А. А. Маркова и П. Л. Чебышева возникла, хотя и неясно выра-
женная, но достаточно определенная, идея ввести в это изучение
обобщенные функции и что эта идея была убита стилтьесовским
подходом к тому же вопросу. Говорили мы и о появлении той же
идеи обобщенных функций у Адамара в связи с вопросом анали-
тического изображения функционалов, которая также была от-
туда изгнана риссовским результатом. Несколько по-иному сло-
жилась ситуация в квантовой механике.
Здесь идея силтьесовского интегрирования тоже могла бы
оказаться полезной с самого начала. Но в момент зарождения кван-
товой механики и некоторое время спустя интегрирование по Стил-
тьесу было еще недостаточно разработано, а главное — слишком
мало известно, чтобы лечь в основу квантовой механики 28. И Ди-
рак [1] в 1926 г. повернул направление ее развития в ином направ-
лении.
Дирак в качестве исходной позиции тоже ставит проблему еди-
нообразного описания дискретных и непрерывных явлений. При
этом за основное понятие он берет понятие непрерывности, а диск-
ретное описывает в терминах последнего. Именно для этой цели
он и ввел знаменитую 6-функцию. Против такого подхода почти
сразу восстал И. Нейман [1], предложив заменить обобщенные функ-
ции интегралами Стилтьеса. Большинство физиков не приняло
концепции Неймана, тем не менее он продолжал отстаивать и раз-
вивать свою точку зрения, подробно изложив свои соображения в
монографии [2]. Продолжал он придерживаться своих взглядов и
после создания теории обобщенных функций С. Л. Соболевым и
Л. Шварцем, что подтверждается переводом его книги [2] на англий-
ский язык в 1955 г., в который он внес ряд изменений, но где сущ-
ность рассматриваемого вопроса осталась прежней. В связи с
этим любопытно, что Дирак в вышедшей в 1930 г. книге «Прин-
ципы квантовой механики» и в последующих ее изданиях, включая
четвертое (1958 г.), даже не упоминает о возможности формулиров-
ки проблем квантовой механики в терминах теории интеграла
Стилтьеса.
28 Любопытно, что в 1921 г. Фаулер [1] сделал первый, не совсем уверенный,
шаг в этом направлении,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема «Развитие понятия интеграла» необъятна. Не имея воз-
можности продолжить изложение в принятом плане, мы все же хо-
тели бы на заключительных страницах совсем коротко охарак-
теризовать то, что следовало бы включить в эту книгу, упомянуть
о тех существенных преобразованиях и модификациях понятия ин-
теграла, которое оно претерпело в XX в.
Если придерживаться хронологического принципа, то начать
нужно, видимо, с интеграла Данжуа. Интегрирование по Лебегу
не восстанавливало примитивную по ее точной производной, и
еще в диссертации Лебег сделал первый шаг к интегралу Дан-
жуа 29 (Лебег [3, стр. 272]). Он, однако не пошел дальше в этом на-
правлении, о чем сожалел впоследствии [16, стр. 205]. Попытки
соединить в интегрировании идеи Лебега и Гарнака в начале века
делались неоднократно, и интеграл Лебега — Гарнака на неко-
торое время привлек внимание математиков 30. После появления
узкого интеграла Данжуа в 1912 г.31 эти попытки были забыты.
Зато начался нескончаемый поток исследований Данжуа [3—6],
Н. Н. Лузина [2, 4, 5], А. Я. Хинчина [1—5], П. С. Александ-
рова [1—3], Лумана [1, 2], Лебега [17], А. С. Кованько [3], Сакса
[5, 6], Риддера [1—3, 5], П. И. Романовского [3—7], Джеффери
[2—4], Верблюнскогб [1], Кемписты [4], Г. П. Толстова [1—3,5,6]
и многих других по изучению свойств D-интеграла, его обобщениям
в разных направлениях, соединению его с идеей стилтьесовско-
го интегрирования и т. п. Упомянутые исследования зачастую пе-
реплетались с исследованиями по теории интеграла Перрона [2],
и к указанным работам можно добавить работы Бауэра [1], Хаке
[1], Бёркила [4,6—8], Кеннеди и Полларда [1], Уорда [1] и т. д.
Рассматривая ранее понятие интеграла, мы не выходили за
рамки n-мерного евклидова пространства. Построение в конце
XIXв. общей теории множеств и первые шаги в создании функцио-
нального анализа на рубеже веков оказали мощное воздействие на
всю математику, в том числе и на развитие понятия интеграла.
Сам Фреше [2] строил функциональный анализ как прямое обоб-
щение теории функций, как учение о функциях, заданных на абст-
рактных множествах, т. е. функционалах. Естественно, что при
29 См. И. Н. Песип [1, стр. 148—150].
30 См., например, Гобсон [4, стр. 557—558; 5, стр. 20—231.
31 Данжуа [1—2].
таком подходе потребовалось создать главное орудие изучения
функционалов — интеграл. Основным препятствием для этого
было то, что метрические элементы теории интегрирования были
прочно привязаны к евклидовскому пространству. Это препятст-
вие Фреше удалось преодолеть только в 1915 г.
Фреше [6,7] отправлялся от абстрактных множеств, образующих
аддитивный класс или о-кольцо, вводил понятие счетно-аддитивной
функции множества, а затем и понятие интеграла от функционала
по аддитивной функции множества 32. Решающим при этом было
понятие измеримости множества относительно рассматриваемого
о-кольца 33, что позволило избежать апелляции к свойствам евкли-
довских пространств. После того, как определение Фреше интеграла
углубил Никодим [1], и особенно после изложения теории такого
интегрирования в замечательной монографии Сакса [10], интег-
рал Фреше, называемый иногда интегралом Лебега — Стилтьеса,
интегралом Радона, а часто и просто интегралом Лебега, стал оби-
' ходным в математике. Именно с ним связан большой цикл иссле-
дований по обобщенной теореме Ньютона — Лейбница, чаще на-
зываемой теоремой Радона — Никодима, отчасти подытоженный
Гейсом и Пауком [1]; как раз этот интеграл алгебраизировал Ка-
ратеодори [2—4]; к нему относятся работы В. М. Дубровского
[1—7], Г. Я. Арешкина [1, 2], Л. Д. Кудрявцева и Ю. Д. Ка-
щенко [2], Кафьеро [1], Л. Я. Лейфмана [1], И. П. Натансона [3]
и многих, многих других.
Заметной вехой в развитии понятия интеграла оказался ин-
теграл Бёркила. Если в предшествующих определениях интеграль-
ная сумма составлялась из произведений значения функции точки
(или грани ее значений) на значение функции множества, то Бёр-
кил [1—3] строил интегральную сумму только из значений функ-
ции множества. Его изыскания в какой-то мере предвосхитил То-
нелли [3, стр. 37—38], а продолжили их Сакс [2—4], Кемписты
[4], П. И. Романовский [5—8], Рингенберг [1], Хенсток [1], Ко-
бер [1], Д. Ф. Проценко [1—3] и др.
Работа А. Н. Колмогорова «Исследования о понятии интег-
рала» [4] выделяется широким синтезом и обобщением абстракт-
ного подхода Фреше, идей Бёркила о характере интегральных
сумм, концепции обобщенного предела, представления о много-
значных функциях множества, доставившего столько хлопот
Р. Юнг. Интегралы А. Н. Колмогорова охватывают все предше-
ствующие интегралы как пределы сумм и изучались затем многи-
ми: Гетчелом [1], Маедой [1, 2], В. И. Гливенко [2, стр. 196—
201], Гильдебрандтом [6, стр. 266—267], Паньи [1], Л. Я. Лейф-
маном [2—4], Д. Ф. Проценко [4] и др. Небезынтересно, быть мо-
жет, упомянуть, что интеграл А. Н. Колмогорова нашел широкое
применение в книге Детуша [1], посвященной вопросам математи-
32 См., например, И. Н. Лесин [2, стр. 143—145].
33 См. Сакс [10, стр. 19—20].
382
ческой физики, а Маеда [2] пользовался им для иного, нежели у
Дирака и И. Неймана, математического обоснования квантовой ме-
ханики.
Наряду с упомянутыми типами интеграционных процессов до-
статочно широкое распространение получили интеграл Хеллин-
гера [1], изучавшийся также Риссом [6], Ганом [2], Радоном [1],
Гобсоном [8], Н. М. Гюнтером [11] и др.; интеграл Даниеля [2, 3,
5], схема построения которого оказалась удобной при рассмот-
рении интегрирования в функциональных пространствах; Л-ин-
теграл, восходящий к Титчмаршу [1], изученный Ю. С. Очаном
[1—3] и получивший важные применения в теории тригонометри-
ческих рядов в работах П. Л. Ульянова и его учеников, которые,
кстати, существенно обогатили саму теорию Л-интегрирования.
Кроме того, имеются многочисленные более или менее изоли-
рованные пока определения интегралов, построенные для реше-
ния тех или иных вопросов, не решающихся при помощи упомя-
нутых интегралов. Взаимоотношения этих определений, их связи
с названными определениями представляют собой довольно слож-
ную математическую задачу, и решению ее посвящены многие
работы, примером которых являются работы В. А. Скворцова
[1—6]. Более того, построены целые шкалы интегралов от рима-
новского до лебеговского и далее.
Сказанное выше относилось к интегрированию функций, зна-
чениями которых являются действительные числа. Введение в оби-
ход математиков векторозначных функций потребовало создания
теорий интегрирования последних, и в конце 20-х годов начался
процесс построения различных типов интегралов для функций,
заданных на абстрактных пространствах и со значениями в абст-
рактных же пространствах различной структуры и различной
степени общности.
СОКРАЩЕНИЯ К СПИСКУ ЛИТЕРАТУРЫ
ДАН — Доклады Академии наук СССР
ИАН — Известия Академии наук СССР, серия математическая
ИМИ — Историко-математические исследования. Москва, Физмат-
гиз.
А. М. — Annals of mathematics.
Bull. A. M. S.— Bulletin of the American Mathematical Society.
C. R.— Comptes rendus hebdomadaires des seances de I’Academie des
sciences (de Paris).
Journ. L.M.S.— Journal of the London Mathematical Society.
F. M.— Fundamenta mathematicae.
M. A.— Mathematische Annalen.
Proc. A. M. S.— Proceedings of the American Mathematical Society.
Proc. L. M. S.— Proceedings of the London Mathematical Society.
Trans. AMS — Transactions of the American Mathematical Society.
ЛИТЕРАТУРА
Агостини' (Agostini A.)
1. Il concetto d’integrale definite in
Pietro Mengoli, Period, matem.
(4), 1925, 5, 137—146.
Ад омар (Hadamard J.)
1. Sur les operations fonctionnelles.—
C. R., 1903, 136, 351—354.
Александров П. C.
1. Uber die Aquivalenz des Perro-
nischen und Denjoyschen Integ-
ralbegriffes. Math. Z., 1924, 20,
213—222.
2. О взаимоотношении интеграла
Denjoy и интеграла в смысле
Реггоп’а, Матем. сб., 31 (1924),
465—476.
3. Введение в теорию множеств и
функций. М.— Л., Гостехиздат,
1948.
Александров П. С., Колмогоров А. Н.
1. Введение в теорию функций дей-
ствительного переменного. М.—
Л., Гостехиздат, 1933.
Александров П. С., Кудрявцев Л. Д.,
Ильин В.А., Позняк. Э. Г.
1. Основы математического анали-
за.— УМН, 1967, 22 : 5 (137),
217—222.
Антропова В. И.
1. Публичные лекции по интег-
ральному исчислению М. В. Ост-
роградского.— Труды Ин-та ис-
тории естествознания и техники
АН СССР, 1955, 5, 304—320.
2. Из истории развития теории по-
тенциала и теории теплопровод-
ности. Канд. дисс. М., 1956.
3. К истории интегральной теоремы
М. В. Остроградского. Труды
Института истории естествозна-
ния и техники. АН СССР, 1957,
17, 229—269.
4. Комментарии и примечания к
кн.: М. В. Остроградский [6,
стр. 253—263].
5. О геометрическом методе «Мате-
матических начал натуральной
философии» И. Ньютона.— ИМИ,
1966, 17, 205—228.
Аньези (Agnesi М. G.)
1. Instituzioni analitiche, v. 1,2,
Milano, 1748.
384
Арешкин Г. Я.
1. Вполне аддитивные функции мно-
жества и- интеграл Lebesgue’а —
Radon’а.— Труды Тбилисского
математического ин-та, 1946, 14,
173—213.
2. О переходе к пределу под знаком
интеграла Лебега — Радона.—
Сообщ. АН ГрузССР, 1949, 10,
69—76.
А рхимед
1. Квадратура параболы. Сочине-
ния. М., Физматгиз, 1962, стр.
77—94.
2. О шаре и цилиндре.— Там же,
стр. 95—167.
3. О коноидах и сфероидах.— Там
же, стр. 168—226.
4. О спиралях.— Там же, стр.
227—265.
5. Измерение круга.— Там же, стр.
266—270.
6. О равновесии плоских фигур,
или о центрах тяжести плоских
фигур.— Там же, стр. 272—297.
7. Послание к Эратосфену. О ме-
ханических теоремах.— Там же,
стр. 298—327.
Арцела (Arzela С.)
1. Un teorema intorno alle serie
di funzioni.— Atti R. Accad.
Lincei, Rend. (4), 1885, 1, 262—
267.
2. Sulla integrabilita di una serie
di funzioni.— Ibid., 321—326.
3. Sulla integrazione per serie.—
Ibid., 532—537, 566—569.
А сколи (Ascoli G.)
1. Sul concetto di integrate definito.
— Atti R. Accad. Lincei, Rend.
(2), 1875, 2, 862—872.
2. Sulla definizione di integrale.—
Ann. mat. pura ed appl. (2), 1895,
23, 67—71.
Ахиезер H. И.
1. Классическая проблема моментов
и некоторые вопросы анализа,
связанные с нею. М., Физматгиз,
1961.
Банах (Banach S.)
1. Sur le probleme de la mesure.—
F. M., 1923, 4, 7—33.
2. Sur le theoreme de M. Vitali.—
F. M., 1924, 5, 130—136.
3. Sur une classe de fonctions d’en-
semble.— F. M., 1924, 6, 170—
188.
4. Sur les lignes rectifiables et les
surfaces dont 1’aire est fini.—
F.M., 1925, 7, 225—236.
5. Sur une classe de fonctions con-
tinues.— F. M., 1926, 8, 166—
172.
Бари H. K.
1. Sur les fonctions jouissant de la
propriete N.— C. R., 1929, 189,
441—443.
2. M emoire sur la representation fi-
nie des fonctions continues.—
M. A., 1930, 103, 185—248,
598—653.
Бари H. К., Люстерник Л.А.
1. О книге H. Н. Лузина «Интеграл
и тригонометрический ряд» и его
работах по метрической теории
функций.— «Интеграл и тригоно-
метрический ряд». М.— Л., Гос-
техиздат, 1951.
Бари Н. К., Меньшов Д. Е.
1. Sur Гintegrale de Lebesgue —
Stieltjes et les fonctions absolu-
ment continues.— C. R., 1926,
182, 1373—1375.
2. Sur Г integrale de Lebesgue —
Stieltjes et les fonctions absolu-
ment continues des fonctions ab-
solument continues. Ann. mat.
pura edappl. (4), 1928, 5, 19—54.
3. Комментарии к кн.: H. Н. Лузин.
Интеграл и тригонометрический
ряд. М.— Л., Гостехиздат, 1951.
Б арфус (Barfuss F. W.)
1. Bemerkungen zu den Aufsatzen
XXXI und XXXII des Herrn Dr.
Schlomilch in Thl. Ill, S. 269
und S. 278 dieses Archives.—
Arch. Math, und Phys., 1844, 4,
225—236.
Бауэр (Bauer H.)
1. Der Perronische Integralbegriff
und seine Beziehung zum Lebes-
gueschen.— Monatsh. Math, und
Phys., 1915, 26, 153—198.
Бахмутская Э. Я.
1. Рецензия на книгу: Скриба [1].—
Вопросы истории естествознания
и техники, 1959, 7, 178—179.
Башмакова И. Г.
1. Дифференциальные методы в ра-
ботах Архимеда.— ИМИ, 1953,
6, 609—658.
2. Трактат Архимеда «О плавающих
телах».— ИМИ, 1956, 9, 759—
788.
3. Лекции по истории математики
в Древней Греции.— ИМИ, 1958,
11, 225—438.
4. Les methodes differentielles
d’Archimede.— Arch. History '
Exact Sci., 2 (1964), 87—107.
1/г13 Ф. А. Медведев
385
Башмакова И. Г., Юшкевич, Л. П.
1. Леонард Эйлер.— ИМИ, 1954, 7,
453—512.
Бевикович А. С. (Besicovitch А. 6*.)
1. Quelques theoremes generaux sur
Г inversion des integration et Г in-
tegration des series.— Журнал
физ.-матем. об-ва (Пермь), 1918,
1, 99—139.
2. Nouvelle forme des conditions
d’integrabilite des fo notions.—
Там же, 140—145.
3. Sur deux questions d’integrabili-
te des fonctions.— Там же, 1919,
2, 105—123.
4. Об одном структурном свойстве
функций и ансамблей.— Матем.
сб., 1924, 31, 128—146.
5. Sur la nature des fonctions a car-
re sommable et des ensembles
mesurables.— F. M., 1923, 4,
172—195.
6. On a problem concerning Lebe-
gue integral.— M. A., 1938, 115,
613—618.
Бейтен (Baten W. D.)
1. Simultaneous treatement of dis-
crete and continuous probability
by use of Stieltjes integrals.—
Ann. Math. Stat., 1930, 1, 95—
100.
Бернкопф (Bernkopf M.)
1. The development of function spa-
ces with particular reference n to
their origins in integral equation
theory.— Arch. History Exact
Sci., 3 (1966), 1—96.
Бернулли (Bernullis J.)
1. Die erste Integralrechnung. Ost-
wald’s Klassiker der exacten Wis-
senschaften, № 194. Leipzig
u. Berlin, 1914.
Бертран (Bertrand J.)
1. De 1’invention du calcul infini-
tesimal. J. Savants, 1863, 465—
^483.
Беттацци (Bettazzi B.)
1. Sui concetti di derivazione e
d’integrazione delle funzioni di
pift variabili reali. Giorn. mat.,
1884, 22, 133—160, 200.
Бёркил (Burkill J. C.)
1. Functions of intervals.— Proc.
L. M. S. (2), 1924, 22, 275—310.
.2. The derivate of functions of inter-
vals.— F. M., 1924, 5, 321—327.
3. The expression of area as an in-
tegral.— Proc. L. M. S. (2), 1924,
22, 311—316.
4. The approximately continuous
Perron integral.— Math. Z., 1931,
34, 270—278.
5. The Cesaro — Perron integral.—
Proc. L. M. S. (2), 1932, 34, 314—
322.
6. The Cesaro scales of summation
and integration.— Journ. L. M. S.,
1935, 10, 254—259.
7. The Cesaro — Perron scale of in-
tegration.— Proc. L. M. S. (2),
1935, 39, 541—542.
8. Henry Lebesgue.— Journ. L. M. S.,
1944, 19, 56—65.
9. Differential properties of Joung-
Stieltjes integrals.—Journ. L. M.
S., 1948, 23, 22—28.
10. On the differentiability of mul-
tiple integrals.— Journ. L. M.
S., 1951, 26, -244—249.
Бзох (Bzoch R. C.).
1. On the existence of Stieltjes integ-
rals, Portug. Math., 1959, 18,
121—124.
Бибербах (Bieberbach L.)
1. Uber einen Osgoodschen Satz aus
der Integralrechnung.— Math. Z.,
1918, 2, 155—157.
Биркгоф (Birkhoff G.).
1. Теория структур. M., ИЛ, 1952.
Блисс (Bliss G.A.).
1. Integrals of Lebesgue. — Bull.
A. M. S., 1917, 24, 1—47.
2. A necessary and sufficient condi-
tion for the existence of a Stieltjes
integral.— Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1917, 3, 633—637.
Бойер (Boyer С. B.).
1. The history of the calculus and
its conceptual development. New
York, 1959.
2. Cavalieri, limits and discarded
infinitisimals.— Scripta Math.,
1941, 8, 79—91.
Бокс (Boks T. J.).
1. Sur le rapport entre les methodes
d’integration de Riemann et de
Lebesgue.— Rend. Circolo mat.
Palermo, 1921, 45, 211—264.
Больцано (Bolzano В.)
1. Чисто аналитическое доказатель-
ство теоремы, что между любыми
двумя значениями, дающими ре-
зультаты противоположного зна-
ка, лежит по меньшей мере один
действительный корень уравне-
ния (1817).— В кн. Э. Я. Воль-
мана [1], стр. 170—204.
Бонне (Bonnet О.)
1. Sur quelques integrates definies.—
386
J. math, pures et appl., 1849, 14,
249—256.
Борель (Borel Ё.)
1. Sur quelques points de la theorie
des fonctions (1895).— См. Бо-
рель [12, стр. 3—48].
2. Lemons sur la theorie des foncti-
ons. Paris, 1898.
3. Un theoreme sur les ensembles
mesurables.— C. R., 1903, 137,
966—969.
4. La theorie des ensembles et les
progres recents de la theorie des
fonctions.— Rev. gen. sci., 20,.
1909, 315—324.
5. Sur la definition de Г integrate de-
finie.— C. R., 1910, 150, 375—
377.
6. Sur une condition generate d’in-
tegrabilite.— C. R., 1910, 150,
508—511.
7. Sur les theoremes fondamentaux
de la theorie des fonctions de va-
riables reelles.— C. R., 1912, 154,
413—415.
8. Lemons sur la theorie des foncti-
ons. 2 ed. Paris, 1914.
9. La theorie de la mesure et la theo-
rie d’integration.— См. Борель
[8, стр. 217—256].
10. Sur Г integration des fonctions
non bornees et sur les definitions
constructives (1920).— См. Б o-
p e л ь [13], стр. 88—98.
11. A propos de la definition de Г in-
tegrate definie.— Ann. scient.
Ecole. norm, super, 1920, 37,
461—462.
12. Selecta jubile scientifique de
M. Emile Borel. Paris, 1940.
13. Methodes et problemes de la theo-
rie des fonctions. Paris, 1950.
Бортолотти (Bortolotti E.)
1. La scoperta e le successive genera-
lizzazioni di un teorema fonda-
mentale di calcolo integrate. Arch,
storia scienze (Archeion), 1924,
5, 204—227.
2. La storia delle matematica nella
universita di Bologna. Bologna,
1947.
Босманс (Bosmans H.)
1. Un chapitre de 1’oeuvre de Cava-
lieri.— Mathesis, 1922, 36, 365—
373.
Бохнер (Bochner S.)
1. Eine Bemerkung zum Satz von
Fubini. F.M., 1933, 20, 277—
280.
2. The significance of some ba-
sic mathematical conceptions for
physics.— Isis, 1963, 54, 179—205.
Браун мюль (Braunmuhl A.)
1. Beitrage zur Geschichte der Inte-
gralrechnung bei Newton und Co-
tes.— Bibl. math. (3), 1904, 5,
355—365.
Брунель (Brunel G.)
1. Bestimmte Integrate.— Encykl.
der math. Wissensch. Bd. II, A 3,
1899—1916, S. 135—188.
Бруншвич (Brunschvicg L.)
1. Les etapes de la philosophic mathe-
matique. Paris, 1912.
Брэй (Bray H. E.).
1. Elementary properties of the Sti-
eltjes integral.— A. M. (2), 1918,
20, 177—186.
Бугенвилль (De Bougainville L.A.).
1. Traite du calcul integral, pour
servir de suite а Г analyse des in-
finiment — petits de M. Marquis
de Г Hospital. Paris, 1754.
Будак Б. M., Фомин С. B.
1. Кратные интегралы и ряды. М.,
изд-во «Наука», 1965.
Буземан, Феллер (В useman Н., Fel-
ler W.)
1. Zur Differentiation des Lebesgu-
eschen Integrate.— F. M., 1934,
22, 226—256.
Буняковский В. Я.
1. Основания математической теории
вероятностей. СПб., 1846.
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Очерки по истории математики.
М., ИЛ, 1963.
Бэр (Baire В.).
1. Sur les fonctions discontinues de-
veloppables en series de fonctions
continues.— C. R., 1898, 126,
884—887.
2. Sur les fonctions discontinues qui
se rattachent aux fonctions con-
tinues.— C. R., 1898, 126, 1621—
1623.
3. Sur les fonctions de variables reel-
les.— Annali di mat. pura ed
appl. (3), 1899, 3, 1—123.
4. Теория разрывных функций
(1905). M.—Л., ГТТИ, 1932.
Бюффон (De Buffon G. L. L.)
1. Предисловие к французскому пе-
реводу работы Ньютона La me-
thode des fluxions et des suites
infinies. Paris, 1966.
Вавилов С. И.
1. Исаак Ньютон. M., Изд-во АН
СССР, 1943.
387
13*
Валле-Пуссен (Vallee Poussin Ch. de
la)
1. Sur Гintegrale de Lebesgue.—
Trans. A. M.S., 1915, 16, 435—
501.
2. Integrates de Lebesgue. Fonctions
d’ensemble. Klasses de Baire.
Paris, 1916.
3. Les fonctions a variation bornee et
les questions qui s’у rattachent.—
Bull. sci. math. (2), 1920, 44,
267—296.
4. Курс анализа бесконечно малых,
т., 1. М.-Л. ГТТИ, 1933.
5. Курс анализа бесконечно малых,
т., 2. М.—Л., ГТТИ, 1933.
Валънер (W all пег С. R.)
1. Entwicklungsgeschichtliche Mo-
menta bei Entstehung der Infini-
tesfmalrechnung. — Bibl. math.
(3), 1904, 5, 113—124.
Ван дер Варден (Van der Waer-
<den B. L.)
1. Пробуждающаяся наука. M.,
Физматгиз, 1959.
Ван Флек (Van Vleck Е. В.)
1. On an extension of the 1894 me-
moire of Stieltjes.— Trans
A. M. S., 1903, 4, 297—332.
2. Haskin’s momental theorem and
its connection with Stieltjes pro-
blem of moments. — Trans.
A. M. S., 1917, 18, 326—330.
Вер Экке (Ver Eecke P.)
1. Le theoreme dit de Guldin con-
sideree au point de vue histori-
que.— Mathesis, 1932, 46, 395—
397.
2. Предисловие к книге Паппа [1].
Верблюнский (Verblunsky S.)
1. On the theory of trigonometrical
series, VII.— F. M., 1934, 23,
193—236.
Веселовский И. H.
1. Вступительная статья к кн.:
Архимед. Сочинения. М., Физ-
матгиз, 1962, стр. 5—60.
2. Комментарии к той же книге.
3. О работах Христиана Гюйгенса
по дифференциальному исчисле-
нию.— В сб. «Вопросы истории
физико-матем. наук». М., Выс-
шая школа, 1963, стр. 108—109.
Виванти (Vivanti G.).
1. Infinitesimalrechnung. В кн.:
Кантор М. [1], Bd. IV,
S. 639—869.
Вилейтнер (Wieleitner Н.)
1. Как рождалась современная ма-
тематика. М.— Л., Гостехиздат,
1927.
2. Das Fortleben der Archimedi-
schen Infinitesimalrechnung bis
zum Beginn der 17. Jahrh.,
insbesondere iiber Schwerpunkt-
sbestimmungen.— Quellen und
Studien zur Gesch., d. Math.,
1930, 1, 201—220.
3. Хрестоматия по истории мате-
матики. M.— Л., ОНТИ, 1935.
4. История математики от Декарта
до середины XIX столетия. М.,
Физматгиз, 1960.
Виола (Viola Т.).
1. Recherche assiomatiche suite teo-
rie delle funzioni d’insieme e
dell’integrale di Lebesgue.—
F. M., 1934, 23, 75—101.
Витали (Vitali G.)
1. Sulla integrabilita delle funzio-
ni. Rend. R. 1st. Lombardo (2),
1904, 37, 69-73.
2. Suite funzioni integral!. — Atti
R. Accad. sci. Torino, 1904—
1905, 40, 1021—1034.
3. Una proprieta delle funzioni mi-
surabili.— Rend. R. 1st. Lom-
bardo (2), 1905, 38, 600—603.
4. Sull’integrazione per serie.—
Rend. Circolo mat. Palermo, 1907,
23, 135—155.
5. Sui gruppi di punti e suite fun-
zioni di variabili reali.— Atti
R. Accad. sci. Torino, 1908, 43,
75—92.
6. Suite funzioni continue.— F. M.,
1926, 8, 175—188.
Виттинг (Witting A.)
1. Zur Frage der Erfindung des
Algorithmus der Newtonschen Flu-
xionsrechnung.— Bibl. Math. (3),
1912, 12, 56—60.
Вольтерра (Volterra V.)
1. Alcune osservazioni suite funzio-
ni punteggiate discontinue (1881).
Opere matematiche, Roma, 1954,
p. 7—15.
2. Sui principii del calcolo integrale
(1881).— Ibid., p. 16—48.
Вороной Г. Ф.
1. Об одной задаче из теории асимп-
тотических функций (1903). Собр.
соч., т. 2. Киев, Изд-во АН
УССР, 1952, стр. 5—49.
2. О разложении некоторых число-
вых функций в бесконечные ря-
ды, подобные тригонометриче-
ским. Там же, т. 3, стр. 211—214.
388
3. Об одной трансцендентной функ-
ции и ее приложениях к сумми-
рованию рядов (1904). — Там же,
т. 2, стр. 51—165.
4. О разложении посредством ци-
линдрических функций двойных
сумм 2/ (pm2 + 2qmn + rn2), где
pm2 + 2qmn + гп2 — положи-
тельная форма с целыми коэф-
фициентами (1905).— Там же,
т. 2, стр. 166—170.
Ныгодский М. Я.
1. Иоганн Кеплер и его научная
деятельность.— В кн.: Кеп-
лер [1, стр. 7—94].
2. Вступительное слово к «Диф-
ференциальному исчислению»
Л. Эйлера.— В кн.: Эйлер [2,
стр. 5—34].
Г ан (Hahn Н.)
1. Uber den Fundamentalsatz der
Integralrechnung, Monatsh. Math,
und Phys., 1905, 16, 161—166.
2. Uber die Integrate des Herrn
Hellinger und die Orthogonalin-
varianten der quadratischen For-
men von unendlich vielen Ve-
randerlichen.— Ibid., 1912, 23,
161—264.
3. Uber Annahrung an Lebesgue’sche
Integrate dutch Riemann’sche
Summen.— Sitzungsber. K. Akad.
Wiss. Wien, Math.-naturwiss. KI.,
Abt. 2a, 1914, 123, 713—743.
4. Uber eine Verallgemeinerung der
Riemannschen Integraldefiniti-
on.— Monatsh. Math, und Phys.,
1915, 26, 3—18.
5. Uber Folgen linearer Operatio-
nen.— Ibid., 1932, 32, 3—88.
6. Uber die Methode der arithme-
tischen Mittel in der Theorie
derallgemeinerten Fourier’schen
Integrate.— Sitzungsber. Akad.
Wiss. Wien, Math.-naturwiss. KI.
Abt. 2a, 1925, 134, 449-470.
Ганкель (Hankel H.)
1. Beweis eines Hilfsatzes in der
Theorie der bestimmten Integra-
te. Z. Math. u. Phys., 1869, 14,
436—437.
2. Untersuchungen fiber die unen-
dlich oft oscillierenden und un-
stetigen Functionen (1870).—Ost-
walds Klassiker der exacten
Wissenschaften, N 153. Leipzig,
1905, S. 44-115.
Гарнак (Harnack A.)
1. Anwendung der Fourier’schen
Reine auf die Theorie der Fun-
ctionen einer complexen Veran-
derlichen.— M. A., 1883, 21,
305—326.
2. Die allgemeine Satze uber den
Zusammenhang der Functionen
einer reellen Variabeln mit ihren
Ableitungen, I, II.— M. A., 1884,
23, 244-284; 1884, 24, 217—
252.
Гаусс (Gauss C. F.)
1. Uber das Wesen und die Defini-
tion der Functionen (1811). Wer-
ke, Bd. VIII. Gottingen, 1900,
S. 90—92.
2. Theoria attractiones corporum
sphaeroidicorum ellipticorum ho-
mogeneorum methodo nova tra-
ctata (1813). Werke, Bd. V. Got-
tingen, 1877, S. 3—22, 279—285.
3. Grundbegriffe der Lehre von den
Reihen. Werke, Bd. XI. Gottin-
gen, 1917, S. 390-394.
Г ейберг (Heiberg J. L.)
1. Естествознание и математика в
классической древности. М.— Л.,
ОНТИ, 1936.
Гейс, Наук (Hayes. С. А. 1г.,
Раис С. У.)
1. Full individual and class differen-
tiation theorems in their relations
to halo and Vitali properties.—
Canad. J. Math., 1955, 7, 221 —
274.
Гельфанд И. M., Hi илов Г. Е.
1. Обобщенные функции и действия
над ними. М., Физматгиз, 1958.
Герхард (Gerhard С. J.)
1. Die Entdeckung der hoheren Ana-
lysis. Halle, 1855.
Гетчел (Getchell В. С.).
1. On the equivalence of two methods
of defining Stieltjes integral.— Bull.
A. M. S., 1935, 41, 413— 418.
Гёльдер (Holder O.).
1. Zur Theorie der trigonometrischen
Reihen.— M. A., 1884, 24, 181—
216.
Гиллеспи (Gillespie D. C.).
1. The Cauchy definition of a de-
finite integral.— A. M., 1915,
17, 61—63.
Гильберт (Hilbert D.)
1. Основания геометрии. M.— Л.,
Гостехиздат, 1948.
Гильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.)
1. On integrals related to and exten-
sions of Lebesgue integrals.—
Bull. A. M. S., 1917, 24, ИЗ-
144, 177—202.
389
Convergence of sequences of linear
operations.— Bull. A. M. S.,
1922, 28, 52—58.
3. Note on the interchange of order
of limits.— Bull. A.M.S., 1928, 34,
79—81.
4. On the interchange of limit and
Lebesgue integral for a sequence
of functions.— Trans. A. M. S.,
1931, 33, 441—443.
5. On bounded linear functional
operations.— Trans. A. M. S.,
1934, 36, 868—875.
6. Definitions of Stieltjes integrals of
the Riemann type.— Amer. Math.
Monthly, 1938, 45, 265—278.
Гливенко В. И.
1. Интеграл в математике и мате-
матическом естествознании.—
В сб.: На борьбу за материалис-
тическую диалектику в матема-
тике. М.— Л., 1930.
2. Интеграл Стилтьеса. М.— Л.,
ОНТИ, 1936.
3. Опыт общего определения инте-
грала.— ДАН, 1937, 14, 61—63.
4. Общая теория предела функции.
— Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та
им. К. Либкнехта, серия физ.-
матем., 1938, в. 2, 3—13.
Гобсон (Hobson Е. IV.).
1. Non-uniform convergence, and
the integration of series.— Proc.
L. M. S., 1901—1902, 34, 242—
259.
2. On the infinite and infinitesi-
mal in mathematical analysis.
Ibid., 1902—1903, 35, 117—140.
3. On the condition of integrability of
a function of a real variable.—
Quart. J. Pure and Appl. Math.,
1904, 35, 208-209.
4. The theory of functions of a real
variable and the theory of Fourier
series. Cambridge, 1907.
5. On the second mean-value theorem
of the integral calculus.— Proc.
L. M. S. (2), 1909, 7, 14—23.
6. On change of the variable in a
Lebesgue integral.— Ibid. (2),
1910, 8, 10—21.
7. On some fundamental properties
of Lebesgue integral in a two-
dimensional domain.— Ibid.,
22—39.
8. On Hellinger’s integral.— Ibid.
(2), 1920, 18, 249—265.
Гончаров В. Л.
1. О научных работах Римана.—
В кн.: Б. Риман. Сочинения.
М.— Л., Гостехиздат, 1948,
стр. 7—46.
2. Примечания к работам Римана.—
Там же, стр. 480—540.
Гофман (Hofmann J. Е.).
1. Das Opus Geometricum des Gre-
gorius a S. Vincentio und seine
Einwirkung auf Leibniz. AbhandL
Preuss. Akad. Wiss., math.-natur-
wiss. KL, Jahrg. 1941, № 13.
2. Aus der Friihzeit der Infinitesimal-
methoden: Auseindersetzung um
die algebraische Quadratur algeb-
raischer Kurven in der zweiten
Halfte der 17. Jahrhundert.—
Arch. History Exat Sci., 1965,
2, 270—343.
3. Die Entwicklungsgeschichte der
Leibnizschen Math emat ik wahrend
des Aufenthaltes in Paris (1672—
1676). Munchen, 1949.
4. Ueber Jakob Bernoulli Beitrage
zur Infinitesimalmathematik.—
Enseign. math. (2), 1956, 2, 1—126.
Гохман Э. X.
1. Об одном выводе формулы инте-
грирования по частям для инте-
грала Стилтьеса.— Труды Одес-
ского технол. ин-та, 1957, 8,
13—16.
2. Интеграл Стилтьеса и его при-
менения. М., Физматгиз, 1958.
Гриъивалъд Л. Я.
1. История открытия логарифмов.
Харьков, 1952.
Гюнтер Н. М.
1. Sur une application des fonctions
universellees de M. A. Corn.—
C. R., 1926, 183, 551—553.
2. Замечания об интегралах Стил-
тьеса.— Труды Всероссийского
съезда математиков в Москве 27
апреля — 4 мая 1927 г. М.— Л.,
Госиздат, 1928, стр. 193—195.
3. Sur une application des integrates
de Stieltjes au probleme de Neu-
mann.— C. R., 1929, 189, 447—
450.
4. Les fonctions moyeiines et les
integrates de Stieltjes.— Verhandl.
Internat. Math. Kongr., Zurich
u. Leipzig, 1932, Bd. II, 128—129.
5. Sur les integrates de Stieltjes et
leur application aux problemes
de la physique mathematique.—
Труды физ.-матем. ин-та им.
В. А. Стеклова, 1932, 1, стр.
1—494.
390
6. Sur les operations lineaires.
Phvs. Z. Sowietunion, 1933, 3,
115—139.
7. Интеграл Стилтьеса в математи-
сеской физике и в теории инте-
гральных уравнений.— Труды
Второго Всесоюзного матем.
съезда, т. 1. Л.— М., Изд-во АН
СССР, 1935, стр. 271—317.
8. Sur quelques applications nouvel-
les de la theorie des fonctions de
domains a la theorie des equations
integrales. Матем. сб., 1935, 42,
279—384.
9. La theorie des fonctions de domains
dans la physique mathematique.
Prace mat. fis., 1937, 44, 33—50.
10. К теории интеграла Стилтьеса
— Радона и интегральных урав-
нений. ДАН, 1938, 21, 219—223.
11. Замечания об интегралах Hellin-
ger’a.— ДАН, 1941, 30, 99—102.
ад-Даббах Д.
1. Геометрический трактат багдад-
ских математиков IX века. Бану
Муса.— В сб.: История и мето-
дология естественных наук, 5.
М., Изд-во МГУ, 1966, стр. 131—
139.
2. Измерение шара у Ибн ал-Хайса-
ма. В сб.: Физико-математические
науки в странах Востока, в. 5.
М., изд-во «Наука», 1969, стр.
131—134.
3. Перевод трактата Ибн ал-Хайса-
ма «Об измерении шара».— Там
же, стр. 135—142; примечания
к нему. Там же, стр. 143—146.
Даламбер (D'A lambert J.)
1. Sur un paradoxe geometrique.
Opuscules mathematiques, t. IV.
Paris, 1768, p. 62—68.
. 2. Nouvelles reflexions sur les vib-
rations de cordej sonorea.— Ibid.,
128—155.
Данжуа (Denjoy A.)
1. Une extension de I’integrale de
M. Lebesgue.— C. R., 1912, 154,
859—862.
2. Calcul de la primitive de fonction
derivee la plus generale.— Ibid.,
1075—1078.
3. Sur une propriete des fonctions
a nombres derives finis.— C. R.,
1914, 158, 99—101.
4. Sur la derivation et son calcul
inverse.— C. R., 1916, 162, 377—
' 378.
5. Memoire sur la totalisation des
nombres derivees non sommables.—
Ann. scient. Ecole norm, super
(3), 1916, 33, 127—222.
6. Sur certaines classes de fonctions
de variables reelles.— C. R., 1916,
162, 868—870.
7. Sur 1’integration rimannienne.—
C. R., 1919, 169, 219—221.
8. Предмет и смысл обобщений
понятия интеграла после Лебе-
га.— Труды Первого Всесоюзного
съезда математиков. Харьков,
1930, стр. 144—155.
9. Sur la definition rimannienne de
I’integrale de Lebesgue. C. R.,
193 (1931), 695—698.
10. Introduction a la theorie des
fonctions de variables reelles.
Paris, 1937.
Даниель (Daniell P. J.)
1. Differentiation with respect to a
function of limited variation.—
Trans. A. M. S., 1918, 19, 335—
362.
2. A gen'eral form of integral.—
A. M., 1918, 19, 279—294.
3. Integrals in an infinite number of
dimensions.— A. M. S., 1919, 20,
251—288.
4. Stieltjes derivatives.— Bull.
A. M. S., 1919—1920, 26, 444—
448.
6. Derivatives of a general mass.—
Proc. L. M. S. (2), 1927, 26, 95—
118.
7. Stieltjes derivatives.— Proc.
L. M. S. (2), 1930, 30, 178—198.
Даннеман (Dannemann F.)
1. История естествознания, т. 2.
M.— Л., ОНТИ, 1933.
Дантони (Dantoni G.).
1. Sul confront© di alcune definizioni
di integrali definite.— F. M.,
1932, 19, 29—37.
Дарбу (Darboux G.)
1. Memoire sur les fonctions discon-
tinues.— Ann. scient. Ecole norm,
super. (2), 1875, 4, 57—112.
Дедекинд (Dedekind R.)
1. Uber die Elemente der Theorie
der Eulerschen Integrale (1852).
Ges. math. Werke. Bd. I. Braunsch-
weig, 1930, S. 1—26.
Декарт (Descartes R.)
1. Рассуждение о методе с прило-
жениями: Диоптрика, Метеоры,
Геометрия. Изд-во АН СССР,
1953.
391
Деннистон (Denniston В. Е.)
1. Existence of Stieltjes integrals.—
Proc. Koninkl. Nederl. Akad.
Wet., 1949, 52, 1111—1128.
Детуш (Destouches J. L.)
1. Corpuscules et systemes de corpus-
cules, t. I. Paris, 1941.
Джанумянц A. C.
1. Интеграл Стилтьеса и криволи-
нейный интеграл по неспрямляе-
мой кривой Жордана.— Изв.
Научно-исслед. ин-та матем. и
механики при Томском ун-те,
1938, 2, 119—161.
Дженокки (Gennocchi А.)
1. Дифференциальное исчисление и
основы интегрального исчисления
(1884). Киев, 1903.
Джеффери (Jeffery В. L.).
1. The integrability of a sequence
of functions.— Trans. A. M. S.,
1931, 33, 433—440.
2. Non-absolutely convergent integ-
rals with respect to functions of
bounded variation.— Trans.
A. M. S., 1932, 34, 645—675.
3. Derived- numbers with respect to
functions of bounded variation.—
Ibid., 1934, 36, 749—758.
4. Functions defined by sequences
of integrals and the inversion of
approximate derived numbers.—
Ibid., 1937, 41, 171—192.
5. Copeland’s definition of a Stiel-
tjes integral.— Bull. A. M. S.,
1940, 46, 512—519.
Дини (Dini U.)
1. Fondamenti per la teorica delle
funzioni di variabili reali. Pisa,
1878.
Динс (Dienes P.)
1. Sur Г integrate de Riemann-Stiel-
tjes. Rev. Scient., 1947, 85, 259—
274.
Дирак (Dirac P. A. 717.)
1. The physical interpretation of the
quantum dynamics.— Proc. R.
Soc. London (A), A765 (1926),
621—644.
Дирихле (Lefeune Dirichlet P, G.)
1. О сходимости тригонометричес-
ких рядов, служащих для пред-
ставления в данных пределах
произвольной функции (1829).—
В кн.: Разложение функций в
тригонометрические ряды. Харь-
ков., 1914, стр. 1—90.
2. Uber die Darstellung ganz willkiir-
licher Functionen durch Sinus-
und Cosinusreihen (1837). Werke,
Bd. I. Berlin, 1889, S. 133—160
3. Vorlesungen fiber die Lehre von
den einiachen und mehrfachen
bestimmten Integralen. Braunsch-
weig, 1904.
Дубровский В. M.
1. О некоторых свойствах вполне
аддитивных функций множества
и о предельном переходе под
знаком интеграла Лебега.— ИАН,
1945, 9, 311—320.
2. О некоторых свойствах вполне
аддитивных функций множества
и их применении к обобщению
одной теоремы Lebesgue. Матем.
сб., 1947, 20 : 2 (62), 317—329.
3. Замечания к моей заметке...
(№ 2).— ИАН, 1947, 11, 101—
104.
4. О базисе семейства вполне адди-
тивных функций множества и о
свойствах равномерной аддитив-
ности и равностепенной непре-
рывности.— ДАН, 1947, 58,
149—152.
5. О непрерывности определенного
интеграла, зависящего от пара-
метра.— ДАН, 1949, 66, 149—
152.
6. О равномерно суммируемых
функциях и о свойствах равно-
мерной аддитивности и равносте-
пенной непрерывности семейства
вполне аддитивных функций
множества.— ИАН, 1942, 13,
341—356.
7. Об одном свойстве формулы Ни-
кодима.— ДАН, 1952, 85, 693—
694.
Дунь Хуай-юнъ (Типе Вuai-Yuen)
1. On Stieltjes integral of order 2.—
Science record, 1952, 5, 29—43.
Дъедонне (Dieudonne J,),
1. Основы современного анализа.
M., Мир, 1964.
Дюбуа-Реймон (Du Bois-Beymond Р.)
1. Ueber die allgemeine Eigenschaf-
ten der Klasse von Doppelintegralen
zu welcher das Fouriersche Dop-
plintegral gehort.— J. reine und
angew. Math., 1868, 69, 65—108.
2. Ueber eine neue Bedingung fiir den
gewonlichen Mittelwerthsatz.—
M. A., 1874, 7, 605—606.
3. Versuch einer Classification der
willkiirlichen Functionen reeller
Argumente nach ihren Aenderungen.
in den kleinsten Intervallen.—
J. reine und angew. Math., 1875,
79,21—37.
392
4. Ueber eine veranderte Form der
Bedingung fur die Integrierbar-
keit der Functionen.— Ibid., 59—
62.
5. Einleitung in die Theorie der
bestimmten Integrate, von J. Tho-
mae.—Z. Math, und Phys., Hist.—
lit. Abt., 1875, 20, 121—129.
6. Ein allgemeiner Satz der Integrier-
barkeitslehre.— M. A., 1880, 16,
112.
7. DerBeweisdes Fundamentalsatzes
b
der Integralrechnung: F' (x) dx =
= F(b) — F (a). M. A “ 1880, 16,
115—127.
8. Ein allgemeiner Satz uber die
Integrierbarkeit von Functionen
integrierbarer Functionen.—
M. A., 1882, 20, 122—144.
9. Theorie generate des fonctions
(1884). Nice, 1887.
Евклид.
1. Начала, книги XI—XV. M. —Л.,
Гостехиздат, 1950.
Егер (Jager IV.).
1. Leber die Bestimmung des In-
b
tegrals f (x) dx in den Fal-
ci
ten, wenn fur einen zwischen a und
b liegenden Wert c die Function
/ (x) unendlich wird. Marburg,
1847.
Егоров Д. E.
1. Sur les suites de fonctions mesu-
rables.— C. R., 1911, 152,
1473—1475.
Жордан (Jordan C.).
1. Sur la serie de Fourier (1881).
Oeuvres, t. IV. Paris, 1964,
p. 393—395.
2. Remarques sur les integrates de-
finies (1892).— Ibid., 427—457.
3. Cours d’analyse de ГEcote polytech-
nique, t. 1. Paris, 1893.
Заславский И. Д.
1. Об R-интегрируемости суперпо-
зиции R -интегрируемых функ-
ций.— Вестник Ленингр. ун-та,
1953, 8, № 11, 49—55.
Зигмунд (Zigmund Л.)
1. On the differentiability of mul-
tiple integrals.— F. M., 1934, 23,
143—149.
2. Тригонометрические ряды т. I,
II. М;.-- Л.. Физматгиз, 1965.
14 ф. А .^Медведев' 3
Зинин Н. Н.
1. Различные приемы приведения
кратных интегралов и главней-
шие применения этих приемов.—
Варшава, 1892.
Зубов В. П.
1. Из истории средневековой ато-
мистики.— Труды Ин-та истории
естествознания, 1947, 1, 283—
314.
2. Аристотель. М., Изд-во АН СССР
1963.
3. Развитие атомистических пред-
ставлений до начала XIX века.
М., изд-во «Наука», 1965.
Зубов В. П., Розенфельд Б. Л.,
Юшкевич А. П.
1. Об исследованиях по истории ма-
тематики средних веков.— ИМИ,
1963, 15, 51—72.
Зутер (Suter Н.)
1. Die Abhandlung uber die Ausmes-
sung des Paraboloides von Ibn al
Haitham.— Bibl. math. (3),
1912, 12, 289—332.
Идлис Г. M.
1. Анализ и расширение теорем о
среднем значении интеграла.—
Сборник научных трудов студен-
тов Казанского ун-та, т. 1. Казань,
1951, стр. 3—12.
Иессен (Jessen В.).
1. On the approximation of Lebesgue
integrals by Riemann sums.—
A. M., 1934, 35, 248—251.
Иессен, Марцинкевич, Зигмунд
(Jessen В., Marcinkiewicz J.,
Zygmund A.)
1. Note on the differentiability of
multiple integrals.— F. M., 1934,
23, 143-149.
Ицу mu, Kaeoma (Izumi, Shin-ichi;
Kawota, Tatsuo).
1. Notes on Fourier series (IV):
Stieltjes integrals.— Tohoku Math.
J., 1937, 44, 410—420.
Кавальери (Cavalieri B.).
1. Геометрия, изложенная новым
способом при помощи неделимых
непрерывного. М.— Л., Гостех-
издат, 1940.
Кальтенборн (Kaltenborn Н. S.)
1. Linear functional operations on
functions having discontinui-
ties of the first kind.— Bull.
A. M. S., 1934, 40, 702—708.
2. Existence conditions and a sub-
stitutions theorem for Stieltjes
mean integrals.— Tohoku Math.
J., 1938, 44, 1—11.
Камерон, Мартин (Cameron R. Н.,
Martin W. F.).
1. An unsymmetric Fubini theorem.—
Bull. A. M. S., 1941, 47, 121—
125.
Камке (Kamke E.)
1. Интеграл Лебега — Стилтьеса
(1925). M., Физматгиз, 1959.
Кантор Г. (Cantor G.)
1. Gesammelte Abhandlungen. Ber-
lin, 1932.
2. Основы общего учения о многооб-
разиях.— В сб.: Новые идеи в
математике, № 6. СПб., 1914,
стр. 1—77.
Кантор М. (Cantor М.).
1. Vorlesungen fiber Geschichte der
Mathematik, Bd. I—IV. Leipzig,
1894—1908.
2. Origines du calcul infinitesimal.
Bibl. Congr. internal, philos.,
logique et histoire des sci., t.
III. Paris, 1901, p. 3—25.
Канторович Л. В.
1. Об одном обобщении интеграла
Стилтьеса.— ДАН, 1934, 4, 417—
421.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1. Функциональный анализ в нор-
мированных пространствах.
М., Физматгиз, 1959.
Карамата (Карамата J.)
1. Teopnja и пракса Stieltjes-ова
интеграла. Београд, 1949.
Каратеодори (Caratheodory С.)
1. Vorlesungen uber reelle Funktio-
nen. Leipzig u. Berlin, 1918.
2. Entwurf fiir eine Algebraisierung
des Integralbegriff.— Sitzungsber.
Bayer. Akad. Wiss. zu Munchen,
math.- naturwiss. Abt., 1938,
27—68.
3. Die Homomorphen von Somen
und die Multiplication von Inhalts-
funktionen.— Ann. R. Scuola
Norm. Pisa, sci. fis. e mat.(2),
1939, 8, 105—130.
4. Ober die Differentiation von
Massfunktionen.— Math. Z., 1941,
46, 181—189.
Кармайкл (Carmichael R. D.)
1. Conditions necessary and suffi-
cient for the existence of Stiel-
tjes integral. Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A., 1919, 5, 551—555.
2. Note on the convergence tests for
series and on Stieltjes integration
by parts.— Bull. A. M. S.,
1919 —1920, 26, 97—101.
3. Note on a physical interpretation
of Stieltjes integrals.— Ibid.,
102—105.
Карно (Carnot L.).
1. Размышления о метафизике ис-
числения бесконечно малых.
М. —Л., ГТТИ, 1933.
Кастелънуово (Castelnuovo G.)
1. Le origini del calcolo infinitesi-
male nell’era moderna. Milano,
1962.
Кафьеро (Cafiero F.)
1. Sul passagio al limite sotto il
segno d’integrale di Stieltjes —
Lebesgue negli spazi astratti, con
masse variabili con gli integrandi.—
Atti R. Accad. Lincei, Rend. (8),
1953, 14, 488—494.
2. Misura e integrazione. Roma,
1959.
Качьопполи (Caccioppoli R.)
1. Un theoreme generale pour le pas-
sage a la limite sous le signe d’in-
tegrate indefinie.— C. R., 1928,
186, 832—834.
2. Teoria generale del cambiamento
di variabili negli integral! doppi.—
M.A., 1929, 101, 672—685.
3. Sul lemma fondamentale del cal-
colo integrale.— Atti Mem. Ac-
cad. Padova, 1934, 50, 93—98.
4. L'integrazione e la ricerca delle
primitive rispetto ad una funzione
coutinua qualqunque.— Ann. mat.
pura ed appl. (4), 1955, 40, 15—
34.
Кемписты (Kempisty S.)
1. Un nouveau procede d’integration
de fonctions mesurables non som-
mables.— C. R., 1925, 180, 812—
815.
2. Sur Г integration des fonctions
mesurables.— Ibid., 1011—1014.
3. Sur I’integrale (A) deM. Denjoy.
C. R., 1927, 185, 749—751.
4. Sur les fonctions absolument con-
tinues d’intervalle.— F. M., 1936,
27, 10—37.
5. Sur des fonctions absolument se-
mi-continues.— F. M., 1938, 30,
104—128.
Кеннеди (Kennedy M. D.)
1. Determinante functions of inter-
vals and their rate of increase.—
Proc. L.M.S. (2), 1930, 30, 58—
80.
2. Upper and lower Lebesgue integ-
rals.— Ibid., (2), 1930, 32, 21—
50.
Кеннеди, Поллард (Kennedy M. D.,
Pollard S.)
394
1. Upper and lower integrals.—
Math. Z., 1934, 39, 432—454.
Кеплер (Kepler J.)
1. Стереометрия винных бочек
(1615). M.— Л., ОНТИ, 1935.
Кестелъман (Kestelman Н.)
1. An integral for functions of boun-
ded variation.— Journ. L. M. S.,
1934, 9, 174—178.
2. Integral properties of non-mesu-
rable functions. Ibid., 1946, 21,
283—290.
Кёниг (Konig J.).
1. A hatarozott integralok elmele-
tez.— Mat. es. Termeszettudma-
nyi ertesito, 1897, 380—384.
Клагетт (Clagett M.)
1. The impact of Archimedes on
medieval science.— Isis, 1962,
50, 419—429.
Кларксон, Адамс (Clarkson J. A.,
Adams C.A.)
1. On definitions of bounded varia-
tions for fonctions of two variab-
les.— Trans. A. M. S., 1933, 35,
824—854.
Клейн (Klein F.)
1.’Лекции о развитии математики в
XIX столетии. М.— Л., ОНТИ,
1937.
Кнопп (Knopp К.)
1. Ein einfaches Verfahren zur Bil-
dung stetiger nirgends differenzier-
barer Funktionen.— Math. Z.,
1918, 2, 1—26.
Кобер (Kober H.)
1. On the existence of the Burkill
integral.— Canad. J. Math., 1957,
10, 115—121.
Ковалевский (Kowalewski G.)
1. Uber den zweiten Mittelwertsatz
der Infinitesimalrechnung.—
M. A., 1905, 60, 151—156.
2. Примечания к кн.: Leibniz liber
die Analysis des Unendlichen.
Ostwald’s Klassiker der exacten
Wissenschaften № 162. Leipzig,
1920, S. 72—84.
Коваль П. И.
1. Об интегралах Стилтьеса. Ма-
тем. сб., 1949, 4 : 6 (34), 190—
193.
2. Об интегралах Стилтьеса.— Уч.
зап. МГУ, матем., 1948, 2, в.
Г^[135, 152—166.
3. Признаки сходимости несобст-
венных интегралов Стилтьеса.—
Там же, стр. 167—172.
Кованько А. С.
1. Sur les suites de fonctions absolu-
ment continues.— C. R., 1925,
181, 768—770.
2. Sur les conditions necessaires et
suffisantes de Г integration des
suites de fonctions sommables
term a term.— Ibid., 1926, 182,
561—564.
3. Sur I’integration des suites de
fonctions totalisables.— Ibid.,
1926, 183, 471—472.
4. Определение интеграла Римана
— Стилтьеса для функций двух
независимых переменных и его
связь с теорией меры поверхно-
сти.— Изв. научно-исс л ед. ин-та
матем. и мех. при Томском Гос.
ун-те, 1938, 2, 64—107.
5. Интеграл Стилтьеса — Лебега от
функций двух независимых пе-
ременных с двумя добавочными
функциями.— Уч. зап. Иванов-
ского гос. пед. йн-та, физ.-матем.
факультет, 1941, 1, 10—26.
6. Интеграл Стилтьеса та теорема
про середне значения.— Наук,
зап. Львивського Держ. Унив.,
1947, 5, 162—163.
Колмогоров А. Н.
1. La definition axiomatique de Г in-
tegrate.— C. R., 1925, 180, 110—
111.
2. Sur la possibilite de la definition
generate de la derivee, de Г in-
tegrate et de sommation des se-
ries divergentes.— Ibid., 362—
364.
3. Sur un procede d’integration de
M. Denjoy.— F. M., 1928, 11,
27—28.
4. Untersuchungen liber den Inte-
gralbegriff.— M. A., 1930, 103,
654—696.
5. Ньютон и современное матема-
тическое мышление.— В сб.:
Московский университет памяти
Исаака Ньютона. М., Изд-во
МГУ, 1946, стр. 27—42^
Кольман Э. Я,
1. Бернард Больцано. М., Изд-во
АН СССР, 1955.
2. История математики в древности.
М., Физматгиз, 1961.
Копеланд (Copeland А. Н.)
1. A new definition of a Stieltjes
integral.— Bull. A. M. S., 1937,
43, 581—588.
Коши (Cauchy Л.)
1. Алгебраический анализ (1821).
Лейпциг, 1864.
395
14*
2. Memoire sur Г integration des
equations lineaires aux differen-
ces partielles et a coefficient con-
stant. J. Ecole R. polytechn.,
1823, 12, 510—589.
3. Краткое изложение уроков о диф-
ференциальном и интегральном
исчислении (1823). СПб., 1831.
4. Sur les integrates definies prises
entre des limites imaginaires
(1825). Oeuvres compl., (2), 1958,
2, 57—65.
5. Memoire sur le rapport differen-
tiel de la grandeurs qui varient
simultanement (1841). Oeuvres
compl. (2), 1916, 12, 214—262.
6. Sur 1’emploi des coordonnees cur-
vilignes dans 1’evalution des sur-
faces, des volumes, des mas
ses ets.— C. R.* 1843, 16, 413—
422.
Крамар Ф. Д.
1. Вопросы обоснования анализа в
трудах Валлиса и Ньютона.—
ИМИ, 1950, 3, 486-508.
2. Интеграционные методы Джона
Валлиса.— ИМИ, 1961, 14, И—
100.
Крейн М. Г.
1. Идеи П. Л. -Чебышева и
А. А. Маркова в теории предель-
ных величин интегралов и их
дальнейшее развитие.— УМН,
1951, 6 : 4(44), 3—120.
Кристенсен, Пульсен, Райх (Kri-
stensen Е., Poulsen Е. Т.,
Reich Е.)
1. A characterization of Riemann-
Integrability.— Amer. Math.
Monthly, 1962, 69, 498—505.
Кронрод А. C.
1. Интеграл и производная функ-
ций нескольких переменных.—
УМН, 1948, 3 : 2(24), 220—222.
2. О линейном интеграле.— ДАН,
1949, 66, 1041—1044.
Кропотов Л. Л,
1. Представление интегральных
формул Ньютона — Лейбница,
Грина, Стокса, Гаусса и Остро-
градского одной формулой.—
Труды Ин-та матем. и мех. АН
УзССР, 1954, 13, 138—151.
Кропп (Kropp G.)
1. Lalouveres Quadratura circuli.—
J. reine und angew. Math., 1951,
189, 1—76.
Крылов A. H.
1. Леонард Эйлер.— В сб.: Лео-
нард Эйлер, 1707—1783. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1935, стр. 1—
28.
Кудрявецев Л. Д., Кащенко Ю. Д,
1. О замене переменных в интегра-
ле.— ДАН, 1952, 84, 869—871.
2. О сведении кратного интеграла
к повторному.— УМН, 1952,
7 : 6 (52), 211—212.
Кудрявцев П. С.
1. История физики, т. 1. М., Уч-
педгиз, 1948.
Кузнецов Б, Г.
1. Развитие физических идей от
Галилея до Эйнштейна в свете
современной науки. М., Изд-во
АН СССР, 1963.
Кулидж (Coolidge J.)
1. A history of geometrical methods.
Oxford, 1940.
Кэджори (Kajori F.)
1. On a integration ante-dating of
the integral calculus.— Bibl.
math. (3), 1915, 14, 312—319.
2. Discussion of fluxions: from Ber-
keley to Woodhouse.— Amer.
Math. Monthly, 1917, 24, 145—
154.
3. Who was the first inventor of the
calculus. Ibid., 1919, 26, 15—20.
Лагранж (Lagrange J. L.)
1. Sur une nouvelle espece du cal-
cul relatif a la differentiation et
а Г integration des quantites va-
riables (1772/1774). Oeuvres, t. 3.
Paris, 1869, p. 441—476.
2. Sur Pattraction des spheroides
elliptiques(1773).— Ibid., p. 619—
658.
3. Аналитическая механика, т. 1,
2. M.— Л., 1950.
4. Theorie des fonctions analytiques
contenant les principes du calcul
differentiel degage de tout con-
sideration d’infiniment petits,
d’evanouissants, de limites et de
fluxions, et reduites а Г analyse
algebrique des quantites finis
(1797). Oeuvres, t. 9. Paris,
1881, p. 1—428.
5. Lecons sur le calcul des fonc-
tions.— J. Ecole polytechn., 5,
1804, 12, 1—324.
Лакруа (Lacroix S. F.)
1. Traite du calcul differentiel et
du calcul integral, I, II. Paris,
1797—1798.
Ламонд (Lamond J. K.)
1. The reduction of multiple L-in-
tegrals of separated functions to
396
iterated L-integrals.— Trans.
А. Мё S., 1915, 16, 387—398.
Ландау (Landau E.)
1. Ein Satz uber Riemannsche In-
tegrale.— Math. Z., 1918, 2,
350—351.
Лаплас (Laplace P. S.)
1. Опыт философии теории вероят-
ностей. М., 1908.
Лебег (Lebesgue Н.)
1. Sur 1’approximation des fonc-
tions.— Bull. sci. math. (2),
189Я, 22, 278—287.
2. Sur une generalisation d’integrate
definie.— C. R., 1901, 132,
1025-1028.
3. Integrale, longueur, aire.— Ann.
math, pura ed appl. (3), 1902,
7, 231—359.
4. Sur Г existence des derivees.—
C. R., 1903, 137, 659—661.
5. Sur une propriete-des fonctions.—
Ibid., 1228—1230.
6. Sur les series trigonometriques.—
Ann. scient. Ecole norm, su-
per: (3), 1903, 20, 453—485.
7 . Lemons sur Г integration et la
recherche des fonctions primitives.
Paris, 1904.
8. Sur les fonctions derivees. Atti
R. Accad. Lincei, Rend. (5), 1906,
15, 2 sem., 3—18.
9. Lemons sur les series trigonomet-
riques. Paris, 1906.
10. Encore une observation sur les
fonctions derivees.— Atti R.
Acad. Lincei, Rend. (5), 1907,
16, 1 sem. 92—100.
11. Sur la recherche des fonctions
primitives par Pintegration.—
Ibid., 283—290.
12. Remarques sur le definition de
I’integrale.— Bull. sci. math.
(2), 1905, 29, 272—275.
13. Sur les integrates singulieres.—
Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse
(3), 1909, 1, 25—117.
14. Sur I’integrale de Stieltjes et
sur les operations fonctionnelles
lineaires.— C. R., 1910, 150, 86—
88.
15. Sur Pintegration des fonctions
discontinues.— Ann. scient. Eco-
le norm, super. (3), 1910, 27,
361-450.
16. Remarques sur les theories de
la mesure et de Pintegration.
Ibid. (3), 1918, 35, 191—250.
17. Sur la recherche des fonctions
primatives.— Acta math., 1926,
49, 245—262.
18. Sur la developpement de la no-
tion de I’integrale. Mat. tidsskr.,
B, 1926, 3—4, 54—74.
19. Лекции об интегрировании и
отыскании примитивных функций
(1928). М.—Л., ГТТИ, 1934.
Леви (Levi В.)
1. Ricerche suite funzioni deriva-
te.— Atti R. Accad. Lincei,
Rend. (5), 1906, 15, I sem., 433—
438, 551—558, 674—678.
2. Ancora alcune osservazioni sui-
te funzioni derivate.— Ibid., 1906,
2 sem., 358—368.
3. Sopra 1’integrazione delle serie.—
Rend. R. 1st. Lombardo sci. e
lett. (2), 1906, 39, 775—780.
4. Sulla definizione dell’integra-
te.— Ann. mat. pura ed appl.
(4), 1924, I, 57—82.
Лейбниц (Leibniz G.)
1. Neue Methode der Maxima, Mi-
nima sowie der Tangenten, die
sich weder an gebrochenen nach
irrationalen Grossen stosst, und
eine eigentumliche darauf be-
ziigliche Rechnungsart (1684).
В кн.: Leibniz uber die Analy-
sis des Unendlichen.— Ostwald’s
Klassiker der exacten Wissen-
schaften, № 162. Leipzig, 1920,
S. 3—11.
2. Uber die Linie, in welche sich
etwas Biegsames durch sein ei-
niges Gewicht kriimmt, und ihren
hervorragenden Nutzen zur Auf-
findung von unendlich vielen
mitteleren Proportionalen und von
Logarithmen (1691).— Ibid., S.
12—18.
3. Eine auf transzedente Probleme
sich erstreichende Erganzung der
praktischen Geometrie, mit Hilfe
einer neuen allgemeinen Methode
durch unendliche Reihen (1693).—
Ibid., S. 19—23.
4. Eine Erganzung der ausmessende
Geometrie oder allgemeine Ausfiih-
rung alter Quadratur durch Bewe-
gung, sowie eine mehrfache Konst-
ruktion einer Linie aus einer ge-
?ebenen Tangentenbedingung
1693).— Ibid., S. 24—34.
5. Einneues Beispil der Analysis fur
die Wissenschaft des Unendlichen
beziiglich der Summen und Quad-
raturen (1702).— Ibid., S. 43—57.
397
g. Fortsetzung der Analysis rationa-
len Quadraturen (1703).— Ibid.,
S. 58—64.
7. Избранные отрывки из матема-
тических сочинений Лейбница.—
УМН, 1948, 3 : 1 (23), 165—
203.
Лейн (Lane R. Е.)
1. The integral of a function with
respect to a function, I, II.—
Proc. A. M. S., 1954, 5, 59—66;
1955, 6, 392—401.
Лейфман Л. Я.
1. К вопросу о предельном переходе
под знаком интеграла Лебега.—
Укр. матем. ж., 1952, 7, 134—141.
2. Об условиях существования ин-
теграла Колмогорова и понятии
дифференциальной эквивалент-
ности.— УМН, 1957, 12 : 3 (75),
343—352.
3. О предельном переходе под зна-
ком интеграла Колмогорова.—
Изв. высших учебн. заведений,
матем. 1958, № 2, 182—196.
4. Предельный переход под знаком
интеграла с общей точки зрения
интеграла Колмогрова.— Там же,
1960, № 1, 139—153.
Либри (Libri G;)
1. Histoire des sciences mathemati-
ques en Italie, depuis la Renais-
sance des Lettres jusqu’a la fin
du dix-septieme siecle, t. 1—2.
Paris, 1838, t. 3. 1840, t. 4, 1841.
Липшиц [Lipschitz R.)
t. О разложении в тригонометри-
ческие ряды произвольных
функций одного переменного,
главным образом тех, которые
в конечном интервале имеют бес-
конечное множество максимумов
и минимумов (1864).— В кн.: «Раз-
ложение функций в тригоно-
метрические ряды».— Харьков,
1914.
Лобачевский Н. И.
1. Об исчезновении тригонометри-
ческих строк (1834). Полное собр.
соч., т. 5. М.— Л., Гостехиздат,
1951, стр. 31—81.
Лопиталъ (de Г Hospital G. F.)
1. Анализ бесконечно малых. М.—
Л., ОНТИ, 1935.
Лориа (Loria G.)
1. Storia delle mateniatiche delf-
alba della civilita al tramonto del
secolo XIX. Milano, 1950.
Лузин H. H.
1. К основной теореме теории" инте-
грального исчисления (1912).
Собр. соч., т. 1. М., Изд-во АН
СССР, J953, стр. 5—24.
2. О свойствах интеграла Данжуа
(1912).— Там же, стр. 43—44.
3. О сходимости тригонометрических
рядов Фурье (1913). Там же, стр.
45—47.
4. Интеграл и тригонометрический
ряд (1915). Там же, стр. 48—212.
5. О понятии интеграла (1917).—
Там же, стр. 222—266.
6. Современное состояние теории
функций действительного пере-
менного (1933). Собр. соч., т.
2. М., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 494—536.
7. Эйлер (1707—1783) (1933). Там
же, стр. 351—372.
8. О строении измеримых функций
(1934). Собр. соч., т. I, стр.
343—362.
9. Функция ((1935). Собр. соч., т.
3. М., Изд-во АН СССР, 1959,
стр. 319—241.
10. Ньютонова теория пределов
(1943).— Там же, стр. 373—400.
11. Исаак Ньютон как математик и
натуралист (1943). Там же, стр.
401—414.
12. Теория функций действительно-
го переменного. М., Учпедгиз, 1948.
Луман (Looman Н.)
1. Sur la totalisation des derivees des
fonctions continues de plusieurs
variables independants.— F. M.,
1923, 4, 246—285.
2. «Uber die Perronsche Integraldefi-
nitioT».—M. A., 1924, 93.153—156.
Лурье С. Я.
1. Теория бесконечно малых у древ-
них атомистов. М.—Л., Изд-во
АН СССР, 1935.
2. Эйлер него «исчисление нулей».—
В кн.: Леонард Эйлер, 1707—1783.
М.—Л., Изд-во АН СССР, 1935,
стр. 51—80.
3. Об ейлеровском «Введении в ана-
лиз бесконечно малых»,— В кн.
Эйлер, [1], стр. 9—20.
4. Математический эпос Каваль-
ери.— В кн.: Кавальери [1],
стр. 7—80; примечания к той же
книге, стр. 335—411.
5. Архимед. М.— Л., Изд-во АН
СССР, 1945.
Ляпунов А. М.
1. Об уравнении Клеро и более об-
щих уравнениях теории фигуры
планет (1904). Собр. соч., т. 3.
398
М., Изд-во АЙ СССР, 1959,
стр. 147—206.
Maeda (Maeda F.)
1. Space of differential set functi-
ons.— J. Sci. Hiroshima Univ.,
(A), 1936, 6, 19—45.
2. Representation of linear opera-
tors by differential set functions.—
Ibid., 115—137.
Макларен (Mac Laurin C).
1. A treatise of fluxions. Edinbourgh,
1742.
Mapu (Mari M.)
1. Histoire des sciences mathemati-
ques et physiques,t. Ill—IV. Paris,
1884—1885, t. VI—VII.
Марков A . A.
1. О некоторых приложениях ал-
гебраических непрерывных дро-
бей. СПб., 1884.
2. Доказательство сходимости мно-
гих непрерывных дробей.— Со-
общ. Харьк. матем. об-ва, 1885,
1, 29—33.
3. Извлегение из письма Эрмиту
(1886).- В кн.: А. А . Марков. Из-
бранные труды по теории непре-
рывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля.
М.— Л., Гостехиздат, 1948,
стр. 25—33.
4. Исследования о предельных вели-
чинах интегралов.— Записки
имп. Акад, наук, 1900, (8) 10,
К? 9, 1—33.
Маркс К., Энгельс Ф.
1. Немецкая идеология, т. 3. М.,
1955.
Маркушевич А. И.
1. Вторая теорема о среднем значе-
нии.— Матем. сб., 1935, 42 : 5,
567—582.
2. Очерки по истории теории анали-
литических функций. М.— Л.,
Гостехиздат, 1951.
3. Работы Гаусса по математическо-
му^ анализу.— В сб. Карл
Фридрих Гаусс. М., Изд-во АН
СССР, 1956, стр. 145—216.
Матвиевская Г. П.
1. Развитие учения о числе в Евро-
пе до XVII века. Ташкент,
1971.
Медведев Ф. А.
1. О формировании понятия обоб-
щенного предела.— Труды Ин-та
истории естествознания и тех-
ники, 1960, 34, 299—322.
2. О сосуществующих величинах
Коши.— В сб. «История физико-
математический наук», т. 43.
М., Изд-во АН СССР, 1961,
стр. 264—289.
3. Вклад А. М. Ляпунова в тео-
рию интеграла Стилтьеса. ИМИ,
1961, 14, 211—234.
4. Развитие понятия интеграла
Стилтьеса.— ИМИ, 1963, 15,
171—224.
5. Развитие теории множеств в
XIX веке. М., «Наука», 1965.
6. Функции множества у Д. Пе-
ано.— ИМИ, 1965, 16, 311-323.
Мейер (Meyer G. F.)
1. Vorlesungen uber die Theorie der
bestimmten Integrale zwischen
reellen Grenzen, mit vorziiglicher
Beriicksichtigung der von P. Gu-
stav Lejeune-Dirichlet in Sommer
1858 gehaltenen Vortrage uber
bestimmte Integrate. Leipzig.
1871.
2. Bemerkungen liber den Du Bois-
Reymond’schen Mittelwertsatz.-
M. A., 1873, 6, 313—320.
Меньшов Д. E.
1. Взаимоотношения между опре
делениями интеграла Borel’s, и
Denjoy.— Матем. сб., 1916, 30 :
: 2; 288—295.
Мешковский (Meschkowski Н.).
1. Denkweisen grosser Mathemati-
ker. Braunschweig, 1961.
Мизес (Mises R. v.)
1. Fundamentalsatze der Warsche-
inlichkeitsrechung.— Math. Z.,
1919, 4, 1—97.
Минь Сы-хэ (Min Szu-Hoa)
1. On a generalization of the Stiel-
tjes integral and its application
to the generalized harmonic
analysis — Science Record, 1951,
4, 109—118.
Монтюкла (Montucla J. F.).
1. Histoire des mathematiques, t.
Ill—IV. Paris, 1802.
M о рдуха й-Б олтовск и й Д- д.
1. Метод исчерпывания.— Матем.
образование, 1928, 6, 229—240.
2. Вводная статья к кн.: Исаак
Ньютон. Математические рабо-
ты. М.— Л., ОНТИ, 1937,
стр. 3—24.
3. Комментарии к той же книге.
Морс (Morse А. Р.)
1. Convergence in variation and re-
lated topics.— Trans. A. M. S.,
1937, 41, 48—83.
Momm (Mott T. E.)
1. On the Lebesgue — Stieltjes in-
399
tegral.— Portug. math., 1961, 20,
199—230.
Муанъо (Moigno F.)
1. Legons de mecanique analytique.
Paris, 1868.
Myp (Moore E. H.).
1. Concerning du Bois-Reymond’s two
relative integrability theorem.—
Ann. Math., 1900—1901, (2), 2,
153—158.
2. Concerning Harnack’s theory of
improper definite integrals.—
Trans. A. M. S., 1901, 2, 296—
330.
3. On the theory of improper de-
finite integrals.— Ibid., 459—475.
Мур, Смит (Moore E, H., Smith
H. L.)
1. A general theory of limits. Amer.
J. Math., 1922, 44, 102—121.
Налли, Андреоли (Nalli P., And-
reoli G.).
1. Sull’area di una superficie, sugli
integral! multipli di Stieltjes e
sugli integral! multipli delle
funzioni di piu variabili comp-
lesse.— Atti R. Accad. Lincei,
Rend. (6), 1927, 5, 963—966.
2. Sull' area di una superficie, sugli
integrali multipli di Stieltjes e
sugli integrali doppi delle fun-
zioni di due variabili coinplesse.—
Rend. Circolo mat. Palermo, 1928,
52, 30—43.
3. Sui process! integrali di Stielt-
jes.— Ann. mat. pura ed appl.,
(4), 1930, 7, 47—59.
Натансон И. II.
1. Об интеграле типа Дини.— Ма-
тем. сб., 1938, 4 (46) : 3, 541—
548.
2. Теория функций вещественной
переменной. М., Гостехиздат—
1957.
3. Непрерывность интеграла Ра-
дона как функции параметра.—
ДАН, 1963, 150, 1225—1227.
Нейгебауэр (Neugebauer О.)
1. Лекции по истории античных
математических наук. М.— Л.,
ОНТИ, 1937.
Нейман (Neumann J. v.)
1. Mathematische Begrimdung der
Quantenmechanik.— Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen, Math. phys. KI.,
1927, 1—57.
2. Математитеские основы кванто-
вой механики. М., Изд-во «На-
ука», 1964.
Немыцкий В. В.
1. Об определении абстрактного ин-
теграла.— Уч. зап. МГУ, серия
матем., 1949, 135, 10—22.
Никодим (Nicodym О.)
1. Sur une generalisation des integra-
tes de M. J. Radon.— F. M.,
1930, 15, 131—179.
2. «Remarques sur les integrates de
Stieltjes en connection avec cel-
les de M. M.' Radon et Frechet.—
Ann. Soc. Polon. math., 1945, 18,
12—24.
Ho (Naих Ch.)
1. Gregoire de Saint Vincent er la
notion de valeur limite. Rev.
questions scient., 1966, 27, 161 —
176.
2. Hisoire des logarithmes de Neper
a Euler, t. I. Paris, 1966.
Ноайон (Noaillon P.)
1. Sur les integrates de Stieltjes.—
J. math, pureset appl., (9) (1933),
12, 83—93.
Ньютон (Neu-ton 7.)
1. Анализ с помощью уравнений
с бесконечным числом членов
(1665/1711) — В кн.: Исаак Нью-
тон. Математические работы.
М.— Л., ОНТИ, 1937, стр. 3—
24.
2. Метод флюксий и бесконечных
рядов (1670/1736).— Там же,
стр. 25—166.
3. Рассуждение о квадратуре кри-
вых (1676/1704).— Там же,
стр. 167—193.
4. Первое письмо Ньютона к Оль-
денбургу (1676). Там же,
стр. 218—232.
5. Второе письмо Ньютона к Оль-
денбургу (1676). Там же,
стр. 233—256.
6. Математические начала нату-
ральной философии (1686).—
В кн.: Собрание трудов акаде-
мика А. Н. Крылова, VII. М.—
Л., Изд-во АН СССР, 1936.
7. Метод разностей (1711).—
В кн.: Исаак Ньютон. Матема-
тические работы. М.— Л.,
ОНТИ, 1937, 210—217.
8. The mathematical papers of Isaac
Newton, v. Ill, 1670—1673.
D. T.-Whiteside (Ed.). Cambrid-
ge, 1969.
Оррин (Orrin F. J.).
1. Jordan measure and Reimann
integration.—A. M., 1933, 34,
518—522.
400
Осгуд (Osgood W. F.)
1. Non-uniforme convergence and the
integration of series term by
term.— Amer. J. Math., 1897, 19,
155—190.
Остроградский M. B.
1. Заметка по теории теплоты
(1828/1831).— Полное собр. тру-
дов, т. I. Киев, Изд-во АН
УССР, 1959, стр. 62—68.
2. Мему ар об исчислении вариации
кратных интегралов. (1834/
1838).— Там же, т. 3, 1961,
стр. 45—64.
3. О преобразовании переменных в
кратных интегралах — (1834/
1838).— Там же, стр. 109—114.
4. Извлечение из первой публичной
лекции трансцендентного анали-
за, читанной академиком Остро-
градским (1841).— Там же,
стр. 159—164.
5. Извлечение из второй публичной
лекции трансцендентного ана-
лиза, читанной академиком
• Остроградским (1841).— Там же,
165—170.
6. Записки интегрального исчисле-
ния, составленные с публичных
лекций господина академика
Остроградского. — В кн.:
М. В. Остроградский. Педаго-
гическое наследие. М., Физмат-
гиз, 1961, стр. 152—252.
7. Об интегрировании рациональ-
ных дробей (1854). Полное собр.
трудов, т. 3. Киев, Изд-во АН
СССР, 1961, стр. 180—214.
Очан Ю. С.
1. Обобщенный интеграл.— Матем.
сб., 1951, 28 (70): 2, 293—336.
2. Представление функций ограни-
ченной вариации с помощью
обобщенного интеграла.— Тру-
ды Третьего Всес. матем. съезда,
т. 4. М., 1959, стр. 50—52.
3. Исследование одного функцио-
нального пространства.— Труды
V Всес. конференции по функ-
циональному анализу и его при-
менении. Баку, АН Азерб.
ССР, 1962, стр. 215—219.
Па ньи (Pagni TIL.).
1. Sulla derivazione negli insiemi
astratti delle funzioni a variazi-
one limitata integrabili secondo
Burkill.— Rend. Seminario Mat.
Univ. Padova, 1956,15, 279—382.
Паплаускас А. Б.
1. Тригонометрические ряды от Эй-
лера до Лебега. М., Изд-во «На-
ука», 1966.
Па nn (Pappus d'Alexandrie).
1. La collection mathematique, I,
II. Paris, 1933.
Паскаль (Pascal E.)
1. Esercize e note critiche di calcolo
infinitesimale. Milano, 1895.
Паш (Pasch M.)
1. Einleitungin die Differential-und
Integralrechnung. Leipzig, 1882.
2. Ueber einige Punkte Functio-
rientheorie.— M. A. 1887, 30,
132—154.
Пеано (Peano G.)
1. Sulla integrabilita delle funzioni
(1883). Opere scelte, t. I. Roma,
1957, p. 25—32.
2. Applicazioni geometriche del cal-
colo infinitesimale. Torino, 1887.
3. Sur la definition de la derivee
(1892). Opere scelte, t. I, p. 210—
212.
4. Sulla definizione di integrate
(1895).— Ibid., p. 277—281.
5. Le grandezze coesistenti di Cau-
chy (1914).— Ibid., p. 432—440.
Перрен (Perrin L.)
1. Henri Lebesgue renovateur de
Г analyse modern. Grand courants
de la pensee mathematique. Pa-
ris, 1962, p. 286—292.
Перрон (Perron O.)
1. Die Lehre von den Kettenbriiche.
Leipzig u. Berlin, 1913.
2. Uber den Integralbegriff.— Sit-
zungsber. Heidelberger Akad.
Wiss., 14 Abhandlung, 1914.
Петровский И. Г.
1. Sur les fonctions primitives par
rapport a une fonction continue
arbitraire.— C. R., 1929, 189,
1242—1244.
2. Sur Punicite de la fonction pri-
mitive par rapport a une fonction
continue arbitraire.— Матем. сб.,
1934, 41, 48—59.
Лесин И. Н.
1. Развитие понятия интеграла. М.,
Изд-во «Наука», 1966.
Пинкерле (Pincherle S.).
1. Saggio di une introduzione alia
teoria delle funzioni analytiche
secondo i principii del prof.
C. Weirstrass.— Giron. mat.,
1880, 18, 178—254, 317—357.
Погребысский И. Б.
1. От Лагранжа к Эйнштейну. Клас-
сическая механика XIX века. М.,
Изд-во «Наука», 1966.
401
Поллард (Pollard S.)
1. The Stieltjes integral and its ge-
neralizations.— Quart. J. Pure
and Appl. Math., 1923, 49, 73—
138.
2. On the- approximation of an ar-
bitrary bounded function. Journ.
L. M. S., 1927, 2, 222—227.
Порчелли (Porcelli P.)
1. Concerning integrals.— Proc.
L. M. S., 1954, 5, 395—400.
2. On the existence of the Stieltjes
mean б-integral, III.— J. Math.,
1958, 2, 124—128.
Поссе К. A.
1. Sur quelques applications des
fractions continues algebriques.
St.-Petersb., 1886.
Праг (Prag Л.)
1. John Wallis.— Quellen und Stu-
dien zur Geschichte der Math.,
1930, 1, 381—412.
Прайс (Price G. В.)
1. Cauchy — Stieltjes and Rie-
mann — Stieltjes integrals.—
Bull. A. M. S., 1943, 49, 625—
630.
Прингсгейм (Pringsheim A.).
1. Zur Theorie des Doppel-Integrals,
des Green’schen und Cauchy’schen
Intergralsatzes.— Sitzungsber.
math.- phys. Cl. K. Bayer Akad.
Wiss. Munchen, 1900, 29, 39—
62.
2. Ueber den sogenannten zweiten
Mittelwertsatz fur endlichen Sum-
men und Integrale.— Ibid., 1901,
30, 209—246.
3. Grundlagen der allgemeinen Fun-
ktionenlehre. Encykl. der math.
Wissensch. II, I, I, 1899—1916,
S. 1—53.
Проценко Д. Ф.
1. Об интеграле Бёркиля.— Сообщ.
АН ГрузССР, 1960, 24, 7—14. *
2. Об интеграле Стилтьеса — Бёр-
киля.— Там же, стр. 145—152.
3. Перестановочная формула для
повторного интеграла Стил-
тьеса — Бёркиля.— Там же,
1963, 30, 3—9.
4. К взаимоотношению между дву-
мя типами интеграла Колмого-
рова.— УМН, 1965, 20 : 5 (125),
237—242.
Пуассон (Poisson S. D.).
1. Sur les integrates des fonctions
qui passent par Г inf ini entre des
limites de Г integration, et sur
Г usage des imaginaires dans la
determination des integrates de-
finies. J. BcoleR. polytechn., 11:
18 (1820), 295—341.
Раабе (Raabe J. L.)
1. Ueber den Fall, wenn in dem be-
ъ
stimmten Integrate Ф (#) dx die
a
Function (p (x) fur einen oder mehr-
rere Werte von welche innerhalb
a und b liegen, unendlich gro|3
oder discontinuirlich wird.— J.
reine und angew. Math., 1839,
20, 173—177.
2. Die Differential- und Integral-
rechnung. Zurich, 1839.
Рабинович Ю. JI.
1. Интегральная теорема M. В.
Остроградского.— УМН, 1951,
6 : 5 (45), 26—32.
Радон (Radon J.)
1. Theorie und Anwendungen der
absolut additiven Mengenfunk-
tionen. Sitzungsber. K. Akad.
Wiss. Wien, Math.- naturwiss.
KI., Abt. Ila, 1913, 122, 1295—
1438.
Ремез E. Я.
1. О математических рукописях
академика М. В. Остроградско-
го.— ИМИ, 1951, 4, 9—98.
2. Об исследованиях М. В. Остро-
градского в области анализа.—
В кн.: М. В. Остроградский.
Полное собр. трудов, т. 3. Ки-
ев, Изд-во АН УССР, 1961,
стр. 375—394.
Риддер (Ridder J.)
1. Uber approximativ stetige Funk-
tionen von zwei (und mehrere)
Veranderlichen.— F. M., 1929,
13, 201—209.
2. Uber den Perronschen Integral-
begriff und seine Beziehung zu
den /?-, L- und D-Integralen.—
Math. Z., 1931, 34, 234—269.
3. Uber approximativ stetige Den-
.— F. M., 1933, 21,
4. Das Riemann — Stieltjes In-
tegral.— Prace mat.-fiz., 1934,
40, 65—95.
5. Uber Perron — Stieltjessche und
Denjoy — Stieltjessche Integ-
ral.— Math. Z., 1935, 40, 127—
160.
6. Stieltjessche Integrate.— Proc.
Konink. Nederl. Acad, wet.,
1949, 52, 1129—1134.
joy-integrate
1—10.
402
1. Bemerkungen zur vorangeltenderi
Note von H. Scharf.— Ibid.,
1951, 54, 223-225.
Риман (Riemann В.)
1. Основы общей теории функций
одной комплексной переменной
(1851).— В кн.: Б. Риман. Со-
чинения, М.— Л., Гостехиздат,
1948, стр. 49—87.
2. О возможности представления
функций посредством тригоно-
метрического ряда (1854/1868).—
Там же, стр. 225—261.
3. Partielle Differnetialgleichun-
gen und deren Anwendung auf
physicalische Fragen (1869). Bra-
umschweig, 1882.
Рингенберг (Ringenberg L. A.)
1. The theory of Burkill integral.—
Duke Math. J., 1948, 15, 239—
270.
Pucc (Riesz F.)
1. Sur les systemes orthogonaux
de fonctions (1907). Oeuvres com-
pletes, t. I. Budapest, 1960,
p. 615—619.
2. Sur les systemes orthogonaux de
fonctions et I’equation de Fred-
holm (1907).—Ibid., p. 382—
385.
3. Sur les operations fonctionnelles
lineaires (1909).— Ibid., p. 400—
402.
4. Sur les suites de fonctions mesu-
rables (1909).— Ibid.,p. 396—399.
5. Sur certains systemes d’equations
fonctionnelles et Г approximation
des fonctions continues (1910).—
Ibid., p. 403—406.
6. Sur certains systemes singuliers
d’equations integrates (1911).
Oeuveres compl., t. II. Budapest,
1960, p. 798—827.
7. Sur quelques points de la theorie
des fonctions commables (1912).
Oeuvres compl. t. I, p. 185—187.
8. Uber Integration unendlichen Fol-
gen (1918).—Ibid. S. 195—199.
9. Sur I’integrale de Lebesgue
(1920).— Ibid., p. 191—205.
10. Sur les fonctions subharmonique
et leur rapport a la theorie du
potential (second partie) (1930).—
Ibid., p. 700—737.
11. Sur Г existence de la derivee des
fonctions monotones et sur qu-
elques problemes qui s’у rat-
tachent (1930—1932).— Ibid.,
p. 250—263.
12. Sur 1’existence de la derivee des
fonctions d4une variable reelle
et des fonctions d’intervalle
(1932).— Ibid., p. 264—275.
13. Sur les points de densite au sens
fort (1934).— Ibid., p. 276-280.
14. Sur I’integrale de Lebesgue comme
Г operation inverse de la deriva-
tion (1935—1936).— Ibid., p.
305—326.
15. L’evolution de la notion d’in-
tegrale depuis Lebesgue (1936).—
Ibid., p. 327—340.
Рисе, Секефальви-Надь (Riesz F.,
Sz.-Nagy B.)
1. Лекции по функциональному
анализу (1953). M., ИЛ, 1964.
Робинсон (Robinson А.)
1. The metaphysics of the calculus.
Problems Philos. Math. Amster-
dam, 1967, p. 28—40.
Рожанская M. M.
1. Методы исследования общих
свойств функций в «Каноне Мас’
уда» ал-Бируни.— Вестник Ка-
ракалп. фил. АН УзССР, 1967,
1 (27), 29—35.
Розенталь (Rosenthal А.).
1. On differentiation of integrals and
approximate continuity.— Bull.
A. M. S., 1942, 40, 414—420.
Розенфельд Б. A.
1. Попытка квадратичного интер-
полирования у Абу-р-Рейхана
ал-Бируни.— ИМИ, 1959, 12,
421—430.
Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П.
1. Омар Хайям. М., Изд-во «Наука»,
1965.
Романовский П. И.
1. Анализ одной системы аксиом,
могущих служить для определе-
ния интеграла.— Изв. Каз. физ.-
матем. об-ва, (3) 5, 1931, 3—55.
2. Quelques considerations sur la
theorie des integrales singulie-
res.— Math. Z., 1931, 34, 35—
39.
3. Essai d’une exposition de Г integra-
te de Denjoy sans nombres tran-
sfinis.— F. M., 1932, 19, 38-54.
4. Интеграл Denjoy — Stieltjes’a
на произвольном упорядоченном
множестве.— Бюлл. МГУ, ма-
тем. 1941, 2, в. 4, 1—12.
5. Integrate de Denjoy dans les es-
paces abstracts. Матем. сб. 9 (51):
1 (1941), 67—120.
6. Integrale de Denjoy dans 1’espace
a n dimensions.— Матем. сб.,
1941, 9 (51) : 2, 281-306.
403
7. Integrate relative a un reseau.—
Матем. сб., (1941), 9 (51), 309—
316.
8. Sur Г existence de I’integrale de
Burkill.— Там же, 317—320.
Pyduo (Rudio F.)
1. О квадратуре круга. М.— Л.,
ОНТИ 1934.
Руссел (Roussel Л.)
1. Primitive de seconde espece.—
C. R. 1928, 187, 926—927.
2. Primitive generalisee d’une fon-
ction.— C. R. 1929, 189, 677—
678.
Рыбников К. A .
1. О так называемых творческих , и
критических периодах в истории
математического анализа.—
ИМИ, 1954, 7, 643—665.
2. История математики, т. 2. Изд-во
МГУ, 1963.
Сакс (Saks S.)
1. Sur les fonctions continues a
nombre derivee sommable.—
F. M., 1925, 7, 290—295.
2. Sur une classe des fonctions
d’intervalle.— C. R., 1925,
180, 38—41.
3. Sur la differentiation de Paire
des surfaces.— C. R., 1926, 183,
850-852.
4. Sur les fonctions d’intervalle.—
F. M., 1927, 10, 211—224.'
5. La condition (TV) et I’integrale
de M. M. Den joy — Perron.—
F. M., 1929, 13, 218—227.
6. Sur I’integrale de M. Denjoy.—
F. M., 1930, 15, 242—262.
7. Remark on the differentiability
of the Lebesgue indefinite integ-
ral.— F. M., 1934, 22, 257—261.
8. On the strong derivatives of
functions of intervals.— F. M.,
1935, 25, 232—252.
9. On derivates of functions of rec-
es.— F. M., 1936, 27, 72—
10. Теория интеграла (1933, 1937).
M., ИИЛ, 1949.
Симонов Н. И.
1. Прикладные методы анализа у
Эйлера. М., Гостехиздат, 1957.
Симпсон (Simpson Т.)
1. The doctrina and application of
fluxions. London, 1750.
Скворцов В. A.
1. К взаимоотношению между D-
интегралом и тотализацией
(T2S).— Вести. Моск, ун-та, ма-
тем., мех., 1962, 6, 20—25.
76.
2. Некоторые свойства СР-интеГ-
рала.— Матем. сб., 1963, 60
(102) : 3, 304—324.
3. Об интегрировании точной асим-
птотической производной Швар-
ца.— Матем. сб., 1964, 63 (105) :
:3, 329—340.
4. Взаимосвязь между ЛР-интег-
ралом Тейлора и Р2 — интегра-
лом Джеймса.— Матем. сб.,
1966, 70 (112) : 3, 280—393.
5. По поводу определений Р2 —
и 5СР-интегралов. — Вести.
МГУ, матем., мех., 1966, 6, 12—
19.
6. Связь между некоторыми ин-
тегралами.—Там же, 1967, 4,
68—72.
Скриба (Scriba Ch. J.)
1. James Gregory friihe Schiften zur
Infinitesimalrechnung. Gis-
sen, 1957.
2. The inverse method of tangents.—
Arch. History Exact. Sci., 1964,
2, 113—137.
Смирнов В. И.
1. Даниил Бернулли (1700—
1782).— В кп.: Даниил Бернул-
ли. Гидродинамика или записки
о силах и движениях жидко-
стей. М., Изд-во АН СССР, 1959,
стр. 433—501.
Смирнов В. И., Соболев С. Л.
1. Н. М. Гюнтер.— Уч. зап. Ле-
нингр. ун-та, матем. науки,
1948, 15, 5—22.
Смит (Smith Н. J. S.).
1. On the integration of disconti-
nuous functions.— Proc. L. M. S.
1875, 6, 140—153.
Смит (Smith H. L.)
1. On the existence of the Stieltjes
integral.— Trans. AMS, 1925, 27,
491—515.
Стилтьес (Stieltjes T. J.)
1. Quelques recherches sur la theorie
des quadratures dites mecaniques
(1884). Oeuvres completes, t. I.
Groningen, 1914, p. 377—394.
2. Sur une developpement en frac-
tion continue (1884).— Ibid.,
p. 395—396.
3. Note a 1’occasion de la reclama-
tion de M. Markoff.— Ann. sci-
ent. Ecole norm, super., (3), 1885,
2, 183—184.
4. Исследования о непрерывных
дробях (18,94—1895). Харь-
ков — Киев, Научно-техн,
изд-во Украины, 1936.
404
5. Sur certaines inegalites dues a
M. P. Tchebychef. Oeuvres com-
pletes, t. II. Groningen, 1918,
p. 586—593.
6. Correspondence d’Hermite et de
Stieltjes, t. I—II. Paris, 1905.
Столяров H. A .
1. Об одном обобщении интеграла
Стилтьеса.— ДАН, 1950, 70,
15—16.
2. К одному обобщению интеграла
Стилтьеса.— ДАН, 1955, 155,
652—655.
3. Об одном обобщении интеграла
Хана. Уч. зап. Чкаловского гос.
пед. ин-та, 9 (1956), 3—26.
4. Об одном обобщении интегра-
ла Стилтьеса.— Укр. матем. ж.,
1956, 8, 330-334.
Стоун (Stone Е.)
1. The method of fluxions both di-
rect and inverse. London, 1730.
Стройк (Struik D, J.)
1. Краткий очерк истории мате-
матики. М., Изд-во «Наука»,
1967.
Стяжкин Н. И,
1. Формирование математической
логики. М., Изд-во «Наука»,
1967. '
Сурико (Surico L. А.).
1. L’integrazione di у=%п per п ne-
gative, razionale diverse da — 1
di Evangelista Torricelli. Defi-
nitive riconssciente della prio-
rita torricelliana in questa sco-
perta.— Arch. storia scienze
(Archeion), 1929, 11, 64—83.
Тагамлицкий Я. A.
1. Едно свойство на суммируемить
функции в Lebesgue’овъ смис-
челч.— Юбилеенъ сборникъ на
физ.-матем. дружество въ Со-
фия София, 1939, стр. 73—74.
2. Об интегрировании последова-
тел ьн остей функций. — ДАН,
1947, 57, 17—19.
Тарский (Tarski А.)
1. Введение в логику и методологию
дедуктивных наук. М., ИЛ, 1948.
Тауц (Tautz G.)
1. Eine Verallgemeinerung der par-
tiellen Integration; uneigentli-
che mehrdimensionale Stieltjes —
integral.— Jahresber. Dtsch.
math. Vereins, 1943, 53, 136—
146.
Теплиц (Teoplitz O.)
1. Die Entwicklung der Infinitesi-
malrechnung. Berlin — Gottin-
gen — Heidelberg, 1949.
Тернболл (Turnbull H. И7.)
1. The mathematical discoveries of
London and Glasgow,
Newton.
1945.
Тимофеев А. Ф,
1. Интегрирование функций. M.—
Л., Гостехиздат, 1948.
Тимченко И. К).
1. Основания теории аналитических
функций. Одесса, 1899.
Титчмарш (Titchmarsh Е. С.)
1. On conjugate functions.— Proc.
L. M. S., (2), 1929, 29, 49—80.
Тодгентер (Todhunter J.)
1. A history of the mathematical
theories of attraction and the
figure of the earth, V. I, II.
N. Y., 1962.
Толстов Г. П.
1. Метод Perron’a в интеграле Den-
joy. ДАН, 1939, 25, 470—472.
2. La methode de Perron pour
1’integrate de Denjoy. Матем. сб.,
1940, 8 (50) : 1, 149—168.
3. О перестановке интегрирова-
ний.— ДАН, 1948, 63, 3—6.
4. К замене переменных в кратном
интеграле.— УМН, 1950, 5 : 4
(38), 162—169.
5. О криволинейном и повторном
интеграле.— Труды Матем. ин-
та АН СССР, 1950, 35, 1—103.
6. Параметрическое дифференци-
рование и узкий интеграл Дан-
жуа.— Матем. сб., 1961, 53 (95) :
3, 387—392.
7. Производная и интеграл (аксио-
матический подход).— Матем.
сб., 1965, 66 (108) : 4, 608—632.
8. Дифференцирование и интег-
рирование в абстрактных про-
странствах.— Матем. сб., 1966,
71 (113) : 3, 420—422.
Томе (Thomae J.)
1. Einleitung in die Theorie der
bestimmten Integrate. Halle a. d.
Saale, 1875.
2. Die partielle Integrationen.—
Z. Math, und Phys., 1875, 20,
475—478.
Тонелли (Tonelli L.)
1. Sulla rettificazione delle curve.—
Att. R. Accad. Sci. Torino, 1908,
43, 783—800.
2. Sill’integrazione per parti.—
Atti R. Accad. Lincei, Rend.,
(5), 1908, 19, 2 sem., 246—248.
405
3. Fondamenti di calcolo delle vari-
azioni, I. Bologna, 1922.
4. Sulla nozione di integrale.— Ann.
mat. pura ed appl., (4), 1924, 1,
105—145.'
5. Sur Fintetration des suites de
fonctions sommables. — C. R.
1926, 182, 838—839.
Туякбаева A . A .
1. Исаак Барроу и исчисление бе-
сконечномалых во второй поло-
вине XVII века. Канд. дисс.
Алма-Ата, 1968.
Уорд (Ward A. J.)
1. The Perron — Stieltjes integral.—
Math. Z., 1936, 41, 578—604.
Фагаро (Favaro A.)
1. Bonaventura Gavalieri e la quad-
rature delle spirale.— Rend.
R. 1st. Lombardo sci. e lett., (2)
1905, 38, 358—372.
Фан (Fan S. C.)
1. Integration with respect to an
upper measure.— Amer. J. Math.,
1941, 63, 319—338.
Фаулер (Fou-ler R. H.)
1. A simple extension of Fourier’s
integral theorem and some phy-
sical applications, in particu-
lar to the theory of quanta.—
Proc. R. Soc. London (A), 1921,
99, 462—471.
Фирц (Fierz M.)
1. Newtons Auffassung der Mathe-
inatik und die mathematische
Form der «Principle».— Helv.
phys. acta, 1968, 4, 821—826.
Фихтенгольц Г. M.
1. Note sur les fonctions absolument
continues.— Bull. Acad. Belgi-
que, (5), 1922, 8, 430—443.
2. Sur les suites convergentes des in-
tegrates definies.— Bull. Acad,
sci. Pologne, (A), 1923, 91—116.
3. Об абсолютно непрерывных
функциях.— Матем. сб., 1924, 31,
286—296.
4. Sur une fonction de deux variab-
les sans integrate double.—
F. M., 1924, 6, 30—36.
5. Sur Pintegration des suites des
fonctions sommables.— G. R.,
1927, 184, 436—439.
6. Об одном обобщении интеграла
Стилтьеса.— ДАН, 1936, 3 (12),
№ 3 (98), 95—100.
7. О преобразовании переменных в
кратных интегралах.— ИМИ,
1952, 5, 241—268.
8. Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления, т. 3.
М., Физматгиз, 1963.
Фихтенгольц Г. МНатансон, И. П.
1. Криволинейные и кратные ин-
тегралы. М.— Л., ОНТИ, 1937.
Фишер (Fischer Ch. А.)
1. On bilinear and Ar-linear functi-
onals.— Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1917, 3, 640—644.
Фишер (Fischer E.)
1. Sur la couvergence en moyenne.—
C. R., 1907, 144, 1022—1024.
Фишерй (Fichera G.)
1. Intorno al passagio al limite sotto
il segno di integrate.— Portug.
math., 1943, 4, 1—20.
Флеккенштейн (Fleckenstein J. 0.)
1. Der Prioritatsstreit zwischen Le-
ibniz und Newton. Basel — Stut-
tgart, 1956.
2. Johann und Jakob Bernulli. Ba-
sel, 1949.
3. Von Descartes zu Leibniz. Math,
phys. Semesterber., 1962, 2, 129—
143.
Фогель (Vogel K.)
1. Vorgriechische Mathematik, Bd.
II. Hannover, 1959.
Фосс (Voss A.)
1. Differential-und Integralrechung.
Encycl. der math. Wissensch.
Bd. II A 1. Leipzig, 1899—1916,
S. 54—134.
Фрейд (Freud P.)
1. Uber die uneigentlichen bestim-
mten Integrate.— Monatsh. Math,
und Phys., 1905, 16, 11—24.
Френсис (Fransis E. C.)
1. On differentiation with respect
to a function.— Proc. Cambridge
Philos. Soc., 1923—1925, 22,
924—934.
2. The Lebesgue — Stieltjes integ-
ral.- Ibid. 935-950.
Фреше (Frechet M.)
1. Sur les operations lineaires.—
Trans. A. M. S., 1904, 5, 493—
499.
2. Sur quelques points du calcul foa-
ctionnel.— Rend. Circolo mat. Pa-
lermo, 1906, 22, 1—74.
3. Extension au cas des integrates
multiples d’une definition de
I’integrale due a Stieltjes.—
Nouv. annates, math., (4), 1910,
10, 241—256.
4. Sur les fonctionnelles continues.—
C. R., 1910, 150, 1231—1233.
5. Sur les fonctionnelles bilineai-
406
res.— Trans. A. M. S., 1915, 16,
215—234.
6. Definition de I’integrale sur un
ensemble abstrait. — C. R., 1915,
160, 839-840.
7. Sur I’intgerale d’une fonctionnel-
le etendue a un ensemble abstrait.
— Bull. Soc. math. France (1915),
43, 248—265.
8. Sur quelbues definitions possib-
les de I’integrale de Stieltjes.—
Duke Math. J., 1936, 2, 283—
295.
Фубини (Fubini G.).
1. Sugli integrali multipli (1907).
Opere scelte, Roma, 1958, p. 243—
249.
Фубини, Тонелли (Fubini G., To-
nelli L.)
1. Sulla derivata seconda mista di
un integraledoppio.— Rend.Cir-
colo mat. Palermo, 1915, 40,
295—298.
Хаке (Hake H.)
1. Uber de la Vallee Poussin Ober-
und Unterfunktions einfacher In-
tegrale und die Integraldefini-
tion von Perron.— M. A., 1921,
83, 119—142.
Харди (Hardy G. H.)
1. On differentiation and integra-
tion under the integral sign.—
Quart. J. Pure and Appl. Math.,
1901, 32, 66—140.
2. The elementary theory of Cauchy’s
principal values.— Proc. L. M. S.,
1901—1902, 34, 16—40.
3. The theory of Cauchy’s principal
values (second paper: The use of
principal values in some of the
double limit problems of the in-
tegral calculus).— Ibid., 55—91.
4. The theory of Cauchy’s principal
values (third paper: Differentia-
tion and integration of principal
values).— Ibid., 1902—1903, 35,
81—107.
5. Notes on some points in the in-
tegral calculus, XLVI. On Stiel-
tjes’ «probleme des moments».—
Messenger of Math., 1917, 46,
175—182.
6. Notes on some points in the in-
tegral calculus, XLVII. On Sti-
eltjes’ «probleme des moments»
(continued).— Ibid. 1918, 47, 81—
88.
7. Notes on some points in the in-
tegral calculus, L. On the integral
of Stieltjes and the formula for
integration by part.— Ibid.,
1918, 48, 90—100.
8. Расходящиеся ряды. M., ИЛ,
1951.
Хелли (Helly Е.)
1. Ober lineare Funktionalopera-
tionen. Sitzungsber. K. Akad.
Wiss. Wien, Math.- naturwiss.
KI., Abt. 2a, 1912, 121, 265—297.
Хеллингер (Htllinger E.)
1. Neue Begriindung der Theorie qu-
adratischer Formen von unendH-
chvielen Veranderlichen.— J. re-
ine une angew. Math., 1909, 136,
210—271.
Хенсток (Henstock R.)
1. On intervals functions and their
integrals.— Journ. I/. M. S.,
1946, 21, 304—309.
Хеффер (Hejfer L.)
1. Das Kurven integral und das Sti-
eltjes-Integral.— Math. Z., 1935,
40, 608—612.
X инчин A . Я.
1. Sur une extension de I’integrale
de M. Denjoy.— C. R., 1916,
162, 287—291.
2. Sur la derivation asymptotique.—
C. R., 1917, 164, 142—144.
3. О процессе интегрирования Дан-
жуа.— Матем. сб., 1918, 30,
543—557. ,
4. Sur la theorie de I’integrale de
M. Denjoy.— Изв. Иваново-Воз-
несенского политехи. ин-та,
1921, 3, 49—51.
5. Исследования о структуре изме-
римых функций.— Матем. сб.,
1923, 31, 265—285, 377—433.
6. Eine arithemtische Eigenschaft
der summierbaren Funktionen.—
Матем. сб., 1934, 41, 11—13.
7. Краткий курс математического
анализа. М., «Наука», 1965.
Хокинс (Hawkins Т.)
1. Lebesque’s theory of integra-
tion. Its origins and development.
Madison, 1970.
Хоппе (Hoppe E.)
1. Zur Geschichte der Infinitisimal-
rechnung bis Leibniz und Newton.
Jahresber. Dtsch. Math. Vereins,
1928, 37, 148—187.
Хэтвей (Hatwey A. S.)
1. The discovery of calculus.— Sci-
ence, N. S., 1919, 50, 150-164.
. Нейшен (Zeuthen H. G.)
1. Notes sur 1’bistoire des mathe-
matiques. IV. Sur les quadratu-
407
res avant le calcul integral, et en
particulier sur celles de Fermat.—
Oversigt over det K. Danske
videnskabernes selkabs Forhandl.
og dets Medlemmers Arbeider
i Aaret 1895, Kobenhavn, 1895,
37—80.
2. Notes sur I’historie des mathema-
tiques. V. Sur le fondement ma-
thematique de Pinvention du cal-
cul infinitesimal.— Ibid., 193—
256.
3. Notes sur 1’histoire des mathema-
tiques. VI. Sur quelques critiques
faits de nos jours о Newton.—
Ibid., 257—278.
4. История математики в древно-
сти и в средние века. М.— Л.,
ГТТИ, 1933.
5. История математики в XVI и
XVII веках. М.— Л., ГТТИ,
1933.
Чебышев П. Л.
1. Об интегрировании иррациональ-
ных дифференциалов (1853).—
Полное собр. соч., т. 2. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1947, стр. 52—
69.
2. О предельных величинах интег-
ралов (1874).— Там же, т. 3.
1948, стр. 63—65.
3. Об интегральных вычетах, до-
ставляющих приближенные ве
личины интегралов (1887).—
Там же, стр. 191—225.
Чезари (Cesari L.)
1. Sul teorema di densita in senso
forte.— Ann. Scuola norm, super.
Pisa, sci. fis. e mat., (2), 1939,
8, 301—307.
Челлини (Cellini G.)
1. Gli indivisibili nel pensiero ma-
tematico e filosofico di Bonaven-
tura Cavalieri.— Perid. mat.,
1966, 44, 1—21.
2. Le dimostrazioni di Cavalieri del
suo principio.— Ibid., 85—105.
Черч (Church A.)
1. Введение в математическую ло-
гику. М., ИЛ, 1960.
Шалъ (Chasles М.)
1. Исторический обзор происхож-
дения и развития геометрических
методов. М., 1883.
Шварц (Schwarz Н. А .)
1. Zur Integration der partiellen
Differentialgleichung d2u/dx2 -j-
-|- d2uldy — 0 (1872).— Gesam-
melte Abbandlingen, Bd. II. Ber-
lin, 1890, S. 175-210.
2. Sur une definition erronee de
1’aire d’une surface courbe.—
Ibid., 309—311, 369—370.
Шварц (Schwartz H. M.)
1. Sequences of Stieltjes integrals.
I.— Bull. A. M. S., 1941, 47,
947—955.
2. Sequences of Stieltjes integrals,
II, III.— Duke Math. J., 1943,
10, 13—22, 947—955.
Шерф (Scharf H. M.)
1. Uber links und rechtseitige Stielt-
jes integrale. Portug. math., 1944,
4, 73—118.
2. On the equivalence of two type
of Stieltjes integrals.— Proc.
K. NederL Akad. Wet., 1951,
54, 220—222.
Шеффер (Scheffer L.)
1. Allgemeine Untersuchungen uber
Rectification der Kurven. — Acta
math., 1884—1885, 5, 49—82.
Шифф П, A.
1. О некоторых соотношениях в те-
ории определенных интегра-
лов.— Матем. сб., 1895, 17, 607—
679.
Шиханович Ю. А.
1. Введение в современную мате-
матику. М., Изд-во «Наука»,
1965.
Шлёмилъх (Schldmilch О.)
1. Beitrage zur Theorie bestimmtes
Integrale. Jena, 1843.
2. Ueber die Integration unendli-
cher Reihen.— Arch. Math, und
Phys., 1843, 3, 278—283.
Шохат (Shohat J.)
1. Stieltjes integrals in mathemati-
cal statistics.— Ann. Math.
Statistics, 1930, 1, 73—94.
Штейн (Stein Bz.)
1. Der Begriff des Schwerpunkt bei
Archimedes.— Quallen und Stu-
dien zur Gesch. d. Math., 1930, 1,
220—244.
Щтеккель (Steckel P.)
1. Integration druch imaginares Ge-
biet.— Bibl. math., (3), 1900, 1,
109—128.
Штопало И, 3., Погребысский И. Б.
1. Жизнь и научная деятельность
Г. Ф. Вороного.— В кн.: Соб-
рание сочинений Г. Ф. Вороно-
го, т. 3. Киев, Изд-во АН УССР,
1953, стр. 263—309.
Штольц (Stolz О.)
1. Ueber die Grenzwerteder Quotien-
ten.— M. A., 1879, 14, 231—240.
2. B. Bolzano’s Bedeutung in der
408
chnung
279.
Geschichte der Infin itesimalre-
M. A., 1881, 18,255—
Ш тыкан А. Б.
1. О геометрическом методе инте-
грирования и интегрирующих
механизмах Г. В. Лебница. —
В сб. «Вопросы истории физико-
математических наук». М., «Выс-
шая школа», 1963, стр. 115—119.
Эйлер Л.
1. Введение в анализ бесконечно
малых (1748). М.— Л., ОНТИ,
1936.
2. Дифференциальное исчисление
(1755). М.— Л., Гостехиздат,
1948.
3. Интегральное исчисление, т. 1
(1768). М., Гостехиздат, 1956.
4. De formulis integralibus dubli-
catis (1770). Opera omnia (I) t. 17.
Lipsiae et Berolini, 1915, p. 289—
315.
5. Nova methodus quant it at is in-
tegralis determinandi (1775).—
Ibid., p. 421—457.
6. Observationes in aliquot theore-
mata illustrissimi de la Grange
(1785). —Ibid., 1.18,1920, p. 156—
177.
Энгельс Ф.'
1. Диалектика природы M., Гос-
под итиз дат, 1946.
Энестрём (Enestrom G.)
1. Uber die angebliche Integration
einer trigonometrischen Funkti-
on bei Kepler.— Bibl. math.,
(3), 1913, 13, 229—241.
Эрим (Erim К.)
1. Stieltjessche Integrale.— Rend.
Circolo mat. Palermo, (2) 1, 1952,
332—342.
Юнг JI. (Young L.)
1. The theory of integration. Cam-
bridge, 1927.
2. Changement de variable dans les
integrates simples absolument
convergentes.— C. R., 1928, 187,
704—706.
3. Limits of Stieltjes integrals.—
Journ. L. M. S., 1934, 9, 119—
126.
4. An equality of the Holder type,
connected with Stieltjes integra-
tion.— Acta math., 1936, 67,
251—282.
5. General inequalities for Stieltjes
integrals and convergence of
Fourier series.— M. A., 1937.
115, 581—612.
6. A. further inequality for Stieltjes
integrals.— Journ. L. M. S.,
1943, 18, 78—82.
7. Remarks on a chapter of the in-
tegral.— Rend. Circolo mat. Pa-
lermo, (2), 1958, 7, 48-54.
Юнг P. (Young R. C.)
1. Les fonctions monotones et Г in-
tegration dans Г espace a n di-
mensions.— Enseign. math.,
1924—1925, 24, 79—84.
2. Functions of S defined by addi-
tion or functions of intervals in
n-dimensional formulation.—
Math. Z., 1929, 29, 171—216.
3. On Riemann integration with
respect to a continuous incre-
ment.— Ibid., 217—233.
4. On many-valued Riemann —
Stieltjes integration, I, II.—
Proc. Cambridge Philos. Soc.,
1931, 27, 326—334, 345—380.
5. On «Riemann» integration with
respect to an additive functions
of sets.— Proc. L. M. S., (2),
1929, 29, 479—489.
6. Non-uniforme convergence and
term-by-term . Riemann-Stiel-
tjes integration.— Journ. L. M.
S., 1931, 6, 234—239.
Юнг У. Г. (Young W. H.)
1. A note on the condition of integ-
rability of a function of a real
variable.— Quart. J. Pure and
Appl. Math., 1904, 35, 189—192.
2. The general theory of integra-
tion.— Proc. R. Soc. London,
(A), 1904, 73, 445—449.
3. Open sets and the theory of con-
tent.— Proc. L. M. S., (2), 1905,
2, 16-51.
4. On upper and lower integrati-
on.— Ibid., 52—69.
5. On the general theory of integra-
tion. Philos, trans. R. Soc. Lon-
don, (A), 1905, 204, 221—252.
6. On indeterminate forms.— Proc.
L. M. S., (2), 1910, 8, 40—76.
7. On term-by-term integration of
oscillating series.— Ibid., 99—
116.
8. On homogenous oscillation of
successions of functions.— Proc.
L. M. S., (2), 1910, 8, 353—364.
9. On fuctions of bounded variati-
on.— Quart. J. Pure and Appl.
Math., 1911, 42, 54—85.
10. Note on the fundamental theorem
of integration.— Proc. Cambrid-
ge Philos. Soc., 1911, 16, 35—38.
409
11. On a new method in the theory
of integration. — Proc. L. M. S.,
(2), 1911, 9, 15—50.
12. On the new theory of integra-
tion.— Proc.— R. Soc. Lon-
don (A), 1913, 88, 170—178.
13. On Fourier series and functions
of bounded variation.— Ibid.,
561—568.
14. On the derivates and their pri-
mitivefunctions.— Proc. L. M. S.,
(2), 1913, 12, 207—217.
15. On the usual convergence of
a classe of trigonometrical seri-
es.— Ibid., 1914, 13, 13—28.
16. On integration with respect to
a function of bounded variati-
on.— Ibid., 109—150.
17. On integrals and derivatives
with respect to a function.
Proc. L. M. S., (2), 1916, 15,
35—63.
18. On multiple '^integrals.— Proc.
R. Soc. London, (A), 1916—1917,
93, 28-41.
19. On integration by parts and the
second theorem of the mean.—
Proc. L. M. S., (2), 1918, 16,
273—293.
20. On a formula for an area.— Ibid.,
1920, 18, 339—374.
21. On the transfoimation of integ-
rals.— Proc. R. Soc. London,
(A), 1921, 99, 252—256.
22. On the fundamental theorem of
integration for multiple integ-
rals.— Proc. L. M. S., (2), 1924,
22 51______91
Юнг У. Г., Юнг Т. (Young W.H.,
Young G. С.)
1. On the existence of a differenti-
al cocffecient.— Proc. L. M. S.,
(2), 1911, 9, 325-335.
Юнге (Younge G.)
1. Besonderheiten der griechischen
Mathematik.— Jahresber. Dtsch.
Math. Vereins, 1926, 35, 66—
80, 150—172, 250—268.
Юнович Б. M.
1. О дифференцировании функций
множеств.— Труды Второго ма-
тем. Всес. съезда, т. 2. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1936, стр. 145—
146.
2. О дифференцировании абсолют-
но аддитивных функций мно-
жеств.— ДАН, 1941, 30, 112—
124.
Юшкевич А. П. Т' ”
1. Идеи обоснования математиче-
ского анализа в восемнадцатом
веке.— В кн.: Карно [1], стр.
5—57.
2. Первый печатный курс диффе-
ренциального исчисления.—
В кн.: Лопиталь [1], стр. 9—46.
3. О возникновении понятия об
определенном интеграле Коши.—
Труды Ин-та истории естество-
знания, т. 1. М.— Л., Изд-во
АН СССР, 1947, стр. 373—411.
4. Советская юбилейная литера-
тура о Ньютоне.— Там же,
стр. 440—455.
5. Лейбниц и основание исчисле-
ния бесконечно малых.— УМН,
1948, 3 : 1 (23), 150—164.
6. О «Всеобщей арифметике»
И. Ньютона.— В кн.: Исаак
Ньютон. Всеобщая арифмети-
ка или книга об арифметиче-
ских синтезе и анализе. М.,
Изд-во АН СССР, 1948, стр.
347—391.
7. О методе исчерпывания древ-
них математиков. В сб. «Труды
совещания по истории естество-
знания». М.— Л., Изд-во АН
СССР, 1948, стр. 173—182.
8. О «Геометрии» Декарта.— В кн.
Декарт [1], стр. 524—559.
9. Комментарии и примечания к
кн. Декарт [1], стр. 560—647.
10. Исторический очерк.— В кн.:
В. В. Степанов. Курс диффе-
ренциальных уравнений. М.,
Физматгиз, 1958, стр. 428—458.
И. Б лез Паскаль как ученый.— Воп-
росы истории естествознания и
техники, 1959, 7, 75—85.
12. Euler und Lagrange fiber die
Grundlagen der Analysis.— Sam-
melband zu Ehren des 250 Ge-
burtstages Leonhard Euler. Ber-
lin, 1959, 224—244.
13. История математики в средние
века М., Физматгиз, 1961.
'4, Note sur les determinations in-
finitesimales chez Thabit ibn Qur-
ra.— Arch. hist, sci., 1964, 66,
37-45.
15. О неопубликованных ранних
работах М. В. Остроградского.
ИМИ, 1965, 16, 11—48.
16. О квадратуре параболы Сабита
[Ибн Корры.— В сб.: История
и методология естественных на-
ук, в. 5. М., изд-во МГУ, 1966,
стр. 131—139.
410
17. Michel Ostrogradski et le prog-
res de la science an XIX-е siccle.
Paris, 1966.
18. О развитии понятия функции.—
ИМИ, 1966, 17, 123—150.
19. История математики в России.
М., Изд-во «Наука», 1968.
20. Исследования по истории мате-
матики в странах Востока в
средние века.— Труды Между-
нар. конгресса математиков
(Москва, 1966). М., Мир., 1968,
644—680.
Яджи (Jagi F.)
1. A convergence theorem for Le-
besgue — Stieltjes integrals.—
Bull. A. M. S., 1943, 49, 760—
767.
Яновская C. A.
1. Преодолены ли в современной
науке трудности, известные под
названием «апорий Зенона»?—
В сб. Проблемы логики. М.,
Изд-во АН СССР, 1963, стр.
116—136.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel N. Н., 1802—1829) 151,
192, 260, 314, 319, 357, 316
Агостини (Agostini А., р. 1892) 119,
384
Адамар (Hadamard J., 1865—1963)
282, 326, 327, 336, 375, 380, 384
Адамс (Adams С. R., р. 1898) 332, 395
Акилов Г. П. (р. 1921) 376, 394
Александров П. С. (р. 1896) 91, 175,
287 381 384
Амальди (Amaldi U., 1875—1957) 325
Ампер (Ampere А. М., 1775—1836)
250
Анджел и (Angeli S. Degli, 1623—
1697) 77
Андреоли (Andreole G., р. 1892) 331,
377, 400
Антифон (V в. до н. э.) 21, 28
Антропова В. И. (р. 1924) 116, 222,
384
Аньези (Agnesi М. G., 1718?—1799)
73, 91, 140, 384
Аполлоний (ок. 260—170 до н. э.)
33, 39—41, 46, 57, 58, 89
Арбогаст (Arbogast L. F. А., 1759—
1803) 199
Арендт (Arendt G., 1832—?) 189
Арешкин Г. Я. (р. 1916) 382, 385
Аристей (IV—III вв. до н. э..) 31
Аристотель (384—322 до н. э.) 28,
393
Архимед (287—212 до п. э.) 5, 8, 9,
12—14, 22—39, 41—48, 50, 52—
54, 56, 59, 61, 65, 70, 73, 74, 79—
81, 85, 89, 92, 94, 96, 115, 119,
385, 388, 395, 398, 408
Архит Таренский (ок. 428—365 до
н. э.) 28, 85
Арцела (Arzela С., 1847—1912) 298,
299, 332, 385
Асколи (Ascoli G, 1843—1896) 197,
204, 208, 210—213, 385
Ахиезер Н. И. (р. 1901) 378, 385
Банах (Banach S., 1892—1945) 241,
277, 278, 290, 385
Бану Муса (IX в.) 42, 391
Бари Н. К. (1901 — 1961) 283, 290,
377, 385
Барроу (Barrow J., 1630—1677) 64,
77, 80-83, 95-98, 109—111, 406
Барфус (Barfuss F. W., 1809—1854)
221, 385
Бауэр (Bauer Н., 1891 — 1953) 287,
381, 385
Бахмутская Э. Я. (1916—1972) 79,
80, 385
Башмакова И. Г. (р. 1921) 12, 18,
19, 21, 23, 24, 27, 29, 31, 32, 39,
94, 139, 158, 385, 386
Безикович А. С. (1891—1970) 210,
238, 288, 290, 386
Бейтен (Baten W. D., 1892) 379, 386
Бернкопф (Bernkopf М.) 323, 386
Бернулли Д. (Bernoulli D., 1700-
1782) 153, 157, 404
Бернулли И. (Bernoulli J., 1667—
1748) 116, 123—126, 130, 132—
137, 141, 146, 148, 149, 157, 352,
386, 406
Бернулли Я. (Bernoulli J., 1654—
1705) 112, 126, 132-134, 137, 390.
406
Бертран (Bertrand J., 1822—1900)
112, 221, 386
Бессель (Bessel F. W., 1784—1846)
164, 170
Беттацци (Bettazzi R.) 290, 386
Бёркил (Burkill J. С.,р. 1900) 237,
279, 374, 381, 382, 386, 395, 401 —
404
Бзох (Bzoch R. С., р. 1930) 366, 386
Бибербах (Bieberbach L., р. 1896)
238 386
Биркгоф (Birkhoff G., р. 1911) 386
ал-Бируни (973 — ок. 1060) 93, 403
Блисс (Bliss G. А., 1876—1951) 341,
352, 361, 386
де Богран (de Beaugrand J., ?— 1640)
63
Бойер (Boyer С. В., р. 1906) 9, 49,
56, 64, 66, 78, 95, 386
Бокс (Boks Т. J.) 368, 386
412
Больцано (Bolzano 13., 1781 — 1848)
155-158, 197, 211, 213, 215, 234,
244, 250, 286, 395, 408
Бомбелли (Bombelli R., ок. 1526—
1573) 123
Бонне (Bonnet О., 1819—1892) 191,
192, 195, 386
Бор (Bohr Н., 1887—1951) 278
Борель (Borel Е., 1871—1956) 228,
230, 233, 234, 236, 237, 242, 267,
279-284, 292, 356, 387, 399
Бортолотти (Bortolotti Е., 1866—
1947) 68, 75, 76, 94, 387
Босманс (Bosmans Н., 1852—1928)
63, 387
Бохнер (Bochner S., р. 1899) 85, 290,
387
Браунмюль (Braunmiihl А. V., 1853—
1908) 138, 387
Бризон (первая половина IV в.) 28
Броункер (Brouncker W., 1620—1684)
72 98
Брунель (Brunel G., 1856—1900) 387
Бруншвич (Brunschvicg L. А., 1869—
1944) 85, 250, 387
Брэй (Bray Н. Е., р. 1889) 357, 359,
378, 387
Бугенвиль (de Bougainville L. А.,
1729—1811) 125, 135, 146, 150,
387
Будак Б. М. (р. 1917) 272, 387
Буземан (Buseman Н., р. 1905)
277, 387
БуняковсКий В. Я. (1804—1889)
175, 387
Бурбаки (Bourbaki N.) 9, 12, 29,
31, 78, 80, 81, 114, 132, 387
Бурже (Bourget Н., 1864—1921) 306
Бэр (Baire R. L., 1874—1932) 228—
230, 235, 246, 247, 282, 285, 286,
387
Бюффон (de Buffon G. L. L., 1707—
1788) 98, 100, 108, 387
Вавилов С. И. (1891 — 1951) 107, 387
Валерио (Valerio L., 1552—1618)
47-49, 69, 119
де ла Валле-Пуссен (de la Vallee
Poussin C. J., 1866—1962) 210,
221, 239, 254, 258, 272, 277, 288—
290, 350, 351, 358, 375, 388, 407
Валлис (Wallis J., 1616—1703) 12,
64, 66—75, 77, 78, 96, 116, 396, 402
Вальнер (Wallner C. R.) 12, 388
Ван дер Варден (Van der Waerden
B. L., p. 1903) 12, 32, 39, 84, 388
Ван Флек (Van Vleck E. B., 1863—
1943) 324, 328, 331, 388
Вейерштрасс (Weierstrass K., 1815—
1897) 67, 102, 178, 191, 196, 197,
206, 209, 211, 213, 234, 244, 250,
326, 334, 335, 401
Вер Экке (Ver Eecke P., 1867—1959)
33, 37-41, 388
Верблюнский (Verblunsky S.) 381,
388
Веселовский И. H. (p. 1893) 31, 41,
112, 388
Виванти (Vivanti G., 1859—1949)
131, 132, 151, 388
Вивиани (Vivivani V., 1622—1703)
39
Виет (Viete F., 1540—1603) 88, 98
Вилейтнер (Wieleitner H., 1874—
1931) 9, 12, 47, 63, 75, 79—81, 83,
99, 100, 107, 114, 125, 127, 141,
149, 181, 388
Виола (Viola T., p. 1904) 241, 388
Витали (Vitali G., 1875—1932) 210,
211, 253, 255—257, 262, 268, 270,
276, 277, 290, 332, 341, 385, 388,
389
Виттинг (Witting A., 1861 —1946)
127, 388
Вольтерра (Volterra V., 1860—1940)
201, 209—213, 217, 251, 253, 325,
388
Вороной Г. Ф. (1868—1908) 317,
319—323, 328, 351, 378, 388, 408
Выгодский М. Я. (1898—1965) 48,
50, 51, 139, 143, 154, 389
Галилей (Galilei G., 1564—1642)
63, 75, 76, 81—83, 86, 95, 396
Гамбургер (Hamburger М., 1838—
1903) 295, 319, 378
Ган (Hahn Н., 1879—1934) 255, 283,
288, 374, 383, 389, 405
Ганкель (Hankel Н., 1839—1873)
195, 202—204, 207—209, 235, 252,
379, 389
Гарнак (Harnack А., 1851 — 1888) 210,
215, 221, 229, 254, 267, 368, 381,
389, 400.
Гаусс (Gauss К. F., 1777—1855)
160, 163—166, 170, 171, 174, 197,
217, 304—306, 389, 396, 399,
Гейберг (Heiberg J. L., 1854—1928)
85, 389
Гейс (Hayes С. А. I.) 382, 389
Гельфанд И. М. (р. 1913) 301, 389
Герон Александрийский (I в.) 55
Герхард (Gerhard С. I., 1816—1899)
9, 109, 112, ИЗ, 389
Гетчел (Getchell В. С., р. 1904) 382,
389
Гёльдер (Holber О., 1859—1937) 195,
221, 368, 389, 409
Гиллеспи (Gillespie D. С., 1877—
1935) 364, 389
413
Гильберт (Hilbert D., 1862—1943)
241, 242, 323, 328, 351, 389
Гильдебрандт (Hildebrandt T. H.
р. 1888) 9, 290, 352, 362, 364, 365,
367, 376, 378, 382, 389
Гиппий (V в. до н. э.) 28
Гиппократ Хиосский (V в. до и. э.)
23 27
Гливенко В. И. (1897—1940) 3, 4,
14, 369, 372, 282, 390
Гобсон (Hobson Е. W., 1856—1933)
210, 238, 247, 258-261, 268, 288,
381 383 390
Гольдбах (Goldbach Ch., 1690—1764)
139, 144
Гончаров В. Л. (1896—1955) 221, 390
Гофман (Hoffmann J. Е., 1900—
1973) 107, 109, 111, 122, 134, 390
Гохман Э. Г. 362, 365, 366, 390
Гранди (Grandi G., 1671 —1742) 132
Грегори (Gregory J., 1638—1675)
64, 77—81, 94, 96—98, 109, 111,
158, 404
Грин (Green G., 1793—1841) 396, 402
Гришвальд Л. Я. 72, 81, 390
Гроссетест (Grossetest R., 1175—1253)
86
Гульдин (Guldin G., 1577—1643) 39,
47, 48, 59, 63, 388
Гурьев С. Е. (1764?—1813) 158
Гюйгенс (Huygens Ch., 1629—1695)
64, 74, 109, 112, 133, 388
Гюнтер Н.М. (1871—1941) 374—376,
377, 383, 390, 404
ад-Даббах (р. 1940) 42, 44, 391
Паламбер (d’Alambert J., 1717—
1783) 96, 125, 141, 143, 144, 157—
159, 162, 163, 165, 168, 183, 217,
391
Данжуа (Denjoy А., р. 1884) 4, 9,
187, 255, 279, 283, 284, 287, 288,
293, 368, 381, 384, 391, 394, 395,
398, 399, 402—405, 407
Даниель (Daniell Р. J., 1889—1946)
355, 356, 377, 383, 391
Даннеман (Dannemann F., 1859—
1936) 86, 391
Дантони (Dantoni G., р. 1909) 364,
391
Дарбу (Darboux, 1842—1917) 119,
169, 196—200, 204—208, 210—
213, 215, 237, 244—246, 252, 369,
372 373 391
Дарвин (Darwin Ch., 1839—1882) 7
Дедекинд (Dedekind R., 1831—1916)
183, 190, 267, 391
Декарт (Descartes R., 1596—1650) 9,
58, 64, 65, 74, 75, 81, 89, 93-96,
113, 114, 123, 155, 177, 388, 391,
406, 410
Демокрит (ок. 460— ок. 380 до н. э.)
12—14, 19—24, 27, 28, 30, 57,
Деннистон (Denniston R. Е.) 366, 392
Детуш (Destouches J. L., р. 1909)
382 392
Джанумянц А. С. (р. 1904) 378, 392
Джеймс (James R. D., р. 1909) 404
Дженокки (Genocchi А., 1817—1889)
212 213 392
Джефферри (Jeffery R. L., р. 1889)
290, 371, 381, 392
Дини (Dini U., 1845—1918) 195,
196, 201, 209, 210, 215—217, 221,
222, 238, 250, 392, 400
Динострат (IV в. до н. э.) 96
Динс (Dienes Р., 1882—1952) 372—
374, 378, 392
Диоклес (II в. до н. э.) 74, 96
Диофант (III в.) 88
Дирак (Dirac Р. А. М., р. 1902) 327,
380, 383, 392
Дирихле (Lejenne Dirichlet Р. G.,
1805—1859) 157, 186-192, 202,
214, 221, 235, 292, 326, 376, 392,
399
Дубровский В. М. (р. 1906) 382, 392
Дунь Хуай-юнь (Tung Huai-Yuen)
374 392
Душник (Dushnik В., р. 1897) 362,
364, 365, 367—369'
Дъедонне (Dieudonne J., р. 1906)
91, 392
Дюамель (Duhamel J. М. С., 1797—
1872) 190
Дюбуа-Реймон (Ди Bois Reymond Р.,
1831 — 1889) 192, 193, 195, 196,
201, 204, 207—211, 213, 216, 221,
238, 352, 392, 399, 400
Евдокс Книдский (ок. 408— ок. 355
до н. э.) 19, 21—24, 28, 31, 43
Евклид (365—300 до н. э.) 24, 25,
28, 31, 33—35, 42, 47, 57, 89, 348,
393
Егер (Jager W.) 221, 393
Егоров Д. Ф. (1869—1931) 393
Жирар (Girard А., 1595—1632) 123
Жордан (Jordan С., 1838—1922) 195,
213, 214, 221—230, 233, 234, 237,
240, 257, 258, 267, 269, 392, 393
400
Заславский И. Д. (р. 1932) 201, 393
Зенон Элейский (490?—430? до н. э.)
19, 22, 411
Зигмунд (Zigmund А., р. 1900) 278,
279, 278, 393
414
Зинин Н. Н. (1854—1910) 222, 393
Зубов В. П. (1899—1963) 7, 20, 21,
42 57 393
Зутер (Suter Н., 1848—1922) 42—34,
393
Ибн ал-Хайсам (965—1039) 27, 44,
54, 61, 65, 391, 393
Идлис Г. М. (р. 1928) 195, 393
Иессен (Jessen В., р. 1907) 279, 288,
393
Ильин В. А. (р. 1928) 384
Ицуми (Izumi Shin-ichi, р. 1904)
371, 393
Кавальери (Cavalieri В., ок. 1598—
1647) 13, 30, 35, 48, 49, 56—67,
71, 73, 74, 78, 83, 119, 170, 386,
387, 393, 398, 406, 408
Кавота (Kawota Tatsuo) 371, 393
Кальтенборн (Kaltenborn Н. S., р.
1907) 362, 366, 367, 370, 393
Камерон (Cameron R. Н., р. 1908)
290, 394
Камке (Kamke Е., р. 1890) 394
Кантор Г. (Cantor G., 1845—1918)
80, 197, 207, 208, 267, 394
Кантор М. (Cantor М., 1829—1920)
8, 15, 18, 39, 55, 132, 134, 136, 388,
394
Канторович Л. В. (р. 1912) 374, 376,
394 •
Карамата (Карамата J., 1902—1967)
378, 394
Каратеодори (Caratheodory С.,
1873-1950) 277, 289, 350, 351, 382,
394
Кардано (Cardano Н., 1501—1576)
123
Кармайкл (Carmichael R. D., 1879—
1967) 316, 357, 360, 394
Карно (Carnot L. N. М., 1753—1823)
153, 159, 394, 410
Кассина (Cassina U., 1897—1964)
213
Кастельнуово (Castelnuovo G.,
1865—1952) 9, 47, 48, 394
Кафьеро (Cafiero F., р. 1914) 382,
394
Качьопполи (Caccioppoli R., 1904—
1959) 290, 377, 394
ал-Каши (ум. ок. 1530) 44
Кащенко Ю. Д. (р. 1926) 290, 382,
396
Кемписты (Kempisty S., 1892—1947)
368, 381, 382, 394
Кеннеди (Kennedy М. D.) 288, 381,
394
Кеплер (Kepler J., 1571 —1630) 13,
30, 49—57, 59, 61, 64, 66, 67, 70,
73, 86, 89, 389, 395, 409
Кестельман (Kestelman N.) 243, 395
Кёниг (Konig J., 1949-^-1913) 313—
317, 319, 323, 328, 351, 395
Кирхгоф (Kirchoff G. R., 1824—
1887) 326
Клагетт (Clagett М., р. 1916) 395
Кларксон (Clarkson J. А., р. 1906)
332 395
Клейн (Klein F., 1849—1925) 177,
179, 183, 395
Клеро (Clairaut А. С., 1713—1765)
141 319 398
Кнопп (Knopp К., 1882—1957) 215,
395
Кобер (Kober Н.) 382, 395
Ковалевский (Kowalewski G.,
1876—1960) 135, 316, 323, 328, 395
Коваль П. И. (р. 1910) 374, 395
Кованько А. С. (р. 1893) 290, 316,
381 395
Коллинс (Collins J., 1625—1683)
78, 80, 98
Колмогоров А. Н. (р. 1903) 6, 86,
109, 117, 120, 241, 374, 379, 382,
384, 395, 398, 402
Кольман Э. Я. (р. 1892) 39, 84, 85,
157, 215, 386, 395
Коммандино (Commandino F.,
1509—1575) 40, 47, 48
Копеланд (Copeland А. Н., р. 1898)
371 392 395
Коперник (Kopernik М., 1473—1543)
50 551
Коутс (Cotes R., 1682—1716) 132,
138, 146, 387
Коши (Cauchy А., 1789—1857) 3,
5, 10, 13, 24, 67, 80, 102, 120,
152, 158, 159, 161, 169, 172, 174—
194, 199, 214, 217—222, 226, 227,
231, 244, 248, 249, 252, 260, 263—
265, 267, 268, 271, 273, 313, 314,
338, 340, 341, 349, 352, 363—366,
368, 389, 395, 396, 399, 401, 402,
407, 410
Крейн М. Г. (р. 1907) 295, 396
Кристенсен (Kristensen Е.) 364, 396
Кронекер (Kronecker L., 1823—1891)
195 238
Кронрод А. С. (р. 1921) 272, 396
Кропотов Л. Л. 396
Кропп (Kropp G., р. 1910) 64, 396
Крылов А. Н. (1863—1945) 116, 151,
396, 400
Кудрявцев Л. Д. (р. 1923) 175, 290,
382, 384, 396
Кудрявцев П. С. (р. 1904) 20, 21, 396
Кузнецов Б. Г. (р. 1903) 87, 396
415
Кулидж (Coolidge J. L., 1873—1954)
89, 396
Кэджори (Cajori F., 1859—1930) 96,
396
Лагранж (Lagrange J. L., 1736—
1813) 96, 153-157, 161, 163—165,
169, 170, 174, 181, 183, 263, 396,
401, 410
Лакруа (Lacroix S. F., 1765—1843)
125, 126, 156, 159, 165, 168, 169,
171, 174, 177, 181, 185, 396
Лалувер (Lalouvere A., 1600—1664)
64, 396
Ламонд (Lamond J. K.) 243, 290, 396
Ландау (Landau E., 1877—1938) 238,
239, 397
Лаплас (Laplace P. S., 1749—1827)
3, 96, 161, 174, 379, 397
Лебег (Lebesgue H., 1875—1941) 4,
5, 9, 177, 178, 189—191, 203, 209,
211, 215, 217, 222, 226—228, 230,
232—244, 247—263, 265—282,
288—293, 327—332, 335, 338—
352, 354—358, 366—371, 373, 375—
377, 379, 381. 382, 385—395, 397—
399, 401, 403—407, 411
Леви Б. (Levi B., 1875—1961) 255—
258, 262, 279, 290, 291, 397
Лежандр (Legendre A. M., 1752—
1833) 173
Лейбниц (Leibniz G. W., 1646—
1716) 5, 8, 13, 64, 66, 67, 77, 79,
80, 83, 84, 86, 87, 90, 96, 97, 104,
106—115, 117—119, 121 — 130,
132—134, 136—138, 140, 144, 162,
166, 168, 169, 171, 179, 181, 217,
220, 275, 349, 350, 354, 356, 382,
390, 395—398, 406, 407, 409, 410
Лейн (Lane R. E.) 366, 398
Лейфман Л. Я. (p. 1929) 382, 398
Либри (Libri G., 1803—1869) 85,
398
Липшиц (Lipschitz R., 1832—1903)
188, 189, 191, 203, 289, 398
Лиувилль (Liouville J., 1809—1882)
151
Лобачевский H. И. (1792—1856) 157,
398
Лопиталь (de 1’Hospital F. G., 1661 —
1704) 130, 132, 134, 135, 352,
387, 398, 410
Лориа (Loria G., 1862—1954) 55,
56, 94, 138, 398
Лузин H. H. (1883—1950) 117, 120,
151, 154, 157, 158, 216, 229, 236,
241, 243, 252, 255—257, 283, 284,
290, 381, 385, 398
Луман (Looman H.) 237, 381, 398
Лурье С. Я. (1890—1965) 12, 13, 17,
19, 20, 23, 41, 56—60, 62, 63, 119,
139, 140, 154, 398
Люилье (L’Huilier S., 1750—1840) 158
Люстерник Л. A. (p. 1899) 283, 385
Ляпунов A. M. (1857—1918) 317,
319, 320, 323, 328—330, 393, 399
Мавролико (Maurolico F., 1494—
1575) 47
Маеда (Maeda F.) 382, 383, 399
Маклорен (Mac-Laurin C., 1698—
1746) 132, 138, 217, 320, 321, 399
Манолессиус (Manolessius) 40
Мари (Mari Ch. F. M., 1819—1891)
133, 134, 136, 399;
Марков A. A. (1856—1922) 295,
297—303, 307, 310, 317—319, 323,
328, 329, 349, 351, 378, 380, 396,
399, 404
Маркс К. (Marx К., 1818-1883)
19, 399
Маркушевич А. И. (p. 1908) 144,
160, 164, 170, 197, 261, 399
Мартин (Martin W. F., p. 1911)
290, 394
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.) 279,
393
Матвиевская Г. П. (p. 1930) 45, 399
Медведев Ф. А. (р. 1923) 207, 229,
264, 265, 267, 399
Мейер (Meyer G. F., 1834—?) 195,
399
Менголи (Mengoli Р., 1625—1686)
73, 94, 105, 119, 384
Меньшов Д. Е. (р. 1892) 284, 290,
377 385 399
Меркатор (Mercator N., 1620—1687)
72, 109
Мерсенн (Mersenn М., 1588—1648)
65, 75, 98
Мешковский (Meschkowski Н., р.
1909) 197, 399
Мизес (von Mises R., 1883—1953)
361 379 399
Минь Сы-хэ (Min Szu-Hoa) 374, 399
Монтюкла (Montucla J. F., 1725—
1799) 399
де Морган (de Morgan A., 1806—
- 1871) 378
Мордухай-Болтовской Д. Д. (1876—
1952) 22, 27, 98, 100, 103, 104,
118, 128, 147, 399
Морс (Morse A. R., p. 1911) 290, 399
Mott (Mott T. E.) 377, 399
Муавр (de Moivre A., 1667—1754)
132, 138
Муаньо (Moigno F., 1804—1864) 265,
400
Myp (Moore E. H., 1862—1932) 201,
221, 254, 362, 368, 400
416
Налли (Nalli Р., 1886—1965) 331,
377, 400
Натансон И. П. (1906—1964) 229,
246, 258, 259, 290, 337, 345, 378,
382, 400, 406
Нейгебауэр (Neugebauer О., р. 1899)
88, 400
Нейман И. (von Neumann J., 1903—
1957) 380, 383, 400
Нейман К. Г. (Neumann С. G.,
1832—1925) 195, 376, 390
Немыцкий В. В. (1900—1967) 241,
400
Непер (Neper J., 1550—1617) 81, 400
Никодим (Nicodym О., р. 1887)
350, 382, 392, 400
Никомед (II в. до н. э.) 73, 96
Но (Naux Ch.) 72, 158, 400
Ноайон (Noaillon Р.) 331, 400
Ньютон (Newton J. 1643—1727) 5,
8, 13, 64, 67, 77—81, 83, 84, 86,
87, 89, 94, 96—112,114—122, 125—
132, 137, 138, 140, 141, 143, 144,
146, 147, 149, 158—160, 162, 166—
169, 171, 179, 181, 217, 263, 275,
349, 350, 354, 356, 382, 384, 387,
388, 395, 396, 398—40С, 405—408,
410,
Ольденбург (Oldenburg Н., 1615?—
1677) 106, 107, 110, 400
Орем (Oresme N., ок. 1323—1382)
75, 81, 86, 94, 95
Оррин (Orrin F. J.) 269, 400
Осгуд (Osgood W. F., 1864—1943)
238, 352, 386, 400
Осмонд (Osmond Р. Н.) 81
Остроградский М. В. (1801—1861)
124, 216, 384, 396, 401, 402, 410,
411
Очан Ю. С. (р. 1913) 383, 401
Паньи (Pagni М.) 382, 401
Паплаускас А. Б. (р. 1931) 153,
154, 157, 183, 185, 192, 326, 401
Папп (III—IV вЪ.) 24, 27, 32—42,
47, 48, 52, 54, 56, 73, 85, 92, 95,
388, 401
Паскаль Б. (Pascal В., 1623—1662)
12, 63, 64, 66, 67, 73—75, 77, 83,
96, 109, ИЗ, 410
Паскаль Э. (Pascal Е., 1865—1940)
215, 401
Паук (Раис С. Y.) 382, 389
Паш (Pasch М., 1843—1930) 210,
222 267 401
Пеано (Peano G., 1858—1932) 5,
212—214, 222—224, 230, 233, 234,
245, 246, 248, 265, 267, 268, 270,
271, 349, 352, 355, 358, 362, 369,
399, 401
Перрен (Perrin L.) 237, 273, 401, 402
Перрон (Perron О., р. 1880) 279,
287, 337, 351, 381, 384—386, 398,
401, 402, 404—407
Лесин И. Н. (р. 1930) 9, 176, 177,
210, 221, 225, 226, 238, 242, 247,
248, 279, 283, 287, 388, 324, 381,
382, 401
Петровский И. Г. (1901—1973) 377,
401
Пикар (Picard Е., 1856—1941) 213
Пинкерле (Pincherle S., 1853—1936)
197 325 401
Пирпонт (Pierpont I., ок. 1863—1939)
225, 226, 243, 279
Пифагор (VI в. до н. э.) 16, 84
Погребысский И. Б. (1906—1971)
153, 321, 401, 408
Позняк Э. Г. (р. 1923) 384
Поллард (Pollard S.) 243, 361—363,
365, 373, 378, 381, 394, 402
Порчеллл (Porcelli Р.) 366, 042
Поссе К. А. (1847—1928) 295, 298—
302, 307, 323, 402
Праг (Prag А.) 66, 67, 402
Прайс (Price G. В., р. 1905) 365,
366, 402
Прингсгейм (Pringsheim А., 1850—
1941) 195, 197, 259, 402
Проценко Д. Ф. 382, 402
Пуассон (Poisson S. D., 1781—1840)
161, 163—166, 170, 171, 174, 176,
181, 183, 217, 402
Пульсен (Poulsen Е. Т.) 364, 396
Раабе (Raabe J. L., 1801—1859)
161, 220, 402
Рабинович Ю. Л. (р. 1894) 222, 402
Радон (Radon I., 1877—1956) 332,
337, 338, 344—352, 357, 375, 377,
382, 383, 385, 391, 400, 402
Райх (Reich Е., р. 1927) 364, 396
Рейно (Reyneau Р. Ch., 1656—1728)
135
Ремез Е. Я. (р. 1896) 216, 402
Риддер (Ridder I., р. 1894) 366.
370, 371, 381, 402
Риккати (Riccati V., 1707—1775) 132
Риман (Riemann В;, 1826—1866) 4,
5, 7, 9, 13, 23, 24, 29, 43, 182—187,
189—191, 193—196, 198—203, 205,
206, 209—211, 213—218, 221, 222,
225—227, 231, 232, 235—237, 239,
244, .245, 249—254, 257—261, 269,
273, 283, 288, 300, 303, 304, 310,
312—314, 316, 317, 319, 324, 330,
333—336, 340—342, 351, 352, 357—
.364, 368—370, 373, 374, 379, 386,
417
389, 390, 392, 393, 395—397, 400,
402, 403, 409
Рингенберг (Ringenberg L. A.) 382,
403
Рисе (Riesz F., 1880—1956) 9, 238,
239, 250,251,254,256,257,262,278,
279, 284, 285, 287, 290, 314, 316,
323, 324, 328—330, 332, 334—336,
348, 351, 357, 377, 383, 403
Роберваль (de Roberval G. P., 1602—
1675) 64—66, 73, 74, 81, 95, 96
Робинсон (Robinson A., p. 1918)
126, 403
Рожанская M. M. (p. 1928) 93, 95,
403
Розенталь (Rosenthal A., p. 1887)
403
Розенфельд Б. A. (p. 1917) 42, 84,
393, 403
Романовский П. И. (p. 1900) 24\
381, 382, 403
Рудио (Rudio F., 1856—1929) 28,
404
Руссел (Roussel A.) 377, 404
Рыбников К. A. (p. 1913) 120, 157,
215, 325, 404
Сабит ибн Корра (826—901) 42, 43
44, 54, 73, 410
Сакс (Saks S., 1897—1942) 117, 273,
277—279, 381, 382, 404
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 284,
324 403
Селиванов Д. Ф. (1855—1932) 238
Сен-Винцент (Gregorius S. Vincentio,
1584—1667) 64, 72, 74, 78, 109,
136, 158, 390, 400
Серре (Serret J. А., 1819—1885) 190
Симонов Н. И. (р. 1910) 139, 145,404
Симпсон (Simpson Т., 1710—1761)
79, 130, 132, 138, 404
Скворцов В. А. (р. 1935) 383,
404
Скриба (Scriba С. J.) 77, 79, 129,
385, 404
Смирнов В. И. (р. 1887) 153, 266,
376, 404
Смит Г. (Smith Н. J. S., 1826—1883)
204, 206—211, 213, 404
Смит Г. Л. (Smith Н. L., 1892—1950)
362—364, 366—368, 400, 404
Смит Р. (Smith R., 1689—1768) 138
Соболев С. Л. (р. 1908) 266, 376, 380,
404
Сонин Н. Я. (1849—1915) 320—322
Спиноза (Spinoza В., 1632—1677) 86
Стевин (Stevin S., 1548—1620) 47,
49, 158
Стеклов В. А. (1864—1926) 375
Степанов В. В. (1889—1950) 410
Стеффенсен (Steffensen J. F., 1873—?)
366
Стилтьес (Stieltjes Т. J., 1856—1894)
293—295, 297, 301—314, 316—325,
328—354, 356—380, 382, 385—395,
397, 399, 400, 402—409, 411
Стокс (Stockes G., 1819—1903) 396
Столяров Н. А. (р. 1914) 374, 405
Стоун (Stone Е., 1700?—1768) 405
Стройк (Struik D. I., р. 1894) 114,
116, 405
Стяжкин Н. И. (р. 1932) 109, 405
Суайнсхед (Swineshead R., ок. 1350)
86, 94
Сурико (Surico L. А.) 69, 405
Тагамлицкий Я. А. (р. 1917) 290, 405
Такэ (Tacquet А., 1612—1680/64) 158
Таннери (Tannery Р., 1843—1904) 96
Тарский (Tarski А., р. 1902) 91, 405
Тарталья (Tartaglia N., ок. 1499—
1557) 88
Тауц (Tautz G., р. 1901) 377, 405
Тейлор (Taylor В., 1685—1731) 78,
132, 169, 176, 325, 404
Теплиц (Toeplitz О., 1881—1940)
405
Тернболл (Turnbull Н. W., 1885—
1961) 98, 405
Тимофеев А. Ф. 146, 149—151, 405
Тимченко И. Ю. (1862—1939) 125,
405
Титчмарш (Titchmarch Е. С., 1899—
1963) 383, 405
Тодгентер (Todhunter J., 1820—1884
405
Толстов Г. П. (р. 1911) 241, 259, 290,
381, 405
Томас (Thomas А., XV—XVI вв.)
94
Томе (Thomae К. J., 1840—1921)
195—197, 199—201, 204, 206—
208, 210—213, 215, 221, 222, 252,
357, 393, 405
Тонелли (Tonelli L., р. 1885) 259,
283, 291, 382, 405, 407
Торричелли (Torricelli Е. 1608—
1647) 64, 68, 73—78, 81—83, 95,
96, 217, 405
Туякбаева А. А. (р. 1936) 81, 406
Уайтсайд (Whiteside D. Т., р. 1932)
100, 400
. Ульянов П. Л. (р. 1923) 383
Уорд (Ward А. I.) 381, 406
Фаваро (Favaro А., 1847—1922) 56,
406
ла Файль (de la Faille J. Ch., 1597—
1652) 47
418
Фан (Fan S. С.) 243, 406
Фаулер (Fowler R. H., 1889—1944)
380, 406
Фейер (Fejer L., 1880—1959) 326
Феллер (Feller W., p. 1906) 277, 387
Ферма (Fermat P., 1601—1665) 64—
69, 72—75, 77, 78, 89, 95, 96, 110,
155, 408
Феррари (Ferrari L., 1522—1565) 88
дель Ферро (del Ferro S., 1465—1526)
88
Фирц (Fierz M., p. 1912) 116, 406
Фихтенгольц Г. M. (1888—1959) 222,
259, 289, 290, 369, 370, 378, 406
Фишер Ч. (Fischer Ch. А) 406
Фишер Э. (Fischer Е., 1875—1959)
337, 406
Фишера (Fichera G., р. 1922) 290, 406
Флеккенштейн (Fleckenstein J. О.,
р. 1914) 108, 112, 132, 134, 406
Фогель (Vogel К., р. 1888) 16, 406
Фомин С. В. (р. 1917) 272, 387
Фосс (Voss А., 1845—1931) 222, 406
Фредгольм (Fredholm) 403
Фрейд (Freud Р.) 221, 406
Френсис (Fransis Е. С., 1897—1966)
377, 406
Фреше (Frechet М., р. 1878) 271,
326, 327, 330, 332—334, 337, 351,
361, 381, 382, 400, 406
Фубини (Fubini G., 1879—1943) 258,
290, 291, 387, 394, 407
Фурье (Fourier J., 1768—1830) 3,
157, 174, 185-188, 192, 196, 290,
326, 342, 343, 379, 289—393, 298,
406, 409, 410
Хайям Омар (1048—1131) 88, 403
Хаке (Hake Н.) 287, 381, 407
Харди (Hardy G. Н., 1877—1947)
143, 222, 332, 357—361, 407
Хелли (Hellv Е., 1884—1943) 336,
337, 378, 407
Хеллингер (Hellinger Е., 1883—1950)
324, 328, 336, 344, 349, 383, 389—
391 407
Хенсток (Henstock R., р. 1923) 382,
407
Хеффтер (Heffter L., 1862—? 378, 407
Хинчин А. Я. (1894—1959) 185, 288,
381, 407
Хокинс (Hawkins Th.) 9, 189, 202,
210, 215, 222, 230, 231, 238, 254,407
Хоппе (Hoppe Е., 1854—1928) 93,
95, 407
Хэтвей (Hatway A. S.) 108, 407
Цейтен (Zeuthen Н. G., 1839—1920)
8, 12, 29, 32, 33, 39, 41, 44, 47, 48
50, 51, 55, 56, 61, 64, 65, 67—69,
73, 75, 76, 79—81, 89, 98, 107,
ИЗ, 114, 126, 127, 133, 407
Цермело (Zermelo Е., 1871 — 1956)
236, 243, 281
Чайльд (Child J. М.) 81
Чебышев П. Л. (1821—1894) 147,
151, 295—304, 307, 310, 323, 380
396, 405, 408
Чезари (Cesari L., р. 1910) 278, 408
Чезаро (Cesaro Е., 1859—1906) 326,
327, 371, 386
Челлини (Cellini Щ.). 56, 63, 408
Чёрч (Church А., р. 1903) 91, 408
Чирнхауз (Tschirnhaus Е. W., 1651 —
1708) 112
Шаль (Chales М., 1793—1880) 96,
117, 408
Шварц Г. A. (Schwarz Н. А., 1843—
1921) 197, 232, 404, 408
Шварц Г. М. (Schwartz Н. М., 1881 —
1945) 378, 408
Шварц Л. (Schwarz L., р. 1915) 380
Шерф (Scharf Н. М.) 366, 403, 408
Шеффер (Scheffer L., 1859—1885)
231, 232, 408
Шёнфлис (Schoenflies А., 1853—
1928) 221
Шилов Г. Е. (р. 1917) 301, 389
Шифф П. А. (1849—1910) 408
Шиханович Ю. А. (р. 1933) 91, 408
Шлёмильх (Scldmilch О., 1823—1901)
221, 385, 408
Шмидт (Smidt Е., 1876—1959) 335
Шохат (Shohat J., р. 1886) 379, 408
Штейн (Stein W., р. 1904) 41, 408
Штеккель (Steckel Р., 1862—1919)
123, 408
Штифель (Stiefel М., ок. 1486—
1567) 71
Штокало И. 3. (р. 1897) 321, 408
Штольц (Stolz О., 1842—1905) 195,
197, 221, 238, 254, 352, 368, 408
Штыкан А. Б. (р. 1906) 121, 409
Эйлер (Euler L., 1707—1783) 8, 67,
117, 125, 130, 131, 138-151, 153,
156, 157, 160, 161, 167, 168, 173,
174, 178, 180, 181, 183, 184, 320,
321, 325, 386, 389, 396, 398, 400,
401, 404, 409, 410
Эйнштейн (Einstenin А., 1879—1955)
396, 401
Энгельс (Engels F., 1820—1895) 19,
89, 129, 399, 409
Энестрём (Enestrom, 1852—1923) 51,
56, 409
419
Эратосфен (276—194 до н. э.) 27,
37, 47, 48, 52, 385
Зрим (Erim К.,? — 1952) 409
Эрмит (Hermite Ch., 1822—1901)
302, 313, 317, 399, 405
Юнг Г. (Young G. С., 1868—1944)
251, 354, 410
Юнг Л. (Young L. С., р. 1904) 290,
342 278 409
Юнг Р. С. (Young R. С., р. 1900) 374,
377, 378, 382, 409
Юнг У. Г. (Young W. Н., 1863—1942)
210, 227, 228, 244—248, 251, 279,
280, 285—287, 290, 291, 332, 337—
344, 350—359, 361, 377, 378, 386,
409, 410
Юнге (Younge G.) 22, 24, 410
Юнович Б. М. (1906—1941) 410
Юшкевич А. П. (р. 1906) 9, 22, 42—
46, 65, 66, 75, 81, 86, 88—91, 93-
95, 104, 108—109, 120, 123, 134,
139, 140, 145, 152, 154, 155, 157,
165, 167, 168, 171 — 172, 174—176,
178, 199, 222, 386, 393, 403, 410
Яджи (Jagi F.) 378, 411
Яновская С. А. (1896—1966) 9, 411
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение....................................................... 3
Глава I. Интеграционные методы в древности и в средние века . И
§1.0 соотношении интегрирования и методов измерения И
§ 2. Замечания об измерительных процедурах до возник-
новения инфинитезимальных задач ..................... 15
§ 3. Первый период инфинитезимальных процедур в Древ-
ней Греции .......................................... 17
§ 4. Математический атомизм Демокрита.......... 19
§ 5. Метод исчерпывания Евдокса................ 21
§ 6. Задачи, решавшиеся методом исчерпывания .... 24
§ 7. Интеграционные методы Архимеда............ 27
§ 8. Элементы интеграционных приемов у Паппа .... 32
§ 9. Квадратуры и кубатуры в средние века...... 42
Глава II. Интеграционные методы в XVI—XVII веках.............. 46
§ 1. Первые исследования о центрах тяжести............ 46
§ 2. Интегрирования у Кеплера......................... 49
§ 3. Интегрирования у Кавальери....................... 56
а
§ 4. Вычисление интеграла xndx при целом п............ 64
о
а
§ 5. Вычисление интеграла \ xndx при любом действитель-
ном п............................................... 68
§ 6. Некоторые другие результаты......................... 72
§ 7. Некоторые результаты Грегори и Барроу............... 77
Глава III. Создание интегрального исчисления. Ньютон, Лейбниц
и их последователи.......................................... 84
§ 1. К проблеме математизации естествознания в XVII веке 84
§ 2. Замечания о развитии алгебры в XVII столетии . . 87
§ 3. Понятие функции; бесконечные ряды................... 91
§ 4. Дифференцирование................................... 94
§ 5. Интегрирование у Ньютона и Лейбница................. 96
§ 6. Интегрирование у непосредственных продолжателей
дела Ньютона и Лейбница................................ 129
§ 7. Эйлеровский период интегрального исчисления ... 139
421
Глава IV. Интеграл Коши........................................ 152
§ 1. Еще несколько замечаний о математизации естество-
знания ............................................... 152
§ 2. Проблемы обоснования анализа. Понятия функции и
предела............................................... 154
§ 3. Обстоятельства, выдвигавшие на передний план по-
нятие определенного интеграла ........................ 159
§ 4. Обнаружение непригодности рассмотрения определен-
ного интеграла как разности значений примитивной
в случае функций, принимающих бесконечные значе-
ния в промежутке интегрирования ...................... 162
§ 5. Подход к новому способу рассмотрения определен-
ного интеграла ....................................... 166
§ 6. Вопросы существования и неизбежность нового под-
хода к понятию интеграла .............................. 172
§ 7. Интеграл Коши и его свойства...................... 174
Глава V. Интеграл Римана....................................... 182
§ 1. Определение Римана................................ 182
§ 2. Необходимость введения /2-интеграла............... 185
§ 3. Свойства интеграла Римана......................... 193
§ 4. Условия интегрируемости........................... 201
§ 5. Другое определение интеграла Римана............... 211
§ 6. Связь между дифференцированием и интегрированием
в теории интеграла Римана ............................ 214
§ 7. Несобственные интегралы........................... 217
§ 8. Кратный интеграл у Жордана ....................... 222
Глава VI. Интеграл Лебега и эквивалентные ему определения интег-
рала ........................................................ 228
§ 1. Условия возникновения понятия интеграла Лебега . 228
§ 2. Подход Лебега к новому понятию интеграла .... 232
§ 3. Некоторые результаты лебеговской диссертации и его
книги «Лекции об интегрировании и отыскании прими-
тивных функций» ...................................... 238
§ 4. Подход Юнга к обобщению интеграла................. 244
§ 5. Первые применения интеграла Лебега................ 248
§ 6. Интегрирование по Лебегу как обращение операции
дифференцирования .................................... 251
§ 7. Вклад других ученых в разработку теории интеграла
Лебега (первое десятилетие текущего века).......... 257
§ 8. Функции множества................................ 263
§ 9. Распространение лебеговской теории интегрирования
на функции нескольких переменных. Новый взгляд
на неопределенный интеграл ....................... 268
§ 10. Дифференцирование функций множества............. 273
§ 11. О других определениях интеграла, эквивалентных ле-
беговскому ........................................... 279
§ 12. Некоторые другие исследования по теории интеграла
Лебега ............................................. . 288
§ 13. Некоторые общие замечания об интеграле Лебега . . 291
422
Глава VII. Интеграл Стилтьеса.................................... 295
§ 1. Проблема моментов; некоторые результаты П. Л. Че-
бышева и А. А. Маркова по этой проблеме .... 295
§ 2. Ранние исследования Стилтьеса, подводившие его к
необходимости обобщения понятия интеграла . . . 303
§ 3. «Исследования о непрерывных дробях» Стилтьеса . . 307
§ 4. Обобщение понятия интеграла Кёнигом................ 313
§ 5. Интеграл Стилтьеса в исследованиях А. А. Маркова,
Г. Ф. Вороного и А. М. Ляпунова......................... 317
§ 6. Интеграл Стилтьеса и линейные функционалы . . . 325
§ 7» Первая реакция Лебега на новое понятие интеграла . 328
§ 8. Работы об интеграле Стилтьеса в 1910—1914 гг. . . . 331
§ 9. Первые исследования У. Г. Юнга по теории интегра-
ла Стилтьеса............................................ 338
§ 10. Мемуар Радона «Теория и применения абсолютно ад-
дитивных функций множества»............................. 344
§ И. Первые работы относительно дифференцирования
функции по функции...................................... 352
§ 12. Несколько работ 1919 г............................. 357
§ 13. Интеграл Стилтьеса и обобщенный предел............. 361
§ 14. Некоторые другие формы определений интеграла Стил-
тьеса римановского типа ........................... 367
§ 15. Несколько заключительных замечаний по поводу тео-
рии интеграла Стилтьеса ................................. 376
Заключение...................................................... 381
Сокращения к списку литературы................................ 384
Литература...................................................... 384
Именной указатель............................................... 412
Медведев Федор Андреевич
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Утверждено Институтом истории
естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко
Художник Г. А. Астафьева
Художественный редактор Н. Н. Власик
Технический редактор Э. Л. Кунина
Сдано в набор 15/VIII 1973 г. Подписано к печати 7/XII 1973 г.
Формат 60x90Vie. Бумага типографская Кв 2. Усл. печ. л. 26,5. Уч,- изд. л. 29,6#
Тираж 3650. Т-14819. Тип. зак. 2791. Цена 2 р. 01к.
Издательство «Наука», 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука», 121099, Москва, Г-99,
Шубинский пер., 10