/
Author: Флорин В.А.
Tags: строительство геология строительная механика фундаменты механика грунтов
Year: 1959
Text
кЫ , 13
В. А. ФЛОРИН
6с I .2/
V
основы
МЕХАНИКИ ГРУНТОВ
Том I
ОБЩИЕ ЗАВИСИМОСТИ
И НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ
И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ
Ленинград 1959 Москва
Научный редактор — канд. гехн. наук В. II. Сипидин
В книге приводятся основные положения и зави-
симости современной механики грунтов, а также ме-
тоды расчета, применяемые для определения напряже-
ний по подошвам сооружений различной жесткости и
в основаниях сооружений при заданной внешней на-
грузке. Для облегчения практического пользования кни-
гой при проектировании в ней помещен ряд таблиц и
графиков оправочного характера.
Книга предназначена для инженеров-проектиров-
щиков, студентов и лиц, самостоятельно изучающих
механику грунтов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Автору представляется своевременным н полезным опубликовать
систематическое изложение основных методов, применяемых в совре-
менной механике грунтов для расчета напряженного состояния, осадок
и устойчивости оснований гидротехнических и промышленных сооруже-
ний, устойчивости откосов земляных плотин и дамб, определения дав-
лений иа различные жесткие и гибкие подпорные сооружения, а также
исследования некоторых специальных задач механики грунтов. Пере-
численные вопросы имеют большое практическое значение при проек-
тировании с точки зрения обеспечения надежности, снижения строи-
тельной стоимости и ускорения сроков возведения сооружений.
Стремление к возможно большему облегчению усвоения приводимых
материалов для лиц, которые впервые с ними знакомятся и математи-
ческая подготовка которых соответствует средней подготовке инжене-
ров проектно-строительных организаций, требует достаточной под-
робности изложения.
В связи с этим в первом томе приводятся только общие представле-
ния и зависимости механики грунтов, различные методы определения
напряженного состояния оснований и контактных напряжений по по-
дошвам жестких и изгибаемых сооружений.
Вопросы определения конечных осадок и устойчивости оснований
сооружений, теории предельного равновесия и ее приложения к расчету
оснований, теории уплотнения водонасыщенных грунтов и ее приложе-
ния к различным вопросам расчета нестабилизированного состояния,
вопросы парообразования и газовыделения, а также основные пред-
ставления по вопросам реологии и ползучести грунтов изложены во
втором томе.
Следует отметить, что большинство перечисленных выше вопросов
представляет интерес как для гидротехнического строительства, так и
для возведения крупных промышленных, транспортных, гражданских
и других сооружений.
Автор считает своим долгом выразить признательность В. П. Сипи-
дину, П. И. Клубину, И. Е- Рудневой, В. Г. Короткину и Б. Ф. Рельтову
за ценные советы и помощь при подготовке к изданию этой работы.
Глава первая
НАЗНАЧЕНИЕ И ВОПРОСЫ РАЗВИТИЯ
МЕХАНИКИ ГРУНТОВ
§ 1. НАЗНАЧЕНИЕ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ И ЕЕ СВЯЗЬ
СО СМЕЖНЫМИ ДИСЦИПЛИНАМИ
Проектирование и строительство любых инженерных и, в том
числе, гидротехнических сооружений должны, как известно, удовлетво-
рять следующим основным условиям:
1) сооружение должно соответствовать своему назначению и уста-
новленным эксплуатационным требованиям;
2) прочность и надежность сооружения должны быть обеспечены во
всех отношениях;
3) сроки строительства и строительная стоимость, а также эксплуа-
тационные расходы должны быть наименьшими.
Применительно к первому условию следует указать, что в случаях,
когда вертикальные осадки, горизонтальные смещения или наклоны
возводимого сооружения чрезмерно велики или неравномерность осадок
отдельных частей сооружения окажется достаточно большая, то эти
смещения могут нарушить нормальную работу сооружения. Поэтому
величины и неравномерности возможных смещений возводимых соору-
жений не должны превосходить некоторых пределов, допустимых с точ-
ки зрения нормальной эксплуатации того или иного сооружения. Вы-
полнение такого рода условий обеспечивается соответственными расче-
тами по так называемому предельному состоянию по деформациям
(лучше сказать по смещениям). Так как смещения возводимых соору-
жений в значительной мере зависят от свойств основания, на котором
возводится то или иное сооружение, то всестороннее изучение основа-
ний сооружений приобретает, естественно, первостепенное зна-
чение..
В отношении второго условия, т. е. условия обеспечения прочности
и надежности возводимых сооружений под воздействием воспринимае-
мых ими нагрузок, следует указать, что во многих случаях, особенно
в гидротехническом строительстве, нагрузки от давления земли на со-
оружения (в том числе и реакции основания) являются одними из наи-
более существенных с точки зрения возникающих в сооружении усилий.
Обеспечение прочности возводимых сооружений под воздействием
приложенных к ним нагрузок достигается, как известно, выполне-
нием соответствующих расчетов по предельному состоянию по проч-
ности.
Однако, помимо вопросов прочности тех или иных частей возводи-
мых сооружений, большую роль играют вопросы исследования проч-
ности и надежности оснований сооружений, так как различные недо-
четы в этом отношении приводят во многих случаях к авариям, приоб-
ретающим иногда катастрофический характер. Возможные причины
нарушения прочности и надежности оснований сооружений весьма
6
Глава I. Назначение и вопросы развития механики грунтов
разнообразны. Иногда они объясняются смешением одной части осно-
вания вместе с сооружением по другой части основания или, как гово-
рят, нарушением устойчивости основания. В таких случаях прочность
и надежность основания обеспечиваются расчетами по так называе-
мому предельному состоянию по устойчивости.
В отношении третьего условия следует отметить, что принятие (в за-
висимости от характера основания и прочих местных условий) того
или иного инженерного решения в отношении типа возводимого соору-
жения и способа производства работ, удовлетворяющих первому и
второму условиям, непосредственно отражается на сроках строитель-
ства и строительной стоимости возведения сооружения. Таким" образом,
и с этой точки зрения рассматриваемые вопросы представляют значи-
тельный интерес.
На основании изложенного видно, насколько большое значение
имеют вопросы всестороннего изучения оснований сооружений, исследо-
вания их прочности и надежности, определения величин возможных
смещений возводимых на них сооружений, а также усилий, возникаю-
щих в этих сооружениях в результате взаимодействия возводимых со-
оружений с соприкасающимися с ними земляными массами.
Изучение этих вопросов, от которых зависит удовлетворение основ-
ных требований, предъявляемых к возводимому сооружению, произво-
дится с различных точек зрения в следующих дисциплинах:
инженерной геологии и гидрогеологии;
грунтоведении;
теории фильтрации;
механике грунтов.
Инженерная геология, гидрогеология и грунтоведение являются дис-
циплинами геологического цикла, тогда как механика грунтов и теория
фильтрации являются разделами механики. Инженерная геология, по
определению одного из ее основоположников Ф. П. Саваренского [1],
«является отраслью геологин, трактующей вопросы приложения геоло-
гии к инженерному строительному делу». В соответствии с этим к об-
ласти инженерной геологии относятся вопросы выяснения геологиче-
ской обстановки в месте расположения сооружений и ее взаимодей-
ствия с возводимыми сооружениями как в процессе строительства, так
и в период эксплуатации [2].
Инженерная гидрогеология является, по определению Ф. П. Сава-
реиского [3], учением «о подземных водах, их образовании, залегании,
движении, свойствах и условиях, определяющих возможность их ис-
пользования или регулирования». Ф. П. Саваренский указывает, что,
«поскольку подземные воды приурочены к горным породам, имеющим
определенные формы и условия залегания, гидрогеология тесно связа-
на с геологией, на основе которой она развивалась и без знания ко-
торой изучение ее невозможно; с другой же стороны, поскольку под-
земные воды находятся в движении и для различных практических це-
лей их извлечения или использования приходится прибегать к данным
гидравлики и гидрологии, развитие учения о подземных водах шло
также по пути техническому — разработки основных положений гид-
равлики подземных вод». В отношении гидрогеологических исследова-
ний Ф. П. Саваренский отмечает, что они «имеют целью выяснить на-
личие подземных вод, нх залегание, условия пополнения и качество».
Инженерное грунтоведение, как указывает И. В. Попов [4], изучает
«состав, строение и свойства горных пород (иногда и почв), определяю-
щие поведение последних при взаимодействии их с инженерным соору-
жением». Следует особо подчеркнуть, что важнейшей задачей инже-
§ 1, Назначение механики грунтов и ее связь со смежными дисциплинами
7
верного грунтоведения является изучение на основе современных фи-
зико-химических и геологических представлений природы явлений и
процессов, наблюдаемых в грунтах, изучение их строительных свойств
и характеристик, наилучшим образом соответствующих этим природным
свойствам грунтов, а также разработка возможных способов измене-
ния и улучшения этих свойств в строительных целях. Инженерное
грунтоведение имеет весьма большое значение в строительном деле. Это
определяется не только тем, что результаты изучения тех или иных
грунтов имеют непосредственное прикладное значение для строитель-
ства в соответствующих условиях. Изучение природы явлений и процес-
сов, наблюдаемых в грунтах, является основой, позволяющей, по мере
выяснения и накопления новых представлений, разрабатывать и вно-
сить необходимые изменения и усовершенствования в существующие
расчетные схемы и методы расчета, используемые при проектировании
инженерных сооружений.
Теория фильтрации является областью гидромеханики н гидравлики,
посвященной изучению движения грунтовых вод. В отличие от гидро-
геологии, изучающей вопросы образования, залегания, перемещения и
свойства подземных вод преимущественно с геологической точки зре-
ния, теория фильтрации, являющаяся одним из разделов механики,
рассматривает условия движения подземных вод с точки зрения пред-
ставлений механики, как задачу движения жидкости в земляной среде.
Совершенно очевидно, что теория фильтрации и гидрогеология
должны развиваться в тесном содружестве, так как предметом изучения
в обоих случаях являются подземные воды. Однако не следует их сме-
шивать или считать, что одна из них является составной частью другой,
так как одна из них является дисциплиной геологического цикла, дру-
гая — разделом механики.
Основное назначение механики грунтов заключается в определении
и исследовании численных величии смещений сооружений, напряжен-
ного состояния, устойчивости н прочности оснований сооружений, а так-
же откосов и тела земляных сооружений, давления земли на различные
подпорные стены и подземные части сооружений, реактивных давлений
земляного массива по подошвам или боковым поверхностям возводи-
мых наземных или подземных сооружений и т. п.
Необходимые для этого методы расчета составляют один из разде-
лов современной механики, называемый механикой грунтов или земля-
ной среды. Различные свойства грунтов учитываются в механике грун-
тов введением в расчеты так называемых расчетных характеристик
грунтов, определяемых специальными экспериментальными исследова-
ниями в лабораторных или полевых условиях.
Расчетные характеристики грунтов, используемые в механике грун-
тов, являются величинами, входящими в основные расчетные зависи-
мости в качестве параметров, определяющих с тем или иным прибли-
жением реальные свойства грунтов в отношении рассматриваемых яв-
лений или процессов. Во многих случаях расчетные характеристики или
параметры совпадают с физическими характеристиками, определяемы-
ми в грунтоведении; в некоторых же случаях необходимые расчетные
характеристики подлежат определению путем проведения специально
поставленных экспериментов.
Для того чтобы расчетные методы механики грунтов и отвечающие
им расчетные характеристики с достаточным приближением соответ-
ствовали действительным явлениям и процессам, наблюдаемым в грун-
тах, основные допущения и расчетные схемы, принимаемые при разра-
ботке различных методов расчета, должны возможно лучше соответ-
#Глава I. Назначение и вопросы развития механики грунтов
ствовать современным представлениям инженерной геологии и грунто-
ведения.
Это обеспечивает увязку механики грунтов, одного из разделов ме-
ханики, с дисциплинами геологического цикла и является основным
условием правильного отображения механикой грунтов изучаемых ею
явлений и процессов в грунтах. В этом отношении можно провести ана-
логию между механикой грунтов и инженерной геологией (включая
грунтоведение), с одной стороны, и между теорией фильтрации и гидро-
геологией, с другой стороны. В обоих случаях, несмотря иа общность
физических объектов изучения (грунты, вода), различные дисциплины
подходят к этому изучению с различных сторон, применяя при этом
существенно различные методы изучения, что, естественно, отражается
и на характере рассматриваемых ими вопросов. Поэтому из необходи-
мости самой тесной увязки дисциплин геологического и механического
циклов никак не следует приходить к выводу, что эти дисциплины мож-
но смешивать. Именно с этой точки зрения Н. М. Герсеванов [5] не
считал так называемую «геотехнику» научной дисциплиной, а называл
ее «предметом» типа космографии, содержащим вопросы ряда различ-
ных научных дисциплин. Тем более нельзя дисциплины, являющиеся
разделами механики, в частности механику грунтов и теорию фильтра-
ции, рассматривать как разделы дисциплин геологического цикла, на-
пример инженерной геологии, грунтоведения иди гидрогеологии, или
наоборот, что иногда встречается в литературе.
Необходимо обратить внимание, что в отношении попыток исполь-
зования механики грунтов не по прямому ее назначению, а для объяс-
нения сущности тех или иных природных и, в частности, геологических
явлений или процессов следует проявлять большую осторожность, так
как для объяснения природных явлений и процессов одних только
представлений и методов механики в большинстве случаев совершенно
недостаточно. Такие попытки использования механики грунтов могут
привести либо к тем или иным механистическим ошибкам, либо к неос-
новательной неудовлетворенности механикой грунтов в том отношении,
что она не учитывает обстоятельств, которые не входят в круг вопро-
сов этой дисциплины.
Механика грунтов имеет весьма большое значение для строитель-
ства самых разнообразных инженерных сооружений: речных гидроуз-
лов; морских торговых или военных портов и баз, а также транспорт-
ных сооружений внутренних водных путей; заводов тяжелой и легкой
промышленности; любых подземных сооружений; сооружений и зданий
сельскохозяйственного, городского и жилищного строительства и т. п.
Это определяется тем, что строительство всех перечисленных выше
сооружений производится в самых разнообразных, часто весьма тяже-
лых грунтовых условиях, в значительной мере определяющих надеж-
ность возводимых сооружений, их строительную стоимость, скорость
возведения, а иногда даже возможность строительства в данных кон-
кретных условиях.
§ 2. ВОПРОСЫ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ
Не останавливаясь на примерах, связанных с проектированием и
возведением любых инженерных сооружений, следует отметить, что под
влиянием запросов, предъявляемых к механике грунтов со стороны
грандиозного строительства, проводимого в СССР, она за последние
десятилетия весьма сильно развилась как в расчетно-теоретическом,
так и в экспериментальном направлениях.
§ 2. Вопросы развития механики грунтов
9
Развитие механики грунтов тесно связано с проведением полевых
экспериментов или же наблюдений за возводимыми или возведенными
сооружениями, а также с постановкой специальных экспериментальных
лабораторных исследований. Натурные наблюдения используются
большей частью для выяснения общей картины изучаемого явления или
процесса, что необходимо для разработки соответствующей теории,
а также для интегральной проверки результатов, полученных при тео-
ретическом рассмотрении изучаемых вопросов. Экспериментальные ла-
бораторные исследования используются как для тех же целей, так и для
изучения роли и значения отдельных факторов, оказывающих влияние
на изучаемое явление или процесс, которые в силу тех или иных об-
стоятельств не могут быть выявлены при натурных наблюдениях интег-
рального характера; для изучения деталей исследуемого явления,
которые не могут быть выявлены в порядке проведения натурных на-
блюдений, и для получения некоторых функциональных зависимостей
и численных характеристик грунта, необходимых для построения теории
рассматриваемого вопроса- Следует к тому же отметить, что лабора-
торные исследования обычно значительно дешевле натурных исследо-
ваний, проводимых на сооружениях, что в совокупности и определяет
их широкое развитие.
Указанные полевые и лабораторные наблюдения и исследования,
а также получаемые с их помощью выводы и результаты являются ис-
ходными опытными данными, на базе которых строится и корректи-
руется теория того или иного вопроса механики грунтов. Поэтому пра-
вильная постановка, проведение и обработка данных эксперименталь-
ных исследований являются основными факторами, определяющими
ценность этих исследований и основанных на них теоретических по-
строений.
Совершенно очевидно, что правильно поставленные, проведенные и
обработанные эксперименты и наблюдения являются удовлетворитель-
ной основой для построения теории любого вопроса механики грунтов
и конечным решающим критерием степени ее пригодности и соответ-
ствия действительности. Однако неправильно поставленные для выясне-
ния какого-либо вопроса, неправильно выполненные или обработанные
эксперименты, не отображающие сущности рассматриваемого явления,
приводят, естественно, к неправильным выводам и заключениям, и в та-
ком случае могут не только не способствовать разъяснению рассматри-
ваемого вопроса, но, наоборот, могут запутать его и «направить дальней-
шую работу по неправильному пути. Это обстоятельство следует не за-
бывать при выполнении и оценке экспериментальных исследований.
В качестве примера можно указать на экспериментальные работы
по исследованию напряженного состояния основания под моделями ма-
лых размеров- В ряде случаев вследствие несоблюдения условий моде-
лирования земляной среды выводы и заключения, построенные на ос-
новании этих экспериментов, оказываются неправильными и могут вве-
сти в заблуждение. Подробнее об этом будет указано в дальнейшем.
Однако н при достаточно правильной постановке экспериментов, со-
ответствующей достигнутому уровню развития механики грунтов, они
дают нам лишь приближенное представление о протекающих в земля-
ной среде процессах. Описывающие их зависимости, а следовательно, и
построенные на них теоретические исследования являются также лишь
некоторыми приближениями к действительности.
Это обусловливается также и тем, что природные явления и процес-
сы в земляной среде настолько сложны, что при их изучении и построе-
нии различных теорий приходится прибегать к схематизации, отбрасы-
10 Глава I. Назначение и вопросы развития механики грунтов
вать при рассмотрении того или иного вопроса второстепенные факторы
и сохранять лишь основные, определяющие рассматриваемое явление
или процесс. При изучении различных вопросов приходится, естествен-
но, в качестве основных принимать различные факторы. При рассмот-
рении одних вопросов некоторые факторы должны приниматься в
качестве основных, при рассмотрении других — за основные должны
приниматься другие факторы, а первыми можно пренебречь. Оценка пра-
вильности выбора основных факторов, т. е. принимаемых предпосылок,
определяющая по существу степень удовлетворительности и ценность
построенной на них теории, должна, конечно, проверяться соответ-
ствующими тщательно и правильно поставленными экспериментами и
натурными наблюдениями.
Такой путь абстрагирования и схематизации исходных положений
расчетных методов механики грунтов является вполне правильным, если
только принимаемые исходные допущения и построенные на них теории
и методы расчета на каждой ступени развития этой дисциплины доста-
точно удовлетворительно совпадают с опытными данными и по мере ее
развития все лучше и лучше соответствуют действительности. При этом
каждая предшествовавшая расчетная схема при появлении уточненной
новой, лучше соответствующей действительности, либо отпадает, либо
для нее устанавливается определенная область применимости, в пре-
делах которой сохранение ее не вызывает значительных погрешностей.
В свете изложенных соображений и надлежит рассматривать вопросы
развития механики грунтов [6], а также оценивать те или иные при-
меняемые в ней теории и методы расчета.
Не останавливаясь на вопросах истории развития механики грунтов,
можно утверждать, что по -мере развития механики грунтов наши пред-
ставления в области рассматриваемых ею вопросов все время уточ-
няются и все лучше отражают действительные явления и процессы
в земляной среде.
Это определяется тем, что по мере изучения различных явлений и
процессов в земляной среде принимавшиеся ранее те или иные упро-
щающие допущения в расчетных предпосылках механики грунтов по-
степенно снимаются, в результате чего основанные на них методы рас-
чета приобретают все более и более общий и достоверный характер,
позволяющий учитывать реальные свойства земляной среды и
наблюдаемые в ней явления и процессы, учет которых раньше не был
возможным.
Следует отметить значение курса механики грунтов Н. А. Цытовича
[7], сыгравшего большую роль в СССР в отношении формирования ме-
ханики грунтов как дисциплины, а также значение трудов Н. П. Пузы-
ревского и Н. М. Герсеванова, которых по справедливости можно на-
звать пионерами разработки механики грунтов в СССР. Надлежит
также указать на большую заслугу в области развития механики грун-
тов коллективов НИОСП, ВОДГЕО, ВНИИГ, Гидропроекта, Гидро-
энергопроекта, некоторых организаций Академии наук СССР, а также
ряда вузов, научно-исследовательских, проектных и строительных орга-
низаций.
Однако, несмотря на достигнутые механикой грунтов успехи, прихо-
дится все же констатировать, что по целому ряду практически важных
вопросов не имеется еще теоретически и экспериментально обоснован-
ных ответов и методов расчета. В связи с этим надлежит иметь ввиду,
что при проведении дальнейших работ в первую очередь должны раз-
рабатываться те вопросы, такие недостающие методы расчета и спо-
собы их экспериментальной проверки, которые могут оказывать иаи-
fl 2. Вопросы развития механики грунтов 11
большее воздействие на тип и конструкцию различных сооружений
в отношении увеличения их надежности, удешевления и ускорения про-
изводства работ, а также на характер мероприятий по изменению в же-
лательном направлении природных явлений и процессов в прилегаю-
щих к возводимым сооружениям земляных массах.
При этом следует отметить, что принципиальное движение вперед
определяется разработкой таких новых методов или решений, которые
основаны на углублении нашего познания природы и на усовершенст-
вовании исходных расчетных моделей и предпосылок расчета в направ-
лении их приближения к действительности. Методы же, основанные на
старых предпосылках, являются лишь развитием или изменением
техники расчета. Такого рода новые работы полезны лишь в том
случае, если они основаны хотя бы и на старых, но для тех или иных
условий достаточно удовлетворительно соответствующих действитель-
ности допущениях и приводят к усовершенствованию, упрощению и
облегчению работы по выполнению расчета. Конечно, при использова-
нии любых методов расчета как новых, так и старых надлежит раньше
всего обращать особое внимание на области их применимости в смысле
соответствия природным условиям.
При разработке новых методов расчета естественно стремление к
возможному упрощению их математического изложения для более
удобного и широкого их использования в проектной практике. Однако
введение в расчеты не учитывавшихся ранее свойств земляной среды и
снятие ие соответствующих действительности упрощающих допущений
приводят обычно к соответствующему усложнению расчетных методов
механики грунтов. Поэтому в качестве выхода из такого противоречия
представляется целесообразным, наряду с более сложными и более пол-
но отражающими действительность методами расчета, применение ко-
торых в некоторых случаях может потребовать использования совре-
менных счетных машин, разрабатывать также упрощенные, однако
достаточно обоснованные методы расчета, которые могли бы легко при-
меняться широкими кругами проектировщиков. При этом основные
упрощения следует, по мере возможности, получать не за счет суще-
ственно искажающих правильную постановку задачи (в отношении ее
соответствия действительности) необоснованных упрощений исходных
расчетных предпосылок или основных уравнений рассматриваемой за-
дачи, а за счет применения более простых, приближенных и численных
методов решения соответствующих уравнений. С этой точки зрения сле-
дует признать совершенно неправильным встречающееся иногда разде-
ление различных методов расчета на точные и приближенные без учета
соответствия действительности их исходных предпосылок и присвоение
названия точного метода только по формальному признаку математи-
ческой точности решения тех или иных уравнений даже при менее до-
стоверных исходных предпосылках. Это может, конечно, создать ложные
представления о практической ценности различных методов. Совершен-
но очевидно, что затрата труда для повышения точности формального
решения ие может быть оправдана при недостаточной точности исход-
ных предпосылок расчета.
Надо обратить внимание на необходимость широкого использования
полезных результатов зарубежных работ и отсева при этом неправиль-
ных или ошибочных положений и взглядов, принимавшихся иногда без
должного критического подхода.
Не останавливаясь на примерах усовершенствования и разработки
новых методов экспериментальных лабораторных и полевых исследова-
ний, укажем лишь, что и в этих областях достигнуты большие успехи.
12 Глава !. Назначение и вопросы, развития механики грунтов
Следует, однако, отметить, что иногда встречаются случаи, когда те или
иные численные характеристики грунтов, полученные из лабораторных
экспериментов, недостаточно хорошо соответствуют реальным явлениям
и процессам в основаниях сооружений, а также тем расчетным методам,
в которых они используются. Необходимо обратить особое внимание
на то, чтобы такие случаи были исключены.
Достижения механики грунтов помогают правильно решать вопросы
выбора типа сооружения и его конструкции, определять необходимые
конструктивные размеры, проводить необходимые мероприятия для
снижения значения неблагоприятных природных условий или усиления
роли благоприятных условий и т. п. Значение этих вопросов не требует-
каких-либо пояснений.
Глава вторая
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
О ГРУНТАХ
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ «ГРУНТ»
Если не вдаваться в уточнение того, что следует понимать под сло-
вом «грунт», то смысл этого слова представляется в достаточной мере
ясным и понятным. Однако, если попытаться точно сформулировать
определение термина «грунт», то можно констатировать, что в настоя-
щее время нет общепризнанного определения этого термина. Неко-
торые, как например, Ф. П. Саваренский [1], считают, что грунтом
называется «любая горная порода как рыхлая (песок глина), так и
твердая (изверженная или осадочная), находящаяся в сфере внешнего
природного или искусственного воздействия на нее». В. В. Охотин [8]
считает, что «под грунтом следует разуметь совокупность обломочных
рыхлых горных пород современной коры выветривания, которые зале-
гают под почвами». Н. А. Цытович [9] считает правильным называть
грунтами «все рыхлые горные породы (природные минерально-дисперс-
ные образования) коры выветривания литосферы». Таким образом, по
сравнению с определением Ф. П. Савареиского Н. А. Цытович исклю-
чает из понятия «грунт» твердые горные породы («скальные грунты»),
а В. В. Охотин исключает, кроме того, и «почвы».
Некоторые авторы связывают определение понятия «грунт» с исполь-
зованием «грунта» в качестве основания или материала для возведения
инженерных сооружений. Такие определения, как указывает Н. А. Цы-
тович [9], не представляются удачными, так как одна и та же горная
порода в зависимости от факта или предположения возведения на ней
сооружения или будет называться «грунтом» или нет.
Из определений Ф. П. Савареиского, Н. А. Цытовича и В. В. Охоти-
на может быть принято любое. Однако, учитывая существенное от-
личие методов исследования, расчета и проектирования в случае твер-
дых горных пород («скальных грунтов»), с инженерной точки зрения
представляется более целесообразным выделить твердые горные поро-
ды и принять определение понятия «грунт» в редакции Н. А. Цытовича
или В. В. Охотина. Тем самым мы принимаем, что вопросы механики
скальных оснований сооружений не входят в «механику грунтов», а
подлежат рассмотрению в специальной дисциплине «механика скаль-
ных горных пород». Вопрос же о выборе между определениями
Н. А. Цытовича и В. В. Охотина с инженерной точки зрения не пред-
ставляется существенным, так как на «почвах» сооружения обычно ие
возводятся. Однако, с точки зрения почвоведения и грунтоведения опре-
деление В. В. Охотина является более правильным, так как выделяет по-
нятие «почва», которая по В. В. Докучаеву «есть поверхностно лежашее
минерально-органическое образование, всегда более или менее окра-
шенное гумусом, постоянно являющееся результатом взаимной деятель-
14 Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
иости живых и мертвых организмов, материнской породы, климата и
рельефа местности».
На основании 'Изложенного мы принимаем для определения термина
«грунт» редакцию, предложенную В. В. Охотиным, учитывая, что для
тех случаев, когда почвенного слоя нет, она совпадает с редакцией
Н. А. Цытовича.
Полагая, как было указано в предисловии, что читатели знакомы
с основами инженерной геологии, гидрогеологии и грунтоведения, мы
будем считать, что основные необходимые сведения и современные
представления в этих областях им уже известны и не подлежат на-
шему рассмотрению. Поэтому мы ограничимся в настоящей главе крат-
ким изложением только некоторых вопросов о составе и свойствах
грунтов, которые нам представляется желательным напомнить или
дополнить. Рассматривая любой грунт как совокупность тех или иных
образований из твердых минеральных частиц (твердая составляющая),
а также заполняющих пространство между ними жидкости (жидкая со-
ставляющая) и газа (газообразная составляющая), мы раньше всего
напомним некоторые основные представления в этом отношении.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЖИДКОЙ
И ГАЗООБРАЗНОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ГРУНТА
Пространство между твердыми частицами грунта, или, как говорят,
поры грунта, обычно заполнены в той или иной мере жидкостью (водою,
нефтью и т. п.) и газом (воздухом, водяным паром, метаном и т. п.).
В строительных условиях в подавляющем числе случаев такой жидко-
стью является вода, а газами — воздух и водяной пар.
а) Жидкая составляющая грунта
Одной из первых в СССР капитальных работ, в которой были рас-
смотрены вопросы о различных состояниях воды в грунтах, была ра-
бота А. Ф. Лебедева [10]. В .ней было предложено различать следующие
категории воды:
1. Вода в парообразном состоянии, которую естественно относить
к газообразной составляющей грунта.
2. Гигроскопическая вода, которая образуется в результате конден-
сации водяных паров <на твердых частицах грунта. Эта вода, по мне-
нию А. Ф. Лебедева, не может перемещаться в жидком состоянии.
3. Пленочная вода, в которой силы молекулярного взаимодействия
с твердыми частицами грунта преобладают над силами тяжести. Эта
вода в неполностью насыщенных водой почвах и грунтах перемещается
в жидком состоянии от мест большей влажности грунта к местам мень-
шей влажности, причем сила тяжести не оказывает влияния на движе-
ние пленочной воды. Гидростатическое давление при неполном насыще-
нии грунта водой в ней не передается.
4. Гравитационная, или свободная вода, перемещающаяся в жид-
ком состоянии под влиянием сил тяжести и разности напоров.
5. Вода в твердом состоянии (лед), а также кристаллизационная и
химически связанная вода, принимающая участие в строении кристалли-
ческих решеток различных минералов и входящая тем самым в состав
твердой составляющей грунта.
В настоящее время классификация и представления А. Ф. Лебедева
частично устарели. Вследствие этого, полагая, что необходимые сведе-
ния о более современных работах, посвященных вопросам о различных
g 2. Основные представления о жидкой и газообразной составляющих гррнта 15-
категориях воды в грунтах, известны из курсов грунтоведения, мы оста-
новимся лишь на весьма кратком элементарном описании некоторых
современных представлений в этой области.
Вода г и д р a tih ых и диффузных слоев. Как известно, по-
теря или приобретение одного или нескольких электронов в нейтральном'
атоме (положительно заряженное ядро которого уравновешивается от-
рицательно заряженными электронами) создает перевес положитель-
ного или отрицательного заряда; в этом случае такой атом приобретает
наименование иона и, в частности, катиона или аниона.
Кристаллическая решетка твердых частиц грунта образована хими-
ческими элементами, входящими в нее как ионы, т. е. несущими тот или
иной электрический заряд. Внутри кристаллической решетки заряды
ионов различных знаков уравновешиваются, тогда как на поверхности
твердой частицы они уравновешиваются лишь частично с внутренней
стороны по отношению к поверхности. Поэтому в целом такая частица
не является нейтральной .и ведет себя как заряженное тело. В электри-
ческом поле, созданном двумя электродами, опущенными в воду, гли-
нистая частица грунта обычно перемещается от отрицательного к по-
ложительному полюсу. Это показывает, что частица в целом несет от-
рицательный заряд или что поверхность ее заряжена отрицательно.
Рис. 1
Молекулы воды, в целом нейтральные, являются, как известно, ди-
полями, у которых один конец соответствует положительному, а другой
отрицательному полюсу. Вследствие этого молекулы воды, расположен-
ные на достаточном расстоянии от поверхности твердых частиц хаоти-
чески, вблизи твердых частиц ориентируются по отношению к их по-
верхностям, обращаясь к ним соответствующими, т. е. положительными
концами. Совокупность ориентированных таким образом молекул об-
разует, по Б. В. Дерягину, так называемый ориентированный слой гра-
ничной фазы (гидратный слой). Этот слой имеет, по Б. В. Дерягину,
границу, отделяющую его от остальной части воды, и содержит в зави-
симости от химического состава твердых частиц, химического состава
воды и т. д. от нескольких до нескольких десятков молекулярных слоев
при общей толщине слоя до 10“6 и даже 10-5 см.
За слоем граничной фазы, отмеченным пунктиром, расположен так
называемый диффузный слой (рис. 1), в пределах которого отрицатель-
ный заряд поверхности твердой глинистой частицы силами электриче-
ского взаимодействия притягивает к себе и удерживает находящиеся
в его пределах положительно заряженные ионы, т. е. катионы, напри-
мер водорода, калия, натрия и т. п. По мере приближения к поверхно-
сти твердых частиц число таких катионов и силы их взаимо-
действия с твердой частицей увеличиваются; по мере же удале-
ния — постепенно уменьшаются. Что же касается отрицательно заря-
женных ионов, т. е. анионов, то вследствие отталкивания их отрица-
тельно заряженной поверхностью твердой частицы концентрация их по
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах.
мере приближения к этой поверхности уменьшается, а по мере удале-
ния — увеличивается, практически уравниваясь на некотором доста-
точном расстоянии с концентрацией катионов. Расположенные в пре-
делах диффузного слоя катионы составляют совместно с отрицательно
заряженной поверхностью твердой частицы так называемый двойной
электрический слой. Катионы в пределах диффузного слоя имеют по не-
скольку ориентированных по отношению к ним молекул воды. Осталь-
ная вода в пределах диффузного слоя является обычной (т. е. свобод-
ной) и не имеет каких-либо особых свойств.
Если высушивать глинистый грунт, то сначала испаряется свобод-
ная вода, затем наружные слои гидратных оболочек, а затем и более
связанные с твердыми частицами слои воды. В соответствии с этим
в литературе иногда различают две категории: прочно связанную и
рыхло связанную воду. При этом некоторые авторы, как например
Е. С. Сергеев [11], считают, что термины «прочно связанная вода:» и
«гигроскопическая вода» или «рыхло связанная» и «пленочная вода»
являются синонимами, другие же [9] считают, что пленочная вода по
А. Ф. Лебедеву соответствует категории прочно связанной воды. Сле-
дует отметить, что различные такого рода наименования разных
категорий воды, в том числе и весьма распространенный термин «свя-
занная вода», к сожалению, достаточно условны, не имеют общепри-
знанных четких формулировок их физического смысла и не могут в
настоящее время считаться надлежащим образом увязанными с совре-
менными физическими представлениями.
В последнее время, основываясь на работах Б. В. Дерягина, неко-
торые исследователи, как например, Б. Ф. Рельтов, считают, чго наиме-
нования «связанная вода» и «гигроскопическая вода» соответствуют
представлению Б. В. Дерягина об ориентированных слоях граничной
фазы (гидратных слоях); наименование «пленочная вода», по А. Ф. Ле-
бедеву, соответствует представлению Б. В. Дерягина о диффузных
слоях, а наименования «прочно связанная» или «рыхло связанная»
вода вообще являются в свете современных представлений излишними.
Не останавливаясь на вопросах смыслового совпадения тех или
иных наименований категорий воды и тем более на вопросах физиче-
ского обоснования тех или иных терминов, мы в дальнейшем изложе-
нии будем основываться на приведенных выше весьма кратких описа-
ниях современных представлений б этой области.
Следует отметить, что в случае водонасыщенных грунтов свободная
вода диффузного слоя может перемещаться под влиянием сил тяжести
и разности напоров. Молекулы воды гидратного слоя также могут ув-
лекаться движением соприкасающихся с ними молекул свободной воды,
т. е. фильтрационным потоком. Количество таких молекул зависит от
скорости фильтрационного потока, т. с. от величины градиента напора.
Перемещения воды гидратных и диффузных слоев могут быть вы-
званы также путем выжимания ее из контактов между твердыми части-
цами водонасыщенного или неводонасыщенного грунта. Если минераль-
ные частицы грунта не соединены между собой цементационными свя-
зями, то две смежные твердые частицы полностью разделены друг от
друга прослойкой воды некоторой толщины.
Если две твердые частицы, находившиеся сначала, например, на
расстоянии, равном двойной наибольшей возможной толщине диффуз-
ного слоя 6 (рис. 2, а), прижать друг к другу некоторыми силами Р\
(рис. 2,6), то вследствие сближения катионов диффузных слоев этих
частиц, несущих заряды одного знака, возникают электрические силы
отталкивания, которые уравновешивают силы Р]. При этом некоторое
количество воды диффузных слоев выжимается из контактной области,
и концентрация катионов в этой области соответственно увеличивается.
В случае дальнейшего увеличения сжимающей силы (рис. 2, в) до
величины Р2 произойдет дальнейшее сближение катионов диффузных
слоев твердых частиц, дальнейшее увеличение отталкивающих сил, не-
обходимое для уравновешения сил Р2, и дальнейшее увеличение концен-
трации катионов в контактной области.
Если же после этого уменьшить величину сжимающей силы до Pi, то
вследствие преобладания электрических сил отталкивания и электро-
осмотических явлений, выражающихся в стремлении к выравниванию
концентрации катионов в контактной области и окружающей воде,
твердые частицы раздвинутся и в контактную область будет поступать
вода из смежных с нею областей. При этом толщина контактной об-
ласти увеличится, а силы отталкивания уменьшатся до величин, соот-
ветствующих силам Р\. В результате твердые частицы соответственно
раздвинутся. Получается, что вода как бы раздвигает и действует как
клин, т. е. «расклинивает» твердые частицы грунта. Это явление было
названо Б. В. Дерягиным «расклинивающим эффектом».
Если же двум твердым частицам, сжатым силами Р2, не давать раз-
двинуться путем приложения к ним двух неподвижных поверхностей
(рис. 3), а сжимающие силы Р2 устранить, то вследствие расклиниваю-
щего действия воды и ее стремления восстановить первоначальную тол-
щину контактного слоя твердые частицы будут оказывать на удержи-
вающие неподвижные поверхности а давление, равное Р2. В случае,
если удерживающие поверхности немного сместятся, то величина дав-
ления на них соответственно уменьшится. Это давление твердых ча-
стиц, раздвигаемых вследствие стремления к восстановлению первона-
чальной толщины прослойка воды в контакте, по аналогии с названием
самого явления называется «расклинивающим усилием». Указанные яв-
ления, отмеченные впервые Б. В. Дерягиным, имеют существенное зна-
чение при рассмотрении ряда вопросов.
Большее или меньшее значение описанных явлений и процессов за-
висит от суммарной поверхности твердых частиц и числа контактов
в единице объема грунта или в единице веса грунта. Выполненными
расчетами установлено [12], что суммарная площадь поверхностей твер-
дых частиц в одном кубическом сантиметре грунта при размере частиц
около 1 мм составляет, примерно, 60 При размере же частиц около
0,001 мм она равна, примерно, 6 jw2. Отсюда ясно, что все поверхност-
ные явления, происходящие у поверхностей раздела «твердые ча-
стицы— вода», в глинисты* грунтах с весьма мелкими частицами,
2-В. А. Флорин ' '?;•
18 Г лава II. Некоторые основные представления о грунтах
порядка 0,001 мм имеют во много раз большее значение, чем в песках,,
частицы которых значительно больше (например, около 0,1 —1,0 мм)..
Соответственно этому и количество воды, находящейся в пределах гид-
ратных и диффузных слоев, в глинистых грунтах значительно больше,
чем в песках, вследствие чего в глинах такая вода имеет существенное
значение, а в песках она не играет практически никакой роли.
В заключение отметим, что изменением химического состава воды
в порах грунта можно, как было указано выше, изменить толщину этих
слоев. На этом основаны некоторые способы изменения строительных
свойств грунтов, применяемые в строительном деле.
Свободная вода. Свободная вода в грунтах в основном под-
разделяется на гравитационную и капиллярную. Гравитационная вода
обладает обычными общеизвестными свойствами, перемещается в по-
рах грунта под воздействием сил тяжести и разности напоров и ие
нуждается в каком-либо дополнительном описании присущих ей свойств.
Основной особенностью капиллярной воды является то, что положе-
ние и перемещение ее в порах грунта, а также величины давлений
в воде зависят ие только от сил тяжести и в случае водоиасыщенного
грунта от распределения напоров, но также ст сил поверхностного
натяжения. Если капиллярная вода заполняет только частично поры
грунта, т. е. грунт является трехкомпонеитной системой, то она переме-
щается под влиянием сил тяжести и сил поверхностного натяжения.
В случаях, когда капиллярная вода заполняет полностью поры грунта,,
т. е. грунт является двухкомпонентной системой, она перемещается под
влиянием разностей напоров, величины которых зависят от распределе-
ния давлений в воде, зависящих, в свою очередь, от условий на ограни-
чивающих земляную среду поверхностях, сил тяжести и сил поверхност-
ного натяжения.
Как известно, капиллярное поднятие жидкости, в частности воды,,
происходит потому, что в результате явлений смачивания жидкость,
расположенная у стенок капиллярной трубки или у поверхности твер-
дых частиц грунта, поднимается. Вследствие этого происходит искрив-
ление поверхности жидкости, так как на более близких расстояниях от
стенок капилляра или поверхности грунтовых частиц это поднятие
больше, а на больших расстояниях оно быстро уменьшается, в резуль-
тате чего выпуклость поверхности жидкости оказывается направлен-
ной обычно в сторону жидкости. Искривленная поверхность жидкости
называется мениском. При плоской поверхности жидкости давление
в жидкости под этой поверхностью, если не учитывать в явном виде по-
верхностного давления, было бы равно атмосферному. Так как указан-
ная поверхность не плоская и выпуклость ее направлена в сторону жид-
кости, то, как известно из курса физики, давление в жидкости под та-
кой поверхностью меньше атмосферного на соответствующую кривизне
мениска величину.
Если вода в капиллярную трубку нли в грунт поступает из
некоторого бассейна А (рис. 4), в котором она находится на том или
ином уровне под атмосферным давлением (например, иа уровне
грунтовых вод), то состояние равновесия жидкости возможно только
в том случае, если на этом же уровне в трубке или в грунте дав-
ление в воде также равно атмосферному. Вследствие этого вода в труб-
ке или в грунте должна подняться над уровнем питающего бассейна на
высоту h,, при которой в трубке или грунте на уровне питающего бас-
сейна давление будет равно атмосферному, тогда как в пределах этой'
высоты h к давление в воде будет меньше атмосферного. Эта высота на-
зывается высотой капиллярного поднятия.
£ 2. Основные представления о жидкой и газообразной составляющих грунта 19
юм случае, когда вода за-
сосредоточиваясь в виде
В
Рис. 5
Схематизируя, говорят о «подъемной силе» менисков, представляя,
что мениски как бы опираются на стенки капиллярной трубки или на
поверхность твердых частиц грунта и вследствие натяжения поверхно-
стной пленки воды поддерживают или тянут за собою воду, поднимая
ее на высоту, равную высоте капиллярного поднятия, что является, та-
ким образом, результатом воздействия сил поверхностного натяжения.
Естественно, что в пределах этой высоты возникают отрицательные дав-
ления в воде (меньшие атмосферного).
Тогда нетрудно, прийти к выводу о
том, что мениски, поддерживающие столб
воды высотой, равной высоте капиллярно-
го поднятия, передают нагрузку, рав-
ную весу такого столба воды, на стенки
капиллярной трубки или твердые частицы
грунта. Эта нагрузка, передаваемая на
стенки трубки или твердые частицы грун-
та и называемая капиллярным давлением,
вызывает в них соответствующие сжи-
мающие напряжения.
Аналогичные явления имеют место и
полняет поры грунта не сплошь, а частично,
отдельных объемов в местах наиболее узких пор и контактов твердых
частиц. Поверхность каждого такого объема воды вследствие смачива-
ния ею твердых частиц грунта покрывается менисками, вызывающими
растягивающие напряжения (отрицательные давления) в воде и соот-
ветствующие им сжимающие напряже-
ния в твердой фазе грунта (в пределах
объема, ограниченного поверхностью ме-
нисков), интенсивность которых зависит,
как и раньше, от кривизны менисков.
В этом случае можно говорить о внут-
реннем капиллярном давлении в грунте
в отличие от внешнего, когда поверх-
ность менисков совпадает с поверх-
ностью грунта.
Те же явления возникают у поверхности грунтовых вод в основаниях
сооружений, в земляных плотинах, дамбах и т. п. При этом образуются
мениски (рис. 5), в результате чего в пределах высоты капиллярного
поднятия возникают отрицательные давления в воде и сжимающие на-
пряжения в твердой фазе грунта (внешнее капиллярное давление), ин-
тенсивность которых зависит, как всегда, от кривизны менисков. По-
следняя зависит, в свою очередь, от химического состава воды и твер-
дых частиц грунта (смачиваемости) и явлений испарения воды с по-
верхности грунтовой воды, что определяется влажностью окружающей
воздушной среды.
б) Газообразная составляющая грунта
Находящийся в грунте тот или иной газ, например воздух, метан и
т. п., а также водяные пары, представляют собой газообразную состав-
ляющую грунта. Наличие в грунте газообразной составляющей в доста-
точной мере сильно отражается на свойствах грунта и характере проте-
кающих в нем процессов, представляющих интерес со строительно^
точки зрения. Поэтому изучение явлений, связанных с газообразной
составляющей грунтов, имеет существенное значение. 7 --
2*
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах,
Если газ, находящийся в грунте, имеет непосредственную связь
с внешней атмосферой, то такой газ, в частности воздух, называется
свободным. Если же газ, находящийся в том или ином количестве
в грунте, не имеет непосредственной связи с внешней атмосферой, так
как он отделен от иее жидкостью, заполняющей поры грунта (водой),
то такой газ называется защемленным.
Следует отметить, что даже так называемый водонасыщенный грунт
не является в строгом смысле двухкомпоиентной системой «твердые
частицы — вода», так как во всякой грунтовой воде всегда имеется как
растворенный в ней газ (например, воздух), так и некоторое, хотя бы
очень небольшое, количество пузырьков газа. При уменьшении давлений
в воде, окружающей эти пузырьки, вызванном, например, отрытием
котлована, изъятием образца грунта из толщи основания на поверх-
ность и т. п., или при повышении температуры — указанные пузырьки
увеличиваются в размере. Это происходит, с одной стороны, вследствие
расширения заключенного в них газа, а, с другой стороны, вследствие
выделения газа, растворенного в воде. При значительном повышении
температуры или уменьшении давлений в воде, окружающей пузырьки
газа, к этим явлениям присоединяются достаточно интенсивные явления
испарения воды по поверхностям пузырьков, т. е. по поверхностям раз-
дела между жидкой и газообразной составляющими грунта. Эти явле-
ния приводят к дальнейшему увеличению размеров пузырьков и назы-
ваются явлениями парообразования в земляной среде. Только в особых
случаях, при принятии специальных мер, можно добиться, чтобы водо-
иасышеиный грунт совершенно не содержал бы ни пузырьков, ни рас-
творенного в заполняющей его поры воде газа. Поэтому, говоря о пол-
ностью в одо насыщен ном грунте, следует понимать, что рассматриваемый
грунт содержит при данной температуре и данном распределении дав-
лений в воде то или иное количество растворенного в воде газа, а также
хотя бы пренебрежимо малое Число пузырьков газа. При изменении же
температуры или давлений в воде, заполняющей поры грунта, ранее
практически водонасыщенный грунт перестает быть водонасыщенным
вследствие явлений газо- и паровыделения, что сопровождается измене-
нием объема грунта, его деформационных свойств и других характери-
стик, представляющих интерес в строительном отношении.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТВЕРДОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ГРУНТОВ
Твердая составляющая грунта состоит из частиц различных минера-
лов разной крупности и формы, либо совершенно не связанных между
собой, либо связанных теми или иными связями различного происхож-
дения, характера и прочности. Подробное изучение минерального со-
става, крупности, формы твердых частиц грунта и характера указанных
связей относится к области грунтоведения. Поэтому, полагая, как и
в предыдущем параграфе, что читатель знаком с основами современного
грунтоведения, мы напомним только некоторые основные представления
в этой области.
а) Механический состав грунтов
Крупность твердых частиц, слагающих грунт, определяется так на-
зываемым механическим (гранулометрическим) составом грунта, ха-
рактеризуемым процентным содержанием по весу частиц разной круп-
ности, классификация которых, по Е. М. Сергееву [11], приводится
в табл. 1.
$ 3. Основные представления о твердой составляющей грунтов
21
Таблица 1
Наименование частиц Размер частиц Примечание
Валуны (окатанные) и камни (углова- тые) ... Булыжник, галька (окатанные) и ще- бень (угловатые) . . . . Гравий (окатанные) и хрящ (углова- тые ) Песок: а) крупный б) средний в) мелкий г) тонкий Пыль: а) крупная .... Более 20 см 20 — 4 см 40—2 мм 2 — 0,5 0.5 - 0.25 0,25 -0,10 0,10 -0.05 0,05 - 0,01
б) мелкая в) иловатая Глина: собственно глина коллоидная глина 0,01 - 0,005 0,005 - 0.001 1 - 0,25 [х меньше 0,25 ц I р. — 0,001 мм (микрон)
Эта классификация основана на том, что частицы, близкие по круп-
ности, объединяют в определенные группы, называемый [ ранулометрн-
ческими фракциями, которым присвоены соответствующие наименова-
ния. Следует отметить плоскую форму глинистых частиц, один из раз-
меров которых значительно меньше двух других. Размер глинистых ча-
стиц приводится в табл. 1, полагая, что определение количества этих
частиц в грунте производится осаждением размельченного грунта в во-
де, используя при этом формулу Стокса.
Различные грунты состоят из фракций различной крупности, ве-
совое содержание которых определяется путем лабораторных исследо-
ваний, в результате чего механический состав грунта может быть пред-
ставлен в виде табл. 2.
Таблица 2
„„ „ К л , г 0.5 - I о,25 I 0,05 - 0.01 - 0,005 -
> 20 мм । 20 — 2 I 2 - 0,5 । _ о(25 _ tlj)5 0.О1 — 0,005 - 0.001
< 0,001
1(римечание
(в процентах)
Более наглядное представление о механическом составе грунта мо-
жет быть получено путем построения графика процентного содержания
различных фракций, применявшегося на Свирьстрое. Как показано на
рис. 6, а, по оси абсцисс откладываются логарифмы диаметров частиц,
а по оси ординат — процентное содержание различных фракций грун-
та. Узкие пикообразные графики (рис. 6,6) соответствую* однородному
механическому составу грунта. Отношение диаметров, соответствующих
половине максимальной высоты графика m (^} , характеризует сте-
пень однородности грунта и называется модулем неоднородности.
Наибольшее распространение для описания механического состава
грунта имеют гак называемые кривые однородности. Они отличаются
тем, что по оси ординат откладывается (рис. 7) не процентное содержа-
ние каждой крупности (диаметра), а суммарное процентное содержа-
22
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
нис частиц всех - меньших диаметров. Разность ординат двух точек
кривой однородности показывает, чему равно процентное содержание
в грунте частиц, диаметры которых находятся в пределах промежутка,
соответствующего разности абсцисс этих двух точек. Чем более круты-
ми получаются кривые однородности, тем более однороден грунт.
Рис. 6
Диаметр частиц, по отноше-
нию к которому содержание
более мелких частиц в грунте
составляет 10%, называется
эффективным диаметром и
обозначается Если же со-
держание более мелких частиц
составляет 60%, то такой диа-
метр dso называется контроли-
рующим. Отношение f=
называется коэффициентом не-
однородности. Чем больше эта
величина, тем более неодноро-
ден грунт. Чем ближе она
к единице, тем более однороден
грунт. У песков коэффициент
неоднородности обычно зна-
чительно меньше, чем у глин.
Пылеватые грунты занимают
промежуточное положение.
В зависимости от механи-
ческого состава грунтов они могут быть отнесены к той или иной кате-
гории существующих классификаций грунтов, один из вариантов кото-
рых, составленный в соответствии с предложением В. В. Охотина [8],
приводится в табл. 3.
Механический состав грунтов
оказывает весьма существенное
влияние на различные свойства
грунтов.
В мелкозернистых грунтах, на-
пример глинах, суммарная по-
верхность их частиц в единице
объема, как указывалось выше,
значительно больше, чем в круп-
нозернистых грунтах, вследствие
чего в таких грунтах поверхност-
ные явления, 'происходящие на
поверхностях раздела «твердые
частицы — жидкость или газ»,
имеют значительно большее влия-
ние, чем в грунтах крупнозерни-
стых, например песках. Величина суммарной поверхности твердых ча-
стиц грунта характеризуется отношением суммарной площади поверх-
ности всех частиц к объему, занимаемому частицами, и называется
«удельной поверхностью» грунта.
В табл. 4 приведены данные [12] об удельной поверхности раз-
личной крупности кубических элементов, заполняющих объем, рав-
ный 1 см3.
§ 3. Основные представления о твердой составляющей грунтов
23
Таблица 3
Наименование групп Наименование разностей Содержание частиц в %
глинистых < 0,002 мм пыле ватых 0,002 — 0,05 мм песчаных гравийных 2-40 мм
0,05 — 0,25 мм 0,25 - 2,0 мм
Глина Суглинок Пылеватый суглинок Супесь Пылеватая супесь Песок Пылеватый песок Гравий Г Тяжелая < глина ( Глина г Тяжелый | Средний ( Легкий f Тяжелый •: Средний 1 Легкий •Тяжелая крупная Легкая крупная Тяжелая мелкая Легкая мелкая | Тяжелая | Легкая Крупный ; Средний Мелкий Пылеватый песок ( Крупный 1 Мелкий 60 60 — 30 30 - 20 20 - 15 15—10 30 — 20 20 - 15 15 - Ю 10 — 5 5 — 2 10 — 5 5—2 10 — 5 < 5 < 2 < 2 Не реглам Не регла- ментируется Меньше, чем частиц песчаных и гравийных вместе Больше, чем частиц песчаных и гравийных вместе <30 >30 <10 10 - 30 цитируется Не реглам Не реглам Не реглам Не реглам Частиц кру >5 Частиц кру Частиц кру <5 Не реглам ентируется цитируется ентируется | Больше 50 | Меньше 50 ентируется пнее 0,5 мм 0% пнее 0,25 мм >0% пнее 0,25 мм 0% ентируется <10 <10 <10 <10 <10 <10 <10
1 Частиц крупнее 2 мм более 5<)% 1 4 , . 35% j Частиц крупнее 2 мм более 50% | . 4 , менее 35 %
Примечания. I. Грунты называются гравелистыми, если в них гравийных частиц содержится
10 — 50%.
2. Таблица составлена в предположении, что определение мелких фракций производится по фор-
муле Стокса.
Таблица 4
Длина ребра куба Число кубов в 1 см3 Общая по- верхность Удельная по- верхность в 1,сж
Грубодисперсные частицы:
1 ми 103 60 см2 6 х ю
10-1 мм , ... 10г- 600 <ь«2 6 X 102
10-2 м и . . 10я 0.6 м* 6 х 103
Тонкодисперсные частицы:
]0“3 м и 1012 6 м2 6 х io*
Коллоидные частицы:
10’4 ми 1015 60 м2 6Х 105
10-5 мм 1018 600 м2 6 х 106
10 ‘6 мм , RJ21 6000 м2 6 х ю?
24
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
б) Понятие о структуре и скелете грунта
Закономерное сочетание глинистых, пылеватых н песчаных частиц
в пространстве, заполненном грунтом, называют в грунтоведении «мик-
роструктурой» грунта, тогда как сочетание агрегатов твердых частиц
илн комков грунта называют структурой. При таком определении этих
терминов очевидно, что, например, сыпучий песок является бесструктур-
ным грунтом, так как он не имеет комковатости, но вместе с тем ои
имеет «микроструктуру», так как последняя определяется взаимным
расположением зерен песка. В механике грунтов обычно не разделяют
понятий «структура» и «микроструктура», называя их общим
термином «структура». Структура грунтов оказывает большое влияние
на свойства грунтов н, в частности, на свойства, представляющие инте-
рес в строительном отношении. Различают структуру — рыхлую зер-
нистую (рис. 8, а), плотную
зернистую (рис. 8, б), сотооб-
разную или губчатую (рис.
8, в), хлопьевидную (рис. 8, г)
и т. п. Прочность структуры,
т. е. ее сопротивление измене-
нию взаимного расположения
твердых частиц грунта и их
агрегатов, зависит от прочности
связей между ними и может
изменяться в весьма широких
пределах. Природа таких свя-
зей может быть различной: си-
лы молекулярного взаимодей-
ствия, различного рода цемен-
тационные связи н т. п.
Для удобства изложения в
механике грунтов широко
используется вспомогательное
понятие, называемое «скелетом
грунта». Под наименованием
рис 8 «скелет грунта» понимается со-
вокупность твердых частиц
грунта, связанной воды (в указанном выше условном смысле) и жест-
ких связей между твердыми частицами, если такие связи имеются.
В этом понимании термина «скелет грунта» поры его могут быть за-
полнены только свободной гравитационной или капиллярной водой и
тем илн иным газом илн водяным паром.
При принятом определении понятия «скелет грунта» очевидно, что
касательные напряжения могут восприниматься только скелетом грун-
та, так как заполняющие его поры свободная вода, газ или пар каса-
тельных напряжений воспринимать не могут. Свободная вода, запол-
няющая поры, находится в каждой точке грунта в состоянии равномер-
ного всестороннего сжатия или растяжения (в капиллярной зоне) раз-
личной интенсивности, отвечающей давлению в рассматриваемой
точке.
При приложении к грунту каких-либо нагрузок скелет грунта в той
или иной мере деформируется, причем скорости нарастания этих дефор-
маций и возникающее напряженное состояние в скелете грунта опреде-
ляются:
al вязкостью скелета грунта, обусловленной внутренними сопротнв-
$ 3. Основные представления о твердой составляющей грунтов 25
лениями взаимному смещению твердых частиц грунта, вследствие чего
взаимные смещения твердых частиц требуют для своего осуществления
того или иного времени;
б) в случае водонасыщенных грунтов скоростью вытекания (или
притока) заполняющей поры скелета грунта воды при деформациях,
связанных с изменением объема пор;
в) наличием и свойствами цементационных связей.
Вязкость скелета грунта определяет существенное значение для не*
которых грунтов явлений ползучести и релаксации, заключающихся в
постепенном нарастании деформаций при постоянной величине напря-
жения в скелете грунта или постепенном изменении напряженного со-
стояния при заданной постоянной величине деформации
Скорость вытекания (притока) заполняющей поры скелета грунта
воды зависит от водопроницаемости скелета грунта и величины гра-
диента напора. .
\ в) Связность грунтов
Связные грунты отличаются от несвязных сыпучих грунтов способ-
ностью воспринимать хотя бы небольшие растягивающие напряжения и
сохранять без обрушения вертикальные откосы той или иной высоты.
Примером связных грунтов являются глинистые грунты; примером не-
связных грунтов — сыпучие пески.
Связность грунтов объясняется:
а) молекулярными силами взаимодействия между твердыми части-
цами грунта;
б) цементационными или кристаллическими связями, соединяющими
твердые частицы грунта;
в) капиллярными усилиями в грунте.
Природа связности грунтов, обусловленная силами молекулярного
взаимодействия, может быть в соответствии с представлениями П. А.
Ребиндера [13] и Н. Я. Денисова [14] схематически пояснена следующим
образом. При сближении двух мельчайших твердых частиц, когда рас-
стояние между ними станет равным двойной толщине диффузного слоя,
появляется сопротивление дальнейшему сближению этих частиц вслед-
ствие возникновения отталкивающих сил между одноименными заряда-
ми диффузных слоев сближаемых твердых частиц. Однако если это
сопротивление преодолено, то при дальнейшем сближении твердых ча-
стиц, когда толщина зазора между ними станет достаточно малой (по-
рядка одного-двух десятков слоев молекул воды), возникнут значитель-
ные силы молекулярного взаимодействия (притяжения) непосредствен-
но между твердыми частицами, преобладающие по сравнению с силами
отталкивания. Эти силы взаимного притяжения между твердыми ча-
стицами естественно будут проявляться сильнее на участках поверхно-
сти, где толщина слоев связанной воды меньше, а следовательно, по-
верхности твердых частиц расположены ближе. В результате такого
взаимодействия мельчайших (коллоидных) твердых частиц между со-
бою и с поверхностью более крупных частиц размерами 0,001—0,05 мм
(но не зерен песка, являющихся только заполнителем), которые они по-
крывают в виде пленок, — коллоидные частицы, по выражению Н. Я.
Денисова, играют -роль «своеобразных мостиков, соединяющих более
крупные частицы». Изложенное показывает [14], что связность грунтов
определяется не склеивающим действием тонких прослойков воды, как
считают некоторые авторы, а, вопреки им, — вследствие склеивающего-
действия (прилипания) коллоидных частиц грунта в результате енл
молекулярного взамодействия между ними. Влияние этих сил естест-
26 Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
венио возрастает по мере сближения твердых частиц, увеличения числа
и площади их контактов. Вследствие этого увеличение плотности грун-
та приводит к увеличению его связности. Существенным свойством связ-
ности грунтов, обусловленной молекулярными силами, является то, что
она сохраняется прн взаимных перемещениях частиц грунта, уве-
личиваясь при их сближении н уменьшаясь при нх удалении.
В большинстве случаев связность грунтов объясняется не только
действием молекулярных сил взаимодействия коллоидных частиц,
склеивающих между собой более крупные частицы, но и цементацией
грунта различными кристаллическими связями, происходящей в течение
длительного времени в зависимости от геологических условий образо-
вания н существования той илн иной глинистой породы. Связность грун-
та, зависящая от наличия жестких цементационных связей, исчезает
при взаимных перемещениях твердых частиц н разрушении структуры
грунта вследствие того, что эти явления могут возникать только после
разрушения соответствующих цементационных связей. Так как после
прекращения взаимного смещения твердых частиц илн разрушения
структуры грунта нарушенные цементационные связи могут в той илн
иной мере восстановиться только в течение длительного времени, то
связность грунта, обусловленная этими связями, после их разрушения
сразу не восстанавливается. Н. Я- Денисов [14] разделяет сцепление
(связность) грунтов на «первичное сцепление» (связность, обусловлен-
ная молекулярными силами взаимодействия, увеличивающаяся по мере
увеличения плотности грунта) н на «сцепление упрочнения» (связность,
возникновение которой не связано с изменением плотности, как напри-
мер связность, обусловленная цементационными связями). Н. Н. Иванов
[15] разделяет сцепление на «структурное», т. е. невосстанавливающее-
ся после нарушения структуры и цементационных связей (при проведе-
нии испытаний на сдвиг), и на «восстанавливающееся», В. А. Прнклон-
ский [16] различает связи «кристаллизационные» и «водно-коллондные».
Грунты, обладающие связностью, обусловленной наличием цемента-
ционных связей, отличаются большей жесткостью.
В некоторых случаях связность грунтов определяется в той или иной
мере капиллярными явлениями [17]. Например, если увлажнить сыпучий
песчаный грунт, то увлажненный песок приобретает способность в пре-
делах некоторой высоты сохранять вертикальный откос, т. е. приобре-
тает свойство связности.
Несомненно, что в ряде случаев связность грунтов зависит в извест-
ной мере от капиллярных явлений. Однако приписывать этим явлениям
роль основной причины, определяющей связность грунтов, было бы,
конечно, неправильно. Такое объяснение связности глин приводит в
некоторых случаях к необходимости допущения существования в гли-
нах капиллярного давления и растягивающих напряжений в воде, со-
ответствующих высоте водяного столба больше 300 я. Известно, что
при растягивающих напряжениях в воде, превышающих 10 м водяного
столба, сплошность воды в порах грунта обычно нарушается вследствие
возникновения интенсивных явлений парообразования. Поэтому такая
высота капиллярного поднятия не реальна. Практически можно го-
ворить о высотах капиллярного поднятия, не превышающих 10 м.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ
Прн описании и количественной оценке свойств грунтов, наблюдае-
мых в них явлений, а также протекающих в грунтах процессов исполь-
зуются так называемые характеристики грунтов, определяемые из со-
27
§ 4, Основные физические характеристики грунтов
ответствующих экспериментальных исследований нли путем расчета, ис-
пользуя другие характеристики грунтов.
Физическими характеристиками грунтов мы будем называть такие
характеристики, назначение которых вне зависимости от способа их
использования заключается в возможно более полном и точном описа-
нии тех или иных рассматриваемых явлений н свойств грунтов.
В отличие от физических характеристик грунта можно говорить, как
было указано ранее, о расчетных характеристиках, представляющих со-
бой параметры, входящие в те или иные расчетные методы механики
грунтов. Расчетные характеристики во многих случаях совпадают с фи-
зическими характеристиками грунта, что является наиболее желатель-
ным, а иногда отличаются от них, описывая лишь применительно к той
или иной расчетной схеме рассматриваемые свойства грунтов с некото-
рым приближением.
Физические характеристики грунтов изучаются в основном в грунто-
ведении и используются в механике грунтов. Расчетные характери-
стики подлежат изучению в основном в механике грунтов, а также и в
грунтоведении.
Полагая, что читатели знакомы с основами грунтоведения, рассмот-
рим некоторые основные физические характеристики грунтов и связы-
вающие их зависимости.
У а) Характеристики пористости
Выделим некоторый объем грунта V и обозначим объем пор, содер-
жащихся в этом объеме, через г;,, а объем твердых частиц грунта че-
рез г».,. Тогда очевидно, что
-и = vn н- (2.1)
Отношение
п-4- (2.2)
называется пористостью грунта и представляет собой объем пор в еди-
нице объема грунта.
Отношение
(2.3)
представляет собой объем твердых частиц в единице объема грунта.
Совершенно очевидно, что
п -р —т- = 1. (2.4)
V V v
Отношение
в= 4- (2-5>
VT
называется коэффициентом пористости. Нетрудно убедиться, что
Vn “Г 1 + £ *
откуда, учитывая зависимость (2.1), имеем:
= '2.6)
g 1
= = -и — (27)
28 Глава II, Некоторые основные представления о грунтах
«=ТГ=ТТГ’ (2-8)
m = -V = -TTT- (2-9)
В случае полностью водонасыщенного грунта объем воды инв еди-
нице геометрического объема грунта v равен объему пор оп,
т. е- =
В случае частично водонасыщенного грунта, обозначая содержание
газа в геометрическом объеме грунта v через vr, имеем:
Ч, Ч, + vr,
откуда после деления обоих частей равенства на v получаем:
п = пв + пг, (2.10)
где
= ' (2.П)
пг= (2.12)
обозначают относительные содержания воды и газа в грунте.
Весьма часто величины ш и п выражают не в долях единицы, а в
процентах, например пишут 50% вместо 0,5.
Примеры численных величин пористостей и коэффициентов пористо-
сти для некоторых грунтов в условиях их естественного залегания при-
ведены в табл. 5.
Таблица 5
Наименования грунтов п Е
Пески 0.35 — 0.45 0.5 4 — 0,82
Леесы .... 0.40 — 0,55 0,67 - 1.20
Илы 0.50 - 0,75 1,00 — 3,00
Суглинки и глииы . 0,40 — 0,50 0,67 - 1,00
\ б) Основные удельные и объемные веса
Под наименованием удельный вес воды у в механике грунтов пони-
мают удельный вес свободной воды, заполняющей поры скелета грунта.
Под наименованием удельный вес грунта А понимают не объемный вес
какой-либо отдельной минеральной частицы, а вследствие неоднородно-
сти минералогического состава грунта — средний удельный вес всех ми-
неральных частиц в некотором объеме грунта, достаточно большом по
сравнению с размерами отдельных минеральных частиц.
В результате обработки большого количества измерений удельных
весов для основных категорий грунтов Д. Е. Полыпнным [18] было уста-
новлено, что удельный вес отдельных разновидностей грунтов является
в достаточной мере постоянным. В частности, для песков, супесей, суг-
линков и глин он изменяется обычно в пределах от 2,66 до 2,74 г]см\
Удельный вес торфа равен 0,5—0,8 г!см3.
Объемный вес грунта в естественном состоянии уес.г равен весу еди-
ницы объема грунта, включая вес твердых частиц и вес воды, находя-
щейся в некотором количестве ,в порах грунта. Этот вес изменяется в до-
статочно широких пределах, так как зависит от плотности и от влажно-
сти грунта.
§ 4. Основные физические характеристики грунтов
Некоторые значения уест для нескольких категорий грунтов приво-
дятся в табл. 6.
Таблица 6
,, Т.рт (tlCM2 или
Наименования грунтов ‘ест
мм?)
Пески ... ... 1.45 - 1,70
Лессы . .... 1.20 — 1,60
Суглинки и глины .... 1,35 1,80
Объемный вес сухого грунта усух представляет собой вес минераль-
ных зерен в единице объема грунта той или иной плотности. Иногда
этот вес называют объемным весом скелета грунта. Совершенно оче-
видна зависимость
7сух = тД-(1 - п} А =7-^7 , (2.13)
с помощью которой можно' получить удобные зависимости для лабора-
торного определения величин п и з:
в ---------1 н 1 - . (2.14)
7сух д ' 7
Объемный вес полностью водонасыщенного грунта ?нас равен:
7нас ’ ’ 7сух ^7- (2-15)
Объемный вес полностью взвешенного в воде грунта уВЗя представ-
ляет собой вес взвешенных в воде твердых частиц грунта определенной
плотности. Легко убедиться, что
7взв ~т Тсух ^7 == 7сух ’ ]~4-Л~ = 1 е = 7нас 7' (2.16)
в) Весовая влажность грунта и связь ее с другими характеристиками
Весовой влажностью грунта w называется отношение весов воды q^
и твердых частиц qT в некотором объеме грунта:
_1_ дт и,Д ил vT Д ‘Д’
откуда: -
®Д 8= VI (2-17)
где величина 71=-°' ‘ vn (2.18)
называется степенью водонасыщения. Для полностью водонасыщениых
грунтов 'у =1, откуда влажность полностью водонасыщенного грунта
или так называемая полная влагоемкость грунта равна;
ет
от; = —!—
“'нас д
или, учитывая первую из зависимостей (2.14),
7 / Д
<7в) = —I -----------—
нас Д I -г х
\ 7сух
(2.19)
(2.20)
30 Глава И. Некоторые основные представления о грунтах
Иногда весовые влажности грунта выражают не в долях единицы, а
в процентах, умножая на 100 значения, полученные по приведенным вы-
ше формулам.
Для слабо уплотненных водонасыщенных илов влажность может
достигать значений, равных 200—300%, а для сухих лессовых грунтов
она колеблется около 3—7%.
Нетрудно убедиться, что коэффициент водонасыщения может быть,
представлен в иной форме, а именно:
JVB
V AvT w
т. =----- ----- =-----г
TL'n ®'нас
вследствие чего он называется также коэффициентом влажности или
относительной влажностью.
В зависимости от величины коэффициента водонасыщения грунты,
разделяются на:
маловлажиые при т] < 0,5?
очень влажные при 0,5<т]<0,8,
насыщенные при 0,8 < т] < 1,0.
Если исходить из очевидного выражения, что объемный вес
;сст неводоиасыщенного грунта естественной влажности равен:
*1ест Тсух Н- . (2.21^
то, учитывая зависимости
находим:
Тест — Тсух 4 J ^“7 е Тсу? ®Дсух Тсух (1 4~ ~1 + е *
откуда окончательно получаем:
Тсух = ТГ~ нлн ----1
tcyx 1 + w 7сух
И
е = —Л (1 4- w) — 1-
Тест
(2.22>
Если же, учитывая вторую зависимость (2.14) и зависимость (2.21),,
представить коэффициент водонас.ыщения в виде
„___ Тест Тсух Тест Тсух /о
71 “-----’ = ’ А - Тсух“ Т ’
то, используя выражения (2.17) и (2.23), можно представить выражег
ние для s в виде:
в = Л±_ _7: (2.24)
IT Тест — Тсух
Все приведенные зависимости позволяют находить те или иные ве-
личины по известным другим величинам.
§ 4. Основные физические характеристики грунтов
ЗГ
V г) Характерные влажности и число пластичности грунта
Различные грунты обладают различной пластичностью, т. е. спо-
собностью воспринимать и сохранять любую приданную им форму без
появления трещин и без нарушения сплошности. Этой способностью-
они обладают при влажностях между так
называемыми пределами пластичности, а
именно, между верхним и иижним преде-
лами пластичности.
Верхним пределом пластичности или
пределом текучести (дат) называется влаж-
ность грунта, соответствующая переходу
его из пластичного в текучее состояние.
Нижним пределом пластичности wn или
пределом пластичности называется влаж-
ность, соответствующая переходу грунта
из полутвердого в пластичное состояние.
Методы лабораторного определения
пределов пластичности излагаются в грун-
товедении. Чем больше разность Ф = <от—
называемая числом пластичности, тем
больше интервал, в пределах которого
грунт находится в пластичном состоянии.
Для глин число пластичности больше 17, для суглинков оно находится:
в пределах от 7 до 17, для супесей о г 1 до 7, а для песков оно меньше
единицы. Характер зависимости числа пластичности от глинистости
грунта показан на рис. 9.
д) Характеристики плотности и консистенции грунтов
Плотность песчаных грунтов характеризуется объемным весом су-
хого грунта. Однако весьма часто характеризуют плотность песка зна-
чением так называемой относительной плотности, определяемой по вы-
ражению:
£ е
JJ _ ГПЯХ
emax £min
где Етах, Emfn и е обозначают коэффициенты пористости песка, со-
ответствующие предельному возможному разрыхлению песка, предель-
ному возможному уплотнению грунта и плотности, имеющейся в рас-
сматриваемом, например, естественном состоянии.
Если D < _1_ , то пески называются рыхлыми; если —t ,
3
2
то пески обладают средней плотностью; если -у < D< 1, то пески на-
зываются плотными. Следует отметить известную условность этой
классификации, а также необходимость выработки стандартной мето-
дики определения =-та< и гт!п.
Относительная плотность, несмотря на некоторые недочеты лабора-
торных методов ее определения, лучше характеризует возможную
уплотняемость песка, так как последняя зависит не только от пори-
стости, но и от формы, степени окатаниости зерен песка и т. п. Кроме
того, уплотняемость песка зависит от напряженного состояния. Чем
больше статические напряжения в песке, тем меньше его уплотняе-
мость при одинаковом динамическом воздействии.
32 Глава Л. Некоторые основные представления о грунтах
Для того чтобы характеризовать уплотненность глинистых грунтов,
В. А. Прнклонскнй [16] предложил так называемый показатель уплот-
ненности глинистого грунта: К,— , где ег, еп и е обозначают коэф-
Ет *п
фициенты пористости прн влажностях грунта, соответствующих пределу
текучести, пределу пластичности и естественной влажности. Чем боль-
ше величина К, тем более уплотнен глинистый грунт.
Консистенцию глинистых грунтов определяют, пользуясь так назы-
ваемым показателем консистенции, равным:
В =
WT — wn *
называя прн этом грунты при В<0 находящимися в твердом состоя-
нии, при 0<5<1 — в пластичном состоянии, при В>1— в текучем со-
стоянии.
Показатель консистенции до некоторой степени характеризует до-
пустимую нагрузку на глины. Если, например, В<0, то такие грунты
могут воспринимать [7] достаточно большую нагрузку порядка 2,5—
5,0 кг1см,2. Следует, однако, подчеркнуть, что использование представле-
ния о величине «допустимой нагрузки» принципиально не может быть
признано желательным, так как эта величина зависит не только от
свойств грунта, но в значительной мере — от характера и размеров воз-
водимого сооружения.
§ 5. ЯВЛЕНИЯ СЖИМАЕМОСТИ ГРУНТОВ
Явления сжимаемости грунтов, как было указано выше, имеют
весьма большое значение при проектировании любых инженерных со-
оружений на сжимаемых грунтах. Вследствие этого представляется не-
обходимым остановиться на кратком описании расчетных характери-
стик сжимаемости грунтов, рассмотрении явлений, определяющих не-
которые особенности сжатия грунтов, н особенностях явлений сжатия
сыпучих и связных грунтов.
а) Расчетные характеристики сжимаемости грунтов
Деформации сжатия грунтов происходят в основном вследствие
сближения твердых частиц между собой, тогда как деформации самих
твердых частиц имеют по сравнению с ними пренебрежимо малое зна-
чение. Вследствие этого деформации сжа-
тия грунтов в основном определяются
изменением пористости, а следовательно,
могут оцениваться изменением коэф-
фициента пористости е при изменении
сжимающих напряжений в скелете
грунта.
Определение зависимости между коэф-
фициентом пористости н сжимающими
напряжениями в скелете грунта произво-
дится лабораторным путем в настоящее
время преимущественно на приборах
одноосного сжатия.
Схема такого прибора, применяемого в лабораторной практике и
называемого обычно компрессионным прибором или одометром, показа-
на на рис. 10- Исследуемый образец грунта укладывается в массивный
цилиндр между двумя пористыми камнями или между основанием и
поршнем, снабженным специальными отверстиями для возможности
§ 5. Деления сжимаемости грунтов
33
удаления, в случае водонасыщенных грунтов, воды, выжимаемой при
сжатии из пор грунта. Увеличивая ступенями сжимающие на-
пряжения з и выжидая полного затухания деформаций ст каждой сту-
пени нагрузки, можно, измеряя вертикальные смещения (осадки) порш-
ня специальными индикаторами (мессурами), определить эксперимен-
тальным путем зависимость s л между интенсивностью сжимающей
нагрузки з и относительным сжатием образца е или, что равноценно,
величиной коэффициента пористости е.
Результаты выполненных для этого лабораторных исследований
обычно представляют графически в виде так называемой «компрессион-
ной кривой», не приводя соответствующего уравнения этой кривой.
Компрессионные кривые (s") монолитов глинистых грунтов с нена-
рушенной структурой, например, изъятых нз основания сооружения, а
также достаточно плотных песчаных грунтов, как показано на рис. П,
значительно положе соответст-
вующих кривых (s') тех же глини-
стых грунтов с нарушенной струк-
турой (в случае использования их,
например, для засыпок нли воз-
ведения земляных сооружений) и
рыхлых песчаных грунтов. Вслед-
ствие этого при проведении лабо-
раторных исследований для изу-
чения деформационных свойств
оснований сооружений, возводи-
мых на естественных грунтах, их
следует проводить обязательно на
монолитах с ненарушенной струк-
турой, так как в противном случае
сжимаемость основания будет
сильно преувеличена.
Уравнение компрессионной кривой в случае необходимости может
быть с достаточным приближением представлено логарифмической
(К- Терцаги) зависимостью:
е = — A In (а -|- з0) -f- с, < ’.25)
где А, нс являются параметрами этой зависимости, определяемы-
ми из опытов по трем точкам кривой s , а |, -е , а2 и (г,, о. , путем
решения системы трех уравнений с тремя неизвестными.
В случае относительно небольшого изменения величины напряжения
а в пределах рассматриваемого диапазона з д > ? . можно заме-
нить криволинейное очертание компрессионной кривой прямолинейным;
в этом случае будем иметь зависимость:
s — аа + А, ! 2.26)
где а и А — параметры линейной зависимости.
Параметр а определяет угол наклона спрямленной на участке
(зо т компрессионной кривой к оси х. Нетрудно убедиться, что
tg (180°—а) =—а, откуда tg а = а, вследствие чего параметр а, назы-
ваемый коэффициентом уплотнения, может быть представлен в виде:
>2.27)
Это выражение показывает, что чем больше величина п, тем больше
изменение пористости (е, — sj при одном и том же диапазоне изменения
О-В. А. Флорин
Рис. 12
34 Глава II. Н екоторые основные представления о грунтах
напряжения с, т. е. при одной и той же величине а2 — Иначе го-
воря, чем больше величина а, тем сильнее уплотняется грунт; поэтому
параметр а называют коэффициентом уплотнения. Нетрудно по рис. 11
убедиться, что при одновременном увеличении напряжений и т.>,
если разность их а2 , остается постоянной, то величина ч - в , а сле-
довательно и коэффициент уплотнения а, т. е. уплотняемость грунта,
постепенно уменьшаются.
В некоторых случаях, как показано на рис. 12, при проведении
компрессионных исследований получается, что до некоторой величины
сжимающего напряжения ®ст коэффициент пористости не изменяется
или изменяется весьма мало, несмотря на увеличение нагрузки. При
достижении же напряжениями а величины астр по мере дальнейшего
увеличения нагрузки и напряжений о начинается более или менее
резкое уменьшение коэффициента пористости. Такие компрессионные
кривые с горизонтальным или почти горизонталь-
ным участком в пределах от 0 до зстр свойст-
венны структурным грунтам с жесткими цемен-
тационными связями, которые до тех пор, пока
эти связи не нарушены, обладают малой сжи-
маемостью. Когда же действующие напряжения-
достигают величины , называемой структур-
ной прочностью, связи разрушаются и грунт при-
обретает способность уплотняться более интен-
сивно, что и определяет такое очертание компрес-
сионной кривой. Весьма часто резкого перелома
в очертании компрессионной кривой нет и оио
приобретает характер, показанный на рис. 12
пунктиром.
Кроме влияния цементационных связей и
структурной прочности, наличие более пологих
участков в начале компрессионной кривой мо-
ia тем, что в прошлом (например, в ледниковую
эпоху) образец грунта был загружен (в условиях его естественного-
залегания) достаточно большой нагрузкой, которая впоследствии была
снята, после чего в компрессионном приборе образец был подвергнут
вторичной нагрузке. Чтобы пояснить значение того, что в этом случае
загрузка в компрессионном приборе является вторичной, отметим сле-
дующее.
Если при проведении экспериментальных исследований все время
увеличивать сжимающую нагрузку, то в соответствии с обозначениями
на рис. 13 мы получим так называемую главную ветвь DE компрессион-
ной кривой. Если же, начиная с некоторой точки Ъ' компрессионной
кривой, начать ступенями уменьшать нагрузку, выдерживая каждую
ступень до затухания деформаций, то мы получим так называемую
ветвь разгрузки Ь'с', значительно более пологую, чем главная ветвь
DE. При уменьшении напряжений до о коэффициент пористости,
увеличивается на величину е'с', которая соответствует упругой части
деформации, тогда как величина с$с' соответствует остаточной части
деформации.
Если после уменьшения напряжений до величины а начать вторич-
но увеличивать нагрузку, то мы получим ветвь вторичной нагрузки с'а',
наклон которой близок к ветви разгрузки Ь'с', т. е. значительно меньше
наклона главной ветви DE. Это и является объяснением получаемого
иногда пологого участка в начале компрессионной кривой в грунтах,.
жет объясняться
£ 5. Явления сжимаемости грунтов
35
подвергавшихся значительному уплотнению, предшествовавшему опы-
ту на компрессию.
При дальнейшем увеличении нагрузки мы получим участок d'b ос-
новной ветви компрессионной кривой. Если после достижения напряже-
ния з, начать опять уменьшать напряжения до величины а., то мы
получим ветвь вторичной разгрузки, причем ес будет характеризовать
упругую часть деформации, а сос—остаточную часть деформации.
Увеличивая затем сжимающие напряжения, мы получим ветвь третьей
загрузки. Когда напряжения достигнут величины, несколько превышаю-
щей - мы попадем опять на основную ветвь компрессионной кривой
и т. д. Таким образом, мы видим, что одному и тому же напряжению а
Рис. 14
при разном числе циклов нагрузки и разгрузки соответствуют разные
пористости грунта.
При большом числе циклов разгрузок и повторных нагрузок дефор-
мации от каждого нового цикла увеличения нагрузки уменьшаются по
величине, а соответствующие ветви .нагрузок и разгрузок становятся все
более прямолинейными и совпадающими, как показано на рис. 14.
Это показывает, что при большом числе циклов нагрузок и разгрузок
грунт становится практически упругим.
Уравнения ветвей разгрузки и вторичной нагрузки могут быть при
необходимости представлены логарифмическими (или степенными) за-
висимостями, аналогично уравнениям основной ветви компрессионной
кривой. Однако обычно к этому не прибегают.
В случае достаточно умеренного диапазона уменьшения нагрузки
криволинейное очертание ветви разгрузки может быть заменено прямо-
линейным, например с'Ь' и cb. В таком случае уравнение кривой раз-
грузки может быть написано в виде:
£ — ^разб3 Ч"~ (2,28)
откуда, учитывая, что для значений (аь st) и (а2, е2)
8; ^разб^1 Ч- О
е2 = ^разб с2 4“ С,
3*
36 Глава II, Некоторые основные представления о грунтах
находим величину так называемого коэффициента разбухания:
а л = —Ез—~10. 99
Раз6 d • Z-2y-
Величины коэффициентов разбухания для одной и тон же величины
разгрузки о J при увеличении напряжений Oj и □ остаются
примерно одинаковыми.
В качестве примеров можно привести, что коэффициенты уплотнения
для слабоуплотвенных глин достигают значений а = 0.10—0,01 см2/кг, а
для уплотненных глин уменьшаются до значений « = 0,005—0,001 см2)кг.
б) Явления, определяющие некоторые особенности сжатия
песчаиых и глинистых грунтов
Выше было указано, что до тех пор, пока сжимающие напряжения
в скелете грунта меньше предела прочности структуры, деформации
грунта обычно сравнительно невелики. После разрушения жестких свя-
зей (если таковые имеются), сопровождаемого иногда резким увеличе-
нием деформаций грунта, по мере дальнейшего увеличения напряжений
сжимаемость его постепенно уменьшается.
Последнее объясняется тем, что:
во-первых, при сжатии грунта происходит увеличение числа контак-
тов, сопровождаемое более плотной упаковкой твердых частиц и даль-
нейшим разрушением структуры; вследствие увеличения числа кон-
тактов действующие в них усилия увеличиваются медленнее, чем сжи-
мающие напряжения в скелете грунта, т.е. усилия на единицу площади;
во-вторых, по мере сближения твердых частиц глинистых грунтов
между собой, отталкивающие силы между катионами диффузных
слоев сближаемых твердых частиц, как было отмечено выше, также
увеличиваются.
Так как при снятии нагрузки ие все вновь образовавшиеся при при-
ложении нагрузки контакты исчезают, а происшедшие явления раз-
рушения цементационных связей и нарушения структуры необратимы
(т. е. связи и структура восстановиться не могут), то деформации сжа-
тия грунтов не могут быть полностью упругими, а являются при малом
числе циклов нагрузки и разгрузки преимущественно остаточными.
Упругая часть деформаций определяется явлениями расклинивающего
эффекта в контактах и в основном упругостью образовавшейся струк-
туры грунта.
Вследствие того что после окончания каждого цикла нагрузки н
разгрузки общее количество контактов в грунте все время увеличи-
вается, деформации грунта при каждом новом цикле нагрузки-разгруз-
ки постепенно уменьшаются, так как при большем количестве контак-
тов одна и та же нагрузка вызывает, естественно, меньшие деформации.
В особенности это относится к остаточным деформациям, вследствие
чего деформации постепенно становятся все более и более упругими.
После большого количества циклов нагрузки и разгрузки дальнейших
явлений возникновения новых контактов, более плотной упаковки и на-
рушения структуры совсем не происходит. Деформации становятся
практически совершенно упругими и объясняются только выжиманием
и обратным поступлением воды в контактах грунта, а также явлениями
упругого сжатия структуры и в меиьшей степени — материала мине-
ральных частиц грунта.
Следует отметить существенные различия сжатия песчаных и гли-
нистых грунтов. Под влиянием статической нагрузки песчаные грунты
уплотняются слабо: в случае плотных песков — весьма незначительно,
§ 5. Явления сжимаемости грунтов
37
в случае рыхлых песков — сильнее. Динамические нагрузки (ударные
нагрузки, вибрирование и т. п.) вызывают значительное уплотнение
песчаных грунтов: в случае рыхлых песков — весьма значительное,
в случае же плотных песков — небольшое.
Если поры песка полностью насыщены водой, а по механическому
составу он относится к категории мелких и среднезернистых песков, то
в случае рыхлого залегания при динамических воздействиях (сотрясе-
ние от взрыва, динамические фильтрационные воздействия и т. п.)
могут возникнуть так называемые явления разжижения. Возникновение
явлений разжижения песка тем более вероятно, чем меньше его плот-
ность и величина воспринимаемых им сжимающих напряжений и чем
больше интенсивность динамического воздействия. Явление разжиже-
ния песка заключается в том, что рыхлый песок, в котором песчинки
опираются друг на друга, а поры заполнены водою, внезапно превра-
щается на некоторое время в
жидкость, в которой плавают
частицы песка.- Естественно,
что в таком состоянии песча-
ный грунт не может восприни-
мать нагрузки от расположен-
ных на его поверхности пред-
метов, которые вследствие это-
го тонут в нем, как в вязкой
жидкости, а также не может
сохранять устойчивость отко-
сов, которые расплываются, об-
разуя почти горизонтальные
поверхности с уклоном поряд-
ка 1 : 12 или 1 : 15 и даже мень-
ше. Длительность пребывания
песка в разжиженном состоя-
нии зависит от размеров обла-
вреМЯ 6 4/JCC1J'
Рис. 15
сти разжиженного песка, от наличия и величины нагрузки на поверх-
ности песка, от водопроницаемости песка, наличия или отсутствия дре-
нирующих устройств и т. п. Эта длительность изменяется в пределах от
нескольких секунд до десятков минут в зависимости от указанных усло-
вий. Явления разжижения имеют существенное значение при возведе-
нии сооружений на рыхлых водонасыщенных песчаных основаниях, а
также при возведении песчаных намывных сооружений, в особенности
при подводном намыве в стоячую воду.
Глинистые грунты слабо уплотняются под воздействием кратковре-
менных динамических нагрузок, а в случае полного их водоиасыщения
практически не уплотняются совсем. Под влиянием же длительных ста-
тических нагрузок в условиях, когда влажность их достаточно высока,
а плотность невелика, глинистые грунты уплотняются весьма значи-
тельно.
Явления уплотнения водонасыщенных глинистых грунтов связаны с
уменьшением объема пор, а следовательно, с удалением из пор грунта
некоторого количества находившейся в нем воды. В тех случаях, когда
скорость процесса уплотнения глинистого грунта определяется не ско-
ростью вязко-пластических деформаций скелета грунта, а скоростью
удаления воды из пор грунта, что имеет место при достаточно высоких
влажностях. процесс уплотнения сопровождается значительным повы-
шением давлений в воде, заполняющей поры грунта, и возникновением
напряженного состояния в скелете грунта, весьма неблагоприятного
38
Глава И. Некоторые основные представления о грунтах
в отношении устойчивости основании сооружений и земляных отко-
сов. По окончании процесса уплотнения давления в воде падают и ус-
ловия устойчивости соответственно улучшаются. Длительность процес-
са уплотнения, называемая иногда периодом стабилизации, изменяется
в зависимости от вида и свойств грунта (рис. 15) и размеров уплотняе-
мой области от пренебрежимо малых промежутков времени до десятков
и даже сотен лет. Соответственно напряженное состояние в скелете
грунта и в воде в течение процесса уплотнения называют нестабилизи-
рованным напряженным состоянием. Напряженное состояние, возни-
кающее после окончания явлений уплотнения, часто называют конеч-
ным или стабилизированным.
В случаях, когда скорость процесса уплотнения определяется ско-
ростью вязко-пластических деформаций грунта, а ие скоростью удале-
ния воды, процесс уплотнения не сопровождается повышением давлений
в воде и соответствующим ухудшением условий устойчивости. Такой
характер уплотнения следует ожидать в случае достаточно плотных
глинистых грунтов с малым содержанием в порах свободной воды.
§6. СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРУНТОВ СДВИГУ
Нарушение прочности грунта вследствие сдвига, состоящее в сме-
щении одной части грунта по другой, является основной, наиболее рас-
пространенной формой разрушения оснований сооружений и земляных
откосов. Исследование предельного сопротивления грунта сдвигу под
влиянием приложенных к нему касательных напряжений производится
почти во всех производственных и исследовательских лабораториях
обычно на так называемых приборах одноплоскостного (рис, 16) сдвига
(среза). В исследовательских лаборато-
риях применяются также и другие
приборы для исследования сопротив-
ления грунтов сдвигу, как, например,
приборы трехосного сжатия и сдвига,
называемые иногда сдабилометрами.
Однако, несмотря на их достоинства, в производственных лабораториях,
проектных и строительных организациях Советского Союза они не на-
шли еще широкого применения. Поэтому при изложении этой главы мы
будем считать, что определение предельного сопротивления грунта
сдвигу производится на одноплоскостных приборах; впрочем, в дальней-
шем будет приведено краткое описание схемы применения для этой
цели прибора трехосного сжатия.
В простейшем случае определение предельного сопротивления
грунта сдвигу состоит в том, что образец грунта закладывается в при-
бор, состоящий из верхней и нижней кареток, загружается некоторой
вертикальной нагрузкой N и после полного затухания осадки от этой
§ 6. Сопротивление грунтов сдвигу
39
нагрузки срезывается посредством постепенного увеличения ступенями
горизонтальной сдвигающей силы 7, выжидая перед каждым увеличе-
нием сдвигающей силы полного затухания горизонтального смешения
от предыдущей ступени. При этом обычно принимается, что вертикаль-
ные и горизонтальные смещения прекратились, если скорости их нара-
стания стали меньше некоторых установленных значений, например
0,01—0,02 мм!сутки для вертикальных и 0,003—0,005 мм/мин для гори-
зонтальных смещений. То минимальное значение, при котором горизон-
тальные смещения будут, не затухая, увеличиваться без увеличения
сдвигающей силы, называется предельным сдвигающим усилием. Соот-
ветствующая поверхность или область сдвига (среза) показана на
рис. 16.
Определяя для каждого значения вертикальной силы N соответствую-
щую величину предельной сдвигающей силы Т и переходя от усилий к
нормальным и касательным напряжениям act, которые определяются
путем деления величии усилий N н Т на площадь сдвига F, можно по-
строить, как показано на рис. 17, график зависимости предельного
сопротивления грунта сдвигу г для различных значений нормального
напряжения с.
Если подвергнуть повторному испытанию на сдвиг образец грунта,
который был уже срезан при некоторой величине вертикального усилия,
путем увеличения горизонтального усилия до его предельного значения,
то предельное сопротивление такого образца будет либо таким же, каки
при первом срезе, либо меньшим. В первом случае предельное сопротив-
ление сдвигу может быть названо полностью восстанавливающимся. Во
втором случае предельное сопротивление грунта сдвигу является частич-
но восстанавливающимся, а частично невосстана,вливающимся.
ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СОПРОТИВЛЕНИИ СДВИГУ
ПЕСЧАНЫХ И ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ
с а) Песчаные грунты
Для несцементированных песчаных грунтов графическая зависимость
между предельным сопротивлением сдвигу и нормальным напряжением,
в соответствии с результатами экспериментальных исследований, пред-
ставляет собой прямую, проходящую через начало координат, уравнение
которой имеет вид:
т = a tg of. (2.30)
Здесь по аналогии с внешним трением между твердыми телами коэффи-
циент / называется коэффициентом внутреннего трения песчаного грунта,
а — углом внутреннего трения.
Величина угла - зависит, как показано на рис. 18, а, от плотности
песка и примерно одинакова для сухих и полностью водоиасыщенных
песков, изменяясь в зависимости от их плотности в пределах от 25 до
45°, при средних значениях около 30—35°.
При выполнении экспериментальных исследований, по мере увеличе-
ния горизонтального смещения, предельное сопротивление рыхлых песков
все время увеличивается (рис. 18,6). В случае плотных песков, вслед-
ствие явлений взаимного зацепления зерен песка, сопротивление сдвигу,
как показано на рис. 18,6, сначала увеличивается, а затем после некото-
рого разрыхления песка в зоне сдвига — уменьшается. Опыты показыва-
40
Г лава IL Некоторые основные представления о грунтах
ют, что при сдвиге частицы песка частично разрушаются, что проявляет-
ся в истирании их поверхностей, изломах углов и т. п.
Сопротивление сдвигу песчаных грунтов при смещении одной части
грунта по другой определяется трением скольжения и качения переме-
щающихся частиц песка, а при плотных песках, кроме того, — так назы-
ваемым зацеплением. Последнее представляет собой ту часть общего
сопротивления сдвигу (сдвигающего усилия), которая при плотных пес-
ках необходима для осуществления некоторого поднятия и раздвижки
в вертикальном направлении частиц песка, без чего они, будучи как бы
заклинены между прилегающими к ним частицами, ие могут перекаты-
ваться одна через другую [19]. Что же касается трения скольжения и
качения, являющихся частными случаями трения твердых тел, то оно,
как указывает Б. В. Дерягин [20], «есть явление молекулярное, вытекаю-
щее из дискретной атомно-молекулярной структуры материи», опреде-
ляемое молекулярно-атомной шероховатостью поверхностей. Вследствие
значительной крупности песчаных частиц, малого числа контактов, гру-
бой шероховатости песчаных частиц и отсутствия мельчайших кол-
лоидных частиц, окружающих крупные частицы и связывающих их на-
подобие «мостиков» (Н. Я- Денисов), как это имеет место в глинистых
грунтах, песчаные грунты не обладают связностью за исключением’
случаев неводонасыщенных влажных песков, обладающих, как указы-
валось выше, некоторой капиллярной связностью. В условиях же пол-
ного насыщения водой, так же, как и в сухом состоянии, пески, не имею-
щие каких-либо цементационных связей, совершенно сыпучи и не-
связны, вследствие чего сопротивление их сдвигу определяется только
явлениями трения и зацепления.
В несцементированных песках роль тончайших прослойков воды в
контактах между твердыми частицами вследствие большой крупности
песчаных частиц, отсутствия глинистых и коллоидных фракций и малой
удельной поверхности твердых частиц совершенно несущественна. По-
этому в случае таких грунтов можно считать, что твердые частицы
практически опираются друг на друга, причем в условиях статической
нагрузки количество контактов изменяется сравнительно незначительно.
Это подтверждается относительно небольшой сжимаемостью и соот-
ветственно небольшим изменением пористости песков при статической
нагрузке.
Принимая, что сопротивление сдвигу * определяется произведе-
нием числа контактов п на единице площади на среднюю величину ~Т
не самих усилий в контактах, а их составляющих, параллельных по-
верхности сдвига, можно написать: ~ --пТ. Полагая, чю касательные
к поверхности сдвига составляющие усилий в контактах Т в среднем.
£ 6. Сопротивление грунтов сдвигу 4Г
пропорциональны нормальным составляющим N, имеем T = fN, где f—
коэффициент пропорциональности. Тогда получаем:
т = пТ = п (/V) = (nN : f= of,
так как nN—произведение числа контактов на единице площади иа
среднюю величину нормальной к поверхности сдвига составляющей —
является по существу усилием в скелете грунта на единицу площади,
т. е. напряжением. Полученный результат в полной мере соответствует
экспериментальным данным, вследствие чего можно считать, что приве-
денные выше рассуждения в достаточной мере правильно отражают
действительность.
б) Глинистые грунты
В глинистых грунтах графическая зависимость предельного сопро-
тивления сдвигу от нормального напряжения получается по эксперимен-
тальным данным обычно криволинейной. При этом сопротивление сдви-
гу определяется, как было указано выше, при объяснении природы
связности грунтов:
цементационными связями, которые могут быть разрушены при на-
пряжениях, превышающих предельную прочность структуры скелета
грунта;
склеивающим действием коллоидных частиц, окружающих под влия-
нием сил молекулярного притяжения более крупные частицы и играю-
щих, как было указано выше, роль мостиков, соединяющих эти частицы.
По мере сближения твердых частиц, увеличения числа контактов и
их площадей, т. е. по мере уплотнения глинистых грунтов, их сопро-
тивление сдвигу естественно увеличивается. Если же при увеличении
нагрузки на грунт не происходит изменения расстояний между части-
цами, их сближения, приводящего к увеличению плотности грунта, то,,
в соответствии с представлениями Н. Я. Денисова, сопротивление сдви-
гу возрастать не будет.
Таким образом, на основании всего изложенного в отношении совре-
менных представлений о природед:в^зно£ти и, сопротивления грхнт03.
сдвигу можно считать, что сопротивление сдвигу глинистых грунтов оп-
ределяется в основном их плотностью, от которой зависят число контак-
тов и величины воспринимаемых ими усилий (величины этих усилий
зависят от толщины прослойков воды и площади контактов), а также
цементационными связями, если таковые имеются.
Поэтому в первом приближении можно представить выражение
для предельного сопротивления грунта сдвигу в виде:
^ = тц+ T(N)n(^, . (2.31)
где обозначает сопротивление сдвигу, обусловленное цементацион-
ными связями между твердыми частицами. Величина 7(jV) обозначает
осредненную величину составляющей сопротивления сдвигу одного
контакта, параллельную направлению сдвига. Эта величина T(N) в той
или иной степени изменяется при изменении силы N, стремящейся
сблизить твердые частицы, прилегающие к тому или иному контакту.
Сила же N, в свою очередь, зависит от напряженного состояния грун-
та и, в частности, от напряжения в скелете грунта а, т. е. от нормаль-
ного к плоскости сдвига усилия на единицу площади. Вследствие этого-
42
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
сила N может быть обозначена через Л7(с). Число контактов на единице
площади поверхности сдвига л- е) зависит для данного грунта в первую
очередь от плотности или пористости грунта, а следовательно, от коэф-
фициента пористости Е.
Если при увеличении нагрузки на грунт, т. е. при увеличении напря-
жений в скелете грунта, величина получаемых напряжений не пре-
вышает предельной прочности структуры грунта («запаса сцепления»
по терминологии Н. Я- Денисова), то онн ие могут вызвать уплотнения
грунта. Величина предельной прочности структуры грунта ° опреде-
ляется по месту резкого изменения угла наклона касательной кривой
сопротивления сдвигу. В таком случае в пределах участка °<3стр вели-
чина сопротивления сдвигу не будет изменяться, несмотря на увеличе-
ние напряжений в скелете грунта. График сопротивления сдвигу на этом
участке будет прямой, параллельной
оси э (рис. 19). Понижение на
этом рисунке сопротивления сдвигу
при а > аст объясняется тем, что
сдвиг водонасыщеииых илов после
нарушения их структуры произво-
дился до окончания процесса уплот-
нения, т. е, при нестабилизирован-
ном состоянии илов, которое возни-
кало в результате разрушения их
структуры. В противном случае про-
исходило бы увеличение сопротивле-
ния сдвигу, если только при ненару-
шенной структуре оно не было боль-
юсле окончания процесса уплотнения.
Рис. 19 ..
ше того, которое образуется
вызванного разрушением структуры.
Если напряжения в скелете грунта превышают предельную проч-
ность структуры грунта, т. е. з > -с, , то по мере дальнейшего уве-
личения напряжений а происходит нарастание явлений разрушения
цементационных связей и уплотнения грунта. В таком случае, учиты-
вая, что при увеличении нагрузки на грунт, а следовательно, и напря-
жений в скелете грунта, величины Т (Лг) и п (£) изменяются, получим,
дифференцируя, выражение (2.31) по о:
dx == -L п (е) dT(ЛЭ + Т(N) dn (е).
(2.32)
Первое слагаемое отвечает уменьшению сопротивления сдвигу вслед-
ствие разрушения цементационных связей и является поэтому по суще-
ству отрицательным.
Второе слагаемое соответствует повышению сопротивления сдвигу,
происходящему вследствие увеличения средней величины составляю-
щей сопротивления сдвигу одного контакта при изменении нормаль-
ного усилия N в результате увеличения нормального напряжения в
скелете грунта Третье слагаемое соответствует увеличению сопро-
тивления сдвигу, обусловленному увеличением числа контактов.
Принимая во внимание, что в соответствии с зависимостью (2.26)
, i dn de , dn ,
dn [г} = —-т- da=~a -г- da
х - ds. da ds
ХИ
, - - a/V да
§ 6. Сопротивление грунтов сдвигу
43
где а обозначает коэффициент уплотнения, можно представить выраже-
ние (2.32) в виде:
dr ЛЧц
Де d<3
аТ dN 'т'/ктх dn
------s------aT(N) ,
dN ds v 7 dt
из которого наглядно видно, что увеличение сопротивления сдвигу при
увеличении зависит от величины коэффициента уплотнения.
Для водонасыщеииых пластичных глин можно принять, что сопро-
тивление сдвигу т при постоянной влажности-плотности (в =пост.),
а следовательно, и при постоянном количестве контактов ]/г (в) =пост. |,
как указывают многие исследователи (Н. Я- Денисов, Н. Н. Маслов и
др.), не меняется (рис. 20) при изменении нормальных напряжений а,
т. е. т =пост. Тогда в соответствии с зависимостью (2.31) получаем.
что Г(М)=пост. Это показывает, что у таких
цементационных связей (^=0) сопротивление
сдвигу зависит только от плотности и увели-
чения числа контактов, а не от увеличения со-
противления самих контактов вследствие сбли-
жения твердых частиц. Поэтому для таких
грунтов можно написать, что: = Л.ч(г)^Ф(е),
где А = пост. От напряжений в скелете грун-
та о сопротивление сдвигу т этих грунтов за-
висит лишь постольку, поскольку изменение
напряжений изменяет плотность грунта. Рис- 20
В случае структурных илистых грунтов высокой пористости сущест-
венное изменение числа контактов происходит только тогда, когда до-
полнительные напряжения -в скелете грунта станут больше предельной
структурной прочности, а до тех пор, пока они меньше, число контактов
существенно не меняется, вследствие чего можно принять п\г) =пост.
Тогда выражение (2.31) можно представить в виде:
Л(а).
В некоторых случаях эта зависимость достаточно близка к линей-
ной:
т — а 4-
причем глубина изъятия образца не оказывает на нее существенного
влияния.
В общем случае, соответствующем, по Н. Н. Маслову [21], супесям
и суглинкам, грунты в отношении сопротивления сдвигу обладают про-
межуточными свойствами между глинами и песками. Поэтому, в соот-
ветствии с изложенным выше, можно в первом приближении написать
выражение для сопротивления сдвигу в виде:
т = тц 4- ф (=) 4- ф : а) (
где Ф si обозначает часть сопротивления сдвигу, зависящую в основ-
ном от плотности грунта или числа контактов (что свойственно пла-
стичным глинам), а б; о) — часть сопротивления сдвигу, зависящую
в основном от величин усилий в контактах, а следовательно, непосред-
ственно от напряжений <?, определяющих величины этих усилий (что
свойственно пескам).
Однако следует иметь в виду, что при уплотнении любых грунтов по
главной ветви компрессионной кривой, т. е. при монотонном увеличении
нагрузки, плотность грунта или каждого отдельного образца грунта
44 Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
а следовательно, и его коэффициент пористости, однозначно опреде-
ляются величиной нормального напряжения а, т. е. е = е (а), откуда
следует, что
ф (г'\ = ф
Поэтому в случае монотонного увеличения нагрузки на грунт или
на образец грунта можно считать, что предельное сопротивление любо-
го грунта сдвигу определяется его напряженным состоянием и, в част-
ности, применительно к испытаниям иа сдвиг, напряжением а, откуда:
т = т(а). . .... (2.33)
Таким образом, хотя сопротивление сдвигу глинистых грунтов, по
Н. Я. Денисову, определяется только плотностью грунта, а для супесей
и суглинков, по Н. Н. Маслову, как плотностью, так и величиной нор-
мального напряжения °, оказывается, что при монотонном увеличе-
нии нагрузки по главной ветви компрессионной кривой сопротивление
сдвигу, как отмечал еще Н. М. Герсеванов, зависит только от величины
нормального напряжения, так как последнее определяет собой и плот-
ность грунта. Зависимость (2.33) является уравнением обычной кривой
сдвига, получаемой при экспериментальных исследованиях.
Напряжение з, входящее во все вышеприведенные выражения, оп-
ределяет, как было видно из вышеизложенного, величину усилий N и
Г, передаваемых контактами. При этом под напряжениями >, в соответ-
ствии с изложенным, надлежит понимать так называемые напряжения
в скелете грунта, которые для каждого момента времени характеризуют'
величину усилий *в контактах вне зависимости от того, находится ли
грунт в стабилизированном или нестабилизированном состоянии. По-
этому, если грунт находится в нестабилизированном состоянии, то под
напряжениями а следует понимать напряжения в скелете грунта, от-
вечающие рассматриваемому моменту времени нестабилизированного
состояния. Для большей ясности мы будем обозначать их через a (t).
Отсюда следует, что сопротивление грунта сдвигу для случая нестаби-
лизированного состояния рассматриваемого грунта может быть пред-
ставлено при монотонном увеличении напряжений в скелете грунта по
главной ветви компрессионной кривой в виде:
(2.34)
в) Расчетные характеристики сопротивления сдвигу
Экспериментальная зависимость для глинистых грунтов между со-
противлением сдвигу ’ и нормальным напряжением о, представленная
в виде графика (рис. 21), может быть в целях удобства ее использова-
ния в расчетах заменена любой достаточно близкой к ней прямой или
кривой. В соответствии с применяемыми в настоящее время способами
расчета обычно ее заменяют некоторой близкой к действительному
криволинейному очертанию прямой (рис. ,21). В таком случае зависи-
мости (2.33) и (2.34) примут вид:
. . ......... . _ т = a? + b, )
-с — аа (t) -j- b. J
В некоторых случаях может представиться целесообразным заменить,
действительное очертание кривой сдвига двумя прямолинейными от-
резками, как показано на рис. 22. Во всех этих случаях величины
а, аь й2, b, Ь\, Ь2 и т. д. являются параметрами уравнений соответствую-
-с = т [о (£)].
,: § 6, Сопротивление грунтов сдвигу
4S
щих прямолинейных отрезков. Если бы действительное очертание кри-
вой сопротивления сдвигу заменялось бы, например, квадратной пара-
болой, то мы имели бы три параметра квадратичной зависимости, ха-
рактеризующих эту кривую.
Следует признать ошибочным стремление придавать этим парамет-
рам непосредственный физический смысл в виде коэффициентов тре-
ния и величины сцепления. Это особенно наглядно видно в случае за-
мены действительной кривой сдвига ломаной по рис. 22 или какой-либо
близкой кривой. Непосредственный физический смысл имеет полная ве-
личина сопротивления сдвигу т, а не входящие в уравнение кривой
сдвига те или иные параметры.
Попытки придавать слагаемым ас и b приближенной линейной за-
висимости физический смысл в виде сопротивления трения
a, = ardga<
а.г-агс1даг
т
Рис. 22
и сцепления приводят к совершенно нежелательному запутыванию
экспериментальных исследований вроде применения предварительного
переуплотнения, срезов образцов на ветвях разбухания, хотя, например,
получаемые результаты предназначены для примеиеиия только к слу-
чаям возрастающей нагрузки и т. п. Стремление отделить «трение» от
«сцепления» приводит к попыткам определять несуществующие раз-
дельно величины.
Действительно, если, например, исследуется глинистый грунт, твер-
дые частицы которого соприкасаются только через тонкие прослойки
воды, то что же в таком случае следует понимать под раздельными
представлениями о трении и сцеплении? Можно утверждать, что все по-
пытки давать в этих условиях те или иные формулировки таким поня-
тиям не могут быть признаны удовлетворительными с точки зрения
уточнения представлений о природе сопротивления сдвигу, а в ряде
случаев ие могут быть признаны полезными с точки зрения их практи-
ческого использования. Проведение, например, предварительного уп-
лотнения изменяет свойства грунта, и подвергнутые этой операции об-
разцы грунта не характеризуют действительного состояния и свойств
исходного грунта.
Следует считать единственно правильными такие способы исследо-
вания, когда методика лабораторного определения сопротивления сдви-
гу возможно более тесно увязана с условиями, в которых находится
грунт в основании или теле сооружения. Поэтому она должна быть раз-
личной в зависймости от характера основания и вида сооружения, а
также в зависимости от различных условий возведения сооружения.
Если, например, сопротивление сдвигу определяется для исследова-
ния устойчивости основания сооружения, то при извлечении образца
46
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
с той или иной глубины с него снимается бытовое напряженное состоя-
ние, которое в нем существовало в условиях естественного залегания,
причем некоторое количество структурных связей при изъятии образца,
разрушается, а плотность его уменьшается вследствие явлений разбу-
хания. В таком случае для того чтобы образец хотя бы приближенно
характеризовал сопротивление сдвигу на глубине, откуда он был изъят,
следует при проведении лабораторных исследований на сдвиг произво-
дить срезы при трех-четырех нагрузках, превышающих бытовую, как
показано на рис. 23. Следует, однако, иметь в виду, что при приложении
нагрузки, равной бытовой, образец, несомненно, не возвращается в
первоначальное состояние, которое он имел до изъятия из массива
грунта, так как нарушенные связи, конечно, не восстанавливаются.
Получаемая прн этом погрешность направлена обычно в сторону уве-
личения запаса прочности основания.
Если же образец грунта должен характеризовать свойства грунта
на дне или в откосе отрытого котлована или канала, то, естественно,
методика лабораторного определения сопротивления грунта сдвигу
должна быть другой. В частности, в таком
т случае срезы должны производиться после
предварительного обжатия образца быто-
' вой нагрузкой (в некоторых случаях ею
можно исключить) при нагрузках той всли-
чины, которая будет иметь место в той или
Z I ______________ иной точке массива грунта после отрытия
[ котлована или канала. Такие дифференци-
о I- I—---------£ рованные методы проведения исследований
и’°в' представляются нам более правильными
и уже применяются в ряде лаборато-
Рис. 23 . ’ ' рий.
Следует отметить большое влияние на
сопротивление сдвигу и расчетные характеристики грунтов или иссле-
дуемых образцов различного рода воздействий, предшествовавших лабо-
раторным исследованиям, которые при испытаниях образцов могут
быть названы «историей образца». Вследствие этого следует обращать
большое внимание, чтобы в процессе изъятия, доставки и проведения
испытаний образцов не вносились бы значительные изменения в со-
стояние и свойства изучаемых грунтов. В частности, следует отметить:
Г. Влияние высыхания образцов, которое вследствие уменьшения
влажности и толщины прослойков воды в контактах между твердыми
частицами, а также вследствие увеличения капиллярных усилий значи-
тельно увеличивает связность глинистых грунтов. Для того чтобы избег-
нуть влияния высыхания, применяются парафинирование поверхности
образцов и другие мероприятия.
2. Различные изменения напряженного состояния, которые вносят
необратимые изменения в свойства и состояние грунтов, как например:
резкая разгрузка образца при его изъятии, разрушающая некоторые
цементационные связи; значительная предварительная нагрузка образ-
ца («предварительное переуплотнение»), вызывающая также частичное
разрушение цементационных связей, а, в основном, необратимое увели-
чение плотности образца, сопровождающееся при разделении сопротив-
ления сдвигу на внутреннее трение и сцепление увеличением «сцепле-
ния» и уменьшением «внутреннего трения» и т. п.
Для пояснения влияния предварительного переуплотнения можно*
привести следующий пример. Пусть, например, один образец был сре-
зан при величине нормального напряжения —1 кг смг. Предположим
§ 6. Сопротивление грунтов сдвигу ~ fT
далее, что второй образец был загружен сначала нагрузкой - -окг см2,.
после чего вся нагрузка была снята, а затем образец был вновь загру-
жен нагрузкой з=1 кг1см1, полагая, конечно, что при всех этих нагруз-
ках и разгрузках производилось выдерживание до полного затухания
деформаций. Тогда, проведя после всех этих процедур испытание на
сдвиг, можно убедиться, что результаты испытания второго образца
будут значительно отличаться от результатов, полученных для первого
образца. Общее сопротивление образца будет больше, сцепление уве-
личится, а «угол внутреннего трения» уменьшится.
Такой результат объясняется тем, что при предварительном пере-
уплотнении глинистых грунтов число контактов в переуплотненном
грунте значительно выше, чем в первоначальном грунте. Это определяет
увеличение общего сопротивления грунта сдвигу и «сцепления». Однако,
в случае грунта, 'Подвергнутого предварительному переуплотнению,
увеличение напряжений на величину До вызывает меньшее увеличение
Тесл?
Рис. 25
числа контактов, а следовательно, и меньшее увеличение сопротивления
сдвигу, чем 'в случае непереуплотиенного грунта. Это является объяс-
нением упомянутого выше экспериментально установленного факта,
что в случае предварительного переуплотнения сопротивление трения-
(угол внутреннего трения) уменьшается.
По той же причине при одинаковом приращении нормального напря-
жения Д - уплотнение грунта по ветви вторичной нагрузки, как пока-
зано на рис. 24, всегда меньше уплотнения по главной ветви компрес-
сионной кривой. Меньшее же уплотнение соответствует меньшему уве-
личению числа контактов и меньшему сопротивлению трения в указан-
ном выше смысле. Этим же определяется близость к нулю углов внут-
реннего трения некоторых переуплотненных в природных условиях глии,
если образцы их при изъятии разбухают в силу тех или иных причин
незначительно.
Следует также остановиться на вопросе о влиянии на расчетные-
характеристики сопротивления сдвигу скорости проведения экспери-
ментов. Практическое значение этот вопрос имеет лишь применительно-
к глинистым грунтам, так как для песков он не представляет большого
интереса.
В этом отношении величина сопротивления глинистого грунта сдви-
гу зависит:
от скорости возрастания касательного сдвигающего усилия (напря-
жения);
от продолжительности действия нормальной уплотняющей нагрузки.
При увеличении скорости среза сопротивление грунта сдвигу не-
сколько возрастает, особенно, как указывает А. А. Ничипорович [22], при
48 Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
малых нормальных давлениях, что объясняется вязким характером де-
формаций скелета глинистого грунта.
Уменьшение продолжительности уплотнения глинистого грунта
нормальной нагрузкой и срез образца грунта в нестабилизированном
состоянии резко снижают величину предельного сопротивления сдвигу.
Если быстро срезать образцы грунта непосредственно после приложения
уплотняющей нагрузки (быстрый сдвиг), то оказывается, что угол
внутреннего трения в таких условиях весьма близок к нулю.
Близость к нулю угла внутреннего трения глин при быстрых нагруз-
ках и сдвигах следует понимать следующим образом. Если загрузка и
срез производятся настолько быстро, что глинистый грунт совсем не
успевает при этом уплотниться от приложенной нагрузки, то в соответ-
ствии с изложенным выше (и тем более при ненарушенных цемента-
ционных связях) сопротивление сдвигу остается, естественно, тем же
самым, каким оно было до приложения нагрузки. При этом величина
нагрузки, от которой грунт не успел уплотниться, не имеет, конечно,
значения. Поэтому сопротивление сдвигу при различных нагрузках, но
одной и той же плотности, равной начальной, остается одним и тем же
и равным сопротивлению грунта сдвигу до приложения нагрузки. Толь-
ко к такому заключению должно привести рассмотрение графика на
рис. 25, а совсем не вызывающему иногда тревогу выводу, что в глинах
при быстром срезе угол внутреннего трения весьма мал или обращается
ь нуль.
Все эти не вполне удачные формулировки о близости к нулю угла
внутреннего трения глин при быстрых срезах или уменьшении угла тре-
ния при предварительном переуплотнении и др., а также различные
нежелательные методы лабораторных исследований, не соответствую-
щие действительным условиям работы исследуемого грунта и изменяю-
щие из-за стремления отделить «трение» от «сцепления» действитель-
ные свойства грунта, исчезли бы при отказе от разделения общего со-
противления сдвигу глинистых грунтов на несуществующие раздельно
в природе «сцепление» и «треиие». Предложения об отказе от такого
деления высказывались по разным соображениям разными лицами
(И. А. Цытовичем, С. А. Роза, мною и др.). Предложение пользоваться
ь инженерных расчетах общим представлением о «коэффициенте сдви-
га» давно высказывалось Н. Н. Масловым. Н. Я- Денисов предлагает
все сопротивление сдвигу называть сцеплением, разделяя его на сцеп-
ление первичное и сцепление упрочнения. Это по существу принимается
и нами, но без замены термина «сопротивление сдвигу» нежелательным
с точки зрения постепенного перехода от глин к пескам термином
«сцепление». В особенности же следует отметить мнение Б. В. Деряги-
на, который в одной из своих работ [20] пишет; «Однако спрашивается,
как можно различить силы трения или прилипания в том случае, когда
действующая сила стремится вызвать перемещение одного тела вдоль
поверхности другого? Очевидно, что назвать в одних случаях сопротив-
ление этому движению статическим трением, а в других случаях, кото-
рые от первых четко отграничить невозможно, прилипанием, было бы
полнейшим произволом и привело бы к путанице не только терминов,
но и понятий». Это суждение, как то следует из вышеизложенного, в
полной мере относится н к понятиям внутреннего трения и сцепления
грунтов.
Вследствие этого можно признать необходимым отказаться от
представлений, задерживающих движение вперед в вопросах сопро-
тивления глинистых грунтов сдвигу. Применяя линейную или какую-
либо иную зависимость, определяющую сопротивление грунта сдвигу,
§ 7. Фильтрационные свойства грунтов
49
можно применять любые наименования для входящих в нее параметров,
в частности для параметров линейной зависимости обычные наимено-
вания «угол внутреннего трения» и «сцепление». Однако не следует
приписывать этим параметрам не существующего физического смысла,
так как это создает ошибочные представления о природе рассматривае-
мых явлений и вызывает применение нежелательных методов лабора-
торных исследований.
§ 7. ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГРУНТОВ
Фильтрацией называется движение свободной воды в порах грунта
в условиях, когда в пределах движущегося потока вода полностью за-
полняет поры скелета грунта или содержит относительно небольшое
количество защемленного в скелете грунта газа. Таким образом, пере-
мещения пленочной воды в порах неводонасыщенного грунта от мест
большей влажности грунта к местам меньшей влажности не называют-
ся фильтрацией, а могут быть названы миграцией влаги. Равным обра-
зом капиллярное движение разоб-
щенных друг от друга объемов
воды в неводонасыщенном грунте
также не может быть названо
фильтрацией.
Как известно из теории фильт-
рации, скоростью фильтрации на-
зывается расход воды через еди-
ницу геометрической площади се-
чения грунта:
или в случае, когда скорости фильтрации в различных точках грунта
различны:
где обозначает геометрическую площадь сечения, через которую
проходит расход Q.
Опытами Дарси, проводившимися на песчаных грунтах, было уста-
новлено [23], что скорость фильтрации пропорциональна разности напо-
ров и обратно пропорциональна соответствующей длине пути фильтра-
ции. Отсюда, полагая, что скорость фильтрации направлена по оси s,
можно в соответствии с обозначениями на рис. 26 написать [24]:
или в дифференциальной форме:
« = (2.36)
где Н— обозначает напор;
k — коэффициент пропорциональности, причем знак минус указы-
вает, что движение воды направлено в сторону уменьшающих-
ся напоров.
Величина напора, как обычно в теории фильтрации, принимается
в виде [24]:
4—В. А. Флорин
50 Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
Н~-?- + г, <2-3'
где р обозначает давление в воде в рассматриваемой точке и z— выс<
ту над плоскостью сравнения (рис. 26).
Вследствие малости скоростей фильтрации величиной скорое
ного напора можно пренебречь.
Впоследствии зависимость Дарси была распространена и на глии]
стые грунты. Нетрудно убедиться, что скорость фильтрации имеет ра;
длина
мерность например:
А см сек - 864Л м сутки--^333 790А м год — 30 879000 А см год.
Коэффициент пропорциональности k называется коэффициенте
фильтрации. Полагая —=1, находим, что —k. Отсюда видно, чт
коэффициент фильтрации численно равен величине скорости фильтр;
ции при градиенте напора, равном единице. Размерность его, как
скорости фильтрации, выражается в см!сек,, м!сутки и т. п. Величин
коэффициента фильтрации характеризует проницаемость грунта пр
фильтрации воды через грунт. Так, для песков он колеблется окол
Ю-2—10-3 см/сек} а для глин — около 1СН—10-8 см!сек,. Для супесей
суглинков он имеет промежуточные значения.
Величина коэффициента фильтрации зависит от характера филы
рующей жидкости. Иногда его представляют в виде:
k = kQ — ,
и v >
где k()— называется проницаемостью грунта и характеризуется тольк
его геометрическими свойствами, не завися от характер
фильтрующей жидкости;
V—кинематический коэффициент вязкости жидкости;
g— ускорение силы тяжести.
В строительном деле таким представлением коэффициента фильтрг
ции обычно не пользуются, так как фильтрующая жидкость обычн
одна и та же — вода.
В глинистых грунтах (супеси, суглинки, глины) при изменении пс
ристости грунта вследствие уплотнения его под воздействием той ил
иной нагрузки коэффициент фильтрации соответственно изменяете?
Результаты экспериментальных исследований показывают, что во мне
гих случаях можно приближенно принять линейную зависимост
между коэффициентом пористости и коэффициентом фильтрации пр
изменении напряженного состояния и плотности скелета грунта, пред
ставляя для некоторого достаточно умеренного диапазона изменена
напряжений в скелете грунта от до а., выражение для коэффициеи
та фильтрации в виде:
k = kx - (ег - в), (2.38
1
где ki, k2, Si и обозначают коэффициенты фильтрации и пористо
сти для двух напряженных состояний грунта (1) и (2), a k и е — те ж
величины для некоторого промежуточного напряженного состояния.
На рис. 27, а н 27,6 приводятся результаты соответствующих лабо
раторных исследований, проведенных М. Н. Гольдштейном [19] и В. М
Веселовским [25].
§ 7. Фильтрационные свойства грунтов
51
В случаях, когда при уменьшении давлений в воде происходит ин-
тенсивное газовыделение, пузырьки газа в значительной мере защем-
ляются между твердыми частицами грунта и в ряде случаев резко сни-
жают водопроницаемость грунтов. При увеличении давлений в воде
проницаемость грунта вследствие явлений растворения газа увеличи-
вается.
Рис. 27
а) Влияние жесткости скелета грунта
В теории фильтрации скелет грунта принимается, как было указано
выше, в виде жесткой пористой среды с неизменной во времени пори-
стостью и постоянным коэффициентом фильтрации для каждой разно-
видности грунта, если только не рассматривать явлений суффозии
грунта, т. е. вымыва из него мельчайших твердых частиц.
Если на одном конце трубы, заполненной грунтом на длине S, под-
нять давление в воде до величины р2, на другом конце трубы при-
52
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
нять Pi = O, а по длине трубы установить несколько манометре
для измерения давлений в воде (рис. 28, а), то при скелете грунта
виде жесткой пористой среды фильтрационный режим, как показа
Н. Н. Павловский [26], установится практически мгновенно (в течени
долей секунды), а эпюра давлений в воде или напоров будет прямол}
нейной, как показано на схеме рис. 28,6. Прямолинейность эпюр:
вытекает из условия, что во всех сечениях s коэффициент фильтраци
k и расход воды и одинаковы и постоянны, т. е. £=пост. и и = посз
дН
Тогда из зависимости Дарси находим: =-^пост., откуда, принима
во внимание, что и О, получаем:
Н__ - . -Р2- —_L
п~ -г s 7
Л-г 1
I
,—к
Pt
В случае грунтов с достаточно жестким скелетом, например пр:
песчаных грунтах, эта зависимость, как было впервые установлено Дар
си, хорошо подтверждается экспериментами.
Совершенно иные результаты полу
н-—--5 — —1 у________г_ чаются, есЛи исследовать в этой же тру
бе явления фильтрации в глинисто?
грунте с достаточно сильно сжимаемы а
скелетом, у которого пористость, а еле
довательно, и водопроницаемость, т. е
его коэффициент фильтрации, могут су
щественно изменяться под влияниел
сжимающих напряжений в скелете грун
та. В этом случае, если закрыть край /
и поднять давление на правом конце тру
бы до величины р%, то сначала все мано-
метры так же, как и в случае песчаные
грунтов, покажут одинаковые давлени?
р2) т. е. эпюра будет прямоугольной. Если
затем внезапно’ открыть кран А и сни-
зить давление на левом конце до вели-
чины /?1=0, то в случае глинистых сжи-
маемых грунтов эпюра не станет мгно-
венно треугольной, как показано на
рис. 28, б или рис. 28, в пунктиром. От-
клонения эпюр от прямоугольной будут нарастать при малых водопро-
ницаемостях грунтов достаточно медленно, например в течение месяч-
ного срока и дольше. Промежуточные очертания эпюр / и 2, показан-
ные на рис. 28, в, постепенно изменяясь, примут при окончании процесса
некоторое окончательное очертание <?, которое не будет прямолинейным,
как то получилось при жестком скелете грунта.
Это объясняется тем, что под влиянием воздействия филыграцион-
кого потока грунт очень сильно уплотняется на левом конце и почти не
уплотняется на правом конце. Поэтому по мере увеличения абсциссы s
величина коэффициента фильтрации уменьшается. В таком случае для
выполнения условия сплошности, заключающегося в постоянстве рас-
ходов по длине трубы для любых значений абсциссы 5, необходимо, что-
бы по мере увеличения абсциссы s численные значения градиентов на-
пора, соответствующие тангенсам углов наклона к оси s касательных
к эпюре напоров, постепенно увеличивались бы. Это н определяет, что
очертание окончательной эпюры напоров получается криволинейным
Полученные значительные расхождения между результатами для
$ 7- Фильтрационные свойства грунтов 53
грунта со скелетом в виде неподвижной жесткой пористой среды
и грунтом со сжимаемым скелетом не исключают вполне уместного
применения схемы жесткого скелета грунта в целом ряде случаев. Во-
первых, следует отметить, что она практически применима при рассмот-
рении почти всех установившихся процессов фильтрации, так как влия-
нием изменения проницаемости грунта, находящегося под воздействием
фильтрационного потока или веса сооружения, можно в большинстве
случаев пренебречь. Также вполне допустимо ее применение при рас-
смотрении неустановившихся процессов фильтрации при наличии сво-
бодной поверхности (безнапорное движение). Однако в случаях, когда
изменение пористости грунта является основным фактором, как напри-
мер при фильтрации, возникшей вследствие явлений выжимания воды
из пор грунта при приложении к нему вертикальной нагрузки, а также
при изменении фильтрационного режима в сильно сжимаемых грунтах,
учет изменения пористости становится необходимым.
б) Пределы применимости зависимости Дарси и представление
о начальном градиенте напора
Верхний предел применимости зависимости Дарси определяется тем,
что при достаточно больших скоростях фильтрации нарушается линей-
ная зависимость между потерей напора и расходом. Для однород-
ных грунтов (песка, гравия) этот предел применимости зависимости
Дарси, предложенный Н. Н. Павловским, определяется условием, что
число Рейнольдса должно быть меньше некоторой предельной вели-
чины. Выражение для числа Рейнольдса было принято им в виде:
1 ud
Ке ~ 0.75п + 0,23 * м ’
где «- • обозначает скорость фильтрации;
d— эффективный диаметр частиц;
п— пористость;
v—кинематический коэффициент вязкости жидкости (воды).
Предельная величина числа Рейнольдса была определена из опытов
и оказалась, примерно, равной 7—9. Если принять для воды
v = 0,018 см2]сек, а пористость песка п = 0,40, то
nd < 0,07 — 0,09 см2ice к,
где и должно быть выражено в см!сек, a d—в см.
Принимая, например, для однородного песка (/=0,1 см, имеем:
Ж 0,7 4-0,9 CMjce/c,
вследствие чего можно утверждать, что для песчаных и тем более для
глинистых грунтов условие применимости зависимости Дарси в отно-
шении верхнего предела обычно бывает выполнено.
На существование нижнего предела применимости зависимости
Дарси было указано еще в 1922 г. Н. Н. Павловским [26]. В плотных
глинах отклонения от зависимости Дарси могут быть существенными.
Ряд экспериментальных исследований [27] показал, что в таких грунтах
до тех пор, пока градиент напора не превысит некоторую величину
i0, называемую начальным градиентом напора, явления движения
воды в. порах грунта (фильтрации) настолько незначительны, что
54
Глава И. Некоторые основные представления о грунтах
могут считаться отсутствующими, а грунт практически водонепрони-
цаемым.
В случае применимости зависимости Дарси графическая зависи-
мость между скоростью фильтрации и градиентом напора имеет вид
прямой (/), проходящей через начало координат, как показано
на рис. 29, а.
Если же зависимость Дарси вследствие достаточно значительной
величины начального градиента напора неприменима, то соответствую-
щая графическая зависимость может быть представлена кривой (2),
которую можно приближенно заменить прямой (3), отсекающей на оси
Рис. 29
абсцисс отрезок, равный величине начального градиента напора io-
В таком случае можно с достаточным приближением полагать:
если
дН .
ds < г°’
то
и — О,
если
^->1
дз
то
(2-39)
где Л; обозначает коэффициент, отличный от коэффициента фильтрации.
С последним, в соответствии с обозначениями иа рис. 29, а, он связан
зависимостью, которая может быть найдена из условия:
—ki = — ky {i — i0),
откуда
Таким образом, при наличии начального градиента напора обычный
коэффициент фильтрации является величиной переменной, изменяющей-
ся в соответствии с полученной зависимостью.
Начальный градиент напора достигает, по опытам С. А. Роза [27],
иногда весьма больших значений, как например в кембрийских глинах
десяти-двадцати целых (рис. 29,6). В таких случаях он имеет весьма
§ 7. Фильтрационные свойства грунтов 55
большое значение при определении осадок сооружений, исследовании
уплотнения грунта и в некоторых других вопросах, вследствие того что
а покоящейся воде может сохраняться неравномерное распределение
напоров с градиентами напора, меньшими или равными начальному.
Явления, происходящие при фильтрации в условиях существования
начального градиента напора, можно представить себе в следующем
виде. При малых градиентах напора связанная вода, удерживаемая у
поверхностей твердых частиц грунта, заполняет более узкие проходы
в порах грунта, защемляя при этом свободную воду в более крупных
порах и препятствуя тем самым возникновению явлений фильтрации
[28]. Далее можно предположить, что при увеличении градиента напора
до некоторого значения, называемого начальным, воздействие разности
напоров на эти пробки связанной воды разрушает их и тем самым опре-
деляет возникновение явлений фильтрации. В дальнейшем, после уста-
новления режима, явления фильтрации продолжаются за счет транзит-
ного движения свободной воды в порах грунта.
Следует отметить, что допущение о том, что при градиентах напора,
меньших начального, фильтрация не происходит вовсе, т. е. скорость
фильтрации равна нулю, возможно, не вполне соответствует действи-
тельности. Можно полагать, что при градиентах напора, меньших на-
чального, явления фильтрации все же происходят, чему соответствует
кривая (2) на рис. 29, но только со скоростями иного порядка малости,
а именно, значительно меньшими, чем скорости фильтрации при гра-
диентах напора, больших начального. Такие явления могут быть пред-
положительно объяснены своеобразными явлениями медленной ползу-
чести слоев связанной воды, особенно в местах «пробок», при продол-
жительном сушествовании неравномерного распределения напоров,
градиенты которых меньше начальных. С. А. Роза указывает, что при
наличии динамических воздействий величина начального градиента
резко падает, иногда до нуля. Возможно, это связано с временным на-
рушением под влиянием динамического воздействия ориентированного
расположения некоторых молекул связанной воды. Следует, однако, от-
метить, что влияние динамических воздействий иа существование и
величину начального градиента напора должно подвергнуться даль-
нейшему тщательному лабораторному изучению, так как в этом отно-
шении различные исследователи придерживаются различных мнений
так же, как и в вопросе о физических причинах отсутствия фильтрации
при малых напорах.
в) Электроосмотическая фильтрация
Заканчивая рассмотрение явлений фильтрации, остановимся на во-
просе движения воды в порах грунта под влиянием постоянного
электрического тока или на так называемых явлениях электроос-
мотической фильтрации.
Эти явления заключаются в следующем. Если через водоиасыщен-
ный глинистый грунт (рис. 30) пропускать постоянный ток, то вода,
заключенная в порах грунта, будет перемещаться от положительного
полюса к отрицательному.
Скоростью электроосмотической фильтрации, по аналогии со ско-
ростью напорной фильтрации, называется расход воды, перемещаемой
под воздействием постоянного тока через единицу площади геометри-
ческого сечения грунта. Экспериментальными и теоретическими исследо-
ваниями [29] установлено, что скорость электроосмотической фильтра-
ции и3 может быть представлена в виде:
56
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах
или в дифференциальной форме:
«э=~
дЕ
ds
(2.40)
где Е—обозначает напряжение постоянного тока в некоторой точке
земляной среды;
з— соответствующую длину пути фильтрации;
— коэффициент пропорциональности, называемый коэффициен-
том электрофильтрации, который представляет собой скорость
электрофильтрации при величине градиента напряжения ,
равном единице.
Для многих глинистых грунтов, принимая размерность Е в воль-
тах, з — в см и Пэ — в см!сек, коэффициент k3 равен, примерно:
Аэ=5Х Ю-5----.
э вольт X сек
Причина перемещения воды под влиянием постоянного тока заклю-
чается в том, что положительно заряженные катионы вместе с ориенти-
рованными по отношению к ним молеку-
лами воды перемещаются от положитель-
ного полюса к отрицательному, увлекая
при этом и свободную волу как в преде-
лах диффузных слоев, так и смеж-
ную с ними. Вследствие этого естественно,
что явления электроосмоса выражены
тем сильнее, чем больше глинистых ча-
стиц содержит грунт и чем выше влаж-
ность грунта. В песчаных грунтах объем
диффузных слоев пренебрежимо мал по
сравнению с объемом пор и явления
электроосмоса практически не имеют ме-
ста. Слабо выражены они и при глини-
стых грунтах с влажностями, близкими к пределу пластичности.
Явления электроосмоса применяются в целях дренирования глини-
стых грунтов для осушения дна котлована (например, на строитель-
стве Волго-Донского канала им. В. И. Ленина); они могут быть исполь-
зованы для снижения прилипания глинистых грунтов к землеройным
механизмам путем увеличения скользкости за счет выделения на них
тонкого слоя воды в виде смазки [30]; можно использовать их для облег-
чения вибропогружения шпунтов в глинистые грунты [31] и т. п.
Явления электроосмоса представляют собой очень сильную побуди-
тельную причину, вызывающую движение воды. Экспериментальные
исследования показали, что для того чтобы приостановить движение
электрофнльтрации при градиенте напряжения, равном единице, необ-
ходимы весьма большие градиенты напора, вызывающие явления
встречной напорной фильтрации, достигающие иногда значений около
50 (целых). Это показывает, что влияние электроосмоса, в случае его
применения, преобладает в пределах радиуса его действия над явле-
ниями фильтрации под воздействием разности напоров.
Следует отметить также работы [32], посвященные вопросам измене-
ния строительных свойств глинистых грунтов (прочности, деформируе-
§ 7. Фильтрационные свойства грунтов 57
мосты, проницаемости и т. п.) при пропускании через них (между двумя
электродами) постоянного тока.
В последние годы теоретическая и экспериментальная разработка
вопросов электрофильтрации, электродренажа и других вопросов при-
менения постоянного тока для улучшения строительных свойств грунтов,
н оснований сооружений получила значительное развитие [29, 30] и до-
стигла больших успехов, позволяющих использовать эти новые способы
при строительстве различных сооружений.
Глава третья
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И СХЕМЫ
§ I. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ
И ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СЖИМАЕМОСТИ ГРУНТА
а) Понятие о коэффициенте бокового давления
Лабораторные исследования для определения зависимости коэффи-
циента пористости от напряженного состояния выполняются, как было
указано выше, иа компрессионных приборах (рис. 31) в условиях сжа-
тия без возможности бокового расширения испытуемого образца грунта.
При таких экспериментальных иссле-
дованиях боковые (поперечные) де-
формации грунта исключаются вслед-
ствие наличия жестких стенок компрес-
сионного прибора, т. е.
^=^=0,
где ех и еу обозначают поперечные
деформации образца.
Если обозначить нормальные на-
пряжения в скелете грунта, параллель-
Рис. 31 ные оси г, в направлении которой про-
изводится сжатие образца, через , а
параллельные осям х и у — через <зх и^, то для условий сжатия в ком-
прессионном приборе можно написать:
= Ь,
где а обозначает интенсивность приложенной к образцу сжимающей
нагрузки, а £ — так называемый коэффициент бокового давления. Этот
коэффициент представляет собой отношение поперечных сжимающих
напряжений к продольным, т. е.
£ = — = (3.1)
в условиях, когда сжатие (без случаев разгрузки) происходит при от-
сутствии поперечных (боковых) деформаций, т. е. при ех=^=0. Его
отнюдь ие следует смешивать с отношением горизонтальных нор-
мальных напряжений к вертикальным в условиях естественного залега-
ния грунтов основания или с аналогичным отношением в компрессион-
ном приборе при разбухании или чередовании сжатия и разбухания
грунта.
Величина коэффициента бокового давления £ для напряжений ие
слишком малых, по экспериментальным данным К. Терцаги [17], более
или менее постоянна и равна для песков около 0,40—0,42, а для глин
§ 1, Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками 59
около 0,70—0,75. По опытам Н. М. Герсеванова, В. Г. Булычева, Г. И*
Покровского и др. графики зависимостей между продольными и попе-
речными напряжениями $х и в случае глинистых грунтов и плот-
ных песков (линии 3 и 2) хотя и прямолинейны (рис. 32,а), но не про-
ходят через начало координат (линия 1), как например в случае рых-
лых песков. Поэтому величину коэффициента бокового давления опре-
деляют иногда выражением
5
откуда следует, что
= Ч + 9»
==: ПОСТ,
где с обозначает некото-
рую постоянную величину,
определяемую нз опыта.
Следует отметить, что по
опытным данным этих же
авторов величина коэф-
фициента бокового давле-
ния при малых нагрузках
изменяется, а при увели-
чении нагрузки становит-
ся практически постоян-
ной (рис. 22, б).
В последнее время в
некоторых зарубежных
работах указывается, что
при загрузке больших
массивов грунта, ограни-
ченных горизонтальной
поверхностью, отноше-
ние горизонтальных нор-
мальных напряжений к
вертикальным при от-
сутствии боковых смеще-
ний и деформаций, т. е.
при неизменном положе-
нии вертикальных сече-*
ний грунта, н при от-
сутствии ио этим сече-
ниям касательных напряжений остается, как показывают опыты на
моделях больших размеров, практически неизменным и равным, при-
мерно, 0,50 для многих, грунтов, независимо от их плотности и конси-
стенции. Для песчаных грунтов отмечается, что величина этого коэф-
фициента изменяется в пределах от 0,49 до 0,64. Это объясняют нару-
шением структуры песка при увеличении напряжений. В случае же
возникновения деформаций, приводящих к неравномерным осадкам по-
верхности, боковым смещениям частиц грунта и возникновению сил
трения по вертикальным плоскостям, величина отношения главных на-
пряжений сразу изменяется, принимая для плотных грунтов
значения от 0,25 (при малых напряжениях) до 1,0 (для напряжений,
близких к разрушающим). Для мягких глин эта величина приближает-
60
Г лава III. Основные расчетные зависимости и схемы
ся к единице, а для плотного песка перед разрушением — больше
единицы. При разбухании образцов грунта в одометрах отношение ука-
занных нормальных напряжений часто превышает единицу
Лабораторное определение коэффициента бокового давления может
быть произведено на приборе трехосного сжатия, называемом иногда
стабилометром, предложенном впервые Н. Н. Давиденковым и незави-
симо от него Г. И. Покровским. Схема этого прибора показана на
рис. 33.
Устанавливая образец D, заключенный в тонкую резиновую оболоч-
ку Е, в прибор, можно, загружая поршень Б силой Р, создать любое
Рис. 33
продольное сжатие образца интенсивно-
стью <?ь Нагнетая же через отверстие А
в замкнутую камеру В воздух или жид-
кость, можно создать любое боковое сжа-
тие образца интенсивностью а . Увеличи-
вая одновременно напряжения а и а.,,
можно так подобрать их, что боковые
Рис. 34
деформации ех и еу будут равны нулю. Тогда соотношение £ =—~
определяет величину коэффициента бокового давления.
Для определения коэффициента бокового давления К- Терцаги при-
менял прибор, аналогичный прибору одноосного сжатия (компрессион-
ному прибору). При применении этого способа следует сначала прило-
жить вертикальную силу Р и в соответствии со схемой на рис. 34 опре-
делить усилие Т., при котором преодолевается трение и выдергивается
лента, расположенная в вертикальной плоскости. Затем аналогичным
путем определяется усилие Тт, при котором выдергивается леита, рас-
положенная в .горизонтальной плоскости. Тогда, обозначая через F
боковую площадь ленты и через f—коэффициент трения ленты по
песку, величина коэффициента бокового давления может быть опреде-
лена по выражению:
. р_____ <зх __ 2fFax _ Тг - -
* — ~ ’ '/'Г ’
б) Зависимость между коэффициентом пористости и суммой
главных напряжений
Выше было указано, что зависимость между сжимающей нагрузкой
(или сжимающими напряжениями в скелете грунта) и коэффициентом
пористости е, определяемая на компрессионных приборах в условиях
отсутствия боковых деформаций грунта, может быть записана в виде:
е = е (<з) = е (аж), Ш41,. (3.2)
где выражение s = e (а) обозначает, что величина £ явля^тсШ
величины о. хыяапг.о
_ § 1. Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками 61
Заменяя на некотором диапазоне криволинейное очертание комп-
рессионной кривой прямолинейным, можно представить эту зависимость
в виде:
£ — — а<з -г А «= — -L А. (3.3)
Зависимости (3.2) и (3.3) применимы только в случае одномерного
напряженного состояния, когда все напряжения и деформации зависят
только от одной координаты z и не зависят от других координат х и у.
Следует отметить, что в условиях компрессионного прибора имеет ме-
сто однородное напряженное состояние, когда все напряжения и дефор-
мации во всех точках образца одинаковы и не зависят от координат.
Для двухмерных и трехмерных задач указанные зависимости, есте-
ственно, неприменимы. При установлении зависимостей для этих слу-
чаев раньше всего отметим, что, рассматривая сжатие без возможности
боковых (поперечных) деформаций как одномерное напряженное со-
стояние, можно написать, что сумма главных напряжений 9 равна:
9 = ” а.
Если рассматривать сжатие без возможности боковых деформаций
как двухмерное напряженное состояние, то сумма главных напряжений
равна:
9= = + = (1 + = (1 ф- В) а.
Если же его рассматривать как трехмерное напряженное состояние,
то
9 ~~ Ч- av + -4- Ч + 1 + 2') = (1 + 2$) о.
Отсюда интенсивность приложенной нагрузки в условиях сжатия
без возможности бокового расширения может быть представлена в виде:
если рассматривать это напряженное состояние как одномерное
з = 9, (3.4)
если рассматривать такое напряженное состояние как двухмерное
° = т4ё > (3.5)
если рассматривать его как трехмерное
Отсюда зависимость (3.2) между напряженным состоянием и коэф-
фициентом пористости в условиях сжатия без поперечного расширения
может быть представлена в виде:
рассматривая напряженное состояние как одномерное
е — s 19);
рассматривая напряженное состояние как двухмерное
- •( -! + £ ); (3-7)
рассматривая напряженное состояние как трехмерное
‘-‘(ДД- . <3-8)
Эти зависимости совершенно равноценны зависимости (3.2) и соот-
ветствуют случаю, когда *
Для того чтобы установить зависимости для общего случая двух-
или трехмерного напряженного состояния, когда и 0^=/=^ ,
$2 Глава Ш. Основные расчетные зависимости и схемы
предложенном
механике грун-
что пористость
необходимо остановиться на одном допущении,
Н. М. Герсевановым и довольно широко применяемом в
тов.
Это допущение состоит в следующем. Принимается,
грунта, а следовательно, и его коэффициент пористости, зависят только
от величины суммы главных напряжений н. действующих в скелете
грунта, но не зависят от соотношений главных напряжений. Это допу-
щение Н. М. Герсеваиов принимал ие в качестве гипотезы, а в каче-
стве результата приводимого им вывода [33]. Следует, одиако, от-
метить, что этот вывод ие может считаться [34] теоретическим обоснова-
процессе вывода принимаются
другие допущения, равноцен-
ные доказываемому. Экспе-
риментальные исследования
[35,36] не подтверждают рас-
сматриваемого допущения.
На рис. 35 кривые линии со-
ответствуют результатам эк-
спериментальных исследова-
ний, а наклонные прямые —
рассматриваемому допуще-
нию, так как для всех точек,
расположенных на каждой
наклонной прямой,
Рис. 35
0 = be = b'c'-}- 2а'Ь' =
= пост.
Расхождения между ука-
занным допущением и ре-
зультатами эксперименталь-
ных исследований несомнен-
но имеются, однако они до-
статочно невелики, так как
вместо того чтобы на каждой наклонной прямой величина коэффициен-
та пористости оставалась постоянной, она изменяется в пределах
около ±0,018. Поэтому имеющиеся отклонения от опытных данных не
могут служить препятствием для принятия и применения указанного-
допущения Н. М. Герсеванова.
Тогда, исходя из допущения, что пористость зависит только от сум-
мы главных напряжений, а не от их соотношений *, нетрудно прийти,
к заключению, что зависимости (3.7) и (3.8) могут применяться при лю-
бом напряженном состоянии, а не только для случая сжатия без воз-
можности бокового расширения. Применительно к случаю спрямлен-
ной на некотором участке компрессионной кривой можно, в соответ-
ствии с общими зависимостями (3.7) и (3.8), написать:
©
е = а f ;
е ~ — а • 0 .. 4- А.
1 + 2$
(3.9)
В случае замены действительного очертания компрессионной кри-
вой логарифмическим имеем:
1 Это допущение Н. М. Герсеваиов называл принципом гидроемкости.
§ 1. Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками 63
е = — А1П (а0 -J-
е=-Л1п (°.+ т+2е) + с-
(3.10)
в) Зависимость между изменением коэффициента пористости
и объемной деформацией
Обозначая некоторый объем грунта и коэффициент его пористости,
соответствующие какому-либо напряженному состоянию или плотности
грунта, индексом т, можно, в соответствии с зависимостью (2.9), напи-
сать:
При изменении напряженного состояния грунта и соответственном
изменении его объема, плотности и коэффициента пористости можно,
обозначая эти величины для нового состояния грунта индексом л, на-
писать:
Для третьего состояния грунта, соответствующего индексу k, имеем:
^ = ^(1 -|-8Л).
Тогда изменение (уменьшение) объема грунта при изменении его
от состояния m до состояния п можно представить в виде:
Ч (£т — О = — (®« — ®т)-
Принимая какое-либо состояние грунта, отвечающее индексу k, за
начальное, находим выражение для объемной деформации:
A— Vm ~~ V” Zfn ®и ____ (О 111
1 + Ч “ 1+в* ’ 1 }
В случае замены действительного очертания компрессионной кривой
прямолинейным имеем:
для одномерной задачи
(3.12)
для плоской (двухмерной) задачи
для пространственной (трехмерной) задачи
g _ __ а
1 +26 1 + *6
В случае замены действительного
логарифмическим имеем для случая
очертания компрессионной кривой
пространственной задачи:
А
1 +efc
In
со+ 1+2£
°0 "Т
у»
1 + 26
А I
1+26 п '
В качестве начального напряженного состояния можно принимать
любое, в зависимости от условий рассматриваемой задачи. При
этом для различных точек земляной среды в качестве начального
64 Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
состояния иногда целесообразно, а в ряде случаев даже необходимо,
принимать различные состояния. Пусть, например, на различных глуби-
нах в основании сооружения пористость грунта до приложения нагруз-
ки q была различной, и нас интересуют объемные деформации, вызван-
ные приложением нагрузки. Тогда для любой точки, расположенной на
той или иной глубине, наиболее удобно принимать в качестве началь-
ной ту пористость, которая была в ней до приложения нагрузки. Обо-
значая эту пористость через го и принимая в рассматриваемом случае
— е„, а % ’ е> находим из выражения (3.11) весьма часто при-
меняемую формулу:
Если за начальное состояние принимается, по выражению (3.11),
состояние, соответствующее напряженному состоянию k„ то объемную
деформацию 6 называют объемной деформацией, приведенной к на-
чальному состоянию k, и иногда обозначают через На этом осно-
вании, принимая за начальное состояние такое, которое соответствует
природному напряженному состоянию грунта до приложения той или
иной нагрузки, можно1 назвать соответствующие объемные деформации,
возникающие при приложении нагрузки, приведенными к природному
напряженному состоянию грунта.
В случае сжатия без возможности боковых деформаций грунта
= еу = 0, откуда:
Деформация ez, так же как и объемные деформации, может быть
названа приведенной к начальному состоянию k. В случае ее приведе-
ния к природному напряженному состоянию грунта получаем часто
применяемую зависимость:
^ = т+д- ‘ ' (З-Ю
В заключение отметим, что при изменении коэффициента пористости
от некоторого произвольного значения = е до величины ?/г е de
можно в соответствии с выражением (3.11) представить приращение
объемной деформации в виде:
de.
<«==--НЬ-. <3.17)
принимая за начальное состояние то, которое соответствует коэффи-
циенту пористости ек - s.
г) Модули упругости, деформации и коэффициент Пуассона
Выше было указано, что деформации грунтов имеют частично уп-
ругий и в значительной мере остаточный характер. Поэтому, чтобы
охарактеризовать упругую часть деформации, в некоторых случаях
вместо коэффициента разгрузки (разбухания) применяется обычное
представление о модуле упругости. В случае же необходимости харак-
теризовать полную (суммарную) деформацию как упругую, так и оста-
точную, часто применяют понятие о модуле деформации, который отли-
чается от модуля упругости только тем, что соответствует полной де-
формации.
Для тела, упругие деформации которого связаны с напряжениями
линейной зависимостью, модулем упругости при одноосном напряжен-
§ J. Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками
65
ном состоянии, как известно, называется коэффициент пропорциональ-
ности в законе Гукао = £'^, где о обозначает напряжение, е — дефор-
мацию и Е — модуль упругости.
Если зависимость между напряжениями и полными деформациями
может быть принята линейной, то, обозначая через е полную деформа-
цию, можно представить выражение для модуля деформации, как
обычно, в виде Е — -Е~ или, что то же самое, в виде Е = . Числен-
ная величина модуля согласно схеме иа рис. 36 равна £ = tga.
В случае нелинейной зависимости между напряжениями и полными
деформациями в грунте модуль деформации также определяется выра-
жением Е (е) = -^- = tga (з), но только в этом случае численная вели-
чина модуля является величиной переменной и равна тангенсу угла
наклона касательной к оси е в точке, соответствующей напряжению а,
которому соответствует данная
величина модуля.
В случае сложного напря-
женного состояния выражение
для упругой или полной де-
формации, например ех, при ли-
нейной зависимости между на-
пряжениями и деформациями
может быть, как обычно, пред-
ставлено в виде.
где у обозначает коэффициент
Пуассона грунта.
В случаях же, когда зави-
Рис. 36
симость между напряжениями
и деформациями нелинейна, то, полагая, что грунт изотропен, а модуль
деформации различен в различных точках грунта и определяется, на-
пример, плотностью или пористостью грунта в этой точке, можно пред-
ставить аналогичное выражение в виде:
dex — ?dav — у&г'Е
(3.18)
где модуль Е(s)—величина переменная, изменяющаяся по мере изме-
нения напряженного состояния и соответственно плотности грунта. Ве-
личина коэффициента Пуассона р. обычно принимается постоянной.
Рассмотрим сначала зависимость между коэффициентом бокового
давления и коэффициентом Пуассона. Вследствие того, что коэффи-
циент бокового давления определяет соотношение главных напряжений
в условиях отсутствия боковых деформаций, имеем, что dex=dey=Q,
а также, что d*x day -= . Тогда из выражения (3.18) полу-
чаем:
О “ — уЛ — р,
откуда находим зависимость, полученную Н, М. Герсевановым [33]:
(3.19)
5—в. А. Флорин
1 + $
66
Глава П1. Основные расчетные зависимости и схемы
или
1 —Р ‘
Этими зависимостями пользуются, чтобы выразить коэффициент
Пуассона через коэффициент бокового давления и наоборот. При
£ = 0,5 коэффициент Пуассона и ~ 0,3. Соответствующие значения могут
быть получены и для других значений
Если написать выражения для dev и dez , аналогичные выраже-
нию (3.18), и сложить их, то зависимость для объемной деформации (М
может быть представлена в виде:
db = dex + de„ + deg = 1 ~ 2- d$t (3.20)
где
0 = ox + oy +
Отсюда находим:
</0
Учитывая, что согласно зависимости (3.17)
и что
получаем:
1 — £ 1 + е ’
Е = (3.21)
Если принять компрессионную зависимость в виде:
s — — 1П + Т+Д J + с> (3.22)
откуда
ds А 1 А
dQ 1 + 2? . 0 Н-2? с »
ао + 1 2;
и ввести обозначение
р , (3.23)
I + 5
то можно представить выражение для модуля деформации в виде:
“ -‘X (=01 Пг) (3'24)
или в форме, зависящей только от коэффициента пористости:
Если же принять компрессионную зависимость в виде:
“ 1 + 26 У + Сг
(3.25)
§ 1. Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками
67
ТО
а
(3.26)
без воз-
приборе).
обозначе-
(3.27)
(3.28)
Рассмотрим, кроме того, частный случай сжатия грунта
можности бокового расширения (сжатие в компрессионном
В этом случае ох = ау = Ва2 и н - (1 + 2k) а.
Подставляя эти величины в выражение (3.21) и учитывая
ние (3.23), находим:
1-е 1 + с __ ео+о
1 + е de da de *
da d0 da ' . -
откуда в случае принятия зависимости (3.22) получаем:
00+0 {п , а1
с = ---(ао + V-
Следует отметить, что принятие линейной зависимости (2
ответственно выражения для модуля деформации (3.26) допустимо
только при небольшом диапазоне изменения напряжений или при не-
нарушенных цементационных связях. При достаточно большом диапа-
зоне изменения напряжений и превышении структурной прочности оно
не отражает уменьшения деформируемости грунта, а следовательно,
увеличения его модуля деформации по мере увеличения плотности при
возрастании сжимающих напряжений. Выражения же (3.24) и (3.28)
учитывают уменьшение деформируемости грунтов по мере увеличения
плотности при увеличении сжимающих напряжений.
Иногда при рассмотрении случая сжатия без возможности бокового
расширения применяют закон Гука не в виде зависимости (3.18),
а в форме, соответствующей простому продольному сжатию:
F*_____ (ia
de ’
где Е* обозначает условный модуль деформации, соответствующий
продольному сжатию при отсутствии боковых деформаций грунта.
Полагая для этого случая сжатия ех — -- О и ez = е, находим:
de -- - db = - -Д- , -
1+ £
откуда получаем:
£* = -2+- (3.29)
da
Сопоставляя выражение (3.29) с выражением (3.27), находим из-
вестную зависимость:
Е = . (3.30)
Следует отметить, что приведенные выше выражения для модулей
деформации дают возможность в случае нелинейной зависимости меж-
ду напряжениями и деформациями определять величину модуля для
любого заданного напряженного состояния. Однако во многих случаях
удобнее применять модуль деформации, который может быть назван
средним модулем деформации.
5*
68 Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
Назовем средним модулем деформации отношение полного прира-
щения напряжения (от его начальной до конечной величины) к от-
носительному сжатию, соответствующему этому полному приращению
напряжения, т. е. отношение:
* —
Е =*______—
ср I — >
h
где величины, соответствующие начальному состоянию, обозначены
индексом 1, соответствующие же конечному состоянию — без индекса
(рис. 36). Соответственно этому определению, в целях упрощения, бу-
дем считать средний модуль деформации приведенным всегда к на-
чальному напряженному состоянию.
Совершенно ясно, что если приближать значение начального напря-
жения к конечному, то в пределе средний модуль деформации будет
равен рассматривавшемуся нами ранее модулю деформации, приведен-
ному к конечному напряженному состоянию а, т. е.
lim (Еср),, >3 = Е. . (3.31)
Понятие о таком модуле деформации было введено впервые
Н. М. Герсеваиовым [33], который назвал его «относительным» модулем.
Мы будем применять название «средний», так как оно, с нашей точки
зрения, более наглядно показывает, что этот модуль дает при делении
на него полного приращения напряжения величину соответствующей
деформации в рассматриваемой точке и представляет собой среднюю
величину модуля на некотором участке (я,, а), являясь, таким образом,
условной расчетной величиной.
Выражение для среднего модуля деформации (по секущей), есте-
ственно, должно отличаться от выражения (3.21) модуля деформации
(по касательной), рассматривавшегося нами ранее. Для получения его
необходимо повторить рассуждения, аналогичные приведенным выше,
без перехода, однако, к бесконечно малым величинам.
Обозначая начальное состояние индексом 1 и конечное без индекса,
мы в соответствии с выражением (3.17) имеем:
6-9,=-^. (3.32)
Аналогично же выражению (3.20):
9-«,--^(8-0,). :
сср
Подставляя в это выражение зависимость (3.32), находим:
Учитывая выражение (3.22), получаем:
£.р=тт+1 (1+^,)' gzg-'—• (з.зз)
а°+ 1+2?
“•+ 1+2е
§ 2. Условия предельного напряженного состояния грунта 69
Нетрудно убедиться, что
lim [Ecp]O1^ = lim(1 +ei)--------Дв -е— \ =
I ffo+T+2f
I In 0-Д0 /
\ ’о+ т+га ' дв^°
= 4<’ +
Если же вместо выражения (3.22) принять зависимость (3.25), отве-
чающую на данном промежутке прямолинейному очертанию компрес-
сионной кривой, т. е. принять, что
81-е= ТТ2Г(0-е*)’
то величина расчетного модуля деформации получается равной:
^-^()4^(1+е.) = 4(1+в1).
Совершенно ясно, что величина «относительного модуля», приводи-
мая Н. М. Герсевановым и равная’
г-4(1+л),
отвечает среднему модулю, приведенному к нулевому начальному со-
стоянию.
§ 2. УСЛОВИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ ГРУНТА
а) Основные формы условия предельного равновесия
Если обозначить нормальное и касательное напряжения, действую-
щие по некоторой площадке, проведенной в земляной среде, через о и т,
то возможные соотношения этих напряжений определяются обычно
условием:
т < о tg <рг, (3,34)
в котором параметры <р и с, в соответствии с обычно применяемой тер-
минологией, мы будем называть углом внутреннего трения и сцепле-
нием, учитывая, однако, отмеченную выше условность этих наимено-
ваний.
В случае, если напряжения а г таковы, что выражение (3.34) со-
держит знак неравенства, то по площадке, по которой действуют эти
напряжения, предельное напряженное состояние или предельное рав-
новесие отсутствует. Если же имеет место знак равенства, то по этой
площадке происходит смешение одной части грунта по другой, сопро-
вождаемое нарушением прочности грунта. В таком случае выражение
(3.34) называется условием предельного напряженного состояния или
условием предельного равновесия. Обратный знак неравенства в. вы-
ражении (3.34) не может иметь места, так как уже в случае знака ра-
венства прочность грунта нарушается. Условие предельного равно-
весия (3.34) является основной, наиболее часто применяемой формой
условия предельного равновесия, предложенной в XVIII веке Куло-
ном [37].
70
Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
Если грунт сыпучий, т. е. сцепление с равно нулю, то условие (3.34)
принимает вид:
т < atg ср, (3,35)
В некоторых случаях более удобно представить условие предельно-
го равновесия для связного грунта в форме, аналогичной форме (3.35)
для сыпучего грунта:
* < (° -I- О tg ?, (3.36)
где
or = cctg(p.
Величину мы будем называть сжатием, эквивалентным связ-
ности, так как, умножая ее иа коэффициент трения tgcp, мы получаем
сцепление. Если грунт изотропен, вследствие чего сцепление с и угол
внутреннего трения г- по всем площадкам, проходящим через каждую
точку грунта, одинаковы, то величина ас также будет одинаковой для
всех любым образом ориентированных площадок,
проходящих через данную точку. Поэтому мож-
но рассматривать как всестороннее равномерное
сжатие, эквивалентное связности. Если грунт к тому
же однороден, то величина одинакова во всех
точках грунта.
Условие предельного равновесия (3,36) можно
представить также в виде:
tg?-
(3.37)
Отложим далее по направлению площадки, по которой действуют
напряжения ант, касательное напряжение тЛ а по наппавлению нор-
мали напряжения а и и построим на них результирующее напряже-
ние, которое будем называть полным приведенным напряжением. Мы
называем его приведенным, так как его нормальная составляющая
содержит в себе фиктивное напряжение °с. По схеме на рис. 37 не-
трудно убедиться, что отношение, стоящее в левой части условия
(3.37), представляет собой тангенс угла отклонения tg 9 полного при-
веденного напряжения от нормали к площадке. Поэтому условие (3.37)
может быть представлено также в виде:
tg6 = tg9 . /' /
или •
9 = <р. (3.38)
Полученное условие предельного равновесия обозначает, что состоя-
ние предельного равновесия наступает тогда, когда угол отклонения
полного приведенного напряжения от нормали к площадке становится
равным углу внутреннего треиия. Совершенно очевидно, что по мере
изменения ориентировки площадки величина угла отклонения изме-
няется. Поэтому для того чтобы в рассматриваемой точке земляной
среды наступило состояние предельного равновесия, необходимо, чтобы
по той площадке, по которой угол отклонения достигает своей наиболь-
шей величины, величина этого угла стала бы равной углу внутреннего
трения.
Для получения еще одной формы того же условия предельного рав-
новесия отложим вправо от начальной точки о величины главных на-
пряжений, действующих по главным площадкам, проходящим через
§ 2. Условия предельного напряженного состояния грунта
7/
рассматриваемую точку земляной среды, и построим иа них круг на-
пряжений. Влево от точки о отложим величину напряжения ас.
Соединяя прямой полученную точку o' с любой точкой на окруж-
ности, мы видим, что угол наклона 0 этой прямой к оси х является не
чем иным, как углом отклонения полного приведенного напряжения от
нормали к площадке, соответствующей выбранной точке на круге на-
пряжений, так как величина тангенса этого угла по схеме на рнс. 38
равна:
6 ® +
что совпадает с приведенным выше выражением для тангенса угла от-
клонения полного приведенного напряжения от нормали к площадке.
Нетрудно убедиться, что наибольший угол отклонения соответствует
площадке, отвечающей точке касания прямой о'т к кругу. Учитывая
же, что состояние предельного
равновесия наступает тогда,
когда угол наибольшего от-
клонения становится равным
углу внутреннего трения, мож-
но сказать, что состояние пре-
дельного равновесия наступа-
ет для всех напряженных со-
стояний, которые на рис. 39
характеризуются кругами (на-
пример, а и Ь), касающимися
прямых, проведенных из точки
of и наклоненных к оси х под
углами, равными углу внут-
реннего трения. Эти прямые
называются предельными пря-
мыми. Если же какой-либо круг лежит внутри области, ограниченной
предельными прямыми, и не касается этих прямых, то в точке, напря-
женное состояние которой соответствует этому кругу, ии по одной пло-
щадке нет состояния предельного равновесия. Следует отметить, что ни
один круг не может пересекать предельной кривой (как, например,
круг б), так как в таком случае угол наибольшего отклонения для этого
круга был бы больше угла внутреннего трения, что невозможно. Из
рассмотрения рис. 38, кроме того, видно, что величина ас всесторон-
него сжатия, эквивалентного связности, численно равна временному со-
противлению грунта равномерному всестороннему растяжению.
В соответствии со схемой на рис. 38 можно представить величину
синуса наибольшего угла отклонения в виде:
Sin бщах = •
Учитывая, что
тс=
gl — °2
2
и
о'с — о'о 4- ос = бс 4-
2
72
Глава Ш. Основные расчетные зависимости и схемы
величина синуса наибольшего угла отклонения получается равной:
д _____ °1 а2
Sln 0”" — », + оа+2ае ’
(3.39)
Отсюда условие, что состояние предельного равновесия наступает,
когда угол наибольшего отклонения становится равным углу внутрен-
него трения, может быть представлено в виде:
sin 6max = sin <р
или
°i — сз — Oi + °2 + sin ?. (3.40)
Если выразить главные напряжения по формулам сопротивления
материалов через составляющие напряжения по площадкам, парал-
лельным координатным осям х и z:
«1 == 4" (°* + °')+ 4 (°* ~ >
°2==4 (°*+°<)—4" (°*- >
то синус наибольшего угла отклонения может быть представлен в виде:
Sin Отах —
(3.39')
4* °* 4~
а условие предельного равновесия в виде:
(сж “ аг)2 “Ь- 4xL = К + + 2ос)3 sin2 ср.
Следует еще раз подчеркнуть, что все вышеприведенные выражения
условия предельного равновесия представляют по существу одно и то
же условие Кулона и отличаются только по своей форме. Поэтому ре-
зультат любого исследования не зависит ог того, какую из этих форм
использовать прн рассмотрении того или иного вопроса.
Прн рассмотрении пространственной задачи напряженное состояние
в любой точке среды определяется, как известно, тремя кругами напря-
жений. Совершенно очевидно, что и здесь условие предельного равно-
весия может быть выражено через наибольший угол отклонения, кото-
рый определяется положением касательной к кругу, построенному на
наибольшем и наименьшем главных напряжениях (рис. 40). Поэтому
условие предельного равновесия принимает для этого случая вид:
<*1 — °з = 01 + °з + 2ае) Sin <?.
£ 2. Условия предельного напряженного состояния грунта 73
Величина среднего главного напряжения не отражается на условии
предельного равновесия. Это не вполне точно отвечает эксперименталь-
ным данным, однако может быть допущено в практических расчетах.
б) Предельные соотношения между главными напряжениями
Выделим в условиях плоской задачи некоторый элемент, ограничен-
ный главными площадками (рис. 41), по которым действуют главные
напряжения Oj н а... Допустим далее, что одно из главных напряже-
ний, например в2, задано. Поставим тогда вопрос о том, в каких преде-
лах может изменяться главное напряжение а, без возникновения со-
стояния предельного равновесия, т. е. нарушения прочности земляной
среды.
Для выяснения этого вопроса предположим С zOr
сначала, что • t > °2.Тогда возможные соотноше- у'
ния напряжений и а2 определяются в соот-
ветствии с изложенным ранее условием: z' X
< sin у, (3.41) /
«1 + «2+2ве т’ 7 УХ
которое может быть представлено в виде: б;
JL1 _±31_ < .1+ stn ? =. fgs 1 JL) /Q до)
+ ^l-siny tg ( 4 + 2 ) ' Рис. 41
Предположим теперь, что с, < а2. Тогда условие, что абсолютная
величина угла наибольшего отклонения (не интересуясь знаком) мень-
ше или равна углу внутреннего трения, имеет вид:
(То -- <ТА
-----П----< Sin у ,
+ «2 + 2^ т
(3.43>
откуда аналогично выражению (3.42) получаем:
g2 4~ *с < 1 + sin у
ctj + 1 — sin у
или
-?1. + > 1 ~ Slt1 ? = fcr2 (—_________L \ /3 44У
«> + 1 + sin ? g ( 4 2 / ’ \ >
Объединяя выражения (3.42) и (3.44), получаем:
откуда:
(а2 + Зс) tg3 -------— (с2 + tg3 (v + ~г) ~
(ЗЛ5).
Учитывая, что
A
Г, / яv у \ ,1 /1 — sin \ 2 sin a>
--1) - ’] = М/ГТ^пТ - ’) = =
2 sin у , 2 cos у
74
Глава III, Основные расчетные зависимости и схемы
и аналогично
Г, ., / к , <₽ \ 2 sin? п , / к . « \
°4tg'( 4“ +"г) “1] = г~^^=2с‘е(т + 4-)-
можно представить выражение (3.45) в виде:
+ 2ctg(-=- + -|-), (3.46)
7
Рис. 42
где левая часть соответствует условию а, < за, а правая а, > а2.
Если в выражении (3.46) справа и слева стоят знаки неравенства, то
предельного состояния нет. Если же либо в правой, либо в левой сто-
роне выражения (3.46) появляется знак равенства, то в рассматривае-
мой точке земляной среды, для которой построен круг напряжений,
наступает предельное напряженное состояние. Таким образом, формула
(3.46) показывает пределы, в которых
может изменяться напряжение а, при за-
данном напряжении
Если наступает предельное состояние,
соответствующее появлению знака равен-
ства слева, то такое предельное состояние
называется активным. Если же наступает
предельное состояние, соответствующее
появлению знака равенства справа, то
такое предельное состояние называется
пассивным.
Остановимся в качестве примера на
вопросе о давлении на абсолютно глад-
кую вертикальную подпорную стенку, ко-
торое возникает под действием собственного веса засылки у, полагая,
4f ) па поверхности этой засыпки расположена равномерно распреде-
ленная нагрузка q. В таком случае, рассматривая напряженное состоя-
ние в любой точке, совпадающей с поверхностью стенки, следует при-
нять, что главные площадки для таких точек совпадают или перпенди-
кулярны гладкой поверхности стенки. Выделим элемент, показанный на
рис. 42, н обозначим главные напряжения соответственно^ и о..
В условиях, когда трение по стенке отсутствует, главное, напряже-
ние э, - у z +- q. Для определения активного давления земли на под-
порную стенку, соответствующего минимальной величине давления,
примем знак равенства в левой части зависимости (3.46), полагая при
этом а1<а2. . Тогда получаем:
Полное активное давление засыпки на стенку равно:
h
i)
Аналогичным способом может быть получено выражение для от-
пора или пассивного давления на стенку, соответствующее предель-
ному сопротивлению засыпки при принудительном горизонтальном
§ 2. Условия предельного напряженного состояния грунта
75
стейки какой-либо внешней силой, направленной в сторону засыпкн.
В этом случае >с2 н аналогично:
= (т* + ?) *g2 (v + "г) + (”Г + 1г) ’
откуда полная величина отпора равна:
h
j ^dz— -Д-tg1
Г +?«g2K
1.
2
о
Этн формулы для активного и пассивного давления земли на под-
порную стенку имеют широкое распространение в инженерной прак-
тике.
в) Зависимости между внутренним треинем, сцеплением
и предельным сопротивлением грунта сжатию или растяжению
Связные грунты обладают некоторым сопротивлением нс только
сжатию, по и растяжению. Если принять для них условие предельного
напряженного состояния в виде, например, условия прочности Ку-
лона, то можно показать, что предельное сопротивление одноосному
сжатию R н предельное сопротивление растяжению /?р однозначно
Рис. 43
связаны с параметрами ©нс, условно называемыми внутренним тре-
нием н сцеплением.
Действительно, выделим главными площадками некоторый элемент
(рис. 43), на который действуют главные напряжения н а2. Рас-
смотрим случай одноосного сжатия, т. е. примем, что 0. Есте-
ственно в таком случае, что о, полагая сжатие положительным
напряжением. Обозначим напряжение соответствующее разруше-
нию элемента, через RQ. В таком случае, принимая знак равенства
в правой части выражения (3.46), находим:
«e = 2ctg(^+-J). (3.47)
Если рассматривать случай одноосного растяжения элемента, то,
полагая = 0 и считая растягивающие напряжения отрицательными,
имеем, что а, < а2. Обозначая предельное сопротивление образца рас-
тяжению через Rp и принимая знак равенства в левой части выраже-
ния (3.46), находим:
76
Г лава III. Основные расчетные зависимости и схемы
...... Rp = -2ctg(-£— -J). ’ (3.48)
Совершенно очевидно, что при с = 0 величины Rc = Rp = О, т. е. со-
противление сыпучего грунта в условиях одноосного сжатия или рас-
тяжения равно нулю.
Отношение предельного сопротивления связного грунта сжатию и
растяжению определяется выражением;
(3.49)
которое показывает, что это отношение не зависит от величины сцепле-
ния, а только от угла внутреннего треиня.
Для того чтобы выразить угол внутреннего трення через предельное
сопротивление грунта сжатию и растяжению, отметим, что из зависи-
мости (3.49) следует:
RC __ । т \ _ 1 + sin
Rp ~~ I 4 т 2 ) 1 - sin f ‘
Отсюда:
Rc (1 — sin <р) 4- RP (1 + sin ср) = О
Полагая, например, /?с= 4,0 кг1см2 и Rp =—1,0 кг!см2, находим:
4-1 3 nz-
sln? = -4T1_=r = 0>6-
откуда
— arc sin 0,6 = Зб°50'.
Величина сцепления также может быть выражена через R. и /?р.
Учитывая зависимости (3.47) и (3.48), имеем:
и
1 Г* 4. / \
откуда находим:
?— 4*
Например, прн Яс = 4,0 кг^см2 и Rp =— 1,0 nsjcM2
с = ]/4-1=2,0 кг/см.2.
Учитывая, что
п п . ! тс , у \ n cos у
Rc = 2с tg I ~т- 4- -х-1 — 2с j—4,
с ° ( 4 1 2 j 1 + sin у ’
Rp =
*=-2с
cosy
1 — sin у
(3.50)
можно в знаменателях выражений (3.50), прн относительно малых ве-
личинах угла трения ср, пренебречь величиной sin ср по сравнению с еди-
ницей. Тогда приближенно получаем:
Rc~ — Rp ~ 2с cos <р,
£ 3. Основные представления о расчетных моделях (схемах)
77
откуда видно, что чем меньше внутреннее трение при некотором опре-
деленном сцеплении, тем ближе предельные сопротивления сжатию и
растяжению. В пределе они становятся равными удвоенному предель-
ному сопротивлению сдвигу, что соответствует гипотезе прочности наи-
больших касательных напряжении.
Все приведенные зависимости правильны, если предельное условие
Кулона соответствует рассматриваемым грунтам. Эти зависимости мо-
гут быть полезными при выполнении некоторых лабораторных исследо-
вательских работ.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РАСЧЕТНЫХ
МОДЕЛЯХ (СХЕМАХ)
В главе I было указано, что вследствие сложности и многообраз-
ности природных явлений, при построении различных теорий прихо-
дится прибегать к схематизации рассматриваемых явлений и свойств
изучаемых грунтов. Выделяя в зависимости от изучаемого вопроса те
или иные основные факторы, отражающие рассматриваемые явления и
свойства грунтов, устанавливаются основные допущения, соответствую-
щие принятому схематизированному представлению, которое часто на-
зывают расчетной схемой илн расчетной моделью.
Применительно к грунтам при рассмотрении разных вопросов ис-
пользуются, естественно, различные расчетные модели. В качестве при-
меров приведем следующие наиболее часто используемые расчетные
модели или схемы.
а) Расчетные модели двухкомпоиентиой и трехкомпонентной
земляной среды
Для того чтобы охарактеризовать в расчетной схеме степень запол-.
ценности пор грунта водой, используются представления о двухкомпо-
нентной и трехкомпонентной системах грунта. Хотя во всяком грунте,
как отмечалось в главе II, имеется некоторое, хотя бы очень небольшое
количество газа в газообразном состоянии, во многих случаях при-
знается допустимым пренебрегать наличием газообразной составляю-
щей грунта. В таких случаях принимается расчетная модель двухкомпо-
нентного грунта, состоящего только из твердых частиц и заполняющей
его поры воды. При этом влиянием газообразной составляющей в рас-
четах, основанных на такой расчетной модели, естественно, пренебре-
гается.
Если же при рассмотрении тех или иных вопросов учет влияния га-
зообразной составляющей представляется необходимым илн количество
газа (воздуха и пр.) настолько велико, что не учитывать его нельзя, то
применяется расчетная модель трехфазного грунта, основанная на
представлении, что рассматриваемый грунт состоит из твердых частиц
и заполняющих его поры воды и газа. При этом в зависимости от на-
личия илн отсутствия непосредственной связи газа с внешней атмосфе-
рой он считается свободным илн защемленным в грунте.
б) Расчетные модели линейно-деформнруемой среды и теории
предельного равновесия
Для определения напряженного состояния грунта, в зависимости от
наличия в грунте областей, в которых по каким-либо площадкам
имеется состояние предельного равновесия, чаще всего применяются
78
Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
так называемые расчетные модели теории линейно-деформнруемой сре-
ды и теории предельного равновесия.
Расчетная модель л и иейно-дефо р м нруемой сре-
д ы. Эта модель основана на предположении, что для определения на-
пряженного состояния земляной среды в стабилизированном состоянии
могут быть использованы соответствующие решения теории упругости.
В таком случае напряжения в скелете грунта должны удовлетворять
уравнениям теории упругости, которые, как известно из курса теории
упругости, для случая плоской задачи (плоской деформации) могут
быть представлены в виде [38]:
(3.51)
Ц. V2fc + O=--r^r(-^+#), (3.52)
д2 д2
где v2 обозначает оператор Лапласа: у’ = -Ь , р -- коэффи-
циент Пуассона, а X и Z — составляющие объемных сил.
Если составляющие объемных снл могут быть представлены как
производные некоторой функции U (называемой в таком случае по-
тенциальной функцией):
у т __
Л — ох ' А ~~ dz '
то, как известно нз теории упругости, напряжения <т, и txz мо-
гут быть выражены через так называемую функцию напряжений ,
полагая
д2? । гj \ ТТ
= STl- + U'
т =
х* дх ог *
Подставляя эти выражения в уравнения равновесия плоской задачи,
нетрудно убедиться в том, что они тождественно удовлетворяют урав-
нениям равновесия. При подстановке же их в уравнение совместности
(3.52) получаем уравнение:
дх* ' dx2dz2 + dz* ~ 1 рД дх2 + dz2 I ‘ (о.02)
В полярных координатах уравнения равновесия плоской задачи с
учетом объемных сил, в радиальных направлениях, имеют, как из-
вестно, вид [38]:
। 2^42—-О
г дЬ dr 2 г
(3.51')
В случаях, когда объемные силы отсутствуют, т. е. = напряжения
з и тг0 могут быть представлены через функцию напряжений <р..
полагая:
§ 3. Основные представления о расчетных моделях (схемах)
79'
= 1 Jr 4_ 1
°г Г дГ + Г2 d№ ’
___ d / 1 d<p \
— -^7 -£jf j •
Нетрудно подстановкой убедиться, что этн выражения для напряже-
ний тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия, а при под-
становке их в уравнение (3.52), полагая прн этом X--Z — 0, откуда
t/=nocT., и замене переменных х н г на г и в , приводят к уравнению:
д_________1 д ।___д2 \ / d-<p .___1 dtp .__1_ \ =
dr2 ’ г dr ' г'2 д№ I \ dr2 'г dr г2 дч£ у
(3.52")
В случае пространственной задачи аналогичные уравнения теории
упругости, также выраженные в напряжениях, имеют в случае прямо-
угольных координат вид [38]:
dz
(3.54>
^.Ух. I , д_ Y = О
dx + dy dz ’
+ &^у 4- Д- Z = О,
dx 1 ду 1 dz 1
2 I 1 _ 9 __ t*. ( дЛ _L dY _L JJ \
dx2 dx 1 — fx ( dx ' dy * dz / ’
2__________1 d2S _ n dY_ __ pt IdX dY dZ \
° у ' 14- pi dy2 dy I — fx dx ' dy ' dz j ’
2 1 _ 9 dZ P i dX I dY 1 dZ )
v G* 1 + (X ~dz2 “ 1 dz 1 - fx ( dx г dy + dz J ’
2 i 1 _ __ I _?*_ i JL )
X*y ' 1 + jx dx dy I dy dx j ’
2 1 -d e_ = Ш J£ \
ХУ* 1 + }x dy dz ( dz dy ) *
2 . 1 d'-Q j dZ . dX i
V xjsx i j ( dx dz / ‘
(3.55)
Уравнения (3.51) н (3.5И) для случая плоской задачи н уравнения
(3.54) для случая пространственной задачи являются, как известно,
уравнениями равновесия и представляют собой условия равновесия
любого элементарного параллелепипеда, выделенного внутри рассмат-
риваемой среды (равенство нулю сумм проекций действующих сил на
оси хг у и 2).
Уравнение (3.52) для случая плоской задачи и уравнения (3.55)
для случая пространственной задачи называются, как известно, урав-
нениями совместности Бельтрамн — Митчеля [38] и являются условиями,
что тело, которое было сплошным до изменения его напряженного со-
стояния, остается сплошным и после изменения этого состояния. Иначе-
#0
Глава Ill. Основные расчетные зависимости и схемы
говоря, деформации элементарных параллелепипедов, на которые мож-
но мысленно разделить тело до приложения нагрузки, должны быть
после приложения нагрузки совместными, т. е. такими, при которых не
нарушается сплошность тела (в виде появления между элементарными
параллелепипедами щелей).
Помимо уравнений равновесия и совместности, напряжения нли пе-
ремещения должны, как известно, удовлетворять соответствующим
рассматриваемой частной задаче граничным условиям, т. е, принимать
на ограничивающих рассматриваемую среду поверхностях заданные
значения. Уравнений теория упругости, выраженных в перемещениях
или в иных системах координат, кроме полярной для случая плоской
задачи, мы не приводим, отсылая читателя к соответствующим курсам
теории упругости.
Применение теории упругости к грунтам встречало в прошлом,
а иногда встречает и в .настоящее время, следующие возражения:
1. Грунт не является упругим телом, а потому к нему ие применимы
решения теории упругости.
2. Зависимость между напряжениями и деформациями в грунтах не
является линейной, вследствие чего к грунтам не применим закон Гука,
а следовательно, н решения теории упругости.-
3. Естественные напластования грунтов обычно достаточно неодно-
родны и анизотропны, вследствие чего применение любых решений, ос-
нованных на предположении об однородности и изотропности среды, ие
соответствует действительности.
Следует, однако, иметь в виду, что утверждения о полной неприме-
нимости решений теории упругости для определения напряженного со-
стояния грунтов, основанные на этих возражениях, не могут быть при-
знаны правильными по следующим причинам.
Н. М. Герсеванов еще в 1930 г. отметил [39], что в условиях одно-
кратного приложения нагрузки без последующего ее снятия, свойство
упругости проявиться не может. В этих условиях прн рассмотрении во-
проса о допустимости использования решений теории упругости для
исследования напряжеииого состояния земляной среды наличие нли
отсутствие упругих свойств этой среды не представляет интереса. Во-
прос о применимости использования решений теории упругости зависит,
в основном, от применимости закона Гука, т. е. от существования ли-
нейной зависимости между напряжениями и деформациями, на которой
основаны решения теории упругости. Вследствие этого рассмотрение
вопроса о правильности второго возражения приобретает существенное
значение.
Для этого рассмотрим сначала случай, когда напряженное состояние
земляной среды достаточно далеко от предельного напряженного со-
стояния, определяемого зависимостью Кулона нли какой-либо из при-
веденных выше ее разновидностей. Тогда напряжения и деформации
в земляной среде связаны некоторой, может быть и нелинейной, но тем
не менее однозначной зависимостью. Это обозначает, что каждому опре-
деленному изменению напряженного состояния соответствует некоторое
вполне определенное приращение деформаций. В таком случае прн от-
носительно умеренном диапазоне изменения напряженного состояния
(приращения напряжений) можно любую нелинейную зависимость меж-
ду напряжениями и деформациями заменить на этом диапазоне линей-
ной. Поэтому, имея в виду, что в основаниях сооружений н в теле зем-
ляных сооружений численные значения приращений напряжений обычно
не чрезмерно велики, — можно считать применение решений теории
$ 3. Основные представления о расчетных моделях (схемах) 8/
упругости для определения напряженного состояния земляной среды
з рассматриваемых условиях допустимым.
Однако если в какой-либо точке земляной среды возникает предель-
ное напряженное состояние, то в этой точке происходит смешение одной
части грунта по другой. При этом напряжения и деформации не связа-
ны между собой не только достаточно близкой к линейной, но вообще
какой-либо однозначной зависимостью, так как деформации нарастают
при постоянной величине напряжения. Иначе говоря, одному и тому же
напряженному состоянию соответствуют изменяющиеся во времени де-
формации грунта и смещения одной его части по другой. При таком
напряженном состоянии, аналогичном состоянию текучести, применение
не только закона Гука, но любой однозначной зависимости между на-
пряжениями и деформациями, естественно, недопустимо.
Отсюда следует, что допустимость применения решений теории-уп-
ругости для определения напряженного состояния земляной среды за-
висит, в основном, от размеров областей, в которых имеется предельное
напряженное состояние. Если такие области или отсутствуют совсем
или настолько малы по сравнению с размерами сооружения (или пло-
щади загружения), что ими можно пренебречь, то применение решений
теории упругости допустимо и не вызывает существенных возражений.
Если же размеры областей предельного напряженного состояния грунта
достаточно великн и превышают по глубине, например, одну четвертую
или пятую часть наименьшего размера площади загружения (или по-
дошвы сооружения), то применение решений теории упругости для оп-
ределения напряженного состояния земляной среды приводит к доста-
точно существенным погрешностям и принципиально не должно считать-
ся допустимым. Следует, однако, отметить, что весьма часто допускают
применение решений теории упругости и в этих условиях вследствие от-
сутствия каких-либо лучших или более подходящих методов определе-
ния напряженного состояния.
На основании изложенного видно, что с точки зрения допустимости
использования решений теории упругости для определения напряжен-
ного состояния грунтов в условиях однократного приложения нагрузки
представляют интерес не упругие свойства земляной среды, а приме-
нимость закона Гука. Вследствие этого Н. М. Герсеванов для большей
ясности и точности терминологии рекомендовал говорить, что земляная
среда может быть представлена в соответствующих случаях «линейно-
деформнруемой средой», применяя этот термин вместо термина «средой
теории упругости». Следует отметить целесообразность такой термино-
логии. Использование расчетной модели линейно-деформируемой среды
широко применяется при проектировании для определения напряжен-
ного состояния земляной среды особенно в целях установления ожи-
даемых величин осадок, наклонов и других смещений возводимых со-
оружений при выполнении практических расчетов.
Резюмируя, можно сказать, что весьма часто высказываемые суж-
дения о допустимости применения решений теории упругости для опре-
деления напряженного состояния грунтов или суждения о недопусти-
мости этого применения не могут быть признаны правильными. Нельзя
ставить вопрос «вообще» о применимости решений теории упругости к
грунтам, либо к тем или иным материалам. Можно говорить только о
том, в каких пределах применительно к тому или иному материалу (и, в
частности, в случае грунтов) применение линейной зависимости между
напряжениями и деформациями может считаться допустимым с доста-
точным для практических целей приближением. Таким образом, в соот-
6—В. А. Флорин
82
Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
ветствии с изложенным выше, следует говорить об области применимо-
сти решений теории упругости к грунтам, а не о том. можно ли ее при-
менять, не оговаривая при этом условий, применительно к которым рас-
сматривается вопрос о допустимости ее использования.
Следует отметить, что в механике грунтов сжимающие напряжения
обычно считаются положительными, а не отрицательными, как в теории
упругости. Поэтому правила знаков для всех компонентов напряжения
принимаются обратными по сравнению с правилами знаков, принимае-
мыми в теории упругости.
Расчетная модель теории предельного равнове-
сия. Эта модель основана на предположении, что во всех точках зем-
ляной среды имеются площадки, по которым имеет место предельное
напряженное состояние. Соответствующая система уравнений для слу-
чая плоской задачи имеет вид:
I 1 у А
-dJT^--dz~
' (3-51)
дх 1 dz 1 *
л, — ~ (z1 -I- а., 4- 2яс) Sin ср. . . (3.56)
Первые два уравнения являются уравнениями равновесия, а уравне-
ние (3.56)—условием предельного равновесия. Помимо удовлетворе-
Рис. 44 Рис. 45
ния этой системе уравнений, напряжения должны удовлетворять соот-
ветствующим граничным условиям, о которых подробнее будет сказано
в дальнейшем. В аналогичном виде можно привести систему уравнений
теории предельного равновесия для случаев осесимметричной задачи
[40]. Расчетная модель теории предельного равновесия, отвечающая та-
кому состоянию земляной среды, когда во всех ее точках возникают
смещения одной части грунта относительно другой, широко применяет-
ся для определения давления земли на различные наземные и подзем-
ные сооружения, а также для исследования вопросов прочности и устой-
чивости земляных масс, находящихся под воздействиями различных на-
грузок.
Если в земляной среде имеются достаточно большие области, в ко-
торых нет состояния предельного равновесия, то пренебрежение этим
обстоятельством прн использовании решений теории предельного равно-
весия приводит к достаточно существенным погрешностям. Рассматри-
вая, например,задачу об определении давления связного грунта на под-
порную стенку с учетом его связности и используя для этой цели урав-
нения предельного равновесия для всей области засыпки, можно убе-
диться, что в пределах некоторой высоты аб возникают отрицательные
$ 3. Основные представления о расчетных моделях (схемах)
83
давления земли на подпорную стенку (рнс. 44), Это объясняется тем,
что в пределах этой высоты, называемой критической, связный грунт
может быть ограничен вертикальным откосом и не находиться в пре-
дельном напряженном состоянии. Поэтому при определении давления
связного грунта на подпорную стенку необходимо учитывать, что
в пределах критической высоты предельного состояния ье имеется, так
как в противном случае получаемые результаты не будут соответство-
вать действительности.
На основании изложенного можно сказать, что применение для всей
области земляной среды расчетной 'модели теории предельного равно-
весия допустимо только в тех случаях, когда области, в которых не
имеется предельного напряженного состояния, или отсутствуют совсем
или настолько малы по сравнению с размерами рассматриваемого со-
оружения, что ими можно пренебречь.
Кстати отметим, что в соответствии со схемой на рис. 45 определе-
ние давления на подпорную стенку следует производись, полагая на-
личие вертикальной щели между стенкой и засыпкой в пределах слоя
толщиной, равной критической высоте, и учитывая, что этот слой не
находится в предельном состоянии.
в) Некоторые обобщения расчетных моделей лииейно-
деформируемой среды и теории предельного равновесия
Расчетные модели линейно-деформируемой среды и теории предель-
ного равновесия являются предельными противоположными расчетными
моделями, так как одна из них основана на допущении, что ни в одной
точке земляной среды нет состояния предельного напряженного состоя-
ния, а другая, наоборот, на предположении, что оно имеет место во
всех точках земляной среды.
В действительных условиях в земляной среде обычно имеются как
области, в которых нет предельного напряженного состояния, так и об-
ласти, в которых оно имеется. Определение напряженного состояния
земляной среды в таких условиях относится к области так называемых
смешанных задач теории упругости и теории предельного равновесия.
В таких случаях в одной части земляной среды должны быть удовлет-
ворены уравнения теории упругости (3.51) и (3.52), а в другой части
среды — уравнения теории предельного равновесия (3.51) и (3.56). На
граничных поверхностях, разделяющих эти области, должны быть вы-
полнены необходимые условия непрерывности, а именно, равенство
нормальных перемещений, касательных и 'нормальных к граничной по-
верхности напряжений. Касательные к граничной поверхности переме-
щения и нормальные напряжения, параллельные граничной поверхно-
сти, могут, вообще говоря, претерпевать разрывы непрерывности.
Вследствие весьма малого количества решений смешанных задач,
представляющих интерес для строительных целей, а также недостаточ-
ной разработанности применительно к условиям земляной среды упру-
го-пластических задач в настоящее время применяют в основном рас-
четные модели линейно-деформируемой среды и теории предельного
равновесия в зависимости от того, велики или малы по сравнению с
размерами сооружения области предельного напряженного состояния
грунта.
Следует упомянуть, что в некоторых работах [41] рассматриваются
вопросы напряженного состояния земляной среды, полагая зависимость
между деформациями и напряжениями нелинейной. Эти вопросы имеют
несомненный теоретический интерес, однако с точки зрения внедрения
£*
84
Глава III. Основные расчетные зависимости и схемы
их в практические расчеты они разработаны недостаточно. При неболь-
шом диапазоне изменения напряжений— методы определения напря-
женного состояния земляной среды, основанные на нелинейной зависи-
мости между напряжениями и деформациями, — приводят к резуль-
татам, близким к тем, которые получаются в случае предположения
о линейной зависимости. При больших нагрузках они приобретают су-
щественное значение, особенно с точки зрения исследования напряжен-
ных состояний, близких к предельному.
В отношении вопросов неоднородности и анизотропии природных
грунтовых образований следует отметить, что в настоящее время
имеется ряд решений теории упругости и теории предельно; о равнове-
сия, позволяющих учитывать неоднородность и анизотропию среды. В
частности, имеются решения теории упругости для определения на-
пряженного состояния однослойной или двухслойной среды в соответ-
ствии со схемами на рис. 46, полагая при этом деформационные харак-
теристики различных слоев различными. Следует иметь в виду, что
распределение напряжений в двухслойной среде значительно отличает-
ся от распределения напряжений в однородном массиве только в слу-
чаях резкого различия в величинах характеристик деформируемости
разных слоев грунта. Поэтому при определении напряженного состоя-
) } P'l
1 (
Рис. 46
ния грунтов учитывать неоднородность основания следует только
тогда, когда величины характеристик деформируемости различных раз-
новидностей грунтов, слагающих неоднородные естественные земляные
массивы, резко отличаются друг от друга. Эти соображения позволяют
применять решения для однородной среды для многих случаев исследо-
вания напряженного состояния многослойной и косослойной среды, а
также тонкослоистой и линзообразной неоднородности естественных на-
пластований грунтов, для которых не имеется соответствующих решений
теории упругости. Применение для этих случаев решений теории упру-
' гости для однородной среды представляется возможным, конечно, толь-
ко тогда, когда области предельного напряженного состояния не слиш-
ком велики, а характеристики деформируемости различных слоев грун-
та не слишком резко отличаются друг от друга. Применительно к
расчетной модели теории предельного равновесия учет неоднородности
земляной среды или анизотропии грунта нс вызывает принципиальных
затруднений, хотя конечно усложняет решения рассматриваемых задач.
Следует отметить, что в некоторых грунтах при достаточной величи-
не касательных напряжений, величина которых значительно меньше
1 предельного сопротивления грунта сдвигу, деформации не затухают, а
' постепенно весьма медленно нарастают в течение весьма длительного
или даже неопределенного времени. Совершенно очевидно, что в таких
случаях нн расчетная модель теории упругости, ни модель предельного
1 равновесия не смогут должным образом отразить проявления явлений
; ползучести грунтов, требующих для своего рассмотрения специальной
расчетной модели и специальной теории. Разработка вопросов ползуче-
сти грунтов началась лишь в последние годы и производится в настоя-
§ 4. Условия моделирования
85
щее время в ряде научных организаций. В частности, следует отметить,
что в последнее время было опубликовано несколько работ, посвящен-
ных теоретическим [42, 43] и экспериментальным [44] вопросам ползу-
чести грунтов, основанных на общих представлениях теории ползуче-
сти [45],
§ 4. УСЛОВИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Для решения некоторых вопросов проектирования, изучения строи-
тельных свойств оснований сооружений и экспериментальной проверки
применяемых методов расчета иногда применяются исследования на
моделях или штампах, достаточно малых размеров по сравнению с дей-
ствительными сооружениями. В ряде случаев эти исследования произ-
водятся для изучения распределения напряжений по подошве сооруже-
ния и в толще основания, для определения характера и изменения ве-
личины осадки в зависимости от изменения нагрузки, для определения
величины предельной нагрузки, при которой происходит выпор грунта
основания, резкое увеличение осадки илн же появление незатухающих
во времени осадок и т. д. Поэтому представляется весьма существен-
ным выяснить вопрос о допустимости перенесения получаемых при этих
исследованиях результатов па сооружения значительных размеров и
об установлении надлежащих условий моделирования.
Установление теоретически достаточно обоснованных и практически
проверенных, т. е. находящихся в соответствии с результатами экспери-
ментальных исследований условий моделирования имеет большое
практическое значение .не только с точки зрения выяснения вопроса о
допустимости использования тех или иных результатов, установленных
при исследованиях на моделях малого размера. Еще большее практи-
ческое значение условий моделирования заключается в выяснении над-
лежащих условий постановки этих исследований, при которых получае-
мые данные могли бы быть использованы применительно к сооруже-
ниям большого размера,
В соответствии с изложенным ранее, мы полагаем, чти напряженное
состояние основания сооружения при любой степени развития обла-
стей пластических деформаций грунта может быть представлено соот-
ветствующими решениями смешанной задачи теории линейно-деформи-
руемой среды и теории предельного равновесия.
Несмотря на то, что в настоящее время эта задача не имеет реше-
ний, которые могли бы быть применены к расчетам оснований, можно
без затруднений, используя обычные методы теории подобия, устано-
вить условия моделирования, обеспечивающие прн принятой схемати-
зации грунта полное подобие напряженного состояния натуры и моде-
ли [34, 46].
Для этого предположим, что напряженное состояние в основании
модели, определяемое напряжениями У, У и \z, удовлетворяет в
случае плоской задачи как в «упругой», так н в пластической областях
уравнениям равновесия (3.51), полагая в них X = 0 и
____£ _i_______= О
дх' ' dz' ’
ch’ д*
____£_ J_____X / = О*
dz' ‘ дх' 1 *
(3.57)
в упругой области — условию совместности (3.52):
V2 (\+°') = 0;
(3.58)
86
Глава 1П. Основные расчетные зависимости и схемы
в пластической области — условию предельного равновесия (3.56):
— с’ = (ст' + о' + 2а'с) sin ср'. (3.59)
Кроме того, полагаем, что на граничных поверхностях эти напряже-
ния удовлетворяют надлежащим граничным условиям.
Напряженное состояние в основании модели с характерным разме-
ром bf будет подобным напряженному состоянию в основании действи-
тельного сооружения с характерным размером Ь”, если при подобных
очертаниях подошв напряжения в соответственных точках основания
модели и сооружения, т. е. в точках с координатами соответственно
Ь"
(х', z') и (%" = azx/, ^'=0.^'), где а1 = , связаны зависимостями:
а// = аиз\ о'= a Л = ан3’ •> (3.66)
н х‘ z н z> xz н xz> * '
причем-предполагается, что характеристики грунта сооружения и моне-
ли связаны зависимостями =-- a sin = a? sin и </ = afc/. В этих
соотношениях, являющихся по существу условиями подобия, величины
аь %. а„ и ас называются масштабными множителями и не могут,
вообще говоря, выбираться независимо друг от друга.
Если напряженное состояние в основании модели У и т’хг из-
вестно и удовлетворяет уравнениям (3.57), (3.58) и (3.59), то напря-
женное состояние в основании сооружения <У, a"z и ~"xz будет ему
подобно, если компоненты этого напряженного состояния могут быть
выражены зависимостями (3.60).
Для того чтобы такое напряженное состояние o’, a"z и было воз-
можным, оно должно удовлетворять в упругой н пластической областях
соответственно системам уравнений (3.51), (3.52) и (3.51), (3.56).
В противном случае подобие невозможно. Подставляя поэтому напря-
жения о", о" и т"г, выраженные зависимостями (3.60), в уравне-
ния (3.51), (3.52) и (3.56), получаем уравнения, определяющие воз-
можность удовлетворения условиям подобия:
уравнения равновесия
(3.61)
условие совместности (в «упругой» области)
— V2 «4-0=0;
°!
(3.62)
условие предельного напряженного состояния (в области предель-
ного равновесия)
ан (°; “ + °2> + 2аЛ1 sin (3 63)
Учитывая уравнения (3.57) — (3.59), нетрудно убедиться, что урав-
нения (3.61) — (3.63) будут удовлетворены не при любых величинах
масштабных множителей, а лишь прн выполнении следующих зависи-
мостей между ними:
—-—= 1, =
aia. ’ н с г ’
§ 4. Условия моделирования
87
или иначе:
ан = аг == а;ат ; а<р=1. (3.64)
Выражения (3.64) являются зависимостями, определяющими возмож-
ность удовлетворения условиям подобия, вследствие чего онн сами могут
быть названы условиями моделирования смешанной задачи теории ли-
нейно-деформируемой среды и теории предельного равновесия [35, 46].
В соответствии с этими условиями, должны быть, естественно, заданы и
граничные условия всех сравниваемых частных случаев. При выполне-
нии указанных условий моделирования распределение напряжений, а
следовательно, и очертания областей пластических деформаций в двух
сравниваемых случаях будут подобными.
Следует подчеркнуть, что необходимость выполнения условия
ян = а/я. обусловливается уравнением равновесия и не зависит от
свойств среды как в «упругой», так и в пластической областях. Вследст-
вие этого оно должно быть выполнено при любой расчетной модели
грунта.
Условие % = ас определяется условием предельного напряженного
состояния и должно быть при принятом типе этого уравнения выполнено
при любых свойствах среды в отношении ее деформируемости. Отсюда
ясно, что условия (3.64) должны быть выполнены также и в том случае,
если в расчетной модели грунта соответствующую скелету грунта среду
лолагат» нелинейно-деформируемой. Однако в таком случае измененное
в соответствии с этим условие совместности (3.52) может дать дополни-
тельное соотношение между масштабными множителями.
Следует, кроме того, отметить, что выполнение условий (3.64) яв-
ляется необходимым для моделирования не только плоской, но и про-
странственной смешанной задачи теории упругости и пластичности.
Однако в этом случае полученные условия могут оказаться недо-
статочными. Последнее определяется тем, что в случае пространствен-
ной задачи для определения напряженного состояния в пластической
области три уравнения равновесия и одно уравнение предельного рав-
новесия недостаточны. Поэтому принятие и тех или иных дополнитель-
ных уравнений может, вообще говоря, наложить требование о выполне-
нии сверх условий (3.64) еще каких-либо дополнительных условий.
Однако выполнение условий (3.64) и в этом случае остается обяза-
тельным, что нами и будет учтено в дальнейшем изложении при оценке
исследований на малых моделях и штампах.
Случай сыпучего грунта. Предположим, что рассматривае-
мый грунт, например песок, может быть с достаточным приближением
представлен сыпучей средой и что на поверхности ег,о приложена со-
ответственно рис. 47, а неограниченно простирающаяся равномерная
нагрузка q\, тогда как полоса шириной 2at загружена какой-либо на-
грузкой, изменяющейся по произвольному закону р].
Для сыпучего грунта условие (3.64) принимает вид:
ан = ajtty .
Так как изменение собственного веса грунта в экспериментах с
обычными моделями и на штампах не представляется возможным, то
следует принимать ят =1, откуда для сыпучих грунтов получается ус-
ловие моделирования = az.
Иначе говоря, при увеличении ширины 2а} полосы загружения в т
раз (рнс. 47,6) и одновременном увеличении интенсивности нагрузок
Qi и pi также в т раз получающиеся результаты как в отношении рас-
пределения напряжений, так и в отношении очертания областей пре-
88 Глава HI. Основные расчетные зависимости и схемы
дельного напряженного состояния подобны с коэффициентом : подобия,
равным т. Приведенное выше положение и надлежит рассматривать
как необходимое условие подобия напряженных .состояний сыпучих
однородных оснований при разных ширинах полосы загружения.
Переходя к примерам, укажем, что любая степень развития обла-
Стен предельного напряженного состояния, и в частности соответствую-
щая моменту выпирания грунта под действием нагрузки, приложенной
к сто поверхности, т. с. отвечающая предельной несущей способности
основания, достигается при изменении ширины полосы загружения при
нагрузках, пропорциональных ширине полосы. Это положение о пропор-
циональности величины несущей способности песчаного грунта ширине
полосы загружения хорошо известно из опытных данных.
Полученное выше условие подобия значительно снижает ценность
практического использования результатов исследования песчаных грун-
тов штампами в случае значительной ширины действительного соору-
Рис. 47
жения. Для иллюстрации этого предположим, например, что ширина
строящегося сооружения равна 50 лс, а на основании опытных наблю-
дений установлено, что прн штампе шириной 100 см явление выпора
грунта вокруг штампа происходит при нагрузке р~- 1 кг!см2. Тогда
единственным результатом, вытекающим из этого наблюдения, являет-
ся вывод, что аналогичное выпирание грунта вокруг сооружения могло
бы произойти прн нагрузке р = 50 кг^м2. Однако действительные на-
грузки от сооружения всегда ;во много раз меньше этой величины, в ча-
стности, из-за ограничения долустимой величины осадки. Поэтому по-
лученный результат данного опытного исследования является практи-
чески бесполезным.
В качестве второго примера рассмотрим, каким образом можно
использовать результаты опытной нагрузки жесткого штампа шириной
или диаметром в 1 м для суждения о распределении давлений по по-
дошве абсолютно жесткого сооружения шириной или диаметром в
50 №. На основании указанного условия подобия для песчаных грунтов
получается, что если предположить среднюю интенсивность нагрузки
сооружения в 5 к.г!см7, то соответствующее этой нагрузке распределе-
ние давлений по подошве сооружения будет подобно распределению
напряжений по подошве штампа только лишь в случае загружения его
5
внешней нагрузкой со средней интенсивностью, равной кг'см2.
Прн более высоких нагрузках штампа условия подобия получаются
невыполненными, степени развития областей предельного состояния
под штампом и сооружением неодинаковыми и результаты, следова-
тельно, несравнимыми.
Эти же соображения должны быть учтены и при оценке лаборатор-
§4. Условия моделирования -
них исследований-напряжений как по подошве штампа, так и в любой
точке грунта под штампом. Таким образом можно установить, что все
производившиеся измерения напряжений под круглыми штампами ма^
лых размеров и, в частности, измерения А. Котлера и А. Шейдига [47],
применявших штампы диаметром от 34 до 100 см, т. е. в среднем около-
65 см, и средние нагрузки от 0,25 до 1,0 кг!см2, т. е. в среднем около
0,65 ка/сл2, не отражают напряженного состояния под сооружением
значительной площади. Действительно, результаты измерений, например
А, Коглера и А. Шейдига, в случае, если диаметр действительного со-
оружения равен (в соответствии с размерами гидротехнических сооруже-
ний) хотя бы, например, 20 м, характеризуют напряженное состояние
грунта, отвечающее среднему давлению на грунт, равному 0,65 =
= 20 кг1см2. Небезынтересно отметить, что А. Штрошиейдер [48] произ-
водил испытания со штампами диаметром 1,5 см при средней интенсив-
ности нагрузки около 28 кг/см2.
На основании вышеизложенного следует признать, что многие про-
изводившиеся измерения напряжений в основании и плоскости подошвы-
моделей и штампов малых размеров, а тем более измерения их осадок,
являются весьма условным материалом, который не может быть пере-
несен на сооружения достаточно больших размеров.
Из всего изложенного вытекает заключение о небольшой практиче-
ской ценности всякого рода испытаний песчаных грунтов штампами с
целью моделирования при больших отклонениях масштаба длин от еди-
ницы. Прн желании все же использовать такие испытания необходимо
применять возможно меньшие средние нагрузки, хотя величина полу-
чаемых погрешностей прн постановке таких опытов будет, конечно, до-
статочно высока.
Случай связного грунта. Для случая связного грунта усло-
вия моделирования, как было показано ранее, имеют вид:
ас “ % = ат а1’
Так как при обычных исследованиях (без центрифуги) связность
грунта и его собственный вес не могут быть при постановке эксперимен-
та изменены в соответствии с условиями моделирования, то выполне-
ние условий (3.64) при изменении ширины полосы загружения не мо-
жет быть обеспечено ни при каком выборе зависящих от нашего произ-
вола величин внешних нагрузок. Отсюда же следует заключение, что
разным ширинам полосы загружения соответствуют несравнимые меж-
ду собой напряженные состояния и различные стадии развития обла-
стей предельного равновесия.
Если, однако, записать систему уравнений равновесия в виде:
д / . \ , d^-xz . д , , . _.
РаГ (°* + + ~дГ “ °’ " дл- + "дГ (°* + ас) + 4 = 0.
уравнение совместности для «упругой» области в виде:
V2 [(эх + Зс) + + СД1 = о
и уравнение предельного состояния для областей, находящихся в пре-
дельном напряженном состоянии, в виде:
(°i + 3Д — (а2 + %) = 1(®ж + аД + (Ч + aj] sin ср,
'90 Глава HI. Основные расчетные зависимости и схемы
то, поступая совершенно аналогичным путем, как н при выводе условий
(3.64), можно получить, что условия подобия для связного грунта мо-
гут быть записаны следующим образом:
ач+ — а;аь
а.ч 0.
(3.65)
Используя эти условия подобия, можно и для связного грунта в
ряде случаев (не для всех случаев загружения) обеспечить выполнение
необходимых условий моделирования.
Предположим, например, что напряжения и перемещения в различ-
ных точках основания известны для некоторого случая, представлен-
.ного на рис. 48, а, прн ширине сооружения, равной 20 м. Построим на
б бс =27^ е
j*y __
а-----v}------____г________—с—
-----£--------------------------
V
-----t-----Г
Рис. 48
этом рисунке пунктирную ли-
нию абвгде, соответствующую
на поверхности основания зна-
чениям а -4-
Предположим теперь, что
представляется необходимым
определить граничные условия,
которые обеспечили бы, что
при ширине сооружения, рав-
ной 2 м, распределение напря-
жений и перемещений будет
подобно тому, которое имеет
место при ширине 20 м. Все
величины, относящиеся к пер-
вому случаю, будем обозна-
чать одним штрихом сверху,
а относящиеся ко второму слу-
чаю— двумя штрихами.
Решение задачи определяется условием подобия, которое в рассмат-
риваемом случае, если принять, например, я =1, имеет вид:
Z
= aza? = а/
— = 0 1
20 1•
Полагая в обоих случаях связность одинаковой: = —2 т;м\
находим, что оба напряженных состояния будут подобными, если во
втором случае в соответствии с рис. 48,6 принять:
4" ас — a^+^c (?i Зг) — 0,1 (40 4~ 2) = 4,2 т/м2,
я
q'2 _|_ / = 0,1 (20 -J- 2) — 2,2 niiM2.
Отсюда следует:
q[4,2 — 2 — 2,2 т 'ш2,
q\ = 2,2 — 2 = 0,2 т.м2.
Отметим, что при а = 1 удовлетворение условия подобия без при-
ложения отрицательной нагрузки, что в ряде случаев невыполнимо,
возможно только в тех случаях, когда:
?2 = az(?2 + <)~% >0.
§ 4. Условия моделирования
9/
Отсюда 'Следует, что для возможности удовлетворения условия
подобия начальная боковая пригрузка должна удовлетворять условию:
, <>е
л при о'с = — ас — условию:
, ... 1 — в/
<12 > °C .
Применительно к рассмотренному примеру начальная боковая при-
грузка должна быть не меньше
^ = 2 1 = 18 m/,w2,
а при ас=1 т/м2 не меньше, чем
72 = -^- = 9 т;м2.
Таким образом, в случае связного грунта соблюдение условия подо-
бия при переходе от сооружений больших размеров к малым (или от
сооружения к модели) не всегда возможно, а имеет указанные ограни-
чения. Наоборот, переход от меньших размеров к большим (или от мо-
дели к сооружению) всегда возможен и не имеет каких-либо ограни-
чений.
Действительно, например, при:
Д о/ = а" --- = 2 /п<м2, I' = 2 м, = 0,4 т'м2,
q2 = 0,01 т/м2 и I" = 20 м
имеем:
20 1Л
ЙЗ+СТС = а/ = az = — = 10,
откуда
-к = 10 (?;+<.) = 10 (0,4 + 2) = 24
и
+ г = ю (?; + <) = ю (о,о1 + 2) = 20,1
Отсюда:
= 24 - □; = 24 — 2 = 22 т/дг2
и
q”2 = 20,1 - 2 =« 18,1 т/л2.
Полученный результат показывает, что самым малым пригрузкам
(или даже отсутствию пригрузок) иа моделях соответствуют весьма зна-
чительные пригрузки на сооружениях больших размеров. Поэтому мож-
но считать установленным, что в случае связного грунта результаты,
полученные на моделях илн штампах малого размера, не могут быть
перенесены на действительные сооружения больших размеров, если бо-
ковые пригрузки действительных сооружений отсутствуют или меньше,
чем это представляется необходимым по условиям подобия.
Единственным исключением является практически мало интересный
случай, когда при обычных нагрузках размеры действительного соору-
жения достаточно малы и по существу немногим отличаются от разме-
ров штампа. Тогда вследствие возможности пренебрежения влиянием
собственного веса грунта по сравнению с влиянием внешней нагрузки
92
Г лава HL Основные расчетные зависимости и схемы
условие моделирования (3.64) принимает внд а„ = ас и может быть
удовлетворено, если принять ан = ас = 1. В таком случае при различ-
ных ширинах двух сравниваемых полос загружения (рис. 47), равных
2а} и 2aL=2mab условия подобия будут удовлетворены прн равенстве
величии интенсивностей действующих внешних нагрузок, т. е. при
р\ = р2 и ^1 = ^2- Тогда напряжения в двух соответственных точках
хь и tnzx будут соответственно равными, а очертания областей
предельного состояния — подобными.
Из вышеизложенного, например, следует, что несущая способность
грунта при указанных предположениях не зависит от ширины площади
загружения или площади подошвы. Кроме того, вследствие полного
подобия распределения напряжений и равенства их численных значе-
ний в соответственных точках основания, можно приближенно полага л ,
что осадки Shy точек поверхности связаны соотношением mSh^
Указанные результаты в полной мере совпадают с хорошо известными
результатами опытных исследований связных грунтов штампами.
Однако следует указать, что перенос подобного рода выводов на
действительные сооружения был бы весьма неосторожен и привел бы
к совершенно неправильным заключениям. Пренебрежение влиянием
собственного веса грунта допустимо лишь при малых величинах ши-
рины полосы загружения (площади подошвы), так как только в этом
случае напряжения от собственного веса грунта достаточно малы по
сравнению с напряжениями от всестороннего сжатия, эквивалентного
связности, и внешних пригрузок. Поэтому можно считать установлен-
ным, чю получаемые при опытных нагрузках связных грунтов штампа-
ми выводы о пропорциональности осадок.линейным размерам штам-
пов и о независимости величины несущей способности основания от пло-
щади не могут рассматриваться в качестве свойств связного грунта, а
являются лишь следствием относительно малых размеров применяемых
моделей и штампов.
При постепенном увеличении ширины полосы загружения интенсив-
ность нарастания осадки вследствие меньшей уплотняемости пригру-
женных собственным весом грунта глубинных слоев будет замедляться,
а несущая способность основания из-за влияния собственного веса
грунта будет увеличиваться. Указанное увеличение несущей способно-
сти происходит медленнее, чем по линейному закону, как то имеет ме-
сто в сыпучих грунтах. Объясняется это тем, что несущая способность
связного грунта при любой ширине площади загружения больше, чем
у сыпучего грунта с равным углом внутреннего трения. Однако отно-
сительное влияние связности значительно сильнее при малых размерах
модели, чем при больших. Этим и обусловливается более медленное
прн увеличении площади загружения нарастание величины несущей
способности связных грунтов по сравнению с сыпучими грунтами. Со-
вершенно- очевидно, что по мере увеличения размеров модели или со-
оружения различие в результатах для связного и сыпучего грунтов по-
степенно уменьшается.
На основании изложенного следует еще раз подчеркнуть, что пре-
небрежение влиянием собственного веса грунта допустимо только при
достаточно малых ширинах полосы загружения, по существу при раз-
мерах, приближающихся к обычным величинам штампов. С переходом
же к размерам, приближающимся к размерам действительных больших
сооружений, влиянием собственного веса грунта пренебрегать нельзя и
для суждения об условиях подобия необходимо исходить из условий
моделирования (3.64) илн (3.65), которые приводят к выводу, что ис-
пользование экспериментальных данных, полученных на моделях и
§ 4. Условия моделирования
93
штампах, применимо к действительным сооружениям лишь при доста-
точных по величине примыкающих к ним боковых пригрузок. Это
должно надлежащим образом учитываться в соответствующих случаях
инженерной практики.
Следует указать, что надлежаще поставленные опытные нагрузки
штампами могут быть полезными для определения характеристик де-
формируемости грунтов, если области предельного напряженного со-
стояния или отсутствуют или же пренебрежимо малы, а также для
экспериментальной проверки условий моделирования. Для оценки тех
или ииых расчетных методов определеиня осадок необходимые расчеты
должны быть произведены применительно к размерам штампа. Кроме
того, могут найтн полезное применение различные методы приближен-
ного моделирования земляной среды, так как оин позволят достаточ-
но обоснованно ставить и проводить экспериментальные исследования
с целью моделирования, для которых полное удовлетворение условий
подобия не представляется возможным.
В заключение отметим, что моделирование оснований сооружений
применительно к схеме смешанной задачи теории упругости и предель-
ного равновесия может быть выполнено на центрифуге при любых бо-
ковых пригрузках [49], так как при центробежном моделировании усло-
вия (3.64; могут быть выполнены, если принять
ai ~ ан = ат а/ ~ 1 • (3.66)
Для этого действующие на модель центробежные силы инерции
должны во столько раз превышать силу тяжести, во сколько раз мо-
дель меньше действительного сооружения.
Идея способа центробежного моделирования заключается в следую-
щем. К коромыслу, укрепленному на вертикальной оси, на равных рас-
стояниях от оси шарнирно подвешены две каретки (или одна каретка
и противовес)* При вращении коромысла с достаточно большой угловой
скоростью каретки вследствие влияния центробежных сил приходят в
горизонтальное положение. При этом центробежные силы будут воздей-
ствовать на скелет грунта уложенной в карелке модели сооружения
или основания в виде соответствующих массовых или объемных сил,
аналогичных по своему действию силам тяжести. Увеличивая скорость
вращения, можно достигнуть любого желаемого увеличения этих объ-
емных сил и, в частности, такого, чтобы было удовлетворено условие
VaT - 1.
Необходимо, однако, указать, что возможность удовлетворения на
центрифуге условий (3.64) не следует все же рассматривать в каче-
стве исчерпывающего и решающего соображения при оценке метода
центробежного моделирования применительно к крупным инженерным
сооружениям.
Глава четвертая
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ СОБСТВЕННОГО
ВЕСА ГРУНТА
Определение напряжений в основаниях сооружений от собственного-
веса грунта необходимо для выяснения вопроса о том, чему были равны
напряжения в скелете грунта до приложения какой-либо нагрузки и
чему они стали равны после приложения нагрузки. Напряжения в
скелете грунта, существующие в условиях естественного залегания,
иногда называют бытовыми или природными. Определение этих на-
пряжений представляет интерес с точки зрения выяснения деформаций
основания, осадок возводимых на них сооружений, а также исследова-
ния вопросов прочности оснований.
При определении напряженного состояния основания, обусловлен-
ного собственным весом земляной среды, естественно предполагать, что
грунт до приложения к нему какой-либо внешней нагрузки не находился
в состоянии предельного равновесия, так как в противном случае прило-
жение любой нагрузки вызвало бы нарушение прочности (устойчи-
вости) основания. Поэтому применение решений теории упругости для
определения напряжений от собственного веса основания представляет-
ся вполне уместным. Знаки напряжений, как было отмечено выше, при-
нимаются обратными по сравнению с принимаемыми в теории упру-
гости.
Объемные силы от собственного веса грунта могут быть представ-
лены в виде;
Х~ Г-о и Z = 7(z),
где 7 (г) обозначает, что собственный вес грунта зависит от глубины
расположения той или иной точки под поверхностью основания.
Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что напряжения:
'I
°х = °у= 1 ^(z)dz±az + b,
О
□,= J-r(z)dz, (4Л)
о
St- — Тгг = О
удовлетворяют уравнениям как плоской (3.51 и 3.52), так и простран-
ственной (3.54 и 3.55) задач теории упругости.
Совершенно очевидно, что при плоской поверхности основания эти:
напряжения удовлетворяют также необходимым граничным условиям,
которые заключаются в том, что на поверхности земляной среды при
$ /, Определение напряжений от собственного веса грунта 9о
z=0 напряжения ^хг == 5,, = = 0. Действительно, касательные на-
пряжения и tj2, согласно выражениям (4.1), равны нулю во всех
точках среды, а следовательно, и иа поверхности г—0. Напряжения же
обращаются при г = 0 в нуль, так как обращается в нуль верхний
предел интеграла.
Если грунт основания однороден и изменением собственного веса
на различных глубинах можно пренебречь, т. е. можно принять, что*
(г) =пост., то нормальные составляющие напряжения можно пред-
ставить в виде:
а == б„= hz + az + )
* у (4.2),
где, как было показано ранее,
Если же грунт основания состоит из i слоев, толщиной каждый hlt.
объемные веса которых равны то напряжения на глубине z=^hi
равны:
а„ = а„ = SL т. h; 4- az -4- b, 1
х у 1 \ 1 J } (4.3)
°z = 2 Ъ ht, I
Рис. 49
где для слоя, в котором определяются напряжения, обозначает рас-
стояние от кровлн этого слоя до рассматриваемой точки, в которой опре-
деляются напряжения. Для случая, пока-
занного на рис. 49, полагая; что верхний
слой толщиной 4?+/г2 песчаный, а подсти-
лающий слой глинистый и что горизонт
грунтовых вод находится на глубине
имеем зг — YjZtj 4- 4- 73й3, где 7. обо-
значает вес песка естественной влажности,
вес песка, взвешенного в воде, и 7;{ —
вес глинистого грунта, взвешенного в воде.
Обращает внимание, что в выраже-
ниях (4.1), (4.2) и (4.3) напряжениям н av
остались неопределенными вследствие не-
определенности коэффициентов а и Ъ. Это
объясняется тем, что при решении рассматриваемой простейшей задачи
теории упругости граничные значения были заданы только на плоскости
г —0, а на всей остальной части граничной поверхности, удаленной
в бесконечность, они остались неопределенными. Это обусловило полу-
ченную неопределенность решения.
Задать недостающие условия на достаточно большом удалении от
возводимого сооружения не представляется возможным, так как они
зависят от целого ряда факторов, как например, от рельефа местности,
горообразовательных и других геологических процессов и т. д., учет ко-
торых при определении напряжений совершенно не представляется
возможным.
Учитывая приведенное выше предельное соотношение (3.46) между
наибольшим и наименьшим главными напряжениями, можно только
утверждать, что напряжения и могут изменяться в пределах:.
+ 2^(4+Д).
96 ___ Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Практически чаще всего принимают в выражениях (4.1), (4.2) и
(4.3) коэффициенты а и b равными нулю. Тогда получаем:
ох = оу = Ьг. (4.4)
Такие напряжения отвечают предположению, что основание отлагалось
в условиях отсутствия боковых деформаций грунта (ех=^=0), после
чего соотношение главных напряжений <sx, ~у и существенно не из-
менялось.
В некоторых случаях принимают, что ; f
= (4.5)
где определяется выражением (4.1). Такое напряженное состоя-
ние называется гидростатическим. Следует, однако, указать, что
решение (4.4) обычно ближе к действительности, чем (4.5).
Отметим, что применяемое иногда определение напряжений^ и <з
.по зависимости
^ = a> = o,tg2(4-_ TH (4-6)
не может быть признано правильным, так как соответствует предполо-
жению, что сыпучий грунт под влиянием только лишь собственного
веса находится в предельном напря-
женном состоянии. Для связного же
грунта оно отвечает некоторому по
существу случайному соотношению
главных напряжений.
Если поверхность основания не
плоская, а имеет соответствующий
отрытому котловану трапеце-
идальный вырез (заменяемый иног-
да при выполнении расчетов для
упрощения прямоугольным), то при
определении напряжений от собст-
yz венного веса основания применяет-
ся следующий прием.
Рис. 50 К поверхности отрытого котло-
вана (рис. 50) прикладывается вер-
тикальная нагрузка +7(х), равная весу изъятого при отрывке котло-
вана грунта. Так как на самом деле этой нагрузки нет, то одновременно
прикладывается нагрузка —<7 (я). Тогда, если сложить напряженное со-
стояние основания в условиях отрытого котлована (с неплоской по-
верхностью основания) с напряженным состоянием от нагрузки +z?(x),
то можно считать, что полученное суммарное напряженное состояние
приблизительно соответствует напряженному состоянию основания при
плоской граничной поверхности на уровне z=0.
В результате можно считать, что напряженное состояние основания
в условиях отрытого котлована можно приближенно- определить, вычи-
тая из напряженного состояния, соответствующего плоский поверхности
основания, напряженное состояние, обусловленное отрицательной на-
грузкой-—7(х), интенсивность которой определяется распределением
весов вынимаемой при отрывке котлована части грунта. Иначе говоря,
поверхность основания можно считать плоской (на уровне с^О) и к
поверхности этого плоского основания приложить отрицательную рас-
пределенную нагрузку, равную весу грунта, выбираемого при отрывке
котлована.
$ 1. Определение напряжений от собственного веса грунта
Р7
Изложенный способ дает приближенное распределение напри-
жений в основании с неплоской поверхностью, так как получаемые прн
этом граничные условия по неплоской поверхности (дну и откосам)
котлована не вполне соответствуют действительности. Это наглядно
видно при рассмотрении рис. 51, на котором показаны (в долях чй)
получаемые [50] нормальные к контуру трапецеидального выреза напря-
жения, хотя на самом деле нормальные и касательные напряжения на
£ -о,м
контуре должны быть равны нулю. При определении этих напряжений
принималось, что отношение напряжений —от собственного веса
грунта равно £ =0,56. Одиако в работе М. И. Горбунова-Посадова
151] было показано, что вертикальные смешения дна котлована, най-
денные при использовании указанного выше приближенного способа
в случаях, когда ширина котлована не меньше чем вдвое превышает его
глубину, отклоняются от величин, полученных в результате решений
задачи полуплоскости с прямоугольным вырезом, не больше чем
на 3%.
В работе А. Я. Головина [50], в которой рассмотрены задачи опре-
деления напряжений от собственного веса в полуплоскости (основании)
с прямоугольным и трапецеидальным вырезом, показано, что можно
найти такую систему фиктивных вертикальных и горизонтальных сил,
приложенных к краю полуплоскости (поверхности основания) без вы-
реза, что эпюры нормальных к контуру трапецеидального выреза на-
пряжений будут весьма малы, как показано на рис. 52, и во всяком
7 —В. А. Флорин
98 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
случае будут значительно меньше эпюр, соответствующих приложению
трапецеидальной нагрузки, показанных на рис. 51. Однако указанный
выше приближенный способ может быть рекомендован для практиче-
ского применения, учитывая, что получаемые при этом погрешности
в величинах осадок невелики и не превышают точности современных
методов определения осадок. Поэтому погрешности рекомендуемого
метода не имеют практического значения*
Принятие трапецеидальной эпюры фиктивной отрицательной на-
грузки является, конечно, простейшим приближением. Вместо нее
можно было бы принять, что к поверхности основания без выреза,
в пределах ширины выреза, поверху приложены фиктивные отрицатель-
ные нормальная и касательная нагрузки ср (£) иф (£), распределение
которых следует определить, исходя из условия, что нормальные и
касательные к контуру выреза напряжения в основании без выреза
равны нулю. Кроме того, должны быть соблюдены уравнения равно-
весия части основания в пределах призмы выреза, которые обеспечи-
вают, что внешние фиктивные нагрузки уравновешиваются весом вы-
резаемой призмы. Представляя искомые фиктивные нагрузки <?(£) и
ф (с) в виде степенных рядов, можно привести решение задачи к опре-
делению функций и ф(Ь , удовлетворяющих двум интегральным
уравнениям деформаций и двум уравнениям равновесия.
Решение поставленной таким образом задачи может быть прове-
дено численными методами. Если, например, заменить степенные ряды
полиномами и ограничиться выполнением приведенных выше условий
не во всех точках контура выреза, а только в ряде выбранных точек, то
решение задачи может быть приведено к решению некоторой системы
линейных алгебраических уравнений. Для упрощения можно за счет
нарушения в той или иной мере граничных условий на контуре выреза
ограничиться приложением только нормальной фиктивной нагрузки
или условием равенства нулю только нормальных к контуру выреза
напряжений и т. п.
В заключение остановимся на вопросе о том, чему следует принимать
равным объемный вес грунта у. Если грунт неводонасыщен, то для
Рис. 53
определения напряжений от собственного веса последний следует при-
нимать равным объемному -весу в условиях естественной влажности.
Если же грунт водонасыщен, то каждая твердая частица грунта теряет,
по закону Архимеда, столько, сколько весит объем вытесненной ею во-
ды. Поэтому, как было показано выше (2.16):
1 4- Е 1 Чнас 7
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 99
Следует отметить, что в случае плотных глинистых грунтов, особен-
но при наличии цементационных связей между твердыми частицами,
возникает вопрос о том, происходит ли, как принималось выше, полное
взвешивание твердых частиц в воде в соответствии с законом Архиме-
да или же только частичное взвешивание. Последнее объясняют иногда
следующими соображениями. Взвешивание каждой твердой частицы
обусловливается тем, что равнодействующая R нормальных давлений
воды на эту частицу направлена вверх (рис. 53, а). Тогда, если пло-
щади контактов всех частиц настолько малы (рис. 53,6), что ими
можно пренебречь и считать, что отдельные твердые частицы грунта
соприкасаются практически в точках, как например в случае песчаных
грунтов, то вся поверхность каждой отдельной твердой частицы вос-
принимает давление окружающей ее воды, в результате чего полу-
чается полное взвешивание. Если же площади контактов не настолько
малы, чтобы их считать точечными, и контакты могут быть представле-
ны в виде некоторых достаточных по величине площадок, по которым
не передается гидростатическое давление воды, как показано на
рис. 53, в, то равнодействующая нормальных давлений воды на каждую
отдельную частицу может оказаться меньшей, чем полная потеря веса
по Архимеду. Полагая, что в таком же состоянии находятся и другие
щстицы, можно прийти к представлению о неполном взвешивании
грунта, в целом меньшем, чем то следует из закона Архимеда.
Вопрос о том, имеет лн место полное или неполное взвешивание, яв-
ляется весьма существенным, так как уменьшение взвешивания земля-
ной среды, т. е. увеличение ее собственного веса, вводимого в расчеты
устойчивости, например, оснований гидросооружений, существенно
улучшает условия устойчивости. По этому вопросу до настоящего вре-
мени высказываются различные мнения. Для его обсуждения Ленин-
градским НТО строительной промышленности было организовано
в 1955 г. специальное совещание по вопросам противодавления на гид-
ротехнические сооружения. В гэстветствии с резолюцией этого совеща-
ния [52], а также основываясь на ряде работ О, В. Вяземского,
Б. Ф. Рельтова, Г. М. Мариупольского и других лиц [52], в настоящее
время можно считать, что для подавляющего большинства грунтов,
.включая глинистые грунты, имеет место практически полное взвешива-
ние, за исключением только плотных глин, в отношении которых воп-
рос остается открытым. Для таких глин имеются основания не только
сомневаться в «полном взвешивании по Архимеду», но даже вообще
в существовании какого бы то ни было взвешивания, если только
плотность глины достаточно велика. В практических расчетах всегда
принимают полное взвешивание земляной среды. Это следует признать
правильным тем более, что принятие «неполного» взвешивания приводит
к погрешностям «не в запас прочности (устойчивости)» основания.
§2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОСНОВАНИЯ ОТ ЗАДАННОЙ
ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
Определение стабилизированного напряженного состояния основа-
ния сооружения от внешней нагрузки имеет весьма большое значение,
так как является необходимым для определения деформаций основания
и осадок сооружений, исследования неравномерности осадок и т. п.
В тех случаях, когда снбласти предельного напряженного состояния
достаточно невелики по сравнению с размерами сооружения, допустимо,
как указывалось выше, применять для определения напряженного со-
стояния основания соответствующие решения теории упругости. Изло-
200 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
жение методов получения этих решений составляет задачу теории уп-
ругости. Поэтому в дальнейшем изложении приводятся только конеч-
ные результаты решения некоторых, наиболее часто используемых при
расчете оснований сооружений, задач теории упругости в виде соот-
ветствующих формул, графиков и таблиц. Для случаев, когда решения
теории упругости неприменимы, будут приведены некоторые упрощен-
ные способы определения напряженного состояния.
Следует отметить, что многие вопросы напряженного состояния,
представляющие интерес с точки зрения дальнейшего приближения су-
ществующих методов расчета к действительности, в настоящее время
еще не разработаны. Вследствие этого в ряде случаев строительной
практики приходится, за неимением лучших, вынужденно применять ие
вполне подходящие способы расчета, если только они не приводят к яв-
но неудовлетворительным результатам. Некоторые нз такого рода слу-
чаев будут отмечены в дальнейшем.
I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Применительно к расчету оснований сооружений во многих случаях
могут быть использованы решения теории упругости, соответствующие
условиям плоской деформации. Для расчета оснований обычно приме-
няются решения для случая полубесконечной среды, ограниченной свер-
ху плоскостью, загруженной той или иной нормальной или касательной
к поверхности основания нагрузкой. Учет того, что после отрытия кот-
лована под сооружение внешняя нагрузка
прикладывается не к плоской поверхно-
сти основания, как показано на рис. 54, б,‘
а к поверхности (дну) котлована, как
показано на рис. 54, а, в практических
расчетах производится одним из следую-
щих приближенных приемов. Иногда
пренебрегается влиянием областей, рас-
положенных выше пунктирной прямой на
рнс. 54, а, на распределение напряжений
в основании от внешней нагрузки q. Часто
поступают иначе. Для определения на-
пряжений, возникающих в основании
(рис. 54, в) после отрытия котлована, от
приложения к его поверхности а—а' на-
грузки от сооружения bb'c'c н засыпки
пазух abde и a'b'd'e', принимают, что к
плоской поверхности основания 00' при-
ложена нагрузка от сооружения dd'c'c,
уменьшенная на часть нагрузки bb'd'd, равную весу вынутого при от-
рывке котлована грунта в объеме заглубленной части сооружения.
Хотя эти способы учета влияния неплоской поверхности основания
достаточно приближенны, их можно рекомендовать для практического
применения, так как опубликованных решений для определения напря-
жений, возникающих под воздействием той или иной внешней нагрузки
в основании с прямоугольным или трапецеидальным вырезом, в на-
стоящее время в литературе почти не имеется. Кроме того, можно по-
лагать, что на некотором удалеинн от дна котлована распределение на-
пряжений в основании с прямоугольным или трапецеидальным вырезом
будет отличаться практически несущественно от решения для случая
плоского основания. Такое утверждение вполне соответствует резуль-
$ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 101
татам упомянутых выше работ [50, 51] для случая полуплоскости с пря-
моугольным илн трапецеидальным вырезом, загруженной ПО' дну выреза
равномерно распределенной нагрузкой.
а) Случай сосредоточенной
силы, приложенной нормально
к поверхности основания
Решение для этого случая
(рис. 55) было получено Фла-
маном [53]. Как показывается
в курсах теории упругости [54],
принимая для рассматривае-
мого случая функцию напря-
жений © в виде:
<Р = ™ г 6 sin 6, (4.7)
получаем из выражений (3.53)г-
* «г= —cosO, а0 = О и ^=0. (4.8)
Напряжения в любой точке (х, г) основания в прямоугольных коор-
о == a sin1 2 9 —-----sin 9 sin 20 =—
х r nr n
9P 9P z3
a, = o,cos’e = — cos3 9 = + , (4.9)
P QP JVZ2
= a sin 9 cos 9 =---------cos 9 sin 29 = -----------,v3 , .
r nr n -p
1 Положительные напряжения приняты по направлению обратными по сравнению
с показанными на рис. 55.
10^ [jiaea IV, Определение^напряженного состояния оснований сооружений
Из выражений (4,8) видно, чго напряженное состояние основания
является в рассматриваемом случае простым сжатием з радиальных на-
правлениях.
На рис. 56 приводятся эпюры напряжений на лучах 0 = 0 и 9 =
~ —эпюры нормальных напряжений аЛ и аг, а также касательных
для двух горизонтальных сечений основания. На рис. 57 показаны
Рис. 57
траектории главных нормальных напряжений, а на рис 58 — линии
равных радиальных напряжений для некоторых четырех значений
<зг = з, 2а, За и 4а. На рис. 59 показаны траектории наибольших ка-
сательных напряжений.
Следует отметить, что все напряжения на любой прямой, проходя-
щей через точку приложения силы, уменьшаются в обратном отношении
к расстоянию г от точки приложения силы.
Численные значения напряжений , а, и тгг в различных точках
основания приводятся далее [55] в табл. I и II приложений.
Выражения для вертикальных и горизонтальных перемещений точек
поверхности z —0 также приводятся в курсах теории упругости [54] и
в работах по механике грунтов [46]:
ду (х, 0) =---------1 — Pin | х [ -р с,
„ щ- ГО - - + НИ1 ~ 2^>
И (X, U)x>0--h op
(4.10)
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки J03
где (1 обозначает коэффициент Пуассона, Е—модуль деформации ос-
нования и с — произвольную постоянную.
На рис. 60 приведены эпюры вертикальных и горизонтальных пере-
мещений точек поверхности лннейно-деформируемой среды, ограничен-
ной плоскостью.
б) Случай равномерно распределенной
полосовой нагрузки
Для того чтобы найти напряжения в
точке (х, z) от силы (рис. 61), приложен-
ной в точке (£, 0) н равной qdi, следует
в выражениях (4.9) заменить х на (х— О
и Р на qdk . Тогда напряжения в точке
(х, з) от полосовой нагрузки на участке
(—а, -|-а) будут равны [56]:
а =2£ С СУ—q / f
—а
. , а + х \ , 2aqz (х2 — z2 — а2)
+ arClg j + я [(^2 _|_Z2 _ й2)2 + 4a2z2] ’
+ а
2? Г г3 q / , а — х .
<Т, ——— I 77---ГГГН-7Г7 ~ arctg—-----Н
я .) К* ~ ’) + z2J п \ ь z
—а
, а + х \ 2aqz (х2 — z2 — а5)
-Г arctg - J л -а^+ЛаРг2] ’
__ 2? С (лт — О z2 . _ Aaqxz2
Zxs ~~ J [(Л- — &) + z2]2 az ~ я [(Х2__ ДЙ)3 ^~4a2z2] ’
-- а
(4Л1)
На рис. 62, 63 и 64 приводятся [21] эпюры нормальных и касатель-
ных напряжений аг, д, и tvz по вертикальным сечениям основа-
ния, относительные расстояния которых от оси симметрии полосы
указаны у каждой эпюры. Верхние индексы «вер» и «гор» указывают на
соответствие тех или иных эпюр случаям загруження вертикальной или
горизонтальной нагрузками. На рис. 65 показаны [7] эпюры нормальных
напряжений аг по горизонтальным сечениям на разных глубинах z = a,
z=2a,...; z — 10а. На рис. 66 и 67 —линии равных нормальных напря-
жений [60] ах и az , а на рис. 68, а и 68,6 — линии равных касательных
напряжений и кривые равных максимальных касательных напряжений
[60]. Все эпюры построены для единичной нагрузки, т. е. q = 1.
Численные значения напряжений , ~г и в долях от интен-
сивности нагрузки q приводятся [21] в табл. Ш, IV и V приложений.
В табл. VI приложений приводятся значения и — в точках,
расположенных на вертикалях, проходящих через края полосы загруже-
ния, т. е. при х=±а [58].
Определение этих напряжений является необходимым в случаях,
когда для упрощения вычисления напряжений д, или суммы главных
напряжений Н, возникающих от заданной внешней нагрузки, приме-
няется так называемый способ угловых (краевых) точек. Этот способ
104 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Рис, 62
Рис. 63
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки
Рис. 66
106 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
обычно применяется в условиях пространственной задачи и будет более
подробно рассмотрен в дальнейшем. В случае плоской задачи идея это-
го способа заключается в следующем.
Рис. 67
Вместо непосредственного определения в ка-
кой-либо точке основания значений <зг или 0 от
нагрузки, распределенной, например, по трапеце-
идальному закону, как показано на рис. 69, а,
можно определить искомые значения от нагру-
зок, показанных на рис. 69, б, в, г и д. Опре-
деление значений, соответствующих треуголь-
ной нагрузке, будет показано ниже. После
этого значения искомых величин от заданной тра-
пецеидальной нагрузки могут быть найдены,
складывая соответствующие значения, отвечаю-
щие нагрузкам, приведенным на рнс. 69 б—д.
Во многих случаях при применении этого способа
необходимая вычислительная работа значительно
упрощается.
Величины главных напряжений в точке (х, г)
были получены Мичеллом [59] в виде:
(s + sine),
= sine),
(4.12)
где е, как показано на рис. 70, обозначает так называемый угол види-
мости, под которым из точки А (х, z) видна полоса загружения, т. е.
угол между прямыми, соединяющими точку А с краевыми точками по^
лосы. Одна из главных площадок является биссектрисой угла види-
мости, а другая ей перпендикулярна. Следует отметить, что для всех
точек, лежащих на окружности, проходящей через края участка за-
гружения, угол видимости один и тот же. Поэтому, в соответствии с вы-
ражениями (4.12), такие окружности являются геометрическими места-
ми равных величин главных напряжений. На том же рис. 70 для рас-
сматриваемого случая загружения показаны эллипсы напряжения
в различных точках основания.
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 107
Для определения вертикальных перемещений точек поверхности ос-
нования заменяем в выражении (4.10) величину |х[ на и Р—
на qdt. Тогда, интегрируя в пределах от
д) .--И ' —а до + получаем с точностью до про-
t извольной постоянной:
+«
w (д. 0) _ 2? Црт2 С ln | х _ ?
5) I-
.....+ J±rTTrT7rrr7TT7r^ = — 2а + 1п .
^^222227222222^22222222222222722/ Е 1*’+ Л1 +
Рис. 69 Рис, 70
в) Случай треугольной эпюры нагрузки
Учитывая, что в соответствии со схемой
нагрузки в любом сечении ? равна:
на рис. 71 интенсивность
можно аналогично тому, как это приводи-
лось для случая равномерно распреде-
ленной полосовой нагрузки, представить
напряжения от треугольной нагрузки в
виде [60]:
Рис. 71
JL С ~ е)2 1г| О ~ 2а)2 +
тш J [(х-е)3+ z2P 2кд 111 ’ х2 4-г2
- о
xq I , х — 2а , х \ . qz х — 2а
- ай" (arc‘g —z-------агс‘£~Т) + ЙГ
xq / , х — 2а . х \
'di = - [arctS —-г--------arc‘g —) -
qz х — 2а
(x-2a)^ + z^ ’
108 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
-Зз /а -а 0 а 2а За
Рис. 75
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 109
. = Л____________?!_________
** тиа J [(л - $)а + z^]2 U к (х — 2а)г + г3
о
. qz / . х — 2а , х \
4- -гу— (arctg----------arctg-— .
’ 2ял \ ° z z I
На рис. 72 показаны [60] эпюры напряжений з,
зонтальным сечениям основания, на рис. 73, 74 и
по различным гори-
75 — линии равных
напряжений ?х. ъ и и на рис.
76 — линии равных максималь-
ных касательных напряжений.
Численные значения напряже-
ний з, в долях от максимальной
интенсивности нагрузки q приво-
дятся [7] в таблице VII приложе-
ний, В таблице VIII приложений
Tg 6
приводятся значения — и —~ в
точках, расположенных на верти-
кали, проходящей через край по-
лосы загружения х—0 [58].
Для определения вертикаль-
ных перемещений поверхности
основания, аналогично изложен-
ному выше, с точностью до произвольной постоянной имеем:
-Д- Un|x-S|<fl =
2aic Е J 1
%- [2а21п | 2а — х |--In | ——— | — а (а х) 1 .
г) Случай трапецеидальной нагрузки
Для случая трапецеидальной нагрузки, приложенной к поверхности
основания, напряжения motvi быть получены путем суммирования при-
веденных выше напряжений от равномерной полосовой нагрузки q и от
треугольной нагрузки q(x) = dL х. Можно, однако, получить выраже-
ния для напряжений непосредственно для случая трапецеидальной на-
грузки. В соответствии с обозначениями на рис. 77 можно, полагая
Р = (q<> dk н интегрируя решение для сосредоточенной силы Р
в пределах от —а до + получить искомые напряжения в виде [60]:
z Г, ,
=—- /г In
Х К
(л - а)2 + z2
(х + л)2 + z2
-j- 2а
2kxz2 + (kx + qn) (л2 — а2 — z2)
(х* — а2 — z2)2 + 4л V3
]
+ 4 (** + ?о) arcts Д~~д4 *
а’ = V + ЧР arctg
2 2kxz2 + (kx + qa) (x2~ a2 ~ z2)
az . (Jt2 —a2 - z2)2 + 4x2z2
ИО Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
z Го 2 (kx + о0) х — k (jc2 — а2— «2) <2aZ
к (Хя — а2 — z2)2 -t- 4x2z2 k arctg x2 — a2+z2
Ha рис. 78 показаны [7] эпю-
ры нормальных напряжений <з* по
горизонтальным сечениям осно-
вания. Значения напряжений для
случая трапецеидальной нагрузки
можно получить, складывая таб-
Рис. 77 Рис. 78
личные значения напряжений для случаев равномерно распределенной
и треугольной нагрузок.
д) Случай параболической нагрузки
Принимая в соответствии с обозначениями на рис. 79:
и полагая
Рис. 79
находим, интегрируя, выражения для напря-
жений от сосредоточенной силы в пределах от
—а до + а [60]:
°." ( !3г’ + arctS xi-a^
— 2xzln
(х — а)3 + z2
(х + а)2 Н- z2
— 6az
°- = { <“ z2 + - х!) arc,g + 2az } •
f _ , 2az
-J- z2 In
(x~a)2-j-z^ ]
(jf+a)2 + z2 J
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки UJ
е) Случай произвольной вертикальной нагрузки, распределенной
по поверхности основания
Нетрудно показать, что для любого случая нагрузки q(x), распреде-
ленной нормально к поверхности плоского основания, решение может
быть представлено в виде [61]:
1 n 1 Р0
2 в 2 Z dz *
(4.13)
1 дВ
2 дх
где 0 обозначает сумму нормальных напряжений в любой точке осно-
вания, действующих по двум взаимно-перпендикулярным площадкам.
Для этого непосредственной подстановкой выражений (4.13) можно
убедиться, что они удовлетворяют системе уравнений (3.51) и (3.52)
для случая плоской задачи.
Действительно, учитывая, что сумма главных напряжений 0 прн от-
сутствии объемных сил удовлетворяет уравнению Лапласа v^^O,
в чем нетрудно убедиться, полагая в уравнении совместности (3.52)
X=Z=0, находим:
д I 1 л . 1 д0 \ . д / 1 \ л
~дх \~2 ® V Z ~dz ) ~дГ ( Г Z ~дх )
д / 1 де \ , д / 1 Q 1 де \ п
дх ( 2 Z дх ) + dz ( 2 2 Z dz ) “ °’
V2 (0® + ^)= yV^-O.
Выражения (4.13) удовлетворяют также граничному условию, что
на поверхности плоского основания, т. е. прн г=0, касательные напря-
жения обращаются в нуль. Если гармоническая функция Н (т. е. та-
кая функция, для которой г'-Н = 0 ) определена из условия, что во всех
точках поверхности основания г=0 она принимает значения, равные
удвоенным значениям внешней нагрузки q(x), то в соответствии со
вторым из выражений (4.13) граничные значения напряжений^ будут
равны заданным q(x).
Таким образом, решение (4.13) удовлетворяет всем уравнениям пло-
ской задачи и необходимым граничным условиям, т. е. действительно
является решением задачи для любой нагрузки q(x).
Выражение для гармонической функции 0. принимающей на поверх-
ности плоского основания значения, равные 2</(х), можно, как известно
[62], представить в виде:
, (4.14)
Можно убедиться, что все приведенные решения для различных
случаев загружения могут быть получены как частные случаи общего
решения (4.13). Не представляет также затруднений определить напря-
жения и прн каком-либо более сложном законе распределения внешней
112 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
нагрузки. Принимая, например, в выражении (4.14) интенсивность на-
грузки равной:
q = а + bl -I- А2,
можно, выполнив интегрирование и подставив выражение для 8
в выражения (4.13), получить все напряжения для случая параболиче-
ской нагрузки.
Функция Н может быть определена не только аналитическим путем
по выражению (4.14). Весьма удобен для ее определения эксперимен-
тальный способ ЭГДА, подробное описание которого приводится в кур-
сах гидравлики и гидромеханики [24] при изложении вопросов фильт-
рации.
При применении способа ЭГДА для определения значений суммы
главных напряжений W для случая, например, равномерно распреде-
ленной на участке (—а, 4-а) нагрузки q
Рис. 80
следует к краю электропроводной пластинки
(рис. 80) на участке длиной, равной 2а,
приложить шину CD с потенциалом, равным
2q, в пределах же остальной части края пла-
стинки— шины АВ и ЕК с нулевым потен-
циалом.
Края AL, LM и должны быть в до-
статочной мере удалены от шины CD, что-
бы нарушение граничных условий по этим
краям не имело существенного значения.
Целесообразно оставить их свободными, что соответствует нулевым зна-
чениям нормальной к контуру составляющей градиента напряжения. При
достаточных размерах пластинки влияние неправильности граничных
условий (вследствие ограниченных размеров пластинки), как и при
обычном применении метода ЭГДА (в вопросах фильтрации), будет
достаточно мало, вследствие чего им можно пренебречь.
Определяя и нанося на пластинку обычным способом эквипотен-
циальные кривые, мы тем самым получим линии равных сумм нормаль-
ных напряжений (изопахи). Таким образом, вначеиня суммы нормаль-
ных напряжений в любой точке полуплоскости могут быть с достаточ-
ной точностью определены экспериментальным путем, после чего в со-
ответствии с выражениями (4.13) могут быть найдены искомые напря-
жения и хг2. Для этой цели может быть использован весьма
удобный графический метод, описание которого приводится далее при
рассмотрении напряженного состояния в условиях пространственной
задачи.
Если имеется несколько отдельных участков приложения нагрузки,
то и в этом случае определение значений W не представляет каких-либо
затруднений. Необходимо лишь учесть при эксперименте соответствую-
щие граничные условия на контуре посредством введения большего ко-
личества отрезков шин.
Случай неравномерного распределения нагрузки по краю полуплос-
кости также не представляет принципиальных затруднений. Для этого
необходимо осуществить неравномерное распределение потенциала по
краю пластинки.
Таким образом, в любом частном случае вертикальной нагрузки мы
можем, используя установку ЭГДА, определить величину н суммы
главных напряжений для любой точки полуплоскости, расположенной
в пределах, отвечающих размерам пластинки. Экспериментальное реше-
ние уравнения —0 способом ЭГДА можно проводить, используя
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 113
различные электропроводные материалы, как, например, ста-
ниольфольгу, различные электролиты, электропроводную бумагу
и т. п.
ж) Случай горизонтальной сосредоточенной силы, приложенной
к плоской поверхности основания
Напряжения для этого случая нагрузки Г54] могут быть получены
тем же путем, как и в случае нагрузки вертикальной силой. В полярных
координатах они могут быть представлены в виде:
2Q . D л
а, = —sine, —О,
откуда видно, что и в данном случае на-
пряженное состояние основания является
простым сжатием в радиальных направ-
лениях.
В прямоугольных координатах, в со-
ответствии с обозначениями на рис. 81,
выражения для напряжений можно пред-
ставить в виде:
Рис. 81
• 2Q . 2 ~ х3 1
°' = sin10 = — Sin3 е = — Q ,
°’ = °, cos2 0 = sin 20 cos е = 4 Q (х2уагг)„ , (4.15)
= a sin 0 cos 0 = -Ч- sin 20 sin 0 = — Q , ...
XI r ttr K < (x2 + z2)2
Сопоставляя выражения (4.15) н (4.9), нетрудно убедиться, что на-
пряжения и ~х, при нагрузке поверхности основания горизонталь-
ной силой Q соответственно равны напряжениям и сх от нагрузки
вертикальной силой Pt если Р = Q. Отвечающие им эпюры напряжений
показаны на рис. 56. Эпюры нормальных напряжений <\ при приложе-
нии горизонтальной нагрузки Q приводятся на рис. 56 пунктиром. Как
и для случая вертикальной силы, по прямым, проходящим через точку
приложения силы, величины всех напряжений изменяются обратно про-
порционально радиусу. Численные значения напряжений ах, и ~хг
приведены в таблицах I и II приложений.
Выражения для горизонтального и вертикального перемещений по-
верхности основания имеют вид [46]:
и (%, 0) = — 2 1 Q 1п | х ] -К с,
, . (1 + fi) (1 — 2fi) -
(х, 0) <= ± ~ ”
(4.16)
где с—произвольная постоянная величина, так как и в этом случае
перемещение определяется с точностью до произвольной по-
" стоянной.
8—В. А. Флорин
114 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
з) Равномерно распределенная горизонтальная нагрузка,
приложенная к поверхности основания
Принимая Q = qdlf заменяя в соответствии с обозначениями на
рнс. 82 в выражениях (4.15) х на (х—О и интегрируя в пределах
(—а, -+а), .находим [56]:
[(x-4)3+zT
1 (д + х)2 + г3
л П (а — х)2 + z2
4aqxz2
я [(a?-bx2+z2)2 — 4а2х2]
-ЕН ь
(х — В) х2 j* _ 4ацхг'г
[(х _ $)» 4- гг]2 — л [(Д3 4- X2+£1)2 — 4а2х2]
(ai.s-)
4-а о В В
j
2aqz ________a2 — Xй 4- z2_______
"я (a2 + х» + г2)2 — 4a2 x8 ’
Эпюры напряжений для разных вертикалей показаны [21] в до-
лях q иа рис. 83. Эпюры напряжений ъ и „ показаны [21] на
рнс. 64 и 62. Линии равных нормальных напряжений о*, показаны [21]'
иа рис. 84. Численные значения для напряжений и txz приво-
5 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 115
дятся [21 ] в табл. IX, V и III приложений. Кроме того, в табл. X прн-
u
ложении приведены значения ~ и — в точках, расположенных на
вертикалях х—±а [58]. Прн х<0 значения ог н 0 следует принимать
отрицательными.
Рис. 84
Выражение для горизонтальных перемещений точек поверхности ос-
нования с точностью до произвольной постоянной имеет вид:
q С In |х - Е | |~2а + 1п-^—
J 1 к Е [ |х 4- а\х^а
— а
н) Случай касательной к поверхности основания нагрузки,
распределенной по трапецеидальному закону
Принимая в соответствии с обозначениями на рис. 85 горизонталь-
ную силу Q= (^„+ЛЕ> н интегрируя решение для сосредоточенной
касательной силы в пределах от—а до +а,
получаем [60]:
= — [ЗЬ arctg ,2У_Д;
75 A" -J- - иг
— 4ka —
/ 1 к \ 1 (х — «)2 4- г3
— (До + ^х) in —Г
‘ 7 (x-h«)34-z2
] 9z,_2b (х2 — Я— — 2х (д0 + kx)
т хих к _ Х2 _ ^2 + 4хзг2
2 k (х2 — Z'! ~ а2) — 2х (у0 4 Дх)
(X2 — Z3 — «2)2 4- 4x2Za
8*
z Г, , 2az
а.»--------« arctg _ . . 9
‘ те ° х1 + z2 — а2
, (х — а)2 4 z? , , , , , , 2az
k2 ln (X+ af + z^ + (9o + arctg+
2a z
2kxz^ -J- (g0 + kx} (x2 -z2- a2) 7
(a2)2 + ^x2z2 ~J
116 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Определение перемещений и{х, 0) может быть произведено спо-
собом, аналогичным изложенному выше.
к) Случай комбинированной нагрузки
Имея все приведенные выше решения, можно без затруднений на-
ходить наложением .напряжения от нагрузок, которые могут быть со-
ставлены как сочетания рассмотренных видов нагрузок, например, для
случаев, показанных на рис. 86. В равной мере могут быть получены
решения н для любых других комбинаций всех рассмотренных случаев
а)
О
Рис. 86
загружения как при сочетании их в пределах одной полосы загруже-
ния, так и прн приложении тех или иных нагрузок на некотором рас-
стоянии друг от друга. Наложение различных нагрузок может найти
применение при более сложных случаях загружения и при учете влия-
ния соседних сооружений, возводимых одновременно илн позже основ-
ного рассматриваемого сооружения.
л) Способ ЛИНИЙ влияния
В ряде случаев для определения напряжений, возникающих в осно-
вании от приложенной к его поверхности какой-либо вертикальной или
горизонтальной нагрузки, представляется целесообразным применение
способа линий влияния [54].
Применение этого способа имеет по сравнению с другими способами
большие преимущества, когда внешняя .нагрузка, распределена по ка-
кому-либо сложному закону или когда она задана не в аналитической,
а в графической илн табличной форме. В этих случаях способ линий
влияния является, пожалуй, практически наиболее удобным способом.
Нетрудно убедиться [46], что любое из напряжений, обусловленных
приложением произвольной распределенной вертикальной илн горизон-
тальной внешней нагрузки FtB , может быть получено из выражений
(4.9) и (4.15), заменяя, как и выше, хна х—принимая замену пере-
менных х~--ах, z=azt н имея в виду, что при этом —
а пределы интегрирования —а и + а должны быть заменены на
>—1 и 4-1.
g 2- Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 117
В результате получаем:
от вертикальной нагрузки
Ч-1
J Ф»©^©<Й,
-1
= а J Фо©^®*©
-1
с„ = а
-1
от горизонтальной .нагрузки
+1 _ __
<зх = а j ф# (E)F(fc) eft,
+1
—Л J 4>t ©Т7©^,
-1
j ф2 (5)
В этих выражениях функции ф0, фр Ф2 н Фз в соответствии с вы-
ражениями (4.9). н (4.15) обозначают:
Фо© = 2 Z3
ла [(х - S)2 + z2]2 ’
Ф1 (0 = 2 z2(x-£)
ка
ф2© = 2 ка 2{Х~ €)* [(x-e)2+z2l2 ’ (4.19)
Фз(0- 2 ла (*-£)* I(x-E)3 + Z2]2 *
где для упрощения черточки над =, х и г опущены. В дальнейшем из-
ложении эти черточки также будут опускаться. Кроме того, следует от-
метить, что при подстановке выражений (4.19) в выражения (4.17) и
(4.18) величины а в числителях и знаменателях будут сокращаться,
вследствие чего можно полагать а=1.
Выражения (4.19) можно рассматривать как уравнения линий влия-
ния для компонентов напряжения в точке (х, z). Вместе с тем, выраже-
ния ф0 (Е) и ф2 (Е) представляют собой эпюры напряжений az и <зх
по горизонтальной прямой, расположенной на глубине г, от единичной
сосредоточенной вертикальной силы, приложенной в точке (х, 0). Рав-
ным образом, выражения ф, (В) и Ф,( (£) представляют собой с обрат-
ными знаками эпюры напряжений az и по той же прямой от
единичной сосредоточенной горизонтальной силы, приложенной в точке
0).
Отсюда следует, что эпюры распределения напряжений (по какой-
либо горизонтальной прямой) от единичной сосредоточенной силы, при-
ложенной в точке (х, 0), являются линиями влияния для соответствую-
щих напряжений в точке (х, г) для нагрузки, приложенной по границе
полуплоскости. При этом знаки эпюр, соответствующих ф1 (Е) и ф3 (Б),
должны быть заменены обратными.
118 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
При сохранении величины г постоянной и при изменении только ве-
личины х указанные эпюры напряжений имеют вполне тождественные
очертания и лишь сдвигаются в горизонтальном направлении соответ-
ственно изменению х.
Поэтому достаточно лишь одни раз определить ординаты линии
влияния для какой-либо точки (значения х) —проще всего для х=0 —
н в дальнейшем при определении напряжений для любого значения х
только соответственно сдвигать линию влияния, построенную для х=0.
Прн изменении величины г очертания линий влияния изменяются.
Поэтому необходимо для каждой величины г определять соответствую-
щий ей вид линии влияния. Практически вполне достаточно ограни-
читься вычислением линий влияния для следующих значений г: 1/i2,
V2, 1, 2, 3, 4, 6 н 10, причем лишь для <р3 (5) следует добавить значе-
ние г=0.
Вычисление ординат линий влияния производится на основании вы-
ражений (4.19), принимая в ннх х=0, т. е. с помощью зависимостей:
2 23
Фо (Q = V ($2 S2)2 ’
„ /tx 2 г3Е
'Fi 15) — к ($24.^2 ,
Ф2(0— к ($2^22)2 ’
2 $3
Фз (^) = ~ ^2 4. ^2)2 ‘
Результаты вычислений ординат линий влияния приведены в табл. I
и II приложений. Кроме того, следует указать на аналогичные таблицы
линий влияния, составленные А. Я. Головиным [63].
Возвращаясь к выражениям (4.17) и (4.18) вида:
-1
отметим, что дальнейший путь приближенного интегрирования заклю-
чается в следующем.
Имея выражение для F (%), необходимо разбить промежуток от —1
до +1, в нашем случае на 12 частей, н вычислить ординаты кривой на-
грузки (что необходимо и само ПО' себе для построения графика на-
грузки). Далее следует каждую из вычисленных ординат нагрузки по-
множить на соответствующую ей ординату линии влияния. Прн этом
соответствующие ординаты линий влияния следует выбирать с уче-
том величины х, т. е. сдвинуть линию влияния для х = 0 на ве-
личину X.
После этого необходимое приближенное интегрирование может быть
выполнено по любой из имеющихся формул численного интегрирования
прн равноотстоящих ординатах (трапеций, Симпсона н др.). Вполне до-
статочной для этой цели точностью обладает формула Симпсона, кото-
рой ввиду ее простоты мы в дальнейшем н будем пользоваться. Для
удобства суммирования по Симпсону ординаты линий влияния
в табл. I и II приложений вычислены через */12 ширины полосы. Есте-
ственно, что число промежутков может быть при желании увеличено и,
таким образом, получаемая погрешность еще более уменьшена.
Во многих случаях для упрощения вычислений целесообразно пред-
,>> 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 119
ставлять заданную произвольную нагрузку в виде суммы симметричной
и обратно-симметричной нагрузок.
Обозначим через ( и ( — две какие-либо произвольные,
симметрично расположенные относительно- начала координат абсциссы
кривой нагрузки. Тогда, обозначая ординаты нагрузки в точках с абс-
циссами (+Л) и (— через <7 (НИМ и <?(—^)> можно предста-
вить ординаты ^(±1/) симметричной части нагрузки в виде:
/ [± у=4 [?(-i-o+?(-ад •' -
и ординаты обратно-симметричной части нагрузки в виде: ; f
?"(±у =-2-[±?(+о + ?(-ад-
Любую внешнюю нагрузку, определяемую функцией можно
представить в виде суммы симметричной и обратно-симметричной на-
грузок, чему отвечает замена функции F(6) соответствующей суммой
четной и нечетной функции F (Т) — F} (£) + Л2(£). Для каждой не
этих частей нагрузки симметрично расположенные ординаты кривой
нагрузки будут равны по величине, знаки же нх будут либо совпадаю-
щими (для симметричной нагрузки), либо обратными (для обратно-
симметрнчной нагрузки).
Применительно к симметричной части нагрузки, для которой
Л (~Н/) = Д1( — — Л (У> введем обозначение:
где ф (Ч—5/) и <|>(—S,) — ординаты линии влияния в точках £ = и
£ — — При этом для частного случая £ =0 имеем <о0= 2ф (0).
Применительно к обратно-симметричной части нагрузки, для кото-
рой А, (4- 4) — — (— %i)> введем обозначение:
-»<=/=,(+у [Ф<4-бо—ф (-ад •
При этом следует учитывать, что = 0, так как /ДО) =0.
Тогда для каждой из частей нагрузки (симметричной и обратно-сим-
метричной) при применении формулы Симпсона возможно производить
суммирование не для 12 промежутков (от —1 до t-f-1), а только для
6 промежутков (от 0 до +1) и определять искомые напряжения для
каждой из составляющих нагрузок по формуле:
+i
5 — J f (£) ф (^) = -jg- [«>(, 4- + 4 («>! Ц- ~h ®б) + 2 (<»>2 -J- .
-1
В соответствии с этим выражением можно выполнить необходимые
вычисления для любого случая симметричной илн обратно-симметрич-
ной нагрузок.
Если не прибегать к замене действительной нагрузки суммой сим-
метричной и обратно-симметричной нагрузок, то суммирование необхо-
димо производить для всех 12 промежутков.
В качестве примера определим напряжение ?2 в точке (х=4-1, 2=
= 4-1) при равномерно распределенной нагрузке р0, расположенной на
участке —1 4&с 4-1 поверхности полуплоскости.
Согласно табл. I приложений, имеем:
<о0 = (0,6366 + 0,0255) рй = О,6621ро,
й)1 (0,6027 4- 0,0335) р0 = О,6362ро,
120 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
... ш2 ~ < 0,5157 + 0,0446) />0 — 0,5603/>t,
ш8 — (0,4074 + 0,0603) р0 =« О,4677ро,
= (0,3051 + 0,0825) р0 = 0,3876рв,
«>5 = (0,2217 + 0,1142) />0 = О,3359/>0,
Ше = (0,1591 + 0,1591) />й = 0,3182/v
Суммируя, получаем:
(0,6621 +0,3182 4-4 X 1,4398 + 2x0,9479] = О,48О/>0,
Сравнивая полученное значение для с вычисленным непосред-
ственно по формуле для равномерно распределенной нагрузки, по кото-
рой получается — 0,480р0, видим, что погрешность расчета не от-
ражается на величине третьего знака. Количество вычислений прн из-
ложенной методике почти не зависит от вида заданной нагрузки.
II. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
а) Нагрузка сосредоточенной силой, приложенной нормально
к поверхности основания
Решение для этого случая было получено Буссинеском [64]
в 1885 г. н носит его имя. Составляющие напряжения в цилиндрических
координатах в соответствии с
обозначениями1 на рис. 87
имеют внд [65]:
Рис. 87
— г3
$я 2п № ’
__ Р Г Згг2 1—2(*
— 2гс [ L/?(/? + z) ’
° — 2н)[—+
— зр z2r
2« *
где
г2 + г2 = Xs +у + г2.
Перемещения в точках, расположенных на окружности радиуса г, иа
глубине z от поверхности основания, в направлениях радиуса г и осн z
равны:
и (r> z) = — С1 — 2Н) + »
> 2кЕ I /г3 R
1 Положительные напряжения приняты по направлению обратными по сравнению
с показанными на рис. 87.
§ 2, Напряженное состояние основания от зиЭанной внешней нагрузки 121
Вертикальные перемещения в точках на поверхности основания»
т. е. при z=0, равны:
-• .. W (г, 0) = (4.21)
В прямоугольных координатах выражения для составляющих на-
пряжений имеют вид [66]:
ЗР J гх2 , 1 - 2[Л Г Р? — Rz — z2 х2 (2/г + Z) П
°*- 2r [ Р5 ' 3 [ Р3(Р4-*) Р*(Р +
_ ЗР Г z>2 , 1—2р. Г P3-Pz-z2 у!(2Р+г) П , .
2л [ Р5 ’ 3 [ РЧР + z) Р3 (Р 4- z)2 J J 1 V
ЗР z3
2л Р5 *
ЗР Г xyz 1 — 2р. ху (2Р + z) ’
2я [ рь 3 Р3(Р + *)г
__ ЗР ухг
~ 2« Р5 ’
ЗР xz’
2л Р5 ’
Рис. 88
Выражения для перемещений в прямоугольных координатах имеют
вид [66]:
Р(1 + р.) г zi , .11
w— 2лЕ рв “г 2(1 Р) р >
« —_Z1L+±L V” 2я£ Р8 Р(Р + <)
у . Р(1+е) w 2л£ 1 ? И Я (Az)
Для облегчения вычислений составляющей напряжения можно вос-
пользоваться составленными для этого таблицами [7]. Представляя на-
пряжение в виде:
а.
ЗР хз р ,
2n ps “ z» К
(4.23>
122 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
где
tf/ff 0,300,40 0,600&1р0 140 1808Д0ЗОЙ 400 600 8,0010,1.
0,30 0,300'40 0,60 0,801,001401,803^03,004,00 6,00 8,0010,00
Коэффициент a^x:z
Рис. 89
можно для любых значений rjz найти коэффициент k по табл. XI при-
ложений и затем по формуле (4.23)—напряжение m На рис. 88, а
показана эпюра напряжений по горизонтальному сечению основа-
ния при Р = 60 т. На рнс. 88,6 показан характер линий равных напря-
жений з2 (изобар).
# 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 123
Для определения напряжений можно использовать предложен-
ные Г. И. Глушковым [67] графики. Представим напряжение в виде:
= k„
где
k __ 3za f ZX* 1 - 2(Л /?2 — Rz — г2 x»(2/? + «) 11
* 2л ( -Г 3 L R3 (R + z) R9 (R+ z)2 ] J
Если обозначить
X у '
а1 = Т и аа-—,
то, учитывая зависимости
R2 = х2 + _у2 + Z2 = z2a.2 xsa~ Д- z2 — z2a2 ~|~ aj Z2a| -j- z2 —
х2 = a2 z3,
нетрудно убедиться, что при подстановке их в выражение для kx исче-
зает z и это выражение оказывается функцией только от at и аа. Со-
ответствующие значения kx для разных а, и а2 были вычислены
Г. И. Глушковым для двух значений коэффициента Пуассона (р = 0,3 и
р— 0,5) н представлены в виде графиков, приведенных на рис. 89.
Определяя для любой точки величины atj и а2, можно по указанным
графикам определить коэффициент kx, после чего определение напряже-
ния <зх производится без затруднений. Эти графики можно использо-
вать и для определения напряжения ау.
Отметим, что сумма главных напряжений в любой точке основания
равна:
+и)-^-- <4-24)
Если сила приложена не в начале координат, а в точке (В, tq, 0),
то во всех вышеприведенных формулах следует заменить х на (х—£)
и у на (у—т) ). ___
б) Случай загрузки прямоугольной площади поверхности
основания равномерно распределенной нагрузкой
Решение для этого случая нагрузки (рис. 90) было получено
А. Лявом. Им было приведено выражение для напряжения о, . Для
всех составляющих напряжений соответствующие выражения были
опубликованы в работе В. Г. Короткина [69]. Оии могут быть получены
из решения для сосредоточенной силы, заменяя в нем (рис, 90) силу Р на
qи интегрируя в пределах от —а до +а и от —b до +&. В част-
ности, выражение для ~г может быть представлено в виде [69]:
+ а +&
З^г3 Г Г cRdt}________
2^ J J [(х~О?+ z2]5'2
-a —b
= -^-{arcts
(x4-a) (y + b)_________
z У(.г + a)2 4- (y + fc)2-!^2
— arctg
______(х+д) (y — b)
Z У(x y a)2 + (y — by* + z2
124 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
+ arctg
— arctg
(X - а)(у - Ь)
z /(л - а)2+ (у — &)2+г2
___________(*—д) Cy+fr)
г /<х — О? + (J'+A)4^“* 2 * *
z (х + а) (у + Ь) [(х -|- а)8 Ц- (у + 6)2 4. 2z2]_
[(х а)2 + 2г] [(у + 6)2 + г2] /(х4-я)Ц(у+ Ь)« +
z (х + а) (у - 6) [(х + а)« + (у - 6)2 + 2z2]
[(X + a)2-[-Z2[ [(у - 6)2 + Z2] /(х+Д)2+(у - 6)2’+22
______z(x — я) (у — Ь) [(х — а)2+(у — 6)24-2Z2]_
[(X — Я)2 + Z2] [(j, _ £)-’ + zj] /(х —а)?+(у —6)2 + z2
______z (х — а) (у + 6) [(х — а)2 + (у + 6)2 2zB 9]_
[(х — a)2+zs * *] [(у + 6)2 +z2] У(х — а)2 (у+6)2 4- z2
(4.25}
Для точек, расположенных на вертикали, проходящей через центр*
площади загружения, т. е. прн х=г/=0, выражение для ог принимает
вид:
=^l rarctg.... ^ +-------. (4.26)
я [_ z 6й + z2 (as+«2) (6a4-za) )^а2 + 62 + z2 J '
В аналогичном виде могут быть
написаны и все остальные состав'
ляющие. Выражения для них не
приводятся вследствие большой
сложности. В случае необходимости
они могут быть найдены в указан-
ной работе В. Г. Короткина.
Если вертикаль, проходящая че-
рез точку, для которой опреде-
ляется напряженное состояние,
проходит через один из углов прямо-
угольной площади загружения, т. е.
через одну из «угловых» точек с ко-
ординатами (х=±а, у=±Ь), то
все выражения для составляющих
напряжений очень сильно упро-
щаются.
Напряжения для точек, располо-
женных на глубине, z на прямой,
проходящей через одну из угловых
точек, имеют вид:
__ q ( ~ __________4abz_________
х 2к [ 2 (4a2+Za) УЧя24-4624-22
z/4a2+462+z2 । /1 о , b , 6/4a24-462+z2
rctg 4ab----------------И (1 - ^) [arctg — - arctg —*------------------
9 ( __________4abz z /4a2 + 462-|-z2 .
2ic ( 2 (4624-Z2) )^4a2+4b2 + z2 аГС 4a6
1 /1 о\Г * a . aV 4a2 + 462 -f- z2 ll
+ (1 — 2P) Rarctg -p — arctg---------------------J J >
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 125
п в 0 [____________4abz(4a2 + 4*а + 2za)____ (
°* ” ~2п [_ (4aa + z2) (4A2+za) / 4аа -|- 4&2 + za
। ♦ 4а>
-4-arctg-----г ,
z У4aa4“4&a+z2
_ gz3 Г__________1__________ 1
ty п z2 У4а2 + z2 (4ia + za) У 4а2 4й2 + z2
т __ Ч I । __ __ * I _____* ।
у* 2п ( у 4fr3+z2 У4а2-|-г2 У4а2+4Ь2+£*
+ (l-2p) [in-----Д^-+1п г + ^4-;_+,>2у-1|. (4.27)
1 v r/ [ Z -I- У4&2 + Za z + У 4a2 + z2 J /
Из рассмотрения приведенных выше формул нетрудно убедиться, что
напряжения аг по оси площади загружения равны учетверенным зна-
чениям напряжений в соответствующих точках, расположенных на
удвоенной глубине на вертикалях, проходящих через углы площади за-
гружеиия.
Для облегчения вычислений приводятся [69]: на рнс. 91 — эпюры на-
пряжений °2 по вертикалям, проходящим через угол площади загру-
жения; на рис. 92 и 93 — аналогичные эпюры для напряжений зг и оу
а на рис. 94, 95 и 96 — эпюры касательных напряжений -12, \у и т..ж
При составлении этих эпюр принято, что нагрузка <7=1 и ко-
эффициент Пуассона р.=0,40. Следует отметить, что эта величина
126 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
достаточно удовлетворительно соответствует ряду глинистых грунтов
и что изменение величины коэффициента Пуассона несущественно
влияет на величины напряжений. Соотношения сторон площади затру-
Z
Рис. 92
жения (6: показаны у каждой приводимой эпюры. При выполнении
практических расчетов, помимо графиков, могут быть использованы
также таблицы, опубликованные в работах В. Г, Ко ротки на [69], в ра-
боте Н. Н. Маслова [21] для р =0,25 и в работе М. Н. Гольдштейна [70].
Z
а
Для определения осадок сооружений нет необходимости определять
все компоненты напряжений, а можно ограничиться определением на-
пряжений н суммы главных напряжений 0=^+^+^ в точ-
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 127
ках, расположенных на вертикалях, проходящих через угол площади
загружения. Для этой цели весьма удобны таблицы, составленные
в Китайской Народной Республике [58].
Рис. 94 Рис. 95
Обозначая: ' ! ; ’ ! ' . ; ’ /Li-^П
Ь 2
П =---- и -5— ,
а 2а
где а, b н z обозначают те же величины, что и раньше, и принимая во*
внимание выражения (4.27), можно представить величины и €►
в виде:
q Г 4 п
а, = arctg z - ;=
’ 2я [ & m V1 4. ma 4- «2
mn (1 + п2 + 2m2) ' -
(m2 + и2) (1 + m2) VI + m2 + J ’
128 Глава IV, Определение напряженного состояния оснований сооружений
= (1 + р) -- arctg--г (1 + (1) —arctg----Г~ п —
v 7 71 & z/4aa+4&»+za 4 7 « & /к /1 + m2-j-п*
д О
В табл. XII и ХШ приложений приведены значения и Yl+н)?
для различных значений тип.
Определение напряжений по приведенным выражениям и тем более
графикам или таблицам производится достаточно просто. Если же не-
обходимо определить напряжения в точке на прямой, не проходящей
через одну из угловых точек, то представляется целесообразным [71]
разделить, как показано на рис. 97, а, прямоугольную площадь загру-
жения abed на четыре прямоугольника: okam, ombl, okdn и olen. Затем
определить напряжения в точке о (х, у, z) от загрузки каждого из ука-
занных прямоугольников в отдельности и полученные результаты сло-
жить. Напряжения от загрузки каждого из четырех прямоугольников
определяются по приведенным выше формулам, графикам или таблицам
для напряжений в точках, расположенных на вертикалях, проходящих
через угловые точки прямоугольной площади загружения. Если вер-
тикаль, на которой находится точка, не пересекает плошади загружения
abed, то, в соответствии с рис. 97, б, следует определить искомые на-
пряжения от загрузки площадей okam, olbm, okdn и oicn в отдельности,
после чего напряжения по вертикали, проходящей через точку о, от за-
грузки площади abed определяются из выражения:
а = о (okam) — а (plbm) — а (okdn) 4- а (plcri).
Изложенный способ, называемый в литературе [71] способом угло-
вых точек, весьма удобен для практического применения.
в) Случай загрузки прямоугольной площади поверхности
основания нагрузкой, распределенной по закону треугольника
Для этого случая нагрузки все составляющие напряжений также
были опубликованы В. Г. Короткиным [69]. Как и в случае равномер-
ной нагрузки, они могут быть получены
интегрированием решения Буссинеска,
заменяя в данном случае (рис. 98) на-
грузку Р через ~ (1-----^-jdkdrj:
ходимые вычисления можно
тырех площадей загружения
[и-е)а+(у-
(]
Аналогично случаю равномерно рас-
пределенной нагрузки определение иско-
мых напряжений и перемещений может
быть сильно упрощено при применении
способа угловых точек. Для точек, рас-
положенных на вертикали, проходящей
через точку о, находящуюся внутри
прямоугольника abed (рис. 99, я), необ-
свести к определению напряжений от че-
okam, ombl, ondk и olen, загруженных
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки
129
и и С[
равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью-^-, и тех же
четырех площадей загружения, загруженных треугольными нагрузками,
у которых по линии Ik интенсивность равна нулю, по линии ab равна
пг'пг"=оо' = и по линии cd равна — пп/ ~— -оо' = — dL
В соответствии с рис. 99, а вид-
но, что в данном случае можно
ограничиться вычислением на-
пряжений только для краевых
вертикалей, соответствующих на
рис. 90 и 98 значениям х~а,
у~Ь, определяя их для случаев
равномерно распределенной и
треугольной нагрузок.
Для случая треугольной на-
грузки в точках, расположенных
на вертикали, проходящей через
угловую точку площади загруже-
Рис. 99
имя (х — а, у = Ь), в соответствии с решением В, Г. Короткина [69],
имеем:
9 ( /. V4а2 + «ь 2& + + ?2 \
(J = —----{ z [ 1п —----------Н Ш -------7----------------—
х 2теа I I z 2& + / 4а? + 4&3 + z3 /
4<з2 bz
— (1 —2р.) din
.2
(4аг + z2) V 4д2 + 4&2 + г2
2bz 2bz.
/чРч^Т2
2b + + zB
2b + У~4Ь* + 4a2 ^x2
п ?
У 4ка } у 4д2 + 4fc2 + Z2
/. У4а2 + z2 .
4-г 1п —--------------Нп
z + /46а+г3
+ (i —2р.) [гь in * +У +».* + ** / 1п г =
z + 4Ь2 4- z2 \ у^4а2 + z2
, . 2b + 4а2Ч-462 + z2 \1 1
2Ь + /4&2 4- z2 J
qb ( z2 z3_________1
°* ~ 2ка j (4а2+z2) /4я2 + 462 + г2 / ’
_ qz2 Г 1 1_____________1 ।__________[______
4яа | z 4b ~~^ i1 V4а2+z2 У 4а2 -f- 4b2 + z2
8-В, А. Флорин
130 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
* . z V 4а2 + 4&2 + г2
2----arctg
4abz 1
(4a2+z2) У 4аа + 4624-*2 J ’
f f________2az______ 2az
4™ I У 4а2 + 4b2 + z2 У4а2'+^
. (, /4&24-z2 . . 2a-l- У4а2+г2
+ 2 1П —------------h In —----' ,-ъ-=
\ г 1 2a-l~y4a2+4b2 + z2
— (l-2p) z( In *.
v 7 I }<46a+z2
2a + У 4a2 + 46a -I- z2
2a 4- У 4й2 -|- z2
+ 21, (arctg + arctg >V<^.
Соответствующие
значения величин - и —r—, где 0 =
q (1-1- p) q *
= 0jrd”3y “h приведены [58] в таблицах XIV и XV приложений.
Аналогичным путем производится вычисление напряжений в точ-
ках, расположенных вне площади загружения abed, но в пределах вер-
тикального слоя (рис. 99,6), ограниченного плоскостями, проходящими
через продолжение сторон Ьс и ad прямоугольника abed. При вычисле-
нии напряжений в точках вне этого слоя приходится пользоваться вы-
ражениями для краевой точки х=—а и у-—b. Так, для точек, распо-
ложенных иа вертикали, проходящей через точку т, расположенную
со стороны отрицательных значений х (рис. 99, 6), определяются на-
пряжения от треугольной нагрузки (с наибольшей ординатой тт"),
приложенной к площадям загружения mien и mndk; из напряжений от
этих нагрузок следует вычесть напряжения от нагрузки интенсивно-
стью тт', равномерно распределенной по площадям прямоугольников
omlb и oakm, а также от треугольных нагрузок (с наибольшей ордина-
той т'т"), приложенных к тем же площадям загружения. Для точки
т, лежащей со стороны положительных значений х, вычисления произ-
водятся аналогичным путем в соответствии со схемой на рис. 99,6.
Для краевой точки х=—а; у=—Ь имеем [69]:
У4а2 4 z2 , ,
----------h In
z
, z У 4a2 + 4i2 + z*
- arc‘g-----------—
2b + У 4h2+z2
2b 4 / 4а2 ь 4i>2 + z2
b z+ / 4дЧ 4/,2 + ~2
a z 4- У 4b2 + z2
. . b , by 4a2 4- 4b2 + z2 11
4 arctg — - arctg—----------------------]),
q ( bz bz
У 2л [д УаЬ2 + z2 аУ4а2 + 4Ь2+22
2 / , 2b J- У 4b2 + z2 у4a2”4 22
— — — | | PI _ — 4 £ JI
2a I 2&4- У4a2+4&2-|-zJ г
4a bz
{4b2 + z2) У4a?+4ft24- z^
, z У4a24-4b2+z2
-arc‘g-------tai—
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки
1Ы
Г ь
+ (l-2p.) — In
г-\~У 4a*4-4&24-z2
z -f- У 4b2 4“ z2
z j 2b4' У4а2±4Ь2+г2~
' 2й \ 2&4-/4&2 + z2
, , z \ । ± a , аУ4a2 ±
+ln + arctg ~Ь - arctg---------
q ( it___________4abz (4a2 4- 46s 4- 2z?) ____
' ~ | I”*- (4i,2 4. г2) (4Й2 4. z?) у 4а2 + 462-Г^
bzz bz
i „----------- . — ---------— —
1 a(4a2 + z2) ,/4a24-4M4-Z2 аУ 4b2 + z2
— arctg
z )Л4а34-4^а^ z2
4лЬ
T _ JZL f L 1
v к | z‘> y4a2iz2 4a/4ti24-z2
a
(4&2 + z2) /4a2r4t>a+z2
_L_ . . - ..J________________J__________I . . :
4az 1 4a/4^2 4. Z2 4a У4a2 4-4b2 + z- J’
Q (, z z / |<4Z»2 4- z2 ,, 2a 4- У4a2 + z2
2-. | 1Л4Д24- г« 2a у z 2a-f- У 4a2 + 4b'+z2
-1 n x Pi 2z ii z 4- У 4a2 + 4b2 + z2
1 — 2p) In--------_,t - + In - - -----------------------|-
z-j-V^4624-za z + У 4a2 ~4 z2
, г Л z Д , 2a + У 4a2 + 4d2 4- z2 \ ,
4—л— I In —— 4- In---------T - ~—' j +
2a |л4£>21 z2 2a 4- )/ 4a2 4- z2 j
* / г я , , b У 4a2 4- 4&a + z2” , \ П
+ТГ(arctg~ +arctg-----------s-------+ -2d]/ ’
_ Q j b z t z |Л 4aa 4. 4У~У^2 KZ 1
к | j/l&s+z^ "Г 4a arClS 4ab 8a J ’
Соответствующие значения -z- и “<7T~y^“ можно получить, ком-
бинируя значения, приведенные в табл. XII, XIII, XIV и XV приложе-
ний [58]. Эти таблицы могут быть использованы и в случае трапеце-
идальной нагрузки на прямоугольной площади загружения.
г) Равномерная нагрузка прн круговой площади загружения
Определим напряжения в какой-либо точке, расположенной на вер-
тикали, проходящей через точку с поверхности основания, от равномер-
ной нагрузки q, приложенной в пределах круга с радиусом а и центром
в точке О (рис. 100). Для этого найдем сначала напряжения от элемен-
тарного груза Р= qpd^dp, приложенного в точке А. Затем проведем
интегрирование, интегрируя сначала по углу у в пределах от 0 до 2 г,
и затем по р в пределах от 0 до а.
Имея в виду, что входящая в выражения (4.22) величина R в рас-
сматриваемом случае равна:
А! = (р2 4~ 4- 2 ~ 2£р cos s)2 ,
132 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
получаем:
___ 3z2q Г Г рх/рхАр
J J (рг + й2 + г2 — 2fcp COS у)0^2
О О
Аналогичным путем могут быть найдены и все остальные состав-
ляющие напряжения.
Выражения для напряжений в точках, расположенных на оси z> т. е.
при Ь = 0, имеют вид:
Z*
(а? + г2)3-'2
2(1 4- {*)*
)Лй24- z2
В точке О плоскости z=0, являю-
щейся центром площади загруже-
ния, напряжения равны:
= ?,
п а (1 ~ п
аг ~ ав — 2 У'
Для определения в любой точке
основания напряжений д? н соответ-
ствующих численных значений
коэффициента k могут быть исполь-
зованы существующие табли-
цы [70].
Выражение для вертикальных перемещений точек поверхности ос-
нования (г=0) можно получить, интегрируя выражение (4.21):
р.7р(/<р
(Р2 + *2 — 2&р cos <f)^2
В центре круга, т. е. прн /> = 0:
1 - U2
SZE
Q
w —
2(1 -fx2)
д) Произвольная нагрузка, приложенная
нормально к плоской поверхности основания
(применение метода ЭГДА)
Предположим, что тем или иным способом найдено выражение или
определены значения суммы главных напряжений в любой точке
основания. Это может быть достигнуто, например, интегрированием вы-
ражения для суммы нормальных напряжений в решении Буссинеска:
-I а +ь
Q ___ 1 4~ 1х Г Г ___________ z_________________
J J [(X- е)а 4- (y--q)24-^l3/2
- а —Ь
q (5, т])
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 133
Определение 9 может быть произведено и экспериментальным пу-
тем иа установке ЭГДА, как будет показано в дальнейшем,
В рассматриваемом случае, когда основание ограничено плоской
поверхностью, по найденному аналитическому выражению для или
по полученным численным значениям этой величины могут быть опре-
делены все составляющие напряжений. При этом наибольший интерес
представляет определение значений о, , так как для обычно применя-
емых методов определения осадок сооружений необходимо иметь зна-
чения не всех составляющих .напряжений в отдельности, а только зна-
чения для зг и 9.
Нетрудно показать [61]. что прн любом законе распределения внеш-
ней нормальной к плоской поверхности основания нагрузки действую-
щие в нем напряжения могут быть выражены через функцию н суммы
главных напряжений следующим образом:
С d2F , , Р п ч [’ 0 d2F , , 1
-ад (|
32 Р Р Р й-Р
□v — z \ -у-2- dz 4~ Р + (1 “ 2н) dz1,
у J ду2 1 J J <1Х
dF I с
— — Z —д--[- Р\
г dz
J (4,28)
dF
X — — 2------
хг дх >
dF .
у2 ду ’
где
2(1-Ж
Если функция 9, а следовательно, и F определены предварительно
и представлены в аналитической форме, то определение напряжений
может быть произведено непосредственно по- выражениям (4.28).
Если же функция для плоской или пространственной задачи опре-
делена только численно, например методом ЭГДА, то определение для
пространственной задачи напряжений , xxz и а для плоской
задачи напряжений н можно выполнить, используя весьма
удобный графический прием [61], Действительно, для этого необходимо
dF dF dF ~
определить лишь значения z , z и z . Для определения, на-
пример, первой величины необходимо для какой-либо вертикали
(х = а, у — Ь) построить график изменения F или 9 в зависимости от из-
dF
менения г. Тогда величина z определяется простейшим геометриче-
ским построением и равна отрезку с, как показано на рис. 101, Совер-
шенно аналогично производится построение и для случая плоской за-
дачи.
131 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Для определения касательной составляющей например в точке/,
. дГ п
необходимо наити соответствующее значение величины 2-^-. Для этого
следует для горизонтальной прямой (у = а, z = b) построить график
изменения величины F или 0 в зависимости от величины х. Затем сле-
дует, как показано на рис. 102, через точку Ai провести касательную.
Тогда, проведя через точку С пересечения плоскости z = b с осью z пря-
мую, перпендикулярную к указанной касательной, получим отрезок с
дР
на оси х, величина которого равна z . Подобным же образом может
dF
оыть определена и величина z •
В случае определения значений функции F экспериментальным пу-
тем на установке ЭГДА необходимо осуществить на плоскости
2=0 в пределах площади загружения распределение потенциала
по закону q(x, у), а вне площади загружения установить нулевой по-
тенциал. Остальную часть ограничивающей поверхности (кроме плос-
кости 2 = 0) целесообразно принять изолированной, что, впрочем, не
особенно существенно, так как при достаточно больших размерах
установки по сравнению с размерами области загружения влияние гра-
ничных условий на удаленных от площади загружения частях граничной
поверхности мало существенно.
е) Произвольная нагрузка по подошве сооружения произвольного
очертания н учет влияния соседних сооружений
Для определения напряжений в какой-либо точке, лежащей на вер-
тикали, проходящей через точку о подошвы сооружения, план которой
показан на рис. 103, может быть использован упоминавшийся уже выше
метод угловых точек [71]. При равномерной загрузке площади подош-
вы все напряжения могут быть найдены путем суммирования напряже-
ний для заданной точки от загрузки прямоугольников:
□ (о) =? а (орпг) — а (ркзг) + а (окпд) -|- о (рбад) + а (оевб) -ф
-'-о (ореж) — а (ОЛНЖ) -ф а (оЛМв).
£ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 135
Аналогичным путем производится определение напряжений от со-
седнего фундамента (фухц), как показано на рис. 103 и 104.
Напряжения в точках на вертикали, проходящей через точку о, опре-
деляются (рис. 104,а) как алгебраическая сумма напряжений от за-
грузки прямоугольников:
□ (о) = о (огуа) 4-а (обхг) — з (овфа) — а (рбцв)
или (рис. 104, 5):
а (о) = с (огуа) — а (огхб) — а (овфа) -f- а (овцб}.
Нетрудно убедиться, что способ угловых точек может быть с успе-
хом применен и в тех случаях, когда на различных частях фундамента
или у двух соприкасающихся сооружений нагрузки на грунт различны.
Действительно, в соответствии с рис. 105 имеем:
□ (о) = а (опав, qv)— з(оикл, у\) -- а (озбв, q}) \ а(озмл, qt) 4-
4~ а (озбв, q2) 4- а (овгж, q2) — а (ознп, q2) — а (опдж, q2).
Рис. 105
V//////Z//AVS/A
Р?у
Кроме ранее приведенных таблиц для определения напряже-
ний . можно рекомендовать также таблицу, составленную К. Е. Его-
ровым [72].
Принимая в выражении (4.27) для напряжений обозначения
b z
и ш--- нетрудно получить выражение:
а, (я, b, г) = У (m, ri) q,
где ' .4
У(т, «)=4г farctg—т * г +
ZIC [ m p l 4 л 2 -г лг
136 Г ли ба IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
тпп (1ч-п2ч-2т2)________
(1 4*____________________________(Д2 + /н3) К1 4- П2 + т2
(4.29)
В качестве примера определим [72] напряжения в точке М. (рис. 106)
от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью 7 = 2,3 кг/см?.
Соответствующие вычисления приведены в табл. 7. Необходимые зна-
чения коэффициентов У (п, пг) определяются по интерполяции по
табл. XII приложений нли по таблице К. Е. Егорова [72] Суммируя по-
лученные при загрузке каждого отдельного прямоугольника напряже-
ния ~ q У (п, tn), находим искомые напряжения в точке А4;
а. = 0,17 4- 0,36 -4 0/20 + 0,09 = 0,82 кг 1см2.
Таблица 7
№ прямо- угольника Отношение сторон прямо- угольника Отношение залапной глубины 10 аг к ширине фундамента тп = Значения функции У (п, т) Значения з --- у- У (п, т) при </ — 2,3 кг еле
п = ь а
1 6,5 п ~ 3,3 = 1,97 10 m — = 3.03 0,0716. 0,17
2 15,0 п~ 6,5 = 2,31 10 0,1568 0,36
3 15,0 п ~ “ЗДГ = 5,00 m = q п- = 3,33 0,0866 0,20
4 3,3 п~ 3,0 = 1,10 10 m = з q = 3,33 0,0406 0,09
4
(План)
Рис. 107
ределяется величинами
Кроме способа угловых точек, в практических расчетах применяется
также простейший способ наложения напряженных состояний от элемен-
тарных нагрузок. Этот способ заключается в
том, что площади подошв как основного соору-
жения А, так и соседнего сооружения Б раз-
деляются на некоторое количество элементар-
ных площадей, как показано па рис. 107, а
распределенная нагрузка заменяется рядом
сосредоточенных сил. Тогда для определения
напряжений в какой-либо точке о следует
определить искомые напряжения от каждой
силы в отдельности и результаты сложить,
В случаях, когда можно ограничиться опреде-
лением только составляющей , она может
быть найдена по выражению (4.23):
Ъ = I (Л, X
где (Ph z) обозначает напряжение
в рассматриваемой точке, положение которой
относительно точки приложения силы оп-
rt и z, a ki обозначает коэффициент в формуле
(4.23), определяемый для каждого значения ~ по табл. XI приложе-
ний. Погрешность от замены распределенной по некоторому прямо-
угольнику нагрузки сосредоточенной силой по данным, приводимым
§ 2, Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 137
Н. А. Цытовичем, не превышает 6%, 3% и 2%, если длинная сторона
прямоугольника соответственно меньше половины, трети и четверти
расстояния от центра прямоугольника до точки, в которой определяется
напряжение. С другой стороны, по данным М. Н. Гольдштейна, в точ-
ках, расположенных глубже, чем утроенная сторона квадратного эле-
мента площади, ошибка от замены распределенной нагрузки сосредо-
точенной силой, приложенной в центре квадрата, не превосходит 5%.
Поэтому при пользовании этим способом для определения напряжений
в точке на глубине z рекомендуется разделить площадь загружения на
элементарные площади примерно с равным отношением сторон, при-
нимая размер большей стороны не больше, чем . Приведенные дан-
ные о погрешностях позволяют решить вопрос о том, как следует про-
извести разделение площади загружения на отдельные элементы.
Для определения напряжений в основании сооружений со слож-
ной конфигурацией подошвы может быть использован также способ,
предложенный В. Г. Лгаловым и М. М. Сокольским, описание которого
приводится М. Н. Гольдштейном [70]. Этот способ с успехом применялся
при расчете осадок ряда крупных зданий Москвы. Следует отметить и
полуграфический способ определения напряжений зг , предложенный
Н. М. Ньюмарком [73], описание которого приводится М. Н. Гольдштей-
ном [70] и Г. П. Чеботаревым [74].
ж) Горизонтальные нагрузки, приложенные к поверхности
основания
При проектировании гидротехнических сооружений имеют большое
значение горизонтальные нагрузки, приложенные к поверхности осно-
вания. Вследствие этого ниже приводят-
ся выражения для составляющей напря-
жения^ и суммы главных напряжений В.
соответствующих приложению к поверх-
ности основания горизонтальной сосредо-
точенной силы и горизонтальной равно-
мерно распределенной нагрузки при пря-
моугольной площади загружения.
Сосредоточенная сила. Для
случая сосредоточенной горизонтальной
силы, приложенной к поверхности основа-
ния, в соответствии с обозначениями на
рис. 108, выражения для и О имеют
вид [58]:
Ь s cos sin 9 cos2 9 = xz'^
о (1м-) Q । о (1 + р) Q
в =----— cos ф sin 0 =
где
/?2=х24-£/24-2:2.
Если сила приложена .не в начале координат, а в точке (£, тД, то>
координаты х и у должны быть заменены на х — £ и у —
Равномерно распределенная горизонтальная на-
грузка. Принимая в выражениях для горизонтальной сосредоточен-
ной силы Q = qdt,dv( и интегрируя в пределах от —а до 4-а и от —Ь
J38 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
до +Ь, получаем выражения для случая загрузки прямоугольной пло-
щади загружения равномерно распределенной горизонтальной нагруз-
кой:
_______(х - Е) dt _______
[(x-E)2 + (y-7i)2 + z2]5/2 ’
0 = с1 +^)<? С С ________(X - Е) cfc dr,____
J J [(х-Е)2 +(у-г))» + ^]^2 *
3^2
2к
—а -Ь
<3
Для точек, расположенных на вертикалях, проходящих через углы
площади загружения, т. е. при х—±а и у~±Ь, в результате интегриро-
вания получаем:
_ а Г п пт2
о, = + —-— —— - .. ------------__________
[ у т2 п2 (1 +m) V1 т2 -р ла
1п Vl+m3 л 4- / тв4-па
т п 1 + пг
где п— ~ и т —— .Выбор знаков перед этими выражениями опреде-
ляется знаком координаты х. При х>0 следует принимать знак минус,
а при х<0 —знак плюс. В таблицах XVI и XVII приложений приво-
дятся [58] значения и q ДЛя Различных значений т и п.
з) Нагрузка сосредоточенными силами, приложенными внутри
основания
В ряде случаев необходимо определять напряжения нли перемеще-
ния, возникающие в основании, ограниченном горизонтальной плоско-
стью, от нагрузки, приложенной не к поверхности основания, а на не-
которой глубине от этой поверхности. Эти вопросы представляют инте-
рес при разработке некоторых методов расчета свай, шпунтовых сте-
нок, при обработке результатов пробных нагрузок в случае исследова-
ния строительных свойств грунтов путем приложения нагрузки к дну
или части боковой поверхности буровых скважин и т. п.
Решения для вертикальной и горизонтальной нагрузок применитель-
но к условиям плоской и пространственной задач были получены соот-
ветственно Е. Меланом [75] и Р. Миндлиным [76]. Ниже приводятся ре-
шение Р. Миндлина для пространственной задачи и решение, опублико-
ванное М. И. Горбуновым-Посадовым [51], для случая плоской задачи,
в котором исправлена погрешность, допущенная Е. Меланом.
Решение Миндлина. Для случая нагрузки вертикальной си-
лой, приложенной на глубине с, выражения для напряжений, в соответ-
ствии с обозначениями на рис. 109, а, имеют вид:
Р [(1—2ц)(г —с) 3x2(z — с) (
а*~ 8х(1— р.) дЗ ...
(1 — 2р.) [3 (X — с) — 4(1 (Z + с)! 3 (3—4(1) х2 (г—с) — 6с (z4 с) [(1 — 2р.) z — 2рс]
Я® “
30cx2z(z + с) 4(1—(i)(l—2(i) I x2 x2 у
/?2 (^2 + х + с) (7?а | z 4- с) ^2 / 1
£ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 139
Р Г(1 — 2р.) (z — с) Зу2 (z — c)
ау~~ 8n (I — р) pf +
(1 — 2р.) [3 (z — с) — 4р. (z + с)] 3 (3—4р.) у1 (z—c) — 6с (z-j-c) [(1—2р.) z—2y.c]
+ Rl «I-------
30cyaz (г + с) 4 (1 — р.) (1 — 2р) / у у2 \
/У (/?з + z +с) у j *
Р Г (1 - 2р) (z — с) (1—2р) (z — c) 3(z-cy
8гс(1 -р)" “ #3 Н “ - ^5
3 (3 — 4р.) z(z-[ с)2 — Зс (z + с) (5z — с) 30cz (z 4- с)3
Ру Г (1 — 2р) 1—2р 3 (z - с)2
V” 8Г(1 .. р.) R3 н
3 (3 — 4р.) z (z + с) — Зе (3z с) 30cz (z 4- с)2 ’
д’ ] ’
Рх Г 1 - 2(1. 1 - 2р. 3 (z — су
т'г “ ~ Ттг’СГ^ТГ [“ “Т^з Ь Rs Rj~
3 (3 — 4р) z (z 4- с) — Зе (3z 4- с) 30cz (z 4~ с)2
__ j ,
Рху Г 3 (z — с) 3 (3 — 4р.) (z — с) ।
8к(1 — pj R^ r5
4(1 —р)(1 —2р.) /I 1 \ 30cz(zH-c)'
+ Rl (R2 + Z + с) \ Яз Ч- z + с + Rz ) R^
__________R_ F(1 ~ 2P) (^~ c) _ (l-2p) (z+7e) 4(l-p)(l-2pj
°r ~ 8r (1 — p.) R$ #3 i _l z 4. c)
3№ (z - c) 6c (1 - 2(i) (z + c)2 — 6c2 (z + c) — 3 (3 - 4p) г2 (z — c)
30cr2z (z 4- c)
Rl
140 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Р(1-2р) ' z — с (3 — 4р) (z 4* с) — 6с 4(1— (UL)
8я (1 — (i) . ^1 (R? 4~ 2 + С)
6с (z 4. с)а
6с2 (z 4- с)
(1-2(1)/?=
Рг
~ “* “8ТС ("1 — р)
1 — 2р.
3 (г — с)2
3 (3 — 4р.) z (z 4- с) — Зс (3z + с) 3Qcz(z 4- с)3
R5 — Ц
На рис. 109, б показано распределение нормальных напряжений
по горизонтальным плоскостям z=0,5c и z=l,5c, а на рис. 109,&
показаны вертикальные перемещения точек, расположенных на поверх*
ности основания (z = 0), при коэффициенте Пуассона р-=0,3,
Выражения для перемещений имеют вид:
Рг Г z — с (3 — 4(1) О — с)
= 16^7Г-^) + —~~r\~~~~
4(1 — (i)(l —2(х) бег (z 4- с)
R-i {Ri-V-z 4- с) £>s
__ Р [ 3-4р. ( 8(1 — рГ — (3 —4р) ( (z-с)2 '
i6^G о - р) + /?2 + +
(3 — 4р) (г 4* с)2 — 2сг
бег О 4- с)2
Графики и таблицы для определения напряжений и перемещений от
вертикальной сосредоточенной силы, приложенной внутри основания,
приводятся в работе В. А. Кофмана [154] и частично в таблицах XVIII.
XIX и XX приложений.
Для случая нагрузки горизонтальной силой, приложенной на глуби-
не с, выражения для напряжений и перемещений в соответствии с обоз-
начениями на рис. ПО, а имеют вид:
Рх ( l-2(i t (1 — 2р) (5 — 4р) Зх2
8it (1 — (1) | дЗ + дЗ ^5
__ JH3 - 4(12х2 _ 4(1—р)(1—2р) / __ x2(3/?3 + z +Q \
/?2 + 2 + с)3 R% (Т?2 + 2 + с) /
+ ^-[зс-(3-2р)(г + .)4--^2-]
У<2 J J
Рх [ 1 — 2р (1 — 2р) (3 - 4(1) Зуа 3 (3 — 4(1) у3
87Г(1 — (1) I ^3 I" /?3 ^5 ^5
4(1 — fi)(l — 2(х) ’ у2 (3/?а 4* z 4- с) "
^(^2 + 4* с)2 #2 (/?24-Z + c)
6с Г t 5у2.
+ -Tg- £ — (1 — 2р) (z-j- с )4- —~2
£ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 141
Px Г 1 — 2fi l—2[i 3 (z — c)2 3 (3 — 4(i) (z + c)2
'8)T(i—(i) ] ^5
R\
6c
Rf
5z (z 4- c)2
c-Hl-2p) (? + <?) +
R}
Pxy I 3(z —c) 3(3 — 4(i) (z 4-c)
V = “ 8^(1 — |x) I ’
6c
+ 7T 1-2p4-
«2
5z (z + с)
p
’8л (1 - (1)
(I - 2p)(z —c) t (I— 2(1) (z-c) 3л2 (z — c)
Rf
л?
Rl
3(3 —4(1) A2 (z + c)
6с
5л2? (z -4- c)"
z (z 4* c) — (1 — 2р.) x2 —
Rl
___Ру_
8л (1 — (1)
1 -2(1
1 - 2(1
3л-2 3 (3 — 4(i) x2
я?
я?
Ri
4 (1 — |i) (1 — 2ji)
Pi (Pi + 2 -f- C)2
A2 (3/?3 + Z + c)
P^ (P'i + C)
6cz /
«г v
5a2
<
P
11 =
2cz
«f
3x2
<
3 — 4(1
•2
(3-4(1) л2 |
Pl +
4 (I-(i) (I-2(i)
-2
/?2 (/?2 + 2 + С)
Pxy Г 1
V= ’16Я(7(1-(1)“И?3
3 — 4[i 6cz
4(1 —[i)(l—2[i) 1
Л?з (Кг+₽+ с)г
Px
W= 16x(7(1
z — c ( (3 — 4fi) (z — c)
~R<
&CZ (z -f- c)
Rl
1
4(1 -fi)(l - 2(1) ]
p% (Pi + z + c)
142 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
На рис. 110, б показано распределение нормальных напряжений
по горизонтальным плоскостям г=0,5с и 2=1,5с, а на рис. НО, s
показаны вертикальные перемещения точек, расположенных на оси х на
поверхности основания (y = z = 0).
Решение Мелана (Горбунова-Посадова). Для случая
плоской задачи при загрузке основания вертикальной сосредоточенной
силой Р (линейной нагрузкой), приложенной на глубине d, функция на-
пряжений, в соответствии с обозначениями на рис. 111, имеет вид [51]:
а для горизонтальной силы Q, в соответствии с обозначениями на;
рис. 112, имеет вид:
О Г 1 „ m — 1 г, m 4-1
= —----------(г — d) (Sj 4- 92)------------7-----х 1п--------]----5—
т к 2 4 / \ 1 । 4„г г2 1 2/п
dxz '
где пг для случая плоской деформации следует принять равным:
I
m = — =
1 — н
н
Тогда напряжения для случая загрузки вертикальной силой, учи-
тывая выражения
__ д2$ ___ dh? _ _ д3ср
” ~д^ ’ °* ~dz2~ ’ = дгдТ ’
имеют вид:
Р (т + 1 Г - d):i (z 4- d} [(z 4 d)2 -j- 2dz] 3dz {d -j- z) x2 "I
л I 2m И + r4
I L rl r2 J
m ~ I V z ~ d 3z 4- d dzx2 1 I
J--------- -------_j_________________ I
' rr2 I ’
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 143’’
Р ( т + 1 Г (г— d)x2 (z 4- d) (х2 + 2d2) — 2dx2
а — — J —-—— ------------------1------------------------
'| 2т?г | г]
8dz (d + z) x2
m — 1 Г z — d z + 3d
4^ [ Tf- +
Px ( m 4- 1 Г {z — d)2 z2 — 2dz — tP 8dz (d + z)2'
т«= V j 2m [ ! J] + ~e
(d+z) 'll
4 f ' .
Г2 J )
и перемещения:
P f 1 Г x2 x2 — 4dz — 2d2 2dzx2
“=7£7|^-(‘ +Л) -^- + 1ППГ,+----------------'+~7T
2 (x2 + dz + d2)
•j. x-
+ -2“ О + vi) -Tj
Х.Г.
x2 + 2d2
2r*
2dzx2 I
d) + x2
Mj ra
_ (l„v) in-l_-2
4 \ 11 n
p ( 1
‘v= { "2
x{z — d)
2r|
1 X
+ 12-arCtg^,/
x (z — d)
~^r~
"h ‘ _4
r2
•2
1
4- arctg
~ arctS ~T=~d
4-3 arctg
2zx '
„2
2
'(z — d)x
+ 4-агс‘8Т^7
"H
i i
2
1 x x (z 4- d) 2 (z 4- d) dzx
+ X arc‘g —л + ~2p- +-----------------—
X X zx
arc‘g +arcf g + 2-4
где £i для случая плоской деформации равно:
а £ обозначает модуль упругости (деформации) основания.
Для случая загрузки горизонтальной силой, приложенной на глуби-
не й?, выражения для напряжений и перемещений, в соответствии с обо-
значениями на рис. 112, имеют вид:
г (*-<02
Qx
тс
/п + 1
2m
d2 — z2 4- 6dz 8dzx2'
J44 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
m — 1 Г 1
4m
1 4z(rf + z)'
_ —
г2 Г2
Qx f m + 1 Г л2 л2 — 4rfz — 2d2 3dz (d 4~ z)2
"ЙГ [7f + + rf
m— 1 Г 1 3 4z(rf + z)'
4m r2 r4
L rl r2 r2 J
(2rfz + л2) (d + z)
r2
8rfz (rf + z) ла
3z + d 4z(z + d)2 1 'i
r2 r2 J J ’
Q f от + 1 Г (z — d) x2
тс j 2m r4
Q f i
x (z - d) 1 z — d 4dx
—r-+_ arctg—+ ^-
(z + rf) X I Z + rf ( (Z + rf) rf + Л2
tf +~arc,g-^------------2dx------7*-----J
(1 >1) Г z-d Z + rf ZX
—5— I arctg —--------3 arctg + 2 -
~ x(z — d) 1 z - rf
_____ + _arctg—.
1 z + rf (z 4- rf)
-r^-arctg .л- - -lx
- - Q.dzx
z^d
+ arctg —-
v=14(1+Vi) +4in “d)2+к*++
z2+6rfz4-3rf2 2rfz(rf + z)2’
“4
r2 J
2r*
3
rf2 — z2 — 2rfz
4- 2dz
(z 4- rf)2 -
vjl-
-у In [(z-d)2^-x2l +
(z-rf)2
2r?
2Гд
1
.4
2z
.2
2
-iln [{z — d?
4
2
4
Нетрудно убедиться, что, принимая в решении Р. Миндлина с—О,
а в решении Е. Мелана (М. И. Горбунова-Посадова) = мы полу-
чаем соответственно решения Буссинеска и Фламана.
Ill; УЧЕТ НЕОДНОРОДНОСТИ ОСНОВАНИЯ
В случае, если то или иное сжимаемое основание сооружения может
быть представлено в виде линейно-деформируемого слоя толщиной Л,
расположенного на совершенно жестком по сравнению с ним (напри-
2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 145
мер, скальном) основании, то распределение напряжений в верхнем
деформируемом слое зависит в основном от соотношения размеров пло-
щади загружения и толщины сжимаемого слоя, а в некоторой степени
и от того, учитываются ли или нет касательные напряжения (трение)
по контактной поверхности между верхним (деформируемым) и ниж-
ним (жестким) слоями основания. Наличие жесткого подстилающего
слоя всегда вызывает увеличение (концентрацию) нормальных напря-
жений ~г по оси приложенной нагрузки, которое по величине тем
больше, чем меньше толщина верхнего слоя по сравнению с размерами
площади загружения. ’
На рис. 113 показаны эпюры нормальных напряжений ~2 по кон-
тактной поверхности для случая плоской задачи в предположении, что
к поверхности основания приложена внешняя нагрузка в виде сосредо-
точенной силы (линейная нагрузка). Эпюра с получена [77] при учете
касательных .напряжений по контактной поверхности, полагая коэффи-
Рис. 113
циент Пуассона верхнего слоя равным 0,5. Наибольшая величина напря-
жений на контактной поверхности равна = 1,291 = 0,882-^-.
Эпюра b соответствует предположению [77, 78, 79], что касатель-
ные напряжения по этой поверхности равны нулю. В этом случае наи-
большая величина напряжений з2 на контактной поверхности равна
-, = 1,441 2у.
Следует отметить, что величина коэффициента Пуассона несуще-
ственно отражается на величинах получаемых напряжений • Так,
например, по другому решению [80] с учетом сил трения, но в предпо-
ложении, что коэффициент Пуассона равен нулю, наибольшие напряже-
ния на контактной поверхности на оси под силой оказались равны
0,827 вместо 0,822 --- , соответствующих значению р = 0,5.
Для рассматриваемого случая неоднородности основания напряжен-
ное состояние достаточно существенно отличается от напряженного
10—В. А. Флорин
146 Глава /V. Определение напряженного состояния оснований сооружений
состояния для случая однородного основания. В этом можно убедиться,
сопоставляя эпюры напряжений а, b и с, показанные на рис. ИЗ.
В частности, отметим, что для случая однородного основания, которому
соответствует эпюра а на рис. 113, напряжение ог в точке, располо-
женной на вертикали, проходящей через точку приложения внешней
сосредоточенной силы Р на глубине z = h, равно:
2Р Л р
г — -—— 0,637 -г- .
г ~Л k
Эта величина заметно отличается от значений для неоднородного
основания, приведенных выше, н показывает, что наличие жесткого под-
стилающего слоя действительно увеличивает концентрацию нормаль-
ных напряжений на поверхности этого слоя.
i.,
я
Таблица 8
z/ft При залегании несжимаемого слоя на глубине
ft = а ft = 2а ft = 5«
0,0 1,000 1,00 1,00г
0,2 1.0О9 0.99 0.82
0,4 1,0'20 0,92 0,57
0.6 1,024 0,84 0,44
0,8 1,0/3 0,78 0.37
1,0 1,022 0,76 0,36
Рис. 114
Аналогичные результаты получаются и
в случае полосовой нагрузки. В табл. 8
и на рис. 114 приводится полученное К- Е.
Егоровым [81] распределение напряжений
по оси равномерной полосовой нагрузки q
для разных соотношений ширины по-
лосы загружения и толщины сжимаемо-
го слоя (при 7=1). Нетрудно убедиться,
что и в этом случае напряжения г, по
оси полосы загружения увеличиваются по
сравнению с решением для однородного ос-
нования.
В случае пространственней задачи при
нагрузке основания сосредоточенной силой
Р по решению [77], полученному с учетом
сил трения в предположении, что коэффи-
циент Пуассона равен 0,5 (эпюра с на
рис. 115), наибольшее значение нормаль-
ного напряжения ч, на контактной поверх-
ЗР
ности получилось равным = 1,557~9
вместо ~2^2- по решению Буссинеска для однородного основания
(эпюра а). Без учета сил трения по контактной поверхности (эпюра Ь}
соответствующее значение [77, 82] равно 1,711 ~ Для ^лУчаев равно-
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрдзки
147
мерно распределенной нагрузки q по круговой н прямоугольным площа-
дям загружения значения напряжений на контактной плоскости
в центре площади загружения [83, 84], найденные в предположении от-
сутствия касательных напряжений по контактной плоскости, приводятся
в табл. 9 (при 7=1).
Таблица 9
_JL (% - 0, у = 0)
9
h,a Круг (радиус а) Прямоугольник Лента (X = со
а = 1 а = 2 а = 3 а ~ 10
0 1,000 1,000 1.000 1,000 1,000 1,000
0,25 1,009 1.009 1,009 1,009 1.009 1,009
0,5 1,064 1,053 1,033 1.033 1,033 1,033
0,75 1,072 1,082 1,059 1,059 1,059 1,059
1 0.965 1,027 1,019 1,026 1,025 1.025
1,5 0,684 0.762 0,912 0.911 0.902 0,902
2 0,473 0.541 0,717 0.769 0,761 0,761
2,5 0,335 0,395 0,593 0,651 0,636 0.036
3 0,249 0.298 0.474 0.549 0,560 0.560
4 (’.148 0,186 0,314 0,392 0.439 0,439
5 0,098 0.125 0,222 0,287 0.359 0,359
7 0,051 0,065 0,113 0,170 0.262 0.262
10 0,025 0 032 0,()f 4 0,093 0,181 0,185
20 0 006 0.008 0,016 0,024 0,068 0,086
50 0.001 0,001 0.003 0,0j5 0.014 0,037
оо 0 0 0 0 0 0
Если подстилающий слой нельзя принять совершенно жестким, то
основание приходится рассматривать как двухслойное, т. е. считать, что
оно состоит из двух слоев с различными деформационными свойствами.
Такие задачи рассматривались К. Маргерром, К- Е. Егоровым,
Р. М. Раппопорт и др.
К. Маргерром [82] приводится решение для случая загрузки двух-
слойного основания сосредоточенной силой в условиях плоской и про-
148 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
странственной задач (рис. 116, а), рассматривая верхний слой как не-
ограниченно простирающуюся плиту в предположении, что влияние сил
трения по контактной плоскости, разделяющей слои, можно не учиты-
вать.
Распределение нормальных напряжений по контактной поверх-
ности для рассмотренных К. Маргером случаев показано на рис. 117,
.где ™ и * соответствуют плоской и пространственной задачам. Орди-
наты кривых, показанных иа рис. 117, должны быть соответственно
Р
умножены для плоской задачи на — и для пространственной задачи
на -та- где h обозначает толщину слоя. Величина f обозначает:
1 2
/= ж
J Еч i _ р.2 ’
а индексы 1 и 2 соответствуют обозначениям на рис. 116. а.
Полученные К. Маргерром решения для плоской и пространствен-
ной задач прн f= 1, т. е. при одинаковых деформационных свойствах
Рис. 117
обоих слоев, весьма близки к соответствующим решениям для однород-
ного основания. Исходя из этого, К- Маргерр пришел к заключению,
что пренебрежение касательными напряжениями по контактной поверх-
ности несущественно отражается на эпюрах напряжений .
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 149
1 ( «л
—-чг (z - Л)
q
Таблица 19
hja V -- 1 v = 5 v = W ч 15
0 1,00 1,00 1,00 1.00
0,5 1,02 0,95 0,87 0.82
1.0 0,90 0,69 0,58 0.52
2,0 0,60 0,41 0,33 0,29
3.33 0,39 0,26 0,20 0,18
5.0 0,27 0,17 0,16 0,12
К. Е. Егоров [85], рассматривая случай двухслойного основания, за-
груженного полосовой нагрузкой (рис. 116, б), также не учитывал влия-
ния сил трения по разделяющей плоскости.
Результаты решения
К. Е. Егорова в части
определения напряжений
на контактной плос-
кости по оси полосовой
нагрузки, когда более же-
сткий слой подстилается
слабым (v> 1), представ-
лены в табл. 10, где *
представляет собой вели-
чину, обозначенную в ре-
шении К. Маргерра че-
рез f. Полученные К- Е.
Егоровым результаты в
случаях, когда толщина
верхнего слоя h больше
четверти полной ширины
полосы загружения (т. е.
—>0,5), приводят к до-
статочно существенным отклонениям от результатов для однородного
основания, которым приближенно соответствуют значения при
v=l (приближенно, так как при этом по контактной плоскости каса-
тельные напряжения отсутствуют). В противном случае учет неоднород-
ности основания не вносит существенных изменений.
Р. М. Раппопорт [86] рассмотрела случаи плоской и пространствен-
ной задач (рис. 116) при загружении двухслойного основания сосре-
доточенными силами, равномерно распределенной нагрузкой по площади
круга и равномерно распределенной полосовой нагрузкой. При этом ею
было показано, что отсутствие учета сил трения по контактной плоско-
сти, разделяющей слои, вызывает погрешности в определении напряже-
ний а, до 22% (рис. 118). Погрешность же при определении других
составляющих напряжений еще больше. Для наибольших касательных
напряжений (рис. 119) погрешность достигает 110%, а некоторые зна-
чения напряжений получаются даже обратного знака. Поэтому
представляется необходимым при расчете двухслойного основания учи-
тывать силы трения по плоскости раздела. Этот учет на 30—50% при-
ближает значения напряжений для двухслойного основания к значе-
ниям для однородного основания, вследствие чего можно прийти к за-
ключению, что влияние учета неоднородности основания на самом деле
значительно меньше, чем то получается по решениям, пренебрегающим
150 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
касательными напряжениями по контактной плоскости, разделяющей
слои с различными деформационными свойствами.
/г2
=----- а.
Я
Таблица И
° 0,25 0,50 0,75 ! 1,0 1 5,0 | 10,0 15,0 20,0
0 0 689 0,608 0.552 0,510 0,477 0.258 0,177 0,139 0,116
05 0 508 0.453 0,413 0,385 0 363 0,206 0,146 0,121 0,099
1 0,266 0.244 0.228 0,216 0,206 0,134 0,102 0,085 0.072
1,5 0 137 0,130 0,124 0,121 0,117 0,089 0,073 0.063 0,056
2 0,079 0,077 0,075 0,073 0,072 0,062 0,054 0,048 0,044
для случая про*
Л2
В табл. 11 приводятся значения kt =----------зг
странственной задачи (равномерно распределенной нагрузки на круго-
вой площади загружения) в
точке пересечения оси сим-
Рис. 119
метрин площади загружения
с контактной плоскостью 2=
= h, а на рис. 120 — графи-
ки для определения этих на-
пряжений при различных
значениях m и ₽. Величина
Q а
и , где а обозначает ра-
диус круглой площади за-
гружеиия, q—интенсивность
равномерно распределенной
нагрузки, а величина Л —
толщину верхнего слоя. Ве-
личина m равна величине,
обозначенной в решении
КМаргерра через f. Из рас-
смотрения табл. 11 и рис.
120 следует, что при значениях = =2
и больших, т. е. когда толщина слоя равна или меньше четверти диа-
метра площади загружения, величины напряжений в точке пересече-
ния оси симметрии с контактной плоскостью (г—0, z=h) как при уче-
те неоднородности основания, так и без такового учета практически
совпадают. Если — = 1,т. е. толщина верхнего слоя равна полови-
не диаметра площади загружения, то величина з, при учете неодно-
родности основания в предположении абсолютно жесткого подстилаю-
щего слоя (т. е. при т = 0) получается равной 0,266 г а без учета
неоднородности — 0,206 .
В результате, можно прийти к заключению, что учет неоднородности
основания, в соответствии с вышеприведенными решениями для плоской
и пространственной задач, следует производить тогда, когда толщина
верхнего 'Слоя достаточно велика (не меньше четверти или половины
полной ширины полосы или диаметра площади загружения), и только
в тех случаях, когда различие деформационных характеристик доста-
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 151
точно велико. Поэтому при выполнении практических расчетов осно-
ваний сооружений неоднородность основания следует учитывать
только в тех случаях, когда либо верхние песчаные или глинистые
слои подстилаются скальным основанием, либо если мало деформи-
руемый верхний слой,
представленный, напри-
мер, полускальным грун-*
том, плотной глиной и
т, п., подстилается весьма
слабым грунтом, напри-
мер илистым или глини-
стым грунтом высокой
влажности и т. п, В про-
тивном случае неоднород-
ность, основания можно
не учитывать,
IV, УЧЕТ АНИЗОТРОПИИ
ОСНОВАНИЯ
Рис, 120
Для случая анизотроп-
кого основания имеются
некоторые решения, полученные С, Г, Лехннцким [87], А, В, Степа-
новым [88], Г, Н. Савиным [89], К. Вольфом [90] и др. применительно
к различным условиям плоской и пространственной задач для сосредо-
точенных вертикальной н горизонтальной сил, приложенных к поверх-
ности основания, и для некоторых других видов нагрузки. Ниже при-
водится простейшее решение, опубликованное К. Вольфом.
Анизотропия основания определяется в этом решении различием
модулей упругости (деформации) в вертикальном (Е-) и горизонталь-
ном (Ех) направлениях, тогда как коэффициент Пуассона j* прини-
мается одинаковым в обоих направлениях, а модуль сдвига прини-
мается в виде:
Тогда зависимости между напряжениями и деформациями прини-
мают вид:
/ 1 , 14-2[i \
Ьг ( pz “Г р v ) »
а выражение для объемной деформации
е
_ 1 — Iх
£.Г
В таком случае решение для плоской задачи при загрузке основа-
ния сосредоточенной вертикальной силой имеет вид:
2Р
<3_S= — k------
* К
x?z
r2r\
152 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
где
, 2Р 2з
~ k ------Т- ,
ТС Г2Г2
2Р xz2
х^==~ k ~ ’
Г2=Л24-Д2, к^Л/Г-Е^'
1 ' г Ei
Сопоставляя это решение с решением Фламаиа (4.9) для случая од-
нородного основания, можно убедиться, что при Ei = E2, т. е. прн 6=1 и
г/=г, решение К. Вольфа в точности совпадает с решением Фламана.
Рассмотрение этого решения показывает, что в направлениях, в кото-
рых деформируемость основания меньше по сравнению с решением для
однородного основания, происходит концентрация (увеличение) напря-
жений, а в тех направлениях, в которых деформируемость основания
больше, напряжения становятся меньше.
V. СЛУЧАИ НЕПРИМЕНИМОСТИ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Если размеры областей предельного напряженного состояния не мо-
гут быть признаны настолько малыми, чтобы влиянием этих областей
на распределение напряжений в основании сооружения можно было бы
пренебречь, то для определения напряженного состояния основания
приходится прибегать к одному из следующих способов.
Во многих случаях вследствие отсутствия решений смешанной за-
дачи теории упругости н теории предельного равновесия, представляю-
щих практический интерес прн проектировании оснований сооружений,
все же применяют для определения напряженного состояния основания
решения теории упругости, несмотря на то, что эти решения недостаточ-
но хорошо соответствуют действительному напряженному состоянию ос-
нования.
Часто, однако, применяют и другие способы определения напряжен-
ного состояния основания, прибегая для этого к различным упрощен-
ным приемам. Применение такого рода приемов обосновывается тем,
что как применение этих более примитивных способов, так и примене-
ние решений теории упругости приводит в рассматриваемых условиях
к более или менее равноценным в отношении соответствия действитель-
ности результатам.
Из числа таких упрощенных способов остановимся только на спо-
собе А. Шейдига [91], применявшемся строителями канала Волга—Мо-
сква [92], принимая при этом некоторые упрощения.
Предположим, что к плоской поверхности основания приложена
равномерно распределенная нагрузка (?о- Для построения эпюр нор-
мальных напряжений иа различных глубинах будем предполагать
(рис. 121), что прямые АА{ и ВВ^, наклоненные к вертикалям, проходя-
щим через края полосы АВ под углами а, являются предельными пря-
мыми, ограничивающими область, в которой возникают напряжения под
рассматриваемой нагрузкой. При этом предполагается, что напряжения
в областях OAAi и ОВВ^ настолько малы, что ими можно пренебречь.
Проведем далее через точки А и В прямые, параллельные прямым
AAi и BBit до пересечения их в точке С. Для построения эпюры напря-
жений о? по любой горизонтальной прямой, расположенной выше
точки С, следует построить трапецию, нижнее основание которой ad
совпадает с этой горизонтальной прямой, а верхнее основание
§ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 153
b]Ci = bc равно расстоянию между точками Ъ и с пересечения прямой ad
с прямыми АС и ВС. Высота трапеции должна быть определена из ус-
ловия, чтобы ее площадь была бы равна площади эпюры внешней на-
трузки. Так как AB—ac—bd=aIc~cdl, то из условия равенства пло-
щадей эпюр напряжений площади эпюры внешней нагрузки сле-
дует, что (?o=Vi=<72; это обозначает, что для всех эпюр, расположенных
выше точки С, высоты всех трапеций равны qQ. Ниже точки С эпюры
напряжений з2 принимаются в виде треугольников, высоты которых
определяются из условия;
= 4- Я-А (2а 4-2ztga),
В случае внецентренного приложения внешней нагрузки с эксцент-
риситетом е эпюры напряжений по горизонтальным прямым, располо-
женным выше точки С, имеют вид несимметричных четырехугольников.
Построение этих четырехугольников отличается от случая симметрич-
ной нагрузки только тем, что показанные на рис, 122 ординаты и <?;
в этом случае неравны и должны быть определены из условий:
во-первых, площадь четырехугольной эпюры напряжений должна,
быть равна площади трапеции внешней нагрузки;
во-вторых, центр тяжести четырехугольной эпюры напряжений дол-
жен находиться на расстоянии е от оси полосы загружения.
Ниже точки С эпюры напряжений принимаются, как и при симмет-
ричной нагрузке, треугольными и должны удовлетворять тем же двум
условиям.
Нетрудно убедиться, что для четырехугольных эпюр эти условия,
приводят к тому, что ординаты и (/1 должны быть равны:
t 9 о (bi + й) + (А
я ?o(6i + д) + ?о (&i — а)
где величина Ь\ обозначает, как показано на рис. 122, половину длины
каждой эпюры.
Для треугольных эпюр, указанные условия приводят к тому, что
154 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
вершины этих эпюр получаются сдвинутыми в сторону от оси основа-
ния на 3 е.
При определении напряженного состояния основания этим способом
величина угла а может приниматься равной: для песков около 45°, для
а) I*-- а-25,0 -
Рис. 123
плотных глин малой влажности 45°—60° и для слабых грунтов типа
илов, глин высокой пористости и влажности и т. п. около 30°.
Отметим, что при а=45°—60° эпюры напряжений о2 по гори-
зонтальным сечениям основания, соответствующие равномерно распре-
деленной полосовой нагрузке, получаются [93], как показано на
рис, 123, а, достаточно близкими к аналогичным эпюрам, построенным
$ 2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки 255
в соответствии с решением теории упругости и нанесенным на
рис, 123 пунктиром. При меньших углах а концентрация напряже-
ний ог у оси полосы увеличивается (рис. 123, б), а при больших уг-
лах — уменьшается.
Для пространственной задачи этот способ может быть несколько
видоизменен и представлен в следующем виде.
В верхней части (рис. 124) на глубинах от точки О до С эпюры на-
пряжений принимаются в виде, показанном на рис. 125.
Объем усеченного обелиска высотой h с прямоугольными основа-
ниями, стороны которых равны а, Ь, и как известно, определяется
.выражением:
h
д? = -g- [ab Д (а Д aj (b Д Д аЛ].
Рис. 124
Рис. 125
Принимая во внимание, что для определения объема эпюры напря-
жений на глубине z стороны оснований эпюры следует принять равны-
ми (2аД2т), (2б.Д2т), (2а—2m) и (2Ь—2m), где т = г tgx, находим
объем эпюры напряжений:
д? = -^- [4(а Д т) (Ь Д т) Л-4а-4Ь Д 4 (а - т) (Ь — т)] =
= ~~ (т2 Д 3ab) q}.
Так как равнодействующая внешней нагрузки равна:
‘V = 2a2bqG,
то, приравнивая объем эпюры напряжений равнодействушей внешней
нагрузки, находим:
4
4ай^0 = — (m2 Д 3ab) qit
откуда:
__ ЗаЬ
У* т2 Д ЗаЬ ^й‘
На глубинах от точки С до точки D эпюры напряжений могут при-
ниматься в виде, показанном на рис. 126. В этих эпюрах, как и раньше,
m = z tga, а объем эпюры напряжений равен:
д? = [4 (a Д т) (Ь -Д т) Д 2 (а Д т) 4Ь\ = (а-Д m) (3b -\-m)qx.
156 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Тогда
2
= ~{а-\-пг) (ЗЬ те) q 1(
откуда:
(а + от) (ЗЬ + от)
На глубинах ниже точки D эпюры напряжений могут приниматься
пирамидальными, как показано на рис. 127. Объем эпюры равен:
v = 1 2 (Ь 4- те) 2 (а 4- те) qx ,
о
откуда
4
4abqQ = -g- (£? + те) (tz + те)
и
__ ЗаЬ
У* (a-(-m)(b+m) У®'
Для случая внецентренной нагрузки эпюры напряжений будут, есте-
ственно, несимметричными. Кроме условия равенства объемов эпюр
в этом случае должно быть соблюдено второе условие, выполняемое
при симметричной нагрузке автоматически и заключающееся в том.
что центры тяжести эпюр напряжений и эпюры нагрузки должны нахо-
диться на одной вертикальной прямой. Вследствие того что выражения
для несимметричной нагрузки получаются более громоздкими, они
здесь не приводятся. Составление их производится аналогично тому,
как это выполнялось при плоской задаче.
Следует отметить, что, несмотря на неподходящие в ряде случаев
условия для определения напряженного состояния основания с по-
мощью решений теории упругости, применение этих решений оказы-
вается иногда все же лучшим, чем использование гех или иных чрез-
мерно условных способов определения напряжений. Конечно, при до-
статочно больших размерах областей предельного .напряженного со-
стояния основания необходимо вводить те или иные поправки, учиты-
вающие влияние этих областей. В частности, следует раньше всего учи-
тывать влияние этих областей на очертание эпюр напряжений по по-
дошвам сооружений, определение которых приводится в главах V н VI.
Если сооружение жесткое, то распределение напряжений по подошве
при больших размерах областей предельного напряженного состояния
приближается к равномерному, параболическому, а иногда даже тре-
$ 3. Фильтрационные силы и фильтрационные напряжения в грунте 157
угольному или пирамидальному с наибольшей ординатой по оси пло-
щади загружения. В случае плоской задачи его часто принимают рав-
номерным или трапецеидальным. Тогда дальнейший расчет по опреде-
лению напряжении в основании сооружения можно выполнить,
используя для этого соответствующие решения теории упругости, что
можно рассматривать как один нз приемов приближенного расчета.
Такой прием несколько преуменьшает концентрацию напряжений по
оси площади загружения.
Можно полагать, что применение решений теории упругости при
надлежаще выбранном очертании эпюры напряжений по подошве со-
оружения и упрощенных способов расчета является более или менее
равноценным.
В заключение следует отметить, что перераспределение напряжений
по подошве сооружений и в примыкающей к ней части основания (что
имеет с инженерно-строительной точки зрения основное значение)
в значительной мере зависит от размеров областей предельного напря-
женного состояния. Поэтому мы не приводим здесь способов расчета,
учитывающих, что отклонения от решений теории упругости опреде-
ляются другими менее существенными факторами. Мы не приводим
также описания способа, предложенного Н. Н. Ивановым [94] и
О. К. Фрелихом [95], в котором напряженное состояние основания опре-
деляется некоторой величиной, называемой «коэффициентом концент-
рации». Величина «коэффициента концентрации» для одного и того же
грунта, но при разных размерах сооружения и различных по величине
нагрузках на основание изменяется. Однако какого-нибудь достаточно
обоснованного способа определения этой величины для крупных соору-
жений, например гидротехнических, с учетом влияния указанных выше
факторов не имеется.
§ 3. ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ СИЛЫ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ В ГРУНТЕ
Как известно из теории фильтрации, движение воды в земляной сре-
де возникает вследствие различной величины напоров в разных точках
земляной среды. Это движение происходит таким образом, что в каж-
дый момент времени так называемые линии тока абв, а'б'в' и т. д., сов-
падающие в случае установившегося движения с условными осреднен-
ными траекториями движения жидкости (рис. 128), перпендикулярны
к линиям равных напоров ад, г’д!, г"д" и т. д.
При движении свободной воды в порах грунта между нею и твер-
дыми частицами грунта с примыкающей к иим связанной водой возни-
кают силы взаимодействия (рис. 129) в виде:
а) сил трения на поверхности раздела между движущейся водой и
неподвижной водой, остающейся связанной с твердыми частицами
грунта;
б) нормальных сил или давлений в воде, распределенных неравно-
мерно по поверхности твердой частицы грунта или, точнее, по поверхно-
сти связанной воды, не увлеченной фильтрационным потоком.
Результирующая всех этих сил представляет воздействие фильтра-
ционного потока на одну твердую частицу грунта.
Равнодействующая таких элементарных равнодействующих, прило-
женных ко всем частицам, находящимся в некотором единичном объеме
грунта, например в 1 см3, называется интенсивностью объемных фильт-
рационных сил.
158 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Таким образом, воздействие фильтрационного потока на скелет
грунта выражается в виде объемных фильтрационных сил, интенсивность
которых различна в различных точках грунта. Обратно, воздействие
Рис. 129
скелета грунта иа фильтрационную воду или иную движущуюся в нем
жидкость выражается в виде названных Н. Н. Павловским «тормозящих
сил», равных по величине, но обратных по направлению фильтрацион-
ным силам.
а) Определение интенсивности фильтрационной силы
Для того чтобы определить интенсивность фильтрационной силы в не-
которой точке земляной среды, выделим в направлении линии тока, как
показано на рис. 130, элементарную трубку и рассмотрим силы, дей-
Рис. 130
ствующие на воду, движущуюся в
порах земляной среды, заполняю-
щей эту трубку.
В соответствии с обозначениями
на рис. 130, эти силы сводятся и.
следующим:
а) Давление воды в сече-
нии tn трубки, где р обозначает
давление на единицу площади и <« —
площадь трубки.
б) Давление воды J
в сечен ни п трубки, где — dS
обозначает приращение давлений
в жидкости на длине ds.
в) Воздействие скелета грунта на воду, т. е. тормозящая сила
F u>dsy где F обозначает интенсивность тормозящей силы, т. е. ее величи-
ну на единицу объема грунта, a wds обозначает объем элементарной
трубки. Силу F условно считаем направленной по оси з.
г) Сила тяжести воды, заполняющей поры грунта — 7<о ds, где
--объем пор в единице объема грунта и 7 — объемный вес
воды.
д) Силы, обратные силам взвешивания твердых частиц грунта в
воде, равнодействующая которых в пределах объема трубки тп при
1 , 1 „
полном взвешивании равна - увз ds, где — обозначает объем
1 + Е * 1 + Е
скелета грунта в единице объема. Учет этих снл представляется не-
$ 3. Фильтрационные силы и фильтрационные напряжения в грунте 159
обходимым по следующим соображениям. Если вода взвешивает твер-
дые частицы и воздействие ее выражается в приложении к скелету грун-
та направленных снизу вверх сил, равных весу вытесненной скелетом
воды, то, обратно, скелет грунта оказывает воздействие на воду в виде
сил, равных им по величине, но направленных сверху вниз. Эти силы
называют иногда силами, обратными .архимедовым.
Пренебрегая вследствие малости скоростей фильтрации силами'
инерции и проектируя все перечисленные силы на направление оси
получаем: -'г
р® — 1р -|—ds\ <о Д- A) ds~ —fco ds sin а — -у—- Т!> sin а = О,
откуда:
~~ -р F—т sin а = О,
as 1 * *
или
С ('Р г
г — 4- т sin а.
ds 1 1
Имея в виду, что
дх
г + "йТ ds
ds
получаем:
Учитывая, что прн исследовании явлений фильтрации при достаточ-
но мелкозернистых грунтах скоростным напором вследствие малости
скоростей фильтрации допустимо пренебречь, можно представить на-
порную функцию как сумму геометрической и пьезометрической высот:
\ I /
Тогда получаем выражение для фильтрационной силы в виде:
Ф — — Г = - .
* ds
Проектируя эту силу на направления осей х, у и z, получаем выра-
жения для объемных фильтрационных сил:
ал г? дН , . dH л
Х~ф г — — F,~ — Y -з— cos (s, 4) ~ ,
х х • ds ’ 1 1 дх ’
r=0y=-F,=-T-5rcos(s, у) = -т 17 • (4.зо)
Z = Ф, = — Рг = - 7 cos (s, z) = — 7 —
или в векторной форме:
ф — — Д ~ — 7 grad Н.
б) Определение фильтрационных напряжений
Объемные фильтрационные силы, воздействуя на скелет грунта,,
вызывают в нем соответствующие напряжения, называемые фильтра-
ционными. Для их определения следует принять во внимание, что в
160 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
условиях существования гидротехнических сооружений применение тео-
рии упругости для определения напряженного состояния основания
представляется, как указывалось ранее, большей частью вполне допу-
стимым вследствие относительно малых размеров областей предельного
напряженного состояния грунта.
Поэтому определение фильтрационных напряжений в условиях
плоской задачи, учитывая зависимости (4.30), сводится к решению си-
стемы уравнений:
O'.v I I V дН — П I d°z I _ дИ —d
dx ' dz ' дх ’ dx ’ dz ' dz 3
, t . 1 / dX . dZ \ 1 , j_r n
V- (’, + ) = - ТГ7 (-jj- + -S-) = - f V H= 0
(4.31)
при надлежащих граничных условиях.
В этих уравнениях объемные силы приняты равными:
ОН '7 01-1
Х==ф^-1~дТ и Z=0, = -T-5r,
а напорная функция Н для установившегося фильтрационного потока
удовлетворяет, как известно, уравнению Лапласа, вследствие чего
\2Н = 0. Приведенные уравнения написаны, как и раньше, в предпо-
ложении обратного правила знаков по сравнению с принятым в теории
упругости.
Граничные условия при определении фильтрационных напряжений в
грунте сводятся к тому, что нормальные и касательные напряжения на
граничной поверхности должны быть равны нулю, так как предпола-
гается, что никакой внешней нагрузки не приложено.
Обозначим через а* и напряжения, возникающие в зем-
ляной среде только от внешней фиктивной нагрузки, распределенной по
граничной поверхности и направленной нормально к этой поверхности.
Интенсивность этой нагрузки в каждой точке граничной поверхности при-
нимается равной произведению объемного веса воды у иа значение
напорной функции в той же точке граничной поверхности. В таком
случае очевидно, что эти напряжения удовлетворяют уравнениям (4.31),
дн он
если отбросить в них члены у и у .
Нетрудно убедиться, что напряжения, возникающие от воздействия
фильтрационного потока, могут быть представлены в виде:
(4-32)
Действительно, подставляя эти выражения в систему (4.31), получаем:
d~sx дн dzs Afj
~дх Т ~дх~ “* ~dz~ 1 Т ~~дх = U’
д^Хг ( дН t дн } <4-33)
^т + ~дГ ~^~dz =
у- (□£ + О* — 2у//) = у2 (с£ + ар — 2уу2// = у2 (з* | ар = 0. ]
§ 3. Фильтрационные силы и фильтрационные напряжения в грунте
161
Так как:
дЛг
dx dz v’
dts
____— -|-------z— = л
dx ' dz *
то выражения (4.32) действительно удовлетворяют уравнениям (4.33),
а следовательно, и уравнениям (4.31).
В отношении граничных условий также не представляет затрудне-
ний показать, что решение (4.32) удовлетворяет этим условиям. Дей-
ствительно, так как фиктивная нагрузка на граничной поверхности при-
нималась нормальной к этой поверхности, то очевидно, что касатель-
ные напряжения на граничной поверхности равны нулю. Что же касает-
ся нормальных напряжений на граничной поверхности, то они обраща-
ются в нуль, так как разность граничных значений напорной функции и
граничных нормальных напряжений, распределенных по закону гранич-
ных значений напорной функции, очевидно, равна нулю. Таким образом,
выражения (4.32) действительно являются решением поставленной за-
дачи о фильтрационных напряжениях, обусловленных воздействием
установившегося фильтрационного потока.
В качестве примера рассмотрим случай определения фильтрацион-
ных напряжений применительно к условиям, показанным на рис. 131.
Для этого случая решение уравнения Лапласа = удовлетво-
ряющее граничным условиям:
при з=0 и % О Н = h2t
х > О Н — h^
имеет, как известно [24], вид:
//=Ai + 4arctg^- ,
где
h = h.2 - hx.
Тогда, загружая поверхность основания нагрузками уА, и ~[h2t рас-
пределенными по закону граничных значений напорной функции, как
показано на рис. 132, получаем в соответствии с извес1ным решением
теории упругости [96]:
V L. 1 / I Z . XZ \
= + “ prc‘g-F + •
11—В. А, Флорин
162 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
. , ih. ( , z xz \
тд, 4—— arctg—-------=-------— ,
111 it I ° X Л'2 -J- / ’
г2
Z*z п x2 + z2
где величина arctg изменяется в пределах от 0 до ж. При х>0 и
z О, arctg ~—> О, а при х<0: и г -+ 0, arctg "" ~-
В результате, в соответствии с решением (4.32) и обозначениями на
рис. 131, находим:
7Л XZ
sin 2а
х1 Z2 ’
7Й xz -fh . п
а- =-----*----х-—— —---------5— sin 2а,
г к х2 + z2 2тс *
7ft z2
тс X2 Z2
т/г • 2
— -—sinJa.
Полученные результаты показывают, что величины напряжений не
изменяются вдоль прямых, проходящих через начало координат.
Нетрудно показать [97], что в случае пространственной задачи при
плоской поверхности основания решение, аналогичное приведенному вы-
ше для случая плоской задачи, имеет вид:
°у = '°: -
= °z —
(4.34)
Здесь индекс слева у напряжений f~? и показывает, что
в выражениях для этих напряжений, приводимых в теории упруго-
сти, следует принять ц =0,5. Тогда выражения (4.34) будут удов-
летворять уравнениям теории упругости, полагая в последних коэффи-
циент Пуассона равным любой величине. Если же поверхность основа-
ния неплоская, то выражения (4.34) удовлетворяют системе уравнений
теории упругости только в том случае [97], если в этих уравнениях при-
нять р —0.5. Принятие коэффициента Пуассона равным половине су-
щественно ие отражается на распределении напряжений в основании со-
оружения.
Определение фильтрационных напряжений может производиться по
выражениям (4.32) и (4.34) ие только в случае, когда основание пред-
ставлено лннейно-деформируемой средой, но н при других расчетных
моделях грунта. При этом напряжения и т. п. должны
быть определены в соответствии с принятой расчетной моделью грунта
в основании сооружения.
В случаях, когда поверхность основания плоская или приближенно
принимается плоской, фильтрационные напряжения могут быть пред-
ставлены, кроме того, в виде:
в случае плоской задачи
дН дН
И Z'*~ дх ;
(4.35)
§ 3. Фильтрационные силы и фильтрационные напряжения в грунте /63
в случае пространственной задачи
т
ху
С &Н .
„ -у-az.
] дх ду
дН
дх ’
(4.36)
ах = — 7Z
~xz
°у =— I2
дН
дН
= — У? ~—
Уг * ду
Нетрудно проверить непосредственной подстановкой, что эти выра-
жения удовлетворяют уравнениям теории упругости. Действительно,
для случая плоской задачи, учитывая, что Н — 0 и подставляя выра-
жения (4.35) в уравнения равновесия и совместности:
. дН дЧ/ дН ()-!! . дН
дх dz дх дх-ду дх дх -ду~^~ дх ’
&схЛ , дз2 . дН д2Н дН ч д-Н . дН л
-ST + ST + f йГ = - 1г f -дГ - SIT + f 'аГ = °’
2
получаем, что они тождествен-
но удовлетворяются. Совер-
шенно очевидно выполнение
граничных условий, заклю-
чающихся в том, что на гра-
ничной поверхности, т. е. при
2 = 0, нормальные и касатель-
ные напряжения °г и ^Х2 об-
ращаются в нуль.
Аналогичным путем можно
проверить правильность выра-
жений (4.36) для случая про-
странственной задачи при плоской поверхности основания.
В качестве примера приведем тот же случай, который был рассмот-
рен при описании первого способа. Так как напорная функция имеет вид:
£_Г , , h , z
Н = hx-\- —arctg— ,
то в соответствии с решением (4.35)
могут быть представлены в виде:
дн h 1
^ = 1^ = ^—-----------•
1 + х^
фильтрационные напряжения
1
7Л xz
дН
ъ2 = — -rz - . - = —
г 1 dz
XZ
X2 + Z2
г*
дН h 1
= = ----------------
lh
tz х2 4- z2- ’
z
£1
х?
в точности совпадающем с приведенным ранее решением.
Основываясь на решении (4.35), можно предложить следующий
графический способ решения задачи. Для определения в некоторой
точке М с координатами х и z численной величины напряжений д и
> равной > проведем (рис. 133) через точку Л1 вертикальную.
11*
16$ Iлава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
прямую и построим на ней эпюру напоров Н. Проведя из точки М го-
ризонтальную прямую, найдем ее пересечение Л4] с эпюрой Н. Прове-
„ лд дН
дя в точке Mi касательную и вертикаль, получаем, что величина
равна тангенсу угла а. Отсюда:
дН
где отрезок с может быть определен путем непосредственного измере-
ния на чертеже.
Для определения в некоторой точке 'M(x,z) напряжения ълг сле-
до ту ,,
дует определить величину . Для этого проведем через точку М
(рис. 134) горизонтальную прямую и построим на ней эпюру измене-
ния напоров Н. В точке пересечения М' кривой напоров Н (х, Ь) с вер-
тикалью, проходящей через точку М, проведем касательную. Тогда
tga=-~-. Проведем через точку А1 прямую, перпендикулярную этой
касательной. Тогда, учитывая, что углы
. д/I ~
t?=ztga---= г—— . Отсюда имеем, что т
а и а, равны, получаем, что
= yc; длина отрезка с может
быть измерена на чертеже.
Имея сетку движения,
полученную при плоской по-
верхности основания любым
способом, например мето-
дом ЭГДА, можно указан-
ным графическим построе-
нием определить напряже-
ния в любой точке основа-
ния. В случае неплоской
поверхности основания или
при наличии шпунтов реше-
ния значительно усложня-
ются.
В заключение отметим,
что, складывая нормальные
составляющие фильтрационных напряжений, можно получить:
для плоской задачи:
0 = 05 — 2777, j
для пространственной задачи: । (4.37)
0 = 05__ 3;7/, I
где 0 обозначает сумму главных напряжений
Из выражений (4.37) следует, что в случаях, когда:
Я = Л-9», 1
или . (4.38)
//=4-0»,
Т :1 ; 37 )
фильтрационные напряжения не вызывают изменения суммы действую-
щих в каждой точке основания напряжений, так как 0 = 0. В этом слу-
чае не происходит изменения пористости, так как изменение пори-
§ 4. Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 165
стости, согласно изложенному в главе III, обусловливается изменением
суммы главных напряжений.
Зависимости (4.38) имеют место только при плоской поверхности
основания, а в случае пространственной задачи при дополнительном,
кроме того, условии р = 0,5. Утверждение, что при плоской поверхно-
сти основания сумма главных напряжений в каждой точке основания
равна нулю (т. е. В =0), может быть легко проверено на решениях
(4.35) или (4,36).
В заключение отметим, что в точках, в которых фильтрационные на-
пряжения получаются отрицательными, т. е. растягивающими, они,
складываясь с напряжениями от собственного веса грунта и напряже-
ниями от внешней нагрузки, приводят обычно к суммарным положи-
тельным, т. е. сжимающим напряжениям.
Возникновение отрицательных суммарных напряжений может иметь
место только в самых верхних слоях в нижнем бьефе сооружения, В
таком случае эти напряжения должны погашаться устройством специ-
альной пригрузки (например, весом водобоя и т. п.), так как в против-
ном случае становится возможным возникновение явлений так называе-
мого фильтрационного выпора или нарушения местной устойчивости
основания.
§4. УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ПРЕДЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ИХ ОЧЕРТАНИЙ
Условия возникновения областей предельного равновесия и мето-
дика приближенного определения очертания этих областей, равно как
и вопрос о пределах применимости этой методики, разрабатывались в
Советском Союзе весьма интенсивно. В частности, соответствующие
работы были опубликованы П. А. Миняевым [98] в 1914 г., а в 1923—
,1929 гг. — Н. П. Пузыревским [99], Н. М. Герсевановым [39], И. В. Яро-
польским [100] и другими. Небезынтересно отметить, что общеизвест-
ная формула для критической краевой нагрузки, опубликованная Н. П.
Пузыревским в 1923 г. и Н. М. Герсевановым в 1931 г., была опублико-
вана в третий раз О. К- Фрелихом [95] в 1934 г.
а) Определение условий возникновения предельного
напряженного состояния
Выше было указано, что допустимость применения решений теории
упругости с целью определения напряжений в основаниях сооружений
зависит от степени развития областей предельного напряженного со-
стояния. Вследствие этого выяснение условий возникновения этих обла-
стей, а также их очертаний и размеров имеет существенное значение.
Примем, что распределение напряжений по подошве некоторого за-
ложенного на глубине t сооружения может быть условно принято рав-
номерным с интенсивностью q. Если постепенно увеличивать эту на-
грузку на основание, то при некотором ее значении в краевых точках
подошвы сооружения возникнет предельное напряженное состояние.
Следует указать, что в некоторых случаях предельное состояние возни-
кает не в краевых точках, а на оси сооружения. В частности, если на-
пряжения Эд. от собственного веса земляной среды значительно меньше
напряжений (например, в случае песчаных грунтов при значениях
коэффициента бокового давления £ около 0,40—0,42), то предельное
166 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
напряженное состояние может возникнуть раньше всего не в краевых
точках А подошвы (рнс. 135), а на некоторой глубине на оси подошвы
в точке Б. Однако, как будет показано в дальнейшем, исследование
такого случая представляет меньший интерес, чем вопрос об определе-
нии интенсивности нагрузки ^кр, при которой предельное напряженное
состояние возникает на краях подошвы. Соответствующая этому случаю
интенсивность нагрузки называется критической краевой нагрузкой.
Если фактическая нагрузка q меньше критической, то областей пре-
дельного состояния нет совсем. Если же она больше критической, то
такие области имеются.
Идея способа определения критической краевой нагрузки укр заклю-
чается в том, что каждой интенсивности нагрузки соответствует
некоторая вполне определенная область предельного напряженного
состояния, наиболее заглубленную точку которой мы обозначим через
Zmax- Если установить зависи-
мость между интенсивностью на-
грузки q и координатой гтэх. то
каждому значению гтах будет
соответствовать определенная на-
грузка q. Та нагрузка, которая со-
ответствует дтях=0, и будет кри-
тической краевой нагрузкой ^кр.
Для установления искомой за-
висимости между нагрузкой q и
Zmax разделим, как показано на
рис. 135, нагрузку q на две ча-
сти, а именно, на нагрузку у/ и
нагрузку q*--q—ft.
> с напряжениями р/ на уровне
загружения, образуют сплошную
неограниченно простирающуюся нагрузку ft на уровне подошвы, на-
пряжения от которой в любой точке основания сооружения могут быть
приняты равными:
= а* = ft и ххя = 0, (4.39)
полагая, что величина коэффициента £ в выражении для напряже-
ния = Еа, может быть приближенно принята равной единице. Для
определения критической краевой нагрузки это упрощение ие вносит
большой погрешности. Так, например, можно показать [46], что для не-
связного песчаного грунта при <₽ — 33°30z и р =1,5 т/л!3 значения кри-
тической краевой нагрузки равны:
при £ = 1 . .
?кр = -
при £ = 0,56
?кр = 6,0-1*.
Напряжения от собственного веса в любой точке основания могут
быть приближенно приняты равными:
= = fZ и xxz = 0, (4.40)
Тогда часть нагрузки ft совмести
подошвы, действующими вне полосы
полагая и здесь коэффициент £ в выражении зх — &г приближенно
равным единице.
Положение всех точек в основании сооружения (рис. 136), располо-
женных справа или слева от оси симметрии, может быть однозначно
определено не только координатами х и г, но и координатами е и г.
В таком случае координатными линиями являются горизонтальные пря-
$ 4. Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 167
мые, определяемые расстоянием г от оси х, и круги, проходящие через
точки А, определяемые углами е, так как все точки на каждой такой
окружности обладают одним и тем же «углом видимости» е, под ко-
торым из данной точки виден отрезок АА.
Примем, что для определения напряжений, возникающих в основа-
нии от нагрузки 7*, может быть допущено использование соответствую-
щего решения теории упругости и, в частности, приведенного ранее ре-
шения Митчеля [59]:
«1 = (е + sine), - - - -
:де 3] и з2 обозначают
главные напряжения в рас-
сматриваемой точке основа-
ния, действующие по глав-
ным площадкам, одна из
которых является биссект-
рисой угла видимости е, а
другая перпендикулярна к
ней.
Так как напряжения
и , приведенные в фор-
мулах (4.39) и (4.40), глав-
ные, а по величине равные
Ол —°*)> то в таком случае,
как известно из курса со-
противления материалов,
нормальное напряжение,
действующее по любым об-
разом ориентированной пло-
щадке, равно той же величине. Поэтому суммарные напряжения по
площадке, разделяющей пополам угол видимости », и по площадке, ей
перпендикулярной, равны:
°1 = + sin е) + 7z 4-
= ~~ (е — sin s) ф- yz 4- 7/.
(4-41)
Отсюда в соответствии с выражением (3.40) величина наибольшего
угла отклонения равна:
Sin 8max
gl — ст2
9* .
---sin е
п
q*
—— Е 4-72+7*+^
(4.42)
Напишем теперь условия, что кривая, ограничивающая область
предельного напряженного состояния, касается горизонтальной прямой
иа глубине zmax. Эти условия заключаются в следующем:
1. Точка касания В принадлежит кривой, ограничивающей область
предельного напряженного состояния. В точках, лежащих вне этой об-
ласти, угол наибольшего отклонения 8тах< по мере приближения к
ограничивающей кривой угол 6тах приближается к <?и на самой кри-
вой он равен <р. Поэтому все точки ограничивающей кривой должны
удовлетворять уравнению:
168 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
4* ,
---- Sin £
К
— ......... .. ..---= sin <р,
q т
(4.43)
которое является уравнением ограничивающей кривой. В точке касания
Z=Z,flav.
2. При движении по горизонтальной прямой 3 = zm;lx величина наи-
большего угла отклонения изменяется вследствие изменения угла е.
В точке касания В она достигает максимума, вследствие того, что в этой
точке 9 max —17 ©4 а в сколь угодно близких к ней точках величина
бшах < <р, так как в противном случае и в них было бы предельное на-
пряженное состояние, чего на самом деле иет. Поэтому второе условие
в точке касания состоит в том, что величина sin бтах при г, соответ-
ствующем точке касания, достигает максимума. Это условие, как из-
вестно, заключается в том, что производная от sin по £ должна
быть равна нулю:
4* q* ( q* \
---cos е (знам.1 —- ---- sin е
(sin ^Y = --------------= 0, (4.44>
Рис. 137
где [знам.] обозначает знаменатель выражения (4.42). Из выражения
(4.44) находим:
4* .
-Д— Sin £
cos е = —-------—-——- . (4.45)
е + "р 4-7/4-
Так как в точке касания должны быть удовлетворены оба условия,
то, сопоставляя условия (4.43) и (4.45), получаем:
cos е = sin©,
откуда:
К
е = “ ~
Это обозначает, что во всех точках касания, расположенных на
разных глубинах, угол видимости равен е = ~— 7. Отсюда следует,
что все точки касания расположены иа одной окружности (рис. 137),
соответствующей этому углу видимости.
g 4, Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 169
В точке касания уравнение ограничивающей кривой (4.43) должна
быть удовлетворено при Z — ггаах и е = _|_ — Подставляя, получаем:
cos ? --cpj 7гтах + of j sin ср.
Отсюда находим:
о* / , тс . \ .
^r-fctgcp----_+?^тггаах + 7^ + ас, . _
или 1
7*.п.-,х " 7' : . •••'•
-£ + т ----------
В результате получаем:
7гтах 4"" 7^ “F ас . , ,
<7 — тс - - ----------[-7Г. . (4.46)
ctg ? — -у- + <р
Это и есть искомая зависимость между интенсивностью внешней на-
грузки и глубиной распространения области предельного напряженного-
состояния.
Если принять <mu:< — 0, то получим формулу Пузыревского—Герсе-
ванова для критической краевой нагрузки:
НС- ' (4.47)
ctg <Р — “2* + ср------------------- -
Если нагрузка меньше критической, то это обеспечивает отсутствие
на краях подошвы сооружения состояния предельного равновесия. При
проектировании сооружений отнюдь ие следует стремиться к тому, что-
бы допускаемая средняя интенсивность нагрузки по подошве сооруже-
ния была бы меньше критической краевой нагрузки. В случае, если
сооружение расположено на поверхности 0 = 0) сыпучего грунта
(зс =0), критическая краевая нагрузка 7К[1 =0. Это, однако, совсем ие
обозначает, что допускаемая нагрузка на поверхности песка должна
приниматься равной нулю. Стремление удовлетворить условию, чтобы
средние напряжения по подошве были бы меньше критических краевых
нагрузок, привело бы к совершенно ненужному увеличению площади
подошвы сооружения с целью снизить средние давления на грунт илн
к излишнему заглублению для того, чтобы увеличить критические крае-
вые нагрузки. В случае совершенно жесткого по сравнению с основа-
нием сооружения выполнение этого условия, как будет видно из даль-
нейшего изложения, вообще невозможно.
Поэтому следует признать, что возникновение некоторых достаточно-
умеренных областей предельного напряженного состояния у краев по-
дошвы сооружения можно признать вполне допустимым. В качестве до-
пустимой глубины распространения этих областей можно принять для.
i-> . и D
^тах— 3 1 где В обозначает ширину или меньшии размер подош-
вы сооружения [101]. В этом случае среднюю интенсивность нагрузки
можно принимать по формуле (4.46). Эта формула может служить и
для определения ггаах при заданной нагрузке q.
170 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Что же касается значений 7кр, то они могут быть с некоторым при-
ближением использованы в дальнейшем для определения наибольших
возможных напряжений на краях жесткого фундамента.
Для построения областей предельного напряженного состояния для
случая равномерно распределенной полосовой нагрузки при различных
? и можно использовать уравнение (4.43), в соответствии с ко-
торым, задаваясь различными можно определять соответствующие 2.
В случаях, когда сооружение заглублено или возводится иа связном
грунте, области предельного напряженного состояния получаются за-
крытыми (левая часть рис. 137). В случаях, когда сооружение воз-
водится иа поверхности сыпучего грунта, эти области получаются от-
крытыми (правая часть рис. 137).
Следует обратить внимание иа то, что распределение напряжений от
нагрузки q * было определено, используя решения теории упругости
для случая полосовой нагрузки. Поэтому, чем больше размеры обла-
стей предельного напряженного состояния, тем меньше точность и
достоверность получаемых кривых,
ограничивающих эти области. При
сильно развитых областях предель-
ного состояния очертания их, полу-
ченные по формуле (4.43), малодо-
стоверны. Определение же критиче-
ской краевой нагрузки, которое про-
изводится, исходя из условия, что
область предельного напряженного
состояния обращается в точку, с по-
зиций принятого нами в главе 11
критерия применимости решений
теории упругости для определения
напряженного состояния основания,
не встречает никаких принципиальных возражений в отношении исполь-
зования этих решений.
Определение критической осевой нагрузки, соответствующей воз-
никновению предельного напряженного состояния на оси полосы, обыч-
но не представляет практического интереса. Это предельное состояние
может возникнуть на оси полосы загружения прн значениях £ <1,0 и
при достаточно большом различии суммарных величин главных напря-
жений и з, от собственного веса грунта, боковой пригрузки и
внешней нагрузки. В результате возникающих при этом смещений,
сопровождаемых горизонтальным расширением грунта на оси полосы,
нормальные напряжения х,, действующие на вертикальные площадки
(рис. 138), увеличиваются, соотношение главных напряжений о, и
изменяется в благоприятную сторону и деформации затухают. Для это-
го, однако, необходимо, чтобы прилегающие боковые части основания
могли бы воспринять увеличение нормальных напряжений о, в направ-
лении малой оси эллипса напряжения А. В этом отношении грунт в
районе эллипса А находится в значительно лучших условиях, чем в
районе эллипса 5, так как сопротивление прилегающего грунта расши-
рению в направлении малой оси эллипса в районе эллипса А значитель-
но больше, чем в районе эллипса Б. Это и определяет меньший практи-
ческий интерес критической осевой нагрузки, так как возникновение
предельного состояния в толще основания на оси сооружения не имеет
существенного значения, если только эти области умеренны по своим
размерам.
Если нагрузка на основании достаточно велика по сравнению с на-
§ 4. Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 171
пряжениями (в пределах уплотняемой зоны основания), возникающи-
ми от собственного веса грунта, то можно приближенно считать земля-
ную среду невесомой, т. е. полагать у =0. В таком случае уравнение
(4.43) примет вид:
<7*
----- Sin е
К
g*
= sin Ср
(4.48)
или
sin«
e + it
sin <p.
В этом случае при любом значении q*, превышающем критическую
нагрузку (при которой предельное состояние возникает одновре-
менно во всех точках, расположенных на некоторой окружности, на-
пример окружности а, показанной на
рис. 139), уравнение (4.48) определяет
две окружности, например окружности
tii, показанные иа том же рис. 139. Пре-
дельное состояние возникает только в об-
ласти, показанной на рис. 139 вертикаль-
ной штриховкой, между двумя одноимен-
ными окружностями.
При неограниченном увеличении на-
грузки q* уравнение (4.48) принимает вид:
sin
=sin ф.
Это уравнение соответствует предельной окружности а2, показанной
на рис. 139. Отсюда следует, что при любой нагрузке под подошвой со-
оружения всегда сохраняется область, не находящаяся в предельном
напряженном состоянии, по своим размерам превышающая предельную
область, заштрихованную на рис. 139 горизонтальной штриховкой.
Если нагрузка распределена по ширине полосы неравномерно
(рис. 140, а) и интенсивность ее по мере удаления от края полосы за-
гружения (фундамента) увеличивается или уменьшается, то величина
критической краевой нагрузки остается той же самой, как и для случая
равномерно распределенной нагрузки (рис. 140, в). Для того чтобы
пояснить правильность этого утверждения, напомним, что критическая
краевая нагрузка — это такая нагрузка, при которой область предель-
ного напряженного состояния обращается в нуль. Выделим на рис. 140, а
двумя весьма близкими сечениями, расположенными правее и левее;
края полосы, участок о, в пределах которого нагрузку можно считать
практически равномерной. На рис. 140, б это соответствует допущению
00" = бг~аг~вг. Тогда, уменьшая размеры области предельного со-
стояния путем уменьшения скачка нагрузки О'О” в такой мере, чтобы
величина этой области стала бы пренебрежимо малой по сравнению
с шириной участка о, можно утверждать, что в пределах этого участ-
ка шириной 3 схемы, показанные на рис. 140, а, в, ничем не отличают-
ся друг от друга, так как в обеих схемах в пределах указанного участ-
ка нагрузку можно считать практически равномерной, а область пре-
дельного состояния в обеих схемах пренебрежимо малой по сравнению
172 Г лава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
С размером участка 3. В пределе при уменьшении размеров области
предельного состояния до нуля можно считать, что обе схемы внутри
промежутка 8 вполне равноценны. Это равносильно утверждению, что
наибольший скачок в нагрузке на краю полосы (при котором область
предельного состояния еще равна нулю), а следовательно, и величина
Рис. 140
критической краевой нагрузки не зависят от закона распределения на-
грузки по площади загружения. Аналогичным путем можно показать
допустимость применения полученной величины критической краевой
нагрузки и к случаям пространственной задачи.
б) Определение очертаний областей предельного
напряженного состояния
Обозначим величины главных напряжений в некоторой точке осно-
вания через и а,. Тогда величина наибольшего угла отклонения,
как уже упоминалось выше, может быть представлена з виде:
sin0max = * <4-49)
Я] 4 Од т ’
Условие отсутствия предельного равновесия в какой-либо области
грунта заключается в соответствии с изложенным ранее в том, что во
всех точках в пределах этой области должно быть выполнено условие
&mfix < ?, которое, принимая во внимание зависимость (4.49), можно
представить в следующем общеизвестном виде:
--г---Г < Sin Ф .
<т1 + °э “г
Если при постепенном увеличении внешней нагрузки величина наи-
большего угла отклонения в какой-либо точке грунта достигнет вели-
чины, равной углу внутреннего трения, то при дальнейшем увеличении
нагрузки величина наибольшего угла отклонения в этой точке остается
вследствие наступления предельного напряженного состояния постоян-
ной. Дальнейшее увеличение нагрузки вызывает увеличение наиболь-
шего угла отклонения в смежных точках 1рунта, в которых этот угол
не достиг еще величины, равной углу внутреннего трения. В итоге об-
разуется некоторая область грунта, находящаяся в предельном напря-
женном состоянии, в пределах которой угол наибольшего отклонения
равен углу внутреннего трення, т. е. существует зависимость:
Условие (4.50), использованное выше при определении критической
краевой нагрузки, остается до сих пор основным применяемым в ме-
§ 4, Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 173
хаиике грунтов условием предельного напряженного состояния для слу-
чаев постепенного (не динамического) приложения нагрузки.
Во многих случаях, например, когда передача давления на грунт
-осуществляется сооружением (фундаментом) большой и тем более
лрактически бесконечно большой (по сравнению с основанием) жест-
кости, области предельного напряженного состояния по периметру по-
дошвы сооружения возникают, начиная с самых малых величин на-
грузок. Однако в случае умеренных величин средних нагрузок указан-
ные области достаточно малы по сравнению с размерами сооружения
и влияние их на общее распределение напряжений незначительно. В та-
ких случаях, как указывалось выше, определение напряженного состоя-
ния с достаточным приближением может быть произведено методами
теории упругости. В случае же достаточно больших средних нагрузок
эти области приобретают такие размеры, что пренебрежение их влия-
нием на распределение напряжений в массиве грунта становится недо-
пустимым.
Из вышеизложенного ясно, что определение очертаний областей пре-
дельного напряженного состояния и их относительных размеров имеет
нс меньшее значение, чем определение условия возникновения этих
областей, т. е. критической краевой нагрузки.
Переходя к определению очертаний областей предельного напряжен-
ного состояния, следует сразу же отметить, что принципиально оно
представляет значительно большие трудности, чем определение условий
возникновения этих областей. Причина этого заключается в значитель-
но большей сложности решения задач с учетом одновременного суще-
ствования областей предельного напряженного состояния и областей,
в которых такое состояние отсутствует, т. е., иначе говоря, решения сме-
шанных задач теории упругости и предельного равновесия. Поэтому
с целью получения необходимых для инженерной практики реше-
ний приходится прибегать к значительным упрощениям. Основное уп-
рощение заключается в том, что при определении очертания областей
предельного напряженного состояния напряжения во всей массе грунта
-определяются путем использования соответствующих решений теории
упругости. Тогда, имея выражения для напряжений в любой точке
среды и используя принятое условие предельного состояния, можно
определить очертания искомых областей без каких-либо затруднений.
Вследствие того, что при малых размерах этих областей напряженное
состояние, определяемое решениями теории упругости,- достаточно близ-
ко совпадает с действительным, мы получаем, что прн таком определе-
нии напряженного состояния погрешности найденных очертаний иско-
мых областей будут тем меньше, чем меньше размеры этих областей.
Принимая во внимание, что в случае крупных инженерных соору-
жений размеры областей предельного состояния относительно не-
велики, можно прийти к заключению, что очертания этих областей будут
ь достаточной мере соответствовать действительности.
Для случая равномерно распределенной полосовой нагрузки очер-
тания областей предельного напряженного состояния при 5 = 1 могут
быть получены, как указывалось выше, путем построения ограничиваю-
щей кривой в соответствии с уравнением (4.43), придавая величине £
различные значения н находя при заданных значениях'^,/ и q* вели
чины соответствующих z.
В случаях, когда распределение напряжений по подошве сооружения
неравномерное, определение очертаний областей предельного напря-
женного состояния может быть произведено следующим образом [35].
174 Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений
Сначала намечается некоторое количество точек (рис. 141), располо-
женных в узлах сетки в предполагаемых зонах предельного состояния
грунта. Для каждой из таких точек последовательно вычисляются:
1) напряжения —10. (7 —10 и ^(^ — 7/) от внешней
нагрузки по подошве сооружения за вычетом интенсивности равно-
мерно распределенной боковой пригрузки -yZ;
2) напряжения от собственного веса грунта и равномерно распре-
деленной нагрузки равные для горизонтальных площадок 7 (с: и
для вертикальных площадок (г 4-. /), где обозначает отношение-
естественного залегания;
3) суммарные напряжения:
°х ~°ЛЯ~ 10 + $07 (2 + t),
(7 — 1*) + 7 (^ + 0,
Тд-г {Я 10 »
4) величина квадрата синуса
гьшего угла отклонения;
Sin 9mах------
наи-
Имея для каждого узла сетки величину sin2 0maXj следует определить-
посредством линейной интерполяции точки, в которых эта величина
равна заданному значению sin2 , т. е. точки, в которых угол наиболь-
шего отклонения равен углу внутреннего трения. Соединяя найденные
точки плавной кривой, получаем очертание кривой, ограничивающей
область предельного напряженного состояния грунта. Выполнение не-
обходимых вычислений весьма удобно производить в табличной форме,
как показано в табл. 12. Отыскание же точек, в которых sin^max — sin2?
производится аналогично проведению горизонталей при составлении
плана в горизонталях. Целесообразно сначала принимать несколько
преуменьшенное количество точек и добавлять их дополнительно в райо-
нах, прилегающих к ограничивающей область предельного состояния
кривой.
Таблица 12
§ 4. Условия возникновения областей предельного напряженного состояния 17 д
В заключение описания приближенного способа построения ограни-
чивающей область предельного состояния кривой отметим, что исполь-
зовать такого рода кривые для суждений об устойчивости основания не
следует, так как состояние основания при малых размерах областей
предельного равновесия достаточно далеко от нарушения устойчивости,
а при больших размерах этих областей получаемые очертания ограничи-
вающих кривых, как указывалось ранее, недостоверны.
Следует отметить чрезвычайно большое влияние на очертание кри-
вых, ограничивающих области предельного состояния, не только величи-
ны приложенной нагрузки q, но и соотношения напряжений и ъ
от собственного веса грунта, а также интенсивности боковой пригрузки/,
характеризующей глубину котлована, к основанию которого приложена
равномерно распределенная полосовая нагрузка. В качестве примера на
рис. 142 приведены кривые А, соответствующие предположению, что к
поверхности песчаного основания приложена нагрузка q=\ кг[см2, тогда
как нормальные напряжения и oz от собственного веса грунта осно-
вания равны по величине, т. е. ^0) = ^ (7)- На том же рис. 142 при-
ведены кривые . Б, соответствующие соотношению (?) = 0,56 (7),
тогда как все прочие условия остались без изменения. Кроме того, на
рис. 142 показано, при каких нагрузках q и на каких глубинах предель-
ное напряженное состояние возникает на оси полосы. При этом показано
влияние заглубления t и различных величин отношения горизонтальных
и нормальных напряжений принимаемых в условиях естественного
залегания равными£о=1 и £о = 0,56. , .
Глава пятая
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ПО ПОДОШВЕ СООРУЖЕНИЙ
КОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ
Внешние силы, приложенные к сооружению, и его собственный вес
передаются через контактную поверхность подошвы сооружения на ос-
нование, на котором расположено сооружение. Нормальные и касатель-
ные напряжения, действующие по подошве сооружения, представляют
собой силы взаимодействия между сооружением и его основанием. По-
этому, с одной стороны, их можно рассматривать как нагрузку, пере-
дающуюся от сооружения на основание. С другой стороны, их можно
рассматривать как реактивные силы, представляющие собой воздей-
ствие основания на сооружение, уравновешивающее внешние приложен-
ные к сооружению силы. С этой точки зрения их и называют реакциями
основания, распределенными по подошве сооружения.
Определение реакций основания имеет большое значение при проек-
тировании сооружений, так как от величины и распределения этих реак-
ций зависят величины внутренних усилий, возникающих в возводимом
сооружении, а следовательно, и конструктивные размеры, обеспечиваю-
щие надлежащую прочность сооружения (в том числе степень и харак-
тер армирования железобетонных фундаментных частей сооружения).
Кроме того, определение реакций основания по подошве сооружения
представляется необходимым для определения осадок и горизонтальных
смещений сооружений, так как, изменяя знаки реакций основания иа об-
ратные, мы получаем внешнюю нагрузку, передающуюся от сооружения
на основание.
При рассмотрении способов определения реакций основания по по-
дошве сооружения мы будем различать два основных случая:
1. Случай «сооружения конечной жесткости», когда деформируемость
основания соизмерима с деформируемостью сооружения. В этом случае
под влиянием нагрузок, приложенных к сооружению, а именно, сосредо-
точенных сил А, моментов и распределенных нагрузок f(x), возни-
кают деформации сооружения (в основном деформации изгиба), сопро-
вождаемые соответствующими им вертикальными и горизонтальными
перемещениями различных точек подошвы сооружения. Нормальные к
поверхности основания реакции как в этом, так и в других случаях мы
будем обозначать через s (х) или ? ($).
2. Случай «абсолютно жесткого сооружения», когда деформируемость
сооружения настолько мала по сравнению с деформируемостью основа-
ния, что при определении реакций основания сооружение можно считать
совершенно жестким, недеформируемым. В этом случае под влиянием
приложенных к нему сил сооружение может получить смещения, соот-
ветствующие смещениям твердого иедеформируемого тела.
В настоящей главе применительно к условиям плоской задачи будут
рассмотрены два основных метода определения реакций основания со-
оружения конечной жесткости:
а) способ коэффициента постели,
б) способ линейно-деформируемого основания.
§ I. Способ коэффициента постели
177
Способ коэффициента постели был предложен в восьмидесятых го-
дах прошлого столетия Циммерманом [102] для расчета железнодорож-
ного пути. Он основан на предположении о пропорциональности в лю-
бой точке подошвы сооружения величины контактного напряжения ве-
личине осадки основания (постели). Эта зависимость, предложенная
Винклером [103] в 1867 г., является основной для данного способа.
Впоследствии способ коэффициента постели был детально разработан
в целом ряде работ, из которых в первую очередь следует отметить ра-
боты С. П. Тимошенко [104], Кеийти Хаяси [105], П. Л. Пастернака [ 106],
Н. П. Пузыревского [107], А. Н. Крылова [108], Г. Д. Дутова [109] и др.
Приводимое ниже описание способа коэффициента постели построено
в основном на работе А. Н. Крылова, являющейся одной из лучших
работ в этой области.
Вследствие того что в некоторых случаях применение способа коэф-
фициента постели по причинам, которые будут приведены в дальней-
шем, является нежелательным, в течение последних десятилетий был
разработан другой способ расчета сооружений на податливых грунтах,
основанный на допущении, что основание может быть представлено ли-
нейно-деформируемой средой.
Не останавливаясь на работах Г. Э. Проктора [НО] и В. Прагера
fill], ие имевших практического значения, отметим,что задача об упру-
гой полосе на линейно-деформируемом основании была впервые рас-
смотрена применительно к случаю полосы бесконечной длины
Н. М. Герсевановым и Я. А. Мачеретом [112] в 1935 г
Постановка задачи для упругой полосы конечной длины (балочной
плиты) постоянной или переменной жесткости, лежащей на линейно-
деформируемом основании, как с учетом, так и без учета влияния сил
трения по подошве, а также общий метод решения этой задачи при лю-
бом виде нагрузки балочной плиты и основания вне ее пределов были
впервые разработаны в 1934 г. и опубликованы 1 в 1936 г. В. А, Флори-
ным [55]. В работах, опубликованных в 1937 г., эта задача рассматрива-
лась В. А. Флориным [34], М. И. Горбуновым-Посадовым [113] и Б. Н.
Жемочкнным [114]. Отметим также статью П. И. Клубина [115], опубли-
кованную в 1950 г. и значительно уменьшившую количество необходи-
мых вычислений при расчете балочных плит.
Решения различных пространственных задач для плит, расположен-
ных на линейно-деформируемом основании, были впервые опубликова-
ны в работах Г. Боровика [116], Б. Н. Жемочкииа [114, 117], М. И. Гор-
бунова-Посадова [118, 119, 120, 121] и В. И. Кузнецова [122].
Из числа опубликованных в последнее время работ по расчету ба-
лочных, круглых и прямоугольных плит на линейно-деформируемом ос-
новании можно отметить работы М. И. Горбунова-Посадова [123],
Б. Н. Жемочкина и А. П. Синицына [124], В. И. Кузнецова [125],
П. И. Клубина [126, 127], В. А. Флорина [46] и др.
§ 1. СПОСОБ КОЭФФИЦИЕНТА ПОСТЕЛИ
а) Общие положения способа коэффициента постели
Рассмотрим случай плоской задачи в условиях плоской деформа-
ции, полагая перемещения в направлении оси у равными нулю. Выде-
лим двумя плоскостями, перпендикулярными оси у, вертикальный слой
1 Предисловие к этой работе датировано П. П. Лаупманом 4/II 1935 г.
12-в. А. Флорин ,, / t о;.
178 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
шириной, равной единице (рис. 143), и рассмотрим основные допуще-
ния способа коэффициента постели. Эти допущения сводятся к сле-
дующим.
1. Принимаем, что между подошвой сооружения (полосы) и его ос-
нованием ие образуется щелей или, иначе юворя, что во всех точках
подошвы полосы вертикальные перемещения (прогибы) полосы или со-
оружения равны осадкам основания, т. е.
wn (x)=-w0 (x)=w(x),
(5Л)
где wn (х) обозначает прогиб полосы в точке с координатой х, w0 (х) —
осадку основания в той же точке и ш(х) — их общую величину.
2. Полагая, что высота сечения полосы h достаточно мала по срав-
нению с длиной полосы 2а, считаем допустимым применение гипотезы
плоских сечений. Тогда, принимая положительными изгибающие момен-
ты и перерезывающие силы, показанные на рис. 144, и полагая распре-
деленную нагрузку положительной, если она направлена сверху вниз,
можно представить уравнение изогнутой оси полосы в общеизвестном
виде:
Dw" (х) = — (х),
Lilvk Л UU7 / ч
или, учитывая известные зависимости = Q и —Я\Х)> в виде:
DwiV (х) = q (х) = /(х) — ср (х). (5.2)
EJ
В этих уравнениях D — ^-2- обозначает цилиндрическую жест-
кость полосы, Jn — момент инерции полосы, А4(х) — изгибающий
момент в сечении х, Q(x)—перерезывающую силу, q(x)—интенсив-
ность суммарной распределенной на полосе нагрузки (на единицу
длины), f(x)—интенсивность внешней заданной нагрузки и ср (%) — ре-
акции основания, полагая их направленными снизу вверх.
3. Однако принятие допущения 2, из которого следует указанная
выше зависимость (5.2), недостаточно для определения неизвестных
функций w(x) и ? (х). Поэтому для получения недостающей зависи-
мости в способе коэффициента постели принимается еЩе одно допуще-
ние, которое заключается в утверждении, что осадка основания проис-
ходит только в точке приложения силы (а в соседних сколь угодно близ-
ко отстоящих точках поверхности основания равна нулю) и что вели-
чина этой осадки w (х) прямо пропорциональна величине приложенной
силы или, точнее, интенсивности нагрузки <р(х) в этой точке. Такое до-
пущение может быть записано в виде:
ср (х) = bkw (х), (5.3)
$ 1* Способ коэффициента постели 179
где b обозначает ширину полосы и k — коэффициент пропорциональ-
ности, называемый коэффициентом постели. Если принять w(x) = l и
6=1, то <р(х) =k. Это показывает, что численная величина k соответ-
ствует напряжению, которое следует приложить к основанию, чтобы
получить осадку, равную единице. Величина k, как то легко усматри-
вается из выражения (5.3), имеет размерность кг!см? или тДи3.
Учитывая зависимость (5.3), можно представить уравнение (5.2)
в виде;
Dwlv (х) + 6/гад (х) = / (х)
или • .
WIV (х) + 4a4w (х) — Л(х), (5.4)
где ___
а = 1/Л^ и =
Величина а имеет размерность 1/см или 1/лг. Ширина полосы в усло-
виях плоской деформации обычно принимается равной единице.
б) Общее решение
Решение задачи сводится к отысканию решения линейного неодно-
родного уравнения с постоянными коэффициентами четвертого порядка
(5.4), удовлетворяющего заданным граничным условиям [Ю4, 107, 108,
109].
Для нахождения решений уравнения (5.4) рассмотрим сначала соот-
ветствующее однородное уравнение [без свободного члена F(x)]:
wIV (х) + 4a4w (х) — 0. (5.5)
Это уравнение отвечает случаю, когда f(x)=O, т. е. предположе-
нию, что распределенной нагрузки не имеется. Будем искать решение
уравнения (5.5) в виде:
w — Ае$х . (5.6)
Тогда, подставляя (5.6) в уравнение (5.5), получаем:
Д34е3х + 4А^е?х = О,
откуда:
А^х (р4 + 4a4) = Q.
Так как
Af?x О,
то получаем так называемое характеристическое уравнение в виде:
₽4 + 4a4 = О,
откуда находим четыре значения ₽:
^ = (14-г)а, р2=(1— г) а, ₽а = — (1 +/) а и
₽4=-(1-/)а.
Отсюда получаем частные решения в виде:
(l-i)a,r - (1 + 0 ат - (1 —z) «X
С * С С ПС .
Так как уравнение (5.5) линейное, то сумма или разность частных
решений есть также частное решение.
12*
180 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Поэтому функции:
+ еа-/)«х -
1________ ____ ла АГ
2
— /ал
——— = ечх cos ах,
е<
2
^(1 + 0 ал й(1-/)ах
2/
?<х
е^х - е' iax
-----—------= sin ах,
2i
е- (1 — /) ал е- (1+/) ах
= е~ах
eiax -с е— iax
2----= е~7Vcosax
(5.7)
2
е О <) _ й
“2/“
А* _ e_f“r
-----—;------— е~^х sin ах
li
являются также частными решениями уравнения (5.5). Так как урав-
нение (5.5) линейное четвертого порядка, то, как известно из курса ма-
тематики [129], его общий интеграл может быть представлен в виде:
w (х) = Aieax cos ах 4- А..е°-Х sin ах А А3е~ах cos ах A A£ *xsinax, (5.8)
где Ai, Аз, Аз и At обозначают произвольные постоянные, опреде-
ляемые из граничных условий.
Вследствие того, что выражения (5.7) являются частными решения-
ми, то полусуммы и полуразиости их также являются частными реше-
ниями. Поэтому функции:
+ е-ах
cosax-----s—-- = cos ах- ch ах,
еах cos ах + е ах cos ах
2
COS ах — е COS ах = cos ax = cos ax - sh ax,
2 2
sin ax + е~лх sin ax = S i П «X + e-ax = sin ax-ch ax, ' (5.9)
2 2
еах sin ах — е~ ахsin ах
2
sinax----s----=sinetx-shax
также являются частными решениями.
Отсюда общий интеграл уравнений (5.5) может быть представлен
во второй форме:
W (х) = At cos ax-ch ax A A cos ax- sh ax A A-6 sin ax-ch ax A
+ Л4 sin ax-sh ax. (5.10)
Так как выражения (5.9) являются частными решениями, то функ-
ции А> A* А н где
= cos ax-ch ax, Y2 = -^~ (sin ax-ch ax A cos ax sh ax),
A = 4r sin ax sh ax, A == (sin ax-ch ax — cos ax-sh ax),
также являются частными решениями уравнения (5.5).
Отсюда общий интеграл уравнения (5.5) может быть представлен
в третьей форме:
w (х) = А} А А АгА А А А А А4 А- (5-П)
Функции А, А, А и К, были применены для расчета балок на
упругом основании А. Н. Крыловым [108]. В дальнейшем наряду с обоз-
начениями А, А> А и А эти функции будут обозначаться через
$ 1. Способ коэффициента постели
781
Ki (zx), У2 (clx). Л (?х) и (ах) или К, (х), К, (х), У.л (х) и К4 (х). Зна-
чения функций Крылова для различных значений аргумента ах, заим-
ствованные из работы Б. С. Лунина [130], приводятся в табл. XXI
приложений. Нетрудно убедиться, что производные функций Крылова
удовлетворяют соотношениям, показанным в табл. 13.
Таблица 13
у. у' y’ у" riv
k k k ft
r( — 4a — 4 Г, — 4 «0 У2 — 4а* Г4
а — 4 a2 Y4 — 4 a3 Г3 - 4a* Га
r3 « У, a* Kj - 4 a3 У4 — 4a*
Y< <x F3 r, a3 K, — 4ai Yt
При x = 0 они принимают следующие значения: .... .... . ' I
(0) = 1, (0) = 0,
Г2(0) = 0, r;(0) = a,
^з(О) = О, Г'(0) = 0,
^(0) = 0, г; (0) = о,
r[(0) = 0, Г 0 = 0,
r; (0) = 0, У (0) = 0, (5.12)
r; (0) = У (0)-0,
г;(0) = 0, к;(0) = а:;.
В работах различных авторов применяются различные приведен-
ные выше выражения для общего интеграла уравнения (5.5).
Остановимся на некоторых основных случаях решения балок (ба-
лочных плит) на упругом основании по способу коэффициента постели.
в) Случай бесконечно длинной балки
Рассмотрим несколько частных случаев нагрузки [104, 109].
Нагрузка в виде сосредоточенной силы. Пусть
в некоторой произвольной точке, принимаемой нами за начало коор-
динат, приложена сосредоточенная си- р
ла Р (рис. 145). В таком случае иско-
мые перемещения ю(х) могут быть пред- '
ставлены выражением (5.8), в котором
постоянные А2> А3 и At должны быть
определены таким образом, чтобы были рис 145
соблюдены следующие граничные уело-
вия:
1. В точке х = 0 касательная к изогнутой оси балки должна быть
горизонтальна, т. е. щК(0)=0.
2. Непосредственно справа от точки приложения силы Р при х=0-г
4-е, где е обозначает сколько угодно малую величину, перерезывающая
Р Р
сила должна быть равна Q =---2", откуда Q - — D w'" (0) =-
3. При неограниченном удалении от точки приложения силы пере-
мещения w должны стремиться к нулю, т. е ж -> 0.
Условие 3 определяет, что в решении (5.8) постоянные А\ = А2 =
= 0, так как в противном случае перемещения w(x) по мере увеличения
х неограниченно возрастают вследствие неограниченного возрастания
множителя е*х. Поэтому в рассматриваемом случае: \
:: ®>(х) = Ae_“xcosax + Ae-“xsinax. ' 5-13)
182 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Дифференцируя, находим:
до' (х) = — А-Лае ~ах (cos ах 4* sin ах) 4~ 44ae~“x (cos ах — sin ах).
Тогда из граничного условия 1 следует: . ..
, — А3а 4- Л4а = О,
откуда
А-Л = А, = А.
В результате прогибы балки н давления на грунт определяются вы-
ражением:
до (х) <? (х) = Ае~ах (cos ах 4~ sin ах). (5.14)
Дифференцируя, находим выражения для тангенсов углов наклона
касательных к упругой линии балки:
tgS = до'(х) = — 2/h(?-axsin ах, (5.15)
изгибающих моментов:
----М(х)= w" (х) = — 2Аа2е~ах (cos ах — sin ах) (5.16)
для сечений х>0
(5.18)
и перерезывающих сил:
— тг Q(x) — (х) = 44a3<?-axcos ах. (5.17)
Из граничного условия 2 следует:
- 4DAa? - - ,
откуда произвольная постоянная А равна:
- - . .. ..
А —
МЛх3 •
Подставляя постоянную величину А в выражения (5.14), (5.15),
(5.16) и (5.17), получаем полное решение зада
в виде:
. , Pkb Ра
.X р Ра2
4Z>2 kb
(X) = Т]8,
Q(*) = ---^4>
где
Т]1 = £-“*(cosax-[- sin ax),
г/2 = t?_axsin ax,
т]3 = й~вх (cosax— Sin ax),
гц = £-°xcos ax.
Значения функций т]ь т]9, т;3 и ?]4 приводятся [131] в табл. XXII
приложений. Следует отметить, что эти функции достаточно быстро за-
£ /. Способ коэффициента постели
183
тухают по мере увеличения значений х. Определение корней этих функ-
ций, т. е. значений х> при которых функции обращаются в нуль, не вы-
зывает затруднений.
Действительно, для функции Tjj из уравнения
cos ах -f- sin ах — О
находим:
tg ах — — 1,
откуда
3 7 11 . •
о-Х = — 77, — л, -рл, ... ....
Для функции т;2 из уравнения
sin ах ~ О
находим:
ах = 0, л, 2л, , . .
Для функции Цз из уравнения
cos ах — sin ах = 0 -- ;-
находим:
' tgax=l, ------;
откуда
тг 5 9
ах — —г- , —г л -г- л, . . .
4 * 4 ’ 4 *
Для функции т)4 из условия cosax = 0 находим: ’ 7
~ 3 5
а% = ^“’ Т*> Т*--
Нетрудно убедиться, что производные этих функций удовлетворяют
соотношениям, приведенным в табл. 14.
Таблица 14
Чх ч1 V ч' Iff .IV
— 2 07)2 - 2 4 а3 т]4 — 4 «*7)!
Чз «Чз — 4 а*7).
— 2 «1)4 2«Ч “4 a3i]2 — 4 в4цз
— ага 2 a2Y]2 2®Ч — 4 a47]4
Для рассматриваемой нагрузки реакции основания и изгибающие
моменты в сечениях х<0 равны по величине и одинаковы по знаку со
значениями этих величии в сечениях, расположенных симметрично от-
носительно линии действия силыР (прих>0). Перерезывающие силы—
соответственно равны по величине, но обратны по знаку.
Характер эпюр моментов, перерезывающих сил и реакций грунта
показан на рис. 146, Совершенно очевидно, что при приложении в точ-
ке А сосредоточенной силы Р—1 реакция основания, осадка поверх-
ности основания, изгибающий момент и перерезывающая сила в точ-
ке Б будут такими же, как в сечении А, если бы сила Р—1 была прило-
жена в сечении Б.
Поэтому эпюры q, w, М и Q от силы Р = 1, приложенной в том-
184 Глава К Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
ке А, можно рассматривать как линии влияния величин q, w, М и Q
для сечения А. Используя эти линии влияния (или путем непосред-
ственного изложения, как показано на рис. 147), можно определить
в любом сечении а—а соответствующие расчетные величины при прило-
жении к балке любого числа сосредоточенных сил.
Нагрузка парой сил. Если в сечении балки х=0 (рис. 148)
приложена пара сил с моментом Мо, то непосредственно справа от се-
чения х=0, т. е. в сечении х=0-+е при г -* 0, момент М(0 j- е) = -j—~ ,
а непосредственно слева от сечения х=0 момент Л4(0—s)=— . От-
личие от случая сосредоточенной силы будет заключаться только в том,
что вместо граничных условий 1 и 2 следует принять условия:
1) при х=0 вследствие обратной симметрии прогиб балки w(0)=0;
2) в сечении х = 0.+ е момент М(0 -у г) = + .
В соответствии с условием 1,
Да=0, Поэтому:
? (х) — w (х) = А4е^ах sin ах = А^2. (5.20)
Дифференцируя, находим: '
tg 6 — ад' (х) = А&е-ы (cos ах — sin ах) «=* Л4ат;3, (5.21)
--д- М (х) = w" (х) = — 2X4a2£-axcos ах = — 2Л4а2т]4> (5.22)
- - Q (Л) = <*) = ^А^е~м(cos ах 4- sin ах) = 2Л4а%. (5.23)
. Из условия 2 и выражения для ш"(х) получаем: ;
- 2Л4£>а2 = — , ;
откуда: -
” 4/Ъ'2 ^о-
Вводя полученную величину для Л4 в выражения (5.20) — (5.23)у
получаем полное решение задачи для сечений х>0. Нетрудно убе*
диться, что в это решение входят те же самые функции, как и в ре-
§ 1. Способ коэффициента постели
185
шении для сосредоточенной силы. Характер эпюр реакций изгибающих
моментов и перерезывающих сил показан на рис. 149. Из условий сим-
метрии следует, что эпюры реакций и изгибающих моментов обратно-
симметричные, а эпюра перерезывающих сил — симметричная.
Отметим, что при х = 0 изгибающий момент М(0) и перерезы-
вающая сила Q(0)=--^-Не-
распределенная нагрузка. Предположим теперь, что на
участке (а, Ь} приложена (рис. 150) распределенная по закону /|£)иа-
А '
Рис. 150
Рис. 149
грузка. Вместо решения соответствующего неоднородного уравнения
(5.4) применим следующий более простой способ решения. Если в при-
веденном выше решении (5.18) для сосредоточенной силы последняя
была бы приложена ие в начале координат, а в точке с абсциссой
то решение осталось бы тем
же самым, но расстояние от
точки приложения силы до лю-
бой точки подошвы балки с
абсциссой х следовало бы обо-
значить не через х, а прих>£,
как показано на рис. 151, через
(х—£). Поэтому для этого
случая в приведенном реше-
нии следует везде заменить х Рис. 151
иа (х—$). Если же к балке
приложена не сосредоточенная, а распределенная на участке (а, Ь) на-
грузка f(i), то, выделяя на расстоянии £ от начала координат элемент
нагрузки Р =/(Ю^)» можно заменить в выражениях (5.14) — (5.17) ве-
личину Р на и затем провести интегрирование в пределах участка
загружения (а, Ь).
В частности, для прогибов ш(х) при х>Ь>а получим: ; г >
ь
w(x) =J [cos а — + sin а (х - - $)] f (£)д£. (5.24}
а
Если, например, q~f$) = пост., то для точек 3 при значениях
x>t>>a находим, учитывая, что 8Da4 = 2kb\
w (x) = -8&"le’*eM cosa(x — £)]*= [e cos aix — b} -
_ g-«(*-«)cos a (%— a)], (5.25)
186 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Для точек 1 при значениях х<а<Ь в выражении (5.14), в соответ-
ствии с рис. 151, следует заменить х на (£—х), откуда аналогично из-
ложенному выше получаем:
гс'(х) — ”2^d” Iе cosa(& — х) — g-«(a-x) cosa(a— х)]. (5.26)
Для точек 2 при значениях а<_х<Ь для значений £ <х в выражении
(5.14) следует заменить х на (х— £) и интегрировать от а до х, а для
значений £>х заменить х на (£—х) и интегрировать от х до Ь. В ре-
зультате, аналогично изложенному выше (рис. 151) получаем:
w = 2kb le “(b x)cos a(fr — x) — £-*(*-*) cos a(x — a), (5.27)
Выражения для <p (x), Л1(х) и Q(x) могут быть найчены не только
интегрированием выражений (5.14) — (5.17), но и дифференцирова-
нием выражений (5.25) — (5.27).
Для других случаев распределенных нагрузок следует принимать
соответствующие выражения для функции / (£), после чего для значе-
ний x>Z?>a распределение прогибов или реакций основания может
быть произведено в соответствии с выражением (5.24). Для случаев
х<а<£> или а<х<& следует поступать аналогично изложенному для
этих случаев выше. =-•-
г) Случай балки, неограниченно простирающейся
в одну сторону
Совместим конец балки с началом координат и предположим, что
к нему приложена вертикальная сосредоточенная сила Рр и пара сил
с моментом Л40.
р Тогда решение задачи оп-
_____________________________ ределяется выражением (5-13)
:7:7777777777777777777777777777777777777777777Z^'^ прИ СЛедуЮЩИХ ГрЗНИЧИЫХ
условиях:
при х=0
, г М- — Dw" (х) = Л40,
Рис. 152 Q = ~ Оы’" (X) = — PQ.
Дифференцируя выражение (5.13), находим:
ад" (х) = 2А3а?е~ах sin ax — 2X4a2£~“*cos ax,
ад"7 (%) == 2Да:Т’ах (cos ax — sin ax)
4- 2Aia:te~ax (cos ax sin ax).
Учитывая указанные граничные условия, получаем:
2£)Л4а2 = 7И0,
-2Ш/ - 2£>Л4аЗ = _ р^
-откуда
л - 1 м - 2<а м
2а* D kb
Л In 1 ц.1 2а n 2а2
“ 2«э/> 2aW ^0 ~ kb kb
j? /. Способ коэффициента постели
187
В результате, выражение для прогибов (5.13) для рассматриваемо-
го случая нагрузки принимает вид:
ив (х) — Ро-----t’“axcos ах -j- Мье~ах sin ах ~
= *М>) ъ + Мл;
выражение для угла наклона касательной к оси полосы:
=-----{Ро — аМ^ъ _
для изгибающих моментов:
М (х) = — Div" (х) =-----(Ро — а/И0) Tj2 -j- 7Ио7]4;
для перерезывающей силы;
Q = — (х) = - (/% — а7И0) т]3 — аМ^.
В точке приложения нагрузки, т. е. при х = 0, значения
^1 = ^ = 7U=1, ^2 = 0,
откуда.:
.™(°) = -^-№-“Мо), м(о)=ло, /
™'(0) = “ и,-(Л-2^И„), Q(0) = -/>„.
В случае какой-либо
иной загрузки балки, как
например, показано на
рис. 153, может быть приме-
нен следующий способ рас-
чета. Совместим начало ко-
ординат с концом рассмат-
риваемой полубесконечной
балки и продолжим эту бал-
0^
Р
А
1»шнн»ня1
~777777777/^7/777У77///7/////7/75Х7///7^^777^7/7//7//7ЛХ
ку в сторону отрицательных Рис. 153
значений х так, чтобы полу-
чилась бесконечно длинная в обоих направлениях балка.
Для такой бесконечно длинной балки описанным выше способом мо-
гут быть найдены эпюры прогибов, углов поворота, изгибающих момен-
тов и перерезывающих сил. Поэтому значения изгибающего момента
Mi(0) и перерезывающей силы Qi(0) в начале координат (при х=0)
могут считаться известными.
Если приложить в начале координат бесконечно длинной балки до-
полнительную вертикальную силу Ро и внешний момент Л40, то изги-
бающий момент и перерезывающая сила от этих нагрузок в сечении,
сколь угодно близком от начала координат (справа), будут равны:
Q.(O) = --|L-yAfo.
188 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Так как .на самом деле мы имеем полубесконечиую балку, в которой
по схеме на рис. 153 в сечении х = 0 изгибающий момент и перерезываю-
щая сила равны нулю, то величины Мо и Р$ должны быть подобраны
так, чтобы в балке бесконечной длины изгибающие моменты и перере-
зывающие силы в этом сечении были бы равны нулю. Отсюда следует:
АГ, (0) + + 7Г “ °.
Решая полученную систему, находим:
Л40 = — 4Л4, (0) —Q, (0),
Pe = 4aM,(0) + 4Q,(0).
В результате рассматриваемая задача полубесконечной балки све-
дена к решению безгранично длинной балки с введением дополнитель-
ных, сверх заданных, нагрузок еще фиктивных внешних нагрузок ЛК и
Pq. Получаемые при этом решения действительны, естественно, только
при значениях х>0. В случае, если к концу полубесконечной балки
приложены внешние нагрузки Р и то учет этих нагрузок произво-
дится простейшим способом — путем наложения приведенных выше со-
ответствующих решений.
д) Случай балки ограниченной длины
Излагаемый ниже метод расчета балок и балочных плит конечной
длины является сочетанием метода А. Н. Крылова [108] и метода на-
чальных параметров Н. П. Пузыревского [107].
Нагрузка сосредоточен-
//77/Х.'7777/77777777//777777777/777^7/7/^
Рис. 154
ными силами и парами сил.
Предположим сначала, что к балке
конечной длины в качестве внешней
т нагрузки приложена некоторая сово-
купность сосредоточенных вертикаль-
ных сил Pz и моментов Л4.-.
Рассмотрим участок I балки
(рис. 154) между началом координат
и сечением х = а-[.
Для определения величин прогибов w(x), углов наклона
касательной к упругой линии балки, изгибающих моментов Л4(х) и пе-
ререзывающих сил Q(x), в соответствии с решением (5.11), имеем:
-кД-х) — Aj Kj (%) А2У2 (х) А3У3 (х) А4(%),
8 (%) = w'(x) — Al Г] (х) 4- А2 Y2 (х) -К А3 К (х) Д- А4 У'(х),
-Хм (Х) = W" м = д г; (JC) + а2 r2 (х) + д у" (х) + А Г4(х), (5 28)
-X Q(x) = ®'"(x) = Ar;" (Л) + ЛД”(Х) 4- АГ"'(Ч +
MW '
189
$ 1. Способ коэффициента постели
Принимая во внимание значения (5.12), находим, что при х -О
w (0) = At,
$(0) = аЛ ,
- 4- М (0) = «м3,
--LQ(°) = aM4.
Отсюда, учитывая табл. 13, находим для первого участка из выра
жений (5.28):
W (х) = W (0) У] (%) + " 2 (0) Уа (х) — Уи (%) £>У ^4 (Л'У
8 (х) = — 4ада (0) У4 (х) + 8 (0) У1 (х)— Уг (*)
- - 4г М(х) = - 4a^ (G) У3 (х)-W (0) У4(х)- М (0) У, (х)-
-’j-QWKJx), .. ...
- -Т Q (х) = — 4a::W (0) Уг (х) — 4a2S (0) К8 (л) +
+ 4-£- Л1 (0) Г4 (x'I-Xq (0) У, (х).
Произвольные постоянные А[,
А2, Лз и А4 или соответствующие
им величины w(0), 8 (0), 2Й(0) и
Q(0) должны быть определены из
условий на концах х=0 и х = /, ис-
пользуя для этого соответствующие
выражения для первого и послед-
него участков. Возможные случаи
наиболее часто встречаемых ус-
ловий закрепления концов приведе-
ны в табл. 15.
(?-+ 9=-
Рис, 155
Останавливаясь, например, на нас ’ лее часто встречаемом случае 6
(свободные концы) и полагая, что на левом конце (в сечении х = 0)
приложены сосредоточенная сила Pq и момент Л40, т. е,, принимая
М(0) =Л40 и Q(0)=—Ро, заменим в уравнениях (5.29) величины М(0)
и Q(0) через Мо и —Ра. Тогда в этих уравнениях останутся только две
неизвестные постоянные w(0) и 8 (0), которые будут определены
в дальнейшем из условий на конце х = 1.
Других внешних нагрузок левее любого сечення х в нервом участке
(рис. 156) не имеется. Поэтому первое из уравнений (5.29) для проги-
бов w(x) на протяжении первого участка можно представить в виде:
да (х) = (х) -р* Фу (х),
(5.30)
190 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
№
случаев
'_______________Таблица 1д
Род закрепления
Конец х=О | Конец х=!
защемлен: w (0) = О,
8 (0) = w'(0) = О
защемлен: w (0) = 0,
8 (0) = w'(0) = О
защемлен: w (0) = О,
8 (0) = w'(0) = О
защемлен: w (Z) = О,
8 (Z) = w'(l) = О
оперт: w (Z) = О,
M (l) = -Dv"(l) {
свободен: M (/) = — Dv"(l) e
Q(Z)=-D^(Z){
оперт: w (0) = О,
г = О
M(0) = -ZW'(0){ _Жс
г ,
оперт: V (0) — О,
г = О
Л1 (O)--Dw" (0){ =М(
оперт: w (Z) = 0,
r = 0
M (Z) = -£>»"(') {_Mf
свободен: Л/(/)-- —Z?i*''(Z)
Q (Z) = - Dw"\l)
свободен; М (0) = — Dw”
Q (0) - - — /)иг
f=O
свободен: M (Z) = — Dw”(l) _д|
о (Z) = - Dw” (/) {2 pr
Рис. 156
где
f, (x) = ® (0) Л (x) +.4 8 (0) r, (O
(5.31>
Ф,(О=--^ЬГз(х) +
+ -d^y^x'i- <5'32>
Здесь слагаемое FG(x) представляет собой влияние параметров w(0)
и & (0). В случае иных граничных условий иа конце х = 0 эти парамет-
ры будут иные.
Предположим теперь, что в сечении х—щ приложена сосредоточен-
ная сила Р; и пара сил с моментом Mi. Тогда в выражении для прогиба
w(x) во втором участке должно добавиться слагаемое, которое мы обо-
значим через Ф(х, Qi). Это слагаемое представляет собой влияние-
внешних усилий Pi и Л1ь так как левее любого сечения х во втором уча-
стке, кроме усилий Ро и Л40, приложены также усилия Pi и Adi. Таким,
образом, для второго участка
w (х) = Ро (х) + Ф2 (Л), (5.33)
где
Ф2(х) = Ф^х)-}-Ф{х, а}). (5.34)
/. Способ коэффициента постели
191
Следует отметить, что значения входящих в выражения (5,33) и
(5.34) функций Л) (я), Ф1(*) и их производных при переходе через се-
чение х=а} изменяются непрерывно. Функцию же Ф(х, aj надлежит
рассмотреть особо.
Функция Ф(х, fli) на первом участке балки должна быть равна ну-
лю, а на остальных участках отлична от нуля. Кроме того, она должна
быть частным решением основного уравнения (5.5), так как иначе вы-
ражение для w(x) на втором участке не удовлетворяло бы основному
уравнению (5.5). Вместе с тем, сна должна быть такой, чтобы на гра-
нице первого и второго участков, т. е. при x = alt были бы удовлетворе-
ны: а) условия неразрывности балки (равенства прогибов и углов по-
ворота касательной к упругой линии в точке, разграничивающей смеж-
ные участки балки) и б) условия статики (при переходе от сечения
левее х = а1 к сечению правее сечения х — аь к величинам изгибающих
моментов и перерезывающих сил добавляются величины Мг и Т^). Все
эти условия могут быть записаны в следующем, виде Ч
w (at + 0) = то (л, — 0), (5.35)
то7 («j0)-то7 («] — 0),
м" (й1 + 0) = w" (fli — 0)-,
w'" (а1 + 0) = w"' (ал - 0) + . (5.36)-
Здесь (ар+О) и (fli—0) обозначают сечения справа и слева, рас-
положенные на сколь угодно близких расстояниях от сечения х—а}.
Нетрудно показать, что всем поставленным условиям можно удов-
летворить, если принять:
Ф(х, а,) = — Г3(х-Й1)+ Г4(х-Й1). (5.37)
Действительно, в таком случае в выражения для ш(х) и w'(x) будут
входить функции Ф(х, aj и Ф'(х, aj, которые составлены из функций
У, (х —Я)), (х— а ), Y‘3 (х — я,) и У4(х — at) Последние две
функции согласно табл. 13 выражаются через Y2(x—ах) и У3(х—ах).
В соответствии с выражениями (5.12), все эти функции при х = ах обра-
щаются в нуль, что обеспечивает удовлетворение условиям неразрыв-
ности (5.35).
Далее, дифференцируя функцию Ф(х, aj и учитывая табл. 13. по-
лучаем:
Ф’ (х, а,) = Г, (х - а,) + 'X У2 (X - а,),
ф’"(х,а1) = ^У1(х-а,) + -^- У,(х-а,).
Нетрудно убедиться, что при x=at функции У4(х—аЛ и У2(х—
з соответствии с (5.12), обращаются в нуль, а функция УДх—я,) стано-
вится равной единице. В результате получаем, что при x = at
ф'(х,
1 Так как М (аА + 0) = М (ai — 0) Ц- и Q (а^ -}- 0) = Q (aj — 0) — Р, , откуда
— Dw" (flj + 0) = — Dw" (а4 — 0) f /И; и -- Dw"’ (а4 + 0) = — Dw’" («j — 0) — /V
192 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
< ' •” ’ Ф'"(х, а,) о’ • ' -
Это показывает, что при переходе через сечение х = а^ вторая и
третья производные функции ш(х) изменяются на величины---------- и
р
так как производные остальных слагаемых в выражениях (5.33) и
(5.34) изменяются, как указывалось выше, непрерывно. Отсюда сле-
дует, что при выбранном виде функции Ф(х, сц) условия (5.35) и
(5.36) удовлетворяются.
Изложенное показывает, что для второго Участка следует принимать
выражения (5.33), (5.34) и (5.37).
Совершенно аналогичным способом можно показать, что для треть-
его участка
да (х) = F, (х) 4- ф.Л (х),
где
Ф3 (х) = ф2 (х) 4- Ф. (х, а2) = Фх (х) 4- Ф (х, аД 4 Ф (х, а2)
и
Ф(х, а2) = — Y3 (х — л2)4 Г4 (х - а2).
Для участка i, в соответствии с изложенным выше, можно написать:
..................да(х) —/ф (х) 4 Ф/(х),
где, как и раньше,..к””'и
Л0(х) = да(О) Л (х) 4 у*уЦ0) Г2(х),
<м=- мх» (* - «<)+-4 X р>г< {х~а^
0 - ...... 0
причем принимается йо = 0.
Из выражения (5.38) следует, что
8 (х) = да" (xt -= F' (х) 4 Ф\ (х),
Л1(х) = — D [Л’(х)4 Ф". (х)],
Q(x) = -D[^(x)4^' (-01-
(5.38)
(5.39)
(5.40)
Дифференцируя выражения (5.39) и учитывая зависимости в
табл. 13, получаем выражения для вторых и третьих производных, кото-
рые будут полезны в дальнейшем изложении:
Fo (х) = - 4«да (0) Г4 (х) 4 & (0) Yt (х),
Г 4) _ 4a2^ (0) (х) — 4а8 (0) У4 (х),
Fp (х) = - 4а3да (0) Yz (х) - 4а28 (0) (х),
(5.41)
§ 1. Способ коэффициента постели
/93
Ф’,(х)--55-2>И(Г2 (х - а,) + 2P.Y, (х-а,),
О . - О '
ф; w—-&-2Л1‘Г1 (х _ а,)+ “бг 5ЛГ2<Х ~а,}>
о о
/-1 * 1-1
ф’: (х) = 4г 2 м‘г*(х -а<)+тг 2 p‘Yi (х
о о
• (5.42)
Составив таким образом выражения ш(х) для всех участков, перей-
дем к определению оставшихся неопределенными паоаметров б (0) и
^(0). '
Согласно условиям для случая 6 табл. 15 для конца х = 1: - '
— Dw" (/) -Ди- Dw”' (Z) = Р,.
Тогда, дифференцируя выражение (5.38), получаем систему из двух
уравнений для определения ш(0) и $ (О):
~4г ==^(/)+ф"</) = и’(°)у;(о+ -
+4-8<°)г2<о+ф"(/),
- Д=<о + ф'" (о=® <°) г < о + Т8 (°) у2 ({)+ф"' и-
Заменив в этих уравнениях производные функций Крылова в соот-
ветствии с табл. 13, получаем:
r3(Z)w(0)+4-^W8(0)=A
у2(/)щ>(0) + ± r3(Z)8(°) = B, • :
где
д — 1
Я ~ 4«2
(5.43)
Решая полученную систему уравнений относительно ш(0) и б (0),
находим:
4Г3(/)-ВД(/)
w (0) = —5--------------,
г1ю- к2(/)Г4(/) ’
(5.44)
ВУ3(/)-ДГ2(0 I
о(0) = а—9- —--------.
Вводя полученные выражения для ш(0) и б (0) в выражение (5,39),
получаем полное решение поставленной задачи и, в частности, выраже-
ния функции ш(х) и ее производных для всех участков балки.
Распределенные нагрузки. В заключение остановимся на
случае непрерывно распределенной на участке (а, Ь) внешней нагрузки,
13—В, а. Флорин
191 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
изменяющейся, как показано на рис. 157, по некоторому заданному за-
кону f (£).
Для любого сечения х<б в пределах участка (а, Ь) в выражении
(5.39), полагая Afz — 0, at и заменяя суммирование
интегрированием в пределах от а до х, прибавляется слагаемое:
(5.45)
Например, в случае равномерно распределенной нагрузки /(£) — q
X
ф<х) = тЬУ Г1(х-Е)<Й=-^-[1-Г1(х-а)],
а
так как
4I)^ = kb, Y1 (0) = 1,
(5.46)
и в соответствии с табл. 13
4- Г.(х-6)х-4«Г1(х-р,
Рис. 157
вследствие чего
Если выражение для прогиба со-
ставляется для любого сечения х>&,
Т° ь *
ф«=-^У/(5) Г. (Х-В) Л. (5.47)
В случае равномерно распределенной нагрузки /(£) — q это выра-
жение принимает вид:
ь
ф^х'>=-БТС1\ Г, (х - S) = ^ | Г, (х - Ь) - - Г, (х - о)]. (5.48)
а
Если равномерно распределенная нагрузка приложена, начиная от сечения х~ О,
то, и соответствии с выражениями (5.46) и (5.48), полагая а—0, имеем:
для сечений х < b
Ф И-^-П-гДх)],
для сечений х > b
(х-&)-П (х)].
Если равномерно распределенная нагрузка приложена на ряде от-
дельных участков (ип, ЬГ1), то
ф (X) = V -Ж [ К, (х — &„) - Г, (х - «„)]. (5.49)
При этом в случае, если х<ап, то данный вид нагрузки не учиты-
вается. Если х~Ь:: или же x<b ч. то для сечения х принимается КДх—
—&я)==1. Если же х>&и,то Ф(х) определяется в соответствии с приве-
$ 1. Способ коэффициента постели
денной формулой. Величины qn обозначают интенсивности равномерных
нагрузок, имеющихся на протяжении от 0 до х.
Дифференцируя и учитывая соотношения в табл. 13, находим производные
функции Ф(х), которые будут полезны в дальнейшем:
ф' (А')=
[Г4
ф,/ -4^SЯп [Гз (х~ bi)~Гз (х-оп1’ <5-5о)
Ф”(х)--4-^ J] [Г, (х-&/)- Г2 (-* — «/)]-
В этих выражениях при
= К4 (х — bi) = 0.
х < Ъп следует принимать К2 (х- bi) = У3 (х — fy) =
В соответствии с изложенным
могут быть написаны выражения
Ф(х) для самых разнообразных
случаев загружения. Например, для
схемы, показанной на рис. 158,
имеем:
для первого участка
Ф,^) = 4г|1-Г,(х)|;
для второго участка
ф„(х)=Ф,(х) + -&-11
Рис. 158
Л(х- «01;
для третьего участка
ФН! (%) = Ф1 (*) + ~Tb [ Г1 ~ ~ Л С* ~ «))] J
для четвертого участка
Ф1У (X) = Ф,„ (х) + [1 - У, (х - а,)] ;
для пятого участка
Фу (х) = Фш (х) + [ Г, (х — а,) — Y} (х — а:,)].
Следует отметить, что в случае прерывных распределения нагрузок
весьма удобен способ фиктивных нагрузок, который применяется в со-
противлении материалов при интегрировании уравнения изогнутой оси
балки по способу Клебша. Нетрудно убедиться, что приведенные выше
выражения Ф\ (л), . . Ф\ (х) в точности совпадают с выражениями
для различных участков при применении способа фиктивных нагрузок,
в соответствии со схемами на рнс. 158 и 159* Используя при составлении
выражений Ф(х) для всех участков балочной плиты выражение (5.46),
получаем для случая равномерно распределенных нагрузок:
<pW = 24s-l1-r>^-O„)l. (5.51)
В частности, применительно к схеме на рис. 159 получаем выра-
жение:
13*
195 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Фу = I1 “ Г] + <7i t1 ~ уЛх — «1)] — ?1 [1 —
— rt X (X — а2)] 4- q2 [1 — Y. (х — а3)] — q2 [1 — Л (х - а4)]},
которое в точности совпадает с приведенным выше выражением для
пятого участка.
Дифференцируя выражение (5.51) и учитывая зависимости, приве-
денные в табл. 13, получаем выражения для производных:
ф'=Y[ ~ аФ
фх^= ??;г3 х-а^>
Ф"' (х) = V qn У2 (х - ал),
(5.52)
j
аналогичные приведенным выше (5.50).
Рис. 160
Способ фиктивных нагрузок очень удобен для учета прерывных не-
равномерно распределенных нагрузок (рис. 160). В таких случаях сле-
дует пользоваться выражением (5.45), принимая для каждого вида
нагрузок соответствующие выражения для Ф{ (х) и учитывая надле-
жащие пределы интегрирования.
В случаях, когда приложены как распределенные нагрузки, так и
сосредоточенные силы илн моменты, соответственные выражения для
Ф, (х) суммируются в пределах каждого участка.
Найдя все выражения для Ф/ (х), в частности Ф(Z), находим по вы-
ражениям (5.43) и (5.44) параметры ш(0) (0), после чего реше-
ние задачи дается выражениями: (5.38), (5.39), (5.40), (5.41), (5.42),
(5.51), (5.52), (5.45) и (5.47).
Следует отметить, что некоторые авторы предпочитают представ-
лять основные уравнения (5.4) или (5.5) в несколько ином виде, вы-
бирая за основную искомую функцию не прогиб ш(х), а изгибающий
момент Л4(х), Соответствующие основные уравнения можно легко по-
лучить, дифференцируя уравнения (5.4) и (5.5) два раза по х, так как
вторая производная от прогиба пропорциональна изгибающему момен-
ту. Выражая граничные условия соответственно через функцию ЛЛх) и
ее производные, можно аналогичным путем получить искомые реше-
ния для функций Л4(х) и отсюда выражения для прогибов, перерезы-
вающих сил и углов поворота.
Если, как изложено выше, выражения для внутренних усилий и де-
§ 1. Способ коэффициента постели
!$7
формаций балочной плиты приведены в общем виде и выражены через
табулированные с достаточной точностью функции, то решения рас-
сматриваемой задачи в прогибах w(x) или изгибающих моментах Л4(х)
вполне равноценны. В противном же случае решение через изгибающие
моменты Л1(х) имеет некоторые преимущества с точки зрения требуе-
мой точности вычислений.
В качестве примера приводим расчет балочной плиты.
Положим коэффициент постели основания равным/г=3,0 хг/сл:3=3 ООО т/л:3, модуль
упругости, коэффициент Пуассона, высоту и ширину плиты, равными £п = 2X10sW.«2.
Мп =0,20, 6=0,15 м и 6=1 ж. Нагрузка принимается в соответствии со схемой на
рис. 161.
Применительно к заданным численным
значениям находим;
момент инерции плиты
663 1 X О, I б3
Уп = ~ = 0,00028125 м*,
цилиндрическая жесткость плиты
_ £п-4 _ 2 X 10° X 0,00028125 _
Pf-Pm
РГ-?т
q-0,5m/M
ншшшттпй_________________
'/////л
£7,-to"
-----—. аг=3м---------J
коэффициент жесткости
3000 X 1
4 X 585,94
= 1,064
1 а а 1,064
4<хЗ£) " 4а4£) = ~kb = ЗООСТхЛ = °-00035467 м^т-
В соответствии с обозначениями на рис. 161 из выражений (5.42), (5.43) и (5.50),
полагая Mi = Qi = 0, получаем:
А-k w* ('-«) +
1 4а2
+ ЛК2 (/ — аа)] — -----q [ Г3 (/ - а2) — Уй (I — а ],
откуда по табл. XXI приложений находим:
А = 0,00035467 [2 X ( - 6,3734) + 4 X 1,0185] — 0,00016667 (0 5580 +
+ 0,3061)--------------------------0,003220;
аналогично:
й = Ф'"(0= (/-Я]) +
1 4а3
+ (/ — а2)] — ^аз q Р -, (Z — а2) — У2 (I — <+)] =
= 0,00035467 12 X (-12,174) + 4 X 0,7850] - 0,00016667 (1,0185 + 6,3735) =
= - 0,0087509.
Отсюда, в соответствии с выражениями (5.44):
/т ЛГ3(/)-^Г4(/)
1 Гро— к3(OKl (О
-0,003220 X (-15,824)- 0,0087509 X 4,031 Л ______„
“ (— 15.824)2 — 23,599 X 4,031 ~ 0,00010096 .н.
198 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
~ ’ ........ 1 BY,(l)~AY2(l) ; - ;
о (U) ------------
гЗ(О-г,(/)Г4(/) '
-0,0087509 X (-15,824)-0,00322X23,599
- (_15,824)3 _ 23,599 X 4,031 -0,00040213 м.
После определения значений w (0) и В (0) выражение для прогибов в любом
сечении х, в соответствии с выражениями (5.38), (5.39) и (5.51), может быть пред-
ставлено в виде:
~kt> = з ооо х 1 ~ w ~ W ~ 5 (°) +
4“ £>а3 А ^4 (х 1)4* £)аз Рг X (х - 3) +
+ ~ТГ П“ У1 (Л' -1)! “ ~h~ п- Л (* -3)] = 0,00010095 УДх) +
+ 0,00040243 У 2 (А-) X 4 X 0,00035467 Х2Х (х — 1) + 4 X 0,00035167 X 4 X
0,5
х г4(х-з) +'зооо5Г1[1 “ Г1(*-1)1 -
0,5
“ 3 000Х 1 11 — Г^х~3)1-
Для первого участка следует оставить только
первые два члена этого решения, для второго участ-
ка--первый, второй, третий и пятый члены, для
третьего участка — все члены полученного реше-
ния,
В соответствии с выражениями (5.40), (5.41),
(5.42) и (5.51), могут быть найдены выражения для
углов поворота п(х). иинбающих моментов Л4(х) и
перерезывающей силы Q(.r). Например:
(И(х) = — D )f0 (х) Ч- Ф'. (х/1 = — D [— 4а2 X
X w (0) У3 (х) - 4а5 (0) Y4 (х) +
1 1
4- £>а 1Y'2 (х ~~ 4" £)а Р^г{х— аг)+
4а2 4я2
4- (X — 4Y^X~
Q (X) = - D (х) 4- Ф"’ (х)] = - D [-4a3w (0) X
х у2 (х! — 4<х2Ь (0) У3 (х) +
4- Pi^i (х ~~ ai) -У *^“ Р?¥1 (х — аг) 4-
4дЗ 4а3
4-“дУ2 (х-аД — —дУ3(х-л3)]. (5.53)
Для различных участков принимаются члены, соответствующие принимаемым в
выражении для прогибов и(х). Полученные в результате решения задачи эпюры для
М(х) и Q(x) показаны на рис. 162,
е) Случай полосы переменной жесткости
При проектировании гидротехнических сооружений, например шлю-
зов, сухих доков н т. п., весьма часто встречаются случаи, когда рас-
четная схема сооружения может быть представлена в виде полосы
$ Z. Способ коэффициента постели.
IS»
с жесткими участками. В качестве примера рассмотрим случай полосы
с жесткими концами.
Для этого отрежем жесткие концы полосы от ее средней части и
обозначим силы взаимодействия между ними, как показано на рис. 163,
через М', М", Q' и Q",
Предположим, что к средней части полосы длиной Z, жесткость кото-
рой, как и раньше, мы будем обозначать через О, приложены внешние
нагрузки Ph Mf, qi и др., показанные на рис. 163. Далее предположим,
что нагрузки, приложенные к жестким участкам полосы длиной d' и d"
(включая нагрузки, приложенные к сечениям, отделяющим жесткие
концы от средней части полосы), заменены статически эквивалентными
центрально приложенными сила-
ми R' и R" и парами сил с мо-
ментами п ??£’'.
Определение проги-
бов н углов поворота
концевых сечений сред-
ней части полосы. Приме-
нительно к обозначениям на
рис. 163, прогибы и углы поворо-
та концевых сечений средней ча-
сти полосы, возникающие от
внешних нагрузок Ph Mi и q{,
обозначим через то’, wj, о' и
<1Ь где нижний индекс 1 пока-
зывает, что эти величины соот-
ветствуют заданной внешней на-
грузке. Эти прогибы и углы по-
ворота могут быть найдены в со-
ответствии с изложенным выше
по выражениям (5.38), (5.39),
(5.40), (5.45), (5.47), (5.51) и
(5.52).
Аналогичные величины <&>’,
и S’f отличающиеся лт
Рис. 163
индексом 2, представляют собой
прогибы и углы поворота концов средней части полосы, возникающие
от внутренних усилий М', М", Q' и Q". Прогибы н углы поворота w'% и
£'г на конце средней части полосы, совпадающем с началом координат,
т. е. сечением х = 0, возникающие от усилий АЦО) = АГ, Q(0)=—Qf,
н Q(Z)=Q", направление которых показано на рис. 163, оп-
ределяются в соответствии с изложенным выше следующим образом.
Сначала, в соответствии с выражениями (5.42) и (5.43), находим:
Ф" (х) = - Ш М' Г, (х) + Q' Г2 (х),
Ф'" (х) = Щ М’ Г, (х) + Ш Ч'Г, (х),
А
Ш-[- Ш M%(Z) + 4- Q%(Z) + 4-
В = Т5Г [-S’ М'Y*« + В" Y> <Z> + ТГ
200 Глава V, Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Тогда, в соответствии с выражениями (5.44):
«,;=ТО(О)=^-{^_[-Л-м'Г1(/)+4-р'г!0 +
Y,(D~^r [4гM'Y^0+4-<2'Л(0 + 4гД< } =
= 4{-4йг [Г,(/)К8(/) + 4ГН0! +44^^ +
+ 44 [ Г2 (Z) Г, (Z) - Г, (Z) Г4 (0J - Г4 (Z)},
=s2 (о)={4г [ 4г м’ Y> w+-4 «' й) + 4г] r= w -
- 4- [- d м' Y w + 4г Q' w + «} =
= 4- {ТЙГ [4 r‘(Z) Ys (Z) + Y'(Z) (Z)1 + 4&- I Г‘ <Z) Y°(Z’ -
-YlO)]--^YdD + ^Yt(b},
где
д=у3Ч/)-г2(/)г4(/).
Отсюда
w' = ~~kb' 2a2P2^' + 2ap3Q' + 8a2p4Mw — 4ap5Q"),
8J = ~ (4asP1M' - 2«2p2Q' - 8а’р0Л4" + 8a2ptQ"), (5.54)
где
Р1=-щ-[г1(0Г2(0+4Г,(/)Г4(/)].
рз=4-1 ww+4 r< wi=~ 4-1 w уз <z) - r2 wi -
рз=4-1 w w- л <z) ^w],
. • P3 = 4-^(0, - .. ;
p6=4~r*®-
(5.55)
Нетрудно показать, что функции pt, р2. . . . р6 тождественно
совпадают с аналогичными функциями, используемыми в способе рас-
чета, предложенном П, Л. Пастернаком [106], вследствие чего для опре-
деления значений этих функций может быть использована табл, ХХШ
приложений, приведенная в книге В. В. Кречмера [131]. Для иллю-
страции этого рассмотрим функцию ри В соответствии с выражениями
(5.55) и (5.10), имеем:
§ /. Способ коэффициента постели
4
1 У, (Z) У2 (Z) + 4 У3 (/)/,(/)
Р1— 4 yf(O—К,(ОК.(О
~2~ (sin al cos al ch3 al -J- sh al ch al cos3 a/)
sin2 al sh2 al — -g“ (sin2 al ch2 al — COS3 al sh2 a/)
4 ’ -g- (sh al ch al sin2 al — sin al COS al ch2 al)
sin2 al Sh2 al — (sin2 al ch3 al — cos3 al sh2 al)
Sin al COS aZ(ch2 al — sh2 al) + sh al ch al (sin2 al + COS2al)
2 sin2 al sh3 al — sin2 al ch2 al -f- COS2 al sh3 al
(sin 2al+ sh 2al)
sh2 al (sin2 al + COS2 al) — sin2aZ (ch2aZ — sh2 al)
(sin 2al + sh 2aI) -y- (sin 2a/ + sh2aZ)
sh2 al — sin2aZ ch2 al + COS2 al - 2
(sin 2aZ 4* sh2«Z)
“i i
-y (ch 2al + 1) + ~2~ (cos2a/+1)—2
sin 2al + sh 2al
ch 2al + COS 2al — 2 •
Полученное выражение в точности
совпадает с выражением для функции Рис- 164
Pj в способе П. Пастернака. Аналогич-
ным образом можно показать совпадение и остальных функций р.
Выражения (5.54) могут служить для определения прогиба и
угла поворота С и на другом (правом) конце полосы. Для этого сле-
дует изменить правило знаков, полагая для обоих концов полосы про-
гибы и углы поворота концов положительными, если они соответствуют
показанным на рис. 164- Кроме того, в выражениях (5.54) следует
взаимно заменить индексы в виде одного штриха и в виде двух штри-
хов. В результате получаем:
w' = -1- (— 2а2р2/И" + 2ap3Q" + 8ар4Л4' — 4ap3Q'),
8; = А- (4а3р1Л1" - 2a3p2Q" - 8а»р6Л1' + 8«2p4Q').
(5.56}
Следует отметить, что принятое изменение правила знаков сохра-
няет без изменения знаки всех прогибов и углов поворота концов, за
исключением знака угла поворота для правого конца полосы. Вслед-
ствие этого при определении прогибов и углов поворота от заданной
нагрузки, приложенной в пределах среднего участка, следует заменить
знак на обратный в выражении для угла поворота правого концевого
сечения.
Суммарные значения прогибов и углов поворота концевых сечений
полосы как от нагрузки, приложенной в пределах полосы, так и от
202 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
усилий М', Q', Мг' и Q",
представлены в виде:
для левого конца
приложенных к концам полосы, могут быть
для правого конца
w' = ^2 + Wp
s' = 8'+8;;
&" = s; — 8;.
(5.57)
(5.58)
Определение смещений концов жестких участков
полосы. Определим вертикальные смещения концов и угол накло-
на [3 жесткого участка, возникающие под воздействием приложенных
м--
Рис. 165
к нему усилий, показанных на рис. 165. Обозначим сумму вертикальных
сил, приложенных к полосе, через Y.Z и сумму моментов — через S/И.
Тогда, в соответствии с рис. 165, а имеем:
EZ^-Q.-Q*,
d d (5.59)
Напишем уравнения равновесия. Условие, что сумма вертикальных
сил, действующих на полосу, равна нулю, имеет вид:
d
+ 2
. f az(x)dx — ^Z\ " л_. - (5.60)
2 ........
условие, что сумма моментов действующих сил относительно середины
полосы равна нулю, имеет вид:
- .... .. а . . •
+ 2 '
J х а2 (x) dx — S/И. (5.61)
, -' j ...... :
§ 1. Способ коэффициента постели
203
Вследствие бесконечно большой жесткости участка подошва его
остается, как показано на рис. 165, б, плоской и осадки z различных
точек подошвы определяются выражением:
z = z0 + х tg (5.62)
где z0 и р обозначают среднюю осадку и угол наклона полосы, кото-
рые могут быть найдены из условий равновесия.
Отсюда имеем (рис. 165, в):
a^kz^klz^ xtgp),
в результате чего уравнения (5.60) и (5.61) могут быть представлены
в виде:
d
-1-
2 '
С k (гв + х tg 3) dx = kzbd — 'lZ,
_ d_
2
d
+ r
• ’• J xk (zc + xtg?) dx= ~^rkd? tg3 — IM
~2 *
Решая, находим:
и в соответствии с уравнением (5.62);
1 12
г- .' V/ . л 12
kd kd^ ’
/ , d \
откуда вертикальные смещения концов жесткой полосьнх = ± Iравны.*
_____L2_ м дт
2 kd*
г“>Ь=~ kb
Принимая во внимание уравнения (5.59), получаем выражения для
вертикальных смещений концов жесткого участка и угол поворота:
г« = -kV <R- (b- Qb) - ~/dr + ЛЦ-7И, + Q„ 4 - Q„ ,
г»=4-(я - q„ - +q„ 4 - q„ 4),
₽ - tg 3 = + - /И4 + Qa 4 - Q„ 4 ) .
В случаях, когда участок полосы конечной жесткости примыкает
только с одной стороны жесткого участка, следует соответственно за-
данной расчетной схеме принимать Ма и Qa или же и Qb равными
нулю.
Уравнения сопряжения смежных участков. Внутрен-
ние усилия Л1 и Q, прикладываемые к концам различных участков по-
лосы, определяются из условий, что в каждом разрезе, отделяющем
204 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
жесткие участки полосы от участков конечной жесткости, прогибы и
углы наклона примыкающих участков полосы должны быть одинаковы.
Применительно к схеме на рис. 163 эти условия могут быть, в соот-
ветствии с обозначениями на рис. 164 и 165, записаны в виде:
а) для левого конца полосы
w' = zb и S' = р, (5.64)
причем
Ma = Qa=0, МЬ = М’ и Q„=Q';
б) для правого конца полосы
wf' = za и Г = (5.65)
причем *
Ма~М", Qa^Q" и Mb=Qb = 0.
Подставляя в уравнения (5.64) и (5.65) выражения (5.57), (5.58) . и
(5.63), получаем и решаем систему, состоящую из четырех уравнений
с четырьмя неизвестными Л4', Л4", Qz и Q". После этого по выражениям
(5.63) находим краевые осадки и углы наклона жестких участков по-
лосы.
Затем по выражениям (5.54) находим значения и
8' = 82 (0). Подставляя их в выражения (5.29), (5.38), (5.39), (5.40) и
принимая во внимание, что Л4(О)=Л4/ и Q(0) =—Q7, получаем выра-
жения для w(x), 3 (х), М(х) и Q(x) для любого сечения средней части
полосы от моментов и перерезывающих сил, приложенных к концам
средней части полосы. Суммируя эти значения со значениями, соот-
ветствующими внешней нагрузке, приложенной в пределах средней ча-
сти полосы, находим окончательные значения прогибов, углов поворота
и внутренних усилий в любом 'сечении средней части полосы. После-
дующее построение эпюр моментов, перерезывающих сил и т. п. произ-
водится без затруднений.
Если жесткие концы полосы имеют одинаковую длину, а внешняя
нагрузка симметрична, то решение задачи существенно упрощается.
В таком случае можно ограничиться составлением условий сопряжения
только для одного (например, левого) конца полосы, которые, как и
раньше, могут быть записаны в виде:
ize»/ = zb и = р, (5.66)
причем в выражениях (5.54) и (5.63) следует принимать:
Mb = M', Qb=Q', Л4' = ЛГ, Q' = Q" и Ma=Qa=>Q.
Решая полученную систему из двух уравнений с двумя неизвестны-
ми, находим искомые внутренние усилия в местах разрезов, после чего
определяем значения w(x), 8(х), М(х) и Q(x) для половины длины по-
лосы, принимая соответствующие значения для другой половины по ус-
ловиям симметрии.
Аналогичным способом, проводя разрезы в местах соединения же-
стких и изгибаемых участков полосы, заменяя их взаимодействие соот-
ветствующими неизвестными внутренними усилиями и используя со-
ставленные выражения для жесткого и изгибаемого участков, можно
получить необходимую систему уравнений сопряжения смежных участ-
ков, решение которой позволяет определить все искомые величины для
любого сочетания изгибаемых и жестких участков полосы. Число урав-
нений сопряжения в общем случае равно удвоенному числу разрезов,
а в случае симметрии — вдвое меньше.
$ /. Способ коэффициента постели
305
Рассмотрим в качестве примера решение для случая нагрузки по-
лосы с жесткими концами силами, показанными на рис. 166.
Предположим, что & =3,0 кг/см3 = 3 000 т[м3, Еп = 2 X 10G нг/м2, р.п =0,2, Л —
= 0,15 м и b = 1 м.
Тогда момент инерции полосы
равен;
Ь№
jn----= 0,00028125 м*;
цилиндрическая жесткость полосы
равна:
D = = 585,94 тм\
1 — [Лп
pt-3m Р^Зт
R~2m R-2m
коэффициент жесткости:
зооо х 1
4 X 585,94
= 1,064 1/ж.
Решение задачи производится
следующим образом.
1. В соответствии со схемой на
рис. 166 из выражений (5.42), (5.43)
и (5,50) находим с помощью табл.
XI приложений:
1 1 1
А = л а Ф" ( 0 - -----л---X
4а4 ' ' 4а2 Da
X [Л У2 (/-Я1) + Р2 Y, (1~ а2)1 —х
X [Хз ( / — й!2) — Хз(/ — tlj) } =
= 0,00035467 [3 х (—6,3734) +
+ 3 х 1,0185] — 0,00016667 (0,5580 +
+ 0,3061) = -0,0058417,
В = ~4^D + P*Y' « ~
- W-
Рис. 166
- й1)] = 0,00035467 [3 X (-12,735);+ 3 X 0,7870] — 0,00016667 X
X (1,0185 -6 6,3734) = —0,013437.
Отсюда, в соответствии с выражениями (5.44):
ЛЧ AY-AIY— BY.(l) 1
w (0) = —z—= -------------------Г 0,0058417 X (—15,824) +
- v 7 у2(/) _ У2(/)ГД/) 155,27 1 ’ Л ’ 7
+ 0,013437 X (-4,031)] = 0,00024658,
, * /ЛЧ ВУД/) —ЛУа(/) 1,064
61 =5 (0)=“ 7К/)-Г,(/)Г,(/) = Д55.2Г И «•О13‘137 X (~15-824* +
’ + 0,0058417 X (—23,599)] = 0,00051239.
2, Далее следует отметить, что вследствие симметрии в выражениях (5.54) сле-
дует принять ЛТ/=ЛТ// и Q'=Q", в результате чего они принимают вид:
206 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
w2 = kb I*2 <8р* ~ 2Р^ 34' + а (2р3 — 4р5) $'] =
= зООО X 1 { 1.0648 [8 X (-0,012739)-2X 1,0013] 34' +
+ 1,064 [2 X 1-0007 - 4 X (—0,00649)] $' j = - 0,0007941534' + 0,00071903$',
2= ~1ь 1а3 (4₽1 — 8р^ м' + а2 <8р* ~ 2p2)Q'J =
= 3 00р х J j 1,0643 [4 х 1,00139 — 8 X (-0,018998)] М' + l,0642 X
X [8(—0,012739) - 2Х 1,0013] $' ) - 0,001669434' — 0,00079414$',
где значения определены по табл. XXIII приложений для ^ = 1,064X4=4,256.
3. В соответствии с -выражением (5.57) находим суммарные смещения концов-
средней части;
w' = w’2 + = —0,0007941534' + 0,00071903$' 4- 0,00024658,
S' = b' 4- sj - - 0,001669434' — 0,00079414$' 4- 0,00051239.
4. Переходя к рассмотрению смещений правого конца левого жесткого участка,
из выражений (5.63) находим, полагая Ма = Qa = 0, 34$ = М' и Q& = Q':
= + = 30005<’1' (2—
6
+ 3^0- (0,5 — 34' — 0,5 Q') =0,0016667—0,0013333$' — 0,00234',
12 /____ d \ 12
₽ = ~Л/' - $' ) = з ОООХР <0-5 - - W') =
= 0,002 — 0,00434' — 0,002$'.
5. В результате уравнения сопряжения (5.66) для левого участка w'= и 8'= Р-
могут быть представлены в виде;
—0,0007941534' + 0,00071903$' + 0,00024658 = 0,0016667 — 0,0013333$' —0,00234',
0,001669434' — 0,00079414$' + 0,00051239 = 0,002-0,00434'-0,002$'
или ' , . , , :: । ; _i.J (13
0,00120534' + 0,0022052$' = 0,0014194,
0,005669434' + 0,0012058 $' = 0,0014876.
6, Решая, находим:
34' = 0,1181 тм,
$' = 0,6.222 т.
7. Подставляя полученные значения 34' и Q' в приведенные выше выражения
для w' и o', получаем:
w (0) = wr -и w’2 = -----0,00079415 X 0.11S1 0,00071903 X 0,6222 4-
+ 0,00024658 = 0,00060016
Ь(0) = 8' = b' = 0,0016694 У 0,1181 - 0,01)079414 X 0,6222 +
4 0,00051239 =7 0,00021541.
8. Подставляя полученные выражения для w (0) и Ь (0) в выражения (5.38), (5.39)-
н (5.51), получаем:
w(x)^w (0) Ki (х) + Й (0) У2 (х) — -^2- У;; (х) 4-
§ /, Способ коэффициента постели
207'
+ Da8 4 + £)а3 У* Da3 ^4
+ fob [I (х ai)l kb (х ла)1-
(5.67)'
Дифференцируя
пользуя выражения
выражение (5.67) и учитывая зависимости табл. 13 или же ис-
(5.40), (5.42) и (5.52), находим:
/И (*) = 7JT w (°) Г3 (*) + ~Г В (0) Yt (X) -bAfo^i (*) — ~ (Л‘) —
Гз(х-Я1)--у у2(х-а2)--^ Г3(х-Я])+4- Y^x ~ <h).
kb kb
Q(x) = — w (0) T2 (л) + В (0) T3(x)- WET, (x)-
,(5.68>
q Q
- Po Xi (x) — P{ Л (x — ai)-P3yi (x—aa) —- Y2 (x - «,) + — Y2 (x — a2),
<f (x) = kbw (x).
Вычисленные по выражениям (5.68) эпюры
реакций основания, изгибающих моментов и пе-
ререзывающих сил показаны на рис. 167.
На этом рассмотрение методов реше-
ния балки иа упругом основании по спо-
собу коэффициента постели можно за-
кончить. Следует лишь остановиться на
оценке допущений, принимаемых в этом
способе, и на области применимости
этого способа.
ж) Область применимости способа
коэффициента постели
Для того чтобы дать правильную^
оценку способа коэффициента постели и
установить область его применимости,
следует рассмотреть принятые в нем до-
пущения.
Р
Рис. 168
Первое допущение о том, что в каждой точке подошвы прогиб по-
лосы равен осадке основания, равносильно, как указывалось ранее,
предположению об отсутствии щелей между подошвой полосы и осно-
ванием. Это допущение не всегда соответствует действительности. Если,
например, сосредоточенная сила приложена к достаточно длинной ч
гибкой балке, то на некотором расстоянии от точки приложения силы
в действительности возникает отставание балки от основания, как по-
казано на рнс. 168, если только нет какой-либо иной нагрузки, прижи-
мающей в соответственных местах балку к основанию. Так как в рас-
четной схеме принимается, что таких отставаний не имеется, то при ре-
шении в соответствующих местах получаются растягивающие напря-
208 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости _
жения между подошвой балки и основанием, как то, например, по-
лучалось при .изложении метода расчета бесконечно длинных
балок (балочных плит). Это, конечно, противоречит действи-
тельности, однако в области, примыкающей к точке приложения силы,
не вносит больших искажений в величины прогибов, изгибающих мо-
ментов н перерезывающих сил. Так как именно эти величины являют-
ся решающими в отношении конструкции и прочности балки, то появле-
нием в некоторых случаях иа отдельных участках балки растягиваю-
щих напряжений можно пренебречь тем более, что введение в расчет
частичного отставания балки от основания сильно осложнило бы
расчет. Это усложнение расчета на основании изложенных соображе-
ний было бы неоправданным, особенно при наличии других значи-
тельно более существенных недостатков способа коэффициента по-
стели.
2
Рис. 169 Рис. 170
Второе допущение о возможности использования гипотезы плоских
сечений не вызывает возражений. В случаях, когда высота балки мень-
ше одной четверти или одной пятой длины балки, применение гипотезы
плоских сечений вполне уместно. В противном же случае жесткость
балки по отношению к податливости основания получается такой, что
балку следует рассматривать как совершенно жесткую. Это соответ-
ствует случаям, когда приведенная длина балки (полосы) а/<0,8.
Третье допущение <р (х) =kw(x) является основным допущением
способа коэффициента постели, вызывающим наиболее серьезные воз-
ражения. Основной недостаток этого допущения заключается в предпо-
.ложении, что в точке поверхности основания, в которой не приложено
внешней нагрузки, осадка равна нулю. Отсюда следует, что осадки
от силы, приложенной в точке £, во всех точках поверхности основа-
ния (рис. 169), кроме одной только точки равны нулю. Они
получаются равными нулю даже в точках, расположенных на сколь
угодно малых расстояниях е от точки приложения силы Р. При таком
допущении о свойствах основания его можно уподобить совокупности
несвязанных между собой пружин (рис. 170) или вертикальных полос
грунта, разделенных абсолютно гладкими вертикальными плоскостями
без трения, когда загрузка какой-либо одной пружины или полосы вы-
зывает сжатие только этой пружины или полосы и не вызывает де-
формаций всех остальных пружин (полос).
Такое представление об основании, конечно, не соответствует дей-
ствительности, так как при приложении нагрузки к реальным основа-
ниям осадки возникают не только в точках приложения нагрузки, ио и
на достаточно большом расстоянии, как показано, например, на рис. 171.
Вытекающее из зависимости (5.3) заключение о том, что в случае
приложения к некоторому участку поверхности основания равномерно
распределенной нагрузки осадки в пределах этого участка будут равно-
§ /. Способ коэффициента постели
209
мерными, а вне его равными нулю (рис. 172, а), также не соответствует
действительности, так как по опытным данным осадки в этом случае в
пределах полосы неравномерны, а вне полосы отличны от нуля
(рис. 172, б).
При расчете по способу коэффициента постели и загрузке балки
(полосы) равномерно распределенной нагрузкой осадки балки и реак-
ции основания получаются равномерными по длине балки (рис. 173,а).
На основании экспериментальных данных осадки и прогибы оказыва-
ются неравномерными, причем наибольшие прогибы возникают в сере-
дине балки, как показано на рис. 173, б. Следует также указать на ре-
зультаты натурных наблюдений, полученные при строительстве шлю-
за с разрезным днищем Нижне-Свирской ГЭС. Когда была забетониро-
вана только плита днища, схематично показанная на рис. 174, то при
расчете по способу коэффициента постели осадки должны были полу-
читься либо равномерными, либо с увеличением к краям, так как там
величина нагрузки была больше. На самом же деле после возведения
днища шлюза оказалось, что наибольшие осадки получились в средней
части днища и обе половины днища повернулись, как схематично и не
в масштабе показано на рис. 174.
Рис. 173
Рис. 174
Это определяется по существу тем, что по гипотезе коэффициента
постели касательные напряжения хжя по всем вертикальным плоско-
стям, в том числе и по плоскостям а—а и b—Ь, показанным на рис. 175,
принимаются отсутствующими. На самом же деле влияние этих под-
держивающих воздействий со стороны боковых частей основания яв-
ляется весьма существенным.
Не соответствующее действительности допущение, что осадка осно-
вания происходит только в точках приложения нагрузки, приводит, как
показано на рис. 172, а, к разрывам непрерывности вертикальных пере-
мещений поверхности основания на концах полосы, так как с одной
стороны конца 'балки нагрузка есть, а с другой нет.
При пользовании способом коэффициента постели, кроме того, по-
лучается, что возведение соседних, близко расположенных сооружений
не вызывает никаких напряжений и осадок на протяжении подошвы
балки, рассчитываемой этим способом. Равным образом получается,
что засыпка пазух котлована (рис. 176) при возведении, например.
14—В. А. Флорин
210 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
камеры шлюза может быть учтена только путем введения в расчет со-
ответствующих горизонтальных давлений на стенки. Вертикальные же
силы собственного веса засыпки, создающие пригрузку на основание с
обеих сторон сооружения, не могут быть учтены при расчете этим
способом, так как они согласно третьему допущению не влияют на рас-
пределение напряжений по подошве сооружения. В действитель-
ности же боковые пригрузки весьма сильно влияют на распределение
напряжений и осадок по подошве сооружения.
Рис. 175
Если же при пользовании способом коэффициента постели попы-
таться как-либо учесть, что осадка в некоторой точке подошвы зависит
не только от нагрузки в этой точке, но и от нагрузок в соседних точках
(что явно противоречит основной идее способа), то коэффициент по-
стели для одного и того же основания не будет постоянной величиной,
а будет зависеть от размеров и формы подошвы сооружения, интенсив-
ностей нагрузок в других точках подошвы и т. п.
Рис. 177 .... , Рис. 178
Все перечисленные недостатки способа коэффициента постели, выте-
кающие из третьего допущения, вызвали естественные возражения про-
тив безоговорочного применения этого способа как несоответствующего
во многих случаях реальным условиям работы сооружений.
Если поставить вопрос о том, в каких условиях третье допущение
способа коэффициента постели в полной мере соответствует действи-
тельности, то в качестве примера такого основания может быть приве-
дена вода. Например, давление воды на нижнюю поверхность каж-
дого из рядом поставленных, показанных на рис. 177, понтонов или
давление воды в какой-либо точке иижией поверхности плавающего ле-
дяного поля (рис. 178), покрывающего водную поверхность, пропорцио-
нальны величинам погружения понтонов или ледяного поля в рассмат-
риваемой точке, что следует из закона Архимеда. Таким образом,
вода действительно является хорошим примером основания, соответ-
ствующего гипотезе коэффициента постели.
Изложенное позволяет прийти к выводу, что способ коэффициента
достели тем лучше соответствует действительности, чем больше свой-
ства грунтов основания приближаются к свойствам воды, т. е. чем мень-
ше сопротивление грунтов основания сдвигу, чем больше области пре-
дельного напряженного состояния. Следовательно, применение способа
коэффициента постели имеет тем большее основание, чем меньше связ-
ность грунта, размеры и заглубление сооружения, а также, чем больше
§ 2. Линейно-деформируемое основание
211
средняя интенсивность нагрузки, передаваемой от сооружения на его
основание. Иначе говоря, условия для обоснованного применения спо-
соба коэффициента постели как раз обратные по сравнению с усло-
виями применимости к грунтам решений теории упругости.
Поэтому было бы неправильно ставить вопрос о том, какое пред-
ставление основания при определении напряжений по подошве соору-
жения лучше: соответствующее способу коэффициента постели или тео-
рии упругости. Оба представления имеют в настоящее время при совре-
менном уровне знаний право на существование, но каждое из них имеет
свою область применимости и их не следует противопоставлять.
§2. ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОЕ ОСНОВАНИЕ
а) Основные положения
В этом параграфе приводится описание метода расчета балочных
плит конечной жесткости и длины, расположенных на линейно-дефор-
мируемом основании, в изложении, соответствующем наши?л ранее
опубликованным работам [34, 46 и 55].
Методы решения балок (балочных плит)
бесконечной длины, соответствующих
в практических расчетах случаям малой
жесткости балочных плит, нами рас-
сматриваться не будут. С ними можно
познакомиться в специальной лите-
ратуре [112, 123].
Предположим, что в соответствии с
рис. 179, а к балочной плите дливой 2 а
приложена произвольная распределен-
ная нагрузка fix) и нагрузка в виде со-
средоточенных сил и моментов. Рассмот-
рим раздельно балочную плиту и ее ос-
нование, как показано на рис. 179, б и
179, в.
Обозначим, как и при рассмотрении
способа коэффициента постели, реакции
основания по подошве полосы через Рис 179
<р (х), вертикальные прогибы полосы
через wn(x), осадки основания через wQ(x) и примем первые два до-
пущения, а именно допущение о равенстве прогибов полосы и осадок
основания:
w0(x) = wn(x) = w(x) (5.69)
и гипотезу плоских сечений:
(x)=f(x) — ?(х), - ' (5.70)
где D, как и раньше, обозначает цилиндрическую жесткость балочной
плиты, т. е.: '. / ,
EJ
Г> . .........................
1 -1*„
Здесь 7П обозначает момент инерции полосы шириной в направле-
нии оси у, равной единице, и |лп — коэффициент Пуассона полосы.
14*
212 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Третье допущение, которое принималось в способе коэффициента
постели, а именно
<р (%) = bk w (х),
отбросим, так как допущение о том, что осадка возникает только в точ-
ке приложения >нагрузки, как уже отмечалось выше, во многих случаях
неприемлемо.
Поэтому вместо него примем другое, не вызывающее сомнений до-
пущение о том, что в случае приложения к поверхности основания в
некоторой точке с координатой £ сосредоточенной силы Р,~ =1 осадка
в другой точке основания с координатой х будет отличней от нуля и
будет зависеть от расстояния между точкой приложения силы и точкой,
в которой определяется величина осадки, т. е. в соответствии с обозна-
чениями на рис. 180 от расстояния (х—t).
Рис. 180 .. Рис. 181
Иначе говоря, осадка в точке х от груза Р% =1 будет функцией от
расстояния х— £, т. е.:
w (%) = К (х — £),
где К является обозначением функциональной зависимости между
да(х) и (х— £).
Тогда в случае распределенной нагрузки (рис, 181) осадку в точке
х от груза. Р^ = (5) dt можно принять равной:
w(x) = ср {£) К{х — £) dk, (5.71)
а от всей распределенной нагрузки равной:
+а
w(x) = | <р (?)/С(х — В) i/E. (5.72)
; — а
Выражения (5.71) и (5.72) получены без каких-либо допущений о
деформационных свойствах основания, полагая лишь допустимым при-
менение принципа наложения или независимости действия сил (осадка
от нескольких грузов равна сумме осадок от каждого груза в отдель-
ности ).
В результате, подставляя выражение (5.72) в уравнение (5.70), по-
лучаем уравнение:
+ а
' <р (6) К(х. - 6) dl =f(x) (5.73)
а
Если для основания полосы представляется возможным принять
расчетную схему в виде лииейно-деформируемой среды, в которой
напряжения и деформации связаны законом Гука, то выражение для
функции К (х —;), называемой ядром уравнения (5.73)- следует при-
§ 2. Линейно-деформируемое основание
13
иять из соответствующего решения плоской задачи теории упругости.
Для вертикальных перемещений края бесконечной среды, ограниченной
с одной стороны плоскостью, загруженной силой =1 (рис. 180), мы
имеем известное из тео-рии упругости выражение [54]:
Х(х-Е) = ®Р{= (х)-=-2 '‘"р* 1п |х-Е| + С, (5.74)
где Еа и обозначают модуль деформации и коэффициент Пуассона
основания.
Подставляя это выражение в уравнение (5.73), находим для опреде-
ления искомой функции с? уравнение:
+ а
- 2(1J^- • ?(С)1п|х-Е|й=/(х)-<р(х). (5.75)
Искомая функция о должна удовлетворять не только этому уравне-
нию, но и уравнениям равновесия балочной плиты (рис. 182):
4-а
£Z = J ср(е)^ = ^, (5.76)
—а
4-л
SAI- J = (5.77)
— а
где R и Л1о, обозначают сумму верти-
кальных сил и сумму моментов всех
внешних нагрузок относительно на-
чала координат.
Если к полосе приложена симмет-
ричная нагрузка, которая приво-
дится только к равнодействующей, проходящей через начало коодинат,
то распределение реакций основания тоже симметрично и функция
<р (£) — четкая. При этом уравнение (5.77) отпадает, так как превра-
щается в тождество.
Если же нагрузка обратно-симметрична, т. е. справа и слева от на-
чала координат одинакова по величине, но обратна по знаку, то она
приводится только к паре сил Мо, тогда как равнодействующая Я-0.
В этом случае распределение реакций грунта тоже обратно-симметрич-
ио и уравнение (5.76) отпадает, так как превращается в тождество.
Таким образом, искомая функция должна удовлетворять основно-
му уравнению (5.75) и одному или обоим уравнениям равновесия (5.76)
и (5.77).
Следует отметить, что в случаях, когда внешняя нагрузка задана
несимметричной, то обычно представляется целесообразным заменить ее
двумя нагрузками, из которых одна симметрична, а другая обратно-
симметрична. Соответствующую симметричную нагрузку можно, как
указывалось выше, представить в виде:
> Л- (-М + А (— х,-)
*с о
?»с
Qi (-*«) + Qi (— *<)
2
214 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
-‘и*с 2
а обратно-симметричную в виде:
Pj (xf) ~ Pj(- Xj)
2
qi (x^ — qi( — x^
2
Mi (xi) — Mi (— Xi\
2
Яюб = +
M;o6-±
Рис. 183
Предположим, например, что заданы нагрузки Р; = Р nqi^=q, пока-
занные на рис. 183, а. Тогда
Р - р + 0 _ р п _ ? + ° =
2 2 ’ ™ 2 2
И
п РО Р q о , q
~~ Т _ 2 — 2 * Я*об i “2 — ~ 2 '
Соответствующие симметричные и обратно-симметричные нагрузки
показаны на рис. 183, б и рис. 183, в.
Переходя к описанию метода решения задачи, укажем, что пред-
ставляется более удобным записать основное уравнение не в виде
(5.75), а в несколько ином виде. При этом выражение для прогиба в
любой точке х (рис. 184) можно представить в виде суммы переме-
щений полосы как жесткого тела:
(х) ~ Ах + (5.78)
§ 2. Линейно-деформируемое основание
215
и прогиба ау2(х), обусловленного изгибом полосы, измеряемым от пря-
мой (5.78). В результате, перемещение любой точки с абсциссой х оп-
ределится выражением:
w (х) = (х) -ф Ах-}- В. - - (5.79)
При определении прогиба w2(x) можно считать сечение х = 0 за-
щемленным, так как вертикальное перемещение и поворот этого сече-
ния учитываются слагаемым W](x).
Найдем сначала прогиб в любом сечеиии х от заданной внешней
нагрузки, полагая сечение х = 0 защемленным. Известно-, что прогиб в
сечении х может быть найден как изгибающий момент в этом сечении
от фиктивной нагрузки, распределенной
М(/), построенной от заданной внешней
нагрузки. При этом эпюру моментов Л4(/)
следует определять, считая полосу за-
щемленной в начале координат, как по-
казано на рис. 185, а.
Момент от фиктивной нагрузки сле-
дует определять относительно точки х,
перенося в соответствии с известными
правилами сопротивления материалов
защемление на свободный конец полосы,
как показано на схеме рис. 185,6.
Учитывая обозначения на рис. 186, а,
элементарный груз от фиктивной нагруз-
ки интенсивностью М(t) равен Л4(0 dt,
момент от этого груза относительно точ-
ки х равен (х—/) M(t) dt, а сумма эле-
ментарных моментов на длине от 0 до х,
разделенная на цилиндрическую жест-
кость полосы, равная прогибу в точке х
от внешней нагрузки, равна:
по закону эпюры моментов
(5.80)
0 . . •
Совершенно аналогичным путем -определяется прогиб от реакций
грунта В соответствии со схемой на рис. 186,6, определяем изги-
бающий момент в сечении t как сумму моментов всех расположенных
правее сечения t элементарных сил ?0)tZ£, умножая их на плечи
О— 0 и суммируя от t до а. В результате^ изгибающий момент в се-
чении t от сил ф (с) может быть представлен в виде:
M\t, ’ (5.81)
Вводя в выражение (5.80) вместо Af (£) полученное выражение
(5.81) для Лф, ?(£) ], получаем выражение для прогиба в точке х от
реакций грунта ?(£): ’ - .
—-5-J (х — £) Л-f [£, <?(£)] ^=-^J(x-£)^j (&-*)?(*)<& (5.82)
О 0 t
Складывая выражения (5.80) и (5.82), получим выражение для
w2(x), а складывая его с выражением (5.78) для wjx), получим, в со-
216 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
ответствии с выражением (5.79), выражение для прогиба полосы в се-
чении х в виде:
W(x) = — { J (х — t) М (t) dt +
о
(x — t)M \t, с? (£)] dt
M(t)dt+\^ (x-t)dt^ — t) <? (t) dt
0 t
—Ax 4- B,
(5.83)
Тогда, приравнивая в соответствии с допущением (5.69) выражения
(5.72) и (5.83) и принимая для К(х—£) выражение (5.74), получаем
основное уравнение в виде:
1 _ 2 +а х
~4 £/° J [? (?)1п|х-6| +С]--4 {j(*-ОМ(ОМ+
~а О
+ ^(x-t)M [Л ?(Q] ^} + + B = (x-t)M (t)dt +
0 о
t) *р (Ю 4~
(5.84)
откуда, дифференцируя под знаками интегралов 1 по х, находим:
Учитывая, что- производные от вертикальных смещений полосы
(х) и поверхности основания ay0(*) равны соответственным танген-
сам углов наклона касательных к изогнутой оси полосы и поверхности
основания, нетрудно убедиться, что в уравнении (5.85) выражение в
левой части уравнения представляет собой величину, пропорциональ-
ную тангенсу угла наклона к оси х, касательной к поверхности основа-
ния в точке с абсциссой х} а слагаемые в правой части уравнения —ве-
личины, пропорциональные тангенсам углов наклона касательных к оси
полосы от реакций грунта и внешней нагрузки. Вследствие малости
1 Понимая интеграл в левой части уравнения в смысле главного значения инте-
грала, можно показать' допустимость дифференцирования под знаком интеграла по>
параметру х.
§ 2. Линейно-деформируемое основание
217
этих углов можно их тангенсы приближенно считать равными величи-
нам самих углов.
Для определения величины А примем в уравнении (5.85) величи-
иу х равной нулю, откуда следует, что:
+а
— А = — J <р (0 dl.
— а
Вводя это выражение в уравнение (5.85), получаем его в виде:
+ в XX
f ?Г)(-Дт= + -г)d5=JM V’ f di+ JM Wdt =
-а 0 0
х + а х
= ~-\М J (5.86>
о t о
где
1 2
,__ Л Дл3 - 1 - Г(1 А'о дЗ
12 (1-^2) D 12 |_р2 £п 7П *
Выражение в левой части уравнения (5.86) и слагаемые, входящие
в правую часть этого уравнения, представляют собой величины, про-
порциональные разностям тангенсов углов наклона в сечениях х и х=0,
упоминавшихся выше касательных к поверхности основания и изогнутой
оси полосы.
Величина параметра k характеризует жесткость балочной плиты..
Чем эта величина меньше, тем больше жесткость полосы по отношению
к подстилающему ее основанию. Если величина k меньше 0,25—0,3, то,
как показывают выполненные численные расчеты, можно считать по-
лосу по отношению к основанию бесконечно жесткой и применять со-
ответствующие методы расчета. Если же величина k велика, то это яв-
ляется показателем относительно малой жесткости полосы или, что то
же самое, большой длины полосы по отношению к ее высоте. Примени-
тельно к случаю нагрузки полосы одной сосредоточенной силой при
значениях 6>ЗЧ-4 балочная плита может рассматриваться как «балка
бесконечной длины».
Входящее в уравнение (5.86) выражение
J(x) = jAf (О dt
о
численно равно площади эпюры моментов от заданной внешней на-
грузки на участке от 0 до х. Приведем соответствующие выражения
для различных видов нагрузок.
Если внешняя нагрузка состоит из некоторого числа сосредоточен-
ных сил Р{, приложенных в сечениях у, <х, и сил Pk, ‘Приложенных в.
сечениях >х, то в соответствии с рис. 187 имеем, что искомая пло-
щадь эпюры моментов от силы Pt равна:
‘.218 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
а от силы Рк на участке от 0 до х равна:
(pk '»!*) — “Г [р* (’J* - h* ~ х) = PkV - 4- pkx2-
Суммируя соответствующие площади эпюр моментов от всех задан-
ных сосредоточенных сил и учитывая при этом обычное правило для
знаков моментов, находим:
Если внешняя Нагрузка состоит из распределенных по длине балоч-
'ной плиты нагрузок, то, обозначая нагрузки g, (Q, расположенные иа
участке от 0 до х, через q$)» а расположенные на участке от х до
+ а — через qk(i), принимаем в выражении (5.88):
Л = <п ф и -ъ =
= И = t
Тогда, заменяя в соответствии с рис. 188 суммирование в первом
слагаемом выражения (5.88) интегрированием от Ь' до Ь", а во втором
слагаемом — интегрированием от bk до b'k , находим для распределен-
ных нагрузок:
Л
J (х) = М (t) dt------[4- J (x) +
bh
+ J (aS -4")?» (*)<*]• (5-89)
§ 2. Л инейно-деформируемов основание
219
Если же нагрузки q^l) и q^) распределены по всей длине участков
(О, х) и (х, + а), то:
J (х) = J М (t) dt= - [4 J?г 4i (Ч +
О о
4“
+ У(-"*--Т-)«'ДЕ>‘й]: ................ (5.90)
Если внешняя нагрузка состоит из некоторого числа моментов Mit
приложенных в сечениях С,- <х, и моментов Мк, приложенных в сече-
ниях С к >л; 'io в соответствии с рис. 189 находим:
J(x)= + (5.91)
В случаях, когда внешняя нагрузка состоит из некоторого числа
сосредоточенных сил, моментов и распределенных нагрузок, необходи-
мые выражения для /(х) = ^4'1 (£) dt, могут быть получены суммиро-
0
ваиием соответствующих выражений для отдельных частных видов на-
грузок.
Возвращаясь к рассмотрению урав-
нения (5.86), введем новые безразмерные
переменные:
х = ах, £ = al, t-- at. (5.92)
Тогда получим уравнение (5.86)
в виде:
? (р (=-ц.+4) <#==
х 4-1
(Г- Г) <? (Т)
и г
(5.93)
Рис. 189
где выражения J(х) для различных случаев нагрузки в
с выражениями (5.88), (5.89), (5.90) и (5.91) имеют вид:
для сосредоточенных сил
[1 _ /_ —2 XI
“2~S 4- Е \усх~ ;
соответствии
для распределенных нагрузок
_ -2
-/(х)=-а’[У е?,(Е)<й+ f (хё- -^-}ft(l)di
~b't \
или
х + 1 , __2 .
J(x) = - а1 [ р’?((1)di + f \xi—4)?6(Ё)dl
L 0 т-
(5.88')
(5.89')
(5.90')
220 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
для моментов
/(х) = -а[2МЛ+ (5.91')
В дальнейшем, для упрощения мы будем большей частью опускать
черточки над х, £ и /, подразумевая, что на самом деле они имеются.
Это сводится к тому, что вместо того чтобы считать х, t и £ равными,
111 11
например -у а, а и т. п., их следует считать равными -у , — ,
1 г-
у иг. д. Соответственно этому и пределы интегрирования от—а до +а
заменяются пределами от —1 до +1. В тех случаях, когда представит-
ся необходимым четко подчеркнуть отличие переменных х, В и t от пе-
ременных х, £ и t, мы будем сохранять черточки над ними.
В соответствии с изложенным, уравнение (5.93) можно записать в
сокращенном виде:
Л (1) = 6*л (Т) 4- J (х), (5.94)
где
+1
ЛС*) = Г? (1)ЛДу4-
J \ х —5 t /
-I
и
+ 1 _ ____________________________________ __
dt J (Г- о ? (Г) 4/Г,
о 7
что представляется в некоторых случаях удобным.
Если ввести зависимости (5.92) в уравнения равновесия (5.76) и
(5.77), то получим:
, (5.95;
[Г?(ё)Л=-Д2 . (5.96)
Решение задачи об определении реакций основания по подошве
полосы сводится к отысканию функции ? (£), удовлетворяющей урав-
нению (5.93), обеспечивающему выполнение условия равенства углов
наклона касательных к полосе и поверхности ее основания, и уравне-
ниям равновесия (5.95) и (5.96). __
После определения функции <р (В) суммарные изгибающие момен-
ты и перерезывающие силы Qx в любом сеченин полосы с абсцис-
сой, равной х, в соответствии с рис. 190, могут быть определены по вы-
ражениям:
Д4-Л4(х),
| (597)
Q,= -f?(E)^+QO). I
X J
§ 2. Линейно-деформируемое основание
221
где М(х) и Q(x) обозначают изгибающий момент и перерезывающую
силу в сечении х только от внешней нагрузки.
Следует отметить, что основное уравнение (5.93) в предельных слу-
чаях весьма большой илн весьма малой жесткости остается правиль-
ным. Действительно, при k = 0 оно принимает вид:
+1
(5) —г-1—। — — j* (£) =пост.
-1
(5.98)
совпадающий, как будет видно из
дальнейшего изложения, с уравне-
нием для бесконечно жесткой по-
лосы.
В случае абсолютно гибкой по-
лосы в уравнении (5.86) следует все
бй
члены разделить на — и принять
Тогда уравнение (5.86) бу-
дет стремиться к виду:
х г а .г
у<» С е-о?(ч^+ул1(ол=о.
° 7 о (5.99)
Учитывая выражение (5.81), уравнение (5.99) может быть представ-
лено в виде:
j М [Л ср 0)] dt+ j М (t) dt=O.
и о
Дифференцируя это выражение по х, получаем:
Л4 [х, ср (£)] -j-M (х) = 0, ,
Q [х, ® (£)] + Q(x) = О,
?(*)+/(*) = о.
Полученный результат обозначает, что при загрузке совершенно
гибкой балки распределенной нагрузкой эпюра реакций является зер-
кальным отражением эпюры нагрузки. Таким образом, оба предельных
случая как при А’->0, так и при k оо получаются правильными.
1. Случай симметричной нагрузки
Предположим сначала, что нагрузка симметрична. Будем искать
функцию р в виде: 1
= + (5-ЮО)
л=0
и определим неизвестные постоянные коэффициенты А и С„ таким обра-
зом, чтобы были удовлетворены уравнения (5.94), (5.95) и (5.96).
1 В дальнейшем изложении черточки над х и $ в случаях, не вызывающих сом-
нения, для упрощения письма опушены.
222 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Подставим в уравнение (5.94) выражение (5.100) для функции ср.
Нетрудно убедиться, что: ,
4-1 +1
J, (Х) = С т (Q ( —!— + 4-) di = [ + 4-]di +
1 4 7 £ 1 5) J J £2 ( X — $ 1 G у 1
„1 -1
+ 1Ес-^(^п- + т)й-
-1
Можно показать, что прн —1<х<4-1:
Л С ...
J /1 - £2
—1
+ 4)<й=о,
\ х — S 1 $ j ’
в чем можно убедиться также при чтении главы VI. Тогда имеем:
- 1
=-s’4^+^)* ”
-1
гак как
+1
. j -
Далее имеем: . > . е . .
Л W = - SС. J о2"-1 + е2"-2х + i""-^x* 4 • +
—1 . -
+ U2"^2 + x2/z'1 +
хал \ , VI Г 52Л
j— 2jс» +
t2n-l ein~ 2 М „ „ +1
+ ^* + 27Г=2-*2+ + 2”-^ + х2л1п[Ь-х|]_1 =
«> £=2л—1
=-Sc42 S ^71 %2"|пНг^]'
' 0 1=1,3,5...
откуда, учитывая известное разложение
(5.101)
(5.102)
$ 2. Линейно-деформируемое основание
223'
получаем:
2/1-1
О
aJ 2п — I
/-1, 3, 5...
2x2/I •
ft=O. 1,2...
.2k 4-1
2л—1
1
п
= — 2
/-1, з, 5.
fc=o, 1,2...
2k +
Zj
rt-O, 1, 2... (=1, 3, 5...
'-л
2л—I
(5.103)
1-1, 3, 5... л=0, 1,2...
о
1
Далее можно убедиться, что
О
О л=0.1, 2.
2л 4-1
О л=0, 1, ...
^2л+2
£2лЧ-1 l + l ___
2n -j-1 . t
1
J ^-1 п \ 2л 4- 2
О Л=0, 1, 2...
^2л+2 f2n+2
2п 4- 2 2л + 1
п-0, 1.
о
^2л+2
2л + 2
^2л-[-2
2п+ 1
л=0, 1, 2...
, Г х х* xtn+z
п [ 2л + 2 — 2(2л“+ 1) ~ (2л + 2)(2л + 3)
.2л 43
(2п + 1) (2л + 3) J
где
X2
-4J ь л [ 2и 4-2 2(2л-Н)
л-О, I, 2...
.2л+3
J-------------------- ____—
Т (2Л + 1)(2л 4- 2) (2л 4- 3)
(5.104)
А
о
J /ГГЕ! Д-Ц^агсэтх- ~ +
(5.104')
~224 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Внося выражения (5.101) и (5.104) для Л (*) и /2(*) в уравнение
(5.94), получаем:
03 (=2/1—1 _ ______________
- S Ч2 S ^7+^"'Ч11=“С(7м
л=0, 1, 2... /=1, 3, ...
। да /-» Г х______х3____1_______•у2Я+3_____1 | f vA
rD/ °Д2п+2 2(2п + 1)-Г (2n + i)(2n+2)(2n+3) J оз J W
л=0, 1, 2...
или окончательно:
‘ х* j Х^П 1 — х ; о а [ Х_______________
Zj g«( Zj 2n — i 2 1+T +o/4 2n + 2 2(2/1+1)
л=0, 1,2... i = l, з,... ~
Vй+3 11 — 3ft
+ (2n+l)(2n + 2)(2rt+3T-J I + 3kC J (5Л°5)
где функция J(x) принимается в зависимости от вида нагрузки, в со-
ответствии с тем илн иным выражением (5.88'), (5.89'), (5.90х) илн
(5.91').
Закончив рассмотрение уравнения, определяющего равенство тан-
генсов углов наклона касательных балочной плнты и поверхности осно-
вания, обратимся к уравнению равновесия (5.95). Заменяя в нем функ-
цию ср (£) принятым для нее выражением (5.100), получаем:
= л^н-2с»[
+1 "| 4-1
2л 4- 1
Сл П
2п 4- 1 а
ИЛИ
2^ТГ=-^-Л1 = ?-ЛТ> (5.106)
где q обозначает среднюю интенсивность нагрузки.
Уравнение (5.96), как было указано ранее, обращается прн симмет-
ричной нагрузке в тождество.
Дальнейшее решение рассматриваемой задачи может быть выполне-
но несколькими несущественно отличающимися способами. При реше-
нии задачи первым способом примем А = С(х) — 0. Тогда для опреде-
ления реакций по подошве полосы и необходимых для этого неизвест-
ных коэффициентов Си, мы имеем: а) уравнение равновесия (5.106)*
б) уравнение (5.105), которое должно быть удовлетворено при лю-
бом значении х в пределах полосы, т. е. при —1 < X < -|~ 1*
Придавая в уравнении (5.105) величине х бесконечный ряд значе-
ний, мы получаем бесконечную систему алгебраических линейных урав-
нений, в которых неизвестными величинами являются С<}, Сг, С2 и т. д.
Добавляя к ней еще одно уравнение равновесия (5.106), мы получаем
систему уравнений, определяющую неизвестные коэффициенты
§ 2. Линейно-деформируемое основание
225
Практически можно вместо бесконечного ряда (5.100) принять для
функции ср выражение в виде полинома из т членов (например, 5—6
членов). Тогда для решения задачи н определения т неизвестных коэф-
фициентов С,; кроме уравнения равновесия (5.106), следует составить
(т—1) уравнений типа (5.105), придавая величине х ряд фиксирован*
них значений х{> х2, . . . xm_i. Решая полученную таким образом си-
стему из т уравнений, находим неизвестные коэффициенты С, , под-
ставляя которые в выражение (5.100), получаем искомое решение за-
дачи [46, 55]. Такой способ решения задачи можно для сокращения на-
звать способом «приравнивания прогибов».
На рис. 191, а приводятся эпюры реакций основания для различных
случаев загружения, полученные этим способом. Эти эпюры показы-
вают, что при большой жесткости полосы (А~ 0,23 “ 0,30) распределе-
ние реакций основания не зависит от характера нагрузки, если только
она симметрична.
0 12J45S 783 10 11/
/2 /2 /2 /2 /2 12 12 12 12 12 12
t 11!Ш7£Н321и LL^£5S7§_9lO!i 1 '
12 12121212121212121212 1212121212121212121212
Рис. 191
Определение численных величин коэффициентов Сп может быть
произведено и по несколько иному варианту численного решения [34,
46]. Принимая для функции J\(x), входящей в уравнение (5.94), выра-
жение (5.103), разложим левую и правую части уравнения в степенные
ряды по х. Тогда, учитывая, что правая и левая части полученного та-
ким образом уравнения должны быть равны при всех значениях
— что возможно только тогда, когда коэффициенты при всех
степенях х одинаковы, можно получить бесконечную систему уравне-
ний, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой
и левой частях уравнения. Добавляя к этой системе уравнение равно-
весия и ограничиваясь решением некоторой усеченной системы уравне-
ний, можно определить все неизвестные коэффициенты. Точность ре-
шения при втором варианте несколько ниже точности решения при
15—В. А. Флорин
226 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
первом варианте. В случаях, когда внешними
силы и пары сил на концах полосы илн же
«)
полученные
жесткостей
коэффи-
опреде-
решення
систе-
В таких
получения
нагрузками являются
любые непрерывно распре-
деленные по всей полосе
нагрузки, задача решает-
ся без каких-либо ослож-
нений [46]. На рис. 191, б
показаны эпюры реакций
основания,
для разных
полосы при равномерно
распределенной нагрузке.
Если же сосредоточен-
ные силы или моменты
приложены в промежу-
точных сечениях полосы
илн же приложены рас-
пределенные нагрузки,
действующие не по всей
полосе, а только на от-
дельных ее участках, то
решение осложняется не-
обходимостью представ-
ления некоторых вспомо-
гательных функций в ви-
де полиномов (степенных
многочленов),
циенты которых
ляются путем
соответствующей
мы уравнений,
случаях для
искомых коэффициентов
С, определяющих рас-
пределение реакций осно-
вания, приходится ре-
шать две системы урав-
нений
ными: первую — для опре-
деления коэффициентов,
указанных вспомогатель-
ных функций и вторую,
полученную приравнива-
нием коэффициентов при
одинаковых степенях х
с добавлением уравнения
равновесия.
На рис. 192 показаны
эпюры реакций основа-
ния полосы и изгибаю-
щих моментов [123], по-
лученные этим способом
для случая загрузки со-
средоточенной силой при различных жесткостях полосы.
Мы считаем возможным ограничиться описанием решения задачи,
только способом приравнивания прогибов, в котором приходится ре-
с 5—6 неизвест-
$ 2. Линейно-деформируемое основание
227
шать только одну систему уравнений из пяти или шести урав-
нений.
Второй способ решения рассматриваемой задачи заключается в том,
что в уравнении (5.105) выражение для С(х) принимается в соответ-
ствии с выражением (5.104'), полагая в последнем и в уравнении равно-
весия (5.106) величину А равной Тогда, определяя описанным
выше путем неизвестные коэффициенты Со, С\, Сч , . , мы получим
выражение для напряжений по подошве полосы в несколько ином виде.
В этом случае, как будет видно при изложении главы VI, первое сла-
гаемое выражения (5.100) соответствует распределению напряжений
по подошве бесконечно же-
сткой полосы, а члены ряда
с коэффициентами Со, С\. . .
определяют поправку, обус-
ловленную тем, что полоса
на самом деле не является
бесконечно жесткой. Такой
способ решения, наравне со
способом, предложенным
П. И. Клубипым в 1950 г.
[115], описание которого по-
мешено в § 3 настоящей гла-
вы, приводит к значительно-
му сокращению вычислений,
так как при сохранении
должной точности решения
позволяет ограничиться дву-
мя-тремя членами ряда
вместо пяти-шести. Это объ-
ясняется тем, что в этих спо-
собах принимаемые пред-
ставления искомой функции
обеспечивают необходимое
неограниченное увеличение
ординат эпюр реакций осно-
вания по мере приближения
к краю полосы ^=±1 (к
«особым» точкам). Такое,
так называемое «выделение особенности» применительно к рассматрива-
емым задачам было предложено П. И. Клубиным [115] и впослед-
ствии использовано в работе А. Г. Ишковой и А. Н. Тулайкова
[128]. На рис. 193 приводятся результаты решения для случая централь-
ной вертикальной силы при значениях коэффициента жесткости 6=1,67
и й = 3,3. Полученные результаты показывают, что учет даже третьего
члена степенного ряда не вносит заметных изменений в получаемое
приближенное решение. Таким образом, при рассмотрении данной за-
дачи решение системы нз двух уравнений с двумя неизвестными обес-
печило вполне достаточную точность решения.
Если же в уравнениях (5.105) и (5.106) оставить величину А неопре-
деленной и искать ее значение тем же путем, как и значения коэффи-
циентов Со, Ci, б?2, . . , то первое слагаемое в выражении (5.100) будет
соответствовать величинам ординат эпюры реакций для случая беско-
нечно жесткой полосы, умноженным на некоторый постоянный множи-
228 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
тель, а остальные члены ряда — соответствующей по,правке. Оба по-
следние способа (при с точки зрения точности решения и ко-
личества необходимых вычислений, практически равноценны.
При проектировании гидротехнических сооружений обычно доста-
точно большой жесткости представляется более целесообразным при-
нимать Л=/=0. Это значительно упрощает расчет, особенно в случаях
сложных статических схем. Однако при большой гибкости полосы мо-
жет оказаться более целесообразным принимать А — 0.
2. Случай обратно-симметричной нагрузки
Для случая обратно-симметричной нагрузки представляем функцию
<р в виде:1
п=0
В таком случае:1
л (х) = п о +4-) di = J + -р) dK+
—I -1
Учитывая, что прн -- 1<х<-1-1: 2
А
+ i
Г____J___
J И’-Д2
-1
1
х — £
имеем:
л W = 2 С „ J (е* 2е. [-2ЯТТ “
и=0 —1 п=0
('/' S2" + 1 — л2"+1 , jc2" + 1 у.1_ [ 2
_И—+т^г/<й| xjc»L2,! + 1
— 1
1 См. сноску на стр. 221.
2 В этом можно убедиться при чтении главы 'VI.
§ 2. Л инейно-деформируемое основание
229
так как величины J
-i yn-t>
при четных значениях 2п— i обращаются в нуль, а при нечетных зна-
чениях 2п— б а следовательно, и при нечетных значениях г, равны +2.
Поэтому при суммировании по i остаются только слагаемые с нечет-
ными значениями I. Слагаемое, соответствующее значению I —— 1, вы-
несено из-под знака суммы.
В результате получаем: • "
2Л -1 ; .
Л(х) = -2с„[2 2 +
1-1, 3, 5...
Далее находим:
/,(х)=С(хН-|Л[Ус^*'((-ОЛ =
О
х 4-1
= C(x)+Jrff^]c„ ((Е2“+2-«2"+1)Л= J _
О t
С / с2л+3 t2n+2 \+1
= С (х) + J dt ( 2п -И 3’ ~ ~2гГГ2~ 7/ =
о
f VI /1 t /2я+3 /2л+3 X
=C(x)+ J Сп ( 2м + з 2п + 2 — 2н + 3 2н + 2 / =
С (Л) + [ 2п + 3 2 (2л + 2
JC5f,+4
(2ге + 3) (2п + 4)
, х^ |
(2н4 2)(2н + 4) ] *
где
d7 / тгпс5 - 7> А [4(’ ~^)т + ^ -
О Т _____
х arc sin х - Х2 . 11
2 2 + 3 •
Подставляя выражения Ji(x)
основное уравнение в виде:
н Jzfx) в уравнение (5.94), получаем
+ х2л+11п-—~
1 + х
— 6kC (х) +
। efeVf [ х х2 I х2/1+4
I UKZ-J л[2и + 3 2 (2rt-ь У) “Г (2rt-i-2)(2n+3)(2n + 4)
п=0
+ # ЛЧ
1 a3 v 1
230 Глава К Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
или окончательно:
«о 2п-1 ___ _
-О, 1,2-- <-=1. 3... • +
2 (2л + 2) + 72zr+-“2)72^3)”2«74F ] } + З^С (%) = J (х),
для правой части которого в зависимости от вида нагрузки могут быть
использованы соответствующие выражения J (х), приведенные выше при
рассмотрении случая симметричной нагрузки.
* (**3 для ^одномерно распределений й нагрузки
Рис. 194
Уравнение равновесия (5.96) имеет вид:
-?1 4-1 +1
f z е У СД2"+1бй =
J J V1 - J
Д1 -1 -1
илн
SCn ! д л _ Мо
2п + 3 1 4 2дЗ *
Определение коэффициентов Ci производится совершенно так же,
как и в случае симметричной нагрузки.
В заключение описания рассматриваемого способа расчета можно
для облегчения выполнения практических расчетов рекомендовать таб-
лицы, составленные М. И. Горбуповым-Посадовым [123, 132] при Л = 0.
Применение этих таблиц позволяет без затруднений получить для всех
основных случаев загрузки величины изгибающих моментов, перерезы-
вающих сил и реакций основания.
Для того чтобы показать влияние изменения коэффициента жест-
кости k, на рис. 194—196 приводятся графики, составленные бюро Сви-
§ 2, Линейно-деформируемое основание
231
ри Гидроэнергопроекта, позволяющие определять для случая равно-
мерно распределенной нагрузки эпюры реакций, моментов и пере-
распределенной
нагрузки
Л)50
=06
370
=020
00150
ооюо
/ 2 3 4 5 6 7 3 Р 10 11 1? 13 /4 15 16 17 Л /9 pH
00050
0 0025
Рис. 195
см I /I/
О 1100 -Qft
О 1050 -п-.
О 1000 ~031
О 0900 -OiO
0.0800
0.0 700
0.0600
0.0500
O.OkOO
0 0300
0 0200
0.0100
0 0050
О 0000
-wo
о
резывающих сил при любой заданной величине k в пределах ее измене-
ния от 0 до 20. Табличные значения должны быть соответственно ум-
ножены на 7, baq и bcPq. Впоследствии различными организациями и
лицами были получены многочисленные решения для различных на-
грузок и жесткостей балок, существенно облегчающие выполнение не-
обходимых расчетов.
б) Учет переменной жесткости полосы
Учет переменной жесткости полосы представляется необходимым
при наличии, как показано на схемах рис. 197, абсолютно жестких уча-
стков (закрашенных черным), а также скачкообразного или постепен-
ного изменения высоты полосы.
Для рассмотрения способа расчета балочных плит с учетом пере-
менной жесткости отметим, что выражения в левых частях уравнений
(5.86) и (5.105) представляют собой разности углов наклона касатель-
ных в точках поверхности основания с абсциссами х и х=0. Поэтому
232 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
левые части указанных уравнений при переменной жесткости полосы
остаются такими же, как и в случае полосы постоянной жесткости.
Выражения в правых частях этих уравнений представляют собой
разности углов наклона касательных к изогнутой оси полосы в точках
с абсциссами х и х = 0, полагая плиту защемленной в сечении х = 0.
Определение этих углов наклона, как известно из курса сопротивления
материалов, может быть произведено, полагая момент инерции постоян-
ным по длине полосы и равным компенсируя это соответственным
изменением эпюры моментов, для чего следует
ординаты эпюры моментов для каждого сечения
с абсциссой t умножить на отношение ,
Л
г) .
9 ------------
где / (0 обозначает действительный момент инер-
ции в сечении t. В соответствии с этим при рас-
смотрении случаев переменной жесткости полосы
мы будем полагать величину k, зависящую от же-
сткости полосы, постоянной по всей длине полосы
Рис 197 и Умножать ординаты эпюр моментов в каждом
сечении t на величину .
В результате, уравнение (5.86) для случая полосы переменной же-
сткости может быть представлено в виде:
J f (Е) (Fl + V}di= М +
-а О
(5ло7>
о
которое, произведя частично замену переменных в соответствии с зави-
симостями (5.92), можно записать в следующем сокращенном виде:
(5.108)
где
лм= f т(о(=Ц=+-^)<й;
J \ х — £ £ /
Т(Ч]<Й,
О
о
(5.109)
Уравнения равновесия (5.95) и (5.96) остаются при этом без измене-
ния.
Принимая искомую функцию <р (£) для случая симметричной или
обратно-симметричной нагрузки в виде:
§ 2. Линейно-деформируемое основание
233--
ИЛИ
= +SC"=2'*+'
подставим принятое выражение для <р (?) в выражение для J* (х). По-
сле этого, в соответствии с заданной внешней нагрузкой и заданным из-
менением жесткости полосы, находим функцию 7*(х). Подставляя полу-
ченные выражения для У* (х) и /*(х) в уравнение (5.108), получаем,
уравнение, аналогичное уравнению (5.94), но с учетом переменной же-
сткости полосы. Дальнейшее решение производится, как обычно, при-
давая величине х ряд фиксированных значений и учитывая уравнение
равновесия. Таким путем может быть найдено распределение реакций,
В результате, уравнение (5.88) для значений х<я сохраняет обыч
ный вид:
+1 х х
+ (5.1Ю).
J \ X С / J Л
-1 0 0
а для значений х>а принимает вид:
О
о
(5.111)'
Выражение для изгибающего момента от реакций основания, нахо-
дящееся под знаком интеграла в первом слагаемом правой части урав-
нения (5.111), имеет, в соответствии с обозначениями на рис. 198, вид:
л»[л т(С)1=Т(е-
откуда следует, что для участка х> а:
Г2(х)=Лм[(, ?(«)]<«= f (6-0?(Е)<а=
о о t
_ +1 _ — _ —
= а8 J dt j (S — t) ср (£) dk.
0 T
(5.112)-
234 Глава И. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Симметричная нагрузка. Предположим сначала, что на-
грузка симметрична. В таком случае мы будем искать распределение
реакций основания в виде:
?(Ч =
Подставляя это выражение в выражение (5.112), находим, опуская
в промежуточных выкладках черточки сверху (для х> а):
а + 1 оо
r2(x^a^dt j (Г-7) £
о т
Cn?*dt + a'^dt J (l-t)
о 7
A dz
1А -Р
а3 [то ~е"+2) - то П -т“+1)] + аЗС (“)=
О
VI Г 1 / а2»+3 \ 1 / а2 а2й+3 \1
= а& X) [ 2п + 2 (“ 2н +“3 ) 2л+ 1 (“2 2п + ’3“)] +
I ^2хг+3 1 I
~~а Z^n[‘2n + 2 2 (2л 4-1) (2л 4-1) (2л+ 2) (2л 4-3) ] '
+ а"С(<Г), (5.113)
где , _
С (а) = С dt С "7—- _ 0 —~t) d^ = А ! 1 + 2a arc sin а--------—h
v 7 J J V1 —$2 к 4 4
о 7
Для определения выражений /*(х) для различных случаев внешней
нагрузки раньше всего отметим, что для сечений х< а выражения
J*(x) в точности совпадают с приводившимися ранее выражениями
(5.88х), (5.89х) и (5.91х) для /(х), так как в этом случае в пределах от О
А- (Г) „
до х отношение —= 1 и ординаты эпюры моментов для значении
/<х остаются без изменений. На рис. 199 площади участков эпюр мо-
ментов, равные
J(x)= jM(t)dt,
о
заштрихованы. Из их рассмотрения видно, что наличие жестких концов
не отражается на величинах /(%) при х<?..
Для значений х> <х ординаты эпюр моментов от усилий, прило-
женных в пределах изгибаемого участка, например, как показано на
рис. 200, а, остаются без изменения. Вследствие этого для учета таких
внешних нагрузок должны быть использованы слагаемые выражений
(5.88х), (5.89х) и (5.9Г) для / (х) с индексом I.
Для значений х> а в случае, если внешние силы приложены в пре-
делах жестких концов полосы (рис. 200,6 и в), эпюры моментов в пре-
делах изгибаемого участка ие подлежат изменению, так как для этого
$ 2. Л инейно-деформируемое основание
235
k (t) 1
участка “ 1. В пределах же жестких концов полосы ординаты
эпюр моментов подлежат изменению и при абсолютно' жестких концах
ГЛ
принимаются равными нулю, так как для этих участков —~ =0.
Следует отметить, что все
концы полосы, целесообразно
_*(£)
k
внешние силы, действующие на жесткие
заменять для каждого конца одной рав-
Рис. 200
недействующей вертикальной силой Ре и парой сил Л1е, приложенными
в каком-либо сечении, например, посередине жесткого участка. Приме-
нительно к рис. 201 имеем: ... _ ....
^ = ^ + ^ + 2^,
ме — — мх 4-pnd.
Рис. 201
Рис. 202
^1
Значения /*(х), соответствующие усилиям Ре и Ме, могут быть
найдены следующим образом. От силы Ре, как показано па рис. 202, а,
имеем: . -
у* (Л) = - [4 х ~ 4 (х- X (чв - а)] =
’ « — Реа “ 4) “ а2реа “ 4) *
(5.114)
236 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
От момента Ме, как показано на рис. 202,6, имеем:
J* (х) = — Л4ва = — аМеа. (5.115)
В результате, используя для усилий, приложенных в пределах из-
гибаемого участка (т^< а, с(. < а, <а), слагаемые выражений (5.88х),
(5.89х) и (5.91х) с индексами I, а также полученные выражения
(5.114) и (5.115), — находим выражение для (х) для значений х> х
~~ь.
I
•/*(*) = У aS (
I
— aMfi. (5.116)
Таким образом, для определения величин /*(х), входящих в уравне-
ние (5.108), следует:
1. Для значений х<а использовать выражения (5.88х), (5.89х) и
(5.9Г).
2. Для значений х> а использовать выражение (5.116).
На этом рассмотрение случая симметричной загрузки полосы с же-
сткими концами может быть закончено.
Обратно-симметричная нагрузка. В случае обратио-
симметричной нагрузки выражения для /(х) и /*(х) остаются такими
же, как и в случае симметричной нагрузки. Выражение же для J2 (х)
соответственно изменяется и может быть получено, принимая в выра-
жении (5.112):
<р (?)=д + У СЛ2"+1.
у 1 — £2
В результате, находим, опуская черточки сверху в промежуточных
выкладках:
у;(х)=а3 ^dt J (Г—7) ^Cj2rt+1tZl +
о 7* rt=o
+ “’ И ( (7—7) dT-£ C„ f[dt (1 - t™ -
0 t Kt 0
t — VT Г 1 ( 2«+4 A
- -2^+2" (1 - ^+2)l + “’C («) [ -^+3- (« - -W+P ~
1 / а2 a2fI+4 \1 - -- VT Г а
2п + 2“ ("2 2n+~4~ + [ 2/i +3
_______?!___Д. _j___________g2”+4____________|_ a3C (cT),
2(2n4-2) (2п+2)(2л + 3)(2н + 4) । w
где
C(a) =
Ki -T2
(i—-
§ 2. Линсйно-деформируемое основание
237
a arc sin а V 1 — а2 . 1
2 ’ 2 । “3 *
В остальном решение для обратно-симметричной нагрузки ие отли-
чается от решения для случая симметричной нагрузки.
Не представляет каких-либо затруднений применение описанного
способа расчета в случае любого другого закона изменения жесткости
полосы. Для этого, сохраняя без изменений первое из выражений
(5.109), т. е. следует в выражения (5.109) для /* (х) и /*(х) вве-
сти надлежащие выражения —“ , изменяя по мере необходимости
пределы интегрирования. В остальном решение проводится совершенно
аналогично с. приведенным выше решением.
В частности, применительно к схеме на рис. 197, б, учитывая, что
„ । k (t) ~
для значении —х < 4- а отношение ——- — 0, получаем для этих
.значений х уравнение (5.108) в виде:
Для значении %> а отношение
k (о
1 и уравнение (5.108) может
быть записано так:
(т ® (тЧ+т) =(х)+
Рис. 203
При этом соответственно выражениям (5.109) и (5.112) в рассмат-
риваемом случае имеем:
J*(x) = [г, ?(^)]^ = £z3JtZFj (?-?)?(F)tZr (5.117)
“ Г 7
Принимая для функции (£) при симметричной или обратно-сим-
метричной нагрузке соответственные четные или нечетные степенные
ряды дли полиномы и производя необходимые интегрирования в выра-
жении (5.117), находим для рассматриваемого случая выражения для
Для составления выражений для /*(х) в соответствии с рис. 203 на-
ходим:
J*(x) = — рМч, —а) -С — а) + Z3» (»)* - «ОфЬ!» —®) —
- X) X (ъ-х)]--------------[р, _
п — X)2
** 2
238 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Суммируя аналогичные выражения от всех действующих сил и учи-
тывая зависимости (5.92), находим:
Заменяя в этом выражении^, и через ё, полагая Р} = ад( (£) dt и
Pk = aqk$)dl и заменяя суммирование интегрированием в соответ-
ствующих пределах, находим выражение У* (х) для случая распреде-
ленной нагрузки:
+ 1
(Г-«),?<(Т)<й+ f (Г-«у9дГ)<й-
Р(Х) = _^[С
+1
f (i-xyqk&dl
Аналогичным путем можно показать, что выражение для Р (х) при
нагрузке парами сил имеет вид:
Р (х) = — а [£ — а) £ Mk (х — а)].
Сопоставляя полученные выражения с выражениями (5.88')— (5.9Г),
нетрудно заметить, что они отличаются только тем, чти величины чи-
их заменены на (7]i — а), — а), (С — а), — а) и (X —ад
Аналогичным путем могут быть рассмотрены решения для других
случаев переменной жесткости полосы и, в частности, для других схем,
показанных иа рис. 197.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОГО
ОСНОВАНИЯ
П. И. Клубиным [115, 127] была разработана методика решения, в ко-
торой он, сохраняя приведенную выше постановку задачи и принятые
допущения, применил иной способ аппроксимации (приближенного
представления) искомой функции, соответствующей распределению
реакций основания, с использованием при этом полиномов Чебышева.
Это привело к существенному упрощению и сокращению вычислитель-
ной работы по сравнению с решениями без выделения особенности.
Переходя к рассмотрению способа П. И. Клубина, отметим, что поли-
номами Чебышева называются полиномы вида:
7;(х) = 1, 1
Тх (х) — cos (arc cos х) — х,
Л (х) = cos (2 arc cos х) = 2х2 — 1,
(х) = cos (3 arc cos x) = 4x3 — 3x,
TA (x) = cos (4 arc cos x) == 8x4 — 8x2 4* К
(x) = cos (5 arc cos x) = 16x5 — 20x3 + 5x,
Tn (x) = cos (n arc cos x).
$ 3. Применение полиномов Чебышева
239
В табл. 16 приводятся значения функций Чебышева для различных
значений х в пределах от нуля до единицы.
Таблица 16
Л (X) = х Га(х) = 2ха- 1 Г3 (Л) = 4 л3 - Зх Л (х) = 8х‘- - а ха + 1 Г5 (х) = 16 х- - - 20 х’ + 5 х Т6 (х) = 32 Xй — - 48 X1 + 18 х’— 1
0 —1,00000 0 4-1,00000 0 — 1,00000
0,1 —0,981'00 -0,29600 4-0,92080 4-0,48016 —и,82477
0,2 —0,92000 —0,56800 4-0,69280 4-0,84512 - 0.37475
0,3 —0,82000 —0,79200 +0 34480 4-0,99888 4-0,25453
0,4 —0,68000 —0,94400 —0,07520 +0.88384 +0.78227
0,5 — 0,50000 -1,00000 —0,50000 4-0,50000 +0,00000
0,6 —0,28000 —0,93600 - 0,84320 - 0,07584 +0,75219
0,7 —0,02()00 -0.72800 - 0,99920 - 0.67088 +0,05997
0,8 -1-0.28000 —0,35200 —0,84320 —0,99712 —0.772 9
0,9 4-0,62000 4-0.21600 -0,23120 — 0,63216 - 0,90669
1,0 + 1,00000 4-1,00000 4-1,00000 +1,00000 + 1,00000
Рассмотрим сначала некоторые свойства этих полиномов. Из три-
гонометрического соотношения
cos («+ 1) 9 + cos (n — 1)0 — 2 cos 0 cos
полагая cos 9 — x, находим:
cos (n, -L- 1) arc cos x + cos(/r — 1) arc cos x =
— 2 cos arc cos x cos n arc cos x
или
Tn+1 (x) = 2xTn (x) - Tn-\ (x) (n= 1, 2, 3 . . .). (5.119)
Если произвести замену переменной x = cos 9, откуда 6 = arc cos x,
то при m 7- n:
Tn (x) (x)
0
f cos (n arc cos x) cos (tn arc cos x) , . n ,ЛЧ
—-----------suf»---------- (-Sln 0 de) =
J cos Л0 cos m 9 tZ9 = 0.
о
(5.120)
Функции Tn(x) и Tm(x}, удовлетворяющие этому условию, назы-
1
ваются взаимно ортогональными с весом — — . Если же т — п, то не-
-Vl-x*
трудно убедиться, что:
-1- 1 0 С Tq dx Г 1 (- sin 0 с J /1-Х2 J 81Пв 1 тс Я) — =. тс (5.121)
И + 1 It P T*1 (х) dx Р те (л=1, 2, 3.. .) 1. (5.122)
J У1 — х2 J ’ ’ 2 -1 и
240 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Кроме того, можно показать [127], что
+i
7= f -Г^1п|Е-х|Ж=—=-Г,(х), (5.123)
J у 1 — п
-1
откуда следует также, что:
+1
Jo = f -- -1- 7 а- In | ^ — х [ = Д — пост. (5.124)
J у 1 ё®
-1
при — +
Соответствующие выкладки по выполнению этого интегрирования
здесь ие приводятся вследствие их большой сложности. Следует от-
метить, что зависимость (5.123) имеет фундаментальное значение при
изложении рассматриваемого способа.
В дальнейшем, в отличие от применявшихся ранее обозначений,
представляется более удобным обозначать действительные длины абс-
цисс через х и £ , а их отношения к полуширине а полосы — через хи?.
Тогда имеют место очевидные зависимости:
х = -— , - . .. ___
: 2 (5.125)
г
В соответствии с зависимостями (5.125), в выражениях, в которые
входят величины х и ?, мы будем во многих случаях заменять эти ве-
.личины на ах и а^. При этом обозначение функции f(x) можно заме-
нять обозначением /(ах) или f(x). При дифференцировании следует
иметь в виду, что:
-4= Ф (X) = ^7—г Ф (х)= — 4— Ф (X).
-х 4 7 d (ах) 4 7 a dx 47
Равным образом следует учитывать переход к относительным абс-
циссам при выполнении иитегрироваиий и определении пределов интег-
рирования.
В соответствии с выражением (5.74) и зависимостями (5.125), вер-
тикальное перемещение точки х поверхности основания можно пред-
ставить в виде:
(1 — 2) С — - —। -
w0(x) ——------------- I ф (?) In | x — £ | d\ + пост. =
—a , ......... .
+1
—-----( ? (Ю In I x - ? | di -|~ пост. (5.126)
~i
В случае применения полиномов Чебышева к решению задачи об
определении напряжений по подошве полосы, вместо того, чтобы пред-
ставлять функцию распределения реакций грунта по подошве в виде
' ?(Ч = ^Сле, (5.127)
я—О
§ 3. Применение полиномов Чебышева'241
будем искать ее в виде:
? (Е) = -=L= [Д, 4- AJ\ (5) + AJ\ (?)+•] =
V1 — t2
©Q = СО
(5Л28)
п-1 л=0
где Ао, Аь А2 . . . обозначают некоторые подлежащие определению
коэффициенты.
Тогда из выражения (5.126) получаем:
+ 1 оо ..
2(1—р.2) а Г 1 л I V л 'г
(*) “ л£о j __ IА+ А тп (Oj х
-1 п-\
* '* X In | х — £ | & + пост., (5.129)
откуда, учитывая зависимости (5.123) и (5.124), находим:
2 ж
V 4 + (5.130)
° л=1
так как интеграл, в который входит коэффициент До, в соответствии
с выражением (5.124) при —1 <%<-|-1, равен постоянной. Коэффи-
циенты Ап в выражении (5.130) подлежат определению, исходя из урав-
нений равновесия и условий равенства прогибов полосы осадкам осно-
вания.
Уравнения равновесия, в соответствии с выражениями (5.128) и
(5.125), можно написать в виде:
или
J ср (£) dk = a J (£) d& = R,
а —I
J 1ср (£) dk — a2 J £ср (В) dl = 7И,
~а —1
-1 л-0 -1
-1 я=0 -1
(5.131)
(5.132)
Учитывая, что в выражении (5.131) под знаком интеграла стоит
произведение 1 • Тп (£) — 71Д) Тп (&), получаем, что вследствие орто-
гональности функций Чебышева все слагаемые, за исключением перво-
го, соответствующего (£), обращаются в нуль. В результате, в соот-
ветствии с выражением (5.121), получаем:
л Я
° а
16—В. А. Флорив
242 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
откуда
Л = Л_- « (5.133)
В выражении (5.132) под знаком интеграла стоит произведение
~ 7^) • 7ч(с). Вследствие этого все слагаемые, кроме второго,
соответствующего обращаются в нуль. В результате, в соответ-
ствии с выражением (5.122), получаем:
откуда
А
1 па2 *
(5.134)
Подставляя полученные значения для Ло и Ai в выражение для
находим:
<f<s> = 4i7f=F +^-7гЬг + т=г2л»7’"(5)' (5J35)
п=?
Отсюда, сравнивая выражение (5.135) с выражениями (6.15) и
(6.15х) главы VI, получаем, что первые два слагаемые в выражении
(5.135) соответствуют распределению реакций грунта по подошве аб-
солютно жесткой полосы. Остальные слагаемые, начиная со значения
п = 2, представляют собой поправку, отличающую распределение реак-
ций для изгибаемой полосы от распределения реакций для абсолютно
жесткой полосы.
Определение коэффициентов А2, Л3 . . . в выражении (5.135) произ-
водится из условия равенства прогибов полосы осадкам основания
wn—wo= w, используя для этого уравнение изогнутой оси полосы
(5.70). Учитывая выражение (5.128), получаем:
D X- (х) = Л- « (х) = /(х) - Т (х) =
=/(x)-S»^T, <5-|36>
п=0
где
Принимая во внимание, что при четырехкратном интегрировании
к полученному результату можно добавить любую комбинацию поли-
номов не выше третьей степени, получаем в соответствии с методом
начальных параметров, известным из сопротивления материалов и § 1
настоящей главы:
..J. °-® Рч = С, 4 С 4 + С3х + С, + Л 44^+
+ S М + Г„ (х) - ± £ AnFn (х). (5.137)
л=0
§ 3. Применение полиномов Чебышева 243
где функции Fq (х) и Fn(x) являются частными интегралами уравнений:
F’V (л) = 6 /” (л —О, 1, 2...)
" v 7 /1 - .V '
и
/•'I.r) /i.r, v,/(. .. ..
a qi обозначает, что соответствующая часть распределенной на-
грузки начинается в сечении х=х^.
Слагаемые V Л —и Х,, Mt '—соответствуют со-
средоточенным силам Р, и моментам М;, приложенным в сечениях
x=xt. Функции F „ (х) определяются с точностью до слагаемого вида
ахг + Ьх2-\- cx.-\-d, так как любое изменение коэффициентов а, Ь, с и d
компенсируется соответствующими изменениями постоянных интегри-
рования Сь С2, С3 и С4, определяемых из граничных условий той или
иной рассматриваемой частной задачи. На этом же основании в выра-
жении (5.137) слагаемые, в которые входят Pz и Mit можно по жела-
нию либо писать, либо'отбрасывать.
Ниже приводятся [126] выражения для функций Fn (%) и их первых
трех производных для разных значений п. а в таблицах XXIV—XXVII
приложений — численные значения этих функций и их производных
для различных значений х.
F^ (х) = [х~ 4- j х arc sin х + ^2 4- х2^ V1 — х'2-1- ,
/у (л) =•-1- (х2 + arc sin х — ~ (2х2 4-13) х К1 — х2 + 2х,
Fz (х) = -|- х arc sinx-- (2х4 — 9х~ — 8) 1 — х2-,
Р3 (л)— х-----arc sin х------(8х4 — 26л2 4- 33) х ]Л1 — л\
Л(л)=Д-[(1-л2)’ГГ^Л?-1],
f>w—Я-JC [(1 -х2)3ГГ=ЛН-1],
Ol* V s ,
ЛО)= -3Т5- [ (1 — х2)3(10л:2 — 1) /1 — л2 + 1],
Л’О)=Т55-^[(1-^)‘(4хг- 1)ЦСТ+1),
/Ш)—пзг [И - -О’ +
о 3465 х К1 - л2)3 (448х‘ - 280х2 + 30) ЦОО? - 30],
Q Q________________
Pg (х) = -у (1 + 2х'г) arc sin х -ф х 1 — х2,
244 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Л (л) —- 2 — Зл arc sin х — (х2 + 2) У 1 — -*с2,
К, (х)= arc sin х-(2л2 — 5) х |/ 1 — х2,
л;(л)=4 [1 - (1 - х2)2
/^(х) =—|- х (1 — х2)2У 1 — х2,
F'e (х) = х (3-1 Ох2) (1 - х2) /Г^Зё2,
F7 (х) = -W [ (1 - *”)’ (- 40x4 + 20x2 - 1) /Г=3? + 1],
-х2)2(-56х‘+40х2 —5) |Л - х2,
/^(x^-yig- [(1 - х2)2 (- 1792х® + 1 680х* - 360х2+ 10) V1-х2-10],
1 7 /--------------------
— Ло (х) = х arc sin л -|- у 1 — х2,
~ F”l(x) =--(arc sin x + x У1 — x2),
~F\(x)----J-(l-x2)VT^F
4^1 W=4 x X ~
W = it <6x’ - ’) (i -^2) Ki^5;
4 F-s (x) = -4 (Ox2 - 3) (1 - x2) vf=^T
4W = -fds- (8°л* - 48x2 + 3)(1 - x2) VT^F,
4 /3 (X) = 4r (24x< - 20x2 + 3)x Vi - X2,
4 F's (x) = 4" (I12x° - 120x’ + 30x2 — 1)(1 — x2) У I — x2,
4^ (x) =~4 (256x‘ - 336x4 + 120x2 — 10) U — x’)x Z1 -x‘>
" Fq (x) = arc sin x,
4/2,’(х)=-]/Г^А
§ 3. Применение полиномов Чебышева 245
4- w= 4 (1 -4*2>
4 F~ (х) = (1 - 2х2) х 1/1 - Xs,
4^" Iх) = - 4“(16*‘ - !2х2 + О ]/Т^х\
Лрб”(х) = —ф (16х* - 16х2 + 3) х 1/1 - А
-4/-~(х) = -|-О -24х! + 80x4- /1 -х’,
4 г; (х) = (1 - 10х2 + 24х4 - 16хе) х 1/1 — X2,
J- /;' (х) =-L (1 - 40Х2 + 240x4 - 448хе + 256х») 1/1 - Xs,
Для удобства определения в дальнейшем величин С2, С3, С4 от-
метим некоторые частные значения функций F;J (%) и их производных:
Л. (0)=Л, (0)=г, (0)=г3 (0) = /=; (0) = • • • /7 (О) =
=р;(о)=г;(о) = ---=о,
4^(0)= 1, 4-^(0) = и
4fT(±1)=+4,
(5.138;
4f;(±1) = 0, (« = 2, 3...)
4^'(±i)=±4,
ф/7(+1)=0. (и = 1, 2, 3...)
Дальнейшее решение для упрощения изложения приводится приме-
нительно к некоторым частным случаям.
а) Случай равномерно распределенной нагрузки
Полагая нагрузку равномерно распределенной (рис. 204),
что Р( = Mi = 0, а функция
имеем,
откуда частный интеграл
^,w=-r
246 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Вследствие симметрии реакций основания сохраняем в выражении
(5.137) только четные полиномы Чебышева, в результате чего полу-
чаем:
w (х) = [с, 4- + С2 Х + С=х + С‘ + ТГ -
6 S w] •
п О
(5.139)
Дифференцируя по х, находим выражения для тангенсов углов на-
клона а изогнутой оси полосы, для моментов и перерезывающих сил:
, л dw 1 dw о3 Г,-. х2 . г ~ , qx*
tg о = —г- ~= ~— —j— = —ri~ с* 1 “в-г C'jX —Сч —f- —— —
S dx a dx D [ 1 2 ' 21 3 1 6
- 4 SА-^ w]
п =0
. . , х гх d‘2W rx 1 d2W > Г । I
_ = -D — = - - a~ \ Cxx + C2 + ------------
4 ' ai dx2- I 2
Рис. 20!
- 4 S w].
«=0
_ 6 S ’
n=0
(5.140)
где по правилам сопротивления материалов знак минус в выражении
для изгибающего момента введен вследствие того, что при положитель-
ных моментах выпуклость полосы обращена в сторону положительного
направления оси z.
Постоянные интегрирования С определяются из граничных условий:
1. Q(0)-0, 2. tgS(O) -О,
3. М (± 1) =0, 4. Q(±l) = 0.
Подставляя значения, соответствующие первым трем условиям, в вы-
ражение (5.140) и учитывая выражения (5.133) и (5.138), находим:
0= Сь
о = с3,
0-е 4-
и X 2 2 ка ’
откуда
С, = -’-. (5.141)
Таким же путем нетрудно убедиться, что условие Q(± 1) =0 тожде-
ственно удовлетворено.
§ 3. Применение полиномов Чебышева
247
Для того чтобы исключить произвольную постоянную С4, напишем
вместо выражения для w(x) выражение для разности перемеще-
ний в любой точке % и в начале координат х=0:
w (х) = w (х) — w (0),
которое, в соответствии с выражением (5.139) и значениями (5.138) и
(5.141), может быть представлено в виде:
= + (5.142)
д—0 ~ .
откуда
д=0
L л-0
(5.143)
Q (х) = - а рх - -L А2аГ/п (х)] .
71=0
В полученных выражениях, учитывая, что коэффициент Ао известен
из условия равновесия, неизвестными остались только коэффициенты
А->„ при значениях п = 1,2, . . . Если ограничиться, например, представ-
лением искомой функции ср (х) в полиномах Чебышева, соответствую-
щих значениям /2 — 0, 1 и 2, то остается только два неизвестных коэф-
фициента А2 и А4.
Для определения этих коэффициентов следует приравнять прогибы
полосы осадкам основания. Учитывая, что осадки основания выражены
через полиномы Чебышева, являющиеся алгебраическими полиномами,
необходимо выражения для функций Fn (х) также представить в виде
степенных рядов или полиномов, после чего можно будет приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях %. Используя для этой цели
разложение по формуле Маклорена и ограничиваясь в рассматрива-
емом случае разложением только функций Е0(х), Е2(х) и Е4(х), выра-
жения для которых, а также их производных приведены выше, на-
ходим;
До (х) = Зх2+ х4 Д- xG + • - • 1
F2 (х) = X2 -- X4 -L хб--------- . (5.144)
v5
F4(x)- — х2 + ~х4 — -^xGH----------
U т1 О 1
Тогда выражение для w(x) может быть представлено в виде:
— , ч а4 Г ох2 . ах4 1 , . 1 . \
®’W = 7D‘[ 4 +^4-б-Л«(3х+т*Д
— X- (/2 - 4 ) - тг А< (- Ф +4)=
248 Г лава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
+ (? - ло+А — Л) *4]
(5.145)
Осадки основания для симметричных нагрузок, в соответствии с вы-
ражениями (5.130) и (5.118), могут быть представлены в виде:
w0 W= 2(1 д0!‘°)а [-у- (2*2 - 1) + 4s- (8х* - 8х! + 1) ] + пост.,
откуда
wo(0) =
2(1-у*) а
Дд । Л4 1 ।
у + ~4~] + пост.
__ 9 (1 — ц ) а
(х) = F - [2А.Х1 + (А„ - 2Л4) х2]. (5.146)
Сопоставляя выражения (5.145) и (5.146) для ж(х) и w0 (х) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем для оп-
ределения коэффициентов Л2 и Л4 уравнения:
— / ЧД - Л 4- —
6D 2 0 2 + 5
2 (1 — <xg) д
Ео
(Л2-2Л4),
1 2 (1 — а
— 4- (q - Ло + Л2 - Л4) = F ° 2Л4.
6D 4 w и 1 2 £0 4
Обозначая
. _ а* 2(1-^) а _ а3Е0(1—р.2)
6D : Ё~о ~
получаем:
- Лг(1+й) + 4)('2+ Д) k№~~ 3'4о) = 3^(-Г-4)>
л4-л*(4+2)=-т^-л»)=--т-(1-4)-
Решая, находим искомые коэффициенты:
д qk k (2,5тс — 8) Ч- ~ - 2
’ 0?8ft« + ’7ft + 8
А = -4“ л« - ?(1 ~ ~г) •
В результате распределение реакций грунта может быть представ-
лено в виде:
?М=-Д=[49 + Л2Г,(х) + Л4Г4(х)1. (5.148)
у 1 — х2 L7- J
Величины моментов и перерезывающих сил можно найти по выра-
жениям (5.143), используя для облегчения вычислений таблицы значе-
ний (х) и Р2'п(х),
§ 3. Применение полиномов Чебышева
249
На рис. 205 приведены эпюры реакций основания для различных
значений коэффициента жесткости k, из рассмотрения которых видно,
что при малых жесткостях полосы (й-> со ) выражение (5.148) при-
водит к заметным погрешностям вследствие недостаточности в этом
случае числа членов аппроксимирующего полинома.
б) Случай сосредоточенных и прерывных симметричных нагрузок
Рассмотрим случай загрузки полосы, показанный на рис. 206. В со-
ответствии с выражением (5.139), можно для участка I, т. е. для зна-
чений 0 < х < t, написать:
®'и=4[с>4+^4 + сзл+с‘+4--
Рис. 205
Рис. 206
Для второго участка, в соответствии
с выражением (5.137), имеем:
®п w=4 [с. 4 + 4 + сз*+с*+4 - +
+ P%at}1 - т - Т Ё W] ' (5’150)>
n—f)
Постоянные интегрирования С5 и С3 находим из условий, что при:
х=0:
w'(0) = 0 и Q(0) = 0,
откуда следует: С] = С3=0.
Переходя к относительным прогибам полосы, исключим постоянную-
С4. Постоянную интегрирования Сг находим, дифференцируя дважды
выражение (5.150) и принимая во внимание, что
U) = -№ (х).
д vZ Ur ЯЛ
1250 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Далее, из условия, что при х=1 изгибающий момент Л1!1(1)=0,
М" (1) =- а2 Гс2 + - 4 (х~
... ..
71=0
откуда
г _ Л * ! <?(1-О2 Р(1 — о , m
°2 - 2 " 2 2 а----h •
Из условия равновесия, в соответствии с выражением (5.133), учи-
тывая, что t~at, получаем:
л ‘2Р+ 2дГ 2Р | 2qt
о л — ' - Г
у ла ла л J
вследствие чего
п Pt . qt2 . m
а ' 2 Г а?
После введения полученных постоянных интегрирования в выраже-
ния (5.149) и (5.150) найдем выражения для w'(х) и к/' (х), которые
для случая q = m=0 принимают следующий вид:
wl (х) = w1 (х) - w (0) = х2 - А2пР2я (х)1 ,
л=0
wn (х) = w![ (х) - те1 (0) = (х3 3t2x - Д) —
— 42,Л„(х)] .
л=0
(5.151)
Полученные для двух участков разные выражения для прогибов по-
лосы zw(x) можно для упрощения решения приближенно представить
одним общим выражением:
w(x) ~ ^d4xl d2x2— чп (5.152)
ts -0
Коэффициенты d4 и d2 можно определить способом наименьших
квадратов, исходя из условия, чтобы среднее квадратичное отклонение
первых слагаемых в выражениях для прогибов оу[(х) и wil (%) от за-
меняющего их общего для обоих участков приближенного выражения,
входящего в выражение для прогибов ^(х), было бы наименьшим,
т. е., иначе говоря, из условия минимума интеграла:
1
J = j* [(d4x* -р d2x2) — Ф (x)]2dx,
§ 3. Применение полиномов Чебышева
257
где
—3/х2 — при 0 < х < t,
а р (5.153)
—(х3 -|- 34х—при /<х< 1.
Для этого составляем частные производные от интеграла J по d2 и
Д и приравниваем их нулю:
1
= 2 J [(44х* + d2x2) — Ф (х)] Л'Д/л'- 0,
о
1
= 2 С (Дх4 -f- d2x2) Ф (х)] x-dx = О,
откуда, учитывая выражения (5.153), находим:
t 1
(Дх4 Д- d2x~) — 3£х2 — ] х4 dx j [ (Дх4 4- d2x2) —
о t
— (x3 4- З^х — £y) x4dx = 0,
t i
J |\cZ4x4 4- d2x2) — 3tx~ x2dx + Д(б/4х4 4-d2x2) —
о t
— (x34~3£2x—44 1 x2dx = 0,
или, проводя необходимые интегрирования:
4^+-т«7-44^+4<1-z°)+4(1-o-
р г 1 а 1
4z 7+~ 4 4/G+4-<1 - о+-у-(1 - о-
- 4 [4 <* - +4 - 4 <*3 - z°) ]=°-
откуда
^4 I Д_Р I 1 I 1 J2_1 /3 | 1 /8 \ _ П
9'7 а (8 2 v 5 6 у 280 гд1 ~~ и’
л 41__4. [ _L I 4L ^2 „ JL j_1. _ q
7'5 a ! 6 я 4 3 60 I ~
Решая полученную систему относительно неизвестных d4 и d2i на-
ходим:
. _ р d2 — а г 4а / 35 105 56 fA 49 . 9 \ ( ( 24 + 4 3 12 8 Г Г (5.154)
. _ Р di~ ”4^ ( 21 ^3 ,а 84 ,3 21 ,с 63 ,8 \ 8 4 £ + 5 г 4 1 + 40 £ / ‘
252 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
Подставляя в выражение (5.152) разложения (5.144) функций F0(x),
F2(x) и F4(x) и ограничиваясь при этом степенями не выше четвертой,
получаем:
™ W ~ — ЗЛ« — А^+ х‘ +
+ 4- (4d, - Л + А, - Д4) лЛ , (5.155)
где величины d2 и d4 известны нз выра-
жений (5.154).
Приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях х в выражениях (5.155)
и (5.146) и решая полученную таким пу-
тем систему из двух уравнений с двумя
неизвестными, находим:
5*2 (d3 + 4dt — 440) + 5k (4i/4 - До)
4*2 35* _р 40
^2 — — 4rf4 4—— А4.
Рис. 207
А2 и А4, находим искомое
решения частного примера
Подставляя в выражение (5.152) по-
лученные выражения для d2, d4, До,
решение задачи. Построенная в результате
эпюра моментов показана на рис. 207.
в) Случай обратно-симметричиой нагрузки
Рассмотрим случай (рис. 208), когда по концам приложены две
равные, обратно направленные силы Р. В таком случае, ограничиваясь
нечетными полиномами Чебышева
и имея в виду, что при любом зна-
чении х<1 внешних сил на участ-
ке от 0 до х не имеется, т. е. что
Pi =Шо = д = Ог можно выражение
для прогибов полосы, в соответ-
ствии с выражением (5.137), пред-
ставить в виде:
w (х) = £) |^1 __g— । ^2 ” 2 " +
+ С3х + С4 —1 (х) ’ (5.156)
/1=0
где коэффициент Аь учитывая выражение (5.134), равен:
л _ 2М — 4Л?
21 1 1 А “-" .
1 паЛ па
Дифференцируя, находим зависимости, аналогичные зависимостям
(5.140):
tg а = ~25~ ~2~ 4" Czx + g" ^2«+i^2«+i ’
/1=0
§ 3. Применение полиномов Чебышева
253
06
Л1(х) = -^[с1х+С2-4-2Лг'‘+1^+1«] • (5-157)
л = 0
Подставляя граничные условия го(0)=0 и 7И(0)=0 в уравнения
(5.156) и (5.157) и учитывая значения (5.138), находим, что С2—С4 = 0.
Из условия Q(1) = P, принимая во внимание, что
Q(x)=—ajc,—|-2^+i^+1W],
п=0
р
находим Ci =-Условие, что на концах полосы ЛГ (±1)=0, удов-
летворяется автоматически.
Постоянная С3 определяется из условия, что л = 0 угол наклона
касательной к деформированной поверхности основания равен углу на-
клона касательной к изогнутой осн полосы.
Для определения величины С3, в соответствии с выражением (5.136),
имеем:
60
2 1 Ро) л 1 , _
(х) = —2л + ! Л2п+1 Ип+1 (х) 4- ПОСТ.
Учитывая, что в соответствии с выражением (5.118) для Тп(х):
d ч (2л + 1) sin [(2я + 1) arc cos х]
-УГ W --------->
получаем при х=0:
rfw0 _ 1 dw0
~dT ~~ ~а dx
2 (1 — Pq) 'X'1 . sin [(2/7+1) arc cos jc[ 1
----£------ /12л+1 ------------- г----------------- =
и—О П--Ьг=О
2 (1 - Р») V1
= У (~1)пА2и+1, (5.158)
0 п~Л)
учитывая, что
sin (2n -j- 1) -^- = (— 1)л. - .
Имея в виду, что в соответствии с выражением (5.157):
tg5 = ®'(0) = -^-C„ (5.159)
находим, сопоставляя выражения (5.158) и (5.159):
С3 = (-
0 л=0
В результате из выражения (5.156), принимая во внимание получен-
ные значения для Сь Сг, С3 и С4, а также приводившиеся выше выра-
жения для D и k, получаем:
254 Г лава К Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
w Аг+2^«+>^»+>м]=
л=0 л=0
= ------длю-
- АЛ(х) - АЛ (х). ..] .
Разлагая функции Fin+i (х) в степенные ряды и ограничиваясь при
этом пятыми степенями х, т. е. п = 2, находим выражения, аналогичные
выражениям (5.144):
F1(x)=-x:i4-~^r%5 — -
f3(x) = 4'a:3-4-^+'---
=-~4“*3+4*х5—
Тогда приближенное выражение для прогибов полосы w(x) можно
представить в виде:
ж«^4г[4- м1-л3+л3)+(л,-4-л+4-л..-44’+
4—4~ f—g-Ai-}—Н- ‘' * 1 (5.160)
Выражение для осадок основания, принимая во внимание обратную
симметрию задачи и выражения (5.118), можно, в соответствии с выра-
жением (5.130), представить в следующем приближенном виде:
2(1 f*0) а
(*) ~ ---------“₽---------
4t% -j- ™ Д3 (4х3 — Зх) -|—А5
(16х5— 20х34~5х) ] =
-Т £;0> Я- [х(Л-А+Л)+(4^-(5161>
Приравнивая в выражениях (5.160) и (5.161) коэффициенты при
одинаковых степенях х и учитывая при этом, что члены, содержащие
& (1 Rq) ®
первую степень х, сокращаются, так как —---------------£-----> находим
в результате решения полученной таким образом системы из двух урав-
нений с двумя неизвестными:
Л Р (32 — 16*
а «(3,2А2 + 48А + 256) ’
л __ + 64 . , 4
- ЗА ’ : Зк а *
Подставляя полученные значения А^, А3, А$, Сь С2, С3 и С4, находим
искомое решение задачи.
Выражения для изгибающего момента и перерезывающей силы мож-
но найти по формулам:
g 3. Применение полиномов Чебышева
25&
М (х) — D-L = а? [Д-х + ± 2 ^+1^+1 (X)].
О
Q (х)=- D -L =а + Ц- «]
О
г) Случай полосы с жесткими концами
В качестве примера рассмотрим случай загрузки полосы, показан-
ный на рис. 209, Предположим сначала, что жесткость концевых уча-
стков не бесконечно велика, а равна D}. Жесткость среднего участка,,
как и раньше, обозначим через D. Закон распределения реакций осно-
вания как в средней части, так и на кон- р р р
цевых участках полосы может быть Ъ ? -|- ? Ч
представлен одним и тем же выраже- 777 1 %
нием (5.128), которое вследствие сим- ь —
метрии может быть написано в виде: _________i
?(б)= 24;тМ?~- <5Л62>
У 1 - Рис. 209
/г-0
Тогда, в соответствии с выражением (5.137), опуская слагаемые,
в которые входят Р. и Af/t можно написать для среднего участка по-
лосы:
= -£- [С, 4- + с, 4- + с,х + с, - 4 S -СЛ» w],
tgMx)= 4-[с>4- + СгХ+Сз- >
Mt (х) =-а> [с,х + С2— 4 2A2nFin (х)] ,
Q1(x) = -a[c,-4S?l’»FiW]- (5.163>
Аналогично для концевого участка можно написать:
М, (х) = - а? [cjx + С' - 4 2 А.Г*, (X)] ,
Q,(x) = -aJc;-4^AZ.;w]. (5.164).
Из условий сопряжения среднего н концевого участков получаем,
что прн х—Ь:
Q1 = Qi, 7И] = М3, tgSx = tgS3, Wj = w2.
Из первого условия вытекает С[ = Ср из второго условия С3 = С'
Поэтому выражения (5.164) можно написать, отбрасывая штрихи при
С’ и С.
Приложим к концам полосы по две равных по величине и обратно
направленных силы Р. Тогда можно считать, что к концам жестких
участков приложены направленные сверху вниз силы Р и пары сил
с моментом:
256 Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
m+P(a — t) = in 4- Ра(\ — f).
Из условия, что на конце полосы при х=.+1 момент равен т +
+ Ра(1—/), в соответствии с первым из выражений (5.164), учитывая
зависимости (5.138), находим:
от4-Рц(1 -£)=-а2(с1 + С2--£-Д) . (5.165)
Постоянные Ci и С3 находим из условий, что при х=0 угол наклона
р
8=0 и перерезывающая сила Q=-----.В соответствии с этим, из вто-
рого и четвертого выражений (5.163), учитывая зависимости (5.138),
находим:
О — Сэ,
Р Р
---= ~ или С, = -S— .
2 1 2а
Тогда из выражения (5.165), учитывая зависимость (5.133), на-
.ходим:
m -j- Ра (1 - t) = —а2 (~ Ц- С2-- ,
1 х ' I 2а 1 2 2 тш / ’
откуда
Г — m . Pt
°а” а2 “Г ~а •
Определив Сь С2 и С3, можно представить выражение для относи-
тельных прогибов и углов наклона касательных среднего участка, т. е.
при Ь, в виде:
W = W! (х) - W. (0) = X3 - з X3 + 3 ~ х2 —
AinF2п (Х) j >
о
о
Для концевого участка b < х < 1 относительные прогибы равны:
(х) = Wi (b) + (х — b) tg (b) =
=-gr {[4 b‘+»a - ^b2 - S v»(4+
n-0 '
+(х~ь)
n=Q
Примем, например:
а = 27,0 л/, fc = A=0,7, t = — = 0,89,
P = 200mt т = \Штм н k = 0,4672.
§ 3. Применение полиномов Чебышева 267
Тогда для .среднего участка 0<х<6 имеем:
л=2
Wj (х) = |з,70370+ + 15,22632+ - Л2«ЛП (*) ] • (5.166)
п-
Для того чтобы составить выражение для прогибов концевого уча-
стка, напишем выражения для сумм, входящих в уравнение второго
участка, ограничиваясь тремя членами ряда. Пользуясь таблицами
функций Р2я(х) И F (х), находим:
п-2
^A2nFin[0f7) = 1.53109Л0 + 0;43306Л2-0,05173Л4,
га-0
п-2
]Л42яЛ'л(0,7) = 4,552484 + 1,083954 - 0,052004-
га-0
Тогда для значений b < (х) < 1 получаем: : ’
+2 (%)= [8,73126—1,53109 До — 0,433064 + 0,051734 4
+ (х — 0,7) (26,76129 - 4,552484 - 1,083954 + 0,05201 4)]. (5.167)
Из уравнения равновесия имеем:
, ЗР 600 7А7ОГК
Ао —------- = 7,07355 т м.
и тса 27ъ ’
Переходя к определению коэффициентов А2 и А4, как и раньше, от-
метим, что’при принятом числе членов ряда в выражении (5.166) кон-
тактное условие
w (х) = (х)
не может быть удовлетворено точно1 для всех значений х. Коэффициен-
ты 4 и А4 можно определить, как 'было показано выше, способом наи-
меньших квадратов, исходя из условия минимума интеграла, обеспечи-
вающего приближенное выполнение контактного условия. Однако вслед-
ствие трудоемкости этого способа можно рекомендовать значительно
более простой, но приводящий к достаточно точным результатам —
«способ средних». Для этого выпишем, например, для разных х де-
сять соотношений вида:
w(xj xi = ОД 1 0,2;. . . 1,0,
вычисляя ау(Х;) для значений х1 <Ь по формуле (5. 166), а для значе-
ний —по формуле (5.167).
Эти десять соотношений разделяем иа две-три группы. В нашем слу-
чае вполне достаточно разделить их на две группы: первую из 6 урав-
нений (для значений х от 0,1 до 0,6) и вторую из 4 уравнений (для зна-
чений х ют 0,7 до 1,0). Сложим почленно все уравнения, входящие
в каждую группу. В результате получим два уравнения:
2(1 — + a r t
----[(4-24)0,91 + 240,2275] =
д 4
= 6^- I— 4,22804 - 0,854844 + 0,133164],
17-В. А. Флорин
258 Iлавд V. Определение реакций по nodouiee сооружений конечной жесткости
2 (1 .. у? ) а г '
F ° [(Л - 2Л4) 2,94 + 2ЛГ2,ЗО58] =
_£L (_ 11,66052 - 2,38262А, + 0,23812Д).
Принимая во внимание, что величина
. 2<1 — Ио>« _ .
6Д : Й
равна по заданию 0,4672, найдем, решая полученную систему из двух
уравнений с двумя «неизвестными:
4 = — 1,26938 щ/л<,
4 — 0,21947 т/м.
Подставляя полученные значения для 4, А2 и в выражения
(5.166) и (5.167), находим искомое решение задачи.
Изгибающие моменты и перерезывающие силы можно определить,
по следующим выражениям:
п=2
w =- ^[4х - 2^. 4- «]
1 . п-0
п=2
Q W = w ]•
л-0
На рис. 210 и 211 приведены эпюры изгибающих моментов и перере-
Jn.HJpff М.(Х)
Рис. 210
Эпюра Q(x)
О 0,2 0,4 0,507
Рис. 211
Рис. 212
зывающих сил для рассмотренного частного случая. На рис. 212 пока-
заны кривые w (х) и wQ (v), из которых видна пренебрежимо малая
погрешность решения в отношении выполнения контактного условия.
Способ -решения, основанный на аппроксимации искомых функций
полиномами Чебышева, разработан П. И. Клубиным не только приме-
f 4. Определение расчетных параметров 259
нительно к случаям плоской задачи, но и для случаев пространственной
задачи [126], как например, круглых и некоторых случаев прямоуголь-
ных плит.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
В заключение этой главы остановимся на рассмотрении некоторых
простейших соображений по вопросу о расчетных параметрах дефор-
мируемости оснований, необходимых для определения контактных на-
пряжений по подошве сооружения.
Если основание представлено напластованием слоев грунта с раз-
личными деформационными свойствами или с переменной по глубине
основания деформируемостью, то для определения расчетной величины
модуля деформации £(, необходимого при расчете по схеме линейно-
деформируемого основания, можно рекомендовать следующий способ.
Сначала определяется способом послойного суммирования или дру-
гим, ему аналогичным, средняя величина осадки сооружения, напри-
мер, по выражению, предложенному К. Е. Егоровым [72]
£ц + 2«к
Scp 3 >
где s п н обозначают осадки в центре и на краях площади загруже-
ния. При этом учитывается неоднородность основания и изменение его
деформационных свойств по глубине.
Затем аналогичная величина средней осадки сооружения опреде-
ляется, используя способ непосредственного применения выражений
теории упругости для вертикальных перемещений, описанный, напри-
мер, в той же работе К. Е. Егорова [72]. При этом основание прини-
мается однородным н величина модуля деформации Ео, входящая в со-
ответствующие выражения для осадок, считается одинаковой для всех
слоев, но оставляется пока неопределенной. В результате величина
средней осадки А/? р, равная в рассматриваемом случае величине сжа-
тия слоя, толщиной, равной активной глубине сжатия, может быть
представлена в виде:
, ф
ААСР = £о ,
где Ф обозначает некоторую функцию, не зависящую от величины мо-
дуля деформации основания £0.
Приравнивая величины scp и ДАср, находим:
Ф Ф
scp ~ Ёо ИЛИ Ео = $ср »
Эта величина £0 может быть названа средним модулем деформации
основания и может быть использована при выполнении расчета по
схеме линейно-деформируемой среды.
В случае расчета по схеме коэффициента постели следует опреде-
лить среднюю величину контактных напряжений ~ср по подошве со-
оружения. После этого величина коэффициента постели может быть
получена по выражению:
, gcp
*ср
Для предварительных расчетов в случае однородных оснований ве-
личины £о и k могут приниматься в соответствии с существующими
17*
26) Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости
справочными данными, кстати говоря, не всегда вполне удовлетвори-
тельными.
Для иллюстрации приведем некоторые значения k для однородных
оснований, заимствованные из книги Э. Ф. Корневица и Г. В. Эндера
«Формулы для расчета балок на упругом основании» (1932 г.)
Таблица 17
Значения коэффициентов постели k
Общая характеристика основания Наименование грунта основания к в кг! см3
Грунт малой плотности Плывун Песок свеженасыпанный Глина мокрая, размягченная 0,1-0,5
Грунт средней плотности Песок слежавшийся, балласт- ный Гравий насыпной Глина влажная 0,5-5
Грунт плотный Песок плотно слежавшийся Гравий плотно слежавшийся Щебень Хрящ Глина малой влажности 5-10
Грунт весьма плотный - - Песчано-глинистый, искусствен- но уплотненный Глина твердая 10-20
Грунт твердый Мягкая трещиноватая скала Известняк Песчаник Мерзлота 20—100
Грунт скалистый Хорошая твердая скала 100-1500
Искусственное основание Свайное основание 5—15
Строительные материалы Кирпич Бутовая кладка Бетон Железобетон 400-500 500-600 800-1500 800-1500
Значения модулей деформации для разного рода грунтов, по дан-
ным Н. Н. Богословского, Ю. М, Абелева, приводятся в следующих таб-
лицах, заимствованных из книги М. И. Горбунова-Посадова [123].
Значения модулей деформации грунтов Ео
Таблица 18
Вид грунтов Модуль деформации Ео в кг'см2
плотный средней плотности
А. Песчаные грунты Пески гравелистые и крупные независимо от влажности 480 360
Пески средней крупности независимо от влаж- ности 420 310
Пески мелкие: а) маловлажные 360 250
б) очень влажные и насыщенные водой . . 310 190
§ 4. Определение расчетных параметров
261
Продолжение
Модуль деформации в KZjCM*
Вид грунтов плотный средней плотности
Пески пылеватые:
а) маловлажные 210 175
б) очень влажные • 175 140
в) насыщенные водой 140 90
Б. Глинистые грунты:
Супесь при коэффициенте пористости В твердом В пластичном
-0,5 состоянии 160 состоянии 90
е = 0,7 .... . 125 50
Глина 590-160 160-40
Суглинок 390160 160-40
Таблица
Значения модулей деформ чин лёссовидных грунтов
Наименование грунта Интервал влажности в % Интервал по- ристости в % Значения Ес в кг/см1
Лёсс 10—17 47-48 225-320
Лёссовидный суглинок 6-8 46—48 220-280
8—14 47-49 190—220
12-18 43-45 100-400
22—25 40-45 100-240
22—25 45—48 80—150
25—30 40-45 70—130
25—30 45-48 45-95
В заключение отметим, что имеющиеся в литературе способы опре-
деления значений среднего модуля деформации основания Ео по зна-
чениям коэффициента постели k и наоборот не могут быть рекомендо-
ваны для применения. Для случая основания с однородной по глубине
деформируемостью можно, однако, установить приближенную зависи-
мость:
k = -4₽-
Ф '
Глава шестая
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПО ПОДОШВЕ
ЖЕСТКИХ И СОВЕРШЕННО ГИБКИХ СООРУЖЕНИЙ
Для определения напряжений по подошве сооружений, деформи-
руемость которых настолько мала по сравнению с деформируемостью
основания, что -они могут приниматься при определении контактных
напряжений как совершенно жесткие, в настоящее время применяются
формулы сопротивления материалов для центрального и виецентрен-
ного сжатия, используется способ расчета по методу коэффициента по-
стели, а также методы решения, основанные на представлении основа-
ний сооружений как лииейно-деформируемой среды.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
ПО ПОДОШВЕ ЖЕСТКИХ СООРУЖЕНИЙ
а) Применение формул виецентреиного сжатия
Простейшим способом определения напряжений по подошве жест-
кого сооружения является часто применяемый прием определения ис-
комых напряжений по формулам виецентреиного сжатия.
В случае плоской задачи, в соответствии с рис. 213, напряжения
р
План
Рис. 213
в любой точке подошвы сооружения определяются по известному из
сопротивления материалов выражению:
Р Р Рехх Р / 12^х\
’И=т + -г = 7+-------------Т»- = - ’ + — I, 6.1
U> J у Lif 44 44 \ **' /
1 ~тг
а наибольшее и наименьшее напряжения на краях х—±-|—по выра-
жению:
§ 1. Простейшие способы
263
(6-2)
где Р обозначает силу на единицу ширины сооружения, измеряемую,
например, в т/м,
В случае пространственной задачи, в соответствии с обозначениями
на рис. 214, напряжения в любой точке подошвы равны:
(*. = + + (6-3)
а в угловых точках прн х= ± -у и у— +
t : а L b \ Р /l j ^ех , &еу \ /д j\
°(±— > ± ± — ±~zrj- (6Л)
б) Способ коэффициента постели при постоянной величине
коэффициента постели и плоской поверхности основания
Определение напряжений по подошве жестких сооружений способом
коэффициента постели основано иа принятии следующих основных по-
ложений:
1. В каждой точке основания зависимость между осадкой w(x) и
давлением на грунт □ (х) в этой же точке можно выразить соотноше-
нием: а (х)=й w (х), где k обозначает коэффициент постели, принима-
емый постоянной величиной для данного грунта.
2. В случае плоской задачи и совершенно жесткого сооружения
осадка w(x) любой точки подошвы является, как показано на рис. 215
и 216, а, линейной функцией от х> т. е.
т
Т£) (%) = 2Г0 4" Xtgo.
Из этих положений следует, что
a(x) = A:(z0 + xtg8),
(6.5)
где величины zQ и 8 должны быть определены из условий равновесия.
364 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
В соответствии со схемой на рис. 216,6, получаем:
а .а а
+ ^~ + 7
£z=- ( »(Е)Л + Р = -4 J (2„ + UgS)^ + P=0,
а _ а_
~ Т 2
, а а
+ 2 + ' 2"
£Л1=- J ^(i)dk + Pex=-k J Е(го + и88)^ + Рех = О,
а а
~ ~ ~ Т
откуда, интегрируя, находим:
Z°- ka ’
„ Ре
tg8 = 12-V> .
ka5
Тогда получаем выражение (6.5) в виде:
с \ р । 1 о Ре* \ Р 11 । 12x2
0 W “ k ( ka + 12х Адз ) — а 1 + д2
которое в точности совпадает с выражением (6.1), соответствующим
способу расчета по формулам внецентренного сжатия.
В случае пространственной задачи зависи-
Пмн мость, аналогичная допущению 1, имеет вид:
Рис. 217
а (х, у) = kw (%, у) ,
где а (х, у) и w(x, у) обозначают напряжения
и осадку поверхности основания в точке
(*, У)-
Выражение для осадок точек подошвы же-
сткого тела в случае пространственной задачи
имеет вид:
у) = z0 +
Сопоставляя эти выражения, получаем?
а(х, у) = /г(2!0 + xtg8 4-_у tgp), (6.6)
где величины z0, 3 и р в соответствии с обозначениями на рис. 214 и
217 определяются из условий равновесия:
J £С?0 +Stg8 + Tjtgp)^</7] + Р = 0,
а Ь
2 — 2
^44^,= — J J АЦг0 + Stg8 4-7]tgp)d^ ф- Рех--=0,
а b
~ 2 2
Ат] (z0 + £ tg 3 + Tj tg P) dl dxi 4- Pey = 0.
2
§ 1. Простейшие способы
265
Интегрируя, находим:
— р
kab ’
, й 12Р^
!к5= а™.
12Реу
kab‘-‘
откуда выражение (6.6) получаем в виде:
0(х, y) = £(*04-xtgS4-.ytgp) = -^l+ + 12^У")
Полученный результат показывает, что для пространственной за-
дачи способ коэффициента постели также приводит к тем же резуль-
татам, как и применение формул внецентренного сжатия. Таким обра-
зом, применение формул внецентренного сжатия для определения
напряжений по подошве жесткого сооружения вполне равноценно при-
менению способа коэффициента постели при постоянной величине коэф-
фициента постели.
в) Способ коэффициента постели при переменной величине
коэффициента постели и плоской поверхности основания
В некоторых особых случаях, например, как показано на рис. 218, а,..
жесткое сооружение может быть распо-
ложено на сжимаемом слое переменной
толщины, подстилаемом мало сжи-
маемым, например скальным, слоем. .
Тогда при применении способа расче- '
та по методу коэффициента постели при-
ходится принимать коэффициент постели
переменным в различных точках подош-
вы сооружения, как показано на рис.
218, в, т. е. полагать, что он зависит от 6)
координаты х. Это может быть записано
в виде;
k — k(x}.
Принимая простейшее допущение,
что коэффициент постели является ли-
нейной функцией от х, запишем это в
виде:
* = (6.7) V
где kQ и п обозначают некоторые пара-
метры, характеризующие величину ко-
эффициента постели в любой течке х,
и а — ширину подошвы.
Из основного соотношения:
j (%) = kw (х)
(6.8)’
легко убедиться, что при меньших значениях коэффициента постели
k(x) величины осадок при одинаковых нагрузках на основание больше,
и наоборот. Отсюда следует, что показанное на рис. 218, б совершенно'
‘266
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
жесткое сооружение, загруженное центральной вертикальной силой Р
(измеряемой, например, в т/м), будет оседать при принятом основа-
нии не равномерно, а в соответствии со схемой, показанной на
рис. 218, а. Осадки различных точек подошвы могут быть при этом
представлены выражением:
w(x) = zQ -|- х tg 3, (6.9
< обозначениями на рис. 219 все
откуда, в соответствии с выражениями
(6.7), (6.8) п (6.9), получаем эпюру
реакций грунта в виде квадратной па-
раболы (рис. 218, 5):
а(х) = Ло [1 + )(£0 + Xtg8).
Параметры Zq и 3 могут быть опре-
делены из условий равновесия. Дей-
ствительно, проектируя в соответствии
силы на ось z, получаем:
Vz=- + fi+«4)(zo + E‘g8)^ + p=0-
а а
” Т . - 2
Момент всех сил относительно точки х=0 равен:
а , а
+ т +т
^Л! = - J Ea(5)d6 + 4 = -*o J 41+"’S‘)(Z° + tg5)dE +
а __<х_
— Т 2
+ — Оэ
где Мо обозначает момент внешних сил на единицу ширины сооруже-
„ кг м
.ния, измеряемый, например, в —-— .
Интегрируя, находим:
м । па , Л Р
ZQ 4- tgO =—,
01 12 & akf) г
12М0
na2kQ
Решая относительно zo и tg8, находим:
где
. s 12Рп
‘88=~
I2P
k^a
(12 —п2)
(12—л2) ’
и
м
р
$ 1. Простейшие способы
267
В результате находим выражение для осадок в виде'
W akQ (12 -п2)
Получив выражение для осадок w(x), можно без затруднений, учи-
тывая выражение (6.7), найти, в соответствии с зависимостью (6.8),
выражение для а (х) в виде:
□ (Х) =
12F / ч . х \ Г
а(12~л2) а Щ1
пе
а
12<?
ап
которое при k(x) = kG — пост., т. е. при /1 = 0, принимает обычный вид:
уравнение ее, в
и
( \ р Г 1 । 1
О (х) = — 1 4----S— .
v ’ а [ 1 a2 J
Аналогичным Образом может быть без затруднений получено выра-
жение для напряжений по подошве жесткого сооружения и для случая
пространственной задачи при переменной величине коэффициента по-
стели. Однако вследствие большой громоздкости этих выкладок и полу-
чаемых результатов мы их не приводим. Не представляет затрудне-
ний учет переменности коэффи-
циента постели не по линейному, а
по какому-либо иному закону.
Если в пределах части подошвы
сооружения основание обладает од-
ними деформационными свойства-
ми, а в пределах другой части —
другими, то в пределах этих частей
подошвы его коэффициенты посте-
ли различны, как например, пока-
зано на рис. 220, где при х<6 коэф-
фициент постели равен k\, а при
х>6 — равен k% Определение эпю-
ры реакций и в этом случае не вы-
зывает каких-либо затруднений,
особенно в случае плоской задачи-
Вследствие жесткости сооруже-
ния эпюра осадок w(x) прямолинейна
с обозначениями на рис. 220, может быть представлено в
соответствии
виде
w (%) = z0 4- xtg 8.
В соответствии с этим, эпюры реакций основания определяются
уравнениями:
при х < b <?х (Q (z0 4- &tg8), 1
при Х'>Ь а2(£) = М£о4-^£8)> 1
Параметры z0 и tg 8 определяются из уравнений равновесия:
b +а b
f МУdi = kl (zji + -f-tg» ) | +
—
4- 1 "4
= [a [Ai + + — +
2“ g
268
Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
+ 5 ~ р>
Ь 4-д ь
+ j (^) ^ = ^1 (20 4г + "Г *g S) | +
-a b — а
Н~ ^2 го ~2~ —з~ ~ ~2~ — а2^
L
+ -^ tg 3 [л3 + /г2) 4- Ьэ (kt — k2)] = Ре.
Решая эту систему уравнений относительно z0 и tg&, находим по вы-
ражениям (С. 10) распределение реакций основания. Скачок в эпюре
напряжений определяется, естественно, скачком коэффициента постели..
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
При рассмотрении вопросов определения напряжений по подошве
жестких сооружений с помощью решений теории упругости мы, как и
раньше, будем предполагать подошву сооружения плоской. Сооружение
мы будем принимать в виде жесткой стенки или жесткого штампа. Так
как сооружение по отношению к основанию принимается совершенно
жестким, то в случае плоской задачи эпюра вертикальных перемещений
точек подошвы должна быть прямоугольной или трапецеидальной и
определяется выражением: w0(x) --АхуВ. В случае пространственной
задачи эпюра вертикальных перемещений ограничена плоскостью, лю-
бым образом наклоненной к осям координат, и определяется выра-
жением:
те»0 (У) — Ах 4- Су + В.
В 1885 г. Буссинеском [64] были опубликованы решения для беско-
нечно жесткого круглого и эллиптического штампов, расположенных
на линейно-деформируемом основании и загруженных центральными
вертикальными силами. Решения для случая жесткой полосы или круг-
лого штампа, загруженных центральной или внецентренно приложен-
ной силой, были опубликованы в 1928—1940 гг. последовательно в ра-
ботах М. А. Садовского [133], В. А. Флорина [55], В. М. Абрамова [134],
К. Е. Егорова [85], В. А. Гастева [135] и др. Из работ последнего вре-
мени, посвященных контактным напряжениям по подошве жестких
штампов, следует отметить работы Л. А. Галина [136], И. Я. Штаерма-
на [137], Б. М. Ломизе [138], А. И. Бегиашвили [139] и др.
а) Решения для случая плоской задачи
Примем, что силами трения по подошве сооружения при определе-
нии нормальных давлений на грунт можно пренебречь. Тогд 1, в соот-
ветствии с выражениями (5.52) и (5.54), получаем для определения на-
пряжений по подошве условия:
при с =0 — 0;
при г = 0 и —а<х<4"Д:
4- а
_ j ?(^)1п|а;~^|^ = Ах + В, ’ (6-Н)
— а
при 2 = 0 х<~~а и х>4“л: ?0) = О>
$ 2. Применение решений теории упругости
269
где коэффициенты А и В — некоторые постоянные величины, завися-
щие от характера приложенной нагрузки.
а) Если к сооружению приложена центральная вертикальная сила
Р, то, в соответствии со схемой на рис. 221, а, из условия симметрии
следует, что А = 0.
Уравнение равновесия в этом
случае имеет вид:
= (6.12)
—а
Решение, удовлетворяющее ус-
ловиям (6.11) и уравнению равно-
весия (6.12), имеет вид:
Рис. 221
2 1
= . <6-13)
где
- х Р
х — — и q = -77— .
а 2а
Это решение было получено в 1928 г. М. А. Садовским [133]. Одиако,
как будет показано в дальнейшем, решение (6.13) может быть получено
из решения Буссинеска [64].
Заменяя в выражении (6.13) х на £ и подставляя его в уравнение (6.11), можно
после простейших преобразований получить, что в случае жесткой полосы при любом
.значении ~-1<х<4-1:
+1 +1
d р 1 _ _ г 1 1 __
др 1 —/ —1п | х — 5 । d 6 - I . _ = пост.
М-г J V 1- х - е
„1 -1
При х=0 получаем:
+ 1
Г 1 ( 1 Lr
J и 1 - е8 \ е /
-1
откуда следует, что в пределах подошвы жесткой полосы, т. е. при —1<х<4-1:
+ 1
(* 1 / I 1 \ _
I —.... . ___ + __ = о. (6.14)
J ]/ i-е* \х-е е /
Аналогичным путем, используя выражение (6.15), можно показать, что
(6.14')
Выражения (6.14) и (6.14х) были использованы в главе V при рассмотрении по-
лосы конечной жесткости.
Выражения для напряжений в основании от нагрузки, распределен-
ной по подошве полосы, в соответствии с выражением (6.13), имеют
вид [115]:
VO
Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
f Г 1 *2(2с—/п) I Гт + с z |х 1 (2с 4 т) ^Гт_с
п I т m3 ] У 2 ж3 У 2
г2 (2с — т)
т*
г | х | (2с т)
_ 2? Г xz (2с - т) Гт + с г2 (2с 4 пг) | х | гт _ с
Т-т' Т" [ тз У 2 m3 х У 2
где
с = 1 — л2 -}- Z2,
т= 1Л?2 4- 42,
d=~ 2xz.
Эпюра реакций по подошве <р (х), а также эпюры напряжений ~7
по горизонтальным сечениям, расположенным на различных глубинах,,
показаны на рис. 221,6.
Решение (6.13) представляет интерес также с точки зрения выясне-
ния вопроса о том, при каком законе распределения нагрузки, непре-
рывно приложенной к полосе конечной жесткости (не абсолютно же-
сткой), изгибающие моменты во всех сечениях полосы, при любой ее-
жесткости, равны нулю.
Если принять внешнюю нагрузку равной:
Г(х) = -тХ=, • (6.15)
к V а- - xz
то нетрудно убедиться, что решение <р (х) — f (х) удовлетворяет уравне-
нию (5.75) при любой жесткости полосы, т. е. при любом k. Действи-
тельно, правая часть уравнения (5.75) обращается в ноль, так как
<р(х) /(х); левая же часть уравнения (5.75^> обращается в ноль, по-
тому что
-% . Г —х 1п | х — SI dt = О,
dx J л “ х2 1
—а •
вследствие того, что выражение, стоящее под знаком четвертой произ-
водной, есть величина постоянная.
Совершенно очевидно, что при ф (х) ~ / (х) удовлетворяется и’
уравнение равновесия.
Отсюда следует, что если полосу любой постоянной жесткости за-
грузить нагрузкой, распределенной по закону (6.15), то изгибающие.
ff 2. П рименение решений теории упругости
271
моменты в любом сечении полосы будут равны нулю. Это обусловли-
вает желательность для уменьшения прогибов, а следовательно, и из-
гибающих моментов, некоторой пригрузки концов массивного сооруже-
ния, как показано на рис. 222, если основание с достаточным прибли-
жением 1может быть представлено лииейно-деформируемой .средой.
б) Если к сооружению, в соответствии со схемой иа рис. 223 а, при-
ложена пара сил с моментом Мо, то в уравнении (6.11) следует принять
А ¥= 0, а из условия обратной симметрии В = 0. Уравнение равновесия
в этом случае сводится к условию равенства нулю суммы моментов от-
носительно начала координат всех сил, действующих на сооружение:
+«
= и,,.
—а
Решение этой задачи было опубликовано впервые в 1936 г. [55] в виде:
¥ О) = ЛУ’
У а2 — х2
(6.15')
tg8-
Я1-Р3) я
Ена2
где 3 обозначает угол наклона подошвы сооружения вследствие прило-
жения к сооружению (иа единицу ширины) пары сил с моментом Л40.
Напряжения в основании имеют вид [115]:
2Мох -я Гт + с
тл2т г 2
z / т-\- 2с
т \ т2
__ 2М0х 1Гт~1-с
°2 тга2/п V 2
z ( т-\-2с
т \ т2
xz
2Mq z (2с — т) Гт + с
на2 т3 г 2
где величины тис имеют тот жесмысл, как и в случае центральной
вертикальной силы.
Очертание эпюры напряжений по подошве полосы показано иа
рис. 223, б.
в) Решение для центральной силы и пары сил позволяют получить
решение для внецентренной силы Р, приложенной с эксцентриситетом
е = (рис. 224, а), откуда М$ = Ре. Складывая эти решения, полу-
чаем: ..
, х Р . 2Ре х Р , о ех \ ,с . С\
? %) = —_ 3-------------... — г . -.= 11 + 2 —г- . (6.16)
к У а2 — х2 тш2 У а2 — х2 к У а2 — х2 \ й /
т-г а-
При е< -g- это решение соответствует эпюре, показанной на
рис. 224,6. При е> оно соответствует эпюре, показанной на
рис. 224, в.
При е= напряжения на конце —а обращаются в ноль, так как
272
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
при е = -^- выражение (6.16) при х-^—а стремится к нулю, что сле-
дует из того, что:
1- а
lim —г
^—а V а2 — &
= ~ lim а + х
а х-^-а Г а — X
->0.
линейно-диформируемом основании, для того
чтобы по подошве сооружения не возникали
Таким образом при
Рис. 224
растягивающие напряжения; эксцентриситет
внецеитренио приложенной силы не должен
превышать четверти ширины подошвы соору-
жения, вместо одной шестой, как то имеет ме-
сто при применении формул внецентренного
сжатия или, что то же самое, способа коэффи-
циента постели при постоянной величине этого
коэффициента.
г- а ,
Если же эксцентриситет е.> , то по фор-
муле (6.16) на одном из краев полосы (рис.
225, а) возникают растягивающие напряжения.
Однако это не соответствует действительно-
сти, так как сооружение не приклеено к осно-
ванию и на самом деле образуется щель, как
показано на рис. 225, б.
Решение с учетом 'возникновения щели бы-
ло дано В. М. Абрамовым и заключается в сле-
дующем. Если при приложении к полосе шири-
ной 2а силы Р с эксцентриситетом е образует-
ся щель (условная схема которой показана
на рис., 226) и поверхность соприкосновения
полосы с основанием
уменьшается до 2«i, то эксцентриситет ?i силы Р
относительно оси Zi, проходящей через середину поверхности сопри-
косновения шириной 2<2ь равен е{ = е—(a-ai). На краю щели, т. е. при
х = —напряжения должны быть равны нулю, что может быть только
$ 2. Применение решений теории упругости
273
т х \ Л ]
в том случае, если >т- е- если е—(а—ai) = -у ,откуда величина
должна быть равна at = 2(a—е).
Распределение напряжений на части полосы шириной 2аь учитывая,
что 6’,= -^-, определяется выражением:
Р
= —
1 / e-tXi
1 -F2^-
\ а1
Р
соответствующим эпюре иа рис. 225, в.
г) Во многих случаях большое значение имеют нагрузки, приложен-
ные к основанию вне сооружения. Предположим, что к поверхности ос-
нования вне полосы (рис. 227, а) приложена неограниченно простираю-
щаяся в обе стороны равномерно' распределенная нагрузка s, а к самой
полосе — центральная вертикальная сила P=2qa, где q обозначает ин-
тенсивность реакций основания для случая, если бы они были равно-
мерны.
Совершенно очевидно, что равномерно распределенная по всей по-
верхности основания (рис. 22”, 6) нагрузка
з не вызывает различных осадок в различ-
ных точках основания, т. е. при такой на-
грузке поверхность основания остается
плоской. Поэтому в этом случае совершен-
но несущественно, приложена ли нагрузка з
непосредственно к основанию или же пере-
дается иа некоторых участках через одну
или несколько жестких полос, если только
средняя интенсивность нагрузки по этим
полосам также равна 5. Таким образом мы
получаем, что нагрузка з вне полосы и дав-
ление на основание в пределах полосы от
груза Pc2as обусловливают в любой
точке поверхности основания напряжения аг
(или о), равные з.
Остальная часть внешней нагрузки на
полосу, т. е, Р—P\ — 2a(q—з), передающая-
ся через жесткую полосу, вызывает по по-
дошве полосы реакции основания, рассмот-
ренные выше. Складывая напряжения, воз-
никающие от равномерно распределенной
нагрузки з и от силы Р—Рх, находим;
л — х3
Если q>s, то поверхность основания имеет вид, показанный на
рис. 227,6, а эпюра напряжений имеет вид, показанный на рис. 227,6.
Если же q<s, то поверхность основания и эпюра давлений на грунт
имеют очертания, показанные иа рис. 227, г и 227, в. Следует отметить,
что эти эпюры условны, так как растягивающих напряжений между ос-
нованием и подошвой сооружения, как указывалось выше, быть не мо-
жет.
На самом деле, по краям полосы образуются щели, как показано1 на
рис. 228, а, и эпюра напряжений на поверхности 2=0 будет иметь вид,
показанный на рис. 228,6. Для этого случая решение было дано
В. М. Абрамовым в виде:
18—В. А. Флорин
274
Глава VI, Определение напряжений по подошве сооружений
2s . / ai ~ х
Т(х) = -—arctgy
где |%[ < сс\, причем ах определяется из уравнения:
— I arctg 1/ -——~dx~ Р.
* J & у al— а%
-Я1
у
Это решение, равно как и приведенное выше для случая внецент-
реиио приложенной силы при е> ? > было сообщено мне В. М. Абра-
мовым в 1937 г.
Случаи, когда боковые пригрузки ограничены по длине или распре-
делены неравномерно, рассматрива-
лись мною [46], П. И. Клубииым
[126], Б. М. Ломизе [138] и др.
д) Когда сооружение может рас-
сматриваться в виде двух или трех
расположенных рядом ие связанных
между собой жестких полос, могут
быть применены решения Б. М. Ло-
мизе [138], которые были им сообще-
ны мне в 1940 г. и с его разрешения
были использованы при проектиро-
вании Нижне-Свирской ГЭС в Ле-
нинградском отделении Гидроэнер-
гопроекта.
Для двух расположенных рядом жестких полос, в соответствии с.-
обозначениями на рис. 229, а, Б. М. Ломизе было получено следующее,
решение:
7
9
Рис. 228
-т*)>
где
а
р__ — д .
я А , а — J'C2 — х2
г -------— 1П ------—г-----
2
Для случая трех полос в соответствии с обозначениями на
рис. 229, б:
. 2Р1 + Р,-2-]/а2-л2Л А , (|/л2-с2—
’ W .. ~ * 1П 2-------й=7|--------L + 2 <*’’
а
1 Г ------ с 1 f
(е — с) 1\ — — 1]^а2 - с2 — с arc cos — (2Pi + Ps) — I 2 (л) (х — с) dx
I =--------------------------------------- -----А--------------.
“2- 2с2 1п — (д2 — С2)
Слагаемые для двух и трех полос, в которые входит 2 (х), пред-
ставляют собой влияние боковой пригрузки. Для равномерной симмет-
§ 2. Применение решений теории упругости
275
ричиой пригрузки ограниченной длины, расположенной с обеих сторон
сооружения, в соответствии с обозначениями на рис. 229, в, эти выра-
жения имеют вид:
О (х\ - 2? Г 4.
+ arctg
rf2 — а2
tP—x2
Со/ 2? Г
J Q (х) xdx = [-------+
4- a (d — а)------ У cP — а1 2 +
+ cP arctg ,
1 & г d 4- a J
- arctg -£===- + 2«/ arctg
--------Ь
Рис. 230
Влияние боковой пригрузки для случая трех полос можно получить,
полагая в этих выражениях с^Оис^й. Для случая двух полос в них
следует 'принять д=0-. -Для случая одной полосы следует принять с = а.
Эти решения Б. М. Ломизе часто
применяются при расчете шлюзов и
сухих ДОКО'В. 1
Если принять условное допущение,
что две жесткие полосы, расположен-
ные на некотором расстоянии одна ст
другой, обе смещаются поступательно
вниз (без наклонов штампов), то в со-
ответствии с обозначениями на рис. 230
можно определить распределение напряжений по их подошвам по ре-
шению И. Я. Штаермаиа [137]:
2/^ (ky ^2)' (Рi + РР х
л У (х3 — а2) (&2 — х2) ’ ...
<Р (*) = ±
1 Углы наклона 0, показанные на рис. 229, а и 229, б, определяются, принимая
2 (1 —В2)
соответствующие выражения для А, зависимостью tg 0 = ______ ° .4
18*
276
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
где K(k) обозначает полный эллиптический интеграл первого рода
с модулем к, который для любого значения k может быть определен
с помощью таблиц [151], а величина
V ь*
Знак плюс берется при х<0 и знак минус — при х>0.
С помощью указанной работы И. Я. Штаермана могут быть получе-
ны решения о распределении напряжений по подошвам жестких полос и
для некоторых других частных случаев.
б) Решения для случая пространственной задачи
Определение напряжений по подошве жесткого сооружения в усло-
виях пространственной задачи без учета касательных напряжений
по подошве сооружения сводится к отысканию функции (х, у),
удовлетворяющей условиям (рис. 231):
при 2 = 0— внутри области D подошвы сооружения:
™ (х, у) = ДД J J^Ах + Ву + С,
[(х- ^+(W]2
где коэффициенты А, В и С определяют положение плоскости подошвы
при загрузке сооружения;
при z = 0 — вне области D подошвы сооружения напряжения
V (х> У) = 0.
Кроме того, должны быть удовлетворены уравнения равновесия:
J J ср 0, Tj) dkdr^P,
D
J р® 0л *»)d^df\ = Myi
D
J f Tjcp (E# ?]) dz di\ = Mx.
D
Решения для поставленной таким образом задачи имеются только
для случаев, когда площадь ограничена эллипсом или кругом.
Для эллиптического очертания
Буссииеска [64] для случая центрально
приложенной вертикальней силы, кото-
рое может быть представлено в виде
(рис. 232):
Для частного случая круглой по-
дошвы сооружения, т. е. при a = b = R,
можно, учитывая, что х2 + у2 = г2, пред-
ставить выражение для нормальных
напряжений по подошве жесткого со-
подошвы приведем решение
оружения в виде:
V (г) =--------Г -------
§ 2. Применение решений теории упругости
277
Решение для случая загрузки жесткого сооружения с круговым очер-
танием подошвы виецентреино приложенной силой дано К. Е. Егоровым
[85] в виде (рис. 233):
ег
1 C0S ‘
Ф (Г) = ----Г- " Р,
‘ 7 2л/? VR*- г*
= X2ER~ (x~^~C0S 3 +
5 = JL 1 ~^2 ре
4 £/?3
При р = 0 и г = х, т. е. в точках А и В напряжения равны:
хе
~1Р
? О') = -уд “
2
где F обозначает площадь подошвы.
Рис. 233
По формуле виецентренного сжатия
они
равны:
в
точке х =
Из этих выражений следует, что при е>0 напряжения
обращаются в ноль;
в случае применения решений теории упругости прис=:,.—
R
в случае применения решении теории упругости при с = ,
О
л R
в случае применения формул виецеитрениого сжатия при е = .
Таким образом в случае круглой подошвы жесткого сооружения наи-
больший эксцентриситет, при котором не возникает растягивающих на-
пряжений по подошве, увеличивается при применении решений теории
R R
упругости ОТ — ДО -д— .
Напряжения в основании жесткого сооружения с круглой подошвой
определяются выражением [85]:
/ Z \3
3gr^s-Р-(А + 4В2) + 4В2 (В2 + 1)--А(В:;- 1)],
Р
°2 “ 2тс/?г
где
А2 =
2
2 „ 12
2
2
г-1 +Л.
t
278
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Если сила приложена центрально, т. е. эксцентриситет то:
f_z_ у
Р I R /
На рис. 234, а показаны эпюры напряжений на разных глубинах.
Рис. 234
р
На рис. 234,6 показаны линии равных .напряжений ~г прие= .
На рис. 234,в показаны линии равных напряжений при центрально
приложенной силе.
Представляет некоторый интерес показать, что, принимая в решении
для эллиптического штампа силу P — 2a2bq и неограниченно увели-
чивая величину Ь, можно путем предельного перехода получить приво-
дившееся выше решение для жесткой полосы [34]:
§ 2. Применение решений теории упругости 279
• ’ __ Р - ' ' ' • •• • ’
л а'* — х2 ’
где . / "
Р = 2aq.
Для случая прямоугольной в плайе подошвы сооружения решений
в замкнутой форме не имеется. Поэтому в случае прямоугольного очер-
тания подошвы, а также в более сложных случаях для определения кон-
тактных напряжений приходится прибегать к численным методам ре-
шения [140, 141].
в) О влиянии касательных напряжений по подошве жесткого
сооружения на распределение нормальных напряжений по подошве
Если предположить, что касательные напряжения по подошве со
оружеиия ни в одной точке основания
противления грунта сдвигу при имею-
щихся нормальных напряжениях от со-
оружения, то во всех точках подошвы
жесткого сооружения (рис. 235) верти-
кальные перемещения w(x) и горизон-
тальные перемещения и (х), а также
нормальные и касательные напряже-
ния ф (х) и Ф (х) должны удовле-
творять следующим условиям:
при 2 — 0 и — а<х<-|--а:
не превосходят предельного со-
w(x) = Ах3 и и(х] — С — пост.,
при 2 = 0, если х < — а и х > -|- ст.
ф (х) = Ф (х) = 0, (6.17)
где А, В и С — произвольные постоянные величины.
Для того чтобы составить уравнения, обеспечивающие выполнение
этих условий, заменим в выражениях (4.10) и (4.16) х на (х—£), Р иа
? () (Д и Q на Ф (£) после чего, интегрируя в соответственных пре-
делах, получаем выражения для перемещений от нагрузок на основание
« (х) и ф (х) в виде:
w (х) = — . JL J ф (Q 1п| х — £ | Д- -—
-а
+ (1 + J Ф g) di - [ q, (6) + Д,
~а х
И ...
+ л
, . 1 — Uз 2 Г k, у. • -
и (х) =----~I ф (?) In | х —- £ | dt - —
— а
_,.а+ж1-ад [j <р(6)й- j ] + о„ . •
—а х
где 7?! и D2 обозначают произвольные постоянные.
Принимая х = ах и %~сА, заменяем переменные хи 5 на х и £
280
Глава VL Определение напряжений по подошве сооружений
и отбрасываем для упрощения письма штрихи сверху. Тогда:
'w(x) — w (0) — — 1 £
п
6Й +
(I + p.) (1 — 2И) д
£
о
u(x) — a(0) =---
j Ф(Е)1п
-1
(1 +р)(1-2,а)д
(6.18)
Из условий (6.17) следует:
при г — 0 и — 1 < х < -Т1:
по (х) — w (0) = Ах
и (х) — и (0) = 0,
откуда, сопоставляя с выражениями (6.18), находим [46, 55]:
£
и
О
=
о
где
= 0,
(6.19)
ь__ “ 1 “ 2^
2 I-рь •
Кроме уравнений (6.19), искомые функции ? (?) и ф (?)
удовлетворять соответствующим уравнениям равновесия:
1. В случае нагрузки жесткой
должны
Рис. 236
полосы
центральной вертикальной силой (рис. 236, а)
-1
+ 1
= а2 j Ecf (E)rf? = 0.
2. В случае нагрузки полосы парой сил
(рис. 236, б)-
о
§ 2. Применение решений теории упругости
28Г
+1
£х-4ф({)<й=о,
-1
+1
£z=a J¥(S)<ft = O.
-1
3, В случае нагрузки полосы горизонтальной силон, приложенной иа
уровне подошвы (рис. 236, в):
V/-a j\(e)^-Q = O,
+1
Vz=aJ <р(Е)Л = О, . -
-1
Принимая
£Л1 = а2 J =
?(E) = SC.E” н
?(Е) = £С/+1 и ф(е) = £Д,6”,
<P © = 2 C„ 62"T 1 и ф (E) = £ DJi’",
можно найти функции у (£), и ф (£),
удовлетворяющие уравнениям (6.19Х
Рис. 237
Рис. 238
и соответствующим уравнениям равновесия, применяя способ, описан-
ный при рассмотрении балок на упругом основании без гипотезы коэф-
фициента постели. Соответствующие выражения для <р (О и ф (Ц
282 Г лава VI, Определение напряжений по подошве сооружений
были впервые получены в 1936 г. [551. Графики их приводятся на
рис. 237, 238 и 239, где принято P=2aq0 и Q- =2«у(!. В 1937 г. В. М. Аб-
рамов, сохраняя эту же постановку задач, получил для рассмотренных
случаев решения в замкнутой форме. Например, для случая централь-
ной вертикальной силы решение В. М. Абрамова [134] имеет вид:
2(1 - И)
V 3 — 4[J.
Р
п У а2 — х2
cos Г-J— In (3 — 4р) In
2(1~и)
/3-4F
ф (х) =
Р • Г 1 1 /о Л \ 1 а ~ * * * * * * х
---т г- - Sin -77— In (3 — 4р) In ;
Л уаг — х2 [ 2п v а + х
Решения В. М. Абрамова подтвердили достаточно высокую точ-
ность указанных выше приближен-
ных решений.
Все эти решения показывают, что
при определении нормальных (каса-
тельных) напряжений по подошве
влиянием касательных (нормаль-
ных) реакций основания можно пре-
небрегать, так как влияние их со-
вершенно несущественно', в чем мож-
но легко убедиться, рассматривая
графики функций ср (В) и ф (£) на рнс.
237, 238 и 239.
Следует отметить, что в некото-
рых опубликованных работах, как
-тс> например, в работе И. Я. Штаерма-
на [137], принимается, что нормаль-
£ ные и касательные напряжения по
| подошве (при г~0) связаны соотно-
£ шениемтл„ =/а, , где f обозначает
* коэффициент трения; необходимо
иметь ввиду, что эта величина каса-
тельных напряжений является пре-
। дельной возможной и допущение о
том, что касательные напряжения во
всех точках подошвы равны пре-
дельным, не соответствует действи-
тельности. Особенно наглядно это
видно в сечениях, близких к сеченню
х = 0, где касательные напряжения
близки к нулю, тогда как нормальные напряжения достаточно
велики.
г) Расчетная модель Штаермана
При рассмотрении плоской задачи жесткого штампа И. Я- Штаерман
[137] предложил новую расчетную модель основания, обобщающую мо-
дель коэффициента постели и теории упругости.
Полагая, что к поверхности основания приложена некоторая нор-
мальная нагрузка, вызывающая перемещения, соответствующие дефор-
мациям всего основания в целом, И, Я- Штаерман предлагает к этим
перемещениям, для определения которых он принимает соответствующее
выражение теории упругости:
§ 2. Применение решений теории упругости
233
+ д
w (х) =--------2 И J ? СО In | х — £ I d£ + С,
а
добавить дополнительные перемещения, возникающие в результате ме-
стных деформаций поверхности основания, определяемых структурой
поверхностных слоев основания. Эти дополнительные перемещения он
предлагает учитывать по способу коэффициента постели, принимая
w(x)=^k <?(х), в результате чего суммарные перемещения точек поверх-
ности основания от нагрузки (х) им принимаются в виде:
w (х) = (х)------2-'-^7~fl~ J ? Ф In | х — 11 й Д С.
В таком случае распределение напряжений по подошве жесткой по-
лосы сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго
рода:
ср (х) — К J о (5) In j х — £ | = Ах + 5, (6.20)
—а
а А п В — произвольные постоянные,
сматриваемой частной задачи.
Решение уравнения (6.20) приво-
дится в работе И. Я. Штаермана [137].
Для получения решений могут быть
также использованы упрощенные
практические приемы решения, при-
менявшиеся в § 2 главы V. Пред-
ставляя, например, искомую функцию
в зависимости от приложенной нагруз-
ки в виде четного или нечетного степен-
ного ряда с неопределенными коэффи-
циентами, можно без затруднений оп-
ределять неизвестные коэффициенты,
например, способом приравнивания
прогибов.
Для случая центральной верти-
кальной силы полученные И. Я- Штаер-
маном результаты для разных значе-
ний с, где
С = кка = --1
определяемые чз условий рас-
1 - и2)
kE
показаны на рис. 240.
В соответствии с уравнением (6.20) следует отметить, что при такой
расчетной модели при конечных значениях с краевые напряжения полу-
чаются конечными. Случай ссоответствует способу коэффициен-
та постели или при бесконечной жесткости полосы — способу внецент-
ренного сжатия. Случай т. е. й=0, соответствует способу линей-
но-деформируемого основания (теории упругости). Конечные значения
с соответствуют основанию со смешанными свойствами среды теории
упругости и коэффициента постели.
284 Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Эта модель, несомненно, представляет известный интерес, как более-
общая, а следовательно, лучше отражающая действительность. Поэто-
му она могла бы быть применена не только для случая абсолютно же-
сткого штампа ( полосы), но и при расчете балочных плит (полос) ко-
нечной жесткости, как обобщение способов, изложенных в §§ 1 и 2 гла-
вы V. Однако, методика экспериментального определения сопоставимых
величин k и Е в настоящее время еще не разработана.
§ 3. ВЛИЯНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ ПО ПОДОШВЕ
ФУНДАМЕНТА
Определение напряжений по подошве имеет большое значение при
расчете и проектировании конструкций сооружений. Поэтому разработ-
ка вопросов экспериментальной проверки применяемых методов расчета
и установления областей применимости этих методов имеет большое
значение. В проектной практике обычно применяются расчеты балок и
плит на упругом основании, основанные на гипотезе коэффициента по-
стели, на предположении о линейном распределении реакций грунта по-
площади подошвы и др., часто без учета областей применимости этих
методов- и оценки принимаемых допущений. К тому же вследствие на-
рушения условий моделирования, неправильной постановки эксперимен-
тов и неправильных выводов и обобщений, полученных в результате
ряда проведенных исследований по непосредственному измерению на-
пряжений по подошвам жестких штампов с небольшой площадью по-
дошвы, получило значительное распространение мнение, что сыпучим
(песчаным) грунтам всегда свойственно только параболическое распре-
деление напряжений (рис. 241), тогда как в достаточной мере связным
грунтам (скала и глина) свойственно седлообразное распределение
(рис. 242), приближающееся в большей или меньшей степени к соот-
ветствующим решениям теории упругости.
Неправильность такого суждения очевидна. Распределение напряже-
ний по подошве сооружения зависит не только от вида грунта и его
численных характеристик (объемного веса, угла внутреннего трения,,
связности (сцепления) и т. п.), ио и от размеров, а также очертания
площади подошвы и величины нагрузки. Одному и тому же грунту
в различных условиях соответствуют различные очертания эпюры на-
пряжений по подошве штампа или сооружения [46].
С этой точки зрения представляет интерес вопрос о том, каким об-
разом будет изменяться очертание эпюры давлений на основание при
3, Влияние областей предельного напряженного состояния 285
постепенном увеличении нагрузки на жесткий штамп от нуля до какой-
либо достаточно -большой величины; При этом в случае сыпучего грунта
.необходимо, чтобы для малых величин нагрузок интервалы между
двумя соседними ступенями нагрузки были бы достаточно малыми и
не превышали, например, 0,05—0,10 кг/см2. К сожалению, таких доста-
точно тщательных опытных исследований до настоящего времени почти
.не проводилось.
Следует, кроме того, отметить, что применявшаяся аппаратура и ме-
тоды ее размещения вносили иногда достаточно значительные искаже-
ния в распределение иско-
мых напряжений как при
установке измерительных
приборов в плоскости ио-
дошвы штампа, так и
внесении их в среду ос-
нования. Это объясняется
тем, что жесткость при-
боров обычно отличается
ют жестк-кти штампа или
жесткости (деформируе-
мости) основания. При
большей жесткости при-
боров они вызывают кон-
центрацию напряжений
в районе приборг», при
меньшей жесткости — на-
Рис. 243
оборот. Поэтому выбор типа приборов и особенно способа их размеще-
ния имеет весьма существенное значение, В проводившихся экспери-
ментах и эти вопросы обычно не учитывались в должной мере.
Вследствие этого излагаемые ниже соображения, хотя и подтверж-
даются производившимися до настоящего времени опытными исследо-
ваниями, однако по причине недостаточной их полноты и качествен-
ности являются до некоторой степени предположительными и нужда-
ются в дальнейшем подтверждении тщательно поставленными экспери-
ментами.
В качестве исходного положения для оценки различных способов
расчета мы приним
аем уже неоднократно упоминавшееся допущение,
что распределение напряжений в основании и,
тем более, по подошве штампа или сооружения
зависит в основном от степени развития обла-
стей предельного напряженного состояния грунта.
В случае связных грунтов, при достаточно
малых нагрузках, когда эти об части незначи-
тельны по сравнению с размерами штампа или
сооружения, можно полагать, что распределение
напряжений по подошве достаточно близко к со-
ответствующим решениям теории упругости. Ко-
нечно, бесконечных или весьма больших орди-
нат, по периметру подошвы в действительности
не может быть, так как вследствие явлений местного выпота (смещения
частиц грунта в сторону менее напряженных областей грунта) крае-
вые ординаты эпюры напряжений резко уменьшаются. Однако в целом
эпюры распределения давлении должны в указанных условиях полу-
чаться седлообразного очертания, что и подтверждается рядом экспе-
риментальных исследований. На рис. 243 показаны эпюры напряжений
286 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
по подошве штампа диаметром 30 см, расположенного на жесткой
глине, полученные О. Фабером [143].
В дальнейшем, по мере увеличения нагрузки, области предельного
напряженного состояния (т. е. местного выпора у краев подошвы штам-
па) постепенно увеличиваются, вследствие чего ординаты в средних ча-
стях подошвы увеличиваются быстрее, чем по краям подошвы фунда-
мента, эпюра постепенно теряет седлообразное и приобретает парабо-
лическое или даже колоколообразнос очертание, как показано на схеме
рис, 244. При больших нагрузках, приближаю-
_ щнхся к величине несущей способности основа-
'////OVzния, области .предельного напряженного состоя-
V // ния достигают своего наибольшего развития и тем
Ч У ' самым обусловливают полное изменение очерта-
- \ / ния эпюры давлений. В соответствии с опытны-
'р ми данными очертание предельной эпюры мо-
жет с некоторым приближением приниматься
Рис. 245 в виде треугольника, как показано на рис. 245,
В случае грунтов, не обладающих в должной
мере пластичностью, может иметь место хрупкое разрушение в виде
скалывания грунта по некоторым поверхностям,
В случае несвязных песчаных грунтов развитие областей предель-
ного состояния происходит значительно быстрее, чем в случае глинистых
грунтов, т. е. при значительно меньших нагрузках, соответственно чему
изменяются и очертания эпюр давлений по подошве. Поэтому при одщ
наковых нагрузках и одинаковых заглублениях сооружения отклонения
от седлообразных эпюр и переход к параболическим или колоколооб*
разным эпюрам при песчаных грунтах выражены значительно сильнее,
В частности, если штамп или сооружение расположены на поверхности;
песчаного основания, то при любой нагрузке вследствие явлений мест-
ного выпора напряжения по периметру подошвы равны нулю и эпюры
напряжений имеют при небольших размерах сооружения или штампа
типично параболическое очертание, что подтверждается многочислен-
ными'экспериментальными исследованиями [47, 74, 144, 145 и др.] и по-
казано на рис. 246. В случае же заглубленных сооружений, при доста-
точно малых нагрузках или же больших размерах сооружения следует
ожидать седлообразных очертаний эпюр [145, 146, 147 и др.], которые
Рис. 246
по мере увеличения нагрузки будут переходить в параболические эпю-
ры. Это наглядно видно по результатам опытов Пресса [146], показан^
ным на рис. 247. В случае небольших размеров сооружения или штам-
па, достаточно больших средних нагрузках и малых заглублениях
эпюры давлений при песчаных грунтах имеют параболическое очер-
тание.
При возведении гидротехнических сооружений большого размера
относительные размеры областей предельного состояния во многих слу-
чаях невелики. Тогда очертания эпюр давлений на грунт могут быть
§ 3. Влияние областей предельного напряженного состояния 28Т
определены, принимая в основном эпюры, соответствующие решениям
теории упругости, вводя в них те нли иные поправки для учета влияния
областей предельного равновесия по краям подошвы.
Если, например, принять допущение, что состояние равновесия всех
частиц грунта может существовать только в том случае, когда очерта-
ние эпюры давлений на грунт не выступает за очертание предельной
эпюры, отвечающей предельно-
му состоянию под всей подош*
вой сооружения, то приближен-
ное распределение давлений по
подошве шта.мпа или соору-
жения может быть установлено
на основании следующих про-
стейших соображений. Если на
основную эпюру (/) распреде-
ления напряжений по подошве
(рис. 248), отвечающую полно-
му отсутствию областей пре-
дельного состояния и, следова-
тельно, соответствующую реше-
нию теории линейно-деформи-
руемой среды, нанести предель-
ную эпюру (2), то последняя
отсечет некоторые части по краям основной эпюры. Полагая, что про-
цесс перемещения частиц грунта уже закончен, примем, что ординаты
конечной эпюры давлений (3) в пределах отсеченных краевых участков
а не могут превосходить ординат предельной эпюры (2), так как в про-
тивном случае перемещения частиц грунта должны были бы продол-
жаться. С другой стороны, для соблюдения условия равновесия необхо-
димо, чтобы общая площадь конечной эпюры напряжений (3) равнялась
бы площади эпюры (7), т. е. величине равнодействующей внешней на-
грузки.
Поэтому ординаты средней части (3) эпюры напряжений, заклю-
чающейся между отсеченными частями о, должны соответственно уве-
личиться по сравнению с ординатами эпюры (7). На рис. 248 на схемах
Площадь
подошды
Юсм
dm и1
— ЬООс.м —
см '7
а<знп
Площадь подлшды
(ООр/нхЗОсм
IlSij
----Малью нагрузки
----Средние нагрузки
---- Средние
нагрузки
Рис. 247
Рис. 248
а и б изображены получающиеся на основании этих соображений эпю-
ры (3) распределения давлений по подошве, отвечающие случаям,
когда отношение величин средней нагрузки от сооружения к площади
подошвы сооружения достаточно мало. На схеме б крайние ординаты
зависят от величины боковой пригрузки, в случае связных грунтов—
и от величины сцепления или интенсивности всестороннего сжатия,
эквивалентного связности. Указанное отношение достаточно мало в слу-
чаях малых величин средней нагрузки или же в случаях средних по ве-
288 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
личине нагрузок, но при больших площадях загружения. Схемы в и г иа
рис. 248 соответствуют достаточно большим значениям отношения сред-
ней интенсивности внешней нагрузки к площади подошвы сооружения
н отвечают обычным условиям испытания грунтов штампами. Для сред-
них значений величины этого отношения естественно будут получаться
промежуточного вида эпюры.
В случае дальнейшего увеличения внешней нагрузки при некотором
ее значении эпюра давлений совпадает с предельной эпюрой. Тогда лю-
бое последующее увеличение нагрузки вызовет явление общего смеще-
ния зерен грунта, отвечающего при симметричном двухстороннем вы-
поре толчкообразному опусканию штампа. В результате этого смеще-
ния частиц грунта, сопровождаемого вследствие осадки штампа и вы-
пирания грунта некоторым увеличением боковой пригрузки, состояние
равновесия опять восстанавливается. Дальнейшее увеличение нагрузки
при достижении нового предельного очертания эпюры вызывает новую
внезапную осадку штампа.
Рассмотрев влияние увеличения нагрузки на распределение напря-
жений по подошве, следует еще раз подчеркнуть, что в большинстве
случаев при возведении крупных гидротехнических и промышленных
сооружений отношение величины средней нагрузки от сооружения к
площади загружения достаточно невелико, вследствие чего седлообраз-
ные эпюры являются для них более характерными. Необходимо также
отметить, что в этих случаях некоторое изменение очертания предель-
ной эпюры оказывает весьма малое влияние на конечную эпюру, что
достаточно наглядно видно на приведенных выше схемах а и б. Кроме
того, вследствие малости отсекаемых площадей, закон увеличения ор-
динат в средней части эпюры не имеет особого значения. Поэтому уве-
личение площади средней части эпюры может быть произведено хотя
бы посредством увеличения ее ординат на величины, пропорциональные
этим ординатам, при сохранении, конечно, равенства добавленной в
средней части эпюры площади с площадью отсеченных частей.
На основании изложенного, простейшее определение очертания та-
кого рода исправленной эпюры давлений по подошве сооружения с уче-
том влияния областей пластических деформаций может быть произ-
ведено, полагая предельную эпюру напряжений треугольной или тра-
пецеидальной. Вследствие приближенности и условности этой [34]
методики исправления эпюры давлений можно для нахождения пре-
дельной эпюры использовать любую из приближенных формул для
определения предельной несущей способности основания (как например,
формулу Белзецкого, Герсеванова и т. п.).
Если для случая песчаного основания исходить из формулы Белзец-
кого [148]:
tnin
7 В2
"2“
ftB
которую можно представить в виде:
Рmin---4“
то предельная эпюра, соответствующая показанной на рис. 249, может
быть легко построена, полагая напряжения под краями полосы равными
С2, а на оси симметрии — равными С1В.-[-С2.
§ 3. Влияние областей предельного напряженного состояния
289
Получаемые при этом величины давлений на краях обычно несколько
превышают значения критических краевых напряжений по формуле
Герсеванова—Пузыревского. Это представляется совершенно логичным,
поскольку эта формула дает величины краевых нагрузок, соответствую-
щих начальному моменту возникновения пластических деформа-
ций у краев полосы. Действительно, если фактическая нагрузка на
контуре несколько превыша-
ет значение критических
краевых напряжений, то
замкнутые (при нзличии бо-
ковой пригрузки и связ-
ности) пластические об-
ласти, расположенные у
краев полосы, не исключают
все же возможности некото-
рого увеличения давления
на краях полосы.
Вследствие этого полу-
чение краевых нагрузок,
превышающих по величине
значение критической крае-
вой нагрузки, не вызывает
особых возражений.
Однако из осторожности,
если уменьшение давлений по периметру
штампа увеличивает действующие в сооружении усилия, можно при-
нимать напряжения на краях полосы равными критическим краевым
напряжениям:
?кр=
cig 'f l- ? - - 2“
имея при этом в виду, что величина фактических напряжений будет не-
сколько больше.
В случае принятия краевых напряжений предельной эпюры рав-
ными критическим определение центральной ординаты предельной
эпюры на оси симметрии сооружения можно произвести, используя лю-
бую из формул для предельной несущей способности.
В случае связных грунтов, достаточно больших заглублений и не-
большой средней нагрузки, т. е. при сравнительно небольших областях
пластических деформаций, а следовательно, несущественных отклоне-
ниях от решений теории упругости, для еще большего упрощения мож-
но ие прибегать даже к построению предельной эпюры, ? отсекать го-
ризонтальными прямыми части эпюры, в пределах которых напряжения
превосходят значения критических краевых напряжений. При этом для
сохранения равновесия ординаты остающихся частей эпюры должны
быть соответственно увеличены.
Следует отметить, что в случаях, когда площадь эпюры напряжений
по подошве значительно меньше площади предельной эпюры, даже зна-
чительная погрешность в определении средней ординаты предельной
эпюры или отсечение концевых участков горизонтальными прямыми не
оказывают существенного влияния иа очертание конечной эпюры на-
пряжений и, тем более, на величины возникающих в сооружении изги-
бающих моментов. Влияние величины краевых напряжений, конечно,
более значительно.
Как было указано выше, в случаях, когда рассматриваемое соору-
19-В. А. Флорин
290
Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
жение расположено на поверхности песчаного грунта, напряжения иа
кромках равны нулю и при малой ширине сооружения получаются
параболические эпюры. При большой ширине предельная эпюра со-
ответствует показанной на рис. 250 пунктиром. Пунктиром же нанесена
и кривая, отвечающая решению теории упругости для бесконечно жест-
кой полосы при средней интенсивности нагрузки в 5 кг! см2. Сплошная
кривая на рис. 250 показывает очертание исправленной эпюры давлений
с учетом предельного напряженного состояния по периметру подошвы.
Получившееся очертание в средней части по-
Рис. 250
лосы несущественно отклоняется от решения
теории упругости и не имеет параболического
очертания, свойственного малым площадям за-
гружения.
Вышеприведенную методику приближенного-
определения очертания эпюры давлений (кото-
рая может быть применена как в случаях песча-
ного, так и связного грунта) надлежит рассмат-
ривать как весьма грубое приближение, допусти-
мое в случаях, когда размеры областей предель-
ного состояния не очень велики. Результаты, получаемые при ее при-
менении, по-видимому, неплохо соответствуют действительности, так
как они не находятся в противоречии с опытными данными [143,
145, 146, 147].
В случаях значительного развития областей предельного напряжен-
ного состояния применение решений теории упругости лаже исправ-
ленных в соответствии с изложенными выше способами, не может быть,
рекомендовано. В этих случаях для определения напряжений по по-
дошве следует отдать предпочтение применению способа коэффициента
постели или применению формул внецентрениого сжатия.
В некоторых случаях при значительном развитии областей предель-
ного состояния представляется целесообразным использование парабо-
лических эпюр.
Следует отметить настоятельную необходимость сравнения полу-
чаемых расчетных данных с результатами непосредственных измерений,
в натуре ие только на
штампах и моделях ма-
лых размеров (при со-
блюдении, конечно, над-
лежащих условий моде-
лирования), но особенно
под действительными со-
оружениями, В этом от-
ношении механика грун-
тов обладает в настоящее
время совершенно не-
достаточным количе-
ством достоверных дан-
ных. Одним из общеизвестных примеров натурных измерений напряже-
ний [147] являются измерения по подошве быка моста через Рейн и
у Людвигсгафена (рис. 251). Хорошее совпадение непосредственно изме-
ренных напряжений с напряжениями, вычисленными с помощью теории
упругости, обусловливается не только большой величиной площади-
подошвы, но в значительной степени и глубиной ее заложения, вслед-
ствие чего предельная краевая нагрузка достаточно велика. Нельзя,
конечно, в этом случае отрицать некоторого влияния производства:
$ 4. Учет взвешивания сооружений 291
работ (кессоны), однако придавать ему решающее и исключительное
значение было бы неправильно.
Резюмируя содержание настоящего параграфа, мы можем еще раз
повторить, что то или иное распределение напряжений по подошве фун-
дамента зависит нс только от вида грунта, а в основном от степени
развития областей предельного состояния. В этом отношении вид
грунта, или, вернее, свойства и численные характеристики грунта, яв-
ляются только частью факторов, определяющих степень развития этих
областей. Поэтому мнения о том, что при песчаных грунтах не могут
существовать эпюры давлений на грунт седлообразного очертания и
что на кромках фундамента давление на грунт всегда равно нулю,
даже при заглублении фундамента, не представляются правильными.
§ 4. УЧЕТ ВЗВЕШИВАНИЯ СООРУЖЕНИЙ
Для определения величины осадки сооружения или для исследова-
ния вопроса об его устойчивости иа сдвиг но подошве под воздействием
приложенных к сооружению горизонтальных и вертикальных сил пред-
ставляется необходимым определение нагрузки от сооружения, пере-
даваемой на скелет грунта основания. В случаях, когда горизонт воды
расположен ниже подошвы сооружения, вся нагрузка передается пол-
ностью иа скелет грунта. Если же горизонт воды расположен выше по-
дошвы сооружения, то, в соответствии с законом Архимеда, сооруже-
ние теряет в весе столько, сколько весит вес вытесненной им воды. Это
равносильно утверждению, что к подошве сооружения приложена на-
правленная снизу вверх нагрузка, называемая взвешивающей сооруже-
ние силой, равная по величине весу вытесненной сооружением воды.
Это в свою очередь равносильно тому, что к сооружению по его по-
дошве приложена распределенная нагрузка, представляющая собой
Рис. 252 Рис. 253 Рис. 24
давление воды, действующее на подошву сооружения и направленное
снизу вверх. Это давление воды, называемое противодавлением, яв-
ляется, как то следует из вышеизложенного, взвешивающей сооружение
силой, уменьшающей нагрузку на скелет грунта, в результате чего умень-
шаются осадки сооружения и, как правило, ухудшаются условия его
устойчивости. Поэтому определение величины противодавления пред-
ставляет существенный интерес при проектировании гидросооружений.
19*
292 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
При определении противодавления по подошве могут встретиться три
основных случая. Полагая, что подошва сооружения расположена ниже
горизонта грунтовых вод, можно различать случаи, когда горизонты
воды с обеих сторон сооружения расположены выше или ниже поверх-
ности земли на одинаковых (рис. 252, а и б) или на различных
(рис. 252, в) уровнях. Во всех этих схемах на подошву сооружения
действует направленная снизу вверх активная сила взвешивающего со-
оружение давления воды, названная выше противодавлением.
Для определения величины противодавления применяются два ос-
новных способа. Первый из этих способов, учитывая, что взвешивающая
сила есть активная, а не реактивная сила, состоит в том, что при опре-
делении давлений сооружения на грунт с учетом взвешивания, т. е. при
определении реакций скелета грунта, силу взвешивания или противо-
давления включают в число действующих на сооружение активных сил.
Второй способ состоит в том, что сначала определяют эпюру давле-
ний на грунт (реакций грунта) без учета взвешивания, а затем вычи-
тают из полученной таким образом эпюры реакций основания эпюру
взвешивания. Таким образом при применении этого способа давление
воды на подошву относят к категории реактивных сил, что ие может
быть признано правильным.
В случае, если эпюра давлений на грунт и эпюра взвешивания
прямолинейны, то, несмотря на принципиальную неправильность второ-
го способа, .который может быть назван способом вычитания эпюр, ои
все же приводит к правильному результату. Прямолинейные эпюры по-
лучаются в случае применения для определения давлений иа грунт от
абсолютно жесткого сооружения формул центрального или внецентрен-
ного сжатия в условиях, когда горизонт воды с обеих сторон сооруже-
ния находится на одинаковом уровне.
Для проверки равноценности обоих способов в случаях, когда эпюры
прямолинейны, рассмотрим применительно ко второму способу, т. е.
способу вычитания эпюр, случай, когда на жесткое погруженное в воду
сооружение действует внецентренно приложенная сила (рис. 253,«).
Определяя по формуле внецентренного сжатия краевые ординаты
°макС = 4’(1 ± >
построим эпюру, показанную на рис. 253,6, Вычитая из этой эпюры
эпюру противодавления, показанную на рис. 253, в, ординаты которой
равны = получаем в результате эпюру, показанную на рис. 253,г,
краевые ординаты которой определяются выражением:
Р /5 . бе \
а =------1 1 + ---1 —
масс i, I д ~ h I -
мин ' "
Если же определять распределение напряжений по подошве с уче-
том взвешивания (противодавления) по первому способу, то силы взве-
шивания должны быть отнесены к числу активных сил. Для этого рас-
смотрим то же самое сооружение (р.ис. 254) и приложим к нему все
активно действующие силы (без реакций основания), включая противо-
давление, а именно: внешнюю нагрузку Р и давление воды направ-
ленное снизу вверх. Приводя эти силы к одной равнодействующей, по-
лучаем, что они сводятся к центральной силе:
/V Р — wb
и моменту:
М = Ре
§ 4. Учет взвешивания сооружений 293
или же к одной внецентреино приложенной силе N с эксцентриситетом:
, М Ре
е М У •
Если определять реакции грунта по формуле внецентренного сжатия,
то краевые ординаты эпюры давлений на грунт, учитывая полученные
выражения для N и е', определяются выражением (рис. 255):
У \ N , ЬУе' Р ~ , QPe
амакс — 6 — Ь j Ь — &2 ~ b W — b2
мин \ /
Р 1. . бе \
результатом, полу-
Полученное выражение в точности совпадает с
ченным по второму способу, т. е. способу вычита-
ния эпюр.
В качестве второго примера рассмотрим слу-
чай, когда жесткое сооружение расположено иа
основании, при котором распределение напряже-
ний по подошве с достаточным приближением к
действительности определяется соответствующими
решениями теории упругости. Если в таком случае
к жесткому сооружению приложена центральная
вертикальная сила, то распределение напряжений
оружения определяется выражением (6.13):
Рис. 255
по подошве со-
Р
аг = ...... — - ,
тс У а3 — х-
график которого представлен на рис. 256. Ордината этой кривой в се-
чении х- () равна: ,
Р 2
а =-----= -—- а,
ка тс
где
Предположим, что горизонт воды с обеих сторон сооружения таков,
что ордината прямоугольной эпюры противодавления равна w = 0,8 q.
Тогда, применяя второй способ и вычитая эту эпюру из эпюры давлений
на грунт (реакций грунта) получаем результирующую заштрихо-
ванную эпюру (рис. 256), определяемую выражением:
а =------- ---— 0,8 .
взв т.Уа2 — х2 2Д
Во всей средней части подошвы сооружения получаются отрицатель-
ные давления иа грунт (растягивающие напряжения) и только на двух
краевых участках — положительные давления на грунт (сжимающие
напряжения). На оси напряжения равны
2
°R3B = — Я ~ 0,8? = 0,67? — 0,8? = — 0,13?.
х=0
Неправдоподобность результатов применения способа вычитания
эпюр очевидна.
В случае же применения первого способа получаемые результаты
294 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
не вызывают возражений. Для того -чтобы это показать, определим сна-
чала равнодействующую /V активных сил, приложенных к сооружению
(рис. 257). Реакции грунта должны, естественно, приводиться к равно-
действующей, равной ей по величине и обратной по направлению.
Величина силы N равна:
Лг — — 2tzw.
Отсюда распределение давлений на грунт определяется выражением
(рис. 257):
Р— 2ai£) 2а а - w
а — -----—------=-----------—
яра2 — х 2 к |/"а2 — Л’-*
по которому во всех точках подошвы сооружения при всех значениях
w<Lq возникают только положительные давления на грунт.
Рассмотрим теперь случай, когда горизонты воды в верхнем и ниж-
нем бьефах жесткого сооружения различны (рис. 258), что обусловли-
вает возникновение по подошве сооружения взвешивающего давления
воды 'icnt) с эпюрой криволинейного очертания. Тогда все силы, дей-
ствующие на сооружение, можно привести к внецентренной силе Р, го-
ризонтальной силе Qf приложенной в плоскости подошвы, и равнодей-
ствующей сил взвешивания 1F. Эти силы могут быть приведены к одной
внецентренно приложенной силе JV с эксцентриситетом ez, которые мо-
гут быть найдены из уравнений равновесия:
Л . P - U7,
+а
— а
где М обозначает сумму моментов сил Р и га (5) относительно середины
подошвы.
Тогда для определения давлений на грунт с учетом взвешивания
находим по формуле внецентренного сжатия:
i, , 6г' \
а =--------/ 1 + ----1
мгкс 2а I — 2а Г
МИН \ ‘
В случае же применения решений теории упругости в соответствии с
решением (6.16) находим:
§ 4. Учет взвешивания сооружений
295
Остановимся далее на вопросе об учете взвешивания при расчете
упругих балочных плит на сжимаемом основании (рис. 259). Расчет
выполняется одним из обычно применяемых способов:
а) коэффициента постели,
б) теории упругости.
Для учета взвешивания следует в качестве распределенной нагруз-
ки вводить в расчет не заданную внешнюю нагрузку f(x), а нагрузку
Л(х) =/(х) — w (х),
где tw(x) обозначает нагрузку от сил взвешивания.
Таким образом, можно считать установленным, что второй способ
учета противодавления, заключающийся в определении реакций грунта
без учета сил взвешивания и последующем вычитании из полученной
эпюры эпюры в'звешивания, прикриволинейных эпюрах применять не
следует как принципиально неправильный. То же самое следует иметь
в виду и при учете сил взвешивания в случае пространственной задачи.
Следует, кроме того, обратить внимание на то, что при отсутст-
вии специальной изоляции подземных и подводных частей сооружения
как основание, так и сооружение представляют собой некоторые по-
ристые среды с лорами, полностью или частично насыщенными водой.
В гидростатических условиях нагрузка на основание с учетом взвеши-
вания сооружения будет получаться одинаковой вне зависимости от
того, принимать ли сооружение водонепроницаемым и определять силу
взвешивания, полагая, что давление по подошве определяется глубиной
ее расположения от горизонта воды, или же определять вес сооруже-
ния с учетом объемных сил взвешивания.
Действительно, если полагать подошву сооружения водонепроницае-
мой, то, в соответствии с обозначениями на рис. 260, имеем:
Q.,. = Q - «7 = (bt,7.6" „ + м® - «7 =
= “>Гйс"вл + М(-е-7) ==И,тЙтт..л +*ГЙ„Т,
тле тбет и тбет обозначают объемные веса бетона выше и ниже го-
I ост* вл J нас
ризоита воды.
Полученный результат совпадает с результатом, который может
быть получен, учитывая взвешивающие силы как объемные силы, при-
ложенные в слое бетона толщиной Л Таким образом, можно считать
установленной равноценность этих двух способов учета взвешивания.
Аналогичный результат можно получить, если учитывать капиллярное
поднятие воды в порах бетона на высоту hK над горизонтом воды.
Для иллюстрации влияния противодавления приведем следующий
пример. Пусть некоторое сооружение было затоплено водой так, что с
обеих сторон горизонт воды был выше уровня подошвы сооружения,
например, на 1 м. Если повысить горизонт воды с обеих сторон на 6 м,
то при полном взвешивании сооружения давление воды снизу вверх на
подошву сооружения увеличится на 0,5 кг/см11 и на соответственную
величину уменьшатся давления от сооружения на скелет грунта. Есте-
ственно, это вызовет соответствующую упругую отдачу основания, про-
изойдет некоторый подъем сооружения, некоторое увеличение пористо-
сти основания и соответственное уменьшение его сопротивления сдвигу.
Учет этих явлений имеет существенное значение при проектировании.
296 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
В отличие от случаев, когда горизонты воды с обеих сторон сооруже-
ния находятся на одинаковом уровне, при определении противодавле-
ния на подошву сооружения, обусловленного разностью горизонтов во-
ды в верхнем и нижнем бьефах, учет водопроницаемости материала
сооружения во многих случаях приводит к существенно новым и отлич-
ным результатам по сравнению с результатами, основанными на пред-
Зпюра противодавления ,
Зпнзра протцводадленуя
Рис. 261
пппшжжлш
Рис. 262
положении о водопроницаемости грунтов основания и водонепроницае-
мости материала сооружения.
При расположении железобетонных гидротехнических сооружений на
глинистых грунтах следует иметь в виду, что коэффициент фильтрации
бетона колеблется обычно в пределах Ю-6—10~8 см/сек, а коэффициенты
фильтрации различных глинистых грунтов колеблются в пределах 10-4—
Зпюра противодавления
Зпюра противодавления
Рис. 264
Рис. 263
10 10 сыр сек, например, для супесей 10"4—10^ сж/сек, для суглинков
Ю"5—10~8 см!сек и для глин 10~7—-10-!0 см! сек.
Для грунтов с коэффициентами фильтрации, большими чем 10-4 —
10-5 см^сек, можно считать сооружение совершенно водонепроницаемым
по сравнению с грунтом основания.
§ 4. Учет взвешивания сооружений
297
В случае же, если коэффициенты фильтрации грунтов основания
меньше 10-5 см/сек, то сооружение не может считаться водонепроницае-
мым 'по сравнению с основанием. Бывают случаи (при основаниях
из глин), что проницаемость сооружения даже больше, чем проницае-
мость основания.
В связи с этим следует указать, что взвешивание сооружения фильт-
рационным потоком происходит не вследствие давления воды на аб-
солютно водонепроницаемую подошву, а является результатом воздей-
ствия объемных фильтрационных сил иа сооружение, обусловленных
фильтрацией в неоднородной среде, составленной из основания и со-
оружения.
Чем больше потеря напора в пределах сооружения, тем больше
взвешивание сооружения.
Поэтому чем больше водопроницаемость сооружения по сравнению
с водопроницаемостью основания, тем меньше взвешивание сооруже-
ния, так как тем меньше относительная потеря напора в пределах,
сооружения.
Можно показать, что взвешивание сооружения вертикальными со-
ставляющими объемных фильтрационных сил (в пределах тела соору-
жения) статически эквивалентно приложению по подошве вертикальных
сил, распределенных по закону эпюры давлений в воде в плоскости
подошвы сооружения.
Поэтому определение взвешивания сооружения сводится к определе-
нию напоров и давлений в воде в неоднородной среде, составленной из
основания и сооружения, с учетом характеризующих их водопроницае-
мость коэффициентов фильтрации, и построению эпюры давлений в во-
де на уровне подошвы.
На рис. 261—265 приведены для различных соотношений коэффи-
циентов фильтрации кривые равных напоров, найденные для двух схем
Рис. 265
(плоский флютбет со шпунтом и без шпунта) способом ЭГДА, и эпюры
противодавления, представляющие эпюры давлений в воде в плоскости,
подошвы.
Эти эксперименты, проведенные Т. Ф, Путко [149], показывают рез-
кое уменьшение эпюр противодавления по мере уменьшения отношения
, где обозначает .коэффициент фильтрации основания, а &2 — ко-
«2
эффициент фильтрации сооружения. Представляют также интерес гра-
фики на рис. 266, а и рис. 266,6, построенные Т. Ф. Путко [149], при
298 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
обработке кривых, показанных на рис. 261- 265, а также ряда дру-
гих кривых для иных значений отношения Кривые на рис. 266
л, 2
наглядно показывают, что при больших значениях отношения вели-
чина противодавления W (равнодействующая) уменьшается до 10 раз
по сравнению с противодавлением в предположении полной водоне-
проницаемости сооружения.
Изложенный способ определения противодавления не нашел еще
применения при проектировании сооружений, так как исследование
н,-коэффициент фильтрации
* Флют5ета
5 /0 2,8 ЗР Ъ
кг-коэффициент фильтрации
флнэтбета
М} -коэффициент фильтрации
основания
Рис. 266
фильтрационного потока в пределах сооружения достаточно сложной
конфигурации вызывает некоторые трудности. Однако ознакомление с
этим способом и приведенными выше соображениями, а также резуль-
татами проведенных исследований представляется желательным, т. к.
оно позволяет показать, что обычные величины взвешивания в условиях,
когда бетонное сооружение расположено на глинах, могут быть доста-
точно сильно преувеличенными.
В заключение следует остановиться на одном вопросе, по которому
Сооружение
Рис. 267
Если же контакты
подошвой сооружения
до настоящего времени существуют разногласия.
Некоторые исследователи считают, что только в
тех случаях, когда контакты между различными
твердыми частицами грунта настолько малы, что
их представляется возможным считать «точеч-
ными» (рис. 267), можно учитывать полное взве-
шивание грунта (глава IV, § 1) и полное взвеши-
вание сооружения, как было изложено выше,
между твердыми частицами или между ними и
достаточно велики (рис. 268) и образованы це-
ментационными связями, соединяющими различные твердые частицы
между собой, то имеет место неполное взвешивание грунта и сооруже-
ния, так как по таким контактам взвешивающие силы ие передаются.
§ 4. Учет взвешивания сооружений 299
В этих случаях величина противодавления, взвешивающего сооружение,
по мнению авторов, придерживающихся этого взгляда, должна быть
умножена на некоторый коэффициент *<1. Величина этого коэффи-
циента должна определяться опытным путем.
Другие исследователи (например, К- Терцаги, Н. М. Герсеваиов и
.др.) считают, что практически следует принимать полное взвешивание
грунта и полное противодавление, полагая коэффициент а=1, так как
возможные отклонения от этого значения даже в случае глинистых
грунтов весьма малы (а ^=0,95—0,98).
Не останавливаясь на этом вопросе более детально, отметим, что
он многократно обсуждался в печати и на различных совещаниях. В на-
стоящее время преобладающее мнение состоит в том, что [52]:
1. В случаях песчаных, гравелистых и других достаточно крупнозер-
нистых грунтов имеет место полное взвешивание
как самих грунтов, так и возведенных на них
сооружений (—1).
2. В случае глинистых грунтов, как при нали-
чин каких-либо цементационных связей, так и
при их отсутствии, на основании имеющихся
опытных данных следует считать взвешивание
равным или достаточно близким к полному взве- Рис- 268
шиванию, вследствие чего в настоящее время
рекомендуется при проектировании гидротехнических сооружений при-
нимать его равным полному взвешиванию (а=1).
3. В случае скальных оснований, учитывая, что в бетонах имеет ме-
сто взвешивание, близкое к полному, при проектировании бетонных со-
оружений на таких осмеиваниях следует принимать величину противо-
давления по контактной поверхности, т. е. подошве сооружения, равной
полному взвешиванию (я = 1).
4. Факты благополучного существования гидросооружений, по-
строенных на скальных грунтах в предположении, что величина коэффи-
циента а меньше единицы, свидетельствуют о наличии скрытых запа-
сов иного порядка, оценке которых должно быть уделено специальное
внимание. В соответствии с этим, требуемые значения коэффициента
запаса и применяемые методы расчета должны быть пересмотрены.
Несмотря на то, что приведенные выше положения отвечают уровню
современных знаний в этой области, для дальнейшего уточнения этих
положений признается необходимым [52]:
1. Считать установленным, что прочность (сопротивление сдвигу)
грунтов, а также их деформации практически в пределах, представляю-
щих интерес для строительных целей, не зависят от величины гидроста-
тического давления в поровой воде; провести дальнейшую тщатель-
ную проверку границ применимости этого положения.
2. Продолжать исследования, имеющие целью изучение свойств воды
в тонких контактах в зависимости от толщины пленки, величины давле-
ния, температуры, солевого состава и других факторов. При этом подле-
жат особому исследованию вопросы взвешивания в случае плотных
глин. Проведение этих исследований представляется необходимым по
следующим соображениям. Если предположить, что в порах плотных
глин имеется только связанная вода, а свободной воды или нет совсем
или она «защемлена в связанной воде», то при обеспеченной контактной
водонепроницаемости вдоль поверхности (по контуру сооружения) од-
новременное повышение уровней воды с обеих сторон сооружения, ка-
залось бы, не должно приводить к увеличению противодавления. Од-
300 Г лава VI, Определение напряжений по подошве сооружений
нако если погруженный в воду бетон сооружения даже при водонепро-
ницаемой нижией поверхности практически полностью взвешивается в
воде, то взвешивающие бетонное сооружение объемные силы статически
равноценны полному противодавлению по подошве, несмотря на то,
что подстилающий сооружение грунт не способен в этом случае оказы-
вать взвешивающего давления на сооружение и сам не взвешивается,
В результате получается, что и в этом случае следует учитывать пол-
ное взвешивание сооружения или условно принимать а=1.
Вышеприведенные соображения подлежат тщательной эксперимен-
тальной проверке.
3. Провести экспериментальные исследования по изучению природы,
площади и прочности связей в сцементированных грунтах. Отметим,,
что в случаях достаточно прочных цементационных связей, когда при
снятии нагрузки с основания ие возникает явлений разбухания грунта,
увеличение противодавления может ие сопровождаться существенным
подъемом сооружения и изменением прочности основания, если эта
прочность определяется в основном прочностью цементационных связей.
Однако некоторый весьма небольшой подъем может все же наблюдать-
ся за счет упругих деформаций скелета с ненарушенными цементацион-
ными связями.
В этих случаях вопросы о взвешивании сооружения или о противо-
давлении представляют интерес .в основном с точки зрения исследова-
ния условий сдвига по подошве сооружения и, по-видимому, в значи-
тельной мере аналогичны этим же вопросам в условиях скальных осно-
ваний.
Если же прочность цементационных связей невысока и при поднятии
горизонта воды они могут нарушаться, то влияние изменения противо-
давления, по-видимому, приближается к условиям несцементированных
грунтов.
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОСНОВАНИЯ ПО НЕПЛОСКОЙ
ПОДОШВЕ ЖЕСТКОГО СООРУЖЕНИЯ
В некоторых случаях приходится встречаться с вопросами опреде-
ления напряжений по подошве ломаного очертания в условиях, когда
жесткое сооружение опирается на неоднородное в плане основание.
Встречаются случаи, когда в соответствии со схемой, показанной на
Рис. 269
рис. 269, деформируемость основания на участках ОА и ОВ не одина-
кова либо непрерывно изменяется иа одном или на обоих участках.
В такого 'рода достаточно сложных случаях приходится прибегать к
более простым решениям, основанным на понятии коэффициента посте-
ли, полагая его по мере необходимости переменным в различных точках
подошвы сооружения. В дальнейшем изложении для опрелеленности мы
будем полагать, что деформируемость основания в пределах горизон-
тального участка постоянна, а на протяжении наклонного участка не-
Определение реакций основания по неплоской подошве жесткого сооружения 301
прерывно изменяется, уменьшаясь или увеличиваясь в направлении от
О к В.
Рассмотрим полосу ломаного очертания, показанную на рис. 270.
Разрежем ее в узле О и рассмотрим каждый плоский участок в отдель-
ности, заменяя действие внутренних усилий усилиями Мо, На и Qo
(рис. 272, 273).
Рассмотрим сначала (рис. 271) горизонтальный участок О А и при-
мем, что этот отрезок под влиянием приложенной к нему нагрузки пе-
реместился сначала поступательно, так что точка О переместилась в
точку 01, после чего отрезок О А повернулся иа угол а. Тогда, при по-
ступательном смещении отрезка АО некоторая точка а перемещается
сначала в оь, а затем, после поворота отрезка ОА на угол а, попадает
в свое окончательное положение а^.
302 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Смещение точки а в направлении оси х обозначим через а в на-
правлении z — через о Тогда .в соответствии с обозначениями на
рис. 271:
х cos а — х,
= 4“ -^sin а.
Принимая по аналогии со способом коэффициента постели, что реак-
ции основания а и т пропорциональны смещениям и ог и обозна-
чая коэффициенты пропорциональности, аналогичные «коэффициентам
постели», через kz (х) и kx(x), имеем:
а = (X) К =- kg (х) (<У0 + х sin а), | (6 91)
т == kx (х) Sx= kx i х) (и0 4~ х cos а — х). I
Если коэффициенты постели изменяются, например, по линейному
вакону, то:
k, (х) = А^1 4-
и
йх(х) = А^14- y/nj,
где kAx, А’’, тип обозначают некоторые параметры линейной зависи-
мости, а х и b соответствуют обозначениям на рис. 271.
В дальнейшем мы будем полагать коэффициенты постели постоян-
ными на всем протяжении горизонтального участка:
А* (-^) ==: ’
kx (х) = kx.
Предположим, что к отрезку ОА приложены внешние силы Л4, к
а в сечении О —внутренние силы HGt Мо и Qo.
Тогда из условий равновесия участка ОА (рис. 272) имеем:
ь
X == Но 4- — kx J (а0 4- х cos а — х) dx = 0,
о
ь
£ Z= Qo — Pi 4- k2 j (tf0 4- x sin a) dx = 0,
о
b
4- XI l 4- — kz J (Уо + x sin a) xdx = 0.
о
Интегрируя, находим:
. /70 4- /Л — kx [uGb 4- cos a ---« 0,
^+-2“Sin a) = 0,
. . ---§----Az 4- — sin a) =0.
Решая эти уравнения относительно sin a, vG и Uq, получаем:
§ 5. Определение реакций основания по неплоской подошве жесткого сооружения 303-
(6.22>
sin “=(м>++4- «4=-X-
v<>=-(M°+м>‘+ 4- - 4- р>)-
6 . .вн. С
_ Ь^~ = ’
* о
Я. 4-^1 , ь .
Мо==т--Wx---т'1 ~ cosa), /
где моменты внешних сил MBH‘% вращающие по часовой стрелке, при-
нимаются положительными.
Подставляя выражения (6.22) в зависимости (6.21), можно опреде-
лить реакции грунта а и т при заданных Л40, QOf Яо, Р\, Мх и Н\.
В частности, выражение для о может быть представлено в виде:
6 Г л№н-с । 2 л*вн- S
° = -bi [ - М,-| » +*— ] •
а выражение для т, если пренебречь величиной 1—cos а = 2 sin--|-, являю-
щейся величиной второго порядка малости по сравнению с sin а, можно-
приближенно представить в виде:
т== Н. + Н,
Переходим теперь к рассмотрению наклонного участка (рис. 273)..
Предположим, что отрезок ОВ сначала сместился поступательно, а за-
тем повернулся иа угол ₽. Тогда некоторая точка Ь переместится сна-
чала в Ь\, а затем в Ьхх. Перемещения ее могут быть представлены в.
виде:
. ^ = s04-s —SCOSp,
« zt, — ssinp,
где обозначения приняты в соответствии с рис. 271.
Предполагая, что коэффициенты ka н kf, аналогичные коэффициен-
там постели, изменяются линейно с изменением з, можно представить
напряжения лит в виде:
□ = АЛ (п0 — s sin Р) — (1 4- (л0 — ssin р),
Т = ks (з0 4- s — s cos р) = (1 4- ~ j (з0 4- 23sin’ . (6.23)
Из условий равновесия (рис. 273) получаем:
з
1 4- 4“ « Хло — з sin р) ds 4-
о
3
4- cos о J 4- ^з0 4- 2ssin2 ds = 0.
о
X = Яо — Н2 — sin ®
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
304
Y = Qo + Р2 — £0 cos W J + у nj (л0 — s sin р) ds —
Q
S
— kP sin w Jp 4- -у/n) (s0 4- 2s sin2 у ) ds = 0,
0
£ M = - AJ0 + H2h2 - P2p2 + M2 +
-|- k<}n j {1 -|- у nj (n0 — s sin 3) sds = 0.
0
Интегрируя, находим:
— AJ sin w 5 (1 уj n0 4- kQs cos <o S 4- у J s0 +
4- sin wS2 (y- + y^ sin P + &° cos w S2 ^1 + у sin2 — +
4-Яо-Я, = О, (6.24)
— tP coswS^l 4- y^n0 — ^sinwS^l 4- y) so +
4- cos o>S2 (2- 4~ у)sin ? — s*n <!) 52 p 4- sin2 у
4-Qo4-^2 = O, (6.25)
S2 (4 + 4) 4 53 + + t) sin ₽-
AV- ЯД — P-dh 4- A42 = 0. . (6.26)
Решая эту систему уравнений относительно sin По и s0, получаем:
sin р — — —г - — / (14—у j — 7И0 — Р-2ръ 4~ А42) 4-
^541 +п + —I и V
+ 5(4 + ) [(Qo + Р2) cos u> + (Яо — Н2) sin <«] j =
~ ь».12 '№ {(’+ А)^=0 ++ + f)х
+Л+-5-) 1 ' v '
X |M,.,s (Qo, Н„) + 2MS..S (Р2, H2)]l (6-27)
л« =-------12 - I с (А + + Wi2 -М,- Р.,р2 + М2) +
+"+ в)
+ (4 + -4 ) KQo + Г) COS ш + (Но - И,) sin «] | =
§ 5. Определение реакций основания по неплоской подошве жесткого сооружения 305
X [AUs (Qo, Я„) + 2AUs (Р„ Щ)\ |, (6.28)
(Я(1 — Я2) cos о» — (Qo -h- Ру) sin о>
2m
о 1+-Г" . > ₽ ' «о™
— S----------“ sin2 -С- . (6.29)
, m 2 х 7
1 + V
Вторым слагаемым в выражении для so можно, аналогично указан-
ному выше, пренебречь.
Подставляя выражения для nQ, s0 и sin 3 в выражения (6.23), полу-
чим выражения для напряжений з и т. При этом величина /е” в окон-
чательное выражение для з не войдет. Коэффициент k® входит в вы-
ражение для т. Однако, если пренебречь малой величиной sin2-^-, то в
выражение для т он не войдет.
Полагая величины Л40, Но и Qo заданными
на основании полученных выше зависимостей
можем получить распределения реакций грун-
та для случая отдельно стоящего сооружения,
расположенного на горизонтальном или на-
клонном основании. Эти решения могут быть
использованы и для расчета жесткого соору-
жения с подошвой ломаного очертания, раз-
резанного, например, в строительном состоя-
нии рабочим швом на две отдельные части.
В случае, если наклонная и горизонтальная
части подошвы соединены шарниром, то, ис-
ходя из условий сопряжения, можно связать
(рис. 274) перемещения и0, Vo, s0 и п0 сле-
дующими геометрическими зависимостями:
или равными нулю, мы
Рис. 274
и0 = s0 COS ш — по Sin Ч
Vo — So sin w + л0 Cos ч
(6.30)
В этом случае шарнирного соединения, подставляя в зависимости
(6.30) выражения (6.22), (6.28) и (6.29) и полагая Af0 заданным или
равным нулю, находим, решая систему уравнений (6.30), величины
Qo и Но. Тогда, вводя эти величины Qo, Но и Л40 в формулы (6.22), (6.28)
и (6.29), находим смещения и0, vQ, п0 и So. Величины sin а и sin 3, т. е.
углы наклонов разных участков, определяются, считая Лф} заданным
или равным нулю, по первой формуле (6.22) и формуле (6.27). Опре-
делив величины смещений, находим по формулам (6.21) и (6.23) напря-
жений а и т на обоих участках.
В случае жесткого соединения участков к зависимостям (6.30) надо
добавить еще одну зависимость, а именно:
а = р или sin а = sin р. (6.31)
20—В. А. Флорин
306
Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
В этом случае, подставляя выражения (6.22), (6.27), (6.28) .и (6.29)=
в зависимости (6.30) и (6.31), решаем систему относительно Но, Мо и Qo,
после чего, подставляя полученные значения этих величин в уравнения
(6.22), (6.27), (6.28) и (6.29), определяем перемещения Uq, vQ, nQ, и
углы а и ₽. Найдя эти значения н подставляя их в зависимости (6.21)
и (6.23), находим искомые напряжения по подошве сооружения.
Если на наклонном участке коэффициенты постели изменяются по-
линейному закону, увеличиваясь по мере приближения к верхнему краю
наклонного участка, то в вышеприведенных формулах следует считать
п и т положительными и численно большими единицы, т. е. изменяющи-
мися в пределах 0 < т < со и 0 <п < оо. Если же коэффициенты по-
стели изменяются по линейному закону, уменьшаясь по мере приближе-
ния к верхнему краю наклонного участка, то нетрудно убедиться, что в
вышеприведенных формулах следует считать пит отрицательными и
численно меньшими единицы, т. е. изменяющимися в пределах — 1
<3 т < 0 и — и с 0.
В качестве примера рассмотрим вопрос об определении нормальных
напряжений по иеплоской подошве сооружения в предположении, что в.
строительном состоянии сооружение полностью разрезано в узле со-
пряжения горизонтального и наклонного участков и обе отдельные ча-
сти сооружения под воздействием приложенных к ним нагрузок могут
смещаться независимо друг от друга, ие вызывая возникновения в сече-
нии разреза каких-либо внутренних усилий. Этот случай мы будем назы-
вать «строительным состоянием». Далее предположим, что после зату-
хания осадок и других смещений обеих частей сооружения, соответ-
ствующих нагрузкам для «строительного состояния», отдельные части
сооружения в месте разреза жестко соединяются, после чего к образо-
вавшемуся жесткому сооружению с иеплоской подошвой прикладывает-
ся некоторая дополнительная нагрузка в виде, например, горизонталь-
ных и вертикальных давлений воды, обусловленных подъемом горизонта
воды в водохранилище или дополнительных нагрузок от веса сооруже-
ния. Этот случай нагрузки мы будем называть дополнительной экс-
плуатационной нагрузкой. Совершенно очевидно, что усилия в узле
сопряжения, вызываемые этой нагрузкой, значительно меньше тех уси-
лий, которые возникли бы, если бы сооружение возводилось сразу моно-
литным без временного шва. Суммируя напряжения для строительного
состояния и от дополнительной эксплуатационной нагрузки, можно по-
лучить напряжения для эксплуатационного состояния. Устройство вре-
менного шва для снижения усилий в сооружении было, например, при-
менено при строительстве здания Нарвской ГЭС. Следует отметить тех-
ническую целесообразность и в ряде случаев высокую экономичность
устройства временных рабочих швов для регулирования в необходимых
случаях распределения напряжений по подошве и снижения расчетных
усилий в сооружениях.
Пример. Предположим, что геометрические размеры сооружения определя-
ются следующими величинами (рис. 275):
S = 26.96 м, . .
......... - . b = 35,8 м,
. ' - = 8,93 м,
: г. ... л2 =» 10,1 м,
sinu> = 0,749,
‘"" coscii = 0,663.
Примем далее, что для рассматриваемых конкретных условий можно считать
коэффициенты постели в точке О, т. е. при з=0, соответственно равными:
§ 5. Определение реакций основания по неплоской подошве жесткого сооружения 307
kn (0) = kz и ks (О) = kx.
Определим сначала нормальные напряжения по подошвам обеих частей сооруже-
ния для строительного случая, т. е. полагая, что:
= //о = Qo = О,
//, . 0, Afi = - 2 130 пгм, Р} - 990 щ. . '
Н., =0, М2 — «82 тм, Р2 -- 664 т.
Напряжения по подошве горизонтального участка можно было бы найти по фор-
мулам (6.21), (6.22) и (6.23). Однако, так как на протяжении горизонтального участка
коэффициенты постели принимаются неизменными по величине, можно получить те же
результаты, применяя формулу вменентренного сжатия:
990 / 6 У 2,15 \ 37,4 = 3,74 кг>см2,
35,8 11 ± 35,8 / - - 17,5 лт/ж2 = 1,75 кг]сн\
где
М 2130
е= Р = — 990 “ —?»15
Нормальные напряжения по подошве наклонного участка для строительного слу-
чая находим, принимая = kz = 228 т/м* и полагая, что коэффициент постели на
верхнем конце наклонного участка, например, в 10 раз больше, чем на нижнем конце,
т. е_, принимая п=9. Тогда по формулам (6.27) и (6.28) получаем (рис, 276):
12 Г / 9 \
sin р = ——-—-— -------------дут I 1 + “ту ] ( — 664-8,93 ф- 882) +
228-26,9631 1 + 94- '
/ 1 g \ 1
+ 26,96 "-(--g-j 664 - 0,663 = 0,00158,
12 Г 1
л°= f 81 \ 26,96
228 X 26,9611 + 9+ -g-l L
/ 1 9 \ 1
+ Т + ~Т J664 0,663 = °’0398-
Определим теперь значение S*, при котором
нормальные напряжения а по наклонной части
подошвы обращаются в нуль. Для определения
этого значения, в соответствии с выражением
(6.23), имеем:
0 = 228 1 + -2§-gg- 9 I (0,0398 - 0,00158 $*).
Решая полученное уравнение относитель-
но S*, находим, что 5*=25,02 я. Полученный ре-
зультат показывает, что у верхнего конца на-
клонного участка на длине S—S* =26,96—25,02=
= 1,94 я возникают растягивающие напряжения
между сооружением и наклонной частью основа-
ния. Так как существование растягивающих на-
пряжений между подошвой сооружения и поверх-
ностью основания сооружения на самом деле не-
возможно, то на этой длине образуется щель и
Рис. 275
длина наклонной части уменьшается на величину
S—S*=l,94 Поэтому для определения нор-
мальных напряжений на наклонном участке можно с достаточным для целей практи-
ки приближением, сохраняя без изменения все остальные величины, произвести пере-
счет по выражениям (6.27) и (6.28), заменив в них 5=26,96 я на S* =25,02 я.
20*
308
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
В результате пересчета находим:
sin fi = 0,00154 и п0 — 0,0385,
после чего определение нормальных напряжений по первой из формул (6.23) произ-
водится без затруднений.
В конечном итоге получаем величины нормальных напряжений:
при s = О а = 228 X 0,0385 = 8,78 т!м2 = 0,88 кг]см2.
S = 6,74 м
s = 13,48 м
s = 20,32 м
5 = 25,02 м
/ 6.74 \
а = 228 (1 + -2g-Q2 9 1(0,0385 - 6,74 X 0,00154) =
= 22 т]м2 = 2,2 кг]см2,
а = 2.4 кг]см\
<з = 1,32 кг] см2,
а = 0.
Определяя по выражению (6.29) величину s0, можно по второй формуле (6.23)
найти распределение касательных напряжений т.
На рис. 277, а и 277, б приводятся эпюры нормальных напряжений и нормальных
перемещений точек подошвы сооружения, соответсгвую-
Рис. 276
шие строительному состоянию.
Если коэффициент постели уменьшается по мере
приближения к верхнему концу наклонного участка и,
например, по численной величине в 10 раз меньше, чем
в нижнем конце этого участка, то следует принять
л =—0,9. При этом аналогичным путем находим, что
sin £ = —0,0043 и по - 0,086.
В данном случае определение величины S* не тре-
буется, так как величина нормальных напряжений при
5 = 26,92 м получается положительной, т. е. напряже-
По формуле (6.23) находим:
ния оказываются сжимающими
при д = 0 а = 228 (1—0) 0,086 = 19,5 т/ы/2=1,95 кг]см2,
/ 6,74 \
s = 6,74 м а = 228 ( 1 — -Tjg-gg 0,9 I (0,086 + 6,74 X 0,0043 = 20,2 т]м2 =
= 2,02 кг/см2, . ,
5 = 13,48 м о=1.8 кг]см2,
5 = 20,32 м а = 1,3 кг]см.2, • .
5 = 26,92 м с -- 0,47 кг]см2. .......
На рис. 277, а и 277,6 приведены также эпюры нормальных напряжений и нор-
мальных перемещений на наклонном участке при л=—0,9. Для того чтобы получить
полные реакции основания и полные перемещения точек подошвы, следует геометри-
чески сложить в каждой точке подошвы сооружения нормальные напряжения и пере-
мещения с касательными напряжениями и перемещениями, определяемыми по выра-
§ 5. Определение реакций основания по иеплоской подошве жесткого сооружения 309
жениям (6.21) и (6.23). Следует иметь в виду, что направление полных реакций осно-
вания будет различным во всех точках подошвы, если только касательные напряже-
ния по подошве не отсутствуют или нормальные напряжения, а следовательно, и коэф-
фициент постели не постоянны по длине подошвы, что в рассмотренном примере
имело место на горизонтальном участке подошвы сооружения. В этом случае направ-
ление полных напряжений во всех точках подошвы будет одинаковым.
Перейдем теперь к рассмотрению влияния дополнительной нагрузки в эксплуата-
ционном состоянии. Так как в этом случае обе части сооружения жестко связаны, то:
=£ 0. Яо =/= 0, Qo 4= 0.
Далее примем:
—80,7 m, М] = —730 тм, Pt = —233 т,
Н<, — 306 т, М, — 613 тм, Р2 = 32,6 т.
Для горизонтального участка, подставляя в зависимости (6.22) численные зна-
чения входящих в них величин, находим:
sin а = 1,04 X Ю“е (М) + 18,65Q0 -730),
v0= -1.94 X 10~5 (Af0 4- 24,864 Qo + 719,3),
Яо + Hi _ Яо—80,7
W°= bkx = 8280,6
Для наклонного участка, подставляя в зависимости (6.27) — (6.29) численные зна-
чения входящих в них величин, полагая при этом п=9 и £*=25,02 xt, находим;
sin 0 = 1,4425 X IO’7 (—5,5 Мо 4- 58,059Q0 X 65,59Я0 + 618),
По = 9,0307 х ю "s( — 0,13988Afo+ I,7127Q0 + 1,9349Я0 - 58,20),
V-
(Яо — Я2) cos и — (Qo + Pt) sino>
-0.663Н0 + 0,749Qn +227,3
31099,86
/ /П \
•$* Р + ~Г
\ } S
Из условия (6,31) равенства углов или условия sina =- sin имеем:
10^6 1,04 (Л40+ 18,65Q0—730) = 1,4425 -10 7 (-5,5Л404-
+ 58,059 Qo 4- 65,59/70 + 618),
откуда после соответствующих преобразований получаем:
1,8334/И() + 11,021 Qa — 9,4614Я0 —848,35 = 0. 6,32)
Из условия (6.30) равенства горизонтальных смещений
ио = 5о cosw - па sin ш
имеем:
Яо - 80,7
8280,6
-О,663Яо + 0,749Qo + 227,3
X 0,663—9,0307 X
31099,86
X Ю”5 (—0,13988М0 Н- 1,7127Q0 + 1,9349770—58,20) X 0.749,
откуда после соответствующих преобразований получаем:
0,94614Л4о —9,9883Qri -2о,577Яо + 1852,79 = 0.
(6.33)
Из условий (6.30) равенства вертикальных смещений
= s0 sin u> + cos w
имеем;
— 1,94 X Ю~5 (Af0 + 24,864Q0+ 719,3) =
310 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
(~О,633Яо -ь о,749Q0 + 227.3) ,
= 0.749 X 31----ХЪЮО ЯА-----Н- 0.037 X Ю~5 ( -0,13988+
31и99,86
+ 1,7I27QO + 1,9349^—58,2) X 0.663,
откуда после соответствующих преобразований получаем:
1,1025Л4о + 60,295Q0 + 9,9842Я0 + 1594,4 = 0. (6.34)
Решая полученную систему уравнений (6.32), (6.33) и (6.34) относительно Af0,
Qo и Но, находим:
Л/о = 169,67 m, Q = —88,76 т, Л40 = 1894,4 тм.
Подставляя полученные значения Af0, Qo, Но в формулы (6.22), (6.27), (6.28)
и (6.29) для Oq, л0» s'o и fl, имеем:
и0 = —0,008, п0--0.0133, д0=—0,00155,
sin а «ж sin р = — 0.00055.
После того как эти величины найдены, определение нормальных напряжений по
подошве сооружения затруднений не представляет.
Действительно, для горизонтального участка имеем:
при х = О
с = 228 (-0,008) = —0,18 кг/см2,
при х — 37,3 м
о = 228 ](—0,008) 4-37,3 X (— 0,00055)] = — 0,64 кг/сл2.
Для наклонного участка находим:
при Д = 0 а= 228 X (—0,0133) — — 0,3 лг/гл^
/ 6,74 \
Д =6,74 м а = 228 X (1 + -2^02 9 ) [—0,0133 4 6,74 (-0,00055)] = -0,74 кг/см2.
s = 13,48 м а = —0,78 кг1см2,
$ = 20.2 м а = —0,41 кг/см2,
д = 25,02 м а = 0.11 кг^см2.
Если предположить, что коэффи-
циент постели на верхнем конце на-
клонного участка в 10 раз меньше,
чем на нижнем конце, то следует
принять, что п=~0,9, и производить
расчет совершенно аналогично изло-
женному выше.
На рис. 278, а и 278, б показаны
суммарные эпюры напряжений и пе-
ремещений при /г-—0,9, нормальных к
подошве, полученные путем наложе-
ния эпюр для строительного состоя-
ния и эпюр от дополнительной на-
грузки в эксплуатационном состоянии,
или, иначе говоря, эпюры, соответ-
ствующие эксплуатационному состоя-
нию.
Следует отметить, что при вы-
полнении расчета для случая допол-
нительной нагрузки в эксплуатацион-
ном состоянии в расчет была введе-
на вместо 5=26,96 м величина
£*=25,02 м вследствие того, что
эпюра для строительного состояния
была определена для этой длины на-
клонного участка. В результате на-
пряжения на верхнем конце наклонного участка получились равными не нулю, а
0,11 кг/см2, что указывает па некоторую погрешность расчета в отношении выбора
для эксплуатационной нагрузки величины S*.
В этом отношении следует руководствоваться следующими соображениями:
1. Если при введении в расчет полной длины наклонного участка сумма напря-
жений для строительного состояния и напряжений от дополнительной нагрузки в экс-
$ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 311
плуатационном состоянии на верхнем конце наклонного участка окажется положи-
тельной, т. е. * > то никаких укорочений расчетной длины этого участка (т. е. за-
мены S на S*) производить не следует.
2. Если же при введении в расчет полной длины наклонного участка сумма ука-
занных напряжений на верхнем конце окажется отрицательной, то следует заменить
фактическую длину S на S*, исходя из условия, чтобы суммарное напряжение от всех
нагрузок на этом конце было бы равно нулю. Для этого следует определить суммар-
ные напряжения на верхнем конце для строительного состояния и от дополнительной
нагрузки в эксплуатационном состоянии, оставляя в обоих выражениях величину 5
неопределенной, и затем найти такую величину S, обозначаемую через S*, при кото-
рой суммарные напряжения на верхнем конце наклонного участка обращаются в ноль.
Приближенно величина S* может быть определена из выражения
а = kQn + -у п j (Л0 — sinfS*S*) — О,
откуда
5* =______Z2.
sin
где
' «о - ло + ло,
sin sin 4- sin
Здесь п0 и sin обозначают величины, соответствующие строительному состоя-
нию, а Яд и sin^i" — соответствующие дополнительной нагрузке в эксплуатационном
состоянии, принимая в обоих случаях полную длину наклонного участка S.
Если при таком способе расчета суммарные напряжения, полученные в резуль-
тате пересчета с заменой величины S на S*, окажутся при S=S* не равными нулю,
а положительными, io это покажет, что величина S* определена не точно, а несколько
преуменьшена. Однако, если численная величина полученных положительных напря-
жений на верхнем конце наклонного участка достаточно мала (например, не больше
0,10 кг/слт2), то этой неточностью можно пренебречь.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОСНОВАНИЯ И УСИЛИЙ
В АНКЕРНЫХ ПОНУРАХ ГИДРОСООРУЖЕНИЙ
Анкерным понуром (рис. 279) называется железобетонная плита
длиной 15—30 м и толщиной 50—75 см, армированная мощной продоль-
Рис. 279
лой арматурой, за анкерованной в теле основного сооружения, у кото-
рого устраивается понур, для увеличения его устойчивости на сдвиг
при наличии горизонтальных нагрузок (давление воды, земли и т. и.).
Под подошвой понура и основного тела сооружения устраивается дре-
312 Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
важный слой, соединенный с нижним бьефом. Вследствие этого давле-
ние воды на понур, направленное снизу вверх, равно давлению нижнего
бьефа. Суммарное давление воды и земли Р, действующее на понур
сверху вниз, за вычетом давления воды на подошву понура W, направ-
ленного снизу вверх, прижимает анкерный понур к основанию и опре-
деляет величину предельного горизонтального усилия, которое может
быть воспринято понуром от основного тела сооружения.
Необходимая длина понура определяется из условия, чтобы величина
коэффициента запаса на сдвиг всего сооружения в целом вместе с
понуром:
= + . (6.35)
не превышала бы некоторого предусмотренного проектными нормами
значения, например, k = 1,30—1,40. Здесь Q обозначает взвешенный вес
основного тела плотины, Н — сумму всех горизонтальных сил, сдвигаю-
щих сооружение, Р — сумму всех вертикальных нагрузок, действую-
щих на понур, включая его собственный вес и давление воды сверху,
W — суммарное давление воды иа подошву понура снизу и — угол
внутреннего трения грунта основания.
Прн этом предполагается, что сдвиг может произойти либо в плоско-
сти подошвы железобетонной части понура, либо по подошве подсти-
лающего понур дренирующего слоя в зависимости от того, где сопро-
тивление сдвигу окажется меньше.
В первом случае вес подстилающего дренирующего слоя не вклю-
чается в силу Р, а угол трения ф принимается равным углу внутрен-
него трения материала дренирующего слоя (песка).
Во втором случае взвешенный вес дренирующего слоя включается
в силу Р, а удельное сопротивление сдвигу принимается равным сопро-
тивлению сдвигу грунта основания, подстилающего дренирующий слой.
Силами сцепления при расчете понура применительно ко второму слу-
чаю из соображений осторожности пренебрегают, хотя при достаточно
слабых грунтах частичный учет связности грунта основания может быть
целесообразным. Однако, вследствие нарушения структуры поверхност-
ного слоя основания при производстве работ вводимое в расчет сцеп-
ление ие должно превышать величины восстанавливающейся части
сцепления (при имеющемся нормальном напряжении).
Следует отметить, что в случаях, когда основание сооружения сложе-
но водонасыщенными пластичными глинами или суглинками, уплотне-
ние его под воздействием прижимающей понур нагрузки может не за-
кончиться к моменту поднятия горизонта воды в водохранилище. Поэто-
му смещение понура может произойти не по подошве, а совместно с не-
которым слоем подстилающего грунта по некоторой глубже расположен-
ной поверхности, где степень уплотнения основания меньше. Устойчи-
вость сооружения применительно к такому случаю должна быть прове-
рена расчетом, учитывая при этом незаконченный процесс уплотнения
основания.
Основной задачей статического расчета конструкции анкерного по-
нура является определение усилия Т, воспринимаемого понуром в пре-
дельном (Гпр) и эксплуатационном (Гэкс) состояниях, и распределе-
ния реактивных сил трения т (х) по плоскости соприкасания его с
грунтом основания, что является необходимым для определения вели-
чины растягивающего усилия N (х) в любом сечении понура и расчета
арматуры.
Для состояния предельного равновесия это не вызывает какнх-ли-
§ б. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах
313
бо затруднений. Действительно, в этом случае величины, определяющие
напряженное состояние понура, полагая, что прижимающая понур на-
грузка (Р—И?) распределена равномерно по его длине, могут быть-
представлены в виде (рис. 280):
'пр (X) = “Г- ,
^пр — Т'пр >
где Глр, ^пр и /Vnp (х) обозначают предельное усилие, воспринимаемое
понуром, предельную интенсивность сил трения по подошве и предель-
ное усилие в некотором произвольном
сечении понура на расстоянии х от его
сопряжения с удерживаемым им сооруже-
нием, F{x) — необходимое сечение арма-
туры в том же сечении и R —- допускае-
Р
мое напряжение в арматуре понура.
Вследствие того, что пои предельном
усилии 7"пр происходит уже сдвиг по-
Рис. 280
нура по основанию, т. е. наступает ста-
дия разрушения, из соображений равнопрочности всей конструкции
представляется правильным принимать R = /?тСК , где /?тек обозначает
предел текучести арматуры понура. Однако, желая сохранить некото-
рый запас в арматуре, -можно принимать R = 0,87?,ек.
Для определения в эксплуатационном состоянии величины воспри-
нимаемого понуром усилия, напряженного состояния и деформаций
понура, а также взаимных смещений отдельных элементов сооружения
и для представления о том, каким образом видоизменяется распреде-
ление сил трения по подошве сооружения по мере увеличения общей
сдвигающей силы, начиная от малых нарузок и до предельной разру-
шающей, расчет по стадии разрушения, естественно, недостаточен.
В проектных организациях усилие, воспринимаемое понуром в экс-
плуатационном состоянии, иногда определяют, исходя из допущения,
что горизонтальное усилие распределяется между понуром и телом
плотины пропорционально их длинам, откуда;
'Г ______ jr I
(6.36)
где Н обозначает общую сдвигающую силу, воспринимаемую соору-
жением в эксплуатационном состоянии, I — длину понура и /1 — длину
остальной части сооружения, например тела плотины и водобоя. Рас-
пределение касательных сил трения т (х) по подошве понура прини-
мается при этом равномерным, так же как и в случае расчета по ста-
дии разрушения.
Однако это вполне справедливое в случае равномерной вертикаль-
ной загрузки понура положение, непосредственно вытекающее из зави-
симости Кулона = применимо только для состояния пре-
дельного равновесия, т. е. при расчете по стадии разрушения, и совер-
шенно не отражает действительности в условиях, достаточно далеких от
предельного состояния. Для этих условий зависимость (6.36) совершен-
.314
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
но произвольна и не соответствует действительности, так как допуще-
ние, что при любой растяжимости понура воспринимаемое им усилие
пропорционально его длине, явно неправильно. При достаточно боль-
шой длине понура / оно приводит к выводу, что при любой растяжимости
понура почти все горизонтальное усилие И воспринимается понуром.
Это определяет практическую необходимость разработки метода
расчета анкерного понура применительно к эксплуатационному со-
стоянию в условиях, достаточно далеких от предельного состояния со-
оружения в целом.
Для некоторых случаев представляется возможным рассматривать
основание сооружения как линейно-деформируемую среду и опреде-
лять распределение реактивных сил трения по подошве понура, величи-
ну воспринимаемого понуром усилия и величину растягивающего уси-
лия в любом сечении понура методами теории упругости, рассматривая
понур как абсолютно гибкую растяжимую полосу, расположенную иа
линейно-деформируемом основании [46].
Однако в случае достаточно слабых или сыпучих грунтов, обладаю-
щих малым сопротивлением растягивающим усилиям, и в условиях,
когда могут возникать области предельного напряженного состояния от-
носительно больших размеров, такая расчетная модель мало пригодна.
Учитывая, что анкерные понуры применяются обычно именно при
достаточно слабых грунтах, расчетная модель лииейно-деформируемой
среды не может быть принята в качестве основной для рассмотрения
вопросов расчета анкерных понуров. Поэтому для этой цели более
уместно применение способа расчета, аналогичного способу коэффи-
циента постели [150].
В качестве основного допущения способа расчета по коэффициенту
постели, как известно, принимается зависимость з = kw, где а и w
обозначают нагрузку и осадку в какой-либо точке основания, a k~
коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом посте-
ли. Такое основание, как было упомянуто выше, можно сравнить с со-
вокупностью непрерывно расположенных в пределах подошвы сооруже-
ния упругих стержней или пружин.
В рассматриваемой задаче, т. е. в случае касательных нагрузок от
сил трения в плоскости подошвы сооружения, можно принять:
т(х)= — kaii(x), (6.37)
где " (х) обозначает интенсивность касательных напряжений в какой-
либо точке иа расстоянии х от начала координат, w(x)—соответствую-
щее горизонтальное смещение этой точки и k — коэффициент, анало-
гичный коэффициенту постели, который может быть назван коэффици-
ентом постели для сдвига. Такое основание можно представить себе,
полагая, что совпадающие точки подошвы сооружения и подстилающего
его недеформируемого основания связаны упругими стержнями или
нитями нулевой длины, удлинения которых все же конечны и про-
порциональны действующим в них усилиям.
Достоверность допущения (6.37) вполне аналогична и во всяком
случае не меньше, чем достоверность аналогичного допущения, прини-
маемого в методе расчета по способу коэффициента постели.
Это допущение применимо естественно только для гех участков
подошвы понура, на протяжении которых не имеется состояния пре-
дельного равновесия. На участках же, находящихся в состоянии пре-
дельного равновесия, зависимость (6.37) должна быть заменена усло-
вием т = = у tg ср или т — т11р = у tg ф-у где с' обозначает восста-
навливающееся сцепление.
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 315
Если по всей длине понура имеется состояние предельного равновесия,
то такой случай соответствует расчету по предельному состоянию, из-
ложенному выше. Поэтому в дальнейшем изложении мы будем предпо-
лагать, что состояние предельного напряженного состояния или отсут-
ствует по всей длине понура, или же имеется только* на некоторой его
части.
а) Случай отсутствия предельного напряженного состояния
на всей длине понура
Рис. 281
Примем сначала допущение об отсутствии состояния предельного
напряженного состояния по всей длине понура.
Далее примем, что растягивающие усилия в понуре полностью вос-
принимаются его арматурой, т. е., иначе говоря, будем пренебрегать со-
противлением бетона растяжению, так
как вследствие образования в бетоне тре-
щин учет его сопротивления растяжению
не представляется существенным даже
для эксплуатационных условий. Отметим,
кстати, что при желании учет работы бе-
тона на растяжение между соседними
трещинами может быть произведен без
особых затруднений.
Обозначим через N величину растягивающего усилия в некотором
сечении понура с координатой х, через с? — нормальные напряжения
в арматуре в том же сечении, а через Е и F—модуль упругости и пло-
щадь сечения арматуры понура.
Тогда из условия равновесия элемента понура длиной dx, в соответ-
ствии с обозначениями на рис. 281, имеем:
dN Д- ~dx = О
ИЛИ
dN
dx
(6.38)
Принимая во внимание зависимость ,V= зЕ, а также учитывая, что
относительное удлинение равно:
du ст
<? == ДГ- — “F" >
dx Е
откуда
с? du
о = Е —г~
dx
находим:
________________ dN dFa __ ! р d<s dF \
Т dx dx dx ° dx у
d2u , „ du dF
+ F. -x-----x~
dx- 1 dx dx
В результате, учитывая зависимость (6.37), получаем уравнение:
dau , 1 dF du ku
dx2 F dx dx EF
(6.39)
316
Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Решение этого уравнения при надлежащих граничных условиях, а
именно:
при х = 0 1
при х = 1 т или du dx T ЕР * (6.40)
а = 0 или du dx = 0,
определяет напряженное состояние понура при отсутствии на его про-
тяжении состояния предельного равновесия.
Дальнейшее рассмотрение мы будем проводить применительно к не-
которым основным случаям распределения арматуры по длине понура.
Случай равномерного распределения арматуры.
Полагая сечение арматуры постоянным по длине понура, т. е. принимая
/’ - пост., получаем уравнение (6.39) в виде:
A—‘u.d, (6.41)
dx2 EF х '
Обозначим:
Тогда, как известно [129], общий интеграл уравнения (6.41) может
быть представлен в виде:
и = С] sh ах С2 ch ах, (6.42)
откуда первая производная от и по х:
- Crotch ах С2а sh ах. ' (6.43)
Принимая во внимание выражение (6.43) и учитывая, что shO = O и
chO== 1, из условий (6.40) получаем:
п т
1 Ер ’
С, a ch al 4- С2а sh al = О,
откуда, определяя произвольные постоянные С: и С2, .получаем решение
(6.42) в виде: Т chad -х} . .. “= aEF • (6Л4>
Тогда и Т(х)=-м=»г ch°ha7~ - <6-45> N = Т— С t (х) dx = Т Shas(h;-X) (6.46)
Полученные результаты показывают, что если понур был бы совер-
шенно нерастяжимым, т. е., если можно было бы принять а — 0у
ю распределение сил трения по его подошве было бы равномерным,
т
т. е. т (х) “ —j- , а усилие в любом сечении х было бы равно N(x) = *
(1-х). .
I
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 317
Для определения усилия Т, воспринимаемого понуром, отметим, что
вследствие значительных геометрических размеров тела основного со-
оружения, у которого устраивается анкерный поиур (например, тела
плотины с водобоем, массива ГЭС и т. п.), его деформациями по сравне-
нию с деформациями самого понура можно обычно пренебречь, т. е.
считать тело основного сооружения нерастяжимым. Тогда при принятых
предпосылках расчета распределение сил трения в пределах подошвы
тела основного сооружения получается равномерным.
Присвоим всем величинам, характеризующим основное тело соору-
жения, индекс в виде единицы справа. Тогда, в соответствии со схемой
на рис. 282, зависимостью (6.37) и выражением (6.44), полагая в нем
х = 0, находим условие равенства смещений основного тела сооружения
и понура в месте сопряжения его с основным телом сооружения в виде:
1 Cth al *
Вводя полученное выражение (6.47) в приведенные выше выраже-
ния (6.44—6.46), получаем полное решение поставленной задачи.
Рассмотрение полученного результата (6.47) показывает, что в пре-
дельных случаях при:
/j 03 7'-О‘);я->0 И; а->оо 7^0. (6.48)
Правильность полученных для предельных случаев результатов оче-
видна и подтверждает, что выражение (6.36) в случае непредельного
состояния, т. е. при х (х) < тпР справедливо лишь при абсолютной не-
сжимаемости и нерастяжимости как основного тела плотины, так и ан-
керного понура.
Случай распределения арматуры по треуголь-
ной эпюре. Полагая, что сечение арматуры изменяется по длине
.понура по треугольной эпюре, т. е. полагая
F-F^~O-)’
получаем уравнение (6.39) в виде:
d2u 1 du k„l 1
dx2 l — x dx ef* l — x (6,49)
Обозначая
9 г " - .
(6.50)
вводя замену переменной
t~2ayrl — x-
и учитывая, что:
dt_ _ _ a d?t _ 1 1
. &х ~ ~ \1х ' dx2 ~ Т а ’ ... .. , .
du _ du dt a du
dx. ~ dt dx Yl~ x dt ’
3/8 Г лава У/, Определение напряжений по подошве сооружений
d2u ___ / d du \ dt du d2t ____________ d2u / dt V . du d2t
dx2 dx dt j dx ' dt dx2 dt2 ( dx у * dt dx2
__ a2 d2u 1 a du
I — x dt2 2 у у д.)з dt ’
получаем уравнение (6.49) в виде:
Как известно из курса математики [129], общий интеграл этого
уравнения может быть представлен в виде:
= ^14 (0 4" (О»
где IQ(t) и Ко(0 обозначают функции Бесселя нулевого порядка от чи-
сто мнимого аргумента, значения которых приводятся в соответ-
ствующих таблицах [151].
Возвращаясь к переменной х, находим:
и~ С/о (2а4- С.7<0(2а/Г^х). (6.51)
К курсах математики приводится, что функция Ко(^) при к >0 не-
ограниченно возрастает. Так как на конце понура при х=1 перемеще-
ния и должны быть конечны, то постоянная С2 должна быть равна нулю.
Кроме того, известно, что
. ~ /0(х)-/,(%),
где функция /1(х) называется функцией Бесселя первого порядка чисто
мнимого аргумента, значения которой также приводятся в таблицах
[151].
Поэтому, принимая во внимание, что С2 —0 и
- С, —т==^У (2а yi^Xc) (6.52}
ах у 1-х . -
из граничного условия, что при х=0:
е =- -4" == - (2а УТ) = ,
dx У I
находим, учитывая зависимость (6.50):
с = __ Та 1
1 kayT /1(2аУГ)
В результате можно представить искомое решение в виде:
и = -Ут(х)=--------у (За У1-Х) (6.53}
откуда
W — =
l—х /у (2а У I —х)
1 Ц(2а УП
Так же, как и в
предыдущем случае, при а = 0 получаем, что
Чх) = -С И N=T'yXL_
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 319‘
Величину усилия, воспринимаемого понуром, находим совершенно*
аналогично тому, как то было изложено при постоянной по длине пону-
ра арматуре, из условия:
„ _ н~т Та 4 (2а/Г)
Mi ku У I I (2a У1}
Решая это уравнение относительно Г, получаем выражение:
h
Т =------------------ ,
ah Io(2a р /)
+ У Г ' h(2ayl)
которое и в этом случае при предельных значениях величин 1\ и а при-
нимает указанные выше значения (6.48).
Случай распределения арматуры ио трапеце-
идальной эпюре. Принимая, что в сечении х=0 площадь арма-
туры равна /’’q.+Ti, а в сечении х~1 равна F\, имеем:
t = fx-ff.-f^.
Тогда уравнение (6.39) принимает вид:
d'-u 1 du kul 1
"dJfi , MC ~dJc Fjr "7Х+Л U = °’ .
I —P----- x I -p---— x
Fq Fq
Обозначая
и произведя замену переменной
2izb2 — x,
получаем:
Отсюда, как и раньше, общий интеграл может быть представлен
в виде:
и = Су,, (0 Д- С2/Со (t)
или
и — CJQ (2а Vb2 — х) + С-Хо (2а V Ь2 — х).
Дифференцируя, находим:
д = -с- А <2“ -уу=г V* ~х}-
Аналогично изложенному выше из граничных условий (6.40) нахо-
дим, что Ci— АТ и С2=ВТ, где
а
А = ---=-------------7=---------,
Г h (2а УЬ^~1)
kab А (2а») + - —-р^=- к. (2аЬ^
в _ А Д(2а/»^7)
(2а У №—1)
320 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Величину воспринимаемого понуром усилия находим из условия
пх-о = - = T[AI^2ab) + BKA^ab)], ’
"Откуда
/г— н
1 ~~~ \-ки1х[А1ь (2аЬ) + ВЛп (2аЬ) ]
Для сравнительной оценки влияния того или иного закона распре-
деления арматуры на величину усилия, воспринимаемого анкерным по-
нуром, на распределение сил треиия по подошве понура и растягиваю-
щих усилий в арматуре ниже приводятся результаты расчета, выполнен-
ного В. Ф. Рябошлыком [152], применительно к случаям равномерного
распределения арматуры и распределения по треугольной эпюре. При
этом было принято: = 90 м, I = 27 м, Е = 2Х 106 кг/см2, k = 0,5 кг/см3,
/7 = 407 т/м н 7 = То = 30 см2/м.
Для первого случая полное усилие, воспринимаемое понуром, равно
7 = 44,47 т, для второго 7 = 40,62 т, тогда как по формуле (6.36) оно
получается равным 7 = 93,92 т. Это указывает на весьма большое зна-
Рис. 283
чение учета растяжимости понура. Однако, в случае учета растяжи-
мости при одной и той же площади сечения арматуры в сопряжении по-
нура с основным телом сооружения тот или иной закон распределения
арматуры по длине понура не оказывает существенного значения на
величину воспринимаемого понуром усилия.
На рис. 283 и 284 приводятся эпюры сил трения по подошве соору-
жения и растягивающих усилий по длине понура для обоих случаев
распределения арматуры. Полученные результаты показывают, что
распределение арматуры по длине понура не оказывает существенного
влияния и на эпюры сил трения, а также на эпюры растягивающих уси-
лий.
На рис. 285 показана зависимость между величиной воспринимаемо-
го понуром усилия и длиной понура. Полученные результаты показы-
вают, что увеличение длины понура вызывает возрастание величины
воспринимаемого понуром усилия только до некоторого предела, при
превышении которого дальнейшее увеличение длины понура бесполез-
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах
321
но в отношении увеличения в эксплуатационных условиях величины
усилия, воспринимаемого понуром.
В соответствии с полученными результатами, можно рекомендовать
для исследования напряженного состояния понура в эксплуатационных
условиях выполнять расчет в соответствии с простейшими решениями
для равномерного распределения арматуры и распределения по тре-
угольной эпюре, не вводя каких-либо усложнений, обусловленных уче-
том более сложного закона распределения арматуры по длине понура.
б) Случай наличия на части понура предельного напряженного
состояния
Изложенная выше методика расчета анкерных понуров применима
только в том случае, если по всей длине понура отсутствуют участки,
на протяжении которых имеет место состояние предельного равновесия,
т. е. если т х} < тпр. Вследствие же того, что при учете растяжимости
понура силы трения достигают своей наибольшей величины в месте
сопряжения понура с основным телом сооружения это условие сводится
к условию т (0; < тпр.
21 —В. А, Ф.юрин
322
Г лава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
Отсюда, в случае равномерного распределения арматуры по длине
понура, принимая в зависимостях (6.45) и (6.47) х = 0, находим, что
указанное выше условие может быть представлено в виде:
a ch al Н аН
shaZ" ' I + aZt Cth al = o/t + th al < Tn0- (0.54)
В случае же распределения арматуры по треугольной эпюре
ствующее условие принимает вид:
аН
соответ-
(6.55)
ali-Y Vi
Д (2a /Z)
/о (2a У Г)
Пр-
Рис. 286
Если условие (6.54) или (6.55) в зависимости от того, применитель-
но к какому случаю армирования производится расчет, не выполнено,
то на протяжении некоторой части понура имеет место состояние пре-
дельного равновесия.
Полагая вертикальную нагрузку на понур постоянной по длине по-
нура, в соответствии с рис. 286, разделим рассматриваемое сооружение
на три участка:
1) Основное тело сооружения, в пределах которого вследствие пре-
небрежения его деформациями распределение сил трения равномерно,
причем интенсивность сил трения мы полагаем меньшей предельной,
т. е. т, <
2) Часть длины понура, в пределах которой имеется состояние пре-
дельного равновесия, вследствие чего распределение сил трення также
равномерно, но интенсивность нх равна предельной т. е. т"р.
3) Часть понура, в пределах которой не имеется состояния пре-
дельного равновесия.
Из условий равновесия частей I и II имеем:
Я = (6.56)
Г1 = 7' + /,т2. (6.57)
На границе, разделяющей части II н III, имеем очевидное условие
хз = Х2Р> откуда, учитывая зависимости (6.45) или (6.53), получаем:
^ = ^=07, (6.58)
где (располагая начало координат в точке сопряжения частей II и III)
для случая равномерного распределения арматуры:
Ф = a cth a (I — lt),
“2=-й-> (6.59>
HZ*
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 323
а для случая распределения арматуры по треугольной эпюре:
а (2а У/ - Z2) _ zo i2aiZ
УГГ, 7] (2a УГ—Т,) ~~ a zi (2я v — z2>] ’
(6.60)
„2 (Z Za) „2 (1 f \
“=ЙТ И a =---------EX,----“ Н-У-
Далее, принимая во внимание, что зависимостью т =—ku можно
пользоваться только для частей I и III, где нет предельного состояния,
из условия, что разность горизонтальных смещений точки сопряжения
части I с частью II и точки сопряжения части III с частью II равна
удлинению части II, получаем:
1 Н— Г] т2 _____ С Tj —
~k~ 6 “ J £F(x)
о
(6.61)
Решая систему уравнений (6.56), (6.57), (6.58) и (6.61), можно оп-
ределить неизвестные величины т,, Ту Т и Действительно, исклю-
чая неизвестные 7\ н Т, получаем для определения неизвестной 1г
одно уравнение в виде:
2L _, , ku ! f Г dx , Г л
т2 /2 Е F(x) + Е 11 J F (х) dx
1 о о
ф ъ
ku Р dx
1 + Е l \ F (х)
о
Для случая равномерного распределения арматуры, т. е. F —F0-=nocT.
получаем:
Х. = 2
Ф ~ 2
277
-Т- ~(26 + /2)
1 -р a2Zt /2
(6.62)
а для случая распределения арматуры по треугольной эпюре, т. е.
F(x) = F0X=^,
находим:
Н ,
—-Z~6-a?ZZ1Z2
~Ф= i _ i — (6.63)
1 - aSZZj In —r-L
Заменяя в этом уравнении неизвестную величину /2 величиной у,
связанной с h в случае равномерного распределения арматуры подли-
не понура зависимостью
j? = a(Z— /2), . (6.64)
а в случае распределения арматуры по треугольной эпюре зависимостью
= 2a (/ - /2), . . .. . . (6.65).
21*
324 Глава VI. Определение напряжений по подошве сооружений
получаем уравнение (6.62), учитывая зависимость (6.59), в виде:
и уравнение (6.63), учитывая зависимость (6.60), в виде:
(6.66)
= aS*(y). (6.67)
Аналитическое определение значений у, при которых удовлетворя-
ются уравнения (6.66) или (6.67), представляется достаточно затрудни-
тельным. Поэтому наиболее просто эти значения определяются посред-
ством графического решения, находя значение у из пересечения по-
строенных для разных значений у кривых:
для первого случая 2 = thy н г — — S(y),
для второго случая н z = a S* (у).
После определения величины г/, удовлетворяющей уравнениям (6.66)
илн (6.67), определение Z2 производится по выражениям:
или
I у—
L 2я
чем и определяется величина участка, находящегося в состоянии пре-
дельного равновесия.
После этого величина Т может быть получена из уравнения (6.58):
т1_
Ф *
Определение величин 7) н производится, используя уравнения
(6.57) и (6.56), откуда:
h - Л
При рассмотрении смешанной задачи мы полагали, что основное те-
ло сооружения не находится в состоянии предельного равновесия, что
обычно и бывает, так как вертикальная нагрузка в пределах основного
тела обычно значительно выше.
Однако, если имеет место обратное положение, г. е. Tj = tJ1?, то
вместо уравнения (6.56) получаем:
7\ =Н-^1Х
и для определения величин Т и /2 остается система только из двух урав-
нений (6.57) и (6.58), исключая из которой величину Т, находим:
Принимая замену искомой функции Z2, в соответствии с зависимо-
<j> 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах 3'25
W '
стями (6.64) или (6.65) и учитывая зависимости (6.59) и (6.60), полу-
чаем:
или
ЛОО. — „ / _ / I У
Лэ(у) \ т3 2а ) '
(6.68)
(6.69)
Определив величину у по зависимостям (6.68) или (6.69) тем же
способом графического решения, как и выше, находим величину /г, после
чего величина Т находится из уравнения
(6.58).
Этим исчерпывается рассматриваемый
случай, когда на части понура имеется
состояние предельного равновесия.
Следует отметить, что необходимая
для выполнения расчета характеристика
основания ku может быть определена в
соответствии с результатами наблю-
дений за горизонтальными сдвигами ра-
нее возведенных сооружений или спе-
циальных моделей достаточных разме-
ров. Кроме того, по предложению В. Ф.
Рябошлыка [152], она может быть при-
ближенно определена по имеющимся
в литературе значениям коэффициентов
постели k, упругого сдвига kc и упру-
гой отдачи ky [153] по выражению;
Рис. 287
k,_=k2-
“ «V
основанному на условном допущении о пропорциональности этих ко-
эффициентов.
В заключение -отметим, что в некоторых случаях может оказаться це-
лесообразным при расчете анкерных понуров использовать в качестве
расчетной схемы основания линейно-деформируемую среду. Тогда мож-
но представить анкерный понур в виде совершенно гибкой полосы, рас-
положенной на поверхности линейно-деформируемого основания и загру-
женной на одно-м из ее концов горизонтальной силой. Соответствующие
решения, основанные на принятии расчетной схемы основания в виде ли-
нейно-деформируемой среды, с учетом постоянной или переменной растя-
жимости полосы, представляющей анкерный понур, приводятся в моей
работе [46]. Характер распределения касательных напряжений по по-
дошве понура показан на рис. 287. Для сравнения на этом же рисунке
приводится эпюра, соответствующая случаю нерастяжимсй полосы, для
которой можно показать [46], что:
2--------------1
?(*) = — <7 —-- .
Следует, однако, отметить, что решения, получаемые приведенным
выше способом, аналогичным способу коэффициента постели, во многих
случаях ближе отвечают действительности, так как увеличение напряже-
ний на конце понура, обусловленное влиянием граничного условия, в дей-
ствительности не представляется достаточно правдоподобным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саваренский Ф. П., Инженерная геология, ГОНТИ, 1939.
2. Инженерно-геологические исследования для гидроэнергетического строительства,
изд. МЭС, 1950.
3. С а в а р е н с к и й Ф. П., Гидрогеология, ГОНТИ, 1939.
4. Попов И. В., Инженерная геология, Гос. изд. геол, лит., 1951.
5. Г е р с е в а н о в Н. М. и П ольш и н Д. Е., Теоретические основы механики
грунтов, Стройиздат, 1948.
6. Ф л о р и н В. А., Вопросы развития механики грунтов. Совещание о путях раз-
вития механики грунтов, Изд. Ленинградского отделения В НИТО Строителей,
1950.
7. Цытович Н. А., Механика грунтов, Стройиздат, 1951.
8. О х о т и н В. В., Грунтоведение, Издание Военно-транспортной академии, 1940.
9. Цытович Н. А., Механика грунтов и ее место среди естественно-исторических
и инженерных наук, Совещание о путях развития механики грунтов, Изд. Ленин-
градского отделения ВПИТО Строителей, 1950.
10. Лебедев А. Ф., Почвенные и грунтовые воды, Сельхозгиз, 1936.
11. Сергеев Е. М., Общее грунтоведение, изд. МГУ, '1952.
12. Б а б к о в В Ф., Быковский И. И., Г е р б у т - Г е й б о в и ч А. В. и Ту-
лаев А. Я., Грунтоведение и механика грунтов, Дориздат, 1936.
13. Денисов И. Я- и Ребиндер П. А., О коллоидно-химической природе связ-
ности глинистых пород, ДАН СССР, т. 54, № 6, 1946.
14. Денисов И. Я-. О природе деформаций глинистых пород, Издат. Министерства
Речного флота СССР, 1951.
15. И в а н о в Н. Н., Пономарев П. Н-, Строительные свойства грунтов, Дор-
издат, 1932.
16. П р и к л о н с к и й В. А., Грунтоведение, Госгеолтехиздат, 1949, 1955.
17. Те г zag hi К.. Erdbacmechanik, 1У25. К. Терцаги, Строительная механика грун-
та, Госстройиздат, 1933.
18. П ольш ин Д. Е., О средних значениях удельного веса частиц основных видов
грунтов, Сборник «Основания и фундаменты», № П, Стройвоенмориздат, 1948.
19. Гольдштейн М. Н., Механические свойства грунтов, Издательство литера-
туры по строительству и архитектуре, 1952.
20. Дерягин Б. В., Что такое трение? Издательство АН СССР, 1952.
21. Маслов Н. Н., Прикладная механика грунтов, Машстройиздат, 1949.
22. Н и ч и п о р о в и ч А. А., Сопротивление связных грунтов сдвигу при расчете
гидротехнических сооружений на устойчивость, Стройиздат, 1948.
23. Darcy И.. Les L-Maines publiqnes de la ville de Dijon, 1856
24. Черт о усов M. Д.. Гидравлика, Специальный курс, Госэнергоиздат, 1957.
25. Веселовский В. М., Осадки сооружений во времени, Стройиздат, 1940.
26. Павловский Н. Н., Теория движения грунтовых вод под гидротехническими
сооружениями. Изд. Научно-мелиорационного института, 1922, Собрание сочине-
ний, т. II, Изд. Академии наук, 1956.
27. Р о з а С. А., Осадки гидротехнических сооружений на глинах с малой влаж-
ностью, «Гидротехническое строительство», № 9, 1950.
28. Л о м и з с Г. М., Основные закономерности электроосмотической фильтрации и
электроуплотнение глинистых грунтов, Труды совещания по инженерно-геологи-
ческим свойствам горных пород, т. I, Изд. АН СССР, 1956.
29. С a s a g г а п d е L. Electro-osmosis, Proc, of the 2 Internal. Confer, on Soil
Mechanics, v. 1, 1948 и ряд других докладов на этой конференции.
30. Рельтов Б. Ф. и Новиков А. В., О применении электроосмоса в качестве
средства борьбы с прилипанием вязких грунтов к рабочим поверхностям строй-
механизмов, Известия ВНИИГ, т. 28, '1940.
Литература 327
31. Флорин В. А., Протокол совещания по вибропогружению шпунтов на Куйбы-
шевгид рост рое, 1952.
32. Гольдштейн М. Н., Новый метод укрепления лёссовидных грунтов, Проект
и стандарт, № 12, 1937.
33. Герсеванов Н. М., Основы динамики грунтовой массы, Стройиздат, 193-1
и 1937.
34. Флорин В. А., К расчету сооружений на слабых грунтах, Сборник № 2 Гидро-
энергопроекта, 1937,
35. R е п d u 1 i с. Ein Grundgesetz der Tonmechanik und sein experimenteller Beweis, Bau-
technik, 1937, № 31-32.
736. Bernatzik W„ Baugrund und Physik, 1947.
% 37. С о u 1 о m b C., Application des regies de maximis et minimis a quelques piobl£mes
de statique relatlfs a i’architecture. Memoires de savants etrangers de 1’Academlie
des sciences de Paris, 1773.
^38. Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
(У 39. Герсеванов Н, М., Опыт применения теории упругости к определению допу-
скаемых нагрузок на грунт на основе экспериментальных работ, Труды Москов-
ского института инженеров транспорта, вып. XV, 1930.
40. Березанцев В. Г., Осесимметричная задача теории предельного равновесия
сыпучей среды, Гостехиздат, 1952.
41. Боткин А. И., Исследование напряженного состояния в сыпучих и связных
грунтах, Известия ВНИИГ, № 24, 1939.
42. Ф л о р и н В. А., Одномерная задача уплотнения сжимаемой пористой ползучей
земляной среды, Известия АН СССР, ОТН, № 6, 1953.
43. Флорин В. А., Одномерная задача уплотнения земляной среды с учетом ста-
рения, нелинейной ползучести и разрушения структуры, Известия АН СССР, ОТН,
№ 9, 1953.
44. М е с ч я н С. Р., К вопросу ползучести связных грунтов, Известия АН Армянской
ССР, т. 7, № 6, 1954.
45. Арутюнян Н. X., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехтеориздат,1952.
46. Флорин В. А., Расчеты оснований гидротехнических сооружений Стройиздат,
1948.
47. К о g 1 е г Г. und S с h е i d i g A., Baugrund und Bauwerk, Berlin, 1939 — 1940, ряд
статей в журналах ,Bautechnik“, BBauingenieur“, 1926—1934.
48. Strohschneider, Elastische Druckverteilung, Sitzungsberichte der Kais. Acad,
der Wlss. in Wien. vol. 71, 1912.
49. Покровский Г. И., Центробежное моделирование, ОНТИ, 1935.
50. Головин А. Я., Равновесие тяжелой упругой полуплоскости с непрямолиней-
ной границей, Информационный бюллетень Ленинградского политехнического
института, № 8, 1957.
51. Горбунов-Посадов М. И., Шехтер О. Я- и Кофман В. А., Давле-
ние грунта на жесткий заглубленный фундамент и свободные деформации котло-
вана, Труды НИИ оснований и фундаментов, Сборник № 24, 1954.
52. Резолюция и сборник докладов совещания по противодавлению на гидротехниче-
ские сооружения, Ленинградское правление НТО Строительной промышленности,
1958.
53. Flamant, Comptes rendus, t 114, Paris, 1892.
54. Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ, 1934.
55. Флорин В. А., К расчету сооружений на слабых грунтах, сборник № 1 Гидро-
энергопроекта, вып. I, 1936.
56. Колосов Г. В., Применение комплексных диаграмм и теории функций ком-
плексной переменной к теории упругости, ОНТИ, 1935.
57. Горбунов-Посадов М. И., Пластические деформации в грунте под жест-
ким фундаментом, НИИ оснований и фундаментов, Сборник трудов № 13, Маш-
стройиздат, 1949.
58. Н u a n g We п-Н si, Chang Wen Chin, Yi Choon g-C h e ng, Settlement
Analisis of Soil Foundations of Hydraulic Structures, Peking, 1957.
59. Michell 1. H., Proc. London Math. Soc., vol. 34, 1902.
60. Польши н Д. E., Определение напряжений в грунте при загрузке части его
поверхности, Труды ВИОС, Основания и фундаменты, Сборник № 1, 1933.
61. Флорин В. А., Применение метода ЭГДА к определению напряженного со-
стояния в основании сооружения. Сборник Гидроэнергопроекта № 7, Госэнерго-
издат, 1941.
V? 62. К ошляков Н. С., Основные дифференциальные уравнения математической
физики, ОНТИ, 1936.
63. Головин А.Я-» Некоторые задачи о равновесии упругой плоскости и упругой
полуплоскости, Труды Ленинградского политехнического института, № 196, 1958.
61. Boussinesq L, Application des potentiels a I’ctude de I’equilibre et dumouve-
ment des solides elastiques, Paris, 1885.
328
Литература
65. Жем очкин Б. Н., Теория упругости, СтроЙвоенмориздат, 1948.
66. Ф и л о н енк о - Бор о д и ч М. М., Теория упругости, Гостехиздат, 1947.
67. Г л у ш к о в Г. И., Определение горизонтальных напряжений в грунте, Гидро-
техническое строительство, № 3, 1954.
68. Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
69. Короткий В. Г., Объемная задача для упруго-изотропного полупространства,
Сборник Гидроэнергопроекта № 4, 1938.
70. Гольдштейн М. Н., Механика грунтов, Справочник «Инженерные сооруже-
ния», Машстройиздат, 1950.
71, Steinbrenner, Bodeninechanik und neuzeitlicher Strassenbau symposium by 24
authors, Berlin, 1936.
72. Егоров К. E., Методы расчета конечных осадок фундаментов, Сборник трудов
№ 13, НИИ Оснований и фундаментов. 1949.
73. Newmark N. М , Influence Charts for the Computation of Stresses in Elastic
Foundations, Univ. Illinois Eng. St. Bull. Ser, 338, 1942.
74. T s c h e b о t a r i о f f G. P.. Soil Mechanics. Foundations and Earth Structures, lq52,
75. M e I a n E., Der Spannungzustand der durch eine Einzelkraft im Innern beanspruchten
Halb^cheibe, Zeitschrift Kir augewandte Mathematik und Mechanik. B. 12, H. 6, 1932.
76. M i n d 1 i n R., Physics, N 5, 1936. Mindlin R. and Cheng D. Journal of Applied
Physiis, 21. N 9, 1950.
77. Biot M., Effect de certaines discontinuites du sous-sol sur la repartition des pres-
sions dues a une charge, Iravaux, № 41, 1936.
78. Mel an E., Die Druckverteilung durch eine elastische Schicht, Beton u Eisen
H. 7/8, 1919.
79. F i 1 о n, L. N. G., PhiL Trans. Roy, Sos. London, 1904.
80. M a г g u e r r e, Druckverteilung durch eine elastische Schichte auf starrer rauher
Unterlage. Ingenieur — Archiv, B. 11, 1931.
81. Егоров К- E., Распределение напряжений и перемещений в двуслойном осно-
вании ленточного фундамента. Труды НИС Треста глубинных работ, сборник.
№ 10, 1939.
82. М а г g н с г г е К., Spannungsverteilung und Wellenausbreitmig in der Kontinuierlich
gcslfitzten Platte. Ingenieur Archiv, H. 4, vol. 4. 1933.
83. Ш а п и p о Г. С., О распределении напряжений в неограниченном слое, Приклад-
ная математика и механика, т. 8, 1944.
84. Горбунов-Посадов М. И., Осадки фундаментов на слое грунта, под-
стилаемом скальным основанием, Стройиздат, 194b.
85. Егоров К- Е., Распределение напряжений в основании жесткого ленточного-
фундамента. Распределение напряжений и перемещений в основании крсглого
жесткого фундамента, Сборник трудов лаборатории оснований и фундаментов-
НИС Фундаментстроя № 9, 1938.
86. Раппопорт Р. М., Задача Буссинеска для слоистого упругого полупростран-
ства. Труды Ленинградского политехнического института № 5, [9-i8.
87. Лехницкнй С. Г., Некоторые случаи плоской задачи теории упругости анизо-
тропного тела, Сборник «Экспериментальные методы определения напряжений и
деформаций в упругих и пластических зонах», ОНТИ, 1935.
8S. Степанов А. В., Причины особенностей разрушения упруго-анизотропных тел,
Известия АН СССР, серия физическая, т. 14, № 1, 1950.
89. С а в и н Г. Н., Напряжения в анизотропном массиве при заданной нагрузке на
поверхности (плоская задача), Вестник инженеров и техников, № 3, 1940.
90. Wolf К., Ausbreitung der Kraft in der Halbebene und im Haibraum bei anisotro-
pen Material, Zeitschrift fur angwandte Mathematik und Mechanik, H. 5, B. 15, 1935.
91. Ш ейдиг А., Новейшие исследования грунтов, Гостехиздат, 1931.
92. Канал Москва—Волга, Геотехника, Стройиздат, 1940.
93. К Р а с и и к о в Н. Д., Диссертация на соискание ученой степени кандидата тех-
нических наук. Ленинградский политехнический институт, 1956.
94. И в а н о в Н. Н., К постановке технических испытаний грунта, сборник ЦУМТ,
Трансиздат, 1926.
95. F г о h 1 i с h О. К.. Druckverteilung im Baugrunde, Wien, 1934 или Ф р ел и х О. К.,
Распределение давления в грунте, изд. Наркомхоза РСФСР, 1938.
96. Герсеванов Н. М., Общий метод теории упругости. Определение напряжений-
в грунте при заданной нагрузке на поверхности, Труды ВИОС, Основания и фун-
даменты, сборник 1-й, 1933.
97. Флорин В. А., Теория уплотнения земляных масс, Стройиздат, 1948.
98. М и н я е в П. А., О распределении напряжений в сыпучих грунтах. Известия-
Томского технологического института, т. 34, 1914.
99. П у зыревский Н. II., Расчеты фундаментов, Издание Института путей
сообщения, 1923, Теория напряженности землистых грунтов, сборник ЛИИПС,.
вып. XCIX, 1929.
Литература 329
100. Яропольский И. В.. О применимости теории упругости к расчету естествен-
ных оснований, Сборник ЛИИПС, вып. XCIX, 1929.
101. Строительные нормы и правила, часть!!, 1954.
102 Zimmermann Н., Bertchung des Eisenbahn Oberbanes. Berlin, 1888.
103. Winckler E., Die Lehre von Elastizitat and Festigkeit, 1867.
104. Тимошенко С. П., Курс теории упругости, т. 2, 1916.
105. Кеийти Хаяси, Теория расчета балки на упругом основании, Гостехиздат,
1930.
106. Р. L. Pasternak, „Die baustatische 'lheorie biegefester Balkcn und Platten auf
elastischer Bettung". Beton und Eisen. H. 9. 10. 1926.
107. Пузыревский H. П., Фундаменты, Госстройиздат, 1934.
108. Крылов A. H., О расчете балок, лежащих на упругом основании, издание АН
СССР, 1930.
109. Дутов Г. Д., О расчете балок на упругом основании, Кубуч, 1929.
НО. Проктор Г. Э., Об изгибе балок, лежащих на сплошном упругом основании
без гипотезы Винклера-Циммермана, дипломная работа в Петроградском техно-
логическом институте, 1922.
111. Prager W. ZAM.4, В. 2. Н. I, 1928.
112. Герсеванов Н. М. и Мачерет Я- А., К вопросу о бесконечно длинной
балке на упругой почве, нагруженной силой, Гидротехническое строительство,
№ 10, 1935, Сборник трудов № 8. НИС Фундаментстроя, 1937.
ИЗ. Горбунов-Посадов М. И., Расчет балки на упругом основании в усло-
виях плоской задачи теории упругости, Сборник № 8 трудов НИС Фундамент-
строя, 1937
114. Жемочкин Б. Н., Плоская задача расчета бесконечно длинной балки на упру-
гом основании. Расчет балок на упругом полупространстве и полуплоскости,
Военно-инженерная академия им. В. В. Куйбышева, 1937.
115. Клуби и П. И., Расчет балочных плит на упругом основании, Сборник научно-
исследовательских работ № 13, 1950.
116. boro.vi cka Н., inliuencc oi Rigidity of a Circular Foundation Slab over the
Contact Surface, Proc, of the Internal. Confer, on Soil Meeh., v. 2, 1936.
117. Жемочкин Б. H,, Расчет круглых плит на упругом основании, Военно-инже-
нерная академия им. В. В. Куйбышева, 1938.
118. Г о р б у н о в - П о с а д о в М. И., Балки и прямоугольные плиты, лежащие на
основании, принимаемом за упругое полупространство. Доклады Академии наук
СССР, т. XXIV, № 5, 1939.
119. Горбунов-Посадов М. Н., Расчет балок и плит на упругом полупростран-
стве, Прикл. мат. и мех., т. IV, вып. 3, 1940.
120. Горбунов-Посадов М. И., Плиты на упругом основании, Госстройиздат,
1941.
121. Горбунов-Посадов М. И., Балки и плиты на упругом основании, Маш-
стройиздат, 1949
122. Кузнецов В. И., Балка на сплошном упругом основании, Трансжелдориздат,
1938.
123. Горбунов-Посадов М. И., Расчет конструкций на упругом основании,
Издат. литературы по строительству и архитектуре, 1953.
124. Жемочкин Б. Н. и Синицын А. П., Практические методы расчета фунда-
ментных балок и плит на упругом основании без гипотезы Винклера, Стройиздат,
1947.
125. Кузнецов В. И., Упругое основание, Стройиздат, 1952.
126. Клубин П. И., Диссертация на соискание ученой степени доктора техн, наук
«Балки и плиты на упругом основании», Институт механики АП СССР, Москва,
1952.
127. Клубин П. И., Расчет балочных и круглых плит на упругом основании. Инже-
нерный сборник ИМ АН СССР, т. XII, 1952.
128. Ишкова А. Г., Тулайков А. Н., Некоторые задачи об изгибе пластин, ле-
жащих на упругом полупространстве, Инженерный сборник ИМ АН СССР, т. 23.
1956.
129. Смирнов В. И., Курс высшей математики, Гостехтеориздат, 1952.
130, Лунин Б. С., Балки постоянного поперечного сечения, лежащие на упругом
основании, КУБУЧ, 1933.
131. Кречмер В. В., Расчеты и проектирование плоских железобетонных фунда-
ментов, Стройиздат, 1936.
132. Горбунов-Посадов М. И., Таблицы для расчета балок на упругом осно-
вании, Госстройиздат, 1939.
133. Sadowsky М. A., Zweidimensionaie Probleme der Elastizitatstheorie, ZAMM,.
B. 8, D28.
134. Абрамов В. M., Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно
жестким фундаментом при учете сил трения. ДАН СССР, т. XVII, № 4, 1937.
330
Литература
135, Гастев В. А., О напряжениях в упругой среде, ограниченной плоскостью при
нагрузке бесконечно-жесткой стенкой, сборник ЛИИЖТ, № 127, 1937.
136, Г а л и н Л. А,, Контактные задачи теории упругости, Гостехтеориздат, 1953.
137. Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости, Гостехиздат, 1949.
138. Ломизе Б. М., Расчет жестких ленточных фундаментов, Гидротехническое
строительство, № 10, 1947.
139, Бегиашвили А. И., Решение задачи давления системы жестких профилей на
прямолинейную границу упругой полуплоскости, ДАН, т. XXVII, № 9, 1946.
140. Клуби н П. И., Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн, наук,
ЛПИ, 1936,
141. Короткий В. Г., Приближенное решение объемной задачи о жестком фунда-
менте, Труды Ленинградского индустриального института, № 3, 1938,
142. Привалов И. И., Интегральные уравнения, ОНТИ, 1935.
143. Faber О., Pressure Distribution under bases and Stability of Foundations, Struc.
Eng., 1933.
144. Л иповецкая T. Ф., Экспериментальные исследования распределения напря-
жений по подошве жестких штампов, расположенных на песчаном основании,
Известия ВНИИГ, т. 49, 1953.
145. Родштейн А. Г., Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн,
наук, ВОДГЕО, 1950.
146. Press, Druckverteilung im Boden unter starren und elastischen Grundplatten, Zen-
trablatt der Bauverwaltung. H. 41, 1934.
147. Burger, Der Bau der neuen Reinbriicke bei Ludwigshafen, Mannheim, Die
Bautechnik. H. 38, 1931, H. 45. 1932.
148. Белзецкий С. И., Несколько слов по вопросу о глубине заложения фунда-
ментов, Известия собрания инженеров путей сообщения, № 4, 1910.
149. Путко Т. Ф., Дипломная работа, Ленинградский политехнический институт,
1946.
150. Флорин В. А.. Расчет анкерных понуров. Отчет ЛПИ для Гидропроекта, 1949
151. Сегал Б И и Семендяев К. А., Пятизначные математические таблицы,
изд. АН СССР, 1950.
152. Рябошлык В. Ф., Дипломная работа, 1949. Диссертация на соискание ученой
степени кандидата техн. наук. Ленинградский политехнический институт, 1951.
153. Баркан Д. Д., Динамика оснований и фундаментов, Стройвоенмориздат, 1918.
154. Кофман В. А., О распределении напряжений и деформаций от действия вер-
тикальной силы внутри грунта, «Труды Научно-исследовательского института
оснований и фундаментов», сборник № 30, Госстройиздат, 1956.
331
СПИСОК УПОМИНАЕМЫХ АВТОРОВ1
(Указаны номера перечня литературы)
Абрамов В. М., 134
Арутюнян Н. X., 45
Бабков В. Ф., 12
Баркан Д. Д., 153
Бегиашвили А. И., 139
Белзецкий С. И., 148
Березанцев В. Г., 40
Боткин А. И., 41
Веселовский В. М., 25
Галин Л. А., 136
Гастев В. А., 135
Герсеванов Н. М., 5, 33, 39, 96, 112
Глушков Г. И., 67
Головин А. Я., 50, 63
Гольдштейн М. Н., 19, 32, 70
Горбунов-Посадов М. И., 51, 57, 84,
113, 118, 119, 120,121, 123, 132
Денисов Н. Я-, 13, 14
Дерягин Б. В., 20
Дутов Г. Д., 109
Егоров К. Е., 72, 81, 85
Жемочкин Б. Н., 65, 114, 117, 124
Иванов Н. Н,, 15, 94
Ишкова А, Г., 128
Кеиити Хаяси, 105
Клубин П. И., 115, 126, 127, 140
Колосов Г. В., 56
Короткин В, Г,, 69, 141
Кофман В, А., 154
Кошляков Н. С,, 62
Красников Н. Д., 93
Кречмер В. В,, 131
Крылов А, Н,, 108
Кузнецов В, И., 122, 125
Лебедев А. Ф., 10
Лехницкий С. Г., 87
Липовецкая Т. Ф., 144
Ломизе Б. М., 138
Ломизе Г. М., 28
Лунин Б. С., 130
Ляв А., 68
Маслов Н. Н., 21
Месчян С, Р., 44
Миняев П. А., 98
Ничипорович А, А., 22
Охотин В, В„ 8
Павловский Н, Н., 26
Папкович П. Ф., 38
Покровский Г. И., 49
Польшин Д. Е., 18, 60
Попов И. В., 4
Привалов И. И., 142
Приклонский В. А., 16
Проктор Г, Э., 110
Пузыревский Н. П,, 99, 107
Путко Т. Ф., 149
Раппопорт Р. М-, 86
Рельтов Б, Ф., 30
Родштейн А. Г,, 145
Роза С. А„ 27
Рябошлык В, ф., 152
Саваренский Ф. П., 1,3
Савин Г. Н,, 89
Сегал Б, И., 151
Сергеев Е. М., И
Смирнов В, И., 129
Степанов А. В„ 88
Тимошенко С. П., 54, 104
Филоненко-Бородич М. М., 66
Флорин В. А,, 6, 31, 34. 42, 43, 46, 55
61, 97, 150
Фрелих О. К, 95
Цытович Н. А., 7, 9
Чертоусов М. Д., 24
Шапиро Г. С., 83
Шейдиг А., 91
Штаерман И. Я., 137
Яропольский И. В., 100
Bernatzik W., 36
Biot М. А., 77
Borowicka Н., 116
Boussinesq 64
Burger, 147
Casagrande L., 29
Coulomb C., 37
Darcy.. 23
Faber O., 143
Filon L. N., 79
Flamant, 53
Huang Wen-Hsi, 58
1 Если работа опубликована несколькими авторами, то в списке авторов приво-
дится фамилия только первого автора.
332 Список упоминаемых авторов
Kogler F,, 47 Marguerre К.. 80, 82 Melan E., 75, 78 Michell J. H.. 59 Mindlin R., 76 Newmark N. M,, 73 Pasternac P, L.t 106 Prager W„ 111 Press, 146 • Rendulic, 35 Sadowsky M. A,, 133 Strohschneider, 48 Steinbrenner, 71 Terzaghi K., 17 Tschebotarioff G. P„ 74 Zimmermann H., 102 Winckler E., 103 Wolf K.( 90
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТАБЛИЦЫ I—XXVII
334
Приложения
Таблица I
2
Линия влияния ф0(ч) =-----для опРеДеления напряжений az от вертикальной нагрузки
Z £ 1 12 1 6 1 1 2 3 4 6 10
0 -7,6394 —3,8197 — 1,2732 —0,6366 -0,3185 -0,2122 —0,1592 —0,1061 —0,0637
1 6 —0,3056 -0,9549 — 1.0313 —0.3027 -0,3139 -0,2109 -0,1586 — 0,1059 —0,0637
2 6 - 0,0264 -0,1528 —0,6103 -0,5157 -0,3013 —0,2071 -0,1570 -0,1055 —0,0635
3 6 —0,0056 —0,0382 —0,3183 — 0,4074 - 0,2820 —0,2009 -0,1543 -0,1046 -0,0633
4 6 —0,018 —0,0132 —0,1650 -0,3051 - 0,2578 —0,1927 —0,1507 —0,1035 -0,0631
5 6 —0,0007 -0,0057 —0.0892 —0,2217 —0,2311 -0,1829 -0,1462 —0,1021 -0,0628
1 —0,0004 —0,0028 -0,0509 0,1591 - 0,2037 —0,1719 —0,1410 -0,1005 -0,0624
1 6 - 0,0002 —0,0015 -0,0307 -0,1142 -0,1772 -0,1601 -0,1352 -0,0985 -0,0620
2 6 —0,0001 -0,0009 -0,0194 —0,0825 —0,1526 -0,1480 —0,1290 -0,0964 —0,0615
3 б —0,0001 - 0,0006 —0,0127 -0,0603 —0,1304 —0,1358 -0,1223 —0,0940 —0,0609-
4 б -0,0004 —0,0087 —0,0446 -0,1109 —0,1239 0,1155 -0,0914 —0,0602
5 6 —0,0003 -0,0061 —0,0335 —0,0940 —0,1125 -0,1087 -0,0888 -0,0590
2 — 0,0002 -0,0044 - 0,0255 -0,0796 -0,1017 -0,1019 -0,0859 —0,0580
1 6 —0,0001 —0,0033 —0,0196 -0,0674 —0,0917 —0,0951 —0,0830 —0,0581
2 6 -0,0001 —0,0025 -0,0153 —0,0571 —0,0823 -0,0886 -0,0801 —0,0573
3 6 - 0,0001 —0,0019 0,0121 -0,0485 -0,0739 —0,0823 -0.0770 -0,0564
4 6 -0,0001 -0,0015 -0,0097 —0,0413 -0,0662 —0,0762 —0,0740 —0,0555
5 6 0,0012 -0,0078 -0,0352 -0,0593 —0,0706 —0,0709 - 0,0546
Приложения
335
Продолжение
2
Линия влияния ф0(£) = —
2а
(V + 2*)’
для определения напряжений ®z
от вертикальной нагрузки
Е 1 ~IT 6 1 2 ' 1 2 3 4 6 10
3 -0,0009 —0,0064 -0,0301 —0,0531 -0,0652 -0,0679 —0,053г
1 Т —0,0008 —0,0052 -0,0259 —0,0475 -0,0601 -0,0649 —0.052r
2 6 —0,0006 -0,004 а - 0,0223 -0,0425 -0,0554 —0,0620 —0,0516
3 6 —0,0005 —0,0036 —0,0193 -0,0381 -0,0511 -0,0591 —0,0507
4 т - 0,0004 — 0.00 41 0,0167 —0,0341 —0,0470 —0,0562 -0,049?
5 б —0,0004 -0,0026 -0,0145 -0,0306 —0,0432 -0,0535 -0,048*.
4 —0,0003 — 0,002. -0,0127 -0,0275 —0,0398 -0,0508 —0,0471
1 6 -0,0003 —0,00 i© -0,0112 —0,0247 —0,0366 -0,0483 -0,046?
2 6 —0,0002 -0,0016 -0,0098 -0,0223 0,0337 —0,0458 - 0,0451
3 6 —0,0002 -0,0014 0,0087 —0,0201 —0,0310 —0,04 35 —0,0440
4 6 —0,0002 -0,0012 —0,0076 - 0,0181 -0,0285 —0,0412 —0,042^
5 6 -0,0001 -0,0011 -0,0068 —0,0164 -0,0263 - 0,0390 —0,041 F
5 —0,0001 - 0,0009 0,0061 -0,0149 —0,0242 —0,0370 —0,040’
Таблица 1
Линия влияния ФИ^) " —
т’с
к (,•+£»)* лля
определения напряжений от вертикальной и а2 от
горизонтальной нагрузок
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 6 0,6112 0,9549 0,3439 0,1005 0,0206 0,0117 0,0066 0,0029 0,0011
2 6 0,1057 0,3056 0,4069 0,172» 0,0502 0,0230 0,0131 0,0059 0,0021
336
Приложения
Продолжена.
, 2 ?=Е
Линия влияния 4*1 (5)— — —----для определения напряжений txz от вертикальной и аг от
горизонтальной нагрузок
z е 1_ | 12 1 6 1 2 1 2 3 4 6 10
3 6 0,0335 0,1146 0,3183 0,2037 0,0705 0,0335 0,0193 0,0087 0,0032
4 6 0,0145 0,0529 0,2200 0,2034 0,0860 0,0428 0,0251 0,0115 0,0042
5 6 0,0075 0,0283 0,1487 0,1849 0,0963 0,0508 0,0305 0,0142 0,0052
1 0,0044 0,0167 0,1019 0,1592 0,1019 0,0573 0,0353 0,0167 0,006'1
1 “б- 0,0028 0,0107 0,0716 0,1333 0,1034 0,0623 0,0394 0,0192 0,0072
2 6 0,0019 0,0072 0,0516 0,1100 0,1017 0,0658 0,0430 0,0214 0.0082
3 6 0,0013 0,0051 0,0382 0,0904 0,0978 0,0679 0,0459 0,0235 0,009
4 6 0,0009 0,0037 0,0289 0,0743 0,0924 0,0686 0,0481 0,0254 0,0101
5 6 0,0007 0,0028 0,0224 0,0614 0,0862 0,0689 0,0498 0,0271 0,01 Of
2 0,0006 0,0022 0,0176 0,0509 0,0796 0,0678 0,0509 0,0286 0,0 in
1 6 0,0004 0,0017 0,0141 0,0426 0.0730 0,0662 0,0515 0,0299 0,012с
2 6 0,0003 0,0014 0,0115 0,0358 0.0666 0,0641 0,0517 0,0311 0,013*-
3 6 0,0003 0.0011 0,0094 0,0303 0,0606 0,0616 0,0515 0,0321 0,014
4 6’ 0,0002 0,0009 0,0078 0,0258 0,0550 0,0589 0,0508 0,0329 0,0144
5 6 0,0002 0,0008 0,0066 0,0221 0,0499 0,0560 0,0499 0,0335 0,015с
3 0,0002 0,0007 0,0056 0,0191 0,0452 0,0531 0,0489 0,0340 0,016.
1 т 0,0001 0,0006 0,0048 0,0166 0,0410 0,0501 0,0476 0,0343 0.016"
2 6 0,0001 0,0005 0,0041 0,0145 0.0372 0,0472 0,0462 0,0344 0,0172
3 6 0,0001 0,0004 0,0036 0,0127 0,0338 0,0444 0,0447 0,0345 0,017"
Приложения 337
П рододжение
2 гЪ
Линия влияния 4*j(£) = — +^)’s для определения напряжений от вертикальной и зг от
Горизонтальной нагрузок
z 1 12 1 6 1 2 1 2 3 4 б 10
4 6 0,0001 0,0004 0,0031 0,0112 0,0308 0,0417 0,0431 0,0344 0,0181
б 6 0,0001 0,0003 0,0027 0,0099 0,0279 0,0391 0,0414 0,0342 0,0186
4 0,0001 0,0003 0,0024 0,0088 0,0255 0,0367 0,0398 0,0339 0,0189
1 6 0,0001 0,0002 0,0021 0,0079 0,0283 0,0344 0,0381 0,0335 0,0192
2 6 0,0001 0,0002 0,0019 0,0071 0,0213 0,0322 0,0365 0,0331 0,0196
3 6 0,0002 0,0017 0,0063 0,0195 0,0301 0,0349 0,0326 0,0196
4 6 0,0002 0,0015 0,0057 0,0179 0,0282 0,0333 0,0320 0,0200
5 6 0,0001 0,0014. 0,0052 0,0164 0,0265 0,0318 0,0314 0,0202
5 0,0001 0,0012 0,0047 0,0151 0,0248 0,0303 0,0307. 0,0204
Таблица II
2 z ?
Линия влияния (?) = л (Zs .j. £1)з Для определения напряжений ах от вертикальной
и zxz от горизонтальной нагрузок
1 12 1 6 ’ I 1 2 3 4 6 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 ~6" —1,2231 —0,9549 —0,1146 —0,0167 —0,0022 —0,0007 —0,0003 —0,0001
2 6 —0,4229 —0,6112 —0,2712 -0,0573 —0,0084 —0,0026 -0,0011 —0,0003 -0,0001
3 6 —0,2009 —0,3439 —0,3183 —0,1019 —0,0176 -0,0056 -0,0024 —0,0007 -0,0002
4 6 -0,1157 -0,2116 —0,2934 -0,1356 —0,0287 -0,0096 -0,0042 —0,0013 -0,0003
5 6 —0,0749 —0,1413 -0,2478 —0,1541 -0,0401 —0,0141 -0,0064 -0,0020 -0,0004
1 —0,0523 —0,1004 —0,2037 -0,1592 -0,0509 —0,0191 -0,0088 —0,0028 -0,0006
1 ”6“ -0,0386 —0,0749 —0,1670 —0,1555 —0,0603 —0,0242 —0,0115 —0,0037 -0,0008
2 6 —0,0296 —0,0579 —0,1376 -0,1468 —0,0678 —0,0293 -0,0143 —0,0048 -0,0011
3 6 —0,0234 -0,0460 —0,1146 —0,1357 —0,0733 —0,0340 -0,0172 —0,0059 -0,0014
4 6 —0,0190 —0,0374 -0,0964 —0,1238 -0,0770 —0,0382 —0,0200 -0,0071 —0,0017
5 V —0,0157 —0,0311 —0,0821 —0,1126 -0,0790 -0,0421 —0,0228 -0,0083 —0,0020
—В. А, Флорин
338
П риложения
Продолжение
Линия вл ияния ф, (£) = —
(Za + £’)’
для определения напряжений а от вертикальной
и -с от горизонтальной нагрузок
1 ТГ 1 6“ 1 2 1 2 3 4 6 10
2 —0,0132 -0,0262 —0,0705 —0,1019 —0,0796 -0,0452 -0,0255 -0,0095 —0,0024
1 6 —0,0113 —0,0223 —0,0611 -0.0922 —0,0790 -0,0478 —0,0279 —0,0108 —0,0027
2 6 —0,0097 —0,0193 —0,0534 —0,0835 —0,0778 -0,0499 -0,0302 —0,0121 —0,0031
3 6 -0,0085 —0,0168 —0,0471 —0,0757 -0,0758 -0,0514 —0,0322 —0,0134 -0,0035
4 6 —0,0075 -0,0148 —0,0418 —0,0688 —0,0734 —0,0523 —0,0339 -0,0146 —0,0039
5 ”6” j —0.0066 -0,0131 —0,0373 -0,0627 —0,0707 -0,0529 —0,0354 —0,0158 -0,0044
3 —0,0059 —0,0117 —0,0335 —0,0573 -0,0678 -0,0531 —0,0367 —0,0169 -0,0048
1 6 —0,0053 —0,0105 —0,0303 -0,0525 —0,0649 —0,0529 -0,0377 -0,0181 —0,0053
2 6 —0,0043 —0,0095 —0,0274 —0,0482 -0,0619 —0,0525 —0,0385 —0,0191 —0,0057
3 6 —0,0043 —0,0086 —0,0250 -0,0444 —0,0591 -0,0518 -0,0391 -0,0201 —0,0062
4 6 —0,0039 —0,0079 —0,0228 —0,0410 —0,0565 —0,0510 —0,0395 -0,0210 —0,0066
5 6 4 —0,0036 —0,0033 —0,0072 —0,0066 —0,0209 —0,0193 —0,0380 -0,0353 -0,0535 -0,0509 —0,0500 -0,0489 -0,0397 -0,0398 -0,0219 —0,0226 —0,0071 —0,0076
1 V -0,0031 —0,0061 -0,0178 -0,0328 —0,0485 -0.0477 -0,0397 -0,0233 —0,0080
2 6 -0,0028 —0,0056 —0,0165 —0,0306 -0,0462 - 0,0465 -0,0396 -0,0239 —0,0085
3 6 —0,0026 —0,0052 —0,0153 —0,0285 —0,0439 -0,0452 -0,0392 —0,0245 —0,0089
4 6 —0.0024 —0,0048 —0,0143 —0,0268 —0,0417 -0,0439 —0,0389 —0,0249 —0,0093
5 6 —0,0023 -0,0045 -0,0133 —0,0251 —0,0397 -0,0426 -0,0384 —0,0253 —0,0098
5 —0.0021 —0,0042 —0,0125 —0,0236 —0,0379 —0,0413 —0,0379 —0,0257 -0,0102
Таблица IV
2 6»
Линия влияния ф8 (£)=— к + для определения напряжений ох
от горизонтальной нагрузки
\ 2 е \ 0 1 12 1 иг 1 2 1 2 3 4 6 10
0 1 6 00 3.8197 О 2,4446 0 0,9549 0 0,0382 0 0,0028 0 0,0002 0 0 0 0
2 6 1,9099 1,6918 1,2224 0,1808 0,0191 0,0014 0,0003 0,0001
3 6 1,2732 1,2053 1,0313 0,3183 0,0509 0,0044 0,0009 0,0003 0,0001
4 6 0.9549 0,9258 0,8459 0,3911 0,0905 0,0095 0,0021 0,0007 0,0001
Приложения
339
Продолжение
Линия влияния (р3 (£) = —
для определения напряжений ая
от горизонтальной нагрузки
Z £ \ 0 I 12 1 6 1 2 1 2 3 4 6 10
5 6 0,7639 0,7497 0,7063 1 0,4130 0,1283 1 0,0167 0,0039 0,0013 0.0С03
1 0,6366 0,6279 0,6027 0,4074 0,1592 0,0255 0,0064 0,0022 0,0005 0,0001
1 6 0,5457 0,5401 0,5241 0,3895 0,1813 0,0352 0,0094 0,0034 0,0007 0,0001
2 6 0,4775 0,4738 0,4629 0,3670 0,1956 0,0452 0,0130 0,0048 0,0011 0,0001
3 6 0,4244 0,4218 0,4141 0,3438 0,2034 0,0550 0,0170 0,0065 0,0015 0,0002
4 6 0,3820 0,3801 0,3744 0,3215 0,2065 0,0642 0,0212 0,0084 : 0,0020 0,0003
5 6 0,3473 0,3458 0,3416 0,3008 0,2063 0,0724 0,0257 0,0105 0,0025 0,0004
2 0,3183 0,3172 0,3140 0,2820 0,2037 0,0796 0,0301 0,0127 0,0032 0,0005
1 т 0,2938 0,2930 0,2904 0,2649 0,1997 0,0857 0,0345 0,0151 0,0039 0,0006
2 6 0,2728 0,2721 0,2701 0,2494 0,1947 0,0907 0,0388 0,0176 0,0047 0,0007
3 6 0,2546 0,2541 0,2524 0,2354 0.1892 0,0947 0,0428 0,0201 0,0056 0,0009
4 6 0,2387 0,2383 0,2369 0,2228 0,1835 0,0978 0,0465 0,0226 0,0065 0,0011
5 6 0,2247 0,2243 0,2231 0,2113 0,1777 0,0100 0,0500 0,0251 0,0075 0,0012
3 0,2122 0,2119 0,2109 0,2009 0,1718 0,1018 0,0531 0,0275 0,0085 0,0014:
1 6 0,2010 0,2008 0,1999 0,1914 0,1662 0,1027 0,0558 0,0296 0,0095 0,0017
2 6 0,1910 0,1908 0,1900 0,1827 0,1607 0,1033 0,0583 0,0321 0,0106 0,0019
3 6 0,1819 0,1817 0,1811 0,1747 0,1555 0,1034 0,0604 0,0342 0,0117 . 0,0022
4 6 0,1736 0,1734 0,1729 0,1673 0,1504 0,1031 0,0623 0,0362 0,0128 0.0024,
5 6 0,1661 0,1659 0,1654 0,1606 0,1456 0,1026 0,0639 0,0381 0,0140 0,0027
4 0,1592 0,1590 0,1586 0,1543 0,1410 0,1019 0,0652 0,0398 0,0151 0,0030
1 ~6 0,1528 0,1527 0,1523 0,1485 0,1366 0,1009 0,0663 0,0414 0,0162 0,0033
2 6 0,1469 0,1468 0,1465 0,1431 0,1324 0,0998 0,0671 0,0428 0,0173 0,0037
3 6 0,1415 0,1414 0,1411 0,1380 0,1285 0,0986 0,0678 0,0441 0,0183 0,0040
4 6 0,1364 0,1363 0,1361 0,1333 0,1247 0,0974 0,0683 0,0453 0,0194 0,0044
5 6 0,1317 0,1316 0,1314 0,1292 0,1211 0,0960 0,0686 0,0464 0,0204 0,0047
5 0,1273 0,1273 0,1270 0,1248 0,1177 0,0946 0,0688 0,0473 0,0214 0,0051
22*
340
Приложения
Таблица
Напряжения —- и ..Л*2 . от вертикальной и горизонтальной равномерно
7 вер 7 гор
распределенных нагрузок
\ а а \ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
0,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000/0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 0,972 0,872 0,871 0,864 0,835 0,774 0,468 0,123 0,042 0,015 0,009 0,006
0,2 0,754 0,750 0,742 0,736 0,685 0,593 0,437 0,190 0,079 0,0 S0 0,016 0,016
0,3 0,643 0,643 0,618 0,615 0,564 0,482 0,405 0,238 0,117 0,047 0,027 0,015
0,5 0,450 0,448 0,440 0,462 0,399 0,356 0,348 0,286 0,171 0,074 0,041 0,026
0,7 0,314 0,309 0,305 0,301 0,286 0,276 0,291 0,284 0,200 0,096 0,054 0,034
1,0 0,134 0,186 0,191 0,199 0,178 0,195 0,225 0,224 0,211 0,122 0,074 0,049
1,5 0,080 0,081 0,081 0,087 0,097 0,114 0,143 0,180 0,185 0,145 0,097 0,068
2,0 0,042 0,042 0,043 0,045 0,055 0,067 0,089 0,123 0,145 0,135 0,103 0,077
3,0 0,015 0,013 0,013 0,017 0,021 0,028 0,040 0,063 0,084 0,102 0,097 0,083
4,0 0,006 0,006 0,006 0,007 0,010 0,013 0,021 0,033 0,049 0,071 0,078 0,075
5,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,004 0,011 0,020 0,030 0,048 0,062 0,053
Таблица IV
Напряжения
—z.— от вертикальной равномерно распределенной нагрузки
?вер
\ к \ а а \ 0,0 0,1 0,2 0.3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
0,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000/0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,500 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000
0,2 0,998 0,996 0,996 0,996 0,989 0,961 0,499 0,010 0,005 0,000 0,000 0,000
0,3 0,993 0,998 0,987 0,985 0,966 0,910 0,498 0,030 0,005 0,001 0,000 0,000
0,5 0,960 0,960 0,954 0,942 0,907 0,808 0,496 0,090 0,019 0,002 0,001 0,000
0,7 0,906 0,905 0,900 0,887 0,830 0,732 0,489 0,148 0,042 0,005 0,004 0,001
1.0 0,822 0,820 0,815 0,807 0,728 0,651 0,479 0,218 0,084 0,017 0,005 0,003
1.5 0,670 0,656 0,661 0,647 0,607 0,552 0,449 0,262 0,145 0,050 0,015 0,007
2,0 0,540 0,540 0,543 0,535 0,511 0.475 0,409 0,288 0,185 0,071 0,029 0,013
3,0 0,397 0,395 0,395 0,389 0,379 0,354 0,334 0,273 0,211 0,114 0,059 0,032
4,0 0,306 0,305 0,304 0,303 0,292 0,291 0,275 0,243 0,205 0,134 0,083 0,051
5,0 0,242 0,242 0,242 0,241 0,239 0,237 0,231 0,215 0,188 0,140 0,094 0,065
Приложения
341
т , Напряжения ——- н ^вер Таблица V а- - от вертикальной н горизонтальной равномерно ^гор распределенных нагрузок
& 1и у' j/ »р 0,0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0
0,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0;000 0,000 0,318
0.1 0,0 0,001 0.003 0,005 0,011 0,030 0,316
0,2 0,0 0,005 0,009 0,016 0,038 0,092 0,314
0,3 0,0 0,009 0,022 0,034 0,072 0,150 0,312
0,5 0,0 0,020 0,042 0,066 0,127 0,209 0,300
0,7 0,0 0,027 0,057 0,088 0,154 0,222 0,284
1,0 0.0 0,031 0,064 0,096 0,159 0,210 0.255
1.5 0,0 0,027 0,054 0,087 0,127 0,167 0,203
. 2,0 0,0 0,020 0,040 0,060 0,096 0.126 0,159
3,0 0,0 0,011 0,023 0,031 0,055 0,080 0,098
4,0 0,0 0,007 0,014 0,020 0,034 0,047 0,064
5,0 0,0 0,005 0,009 0,014 0,023 0,031 0,043
Таблица VI
Значения и —— в точках, расположенных на разных глубинах
на вертикалях, проходящих по краям полосы, загруженной равномерно
распределенной вертикальной нагрузкой
9 Ф | Sy Z m = —-— 2а % я ф |
0,0 0,5000 1,0000 2,6 0,2235 0,2338
0,1 0,4998 0.9365 2,8 0,2100 0,2184
0,2 0,4984 0,8743 3,0 0,1979 0,2048
0,3 0,4948 0,8145 3,2 0,1870 0,1928
0,4 0,4886 0,7578 3,4 0,1772 0,1821
: 0,5 0,4797 0,7048 3,6 0,1683 0,1725
, 0,6 0,4684 0,6560 3,8 0,1603 0,1638
0,7 0,4551 0,6110 4,0 0,1529 0,1560
0,8 0,4405 0,5704 4,2 0,1461 0,1488
0,9 0,4250 0,5335 4,4 0,1399 0,1423
1.0 0,4092 0,5000 4,6 0,1342 0,1363
1,2. 0,3777 0,4423 4,8 0,1289 0,1308
1,4 0,3480 0,3949 5,0 0,1240 0,1257
1,6 0.3209 0,3556 6,0 0,1042 0.1051
1,8 0,2965 0,3228 7,0 0,0897 0,0903
2,0 0,2749 0,2952 8.0 0,0788 0,0792
2,2 0,2557 0,2716 9,0 0,0702 0,0704
24 0,2387 0,2513 10,0 0,0632 0,0635
342
Приложения
Таблица VII
а. Напряжения — от вертикальной треугольной нагрузки
2в 2 2д -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 1.5 2,0 2,5
0,00 ) 0 0 0 0,25 0,50 0,75 0,50 0 0 0
0,25 — — 0,001 0,075 0,256 0,480 0,643 0,424 0,015 0,003 —
0,50 0,002 0,003 0,023 0,127 0,263 0,410 0,477 0,353 0,056 0,017 0,003
0,75 0,006 0,016 0,042 0,153 0,248 0,335 0,361 0,293 0,108 0,024 0,009
1,0 0,014 0,025 0,061 0,159 0,223 0,275 0,279 0,241 0,129 0,045 0,013
1,5 0,020 0,048 0,096 0,145 0,178 0,200 0,202 0,185 0,124 0,062 1,041
2,0 0,033 0,061 0,092 0,127 0,146 0,155 0,163 0,153 0,108 0,069 0.050
3,0 0,050 0,064 0,080 0,096 0,103 0,104 0,108 0,104 0.090 0,071 0,050
4,0 0,051 0,060 0,067 0,075 0,078 0,085 0,082 0,075 0,073 0,600 0,049
5,0 0,047 0,052 0,057 0,059 0,062 0,063 0,063 0,065 0,061 0,051 0,047
6,0 0,041 0,041 0,050 0.051 0,052 0,053 0,053 0,053 0,050 0,050 0,045
Значения g2 q © и —— для точек на разных глубинах Таблица VIII расположенных на
вертикалях, проходящих по краям полосы, загруженной треугольной вертикальной нагрузкой
_ г в ~ 2 ®z 9
П1 2а q q 2а 4
0,0 0,0000 0,0000 2,6 0,1067 0,1142
0,1 0,0315 0,1469 2,8 0,1008 0,1070
0,2 0,0612 0,2074 3,0 0,0955 0,1006
0,3 0,0876 0,2383 3,2 0,0906 0,0949
0,4 0,1088 0,2522 3,4 0,0862 0,0898
0,5 0.1273 0,2561 3,6 0,0871 0,0852
0,6 0,1404 0,2538 3,8 . 0,0783 0,0810
0,7 0,1495 0,2478 4,0 0,0709 0,0772
0,8 0,1553 0,2396 4,2 0,0717 0,0737
0,9 0,1583 0,2303 4,4 0,0688 0.0705
1,0 0,1592 0,2206 4,6 0,0661 0,0676
1.2 0,1565 0,2014 4,8 0,0636 0,0649
1,4 0,1506 0,1837 5,0 0,0619 0,0624
1,6. 0,1431 0,1679 6,0 0,0516 0,0523
1,8 0,1351 0,1541 7,0 0,0996 0,0450
2,0 0,1293 0,1421 8,0 0,0392 0,0395
2,2 0,1199 0,1315 9,0 0,0349 0,0351
2,4 0,1130 0,1223 10,0 0,0315 0,0317
Приложения
343
Таблица IX
Напряжения 0 от равномерно распределенной горизонтальной нагрузки
X. а z а 0,0 од 0,2 0,3 0,5 0,7 1,о 1,5 2,0 з,о 4,0 5,0
0,0 0,0 0,128 0,258 0,394 0,699 1,105 — 1,025 0,598 0,441 0,325 [0,257
0,1 0,0 0,124 0,252 0,386 0,677 1,039 1,596 0,998 0,698 0,437 0,325 0,257
0,2 0,0 0.118 0,234 0,361 0,620 0,873 1,156 0,935 0,679 0,436 0,324 0,257
0,3 0,0 0,107 0,214 0,323 0,544 0,733 0,896 0,849 0,653 0,431 0,323 0,257
0,5 0,0 0,081 0,160 0,242 0,385 0,499 0,601 0,612 0,573 0,431 0,320 0,261
0,7 0,0 0,058 0,114 0,167 0,243 0,330 0,413 0,519 0,465 0,390 0,296 0,247
1,0 0,0 0,033 0,063 0,092 0,133 0,195 0,256 0,347 0,385 0,345 0,283 0,238
1,5 0,0 0,012 0,024 0,027 0,061 0,087 0,123 0,187 0,236 0,267 0,247 0,215
2,0 0,0 0,002 0,011 0,016 0,028 0,040 0,062 0,106 0,145 0,196 0,204 0,199
3,0 0,0 0,002 0,003 0,008 0,009 0,012 0,018 0,036 0,060 0,101 0,140 0,137
4,0 0,0 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,007 0,016 0,079 0,053 0,078 0,094
5,0 0,0 0,000 0,000 0,001 0,001 0,009 0,004 0,080 0,013 0,030 0,053 0,062
6 Таблица X
Значения - Г н- - ДЛ! а точек на разных глубинах расположенных на
вертикалях , проходящих по краям полосы, загруженной равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой
Z т= —— 2а 7г Q Q j ® Z <7 с, | ф
0,0 0,3183 СО 2,6 0,0410 0,0439
0,1 0,3152 1,4690 2,8 0,0360 0,0382
0,2 0,3061 1,0371 3,0 0,0318 0,0335
0.3 0,2920 0,7939 3,2 0,0283 0,0297
0,4 0.2744 0,6306 3,4 0,0253 0,0264
0,5 0,2546 0,5123 3,6 0,0228 0,0237
0,6 0,2341 0,4231 3,8 0,0206 0,0213
0,7 0,2136 0,3540 4,0 0,0187 0,0193
0,8 0,1941 0,2995 4,2 0,0171 0,0176
0,9 0,1759 0,2559 4,4 0,0156 0,0160
1,0 0,1592 0,2206 4,6 0,0144 0,0147
1,2 0,1305 0,1679 4,8 0,0132 0,0135
1.4 0,1075 0,1312 5,0 0,0122 0,0125
1,6 0,0894 0,1050 6,0 0,0086 0,0087
1,8 0,0751 0,0856 7,0 0,0064 0,0064
2,0 0,0637 0,0710. 8,0 0,0049 0,0049
2,2 0,0545 0,0598 9,0 0,0039 0,0039
2,4 0,0471 0,0510 10,0 0,0032 0,0032
344
Приложения
Таблица XI
Значения k для случая сосредоточенной вертикальной силы
Отноше- ние гр Коэффи- циент k Отноше- ние r/z Коэффи- циент k Отноше- ние r/z Коэффи- циент k Отноше- ние r;z Коэффи- циент k
0,00 0,4775 0,50 0,2733 1,00 0,0844 1,50 0,0251
0,01 0,4773 0,51 0,2679 1,01 0,0823 1,51 0,0245
0,02 0,4770 0,52 0,2625 1,02 0,0803 1,52 0,0240
0,03 0,4764 0,53 0,2571 1,03 0,0783 1,53 0,0234
0,04 0,4756 0,54 0,2518 1,04 0,0764 1,54 0,0229
0,05 0,4745 0,55 0,2466 1,05 0,0744 1,55 0,0224
0,06 0,4732 0,56 0,2414 1,06 0,0727 1,56 0,0219
0,07 0,4717 0,57 0,2363 1,07 0,0709 1,57 0,0214
0,08 0,4699 0,58 0,2313 1,08 0,0691 1,58 0,0209
0,09 0,4679 0,59 0,2263 1,09 0,0674 1,59 0,0204
0,10 0,4657 0,60 0,2214 1,10 0,0658 1,60 0,0200
0,11 0,4633 0,61 0,2165 1.11 0,0641 1,61 0,0195
0,12 0,4607 0,62 0,2117 1,12 0,0626 1,62 0,0191
0,13 0,4579 0.63 0,2070 1,13 0,0610 1,63 0,0187
0,14 0,4548 0,64 0,2024 1,14 0,0595 1.64 0,0183
0,15 0.4516 0,65 0,1978 1,15 0,0581 1,65 0,0179
0,16 0,4482 0,66 0,1934 1,16 0,0567 1,66 0,0175
0,17 0,4446 0,67 0,1889 1,17 0,0553 1,67 0,0171
0,18 0,4409 0,68 0,1846 1,18 0,0539 1,68 0,0167
0,19 0,4370 0,69 0,1804 1,19 0,0526 1,69 0,0163
0,20 0,4329 0.70 0,1762 1,20 0,0513 1,70 0,0160
0,21 0,4286 0,71 0,1721 1,21 0,0501 1,72 0,0153
0,22 0,4242 0,72 0,1681 1,22 0,0489 1,74 0,0147
0,23 0,4197 0,73 0,1641 1,23 0,0477 1,76 0,0141
0,24 0,4151 0,74 0,1603 1,24 0,0466 1,78 0,0135
0,25 0,4103 0,75 0,1565 1,25 0,0454 1,80 0,0129
0,26 0,4054 0,76 0,1527 1,26 0,0443 1,82 0,0124
0,27 0,4004 0,77 0,1491 1,27 0,0433 1,84 0,0119
0,28 0,3954 0,78 0,1455 1,28 0,0422 1,86 0,0114
0,29 0,3902 0,79 0,1420 1,29 0.0412 1,88 0,0109
0,30 0,3849 0,80 0,1386 1,30 0,0402 1,90 0,0105
0^31 0,3796 0,81 0,1353 1,31 0,0393 1,92 0,0101
0,32 0,3742 0,82 0,1320 1,32 0,0384 1,94 0,0097
0,33 0,3687 0,83 0,1288 1,33 0,0374 1,96 0,0093
0,34 0,3632 0,84 0,1257 1,34 0,0365 1,98 0,0089
0,35 0,3577 0,85 0,1226 1,35 0,0357 2,00 0,0085
0,36 0,3521 0,86 0,1196 1,36 0,0348 2,10 0,0070
0,37 0,3465 0,87 0,1166 1,37 0,0340 2,20 0,0058
0,38 0,3408 0,88 0,1138 1.38 0,0332 2,30 0,0048
0,39 0,3351 0,89 0,1110 1,39 0,0324 2,40 0,0040
0,40 0,3294 0.90 0,1083 1.40 0,0317 2,50 0,0034
0,41 0,3238 0,91 0,1057 1,41 0,0309 2,60 0,0029
0,42 0,3181 0,92 0,1031 1,42 0,0302 2,70 0,0024
0,43 0,3124 0,93 0,1005 1,43 0,0295 2,80 0,0021
0,44 0,3068 0,94 0,0981 1,44 0,0288 2,90 0,0017
0,45 0,3011 0.95 0,0956 1,45 0,0282 3,00 0,0015
0,46 0,2955 0,96 0,0933 1,46 0,0275 3,50 0,0007
0,47 0,2899 0,97 0,0910 1,47 0,0269 4,00 0,0004
0,48 0.2843 0,98 0,0887 1,48 0,0263 4,50 0,0002
0,49 0,2788 0,99 0,0865 1,49 0,0257 5,00 0,0001
Таблица ХП
Значения в точках на разных глубинах, расположенных на угловых вертикалях при равномерно распределенной
ч
нагрузке на прямоугольной площади загружения
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1.4 1,6 1.8 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
0,0 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500 0,2500
0,2 0,2044 0,2395 0,2461 0,2479 0,2486 0,2489 0,2490 0,2491 0,2491 0,2491 0,2492 0,2492 0,2492 0,2492 0,2492
0,4 0,1363 0,2024 0,2268 0,2361 0,2401 0,2420 0,2429 0,2434 0,2437 0,2439 0,2442 0,2443 0,2443 0,2443 0,2443
0,6 0,0959 0,1613 0,1965 0,2141 0,2229 0,2275 0,2300 0,2315 0.2324 0,2329 0,2339 0,2341 0,2342 0,2342 0,2342
0,8 0,0712 0,1274 0,1646 0,1869 0,1999 0,2075 0,2120 0,2147 0,2164 0,2176 0,2196 0,2200 0,2202 0,2202 0,2202
1,0 0,0547 0,1013 0,1360 0,1593 0,1752 0,1851 0,1911 0,1955 0,1981 0,1999 0,2034 0,2042 0,2045 0,2046 0,2046
1,2 0,0431 0,0815 0,1123 0,1353 0,1516 0,1626 0,1705 0,1758 0,1793 0,1818 0,1870 0,1882 0,1887 0,1888 0,1888
1,4 0,0347 0,0664 0,0932 0,1144 0,1305 0,1423 0,1508 0,1569 0,1613 0,1644 0,1712 0,1730 0,1738 0,1739 0,1740
1,6 0,0283 0,0548 0,0779 0,0971 0,1120 0,1241 0,1329 0,1396 0,1445 0,1482 0,1567 0,1590 0,1601 0,1603 0,1604
1,8 0,0235 0,0458 0,0657 0,0828 0,0969 0,1083 0,1172 0,1241 0,1294 0,1334 0,1434 0,1463 0,1478 0,1481 0,1483
2,0 0,0198 0,0387 0,0559 0,0711 0,0840 0,0947 0,1034 0,1103 0,1158 0,1202 0,1314 0,1350 0,1368 0,1372 0,1374
2,5 0,0135 0,0265 0,0388 0,0501 0,0602 0,0691 0,0767 0.0833 0,0888 0,0931 ОД 063 0,1114 0,1144 0,1151 0,1153
3,0 0,0097 0,0192 0,0283 0,0368 0,0447 0,0519 0,0583 0,0640 0,0690 0,0732 0,0870 0,0931 0,0973 0,0983 0,0987
5,0 0,0037 0,0074 0,0110 0,0145 0,0179 0,0212 0,0243 0,0274 0.0302 0,0328 0,0435 0,0504 0,0573 0,0599 0,0610
7,0 0,0019 0,0038 0,0057 0,0076 0.0094 0,0112 0,0130 0,0147 0,0164 0,0180 0,0250 0,0306 0,0376 0,0411 0,0428
10,0 0,0009 0,0019 0,0028 0,0038 0,0047 0,0056 0,0065 0,0074 0,0083 0,0092 0,0132 0,0167 0,0222 0,0258 0,0280
Таблица ХТП <•
Значения в точках на разных глубинах, расположенных на угловых вертикалях при равномерно
распределенной нагрузке на прямоугольной площади загружения
п =-Ь/а т^х'Ча 0,2 0,4 o.fi 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
0,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
0,2 0,2439 0,3405 0,3804 0,4003 0,4114 0,4183 0,4230 0,4259 0,4281 0,4297 0,4337 0,4352 0,4363 0,4367 0,4369
0,4 0,1363 0,2280 0,2810 0,3119 0,3308 0,3430 0,3515 0,3570 0,3612 0,3643 0,3721 0,3750 0,3771 0,3779 0,3782
0,6 0,0874 0,1578 '0,2074 0,2406 0,2630 0,2782 0,2890 0,2967 0,3024 0,3068 0,3179 0,3222 0,3254 0,3265 0,3270
0,8 0,0607 0,1136 0,1552 0,1812 0,2087 0,2251 0,2371 0,2458 0,2529 0,2582 0,2721 0,2776 0,2818 0,2833 0,2840
1,0 0,0443 0,0846 0,1185 0,1456 0,1667 0,1828 0,1952 0,2047 0,2121 0,2180 0,2341 0,2406 0,2457 0,2476 0,2486
1,2 0,0336 0,0649 0,0924 0,1156 0,1344 0,1495 0,1616 0,1711 0,1788 0,1850 0,2026 0,2101 0,2162 0,2182 0,2193
1,4 0,0262 0,0510 0,0735 0,0931 0,1097 0,1235 0,1348 0,1441 0,1518 0,1580 0,1766 0,1848 0,1915 0,1940 0,1952
1,6 0,0209 0,0410 0,0596 0,0762 0,0906 0,1030 0,1135 0,1223 0,1296 0,1358 0,1549 0,1638 0,1711 0,1739 0,1753
1,8 0,0171 0,0336 0,0491 0,0632 0,0758 0,0868 0,0964 0,1046 0,1116 0,1177 0,1368 0,1460 0,1540 0,1571 0,1588
* 2,0 0,0142 0,0280 0,0410 0,0531 0,0641 0,0739 0,0826 0,0900 0,0967 0,1024 0,1214 0,1310 0,1395 0,1428 0,1445
2,5 0,0094 0,0187 0,0276 0,0361 0,0440 0,0514 0,0581 0,0642 0,0696 0,0745 0,0921 0,1020 0,1114 0,1153 0,1173
3,0 0,0067 0,0133 0,0198 0,0260 0,0319 0,0375 0,0427 0,0475 0,0520 0,0561 0,0718 0,0814 0,0913 0,0957 0,0980
5,0 0,0025 0,0050 0,0074 0,0099 0,0122 0,0146 0,0168 0,0190 0,0212 0,0232 0,0322 0,0391 6,0481 0,0532 0,0561
7,0 0,0113 0,0026 0,0038 0,0051 0,0064 0,0076 0,0088 0,0100 0,0111 0,0124 0,0177 0,0224 0,0293 0,0339 0,0370
10,0 0,0006 0,0013 0,0019 0,0025 0,0032 0,0038 0,0044 0,0047 0,0056 0,0067 0,0091 0,0118 0,0163 0,0198 0,0224
Приложения
Таблица XlV
is2
Значения -у в точках на разных глубинах, расположённых на угловых вертикалях при Треугольной нагрузке на
прямоугольной площади загружения
X. п^=Ь/а m=z)2a 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1.4 1,6 1,8 2,0 3,0 4,0 6,0 8.0 10,0
0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,2 0,0223 0,0280 0,0296 0,0301 0,0304 0,0305 0.0305 0,0306 0,0306 0,0306 0,0306 0,0306 0,0306 0,0306 0,0306
0,4 0,0269 0,0420 0,0487 0,0517 0,0531 0,0539 0,0543 0,0545 0,0546 0,0547 0,0548 0,0549 0,0549 0,0549 0,0549
0,6 0,0259 0,0448 0,0560 0,0621 0,0654 0.0673 0,0684 0,0690 0,0694 0,0696 0,0701 0,0702 0,0702 0,0702 0,0702
0,8 0,0232 0,0421 0,0553 0,0637 0,0688 0,0720 0,0739 0,0751 0,0759 0,0764 0,0773 0,0776 0,0776 0,0776 0,0776
1,0 0,0201 0,0375 0,0508 0,0602 0,0666 0,0708 0,0735 0,0753 0,0766 0,0774 0,0790 0,0794 0,0795 0,0796 0,0796
1,2 0,0171 0,0324 0,0450 0,0546 0,0615 0.0664 0,0698 0,0721 0,0738 0,0749 0,0774 0,0779 0,0782 0,0783 0,0783
1.4 0,0145 0,0278 0,0392 0,0483 0,0551 0,0606 0,0644 0,0672 0,0692 0,0707 0,0739 0,0748 0,0752 0,0752 0,0753
1.6 0,0123 0,0238 0,0339 0,0424 0,0492 0,0545 0,0586 0,0616 0,0639 0,0656 0,0697 0,0708 0,0714 0,0715 0,0715
1,8 0,0105 0,0204 0,0394 0,0371 0,0435 0,0487 0,0528 0,0560 0,0585 0,0604 0,0652 0,0666 0,0673 0,0675 0,0675
. 2,0 0,0090 0,0176 0,0255 0,0324 0,0384 0,0434 0,0474 0,0507 0,0533 0,0553 0,0607 0,0624 0,0634 0,0636 0,0636
2,5 0,0063 0,0125 0,0183 0,0236 0,0284 0,0326 0,0362 0,0393 0,0419 0,0440' 0,0504 0,0529 0,0543 0,0547 0,0548
3,0 0,0046 0,0092 0,0135 0,0176 0,0214 0,0249 0,0280 0,0307 0,0331 0,0352 0,0419 0,0449 0,0469 0,0474 0,0476
5,0 0,0018 0,0036 0,0054 0,0071 0,0088 0,0104 0,0120 0,0135 0,0148 0,0161 0,0214 0,0248 0,0283 0,0296 0,0301
7,0 0,0009 0,0019 0,0028 0,0038 0,0017 0,0056 0,0064 0,0073 0,0081 0,0089 0,0124 0,0152 0,0186 0,0204 0,0212
10,0 0,0005 0,0009 0,0014 0,0019 0,0023 0,0028 0,0033 0,0037 0,0041 0,0046 0,0066 0,0084 0,0111 0,0128 0,0139
Приложения
Таблица XV
0
Значения 'в точках на разных глубинах, расположенных на угловых вертикалях при треугольной
вертикальной нагрузке на прямоугольной площади загружения
п=Ь;а 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 3,0 4,0 6,0 -jk 8,0 1 10,0 ’
0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,2 0,0437 0,0675 0,0802 0,0875 0,0920 0,0949 0,0969 0,0963 0,0993 0,1001 0,1020 0,1027 0,1033 0,1035 0,1036
0,4 0,0378 0,0660 0,0844 0,0963 0,1041 0,1093 0,1130 0,1156 0,1175 0,1190 0,1228 0,1242 0,1252 0,1256 0,1258
0,6 0,0299 0,0551 0,0740 0,0874 0,0968 0,1035 0,1083 0,1119 0,1146 0,1166 0,1220 0,1241 0,1256 0,1262 0,1264
0,8 0,0234 0,0442 0,0612 0,0742 0,0840 0,0913 0,0968 0,1009 0,1041 0,1066 0,1133 0,1160 0,1181 0,1188 0,1192
’ 1.0 0,0184 0,0353 0,0498 0,0616 0,0710 0,0783 0,0839 0,0884 0,0919 0,0947 0,1024 0,1057 0,1082 0,1091 0,1095
1,2 0,0146 0,0283 0,0405 0,0508 0,0594 0,0664 0,0720 0,0765 0,0801 0,0830 0,0916 0,0952 0,0982 0,0993 0,0998
1,4 0,0118 0,0230 0,0332 0,0421 0,0198 0,0562 0,0615 0,0659 0,0695 0,0725 0,0815 0,0856 0,0889 0,0932 0,0908
1,6 0,0096 0,0189 0,0274 0,0351 0,0419 0,0477 0,0527 0,0569 0,0604 0,0634 0,0726 0,0770 0,0806 0,0821 0,0827
1,8 0,0080 0,0157 0,0229 0,0296 0,0355 0,0408 0,0453 0,0492 0,0526 0,0555 0,0648 0,0694 0,0734 0,0749 0,0757
2,0 0,0067 0,0132 0,0194 0,0251 0,0304 0,0351 0,0392 0,0429 0,0460 0,0488 0,0580 0,0628 0,0670 0,0687 0,0695
2,5 0,0045 0,0090 0,0133 0,0174 0,0212 0,0248 0,0280 0,0310 0,0337 0,0361 0,0447 0,0495 0,0542 0,0562 0,0279
3.0 0,0033 .0,0065 0,0096 0,0126 0,0155 0,0183 0,0208 0,0232 0,0254 0,0274 0,0351 0,0399 0,0448 0,0469 0,0481
5,0 0,0012 0,0025 0,0037 0,0049 0,0061 0,0072 0,0083 0,0094 0,0105 0,0115 0,0159 0,0194 0,0239 0,0264 0,0279
7,0 0,0006 0,0013 0,0019 0,0025 0,0032 0,0038 0,0044 0,0050 0.0056 0,0062 0,0088 0,0111 0,0146 0,0169 0,0184
10,0 0,0003 0,0006 0,0010 0,0013 0,0016 0,0019 0,0022 0,0025 0,0028 0,0031 0,0045 0,0059 0,0081 0,0099 0,0112
348 Приложения
Таблица XVI
Значения в точках на разных глубинах, расположенных на угловых вертикалях при равномерно распределенной
ч
горизонтальной нагрузке на прямоугольной площади загружения
Х\\\П=Ь1а 0,2 0.4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
0.0 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592 0,1592
0.2 0,1114 0,1401 0,1479 0,1506 0,1518 0,1523 0,1526 0,1528 0,1529 0,1529 0,1530 0,1530 0,1530 0,1530 0,1530
0.4 0,0672 0,1049 0,1211 0,1293 0,1328 0,1347 0,1356 0,1362 0,1365 0,1361 0,1371 0,1372 0,1372 0,1372 0,1372
0,6 0,0432 0,0746 0,0933 0,1035 0,1091 0,1121 0,1139 0,1150 0,1156 0,1160 0,1168 0,1169 0,1170 0,1170 0,1170
0,8 0,0290 0,0527 0,0691 0,0796 0,0861 0,0900 0,0924 0,0939 0,0948 0,0955 0,0967 0,0969 0,0970 0,0970 0,0970
1,0 0,0201 0,0375 0,0508 0,0602 0,0666 0,0708 0,0735 0,0753 0,0766 0,0774 0,0790 0,0794 0,0795 0,0796 0,0796
1.2 0,0142 0,0270 0,0375 0,0455 0,0512 0,0553 0,0582 0,0601 0,0615 0,0624 0,0645 0,0650 0,0652 0,0652 0,0652
1,4 0,0103 0,0199 0,0280 0,0345 0,0395 0,0433 0,0460 0,0480 0,0494 0,0505 0,0528 0,0534 0,0537 0,0537 0,0538
1.6 0,0077 0,0149 0,0212 0,0265 0,0308 0,0341 0,0366 0,0385 0,0400 0,0410 0,0436 0,0443 0,0446 0,0447 0,0447
1.8 0,0058 0,0113 0,0163 0,0206 0,0242 0,0270 0,0293 0,0311 0,0325 0,0336 0,0362 0,0370 0,0374 0,0375 0,0375
2,0 0,0045 0,0088 0,0127 0,0162 0,0192 0,0217 0,0237 0,0253 0,0266 0,0277 0,0303 0,0312 0,0317 0,0318 0,0318
2,5 0,0025 0,0050 0,0073 0,0094 0,0113 0,0130 0,0145 0,0157 0,0167 0,0176 0,0202 0,0211 0,0217 0,0219 0,0219
3,0 0.0015 00031 0,0045 0,0059 0,0071 0,0083 0,0093 0.0102 0,0110 0,0117 0,0140 0,0150 0,0156 0,0158 0.0159
5,0 0,0004 0,0007 0,0011 0,0014 0,0018 0,0021 0,0024 0,0027 0,0030 0,0032 0,0043 0,0050 0,0057 0,0059 0,0060
7,0 0,0001 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0012 0,0013 0,0018 0,0022 0.0027 0,0029 0,0030
10.0 0,0005 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0007 0,0008 0,0011 0,0013 0,0014
Приложения
Таблица XVII
0
Значения в точках на разных глубинах, расположенных на угловых вертикалях прн равномерно
распределенной горизонтальной нагрузке на прямоугольной площади загружения
а—Ь'а m^z/2a 0,2 0,4 0.6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,9 1,8 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
0,0 О0 О'? 00 со <х> со сю СО со сю СО СО со <х> оо
0,2 0,2185 0,03377 0,4010 0,4374 0,4599 0,4745 0,4845 0,4915 0,4966 0,5004 0,5101 0,5137 0,5164 0,5173 0,5177
0,4 0,0944 0,1649 0,2111 0,2407 0,2602 0,2733 0,2825 0,2890 0,2939 0,2975 0,3069 0,3105 0,3131 0,3141 0,3145
0,6 0,0499 0,0918 0,1233 0,1456 0,1613 0,1725 0,1805 0,1865 0,1909 0,1943 0,2033 0,2068 0,2094 0,2103 0,2107
0,8 0,0293 0,0553 0,0765 0,0928 0,1050 0,1142 0,1210 0,1262 0,1302 0,1333 0,1417 0,1450 0,1476 0,1485 0,1490
1,0 0,0184 0,0353 0,0498 0,0616 0,0710 0,0783 0,0839 0,0884 0,0919 0,0947 0,1024 0,1057 0,1082 0,1091 0,1095
1,2 0,0122 0,0236 0,0337 0,0424 0,0495 0,0553 0,0600 0,0637 0,0667 0,0692 0,0763 0,0794 0,0819 0,0827 0,0831
1,4 0,0084 0,0164 0,0237 0,0301 0,0355 0,0401 0,0439 0,0471 0,0497 0,0518 0,0582 0,0611 0,0635 0,0644 0,0648
1,6 0,0060 0,0118 0,0171 0,0220 0,0262 0,0298 0,0329 0,0355 0,0377 0,0396 0,0454 0,0481 0,0504 0,0513 0,0517
1,8 0,0044 0,0087 0,0127 0,0164 0,0197 0,0226 0,0252 0,0274 0,0292 0,0308 0,0360 0,0386 0,0408 0,0416 0,0420
1 2,0 0,0033 0,0066 0,0097 0,0126 0,0152 0,0175 0,0196 0,0214 0,0230 0,0244 0,0290 0,0314 0,0335 0,0343 0,0347
2,5 0,0018 0,0036 0,0053 0,0070 0,0085 0,0099 0,0112 0,0124 0,0135 0,0144 0,0179 0,0198 0,0217 0,0225 0,0229
3,0 0,0011 0,0022 0,0032 0,0042 0,0052 0,0061 0,0069 0,0077 0,0095 0,0091 0,0117 0,0133 0,0149 0,0156 0,0160
5,0 0,0002 0,0005 0,0007 0,0010 0,0012 0,0014 0,0017 0,0019 0,0021 0,0023 0,0032 0,0039 0,0048 0,0053 0,0056
7,0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0013 0,0016 0,0021 0,0024 0,0026
10,0 0,00005 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0005 0,0006 0,0008 0,0010 0,0011
350_____________________Приложения
Приложения
351
Таблица XVIII
Значения нормальных напряжений ;
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0 0 0 0 0 0 0
0,2 —0,0960 —0,0719 -0,0289 —0,0020 +0,0065 + 0,0066
0,4 -0,3709 —0,2582 —0,0880 —0,0024 +0,0206 +0,0202
0,6 —1,1057 —0,5906 -0,1170 + 0,0184 + 0,0400 +0,0344
0,8 —4,9217 -0,8510 -0,0152 +0,0590 +0,0568 + 0,0440
1,0 + оо +0,1081 +0,0917 +0,0775 +0,0619 +0,0473
1,2 +5,1378 + 1,0639 +0,2012 +0,0968 +0,0666 +0,0495
1,4 + 1,3360 4-0,8108 +0,2518 +0,1391 +0,0813 +0,0555
1,6 +0,6234 +0,4966 +0,2901 +0,1600 +0,0959 +0,0635
1,8 +0,3689 +0,3251 +0,2344 +0,1548 + 0,1014 +0,0692
2,0 -|-0,2480 +0,2291 +0,1847 +0,1368 +0,0982 + 0,0708
Таблица XIX
Значения суммы главных напряжений
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0 +0,7602 +0,6809 +0,4990 +0,3138 +0,1777 +0,0935
0,2 +0,3080 +0,2928 +0,2497 +0,1914 +0,1332 +0,0871
0,4 —0,0833 —0,0343 +0,0454 +0,0860 + 0,0886 +0,0742
0,6 —0,7683 —0,4608 —0,1365 + 0,0166 +0,0623 + 0,0724
0,8 —3,9369 — 1,2714 -0,1956 + 0,0214 +0,0684 + 0,0722
1,0 + оо +0 1452 +0,1357 + 0,1217 +0,1053 +0,0887
1,2 +4,2486 + 1,5827 + 0,4779 +0,2453 + 0,1468 +0,1072
1.4 + 1,1267 +0,8313 +0,3949 +0,2482 + 0,1663 +0,1178
1,6 +0,5358 + 0,4677 +0,3368 +0,2307 +0,1619 +0,1189
1,8 +0,3221 +0,2989 +0,2449 +0,1906 +0,1451 +0,1121
2,0 +0,2192 +0,2092 + 0,1841 +0,1537 +0,1250 +0,1013
Таблица XX
Значения вертикальных перемещений
г 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0 + 0,1830 +0,1765 +0,1597 +0,1389 +0,1187 +0,1013
0,2 +0,1998 +0,1913 +0,1703 +0,1455 +0,1225 +0,1034
ОЛ + 0,2244 +0,2102 +0,1799 +0,1493 +0,1240 +0,1042
0,6 +0,2815 +0,2451 +0,1895 +0,1500 +0,1229 +0,1033
0,8 +0,4722 +0,3002 +0,1926 +0,1464 +0,1196 + 0,1011
1,0 + оо +0,3109 +0,1858 +0,1410 +0,1158 +0,0985
1,2 +0,4587 +0,2885 +0,1813 +0,1373 +0,1128 +0,0962
1,4 +0,2544 + 0,2192 +0,1577 +0,1319 +0,1095 +0,0940
1,6 + 0,1836 +0,1745 + 0,1466 + 0,1231 +0,1049 +0,0911
1,8 +0,1464 +0,1410 +0,1280 +0,1127 +0,0990 +0,0875
2,0 +0,1231 + 0,1202 +0,1125 +0,1025 +0,0924 +0,0832
352
Приложения
Значения функций Крылова
Таблица XXI
ах | Л (ах) Уз («л) У< (а*)
0 1,0000 0 0 0
0,010 1,0000 0,0100 0,00005 0,0000
0,020 1,0000 0,0200 0,00020 0,0000
0,030 1,0000 0,0300 0,00045 0,0000
0,040 1,0000 0.0400 0,00080 0,0000
0,050 1,0000 0,0500 0,00125 0,0000
0,060 1,0000 0,0600 0,00180 0,0000
0,070 1,0000 0,0700 0,00245 0,0001
0,080 1,0000 0,0800 0,00320 0,0001
0,090 1,0000 0,0900 0,00405 0,0001
0,10 1,0000 0,1000 0,00500 0,0001
0,20 0,9997 0,2000 0,02000 0,0013
0,30 0,9987 0,9987 0,04500 0,0045
0,40 0,9957 0,3997 0,08000 0,0107
0,50 0,9895 0,4989 0,1249 0,0208
0,60 0.9785 0,5975 0,1798 0,0360
0,70 0,9600 0,6944 0,2444 0,0571
0,80 0,9318 0,7891 0,3186 0,0851
0,90 0,8908 0.8804 0,4020 0,1211
1,00 0,8337 0,9667 0,4944 0,1659
1,10 0,7568 1,0464 0,5951 0,2203
1,20 0,6561 1,1173 0,7035 0,2851
1,30 0,5272 1,1767 0,8183 0,3612
1,40 0,3656 1,2217 0,9383 0,4489
1,50 0,1664 1,2486 1,0619 0,5489
1,60 — 0,0753 1,2535 1,1873 0,6619
1,70 - 0,3644 1,2319 1,3118 0,7864
1,80 - 0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,90 — 1,1049 1,0888 1,5464 1,0852
2,00 — 1,5656 0,9558 1,6489 1,2326
2,10 — 2,0923 0 7735 1,7359 1,4020
2,20 — 2,6882 0,5350 1,8018 1,5790
2,30 — 3,3562 0,2335 1 8408 1,7614
2,40 — 4,0977 — 0,1386 1,8461 1,9461
2,50 — 4,9128 — 0,5885 1,81045 2.1290
2,60 — 5,8003 — 1,1236 1,7256 2,3065
2,70 — 6,7566 — 1,7509 1,5827 2,4724
2,80 — 7,7759 - 2,4770 1,3721 2,6208
2,90 — 8,8499 — 3 3079 1,0838 2.7440
3,00 — 9,9669 — 4,2485 0 7069 2,8346
3,10 -11.1119 — 5,3022 0,2303 2,8823
3,20 —12,2657 — 6,4711 - 0,3570 2,8769
3,30 -13,4048 — 7,7549 — 1,0785 2,8017
3.40 —14,5008 — 9,1506 — 1,9121 2,6590
3,50 —15,5197 —10.6525 — 2,9014 2,4220
3,60 —15,4222 — 12.2507 — 4,0458 2,0735
3,70 -17,1622 -13,9315 — 5,3544 1,6048
3,80 —17,6874 —15.6760 — 6,8343 0,9969
3,90 — 17,9388 —17,4549 — 8,4909 0,2321
4,00 —17,8499 —19.2524 —10,3265 — 0,7073
4,10 —17,3473 -21,0160 —12,3404 — 1,8391
4,20 -16,3505 —22 7054 —14,5273 - 3,1811
4,30 — 14,7721 —24.2668 —16,8772 — 4,7500
4,40 -12,5182 —25,6373 —19,3743 — 6,5615
4,50 — 9,4888 -26,7446 —21,9959 — 8,6291
4,60 — 5,5793 —27,5057 —24,7116 —10,9638
4,70 — 0,6811 —27,8275 —27,4824 -13,5732
4,80 5,3164 —27.6053 —30,2590 —16,4105
4,90 12,5240 -26.7238 -32,9815 —19,6232
5,00 21,0506 —25,0566 —35,8271 —23,0526
Приложения
353
П родолжение
ал: Г, (ex) Ун (ах) (ах) Г4 (ах)
5,10 30,9995 —22,4663 —37,9620 —26,7317
5,20 42,4658 — 18,8060 —40,0352 —30,6346
5,30 55,5322 —13,9188 —41,6824 —34,7292
5,40 70,2640 —7,6441 —42,7729 —38,9526
5,50 86.7043 0,18990 —43,1593 —43’2557
5,60 104,8682 9,75420 —42,6772 —47,5555
5,70 124,7356 21,2205 —41,1450 —51,7562
5,80 146,2447 34,7561 -38,3641 —55,7479
5,90 169,2835 50,5205 —34,1195 —59,3802
6,00 193,6814 68,6583 —28,1809 —62,5104
6,10 219,2000 89,2942 -20,3046 —64,9518
6,20 245,5236 112,7520 — 10,2335 —66*4981
6,30 272,2484 138,4124 2,2891 —66,9171
6.40 298,8725 166,9717 17,5361 —65,9496
6,50 324,7853 198,1633 35,7713 —63,3102
6,60 349,2563 231,8808 57,2530 —58,6871
6,70 371,4257 267,9380 82,2255 —51 2432
6,80 390,2936 305,0560 110,9095 —42’1183
6,90 404,7121 345,8486 143,4927 —29Д313
7,00 413,3774 386,8119 180,1181 —13,2849
7,10 414,8243 428,2836 220.8715 4 7299
7,20 407,4225 469,4769 265,7657 31.0275
7,30 7,40 389,3764 358,7284 509,4135 546,9324 314,7251 367,5680 60.0187 94,1021
7,50 313,3658 580,6689 423,9858 133,6516
7,60 251,0333 609,0399 483,5231 179,0034
7,70 169,3515 630,2306 545,5047 230,4396
7,80 65,8419 642,1827 609,2616 288,1704
7,90 - 62,0404 642,5866 673,6066 352,3155
8,00 —216,8648 628,8766 737,3088 422,8704
Таблица ХХП
Таблица значений т] для бесконечно длинных балок
ах Tii
0,0 1,0000 0,0000 1,0000 1,0000
0,1 0,9004 0,0903 0,9907 0,8100
0,2 0,8024 0,1627 0,9651 0,6398
0,3 0,7078 0,2189 0,9267 0,4888
0,4 0,6174 0,2610 0,8784 0,3564
0,5 0,5323 0,2908 0,8231 0,2415
0,6 0,4530 0,3099 0,7628 0,1431
0,7 0,3798 0,3199 0,6997 0,0599
0,8 0,3130 0,3223 0,6354 0.0093
0,9 0,2528 0,3185 0,5712 0,0657
1,0 0,1988 0,3096 0,5083 0.1108
1,1 0,1510 0,2967 0,4476 0,1457
1,2 0.1092 0,2807 0,3899 0,1716
1,3 0,0729 0,2626 0,3355 0,1897
1.4 0,0419 0,2430 0,2849 0’2011
1,5 0.0158 0,2226 0,2384 0.2068
1,6 - 0,0059 0,2018 0,1959 —0,2077
1,7 - 0,0236 0,1812 0,1576 -0.2047
1,8 —0,0376 0,1610 0,1234 -0,1985
1,9 —0 0484 0,1415 0,0932 —0,1899
2,0 -0,0564 0,1231 0.0667 —0,1794
2,1 —0,0618 0,1057 0,0439 —0,1675
23—В. А. Флорин
ах i ^3
2,2 —0,0652 0,0896 0,0244 -0,1548
2.3 —0,0668 0,0748 0.0U80 —0,1416
2,4 —0,0669 0,0613 —0,0056 -0,1282
2,5 -0,0658 0,0491 -0,0166 —0,1149
2,6 —0,0636 0,0383 -0,0254 —0,1019
2.7 —0,0608 0,0287 -0,0320 —0,0895
2,8 —0,0573 0,0204 -0,0369 -0,0777
2.9 -0,0535 0,01330 —0,0403 - 0,0666
3,0 —0.0493 0,00703 —0,04226 -0,0563
3,1 —0,0450 0,00187 -0,04314 -0,0468
3,2 -0,0407 0,00238 —0,1)4307 —0,03831
3,3 —0,0364 0,00582 -0,04224 -0,03060
3.4 —0,0322 0,00853 —0,04079 -0,02374
3,5 —0,0283 0,01059 —0,03887 —0,01769
3.6 —0,0245 -0,01209 —0.03659 -0,01241
3,7 -0,0210 —0,01310 - 0,03407 -0,00787
3,8 -0,0177 —0,01369 —0,03138 —0,00401
3,9 -0.0147 —0,01392 - 0,02862 —0,00077
4,0 —0,01197 —0,01386 —0,02583 —0.00189
4,1 —0.00955 —0,01356 -0,02309 0,00403
4,2 —0,00735 —0,01307 —0,02042 0,00572
4,3 —0,00545 —0,01243 -0,01787 0,00699
354
Приложения
Продолжение*
«X 1<. 1а 1я ат 1< 1а 11 1з
4,4 -0,00380 -0,01168 —0,01546 0,00791 5,8 0,0027 -0,00141 0,00127 0,00409
4,5 -0,00235 —0,01086 —0,01320 0,00852 5,9 0,00255 —0,00102 0,00152 0,00356
4,6 -0,00110 —0,0’0999 -0,01112 0,00886 6,0 0,0024 -0,00069 0,00169 0,00307
4,7 0,0002 —0,С0909 -0,00921 0,00898 6,1 0,0022 — 0,00041 0,00180 0,00261
4,8 0,0007 - 0,00820 —0,00748 0,00892 6,2 0,0020 —0,00017 0,00185 0,00219
4,9 0,0009 —0,00732 -0,00593 0,00870 6,3 0,00185 0,06003 0,00187 0,00181
5,0 0,0020 —0,00646 -0,00455 0,00837 6,4 0,00165 0,00019 0,00184 0,00146
5,1 0,00235 —0,00564 - 0,00334 0,00795 6,5 0,00150 0,00032 0,00179 0,00115
5,2 0,00260 -0,00487 -0,00229 0,00746 6,6 0,0013 0,00042 0,00172 0,00087
5,3 0,00275 -0,00415 —0,00139 0,00692 (6,7 0,0012 0,00050 0,00162 0,00063
5,4 0,0029 —0,00349 -0,00063 0,00636 6,8 0,00095 0,00055 0,00152 0,00042
5,5 0,0029 —0,00288 0,00001 0,00578 6,9 0,0008 0,00058 0,00141 0,00024
5,6 0,0029 —0,00233 0,00053 0,00520 7,0 0,0007 0,00060 0,00129 0,00009
5,7 0,0028 -0,00184 0,00095 0,00464
Таблица ХХШ
Таблица значений р для коротких балок
ат Pi рз Рэ р< Ps ре ат
0,50 24,18661 12,02662 4,00252 2,99592 0,99904 11,96809 0,50
0,55 18,23501 9,94857 3,63937 2,47461 0,90812 8,98051 0,55
о'ьо 14,11108 8,37071 3,33747 2,07779 0,83169 6,90614 0,60
0,65 11,16538 7,14487 3,08217 1,76880 0,76716 5,42049 0,65
0,70 9,00598 6,17362 2,86362 1,52305 0,71181 4,32827 0,70
0,75 7,38927 5,39210 2,67468 1,32459 0,66359 3,50750 0,75
0,80 6,15609 4,75460 2,50976 1,16204 0,62124 2,87856 0,80
0’85 5,19999 4,22923 2,36457 1,02690 0,58386 2,38806 0,85
0,90 4,44866 3,78823 2,23604 0,91347 0,55039 1,99792 0,90
0,95 3,85079 3,41811 2,12150 0,81713 0,52027 1,68890 0,95
1,00 3,36998 3,10415 2,01891 0,73467 0,49292 1,43642 1,00
1,05 2,97968 2,83579 1,92664 0,66339 0,46802 1,22912 1,05
1,Ю 2'66019 2,60502 1,84328 0,60134 0,44513 1,05733 1,10
1,15 2,39680 2,40558 1,76776 0,54696 0,42405 0,91364 1,15
1,20 2,17824 2,23238 1,69912 0,49898 0,40453 0,79253 1,20
1,25 1,99591 2,08139 1,63659 0,45636 0,38635 0,68961 1,25
1,30 1,84305 1,94930 1,57951 0,41831 0,36931 0,60156 1,30
1.71437 1,83340 1,59731 0,38416 0,35331 0,52576 1,35
1,40 1,60566 1,73146 1,47950 0,35337 0,33818 0,46009 1,40
1,45 1,51357 1,64163 1,43569 0,32547 0,32385 0,40287 1,45
1,50 1,43536 1,56233 1,39548 0,30008 0,31026 0,35281 1,50
1,55 1,36882 1,49225 1,35858 0,27690 0,29726 0,30879 1,55
1,60 1,31213 1,43028 1,32469 0,25564 0,28485 0,26991 1,60
1,65 1,26379 1,37544 1,29359 0,23609 0,27292 0,23544 1,65
1,70 1,22256 1,32692 1,26504 0,21805 0,26144 0,20477 1,70
1,75 1,'18740 1’28401 1.23885 0,20135 0,25037 0,17734 1,75
1,80 1,15743 1,24607 1,21484 0,18586 0,23966 0,15294 1,80
1,85 1J3190 1,21257 1,19285 0,17145 0,22930 0,13099 1,85
1,90 1', 11020 1,18302 1,17273 0,15803 0,21924 0,11127 1,90
1,95 L09129 1,15648 1,15383 0,14542 0,20938 0,09348 1,95
2,00 1,07619 1,13414 1,13759 0,13376 0,19997 0,07753 2,00
2,05 1,06303 1,11410 1,12232 0,12278 0,19072 0,06313 2,05
2,10 1,05196 1,09658 . 1,10845 0,11250 0,18171 0,05013 2,10
2,15 1’04269 1,08131 1,09587 0,10284 0,17294 0,03844 2,15
2,20 1,03496 L06805 1,08449 0,09378 0,16438 0,02785 2,20
2,25 1,02855 1,05658 1,07423 0,08528 0,15604 0,01834 2,25
2,30 1^02327 1,04669 1,06499 0,07728 0,14791 0,00980 2,30
2^35 1’01894 1,03823 ] ,05670 0,06978 0,13999 0,00214 2,35-
Приложения
3&
Продолжена.
ах pi Ра рз Р< Рз Р. ах
2,40 1,01513 1,03101 1,04929 0,06274 0,13228 —0,00471 2,40
2,45 1,01260 1,02490 1,04268 0,05614 0,12478 — 0,01082 2,45
2,50 1,01035 1,01976 1,03681 0,04995 0,11749 -0,01624 2,50
2,55 1,00858 1,01547 1,03162 0,04415 0,11041 -0,02102 2,55
2,60 1,00721 1,01193 1,02703 0,03873 0,10354 -0,02522 2,60
2,65 1,00616 1,00903 1,02302 0,03367 0,09688 — 0,02887 2,65
2,70 1,00537 1,00668 1,01951 0,02895 0,09045 -0,03203 2,70
2,75 1,00480 1,00481 1,01646 0,02456 0,08423 -0,03471 2,75
Таблица XXIV
Таблица значений Fi(x)
•г F0(x) Л(х) Л(х) Л(х) (х) F6 (х) F6 (x)
0,0 0 0 0 0 0 0 (
0,1 0,03003 -0,00100 0,00997 0,00033 -0,00197 —0,0 020 o,ooo8:
0,2 0,12040 —0,00798 0,03960 0,00262 -0,00761 —0,00152 0,0030г
0,3 0,27203 -0,02688 0,08800 0,00864 —0,01606 -0,00482 0,005817
0,4 0,48643 - 0,06348 0,15370 0,01983 -0,02610 -0,01044 0,00842
0,5 0,76576 -0,12341 0,23477 0,03712 —0,03627 -0,01813 0,00983
0,6 1,11281 —0,21200 0,32881 0,06086 -0,04516 -0,02710 0,0098
0,7 1,53109 -0,33427 0,43306 0,09067 -0,05173 —0,03621 0,00869
0,8 2,02486 -0,49474 0,54460 0,12554 - 0,05554 -0,04443 0,0073
0,9 2,59922 —0,69717 0,66048 0,16384 - 0,05697 -0,05127 0,0064-
1,0 3,26032 —0,94524 0,77810 0,20365 -0,05714 • —0,05714 0,0063г
Таблица XX'
Таблица значений Fi (jc)
X И to F' to F3' (ж) / (x) F5' (x)
0,0 \ 0 0 0 0 0 0 0
0,1 0,60100 —0,02998 0,19900 0,00992 —0,03901 -0,00588 0,01616
0,2 1,20802 -0,11960 0,39205 0,03881 —0,07224 —0,02206 0,02683
0,3 1,82712 —0,26796 0,57337 0,08402 —0,09480 —0,04450 0,02844
0,4 2,46453 —0,47349 0,73757 0,14132 —0,10347 -0,06749 0,02069
0,5 3,12665 -0,63396 0,87984 0,20514 —0,09743 —0,08498 0,00696
0,6 3,82023 -1,04630 0,99623 0,26893 -0,07864 —0,09235 -0,00674
0,7 4,55248 — 1,40655 1,08395 0,32570 - 0,05201 —0,08814 -0,01412
0,8 5,33135 -1,80951 1,14187 0,36890 -0,02488 —0,07545 —0,01209
0,9 6,16605 -2,24823 1,17132 0,39371 —0,00566 —0,06207 -0,00413
1,0 7,06858 —2,71239 1,17810 0,40000 0 -0,05714 0
23*
356
Приложения
1 ff
Таблица значений (лс)
Таблица XXVI
X 4 F0 <*> 1 " Т Fi (х) 1 4 F2 (*) 1 т f3w 1 " 4 F5 W 1 * Т F6 (х)
0,0 1,00000 0 0,33333 0 —0,06667 0 0,02857
0,1 1,00500 — 0,09983 0,32835 0,03283 -0,06173 -0,01918 0,02372
0,2 1,02007 -0,19866 0,31353 0.06271 —0,04766 —0,03361 0,01082
0,3 1,04535 —0,29544 0,28936 0,08681 —0,02662 —0,03959 —0,00556
0,4 1,08112 -0.38906 0,25662 0,10265 —0,00205 -0,03531 —0,01930
0,5 1,12783 —0,47831 0,21651 0,10825 0,02165 —0,02165 -0,02474
0,6 1,18610 —0,56175 0,17067 0,10240 0,03959 —0,00246 —0,01908
0,7 1,25692 —0,63765 0,12140 0,08498 0,04710 0,01564 —0,00455
0,8 1,34184 —0,70365 0,07200 0,05760 0,04090 0,02442 0,01038
0,9 1,44368 —0.75603 0,02761 0,02485 0,02131 0,01729 0,01310
1,0 1,57080 -0,78540 0 0 0 0 0
Таблица XXVII
Таблица значений -g- F'i' (лс)
X 1 -6 4 F'l (х) 4- 6 & 1 Т F3 w 1 -6- F4 <*) 1 Т г5 1 т “б F6 (х)
0,0 0 — 1,00000 0 0,33333 0 —0,20000 0
0,1 0,10017 - 0,99499 —0,09950 0,31840 0,09751 —0,17544 —0,09425
0,2 0,20136 - 0,97980 —0,19596 0,27434 0,18028 -0,18692 -0,15583
о,3 0,30470 —0,95394 -0,28618 0,20351 0.23467 —0,00946 —0,16118
0,4 0 41152 -0,91651 —0,36660 0,10998 0,24929 0,09356 —0,10382
0,5 0,52360 —0,86602 —0,43301 0 0,21651 0.17320 0
0,6 0,64350 —0,80000 -0,48000 -0,11733 0,13440 0,19942 0,10982
0,7 0,77540 —0,71414 —0,49990 -0.22852 0,01000 0,14831 0,16637
0,8 0,92730 -0.60000 -0,48000 —0,31200 -0,13440 0,01517 0,10982
0,9 1,11977 —0,43589 -0,39230 -0,32546 —0,24323 -0,15497 - 0,07030
1,0 1,57080 0 0 0 0 0 0
Примечание. Промежуточные значения функций, помещенных в таблицах,
рекомендуется по мере необходимости определять по графической интерполяции (осо-
бенно значения таблицы XXI).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие . . . . . . . . . • • 3
Глава I. Назначение и вопросы развития механики грунтов .... 5
§ 1. Назначение механики грунтов и ее связь со смежными дисциплинами 5
§ 2. Вопросы развития механики грунтов................................8
Глава II. Некоторые основные представления о грунтах . . . 13
§ 1. Определение понятия «грунт» ......... 13
§ 2. Основные представления о жидкой и газообразной составляющих
грунта ...... ......................... 14
§ 3. Основные представления о твердой составляющей грунтов . . .20
§ 4. Основные физические характеристики грунтов.....................26
У/ § 5. Явления сжимаемости грунтов...................................32
\ § 6. Сопротивление грунтов сдвигу ......... 38
§ 7. Фильтрационные свойства грунтов................................49
Глава III. Основные расчетные зависимости ц, схемы . . . ’ . .58
- § 1. Зависимости между напряженным состоянием и характеристиками
сжимаемости грунта...........................................58
С § 2, Условия предельного напряженного состояния грунта . . .69
§ 3. Основные представления о расчетных моделях ..... 77
§ 4. Условия моделирования......................................85
Глава IV. Определение напряженного состояния оснований сооружений - 94
§ 1. Определение напряжений от собственного веса грунта . . . .94
2. Напряженное состояние основания от заданной внешней нагрузки . 99
§ 3, Фильтрационные силы н фильтрационные напряжения в грунте . . 157
§ 4. Условия возникновения областей предельного напряженного состоя-
ния и определение их очертаний ........ 165
Глава V. Определение реакций по подошве сооружений конечной жесткости 176
§ 1. Способ коэффициента постели...................................177
§ 2. Лннейно-деформируемое 'основание ........ 211
х/ § 3. Применение полиномов Чебышева для определения реакций линейно-
деформируемого основания.............................................238
§ 4. Определение расчетных параметров .....................259
Глава VE Определение напряжений по подошве жестких и совершенно
гибких сооружений . 262
1. Простейшие способы определения напряжений по подошве жестких
сооружений......................................................262
§ 2. Применение решений теории упругости...........................268
§ 3. Влияние областей предельного напряженного состояния на распре-
деление давлений по подошве фундамента ...... 284
§ 4. Учет взвешивания сооружений ......... 291
§ 5. Определение реакций основания по неплоской подошве жесткого со-
оружения .........................................................300
§ 6. Определение реакций основания и усилий в анкерных понурах гидро-
сооружений .... . .............................311
Литература . . . . .......................................326
Список упоминаемых авторов ...... .... 331
Приложения. Таблицы I—XX'VlI. ...........................................333
важнейшие опечатки
Стр, Строка текста Напечатано Должно быть Но чьей вине
33 6 снизу («Ч» а О1> °г) Типографии
33 9 и г -— as А, а = — as -f- А. г»
39 14 т = a tg ysf~t т = а tg tp = а/. л
59 10 сверху °х = + с, я
66 2
» “ 1- 8- ’ Ч, 1 1 — fl и
74 5 снизу . . . равно: . . . равно, полагая ci > 0: Автора
75 3 сверху ’1“ +9) tg2^— + <4 = (7* + я) ig2 + Типографии
109 13 9 Я е „ я »
115 1 снизу 2*xz2 + . . . , 2_ 2^г+ • • •
1' 2)а + (Х2—Z2 — Л2)2+ ...
116 3 ,1 d£ adz = ad^ Я
122 2 с верху .JHiy 7 д " 2л R 1 ~ 2тЦ 3 / Z \5 з / k 2л R J = 2л\ «
141 1 Рх { Рх (
8л (1—р) } “ 8л (1 - р) {
148 12 « 1 — J — 1 2 » £2 1 — oi м еч м d. S. 1 1 II •
154 4 снизу а _ 45° — 60° а = 45° — 60° л
158 13 Ф . ds d ВР ST Л5
158 14 / др \s 1Р + 5s ^7“ / др \ (/ + W »
163 9 сверху д2Н
• • дхду • • ' — дхду
д?Н д*Н
- - V дхду + ' * • ~ Р дхду *
205 19 XI приложений: XXI приложений: »
206 4 » 2 = 5;_ в
206 7 » <>х = • • • ах = . . . J*
206 7 снизу w (0) = w' w.2 = W| = w(0) = w'— w2 Ч- W1 = »
-5-<3 + а
220 2 н ^х = [ ? (£) (S—х) dZ + я
X X
+ а +а
221 16 сверху , , , у ... • • • J • • -
i 2rt—1 2п—1
229 3 снизу • •2 • -Z •
=1,3 , , , , /=1,3. . . .
Зак, 512.
Продолжение
Огр. Строка текста Напечатано Должно быть По чьей вине
229 9 снизу j^2n+ "1 v2«+4 I Л Тшюграфи!
+ (2/2 + 2) (2л 4- 4) ] ’ + (2л + 2) (2л -f- 4} ♦
230 2 сверху Х+ х2 1 ^-t + 1 ^2« + 1
' * * 2п — i + 2 ’ ' ’ 2п - i + 2
+1 +1
236 1 снизу ... 1 ... . Г. J . »
Л т
236 4 и 5 снизу . . . (AC fa) = . . . . . . (АС (а) =- . . .
240 6 снизу __ (1- 2) __ (1 -pg)
тт£0 • •
257 6 сверху р (х) Р2,г ('О >
267 I снизу +« $2 \ 1 • - • + 2 8 j | - + &Q Of + II &
Ь
274 7 снизу к Г 4--[. • • т: г - • •
274 2 о
4 * ... — — у я2—х2 А ... ТС ... — — Ул2 — с- А . . . я г я
275 9 сверху Г п (а — с)2 <7 [те (л — с)2
• • ' [ 2 ' те J 2 в
275 1 снизу 2(1 -?о) 2(1 -|4) • • • ~ те£0 в
323 14 сверху Н 1 Та “ 1 ~~Z2 /7 1 ~Z1-Z2
Ф “ ф ~ я
327 13 сверху I’Academlie I’Academie Я
Виктор Анатольевич Флорин
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ, т. I
Ленинградское отделение Госстройиздата
Ленинград, Невский пр., 28
Редактор издательства А. С. Ротенберг
Технический редактор Е. А. Пулъкина
Корректоры Л. Б. Зарицкий, М. Б. Рейз
('дано в набор 22.IV 1958 г. Подписано к
печати 17 111 1959 г. М-23113. Формат бумаги
70 X ЮЗ'йв — 11,25 бум. л. 30,8 усл. иеч. л.
Учетно-изд. л. 26,7 Изд. № 95-Л. Заказ 512.
Тираж 5000 экз. Цена 13 р. 35 к.+переплет 2 р.
Тип. № 11 Управления полиграфической
промышленности Ленсовнархозз.
Ленинград, ул. Марата 58