Text
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Под редакцией М. А ЕВГРАФОВА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных доведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
517.2
С23
УДК 617.53/4@75.8)
АВТОРЫ:
М. А. ЕВГРАФОВ, К. А..БЕЖАНОВ, Ю. В СИДОРОВ,
М. В. ФЕДОРКЖ, М. И. ШАБУНИН.
Сборник задач по теории аналитических функций, под редакцией
М. А. Евграфова. Издательство «Наука», Главная редакция физико-
математической литературы, 1972.
«Сборник задач по теории аналитических функций» предназначен для сту-
студентов университетов, пединститутов и ВТУЗов, изучающих теорию функций
комплексного переменного. Он составлен с таким расчетом, чтобы его было
удобно использовать при лю^ом построении лекционного курса.
С этой целью отдельные параграфы написаны в основном независимо друг
от друга и разбиты на циклы задач, объединенных общей идеей. Задачи по-
повышенной трудности помещены, как правило, в конце циклов. Все основные
факты и определения приведены там, где они используются. Илл, 321,
2-2-3
20-72
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 6
Глава I. Введение 7
§ 1. Комплексные числа 7
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 20
§ 3. Функции, кривые, интегрирование 26
§ 4. Элементарные асимптотические методы 45
§ 5. Однозначные элементарные функции 64
§ 6. Равномерная сходимость. Степенные ряды . . . 71
§ 7. Гомотопии плоских кривых 79
Глава П. Регулярные функции 87
§ 8. Условия Коши—Римана. Гармонические' функции 87
§ 9. Геометрический смысл производной 98
§ 10. Теорема Коши. Интеграл типа Коши 103
§ 11. Ряд Тейлора 115
§ 12. Последовательности регулярных функций. Интегралы,
зависящие от параметра 125
§ 13. Теорема единственности. Аналитическое продолжение . . 130
§ 14. Принцип максимума 139
Глава III. Многозначные аналитические функции 147
§ 15. Функции, аналитические в области 147
§ 16. Выделение регулярных ветвей 152
§ 17. Вычисление значений регулярных ветвей 156
§ 18. Вычисление значений функций, аналитических в области 164
Глава IV. Особые точки. Ряд Лорана. Вычеты 173
§ 19. Изолированные особые точки однозначного характера 173
§ 20. Ряд Лорана 179
§ 21. Вычисление вычетов 192
§ 22. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 197
§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше 206
§ 24. Изолированные точки ветвления 210
§ 25. Особые точки на границе области регулярности 214
§ 26. Обратные и неявные функции 220
1* 3
Глава V* Приложения теории вычетов 230
§ 27. Разложение мероморфных функций в ряды простейших
дробей и в бесконечные произведения . . . 230
§ 28. Простейшие типы несобственных интегралов 236
§ 29. Более сложные гипы несобственных интегралов 252
§ 30. Суммирование рядов 261
§ 31. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 269
Глава VI. Конформные отображения 278
§ 32. Однолистные функции 278
§ 33. Дробно-линейная функция 283
§ 34. Принцип симметрии 289
§ 35. Отыскание отображений элементарными функциями . . 296
§ 36. Отыскание конформных отображений с использованием
принципа симметрии 315
§ 37. Отображение многоугольников 321
Глава VII. Плоское векторное поле с комплексным потенциалом . • • . 339
§ 38. Произвольные плоские векторные поля 339
§ 39. Особые точки комплексно потенциальных векторных полей 349
§ 40. Построение векторного поля по данным особым точкам 381
§ 41. Связь векторных полей с конформными отображениями
и с решениями задачи Дирихле 398
§ 42. Некоторые задачи, связанные с обтеканием 1ел .... 404
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый читателю «Сборник задач по теории аналитиче-
аналитических функций» предназначен для студентов механико-математических и
физических факультетов университетов и пединститутов и для
втузов с расширенной программой по математике. Авторы опира-
опирались на опыт преподавания ТФКП в Московском физико-техническом
институте и на механико-математическом факультете Московского
университета.
«Сборник» составлен с таким расчетом, чтобы им можно было
пользоваться при любом построении лекционного курса (хотя фор-
формально расположение материала в нем примерно то же, что и в книге
М. А. Евграфова «Аналитические функции»). С этой целью пара-
параграфы сделаны более или менее независимыми друг от друга. Все
необходимые ссылки на задачи других разделов приводятся в ука-
указаниях.
Каждый параграф разбит на циклы задач, объединенных общей
идеей. В конце циклов, как правило, помещены задачи повышенной
трудности. Для удобства читателя основные факты и определения
обычно приводятся там, где они используются. Все указания к реше-
решению задач даны в основном тексте, а ответы собраны в конце каж-
каждого параграфа.
Значительная часть задач составлена специально для «Сборника»
самими авторами. Помимо этого авторы использовали в качестве
источников многие учебники и монографии по ТФКП. Некоторое
количество задач было заимствовано из задачников Н. М. Гюнтера
и Р. О. Кузьмина, Л. И. Волковыского, Г. Л. Лунца, И. Г. Арама-
новича, а также из задачника Jana Krzyza (Польша). Кроме того,
были использованы задачи, составлявшиеся с 1947 по 1968 год, для
заданий и контрольных работ преподавателями кафедры математики
МФТИ. Несколько задач прислал А. А. Гольдберг (задачи 3.16—
3.22).
Работа по составлению и подбору задач распределилась между
авторами следующим образом:
К. А. Бежанов —¦ §§ 8, 10, 22, 28;
Ю. В. Сидоров — §§ 32, 33, 35—37;
М. В. Федорюк —§§ 4, 14, 23, 26;
М. И. Шабунин —§§ 1—3, 5, 6, 9, 11, 19—21, 27;
(Сидоров, Федоркж и Шабунин работали в значительной мере
совместно, а Бежанов делал свою часть работы независимо).
Задачи для остальных разделов «Сборника» составлены и подоб-
подобраны М. А. Евграфовым. Он же значительно дополнил первоначаль-
первоначальный набор задач, предложенный другими авторами.
Вся заключительная часть работы по написанию книги выполне-
выполнена М. А. Евграфовым.
И. С. Аршон, помимо работы по редактированию, взял на себя
нелегкий труд проверки значительной части наиболее трудных задач,
за что авторы глубоко ему признательны.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основное отличие второго издания — это глава VII, посвящен-
посвященная плоскому векторному полю с комплексным потенциалом. Большин-
Большинство задач этой главы было составлено мною специально для этой
книги. Некоторое количество задач я добавил и в другие разделы
(стараясь возможно меньше менять нумерацию задач).
М. А. Евграфов
Внимание!
В связи с дополнениями, сделанными во втором издании, следую-
следующие задачи изменили свои номера:
Номера по первому изданию
1.59
4.39—4.51
10.39—10.48
37.33—37.43
Характер изменения
Заменена другой
Номер увеличился на 10
Номер увеличился на 5
Номер увеличился на 10
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Комплексные числа
Комплексными числами называются объекты г вида x+iy, где х и # —про-
—произвольные действительные числа, если для этих объектов следующим образом
определены понятие равенства и операции сложения и умножения:
1. Два комплексных числа Zi = *i + /*/i и z2 = x2 + iy2 называются равными,
если *i = #2 и У1 — У2-
2. Суммой комплексных чисел Zi = Xi + iy1 и z2 = x2 + ly2 называется комплекс-
комплексное число zi + z2 = (*i + *2) +' (У1+У2)•
3. Произведением комплексных чисел Z\ = x\-\-iy\ и z2 = x2-\-iy2 называется
комплексное число zxz2 = (ххх2—у\у2) + *(*i#2+*2#i)•
Иначе говоря, комплексные числа складываются и умножаются, как мно-
многочлены относительно символа «, но символ г2 заменяется числом—1.
Легко проверяется, что действия сложения и умножения комплексных
чисел обладают свойствами коммутативности, ассодиативности и дистрибутив-
дистрибутивности, т. е.
*i+z2 = z2+zlt zxz2=z2zi,
Число x называется действительной частью комплексного числа z
и обозначается символом Re z.
Число у называется мнимой частью комплексного числа z=*+u/ и обо-
обозначается символом Im z.
1.01. Доказать, что для любого комплексного числа гфО суще-
существует единственное комплексное число wf удовлетворяющее усло-
условию 2гг>=1. Это комплексное число обозначается одним из двух
символов, z~~x или —.
1.02. Пусть Re2=JC, \mz~y и гфО. Доказать, что
1 x-iy
z х*+у*'
1.03. Символом— обозначим комплексное число zx*—. Пусть
z=xki lmzk=yk> k=\,2. Доказать, что
1.04. Найти действительную и мнимую части следующих комп-
комплексных чисел:
1 L о A~1\* 3 I1 /УЗ"? 4 /^ЪЩ2 5
Пусть Rez = *, \mz = y. Величина )fx2-\-y2 называется модулем комп-
комплексного числа z = x-{-iy и обозначается символом \г\. Любое число ф, удо-
удовлетворяющее равенствам
называется аргументом комплексного числа z = x-\-iy и обозначается симво-
символом argz. Величина argz определяется только жля комплексных чисел, отлич-
отличных от нуля. Любая пара возможных значении argz отличается на целое
кратное числа 2я.
1.05. Доказать, что
II <у л, I I -У I ! -У I О
• \&\&2 — I 1 I * 2 Г
3. arg (z1z2) = arg zx -f- arg z2 (mod 2зх).
4. arg — = arg zx — argz2 (mod 2л).
Примечание. Запись
A = В (mod a)
означает, что А — В~па, где п — целое число.
1.06. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
1. /. 2. —3. 3. 1+*ш.
4 1 | . v 3 г 1—i л л ... я
• —о- + ^1тг^ 5. гт-^- о- —c°s ~n +/sm-=-.
7/ л I Oj\4 О /1 I .АЯ /1 J1 /"о \ fi Г\ 1 t ЗХ . . . ЗХ
Пусть х~Цег, y—lmz. Комплексное число х — iy называется сопряжен-
сопряженным с комплексным числом z — x-\-iy и обозначается символом z.
1.07. Доказать равенства:
2. z — 2 = 2l\mz.
3. Re*=i-p. 4.
5. B) = г. 6.
7. (г! — г2) = гг — г,. 8. (г^2) = г, г2.
9. (f) = J (^1^0). Ю. (^=(ЮП> я=Ь 2, 3,....
11. |2| = |z|. 12- ^ = l^i2-
1.08. Доказать, что для любого многочлена Р (z) с действитель-
»ными коэффициентами и для любого комплексного числа z имеет
место равенство P(z) = P(z).
1.09. Пусть- Р (z) = aQzn-{-a1zn~1-\-.. . + ал. Выяснить, какими
должны быть коэффициенты многочлена Р (z)} если для любых
комплексных значений z имеет место равенство:
1. р (*)=p~(i) 2. я (*) =- — тщ.
S
1.10 Найти все комплексные значения Л, для которых сущест-
существует отличный от тождественного нуля многочлен Р (z), удовлетво-
удовлетворяющий для всех комплексных значений z условию Р (z) = AP (z).
У
0
/
/V
X
У
X
Рис. 1.
Во многих случаях удобно изображать комплексные числа точками плос-
плоскости (или векторами). Именно, каждому комплексному числу z = x^{-iy, где
* = Re2, a y—\mz, ставится в соответствие точка М (х, у) (рис. 1) с абсцис-
абсциссой х и ординатой у или вектор ОМ. Сложение век-
векторов соответствует сложению отвечающих им ком-
комплексных чисел.
Плоскость, на которой изображаются комплекс-
комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось
X — действительной осью, а ось Y — мнимой осью.
1.11. Доказать, что величину \z1— z2\ равна
расстоянию между точками zx и z2 на ком-
комплексной плоскости.
1.12. Доказать, что величина arg2 равна
одному из углов, образуемых вектором z
с положительным направлением действительной
оси (угод считается положительным, если он отсчитывается от поло-
жительного направления действительной оси к вектору z против
движения стрелки часов, и отрицательным в противном случае).
1.13. Дать геометрическое описание множеств всех точек комп-
комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим неравенствам:
1. Re z > 0. 2. Im z < 1. 3. | Re z | < 1.
5. И<1. 6. \z—1\>\.
| z— 1 | < 3. 9. 0 < arg z < я/4.
я —arg2 | <я/4.
1.14. Записать с помощью неравенств следующие множества
точек комплексной плоскости:
1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси.
2. Первый квадрант.
3. Полуплоскость, расположенная выше действительной оси и со-
состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на расстоя-
расстояние не меньшее 2.
4. Полоса, состоящая из точек, отстоящих от мнимой оси на рас-
расстояние, меньшее 1.
5. Полукруг радиуса 1 (без окружности) с центром в точке 2 = 0,
расположенный слева от мнимой оси.
1.15. Найти геометрический смысл следующих величин:
1 I -У I О I Do -У \ Q
1. \ z . z. \ ке z . о.
4. |1т*|<1, 0<Re*<l.
7. 0 < | z + i | < 2. 8. 1<
10.
|| || ||
1.16. Пусть zx и z2 — фиксированные точки комплексной плоскости.
Дагь геометрическое описание множеств всех точек z} удовлетво-
удовлетворяющих соотношениям:
1. \z — z1\ = \z—z2\. 2. \z—l\ =
3. \z — zt\ + \z — z2\ = 2a, a>y|z2-~z±\
4. \\z^.Zli-iz^Z2\\ = 2a.
-~z±
1.17. Пусть |^0|<;1. Доказать, что точку wQ= — можно гео-
геометрически построить следующим образом: из точки z0 проводим
перпендикуляр к лучу Oz0 (рис. 2). Какую-либо точку пересечения
этого перпендикуляра с окружностью | z | = 1 обозначим через z{.
В точке zx строим касательную к окружно-
окружности |z| = l. Точку пересечения этой каса-
касательной с лучом Oz0 обозначаем через z2.
Точка w0 симметрична с точкой г2 относи-
относительно действительной оси.
1.18. Доказать, что два треугольника
Ах и Д2> первый с вершинами в точках zv
z2y z3, а второй — с вершинами в точках z[f
z'% z& подобны, если
Рис. 2. г^
Z2-Zt
1.19. Является ли условие подобия треугольников, предложенное
в задаче 1.18, необходимым?
Уравнения, написанные для переменной точки г, в случае необходимости
можно записать и в прямоугольных координатах.
1.20. Выяснить, какие линии на плоскости записаны следующими
уравнениями:
3.
г+1
= 0.
1.21. Выяснить, какие множества точек z комплексной плоскости
удовлетворяют неравенствам:
2. Rey<y. 3. |*-2|-|
4. \\+г\<\1-г\. 5.
7. -5f<arg J
9.
1.22. Пусть А и С действительные, а В — комплексная постоянные
и пусть АС <С | В |2. Доказать, что уравнение
является уравнением окружности, а также найти центр этой окруж-
окружности и ее радиус.
1.23. Доказать, что уравнение окружности, проходящей через
три данные точки z^ zv z3, не лежащие на одной прямой, можно
записать в виде
= 0.
10
1.24. Доказать, что при любом положительном значении /С, от-
отличном от 1, уравнение
= К является уравнением окруж-
г —г2
ности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.
1.25. Найти все решения следующих систем уравнений:
г —12 | 5
3
1.
г —Si
г —А
2
z-8
= 1.
zB,
1.26. Доказать, что четыре попарно различные точки zf,
z4 лежат на одной окружности (или на одной прямой) в том
и только в том случае, когда величина Zz~~Zl; fHU. действи-
Z3 — Zx Z3 — 24
тельна.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 1.23.
1.27. Пусть а — произвольное комплексное число, удовлетворяю-
Z — CL
щее условию Im а > 0. Доказать, что величина -—г в нижней
полуплоскости больше единицы, в верхней полуплоскости меньше
единицы, а на действительной оси — равна единице.
1.28. Пусть а — произвольное действительное число. Доказать,
что если многочлен Р(z) = zn-\-axzn~x-\-... + Ял имеет п действи-
действительных нулей, то и многочлен Q(z) = P(z-\-ia)-\-P(z — id) имеет л
действительных нулей.
Указание. Разложить многочлен Р (z) на линейные множители.
1.29. Найти на отрезке, соединяющем точки z± и z2> точку,
которая делит этот отрезок в отношении %1:Х2, где Хг и Х2 — поло-
положительные числа.
1.30. Доказать, что три попарно различные точки zv z2> z3 лежат
на одной прямой в том и только в том случае, когда величина
2 — zx
действительна.
x
1.31. Доказать, что точка ? лежит на отрезке, соединяющем
точки zx и z2, в том и только в том случае, когда существует
такое число а, 0^а^1, что J^cx^ + Cl—a)z2.
1.32. Пусть в точках zv ..., zn комплексной плоскости поме-
помещены материальные точки с массами Xv ..., Хю соответственно.
Доказать, что центр тяжести такой системы материальных точек
находится в точке g^ ^
i -j-... -f- hn
1.33. Пусть точки zv z2, z3 лежат на окружности с центром
в точке <г = 0. Доказать, что треугольник с вершинами в точках zv
z2, zs является равносторонним в том и только в том случае, когда
2i + *2 + *3 = 0.
1.34. Доказать, что точки zb z2> z& z*> лежащие на одной
окружности, являются вершинами прямоугольника в том и только
И
в том случае, когда z1-{-zs=^z2-\'Z4 (точки занумерованы в порядке
следования при обходе окружности).
1.35. Даны три вершины параллелограмма zv zv z3 (записанные
в порядке следования при обходе границы параллелограмма). Найти
его четвертую вершину z±.
1.36. Пусть zv z2, z3 — три вершины параллелограмма (записан-
(записанные в порядке следования при обходе его границы). Доказать, что
точка ? является внутренней точкой этого параллелограмма в том
и только в том случае, когда существует пара чисел tv t^ удовле-
удовлетворяющих условиям 0<C^i<b 0-<cf2<l> и таких, что
1.37, Доказать, что упомянутая в задаче 1.36 пара чисел tx и t2
по каждой внутренней точке ? определяется единственным образом.
Комплексные числа тесно связаны не только с плоской, но и со сфериче-
сферической геометрией.
Представим себе комплексную плоскость в виде горизонтальной плоскости
в трехмерном пространстве и построим сферу единичного диаметра, лежащую
на этой плоскости и касающуюся ее в точке г —О (рис. 3). Точку касания
обозначим через О, а диаметрально про-
противоположную точку сферы — через N.
Соединим теперь точку N сферы пря-
прямой линией с точкой г комплексной
плоскости и обозначим через М (z) точку
пересечения этой прямой линии со сфе-
сферой (отличную от точки ЛО. Легко
видеть, что соответствие г *-+ М (z) яв-
является взаимно однозначным соответст-
соответствием между точками плоскости и точ-
точками сферы, проколотой в точке N.
Вместо того, чтобы рассматривать
соответствие между проколотой сферой
и комплексной плоскостью, можно рас-
рассматривать соответствие между полной
сферой и комплексной плоскостью, дополненной символической точкой, которая
называется бесконечно удаленной точкой и обозначается символом оо. По опре-
определению, полагаем М (oo) = iV. Такое соответствие также является взаимно
однозначным. Оно называется стереографической проекцией.
Комплексная плоскость, дополненная точкой оо, называется расширенной
комплексной плоскостью, а сфера, на которую она проектируется— сферой
Римана.
1.38. Выберем в пространстве систему координат ?, т), ? таким
образом, чтобы оси О| и Оц совпадали с осями Ох и Оу комплекс-
комплексной плоскости, а ось О? была направлена по диаметру сферы
Римана. Пусть x = Rez> y — \mz, а точка M{z) имеет простран-
пространственные координаты (?, т], С). Доказать формулы:
Рис. 3.
12
1.39. Пусть точка M(z) имеет пространственные координаты
(?, Ц> ?)• Найти пространственные координаты точек:
1. M( — z). 2. МB). 3. у
1.40. Дать геометрическое описание множеств сферы Римана,
отвечающих следующим множествам комплексной плоскости:
1. Re z > 0. 2. Im z < 0. 3. | z | > 1. 4. j z |< 1.
1.41. Доказать, что отличные от точек О и N точки Ж^)
и УИ (^2) сферы Римана диаметрально противоположны в том и только
в том случае, когда точки zx и z2 связаны условием z1t2lz=—1.
1.42. Доказать, что окружности на сфере Римана отвечает на
комплексной плоскости или окружность, или прямая, причем прямая
получается в том и только в том случае, когда окружность на
сфере Римана проходит через ее верхний полюс N.
1.43. При каких значениях параметра а следующие окружности
комплексной плоскости отвечают большим кругам на сфере Римана:
а
3. \z — i\ = a (a>0). 4.\z — 2ai\ = a (a>0).
1.44. Расстояние в пространстве между точками M(zx) и M(z2)
называется хордальным расстоянием между точками zx и z2 расши-
расширенной комплексной плоскости и обозначается символом k(zv z2).
Доказать формулы:
1.46. Дать геометрическое описание множеств точек z комплекс-
комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенствам:
1. k(z, 0)<R, 0<R<\. 2. k(z, oo)<R,
3. Hz, /)> ±=. 4. i<*(*. 1)< -L.
Символом Z (M) мы будем обозначать точку расширенной комплексной
плоскости, отвечающую точке М сферы Римана
1.46. Обозначим через М точку сферы Римана, получающуюся
из точки М после поворота сферы Римана, как твердого тела,
вокруг диаметра с концом в точке M(z0) на угол ф против часовой
стрелки (если смотреть из згого конца диаметра). Выразить точку
'ZM/ через точку z = Z(M)
Пусть ф — произвольное действительное число. Под символом е*Ф понима-
понимается комплексное число cos(p-|-i sin ф. С помощью этого символа любое комп-
комплексное число г Ф 0 можно записать в показательной форме:
г = |*|е''аГ?2
Использование символа е'ф во многих случаях значительно упрощает выкладки.
13
1.47. Доказать, что символ е^ обладает следующими свойствами
показательной функции:
1. ?*о = 1. 2. ?*ф*. ?'"ф« = 6* ((р* + <рЛ.
3.^ = б'<^"Ф«>. 4. (^ф)л = ^«ф, лг==О, 1, 2, ...
Указание. См. задачу 1.06.
1.48. Доказать формулы Эйлера:
2. Sinq>=
1.49. Опираясь на формулу 4 задачи 1.47, доказать формулу Муавра:
[л/2]
cos жр = у (— 1 )k Cnk cosrt - 2*ф sin2V
1.50. Доказать формулы:
1.51. Пусть 6^0 (mod2n). Доказать формулы:
-sinу.
2. -^
2sin|
Указание. Найти сумму геометрической прогрессии
1.52. Пусть 0^0 (modjx). Доказать формулы:
1. cose + cos 30 + ...
2. sin8— sin36 + ... + (— l)«+isinBл—1)8 =(—
1.53. Доказать, что уравнение zn=l имеет ровно п различных
решений
называемых корнями степени п из единицы.
1.54. Корень степени п из единицы называется примитивным,
если все его степени от первой до (я— 1)-й отличны от единицы
(т. е. если он не является корнем из единицы степени, меньшей, чем
п). Доказать, что число а>п = е2п^п является примитивным корнем
степени п из единицы.
1.56. Пусть со — примитивный корень степени п из единицы. До-
Доказать, что любой корень степени п из единицы можно записать
в виде о)*, где k равно одному из чисел 0, 1, ..., п—1.
14
1.66. Пусть а — произвольное комплексное число, отличное от
нуля. Доказать, что все решения уравнения zn = a даются формулой
где со — примитивный корень степени п из единицы (значение arg a
выбирается не зависящим от номера k).
1.57. Пусть Re# = a, Ima = p. Доказать, что при Р>>0 все ре-
решения уравнения z2 = a даются формулой
а при Р < 0 — формулой
1.68. Найти все решения следующих уравнений:
1 ?2 === i 2 z2 = 3 4/ 3 ?3 = 1 4 z^ = 64
и ?ч _i 1 q a ~8 —- 1 _L / 7 Z = 2^ 8 I ?* I 2 1 -4- 2/
1.59. Доказать, что при любых комплексных z справедлива
формула
1.60. Пусть е—произвольный корень степени п из единицы, от-
отличный от единицы. Доказать формулы:
2.
A 8)
1.61. Доказать, что все вершины произвольного правильного
я-угольника, лежащего в комплексной плоскости, даются формулой
k ? = 0, 1, 2, ..., п— 1,
где со — примитивный корень степени п из единицы, а а и Ь — неко-
некоторые комплексные числа.
1.62. Доказать, что точки zv zv zs в том и только в том слу-
случае являются вершинами правильного треугольника, когда они удов-
удовлетворяют условиям
1.63. Пусть Pn(z) = aQzn-\-alzn~1+... + an, где ^ — произволь-
произвольные комплексные числа. Доказать, что среднее арифметическое зна-
значений многочлена Pn(z) в вершинах произвольного правильного
/^-угольника (с т > п) равно значению многочлена Рп (z) в центре
этого /гс-угольника.
Указание. См. задачи 1.59 и 1.61.
1.64. Пусть со — примитивный корень степени п из единицы. До-
Доказать формулу
1.66. Доказать формулу:
. я . 2я . п — 1 я
Sltl — • Sin — • . . . • Sin JT = рг^т .
Указание. Воспользоваться формулой задачи 1.64 с г = 1.
* * *
1.66. Доказать, что для любых комплексных значений z и
имеют место неравенства
1.67. Доказать, что:
1. Равенство | z-f-?| = | z 1 + 1 С I ПРИ отличных от нуля значениях z
и ? имеет место в том и только в том случае, когда arg z =
?(d2)
g
2. Равенство |2 + C| = ll2| —|?l| при отличных от нуля значениях
z и ? имеет место в том и только в том случае, когда arg г =
= arg С + п (mod 2я).
1.68. Доказать, что при любых комплексных значениях z и ?
имеют место равенства:
2.
3. |*j_l|»_|*_C|» = (|*|«_l)(|?|»-J).
Указание. Воспользоваться тождеством Л • А = | А |3.
1.69. Доказать, что величина
неотрицательна при любых комплексных значениях К и \х в том
и только в том случае, когда выполнены условия
А^О, С ^ О, | В |2 < АС.
1.70. Доказать, что при любых комплексных значениях величин
имеет место неравенство
п 2 п П
?j zkt>k ^ 2j I Zk I * / j \%>k I
=1 k=\ k=\
(неравенство Коши — Буняковского — Шварца).
n
Указание. Воспользоваться тем, что величина ^ | %лк + juf^ |2 не-
неотрицательна при любых комплексных значениях X и ц (см. задачу 1.69).
16
1.71. Доказать, что при любых комплексных значениях величин
zv zv ...» zn имеет место неравенство
2*.
Функция Ф (s), определенная на отрезке [а, 6], называется выпуклой книзу,
если для любых двух точек si и sa этого отрезка имегт место неравенство
1.72. Пусть функция^ <t>(s) определена, выпукла книзу и не
убывает при s^O. Доказать, что для любых комплексных
значений zv ..., zn имеет место неравенство
U73. Пусть 0<5'<5. Доказать, что ^для любых комплексных
значений zv zv ..., zn справедливо неравенство
12
|1/S#
1.74. Пусть 5>0. Доказать, что для любых отличных от нуля
комплексных значений z{> zv ..., zn справедливо неравенство
l/s
\Zn\...\Zn
1.75. Пусть ^х, z2, ..., ^л — произвольные комплексные числа.
Доказать, что:
( n
1 2
\*k\
1.76. Пусть /?>1, ^>l, a —|— = 1. Доказать, что для любых
комплексных значений zv ..., zn и Ci> ..., t>n имеет место нера-
неравенство
п . п \ 1/Р / п ч 1/<7
( (
/г=1
17
fe=l
{неравенство Гёльдера).
ОТВЕТЫ
1.04.
1. Re* = l/2, Imz = l/2. 2. Rez=0, 1тг = 1. 3. Rez=-1,
= 0. 4. Rez= — 2, 1тг = 3/2. 5. Rez = 2, Imz = 0.
1.06.
1. | г | = 1, argz = ~ + 2K fc = 0, ±1, ±2, ..,.
2. |z|=3, arg* = Bfc+l)rc, ? = 0, ±1, ±2, ... .
3. |2| = /Т, argz=- ~ + 2/гя, 6 = 0, ±1, ±2,
4. | z | = 1, argz = y+ 2/гя, /г = 0, ±1, ±2, ... .
5. |*|~U argz=-y + 2b;, fc = 0, ±1, ±2, ...
6. | z | = 1, arg*==y + 2/jJt, 6 = 0, ±1, ±2, ... .
7. | г-| = 125, argz= — — + 3arctg-|-+ 2/гя, /г = 0, ±1, ±2
8. | г |=-?-, arg2 = 2/jn, /г = 0, ±1, ±2, ... .
9. \z\ = V~2 cos ^ , argz=^+2Ajn, fc = 0, ±1, ±2, ... .
.09.
. Все коэффициенты действительны. 2. Все коэффициенты чисто мнимы.
.10.
|Л| = 1.
1.13.
1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси (точки оси не вклю-
включаются).
2. Полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой, проходя-
проходящей через точку z = i (точки этой прямой включаются).
3. Полоса, состоящая из точек, расстояние которых до мнимой оси мень-
меньше единицы.
4. Прямоугольник с вершинами в точках — t, I — t, 1+f, i (стороны не
включаются).
5. Круг радиуса 1 с центром в точке z=0 (включая окружность).
6. Вся плоскость, из которой удален круг радиуса 1 с центром в точке
z = i вместе с его окружностью.
7. Круг радиуса 2 с центром в точке г= — i, которая удалена (окружность
круга не включается).
8. Кольцо между окружностями радиусов 1 и 3 с общим центром в точке
2 = 1 (окружности не включаются).
9. Угол раствора зх/4 с вершиной в точке г = 0, расположенный выше
действительной оси, являющейся одной из его сторон (стороны угла не вклю-
включаются).
10. Угол раствора я/2 с вершиной в точке 2 = 0, биссектрисой которого
является отрицательная часть действительной оси (стороны угла не включаются).
1.14.
1. Rez>0. 2. Re2>0, Imz>0. 3. Imz^2.
4. | Rez|<l. 5. |*|<1, Rez<0.
1.15.
h Расстояние от начала координат до точки г.
2. Расстояние от мнимой оси до точки z.
3. Расстояние от действительной оси до точки г.
1.16.
1. Прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки zx и
г2, перпендикулярно к этому отрезку.
18
2. Парабола, директрисой которой является мнимая ось, а фокусом—точ-
ка z = l-
3. Эллипс с фокусами в точках гх и г% и с большой полуосью, равной а.
4. Гипербола с фокусами в точках гг и г2 и с действительной полуосью,
равной а.
1.19. Нет, ибо выполнение этого условия может зависеть от нумерации
вершин треугольников.
1.20.
1. Окружность, построенная на отрезке [0, а], как на диаметре.
2. Окружность радиуса 1 с центром в точке 2=0.
3. Действительная ось.
4. Окружность радиуса а с центром в точке г = 0.
1.21.
1. Внутренность эллипса -^--[- — = 1.
2. Внешность круга (х—1J + */2^ 1.
3. Часть плоскости, лежащая справа от левой ветви гиперболы
4. Полуплоскость, лежащая слева от мнимой оси.
5. Правая половина круга радиуса 1 с центром в точке 2 = 0.
6. Полуплоскость, содержащая точку 2 = 0 и ограниченная касательной к
окружности радиуса 1 и центром в нуле, проведенной в точке 2
7. Угол раствора я/4 с вершиной в точке г=—/, стороны которого про-
проходят через точки 2 = 1, гр=0.
8. Часть плоскости, лежащая с той же стороны параболы #2=1—2#, что
и точка 2=1 (и ограниченная этой параболой).
9. Четыре угла раствора я/4 с вершиной в точке 2 = 0, биссектрисами ко-
которых являются лучи arg2= — \R~b~nk* fc = 0f 1, 2, 3.
Во всех случаях точки граничных линий не включаются.
1.22. Центр окружности в точке —-v~> а радиус равен Л/ !—L__ #
1.24. Центр окружности в точке -\—IFt-=> а радиус равен —' х ¦'¦
1—1\* I—д
1.25.
2. 2!=1— /, Z2==
1+^
1.35. г4=г! + гз—г2.
1.39. 1. (-?,-л, 0- 2. (Б.—-п. 0. 3. (|,-гь 1-0-
1 «4U.
1. Полусфера, лежащая в полупространстве ?>0.
2. Полусфера, лежащая в полупространстве ц < 0.
3. Верхняя полусфера. 4. Нижняя полусфера.
1.43.
1. а = оо. 2. а = - — . 3. а = ]/Г27 4. Ни при каких.
1.45.
1. Круг с центром в точке 2 = 0 и радиусом
2. Внешность круга с центром в точке 2 = 0 и радиусом ^-1^ 1 — R2.
3. Полуплоскость, расположенная выше действительной оси.
19
4. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси, с удаленным из
'этой полуплоскости кругом с центром в точке 2 = 2 и радиусом У Б.
1.58.
26-f-l
5. ?*==* 7 *'» fc = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6. zk=y2e*\ * )y /e = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
7. «! = 0, z2=l, 23= — 1, 24 = /, 25=—/. 8. 2=2- — 2i.
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел
Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся ,к пре-
пределу Афсо (или имеющей предел Л), если для любого е > 0 существует' такой
номер N, что для всех п> N справедливо неравенство \zn — А \ <е.
Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к пре-
пределу, равному бесконечности, если для любого положительного числа М
существует такой номер /V, что для всех п> N справедливо неравенство
I гп | > М.
Сходимость последовательности {zn} к конечному или бесконечному пределу
А записывается одной из следующих формул:
zn — А (п — оо);
2.01. Обозначим символом k(z, ?) хордальное расстояние между
ючками z и ^ комплексной плоскости. Доказать, что последова-
последовательность \zn) тогда и только тогда имеет пределом конечное или
бесконечное число Л, если для любого е>0 существует такой но-
номер iV, что для всех n^>N справедливо неравенство k(zn, Л)<в-
2.02. Пусть xn~Re zn, yn = \mzn. Доказать, что последователь-
последовательность {гп\ имеет пределом конечное число А в том и только в том
случае, когда обе последовательности {хп} и {уп} сходятся (к пре-
пределам Re Л и Im А соответственно).
2.03. Доказать, что для сходимости последовательности {zn}
к бесконечности необходимо и достаточно, чтобы сходилась к-j-oo
последовательность -действительных чисел {| гп |}.
2.04. Доказать, что Нтгл = оо в том и только в том случае,
М->00
когда lim-=- = 0.
20
2.05. Пусть \imzn~A ^ оо, lim ?„ = Б :?? оо. Доказать, что:
п-»со п~*оо
1. Пт(гя + Ы = А + В. 2. Птг^,п = АВ.
п-+оэ п~*со
2.06. Пусть lim zn = А Ф оо, lim ?„ = В Ф 0. Доказать, что
lim _ii
n-ооЬл ^
2.07. Доказать, что из каждой последовательности \zn} можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность \zn }, но возможно, что
ее предел будет равен бесконечности.
2.08. Доказать, что если \гп\^М<оо при /z>n0, то из после-
последовательности {zn} можно выбрать подпоследовательность {znk}>
сходящуюся к конечному пределу.
2.09. Выяснить, при каких значениях комплексного параметра а
сходятся последовательности:
5. (I+O + ...+*•!. ft
2.10. Доказать сходимость следующие последовательностей и
найти их пределы:
5. j_L(l-*<* + ««*—... + (-1)»««*)}, -л<ф<я.
2.11. Пусть \\хагп = Афоо. Доказать, что
/1-*-СО
2.12. Пусть 11т,гл = Л ^ оо,- Нт?л = ?:/? оо. Доказать, что
2.13. Пусть числа Я1? Я,а,... положительны и пусть
ПтпОъ + К + '.' + Ю^+оо.
п-*оо
Доказать, чю из равенства lim 2Л = Л ^ со следуег равенство
21
2.14. Доказать Сходимбсть последовательностей и найти их пре-
пределы:
{^ } |г|<1, гф\.
2.15. Пусть ф—действительное число. Доказать, что
hm A + — I = cos ф +1 sin ф.
Указание. Доказать существование пределов последовательностей
модулей и аргументов (с точностью до целых кратных 2я) и вычислить эти
пределы,
2.16. Пусть Rez=x, \mz=y. Доказать, что
lim A + -Y1 = е* (cos у + / siny).
* * *
00
Бесконечный ряд ^zn называется сходящимся, если последовательность
1
j Zk \ имеет конечный предел. Этот предел называется суммой ряда.
со
Бесконечный ряд ^ zk называется абсолютно сходящимсяг если сходится
1
оо
РЯД 2 I ** I*
1
2.17. Доказать, что абсолютно сходящийся ряд сходится.
2.18. Пусть xn = Rezn, yn = lmzn. Доказать, что для абсолют-
абсолютной сходимости ряда ^ zn необходимо и достаточно, чтобы абсолютно
сходились оба ряда ^ хп и ^] Уп-
2.19. Доказать, что ряд ^ zn абсолютно сходится, если выпол-
выполнено одно из следующих условий:
3. | zn | < Мп~Л (п > я0), где а>1, Ж<со.
4. Hmf/i fl—
n^oo L \
(^>^о)> где а>1, Ж<оо.
22
2.20. Доказать абсолютную сходимость следующих рядов:
ОО
а2" \*\<1> — оо<«<оо. 2. ^ ?2п, \z\<e.
*• 2^тх^. 1*1<т.
1 1\| «R 1
* JJ1 * I _ I *
\
1
00 \
4 У * ^^ о —3 —4
5.
00
6.
00
г
/2 == 1
*5*-2, -4, -6....
2.21. Пусть jc = Re?, v = Im^. Доказать, что
Указание. См. задачу 2.16.
При исследовании сходимости неабсолютно сходящихся рядов (и во мно-
многих других вопросах) бывает очень удобно пользоваться преобразованием
Абеля, которое для сумм означает примерно то же, что интегрирование по
частям для интегралов.
2.22. Пусть ап и Ът #=1, 2,..,, — произвольные комплексные
п
числа. Обозначим Sn= 2 ak> &bk = bk+i — bk, <?0 = 0. Доказать, что
для любых натуральных чисел п и р имеет место равенство
2 аФк = —
(преобразование Абеля).
2.23. Доказать, что если ряды 2** и 2l?ft+i—?*1 СХ°ДЯТСЯ»
то сходится и ряд
2.24. Пусть {Хп} — последовательность положительных чисел,
обладающая свойствами Ях^А^^Ад^... и НтА,л = О, а ^л такая
23
п
М <оо при
последовательность комплексных чисел, что
Т"
со
любом п. Доказать, что ряд ^^п сходится.
1
2.26. Найти все значения действительного параметра а, при кото-
которых сходятся следующие ряды:
СО 00
1. У n~~aein. 2. V гг~аеп^п.
со со
3. У (л2+1)-а(еш'//г— 1). 4.
2 |
/г=1 /г = 1
/г=1 /г=1
2.26. Пусть {\in\ — последовательность -положительных чисел,
со .
VI etn
монотонно стремящаяся к бесконечности. Доказать, что ряд У —
сходится при любом действительном значении 8, отличном от целых
кратных числа 2я.
e
2.27. Положим zn = . . ... Доказать, что все ряды ^ z
п= 1
k
/г=1
k=l, 2, 3, ..., сходятся, но ни один из них не сходится абсолютно.
2.28. Пусть {ап} — последовательность комплексных чисел,
п
удовлетворяющая условию \\mj/ \an\^l, a Sn= ^ ak- Доказать,
п-+со k = 0
оо со
что при | z | < 1 ряды ^ anzn и ^ $п*п сходятся и что их суммы
о о
связаны соотношением
2.29. Пусть |а|<;1. Доказать, что числа zn= 1 -f-a-f-- • - + ^я
удовлетворяют условиям Re (?„ A — а)) >0.
2.30. Пусть {кп} — невозрастающая последовательность положи-
со
тельных чисел. Доказать, что ряд ^ Xnzn в круге | z \ < 1 сходится
о
*и что его сумма отлична от нуля в этом круге.
24
Пусть {zn\ — последовательность отличных от нуля комплексных чисел.
Если последовательность {гг • z2 • .<*. • zn) имеет отличный от нуля и бесконеч-
бесконечности предел, то этот предел называется бесконечным произведением чисел
оо
zv г2, z3, ... и обозначается символом JJ^n-
1
00
2.31. Доказать, что если бесконечное произведение Y\Zn схо"
1
дится, то zn-^\ при п—>оо.
00
2.32. Доказать, что если бесконечное произведение Y\ zn cx°-
1
оо
дится, то сходится и ряд 2 *п I *л |«
1
2.33. Доказать, что для сходимости бесконечного произведения
оо
Y\ zn необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:
00
а) Ряд 2 *n \zn \ сходится.
1
б) Величины arg zn можно выбрать (за счет прибавления целых
оо
кратных числа 2л) таким образом, чтобы сходился ряд ^ arg zn.
i
со
2.34. Доказать, что если сходится ряд ^ |1—zn\ то сходится
я= 1
оо
и бесконечное произведение J"!^-
1
со оо
2.36. Доказать, что если ряды ^0—zn) и 2i^—гл[а сходятся,
1 1
оо
то сходится и бесконечное произведение JJ zn.
1
2.36. Доказать, что если сходятся ряды
2A-г„),..., ^(\-гпГ-\ |]|1-гяГ,
1 1 1
ОО
то сходится и бесконечное произведение JT^n-
1
оо
Бесконечное произведение JJ A +сл) называется абсолютно сходящимся,
1
оо
если сходится бесконечное произведение JJ A -J-1 сп \).
1
25
со
2.37. Доказать, что бесконечное произведение \\
1
лютно сходится в том и только в том случае, когда абсолютно схо-
00
дится ряд 2ся*
1
2.38. Доказать абсолютную сходимость следующих бесконечных
произведений:
3.
С»
4. ni1-^)*27"' гф1>2> ••••
— оо<а<оо,
с»
00
5.
00
п
ет/п+е-т/п
2
2.39. Доказать сходимость следующих бесконечных произведений:
л=1
ОТВЕТЫ
2.09. 1. При |а|<1, при|а|>1 и при а=1. 2. При всех. 3. При всех.
4. При \а\< 1, при |а|> 1 и при а = 1. 5. При \а\ < 1, при \а\ > 1 и при
а=1. 6. При всех.
2.10. 1. 0. 2. 0. 3. ос. 4. 0. 5. 0.
2.14. 1. у-^. 2. Л^. 3.
2.25. 1. При а>0. 2. Приа>1. 3. При а>0. 4. При а<0. 5. При
любом а. 6. При а<0.
§ 3. Функции, кривые, интегрирование
1®. Комплекснозначные функции действительного переменного.
Если каждому значению t из интервала a <t<b поставлено в соответ-
соответствие комплексное число г (t) = х (/) + iy (/), где х (t) = Re 2 (/), а у (t) = Im г (/), то
мы будем говорить, что на интервале (at b) задана комплекснозначная функция
z(t) действительного переменного Ь
26
Для комплекснозначных функций действительного переменного естествен-
естественным образом определяются понятия предела, непрерывности, производной,
интеграла и т. д. Именно, полагаем
Hm z@= Hm x(t) + i \imy(t); г'(t) = xr
t —*-t0 t —*-to t -*-to
3.01. Убедиться в дифференцируемости следующих функций
и найти их производные:
1. A+#)> —оо<^<оо, 2. т-т-г-, —оо<^<оо.
r-f-t
3. A+/1/7K, *>0. 4. еи, —oo<t<oo.
5. A—tf )*"""» —оо<^<оо. 6. ^ + /j/1— ?2, —
3.02. Вычислить интегралы:
1 1 1
1. СA+а)аЛ. 2. C(fl + (ft — вHяЛ, л = 0, 1,... 3. Г
0 0 0
1 л л
4. С Ltiidt, 5. t e~Hdt. 6. ^ в'^Л, п = ±: 1, ±2, ...
О О —Л
3.03. Пусть функции «гх@ и z2(t) дифференцируемы: Доказать
формулы:
2. ^ [Zi (t) z2 (t)] = zx @ г^ @ + z\ (t) z, (t).
з. |fawr=»[*iюг1*;?). «=o, ±i, ±2,...
3.04. Пусть функции ^@ и <г2@ дифференцируемы и пусть,
кроме того, z2 (t) Ф 0. Доказать, что
d zx(t) __z2(t)z[(t)-z;(t)Zl(t)
dtz2(t) ~ [г2@Р
3.05. Пусть ф@—действительная функция, дифференцируемая
в точке t09 a z(t) — комплекснозначная функция, дифференцируемая
в точке ф(?0)- Доказать, что функция zx (t) = z (<p (t)) дифференци-
дифференцируема в точке t0 и что ^i(^o) —^ЧфС^ойфЧ^-
З.Об. Пусть функция z(f) дифференцируема и отлична от нуля.
Доказать ^формулы:
1. ||*(*)|H*(Q|Ref$. 2. ^.„(O-.bntg.
27
3.07. Пусть действительная функция ф (t) монотонна и непрер ывно
дифференцируема на отрезке [a, b]> a комплекснозначная функция z (t)
непрерывна на отрезке [ф(а), ф(&)]« Доказать, что
ь ф(&)
]z(№(tW(t)dt= I z(t)dt
а Ф (а)
3.08. Пусть комплекснозначная функция z{t) непрерывна на
отрезке a^t^b. Доказать неравенства
1.
3.
5.
3.09. Пусть z(t) и ?(?) — комплекснозначные функции, непрерыв-
непрерывные на отрезке a^t^b. Доказать, что:
1. Имеет место неравенство Коши — Буняковского — Шварца
b 2 b b
b a
% При /?>!, <7>Ь 1 = 1 имеет место неравенство Гёльдера
ь
\z(t)dt
а
b
\z{t)dt
а
b
\ z (t) dt
a
b
<,\\z{t)\dt. 2.
a
b
\Rez(t)dt
a
b
\ Re [eia z {t)) dt
b
a
4.
z(t)dt
<i(b — a) max | z(t)\.
a^t ^.b
b
\ z {t) dt
a
b
\\mz(t)dt
a
—- oo < a < -j- oo.
\z(t)Z(t)dt
a
3. При /?>1 имеет место неравенство Минковского
\/р
li
4. При 0</?<1# имеет место другое неравенство Минковского:
а а а
Указание. См. задачи 1.70, 1.75 и 1.76.
* * *
Часто приходится рассматривать несобственные интегралы от комплексно-
значных функций действительного переменного. Для выяснения вопроса об их
сходимости бывают полезны следующие критерии (см. задачи 3.10 — 3.13).
3.10. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна на
отрезке [0, 1 ] и пусть z @) Ф 0. Доказать, что несобственный интег-
1
рал ^z(t)t~adt сходится при а<1 и расходится при
о
26
3.11. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна при
1 и пусть существует отличный от нуля предел этой функции
оо
при t-*-\-co. Доказать, что несобственный-^интеграл \z(t)t~adt
сходится при а>1 и расходится при а^1.
3.12. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна при t^ 1
и пусть функции Re z (t) и \mz(t) неотрицательный монотонны при
00 ОО
t^\. Доказать, что несобственный интеграл ^z(t)dt и ряд ^ z (n)
1 л=1
сходятся или расходятся одновременно.
3.13. Пусть ф (t) — действительная функция, непрерывно диффе-
дифференцируемая при t^\ и монотонно стремящаяся к нулю, при
t->-\-оо , a z (t) — комплекснозначная функция, непрерывная при
f^l и обладающая тем свойством, что
\ z (и) du
<оо,
00
Доказать, что несобственный интеграл \ z (f) ф (t) dt сходится.
i
3.14. Выяснить, при каких действительных значениях параметра а
сходятся следующие несобственные интегралы:
1 оо
l.\eitttrmmadt. 2. \ 1 ~7\Mt—adt 3.
00
4- Л (l^L\'e-<*dt 5.
о
00 00 ОО 00
С eil
7- V 7Z dt
оо оо .
8. y"(\nt)-«dt. 9. у—ё-dt. Ю.
3.15. Доказать, что несобственный интеграл ^elt t—adt при
1
действительных значениях постоянных аи р сходится в том и только
в том случае, когда эти постоянные связаны соотношением а>
>i
Рассмотрев функцию гA) = е1* на отрезке [0, 2л], легко убедиться, что
Для комплекснозначных функций теорема Ролля неверна. В следующих зада-
задачах предлагается доказать теоремы, заменяющие до некоторой степени теоремы
^олля и Лагранжа. В связи с этим нам придется определить некоторые
понятия.
Плоское множество Е называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя
точками, принадлежащими этому множеству, ему принадлежит и весь прямо
линейный отрезок, соединяющий эти две точки.
29
Легко видеть, что общая часть любого числа выпуклых множеств также
является выпуклым множеством.
Выпуклой оболочкой h (Е) произвольного плоского множества Е называ-
называется общая часть всех выпуклых множеств, содержащих множество Е.
3.16. Пусть f(t) — комплекснозначная функция, непрерывная на
отрезке [а, Ь] и дифференцируемая в каждой внутренней точке этого
отрезка. Доказать, что число X=f-~—?i-^ принадлежит выпуклой
оболочке множества значений, принимаемых функцией f'(t) на интер-
интервале (а, Ь).
Указание. Применить теорему Лагранжа о конечном приращении
к функции F (t) = Re {e~iBf (t)}> 0 ^ 6 < 2я.
3.17. Пусть функция f(t) удовлетворяет тем же условиям, что
и в задаче 3.16, a g(t) — действительная функция, непрерывная на
отрезке [а, Ь] и имеющая отличную от нуля производную в каждой
внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число X = ^j~—^~
принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых
f (t)
функцией -Ц-т^т на интервале (а, Ь).
3.18. Рассмотрев функции f(t) = t, g(t) = elt на отрезке [0, я],
убедиться, что условие действительности функции g(t) в задаче 3.17
существенно.
3.19. Пусть f{t) и g(t)—комплекснозначные функции, непрерыв-
непрерывные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые в каждой внутренней
точке этого отрезка. Доказать, что можно подобрать три точки
Ti> Т2> тз интервала (а, Ь) и три неотрицательных числа Xv i2, А3, для
которых Ях + Я2 + Я3=1, таким образом, чтобы выполнялось равенство
Указание. Применить результат задачи 3.16 к функции
Ввиду отсутствия теорем Ролля и Лагранжа обобщение правила Лопиталя
раскрытия неопределенностей на комплекснозначные функции не очевидно.
С помощью приведенных выше замен теоремы Лагранжа такое обобщение
возможно:
3.20. Пусть f{f) и g(t)— непрерывные комплекснозначные функ-
функции, удовлетворяющие условиям:
а) в@?=0 при а<*<&; б) lim./@= lim g(t)=Q, oo;
t-+b — O t^.b—0
в) функции f(t) и g(t) дифференцируемы при a
F (t)
г) tSSLM-A*°*
Д) |argg'@l^a<yi a*^t<b. Доказать, что lim
t—+b—
30
3.21. Рассмотрев функции
на промежутке [0, 1), убедиться, что условие г) задачи 3.20 суще-
существенно.
3.22* Обозначим через x(t) функцию, обратную к функции
lY +[()J dx.
о
Рассмотрев функции
\ g(t)=f(t)-\nt,
убедиться, что условие д) задачи 3.20 существенно.
* * *
2°. Кривая.
Пусть дана комплекснозначная функция г (t)t непрерывная на отрезке
[я, Ь]. Когда точка t пробегает отрезок [а, 6], точка z(t) пробегает некоторое
множество в комплексной плоскости. Это множество вместе с указанием
порядка, в котором проходятся его точки, называется непрерывной кривой,
а уравнение г = г (/) — параметрическим уравнением этой кривой.
Два параметрических уравнения
z = z(f), a^t^b, и z=Zi(t) ai^t^bi,
определяют одну и ту же непрерывную кривую в том и только в том случае,
когда существует действительная функция ф (f), непрерывная и монотонно
возрастающая на отрезке [а, Ь] и такая, что
Если у кривой существует хотя бы одно параметрическое уравнение
z = z(t), a^t^bj обладающее тем свойством, что функция г (t) принимает
различные значения при различных значениях t, a^i^bf то эта ^кривая
называется простой кривой. (Легко видеть, что все параметрические уравнения
простой кривой обладают этим свойством.)
Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом,
т. е. если она имеет параметрическое уравнение
* = z@, a^t^bt A)
Для которого z (a) = z (b). Легко видеть, что все параметрические уравнения
замкнутой кривой обладают этим свойством. Для замкнутых кривых функ-
функцию 2 (t)t определяющую параметрическое уравнение, удобнее считать опреде-
определенной не на отрезке [a, b], a на всей действительной оси, и периодической
с периодом Ь — а.
Замкнутая кривая называется простой, если она имеет хотя бы одно
параметрическое уравнение A), обладающее тем свойством, что функция г (t)
принимает различные значения при различных значениях t, ^t<b
3.23. Выяснить, какие кривые определяются следующими параметри-
параметрическими уравнениями (указать множество точек плоскости и поря-
порядок их прохождения):
1. г = а + ф^.а^у 0^г<1. 2. z = Rel\ 0^<я
3. * = * + #*> 0<г<оо. 4. Z = t + Y, 1<*
5. z=-aeit + ^-e-ity0^t^2nf (a>l). 6.2—1 + e~", 0<^2:rt.
7. * = **'_ 1, 0<*<2я. 8.*= * •0<l<1'
\* —2, l<f<3.
9. z = i cos U 0 ^ * <c 2я. 10. г = 1 + / cos2 *, 0 ^ г< 2я.
3.24. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(t)>
t^l. Описать кривые, заданные параметрическим уравнением
Zl(t), 0<*<1, где:
1. ^@=^A — 0-
Если кривая С имеет хотя бы одно параметрическое уравнение г = г(/),
t ^b, с функцией г (/), имеющей на отрезке [а, 6] непрерывную и отлич-
отличную от нуля производную, то кривая С называется гладкой кривой. Замкну-
Замкнутая кривая С называется гладкой замкнутой кривой, если, кроме того, выпол-
выполнено еще и условие z'(a) = z'(b) (т. е. если функция г (/), как периодическая
функция с периодом Ь — а, непрерывно дифференцируема при всех t).
Непрерывная кривая С называется кусочно-гладкой кривой, если ее можно
разбить на конечное число частей, каждая из которых является гладкой
кривой.
3.26. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(t),
a^t^b, и пусть функция z{f) имеет в точке t0 отличную от нуля
производную z' (t0). Доказать, что кривая С имеет в точке z (t0)
касательную и что комплексное число z' (t0) изображает на комплекс-
комплексной плоскости вектор, направленный по этой касательной.
3.26. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z~z(t),
a^t^by где z(t) — функция, имеющая две непрерывные производ-
производные на отрезке [а, Ь]. Обозначим через x(t) комплексное число,
изображающее единичный вектор касательной к кривой С в точке
z{t) (направленный в ту же сторону, что и сама кривая в этой точке);
через v it) обозначим комплексное число, изображающее единичный
вектор нормали к кривой С в точке z{t) (направленный вправо от
кривой); через p(t) обозначим кривизну кривой С в точке z{t). До-
Доказать формулы:
г'(О Г
Пусть С — произвольная непрерывная кривая. Выберем на кривой С про-
произвольное число точек гъ г2, •••» z«» занумеруем их в порядке следования
п — 1
по кривой и обозначим X (С; гъ ..., zn)= 2 \zk+i-~zk\- Если верхняя грань
Х(С) величины А, (С; zXl ..., zn) по всевозможным наборам точек zk конечна,
то кривая С называется спрямляемой, а эта верхняя грань называется длиной
кривой С.
3.27. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z (t),
a^t^b, где z(t) — функция, непрерывно дифференцируемая на
32
отрезке [а, Ь]. Доказать, что кривая С спрямляема и что для ее
ь
длины Х(С) справедлива формула ЦС) = § | z' (t) \<Ц.
а
3.28. Доказать, что любая кусочно-гладкая кривая спрямляема.
Натуральным уравнением спрямляемой кривой называется такое ее пара-
параметрическое уравнение, в котором за параметр / принята длина дуги кривой,
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки (обычно от начала кривой).
3.29. Пусть 2 = х@> 0^?<:/, натуральное уравнение кривой С
и пусть функция >t(t) дважды непрерывно дифференцируема на от-
отрезке [0, /], а величины т(?), v(t) и p(t) имеют тот же смысл, что
и в задаче 3.26. Доказать формулы:
1. т @ = х' (О- 2. v (*) = - Ы' (О- 3. р @ = | х" (*) |.
3.30. Пусть кривая С имеет хотя бы одно параметрическое урав-
уравнение z*=z(t), a^t^b, где z(t) — функция, имеющая т непре-
непрерывных производных на отрезке [а, Ь\ причем первая производная
отлична от нуля на этом отрезке. Доказать, что тогда и функция
n(t), входящая в натуральное уравнение этой кривой, имеет т не-
непрерывных производных на отрезке [0, -К].
Величина v (z0, С) —индекс точки z0 относительно кривой С, определяется
для произвольной непрерывной кривой С и для любой точки г0, не лежащей
на этой кривой, следующим образом: в каждой точке z кривой С зададим зна:
чение arg (z—г0) таким образом, чтобы при движении по кривой значение
arg (г—z0) менялось непрерывно. Тогда величина v (z0, С) равна разности зна-
значений arg (z — г0) в конечной и в начальной точках кривой С, деленной на 2зт.
3.31. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(t)y
a^t^by где функция z (t) непрерывно дифференцируема на от-
ъ
резке [а, Ъ\ Доказать, что v(zQ, С) = тгЛ Im ,1 dt.
гп j z \t) — zQ
а
3.32. Вычислить индекс точки ,го = О относительно кривых, за-
заданных следующими параметрическими уравнениями:
1. z = a + peuy 0<^^2я, |а|<р.
2. г = а + реР, 0^t^2n, 0<p<|a|.
3. z^pe-^K 0<^^2я, р>0.
4. ^ =
5. z = 2 cos t
6. 2=
3.33. Доказать, что индекс точки относительно замкнутой кри-
кривой— целое число.
Во многих случаях удобно пользоваться символикой, связанной с понятием
произведения кривых.
Пусть нам даны две непрерывные кривые Сх и С2, и пусть конец кривой
Сг совпадает с началом кривой С2. Произведением С\С2 кривой Ci на кривую
С2 мы назовем кривую, получаемую последовательным прохождением сначала
множества точек кривой Сх (в том же порядке, что и при движении по кривой
Сх), а затем — множества точек кривой С2 (в том же порядке^ что и при дви-
движении по кривой С2).
2 Под ред. М. А. Ев;рафова 33
Символом С 1 мы будем обозначать кривую, получаемую прохождением
множества точек кривой С в противоположном порядке.
3.34. Доказать, что умножение кривых обладает свойством ассо-
ассоциативности, т. е., если определено произведение (С1С2)Сг, то опре-
определено и произведение С1(С2С9), и эти произведения равны.
3.35. Доказать, что символ С2 = СС определен только для замк-
замкнутой кривой С.
3.36. Доказать, что оба произведения, СгС2 и C2CV определены
лишь в случае, когда Q и С2~ замкнутые кривые, имеющие общую
точку.
3.37. Пусть к (С)— длина кривой С, a v(zQi С)—индекс точки z0
относительно кривой С. В предположении, что все величины, входящие
в формулы, имеют смысл, доказать, что:
1. к(СгС^ = к(С^ + К(С^ 2 я (С-1)-Я (С).
3. v Сг0, С А) = v (*0, Ci) + v (г* Са). 4. v (г0, С) = — v (г0, С).
* * *
3°. Область.
Множество D точек комплексной плоскости или расширенной комплексной
плоскости называется областью, если:
1) вместе с каждой точкой, принадлежащей этому множеству, ему при-
принадлежит и некоторая окрестность этой точки;
2) вместе с каждой парой точек, принадлежащих этому множеству, ему
принадлежит и некоторая ломаная, соединяющая эти точки.
Совокупность всех граничных точек области D называется границей
области и обозначается символом 3D. Граница области — замкнутое мно-
множество.
Область D, дополненная ее границей 3D, называется замкнутой областью
и обозначается символом D.
Граница произвольной области может представлять собой множество до-
довольно сложного строения. Однако в большинстве случаев можно ограничиться
областями, граница которых состоит из конечного числа замкнутых кривых
(часть их может вырождаться в точки).
Всюду в дальнейшем мы будем считать (если не оговорено противное), что
граница 3D области D составлена из конечного числа точек и конечного числа
замкнутых кусочно-гладких кривых. Направление кривых, входящих в 3D,
мы всегда будем считать выбранным таким образом, чтобы при движении по
кривой область D оставалась слева.
3.38. Описать с помощью неравенств область Д если ее граница
3D состоит из одной замкнутой кривой, определяемой параметриче-
параметрическим уравнением:
1. г = а + реи, 0<f<2jt. 2. z = a + pe-lt, 0^t^2n.
3. z = —lt> -oo<t<oo. 4. z = t + it2, -oo<t<oo.
5. z = t\ ~oo</<oo. 6. z = aelt+± е'и, 0^/^2я; а>1.
3.39. Пусть D ~ конечная область, а ее граница 3D состоит
из одной замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением
z = z(t), a^t^b, где функция z(t) непрерывно дифференцируема
34
на отрезке [а, Ь\ Доказать, что для площади o(D) области D
справедлива формула
ь
o(D)=4
а
Указание. Воспользоваться тем, что Im ^~ = — arg z (t) (см.
Z \l) CLl
задачу 3.06).
3.40. Пусть D - конечная .область, а ее граница dD состоит из
т замкнутых кривых, заданных параметрическими уравнениями
где zk (t) — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезках
[aki bk] соответственно. Доказать, что для площади o(D) области D
справедлива формула
3.41. Пусть область D ограничена замкнутой кусочно-гладкой
кривой dD. Доказать, что для вершины v (z0, dD) — индекса точки zQ
относительно кривой dD — справедливы формулы
Указание. Разбить кривую 3D на гладкие части, а для каждой из
гладких частей вычислить индекс точки z0 относительно нее с помощью фор-
формулы задачи 3.31.
Область D комплексной плоскости называется выпуклой, если вместе с каж-
каждой парой точек zx ? D и z2 ? D она содержит и прямолинейный отрезок,
соединяющий эти точки.
Область D комплексной плоскости называется звездообразной относительно
точки г0 (D, если вместе с каждой точкой гг ? D она содержит и прямоли-
прямолинейный отрезок, соединяющий эту точку с точкой z0
3.42. Доказать, что для выпуклости области D необходимо
и достаточно, чтобы она была звездообразна относительно каждой
своей точки.
3.43. Пусть граница dD области D состоит из одной гладкой
замкнутой кривой с параметрическим уравнением z = z(t), a^t^b,
где функция z (t) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную и отличную
от нуля производную. Доказать, что:
1. Область D выпукла в том и только в том случае, когда
2* 35
2. Область D звездообразна относительно точки zo?D в том и
только в том случае, когда
Im ?® SssO, a^t^b.
Z {t) — Zq
Пусть D —произвольная область комплексной плоскости. Обозначим через
рЬ (г1» г2)» где ?i?D и 22^D, нижнюю грань длин всех ломаных, лежащих
в области D и соединяющих точки zx и г2. Через pD(zlt z2), где 2i?D и z2?D,
мы обозначим нижнюю грань диаметров всех ломаных, лежащих в области
D и соединяющих точки гг и г2.
Очевидно, что всегда имеют место неравенства
3.44, Доказать, что для выпуклой области D имеют место
равенства
Pd(zv ^2) = Pb(^i> ^г) — !2!— ^2!»
а для области D—звездообразной относительно какой-либо точки,—
неравенства
Область D расширенной комплексной плоскости называется односвязной,
если ее границу нельзя разбить на два замкнутых множества, не имеющих
общих точек (в расширенной плоскости!).
3.45. Доказать,, что область Д звездообразная относительно
одной из своих точек (в частности, выпуклая область), односвязна.
49. Функции комплексного переменного.
Если каждой точке z некоторого множества Е расширенной комплексной
плоскости поставлено в соответствие комплексное число /(г), то говорят, что
на множестве Е определена функция /(г) комплексного переменного г.
Функцию /(г) комплексного переменного г=*+п/ можно рассматривать
как пару функций и (х, у), v (x, у)
u(xt y)=*Ref(x + iy), v(x9 y)=*lmf(x+iy)
двух действительных переменных х к у. Поэтому для функций комплексного
переменного естественным образом определяются понятия предела, непрерыв-
непрерывности, криволинейного интеграла и т. д. Например, функция /(г) непрерывна
на множестве Е, если и функция Re/(x+n/), и функция \mf(x-\-iy) непре-
непрерывны на множестве ?.
3.46. Пусть существуют конечные пределы
Нт/B) = Л, lim ?(*)== Я.
Z-*Z0 Z-+Z9
Доказать, что:
1. lim [f(z) + g(z)] = A + B. 2. lim [f(z)g(z)]
Z-+Zo Z-+Z0
3. Если В^О, то Hfg A
36
3.47. Доказать, что сумма и произведение функций, непрерыв-
непрерывных на множестве Е, также являются функциями, непрерывными
на этом множестве. Частное двух функций, непрерывных на множе-
множестве Е, также является непрерывной на этом множестве функцией,
если знаменатель не обращается в нуль ни в одной точке множества Е,
3.48. Выяснить, будут ли следующие функции равномерно не-
непрерывны в области 0<|^|<1:
2. /=^j. 3. /=?%р?. 4. f=e~V*\
3.49. Пусть функция f{z) определена и непрерывна на замкну-
замкнутом ограниченном множестве Е. Доказать, что:
1. Функция | f(z) | ограничена на множестве Е и достигает наиболь-
наибольшего и наименьшего значения.
2. Функция f{z) равномерно непрерывна на множестве Е.
3.50. Пусть функция f{z) определена и равномерно непрерывна
в ограниченной области D. Доказать, что в каждой точке границы
области D функция f(z) имеет предел и что функция /(-г), доопре-
доопределенная на границе области D этими предельными значениями, не-
непрерывна в замкнутой области D.
Функция /(z), определенная в области D, называется непрерывной в об-
области D вплоть до ее границы, если для любого е > 0 существует такое 6 > 0,
что для любых точек zx^D и z2^Dt удовлетворяющих условию pD (zb 22)<6,
выполняется неравенство |/(Zi)—/(г2) | <8. (Определение величины pD (zlf z2)
см. перед задачей 3.44).
Поскольку pD (zx, г2) ^ 12гх — z21, функция, равномерно непрерывная* в об-
области D, непрерывна вплоть до границы области D.
3.51. Пусть область D ограничена простой кусочно-гладкой кри-
кривой. Доказать, что функция, непрерывная в области D вплоть до ее
границы, равномерно непрерывна в этой области.
3.52. Пусть область D можно разбить на конечное число областей
Dv D2, ..., Dm каждая из которых ограничена простой кусочно-
гладкой кривой. Доказать, что для непрерывности функции f(z)
вплоть до границы области D необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция f(z) была равномерно непрерывна в каждой из областей Dv ..., Dn.
Пусть функция f(z) определена на множестве Е расширенной комплексной
плоскости, но может принимать в точках этого множества значение оо. Мы бу-
будем говорить, что функция f(z) непрерывна в точке zQ?E в сферической мет-
метрике, если для любого значения 8 > О существует такое б > 0, что для всех
?€?, удовлетворяющих условиям к (z, zo)<6, выполняется неравенство
ft (/(*), /B0))<s. Здесь k(zf ?) — хордальное расстояние между точками
z и ii т. е.
= гфсо, ^=00;
37
Аналогичным образом определяется равномерная непрерывность функции
в сферической метрике
3.53. Доказать, что следующие функции непрерывны в сфериче-
сферической метрике во всей расширенной плоскости:
. 1. 2. 2?+* з. ei«i. 4.
z cz-\-d e\z\ 2 *
3.54. Доказать, что функция f{z), определенная на множестве Е
(но, возможно, принимающая в точках этого множества значение со),
непрерывна на этом множестве в сферической метрике в том и только
в том случае, когда функция / z) имеет в каждой точке множества Е
конечный или бесконечный предел, равный значению функции в этой
точке.
3.55. Пусть функция f(z) непрерывна на множестве Е в сфери-
сферической метрике, a R(z) — произвольная рациональная функция от z.
Доказать, что функция g(z) = R(f(z)) непрерывна на множестве Е
и сферической метрике.
3.56. Пусть функции f(z) и g(z) непрерывны на множестве Е
в сферической метрике. Обязаны ли функции
2) f(z)g(z); 3)Щ
быть непрерывными на множестве Е в сферической метрике?
5°. Криволинейный интеграл. Пусть функция f(z) определена в точках
спрямляемой кривой С. Разобьем кривую С на участки Съ С2,..., Сп точ-
точками z0, гъ ..., zn> занумерованными в порядке их следования по кривой С.
Началом участка Ck является точка гк_ъ а концом —точка zk. Кроме того,
на участке Ck выберем точку \k и рассмотрим интегральные суммы
6=1 k—\
Если эти суммы имеют пределы при безграничном измельчении разбиения кри-
кривой С на участки (т. е., когда длина наибольшего из участков С^ стремится
к нулю) и если эти пределы не зависят от способа измельчения разбиения и
от выбора точек |fe на участках Q, то эти пределы называются криволиней-
криволинейными интегралами первого и второго рода от функции f (z) no кривой С. Обо-
Обозначения таковы:
Опираясь на сведения о действительных криволинейных интегралах, легко
получить утверждение:
Если функция f (z) непрерывна на спрямляемой кривой С, то интегралы
существуют*
38
3.57. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(t),
a^^b, где z(t) — функция, непрерывно дифференцируемая на
отрезке [а, Ь]. Доказать, что
\ /(*) dzJ\f (*.(*)) z' (О Л, \j {z) dz < = \ / (г (*)) '*'(')! dt
С а С а
3.58. В предположении, что интегралы от функций f{z) и g(z)
по кривой С существуют, доказать формулы
\g (z) dz,
е
dz\,
где а и р — произвольные комплексные числа.
3.59. Обозначим через С кривую, отличающуюся о г кривой С
лишь противоположным направлением обхода ее точек. Доказать, что
=- \ f(z)dz, \ f(z)\dz \^\>
с с1 с
J \ \
с-1 с с-1
(в предположении, что интегралы в правых частях равенств суще-
существуют).
3.60. Пусть интегралы от функции f(z) по кривым Сг и С2 су-
существуют. Доказать, что
с, с2
\ \ l
СЛ С, С%
(определение кривой СгС2 см. перед задачей 3.34).
3.61. Непосредственным переходом к пределу в интегральной
сумме вычислить интегралы
1) Jefe; 2) \zdz,
с с
где С — произвольная спрямляемая кривая с началом в точке а и
с концом в точке Ь.
3.62. Непосредственным переходом к пределу в интегральной сумме
вычислить интеграл V __ , где а — произвольное комплек-
| г— а | =р
сное число, р — произвольное положительное число, а окружность
\z-—а| = р обходится против часовой стрелки.
3.63. Вычислить интеграл \\z\dz в случаях, когда кривая С яв-
с
ляется:
1- Прямолинейным отрезком, идущим из точки z = —/ в точ-
КУ * = /;
39
2. Полуокружностью |г| = 1, Re 2^ О, идущей из точки z=^=—t
в точку z = i.
3.64. Вычислить интеграл \ \z—l||dz|.
3.65. Вычислить интеграл^ zsinzdz, где С — прямолинейный от-
с
резок, идущий из точки г = 0 в точку z = L
3.66. Пусть г — произвольное положительное число, л' окруж-
окружность \z\ = r обходится один раз против часовой стрелки. Доказать
формулы:
3.67. Пусть функция f(z) интегрируема по кривой С. Доказать
неравенство I ^ f(z)dz ^^| f(z)\\dz\.
I с с
3.68. Пусть функция f(z) интегрируема по спрямляемой кривой С,
имеющей длину Я (С), и удовлетворяет всюду на кривой С неравен-
неравенству \f(z)\^M. Доказать неравенство \\f{z)dz
is-
:Мк(С).
I с
3.69. Пусть функция f(z) непрерывна в некоторой окрестности
точки
у фу f() рр р р
= z0. Доказать, что lim V -LLL dz = 2nif(z0) (окруж-
ность обходится один раз против часовой стрелки).
3.70. Пусть функция f(z) непрерывна во всей расширенной пло-
плоскости. Обозначим через Са прямолинейный отрезок, идущий из
точки а в точку а-\-\. Доказать, что lim \ f(z)dz=f(oo).
а-+соСа
3.71. Пусть функция f(z) непрерывна в полуплоскости
и удовлетворяет неравенству
Обозначим через С# полуокружность |я| = /?, imz^O, идущую из
точки z = R в точку <г = — R. Доказать неравенство
TiMRm.
c'r
2
Указание. Воспользоваться неравенством sin <р> — <р
3,72. Пусть функция f(z) непрерывна в угле
— а < arg z =s? a, @ < а < я),
40
и пусть zf(z)-+ А при z-±oo, (argzj^a. Обозначим через С/
дугу окружности \z\ = R, | arg z | ^ а, идущую из точки z == /?е~*
в точку z = Reia. Доказать, что lim С f(z)dz — 2iaA.
* * *
3.73. Доказать неравенство Шварца
№g(z)dz
¦¦\\№\i\dz\-\\g(z)\*\dz\
(в предположении, что функции f{z) и g{z) непрерывны на спрям-
спрямляемой кривой С).
Указание. Использовать условие неотрицательности эрмитовой формы
J dz\
(см. задачу 1.69).
3.74. Доказать неравенство Гёльдера
К
(в предположении, что функции /(г) и g(z) непрерывны на спрям-
1 1
ляемой кривой С, /?>1, ^>1, —|—=1
Указание. См. задачу 1.76.
3.75. Пусть функция f(z) непрерывна на спрямляемой кривой С,
имеющей длину к (С). Доказать неравенство
\\
\f(z)dz
* *
6е. Отображения.
Во многих вопросах комплекснозначную функцию /(г), определенную на
множестве Е комплексной плоскости г, удобно рассматривать как отображение
этого множества в другую комплексную плоскость т. Очевидно, это отображе-
отображение равносильно отображению множества Е плоскости (х, у) в плоскость (и, v)
парой действительных функций и = и(х, у), v = v (x, у), где
и(х, y) = Ref(x+iy), v(x, у) =*lmf(x+iy).
Множество значений, принимаемых функцией f (z) в точках множества Е9
называется образом множества Е при отображении w—f(z) и обозначается
символом /(?). Множество Е называется прообразом множества f (E) при ото-
отображении w = f(z).
Отображение ш==/(г) называется непрерывным отображением множества Е,
если функция f (г) непрерывна на множестве Е. Если функция / (г) непрерывна
На множестве Е в сферической метрике, то мы будем говорить, что и отобра-
отображение w = f(z) непрерывно в сферической метрике (определение непрерывности
в сферической метрике см. перед задачей 3.53.)
41
3.76. Найти образ множества Е при отображении w =
\.w =
3.w =
4. w =
2z\ E:
z*; E:
¦ z*; E:
{1*
< 1. 2. i
|<R; о-
|<1, Im
<argz<-J}.
3.77. Пусть отображение ?=/(,г) множества Е непрерывно и
отображение w = g(L) множества f(E) также непрерывно. Доказать,
что отображение w = g(f(z)) является непрерывным отображением
множества Е.
3.78. Доказать, что утверждение задачи 3.77 сохраняет силу и
при замене обычной непрерывности всех упомянутых отображений
непрерывностью в сферической метрике.
Пусть w — f (г) — непрерывное отображение некоторого множества, содер-
содержащего все точки кривой С. Каждому параметрическому уравнению z — z(t),
a^t^b, кривой С отображение w — f(z) ставит в соответствие параметриче-
параметрическое уравнение
w = w(t),
где w(t) = f (z (t)). Эти параметрические уравнения определяют в плоскости w
некоторую кривую, которую мы назовем образом кривой С при отображении
w = f(z) и будем обозначать символом f (С).
3.79. Описать геометрически, что представляет собой образ кри-
кривой С, заданной параметрическим уравнением z — z (t), при отобра-
отображении w=f(z):
1. w = z2;
2. w = z2;
3. Ws==^
4. w = ~
Отображение ш = /(г) множества Е называется взаимно однозначным, если
значения функции /(г) в различных точках множества Е различны.
3.80. Выяснить, будут ли взаимно однозначными следующие ото-
отображения:
1. w = z2; E:Rez>0. 2. w = z2\ E:\z\<h
3. w^j^; E:\z\<\.
4. w=i(z + l); E:\z\<2,
5. ^=l(z+lJ; E:{\z\<\} 0
3.81. Доказать, что образ простой кривой при непрерывном взаимно
однозначном отображении — простая кривая.
42
3.82. Пусть w—f(z)— непрерывное взаимно однозначное отобра-
отображение области Д а С — замкнутая кривая, лежащая в области D.
Доказать, что для каждой точки г0> не лежащей на кривой С, но
лежащей в области Д справедливо равенство
v(zOi C) = v(/(*0), /(С))
(здесь v(z0, С) — индекс точки г0 относительно кривой С; см. опре-
определение перед задачей 3.31).
Отображение w = f(z) конечной области D комплексной плоскости назы-
называется дифференцируемым в точке zo = *o + *#o, если функции и (х% у) и v(xf у),
где
и(х, y)=Rej (x + iy), v(x, y)=lmf(x+iy)>
дифференцируемы в точке (х0, У о) Отображение области D, дифференцируемое
в каждой точке этой области, называется дифференцируемым отображением
области D Отображение w — f(z) называется гладким отображением области D,
если функции и(х, у) и и (л\ у) имеют в этой области непрерывные частные
производные первого и второго порядка.
Величина
J(f, 2) =
называется якобианом дифференцируемого отображения w = f(z).
3.83. Найти якобианы следующих отображений:
1. w = az + b2 (a>0, b>0). 2. ^ =
3. w^z\ 4. w = ^(z+^j\.
ди
дх
ди
ду
dv
дх
dv
ду
Пусть функция f(z) непрерывна в замкнутой ограниченной квадрируемой
области D. Интеграл от функции f (г) по области D определяется равенством
ff / (г) дх dy = jJ и (х, у) dx dy + i JJo (x, y) dx dy%
где, как обычно, « = Re/, <;=Im/.
3.84. Вычислить интегралы
!2|<р
3. С С ^J
С С ^J. 4. И zmzndxdy, т, л = 0, 1, 2, ...
| !<1
3.85. Пусть w==f(z) — гладкое взаимно однозначное отображение
области D, г D± — область, лежащая строго внутри области D.
43
Доказать, что если область Dx квадрируема, то
*)\dxdy,
где /(Di)—образ области Dx при отображении w=f(z), a a(f(Dl)) —
площадь этого образа.
3.86. Пусть w=f(z) — гладкое взаимно однозначное отображение
области Д а функция F(w) непрерывна в области f(D). Доказать,
что для любой конечной замкнутой квадрируемой области Dv лежа-
лежащей в области Д справедливо равенство
-l\F(f(z))J(f,z)dxdy=* § F(w)dudv.
* * *
ОТВЕТЫ
3.01.
1*2<'-0. 2. -^. 3. -^Q+tyiY 4. /Л
5. _(f-j-.2i)e-4 6. 1 —:
3.02.
4. я/2-1 + Пп2. 5. —2«. 6. 0.
3.14.
1. а<1. 2. а>1. 3. —1<а<2. 4. а>0. 5. а<1.
6. а^1. 7. сс>0. 8. а>0. 9. а>1. 10. а>0.
3.23.
1. Прямолинейный отрезок, идущий из точки z==a в точку z = b.
2. Верхняя половина окружности |г] = #; направление обхода от точки
z = R к точке г= — R.
3. Правая половина параболы у = х2; направление обхода от точки г = 0
к бесконечности.
4. Часть гиперболы ху~\, лежащая в угле 0<arg2<-j; направление
обхода от точки г=1 + ? к бесконечности.
5. Эллипс
J\2 T- i ^ J^2
a) \a aA
1,
обходимый один раз против часовой стрелки.
6. Окружность
7. Окружность
г-1
г+1
= 1, обходимая один раз по часовой стрелке.
= 1, обходимая два раза против часовой стрелки.
8. Контур верхней половины круга ]г|<;1, обходимый один раз против
часовой стрелки.
9. Прямолинейный отрезок между точками z — —i и г = г, проходимый
дважды — сначала от точки г — / к точке г==—i, а затем обратно.
44
10. Прямолинейный отрезок между точками г=1 и г=1+?, проходимый
четырежды — первый раз от точки г==1+/ к точке г=1, второй раз от точки
г=1 к точке г=1-И, третий раз —от точки г=1+* к точке г=1, и чет-
четвертый раз — эт точки г=1 к точке г = 1 + if
3.24.
1. Множество точек кривой С, проходимое в направлении, противополож-
противоположном направлению кривой С.
2. Множество точек кривой С, проходимое дважды—-первый раз в том
же направлении, что й у кривой С, второй раз —в противоположном направ-
направлении.
3. Та же кривая, что и в 2.
3.32
1. 1*. 2. 0. 3. —2. 4. 1. 5. —3. 6. 0.
3.38.
1. |г — а|<р. 2. |г —а|>р. 3. Rez>0. 4. у>х2, 5. 0<argz<r2л.
6- 7 Г\2+ ГТ*^1
4ГМ)"
3.48.
1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет.
3.56. Не обязаны. Пример для 1): Е—-вся сфера,
3.61.
3.62. 2ш.
3.63.
1. L 2. 2/.
3.64. 8.
3.65. — ie'K
3.76.
1. /(?): \w |<2. 2. f(?): Re до > 1/2.
3. /(?): {|ш|<Я2, 0<arga><jt}. 4. /(?): |ш|< 1.
3.79.
1. Окружность о; |=1, обходимая дважды по часовой стрелке.
2. Окружность до | = 1, обходимая один раз по часовой стрелке.
3. Отрезок [ — 1, 1], проходимый дважды, —сначала от точки до=1
к точке до =— 1, а затем в обратном направлении.
4. Луч [1, +о°), проходимый дважды,— сначала от до = + оо к 1, а затем
в обратном направлении.
3.80.
1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Да.
3.83.
1. а2 —б2. 2. \ad — bc\2-\cz + d\~K 3. -~'4 | г |2. 4. ~|1— г~2|2.
3.84.
1. 0. 2. яр2. 3. 0. 4. О, если тфп\ —^-у- при /я = л.
§ 4. Элементарные асимптотические методы
Во многих вопросах анализа широко используются символы
О, о, ~,
значение которых разъясняется в приводимой ниже таблице.
45
Пусть функции / (z) и ф (г) определены на множестве ?, а г0-— какая-
либо предельная точка этого множества.
Формула
/(г)~<р(г)(г — г0, геД
/(г) = о(ф(г))B-.г0, ге?)
/(г) = О(Ф(г)), (ге?)
/(г) = О(ф(г))(г-г0, г е Е)
Разъяснение
Отношение ¦ ¦¦ имеет предел 1,
когда г — z0, z & Е.
Отношение имеет предел 0,
когда г — г0, ze?.
Отношение равномерно огра-
ограничено на всем множестве Е.
Отношение ¦ ограничено в пе-
пересечении некоторой окрестности точ-
точки г0 с множеством Е.
В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, указание на мно-
множество Е для сокращения записи опускается.
Формулы вида / (г) -^ ф (г) (г — г0, 2G Е) обычно называется асимптоти-
асимптотическими формулами, а формулы вида
/ (г) = о (ф (г)) B - 20, 2 е ?), / B) = О (ФB)) B -> 20,
?),
обычно называются асимптотическими оценками.
Замечание. Использование знака равенства для записи асимптотических
оценок является чисто условным, так как многие свойства знака равенства
не сохраняются. Например, из «равенства»
sin *= 0A) (— со<л:< + оо)
не следует, что 0A) = sin*.
4.01. Доказать, что:
1. ${пх~х(х-+0). 2. sinjc = O(l) (x-
3. Inx = o(xa) (x-> +оо), а>0.
4. лга = о (ех) (х -> + оо), — со < а < со.
5. е~х = о (jca) (х ~> + оо)» — со < а < оо.
6. lnje = o(jra) (jc-> +0), а>0.
7. л;а==о(лгР) (х->+со), а<р. 8. ха = о
4.02. Пусть
Р (z) = аогл + axzn~x +... + ап\ Q (z) = bQzm
причем а0Ф-0 и Ь^-фО, Доказать, что при z -> со имеют место сле-
следующие асимптотические формулы.
46
1. Р (Z) Ц (Z) ~ G0V . 2. -—?^--
3. Если т<п, то Р (.г) -f Q (г) ~ аогЛ.
4. Если /гс = л, а ао + 6о=^=О, то P(z) o o
4.03. Доказать следующие правила действий над символами о и О:
1. о (о (Ф (х))) = о (Ф (х)). 2. О (О (ф (х))) = О (Ф (х)).
3. О (о (Ф (х))) = о (Ф (х)). 4. о (О (Ф (х))) = о (Ф (х)).
5. О (ф (х)) + О (Ф (х)) = О (Ф (х)). 6. о (Ф (х)) + о (Ф (х)) = о
7. о
9.
4.04. Пусть ф(л:) = оA) (лг->лг0). Доказать, что:
2. A + О (Ф (х))J - 1 + О (Ф (X))
3. A+О(ф(*))) 0+0(фМ))=1
4. ео (Ф (дг)) = 1 + О (ф (дг)) (х
6. {1 + о (ф (Х))}т = 1 + о (ф И) (X -> Х0).
7. е° <ф (*» = 1 + о (ф (*)) (х -> лг0).
8. A+О(ф(*))) 0+о(фМ))=1+0(фМ) (^-^^о).
4.05. Пусть функция /(дг) непрерывна при х^О. Доказать сле-
следующие утверждения:
1. Если /(лг) = О(лга) (л:-> + °°)> где а>—1, то
о
2. Если /(лг) = О(лга) (лг-^ + оо), где а<—1, то
оо
I f(t) dt = О (*а+1) (х-* + то).
3. Если /(*) = o(JL) (x~> + oo), то
\ ^ / 0
4. Если f(x) = o(xa) (X-+ + 0O), где а>—1, то
5
о
5. Если f(x) = o(xa) (х-^ + оо), где а<— 1, то
= О (Ха+1) (ЛГ -> + ОО).
47
6. Если f(x) = oij
7. Если f(x)r^xa
8. Если
9. Если
), то \f(t)dt=o(\nx) (*-> +oo).
0
, где а> — 1, то
-> + oo), где а<С—1, то
\f(t)dt i^(x
00
, то
4.06. Пусть ф(лг) — непрерывная и положительная при х^О
оэ
функция, удовлетворяющая условию^ ф(^)^= + оо. Доказать, что;
о
1. Если функция f(x) непрерывна при jc^O и /(лг) =
(лг^> + оо), то
и /(лг) =
2. Если функция f(x) непрерывна при
-> + оо), то
5 ($
о \о
3. Если функция f{x) непрерывна при
) то
о о
4.0-7. Доказать справедливость формул:
2.
3.
Т
+ 0A)
, а>2.
4.
' ^"ч '¦- ' л), (—l<a<0).
X
Доказать, что
2
Доказать, что
x
9. ? J^ir Л ~2Vjc In In a:
4.08. Пусть /i(x) — положительная и дважды непрерывно диффе-
дифференцируемая при х^О функция, удовлетворяющая условиям
h'(x)>0 (x>xo), h"{x)
Доказать, что
4.09. Пусть функция h{x) удовлетворяет условиям задачи 4.08,
а функция ф(х), положительная и непрерывно дифференцируемая
при jc^O, удовлетворяет условию
Доказать, что
\ <р(*)*-*<*>Л<оо,
00
О
4.10. Пусть функция ф(лг), положительная и непрерывно диф-
дифференцируемая при jc^O, удовлетворяет условию
ХЦ) '(Х) = О (ф (X)) (X -> + ОО).
Доказать, что при любом фиксированном значении положительной
постоянной а справедлива асимптотическая формула
ф (ах) г^ ф (х) (х -> + оо).
49
4.11. Пусть функция ф(лг), положительная и непрерывно диф-
дифференцируемая при лг^О, удовлетворяет условию
лгср' (х) ^ рф (х) (х -> + °о), 0 < р < оо.
Доказать, что при любом фиксированном значении положительной
постоянной а справедлива асимптотическая формула
Ф (ах) ~ арф (х) (х -у + оо).
4.12. Пусть функция ф(^), положительная и непрерывно диффе-
дифференцируемая при лг^О, удовлетворяет условию
а функция а(х), непрерывная при лг^О, удовлетворяет условию
Доказать асимптотическую формулу
Ф (ха (х)) ^^ ф (х) (х
Многие асимптотические формулы для интегралов, как функций одного из
пределов интегрирования, можно получить с помощью интегрирования по
частям.
4.13. Доказать асимптотические формулы:
В некоторых случаях одного интегрирования по частям бывает недоста-
недостаточно, но второе интегрирование по частям приводит к цели.
4.14. Доказать асимптотические формулы:
1 С sin t * j . cos x , г, , _9ч , , ч
J "Т" +~+ ( } (Х-+ + ОО).
2. +y^^j [~V
+ 00
3. J t'acostdt =—х~аsinх + 0(х-*-1) (лг-> + оо) а>0.
+ 00
4. jj
50
4.15. Пусть функция /г(х), положительная и дважды непрерывно
дифференцируемая при х^О, удовлетворяет условиям
ft' (х) > О (X > Хо), /2" (X) = О ((/2' (X)J) (X -* + ОО),
а функция ф(х), положительная и непрерывно дифференцируемая
при х^О, удовлетворяет условию
ф' (х) = о (А' (х) Ф (х)) (х -> + оо).
Доказать асимптотические формулы:
х
-foo
2.
X
Указание. См. задачу 4.08.
4.16. Найти асимптотические формулы для следующих интегралов:
+ оо
¦),/и>0.
8. J (in 0a^""Vi sin ^ Л (х -* + оо).
х _1 2
9. 5 tae i dt (х -> + 0). 10. \ (sin 0а *ct'g/ Л (х >-> + 0).
0 х
4.17. Пусть функция ф(х), положительная и непрерывно диффе-
дифференцируемая при х ^ 0, удовлетворяет условию
Хф' (X) = О (ф (X)) (X -> + ОО).
Доказать асимптотические формулы
X
1. i ф @ ^а Л ~1 хаф (х) (х -* + оо), а > 0.
о
2. С ф^)^^^ — -^-хаф(х) (х-> + оо), а<0.
X
Указание. См. задачу 4.10.
51
4.18. Пусть функция <р(х), положительная и непрерывно диф-
дифференцируемая при х^0у удовлетворяет условию
/ (х) <^> рф (х) (х -> + °°)> 0 <; р < оо.
Доказать, что при любом значении а>0 справедливы асимптоти-
асимптотические формулы:
х
" а (jc-> + оо>
1.
2.
X
Указание.
1
a
a
См. задачу
-*<р(х)ех
4.11.
Часто приходится иметь дело с интегралами, у которых пределы интегри-
интегрирования постоянны, но подынтегральная функция зависит от параметра.
Основой для получения большинства асимптотических формул являются
асимптотические оценки, предлагаемые для доказательства в следующих не-
нескольких задачах.
4.19. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а^х^Ь.
Доказать, что
ь
\ f(x) e~%x dx^o (е-ьа) (А, -> + оо).
а
4.20. Пусть функция f(x) непрерывна при х^а и удовлетворяет
условию | f{x) | ^ Меах (х^а) с некоторыми постоянными Мша.
Доказать, что справедлива формула
4.21. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а
где —оо<С#<;?< + оо. Доказать, что
ъ
\ f{x) eiKx dx = o(l) (Я -> + оо).
а
Ъ
Ъ
Указание. Вместе с интегралом ^/ (#)el^x dx рассмотреть интеграл
Ь—п/К
/
\ f \x+-r)ei^xdx. Доказать, что и сумма^ и разность этих двух инте-.
гралов стремятся к нулю при Л~*
52
4.22. Пусть функция f(x) непрерывна при л:^йй удовлетворяет
-Ьоо
условию § | f(x) \dx<Coo. Доказать, что
f(x) eiXx rfjc=o(l) (К -> + со).
Основной прием получения асимптотических формул для интегралов вида
оо оо
\}(x)e~lxdx, \f{x)ei%xdx (А, —+со)
а а
состоит в интегрировании по частям (интегрируется выражение е^х dxt а функ-.
ция f(x) дифференцируется).
4.23, Доказать следукхцие асимптотические формулы:
оо
1.
2-
3.
О
О
00
оо
4. i (t* + I)-W sin kt dt=±- +О (к'*)
ОО
5.
О
6.
о
оо
7-
8. ^
О
9.
о
оо
53
Символом Г (а) обозначается гамма-функция Эйлера, определяемая при
а > О интегралом
со
Г (а) = \ f<*-i е~* dt.
4.24. Доказать следующие асимптотические формулы:
а
1. $ *а-1<г-Л< dt ~ Г (а) Я~а (Я -> + оо), а > 0, а > 0.
о
00
2. С /а"г р-Ц^^Г(«)^-« (Х-> + оо), а>0.
О
со
з.
J ¦ • р \ р /
а>-1, р>0.
4. {t*-xern\ritdt. Г(аI^ (Я-> + оо), а>0.
6
4.25. Пусть функция f(x) непрерывна при х^Ои удовлетворяет
условиям
а) /@) ф 0; б) I f{x) | < Me** {x > х0)
(Ж и /С—некоторые постоянные). Доказать асимптотические формулы:
, a>0.
} ~ К ^ ~* °°' а>°'
4.26. Пусть функция ф(х), положительная и непрерывно диф-
дифференцируемая при x^zO, удовлетворяет условию
X(fr (X) == О (ф (х)) (X ~> + ОО).
Доказать асимптотическую формулу
I, сс>0.
Указание. См. задачу 4.10.
4.27. Пусть функция f{x) непрерывно дифференцируема на от-
отрезке а^х^Ь, где — оо< ^<^< + оо, и удовлетворяет ус-
условиям
/(а) ф О,
54
Доказать, что при Х-> + оо, 0<а<1 справедлива асимптотическая
формула
ь
\ fix) (х—аТ'х (Ь — х)«-1ей" dx~(b — a)^1 /(а) Г (а) е^а/2 %-aeia\
а
4.28. Пусть функция fix) непрерывно дифференцируема при
лг^О и удовлетворяет условиям
/(О)#о,
Доказать асимптотическую формулу
00
\ f{x) xa~leax dx ~ /@) Г (a) e*W2 %'а (X -> + оо), 0 < а < 1.
о
4.29. Доказать асимптотические формулы:
— 1
3.
О
€Х>
4. С
о
4.30. Пусть функция f(x) имеет т непрерывных производных
на всей действительной оси и пусть
о
Доказать, что
= о (^т) (X -> + оо).
4.31. Пусть функция f(x) имеет т непрерывных производных
на всей действительной оси и периодична с периодом со. Доказать, что
а ~\- © 2пх
$ f{x)en " dx = o(n'm) (n-> + oo, л=1, 2, ...).
55
оо
Интегралы вида ^ / (дс) е~~^х dx можно рассматривать (с точки зрения полу-
о
чения асимптотических формул) как частный случай интегралов значительно
более общего вида.
4.32. Пусть функция К(х> К) положительна и непрерывна (по
совокупности переменных) при х > ОУХ > 0 и удовлетворяет условию:
а) При каждом фиксированном значении а >> 0 справедлива формула
а
\ К(х, K)dx = o G (%)) (к -> + оо),
о
где оо
I(K)= \ K(x, X)dx<oo.
о
Доказать, что если функция f{x) непрерывна при jc^O и если
существует предел f(x) при д;-> + оо, равный Л, то
4.33. Пусть функция Q(x, X) непрерывна (по совокупности пере-
переменных) при jc>0, X>0 и удовлетворяет условиям:
a) 0<Q(*, А,)<1; б) J A — Q(x, %))dx = o(\) (X
о
Доказать, что если функция f(x) непрерывна при jc^O и
00
^ \f(x)\dx<оо9 то
о
00 оо
1 f(x)Q(x, %)dx = \ f(x)dx + o(l) (X-^ + oo).
о о
В случаях, когда функция f (х) стремится к бесконечности при х—> +оо
(в задаче 4.32), или когда интеграл от нее расходится (в задаче D.33), асимпто-
асимптотические формулы получаются несколько сложнее, и они сильнее зависят от
вида функций К (х, X), Q (*, X).
4.34. Пусть функция f{x) непрерывна при х^О и удовлетворяет
условию f{x) ^ ха~г (дг-^ + °°) >(гРании<Ь1 Для а оговариваются
в каждом случае отдельно). Доказать формулы:
00
1. 5 f(x) е-*1х dx ~ ХаГ (а) (X -> + оо), а > 0.
о
о
оо
2_i-i2 ^Х^ (А, -> + °°)> 0 < а -< 2,
о" 2 sin ~2~
56
Указание. Считать известными формулы
4.35. Пусть функция f(x) непрерывна при х^О и удовлетворяет
условию f(x)r^> — ^-> + °°)- Доказать, что
\ f(x) e~ex dx r^> In — (e -
Указание. Проинтегрировать по частям.
4.36. Пусть функция f(x) непрерывна при 0<Сх^1 и удовле-
удовлетворяет условию f(x) <-^> ха'г {х -> + 0) (границы для а указываются
в каждом случае отдельно). Доказать формулы:
3. (m*L~*"\j?jL (e-> + 0), 0<а<2.
,4.37. Пусть функция k(x, г) при O^x^l, e>0, положительна
и непрерывна (по совокупности переменных) и удовлетворяет усло-
условиям:
а) При каждом а, О <С а ^ 1 справедлива формула
а
\k(x, z)dx~I(z) (8-> + 0)>
о
1
где /(е)=$?(л^ e)dx.
о
б) При х2 + 82-*0; х>0, е>0, справедлива формула
(^2 + еТ A + оA)), т> 0.
Доказать, что если функция f(x) непрерывна при 0<С.х<С.1 и если
f ), где 0<а<2т, то
67
1
\ f{x) k (x, e) dx ^ е»-2 \ ^^ (е -^ + 0).
О
4.38. Доказать асимптотические формулы:
оо
2
1
. С (f 4 + 84)-1/4 ^ ^ ln 1 (8 -> + 0).
. С ^^ 1ЛП.
3
(
1
c i (ln A" dt (ln X)a ,« , ч , ~ л
5. \ . v 7 ~ - ?- (X -> + оо), а ф 0, #г > 0.
J
6. \ A —у1 A — rQ-a dt ~ v' "; A - гH
j v y y sin яа v y
о
(Г _>!_()), 0<а<2.
7 С 4 ,.1n 1 (r^^0)
о
я/2
8.
m-i-
9. $\
— я
я
р 1
10. \ A-(-г —2г cos ф)—1^ с?ф гч^ 2 In -: (г —> 1—0).
— я
* * *
Асимптотические формулы для интегралов вида J f(x)e~~Xx dx можно
о
обобщать и в другом направлении.
4.39. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке О^х^а и
/@) ф 0, а функция h(x) непрерывно дифференцируема на этом ог-
резке и /г'(х)>0 при О^х^а. Доказать, что
а
^ / (х) е (х dx г^ —Г(^ е ° (Л -> -f- оо).
58
4.40. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и положительны на
отрезке 0<д:<а,ааи[1 — положительные постоянные. Доказать, что
а. 0
^ f(x) х" - >«- *»* w dx ~ 1 /@) [А* @)]" f Г (|) (X - + оо).
4.41. Пусть функция h(x) дважды непрерывно дифференцируема
на отрезке а ^ х ^ Ь и имеет там единственный максимум в точке с,
причем a<c<Cb и /г* (с) 9^0, а функция /(л:) непрерывна на отрезке
а ^ х <: ft и /(с) ^ 0- Доказать, что
]/ - ^ (Я -> + оо).
4.42. Доказать асимптотические формулы:
и/4
J
я/2
2
/
л
3. [ sin" л: dx ~ ]/ 2~- (/2 -> + оо).
о
о
dx
о
5
о
со
6.
О
л
7.
о"
л
v -¦ / 2л
8. \ ^sin * cos4 л: йд: ~ I/ -ут <
J г *'
о
1
9.
о"
оо
10 i
О
(я-> + оо, 0<а< 1)
59
4.43. Доказать асимптотические формулы:
1 у.
1. С
00 00
Х 4
— 00 —00
4.44, Доказать асимптотические формулы:
00 _
О
3-
J°°
_1/
4.45. Доказать формулу Стирлинга
00
Указание. В формуле F(#+l) = j txe~fdt сделать замену переменной
о
t=xu.
4.46. Доказать асимптотические формулы:
, т>0).
о, р>\).
4.47. Пусть функция f(x, у) непрерывна в круге
и /@, 0) ^zf: 0. Доказать, что
60
4.48. Пусть функция h(x, у) дважды непрерывно дифференцируема
в круге х2-\-у2^а2 и имеет там единственный максимум в точке
(Ь л)> лежащей строго внутри этого круга, причем
Доказать, что
f2^
Получение асимптотических формул для сумм растущего числа членов и
для сумм бесконечных рядов, члены которых зависят от параметра, часто
удается свести к получению асимптотических формул для интегралов. Во мно-
многих случаях такое сведение удается осуществить с помощью оценок, составля-
составляющих содержание следующих двух задач.
4.49. Пусть функция f(x) положительна, непрерывна и монотонна
при лг^О. Доказать, что
\ ) (я->оо).
&=о о
4.50. Пусть f(x)—непрерывно дифференцируемая при
функция. Доказать, что
№-\f{x)dx
4.51. Доказать асимптотические формулы:
п
1. У ~~\пп (я-*оо).
п
2. ^ k*(\nkf~^~^(\nnf («->оо), а>—1.
п
3.
п
4.
5.
4.52. Доказать асимптотические формулы:
"ее
1 2 kaкп*еГ (лоо)
61
со
2. У!
3. 2 (*0а~(я!)а (л-*оо), а>0.
4. 2 *У~7=^ (я-со),
?=1
СО
5.
4.53, Доказать асимптотические формулы:
1. V *~ЬЦ. (*-. 1-0).
Ad \+хп 1-х v J
со
2. У в" • — г^> In — (х -
/2=1
ОО
3. 2] ла^л~Г(а)A—лг)"а (jc->1—0), а>0.
оо
4. У ^""^"^^-^Г^-!^-^ (дг-> + 0)» а>0, р>0.
Асимптотические оценки, часто бывают полезны при исследовании решений
трансцендентных уравнений. Основным приемом является использование после-"
довательных приближений искомого решения.
4.54. Из геометрических соображений очевидно, что уравнение
• х имеет корень хп, удовлетворяющий условию
Доказать, что
4.55. Доказать, что для корня хп уравнения igx = x, о котором
говорилось в задаче 4.44, справедлива асимптотическая формула
4,56. Обозначим через дгл корень уравнения cosjtrH = 0, лежа-
лежащий на отрезке [2яя, 2пп + зх]. Доказать, что
62
4.57. Пусть 0<а<М. Обозначим через хп корень уравнения
sin л: = лг~а, лежащий на oi резке ц2я + -д-) я> B#-f *) л » #^=0-
Доказать, что
4.58. Доказать, что уравнение
имеет на отрезке [У^яя, ^B/1+1) я] ПРИ #>2 ровно один ко-
корень хп и получить для этого корня асимптотическую формулу
Указание. Прежде чем переходить к получению асимптотической фор-
формулы для хп, доказать асимптотическую формулу
sin /2 dt = Ц? + О (дг») (х
4.59. Пусть ?>0. Обозначим через Я,(^) единственный положи-
положительный корень уравнения xex = t. Доказать, что:
I. При всех ?> е справедливо неравенство
2. При t-*~\~oo справедлива асимптотическая формула
4.60. Пусть t>e. Обозначим через X(t) единственный корень
уравнения -.— = ^, который тоже больше е. Доказать асимптотичес-
асимптотическую формулу
4.61. Пусть t>\. Обозначим через X(t) единственный корень
уравнения х2 + \п2 х — t, который тоже больше единицы. Доказать
асимптотическую формулу
63
ОТВЕТЫ
4.16.
1. *a-ig*Vt. 2. l-xP-m+h-*m. 3. xe~x.
m
2 cos Vx~ 1
4. JL— 5. __ e-x ts\n дг i cos x\ 6# X?~* cos €*ф
Vx 2Yx
7. -тг-е* (sin x — cos л;). 8. (In x)a e~ x cos x.
9. jfi+Ъгг/х. 10.
§ 5. Однозначные элементарные функции
При знакомстве с функциями комплексного переменного часто удобно го-
говорить о них в терминах совершаемых ими отображений (см. 6q § 3).
Если не считать функции, тождественно равные постоянной, то простей-
простейшими функциями комплексного^ переменного являются линейная функция
и дробно-линейная функция
(Условия А ф0 и ad — ЬсфО, обеспечивающие отличие функций от тожде-
тождественной постоянной, всюду в дальнейшем считаются выполненными.)
5.01. Доказать, что линейная функция осуществляет взаимно од-
однозначное отображение комплексной плоскости z на комплексную
плоскость w.
5.02. Доказать, что дробно-линейная функция осуществляет вза-
взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости z
на расширенную комплексную плоскость w.
5.03. Доказать, что последовательное выполнение произвольного
числа линейных отображений (т. е. отображений, совершаемых ли-
линейной функцией), сводится к одному линейному отображению.
5.04. Доказать, что последовательное выполнение произвольного
числа дробно-линейных отображений сводится к одному дробно-ли-
дробно-линейному отображению.
5.05. Доказать, что линейное отображение переводит прямую в
прямую, а окружность в окружность.
5.06. Доказать, что линейное отображение w = Az-\-B, Аф\>
сводится к преобразованию подобия (с центром в точке В/1—Л) и ко-|
эффициентом подобия | А |) и к повороту вокруг центра подобия на
угол а^Л против часовой стрелки.
5.07. Доказать, что дробно-линейное отображение переводит ок-*
ружность на сфере Римана в окружность на сфере Римана.
5.08. Пусть w(z)—линейное отображение, a zv z2> z3 три про-
произвольные попарно различные точки. Положим wk = w (z^). Доказать,
что
64
5.09. Пусть w (z) — дробно-линейное отображение, a zv zv zv
4—четыре произвольные попарно различные точки. Положим
)- Доказать, что
5.10. Найти образы множеств Е при отображении указываемыми
функциями:
г — 1
1 ?1тг1; w
3. I
5. I
6. I
10,
4. E:
9. E
2z + 3
1
Отображения, совершаемые произвольным многочленом или рациональной
функцией, описать чрезвычайно трудно. Сравнительно просто исследуются ото-
отображения функциями w=*zn и w*=-~-\z-\ J,
5.11. Найти образы множеств Е при отображениях указываемыми
функциями:
1. Е: [\z\ = \, 0
2. Е: {|z|>2,
3. E: Re2=l; w — z*. 4. E: lmz=l; w^z*.
5.E: |z|-2;
7. ?
8. ?
1, 1тг>0); «, = 1^+1).
9. E: arg* = ib
10. ?:|
3 Под ред. М. А. Евграфова
* * *
65
Функция ег для комплексных значений г определяется как сумма степен-
00
ного ряда б2Г==/,-г» сходящегося в каждом круге \z\^R<co,
о
5.12. Перемножая степенные ряды, доказать формулу
ez.et = ez+k
6.13. Пусть x — Rez, у = \т z. Доказать, что
ez = ex (cos у + / sin у).
5.14. Вычислить значения функции ег в точках:
1. 2 = 2я/. 2. z = nL 3. г = ш/2. 4. z = —nij2. 5. * =
5.15. Доказать, что |?*j = eRe2.
5.16. Доказать, что для всех z имеет место равенство
5.17. Доказать, что ни для каких значений z функция ег не обра-
обращается в нуль.
5.18. Пусть А — произвольное комплексное число, отличное от
нуля. Доказать, что все решения уравнения ег~А описываются фор-
формулой z = ln|i4| + 'argi4 + 2*n/, к===0^ -ь^ -ь 2, ....
5.19. Описать все точки z, в которых функция ez принимает:
1. Действительные значения.
2. Чисто мнимые значения.
Тригонометрические и гиперболические функции для комплексных значе-
значений z определяются формулами
eiz\_e-iz eiz_e-iz
cos г = -т , sin г =-
21
(для функций tg г, ctg г, th г, cth z сохраняются формулы, выражающие их
через основные функции sin z, cos г, sh z, ch г).
5.20. Исходя из данного выше определения, доказать формулы:
1. cos (— z) = cos z. 2. sin (— z) = — sin z.
3. ch(—*) = ch*. 4. sh(—z) — — sh*.
5. cos2*4-siri2*=l. 6. ch2* —sh22=:l.
7. Sin (*x + Z2) = Sin Zl C0S Z2 + C0S ^1 Sin Z2-
8. cos (*x + z2) = cos *! cos *2 — sin *! sin *2.
9. ch (*! 4- z2) = ch *! ch z2 + sh Zj sh *2.
10. COS *! + COS Z2 = 2 COS ¦ 3 2COS-12 -.
66
5.21. Доказать формулы:
1. sin'- ¦ *У
5.
7.
9.
11.
= —sh2.
2. sin (z -f- я) = — sin 2.
4. cos (z-\-~) — —sin 2.
6. tgB + Jl) = tg2.
10.
12.
= —ch*.
6.22. Доказать формулы:
1. sh z = — / sin (iz). 2. sh (iz) = i sin z.
3. cos(/2) = ch2.
= cos 2.
5.
7. ctg (iz) = — / cth г.
5.23. Пусть x = Rez, y
1. Resin z==sinx-chyi
2. Re cos 2 = cos л;-chj/,
3. Re sh z = sh x • cos j/,
4. Re ch z = ch x • ch j/,
с r> a sin 2л;
5. Retg2
4. ch
6.
8. cth (/г) = — / ctg z.
= lmz. Доказать, что:
Im sin 2 = cos л;- shy.
Imcos2 = —sin jc-shj;.
Irn sh z = ch x - siny.
Im ch г = sh x • sh j/.
T , sh 2w
cos 2л; + ch 2y'
n r, , sin 2л;
6. Rectgz=ch2y_cos2x,
5.24. Пусть x = Rez, y = h
1. |sin z | = ]/ch2у — cos2.*;.
3. | sh z I = |/ ch2 x — cos2 y.
® cos 2л; + ch 2y'
imcigz== ~sh2^0,
to ch 2i/ — cos 2л;
. Доказать, что:
2.
cosz \ =
sin2x.
= ]/ch2 jc — sin2j/.
4.
5.25. Описать точки z, в которых следующие функции прини-
принимают действительные значения:
1. cos .г. 2. cti2. 3. sin г. 4. tg2. 5. cth .г.
5.26. Описать точки z, в которых следующие функции прини-
принимают чисто мнимые значения:
1. sin .г. 2. sh2. 3. cos .г. 4. ctg .г. 5. thz.
5.27. Найти все точки,^ в которых обращаются в нуль-следующие
функции:
1. sin .г. 2. cos .г. 3. sh^. 4. ch2.
5.28. Найги все решения следующих уравнений:
1. sin* = 4//3. 2. sin 2 = 5/3. 3. cos2 = 3//4. 4. cos z = C + 0/4.
5. tg2 = 6//3. 6. ctg 2 = — 3//5. 7. sh2 = //2. 8. ch2=l/2.
3* 67
5.29. Разложив функцию cosxz на отрезке — п^х^п в ряд
Фурье, получить формулу
sin яг ,
*г* cosnx (-
5.30. Опираясь на формулу задачи 5.29, доказать формулы:
3 "* = У * 4
sin2 яг Ld (гп)а * *
: = — оо
оо
(-1)*
sin2 яг jLd (г—n)a * * cos яг
ц~ — оО П= — 00 й п **"** ~рГ
00 00
2г
5. sin яг = яг JJ(l— ^). 6- яс«1яг==у4- У
l l
га+л2%
* *
При исследовании сходимости рядов или интегралов, а также во многих
других вопросах, полезно иметь в виду различные неравенства, относящиеся
к показательной и к тригонометрическим функциям.
6.31. Доказать, что при \z\^R имеют место неравенства:
1. | ch z | ^ ch R. 2. | sh z | ^ sh R, 3. | cos г | ^ ch R. 4. | sin г |
6.32. Пусть x = Rez, y = lmz. Доказать, что:
1. Функция ez стремится к бесконечности при х, стремящемся
к -f- оо, и это стремление равномерно по у.
2. Функция е* стремится к нулю при лг-> — оо и это стремление
равномерно по у.
3. Функции sin z и cos z стремятся к бесконечности при j/ -> ± оо
и это стремление равномерно по х.
6.33. Доказать, что:
1. Функция ег* стремится к бесконечности при z -> оо в любом
угле вида | arg z — п \ ^ а и в любом угле вида | arg z \ ^ а, если
только а<я/4.
2. Функция ег% стремится к нулю при z -> оо в любом угле вида
| arg z ± я/2 | < а < я/4.
5.34. Пусть Р (z) = zn + fli^ +... + ап. Доказать, что функция
стремится к бесконечности при z -> оо в углах
? (& = 0, 1, ..., п— 1),
и стремится к нулю при z -> оо в углах
68
5.35, Пусть x=Rez, y==lmz. Доказать неравенства:
1. e—ZY ^lsin*h
2. e Ze ' <
4-
5- i^<|ctg^ + ^l<i?^f СУ>0).
6-
5.36. Пусть 0<р<я/2. Обозначим через Dp всю комплексную
плоскость, из которой выброшены круги |-г — пп\ <р, /z = 0, ±1,....
Доказать, ч.то:
(z e Dp). 2. | sin z | ^ sin p (z €
6.37. Пусть функция /(г) непрерывна при Re z ^ 0, | г | ^ /?, и
удовлетворяет условию f(z)->0 (Re^^O, \z\->oo). Доказать, что
lf(z)e?*dz->0 (r->oo); (Cr: \z\ = r, Re^^O).
Указание. См. задачу 3.71.
5.38, Пусть функция f(z) непрерывна в области D
и удовлетворяет условию | f(z)\~о(|z\a) (,г->оо)(геD). Доказать,
что
,(Га-л+1) (Г->оо), (Сг: |2Г| = Г, 0ED).
5,39. Пусть функция /(z) непрерывна в полуплоскости
и удовлетворяет условию f(z) ~> 0 (Re z ~> -f- °°)- Доказать, что:
Я (« + }) + /00
2. f /(z)(ctga: + Orf«-*O (я-> + сзо, я=1, 2,
6.40. Найти величину #f(cp)=lim :
г-*оо
функций /(*):
1. ez. 2. sin*. 3. ch*. 4. (shz — ax)(shz — a2).
для следующих
1~
ДЛЯ следующих функций f(z):
ций
6.41. Найти величину lim
1. е*. 2. sin г. 3. cos г. 4. shz. 5. chz.
5.42. Найти величину lim n \1\х-т1У)\ для следуЮщИХ функ-
у -* + оо У
1. sin*. 2. eiz\ 3. <?-2/22.
ОТВЕТЫ
5.10.
1. Окружность |a>—I —i'| = l. 2. Прямая — б Reay + 4 1гпш=1.
3. Прямая Иеш = —^-. 4. Окружность
5. Окружность
7. Мнимая ось.
9. |
до — ¦
2_
3 *
6. Окружность
3 '
3
4 '
8. Внешность единичного круга.
10. Единичный круг.
5Л1.
1. Полукруг |доч|^1, 1тш^0.
3. Парабола и=\ — v2/4, w = u
2. Область |до|>8.
4. Парабола u
— 1, до =
w +
5. Эллипс с фокусами 1 и —1 и полуосями 5/4, 3/4.
6. Эллипс с фокусами 1 и —1 и полуосями 5/4, 3/4.
7. Вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по отрезку
(т-1, 1) действительной оси.
2 2
8. ВнеШНОСТЬ ЭЛЛИПСа
-f-
9. Правая ветвь гиперболы и2 — и2 =1/2, до=
10. Область, заключенная между двумя ветвями гиперболы и2—г
w = и + ш.
'J/2,
5.14.
1. 1; 2. —1;
3. ft 4. —ft 5.
5.19.
1. 1тг =
2. 1т 2 =
5.25.
1. 1тг = 0;
2. Rez = 0;
3. 1тг = 0;
4. 1тг = 0.
5.26.
1. 1тг = 0;
2. Re 2 = 0;
3. 1тг = 0; .,
4. Re2=^/2,
5. Im z
==0, ±1, ±2, ...
)я/2, 6 = 0, ±1, ±
=?:n;, Л = 0, ±1,
= Ля, k = 0, ±1,
^(k+1/2) я, Л =
5. 1тг = /т/2, ^ =
? = 0, ±1,
^ = 0, ±1,
(^+1/2) я, /г =
= 0, ±1, ±2, ...
? 0, ±1, ±
2, ...
±2,
±2,
0, ±1
0, ±1
±2, .
±2,
0, ±1
2, ...
, ±2,
, ±2,
, ±2,
70
5.27.
1 z = kn, /г = 0, +1, ± 2, ...
2. 2 = (/г+1/2) я, * = 0, ±1, ±2, ...
3. г = /гш, ? = 0, ±1, ± 2, ...
4. г = (А:+1/2)ш, ^ = 0, ±1, ±2, ...
5.28.
1. г = /Н)МпЗ + Ь, 6 = 0, ±1, ±2, ...
2 г==±/1пЗ
3. г=± (—Пп
4. г=±/—-|-
5. г =
6. г =
6г
= 0, ±1, ±2, ...
= 0, ±1, ±2, ...
6 = 0, ±1, ±2, ...
0, ±1, ±2, ...
0, ±1, ±2, ...
^ + /Ы, /е = 0, ±1, ±2, ...
& = 0, ±1, ±2, ...
7. г = (
8. г=±
5.40.
1. cos ф. 2. | sin ф |. 3. |совф|. 4. 21 cos ф |.
5.41.
1 Re г 2. | Im г |. 3. | Im г |. 4. | Re г |. 5 j Re г |.
5.42. 1.1. 2. —2л:. 3. 4х.
§ 6. Равномерная сходимость. Степенные ряды
Последовательность {/п(г)Ь /г=1, 2, ..., функций, определенных на мно-
множестве Е, называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции / (г),
если для любого g>0 и для всех точек г е Е существует такой номер N
(зависящий от е, но не зависящий от г), что при п> N имеет место неравен
ство |/я(г)-/(г)|<е (г е ?).
6.01. Доказать, что на каждом замкнутом множестве Е, лежащем
в круге | 0 | <С 1> последовательность
|
n |
равномерно сходится к
функции /(г)=1, а на каждом замкнутом множестве Е, лежащем
в области |<г|>1, эта последовательность равномерно сходится
к функции f(z)~0.
6.02. Доказать, что последовательность \пге~~9гг2\ равномерно
сходится в угле | arg z\^a при любом а, 0 ^ а < я/4, к функции
f
)
6.03. Пусть последовательность {fn (z)) равномерно сходится на
множестве Е к функции f(z), и пусть функции fn{z) непрерывны
на множестве Е. Доказать, что функция f(z) также непрерывна на
этом множестве.
Большинство признаков равномерной сходимости формулируются че для
последовательностей, а для функциональных рядов-
71
о©
Функциональный ряд J] ип (г) называется равномерно сходящимся на мно-
1
оюестве Я, если последовательность {2"*(гч er0 частных СУММ равномерно
сходится на этом множестве к некоторой функции.
оо
6.04. Пусть ряд ^]\un(z)\ равномерно сходится на множестве ?,
а функции vn{z) определены на множестве Е и удовлетворяют нера-
00
венствам \vn(z)\^\un(z)\ (z&E). Доказать, что ряд ^vn(z) рав-
равномерно сходится на множестве Е.
00
6.05. Пусть ап^0 и 2]Дл<оо> а ФУНКЦИИ un{z) определены
1
на множестве Е и удовлетворяют неравенствам
\un{z)\<.an (z(==E, n>n0).
оо
Доказать, что ряц.^ип(г) равномерно сходится на множестве Е.
6.06. Доказать, что следующие ряды равномерно сходятся на мно-
множествах ?, указанных в скобках:
оо
2 v е~пг (в- *
2
00 00
8-
6. 2 2~n cos nz (Е: \\mz\^8< In 2).
Иногда имеет смысл говорить о равномерной сходимости ряда, члены кото-
которого могут обращаться в бесконечность (и сумма тоже) В этих случаях мы
будем пользоваться несколько видоизмененным определением сходимости:
00
Функциональный ряд ^un(z) называется равномерно сходящимся на мно-
1
жесте ?, на котором определены функции ип (г) (но могут принимать значе-
значение оо), если для любого е > 0 и для всех г е Е существует такой номер N
(зависящий от е, но не зависящий от 2), что при п > N все функции ип (г)
конечны на множестве Е и выполняется неравенство
< е (ге?,/и> 0).
6.07. Доказать, что следующие ряды равномерно сходятся на
множествах Е9 указанных в скобках:
: И
3- jT
1 1
6.08. Пусть lim -|/"| ая | = 1. Доказать, что:
П-+СО
00
1. Ряд 2 ап*п равномерно сходится при |г
п=0
со
2. Ряд 2 ane-~nz равномерно сходится при Re z ^ б > 0.
о
со
3. Ряд У ?? cos яг равномерно сходится при | Im ^ ] ^б <1п 2.
о
00
4. Ряд 7 %П\ - ' равномерно сходится при I z 1 ^ р < min A, -^¦ ].
Jmd Z -\-Z n \ A /
О
оо
5. Ряд 2 ane~~n4 равномерно сходится при Re z ^ б > 0.
о
6.09. Определим функции fn (z) равенствами
Доказать, что последовательность {/„ (,г)} равномерно сходится
к нулю на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в круге |^|< 1.
6.10. Доказать, что последовательность {2nfn(z)}, где функции
fn(z) определены в задаче 6.09, равномерно сходится к некоторой
функции на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в круге \z \ < 1.
* * *
Пусть функции qn B), л=1, 2, ..., определены на множестве Е. Беско-
00
нечное произведение YJ qn B) называется равномерно сходящимся на множе-
п=\
стве Е, если для любого в > 0 и для всех точек ге? существует такой номер
N (зависящий от е, но не зависящий от г), что при любом целом положитель-
положительном значении т и при всех ге? выполняется неравенство
N +т
П
73
00
6.11. Доказать, что если ряд ^ 1^(^I равномерно сходится на
1
оо
множестве Е, то и бесконечное произведениеY\0 4"ft«B)) равно-
1
мерно сходится на множестве Е.
6.12. Доказать, что следующие бесконечные произведения равно-
равномерно сходятся на множествах Е, указанных в скобках:
а оо
3. ДA-)_/Г*) (Ei Rez^8> 1). 4. J~J A +zn) (E: \z\ <p< 1).
00 CO
6.13. Доказать, что если ряды ^un(z) и ?\un(z)\2 равномерно
i i
00
сходятся на множестве Е, то бесконечное произведение J~J(I -\~un(z))
i
также равномерно сходится на множестве Е.
Пусть при любом значении параметра z из множества Е функция F (t, г)
непрерывна по t на промежутке a^t<ib7 а в точке t — b обращается
ь
в бесконечность (или 6 = оо). Несобственный интеграл ^F(t, z) dt с особен-
а
ностью в точке t = b называется равномерно сходящимся по z на множестве Е,
если при любом выборе последовательности {Ьп}> где а < Ьп < 6, bn-*b>
последовательность функций \ j F (t, z) dt ) равномерно сходится на множе-
V а )
стве Е. Равномерная сходимость интеграла с особенностью в точке t = a
определяется совершенно аналогично.
6.14. Пусть функция ср(?) непрерывна и положительна на интер-
ь
вале (а, Ь) и \y{t)dt<oo. Доказать, что если функция F(tt z)
а
удовлетворяет условию | F (tt z) \ ^ ф (t) (z e Et a<Ct<C b), то
b
интеграл \F(t9 z)dt равномерно сходится по z на множестве Е.
а
6.15. Доказать, что следующие интегралы равномерно сходятся
по z на множествах Е, указанных в скобках:
1. $ tz'4-ldt(E\ И^г<оо). 2. $**-i*-'<#(?: Re*^6>0).
1 О
74
СО 00
3. \ -L_ dt (E: Re z ^ 0). 4. \ ~ Л (?: Re z ^ б > 0).
00
5- \ t-j—Л (E: l\argz\^n — 6, |^|>pb
00
7.
f-M- (?: |аг8A-
CO
8. ^ ^^sin^A (E: 8«?Re*=ss2—6, 6>0).
oo
9. \ exp (/^2^2) dt (?: 0 ^ arg z < у, | г | ^ p > 0).
о
о
oo
6.16. Пусть функция ф(^) на промежутке интегрирования непре-
непрерывна и удовлетворяет условию |ф(?)]^1. Доказать, что следующие
интегралы равномерно сходятся по z на множествах ?, указанных
в скобках:
2. ^SM-f-idt (E: 6^Rez<l-6, б>0).
со
3. J
4, ^ q>(*)*~f costetft (?: \lmz\^\—6, 6>0).
о
5. С 4Me-t*dt (E: IRe^l^l— 6, S>0).
J ch/ v ' ' > ^ '
— CO
6.17. Пусть функция ф(?) непрерывна при t^O и удовлетво-
удовлетворяет условию lim п 1^' '' <а. Доказать, что интеграл ^ <p(t)e~tzdt
равномерно сходится по -г в полуплоскости Re z ^ a.
* * *
75
оо
Радиусом сходимости степенного ряда 2 сп (z — zo)n называется число R,
о
0^/?а^оо, обладающее тем свойством, что при любом г, для которого
|г — го|<#» этот РЯЛ сходится, а при любом г, для которого \z — го|>#,—
расходится.
Круг |г — zo|</?, где /? — радиус сходимости степенного ряда, назы-
называется его кругом сходимости,
6.18. Доказать, что для радиуса сходимости степенного ряда
оо * п
cn(z — ^о)л справедлива формула Коши—Адамара р-= lim y\cn\
о
6.19. Доказать, что если существует предел lim
Сп
= #, ТО
радиус сходимости степенного ряда ^сп{г — г^р равен Я
о
6.20, Найти ^ радиусы сходимости следующих степенных рядов:
1.
5.
7.
00
00
I
оо
V.
n"zn.
Bn)!
(л!)а
e-Y-n
2.
zn.
00
00
«=0
oo
8. ^ n\e-nazn, a>l.
n==0
6.21. Пусть радиус сходимости степенного ряда ^^л^" равен Я
о
Найти радиус сходимости следующих степенных рядов:
1. |] ^ (т = 1, 2,...). 2. 2 ^отл (л = 1, 2,...).
о о
3.
6.22. Обозначим радиусы сходимости степенных рядов
0 0 0 О
через Ra> Rb, Ra+b, Rab соответственно. Доказать, что
Ra+a^min(Ra, Rb), Rab^RaRb.
76
ей
6.23. Пусть степенной ряд 2 cnz" имеет радиус сходимости /?>0.
о
Доказать, что
lim
оэ
6.24. Пусть степенной ряд 2 ап*п имеет радиус сходимости R > О,
о
со
а |*0|<Я. Обозначим ?„(*<>) = ^ ап+т • ^т\'г"• Доказать, что
^т\•
я-юо
6.25. Пусть функция f(z) представима в круге \z\<.R сходя-
00
щимся степенным рядом f(z) = ^anzn. Доказать, что при"любом а,
о
| а | < R функция f(z) представима в круге \z — а | < R— | а | сте-
00
пенным рядом f(z) = ^ bn {z — а)л, где
о
т=0
6.26. Пусть функция f(z) представима степенным рядом, сходя-
сходящимся в некоторой окрестности точки z = z0. Доказать, что если
не все коэффициенты этого ряда равны нулю, то существует такое
число 6>0, что при 0<C\z—<го|<;б функция f(z) не обращается
в нуль.
6.27. Пусть /(?) = 2 Cnz*> и пусть радиус сходимости степен-
о
ного ряда равен R > 0. Доказать, что в каждом круге | z | ^ г, где
г</?, функция f(z) обращается в нуль лишь в конечном числе
точек, если только f(^O
В некоторых случаях бывает нужно исследовать сходимость степенного
ряда на окружности круга сходимости.
6.28. Доказать, что если имеет место неравенство
+ ?)> п>п&
где а> 1, то степенной ряд ^cnzn сходится во всех точках окруж-
о
ности своего круга сходимости.
77
6.29. Пусть все числа сп положительны и
^0 > С1 > С2 > • • • > Сп ~> 0.
00
Доказать, что степенной ряд 2 ?л?га сходится во всех точках окруж-
0
ности |0|=1, за исключением, быть может, точки z=l.
6.30. Выяснить, в каких точках окружности круга сходимости
сходятся следующие ряды:
Я
1
6.31. Доказать вторую теорему Абеля: Если степенной ряд
00
2 cnzn сходится в точке z0, то он равномерно сходится на всем
о
прямолинейном отрезке, соединяющем точку z = 0 с точкой z0.
6.32. Опираясь на вторую теорему Абеля, доказать, что из сходи-
00 ОО 00
мости рядов 2й" и ^Eivn следует сходимость ряда ^wn, где wn =
0 0 О
* * *
6.33. Пусть функция ф(?) непрерывна при t^zO. Доказать суще-
существование числа а, обладающего свойством: при всех z} удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству Re z > а, интеграл
о
сходится, а при всех z, удовлетворяющих неравенству Rez<co> —
расходится (число о может быть равным и ± оо). Такое число назы-
называется абсциссой сходимости интеграла A).
6.34. Найти абсциссы сходимости следующих интегралов:
00 00 ОО
1.
)-Тф«- 2-\шМ- ^y^tre^dt, a>0.
оо оо оо
[ е~\ dt, а> 0. 5. [ е»2-'2 dt 6. [ eie2t~t2 <
78
6.35. Обозначим абсциссы сходимости интегралов
со оо оо оо
\ a (t) e~tz dt, $ b {t) e~tz dt, $ (a (t) + b (*)) e tz dt, \ a(t)b (t) e'tz dt
0 0 0 0
через <jfl, ob> oa+b> aab соответственно. Доказать, что
aa+b s* min (aa, aft), craft ^aa + aft.
6.36. Пусть функция ср(?) непрерывна при ^^0 и интеграл
оо
^ y{t)e~tzdt сходится при z = z0. Доказать, что этот интеграл рав-
о
номерно сходится на всем луче \mz = lmz0, Re^
ОТВЕТЫ
6.20.
1.1. 2. 1. 3. оо. 4. \/е. 5. 1/4. 6. k~fc. 7. 1. 8. оо.
6.21.
1. Rm. 2. *Yr. 3. тах(/?, 1).
6.30.
1. При гф\. 2. Во всех. 3. Во всех. 4. При гфЩ,
5. При г^ ± 4/,27. 6. При 2^-1, гф-^±1^-.
7. При г^1, г^±/. 8. При 2^1, гф±1.
6.34.
1. 0. 2. —1. 3. а. 4. 0. 5. 0. 6. —2.
§ 7. Гомотопии плоских кривых
Пусть Е — какое-либо замкнутое множество расширенной комплексной
плоскости, Ео — какое-либо его подмножество, ср0 — определенная и непрерыв-
непрерывная на этом подмножестве функция, а D —какая-либо область комплексной
плоскости.
Символом оД (Еу ?о, ф0, D) мы будем обозначать множество всех функций
[ @> определенных и непрерывных на множестве Е и обладающих свойствами:
а) Значения, принимаемые каждой функцией f (t) e q/? (Е, Ео, ф0, D) в точках
множества Е> лежат в области D.
б) В точках множества Ео для всех функций / (t) е orf (Е, Ео, ф0, D) имеет
место равенство f (/) = ф0 (t).
Две функции f (t) и g (t), принадлежащие одному и тому же классу
оД (?", Ео, ф0, D), называются гомотопными в этом классе, если существует
семейство функций Ф5 (t) е оД (Е, Ео, ф0, D), непрерывно зависящих от пара-
параметра s, меняющегося на отрезке O^s^l, и таких, что <P0(t) — f(t),
01 @ = *(')•
Семейство функций Ф5 (/), 0 ^ s ^ 1 называется гомотопиями функции f (t)
в функцию g(t).
Гомотопность функции / (/) функции g(t) в классе q/? записывается сле-
следующим образом: f{t)(t)(f)
7.01. Доказать, что понятие гомотопности функций обладает сле-
следующими свойствами:
79
2. Если f(t)^g(t), то и g(t)^f(t).
3. Если f{t)**g(t), а g(t)^h{t), то и f(t)f**h(t).
7.02. Доказать, что для каждой функции f{t)^<^f существует
такое число е>0, что любая функция g(QEa^, удовлетворяющая
условию \f(t)—g(?)|<e при всех ?е?, гомотопна функции/^).
Указание. Рассмотреть гомотопии Ф5 (/) = A — s) f (t) + sg (t).
7.03. Пусть для каждой функции f(t) e os? определена вели-
величина F[f] (эта величина может быть числом, вектором, функцией
и т. д.). Предположим, что для каждой функции f(t) e оД сущест-
существует такое число г > 0, что для всех функций g (t) е qs?> удовлет-
удовлетворяющих условию |/@—g@1 <8 (^?)> имеет место равенство
F [g] = F [f]. Доказать, что тогда из соотношения f(t)?&g(t)(&>?)
следует F[f] = F[g].
7.04. Пусть f(t)^g(t){Q/?) и функции f{f) и g(t) имеют на
множестве Е непрерывные частные производные. Доказать, что
существуют гомотопии Ф5@ функции /@ в функцию g(t), также
имеющие непрерывные частные производные на множестве Е.
7.05. Пусть D — выпуклая область. Доказать, что любые две
функции из класса orf (E, E0) cpo> D) гомотопны.
С помощью понятия гомотопии функций можно определить гомотопии и
других объектов— кривых, .областей и т. д. В теории аналитических функций
употребляются фактически только гомотопии кривых.
Две кривые, С и С", лежащие в области D, называются гомотопными
в этой области, если у этих кривых существуют параметрические уравнения
С': z = Zx(O, a^t^b; С": *
с функциями zt (t) и г2 (/), гомотопными в классе q^ (Е, ?о, ф0, D), где мно-
множество ? — это отрезок [а, Ь], множество ?0—концы этого отрезка, а ф0 —
произвольная функция, определенная в концах отрезка [а, Ь].
Гомотопность кривых С и С" в области D легко описать с помощью гео-
геометрических терминов:
Кривая С" называется гомотопной кривой С в области D, если ее можно
непрерывно деформировать в кривую С', не выходя за пределы области D
и не двигая концов кривой.
Гомотопность кривой С" кривой С в области D будем записывать сле-
следующим образом: С" я»С (D).
7.06. Доказать, что понятие гомотопности кривых обладает сле-
следующими свойствами:
1. С^С. 2. Если С"(*&С, то и С'^С".
3. Если С"***С, а С'я^С", то и С'"**С.
Пусть конец кривой Ci совпадает с началом кривой С2. Тогда произведе-
произведением СгС2 кривой Сг на кривую С8 назовем кривую, получаемую последова-
последовательным прохождением сначала кривой Ci, а затем кривой С% (см. более под-
подробные разъяснения перед задачей 3.34). Символом С~х будем обозначать
кривую С, проходимую в противоположном направлении.
7.07. Доказать, что:
1. Если С = 0^2, а Сг^С[ и С2^С%, то Cp&C[Cv
2. Если С^С, то (С)^^1.
3. Если C^CxC2i а Сг^Сх и С2ъ*С'%, то С ^(Ci) (CJ).
80
4. Если конец кривой С совпадает с началом кривой Q и С[ я^ Cv
то C^CCiiCiy1.
7.08. Доказать, что если D — выпуклая область, то любая кри-
кривая, лежащая в области Д гомотопна в этой области прямолиней-
прямолинейному отрезку, идущему из начала этой кривой в ее конец.
7.09. Доказать, что каждая кривая гомотопна некоторой ломаной
с конечным числом звеньев.
Гомотопность замкнутых кривых мы будем понимать как гомотопность
незамкнутых кривых с совпадающими началом и концом. Это означает, что
на замкцутой кривой должна быть выделена начальная точка и что при дефор-
деформации эта точка должна оставаться неподвижной.
7.10. Доказать, что каждая замкнутая кривая С гомотопна лома-
ломаной вида СхСг ... Ст где С^—:простые замкнутые ломаные.
7.11. Доказать, что каждая замкнутая кривая С с началом
в точке z0 гомотопна ломаной вида С^^ ... Сп, где Ck — простые
замкнутые ломаные с началом в точке z0.
Замкнутая кривая с началом в точке г0 называется гомотопной нулю
в области D, если она лежит в области D и ее можно стянуть в точку г0,
не выходя за пределы области D и не двигая ее начальной точки г0.
7.12. Пусть простая замкнутая ломаная С ограничивает одно-
связную область Dv лежащую в области D. Доказать, что ломаная С
гомотопна нулю в области D.
Указание. Доказать сначала, что у ломаной С всегда найдутся три
последовательные вершины, обладающие тем свойством, что образованный ими
треугольник лежит в области D\. Это позволит заменить ломаную С гомотоп-
гомотопной ломаной, имеющей на одну вершину меньше.
7.13. Доказать, что в односвязной области любая замкнутая кри-
кривая гомотопна нулю.
Указание. См. задачи 7.11 и 7.12.
* * *
Пусть кривые С и С" гомотопны в области D. Кривые CSt 0 ^ s ^ 1,
непрерывно зависящие от параметра s, называются гомотопиями кривой С
в кривую С" в области D, если:
а) все кривые Cs лежат в области D и Со = С', а Сх = С";
б) все кривые Cs начинаются в одной и той же точке и кончаются в одной
и той же точке.
7.14. Пусть кривые С и С" гомотопны в области D. Дока-
Доказать, что:
1. Если кривые С и С" являются кусочно-гладкими кривыми, то
гомотопии Cs, 0 ^ 5 ^ 1 можно выбрать таким- образом, чтобы все
кривые Cs были кусочно-гладкими.
2. Если кривые С и С" являются гладкими кривыми, то и все
гомотопии С5, 0^5=^1, можно выбрать гладкими кривыми.
3. Если С' и С" лбманые, то гомотопии С5, Ot^s^l можно
выбрать ломаными с равномерно ограниченным числом звеньев.
81
4. Если С и С"— спрямляемые кривые с длинами /' и /" соот-
соответственно, то гомотопии С5, O^s^l можно выбрать спрямляе-
спрямляемыми кривыми и притом такими, чтобы длина каждой кривой Cs
не превосходила величины тах(/', /").
7.15. Пусть кривые С и С" гомотопны в произвольной области D.
Доказать, что эти кривые гомотопны и в некоторой меньшей
области Юг си Д ограниченной конечным числом простых замкнутых
ломаных.
Указание. Пусть С5, 0^ssc 1, — гомотопии кривой С в кривую С".
Множество точек области D, лежащих хотя бы на одной из кривых CSt
замкнуто.
Компонентой границы области D называется максимальное замкнутое
множество, входящее в границу области D, которое нельзя разбить на два
замкнутых множества, не имеющих общих точек. Число компонент границы
области D расширенной комплексной плоскости является важной топологиче-
топологической характеристикой области. Если граница области D расширенной комп-
комплексной плоскости состоит из т компонент, то область D называется т-связной
областью.
7.16. Пусть D — произвольная /^-связная область, не содержащая
точку z = oo, а С и С" — две кривые, лежащие в этой области.
Возьмем по одной точке в каждой компоненте границы области D
(точку z = oo будем считать находящейся среди них) и обозначим
через D* всю расширенную комплексную плоскость, из которой
выколоты взятые точки. Доказать, что кривые С и С" гомотопны
в области D в том и только -в том случае, если они гомотопны
в области D*.
Указание. См. задачи 7.13 и 7.15.
Пусть кривая С представляется в виде С — С^С^С^С^ ... СпС'п, где C'k —
участки этой кривой, лежащие в области D, а С^ —участки, лежащие вне этой
области. Деформацией кривой С в области D назовем замену кривой С кривой
С=СХС1С2С? ... СпС"п, где C"k — произвольная кривая, лежащая в области D,
но имеющая начало, совпадающее с началом кривой C'k, а конец — совпадаю-
совпадающий с концом кривой C'k.
7.17. Пусть для каждой кривой С, лежащей в области Д опре-
определена величина F [С]. Доказать, что если при деформации каждой
кривой С в достаточно малой окрестности каждой ее точки вели-
величина F[C] не меняется, то из соотношения С ?&С" (D) следует
равенство F[C'] = F[C"].
Пусть кривая С не проходит через точку z0. Величина v (z0, С) —индекс
точки z0 относительно кривой С —определяется, как изменение величины
?— arg(z — z0) при движении точки z по кривой С (величина arg(z — z0)
должна при этом меняться непрерывно).
7.18. Пусть кривые С и С" лежат в области D, а точка z0 не
лежит в области D. Доказать, что если кривые С и С" гомотопны
в области Д то v(^0, C') = v(zQi С").
7.19. Доказать, что окружность |2| = 1, обходимая один раз
против часовой стрелки (начало в точке 2 = 1), не гомотопна нулю
в области 0<|г|<оо.
Указание. См. задачу 7.18.
7.20. Пусть С — простая замкнутая ломаная с началом в точке
2=1, не проходящая через точку 2 = 0, a D — область, ограничи-
ограничиваемая этой ломаной (при движении по ломаной С область остает-
остается слева). Обозначим через Г окружность |-г|=1 с началом в
точке 2=1, обходимую один раз против часовой стрелки. Дока-
Доказать, что:
1. Если ОеД то Ср&Г в области 0<|г'<оо.
2. Если ооеД то С^Г~г в области 0<С|<г|<оо.
3. Если область D не содержит ни точки г = 0, ни точки z = oo,
то ломаная С гомотопна нулю в области 0 < | z \ <С оо.
7.21. Доказать, что произвольная замкнутая кривая С гомотопна
нулю в области 0 < | z | < 1 в том и только в том случае, когда
v@, 0 = 0.
Указание. См. задачу 7.11.
7.22. Пусть D — двухсвязная область, a z0 — какая-либо точка,
не лежащая в этой области. Доказать, что кривые С и С", лежа-
лежащие в области D, гомотопны в этой области в том и только в том
случае, когда:
а) кривые С и С" имеют одно и то же начало и один и тот же
конец;
б) v(z0, C') = v(*o, С")-
7.23. Пусть С — простая замкнутая ломаная, не проходящая
череа точку z = 0. Обозначим через п+ число пересечений лома-
ломаной С с положительной частью действительной оси снизу вверх,
а через п~ — число пересечений сверху вниз. Доказать, что
и+ — /r = v@, С).
7.24. Пусть Dx и D2 — две области, пересекающиеся по непустой
односвязной области Do, a D — объединение этих областей. Доказать,
что произвольная замкнутая ломаная С с началом в точке zQ e Do>
лежащая в области Д гомотопна некоторой ломаной С*, имеющей
вид С* = С\С1С%С% ...С'пСп> где C'k — замкнутые ломаные с началом
в точке 20, лежащие в области Db а С\ — замкнутые ломаные с нача-
началом в точке 20, лежащие в области D2.
Указание. Разделить область Do на две части ломаной Г, соединяю-
соединяющей точку z0 с двумя общими граничными точками областей Dx и D2, Эта
ломаная Г (при надлежащем ее выборе) разрежет каждую ломаную С на части,
каждая из которых заключена только в одной из областей О, или D2.
7.25. Примем обозначения задачи 7.24, согласно которым
С я« С1С1С2С2... СЛСд.
83
Доказать, что кривая С гомотопна нулю в области D в том и только
в том случае, когда все кривые C'k гомотопны нулю в области Dv
а все кривые CJ гомотопны нулю в области D2.
Указание. См. задачу 7.17.
7.26. Обозначим символом D* расширенную комплексную плос-
плоскость с выколотыми точками z=l, z= —1 и ? = оо, символом Сг —
окружность \z — 1 1=1, обходимую один раз против часовой стрелки,
а символом С2 — окружность |2 + 1 1 = 1, обходимую один раз. против
часовой стрелки (обе с началом в точке г = 0). Доказать, что кри-
кривая С — СуСъС^Съ1 не гомотопна нулю в области D*, хотя величина
vB0, С) равна нулю для любой точки z0^?oo, не принадлежащей
области ?)*. (Этот факт означает, в частности, что условие гомотопности
двух кривых, предложенное в задаче 7.18, является только необхо-
необходимым, но не достаточным, если область имеет порядок связности
больше двух.)
7.27. Пусть у — какая-либо компонента границы области D. До-
Доказать, что все простые замкнутые кривые с началом в одной и той
же точке, ограничивающие некоторую область, содержащую компо-
компоненту у, но не содержащую точек других компонент границы об-
области Д гомотопны между собой в области D (при обходе кривой
ограничиваемая ею область должна оставаться слева).
Множество & называется группой, если:
а) Для любых двух элементов ае^ийе^ определено их произведение ab,
которое также является элементом множества ^.
б) Операция умножения подчиняется закону ассоциативности, т. е. для
любых трех элементов a, bt с множества $ имеет место равенство (ab)c=a (be).
в) В множестве & существует элемент е (единица группы), обладающий
тем свойством, что для любого элемента а е & имеют место равенства ае = а и
еа==а.
V) Вместе с каждым элементом а множество ^ содержит такой элемент а-1
обратный к а элемент), для которого имеют место равенства аа~х=*е и а~1а = е.
7.28. Доказать, что множество всех комплексных чисел, отличных
от нуля, образует группу, если умножением считать обычное умно-
умножение комплексных чисел.
7.29. Доказать, что множество всех целых чисел образует группу,
если под операцией умножения в группе понимать сложение чисел.
/а Ь\
7.30. Доказать, что множество всех матриц вида , , где а, Ь,
\с а)
с, d—целые числа, удовлетворяющие условию ad—bc=\x образует
группу, если произведение двух матриц определить равенством
7.31. Доказать, что множество всех дробно-линейных функций
вида Т (z) = aZTn > гДе а> ^ с> ^ — произвольные комплексные числа,
84
удовлетворяющие условию ad — ЬсфО, образуют группу, если под
операцией умножения Tx(z) на T2(z) в группе понимать переход
к функции T2(Tt(z)).
Пусть нам даны 2т символов alt aj\ a2, aj1, ..., ат% а^, которые
мы назовем «буквами». Произвольное конечное число «букв», написанных
подряд, назовем «словом». При этом два «слова» считаются равными, если они
совпадают после вычеркивания всех имеющихся в них комбинаций &iPJ,l%
стоящих рядом. Произведением двух «слов» назовем «слово», полученное на-
написанием второго сомножителя вслед за первым.
7.32. Доказать, что множество всевозможных «слов» (включая
пустое «слово»), составленных из данных 2т «букв», образует группу
относительно описанной операции умножения «слов».
Две группы, & и S?i, называются изоморфными, если между их элементами
можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при 'котором
произведению любых двух элементов одной группы отвечает произведение их
образов в другой группе.
7.33. Доказать, что группа «слов», составленных из двух «букв»
й и с, изоморфна группе целых чисел по сложению.
Пусть кривая С лежит в области D. Совокупность всех кривых, гомотоп-
гомотопных кривой С в области D, называется гомотопическим классом кривой С и
обозначается символом [С]. Для гомотопических классов (правда, не для лю-
любой пары) можно определить операцию умножения, положив [Сх] [C^=^[CXC%\,
Легко проверить, что возможность умножения данных гомотопических классов
и результат этого умножения не зависит от выбора представителя в каждом
из перемножаемых гомотопических классов.
7.34. Доказать, что множество всех гомотопических классов
замкнутых кривых, лежащих в области D и имеющих начало в точке
z0 e А образует группу относительно определенной выше операции
умножения гомотопических классов.
Группа всех гомотопических классов замкнутых кривых, лежащих в об-
области D и имеющих начало в точке zo?D, называется фундаментальной груп-
пой области D относительно точки z0 и обозначается символом лг (г0, D).
7.36. Доказать, что фундаментальные группы одной и той же об-
области относительно различных ее точек изоморфны.
7.36. Доказать, что фундаментальная группа двухсвязной области
изоформна группе целых чисел по сложению.
Указание. См. задачу 7.22.
7.37. Пусть Dx и D2—две произвольные области, пересекающиеся
по непустой односвязной области Do, a D — объединение этих об-
областей. Доказать, что фундаментальная группа области изоморфна
группе «слов» вида a1bla2b2.. .anbn, где ak — элементы фундаменталь-
фундаментальной группы области Dv a bk — элементы фундаментальной группы
области D2. При этом «слова» считаются равными, если они совпа-
совпадают после всех возможных сокращений, состоящих в вычеркивании
единичных элементов, имеющихся среди а^ и Ь^ и в объединении
произведений элементов одной и той же группы в один элемент.
Указание. См. задачи 7.24 и 7.25.
85
7.38. Доказать, что фундаментальная группа #г-связной области
изоморфна группе «слов», составленных из 2т — 2 «букв».
Указание. Провести индукцию по /п, представляя m-связную область
как объединение (т— 1)-связной и двухсвязной областей. Использовать резуль-
результаты задач 7.36 и 7.37.
Элементы аи а2, ..., ат группы ^ называются ее образующими, если каж-
каждый элемент этой группы можно представить в виде «слова», составленного из
«букв» аъ ajf1, ..., am, а~^ (понимая на этот раз «слово», как произведение
входящих в него «букв»). Если при этом различные (т. е. не равные в смысле
определения, данного перед задачей 7.32) «слова» являются различными эле-
элементами группы ^, то группа ^ называется свободной группой с образующими
аъ a2i ..., ат.
7.39. Доказать, что фундаментальная группа /я-связной (области D
относительно точки 20 ? D является свободной группой с образую-
образующими [/\], ..., [Гщ-х], где Г17 ..., Гт-г— простые замкнутые лома-
ломаные с началом в точке z0, которые обладают следующим свойством:
область Dk, ограничиваемая ломаной Гк, содержит внутри себя одну
из внутренних компонент границы области D и не содержит точек
остальных компонент границы области D. (Естественно, что различ-
различные ломаные Гк отвечают различным компонентам границы области D.)
7.40. Примем обозначения задачи 7.39. Пусть нам дана функция
F [С], определенная на всех гомотопических классах, образующих фун-
фундаментальную группу nx{zOy D), и обладающая свойством
для любых двух гомотопических классов [Сх] и [С2] из фундамен-
фундаментальной группы пг (z0, D). Доказать, что для любой замкнутой кри-
кривой С с началом в точке <г0, лежащей в области Д имеет место ра-
венство F [С] = ^ v (%k> Q F [fk\ где Zk — произвольная точка, ле-
жащая на компоненте границы области Д заключенной внутри лома-
ломаной Гк.
Глава II
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 8. Условия Коши—Римана. Гармонические функции
Функция f(z), определенная в некоторой окрестности точки г0, называ-
называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел
z-*z0 z zo
называемый производной функции f(z) в точке z0.
Функция f(z) называется дифференцируемой в области D, если она опре-
определена в области D и дифференцируема в каждой ее точке.
8.01. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции:
1. Re*. 2. x*y*(z = x + ty). 3. \z\2. 4. х2 + iy2 (z = x + ty),
5. 2Re2. 6. 2xy — i(x*—y*) (z = x + iy).
8.02. Доказать, что:
1. Если функции f(z) и g(z) дифференцируемы в точке z0, то
функции Fi(z)=f.(z) + g(z) и F2(z)—f(z)g(z) также дифференци-
дифференцируемы в этой точке, и
F\ (Zo) =/' (*о) + g' Са Ъ (z0) =f (z0) g(Zo) + f(z0) i (Zo).
2. Если функции f(z) и g(z) дифференцируемы в точке z0 и
g(z0) ф 0, то функция F (z)=?jl также дифференцируема в точке zQ, и
3. Если функция f(z) дифференцируема в точке zOi а функ-
функция g(Q дифференцируема в точке Со^/С^о)» то функция F(z) =
—g(f(z)) также дифференцируема в точке z0 и F' (zo)=g' (f(zQ))f (z0).
8.03. Доказать, что при любом целом значении п функция zn
дифференцируема во всей плоскости или во всей плоскости с выко-
выколотой точкой 2 = 0 (при п<С0) и что (zn)f =nzn~K
8.04. Доказать, что многочлен от z является функцией, диф-
дифференцируемой во всей плоскости, а рациональная функция — во всей
плоскости, за исключением точек, где знаменатель обращается в нуль.
8.05. Пусть функция f(z) определена в круге \z — a\<CR равен-
00 1
ством f(z)=y\cn(z — а)п, lim | сп\х/п^-р Доказать, что функция
87
f{z) дифференцируема в круге \z — a\<R и что
8.06. Определим функцию е* при любом комплексном значении
я/1
z равенством ez=2J—r Доказать, что при любом комплексном зна-
п=0
чении постоянной а справедливо равенство (eazy = аеаг.
8.07. Определим функции sh z, ch z, sin z9 cos z равенствами
sin г = —¦ (e* — е'*). cos z = у (*'* +• e4g).
Доказать, что
1. (sh z)f = ch z. 2. (ch z)' = sh г.
3. (sin ^)' = cos z. 4. (cos 2)' = — sin z.
8.08. Найти, где дифференцируемы следующие функции, и напи-
написать формулы для их производных:
1. echz. 2. sin Bez). 3. sin z ch z — / cos z sh z.
л -9 к & a ZCOSZ
4-»*. 5.T. 6. -p^.
8.09. Выяснить, где дифференцируемы следующие функции и
найти их производные:
l.tg*. 2.ctg*. 3.J±i. 4. L
cos*
5. (^_e-i)-i. б.
cos г — sin 2
Пусть и (я, г/) и и (л:, г/)— две действительные функции, определенные в
некоторой окрестности точки (х0, у0) и дифференцируемые в этой точке. Если
то мы будем говорить, что функции и(х, у) и с; (я, у) удовлетворяют условиям
Коши — Римана в точке (х0, у0).
8.10. Пусть функции и(х, у) и v(x, у) удовлетворяют условиям
Коши — Римана в точке (jc0, y0). Обозначим через sun два орто-
д д ,.
тональных вектора, а через -=г и ^- —дифференцирование rto направ-
направлениям этих векторов (в точке (х0, у0)). Доказать, что если пара
векторов s, n имеет положительную ориентацию (векторное произ-
г Л ч ди dv ди dv
ведение [s, п] положительно), то >^- = ^-, ^- = — -к-.
8.11. Доказать, что в полярных координатах г, ф условия
^ о <9w, I dv dv \ да
Коши — Римана имеют вид -з- = — -а- , -з~ = т~.
При решении следующих задач'существенно используется? теорема:
Для дифференцируемости функции f (г) в точке г0 =» х0 -f- iy0 необходимо
и достаточно, чтобы функции и(ху у) =» Re f (x + iy)t v(xy у)«Im f (x + i*/)
бб/лм дифференцируемы в точке (х0, у0) и удовлетворяли в этой точке условиям
Коши — Римана.
8.12. Пусть функция/(г) дифференцируема в точке 20 —-^o
Положим
и (х, J/) = Re f{x 4- (У), v (*, .у) = Im f(x + /у).
Доказать справедливость формул:
1. /' (*о) = «i (*о> .У о) + toi (хо> Л)- 2- /' С*о) = v'y (Xo> У о) ~ К (х0, у 0).
3. /' (*0) = wi (^о» У о) — iu'y (х* Л> 4-
5- !/' (^о) Г = их + пу = «*' + ^2^и'у
8.13. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D и ее
производная равна нулю во всех точках этой области. Доказать,
что f(z) = const.
8Л 4. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D. Дока-
Доказать, что если одна из функций
и (х, у) = Re f(x + iy), v (х, у) = Im f(x + ty),
9 (¦*> У) H /С* + 001» Ф (^ J) =
сохраняет в области D постоянное значение, то и f(z) = const.
8.15. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D и
где Л, В и С — некоторые действительные постоянные, среди которых
хотя бы одна отлична от нуля. Доказать, что f(z) = const.
8.16. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D и
где функция F(t) строго монотонна и непрерывно дифференцируема
на всей действительной оси. Доказать, что f(z) = const.
Указание. Воспользоваться формулой 5 задачи 8.12.
Функция f (z) называется регулярной з точке, z0, если в некоторой, окрест-
окрестности этой точки она представима сходящимся степенным рядом / B) =
00
= 2] сп (г — zo)n (при г0 = оо разность z—z0 следует заменить на 1/2).
о
Функция f (г), определенная в области D, называется регулярной в этой
области, если она регулярна в каждой ее точке.
Имеет место следующий важный критерий регулярности:
Функция, дифференцируемая в области D, регулярна в этой области,
8.17. Опираясь только на определение регулярной функции, дока-
доказать следующие утверждения:
1. Сумма и произведение функций, регулярных в точке zQi регу-
регулярны в точке z0.
2. Частное двух функций, регулярных в точке z0, также регулярно
в точке z0, если знаменатель отличен от нуля в этой точке.
89
3. Если функция f(z) регулярна в точке z0, а функция g (z) регу-
регулярна в точке ^о = /(<г'о)> т0 Функция F (z)=^g(f(z)) регулярна
в точке z0.
4. Сумма степенного ряда является функцией, регулярной в круге
сходимости этого ряда.
5. Функция, регулярная в точке zQ> бесконечно дифференцируема
в точке z0.
8.18. Пусть функция f(z) регулярна в точке zo~xo-\-iyo. Дока-
Доказать, что функции и (x,y) = Re f(x-\-iy), v(x,y) = \mf(x-]-iy)
бесконечно дифференцируемы в точке (х0, y0) и что они предста-
вимы рядами
оо оо
п=0т=0
сх> оо
* (*. У) = Е 2 В". т (Х-Х0Г (У-УоГ,
п—0т = 0
сходящимися при достаточно малых \х — хо\ и \у—уо\.
* * *
Действительная функция и (х, у), определенная в области D и имеющая
там непрерывные частные производные до второго порядка включительно,
называется гармонической в области D, если она удовлетворяет в области D
уравнению Лапласа
д2и д2и
( д2 д2
(символом А обозначен дифференциальный оператор А = -^ + з~2» носящий
название оператора Лапласа).
Известно, что функция и (х, у), гармоническая в области D, бесконечно
дифференцируема в каждой внутренней точке этой области (по действитель-
действительным переменным х к у).
8.19. Доказать, что линейная комбинация с постоянными коэф-
коэффициентами любого числа функций, гармонических в области Д
также является функцией, гармонической в области D.
8.20. Пусть и(х,у) — функция, гармоническая в области D. Дока-
Доказать, что функция
~^«(*> у) (/и = 0, 1, 2, ...; /2 = 0, 1, 2, ...)
гармонична в области D.
8.21. Пусть функции и(х,у) и v(x, у) определены в области D
и имеют там непрерывные частные производные до второго порядка
включительно. Доказать, что если функции и(хУ у) и v(x,y) диффе-
дифференцируемы в области D и удовлетворяют в этой области условиям
., ^ ди dv dv ди ^
Коши — Римана -=- ~ а-, ъ-= — з~. то они гармоничны в оо-
дх ду * дх ду } г
ласти D.
90
Пара функций и (х, у), v(x, */), гармонических в области D и удовлетво-
удовлетворяющих условиям Коши —Римана в этой области, называется парой сопряжен-
сопряженных гармонических функций (порядок функций в паре существен).
8.22. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать, что
пара функций м, и, где w = Re/(.xr4~ (У)> v~\mf(x~\-iy), образует
пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.23. Пусть и, v или uk, vk(k=l> 2)— пары сопряженных гармо-
гармонических функций в области D. Доказать, что пары U, V также обра-
образуют пары сопряженных гармонических функций в области D:
1. G=ам — bv, V=bu-\-av {а и b — постоянные).
2. U—aiii + biiz, V=av1 + bv2 (а и Ь — постоянные).
3. и=щщ — vxvb Vp=m1u2 + ^iM2. 4. U=eucost», K=
5. U=eu2-v*Q.os2iw, V=eu2-v2 sin2uv.
6. U^^
8.24. Пусть iu v — пара сопряженных гармонических функций в об-
области D, а ф, if> — пара сопряженных гармонических функций в об-
области О. Доказать, что если значения и (х, у) + iv (x, у) для любых
x-\-iy^D лежат в области G, то пара U, V, где
U(x,y) = y(u(x,y)9 v(x,y))9 V(x,y) = ty(ii(x,y), v(x,y))
образует пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.25. Пусть и, v — пара сопряженных гармонических функций
в области D. Доказать, что пара U, К, где
Qn+m fin+m
u{xy) У(ху)
образует пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.26. Пусть м, v — пара сопряженных гармонических функций
в области D и пусть ни в одной точке области D функции и и v
не обращаются в нуль одновременно. Доказать, что функция
гармонична в области D.
8.27. Пусть и, vx и и, г>2 — две пары сопряженных гармонических
функций в области D с одной и той же первой функцией. Доказать,
что vx (х, у) — г>2 (х, у) = const.
8.28. Пусть D — односвязная область, а и(хуу) — гармоническая
в ней функция. Доказать, что интеграл
ди , . ди
(кривая Г спрямляема и лежит в области D) не зависит от пути
интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек
этого пути.
91
8.29. Пусть функция и (лг, у) гармонична в односвязной области D.
Доказать, что:
1. Функция, определенная равенством
(*о. Уо)
(путь интегрирования лежит в области D), является гармонической
в области D функцией.
2. Функции и> v образуют пару сопряженных гармонических функ-
функций, а функция f(z)> определяемая равенством f(x-f- ty) = и (х, j>) +
-\-iv{x, у), является регулярной в области D функцией z=x-{-iy.
8.30. В следующих задачах дается одна из пары сопряженных
гармонических функций и или v (во всей плоскости). Найти вторую
функцию пары.
1. и = ху. 2. и = х2 — у2 + ху. 3. v=ycosyshx-{~xsmychx.
4. tt = r(pcos(p + r Inrsinq) (z==x-\-iy==re^y
8.31. Найти все гармоничесюие функции вида
. 2. м==ф(х2~У). 3. и = ф(^. 4. и =
8.32. Найти гармонические функции, сохраняющие постоянное
значение на каждой кривой следующих семейств кривых:
1. х = С. 2. у = Сх. 3. х24-у2 = С. 4.
8.33. Пусть функция (x(jc, у) непрерывна в односвязной обла-
области D со своими частными производными до третьего порядка вклю-
включительно. Доказать, что необходимым и достаточным условием суще-
существования функции и (х, у) = ф (\i (х> у))у гармонической з области Д
является условие
d[i a / Ац \ д\х а
Указание. Воспользоваться следующим критерием функциональной
зависимости f(x, y)~F (g(x, у)): выражение J--~ — J-^- должно быть тож-
тождественным нулем.
Иногда бывает удобно вместо переменных х и у использовать переменные
+ i и z~x—iy.
Операции — и — мы определим формально равенствами
дг dz
дг 2 \дх 1 ду)' д2 2 \дх^1 ду
Операцию взятия формальной частной производной ^- не следует смешивать
с операцией дифференцирования -г-, определенной в начале параграфа.
92
8.34. Пусть функция /(лг, у) имеет непрерывные частные произ-
производные первого порядка. Проверить, что
8.36. Проверить, что условия Коши — Римана в переменных ги2
имеют вид.~ = 0 или g|=0 (здесь f=u + tv).
8.36. Проверить, что уравнение Лапласа Ди = 0 в переменных z
и 2 имеет вид = 0.
dzdz
8.37. Доказать, что для функции к, принимающей действительные
ди 7ди\
значения, ^ = be ].
8.38. Проверить, что формула для якобиана J=-~~ ——
в переменных г- и 2 имеет вид ^=4/Re(~^ — j.
8.39. Найти — и — для следующих функций:
dz dz
1. F = \z\. 2. F = \z — a\p, —oo<p<oo.
з. ,_/„_.|.+|,_»|.. 4. j--)
лор
8.40. Найти ч-^г для следующих функций:
1. /?^[^[Р _сх)</7<оо. 2. F = ^i2), —
3. F = ln|2r —а|. 4. F = ln(l + |^|2). 6. F =
8.41. Пусть f(z)—регулярная функция. Доказать формулы:
2-
3. |
4. !
5.
dzdz
8.42. Пусть F{f)—дважды дифференцируемая функция действи-
действительного переменного, w(z)—регулярная функция, а. и(х, у)—гар-
у)—гармоническая функция. Доказать формулы:
1 F(u(x y))F'(u(xy))%
93
О V" Г?/./.. ..\\ Г?///„/.. -W ^И
ozaz
а*
4. ?/{\/Ш = \\/'(*)\ш {?"№*)!) + \f(z)\~lF'(\f(z)\)}.
8.43. Пусть и, ту—-пара сопряженных гармонических функций.
Доказать, что
du .dv du . dv
dz dz" dz dz'
8.44. Пусть P(x, y) — многочлен от х и у с комплексными коэф-
2i
фициентами. Обозначим P*B, z) = P (^-5—, -о7")- Доказать, что:
1. Функции
и С*> У) = Re Р (л:, ^), v (д:, j/) = Im P (л:, .у)
удовлетворяют условиям Коши — Римана в том и только в том слу-
случае, когда многочлен Р* (z, z) не зависит от Z
2. Многочлен Р(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа ДР = 0
в том и только в том случае, когда многочлен Р* (z, z) можно
представить в виде Qi(z)-{-Q2(z), где Qj и Q2 — многочлены.
d* д*
8.46. Для многочленов Q(z, z) определим операции -*- и ^г
как линейные операции, удовлетворяющие условиям
Й^г'"^ z> fcKz z )=nz z
(m и /г—целые неотрицательные числа). Доказать, что
^^ ^^ ( *) = р(*±19 *=*
dz дг ' dz dz \ \ 2 ' 2i
8.46. Пусть Р (z) — многочлен от переменной z. Положим
Q(z)=P(z).
Доказать, что:
1. Функция Q(z) является многочленом от переменной z.
2. Имеют место формулы
P(z) + Q(z) = 2ReP(zy, P(z)-Q(z)= 2ПтР(г).
8.47. Пусть P(z) — многочлен. Положим
и (Х> y) = ReP(x4- iy)\ v (лг, у) = Im Р (х + iy).
Доказать, что справедливы формулы:
2.
94
8.48. Пусть Р (z) — многочлен. Положим
R{x,y) = \P(x + ty)\9 Ф(х, y) =
Доказать, что справедливы формулы:
2. Р(г) = Р
8.49. Доказать следующую формулу, позволяющую восстановить
многочлен P(z) по функции a Re P (х-\-iy)-{-b lm P (x-{-iy) = g(x7 у):
г \ a-\-ib
"» 2i) — ^ZJb
(здесь а и b — действительные постоянные, из которых хотя бы одна
отлична от нуля).
8.50. Доказать, что формулы задач 8.47 — 8.49 остаются в силе,
если считать P(z) не многочленом, а рациональной функцией, зна-
знаменатель которой отличен от нуля в точке 2 = 0.
Примечание. В действительности с помощью теоремы единственности
легко доказывается, что эти формулы остаются в силе для любой функции,
регулярной в точке г = 0.
8.51. Восстановить регулярную функцию f(z) по заданной
функции:
— Зху2 — 2у3,
2. Re/=e*(Arcosj/— ysmy),
3. J{ef=xcosxchy-\-ysmxshy,
4. Im/=,ycos_y chje-f-jesinj; shx, /@) = 0.
5. |/| = (JC2+y)^. 6. arg/=xy.
7. |/|^
В случае, когда функции Re/(г), Im/(z), | f (г) |, arg/B), заданы не как
функции х и у, а как функции гиг, восстановление /(г) по одной из пере-
перечисленных выше функций осуществляется еще проще.
8.52. Пусть f(z) — рациональная функция, знаменатель которой
не обращается в нуль при <г = а, а
Доказать, что:
a)-f(a). 2. f(z) = 2to(Z, a) + f(a).
3. /(z)/(a) = #2(z, ay 4.
8.53. Пусть f(z\ ф(,г) и г|)(г) — рациональные функции, знамена-
знаменатели которых не обращаются в нуль при z — a. Доказать, что если
95
эти функции удовлетворяю^ условию |/(г)| = «^Г*?, IL, т0 они удов-
удовлетворяют и условию
(а)/
Указание. Величину | w (z) |2 можно представить в виде w (г) wx (z),
где ()
8.54. Пусть /(г)— рациональная функция, регулярная в точке
0 и удовлетворяющая условию
I/'(*)! _ 1
Доказать,,, что /(г) — дробно:линейная функция, т. е. f(z) =
8.55. Пусть /(г) — рациональная функция, регулярная в некото-
некоторой окрестности точки 0 = 0 и удовлетворяющая там условиям
Доказать, что f(z) — дробно-линейная функция, т. е. /С^)=—ihj.
Примечание. Согласно примечанию к задаче 8.50 условие рациональ-
рациональности функции / (г) в задачах 8.54 и 8.55 является излишним.
* * *
8.56. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в некоторой обла-
области D. Доказать, что сумма f(z)-{'g(z) действительна во всей
области D в том и только в том случае, когда /B)=g(z) + C,
где С—действительная постоянная.
8.57. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в некоторой обла-
области D и g(z)=JE0. Доказать, что произведение f(z)g(z) неотрица-
неотрицательно во всей области D в том и только в том случае, когда
f(z)~Cg(z), где С — неотрицательная постоянная.
8.58. В условиях задачи 8.57 доказать, что произведение f(z)g(z)
действительно во всей области D в том и только в том случае,
когда f(z) = Cg(z), где С — действительная постоянная.
8.59. Пусть функции fi(z), /2(г), gi(.z)> g2(z) регулярны в неко-
некоторой области D и }gi(z)\*-{-\g2(z)\2^0. Доказать, что выражение
Л (*)&(*)+Л СО&С*) действительно во всей области D в том и
только в том случае, когда
Л (*)=aiifi (?) + «12& D U (*)=Обмй (г) + a22g2 (z),
где постоянные ах?, а12, а2?, а22 удовлетворяют условиям
1тап = 0, 1та22 = 0, ос12 = <x2i.
96
Указание. Записав условие действительности в виде
h (*)ЙЙ + ft ?7М KW 1Ж
дважды продифференцировать его по z и найти условие совместности получен-
полученных трех линейных уравнений с двумя неизвестными g± (z) и g2 (г).
8.60. В условиях задачи 8.59 доказать, что выражение
Л (*) *&(*)+Л (*)&(*) неотрицательно во всей области D в том и
только в том случае, когда
где постоянные а1Ь а12, a2i> a22 удовлетворяют условиям
anS^0, а22^0, а12 = а21, | а1212 ^ аиа22.
8.61. Пусть F(z) и G(^) — векторы я-мерного комплексного про-
пространства, компонентами которых являются функции, регулярные
в некоторой области Д причем вектор Q(z) отличен от тождествен-
тождественного нуля. Доказать, что скалярное произведение (F(z), Q(z)) —
п
= 2 ^k (?) Ok (z) действительно во всей области D в том и только
/2 = 1
в том случае, когда F(z)-CUG(z), где С — действительная постоян-
постоянная, a U—постоянная унитарная матрица.
8.62. В условиях задачи 8.61 доказать, что скалярное произведе-
произведение (F(z)} O(z)) положительно во всей области D в том и только
в том случае, когда F(z) = CUG(z) У, где С—положительная постоян-
постоянная, a U—постоянная унитарная матрица.
ОТВЕТЫ
8.01.
1. Нигде. 2. На действительной оси и на мнимой оси. 3. В точке 2 = 0.
4. На прямой Rez = Imz. 5. В точке z = 0. 6. Всюду.
8.08.
1. shzechz- 2. 2ez cos Bez).
3. A— Ocoszchz + (l + /)sinzshz. 4. A— z)e~z.
5 i'1 Me* z^O Ч 6 a+z2)(cosz-zsinz)--2z2cosz zdb + t
8.09.
1. 'о 1. 3. * . «.cos*. 5. -2:'+<--
(cos z—sin zJ *
8.30.
1 1
2 2
3. xco$yshx—y sinychx + C. 4. гф sin ф—г lnr «cos<p + C.
8.31.
1. С In (x2 +У2) + Сг. 2. C(^2 — i
3. С arctg ^ + Cv 4. С
4 Под ред. М. А. Евграфова 97
8.32.
1. Ах + В. 2. A arctg^ + B. 3.
8.39.
dz 2 2 » d2 2 |z| •
d/? p 12 — a|p $p p \z — a\p
%
dz 2 2 —a » аг 2 2 — 5
dF 2z—a — b dF
-z* (|2+a|-i|2-a|J>
2 —a
Ti1). 3. 0.
| |
8.51.
1. A —20 г?- 2. 2^. 3. г cos 2. 4. 2 ch 2.
5. **«zV, Ima==0, a == const. 6. Aez2/\ A >0 — const.
7. e*2+*a, Ima = 0, a = const. 8. Aze2, A >0 — const.
§ 9. Геометрический смысл производной
Пусть функция w(z) определена в области D. Линейное отображение
w — Az-\-Bz-\-C называется главной линейной частью в точке 2=г0 отобра-
отображения w = w(z), если
\w(z)-(Az + B2+C)\
9.01. Найти главную линейную часть следующих отображений в
указываемой точке z0:
l.w==z29 Zo===i. 2. w = l\ zo=l. 3. w = \z\2, zo = l.
4. w = -^— zo<r=z2. 5. w = ezj zo = ni. 6. ^==— ^o^2—^
9.02. Пусть w = Az-\-B2-\-C — главная линейная часть отобра-
отображения w = z2~\-az-\-b в точке z = z0. Вычислить величину
max \
I г — z0 К р
9.03. Пусть функция w(z) регулярна в точке zQ. Доказать, что
главная линейная часть отображения w = w(z) в точке z0 имеет
вид w = w(zo) + (z—-zo)wr(zo).
9.04. Пусть функция w\z) определена в области D и пусть
главная линейная часть отображения w = w(z) в каждой точке z0
области D существует и имеет вид w = A (z0) z + В (z0). Доказать,
что функция w (z) регулярна в области D и что is/ (z) = A (z).
98
9.05. Пусть функция w(z) определена в области D, а функции
и(х, y) = Rew(x + iy), v(x, y)
имеют в области D непрерывные частные производные. Доказать,
что если отображение w = w(z) сохраняет расстояния между точ-
точками, т. е. если для любой пары точек zx^D и хгщВ имеет место
равенство \iw(z1)—w(z2)\ = \z1 — z2\y то w(z) = ei9z + a, где ф
действительная, а а — комплексная постоянные.
Пусть w=*w (z)—- гладкое отображение некоторой окрестности точки z0
(т. е. функции Rew(x-\-iy) и \mw(x-+-iy) имеют непрерывные частные произ-
производные в этой окрестности точки г0). Для каждой гладкой кривой С, прохо-
проходящей через точку г0, определим две величины-
Пусть <р—угол, образуемый касательной к кривой С в точке z0 и поло-
положительным направлением действительной оси в плоскости г (рис. 4, а), а фг—
У
х
а) 6)
Рис. 4,
а)
б)
Рис. 5.
угол, образуемой касательной к кривой С— образу кривой С при отображе-
отображении до = до (г), с положительным направлением действительной оси в плос-
плоскости до (см. рис. 4, б) (у обеих кривых есть направление, и касательные счи-
считаются направленными в ту же сторону, что и кривые). Величина а = фх — ф
называется углом поворота кривой С в точке z0.
Пусть г—произвольная точка кривой С, расположенная достаточно близко
к точке г0. Обозначим &z = z — z0, Aw = w (z) — w (г0) (рис. 5). Коэффициентом
линейного растяжения кривой С в точке г0 называется предел Нпь Л .' =/?,
который существует ввиду гладкости отображения ш = до(г) в окрестности
точки г0.
9.06. Пусть кривая С — это луч arg(^ — 20) = (p, выходящий из
точки z. Найти коэффициент линейного растяжения R (ср) в точке-
z0 и угол поворота а(ф) в точке zQ для этого луча при следующих
отображениях:
2. w==2*, zo=:
4. w=
o = O. 5. w =
3. w = ie
). 6. w = \
9.07. .Пусть функция w(z) регулярна в точке zQ. Доказать, что
и угол поворота а кривой С в точке zQ, и коэффициент линейного
растяжения R кривой С в точке zQ при отображении w~w(z) не
4* 99
зависят от выбора кривой С, проходящей через точку z0, и что для-
этих величин при wr(z0)^Q справедливы формулы
R = j xsf (z0) |, a = argw' (zo)-\-2kn (k — целое число).
9.08. Пусть функция w{z) регулярна в точке z0. Обозначим через
а (ф) и R (ф) соответственно угол поворота и коэффициент линей-
линейного растяжения в точке z0 луча arg (г — -го)==ф при отображении
w=w(z). Доказать, что при
R (ф) = | w' (z0) |, а (ф) = — 2ф — arg w' (z0) + 2kn
(k — некоторое целое число).
9.09. Найти множества всех тех точек z0, в которых коэффи-
коэффициент линейного растяжения при следующих отображениях равен
единице:
1. w = z2. 2. w = zs. 3. w = z2--2z.
4. w=—. 5. w = i±ii. 6.w=-^4it ad—ЬсфО, с ф 0.
9.10. Найти множества всех тех точек z0, в которых угол по-
поворота при следующих отображениях равен нулю:
1. w = iz\ 2. w = — z\ 3. w = z2 — 2z.
4. Ws=sJL. 5. «? =
г
l — iz
9.11. Пусть функция ze>B) регулярна в точке г0, а гладкие кри-
кривые Сг и С2, проходящие через точку zQi обладают тем свойством, что
Re w (z) = Rew (z0) (z e Q); Im w (z) = 1ш® (^0) (^ e C2).
Доказать, что если xsf (z0) ф 0, то кривые Сг и С2 пересекаются под
прямым углом.
9.12. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0, а гладкие кри-
кривые Сх и С2> проходящие через точку z0, обладают тем свойством,
что
\w(z)\ = \w (z0) | (z <= CO; arg w (z) = arg w (z0) (z e C2).
Доказать, что если тй/ (,г0) ^ 0, то кривые Сг и С2 пересекаются
под прямым углом.
9.13. Пусть функция w(z) регулярна в точке zo> а гладкие кри-
кривые Сх и С2, проходящие через точку zo> обладают тем свойством,
что
Доказать, что если хю'^^фО, то кривые Сх и С2 при пересечении
в точке z0 образуют углы ± arg w (z0) + kn.
9.14. Пусть функция w(z) регулярна в замыкании D области Д
a D'—образ области D при отображении w = w(z). Доказать, что
100
если отображение w = w(z) взаимно однозначно в области Д то для
площади cr(D') области D' справедлива формула
a (U) = $$ | w' (г) |2 dx dy.
D
Указание. Доказать, что якобиан отображения w = w (г) равен | xaf (г) | а.
9.15. Пусть функция w(z) регулярна в области D, а С — произ-
произвольная спрямляемая кривая, лежащая в этой области. Доказать,
что для длины /(С) образа С кривой С при отображении w = w(z)
справедлива формула / (С) = \ \ w' (z) \ \ dz |.
с
9.16. Найти длины образов следующих кривых С при указанных
отображениях:
2. C:z = i
3. C:z =
4. C:z =
5. C:z = (l+t)t, 0<^<l; w = zm (m=\, 2, ...)
6. C:z^
9.17. Найти площади образов областей D при указанных отобра-
отображениях:
1. D:B<|*|<3, \argz\<~}; w = z\
2. D:{0<Re*<l, 11ш 2r | < n}; w = e\
3. D: квадрат с вершинами в точках 0, 1, /+1, /; w= ""i ¦
9.18. Пусть P(z) = ao-\'a1z + ... + anzn. Обозначим через L(r)
длину образа окружности \z\ = r при отображении w=zP(z), а че-
через S(r) — площадь образа круга \z\<r при том же отображении.
Доказать, что:
1. Справедливо неравенство S(r)^nr2 \P'@)\\
2. Справедливо неравенство
С
3. Справедливо неравенство L (г)^ 2яг \ Р'@)|.
Указание. Вначале доказать формулы
2я л
101
9.19. Пусть QB) = ?-f ^>]ckZ~k- Найти площадь образа кольца
г < | -г | < /? при отображении гв; = Q (г), считая площадь каждой
элементарной площадки с центром в точке w0 столько раз, сколько
раз функция Q (г) принимает значение w0 в кольце г < | z \ <C R»
Величина
называется хордальным расстоянием между точками г и ? расширенной ком-
плексной плоскости.
Пусть г и ? — произвольные точки круга | 2 | < 1. Величина
p(,D
2 |1_г?|_|г^|
называется неевклидовым расстоянием между точками г и ? относительно круга
|г|<1.
9.20. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0. Доказать, что
существует предел lim — Д w\zo)) и найти ега
9.21. Пусть функция г^(,г) регулярна в точке z0, \zo\<Cl, и пусть
(Т| < 1. Доказать, что существует предел
и найти его.
9.22. Пусть функция w(z) регулярна в области D и пусть ото-
отображение w = w(z) сохраняет евклидово расстояние между точками,
т. е. для любой пары точек zx^D и г2е0 имеет место равенство
\W(Z2)—w(z1)\ = \z2—zx\. Доказать, что w (z) = е**Ъ + а, где ф
действительная и а комплексная постоянные.
9.23. Пусть функция w(z) рациональна и пусть отображение
w=w(z) сохраняет хордальное расстояние между точками, т. е.
для любой 'пары точек zx и z2 имеет место равенство
k(w(zx)y w(z2)) = k(zl9 z2).
Доказать, что w(z)=^^-jt где а, Ь, с, d—постоянные.
Указание. См. задачу 8.54.
9.24. Пусть функция w(z) рациональна и удовлетворяет условию.
\w(z)\<i 1 (| z\ < 1), а отображение w — w(z) сохраняет неевкли-
неевклидово расстояние между точками круга | z \ < 1 относительно этого
круга, т.^е. для любой пары точек zx и z2 из круга |^[<1 имеет
102
место равенство p(w(z1)9 w(z^) = p(zb z2). Доказать, что w(z)~
az + b , ,
== I ., где аУ b, с, а — постоянные.
Указание. См. задачу 8.55.
Примечание. В задачах 8.54 и 8.55 условие рациональности функции
w(z) излишне. Используя принцип аналитического продолжения, легко пере-
перенести утверждения этих задач на функции w(z), регулярные в какой-либо
области D.
ОТВЕТЫ
9.01.
L ш = 2*г+1. 2. ш = 2г—1. 3. ш = —
2 1
4. ш = -д-г — -^-. 5. ш = — 2 + ш —1. 6. ш=г —2/.
9.02. р2.
9.06.
1. /?(ф) = 2,
3. Л(Ф) = 2,
5. /?(ф)-1/2
9.09.
1. \20 |=1/2.
4. |г0 |=1.
9Л0.
1. arg20 = —
4. Im (A + 0 -
9.16.
1. V2 +ln(l
4. /2 (е2я-
> + 4
1 «0 I
2.
5.
я/2.
+v
) = 0.
2. /? (ф) =
а(ф) = я/2.
, а (ф) =
1 4 I = 1/
|Z0 + / 1-
2. Re
0. 5.
"). 2.
5. 2m/2.
= —arg20.
J/3". 3. |
jrxi (A i
2я. 3.
6. 4.
= 2,
rctg
6. 1
3.
) (zo
6я.
6. R (ф) = 1/2, а (ф) = — я/2.
9.17.
n
9.19. я(/?2 — г2) + я 22 * Ic* I117'*
9.20. Iw'^JI- 1"l"|Zo-^—
9.21.
(го) I2
^' 1~И(го)Г
§ 10. Теорема Коши. Интеграл типа Коши
Решение приводимых ниже задач рассчитано на использование теоремы
Коши в следующей формулировке:
Пусть функция /(г) регулярна в конечной односвязной области D. Если
спрямляемые кривые Сг и С2, лежащие в области Dt имеют одинаковое начало
и одинаковый конец, то
/ (г) dz = ]
103
В частности, если С замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в обла-
области D, то
В силу теоремы Коши для функции f (z), регулярной в конечной одно-
связной области D, имеет смысл обозначение
гг eD, г2 е D.
10.01, Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге
\z— a\<ZR и удовлетворяет условию \f(z)\^M (\z— a\<CR)>
то для любых двух точек zx и z2 из этого круга имеет место не-
неравенство
10.02. Доказать, что утверждение задачи 10.01 остается в силе,
если областью регулярности функции f(z) является не обязательно
круг, а произвольная конечная^ выпуклая область.
Примечание. Область называется выпуклой, если вместе с каждой
парой принадлежащих этой области точек ей принадлежит и прямолинейный
отрезок, соединяющий эти точки.
10.03. Пусть функция f{z) регулярна в конечной односвязной
области D и удовлетворяет условию | f(z) | ^ M (z e D). Через
9d (zv Z2)> гДе zi ^ D и z2^ D, мы обозначим нижнюю грань длин
ломаных, соединяющих точки zx и z2 и лежащих в области D.
Доказать, что
; MpD (z
10.04. Пусть функция f(z) регулярна в конечной выпуклой
области D и удовлетворяет условию Re/(z)^M>>0 (г e D).
Доказать, что для любых двух точек Z\ и z2 из этой области
10.05. Доказать, что утверждение задачи 10.04 остается в силе,
если условие Re f(z) ^ 7И (<г е D) заменить условием Re {
(действительное число ф не зависит от точки z).
Функция Ф (г), определенная и дифференцируемая в области D, называется
первообразной функции /(г), определенной в области D, если,
Ф'(*) = /(г) (ге=О).
Известно, что если первообразная существует, .то она единственна с точно-
точностью до постоянного слагаемого.
104
10.06. Пусть функция f(z) регулярна в конечной односвязной
области D. Доказать, что функция
Ф (z) = I /(?) dl + const (z0 gD, z e= ?>),
является первообразной функции /(-г).
10.07. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в конечной одно-
связной области Д a F(z) и O(z) соответственно первообразные
этих функций. Доказать формулу интегрирования по частям
ъ ь
10.08. Пусть функция f(z) определена при \z — a|<R рядом
00
Доказать, что ее первообразная равна
00
F(z)= 7 c~^=^(z — аУ* + const.
10.09. Найти первообразные функций:
1. еаг. 2. chaz. 3. sh az. 4. cosaz. 5. sin az.
6. *a* cos fez. 7. zeaz. 8. z2chaz. 9. z cos az.
В следующих задачах рекомендуется использовать теорему Коши и в та-
такой формулировке:
Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной конечносвязной области D,
граница которой 3D состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких
кривых. Если функция f (г) непрерывна вплоть до границы области D, то
$/(г)</г=0.
3D
10.10. Пусть функция f(z} регулярна в кольце r<C\z—a\<CR.
Доказать, что интеграл
I f(z)dz, r<p<R,
\z—a| = p
не зависит от числа р (окружность обходится против часовой стрелки).
10.11. Пусть функция f{z) регулярна в кольце r<Z\z\<CR> a
простая кусочно-гладкая кривая С ограничивает область, содержа-
содержащую круг | z| ^г и лежащую в круге \z\<CR> причем при движе-
движении по кривой С область остается слева. Доказать, что интеграл
\f(z)dz не зависит от выбора кривой С (удовлетворяющей поста-
с
вленным выше условиям).
Указание. Рассмотреть функцию f(г) в области, заключенной между
кривой С и окружностью |г| = г + 8, 8>0.
105
10.12. Пусть функция f(z) регулярна в произвольной области D
комплексной плоскости. Доказать, что необходимым и достаточным
условием существования первообразной у функции f(z) в области D
является равенство нулю интеграла от функции f(z) по любой про-
простой замкнутой ломаной, лежащей в области D.
10.13. Доказать, что следующие функции не имеют первообраз-
первообразных в областях, указанных в скобках:
1.1 @<|*|<оо). 2. 1-^ly @<!*|<l).
3-ТТ^ 0<И«х>)- 4. iTrl_j @<|sj<l).
10.14. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной двухсвязной
области Д заключенной между двумя замкнутыми кусочно-гладкими
кривыми Ci и С2» и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что
функция f(z) имеет в области D первообразную в том и только
в том случае, когда ^ f(z)dz = 0.
10.15. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области,
содержащей точку z = oo. Доказать, что функция f(z) имеет в этой
области первообразную в том и только в том случае, когда lim zf(z)—Q.
г-*со
10.16. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области Д
содержащей точку z = oo. Обозначим через D' область D с выко-
выколотой точкой 2 = oo. Доказать, что функция f(z) имеет первообраз-
первообразную в области D' в том и только в том случае, когда
10.17. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в области Д со-
содержащей точку ,г = оо, и имеют первообразные в области D* (об-
(область D с выколотой точкой z== do). Доказать, что функции
(Р (w) — произвольный многочлен) также регулярны в области D и
имеют первообразную в области D'.
10.18. Пусть функция f(z) регулярна в конечной /я-связной об-
области Д ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Гь
А» • • • у Гт. Доказать, что для существования у функции f(z) перво-
первообразной в области D необходимо и достаточно, чтобы
= Q (k=l, 2, ..., т— 1).
\
10.19. Пусть функция f(z) регулярна в полосе —a<lmz<a и
удовлетворяет условию f\z) -> 0 (z -> оо,' — а < Im z < а). Доказать,
оо
что если интеграл ^ f(x)dx сходится, то при любом а из интер-
106
/a-f oo
вала (— a, a) интеграл ^ f(z) dz также сходится и не зави-
/a —со
сит от а.
Указание. Применить теорему Коши к одному из прямоугольников
—/?! < Re г < R2, 0 < | Im г | < | a |,
а затем перейти к пределу при Ял —* + оо, /?2—>+оо.
10.20. Пусть функция f(z) регулярна в угле —a<izxgz<C.a и
удовлетворяет условиям
zf(z)-+O (z-^0, |arg^j<a), zf(z)-+O (z->oo, |arg*|<a).
00
Доказать, что если интеграл ^ f{x) dx сходится, то при любом а из
о
интервала (— а, а) интеграл ) f(z) dz также сходится и не зави-
arg г—а
сит от а.
оо
10.21. Из анализа известно, что § е~х dx~Y!i. Вычислить ин-
—00
теграл
со
^ е~хг cos ax dx, — оо <С а < оо.
Указание. Воспользоваться решением задачи 10.19 с f(x)~e~x*.
10.22. Вычислить интегралы Френеля
ОО 00
/х =Д cos х2 dx, 4=5
о
используя формулу
о
Указание. См. задачи 10.20 и 5.38.
Решение следующих задач рассчитано на использование интегральной фор-
формулы Коши:
Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области D и непрерывна
вплоть до ее границы dD, состоящей из конечного числа замкнутых кусочно-глад-
кусочно-гладких кривых (обходимых в таком направлении, чтобы область D оставалась
слева). Тогда
JЛ Ж ,,]/(
а1 \ 0 (г
107
10.23. С помощью интегральной формулы Коши вычислить ин-
интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):
2- S Л-у3-
_ . .. . A+г)(г I) J (г —iK
COS 2 ,
dz.
7. у y^ ™ (?): a) |*|<i/2; 6) |z|<3/2; в) \z— 1
^2 /11^
(г-а)Чг-Ь)
1, «= 1. 2, ...)•
10.24. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в круге |<г|<<1 и
непрерывны в круге |г|^1. Доказать, что
JL
10.25. Пусть функция f(z) регулярна в области Д содержащей
точку 2 = оо, и непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что в
этом случае интегральная формула Коши принимает вид
Ш^~г \ -/(со) (ztD),
а формула для производных f(z) сохраняет прежний вид.
Указание. Применить формулу Коши к функции /(г) в области D#,
получающейся удалением из области D области \z\^Rf а затем положить
R — со.-
10.26. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z — a\<R и
непрерывна в круге \z — a\^R. Доказать формулу
2л
носящую название теоремы о среднем,
10.27. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<cR и непре-
непрерывна в круге |г|^/?. Вычислить интеграл ^jj f(z)dxdy.
r<\z\<R
10.28* Доказать, что функция, регулярная в некоторой области и
отличная от тождественной постоянной, не может принимать во
внутренней точке этой области наибольшего по модулю значения.
(Принцип максимума модуля.)
Указание См. задачу 10.26.
108
10.29. Пусть функция и(х,у) гармонична в круге \z — а|
Доказать, что
~
2я
Указание. См. задачу 10.26 и задачу 8.29.
10.30. Доказать, что функция, гармоническая в некоторой области
и отличная от тождественной постоянной, не может принимать во
внутренней точке этой области ни наибольшего, ни наименьшего зна-
значения. (Принцип максимума для гармонических функций.)
10.31. Пусть функция f(z) регулярна в конечной области D и
непрерывна вплоть до ее границы дД состоящей из конечного числа
замкнутых кусочно-гладких кривых. Доказать неравенство
f(n)(z)
M-L
=1, 2,...),
где
f = max|/B)|, p—расстояние от точки z до границы области Д
a L—полная длина границы области D.
10.32. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<^R и непре-
непрерывна в круге | z | ^ R. Доказать неравенство
!{П) (г) MR ( 9 ч/|г1^рч
п\ ^(^~|г|)"+1 ^-i,z, ...;, [\z\<^Kh
где 714 = max \f(z)\.
10.33. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<^R и непре-
непрерывна в круге |г|^/?. Доказать неравенство
т
~2R'г'cos фГ
где М = тах|/(,г)|, и показать, что при п—1 это неравенство можно
записать в виде
1/(^I ^^js (\*\<R)-
10.34. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и удо-
удовлетворяет условию \f(z)]^M при всех z. Доказать, что f(z)
тождественно постоянна. (Теорема Лиувилля).
Указание. Воспользоваться неравенством для |/'(г)|> скажем, из
задачи 10.32 при фиксированном z и R-+oo.
10.35. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и
удовлетворяет неравенству \f(z) \ ^ М A +1 z \ )р, р > 0. Доказать,
что f(z) — многочлен степени не выше р.
109
В следующих задачах считается известном такой факт*.
Если функция / (z) представима степенным рядом
сходящимся в некоторой окрестности точки г = а, то сл = —rf<n) (а).
10.36. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<R и
в некоторой окрестности точки 2 = 0. Доказать, что
l^l^inf ^1 (и«о, 1, 2,...),
где M(r)= max |/(z)|, г
10.37. Пусть функция /(^)"=^спгп регулярна в круге \z\
о
и удовлетворяет в нем неравенству | /' (z) | ^ М. Доказать, чтр
М
\c\^ (»1 2 )
10.38. Пусть функция f(z) = 2jCnzn регулярна во всей плоскости
о
и удовлетворяет неравенству \f{z)\ ^Me^zt Доказать, что
(я = 0, 1, 2, ...).
10.39. Пусть функция f(z) регулярна в угле |arg^|
и в каждом внутреннем угле |arg^|^a—т|, т]>0, для нее спра-
справедлива асимптотическая оценка f(z) = O(l) (z -> со). Доказать, что
в каждом угле | argz \ ^ а — т], yj>0, справедлива оценка/' (z) = О (l/z)
(z -> оо).
10.40. Пусть функция f(z) регулярна в полосе | lm z \ <# и в каж-
каждой внутренней полосе |Im2|^a—т), т]>0, для нее справедлива
асимптотическая оценка /(^) = o(l) (,г~>оо). Доказать, что в каж-
каждой полосе | Im2 | <;a—-tj, г|>0, справедлива и оценка
/'(*) = * 0М*-*оо).
10.41. Пусть функция f(z) регулярна в полосе \lmz\<.a
и в каждой внутренней полосе \lmz\^a — т), т)>0, для нее спра-
справедлива асимптотическая формула f(z)~l/z (z-*oo). Доказать, что
в любой полосе |1т,г|^а—yj, г]>^ справедлива асимптотическая
оценка /' (z) == о (l/z) (z -> оо).
ПО
10.42. Пусть функция f(z) регулярна в полосе llm^^u,
и в каждой внутренней полосе | Im z |^a — x\, г|<0, для нее имеется
оо
асимптотический ряд f(z) я^ ^ akz~k (z -> оо). Доказать, что для
функции /' (z) в каждой полосе | Im z | ^ а — т), г| > 0, имеется
асимптотический ряд
10.43. Существует ли функция f(z), регулярная в полосе [ Im z \
и удовлетворяющая условиям
* *
Решение дальнейших задач рассчитано на использование следующей
теоремы:
Пусть С — спрямляемая кривая, Dlt D2, ... — области, на которые эта кри-
кривая разбивает плоскость z, а функция <р (t) непрерывна на кривой С. Интеграл
называемый интегралом типа Коши, определен для всех г, не лежащих на кри-
кривой С, и в каждой из областей Dfe он представляет регулярную функцию fk (г).
Для производных этих функций справедливы формулы
Lf(n)(z,± f ф@
п\ Jk У )~~2ni I (t-z)n+
^j Ik V*-/ — "о^> \ 72 vT/i+i" ^^ (П — 1» 2, ...) .
Число областей D^, вообще говоря, произвольно. Если С —простая замк-
замкнутая кривая, то это число равно двум, а если С простая незамкнутая кри-
кривая, то оно равно единице.
10.44.' Найти области Dk и функции fk (z) для следующих интег-
интегралов типа Коши:
1 ± С <% 2 JL
о
25 ]
10.45. Пусть функция /(z) регулярна в кольце г<<|? —
Доказать, что интеграл типа Коши
^. г<р<Я
при | z | < г (или при | 2 | > /?) не зависит от числа р.
Указание. См. задачу 10.10.
Ш
10.46. Пусть функция /(?) регулярна в кольце
и непрерывна в кольце г<;|?|^/?. Обозначим
(окружности обходятся против часовой стрелки). Доказать, что при
г < | z | < /? имеет место равенство /(<г) =/х (<г)+Л (г).
10.47. Пусть функция f(z) регулярна в кольце r<C\z — a\<.R.
Доказать, что ее можно представить в виде f(z)=f1(z)-\-f2(z)>'где
функция fx (z) регулярна в круге \z — а | < R> а функция /2 (z)
регулярна при \z — а | > г и /2(оо) = 0.
10.48. Доказать, что представление функции f(z) из предыдущей
задачи единственно.
Указание. Воспользоваться теоремой Лиувилля (см. задачу 10.34).
10.49. Пусть простая замкнутая кривая Сг ограничивает конечную
область Dl9 а простая замкнутая кривая С2> лежащая в области Dv
ограничивает конечную область D2 czDb Доказать, что любую функ-
функцию f(z), регулярную в кольцеобразной области D — Dx — D2, можно
представить в виде f(z)=fi(z)-\-f2(z), где функция fx(z) регулярна
в области Dv а функция /2(г) регулярна вне области ?J. Доказать
также, что такое представление единственно, если наложить условие
/2(оо) = 0.
10.50. Пусть С — простая замкнутая кривая, ограничивающая
конечную область Д а функция ф (z) регулярна в некоторой области,
содержащей кривую С. Доказать, что для существования функции
f(z), регулярной в замыкании области D и совпадающей с функцией
ф(?) на кривой С, необходимо и достаточно, чтобы
10.51. Пусть С —простая замкнутая кусочно-гладкая кривая,
ограничивающая конечную область Д а функция ф(^) непрерывна
на кривой С. Доказать, что для равенства
t—г
необходимо и достаточно, чтобы
\ tn(f (t) dt = O (# = О, 1, 2,...),
с
а для равенства
112
необходимо и достаточно, чтобы
f = 0 (/i = —1, —2, ...).
10.52. Пусть функция f(z) регулярна в полосе —a<l\mz<a
и удовлетворяет условиям
00
> 0 (г -> оо, | Im z | < а),
— 00
Доказать, что функцию /(г) можно представать в виде /2С
где функция /х (z) регулярна в полуплоскости Im z > — а и удов-
удовлетворяет условию
(е>0 произвольно), а функция /2(«z) регулярна в полуплоскости
и удовлетворяет условию
6^-»0 (s-*oo, Imz^a — г)
(е>0 произвольно). Доказать также, что такое представление
единственно.
Указание. Взять
— 1а'-\- оо
Д(г)= Ш
— ш'—оо^
1гаг<а'<а-
/а' + оо
/а' — оо
10.53. Пусть функция /(?) регулярна в угле —a
0<а<я, непрерывна вплоть до его границы и удовлетворяет
условиям
оо
Обозначим
g3
Доказать, что:
1. Функция /i(z) регулярна во всей плоскости z с разрезом по
лучу arg^==—а, а функция f2(z) — во всей плоскости z с разрезом
по лучу argz = a.
ИЗ
2. Вне угла |arg?]^a имеет место равенство Л==/2.
3. Внутри угла |arg2|<a имеет место равенство fx—/2 = 2я//
* #
10.54. Пусть Р — полуполоса Re2;>0, \\mz\<.n, a F(z)~
функция, определенная вне D равенством
Доказать, что функцию F{z) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость.
10.55. Пусть D — область \г\ > 1, |argz|< —, р>1, a F(z) —
функция, определенная вне D равенством
(для ^Р берется главное значение). Доказать, что функцию F(z)
можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость.
10.56. Доказать, что для функции F(z) задачи 10.54 (после осу-
осуществления продолжения) имеют место асимптотические формулы
F(z)^ — \]z (z -> oo, z фП),
10.57. Доказать, что для функции F (z) задачи 10.55 (после осуще-
осуществления продолжения) имеют место асимптотические формулы
(для z9 берется главное значение).
ОТВЕТЫ
10.09.
1. 1.еаг+Сщ 2. i-sh аг + С. 3. -i-ch аг + С. 4. ~sinaz + C.
5. cos аг+С.
ац*Ьг + ЬапЬг Ц _1
2г 2г 2 г 1
8. —sh az s- ch az + —^ sh az + C. 9. —sin аг + -=- cos az 4- С
а а2 / * a3 ' а а2 '
10.21. Уте" exp (— а2/4).
114
4/1-
10.22. Л =
10.23.
1. 2n;sh 1. 2. 0. 3. 2msh 1. 4. 0. 5. — ni/4. 6. — mch 1. 7. а) 2ш; б)тB — е);
в) — me. 8) — 2ш (б—а)"'1.
10.27. я (Я2 — г2)/@).
10.43. Да. Пример f (г) =-^—eeiz.
10.44.
±;
§ 11. Ряд Тейлора
Известно, что каждая функция /(г), регулярная в каком-либо круге
|z — zo|<#, разлагается в сходящийся в этом круге степенной ряд
где коэффициенты ал определяются формулами
или
1
, r<R.
A)
B)
Этот степенной ряд называется рядом Тейлора функции f(z) в окрестности
точки г = г0.
Формулы A) далеко не всегда позволяют эффективно вычислить коэффи-
коэффициенты ап. Формулы B) пригодны для этой цели еще в меньшей степени.
Для эффективного вычисления коэффициентов ряда Тейлора существует ряд
искусственных приемов, о которых будет идти речь ниже.
11.01. Непосредственным вычислением/(Л) @) доказать следующие
формулы, справедливые для всех z:
п — 0
3. zhaz=
5.
Bп)Г
4. shaz=2
а2Л+1
6--cos
=2 (-1)л (S
115
11.02. Опираясь на разложение еа* = У—р, доказать формулы
=2 (-1)"
л = 0
Bл)! •
*• з
Dл) I *
)
п=0
(Зл)!'
4.
л=0
11.03. Опираясь на разложение tzt~ ^У*^ справедливое при
о
| z | <С 1, доказать формулы:
5.
1
A+22J
±i?i±
/г=1
7. (l-^)—.^
=l, 2, ...)•
11.04. Найти разложение следующих функций в ряд Тейлора
в окрестности точки z = 0:
1
1 *
о
3- (Т+?)Г- 4>
116
При разложении рациональных функций в ряд Тейлора разлагаемую
функцию бывает полезно разложить на сумму более простых дробей (стре-
(стремиться к полному разложению на простейшие дроби не обязательно).
11.05. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 сле-
следующие рациональные функции:
о
В некоторых случаях рациональную функцию можно упростить при по-
помощи умножения числителя и знаменателя на подходящий множитель.
11.06. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = Q сле-
следующие функции:
3 * 4
При разложении в ряд Тейлора комбинаций из показательных и тригоно-
тригонометрических функций часто полезно преобразовать разлагаемую функцию
к комбинации только показательных функций.
11.07. Разложить следующие функции в ряд Тейлора в окрест-
окрестности точки z = 0:
1. sin2 г. 2. cos3 г. 3. sin4 z + cos4 z. .
4. cos2 z + ch2 z. 5. ez sin z. 6. ch z • cos г.
Из курса математического анализа известны следующие разложения:
00
2.
Здесь а — произвольное комплексное число, a
Написанные ряды сходятся не только при действительных значениях х из
интервала (—1, 1), но и для любых комплексных z из круга |г|<1. Для
сумм этих (и подобных им) рядов мы сохраним в комплексной области (в круге
сходимости) то же обозначение, которое было им присвоено для действитель-
действительных значений переменного. (Строгое обоснование возможности такого подхода
является содержанием принципа аналитического продолжения.)
117
11.08. Опираясь на разложение функции (\-\-z)a в ряд Тейлора:
доказать формулы:
1.
2n+l
11.09. Доказать формулы:
2.
3-т
4.
11.10. Найти разложение в ряд Тейлора в окрестности точки
-Zq следующих функций:
zo=O. 4.
го==1. 6. cosz,
го=1. 8. -*-
Имеется еще один весьма эффективный прием разложения функций в ряд
Тейлора. Он состоит в использовании метода неопределенных коэффициентов,
отыскиваемых с помощью тех или иных соотношений, которым удовлетворяет
разлагаемая функция. Простейшим примером применения этого приема является
задача об отыскании коэффициентов ряда Тейлора отношения двух функций,
ряды Тейлора которых известны.
118
11.11. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти
первые три отличные от нуля члена разложения следующих функций
в ряд Тейлора в окрестности точки 2 = 0:
1.
4.
г
arcsin г'
5.
2. tg z. 3.
г
arctg z *
6.
A — г2) sin z
11.12. Пусть функции f(z) и gB), регулярные в некоторой
окрестности точки 2 = 0, связаны соотношением g(z) = ^ -. По-
ложим f(z)= 2 ал*я» ^(-2r)=S &ra<2;/l- Д°казать, что Ь0 = аф
&я+1 —айл = ал+1 (/1 = 0, 1, 2, ...)•
11.13. Пусть функции f(z) и #(.г), регулярные в некоторой
окрестности точки 2 = 0, связаны соотношением
ПОЛОЖИМ /B) = 2ая^Я»
о
Л- Д°казатЬ ЧТО
и что это соотношение остается в силе и при n<im, если считать
величины в b_v ..., Ь_т равными нулю.
00
11.14. Пусть функция A(z)=\—^ ап*п регулярна в некото-
некоторой окрестности точки 2 = 0. Доказать, что
оо
A (z) ¦ Zd '
где
<*! —1 0 ... О
а2 аг — 1 ... О
11.15. Пусть /B)= J] аЛ2я. Введем обозначение
а0 ах ..
119
Доказать, что функция f{z) является рациональной функцией в том
и только в том случае, когда все определители ?)я(/), начиная
с некоторого номера п0, равны нулю.
11.16. Числа АПУ п = 0, 1, 2, ... , определяемые условиями
Д>=1, Лх=1, An+2 = An+i + An (п = 0, 1, 2, ...),
образуют так называемый ряд Фибоначчи.
оо
1. Доказать, что У An^n=l__z_z2 ¦
2. Доказать, что
Метод неопределенных коэффициентов бывает очень полезен, если функцияt
разлагаемая в ряд Тейлора, удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению.
11.17. Найти разложения в ряд Тейлора в окрестности точки
2 = 0 следующих функций f(z), регулярных в точке z = 0 и удов-
удовлетворяющих условиям:
2.
3.
4.
6. f
7. {\-z*)f"{z)-bzf {z)-lf{z) = 0,
11.18. Используя тот факт, что функция f(z) = -^.CS1 удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
A-*V'(*)-*/(*)==!, /@)==0,
доказать, что
arcsin z VI / л\п 2 • 4 •
L3-5.
2
11.19. Доказать формулы:
2 ! Г1"A + г)? ! + V /iv f 1 I ' 4 1 1 \ г"
120
3. ^
Указание. Подобрать к разлагаемым функциям подходящие дифферен-
дифференциальные уравнения, которым они удовлетворяют.
11.20. Доказать, что
arcsin* __
B/г
/2=0
Указание. Функция f(z) =± eK aTCSin г удовлетворяет дифференциальному
уравнению A — г2) /" {z) — Xzff (г) — X2/ (г)=,0.
11.21. Доказать, что:
со
1 ,1 • ч 1 V ^2(Х2 —22) ...(X2—4n2) n
1. cos (Л arcsin z) = 1— ? * /o^-j_om С—l) ;
лг = О
со
2. sin (
п= 1
оо
12V
6. Л (arcsin ,гK ==
"~ L Bп+ 1) (л!)*
1
I I
52 ^ • •' ^ Bл- IJ J \ 2
7 г rarcsin^4- f 2^-1IJГ1 I 1 I L+
/. -g-(arcsin z) — ^ щ^ [ii-22 -t-32 "Г •••
22 ^З2
/г = 2
121
9.
Метод неопределенных коэффициентов полезен и в случаях, когда разлагае-
разлагаемая в ряд„ Тейлора функция удовлетворяет и функциональным уравнениям
другого вида (не обязательно дифференциальным уравнениям).
11.22. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки 2 = 0 и удовлетворяет условиям f{z)==z-\-f(z% /@)=0.
Доказать, что
со
11.23. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки 2 = 0 и удовлетворяет условиям f(z) = (l-\-qz)f(q*z)9 /@)=1,
где qf \q\<l,— некоторое фиксированное число. Доказать, что
11.24. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки z = 0 и удовлетворяет уравнению f (z)=f(qz)> /@)=1, где
# — некоторое число, |^!^Ь Доказать, что
* * *
Коэффициенты рядов Тейлора многих очень употребительных функций
выражаются через некоторые специальные последовательности чисел.
Числа Бернулли Вп, л = 0, 1, 2, ... , определяются соотношениями
Во=1,
а числа Эйлера Еп — соотношениями
11.25. Доказать, что
11.26. Доказать, что:
00
00
122
11.27. Доказать формулы:
oo
6 In to ^~ -4- —^ — У ( 1Y*
Bл+1) B/1I * Vl * *Г
11.28. Многочлены Бернулли Вп(х)„ #=0, 1, 2, ..., опреде-
оо
ляются равенством -j—Г ^ X "' ^1 ^ (I ^ I ^ ^л;)# Д^казать> что:^
1. ?л@) = 5л (л = 0, 1, 2, ...).
2\Г* /^* , R [ \Л у11 п П 1 9
* * *
Иногда бывает удобнее пользоваться не рядом Тейлора, а формулой Тей-
Тейлора с остаточным членом.
11.29. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области Д
содержащей точку z0. Доказать, что для любой точки z ?fl спра-
справедлива формула
11.30. Пусть функция /(.г) регулярна в круге \z\<R> а число г
удовлетворяет условию 0<г<1- Доказать, что для любых двух
точек z и ?, удовлетворяющих неравенствам |<г|</?, |
справедлива формула
123
11.31. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<CR} а точк
z и ? этого круга удовлетворяют условию
Доказать,
11.04.
ОО
3 У
/
ЧТО
у
J
о
/
\
/
1)я(л+1) 2я.
1)Я(Я+1J«Я.
b | <^
со
VI (Z
ko ^
ОТ
2.
4
14
Bп +
BET
со
S
/г = 0
ОО
п=0
2
•
1)! \ 2
Ы
(П+1J»я.
[л+ 1) (м + 2) жДЛ
2
11.05.
ОО
3< " 2 ((—l)^1 —
2. -
п=0
4. -
00
0
11.06.
ОО
3.
2.
4.
11.07.
00
2
1
5. У 22 sin
2
У
4-
^J Dл)
124
т+^ )• '• i 2
00
W ( 2n+l *
n=0 r n=0
9 ' \ BдI
11.11.
4- 1-t-ss'i+ ы+2ч
11.17.
1.
4.
6.
2
1-
oo
2
)
23
2-3
(-
)
1
1 2-
2.
3-5
л (л!
оо
2'
rt=O
•6
:-1)я
2-3.
7.
2п+1 '
29 !
5.6.8-9 1
00
V 22^ (п!
La B/i)l
00
3-2
(-
0
5.
^1 Bai)! 2^л+1
^d 22«(/г!J 2п+1
§ 12. Последовательности регулярных функций.
Интегралы, зависящие от параметра
Следующие задачи рассчитаны на использование теоремы Бейерштрасса:
Предел последовательности регулярных в области D функций также
является регулярной в области D функцией, если эта последовательность равно-
равномерно сходится в области D.
Различные критерии равномерной сходимости последовательностей функций
считаются известными (см. § 6).
12.01. Доказать следующий вариант теоремы Вейерштрасса:
Пусть функции fn(z) регулярны в области D и последовательность
{fn(z)\ равномерно сходится на каждом замкнутом множестве, лежа-
лежащем в области D. Тогда предел последовательности \fn(z)} также
является функцией, регулярной в области ?). Кроме того, при любом
125
т последовательность {fif* {?)) равномерно сходится на каждом
замкнутом множестве, лежащем в области Д к /я-й производной
предельной функции последовательности {fn(z)}.
12.02. Доказать, что суммы следующих рядов регулярны в об-
областях, указываемых в скобках:
2- 2P
1
6. 2(~ 1)"л- (Re z > 0).
1
ОО 00
7. 2 2~n9*if (Re * > 0). 8. 2
—оо О
12.03. Пусть {%n) — возрастающая последовательность положитель-
положительных чисел и пусть
0, a lim" | ап ^п == р > 0.
п -* оо ^п п-*со
Доказать, что сумма ряда
регулярна в полуплоскости Re^>alnp.
12.04. Доказать, что следующие бесконечные произведения пред-
представляют функции, регулярные в областях, указываемых в скобках:
f
1 1
00 00
П [1 ~т)eZ/n С z!<°°) 4- П {} +<-
оо
оо
12.05. Пусть ряд 21**1 СХ°ДИТСЯ> а функция u(z) регулярна
в области D. Доказать, что бесконечное произведение
П о
П
1
представляет функцию, регулярную в области D*
126
12.06. Пусть сходятся ряды
11 1
Доказать, что бесконечное произведение
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re z > 0.
* * *
В следующих задачах наряду с теоремой Вейерштрасса (см. начало пара-
параграфа) следует опираться на следующую теорему:
Пусть С -*- спрямляемая кривая в комплексной плоскости t, a D—область
в комплексной плоскости г. Если функция ф (t, г) определена и непрерывна по
совокупности переменных при t е С и г gD, а кроме того, при любом t eC
регулярна по г в области Dt то функция
регулярна в области Z).
12.07. Доказать регулярность функций, представленных следу-
следующими интегралами в областях, указанных в скобках:
3.
5-
7-
f+T*dt (Rez>0)- 2'
^i^ Л (Re г > 0). 4.
^e
dt
К°°>-
dt (Re ^r < 2).
). 6.
—
Z>0)
12.08. Пусть функция ф
ряет условию lim n' ^ М
непрерывна при ^0 и удовлетво-
00
<х. Доказать, что интеграл \w(f)e~tzdt
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re?>a.
12.09. Пусть функция ф(?) непрерывна при —оо<;?<оо и
удовлетворяет условиям
Ш
127
00
Доказать, что интеграл ^ (p(t)eitzdt представляет функцию, регуляр-
— ос
ную в полосе ах < Im z < а2-
12.10. Найти области регулярности функций, представленных
следующими интегралами:
о
оо
оо
3
4.
— ОО
5.
i
1
Во многих вопросах большую роль играет принцип компактности семейств
регулярных функций:
Если функции /j (г), /2 (г), ... регулярны в области D и удовлетворяют
условиям
\fn(z)\^M Be=D, n=l, 2,...),
то из последовательности {fn (г)} можно выделить некоторую подпоследова-
подпоследовательность \fnk (г)}, равномерно сходящуюся в каждой замкнутой части
области D.
В следующих задачах предлагается, опираясь на принцип компактности,
получить некоторые обобщения и видоизменения этого принципа.
12.11. Пусть функции fn(z), я=1, 2, ..., регулярны в области/)
и равномерно (по п) ограничены на каждом замкнутом множестве,
лежащем в области D. Доказать, что из последовательности {fn(z)\
можно выделить подпоследовательность {fnk(z)}> равномерно сходя-
128
щуюся на каждом замкнутом множестве, лежащем в области D (по-
(последовательность номеров \nk\ выбирается одной и той же для всех
множеств).
12.12. Пусть функции fn(z), #=1, 2,..., регулярны в круге
| z | <; 1 и удовлетворяют условиям
где числа М и т не зависят от п. Доказать, что из последователь-
последовательности {fn(z)\ можно выбрать подпоследовательность {fn (z)}y равно-
равномерно сходящуюся в каждом круге |г|^г<1.
12.13. Пусть граница dD ограниченной области D состоит из
конечного числа простых кусочно-гладких кривых и пусть на dD
определены и непрерывны функции фЛ(?)- Доказать, что если после-
последовательность {фл(О} равномерно ограничена на dD, то из после-
последовательности функций {fn(z)}, fn(z) = K—. \ ^п ¦ d^ (k—фиксиро-
ванное целое число) можно выделить подпоследовательность {fnk(z)}>
равномерно сходящуюся на каждом замкнутом множестве, лежащем
в области D.
12.14. Пусть функции /л(.г), #=1, 2,..., регулярны в области D
и удовлетворяют условиям Refn(z)^0 (z e D, я=1, 2,...). До-
Доказать, что из последовательности {fn(z)} можно выделить под-
подпоследовательность {/„ (г)}, равномерно сходящуюся в каждой
замкнутой части области D (возможно, к бесконечности).
12.15. Пусть функции fn(z)y /i=l, 2,..., регулярны и равномерно
ограничены в области D. Доказать, что если последовательность
{fn(z)} сходится на множестве Е9 имеющем хотя бы одну предельную
точку в области Д то она равномерно сходится на каждой замкнутой
части области D. (Теорема Витали.)
Большинство теорем о последовательностях регулярных функций перено-
переносятся и на последовательности гармонических функций.
12.16. Пусть функции ип(ху у)> #=1,2,..., гармоничны в
области D и пусть последовательность {ип{х, у)} равномерно схо-
сходится в области D к функции и {х> у). Доказать, что функция и (х, у)
гармонична в области Ь.
Указание. Рассмотреть последовательность {ип(х, у)} в каждой одно-
связной части области О. Там можно построить регулярные функции fn(z),
для которых Refn(x + iy) = Un(x> У)-
12.17. Пусть функции ип(х, у), #=1, 2, ..., гармоничны в обла-
области D и удовлетворяют условиям
КС*> J0KM ((*, >0е= A /i=1, 2, ...).
Доказать, что из последовательности {ип(х, у)} можно выделить под-
подпоследовательность {иПк(х, у)}, равномерно сходящуюся в каждой
замкнутой части области D.
5 Под ред. М. А. Евграфова 129
12.18. Пусть функций ип(х, у), л=1, 2, ..., гармоничны в обла-
области D и удовлетворяют условиям
Ия+1 (*. У) ^ ип (х, у) ((*, j/)sD, п = 1, 2, ...).
Доказать, что последовательность {ип(х, у)} равномерно сходится
в каждой замкнутой части области D (возможно, к + оо).
12.19. Пусть функции /л(г), я= 1, 2,..., регулярны в области Д
не обращаются в этой области в нуль и удовлетворяют неравенствам
\fn(z)\^Mn (zeD, п=\, 2, ...)
(постоянная УИ не зависит от п). Доказать, что из последователь-
последовательности {V\fn{z) |j можно выделить подпоследовательность, равно-
равномерно сходящуюся в каждой замкнутой части области D к функ-
функции \g(z)\, где g(z)— регулярная в области D функция.
00
12.20. Пусть степенной ряд ^cnzn имеет радиус сходимости
о
R, 0</?<Соо. Доказать, что для каждой точки ZQ — Rei(v суще-
существуют такие последовательности {nk} и {zk}> для которых
nk
lim zk = z0\ 2 с^==0-
Указание. См. задачи 12.19 и 12.15.
ОТВЕТЫ
12.10.
1. Вся плоскость z с разрезом по отрицательной части действительной оси.
2 Вся плоскость z с разрезом по лучам [ — оо, — 1] и [1, +°°]-
3. Вся плоскость z с разрезом по лучу | — оо, — 1]. -
4. Вся плоскость z с разрезом по отрицательной части действительной оси.
5. Вся плоскость z с разрезами по лучам
[1, +оо], [argz = 2rt/3, |*|>1], [argz = — 2Л/3, | г | > 1].
6. Вся плоскость г (включая точку z = oo) с разрезами по прямолинейным
отрезкам, соединяющим точку г = 0 с точками г = 1, г=е2ш/3, г = е~~2/3
7. Вся плоскость г с разрезом по лучу argz = a + ji.
8. Вся плоскость г с разрезом по спирали, уравнение которой
9. Вся плоскость г (включая точку г—оо) с разрезом по верхней половине
окружности | г | = 1.
§ 13. Теорема единственности. Аналитическое продолжение
Следующие ниже задачи рассчитаны на использование теоремы единст-
единственности:
Если функция /(г) регулярна в области D и обращается в нуль на мно-
множестве Е, имеющем хотя бы одну предельную точку в области D, то f (г) = 0.
13.01. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D области D.
Доказать, что в области D лежит лишь конечное число решений
уравнения /(^) = a (при произвольном фиксированном значении а).
130
13.02. Пусть функция f(z) регулярна в точке z = z0. Доказать, что
существует предел lim ¦¦"'/ у* ' 1*°Н й что этот предел равен це-
г_+?0 in J г-~г0 j »
лому положительному числу.
13.03. Существует ли функция f{z), регулярная в некоторой
окрестности точки 2 = 0 и удовлетворяющая одному из следующих
условий (п = 1, 2, .,.):
1.
2./(i)=i
J\n) n
9.
11. Я-5/2< /(I
13.04. Пусть функции /г(г) и f2(z) регулярны в области D и
удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению /' (z) =
= P(z, f{z)), где Р(-г, ^ — многочлен от своих переменных. Дока-
Доказать, что если в некоторой точке zo^D имеет место равенство
/iBo)=/2(*o)> то /1(z) = f2(z). t
13.05. Пусть функции f\(z) и f2(z) регулярны в области D и
удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению
где Р — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в неко-
некоторой точке zo?D имеют место равенства
то A(z) = /2(z).
13.06. Доказать, что функциональное уравнение /Сг)=/Bг) не
имеет решений, регулярных в точке 2 = 0 и отличных от тождест-
тождественной постоянной.
13.07. Пусть <7 = ?2л/'*, где а — иррациональное число. Доказать,
что функциональное уравнение f(z)~f(qz) не имеет решений /(-г),
регулярных при 1/2<|^!<2 и отличных от тождественной посто-
постоянной.
13.08. Пусть /(z) — периодическая функция, регулярная в неко-
некоторой области, содержащей точку г==оо. Доказать, что f(z) = const
во всей области регулярности
131
Пусть функция f(z) определена на некотором множестве ?, а функция
F (г) определена и регулярна в некоторой области D, содержащей множество Е.
Если на множестве Е имеет место равенство f(z) = F(z), то функция F (г) назы-
называется аналитическим продолжением функции / (г) с множества Е на область D.
Из теоремы единственности немедленно вытекает принцип аналитического
продолжения:
Если множество Е имеет хотя бы одну предельную точку, лежащую
в области Z), то существует не более одного аналитического продолжения функ-
функции f(z) с множества Е на область D.
Вопрос о существовании у данной функции / (г), определенной на том
или ином множестве, аналитического продолжения в более широкую область
довольно сложен и методы его решения чрезвычайно разнообразны.
13.09. Доказать, что функции ех, cos г, sin г, chzy shz, опреде-
определяемые первоначально лишь для действительных значений перемен-
переменного, можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость,
разложив эти функции в ряд Тейлора.
Комбинируя многочлен и показательную функцию (или тригонометрические
функции), можно получить аналитическое продолжение с действительной оси
ряда других элементарных функций.
13.10. Найти возможно более широкую область, в которую
можно аналитически продолжить с действительной оси функции:
1. tgz. 2. ctgz. 3. thz. 4. e?l/cos2#
5. е-*г. 6. sin(th*). 7. cos(e22). 8. th(ezy 9. ctg(chs).
13.11. Доказать, что функцию In z> определенную для положи-
положительных значений z, можно аналитически продолжить на всю комп-
комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части действитель-
действительной оси и, обозначив это аналитическое продолжение символом (In z),
получить для него формулу
(In z) = In | z 1 +1 arg z (| arg z \ < я).
z
C* At
Указание. Воспользоваться формулой In2= \ -— t справедливой для
всех положительных z. 1
13.12. Пусть а — произвольное действительное число. Доказать,
что функцию za} определенную для положительных z, можно анали-
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси и, обозначив это аналити-
аналитическое продолжение символом (za), получить для него формулу.
Bа) = | z |a e^*<zz (| arg z \ < л).
Указание. Воспользоваться формулой га = ?а1п2, справедливой для
всех положительных г.
13.13. Пусть 0<а<1- Доказать, что при z, не лежащих на
отрицательной части действительной оси,
t + z — ~ v- / -*>
о
oo
где Л = V tj~t dt> г символ (<га) определен в задаче 13.12.
132
13.14. Пусть 0<а<2. Доказать, что при Re2>0
со
а при Rez <0
00
где А= \ ,2 , . dt, a символ (za) определен в задаче 13.12.
6
13.15. Доказать, что
(Re
оо
где Л=^, В = \ ¦ " .-dt, а символ (Inг) определен в задаче 3.11.
о
Н* 5$« *fc
В аналитическом продолжении часто используется теорема, составляющая
содержание следующей задачи.
13.16. Пусть функция 0(zlt ..., zn) определена, когда
zkEEDk (*=1, 2, ..., л)
и регулярна по каждой переменной zk в области Dk при произволь-
произвольных фиксированных значениях остальных переменных. Доказать, что
если каждая область Dk содержит непустой интервал (ak, bk) дейст-
действительной оси и если
Ф (*ъ • • •» *п) = 0 Йе (fli, #i), ..., ^Л е (ал, Ьп))>
то Ф^ ) 0
13.17. Опираясь на справедливость приводимых ниже формул для
действительных значений переменных, доказать их справедливость и
для произвольных комплексных значений этих переменных:
1. ?2i + 2. = ?2i.?4 2. cos2 г + sin2 2=1.
3. sin22'=2sin^cos2. 4. ch 2z = ch2 2 + sh2 z.
5. sin (zi + ^2) = sin zx cos 2^2 -f- cos zt sin ,г2.
6. ch (zx + Zg) = ch 2X ch ,г2 -f- sh zx sh ^2.
133
13.18. Пусть функция f{z) регулярна в некоторой области, со-
содержащей отрезок [0, 1], и удовлетворяет условию f(z-\- \)=f(z).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить в неко-
некоторую полосу — б <С Im z << б, S > 0.
13.19. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области, со-
содержащей отрезок [0, 1], и удовлетворяет условию
где p(z) — многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно аналити-
аналитически продолжить в некоторую полосу — б < Im z < б.
13.20. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области, со-
содержащей отрезок [1, ,2], и удовлетворяет условию
где p(z) — многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно аналити-
аналитически продолжить в некоторый угол — б <С arg z < б, б > 0.
13.21. Пусть функция f(z) регулярна при р<|г|<1 и удовлет-
удовлетворяет функциональному уравнению f(z) = af(z2)-lrg(z)> где g(z) —
некоторая данная функция, регулярная в круге \z |< 1. Доказать, что
функцию f(z) можно аналитически продолжить в кольцо 0<j2|<l.
13.22. Гамма-функция Эйлера Г(<г) определена при ,г>0 равен-
равенством
Доказать, что функцию Г (z) можно аналитически продолжить на всю
комплексную плоскость, за исключением точек 2 = 0, —1, —2,
Указание. Доказать, что функция Г (г) удовлетворяет функциональ-
функциональному уравнению Г (г+ 1) = гГ (г).
13.23. Бета-функция Эйлера B(z, ?) определяется при г>>0
и ?> 0 равенством
В(z, i) = \t*-*(\~t)l-4L
о
Доказать, что функцию В (г, ?) можно аналитически продолжить по
каждой из переменных на всю комплексную плоскость, за исключе-
исключением точек 2==0, —1, —2, ... (соответственно ?=0, — 1, — 2, ...).
Указание. В оказать, что функция В (г, ?) удовлетворяет функциональ-
функциональным уравнениям
Ь (г, l)=B (?, г), В (г+ 1, 0-j^j- B (*, О-
134
Большинство способов аналитического продолжения связано с теоремой
Коши о независимости интеграла от пути интегрирования. Эти способы при-
применяются главным образом к функциям, представляемым теми или иными
интегралами.
13.24. Пусть функция ф(?) регулярна в кольце r<:|?|
Доказать, что функцию f{z), заданную в круге | z \ < г с помощью
формулы
==i \ «-^«М (\*\<г)
\Ъ\
(т — целое число), можно аналитически продолжить в круг |г
и что это аналитическое продолжение F{z) задается формулой
=S55 \ (С-
13.25. Доказать, что следующие функции могут быть аналити-
аналитически продолжены на области D, указанные в скобках:
2.
cos (t + у
3./(г)= \
IEI=i
cos (t + у
Af
/ 1
cos' ? -f —-
5. /(z)=
13.26. Пусть функция ф(?) регулярна в полосе
и удовлетворяет условию
Доказать, что функция
/оо
допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Rez> — а
и что это аналитическое продолжение F(z) дается формулой
—а-Н'оо
)=== \ TZ?7dl* (Re^> —а).
—а—/оо
135
13.27. Доказать, что для аналитического продолжения F(z), по-
построенного в задаче 13.26, справедлива также формула
Указание. Воспользоваться интегральной формулой Коши.
13.28. Доказать, что следующие функции могут быть аналити-
аналитически продолжены на области Д указанные в скобках:
— ОО
оо
2- /(*)=
3. /(г) = J е-f ^#гр (Iraz>0); (Л |г |<оо).
— 00
4. /B)= ^ J^rf?, a>0
5- л^)=
— ОО
6-'<*Н НЬг? Aтг>0); (D: ^
— со
13.29. Пусть функция ср(?) регулярна и ограничена в угле
| arg ? | s^ a < я/2. Доказать, что функцию f(z), определенную в полу-
полуплоскости Rez>0 равенством
можно аналитически продолжить в угол | arg z \ < -д- + а.
Указание. Повернуть контур интегрирования.
13.30. Пусть функция ф(?) регулярна и ограничена в угле
| arg ? | ^ а < я/2. Доказать, чю функцию /(.г), определенную в полу-
полуплоскости Re z > 0 равенством
можно аналитически продолжить в угол | arg 2 |<-н- + а.
136
13.31. Доказать, что следующие функции можно аналитически
продолжить на области Д указанные в скобках:
-гпФ (D: | arg г | < я).
б' *+t
оо
2. f(z) =
00
3. /(z) = \^dl, a > 0; (D: | arg (z + a) |< я).
о
4- /W = J щ</& (О: |argz |<я).
5. /(г) = 5 e-^mch?</?, /и = 2, 3, ...; (D:
6
00
6-/(*)=
оо
о
00
[-CO, -1],
00
10./(z)=
(D: гф {Re
oo
13.32. Доказать, что при любом а сумма ряда ^ п~агп> опре-
деленная этим рядом в круге | г | <С 1, может быть аналитически про-
продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом по лучу [1, оо].
оо
Указание. Воспользовавшись формулой я~а = :-—\ \ р*~хе~п1 dt, пред-
представить сумму ряда в виде интеграла. °
13.33. Доказать, что утверждение задачи 13.32 сохраняет силу
ОО 00
и для сумм рядов 2 п~а In n-zn, 2 пГа(\ппJ zn.
* * *
137
Иногда, делая те или иные преобразования над рядами или интегралами,
удается получить ряды или интегралы с другой областью сходимости. Это
обстоятельство часто позволяет осуществить аналитическое продолжение.
13.34. Пусть функция ф(?) регулярна в круге |^|<1 и пусть
СО 00
Ф @г== 2 Сп*п> пРичем РЯД У] сп сходится. Доказать, что функцию f(z)}
о о
определенную при Re2>0 формулой /(z) = ^ t2-1^ (t) dt, можно ана-
о
литически продолжить на всю комплексную плоскость за исключе-
исключением точек 2 — 0, —1, —2, ..., и что это продолжение дается фор-
оо
мулой /W-2^j.
О
13.35. Доказать, что функции F (г) дают аналитическое продол-
продолжение функций f(z):
О
00
a>0;
О ' О
13.36. Доказать, что сумму ряда
можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость за
исключением точек 2 = 0, ± 1, ±2, ..., и что при Re2>0 это про-
продолжение F(z) дается формулой
FG\ i
1
138
Указание. Доказать, что при 0 < Re г < 1 сумма обоих рядов равна
интегралу J /*—1 A — t)~z dt.
13.37. Пусть Г (z) — гамма-функция Эйлера, а В {z, ?) — бета-функ-
бета-функция Эйлера (см. задачи 13.22 и 13.23). Доказать, что
B(z а_-
Указание. При г > 0 и ? > 0 вычислить интеграл
двумя способами — как произведение интегралов по х и по у, и переходом
к полярным координатам.
13
;.38. Опираясь на формулу -: = > v _ ¦- (см. задачу 5.30),
доказать, что Г(,г)ГA—z) = ~
sin яг ,
Указание. См. задачу 13.37 и № 4 задачи 13.35.
ОТВЕТЫ
13.03.
1. Нет 2. Нет. 3. Да. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет. 8. Нет. 9. Да.
10. Нет. 11. Нет. 12. Нет.
13.10.
1. Вся плоскость, кроме точек z = — Bn+l), я — О, ±1, ±2, ...
2. Вся плоскость, кроме точек г = ял, л = 0, ±1, ±2, ...
3. Вся плоскость, кроме точек г = -^{2п-\-\), л = 0, ±1, ±2, ...
4. Вся плоскость, кроме точек г = -^- Bп+1), л = 0, ± 1, ±2, ...
5. Вся плоскость, кроме точек г = -уBп+1), я = 0, ±1, ±2, ...
6. Вся плоскость, кроме точек г==^B^+1)» л = 0, ±1, ±2, ...
7. Вся плоскость.
8. Вся плоскость, кроме точек г = In я ( п +-^-] +2яш+ -^ sgn ( м + = ) f
л = 0, 1, 2 ... , m = 0, ± 1, + 2, .'..
9. Вся плоскость, кроме точек г=-^ Bп+1), я = 0, ±1, ±2, ... ,
г=± In (ял-f-Кя2п2~ 1) + 2я/т, л=1, 2, 3, ... , т = 0, ±1, ±2, ...
§ 14. Принцип максимума
Следующие задачи рассчитаны на использование принципа максимума мо-
модуля в такой формулировке:
Пусть функция f (z) регулярна в области D и М— sup / (г). Тогда или
в каоюдой внутренней точке области D имеет место неравенство \ f (z) j < М9
или 1(г)~Ме1У, где ф — постоянное действительное число.
139
14.01. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать,
что если для любой последовательности точек zn e А сходящейся
к какой-либо точке границы области Д имеет место неравенство
lim \f(zn)\^My то или в каждой внутренней точке области D имеет
п-*со
место неравенство \f(z)\<M, или f(z) = Mei(v.
14.02. Пусть функция f(z) регулярна в круге |г|<1 и удовле-
удовлетворяет в этом круге неравенству | f(z) | < Ж. Доказать, что если
/@) = 0, то функция f(z) удовлетворяет в круге | z | < 1 и более
сильному неравенству \f(z) \^M\ z |, причем если хотя бы в одной
точке zOi 0 <| z01 < 1, имеет место равенство | f(z0) \ = M\zo\, то
f(z) = Mzely, где ф — действительная постоянная. {Лемма Шварца),
Указание. Рассмотреть функцию /(z)/z и доказать, что ее можно ана-
аналитически продолжить в точку 2 = 0.
14.03. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<CR и удовле-
удовлетворяет там неравенству \f(z)\<iM, а /@) = 0. Доказать, что
| /' @) | ^ M/R, причем знак равенства возможен только для функции
14.04. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<CR, удовлет-
удовлетворяет там неравенству \f(z)\<M и обращается в нуль в некото-
некоторой точке z0 этого круга. Доказать неравенства
14.05. Пусть функция f(z) регулярна в полосе | Re 21 < я/4,
удовлетворяет там неравенству |/(,г)|<;1 и обращается в нуль
в точке z = 0. Доказать, что | f(z) \ <c | tg z \ в этой полосе.
14.06. Пусть функция f{z) регулярна при Re^>0, удовлетворяет
там неравенству |/B)|<1 и обращается в нуль в точках zv z2i...
..., zm. Доказать, что
14.07. Пусть функция f(z) регулярна и ограничена в полупло-
полуплоскости Rez>0, а в последовательности точек {zn), zn—>-oo этой
полуплоскости обращается в нуль. Доказать, что или f(z) = 0, или
ряд ^Re— сходится.
14.08. Пусть функция f{z) регулярна и ограничена в круге
\z\<R, а в последовательности {zn} точек этого круга обращается
в нуль. Доказать, что или /(z) = 0, или ряд ^](R — \Zn\) сходится.
Указание. См. задачу 14.04.
14.09. Пусть функция f(z) регулярна в круге |z|<l, удовле-
удовлетворяет там неравенству |/(z)i</W, a f@) = wo, |^0|<Л1. Доказать
неравенство
Д! 1
¦Д <
\M*-f(z)wo\ М
140
14.10. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<.R, и удовле-
удовлетворяет неравенствам | f(z) \<M,\/@) |^Ж<Ж. Доказать неравенство
14.11. Пусть P(z)—многочлен степени я, a M(r)= max \P(z)[
\г\=г
Доказать, что при 0 < гг < г2 имеет место неравенство
2
причем знак равенства хотя бы при одной паре значений гг и г2
возможен только для многочлена вида Р (z) = azn.
14.12. Пусть P(z) = zn + a1zn~1 + ... + ая. Доказать, что хотя
бы в одной точке окружности 121 = 1 имеет место неравенство
|Р(г)|> 1, или P(z)~zn.
14.13. Пусть P(z)— многочлен степени п, удовлетворяющий на
интервале (—1, 1) неравенству \P(z)\^M. Доказать, что в каж-
каждой точке zQ, лежащей вне этого интервала, имеет место неравен-
неравенство j P (z0) | ^ М {а + Ь)п, где а и ?~-полуоси эллипса с фокусами
— 1 и 1, проходящего через точку zQ. / 1
I ? + Т~
I Т 1
Указание. Рассмотреть функцию Q (?) = tTnP \ ~- J в области
1Е1>ь
* * *
14.14. Пусть функция f(z) регулярна в области D и пусть
inf |/(z)| = М<>0. Доказать, что или /(z) = (хе'Ч или \f(z)\>]i
для каждой внутренней точки области D.
14.15. Пусть функция f{z) регулярна в области D и непрерывна
в ее замыкании Д а на границе области D ее модуль сохраняет
постоянное значение. Доказать, что если функция f(z) отлична от
тождественной постоянной, то она обращается в нуль хотя бы
в одной точке области D.
14.16. Пусть функции /i(z), ..., fm(z) регулярны в области D
и пусть M=lim {|Л(^)| + ...+ \fm(z)\}- Доказать, что если хотя бы
Z-+0D
одна из fk(z) отлична от тождественной постоянной, то в каждой
точке из D имеет место неравенство | fx (z) |+... +1 fm (z) \ < М.
14.17. Пусть функция f(z) регулярна в круге |г|</?, а т —
целое положительное число. Доказать, что если функция f{z) от-
отлична от тождественной постоянной, то функция
2я
о
монотонно' возрастает при 0 ^ г < R.
Указание. Представить интеграл как предел интегральной суммы.
141
Принцип максимума для регулярных функций является частным случаем
гораздо более общего принципа максимума для субгармонических функций,
причем даже при исследовании регулярных функций гораздо больше можно
получить с его помощью.
Действительная функция и (г), определенная в области О, называется
субгармонической в этой области, если:
а) Функция eU{Z) непрерывна в области D.
б) Если точка г0 лежит в области Z), а число р > 0 достаточно мало, то
имеет место неравенство
2 л
(интеграл, вообще говоря, несобственный; если он расходится, то его считают
равным —-оо).
14.18. Пусть функция u(z)t отличная от тождественной постоян-
постоянной, субгармонична в области D. Обозначим /И== lim и (г). Доказать,
г — ()Г>
что в каждой точке области D имеет место неравенство u(z)<LM.
(Принцип максимума.)
14.19. Доказать, что функция u(z)> гармоническая в области Д
субгармонична в этой области.
Указание. См. задачу 10.29.
14.20. Пусть функция u(z) гармонична в области D. Обозначим
Ж= lim u(z), m= lim u(z).
Доказать, что если т < М> то в каждой точке области D справед-
справедливы неравенства m<C.u(z)<.M. (Принцип максимума и минимума
для гармонических функций.)
14.21. Доказать, что функция u(z) = \f(z) субгармонична в об-
области Д если функция f(z) регулярна в области D.
Указание. См задачу 10.26.
14.22. Пусть функция u(z) имеет в конечной области D непре-
непрерывные частные производные второго порядка (по x = Rez и по
y = \mz) и пусть з-г + д-г^О в области D. Доказать, что функ-
функция u(z) субгармонична в области D.
Указание. Написать для функции и (zo + p?/qp) формулу Тейлора с оста-
остаточным членом (перейдя к переменным x=Rez и г/ = 1тг).
14.23. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать, что
функции u(z) = In \f(z)\ и u(z)~\f(z) a, а>0, субгармоничны в
области D.
Указание. В точках, где /(z) = 0, требуемо;- неравенство очевидно.
В остальных точках субгармоничность легко проверяется, скажем, с помощью
результата задачи 14.22.
142
14.24. Пусть функции ul(z) и u2(z) субгармоничны в области D.
Доказать, что:
1. Если числа а и Ъ положительны, то функция аиг (z) + bu2 (z)
субгармонична в области D.
2. Функция u(z) = max{u1(z\ u2(z)\ субгармонична в области D.
3. Функция и(z) = j ax (z) ra при а>1 субгармонична в обла-
области D.
4. При а>0 функция u(z) = eau^z) субгармонична в области D.
14.25. Пусть функции Л (г), ..., fm(z) регулярны в области D.
Доказать, что при а>0 функция u(z) = \/1(z)\a +.. . + \fm(z)\a суб-
субгармонична в области D.
14.26. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z </?• Доказать,
что функция
2я
при любом а >> О является монотонно возрастающей функцией г
интервале 0 ^ г < R (если f(z) ^Ё const).
Указание. Показать, что функцию /a(r) можно рассматривать как суб-
субгармоническую функцию переменной z = r?*(p«
Случаи, когда субгармоническая функция зависит лишь от некоторой ком-
комбинации переменных *=Rez и y~]mz, наиболее интересны.
14.27. Доказать, что функция и (z) = cp (Re z) субгармонична
в полосе а < Re z < b в том и только в том случае, когда функция
ц>(х) выпукла книзу на интервале а<Сх<С.Ь.
14.28. Доказать, что функция и (гeiB) ==($(/) субгармонична
в кольце р <С' z | < R в том и только в том случае, если функция ф (г)
логарифмически выпукла на интервале (р, R), т. е. если для любых
трех значений p<r1<r2<r8<R имеет место неравенство
Ф (г«) ^ Ф (гг) 1—-—i—— + Ф (^) 1—~—?—
1—-—i+ Ф (^з) 1—~—?—
14.29. Доказать, что функция и(г?/9) = гРф(8) субгармонична
в угле a < 9 < р в том и только в том случае, когда функция ф (8)
тригонометрически р-выпукла на интервале (а, р), т. е. если для
любой тройки значений 6х» 62> 0з» удовлетворяющих условиям
и ^з — 01<^:/р> имеет место неравенство
14.30. Пусть функция f(z) регулярна при p<\z\<Z.R. Обозна-
Обозначим M(r)= max \f(z)\. Доказать, что при p<r1<r2<r3</?
|a?|-r
143
имеет место неравенство
(Теорема Адамара о трех кругах.)
14.31. Пусть функция /(г) регулярна при р<|2|<Я Обозначим
2л
Доказать, что при p<r1<Cr2<Crs<iR имеет место неравенство
/а (ГО In ? + /а (Г2) 1п ^ + /а (Г,) In ^ 0.
14.32. Пусть функция /(г) регулярна при Re2r>0 и удовле-
удовлетворяет неравенству
^ V a>1 (*е*>0)
Доказать, что функция
является выпуклой книзу функцией ф на интервале—я/2 << ф < я/2.
Принцип максимума перестает быть справедливым, если на границе об-
области есть хотя бы одна точка, при стремлении к которой функция может
иметь пределом бесконечность. Однако если ограничить скорость стремления
к бесконечности, то иногда можно пренебречь этой исключительной точкой.
14.33. Пусть функция f(z) регулярна при a<arg2<P, непре-
непрерывна на сторонах этого угла и удовлетворяет на них неравенству
1/1^ а внутри угла — неравенству
где р — произвольное положительное число, меньшее, чем
Доказать, что функция f(z) удовлетворяет неравенству /()|
и внутри угла a^argz^p. (Теорема Фрагмена — Линделефа.)
Указание. Сначала доказать неравенство иг{г)^.\пМ% где
-^—.
Р —а
|Л1
_2->
а затем перейти к пределу при е -* 0.
14.34. Пусть функция f(z) регулярна в угле a<arg z < Р
и непрерывна вплоть до его сторон, на которых удовлетворяет
неравенству \f(z)\^M. Доказать, что если внутри угла функция
f(z) удовлетворяет неравенству
144
где 6(jc) функция, для которой
Пт
Х-* + 00
то 1/(<г)! ^М и всюду внутри угла.
Указание. Сначала, используя результат задячи 14.33, доказать
ограниченность в угле a^argz^p вспомогательной функции
14.35. Пусть функция f(z) регулярна в полуполосе Re.z;>0,
— -^<C.\vn z<Z-к-, и непрерывна вплоть до ее сторон, на которых
удовлетворяет неравенству \f(z)\^M. Доказать, что или \f(z)\^.M
во всей полуполосе, или существует такое число 6>0, что
max In | f{x + iy) | > Sex (x > x0).
14.36. Пусть функция f(z) регулярна при Re^>0 и непрерывна
при 0 ^ Re z < оо, а кроме того, удовлетворяет неравенствам
|/(—(у)
Доказать, что
— л/2 ^ С ^ я/2.
14.37. Пусть функция f(z) регулярна в полосе a
непрерывна вплоть до ее сторон и удовлетворяет неравенствам
\f(z) | ^ МхеА 121 (а < Re z ^ b)\
\f(a + ty)\^Me°'\v\, \f(b + ly) *
Доказать, что
* * *
14.38. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<R> непре-
2л
рывна в круге |г|^/? и пусть ^ In | f{Re^) \ dip = —оо. Доказать,
о
что f(z) = 0.
2я
Указание. Доказать, что интеграл ^ In | / (ге'ф) | dq> является неубыва-
о
ющей функцией г при O^r^R; см. задачу 14.26.
145
14.39. Пусть функция f(z) регулярна в верхней полуплоскости
Im z > 0 и непрерывна в ее замыкании (включая точку z = сю). Дока-
оо
зать, что если \ п}\ 2 dx = — оо , то f(z) = 0.
Указание. Рассмотреть функцию g(t) — fl^-—\ ,в круге *|?|<1 и
применить результат задачи 14.38.
14.40. Пусть функция f(z) регулярна при Rez^O и удовлетво-
удовлетворяет условиям
/(л) = 0, л = 0, 1, 2,...;
|/(^ + (УI *^MeAx+a^K 0<a<n (x^zO, —оэ<у<.оо).
Доказать, что /B) = 0.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
sin яг
14.41. Пусть функция f(z) регулярна при Re^^O и удовлетво-
удовлетворяет условиям:
а) |/(*)!<! (Re^ = O);
б) |/й|^*г12"8, 8>0, (Re*2*0);
в) hm —'' к ;!¦ == — оо .
х_^_|_оо х
Доказать, что f(z) ^ 0.
Глава JU
МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 15. Функции, аналитические в области
Пусть D — произвольная область расширенной комплексной плоскости,
а г0 — некоторая фиксированная точка этой области. Символом A (D, г0) обо-
обозначим множество всех ломаных Г с началом в точке г0, лежащих в области D
(если точка оо лежит в области D, то ломаная Г может проходить через нее,
но число звеньев ломаной Г должно быть конечно).
Функцию / (Г), определенную на множестве А (D, г0) (т. е. закон, ставящий
в соответствие каждой ломаной Г е А (D, г0) комплексное число f (Г)), будем на-
называть функцией, аналитической в области D, если она обладает свойствами:
а) При произвольной деформации ломаной Г в достаточно малой окрестности
любой ее точки значение функции f(F) не меняется.
б) При произвольной вариации конца ломаной Г в достаточно малой его
окрестности функция f (Г) зависит только от этого меняющегося конца
и является регулярной функцией этого конца в упомянутой окрестности.
Для большей ясности приведем четкое определение понятий деформации
ломаной Г и вариации ее конца:
Произвольной деформацией ломаной Г в области Dt называется замена
любого ее участка, попадающего в область Di, произвольной ломаной, лежа-
лежащей в области Dx и имеющей те же концы, что и заменяемый участок.
Произвольной вариацией конца ломаной Г в области Du содержащей этот
конец, называется добавление к концу ломаной Г произвольной ломаной,
лежащей в области Dv
Функцию, аналитическую в области D, мы будем обозначать символом
(/ (г))г» г<де чеРез г обозначается конец ломаной Г. Такая запись подчеркивает,
что зависимость функции от конца ломаной Г является основной, а от формы
ломаной Г —второстепенной.
15.01. Доказать, что функция, регулярная в области D, является
функцией, аналитической в области D.
15.Q2. Доказать, что если функция, аналитическая в области D,
не зависит от формы ломаной Г, а зависит только от ее конца, то
эта функция регулярна в области D.
15.03. Пусть (f(z))r и (g(z))p — две функции, аналитические
в области D и определенные для ГеЛ(Д z0). Доказать, что
функции (f(z))r + (g(z))r, (f(z))r-(g(z))r> также являются аналити-
аналитическими в области D функциями.
15.04. Пусть (f(z))r и (g(z))r — две функции, аналитические
в области D (и определенные для ГеА(Д z0)). Доказать, что если
функция (g(z))r не обращается в нуль во всей своей области опре-
деления, то функция ( . .. аиалитична в области и.
15.05. Пусть функция (f(z))r аналитична в области Д а функция
Р@ регулярна во всей комплексной плоскости. Доказать, что функ-
функция F((f(z))r) аналитична в области D.
147
15.06. Пусть Г—ломаная с началом б точке 1 и с концом в точке 2,
не проходящая через точки 0 и оо. Обозначим символом (In z)p
величину (In z)p= \ -г. Доказать, что величина (In z)r является функ-
г
цией, аналитической во всей комплексной плоскости с выколотой
точкой z — 0.
15.07. Пусть а — произвольное комплексное число. Доказать,
что величина (za)r — ea{ П2)г, где выражение (In z)r определено
в задаче 15.06, является функцией, аналитической во всей комплекс-
комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0.
15.08. Пусть Г—ломаная с началом в точке 0 и концом в точке z,
не проходящая через точки / и —/ (возможно, проходящая через
точку оо). Символом (arctg z)r обозначим величину
(arctg z)r =
Доказать, что выражение (arctg z)r является функцией, аналити-
аналитической во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками z — i и z — —/.
15.09. Пусть функция q(z) регулярна в области Д a zQ—не-
z
которая точка этой области. Доказать, что величина \ q>(t)dt является
аналитической в области D функцией.
Если А — произвольное отличное от нуля комплексное число, то выра-
выражение {In Л} означает всю совокупность чисел
In | A | + targi4+2nm (я = 0, ±1, ±2,...),
а выражение {Л }—-всю совокупность чисел
(n = Q> ± ^ ±2,...).
15.10. Доказать, что множество значений, принимаемых аналити-
аналитической в области 0 <С \ z \ < оо функцией (In z)p на всевозможных
ломаных Ге Л@<С | z \ <оо, 1) с концом в данной точке а, совпа-
совпадает с множеством значений, описываемых многозначным выраже-
выражением {In a).
15.11. Доказать, что множество значений, принимаемых аналити-
аналитической в области 0 < | z | < оо функцией (za)p на всевозможных
ломаных Г е А @ < | z \ < оо, 1) с концом в данной точке а, совпа-
совпадает с множеством значений, описываемых многозначным выраже-
выражением {аа}.
15.12. Доказать, что множество значений, принимаемых аналити-
аналитической в области D: {z ф db/} функцией (arctg z)r на всевозможных
ломаных ГеД(Д 0) с концом в данной точке а, совпадает
с множеством значений, описываемых многозначным выражением
Как правило, функции, аналитические в области, не задаются формулой,
позволяющей тем или иным способом вычислить значение функции для каж-
148
дой ломаной из области определения функции. Обычно задается только
многозначное выражение, дающее для каждой точки области набор значений,
принимаемых этой функцией на всевозможных ломаных с концом в этой точке.
Про такие многозначные выражения мы будем говорить, что они изображают
аналитическую в области функцию.
15.13. Для следующих многозначных выражений и областей D,
указываемых в скобках, найти аналитические в области D функции,
которые изображаются этими выражениями:
1.
2.
3.
4.
5.
[г3 In2г}
{ln(l — z2
{l/l-2*
)}
(D:
(Z*
(D:
(?»:
(D:
{*
z
z
z
z
1,
^—^ .
/,
^oo}).
?oo}).
Z 9^ OO}).
Пусть (f(z))p — функция, аналитическая в области D и определенная на
ломаных Ге A (D, г0). Если зафиксировать ломаную у^ е A (D, г0) с концом
в точке ^ и произвольно варьировать ее конец в достаточно малой окрестности
точки ?, то согласно определению мы получим регулярную функцию меняю-
меняющегося конца (обозначим его через г) в этой окрестности. Обозначим эту
регулярную функцию символом (f(z))y и назовем ее элементом аналитической
в области D функции (f (z))r, отвечающим ломаной у^.
Элемент аналитической в области D функции (/(г))г, отвечающий ломаной
у^ выродившейся в одну ее начальную точку г0, называется исходным элемен-
элементом аналитической в области функции (/ (z))r.
Все элементы (/ (z))y , отвечающие ломаным у^ е A (D, г0) с концом в
точке ?, называются элементами, лежащими над точкой ?.
15.14. Пусть (f(z))r, где ГеА(Д z0),— аналитическая в области
D функция, a F1(z) — ее элемент, отвечающий ломаной у с концом
в точке zv Доказать, что существует аналитическая в области D
функция (f(z))r, определенная на ломаных Г из класса Л(Д z±)
и имеющая исходный элемент Fx{z\ а также получить для этой
функции формулу
Примечание. Символ уГ означает ломаную, полученную прохождением
сначала ломаной у, а затем — ломаной Г.
15.15. Пусть (f(z))r и (f(z))r — аналитические в области D функ-
функции, о которых шла речь в задаче 15.14. Доказать, что если функ-
функция (f(z))r изображается некоторым многозначным выражением, то
и функция (f(z))r изображается тем же самым выражением.
Задавая функцию, аналитическую в области, изображающим ее многознач-
многозначным выражением, необходимо указывать ее исходный элемент. Несоблюдение
этого правила может привести к серьезным ошибкам. Простейший пример
ошибок такого рода рассмотрен в следующей задаче.
149
15.16. Пусть функции (ЛО)Ь (й(*)Ь (Л(*)Ь (й(*))г анали-
тичны в области D (и определены на одном и том же множестве
Д(Д z0) ломаных Г). Предположим, что функции (Л(г))г и (gi(z))r
изображаются одним и тем же многозначным выражением, равно как
и функции (/2Сг))г и (ftB))r« Обязаны ли изображаться одним
и тем же многозначным выражением аналитические в области D
функции:
2. (
Многозначные выражения совсем не обязательно изображают аналитиче-
аналитическую в области D функцию. Описываемый ими набор значений может быть
составлен из значений нескольких функций, аналитических в этой области.
15.17. Пусть функция F(z) регулярна и отлична от нуля в об-
области D.
1. Обязано ли выражение \^F(z) изображать функцию, аналити-
аналитическую в области D?
2. Может ли выражение |/F(z) изображать функцию, аналитиче-
аналитическую в области D?
* * *
Следующие ниже задачи требуют использования теоремы единственности
регулярных функций и принципа аналитического продолжения (см. § 13).
Во многих теоретических вопросах часто рассматривается следующий
процесс аналитического продолжения произвольной регулярной функции F (z),
заданной в некоторой окрестности точки z0, по ломаной Г, выходящей из этой
точки:
Функция F (г) разлагается в точке г0 в ряд Тейлора. Радиус сходимости
этого ряда обозначаем через г0, а его сумму —через FQ (z). По этим величинам
находится точка zb обладающая свойствами*
а) Точка zx лежит в круге \z — zo|^ro/2.
б) Точка Zi лежит на том же прямолинейном участке ломаной Г, что и точка
z0, но возможно дальше от начала ломаной (в смысле расстояния по ломаной).
Функция Fo (z) разлагается в точке гг в ряд Тейлора. Радиус сходимости
этого ряда обозначаем через гх, а его сумму — через F1(z). По этим величинам
находим точку г% и т. д.
Если описанный процесс в конечное число шагов доводит до конца лома-
ломаной Г, то говорят, что аналитическое продолжение функции F (г) по ломаной Г
возможно. Результатом аналитического продолжения функции F (г) по ломаной
Г называется значение последней функции Fn (z) в конце ломаной Г.
15.18. Пусть D — конечная область и пусть функцию F(z), регу-
регулярную в некоторой окрестности точки zQ e Д можно аналитически
продолжить по любой лежащей в области D ломаной Г, выходящей
из точки z0. Доказать, что результат аналитического продолжения
функции F (z) по ломаной Г является функцией, аналитической
в области D.
15.19. Пусть (f(z))r> где ГеЛ(Д zQ), — функция, аналитическая
в области D. Доказать, что для любой конечной ломаной Г значение
(f(z))r равно результату аналитического продолжения исходного
элемента этой функции по ломаной Г.
150
Два элемента функции, аналитической в области D, лежащие над одной
и той же точкой fsD, называются эквивалентными, если они совпадают
в некоторой окрестности этой точки.
15.20. Доказать, что если исходные элементы двух аналитических
в области D функций эквивалентны, то эти функции тождественно
равны.
16.21. Доказать, что если какой-либо элемент аналитической
в области D функции эквивалентен нулю, то эта функция тожде-
тождественно равна нулю.
15.22. Доказать, что функция, аналитическая в области Д имеет
над каждой точкой этой области одинаковое (возможно, бесконечное)
число попарно неэквивалентных элементов.
15.23. Пусть (f(z))r — аналитическая в области D функция с ис-
исходным элементом fo(z). Доказать, что существует аналитическая
в области D функция с исходным элементом /q(z).
15.24. Пусть функция (f(z))r аналитична в конечной области D,
a fo(z) — ее исходный элемент. Доказать, что существует аналитиче-
аналитическая в области D функция с исходным элементом
15.25. Взяв в качестве области D всю расширенную плоскость
с выколотой точкой z = 0, а в качестве функции (f(z))r—функцию
1/2, убедиться, что условие конечности области D в задаче 15.24
существенно.
15.26. Доказать, что существует функция, аналитическая во всей
комплексной плоскости с выколотыми точками z = Q и 2=1, которая
изображается формулой {In In z).
Указание. Применить результат задачи 15.24 к функции
1
г(\пг)г-
15.27. Доказать существование функций, изображаемых следую-
следующими многозначными формулами и аналитических в областях, указы-
указываемых в скобках:
1. (z+l)*(\nzf} (D: {гфО, гф±1, гфоо}).
2. \n(z + V~z*+l)\ (D: {гф±1> гфоо}).
3. in (l —У г)) (D: {гфЪ, гф\, гфоо\).
4. Vz + Vz] (D: {гфО, гф1, гфоо}).
5. {'/ тс1 + In z) (D: {гфО, гф—\% z ф оо}).
6. \V\ +|ЛТг} (D: {гфО, zфe1 гфоо}).
15.28. Пусть функции (f(z))r и (g(z))r аналигичны в области D
(и определены на ломаных Г с началом в точке z0 G= D). Доказать,
что если область D не содержит бесконечно удаленной точки, то
151
существует аналитическое в области D решение дифференциального
уравнения w' + (f()) + )
Примечание. Относительно понятия производной от функции, аналити-
аналитической в области, см. задачу 15.23.
15.29. Пусть функции (f(z))r и (F (?))р аналитичны в областях
D и D' и имеют исходные элементы fZo(z) и ^1о(О соответственно,
причем Со — ЛоС^о)- Доказать, что если все значения, принимаемые
функцией (f(z))r лежат в области D', то существует аналитическая
в области D функция с исходным элементом Fto(fZo(z)).
ОТВЕТЫ
15.13.
1. / Пп 2)г. 2. (гз)г ((In z)rf. 3. 2 jj ^ f Г е Л (D; 0).
г
2
4. e3 , (cp(z))r^
г
К J2 (ф (г))г /т /7чч _
г
6. 4 V ¦——г у Г е A (D, оо).
Г ""
15.16. Нет. Пример, пригодный в обоих случаях:
15.17.
<со}.
<оо}.
1. Нет. Пример: Р(г) = г2, D: {0<
2. Может. Пример: F (z) = z, D: {0 <
§ 16. Выделение регулярных ветвей
Пусть каждой точке z области D расширенной комплексной плоскости
поставлено в соответствие счетное множество комплексных чисел \o?f (z)}. Если
существует регулярная в области D функция / (г), обладающая тем свойством,
что для каждой точки zeO выполняется условие f (г) е {&? (г)}, то говорят,
что многозначное выражение {&?? {*)} допускает выделение регулярной ветви
в области D.
16.01. Доказать, что существует единственная функция, непрерыв-
непрерывная во всей комплексной плоскости с разрезом по отрицательной
части действительной оси и удовлетворяющая условиям:
1. f(z) e {lnz}; 2. /A)п=0; а также убедиться, что эта функция
регулярна в области ее определения.
Указание. Воспользоваться тем, что расстояние между любыми двумя
возможными значениями логарифма в одной и той же точке не меньше, чем 2я.
16.02. Обозначим через Do всю комплексную плоскость с разре-
разрезом по отрицательной части действительной оси. Доказать* что при-
152
водимые ниже многозначные выражения допускают выделение регу-
регулярных ветвей в области Do:
1. {Vz}. 2, {In2z). 3. {zln2z}.
4. {(l+
16.03. Пусть многозначные выражения {q^i(z)} и {o/l^(z)\ допу-
допускают выделение регулярных ветвей в области D. Доказать, что мно-
многозначные выражения
также допускают выделение регулярных ветвей в области D.
Примечание. Символом Ег 0 Е2 обозначается множество, элементами
которого являются всевозможные суммы гх-\-гг, где гг<=Еъ a z2 е ?2- Сим-
Символ 0 аналогичен символу ©, но с заменой суммы произведением.
16.04. Пусть многозначное выражение \orf (z)\ допускает выде-
выделение регулярной ветви в области Д a f(z) — регулярная во всей
комплексной плоскости функция. Доказать, что многозначное выра-
выражение {/(e^(z))} также допускает выделение регулярной ветви
в области D.
16.05. Доказать, что выражение {|/"l—z2} допускает выделение
регулярной ветви в области Д представляющей собой всю комплекс-
комплексную плоскость с разрезами по лучам (—оо, —1] и [1, +оо).
Указание. См. задачу 16.03.
16.06. Доказать, что следующие многозначные выражения допус-
допускают выделение регулярных ветвей в областях Д указываемых
в скобках:
}
и + /со]}).
1. {In
2. {У
3. {(z
4. {In
5. k/
A —z2)}
'"l — z2ln
2 + \y}
(z2+l)-
'¦B2_1)(
z)
In г}
(D: {Zi
(D: {z<
(D: {zi
(D: {z(
(D: Im.
ф[— оо, — 1],
^[-oo, -1],
= 2, 3, 4,
16.07. Пусть функция /(<г) регулярна в области D и удовлетво-
удовлетворяет там условию Re/(^)>0. Доказать, что следующие многознач-
многозначные выражения допускают выделение регулярной ветви в области D:
1. {У7Щ- 2. {in/(*)}. 3. {VJWFi). 4.
16.08. Пусть функция f(z) регулярна в области D и не прини-
принимает там значений, лежащих на луче [а, а-\-аэ]. Доказать, что много-
многозначное выражение \\^cl—f(z)} допускает выделение регулярной
153
ветви в области Д причем существует единственная ветвь ф(г),
удовле1воряющая условию Re<pB);>0 (г g D).
16.09. Пусть функция f(z) регулярна в области D и не прини-
принимает значений, лежащих на кривой С, идущей из точки 2 = 0 в точку
z =х оо, оставаясь в левой полуплоскости. Доказать, что многознач-
многозначное выражение {Inf(z)\ допускает выделение регулярной ветви в
области Д и что существует такая ветвь ср (г), для которой справед-
справедливо неравенство
|1т<р(г)|<Зл/2 (z б D).
16.10. Доказать, что следующие многозначные выражения допу-
допускают выделение регулярных ветвей в областях Д указываемых в
скобках:
1.
.2.
3.
4.
5.
{in (яг+1/ +22)}
{Yz+vt}
{in (iz + Vl — z*)}
{|/?7}
(D:
(?>:
(D:
\ (?>:
(D:
Re z > 0).
Im г > 0).
< У \Г Г CsT\
{«€[ — 00,0],
Im z > 0).
Наиболее эффективный способ решения задачи о возможности или невозмож-
невозможности выделения регулярной ветви связан с использованием понятия функции,
аналитической в области (см. начало § 15). Основой этого способа является
так называемая теорема о монодромии:
Функция, аналитическая в односвязной области, является функцией, регу-
регулярной в этой области.
16.11. Пусть многозначное выражение {А (г)} изображает (см. § 15
перед задачей 15.13) функцию, аналитическую в некоторой области D*.
Доказать, что в каждой односвязной области D с D* многозначное
выражение {Л(<г)} допускает выделение регулярной ветви.
I/
к/1 ®;
Рис. 6. Рис. 7.
16.12. Доказать, что следующие многозначные выражения допус-
допускают выделение регулярных ветвей в областях D:
(область D на рис. 6).
\Y + V } (область D на рис. 7).
154
3. \\n(Vz2+ 1—Yz2— l)} (область D на рис. 8).
4. {^lnz} (область D на рис. 9).
c. 9.
-/
Рис. 10.
О 1
Рис. 11.
Рис. 12.
-«я:/
5. {ln(ln22-{-л2)} (область D на рис. 10).
6. |j/ In z -f- l^ln z\ (область D на рис. 11).
7. {in (l H-V'V'+O} (область D на рис. 12).
В случаях, когда область D, в которой выделяется регулярная ветвь, не-
односвязна, часто удается представить исследуемое выражение в виде суммы
или произведения выражений, допускающих выделение регулярной ветви в бо-
более широких односвязных областях.
16.13. Доказать, что многозначное выражение {]/l—z2} допускает
выделение регулярной ветви во всей комплексной плоскости с раз-
разрезом по отрезку [— 1, 1].
Указание. Представить исследуемое выражение в виде
и доказать, что выражение {J/ 1 —z 2} допускает выделение регулярной ветви
во всей расширенной комплексной плоскости с разрезом по отрезку [ — 1, 1].
16.14. Доказать, что многозначное выражение
{V{z - аг) (z-bj...(z- ап) (г - Ьп)\
допускает выделение регулярной ветви во всей комплексной плоско-
плоскости в разрезами по прямолинейным отрезкам [aki bk]> k=\,
2,...,п.
16.15. Доказать, что следующие многозначные выражения допу-
допускают выделение регулярных ветвей в указываемых областях D:
155
1. jin ?!±|?±|\ (область D на рис. 13).
(область D на рис. 14).
(область D на рис. 15).
hi
Рис. 13. Рис. 14. Рис. 15.
-Зх -2к -л 0 It 2я 1л
Рис. 16.
37t -7t т? о 7С л за
' 2 '2 2 2
Рис. 17.
4. {"[/"sin z\ (область D на рис. 16).
5. {lntg-г} (область D на рис. 17)
6. {"[/A - z) In p-M (область D на рис. 18).
§ 17. Вычисление значений регулярных ветвей
Если многозначное выражение допускает выделение регулярной ветви в
области D, то таких ветвей, как правило, больше одной. Для выделения из
всего множества регулярных ветвей одной определенной ветви нужно еще
какое-либо дополнительное условие. Обычно таким условием является задание
значения ветви в некоторой точке области D
17.01. Пусть D—односвязная область, не содержащая точек z = Q
и 2 = oo, но содержащая точку 2 = 1, а л—любое целое число. До-
Доказать, что в области D существует рорпо одна регулярная ветвь
ф(г) многозначного выражения {in z], удовлетворяющая условию
) = 2яш.
17.02. Пусть D—односвязная область, не содержащая точек
0 и 2 = oo, a n—целое число, большее единицы. Доказать, что
{}
= 0 и
многозначное выражение {чА?} допускает выделение ровно п различ-
различных регулярных ветвей в области D и что значения этих ветвей в
каждой точке области D попарно различны.
156
17.03. Пусть D — односвязная область, не содержащая точек
г = 0 и 2 = oo, но содержащая точку z=l. Выяснить, сколько раз-
различных регулярных ветвей ф (г) в области Д удовлетворяющих ука-
указываемому условию, допускают следующие многозначные выражения:
1. {(*—1Iп*}, фA) = 0. 2. {**}, ФA)=1. 3. {z% ф A) = 1.
4. Ц*Ь ФA)=1. 5. {Д"}'ФA)=1. 6. {**}, ФЧ1)=1.
17.04. Обозначим через Da всю комплексную плоскость с разре-
разрезом по лучу argz = n—а, где —я<а<я, а через ф(«г)—регуляр-
ф(«г)—регулярную ветвь выражения {In z} в области Da, удовлетворяющую условию
фA) = 0. Доказать, что
где для arg .г берется значение из интервала (—п — а, я—-а).
17.05. Пусть ф (г)—регулярная ветвь выражения {In (z-)-/)} в об-
ласги Д удовлетворяющая условию фA—/) = 0. Найти значение
ф (— 1 — I) в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—/оо, —/].
2. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—/, -f-/oo].
Указание. Сделав замену переменной z-\-i — z\ воспользоваться резуль-
результатом задачи 17.04.
17.06. Пусть ср(г)—регулярная ветвь выражения {]/z — eia\,
0<а<я/2, в области Д удовлетворяющая условию ср(О) = /е'а/2.
Найти значение y(e~ta) в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [еы, +°°^а1-
2. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [еш, еш — oo(eltt + 0]*
Указание. Воспользоваться результатом задачи 17.04 и формулой
17.07. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезами по'
лучам [ — оо, —1] и [1, + оо], а ф(г) — регулярная ветвь выражения
{In A—z2)} в области Д удовлетворяющая условию ф@) = 0. Найти:
1. со га 2. со г—а з.
Указание. Выбрать регулярные ветви выражений {In A — z)\ и {ln(l-f-z)}
в области D таким образом, чтобы их сумма была равна функции ср (г).
17.08. Пусть ф(,г) — регулярная ветвь выражения {]/l—z2} в об-
области Д удовлетворяющая условию ф @)= 1. Найти значение ф(—3)
в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, +оо] и
[—1, —1+/оо].
2. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, 1—too] и
1+]
3. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, 1—/оо] и
1, _ 1_/оо].
157
17.09. Пусть D — вся расширенная комплексная плоскость с раз-
разрезом по отрезку [—1, 1]. Через q>i(z) обозначим регулярную ветвь
выражения <l/ -r~f B облети Д удовлетворяющую условию
ф1D-/0)=1, а через щ{г)—регулярную ветвь выражения |ln ._}
в области Д удовлетворяющую условию ф2( — /0) = 0. Найги вели-
величины:
1. ф1(-Ю). 2. ф1(-0. 3; ф2( + Ю). 4. ф2(/).
17.10. Пусть D — вся расширенная комплексная плоскость с раз-
разрезом по прямолинейному отрезку [ — /, /], аф(г) — регулярная ветвь
выражения lln ._. \ в области Д удовлетворяющая условию
фA) = л//2. Найти значения:
1. ф( —0). 2. ф(— 1). 3. ф( — УЩ. 4. ф(оо).
17.11. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезами по
отрезкам [ — 2, —1] и [1,2], а ф(,г) — регулярная ветвь выражения
{]/"(z2—1)B2 — 4)} в области Д положительная на интервале (— 1, I).
Найти значения:
1. фC). 2. ф(—3). 3. ф(/). 4. ф( —0-
17.12. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезами по
отрезкам [ — 1, i] и [ — и 1], a <p(z) — регулярная ветвь выражения
{У\—z4}, положительная на интервале (—1, 1). Найти значения:
В дальнейшем для краткости вместо слов «функция <р (г) является регу-
регулярной ветвью многозначного выражения {q/? {z)}, удовлетворяющей условию
ф(го) = соо»» мы будем писать формулу:
ф (г) = q/? (z), ф (z0) = w0 (Z? D).
17.13. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси, функции фп(г) определены
равенствами
2 1
а х — произвольное положительное число. Найти величины:
1. ф1( — х + Ю) — фх( — * — Ю). 2. ф2( — х + Ю) — ф2(—д: — Ю).
3. фа(--* + Я))--фа(--* —/0). 4. ф4(_л: + Ю) —ф4( —JC-—Ю).
17.14. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом по от-
отрезку [—1, 1], функция ф(,г) определена равенством
а 0 <; х < 1. Найти величину ц>(х + №) — ф (х — /0).
158
17.16. Пусть а и Ь—две различные конечные точки комплексной
плоскости, а С — некоторая простая кривая, идущая из точки а
в точку Ь. Через D обозначим всю комплексную плоскость с разрезом
по кривой С, а через ср(,г) — произвольную регулярную ветвь выра-
выражения |ln гз~Г в области D. Доказать, что для каждой точки zQ
кривой С, отличной от точек а и ЬУ имеет место равенство ср (#+) —
— ф(^7*)=2я/, где символ <р(г±) означает предел функции ф(г) при
стремлении точки z к точке z0 справа (слева для знака —) от кри-
кривой С.
17.16. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной пло-
плоскости, а С — простая кривая, идущая из точки а в точку Ъ (точки а и b
конечны и различны). Доказать, что если число R>0 настолько
велико, что круг | z | <C R содержит внутри себя кривую С, то имеет
место равенство
|2|«R С
(здесь lnr-^j- означает любую регулярную ветвь этого выражения
в комплексной плоскости с разрезом по кривой С .
Указание. Применить теорему Коши.
17.17. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной пло-
плоскости. Доказать, что при R > 1 справедливы следующие формулы:
1
f{z) (in ^J dz = Ш jj f{x) Гп ^
i 2 Г=
s
(
2- [ Я*) (?zt)" dz = 2/ sin лес \ /(*) f^)* «te
О"
1*1
-т<«<у
s
(окружность \z\ = R обходится против часовой стрелки). В форму-
формуj
ла
лах, стоящих в правой части равенств, выражения In -. и N j
понимаются в их арифметическом значении, а в формулах слева
стоят регулярные ветви этих выражений в плоскости с разрезом
по отрезку [0, 1], принимающие действительные значения на отрица-
отрицательной части действительной оси.
17.18. Пусть Р (х) — многочлен. Доказать, что любая функция
f(z), регулярная во всей комплексной плоскости с разрезом по поло-
положительной части действительной оси, непрерывная вплоть до границы
эгой области и удовлетворяющая условию
159
при всех х>0, имеет вид f(z) = — -^ In г + g (z), где g (s>) — функ-
функция, регулярная во всей комплексной плоскости, а под символом- In z
понимается регулярная ветвь этого выражения в плоскости с разрезом
по положительной части действительной оси.
Указание. Для доказательства регулярности функции g (z) во всей
комплексной плоскости воспользоваться теоремой Морера.
17.19. Найти общий вид функции /(-г), регулярной во всей
комплексной плоскости с разрезом по положительной части действи-
действительной оси, непрерывной вплоть до границы этой области, за исклю-
исключением точки z = 0, и удовлетворяющей одному из условий (х > 0):
)—f(x
2. f(x + t0)—f(x
3. Дх + Ю)—Дх —/О) = sin
4. sin
6.
7.
В случаях, когда многозначное выражение не является комбинацией сумм
и произведений логарифмов и дробных степеней, а включает в себя и супер-
суперпозиции этих выражений, задача о вычислении значений выбранной регулярной
ветви несколько усложняется.
17.20. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом по поло-
положительной части действительной . оси, а ф(^) — регулярная ветвь вы-
выражения {In A +1/2)}, удовлетворяющая условию ф(—1) =
= -i- In 2 + -5р Найти значение фD —Ю).
Указание. Сделать замену zr = \-\~У^г , где У г означает регулярную
ветвь этого выражения в области D, выбрав значение этой ветви так, чтобы
могло выполняться условие на ф( —1). Затем выяснить, куда переходят в пло-
плоскости z' точки разреза.
17.21. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
[ — Zoo, —/] и [/, -f*o°]> a функция ф(г) определена равенствами
ф@) =
Найти значения:
160
17.22. Пусть ф(>)—регулярная ветвь многозначного выражения
{ln(]/z + 2 |/*i—z)}t удовлетворяющая условию ф (it) =-у ln rf.
Найти значение фD) в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [ — оо, 0] и
[1, 1+/оо].
2. Вся комплексная плоскость с разрезами по_ лучам [— /оо, 0] и
[1, 1-/оо].
17.23. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
[—/оо, 0] и [1, l-f-/oo], а функция ф(г) определена равенствами
= In In г, ф(е2) = 1п2 (геВ).
Найти значение ф(—ея).
17.24. Пусть D — область, изображенная на рис. 19, а функция
ф(г) определена равенствами
Ф (z)—y я2-|-in2 2, фA) = я (^efl),
Найти значения: 1. ф(/). 2. ф(—/).
Рис. 19. Рис. 20. Рис. 21.
17.25. Пусть D — область, изображенная на рис. 20, а функция
ф(,г) определена равенствами
4-1, ф(8) = 2 BG=D),
Найти значения: 1. ф (—3/4). 2. ф(— 2).
17.26. Пусть D — область, изображенная на рис. 21, а функция
ф(,г) определена равенствами
ф (z) = in {iz -f- У 1 — г2), ф@) = ш (^gD).
Найти значения: 1. <рA/2). 2. ф(—1/2). 3. <рD//3).
Методы вычисления значений регулярных ветвей часто приходится приме-
применять при решении вопроса о возможности выделения регулярной ветви в неод-
носвязных областях.
17.27. Доказать, что выражение {f/l—z2} не допускает выде-
выделения регулярной ветви в области D: 1 < | z | <; оо.
Указание. Обозначим через Dx область D, разрезанную по лучу
[l,-f-°o]- Доказать, что каждая регулярная ветвь выражения {|Al — г2}
в области ?>! имеет различные значения в точках z = x-\-iQ и г = *—Ю при
х> I.
6 Под ред. М. А Евграфова 161
17.28. Пусть cp(z)—регулярная ветвь многозначного выражения
\от€ (z)} в области Д определяемой неравенствами
r<|*|<R, 0<argz<2:rc.
Доказать, что если функция ф (z) непрерывна в области D вплоть
до ее границы и удовлетворяет условию
ф(* + Ю) = ф(лг—Ю) (г <*</?),
то функция ф (z) является регулярной ветвью выражения {os?(z)}
в кольце г < | z | < Я
Указание. Использовать теорему Морера.
17.29. Пусть область Dx получена из области D проведением
конечного числа кусочно-гладких разрезов, не разбивающих область D.
Доказать, что если функция ф(г) является регулярной ветвью вы-
выражения \orf (z)\ в области Dj и если .эта функция равномерно не-
непрерывна в области Dy то она является регулярной ветвью выра-
выражения {&# (z)\ в области D.
17.30. Выяснить, допускают ли приводимые ниже многозначные
выражения выделение регулярных ветвей в областях Д указываемых
в скобках:
2. {2 In (г-И) —In(* — /)} (D: 1<|-г:|<оо).
3. (|/(г«_1)(^_4)} (D: Re^>0, \г — 3 |> 2,5).
4. {\Л—г6} (Д;
17.31. Выяснить, при каком соотношении между числами ах и ос2
выражение
допускает выделение регулярной ветви в области 1<|г|<оо.
17.32. Выяснить, при каком соотношении между числами av a2
и a3 выражение
допускает выделение регулярной ветви в области 1 < j z \ <; оо.
17.33. Доказать, что в плоскости с разрезом по отрицательной
части действительной оси существует регулярная ветвь многознач-
многозначного выражения {In A—]Аг)}, удовлетворяющая условию фB/) =
= — ш/2.
162
17.03.
ОТВЕТЫ
1. Бесконечное множество. 2. Бесконечное множество. 3. Одну.
4. Бесконечное множество. 5. Бесконечное множество. 6: Одну.
17,05.
1. ш. 2. — я/.
17.06.
i. -A-0
17.07.
1. In 2.
17.08.
17.09.
1. -1.
17.10.
1. 2л*.
17.11.
I 2. A — 0 /sin a.
2. In 2. 3. ~1
2. 1 — fj/зГ. 3.
2. f^i. 3. -2ш\
о «rr/ Q it/
^ О
2. -^40. 3. /Ю.
3. ^.
4.
4. -^
2 —
17.12.
17.13.
1 4ш In л:. 2. 2ixa sin яа.
17.14. 2t A + x)a A —a:I"» sin яа.
17.19.
Aпг-~яр2
4. ш.
4.
4.
4.
Функция.
n л:.
6*
163
17.20. nl.
17.21.1. ?. 2. -? 3.
17.22.
1.2.n2+f
17.23. In
17.24.
1. -уЗ
17.25.
Ь ¦—.
17.26.
1. -?- Ш.
0
17.30.
1. Да.
17.31.
17.32. i
я +
uV
2.
2. I
«i +
5".
2.
4ет
«2
a2
2. 21n2-f.
in 2—j*l.
2. — яТ/^Г
11
-?- я/. 3. — In 3 + 2я^.
b
. 3. Да. 4. Да.
=0.
-fag равно целому числу
§ 18. Вычисление значений функций, аналитических
в области
Вычисление значений регулярных ветвей многозначных выражений является
частным -случаем задачи о вычислении значений функции, аналитической в
области и изображаемой данным многозначным выражением.
Символом (In г)г будем обозначать величину
где Г —произвольная ломаная, идущая из точки 1 в точку г, не проходя
через точки 0 и оо. Эта величина является функцией, аналитической во всей
комплексной плоскости ? выколотой точкой г = 0 (см. § 15).
Символом (In г) будем обозначать величину
(In г) = 1п | z | + * argz, — n<argz=^Jt,
называемую главным значением In г. Главное значение In z является регулярной
ветвью многозначного выражения {In z} в плоскости с разрезом по лучу
[— оо, 0], действительной при положительных значениях г.
18.01. Пусть точка z не лежит на отрицательной части действи-
действительной оси. Доказать, что:
1. Если ломаная Г не пересекает отрицательной части действитель-
действительной оси, то Aп,г)г=Aп z).
2. Если ломаная Г пересекает отрицательную часть действительной
оси один раз й притом в направлении снизу вверх, то
18.02. Пусть точка z не лежит на отрицательной части действи-
действительной оси. Для каждой ломаной Г, идущей из точки 1 в точку z,
164
не проходя через точки 0 и со, обозначим через я+ (Г) число пересече-
пересечений этой ломаной с лучом [— оо, 0] в направлении сверху вниз, а через
п~ (Г)—число пересечений в направ-
направлении снизу вверх. Доказать, что
(In г)т = О" z) + 2л/ (я+ (Г) - п (Г)).
18.03. Пусть ф (-г) — регулярная
ветвь многозначного выражения
{In z) в области, изображенной на
рис. 22, удовлетворяющая условию
фA)=0. Найти значения:
1. <р(-1). 2. Ф(-2).
3. ф(—3).
18.04. Найти результат аналитического продолжения (см. опре-
определение перед задачей 15.18) функции ez$nz) по ломаной Г, изобра-
изображенной на рис.^23.
ч\
Рис. 22.
Рис. 23.
Рис. 24.
18.05. Найти результат аналитического продолжения следующих
функций cp(z) по ломаной Г, изображенной на рис. 24:
1. ф(*) = */г, фA)=1. 2. фСг) = 1п2*, ФA/=0.
3. <p(z) = ez«nzK 4. (
Рис. 25.
Рис. 26.
18.06. Найти результат аналитического продолжения.следующих
функций q>(z) по указываемым ломаным Г:
1. <p(z) = i/l— za> ф @) = 1 (Г на рис. 25).
2. a>(z) = Vl—;
на рис. 26).
165
3. 9(^)=ln^5f, ф(О)==зх/ (Г на рис. 27).
4. <рB)=>Л—**, ф@)=—1 (Г на рис. 28).
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
Рис. 30.
— 2) (г2 — 4), ф@)=2 (/" на рис 29).
Zr^ ф(9) = 5 (Г на рис. 30).
В задачах теоретического характера удобно пользоваться величиной
v (zo> О~-инДексом ломаной Г относительно точки г0 (не лежащей на этой
ломаной). Эта величина определяется формулой
>-?3 J ?S
18.07. Пусть функции фх(-г), ..., q>m(z) регулярны во всей
комплексной плоскости, a cv ..., cm — произвольные конечные точки.
Обозначим через fo(z) регулярную ветвь выражения
{фх (^) In (г — q) +... + фт (-г) In (z ~ ^m)}
в окрестности какой-либо точки zQy отличной от всех точек
сг, с2,..., ст. Через fr (z) мы обозначим ту регулярную ветвь того же
выражения в той же окрестности точки z0, которая получается из
ветви fo(z) аналитическим продолжением по замкнутой ломаной Г
166
(с началом и концом в точке г0), не проходящей через точки
cv • • • у ст> оо. Доказать, что
fr(z)-Mz) = 2nt %<tk(z)v(Cb Г).
18.08. Пусть область D не содержит точку z = oo, а ее граница
состоит из т простых кусочно-гладких замкнутых кривых Со, Cv...
...i Cm_! (через Со обозначена внешняя граничная кривая). Через
f(z) обозначим функцию, регулярную в области D и непрерывную
вплоть до ее границы, а через (F(z))r— аналитическую в области D
функцию (F(z))p= \f(t)dt (Г — произвольная ломаная, идущая из
г
точки z0 в точку z, оставаясь в области D). Доказать, что для
каждой замкнутой ломаной Г справедлива формула
т —1
где Сь — произвольная точка кривой Сд, а
\ (?=1, 2,..., «—1).
18.09. Пусть (F(z))r — функция, аналитическая в области Д а
{/^(г)}, & = 0, 1, 2, ,.., — все ее элементы, лежащие над некоторой
точкой z0 e D. Доказать, что:
1. Если
Л —1, 2, ...,
где ЛЛ — некоторые постоянные, то функция (F'(z))r регулярна
в области D.
2. Если
z), &=1, 2,...,
где Ak — некоторые постоянные, и если (F(z))r^0t то функция
г регулярна в области Д из которой выколото счетное множе-
V К2)) г
ство точек, не имеющее предельных точек в области D.
3. Если
k = h 2, ...,
где Ak и Bk — некоторые постоянные, и если функция (F(z))p отли-
отлична от тождественной постоянной, то функция ,-., ( ^г регулярна
в области Д из которой выколото счетное множество точек, не
имеющее предельных точек в области D.
4. Если
167
где Ak, Bk, Cky Dk — некоторые постоянные, и если функция F(z))r
отлична от тождественной постоянной, ю функция
{P'"W)r 3
(f' (г))г 2 \(Р (z))r
регулярна в области Д из которой выколото счетное множество
точек, не имеющее предельных точек в области D.
18.10. Пусть область D не содержит точку z = ooy а ее граница
состоит из т простых кусочно-гладких замкнутых кривых Со,
Сь • • *, Cm_i (через Со обозначена внешняя граничная кривая). Дока-
Доказать, что функция (F(z))r, аналитическая в замыкании области Д
имеет однозначную в области D действительную часть в том и
только в том случае, когда выполняются условия:
а) функция (F' (z))r регулярна в области Д
б) величины
lik= $ F'(z)dz, k = h 2, ..., /и-1,
являются чисто мнимыми числами.
18.11. Пусть (F(z))r — аналитическая в кольце r<Z\z\<ZR функ-
функция, и пусть функция | F (z) | однозначна в этом кольце. Доказать,
что (F (z))r = (za)r Ф (z), где "" функция ф (z) регулярна в кольце
г<C\z\<C.R, a a—действительная постоянная.
18.12. Пусть функция (F(z))p аналитична во всей комплексной
плоскости с выколотыми точками cv с2, ..., ст, которую мы назо-
назовем для краткости областью D. Обозначим через FQ(z) исходный
элемент этой функции, а через Fp(z) — элемент, отвечающий лома-
ломаной Г. Доказать, что если для любой замкнутой ломаной Г, лежащей
в области Д имеет место равенство
где фг(^)—функции, регулярные в области Д то
где функции ^(г) регулярны в области D.
18.13. Пусть а и Ъ—две различные конечные точки, С—простая
кусочно-гладкая кривая, идущая из точки а в точку Ь, а ф (z) —
функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Обозначим че-
через fo(z) функцию, определенную равенством
С
Доказать, что функцию fo(z) можно аналитически продолжить по
любой ломаной Г, не проходящей через точки а и Ь, и что резуль-
результат fr(z) аналитического продолжения функции"/0 (z) по любой замк-
замкнутой ломаной Г (с началом и концом в точке z) равен
//«=/o(^) + 9W[v(b, O-v(a, OJ.
168
18.14. Доказать, что приводимые ниже регулярные функции можно
аналитически продолжить по любой ломаной Г, не проходящей через
точки 0 и со, а также вычислить величину fr(z)—f0(z), где
/r(z) — результат продолжения по замкнутой ломаной Г с началом
и концом в точке г:
•/„(*)
2- Л (*)=
(Rez>0).
О
оо
В случаях, когда многозначное выражение нельзя представить в виде
сумм и произведений логарифмов и степеней, задача о вычислении значений
аналитической функции несколько усложняется. При ее решении полезно иметь
в виду теорему о монодромии:
Пусть функция (F(z))r аналитична в области D. Если ломаные Г и Г*
гомотопны в области D, то (F (z))r = (F (г))Г.
Рис. 31.
18.15. Найти результат аналитического продолжения функции
по ломаным Г, изображенным на рис. 31 (а, б, в, г). (Замечание:
на рис. 31 вместо е% следует читать ein.)
169
18.16. Обозначим через ух окружность \z — /| = 1, а через у2 —
окружность |2 + /|=1 (обе обходятся против часовой стрелки).
Найти результат аналитического продолжения функции
по кривым:
1. Vi- 2- 72- 3. у\. 4. yl. 5. YiY» 6- ЪУь
Примечание. Символ ГгГ2 означает, как обычно, кривую, получаемую
прохождением сначала кривой Гъ а затем —кривой Г2.
18.17. Найти результат аналитического продолжения следующих
функций /o(z) по указываемым ломаным Г:
? —4|<3) (Л на рис. 32).
(К|)
(Г на рис. 33).
Рис. 32.
Рис. 33.
Рис. 34.
Рис. 35.
3. /о(г) =
4. /оBг) =
6. fo(z)^
Рис. 36.
е*) = —2 (\z — ?4|<е4— 1) (Г на рис. 34).
/о D) = \/1 (| z - 4 |< 3) (Г на рис. 35).
Г^", /р(О)~/ (|2|<1) (Г на рис. 36).
170
В дальнейших задачах мы будем пользоваться следующим обозначением:
Симдолом f0 (z) будем обозначать исходный элемент функции, аналитиче-
аналитической в области D, а символом ff (z) — элемент той же функции, отвечающий
замкнутой ломаной 'Г (лежащей в области D и имеющей начало и конец
в точке г0 е D, где определен исходный элемент).
18.18. Пусть функция /0 (z),определена равенствами
1^), /0@) = 0 (И<1).
Через уг обозначим окружность \z — 1|=1,а через 72 — окотжность
| z + 11 = 1 (обе обходятся против часовой стрелки). Найти fr (z)
в случаях, когда:
1. T=Yi. 2. Г=у2. 3. r=YlV2. 4. r=
5. Г=?!- 6. Г=?1- 7. r=(YlY2r. 8. Г=(
18.19. Пусть функция fo(z) определена равенствами
Обозначим через у^, где А=1, 2, 3, 4, окружность |z — /л
Найти функцию /г(^) в случаях, когда:
1. Г=yk. 2. Г=у1 3. Г=71727з74- 4- r=
5. ^=7274-
определена равенствами
18.20. Пусть функция
Обозначим через Yft> где А=1, 2, 3 окружность |г — ^2*л//з | = 1.
Найти функцию fr{z) в случаях, когда:
1. Г = 7*« 2- r==Y^ 3- г = 7i7273- 4. Г = 7з7271-
5. Г = 717з72. в. r = Yf7l7l- 7. r = Y?7i7i- 8. Г = 71
18.21. Пусть аь а2, ..., ат — точки окружности |z| = l, a функ-
функция fo(z) определена равенством
о
где ai, ..., am—действительные числа. Доказать, что для произволь-
произвольной замкнутой ломаной Г, не проходящей через точки al9 a2, ..., ат
и со, имеет место равенство /г СЮ = ?'ф/оС2:) + ^> глб ф — действи-
действительная, а Л —комплексная постоянные, зависящие от ломаной Г.
ОТВЕТЫ
18.03.
1. ш. 2. tn2 + 3m. 3. 1п34-5ш.
18.04. — 4=-
171
18.05.
18.06.
1. l(—l+j/3). 2. Ш. 3. ш. 4. i. 5.2. 6. 2—1*^3.
18.14.
1 — 2nie~zv@, f). 2. 2nizezv @, Г). 3. 2я/ (e2*—e*) v@, Г).
4. — 2яи?-г*у (О, Г). 5. — 2rcte*v@, О-
18.15.
18.16.
1. ni. 2. —я/. 3. 0. 4. 0. 5. 2я/. 6. — 2я/.
18.17.
1. т. 2. 7-f. 3. -K5F-']/*.. 4. ^6e2^/3. 5. t.
18.18.
1. я - /0 (г). 2. - я - f0 (г). 3. /0 (г) + 2я. 4. /а (г) - 2я.
5. /о (г). 6. /о (г). 7. /0(г) + 2ял. 8. /0(г).
18.19. Если ввести обозначение а == ^ A —л^*) 1/2 cfx, то
/о B) 2. fQ(z). 3. /0(г). 4.
5. fQ (z) - 4а. 6. f0 (г) - 8а A - /). 7. fQ (г). ' 8. f0 (г) + 8а A -1).
18.20. Если ввести обозначение а = \ A — л^I/3 dxf то
2ш 2k—1_, я/
\. гаУ'Ъе 3 +e3foB). 2. (а^Зе3 -е3 ?0(г). 3. fo(e).
4. - 3 КЗ ай"'/3 + /о (г). 5. 3 КЗ aie2"'73 + /0 (г). 6. 3ai ^Зе2я</3 + f0 (г).
7. /0 (г). 8. U (г).
Глава IV
ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯД ЛОРАНА. ВЫЧЕТЫ
§19. Изолированные особые точки однозначного характера
Пусть функция f (г) регулярна в кольце 0<|z —<z|<p (или если а = оо#
то в кольце р<|г|<оо), но не определена в самой точке 2 = а. В этом слу-
случае точку г = а называют изолированной особой точкой однозначного характера
для функции f (г). t
По поведению функции f (г) вблизи точки г = я различают следующие три
вида изолированных особых точек однозначного характера:
1. Если предел lim /(г) существует и конечен, то точка г = а называется
• устранимой особой точкой для функции , х_7.
2. Если предел lim /(г) существует, но равен бесконечности, то точка
Z-+CL
называется полюсом функции f (z).
3. Если предел lim /(г) не существует, то точка г = а называется существенно
особой точкой функции /(г).
19.01. Доказать, что точка г = а является устранимой особой
точкой для следующих функций:
(а = 0). 5. ctg z (а = 0).
8-
19.02. Доказать, что точка z — q является полюсом следующих
функций:
1. \ (а = 0). 2. ^ (в-0. 3. J±i (в-оо).
7. ^ (а = яО- 8. tgnz
19.03. Пусть функции /(г) и g(z) регулярны в точке z = a и
(а) = ?(а) = 0. Доказать, что:
Замечание. Первой формулой удобнее пользоваться при раскрытии
неопределенности вида -^ в точке а ^ оо, а второй при а=оо.
17Я
19.04. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в точке z = a ft
f(a) = g(a) = 0. Доказать, что точка z = а является изолированной
особой точкой однозначного характера для функции F(z) — f(z)lg(z)
и что она не может быть существенно особой точкой.
19.05. Пусть z = a — изолированная особая точка однозначного
характера для функции f{z). Доказать, что точка 2 = а является
существенно особой точкой функции f(z) в том и только в том
случае, если существуют такие две последовательности z'v z'%> ...
и z\y z\y ..., что lim z'n = \imz'n = a, a lim f(z'n) = A} lim f(z№n)=Bf
П-+СО rt«-*-00 Я-+-00 П«-*-00
АфВ.
19.06. Доказать, что точка г = оо является существенно особой
точкой для функции sin 2.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.05, положив гп—гт%
, п«1, 2,...
19.07. Доказать, что точка z = a является существенно особой
точкой функций:
1. ег (а = оо). 2. ?~z2 (а = оо). 3. sin 4 (я = 0).
4. г2 cos у (а = 0). 5. е^г (а = %\. 6. sin
7. cos-^-r (a=—1). 8. sin
19.08. Найти все изолированные особые точки однозначного ха-
характера для следующих функций и определить их вид:
I _?__ 2 1 — cosz ° ~°-- г л 1
sin z'
* * *
19.09. Пусть функция f(z) регулярна при 0<|? — a|<r, а
точка z = a является для нее устранимой особой точкой. Доказать,
что функцию f(z) можно аналитически продолжить в круг \г—а\<Сг.
Указание. Применить интегральную формулу Коши для функции, /(z)
в области DP:p<|z — a|<r, а затем устремить р к нулю.
19.10. Доказать, что изолированная особая точка однозначного
характера z — а является для функции f(z) устранимой особой
точкой, если выполняется одно из следующих условий (расположен-
(расположенных в порядке ослабления ограничений):
1. Функция f(z) ограничена в некоторой окрестности точки z = a.
2. lim(z — a)f(z) = 0. 3. lim [ \f(z) \ \dz | = 0.
z—-a p—>O i
19.11. Пусть z — a — изолированная особая точка однозначного
характера для функции /(г), удовлетворяющей в некоторой окрест-
окрестности этой точки неравенству \f(z)\<M\z—a|~m, где Мит —
174
некоторые положительные постоянные. Доказать, что точка z~a
не может быть существенно особой точкой функции f(z).
Указание. Рассмотреть функцию (z — а)\т\ +1 f{z).
19.12. Пусть функция f(z) регулярна при 0<|^ — а|<Л а
в точке z = a имеет полюс. Доказать, что функция g(z), опреде-
определенная в круге \z—a\<Cr равенствами
регулярна в некоторой окрестности точки г =
Для полюсов имеется и более подробная классификация, но она требует
введения одного предварительного понятия.
Точка z = а, в которой функция f(z) регулярна, называется нулем функ-
функции f(z) порядка т^\ (или кратности т), если
/(а) = f (а) = ...=/ (/7*-i> (а) = 0, / "»> (а) Ф 0.
Точка z s= оо называется нулем порядка (или кратности) m^l для функции
f(z), регулярной в этой точке, если функция /i(?)=/0/?) имеет нуль по-
порядка т в точке ?«=0.
Если функция f(z) имеет в точке z = a полюс, то функция l//(z) имеет
в точке z = а нуль (см. задачу 19.12). Порядок нуля функции \/f(z) в точке
z = a называется порядком (или кратностью) полюса функции f(z) в точке 2 = а.
19.13. Пусть функция f(z) представима в виде
где т — целое число, а функция ф(,г) регулярна в точке z = a и
ф (а) ф 0. Доказать, что если т > 0, то функция f(z) имеет в точке
2 = а нуль порядка т, а если /гг<0, то функция f\z) имеет в точке
z — a полюс порядка — т.
19.14. Пусть функция f(z) представима в виде f(z) = z~mq> (z),
где /я — целое число, а функция ф (z) регулярна в точке z = oo и
ф (оо) 7^ 0. Доказать, что если т > 0, то функция /(г) имеет в точке
2 = оонуль порядка т, а если //г<<0, то функция /(г) имеет в точке
2 = 00 полюс порядка — т.
19.15. Найти все нули и полюсы следующих функций и опреде-
определить их порядок:
2. ctg*. 3. ztg2*. 4. sin3^ — 3sin*.
1 —1— ctgrcj/T Кг
*e*+*. 6. yr . 7.sl^=. 8. cossch*.
19.16. Пусть функция f(z) регулярна в конечной точке z = a
и имеет там нуль порядка т. Выяснить, какого порядка нуль имеют
в точке z = a функции:
1. F(z)=fW(z), n<m.2. F(z)==\(z — t)nf(t)dU n = 0, 1, 2,...
19.17. Пусть функция f(z) имеет в конечной точке z = a полюс
порядка т. Определить порядок полюса в точке z = а функции /(n) (z).
175
19.18. Пусть функция f(z) регулярна в точке <г = оо и имеет
там нуль порядка т. Определить порядок нуля функции f^n)(z)
в точке z = oo.
19.19. Пусть' функция f(z) регулярна в точке 2 = оои имеет там
нуль порядка т. Определить порядок нуля в точке г = оо функции
19.20. Пусть Pm(z) и Qn(z) — многочлены степеней м нп соот-
соответственно. Найти порядок полюса в бесконечности для следующих
функций:
z), т^п. 2. Pm(*)-Q*(*)-*3. |^, т>п.
19.21. Пусть функция f(z) и g(z) имеют в точке z = oo полюсы
порядков тип соответственно. Доказать, что функция F (г)=f(g (z))
имеет в точке г=оо полюс порядка тп.
19.22. Пусть функция g{z) регулярна в точке z = a и g(a) = b,
а функция /(?) имеет в точке ?==& полюс порядка т. Доказать, что
функция F (z)~f(g{z)) имеет в точке z = a полюс порядка тп, где
п — порядок нуля функции g(z) — b в точке z = a.
19.23. Пусть последовательность функций {/ЛB)Ь регулярных
в кольце 0<C\z — а|<г, равномерно сходится в каждой замкнутой
части этого кольца. Доказать, что если каждая функция fn(z) имеет
в точке z = a полюс порядка ту то предельная функция f(z) регу-
регулярна в кольце 0<Z\z — a\<^r и имеет в точке z = a полюс по-
порядка не выше т, или устранимую особую точку.
19.24. Пусть точка z = a является существенно особой точкой
функции /(г). Обозначим М(р)= тах|/(,г)|.- Доказать, что при лю-
бом ?>0
HmpfeM(p)= +°°'
р-*0
У к а зание. См. задачу 19.11.
19.25. Пусть функция g(z) регулярна в точке # = а и g(a) = b,
а функция /(?) имеет в точке ?, = Ь существенно особую точку. До-
Доказать, что функция F (z)--=f(g(z)) имеет в точке z = а существенно
особую точку.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.24.
19.26. Пусть функции ax (z),... ,ал (z) регулярны в точке а или
имеют там полюс, а функция f(z) имеет в точке а сущесгвенно осо-
особую точку. Доказать, что функция
\
имеет в точке а существенно особую точку.
176
19.27. Доказать, что функция w(z), удовлетворяющая уравнению
wn + ах (z)to)n-* +... + ап(z) = О,
не может иметь существенно особых точек, если at(г),..., ап(z)— ра-
рациональные функции.
19.28. Пусть а ф оо, функция g(z) регулярна в точке г = #,
а функция /(г) имеет в точке z = a существенно особую точку.
Доказать, что функция F(z)=f {г) + g{z)f{z) также имеет в точке
z = а существенно особую точку.
Указание. Исследовать решение дифференциального уравнения
w' + g(z) w~F(z) в окрестности точки z = a в предположении, что функция
g(z) регулярна в точке z = а, а функция F(z) имеет там полюс.
19.29. Рассмотрев функцию f(z) = ezi убедиться, что условие
а ф со в задаче 19.28 существенно.
19.30. Рассмотрев функцию f(z) = ei/z, убедиться, что утвержде-
утверждение задачи 19.28 становится неверным, если разрешить функции g(z)
иметь в точке г = а полюс.
* * *
19.31. Доказать теорему Сохоцкого: Если точка г = а является
существенно особой точкой функции /(г), то для любого комплекс-
комплексного числа А (включая Л—оо) существует такая последовательность
{zn\, что Нтгл = а, Нт/(гл) = Л.
П-+ОЭ rt-ЮО ^
Указание. Воспользоваться результатом пункта 1 задачи 19.10 в при-
применении К фуНКЦИИ -jj-t jr.
/ \z) — А
•19.32. Пусть г = а — изолированная особая точка однозначного
характера для функции /(г). Доказать, что если Re/(^)>0 в неко-
некоторой окрестности точки г = а, то точка z~a является устранимой
особой точкой для функции f(z).
19.33. Пусть г = а — изолированная особая точка однозначного
характера для функции /(г). ДоказатьГчто если в некоторой окрест-
окрестности точки z = a функция f(z) не принимает значений, лежащих на
отрезке прямой, соединяющем точки w = a и ш = р, то точка z = a
не может быть^существенно особой точкой для функции /(-г).
Указание. Применить результат задачи 19.32 к функции
допускающей в некоторой окрестности точки г = а выделение регулярной ветви,
обладающей свойством Re /i (z) > 0.
19.34. Пусть г=а — существенно особая точка функции f{z).
Доказать, что в сколь угодно малой окрестности точки 2 = а функции
1. Re/(г); ,2. 1т/(г); 3.
принимают все действительные значения.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.33.
177
Точка г = а называется точкой накопления полюсов функции /(г), если
функция /(г) регулярна в некотором кольце 0<|2 — а|<г, за исключением
бесконечного числа полюсов av а2, .. •, причем последовательность {ап\ имеет
точку г —а своей единственной предельной точкой.
19.35. Доказать, что теорема Сохоцкого (см. задачу 19.31)
остается в силе, если точка z = a является точкой накопления по-
полюсов для функции f(z).
ОТВЕТЫ
19.08.
1. z = 0 — устранимая особая точка; г=±;Я, ±2я, ... — полюсы.
2. г = 0 — устранимая особая точка; г = нья, :±:3я, ±:5я, ... — полюсы.
3. z = oo —полюс; z = —1 — существенно особая точка.
4. г = оо и z = l —устранимые особые точки; 2 = —1 — существенно особая
точка.
5. 2 = 0 —устранимая особая точка; г=±я, гЬ2я, ±3я, ... — полюсы.
6. г = оо —устранимая особая точка; г = 0 — существенно особая точка.
7. 2 = zb 1, ч= — у zfc-«-, ... — существенно особые точки.
^ о
8. 2 = 0—существенно особая точка.
19.15.
1. z = itt—-нули второго порядка; z = ±l—полюсы первого порядка;
2 = оо — полюс второго порядкак
2. 2 = 0, ± я, ±2я, ±3я, ... — полюсы первого порядка; г = ±:— ± —- t
5я
± —, ... — нули первого порядка.
3. 2 = 0 —нуль третьего порядка; г = ±я, ±:2я, ±3я, ... — нули второго
я Зя 5я
порядка; 2=нь-о-, ±-9"» ± о" •••~полюсы второго порядка.
4. 2 = 0, ±я, н=2я, ±3я, ... — нули третьего порядка.
5. 2 = оо —нуль второго порядка; 2 = 0 —полюс второго порядка,
6. z = -j-, -Ту -J-, -г, ... — нули первого порядка; 2 = 0, 1, 4, 9, 16,...—
полюсы первого порядка. \
7. 2 = —я2, — 4я2, — 9я2. ... — полюсы первого порядка.
я ш' Зя Зя/ 5я 5я1
8. 2=±у,d=-2-, ±y,±T,±-2-,±yl ...-нули первого по-
порядка.
19.16.
1. т — п. 2. m + n+1-
19.17. т + п.
19.18. m + n.
19.19. 4m+l.
19.20.
1. max (m, n). 2. /n + л. 3. m — п.
176
§ 20. Ряд Лорана
Рядом Лорана по степеням г — а называется ряд вида
2 сп(г-аГ.
п =—оо
Этот ряд называется сходящимся в точке г0, если сходятся ряды
2 Сп&о-а)", § сп(г0-аГ.
п=—оо п=1
20.01. Найти множества точек z, в которых сходятся следующие
ряды Лорана:
оо °°
1.
п
3.
5.
7.
2 2-1 2".
ls=—ОО
ОО
W1 (% \\П
\ 2. 1— QJ "^^ Q#
^н! ch CLti '
I = — 00
1; B-»Ч-1ГЧг-
i = — ОО
ОО
2 2-nizn\
I = — ОО
- aJn.
2.
4.
6.
8.
п
\1 гЛ
« = — оо
оо
2 2~n*(z
М = —00
оо
VI гп
Id п2+1*
Пг== —00
ОО
Е 2"z"
tsss — CO
V 20.02. Пусть ряд Лорана 2 ^Л*—- аТ сходится в замкнутом
л='—оо
кольце r^\z — a\*^R. Доказать, что для его коэффициентов имеет
место неравенство
\cn\^M(rn + R~n) (n = 0, ±1, ±2, ...),
где М — некоторая постоянная, не зависящая от п.
00
20.03. Пусть ряд Лорана 2 cn(z — а)п сходится к сумме f(z)
п=—оо
в кольце г < | z — а | < R. Доказать, что:
<а) на любой замкнутой части указанного кольца этот ряд схо-
сходится абсолютно и равномерно;
б) его сумма f(z) регулярна в кольце r<C\z — a\<iR;
оо
4 в) ряд 2 ncn(z — a)nl сходится в том же кольце к сумме f'{z).i
«==—оо
оо оо
20.04. Пусть ряды Лорана 2 an(z — af и 2 bn(z — a)n
n,s=—оо « = — оо
сходятся в кольце r<Z\z — a\<CR соответственно к суммам A{z)
и B(z). Доказать, что ряд Лорана
ОО 00
2 cn{z — а)п, где сп= 2 akbn-k
п = --оо Л=— оо
сходится в том же кольце к сумме A(z)-B{z).
179
со со
20.05. Пусть два ряда Лорана ^ an(z — a)n и ^ bn(z—a)n
/!= — СО П = — СО
равномерно сходятся на окружности \z— а| = р к одной и той же
сумме /(.г).~Доказать, что эти ряды тождественно совпадают, т. е.
ап = Ьп при всех п.
Любая функция f (г), регулярная в кольце г < | г—а | <#, разлагается
со
в ряд Лорана 2 cn(z — °)п по степеням г — а, сходящийся в этом кольце.
п=—со
Коэффициенты сп определяются по формулам
I fWizar^dz r<9<R.
.Замечание. Практически эти формулы почти никогда не используются
для нахождения коэффициентов разложения конкретных функций в ряд Лорана.
Обычно разложение конкретной функции в ряд Лорана тем или иным способом
сводится к разложению в ряд Тейлора.
20.06. Опираясь на формулу для суммы бесконечной геометри-
геометрической прогрессии, а'также используя дифференцирование и интегри-
интегрирование, доказать справедливость формул: \
j-
— 1
= — со
О
- 2
П=—CO
—2
5-A= У, (b~ay^(z-af;
= —СО
О
.т1пй5-- 2 firFre
для In _ берется регулярная ветвь, выделяемая условием
.1 =о.
Z —• ОС \z = со
180
П —— 00
для In 2 ^ берется регулярная ветвь, выделяемая условием
20.07. Используя биномиальный ряд, доказать справедливость
формул: v.
-г-—г, zn, I^|>1; для функ-
(— п)\ ' ^J
п =—оо
ции (—зт) берется регулярная ветвь, выделяемая условием
а1 =1.
2=00
-. i.i.ji-n-
функции \/z%— 1 берется регулярная ветвь, положительная при
\z — a|>|ft — a |; для функции (-^r) берется регулярная ветвь, вы-
выделяемая1 условием
1 13/1 .
П ==—00
|z|>l; для функции In 2ч берется регулярная ветвь, дейст-
действительная при z>\.
Пусть функция /(г) регулярна^ кольце г<|г — a\<R и представляется
в виде суммы /t (г) + fa B), где функция Д (г) регулярна при |г—а|</?,
а.функция f2(z) регулярна при |2—а|>г. Разлагая функцию ft B) в ряд
Тейлора в точке 2 = а, а функцию /2(г) —в ряд по отрицательным степеням
2 —а, с помощью приемов, описанных в задачах 20.06 и 20.07, найдем разло-
разложение f B) в ряд Лорана в кольце r<|2—a\<cR. В случае, когда f (z) —
рациональная функция, искомое разбиение f (z) — fi (z)-\-f2 (z) легко получается
с помощью разложения на простейшие дроби.
20.08. Следующие функции разложить в ряд Лорана по степеням
z в кольце 1 << I z I <С 2:
1
B2+1)B + 2Г
Г, / 1 V О / I'" Л V ' • ^* /—О t 1 V / О >< \ • ^* / -О 1\О /
181
$0.09. Следующие функции разложить в ряд Лорана по Степеням
z — а в кольце D (точка а и кольцо D указаны в скобках):
1-ж$=ф (flel'ft K|*-
2 A D: K|^
3. ^V (a = l,—l^D). 4. Vrr (a=l,2feD).
5 1 ( л ^ 3 D) g 2г ( =
' Z B-1) B-2) ^ 2 ;* *22-2/ ^
7* B+1) B-2) ^^-^ Д
Для функций вида In R (г), где # (г) — рациональная функция, разбиение
на сумму также не представляет труда.
20.10. Убедиться, что следующие функции допускают выделение
регулярных ветвей в кольце D, и разложить все регулярные ветви
в ряд Лорана по степеням z — а в кольце D (точка а и кольцо D
указаны в скобках):
2-1пад- (« = 0, 1,|>2).
4.
5- 1п
Г (а==
20.11. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции У
C \ 5
(
—
Разложить /(^) в ряд Лорана в области | z \ > 1 по степеням г.
20.12. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции 1/ ^-j в области
l, такая, что/B)-<0. Разложить f(z) в ряд Лорана в этой
области по степеням z.
з г-у-
20.13. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции 1/ -—=- в пло-
плоскости с разрезом по отрезкам [0, 2/], [1, 2i], такая, что /(-у|==^
Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в области | z \ > 2 по
степеням z.
1 3
20.14. В плоскости с разрезом по дуге окружности z — -~ = у,
imz^O рассматривается функция ln^^* Пусть f(z) — регулярная
182
ветвь этой функции, определяемая условием /(-=¦ ] = 3л/. Разложить
f(z) в ряд Лорана в области | z | > 2 по степеням z.
20.15. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции arctg z в плоскости
с разрезом по линии | z |= I, Rez^O, такая, что /@) = я. Разложить
функцию f(z) в ряд Лорана в области | z | > 1 по степеням z.
Иногда разложение функции /(г) в ряд Лорана по степеням г —а в кольце
г <i\z — a\<.R можно получить, представляя функцию f (z) в виде произведе-
произведения f(z) = fx(z) -f2(z), где функция ft (z) регулярна при \г — a\<R, а функция
f2 (z) регулярна при \г — а \ >• г. Тогда функция /г (z) разлагается в ряд Тейлора
в точке 2 = а, а функция /2 (z) разлагается в ряд по отрицательным степеням
z — а. Ряд Лорана для fs(z) получается перемножением рядов для /х (z) и f2B-)
20.16. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана по степеням z — а
в кольце D (точка а и кольцо D указаны в скобках):
1. Л1/2 (а = 0, 0<|г|<оо).
2.
3.
t / I
6. e*Y ~Z (a 0, 0<|^|<co).
7. ez\n?^~ (a = 0, max(|a|, | p |)<|-г: | <оо, все ветви).
Еще один способ разложения функций в ряд Лорана опирается на фор-
формулы, связывающие коэффициенты разложения одной и той же функции в раз-
ных кольцах.
20.17. Пусть функцию f(z) можно представить в виде g(z)-\—^—-,
где функция g(z) регулярна в кольце r<C\z — а|</?, a z = a — не-
некоторая точка этого кольца. Положим
/B)= S спB-а)п. |а —о|<|г —e|<R
п = — оо
Доказать, что
20.18. Пусть f(z) = g (z) + у In [i|, где g (г) — функция, регу-
регулярная при р<|2|< — , р<1. Обозначим через fx(z) регулярную
193
ветвь функции f{z) в кольце р<С|^!<Ь отвечающую ветви In^-i-^
1 — Z
равной 0 при ? = 0, а через f%(z) — регулярную ветвь функции f(z)
в области 1 < | z | < —, отвечающую вегви In . , равной л/ при
~ 2
Положим
п = — оо
Доказать, что
20.19. Найти разложение функции ctg^ в ряд Лорана по степеням
z в кольце л < | z [ < 2зг.
Указание. Воспользоваться разложением функции ctgz в ряд
Тейлора (см. задачу 11.27).
20.20. Найти разложение функции __.• в ряд Лорана по степе-
степеням z в кольце 2л; < | z \ < 4л.
Указание. См. задачу 11.26.
Часто используются разложения функций в ряд Лорана, сходящиеся
в окрестности некоторой точки г —а. В связи с такими разложениями исполь-
используются следующие термины:
Рядом Лорана для!рункции /(г) в окрестности точки z~a называется ряд
сходящийся в некотором кольце 0 < | z — a \ < р.
Рядом Лорана для функции /(г) в окрестности точки г = оо называется ряд
сходящийся $ некотором кольце R <; | z | <С оо.
Главной частью ряда Лорана для функции /(г) в окрестности точки г«=~а
называется совокупность тех членов этого ряда, которые стремятся к бесконеч-
бесконечности при z—+a. При а конечном главная часть ряда Лорана состоит из отри-
отрицательных степеней z — a, a при а = оо— из положительных степеней z.
Разность между всем рядом Лорана для функции /(г) в окрестности точки
z = a и его главной частью называется правильной частью ряда Лорана для
функции /(г) в окрестности точки z — a.
Задача об отыскании главной части ряда Лорана для функции / (г) в окрест-
окрестности точки г = а решается теми же методами, что и общая задача о разложе-
разложении функции в ряд Лорана. Однако ввиду того, что приходится отыскивать
меньшее число коэффициентов, эта задача обычно решается проще.
184'
20.21. Найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки
г0 для следующих функций (точка z0 указана в скобках):
2: йт (го== 0> ~2я/> ± 4л/> • • °
ctg Я2 (г0 = 0, ± 1, ± 2,
(^0=00, ^>0, все ветви).
lle z* I/ г»+6а ('г'о=::00> ^>0, все ветви).
12. г3 arctg^ B0 —oo, все ветви).
20.22. В следующих примерах для функций \nz и za (a—дей-
(a—действительно) берется ветвь, регулярная в плоскости с разрезом по
положительной части действительной оси и принимающая положи-
положительные значения на верхнем берегу разреза при г>1. Найти глав-
главную часть ряда Лорана в окрестности точки z = z0 для функций
(значения z0 указаны в скобках):
1,-Jpp а>0 (го = -1). 2:^^ (го = -1).
3 а>0 (а: го = -1;б: го = -2).
(а: ео= - 1; б:
Aпг-я«J (*° в"~ 1)-
20.23. Найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки z — za
для указанных ниже функций, если для логарифмов и дробных сте-
степеней выбираются ветви, действительные на верхнем берегу раз-
разреза [0, 1].
1. (г2 + 1) Yz{\-zf (z0 = оо). 2. (г2- 1)In^ (г0 = со).
»¦
<А
185
20.24. Пусть функция f(z) регулярна в кольце 0<|,г —
и пусть ее ряд Лорана в окрестности точки z = а имеет вид
/(z)= |] cn{z-af.
/г=—оо
Доказать, что:
а) функцию f(z) можно аналитически продолжить в точку z = а
тогда и только тогда, когда сл = 0, п = —1, —2, ...;
б) функция f(z) имеет в точке z = а полюс порядка т в том и
только в том случае, когда с_тф0, с_т_1 — с_т_2 = ... = 0;
в) функция f(z) имеет точку z = а существенно особой точкой
в том и только в том случае, когда имеется бесконечно много отлич-
отличных от нуля коэффициентов сп с отрицательными номерами.
20.25. Пусть функция fk(z) имеет в точке z = a полюс порядка
k(k—\, 2, ...). Тогда функция
имеет в точке z = а полюс порядка п.
Допустим, что последовательность Sn (z) равномерно сходится
в каждой замкнутой части кольца 0 < | z — а | < р. Обязан ли предел
этой последовательности иметь точку z = а существенно особой
точкой?
20.26. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г < | z — a \ <iR
и ее ряд Лорана по степеням z — а в этом кольце имеет вид
/(г)= |] cn(z-a)n.
П— — ОО
Доказать, что:
а) для того чтобы функцию f(z) можно было аналитически продол-
продолжить на весь круг \z — a\<CR, необходимо и достаточно, чтобы
с_п = 0, я=1, 2, ...;
б) для того чтобы функцию f(z) можно было аналитически продол-
продолжить на кольцо р<|? — a\<CR, где О^р<г, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
lim
п-*-\-<х>
20.27. Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исклю-
исключением изолированных особых точек однозначного характера av
а2, ..., ат. Обозначим через gk(z) главную часть ряда Лорана для
функции f(z) в окрестности точки ak. Доказать, что функцию
т
f(z) — 2 gk (z) можно аналитически продолжить на всю область D.
k=\
20.28. Доказать, что функция, регулярная во всей конечной пло-
плоскости и имеющая в точке z = oo полюс порядка т, является мно-
многочленом степени т.
186
!20.29. Доказать, что функция, не имеющая в расширенной пло-
плоскости никаких особых точек, кроме полюсов, является рациональ-
рациональной функцией.
20.30. Доказать, что общий вид рациональной функции R(z),
имеющей полюс порядка т0 в точке z = oo, полюсы порядка mk
в точках aki ?=1, 2, ..., п, и не имеющей других полюсов, дается
формулой
где АкгГПкф0, & = 0, 1, ..., n, а остальные постоянные AktS — про-
произвольны.
20.31. Пусть R(z)— рациональная функция, имеющая полюсы
в точках av ..., ап и не имеющая других полюсов, расположен-
расположенных на конечном расстоянии. Обозначим через Ds область, состоящую
из точек, расположенных ближе к полюсу as, чем к любому другому.
Доказать, что:
1) lim
m-t-oo
(z)
m\
\/m
z — a.
s i
2) в каждой замкнутой части В области Ds функция RW (z) не
обращается в нуль, если только п>щ(В)\
3) для каждой точки z = a, лежащей на границе одной из обла-
областей Ds, можно указать последовательность точек {zm}, zm-+a и та-
таких, что R(m)(zm) = 0 (/га = 0, I, ...).
Указание. Рассмотреть последовательность <—In т^-'г и восполь-
\mk mk\ )
зоваться результатом задачи 20.30.
со
Каждый ряд Фурье /г(ф)= ^ спе1П^ можно рассматривать как ряд
п = — оо
оо
Лорана 2 спгП* z = et4> на окружности |г| = 1. Поэтому задачу о раз-
ложении функции в ряде Фурье часто удается свести к задаче о разложении
в ряд Лорана, сделав замену е*ф = г.
20.32. Разложить в ряд Фурье функции:
1 ^ ^ 1 о a sin Ф
0<а<1. 4.
A + а42асозФ)^<1- 6. Ш
7.
20.33. Разложить в ряд Фурье функцию In
sin
-*
187
Указание. Воспользоваться равенством
In
sin|
-«Rein-
20.34. Разложить в ряд Фурье функции:
1. In
tgf
@<Ф<2я).
ОТВЕТЫ
20.01.
1. 1/2 < | г | < 2. 2. 1< | 2 |< 3. 3. е~* < ] г — 1 | < А
4. 0<|г+1|<оо. 5. 0<|г —а|<1. 6. |г| = 1.
7. | г | г= 1,. 8. Пустое множество.
20.08.
— 1 +ОО
V1 (—0Л+1 д. \ ~1
—оо О
>¦ li*+i
— оо
— 00
у -З/г-4
— 00
+ оо
(— \)n
2Л.
—1
— 00
20.09.
-1
( }
5
— оо
—2
. 1)Л ,
27»22/l+s
^ ' '
О
3.
5. -
— 1
4. 1 + 2 (- 1>я+1 2
—ОО
О
+00
13S
7.
__
8
5 *
20.10.
О -{-со
—oo
-I
— 00
1 / hi A-n
± 1. ± 2, -.
— oo
0
-f-oo
— oo
0, ± 1, dL2, ....
— 1 m
5- 2 i 2 («;-
-0ь ±1, ±2,
— oo p = l
20.12. 2jCnz-n, где<70=1,
0
2n)! 4-2 V / nm-i B/t-2m)
I П
20.13.
20.16.
1 1
2 г^6 i
/I ass J
189
00
1
— оо я=0
I
оо оо
6. У Jn (О znt где Jn(t) =
—оо
— 1 /0°
7.
г = 0, ±1, ±2,...
— 1
20.19.
— оо
— 1
20.20. У (—
20.21.
- 2- i^ss^-2*^ 3- -?+т-
7.---L._l_. 8. —i (гв-Л). 9. (~1)fe (z»-k).
Ю. ± г. И. ± г2. 12. я(^+--)г3 —г2, /г=0, ±1, ±2,
20.22.
L е*1а'г + \' 2' ~7Г(г+1J "»" ?+Т#
3* а^ TTZTW ГТ1 J б)
(г + 2J + г+2
о С
Я + Ппб
4- а) -г^ 5—г • ^7л; Q
4
190
n , 2 _ fi 1 1
+7+Г- b* a} F-1J
л -L
j \nb
7
in b+^
2ib ' z + ib
ib'
20.23.
Zni «
. 2
2
z-ib
2ib ' z-ib'
11
^ 12
. 4. z.
20.25. Нет. Пример:
20.32.
OO
CO 00
. Уоя cos лф. 2. 2 a" sin ПФ- 3- 1 + 2 S аЛ cos n(P-
1 1 1
4.
cos2пф^
5-
6.
00
— 2 У —
cos лф.
1
n= 1
20.33. — In 2 — У — cos лф.
20.34.
00 OO
усо8Bл+1)ф у sin Л
jL 2л+1 • Ll n
0 1
191
§ 21. Вычисление вычетов
Пусть функция }(z) регулярна в точке г0 или имеет там изолированную
особую точку однозначного характера. Вычетом функции f (z) в точке z0 при
г0^=оо называется величина
2г^2/(г)в2й \ fiz)dZ>
где число р > 0 достаточно мало (окружность обходится один раз против часо-
часовой стрелки). Вычетом функции f (z) в точке со называется величина
jes^/B)=-^. ^ f(z)dz,
где число R >> О достаточно велико (окружность обходится один раз против
часовой стрелки).
Можно дать более единообразное определение:
Вычетом функции f(z) в точке г = г0, являющейся точкой регулярности
функции / (z) или изолированной особой точкой однозначного характера,
называется деленный на 2л/ интеграл от функции f (z) по границе достаточно
Малой окрестности точки ?0 (в этом определении учитывается, что интеграл
по границе области всегда берется в таком направлении, чтобы при движении
по граничной кривой область оставалась слева).
Согласно теореме Коши. res f(z) = 0, если -функция f (z) регулярна
в точке г0 и г0Фсо. Вычет в бесконечности может быть отличен от нуля
даже в случае, когда функция регулярна в бесконечности.
Вычислять вычеты, исходя из их определения, довольно сложно. Осноьой
для практического вычисления служит следующая теорема:
Пусть при 0 < 12 —г0 | < р
п = — оо
об
Тогда res f(z) = c_v Если же при #<|г|<оо/(г)= 2 спгП> то
2==20 * Я — —©о
res /(г)=—?и.
21.01. Вычислить:
1. res ^f. 2. res A*. 3. resT-^. 4. res^2sin-.
2=0O 2 Z=CQ 2=1 V */ 2=00 Z
5. res ^°li_. 6. res***-1 . 7. res Л? 2. 8. res
0 Z
_Я г—— 2=1 2 = OO 2=0 Z
Z~ 4 4
Задача отыскания вычета в действительности намного проще задачи раз-
разложения функции в ряд Лорана в окрестности данной точки, так как при
отыскании вычета требуется найти только один коэффициент ряда Лорана. Это
упрощение тем заметнее, чем меньше членов содержит главная часть ряда
Лорана.
Перечислим основные формулы для отыскания вычетов:
Пусть функция /(г) имеет конечную точку г0 полюсом первого порядка.
Тогда
res /(г)= lim (г-го)/(г). A)
2==Z0 2-*20
192
Пусть функция f(z) представима в виде /(z) = 7/\> где функции ср (г)
и г|з (г) регулярны в конечной точке г0 и г|) B) удовлетворяет условиям
Тогда
Z=2o Y W
Пусть функция f(z) регулярна в точке г=оо. Тогда
res /(z)^lim2(/(oo)~/B)). C)
Пусть функция /B) представима в виде /(г)==ф(—\ где функция q>(?)
регулярна в точке ? = 0. Тогда
res/B)=-<p'@). D)
гоо
Пусть функция f (г) представима в виде /(г) = (г — zo)~m <p(г), где функ-
функция ф(г) регулярна в конечной точке 20. Тогда
21.02. Найти вычеты следующих функций во всех их конечных
особых точках:
1 А о Ч 4
# ~ ' -" ' *•*'-*- °* A+2K* '"
„1 9 7
8. ctgnz. 9. thz. 10. cth*nz. 11. ^г^з- 12 !
iq sinjT2 14 JL
21.03. Найти вычеты следующих функций в бесконечности:
1. JJ--P 2. cosji-2j-. 3. у-у. 4. —-J-.
(«10+1) COS i-
В следующих задачах описываются различные приемы, часто облегчающие
вычисление вычетов.
21.04. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной пло-
плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых
точек однозначного характера zv z& ..., zn (точка z = oo не вклю-
включается). Доказать, что
21 res f(z)+re
ksszlZ*=Zk *-
7 Под ред. М. А. Евграфова ^ 193
21.05. Доказать, что для каждой четной функции f(z)
res /(*)= res /Сг) = О
2 = 0 2 = ОО
(в предполжении, что написанные вычеты имеют смыслу
21.06. Доказать, что для четной функции f(z) имеет место
равенство
res f(z) = — res f(z),
а для нечетной функции f(z) — равенство
res /(*) = res f(z)
z—z0 z=—z0
(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).
21.07, Пусть f(z) = g(az), где а ^?0. Доказать, что
res /(*) = - res g(z).
z=zoa u z~zQ
21.08. Пусть f(z) — zm g(zn), где т и п—целые числа, удовле-
удовлетворяющие условиям т^0, т<Сп. Доказать, что
res f(z) = e2km («>+!)/^ res f{z).
21.09. Найти вычеты следующих функций во всех их особых
точках и в бесконечности:
1 1 9 1+г*
г«(г+2)%
Ц-а) > П=1' 2> ••• 5' sin2rsinT'
cos г - 1 + г8 . о sin г
В случае, когда функция f(z) представима в виде /(г) = ф (г)Л|?(г), но
функции ф (г) и г|) (г) имеют в точке г0 нули порядка выше первого, формулы A),
B) или E) мало помогают при вычислении величины res /(z). Самым надеж-
г=г0 ф
ным приемом в таких случаях является замена функций ф (г) иг]) (г) некото-
некоторым количеством членов их разложений в ряд Тейлора в окрестности точки г0.
21.10. Вычислить:
1 гП1 —1 9 2 sin32~~3sin2
° res ,* „_чо. 4. res -т-^, /г = 2, 3, ...
2 = 0 Sfl Z
г
5. resz»-8ctg, л = 2, 3, ... 6. res
2=0 2=
194
21.11. Пусть функции ф(г) и г|)(г) регулярны в конечной точке zQ
и имеют в ней нуль порядка т. Доказать формулы:
W
2 грч 12-Ё) _L_\ 1 ф"»' (г0) Щт+i, (гв) _ ут+у (г<))-|
«=*. I* (г) ' (г-zdJ) - т+1 *•»> (г„) L Ф(т) (г„) 4><m) (г„) J'
В случаях, когда вычеты находятся не от функции, однозначной во всей
плоскости, а от некоторой регулярной ветви многозначной аналитической
функции, следует очень внимательно относиться к выкладкам, наблюдая за
тем, чтобы все этапы вычислений проводились с одной и той же ветвью.
21.12. Найти вычеты для каждой ветви, регулярной в некоторой
окрестности точки z0 (исключая, возможно, ее саму):
1. res , . , /t ,—г. 2. res ln-^-г. 3. res у
г
=04ш-1пA+г) 2=00 z+1 zs=1
4. res - г 5. res Y(z —
/42+2-
В некоторых задачах вычеты удобнее всего вычислять, исходя из их опре-
определения, как контурного интеграла, и применяя теорему Коши о возможности
деформирования контура интегрирования в области регулярности подынтег-
подынтегральной функции.
21.13. Пусть f(z)—целая функция. Доказать формулы:
ь
1. res i/B)ln^-l = \ f(z)dz (здесь для 1п^~ берется любая
2=00^ ^ v Си
ветвь, регулярная в окрестности бесконечности).
/(«)rfz (здесь для lgg
берется любая ветвь, регулярная в окрестности бесконечности).
ь
3. res {/B)(ln73sJ} =z2\ f(x)ln~^dx (здесь а и ft действи-
2=00
тельные числа, а<С.Ь, а для In -—- берется ветвь, регулярная в окрест-
окрестности бесконечности и равная нулю при z = со).
ь
4. res {/B)(tz^) } = ~1Г~ \ ^*НлГ^У ^х (здесь а<Ь>
/г_Ма
— 1<сс<1» — действительные числа, а для (-^7-) берется ветвь,
регулярная в окрестности бесконечности и равная единице при z = 00).
* * *
7* 195
21.14. Найти res \f(z) q> (z)}> если функция q>(z) регулярна в
точке z0, а функция f(z) имеет в точке zQ полюс первого порядка
с вычетом А.
/' (z)
21.15. Найти res 77т» если ФУНК1*ИЯ f(z):
1) регулярна в точке z0 и имеет там нуль порядка т\
2) имеет в точке z0 полюс порядка т.
21.16. Найти res {фС^тту}» если Функция ф(,г) регулярна в
точке z = zOy а функция f(z):
1) регулярна в точке z0 и имеет там нуль порядка т\
2) имеет в точке z0 полюс порядка т.
21.17. Найти res /(ф(-г)), если функция ф(г) регулярна в точке z0
z=z0
и ф' (z0) ф 0, а функция f(z) имеет в точке ф (z0) полюс первого
порядка с вычетом Д.
21.18. Пусть функция f(z) регулярна при /?<|<г |<оо, а
res/B) = 0. Доказать, что функция f(z) имеет первообразную, регу-
? = 00
лярную при R < | z | <С оо.
21.19. Выяснить, при каких значениях параметров а, Ь следую-
следующие функции однозначны во всей комплексной плоскости:
1. \*±?-Ь 2. ( (
( ^inCycosC^ 3. (
?4
1
ОТВЕТЫ
21.01.
1. 1. 2
21.02.
1. 1 ПрИ 2 = 0; ^- ПрИ 2= ft —-jr~ ПрИ 2 = —!.
9 ппи 2 — ?я*/4' "^* ппиг-/»""я'/4; -, * т* _
**• - __ XI L/П *» J ¦¦¦ w • - ^_ 11 L/«i Л ||1и"||Г С? * № 11 L/xl
1 1 / Л * J I/ Л Jl /Л '
^i при
4/2
3/ 3/
3. 1 ПРИ 2 = — 1. 4. —yg ПрИ 2=:ft jx При 2 = —/.
5. —о" при 2=1; -j- при 2= ft -j при 2 = —i. 6. С^1 при 2=1.
( — 1)п
7. v )rr/ при 2 = л, где /г = 0, ±1, +2,...
8. — при 2=я4 где л = 0, ± 1, ±2,...
196
9. 1 при 2=(л + ~\ ш, где л = 0, ± 1, ± 2,...
10. 0 при z = nin, где л = 0, ± 1, ^2,...
11. —sin 1 при 2=1. 12. —1 при 2 = Bл+1)я/, где л = 0, ± 1, ±2,...
13. О при 2=1.
j2ft-ft
14. О при 2=0; _ при 2 = /* К ял, где ? = 0, 1, 2, 3, rt=lt 2t 3,...
21.03.
1.0. 2. я. 3.0. 4. ---1. 5.—1. 6. яз.
21.09.
g^ ПРИ
2; -—^ ПРИ
0; 0 при 2 = оо.
ОЕ7 1
2. -gv- при 2 = —2; —g2 ПРИ ^ = 0; —4 при 2 = оо.
1023 109*}
3. О при 2 = 0 и 2=оо; —-256"' ПРИ 2 = 2/; -ggg- / при 2
4. аЛ+а~Л при 2 = а; — а~л, при 2 = 0; — ап при 2 = оо.
5. О при 2 = 0 и 2 = со.
6. — j- ПрИ 2= i\ j- ПрИ 2 = — Г, 0 ПрИ 2 = ОО.
—2/.
1
7. О при 2 = 0 и 2 = оо; —j
при
8. — ~г- при i
121.10.
1. 1. 2. 24. 3.
21.12.
1. —3, когда (+
2. 2 для всех ветвей.
3. 4, когда Кб—2|^=1
4. 4, когда }/—22
~то при *=--*'; тг при
4. 0. 5.-4- 6- —Г.
о О
со.
/, и 0 для остальных ветвей.
-2, и 0, когда j/б — 2 |г
12, и 0, когда ]/4—2« |<г
г0 =
5. 1 Hm i]/B-l)(^)
21.14. ЛФB0).
21.15. 1. т. 2. -/я.
21.16. 1. ШфB0). 2. — /ЯфB0).
21.17. -А-
Ф Bо)
21.19. 1. при а = —1. 2. при
6. ~ Нш 1{/2г»-
3. при а
§ 22. Вычисление интегралов по замкнутому контуру
Задачи этого параграфа рассчитаны на применение теоремы о вычетах:
Пусть функция f(z) регулярна в области Dt за исключением конечного
числа точек а^ ? D (?=1, 2, ..., я), являющихся изолированными особыми
точками однозначного характера, и непрерывна вплоть до границы dD обла-
области Ьу за исключением тех же точек. Граница dD области D предполагается
197
состоящей из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых. Тогда
«2nf 2 res/(г),
граница обходится в положительном направлении (т. е., если при движе-
движении по границе в направлении интегрирования область остается слева).
Замечание. Если область D содержит бесконечно удаленную точку,
то она-причисляется к точкам а#, даже если функция f{z) регулярна в ней.
Способы вычисления вычетов считаются известными.
22.01. Вычислить интегралы:
(D: 2<|*|<4).
При вычислении интегралов от функций, регулярных во всей плоскости,
за исключением конечного числа изолированных особых точек однозначного
характера, следует иметь в виду, что полная сумма всех вычетов такой функ-
функции (включая вычет в бесконечности) равна нулю. Иными словами, для таких
функций справедливо равенство \ f(z)dz=— \ f(z)dz, где Di — дополне-
__ dD odx
ние к D до всей расширенной плоскости (множество D\ может состоять из
одной области или из нескольких областей).
22.02. Вычислить интегралы:
2- S(
dD
dD
4. [ JL~eVzdz (D\ |*|<2).
di>z+l
5. tsin^dz (D: \z\>3).
dD
6. ^sinj±jd2r (D: И<2).
198
7.
8D
8.
9.
dD
ф: |г —1|>1).
(D: |г-2 | + |
г ф: И>2).
11.
12.
dD
13.
14
1(и = 0, 1,2,...)).
22.03. Доказать формулу
Л*""
*
J L \) п!(п+1I
|2|==1 /1 = 0
(окружность обходится против часовой стрелки).
При вычислении контурных интегралов от однозначных ветвей многознач-
многозначных аналитических функций необходимо внимательно следить за тем, чтобы
вычеты брались от нужной ветви.
22.04. Вычислить интегралы для всех ветвей многозначных ана-
аналитических функций, стоящих под интегралом:
7. [Yz*+ldz (D: И>2). 8. С-
dD dD
dD
dD
г> {"¦¦ ^<$-
22.05. Проверить, что многозначные аналитические функции,
стоящие под знаком интеграла, допускают выделение в области D
однозначной ветви, удовлетворяющей заданным условиям, и вычислить
интеграл от этой ветви:
dD
1) (здесь /ЛИ|г=0^0.
2- jj \ + Щг-2) (D: 1^-3 |< 0,99) (здесь In (г- 2)| 2==3-0).
3D
дЪ
3D
(здесь In (I
5-
=e-i = l—-2ш).
|) (здесЫпA-г)|г=1_е==1).
dD
*1
1+21 V7
9.
г-1
г+1
. 2).
(здесь l-
— b)-> I,
1а
<9D
(здесь у Y(z-—d)(z —
— 1,
со].
(здесь -1К^ — аJ(,г — Ь) -> ^ ~2я'/з, z -> оо).
\
200
(здесь
13.
(здесь
dD
1
к
1
г
1, я-* оо
I,
W:\z\>\a\ + \
(здесь I/ -—r-*-U In-—г->0, 2:~>оо).
; /i = 0, 1, 2,...
(здесь
1 С ?**
-- \ , _ \
1 С ?**
22.06. Доказать, что интеграл <у-- \ , _ \2 ^> взятый по границе
\2
полуплоскости Im ,г > 0, равен сумме вычетов подынтегральной функ-
функции в этой полуплоскости, и найти его значение.
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу, взятому по
границе полукруга Im г > 0, | г \ < R, а затем перейти к пределу при R -> оо.
22.07, Доказать, что интеграл ^—. y-^—e^^dz, взятый по гра-
1
3D
нице угла | arg z | < я/4, равен сумме вычетов подынтегральной функ-
функции в этом угле, и вычислить его значение.
Указание. При оценке интеграла по дуге окружности | arg г \ < я/4,
|z| = /?, воспользоваться леммой Жордана (см. задачу 5.37).
22.08. Убедиться в применимости теоремы о вычетах к следую-
следующим интегралам, взятым по границе бесконечных областей, и вычис-
вычислить эти. интегралы:
dD
\
dD
dD
201
3.
4.
5.
(ft -l<Re,<l).
dZ)
<здесь
22.09. Убедиться, что к интегралам
1. /= [ e-*2dz (D: Imz>0),
dD
2. /=
(D:
dD
теорема о вычетах неприменима.
22.10. Пусть область D — это вся плоскость с разрезом по отри-
отрицательной части действительной оси, a ]/z и \nz означают те ветви
этих функций в области Д которые положительны при г> 1. Дока-
Доказать, что к интегралу \
вычислить его.
применима теорема о вычетах, и
Указание. Сначала рассмотреть интеграл по границе области
(кольцо с разрезом), а затем положить р —»0 и R -— со.
22.11. Убедиться в применимости теоремы о вычетах к следующим
интегралам, и вычислить их:
1
• \ tt \t &z Ф: ""-fl;<arg ?<я) (здесь 1/7 >0 при
a/)
г>0, и 1п2:>0 при г>1).
2. \ 1/ —r-rdz (D: 2§?[—1, 1]) (здесь
3.
±
(D: 2: ^ [— /, /]) (здесь
4-
l]f
5.
(здесь
202
(D:
dD
1 при z ~>0,
, +со)}) (здесь
-1], гф[1, 2]})
* * *
22.12. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в замыкании D ко-
конечной области Д причем функция f(z) имеет в области D нули
01, •••> Яд (каждый нуль пишется столько раз, каков его порядок)
и не имеет других нулей ни в области D, ни на ее границе. Дока-
Доказать, что
п
22.13. Пусть функция f{z) задачи 22.12 имеет в области D еще
и полюсы bv ..., bm (каждый полюс также пишется столько раз,
каков его порядок). Доказать, что
j ^ g{ak)-2nt
22.14. Пусть функция" f{z) регулярна в замыкании D конечной
области D, а точки av ..., ап лежат в области D1 и попарно раз-
различны. Обозначим
Р (*) = (*-о,) ... (z-an)
0Z)
Доказать, что функция Ф(г) аналитически продолжается на всю
плоскость и представляет собой многочлен степени п—1, удовлетво-
удовлетворяющий условиям
0(ak)=f(ak) (A = l, 2, ..., п\
(Многочлен Ф(г) называется интерполяционным многочленом Лаг-
ранжа.)
22.15. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D конечной
области D, содержащей отрезок [— 1, 1]. Доказать, что функция
0(z), определенная вне области D интегралом
аналитически продолжается на всю плоскость и представляет собой
многочлен степени 2п—1, удовлетворяющий условиям
ф (*)(± 1) ==/(*) (±1) (* = 0, 1, ..., л—1).
22.16. Пусть функции yf(z), P (z) и Ф(г) означают то же самое,
что и в задаче 22.14. Через Dt обозначим область регулярности
203
функции f(z), содержащую D (в силу регулярности f{z) в D такая
область существует), и положим
Доказать, что функция R(z) аналитически продолжается на всю
область D и что она равна f(z) — <P(z).
22.17. Пусть функция f(z) регулярна при |z|<:/?, а функция
g(z) определена при \z\<.R равенством
Доказать, что функция g{z) регулярна и
интеграл
1
при
?, и найти
в случаях:
1. \a\<R, \b\<R.
2.
\b\>R. 3.
22.18. Пусть функция g(z), регулярная при \z\^R9 задана.
Найти общее решение f(z) уравнения
I R
регулярное при | z \ ^ R, в случаях:
1. |a|<R, \b\<R. 2. |a|<R, \b\>R.
22.19. Пусть a, b, с — попарно различные числа, лежащие в круге
| z | <С R* Каким условиям должна удовлетворять заданная функция
g(z), регулярная при z^Ry для того, чтобы уравнение
| = R
имело решение f(z), регулярное при
Найти решение этого
уравнения, если условия разрешимости выполнены.
22.20. Найти все решения f(z) уравнения
2ni \
регулярные при | z | ^2.
22.21. Найти все решения f(z) уравнения
регулярные при
204
ОТВЕТЫ
22.01.
, ni n ni o . . . Зяь . 16
L """г" 3. msml. 4. --^-. 5. y
22.02.
1.0. 2.0. 3. 2я1. 4.—?™-. 5. 2Я1СО8 1. 6. 4яе (cos 1 - sin 1).
о
7. ~2Я1. 8. 2я1. 9. ni (cos 1+2 sin 1). 10. ~(i-l)sinl. 11. 0.
12. j(i-l)em. 13. -Юя*. 14.0. 15. /i + l.
22.04.
1. 2я?е~2, если1п(г + 3)| 2=в0 =1пЗ, и 0, если In (z + 3) | г==о = 1п3 + 2&и\
где кФ§. 2. — 2я?, если In (г—-2) \ г=г { =— я/, и 0 для остальных ветвей.
3. — 2я1'со8 1, если lnzl^^^jss—яг, и 0 для остальных ветвей. 4. — 4/гя,
если In A+2) |г==0 =2&г«. 5. 4яг для всех ветвей. 6. — я2г'B& + 1), если
/ 1 \ '
arctgz | г е=оо = я( & + -_-). 7. 0 для всех ветвей. 8. — т#, если
j + приг>1, ит, если ]/'4г2 + 4г + 3<0 приг> 1. 9. 0, если
]/~3 —z|z = -i=2;_— 4яг, если ]/—г|2 = - i«~2. 10. 0, если|/Т| 2=1 = 1,
и —4яг>, если Vz\z~\~—1.
22.05.
1. 4 л 0 + 20. 2- —. 3. 0. 4. 0. 5. i-ni. 6. -:р.
О в о УЯ
7. -2т\ 8. ^~L. 9.^F-^2. 10. 2я(. И. у
12. _51(За + Л 13. Я1аA-а)(а-6J. 14. 2яг
*«,(! _*.). 16. gf
22.06. — ^.
22.07. ??.
22.08.
22.09.
1. />0t a сумма вычетов равна нулю. 2. /=0, а сумма вычетов отлична
от нуля.
я2
22.10. --гг/.
22.11.
1. —я» |"l + -g"—* (l — "g") ] K2- 2. 2я/. 3. 2л/(/2-1).
4. 2яПп(/2-1). 5. 0. 6. -2я*.
22.17.
^^ 2. /-i=J/(fl)-f(«). 3./ —
205
22.18.
1. f = (z-a)B-b)g(z) + cz+Ci. 2. f=(Z-a)(z~b)g(z)+c(z-b).
22.19.
Уравнение разрешимо при выполнении условия (а—с) g (а) =* (Ь— с) g(b),
и его решение имеет вид
. (z-c)g(z)-(a-c)g(a)
П*)- (г__а)(г_&)
22.20. /(г) = г. 22.21. f (z)=z/2.
§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше
При решении приводимых ниже задач считать известной следующую тео-
теорему:
Пусть функция f(z) регулярна (за исключением, быть может, конечного
числа полюсов) в замыкании D ограниченной области D, граница которой dD
состоит из конечного числа простых кусочно-гладких замкнутых кривых. Если
на dD функция f(z) не имеет ни нулей, ни полюсов, то справедлива формула
dD
где rif — число нулей функции f(z) в области D, a nj—число ее полюсов в
этой области (с учетом их кратности).
23.01. Пусть граница dD области D состоит из т простых зам-
замкнутых кусочно-гладких кривых Сь С2, ..., Ст. В предположениях
сформулированной выше теоремы доказать, что формуле A) можно
придать вид
Здесь g дифференцирование по направлению кривой в точке ин-
интегрирования.
23.02. Доказать, что формуле A) можно придать вид
k
Здесь g дифференцирование по направлению внешней нормали
к кривой в точке интегрирования.
Указание. Воспользоваться условиями Коши — Римана для действитель-
действительной и мнимой частей функции In f(z).
Пусть С —произвольная замкнутая непрерывная кривая, не проходящая
через точку z = 0. Символом var In 2 мы обозначим разность между результатом
с
аналитического продолжения функции In z вдоль кривой С и исходным элемен-
элементом In z,
23.03. Пусть ограниченная область D имеет границу dD, состоя-
состоящую из замкнутых кусочно-гладких кривых Ci, ..., Ст> а функция
206
f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа полю-
полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы (за исключением тех же
полюсов). Доказать, что если функция /(г) на границе области D
не обращается ни в нуль, ни в бесконечность, то имеет место фор-
формула (/(С)—образ кривой С при отображении w=f(z))
vav In w,
которую можно записать также в виде
m
nf—n~f=-tr~/ var arg w
2ntx f(C*>
(принцип аргумента),
23.04. Пусть функция f(z) регулярна в круге | г \ ^ /?, за исклю-
исключением полюсов %,..., ап (каждый полюс пишем столько раз, каков
его порядок), a bv..., bm—ее нули (каждый нуль тоже пишем
столько раз, каков его порядок). Доказать формулу
2я п т
(формула Иенсена).
Указание. Написать формулу задачи 23.02 для круга | г \ < р и после
небольших преобразований проинтегрировать по р.
# # *
23.05. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области Д
за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до
ее границы (за исключением тех же полюсов). Доказать, что если
функция \mf(z) не обращается в нуль на границе области Д то
число нулей функции f(z) в области D равно числу ее полюсов
в этой области.
Указание. Применить принцип аргумента (см. задачу 23.03) и заметить,
что образ каждой компоненты границы области D лежит в полуплоскости
Im w > 0 или в полуплоскости Im w < 0, где функция In w допускает выделе-
выделение регулярной ветви.
23.06. Пусть функция f(z) регулярна в ограниченной области Д
за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть
до ее границы dD (за исключением тех же полюсов). Обозначим
М = max \f(z)\.
?dD
Доказать, что для каждого комплексного значения а, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию | а | > Mf число нулей функции f(z) — а в области D
равно числу ее полюсов в этой области.
23.07. Пусть функции F(z) и fi(z) регулярны в ограниченной
области Д непрерывны вплоть до ее границы dD и удовлетворяют
207
условию | f(z) I < IF (z) | (zg dD). Доказать, что число нулей
функции F(z)-\-f(z) в области D равно числу нулей в той же
области функции F (z). (Теорема Руше.)
23.08. Пусть функции f(z) и F{z) регулярны в ограниченной
области D и непрерывны вплоть до ее границы дД на которой
функция Im~~r не обращается в нуль. Доказать, что число нулей
в области D у функций F(z) и F(z)-\-f(z) одинаково.
23.09. Найти число корней приведенных уравнений в областях,
указанных в скобках:
1. **—3*+1=0 (|*|<1). 2. 2s4 —
3. ?7--_524-f г2—2 = ° (I^K1) (
5. г3—12^ + 2 = 0 (|s|<2). 6. г4 — ftzf + l=O (|г|<2).
7. 2* 0 0 (H1) 8^ 34+0
23.10. Доказать, что при любом комплексном значении а и при
целом я^2 уравнение 1 -{-z-\-azn = 0 имеет хотя бы один корень
в круге | z | ^ 2.
Указание. Помимо теоремы Руше воспользоваться формулами Виета
(при достаточно больших значениях \а\).
23.11. Доказать, что при Х>1 уравнение zek~z~\ имеет в
круге | z | ^ 1 ровно один корень (и к тому же действительный).
23.12. Доказать, что при Я>1 уравнение 2 = А,— ё~2 имеет в
полуплоскости Re z^O ровно один корень (и к тому же действи-
действительный).
23.13. Доказать, что уравнение azs — z-\-b = e~z(z-\-2) при
а > 0, Ь > 2 не имеет корней в полуплоскости Re г ^ 0.
23.14. Пусть функция f(z) регулярна в круге |г|<1. Доказать,
что существует такое число р>0, что для всех w из круга
| w \ < р уравнение z = wf(z) имеет в круге | z | < 1 ровно один корень.
23.15. Пусть функция /(г) регулярна в круге | z \ < 1 и /@) ф 0.
Доказать, что существует такое число р>0, что для всех w из
кольца 0<|до|<р уравнение zm=wf(z) имеет в круге |г|<1
ровно т различных корней.
23.16. Доказать, что уравнение 2sin? = l имеет только дей-
ствьтельные корни.
Указание. Найти число действительных корней этого уравнения на
отрезке Г— (п +4-V» [п +-о") я| и сРавнить его с числом всех корней
этого уравнения в круге \z \ < Ы +-^-]
23.17. Доказать, что уравнение tg z — z имеет только действи-
действительные корни.
* * *
23.18. Пусть последовательность функций {/„(z)}, регулярных
в области D, равномерно сходится в этой области к функции /(г),
отличной от тождественного нуля. Обозначим через U область,
208
лежащую строго внутри области D и такую, что функция f(z) не
имеет нулей на ее границе. Доказать, что все функции fn(z), начи-
начиная с некоторого номера, имеют в области П столько же нулей,
сколько и функция /(г).
23.19. Пусть целая функция f(z) является пределом последова-
последовательности многочленов {Pn(z)}t равномерно сходящейся в каждой
конечной части плоскости. 'Доказать, что если все многочлены Рп (г)
имеют только действительные нули, то и функция /(г), и все ее
производные также имеют только действительные нули.
23.20. Доказать, что все производные функции е~г*+аг, где -а про-
произвольное действительное число, имеют только действительные нули.
23.21, Пусть все нули многочлена Р (z) = zn -f- uytn~x -j-... + an
лежат в круге |г|<1. Обозначим
Доказать, что:
1. Все нули тригонометрических многочленов Q(q>) и S((p) действи-
действительны (на промежутке [0,2л] каждый из этих многочленов имеет
ровно 2п нулей).
2. Между каждыми двумя нулями многочлена <2(ф) лежит ровно
один нуль многочлена 5(ф), и наоборот.
Указание. Согласно принципу аргумента число нулей многочлена Р (г)
в круге |z|<l равно var ^
0<9
23.22. Пусть О^ао<а!<...<ая. Доказать, что функция
F (z)=а0 + а± cos z +. • • + an c°s nz
имеет только действительные нули.
Указание. См. задачи 2.29, 23.21.
23.23. Пусть функция ф(х) непрерывна и монотонна на отрезке
0 ^ х ^ а. Доказать, что функция
F (z) = ^ ф (х) cos xzdx
о
имеет только действительные нули.
Указание. Записать интеграл как предел интегральной суммы.
23.24. Функция Бесселя порядка я, # = 0, 1,..., определяется ра-
равенством
j (г)± { Л* С>
iq=i
Доказать, что функция Jn (z) имеет только действительные нули.
209
23.25. Пусть
S(x)=lmP(x), ~
Доказать, что все корни многочлена P(z) лежат в полуплоскости
1ш2>0 в том и только в том случае, когда выполняются условия:
а) Многочлены Q(x) и S(x) имеют только действительные про-
простые нули Xv..., Хп и iii,..., \in_x (занумерованные в порядке возрас-
возрастания);
б) Я1<(х1<^<...<|иЛ_1<^; в) 5(*)<0, *>[W
23.26. Доказать, что многочлен z2 + aiz + аъ имеет все нули в по-
полуплоскости Imz>0 в том и только в том случае, когда выполня-
выполняются условия
P
Pl<0, aa-aii
где
aA = Rea*, $k = lmak (k=l, 2).
ОТВЕТЫ
23.09.
1. 1. 2. 1. 3. 4. 4. 5. 5. 1. 6. 1. 7. 6. 8. 3.
§ 24. Изолированные точки ветвления
Пусть функция f(z) аналитична в кольце 0 < | ^—а | < г и не является
функцией, регулярной в этом кольце (т. е. неоднозначна). Тогда точка z=a
называется изолированной точкой ветвления для функции f(z).
Если число различных элементов функции f(z) в каждой точке кольца
равно я, то точка z = а называется точкой ветвления порядка п для функ-
функции/^). В случае, если число различных элементов функции/(г) в какой-либо
точке кольца бесконечно, точка z = a называется логарифмической точкой ветв-
ветвления для функции /(z) (или точкой ветвления бесконечного порядка).
24.01. Приведенные ниже функции аналитичны в кольце 0 < \z\ <Cl.
Определить характер изолированной точки ветвления г = 0.
7. г*2' 8# у
10. \vl\vlz. 11. In ctg^. 12. *-
Замечание. Приведенное выше определение различных видов изоли-
изолированных точек ветвления пригодно и для случая, когда функция / (г) ана-
литична не в кольце 0<|г — а | < г, а в произвольной односвязной области
с выколотой точкой г = а.
24.02. Указанные ниже функции аналитичны в конечной плоскости
с разрезом по отрезку [—1,1]. Определить характер изолированной
точки ветвления z = oo.
1. yz(z2— 1). 2. 1пB+]Лг2— 1).
210
4. 1
при z> 1.
2z , , . — 1<0при *>1.
24.03. Пусть z = a — точка ветвления конечного порядка для
функций/(г) и g(z). Доказать, что для функций/ (z) + g(z) uf(z)g(z)
она также является точкой ветвления конечного порядка, или изоли-
изолированной особой точкой однозначного характера.
24.04. Пусть z — a — точка ветвления порядка т для функции
f{z) и точка ветвления порядка п для функции g(z). Определить по-
порядок точки ветвления z = a для функций f(z)-\-g(z) nf(z)-g(z)
в предположении, что тип взаимно просты.
24.05. Решить предыдущую задачу, предположив, что тип
различны, но не обязательно взаимно просты.
Если функция / (г) аналитична в многосвязной области, содержащей
кольцо 0<|z—а | < г, то функция f (z) распадается, вообще говоря, в этом
кольце на несколько ветвей. Для каждой из этих ветвей точка г = а является
изолированной точкой ветвления или изолированной особой точкой однознач-
однозначного характера. Особые точки этих ветвей называются особыми точками функ-
функции f(z), лежащими над точкой z — a.
24.06. Следующие функции аналитичны во всей комплексной пло-
плоскости с конечным числом выколотых точек, Определить число и харак-
характер особых точек, расположенных над этими исключительными точками.
1. f/*z(l—zJ. 2. arctgz. 3. In (z + ]/z2-\-1)- 4. (arcsin^J.
sin]/"*
5. |/"arcsin7. 6. earctgz. 7. У z arctg z.
24.07. Пусть функция f(z) аналитична в кольце г<C\z\<CR
(обозначим его через D), a fa(z) — какой-либо элемент этой функции
в точке z = a. Символом {fa(z)}m обозначим элемент, получаемый
из элемента fa (z) продолжением по окружности | z | = | а |, проходи-
проходимой т раз против часовой стрелки. Доказать, что для /z-значности
функции f(z) в кольце D необходимо и достаточно, чтобы {/a(z)}m^
zfcfa(z) При /7Z= 1, 2, . . ., Я—1, а { fa (?) }п —fa (z)-
24.08. Пусть z = a— точка ветвления порядка п для функции
f(z). Доказать, что выражение f(a-\-?,n) представляет собой п чфунк-
ций, имеющих точку ? = 0 изолированной особой точкой однознач-
однозначного характера.
24.09. Доказать, что если функция f(z) имеет точку z = a точ-
точкой ветвления порядка п, то ее можно представить в виде
где функция F(w) имеет точку w==0 изолированной особой точкой
однозначного характера.
211
Пусть точка г = а является точкой ветвления конечного порядка для
функции f(z). Если существует предел
(конечный или бесконечный) при произвольном стремлении точки г к точке а,
то точка z = а называется алгебраической особой точкой функции f(z).
24.10. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z — #|<г> имеет
в точке z = a нуль порядка т и не имеет других нулей. Доказать,
что выражение rf~f(z) представляет собой:
а) если числа тип взаимно просты, то функцию, аналитическую
в кольце О<С\ z— а\<С,г и имеющую в точке z = a алгебраическую
точку ветвления порядка щ
б) если т делится на п> то п различных функций, регулярных
в круге \z — a\<:r\
в) если числа тип имеют общий наибольший делитель р,
1</?<Ся, то р различных функций, аналитических в кольце
0 <С | г — а\<Сг и имеющих в точке z = а алгебраическую точку
ветвления порядка п/р.
24.11. Доказать, что утверждения а) и в) задачи 24.10 сохраняют
силу и в случае, когда функция f(z) имеет в точке z = a полюс
порядка/гс и не имеет в остальных точках круга \z — a\<Cr ни нулей,
ни полюсов.
24.12. Доказать, что функцию /(г), имеющую в точке z — a
алгебраическую точку ветвления порядка п, можно представить в виде
f(z) = F(y/rz — а), где функция F(w) регулярна в точке w — 0 или
имеет в ней полюс.
24.13. Доказать, что функцию f(z), имеющую в точке z~a
алгебраическую точку ветвления порядка п, можно представить в виде
... + (z - a) <*-i>/n ?„_!(*),
где функции gk(z) регулярны в точке z = a или имеют в ней по-
полюсы.
24.14. Пусть г = а — алгебраическая особая точка функции f(z).
Доказать, что существует кольцо 0<|г — а|<6, в котором все
элементы функции f(z} не обращаются в нуль.
24.15. Пусть z = a — алгебраическая особая точка функций /(г)
и g(z). Доказать, что для функций
f(z) g{z), ^
точка z — a может быть только или алгебраической особой точкой,
или полюсом, или устранимой особой точкой.
24.16. Пусть z = a — алгебраическая особая точка функции f(z)
и lim f(z) = by а w = b — алгебраическая особая точка функции F(w).
z—*a
Доказать, что z = a — алгебраическая особая точка функции F[f(z)].
212
24.17. Пусть z = a— алгебраическая особая точка функции f(z)
и lim f(z) = b, b фооу а функция F(w) регулярна в точке w = b и
Z-+CL
F' ф) ф 0. Доказать, что точка z = а является алгебраической точкой
ветвления одного и того же порядка для функций F[f(z)\ и f(z)
(если Ff (Ь)=*0, то порядок точки ветвления для функции F[f{z)\
может быть меньше, чем для функции f(z); см: задачу 24.10).
24.18. Пусть z = a — алгебраическая точка ветвления второго по-
порядка для функции f{z) и lim f{z) = b, a w = b — алгебраическая
точка ветвления третьего порядка для функции F (w). Каким может
оказаться порядок точки ветвления z = a для функции F[f{z)] (ука-
(указать все возможности)?
24.19. Решить предыдущую задачу для произвольных порядков
ветвления т и п (для функций f{z) и F(w) соответственно).
24.20. Доказать, что если точка z = a является логарифмической
точкой ветвления для функции f(z) и алгебраической особой
точкой для функции g(z)~ef W, то предел g(z) при z-^a может
быть равен только или нулю, или бесконечности.
24.21. Пусть функция f(z) аналитична в кольце r<C\z — a\<CR.
Доказать, что выражение /(# + ^) представляет собой совокупность
конечного или бесконечного числа функций, регулярных в полосе
In г < Re ? < In R.
24.22. Пусть z = a — изолированная точка ветвления функции f(z).
Обозначим
(при нахождении верхней грани берутся значения всех элементов
функции /(г), получаемых из какого-либо одного продолжением по
окружности \z — a| = p с любым числом обходов). Доказать, что
при р->0 функция Ж(р) не может стремиться к нулю быстрее лю-
любой степени р.
Указание. См. задачу 14.41.
24.23. Доказать, что не существует отличной от тождественной
постоянной функции f{z), аналитической во всей расширенной пло-
плоскости с двумя выколотыми точками, и удовлетворяющей условию
f(z) | <: 1 для любого ее элемента.
ОТВЕТЫ
24.01.
1. Точка ветвления второго порядка. 2. Точка ветвления второго порядка.
3. Логарифмическая точка ветвления. 4. Точка ветвления шестого порядка.
5. Логарифмическая точка ветвления. 6. Логарифмическая точка ветвления.
7. Логарифмическая точка ветвления. 8. Логариомическаяточка ветвления.
9. Точка ветвления третьего порядка. 10. Логарш мическая точка ветвления.
11. Логарифмическая точка ветвления. 12. Логарифмическая точка ветвления.
24.02.
1 Точка ветвления второго порядка. 2. Логарифмическая точка ветвления.
3. Точка ветвления третьего порядка. 4 Логарифмическая точка ветвления.
5. Устранимая особая точка. 6. Точка ветвления третьего порядка.
213
24.04. run.
24.05. Общее наименьшее кратное чисел тип.
24.06.
1. z=0 и 2=1 точки ветвления третьего порядка, над точкой г = оо три
полюса первого порядка.
2. 2 = ? и 2 =— i — логарифмические точки ветвления.
3. Над точкой 2=оо две логарифмические точки ветвления (отвечающие
двум ветвям корня), над точками z = j и 2= — i — бесконечное множество точек
ветвления второго порядка.
4. Над точкой 2 = со две логарифмические точки ветвления, над точками
2=1 и 2= —1 бесконечное множество точек ветвления второго порядка.
5. Над точкой 2 = со две логарифмические точки ветвления, над точками
z=sl и 2= — 1 бесконечное множество точек ветвления второго порядка, над
точкой 2=0 одна точка ветвления третьего порядка и бесконечно много точек
регулярности.
6. г = ? и 2= — i — логарифмические точки ветвления.
7.2 = i и 2= — i — логарифмические точки ветвления, над точкой 2=0
бесконечно много точек ветвления второго порядка и две устранимые особые
точки.
8. 2 = 1—точка ветвления второго порядка, над точкой 2=0 &ве устрани-
устранимые особые точки.
24.18. Особой точкой однозначного характера, точкой ветвления второго,
третьего или шестого порядка.
24.19. Функция F(f(z)) может быть однозначна или иметь точку ветвле-
ветвления, порядок которой равен одному из делителей числа тп.
§ 25. Особые точки на границе области регулярности
Пусть функция f (г) регулярна в области D, ограниченной простой
кусочно-гладкой кривой, a L — кривая, лежащая в области D, за исключением
ее конца ?, расположенного на границе этой области. Если функцию / (г)
нельзя аналитически продолжить по кривой L в точку ?, то точка ? назы-
называется особой точкой функции f (z).
Замечание. Нетрудно доказать, что при сделанных предположениях
относительно области D возможность аналитического продолжения функции
f(z) в точку ? не зависит от выбора кривой L (если, конечно, эта кривая
не выходит за пределы области D). Поэтому и понятие особой точки в сделан-
сделанных предположениях не зависит от кривой L (в общем случае произвольной
области это не так; см. задачу 25.06).
25.01. Пусть функция f{z) регулярна в области Д ограниченной
простой кусочно-гладкой кривой, а кривая L лежит в области Д за
исключением ее конца ?, расположенного на границе этой области.
Доказать что если при некотором k
/<*>(*)-> оо (*->?, *€=L),
то точка ? — особая точка функции /(г).
25.02. Используя результат задачи 25.01, доказать, что все регу-
регулярные ветви приводимых ниже функций в области D имеют точку ?
своей особой точкой (точка ? и область D указаны в скобках
после формулы для функции).
1. \nz (? = 0, ? = оо; D:
2. arctg* (? = /,?=*-/; D: \z\<l).
214
0, ? = oo; D: Im*>0).
1, ?=-/, ? = co; D:
5. arcsin* (?=1, t= — h ? = oo; D:
6. z*lnz (C=0; D:
25.03. Доказать, что все регулярные в области D ветви приво-
приводимых ниже функций имеют особую точку в бесконечности (область
D указана в скобках):
1. -— (D: Im*>0). 2. ^ (D: Re*>l).
3 Ф=Ьп*>0>
Указание. Исследовать точку С = 0 для функции
25.04. Доказать, что функция ег~<lnz>2 допускает выделение
регулярных ветвей в полуплоскости Re z > 0 и что каждая из вет-
ветвей имеет особые точки z = 0 и г = оо.
25.05. Функция {l+iyiz) 2 имеет две ветви, регулярные в верх-
верхней полуплоскости. Доказать, что точка 2 = оо является особой
точкой для обеих ветвей, а точка z = — 1—только для одной из них.
25.06. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции (l +2]/"<г)"~2, опре-
определяемая условием rfz > 0 при z > 0. Доказать, что если функ-
функцию f(z) рассматривать только как функцию в верхней полуплоскости,
то точка z — —1 является для нее особой точкой, а если как
функцию только в нижней полуплоскости, то не является особой.
оо
25.07. Доказать, что функция f(z) = у ¦ ¦ dt регулярна
о
в полуплоскости Re2>0 и что точка 2 = 0 является для нее особой
точкой.
25.08. Пусть функция ср(^), непрерывная и положительная при
t ^ 0, удовлетворяет условию
— М In t < In <p {() ^ М In t (* Sss 1).
оо
Доказать, что функция f(z) = ^ y(t)e~tzdt регулярна в полуплоско-
о
сти Re z > 0, и что точка z = 0 является для нее особой точкой.
25.09. Пусть функция <р@ непрерывна при ^0и удовлетво-
удовлетворяет условию
| <р(t) — eiat| ^Me~bt, t^0(%> 0, —оо<а<оо).
00
Доказать, что функцию f(z) = § 9 @ e~tz dt можно аналитически про-
о
должить на полуплоскость Re^> — Ь с выколотой точкой z = ia,
в которой эта функция имеет простой полюс с главной частью __ .д.
215
25.10. Доказать, что аналитическое продолжение каждой из сле-
следующих функций не имеет во всей плоскости никаких особых точек,
кроме полюсов. Найти все полюсы этих! функций и главные части
в этих полюсах.
оо оо
1. С r'* dt, а>0. 2. [ —te~tZ4 dU а>0.
J l-Lg af J A+е~а02
о о x '
oo oo
3. \ e Z ф dt 4. [ ^ r dt, a > О, В > 0.
25.11. Пусть функция <р(/) непрерывна и положительна на от-
1
резке [О, 1]. Доказать, что функция f(z) = \ ~^-dty регулярная при
о
Imz>>0 (и даже во всей плоскости с разрезом по отрезку [О, 1]),
имеет особые точки при 2 = 0 и z=\.
25.12. Пусть функция <р(?) регулярна в некоторой области, содер-
содержащей отрезок [0,1]. Доказать, что функция f(z)= \ ~riidt, регу-
6
лярная при Imz>0, имеет особые точки при z==O и 2=1.
оо
25.13. Пусть радиус сходимости ряда f(z)= 2 апгП равен еди-
п
нице и все коэффициенты' ап действительны. Обозначим Sn= У] а^
Доказать, что если Sn -> + °° и ли 5П -> — оо, то точка z = 1 — особая.
00
Указание. Использовать тождество / (г) = A —- г) ^ ^дгЛ«
/г=0
25.14. Доказать, что если на окружности круга сходимости ряда
оо
f(z) = 2 anzn имеется хотя бы один полюс f(z), то ряд расходится
во всех точках этой окружности.
25.15. Пусть последовательность {сп)> я = 0, 1, 2, ... удовлетво-
удовлетворяет условию
|^+Л<Г*<я+1>а|<~, л = 0, 1, 2, ..., (R>19 --оо<а<оо).
оо
Доказать, что функцию f(z) = 2] сп<гл можно аналитически продол-
л = 0
жить в круг | z | < R с выколотой точкой г = ету причем в точке
z = eia функция f(z) имеет простой полюс с главной частью A(z—еш)~1.
25.16. Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге \z\^R,
за исключением простого полюса в точке Rem, с главной частью _ ~ ia ,
216
то
/1 = 0
где
'^J^, я = 0, 1, 2, ...
25.17. Доказать теорему: Для того чтобы функция f(z) была
регулярна в круге \z\<CR, /?>1, за исключением полюсов в точ-
точках el\ ..., etam порядков sv ... у sm соответственно; необходимо и
достаточно, чтобы последовательность {сп} коэффициентов, ее ряда
Тейлора в точке 2 = 0 удовлетворяла условию
1/я
Пт ся- >; e-™*Pk(n) <-!,
п-*- оо
де Pk(n) — некоторый многочлен степени sk.
оо
25.18. Пусть ряд f(z)= 2 ап*п имеет на границе круга схо-
сходимости лишь одну особую точку, а именно полюс z = zQ порядка т.
Доказать, что ап = П+8(я)]> гДе е(л)->0, при я->оо, А — по-
стоянная, АфО.
25.19. Доказать, что если на границе круга сходимости степен-
оо
ного ряда f(z)= 2 апгП лежит лишь одна особая точка z = zQ} явля-
являющаяся полюсом для f(z)} то существует предел
Нт —-—=Zn
25.20. Обозначим Фа(г) = 2 п~~агП (l^^1)- Доказать, что
п = \
при Rea>0 имеет место равенство
о
Указание. Воспользоваться тождеством
оо
С ja-ie-ii/ dt e LM (Re a > 0, п > 0).
J
25.21. Опираясь на результат предыдущей задачи, доказать, что
при Rea>0 функцию Фа(Ж) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость с разрезом по лучу A, +00)*
217
25.22. Доказать, что функцию Фа(г) при любом а можно ана-
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом
по лучу A, +°°)-
00
25.23. Обозначим ipa, m (z) = 2 пга (In ri)mzn (| z | < 1). Здесь a —
/г=1
произвольное комплексное число, а т — целое положительное число.
Доказать, что функцию i|>a,mCz) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость с разрезом по лучу A, +°°)'
Указание. Продифференцировать по а тождество из указания к
задаче 25.20.
Задачи 25.24 — 25.28 существенным образом опираются на теорему:
Сумма степенного ряда имеет хотя бы одну особую точку на границе
круга сходимости этого ряда.
00
25.24. Пусть радиус сходимости ряда f(z)= 2 cnzn равен R,
0</?<Соо. Введем обозначение:
v(r, ф)== lim
п\
\/п
Доказать, что:
а) функция v(r, ф) является непрерывной функцией г и ф и удов-
удовлетворяет неравенству v(r, ф)^(/? — г);
б) max v(r, ф) = ]Л7;
0<2 ^ г
в) если v(r, ф)=пЦ7» т0 точка z=Rei(P является особой точкой
функции f(z);
г) если v(r, ф)<^ , то точка z = Rei(v не является особой
точкой функции f(z).
25.25. Пусть f(z)= ^ ^лЛ lim"| сЛ|1/и=1, и все коэффици-
енты сп неотрицательны. Доказать, что точка z = l—особая точка
функции /(г).
25.26. Доказать, что утверждение задачи 25.25 остается в силе
и при более слабых предположениях:
Re сп ^ 0 (п > я0), lim (Re СдI/» = 1.
/г-»-оо
25.27. Пусть р и # — некоторые целые положительные числа,
оо
а радиус сходимости ряда /(-г)= 2 cnznpJpq равен единице. Дока-
зать, что:
а) функция /(г) имеет не менее р особых точек на окружно-
окружности |г|=1;
218
б) если zo~eia—особая точка функции f(z)> то точки
k=l, 2, ...9р—1,
также являются ее особыми точками.
оо
25.28. Пусть радиус сходимости ряда f(z) = ^ cnzn равен еди-
/1 = 0
нице и пусть сп = 0, когда п делится на р (здесь р—целое поло-
положительное число). Доказать, что:
а) функция f(z) имеет на окружности |г| = 1 не менее двух особых
точек;
б) если zo=eia—особая точка функции f(z), то среди точек
-I 2kn\
zk = eV+ р I k=l, 2, ..., р—1,
есть еще хотя бы одна ее особая точка.
Указание. Воспользоваться легко проверяемым тождеством
р у^о.
25.29. Доказать, что каждая точка окружности | z | = 1 является
особой точкой для функций
оо оо
/1 = 0 /2 = 0
00
25.30. Пусть радиусы сходимости рядов f(z)— ^ anZn и g{?)~
оо
= 2 bnzn соответственно равны г и R,
Обозначим через аь а2, ... особые точки функции f(z) на ок-
окружности \z\-r, а через рх, р2, ... — особые точки функции g(z)
оо
на окружности |^| = JR. Доказать, что если функция F(z)= ^ апЬп%п
имеет особые точки на окружности | z \ = rR, то эти особые точки
могут находиться лишь в точках вида z — (
Указание. Воспользоваться формулой
-в S
(р выбрать так, чтобы ряды для /(/) и Iffy) сходились на окружно-
окружности |/| = р)> затем надлежащим образом деформировать контур интегри-
интегрирования.
оо
25.31. Пусть радиус сходимости ряда f(z)= 2 cnzH равен R>
n = 0
o, и пусть функция/(г) имеет на окружности \z\ = R
219
ровно одну особую точку z = Reia. Доказать, что при любом 5 функция
оо
/х(,г) = 2 ttscnzn имеет на окружности |^| = i? ту же самую особую
точку (и не имеет других особых точек).
ОТВЕТЫ
26.10.
1. Полюсы г = —an, где п — 0, 1, 2, ..., с главными частями ^~—'—
2. Полюсы г — —a/г, где я = 0, 1, 2, ..., с главными частями
(z + anf *
3. Полюсы г=?—п, где я = 0, 1, 2, ..., с главными частями , « уг+i-
о!1
4. Полюсы г = — п, где п = 0, 1, 2, ..., с главными частями
§ 26. Обратные и неявные функции
z-\-n
Следующие задачи рассчитаны на использование теоремы Руше (см. за-
задачу 23.07) и теоремы о вычетах.
26.01. Пусть функция f(w) регулярна в круге \w—wo
удовлетворяет условиям
Доказать, что для любого z из круга \z — zo\<Zr/M уравнение
w — wQ = (z — z0) f(w)
имеет в круге \w — wo\^r ровно одно решение w(z).
26.02. При выполнении условий задачи 26.01 доказать справед-
справедливость формулы
[ (w_Wo)dw.
2ш J w — ш0—(г — zo)f(m) v 0/
Указание. Вычислить интеграл в правой части формулы с помощью
теоремы о вычетах.
26.03. При выполнении условий задачи 26.01 доказать, что
где
w-wj
26.04. Пусть выполнены условия задачи 26.01 и пусть, кроме
того, имеется функция F(w), регулярная в круге \w—wQ\^.r.
220
Доказать, что
где
26.05. Пусть выполнены условия задачи 26.04. Доказать, что
l~-(z-zQ)f'(w(z))
где
26.06. Пусть w(z)—решение уравнения w = zeaw, регулярное
в точке z = 0. Доказать, что
2.
26.07. Пусть т — целое положительное число, a w(z) — решение
уравнения w = zeawm, регулярное в точке z = 0. Доказать, что
z)== у a
w (z) =
n\
л =0
26.08. Пусть а —произвольное комплексное число, a w(z) — ре-
регулярная в точке z = 0 функция, "удовлетворяющая уравнению w =
= \-\-zw0- и условию w@)=l. В предположении, что для функции
[w(z)\a выбрана в окрестности точки z = 0 регулярная ветвь, равная 1
при z = 0, доказать формулы:
2.
п=2
2а —1 2 . (За— 1) (За — 2)
26.09. Пусть функции f(w) и g(w) регулярны при |z^|^r и
/@) 9^ 0. Доказать, что при достаточно малых значениях | z \ урав-
уравнение w = zf(w)-{'Z2g(w) имеет в круге |ад|^г ровно одно реше-
решение w(z) и что для этого решения при достаточно малых значе-
значениях J z | справедлива формула
w-zf(w)-z*g(w)
221
26.10. Пусть w{z) — функция, определенная в задаче 26.09.
00
Доказать, что w (z) = ? cnzn, где
*-I
ш = 0
* = 0
26.11. Пусть функции /х(до), ..., fm(w) регулярны в круге
| до | ^ г и пусть /г @) ф 0. Доказать, что при достаточно малых
значениях | z \ уравнение
имеет в круге | до | ^ г ровно одно решение w (z) и что для этого
решения справедлива формула (также при достаточно малых значе-
значениях | z |)
" О-гт/ ^ ~ ~^ ^^ :-*"^ 7ПТ\ДО^ДО.
26.12. Пусть функция f{w) регулярна в круге \w—wo\^r и
удовлетворяет там неравенству 0 < \f(w)\ ^M. Доказать, что
fin
для всех z, удовлетворяющих условию 0<|^ — z0\ < jr-1 уравне-
уравнение (w—wo)m = (z — zo)f(w) имеет в круге \w—wo\^r ровно т
решений и что все эти решения описываются формулой z =
= ф(дЛг — z0), где функция ф(?) регулярна в круге \?\^гМ—1/т
и <р'@)9*0.
Указание. Показать, что исследуемое уравнение равносильно уравне-
уравнению w — шо= -|/z — 20^(ш), где Д (ш) == jffiw) (для корня выбирается любая
ветвь, регулярная в круге | w — w0 | ^ г).
26.13. Пусть функции fi(w), /2(^)> ...> Л(^) регулярны в
круге | до | < г и пусть /х @) ^ 0. Доказать, что для всех zy удов-
удовлетворяющих условию О <С | z | < р, где р > 0 достаточно малб,
уравнение wm = zfx (w) +... + zmfn (w) имеет в круге \w\^r ровно
т решений и что все эти решения описываются формулой до =
= ф(|/Т)> где функция ф(?) регулярна в некоторой окрестности
точки ? = 0 и ф'@)^ 0.
26.14. Пусть до (г) — функция, регулярная в некоторой окрест-
окрестности точки 2 = 0 и удовлетворяющая условиям w = zeaw-{-az2ebw,
Доказать, что до(,г) =
[я/2]
222
26.15. Пусть w(z)— функция, аналитическая в некотором
кольце 0 < | .г— 1 | < р и удовлетворяющая условиям
Доказать, что
26.16. Пусть w(z)—регулярное в точке z = Q решение урав-
уравнения w = zew. Доказать, что в некоторой окрестности точки 2 = 0
имеет место разложение
26.17. Пусть w(z) — функция, имеющая в точке z = co полюс
первого порядка и удовлетворяющая уравнению
Доказать, что в некоторой окрестности точки ? = оо имеют место
разложения:
- _J _1 /1 , у 3/гC/г-1)...B/1+1) Л
Ь w(z) z\l+ L (/г+1)! zn Г
/00 \
tC/2—l)... (/г+1) 1 \
^TTS-TfV+l
Bп+1)! г» Г
26.18. Пусть функция F(z, w) является регулярной функцией
переменных z и w при \z — zo\^r> \w—wQ\^Rf т. е.
00 OO
и пусть функция /0 (w) = F (zQ, w) имеет в круге \w—w0 \ ^ R
только один нуль в точке w0 (первого порядка), Доказать, что при
достаточно малом значении \z—zo\ уравнение F (z, w) — 0 имеет в кру-
круге \w—^о!^/? ровно одно решение w(z) и что для этого решения
справедлива формула (также при достаточно малых значениях \z — zQ\)
й
\w—
26.19. Пусть функция F (z, w) является регулярной функцией пере-
переменных z vi'W при \z — Zol^r, \w — wo\^:R и пусть функция
fo(w)= F(z0, w) имеет в круге \w—wo\^R один нуль порядка т
в точке w = w0 и не имеет других нулей. Доказать, что если
223
F'z (^o> Щ) 'Ф °> то ПРИ z> удовлетворяющих условию 0 < | z — z01 < р,
где число р>0 достаточно мало, уравнение F(z, w) = Q имеет
в круге \w— ze;0|^/? ровно т решений и что эти все решения
описываются формулой ©>=<p(j/"?—z0) где, функция ф(?) регу-
регулярна в точке ? = 0 и ф' @) ^ь 0.
* * *
Пусть \|)(г)—действительая функция, определенная в области D ком-
комплексной плоскости, а Я — некоторое действительно число. Множество Е^ со-
состоящее из точек области D, в которых функция гр (г) принимает значение К,
называется множеством уровня функции \|э (г), отвечающим значению X.
Множество уровня произвольной непрерывной функции может быть устро-
устроено очень сложным образом. Строение множества уровня модуля или действи-
действительной части функции, регулярной в области D, значительно проще. В при-
приводимых ниже задачах исследуются свойства именно таких множеств. Решение
большинства этих задач рассчитано на использование теоремы о существовании*
обратной функции, формулировку которой приведем:
Пусть функция / (г) определена на множестве Е. Функцию ф (w)t определен-
определенную на множестве Elt мы будем называть функцией, обратной к функции f (z),
если значения функции ф (w) в каждой точке множества Ег лежат на множестве Е
и если для каждой точки w e Ег имеет место равенство f (ф (w)) — w.
Если функция /(г) регулярна в некоторой окрестности точки г0Фоо и
V (zo) Ф 0» то существует функция ф (w), обратная к функции f (г), определен-
определенная и регулярная в некоторой окрестности точки шо = /(го). Кроме того,
все обратные функции такого вида совпадают в некоторой окрестности точки
wo — f(zo), если совпадают их значения в точке w0.
26.20. Пусть простая гладкая кривая С лежит в области регу-
регулярности функции f(z0) и не проходит через точки, в которых функ-
функция f'(z) обращается в нуль. Доказать, что:
1. Если на кривой С функция Re/(z) сохраняет постоянное
значение, то функция \mf(z) при движении точки z по кривой С
меняется монотонно.
2. Если на кривой С функция \f{z)\ сохраняет постоянное зна-
значение, то функция arg/(^) при движении точки z по кривой С
меняется монотонно.
Указание. Воспользоваться уравнениями Коши — Римана.
26.21. Пусть функция /(г) регулярна в некоторой окрестности
точки г0^оо и /(zo)9^0. Обозначим через Ео множество уровня
функции Re/(z), отвечающее значению X = Re/(z0). Доказать, что
часть множества Е, лежащая в достаточно малой окрестности точки г0,
совпадает со множеством точек простой гладкой кривой, проходящей
через точку z0.
26.22. Доказать, что утверждение задачи 25.21 сохраняет силу
и для множества уровня функции |/|
Для краткости, множество уровня, совпадающее с множеством точек про-
простой гладкой кривой, будем отождествлять с этой кривой.
26.23. Пусть функция f(z) регулярна и имеет отличную от нуля
производную в замыкании D ограниченной области D. Доказать, что
множество уровня функции Re/(г) или \f{z)\, отвечающее произ-
224
вольному фиксированному значению X, состоит из конечного числа
простых гладких кривых (они могут вырождаться в точки).
Гладкая кривая С называется открытой аналитической дугой, если эта
кривая имеет хотя бы одно уравнение вида z = z (t), a^ts^b, где функция z (t)
регулярна и имеет отличную от нуля производную в некоторой области, содер-
содержащей интервал (а, Ь).
Гладкая замкнутая кривая называется замкнутой аналитической кривой,
если она имеет хотя бы одно уравнение вида z ¦== z (t)t as^t^b, где функ-
функция z (t) регулярна в некоторой полосе — 6 < Im t < б, имеет там отличную от
нуля производную и периодична с периодом b •— а.
26.24. Доказать, что при выполнении условий задачи 26.23 каж-
каждая из кривых, входящих в множество уровня, является не только
гладкой, но и аналитической кривой.
26.25. Пусть функция f(z) регулярна в точке zQ^oo и ее про-
производная имеет в точке z0 нуль порядка т—1. Доказать, что в до-
достаточно малой ^ окрестности точки z0 множество уровня функ-
функции Re/(г), отвечающее значению %=Ref(z0), состоит из самой
точки z0 и из выходящих из нее 2т простых открытых аналитиче-
аналитических дуг. При этом углы, образуемые в точке каждой парой сосед-
соседних дуг, равны между собой.
26.26. Доказать, что утверждение задачи 26.25 сохраняет силу
и для множества уровня функции' \f(z)\.
26.27. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D области D.
Доказать, что множество уровня функции Re f(z) или \f(z)\, отве-
отвечающее произвольному значению Я, состоит из конечного числа
простых аналитических замкнутых кривых, открытых простых анали-
аналитических дуг и точек. Простые открытые аналитические дуги могут
соединяться между собой (своими концами) лишь в тех точках
области, где обращается в нуль функция f (z).
26.28. Пусть f(z)—рациональная функция. Множество уровня
функции Re/(г), отвечающее значению Я = 0, разбивает комплексную
плоскость на конечное число областей Dp..., Dn. Доказать следу-
следующие свойства областей Dk'
1. Каждая точка плоскости является внутренней точкой одной из
областей Dk или граничной точкой четного числа таких областей.
2. На границе области Dk лежит хотя бы один полюс функции /(г).
3. Если Re/(z)jS0 (z?Dk)> то каждое значение до, удовлетво-
удовлетворяющее условию Re до ^ О, принимается функцией /(г) в области Dk
ровно v^+1 Раз> ГДе vk — число нулей функции f{z) в области D&
26.29. Пусть функция f(z) регулярна в области D, имеющей точку
2 = со своей граничной точкой, и во всех ее конечных граничных точках.
Доказать, что если Re/(z) = A, на границе области Д то функция
f(z) принимает в области D одинаковое число раз все значения до,
удовлетворяющие условию Re до > К (но это число раз может быть
равно бесконечности).
26.30. Выяснить, при каких значениях К множество уровня функ-
функции | z2—1 |, отвечающее значению Я, состоит из одной гладкой
простой замкнутой кривой.
8 Под ред. М. А. Евграфова 225
26.31. Пусть Р (z) — многочлен степени п, имеющий нули только
первого порядка. Обозначим через %..., ап_х нули его производной,
а через %k величины ЯЛ = |Р(аЛ)|. Доказать, что:
1. При 0<cA,<min Xk множество точек комплексной плоскости,
k
удовлетворяющих неравенству |P(z)|<X, состоит из п попарно не-
неперекрывающихся областей.
2. При А, > max %к множество точек комплексной плоскости, удо-
k
влетворяющих неравенству | Р (г) | < К представляет собой конечную
односвязную область.
26.32. В обозначениях предыдущей задачи допустим, что все
величины %k различны и что Х1<Я2<»- «<^л_1« Доказать, что при
^т < ^ < ^m+i множество точек комплексной плоскости, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству |Р(г)|<^, состоит из п — т попарно непере-
неперекрывающихся односвязных областей.
26.33. Пусть функция /(г) регулярна в замыкании D ограничен-
ограниченной односвязной области D, граница которой является множеством
уровня функции |/(г)|. Доказать, что если функция /(г) отлична
от- тождественной постоянной, то число нулей функции f(z) в области
D на единицу больше числа нулей функции f (z) в области D.
Указание. Пусть z = z (t), 0 ^ t ^ /, — параметрическое уравнение гра-
граничной кривой области D, в котором в качестве параметра t взята длина дуги
этой кривой, отсчитываемая от какой-либо ее точки. Тогда f(z(t))~Reib (t\
где i? —постоянная. Доказать, что б @ — монотонно возрастающая функция,
а затем выразить (опираясь на принцип аргумента) через функцию 0 (t) число
•нулей в области D функций f(z) и f (г).
26.34. Пусть функция f{z) регулярна в замыкании D ограни-
ограниченной /я-связной области Д граница которой является множеством
уровня функции | /(г) |. Доказать, что если функция /(г) отлична от тож-
тождественной постоянной, то она имеет в области D не менее т нулей.
Указание. Применить подход, описадный в указании к предыдущей
задаче.
* * *
26.35. Пусть w(z) — функция, регулярная в точке z=0 и удо-
удовлетворяющая уравнению w=zew. Найти радиус сходимости ряда
Тейлора в точке z=0 следующих функций:
1 * о l+w& з -1 4
2 — w(zy l—w(z)' \—2w(zy l+2w(z)'
Указание. Радиус сходимости ряда для функции w (z) можно вычи-
можно вычислить по коэффициентам этого ряда (см. задачу 26.06), для остальных функ-
остальных функций следует вычислить расстояние от точки z = 0 до ближайшей особой точки
функции, разлагаемой в ряд.
26.36. Пусть функция w(z) регулярна в точке г—0 и удовле-
удовлетворяет уравнению ew—1=г^, ш@) = 0. На~йти радиус сходимо-
сходимости ряда Тейлора веточке г = 0 для функций
1. ш(г). 2. ew^\ 3. \n)+w(f\.- 4.
N 1 — W \Z)
226
26.37. Пусть P(w) — многочлен, имеющий в точке &у = 0 нуль
первого порядка, а а1э а^ ..., ап — нули Pr(w). Через w(г) обозна-
обозначим регулярную в точке 2 = 0 функцию, удовлетворяющую условиям
P(w) = z, ay(O) = O. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора
для функции w(z) в точке 2 = 0 равен одному из чисел \P(ak)\,
k=l, 2, ..., п.
26.38. Пусть R(&y) — рациональная функция, имеющая в точке
до = 0 нуль первого порядка, а аь а2, ..., а„— нули ее производной.
Через w(z) обозначим регулярную в точке 2 = 0 функцию, удовле-
удовлетворяющую условиям R(w) = z, до@) = 0. Доказать, что радиус схо-
сходимости ряда Тейлора для функции w(z) в точке 2 = 0 равен од-
одному из чисел [RiaJl, |R(a2)|, ..., \R(an)\t |R(°°)T
26.39. Доказать, что утверждение задачи 26.38 сохраняет силу и
в случае, если R(z) не рациональная функция, а функция, не имею-
имеющая в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Однако при этом под символом R(co) мы должны понимать все
асимптотические значения функции /?(z), т. е. значения, к которым
стремится функция R (z) по какой-либо кривой, уходящей в беско-
бесконечность.
26.40. Пусть P(w) — многочлен с неотрицательными коэффициен-
коэффициентами разложения в ряд Тейлора .в точке w = Q и пусть Р@)>-0.
Обозначим через w{z) функцию, удовлетворяющую условиям w =
= zP(w)y -йу(О) = О. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора
для функции w(z) в точке 2 = 0 равен ... , где X —наименьший
положительный корень уравнения Р (X) = X Рг (X).
26.41. Доказать, что утверждение задачи 26.40 сохраняет силу
и в случае, когда P(w) не многочлен, а функция, не имеющая в ко-
конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
26.42. Пусть функции /i (t^),..., fm(w) обладают свойствами:
а) они регулярны в точке ^=0 и все коэффициенты их разложе-
разложений в ряд Тейлора неотрицательны;
б)Л@)>0;
в) они не имеют в конечной части плоскости особых точек, отлич-
отличных от полюсов.
Обозначим через w{z) регулярную в точке z = Q функцию, удо-
удовлетворяющую условиям w = z fx (w) + ... + zmfm (t^), w @) = 0.
Доказать, что радиус сходимости Тейлора для функции w(z) в точке
z = 0 равен наименьшему из значений %k в парах положительных
чисел (kk9 [ik)t удовлетворяющих системе уравнений
26.43. Найти радиус сходимости ряда Тейлора в точке z = 0
для функций w(z), регулярных в точке z = 0 и удовлетворяющих
условиям:
1. тюъ — 6w2 + 9w = z, t0(O) = O. 2. we~w~w2 = z.
3. w = z(w+l)(w + 3)'\ w@) = 0.
8» 227
4.
5. w =
6. w = z(I +w) + ~z*(I +wf,
26.44. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора в точке
z = 0 для функции w(z)y удовлетворяющей условиям
w=l+zwa, w@)=(w@))a=l (а>1)
равен ora(a — I)*-1.
* * *
26.45. Пусть P{z) многочлен. Доказать, что на границе области
оо
сходимости ряда f(z) = ^cn(P(z))n лежит или особая точка функ-
1
ции f(z), или точка, в которой функция Р' (z) обращается в нуль.
26.46. Доказать, что ряд
2г \ 1/2М2 ЬЗ / 2г
2г \2 ЬЗ-5 / 2г \ш
+&) ^2.4.6-8 \1+*а/ +#"
2 \к1+22у-г2.4\1+22У ^ 2-4.6
равномерно сходится на всей действительной оси и найти его сумму.
оо
26.47. Доказать, что ряд У H—zn-ie-nz равномерно сходится
при ^0 и найти его сумму.
оо
26.48. Доказать, что ряд У \о Xni zTle~2nz равномерно сходит-
л=0
ся при 0 ^ z < оо и найти его сумму.
* * *
26.49. Пусть функция w{z)> регулярная в точке 2 = 0, удовлетво-
удовлетворяет уравнению w=zew* Доказать, что:
1. Функция w(z) регулярна в круге \z\<Cl/e и точка z = l/e
-является ее особой точкой.
2. Функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки z = l/e, 2 = 0 и 2 = оо.
1
Z ~~~
<i
3. Аналитическое продолжение функции w (z) в кольцо „
приводит к функции, аналитической в этом кольце и имеющей в точке
z = \je изолированную точку ветвления второго порядка.
26.50. Пусть w (z) — функция, регулярная в точке 2 = 0 и удов-
удовлетворяющая условиям
Доказать, что:
1. Функция w(z) регулярна в круге \z\ < g и точка
2 = i 1— является ее особой точкой.
228
2. Функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки z = 0, z = oo, z = -~~ I е2Ша9
(? = 0, ±1, ±2, ...).
3. Аналитическое продолжение^ функции w(z) в кольцо
\z —
и <С р приводит к функции, аналитической в этом кольце
и имеющей в точке z = -~~ J изолированную точку ветвления
второго порядка.
26.51. Пусть F (z} w) — многочлен от z и wy удовлетворяющий
условиям F@, 0) = 0, F'w@, 0)^0. Обозначим через w(z) функцию,
регулярную в точке z = Q и удовлетворяющую условиям F(z, w(z))=Q,
w@) = 0. Доказать, что функцию w(z) можно аналитически продол-
продолжить по любому пути, не проходящему через точки zv z2, .-., zw
удовлетворяющие системе уравнений
F(zy w) = Q, Fw(z, w) = 0
(после исключения из них переменной w).
26.52. Пусть функция w(z) регулярна в точке z=l и удовлет-
удовлетворяет условиям w3 — 2wz + z* = 0, w(l)=l. Доказать, что функцию
w(z) можно аналитически продолжить в кольцо 0 <C\z — 1 | < 1, и
выяснить характер изолированной точки ветвления z = -^pr2 для
полученной аналитической функции.
ОТВЕТЫ
26.35.
1. 2/е\ 2. 1/е. 3. 1/2/е. 4. 1/е.
26.36.
1. 1/4. 2. 1/4. 3. (е~1)/е2. 4. 1/4.
26.43.
1. 4. 2. 1/А 3. 4/135. 4. 1. 5. ^е"г/А. 6. 2/5.
26.46. г при —-ls^zs^l; \fz при 2< — 1 и при 2>1.
26.47. 1 при 0^2^ 1/е\ при z> 1/е сумма равна функции и (z)t обратной
к функции z= г- @ < и (z) < 1).
и ~— 1
26.48. 1 при 0^2^ 1/еа; при z > -^ сумма равна функции и (z)t обратной
к функции г= у jjtzTy-@<u<1).
26.52. Изолированная ючка ветвления второго порядка.
Глава V
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
§ 27. Разложение мероморфных функций в ряды простейших
дробей и в бесконечные произведения
Функция называется мероморфной в области D, если она не имеет в этой
области особых точек, отличных от полюсов. Функция, мероморфная во всей
конечной плоскости, называется для краткости мероморфной функцией.
27.01. Пусть f(z)—мероморфная функция с полюсами av av ...,
имеющими главные части g(z\ %), g(z; a2), ..., соответственно. Ко-
Конечную область О будем считать ограниченной простой кусочно-глад-
кусочно-гладкой замкнутой кривой С, не проходящей через полюсы функции f(z).
Доказать, что в области О функцию* f(z) можно представить в виде
где функция fi(z) регулярна в области Q и равна
27.02. Пусть f(z)—мероморфная функция с полюсами av av ...,
имеющими главные части g\z\ %), g(z\ a2),..., соответственно. Предпо-
Предположим, что существует последовательность конечных областей Dnf
ограниченных простыми кусочно-гладкими кривыми СЛ, обладающая
свойствами:
1. Каково бы ни было число /?>0, области Dn при ffj>no(R) со-
содержат круг \z\<R.
2. При #->оо имеем \ I f(z) I r-ттт -> 0. Доказать, что
J I Z I T L
причем стремление к пределу равномерно по ,г в любой ограничен-
ограниченной части плоскости.
27.03. Пусть f(z) — мероморфная функция с полюсами av a2i ...,
имеющими главные части g(z\ аг), g(z\ #2)> •••» соответственно.
Обозначим символом Q(pv p2» ...) плоскость z с выброшенными
из нее кругами \z — ah \ ^р^ А==1, 2, ..., Предположим, что ра-
радиусы Рх, р2, ... можно выбрать такими, чтобы:
230
1. Круги \z — a>k\^Pk> *=1, 2, ..., не имели попарно общих точек.
2. При всех z^G(pv p^ ...) выполнялось неравенство
где е @ -> 0 при ? -> -J- сю.
Доказать, что
Я*)- S
причем стремление к пределу равномерно по г в каждой ограничен-
ограниченной части плоскости.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 27.02. В качестве об-
области Dr взять часть области G (рь р2, ...), лежащую в круге \z\<R и до-
дополненную кругами |г — ak\^pk, \ak\<R.
27.04. Доказать формулу
00
Я Ctg Л у 2 1 .
и убедиться, что ряд, стоящий в правой части этой формулы, рав-
равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.
оо
Примечание. Ряд ^ uk> члены которого могут обращаться в беско-
бесконечность, мы будем называть сходящимся, если для любого е > 0 можно
указать такое N, что при всех n>N и т>0 имеет место неравенство
п+т
uk
<.&, Аналогично определяется равномерная сходимость таких рядов.
оо
27.05. Доказать, что zigz — — -\-
/2=1
27.06. Доказать формулы:
2 ^2—а ^ ^j B — а
1
2. _ — = = ~ +
у 2 sin к у z
00
sin пг "~~ ^ 2 — п
z sin
_ 1 1 у „Г 2 1 1
7 "" *2 6г Zj M (г - «2я2J /г2я2 (г - /*%2) J •
COS 1^2 1 1
4.
in2f .
л= 1
оо
ch 2г —cos 22 "~ 4г •" Z
ch 22 — cos 22 4г2 ' jmm sh nn
231
27.07. Доказать, что
COS Я j
Указание. Применить результат задачи 27.02, взяв в качестве областей
Dn круги | г | < я2. При оценке интеграла по Сп использовать лемму Жордана
(см. задачи 5.37, 5.39).
27.08. Доказать формулы:
/!«=•—оо
^ / , 1 \%*
n=s-oor Т Я )
2г
5-
6- is^i = 7+ 2 i*+» ' 0<a<L
n=\
27.09. Пусть F(z)—целая функция, удовлетворяющая неравенству
при всех действительных х и у. Доказать, что
GO
nF(z) _, у (—l)n F№
n=-»-oo
27.10. Доказать, что
z-n-V
О. _. ^ —
232
sm яг ^i г — п
a=—оо
a V / 1 \n sin a (z —- n) л
Л——- CO
27.11. Доказать формулы:
1 — =( 1 11- 7 ( Zaz
(eaz— l)(e&z l) \a P/ z Jmd \a2z2 + 4^
^
2.
« sin a"
7 r-^ ; r-,
(а — лл)(г—a+nn) *
cos г —-cos a
n= — oo
00
я—2a
(^
n=—oo
cos a VI n—2a , Л
. -: :— = 7 --rr———. --— ——r cos а Ф- 0.
sin a— sin г Ad (г—а + 2ял)(г+а + Bл —1)я)' ^^
27.12. Пусть /(г) — мероморфная функция с полюсами аь а2, ...
и нулями bv b2, ... (каждый нуль и каждый полюс пишем столько
раз, каков его порядок), причем точка z = 0 не является ни нулем,
ни полюсом функции f(z). Предположим, что
f(z)
причем оба ряда равномерно сходятся в каждой ограниченной части
плоскости. Доказать, что
ОО
по-s
•^S1 /@).
причем оба произведения также равномерно сходятся н каждой огра-
ограниченной части плоскости.
00
Примечание. Произведение JJ ukt сомножители которого могут об-
обращаться в нуль, мы будем называть сходящимся, если для любого е>>0 можно
указать такое N9 что при всех п > N и т > 0 имеет место неравенство
| п + т
1 — JJ uk < e. Аналогично определяется равномерная сходимость таких
произведений.
233
27.13. Доказать формулы:
2. sh^ =
3.
4. th* =
1 + 1
H»-4)
8.
9.
10.
/г=1
/г=1
/г=1
cos г — cos a
1 — cos a
U.sm(z-
/г = — oo
г(л + 2а — z)
oo 1
Т
12 5Мг-а) ^ ТТ я
sin a —sin г JJt .
JJt .
AI=0
z(z + 2a)
/1=1
234
27.14. Используя формулу ctg^= - + ^ г2_^2Я2» доказать, что
(\z\<n),
Я—О
где
27.16. Найти коэффициенты разложения в ряд Лорана по степе-
степеням z в кольце kn<\z | <(? + 1)я, А=1, 2, ... функции ctg г.
27.16. Пусть выполнены все условия задачи 27.03, за исключе-
исключением условия 2, которое заменяется условием
2*. |/B) | ^ | г)"е(| z |) B€ O(Pl, p* ...)),
где /?—целое положительное число, а функция e(t) по-прежнему
стремится к нулю при t -¦> -\- оо, и пусть, кроме того, точка г = 0
не является полюсом функции f(z). Доказать, что
| [
причем стремление к пределу равномерно в каждой ограниченной
части плоскости.
Указание. Применить результат задачи 27.03 к функции z~Pf(г).
27.17. Доказать, что
где С — постоянная Эйлера, определяемая равенством
Указание. Доказать сначала, что
Г B)= lim \i*-i(\—1-\ndt (Rez>0),
0
а затем с помощью интегрирования по частям вычислить интеграл, стоящий
под знаком предела.
27.18. С помощью результата задачи 27.17 доказать формулы
235
ОТВЕТЫ
27.15.
ctgz= 2 amz*m+i (kn<\z\<(k + \)n)t
m =—oo
где
^ (m < 0).
§ 28. Простейшие типы несобственных интегралов
Простейшая возможность вычисления интеграла
f f(x)dx A)
—со
с помощью теоремы о вычетах возникает, если поведение функции f (г) в полу-
полуплоскости Im г > 0 (или в полуплоскости Im г < 0) позволяв г рассматривать
интеграл A) как интеграл от функции /(г) по границе этой полуплоскости.
28.01. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости lmz>0,
за исключением полюсов аь ..., ат и непрерывна вплоть до гра-
границы этой полуплоскости (за исключением тех же полюсов). Дока-
Доказать, что если функция f(z) удовлетворяет условию f(z) = o(—)
при 2->сю в полуплоскости imz^O, то справедлива формула
00 П
\ f(x)dx = 2ni^ res f(z).
— oo k=\z=sak
Указание. Применить теорему о вычетах к полукругу Im г > О,
\г | < R, а затем перейти к пределу при R —* оо.
28.02. Как изменится формула задачи 28.01, если в ее условиях
полуплоскость Im^>0 заменить полуплоскостью Imz<CO?
28.03. Вычислить интегралы:
f dx
f x*dx ft f
4.
—-ОО —00 —00
OO 00 00
yfidx
— OO —00 —OO
OO OO
7. J j^ijr. 8.
— OO —OO
oo oo
1 11.
— OO
236
, a>0,
CO
oo
. «-I, 2,
H, а>0,*>0,Яо.1,2,...
28.04. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Im2>0,
за исключением полюсов аь ..., аПУ и непрерывна вплоть до гра-
границы этой полуплоскости, за исключением тех же полюсов. Дока-
Доказать, что если при z -> oo, Im z ^ 0, функция f(z) удовлетворяет
условию f(z) = o(l), то справедлива формула
00 П
ixdx = 2nl У res f{z)eu.
*1 ^«ft
*=1
Указание. См. указание к задаче 28.0L При оценке интеграла по
полуокружности Imz>0, \z\ = R можно воспользоваться леммой Жордана
(см. задачу 5.37).
28.05. Вычислить интегралы:
a—/oo
— /oo
237
2/4-00
- - ? г sin zt ,
14- J iqrr^'
2/ — 00
г cos г*
28.06. Пусть выполнены условия задачи 28.04 и пусть, кроме
того, функция f(z) действительна при действительных значениях z.
Доказать формулы:
-oo
00
f(x) cos x dx = — 2л Im 2 res
. ftelZSBfl
П
\ f(x) sin д; dx = 2 л Re Y. res / (
28.07. Вычислить интегралы:
—oo
f
— 00
OO
5. \ ^-s—
J a:2 —
7-
— oo
OO
sin x
0
oo
cos ax
dx-
dx.
, a>0,
, a>0.
—00
OO
sin *
—OO
oo
sin
' a>0-
238
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [я, Ь], за исключением точки
ь
с\ лежащей внутри этого отрезка, причем интеграл J f (х) dx расходится. Ин-
а
тегралом от функции f (х) по отрезку [а, Ь] в смысле главного значения назы-
называется предел
Ь
v. p. \f(x)dx=* lim \ f(x)dx
(если этот предел существует и конечен), где /р —отрезок [а, Ь], из которого
удалена окрестность (с — р, с + р) точки с.
Для определения интеграла в смысле главного значения от функции /(#),
имеющей несколько разрывов на отрезке [а, Ь], мы должны разбить отрезок
[а, Ь] на сумму нескольких отрезков, в каждом из которых только одна точка
разрыва.
28.08. Пусть R(z)— рациональная функция, имеющая полюсы av
а2, ..., ап в верхней полуплоскости и полюсы bv Ь2> ..., Ьт на
действительной оси (и не -имеющая других полюсов при Im z ^ 0).
Доказать, что если функция R(z) удовлетворяет условию R(z) =
= О(—) при z-+oo, то справедлива формула
оо п т
v. p. \ R(x)eixdx = 2nl ^ res R(z)eig + nt]? res R{z)eu
(при условии, что интеграл в левой части существует).
У к а з а н и е. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
R (г) eiz по границе области
1тг>0, |г|</?, | г-Ъх \ >Pi, ... , | z-bm \ >рт,
а затем перейти к пределу при R —> оо, pk — 0. Пределы интегралов по малым
окружностям будут, вообще говоря, отличны от нуля.
Замечание. Результат задачи 28.08 можно использовать и для вычис-
вычисления сходящихся интегралов. Например, самым простым способом вычисле-
оо
f sin д: ,
ния сходящегося интеграла \ ах является применение этого результата.
— 00
Действительно,
оо * оо
С sin х . . / f eix , \
\ dx=lm v. р. \ —dx .
— 00 —00
28.09. Вычислить интегралы:
— 00
00
~~rfj^; а) a>0; б) a<0.
239
00
3. С 2021 dx-, a) a>0; б) а<0.
4. v. p. [ l~~*2a* dx\ а) а>0; б) а<0.
х, а>0. 6. [ (^-)ndxt л = 2, 3, 4.
00
_ f cos2u#—cos 26* - . л , ^ п
7. \ dx, а > О, Ь > 0.
00
О
9. \?=?*&Ldx. а>0,
x, a>0,
ОО
\ Х"~~ Sltl X
00
12. v. p. J т^Г: а> 1т?>°: б)
— ОО
28.10. Пусть
где Ima^>0, а Im&^<0. Вычислить интегралы:
#(*)^Г|; а) Img>0; б) 1т|<0; в) Img =
— ОО
00
2. J ^(Л)в«*_§-.; а) Im|>0; б) Im|<0; в) 1
— 00
ОО
3. J /?(^) si"^~g)^, Л^>0, -оо<|<оо.
—оо
4. V j;(x) ]уу_7,f dx, N>0, —oo<g<oo.
— 00
240
28.11. Пусть ? — произвольное комплексное число. Вычислить
интегралы:
оо<а<оэ.
а—/оо
0-Ь/оо
С /shz —sh?\« , ^ _
- \ (—z-r ) dz> —со<а<оо.
О /
0 —/00
0-f/oo
3. С r""~z_-"*j dz, —oo<c<oo, a;
0 —/00
0-+/OO
4- \ ( __^ ) dzy —оо<ст<оо,
0 —/00
cr-f/оо
s (
0 —/00
G —/CO
(T+/00
7.
а — /оо
(T-f /оо
8.
сЬг-chg
ф 0
Вычисление интеграла j / (ф) с?ф, где f (г) — периодическая фуцкция г
—я
с периодом 2л;, сводится к вычислению контурного интеграла двумя способами.
28.12. Пусть /?(?, г|) — рациональная функция и пусть функция
/?(cosq), sin(p) не имеет полюсов на действительной оси. Доказать,
что
Tz'
28.13. Пусть f(z)~ периодическая функция с периодом 2я, меро-
морфная в полуплоскости lmz^> — ц, г|>0. Предположим, что
функция f(z) не имеет полюсов на границе полуполосы Im^>0,
| Re ^ | <С ^t> а внутри нее имеет полюсы в точках av ..., ап и
только в них. Доказать, что если функция f(z) удовлетворяет усло-
условию f(z)-> А фоо при 1т,г->-4-оо, то имеет место формула
/(ф) dtp = 2пА + 2nt
f{z).
241
Указание. Применить теорему о вычетах к функции /(г) в прямо-
прямоугольнике j Re 2 | < л, 0<lmz<R, а затем перейти к пределу при #-* + оо.
Учесть, что в силу периодичности функции / (г) интегралы по вертикальным
сторонам прямоугольника взаимно уничтожаются.
28.14. Пусть выполнены все условия задачи 28.13, за исключе-
исключением того, что функция f(z) имеет еще и полюсы Ьь ..., Ьт
лежащие на интервале (— п, п). Доказать формулу
v- p- ) /(ф)«ф = ^ял+2я/ 2j res f\z)+nl 2j res
-Я k=\Z~% k=lz===bk
(в предположении, что интеграл существует).
28.15. Вычислить интегралы:
Я Я 2п
со^Ф ^
) 5 + 3 cos ф" J 13+ 12 sin ф'
) 13+12 cos ф
— я —я О
п
4- J
6. J^4>ctg(9 —/а)йф, a>0
— я
2я
8. \ J^—; а) а>1; б) — 1 < а < 1 (главное значение).
9. \ i^ • !f •»' а) 0<а<1; б) а>1 (главное значение).
6
я
10.
1.«-0,1. 2, ...
—я
я
— Я
(l+2cos ф)я - л 1 о
5+4 cosф cos^% Я = °> Ь 2, .
0<«<f
242
28.16. Пусть функция f(z) удовлетворяет всем условиям задачи
28.13, за исключением условия f(z)-*A при lmz—>-\-oo. Доказать,
что функция /(—ilnz) имеет точку z = 0 изолированной особой
точкой однозначного характера и что
= 2я/ У res f(z) + 2n res ^~~/ln*).
28.17. Пусть f(z)—мероморфная периодическая функция с пе-
периодом ш, а>>0. Предположим, что функция f(z) не имеет полюсов
на действительной оси, а внутри полосы 0<hnz<<u) имеет полюсы
в точках av ..., ап и только в них. Доказать, что если функция
f(z) удовлетворяет условию
z-+±oo)t p>0,
то имеет место формула
П
f(x) dx= —!%?- У res e»« f(z) (| Re a
в 1 ^J
Указание. Применить теоремы о вычетах к интегралу от функции
eazf(z) по границе полосы 0<Imz<u). Интегралы по сторонам полосы вы-
выразить один через другой.
28.18. Пусть выполнены все условия задачи 28.17, за исключением
того, что функции f{z) разрешается еще иметь полюсы bv ..., Ьт
на действительной оси. Доказать формулу
v. p. i eax f(x)dx =
п т
9тг/ V^ ^'ай i 1 VI
- ~ тел 2. ,2 /<*>*--* ^ 2 ,s/(z) еаг
(в предположении, что интеграл существует).
28.19. Вычислить интегралы:
, 0<Re«<2.
, 0<«,.<1. 2.
-jdx, 0 < Re a < 2.
243
60 ,
^lle^K dX% °<]^еа<1»
со оо
7. {^?dx, |Ima|<l. 8. i™?^dx, Rea>0.
о о
* * *
со
Интегралы вида J / (x) я0 dx можно свести к интегралам рассмотренного
о
выше вида заменой х=е^. Однако их можно сводить к контурным интегралам
и непосредственно.
28.20. Пусть R(z) — рациональная функция, не имеющая полюсов
при 2>0 и удовлетворяющая условиям
где р и q—некоторые целые числа
1. Доказать формулу
Здесь сумма вычетов берется по всем полюсам функции R(z), отлич-
отличным от точки z==6, а для za~l в плоскости z с разрезом по лучу
(О/ + оо) выбирается значение е<а — U (m I * I + / arg Z)y о < arg <г < 2я.
2. Доказать формулу
Здесь сумма вычетов опять берется по всем полюсам функции
R(z), отличным от нуля, а для (—z)^1 выбирается значение
е(а - 1) On | г | + / arg (- z))y _ п <; arg (_ г) <- я#
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
R (г) г0 или R (г) (— г)а~1 по границе плоскости г с разрезом up положи-
положительной части действительной оси.
28.21. Пусть R(z) — рациональная функция, удовлетворяющая
условиям
Обозначим через а?, ..., ап ее полюсы, не лежащие на луче [0, +°°]>
а через bv ..., Ьт — ее полюсы, лежащие на луче @, +°°)-
244
В предположений, что интеграл существует, доказать формулу
00
v. p. <\iR(x)xa-1dx=
п
2 а } 2 ж
Здесь p<Rea<q; (—г)а-1 = е<*-1><1п
а ^a-l^-^fa —I) Jnz#
28.22; Вычислить интегралы:
00 00 00
1 С dx 2 С dx 3 f
J (x+l)]/"* ' ¦ J (x+OVx * " J
0^ 0 0
4. v. p. f *Ц=-. 5. f2^Лс. 6.
» ^<a< ^'> а) л>0; б) а<О (главное значение).
a/ 4, V
oo
— ia\nxd
-К1ша<1,
о
oo
13.
о
14. I *™^п?1 dx, a>0. 15. С \sin^nx)Jdxy a>0.
* * *
245
Интегралы вида \ ( т I / (x) dx также сводятся к интегралам, рассмот-
а
х — а
ренным выше заменой т = 1 и их также можно непосредственно сводить
к контурному интегрированию.
28.23. Пусть R(z)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при a<Cz<ib и удовлетворяющая условиям
R(z) = O ((z - аур) (z -> a); R (г) = О ((z - bf) (z -> b),
где р и q — некоторые целые числа (p<Cq).
1. Доказать формулу
где p<Rea<9» а сумма вычетов берется по всем полюсам функ-
функции R(z), включая точку z = oo, но исключая точки z = a и z = b.
B д\а—1
г берется значение
Ь— г) v
2. Доказать формулу
где /7<CRea<;^ а сумма вычетов опять берется по всем упомяну-
-зт) берется значение
(а— 1Iп
г —а
г—Ь
Imln
—а
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
f2 fl\a~1
± г R (г) по границе плоскости с разрезом по прямолинейному от-
резку (a, b).
28.24. Пусть рациональная функция R(z) имеет при a<Cz<Cb
полюсы в точках bv ..., bm, а в остальном удовлетворяет условиям
задачи 28.23. В предположении, что интеграл существует, доказать
формулу
xa 2 *i
246
где /?<Rea</7. Первая сумма вычетов берется по всем полюсам
функции R(z), лежащим вне отрезка [a, ft], и при вычислении вхо-
входящих в нее вычетов берется ветвь функции рзт) , отвечающая
значениям —n<arg ~--| <я. Во второй сумме arg|--? = 0.
28.25. Вычислить интегралы:
1
1U. \ *-* ^ ах. П. \ ¦ —
12
J
16. V -
о
1
17.
— лгI-»^, — l<Rea<2.
-l<Rea<2.
20.
* * *
00
Для вычисления интегралов вида ^ / (х) ха~х In x dx имеются два способа.
о
Первый способ состоит в применении теоремы о вычетах к интегралу от функ-
функции / (г) га~г In г или f (г) (— z)a~l In (— г) по границе плоскости с разрезом по
лучу @, + °°)- Получающиеся интегралы выражаются через искомый интеграл
оо
и через интеграл \ f (x) xa~l dx, формула для которого уже была получена
о
247
раньше (см. задачу 28.20). Второй способ состоит в дифференцировании послед-
последнего интеграла по параметру а. Оба способа применимы и к интегралам
28.26. Пусть R(z)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при z > 0, и пусть интеграл
оо
/а=$ R(x)xa-1\nxdx (а^О, ±1, ±2, ...)
о
сходится. Доказать формулу
где сумма вычетов берется по всем полюсам функции R(z), не ле-
лежащим на луче [0, +°°]> а
— я < arg (— z) < я.
28.27. Пусть R{z)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при a<C.z<Cb. Найти для интеграла
ь
R{x)(^-~\^xdx (a* 0, ±1,...)
а
формулу, аналогичную формуле задачи 28.26, в предположении, что
интеграл /а сходится.
28.28. Найти, как меняются формулы задач 28.26 и 28.27 в слу-
случае, когда функция R{z) имеет полюс z = ct где 0<с<оо соот-
соответственно, a<lc<Cb, а интеграл берется в смысле главного зна-
значения.
28.29. Вычислить интегралы:
оо оо
. С In х j о С In х dx
1. \ —dx, 2. \ гт= .
о о
3. V шлилг . 4.
J (#+l)Vx
о о
5. С ml+J dx _ 6_ f J
7 V oiix л # ?%
248
) Ax } sh**
„>0,
0 <Rea<l.
о
ОТВЕТЫ
28.02.
Сумма вычетов в правой части изменит знак на противоположный.
28.03.
1. я/4. 2. 5я/12. 3. 0. 4. я У~2. 5. 4я/3. 6. я/4. 7. Зя/8. 8. 0. 9. я/16аз.
Ю Зя^ и 0 12 iia
10 16а • 1L °- U' 32п
„ a-
28.05.
1. nie-**K 2. — — sin 1. 3.0. 4. я^Но, 5. я (l-t
6
7. я A + 0 е~\ 8. ?¦ (sin I -cos 1). 9. 2я* sin /. 10. 0. 11. а) у A +1) е~*.
в)^. 12. _т(/_1)а. 13. ш"(*-'—«-*')• 14. я ch *.
15. я(/-~0^-
28.07.
1. я*Г2 cos 2. 2. ~ е-2 D _ е). з. %• (е^ + е~*). 4. я (е~* + е~*).
о Z
5. ne~2 (cos 4 — sin 4). 6. яе~3 (cos I +-x- sin 1). 7. яе~8 (-3- cos 1 — sin I).
8-?е"°- 9-те"°- 10-^е"а- »• т^- ^ р(«*+')^
' 2F*-а») V а 1Г)'
Ы- 16а»
,5. f [
28.09.
Т'?Та*- 2- Я) Я'; б) -"*• 3- а) Т' б) "У' 4- а) Яа;
.. _ яа с . я , Зя
б) —яа. 5. -2-. 6. /2 = у, ^^"g"
249
8.
И.
9. -
12. а) яг, б)-
2о* 4с?3
28.10.
I. а) 2ш У ^г; б) -2Ж У -d*-; в) ш У Д--ш
; A?-v ; А&-а* Аб-^
2. а) 2я/I е*Я©-
ia.
б) -2я«
3- ¦*«-
-2 А
2ЛГ
1
28.11.
1. msh?. 2. m. 3. — nia. 4. 0.
5* Ш< (P-l)» +f e"
7. 0. 8. g(e^~^~
28.15.
1Я 2 ^ 3 13я 4
7. a)-g; б) я; в) я. 8. а)
""т)- 5- "'•6-
10.
nf±^. П. гя-г-^-. 12. О при л = 2^ и 2я1 ЛЧ \— при п
1 —а2 1—а2 к 1—а2 ^
28.19.
1. . . 2.^V-^-sin^lV
sin яа 3 sm яа 3
28.22.
1 л. 2.;
2ch
яа
7. | th ^. 8. ^ 1-
sh яа • sh a
1
V2 '
3. Ц. 2~4/3. 4. 0. 5. я 6. я sin ^ln 2)
250
7. а) Па * . б) na-«ctgna. 8. Bа-1) "** * . 9. -^ A—
smna' ' б v } sinjia 2sinnav
ю
П n ¦ shaX 12 3jt 13 2я(а-1)Bа-1) J4 th —
sh яа " sin A, ' sin Зла ' ' sin 2ла ' '2 2 '
15. яа cth 2яа.
28.25.
1. яD-К15). 2. я^Зу-уЧг). З. я^—-. 4. я()/2-1).
2 К2 * 16 * \4 У
10 2jt /7 8 -—\ и 2я 2 я / я . _я_'
|/~3~\3 *' / ' УЪ ' ' . я \ 10 10
13. i|—?L—. 14. Зя-2^5/2. 15. я-22/33~1/2. 16. я-
sin—=-
о
17. а) . П , ¦ . б) 0. 18. яа|!"а) 19.
_ ) 0. 8. 9 2
а2 — 1 ' sin яа sin яа *
я / л . яа , . яа
A+СО8+8Ш
28.27.
/а = ^ > res J i? (z) In i +
Сумма вычетов берется по всем полюсам функции R(z) (включая точку z = oo),
кроме возможных полюсов при z = a и z = b, а
0 < Im In ^P^ < 2я.
О—Z
28.28. К правым частям формул добавляются слагаемые
я^яатез (R (г) г« In г) - f res (/? (г) 2«).
28.29.
^ « \ 3. -
1.0. 2. 2»^ « \ 3. -^ 4. 0. 5. -^ 6.
V 9 / /3
3. 4. 0. 5. 6.
9 /3 /' 4 3 * 4
п2 sh "Т 2 а
7. =-. 8. я2. 9. —5L- 10. я cth я— Я
11. j:^—(In а — nctg яа). 12. яаа~х [— ctg яа • In а -|—г
sm яа 1°
251
3. «ijgfi. XL -![*?$. 15. ?
т.
§ 29. Более сложные типы несобственных интегралов
Основная сложность, возникающая при вычислении определенных интег-
интегралов с помощью контурного интегрирования, состоит в^том, что во многих
случаях приходится интегрировать по контуру , совсем не ту функцию, от ко-
которой вычисляется определенный интеграл.
29.01. Пусть R(z)— рациональная функция с полюсами av ...,#„
00
и пусть J | R (х) | dx<. оо. Доказать, что
о
со п
\ R(x)dx = — 2 res R(z)\nz
О k=lz = ak
(для In 2 берется любая ветвь, регулярная в плоскости с разрезом
по положительной части действительной оси).
29.02. Пусть С — простая кусочно-гладкая кривая, идущая из
точки 2 = ? в точку z = ooy a R(z) — рациональная функция с по-
полюсами av ..., aw удовлетворяющая условию jj | R (z) \ \ dz \ < оо.
Доказать, что
п
\R(z)dz = — 2 res Я(*)In(*— Q
С s = l z==as
(для ln(z — ?) берется любая ветвь, регулярная в плоскости с раз-
разрезом по кривой > С).
29.03. Пусть R(z) — рациональная функция с полюсами av ..., ат
оо
удовлетворяющая условию J | R (x) \ dx < оо. Обозначим
о
оо
/m = J R(x)\nmxdXy /я = 0, 1, 2, ...
о
Доказать, что интегралы 1т связаны рекуррентным соотношением
т— 1 п
2 k 2 ^ln"** A)
as
(здесь In ,г = In | z \ + i arg zy 0 < arg z < 2я).
29.04. В обозначениях задачи 29.03 найти формулы для интегра-.
лов 1г и /2.
29.05. Пусть функция R(z) задачи 29.03 разрешается иметь
полюс в точке z = b, й>0, а интегралы 1т понимаются в смысле
главного значения. Как изменится рекуррентное соотношение?
252
29.06. Пусть R(z)— рациональная функция, не имеющая полю-
полюсов при 2>0 и при 2 = —1, a av ..., ап — ее полюсы, отличные
от точки z = 0. В предположении сходимости интеграла доказать,
что
оо п
ZJa In г —л/ vv '
(здесь In z = in | z Ц- / arg z, О < arg z < 2я).
29.07. Пусть f(z) — рациональная функция от ег> не имеющая
полюсов на действительной оси, a av ... , ап—ее полюсы, лежа-
00
щие в полосе 0 < Im z < 2зг. Предположим, что § | /(#) | dx <C оо, и
— 00
обозначим
00
/т= $ xmf(x)dx.
— оо
Доказать формулы:
т—1
29.08. Пусть f(z) — рациональная функция от ег, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z = ш, a av ..., ал —
ее полюсы, лежащие в полосе 0<кп-г<2я. В предположении
сходимости интеграла доказать, что
оо п ( т \
f(*)dx _ f(m) j \i roc j /(г)
12/n+l
где w = 0, 1, 2, ....
29.09. Пусть С — простая кусочно-гладкая кривая, идущая из
точки г = g в точку z = t>\ a R(z) — рациональная функция с ко-
конечными полюсами пу ..., аПУ не лежащими на кривой С. Доказать,
что
п
(• ^п 2 t ¦ 2 ?
\ Q (у\ rlу __ у грс ffrWri — —-- ГРЧ Т (?\ Itl —
у J ^jJ z=a$ » 2 г=оо =»
(для In w_ берется любая ветвь, регулярная в расширенной пло-
плоскости с разрезом по кривой CJ.
253
29.10. Пусть кривая С и функция R(z) те же, что и в задаче 29.09.
Для ltip-~ выберем любую ветвь, регулярную в расширенной пло-
плоскости с разрезом по кривой С, а значениями функции In Л~ при
геС мы будем считать предельные значения выбранной ветви при
подходе к кривой С слева (по отношению к направлению кривой).
Обозначим
^(|^)mfe /я = 0, 1, 2, ...
/* =
Доказать формулы:
m—1
R (z) dz
/'-- У res
•• 'т —
res
= 0, 1, 2, ...
+ Bm+1)* я*
n r m
29.11. Вычислить интегралы:
1. f ^*dx. 2. * lnxdx
\nxdx - f jclnjc
o.
J(*+l)(*2+l)
0
С'-*
\nxdx
0
оо
6.
a;2 In a;
7-
9.
13.
sh x
»¦
—оо
л sh x ch x *
16.
-*; ^+r
254
<* Re«>0. 27.
' Ь 2,...
, « = 0,1,2,...
Многие довольно сложные на вид интегралы вычисляются с помощью от-
отделения действительной и мнимой части в сравнительно простых формулах.
29.12. Пусть R(z) — рациональная функция, непрерывная и дей-
действительная при действительных значениях zy a av ..., ап — ее по-
полюсы, лежащие в верхней полуплоскости. В предположении сходи-
сходимости интегралов доказать формулы:
00 П
1. \ R(x)\n\x—a\dx = — 2п\т? res R(z)In(z — а) (здесь
-00 S = l 2==«S
a—действительное число, а для In {z — а) выбирается любая ветвь,
регулярная в верхней полуплоскости);
2.
sin~2~
(здесь a—действительное число, а>0, а для [(г—a)/i]a~l выбирается
в верхней полуплоскости ветвь, положительная при положительных
значениях (г — a)/i);
25?
3. \ R(x)\n\x2 — a*\dx = —
res
— а2)
oo s=ls
(здесь a>0, а для In (г2 — a2) выбирается любая ветвь, регулярная
в верхней полуплоскости);
4.
= — 4я1т
res /? (г) In (z+ai) (здесь
oo s=\ s
a>0, а для 1п(,г + #0 выбирается произвольная ветвь, регулярная
в верхней полуплоскости);
5. § R (х) arctg лг dx == 2я Re 2 res
—te) (здесь для
In A—iz) выбирается регулярная в верхней полуплоскости ветвь,
для которой | arg A — iz) | < я);
00
6. [R (х) (х2 + a2)*/* cos (a arctg ±\ dx =
=/— 2я Im 2 res
s=l 2==a5
(здесь a — произвольное действительное число, a>0, а для (a — /^)a
выбирается регулярная в верхней полуплоскости ветвь, для которой
— | а | я < arg (а—-iz)a < | а | я);
7.
res
а/
Sl 5
(здесь а>0, а для У z-\-ai выбирается в верхней полуплоскости
ветвь, для которой — я/2 < arg Yz + ai < я/2);
8. [ R(лг) V* +
==—я
П
У r
**. г
res -^
(здесь а>0, а для ]/z-\-ai выбирается в верхней полуплоскости
ветвь, для которой Re У z + ai > 0).
29.13. Пусть /(г) — рациональная функция от ег*, непрерывная
и действительная при действительных z. Дополнительно предполо-
предположим, что функция f(z) не имеет полюсов на мнимой оси, и обозна-
обозначим через av ..., ап ее полюсы, лежащие в полуполосе
<С 2я, Im z > 0. Доказать формулы:
2л
/(фIп
COS
Ф
= 2я Re res
In
п
— 2я Im У res /(гг)In
1+е1
256
(здесь для In -i- выбирается любая ветвь, регулярная в круге
получаются заменой ? = t
\ 2
I ? I < 1; значения In
(здесь а>—1, а для (-ij—) выбирается в круге |?|<1 ветвь,
)
положительная при —1<?<1#> значения
J получаются заме-
замеJ
ной ? = е"];
3. \ /(ф) In A + 2а cos ф + а2) </ф =
= 4jxRe res
ln(a + ?) — 4яЛт / res f(z)\x\(a-\-eiz)
s=l
(здесь а>1, а для ln(a-f-?) выбирается любая ветвь, регулярная
в круге |?| < 1; значения In (а-(-г1*) получаются заменой ? на elz).
29.14. Вычислить интегралы:
3-
'•
9.
и.
12.
X-
— 00
оо
— оо
оо
— оо
оо
(X*-
X*
+ х
. 1 1
1 dx-
(-2^ + 2)
+ 4 ?
> VI*—11
*) dx
2
...
— 00
00
4.
6.
arctg -t
x*
10.
9 Под ред. М. А. Евграфова
257
13. С VVi+*+x-Vyi+*-MdXr
14. (К/^ + в^ + т^-^тзтл, а>0, 6>0
2 In I sin ?
a + cosf "v "¦-^*< W1 J a+cosqi
— Я
я
15. \ —L ±±d<p, o>l. 16.
j a + cos ф т
—я
17 С ln(l—2flcos9 + Q2) *
" J e?+cos9 ^
— я
18. f arctgf^l-) ^i_
J s \a + cos9 / b + sin
Если подынтегральная функция обладает той или иной симметрией, то
часто можно сократить вычисления. Иногда, использование симметрии позво-
позволяет получить даже некоторые новые формулы.
29.15. Доказать, что
оо
П 1
2л . 2m+l f
где т и п, т<п,—целые неотрицательные числа, рассмотрев интег-
интеграл от функции z'2m(l -\~z2n)~l по границе угла 0<;argz<я/я.
29.16. Пусть R (z) — четная рациональная функция, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z = /,. а аь ..., ап —
ее полюсы, лежащие в полуплоскости 1т,г>0. В предположении
сходимости интеграла доказать формулу
(здесь In z = In | ^ | + ^ arg ,г, 0 < arg -г < я).
29.17. Пусть R(^) — четная рациональная функция, не имеющая
полюсов при <г>1, a al9 ..., ап — ее полюсы. В предположении
сходимости интеграла доказать формулу
п
R (x) In (x + I/jcTZT) dx = - -J 2 res R (z) arcsin г
s—1 Z as
(для arcsin^ берется регулярная в плоскости с разрезами по лучам
(—сю, —1) и A, + сю) ветвь, равная нулю при 2 = 0).
29.18. Пусть R(z) — нечетная рациональная функция, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z = i, a av ..., ап — ее
258
полюсы, лежащие в полуплоскости \mz>0. В предположении схо-
сходимости интеграла доказать формулу
(здесь In z = In j z \ + / arg zy 0 < arg z < я).
29.19. Пусть a>0, 0<a<y, а R(г) —рациональная функция
с полюсами аь ..., аю не лежащими на положительной части дей-
действительной оси. Доказать формулу
со п
5 е~ахасо*ла sin (алга sin яа) R (x) dx = — я 2 res
(здесь — яа < arg (— z)a < яа).
29.20. Вычислить интегралы:
оо оо
I 1 -__—_ . __—. t ?
) (W + n*)chx'
— оо
00
sh2 x dx , С х dx
4.
СО 00
- С \nxdx
6- ^тт-
00
7 V '"v"r>'.*"<fx 8.
00
9. \ ,...,, ..!"Л^„ . _,)t a>0. 10. ^ 1п(^2^Гаа)^ а>°-
а
оо
00
. У In ^r a___ 2, а>0. 14. \ 1п^-^-у=====-, а>0.
? / А Г-
15.
о
00 СО
xdx
х(х+Ь)> ~^"У v^
оо со
16. ^e-^ELl^L^ а>0. 17. ? <r*cos
о о
259
29.04.
ОТВЕТЫ
29.05. В правой части добавится слагаемое
— 4- res R(z)-
29.11.
1. 0. 2. Т1п2. 3. ~т. 4. -^. 5.0. 6. т. 7.т. 8. -д-. 9. ^
10. ЮЛ 11. ^. 12. ~. 13. ^. 14. ^
z о о о
. 15. ^. 16. ?l
о 4
17.
. 18. ^1. 19. ±-^. 20. 1. 21. ±(S-»
2,1 ».-t-i. 24. ^. 2,
27- т
^. 28.
. 29.
1
26. ^((lnaJ-
J 1 1па
*—1 2а In а + 2а (In2 а
4. ±
_J L_ 4. ±
aln2a (a~l)ata
32. J_f^_ У 1Л
29.14.
1.
- 2. я In 2. 3. я1п
1+/2
4. л. 5.
я2 1п2 11
2+1 ' 6> Т1п5""У' 7* яA-1п2)- Л у1п2- 9-
10. ~я2 1п2. 11. ~1пA/+1). 12. у. 13. я. 14. ~ j/(a+l)F+1).
15. _^taI±?zVi5E[. 16. ^1+a-|^EI
]А21 2
а«—1 1—а+|/а«—
. ..
. 2. j. з. |. 4.
9. i(T-LI+j
i(T-LI+5_j-i)
Г.. "
4
15. ^
260
>. 12. Й
2
. 16. ^
. 5. « е. I. г. -.
,o. -;.,„
13. ?. 14. "-.
2а 2а
§ 30. Суммирование рядов
30.01. Пусть j{z) — рациональная функция с полюсами av ..., ат
среди которых нет целых чисел, и пусть /(г)==О(г)(г~> оо).
Доказать, что
оо т
2 У(«)=-я2 res \f{z)ctgsiz\.
п=—оо k=lz=ak
Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл
j / (г) ctg яг dz,
где /V — достаточно большое целое число, а затем перейти к пределу при
N — + оо.
30.02. Пусть функция f(z) регулярна во всей конечной пло-
плоскости z, за исключением конечного числа полюсов av а2, ..., ат)
среди которых нет целых чисел. Обозначим через Gp всю плоскость
с выброшенными из нее кругами \z — ak =^p, A=sl, 2, ..., /тг.
Предположим, что функция f(z) удовлетворяет неравенству
(|*!), 0<а<я (ze=Gp),
где 8@-^0 при ?-> + 6о. Доказать, что при этих условиях спра-
справедлива формула
Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл
С dz
j ' sin nz '
2
где Л/—достаточно большое целое число, а затем перейти к пределу при
дг_^_|_оо. При оценке интеграла использовать лемму Жордана (см. задачу 5.39).
30.03. Найти суммы следующих рядов:
СО ОО СО 00
1 V ' 2 У 1 3 У ' 4 У '
A/ssss СО
8 У JLJ2L. 9. У (— If^rf2. —л<а<л.
/г==| « = — оо
со
Ю. У (— \)п—1—— — л<сс<л.
261
/г =—оо
оо
/ 1Ч/г sin а (/г — С)
14
30.04. Пусть /(.г) — рациональная функция от cos г и sin г,
не имеющая -полюсов ни на действительной, ни на мнимой оси, и
стремящаяся к нулю при Imz->±:оо. Обозначим через av a2, ..., ат
полюсы функции /(-г), расположенные в полюсе 0 < Re 2 < 2л.
Доказать, что
fc=o s=i
Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл от функции
/ (г) ctg -у по границе полосы 0 < Re г < 2л.
30.05. Найти суммы:
п—\ п—\
ti п
3. У ! . 4. У ctg2^. 5. У —L_. 6. У 2_
30.06. Доказать, что
п-\ ,_2kn г о (т = ± 1, ± 2, ...),
30.07. Найти суммы:
"~J sm2 — /г~1 cos4
уv 5
3. \ cos2" -. 4. У cos2? *? sin2' ^
(р и ^ — целые положительные числа).
262
30.08. Пусть мероморфная функция F(z) обладает следующими
свойствами:
а) Ряд
равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.
б) Существуют такие положительные числа pv p2, ..., что кру-
круги \z — ^л|^Ра> А=1, 2, ..., не имеют, попарно общих точек
и что
(символом О обозначена область, полученная удалением из комп-
комплексной плоскости всех кругов \z — Яй|^рЛ> &=1, 2, ...).
Доказать, что для любой рациональной функции R(z) с полю-
полюсами av а2, ..., as (отличными от полюсов функции F(z))t для ко-
которой выполняется условие
справедлива формула
2 А,Д{кк)= - § res {R(z) F(z)}.
30.09. Обозначим через Хх, Xg, ... все отличные от нуля корни
уравнения tg z = z. Найти суммы:
30.10. Найти суммы:
оо оо
1. у±з. 2. V-rLyr. з.
Указание. Использовать формулу
со
Г'(г) ^ с 1 у (_} 1
Г (г) г Zd \n-\-z п
(см. задачу 27.18).
30.11. Пусть функция <р(?) представима сходящимся ^на отрезке
с»
[0, 1J рядом ф@= У] cntn- Доказать, что
263
30.12. Доказать формулу
Здесь, как обычно,
30.13. Пусть рациональная функция f(z) имеет полюсы в точках
аь а2, ..., ат (а^О, 1,2,.,.) и пусть f(z) = O(zp) (z-+oo).
Доказать, что при Rea>/J справедливо равенство
В некоторых случаях бывает полезно выразить сумму 2 /(п) через
п = — оо
интеграл. Иногда получающийся интеграл удается вычислить с помощью
вычетов.
30.14. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости, за
исключением конечного числа полюсов в точках аь а2, ..., ат, не
лежащих на действительной оси, а при достаточно больших | z \
удовлетворяет неравенству
ео
где — 2я<a<С 2я, а \ q>(x)dx<iоо. Доказать, что
— оо
I; /(«)- s" nx)dx=
п = — оо — оо
=—л 21 res /(^)(ctg^+o+^ 2 res /(^)(ctg^—0-
•гаай>02==ай Im ak < 0 г = ak
30.15. Найти суммы:
оо
L
п = — оо
оо
, в>0,*>а
Ц^у, , а>0.
264
Замечание. Формула задачи 30.14 применима к слишком узкому
классу функций. Область применимости формулы следующей задачи значи-
значительно шире, но зато в ней имеется три интеграла вместо одного.
30.16. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Rez >0
и удовлетворяет неравенству
\f(x + ly)\<q>(x)e*W\, (х>0, — оо<^<оо),
оо
где —2я<а<2я, а интеграл ^y(x)dx сходится. Доказать, что
о
при любом 0<6<1 справедлива формула Абеля — Плана
п=1
9 — /оо
= ~}2i \ f{z)(cignz + i)dz + ± J f(z) (ctg nz-[)dz.
В следующей формуле интегралов еще больше, но зато они несколько
проще.
30.17. Пусть функция f(z) регулярна в полосе |Im^j^r| и
оо
удовлетворяет условию § max | f(x + iy) \ dx < оо. Доказать
справедливость формулы суммирования Пуассона:
по оо оо
п=—оо п = — оо — оо
Указание. Воспользоваться разложениями функции ctg nz в ряды
со
ctg лг= — i — 2/2] e2kniz Aтг>0),
k= l
оо
ctg nz = i + 2i 2 e~ 2kniz (Ini z «<0).
30.18. Пусть функция f(z) регулярна в полуполосе |1т,г|^г|,
Re z ^ 0 и удовлетворяет условию
со
\ max \f(x-{-iy)\dx<^oo.
Доказать, что
со оо оо
1
= 1
Указание. Рассмотреть интеграл от функции / (г) ctg яг по границе об-
области, выделяемой неравенствами — r| < Im z < r\, Re z > 0, | z | > p. На пря-
прямолинейных частях границы этой области воспользоваться разложениями функ-
функции ctg яг из указания к задаче 30.17, затем положить р -*• 0.
2Q5
30.19. Пусть функция f(z) регулярна в угле large 1=^5, б>0
и удовлетворяет условию
\f(z)\e-al im2i->0 (г->оо, |arg2|^6),
с а<2зт. Доказать, что интегралы
7 f(x) е2Шх dx, k = ± 1, ± 2, ...,
о
сходятся и что
(N N \ оо
у/@L- 2 ^я>~ S /^ rfx = 2 5 /W *'*"" dx-
30.20. Вывести из формулы Пуассона формулу Абеля — Плана.
Примечание. В задачах 30.18 и 30.17 предположение о регуляршости
не по существу —формула Пуассона справедлива и для любой функции /(*),
абсолютно интегрируемой по всей действительной оси. В задаче 30.19 предпо-
предположение о регулярности по существу необходимо.
Формулы суммирования Пуассона и Абеля — Плана очень удобны для ана-
аналитического продолжения функций, заданных степенными рядами, за пределы
круга сходимости этих рядов
30.21. Доказать, что следующие степенные ряды можно аналити-
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по
п = 0
Ггп. 2. V еп
3. 2 [1п(л+1)]агл. 4. 2 л* (In я/г".
ч = 1 п = 2
ОО 00
5. 21 [1пA+1пл)]агп. 6, 2^пл»агл.
л — 2 n s 2
30.22. Пусть функция /(г) регулярна в полуплоскости Re
(и определена при z = 0> 1, 2, ...) и удовлетворяет условию
00
Доказать, что степенной ряд ^ /(п)гП сходится в круге |2,|<1
и что его можно аналитически продолжить на всю комплексную пло-
плоскость с разрезом по лучу A, + °о)-
30.23. Пусть функция f(z) регулярна в угле j arg (z — а) \ ^ б,
а ^ 0, 0<6<Сл/2 (и определена при ,г = 0, 1, 2, ...) и удовлет-
удовлетворяет условию
ln|/(*)|<M-e(|*|)(*-*oo,|arg(*-a)|<6),e(*)->0 (^^ + со).
ОО
Доказать, чго степенной ряд ^ f(n)zn сходится в круге \z\<C.i
266
и что его можно аналитически продолжить в область
| z | < е ' агг г I tg б (| arg 2: | ^ л).
30.24. Доказать, что степенной ряд ^ е^п zn (|.г!<1) можно
п = О
аналитически продолжить по любому пути, лежащему в круге \z— 11<1
и не проходящему через точку 2 = 1.
30.25. Функция t (s) (дзета-функция Римана) определяется ра-
оо
венством ?(s) = 2 n~s (Res>l). Доказать, что функция ?(s) ана-
п= 1
литически продолжается на всю комплексную плоскость с выколотой
точкой 5=1, в которой имеет полюс, и что она удовлетворяет функ-
функциональному уравнению g (s) = 2sл5^1 sin ^ Г E) • g A — 5).
Указание. Применить результат задачи 30.18 к функции /(г) = z~sen>z
00
и воспользоваться равенством 2 (—1)" n~s~(\ — 21~5)?(s).
30.26. Функция ty(x) определяется равенством
Доказать, что функция ty(x) удовлетворяет уравнению
Некоторые степенные ряды можно просуммировать с помощью приема, со-
составляющего содержание следующей задачи.
30.27. Пусть функции /?(?) и ф(?) регулярны в односвязной
области Д причем функция ф (?) не обращается в этой области в нуль.
Определим функции Qn(Q равенством
Доказать, что для каждой замкнутой части В области D можно
оо
указать такое 8 = 8 (В), что ряд ^ QniQz" равномерно сходится
м = 0
при Jefl, |^!<б(Б), и что его сумма равна ^J^/^^1 t)]> где
О —решение уравнения ^ = ^у, а; @, ?) = ?.
267
Указание. Записать функции Qn(?) в виде
30.28. Найти суммы рядов:
л- 2. | ^ЛГ- 3. | С5"*-О 4 г)"
30.29. Полиномы Лежандра Рп(х) определяются равенством
Найти сумму ряда ^ Рп (х) zn (I г | < 1).
30.30. Полиномы Э'рмита Нп(х) определяются равенством
Нп (х) = (— l)n ех*тг& е~х2> — °° < х < °°-
Найти сумму ряда
0
30.31. Полиномы Лагерра Ln(jc) определяются равенством
1 И
00
Найти сумму ряда ^ Ln{x)zn.
ОТВЕТЫ
30.03.
1. -J?—. 2.-1-. 3. _L(jT?ctha:-l). 4. .ld (-~т + «t cth яС —2V
sm2 я^ 6 2g2 v b ^ 4f4 \sh2 nt J
- 1 я
8
p/ (a 4 я):
12. я -^ =—(nctgn5;--ia —я*). 13. 0. 14. яа.
sin зге
30.05.
n(l+r") я {a + VW+\Yn + {- 1)" 3 IL2Zll
n2—4 n4-fl0tt2—11 . n4 —
4' 6~"- b* 45 • Ь- 45
268
S0.07.
1 n /УЛ^+Т (g + Vrf + D*» + (-\)n Л 2 2n«-9n+10
l а (ал-1/аТлГТJп_,1)п /¦ 6
^ л9-2л!±^1 4 f?9~a«p+g) У6^' V*W с; «Ноу fi 2n2
(n!)a p!</!(p + g)! s sin2 л:
30.09.
3 shg 3
30.10.
i. -1г'"A)+|г'A)Г'A)-[Г'A)]3. 2.
Г'(С+1) r'Bt+l) -
3 2
30.15.
I -M-rini. l_chaC
^-1/'
TT / 1
2
я f -a
2 —a2)\
о я f -aiai . 2shalal -ь\а\
2F2 2)\ ^ 2^
2shalal -ь\а\ 2shb\a
я fc-ala + ei c-aia-6l , оsh (a 1 a+ ft |)-sh (a | a-
30.28.
-. 2. т^—. 3.
1 —г* 1—2* * 1+A— а) г'
Q
30.30. e-zi + 2x
i
30.31. Yzrze
§ 31. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции
Гамма-функция Эйлера Г (г) определяется равенством
Г B) = \ tz-4-1 dt (Re z > 0). A)
Из этого равенства интегрированием по частям легко получается функциональ-
функциональное уравнение
Г(+1) = 2Г(г). B)
С помощью функционального уравнения гамма-функция без труда аналитически
продолжается из полуплоскости Re2>0, где сходится интеграл A), на всю
комплексную плоскость с выколотыми точками z = —/г, лг = 0, 1, 2, ... , в ко-
( \\п
торых Г (г) имеет простые полюсы с вычетами -—т-^-.
269
31.01. Доказать формулы:
1. Г(п + г+Ц = (п + г)(п + г-\).. *Г(г)(/!= 1. 2, ...).
Г'(г+\) Т'(г)[ 1
J- Г B+1) Г (г) - г*
Наряду с гамма-функцией часто рассматривается и бета-функция Эйлера
В (г, ?), определяемая равенством
1
В (г, ?) == J ^ A - 0"~ ! ^ (Re г > 0, Re Z > 0). C)
о
Фактически символ В (г, ?) является лишь сокращением записи, так как
(см. задачу 13.37).
31.02. Доказать формулы:
1. В(*, 0=B(?,s). 2. B(/w,/|)«/у| + ^1СУ, /и, я=1, 2,...;
з.
31.03. Доказать формулу Г(г)ГA—
sin nz
Указание. Вычислить интеграл для В (г, I — г) с помощью контурного
интегрирования (см. задачу 28.25 A8)) и сравнить полученный результат с ре-
результатом, получаемым из формулы D).
-у
31.05. Доказать формулы:
31.04. Доказать, что Г (-у) = |/~я
1. 5 *<r*dx = 1Г (i±l) (Re z>-1).
5 1
ОО
2. J^e-^^ = ir(i±l) (p>0, Rez>-1>
l
3. J (in у)' Л = Г (z) (Re * > 0).
CO
4. J <*->*-»dt = ГТB) (Rez>0, arg 11<f).
0
со
5. С ^^cos<Л = ГB:)cos— @<Re*<l).
0
, г^О (_i<Rez<l).
0
6. fd\
i If.
270
7.
j
ОО
8. \ cosxPdx=*-r(—)cos~ (p>\):
11-5 е'хРcospKcosC*p^Pfydx = ~r(~)cosK
(р>о, -^<я<5).
12. 5 jcr" V^cos * sin (^ sin X) йдг = ~ Г (-) sin ~
fRe2Г>0, p>l, -~.
31.06. Доказать формулы:
i
1. [^-1A-^-1^ = 13^ pj (Rea>0, ReP>0).
i
2. Ьа-1A^)Р-!й=|в(у, pj (p>0, Rea>0, Rep>0).
о
oo
3. \
1
6. J (l+0a-1A~0p"^ = 2a+p"B(a, P)(Rea>0,Rep>0).
— l
31.07. Пусть а>0, Rea>0, ReP>0. Доказать, что
271
Указание. Сделать дробно-линейную замену переменной интегрирова-
интегрирования, переводящую точки 0, 1, —а в точки 0, 1, оо соответственно.
31.08. Доказать, что формула задачи 31.07 справедлива и в слу-
случае, когда точка а лежит в плоскости z с разрезом по отрицатель-
отрицательной части действительной оси, а выражения (а+1)~п и а~р имеют
следующий смысл:
(а _|_ 1)-а ^ ?-а1п(а + П, — % < 1т 1п (а + 1)< П\
а—Р =е-${па, —л<С lm In
31.09. Доказать формулы:
^l(b P)(Rea>0,ReP>0).
u (l+tp)p
(здесь/?>0, Rea>0, ReP>0).
i
(здесь a>l, Rea>0, Rep>0).
31.10. Пусть Rea>0, ReP>0. Доказать, что
(l+xJa~l {lf*~l dx = 2« + fi-2B(a, p).
Указание. Сделать замену переменной интегрирования ? =
31.11. Доказать формулы:
Я/2 Я/2
J 5 1(| |) (Rea>0).
@<Rea<2).
3. При Rea>0, Rep>0,
J (cosФ)«-1(sinф)Р-^Ф = {
4. При a>0, Rea>0, Rep>0,
272
5. При Re a f < ' Re p |
сю
§ «« (ch x}-» dx = 23-1 В (&±2, &Z^\.
6. При |Rea|<|Rep|
оо
f cha*
7. При Rea>0, Re(a + P)<0,
00
гх = -0- В (a, —a —p).
31.12. Пусть С—произвольный спрямляемый контур, идущий из
точки z =— я/2 в точку г = я/2, оставаясь в полуплоскости lmz>0.-
Под (sin^H на контуре С мы будем понимать ту ветвь этой функ-
функции в полуплоскости Im z > 0, которая обращается в единицу в точ-
точке z = —я/2. Доказать, что при всех комплексных значениях a
справедлива формула
31.13. Пусть С—произвольный спрямляемый контур, идущий из
точки z = —/, в точку z = u оставаясь в полуплоскости Rez>0.
Под za~~l и (г2+1)^"~1 на контуре С мы будем понимать те ветви
этих функций в плоскости Re2>0, которые обращаются в еди-
единицу в точках z=l и z = 0 соответственно. Доказать, что при
Re Р > 0 и при любом комплексном значении а справедлива формула
31.14. Доказать, что:
1. При любом а и при Re p > О
зт/2
2. При любом а и при ReP>— 1/2
я/2
\ (cos фJ^ cos2 ссф б/ф = 2-2Р-2 cos я (а — Р) В (а — р, 20) +
о
3. При Rep <1 и Re(a + p)>0
273
4. При Rep>—1, Re(a-f P)<0, Re(a —p)>0,
31.15. Доказать, что при Rea>0, ReE>0,
Я/4
$ (coscp — sir^f-1 (cos9 4-sin9JP-1rf(p =
-я/4
Указание. Воспользоваться формулой задачи 31.10.
31.16. Доказать, что при 0<Rea<l справедлива формула
Я/4
С /coS(p-sin(py«-i = я
J \ cos ф + sin ср / Y 2sin яа
-Я/4
31.17. Доказать, формулу
2я/ 3 - - - Г (г)'
С
где С—граница области |?|>р, |arg?|<ft — т) (
Указание. При Rez<l положить р = 0, г] = 0, а затем воспользо-
воспользоваться формулой Г (z)T A— 2) = - (см. задачу 31.03).
31.18. Обозначим через DOtP полуплоскость Re z < а, из которой
выброшены круги |г + #|<р, # = 0, ; 1, 2, ... Доказать, что при
любых фиксированных значениях постоянных р>0,а и w справед-
справедливо неравенство | Г (z) | ^ М A +1 z \)~m (z e Da,p) с некоторой
постоянной Ж, зависящей от выбора чисел р, а, т.
Указание. С помощью исходной формулы A) для гамма-функции до-
доказать/ что величина | Г (z) \ ограничена на любой вертикальной прямой
~ ? = а>0, а затем воспользоваться функциональным уравнением B).
31.19. Доказать, что
31.20. Доказать, что при любых значениях s, лежащих в угле
| arg 51 < я/2, справедлива формула
"КГ S
1/2—/со
Много формул можно получить, дифференцируя по параметру формулы,
приведенные выше.
31.21. Доказать формулы:
ОО
1. \(\nt)mtz-l€-tdt = T^(z)} /w=l, 2, ...
о
274
СО
2
(in In i-\m rf/ = Г<да) A), /я = 1, 2, ...
4 ,^™±{ntdt=± ГA), 5.
00
6.
4 /2 \ 2 ^ V 2 // *
31.22. Доказать, что:
со
(здесь Rea>0, Re(p — a)>0).
я/2
2. ^ (cos ф)а In cos ф с/ф =
(здесь Rea>—1).
Ряд совершенно иных интегралов, выражающихся через гамма-функцию
и ее производные, можно получить, используя формулу
оо г
~7 E)
(см. задачу 27.17). Постоянная С, входящая в формулу E), называется постоян-
постоянной Эйлера. Она определяется равенством
С= lim
п-*со
31.23. Доказать формулы:
ЗГ.24. Доказать следующую формулу для постоянной Эйлера:
275
31.25. Доказать формулы:
6. Г(г)_щг-Й-
31.26. Доказать, что при 2->-оо, |arg^|^n — т]<Ся, имеют
место асимптотические формулы
2_ d""-4
31.27. Обозначим через Dp всю плоскость г с выброшенными
из нее кругами \z-\-n\^.p, /2 = 0, 1, 2,... Доказать, что для любого
р > 0 существует такая постоянная М, что
L Г (г)
31.28. Доказать формулы:
1/2+<оо
2.
1
1/2 + /
2ш J
2ш J " Г(
1/2 —/оо
-/оо
1/2 —/оо
31.29. Доказать формулы:
1
0, ReP>0).
31.30. Пусть /(,г) — рациональная функция от ег, не имеющая
полюсов на действительной оси, а ах, ..., ап — ее полюсы, лежащие
оо
—оо
в полюсе 0<Imz<23T. в предположении, что ^ \f(x)\dx<oo7
доказать формулы:
276
1. Если Rea> 0, то
оо
Г f{X)dx ^ _
res
-(
(*
+¦¦
2. Если Re а <С 0 и точка z = — 2ша не является полюсом /(г), то
+2ша
31.31. Доказать формулы:
1. При а>0
= -2щ/(~2ша)~У res
s= 1
1_
4а*
2. При а>0 и при любом действительном значении а
dx
3 (х* + 4п*а?)(ех + е2ла)
4а
4я/а
3. При а>0
Tly + a-te1
(х+]
4. При а>0
1
х dx
4а'
^A+а) . 1
I sh л:
ГA+а) ~ 2а'
31.32. Пусть f(z) — рациональная функция от ez, действительная
при действительных ,z и удовлетворяющая условию
оо
\ \/(х)\йх«ю,
— ОО
а av ..., ап — ее полюсы, лежащие в полосе 0<Im2<2ft. Дока-
Доказать формулу
со п
s=l
(здесь а > 0, а для In ? и In Г (?) выбираются в полуплоскости
Re ? > 0 регулярные ветви, действительные при положительных зна-
значениях I).
Глава VI
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 32. Однолистные функции
Функция f(z), определенная на множестве ? расширенной комплексной
плоскости (значение со допускается), называется однолистной на множестве ?,
если f(Zi)^f(z2) для любых двух различных точек гг и г2 из этого множества.
Отображение, совершаемое однолистной функцией, называется взаимно
однозначным.
Конформным отображением области D расширенной комплексной плоскости
называется отображение, совершаемое функцией, мероморфной и однолистной
в области D.
32.01. Выяснить, однолистны ли функции f[z) в областях D,
указываемых в скобках:
(Я:М<оо), ad-bc^O.
(D:{1<!*|<2, 0<arg*<3jt/2}).
3.!
4. /(*) = *• Ф: UK4).
5. f(z) = z* (D: {3<
6.f(z) = e? (D: lRe[
Образ множества ? при отображении w — f(z) обычно обозначается симво-
символом f (?). Например, символом — ? обозначается множество, состоящее из
точек —2, где г —произвольная точка множества ?; символом Е+а (здесь а —
произвольное комплексное число) обозначается множество, состоящее из точек
г + а, где г —произвольная точка множества ?, и т. д.
32.02. Доказать следующие утверждения:
1. Функция z2 однолистна в области D в том и только в том
случае, когда области D и — D не имеют общих точек.
2. Функция -пЫ*\—) однолистна в области D в том и только
в том случае, когда области D и д- не имеют общих точек.
3. Функция ez однолистна в области D в том и только в том случае,
когда области D и D + 2m не имеют общих точек.
4. Функция tg z однолистна в области D в том и только в том случае,
когда области D и D-\-n не имеют общих точек.
278
5. Функция cos z однолистна в области D в том и том и только в том
случае, когда области
A —D,
не имеют попарно общих точек.
32.03. Пусть п^2 целое число, а а — произвольное действи-
действительное число. Доказать, что функция zn-\-neiaz однолистна в круге
И<1.
32.04. Доказать, что функция z2 -\-az однолистна в полуплоскости
Im^>0 в том и только в том случае, когда выполняется нера-
неравенство Ima^O.
32.05. Доказать, что ни одна из регулярных в полуплоскости
1тг>0 ветвей функции Уг* не является однолистной в этой полу-
полуплоскости функцией.
32.06. Доказать, что если функция \п z допускает выделение
в области D регулярной ветви, то эта регулярная ветвь однолистна
в области D.
32.07. Пусть п —целое положительное число. Доказать, что если
функция }/" z допускает выделение в области D регулярной ветви,
то эта регулярная ветвь однолистна в области D.
32.08. Пусть функция f(z) однолистна на множестве Е, а фун-
функция g(Q определена на множестве Е значений функции f(z). Дока-
Доказать, что функция g(f(z)) однолистна на множестве Е тогда и
только тогда, когда функция g (?) однолистна на множестве ?".
32.09. Пусть функция f(z) регулярна и однолистна в круге
|2|<1, а /@) = 0. Доказать, что многозначное выражение }ff(zn)
в круге | <г | < I распадается на п регулярных и однолистных в этом
круге функций.
* * *
Функция f(z) называется однолистной в точке z0> если она определена
и однолистна в некоторой окрестности этой точки.
Имеет место следующий критерий однолистности в точке для регулярных
функций:
Функция /(г), регулярная в точке г0Фоэ, однолистна с этой точке тогда
и только тогда, когда f (zQ) Ф 0.
32.10. Убедиться, что следующие функции не однолистны в ука-
указываемых областях D, хотя и однолистны в каждой точке этих
областей:
1. z2 (?>: 1<|г|< 2). 2. z3 (D: 1тг>0). 3. ег (D: И<4).
32.11. Доказать, что функция f(z), регулярная в точке оо, одно-
однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда
Нш [*(/(*)-/(оо)I9&0.
z-*co
32.12. Доказать, что функция f(z), имеющая в точке z0 полюс,
однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда этот полюс
имеет первый порядок.
279
32.13. Пусть функция f(z) = anzn-\~.. .-]~a2z2-\-z однолистна
в круге |z|<l. Доказать справедливость неравенств
1. л|а„|^1. 2. k\ak\^CnZ\ (& = 2,..., п— 1).
Указание. Воспользоваться формулами Виета.
32.14. Доказать, что для однолистности квадратного трехчлена
az2-\-bz-{-c в выпуклой области D необходимо и достаточно, чтобы
этот трехчлен был однолистен в каждой точке области D.
Указание. Воспользоваться тем, что середина отрезка, соединяющего
любые две точки в области D, также лежит в области D.
32.15. Пусть а, & и z0 — заданные комплексные числа. Найти
наибольшее значение R, при котором функция z2-\-az-\-b однолистна
в круге \z — zo\<R.
32.16. Доказать, что функция z9i-\-az-\-b однолистна в каждой
области D, лежащей по одну сторону от какой-либо прямой, про-
проходящей через точку z = — а/2.
32.17. Пусть функция f(z) регулярна в выпуклой области D.
Доказать, что если существует такая действительная постоянная а,
что величина Re {eia f (z)} отлична от нуля в области Д то функция
f(z) однолистна в области D.
Указание. См. задачу 10.05.
32.18. Доказать однолистность функции zs — 3z в области
{(RJlB R}
}
32.19. Доказать однолистность функции z-\-ez в полуплоскости
Re z < 0.
* * *
32.20. Пусть функция f(z) регулярна в точке z0 Ф оо, а ее про-
производная имеет в точке z0 нуль порядка т^ 1. Доказать что
1. Для любого действительного числа ф0 и для любого положи-
положительного числа а< 1 существует такое число р>0, что
функция f(z) однолистна в секторе
q>0<arg(* —г
2. Если а> «, то каковы бы ни были числа ф0 и р>0,
функция f(z) не может быть однолистной в секторе
I г — z0 \ < р, ф0 < arg (z — z0) < ф0 + яа.
Указание. См. задач} 26.12.
32.21. Доказать, что многочлен anzn + • • • + &\Z + ao может быть
однолистной в полуплоскости Im z > 0 функцией только в том
случае, если его степень не выше второй.
280
32.22. Доказать, что если функция f(z), отличная от тождест-
тождественной постоянной, регулярна в области Д то множество значений,
принимаемых этой функцией в области Д образует область. (Прин-
(Принцип сохранения области).
Указание. См. задачу 23.15.
32.23. Пусть функция f(z), отличная от тождественной постоян-
постоянной, регулярна в области D. Обозначим через Ет множество тех
значений w, для которых уравнение f(z) = w имеет в области D не
менее т решений. Доказать, что каждое множество Ет или пусто,
или открыто.
Указание. См. задачу 23.15.
32.24. Вывести принцип максимума модуля регулярной функции
из принципа сохранения области.
# # #
32.25. Пусть функция f(z) регулярна в области Д ограниченной
простой замкнутой кривой С, и непрерывна в замыкании этой области.
Доказать, что если образ кривой С при отображении w=f(z) яв-
является простой замкнутой кривой, то функция f(z) однолистна
в области D.
32.26. Останется ли в силе утверждение задачи 32.25, если (при
соблюдении всех прочих условий) разрешить функции f(z) обра-
обращаться в бесконечность на границе области D и считать ее непре-
непрерывной в сферической метрике?
32.27. Пусть — оо < ах <С... <С ап <С + оо. Доказать, что любая
регулярная ветвь аналитической функции f(z) = у (z — a{)...(z— ап)
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости.
32.28. Пусть
0<а*<1 (?=1,2,3), а1 + а2 + а3=1.
Доказать, что любая регулярная ветвь функции
в круге | z | < 1 однолистна в этом круге.
32.29. Пусть
Доказать, что любая регулярная ветвь аналитической функции
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости.
32.30. Пусть функция /(-г), отличная от тождественной постоян-
постоянной, регулярна в замыкании области Д а ее модуль имеет одно
281
и то же значение на всей границе области D. Доказать, что функция
однолистна в области D, если она однолистна в каждой ее точке.
Указание. См задачи 23.07 и 26.33
32.31. Пусть функция J(z) регулярна в области D и в каждой
конечной точке ее границы, а функция Re/(г) равна нулю в каждой
конечной точке границы и отлична о г нуля в области D. Доказать,
что функция f(z) однолистна в области D, если она однолистна
в каждой ее точке.
Указание. См, задачу 26.29.
32.32. Пусть функция f(z) = z-\- ? cnz~n регулярна и одно-
листна при 1 < | г | < оо. Доказать неравенство
п —1
Указание. Воспользоваться результатом задачи 9.19 и тем, что вели-
величина lim [S (r, R) — nR2\ = а (г), где S (r, R) — площадь образа кольца г < \г\ <R
#-»оо
при отображении w = f(z), равна площади части плоскости до, не входящей
в образ области |г|>г (и поэтому— положительна).
32.33. Пусть /(г) —функция из задачи 32.32. Доказать, что при
любом п = 1, 2,3... справедливо неравенство | сп \ ^ —^ и иго ра-
V п
венство I <?m I = ~т= возможно лишь в случае, когда
У т
где а —действительная постоянная.
оо
32.34. Пусть функция g(z)/=z-\- ^ anzn регулярна и однолистна
п = 2
в круге |г|<1. Доказать, что |а2|=^2 и что равенство возможно
лишь в случае, когда
g{z)^z{\+ze^)~\
где а — действительная постоянная.
Указание. Применить результат задачи 32,33 к функции
(см. также задачу 32.09).
32.35. Пусть функции fn (г) регулярны и однолистны в области D
и пусть последовательность {fn(z)\ равномерно сходится к функции
282
()^E const в каждой замкнутой части области D. Доказать, что
функция f(z) однолистна в области D.
32.36. Пусть функции
регулярны и однолистны в области 1 < | z | < оо. Доказать, что
из последовательности {fm(z)} можно выделить сходящуюся при
1 < | 2 | < оо подпоследовательность и что пределом этой подпосле-
подпоследовательности является функция, однолистная в области |г|>1.
Указание. См. задачи 12.12 и 32.32.
32.37. Пусть функции
регулярны и однолистны а круге |г|<1. Доказать, что из после-
последовательности {gm(z)} можно выделить подпоследовательность, равно-
равномерно сходящуюся в каждом круге \z\^r<C 1, и что пределом этой
подпоследовательности язляется функция, однолистная в круге | z \ < 1.
ОТВЕТЫ
32.01.
1. Да. 2.Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Да. 6. Да. 7. Да.
32.15. /?= Zo + y .
32.26. Нет. Пример: f (z) = г2 (D: Ira z > — 1).
§ 33. Дробно-линейная функция
Функция
где a, bt с, d постоянные, удовлетворяющие условию
ad —
называется дробно-линейной функцией, а осуществляемое ею отображение —
дробно-линейным отображением.
33.01. Пусть w(z) — произвольная дробно-линейная функция,
a zp z& zs> z± — четыре попарно различные точки расширенной
комплексной плоскости. Обозначим
k=l, 2, 3, 4.
Доказать, что
^4 — ^i . w3 — wt = г4 — zt # z3 — zx
W4 — W2 * w3 — w2 г4 — г2 * z3 — z2'
33.02. Доказать, что каждая дробно-линейная функция w(z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению'2w' w"r = 3(w'[J.
283
33.03. Доказать, что линии уровня модуля дробно-линейной фун-
функции являются окружностями или прямыми линиями.
33.04. Доказать, что линии уровня действительной части дробно-
линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.
33.05. Доказать, что образом окружности при дробно-линейном
отображении является окружность или прямая.
33.06. Доказать, что образом прямой при дробно-линейном ото-
отображении является окружность или прямая.
33.07. Доказать, что прообразом прямой линии при дробно-
линейном отображении w = az , . является окружность (или прямая),
CZ —J— и,
d
проходящая через точку z = .
с
Точки Zi и г2 называются симметричными относительно прямой С, если
они лежат на прямой, перпендикулярной к прямой С, с разных сторон от нее,
и если их расстояния от прямой С равны.
Точки Z\ и г2 называются симметричными относительно окружности С,
если они лежат на луче, выходящем из центра окружности С с разных ее
сторон, и если произведение их расстояний от центра окружности С равно
квадрату радиуса этой окружности (точка г=оо считается симметричной
с центром окружности).
33.08. Найти точку а*, симметричную с точкой а относительно
прямой Re(e-*PB — zo)) = 0.
33.09. Найти точку а*, симметричную с точкой а относительно
окружности \z — z01 = R.
33.10. Пусть точки zx и z2 различны и симметричны относительно
прямой С. Доказать, что каждая окружность, проходящая через
точки гг и z2, пересекает прямую С под прямым углом.
33.11. Пусть точки zx и z2 различны и симметричны относительно
окружности С. Доказать, что каждая окружность, проходящая через
точки гг и z2, пересекает окружность С под прямым углом.
33.12. Пусть w(z) — произвольная дробно-линейная функция, С —
произвольная окружность (или прямая), a zx и z2 — точки, симмет-
симметричные относительно окружности (или прямой) С. Доказать, чго
точки ^(^О и w(z2) симметричны относительно образа окружности
(или прямой) С при отображении w — w (z).
33.13. Доказать, что уравнение окружности радиуса /?, облада-
обладающей тем свойством, что данные точки zx и z2 симметричны отно-
сительно нее, можно записать в виде
— z2
2R
33.14. Найти условие, которому должны удовлетворять точки
zv z*, z2, z*y чтобы существовала окружность (или прямая), относи-
относительно которой точки zk были бы симметричны с точками z% (k= I, 2).
33.15. Пусть точки zv z2y z3 попарно различны, так же как и
точки wv w2, w3. Доказать, что существует единственная дробно-
линейная функция w = w(z), для которой w(zk) = Wk (* = 1, 2, 3),
284
и что эта функция w(z) удовлетворяет уравнению
w(z) — wt ^ ws — w2 __ z — zt z3—z2
W(Z)—W2 W3 — Wi Z — Z2 Za—-Zi'
33.16. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
круга ] z | < 1 на круг | w | < 1 дается формулой w = eia ?~п- , где
а — произвольная точка круга |г|<1, а а — произвольная действи-
действительная постоянная.
33.17. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
полуплоскости Im z > 0 на круг | w \ < 1 дается формулой
где а — произвольная точка полуплоскости Im^>0, a a — произволь-
произвольная действительная постоянная.
33.18. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость Im w > 0 дается формулой
(xz-X-b , ,
w = —7-т, где а, о, с, а—произвольные постоянные, удовлетворя-
CZ -j— и
ющие условию ad — bc=\.
33.19. Найти общий вид дробно-линейных отображений следу-
следующих областей:
L Круга \z — zo\<R на круг |^|<1.
2. Круга \z\<iR на полуплоскость Imte;>0.
3. Полуплоскости Re^>0 на круг |т^|<;1.
4. Полуплоскости Re^>0 на полуплоскость
33.20. Доказать, что любое конформное отображение всей комп-
комплексной плоскости на всю комплексную плоскость является линей-
линейным отображением.
33.21. Доказать, что любое конформное отображение всей рас-
расширенной комплексной плоскости на всю расширенную комплексную
плоскость является дробно-линейным отображением.
33.22. Пусть функция w(z) мероморфна в области D. Доказать
следующие утверждения:
1. Если при отображении w~w(z) образом любого отрезка
прямой (лежащего в области D) является отрезок прямой, то w (z) —
линейная функция.
2. Если при отображении w = w(z) образом любого отрезка пря-
прямой (лежащего в области D) является дуга окружности или отрезок
прямой, то w(z) дробно-линейная функция.
33.23. Доказать, что величина * *' ,2- инвариантна относительно
дробно-линейных отображений круга | z \ < R на себя, т. е. что для
любого такого отображения w ~w (z) имеет место равенство
285
33.24. Доказать, что величина L_?J инвариантна относительно
дробно-линейных отображений полуплоскости 1т2:>0 на себя.
33.25. Доказать, что величина .* *' :2 инвариантна относительно
дробно-линейных отображений вида w = = =-, где Л, В — произ-
вольные комплексные числа, не равные нулю одновременно (враще-
(вращения сферы Римана).
33.26. Неевклидовой длиной кривой С, лежащей в круге | z ] < 1,
относительно этого круга называется величина А,(С) = \ |f ,а»
Доказать, что неевклидова длина кривой сохраняется при всех дробно-
линейных отображениях круга | z | < 1 на себя, т. е. неевклидова
длина кривой С равна неевклидовой длине ее образа при таких ото-
отображениях.
33.27. Неевклидовой площадью области D относительно круга
j z | <С 1 называется величина
Доказать, что неевклидова площадь относительно >круга | z | < 1 ин-
инвариантна при любом дробно-линейном отображении этого круга
на себя (т. е. неевклидова площадь каждой области, лежащей в круге
|г|<Ь равна неевклидовой площади ее образа при таких отобра-
отображениях).
33.28. Пусть функция w (z) мероморфна в круге | z | < 1 и пусть
неевклидова площадь относительно круга |^|<»1 каждой области,
лежащей в этом круге, равна неевклидовой плоа1,ади (относительно
того же круга) ее образа при отображении w = w(z). Доказать, что
w(z) — дробно-линейная функция, отображающая круг |2|<1 на
себя.
Указание. См. задачи 8.55 и 9.24.
В некоторых вопросах значения дробно-линей ной функции w(z) удобно
изображать точками той же плоскости г. В этих случаях говорят о дробно-
линейном преобразовании расширенной комплексной плоскости и употребляют
несколько иную символику для обозначений.
Само дробно-линейное преобразование обозначается какой-либо одной
буквой, скажем, Т (без указания аргумента). Символом Тг обозначается ре-
результат применения дробно-линейного преобразования Т к точке г.
Для дробно-линейных преобразований определяется операция умножения:
Произведением TtT2 дробно-линейного преобразования Тх на дробно-линей-
дробно-линейное преобразование Т2 называется преобразование, получаемое последователь-
последовательным применением сначала преобразования Г2, а затем преобразования 7\.
33.29. Доказать, что произведение Т{Г2 дробно-линейного преоб-
преобразования 7\ на дробно-линейное преобразование Га также является
дробно-линейным преобразованием.
286
33.30. Обладает ли операция умножения дробно-линейных преоб-
преобразований свойством коммутативности, т. е. всегда ли имеет место
равенство TiT2 = T2T1?
33.31. Доказать, что операция умножения дробно-линейных пре-
преобразований обладает свойством ассоциативности, т. е. что для любых
трех дробно-линейных преобразований Tv Г2, Г3 имеет место равен-
ство T1(TJ3) = {TJ%)Ta.
33.32. Пусть Е—тождественное дробно-линейное преобразование
(отвечающее функции w(z) = z). Доказать, что для любого дробно-
линейного преобразования Т имеют место равенства ТЕ = ЕТ=Т.
33.33. Доказать, что для любого дробно-линейного преобразова-
преобразования Т существует обратное дробно-линейное преобразование Т~\
обладающее тем свойством, что 7 7~1 = ГГ ==?", где Е—тождест-
Е—тождественное преобразование (т. е. Ez = z для всех z).
Символ Тп для любого целого п определяется следующими равенствами:
Т...Т (п>0);
п раз
Е
— п
раз
(я-0);
(л<0)
(здесь Е — тождественное преобразование, а Г— преобразование, обратное
к преобразованию Т).
33.34. Найти преобразование Тп в случаях, когда преобразова-
преобразования Т определяются формулами:
2. Tz =
3. * = * | л, 4.
= | л, 4. JlZIi^^JZIi
(здесь А, К, z0, zv z2 — произвольные комплексные постоянные,
но гхфг?.
33.35. Найти предельные точки последовательностей {ап}:
1. а1==0, <W=f^f («=!> 2,...).
2. Й1 = 0, ^1 = 2Bя-Да^Д'(п=1, 2, ...).
3. ai = 0, «я+1 = A20а + 2B + 0 (я-1, 2, ...).
Точка а называется неподвижной тонкой дробно-линейного преобразова-
преобразования Г, если Та = а.
33.36. Доказать утверждения:
1. Каждое дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну
неподвижную точку (конечную или бесконечную).
- 2. Каждое дробно-линейное преобразование, отличное от тождест-
тождественного, имеет не более двух неподвижных точек (конечных и бес-
бесконечных).
287
33.37. Доказать, что дробно-линейное преобразование Т с един-
единственной неподвижной точкой а удовлетворяет уравнению
Tz — a г —а
при а ^Ф оо, а при а — оо имеет вид
(в обоих случаях А — некоторая комплексная постоянная).
33.38. Доказать, что дробно-линейное преобразование Т с двумя
различными конечными неподвижными точками а и b удовлетворяет
Tz a 2 a
уравнению _ z — K п, гАе К—некоторая комплексная постоянная.
I 2 —~~ и 2 —~- и
33.39. Пусть /С>1, —оо<сх<оо, а а и b — два произвольных
различных комплексных числа. Определим семейство дробно-линей-
дробно-линейных преобразований {Та} равенством ~, = Ка-^т. Доказать, что
при любом действительном значении а точка Taz0 находится на
окружности, проходящей через точки a, b и z0.
33.40. Доказать, что любое дробно-линейное преобразование,
удовлетворяющее уравнению Тт = Е (здесь Е—тождественное пре-
преобразование, а т^> 1—целое число), удовлетворяет соотношению
7jr^—r — К —ZT > где а> ^» К — комплексные постоянные, причем
ОТВЕТЫ
33.08.
33.09.
0
33.14.
z2--zi z* —zf ^Q
4 — Zf'zf — 2j
33.19.
^17; |г. -с» <а<аэ.
aRe fi2
2. ш= p t'a_2 » Imfl>0' —co<a<oo.
3. w==?'a^-^, Rea>0, — oo < a < oo.
2 + a
4. w= .
33.30.
Нет. Пример: 742 = 2+1, Г22 = —1/2.
33.34.
1. TnZ = Z + tlA. 2. ГЛ2==/СЛ2 + A-/СЛJ0.
3. Преобразование Тп определяется формулой
1 1
+ Л
288
4. Преобразование Тп определяется формулой
Тпг-гг Кп*-*г
Тпг^г2'== А г-г2'
33.55.
1. Три точки 0, —1, —i. 2. Одна точка 2. 3. Все точки мнимой оси.
§ 34. Принцип симметрии
Решение приводимых ниже задач рассчитано на использование принципа
симметрии в следующей простейшей формулировке:
I. Пусть D — некоторая область, граница которой содержит интервал у
действительной оси. Символом D* будем обозначать область, симметричную
с областью D относительно действительной оси. Функция /(г) предполагается
удовлетворяющей условиям:
а) /(г) регулярна в области D и непрерывна в ее замыкании;
б) Im/(z) = 0 (геу).
Тогда функцию f (z) можно аналитически продолжить через интервал у из
области D в область D* и для функции /х (г), осуществляющей это аналитиче-
аналитическое продолжение, справедлива формула h(z)~f(z) (z e D*).
Многие обозначения теоремы I будут использоваться в задачах.
34.01. Пусть условие б) теоремы 1 заменено одним из условий:
1. Re/(*) = 0 (*e=Y). 2. Re/(*) = Im/(*) (zsy).
3. Im f{z) = 1 {z e= y). 4. arg /(*) = a {z e= y).
Доказать, что функцию f(z) по-прежнему можно аналитически про-
продолжить в область D* через интервал у и найти формулу для функ-
функции fi(z), осуществляющей это аналитическое продолжение.
34.02. Пусть область D не содержит точек действительной оси,
а функция f(z) удовлетворяет условиям теоремы I. Доказать, что
функция F(z), определенная равенствами
осуществляет аналитическое продолжение функции f(z) на область,
получаемую объединением областей D и D* и интервала у.
Если же функция /(.г) однолистна в области D и не принимает
там действительных значений, то доказать, что функция F(z) одно-
однолистна в области D-\-D*-\-у.
Примечание. Определение однолистности в области и однолистности
в точке см. в начале § 32.
34.03. Пусть функция f{z) регулярна при Im^>0, непрерывна
при Imz^O и принимает на действительной оси действительные зна-
значения. Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить
на всю комплексную плоскость.
34.04. Пусть функция f(z) регулярна при 0<Rez<l, непре-
непрерывна при O^Re^^l и принимает действительные значения на
прямых Re? = 0 и Rez=l. Доказать, что функцию f{z) можно
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость и что
10 Под ред. М. А. Евграфова 289
функция F(z), осуществляющая это аналитическое продолжение,
удовлетворяет условию F (z + 2) = F (z).
34.05. Пусть функция f(z) регулярна при 0 < Im z < 1, непре-
непрерывна при 0 <i Im z ^ 1 и удовлетворяет условиям
= 0 (Im z == 1).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить на всю
плоскость и что функция F(z), осуществляющая это аналитическое
продолжение, удовлетворяет условию F(z-\-2l)~— F(z).
34.06. Пусть функция f(z) регулярна в прямоугольнике
|Im*|<ft, Q<Re*<l,
непрерывна в замыкании этого прямоугольника и удовлетворяет усло-
условиям
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить на
полосу | Im z\ < h и что функция F (z), осуществляющая это продол-
продолжение, имеет вид iz-\-Fi(z), где функция Ft(z) регулярна в полосе
| Im z | < h и периодична с периодом 2.
34.07. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
непрерывна в его замыкании и принимает действительные значения
на отрезках (—R, —р) и (р, R). Доказать, что функцию f(z) можно
аналитически продолжить в кольцо р < | z \ < R до регулярной
в этом кольце функции.
34.08. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
1т/(г) = 0 (_#<*< — р); Re/(z) = 0 (p<z<R).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р < | z \ < R, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце функ-
функция, имеющая вид g(z)]/~z, где функция gB) регулярна в кольце
||
||
34.09. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
Re/(г) = 0 (p<z<Rk Re/(z) = — h (—/?<г< — р).
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце p<\z\<R, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце функ-
290
ция, имеющая вид g(z)-\—In 2, где функция g(z) регулярна в кольце
34.10. Пусть функция f(z) регулярна в кольцевом секторе
p<|z|<ft 0<arg*<a @<а<2я),
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
lm/(z) = 0 (arg* = a, p<|*|<R); lm/(*) = 0 (p<z<R).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р < | z | < /?, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце функ-
функция, имеющая вид g(za/n), где функция g(?) регулярна в кольце
/|?|Я/
34.11. Пусть функция f(z) регулярна в кольцевом секторе
р < | z | < /?, О < arg z <С л/я (п ^ 1 — целое число),
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
Re/(*) = 0 (p<\z\<Ry arg* = O);
Re{*-*'/» f(z)} = 0 (p<|z |<Ry argz = n/n).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить в кольцо
р < | z | <С R до регулярной в этом кольце функции.
* * *
34.12. Пусть выполнены все условия теоремы I (см. начало пара-
параграфа) за исключением условия б), которое заменено условием
|/B)|=1 (ге=у).
Обозначим через аь ..., ат нули функции f(z) в области D. Дока-
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить через интер-
интервал у из области -D в область D* с выколотыми из нее точками
аь ..., ат и что для функции fx (z), осуществляющей это продол-
продолжение, имеет место формула Л(«г)= 1//B) (z e D*).
Указание. Применить теорему I к функции g (г) = i ^ ^ 4
34.13. Пусть выполнены все условия теоремы I, за исключением
условия б), которое заменено условием
|/(*)_ft|efl (геТ).
Обозначим через av ..., ат нули функции f(z) — b в области D.
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить через
интервал у из области D в область D* с выколотыми из нее точ-
точками аь ..., ат и что для функции fi(z), осуществляющей это
продолжение, имеет место формула
{2
34.14. Пусть функция f(z) регулярна в области D и непре-
непрерывна вплоть до ее границы, содержащей дугу у окружности \z\= 1,
10* 291
а на этой дуге принимает действительные значения. Доказать, что
функцию f(z) можно аналитически продолжить через дугу у из
области D в область D*, симметричную с ней относительно окруж-
окружности |г|=1. Доказать также, что для функции fi(z), осуще-
осуществляющей это продолжение, справедлива формула
34.15. Пусть функция f(z) регулярна в кольцевом секторе
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
1ш/Сг) = 0 (|sl=l, a<arg*<P);
Re/B) = 0 (|г| = /?, <x<arg*<P).
Доказать, что функцию /(г) можно аналитически продолжить в угол
а <С arg z < Р и что функция F (z), осуществляющая это продол-
продолжение, удовлетворяет соотношению F (R2z) = — F (z).
34.16. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
р < | z |< R, Im z > О,
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
Im/(z) > 0 (р < | z |<Я Im г > 0);
" = г (p<z<R).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце p<i\z\<CR, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце
I In г
функция вида zn g(z), где функция g(z) регулярна в кольце
P<||<
34.17. Пусть функция f(z) регулярна в полукруге |г|<1,
Im2>0, непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
1 (|*|<1, 1т
) = 0 @<z<\);
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в области 0<|г|<1, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этой области функ-
функция вида (гч_^1пг, где функция gB) мероморфна в круге |г|<1.
34.18. Пусть функция f(z) регулярна в полукруге |г|<1,
Im2>0, непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
0<lm/(z)<cosa (|*|<1,V Imz
lmf(z) = 0 @<z<\);
292
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в области 0<|^|<1> и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этой области функ-
функция, имеющая вид _aL ^ где функция g(z) мероморфна в круге
\г\<\.
* # *
В задачах, где функция, продолжаемая с помощью принципа симметрии,
задается, как некоторое конформное отображение, формулировки проще. Это
отчасти объясняется тем, что непрерывность продолжаемой функции вплоть до
границы области непосредственно вытекает из теоремы о соответствии границ
при конформном отображении:
Если функция /(г) конформно отображает область D на область Dv
причем обе области конечны и ограничены простыми замкнутыми кривыми,
то функция f\z) равномерно непрерывна в области D и ее можно продолжить
по непрерывности на замыкание этой области.
34.19. Пусть функция f(z) конформно отображает прямоуголь-
прямоугольник \Rez-\<ih, \\mz\<.h' на какой-либо круг (или полуплоскость).
Доказать, что аналитическое продолжение функции f(z) является
функцией, мероморфной во всей плоскости и периодической с пе-
периодами 4/г и 4//г\
34.20. Пусть функция f(z) конформно отображает сектор
|г|< 1, 0<argz<tt//z,
на треугольник с теми же вершинами 0, 1, eni^\ причем таким обра-
образом, что эти вершины остаются на месте. Доказать, что функцию f(z)
можно аналитически продолжить в круг |-г|<1 и что функция F(z),
осуществляющая это аналитическое продолжение, конформно отобра-
отображает круг | z | < 1 на правильный 2#-угольник (с центром в точке 0
и одной из вершин в точке 1).
34.21. Доказать, что любое конформное отображение круга на
круг (или на полуплоскость) является дробно-линейным отображением.
34.22. Доказать, что не существует функции, конформно отобра-
отображающей кольцо 1 < | z | < Rx на кольцо 1 < | z | < R2> если только
#i Ф Rr
34.23. Пусть функция f(z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на область, определяемую неравенствами
w — -j
Доказать, что аналитическое продолжение функции f(z) приводит к
функции F(z), аналитической во всей расширенной комплексной плос-
плоскости с тремя выколотыми точками (прообразы точек 0, 1 и оо).
34.24. Доказать, что для любого элемента аналитической функции
F(z), о которой говорится в задаче 34.23, справедливо неравенство
ImF(z)>0.
34.25. Доказать, что функция w(z)9 конформно отображающая
область, определяемую неравенствами
Im2>0, 0<Re*<l,
293
на полуплоскось Im w > 0, аналитически продолжается на всю полу-
полуплоскость Imz>0 и что функция W(z), осуществляющая это ана-
аналитическое продолжение, удовлетворяет соотношениям
щг + 2) = W (г), W (^) = W (z).
34.26. Пусть w=f(z)— какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая полуплоскость Im z > 0 на область, определяемую неравен-
неравенствами
0<RexB><l,
W"~~2
=4,
так, чтобы /@) = 0, /A)^=1, /(оо) = оо. Доказать, что функция f(z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
of" («)
Указание. См. задачи 34.23 и 33.02.
sfc % %
Кривая С называется аналитической кривой (иногда говорят правильной
аналитической кривой), если она обладает хотя бы одним параметрическим
уравнением г = ф(?), a^t^b, со свойствами:
1. Функция ф (t) регулярна в некоторой области, содержащей интервал (а, Ь),
и непрерывна на отрезке [а, Ь].
2» Функция ф' (t) отлична от нуля на интервале (а, Ь).
Кривая С называется замкнутой аналитической кривой, если у нее есть
хотя бы одно параметрическое уравнение г = ф@, a-^t^b, обладающее свой-
свойствами:
1*. Функция ф (t) регулярна в некоторой полосе |1т^|<т) и периодична с
периодом Ь — а.
2*. Функция ф' (t) отлична от нуля при действительных /.
34.27. Доказать, что кривая С с натуральным уравнением z^()
0^5^/ (см. определение перед задачей 3.29) является аналитичес-
аналитической кривой в том и только в том случае, когда функция Ф(я) регу-
регулярна и однолистна в некоторой области Д содержащей интервал @, /).
34.28. Доказать, что замкнутая кривая С с натуральным уравне-
уравнением ^ = 0(s), Qz^s^l, является замкнутой аналитической кривой
в том и только в том случае, когда функция Ф (д—;1п?) регулярна
и однолистна в некотором кольце 1 —8<|?|<М+
Точки а я а* называются симметричными относительно аналитической кри-
кривой С с натуральным уравнением z = <?(s), O^s^/, если их прообразы при
отображении z~<P(s) симметричны относительно действительной оси.
Ввиду возможной неоднозначности аналитической функции Ф (s) и обратной
к ней функции определение точек, симметричных относительно аналитической
кривой, становится корректным только после указания определенной области
D регулярности и однолистности функции Ф (s), причем эта область должна
быть симметрична относительно действительной оси.
34.29. Пусть С—аналитическая кривая с натуральным уравне-
уравнением z = Ф (s), 0 ^ s ^ /, D — симметричная относительно действи-
действительной оси область регулярности и однолистности функции Ф($),
294
содержащая интервал @, I), О—образ области D при отображении
z=z0(s). Введем обозначения:
D" — часть области Д лежащая ниже действительной оси.
Z>—часть области Д лежащая выше действительной оси.
От— образ области D" при отображении z = <P(s).
G+—образ области D+ при отображении z = <P(s).
Доказать следующие утверждения:
1. Если функция }(z) регулярна в области G+, непрерывна в ее
замыкании и принимает на кривой С действительные значения, то
функцию f(z) можно аналитически продолжить на всю область G,
причем функция F(z), осуществляющая это продолжение, дается
формулой
2. Пусть функция f(z) регулярна в области G+, непрерывна в ее
замыкании, а на кривой С удовлетворяет условию
Тогда функция
l/f(z*) (г €= О"),
мероморфна в области G (и осуществляет тем самым аналитическое
продолжение функции f(z) в эту область).
3. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области В и
непрерывна вплоть до ее границы, содержащей интервал у действи-
действительной оси. Если функция f(z) принимает в области В значения,
принадлежащие области G, а на интервале у — значения, принадле-
принадлежащие кривой С, то функцию f(z) можно аналитически продолжить
через интервал у из области В в область В*, симметричную с ней
относительно действительной оси. При этом функция /г(г), осущест-
осуществляющая продолжение, дается формулой
Л (*) =*(/(*))• (*е?*)
(здесь (/B))* означает точку, симметричную, с точкой f(z) относи-
относительно кривой С).
34.30. Пусть Р(х, у) многочлен от своих переменных, а анали-
аналитическая кривая С обладает тем свойством, что для каждой точки
2еС имеет место равенство P(Rez, 1т,г) = 0. Доказать, что любые
две точки z и г*, симметричные относительно кривой С, удовлетво-
ряют уравнению Р[—S—, —<р—) = 0.
34.31. Опираясь на результат задачи 34.30, найти выражение
точки z* через точку г, симметричную с ней относительно кривых:
1.
3.
5.
С:
С:
z — zo\
*+]
П
= R>
R>
R>
l.
2.
2.
4.
6.
С:
С:
С:
у2 = 2рх.
х* у*
а1 "Г fi — L»
R<
а ^
>ь:
>о.
295
34.32. Пусть С — лемниската
==1/2 (верхняя кривая).
Доказать, что в качестве области G (см. задачу 34.29) можно взять
полуплоскость Im z > 0 с разрезом по дуге окружности | z | = 1,
-г < argz < "q- , и что ПРИ таком выборе области С имеет место
о о
следующая формула для точки z*, симметричной с точкой z отно-
относительно кривой С:
(для корня выбирается ветвь, равная / при z = 0).
34.33. Пусть функция w(z) конформно отображает внешность
верхней кривой лемнискаты z-\— ="|/2 на область |ze>|>>l так,
что точка оо остается на месте. Доказать, что:
1. Функцию w(z) можно аналитически продолжить на всю плоскость
z с разрезом по дуге окружности г 1 = 1, -r<arg ?<C-q-.
о о
2. В точках z-l = еш*/з и z2 = е2п'/3 функция w (z) имеет точки вет-
ветвления второго порядка.
34.34. Пусть функция w{z) конформно отображает область
^ + |а < 1 (х == Rez, у = Imz, a>b>0)
на полуплоскость 1тг^>0. Доказать, что функцию ^(г) можно
аналитически продолжить в область
где
a2 + b* u 2ab
1
Ьл = ¦ , .
— б2' /а2 — ^
ОТВЕТЫ
34.01.
1. /i W « - / (*). 2. Д (г) = // (г). 3. h (г) = 2/ +/ (г). 4. Д (г) -
34.31.
§ 35. Отыскание отображений элементарными функциями
В задачах этого параграфа задается большое количество областей, иногда
довольно сложной формы. Часть областей задается рисунками, часть — набором
неравенств. В связи с этим договоримся о некоторых о"бозначениях4 сокращаю-
сокращающих запись.
296
Символом [а, 6], где а и Ь — конечные комплексные числа, обозначается
прямолинейный отрезок, соединяющий точки а и Ъ.
Символом [а, + оо], где а — действительное число, обозначается луч
a^z< + co, а символом [—оо, а] —луч — оо
Поэтому, например, запись
D:JH<1, 1тг>0,
означает, что область D представляет собой верхнюю половину круга | г | < 1
с разрезом по прямолинейному отрезку [//2, г], а запись
D: {гф[— оо, 0]}
означает, что область D — это вся комплексная плоскость с разрезом по отри-
отрицательной части действительной оси.
35.01. Пусть x = Rez, у = \mz, а С — положительная постоянная.
Найти образы каждой линии указанных семейств при отображении
<w= \/z:
1. Семейство окружностей х2~\-у2 = Сх.
2. Семейство прямых у = х + С.
3. Семейство прямых у — Сх.
35.02. Пусть х = Re z, у = Im z. Найти образы каждой области
указанных семейств при отображении w=l/z:
1. Семейство кругов х2-\-у2<Сх (здесь С — положительная
постоянная).
2. Семейство кругов • х2+у2<Сх (здесь С —отрицательная
постоянная).
3. Семейство кругов х2-\-у2<Су (С — положительная постоян-
постоянная).
4. Семейство полуплоскостей у>Сх (С — положительная посто-
постоянная).
5. Семейство кругов \z — a\<iR, где а — фиксированная точка,
а положительная постоянная R удовлетворяет условию R < | а |.
6. Семейство кругов \z — a\<iR, где а — фиксированная точка,
а постоянная R удовлетворяет условию /?>|а|.
35.03. Найти образ круга \z—1|<2 при следующих отобра-
отображениях:
l.«-l-2fc. I « = ^. 3. • = ??. 4. «НИ-
35.04. Найти образ полуплоскости Re z <C 1 при следующих ото-
отображениях:
1. ^ = A+0^+1. 2. «, = _*_. 3. w = j^.
л 4г е г —3 + i
4 «" 5 да
35.05. Найти образы указанных областей D при указанных ото-
отображениях:
2. D: {гф[—2, 1]}, w~-
297
4. D: {1<|*|<2}, ™ = ^
35.06. Отыскать дробно-линейные функции w(z), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям:
1. te;@) = 4, w{\ +0 = 2 + 2/, te>B/) = 0.
2. w@)^=0, w(\ +/) = 2 + 2/, te>B/) = 4.
3. w @) = 0, w A + 0 = oo, w B/) = 2/.
Найти образ круга \z—/|<1 при отображениях этими функци-
функциями.
35.07. Отыскать дробно-линейные функции w(z), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям:
1. w@ = 2, w(oo)=l+ U w(— 0 = 0.
2.^(/) = 0, w(oo)=l, w(~~i) = oo.
3. ^@ = —2, ^(оо) = 2/, -ш(—0 = ^
Найти образ полуплоскости Re z > 0 при отображениях этими
функциями.
35.08. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
D на область Dt и удовлеторяющую указанным условиям:
1. D: {\z\<l},Dx: {|w|<l}, w(zJ = 0, argw' (го) = а (|2fo| <1).
2. D: {\z\<l}9,Dt: {|t»|<l}, w(zo) = wo, argw'(zo)=:a
(\zo\<U \wo\<\).
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10
11
12
13
D: {Im?>(
D: {Im2>0},
D: {1т-г>0},
D: {\z\<l}9
D: {\z\<l}9
D:{\z\<l},
D: {Im*>0
D: {Im2>0}
. D: Umz^>0]
Dt:
D,
D,
Dv {
)}, D
к А:
Dx. {\w <1},
{\w <1}, w(z{
(l..>0|,.(.
fl —.. ^*" 1 1 M. /,
•j 1 IS) *^L 1 r, \0 \i
l«l<ib«(|
Imze;>>0}, «;(-
Omze;^>OK ^
,) = «>o» argza
Aтг0>0).
' (*o) = «
ro) = ^o, arg г»' (z0) = a
(Im г0 > 0, Im w0 >0).
1) i, .@-
)=/,«(!¦) =
) = i, arg«
0) = -/, V(
A +0 = 0, ai
-l) = 0, w@)
(_!) = _ 2,
Зг—4
5 •
20--J-.
298
14. D: {1тг>0}, Dx\ {I
15. D: {|*--l--/|<2}
16. D: {Re2>—1}, Dt: {\w[<l}, w(Q) = O, argw' (О)=*=я;.
35.09. Найти общий вид конформного отображения следующих
областей на кольцо 1 < | ®> | < R'
1. |г — 3|>9, |г — 8|<1б. 2. |г — 5|>4,
35.10. Найти образы при отображении w = z2 следующих линий:
). 2. Re2 = а
3. lmz = a (а>0). 4. |г| = р,
35.11. Найти образы при отображении w~z2 следующих об-
областей:
1. lmz>0. 2. Re*>0. 3.
35.12. Найти образы следующих областей D при отображении
регулярной ветвью функции w=Yz> выделяемой ее значением
в указываемой точке:
2. D:
3. D:
4. D: {z#[— со, +\]}>
5. D: {\z\<h 1тг>0}, j/^ | isBS^..
6. D'. \ z I ^!> 1, —г- <^ arg 21 <
7. D: {(Im2)a>2Rez+l},
8. D:
35.13. Найти образы указываемых множеств Е при указываемых
отображениях:
1. Е: jarg2 = -2-|, w — zs.
2. ?
3. ?:{||<, >} A) ^
299
4. E:{|*|>4, Re*>0}, w = z~W, да(9)«—~.
6. E:{|arg2|<~, *<?[(>, 1]}, w^z\
35.14. Найти какие-либо функции w{z)y осуществляющие кон-
конформные отображения областей, изображенных на рис. 37—51, на
полуплоскость Im w > 0.
35.15. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
на круг | w | < 1 и удовлетворяющую условиям
w (— 4) = 0, arg w9 (— 4) = 0.
35.16. Найти функцию w{z), конформно отображающую угол
| arg z | <С л/4 на круг | w | < 1 и удовлетворяющую условиям
35.17. Найти функцию w(z), конформно отображающую' разре-
разрезанную по отрезку [0, /] полуплоскость Im z >• 0 на круг | w \ < I
и удовлетворяющую условиям:
35.18. Найти образы следующих линий при отображений: функ-
функцией ЯР = -гг|
1. | z | = 1, Im z > 0. 2. | z | = 1, - Ц < arg z <—-J
3. | z | = 2. 4. H = y. 5. arg 2--J. 6. argz = -4-.
35.19. Найти образы следующих областей при отображении функ-
функцией o> = i( )
1. И>2. 2. |г|<1. 3. |<argz<^.
4. ^-<argz<^, г^[0, /]. б. |г|<1, г
6. |г|>1, ^^[—2,-1], гф[1,+оо].
7. 1гп2>0, z^{|z| = l, 0<arg2<i, ~
8. \г
9. \г
10. \г
300
О
/УУУУ///УУУУУУУУ/,
Рис. 37.
Рис. 38.
Рис. 39.
Рис. 42.
Рис. 43.
Рис. 44.
301
гоъ
49
Ю9
!
У/////////////////////У//////Л
О
* I
У/////////////////////.
0\
12
f
i
35.20. Найти образы следующих областей D при отображении
регулярной ветвью функции w = z-^-]/z2—1, выделяемой ее зна-
значением в указываемой точке (в неравенствах, определяющих об-
область, положено x = Rez, y = \mz, а а, Ъ и а—действительные по-
постоянные):
3. D: {z ^[—00, — 1], гф[1, +оо]},
4. D: {гф[— 1, 1]},
5. D: {Im 2 > 0}, да (+ loo) = 0.
w{z)>\ при
35.21. Доказать, что образом области \z — /й|>]/^1+^2 при
отображении w — -ij-[z-\—) является вся плоскость w с разрезом
по дуге окружности, имеющей концы в точках w = ± 1 и проходя-
проходящей через точку w — ih.
35.22. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие кон-
конформные отображения областей, изображенных на рис. 52—67, на
полуплоскость Im w > 0.
35.23. Найти какие-либо функции w{z)> осуществляющие кон-
конформные отображения областей, изображенных на рис. 68—75, на
круг |гв>|< 1.
35.24. Найти функцию w(z), конформно отображающую полу-
полукруг |г|<1, lmz>0, на круг |хг>|<1 и удовлетворяющую усло-
условиям теч4-) = 0, argw' f-4-) = 0.
35.25. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
х2 —у2 <; 1 (х ~ Re zf у = Im z),
на круг |яр|<1 и удовлетворяющую условиям zej(O) = O, w(l)=L
35.26. Найти функцию w(z), конформно отображающую круг
|г|<1, разрезанный по радиусу [—1, 0], на круг |хзу|<1 и удов-
удовлетворяющую условиям
3Q3
_®.—J е-
-г У <
Рис. 52.
Рис. 53.
Рис. 54.
Рис. 55.
Рис. 56.
Рис. 57.
"У/УУ/УУ/УУУУУуУУ>
Рис. 59.
Рис. 60.
Рис. 61.
Рис. 62.
304
Рис. 64.
Рис. 65.
Рис. 66.
Рис. 67.
Уу/УУ/УУ////////УУ
Рис. 68.
Рис. 70.
У////////////У//////////////
Рис. 72.
Рис. 73.
Рис. 75.
305
35.27. Найти функцию w(z)> конформно отображающую всю
плоскость z с разрезом по дуге окружности |^| = 1, 1т<г>0, на
всю плоскость w с разрезом по отрезку [—1, 1] и удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям ирA)=1, w(oo) = oo.
* * *
35.28. Найти образы следующих областей D при отображениях,
указываемыми функциями:
1. D: {— те<1тг<0}, w = e*.
2. D: {| Im z |< я}, w = e*.
3. D: {| Im z | < я/2}, w = e*.
4. D: {0<lmz<2n, Re*>0}, w^e*.
5. D: {0<Im2:<K/2, Re*>0}, w^e22.
6. D: {0<Re^<n, Itn2>0}, w = eiz.
7. D: {z#[0, +oo]}, w = \nz, w(—l) = — ni.
8. D: {1т,г>0}, w
9. D: \zq^[— oo, 0],
10. D: {|<г|<1, Im2'>0}, w = \nz, w(t — Ю) = — Зя//2.
11. D:{|2r|<i; *gfc[0, 1]}, ^ =
12. D: {| Im ^r | < Jt/4},
13. D: {0<Re2:<ji},
14. D: {0 < Re г < я/4},
15. D: {0<Re2<l, 1т<г>0}, w = tgnz.
16. D: {0<1т<г<я},
17. Z):
—oo, — 1], z ф[\, +oo]}, w = arcsinz, w@) = 0.
35.29. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие кон-
конформные отображения областей, изображенных на рис. 76—91, на
полуплоскость Im^>0.
35.30. Найти какие-либо функции w (<г), конформно отображаю-
отображающие области, изображенные на рис. 92—97, на полосу 0<Im^< 1.
35.31. Найти функцию w(z), конформно отображающую полосу
| Im z | < я на полосу | Im w \ < я и удовлетворяющую условиям
w(nl) = -f oo, w(+oo) = — ni, w(—те/) = — oq.
Рис. 76.
%
-ib
Рис. 77.
Рис. 79.
Рис. 80.
Рис. 82.
Рис. 83.
ГУУУУУУ////У///////УУУУУУУУУУУ//УУ
—С——
¦ууууууууууууууу^уууууууууууууу,
I
Рис. 84.
j
ffi
т
1
уУ//у///////////У/у
1
Рис.
У//У/УУУ/////У
85.
УУУУ/УУУУУУУУУУУУ/УУУУУУУУУУУУУУ
'УУУУУУУУУУУУАУУУУУУУУУУУУУУУУ,
Рис. 86.
syyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy/y/////,
/ууу/УУ(/уУ/////////У//
Рис. 87.
307
Vfi
Puc. 88.
-r [o /
Рис. 89,
Puc 90.
Pwc. 92.
\
1,
Рис. 94.
Рис. 95.
Рис. 96.
?'УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/
2lh
Рис. 97.
308
35.32. Найти функции w(z), конформно отображающие перечис-
перечисленные ниже области D на прямоугольник
O<Ren0<l, 0<\mw<a,
с каким-либо значением а>0 таким образом, чтобы указываемые
точки zv z2> zs, zA переходили в точки
wl = 0, w2=\, w3 = 1 •+¦ ai> w* = at
соответственно, и определить постоянную а:
1. D: {1<|*|<2, Im2>0},
*1=1, ^2 = 2> Z3= — 2, г4=— 1.
2. D: {|* —8|<16, j ^r — 3 | > 9, \mz>0},
^ = — 6, z2=12, г3 = 24, г4 = —8.
3. D: {3x2 + 4j/2<12, ^[—2, i]} (jc^Re*, y = lmz),
^ = — 2 + 0/, г2 = —1+0/, г8= —1—0/, г4 = —2 —0/.
4. D: {3jc2 + 4j;2<12, z ф[— 2, -1], г ^[1,2]}
(x = Re*, ^ = Im г),
^ = — 2 + 0/, ^2 = —.2 — 0/, г3 = 2 —0/, г4 = 2 + 0/.
* * *
35.33. Найти функции w(z), конформно отображающие перечис-
перечисленные ниже области D на область |^[<1 и удовлетворяющие
условиям w (оо) = оо, w' (oo) > 0:
1. Область D: плоскость г с разрезом по дуге окружности
|? + /ctga| = -:—, лежащей в верхней полуплоскости @<а<;л).
sin ее
2. Область D: \ z + ictg а \ <-4^, | ^_/ ctg ex | <~-^
@ < a < я).
3. Область D: I ^ + /ctgai<-J—, lmz>0 @<а<зх).
sin ос
4. Область D: \z + ictg 2a I <-r~» U + /ctga | >—i—
1 ' & ' sin 2a' ' ' ь ' sin a
()
35.34. Найти wf (оо) для функций w (z) задачи 35.33.
Конформным радиусом области D относительно точки zogD называется
радиус круга \w\<R, на который можно конформно отобразить область D
функцией w (г), удовлетворяющей условиям до(го) = О, w'(zo) = l, если г0:^оо,
и условию w (г) ~ 1/г (г—*оо) при г0 = со.
35.35. Найти конформные радиусы перечисленных областей D
относительно указываемых точек z0:
1. D: | г | < R; \ z0 \ < R. 2. D: Im г > 0; Im ,г0 > 0.
3. D: круг \z\<CR с разрезами по прямолинейным отрезкам
[r<?4 Rela], [— reia, — /?^'a] @ < г < /?); z0 = 0.
4. D: внешность прямолинейного отрезка [a, ft]; ,г0 = оо.
5. D: внешность дуги окружности, отвечающей центральному углу
2а и имеющей концы в точках z = a и z = b; z0 = oo.
309
Ответы
35.01.
1. Семейство прямых Re ш== 1/С.
2. Семейство окружностей \w-\
i
3. Семейство прямых
2C
— С Rew.
CV2
35.02.
1. Семейство полуплоскостей Reay>l/C.
2. Семейство полуплоскостей Re w < 1/С.
3. Семейство полуплоскостей 1тдо<—1/С.
4. Семейство полуплоскостей lmw<c — С Rew.
5. Семейство кругов
а (| в !¦-/?«)
6. Семейство кругов
a( a*-l
35.03.
. 2.
1. 3. |ш —2|>4. 4. Reay<l/4.
35.04.
1. Rew+\mw<3. 2. Re ay— lmw< 1. 3. \w \ < 1. 4. | ш — 3 | > L 5.
35.05.
1. — y<argay<0. 2. a; <? [0, + oo]. 3. — 1/2 < Im w < 0.
4. Ret<y>--1, |ш — 2/3 | > 4/3.
35.06.
35.07.
, \w — 2\<2. 2.w = ~}
-l|>l. 2. ш =
)?±i
Z — 1—I
. З. ш = 2/^
35.08.
1 — z*o
2. оу=
3. ш = /
' г —г0
4. ш = -
(w0 + ie'a) z — zowo — i
— z0— izowoeia '
izowoeia
5. a; =
7. ay =
- wQz0
2-г *
2-iz'
8. ш =
10. ш = ВД. 11. ш = -
E-Зрг —4
4z —5 —3/ '
г — 1 — iz
9. w =
i — 1
13. ш =
35.09.
г + Г
г-1
2 + 2*
12.
14. ш =
2-г'
15/ ш =
Зг
z + 24 '
1та==0. 2. ш=2ег"а-
г + 3'
16. ш = —
310
35.10.
1. arg до = 2а.
—а2+-2AтдоJ.
3.
35.11.
1 до ф [0, +oo].
3.,1тдо>0.
5. Reoy<—1 + -^
7. | до | < 4, 1тдо>0.
35.12.
— я< arg до < — я/2.
1
4а2
4. |до|=р2, Reny>0.
2. до е [— оо, 0].
4. |до|< 1, у < arg до < я.
6.
8.
2. | arg до | < я/4.
4. Re до > 0, хиф [0, 1].
6. |до|>1, |n/2~argo>|< я/8.
8. Re до > 0, 1тдо> 1.
3. 1тдо<0.
5. | до | < 1, 0 < arg до < я/2.
35.13.
1. а^до = Зя/4. 2. | до | = 1, я/2 < arg до < я.
3. |до|<1, --я<argдо<я/2. 4. | до | < 1/8, | я —argo; | < Зя/4.
5. w ф [—оо, 1].
35.14.
1. Рис. 37: до = /22+Л2.
3. Рис. 39:
5. Рис. 41:
9. Рис. 45:
— Z
2. Рис. 38: до =
6. Рис. 42: до
8. Рис. 44: до
10
f?V
. Рис. 46: о;«Т/ —iL.
И. Рис. 47: т^Л/ -¦—. 12* Рис' 48:
^?+Т
14. Рис. 50: ад =
4. ^+^2=l
5. a2— i>2=l/2, u
6. ^2 — ^=1/2, w
35.19.
1A 1R
1. 2iU2+if t>2>
, t;=Imt>).
1Л
2. ^=ы
3. и2 —
4. a2 —
5. w?e
7. ш^
1A
ш).
8.
10. u2
35.20.
1. \w
3.
5.
7.
9.
35.22.
1. Рис. 52:
v2<i/2(u = Rew, v=lmw).
?>2<i/2, tiy^[—-icxD, 0] (w =
[— 1, +oo]. 6. w <?[¦--!-, +ool.
, -^], *т[Ц~, +со].
, ~ . 9. — у <arga/<
, v=lmw).
— ]/ra2—\* 2.
. 4. |ш|>1.
. 6.
— a, a = arcsin У I— a2-
\\ + V2— Ь 1тш>0.
0. 8. a — Va2—\<\w\<\.
,t 2. Рис. 53:
. 5. Рис. 56: -
6. Рис. 57: » = «i=i. 7. Рис. 58: w =
8. р„с. 59:
г2+17г+16
12. Рис.
13. Рис. 64: да =
14. Рис. 65: а» = i [(г
а = arctg Щ-.
312
15. Рис. 66: w = (z
16. Рис. 67: w
35.23.
1. Рис. 68: до =
2 Рис. 69: до«
3. Рис. 70: до =
4. Рис. 71: до =
5. Рис. 72: w
6. Рис. 73: до
а = arctg
22-2/2+Г
7. Рис. 74: до = |
8. Рис. 75: w =
35.24.
35.25.
35.26.
35.27. до = -
3/2 — 2 A+г2)'
2-./
—/Г—г/2
35.28.
1. 1тйУ<0.
3. Re^>0.
5. |ш|> 1,
7. — 2л<
9. | Im w | < я, ш ф. [0, +ool.
11. — 2л<1тау<0,
13. и;^[—/, /].
15. 1т^>0, о;^ё [0, /].
17. 1пш<0.
19. тф\--схэ, 0], шс?[
21.
23.
35.29.
1. Рис. 76: w=— cos™,
/г
3g — 2t
3? — 2t
С —2; (
2?a-3?
X—i) К
.¦» (г»- 1) •
' г*+1
1
; + 2
,2/3.
2/3
с-
2. до фё [— оо, 0]Г
4. |до| > 1, w ф [1, +оо].
6. |до|
8. 0<
10. | Зл/2 + 1тш|< я/2,
12. |ш|<1.
14. |ш|> 1, Re^>0.
16. 1Юф{— ОО, —1], ДО 941, +ОО].
18. 1тш>0, до^ё[О, sh:ri/2].
20. и)ф[— 1, 1], до<?[0, +/оо].
22. О < Im w < я/2, Re до > 0.
24. I Re w I < я/2.
3. Рис. 78: до^/
Mz-U + h)
2h
2. Рис. 77: w = is
4. Рис. 79: до = е?
яг
313
5. Рис. 80 a> = expBm/z).
7. Рис. 82: uy=-cos^.
6. Рис. 81: ад = exp Dя/г).
8. Рис. 83: ш=-сп2л/г.
9. Рис. 84: w=V\—e-*.
11. Рис. 86: w
1/ i, г
13. Рис. 88: оу«=|/ sin2 ? + sh* ?-
/sh2T
И —.
/^
I/ IS :
p/ e —exp -
К Рис. 85. ш= l/ ?_*.
г ег— 1
10,
12. Рис. 87:
15. Рис. 90: w = i
2 •
16. Рис. 91:
35.30.
1. Рис. 92 ш=~1пг. 2. Рис. 93: w = i In
яа я
*- f/a).
3 Рис. 94: tt>=~l
4. Рис. 95: w = ~-\
5. Рис. 96: а>=-
^ + ™.
35.32.
о ^^
35.33.
л
:Тп2'
1П 2
;"Е2*
1,3 I , —Зг
= —ln-тг, tiy = — ln-
2л
г- In
)
1
B-/3)
2. ю_,(
314
2а
3. w=— i
2пЧ
2я
Ы __ 2л»/
4- 2a g~~ Зя -f 2a
~2я *
я я (я + 4а)
4. до = —
(г_|_1Jя — а *?2 (я —2а) _/г__п2я-а g 2 (я—
я
35.34.
I. 2 cos br---r .
\2я — а
2. 2(l~ .
3. JA + 5.jsin
35.35.
I. ^ ^ol. 2. 21тг0. 3. ~^.
4. B-^8тЯ(я + 4а)
— sm -^—Ц—•
п 2 (я —2а)
4.
!. 5.
\Ь-а\
§ 36. Отыскание конформных отображений
с использованием принципа симметрии
В случаях, когда отображаемая область симметрична относительно какой-
либо прямой или окружности, задачу конформного отображения этой области
на круг или полуплоскость можно свести к задаче конформного отображения
одной из ее половин. Доказательство возможности такого сведения основано
на принципе симметрии (см. его формулировку в § 34).
36.01. Пусть w(z) функция, конформно отображающая область
{Imz>0, z ф [0, 3/]} на полуплоскость \mw>0 и переводящая луч
[__ оо, — 4] в луч [— оо, 0]. Отыскав функцию w О), убедиться, что
Рис. 98.
Рис. 99.
-1
Puc. 100.
она конформно отображает изображенную на рис. 98 область,
{z ф[—4, +оо], гф\—Ъи Щ\ на всю плоскость w с разрезом по
лучу [0, +оо].
Замечание. Строго говоря, последнее отображение совершает не функ-
функция w (z), а некоторое аналитическое продолжение этой функции. Однако функ-
функция w(z) отыскивается в виде элементарной формулы, содержащей все необ-
необходимые аналитические продолжения.
36.02. Обозначим через w(z) функцию, конформно отображающую
угол 0<arg z < у на сектор | w | > 1, 0 < arg w < ~, и удовлетворяю-
315
щую условиям трA)= 1, w (f) = U те>(оо) = оо. Отыскав функцию w(z)
убедиться, что она:
1) конформно отображает область, изображенную на рис. 99, на
область lmw>0, |хв>|>1;
2) конформно отображает область, изображенную на рис. 100, на
область \w\ > 1.
36.03. Обозначим через w(z)~w (z; zv z2, z3) функцию, конформно
||l 0
отображающую полукруг
ф
l, 1т,г>0, на такой же полукруг
в плоскости w и удовлетворяющую условиям
(точки zv z2, z3 лежат на границе полукруга | z | < 1, Im z > 0).
Найти, каким условиям должны удовлетворять точки zv zv z3, чтобы
функция w (z) конформно отображала круг | z \ < 1 на:
1. Круг |о>|< 1.
2. Полуплоскость Imt^>0.
3. Область, изображенную на рис. 101.
4. Область, изображенную на рис. 102.
Рис. 101.
Рис. 102.
Рис. 103.
е
Н \о \_
У////////////У//////////////
I
Рис. 104.
5. Область, изображенную на рис. 103.
6. Область, изображенную на рис. 104.
36.04. Обозначим через w(z\ zv zv z3) функцию, конформно
отображающую сектор
|г|<1, 0<arg,2'<-^ (n — целое число, л>1),
на такой же сектор в плоскости w и удовлетворяющую условиям
w(zi, zv zv z3)= 1, w(z2) zv zv z3) = e2ni/n9 w(z3; zv zv ,г3) = 0
316
(zv z& ^3—точки границы сектора |*|<1, 0<arg2< —¦). Вы-
Выяснить, каким условиям должны удовлетворять точки zv zv z3, чтобы
функция w (г; zv zv zB) конформно отображала круг | z ] < 1 с раз-
разрезами по отрезкам
на круг \w\< 1.
36.05. Пусть D — конечная односвязная область, симметричная
относительно действительной оси, a D+—ее верхняя половина. Обо-
Обозначим через [а, Ь] отрезок, являющийся пересечением действительной
оси с областью Д а через ty(z)— функцию, конформно отображаю-
отображающую область D на полуплоскость Imt|?>0, и предположим, что зна-
значения ty(z) на отрезке [а, Ь] конечны. Доказать, что:
1. Функция
конформно отображает область D на полуплоскость Ira w > 0.
2. Функция
- I № W-¦ (а)]
конформно отображает область D на круг
Замечание. Строго говоря, функция t|)(z) определена только в области
D+, так что речь идет об аналитическом продолжении этой функции в область
D через отрезок [а, Ь\. Существование такого аналитического продолжения вы-
вытекает из принципа симметрии.
36.06. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображаю-
отображающие области, изображенные на рис. 105—116, на полуплоскость
I
36.07. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображаю-
отображающую область
(р — положительная постоянная) на полуплоскость
36.08. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображаю-
отображающую область
ЖЖ>1Л>° (х
(ос —
постоянная, 0<Са<С ~j на полуплоскость
317
'911 '
////////////////у///////////////,
7777777777777777/\V/7//////s'/////
'ond
'?11 '
mZU '
'III '
Л о\ //-
\
ЮН 'о
I-
'901 'o
*90! '
'901
/
В случае, когда отображаемую область можно разделить более чем на две
симметричные части (но на конечное число таких частей), целесообразнее
отображать область не на полуплоскость, а на круг. При этом каждую симмет-
симметричную часть отображают на сектор этого круга (см. задачи 36.02, 36.04).
36.09. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображаю-
отображающие области, изображенные на рис. 117—120, на круг |z^|<;l.
Рис. 117.
Рис. 120.
В случае, когда отображаемая область делится на бесконечное множество
симметричных частей, каждая симметричная часть отображается на полуполосу,
а вся область —на полуплоскость.
36.10. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображаю-
отображающую область
{z ф [Ш, Ш + оо], (к = 0, ± 1, ± 2, ...)}
на полуплоскость Im w > 0.
36.11. Найти какую-либо функцию w{z), конформно отображаю-
отображающую область
{Im*>0, гф[кп, kn + ni] (& = 0, zfc 1, ±2,...)}
на полуплоскость Im w > 0.
36.12. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображаю-
отображающую область
A»0, rfcl,...)}
319
{1тг>0; г & [2k,
на полуплоскость Im w > 0.
Во многих случаях при получении промежуточных отображений можно
также использовать принцип симметрии.
<H \;-f -l-i
(i-tjj
-ffnlf
Ч-t
Рис. 121.
Рис. 122.
Рис. 123.
36.13. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображаю-
отображающие области, изображенные на рис. 121—123, на полуплоскость
Im w > 0.
36.03.
ОТВЕТЫ
2. г, = —1, га=1. 3. г!=0, га=— 1.
1/5-1
у
/2/34
У 52-
4. г1=1>гз = -1. 5. 2l = -l,
36.04. г1=т> гг = т
36.06.
1. Рис. 105: ш =
2. Рис. 106: ш =
3. Рис. 107: ш =
4. Рис. 108: ш==
5. Рис. 109:
6. Рис. ПО:
7. Рис. 111 :
8. Рис. 112 :
9. Рис. 113 :
/. 6.
34+]/ 4г*+ 17г2 + 4
]/4г4+ 17г2 + 4
l/ Z * ^г2 ,1 .
V B^/)/5+3]/22-1
22 +
~2г2cos 2а+ 1 + 22 A + sin а)
_222 cos 2а+1 — 2г A + sin а)"
320
10. Рис. 114: w
11. Рис. 115 : ш
i /~|/г4-Ь 17z2+4 — Ъг
1 / г; ' '
V ^4г4 + 17г2 + 4 — 5г
12. Рис. 116: о> =
36.07. i ch f я У ?- j.
36.09.
1. Рис. 117:
2. Рис. 118:
36.08. w = t ch ^ In (г + Ki^
3. Рис. 119: ш = (П~уТ=
— • 1 cos z + l^cos2 г — ch2 л
36.12.
s^-ch^ я
36.13.
1. Рис. 121 : ш = -
2. Рис. 122: w=V 2+V
3. Рис. 123 :
§ 37. Отображение многоугольников
До сих пор рассматривались методы отыскания конформного отображения
Данной области на каноническую, которые сводились к подбору комбинаций
известных отображений. При этом получались элементарные отображающие
Функции, обратные к которым также были элементарными функциями. В этом
параграфе рассматриваются задачи, решаемые более алгоритмическим методом,
использующим интеграл Кристоффеля — Шварца. Здесь отображающие функ-
функции тоже иногда удается выразить через элементарные функции, но обратные
к ним уже почти никогда не выражаются элементарным путем.
11 Под ред. М. А. Евграфова
321
37.01. Пусть ak и ak, где ? = 1,2,..., я,—действительные
числа, удовлетворяющие условиям
оо < ах < а2 <... < а„ < -f- оо,
/г
(Ы, 2, ..., я), 2 «*<«—2.
Обозначим через w(z) регулярную в полуплоскости 1т,г>0 ветвь
аналитической функции
продолженную по непрерывности и на действительную ось. Дока-
Доказать следующие утверждения:
1. При движении точки ? по действительной оси от —оо до ~|-оо
точка w(^) обходит конечную замкнутую ломаную Г с вершинами
А = 1, 2, ..., п, An+i
2. При движении точки ? по отрезку действительной оси, не содер-
содержащему точек ак, точка ^(J) движется по прямолинейному участку
ломаной Г, не меняя направления движения.
3. При переходе точки ? через точку ak ломаная Г поворачивает
на угол п A—ak) против часовой стрелки, а при переходе через
точку оо — на угол яг
\ /
37.02. Пусть постоянные а± и а2 удовлетворяют условиям
ах>0, а2>0,
Доказать, что функция
о
однолистна в полуплоскости Im z > 0 и конформно отображает ее на
треугольник с вершинами
™,
Указание. См. задачу 32.25.
37.03. Пусть постоянные av a2, а3 удовлетворяют условиям
аЛ>0 (ft=l, 2, 3), ai + ote + aa^l,
а точки ar a2, a3 попарно различны. Доказать, что функция
322
допускает выделение регулярной ветви, однолистной внутри окруж-
окружности, проходящей через точки av av a3, и что эта ветвь конфор-
конформно отображает круг, ограниченный этой окружностью, на некото-
некоторый треугольник.
Указание. Сделать дробно-линейное отображение, переводящее точки
01, а2, а3 в точки 0, 1, оо.
37.04. Пусть
— оо < аг
г
0<а*<2 (k=h 2, 3, 4), J] а,-2.
Доказать, что любая регулярная ветвь функции
о
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости и кон-
конформно отображает ее на некоторый конечный четырехугольник.
37.05. Пусть
— оо < аг < а2 < ... < ап <-}- оо,
0<аЛ<1 (А = 1, 2, ..., л), 2
Доказать, что любая регулярная ветвь функции
о
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости и кон-
конформно отображает ее на конечный выпуклый я-угольник.
Указание. Доказать, что условия на углы ak могут выполняться лишь
в случае, когда ломаная Г (образ действительной оси при отображении w — w (z))
является границей конечного выпуклого я-угольника.
37.06. Доказать, что функция
— ¦ ' dt,t ? > 0 (w (x -f- Ю) > 0, 0 < х < ^)
V ?а--(&+1J
о
при достаточно большом значении k > 0 не может быть однолист-
однолистной в полуплоскости Im z > 0.
Указание. Найти асимптотические формулы для длин сторон ломаной Г
(образ действительной оси) при k —> + оо и убедиться, что при достаточно боль-
больших значениях к эта ломаная имеет самопересечения.
37.07. Доказать, что функция
о
11* 323
конформно отображает полуплоскость Im z > 0 на прямоугольник
с вершинами — -|, |-, -| + /&, —¦% + &, где
1 1/х
dt b Г dt
V()(y
37.08. Найти образ круга | z | < 1 при отображении
37.09. Найти образ области | z | > 1 при отображении
37.10. Пусть
л
=1, 2,..., л),
Обозначим через ^(,г) какую-либо регулярную ветвь функции
(z - a.piz - а,р ... (z - ап)ап
в полуплоскости 1ш,г>0, продолженную по непрерывности на дей-
действительную ось. Доказать, что образом действительной оси при
отображении w = w(z) является совокупность лучей
arg w = ф0, arg w = ф0 + Я,
и отрезков
[0, лИа1 + '" + а*+фо)] (А=1, 2, ..., ц-1)
(ф0 — некоторая действительная постоянная, зависящая от выбора
ветви, а ЛА — не зависящие от этого выбора положительные числа).
37.11. Пусть av ..., а2п — попарно различные действительные
числа, а функция w (z) определена в полуплоскости Im z > 0 равен-
равенством
= V (Z — al) - • • (Z — а2я)> W(jf+/0)>0 (.XT
Доказать, что функция -а; (-г) однолистна в полуплоскости Im z > 0
и конформно отображает ее на плоскость хг? с разрезом по лучу
[0, -f-ooj и по отрезкам
[0, e-k*Wn\w(lk)\\ (?=1, %..., 2п-\),
где 5л — нули производной многочлена P(z) = (z — a{)tt.(z — а2п),
занумерованные в порядке возрастания.
324
37.12. Найти образ полуплоскости \mz>0 при отображении
37.13. Найти образ круга \z\<\ при отображении
w = ~ . УТ+Т*, w(x)>Q @<*<1).
37.14. Пусть
— оо < ах < а2 <... < ап < + оо,
п
а*>0 (?=1, 2, ..., л), 2 а*<2>
ы
a w (г) — любая регулярная ветвь функции (г — a^i... (z — д„)аа
в полуплоскости 1т<г>>0. Доказать, что функция w(z) однолистна
в полуплоскости \mz>0 в том и только в том случае, когда функ-
функция w'(z) имеет на каждом интервале (ak, ak+1)t A=l, ..., п—1,.
только один простой нуль.
* * *
37.16. Пусть w(z) — какая-либо функция конформно отображаю-
отображающая полуплоскость Im2>0 на некоторый конечный многоугольник
с вершинами Av A2i ..., Ап, a av av ..., an — точки действительной
оси, переходящие в эти вершины при отображении w = w(z). Дока-
Доказать, что функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки аь а2, ..., ап.
Указание. Применить принцип симметрии, воспользовавшись тем, что
на отрезках действительной оси, не содержащих точек а^, функция ш(г) при-
принимает значения, лежащие на некоторой прямой.
w" (z)
37.16. Доказать, что функцию —ттх, где w(z) — функция из за-
задачи 37.15, можно аналитически продолжить на расширенную пло-
плоскость z с выколотыми точками аь а2, ..., аю и что это аналити-
аналитическое продолжение является однозначной функцией.
Указание. Доказать, что результат аналитического продолжения функ-
функции w (г) по любому замкнутому пути Г (не проходящему через точки ak) имеет
вид е/фдо(гL-С, где ф и С—постоянные, зависящие от пути продолжения.
37.17. Пусть внутренние углы многоугольника в вершинах Ак
равны яаЛ(?=1, 2, ..., п)> где 0<<а/г^2. Доказать, что
w'(z) jL z-ah
k = \
(здесь w{z) — функция из задачи 37.15).
37.18. Доказать, что утверждения задач 37.15 — 37.17 сохраняют
силу и в случаях, когда точки аь ..., ап лежат не на действитель-
действительной оси, а на какой-либо окружности \z — z0 =R, а функция w(z)
конформно отображаег на многоугольник круг \z—2oi<nR или
область \z — zQ | > R.
325
37.19. Доказать, что утверждение задачи 37.17 сохраняет силу
и в случае, когда одна из точек ak является бесконечно удаленной
точкой.
37.20. Доказать, что утверждение задачи 37.17 останется в силе
и для случая, когда многоугольник имеет одну или несколько вер-
вершин в бесконечности, если только под внутренним углом в беско-
бесконечно удаленной вершине многоугольника понимать угол между пря-
прямыми, образующими эту вершину, в конечной точке их пересечения,
взятый с обратным знаком (если прямые параллельны, то величину
угла следует определять предельным переходом).
37.21. Пусть функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на внешность конечного многоугольника с вершинами
ЛЛ(/г=1, ..., п) и внешними углами в них nak соответственно (для
внешности многоугольника эти углы являются внутренними; по-преж-
по-прежнему считается, что 0<аЛ^2). Обозначим через ak точки действи-
действительной оси, переходящие в вершины Aki а через а —точку, пере-
переходящую в точку Т0 = оо. Доказать, что
w" (г) __ у ak—\ 2__ 2__
W (г) La z—ak z-~a г —а*
37.22. Пусть функция w(z) задачи 37.21 конформно отображает
на внешность многоугольника не полуплоскость lmz^>0y а круг
j z | < 1 (и по-прежнему w (а) = оэ). Доказать, что
2 2й
г—-а *
W (г) Lj z — ak г—-а * 1 — га*
37.23. Доказать, что утверждение задачи 37.15 остается в силе,
если стороны многоугольника считать не прямыми линиями, а дугами
окружностей.
Замечание: Строго говоря, утверждение несколько изменится, так как
при аналитических продолжениях функции w(z) могут появляться полюсы.
37.24. Доказать, что если функция w(z) конформно отображает
полуплоскость Im z > 0 на многоугольник, ограниченный дугами
окружностей, то функция 2 , \7 — 3 —ттт совпадает с некоторой
рациональной функцией.
Указание. См. задачу 33.02.
* * *
Результаты задач 37.17 — 37.22 позволяют написать выражение для функ-
функции ш (г), конформно отображающей полуплоскость (или круг) на прямолиней-
прямолинейный многоугольник, в виде некоторого неопределенного интеграла. Даже в тех
случаях, когда этот интеграл берется в элементарных функциях, его вычисле-
вычисление связано с большими трудностями. Поэтому следует иметь в виду случаи^
когда отыскание отображающей функции возможно без интегрирования.
326
37.25. Пусть функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Ini z > 0 на область D, граница которой, состоит из конечного числа
отрезков прямых, проходящих через точку w = 0. Доказать, что
w' (z)
функция —pj совпадает с некоторой рациональной функцией.
37.26. Пусть функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Iin z > 0 на область Д граница которой состоит из конечного числа
параллельных между собой лучей (или полных прямых). Доказать,
что функция w' (z) совпадает с некоторой рациональной функцией.
37.27. Пусть функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на угол 0 <С arg w < Xn @ < Я <; 2) с разрезами по отрез-
отрезкам [0, Вк], *=1, 2, ..., п, где
r (*= 1, 2, .-.., я).
Предположив, что w(со) = оо, w(ax) = . ,. = w(an+1) = 0, где
— оо < ап+1 < ап <... < ах < + оо,
доказать формулу
+ 1
37.28. Пусть функция zbj(>) конформно отображает область | z \ > 1
на всю плоскость w с разрезами по отрезкам [0, Bk](k= 1, 2, ...,л),
где
arg ?* — arg ^_2 == nak (k = 1, 2, ..., п, В0 = Вп), ak > 0, ^ aft = 2-
Предположив, что w{po) = 0y w(a1) = ... = w(an) = 0, где
Q ^ arg ах < arg а2 <... < arg ап < 2л,
доказать формулу
п
w'(z)
w (г) Ad z—ak г '
37.29. Пусть w(z) — функция задачи 37.27 или 37.28. Доказать,
что прообразы bk точек Bk (концы разрезов) удовлетворяют урав-
нению ^ = 0.
w(z)
37.30. Пусть функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на плоскость w с разрезами по лучам
[Bki Bk + oo], k=l, 2, ..., п
где —осх;/*! <...<^Л< +оо. Предположив, что
ze> (оо) = оо, w (ах) = w (а2) =... = w (аЛ_х) = оо,
327
причем —оо< %<«2<-••<^n-i< + °° и 1*т Rew(z) = +с
z~*ak
доказать формулу
37.31. Пусть функция хг>(,г) конформно отображает полуплоскость
1т,г>0 на полосу Hx<i\mz<iH2 с разрезами по лучам
[Bk, 5*+ 00], *=1, 2, ..., л; AтДЛ = АЛ),
где #j < /?! < /?2 <... < hn < #2. Предположив, что
Re ^ (оо) = оо, Re х# (аЛ) = + оо (& = 0, 1, ..., ri),
причем —oo<Ca0<#i<.. . <аЛ< + со> доказать формулу
37.32. Пусть w(z) функция задачи 37.30 или 37.31. Доказать,
что прообразы bk точек Bk (концы разрезов) удовлетворяют уравне-
уравнению w' (z) = 0.
* * *
В некоторых случаях бывает полезно рассматривать отображения, совер-
совершаемые функцией w' (г) — производной от искомой функции w (г), отобража-
отображающей полуплоскость Im г ;> 0 на многоугольник D. Вершины многоуголь-
многоугольника D мы, как и прежде, будем обозначать через Аъ ..., Ап, а их прообразы
на действительной оси — через %,..., аП1 считая, что — оо <аг <... < ап ^ + °°-
Величину внутреннего угла многоугольника D в вершине Ak мы будем по-
прежнему обозначать па^ Для угла в конечной вершине считаем 0 < a/j < 2,
угол в бесконечности между параллельными прямыми в бесконечности считаем
равным нулю (или 2л), а угол в бесконечности между пересекающимися пря-
прямыми—равным углу между теми же прямыми в точке их пересечения, взятому
с обратным знаком.
37.33. Доказать, что образ отрезка (ak, ak+1) действительной оси
при отображении ? = w' (z) лежит на луче arg ? = arg (Ak+1 — Ak).
37.34. Доказать, что если акфоэ и Акфоо, а а^< 1, то обра-
образом точки ak при отображении ? = w' (z) является точка ? = оо.
37.35. Доказать, что если акф оо и Акфоо, а аЛ> 1, то обра-
образом точки ak при отображении t, = wf (z) является точка ? = 0.
37.36. Доказать, что если ak = oo и Л/г = оо, a ak>—1, то об-
образом точки ak при отображении t, = w' (z) является точка ? = 0.
37.37. Доказать, что если ak фоо> Ak = 00, то образом точки ak
при ©тображении ? = w' (z) является точка ? = 0.
37.38. Доказать, что при движении точки z по конечному отрезку
действительной оси, лежащему на отрезке (ak, ak+1) и не содержа-
содержащему точек, где w" (z) = 0, точка ? = w'(z) монотонно движется по
лучу arg ? = arg (Ak+1 — Ak).
37.39. Пусть D — многоугольник со сторонами
328
а ф (z) — функция, конформно отображающая полосу 0<1тг<1
на этот многоугольник, причем
ф(—оо) = —оо, ф@) = 0, ф(+ со)== + оое"\
Доказать, что функция ? = ф' (г) конформно отображает полосу
О < Im z < 1 на угол 0 < arg ? < а и удовлетворяет условиям
ф' @) = оо, Ф' @ = 0, Ф' (— оо) = 1, ф' (+ оо) = еы cos а.
Указание. Отыскав нули ф" (г), проследить за движением точки ? =
= ф' (г) по границе многоугольника и воспользоваться принципом соответствия
границ.
37.40. Доказать, что для любого треугольника функция ? = w' (z)
конформно отображает полуплоскость Im2>0 на некоторый угол
с вершиной в точке ? = 0, разрезанный по отрезкам лучей, выходя-
выходящих из точки ? = 0.
37.41. Доказать, что для любого выпуклого конечного много-
многоугольника D функция w' (z) конформно отображает полуплоскость
1т-г>0 на угол с вершиной в точке ? = 0, разрезанный по отрез-
отрезкам лучей, выходящих из точки ? = 0.
37.42. Пусть D — конечный невыпуклый четырехугольник и пусть
прообразы всех его вершин при отображении w = w(z) конечны.
Доказать, что функция t, = w' (z) не может быть однолистна в полу-
полуплоскости Im2:>0.
* * *
Для решения приводимых ниже задач рекомендуется применять как ме-
методы, изложенные в задачах 37.17—37.22, так и методы, изложенные в зада-
задачах 37.25—37.32. В обоих случаях основная трудность лежит в отыскании
постоянных ak (прообразов вершин А^ отображаемого многоугольника) и по-
постоянных интегрирования. Скажем несколько слов о способах отыскания этих
постоянных.
В случае метода, описанного в задачах 37.17—37.22, постоянные опре-
определяются из уравнений w(ak) — Ak и из условий, задающих искомое конформ-
конформное отображение единственным образом (чаще всего эти условия состоят в зада-
задании трех точек а^, но иногда задается значение в некоторой внутренней точке
и одна точка ak). Если некоторые из вершин Ak находятся в бесконечности,
то вместо равенств w(ak) = Ak приходится иметь дело с асимптотическим пове-
поведением отображающей функции в окрестности точек а^. Чаще всего такое
исследование проводится в случаях, когда угол в соответствующей вершине
Ак = оэ равен нулю, т. е. когда часть многоугольника в окрестности этой
вершины представляет собой полосу. Тогда для отображающей функции
в окрестности соответствующей точки а# имеет место асимптотическая формула
w(z) == ~ In (г — а#) + ОA) (см. задачу 34.10), причем постоянная с равна по
модулю ширине полосы, а ее аргумент выражается через направление полосы.
В случае метода, описанного в задачах 37.25—37.32, способ определения
постоянных несколько иной. Там нужно сначала выразить через точки ak
(часть которых может быть задана условиями, однозначно определяющими
отображение) точки Ь^ (прообразы концов разрезов). После этого все остаю-
остающиеся неизвестными постоянные определяются из уравнений w(bk)^B^ (здесь
Bk~концы разрезов, т. е. данные числа).
37.43. Найти функции w(z), конформно отображающие полупло-
полуплоскость 1тг>0 на многоугольники, изображенные на рис. 124—137,
329
АМ+-
Рис. 124.
\0
Рис 125.
Ar*
Рис. 126.
'-?-
А =о
Рис. 127
Рис. 128.
Рис. 129.
1
1
1
I
1
Aft
Рис. 130.
Рис. 131.
Рис. 132.
Afh+iH
Рис. 133.
Рис. 134.
Рис. 135,
Рис. 136.
Рис. 137.
330
таким образом, чтобы w@) = Av w(\) = Л2, тг>(оо) = Л3 (вершины Ak
обозначены на рисунках).
Симметричность отображаемых многоугольников относительно какой-либо
прямой значительно упрощает отыскание отображающей функции, так как по-
позволяет определить, не решая уравнений, большее число прообразов вершин
и уменьшить число подлежащих определению постоянных. Основной прием
таков: п>сть многоугольник имеет две вершины, расположенные на оси сим-
симметрии. Прообразом одной вершины считаем точку 2 = 0, а прообразом вто-
второй—точку г = оо. Тогда прообразы симметричных вершин отличаются только
знаком.
Кроме того, при отображении симметричных многоугольников применимы
все приемы, о которых говорилось в § 36.
37.44. Найти какие-либо функции w(z), конформно отображаю-
отображающие полуплоскость Imz>0 на симметричные многоугольники, изо-
изображенные на рис. 138—143.
А<=°°
Рис. 138.
V////////////////////////A
Puc. 140.
A, =~
Af-Ы
Ar/fnh
Puc. 141.
Puc. 142.
*,•- !
HH
Puc. 143.
37.45. Найти функции w(z)y конформно отображающие область
| z I > 1 на многоугольники с внутренней точкой w = оо, изображен-
изображенные на рис. 144—146, таким образом, чтобы те>(оо) = оо, w(\) = Av
Описанные методы конформного отображения многоугольников легко соче-
сочетаются и с другими методами конформных отображений. Трудности возникают
лишь при необходимости обращать отображение.
37.46. Найти функции w(z), конформно отображающие полу-
полуплоскость Im z > 0 на области, изображенные на рис. 147—150, таким
образом, чтобы w@)=**Al9 w(l) = A2, w(oo)=*A3. (Для рис. 149
37.47. Найти функции w(z), конформно отображающие всю пло-
плоскость z с разрезом по отрезку [—1, 1] на области, изображенные
на рис. 151 —153, таким образом, чтобы 'KJ(оо) = оо, хг;A)==Л1.
331
Рис. 145.
Рис. 146.
Рис. 147.
Рис. 148.
/+lV2
Рис. 150.
Рис. 151.
332
37.48. Найти функции w(z), конформно отображающие полосу
|Imz|< 1/2 на области, изображенные на рис. 154—156, таким об-
образом, чтобы ^@) = 0, х0(-\-оо) = Аг.
• У///////////////////,
Srti
•5*
А г 14
-4--
I
I
1-1
Рис. 154. Рис. 155. Рис. 156.
37.49. Найти функции w(z), конформно отображающие полупо-
полуполосу Re2>0, | Im 2 | <-?)-, на области, изображенные на рис. 157 и
158, таким образом, чтобы w( —^J = Av w (oo) = Л2, w f ~) = Ад.
I
I
Рис. 157.
Рис. 158.
37.50. Найти какую-либо функцию w(z)y конформно отображаю-
отображающую полуплоскость Im z > 0 на плоскость w с разрезами по лучам
37.51. Найти какую-либо функцию w(z), конформно отображаю-
отображающую полуплоскость Imz>0 на плоскость w, из которой выбро-
выброшены полуполосы
k —
= °> ±Ь ±2, ...).
В следующих задачах отображающие функции не выражаются через эле-
элементарные функции.
37.52* Найти функции w(z), конформно отображающие полупло-
полуплоскость 1т,г>0 на многоугольники, изображенные на рис. 159—161,
таким образом, чтобы ^@) = ^, w(l) = A2, w(oo) = As.
37.53. Найти функцию w(z), конформно отображающую круг
| z | < 1 на правильный n-угольник, вписанный в круг |z^|< 1, таким
образом, чтобы ^@) = 0, z^(l)=l.
333
При отыскании постоянных часто бывает полезно рассматривать отобра-
отображения, совершаемые функцией wr (z) (см. задачи 37.33—37.40). Это особенно
удобно, когда мы ищем отображение полосы на многоугольник.
37.54. Найти функцию w{z), конформно отображающую полосу
0<Clni2<l на область, изображенную на рис. 162, и удовлетворя-
удовлетворяющую условиям w(—oo) = Av w@) = A2, w (-{-оо) = As.
Указание. См. задачу 37.39.
Рис. 159.
Рис. 161.
Рис. 162.
37.55. Найти функцию w{z), конформно отображающую полосу
0<Imz<Cl на область, изображенную на рис. 163, и удовлетворя-
удовлетворяющую условиям w( — со) = АЬ w(-\-оо) = Л4, w@) = А3.
ьъ
Рис. 163.
Рис. 164.
37.56. Найти функцию w(z), конформно отображающую полупло-
полуплоскость Im z > 0 на область, изображенную на рис. 164, и удовлетво-
удовлетворяющую условиям w(l) = Al9 w{— 1) = Аь> w(oo) = A3.
334
ОТВЕТЫ
37.08.
Правильный шестиугольник с вершинами Aenik^, k—\, 2, 3, 4, 5, б, где
6Г (}
37.09. Правильная пятиконечная звезда с вершинами Ае 5 и Be 5
k=0, 1, 2, 3, 4, где
A+<*)*% д_
A_<5J/5а' е-
37.12. Полуплоскость Im ад > 0 с разрезами по отрезкам
[0, 21/3 3~~1/2 eni/3]> [0, 21/3 3~1/2 е2я//3].
37.13. Вся плоскость ш с разрезами по отрезкам
[О, ?2ёш/А], ? = 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7.
37.43.
1
1. Рис. 124: ад = —( — 22-f21n г +1 — ш).
я
2. Рис. 125: ад = —B—ln-г—1 + ш).
3. Рис. 126:
4. PHC.127:
16
5. Рис. 128: И1 = -—?'
6. Рис. 129: ад = —г A + аI+а A — аI"** г0 (г — IJ.
4
7. Рис. 130: ад = — (-J- +arcsin Bz—
я \ z
8. Рис. 1О1 -" Л f 2
9. Рис. 132: оу = у C-
10. Рис. 133:ад = -1 я In J3JL*+ih\n!Lz±
11. Рис. 134: ад = <ln \ In ¦¦, J }
л I /z__i + / ^ H-h (H-h)Yz-\-iH)'
12. Рис. 135: »^ Jill^wff^Til-ln fl(Jr/f)}, ГДе «-единствен-
ное положительное решение уравнения = — In a.
335
13. Рис. 136- ш = / + -- I ^J^_L^I__i-_ in г — in |~^ , где а—единственное
положительное решение уравнения } i!a!\ \ + ^п 4 ("-L п ^ ~~ л^'
и. рис. ia7:«W-
1
37.44.
_ ,_ft 2/г . , я-— h . n — hz3 .,
1. Рис. 138: ю = —1пгН In z ih.
2. Рис. 139: w = — orа (i — а)а~1 22° (г2 — 1 )i~a,
— 1 1_
3. Рис. 140: оу = 2"а A — 2а)а 2 а~а (г2 — а2) 2 Bз — а2 _
где а —единственное положительное решение уравнения
ai-2a (a2+ 1H^2° A -2a) 2 a aa • Л.
4. Рис. 141:
h . КA~22)Я2 + /12 + /12 /Я ,
|^A «) //»+А« —Ляг я
5. Рис. 142:
П ^УT^* + ]/Я2 Я22 "
я П ^УT^z* + ]/Я2 — Я2г2 я " Я/Г^
6. Рис. 143:
VT=T H-h 1пНУГ=
ln
„ iz—y\-z* я ЯУ 1~г2-/(Я~ЛJ*
37.45.
1. Рис. 144:^^(г1Г2а(г+1I-2а с_ 0-
2. Рис. 145: ау==—(г2 —
2
2
3. Рис. 146: су = —/2 2(l+cos0)
где б —единственное решение уравнения
A+cose/2 ~a=(i-cose
лежащее на интервале @, -^-].
J a
2 a
37.46.
1. Рис. 147: w 2Л
— 1П 2Г—
2. Рис.148:^2^^A+2г^1П
22 Yz +A+22) V1 —« "
336
з. рис 149: w=j
(здесь A3 = i + 0i).
4. Рис. 150: ш=
^2) A -2гK/* — A + 0 33/4 1/г A -г)
г2—2 In
#
г —я—1
37.47.
1. Рис. 151- ^ = (
2. Рис
. 152: w = sii (
.-4-— In
2
где
единственное положительное решение уравнения —г—r-fln t ==я.
л — 1 о — 1
3. Рис.
— 1 Я
2~<
где а —единственное положительное решение уравнения
37.48.
1. Рис. 154: w = ^{\n(enz + Va* + e2nz)~V\+a2e2nz-\naj, где а-
единственное положительное решение уравнения ]/rl+a2 = cth Yl-\-a2'
2. Рис. 155: ^ = 21/33^1/25Ья2(сЬя2)~2/3. *
3. Рис. 156: 1
я
37.49.
1. Рис. 157- до =
,
^7"
"г^.7' 1 — - и
/ sh 2 ^—In , ...
2 1 +1 sh 2
1п
2|/сИяг — (J — О
у Где а~-еЛинсгвенное по-
2а , а—1
ложительное решение уравнения 2_ . — In =я.
2. Рис. 158: ш=5L
5L—.
г —cth2
37.50.
[3(a —
где a — единственное положительное, а Ь — единственное отрицательное
решения уравнения 3jc4 + 2jc3= 1/16.
37.51. r,,=l|n
37.52.
Рис. ,59:
Г(о)Г(Р)
— 3 + cosz \]/~4 cos2 г — 3 — 2 cos г / J #
<« -> С
337
2 f^~~
2. Рис. 160: ш = еТ. ^ 2
B_а)
37'53- д"
Z
Z
Г ^ 0
2\ я ^
—— \sin — ^
п) п
г ( \—enz \
37.54. w = h cos an \ < Г/ —> dz.
1 1 + Я
37.56. ^ =
^
Глава VII
ПЛОСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
§ 38. Произвольные плоские векторные поля
Если каждой точке некоторой области D поставлен в соответствие вектор,
то говорят, что в этой области задано векторное поле. Обычно область берется
в трехмерном пространстве, а в качестве вектора берется та или иная физиче-
физическая величина (сила, скорость и т. п.). В полном математическом определении
понятия векторного поля до некоторой степени учитывается и характер этих
физических величин (см. задачи в конце параграфа), но при первохм знаком-
знакомстве можно обойтись и предложенным выше определением.
Всюду в дальнейшем рассматриваются только плоские векторные поля,
т. е. векторные поля, у которых каждой точке некоторой области плоскости
ставится в соответствие вектор из той же плоскости. Ясно, что плоскому век-
векторному полю отвечает некоторая комплекснозначная функция комплексного
переменного. Эту функцию мы будем предполагать в области задания непре-
непрерывной вместе с ее частными производными первого порядка.
Кривая, лежащая в области D, называется линией тока векторного поля,
заданного в этой области, если вектор касательной к этой кривой в каждой
ее точке коллинеарен с вектором поля, взятым в той же точке (и направлен
в ту же сторону).
38.01. Пусть функция w(z), отвечающая векторному полю, отлична
от нуля в области D задания этого поля, a L — гладкая кривая
с параметрическим уравнением z = z(t), a^t^b. Доказать, что кри-
кривая L является линией тока векторного поля в том и только в том
случае, когда выполняются условия
= 0, Re {((9)}
38.02. Пусть функция w (z), отвечающая векторному полю, отлична
от нуля в области задания этого поля. Доказать, что кривая с пара-
параметрическим уравнением z = z(t), a^t^b, где функция z(t) удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению -гг = w (г), является линией
тока векторного поля.
38.03. В условиях задачи 38.02 доказать, что каждая линия тока
имеет параметрическое уравнение z = z(t), a^t^b, где функ-
функция z(f) удовлетворяет дифференциальному уравнению -rr~w(z).
Указание. Воспользовавшись результатом задачи 38.01, выбрать Дру-
Другой параметр.
38.04. Доказать, что у векторных полей, отвечающих- функ-
функциям w{z) и линии тока совпадают.
339
38.05. Найти все линии тока векторных полей, отвечающих при-
приводимым функциям w(z), и изобразить их графически:
1. w(z) = z. 2. w(z) = iz.
3. a>(s)=|j|. 4. w(z) = ^-. 5. w(z) = 1A -Г2).
Точки области задания векторного поля, которым отвечает век-
вектор, равный нулю, называются критическими.
38.06. Доказать, что через каждую не критическую точку прохо-
проходит ровно одна линия тока.
Указание. В уравнений -jj = w(z) положить z — x-\-iy написать урав-
уравнение линии тока в виде у = у(х) или х = х(у), после чего воспользоваться
теоремой о существовании и единственности решения дифференциального урав-
уравнения.
38.07. Пусть из точки zoф оо выходит линия тока векторного
поля w(z), имеющая длину а, лежащая в области задания этого поля
и не проходящая через его критические точки (начало и конец также
не критические точки). Доказать, что:
1. Из каждой точки zv достаточно близкой к точке z0, также выхо-
выходит линия тока длины а, лежащая в области задания векторного поля и
не проходящая через его критические точки.
2. Если обозначить через z = я|H ($), 0 <; s ^ a; z = ^ (s), 0 ^
z^s^o, соответственно натуральные уравнения линий тока, выходя-
выходящих из точек z0 и zv то величина sup |i|>i(s) — tyoE)l стремится
0<<
к нулю, когда z-i -> z0.
Указание. Воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости реше-
решения дифференциального уравнения от начальных данных.
38.08. Найти все критические точки следующих векторных полей
и выяснить, сколько линий тока входит в эти точки (или выходит
из них):
1. w(z) = 2. -2. w(z) = z2. 3. w(z) = z. 4. w(z) = iz.
5. w(z) = ~y 6. ^(^) = i-(l-r2).
* * *
Векторное поле w(z) — u (x, y) + iv(x, у) называется соленоидальным в неко-
некоторой области, если существует такая действительная непрерывно дифферен-
дифференцируемая в этой области функция V (*, у), что -д- = — ^(*> У)> ~~г-~и(х, у).
Эта функция V (х, у) (или, для краткости, V (г)) называется функцией тока век-
векторного поля.
38.09. Доказать, что векторное поле w (z) = и (х, у) + to (x, у)
соленоидально в конечной односвязной области D тог*а и только
тогда, когда л^ + л-^О в0 всей области D.
38.10. Пусть V{z) — функция тока соленоида л ьного векторного
поля. Доказать, что значение функции V(z) во всех точках одной и
той же линии тока одинаково.
340
38.11. Убедиться, что следующие векторные поля w(z) соленои-
дальны, и найти функции тока V(z) для них:
1 w(z) = l. 2. w(z) = fa. 3.
4. w(z)
38.12. Пусть V(z) — функция тока соленоидального векторного
поля Доказать, что множество уровня функции тока (т. е. множе-
множество точек z, в которых функция V(z) принимает данное значение)
состоит из некоторого числа линий тока, встречающихся между собой
только в критических точках.
38.13. Пусть два соленоидальных векторных поля заданы в одной
и той же области, a V\(z) и V2(z) — их функции тока. Доказать,
что если каждая линия тока одного поля является линией тока и
для другого поля, то существует такая дифференцируемая функция
Ф(?, г)), что
Векторное поле w(z)~u (x, y) + iv(x, у) называется потенциальным в неко-
некоторой области, если существует такая действительная непрерывно дифференци-
дифференцируемая в этой области функция V (#, у), что ^- = « (*» У)* у-=?>(*, у)- Эта
функция U (х, у) (или, для краткости, U (г)) называется потенциалом вектор-
векторного поля.
38.14. Доказать, что векторное поле w(z)~n(xty)-\-iv(xi у)
потенциально в конечной односвязной области D тогда и только
тогда, когда ¦= я~==^ в0 всей области D.
38.15. Доказать, что векторное поле w(z) потенциально в обла-
области D тогда и только тогда, когда векторное поле iw (z) соленои-
дально в этой области.
38.16. Убедиться, что следующие векторные поля w(z) потенци-
потенциальны, и найти потенциалы U(z) для них:
1. w(z)=*r\ 2. w(z) = i(z)-\ 3.
4. w(z) =
38.17. Доказать, что потенциал векторного поля монотонно возра*
стает при движении вдоль линии тока.
Линии уровня потенциала векторного поля называются эквипотенциаль-
эквипотенциальными линиями или эквипотенциалями. Для трехмерного векторного поля экви-
потенциали —это не линии, а поверхности. Поэтому понятие направления
эквипотенциальной линии для плоского векторного поля вводится несколько
искусственным путем.
38.18. Пусть векторное поле потенциально. Доказать, что:
1. Через каждую не критическую точку векторного поля прохо*
дит ровно одна эквипотенциальная линия.
2. Эквипотенциальная линия и линия тока, проходящие через дан-
данную не критическую точку, пересекаются в ней под прямым углом.
341
Положительным направлением эквипотенциальной линии мы будем считать
направление налево от положительного направления линии тока, (проходящей
через ту же точку).
38.19. Для следующих потенциальных векторных полей w (z)
найти все эквипотенциальные линии, проходящие через критические
точки этих полей:
1. w(z) = Z. 2. w{z)=*izx2y2 (z = x + iy). 3. w(z) = iz2.
4. ^(г) = |A-Г2).
38.20. Доказать, что векторное поле w (z) и потенциально, и соле-
ноидально в области D в том и только в том случае, когда функ-
функция w(z) регулярна в этой области.
38.21. Пусть векторное поле w(z) и потенциально, я соленои-
дально в области Д a U{z) и V{z) — его потенциал и функция тока
соответственно. Доказать, что:
1. Функции U(z) и V (z) гармоничны в области Д т. е.
дх* + dtp ~" ' дх* + ду* ~ и*
2. Функция W(z)~ U{z)-\-iV{z) регулярна в области D.
3. Имеет место формула W' (z) = w (z).
Векторное поле, и потенциальное, и соленоидальное в области D, мы
будем называть комплексно потенциальным в этой области, а функцию W (г) =
= U(z) + iV (г), где V (г) — потенциал, а V (г)-— функция тока,— комплексным
потенциалом этого поля.
38.22. Доказать справедливость утверждений:
1. Для того чтобы векторное поле, соленоидальное в конечной
односвязной области Д было комплексно потенциальным в Д необ-
необходимо и достаточно, чтобы его функция тока была гармонична в Д
2. Для того чтобы векторное поле, потенциальное в конечной
односвязной области Д было комплексно потенциальным в Д необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его потенциал был гармоничен в D.
38.23. Найти уравнения линий тока и эквипотенциальных линий для
следующих векторных полей, заданных своими комплексными потенциа-
потенциалами W(z) в указанных областях Д и изобразить их графически:
1. W^e*, D: |1тг|<л;. 2. №«inj-±-i, D: lmz>0.
3. ^=nn^±i, D: lm?>0. 4. W^-^-j, D:
5. W=/lnH_^> D: \z\<l, lmz>0.
6. w=±(z+ty, D: \z\>\.
Пусть векторное поле w(z) задано в области D, a L — произволь-
произвольная кусочно-гладкая кривая, лежащая в этой области. Положим
S (L) = ( wn ds, R (L) = \ ws ds, где ws — скалярное произведение вектора w (z)
I i
342
на единичный вектор касательной к кривой L в точке г, a wn — скалярное
произведение вектора w (z) на единичный вектор нормали к кривой L в точ-
точке z (вектор касательной мы считаем направленным по кривой, а вектор нор-
нормали—налево от кривой). Величину S (L) мы назовем потоком векторного
поля w (z) через кривую L, а величину R (L) — циркуляцией векторного поля
вдоль кривой L. (Термин «циркуляция» обычно употребляется лишь для замк-
замкнутой кривой, а для незамкнутой кривой используется исключительно неуклюжий
термин «линейный интеграл векторного поля», от употребления которого мы
воздержимся.)
38.24. Доказать, что циркуляция векторного поля вдоль любого
отрезка линии тока положительна.
38.25. Пусть w{z) — потенциальное векторное поле. Доказать,
что его поток через участок потенциальной линии, не содержащий
критических точек, отличен от, нуля.
38.26. Доказать, что:
1. Поток соленоида льного поля через любую замкнутую кривую
равен нулю.
2. Циркуляция потенциального поля вдоль любой замкнутой кри-
кривой равна нулю.
38.27. Доказать, что векторное поле, потенциальное в области Д
не может иметь замкнутых линий тока, лежащих в этой области.
38.28. Доказать, что векторное поле, комплексно потенциальное
в области D, не может иметь ни замкнутых линий тока, ни замкну-
замкнутых эквипотенциальных линий (не проходящих через критические
точки), лежащих в этой области.
38.29. Пусть Тг и Г2—две линии тока соленоида льного вектор-
векторного поля, a V(z) — его функция тока. Обозначим через Сг значение
функции V{z) на линии тока Ть а через С2 — ее значение на линии
тока Г2. Доказать, что поток векторного поля через любую кривую,
имеющую начало на Ть а конец—на Г2, равен С2—Сг.
38.30. Доказать формулу R(L)-\-iS(L) = ^w(z)dz.
L
38.31. Найти поток S(L) и циркуляцию R(L) заданных вектор-
векторных полей w(z) по указанным кривым L (окружности считать обхо-
обходящимися против часовой стрелки):
z 1 ' I i~ ¦ • z» -I ••
3. W=,JL L: z 1 = 1. 4. xpsrJ—i, L: 1*1 = 2.
2 1 Z^
5. w = ez, L: z = it,
6. w = cos2, L: z = iR-\-t, —
* * *
Векторное поле называется локально соленоидальным в области О, если
Для каждой точки этой области существует такая ее окрестность, в которой
это поле соленоидально. Аналогично определяются понятия локально потен-
потенциального и локально комплексно потенциального поля.
38.32. Доказать, что векторное поле, локально соленоидальное
в конечной односвязной области, соленоидально в этой области.
Указание. См. задачу 7.13.
343
38.33. Пусть векторное поле локально соленоидально в области
О << | z <C j сю. Доказать, что оно соленоидальио во всей этой области
в том и только в том случае, когда S(\ z | = 1) = 0.
38.34. Пусть векторное поле локально соленоидально в конечной
двухсвязной области. Доказать, что оно соленоидально во всей этой
области, если существует хотя бы одна замкнутая кривая L, лежащая
в этой области, не гомотопная нулю в этой области и такая, что
Указание. См. задачу 7.22.
38.35. Пусть D — конечная w-связная область с внутренними
компонентами границы Cv ..., Cm_v a zv ..., zm^.1— произвольные
точки компонент Cf, ..., Ст_г соответственно. Доказать, что если
векторное поле w(z) локально соленоидально в области D, то век-
векторное поле
2я г-
соленоидально во всей области D (здесь Lk, А=1, ..., т—1, —
простая замкнутая кривая, лежащая в области D и являющаяся грани-
границей области Dk> содержащей компоненту Lk и не содержащей других
компонент границы области D).
Следующие задачи связаны с тем, что значение векторного поля в точке
области его задания является, строго говоря, не вектором, а линейным опера-
оператором (тензором), действующим в пространстве дифференциалов. При опреде-
определенных условиях такой оператор можно задать, задавая некоторый вектор.
Поскольку эти вопросы мало освещены в учебниках ТФКП, мы дадим не-
некоторые разъяснения, опираясь на физический смысл понятия векторного поля.
Возьмем в качестве физической модели поле скоростей стационарного дви-
движения жидкости. Ясно, что само течение жидкости —это физическое явление,
не зависящее от выбора системы координат, но понятие скорости связано с вы-
выбором системы координат, и скорость течения меняется при переходе от одной
системы координат к другой. Однако величина потока и циркуляции (по любой
данной кривой) в силу физического смысла этих величин должна оставаться
инвариантной при замене координат. В случае плоского векторного поля w(z)
это означает, что величина R (L) + /5 (L) = ^ w (г) dz для каждой кривой L
L
должна быть инвариантна при переходе от одной системы координат к другой.
Ввиду произвольности кривой L (можем считать ее прямолинейным отрезком,
идущим из точки г в точку z-\-dz) это утверждение можно сформулировать
еще проще:
Дифференциальное выражение w (z) dz должно быть инвариантно при пере-
переходе от одной системы координат к другой.
Выражение w (г) dz приходится понимать как применение некоторого линей-
линейного оператора (зависящего от точки z) к вектору dz, расположенному в пло-
плоскости дифференциалов. В общем случае такой оператор можно описать матри-
матрицей второго порядка с элементами, зависящими от г, но в некоторых случаях
344
этот оператор может сводиться к умножению комплексного числа dz на неко-
некоторое комплексное число, зависящее от г. Легко показать, что последнее не-
невозможно, если мы хотим обеспечить инвариантность дифференциального выра-
выражения w (z) dz при любых заменах координат. Однако это становится возмож-
возможным, если ограничиться заменами координат, сводящимися к конформному
отображению.
38.36. Пусть w(z) — векторное поле, заданное в области Д а
? = (p(z) — конформное отображение области D на область D'. Обо-
Обозначим через w* (?) значение векторного поля w(z) в новых коорди-
координатах ? (отвечающих той же точке, что и точка z в прежних коор-
координатах). Доказать, что га* (Г) = .
<р'(г)
38.37. В дополнение к обозначениям предыдущей задачи введем
еще обозначения
Re w(z) = u (x, y), Im w(z) = v (x, y);
Re ш* @ = и* (g, ri), Im o>* (?) = x>* (g, т]
Доказать формулы:
, ^a* . dv* fdu ,
Всюду в дальнейшем вместо «величина инвариантна при переходе от одной
системы координат к другой, сводящейся к конформному отображению» мы
будем говорить «величина инвариантна относительно конформных отображений».
38.38. Доказать, что функция тока соленаидального векторного
поля инвариантна относительно конформных отображений.
38.39. Доказать, что потенциал потенциального векторного поля
инвариантен относительно конформных отображений.
38.40. Доказать, что критические точки векторного поля инва-
инвариантны о.тносительно конформных отображений.
38.41. Пусть w(z) — векторное поле, заданное в области D.
Будут ли следующие величины инвариантны относительно конформ-
конформных отображений?
1. \j\w(z)\ds. 2. J J | w (г) |2 do. 3. ^\w (z) | do. 4. J w (z) dz.
LA A L
5. \ \ l/ [d~ + ^2+ (^ - ^f do. 6. \ 1/ | ~ + ^ ds.
Здесь L — кривая, лежащая в области Д Д — подобласть области Д
ds — элемент длины дуги, do — элемент площади области Д
и (х, у) = Re w (х + /у), v (х, у) = Im w (x + (у).
345
ОТВЕТЫ
38.05.
1. ху — const; см. рис. 165. 2. х2 — у2~ const; см. рис. 166. 3. ху — const;
см. рис. 165.
Рис. 165.
Рис. 166.
Рис. 167.
4.
Рис. 168.
; см. рис. 167. 5. (г Л sin ф = const
см. рис. 168.
38.08.
1. г = 0; четыре. 2. г = 0; шесть. 3. г = 0; бесконечно много. 4. г =
ни одной.
5. г = 0; шесть. 6.чг = 1 и 2 = —1; по четыре.
38.11.
2. V = — 1п!г| + С. 3. V=~\-x*y* + C. 4. V =
\ о
-1
38.16.
38.19.
. 2. U^—
, А-0, 1,2,3. 2.
3. и = -±
^, ft-0, 1, 2, 3.
. A. U =
346
4: г=1: y
O, 1, 2, 3, 4, 5.
@ < a: < 2);
(- 2 < х < 0).
38.23.
1. Линии тока: у = const; эк-
эквипотенциальные линии: * = const;
см. рис. 169.
nl
\-ni
Рис. 169.
Рис. 170.
2. Линии тока: | г — *С|=У+С2 , 0<С<оо;
C2+l 2C
ные линии:
г —
С2—1
1С"—]
= 0; эквипотенциа ль-
; * = 0; см. рис. 170.
3. Линии тока: г —
> 0<С<1, С>1; дт = О; экви-
эквипотенциальные линии: | г — /С|=|/С2+1 , 0<С<оо; # = 0; см. рис. 171.
4. Линии тока: (*а + г/2K — 2 (*2 — г/2) + Сху +1 = 0; * = 0; */ = 0; эквипо-
эквипотенциальные линии: (дт2 + #2J —- С (д:2 — г/2) — 1 + С = 0; х = ±
рис. 172.
4г2-1
= const; эквипотенциальные линии: arg-
5. Линии тока:
г2 —4
г2 —4
= const; см. рис. 173.
6. Линии тока: (г j sin ф = const (rei(p = z); эквипотенциальные
линии: (г-\ Jcos9 = const; см. рис. 174.
347
ч
Рис. 172.
Рис. 173.
Рис. 174,
348
38.31.
2. S = 0, /? = —у. 3. S = 0, Я = 0. 4. S = 0, /? =
5. S = 0, tf = O. 6. S = 0, tf = O.
38.41.
1. Да. 2. Да. З. Нет. 4. Нет. 5. Да. 6. Да.
§ 39. Особые точки комплексно потенциальных векторных полей
Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только с локально комплексно
потенциальными векторными полями, т. е. с такими векторными полями до (г),
для которых функция до (г) регулярна. Комплексным потенциалом такого век-
векторного поля называется аналитическая функция W (г), вообще говоря, много-
многозначная, производная которой однозначна и совпадает с функцией до (г). Гар-
Гармонические функции U (z) = Re W (г), V(z) = lmW(z) (также, вообще говоря,
многозначные) называются соответственно потенциалом и функцией тока век-
векторного поля до (г).
Линией тока векторного поля до (z) называется простая кусочно-гладкая
кривая L, направление которой в каждой точке, где она имеет касательную,
совпадает с направлением вектора до (г).
Эквипотенциальной линией векторного поля до (г) называется простая
кусочно-гладкая кривая L, направление которой в каждой точке, где она
имеет касательную, совпадает с направлением вектора iw (г).
Легко проверяется, что на каждой линии тока функция тока сохраняет
постоянное значение, а на каждой эквипотенциальной линии потенциал сохра-
сохраняет постоянное значение (ввиду возможной многозначности функции тока й
потенциала под их значениями в точке кривой следует понимать значения,
полученные непрерывным продолжением по кривой из какого-либо значения,
выбранного в начальной точке кривой).
39.01, Для следующих векторных полей w (z) найти комплексный
потенциал W(z)> потенциал U(z) и функцию тока V(z), а также
нарисовать картину линий тока и эквипотенциальных линий:
1. w = e 4. 2. w = 2. 3. w — i2. 4. w = z2. 5. w = e 4 z.
6.w = — 2-1. 7.w = tz-1. 8. w = (l+ i)z'\
9. w=z2~2. 10. w = iz~2.
Точка г0фоо называется критической точкой векторного поля до (г), если
до(го) = 0. Порядком критической точки г^фсо называется порядок нуля
функции до (г) в точке г0. Бесконечно удаленная точка называется критической
точкой порядка т для векторного поля ДО (г), ecjra точка ? = 0 является кри-
критической точкой порядка т для векторного поля -*-{Г2^ BГ1).
39.02. Найти линии тока векторного поля w(z) — zm (/я = 1, 2,...),
выходящие из критической точки ^ = 0 и входящие в эту точку.
39.03. Нарисовать линии тока векторных полей w(z) = 2 и
w (z) = z2 вблизи критической точки z = 0.
39.04. Найти все критические точки следующих векторных полей,
заданных комплексными потенциалами W(z), и уравнения всех линий
тока, проходящих через эти точки:
~. 2. r=ln^±^-. 3. W=z + ~
349
4. W=z + ~ + -^ilnz. 5. W=z + -- + 2i\nz. 6. W=
Z о Z
7. №=2 + nn2. 8. №=2--—. 9. W=z + ~.
2 Z
Точка z0zfioo называется полюсом порядка т для векторного поля до (г),
если эта точка является полюсом порядка т для функции до (г). Точка г = оо
называется полюсом порядка m для векторного поля до (г), если точка ? = 0
является полюсом порядка т для векторного поля — ?~2 до (С).
Полюсы векторного поля обычно не исключаются из области его задания,
но называются особыми точками векторного поля. Принята следующая клас-
классификация особых точек векторного поля.
Точка г0фсо называется источником обильности 2яа, если в окрестности
точки г0 функция до (г) может быть представлена в виде до(г)
z — z0
где функция f (z) регулярна в точке г0, а число а действительно (источник
отрицательной обильности часто называют стоком).
Точка z^-фсо называется вихрем интенсивности 2я|5, если в окрестности
точки г0 функция w(z) может быть представлена в виде до (z) = —*-—|~f (г)
z — z0
где функция / (г) регулярна в точке г0, а число Р действительно.
Точка г0фсо называется диполем с моментом 2ла, если в окрестности
точки г0 функция w(z) может быть представлена в виде до (г) = — +
(z — z0)
+ f (г), где функция f (г) регулярна в точке г0 (часто моментом диполя назы-
называют число | а |, а число arg а называют направлением оси диполя).
Точка ZQ-фсо называется мультиполем порядка 2т (т > 1), если в окрест-
окрестности точки г0 функция до (г) может быть представлена в виде до (г) =
~ 7 \т~т-^г)' где ФУНКЦИЯ /(г) регулярна в точке г0.
Характер особой точки г = оо для векторного поля до (г) считается совпа-
совпадающим с характером особой точки 1 = 0 для векторного поля — С^^);
только если особая точка —диполь, то для момента берется противоположный
знак.
Произвольный полюс векторного поля, вообще говоря, составлен из вихря,
источника, диполя и из мультиполей порядка 2т, т<п, где п — порядок
полюса. Для полюса, составленного из вихря и источника, иногда употреб-
употребляется название вихреисточник.
39.05. Найти и описать все особые точки следующих векторных
полей, заданных в указанных областях D своими комплексными потен-
потенциалами W(z):
D: \z\>l. 2. w^iln~^±; D:|*|<1.
3. W=*z + llnz; D: \z\<l. 4. W*=z + -j; D:
5. W—lnsinz; D: \z\<oo. 6. W=i\ntgz; D: |,г|<оо.
7. W=\n(z2— 1); D: |г|<оо. 8.
9. lF=
J ' 2J^2+1 '
1, 1]-
350
39.06. Доказать, что точка z = oo будет для векторного поля
вихреисточником обильности а и интенсивности C в том и только
в том случае, когда комплексный потенциал W(z) этого поля
в окрестности точки z==oo можно представить в виде W(z) =
= ^-\пz+f(z), где функция f{z) регулярна в точке z~со.
39.07. Доказать, что обильность источника, находящегося в точке
х0фоо, равна потоку векторного поля через достаточно малую
окружность с центром в точке z0 (направление — против часовой
стрелки).
39.08. Доказать, что интенсивность вихря, находящегося в точке
z0z^oo, равна циркуляции векторного поля вдоль достаточно малой
окружности с центром в точке z0 (направление—против часовой
стрелки).
39.09. Доказать, что особая точка z0 векторного поля будет
источником в том и только в том случае, если потенциал векторного
поля однозначен в некоторой окрестности точки z0 и сохраняет там
знак.
39.10. Доказать, что особая точка z0 векторного поля будет
вихрем в том и только в том случае, если функция тока этого
векторного поля однозначна в некоторой окрестности точки zQ и
сохраняет там знак.
* * *
Даже для сравнительно простых векторных полей полное исследование
линий тока представляет значительные трудности. Однако для решения многих
вопросов бывает достаточно получить лишь некоторые качественные сведения
о поведении линий тока. Одним из основных инструментов в подобных качест-
качественных исследованиях является инвариантность дифференциального выражения
до (г) dz при конформных отображениях (подробнее см. текст перед задачей 38.36).
39.11. Доказать, что. порядок полюса инвариантен при конформ-
конформных отображениях.
39.12. Доказать, что обильность источника и интенсивность вихря
инвариантны при конформных отображениях.
39.13. Выяснить, как изменяется момент а диполя в точке z0 при
конформном отображении ? = ф(-г) (ПРИ условии, что диполь и до,
и после отображения оказывается в конечной точке).
39.14. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности источника.
Указание. Воспользовавшись инвариантностью дифференциального вы-
выражения w (z) dz, свести исследование к случаю w(z) = -=r.
39.15. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности вихря.
39.16. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности критической точки первого и второго порядка,
39.17. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности диполя.
351
39.18. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности вихреисточника, у которого и обильность, и интенсивность
отличны от нуля.
39.19. Нарисовать качественную картину линий тока в окрест-
окрестности мультиполей порядка 4 и 6.
39.20. Пусть z0— полюс порядка т^2 для векторного поля
с комплексным потенциалом W(z). Доказать, что множество уровня
функции тока Im W(z) = C в достаточно малой окрестности точки z0
состоит из т—1 линий тока, идущих в полюс, и из т—1 линий
тока, идущих из него. При этом входящие и выходящие линии тока
чередуются и углы в точке z0 между двумя ближайшими линиями
равны г.
Указание. С помощью конформного отображения свести исследование
к случаю, когда W (г) = а\пг-\—р^, а го = О.
39.21. Доказать, что сколь угодно малая окрестность особой
точки векторного поля содержит замкнутые линии тока (не прохо-
проходящие через эту особую точку) в том и только в том случае, когда
эта особая точка — вихрь.
39.22. Пусть особая точка векторного поля обладает тем свой-
свойством, что из нее выходят линии тока, касательные к любому направ-
направлению. Доказать, что эта особая точка — источник.
39.23. Доказать, что если в некоторой окрестности особой точки
векторного поля нет линий тока, целиком лежащих в этой окрест-
окрестности и имеющих начало и конец в этой точке, то эта особая
точка — вихреисточник.
Путь к описанию качественной картины линий тока векторного поля
в целом (а не только в окрестности тех или иных точек) дает теорема, пред-
предлагаемая для доказательства в следующих задачах.
39.24. Пусть область задания векторного поля w(z) содержит
область Д граница которой составлена из участков линий тока этого
векторного поля, соединяющихся в критических точках (но не в по-
полюсах— их на границе области нет). Проведем в области D все
линии тока, проходящие через критические точки поля, расположен-
расположенные в области D или на ее границе. Тогда область D разобьется
на некоторое число областей Dk, k=l, 2, ..., п. Доказать, что
области Dk обязаны принадлежать к одному из следующих четырех
типов:
1. Область Dk односвязна, и на ее границе нет полюсов вектор-
векторного поля.
2. Область Dk двухсвязна, и на ее границе нет полюсов вектор-
векторного поля.
3. Область Dk односвязна, и одна точка ее границы является
полюсом векторного поля. '
4. Область Dk односвязна, и две точки ее границы являются
полюсами векторного поля (эти две точки границы могут иногда
оказаться одной точкой плоскости).
352
Указание. Возьмем какую-либо линию тока, входящую в границу
области Dk, и предположим, что на этой линии lmW(z) = C0. Затем рассмот-
рассмотрим близкую к ней линию тока, на которой Im W (г) = С0 + 8, лежащую
в области Dk (число 8 или положительно, или отрицательно). Выяснить, что
происходит с этой линией тока при изменении величины е. При выяснении
полезно иметь в виду результат задачи 38.07.
39.25. В обозначениях задачи 39.24 доказать, что в области Dk
первого типа лежит ровно одна особая точка векторного поля и что
эта особая точка — вихрь.
39.26. В обозначениях задачи 39.24 доказать, что в областях Dk
трех последних типов нет особых точек векторного поля.
39.27. Нарисовать качественную картину линий тока в областях Dk
(см. задачу 39.24) каждого из четырех типов.
39.28. Доказать, что на границе области Dk третьего типа
(см. 39.24) лежит полюс векторного поля не ниже второго порядка.
39.29. Доказать, что полюс порядка т^2 является общей точкой
замыканий 2т— 2 областей D& (см. 39.24) третьего типа и, возможно,
еще какого-то числа областей четвертого типа.
39.30. Доказать, что каждая критическая точка порядка т, лежа-
лежащая внутри области Д является общей точкой замыкания не менее
чем т + 2 областей Dk (см. 39.24).
39.31. Доказать, что если критическая точка порядка т является
общей точкой замыкания областей Dk (см. 39.24) лишь четвертого
типа, то число этих областей равно 2т-\-2.
39.32. Пусть область D односвязна, а векторное поле имеет в этой
области два источника, противоположных по знаку обильностей, и
не имеет других полюсов. Доказать, что при выполнении условий
задачи 39.24 область D разбивается на две области Dk> причем обе
они четвертого типа.
Указание. Взять какую-либо линию тока Im W (г) = С0, лежащую в
области D (она обязана идти из одного источника в другой), и проследить, что
может произойти с этой линией тока при изменении величины Со.
39.33. Пусть область D односвязна, а векторное поле имеет в этой
области два вихря с равной нулю суммой интенсивностей и не имеет
других полюсов. Доказать, что при выполнении условий задачи 39.24
область D разбивается на две области первого типа.
39.34. Нарисовать качественную картину линий тока следующих
векторных полей с комплексными потенциалами W(z) в указанных
областях D:
1 iv/ i Bz—l)(z—2) п , ,^1
Bг-1)(г+2).
3. r=/ln^Z_i. D:|z|<l. 4.
12 Под ред. М. А. Евграфова 353
6 w-lbtg^1- D:U|<1.
7. ^n
9. Я7г=2: + ~+ЗЛпг; D:
10 IY7—
iu. w-
И y^
li. м^ —
Bг+1)(г+2) ПП Bг+1) (г-2)'
39.35. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока в случаях, когда выполнены условия задачи 39.24, область
D односвязна, а векторное поле имеет в области D указанные особые
то^ки (и только их):
1. Три источника с суммой обильностей, равной нулю.
2. Два источника с суммой обильностей, равной нулю, и диполь.
3. Один вихрь и один диполь.
4. Один вихрь и два источника с суммой обильностей, равной
нулю.
5. Три вихря.
39.36. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока в случаях, когда выполнены условия задачи 39.24, об-
область D двухсвязна, а векторное поле имеет указанные особые точки
(и только их):
1. Один вихрь.
2. Один диполь.
3. Два источника с равной нулю суммой обильностей.
4. Два вихря.
39.37. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока (при выполнении условий задачи 39.24), если область D
трехсвязна, а векторное поле не имеет особых точек.
Те же приемы применимы и к случаю, когда область D — это вся расши-
расширенная плоскость. В этом случае граница области отсутствует и потому не
нужно заботиться, является ли она линией тока.
39.38. Нарисовать качественную картину линий тока следующих
векторных полей с комплексными потенциалами W(z) во всей рас-
расширенной плоскости:
4. №=1п^~?. 5. Я7=1п(*+1)(*— IJ. б. W=
7. W=*z + lnz. 8. W=* + y5 9. W = z^j
354
10. WWln^-j-^. 11. №=/InB+1)(г— IJ.
12. U7=2/ln^±j + ln^j
39.39. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока, если область D — вся расширенная плоскость, а векторное
поле имеет указанные особые точки (и только их):
1. Два диполя (для удобства рисования расположить один из них
в бесконечности).
2. Три источника с равной нулю суммой обильностей (один рас-
расположить в бесконечности).
3. Три вихря с суммой, интенсивностей, равной нулю (один рас-
расположить в бесконечности).
4. Диполь и два вихря с равной нулю суммой интенсивностей
(диполь расположить в бесконечности).
5. Один полюс третьего порядка (в бесконечности).
Пусть векторное поле с комплексным потенциалом W (г) задано в области
Z), a L — кусочно-гладкая кривая, составляющая часть границы области D.
Мы будем говорить, что кривая L является граничной линией тока векторного
поля, если:
а) комплексный потенциал непрерывен вплоть до кривой L;
б) функция тока сохраняет на L постоянное значение;
в) при движении по кривой L в положительном направлении потенциал вектор-
векторного поля монотонно возрастает.
Если граница области D задания векторного поля в окрестности граничной
точки zQ состоит из двух граничных линий тока этого векторного поля, соеди-
соединяющихся в точке г0, и при z —*z0, zeD, комплексный потенциал векторного
поля стремится к бесконечности, то мы будем называть точку г0 граничным
полюсом векторного поля.
Граничный полюс г0 векторного поля мы будем называть граничным ис-
источником, если при z —» 20, z s D, функция тока векторного поля остается
ограниченной.
Обильностью граничного источника г0 мы будем называть величину потока
векторного поля через любую дугу Ly лежащую в достаточно малой окрест-
окрестности точки г0 и соединяющую в области D граничные линии тока, встречаю-
встречающиеся в точке г0, при условии, что направление дуги L выбрано так, что часть
области D, имеющая точку г0 на • своей границе, остается справа от дуги L
(независимость величины потока от выбора дуги L следует из задачи 38.29).
39.40. Пусть zQ—граничный источник векторного поля. Доказать,
что при z-^Zq, z e А потенциал векторного поля имеет предел,
равный или +°°> или — °°«
39.41. Доказать, что, сколь бы малую окрестность граничного
источника мы ни взяли, каждая эквипотенциальная линия, выходящая
из точки границы, достаточно близкой к граничному источнику, не
выходит из выбранной его окрестности и кончается в точке границы,
причем начало и конец находятся по разные стороны граничного
источника.
39.42. Пусть z0—граничный источник векторного поля. Обозначим
через 1г граничную линию тока, предшествующую граничному источ-
источнику, а через 12—граничную линию тока, следующую за ним (при
12* 355
движении по границе области в положительном направлении). Значе-
Значение функции тока векторного поля на дуге L{ обозначим через Сь
а на дуге L2 — через С2. Доказать, что:
1. Линии тока, входящие в граничный источник (или выходящие
из него), отвечают значениям функции тока, заключенным между Q
и С2.
2. Обильность граничного источника равна С2 — Q.
39.43. Нарисовать качественную картину линий тока векторного
поля в окрестности граничного источника.
Граничный полюс векторного поля называется граничным диполем, если
на обеих граничных линиях тока, соединяющихся в этом полюсе, функция тока
векторного поля имеет одно и то же значение и если в этот полюс не входит
больше ни одной линии тока с тем же значением функции тока.
39.44. Доказать, что функция тока векторного поля не ограничена
в окрестности граничного диполя.
Указание. Сделать конформное отображение некоторой окрестности
граничного диполя на полукруг | ? ] < 1, Im ? > 0 (переводящее диполь в точку
? = 0), и применить принцип симметрии.
39.45. Доказать, что при стремлении точки z к граничному ди-
диполю по границе области потенциал векторного поля с одной сто-
стороны имеет предел +оо, а с другой — предел —оо.
39.46. Нарисовать качественную картину линий тока векторного
поля в окрестности граничного диполя.
39.47. Доказать, что обильность граничного источника инвариантна
при конформных отображ'ениях.
39.48. Для следующих векторных полей, заданных комплексным
потенциалом W(z) с указанными областями D, найти граничные ис-
источники и граничные диполи, причем для граничных источников опре-
определить их обильность:
1. W^ez\ D: |Im*|<a. 2. W=ln^±{; D: \z\<l.
3. W=\ncosz\ D: 0<Re,z<Jt, 1тг>0.
4. U7«-J-(* + i); D: Imz>0.-
( )
5. w=z + Y + lnz> D:
6. W=Vl+z2, tJ7(l)>0; D: lmz>0, z&[0,i].
39.49. Комплексный потенциал W(z) векторного поля задан во всей
плоскости с выброшенными лучами arg(z — л/) = л, arg (z + ni) = я,
как неявная функция, уравнением W(z) + ew& = г, Ц7A)>0. Найти
граничные источники и определить их обильность.
39.50. Нарисовать качественную картину линий тока векторного
поля в односвязной области, ограниченной двумя линиями тока, со-
соединяющимися в двух граничных источниках, если ни внутри этой
области, ни на ее границе нет других особых точек.
39.51. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного поля в односвязной области, ограниченной
356
линиями тока, если внутри этой области есть два вихря, а на гра-
границе— Два граничных источника, противоположных по знаку обиль-
ностей (и ни внутри, ни на границе нет других особых точек).
39.52. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного ноля в двухсвязной области, ограниченной
линиями тока, если на границе области имеется два граничных ис-
источника, а кроме них ни внутри, ни на границе области особых
точек нет.
39.53. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного поля в двухсвязной области, ограниченной
линиями тока, если на границе этой области есть один граничный
диполь и ни внутри, ни на границе нет других особых точек.
39.54. Пусть Dk — области, о которых говорится в задаче 39.24.
Выяснить, какие особые точки имеет векторное поле на границе об-
областей третьего и четвертого типа (если рассматривать эти особые
точки как граничные полюсы в области Dk).
Во многих задачах требуется исследовать поведение не линий тока, а экви-
эквипотенциальных линий. Эта задача легко сводится к задаче исследования линий
тока, ибо эквипотенциальные линии для векторного поля с комплексным по-
потенциалом W (г) являются линиями, тока для векторного поля с комплексным
потенциалом — iW (z). Можно, впрочем, не делать никаких сведений, а просто
проводить аналогичные рассуждения.
39.55. Нарисовать качественную картину эквипотенциальных ли-
линий следующих векторных полей, заданных комплексными потенциа-
потенциалами W{z) в указанных областях D:
~; D:
3;
D:
2. W=
4. W = z—\
D:
D:
Bг-1)(г+2).
1
8. W=
9- w=
D:\z\>l.
nz; D:\z\>L
D: \z'\<1- 10-
11. W=lncosz; D:
12. JP-
F, W(l)>0; D: Imz>0, z ф [0, i].
39.56. Дополнить решения задачи 39.35, нарисовав к каждой кар-
картине линий тока отвечающую ей картину эквипотенциальных линий.
* * *
357
Для векторных полей, заданных в областях, ограниченных граничными
линиями тока, наряду с граничными полюсами можно определить и граничные
критические точки. Именно, точка г0 называется граничной критической точкой
порядка т, если из нее выходит или входит в нее 2т + 2 линий тока (включая
граничные линии тока). Число т для граничной критической точки не обяза-
обязательно целое —оно кратно -^-. Легко видеть, что предложенное определение
можно было бы принять и за определение критической точки, расположенной
внутри области задания векторного поля.
39.57. Пусть комплексный потенциал векторного поля непрерывен
вплоть до дуги L, лежащей на границе области D задания этого
векторного поля, а функция тока сохраняет' постоянное значение на
дуге I. Доказать, что на каждой замкнутой части дуги L, не содер-
содержащей ее концов, имеется лишь конечное число граничных крити-
критических точек векторного поля.
Указание. Конформно отобразить некоторую односвязную часть об-
области D, прилегающую к дуге L, на полукруг |?|<1, Im?>0, так, чтобы
дуга L перешла в диаметр этого полукруга, а затем применить принцип сим-
симметрии.
39.58. Пусть z0—граничная критическая точка векторного поля,
a Lx и L2—две соседние линии тока, кончающиеся в этой точке и
отвечающие одному значению функции тока. Доказать, что если при
движении по 1г от точки z0 потенциал векторного поля возрастает,
то при движении по L2 от точки z0 он убывает. (Две линии тока,
отвечающие одному значению функции тока, мы считаем соседними,
если в заключенной между ними части области D вблизи точки z0
нет других линий тока с тем же значением функции тока.)
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
39.59. Пусть комплексный потенциал векторного поля непрерывен
вплоть до дуги L, лежащей на границе области D задания этого
поля, а функция тока сохраняет постоянное значение на дуге L.
Доказать, что направление изменения потенциала векторного поля
может измениться (т., е. убывание может смениться возрастанием
или наоборот) лишь в граничных критических точках нецелого
порядка.
39.60. Пусть комплексный потенциал W(z) векторного поля не-
непрерывен вплоть до границы области D задания векторного поля,
за исключением конечного числа точек, являющихся граничными источ-
источниками или граничными диполями (непрерывности и даже однознач-
однозначности W(z) внутри области D мы не требуем), и пусть вся граница
области D составлена из граничных линий тока, соединяющихся в
граничных особых точках и в граничных критических точках. Про-
Проведем все линии тока, выходящие из критических точек (и входящие
в них), расположенных как внутри, так и на границе области D.
Тогда область D разобьется на некоторое число областей Dk. Дока-
Доказать, что эти области Dk принадлежат к типам, описанным в за-
задаче 39.24.
358
39.61. Пусть выполнены условия задачи 39.60 и пусть, кроме
того, все особые точки векторного поля — это вихреисточники во
внутренних точках области D и граничные источники на ее грани-
границе. Доказать, что для ^-связной области D справедлива формула
М = N+ yiV'+p-2, где М — сумма кратностей всех критических
точек векторного поля, лежащих внутри области D и на ее границе,
N—число вихреисточников векторного поля в области Д a W —
число граничных источников.
Указание. Убедиться в справедливости формулы для каждой из эле-
элементарных областей Dk, а затем показать, что при объединении двух произ-
произвольных областей описанного в задаче типа справедливость формулы не нару-
нарушается,
39.62. Доказать, что формулу задачи 39.61 можно записать в
более общем виде:
— 2,
где N—сумма кратностей всех полюсов векторного поля, лежащих
внутри области D и на ее границе, если приписать граничному ис-
источнику кратность 1/2, а граничному диполю — кратность 1.
Формула, полученная в задачах 39.61 и 39.62, бывает чрезвычайно полезна
при решении вопросов, связанных с существованием и единственностью тех
или иных векторных
39.01.
ОТВЕТЫ
г+с,
рис. 175.
рис. 176.
,; рис. 177.
¦ 359
4.
рис. 178.
6. W = —
= — In 1
?2
рис 179.
; рис. 180.
Рис. 177.
Рис. 178.
7. W^
8. tP =
— arg
l/ = ln|z| + C2; рис. 181.
arg г + Сг; V = In | г | + ar
+ 2;
рис. 182.
; рис. 183.
184.
39.02.
Выходящие: argz
Входящие: argz=
0, I,
m—l.
, fe = 0, I, ..., m—I.
^—^t-^—,
39.03. Рис. 176 и 178.
39.04.
1. Точка 2 = —1; входящие линии тока —луч (—оо, —1)
@, —1); выходящие—верхняя и нижняя половины окружности |г|
г=1: входящие линии тока —- верхняя и нижняя половины окружности |г| = 1;
выходящие — луч A, + оо) и отрезок A, 0).
2. Точка z = —3: входящие линии тока —луч (—оо, —3) и отрезок
(—\t —3); выходящие —верхняя и нижняя половины окружности |г+1| = 2.
3. Точка г = е~~5ш/6: выходящие линии тока —дуги окружности |2|=1г
соединяющие точки 2 = е"~5ш/6 и 2 = е"~я^6; входящие —кривая
и отрезок
= 1. Точка
^^ {— 1/(^а— IJ —^2 (In/—
г/ A —In
и крирая
Q<t<\.
360
Рис. 179.
Рис. 180.
Рис. 181.
Рис. 182.
Рис. 183.
Рис. 184.
361
Точка 2=гв~я'/6: входящие линии тока—дуги окружности |г!=1, соединяю-
соединяющие точки 2 = е"~я//6 и z*=e~~5ni/e; выходящие —кривая
и кривая
{—^^a— IJ—
4. Точка 2=s—3i: линии тока, входящие в эту точку и выходящие из
нее, принадлежат геометрическому месту точек z=*rei!?t удовлетворяющих
уравнению
Точка г == — i/3: линии тока, входящие в эту.точку и выходящие из нее, при-
принадлежат геометрическому месту точек г —re"?, удовлетворяющих уравнению
г (8-5 In Зг)
5. Точка г= — г. линии тока, входящие в эту точку и выходящие из нее,
лежат на окружности |г| = 1 и на геометрическом месте точек г=г*ге(?9 удов-
удовлетворяющих уравнению
г In г
6. Точка г»—1: входящие линии тока —отрезок @, —1) и луч (—со, —1);.
выходящие линии тока —кривые
z=* — tctgt + itt 0</<я; г = — tc\gt — it, 0<t<n.
7. Точка г =—/: входящие в эту точку и выходящие из нее линии тока
лежат на геометрическом месте точек z = x+iy, удовлетворяющих уравнению
у*
8.
Точка г = *: входящие линии тока—кривые
выходящие—кривые
Точка 2=—-i: входящие линии тока —кривые
выходящие — кривые
9. Точка 2=ея/^4: линии тока, входящие в эту точку и выходящие из
нее, принадлежат геометрическому месту точек z*=x+iyt удовлетворяющих
уравнению (я—V2)(x2+y2)+y = 0. Точка г=^~ш/4: линии тока, входящие
в эту точку и выходящие из нее, принадлежат геометрическому месту точек,
удовлетворяющих уравнению (х+У2)(х2+у*)+у = 0.
39.05.
1. z = oo—диполь с моментом 1 и вихрь интенсивности —2я.
2. г=« 1/2—вихрь интенсивности 2л. 3. 2 = 0 —вихрь интенсивносги 2л.
362
4. г = оо — диполь с моментом 1; г = 0 — диполь с моментом I.
5. г = ?я, & = 0, ±1, ±2, ..., —источники обильности 2я.
6. z=knt ? = 0, ±1, ±2, ...,— вихри интенсивности 2я; z =
& = 0, ±1, ±2, ..., —вихри интенсивности —2я.
7. г=1 и 2=1—источники обильности 2я; г = оо—источник обильности
— 4я.
8. г = / и 2 = — « — источники обильности 2я; г = 0 и г = оо—источники
обильности. — 2я.
9. г = оо — источник обильности — 2я.
10. г = оо—вихрь интенсивности — 2я; г = ^=— вихрь интенсивно-
интенсивности 2я.
39.13. Делится на cp'fco)-
39.14. Рис. 185.
39.15. Рис. 186.
39.16. Рис. 187 и рис. 188.
39.17. Рис. 189.
39.18. Рис. 190.
39.19. Рис. 191 и рис. 192.
39.27. Рис. 193, 194, 195, 196.
39.34.
1. Рис. 197. 2. Рис. 198. 3. Рис. 199. 4. Рис. 200. 5. Рис. 201. 6. Рис. 202.
7. Рис. 203. 8. Рис. 204. 9. Рис. 205. 10; Рис. 206. 11. Рис. 207. 12. Рис. 208.
39.35.
1. Рис. 209, 210. 2. Рис. 211, 212, 213, 214, 215, 216. 3. Рис. 217, 218.
4. Рис. 219, 220. 5. Рис. 221, 222, 223, 224, 225, 226.
39.36.
1. Рис. 227, 228, 229. 2. Рис. 230, 231, 232, 233. 3. Рис. 234, 235, 236,
237. 4. Рис. 238, 239, 240, 241, 242, 243.
39.37. Рис. 244, 245, 246. ~
39.38.
1. Рис. 247. 2. Рис. 248. 3. Рис. 249. 4. Рис. 250. 5. Рис. 251. 6. Рис. 252.
7. Рис. 253. 8. Рис. 254. 9. Рис. 255. 10. Рис. 256. 11. Рис. 257. 12. Рис. 258.
39.39.
1. Рис. 259, 260. 2. Рис. 261, 262. 3. Рис. 263, 264. 4. Рис. 265.
5. Рис. 266, 267, 268.
39.43. Рис. 269, 270.
39.46. Рис. 271, 272.
39.48.
1. г== — оо —граничный источник обильности 2а; 2 = -f-°°"-rPaHH4HbIH
источник обильности —2а.
2. г=1 — граничный источник обильности —я; z =—1—граничный источ-
источник обильности я.
3. г = я/2 — граничный источник обильности я; z = oo — граничный источ-
источник обильности —я и граничный диполь.
4. z = 0 и 2 =— оо—граничные диполи.
5. г = 0 —граничный источник обильности я и граничный диполь; z = oo —
граничный источник обильности —я и граничный диполь.
6. 2=оо —граничный диполь.
39.49. 2 = — оо—граничный источник обильности 2я; г = -|-оо—гранич-
-|-оо—граничный источник обильности —2я.
39.50. Рис. 273.
39.51. Рис. 274, 275.
39.52. Рис. 276, 277, 278.
39.53. Рис. 279, 280.
39.54. В области третьего типа —один граничный диполь, в области четвер-
четвертого типа —два граничных источника, противоположных по знаку обиль-
ностей.
363
Рис. 185.
Рис. 186.
Рис. 187.
Рис. 188.
Рис. 189.
Рис. 190.
Рис. 191.
Рис. 192.
Рис. 193.
ТУ
Рис. 194.
364
Рис. 195.
Рис. 196.
Рис. 197.
Рис. 198. \ Рис. 199.
Рис. 200.
' Рис. 201.
Рис. 202.
Рис. 203.
Рис. 204.
365
Рис. 205.
Рис. 206.
Рис. 207.
Рис. 208.
Рис. 209.
Рис, 210.
366
Рис, 211.
Рис. 212.
Рис. 213.
Рис. 214.
Рис. 215.
Рис. 216.
Рис. 217.
Рис. 218.
367
Рис. 219.
Рис. 220.
Рис. 221.
Рис. 222.
Рис. 223.
Рис. 224.
Рис. 225.
Рис. 226.
368
Рис. 227.
Рис. 228.
Рис. 229.
Рис. 230.
Рис. 231.
Рис. 232.
Рис. 233.
Рис. 234.
369
Рис. 235.
Рис. 236.
Рис. 237.
Рис. 238.
Рис. 239.
Рис. 240,
Рис. 241.
Рис. 242.
370
Рис. 243.
Рис. 244.
Рис. 245.
Рис. 246.
Рис. 247.
Рис. 248.
371
Рис. 249.
Рис. 250.
Рис. 251.
Рис. 252,
Рис. 253.
372
Рис. 254.
Рис. 255.
Рис. 256.
373
Рис. 257.
Рис. 258.
Рис. 259.
Рис. 260.
Рис. 261.
Рис. 262.
374
Рис. 263.
Рис. 264.
Рис. 265.
Рис. 266.
Рис. 267.
Рис. 268.
375
Рис. 269. Рис. 270.
Рис. 271.
Рис. 272.
Рис. 273.
Рис. 274.
Рис. 275.
Рис. 276.
Рис. 277.
Рис. 278.
376
Рис. 279.
Рис. 280.
Рис. 281.
Рис. 282.
Рис. 283.
Рис. 284.
377
Рис. 285.
Рис. 286.
Рис. 287.
Рис. 288.
Рис. 289. Рис. 290. Рис. 291.
Рис. 292.
378
Рис. 293.
Рис. 294.
Рис. 295.
Рис. 296.
Рис. 297.
Рис. 298.
Рис. 299.
Рис. 300.
379
Рис. 301.
Рис. 302.
Рис. 303.
Рис. 304.
Рис. 305,
Рис. 306.
Рис. 307.
Рис. 308.
2SG
39.55.
1. Рис. 281. 2. Рис. 282. 3. Рис. 283. 4. Рис. 284. 5. Рис. 285,
6. Рис. 286. 7. Рис. 287. 8. Рис. 288. 9. Рис. 289. 10. Рис. 290. 11. Рис. 291.
12. Рис. 292.
Рис. 309.
Рис. 310.
39.56.
1. Рис. 293, 294. 2. Рис. 295, 296, 297, 298, 299, 300. 3. Рис. 301, 302.
4. Рис. 303, 304. 5. Рис. 305, 306, 307, 308, 309, 310.
§ 40. Построение векторного поля по данным особым точкам
Все термины, относящиеся к векторному полю и его особым точкам, были
определены в предыдущем параграфе.
40.01. Доказать, что векторное поле, заданное в расширенной
плоскости и не имеющее там особых точек, — тождественный нуль.
40.02. Доказать, что не существует векторного поля, имеющего
во всей расширенной плоскости только одну особую точку, являю-
являющуюся полюсом первого порядка, s
Указание. Принять во внимание определение характера особой точки
в бесконечности.
40.03. Доказать, что векторное поле, имеющее в расширенной
плоскости только одну особую точку — полюс порядка т^2 в бес-
бесконечности, имеет вид w (z) = а0 + аг2 +... + o,m_2zmzr2.
40.04. Доказать, что векторное поле, имеющее в расширенной
плоскости только одну особую точку — полюс порядка т^2 в точке
.го^со, имеет вид w\z)~ ao(z—-zo)~2 + .. . + am_2(z — zo)~m.
40.05. Исследовать особые точки следующих векторных полей
W (z), заданных во всей расширенной плоскости:
____1_ 1__ 2 _____1 1__ о _ i , i
. w z \ z__i - • ~z~ z—l
4. ш * .4^+ i
5. w——hr
г+l
z—\
40.06. Исследовать особые точки векторного поля
w(z) =
z-zk
(ak и pk — действительные постоянные).
381
40.07. Доказать, что векторное поле, имеющее во всей расши-
расширенной плоскости ровно п особых точек, являющихся вихреисточни-
ками обильности ak и интенсивности f>k (k= 1,2,.. . ,я), существует
в том и только в том случае, если выполнены условия аг + • • • + осл=0,
PP
Часто приходится решать задачу об отыскании векторного поля w (г),
имеющего в расширенной плоскости данные особые точки и не имеющего дру-
других особых точек. У данных особых точек задаются интенсивность вихря,
обильность источника, момент диполя, коэффициенты при мультиполях. Для
краткости векторное поле, имеющее данные особые точки и не имеющее в рас-
расширенной плоскости других особых точек, мы будем называть векторным по*
лем% порожденным данными особыми точками в расширенной плоскости.
40.08. Доказать, что для существования векторного поля, по-
порожденного данными особыми точками в расширенной плоскости,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1. Сумма обильностей источников по всем заданным особым точ-
точкам равна нулю.
2. Сумма интенсивностей вихрей по всем заданным особым точкам
равна нулю.
40.09. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных по-
полей, порожденных в расширенной плоскости следующими особыми
точками:
1. Источники в точках z = a n z = a (Ima^O) с обильностями
2я и —2jx соответственно.
2. Вихри в точках г = а и г = — й (Re a ^ 0) с интенсивностями
2я и — 2я соответственно.
3. Источники в точках а, а/,— я,—аЦафО) с обильностями 2я,
— 2я, 2я, — 2я соответственно.
4. Вихри в точках а, а/,—а,—а/, -i, ~, —-I, — ± (|а|?&1)
с интенсивностями 2я, 2я, 2я, 2я, — 2я, — 2я, — 2я, — 2я соответ-
соответственно.
5. Диполи в точках г = 0 и 2: = оос моментами 2я и —2я соот-
соответственно.
6. Диполи в точках 2 = 0 и ,г = оо с моментами 2я и 2я/ соот-
соответственно.
. Диполь в точке z = со с моментом —2л и вихри в точках
2 = 0 и 2 = оо с интенсивностями 2я и —2я соответственно.
8. Диполи в точках z = 0 и z = oo с моментами 2я у каждого
и источники в точках ^ = 0 и z = oo с обильностями 2я и —2я
•соответственно.
40.10. Пусть z0:^oo, yt^O — комплексные числа, a ft—положи-
ft—положительное число. Решить следующие задачи:
1. Найти векторное поле wx(z; h)> порожденное в расширенной
плоскости источниками в точках zo + yh и zo—yh обильностей я/А
и —n/h соответственно.
2. Найти предел wx (z) векторного поля w1 (z; h) при h -* 0.
3. Исследовать особые точки векторного поля Wi(z).
382
4. Найти векторное поле w2(z; h), порожденное в расширенной
плоскости вихрями в точках zo-\-yh и z0— yh интенсивностей п/h
и —n/h соответственно.
5. Найти предел w2(z) векторного поля w2(z;h) при /г->0.
6. Исследовать особые точки векторного поля w2(z).
7. Найти векторное поле w8(z;h)9 порожденное в расширенной
плоскости источниками в точках zo + hy, zQ — hy, zQ обильностей
n/h2, я//г2, —2я//г2 соответственно.
8. Найти предел ws(z) векторного поля w3(z;h) при /г->0.
9. Исследовать особые точки векторного поля w3(z).
40.11. Пусть w(z,^-—векторное поле', порожденное в расши-
расширенной плоскости вихрем интенсивности Рт^О в точке z0 и некото-
некоторыми другими особенностями, расположенными в точках, отличных
от точки z0. Обозначив ^:0 = Re^0, yo = lmzOi исследовать характер
особой точки z = z0 для векторных полей w± (z) = -д— w (z; zo)>
В некоторых случаях векторное поле задают лишь его конечны-
конечными особыми точками, добавляя условие существования заданного ко-
конечного предела при ?->оо.
40.12. Доказать, что, каковы бы ни были действительные числа ak
и Pfc (/г=1, 2,..., п) и комплексное число W& ^оо, существует
единственное векторное поле w(z), имеющее в заданных точках zk
(А=1, 2,..., п) вихреисточники обильности о^ и интенсивности (J*,
не имеющее других конечных особых точек и удовлетворяющее
условию lim w(z)=^wo0.
40.13. Исследовать характер особой точки в бесконечности у век-
векторного поля, существование и единственность которого требуется
доказать в задаче 40.12.
40.14. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей
w (z), имеющих указанные конечные особые точки и удовлетворяющих
условию lim w(z) = w0o't-
Z-+CQ
1. Вихрь интенсивности 2я в точке ? = 0; ^00 = 1.
2. Источник обильности 2я в точке .г = 0; Wqo =/. у
3. Источники в точках z = 1 и z = — 1 обильности 2я каждый;
<Шоо=1.
4. Вихри в точках 2=1, z=*i, я=—1, z=—/ интенсивности
2я каждый; ^00=1+/.
5. Диполь в точке z = 0 с моментом 2я/ и вихрь интенсивности
2я в точке 2 = 0; ^оо==Ь
Пусть векторное поле w (z) задано в односвязной области D и его комплекс-
комплексный потенциал W (г) непрерывен в граничных точках этой области (более точ-
точно, для каждого достаточно малого участка границы области D существует
область DjcD, имеющая этот участок частью своей границы и такая, что
каждая регулярная ветвь комплексного потенциала № (z) непрерывна вплоть
до границы области Ох), а функция тока V(z)=*lmW (z) сохраняет постоянное
383
значение на всей границе области D. Такое векторное поле мы будем назы-
называть векторным полем, порожденным в области D своими особыми точками.
Согласно определению, предложенному в § 39, граница области D для
векторного поля, порржденного в этой области своими особыми точками, со-
состоит из граничных линий тока этого векторного поля.
40.15. Доказать, что существует не более одного векторного
поля, порожденного в односвязной области D своими особыми точ-
точками.
Указание. Допустив существование двух векторных полей wx (г) и w2 (z),
рассмотреть функцию тока для векторного поля w (z) =s= w2 (z) — wx (г) и приме-
применить принцип максимума и минимума для гармонических функций.
40.16. Доказать, что необходимым условием существования век-
векторного поля, порожденного в области D его особыми точками,
является равенство нулю суммы обильностей источников по всем
особым точкам.
Указание. Поток через границу области D с одной стороны равен сум-
сумме обильностей источников, а с другой стороны — нулю, ибо граница составле-
составлена из линий тока.
Основная задача состоит в том, чтобы построить векторное поле, порожден-
порожденное в данной области D заданными особыми точками (в каждой особой точке
задается ее положение, обильность источника, интенсивность вихря, момент
диполя, коэффициенты при мультиполях). Для случая, когда область D —полу-
—полуплоскость или круг, задача отыскания такого векторного поля сводится к по-
построению векторного поля, порожденного данными особыми точками во всей
расширенной плоскости. Сведение основано на принципе симметрии Римана —
Шварца (см. § 34),
40.17. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное в полуплоскос-
полуплоскости Im z > 0 своими особыми точками, и пусть функция w (z) непре-
непрерывна в этой полуплоскости вплоть до действительной оси (за исклю-
исключением, разумеется, особых точек). Доказать, что функция w{z) ана-
аналитически продолжается в полуплоскость Im г <С 0 и что аналитическое
продолжение w1(z) дается формулой wx (z) = w (z).
Указание. Функция w (г) действительна на действительной оси.
40.18. Доказать, что утверждение задачи 40.17 сохраняет силу
и без предположения о непрерывности функции w (z) вплоть до дей-
действительной оси.
Указание. Сначала аналитически продолжить комплексный потенциал
W (z)', ограничившись достаточно малой окрестностью каждой точки действитель-
действительной оси (чтобы не мешала его многозначность), а затем воспользоваться резуль-
результатом задачи 40.17.
40.19. Пусть w{z) — векторное поле, порожденное в полуплоско-
полуплоскости Imz>0 своими особыми точками, a wx(z) — его аналитическое
продолжение на полуплоскость Im г <С 0. Доказать следующие утверж-
утверждения:
1. Если точка z0 является особой точкой векторного поля w(z)>
то точка ?0 является особой точкой векторного поля wx(z),
384
2. Если в точке z0 векторное поле w{z) имеет источник обиль-
обильности а, то векторное поле w-^iz) имеет в точке z0 источник той
же обильности а.
3. Если в точке z0 векторное поле w(z) имеет вихрь интенсив-
интенсивности р, то векторное поле w±(z) имеет в точке z0 вихрь интенсив-
интенсивности — р,
4. Если в точке z0 векторное поле w(z) имеет диполь с момен-
моментом а, то векторное поле w1 (z) имеет в точке z0 диполь с момен-
моментом а.
40.20. Доказать, что в случае, когда область D — это полупло-
полуплоскость Im z > 0, необходимое условие существования векторного
поля, порожденного в области D данными особыми точками, выска-
высказанное в задаче 40.16, является также и достаточным.
40.21. Пусть w{z) — векторное поле, порожденное в круге \z\<CR
своими особыми точками. Доказать, что функция w (z) аналитически
продолжается в область \z\>R и что аналитическое продолжение
(D2\ D2
-r-W.
Указание. Мнимая часть комплексного потенциала сохраняет на окруж-
окружности \z\ = R постоянное значение, ибо окружность состоит из граничных
линий тока.
40.22. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное в круге | г | </?
своими особыми точками, a w1{z) — его аналитическое продолжение
на область | z | >> R.
Доказать следующие утверждения:
1. Если точка *z0 является особой точкой векторного поля w(z),
то точка R2/z0 является особой точкой векторного поля w±(z).
2. Если точка z0 является источником обильности а для вектор-
векторного поля w'(z), то точка R2/z0 является источником той же обиль-
обильности а для векторного поля w1 (z).
3. Если точка z0 является вихрем интенсивности E для вектор-
векторного ноля w (z\ то точка R2/z0 является вихрем интенсивности — Р
для векторного поля w1(z).
4. Если точка z0 является диполем с моментом а для векторного
поля w(z), то точка R2/z0 является диполем с моментом —aR2/z20
для векторного поля wx (z) при z0 Ф 0 и с моментом а при
*o=o.
40.23. Пусть w{z) — векторное поле, порожденное своими осо-
особыми точками в полуплоскости Re {{z — с)е1ч>}>0. Доказать, что это
векторное поле аналитически продолжается на всю расширенную
плоскость, и найти формулу для аналитического продолжения wx{z)
на полуплоскость Re {(z — с) е~ /(р} < 0.
40.24. Пусть w{z) — векторное поле, порожденное в полуплоско-
полуплоскости Re z > 0 своими особыми точками, среди которых имеется диполь
с моментом а в точке z0. Доказать, что аналитическое продолжение
векторного поля w(z) на всю плоскость имеет диполь в точке —г0,
и найти момент этого диполя.
13 Под ред. М. А. Евграфова 385
С помошью принципа симметрии можно решить задачу о построении век-
векторного поля, порожденного в области D заданными особыми точками, не
только для случая, когда область D — это круг или полуплоскость, но и для
многих других областей, ограниченных прямыми и дугами окружностей.
40.25. Пусть w{z) — векторное поле, порожденное в полукруге
|г|<1, Imz>0, своими особыми точками. Доказать, что:
1. Векторное поле w (z) аналитически продолжается до векторного
поля w1(z)f заданного во всей расширенной плоскости.
2. Если точка z0 является особой точкой векторного поля w(z)y
то точки г0, 1/г0 и \/z0 являются особыми точками векторного поля
3. Если точка z0 является источником обильности а для вектор-
векторного поля w(z), то точки г0, l/z0 и \/z0 также являются источниками
обильности а для векторного поля wx(z).
4. Если точка z0 является вихрем интенсивности р для вектор-
векторного поля w(z), то точки г0, l/z0 u~ l/z0 также являются вихрями
для векторного поля w1 (z) и их интенсивности равны соответственно
-р. -р> р.
5. Если точка z0 является диполем с моментом а для векторного
поля w(z)y то точки z0, l/z0 и \/z0 также являются диполями для
векторного поля wx (z) и их моменты равны а, — ajz\, — a{z% соот-
соответственно.
40.26. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область D: Re?>0; вихрь интенсивности 2я в точке г=1.
2. Область D: Re2>0; источники в точках z=\ и z = 2 обиль-
обильности 2л и — 2л соответственно.
3. Область D: Re^>0; источники в точках 2 = 1+/ иг=1—/
обильности 2л и — 2л соответственно.
4. Область D: Re2>Imz; диполь с моментом 2л в точке z = 2.
5. Область D: Re^>Im^; диполь с моментом 2л/ в точке z = 1.
6. Область D: |г|>1; вихрь интенсивности 2л в точке z = 2.
7. Область D: |г|>1; источники в точках z = 2, z = 2lf z =
= — 2, z = — 2/ обильности 2л, — 2л, 2л, — 2л соответственно.
8. Область D: | z \ > R\ диполь с моментом 2л в точке z == оо
и вихрь интенсивности 2л в точке z = oo.
9. Область D: \z\>l\ диполь с моментом 2л в точке г = оо
и вихри в точках z = a и z = a интенсивности 2зт и —2л соответ-
соответственно.
10. Область D: | arg z \ <-?-; вихрь интенсивности 2л в точке
z=l и вихрь интенсивности 2я в точке z = 2.
11. Область D: 0 < arg z < —¦, | z \ <. 1; вихрь интенсивности 2л
в точке г = —~.
12. Область D: |г— 1 | <"j/*2, |<г+ 1|<]/^; источники в точках
= i/2 и z = — 1/2 обильности 2л и — 2л соответственно.
386
В случае, когда известно конформное отображение области D на круг,
полуплоскость или на какую-либо другую область, в которой мы умеем строить
векторное поле по его особым точкам, эта задача может быть решена и для
области D.
40.27. Пусть w(z)— векторное поле, порожденное в области D
своими особыми точками, а ,г = ф(?) — конформное отображение
области Dx на область D. Доказать, что:
1. Векторное поле ы\(?>) = w (ф(?))ф'(?) порождено в области Dx
своими особыми точками.
2. Точка ?0 является особой точкой векторного поля w± (?) в том
и только в том случае, когда точка z0 = ф (?0) является особой точ-
точкой векторного поля w(z).
3. Если точка z0 является источником обильности а для вектор-
векторного поля w (zO то точка ?0 также является источником обильности а
для векторного поля Wife).
4. Если точка z0 является вихрем интенсивности р для вектор-
векторного поля w(z)> то точка ?0 также является вихрем интенсивности Р
для векторого поля W1(t)).
5. Если точка z0 является диполем с моментом а для векторного
поля w (z), то точка ?0 является диполем с моментом а/ф' (?0) для
векторного поля wx (?) (при условии, что z0 Ф со и ?0 Ф оо или
z0 = od и ^о = 00)-
40.28. Опираясь на теорему Римана о существовании конформного
отображения, доказать, что для любой односвязной области Д отлич-
отличной от всей комплексной плоскости и от расширенной комплексной
плоскости, необходимое условие существования векторного поля,
порожденного в области D заданными особыми точками (предложен-
(предложенное для доказательства в задаче 40.16), является и достаточным.
40.29. Пусть D — односвязная область, а ,г0=^=оо — ее внутренняя
точка. Обозначим через ф(г) функцию, конформно отображающую
область D на единичный круг, переводящую точку z0 в центр круга
и удовлетворяющую условию ф' (z0) > 0. Доказать, что функция
W(z) = i\n (p(z) является комплексным потенциалом векторного поля,
порожденного в области D вихрем интенсивности 2я в точке г0.
40.30. Пусть D — односвязная область. Для любой точки z0^ D
обозначим через ф(г; z0) функцию, конформно отображающую
область D на единичный круг и переводящую точку z0 в центр
круга (эта функция определяется с некоторой степенью произвола).
Доказать, что функция W(z) = \n , ' Zl\ является комплексным потен-
циалом векторного поля, порожденного в области D источниками
в точках zx и z2 обильности 2л и — 2я соответственно.
40.31. Пусть D — односвязная область, имеющая точку z = oo
внутренней точкой. Обозначим через q>(z) функцию, конформно ото-
отображающую область D на внешность единичного .круга, оставляющую
на месте бесконечно удаленную точку и удовлетворяющую условию
e-ix
ф'(оо)>0. Доказать, что функция W(z) = eix(p(z)-\—т-r является
13* 387
комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области
D диполем в точке z = oo с моментом ф'(оо)?/т.
40.32. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
х2 Ф 1
1. Область D: <ж + ij- > yg; Диполь в точке z = оо с моментом 2 л.
х2 и2 1
2. Область D: о^ + ъ">Тб^ диполь в точке z = oo с моментом
— 2л и вихрь в точке z = оо интенсивности 2л|$.
х2 и2 1
3. Область D: ос + ~|г>Тб; Диполь в г = оо с моментом 2neix.
4. Область D: z ф [—1,1]; диполь с моментом —2л и вихрь
интенсивности 2лР в точке z = oo.
5. Область D: z ф[—1,1]; диполь с моментом 2пен и вихрь
интенсивности 2л в точке z = оо .
6. Область D: \z — /|>]/, |г + /|>]/2; диполь в точке
г=оо с моментом 2neix.
7. Область D: | г — /|>]/*2, |г + ^'|>Т^2; диполь с моментом
2л A+0 и вихрь интенсивности 2лр в точке г = оо.
8. Область D: z ф [—1,1]; источники в точках z = i и z = — i
обильности 2л и — 2л соответственно.
9. Область D — вся плоскость с разрезом по дуге окружности
+|ctg2a, 0<a<-J,
лежащей в верхней полуплоскости; диполь с моментом 2пен в беско-
бесконечности.
10. Область D — верхняя полуплоскость с разрезом по вертикальному
отрезку [0, /]; источники в точках z = 2-\-l и z = — 2\-i обильно-
обильности 2л и — 2л соответственно.
11. Область D — внешность круга |z|^l с разрезами по отрез-
отрезкам A,2) и (—2, —1); диполь с моментом 2л/ в бесконечности.
12. Область D — внешность круга |г|^1 с разрезами по отрез-
отрезкам A,2) и (—2, — 1); диполь с моментом 2я?/т в бесконечности.
40.33. Профилем Жуковского называется образ окружности
|? — ?о| = Я> где Со= 1— Re-<*<\ Я>1, 0^а< л/2, при отобра-
отображении функцией z = yK + ~F")* Обозначим через D бесконечную
область, ограниченную профилем Жуковского. Найти комплексный
потенциал W(z) векторного поля, порожденного в области D дипо-
диполем с моментом ен и вихрем интенсивности 2я|3 в бесконечности.
* * *
Часто приходится строить векторное поле по заданным особым точкам
в области, граница которой составлена не из граничных линий тока, а из гра-
граничных эквипотенциальных линий. Эта задача немедленно сводится к рассмот-
рассмотренной умножением комплексного потенциала на мнимую единицу.
40.34. Пусть w(z)—векторное поле с комплексным потенциалом
W(z), а wx{z) — векторное поле с комплексным потенциалом iW(z).
Доказать, что;
388
1. Линии тока векторного поля wx(z) являются эквипотенциаль-
эквипотенциальными линиями векторного поля w(z), а эквипотенциальные линии
векторного поля Wi(z) отличаются от линий тока векторного поля
w{z) лишь заменой направления движения на противоположное.
2. Если векторное поле w(z) имеет в точке z0 источник обиль-
обильности а, то векторное поле w1(z) имеет в точке zo вихрь интенсив-
интенсивности E.
3. Если векторное поле w(z) имеет в точке z0 вихрь интенсив-
интенсивности р, то векторное поле wx{z) имеет в точке z0 источник обиль-
обильности — |J.
4. Если векторное поле w(z) имеет в точке z0 диполь с момен-
моментом а, то векторное поле w1(z) имеет в точке z0 диполь с момен-
моментом ia.
40.35. Доказать, что необходимым и достаточным условием су-
существования в односвязной области D (отличной от всей плоскости
и всей расширенной плоскости) векторного поля, имеющего в этой
области заданные особые точки, при условии, что граница области
составлена из граничных эквипотенциальных линий, является равен-
равенство нулю суммы интенсивностей вихрей в заданных особых точках.
Указание. См. задачу 40.28.
40.36. Найти комплексные потенциалы W (z) векторных полей,
заданных в указанных областях Д по заданным особым точкам при
условии, что граница области D составлена из граничных эквипо-
эквипотенциальных линий этих полей:
1. Область D:Rez>0; вихри в точках 2 = 1+*' и z=l—/
интенсивности 2я и —2я соответственно.
2. Область D:\z\<l; вихри в точках 2 = —у^-,г= ~ ,г =
= ~~ ~~l ^ z = tj"* интенсивностей 2я, — 2я, 2я> — 2я соответственно.
3. Область D:Rez>0, |г|<1; диполь в точке г=1/2с момен-
моментом 2м.
4. Область D: | Im z \ < 1; вихри в точках z= — 1и2=1 интенсив-
интенсивности 2я и —2я соответственно.
5. Область D: \z — / >/^3 | < 2, \z-\- />/~3 | < 2; источник обиль-
обильности 2я в бесконечности.
* * *
Иногда приходится решать задачу о построении векторного поля по его
особым точкам, заданным не только внутри, но и на границе области. Чаще
всего в таких случаях на границе задаются граничные источники (см. опре-
определение перед задачей 39.40).
40.37. Пусть векторное поле w(z) задано в верхней полупло-
полуплоскости и непрерывно вплоть до действительной оси, за исключением
точек z = 0 и z = оо, в которых оно имеет граничные источники обиль-
обильности аи —а соответственно, причем лучи @, + оо) и (— оо, 0)
являются линиями тока векторного поля. Доказать, что функция w (z)
аналитически продолжается на всю расширенную плоскость (за исклю-
389
чением точек 2 = 0 и z = oo) и что векторное поле, отвечающее этому
аналитическому продолжению, имеет в точках 2 = 0и z = оо источ-
источники обильности 2а и —2а соответственно.
Указание. Применить принцип симметрии и воспользоваться тем, что
при стремлении точки к граничному источнику функция тока остается ограни-
ограниченной, а потенциал стремится к бесконечности.
40.38. Доказать, что утверждение задачи 40.37 сохраняет силу и
без предположения о непрерывности векторного поля — достаточно
потребовать, чтобы был непрерывен комплексный потенциал (лучи
@, +со) и (— со, 0) тогда нужно считать граничными линиями тока).
Указание. См. указание к задаче 40.17.
Термин «векторное поле, порожденное в области D данными особыми
точками» мы сохраним и для случая, когда на границе области задается конеч-
конечное число граничных источников (а участки границы между ними составлены
из граничных линий тока).
40.39. Доказать, что векторное поле, порожденное в односвязной
области двумя граничными источниками противоположной обильности,
существует и единственно.
Указание. Сделать конформное отображение на полуплоскость.
40.40. Пусть D — односвязная область, \х и ?2-—две ее граничные
точки, а ф(-г) — какая-либо функция, конформно отображающая область
D на полосу 0 < lm z <С а и переводящая точку ?х в точку — оо, а
точку ?2—в точку + оо. Доказать, что функция ф(,г) является ком-
комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области D
граничными источниками в точках ^ и ?2 обильности аи — а со-
соответственно.
40.41. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область D: |1т,г|<;-7т; граничные источники в точках z==^
и z=—к- обильность я и —л соответственно.
2. Область D: |Re^|<y; источник в точке 2 = 0 обильности
2я и граничные источники в точках z = — too и z=-\-ioo обиль-
обильности — я каждый.
3. Область D: |Re2|<-o-; источники в точках z=-j- и 2 = j-
обильности 2я каждый и граничные источники в точках z=-\-ioo и
2 = —/со обильности —2я каждый.
4. Область D: х2—У2<~к\ граничные источники в точках z =
= -fi#o° и 2== — loo обильности 1 и —1 соответственно.
5. Область D — полоса |1т,г|<у с разрезом по лучу @, +оо);
граничные источники в точках г = -^~-\-оо и г== ^"-f-oo обиль-
390
ности ах и а2 соответственно и граничный источник в точке z= —оо
обильности — (ах + о^)-
6. Область D — полоса \\mz\<^nj2 с разрезами по лучам
(-2-1п2,-[-оо| и (—оо,—-^-in2j; граничные источники в точках
ni . iti ni , ni
z = y + °°> -г—у —оо, z = — y + oo, 2: = — y--00
обильности я, — я, я, — я соответственно.
Можно ставить задачу и об отыскании векторного поля, порожденного
в области D граничным диполем. Однако количественная характеристика гра-
граничного диполя довольно сложна. Сколько-нибудь удовлетворительная форма
для нее (момент граничного диполя) может быть предложена лишь в случае,
когда граница области имеет касательную в точке расположения граничного
диполя. Однако даже в этом случае формулировка достаточно сложна.
40.42. Пусть векторное поле w(z) задано в верхней полуплоско-
полуплоскости и вся действительная ось составлена из граничных линий тока,
а в точке z = 00 расположен граничный диполь. Доказать, что фун-
функция w (z) аналитически продолжается на всю расширенную плоскость
(за исключением некоторого числа полюсов) и что векторное поле,
отвечающее этому аналитическому продолжению, имеет в точке ?=оо
диполь с действительным моментом.
Если граничный диполь расположен на аналитической дуге, то, как видно
из предыдущей задачи, векторное поле аналитически продолжается через эту
дугу и продолженное векторное поле имеет уже внутренний диполь. В этом
случае естественно назвать моментом граничного диполя половину момента воз-
возникающего внутреннего диполя. Аналогичное определение, хотя и с некото-
некоторыми дополнительными сложностями, можно дать и для граничного диполя,
расположенного на гладкой дуге.
40.43. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область D: \z — /| <[]/~2, |z + *l <^]/~2; граничные диполи в точ-
i i
ках z=~7=— и z = —— с моментами я и —я соответственно.
/2+1 J/2+1
2. Область D: \z\<^l; вихрь интенсивности 2я в точке z = 0
и граничные диполи в точках z = i и z = — / с моментами я и—я
соответственно.
3. Область D: верхняя полуплоскость с разрезом по вертикаль-
вертикальному отрезку [0, /]; граничные диполи в точках z=l и z== — 1
с моментами я каждый.
4. Область D: единичный круг с разрезами по вертикальным
отрезкам — /, — ~\ и Ц>, / ; граничные диполи в точках z=-* 1 и z = — 1
с моментами ш и — ni соответственно.
40.44. Пусть D — односвязная область, ?0—ее граничная точка, а
? = cp(z) — какая-либо функция, конформно отображающая область D
на полуплоскость Im?^>0 и переводящая точку z = g0 в точку ?=оо.
Доказать, что функция ф(г) является комплексным потенциалом
391
векторного поля, порожденного в области D граничным диполем в
точке go-
Граничные источники и граничные диполи можно рассматривать как пре-
предельный случай источников и диполей, расположенных внутри области.
40.45. Пусть w{z\ «г0) — векторное поле, порожденное в односвяз-
вой области D источником обильности а в точке г0бОи некоторым
количеством других особых точек, не зависящих от z0. Доказать,
что, когда точка z0 стремится к граничной точке ?0 области Д
векторное поле ?at(z; z0) стремится к векторному полю wo(z), порож-
порожденному в области D граничным источником обильности а в точке ?0
и остальными не зависящими от z0 особыми точками (сходимость
равномерна в каждой замкнутой части области D).
40.46. Пусть [zn] — последовательность точек верхней полуплос-
полуплоскости, имеющая пределом точку z = 0> a wn (z) — векторное поле,
порожденное в верхней полуплоскости диполем с моментом а в точ-
точке zn и некоторым количеством других особых точек', не зависящих
от п. Доказать, что при п->оо векторное поле wn(z) стремится к
векторному полю wo(z), порожденному в верхней полуплоскости
граничным диполем с моментом Re а в точке 2 = 0 и остальными
особыми точками, не зависящими от п (сходимость равномерна
в каждой замкнутой части верхней полуплоскости).
В точках, где нарушается гладкость границы области D, уже нельзя рас-
рассматривать граничный диполь как предел последовательности внутренних ди-
диполей с тем же моментом.
40.47. Обозначим через wnt(X(z) векторное поле, порожденное
в угле ] arg z \ <^ -т диполем с-моментом а в точке z = - eia, | arg cc [ <C"Z-
Найти предел wntOi(z) при п—>оо.
В случае, когда односвязная область D содержит бесконечно удаленную
точку, часто ставится задача отыскания векторного поля w (z), заданного
в области D, лишь по данным конечным особым точкам. Ясно, что такая задача
решается не единственным образом. Для выделения единственного решения
накладываются некоторые дополнительные условия.
40.48. Найти общий вид комплексного потенциала W(z) вектор-
векторного поля w(z), заданного в области \z\^>R, не имеющего в этой
области конечных особых точек, при условии, что окружность \z\ = R
составлена из граничных линий тока и что lim w{z) = w<x>.
z-*co
40.49. Доказать, что векторное поле предыдущей задачи опре-
определяется единственным образом, если помимо величины w<x> задать
еще величину циркуляции векторного поля по окружности |г| = 1.
40.50. Пусть D — односвязная область, имеющая точку z = oo
внутренней точкой. Доказать, что векторное поле w(z), удовлетво-
удовлетворяющее условиям:
а) граница области D составлена из граничных линий тока
векторного поля w(z);
392
б) векторное поле w(z) не имеет конечных особых точек
в области D;
в) lim w(z) = 0;
2-Ч-ОО
г) циркуляция векторного поля w(z) по границе области D
равна нулю;
является тождественным нулем.
Задачу о построении векторного поля по заданным особым точкам можно
ставить и в многосвязных областях (описанную выше задачу можно рассмат-
рассматривать как задачу построения поля в вырожденной двухсвязной области —
области D с выколотой точкой г = оо). В этом случае помимо особых точек
приходится дополнительно задавать еще некоторые величины.
40.51. Доказать, что комплексный потенциал W(z) векторного
поля w (г), заданного в кольце 1 < | z \ <CR и не имеющего там
особых точек, при условии, что граничные окружности кольца состав-
составлены из граничных линий тока векторного поля w (z), имеет вид
W(z) = iy\n | z |+С, где у — произвольная действительная постоянная,
а С — произвольная комплексная постоянная.
40.52. Доказать, что векторное поле w(z), заданное в кольце
I <i\z\<CR, граничные окружности которого составлены из гранич-
граничных линий векторного поля w(z), определяется единственным обра-
образом, если задать его особые точки и его циркуляцию по окружно-
окружности |,г| = 1.
Пусть D — какая-либо р-связная область, ограниченная кусочно-глацкими
кривыми Г>0, Гь ..., Гт_х. Одну из граничных кривых (для определенности Го)
мы будем называть внешней граничной кривой, а остальные —внутренними
граничными кривыми.
Если векторное поле w (г) задано в области D и граничные кривые этой
области составлены из граничных линий тока векторного поля w (г), то мы
будем говорить, что векторное поле w (г) порождено в области D его особыми
точками и циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Вопрос о единственности векторного поля, порожденного в области D
данными особыми точками (задаются, как обычно, положение особых точек,
обильность источников, интенсивность вихрей, моменты диполей, коэффициенты
при мультиполях) и данными циркуляциями по всем внутренним граничным
кривым, сравнительно легко решается с помощью соотношения между числом
критических точек и числом полюсов векторного поля, полученного в зада-
задаче 39.62.
40.53. Пусть w(z) — векторное поле, заданное в области Д и
пусть граничные кривые области D составлены из граничных линий
тока векторного поля w(z). Доказать, что если циркуляция вектор-
векторного поля w(z) вдоль граничной кривой Tk равна нулю, то на
кривой Yk имеется не меньше двух граничных критических точек.
Указание. Циркуляция векторного поля вдоль линии тока равна
изменению потенциала векторного поля вдоль этой линии, а на участках
линии тока, не содержащих критических точек, потенциал меняется монотонно.
40.54. Пусть векторное поле, порожденное в /?-связной области
его особыми точками и циркуляциями, имеет равные нулю циркуля-
циркуляции по всем граничным кривым этой области (включая и внешнюю
393
граничную кривую). Доказать, что сумма кратностей внутренних и
граничных критических точек векторного поля не меньше, чем р.
40.65. Доказать, что существует не более одного векторного
поли, порожденного в /^-связкой области данными особыми точками
и данными циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Указание. Если W\ (г) и до2 (z) — Два таких векторных поля, то их
разность w (г) не имеет в области D особых точек и циркуляции векторного
поля w (г) по всем граничным кривым области D (включая внешнюю) равны
нулю.
* * *
Метод аналитического продолжения векторных полей с помощью принципа
симметрии можно применять и бесконечно много раз, хотя такие продолжения
требуют дополнительного обоснования.
40.56. Обозначим через wn(z) векторное поле, порожденное
во всей расширенной плоскости вихрями в точках zk= -<rBk -\-\),
n—1, с интенсивностями р^==(—l)k2n. Доказать, что при
векторное поле wn(z) равномерно стремится к пределу w(z)
в каждой конечной области и что предельное векторное поле w(z)
дает аналитическое продолжение на всю плоскость векторного поля,
порожденного в полосе 0 < Re z < я вихрем интенсивности 2я
в точке 2— я/2.
40.57. Обозначим через wn(z) векторное поле, порожденное в
расширенной плоскости источниками в точках zk = kn, —n^k^.n,
с обильностями 2я каждый и источником обильности — 2яB#-)~1)
в бесконечности. Доказать, что при я->оо векторное поле wn(z)
стремится к пределу w(z) равномерно в каждой конечной области
и что предельное векторное поле w(z) дает аналитическое продол-
продолжение на всю плоскость векторного поля, порожденного в полосе
|Re2|<7f источником обильности 2я в точке 2 = 0 и граничными
источниками обильности —я каждый в точках z—-\-ioo и z =
= — /оо.
40.58. Пусть wo(z) — векторное поле, порожденное в полосе
|Imz|<-2- своими особыми точками, причем это векторное поле
не имеет граничных особых точек. Продолжая векторное поле wo(z)
по принципу симметрии через границы, мы можем выяснить харак-
характер особых точек аналитического продолжения во всей плоскости.
Обозначим через wn(z) векторное поле, порожденное во всей рас-
расширенной плоскости теми особыми точками аналитического продол-
продолжения, которые попадают в полосу | Imz \ <с(п-\-^)п- Доказать, что
при п-+оо векторное поле wn{z) стремится к пределу равномерно
в каждой конечной области и что в полосе | Im ^r | <С -^- этот предел
совпадает с векторным полем wo(z).
40.59. Разрешим векторному полю wo(z) задачи 40.58 иметь
граничные источники в точках z = +oo и z = — со и обозначим их
394
обильности аг и а2 соответственно. При построении векторного
поля wn (z) мы будем добавлять к особенностям аналитического про-
продолжения векторного поля wo(z) еще и источник в бесконечности
обильности ац + осз.- Доказать, что в полосе | Im z | <-н". векторное
поле wn{z) стремится к пределу, совпадающему с векторным полем,
порожденным в этой полосе теми же конечными особыми точками,
что и поле Wq(z), к которым добавлены граничные источники в точ-
точках ? = -foo и z = — оо обильности а1~^а2 каждый.
40.60. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в прямоугольнике
— co<Rez<co, — со'< Im 2 < со',
диполем с моментом 2я в точке z = 0. Доказать, что
W (г) = i- + ?' {(z — 2лсо — 2ш'со')~2 — B/ио + 2/^со')~2} + С,
где суммирование распространяется на все целые (положительные и
отрицательные) числа п и п\ не равные нулю одновременно.
40.61. Доказать, что функция
i Bnr
(произведение берется по всем целым числам п и я', не равным нулю
одновременно) конформно отображает прямоугольник
— co<Rez<co, — со'< Im г < со',
на круг |?|<Я где Я=1/Ф'@).
Указание. Построить векторное поле, порожденное в этом прямоуголь-
прямоугольнике вихрем в точке г = 0.
40.62. Пусть W(z)— комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в крльце 1 <; | z | < R2 диполем с моментом 2я в точке
z = R и циркуляцией по окружности |z| = l, равной нулю. Доказать,
оо
_ 1\П П—П (А1 -f 1)
2
40.63. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля»
порожденного в кольце 1<J?|<R2 вихрем интенсивности 2я в
точке z = R и равной нулю циркуляцией по окружности |z|=l.
Доказать, что й7(г) = ПпФ(г) + С, где Ф(г)= JJ }~
/г =аа-— со
С — произвольная постоянная.
40.64. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в кольце 1 < | z | < R2 источниками в точках z = R
и z = — R обильности 2я и —2л соответственно и циркуляцией по
395
окружности 1^1=1, равной нулю. Доказать, что \Х7(г) = \пФ(г)-{-С,
00
где Ф(,г) = II 1 _ П2П+1 » а ^ — произвольная постоянная.
и = — оо
40.65. Доказать, что необходимым и достаточным условием суще-
существования векторного поля, порожденного в кольце 1 < | z | < R дан-
данными особыми точками и данной циркуляцией по окружности | z | = 1,
является равенство нулю суммы обильностей источников по всем
заданным особым точкам.
ОТВЕТЫ
40.05.
1. z — 0 — источник обильности 2л; z=l — источник обильности 2л;
z = оо — источник обильности — 4л.
2. z = 0 — источник обильности 2л, z=l — источник обильности — 2л.
3. z=l — вихрь интенсивности 2л; z = —1 —вихрь интенсивности 2л;
z = oo — вихрь интенсивности — 4л.
4. г = 0 —источник обильности 2я, z = oo —источник обильности — 2л;
г=1 — вихрь интенсивности 2я; г = —1 —вихрь интенсивности —2л.
5. z=l — источник обильности —2л и вихрь интенсивности 2л; z = —1 —
источник обильности 2л и вихрь интенсивности 2л; г = оо —вихрь интенсив-
интенсивности — 4л.
6. г = 1 —источник обильности 2л и вихрь интенсивности —2л; г = — 1 —
источник обильности 2л и вихрь интенсивности —2л; г = 0 — источник обиль-
обильности — 4л; г = оо — вихрь интенсивности 4л.
40.06. Точка zk — источник обильности 2ла^ и вихрь интенсивности 2лрА;
точка z = оо — источник обильности — 2я (а! + а2 + ... + ал) и вихрь интен-
интенсивности - 2л (рх + р2 +... + рл).
40.09.
1. И7 = 1п-—+ С. 2. № = Пп?-=^ + С. 3. Н7 = 1п^4
г —а ' z + й ' 22 + а2
4. W = i\n ^Zzfab +Ct 5* ^ = у-г + С. 6. \F = /z + y
7. VF = —г + Ппг + С. 8. W = z+—
40.10.
1. wx (г; h) = -7 ~—nrv 2. w1 (z) — -.—x—^r. 3. Диполь в точке
14 ; B —г0J —/i2y2 B — z0J
г0 с моментом — у.
4- ^(^; h)^(z_zJIh^ . 5. М<) = (гггJ. 6. Диполь в точ-
точке z0 с моментом —1*7.
йоль в точке z0.
40.11. а»!—диполь с моментом —?р; ш2—диполь с моментом р.
40.13. Диполь с моментом 2лш00, источник обильности — 2л (ах +... + ап)
и вихрь интенсивности 2 (р +
40.14.
1. W^z + i\nz+C. 2. W^—iz + lnz + C. 3. W = г
4. U7e=(l —02 + Пп(г*—1) + С. 5. 1Г = г + у
40.23. 5T(z)"= ю (с — е21'^ (г ~с)) (Re {(г - с) е "/ф } < 0).
396
40.24.
40.26.
-а.
. 2. П7 = 1
. 3. V = l
(г-0,5/) (г-0,6-0,80 (г+0,6-0,8р (г-2,501 , „
~ (г+ 0,50 (г-0,6+ 0,8«) (г+ 0,6+0,8«) (г+ 2,50
40.32.
2. 1Г=-1г + |-К?=Т-
3. W = (у
4. Г = —г
5.
6
-2e
~ ix
— ip In (
=\ + С.
=гcost + *]/z^ star-
3
з
.т(г+1J/3_(г_1J/з
7 г_
2A+0(г+1)
2/3 + (г-
2/3 _ (г _ 1J/з
1-г (г+if/3_(г_ 1J/3
з (г + IJ/3 -+(г_1)г/3
1
9. Г = —
2
г2 + 3 —
10.
— 1— ttga)H
cos-i
—
COS-^
о
\- С.
11. Г
12. u? = B + y
4о.зз.
-1—4,25 +С.
/l/ г2+-1-4,
25 sin т+С.
40.36.
397
Шг*
5. У-
40.41.
1. № = lnth ^2z —-^-Wc. 2. №
3. № = lncos2z + C. 4. W = ~
5. r==
6.
Z-l+y e*z—^
— In D^ — 5 + 2 }/V* —5e2*+4)-fC.
40.43.
2.
+ С. 2. Ч^
28+1 B+l)«/3+(z
3. W=2^I + C. 4. ^-
40.47. Тождественный нуль.
40.48. W=t>Jz+^
§ 41. Связь векторных полей с конформными
отображениями и с решениями задачи Дирихле
До сих пор конформные отображения использовались лишь как средство
для решения задачи' об отыскании векторных полей с заданными особыми точ-
точками. Однако возможен и обратный подход — построение конформных отобра-
отображений через отыскание векторных полей с заданными особыми точками.
41.01. Пусть ? = ф(Х) — какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая односвязную область D на круг | ? | < R и переводящая
точку z0 e D в точку ? = 0. Доказать, что функция W(z) = i\n q>(z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного
в области D вихрем интенсивности 2я в точке z0.
41.02. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D вихрем интенсивности 2я в
точке zQ e D. Доказать, что функция ф (z) — e—iW <2) конформно
отображает область D на некоторый круг |?|<;/?, а точку zQ пере-
переводит в точку ? = 0.
Указание. См задачу 32.30.
398
41.03. Доказать, что из единственности векторного поля, порож-
порожденного в односвязной области D его особыми точками, следует
единственность конформного отображения области D на круг | ? | < R,
если заданы радиус R этого круга, точка z0 e Д переходящая в
центр круга, и значение аргумента производной отображающей функ-
функции в точке z0 (при z0 ф оо).
41.04. Пусть ? = ф(,г)— какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая односвязную область D на полосу ширины 2я со сторонами,
параллельными действительной оси, и переводящая точку ?х е= dD в
точку ? =— оо, а точку ?2 е dD— в точку ? = -|-оо. Доказать, что
функция ф(г) является комплексным потенциалом векторного поля,
порожденного в области D граничными источниками в точках ?2 и
|2 обильности 2я и —2я соответственно.
Указание. См. задачу 26.29.
41.05. Пусть D — односвязная область, содержащая бесконечно
удаленную точку, а_? = ф(г)— функция, конформно отображающая
эту область на всю плоскость с разрезом по отрезку [—/?, R] и
переводящая точку z = oo в точку ? = оо. Доказать, что функция (p(z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в
области D диполем в бесконечности с моментом 2яф'(оо).
41.06. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D диполем в точке z0 e D.
Доказать, что функция ? = W(z) конформно отображает область D
на всю плоскость с разрезом по некоторому горизонтальному отрезку,
а точку z0 переводит в точку ? = оо.
41.07. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D источниками в точках z1^ D
и г2 е D обильности 2я и —2я соответственно. Доказать, что функция
? = е^ № конформно отображает область D на всю плоскость с раз-
разрезом по некоторому отрезку луча arg ? = const, причем точка гг пере-
переходит в точку ? = 0, а точка z2 — в точку ?= оо.
41.08. Построив надлежащие векторные поля с помощью принципа
симметрии, найти конформные отображения ? = ф-(,г) полуплоскости
Im^>0 на данные области О (с указанными дополнительными усло-
условиями):
1. О: |1шг|<я; фО) = — оо, фA) = оо,
2. О: гф [-R, R]; ^
3. О: гф[-1Ц IR]
4. О: гф\а, a + tR]; ФB/)-0,
41.09. Построив надлежащие векторные поля с помощью прин-
принципа симметрии, найти конформные отображения ? = ф(,г) круга
| z | < 1 на данные области Q (с указанными дополнительными усло-
условиями):
/ ям / __яА
1. G: 0 < Ira z < я; ф [е 4 J = — оо, <р [е 4 ) = + оо, ф A) = 0.
399
2. G: a<Rez<.a-\-n; (p (\) = a-\-1 oo, ф(/) = а — loo, cp(O) = O.
3. G: z&[a-R, a + R]; 9(z) = _' +0(l) A'
Z
4. G: sgfc[—/, /]; / lim (z —I) <p(z)>0
2^
41.10. Построив надлежащие векторные поля с помощью прин-
принципа симметрии, найти общий вид конформного отображения ? = ф(г)
данных областей D на единичный круг, переводящего точку zo& D
в центр этого круга:
1. D: Rez>0. 2. D: \z\<R
3. D: lmz>0, |г|<1. 4. D: 0<arg2<^.
41.11. Построив надлежащее векторное поле с помощью прин-
принципа симметрии, найти общий вид конформного отображения ? = ф (z)
полуплоскости Irnz>0 на всю плоскость с разрезом по отрезку
[—1, 1], переводящего точку z = l в точку ? = оо.
* * *
Различные конформные отображения многосвязных областей также сво-
сводятся к отысканию векторных полей с заданными особыми точками и задан-
заданными циркуляциями по внутренним граничным кривым.
41.12. Пусть D — двухсвязная область с внешней граничной кри-
кривой Го и внутренней граничной кривой Гх, а ? = ф(,г) — какая-либо
функция, конформно отображающая эту область на некоторое кольцо
Ri<l?|<^2- Доказать, что функция W(z) = i\n ф(г) является ком-
комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области D
циркуляцией по внутренней граничной кривой 1\, равной 2я.
41.13. Пусть D — двухсвязная область с внешней граничной кри-
кривой Го и внутренней граничной кривой Ть a W(z) — комплексный
потенциал векторного поля, порожденного в области D циркуляцией
по внутренней граничной кривой Ть равной 2л. Доказать, чго функ-
функция t, = e—iW^ конформно отображает область D на некоторое
КОЛЬЦО /?! < | I | < R2.
41.14. Доказать, что из единственности векторного поля, по-
порожденного в двухсвязной области D данной циркуляцией по внут-
внутренней граничной кривой, следует, что функция, конформно отобра-
отображающая эту область на кольцо Rt < | ? | < R2, определяется одно-
однозначно, если заданы внутренний радиус кольца и образ данной точки
на внутренней граничной кривой.
В следующих задачах р-связную область D мы будем считать ограничен-
ограниченной внешней граничной кривой Го и внутренними граничными кривыми
Гь •••, Гр_х.
41.15. Пусть функция ? = ф(г) конформно отображает область D
на всю плоскость с разрезами по р горизонтальным отрезкам и пере-
переводит точку Zq^lD в точку ? = оо. Доказать, что функция ф (z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного
400
в области D диполем в точке z0 и циркуляциями по внутренним гра-
граничным кривым, равными нулю.
41.16. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D диполем в точке ^oeDh равными нулю
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Доказать, что функ-
функция Z^—Wiz) конформно отображает область D на всю плоскость
с разрезами по р горизонтальным отрезкам, причем точка z0 пере-
переходит в точку ? = оо.
41.17. Доказать, что из единственности векторного поля, по-
порожденного в области D данными особыми точками и данными цир-
циркуляциями по внутренним граничным кривым, следует единственность
конформного отображения области D на всю плоскость с разрезами
по р горизонтальным отрезкам, если дополнительно задаются точка
z0, переходящая в бесконечность, главная часть полюса в этой точке
и образ еще одной точки области D.
41.18. Пусть W(z)<—комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D вихрем интенсивности 2я в точке z0 e D
и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Доказать, что функция ? = ?~"IW№ конформно отображает область D
на некоторый круг \t,\<CRs P—* разрезами по дугам концентри-
концентрических окружностей, причем точка z0 переходит в точку ? = О,
а внешняя граничная кривая Го — в окружность |?|=Я
41.19. Пусть W{z)— комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в /?-связной области D(p^2) циркуляцией по внутрен-
внутренней граничной кривой 1\, равной 2я, и циркуляциями по остальным
внутренним граничным кривым, равными нулю. Доказать, что функ-
функция ? = ?—fWte) конформно отображает область D на некоторое
кольцо /?i<C|?|</?2 с р — 2 разрезами по дугам концентрических
окружностей,, причем внешняя граничная кривая Го переходит в окруж-
окружность |?|==/?2> а внутренняя граничная кривая 1\— в окружность
41.20. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D источниками в точках ^gD и z2 e D
обильности 2я и — 2я соответственно и равными нулю циркуляци-
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Доказать, что функция ? = е^B)
конформно отображает область D на всю плоскость с р разрезами
по отрезкам лучей, выходящих из точки ? = 0, причем точка z1 пере-
переходит в точку ? = 0, а точка z2 — в точку ? = оо.
41.21. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порбжденного в области D вихрями в точках zx e D'vi z2 e D интен-
интенсивности 2я и —2я соответственно и равными нулю циркуляциями
по внутренним граничным кривым. Доказать, что функция ? = ^—/^(г)
конформно отображает область D на всю плоскость с р разрезами
по дугам окружностей с центром в точке ? = 0, причем точка zx
переходит в точку ? = 0, а точка z% — в точку ? = оо.
41.22. Пусть №(,г) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D вихреисточниками в .точках zx e D и
z%^D обильности 2я и — 2я и интенсивности 2я и — 2я соответ-
40)
ственно и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным
кривым. Доказать, что функция ? = ехр . v конформно отображает
область D на всю плоскость ? с разрезами по р дугам логарифми-
логарифмических спиралей \?>\=Сеаат?%, причем точка zx переходит в точку
? = 0, а точка z2 — в точку ? = оо.
* * *
Пока мы не касались вопроса о существовании в многосвязных областях
векторных полей, порожденных данными особыми точками и данными цирку-
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Этот вопрос может быть сведен
к вопросу о разрешимости в соответствующих областях задачи Дирихле. Напом-
Напомним, что решением задачи Дирихле в области D с данной граничной функцией
f(l) (T- е- функцией, определенной на граничных кривых области D) называ-
называется функция V (г), гармоническая в области D, непрерывная вплоть до гра-
границы этой области и совпадающая на границе этой области с граничной функ-
функцией f(l).
Известно, что в области, ограниченной конечным числом кусочно-гладких
кривых, задача Дирихле разрешима для любой непрерывной граничной функции,
и притом единственным образом.
Кроме того, известно, что если граничная функция удовлетворяет условию
Липшица порядка а, 0 <а< 1, то и решение задачи Дирихле, и любая одно-
однозначная ветвь сопряженной с ним гармонической функции (которая, вообще
говоря, многозначна) удовлетворяют условию Липшица того же порядка а
в каждой односвязной части замыкания области D.
41.23. Пусть V(z) — функция тока векторного поля, порожден-
порожденного в области D диполем с моментом 2ла в конечной точке z0 ^ D
и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Доказать, что функция V (г) — Im является решением задачи
Z — Zq
Дирихле в области D с граничной функцией f(%) = Ck — \т$
5 — zo
(? е (Ш), где Ck — некоторые постоянные (для каждой граничной
кривой своя постоянная).
41.24. Обозначим через Vi(z) решение задачи Дирихле в обла-
области D с граничной функцией /(?) = — Im -^— (g e дD, z0 e D,
Z Zq
zQ фоо) и положим w1(z) = (Lr± — I'-~r±. Доказать, что векторное
поле w(z) = w1(z) — a(z — zo)~2 является векторным полем, порожден-
порожденным в области D диполем с моментом 2па в точке z0 и некоторыми
циркуляциями по внутренним граничным кривым.
41.25. Пусть /7-связная область D ограничена внешней граничной
кривой Го и внутренними граничными кривыми 1\, ..., Гр^. Обозна-
Обозначим через Vk(z) решение задачи Дирихле в области D с граничной
функцией /д(|), равной 1 на граничной кривой Tk и нулю на осталь-
дУь дУь
ных граничных кривых, и положим wk{z) — -~-—J-з-*. Через ykm
обозначим циркуляцию векторного поля wk(z) по внутренней гра-
граничной кривой Тт. Доказать, что матрица
(УктУ> *=Ь2,..., /7—1; /н=1,2,..., /7—1,
имеет отличный от нуля определитель.
402
Указание. Показать, что в противном случае существует векторное
поле без особых точек в области D е равными нулю циркуляциями по всем
граничным кривым, у которого функция тока постоянна на каждой граничной
кривой и которое отлично от тождественного нуля. Существование такого
векторного поля находится в противоречии с утверждением задачи 40.54.
41.26. Вывести из задач 41.24 и 41.25, что векторное поле,
порожденное в области В диполем с любым данным моментом в лю-
любой точке z0 e D и любыми данными циркуляциями по внутренним
граничным кривым, существует и единственно.
41.27. Вывести из задачи 4L26, что любую область Д ограничен-
ограниченную конечным числом кусочно-гладких кривых, можно конформно ото-
отобразить на всю плоскость с разрезами по горизонтальным отрезкам.
41.28. Доказать, что векторное поле, порожденное в области
любым числом вихрей (в любых данных точках области D и с любы-
любыми данными интенсивностями) и любыми данными циркуляциями по
внутренним граничным кривым, существует и единственно.
Указание. Провести построение, как и в задаче 41.24, но с граничной
функцией /(?), равной — ? $k In \z—zk |, где zk—-точки, в которых заданы
вихри, a pfe — интенсивности этих вихрей.
41.29. Доказать, что для существования векторного поля, порож-
порожденного в области D данными особыми точками и данными циркуля-
циркуляциями по внутренним граничным кривым, необходимо и достаточно,
чтобы сумма обильностей источников по всем данным особым точкам
была равна нулю.
Указание. При построении, как в задаче 41.24, взять в качестве гра-
граничной функции /(?) мнимую часть комплексного потенциала векторного поля,
построенного по данным особым точкам во всей комплексной плоскости. Для
осуществимости построения эта мнимая часть должна быть однозначна вне
области D и на ее границе.
41.30. Пусть D — область комплексной плоскости, ограниченная
конечным числом кусочно-гладких, кривых. Доказать существование
конформного отображения области D на следующие канонические
области:
1. Вся плоскость с разрезами по отрезкам лучей, выходящих из
начала координат.
2. Вся плоскъсть с разрезами по дугам окружностей с центром
в начале координат.
3. Единичный круг с разрезами по дугам концентрических окруж-
окружностей.
4. Единичный круг с разрезами по отрезкам радиусов.
5. Кольцо 1<C|?I<R с разрезами по отрезкам радиусов.
6. Полоса 0<1т,г<;я с разрезами по горизонтальным отрезкам.
7. Полоса 0<;1т<г<Сл; с разрезами по вертикальным отрезкам.
8. Полуплоскость 1ш<г>0 с разрезами по горизонтальным
отрезкам.
ОТВЕТЫ
41.08.
^ 4*
403
41.09.
4. ?«
41.10.
41.11. ^
§ 42. Некоторые задачи, связанные с обтеканием тел
Течение жидкости в гидродинамике характеризуется тремя величинами:
плотностью р, давлением р и скоростью до, которая в плоском случае имеет
две компоненты и и v. Для идеальной несжимаемой жидкости плотность посто-
постоянна, и ее обычно принимают равной единице. Компоненты и и v скорости до
и давление р связаны между собой уравнениями
-_-+-_-=0 (уравнение неразрывности)
и
др . ди . ди Л др . ди . dv Л , ^„ ч
~+ и з~+у ^- = 0» -?-+ и ¦=?-+ v -л" = 0 (уравнения Эйлера).
До тех пор, пока нас интересует лишь скорость течения, гидродинамическая
задача равносильна задаче теории векторного поля, т. е. мы можем свободно
переходить от одной системы координат к другой, используя инвариантность
величины w (z) dz относительно конформных отображений. Давление же не
является величиной, инвариантной относительно конформных отображений, и
все действия, в которых оно участвует, должны проводиться в координатной
системе первоначальной задачи. В этом параграфе мы будем иметь дело с зада-
задачами гидродинамики, тем или иным способом связанными с учетом давления.
Одной из простейших задач гидродинамики является задача об обтекании
неподвижно закрепленного конечного (на плоскости) твердого тела с идеально
гладкой (в физическом смысле) границей потоком жидкости, имеющим на бес-
бесконечности заданную скорость Шоо. Некоторые допущения позволяют считать
векторное поле скоростей установившегося течения локально комплексно потен-
потенциальным полем (хотя из приведенных выше уравнений вытекает лишь, что это
поле является локально соленоидальным). Нетрудно заметить, что наложенных
условий недостаточно для решения задачи, ибо векторное поле скоростей при
заданном значении Woo может иметь в бесконечности не только диполь, но и
вихрь, интенсивность которого нужно задать дополнительно. (В гидродинами-
гидродинамических задачах обычно говорят не о вихре в бесконечности, а о циркуляции
поля скоростей вдоль границы обтекаемого тела.)
В ближайших задачах мы будем считать обтекаемое тело занимающим
конечную область D комплексной плоскости и будем искать течение жидкости
в бесконечной области, внешней к области D. При этом область D может
вырождаться в то или иное замкнутое множество без внутренних точек (напри-
(например, обтекание бесконечно тонкой пластинки). Согласно физическому смыслу
граница области D должна быть составлена из граничных линий тока вектор-
векторного поля скоростей.
404
42.01. Пусть W{z) — комплексный потенциал поля скоростей
течения жидкости, обтекающего область Да/? (г) — давление в
точке z. Доказать формулу Бернулли
р (?) +1 W О) |2 = const О ф D).
Указание. Воспользоваться приведенными выше уравнениями, добавив
к ним уравнение
dv ди
0
вытекающее из существования комплексного потенциала поля скоростей.
42.02. Найти комплексный потенциал . поля скоростей течения
жидкости, обтекающего круг | г | < 1 со скоростью в бесконечности
wO3=Vei'z и с циркуляцией вдоль окружности |г|=1, равной 2я0.
42.03. Нарисовать качественную картину линий тока течения
жидкости из предыдущей задачи при 0 <: р < 2 и при Р > 2.
42.04. Для течения жидкости из задачи 42.02 вычислить давле-
давление p(z) в каждой точке окружности |<г|=1 и найти его наиболь-
наибольшее и наименьшее значения.
42.05. Пусть ? = <р (-г) — функция, конформно отображающая
внешность области D на внешность единичного круга и удовлетво-
удовлетворяющая условиям ф(оо) —оо, ф'(оо)>0. Доказать, что комплексный
потенциал W(z) обтекания области D со скоростью в бесконечности
w<x>=Veix и циркуляцией 2яР по границе области D можно пред-
представить в виде
В гидродинамике часто приходится оперировать с силой PD— силой
давления потока жидкости на обтекаемое тело. Эта сила определяется, как
результирующая всех элементарных сил давления, действующих на обтекаемое
тело. Каждая элементарная сила направлена внутрь тела по нормали к его
поверхности, а ее абсолютная величина равна произведению площади элемен-
элементарной площадки поверхности тела на величину давления р (г) в центре этой
элементарной площадки. В плоском случае формула для силы давления РD
имеет вид
PD = i] p(z)dz.
dD
Легко убедиться, что сила РD не инвариантна относительно конформных ото-
отображений. Однако эта сила просто-выражается через w^ и величину цирку-
циркуляции вдоль границы области D.
42.06. Пусть W(z) — комплексный потенциал обтекания области D.
Доказать формулу
PD=—i J |\F(z)|2 dz.
dD
42.07. Пусть W(z) — комплексный потенциал обтекания области
D со скоростью в бесконечности uyoo=VVT и с циркуляцией по
405
границе области Д равной 2я|$. Доказать формулу
ic|Li v w c
где z=i|)(?) — функция, конформно отображающая область |?|>1
на внешность области D и удовлетворяющая условиям t|) (оо) = оо,
Указание. См. задачу 42.05.
42.08. Преобразовать формулу предыдущей задачи к виду
PD=— 4Я/Р Шоо 1|/ (ОО).
Указание. Перейти в формуле задачи 42.07 к сопряженным числам и
воспользоваться тем, что на окружности | ? | = 1 имеет место равенство ? = 1/?.
Возможны две принципиально различные картины линий тока вблизи обте-
обтекаемого тела: или вблизи тела есть замкнутые линии тока, окружающие это
тело, или одна часть линий тока находится по одну сторону от тела, другая —
по другую. В последнем случае есть линия тока, которая находит на тело,
разделяется на две части, идущие по разным его сторонам, а затем снова сое-
соединяющиеся в одну линию тока. Точка границы обтекаемого тела, в которой
линия тока разделяется на две части, называется точкой входа, а точка, в ко-
которой эти две части снова соединяются в одну линию, —точкой схода.
42.09. Пусть ? = ф (г) — функция, конформно отображающая
внешность области D на внешность единичного круга и удовлетво-
удовлетворяющая условиям ф (оо) = оо, ф' (оо) > 0. Доказать, что обтекание
области D обладает точкой входа и точкой схода в том и только
в том случае, когда скорость в бесконечности w^ и величина 2я|3
циркуляции вдоль границы области D связаны неравенством
|Р|ф'(ооХ 21^00 1.
42.10. В условиях задачи 42.09 доказать, что точка входа гг и
точка схода z2 удовлетворяют уравнениям ф Bi)= —ei{x+\ ф (г2) = е*^~ьК
где
42.11. Найти точку входа гх и точку схода г2 для обтекания
следующих областей D со скоростью в бесконечности wQo = ei'c и
циркуляцией 2яР по границе области:
1. Область Д выродившаяся в отрезок [—1, 1] (обгекание плас-
пластинки).
2. Область D — эллипс
Для идеальной жидкости в принципе возможны варианты обтекания с лю-
любым значением циркуляции вдоль границы обтекаемого тела. Однако для ре-
реальной жидкости вязкость, как бы она ни была мала, все же отлична от нуля.
Это приводит к тому, что при обтекании тела устанавливается течение, имею-
имеющее одну из наиболее предпочтительных циркуляции. Такие предпочтительные
циркуляции сравнительно ярко выражены, когда у обтекаемого тела есть острые
углы. Тогда предпочтительными являются те циркуляции, при которых точка
схода совпадает с одним из острых углов. Это правило называется постулатом
Жуковского—Чаплыгина.
406
42.12. Для обтекания указанных областей D со скоростью на
бесконечности Дооо = ?*\ —т<т<4~» найти предпочтительную цир-
циркуляцию 2л|3 и силу давления PD на обтекаемое тело (течением
с предпочтительной циркуляцией):
1. Область D, выродившаяся в отрезок (—1, 1).
2. Область Д выродившаяся в дугу окружности | г + / ctg ос I =
«=-:—, лежащую выше действительной оси
sin a
3. Область D : \z-\-ictga] <--—,
sin ее
1
ictga|<-r
sm a
4. Область D-: \z-\-ictga\<-~, 1тг>0 (o<a<|).
5. Область D : \z+ic\g2a\<-±-, \f+ i ctg a | > -L.
sm a
42.13. Профилем Жуковского называется образ окружности
при отображении г=~ ? + -*). Для обтекания профиля Жуков-
Жуковых ь/
ского со скоростью в бесконечности w^ = WT, — j < т < j-, найти
предпочтительную циркуляцию 2^C и силу давления PD на обтекае-
обтекаемое тело (течением с предпочтительной циркуляцией).
Наряду с описанным выше обтеканием тел рассматриваются также задачи
обтекания стенок и течения в^ каналах. Границы стенок и каналов чаще всего
считаются прямолинейными, так что отображения, требуемые для отыскания
течений, можно получить с помощью интегралов Кристоффеля —Шварца. Чаще,
однако, используется метод, основанный на исследовании отображения, совер-
совершаемого функцией w(z) (ср. задачи 37.33 — 37.42). Этот метод хотя и обладает
меньшей общностью, часто позволяет получить результаты более экономным
путем. Сущйость метода излагается в следующих задачах.
42.14. Пусть w(z) — векторное поле скоростей течения жид-
жидкости в области Д ограниченной ломаными линиями (мы считаем, что
особые точки векторного поля могут
находиться только в бесконечности).
Доказать, что в углах области D, имею-
имеющих раствор, меньший л, скорость w (z)
равна нулю, а в углах, имеющих рас-
раствор, больший я, — бесконечности.
42.15. Пусть IF (г) —комплексный Ul
потенциал течения жидкости в канале, Рис. 811.
изображенном на рис. 311, отвечаю-
отвечающего скорости на бесконечности в левом конце канала, равной e~ia.
Для определенности мы будем считать комплексный потенциал W (z)
407
нормированным условием 1F(O) = O. Доказать, что функция ? = W (z)
конформно отображает канал на полосу О <С Im ?<# cos а, причем
левый конец канала переходит в точку ? = —оо, а правый — в точку
Указание. Векторное поле скоростей течения жидкости в канале
порождено двумя граничными источниками противоположной обильно-
обильности, расположенными в концах этого канала. Найти обильности этих источни-
источников и воспользоваться результатом задачи 41.04.
42.16. В условиях задачи 42.15 доказать, что при z—*оов левом
конце канала W (z)-+ eia, а при z -* оо в правом конце канала W (z)-+e~ia.
42.17. В условиях задачи 42.15 доказать, что:
1. При движении точки z по левой нижней стороне канала от точки
z == 0 до точки г = оо точка w=W' (z) движется по лучу arg w = a
от точки w — 0 до точки w = eia (возможно, не монотонно).
2. При движении точки z по левой верхней стороне канала от
точки z = ia до точки' z —оо точка w=W(z) движется по лучу
argw — a от точки w = oo до точки w = eia (возможно, не монотонно).
42.18. Доказать (в условиях задачи 42.15), что из предположения
монотонности функции |WB)| при движении точки z по прямоли-
прямолинейным сторонам канала вытекает, что функция w= Wr (z) конформно
отображает канал на угол | arg w | < а, причем
W @) = 0, W (+ оо eia) = e~ia, W (id) = оо, W (+ оо е~ia) = eia.
42.19. Обозначим через ,г = Ф(^) функцию, обратную к функции
Доказать, что в предположениях задачи 42.18 функция
конформно отображает полосу 0< Im ? << a cos а на угол
I arg ^ | <С а> причем
ф / Фг Ф' " Ф'
Указание. Использовать формулу Ф' (Q =
W (Ф @) *
42.20. Пусть Ф(?) — функция, обратная к комплексному потен-
потенциалу задачи 42.15. Доказать, что
dt
ехр
а cos a
Указание. Убедиться, что для написанного комплексного потенциала
предположение о монотонности функции | W (z) \ на прямолинейных сторонах
канала справедливо.
42.21. Для каналов, изображенных на рис. 312—315, найти функ-
функцию Ф(?), обратную к комплексному потенциалу W(z), отвечающему
течению жидкости в канале, направленному из левого конца в пра-
правый и имеющему модуль скорости на бесконечности в левом конце,
равный единице. Комплексный потенциал W(z) для определенности
считать нормированным условием W(ia) = 0.
408
42.22. Найти функцию Ф (?), обратную к комплексному потен-
потенциалу W(z) течения жидкости по каналу, изображенному на рис. 316,
со скоростью на бесконечности в левом конце канала, равной 1.
Комплексный потенциал W(z) для определенности считать нормиро-
нормированным условием W@) = 0.
0
Рис.
312.
а
'"""?" ""
Рис. 313.
\
Н
\
'////У/УУ////У
Рис. 314.
/7'
Рис. 315.
la
Рис. 316.
Рис. 317.
42.23. Найти функции Ф (?), обратные к комплексным потенциа-
потенциалам W (z) течений жидкости вдоль стенок, изображенных на рис. 317
и 318, со скоростью на бесконечности, равной единице. Комплекс-
Комплексный потенциал W(z) для определенности считать нормированным ус-
условием W(ia) = 0.
Рис. 318.
Рис. 319.
42.24. Найти функцию Ф(?)> обратную к комплексному потен-
потенциалу W(z) течения жидкости вдоль стенки, изображенной на рис. 319,
409
со скоростью на бесконечности, равной единице. Комплексный по-
потенциал W(z) считать нормированным условием W(ia) = 0.
Когда граница области течения имеет слишком резкие повороты, обычно
происходит явление, называемое отрывом струй. Это означает, что течение
жидкости распадается на две части — в одной части жидкость движется, в
другой —неподвижна. Для отыскания границы этих частей, называемой линией
раздела, используются следующие два условия равновесия:
1. Линия раздела должна быть линией тока.
2. Давление с обеих сторон линии раздела должно быть одинаково.
Поскольку давление в покоящейся жидкости, постоянно, из формулы Бер-
нулли (см. задачу 42.01) вытекает, что на линии раздела модуль скорости сох-
сохраняет постоянное значение.
Для решения задач о течениях с отрывом струй применяется тот же ме-
метод, основанный на исследовании отображений, совершаемых функцией W (г),
где W (г) — искомый комплексный потенциал.
42,25. Рассмотрим течение жидкости, порожденное в плос-
плоскости z с вертикальными разрезами [ia, + i оо] и [— i оо, — ia], a > 0,
источником обильности nVt V>0, в точке z =— оо и источником
обильности —nV в точке z = -{-oo, в предположении, что в точках
z~ia и z = — ia происходит срыв струй со скоростью, равной
по модулю Vo. Обозначим через W(z) комплексный потенциал тече-
течения в области D, где жидкость движется, а через Ф(?) — функцию,
обратную к функции W(z). Доказать, что:
1. Функция ti=W(z) конформно отображает область D на по-
полосу ширины я У со сторонами, параллельными действительной оси,
причем точка z — — сю переходит в точку ?== — оо, а точка
2 = 4-°° — в точку ?=-|-оо.
2. Функция w=W(z) конформно отображает область D на
полукруг \w\<VOi Re^>0, причем W'(—оо) = 0, WAа) = 1У&
W'( ) 4V
( ) 0 4+H
42.26. Доказать, что течение, описанное в предыдущей задаче,
возможно лишь в случае, когда выполняется соотношение 2aV0~
= (я-2)И.
42.27. Доказать, что функция Ф (?), отвечающая течению жидкости,
описанному в задаче 42.25, выражается формулой
(С — произвольная постоянная).
42.28. Пусть течение жидкости порождено в угле
0<а<Ь некоторым граничным диполем в бесконечности (направ-
(направление скорости на луче arg? = a от точки г = оо к точке 2 = 0),
причем в данной точке z = aeia происходит срыв струй со ско-
скоростью, равной по модулю VQ. Обозначим через W(z) комплекс-
комплексный потенциал течения в области, где жидкость движется, а через
Ф(?) — обратную к нему функцию. Найти функцию Ф(?) и
асимптотическую формулу для комплексного потенциала W(z) в бес-
бесконечности.
410
42.29. Пусть течение жидкости в областях, изображенных на
рис. 320 и рис. 321, порождено граничным источником обильности nVy
V>0, в точке 2 = — со и граничным источником обильности —nV
ih
iff
-ih
-iff
Puc. 320.
Рис. 321.
в точке 2=-f-'oo, а в точках z — ih и z — — ih происходит срыв
струй со скоростью, равной по модулю Vo. Обозначим через W{z)
комплексный потенциал течения там, где жидкость движется,
а через Ф(?)— обратную к нему функцию. Найти соотношения,
при которых такие течения существуют, и формулы для Ф'(?).
Задачи на обтекание с учетом срыва струй всегда сложнее задач, не
учитывающих этот эффект. В некоторых случаях учет срыва струй течения
жидкости в односвязной области может привести к отображениям многосвяз-
многосвязных областей. Ниже рассматривается одна из простейших задач подобного рода.
42.30. Рассмотрим течение жидкости, порожденное в конечной
односвязной области Q вихрем интенсивности —2яр в точке ^0gO,
и предположим, что вблизи вихря происходит срыв струй при ско-
скорости, равной по модулю Vo. Кривую, отделяющую движущуюся
жидкость от покоящейся, мы обозначим через /, а двухсвязную
область, в которой жидкость движется, — через D. Через W(z) обоз-
обозначим комплексный потенциал движения жидкости в области Д
а через Ф(?) — функцию, обратную к функции W(z). Обозначим
еще через аг значение Im W(z) на кривой /, а через <х2 — значение
Im W(z) на дО.
Доказать, что:
1. Функция Ф(?) определена и регулярна в горизонтальной
полосе аг< Im ? <Сос2 (если р <0, то a2<«i и неравенства сле-
следует написать в обратном направлении), причем она является перио-
периодической функцией с периодом 2яр.
2. Функция
конформно отображает область D на кольцо е~а^^ <| s\
42.31. Пусть в обозначениях задачи 42.30 область Q—это квадрат
|Re2|<l, | Imz |<Ь а точка z0—его центр. Обозначим а = а2 — аг и
нормируем комплексный потенциал W(z) условием Ф (ia + яр/2) == 1 -f /
(поскольку сам комплексный потенциал многозначен, а обратная к нему
функция однозначна, то нормировка через обратную функцию удобнее).
411
Доказать, что функция
конформно отображает полосу 0 < Im ? < а (считаем р > 0) на
верхнюю полуплоскость Im?>0 с разрезами по вертикальным лучам,
выходящим из точек ^k = lc-{-nk/2} & = 0, ± 1, ±2, ..., причем
|(— оо) =3 —- со, ?(+ <х>) = -(- со, |
(* = 0, ±1, ±2, ...)
(с — некоторая постоянная, нуждающаяся в отыскании).
42.32. Доказать, что для функции ? = F(g), обратной к функции
? = 1@ задачи 42.31, справедлива формула
dt
где постоянная ?, 0<&<1 связана с постоянной ? из задачи 42.31
соотношением &ch2c=t, а с постоянными а и р — соотношениями
С d? _лк$
1/А
(X — некоторая положительная постоянная).
42.33. Доказать, что функция Ф(?)> обратная к комплексному
потенциалу W(z) течения жидкости задачи 42.31, может быть запи-
записана в виде
la
где sn w = sn (w; k) и en w = en (w; k) — эллиптические функции
Якоби (синус-амплитуда и косинус-амплитуда), определяемые равен-
равенствами
SXVW
^ = \ , СП Z0 = 1/1 —sn2ZEJ.
Постоянная k, входящая в определение функций sn^ и enw, свя-
связана с постоянными аир формулами, приведенными в задаче 42.32.
42.34. Пусть течение жидкости, описанное в задаче 42.31, отве-
отвечает данным значениям р>0 и 1/0. Выяснить асимптотическое пове-
поведение при V0-+oo функции Ф (?) и числа а.
42.35. Пусть в обозначениях задачи 42.30 область О—эго пра-
правильный «-угольник с вершинами в точках e2k7Xi/n, k = 0, 1,..., п+-\,
412
а точка z0 — центр этого л-угольника. Найти, при каких соотношениях
между величинами а, Р и Vo существует описанное в упомянутой
задаче течение жидкости со срывом струй.
ОТВЕТЫ
42.02. l^ = z +—
42.03. См. рис. 204 и 205.
42.04.
¦-{
.0-(|Р|~2J (|Р|<2),
42.11.
1. Zl=: ^i-(^i/2~p2 cosт+P sin т);
V
z2 = y (VV2 — P2 cos t—p sin t).
2. 21===_tl-^(j/#2i/2__.ft2 cost+P sin т) +
1 (y#2J/2_p2 81-п т- р COS t);
cost-P sinT)-
^ С//?" ^-P« sin x + p cos t).
42.12.
1. p=— sinr;
cos
t-t)
3. p = _
л—а
4ясо8 (t—» ¦ , „ ) 64я3соз(т
\ Зя+2«/ p _,.tx
й5" ^ie
(Зя+2в)аШ
Зя + 2а
cos Т"~9/Г 9/!? 16д3 cos т~
L 2(я~2а)] D _,/x_ L _
42.13. Р = /?К sin (а—т), PD=*ieH * 2nR*V sin (т — а).
413
42.21.
1. Ф(
dU
l)a/n dt.
3.
4. Ф(
42.22.
где ^ — действительное число, определяемое из условия
42.23.
2. Ф (
42.24.
где А, и (г — положительные числа, определяемые из уравнений
Л.
Ф @ = а* +$(*+*,)- а/я (/- ц)~ Э/я <fa + Р)/" dt,
- а/я (ц-0~
42.28.
где
а С — произвольная постоянная
W (г)~аB~
42.29.
\a-i
(г - оо).
414
i/y
где
г D-
42.34. Обозначим k=-~ 1/ ттт• Тогда а~21п-т- и при любом
р Г я „ / 1 \ k
фиксированном ?
г(т
tgt/э
42.35. Определим числа 0<&<1иЯ,>0по числам а и р из соотноше-
соотношений
1
J/A-^A-^2) - n ,
1/Л
о 1
Тогда связь между величинами а, р и Vo описывается формулой
/a-f nfi/n
и i
la
где sn >w/ = sn (kt; k), en M=cn (kt, k).
Марат Андреевич Евграфов,
Константин Аветисович Бежанов,
Юрий Викторович Сидоров,
Михаил Васильевич Федорюк,
Михаил Иванович Шабунин
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
М., 1972 г., 416 стр. с илл.
Редакторы И. С. Аршон и М. М. Горячая
Техн. редактор С. Я. Шкляр
Корректор И. Б. Мамулоеа
Сдано в набор 20/ХИ 1971 г. Подписано к пе-
печати 29/IV 1972 г. Бумага 60X907i6. Тип. № 2.
Физ. печ. л. 26. Условн. печ л. 26. Уч.-изд л. 26,8.
Тираж 35 000 экз. Т-09004. Цена книги 1 р. 08 к.
Заказ 100
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета по
печати при Совете Министров СССР, г. Ленин-
Ленинград, Гатчинская ул., 26