Author: Тихонов А.Н. Васильева А.Б. Свешников А.Г.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ дифференциальные уравнения
ISBN: 5-9221-0277-Х
Year: 2005
Text
УДК 517.9
Т46
BBK22.161.S
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифферен-
Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2005. — 256 с. — (Курс высшей математики и математической фи-
физики). - ISBN 5-9221-0277-Х (Вып. 6).
Один из выпусков «Курса высшей математики и математической
физики» под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова.
Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих
лет на физическом факультете Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова. Изложение отвечает современному состоянию теории
дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам
по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимп-
асимптотическим методам решения. Воспроизводится с 3-го изд. A998 г.).
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специаль-
специальностям «Физика» и «Прикладная математика».
Ил. 29. Библиогр. 28 назв.
ISBN 5-9221-0277-Х (Вып. 6)
ISBN 5-9221-0134-Х © ФИЗМАТЛИТ, 1998, 2001, 2002, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 7
Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие к первому изданию 9
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Понятие дифференциального уравнения 10
§ 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . 15
ГЛАВА 2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Элементарные методы интегрирования 27
§ 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи
для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно
производной. Алгоритм ломаных Эйлера 35
§ 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной 43
§ 4. Теоремы существования и единственности решения нормальной си-
системы 52
§ 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров 58
§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара) 66
§ 7. Принцип сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке ... 70
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения.
Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффици-
коэффициентами 75
§ 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка 81
§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка 85
§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка 88
§ 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. . 92
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 98
§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
коэффициентами 106
§ 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда ... 113
Оглавление
ГЛАВА 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание 116
§ 2. Неоднородная краевая задача 121
§ 3. Задачи на собственные значения 136
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Постановка задачи 141
§ 2. Исследование на устойчивость по первому приближению 147
§ 3. Метод функций Ляпунова 152
§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя 158
ГЛАВА 6
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 1. Разностные методы решения начальной задачи 165
§ 2. Краевые задачи 182
ГЛАВА 7
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО МАЛОМУ
ПАРАМЕТРУ
§ 1. Регулярные возмущения 193
§ 2. Сингулярные возмущения 199
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Линейное уравнение 227
§ 2. Квазилинейное уравнение 237
Список литературы 249
Предметный указатель 251
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Книга «Дифференциальные уравнения», являющаяся шестым
выпуском серии «Курс высшей математики и математической физи-
физики», претерпела два издания: первое появилось в 1980 г., а второе —
в 1985 г. Был сделан перевод на английский язык издательством
«Шпрингер Ферлаг» в 1985 г.
Сейчас прошло уже более десяти лет со времени выхода в свет
второго издания, и студенты вузов и университетов, для которых эта
книга является одним из основных учебников, испытывают трудно-
трудности в доступе к книге, поскольку количество экземпляров книги
в библиотеках в силу естественных причин значительно сократи-
сократилось. Поэтому мы приветствуем инициативу нового переиздания се-
серии «Курс высшей математики и математической физики».
Настоящее издание стереотипное. Исправлены лишь некоторые
опечатки, на которые в разное время обратили внимание читатели,
за что авторы выражают им всем благодарность.
Конечно, в будущем, если дело дойдет до еще одного переизда-
переиздания, придется внести ряд изменений, так как со времени подготов-
подготовки второго, переработанного, издания в теории дифференциальных
уравнений появились новые факты. С другой стороны, текст в его
настоящем виде нам приятно сохранить как память о нашем учи-
учителе и соавторе Андрее Николаевне Тихонове, которого не стало
в 1993 г.
Июнь 1998 г. А. Б. Васильева, А. Г. Свешников
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание курса «Дифференциальные уравнения» предста-
представляет собой существенно переработанный текст первого издания.
Не меняя основного содержания курса, мы внесли значительные из-
изменения в характер его изложения.
В новом издании изложение узловых положений курса строится
на основе общих идей метода дифференциальных неравенств, ба-
базирующегося на теореме Чаплыгина. Этот метод наглядно выделя-
выделяет идейную сторону доказываемых в курсе основных теорем суще-
существования и зависимости от параметров решения начальной задачи
как для одного уравнения, так и для системы уравнений. При этом
во многих случаях значительно снижаются технические трудности
при доказательстве соответствующих теорем, а сами доказательства
становятся более алгоритмичными.
На идейной основе метода дифференциальных неравенств по-
построено также изложение рассматриваемых в книге вопросов чис-
численных и асимптотических методов решения дифференциальных
уравнений. В главу о численных методах внесены, кроме того, зна-
значительные редакционные изменения в целях улучшения изложения
с методической точки зрения.
Подвергся переработке и текст гл. 4, посвященной краевым зада-
задачам. Дано доказательство теоремы существования решения неодно-
неоднородной краевой задачи. Более подробно разбирается понятие обоб-
обобщенной функции Грина. Внесены некоторые изменения и в характер
изложения задач на собственные значения.
Помимо этих основных изменений в текст книги внесено боль-
большое количество более локальных изменений для улучшения стиля
изложения. Изменен и ряд обозначений.
Авторы выражают свою искреннюю благодарность Л. Д. Кудряв-
Кудрявцеву, внимательно просмотревшему рукопись настоящего издания,
а также всем лицам, приславшим свои замечания по первому изда-
изданию книги.
1985 г. Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга представляет собой очередной выпуск серии
«Курс высшей математики и математической физики» под редакци-
редакцией А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова.
В основу книги положен курс лекций, который в течение многих
лет читается на физическом факультете Московского государствен-
государственного университета им. М. В. Ломоносова. Изложение отвечает со-
современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той
мере, как это требуется будущим специалистам по физике и при-
прикладной математике, и в то же время достаточно элементарно.
Большое внимание уделяется в книге приближенным методам ре-
решения и исследования дифференциальных уравнений — численным
и асимптотическим, которые в настоящее время лежат в основе изу-
изучения математических моделей физических явлений. Читатель по-
получит представление о различных методах численного решения как
начальных, так и краевых задач, о таких фундаментальных поня-
понятиях теории численных методов, как сходимость разностной схемы,
аппроксимация и устойчивость. В главе, посвященной асимптоти-
асимптотическим методам, содержатся, в частности, сведения из так называе-
называемой теории сингулярных возмущений (метод пограничных функций,
метод ВБК, метод усреднения), которая бурно развивается в послед-
последние десятилетия в связи с потребностями таких разделов физики
и техники, как теория автоматического регулирования, гидродина-
гидродинамика, квантовая механика, кинетика, теория нелинейных колебаний
и др.
Рукопись книги была просмотрена Е.А.Гребениковым и Л.Д.Куд-
Л.Д.Кудрявцевым, сделавшими ряд ценных замечаний. Неоценимую помощь
в подготовке рукописи к печати оказал Б. И. Волков. Всем им авто-
авторы выражают свою искреннюю благодарность.
1980 г. Авторы
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Понятие дифференциального уравнения
В настоящей книге рассматриваются дифференциальные уравне-
уравнения, т. е. соотношения между неизвестной функцией, ее производны-
производными и независимыми переменными. Уравнения, содержащие произ-
производные по многим независимым переменным, называются уравнени-
уравнениями в частных производных. Уравнения, содержащие производные
лишь по одной из независимых переменных, называются обыкновен-
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Изучение свойств и мето-
методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и соста-
составляет основное содержание данной книги, лишь последняя глава
посвящена некоторым специальным классам уравнений в частных
производных.
Независимую переменную, производная по которой входит
в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают
буквой х (или буквой ?, поскольку во многих случаях роль незави-
независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обознача-
обозначают у(х).
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать
в виде соотношения
В уравнение A.1) помимо неизвестной функции, ее производных
по независимому переменному х и самого независимого переменно-
переменного х могут входить и дополнительные переменные \i\,..., fik. В этом
случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных
/ii,..., /ik как от параметров.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение A.1), назы-
называется порядком уравнения. Уравнение первого порядка имеет вид
и связывает три переменные величины — неизвестную функцию,
ее производную и независимую переменную. Часто это соотношение
удается записать в виде
§ 1. Понятие дифференциального уравнения 11
Уравнение A.3) называется уравнением первого порядка, разре-
разрешенным относительно производной. Изучение теории обыкновенных
дифференциальных уравнений мы начнем с уравнения A.3).
Наряду с дифференциальными уравнениями A.1)—A.3) для од-
одной неизвестной функции в теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система урав-
уравнении первого порядка, разрешенных относительно производных
-^ = /г(ж,2/ь...,2/п), г = 1,...,п, A.4)
называется нормальной системой. Вводя векторные функции
У = (У1,...,Уп), / = (/ъ-..,/п),
можем записать систему A.4) в векторной форме
!? = /(*,!/)• A-5)
Легко видеть, что уравнение n-го порядка A.1), разрешенное от-
относительно старшей производной
dx
может быть сведено к нормальной системе. Действительно, введем
обозначения
dx dx ' dxn~1 dx
rp dny dyn
1огда, вследствие очевидного равенства -=-^ = -f—, уравне-
уравнению A.6) можно сопоставить нормальную систему
dx
dVn-i _
dx ~Уп
В уравнениях A.1)—A.5) независимую переменную будем пола-
полагать действительной. Неизвестные функции могут быть как дей-
действительными, так и комплексными функциями действительной пе-
переменной.
12 Гл. 1. Введение
Очевидно, если у{х) = у(х) + iy(x), где у{х) и у{х) — соот-
соответственно действительная и мнимая части функции у(х), урав-
уравнение A.3) эквивалентно системе обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений для действительных функций:
g = Re /Or, у, g), g = Im f(x, y, §).
Решением системы дифференциальных уравнений A.4) называ-
называется всякая совокупность функций Уг(х) (г = 1,..., п), которые при
подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило,
и как это будет видно из последующих примеров (см. § 2), если
дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчи-
бесчисленным множеством решений. Процесс нахождения решений назы-
называется интегрированием дифференциального уравнения.
Обычно рассматриваются системы A.4) с правыми частями, не-
непрерывными в некоторой области D изменения неизвестных функ-
функций yi, и независимой переменной х. Очевидно, что при этом ре-
решения Уг(х) представляют собой непрерывно дифференцируемые
функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело
с уравнениями, правые части которых имеют разрывы (например,
при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.),
поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных. Тогда
естественно в качестве решения A.4) рассматривать непрерывные
функции Уг(х) с кусочно непрерывными производными. При подста-
подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением
точек разрыва (или отсутствия) производных. Такое решение есте-
естественно назвать обобщенным решением.
Всякое решение у%{х) (г = 1,..., п) системы A.4) можно интерпре-
интерпретировать геометрически как кривую в (п + 1)-мерном пространстве
переменных ж, з/ь • • • •> Уп-> которая называется интегральной кривой.
Подпространство переменных у\,..., уп называется фазовым про-
пространством, а проекция интегральной кривой на фазовое простран-
пространство — фазовой траекторией.
Уравнения A.4) определяют в каждой точке области D некоторое
направление, задаваемое вектором г = A, Д,..., /п). Такая область
пространства с заданным в каждой точке направлением называется
полем направлений. Интегрирование системы уравнений A.4) геоме-
геометрически интерпретируется как нахождение кривых, у которых на-
направление касательной в каждой точке совпадает с направлением г,
заданным в данном поле направлений.
Как отмечалось выше, дифференциальное уравнение имеет, во-
вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому, интегри-
1. Понятие дифференциального уравнения
13
руя систему A.4), мы найдем бесчисленное множество интеграль-
интегральных кривых, лежащих в области определения правых частей систе-
системы A.4). Чтобы из всей совокупности решений выделить отдель-
отдельную интегральную кривую, представляющую собой так называемое
частное решение системы A.4), надо задать дополнительные усло-
условия. Во многих случаях такими дополнительными условиями явля-
являются начальные условия
yi{xo) = у,
,0
г = 1,... ,п,
A.9)
определяющие ту точку (п + 1)-мерного пространства переменных
ж, 2/i,..., уп-> через которую проходит данная интегральная кривая.
Задача интегрирования системы A.4) с начальными условиями
A.9) называется начальной задачей или задачей Коши.
В простейшем случае одного урав-
уравнения
-^ = /(ж, 2/) A-Ю)
функция /(ж, 2/) определяет поле на-
направлений в той области D плоско-
плоскости (ж,у), где задана правая часть
A.10). Это поле направлений в ка-
каждой точке области D задается век-
вектором г (ж, 2/) с угловым коэффици-
коэффициентом /(ж,у) (tga = f(x,y)) (рис. 1).
Решение начальной задачи с за- гис. 1
данным начальным условием у(хо) = у о в этом случае заключается
в построении в области D интегральной кривой у = у (ж), выходящей
из начальной точки (жо, у о) и в каждой своей точке (ж, у) касающей-
касающейся вектора т с угловым коэффициентом f(x,y).
Приведенная выше геометрическая интерпретация поведения ин-
интегральных кривых делает наглядным доказательство следующей
теоремы.
Теорема 1.1 (теорема Чаплыгина о дифференциальных нера-
неравенствах) . Если при х Е [жо, X] существует решение начальной за-
задачи
являющееся однозначной функцией х, и если z(x) — непрерывная
и непрерывно дифференцируемая на [xq , X] функция такая, что
g </(*,*),
[хо,Х], z(x0)
A.12)
14 Гл. 1. Введение
то имеет место неравенство
z(x)<y(x), xe(xo,X]. A.13)
Доказательство. По условию теоремы неравенство A.13) вы-
выполняется в точке жо- Следовательно, в силу непрерывности у{х)
и z(x) оно выполняется также в некоторой окрестности правее точ-
точки Жо-
Предположим, что х\ Е [жо,Х] — ближайшая к хо точка, в кото-
которой неравенство A.13) нарушается, т.е. z(x\) = у(х\). Геометриче-
Геометрически это означает, что кривые z{x) и у{х) при х = х\ пересекаются
или касаются. Но тогда должно быть 4^(xi) ^ f(xi,y(xi)), что про-
противоречит A.12). Теорема доказана.
Сделаем существенные для дальнейшего замечания к доказанной
теореме о дифференциальных неравенствах.
Замечания.
1. Мы предполагали z(xo) < уо, но теорема остается справедли-
справедливой, если z(xo) = уо- В этом случае существование некоторой окрест-
окрестности правее точки жо, в которой выполнено неравенство A.13), сле-
следует из того, что
2§(жо) < f(xo,z(xo)) = 1(хо,Уо) = -?(хо)-
Дальнейшие рассуждения совершенно такие же, как для случая
z(x0) < уо-
2. Если функция z(x) удовлетворяет неравенствам
^>f(x,z), xe[xo,X], z(xo)^yo,
то знак неравенства в A.13) также изменится на противоположный.
3. Теорема остается справедливой и в том случае, когда z(x) ку-
кусочно дифференцируема на [жо, X] и неравенство A.12) выполняется
для предельных значений производной ^ в точках ее разрыва.
При решении ряда вопросов бывает удобно сводить задачи для
дифференциальных уравнений к некоторым интегральным уравне-
уравнениям.
Лемма 1.1. Пусть f(x,y) непрерывна по совокупности аргумен-
аргументов в некотором прямоугольнике
D = {\х - хо\ ^ а, \у - 2/о| ^ Ь}.
§ 2. Примеры физических задач 15
Тогда начальная задача
^| = /(ж, у), у(х0) = уо, A.14)
эквивалентна интегральному уравнению
х
у(х)=уо+ f /(f,2/@)df- (!-15)
Доказательство. Пусть на сегменте |ж — жо| ^ а существует
решение начальной задачи — функция у(х), причем у о — Ъ ^ у(х) ^
^ Уо+b (эти неравенства означают, что при \х—жо| ^ а интегральная
кривая находится в области D, где f(x,y) непрерывна). Подставив
у (ж) в уравнение A.14), получим тождество. Интегрируя это тожде-
тождество от жо до ж Е [жо — а, жо + а] и используя начальное условие
у(хо) = уо, получим A.15). Следовательно, решение начальной за-
задачи A.14) удовлетворяет интегральному уравнению A.15). С дру-
другой стороны, если существует непрерывное решение интегрального
уравнения A.15) — функция у(х), причем уо — Ъ ^ у{х) ^ уо + Ъ,
то в силу непрерывности f(x,y) и следующей отсюда непрерывно-
непрерывности функции /(?,?/(?)) как сложной функции ? интеграл в правой
части A.15) является непрерывно дифференцируемой функцией ж.
Следовательно, и левая часть A.15), т.е. функция у(х), имеет не-
непрерывную производную, причем эта производная равна /(ж,^/(ж)),
а значит, у(х) есть решение уравнения A.14). Выполнение началь-
начального условия проверяется непосредственно. Лемма доказана.
Замечание. Аналогичная теорема об эквивалентности имеет
место и для системы дифференциальных уравнений, т. е. для задачи
A.4), A.9).
Лемма 1.1 остается в силе, когда функция f(x,y) является ку-
кусочно непрерывной функцией переменной ж. При этом интегральное
уравнение A.15) имеет непрерывное решение у(х), являющееся ку-
кусочно дифференцируемой функцией ж. Это решение удовлетворяет
уравнению A.14) на участках непрерывности функции f(x,y).
Возможны и другие способы задания дополнительных условий,
выделяющих определенное частное решение системы A.4). К их чи-
числу относятся: так называемые краевые задачи, в которых опреде-
определенное частное решение выделяется требованием, чтобы удовлетво-
удовлетворялись дополнительные условия в нескольких различных точках
области определения решения; задачи на собственные значения, со-
состоящие в определении некоторых параметров в уравнении, при ко-
которых существуют частные решения, удовлетворяющие поставлен-
поставленным дополнительным требованиям; задачи поиска периодических
16 Гл. 1. Введение
решений и ряд других постановок, позволяющих однозначно выде-
выделить требуемое частное решение уравнения.
§ 2. Физические задачи,
приводящие к дифференциальным уравнениям
В настоящем параграфе будет приведен ряд типичных задач фи-
физики и механики, изучение которых методом математических моде-
моделей приводит к исследованию дифференциальных уравнений.
1. Радиоактивный распад. Физический закон, описывающий
процесс радиоактивного распада, заключается в том, что скорость
распада отрицательна и пропорциональна количеству нераспавше-
гося к данному моменту времени вещества. Коэффициент пропор-
пропорциональности Л, являющийся характерной для данного вещества
постоянной, не зависящей от времени, носит название постоянной
распада. Математическое выражение закона радиоактивного распа-
распада имеет следующий вид:
<§Р = -Аш(«), A.16)
где m(t) — количество нераспавшегося к моменту времени t веще-
вещества. Это соотношение представляет собой дифференциальное урав-
уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение A.16)
имеет вид
m(t) = Ce-xt, A.17)
где С — произвольная постоянная, которая может быть определе-
определена из дополнительного условия, например, из начального условия
ттг(to) = rao, задающего количество исходного вещества в началь-
начальный момент to. Частное решение соответствующей начальной зада-
задачи имеет вид
m(t) =moe~A(t~to). A.18)
Одной из важных физических характеристик процесса радиоактив-
радиоактивного распада является период полураспада — промежуток време-
времени Т, за который количество распадающегося вещества уменьшает-
уменьшается вдвое. Из A.18) найдем
то —XT
откуда
Т=±1п2. A.19)
§ 2. Примеры физических задач 17
Отметим, что уравнение A.16) является математической моде-
моделью не только процесса радиоактивного распада, но и многих дру-
других процессов деления или размножения, характеризуемых тем, что
скорость деления (размножения) пропорциональна количеству ве-
вещества в данный момент времени, причем коэффициент пропорцио-
пропорциональности есть некоторая постоянная, характеризующая рассма-
рассматриваемый процесс. Как мы убедились, типичной постановкой задач
для этого класса уравнений является начальная задача (задача Ко-
ши).
2. Движение системы материальных частиц. Математи-
Математической моделью движения системы N материальных частиц ттг^,
г = 1,...,7V, принятой в теоретической механике, являются урав-
уравнения движения, следующие из второго закона Ньютона:
л* -ч-""*у - -'-'-¦ (L20)
Здесь mi — массы частиц, постоянные во времени, Т{ — радиус-
векторы частиц, F — вектор силы, действующей на г-ю частицу
и зависящий, вообще говоря, от времени, координат г-й частицы,
взаимного расположения частиц системы и их скоростей. Система
A.20) представляет собой систему N векторных уравнений второго
порядка. Если массы частиц не меняются в процессе движения, то,
обозначив декартовы координаты радиус-вектора Гг через Xi,yi,zi
и введя новые переменные ViX = —тг, Viy = -тг, Viz = -тг (компо-
(компоненты вектора скорости г-й частицы), можем записать A.20) в виде
нормальной системы 6N уравнений первого порядка:
dt - "«' dt - "и« dt - »™ A21)
&Xj 1 тр dyi 1 тр ttZj 1 тр
dt ~ rriirix' dt ~ miriy dt ~ rriiriz'
Сложность интегрирования системы A.21) в первую очередь опре-
определяется видом правых частей, т. е. функциональной зависимостью
компонент вектора силы от переменных ?, х^ yi, Zi, г^ж, Viy, ViZ.
Во многих случаях получить значения частного решения системы
с заданной степенью точности удается лишь численными метода-
методами, используя современные ЭВМ. Типичной задачей для системы
A.21) является начальная задача, заключающаяся в определении
траекторий частиц по заданным в начальный момент времени to
положениям и скоростям всех частиц системы
n(t0) = гг°, Vi(t0) = v° A.22)
18
Гл. 1. Введение
при известных правых частях (заданных внешних силах, действую-
действующих на систему, и силах взаимодействия между частицами). Другой
типичной задачей для системы A.21) является краевая задача опре-
определения траектории, проходящей через заданные начальную и ко-
конечную точки в фазовом пространстве. К этой задаче мы, в частно-
частности, приходим при расчете траектории космического аппарата, на-
направляемого с Земли на Луну или какую-либо планету.
В ряде случаев рассматриваются и другие постановки задачи
определения частного решения системы A.21).
Важным частным случаем системы A.20) явля-
является уравнение колебаний физического маятника.
Обычно физическим маятником называют абсо-
абсолютно твердое тело, которое может вращаться под
действием силы тяжести вокруг неподвижной гори-
горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести
С (рис. 2).
Рассмотрим сечение данного тела плоскостью,
перпендикулярной оси вращения и проходящей че-
через центр тяжести. Точку пересечения оси враще-
вращения с данной плоскостью обозначим О. Очевидно,
положение физического маятника в любой момент
времени можно характеризовать углом ср, который
составляет прямая ОС с вертикальной осью z, проходящей через
точку О. Для вывода уравнения движения воспользуемся вторым
законом Ньютона в применении к вращательному движению (угло-
(угловое ускорение пропорционально главному моменту внешних сил).
Тогда, пренебрегая силами сопротивления, получим
Рис. 2
/—% — — mgdsimp,
dt
A.23)
где / — момент инерции тела относительно оси вращения, а б? —
расстояние от точки О до центра тяжести С.
Общее уравнение A.23) колебаний физического маятника являет-
является нелинейным. В случае малых колебаний, ограничиваясь первым
членом разложения функции sin cp, получим
= о,
A.24)
где через uJ1 обозначено отношение mgd/I. Очевидно, размерность
[и] = 1/с, что и оправдывает введенное обозначение. Заметим, что
в случае уравнения A.24) возвращающая сила пропорциональна
смещению от положения равновесия.
§ 2. Примеры физических задач 19
Как легко убедиться непосредственной проверкой, уравнение
A.24) имеет периодические решения частоты и:
ip(t) = A cos out + В smut, A.25)
где А и В — произвольные постоянные, определяющие амплитуду
периодических колебаний.
При учете сил сопротивления, пропорциональных угловой скоро-
скорости, уравнение A.24) перейдет в уравнение вида
$+а%+ш*<р = 0. A.26)
dt аг
Как будет показано ниже (см. гл. 3), уравнение A.26) определяет
затухающие колебания.
3. Уравнения переноса. Пусть по трубе постоянного попереч-
поперечного сечения, ось которой совпадает с осью ж, движется поток возду-
воздуха, скорость которого вдоль оси трубы в точке х в момент времени
t есть заданная функция v(x,t). Пусть воздух переносит некоторое
вещество, линейную плотность которого в сечении трубы с коорди-
координатой х в момент времени t обозначим u(x,i). В процессе переноса
вещество осаждается на стенках трубы. Будем считать, что плот-
плотность распределения осаждающегося вещества задается выражени-
выражением f(x,t)u(x,t) (/(x,t) — заданная функция), т.е. пропорциональ-
пропорциональна концентрации вещества (это можно рассматривать как линейное
приближение к более сложному закону, справедливое при достаточ-
достаточно малых и). Это значит, что количество вещества, которое осаж-
осаждается на участке стенки трубы между сечениями х и х + Ах за
промежуток времени [?,? + At], дается законом
ж+Дж t+At
/ /
X t
Для получения дифференциального уравнения относительно и
рассмотрим баланс вещества в области между сечениями х и х + Ах.
Процесс диффузии не будем учитывать, что естественно, если ско-
скорость v достаточно велика.
За время At изменение количества вещества в рассматриваемой
области равно
Это изменение определяется, во-первых, разностью потоков веще-
вещества: втекающего через сечение х и равного
t+At
Г v{x,t)u{x,t) dr
t
20 Гл. 1. Введение
и вытекающего через сечение х + Ах и равного
t+At
Г v(x + Ах,т)и(х + Ах, г) dr,
t
а во-вторых, убылью количества вещества (за счет осаждения на
стенке), равной
х+Ах t+At
- I I Я?,т)и(х,т)<%<1т.
X t
Таким образом, закон сохранения вещества дает
х+Ах
I [u(?,t + At)-u(?,t)]d? =
X
t+At
= f [v(?, т)и(х, г) - v(? + Ах, т)и(х + Ах, г)] dr-
t
х+Ах t+At
- I I f(Z,T)u(Z,T)dtdT. A.27)
X t
Пользуясь теоремой о конечном приращении для подынтегральных
выражений в предположении наличия непрерывных частных про-
производных у рассматриваемых функций и вычисляя интегралы по
теореме о среднем, получим
- /(ж***, Г*>(ж***, t***) Ax At, A.28)
где ж*, ж**, ж***, t*, t**, t*** — некоторые точки из отрезков [ж, ж +Аж],
[t^t + At] соответственно. Деля затем равенство A.28) на AжAt
и устремляя Аж и At к нулю, в силу непрерывности всех членов
соотношения A.28) получим окончательное уравнение
Qu _l_ JL(UV} _|_ fu = 0, A.29)
или Я Я
где
^,/д. ^\ __ Q2L(r? f\ _i_ ^^ f\ (\ 31)
Уравнение A.30) является уравнением в частных производных
первого порядка. Для него можно поставить, например, следующую
задачу. Пусть известна концентрация вещества при ж = жо:
u(xo,t)=uo(t), A.32)
§ 2. Примеры физических задач 21
где uo(t) — заданная функция. Требуется определить u(x,t) для
х ^ жо- Ниже (в гл. 8) мы увидим, что условие A.32) однозначным
образом определяет решение уравнения A.30).
4. Задача о просачивании воды сквозь песок. Пусть вода
просачивается через песок сверху вниз. Направим ось х вниз. Че-
Через u(x,t) обозначим плотность воды в песке (t — время). Скорость
движения воды г?, очевидно, зависит от ее плотности, т. е. v = v(u),
где v(u) есть заданная функция, причем v возрастает вместе с и.
Рассмотрим баланс воды в слое [ж, х + Ах]. За время At изменение
х+Ах
количества воды равно Г [и(?, t + At) — u(?, t)] d?. Это изменение
X
происходит за счет разности входящего потока
t+At
Г v(u(x,t))u(x,t) dr
t
и выходящего потока
t+At
Г v{u{x + Ах,т))и{х + Ах, г) dr.
t
Таким образом,
Х+ *
t+At
= f [v(u(x,r))u(x,r) — v(u(x + Ax,r))u(x + Ax,r)] dr.
t
Предполагая наличие непрерывных частных производных у и
и дифференцируемость v(u), применим теорему о конечном прира-
приращении и формулу среднего значения для вычисления интегралов.
Поделив затем на Ах At, устремим Ах и At к нулю; получим урав-
уравнение
ди , Qu_cL
dt + dxdu
или
f
где
p(u)=v(u)+u^ A.34)
есть заданная функция и.
Уравнение A.33), так же как и A.30), является уравнением в част-
частных производных первого порядка. Типичными задачами для него
22 Гл. 1. Введение
являются как задание функции u(x,i) при фиксированном значении
х = х0:
u(xo,t) = uo(t)
(т. е. задана плотность воды на границе слоя песка во все моменты
времени), так и задание функции u(x,i) для фиксированного момен-
момента t = to:
u(x,t0) = щ(х)
(т. е. задано распределение плотности воды по разрезу слоя песка
в определенный момент времени to).
Отметим, что уравнение A.33), в котором множитель р{и) при
производной зависит от неизвестной функции, сложнее уравнения
A.30), в которое как производные неизвестной функции, так и сама
неизвестная функция входят линейно. Уравнение A.33) носит на-
название квазилинейного уравнения. Изучению квазилинейных урав-
уравнений будет посвящена гл. 8.
5. Колебания упругого стержня. Рассмотрим задачу о ма-
малых продольных колебаниях упругого стержня. Пусть в недефор-
мированном состоянии стержень имеет длину /, ось его совпадает
с осью жив процессе его колебаний под действием внешних сил,
направленных по оси ж, поперечные сечения стержня смещаются
как целое, не деформируясь в своей плоскости. Тогда процесс коле-
колебаний стержня можно характеризовать одной скалярной функцией
u(x,t) — смещением в момент времени t сечения стержня, имев-
имевшего в недеформированном состоянии координату х. Будем рассма-
рассматривать стержень переменной плотности р(х), подчиняющийся зако-
закону Гука: упругая сила, деформирующая бесконечно малый элемент
стержня, заключенный между сечениями х и х + Ах, пропорцио-
пропорциональна относительному удлинению этого элемента. Коэффициент
пропорциональности (модуль упругости) также будем считать пе-
переменным вдоль стержня и обозначим его через к(х). Подсчитаем
относительное удлинение г выделенного элемента. Длина этого эле-
элемента в момент времени t равна
А1 = (х + Дж) + и(х + Ах,t)-x-и(х,t) = Ах + и(х + Ах,t) -u(x,t),
откуда относительное удлинение
8 ~ Ах
- Ах _ u(x + Ax,t) -u(x,t)
Переходя в выражении A.35) к пределу при Ах —у 0, предпола-
предполагая функцию u{x,t) непрерывно дифференцируемой и воспользовав-
воспользовавшись законом Гука, получим, что сила упругого напряжения в се-
сечении ж, действующая со стороны правой части на левую, равна
§ 2. Примеры физических задач 23
k(x)ux(x,ti). Заметим, что полученное выражение для силы упруго-
упругого напряжения справедливо лишь в случае малых колебаний, ко-
когда можно применять закон Гука к бесконечно малому элементу
стержня.
Чтобы получить уравнение колебаний стержня, применим вто-
второй закон Ньютона к выделенному элементу. Будем считать, что
внешние силы, приложенные к стержню, распределены с плотно-
плотностью /(x,t), так что импульс силы, действующей на элемент Ах за
промежуток времени At, равен
t+At х+Ах
А1= / / f(?,T)dtdT. A.36)
t X
Кроме того, на граничные сечения выделенного элемента дей-
действуют определенные выше силы упругого напряжения. Тогда урав-
уравнение второго закона Ньютона запишется в виде
7 Х [Ж)«« & * + At) - Р{0щ (?, t)] d? =
X
t+At
= Г [k(x + Ax)ux (x + Ax, т) — к(х)их (ж, г)] dr+
t
t+At x+Ax
+ f f №,T)d?dT. A.37)
t X
Это — интегро-дифференциальное уравнение колебаний упругого
стержня. Предполагая непрерывную дифференцируемость функ-
функций, стоящих в квадратных скобках под интегралами выражения
A.37), и непрерывность /(x,t), используя теорему о конечных при-
приращениях и вычисляя интегралы по теореме о среднем, получим
p(x*)utt(x*,t)\t=t*AxAt =
= ? (k(x)Ux (Ж, Г*)) \х=хтт Ах At + /(х***, Г**) Ах At,
где ж*, ж**, ж***, t*, t**, t*** — некоторые точки из отрезков [ж, ж + Ах],
[t, t+At] соответственно. Поделив на Ах At и переходя к пределу при
Ах —у 0, At —у 0, в силу введенного выше условия гладкости функ-
функций u(x,t), p(x), k(x), f(x,t) получим окончательно дифференци-
дифференциальное уравнение продольных колебаний упругого стержня
p(x)utt(x,t) = [k(x)ux(x,t)]x + f(x,t). A.38)
Это — уравнение в частных производных второго порядка, являю-
являющееся математической моделью колебаний в пространстве и во вре-
времени непрерывной упругой среды. В статическом случае (щ = 0)
стержень под действием постоянной во времени внешней силы и сил
24 Гл. 1. Введение
упругого взаимодействия принимает некоторое состояние статиче-
статического равновесия, которое описывается обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
[k(x)ux(x)]x+f(x)=0. A.39)
Типичной задачей для уравнения A.39) является краевая задача,
когда задаются смещения граничных точек стержня
u@)=uo, иA)=щ, A.40)
или напряжения, приложенные к граничным сечениям
fc@K@) = -Л, кA)ихA) = /2. A.41)
В ряде случаев приходится рассматривать и другие постановки
краевых задач.
Общее уравнение колебаний распределенной системы A.38) пере-
переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение и в тех слу-
случаях, когда рассматриваются периодические колебания, происхо-
происходящие под действием периодической внешней силы. Пусть /(ж,?) =
= f(x)cosut. Будем искать решение A.38) также в виде u(x,t) =
= п(х) cos ujt. Тогда для й[х) — амплитуды периодических колеба-
колебаний, установившихся в системе под действием периодической внеш-
внешней силы, — получим обыкновенное дифференциальное уравнение
[к(х)йх(х)]х+и2р(х)й{х) = -f(x). A.42)
Типичной краевой задачей определения частного решения уравне-
уравнения A.42) опять является краевая задача с граничными условиями
типа A.40), A.41) или более сложного вида.
В ряде случаев интерес представляет определение частот соб-
собственных колебаний системы — частот тех установившихся перио-
периодических колебаний, которые возможны в системе при отсутствии
внешних сил как распределенных, так и сосредоточенных в гранич-
граничных сечениях. Эта задача сводится к краевой задаче для однород-
однородного уравнения A.42):
[к(х)их(х)] +и2р(х)и(х) = 0. A.43)
Требуется определить те значения параметра и2, при которых
уравнение A.43) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее
заданным однородным граничным условиям, например, и@) =
= иA) = 0. Такая задача носит название краевой задачи о собствен-
собственных значениях.
§ 2. Примеры физических задач 25
6. Уравнение теплопроводности. Одним из типичных урав-
уравнений математической физики является уравнение теплопроводно-
теплопроводности, к выводу которого мы сейчас перейдем. Тепловое состояние
тела D можно описать с помощью скалярной функции u{M,t) —
температуры в точке М тела в момент времени t. Теплофизиче-
ские характеристики тела описываются функциями плотности р(М)
и теплоемкости с(М), которые в широком интервале температуры
можно считать не зависящими от температуры, а также теплопро-
теплопроводностью к(М), являющейся коэффициентом пропорциональности
между плотностью потока теплоты через элементарную площадку
AS и градиентом температуры в направлении нормали к этой пло-
площадке:
^AS. A.44)
Мы считаем поток теплоты направленным от более нагретой сто-
стороны площадки к менее нагретой (градиент температуры в этом
направлении отрицателен), что определяет знак «минус» в форму-
формуле A.44).
Чтобы построить математическую модель изменения температу-
температуры в рассматриваемом теле, составим уравнение баланса. Измене-
Изменение количества теплоты AQi в элементе объема AV за промежуток
времени от момента t до момента t + At
AQx = I c(M)p(M)[u(M,t + At)-u(M,t)]dV A.45)
AV
определяется потоком теплоты AQ2 через боковую поверхность АЕ
рассматриваемого объема:
t+At
AQ2= I I k(M)^dadr A.46)
t AE
(производная берется по направлению внешней нормали, что опре-
определяет знак «плюс» перед интегралом в A.46)), и количеством теп-
теплоты AQz, выделяемой внешними источниками, распределенными
в пространстве и во времени с плотностью /(М, ?),
t+At
AQ3= / / f(M,r)dVdr. A.47)
t AV
Имеем
A.48)
Преобразовав поверхностный интеграл в выражении для AQ2 по
формуле Остроградского (при этом мы предполагаем необходимую
26 Гл. 1. Введение
гладкость функций к(М) и u(M,t)), получим интегральное соотно-
соотношение баланса теплоты в виде
f c(M)p(M)[u(M,t + At)-u(M,t)]dV =
AV
t+At
= f f div[k(M)gY8Ldu(M,r)]dVdT+
t AV
t+At
+ / / f(M,T)dVdr. A.49)
t AV
Заменив выражение в квадратных скобках в левой части A.49) по
формуле конечных приращений, вычисляя интегралы по теореме
о среднем значении и переходя в полученном выражении к преде-
пределу при AV —У О, At —у О, получим дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет температура внутри тела D:
c(M)p(M)^ = div[k(M)gradu(M,t)] + /(М,?). A.50)
При этом, так же как и при выводе уравнения упругих колебаний
A.38), предполагаем, что неизвестная функция и(М, t) и коэффици-
коэффициенты уравнения A.50) обладают достаточной гладкостью.
Уравнение A.50) является уравнением в частных производных —
мы построили математическую модель изменения температуры
и в пространстве, и во времени. Стационарное распределение тем-
температуры под действием не зависящих от времени источников опи-
описывается уравнением
div[/c(M)gradu(M)] +/(M) = 0. A.51)
Это, вообще говоря, также уравнение в частных производных —
температура зависит от нескольких пространственных координат.
В частном случае, когда стационарное распределение температу-
температуры зависит только от одной пространственной координаты, напри-
например, в случае распределения температуры в стержне с продольной
осью ж, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
[k(x)ux(x)]x+f(x)=0. A.52)
Типичными задачами определения частных решений уравнения
A.52) так же, как и в случае уравнения A.39), являются краевые
задачи с заданными граничными условиями.
ГЛАВА 2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Элементарные методы интегрирования
Решение дифференциального уравнения, как правило, не удает-
удается выразить в виде элементарных функций или квадратур от них
и для получения частных решений приходится прибегать к раз-
различным численным методам, эффективность которых неизмеримо
возросла с появлением и развитием современных ЭВМ. Однако до
появления ЭВМ стремление «проинтегрировать дифференциальное
уравнение в квадратурах» определяло одно из основных направле-
направлений в исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений
и привело к появлению многочисленных справочников (см., напри-
например, [18]) по решению дифференциальных уравнений. В настоящем
параграфе мы кратко остановимся на некоторых простейших и наи-
наиболее распространенных в приложениях случаях, когда удается по-
получить решение уравнения первого порядка
& = П*,У) B-1)
в квадратурах. Во многих случаях переменные х и у в B.1) равно-
равноправны. Это дает основание наряду с уравнением B.1) рассматри-
рассматривать и уравнение
dx 1 /о о"\
dy~f(x,yy [Z-Z)
а также уравнение первого порядка, записанное в виде
/i(ж, у) dx + f2(x,y)dy = 0.
1. Уравнение с разделяющимися переменными. Так назы-
называется уравнение вида
dy_ _ h(x) {r> ^ч
dx ~ f2{x) l }
или
f1(x)dx + f2(y)dy = 0. B.4)
Предположим, что уравнение B.4) имеет решение в некоторой обла-
области D = {\х — хо\ ^ а, \у — Уо\ ^ Ь} плоскости (х,у). Функции fi(x)
и /2B/) определены и непрерывны соответственно на \х — xq\ ^ a
28 Гл. 2. Общая теория
и 12/ — 2/о| ^ Ь. Подставив это решение в B.4), получим тождество,
интегрируя которое, будем иметь
f Л (х) dx + ff2 (у) dy = const. B.5)
Неопределенные интегралы в B.5) носят название квадратур, от-
откуда и возник термин «интегрирование уравнения в квадратурах».
Выражение B.5) можно переписать в виде
Ф(х,у) = С. B.6)
Это означает, что функция Ф(х,у) сохраняет постоянные значения
на решениях уравнения B.4) (различным решениям отвечают раз-
различные постоянные).
При каждом фиксированном значении С выражение B.6) опреде-
определяет некоторое частное решение у = у{х) уравнения B.4) как неяв-
неявную функцию переменного х. Если же С рассматривать как пара-
параметр, то выражение B.6) определяет семейство решений у = у(х, С).
Выражение B.6) называется интегралом соответствующего диффе-
дифференциального уравнения. Если выражение B.6) или, в более общем
случае, выражение вида Ф(х,у,С) = 0, в котором С рассматривает-
рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствую-
соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение называется
общим интегралом данного дифференциального уравнения, а по-
полученное из него выражение у = у(х,С), содержащее все решения
данного уравнения, называется общим решением данного диффе-
дифференциального уравнения.
Выражение B.5), очевидно, является общим интегралом уравне-
уравнения B.4).
Чтобы выделить частное решение уравнения B.4), определяемое
начальным условием
у(х0) = 2/о, B.7)
достаточно в выражении общего интеграла B.5), записанного в виде
/ h(x)dx+ ] f2{y)dy = Cu
хо уо
определить постоянную С\. Требование удовлетворения начально-
начальному условию дает С\ — 0, откуда искомое частное решение в неявной
форме определяется интегралом
/ h(x)dx+ I f2(y)dy = 0. B.8)
хо уо
§ 1. Элементарные методы интегрирования 29
Легко видеть, что ряд уравнений может быть приведен к уравне-
уравнению с разделяющимися переменными B.4). Так, уравнение
fi(x)gi(y) dx + f2(x)g2(y) dy = O B.9)
после деления на gi(y)f2(x) приводится к требуемому виду. Надо
иметь в виду, что при этом могут быть потеряны частные решения,
обращающие в нуль произведение gi(y)f2(x).
Пример 2.1. Простейшим уравнением с разделяющимися пере-
переменными является уравнение
Ш = Я*)- B-Ю)
Его общий интеграл имеет вид
y-ff(x)dx = C, B.11)
а частное решение, удовлетворяющее начальному условию B.7), —
у= f f(x)dx + y0. B.12)
Хо
В случае уравнения B.10) с постоянной правой частью
получим частное решение, удовлетворяющее начальному условию
B.7), в виде
у = а(х-хо) +уо- B.14)
Пример 2.2.
Сделаем замену искомой переменной, положив z — у/х. Так как при
этом у = xz, -г- = ж4^+2:, то уравнение B.15) переходит в уравнение
xdz + [z-f(z)]dx = 0 B.16)
вида B.9).
К виду B.9) приводится и уравнение
g = f(ax + by), B.17)
30 Гл. 2. Общая теория
где а и Ъ — постоянные. Введем новую искомую переменную z =
= ах + by. Тогда
ах ах
и уравнение B.17) переходит в уравнение
dz-[a + bf(z)]dx = O. B.18)
Рассмотрим теперь уравнение
М(ж, у) dx + N(x, у) dy = 0, B.19)
где М(х,у) и N(x,y) — однородные функции переменных ж, у одной
степени. Функция f(x,y) называется однородной функцией перемен-
переменных х, у степени к, если имеет место соотношение
f(tx,ty)=tkf(x,y). B.20)
Заметим, что /(^) является однородной функцией нулевой степени.
Записав уравнение B.19) в виде
dy _ М{х,у) { ,
dx~ N{x,y)> l }
мы видим, что при сделанных предположениях относительно функ-
функций М(х,у) и N(x,y) правая часть B.21) является однородной
функцией нулевой степени и, следовательно, с помощью замены
z = у/х, так же как в примере 2.2, уравнение B.19) приводится
к уравнению типа B.9).
2. Линейное уравнение первого порядка. Уравнение на-
называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной
функции и ее производных. Линейное уравнение первого порядка
имеет вид
%+p{x)y{x) = f{x). B.22)
Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным. Как легко
видеть, линейное однородное уравнение
^+р(х)у(х)=0 B.23)
приводится к уравнению с разделяющимися переменными
§ 1. Элементарные методы интегрирования 31
общий интеграл которого имеет вид
ln\y\ + fp(x)dx = Cu B.24)
а общее решение —
B.25)
где С ф 0. Очевидно, что частное решение у{х) = 0 уравнения B.23),
которое мы потеряли, разделив B.22) на у, содержится в формуле
B.25) при G = 0. Поэтому B.25), где С — теперь уже любое веще-
вещественное число, является общим решением уравнения B.23).
Из B.25), записывая первообразную Гр(х) dx в виде определенно-
определенного интеграла f p(x) dx, получим частное решение уравнения B.23),
хо
удовлетворяющее начальному условию у(хо) = у о в виде
X
- f p(x) dx
У = Уое *° . B.26)
Заметим, что по самому способу построения формула B.26) явля-
является доказательством единственности решения начальной задачи
для уравнения B.23) в предположении, что это решение суще-
существует. Действительно, подставляя любое решение начальной за-
задачи в уравнение B.23) и проводя последовательно преобразования
B.24)-B.2б), мы всегда придем к одному и тому же результату —
формуле B.26). Чтобы доказать существование решения данной за-
задачи, достаточно путем непосредственной проверки убедиться, что
для непрерывной функции р(х) функция у(х), определенная фор-
формулой B.26), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для
уравнения B.23). Очевидно, подобные рассуждения можно прове-
провести и в случае начальной задачи для уравнений с разделяющимися
переменными, рассмотренных в п. 1 настоящего параграфа.
Решение линейного неоднородного уравнения B.22) найдем мето-
методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы исполь-
используем специальную замену неизвестной функции
y(x) = C(x)e-fp(x)dx, B.27)
где С(х) — функция, подлежащая определению. Подставляя реше-
решения такого вида в уравнение, получим
dCe-fP(x) dx _ C(x)p(x)e-fp^ dx + p(x)C(x)e- ^(ж) dx = f(x),
откуда
32 Гл. 2. Общая теория
Интегрируя это
и, окончательно
у(х) = d
равенство,
С(х) =
е- f p(x) dx _
найдем
) dx f /(ж)е^(ж) dxdx. B.28)
Из полученного выражения следует, что общее решение линейно-
линейного неоднородного уравнения B.22) представляется в виде суммы об-
общего решения B.25) линейного однородного уравнения B.23) и част-
частного решения неоднородного уравнения B.22), в чем легко убедить-
убедиться, подставив второе слагаемое формулы B.28) в неоднородное урав-
уравнение B.22).
Решение начальной задачи у(хо) = у о для уравнения B.22) най-
найдем, определяя из начального условия постоянную С\ в форму-
формуле B.28). При этом в качестве первообразных функций, записанных
в B.28) в виде неопределенных интегралов, удобно взять определен-
определение
ные интегралы Г . Тогда С\ = уо и
хх
- S p@ di - f
у(х) = уое ж° + е *°
то есть,
у(х)=уое *» + / е * /(?)#. B.29)
Хо
Таким образом, искомое решение определяется как сумма реше-
решения однородного уравнения B.23), удовлетворяющего заданному на-
начальному условию у(хо) = уо, и решения неоднородного уравнения,
удовлетворяющего нулевому начальному условию.
Представление B.29) получено в предположении существования
решения. Оно доказывает единственность решения начальной зада-
задачи для неоднородного уравнения B.22).
Существование решения начальной задачи для уравнения B.22)
при непрерывных функциях р{х) и /(ж) устанавливается непосред-
непосредственно подстановкой формулы B.29) в уравнение и начальное усло-
условие.
Замечание. Единственность решения этой задачи можно уста-
установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерны-
характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два
§ 1. Элементарные методы интегрирования 33
различных решения начальной задачи у\ (х) и г/2 (х). Рассмотрим их
разность z(x) = yi(х) — 2/2(ж). Очевидно, функция z(x) является ре-
решением начальной задачи для соответствующего однородного урав-
уравнения с нулевым начальным условием
&+p(x)z(x)=0, z(xo)=0.
Отсюда в силу единственности решения начальной задачи для ли-
линейного однородного уравнения следует, что z(x) = 0.
Получим важную оценку роста решения начальной задачи для
линейного уравнения. Пусть в уравнении B.22) функции р(х) и f(x)
на рассматриваемом промежутке изменения независимой перемен-
переменной удовлетворяют условиям
\р(х)\^К, \f(x)\^M. B.30)
Тогда для решения начальной задачи из представления B.29) для
х ^ хо следует оценка
\у(х)\ <С \уо\ек^х-хо) + М(е*(*-*о) _ гу B.31)
В заключение этого пункта укажем некоторые часто встречаю-
встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими под-
подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.
Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли
где п ф 1, иначе уравнение уже линейное. Введем новую неизвест-
неизвестную функцию z — у1~п'. Тогда уравнение перейдет в линейное урав-
уравнение
общее решение которого дается формулой B.29).
Более сложное уравнение Риккати
^+p(x)y(x)+q(x)y2(x) = f(x)
в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обла-
обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо част-
частное решение у = у\ (х) уравнения Риккати, то нахождение его общего
решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно,
введя новую неизвестную функцию
z(x) =y(x) -yi(x),
получим для нее уравнение Бернулли
g + [р(х) + 2q(x)yi(x)]z(x) + q(x)z2(x) = 0,
что и доказывает высказанное утверждение.
3. Лемма о дифференциальных неравенствах. В дальней-
дальнейшем будет использовано следующее утверждение.
34 Гл. 2. Общая теория
Лемма 2.1 (лемма о дифференциальных неравенствах). Пусть
функция z{x) непрерывна и имеет при х Е [жо,Х] кусочно непре-
непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству
dz <c N\y\ -\- п (9 49"i
ax ^ ' ' ' v J
где TV ^ 0, a ^ 0 — положительные постоянные. (В точках раз-
разрыва производной неравенству B.32) удовлетворяют ее предельные
значения.) Тогда имеет место оценка
z(x)\^s(x), xe(xo,X], B.33)
где s(x) — решение начальной задачи для линейного дифференци-
дифференциального уравнения
^- = Ns + a, s(xo) — Ь^ \z{xo)\ ^ 0. B.34)
Доказательство этой леммы проводится аналогично дока-
доказательству теоремы Чаплыгина. Рассмотрим функцию s(x), являю-
являющуюся решением начальной задачи
j^- = N1+ а, ?(ж0) = Ъ,
где TV>TV, a > a, 6 > 6, а в остальном TV, cT, b — произвольные чи-
числа. Заметим, что 3"(ж) > 0. Так как 4^-(жо) < 4^-(жо), то в некоторой
окрестности правее точки хо имеет место неравенство z(x) < 3"(ж).
Пусть х — х\ > хо — наименьшее значение ж, при котором это не-
неравенство нарушается, т.е. z(x±) = ?(xi). Но тогда
Ф-(х±) ^ ^г-{х\) = TV?(xi) + a = Nz(xi) + а,
что противоречит B.32). (Если х\ — точка разрыва производной, то
вместо ^ в неравенство входит левая производная от z в точке х\.)
Аналогично из неравенства Ф-(хо) > —Ф-(хо) следует, что в окрест-
окрестности хо имеет место неравенство z(x) > — 3"(ж), и первое нарушение
этого неравенства при х = х<± > жо, т. е. равенство z(x2) = ^(^2),
приводит к тому, что 4^(ж2) ^ —^г(х2)ч а отсюда опять следует
противоречие с B.32).
Таким образом, справедлива оценка
\z{x)\ < s(x) = Ъе +
§ 2. Теоремы существования и единственности 35
(для 3"(ж) здесь выписано явное выражение, найденное, например,
по формуле B.29)). Так как N = N + s\, a = a + S2, b = Ь + е% (ei > О,
i = 1,2,3), то, переходя в последнем неравенстве к пределу Si —У О,
получим оценку
\z(x)\ ( ) (),
где s(x) — решение начальной задачи B.34). Лемма доказана.
Функцию s(x) запишем также в удобном для дальнейшего виде
s(x) = bs1(x) + as2(x), B.35)
где
Sl(x) =eN(x~x^ B.36)
s2(x) = ±{eN(x-x°)-l). B.37)
Замечание. Оценку B.31) легко получить из доказанной
леммы.
§ 2. Теоремы существования и единственности решения
начальной задачи для одного уравнения первого
порядка, разрешенного относительно производной.
Алгоритм ломаных Эйлера
В предыдущем параграфе с помощью явных формул было до-
доказано существование и единственность решения начальной задачи
для линейного уравнения B.22). Перейдем теперь к рассмотрению
соответствующих теорем для начальной задачи (задачи Коши)
^ = f(x,y), у(хо)=уо, B.38)
при достаточно общих условиях, наложенных на функцию f(x,y).
При этом доказательство опять будет проведено конструктивным
путем — одновременно с доказательством теоремы существования
решения задачи B.38) будет дан алгоритм построения функции у(х),
сколь угодно точно аппроксимирующей решение исходной задачи.
Идея этого метода принадлежит Эйлеру. Метод состоит в том, что
интегральная кривая, являющаяся решением задачи B.38), последо-
последовательными шагами приближенно заменяется некоторой ломаной —
ломаной Эйлера.
36
Гл. 2. Общая теория
Пусть функция f(x,y) задана в области G плоскости (х,у). По-
Построим в этой области замкнутый прямоугольник D = {\х — хо\ ^ а,
\у — Уо\ ^ Ь} с центром в начальной точке (хо,уо) и поставим своей
целью определение интегральной кривой у(х), выходящей из данной
начальной точки (жо,2/о) и иДУЩеи в сторону возрастающих х > xq.
Предположим, что в G функция f(x,y) непрерывна и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица по переменной у:
\f(x, У1) - f(x, у2)\ <С N\yi -y2\, B.39)
где N — постоянная, не зависящая ни от х, ни от i/. Заметим, что
из непрерывности функции f(x,y) в замкнутой области D следует
ее ограниченность в данной области:
\f(x,y)\^M, (x,y)€D. B.40)
Искомая интегральная кривая, если она существует, пересечет
либо вертикальную прямую х = хо + а, либо одну из горизонталь-
горизонтальных прямых у = у о + Ъ или у = у о — Ъ — границы области D. В по-
последнем случае абсцисса точки пересечения меньше жо + а и искомая
интегральная кривая определена не на всем отрезке хо ^ х ^ хо + а.
Однако из простых геометрических соображений ясно, что до точки
х° ~^~ М она не пеРесечет горизонтальной границы: случай Ь/М ^ а
представлен на рис. 3; случай b/М ^ а — на рис. 4; / — интеграль-
интегральная кривая, проходящая через точку (жо,2/о); ^ — прямые с тан-
тангенсом угла наклона, равным ±М. Поэтому в дальнейшем вместо
области D будем рассматривать прямоугольник Dn = {\х — xq\ ^ Н,
\у~Уо\^ Ь}, гДе н = min{a,
Хо
у.1
Рис. 3
Рис. 4
Перейдем теперь к построению ломаных Эйлера. Разобьем от-
отрезок [жо,Х], X = хо + Н, на п частей точками х = жо,жъЖ2,...
... ? хп = X. Обозначим Х{ — Х{—\ = hi и h = max{/if}. На первом ша-
шаге «заморозим» f(x,y) в точке (жо,2/о)? т* е* заменим правую часть
B.38) значением f(xo,yo)- Тогда получим уравнение с постоянной
правой частью
§о), B-41)
§ 2. Теоремы существования и единственности 37
интегральной кривой которого служит отрезок прямой
у(х) = уо + f(xo,yo)(x - х0), х е [хо,Х!]. B.42)
В точке х\ это решение принимает значение yi=yo+f(xo,yo)(xi — xo).
На втором шаге примем за новую начальную точку (xi,yi) и опять,
«заморозив» f(x,y) в этой точке, построим следующее прямолиней-
прямолинейное звено и т. д.
Полученная таким путем ломаная называется ломаной Эйлера.
Нетрудно видеть, что на отрезке [жо,Х] ломаная Эйлера не выйдет
из прямоугольника Dn. Действительно, из B.42) получим, что при
х Е [xo,xi] Функция у{х) удовлетворяет неравенству
\у(х) -Уо\^М(х- х0)
т.е. первое звено ломаной не выходит из DH. Поэтому
Тогда на следующем шаге х Е [жь^г] имеем
\у(%) ~ 2/о| ^ \у(х) ~ 2/i I + \yi ~ 2/о| =
= |/(жь2/1)|(ж-Ж1) + |2/i — 2/о| ^
^ М(х - хг) + М(хг - х0) = М(х - х0) ^ МН ^ Ь,
т.е. и второе звено ломаной Эйлера не выходит из DH. Продолжая
аналогично, получим, что и вся ломаная Эйлера не выходит из Dn.
При достаточно мелком шаге разбиения естественно считать ло-
ломаную Эйлера приближенной интегральной кривой. Таким образом,
мы получаем алгоритм построения приближенного решения началь-
начальной задачи.
Для обоснования описанного алгоритма достаточно доказать, что
последовательность ломаных Эйлера {у(п)(х)} ПРИ h ~> 0 сходится
и предельная функция у(х) является решением начальной задачи
B.38). Это одновременно является и доказательством теоремы су-
существования решения начальной задачи.
Определение. Непрерывная на отрезке [жо,Х] функция у{х)
с кусочно непрерывной производной -р, график которой целиком
лежит в DH, называется г -приближенным по невязке решением на-
начальной задачи B.38), если \у(хо) —уо\ ^?и при подстановке функ-
функции у(х) в уравнение B.38) последнее принимает вид
§ = Нх,у)+ф(х), B.43)
где невязка ф(х) удовлетворяет неравенству
sup \ф(х)\ ^е. B.44)
38 Гл. 2. Общая теория
Очевидно, точное решение начальной задачи, если оно существу-
существует, можно считать ^-приближенным по невязке решением при г = 0.
Пусть для любого е > 0 существуют ^-приближенные по невяз-
невязке решения начальной задачи B.38). Тогда имеет место следующая
лемма.
Лемма 2.2. Для любого сколь угодно малого е > 0 можно ука-
указать такое Е\ > 0, что все si -приближенные по невязке решения
задачи B.38) отличаются между собой на отрезке [хо,Х] не более,
чем на г.
Доказательство. Возьмем два произвольных е\-приближен-
е\-приближенных по невязке решения задачи B.38): у^(х) и уB)(х). Очевидно,
что
), B-45)
?уB)(х) = f(x,y{2)(x))+Mx), B.46)
где
B.47)
sup №i(a;)-^(a;)|<2ei. B.48)
хе[хо,х]
Обозначим
УB)(х)-у{1)(х)=г(х), B.49)
Мх)-Ф1(х)=ф). B.50)
Вычитая B.45) из B.46), получим
% = f(x,yB)(x)) - f(x,yA)(x)) + ф). B.51)
Так как щ^(х) и уB)(х) не выходят из прямоугольника DH, где
функция /(ж, у) удовлетворяет условию Липшица B.39), то из B.51)
получим дифференциальное неравенство
^\^N\z\+2?l. B.52)
В силу леммы 2.1 имеем
z(x)\ ^s(x), B.53)
где s(x) — решение начальной задачи
&=Ns + 2eu s(x0) = \z(xo)\. B.54)
§ 2. Теоремы существования и единственности 39
Воспользовавшись явным выражением функции s(x) B.35), полу-
получим
Так как на основании оценки B.47) имеем |г(жо)| ^ 2ei, то это не-
неравенство принимает вид
\z(x)\ = \уA){х)-уB)(х)\ sC 2?l[eN^-^ + i(e^-^) -1)]. B.55)
Отсюда
sup \у2(х) - yi(x)\ sC 2ei \eNH + jj{eNH - 1I = 2?lQ, B.56)
где П > 0 — не зависящая от г± постоянная. Выбирая г± < e/BQ),
мы и получим утверждение леммы.
Пусть {у(п)(х)} — некоторая последовательность ^-приближен-
^-приближенных по невязке решений, т. е.
sup \фп{х)\ ^ еп, \у(п)(хо) ~ 2/о| ^ ?п- B.57)
хе[хо,х]
Определение. Если Ишп^ж ?п = О, то последовательность
{У(п)(х)} назовем сходящейся по невязке.
Так как в оценке B.56) постоянная П не зависит от ж, то из лем-
леммы 2.2 следует, что сходящаяся по невязке последовательность схо-
сходится равномерно на [жо, X].
Имеет место следующая основная теорема.
Теорема 2.1. Пусть в начальной задаче
д| = /(ж, 2/), у(х0) = 2/о,
функция /(ж, у) в области D непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица по переменной у. Тогда последовательность У(п)(х), схо-
сходящаяся по невязке на отрезке [жо, X], сходится равномерно на этом
отрезке к функции у(х), являющейся решением начальной задачи.
Доказательство. Последовательность {у(п)(х)} в силу лем-
леммы 2.2 удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на
отрезке [жо,Х]. Тем самым существует функция у (ж), к которой по-
последовательность {у(п)(х)} сходится равномерно, и эта функция бу-
будет непрерывной, поскольку щп^ (ж) непрерывны.
40 Гл. 2. Общая теория
Подставим ?п-приближенное решение У(п)(х) в уравнение B.38)
и заменим получающееся при этом тождество эквивалентным инте-
интегральным соотношением (см. лемму 1.1)
Щп)(х) = ЩП)Ы + / [1(^У(п)@)+Фп@] <%. B.58)
х0
Так как \фп\ ^ еп и \щп)(х0) - Уо\ ^ ?п, то, переходя в B.58) к пре-
пределу при еп —> 0, получим
у(х) =уо+ f /(f,2/(O)df- B.59)
ж0
Из последнего тождества следует, что предельная функция у{х)
дифференцируема. Дифференцируя, находим
з| = /(я,2/). B.60)
Кроме того, у(хо) = уо. Таким образом, предельная функция по-
последовательности {у(п)(х)} является точным решением начальной
задачи B.38). Теорема доказана.
Для доказательства теоремы существования решения начальной
задачи B.38) нам теперь остается показать, что существует сходя-
сходящаяся по невязке последовательность гп-приближенных по невязке
решений этой задачи. Сейчас мы покажем, что построенные выше
ломаные Эйлера образуют такую последовательность.
Теорема 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то после-
последовательность ломаных Эйлера при h —> 0 сходится равномерно на
отрезке [хо,Х] к функции у(х), являющейся решением начальной
задачи.
Доказательство. Так как начальные значения ломаных Эй-
Эйлера 2/(п) (ж) по построению совпадают с уо, то достаточно убедиться
в том, что при h —У 0 невязки фп{х) равномерно на [хо, X] стремятся
к нулю.
Подставляя на произвольном шаге xs ^ x ^ xs+± в уравнение
B.38) ломаную Эйлера уп(х), для невязки фп{х) получим
Фп(х) = -^У(п){х) ~ /(х,щп)(х)) =
— J y^s ч У (n) y^sJJ J Vх, У (n) Vх// "> x ^- L S5xs+lJ. y^.yji-)
Поскольку \x-xs\ ^ h и щп)(х) = У(п)(хз) + (x - x8)f(x8,y(n)(x8)),
x G [xs,xs+i], то имеет место оценка
\У(п)(х)-У(п)(х8)\ ^Mh. B.62)
§ 2. Теоремы существования и единственности 41
В силу равномерной непрерывности функции f(x,y) отсюда и сле-
следует, что для любого сколь угодно малого г > 0 найдется такое
ho(e), что при h < ho(e)
sup \фп{х)\ ^ г, B.63)
хе[хо,х]
что и доказывает в силу теоремы 2.1 равномерную сходимость на
отрезке [хо, X] последовательности ломаных Эйлера при h —У О
к функции у (ж), являющейся решением начальной задачи. Теоре-
Теорема доказана.
Из доказанных теорем следует
Теорема 2.3 (теорема существования). Если функция f(x,y)
в области D непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по пе-
переменной у, то на отрезке [хо,Х] существует решение начальной
задачи.
При сделанных предположениях относительно функции f(x,y)
решение начальной задачи B.38) единственно. Имеет место
Теорема 2.4 (теорема единственности). При выполнении усло-
условий теоремы 2.3 начальная задача B.38) имеет на [xq, X] единствен-
единственное решение.
Эту теорему можно рассматривать как следствие леммы 2.2. Если
допустим, что имеются два точных решения задачи Коши, то их
начальные значения совпадают, а их невязки равны нулю. Поэтому
по лемме 2.2 эти решения полностью совпадают на отрезке [жо,Х].
Кроме введенного выше понятия ^-приближенного по невязке ре-
решения часто используется понятие решения, приближенного по от-
отклонению. Дадим его определение.
Определение. Ограниченная на [хо,X] функция у{х) назы-
называется г-приближенным по отклонению решением задачи Коши
B.38), если точное решение у(х) задачи Коши существует и
sup \y(x)-y(x)\^e. B.64)
хфо,Х]
Из предыдущих рассуждении вытекает, что из сходимости после-
последовательности решений, приближенных по невязке, следует и их
сходимость по отклонению.
Заметим, что обратное утверждение неверно: если отклонения
приближенных решений от точного стремятся к нулю, то сами ре-
решения могут при этом иметь сколь угодно большие невязки, более
того, решения, приближенные по отклонению, могут быть не диф-
дифференцируемы и даже не непрерывны.
42 Гл. 2. Общая теория
Замечания.
1. Метод ломаных Эйлера не только позволяет доказать суще-
существование решения рассмотренной начальной задачи, но и дает непо-
непосредственный алгоритм построения приближенного решения, сколь
угодно близко аппроксимирующего точное. Этот метод легко реа-
реализовать на ЭВМ. Поэтому он является одним из эффективных ме-
методов численного решения начальных задач. При его конкретной
реализации естественно возникают вопросы точности полученного
приближения и ряд специфических вычислительных аспектов об-
общей проблемы численных методов. Эти вопросы подробнее будут
рассмотрены в гл. 6.
2. Мы доказали существование и единственность решения у(х)
начальной задачи B.38) лишь на отрезке [жо,Х]. Пусть функция
f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица B.39) в ис-
исходной области G. Так как при х = X интегральная кривая не вы-
вышла из области G, то, взяв точку х = X, у = у(Х) за начальную,
можно, повторив проведенные выше рассуждения, продолжить ре-
решение на новый отрезок [X,Х\]. Можно показать, что, продолжая
этот процесс, удается построить интегральную кривую, сколь угод-
угодно близко подходящую к границе области G.
Мы рассмотрели алгоритм построения интегральной кривой у(х)
в сторону возрастающих х > xq. Очевидно, аналогичные рассужде-
рассуждения могут быть проведены и для построения интегральной кривой
в сторону убывающих х < xq. При этом соответствующий процесс
построения интегральной кривой можно опять продолжать до тех
пор, пока интегральная кривая не подойдет к границе области G.
3. Можно доказать существование решения начальной задачи
и при одном требовании непрерывности функции f(x,y) (теорема
Пеано). Однако одной непрерывности функции f(x,y) недостаточ-
недостаточно для единственности решения начальной задачи. Так, например,
задача
J = x/y, 1/@) = 0, B.65)
помимо тривиального решения у = 0 имеет еще решение
У = х2/4, B.66)
удовлетворяющее нулевому начальному условию. (Как легко ви-
видеть, правая часть уравнения B.65) в окрестности точки @, 0) имеет
неограниченную производную и не удовлетворяет условию Липши-
Липшица.)
4. Если через точку (жо,2/о) ПРОХ°ДИТ единственная интегральная
кривая, являющаяся решением задачи B.38) для данного диффе-
дифференциального уравнения, то точка (жо,2/о) называется обыкновенной
§ 3. Уравнение вида F(x,y,y') = О 43
точкой данного уравнения. Точка (ж, у) области G, не являющаяся
обыкновенной, называется особой точкой данного дифференциаль-
дифференциального уравнения. Через особую точку либо не проходит ни одной ин-
интегральной кривой, либо проходят по крайней мере две интеграль-
интегральные кривые (через особую точку может проходить и бесконечное
число интегральных кривых).
Если в окрестности точки (жо,2/о) выполнены условия теорем су-
существования и единственности, то точка (жо,2/о) будет обыкновен-
обыкновенной. При этом следует иметь в виду, что нарушение сформулирован-
сформулированных выше условий теорем существования и единственности решения
начальной задачи служит лишь необходимым, но не обязательно до-
достаточным условием того, что данная точка является особой. Поэто-
Поэтому для окончательного решения вопроса, является ли данная точка
особой, необходимо дополнительное исследование.
5. В начале § 1 гл. 2 указывалось, что во многих случаях следу-
следует наряду с уравнением B.1) рассматривать уравнение B.2). Если
при этом в точке (жо,2/о) для (^--О нарушаются условия теоремы 2.3
в результате обращения f(x,y) в бесконечность, то l/f(x,y) в этой
точке обращается в нуль и для уравнения 2.2 условия теоремы су-
существования и единственности выполнены. Таким образом, в этом
случае точка (жо,2/о) является обыкновенной, но проходящая через
нее интегральная кривая имеет вертикальную касательную.
6. Если функция f(x,y) является разрывной в области G, имею-
имеющей разрывы первого рода на прямых х — х^ — const (к = 1,2,..., JV),
то даже при условии, что f(x,y) удовлетворяет требованиям теоре-
теоремы 2.3 на участках своей непрерывности, в области G не существу-
существует обычного, так называемого «классического» решения начальной
задачи B.38). Однако, как нетрудно видеть, в этом случае можно
реализовать алгоритм последовательного построения ломаных Эй-
Эйлера {уп(х)}. Точки разрыва Xk мы каждый раз будем включать
в число точек разбиения отрезка [хо, X] и в качестве замороженного
значения функции f(x,y) на шаге, начинающемся в точке разрыва,
брать определенное, например, правое предельное значение функ-
функции f(x,y). При этом предельная функция у(х) последовательности
уп(х) при h —у 0, очевидно, окажется непрерывной с кусочно не-
непрерывной производной, имеющей разрывы первого рода в точках
х = Xk- При подстановке функции у{х) в исходное дифференци-
дифференциальное уравнение невязка на участках непрерывности f(x,y) равна
нулю. Эта предельная функция у(х) является обобщенным решени-
решением начальной задачи B.38) на отрезке [жо,Х], понятие о котором
было дано в § 1 гл 1.
44 Гл. 2. Общая теория
§ 3. Уравнение,
неразрешенное относительно производной
1. Теорема существования и единственности решения.
Перейдем теперь к рассмотрению дифференциального уравнения
первого порядка общего вида
F(x,y,y') = 0 B.67)
и выясним достаточные условия существования решений этого урав-
уравнения. Функция F в области своего определения задает соотношение
между неизвестной функцией у, ее производной у' = -Л- и независи-
независимой переменной ж. Если это соотношение удается разрешить относи-
относительно производной у'', то получаем одно или несколько дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно
производной
y' = fk(x,y) (к = 1,2,...). B.68)
Пусть функции fk(%,y) в окрестности точки (жо,2/о) плоскости
(ж, у) удовлетворяют условиям теорем существования и единствен-
единственности решения начальной задачи Коши для уравнения первого по-
порядка, разрешенного относительно производной. Тогда через точку
(жо, у о) проходит по одной и только одной интегральной кривой у^ (ж)
каждого из этих уравнений (к = 1,2,...). Все эти интегральные кри-
кривые являются решениями исходного дифференциального уравнения
B.67) (при подстановке в уравнение B.67) функции yk(x) обращают
его в тождество). Направление вектора касательной к интегральной
кривой ук(х) уравнения B.68) в точке (жо, у о) определяется значени-
значением функции fk(xo,yo). Если эти значения различны, то через точку
(жо,2/о) ПРОХ°ДИТ несколько интегральных кривых уравнения B.67)
(столько, каково число уравнений B.68), полученных при разреше-
разрешении уравнения B.67) относительно производной), но направления
векторов касательных к этим кривым в точке (жо?2/о) Различны.
Поэтому, чтобы выделить определенное решение уравнения B.67),
надо не только задать начальные данные — значение решения у(х)
в точке жо, т. е.
у(хо)=Уо, B.69)
но и значение производной решения в этой точке у'(хо) = у'о. Оче-
Очевидно, это значение не может быть задано произвольно: у'о должно
быть корнем уравнения
F(xo,yo,y')=0. B.70)
§ 3. Уравнение вида F(x,y,y') = О 45
Итак, существование решения уравнения B.67) связано с возмож-
возможностью разрешить его относительно у' и существованием решений
уравнений B.68). Тем самым достаточные условия разрешимости
уравнения B.67) определяются известными из курса анализа усло-
условиями существования неявной функции и ее непрерывности вместе
с производной.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.5 (существования и единственности). Если в неко-
некотором замкнутом трехмерном прямоугольнике D с центром в точке
(хо ? 2/о ? 2/о) ? гДе У о — действительный корень уравнения F(xo ,уо,у') =
=0, выполнены условия:
а) F(x,y,y') непрерывна по совокупности аргументов вместе с ча-
dF OF
стными производными 7т- и Try,
иу оу
б) ^(хо,уо,Уо)ф0,
то в окрестности точки х = хо существует решение у = у{х) уравне-
уравнения B.67), удовлетворяющее условиям
у(х0) = 2/о, у'Ы) = 2/о, B.71)
причем это решение единственно.
Доказательство. В силу условий а) и б) теоремы в окрест-
окрестности точки (хо,уо,у'о) выполнены условия существования и един-
единственности неявной функции
У' = f(x, У), B-72)
удовлетворяющей условию
2/о = /(яо,2/о), B.73)
причем найдется такой замкнутый прямоугольник D^ с центром
в точке (жо, 2/о)? в котором функция f(x,y) непрерывна вместе с про-
производной -J-, вычисляемой по правилу дифференцирования неявной
функции
дУ щг(х,у,Нх,у))'
Но это означает, что начальная задача у(хо) = у о для уравнения
B.72) имеет, и притом единственное, решение на отрезке
\х-х0 ^Я, B.75)
46 Гл. 2. Общая теория
так как выполнены все условия теорем существования и единствен-
единственности 2.3 и 2.4. Теорема 2.5 доказана.
Если интегральные кривые уравнений B.68), пересекающиеся
в точке (жо,2/о)? имеют общую касательную в этой точке, направле-
направление которой определяется значением ?/q, то в этой точке, очевидно,
будут нарушены сформулированные выше условия единственности
решения уравнения B.67) относительно у1.
Пример 2.3. Рассмотрим уравнение
(у1J - Bх + у)у' + 2ху = 0. B.76)
Разрешая его относительно производной у', получим два уравнения
первого порядка, разрешенные относительно производной:
У' = У, B-77)
у' = 2х, B.78)
правые части которых удовлетворяют условиям теорем 2.3 и 2.4
существования и единственности решения начальной задачи в лю-
любой точке плоскости (х,у). Общие решения уравнений B.77) и B.78)
имеют вид
у = dex B.79)
У = х2 + С2, B.80)
где постоянные С\ и С2 определяются из начальных условий. Как
легко видеть, через любую точку плоскости (ж, у) проходят как ин-
интегральная кривая семейства B.79), так и интегральная кривая се-
семейства B.80), причем в точках прямой у = 2х кривые этих се-
семейств имеют общую касательную у'(хо) = 2жо, что представлено
на рис. 5: 1 — кривая у = х2, 2 — кривая у = х2 + 1, 3 — кри-
кривая у = B/е)еж, 4 — кривая у = B/еJеж, 5 — прямая у = 2х.
Заметим, что в точке @, 0) интегральная кривая у = х2 касается
прямой у = 0, являющейся частным решением уравнения B.77), ко-
которое может быть получено из формулы B.79) при С\ — 0. Эта же
интегральная кривая у — х2 пересекается в точке х — 2, у — 4
с интегральной кривой у = B/еJех семейства B.79), причем в этой
точке обе кривые имеют общую касательную у' = 4. Прямая у = 2х
представляет собой геометрическое место точек, в которых нару-
нарушены условия единственности решения уравнения B.76), так как
в этих точках не выполнено условие б), поскольку ^-j\y=2x = 0.
3. Уравнение вида F(x,y,y') = 0
47
Рис. 5
2. Интегрирование уравнения, неразрешенного относи-
относительно производной, путем введения параметра. Доказанная
в предыдущем пункте теорема 2.5 гарантирует при выполнении
определенных условий возможность сведения исходного уравнения
B.67) к уравнению B.68) и разрешимость последнего. Однако прак-
практическая реализация этой возможности и последующее интегриро-
интегрирование полученного уравнения B.72) часто вызывают значительные
трудности. Поэтому в ряде случаев представляются более удобными
другие способы интегрирования уравнения B.67). Начнем со случая,
когда уравнение B.67) легко можно разрешить относительно самой
неизвестной функции
y(x) = f(x, у'). B.81)
Для дальнейшего удобно ввести обозначение у' = р и переписать
B.81) в виде
y(x)=f(x,p(x)). B.82)
Предполагая существование решения у(х) исходного уравнения
B.67), мы можем продифференцировать соотношение B.82) по не-
независимой переменной х. Тогда получим
_ _ , . B.83)
Полученное соотношение представляет собой дифференциальное
уравнение первого порядка, разрешенное относительно -J-. Общее
48 Гл. 2. Общая теория
решение B.83) можно записать в виде однопараметрического семей-
семейства
р(х)=<р(х,С). B.84)
Отсюда, используя B.82), получим семейство решений исходного
уравнения B.67) в виде
y = f(x,<p(x,C)) B.85)
и для решения начальной задачи остается определить значение по-
постоянной С из начальных условий.
Пример 2.4. Рассмотрим уравнение
(у1J -ху'+у = 0. B.86)
Очевидно, это уравнение легко переписать в виде B.82):
у = хр-р2, B.87)
откуда р = р + (х - 2р)-j-, т.е.
(х-2р)& = 0. B.88)
Уравнение B.88) имеет семейство решений
р(х) = С B.89)
и, кроме того, решение
р(х) = ж/2. B.90)
Отсюда, учитывая B.87), получим решения исходного уравнения
B.86) в виде
у(х) = Сх-С2 B.91)
у(х) = х2/4. B.92)
Легко проверить, что через точку (жо,2/о)? пРинаДлежапгУю области
существования решения уравнения B.86), проходят две различные
интегральные кривые B.91), соответствующие двум значениям по-
постоянной С (рис. 6):
Для выделения единственного решения начальной задачи, прохо-
проходящего через точку (жо,2/о)? Д°лжн0 быть еще задано значение
3. Уравнение вида F(x,y,y') = 0
49
Рис. 6
у'(хо) = г/о, определяющее направление касательной к интеграль-
интегральной кривой в этой точке. Нетрудно также усмотреть, что решение
B.92) уравнения B.86) обладает тем свойством, что кривая у = ж2/4
в каждой своей точке касается какой-либо кривой B.91). Это озна-
означает, что кривая у = ж2/4 представляет собой геометрическое место
точек, через которое проходят два решения уравнения B.86), имею-
имеющие общую касательную в этой точке. В точках кривой у = ж2/4
нарушается условие б) теоремы 2.5:
ду'
= 2у' - х\у=х2/4 = 0.
B.94)
Тем самым решение у = ж2/4 оказывается в определенном смысле
особым решением уравнения B.86).
Прежде чем переходить к рассмотрению общего случая, отметим,
что поскольку в исходном уравнении B.67) переменные ж и у равно-
равноправны, то проведенные выше рассмотрения сохраняют силу и в том
случае, когда исходное уравнение легко разрешить относительно не-
независимой переменной ж. Например, это имеет место в случае так
называемого уравнения Лагранжа
уФ(у') =
B.95)
линейного относительно переменных хну. Частным случаем урав-
уравнения Лагранжа и является уравнение, рассмотренное в приме-
примере 2.4.
Перейдем теперь к изложению общего метода интегрирования
уравнения первого порядка B.67), неразрешенного относительно
50 Гл. 2. Общая теория
производной, путем введения параметра. Обозначив у' = р, запи-
запишем уравнение B.67) в виде
F(x,y,p) = 0. B.96)
Уравнение B.96) определяет некоторую поверхность в трехмерном
пространстве (х,у,р). Как известно, путем введения двух парамет-
параметров и, v данная поверхность может быть задана в параметрическом
виде
х = Х(щ v), у = Y(u, v), p = P(u, v). B.97)
В нашем случае функции 1,У и F связаны соотношением B.96)
и соотношением dy = pdx. Из последнего соотношения получим
B.98)
Отсюда следует, что величины и и у не могут быть независимыми.
Пусть v = v(u). Тогда из B.98) получим, что связь параметров и
и v представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение
относительно функции v:
dv _ P
причем это уравнение — разрешенное относительно производной.
Семейство решений уравнения B.99) можно записать в виде
v = <p(u,C). B.100)
Тогда в силу B.97) получим семейство интегральных кривых урав-
уравнения B.67), записанное в параметрической форме:
х = Х(щ ф, С)), у = ?(щ ф, С)), B.101)
что и решает задачу интегрирования уравнения B.67).
Очевидно, что в том случае, когда исходное уравнение легко раз-
разрешить относительно переменной у (переменной х):
y = f(x,p), B.102)
в качестве параметров u,v в параметрическом представлении B.97)
следует выбирать оставшиеся переменные ж,р (или у,р)'.
х = ж, y = f(x,p), p = p. B.103)
Как легко проверить, получающееся при этом уравнение B.99) для
определения функции р(х) будет совпадать с уравнением B.83).
§ 3. Уравнение вида F(x,y,y') = О 51
3. Особые решения уравнения первого порядка, нераз-
неразрешенного относительно производной. В рассмотренном выше
примере 2.4 мы получили особое решение у = ж2/4 уравнения перво-
первого порядка, неразрешенного относительно производной B.86), обла-
обладающее тем свойством, что во всех его точках нарушена единствен-
единственность решения начальной задачи Коши. Рассмотрим теперь в общем
случае условия существования особого решения.
Множество точек (ж, у), в которых нарушается единственность ре-
решения уравнения B.67), будем называть особым множеством этого
уравнения. Ясно, что в точках особого множества не выполнено по
крайней мере одно из условий теоремы 2.5. Чаще всего нарушается
условие б), т.е. —j = 0. Тогда при выполнении в точках особого
ду
множества условия а) и нарушении условия б) в этих точках одно-
одновременно имеют место соотношения
F(x,y,p)=0, ^(x,y,p)=0. B.104)
Исключив р из соотношений B.104), получим неявное уравнение так
называемой р-дискриминантной кривой
Ф(ж,2/) = 0. B.105)
Будем называть особым решением интегральную кривую, во всех
точках (ж, у) которой ^—г = 0. Если какая-либо из ветвей р-дискри-
ду
минантной кривой представляет собой интегральную кривую урав-
уравнения B.67), то она является его особым решением. Заметим, что
не обязательно всякая р-дискриминантаая кривая представляет со-
собой особое решение уравнения B.67), она может и не являться ин-
интегральной кривой этого уравнения. Так, например, как легко про-
проверить, в случае примера 2.3 р-дискриминантная кривая у = 2ж
уравнения B.76) не является интегральной кривой, а тем самым
и особым решением этого уравнения. Найденное в примере 2.4 особое
решение у = ж2/4 уравнения B.86) является его р-дискриминантной
кривой.
В тех случаях, если множество решений уравнения B.67) может
быть записано в виде однопараметрического семейства
Ф(х,у,С)=0, B.106)
в котором значения постоянной С определяют различные инте-
интегральные кривые, и семейство функций B.106) имеет огибающую
у = у (ж), то, очевидно, эта огибающая также является интегральной
52 Гл. 2. Общая теория
кривой уравнения B.67) и через каждую точку огибающей проходит
интегральная кривая семейства B.106), имеющая в этой точке об-
общую касательную с огибающей. Тем самым огибающая семейства
интегральных кривых B.106) представляет собой особое решение
уравнения B.67). Как известно, огибающая однопараметрического
семейства B.106) может быть найдена путем исключения параметра
С из соотношений
Ф(х,у,С)=0, Щ(х,у,С)=0. B.107)
Полученная при этом кривая Ф(ж,2/) = 0 называется С-дискри-
минантной кривой. Так, найденное в примере 2.4 особое реше-
решение у = ж2/4 уравнения B.86) является, как легко проверить, С-
дискриминантной кривой семейства решений B.91).
В заключение заметим, что система соотношений B.107) опреде-
определяет не только огибающую семейства B.106), но и множество крат-
Яф Яф
ных точек этого семейства, в которых частные производные ^- и Цр-
или не существуют, или одновременно обращаются в нуль. Поэтому
условием существования огибающей семейства B.106), а тем самым
и особого решения уравнения B.67), является существование огра-
Яф Яф
ничейных частных производных Цр- и Цр, удовлетворяющих уело-
Ох (Уу
вию
§ 4. Теоремы существования и единственности решения
нормальной системы
Основные идеи метода ломаных Эйлера могут быть использо-
использованы для конструктивного доказательства существования решения
не только в случае одного уравнения, разрешенного относительно
производной, но и в случае нормальной системы. Эти вопросы и со-
составляют основное содержание настоящего параграфа.
Итак, рассмотрим начальную задачу для нормальной системы
уравнений первого порядка
~Ж
B.109)
yi(o)Vi, ,,,
Пусть функции fi(t, у\,..., ут) определены в области D, предста-
представляющей собой (т + 1)-мерный параллелепипед
§ 4. Теоремы существования для системы 53
с центром в точке (to, 2/i ? • • • ?2/m)- Предположим, что в области D
функции fi(t,yi,... ,ут) непрерывны (и, следовательно, ограниче-
ограничены) и удовлетворяют условию Липшица по переменным у\,..., ут,
то есть,
1,..., ?/т)| ^ М,
причем постоянные М и TV не зависят от г.
Повторяя рассуждения, проведенные в случае одного уравнения,
легко установить, что искомая интегральная кривая (если она су-
существует) не выйдет из области D на отрезке [to, Т] изменения не-
независимой переменной t, где Т = to + Н, а значение Н определяется
как
тт • 1 mim bi\ /о 111 \
Н = mm | а, —д^ f • B.Ш)
Для построения ломаной Эйлера на отрезке [to,T] разобьем этот
отрезок на п частей точками деления to,ti,...,tn = Т и так же,
как и в § 2, обозначим ti — t«_i = hi, h = max^ hi. На первом шаге
«заморозим» функции /«(?, 2/i,..., 2/m) B точке (t0,2/?,..., ?/m) и, ин-
интегрируя полученные уравнения с постоянными правыми частями,
найдем значения функций iji(t) на отрезке [to,ti]:
Ш = У°г + fi(t, yl ¦ ¦ ¦, y°m)(t - to). B.112)
Найденные функции определяют в {тп-\- 1)-мерном пространстве пе-
переменных t, 2/i,..., уш на участке [to, ti] некоторый прямолинейный
отрезок, который является первым звеном ломаной Эйлера.
Значения функций у^ (t) в точке t = t± примем за новые начальные
значения и, повторяя вышеописанный алгоритм, получим ломаную
Эйлера на отрезке [to, T]. При помощи оценок, аналогичных оценкам
в случае одного уравнения, проведенным в § 2, можно доказать,
что построенная по данному алгоритму ломаная Эйлера на отрезке
[to,T] не выйдет из области D.
Введем понятие ^-приближенного по невязке решения начальной
задачи B.109), аналогичное соответствующему понятию для случая
одного уравнения.
Определение. Непрерывная на отрезке [to, Т] вектор-функция
y(t) = (?/i(t),... ,ym(t)) с кусочно непрерывными производными
54 Гл. 2. Общая теория
-тг, график которой целиком лежит в области D, называется е-
приближенным по невязке решением начальной задачи B.109), если
и при подстановке функций yi{t) в уравнения B.109) получим
Щ± = /(?,2/i,...,2/m) +^г(*), B.113)
где невязки фъ{Ь) удовлетворяют неравенству
max sup \ф{(?)\^е. B.114)
г te[to,T]
Чтобы доказать теорему существования, так же как и в случае од-
одного уравнения, докажем, что последовательность ломаных Эйлера
{y(n)(t)} при h —> 0 образует равномерно сходящуюся на отрезке
[to, T] последовательность гп-приближенных по невязке решений на-
начальной задачи, а предельная вектор-функция этой последователь-
последовательности y(t) удовлетворяет всем условиям исходной задачи B.109).
Это делается путем рассуждении, аналогичных проведенным в § 2.
Лемма 2.3. Для любого г > 0 можно указать такое г± > 0, что
все Е\-приближенные по невязке решения начальной задачи B.109)
различаются между собой на отрезке [to, T] не более, чем на г.
Доказательство. Возьмем два г±-приближенных по невязке
решения задачи B.109) yi(t) и y2{t)- Это значит, что
^B); = Ш)УBIт-">УB)т) +^B)г(*)> B.116)
где
max|^A)i(to) -?B)г(*о)| ^ 2гь B.117)
max sup |^A)г(*)-^B)г(*)| ^2ei. B.118)
г te[to,T]
Полагая
B.119)
B.120)
4. Теоремы существования для системы
55
и вычитая B.115) из B.116), получим
-Jf = /(^B)b---,^B)m) - f(t,y(l)l,...,y(l)m) +^г(*)- B.121)
Так как y(±)i(t) и y^)i(t) не выходят из области D, где функция
fi(t,yi,...,2/m) удовлетворяет условию Липшица B.110), то имеет
место оценка
, m
;j(t)\ +2ei. B.122)
dt
Введем функцию p{t) =
\
1 (t) и рассмотрим ее производную
dp _ \
~db ~ ~P
dzi
l~dt'
Тогда, учитывая, что \zi\ ^ /?, в силу оценки B.122) получим
Nm2p + 2m?1, B.123)
2J\ dt
г=1
то есть,
Nm2p
B.124)
В силу леммы 2.1 для р справедлива оценка
Pit) <, sit),
где s(i) — решение начальной задачи для линейного уравнения с по-
постоянными коэффициентами
| + 2теи s(t0) = p{h). B.125)
Согласно B.117) начальное значение s(to) удовлетворяет нера-
неравенству s(t0) = p(to) =
окончательно получим
2у/те\. Поэтому для p(t)
p(t)
2?l
д^(е^т - 1)] =
, B.126)
где постоянная П не зависит от е\. Очевидно, оценка B.126) справед-
справедлива и для \zi(t)\ (i = 1,... ,m). Выбирая s\ — e/BQ), мы и получим
утверждение леммы.
56 Гл. 2. Общая теория
Определение. Последовательность гп-приближенных по не-
невязке решений y(n)(t) назовем сходящейся по невязке, если еп —> 0.
Из доказанной леммы следует, что всякая последовательность
{y(n)(t)}i сходящаяся по невязке, является равномерно сходящейся
на отрезке [?о,Т].
Последующие теоремы доказываются полностью аналогично со-
соответствующим теоремам в случае одного уравнения.
Теорема 2.6. Пусть в начальной задаче
-fa = fi(t,yi,...,ym), Viih) = У®, i = l,...,m,
функции fi(t, уi,..., ym) в области D непрерывны и удовлетворяют
условию Липшица по переменным у\,..., уш. Тогда последователь-
последовательность {y(n)(t)}? сходящаяся по невязке на отрезке [to,T], сходится
равномерно на этом отрезке к функции y(i), являющейся решением
начальной задачи.
Теорема 2.7. Если выполнены условия теоремы 2.6, то после-
последовательность ломаных Эйлера при h —> 0 сходится равномерно на
отрезке [to, T] к функции y(t), являющейся решением начальной за-
задачи.
Отсюда следует
Теорема 2.8 (существования). Если функции fi(?,у\,...,уп)
(ъ = 1,..., т) в области D непрерывны и удовлетворяют условию
Липшица по переменным у\,..., уш, то на отрезке [to, Т] существует
решение начальной задачи.
Так же, как и в случае одного уравнения, имеет место
Теорема 2.9 (единственности). При выполнении условий тео-
теоремы 2.8 начальная задача B.109) имеет на [to,T] единственное ре-
решение.
Итак, теоремы существования и единственности решения началь-
начальной задачи для нормальной системы полностью доказаны. При этом
замечания, сделанные в § 2 по поводу теорем существования и един-
единственности решения начальной задачи для одного уравнения, оста-
остаются справедливыми и в случае нормальной системы.
В гл. 1 было показано, что уравнение n-го порядка A.6) эквива-
эквивалентно нормальной системе A.8). Отсюда следует, что если правая
часть уравнения A.6) — функция f(t,y,-^,..., n_f j — удовле-
удовлетворяет условиям теоремы 2.8, то решение начальной задачи для
A.6) существует и единственно.
4. Теоремы существования для системы
57
Особо следует подчеркнуть, что рассмотренный метод доказа-
доказательства теоремы существования с помощью ломаных Эйлера пред-
представляет собой теоретическую основу эффективных алгоритмов чис-
численного решения начальной задачи для достаточно сложных систем
дифференциальных уравнений, приведенных к нормальному виду.
В дальнейшем (в гл. 6) будут рассмотрены и другие, более совер-
совершенные в практическом отношении, алгоритмы численного реше-
решения дифференциальных уравнений (увеличивающие, например, бы-
быстроту сходимости приближений). Сейчас ограничимся примером
численного решения задачи для достаточно сложной нормальной
системы, которое практически осуществимо только при использо-
использовании современных ЭВМ.
Фотографирование
обратной стороны Луны
Рис. 7
Рассмотрим задачу о движении ракеты в межпланетном про-
пространстве, испытывающей тяготение со стороны Земли, Луны,
Солнца. Такая задача возникает при расчете полета ракеты к Луне.
Это движение описывается системой уравнений движения четырех
тел типа A.20), где Fi (i = 1,2,3,4) — равнодействующая сил нью-
ньютоновского притяжения, действующих на г-е тело со стороны всех
остальных, причем силами, действующими на небесные тела со сто-
стороны ракеты, можно, разумеется, пренебречь. Таким образом, при-
приходим к системе 12 уравнений второго порядка или к нормальной
58 Гл. 2. Общая теория
системе из 24-х уравнений с правыми частями, имеющими сложную
аналитическую структуру; формулы для правых частей мы здесь
не выписываем. Для применения алгоритма Эйлера и других чи-
численных алгоритмов достаточно иметь возможность вычислять пра-
правые части при различных положениях движущихся тел; при этом
конкретный вид аналитических формул для правых частей не име-
имеет значения для метода интегрирования.
На приведенном здесь рис. 7 изображена одна из проекций траек-
траектории движения автоматической межпланетной станции, запущен-
запущенной в СССР 4 октября 1959 г., с помощью которой впервые была
сфотографирована обратная сторона Луны.
§ 5. Зависимость решений
от начальных значений и параметров
В реальных задачах, связанных с решением дифференциальных
уравнений, начальные значения обычно известны лишь с некото-
некоторым приближением, так как они определяются экспериментально
или вычисляются, а это неизбежно связано с появлением погрешно-
погрешностей. Кроме того, в правые части уравнений могут входить какие-
либо параметры, характеризующие физическую природу изучаемой
системы (массы, заряды, упругие характеристики и т.п.), и значе-
значения данных параметров также определяются приближенно. В связи
с этим возникает вопрос о том, как изменяется решение начальной
задачи при небольших изменениях начальных значений и парамет-
параметров и зависит ли оно от этих величин непрерывно. Этот вопрос мы
и рассмотрим в данном параграфе. Заметим, что аналогичный во-
вопрос можно поставить и для неограниченного промежутка (?о,оо),
если решение на нем определено. Этот вопрос составляет содержа-
содержание так называемой теории устойчивости, которой посвящена спе-
специальная глава (гл. 5).
Будем рассматривать начальную задачу для нормальной системы
дифференциальных уравнений
^ = f(y,t,n), y = (yu...,ym), / = (/i,...,/m), B.127)
с начальными условиями
У (to) =2/о, 2/о = B/ю, - - -, 2/mo). B.128)
Здесь \i — (/ii, ...,/is) — вектор, описывающий параметры /ii, ...,/is,
входящие в правую часть системы.
§ 5. Зависимость решений от параметров 59
Нас интересует характер зависимости решения этой задачи от
2/1 о? • • • •> УтО и /ii,..., /is. Заметим, что исследование зависимости ре-
решения от начальных значений 2/кь • • • ? 2/тО можно свести к задаче
об изучении зависимости от параметров в правой части системы.
В самом деле, сделаем в B.127) замену
y = yo + z, ? = ?0 + т, B.129)
и запишем уравнение для новых неизвестных функций zf.
(p(z, г, д, yo,to) = f(Vo + ?, to + г, д).
При t = to новая переменная г = 0 и начальные значения для ^
теперь оказываются фиксированными:
z@) = у(«о) - Уо = 0. B.131)
Значения г/^о и ^о входят в правые части B.130) как параметры на-
наряду с параметрами /ii,...,/is. Задача сводится, таким образом,
к исследованию зависимости z\ от параметров у^, to- Имеет ме-
место и обратная редукция: изучение зависимости от параметра мож-
можно рассматривать как некоторый частный вид зависимости реше-
решений от начальных значений. В самом деле, поскольку параметры
/ii,...,/jls в B.127) фиксированы и принимают, например, значения
^?0 [k = l,...,s), то к уравнениям B.127) с начальными условия-
условиями B.128) можно добавить уравнения вида -4^- = 0 с начальными
условиями /JLk(to) = /ifco- Тогда получим новую систему
~^f = filfjtjfi)j -^ = 0, yi(to) = г/io5 l^kifo) — Цко- B.132)
Теперь вопрос о зависимости yi от /i/, сводится к исследованию зави-
зависимости решений задачи B.132) от начальных значений /iio, • • •, fiso-
Ниже мы исследуем зависимость решений от параметров, а за-
заключение о зависимости от начальных значений сделаем, исходя из
установленной эквивалентности.
Рассмотрим сначала скалярное уравнение
-j^ = f(y,t,/i) B.133)
со скалярным параметром \i и фиксированным начальным значе-
значением
J/(*o) = Уо- B.134)
60 Гл. 2. Общая теория
Пусть правая часть /(?/,t,/i) определена в параллелепипеде D =
— {\t — to\ ^ &5 \у — Уо\ ^ Ь, |/i — /io| ^ с}, непрерывна в D по
совокупности переменных и, кроме того, удовлетворяет в D условию
Липшица по у:
\f(yi,t,/л) - /B/2,t,M)K ЩУ1 -У2\, B.135)
где N — одна и та же постоянная для всех \i из отрезка \ц — /io | ^ с.
При каждом фиксированном /i согласно теореме существования
на отрезке [?0,?0 + ^1> где ^ = nrin{a,6/M}, М = sup^> \f(y,t,/i)|,
определена интегральная кривая, являющаяся решением началь-
начальной задачи B.133), B.134). Меняя /i, получим в силу независимости
констант М и N от /i, что на [to, to + i?] определено семейство инте-
интегральных кривых 2/(t,/i).
Будем исследовать зависимость y(t,/j,) от /i. Докажем справедли-
справедливость следующей теоремы.
Теорема 2.10. Пусть f(y,t,/a) определена и непрерывна в D
и удовлетворяет условию Липшица B.135) по переменному у. Тог-
Тогда решение y(t,/a) задачи B.133), B.134), определенное на отрезке
[to, to + Н], непрерывно по \± при любом \± из отрезка |/i — /хо| ^ с.
Доказательство. Теорема будет доказана, если убедимся,
что для любого е > 0 существует S(e) такое, что при \A/jl\ < S спра-
справедливо неравенство
\y(t,n + Afi)-y(t,n)\ <e B.136)
для любых /iH/i + A/i из отрезка \ц — /io| ^ с. Воспользуемся лем-
леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах. Имеем
j-ty(t, /1 + A/i) = /Q/(t, /i + A/i), t, /i + Ар), y(to,/i + A/i) = y0,
j-t
j-ty(t, fi) = /B/(t, /i), t, /i), 2/(t0, /i) = 2/o.
Вычитая одно соотношение из другого, получим для разности
),t,/i)], Ay\t=tQ=0. B.137)
В силу непрерывности /(?/, t, /i) по совокупности аргументов и в силу
того, что \y(t,/j) — 2/о| ^ Ь при \t — to| ^ Н, для любого ei > 0
существует Si(ei) такое, что если |Д/х| < ^i, то
§ 5. Зависимость решений от параметров 61
равномерно относительно t E [to, to + Н]. Пользуясь этим фактом
и условием Липшица, будем иметь
<ЩАу\+е!. B.138)
Поэтому согласно лемме 2.1 и формуле B.35) получим
при si < 62F), т.е. при \/л - /iO| < 61F2F)) = J(e).
Теорема доказана.
Замечания.
1. Из процесса доказательства нетрудно видеть, что неравенство
B.136) выполняется равномерно относительно t для \t — to| ^ Н,
т.е. функция y(t,fi) непрерывна по \± равномерно относительно t;
другими словами, при достаточно малом изменении параметра раз-
различие двух интегральных кривых будет равномерно малым на всем
исследуемом отрезке [to, to + H].
2. Пользуясь доказанной теоремой и теоремой анализа*), нетруд-
нетрудно получить утверждение о непрерывности y(t,/a) по совокупности
переменных t,/i при \t — to| ^ H, |/i — /io| ^ с. В самом деле, непре-
непрерывность у по /i, равномерная относительно t, только что доказана,
а непрерывность у по t, равномерная относительно /i, сразу следует
из того, что
= |/| ^ М.
3. Если \i является векторной величиной, f(y,t,/i) определена
и непрерывна по совокупности переменных в
D = {\t — to| ^ а, \у — 2/о| ^ ^5 |/^/г ~ /^^1 ^ ск}
Теорема. Пусть при а е А, C е В задана функция у (а, C) и пусть
у(а,/3) непрерывна при любом а Е А равномерно относительно C Е В и не-
непрерывна при любом 13 Е В равномерно относительно а Е А. Тогда у (а, C)
непрерывна по совокупности аргументов а, C при а Е А, C Е 5.
Доказательство. Рассмотрим разность А?/ = ?/(« + Аа, /5 + А/5) — у(а,/3).
Имеем
|Дз/| ^ |2/(« + Аа,/5 + А/5) - у(а,Р + А/5)| + |у(«,/5 + А/5) - ?/(а,/5)|.
Для любого е > 0 первое слагаемое справа меньше е/2 при |Аа| < Si(e) и любом
/5 + А/5 Е 5, а второе меньше е/2 при |А/5| < ^(^) и любом a G А, и, таким
образом, \Ау\ < е при |Аа| < 6i(e), |A/5| < 62(е).
62 Гл. 2. Общая теория
и удовлетворяет в D условию Липшица по у с постоянной JV, не за-
зависящей от /i, то доказанную теорему можно применить, подразуме-
подразумевая под \i одну из компонент \i. Неравенство B.136) означает непре-
непрерывность у по этой компоненте, равномерную относительно t и дру-
других компонент /i, а тогда y(t,[i) согласно замечанию 2 является не-
непрерывной функцией по совокупности аргументов t, /ii,..., fis.
Остановимся теперь на исследовании зависимости решения от па-
параметра уо. Пусть этот параметр меняется на отрезке \уо — у$\ ^ А.
Пусть f(y,t) определена и непрерывна в D = {\t — to|^а, 12/ — 2/о I ^ ^}-
Тогда из геометрических соображений очевидно, что семейство ин-
интегральных кривых y(t,yo) существует на отрезке [to,to + Я], где
Я=шт{а, (Ь — А)/М}, М = sup^ |/|. Сведем эту задачу указанным
выше способом к уже рассмотренной задаче о зависимости решения
от \i (вводя z — у — у о и полагая у о = /i). Получим тогда как след-
следствие теоремы 2.10, что функция y(t,yo), определенная на [to, to+Я],
непрерывна по у о при любом у о из промежутка \уо — у$\ ^ А.
Точно так же можно рассмотреть зависимость решения от пара-
параметра to, который меняется на отрезке |to — tg| ^ ?, и получить,
что y(t, t0), определенная на отрезке [^, t^ + Я], где Н = min{a - 5,
jj — 5} непрерывна по to при |to — tg| ^ 5.
Если у является векторной величиной, то справедливы аналогич-
аналогичные результаты, которые могут быть доказаны, если воспользовать-
воспользоваться той же леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах и сообра-
соображениями, имевшими место при доказательстве теоремы существо-
существования для системы уравнений.
Синтезируя все сказанное, приходим к следующему утверждению
для общего случая B.127), B.128).
Пусть to, 2/io являются параметрами, меняющимися в области
|to — tg| ^ S, \yio — y%\ ^ Дг? & входящий в систему вектор-параметр \i
меняется в области |/i& — /j^\ ^ c&. Пусть правые части системы
B.127) непрерывны по совокупности аргументов в параллелепипеде
D = {\t-t%\^a, ^-у%\<:Ьи \»k - l4\ <: О*} B.140)
и удовлетворяют в D условию Липшица по у\,..., уш.
Тогда функции yi(t, t0, 2/ю, • • •, УтО, /ii,..., /is), определенные на
отрезке [tg, tg + Я], где
= mm{a-6;
и являющиеся решением задачи B.127), B.128), непрерывны по со-
совокупности аргументов при
§ 5. Зависимость решений от параметров 63
Свойство непрерывности по параметрам имеет существенное зна-
значение для возможности использования начальной задачи B.127),
B.128) в качестве математической модели многих естественно-на-
естественно-научных задач. Действительно, как уже отмечалось, на практике на-
начальные данные и параметры, входящие в правые части уравнений,
как правило, заданы не точно, а лишь с некоторым приближением.
Однако в силу теоремы о непрерывной зависимости от параметров
малое изменение начальных данных и правых частей уравнений си-
системы приводит соответственно к малым изменениям решения. Это
и оправдывает использование полученных решений задачи B.127),
B.128) для интерпретации того реального процесса, математической
моделью которого служит данная система.
Перейдем к исследованию возможности дифференцирования ре-
решений по параметрам и начальным значениям. Рассмотрим этот во-
вопрос опять-таки для скалярного уравнения и скалярного парамет-
параметра \i. Дополнительно к условиям теоремы 2.10 потребуем, чтобы
/(?/,?,//) в области D обладала непрерывными частными производ-
производными fy(y,t,v) и /M(^/,t,/i).
Если бы решение y(t,/j,) задачи B.133), B.134) обладало произ-
производной по параметру /i, то, подставив y(t,/a) в B.133), B.134) и диф-
дифференцируя полученные тождества по /i, мы имели бы
,t,^), B-141)
|jf(*o,AO = 0. B.142)
Убедимся, что при наложенных на /(?/,?,//) дополнительных
условиях -гг- действительно существует и удовлетворяет уравнению
B.141) и начальному условию B.142). Для этого рассмотрим на-
начальную задачу
ft() (),t^), B.143)
z(to,fi)=0, B.144)
для новой неизвестной функции z(t,/j,). Уравнение B.143) линейно
относительно z и его коэффициенты являются непрерывными функ-
функциями t при \t — to\ ^ Н, где непрерывна y(t,[i). Поэтому решение
z(t,/ji) начальной задачи B.143), B.144) может быть выписано в яв-
явном виде по формуле B.29) и является непрерывной функцией t при
Обозначим
64 Гл. 2. Общая теория
Убедимся, что Итд^^о w(?,/i, Д/i) = z(t,n). Отсюда следует, что
производная тД существует и равна z(?,/i), т.е. действительно удо-
удовлетворяет уравнению B.141) и начальному условию B.142).
Пользуясь B.137), при 0 ^ 0Х ^ 1, 0 ^ в2 ^ 1 имеем
А/,
) B.146)
Очевидно,
w|*=*o = °- B-147)
Составим уравнение относительно разности w — z. Заметим предва-
предварительно, что в силу непрерывности fy и /д и непрерывности y(t, /а)
имеет место представление
fy(y(t,ti)+e1Ay,t,tJL + A/i) = fy(y(t,/i),t,/i) +p(t,/i,A/i),
где |р| < ei при | Д/i| < Ji(ei) равномерно относительно t. И точно
так же
ffj, (y(t, /i), t, /i + i92Д/i) = /M (?/(?, /i), t, /i) + ^(t, /i, A/i),
где |^| < S\ при | Д/i| < (^2(^1) равномерно относительно t. Вычитая
B.143), B.144) из B.146), B.147), получим теперь следующее урав-
уравнение относительно w — z:
ft{w -z) = fy{y(t,fjL),t,fji)(w - z) +p(w -z)+pz + q, B.148)
при этом
(w - z)\t=t0 = 0. B.149)
Так как переменная z ограничена, то |p? + g| < ?2 при |A/i| < ^3(^2)-
Кроме того, так как \fy\ ^ Q, то \fy + р\ < Q + Е\. Поэтому
-z|+?2 B.150)
и для оценки w — z можно опять воспользоваться леммой 2.1. В ре-
результате получим
\w-z\< -^2— (e(Q+e^H - l) < е B.151)
при |A/i| < S(s) для всех t G [to, to + Я], что и требовалось.
Таким образом, доказана следующая теорема.
§ 5. Зависимость решений от параметров 65
Теорема 2.11. Пусть /(?/,?,//) определена и непрерывна по со-
совокупности аргументов в области D = {\t — to\ ^ а, \у — Уо\ ^ Ь,
|/i — /io| ^ с} вместе с частными производными fy(y,t, /л) и /д(у, ?, ц).
Тогда решение y(t,[i) начальной задачи B.133), B.134) при каждом
\i из промежутка \/л — /jlq\ ^ с имеет производную по fi, которая удов-
удовлетворяет уравнению B.141) и начальному условию B.142), получа-
получаемым дифференцированием уравнения B.133) и начального условия
B.134) по ц.
Уравнение B.141) часто называют уравнением в вариациях по
параметру \х для уравнения B.133).
Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях B.141) яв-
являются непрерывными по совокупности аргументов ?, \± в силу тре-
требований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. Поэтому,
применяя к задаче B.141), B.142) теорему 2.10, получим утвержде-
ние о непрерывности -? по t и \i.
Совершенно аналогичным образом может быть исследован вопрос
о существовании производной по начальному значению у о. В резуль-
ду
тате получим, что тр- удовлетворяет уравнению в вариациях
i^-o=fy(y(t,yo),t)$-o, B.152)
полученному дифференцированием B.133) по уо. Свободный член
в этом уравнении отсутствует, так как у о в правую часть B.133)
явным образом не входит. Начальные значения для -^- будут, на-
напротив, отличными от нуля, а именно, дифференцируя B.134) по уо,
получим
р- = 1. B.153)
Может быть исследован вопрос о дифференцировании решения
по начальному значению to. Производная -Jj- удовлетворяет урав-
нению в вариациях
|^=ШМо),*)^, B.154)
полученному дифференцированием уравнения B.133) по to. Что-
Чтобы получить начальные условия, заменим исходную задачу B.133),
B.134) интегральным уравнением
t
2/(Mo) = Уо + / f{y(r,to),r) dr.
to
66 Гл. 2. Общая теория
Дифференцируя по to, будем иметь
to
Отсюда, полагая t = to, получим
= -f(y(to,to),to). B.155)
t=t0
Все сказанное сохраняет силу и для общего случая B.127), B.128)
при условии, что в области D (см. B.140)) fi обладают непрерыв-
непрерывными частными производными по всем у\,..., уш и по тому из па-
параметров, по которому производится дифференцирование. Так, на-
например, производные -^- удовлетворяют системе уравнений в ва-
вариациях
т
d_ dyi \ Л vji дух _|_ vji dyi q /о 1 хс\
dt dfik ?-^ dyi dfik Ofik' Ofik '
l=i t=to
Вопрос о существовании и непрерывности производных высших
порядков исследуется аналогично. Можно показать, что существо-
существование непрерывных частных производных до порядка к от функций
fi по 2/i,...,ут, /ii,...,ц8 обеспечивает существование непрерыв-
непрерывных частных производных к-то порядка по параметрам ^/ю,..., УтО?
/ii,... ,/is от решения задачи B.127), B.128).
Замечание. Имеет место
Теорема Пуанкаре. Если функции fi являются аналитичес-
аналитическими функциями своих аргументов, то и решение задачи B.127),
B.128) оказывается аналитически зависящим от параметров.
§ 6. Метод последовательных приближений
(метод Пикара)
Рассматривая в § 2 начальную задачу Коши для одного урав-
уравнения, мы доказали существование и единственность решения этой
задачи методом ломаных Эйлера, представляющим собой одновре-
одновременно и эффективный алгоритм численного решения. В настоящем
параграфе мы вернемся к проблеме существования и единственно-
единственности решения начальной задачи и дадим ее доказательство мето-
методом последовательных приближений, основные идеи которого вос-
восходят к исследованиям Пикара. Не являясь столь же эффективным
§ 6. Метод последовательных приближений 67
в алгоритмическом плане, как метод ломаных Эйлера, метод по-
последовательных приближений обладает большой общностью и нахо-
находит широкие применения при исследовании вопросов существования
и единственности решения задач из различных разделов математи-
математики. Поэтому знакомство с основными идеями этого метода на при-
примере рассматриваемой в данном параграфе задачи целесообразно.
Итак, рассмотрим начальную задачу
& = f{x,y), y(xo)=yo, B.157)
где функция f(x,y) задана и непрерывна в прямоугольнике D =
= {\х — хо\ ^ а, \у — Уо\ ^ Ь}. Тогда найдется постоянная М такая,
что
\f(x,y)\ ^M, (x,y)eD. B.158)
Кроме того, предположим, что f(x,y) удовлетворяет в D условию
Липшица по у
\f(x,y1)-f(x,y2)\<:N\y1-y2\, (x,yi)eD, (x,y2)eD. B.159)
Мы покажем, что при выполнении условий, наложенных на f(x,y),
существует одно и только одно решение задачи B.157). Наше дока-
доказательство будет основываться на сведении задачи B.157) к эквива-
эквивалентному интегральному уравнению
у(х)=уо+ I f(Z,y(O)<% B-160)
и применении к последнему метода последовательных приближе-
приближений. Указанная эквивалентность задачи B.157) интегральному
уравнению была установлена выше, в § 1 (лемма 1.1).
Перейдем теперь к построению последовательных приближений.
В качестве нулевого приближения возьмем произвольную непрерыв-
непрерывную на отрезке [жо,Х] функцию у^(х), график которой на [жо,Х],
X = хо + Н, целиком лежит в области D, и определим последова-
последовательные приближения 2/(п) (х) соотношением
У(п)Н=Уо + I №,У{П-1){О)<1?. B.161)
Хо
Как и в § 2, значение Н определяется из условия Н=тт{а, Ь/М}.
Легко доказать, что при выбранном начальном приближении графи-
графики функций 2/(п) (х) на отрезке [хо, X] также целиком лежат в обла-
области D. Действительно,
=yo+ f /(?,1/(о)(О)#; B-162)
68 Гл. 2. Общая теория
так как график у^(х) лежит в области D, то в силу оценки B.158)
получим
\УA) ~ 2/о| ^ М(х - х0) ^МН^Ъ. B.163)
Отсюда следует, что график функции у^(х) на отрезке [жо,Х]
не выходит из области D. Повторяя проведенные выше рассужде-
рассуждения, методом математической индукции установим справедливость
высказанного утверждения для любого приближения.
Лемма 2.4. Если непрерывная в области D функция f(x,y)
удовлетворяет условию B.159), то построенная по формуле B.161)
последовательность {у(п)(х)} сходится равномерно на [хо,Х].
Доказательство. Рассмотрим ряд
S(x) = 2/(о) (х) + [у{1) (ж) - 2/(о) (ж)] + [ум (ж) - 2/(п_1} (ж)] + ... B.164)
Очевидно, n-я частичная сумма Sn(x) ряда совпадает с n-м членом
последовательности {у(п)(х)}- Оценим члены ряда. Очевидно,
| ^ \уA)(х) - 2/о| + \У(о)(х) - 2/о| ^ 26,
Тогда, в силу условия B.159), имеет место оценка
|г/B)(аО - УA)(х)\ ^N I \у{1)@ - y{o)(O\dti < 2Ь7У(Ж - Жо). B.165)
Аналогично
(Ж) - У B) (X)\^N
Методом индукции получим для n-го члена оценку
\У(п)(х) - y(n-i)(x)\ 4: 2bNn-l{x-nX_%^- B-166)
Из оценки B.166) следует, что на отрезке [жо,Х] члены функцио-
функционального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда
\У(п)(х) - !/(„-!)(ж)| ^ 2bNn~1^P^, B.167)
что и является достаточным признаком равномерной сходимости
ряда B.164). Лемма доказана.
Доказанная лемма позволяет доказать следующую теорему.
§ 6. Метод последовательных приближений 69
Теорема 2.12 (существования). Если функция f(x,y) непре-
непрерывна в D и удовлетворяет условию Липшица B.159), то на отрезке
[жо, X] существует решение начальной задачи B.157).
Доказательство. В силу леммы 1.1 достаточно доказать су-
существование на отрезке [хо, X] решения интегрального уравнения
B.160). Согласно лемме 2.4 последовательность {y(n)(x)}i построен-
построенная по формуле B.161), сходится равномерно на [жо,Х]. Так как
все члены последовательности {у(п)(х)} по построению являются
непрерывными функциями, то и предельная функция у(х) непре-
непрерывна на [хо, X]. Равномерная на [хо, X] сходимость последователь-
последовательности {у[п)} является достаточным условием возможности предель-
предельного перехода в формуле B.161). Переходя к пределу при п ->• оо,
получим, что предельная функция последовательности {у(п)(х)}
у(х) = Im^y^x) B.168)
удовлетворяет интегральному уравнению B.160), эквивалентному
исходной задаче B.157). Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению вопроса единственности решения.
Теорема 2.13 (единственности). Интегральное уравнение
B.160) имеет не более одного непрерывного на [хо,Х] решения.
Доказательство. Предположим, что уравнение B.160) име-
имеет на [хо, X] два различных решения у\ (х) и у^ (х), и составим их
разность
z(x)=yi(x)-y2(x). B.169)
Очевидно,
Ф)= / {Я&ЫО)-Д?.Ы0Ж, хе[хо,х]. B.170)
Хо
Будем сначала рассматривать B.170) на отрезке [xo,^i], значе-
значение х\ выберем в дальнейшем.
Воспользовавшись условием Липшица B.159), получим
\z[x)\ ^N(x-xo) sup |2/i@-2/2@1^
[хо,хг]
x0) sup |^@|, xG[xo,xi].
[хо,хг] B.171)
Отсюда
sup \z(x)\ ^ N(x1-x0) sup \z(x)\. B.172)
[хо,хг] [хо,хг]
70 Гл. 2. Общая теория
Выберем теперь х\ так, чтобы N(xi-x0) < 1. Тогда B.172) возможно
лишь при условии, что
sup \z(x)\ = 0, т.е. z(x) = 0 при х Е [xo,^i],
[ЖО,Ж1]
и B.170) можно записать в виде
Ш Ш> хе[хиХ]. B.173)
Повторяя проведенные рассуждения необходимое число раз, убе-
убеждаемся, что z(x) = 0 при х Е [жо,Х], что и доказывает теорему.
Сделаем несколько замечаний к доказанным теоремам.
Замечания.
1. Мы доказали теорему существования, показав, что при любом
нулевом приближении уо(х), представляющем собой непрерывную
на [жо,Х] функцию, график которой не выходит из области D, по-
последовательность {у(п)} сходится к решению исходной задачи. В ка-
качестве нулевого приближения у^ (х) в ряде случаев удобно бывает
выбрать начальное значение уо, положив у^(х) = уо.
2. Метод последовательных приближений может быть использо-
использован не только для доказательства существования, но и для построе-
построения решения конкретных задач. При этом эффективность его приме-
применения определяется как классом функций f(x,y), для которых раз-
разработаны эффективные алгоритмы вычисления правой части фор-
формулы B.161), так и выбором начального приближения.
3. Мы рассмотрели применение метода последовательных при-
приближений для доказательства существования и единственности ре-
решения начальной задачи для одного скалярного уравнения первого
порядка. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и в слу-
случае начальной задачи для нормальной системы.
§ 7. Принцип сжимающих отображений.
Теорема о неподвижной точке
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод последователь-
последовательных приближений основывается на общем математическом принци-
принципе, известном под названием «принцип сжимающих отображений»,
основные идеи которого будут изложены в настоящем параграфе.
§ 7. Принцип сжимающих отображений 71
Будем рассматривать произвольное полное метрическое прост-
пространство М. Пространство М называется метрическим, если каждой
паре X, Y элементов этого пространства поставлено в соответствие
число р(х,у), обладающее следующими свойствами:
1) р (ж, у) ^ 0, причем р (ж, у) = 0 только при ж = у;
2) р(х,у) = р(у,х)\
3) для любых x,y,z Е М имеет место неравенство треугольника
р(х,у) ^p(x,z) +p(z,y).
Число р{х,у) обычно называется расстоянием между элементами х
и у.
Последовательность {хт} элементов пространства М называет-
называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует N(e) та-
такое, что при т > N(e) и любом р > 0 справедливо неравенство
р{хш,хш+р) < г. Метрическое пространство называется полным,
если всякая фундаментальная последовательность {жт} элементов
этого пространства сходится к некоторому элементу х G М, т.е.
существует х G М такое, что lmim-юо р(х,хт) = 0 (обозначается
X = ПП1т_).оо Хт).
Примером полного метрического пространства является прост-
пространство непрерывных на сегменте х G [а, Ь] функций у(х), в котором
расстояние p(y,z) между элементами у{х) и z(x) задается в виде
p(y,z) = 8uv\y(x)-z(x)\. B.174)
[a,b]
Выполнение свойств 1) и 2) очевидно. Проверим, что выполнено 3).
Для любого х G [а, Ь] имеем
\у(х) - z(x)\ <: \у(х) - и(х)\ + \и(х) - z(x)\ <:
^ sup \y(x)—u(x)\+ sup \и(х) — z(x)\.
xe[a,b] xe[a,b]
Но так как, в силу непрерывности, s\ipxe^a^ \y(x) — z(x)\ достигается
при некотором х* G [а, Ь], то
sup \у(х) - z(x)\ = \y(x*) - z(x*)\
xe[a,b]
и поэтому
sup \у(х) — z(x)\ ^ sup \y(x)—u(x)\+ sup \и(х) — z(x)\.
xe[a,b] xe[a,b] xe[a,b]
Принцип сжимающих отображений является мощным методом
исследования проблем существования и единственности решения
функциональных уравнений в метрических пространствах.
72 Гл. 2. Общая теория
Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор А,
обладающий следующими свойствами:
а) оператор А отображает пространство М в себя, т. е. переводит
точки пространства М в точки того же пространства:
Ах = у (х,уеМ); B.175)
б) оператор А сближает элементы пространства М, т.е. для лю-
любой пары х\, Х2 элементов пространства М имеет место неравенство
р(Ах1,Ах2) ^ ар(х1,х2), B.176)
где а < 1.
Имеет место
Теорема 2.14 (принцип сжимающих отображений). Если в пол-
полном метрическом пространстве М задан оператор А, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям а) иб), то функциональное уравнение
Ах = х B.177)
в пространстве М имеет единственное решение.
Доказательство. Выберем произвольный элемент хо G М
и построим последовательность {хп}:
xn = Axn-L B.178)
Докажем, что так построенная последовательность {хп} является
фундаментальной. Действительно,
p(xn+1,xn) = p{Axn,Axn-1)
= ap{Axn-UAxn-2) ^ ••• ^ anp(x1,x0). B.179)
Пользуясь этой оценкой и неравенством треугольника, получим
Р \%n-\-mч %п)
() + p(xn+m-i,Xn+m-2) + h p(xn+i,Xn) ^
B.180)
что при условии a < 1 и доказывает утверждение о фундаменталь-
фундаментальности последовательности {жп}. В силу полноты пространства М
отсюда следует сходимость последовательности {жп}, т. е. существу-
существует х G М такой, что
х = lim xn. B.181)
§ 7. Принцип сжимающих отображений 73
Рассмотрим теперь элемент у = Ах и покажем, что он совпадает
с элементом ж. Действительно,
р(х,у) ^ р(х,хп+1) +р(хп+!,у), B.182)
где жп+1 — произвольный элемент последовательности {хп}. Оце-
Оценим последнее слагаемое:
р(хп+!,у) = р(Ахп,Ах) ^ ар(хп,х). B.183)
В силу доказанной выше сходимости последовательности {хп} для
любого е > 0 можно указать такое JV, что для всех п > N
р(хп,х) < г/2.
Тогда из B.182) следует, что
р(х,у)<е, B.184)
откуда в силу произвольности ? получаем р(х,у) = 0, т.е. х = 2/,
следовательно, решение уравнения B.177) существует.
Доказательство единственности решения уравнения B.177) про-
проведем от противного. Пусть х и х — два различных решения этого
уравнения:
Ах = ж, Ах = х. B.185)
Рассмотрим
р (ж, х) = р {Ах, Ах) ^ ар (ж, ж). B.186)
Но при а < 1 неравенство B.186) возможно лишь при р(х,х) = О,
т. е. при ж = ж. Итак, теорема доказана полностью.
Доказанная теорема имеет простую геометрическую интерпрета-
интерпретацию. Если рассматривать элементы метрического пространства как
точки некоторого множества, то сжимающее свойство б) операто-
оператора А означает, что расстояние ^B/1,2/2) между образами у\ — Ах\,
?/2 = Ах2 точек х\ и Ж2 меньше расстояния p(xi,X2) между исход-
исходными точками х\ и Х2- Поэтому, когда строим последовательность
{хп} по формуле B.178), расстояния между соседними точками при
возрастании номера п неограниченно уменьшаются и в пределе мы
получаем неподвижную точку ж, которая оператором А переводится
сама в себя, Ах = ж.
Применим теорему о неподвижной точке для доказательства су-
существования и единственности решения начальной задачи
&
y(xo)=yo, B.187)
74 Гл. 2. Общая теория
которая, как мы установили в предыдущем параграфе, эквивалент-
эквивалентна интегральному уравнению
у(х)=уо+ f №,у{0)<%. B.188)
Рассмотрим оператор
Ау = уо+ I №,у@)<% B-189)
в полном метрическом пространстве М непрерывных на отрезке
[жо, X] функций у (х). Покажем, что оператор А удовлетворяет усло-
условиям а) и б). В предыдущем параграфе было показано, что если
функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D = {\х — хо\ ^ а,
\у — Уо\ ^ Ь} и удовлетворяет в D условию Липшица по у, то приме-
применение оператора А к непрерывной на [жо,Х] функции у(х), график
которой не выходит из D, дает также непрерывную функцию Ау(х),
график которой не выходит из D. Тем самым оператор А удовле-
удовлетворяет условию а). Остается проверить сжимающее свойство опе-
оператора А. Для этого рассмотрим
р(Ау1,Ау2)= sup
f
^ sup /
xe[xo,x]xJo
Воспользовавшись условием Липшица для функции f(x,y), полу-
получим
p(AyuAy2)^N sup f \yi@-y2@\d^
xe[xo,x]XQ
<: N\x-xo\ sup \У1(х) - y2(x)\ <: NHp(yuy2). B.191)
xe[xo,x]
Выберем теперь Н таким, чтобы удовлетворялось условие
NH = а<1. B.192)
Тогда оператор А будет сжимающим и в силу теоремы 2.14 мы мо-
можем утверждать существование и единственность решения началь-
начальной задачи B.187) на отрезке [жо,Х]. Распространение решения на
больший отрезок производится рассмотренными выше методами.
Замечание. Принцип сжимающих отображений был применен
для доказательства существования и единственности решения на-
начальной задачи B.187) для одного скалярного уравнения. С помо-
помощью принципа сжимающих отображений легко доказать аналогич-
аналогичную теорему и в случае нормальной системы.
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение движения маятника
как пример линейного уравнения.
Основные свойства линейного уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называ-
называется уравнение вида
ао(х)уМ + п1 {х)у{п-^ + ¦¦¦ + ап{х)у = f(x). C.1)
Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчаю-
облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение. Изучение этих
свойств и составляет содержание настоящей главы.
В приложениях линейные уравнения естественно получаются,
если пренебречь членами более высокого порядка (см. § 2 гл. 1).
Ознакомимся с основными свойствами линейного уравнения на
примере уравнения маятника (см. п. 2 § 2 гл. 1)
у" + ay' + ky = f{t), а > О, к > 0, C.2)
которое является линейным уравнением второго порядка с посто-
постоянными коэффициентами.
Рассмотрим сначала случай / = 0. В этом случае уравнение назы-
называется однородным. Физически это означает, что маятник движется
свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы,
у" + ау' + ку = О. C.3)
Будем искать решение этого уравнения в виде у = ext, где Л — не-
некоторая неизвестная заранее постоянная. Подставляя решение ис-
искомого вида в C.3) и сокращая на eAt, получим
Л2 + аХ + к = 0. C.4)
Это уравнение называется характеристическим уравнением диф-
дифференциального уравнения C.3). Ему должно удовлетворять Л для
76 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
того, чтобы ext было решением C.3). Решая уравнение C.4), полу-
получим
2
Исследуем разные случаи.
а) а2 — 4к > 0. Физически это соответствует достаточно сильному
трению (сопротивлению) среды. Оба корня Ai и Л2 в этом случае
действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два ре-
решения ?/(!) = eXlt и 2/B) — eX2t.
Рассмотрим начальную задачу
2/@) =у1 у'(О)=у°1. C.5)
Для любых двух п раз дифференцируемых функций yi(x), 2/2 0е)
справедливо тождество (С± и С2 — константы)
(С1У1(х) + С2у2(х))(п) = С1У[п) + С2у(^. C.6)
Основываясь на этом тождестве, нетрудно убедиться, что выраже-
выражение
У = Сц/A) + С2уB) = CieAli + С2еЛ2«, C.7)
где С\ и С2 — произвольные постоянные (линейная комбинация у^
и 2/B)), является решением уравнения C.3). Эти постоянные можно
однозначно определить из начальных условий C.5). Действительно,
подставляя C.7) в C.5), имеем
у°0=С1+С2, 2/? = С1Л1+С2Л2.
В силу Ai ф \2 определитель этой линейной алгебраической си-
системы относительно С\ и С2 отличен от нуля. Полученное таким
образом решение начальной задачи
=
Л2 — Ai Ai — A2
не осциллируя, приближается с ростом t к положению равновесия
у = 0.
Так как любое наперед заданное решение уравнения C.3) удовле-
удовлетворяет некоторому начальному условию C.5), а по заданному на-
начальному условию C.5) однозначно определяется решение C.8), то
можно сказать, что в формуле C.7) содержится любое решение урав-
уравнения C.3). С другой стороны, при любых значениях постоянных
формула C.7) дает некоторое решение уравнения C.3). Таким обра-
образом, формула C.7) содержит все решения уравнения C.3) и только
решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким свойством,
§ 1. Уравнение движения маятника 77
мы будем называть общим решением. Формула C.7) представляет
собой общее решение уравнения C.3).
б) а2 — 4к < 0. Физически это соответствует достаточно слабому
трению (сопротивлению) среды. В этом случае Ai и Л2 являются
комплексно сопряженными: А2 = А^ и
j/(i)=e^ = e-«^(cos^ + tsin^l, y{2) = yfr,
Пользуясь тождеством C.6), нетрудно видеть, что у\ — ^
У2 = Imy^i} также являются решениями уравнения C.3). Действи-
Действительно,
B/1 + «2/2)" + aB/i + ^2)' + к(у! + г2/2) =
*2/i) + «B/2 + «2/2 + кУ2) = 0,
откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части,
получим требуемое. Возьмем линейную комбинацию у\ и ?/2:
у = Ci2/i + С2У2 = Cie"a*/2 cos |t + C2e~at/2 sin |t. C.9)
Нетрудно убедиться, что, как и прежде, Ci и С2 однозначно опре-
определяются условиями C.5) и, таким образом, C.9) является общим
решением уравнения C.3). Заметим, что в рассматриваемом случае
в качестве общего решения можно по-прежнему взять C.7), но при
этом постоянные Ci,C2 будут комплексными.
Решение задачи C.5):
у = уое-аф CoS ft + |(у° + § yi)e-at'2 sin ft C.10)
описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону
ехр[—at/2]. С ростом t это решение также стремится к положению
равновесия у = 0.
Если a = 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периоди-
периодические колебания с частотой ujq = л/к,
у = у$ coscjot + u~Vi sincjot. C.11)
в) a2 — 4& = 0. В этом случае описанный способ дает только
одно решение у^ = eAt, где А = —а/2. Нетрудно, однако, непосред-
непосредственно проверить, что в этом случае решением является также
УB) — text. Беря линейную комбинацию этих двух решений, мож-
можно удовлетворить условиям C.5). Практически Ai и А2 не бывают
78 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
в точности равны, но такое решение описывает математическую аб-
абстракцию, соответствующую случаю близких Ai и Л2.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием пе-
периодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением
C.2), где / = A cos out (А,со = const). Сопоставим этому уравнению
следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:
z" + azf + kz = Aeiu;t. C.12)
Подставляя в это уравнение z = у\ + iy2 и приравнивая отдель-
отдельно действительные и мнимые части, получим, что у\ удовлетворяет
уравнению C.2), в котором / = Acosoot, а у2 — уравнению C.2),
в котором / = As'mujt. Таким образом, для получения требуемо-
требуемого решения уравнения C.2) нужно найти решение уравнения C.12)
и взять его действительную часть.
Решение уравнения C.12) естественно искать в виде
z = aeiuj\ C.13)
где а — неизвестная заранее постоянная. Подставляя C.13) в C.12)
и сокращая на elujt, найдем а = А/{—и2 + гаш + к) и, следовательно,
?i = A(h %W1 2 2 cosw* + A- 2^ 2 2 sinut. C.14)
(k — uj ) + a uj (k — uj ) + a uj
C.14) представляет собой частное решение уравнения C.2), в ко-
котором / = A cos ut, имеющее периодический характер с частотой,
равной частоте uj вынуждающей силы. Это решение, однако, не удо-
удовлетворяет C.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения
однородного уравнения C.3) (для определенности а2 — 4к < 0):
y = yi+C1y1+C2y2. C.15)
Пользуясь C.6), убеждаемся, что это выражение является решени-
решением того же неоднородного уравнения C.2), а пользуясь произволом
выбора С\ и G2, можно подобрать их так, чтобы удовлетворить C.5).
Действительно, С\ и С2 находятся из алгебраической системы урав-
уравнений, отличающейся от той, которая была при получении C.10),
только неоднородными членами. Решение, удовлетворяющее C.5),
имеет вид
У = Vi + [|/о - yi@)]e
~at/2 cos |
+ f [V°i ~ У1! @) + f (У°о ~ Vi @))] e~at'2 sin ft, C.16)
§ 1. Уравнение движения маятника 79
а C.15), таким образом, является общим решением неоднородного
уравнения C.2), где / = A cos out. Из C.15) видно, что общее реше-
решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного
решения того же неоднородного уравнения и общего решения соот-
соответствующего однородного уравнения.
С ростом t в формуле C.16) все члены, кроме первого, затухают
и остаются только вынужденные колебания у\.
Обратим внимание на важное явление — так называемое явле-
явление резонанса. Решение у\ теряет смысл, если в исходной системе
нет трения (а = 0) и частота и; вынуждающей силы равна частоте
т0 = у/к: с которой колеблется маятник без воздействия вынуждаю-
вынуждающей силы (см. C.11)), так как в знаменателе появляется нуль.
Чтобы найти частное решение в этом случае, т. е. частное решение
уравнения
у" + ку = A cos uot, C.17)
перейдем снова к комплексной форме
z" + kz = Aeitvot. C.18)
Обратим внимание на то, что корни характеристического уравнения
равны Ai52 = =Ьгс^о- Попытаемся искать z в виде
z = ateiu;ot. C.19)
Подставляя C.19) в C.18), определим а и получим z = A^. eluJot.
Re z дает частное решение уравнения C.17):
Ух = A^smuot C.20)
Так как практически полное отсутствие трения и точное ра-
равенство не осуществляются, то решение такого типа практически
не реализуется. Реализуется C.14), но если частота и; близка к ио,
а а мало, то знаменатель в C.14) мал и амплитуда решения вели-
велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том, что
при w~wqh малом а наблюдается заметное увеличение амплитуды
вынужденных колебаний C.14).
Математически же случаем резонанса будем называть такой слу-
случай, когда в C.2) /(?) = 5(t)e^, где S(t) — многочлен, а к совпада-
совпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше
уравнении C.18) к — iujo, т. е. совпадает с одним из корней характе-
характеристического уравнения.
Итак, на примере уравнения второго порядка выявлен ряд ха-
характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффици-
коэффициентами. Оказывается, эти закономерности имеют общий характер.
80 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Сформулируем их для уравнения порядка п как естественное обоб-
обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка. До-
Доказательства будут даны ниже в § 5.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
аоуМ + cny^-V + • • • + апу = 0 (а* = const). C.21)
Сопоставим C.21) его характеристическое уравнение (ср. C.4))
а0Хп + сцХ71-1 + • • • + ап = 0. C.22)
Это — алгебраическое уравнение порядка п, оно имеет корни А/. =
= Рк +iqk (к = 1,...,п).
1. Если все А/, действительны и различны, то, беря линейную
комбинацию
у = ^2СкУ(к), где 2/(Л)=еЛ**, C.23)
k=i
можно получить любое решение уравнения C.21), определяя Ci,...
..., Сп из начальных условий
y(h)=y°1, y'(to)=yl...,y^-1Hto)=y°n C.24)
(ср. C.7), C.5)), т. е. формула C.23) является общим решением урав-
уравнения C.21).
2. Если некоторые А/, комплексные, то утверждение 1 остается
в силе, но определяемые из C.24) константы С к будут комплексны-
комплексными и решение будет представлено в комплексной форме. Чтобы по-
получить решение в действительной форме, в наборе решений вместо
пары решений у = е^р+гд^ и у* = е^р~гд^, отвечающих комплексно
сопряженным корням А = р ± iq (так как характеристическое урав-
уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместе с А = р + iq
корнем будет также А = р — iq), можно взять пару действительных
решений Key = ept cosqt и Imy = ept sinqt (cp. C.9)).
3. Если А — кратный корень характеристического уравнения
C.22) кратности ш, то ему отвечает т решений ext, text,..., tm~1ext
(обобщение случая в), где т = 2).
Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее пра-
правило.
Пусть характеристическое уравнение C.22) имеет г действитель-
действительных корней Xk кратности rrik, а прочие являются комплексно сопря-
сопряженными вида А/ = pi + iqi и кратности mi. Тогда общее решение
уравнения C.21) может быть записано в виде
у = Y^Rk{t)ex^ + Y^ (Pi(t)ePlt cosmt + Qi(t)ePlt amq,t), C.25)
k=i 1=1
§ 2. Общие свойства уравнения 81
где Rk(t), Pi(t), Qi(t) — многочлены степени rrik — 1, m/ - 1, m/ — 1
соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффи-
коэффициенты однозначно определяются начальными условиями C.24).
Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравне-
уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного
и общего решений неоднородного уравнения
аоУ(п) + aiy(n-V + • • • + any = S(t)e"\ C.26)
где S(t) — многочлен степени s, к — постоянная, вообще говоря,
комплексная.
Пусть в уравнении C.26) к не совпадает ни с одним корнем А&
характеристического уравнения C.22) (так называемый нерезонанс-
нерезонансный случай). Тогда частное решение уравнения C.26) можно запи-
записать в виде
У = T(i)e**, C.27)
где T(t) — многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты
многочлена T(t) определяются из алгебраических уравнений, полу-
полученных подстановкой C.27) в C.26) и приравниванием членов с оди-
одинаковыми степенями t (ср. C.12), C.13) — в этом простейшем слу-
случае S(t) является константой А, т. е. многочленом нулевой степени,
а многочлен T(t) также является константой: Т = а).
Если к совпадает с корнем характеристического уравнения X,
имеющим кратность m (так называемый резонансный случай), то
частное решение C.26) следует искать в виде
у = Т(?)?те^, C.28)
где T(t) — многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты
T(t) по-прежнему определяются подстановкой C.28) в уравнение
C.26) (ср. C.19), где появляется множитель t в соответствии с крат-
кратностью m = 1 корня iuo).
Если к — a + i/З комплексно, то действительная (соответственно:
мнимая) часть решения C.28) является решением уравнения с пра-
правой частью S(t)eat cos /3t (соответственно S(t)eat sin/3t).
Общее решение неоднородного уравнения C.26) представляется
в виде суммы общего решения C.25) однородного уравнения C.21)
и частного решения C.27) или C.28) неоднородного уравнения C.26)
(ср. C.15)).
Все эти утверждения в дальнейшем будут строго доказаны (см.
теоремы 3.11, 3.12, 3.14, 3.15).
82 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
§ 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка
Обратимся к уравнению C.1). Если в рассматриваемой области
изменения независимого неременного ао(х) ф О, то, поделив на ао(х)
и обозначая полученные коэффициенты и правую часть вновь через
а\ (х),..., ап (х), / (ж), будем иметь
yW + (nWy^-V + • • • + ап(х)у = f{x). C.29)
Определение. Уравнение C.29) называется однородным, если
f(x) = О, в противном случае — неоднородным.
Пусть пг(х) (г = 1,..., п) непрерывны на некотором интервале X
(X может быть как конечным интервалом, так и бесконечным, на-
например, (—оо, оо)). Общая теорема существования и единственности
(см. теоремы 2.8 и 2.9 § 4 гл. 2) гарантирует, что на некотором сег-
сегменте \х — хо\ ^ Н, принадлежащем X, существует единственное
решение у(х) уравнения C.29), удовлетворяющее начальному усло-
условию
у(хо)=уЬ у'(хо)=у1...,у(-п-1\хо)=у°п. C.30)
Для уравнения C.29) можно доказать более сильное утверждение.
Теорема 3.1. Если ai{x) (г = 1,...,n), f(x) непрерывны на X,
то решение начальной задачи C.29), C.30) существует и единственно
всюду на X.
Так как начальная задача для уравнения п-ro порядка является
частным случаем начальной задачи для системы п уравнений пер-
первого порядка (см. § 4 гл. 2), то теорему 3.1 можно получить как
частный случай аналогичного утверждения для системы линейных
уравнений, которая имеет вид
п
^¦ = ^2 агк(х)Ук + fi(x), г = 1,..., п, C.31)
а соответствующие начальные условия —
yi(x0) =2/?, г = 1,...,п. C.32)
Теорема 3.2. Если a,ik(x), fiix) (г, к = 1,...,п) непрерывны
на X, то решение задачи C.31), C.32) существует и единственно
на X.
Достаточно доказать, что решение существует и единственно на
любом отрезке [жо,жо + А] С X. Теорема существования и един-
единственности гарантирует решение на некотором отрезке [xq ,xq + H],
§ 2. Общие свойства уравнения 83
как уже указывалось выше. Точку (жо + Н, yi(xo + iiZ")) можно при-
принять за новую начальную точку (см. замечание 2 к теоремам § 2
гл. 2) и получить решение на большем отрезке [жо, жо + i?i], i?i > Я,
и т. д. Пусть [жо, xq-\-H), где i? ^ А — максимальный полуинтервал,
на котором существует единственное решение задачи C.31), C.32).
Возьмем произвольную последовательность Нп —> Н. Убедимся, что
существует limn_>oo ^(ж0 + Нп). Пусть
N = max sup |а^(ж)|, 7= max SUP 1/(жI-
Тогда на любом отрезке [жо, жо + Нп] справедливо неравенство
dx
Введя ^о(ж) = л/SILi 2/f (ж) и повторяя в точности рассуждения,
проведенные при доказательстве леммы 2.3 § 4 гл. 2, получим
р(х) ^ р(хо)е^Й + ^(eNn2ff - 1) = В,
и, следовательно, для любого х G [жо,жо + i?] справедливо
а тогда справедливо также неравенство
Пользуясь этим и учитывая, что Нп —У Н, получим
\yi(x0 + Нп+т) - yi(x0 + Нп)\ ^ С|Яп+т - Нп\ < г
при n > N(e) и любом ??г. Отсюда по критерию Коши делаем вывод
о сходимости последовательности yi(xo + Нп) к некоторому преде-
пределу yi. Будем считать этот предел значением yi в точке хо + Н, т. е.
положим yi(xo +H) = yi. Таким образом, интегральная кривая ока-
оказывается непрерывно продолженной вплоть до точки xq -\- H. В силу
самой системы уравнений C.31) тем же свойством обладают произ-
производные -т^-. Тогда в случае Н = А теорема доказана.
Рассмотрим случай Н < А. Нетрудно убедиться, что этот слу-
случай не реализуется. Действительно, приняв хо + Н, yi(xo + Н) за
новую начальную точку, можно продолжить решение на участок
[жо, хо + Н + S], 5 > 0, что противоречит определению Н.
Итак, Н = А, т.е. решение существует и единственно на отрезке
[жо,жо + А], что и требовалось.
Дальнейшее рассмотрение системы C.31) отложим до § б и вер-
вернемся снова к C.29). Для уравнения C.29) справедлива следующая
теорема, называемая принципом суперпозиции.
84 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Теорема 3.3. Пусть в уравнении C.29) правая часть /(ж) явля-
является линейной комбинацией функций fi{x), т. е. /(ж) = ^2i=1 cafi{x),
где ai — постоянные числа, и пусть yi (ж) являются решениями урав-
уравнений
у\п) + a1(x)y\n-1) +¦¦¦ + an(x)yi = ft(x). C.33)
Тогда линейная комбинация yi (ж) с теми же коэффициентами ai, т. е.
функция y(x) = ^2i=1 aiyi{x), является решением уравнения C.29).
Значение этого принципа в том, что правую часть уравнения
C.29) можно представить как линейную комбинацию более простых
элементов и свести решение уравнения к решению нескольких бо-
более простых уравнений C.33). С точки зрения физики это означает,
что результат сложного внешнего воздействия на некоторый объект,
выражаемого функцией /(ж), можно представить как суперпозицию
результатов отдельных элементарных воздействий.
Доказательство теоремы 3.3 основано на тождестве, спра-
справедливом для к произвольных п раз дифференцируемых функций
щ,..., Uk и следующем непосредственно из свойств дифференциро-
дифференцирования
(га—1) к
Н \-an(x) ^ щщ(х) =
=1 ^ 4=1 ^ г=1
ai К'П) 0*0 + ai (ж)^п} (ж) + • • • + an(х)щ (ж)]. C.34)
Полагая щ(х) = Уг(х), где Уг{х) — решения уравнений C.33), полу-
получим для у (ж) = Yh=i aiVi(x)
к
у^(х) + a^-^ix) + • • • + an(x)y(x) = ^ ^ifi(x) = /(ж),
что и требовалось.
Замечание. Левую часть уравнения C.29) можно рассматри-
рассматривать как оператор Ly, определенный на множестве п раз дифферен-
дифференцируемых функций у. Тогда C.34) означает, что этот оператор —
линейный.
Отметим важные частные случаи теоремы 3.3, формулируя их
как отдельные утверждения.
§ 3. Однородное линейное уравнение 85
Теорема 3.4. Линейная комбинация решений однородного
уравнения есть решение однородного уравнения.
(Это частный случай принципа суперпозиции, когда Д = / = 0.)
Замечание. На языке линейной алгебры это можно выразить
следующим образом: множество решений однородного уравнения
является линейным пространством.
Пусть теперь & = 2, Д = Д, «i = 1, а^ — — 1 и, следовательно,
/ = 0. Таким образом, имеет место
Теорема 3.5. Разность двух решений неоднородного линейного
уравнения удовлетворяет однородному уравнению.
В теореме 3.3 щ могут быть и комплексными.
Теорема 3.6. Пусть у\{х), У2{х) удовлетворяют уравнениям
C.33) (г = 1,2). Тогда z(x) = у\(х) + гу2{х) удовлетворяет урав-
уравнению
zM + ai(x)z(n-1} + • • • + an(x)z = Д + г/2. C.35)
Обратно: пусть z(x) = yi(x)+iy2(x) удовлетворяет уравнению C.35).
Тогда у\(ж), у2(х) удовлетворяют уравнениям C.33).
Прямая теорема является частным случаем теоремы 3.3 (а± = 1,
OL2 — г). Для получения обратного утверждения надо к левой части
C.35) применить тождество C.34), полагая щ = yi, щ = У2-> ol\ = 1,
q/2 = г, после чего приравнять действительную часть полученного
выражения величине Д, а мнимую часть — величине Д согласно
правилу сравнения комплексных чисел.
Все перечисленные свойства характерны именно для линейных
уравнений и существенно облегчают их исследование и решение.
§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка
Обратимся к изучению уравнения
уЮ + аг (x)y(n-V + ¦¦¦ + ап(х)у = 0, C.36)
коэффициенты которого ai{x) (i = l,...,n) непрерывны на интер-
интервале X. Как было показано в предыдущем параграфе, решение на-
начальной задачи существует и единственно на X, чем будем суще-
существенно пользоваться ниже.
86 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Определение. Будем говорить, что функции щ(х),... ,ир(х)
линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные
Ci?..., Ср, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество
v
^2dui(x)=0, хеХ. C.37)
г=1
В противном случае (т. е. если C.37) выполняется только при
С\ = • • • = Ср = 0) будем говорить, что ui(x),... ,ир(х) линейно
независимы.
Пусть у\(ж),... ,уп(х) — решения уравнения C.36).
Определение. Назовем детерминант
C.38)
у[(х) ... у'п(х)
(п-1) / ч ' ' ' (п-1) / ч
2/1 (х) ... Уп J(x)
определителем Вронского*).
Теорема 3.7. Если решения у\(х),...,уп(х) уравнения C.36)
линейно зависимы на X, то А (ж) = 0 на X.
В самом деле, согласно C.37) имеем Yl7=i ^гУг(х) = О- Продиф-
Продифференцировав это тождество п — 1 раз, получим
СгУ\ \х) =0. C.39)
г=1 г=1
При любом х Е X эти соотношения можно рассматривать как си-
систему линейных однородных алгебраических уравнений относитель-
относительно С\,..., Сп, имеющую нетривиальное решение по условию линей-
линейной зависимости функций yi. Следовательно, определитель системы
А(х) = 0 при любом х е X, т. е. А(х) = 0 на X.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что она спра-
справедлива не только для решений уравнения C.36), но для любых п — 1
раз дифференцируемых функций.
Теорема 3.8. Если А(х) = 0 хотя бы для одного х е X, то
решения yi(x),..., уп(х) уравнения C.36) линейно зависимы на X.
*)Иногда бывает удобно обозначение A(yi(x),... ,уп(х)).
§ 3. Однородное линейное уравнение 87
Доказательство. Действительно, возьмем точку ж = жо, в ко-
которой А(жо) = 0, и составим систему линейных алгебраических
уравнений относительно Ci,..., Сп с определителем А(жо):
п п
i=l i=l
Так как А(жо) = 0, то эта система имеет нетривиальное решение
Cij..., Сп. Рассмотрим линейную комбинацию у(х) = YH=i ^iVi(x)-
Согласно теореме 3.4 у{х) является решением уравнения C.36),
а C.40) означает, что это решение удовлетворяет в точке жо нулевым
начальным условиям у(хо) = 0,..., у^п~1\хо) = 0. Так как триви-
тривиальное решение уравнения C.36) у(х) = 0 удовлетворяет, очевид-
очевидно, тем же начальным условиям, то в силу теоремы единственности
у(х) = у(х) = 0, т.е. Yl7=i CiVi(x) = 0, где по построению не все Ci
равны нулю, а это и означает линейную зависимость yi(x),..., уп(х).
Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая аль-
альтернатива.
Теорема 3.9. Определитель Вронского А (ж) либо тождествен-
тождественно равен нулю, и это означает, что решения у\ (ж),..., уп{х) линейно
зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это
означает, что yi(x),..., уп(х) линейно независимы.
Ситуацию можно выразить следующей схемой:
либо
I А (ж) = 0 ^ yi(x),... ,уп(х) линейно зависимы
А(х)
1 А (ж) ф 0 ^ 2/1 (ж),... ,уп(х) линейно независимы
либо
при любом ж G X.
Определение. Фундаментальной системой решений уравне-
уравнения C.36) будем называть любые п линейно независимых решений
уравнения C.36).
Теорема 3.10. Линейное однородное уравнение имеет фунда-
фундаментальную систему решений.
Доказательство. Действительно, возьмем произвольный от-
отличный от нуля определитель А0 с элементами ац. Определим ре-
решения yi(x),... ,уп(х) уравнения C.36) следующими начальными
условиями:
Уг(хо) = пц, ... ,2/г- (хо) = ani. C.41)
Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Составим определитель Вронского А (ж). В силу C.41) Д(жо) = А0 ^
Ф 0. А тогда в силу теоремы 3.9 у\ (ж),..., уп(х) линейно независимы.
Замечание. Так как существует бесконечно много определите-
определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует беско-
бесконечно много фундаментальных систем решений. Кроме того, линей-
линейное невырожденное преобразование yi — J^jLi cijVj переводит одну
фундаментальную систему решений в другую.
Докажем теперь основную теорему данного параграфа.
Теорема 3.11. Если у\ (ж),..., уп (ж) — фундаментальная систе-
система решений, то любое решение у(х) уравнения C.36) представимо
в виде
п
iyi(x), C.42)
где С\,..., Сп — некоторые постоянные.
Доказательство. Пусть у(хо) = у®,... ,у^п~1\хо) = у^. Опре-
Определим постоянные С\,..., Сп линейной системой уравнений с детер-
детерминантом, равным А(жо) ф 0:
2/° C.43)
г=1 г=1
и построим у(х) = Yl7=i Ciyi(x). Согласно теореме 3.4 у(х) являет-
является решением уравнения C.36), а C.43) означает, что это решение
удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(х). Тогда в си-
силу единственности (ср. доказательство теоремы 3.8) у(х) = у(х) =
= Yl7=i СгУг(%), чт0 и требовалось.
Замечания.
1. Формула C.42), где Ci,...,Cn — произвольные постоянные,
является общим решением уравнения C.36) в том же смысле, как
в § 1, т. е. C.42) является формулой, содержащей все решения урав-
уравнения C.36) и не содержащей ничего, кроме решений. В самом де-
деле, по теореме 3.4 при любых Ci,..., Сп C.42) является решением
уравнения C.36), а согласно только что доказанной теореме в C.42)
содержится любое решение уравнения C.36).
2. На языке линейной алгебры теоремы 3.10 и 3.11 означают, что
в пространстве решений линейного однородного уравнения C.36)
имеется базис из п элементов, т. е. это пространство п-мерно.
4. Неоднородное линейное уравнение
§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка
Рассмотрим теперь уравнение
i,<"> + ai (ж)!/^) + ¦ • ¦ + аи(а;)у = /(ж), C.44)
где а^(ж) (г = 1,..., п) непрерывны на интервале X.
Теорема 3.12. Если у\ (х),..., уп (х) — фундаментальная систе-
система решений однородного уравнения C.36), а у{х) — частное решение
неоднородного уравнения C.44), то любое решение у(х) неоднород-
неоднородного уравнения C.44) представимо в виде
СгУг(х), C.45)
г=1
где С\,..., Сп — некоторые постоянные.
Замечания.
1. Теорема справедлива при любом выборе частного решения
2. Теорему 3.12 можно сформулировать и так: общее решение не-
неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного уравнения.
Доказательство. Рассмотрим разность у(х) — у(х). Соглас-
Согласно теореме 3.5 эта разность удовлетворяет однородному уравнению
C.36), и, значит, по теореме 3.11
у(х) - у(х) =
Отсюда и последует C.45).
Таким образом, для построения общего решения неоднородного
уравнения нужно помимо фундаментальной системы решений од-
однородного уравнения знать хотя бы одно частное решение неодно-
неоднородного уравнения. Покажем сейчас, что, зная фундаментальную
систему решений, можно найти квадратурой некоторое частное ре-
решение у{х) неоднородного уравнения.
Зададимся целью построить частное решение у(х), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям
у(х0) = 0, ..., у(п~1У)(х0) = 0. C.46)
С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассужде-
рассуждением. Представим f(x) приближенно как сумму функций (элемен-
90 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
тарных воздействий), равных /(?) в промежутке (? — Д?, ?) и ну-
нулю в остальных точках. Решение ?/, отвечающее каждому такому
элементарному воздействию и имеющее при ж = жо равные нулю
производные до (п — 1)-го порядка включительно, является тожде-
тождественным нулем вплоть до ? — Д?, но
т.е. 2/^п~1^@ равно уже не нулю, а /(?)Д? и, таким образом, да-
далее решение также будет не нулем. В силу принципа суперпози-
суперпозиции достаточно построить решение однородного уравнения (ведь вне
(?—Д?, ?) правая часть равна нулю), принимающее в точке ? нулевое
значение вместе с производными до (п —2)-го порядка включительно
и с производной (п — 1)-го порядка, равной единице (обозначим это
решение /С(ж,?), указывая зависимость от начальной точки, и на-
назовем его импульсной функцией), а затем умножить его на /(?)Д?.
Итак, /С(ж, ?) строится как решение однородного уравнения, удовле-
удовлетворяющее условиям
Щ,0=0, ..., 4")(?,О = 0, 4"5(С,6 = 1, C-47)
а решение, отвечающее элементарному воздействию, имеет вид
/С(ж, ?)/(?) Д?. Суммируя теперь элементарные воздействия на осно-
основании того же принципа суперпозиции и переходя от суммы к инте-
интегралу, получим решение у(х), удовлетворяющее условию C.46):
у(х)= I Цх,0№<%. C.48)
Хо
Формула C.48) получена на основании эвристических соображе-
соображений, но нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что C.48)
есть частное решение уравнения C.44). В этой проверке и будет со-
состоять доказательство следующей теоремы.
Теорема 3.13. Выражение C.48), где функция /С(ж,?), назы-
называемая импульсной функцией, удовлетворяет однородному уравне-
уравнению C.36) и начальным условиям C.47), является частным реше-
решением неоднородного уравнения C.44), удовлетворяющим нулевым
начальным условиям C.46).
Доказательство. Найдем из C.48) у1,... ,у^. Предваритель-
Предварительно заметим, что так как ? является параметром, принадлежащим
тому же множеству, что и ж, то C.47) равносильно записи
К(х, х) = 0, ..., /С<>-2) (ж, х) = 0, /Cin-1} (ж, ж) = 1. C.47)
4. Неоднородное линейное уравнение 91
Дифференцируя C.48), имеем
у'(х) = f K'x(x,S)№dS + lC(x,x)f(x)= f
(х) = / 4И) (*, Of (О d? + /Ci") (x, x)f(x) =
= f №(*,?)№<% +№•
Возможность дифференцирования под знаком интеграла следует из
теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений от ж и начального значения переменной ж, т. е.
в данном случае от ? (см. § 5 гл. 2). Подставляя у, у',..., у^ в C.44),
получим
• • • + an(a;)?(a;, 0] Ш <% + f(x) = f(x)>
так как [•] под интегралом обращается в нуль в силу определе-
определения /С(ж,?). Таким образом, у(х) действительно является решением
уравнения C.44) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет C.46).
Замечание. В частности, для уравнения первого порядка фор-
формула C.48) совпадает с формулой B.29) при у0 = 0. В B.29) им-
пульсной функцией является множитель е € , который, со-
согласно B.26), удовлетворяет однородному уравнению и обращается
в единицу при х = ?.
Пример 3.1. Приведем пример построения импульсной функ-
функции. Рассмотрим уравнение, представляющее собой неоднородное
уравнение типа уравнения Эйлера
х2у" + ±у = /(х), х>0.
Фундаментальная система решений соответствующего однородного
уравнения имеет вид у\ = у/х cos Ц^, у2 = y/xs'm Щ^-. (Можно непо-
непосредственной проверкой убедиться, что у\ и у2 удовлетворяют урав-
уравнению; нетрудно подсчитать также определитель Вронского = А (ж)
и убедиться, что он равен 1/2.)
92 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Функцию /С(ж, ?) будем искать в виде /С(ж, ?) = Ci2/i + 622/2- Усло-
Условия /С(?,?) = 0, /Сд(?, ?) = 1 приводят к системе уравнений относи-
относительно Ci и G2:
Ci^cos ^ + C2A/^sin ^ = О,
1 2^f Г08 ^ " Sm ^) + °2 271 Г1П ^ + C°S ^) = L
271
Определив Gi и G2, приходим после несложных преобразований
к следующему выражению для /С(ж,?):
^ sin(ln л/Щ).
§ 5. Линейное уравнение n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Знание фундаментальной системы решений обеспечивает воз-
возможность найти любое решение однородного уравнения, а с приме-
применением квадратуры — также и решение неоднородного уравнения.
Существование фундаментальной системы решений было доказа-
доказано (см. теорему 3.10), однако вопрос о ее эффективном построении
остался открытым.
Пусть в C.36) а\ = const:
у(п) + aiJ/(»-i) + ... + ппУ = о. C.49)
Этот класс уравнений замечателен тем, что для него нахождение
фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим опе-
операциям, а именно, к решению алгебраического уравнения n-й сте-
степени.
Сопоставим уравнению C.49) многочлен относительно Л, назы-
вае-мый характеристическим многочленом уравнения C.49):
Лемма 3.1. Справедливо тождество
?г; [eXxf{x)} + аг ?^ [eXxf{x)} +¦¦¦ + anex*f(x) =
+ М'(Х)Г(Х) +
C.50)
§ 5. Уравнение с постоянными коэффициентами 93
Доказательство. Это тождество доказывается непосредст-
непосредственным вычислением с использованием формулы Лейбница для
дифференцирования произведения. Имеем
eXxf=eXxf,
Складывая полученные равенства, умножив их предварительно на
соответствующее а^, приходим к C.50).
Замечания.
1. Если /(ж) = хр, то C.50) принимает вид
= eXxi.M{\)xp+pM'{\)xp-1 +...
¦¦¦ + P'"(P^fc + 1)^W(\)хр-к + ¦¦¦ + М<р>(Л) \. C.51)
В частности, при р = 0 имеем
-4геЛж + сц J^TeXx + • • • + апеЛж = еЛжМ(Л). C.52)
dx dx
2. Тождества C.50)-C.52) можно записать компактнее, если обо-
обозначить через D оператор дифференцирования: -j- = Dy. Если
воспользоваться правилами сложения и умножения операторов [15;
гл. 5, § 1], то левую часть уравнения C.49) можно записать в виде
(Dn + ахВп-х + • • • + ап)у = M{D)y.
Оператор M(D) называется операторным многочленом. Он имеет
ту же структуру, что и характеристический многочлен М(Л).
94 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Введя M(D), можно тождества C.50)-C.52) записать в виде
¦+ m(wWw)(*) }
C.53)
C.54)
М(?>)еЛж=еЛжМ(А). C.55)
Отметим также следующее свойство операторных многочленов,
которое понадобится в дальнейшем. Рассмотрим наряду с M(D) не-
некоторый другой операторный многочлен N(D). Пользуясь правилом
сложения и умножения операторов, нетрудно убедиться, что опера-
операторные многочлены перемножаются по правилу обычных многочле-
многочленов:
M(D)N(D) = N(D)M(D) = Dn+S + (<ц + b^D^8'1 + • • • + anbn.
Приравнивая М(Л) нулю, получим алгебраическое уравнение п-й
степени относительно Л — так называемое характеристическое
уравнение
Хп + сцХ71-1 + • • • + ап = 0. C.56)
Предположим, что это уравнение имеет корни Ai,..., Л/ кратностей
+ • • • + mi = п).
Теорема 3.14. 1. Корню А/, характеристического уравнения
C.56) кратности rrik отвечают rrik частных решений вида
еХкХ, хеХкХ, ..., хГПк-1еХкХ. C.57)
2. Решения C.57),fc = l,...,Z, образуют фундаментальную систе-
систему решений уравнения C.49).
Доказательство. 1. Воспользуемся C.51) или C.54). Если А/,
является корнем характеристического уравнения кратности rrik, то
(см. [16; гл. 7, §3])
М{\к) = М'{\к) = • • • = M^-^iXk) = 0.
Поэтому правая часть C.51) обращается в нуль для р = 0,1,...
..., rrik — 1, а это означает, что хреХкХ (р = 0,1,..., rrik — 1) удовле-
удовлетворяет уравнению C.49), что и требуется.
§ 5. Уравнение с постоянными коэффициентами 95
2. Предположим противное, т.е. что решения C.57) (к = 1,...,/)
линейно зависимы. Это означает, что справедливо тождество
Rl{x)eXlX + • • • + Ri{x)eXlX = 0, C.58)
где через Rj(x) обозначены многочлены степени rrij — 1, не все рав-
равные нулю. Допустим, что отличным от нуля является R\ (этого
можно добиться соответствующей нумерацией Л), а в R\ старший
отличный от нуля член имеет степень р\ (pi ^ mi — 1), т.е.
причем С\Р1 ф 0.
Умножим C.58) на e~XlX. Получим
Ri(x) = 0. C.59)
Продифференцируем это тождество на единицу большее число раз,
нежели степень р\ ^ m/ — 1 многочлена R\ (x). Предварительно заме-
заметим, что для выражения А(х)еах, где а = const, А (ж) — многочлен,
при произвольном к имеет место тождество
^А(х)еах=В(х)еах,
где В(х) — многочлен той же степени, что и А(х), причем его стар-
старший коэффициент равен старшему коэффициенту А (ж), помножен-
помноженному на ак. Это тождество легко получить либо из C.53), полагая
M(D) = Dk, Л = a, f(x) = А(х), либо просто из формулы Лейбница.
Итак, дифференцируя C.59), получим
Qiix^-^ + • • • + Qt^We^1-1-^* = 0,
или
Qi (x)eXiX + ¦¦¦ + Q,_! (x)eXl~lX = 0, C.60)
где Qi(x),..., Qi-i(x) — многочлены той же степени, что и мно-
многочлены Ri(x),..., Ri-i(x), причем коэффициент старшего члена
Проделывая с C.60) ту же операцию, что и с C.58), и продолжая
этот процесс, приходим к тождеству вида
S1(x)eXlX = 0 или Si (ж) = 0, C.61)
причем коэффициент старшего члена Si (ж) есть C\Pl (Ai — A/)P/+1 • • •
• • • (Ai — A2)P2+1 и в силу C.61) он должен равняться нулю, а это
96 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
противоречит тому, что С\Р1 ф О, Ai — Л/ ф О,..., Ai — Л2 ф 0. Проти-
Противоречие приводит к выводу, что решения C.57) линейно независимы,
т. е. образуют фундаментальную систему решений, и утверждение 2,
таким образом, доказано.
В силу теоремы 3.14 общее решение уравнения C.49) является
линейной комбинацией решений C.57) (к = 1,...,/). Однако в слу-
случае комплексных А/, такое представление не всегда удобно. Можно,
однако, вместо фундаментальной системы решений C.57) пользо-
пользоваться другой фундаментальной системой решений, состоящей из
действительных функций.
Пусть А& = pk + Щк- Тогда двум комплексным решениям ви-
вида хгеХкХ, хгехьх (через А^ обозначен корень характеристического
уравнения, комплексно сопряженный А&; такой корень существу-
существует в силу действительности коэффициентов характеристического
уравнения) соответствуют, в силу теоремы 3.6, два действительных
решения:
Re(xreXkX) = xrePkX cos qkx, Im(xreXkX) = xrePkX sin qkx.
Таким образом, вместо комплексных решений можно построить
столько же действительных решений; они образуют другую фунда-
фундаментальную систему решений, будучи линейно независимыми в си-
силу того, что матрица перехода от пары комплексно сопряженных
решений к их действительной и мнимой частям имеет вид ( 1 _* J
и имеет отличный от нуля определитель, равный —2г.
Беря линейную комбинацию полученных действительных реше-
решений, приходим к представлению C.25), которое теперь, таким обра-
образом, доказано.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
уЫ + OlJ/(n-D + ... + ппу = /(Ж). C.62)
Зная фундаментальную систему решений C.57), можно постро-
построить его частное решение по теореме 3.13. Практически это, однако,
требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет
интерес класс /(ж), для которого можно построить частное решение,
не обращаясь к формуле C.48), а пользуясь чисто алгебраическими
операциями.
Теорема 3.15. Пусть f(x) = S(x)eXx, где А = const, S(x) —
многочлен степени s. Пусть А не совпадает ни с одним корнем А/.
характеристического уравнения C.56) (так называемый нерезонанс-
нерезонансный случай). Тогда существует частное решение уравнения C.62),
имеющее вид
у(х) = Р(х)еХх, C.63)
§ 5. Уравнение с постоянными коэффициентами 97
где Р(х) — многочлен тон же степени, что и S(x). Если А совпада-
совпадает с корнем характеристического уравнения А/, кратности rrik (так
называемый резонансный случай), то существует частное решение
уравнения C.62), имеющее вид
у(х) = Т(х)хткеХх, C.64)
где Т(х) — многочлен той же степени, что и S(x).
На основании этой теоремы частное решение ищется в указанном
виде, где многочлен Р(х) или Т(х) записывается с неизвестными
коэффициентами. Подставляя в уравнение C.62), сокращая на еХх
и приравнивая члены с одинаковыми степенями ж, получим систему
неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных
коэффициентов многочлена Р(х) или Т(х). Эта система будет раз-
разрешимой, поскольку существование решения такого вида обеспечено
теоремой 3.15.
Доказательство теоремы 3.15 приведем для резонансного
случая C.64), так как C.63) получается из C.64) при тк = 0. Под-
Подставим C.64) в C.62):
M(D)T(x)xmkeXx = eXxS(x) C.65)
и убедимся, что отсюда можно определить последовательно коэф-
коэффициенты многочлена Т(ж), начиная с коэффициента при старшей
степени Xs. Выделим в многочленах Т(х) и S(x) старшие члены:
S(x) = aoxs + Si(x), T(x) = Ъох'+Т^х).
Имеем тогда
M(D)boxs+mkeXx + M(D)xmkT1(x)eXx = eXxaoxs + e^S^x).
Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой C.54) и учи-
учитывая, что М(Л) = М'(А) = • • • = М(т*>)(А) = 0, а М^Шк\\) ф 0.
Получим
0 I mk\
M(D)x-kTl(x)eXx =
= eXxaoxs +eXxSi(x). C.66)
Заметим, что в {•} первое слагаемое имеет степень s, а прочие —
более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на eXxxs,
будем иметь
&M^)(A)(s + mfe)-V(s + 1) = «о.
98 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Отсюда определится Ьо через а0 в силу М^тк\\) ф 0. После этого
(З.бб) можно записать в виде
M(D)xmkT1(x)eXx = eA*5i(x), C.67)
где Si (х) многочлен степени не выше s — 1, полученный в результате
перенесения вправо всех членов выражения Ъ$еХх{-} (кроме перво-
первого), которые теперь известны.
Соотношение C.67) представляет собой уравнение, аналогичное
C.65), но степени многочленов Ti(x) и Si(x) на единицу ниже Т(х)
и S(x). Из C.67) аналогично предыдущему определится старший
коэффициент многочлена Ti(x) = aixs~x + ^(ж), т.е. определятся
уже два старших члена многочлена Т(х). Продолжая процесс, опре-
определим последовательно все члены Т(х).
Метод отыскания частного решения, основанный на доказанной
теореме, будем называть методом неопределенных коэффициентов.
Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами фундамен-
фундаментальная система решений, а в случае правой части вида eXxS(x) так-
также и частное решение неоднородного уравнения могут быть построе-
построены в эффективной форме путем алгебраических операций. В заклю-
заключение укажем один специальный класс уравнений с переменными
коэффициентами, для которого фундаментальную систему решений
также можно построить эффективно. Это так называемое уравнение
Эйлера
хпаоу(п) + хп-1а1у{п-1) + • • • + апу = 0, аг = const. C.68)
Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой
независимого переменного х = е^ уравнение C.68) сводится к урав-
уравнению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об эф-
эффективном построении фундаментальной системы решений.
Для отыскания частного решения неоднородного уравнения Эй-
Эйлера в случае, если правая часть имеет вид xxS(\nx), применим
метод неопределенных коэффициентов.
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория
Обратимся к изучению системы линейных дифференциальных
уравнений
Vi = ^2 aik{x)yk + fi(x), i = 1,...,п. C.69)
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 99
Система C.69) называется однородной, если fi(x) = 0 для всех
i = 1,... ,п, в противном случае — неоднородной. Будем предпола-
предполагать dikix) и fiix) непрерывными на интервале X. Как было доказа-
доказано выше (см. § 2), при этих условиях на X существует единственное
решение системы C.69), удовлетворяющее начальному условию
Vi(xo)=y?, i = l,...,n. C.70)
Для системы уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем,
которые были доказаны для одного уравнения n-го порядка.
1. Матричная запись. В целях максимального упрощения фор-
формы изложения нам будет удобно пользоваться матричной записью.
Напомним основные факты матричного исчисления, которые пона-
понадобятся для этого.
1°. Матрицей размерности п х т (или (п х т)-матрицей) называ-
называется таблица чисел а^ вида
0*71171 t
Числа aik называются элементами матрицы.
В настоящем параграфе мы будем использовать квадратные мат-
матрицы (иначе (пхп)-матрицы) и так называемые столбцы (или (пх 1)-
матрицы)
или просто
\
Будем обозначать матрицы а,Ъ,с и т.д., а их элементы соответ-
соответственно ац, Ьц, сц и т. д.
2°. Матрицы а и b считаются равными, если ац = bij. Матри-
Матрица а считается равной нулю, если ац = 0 для всех i = 1,...,п,
3°. Над (п х т)-матрицами определены операции сложения и ум-
умножения на число.
Суммой матриц а и b называется матрица с (обозначается с =
= а + Ь) такая, что сц — ац + Ьц.
Произведением матрицы а на число а называется матрица с (обо-
(обозначается с = аа) такая, что сц = аац.
4°. Если а является (п х т)-матрицей, а Ъ является (т х р)-
матрицей, то произведением матриц а и Ъ называется матрица с
размерности п х р (обозначается с = аЪ) такая, что
100 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Умножение матриц обладает сочетательным и распределительным
свойствами.
Для квадратных матриц одинаковой размерности определено и
произведение аЪ и произведение 6а, но коммутативным свойством
умножение матриц, вообще говоря не обладает, т. е. аЪ ф Ъа.
5°. Матрицей, обратной к п х n-матрице а, называется матри-
матрица с (обозначается с = а) такая, что аоГ1 — а~ха — Е, где
/ i ... о\
Е = I I — так называемая единичная матрица, у кото-
V о ... 1 /
рой элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице,
все остальные элементы равны нулю. Элементы обратной матри-
матрицы могут быть найдены, например, по формулам сц = -^Aji, где
А = Deta, а А^ — (—1)^'+гМ^ — алгебраическое дополнение к эле-
элементу ctji, Mji — минор (п — 1)-го порядка, получающийся из опре-
определителя а вычеркиванием j-й строки и г-го столбца; j, г = 1,..., п.
Будем рассматривать также матрицы, у которых элементы явля-
являются функциями х. Для таких матриц помимо вышеуказанных опе-
операций определены также операции анализа — дифференцирование
и интегрирование.
6°. Производной а'{х) от матрицы а{х) с элементами а^(ж) на-
называется матрица с элементами а'-. Правила дифференцирования
суммы и произведения сохраняются и для матриц, только при диф-
дифференцировании произведения матриц необходимо сохранять поря-
порядок сомножителей:
(аЬУ = а'Ь + аЬ'.
X
7°. Г а(х) dx определяется как матрица с элементами
Хо
X
Г ctij(x) dx.
хо
2. Общие свойства системы линейных уравнений. Обра-
Обратимся к системе C.69). Обозначим через у, f и у0 столбцы
У=[ ! , /= I , У° =
\Уп) \fn) \у°п.
а через А(х) обозначим (п х п)-матрицу с элементами а
(аи (ж) ... aln(x)
ап1(х) ... апп(х)
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 101
Тогда систему C.69) можно записать в виде одного уравнения
y' = A(x)y + f(x) C.71)
точно так же, как и начальные условия
УЫ = у0. C.72)
Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения 3° и пра-
правилом равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что C.71)
и C.72) те же самые, что и C.69) и C.70).
В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для
дифференцируемых столбцов имеет место тождество (ср. C.34)),
в котором ai — постоянные числа,
C.73)
выражающее свойство линейности оператора у' — Ay = L[y] на мно-
множестве дифференцируемых столбцов.
Здесь и в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреб-
употреблять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без
скобок для обозначения элементов (компонент).
Непосредственным следствием этого тождества является прин-
принцип суперпозиции.
Теорема 3.16. Пусть в уравнении C.71) f(x) является линей-
линейной комбинацией f^ (х), т. е.
где ai — постоянные числа, и пусть у^ (х) является решением урав-
уравнения
V{i) =A(%)y(i) +/(i).
Тогда линейная комбинация у^){х) с теми же коэффициентами ai,
т.е. столбец у(х) = ^2i=1 aiy^(x), является решением уравнения
C.71).
Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 3.4-3.6.
3. Однородное уравнение. Рассмотрим более детально одно-
однородное уравнение
У' = А(х)у. C.74)
102 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Пусть имеется п столбцов
/2/@1'
2/@ = :
\У(г)п.
Составим из этих столбцов матрицу W{x):
/() ()
W(x)=l |. C.75)
Сопоставим уравнению C.74), правая и левая части которого столб-
столбцы, аналогичное уравнение
W' = A(x)W, C.76)
правая и левая части которого — матрицы размерности (п х п)
и в котором неизвестной является матрица W(x).
Теорема 3.17. Пусть 2/(i),... ,2/(п) есть п решений уравнения
C.74). Тогда (п х п)-матрица W(x), образованная из них по форму-
формуле C.75), является решением матричного уравнения C.76).
Обратно: если]?(х) является решением уравнения C.76), то каж-
каждый столбец матрицы W{x) является решением уравнения C.74).
Доказательство. Достаточно расписать C.76) и C.74) поэле-
поэлементно. Действительно, C.76) означает
C.77)
ИЛИ
/ X Л /Q <-7Q\
k=l
а C.74) означает
п
I V ^ /Г) 1-7Г\\
Уг = 2_^сцкУк' C.79)
к=1
Поэтому если у^ являются решениями C.74), то каждое у^ удо-
удовлетворяет C.79), т.е. справедливо C.78) или, что то же, C.77),
а значит, и C.76), и наоборот, если справедливо C.76), то и C.78),
а это в сопоставлении с C.79) означает, что у^ (j = 1,..., п) явля-
является решением уравнения C.74).
Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 103
Теорема 3.18. Если W(x) — решение уравнения C.76), то вы-
выражение WB является решением уравнения C.74), если В — про-
произвольный постоянный столбец, и решением уравнения C.76), если
В — произвольная постоянная (n x п) -матрица.
Определение. Будем говорить, что столбцы i*(i),... ,U(P) ли-
линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные
Ci,..., Ср не все равные нулю, такие, что имеет место тождество
р
^2ciU{i)(x) = o, хех. C.80)
Если же C.80) выполняется только при С\ = • • • = Ср = 0, то будем
говорить, что iA(i), • • •, 1*(р) линейно независимы.
Рассмотрим п дифференцируемых столбцов УA),..., 2/(п)- Запи-
Запишем для них равенство C.80):
п
Y,CiV(i)(x)=0. C.81)
г=1
fCl\
Введем в рассмотрение постоянный столбец С = I : I. Пользуясь
этим столбцом и матрицей W(x), составленной из у^ по правилу
C.75), можно C.81) записать в виде
WC = 0. C.82)
Так как согласно п. 2° правил матричного исчисления С считается
равным нулю, если все Ci {г = 1,..., п) равны нулю, то определение
линейной зависимости и независимости УA), • • •, У(п) можно сформу-
сформулировать следующим образом.
Определение. Будем говорить, что столбцы 2/(i),... ,2/(п) ли-
линейно зависимы на интервале X, если существует постоянный стол-
столбец С ф 0 такой, что тождественно на X имеет место C.82).
В противном случае, т. е. если C.82) справедливо только при
G = 0, будем говорить, что УA), • • •, У(п) линейно независимы.
Определение. Назовем А(х) = DetW(x) определителем
Вронского для з/A),..., У(п) •
Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогичные
теоремам 3.7-3.9 из теории уравнений n-го порядка. Все эти доказа-
доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться вве-
введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лишь
некоторого навыка.
104 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Теорема 3.19. Если решения у^,..., ?/(п) уравнения C.74) ли-
линейно зависимы на X, то А (ж) = 0 на X.
Доказательство. Имеем WC = 0, С ф 0. Эта запись являет-
является кратким обозначением того факта, что при каждом ж величины
С\,..., Сп удовлетворяют системе линейных алгебраических урав-
уравнений с определителем А (ж), и так как решение нетривиальное, то
А(ж) = 0 при любом ж е X, т. е. А(ж) = 0.
Теорема 3.20. Если А(х) = 0 хотя бы для одного х е X, то
решения У(\), . . . ,У(п) уравнения C.74) линейно зависимы на X.
Доказательство. Запишем кратко доказательство этой тео-
теоремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в преды-
предыдущей. Возьмем хо Е X, и пусть А(жо) = 0. Составим уравнение
W(xo)C = 0 относительно С. В силу А(жо) = 0 существует решение
С ф 0. Положим у[х) = W{x)C. Согласно теореме 3.18 это — реше-
решение уравнения C.74), причем у(хо) = W(xo)C = 0, а тогда, в силу
теоремы единственности, у(х) =0 и, таким образом, W(x)C = 0, что
означает линейную зависимость У{\),..., У(п)-
Теорема 3.21 (альтернатива). Определитель Вронского либо
тождественно равен нулю, и это означает, что решения у^,..., у^
линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X,
и это означает, что решения У(\),...,У(п) линейно независимы.
Определение. Фундаментальной системой решений уравне-
уравнения C.74) будем называть п линейно независимых решений у^,...
• • • ?2/(п) уравнения C.74), а соответствующую им по формуле C.75)
матрицу W(x) будем называть фундаментальной матрицей.
На основании теоремы 3.20 можно дать другое (эквивалентное)
определение фундаментальной матрицы.
Определение. Решение W{x) уравнения C.76), для которого
А (ж) отлично от нуля всюду на X, называется фундаментальной
матрицей.
Теорема 3.22. Линейная однородная система уравнений имеет
фундаментальную матрицу.
В силу теоремы 3.21 достаточно взять произвольную матрицу
a = const с отличным от нуля определителем и задать для W на-
начальное условие W(xq) = a.
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 105
Теорема 3.23. Если W(x) — фундаментальная матрица, то лю-
любое решение у{х) уравнения C.74) представимо в виде
у(х) = W(x)C, C.83)
где С — некоторый постоянный столбец.
Доказательство. Пусть у(хо) = у0. Определим С уравнени-
уравнением W(xo)C = у0, которое разрешимо в силу Д(жо) Ф 0. Построим
у(х) — W(x)C. Так как у(хо) = W(xo)C = у0, то в силу теоремы
единственности у{х) = у{х) = W(x)C, что и требовалось.
Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.22 и 3.23
означают, что пространство решений уравнения C.74) п-мерно.
Построим решение уравнения C.74), удовлетворяющее условиям
C.72), выразив с помощью W(x) величину С через у0. Имеем
у(х0) = W(xo)C = у0,
откуда С = W~1(xo)y° и, следовательно,
y(x) = W(x)W-l(x0)y°.
Матрицу /С(ж,жо) = W(x)W~1(xo), являющуюся функцией двух пе-
переменных хихо, назовем (ср. § 4) импульсной матрицей, или ма-
трицантом. В силу теоремы 3.18 /С(ж,жо) как функция х удовлет-
удовлетворяет уравнению C.76). Кроме того, очевидно, что
/С(жо,жо) = Е.
Таким образом, справедлива
Теорема 3.24. Решение задачи C.74), C.72) имеет вид
у(х)=Цх,хо)у°, C.84)
где матрица К(х,хо) удовлетворяет по аргументу х матричному
уравнению C.76) и условию /С(жо,жо) = ^г
4. Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное
уравнение C.71).
Теорема 3.25. Если W(x) — фундаментальная матрица, а
у(х) — частное решение неоднородного уравнения C.71), то любое
решение у{х) уравнения C.71) представимо в виде
y{x)=W{x)C + y{x), C.85)
где С — некоторый постоянный столбец.
106 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Доказательство точно такое же, как в случае уравнения п-го
порядка, и мы его опускаем.
Построим частное решение у(х), удовлетворяющее нулевым на-
начальным условиям у(хо) = 0. Будем искать его в виде
у(х) = W(x)C(x),
где С(х) — неизвестный столбец. Это фактически просто замена
переменных. Подставляя у(х) в C.71), получим
W'C + WC = AWC + /.
Так как W удовлетворяет C.76), то W — AW = 0 и, следовательно,
WC = /. Отсюда С = W-1/. А так как у(х0) = W(xo)C(xo) = 0,
то С(хо) = 0 и, следовательно,
С(х)= /W-1
Таким образом,
у(х) = I W(x)W-1@f@^ = I
хо хо
и справедлива
Теорема 3.26. Частное решение у{х) уравнения C.71), удовле-
удовлетворяющее условию у(хо) = 0, имеет вид
у(х)= I К{х, ?)№<%, C.86)
хо
где /С(ж, ?) — импульсная матрица, или матрицант, — решение ма-
матричного уравнения C.76), удовлетворяющее условию /С(?, ?) = Е.
Замечания.
1. Изложенный метод построения частного решения системы ли-
линейных уравнений фактически является вариантом метода вариа-
вариации постоянных, который для одного уравнения использовался
в гл. 2 (с. 31-33).
2. В силу принципа суперпозиции решение у(х) задачи C.71),
C.72) имеет вид
у(х) = /С(х, хо)у° + / /С(х, Of @ #. C.87)
§ 7. Системы с постоянными коэффициентами 107
§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Пусть в C.74) А — постоянная матрица,
у' = Ау, А = const. C.88)
В этом случае построение фундаментальной системы решений или
фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.
Будем искать частное решение системы C.88) в виде аеХх, где
А — неизвестный параметр, а — неизвестный постоянный столбец.
Подставляя это выражение в C.88), получим ХаеХх = АаеХх. От-
Отсюда делаем вывод, что а должно быть решением алгебраической
системы уравнений
(А - ХЕ)а = 0. C.89)
Для того чтобы а было нетривиальным решением, нужно потребо-
потребовать, чтобы
Bet(A - ХЕ) = 0. C.90)
Это уравнение является алгебраическим уравнением степени п и на-
называется характеристическим уравнением уравнения C.88).
Пусть Ai,..., Ап — простые корни характеристического уравне-
уравнения C.90). Каждому А^ отвечает а^ ф 0 (собственный вектор матри-
матрицы А), который находится из C.89), где положено А = А^. В качестве
компонент а({) можно взять, например, алгебраические дополнения
к одной из строк определителя Det(A — XiE).
Теорема 3.27. Пусть Ai,..., Ап — простые корни характери-
характеристического уравнения C.90) и пусть а^ — решение (нетривиаль-
(нетривиальное) уравнения (A — XiE)a = 0. Тогда столбцы a^eXiX (i = 1,..., n)
образуют фундаментальную систему решений уравнения C.88).
Доказательство проводится по схеме, которая была исполь-
использована в § 5. Предположим, что решения a^eXiX линейно зависимы:
п
^2da(i)eXiX =0, d ф0. C.91)
г=1
Отсюда имеем
Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа
C.91), содержащему уже п — 1 слагаемых. Повторяя операцию, при-
приходим в конце концов к равенству C\QL(i\ =0. Так как хотя бы одна
108 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
из компонент а^ отлична от нуля, то получаем отсюда С\ = 0, что
противоречит C.91).
Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое урав-
уравнение C.90) имеет корни Ai,..., А^ кратностей mi,..., mi [m\ + • • •
• • • + rrii = п). Из предыдущего ясно, что a^eXiX, где а^ — соб-
собственный вектор, отвечающий А^, будет решением уравнения C.88).
Каждому Xi в рассматриваемом случае может отвечать несколько
собственных векторов, но, вообще говоря, их число pi ^ га^. Таким
образом, решений вида a^eXiX может быть меньше п и они, следо-
следовательно, не образуют фундаментальной системы решений.
Для того чтобы выяснить, откуда взять «недостающие» решения,
потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть
у — решение уравнения C.88). Тогда компоненты yi этого решения
удовлетворяют системе уравнений
anyi Н Ь ainyn - Вуг = 0, г = 1,..., п, C.92)
где D — оператор дифференцирования (см. замечание 2 к лем-
лемме 3.1). Определитель Det(A — ED) = M(D) представляет собой не-
некоторый операторный многочлен n-й степени. Если вместо D подста-
подставить А, то получится левая часть характеристического уравнения
C.90) или характеристический многочлен системы C.88). Так как
умножение операторных многочленов можно производить по прави-
правилу умножения обычных многочленов, то, умножая C.92) на алгеб-
алгебраические дополнения Aij(D) определителя Det(A — ED) (умноже-
(умножение понимается как умножение операторов) и суммируя по г, полу-
получаем
М{р)у, =0, j = l,...,n,
а это — дифференциальное уравнение порядка п относительно у^
характеристический многочлен которого совпадает с характеристи-
характеристическим многочленом системы C.88). Таким образом, справедлива
следующая
Теорема 3.28. Каждая компонента yj решения у системы C.88)
удовлетворяет уравнению n-го порядка, характеристический мно-
многочлен которого равен характеристическому многочлену системы
C.88).
Рассмотрим корень А& кратности т&. Индекс к будем в нижесле-
нижеследующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только
с одним корнем. Этому корню А отвечает решение у системы C.88),
j-я компонента которого yj в силу теоремы 3.28 имеет вид (см. тео-
теорему 3.14)
Vj = (dj + C2jX + • • • + CmjX™-1^*,
§ 7. Системы с постоянными коэффициентами 109
где Ckj = const, и, таким образом,
ц + С21х + ¦ ¦ ¦ + Ст1хт-Х
У= \еХх. C.93)
В этом выражении, однако, поскольку компоненты yj не независи-
независимы, а связаны системой C.92), постоянные Ckj не являются неза-
независимыми.
Оказывается, в выражении C.93) число независимых констант
Ckj равно кратности т корня А. Обоснованием этого факта мы зай-
займемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фунда-
фундаментальной системы решений уравнения C.88).
Обозначим свободные постоянные через С\,..., Сш. Подставим
C.93) в C.88), сократим на еХх и приравняем члены с одинаковы-
одинаковыми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая система
т х п однородных уравнений с т х п неизвестными Ckj, которые
можно выразить линейно через свободные постоянные С\,..., Сш.
После этого C.93) можно записать в виде
у = [ClPl (x) + --- + СтРт (х)]еХх, C.94)
где Рг(х) — столбцы, компоненты которых являются вполне опре-
определенными многочленами относительно х степени не выше т — 1.
Из C.94) следует, что корню характеристического уравнения Л
кратности т отвечают т решений видаpi(x)eXx (г = 1,..., т). Такое
построение можно проделать для каждого А/, кратности т/.. В ре-
результате получим TTii + • • • + ш/ = п решений.
Ниже будет доказано, что полученные описанным способом п ре-
решений образуют фундаментальную систему решений уравнения
C.88).
Практически для нахождения фундаментальной системы реше-
решений рекомендуется для каждого Л написать выражение C.93), за-
затем подставить в C.88) и из полученной указанным выше способом
алгебраической системы выразить все постоянные через свободные
постоянные. То, что число свободных постоянных заранее известно
и равно кратности т корня Л, помогает решению этой алгебраиче-
алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг.
Пример 3.2.
2/i =4з/1-2/2, 2/2 = 32/i+2/2-2/3, 2/з= 2/1+2/3- C.95)
110 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет ко-
корень Ai = 2 кратности тп\ = п = 3. Согласно изложенному выше
правилу пишем выражение
C.96)
Подставляя его в C.95), сокращая на е2х и приравнивая члены с оди-
одинаковыми степенями х, получим следующие 9 уравнений для опре-
определения 9-ти коэффициентов:
Bl=2Bo — Ьо, 2B2 = 2Bi—Ъ\ , 0 = 2а2— Ъ2,
С\ = do ~coi 2с2= а\ —С\, 0= а2 — с2.
Заранее известно, что ранг этой системы равен б и свободных
неизвестных 3.
Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные
в порядке ао, bo, Co, a\->b\,c\, a2,b2, с2 легко видеть, что правый верх-
верхний определитель б-го порядка отличен от нуля и равен, очевидно,
произведению диагональных элементов, т. е. 8, так как справа от
главной диагонали — нули. Следовательно, в качестве свободных
неизвестных можно взять ао, Ьо, со.
Первая группа уравнений C.97) уже дает выражения для а\,Ь\, с\
через ао, Ьо, со, а подставляя их во вторую группу уравнений C.97),
получим
а2 = 2 (ао — Ьо -\- со), Ь2 = ао — Ьо + со, с2 = 2"(ао — Ьо + со).
Третья группа уравнений C.97) обращается автоматически в тожде-
тождество.
Подставляя полученные выражения в C.96) и приводя его к виду
C.94), будем иметь
C.98)
§ 7. Системы с постоянными коэффициентами 111
Здесь ао, fro? со — произвольные постоянные (можно их обозначить
Ci? C2, Сз, как в C.94)), векторы pi (ж), Р2(ж), Рз(х) усматривают-
усматриваются в правой части C.98). Таким образом, получено решение системы
C.95) в виде линейной комбинации трех линейно независимых ре-
решений pi(x)e2x (i = 1,2,3).
Чтобы обосновать указанный прием, нужно фактически обосно-
обосновать два момента: во-первых, то, что в выражении C.93) число неза-
независимых констант Ckj равно кратности т корня Л, и, во-вторых, то,
что решения вида pki (х) еХкХ (г = 1,... , т/.; к = 1,...,/) действитель-
действительно образуют фундаментальную систему решений уравнения C.88).
Для этого потребуется более точное представление о структуре ре-
решений, отвечающих каждому корню характеристического уравне-
уравнения, чем то, которое дается формулой C.93). Перейдем к получению
такого представления. Будем иначе вести нумерацию корней харак-
характеристического уравнения или, что то же самое, характеристиче-
характеристических чисел матрицы А, а именно будем нумеровать собственные век-
векторы. Тем самым каждое значение Л нумеруется столько раз, сколь-
сколько линейно независимых собственных векторов ему отвечает. Напри-
Например, если Ai отвечают собственные векторы «(ц), «A2), • • • •> a(ipi)?
а Л2 — собственные векторы a^i), ^B2M • • • •> аBр2) и т-Д-> т0 бу-
будем говорить, что имеются характеристические числа Ai, Л2,..., ХР1,
АР1+1,...,АР1+Р2 и т.д. (при этом Ai = --- = APl, APl+i = -• • = АР1+Р2).
Таким образом, имеются Ai,...,As, каждому из которых отвечает
собственный вектор.
Дальнейшие построения основаны на следующей алгебраической
теореме.
Теорема 3.29 (см. [15]). Существует п линейно независимых
постоянных векторов {столбцов) (к = 1,..., s; jk = 1, • • •, Як), Удо-
Удовлетворяющих соотношениям
е^к1), к = 1,..., s; Я\ Л V Яз = Щ
Ae(kqk) = bke(kqh) +e(fegfc_iM
причем сумма Як? отвечающих одинаковым \^, равна тп, где m —
кратность корня А/, характеристического уравнения C.90).
В C.99) через e^i) обозначен собственный вектор, отвечающий А^.
Векторы e^2)j..., e(kqk) называются присоединенными векторами,
порожденными собственным вектором е^щ. Таким образом, каждо-
каждому А& отвечают Як линейно независимых векторов, среди кото-
которых один собственный вектор и остальные присоединенные, а всем
112 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Ai,...,As отвечают п линейно независимых векторов. Напомним,
что А/, для разных к могут быть одинаковыми.
Рассмотрим Хк. Ему заведомо отвечает решение y^i) — e(ki)eXkX •
Оказывается, ему отвечает еще qk — 1 (и всего, таким образом, qk)
решений, как утверждается следующей теоремой.
Теорема 3.30. Каждому А/, отвечает qk решений вида
У(к1) = е(/е1)ехрА/еж,
У(к2) = (е(к2) +хе(к1))ехр(\кх),
У{кз) =
" ^ ехр(А^ж).
Доказательство. Это нетрудно доказать непосредственной
проверкой, пользуясь C.99). Действительно,
(А - ED)le(kj) + хе^-ц + • • • + JJ_ ^(ki) >
=(А-\кЕ){- }(А)^ + + f
ж)| (А - \kE)ekj
= 0.
Итак, каждому А/, (к = 1,..., s) отвечает qk решений вида C.100),
и, таким образом, всего имеется q\ + • • • + qs = n решений:
2/A1), • • • ,2/A</i)j • • • >2/(el)j • • -iVisqs)- C.101)
Теорема 3.31. Решения C.101) образуют фундаментальную си-
систему решений.
Доказательство. Действительно,
У(к1) @) = е(к1) , • • • ,
§ 8. Решение методом степенных рядов 113
а согласно теореме 3.29 столбцы е^),..., ?(kqk) (& = 1? • • • •> s) B ко-
количестве q\ + • • • + qs = n являются линейно независимыми и, сле-
следовательно, DetVF(O) ф 0. В силу теоремы 3.19 отсюда следует, что
решения C.101) линейно независимы, т.е. образуют фундаменталь-
фундаментальную систему решений.
Вернемся теперь к прежней нумерации корней характеристиче-
характеристического уравнения, когда нумеруются различные по величине Л. Каж-
Каждому Л может отвечать несколько групп решений вида C.101) по
числу отвечающих этому Л собственных векторов, но общее число
решений в этих группах равно кратности т корня Л. Таким образом,
действительно, линейная комбинация решений, отвечающих данно-
данному Л, имеет вид C.93), где независимых констант будет т, так как
число решений типа C.101), отвечающих этому Л, есть т. Заме-
Заметим, что, как видно из C.100), C.101), старшая степень многочленов
в C.93), вообще говоря, меньше, чем т — 1.
При практическом вычислении фундаментальной системы реше-
решений можно пользоваться C.100), предварительно найдя все соб-
собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как ука-
указано выше, подставляя C.93) в исходное уравнение C.88) и выделяя
т свободных неизвестных Ckj.
§ 8. Построение решения линейного уравнения
в виде степенного ряда
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами предста-
представляет собой некоторый класс уравнений, для которых фундамен-
фундаментальная система решений может быть выписана эффективным об-
образом.
Как же строится фундаментальная система решений в общем слу-
случае уравнения с переменными коэффициентами? Цель настоящего
параграфа — дать представление о способе построения фундамен-
фундаментальной системы решений, использующем теорию степенных рядов
и применимом, когда коэффициенты уравнения являются анали-
аналитическими функциями, т. е. представимы в виде степенных рядов.
Идея метода такова. Решение ищется в простейшем случае в виде
ЕОО h
к=0 dkX , затем этот ряд подставляется в уравнение, в ко-
котором коэффициенты записываются также в виде степенных рядов,
после чего вся левая часть записывается в виде степенного ряда.
Приравнивая в полученном степенном ряде коэффициенты при каж-
каждой степени х нулю, получим уравнение для определения а/..
114 Гл. 3. Линейные дифференциальные уравнения
Отметим, что, строя решение в виде степенного ряда, мы во мно-
многих случаях получаем так называемые специальные функции, широ-
широко используемые как в теоретических, так и в прикладных вопросах
(например, функции Бесселя, гипергеометрические функции и др.).
Не задаваясь целью изложить метод в общем виде — это явля-
является предметом специального раздела теории дифференциальных
уравнений, так называемой аналитической теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений [27; гл.5], продемонстрируем его на примере одного
уравнения, нередко встречающегося в приложениях.
Рассмотрим уравнение
у" + ху = 0, C.102)
называемое уравнением Эйри. Оно встречается в различных при-
приложениях, например, в квантовой механике. Это простейшее урав-
уравнение второго порядка с переменным коэффициентом, однако оно
не поддается решению элементарными методами.
Будем искать решение уравнения C.102) в виде так называемого
формального ряда
оо
2/ = 5>*ж*- C-103)
Заранее ничего не известно о сходимости этого ряда, и поэтому все
операции, которые мы сейчас будем проделывать с этим рядом, бу-
будут носить формальный характер; на эти операции надо смотреть
как на алгоритм определения коэффициентов ряда ак. Когда же ко-
коэффициенты будут определены, перейдем к этапу обоснования того,
что ряд C.103) в самом деле сходится и определяемая им функция
у(х) действительно является решением уравнения C.102).
Итак, дифференцируем формально ряд C.103) и подставляем
в C.102). Получим
ОО ОО
к~2 + ^ акхк+1 =
4 акк(к - 1)хк~2 + 2^ акх = °- C-104)
к=2 к=0
Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях х.
Имеем
х°) а2-2-1 = 0; отсюда а2 = 0,
х1) аз*3-2 + ао = 0; отсюда аз = —-f%,
6 C.105)
хк~2) ак-к-(к-1) + ак-3 = 0; отсюда ак = - ,?^~gL ¦
§ 8. Решение методом степенных рядов 115
Из C.105) видно, что
1) коэффициенты вида a%q выражаются через а^.
причем само ао остается неопределенным,
2) коэффициенты вида asq+i выражаются через а\:
(-1)"
ai
причем само а± остается неопределенным, и, наконец,
3) коэффициенты вида #зд+2 выражаются через а^'.
так как а^ — 0.
Положим по = 1, а\ =0. Получим ряд
оо оо
У1(Х) = Y:3« 1 + Е
Полагая, напротив, а^ = 0, ai = 1, получим ряд
оо оо
= - + Е
ЕCg+i Зд-.4.зж- (
Теорема 3.32. Ряды C.106) и C.107) сходятся, и определяемые
ими функции yi (х) и г/2 (х) образуют фундаментальную систему ре-
решений уравнения C.102).
Доказательство. Действительно, сходимость рядов C.106)
и C.107) элементарно устанавливается для любого ж, например, по
признаку Даламбера [16], и, таким образом, у\(х) и 2/2(ж) определе-
определены всюду на (—оо, оо). Так как степенной ряд на интервале сходи-
сходимости можно почленно произвольное число раз дифференцировать,
то, проделывая это дифференцирование, подставляя в левую часть
C.102) (см. C.104)) и складывая затем оба ряда, получим в силу
самого определения коэффициентов а/, ряд, состоящий из нулевых
членов. Тем самым уравнение обращается в тождество.
Линейную независимость у\{х) и 2/2(ж) можно доказать от про-
противного. Пусть Ciyi(x) + С2У2(%) = 0, причем С\ + С\ ф 0. Положим
х — 0. Тогда 2/2@) = 0, 2/1 @) = 1? следовательно, С\ — 0. Имеем
тогда С2У2{х) = 0, но тогда 2/2{х) = 0, что противоречит, например,
тому, что 2/2@) = 1- Таким образом, теорема доказана.
ГЛАВА 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка краевых задач
и их физическое содержание
В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений
было в основном посвящено решению начальной задачи, в кото-
которой в качестве дополнительных условий задаются начальные усло-
условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производ-
производных при фиксированном значении независимой переменной. Одна-
Однако, как указывалось в гл. 1, начальные условия не являются един-
единственно возможной формой дополнительных условий, выделяющих
определенное частное решение. Во многих случаях в качестве до-
дополнительных условий задаются граничные условия, определяю-
определяющие значения неизвестной функции и ее производных (или некото-
некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях
независимого переменного. Задачу определения частного решения
дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным гра-
граничным условиям, будем называть краевой задачей. Исследование
общих свойств и методов решения краевых задач и составляет содер-
содержание настоящей главы, при этом основное внимание будет уделено
изучению краевых задач для линейных дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка.
К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся
многие математические и физические задачи. Так, рассмотренная
в гл. 1 задача определения состояния статического равновесия за-
закрепленного в граничных сечениях упругого стержня с коэффици-
коэффициентом упругости к(х) под действием внешней силы f(x) сводится
к краевой задаче
ш
Аналогично для амплитуды и{х) установившихся гармонических
колебаний частоты ш получим краевую задачу
, u@) = 0, «@ = 0. D.2)
§ 1. Постановка краевых задач 117
Здесь р(х) — плотность стержня. В случае задания величины сме-
смещения граничных сечений или задания действующих на граничные
сечения внешних сил однородные граничные условия следует заме-
заменить на неоднородные условия вида
ЦО) = щ или fc@)^@) = -/@). D.3)
К краевой задаче для системы дифференциальных уравнений
второго порядка
сводится задача определения траектории материальной точки мас-
массы т, выходящей в начальный момент to из заданной точки г о
(г(to) = Го) и попадающей в момент t\ в точку v\ [v(t\] = V\).
В дальнейшем будут рассматриваться краевые задачи на отрез-
отрезке [0,I] оси х для линейных дифференциальных уравнений второго
порядка
у" + д(х)у' + Цх)у = Мх), D.5)
где д(х), h(x), Д (ж) — непрерывные функции на [0,1]. Введем функ-
функцию
р(х) = е*о D.6)
и заметим, что
D-7)
Умножая D.5) на р(х) (очевидно, р(х) ф 0 на [0,/]), получим
L[y] = j-x [p(x)&] - q(x)y(x) = f(x), D.8)
где q{x) = —p{x)h{x), f{x) = p(x)fi(x), а через L[y] мы обозначали
дифференциальный оператор в левой части D.8). Из проведенных
рассмотрений следует, что без ограничения общности рассмотрение
краевых задач для общего линейного дифференциального уравне-
уравнения второго порядка D.5) может быть сведено к изучению краевых
задач для уравнения D.8).
Краевые задачи для уравнения D.8), как правило, рассматрива-
рассматриваются с линейными граничными условиями вида*)
а1У'@)+/31У@)=и0,
a2y'(l)+f32y(l)=uh ( ' }
*)В D.9) предполагаются односторонние производные.
118 Гл. 4. Краевые задачи
где «i, A (i = 1,2), г/о, ^/ — заданные числа, некоторые из них могут
быть равны нулю, причем а%+/3? ф 0 (г = 1, 2). Если cti = 0 (г = 1, 2),
то соответствующее граничное условие обычно называется условием
первого рода; если fa = 0 (г = 1,2) — условием второго рода, если
oti и fii одновременно отличны от нуля — условием третьего рода.
Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна ну-
нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами. Рассмотре-
Рассмотрению этих задач посвящен § 2 настоящей главы.
Краевые задачи для однородного уравнения с однородными гра-
граничными условиями будем называть однородными краевыми зада-
задачами.
Очевидно, что однородная краевая задача, например, задача
L\y] = 0, 0<х<1, ?/@) = 0, 2/@=0, D.10)
всегда имеет тождественно равное нулю, так называемое тривиаль-
тривиальное решение у(х) = 0. Может оказаться, что других решений задача
не имеет. Это означает, что, решая на отрезке 0 ^ х ^ I начальную
задачу для уравнения L[y] = 0 с начальными условиями у@) = 0,
у'@) = у\ (в силу теоремы существования решения начальной зада-
задачи — теорема 3.1 — такое решение существует и при у\ ф 0 не равно
тождественно нулю), мы при всевозможных значениях у\ ф 0 полу-
получим функцию y(x,yi), обладающую тем свойством, что y(l,yi) ф 0.
Аналогичное положение будет и при задании соответствующих на-
начальных условий на правом конце отрезка и построении интеграль-
интегральных кривых справа налево. Например, задача
у"(х)=0, 0<ж<1, s,@) = уA) = 0
имеет только тривиальное решение у(х) = 0.
Если же при некотором значении у\ ф 0 построенное указанным
способом решение y(x,yi) начальной задачи при х = I удовлетво-
удовлетворяет второму граничному условию y(l,yi) = 0, то это означает, что
данная однородная краевая задача помимо тривиального имеет еще
и не равное тождественно нулю решение. Такое решение однород-
однородной краевой задачи будем называть нетривиальным. Отметим, что
в силу линейности задачи в этом случае и функция Cy(x,yi) при
любом значении постоянной С ф 0 является нетривиальным реше-
решением данной однородной задачи. Например, задача
у" + у = О, 0<х<^, 2/@) = 2/(тг) = 0,
как легко проверить, помимо тривиального решения у(х) = 0 имеет
и нетривиальное решение у(х) = С sin ж.
§ 1. Постановка краевых задач 119
Приведенные рассуждения справедливы и в случае более общих
граничных условий D.9).
Важным случаем однородных краевых задач являются так на-
называемые задачи на собственные значения, состоящие в определе-
определении значений параметров, входящих в дифференциальное уравне-
уравнение, при которых существуют нетривиальные решения однородной
краевой задачи.
Типичной задачей на собственные значения для линейного диф-
дифференциального уравнения второго порядка является задача опре-
определения значений параметра Л, при которых существуют нетриви-
нетривиальные на [0, /] решения задачи
\p(x)y(x) =0,
( ' }
= 0, а2у'{1) + /322/(/) = 0,
где L[y] — тот же дифференциальный оператор, что в D.8), р(х) —
заданная функция, непрерывная на [0,1], a с^, А (* — 1?2) — задан-
заданные постоянные, часть которых может быть равна нулю.
К задаче на собственные значения D.11) сводятся, в частности,
задачи определения собственных колебаний материальных систем
с распределенными характеристиками — поперечные колебания
струны, продольные колебания упругого стержня, звуковые коле-
колебания в трубах, электрические колебания в проводах и т.д. Пусть,
например, в задаче о гармонических колебаниях упругого стержня
D.2) правая часть равна нулю, т. е. внешняя сила отсутствует, а и
является параметром. Требуется выяснить, возможны ли гармони-
гармонические колебания некоторой частоты ио в отсутствие внешней силы
(такие колебания называются собственными колебаниями), т.е. су-
существуют ли такие значения ш, при которых имеются нетривиаль-
нетривиальные решения однородной (/(ж) = 0) задачи D.2).
Значения параметра Л, при которых задача D.11) имеет нетриви-
нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответ-
соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями
краевой задачи на собственные значения.
Замечания.
1. Не ограничивая общности, неоднородную краевую задачу мож-
можно рассматривать с однородными граничными условиями. Действи-
Действительно, в случае неоднородных граничных условий решение задачи
можно искать в виде
y(x)=Y(x)+z(x), D.12)
где функция Y(x) удовлетворяет лишь заданным граничным усло-
условиям, а в остальном произвольна. Очевидно, такую функцию всегда
120 Гл. 4. Краевые задачи
можно построить. Например, в случае граничных условий первого
рода у@) = щ, уA) = щ в качестве функции Y(x) можно выбрать
линейную функцию
у(х)=ио1-=^-+щ?. D.13)
Тогда для функции z(x) получим неоднородную краевую задачу
с несколько измененной правой частью, но однородными гранич-
граничными условиями.
2. В общем случае для уравнения n-то порядка приходится рас-
рассматривать краевые задачи с граничными условиями более общего
вида
Pi(y@),...,y^-1\0),y(l),...,y^-1\l))=0, D.14)
где п — порядок уравнения, a Pi(-) — заданные функции от зна-
значений решения и его производных в граничных точках. Например,
условиям типа D.14) удовлетворяет задача определения периодиче-
периодических решений, в которой дополнительные условия имеют вид
= уA), у'@) = у'A), ..., у^-'НО) = y^-'Hl)- D.15)
Отметим важные для дальнейшего свойства решений уравнения
D.8). Пусть у(х) и z(x) удовлетворяют уравнениям
? [\
L[z] = ? [р(х)%] - q(x)z = g(x). D.17)
Умножая D.16) на z(x), D.17) на у{х) и вычитая почленно, получим
z^? [р^Ш - У^? [Р^ё] = НХ>М - 9(х)у(х). D.18)
Так как
то D.18) может быть записано в виде
ш И {*& - ущ)] = №*Ы ~ ^
§ 2. Неоднородная краевая задача 121
Это соотношение носит название тождества Лагранэюа. Его инте-
интегральная форма называется формулой Грина:
= f{f(x)z(x)-g(x)y(x))dx. D.20)
о
Из формулы D.19) следует, что если у\{х) и У2(х) — два линейно
независимых решения однородного уравнения (/(ж) = д{х) = 0)
-q(x)y = 0, D.21)
то они удовлетворяют соотношению
откуда следует, что определитель Вронского этих решений имеет
вид
А(уьЫ = ^у- D-22)
Замечания.
1. Поскольку решения однородного уравнения определены с точ-
точностью до произвольного множителя, константу С в D.22) можно
определить, лишь выбрав множители у решений, т. е. проведя так
называемую нормировку решений.
2. Из соотношения D.22) следует, что если известно какое-либо
решение у\(х) однородного уравнения, то любое линейно независи-
независимое с ним решение у(х) этого уравнения удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению первого порядка
у^)ш-Ъ^ = ш D23)
Если 2/1 (ж) Ф 0 на [0,1], то, поделив D.23) на у\{х), получим
А. (]№-\ - С и 24)
M()~?' { '
что позволяет записать общее решение D.23) в виде
у(х) = С1У1(х) + СУ1(х) Г d% D.25)
I р(Оу((О
122 Гл. 4. Краевые задачи
§ 2. Неоднородная краевая задача
Рассмотрим краевую задачу
U 26)
= 0, a2y'(l)+f}2y(l)=0. l" ;
Пусть функция р(х) > 0 положительна и непрерывно дифферен-
дифференцируема на [О, I], а действительные функции д(ж) и /(ж) непрерывны
на [0,/]. Решением краевой задачи D.26) будем называть непрерыв-
непрерывно дифференцируемую на [О, I] функцию у(х) с непрерывной второй
производной на @,/), удовлетворяющую на @,1) уравнению и гра-
граничным условиям D.26). В начале наших рассмотрений будем пред-
предполагать, что соответствующая однородная краевая задача имеет
только тривиальные решения. Другими словами, мы предполагаем,
что Л = 0 не является собственным значением соответствующей за-
задачи D.11).
Отметим сразу, что в силу линейности задачи D.26) из этого пред-
предположения следует, что если решение данной задачи существует,
то оно единственно.
Наша ближайшая цель заключается в доказательстве существо-
существования решения задачи D.26) при сделанных предположениях о ко-
коэффициентах и правой части уравнения. При этом доказательство
существования решения будет одновременно содержать и алгоритм
его конструктивного построения.
Начнем с наводящих соображений. Предположим, что существует
решение задачи D.26) при специальном способе задания правой ча-
части уравнения, а именно, при функции /(ж), отличной от нуля лишь
в ^-окрестности некоторой фиксированной точки х = ? Е @,1):
D.27)
причем функция f?(x) ^ 0 и
f f?(x)dx = l. D.28)
Решение этой задачи будем обозначать функцией у?(х,?).
§ 2. Неоднородная краевая задача 123
Интегрируя уравнение D.26) с так заданной функцией f(x) по
отрезку [? — ?,? + ?], получим
?+?
р(? + еJ/е (? + ?, f) ~ Р(? ~ ?J/е (? - е> f) ~ / g(sJ/e (ж, f) dx =
— f f (r) dr — 1 C4 2Q")
Рассмотрим теперь предельный процесс при г —> 0, предполагая,
что D.29) справедливо при любом ? и, следовательно,
lim f?f?(x)dx = l. D.30)
Будем предполагать, что предельная функция
lim у?(х, ?) = G(x, ?) D.31)
существует и непрерывна на [0,1]. Тогда, совершая предельный пере-
переход при г —> 0 в D.29), получим, что производная -r-G(x,?) в точке
х = ? должна иметь разрыв первого рода, причем разность право-
правого и левого предельного значений этой производной в точке х = ?
определяется выражением
= -^. D.32)
Подводя итог проведенным рассмотрениям, мы можем утвер-
утверждать, что если функция G(x, ?) существует, то она подчиняется
следующим условиям:
1) G(x, ?) как функция переменной ж удовлетворяет однородному
уравнению D.26) при 0<ж<?и?<ж</;
2) G(x,?) удовлетворяет граничным условиям D.26);
3) G(x,?) непрерывна на [0,/], а ее первая производная имеет
в точке х = ? разрыв первого рода с величиной скачка предельных
значений, равной
D.32')
Функцию, удовлетворяющую условиям 1), 2), 3), назовем функ-
функцией Грина краевой задачи D.26). Существенное значение функции
Грина заключается, в частности, в том, что через нее может быть
124 Гл. 4. Краевые задачи
выражено решение краевой задачи D.26) с произвольной правой ча-
частью f(x).
Действительно, пусть существуют решение задачи D.26) и функ-
функция Грина G(x,?). Применяя формулу Грина D.20) к этим функ-
функциям на отрезках [0,? — г] и [? + ?,/], где функции у{х) и G(x,?)
непрерывно дифференцируемы и обладают вторыми непрерывны-
непрерывными производными, получим
= f G{x,?)f{x)dx + I G(x,€)f(x)dx. D.33)
о C+e
Так как и у(х) и G(x,?) удовлетворяют однородным граничным
условиям D.26), то подстановки при х = 0 и х = I обращаются
в нуль. Переходя в D.33) к пределу при г —У 0, в силу определения
функции Грина получим
y(t) = JG(x,$f(x)dx, D.34)
о
что и доказывает высказанное утверждение.
Покажем теперь, что функция Грина краевой задачи D.26) суще-
существует, и дадим алгоритм ее построения. Построим функцию yi(x),
являющуюся решением однородного уравнения D.26), удовлетво-
удовлетворяющим левому краевому условию
aivliO) + Piyi(O) = 0. D.35)
Очевидно, в силу сделанных предположений о коэффициентах урав-
уравнения функция у\ [х) всегда может быть построена как решение на-
начальной задачи для уравнения D.26) с начальными условиями
Cf3u D.36)
где С — произвольная постоянная. В случае сделанного предпо-
предположения о существовании лишь тривиальных решений однородной
краевой задачи построенная таким образом функция у\(х) не удо-
удовлетворяет правому граничному условию
a2i/i@+&i/i @ 7*0. D.37)
Аналогичным образом построим функцию у^ [х), являющуюся реше-
решением однородного уравнения, удовлетворяющим правому гранично-
граничному условию
1/2@+021/2@=0. D.38)
§ 2. Неоднородная краевая задача 125
Легко видеть, что построенные указанным образом функции у\(х)
и 2/2 (х) линейно независимы. Действительно, предполагая линейную
зависимость функций у\(х) и 2/2(ж), например,
У1(х) = Су2(х), D.39)
получим, что у\{х) удовлетворяет правому граничному условию,
что противоречит D.37). Итак, мы построили два линейно незави-
независимых решения однородного уравнения D.26), каждое из которых
удовлетворяет только одному из двух однородных граничных ус-
условий.
Будем искать функцию G(x,?) в виде
g(x,z) = \ г1У1) ; у; D.40)
Ясно, что при этом функция D.40) удовлетворяет однородному
уравнению D.26) при х ф ? и однородным граничным условиям.
Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности функции
G(x,?) и скачка ее производной D.32), остается найти постоянные
С\ и С<± из соотношений
СЫО - С1У1@ = 0, С2у'2(О - С1У[@ = 1/р@. D.41)
Определитель этой линейной алгебраической системы, представ-
представляющий собой определитель Вронского линейно независимых ре-
решений у\{х) и 2/2(ж), отличен от нуля и в силу D.22)
где постоянная С определяется нормировкой решений у\ (х) и у<± (х).
Отсюда следует, что система D.41) разрешима единственным обра-
образом. Подставив полученные значения С\ и С<± в D.40), получим окон-
окончательное выражение функции Грина краевой задачи D.26):
2/1 @2/2(ж), f ^ж ^ /,
где постоянная
С=р(ОМуЛО,У2(О)- D.43)
Проведенные рассуждения являются доказательством существо-
существования и единственности функции Грина краевой задачи D.26) в слу-
случае, когда соответствующая однородная задача имеет только три-
тривиальное решение.
Замечания. 1. Из явного выражения функции Грина D.42)
следует, что она является симметричной функцией своих аргумен-
аргументов:
G(x,0=G(?,x). D.44)
2. Как следует из наводящих соображений, предшествовавших по-
построению функции Грина, она имеет простой физический смысл,
представляя собой решение краевой задачи в случае сосредоточен-
сосредоточенной нагрузки.
126 Гл. 4. Краевые задачи
Пример 4.1. В качестве простейшего примера рассмотрим по-
построение функции Грина краевой задачи
y" = f(x), 0<х<1, у@)= 0, у'A) = 0.
Легко проверить непосредственно, что соответствующая однород-
однородная задача имеет только тривиальное решение. В качестве функций
yi (х) и г/2 (ж), удовлетворяющих соответственно левому и правому
граничному условию, выберем у\{х) = х и г/2(ж) = 1. Согласно D.40)
ищем функцию Грина рассматриваемой задачи в виде
, 0 ^ х <С f,
С2, ?^ж^?.
Удовлетворяя условию непрерывности функции G(x,?) при ж = ?
и условию на величину скачка ее производной в этой точке, получим
Ci? = С2, — Ci = 1. Отсюда Ci = -1, С2 = —?, и окончательно
выражение функции Грина рассматриваемой задачи принимает вид
ж, 0 ^ х ^ ?,
Отметим, что в силу D.1) построенная функция Грина определя-
определяет форму статического равновесия под действием внешней продоль-
продольной сосредоточенной силы однородного упругого стержня, левый ко-
конец которого жестко закреплен, а правый свободен. Функция Гри-
Грина G(x, ?) выражает величину смещения сечения ж, если в точке ?
приложена сосредоточенная сила, сжимающая стержень. Как видно
из выражения для G(x, ?) при данных условиях смещение сечений
стержня, расположенных левее точки приложения силы (х ^ ?),
будет неравномерным и тем большим, чем ближе данное сечение
к точке ? приложения силы, а вся часть стержня, находящаяся пра-
правее точки приложения силы, переместится как целое.
Перейдем теперь к вопросу о существовании решений исходной
краевой задачи. Имеет место следующая
Теорема 4.1. Если однородная краевая задача D.26) имеет
только тривиальное решение, то решение неоднородной краевой за-
задачи существует для любой непрерывной на [0,1] функции f(x) и
у(х) = fG(x,O№d?. D.45)
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
непосредственной проверкой убедиться, что функция у(х), заданная
§ 2. Неоднородная краевая задача 127
формулой D.45), удовлетворяет всем условиям определения реше-
решения краевой задачи D.26).
Действительно, запишем формулу D.45) в виде
У(х) = f с1(х,О№<%+ f с2(
О х
где Gi(x,?) = ^2/i(fJ/2(s), G2(x,?) = ^y2(Ovi(x) являются непре-
непрерывными функциями х и ? вместе с производными до второго по-
порядка, причем условие непрерывности G(x,?) в точке х = ? можно
записать в виде 6?i(?, ?) = С?2(?, ?) или
а условие скачка производной D.32) — в виде
G'lx(x,x)-G'2x(x,x) =
Пользуясь этими соотношениями между G\ и G2, получим в резуль-
результате дифференцирования интегралов по известным правилам [17]:
y'(x)=G1(x,x)f(x)+ f G[x(x,
О
+ / G'2x (x, Of @ d?= I G'lx (x, 0/@ di+j G'2x (x, 0/@ #,
ж 0 ж
у" (ж) =Сж (х, x)f(x) + / С'/жж (х, 0f@ dti-
0
-G^(x, x)f(x) + } G'2'xx(x, 0f@ dti=
Отсюда
} L[G2]№d?+f(x) =
О х
что и доказывает утверждение теоремы.
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда однородная крае-
краевая задача D.26) имеет нетривиальное решение. Для упрощения по-
последующих выкладок будем рассматривать краевую задачу с гра-
граничными условиями первого рода:
= f(x), 2/@) = 0, у@=0. D.46)
128 Гл. 4. Краевые задачи
По условию существует функция сро(х), являющаяся решением со-
соответствующей однородной краевой задачи
Ь[щ(х)}=0, ?>о@)=0, ?>о@=0. D-47)
Функцию сро (ж) можно рассматривать как собственную функцию за-
задачи на собственные значения D.11), где а\ = ot^ — О, соответствую-
соответствующую собственному значению Л = 0. Очевидно, что однородная крае-
краевая задача D.47) не имеет других решений, линейно независимых
с сро(х). Функцию сро(х) нормируем так, что
i
J ipl(x)dx = 1. D.48)
о
Отметим сразу, что если решение у{х) краевой задачи D.46) суще-
существует, то правая часть уравнения, функция /(ж), должна быть ор-
ортогональна на [0,1] функции ipo(x). Действительно, применив фор-
формулу Грина D.20) к функциям у{х) и (ро(х), получим
I I
J (<po(x)L[y] - y(x)L[<po\) dx = f <po(x)f(x) dx =
о о
= {p(x)(vo(x)y'(x) -y(x)<p'0(x))}\l0 =0, D.49)
откуда и следует наше утверждение.
Другими словами, справедлива следующая
Лемма 4.1. Необходимым условием разрешимости краевой за-
задачи D.46) является условие ортогональности правой части урав-
уравнения D.46) нетривиальному решению соответствующей однородной
краевой задачи D.47).
В дальнейшем будем считать, что необходимое условие разреши-
разрешимости краевой задачи D.46) выполнено. Покажем, что в этом случае
решение краевой задачи существует и может быть построено с по-
помощью соответствующим образом определенной функции Грина. За-
Заметим, что если функция у(х) является решением краевой задачи
D.46), то любая функция у(х) вида
у(х)=у(х)+СМх), D-50)
где С — произвольная постоянная, является решением той же зада-
задачи, поскольку функция ipo(x) — решение соответствующей однород-
однородной задачи. Поэтому чтобы определить единственное решение крае-
краевой задачи, его надо подчинить дополнительному условию. В каче-
качестве такового поставим условие ортогональности искомого решения
собственной функции сро (х):
po(x)dx = 0. D.51)
§ 2. Неоднородная краевая задача 129
Покажем, что задача D.46), D.51) может иметь только одно реше-
решение. Очевидно, что в силу линейности задачи для этого достаточ-
достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только
тривиальное решение.
Лемма 4.2. Однородная задача D.47), D.51) имеет только три-
тривиальное решение.
Доказательство. По условию все решения однородной зада-
задачи D.47) представимы в виде уо(х) = Ссро(х). Условие D.51) дает
i i
I уо(х)сро(х) dx = C I <pl(x) dx = О,
о о
откуда С = 0, и лемма доказана.
Перейдем к построению так называемой обобщенной функции
Грина задачи D.46), D.51). Так как существует нетривиальное ре-
решение однородной краевой задачи D.47), то для построения нужной
нам функции Грина ограничиться только решениями однородного
уравнения нельзя. Поэтому определим обобщенную функцию Гри-
Грина G(x, ?) как решение следующей задачи:
1. G(x,?) удовлетворяет неоднородному уравнению
Lx[G(x,S)] = -<po(O<po(x) D-52)
при 0<ж<?и?<ж</.
2. G(x,?) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и ис-
искомое решение
G(O,f) = G(/,0 = 0. D.53)
3. G(x,?) непрерывна на [0,1].
4. Первая производная -pG(x,?) имеет разрыв первого рода при
х = ?, причем величина скачка равна
D.54)
С-о
5. G(x,?) ортогональна на [0,1] собственной функции (ро(х):
fG(x,?)<po(x)dx = 0. D.55)
о
Покажем сразу, что если решение исходной краевой задачи D.46),
D.51) и обобщенная функция Грина существуют, то решение задачи
130 Гл. 4. Краевые задачи
D.46), D.51) выражается через обобщенную функцию Грина по фор-
формуле, аналогичной D.34). Действительно, применяя формулу Грина
к функциям у (х) и G(x,?) на [0, ? — г] и [? + ?,/] и переходя к пределу
при г —У 0, аналогично предыдущему получим
i
/ < (-Til* f-\ T ( 1* i —I— II ( 1* ](Г)с\ ( г ](Г)г\ ( 1* I > П1*
— J I V ' ^z»' V / y\'LLJQ\(bLJQ\'L)} аХ1
о
что в силу условий D.54) и D.51) окончательно дает
у(?) = fG(x,?)f(x)dx. D.57)
о
Мы укажем алгоритм явного построения определенной условия-
условиями 1-5 обобщенной функции Грина. Тем самым будет проведено
и конструктивное доказательство ее существования.
Выберем какое-либо частное решение и(х) неоднородного урав-
уравнения
L[o;(x)] = —(^о(^)^о(^) D.58)
на (О, V) (например, решение начальной задачи для уравнения D.58)
с начальными условиями о;@) = а, сУ(О) = E).
Наряду с функцией сро (х) рассмотрим линейно независимое с ним
решение ifi(x) однородного уравнения D.47):
L[<p1(x)]=0, D.59)
причем будем считать, что щ (х) нормировано так, что
|. D.60)
Отметим сразу, что в силу линейной независимости функций (fo(x)
и Lfi (x) функция Lfi (x) не может удовлетворять тем же однородным
граничным условиям, что и (ро(х):
М0)ф0, y>i@ #0. D.61)
Выбранное частное решение о;(ж), вообще говоря, также не удовле-
удовлетворяет однородным граничным условиям D.53). Однако можно так
выбрать линейные комбинации функций и(х) и (fi(x) на отрезках
[0,^] и [?, Z], чтобы удовлетворить условиям D.53). Но при этом
не остается достаточных степеней свободы для того, чтобы удо-
удовлетворить остающимся условиям 3-5. Это можно сделать, доба-
добавив линейно независимое с ц>\ решение однородного уравнения —
функцию <?о? которая, удовлетворяя однородным условиям D.53),
§ 2. Неоднородная краевая задача 131
не может их испортить. Поэтому обобщенную функцию Грина бу-
будем строить в виде
4.62
C2<pi(x) + С4<ро(ж), ? ^ ж ^ Z,
подбирая постоянные С\, С2, Сз, С4 так, чтобы удовлетворить всем
условиям. Условия D.53) дают
и@) + Ci<pi@) = 0, cj(/) + C2y?i(/) = 0. D.63)
В силу D.61) отсюда однозначно определяются постоянные С\ жС^-
Условия непрерывности функции G(x,?) и скачка ее производной
при х = ? приводят к уравнениям
В силу D.60) эта система однозначно разрешима относительно
О2 — Ci И G4 — ^3*
C2-Ci = -^0@. C4-C3 = ?>i(O. D-65)
Значения С<± и Ci были уже найдены из D.63). Покажем, что они
удовлетворяют D.65). Применим формулу Грина к функциям и(х)
и фо(х):
I
J (ipo(x)L[u)] - u)(x)L[ipo\) dx =
о
/ l
= {р(х)(сро(х)и'(х) - w(x)<p'0(x))}\0 = - I cpo^cpoiOvoix) dx;
0
получим
Но в силу D.60)
p@^o@ = 1M(O. P@)Vo@) = 1М@), D.67)
и на основании D.63) формула D.66) переходит в выражение
С*2 — С\ — — <А)(?M совпадающее с D.65). Итак, С\ и С2 определены
однозначно. Выразим С^ через Сз из D.65), получим
D-68)
132 Гл. 4. Краевые задачи
и перепишем D.62) в виде
D.69)
Здесь остается неизвестным лишь коэффициент Сз- Подставляя
D.69) в условие D.55), получим для определения коэффициента С%
выражение
( i
J ipl(x)dx = С3 = -< J u(x)ipo(x) dx + Сг J <pi(x)ipo(x) dx+
1
+ С2 f if^if^x) dx + y>!(f) | ^(ж) da; L D.70)
Коэффициент С4 выражается через Сз по формуле D.68). Итак,
обобщенная функция Грина построена.
Проведенные рассуждения позволяют сформулировать следую-
следующую теорему.
Теорема 4.2. Необходимым и достаточным условием однознач-
однозначной разрешимости краевой задачи D.46), D.51) является условие
D.49) ортогональности правой части f (х) уравнения D.46) собствен-
собственной функции сро (х). При этом решение выражается в виде
} D.71)
Доказательство. Необходимость условия ортогональности
D.49) и единственность решения краевой задачи были доказаны
ранее (см. леммы 4.1 и 4.2); доказательство того, что функция
у(х), определенная формулой D.71), при выполнении условия D.49)
является решением краевой задачи, может быть проведено путем
непосредственной проверки.
Замечания.
1. Для упрощения выкладок рассматривалась краевая задача
с граничными условиями первого рода. Аналогичные рассмотре-
рассмотрения и построение обобщенной функции Грина могут быть проведены
и в случае общих граничных условий.
2. Мы предполагаем, что однородная краевая задача имеет лишь
одно линейно независимое решение ipo (x). Соответствующие рассмо-
рассмотрения могут быть проведены и в том случае, когда задача имеет два
§ 2. Неоднородная краевая задача 133
линейно независимых решения ср± (х), ср2 (х) (число линейно незави-
независимых решений, очевидно, не более двух, так как порядок уравнения
равен двум). При этом собственному значению Л = 0 краевой задачи
на собственные значения D.11) отвечают две линейно независимые
собственные функции cpi (х), ^ (х).
Для разрешимости неоднородной краевой задачи в этом случае
должны выполняться условия ортогональности правой части урав-
уравнения обеим собственным функциям:
ff(x)<pi(x)dx = O, г = 1,2. D.72)
о
Для того чтобы имела место единственность, решение краевой за-
задачи надо подчинить аналогичным условиям ортогональности всем
собственным функциям, а обобщенную функцию Грина строить как
решение неоднородного уравнения, в правой части которого выби-
выбирается линейная комбинация собственных функций.
Пример 4.2. Рассмотрим краевую задачу
У ~Ь У — /(•?)? О < ж < тг, ?/@) = 0, ?/(тг) = 0.
Как легко видеть, соответствующая однородная краевая задача
имеет нетривиальное решение сро(х) = д/2/Trsinx (коэффициент
д/2/тг выбран из условия нормировки D.48)). Поэтому решение не-
неоднородной краевой задачи существует лишь тогда, когда правая
часть /(ж) удовлетворяет условию ортогональности D.49):
7Г
Г f{x) s'mxdx = 0,
о
и для того, чтобы это решение представить по формуле D.57), нужна
обобщенная функция Грина.
Перейдем к ее построению. Найдем частное решение ии(х) урав-
уравнения
ии" + и = - ^ sin ? sin x.
Будем искать его в виде uj = Ax cos x. Непосредственной подстанов-
подстановкой в уравнение найдем значение постоянной А = ^ sin ? и получим
В качестве частного решения однородного уравнения, не удовле-
удовлетворяющего заданным граничным условиям, выберем функцию
(fi(x) = cos ж.
134 Гл. 4. Краевые задачи
Согласно D.62) обобщенную функцию Грина рассматриваемой за-
задачи следует искать в виде
^ Г С\ cos ж + Сз sin ж, 0 ^ ж ^ ?,
^ I C2 cos ж + С4 sin ж, ? ^ ж ^ тг.
Требование удовлетворения граничным условиям G@, ?) = О,
G(tt,?) = 0 дают уравнения для определения постоянных С\ и С2:
Ci = 0, - sin? - С2 = 0, откуда Ci = О, С2 = - sin?.
Условия непрерывности функции О(ж, ?) при ж = ? и скачка ее
производной в этой точке с учетом найденных значений С\ и С2
приводят к уравнениям для постоянных Сз и С4:
С3 sin ? + sin ? cos ? — С4 sin ? = О,
sin2 ? + C4 cos ^ — C3 cos ? = 1,
откуда С4 = Сз + cos? и выражение для О(ж,?) принимает вид
О, 0 ^ ж ^ f,
— sin ? cos ж + cos ? sin ж, ? ^ ж ^ тг.
Постоянную Сз найдем из условия ортогональности функции
/ С\
О(ж,?) к функции (ро(х) = у ^ sin ж:
7Г
/" О(ж, ?) sin ж б?ж = 0.
о
Вычисляя соответствующие интегралы, получим
что дает окончательное выражение обобщенной функции Грина рас-
рассматриваемой задачи в виде
С(ж, ?) = 1 (ж sin ? cos ж + ? cos ? sin ж) -
-. Г cos ? sin ж, 0 ^ ж ^ ?,
— -у^ sin ? sin ж — <
27Г [ cos ж sin ?, ? ^ ж ^ тг.
С помощью найденного выражения обобщенной функции Грина
и представления D.57) легко получить решение неоднородной крае-
краевой задачи в том случае, когда правая часть /(ж) уравнения удо-
удовлетворяет условию ортогональности
§ 2. Неоднородная краевая задача 135
Зададим функцию /(ж) конкретно, а именно, положим /(ж) = cos ж
и будем искать решение краевой задачи
у" + у = cos ж, 0 < ж < тг, ?/@) = 0, 2/(тг) = 0,
ортогональное собственной функции sin ж, соответствующей одно-
однородной краевой задаче
7Г
Г у(х) sinxdx = 0.
о
Пользуясь только что полученным выражением обобщенной функ-
функции Грина и представлением D.57), после несложных вычислений
элементарных интегралов найдем
у[х) = § sin ж — ? sin ж.
Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет условию
ортогональности собственной функции sin ж.
Отметим, что в силу уравнения D.2) построенная обобщенная
функция Грина определяет амплитуду установившихся гармони-
гармонических колебаний закрепленного на концах однородного упругого
стержня при внешнем воздействии специального вида. А именно,
частота внешней силы — резонансная, т. е. совпадает с частотой
собственных колебаний стержня, при которой амплитуда собствен-
собственных колебаний стержня описывается функцией (fo(x). Однако про-
пространственное распределение амплитуды внешней силы таково, что
амплитуда вынужденных колебаний, не нарастая во времени, оста-
остается ограниченной. Это достигается выполнением условий ортого-
ортогональности: и правая часть уравнения, а также обобщенная функция
Грина, и само решение неоднородной краевой задачи ортогональны
собственной функции сро (ж).
В данном примере обобщенная функция Грина G(x,?) имеет фи-
физический смысл амплитуды у установившихся колебаний закре-
закрепленного на концах упругого стержня при периодическом внешнем
воздействии с резонансной частотой, которое представляет собой
сумму сосредоточенной силы, приложенной в точке ?, и силы, рас-
распределенной по всему стержню с плотностью sin ж и амплитудой
|sin?.
Заметим, наконец, что мы рассматривали идеализированный слу-
случай точного выполнения условий ортогональности амплитуды внеш-
внешнего воздействия амплитуде собственных колебаний. В реальных
задачах эти строгие условия, как правило, не выполняются, что
136 Гл. 4. Краевые задачи
может привести к очень большим амплитудам установившихся ко-
колебаний при частоте внешнего воздействия, близкой к резонансной,
или к несуществованию решения рассматриваемой задачи об уста-
установившихся колебаниях. При этом следует иметь в виду, что в слу-
случае больших амплитуд рассматриваемая линейная математическая
модель, достаточно адекватно описывающая малые колебания, уже
не применима и должна быть заменена более сложной нелинейной
моделью.
§ 3. Задачи на собственные значения
В § 1 была поставлена задача на собственные значения, заклю-
заключающаяся в определении тех значений параметра Л, при которых на
[О, I] существуют нетривиальные решения однородного уравнения
L[y] + \р(х)у{х) = 0, D.73)
удовлетворяющие однородным граничным условиям
свд'(О) + /ЫО) = 0, а2у\1) + /32уA) = 0. D.74)
Будем считать, что функция р(х) > 0 непрерывна на [0, Z], а в от-
отношении коэффициентов, входящих в дифференциальный опера-
оператор L, выполнены те же требования, что и в § 2. При этом функция
Грина краевой задачи D.26) существует и является симметричной
функцией своих аргументов.
Задачу на собственные значения, т. е. задачу отыскания нетриви-
нетривиальных решений однородного уравнения D.73), удовлетворяющих
однородным граничным условиям D.74), часто называют задачей
Штурма-Лиувилля, а сами нетривиальные решения — собствен-
собственными функциями этой задачи.
Собственные функции задачи Штурма—Лиувилля обладают ря-
рядом замечательных свойств, которые широко используются не толь-
только при решении краевых задач для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, но и при решении краевых задач для уравнений
в частных производных, а также для решения многих других мате-
математических проблем. Большинство этих свойств можно проще все-
всего доказать путем сведения краевой задачи D.73), D.74) к инте-
интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным
ядром. Однако изучение интегральных уравнений выходит за пре-
пределы материала настоящей книги (см., например, [12, 28]). Поэто-
Поэтому мы приведем здесь частично без доказательства основные свой-
свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи
§ 3. Задачи на собственные значения 137
D.73), D.74). В конце параграфа будет дано сведение рассматривае-
рассматриваемой краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма второ-
второго рода.
Имеют место следующие свойства собственных значений и соб-
собственных функций краевой задачи D.73), D.74):
1. Существует бесконечное счетное множество {Хп} собствен-
собственных значений и соответствующая им бесконечная последователь-
последовательность {уп(х)} собственных функций. Все собственные значения
можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной вели-
величины
|Ai|^|A2|^... D.75)
2. Каждому собственному значению соответствует с точно-
точностью до постоянного множителя только одна собственная функ-
функция. В этом смысле говорят, что ранг собственных значений равен
единице.
Доказательство. Действительно, предположим, что одному
собственному значению отвечают две линейно независимые соб-
собственные функции у\{х) и у2(х) (более двух не может быть, так как
порядок уравнения равен двум). Из D.74) следует ai^@)+/3i^@) =
= 0 (г = 1,2). Отсюда A(?/i@),2/2@)) = 0 и, следовательно, у\{х),
У2(х) линейно зависимы.
Замечание. В случае более сложных краевых условий ранг
собственного значения может быть равен двум (но не более двух,
так как порядок уравнения равен двум). Собственные значения ран-
ранга 2 будут иметь место, в частности, при периодических граничных
условиях. В качестве примера рассмотрим краевую задачу
у" + Ху = О, у@)=уBтг), y'@)=y'Bir). D.76)
Как легко видеть, собственные значения Ап = п2 этой задачи имеют
ранг, равный двум. Каждому Ап соответствуют две линейно незави-
независимые собственные функции
УпA)(х) = sinnx, упB)(х) = cosnx.
3. В случае граничных условий у@) = уA) = 0 и при выполнении
условия q(x) ^ 0 все собственные значения краевой задачи D.73),
D.74) положительны: Хп > 0.
Для доказательства умножим уравнение для собственной функ-
функции уп(х)
М^} Ф)Уп(х)+Кр(х)уп(х)=0 D.77)
138 Гл. 4. Краевые задачи
на функцию уп(х) и проинтегрируем результат по [0,1]. Получим
\p(x)*f[V»(x)dx ~ I ^ХШХ) dx + Л» / Р(*Ш*) dx = 0.
D.78)
Преобразуя первый интеграл интегрированием по частям, в силу
граничных условий окончательно получим
Лп / p(x)yl(x) dx = fp(x) \^]2dx + / q(x)y2n(x) dx, D.79)
0 0 0
что и доказывает утверждение.
4. Собственные функции уп(х) образуют на [0,1] ортогональную
с весом р{х) систему {уп(х)}:
i
f Уп{х)уш{х)р{х) dx = 0, пфт. D.80)
о
Действительно, так как каждому собственному значению отве-
отвечает только одна собственная функция, то остается рассмотреть
случай, когда собственные функции уп(х) и ут(х) соответствуют
различным собственным значениям Лп ф Аш.
Запишем для этих собственных функций уравнения
L[yn] + Кр(х)Уп = 0, L[ym] + \шр{х)уш = 0 D.81)
и, применив формулу Грина, получим
I {yn(x)L[ym] -ym(x)L[yn]}dx =
о
= (Ап - Am) I yn(x)ym(x)p(x) dx =
о
= [p(x){yn(x)yfm(x)-ym(x)yfn(x))]\10. D.82)
Полученное выражение, очевидно, обращается в нуль, так как обе
собственные функции уп{х) и уш{х) удовлетворяют однородным гра-
граничным условиям D.74). Так как Ап ф Аш, то отсюда и следует наше
утверждение.
5. Теорема разложимости В. А. Стек лова. Если функция f(x)
дважды непрерывно дифференцируема на [0,1] и удовлетворяет од-
однородным граничным условиям D.74), то она разлагается в абсо-
абсолютно и равномерно сходящийся на [0,1] ряд по собственным функ-
функциям Уп(х) задачи D.73), D.74):
X)
2fnyn(x). D.83)
71=1
§ 3. Задачи на собственные значения 139
Доказательство теоремы Стеклова мы здесь приводить не бу-
будем. Укажем только, что свойство ортогональности собственных
функций позволяет легко определить коэффициенты разложения
fn в формуле D.83). Действительно, умножая обе части формулы
D.83) на ут(х)р(х) и интегрируя результат по [0,1] (почленное ин-
интегрирование ряда возможно в силу его равномерной сходимости),
на основании D.80) получим
i
f f(x)ym(x)p(x)dx
frn = ^ . D.84)
Выражение, стоящее в знаменателе, называется квадратом нормы
собственной функции и обозначается
\\Ут\\2 = Nl= f У2т^)р(х) dx. D.85)
о
Так как собственные функции определены с точностью до мно-
множителя, то во многих случаях их нормируют так, чтобы Nm = 1.
В этом случае система {уп(х)} является ортонормированной.
В заключение кратко остановимся на сведении рассматриваемой
краевой задачи D.73), D.74) к интегральному уравнению Фредголь-
ма второго рода с симметричным ядром. Согласно сделанным вы-
выше предположениям функция Грина G(x, ?) задачи D.26) существу-
существует и является симметричной функцией своих аргументов. Записав
уравнение D.73) в виде
L[y] = -\р(х)у(х), D.86)
на основании результатов предыдущего параграфа получим
у(х) = -Л / G(x, Ор(Оу(О <%. D.87)
о
Соотношение D.87) называется однородным интегральным урав-
уравнением Фредгольма второго рода. Из приведенных рассуждений сле-
следует, что любое нетривиальное решение краевой задачи D.73), D.74)
удовлетворяет и интегральному уравнению D.87). С другой сторо-
стороны, если у (х) является решением уравнения D.87), то из теоремы 4.1
следует, что у(х) является решением краевой задачи D.26), где
f(x) = —Хр(х)у(х), т.е. у(х) является решением задачи D.73), D.74).
140 Гл. 4. Краевые задачи
Тем самым имеет место эквивалентность исходной краевой зада-
задачи Штурма-Лиувилля и интегрального уравнения D.87). Те зна-
значения параметра Л, при которых существуют нетривиальные реше-
решения уравнения D.87), называются собственными значениями, а со-
соответствующие им решения — собственными функциями уравне-
уравнения D.87). Из установленной эквивалентности следует, что краевая
задача D.73), D.74) и интегральное уравнение D.87) имеют одни
и те же собственные значения и собственные функции.
Так как функция Грина G(x,?) является симметричной функ-
функцией своих аргументов, ядро —G(x, ?)p(?) интегрального уравнения
D.87), вообще говоря, несимметрично. Однако это уравнение легко
свести к интегральному уравнению с симметричным ядром. Дей-
Действительно, умножив D.87) на л/р(х) и обозначив v(x) = л/р(х)у(х),
получим интегральное уравнение
v(x) = \fJC(x,Ov(Odt D.88)
О
с симметричным ядром
Цх, 0 = -G(x, О ч/М^/ЖУ- D-89)
Очевидно, краевая задача D.73), D.74) и интегральное уравнение
D.88) имеют общие собственные значения Лп, а соответствующие
этим собственным значениям собственные функции уп{х) краевой
задачи D.73), D.74) и собственные функции vn(x) интегрального
уравнения D.88) связаны соотношением
Уп(х) =vn(x)/y/p(x). D.90)
Тем самым известные из теории интегральных уравнений свойства
собственных значений и собственных функций интегрального урав-
уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром дают воз-
возможность сделать заключение о свойствах собственных значений
и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля.
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим систему уравнений
E.1)
в которой неизвестной является n-мерная вектор-функция у с ком-
компонентами ух,...,Уп- Зададим начальное условие
2/@) = 2/0-
E.2)
Из § 5 гл. 2 известно, что при определенных естественных усло-
условиях гладкости на правые части E.1) решение у = y(t,yo) задачи
E.1), E.2) является непрерывной функцией t,yo в точке (t,yo), где
t — произвольное значение из некоторого конечного сегмента [0,Т].
Геометрически это означает (рис. 8, на котором представлен случай
одномерного у), что для любого г > 0
существует столь малое |А^/о|5 что ин-
интегральная кривая у = y(t,yo + Д2/0)
будет лежать в полосе шириной 2г око-
около интегральной кривой у = y(t,yo),
если t Е [0,Т]. Таким образом, ма-
малая погрешность в начальных услови-
условиях не оказывает существенного влия-
влияния на характер процесса, если про-
процесс рассматривается на некотором ко-
конечном отрезке [0, Т] времени t.
Однако нередко требуется исследовать процесс на как угодно
больших промежутках изменения времени, что математически вы-
выражается в том, что решение задачи E.1), E.2) следует рассматри-
рассматривать при 0 ^ t < 00. Будем заранее предполагать, что решение зада-
задачи E.1), E.2) существует на этом бесконечном промежутке. Возни-
Возникает вопрос, останется ли кривая у = y(t, уо + Д^/о) в ^-полосе около
кривой у = y(t,yo) для всех t > 0, если только \Ауо\ достаточно
мало или с ростом t кривые разойдутся?
Рис. 8
t
142 Гл. 5. Теория
Примеры показывают, что может реализоваться и тот и другой
du
случай. Рассмотрим простейший пример. Уравнение -тг — ау — 1
обладает решением y(t,yo) = 1/а, начальное значение которого
у0 = 1/а. Пусть теперь начальное значение равно уо + А?/о- Отве-
Отвечающее этому начальному значению решение дается формулой
y(t,y0 + Ау0) = (у0 + Ау0 - \)eat + ± = Ayoeat + ±.
Отсюда видно, что если а < 0, то \Ау\ = y(t,yo + ^Уо) ~ а ~
= |A^/o|eat < е для всех t ^ 0, если только |А?/о| < ?• Если же а > О,
то при достаточно больших t значение | Ay | становится сколь угодно
большим, как бы мало ни было |А^/о|-
Интегральная кривая, обладающая тем свойством, что все доста-
достаточно близкие к ней при t = 0 интегральные кривые остаются близ-
близкими к ней и для всех t > 0, называется устойчивой интегральной
кривой, а соответствующее ей решение — устойчивым решением.
В противном случае говорят, что решение неустойчиво. В рассмо-
рассмотренном примере решение у = 1/а при а < 0 является устойчивым
решением, а при а > 0 — неустойчивым решением. Решения, рас-
рассматриваемые на [0,оо), делятся, таким образом, на два непересе-
непересекающихся класса: устойчивые и неустойчивые.
Понятие устойчивости решения было введено A.M. Ляпуновым.
Им же были заложены основы методов исследования на устойчи-
устойчивость. Идеи A.M. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор
и широко используются в современных исследованиях вопросов
устойчивости.
Дадим теперь строгое определение понятия устойчивости. Введем
обозначение \\y\\ = ^у\ + V у\, где yi (i = 1,... ,n) — ординаты
вектор-функции у.
Определение*). Решение у = ?/(?,?/о) задачи E.1), E.2) назы-
называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 существует
S(г) такое, что при ||А^/о|| < S(e) для всех t > 0 справедливо нера-
неравенство
е. E.3)
Среди устойчивых решений может встретиться решение, обла-
обладающее тем свойством, что все близкие к нему в начальный момент
решения не только не удаляются с течением времени, но бесконечно
приближаются к нему. Поэтому вводится еще одно
*)В этом определении и в дальнейшем речь идет об устойчивости относитель-
относительно начальных данных. Аналогично можно было бы ввести понятие устойчивости
относительно параметров, входящих в правую часть уравнения.
1. Постановка задачи 143
Определение. Решение у = y(t,yo) задачи E.1), E.2) называ-
называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2) су-
существует такое достаточно малое So > О, что при ||Д2/о|| < ^о
Шо(у{г,уо + Ау0)-у(г,уо)) =0. E.4)
Исследование на устойчивость решения y(t,yo) можно свести к ис-
исследованию на устойчивость тривиального, т. е. тождественно рав-
равного нулю, решения некоторой другой системы, связанной с E.1).
Действительно, перейдем от неизвестного у к новому неизвестно-
неизвестному х по формуле х — у — y(t,yo). Тогда система E.1) примет вид
§ = f(t,x), E.5)
где f(t,x) = F(t,x + y(t,y0)) - jty(t,y0)- Решению y(t,y0) в преж-
прежних переменных отвечает решение х = 0 системы E.5). Обозначим
х0 = 2/@,2/о+ Д2/о)-2/@,2/о) = А2/о, x(t,x0) = y(t,y0 + Ау0) -y(t,y0).
Тогда в переменных ?, х определения устойчивости и асимптотиче-
асимптотической устойчивости выглядят следующим образом.
Определение. Тривиальное решение системы E.5) называет-
называется устойчивым по Ляпунову, если для любого г > 0 существует
S(e) > 0 такое, что при ||жо|| < S(e) для всех t > 0 справедливо
неравенство
||()|| е. E.6)
Определение. Тривиальное решение системы E.5) называет-
называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2) суще-
существует So > 0 такое, что при ||жо|| < ^о
lim x(t,x0) =0. E.7)
t—too
Замечание. Иногда в записи x(t,xo) опускают зависимость от
хо и пишут x(t), а хо можно тогда записать как ж@), и тогда устой-
устойчивость означает, что
\\x(t)\\<e E.8)
при
\\х@)\\<6(е), E.9)
а асимптотическая устойчивость — что, сверх того,
lim x(t) = 0, E.10)
если||ж@)||<(*о.
144
Гл. 5. Теория
В дальнейшем мы будем знакомиться с методами исследования
на устойчивость именно тривиального решения.
Устойчивость тривиального решения допускает удобную геоме-
геометрическую интерпретацию не только в (п + 1)-мерном пространстве
переменных ?, ж, но и в n-мерном фазовом пространстве перемен-
переменных х (понятие фазового пространства было введено в гл. 1). На-
Наглядное изображение здесь можно дать для случая п = 2 (рис. 9).
Тривиальное решение в фазовом пространстве изображается точ-
точкой — началом координат. Неравенство E.8) в двумерном слу-
случае означает, что фазовая траектория
при t > 0 лежит в круге радиуса г
с центром в начале координат, а не-
неравенство E.9) — что начальная точ-
точка траектории лежит в круге радиу-
радиуса S(e), т.е. траектория, начинающая-
начинающаяся в ^-окрестности начала координат,
не выйдет из ^-окрестности начала ко-
координат при всех t > 0; в случае асим-
асимптотической устойчивости траектория
при t —у оо бесконечно приближается
Рис. 9 к началу координат.
Замечание. Вместо того, чтобы говорить об устойчивости три-
тривиального решения, часто говорят об устойчивости точки @,..., 0)
фазового пространства.
Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с по-
постоянными коэффициентами
dx _ л
dt ~ ЛХ
где А — постоянная B х 2)-матрица:
E.11)
А =
Система E.11) имеет тривиальное решение х = 0. Будем исследо-
исследовать его на устойчивость. Поскольку решение системы E.11), удо-
удовлетворяющее произвольным начальным условиям, выписывается
явно, то устойчивость или неустойчивость тривиального решения
можно установить непосредственно. В общем случае это сделать
нельзя. Однако результаты, которые мы получим для E.11), под-
подскажут направление исследования общего случая.
Получим сначала некоторые вспомогательные неравенства.
1. Постановка задачи 145
Согласно изложенному в § б и 7 гл. 3 решение ж(?, жо) системы
E.11), принимающее начальное значение жо, представимо в виде
x(t,x0) =K(t,Q)x0, E.12)
где /С(?,0) = W(t)W~1@); W(t) — фундаментальная матрица, име-
имеющая в качестве столбцов два линейно независимых решения:
e™. E.13)
Здесь Ai, Л2 — характеристические числа матрицы А (корни харак-
характеристического уравнения), a ot^y — некоторые числа, если Ai ф \<i-,
и многочлены по t степени не выше первой, если Ai = A2.
Пусть Xj = pj + iqj. Тогда \eXjt\ = ePjt и для элементов Кц ма-
матрицы /С(?,0) справедлива следующая оценка:
\Кц\<{Сх+С2*)е*\ E.14)
где р = maxjpi, р2}; Съ С*2 — некоторые постоянные, причем С2 = О
в случае Ai ф \^. Неравенство E.14) можно записать (учитывая,
что при любом 7 > 0 имеет место неравенство te~l1 ^ h^1 =
также в следующей форме:
то есть,
\Kij\ кСе^+^К E.15)
Получим еще одно вспомогательное неравенство. Пусть y = A(t)x,
где у, х — столбцы, A(t) — квадратная матрица. Пусть элементы
A(t) подчиняются неравенству |aij(t)| < a(t). Тогда
\\y\\^2a(t)\\x\\. E.16)
Действительно, для двумерного случая имеем у\ — ацХ\ +
следовательно,
у\ — а\1х\ + а\2х\
|ац| • |ai2|(arf + xf) ^ 2а2{х\
Учитывая аналогичную оценку для у2, получим
что равносильно E.16).
Применяя неравенство E.16) к E.12) и беря в качестве a(t) пра-
правую часть E.14) или E.15), получим (коэффициент 2 можно вклю-
включить в Ci или С)
E.17)
E.18)
146 Гл. 5. Теория
Обратимся теперь непосредственно к исследованию тривиального
решения системы E.11). Рассмотрим разные случаи.
1. Пусть pi = Re Ai < 0, р2 = Re А2 < 0. Тогда р = max{pi,p2} < 0
и, следовательно, при достаточно малом 7 имеем р + 7 < 0- Тогда
для любого е > 0 получим из E.18) ||ж(?,жо)|| ^ С|1жо|| < г, если
||жо|| < ?/С = ^(^) И5 таким образом, тривиальное решение систе-
системы E.11) устойчиво. Из E.18) видно также, что x(t,xo) —У 0 при
t —У оо и, таким образом, решение асимптотически устойчиво.
2. Пусть среди значений pi,p2 имеется хотя бы одно положитель-
положительное, например, р\. В этом случае, как нетрудно видеть, тривиальное
решение системы E.11) устойчивым не является. Допустим про-
противное, т. е. что для любого г > 0 существует S(e) такое, что при
||жо|| < $(е) справедливо ||ж|| < г. Дальнейшие рассуждения будут
несколько различаться в зависимости от того, являются Ai действи-
действительными или комплексно сопряженными. При действительных Ai
достаточно рассмотреть решение х = Схщ. При достаточно малом
|С|, очевидно, ||жо|| < ^(е), но неравенство ||ж|| < г не может быть
выполнено при всех t > 0, так как ePlt —у оо при t —У оо. Если же
Af комплексные, то р\ — р<± — р, Ai = р + iq и рассмотрим решение
х = CRex(i). При достаточно малом |С|, по-прежнему, ||жо|| < S(s).
Возьмем одну из компонент этого решения, отличную от тожде-
тождественного нуля, например, х\ = СCi{t)ept, где /3i(t) — некоторая
вполне определенная линейная комбинация cos qt и sin qt. Очевид-
Очевидно, х\ не является ограниченным при t —у оо, и поэтому неравенство
||ж|| < е также не может быть выполненным при всех t > 0.
3. Осталось рассмотреть случай, когда р\ — 0, р<± < 0 или когда
рг = р2 = 0. Последнее означает, что Ai и А2 либо чисто мнимые,
либо равные нулю и кратные. В случае р\ — 0, р2 < 0 или чисто мни-
мнимых Xj в формуле E.17) р = О, С2 = 0, так что ||ж(?,жо)|| ^ Ci||^o||
и решение устойчиво по тем же причинам, что и в п. 1. Асимптоти-
Асимптотической устойчивости здесь, однако, уже не будет, так как, очевид-
очевидно, найдутся решения, не стремящиеся к нулю при t —У оо. В слу-
случае р\ = 0, р2 < 0 таким решением будет, например, решение вида
х — СжA), для которого при достаточно малом \С\ величина ||жо||
как угодно мала, однако ||ж|| = const -/у 0 при t —У оо. При чисто
мнимых Af, очевидно, х = СКех^ -fo 0 при t —У оо.
Если же Ai = А2 = 0, то eXlt = eX2t = 1, a ot^y — линейные
функции ?, и поэтому неравенство ||ж(?,жо)|| < в не может выпол-
выполняться для всех t > 0, за исключением того случая, когда все oi^i
вырождаются в многочлены нулевой степени. Но этот случай реа-
реализуется лишь при аи* = 0, и решение тогда имеет вид х\ — жоъ
%2 — %02 и, очевидно, является устойчивым, но не асимптотически.
§ 2. Исследование по первому приближению 147
Замечание. Нетрудно видеть, что проведенный анализ в зна-
значительной мере остается справедливым и для n-мерного случая.
Так, сохраняются оценка E.15) для Кц и неравенство E.16), в ко-
котором изменится только то, что вместо коэффициента 2 появится
некоторая величина, зависящая от п. Останется справедливым нера-
неравенство E.18). Нетрудно видеть также, что рассуждения, приведен-
приведенные в пп. 1 и 2, фактически без изменений переносятся на п-мерный
случай.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что тривиальное реше-
решение однородной системы линейных уравнений устойчиво и притом
асимптотически, если ReXi < 0 для всех г, и неустойчиво, если
Re Xi > 0 хотя бы для одного i.
При наличии характеристических чисел с равной нулю действи-
действительной частью ситуация является более сложной. Дополнитель-
Дополнительный анализ показывает, что если характеристические числа с рав-
равными нулю действительными частями не являются кратными, то
при условии, что прочие Л удовлетворяют требованию Re Л < О,
будет иметь место устойчивость, но не асимптотическая. Если же
среди Л с нулевыми действительными частями имеются кратные,
то устойчивости, вообще говоря, не будет, даже если для прочих Л
имеет место неравенство Re Л < 0.
§ 2. Исследование на устойчивость
по первому приближению
Обратимся к системе общего вида E.5) и рассмотрим так назы-
называемый автономный случай, когда / не зависит явно от t. Запишем
систему в координатной форме:
-J^ = /;(жь...,жп), i = l,...,n. E.19)
Так как понятие устойчивости тривиального решения связано
с малой окрестностью начала координат в фазовом пространстве, то
естественно ожидать, что поведение решения системы E.19) будет
определяться главными членами разложения / по х в окрестности
х = 0. Так как /^@, ...,0) = 0 (поскольку х = 0 является реше-
решением системы E.19)), то главными членами будут линейные члены
разложения / по ж, или, как их иначе называют, члены первого
приближения.
По формуле Тейлора, учитывая, что fi@,..., 0) = 0, имеем
п
/;(жЬ...,Жп) = ^aikXk + ДB)г, E.20)
k=l
148 Гл. 5. Теория устойчивости
где
2
ДB)* = 5 E ^r@xu...,0xn)xjxl. E.21)
3,1=1 J
Если в E.20) отбросить R^)i, то вместо E.19) получим линейную
систему вида
Ё
которую будем называть системой первого приближения для си-
системы E.19). Поведение системы E.22) в отношении устойчивости
или неустойчивости тривиального решения определяется свойства-
свойствами корней Л характеристического уравнения, как было выясне-
выяснено в конце предыдущего параграфа. Можно ожидать, что те же
требования на Л обеспечат не только устойчивость или неустой-
неустойчивость тривиального решения системы E.22), но и тривиально-
тривиального решения исходной системы E.19). Как будет видно ниже, это
предположение оправдывается. Однако прежде чем формулировать
соответствующую теорему, докажем лемму, содержащую некото-
некоторые вспомогательные неравенства, которые потребуются при до-
доказательстве теоремы. В дальнейшем, как это нередко делается,
все встречающиеся положительные постоянные, величины кото-
которых не играют существенных ролей, будем обозначать одной и той
же буквой С (так, в неравенстве E.17) можно было бы написать
Лемма 5.1. Имеют место следующие утверждения:
1°. Пусть у является вектором с компонентами
k=l
где \a,ik(t)\ < a(t). Тогда
\\y\\^Ca(t)\\x\\.
2°. Пусть у является вектором с компонентами
У г = Е
3,1=1
где \ciiji\ <a(t). Тогда
\\y\\^Ca(t)\\x\\2.
2. Исследование по первому приближению
149
3°. Для любой пары векторов х и у справедливо неравенство
4°. Для любого вектора у справедливо неравенство
\\f
II о о
5°. Для матрицанта /С(?, ?) линейной системы E.22) справедливо
неравенство
\Ьз (*, ОI = \Ьз (* - С, 0) | < Се(^)('-«, E.23)
где р = max^=iv..jn(Re A«), 7 — положительная постоянная.
Доказательство. 1°. Утверждение было доказано для дву-
двумерного случая (см. E.16)). Для произвольного п, как было уже
отмечено в предыдущем параграфе, доказательство проводится по-
подобным же образом.
2°. Утверждение доказывается при помощи аналогичных сообра-
соображений, поэтому доказательство опускаем.
3°. Имеем
(х
4°. Имеем
[(х
= х\ + у\
Замечание. Указанные неравенства легко вывести из теорем
линейной алгебры.
5°. Для /С(?, ?) справедливо неравенство E.15):
E.24)
(см. замечание в конце § 1). Убедимся, что /С(?, ?) = /C(t - ^, 0). Дей-
Действительно, /C(t,^) удовлетворяет уравнению 4rlC(t^) = A/C(?, ?),
где А — матрица с элементами а^, и начальному условию /С|^=^ =
150 Гл. 5. Теория
= /С(?, ?) = Е. Заменяя независимое переменное t на t — ? и учиты-
учитывая, что А = const, получим, что /С(? — ?, 0) удовлетворяет тому же
уравнению и начальному условию K,\t-?,=o = /С@,0) = i?. Поэтому
в силу теоремы единственности
Отсюда и из E.24) последует E.23).
Сформулируем теперь теорему, обеспечивающую возможность
судить об устойчивости или неустойчивости тривиального реше-
решения системы E.19) по характеристическим числам матрицы первого
приближения.
Теорема 5.1. Пусть в некоторой окрестности точки х\ — 0,...
..., хп = 0 фунции fi(xi,..., хп) (г = 1,..., п) непрерывны вместе
с производными до второго порядка включительно. Тогда, если
все характеристические числа А« матрицы с элементами а^ =
= -~^-@, ...,0) удовлетворяют условию ReA^ < 0, то тривиальное
решение системы E.19) устойчиво и притом асимптотически.
Доказательство. Пользуясь представлением E.20) для пра-
правых частей E.19) и рассматривая E.19) как систему C.71), в ко-
которой / = ДB), перейдем от дифференциального уравнения E.19)
с начальным условием х@) = xq к эквивалентному интегральному
уравнению (см. C.87))
х = /С(?, 0)х0 + / /С(?, 0Яр) @ <?• E.25)
Рассмотрим некоторую окрестность П точки х = 0 фазового
пространства. Пусть для определенности П задается равенством
||ж|| ^ К, где К — некоторая постоянная. Согласно лемме 5.1 в обла-
области П для ДB) справедлива оценка || ЛB) II < С||ж||2, и от E.25) можно
перейти к неравенству
||х|| ^ Се-а*||жо|| + С f е-а(*-*Ц\х\\2 <%, E.26)
о
где —а = р + 7- Так как в рассматриваемом случае р < 0, то при
достаточно малом 7 имеем а > 0.
Рассмотрим теперь вспомогательную скалярную задачу
g = -иг + Cz2, z@) = z0 > C\\xo\\. E.27)
§ 2. Исследование по первому приближению 151
Это уравнение элементарно интегрируется (как уравнение с разде-
разделяющимися переменными или как уравнение Бернулли), и решение
имеет вид ^0
(a-Czo)eat'
Это решение, как нетрудно видеть, обладает следующими свойст-
свойствами:
1) z > 0 при t ^ 0, если zq достаточно мало: zq < а/С;
2) для любого г > 0 имеем z < -^ ;—-—^— = zq и, следователь-
о zq -+- а> — о zq
но, z < е, если ^о < е.
3) z(t) ^ 0 при t ^ оо.
Напишем теперь для z(t) интегральное уравнение по типу E.25):
z = zoe-at + C f е-а(*-®г2(% E.28)
о
и сравним ||ж|| и z. Убедимся, что при t ^ 0 справедливо неравенство
||ж|| < z. E.29)
В самом деле, при t = 0 неравенство E.29) справедливо, так как,
полагая в E.26) t = 0 получим ||жо|| < zo- Предположим, что при не-
некотором значении t = t\ неравенство E.29) перестает выполняться
и имеет место ||x(ti)|| = z(t\). Из свойства 2) функции z(t) следу-
следует, что при достаточно малом z$ имеем \\z\\ ^ К для t ^ 0. При
О ^ t ^ t\ справедливо E.29), и поэтому ||ж|| ^ К (т. е. х G П). Та-
Таким образом, при 0 ^ t ^ t\ справедливо неравенство E.26), и при
t = t\ имеем
atl +C f e-^
о
-а* + С f e-aitl-^\\x\\2d? < zoe~atl + С f e'^1
о
it^2 ~atl
о
Сравнивая крайние члены этой цепочки неравенств, получим про-
противоречие в виде 1 < 1, что и доказывает справедливость E.29) для
t > 0.
А теперь, воспользовавшись неравенством E.29), нетрудно уже
получить утверждение теоремы. В самом деле, пусть задано любое
е > 0. Возьмем ||жо|| < е/BG) = 5, a zo выберем так, чтобы вы-
выполнялось неравенство С5 < zo < 2C5 = г. Тогда будет выполнено
требование z$ > С||жо|| в E.27), и в силу E.29) и свойства 2) функ-
функции z будем иметь ||ж|| < z < zq < г при ||жо|| < S, т.е. тривиальное
152 Гл. 5. Теория
решение системы E.19) устойчиво. То же неравенство E.29) вместе
со свойством 3° функции z(t) обеспечивает асимптотическую устой-
устойчивость тривиального решения системы E.19).
Замечания.
1. Нами доказана теорема об асимптотической устойчивости.
Имеет место также следующее утверждение о неустойчивости: если
ReAf > 0 хотя бы для одного i, то тривиальное решение системы
E.19) неустойчиво.
2. Утверждения об асимптотической устойчивости и о неустойчи-
неустойчивости остаются справедливыми и для случая, когда / зависит явно
от ?, если только справедливо представление fi(ж, t) = ^2^=1 сцк%к +
+Щ, где dik = const, а ||Д|| < С||ж||1+а, a > 0 — любое.
3. Если среди Л встречаются такие, для которых Re Л = 0, то да-
даже если тривиальное решение системы первого приближения E.22)
устойчиво, тривиальное решение системы E.19) в зависимости от R
может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В этом случае,
который обычно называется критическим, зная только характери-
характеристические числа матрицы первого приближения, нельзя, вообще го-
говоря, сделать вывод об устойчивости при неустойчивости тривиаль-
тривиального решения системы E.22). В критических случаях метод исследо-
исследования на устойчивость по первому приближению теряет силу и нуж-
нужно использовать свойства последующих членов в разложении E.20)
или другие методы.
§ 3. Метод функций Ляпунова
Метод исследования на устойчивость, изложенный в предыдущем
параграфе, при всей его естественности не всегда дает ответ на по-
поставленный вопрос.
A.M. Ляпуновым был предложен также и другой метод. В этом
методе заданной системе уравнений сопоставляется некоторая
функция от аргументов х\,..., хп, называемая функцией Ляпунова,
и по ее свойствам можно делать вывод об устойчивости решения.
Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:
**к =-Х1 + Х2 = fu dx± = -2x2=f2. E.30)
По предыдущему мы знаем, что тривиальное решение этой систе-
системы устойчиво, так как Ai = —1 < 0, А2 = — 2 < 0. Однако что-
чтобы убедиться в устойчивости тривиального решения, можно рассу-
рассуждать и по-другому. Рассмотрим функцию V(#i,#2) = 2х\ + х\. Эта
3. Метод функций Ляпунова
153
функция положительна всюду, кроме точки х\ = О, Х2 = 0, где она
обращается в нуль. В пространстве переменных xi,X2, V уравнение
V = 2х\ +х\ определяет параболоид с вершиной в начале координат.
Линии уровня этой поверхности на плоскости (xi, X2) представляют
собой эллипсы. Зададим произвольно малое е. Построим на плос-
плоскости (ж1,Ж2) круг ио? радиуса г. Возьмем одну из линий уровня —
эллипс, целиком лежащий внутри круга ш?. Построим другой круг
ujs, целиком лежащий внутри эллипса (рис. 10). Пусть начальная
точка А(хю,Х2о) лежит внутри оо$.
Рассмотрим функцию двух переменных
W{x\,X2) = (gradV, /). Легко видеть, что
если вместо xi, X2 подставить решение
xi(t),X2(t) системы E.30), то полученная та-
таким образом функция от t будет предста-
представлять собой полную производную Щт от
V(xi (t),X2(t)) вдоль траектории решения си-
системы E.30). Если эта производная вдоль
любой траектории, начинающейся в а;^, не-
неположительна, то это будет означать, что та- Рис. 10
кая траектория не сможет покинуть и?, так
как иначе между t = 0 и значением t = t\, при котором она попада-
попадает на границу uj?, найдется значение t = ?*, для которого Щг > 0,
поскольку V(xi(ti),X2(ti)) > У(хю,Х2о)- То, что ни одна траекто-
траектория, начинающаяся в о;^, не покидает ни при одном t > 0 круг uj?,
означает устойчивость тривиального решения.
Итак, мы должны проверить знак ^- вдоль траектории. Для это-
этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно
сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего ви-
вида, для которой x\{t),X2{t) нельзя выписать явно и тем самым про-
проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы
функция W{x\,X2) была неположительной как функция двух не-
независимых переменных х\, Х2 по крайней мере в некоторой окрест-
окрестности @,0). Это условие можно проверить непосредственно по пра-
правым частям системы, не зная решения. В нашем примере именно
так и будет, поскольку W{x\,X2) — —2\{х\ — Х2J + х\ + ж|] ^ 0
всюду на плоскости (xi,^)? & тем самым вдоль любой траектории,
и устойчивость тривиального решения гарантирована.
Функция V{x\,X2)i участвующая в этих рассуждениях, и есть
функция Ляпунова для рассматриваемого примера. Она имеет вид
квадратичной формы 2х\+х\, хотя в принципе вместо 2х\+х\ можно
было бы взять и другую функцию, лишь бы она была положите ль-
154 Гл. 5. Теория
ной всюду, кроме точки @,0), где она обращается в нуль, а выра-
выражение (gradV, /) = И/(ж1,Ж2) было неположительным. Подчеркнем
еще раз, что в приведенных рассуждениях важны как положитель-
положительность функции У, так и неположительность функции W, значение
которой вдоль траектории представляет собой полную производную
от V по t вдоль траектории.
Обратимся теперь к формулировке и доказательству некоторых
общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем иссле-
исследовать тривиальное решение системы E.5):
ft=f(t,x). E.31)
Все дальнейшие построения будем вести в некоторой П-окрестности
начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенно-
определенности П задается неравенством ||ж|| ^ К, где К — некоторая постоян-
постоянная.
Определение. Функция V(xi,... ,хп) (или, короче, V{x)) на-
называется положительно определенной в П, если У(х) ^ 0 в О, при-
причем V(x) = 0 лишь при х = 0.
Лемма 5.2. Пусть V(x) — положительно определенная и не-
непрерывная в п функция. Тогда
а) для всех х, удовлетворяющих неравенству \\x\\ ^ Е\ > 0, суще-
существует 82 > 0 такое, что V(x) ^ е^]
б) обратно, из неравенства V(x) ^ е^ > 0 следует существование
Е\ > 0 такого, что \\x\\ ^ Е\.
Доказательство, а) Пусть ||ж|| ^ ?]_, в то же время ||ж|| ^ К.
На множестве Е\ ^ ||ж|| ^ К функция V(x) как непрерывная функ-
функция достигает своего минимального значения, которое обозначим е^-
Очевидно, 82 ф 0, так как V = 0 только при х = 0. Таким образом,
V(x) ^ г2 > 0. E.32)
б) Рассуждаем от противного. Пусть V(x) ^ ?2 > 0, а неравенство
||ж|| ^ Е\ не выполяется ни при каком е\. Это значит, что существует
последовательность х —> 0 и при этом V(x) ^ е^- В силу непрерыв-
непрерывности V(x) справедливо предельное соотношение:
lim V(x) = V@) = 0. E.33)
¦>оо
Но это противоречит соотношению Игг^^оо V( х ) ^ 82 > 0, следую-
щему из того, что V(x) ^62- Полученное противоречие доказывает
утверждение.
3. Метод функций Ляпунова
155
Теорема 5.2 (об устойчивости). Пусть в П существует непре-
непрерывная вместе с частными производными первого порядка положи-
положительно определенная функция V{x) такая, что функция
удовлетворяет неравенству
для t > О, х е
E.34)
Тогда тривиальное решение системы E.31) устойчиво.
х2
Доказательство. Зададим любое г > 0. Лемма 5.2 обеспечи-
обеспечивает (положим Е\ — е) существование e^is) такого, что для ||ж|| ^ г
имеем V(x) ^ е^- Далее, в силу непре-
непрерывности V(x) (при х = 0) существует
^1(^2) = 8(е) такое, что при ||ж|| < S имеем
V(x) ^ е2/2.
Возьмем начальную точку ж@) = xq
в ?-сфере оо$ фазового пространства пере-
переменных х (рис. 11 наглядно иллюстриру-
иллюстрирует ситуацию на двумерном случае), т.е.
пусть ||ж@)|| < S. Тогда V(x@)) ^ г2/2.
Нужно доказать, что траектория останет-
останется для всех t > 0 в г-сфере ио? (см. E.8)).
Предположим противное, т. е. что траектория при некотором
t — t\ покинет uj? (оставаясь в П). Тогда V(x(t\)) ^82- Имеем, таким
образом,
V(x(h)) - V(x@)) 2 ?2 - f = f > 0. E.35)
Но с другой стороны,
Рис. 11
= (gradV,/(t*,o;(t*)))ti = W(x(t*),t*)h <: 0 E.36)
для 0 ^ t* ^ ti, так как E.34) выполняется всюду в П, а тем более
вдоль траектории. Неравенства E.35) и E.36) составляют противо-
противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5.3 (об асимптотической устойчивости). Пусть допол-
дополнительно к условиям теоремы 5.2 для t ^ 0, х G П выполняется не-
неравенство W(x, t) ^ W(x), где W(x) — положительно определенная
156 Гл. 5. Теория
в П функция. Тогда тривиальное решение системы E.31) асимпто-
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Устойчивость тривиального решения сле-
следует из предыдущей теоремы. Убедимся, что
lim x(t) = 0. E.37)
t—too
Используя выражение для полной производной от V вдоль траек-
траектории, получим ^- — W(x(t),t) ^ -W(x(t)) ^ 0, т.е. V(x(t)) с рос-
ростом t монотонно не возрастает. Поэтому существует Hindoo V(x(t)) =
= a ^ 0. Докажем, что a = 0. Предположим, что a > 0. Так как
V(x(t)) ^ a (V стремится к пределу сверху), то, полагая в пунк-
пункте б) леммы 5.2 82 = «, получим ||ж(?)|| ^ ?i, а тогда по той же
лемме (п. а)) имеем W(x(t)) ^ /3 > 0, т.е. -W(x(t)) ^ -/3 < 0.
Поэтому V(x(t)) - V(x@)) = %\t=t*t ^ -W(x(t*))t ^ -f3t.
Отсюда получим, что V(x(t)) —> — оо при t —> оо. Но с другой
стороны, так как в силу устойчивости x(t) G П, то V(x(t)) ^ 0.
Противоречие приводит к выводу, что a = 0.
Итак,
lim V(x(t)) = 0. E.38)
t—too
Докажем, что отсюда следует E.37).
Допустим противное. Тогда существует е\ > 0 и такая после-
последовательность tn —у оо, что ||ж(?п)|| ^ ei. Но тогда по лемме 5.2
V(x(tn)) ^ ^2, что противоречит E.38). Противоречие доказывает
E.37), а вместе с тем и всю теорему.
Пример 5.1. В рассмотренной выше системе E.30) имеет место
не только устойчивость, но и асимптотическая устойчивость, так
как —W(xi,X2) не зависит от t и является положительно опреде-
определенной функцией. Однако на этом примере нельзя убедиться в важ-
важности теорем 5.2 и 5.3, поскольку здесь применимы соображения
предыдущего параграфа и асимптотическая устойчивость следует
из отрицательности Ai и Л2.
Приведем пример системы, когда теорема 5.1 о первом прибли-
приближении неприменима, а функция Ляпунова дает ответ:
^ = 2х2 - х\ sin2 t, ^ = -3m - х\.
Возьмем V(x) = Зж2 + 2х%. Тогда W(x,t) = -6xj sin2 t - A.x\ ^ 0.
Следовательно, по теореме 5.2 тривиальное решение устойчиво. Тео-
Теорема 5.1 здесь ответа не дает, так как характеристические числа
матрицы первого приближения являются чисто мнимыми.
3. Метод функций Ляпунова
157
Можно использовать аналогичные идеи для доказательства не-
неустойчивости тривиального решения системы E.31). Такого рода
теоремы впервые были предложены Н. Г. Четаевым. Мы приведем
здесь простейший вариант теоремы о неустойчивости.
Теорема 5.4 (о неустойчивости). Пусть в п существует непре-
непрерывная вместе с частными производными первого порядка функция
V{x) такая, что:
а) в любой 5-окрестности us начала координат существует точ-
точка х, в которой V(x) > 0 (и, следовательно, область, в которой
V{x) > а, где a > 0 — некоторое число),
б) для любого a > 0 существует E > 0 такое, что из условия
х Е и? (и? — некоторая е-окрестность начала координат), V(x) ^ a
следует неравенство W(x,t) = (gradV, f(t,x)) ^ E, справедливое
при всех t ^ 0.
Тогда тривиальное решение системы E.31) неустойчиво.
Доказательству теоремы предпошлем пример. Рассмотрим систе-
систему вида
d d
Возьмем V(x) = Ж1Ж2. Очевидно, в любой us существует точка (ле-
(лежащая, например, в первом квадранте), где V = х±Х2 > 0. Пусть
начальная точка такова, что х^х^ = a > 0. На рис. 12 заштрихо-
заштрихована часть и^ круга и?, выделяемая ги-
гиперболой х\Х2 = а, в которой V ^ а.
Очевидно, в и^ справедливо неравен-
неравенство х\+х\ ^ 2а, т.е. ||ж|| ^ \/2а. Тогда
в силу леммы 5.2 существует 7 > 0 та-
такое, что х\ + х\ ^ 7 И5 следовательно,
W(x,t) ^ «7 = /3. Из теоремы 5.4 мож-
можно тем самым сделать вывод о неустой-
неустойчивости тривиального решения. Теоре-
Теорема 5.1 (см. замечание) в этом случае
не работает, так как все элементы ма-
матрицы первого приближения равны ну-
Рис. 12
лю.
Доказательство теоремы 5.4 проведем от противного. Пред-
Предположим, что тривиальное решение устойчиво. Тогда для любо-
любого е > 0 существует 5(е) такое, что ||ж(?)|| < ? для t ^ 0, если
||ж@)|| < S(e). Так как по условию а) теоремы 5.4 в us найдется
точка хо такая, что V(xo) > а, возьмем ее за начальную: х@) = xq.
Убедимся, что при всех t ^ 0 справедливо неравенство V(x(t)) > a.
158 Гл. 5. Теория
Действительно, пусть при некотором t = t\ > 0 имеет место
V{x(ti)) = а. Тогда, с одной стороны,
AV = V(x(t1))-V(x@))<0,
а с другой стороны,
= t1W(x(t*),t*).
t=t*
Так как по предположению об устойчивости x(i) Е uj? при t ^ 0,
то x(t*) Е и?. Кроме того, V(x(t*)) ^ а. А тогда в силу условия б)
теоремы 5.4 имеем W(x(t*),t*) ^ /3 и, следовательно, АУ ^ /3?i > 0.
Противоречие приводит к заключению, что V{x(t)) > а для t ^ 0.
Имеем тогда
У(ж(?)) - У(ж@)) = W{x(t**),t**)t > /3t.
Отсюда следует, что V(x(t)) —У оо при t —у оо, но, с другой сто-
стороны, V{x(t)) должно быть ограничено в силу того, что x(t) G ио?.
Противоречие завершает доказательство теоремы.
Замечания.
1. Недостаток изложенных в настоящем параграфе методов за-
заключается в том, что не существует достаточно общего конструк-
конструктивного способа построения функций V{x). Тем не менее для ряда
весьма важных классов дифференциальных систем такое построе-
построение возможно.
2. Одним из классов дифференциальных систем, для которых
возможно предложить конструктивный способ построения функции
У (ж), является линейная система с постоянными коэффициентами.
Теорему 5.1 об устойчивости по первому приближению можно дока-
доказать, используя функцию Ляпунова для линейной системы с посто-
постоянными коэффициентами, как это делается, например, в учебнике
Л. С. Понтрягина [4].
3. Для дифференциальных уравнений, описывающих неко-
некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет по-
потенциальная энергия V(x). Сама система имеет вид тх =
= — gradV. Положение равновесия в системе определяется услови-
условием gradV = 0 (с математической точки зрения положение равно-
равновесия — это решение типа х — х — const; соответствующим пре-
преобразованием переменных точку х всегда можно сделать началом
координат), т. е. положение равновесия является стационарной точ-
точкой для потенциальной энергии. Если стационарная точка является
§ 4. Траектории в окрестности точки покоя 159
точкой минимума потенциальной энергии, то положение равновесия
устойчиво. Действительно, в этом случае в окрестности начала ко-
координат V(x) является положительно определенной функцией, а со-
соответствующая функция W(x,t), равная (gradV, /) = — (gradVJ,
очевидно, также удовлетворяет условиям теоремы 5.2.
§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя
В ряде вопросов возникает потребность, помимо исследования
точки @,..., 0) фазового пространства на устойчивость, выяснить
также расположение траекторий в окрестности этой точки.
Не ставя целью рассматривать этот вопрос во всей общности,
ограничимся случаем п = 2 (фазовая плоскость) и линейной си-
системой уравнений с постоянными коэффициентами E.11):
Ш = Ах, А=[ ^ ^ . E.39)
Эта система обладает тривиальным решением х\ — 0, ж2 = 0. С ки-
кинематической точки зрения это есть состояние покоя, поэтому отве-
отвечающая этому решению точка @, 0) фазовой плоскости называется
точкой покоя.
Заметим, что фазовую траекторию системы E.39) можно рассма-
рассматривать как интегральную кривую уравнения
dx\ _
В точке @,0) правая часть уравнения E.40) разрывна, т.е. на-
нарушено условие теоремы существования и единственности. Точка
@, 0) является согласно терминологии гл. 2 особой точкой. Поэтому
априори через точку @, 0) может не проходить ни одной интеграль-
интегральной кривой уравнения E.40), а также может проходить более одной
и даже бесконечно много интегральных кривых.
Как будет показано, расположение траекторий в окрестности точ-
точки @, 0) определяется, как и свойство ее устойчивости или неустой-
неустойчивости, характеристическими числами матрицы А.
Рассмотрим разные случаи.
а) Пусть характеристические числа Ai и Л2 действительны, раз-
различны и одного знака. Положим для определенности, что Л2 < Ai <0.
В этом случае решение системы E.39) имеет вид (см. § 7 гл. 3)
х = daA)eXlt + C2aB)eX2t, E.41)
160
Гл. 5. Теория
где
а
(гJ
— некоторые постоянные столбцы — собствен-
ные векторы матрицы А, отвечающие собственным значениям А«
(г = 1,2). Точка @, 0) является согласно теореме 5.1 асимптотически
устойчивой, и х —У 0 при t —У оо. Исследуем характер приближения
более подробно. Имеем
Отсюда видно, что если С\ ф 0, то
Цт
«(i)i'
т. е. все интегральные траектории, кроме одной, отвечающей С\ = О,
входят в @, 0) с общей касательной, уравнение которой ж2 = а х\
(обозначим ее /). Заметим, что прямая / сама является одной из
траекторий, а именно, той, которая отвечает С2 = 0. Траекто-
Траектория, отвечающая С\ =0, также является прямой и имеет урав-
Х\ (обозначим ее //). Прямые / и // не совпада-
нение Х2 =
а
ют, поскольку в силу линейной независимости векторов а^ имеем
a(i)iaBJ ~ aB)ia(iJ Ф 0- Расположение прямых / и // и прочих
траекторий схематически представлено на рис. 13. Стрелками обо-
обозначено направление возрастания t.
II
Рис. 13
Рис. 14
Если А2 > Ai > 0, то характер расположения траекторий пол-
полностью сохраняется (можно устремить t к -оо и провести рассу-
рассуждения, аналогичные проведенным выше для t —у оо). Если стрел-
стрелками по-прежнему указывать направление возрастания ?, то напра-
направления стрелок теперь изменятся на противоположные по сравне-
§ 4. Траектории в окрестности точки покоя 161
нию с рис. 13. Точка @,0) в этом случае неустойчива*). Точка по-
покоя, отвечающая случаю действительных характеристических чи-
чисел Ai, Л2, не равных друг другу, но имеющих одинаковый знак, на-
называется узлом. Узел является асимптотически устойчивым при
Ai < 0; А 2 < 0 и неустойчивым при Х± > 0; А2 > 0.
б) Пусть характеристические числа Ai и А2 действительны, раз-
различны и разных знаков: Ai > 0, А2 < 0. Точка покоя в этом случае
неустойчива. Представление E.41) сохраняется. Из E.41) видно, что
через @, 0) проходят две траектории: одна из них (обозначим ее /)
отвечает С2 — 0 и имеет уравнение х2 — а a?i, a ДРУгая (обозна-
чим ее //) отвечает С\ = 0 и имеет уравнение х2 = а х\. Но на
этом сходство с узлом кончается. Вдоль траектории // х —У 0 при
t —у оо, а вдоль траектории / х —у 0 при t —у — оо и стрелки, ука-
указывающие направление возрастания ?, направлены от точки @,0).
Нетрудно видеть, что прямая / является асимптотой при t —> 00 для
всех траекторий, кроме //, так как Нгщ^оо ^ = а Прямая //
играет аналогичную роль при t —> — 00. Расположение траекторий
схематически представлено на рис. 14.
Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристи-
характеристических чисел противоположного знака, называется седлом. Седло
является неустойчивой точкой покоя.
Траектории / и //, проходящие через седло, называются сепара-
сепаратрисами.
в) Пусть характеристические числа матрицы А — комплексные.
В силу действительности А они будут комплексно сопряженными,
т. е. Ai = A2 = А. Соответствующие компоненты собственных век-
векторов а (г) будут также комплексно сопряженными, а так как мы
рассматриваем действительные решения, то и произвольные посто-
постоянные должны быть комплексно сопряженными. Таким образом,
Xl = Caiext + С*а1ех*\ х2 = Ca2ext + С*а$ехи. E.42)
Подставляя сюда А = p + iq, можно преобразовать эти выражения
к виду
Xl = eptBa cos qt - 2E sin qt), x2 = eptBj cos qt - 28 sin qt), E.43)
*)Иногда говорят, что точка устойчива при t —>¦ —сю. Определение устойчиво-
устойчивости при t —>¦ — сю можно дать совершенно аналогично определению устойчивости
при t —>¦ сю, которое было дано в § 1 этой главы, и сформулировать теоремы,
аналогичные теоремам § 2 и 3.
162
Гл. 5. Теория
где а =
имеем
, C =
, 7 — Re(Ca2), S = lm(Ca2). Отсюда
p2 = x\
- 2/3sinqtJ + Bj cos qt - 26sinqtJ].
Если p = 0 (характеристические числа — чисто мнимые), то х\,х2
и р являются периодическими функциями t периода 2тг/д. Это зна-
значит, что каждому С на фазовой плоскости отвечает некоторая
замкнутая кривая. Эти кривые не пересекаются, так как всюду,
кроме точки @,0), для E.40) справедлива теорема единственности
(рис. 15).
Рис. 15
Рис. 16
Более детальное исследование показывает, что замкнутые кри-
кривые, о которых идет речь, являются эллипсами. В самом деле, опре-
определитель
2а -2/3
27 -25
в противном случае существовало бы решение вида х\ — ах2 (а —
вещественное). Так как х\ и х2 выражаются по формулам E.42), то
из равенства х\ — ах2 в силу линейной независимости ext и еЛ 1 сле-
следует соотношение а\ — аа2. Собственный вектор ( * ) матрицы А,
\a2j
соответствующий собственному значению Л, находится из уравнения
(ац — Х)а\ + а\2а2 — 0, которое при а\ — аа2 дает (ац — Л)а = —ai2,
что возможно лишь при вещественных Л.
Итак, систему E.43) можно разрешить относительно cos at и sin at
и, приравнивая сумму их квадратов единице, получить
(ЪцХх + Ь\2х2) + (b2\Xi + Ь22х2) = 1.
Если же р ф 0, то при изменении t на величину периода величи-
величина р уже не возвращается к прежнему значению, а уменьшается или
увеличивается в соответствии с р < 0 или р > 0.
§ 4. Траектории в окрестности точки покоя 163
На фазовой плоскости получаются уже не замкнутые, а спира-
спиралевидные кривые. Если р < О, то р —у 0 при t —> оо, спираль схо-
сходится в точку @,0), которая является асимптотически устойчивой
(рис. 16). Если же р > 0, то аналогичная картина имеет место при
t —> —оо, ас возрастанием t спираль расходится из точки @, 0).
Точка покоя, отвечающая комплексно сопряженным характери-
характеристическим числам с отличной от нуля действительной частью р,
называется фокусом. При р < 0 фокус асимптотически устойчив,
а при р > 0 неустойчив.
Точка покоя, отвечающая чисто мнимым характеристическим
числам, называется центром. Центр является устойчивой, но
не асимптотически устойчивой точкой покоя (см. § 1). Мы не бу-
будем останавливаться на случае кратных характеристических чисел
(см., например, [4, 5]), а также на случае, когда имеется характери-
характеристическое число, равное нулю.
Замечания.
1. Точка @,0) была названа выше точкой покоя для линейной
системы E.39). Дадим общее определение точки покоя, из которо-
которого будет ясно, что точка покоя не обязательно является началом
координат, а для нелинейной системы точек покоя может быть не-
несколько. Рассмотрим нелинейную автономную систему E.19) при
п = 2. Пусть Xi = x~i (i = 1,2) удовлетворяют системе уравнений
fi(xi,X2) = 0. Тогда, очевидно, те же Xi = x~i удовлетворяют диф-
дифференциальной системе E.19), поскольку x~i не зависят от t. Это ре-
решение описывает состояние покоя и на фазовой плоскости изобра-
изображается точкой. Точки фазовой плоскости, отвечающие решениям
вида Xi = Xi = const, называются точками покоя. Соответствующей
заменой переменных каждую точку покоя можно перевести в нача-
начало координат. Тогда, если fi представима в виде E.20), то система
первого приближения E.22) совпадает с E.39).
Согласно теореме 5.1 в случае Re Л ф 0 устойчивость или неустой-
неустойчивость точки @,0) системы E.19) обеспечивается теми же самы-
самыми требованиями на Л, которые обеспечивают устойчивость или не-
неустойчивость точки @,0) для системы первого приближения E.22),
т. е. члены R^)i не влияют на устойчивость или неустойчивость точ-
точки @,0). Что касается расположения траекторий, то точное иссле-
исследование [4; § 30] показывает, что при наличии узла, седла или фо-
фокуса у системы E.22) (во всех этих случаях Re Л ф 0) качественный
характер расположения траекторий системы E.19) в достаточно ма-
малой окрестности точки @, 0) будет тем же самым. Если же в точке
@,0) система E.22) имеет центр, то без дополнительного исследо-
164
Гл. 5. Теория
вания членов RB)i о характере расположения траекторий системы
E.19) ничего сказать нельзя.
2. Исследование расположения траекторий в окрестности точек
покоя дает некоторую информацию относительно расположения фа-
фазовых траекторий на всей плоскости, но, конечно, полного решения
этой сложной глобальной задачи не дает.
Для изучения картины на фазовой плоско-
плоскости, или, как иногда говорят, фазового портре-
портрета системы E.19), важно исследовать не толь-
только точки покоя. Нередко встречаются замкнутые
траектории (замкнутая траектория означает пе-
периодическое движение), обладающие тем свой-
свойством, что в окрестности таких траекторий нет
других замкнутых траекторий, а все траектории
как бы «наматываются» на эту единственную за-
замкнутую траекторию, которая получила назва-
название предельного цикла, или, наоборот, «сматыва-
«сматываются» с нее. Предельные циклы, таким образом могут быть устойчи-
устойчивыми и неустойчивыми (на рис. 17 изображен устойчивый предель-
предельный цикл). Исследование предельных циклов важно также с точки
зрения существования устойчивых периодических режимов в физи-
физических системах.
Например, система
Рис. 17
—тг =
тг
= —х\
а) — ж2, —тг = -х2\
2 \ i
^ - а) + х\
E.44)
имеет точку покоя х\ = 0, х2 = 0 и предельный цикл х\ + х\ = а2.
В существовании такого цикла легко убедиться, перейдя к поляр-
полярным координатам х\ = pcosO, x2 = ps'mO, в которых система E.44)
принимает вид
?f
3. С повышением размерности п фазовая картина существенно
усложняется, возникают новые явления, для изучения которых раз-
развиты многочисленные методы.
Исследование фазового портрета системы дифференциальных
уравнений является одной из задач так называемой качественной
теории дифференциальных уравнений (см., например, [8, 24]).
ГЛАВА б
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
При практическом решении задач для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, как правило, не удается получить решение
в квадратурах, выраженное через элементарные или специальные
функции (определенное исключение составляют линейные уравне-
уравнения, рассмотренные в гл. 3). В то же время интенсивное применение
дифференциальных уравнений в качестве математических моделей
широкого круга естественно-научных задач требует разработки ме-
методов их исследования, позволяющих получить с достаточной точ-
точностью числовые характеристики рассматриваемой задачи. Наибо-
Наиболее эффективными здесь оказываются численные методы. Благо-
Благодаря бурному развитию электронной вычислительной техники чи-
численные методы находят широкое применение в различных обла-
областях математики и ее приложениях, в частности, и при решении
обыкновенных дифференциальных уравнений. За последнее время
появилось достаточно большое количество учебных пособий, посвя-
посвященных этой проблеме [21, 25]. В настоящей главе будут изложены
лишь простейшие вопросы, относящиеся к численным методам ре-
решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Разностные методы решения начальной задачи
1. Разностная схема. Понятие сходимости. Наиболее рас-
распространенными и эффективными численными методами решения
многих математических задач и, в частности, начальных и крае-
краевых задач для дифференциальных уравнений являются так назы-
называемые разностные методы, в основе которых лежит рассмотрение
конечно-разностной задачи вместо исходной дифференциальной за-
задачи. Последняя представляет собой задачу относительно большого,
но конечного числа неизвестных, являющихся значениями функции
дискретного аргумента, определенной в точках разбиения отрезка
интегрирования. Если значения этой функции близки к значени-
значениям точного решения исходной задачи в соответствующих точках, то
ее можно рассматривать как приближенное решение исходной зада-
задачи. Конечно-разностная задача, соответствующая исходной диффе-
дифференциальной задаче, называется разностной схемой. Максималь-
166 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
ное расстояние между точками разбиения отрезка интегрирования
является параметром разностной схемы, поэтому исходной диффе-
дифференциальной задаче сопоставляется семейство разностных схем, за-
зависящих от этого параметра. В теории разностных схем решения
дифференциальных уравнений основным является вопрос о сходи-
сходимости семейства приближенных решений к точному решению исход-
исходной дифференциальной задачи при стремлении параметра разбие-
разбиения к нулю. Здесь будет уточнено понятие сходимости приближен-
приближенного решения к точному.
Следует подчеркнуть, что разностная схема представляет со-
собой самостоятельный математический объект исследования. Теории
разностных схем посвящена обширная учебная и специальная лите-
литература (см., например, [26]). Мы остановимся лишь на простейших
общих понятиях.
Для того чтобы наглядно проиллюстрировать эти понятия, все
рассмотрения будем проводить на примере численного решения на-
начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка, которую запишем в виде
%-f(x,y)=0, y(xo)=yo. F.1)
Как уже отмечалось, в основе применения разностных схем
к дифференциальной задаче лежит построение приближенного ре-
решения, определенного лишь в конечном числе точек Х{ отрезка
[жо,Х] интегрирования исходной дифференциальной задачи. Мно-
Множество точек Uk = {xi} (г = 0,1,..., п), на котором ищется прибли-
приближенное решение, называется сеткой. Отдельные точки этого множе-
множества— узлы сетки. Обозначим hi = Xi+\ —xi (г = 0,1, ...,n —1) расстоя-
расстояние между соседними узлами. Величину h = max^ hi будем называть
шагом сетки. Сетка может быть неравномерной (hi ф const) и рав-
равномерной (hi = h = const). Очевидно, в последнем случае величина
шага сетки на отрезке [жо,Х] равна h — \Х — хо\/п. В дальнейшем,
если не оговорено особо, будем рассматривать равномерные сетки.
Функция дискретного аргумента u(xi), определенная лишь
в узлах сетки, называется сеточной функцией. Значения сеточной
функции и на ujk будем обозначать щ (i = 0,1,...,п). Для опре-
определения сеточной функции и, являющейся приближенным решени-
решением исходной дифференциальной задачи F.1), должна быть задана
разностная схема — система уравнений, связывающих между собой
значения сеточной функции щ, заданных дополнительных условий
и правой части уравнения в узлах xi сетки ий-
Пусть дифференциальная задача имеет вид
Ly = ф). F.2)
§ 1. Решение начальной задачи 167
Здесь символом L будем обозначать не только задание уравнения,
но и задание дополнительных, например, начальных или краевых
условий, записанное в определенном порядке. Через (р(х) обозначе-
обозначены как правая часть уравнения, так и правые части дополнитель-
дополнительных условий, записанные в соответствующем порядке. Так, задача
F.1) может быть записана в виде
Соответствующую разностную задачу будем записывать в виде
= <Рк, F-4)
где через Ьк обозначается задание разностного уравнения и отвеча-
отвечающих ему дополнительных условий, а через срк — входные данные
задачи, т. е. значения сеточной функции //, — правой части разност-
разностного уравнения, — в совокупности с правыми частями дополнитель-
дополнительных условий.
Задача определения сеточных функций ик должна быть постав-
поставлена так, чтобы при стремлении шага h сетки к нулю сеточные
функции сходились в определенном смысле к точному решению ис-
исходной задачи F.3).
Для определения сходимости семейства сеточных функций к ре-
решению исходной задачи в пространстве {vk} сеточных функций
необходимо задать расстояние между отдельными функциями как
норму их разности. Понятие нормы в пространстве сеточных функ-
функций можно ввести по-разному. Чаще всего используется так называ-
называемая равномерная или чебышевская норма, определяемая выраже-
выражением
г = 0,1,...,п. F.5)
В ряде случаев применяется среднеквадратичная (гильбертова)
норма
iKii/2 = (E^^I/2' F-6)
г=0
где pi — заданные весовые коэффициенты. В некоторых случаях
применяются и другие нормы, например, энергетические.
Определение. Будем говорить, что семейство сеточных
функций {uk} сходится к точному решению у(х) исходной задачи,
если
1ш1||ггЛ-[2/]Л|| = 0, F.7)
h—уО
168 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
где через [y]h обозначены значения функции у{х) на сетке Uh- Если,
кроме того, существует такое До, что при h ^ ho
\\uh-[y]h\\^Chk, F.8)
где С и к — некоторые постоянные, не зависящие от /i, то будем
говорить, что имеет место сходимость порядка к в соответст-
соответствующей норме.
2. Разностная схема Эйлера. Рассмотрим простейшую диф-
дифференциальную задачу F.1) или F.3). Заменив выражение для про-
производной в точке хп приближенным отношением
Уп+1 ~ УП _ Уп+1 - УП , _ , ч
Хп+1 - Хп ~ h lXn+1 " Хп ~ П)'
сопоставим F.3) следующую разностную задачу:
( ип+1 - ип _ г, ч^ , о >|
[ и0 J UoJ
В данном случае значения сеточной функции вычисляются очень
просто. Имеем последовательно
щ = щ + hf(xo,uo),
ик = Uk-i + hf(xn-i,un-i),
Такого типа схемы с последовательным вычислением щ^щ,... на-
называются явными схемами.
Нетрудно в описанном алгоритме заметить сходство с построени-
построением ломаной Эйлера в гл. 2. Разница заключается в том, что теперь
в рассмотрение включаются лишь вершины этой ломаной, а шаг
является постоянным. Разностная схема F.9) называется разност-
разностной схемой Эйлера с постоянным шагом для задачи F.3).
Доказанная в гл. 2 теорема 2.2 дает возможность утверждать схо-
сходимость семейства сеточных функций, построенных по схеме Эйле-
Эйлера, к решению исходной задачи F.3), так как в силу этой теоремы,
очевидно, выполняется условие F.7) в норме F.5).
Замечание. Сходимость сеточных функций, определяемых
простейшей разностной схемой Эйлера, к точному решению явилась
§ 1. Решение начальной задачи 169
следствием результатов гл. 2. Это связано с тем, что в самом дока-
доказательстве существования решения задачи F.1) в гл. 2 использова-
использовались ломаные Эйлера, получаемые из сеточной функции соедине-
соединением точек, отвечающих на графике значениям сеточной функции,
прямолинейными отрезками. В более сложных случаях разностных
схем нужно убедиться в существовании решения соответствующей
разностной задачи, прежде чем выяснять вопрос сходимости.
Оценим теперь порядок сходимости при h —> 0 последовательно-
последовательности сеточных функций, построенных по разностной схеме Эйлера,
пользуясь опять-таки результатами и методами гл. 2. В гл. 2 было
доказано, что как решение дифференциальной F.3), так и решение
разностной F.9) задач определены на сегменте [жо,Х] и не выходят
из области D, где задана функция f(x,y). Пусть f(x,y) непрерывна
в области D по совокупности аргументов и удовлетворяет условию
Липшица по каждому из переменных, т. е. пусть имеют место оценки
((х,у) Е D, М и N не зависят от х,у):
\f(x,y)\<M, \f(Uy)fB,y)\<:\12\,
\f(x,yi)-f(x,y2)\^N\yi-y2\. ( • }
В дальнейшем, исследуя другие разностные схемы для задачи
F.3), мы будем предполагать, что решение разностной задачи не вы-
выходит из D.
Итак, оценим разность между сеточной функцией, отвечающей
точному решению задачи F.1), и сеточной функцией, построенной
по разностной схеме Эйлера. Для этого достаточно оценить разность
между точным решением у{х) задачи F.1) и ломаной Эйлера у^ (ж),
которая удовлетворяет уравнению и начальному условию
^ =Уо. F.11)
Составим разность z{x) между точным решением у{х) исходной
задачи F.1) и ломаной У(п)(х):
z(x) =y(x) -у(п)(х). F.12)
В силу F.1), F.11) и F.12) получим
|§ = f(x,y(x))) - f(xi,y(n)(xi)), z(x0) = 0. F.13)
Оценим правую часть F.13), пользуясь условиями F.10). Так как
f(x,y(x)) - /O;,?(n)O;)) = f(x,y(x)) - f(xi,y(x)) +
+ f(Xi,y(x)) - f(Xi,y(n)(x)) + f(Xi,y(n)(x)) - f(Xi,y(n)(Xi)),
170
Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
то согласно обозначению F.12) при xi ^ х ^ xi+i
1/0,2/0)) - /0;,?7(nH;))l <
< N\x - х.\ + N\z{x)\ + N\y(n)(x) - у{п)(хг)\. F.14)
Оценим последнее слагаемое в формуле F.14). Согласно F.11)
\Щп)(х) -У{п){Хг)\ = \X-Xi\ \f(Xi,y(n)(Xi))\,
откуда в силу F.10) и условия \х — Х{\ ^ h получим
\Щп)(х)-Щп)(хг)\<НМ. F.15)
Подставляя F.15) в F.14), получим для производной ^ оконча-
окончательную оценку
dx
<N\z(x)\+hN(l
F.16)
на любом участке разбиения xi ^ x ^ xi+\. Согласно лемме о диф-
дифференциальных неравенствах отсюда следует
У(ж-Жо) - 1), х0 < х < X. F.17)
Из этой формулы видно, что разность между точным решением и ло-
ломаной Эйлера стремится к нулю как h (остальные величины в F.17)
фиксированы), тем самым выполняется F.8) при к = 1. Это позво-
позволяет сделать вывод, что разностная схема Эйлера имеет сходимость
первого порядка.
Рис. 18
§ 1. Решение начальной задачи 171
Замечание. Полученные результаты справедливы и в случае
неравномерной сетки hi ф const, h = max^ hi.
На рис. 18,а приведены интегральная кривая, представляющая
решение начальной задачи для линейного уравнения
^| = ау, у(х0) =?/о, а = const,
и ломаные Эйлера, полученные для различных значений шага h.
Расхождение носит экспоненциальный характер, что соответствует
оценке F.17); при h —у 0 его величина на конечном отрезке [жо,Х]
равномерно стремится к нулю. Однако при достаточно крупном ша-
шаге h приближенное решение, построенное по методу Эйлера, мо-
может существенно отличаться от точного. В частности, при а < О
и ha < — 2 приведенная на рис. 18,6" ломаная Эйлера ничего общего
не имеет с точным решением.
Сеточная функция Uh и решение дифференциального уравне-
уравнения у удовлетворяют уравнениям разной природы. Поэтому в об-
общем случае не удается повторить рассмотрения, приводящие для
простейшей схемы Эйлера к оценке F.17). В частности, для сеточ-
сеточной функции Uh, являющейся решением достаточно сложной раз-
разностной схемы, трудно предложить такой алгоритм интерполяции,
чтобы полученная кривая являлась интегральной кривой диффе-
дифференциального уравнения, в определенном смысле близкого к исход-
исходному, и можно было бы воспользоваться методом дифференциаль-
дифференциальных неравенств для оценки разности между решением исходного
и полученного дифференциальных уравнений.
В общем случае для оценки сходимости приходится пользовать-
пользоваться другими путями, вводя понятия аппроксимации и устойчивости
разностной схемы.
3. Порядок аппроксимации разностной схемы. Для рассмо-
рассмотрения понятия порядка аппроксимации разностной схемы потребу-
потребуется ввести норму cph — правой части разностной схемы F.4). Как
уже отмечалось выше, iph представляет собой правую часть урав-
уравнения — сеточную функцию fh в совокупности с дополнительны-
дополнительными условиями для искомой сеточной функции Uh- Они могут быть
и начальными, и краевыми. Занумеруем их в определенном порядке.
Соответствующие правые части пусть будут #i,..., gq.
Обозначим Ц^/гЦо = maxf \gi\ и введем норму ||^||i, полагая
||^Л||1=тах{||Л||,||ггЛ||о}. F.18)
Пусть разностная схема F.4) однозначно разрешима при всех
h ^ ho. Если значения [y]h решения у{х) исходной дифференци-
дифференциальной задачи на сетке ujh удовлетворяют разностной схеме F.4),
172 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
то, найдя решение разностной схемы г^, получим значение точного
решения в узлах сетки [y]h = Uh-
С таким положением мы встречаемся крайне редко. Как правило,
при подстановке значений [y]h в разностную схему F.4) мы не по-
получаем тождества, а F.4) удовлетворяется с некоторой невязкой
Lh[y]h = iph + Siph. F.19)
Величина невязки S(fh разностной схемы на решении исходной за-
задачи и является характеристикой аппроксимации разностной схемы
исходной задачи.
Замечания.
1. Отметим принципиальное отличие введенного понятия невяз-
невязки аппроксимации разностной схемой дифференциальной задачи от
использованного в § 2 гл. 2 понятия невязки при подстановке при-
приближенного решения в виде ломаной Эйлера в исходное дифферен-
дифференциальное уравнение. Это отличие связано с тем, что ломаная Эйле-
Эйлера является непрерывной и кусочно дифференцируемой функцией,
которую можно подставить в левую часть исходного дифференци-
дифференциального уравнения, в то время как решение разностной схемы есть
функция дискретного аргумента, определенная лишь в узлах сетки.
Решение исходной задачи определено всюду на отрезке интегриро-
интегрирования, и его значения [у]ь в узлах сетки можно подставить в раз-
разностную схему F.4) и, используя информацию о гладкости точно-
точного решения исходной задачи, оценить величину невязки разностной
схемы на точном решении.
2. Функция дискретного аргумента [y]h очевидно является реше-
решением разностной схемы F.4) с видоизмененной, или, как говорят,
возмущенной правой частью.
Перейдем теперь к определению понятия порядка аппроксимации
разностной схемы на решении дифференциальной задачи.
Определение. Будем говорить, что разностная схема имеет
к-й порядок аппроксимации на решении исходной задачи, если су-
существует такое До, что при h ^ ho
<Chk, F-20)
где С и к — некоторые постоянные, не зависящие от h.
Определим порядок аппроксимации схемы Эйлера F.9), предпо-
предполагая, что функция f(x,y) в уравнении F.1) имеет первые непре-
непрерывные частные производные по обоим аргументам в прямоугольни-
прямоугольнике D. В этом случае точное решение у(х) исходной задачи, очевидно,
§ 1. Решение начальной задачи 173
имеет вторую непрерывную производную. Это позволяет записать
разложение
y(xi + h)=y(xi) + hy'(xi) + ^-y"(xi+eh), О^в^ 1. F.21)
В силу F.21) при подстановке точного решения у(х) задачи F.1)
в левую часть уравнения F.9) получим
У'(ъ) + \у"{х{ + Oh) - f(xi,y(xi)) = \y"{x{ + Oh) F.22)
(первое и третье слагаемые в левой части F.22) взаимно уничтожа-
уничтожаются, поскольку у(х) является точным решением уравнения F.1)).
Тем самым невязка в уравнении имеет первый порядок. Решение
разностной задачи F.9) удовлетворяет тому же начальному усло-
условию, что и решение задачи F.3). Отсюда следует, что схема Эйлера
аппроксимирует задачу F.3) с первым порядком.
Замечание. Первый порядок аппроксимации схемы Эйлера
связан с тем, что в этом методе первая производная y'(xi) аппрокси-
аппроксимируется разностным отношением (з/г+i — Vi)/h. Легко видеть, что,
выбирая другие приближенные формулы для первой производной,
можно повысить порядок аппроксимации.
Действительно, заменим первую производную симметричным
разностным отношением в соседних точках
(lfc+i-Ifc_i)/2/i. F.23)
Предполагая непрерывность третьих производных решения (что бу-
будет иметь место при соответствующих условиях гладкости функции
f(x,y) в правой части уравнения F.1)), будем иметь
y(xi + h) = y{xi) + hy'(xi) + ^y"(xi) + ^-y"\xi + 6>i/i),
y(Xi -h)= y(Xi) - hyf(Xi) + ?-y"(xi) - ^-ym(xi + 02h).
Аппроксимируем задачу F.3) разностной схемой (у\ — значение
сеточной функции в первом узле пока оставим неопределенным, но
это значение необходимо задать, чтобы последовательно определить
[;hfi\ (\
LhUh = < щ( = \ Уо > F-25)
I ?J UJ
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим, что раз-
разностное уравнение F.25) аппроксимирует исходное уравнение F.1)
174 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
со вторым порядком. Чтобы определить порядок аппроксимации
условия в первом узле, опять воспользуемся разложением точно-
точного решения по формуле Тейлора
,2
у(х0 + К) - у1 = у(х0) + hy'(xo) + ^у"(х0 + Oh) - у1 =
= уо + hf(xo,yo) + т2/"(ж0 + Oh) - уг.
F.26)
Из F.26) следует, что если выбрать
У1=Уо + hf(xo,yo), F.27)
то и второе начальное условие в F.25) аппроксимируется со вторым
порядком. Первое начальное условие выполняется точно. Отсюда
следует, что при выполнении дополнительного условия F.27) раз-
разностная схема F.25) аппроксимирует исходную задачу со вторым
порядком.
Естественно предположить, что для того, чтобы решение Uh раз-
разностной схемы было близко к решению исходной задачи, невязка
Scph должна быть достаточно малой. Возникает вопрос, является
ли малость невязки Scph достаточной для того, чтобы обеспечить
близость Uh к решению исходной задачи, иными словами, обеспе-
обеспечивается ли сходимость разностной схемы, если имеет место ап-
аппроксимация? Оказывается, одной аппроксимации, вообще говоря,
недостаточно, чтобы разностная схема давала приближенное реше-
решение дифференциальной задачи. Помимо аппроксимации нужны еще
какие-то дополнительные свойства разностной схемы. Таким свой-
свойством является так называемая устойчивость разностной схемы.
4. Устойчивость разностной схемы. Перейдем к определению
устойчивой разностной схемы. Рассмотрим разностную схему F.4)
и соответствующую так называемую возмущенную задачу
Lhuh = (ph + 5(ph, F.28)
где Sifh называется возмущением входных данных. В дальнейшем
будем рассматривать тот случай, когда возмущенная задача F.28)
однозначно разрешима при достаточно малом возмущении, т. е. су-
существуют такие So и ho, что при ||J^||i < So и h < ho задача F.28)
имеет решение, и притом единственное. Погрешностью решения схе-
схемы F.4) по-прежнему назовем выражение Suh — uh — Uh- Величина
Sifh, как и ifh, оценивается в норме
||^Л||1=тах{||ЙЛ||,||й«Л||о}, F.29)
где ||ЙДЦ — норма возмущения правой части уравнения, а ||?г^||о —
норма возмущения дополнительных условий. Дадим определение
устойчивой разностной схемы.
§ 1. Решение начальной задачи 175
Определение. Схема F.4) называется устойчивой по началь-
начальным условиям и правой части уравнения (или просто устойчивой),
если существует такая постоянная /ig, что при h < ho для нормы
погрешности решения выполняется неравенство
|i, F-30)
где постоянная С не зависит от h.
Данное определение, очевидно, означает непрерывную зависи-
зависимость решения разностной схемы F.4) от входных данных зада-
задачи — начальных условий и правой части уравнения: малое изме-
изменение входных данных приводит к малому изменению решения.
Замечание. В случае линейного оператора L^ введенное опре-
определение устойчивости разностной схемы F.4) эквивалентно требова-
требованию, чтобы схема F.28) была однозначно разрешима при достаточно
малом возмущении Siph и при h < ho выполнялось условие
|1, F-31)
где С — некоторая не зависящая от h постоянная [14].
Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы Эйлера
F.9) в случае общей задачи F.1). Пусть функция /(ж, у) непрерывна
в области D и удовлетворяет условию Липшица по переменной у,
т. е. имеют место оценки
\f(x,y)\<M, \f(x,yi)-f(x,y2)\^N\yi-y2\, (x,y)€D. F.32)
Возмущенная разностная схема, соответствующая схеме F.9),
имеет вид
Lhuh = { h «Ь I = о/. I (б 33)
где fi = f(xi,ui), Sfi — возмущение правой части разностного урав-
уравнения, го — возмущение начального условия. Для погрешности ре-
решения Suh = u~h — Uh, очевидно, получим
бщ+1- 6щ _ /(а,.^.) + /(ж.;Ц.) = Sfh ёщ=е0. F.34)
Отметим, что согласно введенным выше определениям
\Sfi\ < Над, ||<*«л||о = |ео|. F-35)
176 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
Из F.34) в силу оценок F.32) и F.35) получим
\6щ+1\ ^ \6щ\ + hN\Sui\ + h\\Sfh\\ =
¦hN) + l}\\Sfh\\.
F.36)
Применяя этот процесс последовательных оценок, после (г + 1)-го
шага найдем
\5щ+1\ sC A + hN)i+1\e0\ + ЦA + hNY + ¦ ¦ ¦ + l}\\Sfh\\ <С
^ A + hNy+1\\5uh\\o + i(l + hNy+1\\5fh\\, F.37)
откуда получим
Так как X — xq = n/i, то в силу неравенства
окончательно при любом h будем иметь
\\Suh\\ < e"'*-*") (p«ft||o + ^РЛ||) < CH^ftHi, F.39)
что и доказывает устойчивость разностной схемы F.9).
5. Теорема о сходимости. Введенные выше понятия порядка
аппроксимации и устойчивости разностной схемы позволяют дока-
доказать следующую теорему, играющую фундаментальную роль при
исследовании сходимости разностных схем.
Теорема 6.1. Если разностная схема F.4) устойчива и аппрок-
аппроксимирует задачу F.2) с порядком к, то решения Uh при h —> 0 схо-
сходятся к решению у(х) дифференциальной задачи, причем порядок
сходимости также равен к, т.е. имеет место оценка
\\uh-[y]h\\ <Ch\ F.40)
где постоянная С не зависит от h.
Доказательство. Обозначим разность значений сеточных
функций Uh и [y]h через zh:
zh = uh- [y]h. F.41)
§ 1. Решение начальной задачи 177
В силу определения порядка аппроксимации
= <Ph + S<Ph, F.42)
где для невязки S(fh имеет место оценка ||(V/i||i < C\hk. Так как [у]ь
является решением возмущенной разностной схемы F.42), то в си-
силу устойчивости разностной схемы F.4) и оценки F.30), входящей
в определение устойчивости, получим
|Ы| < CH^ftHi < CCxhf. F.43)
Сохранив для произведения постоянных СС\ обозначение С, полу-
получим соотношение F.40). Теорема доказана.
Выше было показано, что схема Эйлера устойчива и аппрокси-
аппроксимирует задачу F.1) с первым порядком. Из доказанной теоремы
следует, что семейство решений Uh, полученных по схеме Эйлера,
при h —У 0 сходится к точному решению задачи F.1) также с пер-
первым порядком. Этот факт был установлен в п. 2 с помощью прямых
оценок.
Заметим, что в оценках F.30) и F.40) не зависящая от h посто-
постоянная С может иметь достаточно большое значение. Так, в случае
схемы Эйлера постоянная С имеет порядок еа(х~х°") и при а > 0
достаточно велика.
Рассмотрим в качестве примера, показывающего важность поня-
понятия устойчивости для сходимости разностных схем, задачу F.1) для
следующего линейного однородного уравнения с постоянным коэф-
коэффициентом:
^-+ау = 0, у(хо)=уо. F.44)
Сопоставим этой задаче следующую разностную схему:
( F-45)
Ul J UoJ
Нетрудно убедиться, как это было сделано выше для схем F.9)
и F.25), что разностная схема F.45) аппроксимирует решение ис-
исходной задачи с первым порядком.
А теперь построим точное решение разностной задачи F.45). Пе-
Перепишем уравнение из F.45) в виде
ип+1 - C + аК)ип + 2м„_1 = 0. F.46)
178 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
Найдем частное решение этого разностного уравнения в форме
ип = Лп, где Л — пока неизвестная постоянная (это делаем по анало-
аналогии с отысканием частного решения линейного однородного диффе-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в форме
еХх). Имеем тогда An+1 - C + ah)Xn + 2Xn~1 = 0 или
А2 - C + aft)A + 2 = 0. F.47)
Полученное уравнение называется характеристическим (опять же
по аналогии с теорией дифференциальных уравнений) для разност-
разностного уравнения F.46). Находя из F.47)
л _ 3 + aft - л/1 + 6aft + a2h2
Л1 — о '
л _ 3 + ah + л/1 + 6ah + a2h2
2 ~ 2 '
F.48)
получим два частных решения уравнения F.46) в виде ип^ = А™,
ипB) = Аз . Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и в пер-
первом узле, т.е. условиям щ = ?/i, u± = уо, взяв линейную комбина-
комбинацию этих решений (являющуюся также решением в силу линейности
уравнения)
ип = С1\™ + С2\%. F.49)
Имеем С\ + С2 = г/о? С\\\ + С2А2 = Уо- Отсюда
г У0&2 "I) r 2/o(Al -1) (а гПч
Ci = a2_Ai , C2 = Ai_A2 • F.50)
Итак, формула F.49), где Ci и С2 определены формулами F.50),
дает решение разностной задачи F.45). Нетрудно убедиться, что
оно является единственным, так как, предполагая, что имеются два
решения задачи F.45), получим, что их разность в силу линейно-
линейности является решением опять-таки задачи F.45), где уо = 0. Отсю-
Отсюда последовательно получим, что все значения сеточной функции,
отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны
нулю.
Исследуем построенное решение задачи F.45) при h —> 0. Поль-
Пользуясь известными методами анализа, нетрудно получить, что при
достаточно малых ft*)
Ai = 1 - aft + C>(ft2), A2 = 2 + 2ah + O(ft2),
1
*)Символом O(hk) обозначается величина, модуль которой меньше Chk, где
С — не зависящая от h постоянная.
1. Решение начальной задачи 179
При ft -у 0 и а > О имеем Ci ->• г/о? а |А™| < 1, и поэтому
d\™ = сг1А^п"Жо)/Л ограничено при ft -^ 0. В то же время А? > 2П,
MaM^olM, F.51)
Чтобы получить посредством разностной схемы решение в фик-
фиксированной точке х отрезка [хо, X], нужно сделать такое число п
шагов, чтобы xn-i < х ^ хп, а для такого п величина h2^Xn~x°^h ^
^ Ji2(x~x°yh —>. оо при ft —>¦ 0, так как х фиксировано; т.е. при фик-
фиксированном значении х Е [жо,Х] второе слагаемое в формуле F.49)
неограниченно возрастает по абсолютной величине. Тем самым се-
сеточная функция, отвечающая разностной схеме F.45), не может схо-
сходиться к решению дифференциальной задачи F.3) в смысле F.7).
Итак, схема F.45) обеспечивает первый порядок аппроксимации,
но не сходится к решению дифференциальной задачи. Легко ви-
видеть, что этот результат связан с отсутствием устойчивости дан-
данной разностной схемы. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмо-
рассмотреть возмущенную задачу, в которой возмущаются только началь-
начальные данные:
о%+1 -пп . -
6 h +aun
{
2ft
и0
Тогда для погрешности решения Suh = uh — Uh получим формулу
F.49), в которой уо следует заменить на г. Из оценки F.51) следует,
что при любом фиксированном г > 0 величина IC2A2I неограни-
неограниченно растет при ft —у 0, что и доказывает неустойчивость данной
разностной схемы.
6. Метод Рунге—Кутта. Как мы уже отмечали, схема Эйлера
имеет лишь первый порядок сходимости, и для получения высо-
высокой точности по этой схеме приходится вести вычисления с очень
мелким шагом, что приводит к значительному росту времени сче-
счета. Поэтому естественно искать схемы, обладающие более высокими
порядками сходимости. Одним из классов таких схем являются схе-
схемы Рунге-Кутта. В основе этого метода лежат следующие сообра-
соображения. Рассмотрим тождество у'(х) = f(x,y(x)). Согласно формуле
Лагранжа о конечных приращениях на отрезке [xi, a^+i] существует
такая точка ж*, что
y(xi+1) -y(xi) = (xi+1 -Xi)y'(x*) = hf(x*,y(x*)). F.52)
Однако значение ж* нам неизвестно. В схеме Эйлера положено
ж* = Xi, что и дает всего лишь первый порядок точности. Основная
180 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
идея метода Рунге—Кутта заключается во введении в разностную
схему ряда дополнительных параметров, уточняющих приближен-
приближенное определение значения ж*.
Будем по-прежнему рассматривать начальную задачу F.1)
(или F.3)):
I,-/ А»-«•¦").?{»). («3)
Условия гладкости функции f(x,y) будут сформулированы ниже.
Сопоставим задаче F.1) разностную схему
= , F.54)
J l2/o J'
" F.55
a pi,...,p/, ai,..., a/_i — некоторые параметры, выбором которых
можно обеспечить требуемый порядок аппроксимации схемы F.54)
на решении задачи F.53).
В частном случае при I = 1, р = 1 схема F.54) переходит в схему
Эйлера F.9), имеющую первый порядок аппроксимации. Покажем,
что при I = 2 можно так выбрать параметры pi,p2 и ai, что схе-
схема F.54) будет иметь второй порядок аппроксимации. Пусть функ-
функция f(x,y) имеет в D непрерывные частные производные до второго
порядка по обоим аргументам, что достаточно для существования
непрерывной третьей производной от решения. Тогда решение зада-
задачи F.53) может быть представлено по формуле Тейлора
y(xi+1) = y(Xi) + hy'(Xi) + %y"(xi) + ^y'"(x*). F.56)
Подставляя это выражение в схему F.54), получим
y{x*+l)-yiXi)-(PiKl+P2K2) =
= у'{хг) + %y"(xi) + O(h2) - Plf(Xi,y(Xi))-
- P2f(xi + onh, y{xi) + aihf(xuy(xi))). F.57)
Воспользовавшись разложением
a1hf(xi,y(xi))^(xi,y(xi)) + O(h2) F.58)
1. Решение начальной задачи
181
и очевидным соотношением
(xi,y{xi)), F.59)
перепишем F.57) в виде
- (pi
ку"(х{)A/2 - alP2) + O(/i2). F.60)
Отсюда следует, что при
= 1/2 F.61)
схема F.54) при I = 2 имеет второй порядок аппроксимации. При
этом oli может быть выбрано произвольно. Наиболее широко при-
применяются схемы F.54) с «1 = 1 и «1 = 1/2. Заметим, что путем
выбора а\ повысить порядок аппроксимации схемы F.54) при I = 2
нельзя.
При а\ = 1 из F.61) получим р1 = р2 = 1/2, и схема F.54) при-
принимает вид
Щ+\
i,щ)
h,Ui + hf(xi,щ))] = 0. F.62)
Геометрическая интерпретация этой формулы ясна из рис. 19.
Сначала по методу Эйлера находим точку iji+i = щ + hf(xi,Ui), за-
затем находим среднее значение угла
наклона касательной к интеграль-
интегральным кривым на шаге h: tga =
= ^О- + y'i+1) и по нему уточ-
уточняем значение щ+\. Аналогичные
рассуждения легко провести и для
случая а = 1/2. Подобные схемы
обычно носят название «предик-
«предиктор-корректор».
Мы рассмотрели схемы со вторым порядком аппроксимации.
Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для схем бо-
более высокого порядка (I > 2). При этом приходится налагать на
функцию /(ж, у) все более высокие требования гладкости. Наиболее
Рис. 19
182 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
широкие практические применения находят схемы четвертого по-
порядка. В большинстве библиотек стандартных программ для ЭВМ
используется следующая схема:
, F.63)
где
Кл == f(x' и ¦) Кч ——
К2 = f\Xi + \,щ + \К\\, КА = /(xi + h,Ui + hK3).
Легко проверить, что эта схема имеет четвертый порядок аппрок-
аппроксимации.
В силу теоремы 6.1 для определения порядка сходимости схем
Рунге—Кутта достаточно доказать их устойчивость. Это доказатель-
доказательство можно провести в полной аналогии с доказательством устой-
устойчивости схемы Эйлера. Действительно, все схемы типа F.54) имеют
вид
где функция G{x,y) представляет собой линейную комбинацию
функций f(x,y) от промежуточных значений аргумента. Поэтому
оценки для функции G(x,y) и ее производных легко выразить че-
через соответствующие оценки функции f(x,y) и ее производных, ис-
используемые при доказательстве устойчивости метода Эйлера, отку-
откуда и следует сделанное утверждение.
В частности, имеет место следующая
Теорема 6.2. Пусть функция f(x,y) имеет в D непрерывные
частные производные четвертого порядка. Тогда схема Рунге-Кутта
F.63) сходится с четвертым порядком точности, т. е.
К - [у]н\\ < ch4. F.66)
Отметим в заключение, что схемы Рунге-Кутта допускают вы-
вычисления и с переменным шагом. Начиная с любого индекса г, мож-
можно уменьшить или увеличить последующий шаг сетки.
Замечание. В этом параграфе были рассмотрены численные
методы решения начальной задачи F.1) для одного скалярного
уравнения первого порядка. Без существенных изменений разобран-
разобранные методы переносятся на случай начальной задачи и для нор-
нормальной системы уравнений первого порядка [26].
2. Краевые задачи 183
§ 2. Краевые задачи
В этом параграфе будут рассмотрены простейшие численные ме-
методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Постановка этих задач и общие свойства их решений
были изучены в гл. 4.
1. Метод стрельбы. Основная идея этого метода заключает-
заключается в сведении решения исходной краевой задачи к многократному
решению вспомогательных задач Коши для заданного дифференци-
дифференциального уравнения. Проиллюстрируем эту идею на примере краевой
задачи на отрезке [О, I] для уравнения второго порядка
(y(O),g(O))=O, F.68)
О, F.69)
где /, ipi,(f2 — заданные функции своих аргументов. Пусть функции
/, <pi, c^2 являются достаточно гладкими и выполнены условия, при
которых решение краевой задачи F.67)-F.69) существует и един-
единственно, а также существуют единственные решения начальной за-
задачи для уравнения F.67) при произвольных начальных условиях,
заданных при х = 0 или х = I. Выберем некоторые начальные усло-
условия 2/@) = уо, Т/ @) = 2/ъ удовлетворяющие левому граничному
условию F.68). Это можно, например, сделать, задавшись значени-
значением уо и разрешая полученное уравнение
o F.70)
относительно -р @) = у\. В силу сделанного предположения задача
определения решения у(х) уравнения F.67), удовлетворяющего вы-
выбранным начальным условиям, разрешима единственным образом.
Если бы полученная при этом функция у(х) удовлетворяла и пра-
правому граничному условию
(|H, F.71)
то исходная краевая задача была бы решена. Однако в общем слу-
случае полученная функция у{х) не удовлетворяет правому гранично-
граничному условию F.71). По способу своего построения функция у(х) зави-
зависит от значения у о как от параметра: у(х) = у(х, у о), причем в силу
184 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
общих свойств решения начальной задачи, изученных в гл. 2, эта за-
зависимость непрерывная. Меняя значения уо и повторяя описанный
выше алгоритм, получим однопараметрическое семейство у(х,уо)
решений начальных задач для уравнения F.67), удовлетворяющих
левому граничному условию F.68). Задача заключается в том, что-
чтобы из этого семейства выделить функцию у(х), удовлетворяющую
и правому граничному условию F.69). Этого можно достичь различ-
различными способами. Например, можно выбирать наудачу значения у о
до тех пор, пока при некоторых близких значениях 2/Ь,г-ъ27о,г не по-
получатся разные по знаку левые части F.69). Это будет означать, что
искомое значение уо «взято в вилку» и можно вести «пристрелку»,
уточняя искомое значение у о. В силу указанной выше непрерывной
зависимости решений начальных задач от начальных данных ис-
искомое значение у о лежит между yo^-i и yo:i. Этот способ решения
краевой задачи F.67)-F.69) и носит название метода стрельбы.
Если решение задачи Коши у(х,уо) находится в квадратурах, то
соотношение F.71) представляет собой некоторое, вообще говоря,
трансцендентное уравнение
ФЫ = т(уA,Уо), ${Ш) = 0 F.72)
относительно искомого значения уо. Тем самым задача сводится
к задаче нахождения корня уравнения F.72). Решив это уравнение
(аналитически или численно), мы получим начальные условия 2/@),
-у @), которым удовлетворяет решение исходной краевой задачи.
В общем случае функции у(хо,уо) не имеют явного аналитическо-
аналитического выражения и могут быть найдены лишь численно для каждого
конкретного значения параметра у о. Тогда можно воспользовать-
воспользоваться численными методами решения уравнения F.72) — различными
модификациями метода Ньютона, метода парабол и т.д. Например,
можно по описанному выше алгоритму для значений параметра у о,
равных 2/о,г-1 и 2/о,г? построить функции у(х, yo,i-i) и у(х, 2/о,г)- Тогда
новое значение параметра 2/о,г+ъ согласно методу секущих, находит-
находится из соотношения
i) • F-73)
Отметим, что если начальное значение у о выбрано вблизи корня
уравнения F.72), то итерационный процесс F.73) быстро сходится.
Проведенные рассмотрения справедливы в общем случае нелиней-
2. Краевые задачи 185
ной краевой задачи. В случае линейной краевой задачи
ЧУ] = ? [Р(*)^] - QfrMx) = /(*), F.74)
сад'@)+/Ы0)=0, F.75)
«22/40+^22/@=0, F.76)
можно предложить модификацию метода стрельбы, позволяющую
получить решение исходной краевой задачи, сведя ее к решению
сравнительно небольшого числа начальных задач.
Построим функцию 2/i(ж), представляющую собой решение зада-
задачи для неоднородного уравнения F.74) с начальными условиями
|/i@)=ab у[(О) = -р1. F.77)
Очевидно, в силу F.77) функция у\{х) удовлетворяет левому гра-
граничному условию F.75). Определим функцию уо(х) как решение за-
задачи для однородного уравнения F.74) с теми же начальными усло-
условиями
!/о@) = аи у'0@) = -ft. F.78)
В силу линейности задачи и однородных условий функция Суо(х)
также представляет собой решение однородного уравнения F.74),
удовлетворяющее левому граничному условию F.75). Поэтому ре-
решение исходной краевой задачи можно искать в виде
у(х)=У1(х)+Су0(х), F.79)
определяя постоянную С из требования удовлетворения функцией
F.79) правому граничному условию F.76):
a2y[(l) + &2/1 @ + с[«22/о@ + /W0] = 0- F-80)
Заметим, что в силу сделанного предположения о единственности
решения исходной краевой задачи выражение в квадратных скоб-
скобках в F.80) заведомо отлично от нуля; тем самым постоянная С из
этого соотношения определяется однозначно. Таким образом, в рас-
рассматриваемом случае решение краевой задачи сводится к решению
всего двух начальных задач, что может быть осуществлено рассмо-
рассмотренными в § 1 настоящей главы численными методами.
Замечания. 1. Решение краевых задач для уравнений и систем
более высокого порядка, чем второго, также может быть проведе-
проведено методом стрельбы. Основные идеи метода при этом существенно
не меняются, однако вместо одного уравнения F.72) мы в общем
случае получим систему р трансцендентных уравнений типа F.72)
186 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
относительно параметров у\, у^-, • • • •> Ур? где Р — число левых гранич-
граничных условий. Это приводит к значительной технической трудности
при практической реализации решения систем высокого порядка ме-
методом стрельбы. Исключение составляют лишь линейные системы,
для которых задача сводится к решению систем линейных алгебра-
алгебраических уравнений.
2. В методе стрельбы решение исходной краевой задачи сводится
к решению ряда вспомогательных начальных задач. Из полученных
выше (§1) оценок зависимости ошибки численного решения началь-
начальной задачи от ошибок задания начальных данных и вычисления
правых частей уравнений следует, что эта ошибка может экспонен-
экспоненциально нарастать с увеличением длины отрезка [0,?], на котором
решается краевая задача. Это приводит к необходимости или зна-
значительной модификации метода стрельбы (так называемый метод
дифференциальной ортогональной прогонки) [9], или применения
для решения краевых задач прямых конечно-разностных методов,
изложению которых и будет посвящен следующий пункт.
2. Конечно-разностные методы. Как мы уже отмечали, суть
этих методов сводится к замене исходной задачи для дифференци-
дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений для значе-
значений сеточной функции, аппроксимирующей на сетке решение ис-
исходной задачи. Рассмотрим основные идеи этого метода на при-
примере простейшей линейной краевой задачи для уравнения второго
порядка
y"-q(x)y = f(x), F.81)
2/@) = j/@ = 0. F.82)
Легко видеть, что при q(x) > 0 краевая задача F.81), F.82) имеет
единственное решение. Это утверждение является следствием обще-
общего свойства задачи на собственные значения, рассмотренной в гл. 4.
Как было показано, при q(x) > 0 все собственные значения Ап соот-
соответствующей задачи на собственные значения строго положитель-
положительны: Ап > 0. Поскольку А = 0 не является собственным значением
этой задачи, краевая задача (б.81)-F.82) разрешима единственным
образом.
Единственность решения задачи F.81), F.82) можно доказать
и непосредственно, опираясь на так называемый принцип макси-
максимума. Предположим, что существует нетривиальное решение одно-
однородной краевой задачи F.81), F.82) — функция уо(х). Эта функция
2. Краевые задачи 187
непрерывна на замкнутом отрезке [О, I], следовательно, по известно-
известному свойству непрерывных функций принимает в некоторой точке хо
этого отрезка свое максимальное значение М:
уо(х) ^М = Уо(хо), ЖЕ [0,/], F.83)
причем М ^ О, поскольку уо@) = у oil) = 0. Точка хо может быть
либо граничной, либо внутренней точкой [0,1]. Пусть хо — гранич-
граничная точка. Но тогда М = 0, поскольку уо@) = уоA) — 0- Допустим
теперь, что хо — внутренняя точка; тогда в этой точке имеется мак-
максимум и у"(хо) ^ 0. Но из самого уравнения (см. F.81) при f(x) = 0)
следует
0 ^ у'оЫ = q(xo)yo(xo) = q(xo)M ^ 0, F.84)
а это может выполняться лишь при М = 0. Итак, М = 0. Ана-
Аналогичным образом легко показать, что и минимальное т значение
функции уо(х) на замкнутом отрезке [0,1] равно нулю: т = 0. Отсю-
Отсюда следует, что уо(х) = 0, х G [0,1], что и доказывает утверждение
единственности решения краевой задачи F.81), F.82).
Перейдем к построению разностной схемы, аппроксимирующей
задачу F.81), F.82). Введем на отрезке [0,/] сетку uj^ и рассмотрим
сеточную функцию y^h), определенную в узлах сетки. Вторую про-
производную у"(х) аппроксимируем разностным отношением
(yi+1-2yi + yi-1)/h2 F.85)
и сопоставим исходной краевой задаче конечно-разностную схему
Lhyw =
где
Схема F.86), очевидно, представляет собой систему п + 1 линей-
линейного алгебраического уравнения относительно значений сеточной
функции в п + 1 узлах сетки. При исследовании этой схемы мы
должны выяснить вопросы, связанные с ее разрешимостью, устой-
устойчивостью и сходимостью семейства сеточных функций при h —У 0
к решению исходной задачи, и указать алгоритмы построения се-
сеточных функций.
Начнем с выяснения вопросов разрешимости схемы F.86). По-
Поскольку эта схема представляет собой систему линейных уравне-
уравнений, то для существования и единственности решения неоднород-
неоднородной системы достаточно установить отсутствие нетривиальных ре-
решений у соответствующей однородной системы. Предположим, что
188 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
однородная система имеет нетривиальное решение y[h)o = О, • • • •>
y(h)i ф 0,..., у{ь)п — 0. Наибольшее из этих п + 1 чисел обозначим
через М:
V(h)i <: М = y(h)k. F.87)
Так как y^h)o = V(h)n = 0, то М ^ 0. Будем теперь рассуждать как
и при доказательстве отсутствия нетривиального решения у одно-
однородного уравнения F.81). Пусть М достигается в одном из гранич-
граничных узлов. Тогда М = 0. Если же М достигается во внутреннем узле
г = к, то в силу однородного уравнения F.86) имеет место равенство
B + h2q(h)k)y(h)k = B + h2q(h)k)M = y(h)k+1 + y{h)k-i ^ 2M. F.88)
Если М > 0, то отсюда получим противоречие, поскольку, в силу
условия q{x) > 0, имеем B + h2q^k)M > 2М. Поэтому и в этом слу-
случае М = 0. Итак, М = 0. Аналогичным образом легко показать, что
минимальное т значение из п + 1 чисел, 2/(^H? 2/(/гI ? • • • •> У(Н)п также
равно нулю: т = 0. Следовательно, все значения y(h)o, У(К)\ч • • • •> У(К)п
равны нулю, что означает отсутствие нетривиальных решений у од-
однородной системы линейных алгебраических уравнений F.86). Итак,
разностная схема F.86) однозначно разрешима для любой правой
части /(/^ при любом п.
Перейдем теперь к изучению аппроксимирующих свойств схемы
F.86). Пусть функции q(x) и /(ж) имеют вторые непрерывные произ-
производные на отрезке [0,1]. Тогда из F.81) следует, что решение краевой
задачи F.81), F.82) обладает на отрезке [0,1] непрерывными и огра-
ограниченными производными до четвертого порядка. Разлагая точное
решение краевой задачи по формуле Тейлора и подставляя это раз-
разложение в левую часть уравнения F.86):
±{y(Xi) + hy'(Xi) + ^y"{Xi) + ?y'"(xi) + ^уAУ)(х1
- 2y{Xi)+y{Xi) - hy'ixi) + ?y"(Xi) - ^-y'"(xi) + ^yiIV\xi -02h)}
-q(xi)y(xi), F.89)
где 0 ^ 9\ ^ 1, 0 ^ 02 ^ 1, получим
F.90)
откуда следует, что порядок аппроксимации схемы F.86) равен 2.
Рассмотрим вопрос об устойчивости разностной схемы F.86) по
отношению к возмущениям граничных условий и правой части урав-
2. Краевые задачи 189
нения. Возмущенная задача имеет вид
{y(h)i+l-2V(h)i + V(h)i-l _ "I ( t ,xf
— ТТ — QWiV(h)i I f(h)i+df(h)i
У Wo H
V(h)n J ^ ?n
F.91)
Обозначив погрешность решения
= V(h)i ~ V(h)i F.92)
и вычитая F.91) из F.86), получим в силу линейности
B + h2qWi)8y^h)i = 8y{h)i+1 + (%(/,);_! - h28f{h)i,
Выберем то значение г = к (г = 1,..., п — 1), при котором абсолютная
величина погрешности наибольшая:
\8 V(h)k\ ^ \8y(h)i\, г = 1,...,п- 1. F.94)
Из уравнения F.93) имеем
B + h2qWk)\8yWk\ ^ |52/(Л)Л+1| + \Sy(h)k-i\ + ^2|^/(/i)fe|- F.95)
Неравенство F.95) только усилится, если заменить @
и |^2/(^)jfe_i| на максимальное значение \8у^^\, а 1E/(^)^1 — на мак-
максимальное значение \Sf^\. Тогда F.95) дает
h\h)k\6y{h)k\^h2\\6f{h)\\. F.96)
Отсюда получим
а так как \8у^^\ ^ тах{|го|5 \ek\} (к = 0,п), то окончательно
, |?о|, ы} ^ C\\5nh)\\i, F.97)
что и доказывает устойчивость схемы F.86) по граничным условиям
и правой части уравнения.
Установленные свойства аппроксимации и устойчивости схемы
F.86) позволяют на основании теоремы 6.1 утверждать справедли-
справедливость следующей теоремы.
190 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
Теорема 6.3. Если функции q(x) > 0 и f(x) дважды непрерыв-
непрерывно дифференцируемы на отрезке [0,1], то семейство у^ решений
разностной схемы F.86) сходится при h —> 0 к точному решению
задачи F.81), F.82), причем порядок сходимости равен 2.
Остановимся теперь на вопросах реализации схемы F.86). В от-
отличие от рассмотренных выше разностных схем решения начальной
задачи (схемы Эйлера, Рунге-Кутта), данная схема не дает явного
алгоритма последовательного вычисления значений сеточной функ-
функции в узлах сетки, а представляет собой систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные значения се-
сеточной функции во всех узлах сетки. Поэтому для численного реше-
решения задачи F.86) можно воспользоваться общими методами реше-
решения линейных алгебраических систем. Однако в случае достаточно
большого порядка п эти методы оказываются весьма трудоемки-
трудоемкими. Естественно воспользоваться специальными свойствами матри-
матрицы полученной алгебраической системы. В данном случае матрица
системы трехдиагональная — лишь на главной диагонали и двух по-
побочных диагоналях элементы матрицы отличны от нуля. Это позво-
позволяет предложить для решения системы F.86) весьма эффективный
специальный метод, к изложению которого мы и перейдем.
3. Метод алгебраической прогонки решения линейных ал-
алгебраических систем с трехдиагональной матрицей. Рассмот-
Рассмотрим этот метод для следующей системы, являющейся некоторым
обобщением схемы F.86):
AiVi-l ~ CiVi + ВгУ1+1 = -Fh I = 1, . . . , П ~ 1, F.98)
Уо = аух + /3, yn= 72/n-i + S. F.99)
Пусть коэффициенты, входящие в уравнения F.98) и граничные
соотношения F.99), удовлетворяют условиям
АиВиС{>0] d^Ai + Bi, (Ка<1; 0^7<1- F.100)
Очевидно, в рассмотренном выше случае схемы F.86) условия F.100)
выполнены. Так же, как и в случае схемы F.86), нетрудно показать,
что при выполнении условий F.100) задача разрешима, и притом
единственным образом.
Будем искать такие коэффициенты щ, fa, чтобы для всех значе-
значений индекса г = 1, 2,..., п имело место соотношение
Уг-1 = OLiyi + Д. F.101)
2. Краевые задачи 191
Подставим искомый вид решения F.101) в уравнение F.98); полу-
получим
(Ам - Ci)yi + Вт+1 + (Аф{ + Fi) = 0. F.102)
Выражая yi через yi+1 по формуле F.101), перепишем F.102) в виде
[(А^-С^щ+1+В^+1+[(А^-С^+1+Аф^Р^ =0. F.103)
Для того чтобы F.103) удовлетворялось тождественно при i = 1,
2,... ,п — 1, достаточно потребовать, чтобы каждая из квадратных
скобок обращалась в нуль при г = 1,2,. ..,п — 1. Это требование дает
рекуррентные соотношения для последовательного определения по
заданным значениям а = а± и E = E\ «прогоночных» коэффициен-
коэффициентов а^+1 и /%_|_i («прямая прогонка»):
аг+1 = -г. Т7ГТ> Рг+1 = J^ Т7Г7- @.1U4)
Легко показать, что при выполнении условий F.100) знаменатели
в формулах F.104) отличны от нуля и, более того, 0 ^ oti < 1.
Действительно, перепишем второе условие F.100) в виде
d = А{ + В{ + А, А ^ 0. F.105)
Тогда первую формулу F.104) можно записать в виде
Так как 0 ^ а± < 1, Ai,Bi > 0 и Д ^ 0, отсюда следует, что
и для всех ai, вычисляемых по формуле F.106), выполняется усло-
условие 0 ^ QLi < 1. Итак, все знаменатели в формуле F.104) строго
больше нуля, что позволяет найти все прогоночные коэффициенты.
Вычислив ап и /Зп из F.101), получим
yn-i = апуп + (Зп. F.107)
С другой стороны, в силу граничного условия F.99)
Уп = 72/n-i + S = j(anyn + (Зп) + 8, F.108)
откуда
Уп = ЬРп + 6)/A - 7а„). F.109)
Выше мы показали, что 0 ^ ап < 1. Поэтому в силу условия F.100)
@ ^ 7 < 1) знаменатель и этого выражения отличен от нуля. Тем
самым уп определено. Теперь по формуле F.101) можем последова-
последовательно вычислять все неизвестные у%-\ (i = n,n —1,...,1) (обратная
прогонка).
192 Гл. 6. Численные методы решения ОДУ
Замечания.
1. В силу установленного соотношения 0 ^ cti < 1 ни при прямой,
ни при обратной прогонке не происходит накопления погрешностей
вычисления.
2. Мы рассмотрели схему метода прогонки, в которой сначала
определяются прогоночные коэффициенты при переносе левого гра-
граничного условия, а затем восстанавливается решение по форму-
формуле F.101). Очевидно, аналогичным образом может быть рассмотре-
рассмотрена схема, в которой прогоночные коэффициенты определяются про-
прогонкой справа налево правого граничного условия, а решение вос-
восстанавливается прогонкой слева направо.
ГЛАВА 7
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
Необходимость развития приближенных методов решения диф-
дифференциальных уравнений отмечалась выше. Гл. 6 была посвяще-
посвящена так называемым численным методам решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений, которые дают возможность для данного уравнения
с конкретными дополнительными условиями получить с произволь-
произвольной степенью точности таблицу значений решения в узлах сетки.
В настоящей главе будет идти речь о другом классе приближен-
приближенных методов, о так называемых асимптотических методах, которые
ставят своей целью получение формулы, описывающей качествен-
качественное поведение решения на некотором интервале изменения незави-
независимого переменного. Точность такой формулы имеет естественное
ограничение (подробнее об этом см. ниже). Заметим сразу же, что
численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно до-
дополняют друг друга.
§ 1. Регулярные возмущения
1. Понятие асимптотического представления. В § 5 гл. 2 по-
подробно исследовался вопрос о зависимости решения начальной за-
задачи от входящих в уравнение параметров. В настоящем параграфе
мы положим to = 0, что всегда можно добиться заменой независи-
независимого переменного, и ограничимся скалярным случаем (у, \i — ска-
скаляры), что не принципиально, а делается лишь в целях краткости
изложения. Итак, рассмотрим начальную задачу
^ = f(y,t,fi), y(O,fi)=y°. G.1)
При этом будем считать, что \i изменяется в некоторой окрестности
значения \± = 0, что тоже можно добиться соответствующим выбо-
выбором начала отсчета по оси \i.
В гл. 2 (теорема 2.10) было доказано, что при соответствующих
условиях на правую часть G.1) решение y(t,/j,) задачи G.1) су-
существует и является непрерывной функцией t и \i на множестве
te [0,T], |/i| <с.
Доказанная теорема заключает в себе следующую возможность
построения приближенного решения задачи G.1). Рассмотрим зада-
задачу, которая получается из G.1), если в ней формально положить
194 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
f = f(y, t,0), 2/@) = у°. G.2)
Задача G.2), вообще говоря, проще исходной задачи G.1), и ее реше-
решение, которое обозначим y(t), исследовать проще, а возможно даже
удастся эффективно построить. Из теоремы 2.10 следует, что на не-
некотором сегменте [0, Т]
y(t,iJ,)=y(t)+e(t,n), G.3)
где e(t,/ji) —У 0 при \± —У 0. Таким образом, y(t) служит для y(t,/j>)
приближенным выражением, a s(t,/i) есть погрешность этого при-
приближения.
Формула G.3) является простейшим вариантом так называемой
асимптотической формулы (или асимптотического представле-
представления) решения y(t,[i) по малому параметру \±. Асимптотическими
формулами по малому параметру мы будем называть такие фор-
формулы, в которых некоторые члены, называемые остаточными чле-
членами, выписываются не точно, а указываются лишь их свойства при
\i —У 0, например, порядок стремления к нулю при \± —У 0.
В формуле G.3) слагаемое s(t,/i) является остаточным членом.
Теорема 2.11 дает возможность указать порядок стремления s(t,/a)
к нулю. В самом деле, существование производной по \i дает воз-
возможность написать
!/(*,/*) =|7(*) + |[(*,0аОа*, <К0^1, G-4)
и установить тем самым, что s(t,/i) = O(fi). Здесь и в дальнейшем
подобного рода равенство означает, что |s(t,/i)| ^ С/i, где С — не-
некоторая постоянная, не зависящая от \± при достаточно малых \±.
Чем меньше /i, тем лучше y(t) приближает y(t,[i). Однако в ре-
реальных задачах \i является малой, но не бесконечно малой вели-
величиной. Поэтому асимптотическая формула произвольную степень
точности обеспечить не может и это является ее принципиальным
недостатком. Тем не менее асимптотические формулы очень удоб-
удобны в тех случаях, когда требуется получить качественную картину
решения.
Замечание. Сказанное относится к задачам, в которых малый
параметр \i является естественным физическим малым параметром.
Существуют, однако, задачи иного рода, например, задачи, возни-
возникающие при обосновании вычислительных алгоритмов, когда искус-
искусственно вводится некий малый параметр, скажем величина шага,
§ 1. Регулярные возмущения 195
значением которого можно распоряжаться произвольно. В такого
рода задачах обеспечивается произвольная степень точности.
Результаты гл. 2 позволяют получить для y(t,/j,) асимптотиче-
асимптотическую формулу с остаточным членом более высокого порядка мало-
малости, чем О (/л)*), если /(?/,?,//) удовлетворяет условиям, обеспечи-
обеспечивающим существование п-\-1 непрерывных производных по \±. Сфор-
Сформулируем этот вывод из § 5 гл. 2 в виде отдельной теоремы.
Теорема 7.1. Пусть в некоторой области D переменных у,г,/л
функция f(y,t,ii) обладает непрерывными и равномерно ограничен-
ограниченными частными производными по у и /а до порядка п + 1 включи-
включительно. Тогда существует сегмент [0,Т], на котором для решения
y(t,/ji) задачи G.1) справедливо асимптотическое представление
y(t,n) = y(t) + n^frQ) + • • • + ?^(t,Q)+en+1(t,n), G.5)
meen+i(t,ti) ^0 при/i^0,0 ^ t ^ T, причемen+i(t,/x) = O(/in+1).
Замечания.
dnv
1. Величины ^—|f(?, 0) определяются из уравнений в вариациях,
выписанных в § 5 гл. 2. Представление G.5) можно получить и иначе.
Подставим в G.1) выражение для у в виде формального ряда
у = 1/0 (t)+M/i (*) + ... G.6)
Раскладывая после подстановки величину /(j/o+M2/i + - • • > ^> м) также
формально в степенной ряд, получим
dt +^ dt + ~
= /B/o, t, 0) + %L(y0, t, 0)(^i +...) + |J(i/o, t,
Приравнивая члены с одинаковыми степенями ц, будем иметь
^ = /(l/o,t,0), уо@) = у°, G.7')
^ = §?(|/о,*,0)!/1+ §?(!/«,,*, 0), t/i@) = 0, G.7")
*)См. сноску на с. 178.
196 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Решая последовательно эти задачи, определим члены ряда G.6). За-
Задача G'.7') для г/о@) совпадает с задачей G.2), и, стало быть, в силу
единственности yo(t) = y(t). Задача G.7//) — с задачей для -^-(?,0)
(см. B.141)), и, стало быть, yi(t) = тД(?,0) и т.д.
2. Если /(?/, ?, /i) обладает в D непрерывными и равномерно огра-
ограниченными производными любого порядка, то в G.5) п является
величиной произвольной. Для y(t,/a) тем самым определен ряд Ма-
дпу
клорена с общим членом /jnyn(t) = /in^-^-(t,0) такой, что разность
между частичной суммой этого ряда и решением y(t,/i)
есть O(fin+1). Такой ряд называется асимптотическим рядом или
асимптотическим разложением по малому параметру \i для y(t, /jl).
Подчеркнем, что sn+i(t, /a) = (9(/in+1) при фиксированном пи/i^O.
Если же \i фиксировано, а п —у оо, то ?n+i(?,/i) может предела
не иметь, т. е. построенный таким образом ряд сходящимся, вооб-
вообще говоря, не является.
3. Вместо терминов «асимптотическая формула», «асимптотиче-
«асимптотическое представление», «асимптотическое разложение» употребляет-
употребляется краткое название «асимптотика».
4. Теория, развитая в § 5 гл. 2, и следующая из нее теорема 7.1
дают математическое обоснование «обычной» для физики и техники
операции отбрасывания малых членов в уравнении. Эти малые чле-
члены часто называются возмущениями. В связи с этим уравнение G.2)
называется невозмущенным уравнением, а уравнение G.1) — возму-
возмущенным уравнением. Теория, имеющая целью обоснование асимпто-
асимптотики по малому параметру /i, часто называется теорией возмуще-
возмущений.
Теорема 7.1 справедлива при условиях достаточной гладкости
(или, как говорят, регулярности) правой части G.1) по у и \±. Возму-
Возмущения, подчиняющиеся требованиям теоремы 7.1, называются регу-
регулярными возмущениями. Этим разъясняется название настоящего
параграфа.
Пример 7.1. Получим справедливую на [0, Т] асимптотическую
формулу с остаточным членом О (/а2) для решения y(t,/a) задачи
^=a(t)y + b(t)+iic(t)y2, 2/@) =0.
Это уравнение Риккати, решение которого эффективно получить
не удается. Функции же yo{t) и y\{t) строятся квадратурами, а имен-
именно,
^ ), 2/o@) = 0,
1. Регулярные возмущения 197
следовательно,
t fa(t)dt л7/1
уо(t) = f Ъ(т)ет dr; ^ = a(t)yi + c(t)yl Vl@) = 0,
о
и, следовательно,
i о fa(t)dt
yi(t) = J c(r)yo(r)e^ dr; y(t,fi) = yo(t) + \iy\(t) + O{\i ).
о
2. Существование решения возмущенной задачи. Резуль-
Результаты, полученные в § 5 гл. 2, обладают той особенностью, что
справедливость асимптотического представления гарантируется на
некотором сегменте [0,Т], определяемом свойствами правой части
G.1), одновременно с существованием и единственностью как невоз-
невозмущенного, так и возмущенного уравнений.
Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозму-
невозмущенной задачи G.2) существует, единственно и принадлежит неко-
некоторой области G пространства переменных (y,t) при 0 ^ t ^ Т.
Величину Т в данном случае можно, например, установить непо-
непосредственно из явного вида y(i). Будет ли при достаточно малых \±
решение задачи G.1) также существовать на всем [0, Т] и подчинять-
подчиняться формуле G.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 7.2. Пусть в области G = {0 ^ t ^ Т, \у\ ^ Ь, \/л\ ^ Ц]
функция /(^/,t,/i) непрерывна по совокупности аргументов и удо-
удовлетворяет условию Липшица
где N — одна и та же постоянная для всех \i из отрезка \\i\ ^ р.
Пусть решение y(t) задачи G.2) существует и единственно на [0, Т]
и принадлежит D = {0 ^ t ^ Т, \у\ < Ь}. Тогда при каждом доста-
достаточно малом \i решение y(t, fi) задачи G.1) также существует и един-
единственно на [0,Т] и принадлежит D, причем имеет место равномер-
равномерный относительно t предельный переход
lim y(t,fj) =y(t). G.8)
Доказательство. Перейдем в G.1) к новой неизвестной функ-
функции А = у — y(t), которая является решением начальной задачи
(ср. B.137)); получим
,/i) — f(y, ?,/-0] + [f(y, t,/i) — f(y, t, 0I, A@) = 0. G.9)
198 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Рассмотрим следующую область переменных А,?:
D = {0 ^ t <С Г, |А| < С}, где С = Ь-/3, /3 = sup \y(t)\.
[0,Т]
При |А| < С имеем \у\ < \у\ + |А| < /3 + С = Ь, т.е. при |А| < С
аргументы /(?/,?,//) остаются в области G. Тогда в силу условия
Липшица
а в силу непрерывности /(?/,?,//) заключаем, что /(?/,?,/i) — /(?/,?,0) —>
—>0 при \i —У 0 равномерно относительно ?, т. е. существует некоторая
функция uj(fi)j зависящая только от \i и стремящаяся к нулю при
\i —> 0, такая, что
Воспользуемся теперь теми же соображениями, что и при до-
доказательстве теоремы 3.2. Теорема существования и единственно-
единственности обеспечивает существование и единственность A(t,/i) и выпол-
выполнение неравенства |А| < С на некотором отрезке [0,i?]. Прини-
Принимая H,A(H,[i) за новую начальную точку, можно продолжить ре-
решение на больший отрезок [0,i?i] (Hi > Н) и т.д. Пусть [0,Н)
(Н ^ Т) — максимальный полуинтервал, на котором существу-
существует единственное решение A(t,/i) задачи G.9), принадлежащее D,
а Нп —У Н — произвольная последовательность. Докажем, что су-
существует lim^oo А(ЯП, /i).
Так как для любого п на [0,Нп] имеем |A(t,/i)| < С, то
а тогда, согласно лемме 2.1,
|Д|^^(е^-1)=^Ы, G.10)
где uoi(n) обладает теми же свойствами, что и ио(ц). Следовательно,
На основании этого неравенства доказывается существование пре-
предела НгПу^оо A(i?n,/i) точно так же, как при доказательстве теоре-
теоремы 3.2. Поскольку \А(Нп,/л)\ ^ uji(/a) < С, то и limn^oQ A(Hn,/a) ^
^ uoi(n) < С. Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с те-
теми, которые были проведены при доказательстве теоремы 3.2, и при-
приводят к выводу, что Н = Т и A(t,/i) существует и единственно на
§ 2. Сингулярные возмущения 199
отрезке [О,Г]. Из неравенства G.10) следует равномерное стремле-
стремление A(t,/i) к нулю при \i —У 0, т.е. следует G.8). Теорема доказана.
Замечания.
1. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное
утверждение справедливо и для случая, когда у — вектор.
2. Теорема 7.2 остается справедливой, если имеет место возму-
возмущение не только в уравнении, но и в начальных условиях, т. е. если
G.1) имеет вид
^ i) =y° +и;2(ц).
§ 2. Сингулярные возмущения
В приложениях нередко встречаются случаи, когда малый пара-
параметр \i входит в уравнение таким образом, что теория предыдущего
параграфа неприменима. Рассмотрим в качестве простейшего при-
примера движение маятника (см. гл. 1, § 2):
цУ" + ау' + ky = f(t), G.11)
где / = \i является малым параметром. В случае, разобранном в пре-
предыдущем параграфе, в целях получения приближенного выражения
для решения можно было в уравнении формально положить \± — 0
и взять решение полученного таким образом упрощенного уравне-
уравнения. Можно ли поступить так же в случае G.11)?
Движение маятника в G.11) определяется заданием начального
положения и скорости у@) = у$, у'@) = у®. Полагая в G.11) \i — 0,
мы получим уравнение более низкого (первого) порядка, решение
которого определяется только заданием у@). Тем самым заранее
ясно, что, поступая так, мы не можем учесть все факторы, опреде-
определяющие решение G.11), и по крайней мере в окрестности начальной
точки правильной модели не получим.
Таким образом, выводы предыдущего параграфа в данном слу-
случае несправедливы и, стало быть, условия теорем предыдущего па-
параграфа нарушены. Чтобы понять, какие условия нарушены, запи-
запишем G.11) в форме G.1) (уравнение уже будет векторным, но, как
отмечалось выше, это не принципиально):
, —olz - ky + f(t) ? , .
z = /Г— = Л(^2/Л^),
У1 = z = f2(z,y,t,n).
200 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Отсюда видно, что Д не является непрерывной функцией \± при
\i = 0, т. е. не выполнено основное требование теории предыдущего
параграфа — требование непрерывности правых частей. Другими
словами, можно сказать, что в данном случае правая часть зависит
от \i нерегулярным, или сингулярным, образом. Поэтому возмуще-
возмущения типа цу", т. е. когда малый параметр входит как множитель при
старшей производной, получили в литературе название сингулярных
возмущений.
Простейшие примеры показывают, что сингулярно возмущенные
системы обладают рядом свойств, коренным образом отличающих
их от регулярно возмущенных систем, исследованных в § 1.
Рассмотрим уравнение
/лу' = ау + Ь; а — const, Ъ = const, G-12)
при начальном условии ?/@,/i) = у0. Его точное решение имеет вид
t/»-l G.13)
Полагая в уравнении G.12) \i — 0, получим (применяя обозначе-
обозначения § 1) у — —Ь/а. Анализируя G.13), можно видеть, что близость
у к у имеет место лишь при выполнении некоторых специальных
условий, о которых не было речи в § 1. А именно, если рассматри-
рассматривать решение начальной задачи вправо от t = 0, то у —> у, если
а < 0, a /i ->• +0 (или а > 0, а /а ->• -0). Если же /а ->• 0 произ-
произвольным образом, то ни при а < 0, ни при а > 0 решение у предела
не имеет и является неограниченным. Кроме того, если даже вы-
выполнены условия а < 0, \i —У +0 (или а > 0, \i —У —0), предельный
переход у —>¦ у имеет место для ?, строго больших нуля, так как при
t = 0 2/@,/i) = у0, а у0, вообще говоря, не равно —Ь/а.
Все эти факты говорят о том, что в сингулярно возмущенных
системах пренебрегать малыми членами можно лишь при выполне-
выполнении особых условий и выяснение этих условий требует специальной
теории, к которой мы и перейдем.
1. Уравнение с малым параметром при старшей произ-
производной. Теорема о предельном переходе. Рассмотрим систему
дифференциальных уравнении вида
/х§ = F(z,y,t), & = f(z,y,t), G.14)
где \i > 0 является малым параметром. Поставим начальную задачу
z{0,ri=z°, у(О,1г)=у°. G.15)
§ 2. Сингулярные возмущения 201
Начальная задача для уравнения G.11), очевидно, содержится здесь
как частный случай.
1°. Правые части G.14) будем предполагать непрерывными вместе
с частными производными по z и у в некоторой области
Я = {(y,t) €D = {0^t^T, |2/K b}, \z\ < d}.
Полагая в G.14) формально \i = 0, получим невозмущенную си-
систему уравнений, или, как ее называют в теории сингулярных воз-
возмущений, вырожденную систему, так как ее порядок ниже, чем по-
порядок системы G.14):
0 = F(z,y,t), ^ = f(z,y,t). G.16)
Чтобы определить решение этой системы, надо, прежде всего, раз-
разрешить относительно z первое из уравнений G.16), которое явля-
является конечным (не дифференциальным). Это уравнение нелинейное
и поэтому может иметь несколько решений. Мы будем предполагать,
что все решения (корни) z = cp(y,t) этого уравнения действительны
и изолированы в D. Надо выбрать один из корней z = cp(y,t) и под-
подставить его во второе уравнение G.16). Вопрос заключается в том,
какой из корней следует выбрать, чтобы обеспечить близость кон-
конструируемого нами решения системы G.16) к решению z(t, /i), y(t, /jl)
задачи G.14), G.15). Правило выбора корня (f(y,t) будет сформули-
сформулировано ниже (см. 3°, 5°). После подстановки z = ip(y,t) во второе
уравнение G.16) получится дифференциальное уравнение относи-
относительно у и для однозначного определения у потребуется задать на-
начальное условие. Естественно предположить, что из двух начальных
условий G.15) следует оставить лишь одно: условие на у. Итак, мы
приходим к задаче
§ = f(<p(y,t),y,t), y(O) = y°, G.17)
где (f(y,t) — один из корней уравнения F(z,y,t) = 0.
2°. Будем предполагать, что функция ip(y,t) непрерывна вместе
с производной по у, когда (y,t) G D.
Определение. Корень z = if (у, t) будем называть устойчивым
в области D, если при (y,i) G D выполняется неравенство
%D>(y,t),y,t)«i. G.18)
Замечание. Ср. с требованием а < 0 в рассмотренном выше
примере.
202
Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
3°. Будем предполагать, что в G.17) cp(y,t) является устойчивым
корнем.
4°. Будем предполагать, что решение y(t) задачи G.17) определено
на сегменте O^t^Tn принадлежит D = {0 ^ t ^ Т, \у\ <Ъ}.
Прежде чем производить дальнейшее исследование задачи, рас-
рассмотрим один частный случай, а именно:
^ = F(z), *@, fi) = z°. G.19)
Этот случай, во-первых, интересен своей геометрической нагляд-
наглядностью, а во-вторых, соответствующие результаты пригодятся при
рассмотрении общего случая G.14).
Пусть z = (р является устойчивым корнем уравнения F(z) = 0.
В данном случае ср является константой, a D — любым интер-
интервалом вещественной оси. Условие устойчивости G.18) имеет вид
^г-(^р) < 0. Пусть кроме ср уравнение F(z) = 0 имеет еще корни
(^1,(^2,-.., причем cpi и ср2 — два ближайших к ср корня соответ-
соответственно снизу и сверху (рис. 20, на котором представлена полоса
0 ^ t ^ Т, где Т — любое положитель-
положительное число). Проследим за полем напра-
направлений уравнения G.19). При доста-
достаточно малом \i векторы, касательные
к интегральным кривым, расположены
почти параллельно оси z (за исключе-
исключением малой окрестности корней урав-
уравнения F{z) — 0). «+» и «—» на рисунке
указывают знак функции F{z). Заме-
Заметим, что, поскольку ^г-((р) ф 0, корень
ср является простым и при z = ср про-
происходит смена знака функции F(z).
Пусть ipi < z° < (р2- Рассмотрим
г, где г произвольно мало (^-окрестность
Рис. 20
множество точек \z — ip\
корня ф). Характер поля направлений сразу дает возможность за-
заключить, что интегральная кривая, начинающаяся в точке @,z0)
(на рисунке приведены два варианта: z° < ip и z° > (p), будет резко
идти вверх (при z° < ср) или, наоборот, вниз (при z° > ср) и, до-
достигнув ^-окрестности ср, далее из нее уже не выйдет, если только \±
достаточно мало. Это и означает, что решение z{t,\i) задачи G.19)
при \i —У 0 близко к решению ip вырожденного уравнения F(z) = 0,
если не считать некоторой окрестности t = 0 (см. пример).
Из этого геометрического рассмотрения ясно также, насколько
важно, чтобы начальное значение z° лежало в области ср± < ср < Lp2->
§ 2. Сингулярные возмущения 203
называемой областью влияния (или областью притяжения) кор-
корня ср. Если, например, z° < cpi и F < 0 при z < ipi, то интегральная
кривая уйдет вниз от cpi и тем самым не может приблизиться к ср,
а если z° < (pi и F > 0, то кривая приблизится k^i,t. e. опять-таки,
не к ср.
Результат, полученный нами из геометрических соображений,
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 7.3. Если ср — устойчивый корень уравнения F(z) = 0,
а начальное значение z° лежит в его области влияния, то решение
z(t,fji) задачи G.19) существует на сегменте [0,Т] и для него имеет
место предельное соотношение
lim z(t, v) = ip при 0 < t ^ Г. G.20)
Доказательство. Приведем аналитическое доказательство
утверждения G.20). Пусть для определенности z° < ср. Рассмотрим
прежде всего область z° ^ z ^ ср — ?, 0 ^ t ^ ?, где г > 0 произвольно
мало. В этой области рассмотрим задачу G.19), беря z в качестве
независимого переменного: Ф- = /i ~ Л, t(z°) = 0. Если а достаточно
az t (z)
мало, то, как следует из теоремы 7.2, на сегменте [z°,cp — г] суще-
существует единственное решение t(z) этой задачи и оно сколь угодно
близко к вертикали t = 0 (в смысле расстояния вдоль оси t). Кро-
Кроме того, оно положительно в силу положительности F(z). Таким
образом, интегральная кривая, начинающаяся в точке @,z0), вхо-
входит в ^-окрестность z = (р при t = to, где to = cj(/i) < г.
Нетрудно убедиться, что, попав в ^-окрестность z = ip, интеграль-
интегральная кривая из нее уже не выйдет, пока to ^ t ^ Т. Для этого вос-
воспользуемся рассуждениями, подобными тем, которые проводились
в теории устойчивости (гл. 5). Введем функцию V(z) = (z — срJ.
Предположим, что интегральная кривая при t = t\ > to выходит из
^-окрестности прямой z — ср. Тогда имеем ^-
стороны,
dV_
dt
0. Но, с другой
в силу свойства F(z) ^ 0 при z ^ (р, обеспеченного условием устой-
устойчивости ^т-((р) < 0. Противоречие приводит к выводу, что инте-
интегральная кривая останется в ^-окрестности z = ср. Так как она по-
попадает в эту окрестность при t = to < e, то в силу произвольной
малости е это фактически означает справедливость G.20).
204 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Утверждение G.20) можно записать также в следующей удобной
для дальнейшего форме.
Введем независимое переменное т — t/fi. Тогда задача G.19) при-
примет вид
%=F(z), z@) = z°. G.21)
Утверждение G.20) означает, что linv^oo z(r) = ip, или, иначе,
для любого е существует tq(s) такое, что при т ^ то справедливо
неравенство
\г(т)-<р\<е. G-22)
Замечания.
1. Как видно из проведенных рассуждении, предельный переход
G.20) не является равномерным относительно t Е @, Т], что хорошо
иллюстрируется рис. 20.
2. Термин «устойчивый корень» не является случайным. Нетруд-
Нетрудно проследить связь проделанных построений с теорией устойчиво-
устойчивости (см. гл. 5). Действительно, z = ip является точным решением
уравнения G.21), причем, в силу ^-{ф) < 0, это решение асимптоти-
асимптотически устойчиво по Ляпунову. Чтобы убедиться в этом, достаточно
сделать замену переменных х = z — сри воспользоваться теоремой 5.1
или теоремой 5.3, взяв в качестве функции Ляпунова V — х1. То,
что интегральная кривая z — z(r) остается в ^-окрестности пря-
прямой z = ср, обеспечено устойчивостью решения z = ср уравнения
Вернемся к общему случаю G.14), G.15). При рассмотрении этого
случая идеи теории устойчивости будут сочетаться с идеями теории
регулярных возмущений.
Сопоставим задаче G.14), G.15) задачу
^=F(zo,y°,0), zo@)=z°. G.23)
Эта задача является исследованной уже задачей типа G.19). В си-
силу 3° значение zo = ср(у°, 0) является устойчивым корнем уравнения
F(zo,y°,0) = 0.
5°. Будем предполагать, что начальное значение z° принадлежит
области влияния корня ip(y°,O) уравнения F(zo,y°,0) = 0.
Теорема 7.4 (теорема Тихонова). При выполнении условий
1°-5° решение z(t,/i), y(t,/i) задачи G.14), G.15) существует на [0,Г]
и имеет место предельный переход
lim y(t, /a) = y(t) при 0 ^ t ^ Г, G.24)
д^0
lim z(t, fi) = <p(y(t),t) = z(t) при 0 < t ^ Г, G.25)
li—^0
где y(t) — решение вырожденной задачи G.17).
§ 2. Сингулярные возмущения 205
Доказательство разобьем на несколько этапов.
1) Рассмотрим сначала окрестность точки t = 0. Сделаем в G.14)
замену переменных т = l//i. Получим
% = F(z,y,Tli), z\T=o = z°,
d G.26)
-? = flf(z, y, Tfl), у\т=0 = У°.
LI I
На любом конечном промежутке изменения т эту систему можно
рассматривать как регулярно возмущенную, причем соответствую-
соответствующая невозмущенная система имеет вид
%П*о,Уо,0), zo\r=O z,
f>=0, »,|г=о=|Л
Отсюда 2/о(т) = У0, а
%L °,0), zo\r=O = z°. G.28)
Эта задача равносильна задаче G.23) и является задачей типа
G.21). Поэтому согласно теореме 7.3 (см. G.22)) получим, что для
любого е > 0 существует то(е), при котором справедливо неравен-
неравенство
|гь(то)-?>(зА0)|<г/3. G.29)
Сравним задачи G.26) и G.27). Из 1° следует выполнение условий
теоремы 7.2 о регулярном возмущении для т ^ г, где т как угодно
велико и фиксировано. Решение невозмущенной задачи G.27) опре-
определено при всех г и, в частности, на [0,то]. Поэтому согласно теоре-
теореме 7.2 (вместе с замечанием 1) получим, что для любого е > 0 при
достаточно малых \i на 0 ^ т ^ то (или на 0 ^ t ^ то/i) существует
решение задачи G.26) (или, что то же самое, решение z(t,/i), y(t,/i)
задачи G.14), G.15)) и справедливы неравенства
\z(t,n)-zo(r)\<e/3, \y(t,fj)-y°\<e/3. G.30)
Принимая во внимание непрерывность ip(y,t), можно, обеспечив до-
достаточную малость |?/(?,/i) — 2/°|, обеспечить также неравенство
\<p(y(t,iJ,),t)-<p(yo,0)\ <г/3 при O^t^ro/i. G.31)
Из G.29)-G.31) получим, что при t = то/i = ?о(аО
\z(t,fi)-ip(y(t,fi),t)\ <e. G.32)
206 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
2) Обозначим A(t,/i) = z(t,/a) - cp(y(t,/a),t). Соотношение G.32)
говорит о том, что A(t,/i) как угодно мало при t = ?о(аО- Неравен-
Неравенство G.32) будет оставаться выполненным в некоторой окрестности
справа от точки to. Величина этой окрестности заранее неизвестна.
Может случиться, что неравенство G.32) выполнено для всех t ^ to
вплоть до t = Т, а может оказаться, что найдется значение t\ ^ Т,
при котором G.32) перейдет в равенство. Убедимся, что в первом
случае при всех t Е [to,Г], а во втором при всех t Е [to,ti] вели-
величина ?/(t,/i) как угодно близка к y(t). Для этого перепишем второе
уравнение G.14) в виде
% = f(<p(y,t)+A(t,n),y,t), y\t=toM=y° + S(n), G-33)
и сравним эту задачу с задачей G.17). Согласно полученному в пре-
предыдущем пункте величины to(/i), |<5(аО| как угодно малы при доста-
достаточно малом \i и величина |A(t,\±)\ как угодно мала при достаточно
малом \i и t Е [to, T] или t Е [to, ti]. Задача G.33) является регулярно
возмущенной задачей по отношению к задаче G.17) (см. теорему 7.2
вместе с замечанием 2). Поэтому при t Е [to, T] или t Е [to,ti] функ-
функция ?/(t,/i) существует, принадлежит D и, кроме того, для любого
Е\ > 0 справедливо неравенство |^/(t, /i) —y{t)\ < S\ при t G [to, T] или
t G [to,ti], если только \i достаточно мало.
3) Убедимся теперь, что неравенство G.32) выполнено для всех
t G [to,T], т.е. из двух возможностей, указанных в 2), реализуется
только одна, а предположение о существовании точки t\ ^ T, для
которой |A(t,/i)| — е приводит к противоречию.
Пусть при t\ ^ Т достигается равенство |A(t,/i)| = е. Введем
в рассмотрение функцию
В силу предположения о точке t\ имеем ^~
>0. Но
t = t!
f(z v t)-^\
Так как F(z,y, t)|t=?i ф 0, то знак {•} при достаточно малых \i опре-
определяется знаком F(z,y,t), а, следовательно, при малых А главный
член разложения F по z — ср есть
и знак всего выражения ^- определяется знаком ^-((^(^/,t),2/,t).
Так как согласно предыдущему пункту y(t,[i) принадлежит D, то
согласно 3° и G.18)
§ 2. Сингулярные возмущения 207
и, следовательно, ^-\t=tl < 0.
Противоречие приводит к выводу, что |A(t,/i)| < г при to ^ t ^ Т
и, следовательно, \y(t,/a) — y(t)\ < S\ при to ^ t ^ Т. Учитывая оба
эти неравенства, а также то, что \y(t,[i) — у°\ < г/3 при 0 ^ t ^ to
(см. G.30)) и \y(t) — у°\ < Е\ при 0 ^ t ^ to, получим утверждение
теоремы 7.4.
Замечания.
1. Из доказательства видно, что предельный переход G.24) явля-
является равномерным на [0, Т], а предельный переход G.25), справедли-
справедливый на @, Т], равномерным не является. В окрестности t = 0 имеется
область, в которой z-компонента решения задачи G.14), G.15) силь-
сильно отличается от z-компоненты решения вырожденной задачи, т. е.
от cp(y(t),t). Эта область, хорошо заметная на рис. 20 для случая
системы G.21), называется пограничным слоем.
Заметим также (это опять видно из самого доказательства), что
на отрезке [to(/i),T] (тем более на любом отрезке [to,T], где to как
угодно мало, но фиксировано при \i —> 0) оба предельных перехода
G.24) и G.25) носят равномерный характер.
2. Из доказательства теоремы видно, что отрицательность ^~
нужна фактически лишь на вырожденном решении, т. е. достаточно,
чтобы выполнялось условие ^— ((^(?/(t), t),y(t), t) < 0.
3. Теорема 7.4 распространяется на векторный случай. Некото-
Некоторые дополнительные трудности возникают при этом с определени-
определением понятия области влияния. Что касается условия устойчивости,
то оно может быть сформулировано как естественное требование,
чтобы характеристические числа Л(t) матрицы Щ-(у)(у, t),^", t) удо-
удовлетворяли неравенству Re Л < 0. Имеется и более общая формули-
формулировка условия устойчивости, данная А. Н. Тихоновым [11].
2. Асимптотическое разложение решения задачи G.14),
G.15). На основании теоремы 7.4 можно написать следующее асим-
асимптотическое представление для решения задачи G.14), G.15):
y(t,/l) =y(t) +?i(t,/i), Z(t,/l) = Z(t) +?2(t,/i),
При этом остаточный член ?2(t, аО в выражении для z(t, /jl) не явля-
является равномерно малой величиной. Естественно предположить, что
если к z(t) добавить разность zq(t) — ц>(у°, 0), то получится формула
z(t,ii) = z(t) + zo(T)-(p(yo,0)+e3(t,ii), где es(t,fi) => 0 на [0,Г]. Убе-
Убедимся, что это действительно так. Величина ?s(t, /i) = z(t, /i) —z(t) —
208 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
—zo(t) + ip(y°,0). Разобьем отрезок [0,Г] на два участка [0,?о(а0]
и [to(/i),T], где ?o(/i) = го/^ — величина, введенная при доказатель-
доказательстве теоремы 7.4, то достаточно велико и фиксировано при \л —у 0.
На [0,?о(аО] представим е% в виде
е3 (*,/*) = №,ц) - zo(t)} - [z(t) -
Здесь \z(t,fi) — zo(T)\<e/2 при ц^-0 (это то же самое, что G.30)), а
\z(t) - <р(у°,О)\ = \z(t) - г@)| < е/2,
так как ?о(аО —>¦ 0 при /i —у 0. Следовательно, на [0,to(/i)] имеем
|ез| < ^ равномерно относительно t при /а -у 0. На [to(/i),T] предста-
представим ?3 B виде
ез(«,м) = [z(t,fi) ~ z(t)] ~ Ыт) - <р(у°,О)]-
Здесь \z(t,/ji) — z(t)\ < е/2 (см. замечание 1 к теореме 7.4 о равно-
равномерности предельного перехода G.25) на [?o(/i),T]). И точно так же
zo(t) — ср(у°,О)\ < е/2, поскольку это то же неравенство, но для
частного случая G.23), т.е. и на [?o(/i),T] имеем |ез| < ? равномерно
относительно t при /л —у 0. Таким образом, €s{t,/ji) => 0 при /л —у 0
на [0,Г].
Заметим, что разность zq(t) — ц>(у°,О) осуществляет поправку на
«потерю» начального условия z(O,fi) = z°, которому не может удо-
удовлетворить z(t). Выражение z(t) + zq(t) — (p(y°, 0) уже будет удовле-
удовлетворять начальному условию при t = 0.
Ниже будет доказано, что ?i(?,/i) = О (/л), ?2(?,/i) = О (/л) (теоре-
(теорема 7.5). Более того, при достаточной гладкости правых частей G.14)
можно построить асимптотическое представление для решения за-
задачи G.14), G.15) с остаточным членом O(/in+1), но в отличие от
регулярного случая (см. теорему 7.1) это представление будет, по-
помимо степенных по \л (или регулярных) членов содержать некото-
некоторые функции (так называемые пограничные члены), зависящие от \л
не степенным образом] пограничные члены имеют заметную вели-
величину в окрестности t = 0, а далее с ростом t быстро убывают. Введен-
Введенная выше разность zq(t) — (р(у°, 0) представляет собой пограничный
член в асимптотической формуле с остаточным членом О (/л).
После этих предварительных замечаний перейдем непосредствен-
непосредственно к описанию общего алгоритма построения асимптотики решения
сингулярно возмущенной задачи G.14), G.15).
Представим z и у в виде суммы двух формальных рядов (здесь
и в дальнейшем под х будем понимать z и у в совокупности, т. е.
§ 2. Сингулярные возмущения 209
если выписывается некоторое соотношение для ж, то это значит, что
имеют место два в точности таких же соотношения для z ж у)
х = x(t, fi) + Пж(т, /i), G.34)
где
x(t, /i) = хо (t) + /ix! (?) + ... G.35)
— так называемый регулярный ряд (ср. G.6)), т. е. ряд по степеням \i
с коэффициентами, зависящими от ?, а
Пж(т, ^) = Uox(r) + а/П1ж(г) + ... G.36)
— так называемый пограничный ряд, представляющий собой также
ряд по степеням /i, но с коэффициентами, зависящими от т. Члены
этого ряда называются пограничными членами.
Подставим G.34) в G.14), умножив для симметрии второе урав-
уравнение на ц:
IIiz+d_nz = F(z + nz,y + ny,t),
7- G.37)
Введем величины F и IIF, полагая
F=F(z(t,fi),y(t,fi),t),
UF =F(z(rfiJfi)+Uz(TJfi
- F (z(rfJL, /i) , y(TfJL, /i) , T/i)
(аналогичные величины / и П/ введем для /). Тогда G.37) запи-
запишется в виде
»§ + iUz = F+UF> И§ + &Щ = ИA+Щ)- G-38)
Разложим теперь F и IIF формально по степеням \± (коэффици-
(коэффициенты этих разложений будут зависеть от t и т соответственно):
F = Fo + /iA + ..., ILF = n0F + /xIIiF + ..., после чего в G.38)
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях /i, причем от-
отдельно — зависящие от t и отдельно — зависящие от г:
fck-i=Fh, iHu=h; G-39)
±TLkz = TLkF, |ГЩ2/ = Щ_1/. G.40)
Тем самым мы получили уравнения для определения членов разло-
разложений G.35) и G.36).
210 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Выпишем эти уравнения более детально для к = 0. Имеем
0 = Fo = F(zo,yo,t), ^ = f(zo,yo,t). G.41)
Эта система совпадает, как и следовало ожидать, с вырожденной
системой G.16). Имеем также (учитывая первое из уравнений G.41))
^гПог = n0F = F(fo@) +Пог,уо@) + Поу,0) -F(f0@),yo@),0) =
= F(zo@)+noz,yo@)+Uoy,0),
?поу = 0. G.42)
Начиная с к = 1, уравнения G.39) и G.40) будут линейными относи-
относительно Zk,Vk и Щг, ИкУ- Обратим внимание на то, что система G.39)
не содержит производной от Zk, а только производную от у^, а систе-
система G.40) имеет ту особенность, что второе уравнение в ней отделя-
отделяется, так как его правая часть содержит члены только предыдущих
номеров.
Для того чтобы из полученных уравнений G.39), G.40) опре-
определить члены разложений G.35), G.36), нужно задать начальные
условия. Для этого подставим G.34) в G.15):
жо@) + /iXi@) + • • • + Пох@) + /illix(O) + • • • = х° G.43)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \± в обеих
частях этих равенств. Приравнивание коэффициентов при нулевой
степени \i дает
?о@) + Uoz@) = z°, yo@) + Поу@) = у0. G.44)
Рассмотрим второе из этих равенств. Без каких-либо дополнитель-
дополнительных соображений из него нельзя определить уо@) и По2/@). Одна-
Однако на пограничные члены, которые призваны играть роль поправок
в окрестности t = 0, а при t > 0 стремиться к нулю вместе с /i,
следует наложить дополнительное условие П^ж —У 0 при г —У оо. От-
Отсюда приходим к выводу, что По2/@) = 0, так как иначе (см. G.42))
П02/(т) = П02/@) = const -/> 0. А тогда из G.44)
27о @) =гД G.45)
При этом условии решаем систему G.41) и получаем, что ^о(^), Vo(t)
совпадают с решением f(t), y(t), которое уже встречалось в теоре-
теореме 7.4. Из G.41) получим zq@) = (р(у(О),О) = (р(у°, 0), а тогда первое
§ 2. Сингулярные возмущения 211
из равенств G.44) дает начальное условие для Hoz. Итак, начальные
условия для системы G.42) имеют вид
Поу@) = 0, П02@) = z°- fo@) = z°- <р(у°, 0). G.46)
Поэтому По у (т) = 0, а По z (r) является решением следующей на-
начальной задачи:
G.47)
Сравнивая задачу G.47) с задачей G.28), нетрудно установить,
что По 2: = zo(r) — cp(y°, 0). Об этой разности уже шла речь выше перед
началом описания общего алгоритма. Полученное выше неравенство
G.29) означает, что Uoz(r) —у 0 при т —у оо.
Итак, нулевые члены разложений G.35), G.36) полностью опре-
определены.
Приравнивая в G.43) коэффициенты при первой степени /i, будем
иметь
?i@) + IIiz@) = 0, 2/i@) +IIi2/@) = 0. G.48)
Кроме того, нужно воспользоваться условием Uiy —У 0 при т —У оо.
Из второго уравнения G.40) (при к = 1) имеем
о
откуда в силу условия на И±у при т —У оо следует
(X)
= - / По/ds. G.49)
о
Сходимость появившегося здесь интеграла будет доказана ниже
(см. G.54)) и вообще все выкладки ведутся пока формально. С уче-
учетом G.49) для Щз/ получим
оо
П1У(т) = - f Поfds. G.50)
Т
Из второго равенства G.48) теперь следует
(X)
1/1 @)= / По fds. G.51)
О
Это и будет начальным условием для системы G.39) при к = 1,
откуда определятся yi(t), z\(t). После этого из второго равенства
G.48) получим
niz@) = -zi@). G.52)
212 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Это условие позволяет найти Y[\z из первого уравнения G.40) при
к = 1, поскольку IIiУ уже определено.
Совершенно аналогично определяются Щ?/, ijk,Zk, Щ2: (к = 2,
3,...) из системы G.39), G.40) с помощью дополнительных условий
Щж —у 0 при к —У оо,
ОО
2/*@) = / Щ_1/dr, Щ*@) = -**@). G.53)
о
Тем самым описание построения ряда G.34) закончено.
В теории сингулярных возмущений доказывается, что для Щж
имеет место оценка
\Пкх\ кСе-**/», А: = 0,1,..., G.54)
где С > 0, к > 0 — некоторые постоянные. Эта оценка означает
экспоненциальное стремление Щжк нулю при т —У оо, это же нера-
неравенство обеспечивает сходимость интегралов в G.53).
Основное утверждение, относящееся к только что проведенным
построениям, заключается в том, что ряд G.34) является асимпто-
асимптотическим рядом для решения x(t,\i) задачи G.14), G.15), а имен-
именно, в теории сингулярных возмущений доказывается, что разность
между x(t,/i) и n-й частичной суммой ряда G.34) имеет порядок
Таково обобщение теоремы 7.1 на сингулярно возмущенную си-
систему. Подробнее с этим можно ознакомиться в книге [11].
Приведем доказательство асимптотического представления для
решения задачи G.14), G.15) с остаточным членом О (/л), а имен-
именно, докажем, что 2:(t,/i)=z0(t)+n02:+O(/i), y(t, fJL)=yo(i) + 0(iJ,). До-
Доказательство представления с остаточным членом (9(/in+1) сложнее
лишь в чисто техническом отношении.
Дадим формулировку соответствующей теоремы.
Теорема 7.5. Пусть выполнены условия:
1°. F(z,y,t) и f(z,y,t) непрерывны по совокупности аргументов
в некоторой области Н.
2°. На сегменте [О, Г] определено решение уо (t), zo(t) задачи G.41),
G.45), и это решение принадлежит Н.
3°. Fz (f о (t), у о (t), t) существует, непрерывна и отрицательна при
v°,o).
4°. z° принадлежит области влияния (р(у°,О).
§ 2. Сингулярные возмущения 213
5°. При 0 ^ t ^ Т, | Д | < е, \S\ < s (s — некоторое, может быть, до-
достаточно малое, но фиксированное, не зависящее от \± число) функ-
функции F(z0 + Hz + Д, уо + S, t), f(zo + Uoz + Д, ?/о + 8, t) непрерывны
вместе с производными до второго порядка включительно по А и 8.
Тогда на О ^ t ^ T справедливы равномерные относительно t
оценки
z{t,fi) - zo(t) - Uoz{t/fi) = ОД, G.55)
y(t,»)-y0(t) = O(ii). G.56)
Доказательство теоремы основано на нескольких леммах.
Лемма 7.1. Имеет место неравенство
\Uoz\ < Се"**/", G.57)
где С > 0, к > 0 — некоторые постоянные.
Доказательство. Мы уже видели выше, что lioz —У 0 при
т —у оо. Сейчас требуется лишь уточнить характер этого стремления
к нулю. Обратим внимание на то, что G.57) — это G.54) при х = z,
к = 0. Из G.47) имеем (напомним, что ц>(у°,О) = io@), у0 = 2/о@))
?uoz = Fz(zo@) +Шо*,2/о@),0)По*,
откуда
Выберем го так, чтобы Поz для т ^ го было достаточно малым,
и фиксируем это то. Поz должно быть малым настолько, чтобы
как следствие 3° было выполнено неравенство Fz(zo@) + #По?,
2/о@),0) < -х < 0. Имеем тогда
7 F dr S Fz dr
< \z°
0
Г Fz dr
так как \z° - ср(у°,О)\е° е*т° < С.
Подставим в G.14), G.15) вместо точного решения главные члены
асимптотики, т. е. выражения z$ + По2:, уо. Подстановка дает
^Чт + ?и°г = F(^W + по^2/0(*),*) " Дь
at ,_ G.58)
^ = f(zo(t) +ILoz,yo(t),t) - Д2,
где — .Ri, — i^2 — соответствующие невязки.
214 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Лемма 7.2. Справедливы оценки
fli (t, ц) = О(ц), Л2 (t, ц) = O{e-*4»).
Доказательство. Оценка для R2 получается сразу из лем-
леммы 7.1, так как если учесть G.41), то R2 — /г(*о + OUoz, yo, t)Hoz.
Чтобы получить оценку для Д]_, достаточно убедиться, что
Rx = F(zo + Uoz,yo,t) - -j^Uoz = O(/jl). Используя G.47), представим
Ri в виде
Й1 = F(zo(t) + По*,2/о(*),*) -F(zo@) +По^,2/о@),0) =
1
= Ф(ПоМ) - Ф(п0^,о) = t f <$>t(nozJet) do.
о
Но
= Fz(z0(Ot) + U0z,y0(Ot),Ot)z'0(Ot) + Fy(.)y'0(Ot)
= Fzz(z0(Ot) +^По^,^о(^),
Здесь учтено, что F(zo,yo,t) = 0, и, следовательно,
№o,|7o,tL + ^(-)Уо + Ft(-) = О-
Отсюда _
t\Fzz
так как supt(te~^t//M) = це~1 /х. Здесь постоянная Се~1 /к вновь
обозначена через С. Условимся в дальнейшем все не зависящие от \i
постоянные обозначать одной и той же буквой G, за исключением
отдельных случаев, как это уже делалось в § 2 гл. 5.
Доказательство теоремы 7.5. Положим А = z — z$ — Пд?,
S = у — у0. Вычитая G.58) из G.14), получим
^ = F(z0 + Uoz + Д,?о + <М) " F(z0 + По*,г/о,*) + Дь
;; G.59)
^ = /(*0 + П02: + Д,2/о + <М) - /(^о + По*,2/о,*) + Д2.
Очевидно,
A@) =0, J@,aO = 0. G.60)
Систему уравнений G.59) можно переписать в виде
^ = anA + a12S + RU ^f = ^2iA + a228 + Д2, G.61)
§ 2. Сингулярные возмущения 215
где
1
аи (А, S, t,v) = f Fz (г0 + Uoz + в А, у0 + 5, ?) d<9,
о
1
ai2(A,E,t,/i) = I Fy(zo + noz,yo + 5,t)d0,
о
a2i и а22 имеют аналогичную структуру. Равенство правых ча-
частей G.59) и G.61) легко проверить непосредственно, если заме-
заметить, что под интегралом в выражении для ац стоит величина
z? 4?т (zo + По 2: + #Д, у о + S, t) и применить аналогичные соображения
к остальным коэффициентам а^.
Из первого уравнения G.61) выразим А через 5 (будем в дальней-
дальнейшем употреблять обозначение А(?), S(t), опуская зависимость от /i):
0
Подставим результат во второе уравнение:
t 7г/«11<**
g = a22^ + a21 f ^ {a12S(O + i?i) ^ + R2.
0
Отсюда получим
t }a22dt t fa22dt С bfaildt
S(t) = f e* R2d?+ f e* a21 d? f ^^ {a128(r)) + i?i) dry.
0 00
Меняя порядок интегрирования во втором слагаемом, приведем это
уравнение к следующему виду:
t
S(t) = I /C(t, ту, /x)<J(i7) dry + R, G.63)
0
где /C(?,r;,/i) = a12q(t,r),fjL),
t fa22dt Ua^dt
q(t, ri,n) = f а21е* ^ d?, G.64)
?7
t
f a22dt t
Rd? I
I Riqdr]. G.65)
о
216 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Следует заметить, что в уравнении G.63) величины /C(?,?7,/i) на
самом деле зависят от А и E, поскольку а^ зависят от А и E, но
входящие в аи* величины А и S мы рассматриваем как известные
функции t.
Оценим теперь величины q и R, пользуясь уже доказанным в на-
начале данного пункта равномерным стремлением к нулю Аи5. Сна-
Сначала оценим q. В силу равномерного стремления А и 5 к нулю при
\i -»> 0 получим аи = Fz(z0 + Uoz,yo,t) + 7(*>aOj гДе 7&А0 =^ О
при \i —у 0. Пользуясь теперь соображениями, аналогичными при-
применявшимся при оценке Поz в доказательстве леммы 7.1, нетрудно
получить
Действительно, согласно 3° имеем Fz(zo(t),yo(t),t) < 0. Поэтому,
как и в доказательстве леммы 7.1, в силу малости Hoz при t ^ ть/i,
где го достаточно велико, a \i —У 0, и равномерной малости 7(^5 А*)
при /i —>¦ 0, имеем ац < — >q < 0. Дальнейшее является повторением
рассуждений леммы 7.1.
Итак, имеет место G.66). Далее, очевидно, первый экспоненци-
экспоненциальный сомножитель в выражении, стоящем под знаком интеграла
в д, ограничен по модулю не зависящей от \± константой G, и поэтому
\q\< fCe~^~V)dZ<C. G.67)
Оценим теперь R. В силу леммы 7.2 имеем
|й| < / Ce-^l^di + I Ciidr] < С/а, G.68)
о о
другими словами, R = О (/л).
Обратимся теперь к уравнению G.63). Пользуясь оценками G.67)
и G.68), получим неравенство
\6\ <С f\S\dr] + Cfi. G.69)
о
Введем и = f \5\ drj. Тогда ^ = \S\, ^ = \5\ и G.69) дает
<С\и\+С». G.70)
Пользуясь леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах, получим
отсюда
\и\ < ii(ect - 1) ^ ii(eCT - 1) < С/а. G.71)
§ 2. Сингулярные возмущения 217
Следовательно, в силу G.70) ^ < Cfi, т.е.
\6\ < СII. G.72)
Пользуясь теперь G.62), оценкой G.72), неравенством \Ri\ < С/а
и оценкой G.66), получим
~^(*~°Сд. G.73)
О
Оценки G.72) и G.73) и составляют утверждение теоремы 7.5, кото-
которая, таким образом, доказана.
3. Построение асимптотики фундаментальной системы
решений для линейного уравнения второго порядка с ма-
малым параметром при старшей производной. В ряде задач тео-
теории колебаний, квантовой механики и др. встречается сингулярно
возмущенное уравнение вида
H2y" + Q*{x)y = 0, G.74)
не удовлетворяющее требованиям предыдущего пункта. К типу
G.74) принадлежит, в частности, уравнение движения маятника
G.11) при отсутствии трения, т.е. в случае а = 0. Чтобы урав-
уравнение G.11) свелось к системе типа G.14), для которой выполне-
выполнено условие устойчивости G.18), лежащее в основе всей теории п. 1,
нужно, чтобы а было отличным от нуля. Если же а = 0, то теория
п. 1 неприменима. Как известно, в этом случае решение уравнения
G.11) носит колебательный характер (вследствие малости \i колеба-
колебания будут иметь очень большую частоту), т. е. явление качественно
отличается от рассмотренного в п. 1.
Пользуясь линейностью уравнения G.74), мы не будем связы-
связывать построение асимптотики с заданием дополнительных условий,
как это было сделано в предыдущем пункте, где рассматривалась
начальная задача, а поставим целью построить асимптотику фун-
фундаментальной системы решений, что даст возможность получать
асимптотику решений, определяемых самыми разнообразными до-
дополнительными условиями.
Будем предполагать, что Q(x) ф 0 на сегменте а ^ х ^ Ъ и явля-
является трижды непрерывно дифференцируемой функцией (для опре-
определенности будем считать Q(x) > 0).
Перейдем в уравнении G.74) к новой неизвестной функции и, по-
положив г ,
у = uv, где v = ехр -^ Г Q{x) dx\. G.75)
218 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Заметим, что v в случае Q = const переходит в exp -^Q(x — а) и вы-
выражение у = uv, где и = const, является просто точным решением.
Произведя в G.74) указанную замену, получим уравнение
/ли" + 2iu'Q + iuQ' = 0,
которое запишем в виде системы
/iz' = -2izQ - iuQ\ и' = z. G.76)
Положив здесь формально /i — 0, получим 2zQ = —uQ', и' = z,
откуда
U' = ~2~QU-
Возьмем частное решение этого уравнения, имеющее вид
Т1(т\ — A 11\
Оказывается, если п(х) подставить в G.75) вместо и, то получит-
получится приближенное (в асимптотическом смысле) представление для
некоторого решения уравнения G.74), которое назовем у\(х). Обо-
Обозначим через ?/2(х) решение, комплексно сопряженное у\(х): у<± — у\.
Теорема 7.6. Пусть функция Q(x) > 0 и трижды непрерывно
дифференцируема на [а, Ь]. Тогда на [а, Ъ] существует фундаменталь-
фундаментальная система решений уравнения G.74) вида
г 1 г • • 1 G'78)
У-1 = г-рг +?2(ж,/«) exp -^ I Q(x)dx\,
причем s\(ж, /i) = O(/i), €2{x,/jl) =
Доказательство. Положим u — п = S, z — z = А, где п опре-
определено формулой G.77), a i7 = п'. Для А и 5 получим систему
цА' = -2iQA-iQ'8- ц2', 5' = А, G.79)
и определим эти функции начальными условиями
S(a) = 0, А(а) = 0 G.80)
(тем самым мы фактически задаем начальные условия для и и z).
Разобьем доказательство на два этапа.
§ 2. Сингулярные возмущения 219
1) Докажем сначала, что
G.81)
Выполнение соотношений G.81) означает, что существует решение
системы G.76), имеющее вид и = п + О (/л), z = z + О (/л), и, сле-
следовательно, существует решение у\ уравнения G.74), представимое
первой формулой G.78). Что касается второго решения г/2, то, так
как ?/2 = У\ •> представление для у<± отдельного доказательства не тре-
требует. При этом б2(х,/л) = ?*(x,/i).
Для доказательства G.81) перейдем от G.79), G.80) к эквива-
эквивалентной системе интегральных уравнений
G.82)
5{х) =
откуда перейдем к уравнению, содержащему только А (ж):
fQdx
- f z\r)e ^ dr = (l) + B). G.83)
Интегрируя по частям второе слагаемое этого выражения, полу-
получим
B) = -
dr =
Преобразуем теперь A) таким же интегрированием по частям:
dr =
220
Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Таким образом, уравнение G.83) принимает вид
А(х) = I р(х, т, /л) йт I A@ d? + I 7(ж, г, ц)Д(т) dr + а(х, ц)ц,
а а а
при этом \a(x,fi)\ < а, |/?(ж,т,/х)| < Д, \<у(х,т,/и)\ < 7, где а,Д,7 —
некоторые, не зависящие от \i постоянные. Меняя в первом слагае-
слагаемом порядок интегрирования, получим
/ Д@ d? / 0(х, т, ц) dr = I J3(x, $,
где /3(ж,?,/i) < й, й — не зависящая от \± постоянная. Тем самым
уравнение G.83) преобразуется к окончательному виду
= I К(х, г, /х)Д(т) dr + a(t,
G.84)
где К(х,г,/л)=/3(х,г,jj^+jtx^T,fi), и, следовательно, \К(х,г,/л)\<К
(постоянная К не зависит от /i).
Перейдем от уравнения G.84) к неравенству
f K
G.85)
Введем новую функцию w(x) = Г \A(r)\dr (аналогичные построе-
а
ния были проделаны при доказательстве теоремы 7.5). Тогда 4^ =
= |А|, |^| = |А| и из G.85) следует
f^ <K\w\+a/i.
dx \ \ t~
Пользуясь леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах, получим
отсюда
\w\ < -=-(е ^ ~а> — 1) ^ -=-(е ^ ~а> — 1) < Си.
Следовательно, |А(ж)| = 4^ < KCjLi + afi < D\±, что и требу-
требуется. Аналогичная оценка для S(x) получается из второго уравне-
уравнения G.82). Таким образом, оценки G.81) доказаны.
2) Убедимся теперь, что решения у\ и г/2 = yl линейно независи-
независимы, доказав, что определитель Вронского D(yi,y2) отличен от нуля.
Имеем
У1 VI
У[ V?
UV
2. Сингулярные возмущения 221
Учитывая, что v' = -jjQv, получим далее
= vv*
и + О(ц) -и* + О(ц)
откуда уже ясно, что эта величина отлична от нуля.
Таким образом, у\ и у2 = yl действительно образуют фундамен-
фундаментальную систему решений, и теорема 7.6 доказана.
Замечания.
1. Можно доказать, что аналогичный результат имеет место и для
уравнения /л2у" — Q2(x)y = 0 с той разницей, что в G.78) следует г
заменить единицей.
2. Полученные асимптотические формулы G.78) теряют смысл,
если на [а, Ь] имеются точки, где Q(x) обращаются в нуль. Такие точ-
точки называются точками поворота. Термин происходит из квантовой
механики, где некоторые задачи для уравнения Шрёдингера в од-
одномерном случае приводятся к уравнению типа G.74). При наличии
точек поворота асимптотика строится более сложным образом и со-
соответствующая теория выходит за рамки настоящего учебника. Ме-
Метод построения асимптотики решений уравнений типа G.74) в фи-
физике часто называется ВБК-методом по имени ученых — физиков
Венцеля, Бриллюэна и Крамерса, разработавших соответствующий
алгоритм.
3. Метод нами продемонстрирован на примере G.74). Следует,
однако, заметить, что этот метод распространяется на сингулярно
возмущенные системы более общего вида (см., например, [20], где
приведен подробный анализ основных идей метода, его дальнейшее
развитие и связь с вопросом так называемой регуляризации сингу-
сингулярно возмущенных задач).
4. Метод усреднения. Рассмотрим уравнение
^ = fjY(y, t), 2/@, /а) = у0. G.86)
Из предыдущего известно, что при условии достаточной гладкости
правой части G.86) на некотором сегменте [0, Т] решение задачи
G.86) представимо асимптотически многочленом по степеням \i (те-
(теорема 7.2). Однако при решении ряда вопросов математической фи-
физики приходится исследовать решение на произвольно большом про-
промежутке изменения ?, например, для t ~ l//i. В этом случае описан-
описанные в § 1 методы неприменимы.
222 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Этот случай естественно отнести к классу нерегулярно возму-
возмущенных. Обратим внимание на то, что замена переменных ? = t\i
приводит к конечному промежутку изменения ?, но уравнение при-
принимает вид
В этой форме нерегулярность возмущения становится особенно хо-
хорошо заметной.
В настоящем пункте мы опишем асимптотический метод для не-
нерегулярно возмущенных систем, так называемый метод усреднения,
основы которого заложены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым
[19]. Этот метод, как будет видно ниже, особенно удобен для описа-
описания нелинейных колебательных процессов.
Сформулируем правило построения асимптотики, которое дает
метод усреднения. Введем функции
Ffa) = Hm I [Y(ri,t)dt, G.87)
т^°° о
являющиеся средними значениями правой части по явно входящему
переменному t. Переменное rj при этой операции считается фикси-
фиксированным.
Замечание. В случае ограниченных периодических по t
функций (с периодом 2тг для определенности)
7М = fY(
о
Действительно, Т = 2ктт + т @ ^ т ^ 2тг) и
Т 2/гтг+т
Hm ^ fY(rj,t)dt= Hm х г ^ | Y(rj,t)dt =
00 о °° 2^7Г о
2^тг 2тг
/" Y(rj,t)dt = y~ Г Y(rj,t)dt.
о о
Предположим, что кроме предельных соотношений G.87) спра-
справедливы также соотношения
— т
^т-— Hm 4т /" Qr-(rj.t)dt. G.88)
т. е. среднее значение производной ^- равно производной от сред-
среднего значения Y.
Поставим в соответствие уравнению G.86) следующее, так назы-
называемое усредненное уравнение, которое в принципе проще G.86):
-Л = /iFfa), 77@) = у0. G.89)
Справедлива следующая теорема.
§ 2. Сингулярные возмущения 223
Теорема 7.7. Пусть
1°. В некоторой области \у\ ^ Ь, 0 ^ t < оо, функция Y(y,t)
непрерывна и равномерно ограничена вместе с производной первого
порядка по у.
2°. При \у\ ^ Ь существует среднее значение G.87), а также спра-
справедливо G.88), причем предельный переход в G.87) и G.88) имеет
место равномерно относительно r\ Е [—Ь, Ь].
3°. Решения у и г) задач G.86) и G.89) существуют и принадлежат
(—Ь, Ь) при 0 ^ t ^ L/fjL, где L — не зависящая от \i постоянная.
Тогда равномерно относительно t Е [0, L//jl] имеет место предель-
предельный переход
lim B/ - 77) =0. G.90)
Доказательство. Рассмотрим величину
u{^t) = f\Y{ri,t)-Y{ri)]dt, G.91)
о
а также ее производную по г)
Or] ~ J 1дг]^>Т) dTJ
и докажем, что в области \q\ ^ 6, 0 ^ t ^ L/fi справедливы соотно-
соотношения
/ш = еМ, ^=е(р). G.93)
Здесь и в дальнейшем условимся через е(/л) обозначать любую вели-
величину, бесконечно малую вместе с \± равномерно относительно дру-
других переменных, например г\ и t, от которых эта величина зависит.
Иными словами, G.93) означает равномерное относительно rj и t
стремление /ш и \i^- к нулю.
Докажем первое из соотношений G.93). Второе доказывается ана-
аналогично. Имеем
/шG?,?) = fit • I J [Yfat) - Y(r])] dt =
0
Пусть 0 ^ t ^ \/yJJi. Тогда /it ^ ^//1, и V(rj,t) равномерно огра-
ограничено относительно г) G [—Ь, Ь] в силу равномерности предельного
перехода G.87), т.е. /nu(r],t) = О(Л/]И). Если же 1/Л/Ц ^ t ^ b//i, то
/it ^ L, а в силу G.87) для любого ? > 0 существует fio(S) такое,
что при /i < /лоF) выполнено |y(?7,t)| < S/L, т.е. \/m\ < S для всех
\rj\ ^ 6. Поэтому /iii(?7,t) = e(/i) для 0 ^ t ^ ?//i, что и требовалось.
224 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Введем теперь в рассмотрение функцию
y(t,n)=ri(t)+nu(ri(t),t). G.94)
Эта функция удовлетворяет уравнению
где R = (rj + /ш)' - /iY(t] + /ш,?) = iiY(rj) + /i^ - /iY(t] + /ш, t).
Учитывая, что
du _ диау(п\ , ди ди _ у(п +) _ у(п)
получим
R = H2^
Нетрудно убедиться, что А = у — у => 0 при \± —у 0 равномерно
относительно t G [0,L//i]. В самом деле, величина А удовлетворяет
уравнению
^^ R. G.95)
При этом 0 ^ в ^ 1, R = o(/i), A@,/i) = 0. В силу условия 3°
теоремы \у + вА\ < Ъ при 0 ^ t ^ L/fi. Поэтому существует не зави-
зависящая от \i постоянная N такая, что ^р-(?/ + #А, t) < TV, и из G.95)
получим
" - „(,.\Lnl
f
е
о
откуда и следует равномерное относительно t G [0, L//jl] стремление
А к нулю при \i —у 0.
Пользуясь этим результатом, соотношением G.94) и оценкой
G.93), получим G.90), и теорема 7.7 тем самым доказана.
Замечания.
1. Утверждение теоремы 7.7 остается справедливым для случая,
когда в G.86) величина у является вектор-функцией. В условиях
теоремы вместо Ф- естественным образом появятся производные
^—L. В доказательстве встретятся небольшие технические осложне-
осложнения при оценке А, которые можно преодолеть, пользуясь соображе-
соображениями В 4 гл. 2.
§ 2. Сингулярные возмущения 225
2. Теорема 7.7 была сформулирована и доказана при упрощаю-
упрощающем предположении, что не только решение f](t,[i) более простой,
чем исходная, усредненной системы лежит в (—6,6), но и решение
y(t, /i) исходной системы также лежит в (—Ь, fr). От этого последнего
требования можно избавиться, наложив дополнительное требование
на f](t,/a): r\ Е \—Ь + S,b — S] при 0 ^ t ^ ?//i. Отсюда неравенство
\y(t, /i)| < & можно получить как следствие. В самом деле, пусть при
некотором Т ^ L/fi имеем \у(Т,/i)| = 6, т.е. интегральная кривая
выходит на границу области. Возьмем Т* < Т, достаточно близкое
к Г, чтобы 2/(Г*/i) отличалось от y(T,/i) не более чем на J/4. По-
Поскольку |?/(?,/i)| < & при 0 ^ t ^ Т*, то при 0 ^ t ^ T* справедлива
теорема 7.7 и при достаточно малых \± величина rj(T*, /i) отличается
от 2/(Т*, /i) не более чем на 8/А. А тогда 77(^*5 А*) отличается от у(Т, /л),
равного Ъ или —6, не более чем на 8/2, что противоречит тому, что
т] е [-b + 8,b-8].
Противоречие приводит к выводу, что \y(t,/i)\ < b для 0 ^ t ^ b//i,
а тогда, как было доказано, G.90) справедливо на всем [0,L//i].
Можно было бы не предполагать также и существования реше-
решения y(t, /i), а доказать его существование в окрестности 77 (?) подобно
тому, как это было сделано, например, в теореме 7.2.
3. Мы привели здесь простейшую теорему метода усреднения.
Существует обширная литература, посвященная методу усредне-
усреднения, в которой приводятся доказательства различных более тонких
и сложных теорем и строятся приближения, дающие любую асим-
асимптотическую точность (подробнее с этим кругом вопросов можно
ознакомиться, например, по книгам [10, 13, 22]).
Пример 7.2. Рассмотрим уравнение ван дер Поля
х" - ii{l-x2)x' + ж = 0, G.96)
описывающее ламповый генератор на триоде с колебательным кон-
контуром в анодной цепи (см., например, [23]. В книге дается вывод
уравнения ван дер Поля). Что касается асимптотики, то авторы ин-
интересуются случаем, когда \i не мало, а, напротив, велико. Поделив
на этот большой параметр, получим уравнение, в котором малый
множитель стоит при х". Такое уравнение тоже принадлежит к ти-
типу сингулярно возмущенных, но описывает колебания, не близкие
к гармоническим, как в случае G.96), а колебания иного типа — так
называемые релаксационные колебания. Монография Е. Ф. Мищенко
и Н. X. Розова посвящена асимптотической теории релаксационных
колебаний для систем общего вида, развитой Л. С. Понтрягиным
и авторами монографии.
226 Гл. 7. Асимптотика решений по малому параметру
Перепишем G.96) в виде системы
х' = и, и' = /i(l - x2)u — х
и зададим начальные условия x@,/i) = ж0, u@,/i) = 0.
Введем новые переменные у\ и|/2, положив
х = У1 cos(t + 2/2), м = -у\ sin(t + 2/2).
В переменных у\, ?/2 получим систему
Vi=
У2=
4) ~ f СО82^ + 2/2) + X
2/2) + X
T
2/2)
при условиях уi@,/i) = ж0, у2@,/а) = 0, являющуюся системой ти-
типа G.86).
Усредненная система G.89) имеет вид
Отсюда f]2(t) = 0. Уравнение для 771 отделяется. Если построить
плоскость ?, ?7i, то, как и на рис. 20 (данный случай отличается
только масштабом по оси ?), нетрудно проследить, что если х° > 0,
то существует решение rji(t), приближающееся при t —> 00 к 771 = 2.
Эти решения можно записать в виде квадратур. Приближенное ре-
решение уравнения G.96), получающееся по методу усреднения, имеет,
таким образом, вид
х = [t7i(t, 11) + s(fi)} cos(t + s(fi)). G.97)
Уравнение для 771 имеет два стационарных решения: 771 = =Ь2. Им
отвечают решения уравнения G.96) вида х = [±2 + e(/i)] cos(t + e(/i)).
Заметим, что разложением по параметру \± в степенной ряд G.6)
представление G.97) не получится.
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнения в частных производных первого порядка традиционно
рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений по той причине, что построение их общего решения может
быть проведено методами, развитыми в теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка имеет вид
$J%H, (8.1)
где F — некоторая заданная функция своих аргументов, а неизвест-
неизвестной функцией является и, зависящая от аргументов xi,..., хп.
Мы остановимся на двух частных случаях (8.1). Это так называ-
называемое линейное уравнение
i0ci,... ,*„)!?= О (8.2)
г=1
и квазилинейное уравнение
п
^7 = a(>ix^)
,.-.,хп,и), (8.3)
где cii,a — заданные функции своих аргументов.
§ 1. Линейное уравнение
Обратимся к изучению уравнения (8.2):
( т \ ®и | |_ п (Тл
Пусть х\,..., хп изменяются в некоторой области G и пусть в этой
области функции ai{x\,..., хп) (г = 1,..., п) обладают непрерывны-
непрерывными частными производными и не обращаются одновременно в нуль,
что можно выразить в виде условия
г=1
228 Гл. 8. Уравнения в частных производных
Решением уравнения (8.4) будем называть любую функцию, обла-
обладающую частными производными по аргументам х\,..., хп, которая
обращает (8.4) в тождество. Геометрически решение можно интер-
интерпретировать как поверхность в пространстве х\,..., жп, и. Будем на-
называть эту поверхность интегральной поверхностью.
1. Двумерный случай. Рассмотрим сначала случай п = 2 и на
нем поясним основные идеи построения решения:*)
(8.5)
Выражение слева можно интерпретировать как скалярное произ-
произведение векторного поля {А, В} на grad-u = < §р, Ф^- > и, таким обра-
образом, (8.5) означает, что производная от и по направлению вектора
{А, В} равна нулю. Обозначим через Г кривую на плоскости (х,у),
которая обладает тем свойством, что касательный вектор к этой
кривой коллинеарен {А, В}. Ее параметрическое представление (па-
(параметром является t) можно получить из системы уравнений
%=А(х,у), ft=B{x,y). (8.6)
Фазовые траектории системы (8.6) на плоскости (х,у), которые
являются интегральными кривыми уравнения
<к = E^vl (или уравнения ^ = ^Щ), (8.7)
dx А(ху) V dy B(xy)JJ v J
dx
V
называются характеристиками уравнения в частных производных
(8.5). Вместо пары уравнений (8.7) часто записывается одно урав-
уравнение в симметричной относительно х и у форме
dx _ dy
А(х,у) В(х,у)'
В силу условий, наложенных на А и В (А2 + В2 ф 0), через каждую
точку G проходит одна и только одна характеристика (см. гл. 2, § 2,
замечание 5).
Пусть и = и(х,у) — поверхность уравнения (8.5). Будем рассма-
рассматривать ее над характеристикой, при этом и будет сложной функ-
функцией t: и = u{x{t),y{t)). Нетрудно видеть, что полная производная
от и по t в силу (8.6) совпадает с левой частью (8.5):
du _ dudx_ , dudy_ _ *, ,Qu , d/ \ди
dt ~ dt dt+ dy dt ~ Л^' У) дх + ^Ж' У) dy '
*)Доказательство, посвященное многомерному случаю, будет содержаться
в п. 2.
1. Линейное уравнение 229
Следовательно, в силу уравнения (8.5) Щт = 0, апликата и инте-
интегральной поверхности сохраняет над характеристикой постоянное
значение, т. е. характеристика является линией уровня интеграль-
интегральной поверхности.
Рассмотрим некоторую кривую 7, не совпадающую с характери-
характеристикой (рис. 21). Через каждую точку М(х,у) области G прове-
проведем характеристику. Точка ее пересечения с кривой 7 однозначно
определяет эту характеристику, т. е. характеристики образуют од-
нопараметрическое семейство. В качестве параметра можно взять,
например, расстояние в по кривой 7 от
некоторой фиксированной точки (хо,уо).
Положение точки М на каждой характе-
характеристике определяется параметром t. Как
видно из (8.6), t можно задать с точно-
точностью до произвольного слагаемого, поэто-
поэтому будем считать, что точка пересечения
каждой характеристики с кривой 7 соот-
соответствует значению t = to-
Таким образом, в области G каждой
точке М(х,у) можно поставить в соответствие пару чисел (#,?):
О определяет характеристику, проходящую через М, a t — значение
параметра на характеристике, отвечающее точке М. Тем самым мы
имеем взаимно однозначное соответствие (ж, у) <^> (#, t) или, анали-
аналитически,
x = X{fi,t), y = Y{fi,t),
в = в(х,у), t = T(x,y). [ • '
В переменных (в, t) уравнение характеристики имеет вид ^ = О,
откуда в = С. Таким образом, вдоль характеристики
в(х,у) = С. (8.11)
Переменные в, t удобны в том отношении, что, перейдя к этим пере-
переменным, мы можем легко получить решение уравнения (8.5). Обо-
Обозначим
u(x,y)=u(XF,t),YF,t))=vF,t).
В силу (8.9) уравнение (8.5) в переменных v,6,t имеет вид Ф^ = О
(решение сохраняет свое значение вдоль характеристики). Так как
Фр = 0, то v является функцией только в, т.е. v = F@), а тем самым
u(x,y)=F(Q(x,y)), (8.12)
где F — произвольная функция своего аргумента.
230
Гл. 8. Уравнения в частных производных
Мы приходим, таким образом, к выводу: общее решение уравне-
уравнения (8.5) имеет вид (8.12), где F — произвольная функция аргумен-
аргумента @(х,у), а @(х,у) — левая часть (8.11).
С другой стороны, если нам каким-то образом удалось найти
функцию (р(х,у), обладающую тем свойством, что она тождествен-
тождественно обращается в постоянную вдоль каждой интегральной кривой
уравнения (8.8), т.е. вдоль каждой характеристики, то в перемен-
переменных (в, t) эта функция должна зависеть только от #, но не от ?,
т.е. (p(XF,t),YF,t)) = ф@). Поскольку в (8.12) F — произвольная
функция, выражение для общего решения можно писать не только
в виде (8.12), но и в виде
u(x,y)=F(<p(x, у)). (8.13)
Действительно, F(cp) = F{JpF)) = F@), и мы приходим опять
к (8.12).
Пример 8.1. Пусть в (8.5) коэффициенты являются постоянны-
постоянными: А = Д), В = Во. Из (8.7) находим y-vox = const, где v0 = Во/Ао.
Тогда согласно (8.13) общее решение имеет вид и(х, у) = F(y —
Ay У
Рис. 22
Функция F(y — Vqx) называется бегущей волной со скоростью г>о
и профилем F(y). Легко понять смысл этого названия, если х интер-
интерпретировать как время, заменив х на t. Нарисуем профили волны
в моменты t\ и ^2 (рис. 22). При г?о > 0 и t^ > t\ второй профиль
сдвинут вправо как единое целое на величину Ау = (?2 —ti)vo. Дей-
Действительно, у + Ay — Vot2 = у — voti, т. е. в точках у и у + Ау полный
аргумент F один и тот же, а Ау / At = i?o, т. е. скорость сдвига есть i?q.
Согласно (8.12) или (8.13) общее решение уравнения в частных
производных зависит от произвольной функции, т. е. содержит еще
большую степень произвола, чем в случае обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения. Рассмотрим вопрос о том, каким образом
из множества (8.12) можно выделить единственное решение.
1. Линейное уравнение
231
Пусть на кривой 71 •> уравнение которой х = x(s), у = y(s) и ко-
которая не совпадает с характеристикой ни на одном интервале поло-
положительной длины, задано дополнительное условие
3.14)
где (jj(s) — заданная функция переменной s. Это задача называется
начальной задачей или задачей Коши для уравнения (8.5).
Так как 71 не является характеристикой, то @(х,у) вдоль 71 ме-
меняется: 0(ж,2/)|71 = ? = @(x(s),y(s)), т.е. является функцией s. Тем
самым s = П(?), a cj(s) = о;[П(?)]. Значение и в точке ? на кривой 71
есть а;[$!(?)]. Если теперь через точку ? кривой 71 провести харак-
характеристику, то ее уравнение будет иметь вид @(х,у) = ?, а значение
решения в точках этой характеристики равно с^[П@(ж,?/))]. А так
как через каждую точку G проходит характеристика, то эта фор-
формула является выражением для решения в любой точке области G:
и(х,у) = ш[п(9(х,у))]. (8.15)
Соответствующая геометрическая картина представлена на рис. 23.
е
Рис. 23
i s2
Рис. 24
Нетрудно и непосредственно проверить, что формула (8.15) дает
нужное решение: во-первых, это есть решение, так как содержится
в (8.12), а во-вторых, u(x,y)\7l = a;[fi(?)] = cj(s), т.е. удовлетворяет-
удовлетворяется условие (8.14).
232 Гл. 8. Уравнения в частных производных
Замечания.
1. Вместо @(х,у) во всех этих рассуждениях можно использовать
ф,у) (см. (8.13)).
2. Конечно, следует иметь в виду, что для получения fi(?) нужно,
чтобы ? вдоль 7i зависела от s монотонно, как, например, на участке
(si,S2) (рис. 24). Тогда s = П(?) определено однозначно.
Пример 8.2. Рассмотрим уравнение из примера 8.1 и в каче-
качестве (8.14) возьмем условие
u(t,0) =»(t). (8.16)
Здесь 7i есть прямая у = 0, параметром s служит t. В этом случае
ip(t,y) = у -vot, ip(t,y)\7l = -vot = f, t = ft(f) = -?/г;0.
Следовательно, искомое решение u(t,y) = /if _^ j = /ift - ^-j.
Таким образом, решение является бегущей волной, профиль кото-
которой однозначно определяется заданной функцией /i(t).
Пусть теперь 71 совпадает с какой-либо характеристикой. Здесь
могут представиться разные случаи.
а) u(x,y)\7l = const = щ. Тогда решение, очевидно, определяется
неоднозначно, так как решением этой задачи будет любая функция
и(х,у) = /(Э(ж,2/)), лишь бы /@(ж,2/)|71) = щ. Например, можно
получить /@(ж, у)) = F(@(x,y)) — F(@(x,y)\7l) -\-щ (напомним, что
F(Q(x,y)\7l) = const), где F — уже произвольная функция.
б) и(х, 2/)|71 ф const. В этом случае решение задачи не существует,
так как всякое решение уравнения (8.5) постоянно вдоль характери-
характеристики и, следовательно, поставленное на 71 условие удовлетворено
быть не может.
2. Многомерный случай. Рассмотрим теперь общий случай
(8.4) в предположениях, сформулированных в начале § 1.
Поставим в соответствие уравнению (8.4) систему (ср. (8.6))
^=ai(Xl,...,xn), i = l,...,n, (8.17)
и систему для фазовых траекторий (ср. (8.8))
dx\ dxn /n -1 о\
Интегральные кривые системы уравнений (8.18) называются ха-
характеристиками уравнения в частных производных (8.4). В силу
условий, наложенных на коэффициенты а^, для системы (8.18) име-
имеет место теорема существования и единственности, и через каждую
точку n-мерной области G проходит одна и только одна характери-
характеристика.
1. Линейное уравнение 233
Теорема 8.1. Вдоль характеристики решение и {х\,..., хп) урав-
уравнения (8.4) сохраняет постоянное значение.
Доказательство. Действительно (ср. (8.9)),
п п
du _ V^ ctu_dx± _ V^ ^2La. — Q (8 19)
dt ' J dxi dt ' J dxi '
т.е. u = const.
Идея построения общего решения уравнения (8.4) является есте-
естественным обобщением того, что имело место для п = 2. Область G
покрывается характеристиками, которые образуют семейство, за-
зависящее от п — 1 параметров 0i,..., 0n_i. Каждой точке [х\,..., хп)
области G может быть поставлена в соответствие система значений
01,..., 0n-i, ?, при этом Si = 0(xi,... ,жп), ? = T(xi,... ,жп). Задание
01,..., 0n_i выделяет характеристику из семейства, at — параметр,
определяющий точку на характеристике. Имеем u(xi,... ,жп) =
= г?@i,... ,0n_i, t). В переменных 0i,... ,0n_i, t уравнение (8.4) при-
принимает вид ^ = 0. Таким образом, г? = F@i,... ,0n_i) и, следова-
следовательно (ср. (8.12)),
u(xu.. .,жп) = F@i(xi,.. .,жп),... ,0n_i(xb... ,жп)). (8.20)
Для обоснования формулы (8.20) нам потребуется понятие перво-
первого интеграла системы уравнений (8.18). При этом будем предпола-
предполагать, что an(xi,..., xn) /ObG. Тогда (8.18) можно записать в виде
нормальной системы
1^1 = ^1, г = 1,...,п-1, (8.21)
CLXn U"fl 7 7 7 \ /
а в качестве 0i,...,0n_i можно взять начальные значения ж^,...
..., х<^1_1; хп будет играть роль t. Семейство решений системы (8.21)
имеет вид
~ _ Х.(~ -.0 0 0\ • _ -1 _ -1 /о оо\
Xi выражает закон соответствия между парой точек интегральной
кривой: начальной и текущей. Их можно поменять ролями, и тогда
получим
хог =Х;(ж°,жь...,жп_1,жп), г = 1,...,п- 1, (8.23)
где Xf — те же самые функции, что и в (8.22), так как выражают
тот же закон соответствия.
234 Гл. 8. Уравнения в частных производных
Замечание. То, что справа в (8.22) и в (8.23) мы имеем одни
и те же функции, удобно продемонстрировать на примере линей-
линейной системы с независимым переменным хп и неизвестной вектор-
функцией х с компонентами xi,... , жп-ь Формула (8.22) имеет вид
(см. C.84))
х = W(xn) х W-'ix^x0 = Цхп,х°п)х°.
Разрешая относительно ж0, получаем (8.23), т.е.
х° = W(xon)W-\xn)x = Цх°п,хп)х.
Функции Xi(xi,... ,хп) (ж^ в (8.23) фиксировано) можно исполь-
использовать в качестве 0^ в построении общего решения (8.20). Заметим
еще, что из взаимной обратимости формул (8.22) и (8.23) следует,
ЧТО
Определение. Первым интегралом системы (8.18) называет-
называется функция (f(xi,... ,жп), обращающаяся тождественно в постоян-
постоянную, когда точка xi,... ,жп пробегает интегральную кривую систе-
системы (8.18)*).
Очевидно, функции Xi(xi,... ,хп) в формулах (8.23) являют-
являются первыми интегралами системы (8.21), так как при подстановке
(8.22) в правые части (8.23) они обращаются тождественно в х®. Од-
Однако первыми интегралами могут быть и другие функции и, что осо-
особенно удобно при практическом решении, первые интегралы неред-
нередко могут быть получены, например, методом интегрируемых комби-
комбинаций (для получения (8.23) надо решать начальную задачу и это
менее удобно).
Пример 8.3. -г^- — Х2ч -т^- — х\. Складывая эти уравнения,
Х
интегралом будет
получим -г^(х\ + Х2) = (xi + X2). Отсюда х\ + х<± = СеЖз, и первым
б
Вычитая уравнения, получим -г^(х\ — ж2) = —{х\ — ж2), откуда
найдем другой первый интеграл:
^2 = (xi -х2)еХз.
*)Иногда первым интегралом называют не функцию (р, а соотношение tp =
= const.
1. Линейное уравнение 235
Пусть найдены п — 1 первых интегралов (fi(xi,..., хп) (г = 1,...
..., п — 1) системы (8.18) и при этом
1'-'^-1' /ObG, (8.24)
т. е. интегралы (^i,..., <pn_i независимы [16] ((8.23) представляет со-
собой пример системы п — 1 независимых первых интегралов).
Теорема 8.2. Всякое решение гр(х\,... ,хп) уравнения (8.4)
является первым интегралом системы (8.18), и, обратно, всякий пер-
первый интеграл ip(xi,..., хп) системы (8.18) является решением урав-
уравнения (8.4).
Доказательство. Прямое утверждение фактически было до-
доказано выше (см. теорему 8.1, цепочку тождеств (8.19), где и = ф).
Для доказательства обратного утверждения заменим в (8.19) и
dtp _ г\
на ip и возьмем в качестве исходного тождество -^- = 0, а в ка-
качестве конечного получим ^Г=1а*л~^~ = О- ®то п0СлеДнее можно
гарантировать лишь по переменному ?, т. е. вдоль характеристики.
А для того, чтобы (p(xi,..., хп) можно было считать решением урав-
уравнения (8.4), нужно, чтобы это тождество было тождеством по пере-
переменным xi,..., хп. Однако поскольку через каждую точку G прохо-
проходит характеристика, то тождественное равенство нулю вдоль каж-
каждой характеристики означает тождественное равенство нулю всюду
bG.
Теорема 8.3. Всякое решение и = ф(х\,..., хп) уравнения (8.4)
представимо в виде
и = Ф(у?1 (xi,..., хп),..., (рп-! (х!,..., хп)), (8.25)
где Ф((^1,...,(^п_1) — некоторая дифференцируемая функция своих
аргументов <?Ь ..., (pn-i, a (fi(xi,..., хп) (г = 1,..., п - 1) — первые
интегралы системы (8.18), удовлетворяющие условию (8.24).
Доказательство. Функция т/>, а также cpi (по теореме 8.2),
являются решениями (8.4), т.е.
дф . дф п
236 Гл. 8. Уравнения в частных производных
В каждой точке области G эти соотношения можно рассматри-
рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относитель-
относительно ai,... , an. По условию Yl7=i ai ^ 0> т<е< имеется нетривиальное
решение. Следовательно, определитель этой системы равен нулю
всюду в G:
D(xi,...,xn) ~
Отсюда по теореме анализа [16; гл. 15, теорема 15.4] между ф, ipi,...
...,(^n_i имеется функциональная зависимость и в силу условия
(8.24) эта зависимость может быть представлена в разрешенном от-
относительно ф виде ф = Ф(^1,..., (fn—i), что и требуется.
Замечания.
1. Доказанная теорема дает обоснование приведенной выше фор-
формуле (8.20).
2. Формула (8.25) при произвольной дифференцируемой Ф обла-
обладает тем свойством, что в ней согласно теореме 8.3 содержится лю-
любое решение уравнения (8.4). С другой стороны, легко проверить
непосредственно, что при любой дифференцируемой Ф функция и
из (8.25) удовлетворяет уравнению (8.4); тем самым формула (8.25)
представляет общее решение уравнения (8.4).
Поставим теперь дополнительное условие, дающее возможность
из множества (8.25) выделить одно решение. Для этого нужно за-
задать в области G многообразие п — 1 измерений и на этом много-
многообразии задать значение искомого решения (в случае п = 2 в п. 1
задавалась кривая 71 )• Пусть это многообразие (обозначим его то-
тоже 7i) задается параметрически (через параметры si,..., sn-i) B ви-
виде Xi = uji(si,..., sn-i) (i = 1,... ,п) и искомое решение на нем за-
задается также как функция параметров si,..., sn-i:
u\7l =u)(s1,...,sn-1) (8.26)
(начальная задача, или задача Коши).
Пусть известны п — 1 независимых первых интегралов ipi. Имеем
Обозначим
Предположим, что эта система п — 1 уравнений с п — 1 неиз-
неизвестными si,..., sn_i разрешима относительно si,..., зп-ъ так чт0
§ 2. Квазилинейное уравнение 237
Si = Пг(?ъ • • • 5 ?n-i) (* — l,...,n — 1). Тогда решением поставленной
задачи будет
Ufa, . . . , Хп) = CJ [fii (y?i (Xi, . . . , Жп), . . . , <pn_i (Xi, . . . , Хп)) , . . .
• • • , Оп-1 (<?l (^1, • • • , Хп), . . . , ipn-г (Хг , . . . , Хп))] . (8.27)
Действительно, это выражение является решением уравнения (8.4),
так как содержится в формуле (8.25) (см. замечание к теореме 8.3).
Кроме того, учитывая, что (fi\7l = ?,i, получим
т.е. удовлетворяется условие (8.26).
Исследованием вопросов однозначной или неоднозначной разре-
разрешимости задачи (8.26) мы в общем виде заниматься не будем. Для
п = 2 это было сделано выше, в п. 1.
§ 2. Квазилинейное уравнение
Обратимся к изучению уравнения (8.3):
ai(x1,...,xn,u)^: = a(x1,...,xn,u). (8.28)
Будем предполагать, что ai (i = 1,... , п) и а являются дифферен-
дифференцируемыми функциями своих аргументов xi,... ,хп,и в некоторой
области D (п + 1)-мерного пространства переменных xi,..., жп, и.
Решением уравнения (8.28) будем называть любую функцию от
аргументов xi,...,xn, обладающую частными производными по
этим аргументам и обращающую уравнение (8.28) в тождество. Как
и в случае линейного уравнения, это решение можно геометрически
интерпретировать как поверхность в пространстве xi,..., жп, и.
1. Общее решение и начальная задача. Сопоставим уравне-
уравнению (8.28) следующее линейное уравнение:
-а(хи...,хп,иШ = 0. (8.29)
0U
г=1
238 Гл. 8. Уравнения в частных производных
Теорема 8.4. Пусть v = V(xi,... ,хп,и) —решение уравне-
уравнения (8.29). Пусть уравнение У{х\,..., жп, и) = О определяет в облас-
области D неременных х\,..., хп некоторую дифференцируемую функ-
функцию u = (p(xi,... ,жп) и пусть Ц^-\и=(р^0 в G. Тогда u = (p(xi,... ,жп)
является решением уравнения (8.28).
Доказательство. По теореме о неявной функции
д(р _ _8У_ IдУ
дх' дх'I du
и тем самым левая часть уравнения (8.28) равна
п
'дУ
iI
а это в силу (8.29) есть a(xi,..., хп, ф), т. е. уравнение (8.28) удовле-
удовлетворяется.
Доказанная теорема и результаты предыдущего параграфа при-
приводят к следующему способу построения решений уравнения (8.28).
Нужно написать систему уравнений, определяющую характеристи-
характеристики линейного уравнения (8.29):
dx\ _ _ dxn _ du
Интегральные кривые системы (8.30), т. е. характеристики линей-
линейного уравнения (8.29), мы будем называть характеристиками ква-
квазилинейного уравнения (8.28). Если уравнение (8.29) удовлетворяет
условиям, наложенным на линейное уравнение в § 1, то эти харак-
характеристики заполняют область D переменных х\,... ,хп,и, так что
через каждую точку D проходит одна и только одна характери-
характеристика. Далее, по формуле (8.25) строим общее решение уравнения
(8.29) (только теперь независимых интегралов будет п и они будут
функциями Х\,..., хп, и):
v = *((pi(xi,...,xn,^),...,(pn(xi,...,xn,^)). (8.31)
Затем, полагая v = 0, получим уравнение для определения множе-
множества решений уравнения (8.28):
,...,xn,^),...,(pn(xi,...,xn,^)) = 0. (8.32)
Замечание. Как было показано, формула (8.31) при достаточ-
достаточно общих предположениях содержит все решения уравнения (8.29).
§ 2. Квазилинейное уравнение 239
Можно ли сказать, что формула (8.32) содержит все решения урав-
уравнения (8.28)? Проанализируем доказательство теоремы 8.4. При
проверке тождества (8.28) мы использовали тождество (8.29), и нам
достаточно, чтобы (8.29) было тождеством по xi,...,xn (при этом
и = ip(xi,... ,хп)). Однако при построении V(#i,... ,хп,и) требует-
требуется большее, а именно, чтобы (8.29) было тождеством по xi,..., хп, и.
Поэтому априори не исключена возможность, что могут быть такие
решения (8.28), для которых (8.29) удовлетворяется не тождествен-
тождественно по xi,... ,хп,и, а только при и = (f(xi,... ,хп). Такие решения,
вообще говоря, не содержатся в формуле (8.32). Они называются
специальными решениями. Можно показать, что специальное реше-
решение — случай исключительный, и в дальнейшем рассмотрении мы
их принимать во внимание не будем.
В отличие от линейного случая в квазилинейном случае харак-
характеристики лежат не в пространстве xi,...,xn, а в пространстве
xi,..., хп, и, и поэтому геометрический смысл характеристики здесь
иной. Докажем следующий факт.
Теорема 8.5. Всякая интегральная поверхность u = f(xi,...,xn)
состоит из характеристик в том смысле, что через каждую точку
этой поверхности проходит некоторая целиком лежащая на ней ха-
характеристика.
Доказательство. Рассмотрим систему уравнений
dx\ dxn /о оо\
или ,
-J^- = ai(xi,...,xn,/(xi,...,xn)), (8.34)
определяющую кривые в пространстве xi,... ,хп. Возьмем одну из
них: Xi = Xi(t). В пространстве х\,..., жп, и ей будет отвечать кривая
xi = Xi(t), и = /(xi (?),...,жп(?)),
которая по построению лежит на интегральной поверхности и =
= /(xi,...,хп). Докажем, что это — характеристика. Действитель-
Действительно, так как имеет место (8.33), то для доказательства того, что удо-
удовлетворяются уравнения (8.30), достаточно проверить, что ^ = а.
Но
du _ST dJL^i -X^ ELn -n
dt ~ 2^ dxi dt ~ 2^ dXiai ~ a
i=l i=l
в силу (8.28), чем и завершается доказательство.
240 Гл. 8. Уравнения в частных производных
Пусть интегральная поверхность нам неизвестна, но известны
характеристики; тогда, если мы сумеем «склеить» из характери-
характеристик гладкую поверхность, то она будет интегральной поверхно-
поверхностью, так как вектор {ai,..., an, a}, касательный к характеристике,
будет также касательным к поверхности, а следовательно, будет ор-
( df df Л\
тогональным к вектору < -^—,..., -^—, — 1 >, нормальному к поверх-
поверхности, а условие ортогональности как раз и означает выполнение
уравнения (8.28).
Эти геометрические соображения приводят к следующему истол-
истолкованию формулы (8.32). Система уравнений (8.30) дает п-парамет-
рическое семейство характеристик, которое можно, используя п пер-
первых интегралов, представить в виде
<Pi(xi,.. .,a;n,w) = 6i, г = 1,.. . ,n. (8.35)
Это семейство характеристик заполняет всю область D. Наша за-
задача — выделить из этого множества (п — 1)-мерное подмножество,
которое будет образовывать интегральную поверхность. Для это-
этого достаточно связать параметры #i,..., вп, наложив произвольную
достаточно гладкую связь вида
Ф@1,...,0„) = О. (8.36)
Подставляя сюда (8.35), получим (8.32).
Эти же геометрические соображения дают возможность предло-
предложить следующую процедуру для решения задачи с дополнительным
условием (задачи Коши), которая ставится следующим образом: че-
через (п — 1)-мерное многообразие 1\ в пространстве xi,..., хп, и про-
провести интегральную поверхность. Это многообразие можно задать
параметрически в виде
Xi=ui(s1,...,sn-1), i = l,...,n,
и = u(s1,...,sn-1).
Таким образом, задача по существу та же, что и для линейного
уравнения.
Теперь мы должны связь (8.36) наложить не произвольным обра-
образом, а исходя из (8.37). Для этого подставим (8.37) в (8.35):
и, исключая отсюда si,..., зп-ъ получим искомую связь (8.36), в ко-
которой Ф будет уже, вообще говоря, вполне определенной функцией,
а (8.32) будет давать решение задачи (8.37).
2. Квазилинейное уравнение
241
Не проводя в общем виде анализа того, какие особенности мо-
могут представиться при выполнении описанной процедуры, просле-
проследим это на трехмерном случае (подобно тому, как было сделано
в § 1), которому отвечает уравнение
Зададим 1\ (в трехмерном случае это кривая):
x = X(s), y = Y{s), u = U(s). (8.39)
Выписываем систему (8.30), имеющую вид
dx _ dy _ du
А ~ В ~ С"
и находим два первых интеграла cpi(x,y,u) (г = 1,2). Подставляя
(8.39), получим
<pi(X(s),Y(s),U(s))=ei, г = 1,2.
Исключая из этих двух уравнений s, найдем связь
Ф@Ь02) = 0.
Тем самым уравнение искомой поверхности будет
1 (ж, 2/, гх), у?2 (ж, 2/, гл)) = 0.
(8.40)
(8.41)
(8.42)
Геометрический смысл процедуры очень простой: из каждой
точки заданной кривой Fi выпускает-
выпускается характеристика, и все такие харак-
характеристики в совокупности образуют
искомую интегральную поверхность
(рис. 25).
Вместо представления (8.42) для ин-
интегральной поверхности, имеющего
форму непосредственной связи между
х,у,и, иногда удобно параметрическое
представление, если в качестве параме-
параметров взять s и, скажем, х. Пусть, на-
например, С(х,у,и) = 0. Тогда один из
первых интегралов равен и, другой — .тис. zo
ср2(х,у,и) и искомую поверхность можно записать в виде
х = х, u = U(s), y = y(x,s), (8.43)
242 Гл. 8. Уравнения в частных производных
где y(x,s) определяется неявно уравнением
Mx,yMs)) = MX(s),Y(s),U(s)).
Это последнее уравнение дает проекцию на плоскость (ж, у) характе-
характеристики, проходящей через точку s заданной кривой 1\, а и = U(s)
дает значение апликаты и над этой проекцией.
При выполнении процедуры, приводящей к (8.42), может пред-
представиться особый случай, а именно, левые части обоих уравнений
(8.40) могут обратиться в константы и (8.40) примет вид
в{ = а = const. (8.44)
В этом случае связь (8.41) также имеет место, но содержит большую
степень произвола, а именно, Ф может быть любой функцией, лишь
бы Ф(с1,С2) = 0. Например, можно положить
Ф@1,02)=Ф@1,02)-Ф(С1,С2),
где Ф — уже произвольная функция двух аргументов.
Равенство (8.44) означает, что 1\ является характеристикой, и,
таким образом, через характеристику можно провести бесконечно
много интегральных поверхностей.
Пример 8.4. Рассмотрим уравнение переноса A.30) из гл. 1,
в котором v — постоянная,
§ +,f + с(М)« = 0
с условием A.32), где положим хо = 0,
u@,t)=uo(t).
В этом случае (8.30) имеет вид
dt _ dx_ _ du
1 v c(x,t)u'
Отсюда сразу находим один из первых интегралов: cpi = х — vt.
Далее имеем
^ = -с(х, t)u = -c(ipi + vt, t)u = b{t, ipi)u,
откуда и = const e6l^5(/?1\ где Ъ\ — одна из первообразных от Ь (на-
(напомним, что if\ = const). Таким образом, другой первый интеграл
имеет вид
b(tt)
§ 2. Квазилинейное уравнение 243
При х = 0 имеем (8.40):
Отсюда находим связь (8.41):
и формула (8.42) дает
Можно найти также явное выражение для u(x,t):
Пример 8.5. Линейное уравнение можно трактовать как ква-
квазилинейное. При этом а = 0 и заведомо одним из первых интегра-
интегралов является и. Это соответствует установленному в § 1 факту, что
вдоль характеристики и = const (теорема 8.1).
Рассмотрим уравнение
и решим его «квазилинейным» способом. Соответствующая система
(8.30) дает два первых интеграла: cpi = и, ^ = х2 -\- у2. Формула
(8.32) дает Ч?(и, х2 + у2) = 0, откуда и = гр(х2 + у2). Таким образом,
решением уравнения (8.45) является произвольная гладкая поверх-
поверхность вращения.
Рассмотрим теперь различные дополнительные условия:
A. Fi — прямая линия, х = s, у = s, и = s. Описанный прием дает
01 = s, 02 = 2s2 => 02 = 2#2, и решением задачи будет ж2+^/2 = 2и2 —
конус.
Б. Fi — окружность: х = cost, у = sint, и = 1. Таким обра-
образом, Fi является характеристикой уравнения (8.45), рассматривае-
рассматриваемого как квазилинейное уравнение. В данном случае имеем 0\ = 1,
02 = 1, и решением будет поверхность вида Ф(и, х2 +у2)-ФA,1) = 0.
Геометрически ясно, что через заданную окружность действительно
можно провести бесконечно много поверхностей вращения.
B. Рассматривая (8.45) как линейное уравнение, можно продемон-
продемонстрировать случай, описанный в конце п. 1 § 1, когда решение зада-
задачи Коши не существует. Пусть 71 задана в виде х = cost, у = sint,
244
Гл. 8. Уравнения в частных производных
а и\1х = t. Любая поверхность вращения имеет постоянную аплика-
ту на заданной окружности ^yi, и, таким образом, условие u\7l = t
удовлетворено быть не может.
2. Понятие о разрывных решениях. Ударные волны. В на-
настоящем пункте мы рассмотрим одно характерное для квазилиней-
квазилинейных уравнений явление, которого не наблюдалось для линейного
случая. Продемонстрируем это явление на простейшем примере ква-
квазилинейного уравнения в трехмерном пространстве (в переменных
?, ж, и), при этом положим С(?, ж, и) = 0. Такой случай уже был опи-
описан в предыдущем пункте и на нем была продемонстрирована пара-
параметрическая форма записи (8.43) поверхности (8.42). В этом случае
имеем два первых интеграла и и cp2(t,x,u), а семейство характери-
характеристик (8.35) имеет вид и = #i, ip2(t,x,u) = #2- Проекции этих ха-
характеристик на плоскость (?,ж), вообще говоря, могут пересекаться
(в отличие от картины, изображенной на рис. 21, относящейся к ли-
линейному уравнению). Это приводит к следующему на первый взгляд
парадоксальному результату.
t
Рис. 26
Рассмотрим такой пример:
*г 0
Рис. 27
дх
Зададим дополнительное условие и@,х) = щ(х). В данном случае
кривая Fi — это t = 0, х = s, и = uo(s). Первыми интегралами будут
и и х — и21. Представление для искомой интегральной поверхности
можно получить, пользуясь формулой (8.43). Оно имеет вид
t =
(8.46)
Уравнение х = s + UQ(s)t описывает проекцию на плоскость (?, х) той
характеристики, которая проходит через точку s кривой Fi, a uq(s)
есть значение и над этой проекцией.
§ 2. Квазилинейное уравнение 245
Зададим конкретно uo(s) = 1 — s. Рассмотрим характеристику,
проходящую через точку 1\, отвечающую s = 0. Ее проекция есть
х = t (прямая 1 на рис. 26). Точке s = 1/2 отвечает характеристика
с проекцией х = ^ + ^t (прямая 2) и точке s = 1 — характеристика
с проекцией х = 1 (прямая 3). Над прямой 1 имеем и = uo(s) = 1,
над прямой 2 имеем и = 1/2 и над прямой 3 имеем и = 0. Но прямые
1, 2 и 3 пересекаются, и получается, что, например, в точке А зна-
значение апликаты искомой интегральной поверхности должно быть
одновременно равно и нулю и единице (!).
Для того чтобы разъяснить этот кажущийся парадокс, найдем
решение поставленной задачи в явном виде. Имеем и = 1 — s,
х = s + A — sJ?, откуда, исключая s, получим
(8.47)
(радикал берется со знаком «—», чтобы удовлетворялось условие
и@,х) = 1 — х.)
Из выражения (8.47) непосредственно видно, что решение опре-
определено левее гиперболы: 4?A — х) = 1 (рис. 27, кривая L). В точках
гиперболы L подкоренное выражение обращается в нуль, а далее
с ростом t становится отрицательным. Таким образом, в точках ги-
гиперболы решение перестает существовать. Заметим, что при этом
§р —у оо. Нетрудно проверить, что на линии L условие Ф- ф О,
фигурирующее в теореме 8.4, нарушается.
Слева от гиперболы пересечения проекций характеристик не про-
происходит и никакой «неоднозначности» в решении нет. Прямая х — t
«не доходит» до прямой х = 1, так как прямая х = t сначала обязана
пересечь гиперболу, а на ней решение перестает существовать.
Замечание. Гипербола L является местом пересечения беско-
бесконечно близких проекций, в данном случае огибающей семейства
х = s + A — s) t. Ее можно найти, воспользовавшись s-дискрими-
нантной кривой этого семейства.
То, что решение существует лишь в ограниченной области, можно
наблюдать и для обыкновенных дифференциальных уравнений, но
разобранный сейчас случай интересен тем, что он имеет непосред-
непосредственную связь с рассмотренными физическими задачами.
Обратимся к задаче п. 4 § 2 гл. 1:
gf+pH§f = O, u(x,0)=uo(x). A.33)
Функция р(и), которую можно получить экспериментально, имеет
характер, представленный на рис. 28. Таким образом, физически
246 Гл. 8. Уравнения в частных производных
интересный случай качественно не слишком сильно отличается от
примера р = и2, который только что был исследован. Естествен-
Естественно ожидать, что в рассматриваемой физической задаче решение пе-
перестает существовать на некоторой линии L, при этом обратится
в бесконечность производная по ж, подобно тому, как и в разобран-
разобранном примере. Но ведь физически процесс имеет место и за линией L,
т. е. для больших t. Возникает вопрос, каким же образом получить
отвечающее данному физическому процессу решение, справедливое
за линией L?
Для рассматриваемой задачи решение можно записать в виде,
аналогичном (8.46):
t = ?, х = s +p[uo(s)]t, u = uo(s). (8.48)
Линию L можно найти так же, как и в примере, используя s-
дискриминантную кривую, т. е. исключая s из системы
х = s+p[uo(s)]t, 0 = l+p'[uo(s)]u'o(s)t.
Кривую L удобно представить параметрически (опять через s)
в виде
p'[uo(s)]ufo(s)' pf[u0(s)]uf0(s)'
Проекции характеристик в данном случае, как и в примере, пред-
представляют собой прямые, причем прямая, выходящая из точки t = О,
х = s, имеет наклон p[uo(s)]. Пусть г^о(^) убывает по s. Так как р(и)
возрастает по и (см. рис. 28), то наклон характеристики убывает
с ростом s, т.е. характеристики «сходятся» к линии L, аналогично
тому, как это изображено на рис. 27 для примера с р = и2.
Если наблюдать процесс при фиксированном ж = жо, то при при-
приближении t к to (точка (?о,жо) лежит на L) Ф^ увеличивается, т.е.
наблюдается резкое изменение плотности. Наблюдая физическое
явление, можно в самом деле отметить в определенный момент вре-
времени резкое изменение плотности: через точку xq в момент to про-
проходит так называемая ударная волна. Затем процесс снова идет до-
достаточно плавно, пока не образуется новая ударная волна, но может
случиться также, что новой ударной волны не возникнет.
Как же описать процесс после прохождения ударной волны? Ре-
Решение, определяемое как дифференцируемая функция, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению (8.38), дает возможность описать процесс толь-
только до возникновения ударной волны. Естественно, напрашивается
мысль о расширении понятия решения уравнения (8.38). Мы будем
искать решение в классе разрывных функций, подчиняя характер
2. Квазилинейное уравнение
247
щ
1 s
/
/
/
At
L
Axil
Рис. 28
Рис. 29
разрыва определенным требованиям, соответствующим физической
природе описываемого явления. Такое решение мы будем называть
обобщенным.
Не задаваясь целью построить обобщенное (разрывное) решение
для общего случая (8.38), рассмотрим, как оно строится для нашего
физического примера.
Слева от кривой L (в области I) решение строится методом, опи-
описанным в п. 1; такое решение мы будем называть классическим. Да-
Далее, принимая L за проекцию некоторой новой начальной кривой,
будем снова строить классическое решение методом п. 1. Вопрос за-
заключается в том, какое значение и следует взять вдоль кривой L
для построения этого решения.
Для выяснения этого вопроса мы используем физические сообра-
соображения — все тот же закон сохранения количества вещества, кото-
который привел к дифференциальному уравнению A.33).
Обозначим через щ предельное значение и на линии L (ее можно
назвать линией разрыва), которое получено из классического ре-
решения, определенного начальными данными, т. е. предельное значе-
значение изнутри области I (до разрыва). Для построения следующего
гладкого участка нам нужно найти предельное значение и<± изнут-
изнутри области II (после разрыва), которое примем за начальное для
построения решения на следующем после разрыва этапе.
Уравнение баланса запишем с этой целью в следующем виде (учи-
(учитывая, что и(х, t) = щ, и(х, t+At) = U2, и(х — Ах, t) = U2\ см. рис. 29,
где изображен бесконечно малый прямоугольник, левая верхняя
вершина которого лежит в области I бесконечно близко к линии L,
а остальные в области II):
— (u2 — и±)Ах = [v(ui)ui — v (
Ax
Переходя к пределу Ах —> 0, At —у 0 и учитывая, что -iSr стре-
стремится к производной ^ от функции, описывающей кривую L (эту
производную естественно назвать скоростью движения разрыва г>р),
248 Гл. 8. Уравнения в частных производных
получим
Зная и\ и?]р, можно по этой формуле определить и^.
Зная U2, можно снова построить гладкий участок решения до но-
новой кривой типа L. Такой кривой может, однако, и не возникнуть.
Мы уже видели выше, что возникновение первого разрыва было
связано с тем, что характеристики «сходились». Второго разрыва
не возникает, если после разрыва характеристики окажутся «рас-
«расходящимися». Аналитически возникновение или отсутствие разры-
разрыва выясняется точно так же, как это делалось выше для реше-
решения (8.48).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференци-
дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — Минск: Наука и
техника, 1972.
2. Карташев А.П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. —
Изд. 3-е, перераб. и доп. — М.: Наука, 1986.
3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. — Изд. 7-е. — М.: Изд-во моек, ун-та, 1984.
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1983.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд.
8-е. — М:. Гостехиздат, 1959.
6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —
М.: Мир, 1970.
7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1969.
Дополнительная литература
8. Bay тин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественно-
качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука,
1976.
9. Бахвалов Н.С Численные методы: анализ, алгебра, обыкно-
обыкновенные дифференциальные уравнения. — Изд. 2-е, стереотип. —
М.: Наука, 1975.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические ме-
методы нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.
11. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения
решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
12. Васильева А.В., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. —
Изд. 2-е, стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
13. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории не-
нелинейных колебательных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1971.
14. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Нау-
Наука, 1977.
250 Список литературы
15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — Изд. б-е, сте-
стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
16. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч. I. — Изд. б-е, стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
17. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч. П. — Изд. 5-е, стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1976.
19. Крылов Н.М., Боголюбов П.П. Введение в нелинейную меха-
механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
20. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмуще-
возмущений. — М.: Наука, 1981.
21. Марчу к Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: На-
Наука, 1977.
22. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной меха-
механике. — Киев: Наукова думка, 1971.
23. Мищенко Е.Ф., Гозов Н.Х. Дифференциальные уравнения
с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука,
1975.
24. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория диффе-
дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
25. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука,
1982.
26. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.
27. Смирнов В.И.. Курс высшей математики. Т. III, ч. П. — Изд.
9-е, стереотип. — М.: Наука, 1974.
28. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV, ч. I. — Изд.
9-е, стереотип. — М.: Наука, 1974.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналитическая теория дифферен-
дифференциальных уравнений 114
Аппроксимация разностной схемы,
порядок аппроксимации 171
Асимптотика 196
Асимптотическая формула 194
Асимптотический ряд 196
Асимптотическое представление
194
- разложение 196
Бегущая волна 230
Возмущение правых частей (вход-
(входных данных) 172
- регулярное 196
- сингулярное 199, 200
Возмущенная задача 174
Возмущенное и невозмущенное
уравнения 196
Вырожденная система 201
Граничные условия первого, второ-
второго и третьего рода 118
С-дискриминантная кривая 52
р-дискриминантная кривая 51
Задача краевая 116
- на собственные значения (задача
Штурма-Лиувилля) 119,
136
- начальная (задача Коши) 13
Импульсная матрица 105
- функция 90
Интеграл дифференциального
уравнения 28
Интегральная кривая 12
- поверхность 228
Интегральное уравнение 15
- Фредгольма второго рода 139
Интегрирование в квадратурах 27,
28
- дифференциального уравнения
12
Интегро-дифференпиальное урав-
уравнение 23
Качественная теория дифференци-
дифференциальных уравнений 164
Квадратура 28
Лемма о дифференциальных нера-
неравенствах 34
Линейная зависимость и независи-
независимость столбцов 103
функциий 86
Ломаные Эйлера 36
Матрицант 105
Матричная запись системы линей-
линейных уравнений 103
Метод вариации постоянной 31
- ВБК 221
- неопределенных коэффициентов
98
- последовательных приближений
(метод Пикара) 66
- стрельбы 183
- усреднения 221
Метрическое пространство 71
Независимость первых интегралов
235
Неподвижная точка 73
Неустойчивость решения 157
Норма равномерная (чебышевская)
167
- собственной функции 139
- среднеквадратичная (гильберто-
(гильбертова) 167
252
Предметный указатель
Нормальная система дифференци-
дифференциальных уравнений 11
Область влияния устойчивого кор-
корня 203
Обобщенное решение квазилиней-
квазилинейного уравнения 247
- обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения 12, 43
Общее решение линейного неодно-
неоднородного уравнения 89
однородного уравнения 77,
88
уравнения в частных произ-
производных 235
- системы линейных уравнений
105
Общий интеграл 28
Обыкновенная точка 43
Однородные и неоднородные крае-
краевые задачи 118
Операторный многочлен 93
Определитель Вронского 86, 103
Особая точка 43
Особое решение 51, 52
Остаточный член асимптотической
формулы 194
Первый интеграл 233, 234
Пограничные члены 208
Пограничный ряд 209
- слой 207
Поле направлений 12
Порядок аппроксимации 171
- дифференциального уравнения
10
Предельный цикл 164
Принцип максимума 186
- сжимающих отображений 70
- суперпозиции 83, 101, 106
Присоединенные векторы 111
Прогонка алгебраическая 190
- обратная 191
- прямая 192
Пространство решений линейного
однородного уравнения 85,
88
- системы линейных уравнений
105
^-приближение по невязке 37, 54
отклонению 41
Разностная схема «предиктор-
корректор» 181
Рунге-Кутта 179
- - Эйлера 168
явная 168
Регулярный ряд 209
Резонансный и нерезонансный слу-
случаи в неоднородном линей-
линейном уравнении 81, 96
Релаксационные колебания 225
Решение общее 28
- частное 13, 28
Седло 161
Сепаратриса 161
Сетка, сетки узел, сетки шаг 166
- равномерная и неравномерная
166
Сеточная функция 166
Система линейных уравнений 82,
98
- первого приближения 148
Собственное значение, его ранг 119
Собственные колебания 119
- функция 119
Специальные функции 114
Среднее значение 222
Сходимость по невязке 39, 56
- разностной схемы 168
Теорема о неподвижной точке 70,
72
- о неустойчивости 157
Теорема об общем решении линей-
линейных уравнений 88, 105
- об устойчивости 155
- об устойчивости асимптотической
155
- Стеклова о разложении по соб-
собственным функциям 138
- существования и единственности
решения краевой задачи 132
- Тихонова о сингулярно возму-
возмущенной системе 204
- Чаплыгина о дифференциальных
неравенствах 13
Предметный указатель
253
Теоремы существования и един-
единственности решения началь-
начальной задачи для нормальной
системы уравнений 56
уравнения, неразрешен-
неразрешенного относительно произ-
производной 45
первого порядка
41, 69
Теория возмущений 196
Тождество Лагранжа 121
Точка поворота 221
- покоя 159, 163
Тривиальное решение 87, 118, 143
Ударная волна 244
Узел 161
Уравнение Бернулли 33
- ван дер Поля 225
- в вариациях 65
частных производных 10
, квазилинейное 227
, линейное 227
- колебаний упругого стержня 22
- Лагранжа 49
- линейное, первого порядка 30
- линейное, n-го порядка 75, 80, 85
- маятника 18,75
-, неразрешенное относительно
производной 44
- обыкновенное 10
- переноса 19
- Риккати 33
- с разделяющимися переменными
27
- теплопроводности 25
- Эйлера 98
- Эйри 114
Условие Липшица 36, 53, 69
Устойчивость асимптотическая 143
- по Ляпунову 142
- разностной схемы 174
Устойчивый корень 201
Фазовая траектория 12
Фазовое пространство 12
Фазовый портрет 164
Фокус 163
Формальный ряд 114, 208
Формула Грина 121
Фундаментальная матрица 104
- система решений 87, 104
Функция Грина краевой задачи 123
обобщенная 129
- Ляпунова 152-154, 158
- положительно определенная 154
Характеристики квазилинейного
уравнения в частных произ-
производных 228, 238
- линейного уравнения в частных
производных 232
Характеристический многочлен 92
Характеристическое уравнение 75,
79, 94, 107, 178
Центр 163
Учебное издание
ТИХОНОВ Андрей Николаевич,
ВАСИЛЬЕВА Аделаида Борисовна,
СВЕШНИКОВ Алексей Георгиевич
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Серия «Курс высшей математики и математической физики»
Редактор: И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: И.Л. Панкратьева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.11.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 14,96. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0277-Х
9 785922 102773