Большая перемена
<>000<Х«>СкХ>0000<><><>ЭООООО<><>00<>0<><>^
Э.Н. Балаян
800
ЛУЧШИХ 0/1ИМПИАДНЫХ
ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
Д/1Я ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
9-11 классы
Ростов-на-Дону
(ц^еникс
2013

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721
КТК444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 800 лучших олимпиадных задач по математике для
подготовки к ЕГЭ : 9-11 классы / Э.Н. Балаян. —
Ростов н/Д: Феникс, 2013. — 317, [2] с. — (Большая
перемена)
ISBN 978-5-222-20106-0
В предлагаемом пособии рассмотрены различные
методы и приемы решения олимпиадных задач разного
уровня трудности для учащихся 9—11 классов.
Задачи, представленные в книге, посвящены таким,
уже ставшим классическими, темам, как делимость и
остатки, инварианты, диофантовы уравнения, принцип
Дирихле, геометрические задачи и т. п.
Ко всем задачам даны ответы и указания, а к
наиболее трудным — решения, причем некоторые задачи
решены различными способами. Большинство задач
авторские, отмечены значком (А).
Пособие предназначено прежде всего
старшеклассникам общеобразовательных школ, лицеев, гимназий,
учителям математики для подготовки детей к
олимпиадам различного уровня, а также к ЕГЭ, студентам —
будущим учителям, работникам центров дополнительного
образования, и всем любителям математики.
УДК 373.167.1:51
ISBN 978-5-222-20106-0 ББК 22.1я721
©Балаян Э.Н., 2012
© Оформление, 000 «Феникс», 2012

Предисловие
Роль олимпиад с каждым годом становится все
более значимой. И не случайно многие вузы стали
проводить свои олимпиады для будущих
абитуриентов, преследуя цель — привлечь школьников
в данный вуз. Победителей, занявших призовые
места, освобождали от сдачи экзаменов и
зачисляли в вуз.
В связи с этим, назрела необходимость в
доступной форме ознакомить широкие массы
школьников с характером и типом задач, предлагаемых на
олимпиадах.
Обычно традиционные олимпиады проходят
в пять туров: школьный, районный (городской),
областной (республиканский, краевой),
зональный (окружной) и всероссийский.
В книге представлены задачи разного уровня
трудности, причем сделано это сознательно с тем,
чтобы каждый участник мог что-то решить, ибо
если задачи слишком трудны, то дети теряют
интерес не только к олимпиаде, но и к изучению
математики.
Как правило, олимпиадная задача — это
задача повышенной трудности, нестандартная как
по формулировке, так и по методам решения.
Среди предложенных задач встречаются как
нетривиальные, для решения которых требуются
необычные идеи и специальные методы, так и
более стандартные, которые могут быть решены
оригинальным способом. К числу таких методов
можно отнести делимость и остатки, признаки

4 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
делимости чисел, решение уравнений в целых
числах, метод инвариантов, принцип Дирихле,
задачи на проценты, логического характера и др.
Эти задачи способствуют резкой активизации
мыслительной деятельности, умственной
активности, дают возможность самостоятельно
составлять подобные, а возможно, и более
оригинальные задачи, что в итоге приводит со временем к
творческим открытиям в различных областях
математики.
Автор старался привести наиболее
рациональные и изящные решения, доступные школьникам
9-11 классов. Разумеется, читатель может
привести и другие, возможно, более изящные решения,
за что автор будет весьма признателен.
Книга состоит из двух разделов. В первом
приводятся условия задач для 9-11 классов.
Задачи, отмеченные значком (А), авторские,
составленные на протяжении многих лет
педагогической деятельности.
Во втором разделе книги приводятся ответы,
краткие указания, а к наиболее трудным —
решения. Автор настоятельно рекомендует
обращаться к решениям в случае, когда задача уже
решена, или после неоднократных, но
безуспешных попыток самостоятельно ее решить. Надо
иметь в виду, что одна самостоятельно решенная
задача принесет значительно больше пользы для
развития ума, чем несколько других,
прочитанных в книге. Только настойчивость, терпение и
выдержка помогут вам преодолеть трудности,
и вас непременно ожидает успех.

i*X>OOOOOOOOOCk><X>0<><X<><W>0©00<>^^
Раздел I
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
00000©0000<ХКХ>©000<>0<>ООС"Х><Х^
9 класс
1. Может ли число 1+2 + 3 + ... + η
оканчиваться цифрой 7?
2. Сравнить 8013 и 1028.
3. Найти условие делимости (х + 1)" + (х - 1)"
на х, где η е N.
4(A). Делится ли 254 + 1 на 227 + 214 + 1?
/ X
5. Доказать, что если χ > О, то yjl + x < 1 + —.
6. Разложить на множители (х + у)5 - х5 - у5.
7(A). Доказать, что если a + b + с = 0, то
2(а5 + Ьь + с5) = 25а2Ь2с2(а4 + Ь4 + с4).
8. Доказать, что для любого натурального η
найдется такое число а, что число an + 4 составное.
9(A). Освободиться от
иррациональности в
знаменателе дроби -т=—т= ·
^/3 + ^/2
10. Точка, взятая внутри
правильного треугольника,
удалена от его вершин на

6 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
расстояния 3, 4, 5 единиц. Чему равна сторона
треугольника?
11(A). Можно ли разложить 1000 орехов в
7 корзин, расставленных но кругу так, чтобы в
любых двух корзинах число орехов отличалось на 1?
12(A). Упростить выражение ^7 + ч/48 .
13. Найти четырехзначное простое число, цифры
которого образуют арифметическую прогрессию.
14. В выпуклом пятиугольнике MNKPE углы
MNK и КРЕ равны 30°, а каждая из сторон NK,
КР и ME равна 1 и сумма длин сторон MN и РЕ
равна 1. Доказать, что площадь MNKPE равна 1.
15(A). Решить уравнение
\х - 2| + \х - 3| + \2х - 8| = 9.
16(A). Решить систему уравнений
Ux + yf-x5 -у5 =-30,
\(х + у)3-х3-у3=-6.
17(A). Доказать, что не существует целых
чисел а, Ъ и с, таких, что выражение αχ2 + Ъх + с
равно 2 при χ = 13 и 3 при χ = 60.
18(A). Решить уравнение 2xtfx - 3*з1— = 20.
19(A). Как разрезать прямоугольник со
сторонами 10 и 33 см на три подобных
прямоугольника, среди которых нет равных?
20(A). В ААВС ZA = 60°, — = ^^. Найти ZB.
АВ 2

Раздел /. Условия залач: 9 класс · 7
21. Доказать, что если α и Ъ — катеты, ас —
гипотенуза, то г = — (а + Ъ - с), где г — радиус
вписанной окружности.
22(A). Доказать, что выражение
(5* + Ту)3 + (7х + 5у)3
делится без остатка на 12(лс + у).
23. Сумма номеров домов на одной стороне
квартала равна 423. Определите номер дома,
пятого от угла квартала.
24(A). Известно, что в ААВС ZA = 2ZC, сторона
ВС на 2 см больше стороны АВГ АС = 5 см. Найти
АВиВС.
25. Разложить многочлен х3 + у3 + Зху - 1 на
множители.
26. Разложить многочлен a3(b - с) + c3(a - b) -
- Ь3(а - с) на множители.
27(A). В ААВС sin ZC = - , АС = 5, ВС = 4. Най-
5
ти радиус вписанной окружности, если АВ <АС.
28(A). При каких значениях χ значение выра-
х2-3 л α2-3 0
ЖеНИЯ (^4? УДеТ РаВН° (^4?
29(A). Решить уравнение 4я2 + — = —.
30(A). На графике функции у = \Ъх - 3| найти
точку, ближайшую к точке А(2; 0).
31 (А). Решить уравнение
(л/х - l)(V2-x + 1) = 2(х - 1).

8 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
32(A). Доказать, что ЗЗЗ777 + 777333 делится на 10.
33. Решить уравнение я—-cosя: + б/_ + х = 1.
34(A). Решить уравнение
yj3-x+yJx-2 1
у13-х-у1х-2 Ь-2х'
35(A). В классе из 30 учащихся получили на
контрольной оценки «5», «4», «3», «2». Сумма
полученных оценок равна 90, причем «троек»
было больше, чем «пятерок» и «четверок». Кроме
этого, известно, что число «четверок» кратно 5,
а число «троек» кратно 7. Сколько и каких
оценок получил класс?
36(A). Упростить выражение
/27*_3лЛ2
9* + 3*
+ 3
1 + х
37. Решить систему уравнений
\3х2-8ху + 4у2=0,
\х2+у2+Щх-у) = 0.
38. Стороны одного треугольника 17; 25 и
26 см, а две стороны другого 17; 25 и 26 см.
Найти длину третьей стороны, если у треугольников
равны радиусы вписанной окружностей.
««,.» гл г- х + 4-5V*-2
39(A). Сократить дробь , .
х-Зл!х-2
40(A). Решить систему уравнений
Ux2+y2)xy = 30,
\х4+у*=82.
41(A). В ААВС стороны a, ft, с (а < Ъ < с)
образуют арифметическую прогрессию. Известно, что

Разлел I. Условия залач: 9 класс · 9
R ■ г = 130, где R и г — соответственно радиусы
описанной и вписанной окружностей. Найти
наименьшую целую тройку (а, Ъ, с).
42. Найти все простые числа р, такие, что
14р2 +1 — также простые.
43(A). Решить систему уравнений
ί5(*4 + ι/4) = 17(*2 + ι/2),
\х2+ху + у2=7.
44(A). Доказать, что
если 0 < χ < — .
2
г
\
1 + ——
V simcy
г
19
\
1 + -
V cos л; у
>293,
45(A). Решить в натуральных числах
уравнение х3 - 8у3 = 19.
46. Решить систему уравнений
х3 + xyz = фсуг,
у3 + xyz = Jxyz,
ζ + xyz = yjxyz
=f,
47(A). Заменить буквы цифрами так, чтобы
равенство БЕСЫ = (Б + Ε + С + Ы)4 оказалось
перным.
48(A). В ААВС (ZC = 90°)
найти АВ и АС по данным,
приведенным на рисунке,
ос л и ВС = 18.
49. Доказать неравенство
al + bi + ci>abc(a + b + c), где
a, b, с > 0.

10 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
50(A). В 46 клетках находятся 1000 кроликов.
Доказать, что в каких-то двух клетках находится
поровну кроликов (могут быть пустые клетки).
51(A). Найти площадь круга, вписанного в
трапецию, площадь которой 125 м2, если расстояние
между точками касания боковых сторон равно 8 см.
52. Доказать, что если в арифметической
прогрессии Sm = Sn = 0, то Sm + „ = 0.
53(A). Доказать, что 35 sin2 χ > 6 sin 2х - 1.
54(A). Решить уравнение
у12х + Ы + 8у]2х-2 + у12х + 2-4у]2х-2 = 6.
55. Могут ли длины сторон прямоугольного
треугольника образовать геометрическую
прогрессию?
57(A). Решить уравнение
>1.
56(A). Решить уравнение (1 + х2)2 = 4х(1 - х2).
х2-Ъх + 2
х2 + Ъх + 2
58(A). Вычислить 10002 - 9992 + 9982 - 9972 +
+ 9962 - 9952 + ... + 42 - З2 + 22 - I2.
59(A). В трапеции диагональ KLMT LM || КТ,
KL = МТ, диагональ МК = 8 м и ZMKT = 75°.
Найти площадь трапеции.
60(A). Решить уравнение 1 + 7+13 + ... + * = 280.
a3+b3 . (a + Ъ^
61. Доказать неравенство >
а>0, Ь>0.
при
62(A). Сумма нескольких последовательных
четных чисел равна 100. Найти эти числа.

Раздел /. Условия залач: 9 класс · 11
63. Найти арифметическую прогрессию, если
сумма ее η членов равна 2п2 - Зп.
1 1
64. Чему равен ZC ААВС, если +
α + c Ъ + с
, где а = ВС, Ь = АС, с = ΑΒΊ
а + Ь + с
65(A). В ААВС ВС = 14, BD — медиана, ZABD =
45°, ZCBD = 30°. Найти АВ и ΒΖ>.
66(A). Решить уравнение 13л;2 = х* + 2х3 + 2х + 1.
67(A). Доказать, что
\ + Л + Л + ··· + —^-5- < °>999·
22 З2 42 10002
68(A). Сколько существует двузначных чисел,
делящихся на произведение своих цифр?
69. Найти все пары целых чисел хну,
удовлетворяющих уравнению χ2 + χ = у* + у3 + у2 + у.
70. Известно, что α + b + c делится на 6, где а,
Ь, с — целые числа. Доказать, что аъ + Ь3 + с
также делится на 6.
71 (А). Сумма цифр трехзначного числа равна 17.
Ксли из исходного числа вычесть число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то
получится 792. Найти трехзначное число.
72(A). Найти хотя бы одну пару целых чисел,
удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = ζ5.
73. Известно, что уравнение х3 + рх + q = 0
имеет 3 действительных корня. Доказать, что ρ < 0.
74(A). Стороны параллелограмма равны 11 и
23 м, а диагонали относятся как 2:3. Найти
длимы диагоналей.

12 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
75(A). В прямоугольнике со сторонами 20 и 25
расположено 120 квадратиков со стороной 1.
Доказать, что внутри прямоугольника можно
поместить круг диаметра 1, не налегающий ни на один
из квадратиков.
76(A). Решить уравнение S-Jx-2 χ2 = 2.
У
77(A). Найти расстояние между осью параболы
у = -х2 - 7х + 2 и осью Оу.
78. Доказать, что при всех целых η выражение
п(п4 - 125п2 + 4) кратно 120.
79(A). Доказать, что если хх и х2 —
действительные корни уравнения х2 + 2ах -г = 0, где
8а
а е R, то х{ + х\ > 2 + V2 .
80(A). При каком значении m график функции
у = 2х2 - Зх + 17 + τη имеет одну общую точку с
осью ΟχΊ
3
81 (А). Решить уравнение т- = 3 - χ - χ2.
1 + х + х
82(A). Две стороны остроугольного
треугольника равны соответственно 13 и 20 см. Радиус
65
описанного около треугольника круга — см.
6
Найти третью сторону треугольника.
83. Цена товара со 100 000 рублей дважды
понижалась, каждый раз на 30%. Какова
окончательная цена товара?
1 35
84(A). Решить уравнение 1 +
JJI{ 12*

Разлел I. Условия залай: 9 класс · 1 3
85. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике с острым углом в 15° произведение катетов
равно квадрату половины гипотенузы.
86(A). При каких значениях α число 3
заключено между корнями уравнения х2 - 2ах + а2 - 1 = О?
87(A). Решить уравнение
16л;2 + 9х+ 117 = 24W* + 13 .
88(A). Сумма двух чисел равна 1338. Найти эти
числа, если известно, что они станут равными друг
другу, если в конце первого числа приписать
цифру 2, а в конце второго числа отбросить цифру 5.
2
89(A). Является ли число 5— членом последова-
о
(_1)«+ι
тельности, заданной формулой ап = 2п - 1 ?
η
90(A). Площадь квадрата, построенного на
боковой стороне равнобедренного треугольника,
R
и 4 раза больше площади треугольника. Найти — ,
г
где R и г — соответственно радиусы описанной и
вписанной окружностей.
91. Доказать, что если стороны
прямоугольного треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то разность ее равна радиусу
вписанного круга.
2*-5
х + 1
93(A). Величина одного из углов
остроугольного треугольника равна 30°. Доказать, что
площадь треугольника равна r(R + (2 + V3 )г), где г и
92(A). Решить неравенство
>1.

14 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
R — соответственно радиусы вписанной и
описанной окружностей.
94(A). Найти сумму тангенсов острых углов
прямоугольного треугольника, если радиус
описанной окружности относится к радиусу
вписанной как 5 : 2.
95(A). Найти наибольшее целое решение нера-
х - З-fx - 4 _
венства т= < 0.
х + 2л]х-3
96(A). Доказать, что если а3 + 7а + 19 = О,
ft3 + 7ft + 19 = 0, с3 + 7с + 19 = 0, где а φ ft, Ъ φ с,
а Ф с, то а + Ъ + с = 0.
97(A). От данной трапеции отрезать треуголь-
2
ник, площадь которого составляет — ее площади.
о
98. Вычислить без таблиц cos 20° cos 40° cos 80°.
99(A). Исключив χ и у из равенств χ - у = а,
х3 - у3 = Ъ, х5 - у5 = с, найти зависимость между
а, Ъ и с.
100(A). Решить уравнение
НИНИ-
101(A). Решить уравнение
sin χ ■ cos χ · cos 2x ■ cos 8я = —sin 12*.
4
102. Найти зависимость между α, ft и с, если
α = νί + -y/ι/ ,ft = * + i/, c = *2 +
ϊ/2·

Разлел I. Условия залач: 9 класс · 1 5
103(A). Решить систему уравнений
у + 3 = (4-х)2,
<(y + 5)2=z(2y + 7),
χ2 + z2 =6x, если2>0.
104(A). Решить уравнение 1 + 4 + 7 + .
105(A). Решить неравенство
VI - 4л; + Ах2 < —
+ х = 117.
2х-3
х-3
106(A). Решить уравнение
у18х-7 + yl3x-8 = yl7x-3 + yj2x-4 .
107(A). Доказать, что площадь
прямоугольного треугольника с острым углом в 15° составляет
восьмую часть квадрата гипотенузы.
108(A). Решить неравенство
χ
6х2
\Х\
■ + —^— < -sin2 30°.
tg230° 2
109(A). Решить систему уравнений
{χ2 + 5у2 - 4ху + 2х - 8у + 5 = О,
\х3 +у3 +ху = 41.
110(A). Найти четырехзначное число, которое
в 9 раз меньше числа, записанного теми же
цифрами, но в обратном порядке.
111 (А). Решить неравенство
х3-8
χ +2х+4
2А+1
>0,4·2- + 5|х|°- ^Ц-
2 x2k
112(A). При каких значениях параметра α
корни уравнения х3 - \2х + αχ - 28 = 0 образуют
арифметическую прогрессию?

16 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
113(A). Чему равно значение выражения
а2010 + -L·^ . если а2 + а + 1 = О?
α ϋ1
114(A). Решить неравенство
yj9x2-6x + x° > V4 + 2V3 - 73.
115(A). При каких значениях параметра α
корни уравнения х3 + αχ2 + 48л; -27 = 0 составляют
геометрическую прогрессию?
116(A). Построить график функции
х2-9 + я2*"1
|х-3| х"
У=Т~^ +^г-х"-2х°.
117(A). Решить неравенство т—; > \9-х2 .
N
118(A). В равнобедренном остроугольном ААВС
основание АС = 24, а расстояние от вершины В до
точки Μ пересечения высот равно 7. Найти
радиус окружности, вписанной в ААВС.
119(A). Решить уравнение
cos 2010° + cos 30° + tg 30° · Д· = Jj? - 3 sin 30°.
И
120(A). Решить неравенство
х3+1
χ - χ +1
ГКУ1 ~л-2
> |3х|° + 2,4
6 1 х-
v5y
χ
121(A). Центр окружности, касающийся
катетов прямоугольного треугольника, лежит на
гипотенузе. Найти радиус окружности, если он в 7 раз
меньше суммы катетов, а площадь треугольника
равна 56.
122(A). Решить уравнение
4x^2 + yjx + б + 2 yJ(x-2)(x + 6) = 2(8 - χ).

Разлел I. Условия залач' 9 класс · 1 7
123(A). Решить неравенство
х1 -tg 189° sin 180° , . .ко , гу—; τ ^ к
l· ctg 45° + л/л; -4* + 4 > 5.
tg9°
124(A). Высота и биссектриса прямоугольного
треугольника, опущенная из вершины прямого
угла, равны соответственно 6 и 8. Найти площадь
треугольника.
125(A). Решить систему неравенств
]х-2|>3,
х-1
<1.
χ
126(A). При каких значениях параметра α си-
\х2 +2х + а<0,
\х2-4:Х-6а<0
ственное решение?
стема неравенств -\ 2 л ^ имеет един-
127(A). Точка Μ лежит внутри правильного
ААВС. Найти площадь треугольника, если AM =
= ВМ = 2 см, СМ = 1 см.
у/Зх2 + 4
128(A). Решить неравенство > 4.
х-1
129(A). При каких значениях параметра а си-
\(6 + а)х + 2у = 3 + а,
стема уравнений < не имеет ре-
[-4х + ау = 1 + а
тений?
130(A). Доказать, что если а + Ъ + с = 0, то
50(а7 + Ь7 + с7) = 49(а4 + Ь4 + с%аь + Ъь + с5)2.
131(A). Существует ли треугольник, стороны
которого образуют арифметическую прогрессию с
разностью d = 13?

18 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-7 7 классы
132(A). Решить систему уравнений
lx(x + l)(2xz-3y2) = 12,
[2х + 4х2-Зу2=Ы.
133. На дуге ВС окружности, описанной около
равностороннего ААВС, взята произвольная
точка М. Отрезки AM и ВС пересекаются в точке N.
Доказать, что = l·
MN ВМ СМ
134(A). Построить график функции
2\х\ ,
у = -L-LV4-x .
χ
135(A). Найти уравнение общей касательной к
параболам у = х2-6х + 8иу = х2 + х + 2.
136(A). Сколькими нулями оканчивается
число 2010? Четна или нечетна его последняя
ненулевая цифра?
137(A). Решить уравнение Jl + tg2 Зх = —0 т.
a +b
138(A). При каком значении τη корни
уравнения х* - (Зтп - 5)х2 + (т + I)2 = 0 составляют
арифметическую прогрессию?
139(A). Существует ли квадратный трехчлен
у(х) с целыми коэффициентами, который в
точке χ = 1 принимает нечетное значение, а в точке
χ = 3 — четное?
140(A). Решить неравенство
x0'4x5+4ctg4octg94o ^ ,
\x\-2
141(A). Решить уравнение у]χ+ 45 - \/я-16 = 1.

Разлел I. Условия залач: 9 класс · 1 9
142(A). В ААВС длины сторон образуют
арифметическую прогрессию, причем ВС < АС < АВ.
г 2->/3 D
Известно, что — = , где г и К — соответ-
R 2
ственно радиусы вписанной и описанной
окружностей. Найти ZB.
143(A). Найти наименьшее 4-значное число,
удовлетворяющее соотношению abed = ab · cd +
+ ab + cd.
144(A). Решить систему уравнений
(χ2 +xy + y2)Jx2 +y2 =185,
(χ2 -xy + y2)Jx2 +y2 =65.
145(A). Решить уравнение cos χ + cos 7χ = 2.
146(A). Найти площадь треугольника, стороны
которого составляют арифметическую
прогрессию с разностью d = 2, если известно, что
произведение радиусов вписанной и описанной
окружностей равно 130.
147(A). Решить систему уравнений
jx3-3xy*=l,
[Зх2у-уя=1.
148(A). Доказать, что 192010 - 1 делится на 5.
149. Доказать, что площадь равнобедренной
трапеции определяется по формуле S = —т2 sin α,
где т — длина диагонали, α — угол между ними.
x + y = xyz,
150. Решить систему уравнений
y + z = xyz,
z + x = xyz.

20 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
151. Числа а, Ъ, с такие, что (а + Ъ + с) · с < 0.
Доказать, что Ъ2 > 4ас.
152(A). Найти сумму целых чисел из области
-Jx + 12 — x2
определения функции у = .
χ -9
153(A). Найти три числа, образующих
геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна
26, а сумма квадратов этих чисел — 364.
154(A). Решить уравнение (х - I)2 - х3 = 17.
155(A). Решить неравенство т= < 0.
χ + 2ых - 3
156(A). Сумма членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, стоящих на
нечетных местах, равна 36, а на четных местах — 12.
Найти эту прогрессию.
157(A). Доказать, что уравнение ху = 2010(л; + у)
имеет решение в целых числах.
158(A). Решить уравнение \/97 -х + л/я-15 = 4.
159(A). Решить уравнение
4(sin3 χ + cos3 x) = 3(sin x + cos χ).
160(A). Известно, что а + Ъ + с = 12, аЪ + ас +
+ be = 72. Найти значение а2 + Ь2 + с2.
161. Из бака, наполненного спиртом, вылили
часть спирта и долили водой. Потом из бака
вылили столько же литров смеси. После этого в баке
осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров
спирта вылили в первый раз и сколько во второй,
если вместимость бака 64 л?

Раздел /. Условия залач: 9 класс · 21
162(A). Решить уравнение
х2
fr (4 - х) + (1 - |*1)(1 + W) = 3.
И
163(A). В
четырехугольнике ABCD ZA = ZB = ZC = 45°.
Доказать, что SABCD = —BD2.
164(A). Если двузначное
число разделить на
произведение его цифр, то в частном
получится 10, а в остатке — некоторое число. Если
же это число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке, опять разделить на
произведение его цифр, то в частном получится 2, а в
остатке — то же число.
165(A). Решить уравнение
yjx-2 + 2-Jx-3 = sin χ + -Jx-3 .
166(A). Решить в целых числах уравнение
х3 - χ = 2013.
167. Сколько можно провести различных
прямых линий, соединяя попарно η точек на
плоскости, из которых никакие 3 не лежат на одной
прямой?
168. Разложить многочлен я13 + х11 + 1 на два
множителя.

22 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
169(A). Решить неравенство
1 + ι +...+
х(х + 1) (х + 1)(х + 2)
+ ΐ ,о.
(x + 2012)(x + 2013)
170(A). Периметр прямоугольного
треугольника равен 12 см. Найти радиус вписанной
окружности, если известно, что стороны треугольника
образуют арифметическую прогрессию.
171(A). Представить многочлен 1 + х2 + х* +
+ х6 + Xs + х10 в виде произведения четырех
многочленов не ниже первой.
172(A). Решить уравнение х\х^хл[х ... = 16.
Зх
173(A). Решить уравнение cos χ + cos— = 2.
4
174(A). При каких значениях α и Ъ многочлен
М(х) = αχ3 + bx2 - 73х +102 делится на х2 - 5х + 6
без остатка?
175(A). Решить в натуральных числах
уравнение ^Зх + 2у[2 + \13х-2у[2 = ^8у .
176(A). Решить неравенство \х + 1| - \х - 2| < 3.
177(A). Из трех различных цифр х, у, ζ
образованы всевозможные трехзначные числа. Сумма этих
чисел в три раза больше трехзначного числа,
каждая цифра которого есть х. Найти цифры x,y,z.
178. Разделить данную
трапецию на 9 равных и
подобных заданной.

Разлел I. Условия залач: 9 класс «23
179(A). При каких значениях параметра α си-
\х + (а - 1)ι/ = а + 3,
стема уравнений \ „ имеет бес-
[(а + 2)х + 2ау = 6а + 8
конечное множество решений?
180(A). Решить уравнение (х2 - χ - 2)2 - х3 = 10.
181 (А). В 9 «А» классе присутствуют учитель и
несколько учеников. Сколько учеников в классе,
если известно, что возраст учителя на 40 лет
больше среднего возраста учеников и на 36 лет больше
среднего возраста всех присутствующих в классе?
117
182(A). Решить уравнение —г- = —.
х3 (х + 1) 8
183. Через сколько минут после того, как часы
показали ровно 3 часа, минутная стрелка догонит
часовую?
184(A). Найти пятизначное число, которое в
45 раз больше произведения своих цифр?
fx3 + 8i/3=27,
185(A). Решить систему уравнений <
(У+4г/2 = 9.
186. Три квадрата расположены, как показано
на рисунке. Найти величину утла между
прямыми АВ й CD.
С В
A d
187(A). Часы отстают каждые сутки на 5 мин.
Через сколько дней они опять будут показывать
мерное время?

24 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
188(A). Решить уравнение
4х = (Jx + 39)(1 - Vl-V*)2·
189. Внутри произвольного треугольника
взяты две точки так, что расстояния от одной из них
до сторон треугольника равны 2; 4 и 16, а от
другой (в том же порядке) - 5; 6 и 12. Найти радиус
окружности, вписанной в данный треугольник.
190(A). Решить в целых числах уравнение
5(х2 + у2) = 5 + 8ху.
ί2π ^
-cos* —
3
191 (А). Решить уравнение cos2
V о о у
192(A). Решить систему уравнений
у2 - ху + Зу - 2х + 2 = О,
/
У =
= 1.
193(A). Сократить дробь
χ+з-з7*+1
χ +1 - 2у/х +1
194(A). При каких значениях параметров m
и η многочлен 2я5 - xi + χ2 + mx + η делится без
остатка на χ3 + χ + 1?
195(A). Решить уравнение х3 - 2х - 4V6 =0.
196. Найти все решения в простых числах
уравнения х2 - 2у2 = 1.
197(A). На основании равнобедренного
треугольника построен правильный треугольник,
площадь которого в 3 раза больше площади
данного. Найти углы треугольника.
198(A). Решить уравнение
(х2 -Ьх- 8)3 = х\х2 + χ - 8).

Раздел /. Условия залач: 9 класс «25
199. В прямоугольном треугольнике сумма
катетов больше гипотенузы, сумма квадратов
катетов равна квадрату гипотенузы. Что можно
сказать о сумме кубов катетов и куба гипотенузы?
200(A). Решить уравнение
1 + —г-^ = Зх2 - Ах.
6х2-5х + 1 2х2-Зх + 1
201 (А). Решить систему уравнений
2 2
х = -*У + У »
1 1 2
у=—х+—χ .
6 18
202(A). Построить график функции
У =
'43-24^
χ3π + 2·ΛΓ3π + (-1)2η + 1.
ν162·8χ
203(A). Решить уравнение
J7(y-2x) = x2 + y2+^.
4
204(A). Решить уравнение
(Зх- l)(Vx +3x- 1) = 2х.
205(A). Решить уравнение
206(A). Решить систему уравнений
\х3 + у3=ху + 61,
\х2 + у2 =ху + 13.
207(A). Доказать, что для корней трехчлена
1
хг + рх + —, где ρ е. R, выполняется неравенство
г ι ул. ι
Р~
jcf + х\ > 11, где хх и х2 — корни трехчлена.
208(A). Найти наименьшее целое решение не-
х2+4х + 4 9x2-24x + 16
равенства
\х + 2\ \Зх-4\

26 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
209(A). Решить уравнение х2 - Ах cos (ху) + 4 = 0.
210(A). При каких значениях α и Ъ многочлен
х3 + 7х2 + αχ + Ъ делится на χ2 + χ + 2013?
211(A). Построить график функции
\У\ = : ·
х-1
212(A). При каком целом значении α уравнения
4х2 - (2а + 1)х - 2 = 0 и 7х2 + (За - 1)х - 44 = О
имеют общий корень?
213(A). На оси ординат найти точку, через
которую проходят две взаимно перпендикулярные
касательные к графику функции у = х2 - 4х + 7.
214(A). Решить уравнение 1 + х5 = 2(1 + х)ь.
215(A). Решить уравнение
х°х2
sin 2010° · sin 540° + tg 60° · ^V = χ2cos 30°.
3И
216(A). Основание равнобедренного
треугольника равно 12, а расстояние от вершины
основания до точки пересечения биссектрис равно 3 V5 .
Найти радиус окружности, описанной около
треугольника.
217(A). В треугольник вписана окружность.
Прямые, соединяющие центр окружности с
вершинами, делят треугольник на части с
площадями 120; 104 и 112. Найти радиус вписанной
окружности.
218(A). В равнобедренной трапеции острый
угол между диагоналями, противолежащий
боковой стороне, равен а. При каком значении α
диагональ трапеции в 2 раза больше высоты?

Раздел /. Условия залай: 9 класс · 27
223(A). Выражение — —-2—-— рассматри-
219(A). Центр окружности, касающийся
катетов прямоугольного треугольника, лежит на
гипотенузе. Найти радиус окружностей, если он в
7 раз меньше суммы катетов, а площадь
треугольника равна 56.
220(A). Найти целые корни уравнения
(х + 3)(х + 4)(х + 9)(х + 12) = Зх2.
221 (А). Доказать, что уравнение х5 - рх3 + 1=0
при целом ρ > 2 не имеет рациональных корней.
222(A). В равнобедренном треугольнике ABC
(АС = ВС) биссектрисы АЕ и CD пересекаются в
точке 0. Известно, что SMCE = 24, S^oe = ^6.
Найти SAABC-
l-yj2x2-5x + 4
5x-2x2-3
вается только для целых значений х. При каком
значении χ это выражение имеет наибольшее
значение?
224(A). Решить систему уравнений
\х5 + у5=33у,
[8(х + у) = 3х3у2.
225(A). Найти все значения параметра а, при
χ + За - 4
которых неравенство > 0 выполняется
х + а
для всех χ е [1; 3].
226(A). Высота равнобедренной трапеции,
равная 21, делит основание трапеции в отношении
1:9. Определить радиус описанного круга, если
боковая сторона трапеции равна меньшему
основанию.

28 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
227(A). Доказать, что при любом целом m
выти3 , Зтга2 , 13т , .
ражение — + Η + 4 является целым
6 2 3
числом.
228(A). Решить систему уравнений
\х2 + у2-8х-12у + 26 = 0,
[yjx2+y2-4x-6y + 13 + ,Jx2+y2+2x-14y + 50=5.
229(A). Решить систему уравнений
\10(у-х) = х*+9,
[Jy+Jy-2x=sf2.
230(A). Площадь квадрата, построенного на
боковой стороне равнобедренного треугольника,
в 4 раза больше площади треугольника. Найти
R/r, где R и г — соответственно радиусы
описанной и вписанной окружностей.
231(A). Решить уравнение
хг-2 13* + 4 0
- —ζ = χ - 3.
х + 2 х2-10
232(A). Найти значение выражения
7* + 24л/лГ^144 - л/*-24л/л>^144 при χ = 2010.
233(A). Доказать, что если a2b2 = a + b, где α > 0,
α2 α3+α2+1
b > 0, то —г = —х 5 ·
Ъ2 Ь3+Ь2+1
234(A). Решить уравнение
(х - б)2 + (х- 5)3 + (х - 4)4 = 2.
235(A). Решить систему уравнений
\xyly2-l + yJx2-l = 3ylx2 + y2-2,
[х2 + у2=9.
236(A). Решить неравенство 7" + 8" < 9", η е N.

Раздел /. Условия залач: 9 класс · 29
237(A). Решить уравнение
л]х*+х3-2х2+2х-1 + у13х2-х*-х3 =
= -(Зх2
2У
2х + 3).
238(A). В треугольнике высота, равная 4,
делит основание в соотношении 1:2. Найти
основание треугольника, если радиус вписанной окруж-
18
ности равен ;= .
7 + V13
239(A). Представить многочлен 1 + х2 + х* +
+ х6 + ха + х10 в виде произведения четырех
многочленов не ниже первой степени.
240(A). Решить уравнение
V4x3 + 3x2 + 2 + V2x2-4x3+4x-l = Зх2 + Зх + 2.
241 (А). Решить систему уравнений
x2+y2+z = 0,
2x-y + — = 2z.
8
242(A). Основания трапеции равны 4 и 16.
В нее вписана и около нее описана окружность.
Найти произведение радиусов вписанной и
описанной окружностей.
243(A). Решить систему уравнений
115
Зх Ау 122
χ υ 5ζ
—+ —+—
3 4 12
= 1,
3x + 2y2 + z3 = 22.
244(A). В трапеции ABCD основание ВС= >/3,
диагонали АС и BD пересекаются в точке Е,
причем BE = 1, АЕ = 2, ABAC = ZDAC. Найти
площадь трапеции.

30 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-77 классы
245(A). Доказать, что выражение
1-4 6 + 2 8 12 + 31218 + ...
1 2 3 + 2-4-6 + 3 6 9 + ...
является целым числом — квадратом.
246(A). Решить уравнение х3 + 6 =
247(A). В четырехугольнике ABCD АВ = 5 см,
ВС = 3 см, AD = 8 см, ZA = 30°, ZB = 120°. Найти
сторону CD.
248(A). В ААВС АВ = 7, АС = 20, ВС = 15.
Окружность, вписанная в этот треугольник,
касается его сторон в точке Μ, Ν и К. Найти 5^^·
249(A). Решить уравнение
х°х3
cos 2010° · sin 360° - tg2 60° ■ -r-r- = 6x sin 30°.
250(A). Известно, что χ = \/25 + л/δ . Найти
значение выражения χ3 - ЗОя.
251 (А). Определить числа α и Ъ так, чтобы
многочлен f(x) = 6я4 - 7л;3 + αχ2 + Зх + 2 делился без
остатка на многочлен g(x) = χ2 - χ + b.
252(A). Пусть хг и х2 — действительные корни
уравнения х2 - 12тх + η = 0. Числа т, хх, х2, η —
четыре последовательных числа геометрической
прогрессии. Найти хх и х2.
253(A). Доказать, что tg 127°30' + л/б - V3 - V2
есть целое число.
4 г-
254(A). Решить уравнение χ + — (χ - З)3 = ν* +3.
χ
255. В равнобедренную трапецию вписан круг.
Определить радиус этого круга, если боковая сто-

Разлел I. Условия залач: 9 класс · 31
рона делится точкой касания на отрезки длиной
тип.
256(A). В прямоугольном ААВС из вершины
прямого угла С опущен перпендикуляр CD на
гипотенузу АВ. Из точки D опущены
перпендикуляры DE и DF соответственно на катеты АС и
ВС. Доказать, что г = гх + г2, где г, rt и г2 —
соответственно радиусы окружностей, вписанных в
ААВС, AAED и ADFB.
257. Разложить на множители
(х2 - ху + у2)3 + (х2 + ху + у2)3.
258(A). Решить уравнение
V х + 8 2χ + Ί
«ел ^ г- (х + У)7-х7-у7
259. Сократить дробь ^-, —^~ .
(x + yf-x5-y5
260. Доказать, что в прямоугольном
треугольнике г = ν S + R2 , где S — площадь, rnR —
соответственно радиусы вписанной и описанной
окружностей.
261(A). Освободиться от корня в знаменателе
дроби -т=—1=.
Ш-л/8
262(A). Решить уравнение
V23x2+llx + 4 = 7х2 + 7х + 4.
263(A). Решить уравнение
х9- 2013л;3 + V2012 =0.
264(A). Решить уравнение
ΪΕ-χ jx + 3
2013/ J- 2013/ = 9
Vx+3 \5-*

32 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
265(A). Решить уравнение
7х + 2 12 53
х + 2 7(7х + 2) 28
266. На сколько сумма всех четных чисел
первой сотни больше суммы всех нечетных чисел
этой сотни?
267. Доказать, что если а, Ъ, с, d составляют
геометрическую прогрессию, то
(а2 + Ъ2 + с2) (Ъ2 + с2 + d2) = (ab + be + cdf.
2\x\
268(A). Построить график функции \у\у =
χ
269(A). Решить уравнение
Зх2 + 2у2 + z2- 2xz + 4х - 8у + 10 = 0.
270(A). Найти положительные корни
уравнения ^£-1 -(V* +i)= #з.
271 (А). Решить уравнение х2 + 19л; - х\ = 0.
272(A). При каком значении α ось параболы
у = х2 + 2ах + а2 + Ъ имеет уравнение χ = -1?
273(A). Решить уравнение
, 1 205Г \\
х5 +
х+—
χ5 16
274(A). При каких целых χ квадратный
трехчлен хг + 2х - 3 есть простое число?
275(A). Имеет ли решения в натуральных
числах уравнение х2 + у7 = ζ2?
276. Дано: Ъх и q. Найти произведение всех
членов геометрической прогрессии от bk_2 до bk^.
277(A). Решить неравенство
tg 5 ctg (π - 5) + χ sin 30° + ^(x-S)2 < 1.

Раздел /. Условия залач: 9 класс «33
278(A). Решить неравенство (ζ - I)10 > (ζ - I)9.
279(A). Показать, что многочлен
(х + а) (х + 2а) (х + За) (х + 4а) + а4
есть квадрат трехчлена.
280(A). Найти наименьшее целое решение
неравенства yjl + x < yjl-2x .
281 (А). Два угла треугольника, прилежащих к
одной стороне, равны 45° и 60°. Найти отношение
R/r, где R и г — соответственно радиусы
описанной и вписанной окружностей.
282(A). Найти область определения функции
у= ^х -|*-6|.
283(A). Упростить выражение ^45+vl682 .
284. Число ааЪЪ — точный квадрат. Найти это
число.
285. Доказать, что если S есть сумма
бесконечно убывающей геометрической прогрессии qx, q2,
286(A). Задача на вычисление числа сторон
выпуклого многоугольника свелась к решению
уравнения х2 - 131*- 33 3 = 0. Есть ли смысл
решать уравнение?
287. Может ли число 1+2 + 3 + ... + η
оканчиваться цифрой 9?
288(A). В ромб, который разделяется
диагональю на два равносторонних треугольника, вписан
круг, радиус которого равен V3 . Найти сторону
ромба.

34 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
289. Найти четырехзначное простое число,
цифры которого образуют арифметическую
прогрессию.
290. Диагонали параллелограмма разбивают
его на 4 треугольника. Найти отношение
площади каждого из них к площади параллелограмма.
291. Цифры трехзначного числа образуют
арифметическую прогрессию. Если к нему
прибавить 101, то получится число, цифры которого
образуют геометрическую прогрессию. Найти
трехзначное число.
292. Диагонали прямоугольника уменьшили
в 3 раза. Будет ли полученный прямоугольник
подобен данному?
293(A). Высота CD, стороны АС, АВ и СВ ААВС
составляют арифметическую прогрессию с
разностью d. Найти радиус вписанной окружности, если
известно, что высота CD опущена на сторону АВ.
294(A). Высота, проведенная к гипотенузе,
делит ее на отрезки, пропорциональные числам 16
и 25. В каком отношении делит гипотенузу
биссектриса прямого угла?
295(A). При каких значениях параметра α
наименьшее значение функции у = х2 - αχ + 45 на
[-3; +оо) равно 9?
296(A). На 500 рублей куплено 100 штук
разных фруктов. Цены на фрукты таковы: арбуз,
1 штука — 50 рублей, яблоки, 1 штука — 10
рублей, сливы, 1 штука — 1 рубль. Сколько фруктов
каждого вида было куплено?
297(A). Делится ли число 10" + 6" - 3" - 1 на 63
при η е Ν?

Раздел /. Условия залач: 9 класс «35
298(A). Мальчики из 9 «А» обменялись
рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что
рукопожатий было 78. Сколько мальчиков в классе?
299(A). Решить в целых числах уравнение
ху2- 7(х + у2) = 1.
300(A). Найти пятизначное число, которое от
перестановки всех цифр в обратном порядке
увеличивается в 9 раз.
301 (А). Доказать, что выражение 9 · 33п + J - 8"+ *
кратно 19 при любом целом неотрицательном п.
h / 0 выполняется неравенство а6 + ft6 < — + 3
302(A). Доказать, что для любых чисел α φ Ο,
ah
о a
303. Доказать тождество
о л о sin 16а
cos α cos Δα cos 4а cos 8а = .
16sina
304(A). Доказать, что 13! - 11! кратно 31.
305. Доказать, что если корни уравнения
αχ3 + bx2 + ex + d = О
составляют арифметическую прогрессию, то один
Ь
ии корней равен - —.
306. Медианы ΔΑΒΟ пересекаются в точке О.
Доказать, что АВ2 + ВС2 +АС2 = 3(ОА2 + ОВ2 + ОС2).
307. Квадратный трехчлен f(x) = ax2 + bx + с
га-Ъ-сЛ =.(с-а-Ъ^
тиков, что /
что Д-1) ·/(!) = 0.
2а
= 0. Доказать,

36 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
10 класс
I (А). Чему равно значение выражения
^9+4V5 - ^9-475 ?
2. Каким должно быть число τη, чтобы
уравнения х3 + тх + 1 = 0 и xi + тх2 + 1=0 имели
общий корень?
3. Доказать, что число \g 2 иррациональное.
4(A). Доказать, что если α + Ъ + с = 0, то
2(а7 + Ъ1 + с7) = 7аЬс(а4 + Ь4 + с4).
5(A). Доказать, что число 47 + 716 составное.
6(A). Доказать, что в круге радиуса 10 нельзя
поместить 400 точек так, чтобы расстояние
между каждыми двумя было больше 1.
7(A). Решить уравнение х2 - 1Ζ = у[х + 13 .
8(A). Решить уравнение (^125 - ^2 )х = 51,2,
где χ & Z.
9. Доказать, что объем многогранника,
описанного около шара радиуса R, равен — RS, где S —
о
площадь поверхности многогранника.
10(A). Решить уравнение Щ4-х2 + v*2-3 = 1.
II (А). Разложить на множители выражение, не
группируя члены х5 + х4у + х3у2 + х2у3 + ху* + у5.

Раздел /. Условия залач- 10 класс · 37
12(A). Решить уравнение
г ( А
(sin Зх + л/3 cos Зя)2 = 5 + cos Зх + — .
V 6/
13. Найти двузначное число, обладающее тем
смойством, что если сложить его с суммой кубов
<ч<> цифр, то получится число, написанное теми
лег цифрами, но в обратном порядке.
14(A). Доказать, что если ab и а + Ъ делится
11 ιτ с, то а6 + ft6 делится на с3.
15(A). Решить уравнение
. 2 к* 2КХ , ·. - -
sin — cos — ι ~ Τ
16 4 + 16 4 = \161 + 6х-3х2 .
16(A). Доказать, что выражение (9я + Ау)ь +
ι (4jc + 9у)5 делится без остатка на 13(я + у).
17. На дуге ВС окружности, описанной около
|)i\ IIпостороннего ААВС, взята произвольная
точки М. Отрезки AM и ВС пересекаются в точке К.
1 1 л. 1
Доказать, что = +
МК MB МС
\ху = ух,
18. Решить систему уравнений <
[х3 = у2.
19. Разложить многочлен (х + у)5 - х5 - у5 на
множители.
20(A). Доказать, что если Та + 13Ь = 47, то
верно неравенство 20(7а2 + 13Ь2) > 472.
21. Решить уравнение χ = sxx .
Xs +χ* +1
22(A). Сократить дробь —ъ .
χ +х + 1

38 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
23(A). Доказать неравенство
1.3,5. 2009 J_
2 4 6*" 2010 44'
S τη2
24. В арифметической прогрессии —^ = —-.
Sn η
Доказать, что -^ = .
αη 2η-1
25(A). Упростить выражение ^17-4^9 + 4^.
26(A). Существует ли треугольник, стороны и
высота которого связаны соотношением a> b> О h и
выражаются последовательными целыми
числами, если высота h опущена на сторону ft?
27(A). Сколькими нулями оканчивается число
2010! ? Четна или нечетна его ненулевая цифра?
28(A). Решить уравнение
(1 + х)Vl + х - (1 - x)Jl-x = χ.
29(A). Решить уравнение (>/Ϊ2 )2χ + 5х = 13'.
30(A). В равнобедренном остроугольном ААВС
основание АС = 24, а расстояние от вершины В до
точки Μ пересечения высот равно 7. Найти радиус
окружности, вписанной в ААВС.
31(A). Решить систему уравнений
jxy + xy3 = 6,
[х + ху2 +ху* =9.
32(A). Найти все натуральные числа τη, при
- 13тга-1
которых дробь равна целому числу.
Зт + 5

Раздел /. Условия залач: 10 класс «39
33(A). Доказать равенство
^20 + 14V2 + V20-14V2 = 4.
34(A). Решить систему уравнений
fx4 + i/4+xy =33,
[x-xi/ + i/ = l.
35(A). Решить уравнение cos χ + cos 7л; = 2.
36(A). Решить уравнение
(sin Зх + cos Зя) sin 6х = V2 .
37(A). Решить систему уравнений
* + 2ι/ + ζ = 19,
χ2+4ι/2+ζ2=133,
xz = 4y2.
38(A). В ΔΑΒΟ длины сторон образуют
арифметическую прогрессию, причем ВС < АС <АВ.
Известно, что r/R = — (2 - V3), где г и R — соответ-
стиенно радиусы вписанной и описанной
окружностей. Найти величину ZB.
39(A). Найти все значения параметра а, при
кпждом из которых уравнение (2 + а)х2 + (1 - а)х +
ι а + 5 = 0 имеет по крайней мере один корень и
ικν его корни являются целыми числами.
40. Доказать неравенство
(Va + S Υ > 64аЬ(а + Ъ)2, если а > О, Ъ > 0.
41(A). Решить в натуральных числах
уравнение- 193(х3у3 + х2 + у2) = 1753(χι/3 + 1).
42(A). Для каждого значения параметра а
решить уравнение J|jc| + 4 - yj\x\ = а.

40 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
43(A). Решить уравнение 3' - ^л/в7 = 36.
44(A). В четырехзначном числе первая цифра
совпадает с третьей, а вторая — с четвертой.
Доказать, что это число кратно 101.
45(A). При каком значении параметра α уравне-
ние 125 · 25 ~*~2 - (2а + 3) ■ 5х + (За + 1)(2 - а) = 0
имеет один корень?
46(A). Решить уравнение >у9 - у[б = ν4 .
47(A). Что больше: 100100 или 101"?
48. Доказать, что если α > 1, то lg α + loga 10 > 2.
49(A). Известно, что log1227 = α. Найти log616.
50(A). Может ли сумма нескольких
последовательных целых чисел равняться 100?
51. Решить систему уравнений
■ = yf*
52(A). Найти сумму
( 1V
+ хп+—
( 1
х + —
V х J
+
X +Ху2 = у/Ху2,
у3 +xyz = y[xyz,
ζ3 + xyz = yjxyz.
λ2
f 2 1
χ + —
ν χ J
+... +
ν χ ,
53(A). Найти все пятизначные числа,
обладающие тем свойством, что если приписать впереди
этого числа некоторое однозначное число, а затем
приписать в конце этого числа то же однозначное
число, то отношение полученного большего числа
к меньшему будет равно 3.

Раздел /. Условия залач: 10 класс «41
54(A). Решить уравнение
(>/2-л/з)* + (V2 + V3)* = 4.
55(A). Вычислить
12(1312 + 1311 + 1310 + ... + 132 + 14) + 1.
56(A). В усеченный конус вписан шар. Сумма
длин диаметров верхнего и нижнего оснований
конуса в 5 раз больше длины радиуса шара.
Найти угол между образующей усеченного конуса и
плоскостью основания.
\ху=9,
57. Решить систему уравнений < ,
1</324 = 2*2.
58(A). Решить уравнение хх + х2' х = х2 + 1.
59(A). Не решая уравнения 4х2 - V85 χ + 5 — =0,
4
IIι.ιчислить разность кубов его корней.
60(A). Решить уравнение
tfx + ϊ +3^fx + 2 = 4^(х + 1)(х + 2).
61(A). Какой многочлен при возведении в 3-ю
степень дает многочлен х6 + Зх5 + 6х* + 7х3 + 6х2 +
ι Их + 1?
62(A). Решить систему уравнений
х + у _ x + z _ y + z
■ 5 ~ 6 ""Г"'
(х + у)2 + (x + z)2 +(y + z)2 =110.
63(A). Решить уравнение
V2 (sin χ + cos x) = tg x + ctg χ.
64(A). Решить уравнение 2013' - 2012' = 1.

42 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
65(A). Найти натуральные числа,
удовлетворяющие равенству abc(a + be) = α3 + be , где a, b,
с — различные числа.
66(A). В зависимости от значений параметра α
решить уравнение 42х + а = χ - 2.
67(A). Доказать (не пользуясь таблицами), что
число 272010 имеет меньше 3016 цифр.
68(A). Решить уравнение
(х2 + х)2 + \х2 + х\ - 2 = 0.
69(A). В уравнении ух + \х2 = у освободиться
от радикала.
70. Доказать, что если числа a, ft, с составляют
арифметическую прогрессию, то справедливо
равенство 3(а2 + ft2 + с2) = 6(а - ft)2 + (а + ft + с)2.
71(A). Найти область определения функции
№ =
2х-\
'х2-х + 1 х + 1 x3+l'
72(A). Доказать, что ^20 + 14^+^20-14V2 = 4.
73(A). Доказать тождество
3(sin4a + cos4 a) - 2(sin6a + cos6 a) = 1.
74(A). Построить сечение параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через
точки Bj, Dj и середину ребра CD. Доказать, что
построенное сечение — трапеция.
75(A). Решить систему уравнений
i2x2-Sxy = 9(x-2y),
[х2-3у2 = 6(х-2у).

Раздел I. Условия залач: 10 класс · 43
76(A). Угол при вершине равнобедренного
треугольника равен 120°. Найти отношение r/R, где
/ и /ί — соответственно радиусы вписанной и опи-
пппюй окружностей.
77(A). Решить систему уравнений
iSx2 + 2х у + у2 = 11,
\х2 + 2ху + 3у2 = 17.
78(A). Решить систему уравнений
Ux2+y2)xy = 78,
\х* + у*=97.
79. Решить систему уравнений
2 cos2 y =
2 sin21/=
sin у
simc#
sin у'
где χ, ye
'<
80(A). Трехзначное число оканчивается
цифрой 5. Если эту цифру переставить на первое
место и найти разность между исходным и
полученным числом, то получится трехзначное число
с одинаковыми цифрами. Найти это число.
81(A). Решить в натуральных числах
уравнении (16* - 21)ι/2 + 16(х + ζ) = 21.
82(A). Решить систему уравнений
iJx(x-l) = Jy(y + 5),
\х-у = 3.
83(A). Решить уравнение
yll + x + x2 + yjl-x + x2 = 2.
84(A). Решить в целых числах уравнение
5(х2 + у2-1) = 8ху.

44 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
85(A). Решить уравнение
Зх3+ 10 = 17.3/—х-— .
V 3 3
86(A). Делится ли 1313 + 1314 + 1315 на 61?
87(A). Решить в натуральных числах
уравнение 5(х + у)3 = 54 (х2 + у2).
88(A). Решить систему уравнений
(х2 + ух2 -18х - 8у + 81 = О,
\ylx2 + y2-2x-Uy + 50+jx2 + y2-18x-2y + 82=10.
89(A). Доказать, что на графике функции
у = х3 - Зх2 + Зх + 1 есть точка, которая является
центром симметрии графика.
90(A). Решить в целых числах уравнение
х3 + ху + у3 = 13.
91 (А). В ААВС sin ZC = -, АС = 5, ВС = 4. Най-
5
ти радиус вписанной окружности, если АВ < АС.
92(A). Найти площадь равнобедренной
трапеции, у которой длина диагонали равна 8 дм,
а угол между диагоналями — 45°.
93(A). Решить уравнение б'08^1' - 3log5<j:+1) = 2.
94(A). В трапеции ABCD основание ВС = 73,
диагонали АС и BD пересекаются в точке Е,
причем BE = 1, АЕ = 2, ABAC = ZDAC. Найти
площадь ABCD.
95(A). Решить уравнение
16л;2 + 9х + 117 = 24W* + 13 .
96(A). Решить уравнение sin 9x + 2 cos 6x = 2.

Разлел /. Условия залач: 10 класс · 45
97(A). Доказать, что если α + b + с = О, то
■1<«' +- Ъ1 + с7) = 7abc(a2 + b2 + с2).
98(A). Решить уравнение \х - 4| + \х - 3| = χ - 7.
99(A). Решить уравнение V*2 +1 - х= —т=
2л/*2+Г
100(A). Какое число стоит на 2010-м месте в по-
сл(!ДОвательности 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... ?
101(A). Произведение числа 13 на некоторое
четырехзначное число есть точный куб. Найти
неизвестный множитель.
102. При каких значениях параметра α урав-
пение — sin ян = |cos ax\ имеет решение?
2 ^ sin χ J
103(A). Найти целочисленный треугольник
Пифагора, площадь которого численно равна
периметру.
104(A). Не решая уравнения х2 - ν13 χ + 3 = О,
инйти значение х[ - х\ , где хх и х2 — корни
уравнения.
105(A). Решить уравнение sin Зх = —sin x.
106(A). Решить уравнение х4 + 26л;2 -х + 182 = 0.
107(A). Какие натуральные числа
увеличиваются в 7 раз, если между цифрами единиц и
десятков вставить нуль?
108(A). Решить уравнение
(sin χ + cos x) sin 6x = V2 .

46 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-11 классы
109(A). В ААВС ZA = 60°, — = ΐ!±λ. Най-
АВ 2
ти ZB.
110(A). Около круга описан прямоугольный
треугольник с острым углом 60° и прилежащим
катетом длиной 6 дм. Найти площадь круга.
111 (А). В треугольной пирамиде все плоские
углы при вершине прямые. Длины боковых ребер
равны 8; 9 и 10 см. Чему равен объем пирамиды?
112(A). Решить уравнение
sin χ + sin7 χ - sin 7x = 3.
113(A). Найти трехзначные числа, кратные 13,
у которых сумма цифр также кратна 13.
114(A). При каком целом α множитель я13 +
+ χ + 90 делится на х2 - χ - α?
115(A). Решить уравнение
х4 - (х - 1)(5х4 - 4х + 4) = 0.
116(A). В ААВС длины сторон а, Ъ, с и пло-
л/З
щадь S связаны соотношением S = — (ft2 + с2 - а2).
4
Найти ZA.
117(A). Найти наименьший положительный
Λγ 2х 6х
период Τ функции у = cos— - 2sin l· cos— .
lO La L OD
118(A). Стороны одного треугольника 17; 25
и 26 см, а две стороны другого 17 и 25 см.
Найти длину третьей стороны, если у треугольников
равны радиусы вписанных окружностей.

Раздел /. Условия залач: ТО класс · 47
119(A). Решить уравнение
χ = 2 л1х - 3 + л/х3 - Зх2 .
120(A). Решить уравнение л/я + 45 - л/л; -16 = 1.
121(A). Найти сумму j= + —= 1= + ... +
1 + V2 V2+V3
ν/2009 + >/2010 '
122(A). Решить систему уравнений
\ху[у + у4х = 6,
[х2у + у2х = 20.
123(A). Доказать, что если sin χ + sin у = a,
L . . (a2 + b2 + 2b)(a2 + b2-2b)
COHX + COSy = b,TOtgXtgy= 5 5 ^-5 5 .
У ё У (a2+b2 + 2a)(a2+b2-2a)
124(A). При каких значениях параметра α
уравнение \х2 - 8\х\ + 12| = α имеет ровно 8 корней?
125(A). Решить уравнение \х3 - 2х\ = 2х Л- 15.
126(A). Найти функции f(x) и g(x),
удовлетворяющие системе уравнений
f(3x - 2) + 7g(x - 5) = χ +1,
/(* + l)-gf|-4J = 3*.
127(A). Построить график функции
у = Vsin4Jc-3cos2jc + 6 + Vcos4;e + 2cos2;e + 6 .
128(A). В равнобедренном треугольнике высо-
гм, опущенная на основание, равна 12, а сумма
рлдиусов вписанной и описанной окружностей
|шнпа 83/8. Найти стороны треугольника.

48 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
..««,.. т^ 3 , л 7sinjc
129(A). Решить уравнение -2 l· 1 = -, г.
cos χ |cos;e|
1 —2[cosjcIcosjc
130(A). Решить уравнение .' ' — = 0.
у1х(7-х)
131 (А). Решить уравнение sin l· cos x = 2.
4
132(A). Решить неравенство
ctg 77° · ctg 13° + V*2 cos 60°sin 30° - x2 sin2 60° < 0.
133(A). Решить уравнение χ2 - 2 = yjx + 2 .
134(A). Доказать, что если 7 sin β = sin (2α + β),
то 3 tg (α + β) = 4 tg α.
135(A). Решить неравенство
V3
tg 5 ctg (π - 5) + χ sin 30° + yjix-S)2 < 1.
136. Разложить многочлен χ5 + χ + 1 на два
множителя.
137(A). Решить уравнение
Ух + Ϊ + ϊ[3χ + ϊ = &ГЛ.
138(A). Решить неравенство
arcsin yjx2 - 3 > arcsin-
2
139(A). Решить неравенство
Зу - 3cos χ + у]у-2х2-1 < 0.
140(A). Построить график функции
у = (cos х)° VI - sin2 χ .
141(A). Решить уравнение
11 48
1 + cos χ Ι + sin χ 35

Раздел /. Условия залач: 10 класс · 49
142(A). Решить неравенство
± + -i L_J_>2i.
χ х+1 х+3 х+4 30
143(A). Решить уравнение
cos (π у}хг - 4х - 5 ) = —j l· x.
χ +χ + 1
144(A). Решить уравнение
-logx 2(х - б)4 - 8 + 4 log6 х(8х -χ2- 12) = 0.
4
145(A). Решить систему уравнений
\л/х+^х + 2у =2,
\у4+4 = Цх + у).
146(A). Найти катеты прямоугольного
треугольника, если гипотенуза равна с, а биссектри-
с
са одного из острых углов равна —=.
V3
147(A). Окружность радиуса г проходит через
середину трех сторон ААВС, где ZA = 45°, ZB = 75°.
Найти площадь треугольника.
148(A). Решить в целых числах уравнение
х3 + у3 + 2 = 2(х + у).
149(A). Сравнить sin 9 и sin 10.
150(A). Решить неравенство
yj6x-x2-b - yj7-2x > yJ8x-x2-12.
151. Разрезать произ- β,
вольный ААВС в два приема
на 3 такие части, чтобы из
них можно было составить
прямоугольник.

50 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
152(A). Решить уравнение 37 tg Зх = 11 tg x.
153. Представить многочлен х12 + х10 + ха + ... +
+ х2 + 1 в виде произведения двух многочленов не
ниже первой.
154. Найти наименьшее натуральное число,
которое после умножения на 2 станет квадратом,
а после умножения на 3 — кубом натурального
числа.
155. Доказать, что если α и Ъ — катеты, с —
гипотенуза, то г = — (а + Ъ - с), где ι радиус впи-
Li
санной окружности.
156(A). Решить уравнение
yjx2+x-16 + yjx-x2 + 16 = χ2 - 7х + 17.
157(A). Найти сумму коэффициентов
многочлена, получающегося после раскрытия скобок и
приведения подобных членов в выражении
(х5 + х4- I)2009 · (х2 - χ + I)2010.
158(A). Если сложить два двузначных числа,
разделить большее на меньшее, вычесть из
большего меньшее, а затем полученные числа
сложить, то получится 111. Найти эти числа.
159(A). Между двумя равными двузначными
числами вставили вдвое большее число, й
полученное число оказалось точным квадратом.
Найти все такие числа.
160. Найти все четырехзначные числа,
которые, будучи приписаны к числу 400 справа, дадут
семизначное число, являющееся квадратом
натурального числа.

Раздел /. Условия залач: 10 класс «51
161(A). В параллелограмме ABCD луч,
проведен ι или из вершины А, делит сторону ВС в
отношении 3 : 5 (ВС > АВ). В каком отношении луч
де.иит диагональ BD?
162(A). Вычислить tg За, если sin а = 3 cos а.
163(A). Решить уравнение
'Зх-2^
2 хЛ „n2
4х + 3
+
3* + 2^
4х-3
2(9* -4)
16л;2-9
(X
164(A). Найти sin4 α - cos4 α, если tg — = 2.
165(A). Решить уравнение
χ2 - 8W* + 1 + 26* - 40V* + 1 + 41 = 0.
166(A). Решить систему уравнений
Ιχ2-6χ(ι/ + 1)-27(ι/ + 1)2=0,
Ι (χ - 9y - 9)2 + (χ + Зу + 3)2 = 36.
167(A). Решить неравенство yJ2-x + -Jx-1 > 1.
168(A). Решить в натуральных числах
уравнение jc3 - 2 7у3 = 37.
169(A). Найти сумму квадратов корней много-
ч.мепа М(х) = Ар2(х) + Зр(х) · q(x) - q2(x), если
, , χ* χ 27 , ч х2 ^ 4л; ^ 17
/'*") = — + — - —, q(x) = ~— + — + —·
5 5 5 5 5 5
170(A). Найти все трехзначные числа, которые
и 'Л раза больше суммы всевозможных двузначных
чисел, составленных из них без перестановок.
, *2-4
171 (А). Построить график функции у = 3 .
172(A). В равнобедренной трапеции длины
ошсовых сторон равны по 13 см, большее основа-

52 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-7 7 классы
ние — 20 см, а площадь — 180 см2. Найти длину
меньшего основания.
173(A). Построить график функции
у = VI-sin2χ · y]l + tgzx · \jx2-4x + 4.
174(A). Решить неравенство
sin22013° + cos2213° > 2 sin-.
2
175(A). Построить график функции
у = 3'°В9(Дг2-2дГ+1>
176(A). Решить уравнение
х2
τη- (4 - χ) + (1 - |х|)(1 + \х\) = 3.
ΓΊ
177(A). Найти по крайней мере 2010 решений
уравнения у2 = х2 + х3 в целых числах.
178(A). Решить уравнение 2 log2 (|дс| - х) = -1.
179(A). Решить неравенство
yJ9x2-6x + x° > V4 + 2V3 - л/3.
180. Доказать тождество tg α + tg β + tg γ =
= tg α tg β tg γ, где α + β + γ = 180°.
181 (А). Решить неравенство
arcsin \lx2 - 2 < arctg-7=r.
s
182(A). Найти все значения параметра α, при
Jx2 + 3y2=l,
каждом из которых система уравнении 1
[х-у = а
имеет единственное решение.
183. Доказать тождество
sin2 α + sin2 β + 2 sin α sin β cos (α + β) = sin2 (α + β).

Раздел /. Условия залач- 10 класс «53
184(A). Построить график функции
у = (cos x)°yjl - sin2 x .
185(A). Решить уравнение
186(A). Решить уравнение
4х2 -х-1 + yll-x-x2 = х2 + х + 2.
187(A). Решить уравнение
sin (πJb-Zx-x2 ) = (|х| + xf.
188(A). Найти наименьшую пару чисел х, у е N,
таких, что выполняется равенство х2 + у2 + ху =
2
= aaa .
189. Доказать, что любой четырехгранный
угол можно пересечь плоскостью так, что в
сечении получится параллелограмм.
190(A). При каких значениях α выражение
3 + cos χ ■ (6 cos χ + a sin χ) будет равно 1 хотя бы
при одном значении х?
191 (А). Найти все трехзначные числа, которые
при делении на 11 дают полный квадрат.
192(A). Доказать, что 11"+ 2 + 122п + J делится на
133 (п — натуральное число).
193. Решить систему уравнений
(1 + ι/)*= 100,
'(i/4-2i/2 + ir1 = (y~1)t·
(У + 1)2
194. Доказать неравенство
3(1 + а2 + а4) > (1 + а + а2)2.

54 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
195(A). Решить уравнение
fe2+6x+ll + %]2х2 + 4х + 2 = yJ3-x2-2x .
196(A). Решить систему уравнений
x2-y2 = lg-,
У
л/х + у[у + л[хТу=4:.
197(A). Найти число, при делении на которое
числа 200513, 200631 и 200749 давали бы один и
тот же остаток.
198(A). Решить уравнение
(х + 2)9' + (х- 1)3*+1 = 27.
199. Шар радиуса у/2 равновелик прямому
конусу, боковая поверхность которого в 3 раза
больше площади основания. Найти высоту конуса.
200(A). Найти четырехзначное число, у
которого сумма двух первых и двух последних цифр
равна 13, а сумма квадратов двух последних цифр
равна двузначному числу, образованному
первыми двумя цифрами искомого числа.
201 (А). Решить уравнение
\og\x + (х- 2)log3 х = 8 - 2х.
202(A). Решить уравнение
53* . 44+* · з16+х = 5408*.
203(A). Стороны треугольника a = 13 см, Ъ =
= 14 см, с = 15 см. Две из них (а и Ъ) служат
касательными к кругу, центр которого лежит на
третьей стороне. Определить радиус круга.

Раздел /. Условия залач: 10 класс «55
204(A). Найти все значения а, при которых не-
2 2
[жненство > 1 выполняется для всех
а(х + 7)
ν . (-2; 2).
205(A). Периодическая нечетная функция
определена для всех действительных чисел. Ее
период равен 5 и /(1) = 3, /(2) = -4. Найти значе-
||ио /(9) + /(-7) + /(6).
206(A). Решить систему уравнений
I V2cosjc = 1 + cosi/,
[v2sinjc = sini/.
207(A). Решить уравнение
16* = 9(yfx + 13)(2 - yj4-Jx)2.
208(A). Решить уравнение
х2-4 1
2|дс|1п χ +
х\ + 2 4π
ι I COS
3
209(A). Доказать тождество
3 + 4cos2a + cos4a , ,
= ctg4 a.
3-4cos2a + cos4a
210(A). Решить неравенство
32Ν-χ < tg
arccos—
v 2J
/7 + χ /9 — χ
211 (А). Решить уравнение з/ + з/ = 4.
212(A). При каком значении параметра а
существует единственная тройка чисел (х, у, ζ), удо-
п Ίстворяющая равенствам 2{х + у + ζ) = 4х2 + у2 и
» ι 2у + 3ζ = α?

56 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
213(A). Найти сумму всех значений параметра
α из интервала (3; 5), при каждом из которых
существует хотя бы одно χ е [4; 5],
удовлетворяющее уравнению log3 (4 - |sin ax\) = cos
f π\
πχ —
4
214(A). В квадрате KCNM на серединах сторон
КМ и MN отмечены точки А и В, которые
соединены с вершиной С. Найти ZACB.
215(A). Решить уравнение
log,+3 (*3 - 7х + 5) · log,_3 (χ + 3) = 3.
216. Доказать, что площадь прямоугольного
треугольника можно найти по формуле S = (2R + г)· г,
где R и г — соответственно радиусы описанной и
вписанной окружностей.
217(A). Решить уравнение 64' - 27* = 3(48* - 36').
1 35
218(A). Решить уравнение 1 +
Jx^l 12*
219(A). Решить неравенство
V7x2-llx-13 + V7x2-13x-10 < \2х - 3|.
220. Найти цифры х, у, ζ, если yjxyz = χ + у2 + ζ3.
221(A). Решить уравнение
{х - 1)4х + V4-* = 2yJx2-2x + 2 .
222(A). Решить уравнение χ - χ2 - 2х3 = — .
о
223(A). Решить систему уравнений
il3(y-x) = 7x4+6,
\у[у + у}у-2х=^2.

Раздел /. Условия залач: ТО класс · 57
224(A). Решить систему уравнений
(х3+у3=28,
\х2 + у2=10.
225(A). Найти все а, при которых неравенство
.ν 2α-4
χ
< 0 выполняется для всех χ е [2; 3].
а + 4
226(A). Решить уравнение
у/4х2 + 4х + 3 ■ arctg {2.x + 1) +
+ yJx2-4x + 6 · arctg (2- х) = 0.
227. Правильная четырехугольная пирамида
со стороной основания, равной а, двугранным
углом при основании, равным 2а, пересечена
плоскостью, делящей пополам двугранный угол при
основании. Найти площадь сечения.
228(A). Найти функции f(x) и g(x),
удовлетворяющие системе уравнений
'f(3x-2) + 7g(x-5) = l,
f(x + 2)-g
χ
= 3х.
229(A). Решить уравнение
πχ
log5 (16 + 6х- χ2) = tg2 l· ctg
πχ
4 4
230(A). В прямоугольном ААВС (ZC = 90°)
разность между длинами медианы СК и высоты СМ
рмина 7 см. Найти отношение R/r, если S^^ =
144 см2.
231 (А). Решить уравнение χ
fV9*2-l+l
V9x2 -1
35
36

58 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
232(A). Построить сечение параллелепипеда
ABCDA1C1B1D1 плоскостью MNK, где точки Μ, Ν
и К лежат соответственно на ребрах CCV AD и ВВ1.
233(A). Является ли число
рациональным или иррациональным?
234(A). Решить уравнение
50505* + 121212* = 131313*.
235(A). Упростить выражение
^/3(4 + Ш-^/169) - ^/ТЗ.
236. Решить в натуральных числах уравнение
2 2
ххуу = хх + уу .
237(A). Сколько диагоналей можно провести в
правильном десятиугольнике?
4у = х2+2х.
239(A). Доказать, что уравнение sin χ = αχ не
может иметь 2010 корней.
240(A). Доказать, что числа вида
(10л + Ю""1 + ... + 10 + 1)(10η+1 + 35) + 36
есть точный квадрат.
241(A). Требуется на 100 рублей купить 40
почтовых марок — рублевых, четырехрублевых и
двенадцатирублевых. Сколько окажется марок
каждого достоинства?
242(A). Доказать, что если sin χ + cos x = 1, то
sin5 x + cos5 χ = 1.
243. Найти наименьшее натуральное число,
которое при делении на 3 дает остаток 2, на 5 —
остаток 3, наконец, на 7 — остаток 2.
238(A). Решить систему уравнений

Раздел /. Условия залач: 10 класс «59
244(A). Расположить многочлен х3 + х2 + х + 2013
но степеням χ + 7.
245(A). Решить уравнение
(>/2 + λ/3)* + (>/2-λ/3)* = 4.
246(A). Решить уравнение 2х7 + х2Ь = Зх21.
247(A). Представить многочлен 1 + х2 + х4 +
ι x(i + xs + χ10 в виде произведения четырех
многочленов не ниже первой.
248(A). Известно, что числа χ и у удовлетворя-
х , 9у , Ιδχι/ „ „
ют условию h —— + —τ—^Нг = о. Найти наи-
2у 2х х2+9у2
м<;иьшее значение выражения (х - 7)2 + Зху.
249(A). Углы треугольника относятся как 1:5:6.
Длина наименьшей стороны равна 2. Найти
радиус вписанной окружности.
1
250(A). Решить неравенство хХех ■ \g χ < 1.
251(A). Доказать, что при любом
неотрицательном η число 29" + 19" + 15" - 2" · (1 + 23" + 3")
делится на 13.
252(A). Доказать, что если α + Ъ + с = 0, то
(«' + Ъ2 + с2)2 = 2(а4 + Ь4 + с4).
*(4*2+3)
(2х + 1)3
254(A). Решить систему уравнений
Γ(*+ι/)2=9(*-ι/)3,
\ху = 2.
255(A). Решить уравнение
(Зх + I)2 = 8-s/jc (Зх - 2-s/jc ) + 1.
253(A). Решить уравнение —— j-y- = 7.

60 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
256(A). Решить систему уравнений <
[у = χ .
257. Доказать, что если/? и 2р + 1 — числа
простые и ρ > 5, то 4р + 1 — число составное.
258(A). Доказать, что ни при каком целом зна-
„ х2-Зх + 4 х2+Ъх-9 х2 +Зя + 15
чении χ дроби ; ;
49 169 121
не могут быть равны целым числам.
259. Разложить на множители (х + у)7 — х7 — у7.
260. Упростить выражение
30 з|— + З-з/- + 53/Ϊ44 .
Vl2 2V3
261(A). Освободиться от иррациональности в
знаменателе дроби * .
V3 + \2
262. В уравнении л[х + tfy + %[ζ = 0
освободиться от радикала.
'n + lV
263. Доказать, что 1 · 2 · 3· ... · п<
ν 2 j
264. Доказать, что если η — целое число, то
пь - η делится на 5.
265. Четырехзначное число делится на 7 и 19.
После умножения его на 29 и деления на 41
получился остаток 39. Найти это число.
266(A). Чему равен n-й член ряда
-13 + 17-13 + 17-13+ 17-... ?
267. Доказать, что если для углов А, В, С
некоторого треугольника выполняется соотношение

Раздел /. Условия залай: 10 класс «61
I ir (А - В) + tg (В - С) + tg (С - А) = О, то треуголь-
иик равнобедренный.
268(A). Решить уравнение
х2(х + I)2 - Зх (х2 - 1) = Цх - I)2.
269(A). Доказать, что если
(xyfc + ylx3-l)(y^ + л///3-1)=1,
то ylx3-l + yjy3-l = 0.
270. Доказать, что tg 15° ■ tg 25° · tg 35° · tg 85° = 1.
271. Сколько существует пятизначных чисел,
оканчивающихся цифрой 6, которые делятся на 3.
272. Решить уравнение 8х · (Зх + 1) = 6.
273. Доказать, что если натуральные числа а,
I), с удовлетворяют соотношению а2 + Ь2 = с2, то
но крайней мере одно из чисел α и Ъ делится на 3.

62 · 800 лучших олимпиалных залач по математике 9-11 классы
11 класс
1(A). Доказать, что если α + Ь + с = О, то
10(а7 + Ъ7 + с7) = 7(а2 + Ь2 + с2) (а5 + Ь5 + с5).
2(A). Решить уравнение
1 1
(x + 2009)(x + 2010) (x + 2010)(x + 2011)
1 1
+ . г-—- +
(χ + 2011)(х +2012) (x + 2012)(x + 2013)
= 1
999999"
3(A). Решить уравнение
(х + 4)(х-2) Зх + 4 .
х + 2 х2-Ы
4(A). Доказать, что выражение
(я3 - х2у + ху2 + у3)ь + (х3 + х2у - ху2 + у3)ь
делится без остатка на 2(х3 + у3).
5(A). Не пользуясь таблицами логарифмов, до-
1 , 1
казать неравенство + > 3.
log7 π log5 π
6. Решить систему уравнений
З' + З^ + З^Э,
9х + 9^+9^=27,
хг + гу +ух =3.
7. Разложить многочлен (х + у)7 — х7 - у7 на
множители.
8(A). По двум сторонам треугольника α и Ъ
найти радиус описанной окружности, если известно,

Раздел /. Условия залай: 11 класс · 63
что угол, лежащий против третьей стороны, в 2 раза
больше угла, лежащего против стороны Ъ.
9(A). Доказать, что если a + b + с= 12, то
л/2а + 1 + V2& + 1 + л/2с + 1 < 9.
(# + ц) — χ — у
10. Сократить дробь —, =—*-?.
(х + у)5-х5-у5
11. Доказать, что при η е Ζ и η > 0 выражение
7П+2 + 82п+1 кратно 57.
12. Доказать, что для любого целого числа η
число (V2 - 1)" можно представить в виде
разности Vm +1 - у/т , где τη — целое.
13(A). Упростить выражение
VV5--s/3-a/29-12V5
14. Найти все простые числа/?, такие, что/? + 10
и/? + 14 также являются простыми.
15(A). Упростить выражение
16(A). Решить уравнение
(у/1 + х - l)(Vl-* + 1) = -х.
4
17(A). Доказать, что выражение (х2 - ху + у2)7 +
+ (х2 + ху + у2)1 делится без остатка на 2я2 + 2у2.
18(A). Решить систему уравнений
ix3-y3=26,
\х*-у* = 20(х + у).
19(A). Решить систему уравнений
\ху(х2 + у2) = 78.

64 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-77 классы
20(A). Пусть /(cos χ) = cos 13л;. Доказать, что
/(sin χ) = sin 13я.
21 (А). Решить систему уравнений
\ху]у2-1 + yylx2 -1 = 3^х2 + у2-2,
[х2+у2=9.
22(A). Решить систему уравнений
х5+у5 121
х3+у3 13'
я + 1/ = 2.
23(A). Известно, что отрезки с длинами а, Ъ, с
образуют треугольник. Доказать, что отрезки с
длинами Ζ] α , также образуют треугольник.
24(A). Решить неравенство 3χΊ - χ4 + χ > 3.
(„ , 1 Л2
п + 1
25. Доказать, что 1 ■ 2 · 3 · ... ■ п<
'β
IT "У" "Г*
26(A). Решить уравнение 2 sin
2
πχ χ2 + 1
2 χ
27(A). Решить неравенство
(, χλ . л/3
arcos log,— < arcsin—.
{ 3) 2
28(A). Решить уравнение <fZ +2χϊΐ2 - fix = 9,
где χ > 0.
29(A). Что больше: (Ι,ΟΟΙ)1000 или 2?
30(A). Роща имеет форму круга радиуса 258 м.
Расстояние между двумя деревьями в ней не менее
12 м. Доказать, что в роще менее 2013 деревьев.
31. Решить уравнение л[х = ыхх

Разлел I. Условия залач· 11 класс · 65
32(A). Делится ли число 10" + 6" - 3" - 1, η е Ν,
на 63?
33(A). Решить систему уравнений
ί(4*3-3*)4+(4ι/3-3ι/)4=1,
\х2 + у2=1.
\xXr»-y12=Q,
34. Решить систему уравнений <
35(A). Решить уравнение sin χ + sin7 χ - sin 7χ = 3.
36(A). Решить уравнение
(χ3 + 2х+ ΙΟ)3 + 2(х3 + 2х+ 10) + 10 = х.
37. Доказать, что если a, ft, с, d составляют
геометрическую прогрессию, то справедливо
равенство (а2 + ft2 + с2) (ft2 + с2 + d2) = (aft + be + cd)2.
38(A). Решить уравнение х4 + 26л;2 -х + 182 = 0.
39(A). Решить уравнение
6tg3*-5= 3/|(tgx + 5).
40(A). Решить уравнение
(χ2 + χ + 1) (х12 + х11 + х10 + ... + 1) =
= (х7 + х6+ ... + I)2.
41(A). Построить график функции
У = (log2013 *2013)0
х2-2х + А
42(A). Решить неравенство 5я2 + — < 3^5 .
χ
43(A). Решить систему уравнений
{xy + yz + xz = 27,
^ где χ >0, у > 0, ζ > 0.
[jci/2 = я + у + 2;

66 · 800 лучших олимпиалных залай по математике 9-11 классы
44(A). Решить уравнение
у]х-2 + 2^х-3 = sin χ + у/х-3 .
45(A). Решить неравенство 32|дг|_дг < tg
л/3
arccos
2 У
46(A). Доказать, что если sin χ + cos χ = a,
το sin5 л; + cos5 л; = — (5 - α5).
4
47(A). Решить неравенство γ-, < \J9-x2 .
\х\
48(A). Решить неравенство
24*1* <arcos(cos2>/2).
49(A). Решить уравнение
(sin (χ - у) + 1) (2cos (2x - у) + 1) = 6.
50(A). Найти функцию f(x), удовлетворяющую
(1Л
уравнению 5f(x) = 3/ —
\х )
51(A). Решить неравенство
л/3
|arctg (log2 x)\ < arccos—.
52(A). Найти все значения а, при которых
корни хх, х2, х3 многочлена х3 - 9х2 + Зах + а
удовлетворяют равенству (хх - 2)3 + (х2 - 2)3 + (х3 - 2)3 = 0.
53(A). Доказать, что если 7 sin β = sin (2α + β),
το 3 tg (α + β) = 4 tg α.
54(A). Решить уравнение
1-х3
+ —f=r, где χ > 0.
y/χ
cos (π 4x2 - 4дс - 5 ) = —= l· x.
χ +χ + 1

Раздел /. Условия залач: 17 класс · 67
55(A). Решить уравнение
v3/
χ -4χ+4
+ (V^^5 )2 + 13,5 = -—=±±± + χ.
х-А
1 2013
56(A). Сравнить ——— и In——— .
2013 2010
57(A). Решить уравнение
4
(sin2 χ)' = — (arcsin χ + arcos x).
π
58(A). Решить уравнение
χ2 л/4 -χ2 =|χ|3-4|χ| + 4\/2.
59(A). В конус вписан шар. Радиус
окружности, которой касаются конус и шар, равен г.
Найти объем конуса, если угол между его высотой и
образующей равен а.
60(A). Решить неравенство
(4х2 -х+ V7)—=^ > 0.
х-а
61 (А). Решить уравнение y/l-x2 = Зх - 4х3.
62(A). В шестизначном числе первая цифра 2.
Если ее перенести в конец, не изменяя порядка
остальных цифр, то полученное число будет втрое
больше исходного. Найти исходное число.
63(A). Решить неравенство (а - 6)2 < а - 3.
1Я
64(A). Решить уравнение х2 + — = 9\Уз .
χ
65(A). Решить неравенство \х2 - 1| + \х2 - 9| < 8.
66. При каком значении а график функции у = ах
касается графика функции у = \oga x?

68 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-11 классы
67(A). Решить уравнение
X — V
5 + 4 cos — + cos (χ - у) =
2
= 4^4х-х2 cos2 = 0.
4
68(A). Вычислить
log3 2 · log4 3 · log5 4 · log6 5 ■ log7 6 · log8 7.
69(A). Сравнить числа
α = ctg2 (lg (2 + л/3 )) и Ь = ctg2 (lg (2 - л/3 )).
70(A). Решить систему уравнений
ix2y2-4x + 4y2 = 0,
\х2-4х + 5 + у3=0.
71 (А). Решить уравнение 5х ■ л/в771 = 500.
72(A). Решить уравнение
log2 (3 + 2х - х2) = tg2 — + ctg2 — .
4 4
73(A). Решить уравнение
4 (1 - 2x2)(8x4 - 8х2 + 1) = -1, если χ е [0; 1).
74. Найти значение sin 18° и cos 18°, не
пользуясь таблицами.
75(A). Решить систему уравнений
у222 +4x2z2 +9x2y2 = 25x2y2z2,
x2+4y2+25z2=16,
1375х —^=у + 2л/3г = 24.
V5

Раздел /. Условия залач: 7 7 класс · 69
76(A). Решить систему уравнений
У
х = 3 +
VI
+ У'
У'
-1,
2 = 12*-2х -17.
77(A). Найти множество значений функции
ι/ = —arcos (0,5(cos χ - sin x)).
π
78(A). Решить систему уравнений
7х - 111/ = фсТу = ^jx + 9y .
79(A). Решить неравенство Зх7 - я4 + χ > 3.
80(A). В правильной пирамиде MABCD МО —
высота пирамиды. Объем пирамиды равен .
о
Найти наименьшую площадь боковой
поверхности пирамиды.
\х6+у6 = 65,
81 (А). Решить систему уравнений
82(A). Решить систему уравнений
[х4 + у4=17.
\ху=ух,
\х3=у2·
83(A). Вычислить интеграл J (sin4 х- cos4 x) dx.
о
84(A). Решить систему уравнений
•v/jc + у[у + 4z' = 4,
• л; +1/ + 2 = 6,
χ2 + ι/2+22 = 18.

70 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-7 7 классы
85(A). Решить уравнение
5\og2(x_4+X~6]= log J + +7.
{ χ-α) *а\Цх-Ь) 3(*-2)J
86(A). Найти целое число, которое обращается
в квадрат как при увеличении его на 307, так и
после уменьшения на 192.
87(A). Найти все целые положительные числа,
произведение цифр которых равно х2 - Юх - 22.
88(A). Решить уравнение
log2, я + (х - 2) log3 χ = 8 - 2х.
х-2\х\>1,
|х-3|<5.
90. Решить неравенство loga (χ - a) > logt (x + a).
a
91 (А). Решить уравнение
log6 (9x2 + 1) - log6 χ = 3x(2 - 3x).
92(A). Вычислить log3 18, если log3 12 = a.
93. Доказать, что число вида
(10п + 10π+1 + ... + 10 + 1)(10π+1 + 35) + 36
есть точный квадрат.
94(A). Доказать, что если a + b + с = 0, то
18(а5 + Ьь + с5) = 25(а3 + Ь3 + с3)2 (а4 + Ь4 + с4).
пг,,. _ log г*12"1) с-
95(A). Решить уравнение χ ' =5.
96. Решить уравнение
tg (arcsin χ) = sin (arccos χ).
97(A). Найти хотя бы одну тройку целых
чисел, удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = ζ13.
89(A). Решить систему неравенств

Разлел I. Условия залай: 11 класс «71
98(A). Сколько существует четырехзначных
чисел — квадратов, у которых одинаковы две
первые и две последние цифры?
99(A). Решить неравенство
cos (arcsin л/2я + 1) < arccos (cos 5).
100(A). В ААВС стороны а, Ъ, с (а < Ъ < с)
образуют арифметическую прогрессию. Известно,
что R ■ г = 130, R и г — соответственно радиусы
описанной и вписанной окружностей. Найти
наименьшую тройку натуральных чисел (а, Ъ, с),
удовлетворяющих условию задачи.
101(A). Трехзначное число abc является
квадратом. Найти все такие числа, если abc = ab +
+ 2bc + Зое.
102(A). Построить график функции
\ χ\
у = -—-- 2 sin | χ | sin x
χ
103(A). Решить неравенство
[24:-2χ-χ2λ
log
'25-*2
14
>1
104(A). Доказать, что если cos α + cos β = α и
sin α + sin β = b, то tg (α + β) = —-г -г.
a -b
105(A). Решить в целых числах уравнение
х10 + 5х5 - у* - 4у* = 1.
106(A). При каких значениях χ дробь
х3 + 6х2 + 35* -42 ОА1АО
—г 5 можно сократить на 2010?
х3 + 5х2 + 28* -84
7
107. Решить уравнение sin6 χ + cos6 x = —.

86 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
247. Доказать, что при любом натуральном η
следующие выражения есть целые числа:
102+2 102 + 8 102+5
3 ; 9 ; 5 '
248. При каком условии многочлен ax3 + bx2 +
+ ex + d является кубом двучлена первой степени?
249(A). Найти условие делимости (х + 1)т +
+ (х - 1)т на х, где χ е. N.
250(A). Разложить на множители х3 + Зху +
+ у3-1.
251. Решить в рациональных числах
уравнение ху = ух.
252(A). Произведение первой цифры числа на
оставшуюся часть равно 104, а последней цифры
на оставшуюся часть — 243. Найти это число.
253. Найти прямоугольный треугольник,
стороны которого выражались бы целыми числами,
причем все 9 цифр, участвующих в записи
сторон, различны.
254. Найти все тройки чисел a,b, с е N,
являющихся длинами сторон треугольника с диаметром
описанной окружности, равным 6,25.
255(A). Решить в целых числах систему урав-
\4k + l = m2,
нений < „ где k > 0.
[3k + l = n2,
256(A). Найти в целых числах решение систе-
ia + b + c = x + y,
мы уравнений 1 „ „ „ „ „ если числа а,
[аг + Ь +с=х +у ,
Ь, с образуют арифметическую прогрессию.

Раздел II
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ
0©00<Х>00«>0<>СЮО©С<><><>>©0©0^
9 класс
1. Решение. Данная сумма равна и мо-
жет оканчиваться на 0, 1, 3, 5, 6, 8, но не на 7.
Ответ: нет.
2. Решение. 8013 < 8113 = (З4)13 = З52 < З56 =
= (З4)14 = (З2)28 = 928 < 1028.
Ответ: 8013 < 1028.
3. Указание. Если η — нечетное, то делится;
если η — четное, то не делится. Положить χ = 0.
4. Ответ: делится.
Указание. Положить 213 = х, тогда 254 + 1 =
= 4х4 + 1; 227 + 214 + 1 = 2х2 + 2х + 1, и т. д.
5. Решение. Возведем обе части неравенства в
л „з
1 + -
v 3
3
куб: 1+Ж1 + 3-- + 3-— + —
3 9 27
=> VT+ΐ <ι + -.
3
6. Ответ: 5ху(х + у)(х2 + ху + у2).
7. Указание. Показать, что 2(а5 + Ъь + с5)
= 5аЬс(а2 + Ъ2 + с2).
=>

88 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
8. Указание. Достаточно взять а = η + 4, тогда
an + 4 = (η + 2f — составное.
9. Ответ: (^3 - $2 )(^3 + ^2)( 7з + V2).
10. Указание. ΖΑΜΒ = с
= 150° (см. рис.). АВ
находим из ААМВ по теореме
косинусов.
Ответ: V25+2V3 .
11. Решение. Нет, так
как иначе корзины с
четным и нечетным
количеством орехов должны
чередоваться, т. е. корзин
должно быть четное число.
12. Ответ: — (7з + 1).
2
13. Ответ: 4567.
14. Указание. Учесть, что ΑΜΝΚ и АКРЕ
вместе составляют АМКЕ. Тогда площадь
пятиугольника равна двум площадям АМКЕ, т. е. равна
2.1-1-1.
2
15. Ответ: х1 = 1, хг = 5,5.
16. Ответ: (2; -1), (-1; 2), (-1; 1).
Указание, (х + у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у3 +
+ бху4 + у5. Далее замена χ + у = а, ху = Ъ, и т. д.
17. Решение. При χ = 13 имеем а · 132 + Ъ · 13 +
+ с = 2, а при л; = 60 получим α · 602 + Ъ · 60 + с = 3.
Вычитая из второго равенства первое, находим
а(602 - 132) + Ь(60 - 13) + с = 1, а если а и Ъ —
целые, то 1 делится на 60 - 13 = 47, что неверно.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 89
18. Ответ: х12 = ±8.
19. Решение. Из подобия прямоугольников
У _
χ
имеем —
У
10-х
Из I и II уравнений χ =
10
(1)
, или 1/(33 - у)2 = 100(33 - 2у), или
33-у
Из II и III уравнений получим у(33 - у) = 100 -
- \0х, или, учитывая (1), находим у(33 - у) =
= 100(33-2t/)
33-у
у3 - 66у2 + 1289ι/ - 3300 = 0. (2)
Можно убедиться, что у = 3 — корень
уравнения (2), тогда (у - 3)(у2 - 63у + 1100) = 0, откуда
у = 3. Уравнение у2 - 63г/ + 1100 = 0 не имеет
действительных корней, так как D < 0. Итак, у = 3,
тогда из (1) получим χ = 1.
20. Ответ: 75°.
Указание. Использовать теоремы синусов и
косинусов.
21. Решение.
I способ
Поскольку OD J_ AC, OF _L ВС и ZC = 90°, то
FODC — квадрат. OD = OF = ОЕ = г, AD = Ь - г,
BF = а - г. Но AD = АЕ и BF = Б£ как отрезки
касательных к окружности, проведенные из
одной точки. Значит, АЕ = b - г, BE = а - г и АВ =

90 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
=АЕ + ВЕ, т. е. с = (ft - г) + (а - г),
откуда г = — (а + Ъ - с), ч. т. д.
II способ
Заметим, что S^^
ab.
С другой стороны, S^c = ρ· г =
= — (α + ft +c)r, тогда aft = (a +
+ ft +c)r, откуда г
aft
a + ft + c
(1)
2 -
По теореме Пифагора a2 + ft2 = с2, или (a + ft):
- 2aft = с2, т. e. 2aft = (a + ft)2 - с2, или 2aft =
= (a + ft — c)(a + ft + с), тогда (1) примет вид
2aft (a + b-c)(a + b + c) a + b-c
r= = -^ ^ '- = , 4. т. д.
2(a + ft + c) 2(a + ft + c) 2
22. Указание. \2(x + y) = (5x + 7y) + (7x + 5y).
23. Пусть η — число домов, a — первый и ft —
последний номера домов. Так как номера домов
возрастают на 2, то имеем возрастающую
арифметическую прогрессию, тогда Sn =
a + ft
• η
423.
Но 423 = 3 · 3 · 47, и так как η > 5, то η = 9.
Значит, номер пятого (среднего) дома равен 47.
24. Решение.
I способ
Проведем биссектрису AD угла А, тогда Ζ1 =
= Ζ2 = Ζ3, т. е. AD = DC. Пусть AB = x,AD = DC =
= у, тогда ВС = χ + 2, BD = χ + 2 - у.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 91
Заметим, что AABD ~ ААВС по двум углам
АВ
(ZB — общий, Zl = Z3). Из подобия имеем
ВС
BD
АВ АС
AD χ
, или
х + 2
х + 2-у = У_
х + 2 5
Имеем систему уравнений
χ
_У_
х + 2 5'
х+2-у у
х + 2 5'
\Ьх = ху + 2у,
[5х + 10-5у = ху,
откуда, вычитая из I уравнения
II, получим 5у — 10 = 2у, или у = —, тогда
о
к 10 ^ 20
ох = —х+ —, откуда χ = 4.
3 3
Значит, АВ = 4 см, ВС = 6 см.
Ответ: АВ = 4 см, ВС = 6 см.
II способ
Пусть ZC = а, тогда ZA = 2а и ZB = 180° - За.
Полагая, что АВ = х, ВС = χ + 2, по теореме сину-
х х + 2 5
сов имеем
sin α sin 2α sin(180°-3a)
, или

92 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-11 классы
χ χ + 2
sin α sin 2α
χ 5
sin α sin 3α
χ + 2 sin 2а
Из уравнения (1) находим =
χ sin α
2
1 + — = 2 cos α.
χ
Из уравнения (2) получим χ = ———.
sin 3α
Поскольку sin 3α = 3 sin α - 4 sin3 α, то
5
(1)
(2)
или
(3)
χ
3-4sin α
лт /оч -ι , 6-8sin2a „
Учитывая (3), имеем 1 + = 2 cos a
5
или 8 cos2 a - 10 cos a + 3 = 0, откуда находим
3 1
cos a = — , cos a = —.
4 2
3
Если cos a = — , то, учитывая (3), имеем х = 4.
4
1 2
Если cos a=—,то1 + — = 1, что невозможно.
2 χ
Итак, АВ = 4 см, тогда ВС = χ + 2 = 6 (см).
Замечание. Если cos a = —, то a = 60°, тогда
AC = 60°, ZA = 120°, чего не может быть.
25. Ответ: (х + у - 1)(х2 - ху + у2 + χ + у + 1).
26. Ответ: (а - Ъ)(Ъ - с)(а - с)(а + Ь + с).
27. Ответ: 1.

Раздел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс «93
28. Ответ: хх = а, хг =
24-19а
19-8а
29. Указание. Записать уравнение в виде
л 2 25 л 10 5 2
4хг = 4 - —, откуда находим х, = —,х9=—,
9 Зх г 6 2 3
30. Решение.
3
При * > —, ι/ = 5я - 3, а ее графиком является
5
прямая lv
у = 3 - 5*, * <
5

94 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Заметим, что k1 = 5 — угловой коэффициент
прямой Zj. Поскольку AC Llv то угловой
коэффициент k1 прямой АС связан с коэффициентом кх
соотношением к, · k, = -1, или k, = -— = - —.
12 2 k, 5
Тогда уравнение прямой АС примет вид
y = -hx-2).
5
Следовательно, точку пересечения прямых АС
и Zj найдем из системы
у = --(х-2), 1
5 или 5х - 3 = - — (х - 2),
у-5х- 3,
17 7
откуда находим χ = —, тогда у = —.
f 17 7 ^
Ответ: С —: — .
1,26 26J
Замечание. Можно привести еще по крайней
мере 5 способов решения этой задачи (см.
Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по математике.
5-11 классы. — Ростов н/Д: Феникс, 2009. —
С. 175-179).
31. Ответ: х, = 1, х,= — .
1 2 25
Указание. 2(х - 1) = 2(<s/jc + 1)(у/х - 1).
32. Указание. Записать данное выражение
в виде ЗЗЗ777 + 777333 = (ЗЗЗ777 + 7777) + (777333 -
_ 7333) _ (7777 _ 7333). Далее учесть, что сумма
нечетных степеней делится на сумму оснований, а
разность любых целых степеней делится на разность
оснований. Наконец, 7777 - 7333 = 7333 · (74111 - 1) =
= 7333 · (2401111 - 1) — кратно 10.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения- 9 класс «95
33. Решение.
Легко заметить, что cos χ = ±— удовлетворяет
π ,
данному уравнению, откуда находим χ = ±— +
о
2π
+ 2πη и χ = ±— + 2πη, η & Ζ.
3
При других возможных значениях слева имеем
сумму иррациональных чисел, а справа — число
1. Следовательно, других решений данное
уравнение не имеет.
7Г 27Г
Ответ: χ = ±— + 2πη; χ = ±— + 2πη, η & Ζ.
3 3
Замечание. Можно привести и другие решения
(см. Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по
математике. 5-11 классы. — Ростов н/Д: Феникс,
2009. — С. 181-182).
34. Указание. Умножить числитель и
знаменатель дроби в левой части уравнения на \3-χ +
+ у/х-2.
Ответ: хх = 2, х2 = 3.
35. Решение. Обозначим через х, у, ζ, и
соответственно количество «двоек», «троек»,
«четверок» и «пятерок». Согласно условию имеем
ix + y + z+u = 30, ί1)
[2x + 3i/ + 4z + 5u = 90. (2)
Кроме того, и < ζ < у. (3)
По условию ζ кратно 5 и у кратно 7. Из (3) =>
=> у * 0, ζ * 0. Из (1) и (2) исключим х:

96 · 800 лучших олимпиалиых залач по математике. 9-11 классы
\2x + 2y + 2z + 2u = 60,
< откуда
[2x + 3i/ + 4z + 5u = 90,
у+ 2z + 3u = 30. (4)
Так как ζ кратно 5 и ζ φ 0, то из (4) => ζ = 5, или
г= 10.
1. Если ζ = 5, то (4) примет вид у + Зи = 20. (5)
Так как у φ 0 и у кратно 7, то с учетом (5)
находим у = 7 или у = 14. Но если у = 7, то из (5) =>
=> Зи = 13 — не подходит, так как и — целое
число. Если у = 14, то Зи = 6, и = 2, тогда χ = 9.
2. Если ζ = 10, то у + Зи = 10. Так как у ф0 и у
кратно 7, то с учетом условия ζ <у следует, что при
ζ = 10 должно быть !/>ги уравнение у + Зи = 10 не
имеет решения при указанном ограничении.
Итак, χ = 9, у = 14, ζ = 5, и = 2, т. е.
«пятерок» — 2, «четверок» — 5, «троек» — 14,
«двоек» — 9.
37. Ответ: (0; 0), (2; 3),
ν
36. Указание. Обозначить у = 3х.
( 26 13"
5 ' 5 /
Указание. Записать I уравнение в виде
(х - 2у)(3х - 2у) = 0, и т. д.
38. Решение. Пусть а = 17, Ь = 25, с = 26 см —
стороны I треугольника, а = 17, Ъ = 25 — две
стороны II треугольника их — длина третьей
стороны. По условию у данных треугольников равны
радиусы вписанных окружностей, тогда
с с
г= — = -L,rneS1= >/л(А-а)(Л-6)(Л-с) '
/?! = -(а + Ь + с) = 34 и
S, = V3417-9-8 = 204 (см2).

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 97
42 + X
Аналогично, р2 =
S!=.|i2±£.il£±i_17A
Μ±ί-25Λ
/
42 + х Л
χ
42 + х 42-х 8 + х х-8
Итак, -J(42 + x)(42-x)(x + 8)(x-8): -(42 + χ) =
4 2
204 J(42 + х)(42 - *)(* + 8)(х - 8) _
= , — = о, или
34 2(42 +л;)
(42 + х)(42 - х)(х + 8)(х - 8) = 144(42 + xf,
А2 + хф0
(42 - х)(хг - 64) = 144(42 + х), или
х3 - 42х2 + 80л; + 8736 = 0, или
х\х - 28) - 14х(х - 28) - 312(х - 28) = 0,
(х - 28)(л;2 - 14* - 312) = 0, хх = 28,
х2 - Ых - 312 = 0,
откуда находим х2 = 26, х3 = -12 (не подходит).
Если χ = 26, то получим I треугольник. Итак,
длина третьей стороны II треугольника равна
28 см. При этом г = 6 см (можно проверить
непосредственно).
Ответ: 28 см.
Замечание 1. Условие этой задачи
заимствовано из книги Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.:
Мир, 1975. № 167. С. 41-42.
Замечание 2. Редким примером «тупоугольных
близнецов» служат треугольники со сторонами,
равными соответственно 97, 169, 122 и 97, 169,
228. У каждого из них г = 30 (см. там же).
Замечание 3. Представляет интерес
нахождение двух треугольников подобного вида, у ко-

98 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
торых равны радиусы описанных окружностей
(прим. авт.).
39. Указание. Ввести замену \jx-2 = у.
40. Ответ: (±3; ±1), (±1; ±3).
Указание. Возвести I уравнение в квадрат и
учесть II уравнение.
41. Решение. Известно, что S. = = рг, или
Δ 4R У
abc а + Ъ + с , ...
= г? откуда 2Rr\a + ft + с) = abc. (1)
По условию Rr = 130, тогда (1) примет вид
260(а + Ъ + с) = abc. (2)
Поскольку стороны а, ft, с ААВС образуют
арифметическую прогрессию, то 2ft = а + с, тогда
(2) примет вид 260 · 3ft = abc, откуда ас = 780.
Итак, а + с = 2ft, ас = 780, т. е. стороны α и с
можно принять за корни некоторого квадратного
уравнения
х2 - 2Ъх + 780 = 0,
D/4 = ft2 - 780, xlt2 = ft ± Vft2 -780 .
Наименьшую тройку (a, ft, с) получим, полагая
ft = 28, xlti = 28 ± 2, откуда хх = 30, хг = 26.
Так как α < ft < с, то условию задачи
удовлетворяет наименьшая тройка чисел (26; 28; 30).
Ответ: (26; 28; 30).
42. Решение. Если ρ Φ 3, то 14р2 + 1 делится на 3.
И действительно, ρ = 3k + 1, или/? = 3& - 1, тогда
р2 = 9k2 + 6& + 1 или/?2 = 9k2 - 6k + 1, а это значит,
что остаток от деления числа р2 на 3 равен 1.
Следовательно, 14/?2 + 1 делится на 3 при любом р,

Разлел II. Ответы. Указания. Решения· 9 класс · 99
не делящемся на 3, т. е. не является простым
числом. Если же ρ = 3, то число 14р2 + 1 = 127 —
простое.
Ответ: 127'.
43. Ответ: (±2; ±1), (±1; ±2).
Указание. Выразить *4 + у* через ху, а из II
второго уравнения х2 + у2 = 7 - ху и т. д.
44. Решение.
7
1 + -
simc
1 +
19
cos*
> 293,
1 +
+
19
+
= 1 +
sin*
7
cos*
+ -Ϊ1
719-2
2 sin* cos*
266
+
sin* cos*
+ 266 = 293, 4. т. д.
sin 2*
> 1 + 7+ 19 +
45. Ответ: (3; -1).
Указание. Учесть, что * - 2у < χ < χ2 + 2ху + Ay2.
46. Ответ: (0; 0; 0),
Указание. Перенести xyz в каждом уравнении
в правую часть, а затем перемножить.
47. Решение. Поскольку четвертая степень
числа БЕС = * является четырехзначным
числом, то само число * не меньше 6 и не больше 9,
так что БЕСЫ — одно из чисел 1296, 2401, 4096,
6561. Из перечисленных чисел лишь второе
удовлетворяет требуемому условию, а именно: Б = 2,
Ε = 4, С = 0, Ы= 1.
Ответ: 2401 = (2 + 4 + 0 + I)4.

100 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
ло η пдп 2b/6 ._ 15л/б
48. Ответ: \)АВ = м ; АС = м.
2 2
_, 5Ь/б6 15V66
2) АВ = м ; АС = м.
22 22
49. Решение, а4 + Ь4 > 2a2b2; Ь4 + с4 > 2Ь2с2;
а4 + с4>. 2а2с2. Складывая полученные неравенства
и учитывая, что а2 + с2 > 2ас, получим требуемое.
50. Решение. Допустим противное. Тогда
общее количество кроликов будет не меньше, чем
0 + 1 + 2 + 3 + ... + 45 = - · 45 · 46 = 1035 > 1000.
2
51. Ответ: 25π м2.
Указание. Соединить точку касания и
вершины оснований трапеции с центром окружности.
52. Указание. Найти сумму т, пит + η членов.
53. Указание. Привести неравенство к виду
(6 sin χ - cos x)2 > 0.
54. Ответ: [1; 3].
Указание. Ввести замену у = \/2х-2 , где у > 0.
Можно решить иначе, например, выделить
полный квадрат под каждым подкоренным
выражением.
55. Ответ: могут, если знаменатель прогрес-
сии q = ^—7Г~ ■
56. Решение.
I способ
(х4 + 4х3 + 4л;2) - 2х2 - Ах + 1 = 0, или
(х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) · 1 + 1 = 0,
(х2 + 2х- I)2 = 0, или х2 + 2х - 1 = 0,
откуда находим х12 = -1 ± V2 .

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 101
II способ
Запишем уравнение в виде
х4 + Ах3 + 2х2 - Ах + 1 = 0.
Из условия следует, что χ φ 0, тогда
4 . 1
χ2 + Ах + 2 - — + -г = 0,
χ χ
или
ι *. ι 1+4
χ +- 2
V х J
X
V х J
+ 2 = 0.
Заменой χ - — = t получим χ2 + —г = t2 + 2,
χ χ
тогда t2 + At + A, (i + 2)2 = 0,t = -2.
Значит, χ = -2, или χ2 + 2x = -1, и т. д.
χ
(см. I способ).
III способ
Вычтем из обеих частей уравнения 4л;2.
(1 + х2)2 - Ах2 = Ах(1 - х2) - Ах2, или
(1 - х2)2 = 4х(1 - х2) - Ах2.
Разделим обе части на х{1 - х2) * 0.
1 — χ χ
Получим = 4 - 4 · .
χ 1-х
1-х2 А
Пусть = у, тогда у = 4 - —,
χ у
или у2 - Ау + А = 0, (у - 2)2 = 0, у = 2, и т. д.
(см. I способ).
IV способ
Пусть χ = tgt, тогда (1 + tg2 ί)2 = 4 tg t (1 - ί2).
„ 1 4sini cos2 ί-sin2 ί
Далее имеем τ— = · ; , или
cos t cost cos ί
1
cosi
= 4 sin t cos 2i; 4 sin t cos t cos 2i = 1;

102 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
71
2 sin 2i cos 2ί = 1, или sin 4ί = 1, 4ί = l· 2πη,
2
V8+Ty
, и т. д.
ί = l· —, тогда χ =
8 4
57. Ответ: (-со; 0).
58. Ответ: 500 500.
Указание, а2 - ft2 = (α — ft)(a + ft). Далее исполь-
α, +α
зовать формулу суммы Sn = — ■ п.
59. Ответ: 16 м2.
Указание. Использовать формулу
S = —d1-d2 sin φ, где dy = d2 и φ — угол между
2 L г Ύ
диагоналями.
60. Ответ: χ = 55.
61. Решение. -
2
= -(a + ft)(a-ft)2>0.
8
fa + b^3
< 2 ,
62. Ответ: 22 + 24 + 26 + 28 = 100;
16 + 18 + 20 + 22 + 24 = 100.
Указание. 2а + (2а + 2) + (2а + 4) + ... +
+ (2а + 2k) = 100,
или а + (а + 1) + (а + 2) + ... + (а + К) = 50.
Далее использовать формулу суммы
арифметической прогрессии
a + (a + fe) · η = 50, или (2α + /г) ■ η = 100.
2
Далее учесть, что ап = а + k, а с другой стороны,
ап = аг + (п - l)d, тогда a + k = a + n-l, η = k + 1
и (2a + k)(k + 1) = 100, и т. д.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 103
63. Указание. Положить η = 1 и η = 2.
64. Решение. Поскольку а + Ъ + с Φ О, то,
умножив обе части равенства на а + Ъ + с, получим
(a + c) + b , (Ъ + с) + а 0
h = 3, ИЛИ
а+с Ъ + с
1 + Л_ + 1 + _Е_=з,
а+с Ъ + с
или + = 1, откуда с2 = а2 + Ь2 - ab.
а+с Ъ+с
Но с2 = а2 + Ъ2 - 2ab cos ZC (по теореме
косинусов), тогда cos ZC = —, ZC = 60°.
Ответ: 60°.
rr
65. Ответ: AB = 7^2 , BD = -(1 + 73).
Указание. Достроить ААВС до
параллелограмма АВСЕ. Далее применить теорему синусов.
После преобразований находим АВ и BD.
66. Ответ: ±(з±>/5).
<
2'
— < 1 - -· — < - - 1.
22 2' З2 < 2 3
1 1
67. Решение, —г < 1 - —; —г < — - — ;
10002 999 1000
Складывая полученные неравенства, получим
4- + \ + - + —^-т < 1 - —^- = 0,999.
22 З2 10002 1000
68. Ответ: 5 чисел: 11, 12, 24, 36, 15.
69. Указание. Умножить обе части уравнения
на 4 и прибавить по единице.

104 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
70. Решение. Так как п3 - η = (η - 1) η (η + 1) —
произведение трех последовательных целых
чисел кратно 2 и 3, то оно кратно 6, тогда а5 - a =
= (α2 + 1)(α3 - α) и ft3 - ft кратно 6.
Значит, делится на 6 и а + ft + с + (а5 - а) + (ft5 - ft) =
= а5 + Ь3 + с, ч. т. д.
71. Ответ: 971.
Указание. Имеем систему уравнений
Га + Ь + с = 17,
[abc-cba = 792.
72. Ответ: например, 1222 + 5972 = 135.
73. Решение. По теореме Виета для
кубического уравнения имеем х1 + хг + х3 = 0, хгхг + хгх3 +
+ хухг = р, где хг, хг, х3 — корни уравнения.
Значит, (хх + х2 + х3)2 = х\ + х\ + х\ + 2ххх2 +
+ 2#2л;з + 2*^3» или (*! + х2 + х3)2 = х\ + х\ +
+ х\ + 2р = 0.
Следовательно, ρ < 0, ч. т. д.
74. Ответ: 20 м и 30 м.
Указание. Использовать формулу х2 + у2 =
= 2(а2 + ft2), где х, у — длины диагоналей, а, Ъ —
стороны параллелограмма.
75. Решение. Центр искомого круга не должен
располагаться ближе 0,5 к сторонам
прямоугольника или к одному из квадратиков.
Присоединив к каждому квадратику 1x1
точки, находящиеся от него на расстоянии не больше
0,5, получим фигуру (квадрат со скругленными
вершинами) площадью 3 + 0,25π.
Эти фигуры не могут покрыть прямоугольник
19 χ 24, даже если они не будут налегать друг на
друга, так как 120 · (3 + 0,25π) < 19 χ 24.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 105
76. Ответ: х1 = 3, х2 = 6.
Указание, у = —х2 + 2, тогда х = —у2 + 2. Далее
вычесть из I уравнения II.
77. Ответ: -3,5.
78. Решение. п(п4 - 125п2 + 4) =
= п(п4 - Ъп2 + 4) - 120п3 =
= (п- 2)(п - 1)п(п + 1)(п + 2) - 120гс3.
79. Решение. По теореме Виета хх + х2 = -2а,
—, тогда х\ + х2 = (х\ + х\) - 2 х\ х\ =
JCjX2
8α*
(
\\ 1 *^9/ СлОС л З'о) ^\р^Л 9.)
4а2+-
4а2
16а4 + 2 +
32а4
>2 + 2J16a
32а4
64а4
= 2+ 72,ч. т. д.
80. Указание. D = Ъ2 - Аас = 0, или
9 - 2 · 2 · (17 + т) = 0, откуда тга = -15
7_
8"
81. Ответ: хх = 0, х2 = -2, я3,4 = ±1·
82. Решение. Пусть в
ААВСАС = 20 см,
65
БС = 13 см, ОС = — см.
6
Из вершины С
опустим высоту CD и
проведем диаметр СЕ.
Далее соединим точку А с
точкой Е. Тогда АСАЕ
прямоугольный, так как

106 · 800 лучших олимпиалных залай по математике 9-77 классы
вписанный угол САЕ опирается на диаметр СЕ.
Из подобия ААСЕ и ACDB имеем
CD AC _n CBAC 10/ ,
= , откуда CD = = 12 (см).
СВ СЕ СЕ
Из ACDB DB = Vl32-122 = 5 (см).
Из AACD AD = л/202-122 = 16 (см).
Значит, АВ = 16 + 5 = 21 (см).
Ответ: 21 см.
83. Решение. 100 000 ■ 0,3 = 30 000 (руб.).
84. Решение.
I способ
χ 35
Запишем уравнение в виде χ + , = —. (1)
V*2-l 12
Возведем обе части (1) в квадрат:
2х 1225
+ ■ = , ИЛИ
у[х^Л 144
^+2.^ = 1^. (2)
*2-1 4^~{ 144
χ2
Пусть —j== = у, где у > 0, тогда уравнение (2)
V*2-l
2^ О 1225 η
примет вид уг + 2у = 0.
144
1225
144
37
D/4 = 1 + —— = — > 0, у1Л = -1 ±
12
ν1ώ/
37
12
25 49 .
откуда ух = —, у2 = -— (не удовлетворяет усло-
х2
вию у > 0). Учитывая замену, получим
V^2

Разлел II. Ответы. Указания Решения: 9 класс · 107
= —, или ~ξ— = —, 144л;4 - 625л;2 + 625 = 0,
12 х2-1 144
D = 1752>0,x2=—,x = -,χ2=—,χ=-,πο-
9 3 16 4
скольку χ > 0. Проверка показывает, что оба
корня удовлетворяют исходному уравнению.
гл 5 5
Ответ: х. = — , х0 = — .
1 3 2 4
II способ
Пусть yjx2 -1=ι/, где у > 0, тогда х2 = у2 + 1 и
уравнение (1) примет вид
1 + 1 = ϊιγ- <3>
у \2х
Возведем обе части (3) в квадрат:
,21 1225 2 2 _
1 + — + —тг = г, и так как х2 = ir + 1, то
у ι/2 144л;2 У
. ^ 2 ^ 1 1225 ^_ , 1
ем 1 + Ь —тг = s > или и + 2 + —
у ι/2 144(ι/2+1) * у
1225i/
, ·, У> 0.
144(i/2+l)'y
Полученное уравнение запишем в виде
1 о 1225
у+-+2= р-. (4)
* 144
1
у+-
V У
Заменой у + — = t уравнение (4) приводим к
У
1225
виду t2 + 2t =0, и т. д., как в I способе.
144

108 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Замечание. Исходное уравнение можно решить
1 ( π πΝ
заменой χ = , t е. —; —
sini [ 2 2/
85. Указание. Из второго конца гипотенузы
провести прямую внутри треугольника под углом
15° к гипотенузе.
86. Ответ: при а е (2; 4).
87. Решение.
I способ (выделение в левой части
полного квадрата)
Запишем данное уравнение в виде
16л;2 - 24x^1 х + 13 + 9(х + 13) = 0. (1)
(4л;)2 - 2 · Ах ■ Зл/х + 13 +32(х+ 13) = 0, или
(Ах - 3>/х + 13)2 = 0; Ах = Зл/х+Тз, χ > 0 => из
исходного уравнения, так как 16л;2 + 9л; + 117>0
при любом л;е7?ил;+13>0.
Далее имеем 16л;2 + 9(х + 13) = 0, или
16л;2 -9л;-117 = 0, откуда получим
хл = 3, х, = < 0.
12 16
Ответ: χ = 3.
II способ (замена переменной)
Разделим обе части (1) на xyjx + 13 φ 0.
Получим 16 · . * + 9 · ^Х + 13 - 24 = 0.
yjx + 13 х
Далее замена , = у, где χ > 0, тогда у > 0,
л/л; + 13
и т. д.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 109
III способ (приведение к однородному)
у/х + 13 = у, тогда 9л; + 117 = 9(х + 13) = 9у2, и
данное уравнение примет вид
16л;2 - 24ху + 9у2 = 0, или (4х - Зу)2 = 0, и т. д.
88. Ответ: 13 и 1325.
89. Ответ: является при η = 3.
90. Ответ: 2(7з + V2)(V2 - 1).
91. Решение. Пусть стороны прямоугольного
треугольника а, а + d и а + 2d, где d — разность
прогрессии, тогда по теореме Пифагора получим
a2 + (a + d)2 = (α + 2d)2, откуда а = 3d.
Известно, что площадь треугольника S = ρ ■ г,
1 3
где ρ = —(а + а + d + а + 2d) = — (а + d) — полупе-
риметр, <Ь = —а(а + а), тогда г = — = — = а,
2 /? 3
ч. т. д.
Г 41
92. Ответ: (-со; -1) и -1;— и [6; +оо).
93. Решение. Пусть АС = х, АВ = у, ВС = ζ,
тогда по теореме синусов = 2.R, откуда
sin 30°
ζ = 2R ■ — = R — радиус описанной окружности.
С

110 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Известно, что S.
χυζ ,_, xyz l
-*—. SA = -2— = - ху.
AR Δ AR А У
(1)
Замечание. Соотношение (1) можно получить
по формуле SA = —ху sin α, где α = 30°.
С другой стороны, SA = ρ · г= —(χ + у + z)r. (2)
Сравнивая (1) и (2), имеем —ху= —(х + у + ζ),
А 2
или ху = 2(х + у + z)r. (3)
По теореме косинусов ζ2 = χ2 + у2 - 2ху cos 30°, или
R2 = x2 + y2- yfexy, R2 = (x + у)2 - (2 + S)xy. (4)
Из (3) => χ + у + R = — , откуда χ + у = — - R,
2r 2r
тогда (4) примет вид
R2
ху
2r
-R
(2 + \j3)xy, или
r \2
rxy}
v2ry
xy_ =
4r2
xy =
4
4. Т. Д.
* + 2 + 7з
f
R
+ 2+ л/3,
ху, ху Ф 0, тогда
откуда
—+ 2 +V3 jr2 = r(R+ (2 + V3)r) = S
ЛАВС
94. Ответ:
25
12
Указание. Если х и у — катеты, Лиг —
соответственно радиусы описанной и вписанной
окружностей, то х2 + у2 = AR2, 2г = χ + у + 2R,
и т. д.

Раздел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 111
95. Ответ: χ = 15.
Указание. Ввести замену = у, у > 0. Далее
разложить на множители числитель и
знаменатель дроби. Полученное неравенство решить
методом интервалов.
96. Решение, а3 + 1а + 19 = 0, (1)
Ъ3 + 1Ь + 19 = 0, (2)
с3 + 7с + 19 = 0. (3)
Вычтем из (1) - (2): а3 - Ъ3 + 7(а - Ъ) = 0.
Так как а - Ъ Φ 0, то а2 + аЪ + Ь2 + 7 = 0. (4)
Теперь вычтем из (1) (3):
а3 - с3 + 7(а - с) = 0 или, разделив обе части на
а - с Φ 0, имеем а2 + аЪ + с2 + 7 = 0. (5)
Аналогично, вычитая из (4) (5), получим
а2 + аЪ + Ъ2 + 7 - (а2 + ас + с2 + 7) = 0, или
аф - с) + (Ъ2 - с2) = 0. (6)
Наконец, разделив обе части (6) на Ъ - с φ 0,
находим а + Ъ + с = 0, ч. т. д.
97. Указание. Обратить трапецию в
равновеликий треугольник, для чего продолжить нижнее
основание на длину верхнего.
98. Ответ: —.
8
Указание. Умножить и разделить выражение
на 2 sin 20°, а затем применить формулу sin 2α =
= 2 sin α cos α.
99. Решение. Известно, что χ3 - у3 = (χ - у)3 +
+ Зху(х - у). Так как χ - у = а, х3 - у3 = Ъ, то а3 +
+ Заху = Ъ, откуда
Ь-а3 /1Л
χν=—λ—· (1)
За
Далее имеем (х - у)5 = х5 - 5х4у + 10х3у2 —
- 10х2у3 + 5ху4 - у5, откуда

112 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-17 классы
х5-у5 = (х- у)5 + 5х4у - 10х3у2 + 10х2у3 - бху4,
или с = а5 + 5ху(х3 - 2х2у + 2ху2 - у3),
или с = а5 + 5ху((х3 - у3) - 2ху(х - у)),
с = а5 + 5xy(b - 2axy). (2)
Учитывая (1), равенство (2) примет вид
= пЬ
а5 + 5
Ь-а3 Г, „ Ь-а3
За
Ъ-2 , или
За
. , 5(Ь-а3)(Ь + 2а3)
с = а5 + — , или
9а
9ас = 9а6 + 5Ь2 + 5а3Ь - 10а6,
а(а5 + 9с) = 5Ь(а3 + Ъ).
Ответ: а(аь + 9с) => 5Ь(а3 + Ъ).
12
100- Решение. Замена Л|л;2 —- = у, где у > 0,
12 2 2
приводит к уравнению —г- = дс^ - ι/'', при котором
я:
исходное уравнение примет вид
х*+хг-\2
у]12-х2 + у2 =х2-у2,или
12-х2 + у2 = х4- 2х2у + у2, 2у =
х2
Запишем полученное равенство в виде
2у
f 2 12^
х -—
V х J
+ 1.
12
χ2
Но х2 - -γ = у2, тогда у2 - 2у + 1 = 0, (у - I)2 = 0,
12
откуда у = 1. Значит, я2 - — =1, или
я;
я4 - х2 - 12 = 0, откуда х2 = 4, т. е.
х12 = ±2, х2 = -3 — нет действительных корней.
Ответ: х12 = ±2.

Раздел II. Ответы. Указания. Решения. 9 класс «113
101. Ответ: χ = — , η е Ζ.
8
102. Ответ: 2(Ь2 - с) = (а2 - Ь)2.
103. Решение. Упростить II уравнение системы
у2 + 10у + 25 - 2zy -7z = 0, или
(у + 5)2 - 2z(y + 5) + ζ2 = ζ2 - 32, или
(у + 5 - ζ)2 = ζ2 - 32.
Третье уравнение запишем в виде
(х - З)2 = 9 - 22.
Следовательно, исходная система примет вид
(4-х)2 = у + 3,
• (y + 5-zf=z2-3z,
(*-3)2=9-22.
При этом будут выполняться условия
У + 3>0,
■ 22-32>0,
9-22>0.
Из II и III неравенств => ζ е [-3; 0] и {3}.
Поскольку 2 > 0, то 2 = 0, или 2 = 3. Если ζ = 0, то
исходная система не имеет решений; если 2 = 3,
то х2 + 9 = 6х, откуда χ = 3, тогда у = -2.
Ответ: (3; -2; 3).
104. Ответ: χ = 25.
105. Ответ: [0; 2].
Указание. Записать неравенство в виде
|1 - 2х\ < χ + 1. Далее рассмотреть два случая:
1)1-2х>0; 2) 1 - 2х < 0.
106. Ответ: χ = 3.
Указание. Записать уравнение в виде
V8x-7 + yj2x-4 = yj7x-3 + V3x-8 .

114 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-7 7 классы
Такая форма записи обусловлена тем, что
(8* - 7) + (2х - 4) = (7х - 3) + (Зх - 8).
Это дает возможность значительно упростить
уравнение.
107. Решение.
I способ
Пусть АС = Ь, ВС = а, АВ = с. Проведем AM
так, чтобы ZBAM = 15°, тогда ZAMC = ZMAB +
+ ZMBA = 30° (внешний угол AAMB), AM =
= 2АС = 2b (по свойству катета, лежащего против
угла в 30°). Значит, и MB = 2b.
Построим MN _L АВ, тогда AMNB ~ ААСВ и
MB BN 2b
АВ
как S
С г. 1 2
, или — = —, откуда ab = — с1, и так
ВС с 2а 4
2
ьавс = 77аЬ' то S*abc = -с2> ч· т· Д·
8
N
15°
CM D
II способ
а = с cos 15°, b = с sin 15°, тогда <S«4CB = — ab
= —с2 sin 15° cos 15° = — с2 sin 30° = —с2, ч. т. д.
2 4 8
1 7 7 1
108. Ответ: -3— < χ <-2 —; 2— < χ < 3—.
8 8 8 8
109. Ответ: (3; 2).
Указание. Записать I уравнение системы в виде
х2 - 2(2у - 1)х + (5у2 -8у+5) = 0.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 115
Далее полученное уравнение рассмотреть как
квадратное относительно х.
110. Ответ: 1089.
111. Ответ: (4; +ос).
112. Ответ: a = 39.
Указание. Обозначить корни уравнения хх =
= т - d, х2 = т, х3 = т + d.
Далее использовать метод неопределенных
коэффициентов.
113. Решение. Если а2 + а + 1 = 0, то
а + — = -1, тогда а* +
а
а3 у a2 j
= -1 - (-1) - (-1) = -2;
ι (я iV ιΛ
а
1
а + —
aj
ί 1Л
а + —
ν aJ
1^
-2 = -1;
- а + -
а
а4 +
а5 +
а
а5
3 1
а3
+-τα3
4 1
а +—;
а + -
а
а
Л ( \\ ί
а + —
а
2 1
а
аЧ4
а
= -1;
= -1;
а6+-г = 2,оЧ-г=-1,ит. д.
а а
Из этих соотношений видно, что для
показателей степени, кратных 3, значение выражения
равно 2, а в остальных случаях равно -1.
Поскольку 2010 кратно 3, то значение данного
выражения равно 2.
Ответ: 2.
114. Ответ: (—оо; 0) и
—; +со
3
Указание. Записать неравенство в виде
|3х + 1| > |>/з + 1| - л/3 , и т. д.

116 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
115. Ответ: при α = —16.
116. Решение, у = (*-3Х* + 3) + JC2*-i-* + i.
х„ 2_(xS)(x + S)
lac —3|
\x-3\
-2.
(x<3,
\χφΟ, \χ>3,
Dl Q 1} 1 2) I
*Ά
117. Omeem.[-2V2; 0) u (0; 2V2].
118. Решение.
I способ
Пусть ZC5D = ZC/LE = α.
Из ААЕС EC = 24 sin а. С другой стороны, EC
= BC-BE =
12
sin a
- 7 cos a.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 117
Получим уравнение 24 sin α =
12
7 cos α,
sin α
или 24 sin2 α + 7 sin α cos α - 12 = 0.
Учитывая, что 12 = 12(sin2 α + cos2 α), имеем
12 sin2 α + 7 sin α cos α - 12cos2 α = 0, или
12 tg2 α + 7 tg α - 12 = 0, откуда
3 4
tg α= — , tg α = -—.
Так как 0 < α < 90° и tg α > 0, то tg α = -— не
о
подходит. Из AAMD tg α =
MD MD
3
—, οτ-
4
AD 12
куда MD = 9, тогда BD = 7 + 9 = 16.
Значит, S&ABC = -AC ■ BD = 192.
С другой стороны, StJiBC =p- r, где
ρ = -(2АВ + AC), AB = y/AD2+BD2 = 20, тогда
1 1Q?
ρ = -(40 + 24) = 32 и г = — = 6.
и 2 32
Ответ: 6.

118 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
II способ
Из AABD АВ2 = AD2 + BD2. Пусть АВ = y,MD = x,
тогда у2 = (7 + х)2 + 144. Из подобия ААЕС и ABDE
ЕС DC .EC 12
имеем = , или
АС ВС 24 у
у-ЕС _ 12
НоЕС = у-ВЕ, тогда
24 у
_ В£ BZ> Dr 7(7 + *)
Заметим, что = , или BE = .
ВМ у у
1 ι/2-49-7λ;
у-ВЕ= -(у2 - 49 - 7х), тогда *—-f =
— , или у2=7х + 337.
Так как ι/2 = (7 + χ)2 + 144, то получим
(7 + х)2 + 144 = 7х + 337, откуда
хх = 9, х2 = -16 (не подходит).
Если χ = 9, то 5D = 7 + 9 = 16, и т. д. (см. I способ).
119. Ответ: х12 = ±2
ί
120. Ответ:
!(1-λ/Ϊ7);-1| u(1;+oo).
Указание. Преобразовать неравенство к виду
\х + 1\> 3 - х2. Далее рассмотреть два случая:
1) х> -1; 2) х< -1, и т. д.
121. Решение.
Пусть точка О — центр окружности,
касающейся катетов АС и ВС в точках, соответственно,
Ε и D. Пусть АС = ас, ЕС = у, АЕ = Ъ, BD = а. Так
как ВС 1 OD, AClOEnOE = OD = г, то CDOE —

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 119
квадрат, тогда АС = Ь + г, ВС = а + г,т.е.х = Ь + г,
у = а + г.
Из подобия ABDO и АВСА имеем — = , от-
т b + r
куда находим аЪ = г2. (1)
Кроме того, S^p = 56, тогда (а + г)(Ь + г) = 112,
или ab + (a + b)r+ г* = 112.
Учитывая (1), имеем
2г2 + (а + Ь)г= 112. (2)
Согласно условию 7г = χ + у, или а + Ъ = 5г,
тогда (2) примет вид 2Г2 + бг2 = 112, г2 = 16, г = 4.
Ответ: 4.
122. Ответ: χ = 3.
Указание. Представить уравнение в виде
(л/х-2 + л/* + 6)2 + (yJx-2 + V* + 6) = 20. Далее
замена у1х-2 + -Jx + 6 = у, где ι/ > 0, и т. д.
123. Ответ: (-сю; -2] и [6; +оо).
124. Решение.
Пусть в ААБС ZC = 90°, С£ — биссектриса,
CD — высота. Из точки Ε опустим
перпендикуляры ЕМ и ΕΝ на катеты АС и ВС. Поскольку СЕ —
биссектриса, то ΕΝ = ЕМ, тогда EMCN — квадрат.

120 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-11 классы
Из ACME, где СЕ = 8, находим ME =
СЕ
V2
= 4 V2 , EN = ME = 4 V2 . Пусть ЕС = х, АС = у.
Тогда S^ = S^E + SACEB = -у 4 V2 + -χ ■ 4 V2 =
= 2>/2(x + y). (1)
(2)
С другой стороны, SAABC = —ху.
Сравнивая (1) и (2), имеем 2 V2 (л; + у) = —ху,
или 32(я + ι/)2 = х2у2.
Наконец, SMBC = —АВ · CD = 3у]χ2 + у2 = —ху,
откуда 36(я2 + у2) = х2у2.
Имеем систему уравнений
(32(х + у)2 = х2у2, (3)
{32(х + у)2 = х2у2. (4)
Заметим, что для нахождения искомой
площади ААВС нет необходимости находить в
отдельности χ и у.
2 2
XV
Из уравнения (3) имеем х2 + у2 = — 2ху.

Разлел II. Ответы. Указания Решения: 9 класс · 121
Из уравнения (4) находим х2 + у2
2 2
χ у
36
Приравнивая правые части полученных
равенств, получим
32 36
χ2υ2 χ2υ2
—^— - 2ху = ——, или х2у2
32
36
ν
2ху,
8-36
ху = 2, откуда ху = 2 ■ 8 · 36.
Значит, SAABC = —ху = 8 · 36 = 288 (кв. ед.).
Ответ: 288.
125. Ответ: [5; +оо).
126. Решение.
На плоскости χΟα изобразим параболы
α
= -ν2 -
χ2 - 2х и a = —(χ2 - 4х).
Как видно из рисунка, точки, координаты
которых удовлетворяют данной системе, лежат
ниже параболы α = -χ2 - 2х и выше параболы
α = — (я2 - 4я).

1 22 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Решая уравнение -х2 — 2х= — (х2- Ах), найдем
6
абсциссы точек пересечения парабол:
-6л;2 - 12* = х2 - Ах, или 7х2 + 8х = 0;
о
х(7х + 8) = 0, откуда хх = 0, х2 = -—.
о
Если хх = 0, то ах = 0; если х2 = -— , то
а2 = -
6416
49 7
16
7
48
49
Итак, параболы а = —х2 - 2х и а = — (х2 - Ах)
6
пересекаются в точках О(0; 0) и А
г
8 48
. Заме-
7 49,
тим, что точка А расположена левее вершины
первой параболы В(-1; 1).
Горизонтальная прямая пересекает
заштрихованную область по единственной точке, если она
проходит через точки О и В, т. е. при а = 0 и а = 1.
Ответ: при а = 0 и а = 1.
127. Ответ: - (9 л/3 + 3 VT5 ) см2.
8
128. Ответ: 1 <х<2.
129. Ответ: при а = —4.
Указание. Данная система не имеет решений,
если
6 + а _ _2 3 + а
-4 а 1 + а
130. Указание. Предварительно показать, что
8(а7 + Ъ1 + с7)2 = 49а2Ь2с2(а2 + Ъ2 + с2)2 (а4 + Ь4 + с4)
и 25а2Ь2с2(а2 + Ъ2 + с2)2 = 4(а5 + Ьь + с5)2.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 123
131. Ответ: существует, например, со
сторонами 25; 38 и 51 ед.
132. Ответ:
3; + A,(2;±V2).
133. Решение. На продолжении отрезка ВМ за
точку Μ возьмем точку D, так что MD = СМ.
Тогда ACDM правильный и CD \\ MN.
Значит, ВМ : MN = BD : DC = (ВМ + СМ): СМ,
11 1
т. е.
+
MN CM
134. Решение. D:
135. Решение. Уравнение общей касательной
запишем в виде у = kx + Ъ. Следовательно,
уравнения x2-6x + 8 = kx + bnx2 + x + 2 = kx + b
должны иметь единственное решение, т. е.
дискриминанты соответствующих квадратных
уравнений
х2 - (6 + k)x + 8 - Ъ = 0 и х2 - (k - 1)х + 2 - Ъ = О
должны быть равны нулю:
D1 = (6 + kf - 4(8 - b) = 0 и
D2 = (k~ l)2 - 4(2 - b) = 0.
Для нахождения значений k и b получим
систему уравнений
|36 + 12/г + /г2-32 + 4Ь = 0, |36 + 16/г+4 + 4Ь = 0,
|/г2-2/г + 1-8 + 4Ь = 0; |/г2+2/г-7 + 4Ь = 0,

124 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
откуда 16/г + 4 - (2/г - 7) = 0, 14/г = -11, k = - —
14
( лл\
тогда
ν
П.
14
+ 16
14
+ 14 + 4Ь = О, или
121 176 ^л^ли π ,, I559
l· 4 + 4σ = 0, откуда находим о = ,
196 14 2744
11 , 1559
значит, у = - — χ + .
14 2744
11 ^ 1559
Ответ: υ = - — χ + .
14 2744
136. Решение. Так как 10 = 2 · 5, то нулей в
числе 2010! будет столько же, сколько цифра 5
входит в разложение на простые множители этого
числа. Заметим, что каждое пятое число делится
на 5, значит, чисел от 1 до 2010, делящихся на 5,
будет 402, на 25 — 80, на 125 — 16, на 625 — 3.
Следовательно, 5 входит в разложение в 402 + 80 +
+ 16 + 3 = 501-й степени. Значит, в числе 2010!
будет 501 нуль. Учитывая, что двойка входит в
разложение в большей степени, чем 5,
заключаем, что последняя его ненулевая цифра будет
четной.
137. Ответ: χ = —, η е Ζ.
о
Указание. Преобразовать уравнение к виду
а2+Ь2
|cos 3x\ =
2аЬ
5
138. Ответ: при т = — и т = -25.
19
139. Ответ: нет.
Указание. у(х) = ах2 + Ъх + с, а Ф 0.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 125
ϊ/(3) - 1/(1) = 24α + Ab — четное, а по условию
должно быть нечетным.
140. Ответ: (-2; 0).
Указание. Преобразовать неравенство к виду
х2-4
-г—: > хг. Далее рассмотреть 2 случая: 1) χ > 0;
\x\-2
2)х<0.
141. Указание. Возвести в куб и учесть, что
у]х + 45 - \Jx-16 = 1. Возможны и другие
способы решения, например, замены
χ + 45 = α3, χ - 16 = ft3.
142. Решение. Пусть а, ft, с — стороны
треугольника, причем а <Ъ < с.
По условию а + с = 2Ъ. (1)
Кроме того, = 2R, откуда ft = 2R sin R.
sin ZB
abc a + b + c abc
Зллнг = p ' r = , или · г = , тогда,
&АВС У 4Д 2 4Д
учитывая (1), получим ас = 6Rr. (2)
По теореме косинусов Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos ZB,
или ft2 = (α + с)2 - 2ас(1 + cos ZB),
2ас(1 + cos ZB) = 3ft2,
12#r (1 + cos ZB) = 3b2, или
12#r (1 + cos ZB) = 12R2 sin2 ZB,
r(l + cos ZB) = R(l - cos ZB) (1 + cos ZB).
Ho 1 + cos Z5 * 0, т. e. ZB φ 180°, тогда
г = i?(l - cos ZB), откуда 1 - cos ZB = — .
R
rr r 2-^3 ,D л/3
По условию — = , тогда cos ZB = —,
R 2 2
ZB = 30°.
Ответ: 30°.

126 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
143. Ответ: 1099.
144. Указание. Сложить уравнения системы и
найти значение х2 + у2, после чего подставить в
первое уравнение.
145. Ответ: 2πη, η & Ζ.
icosjc = l,
Указание. \ _ „ и т. д.
[cos7jc = 1,
λ AG. Ответ: 336.
Указание. Использовать формулы R = и
AR
г = —. Далее обозначить стороны треугольника
Ρ
а = х,Ь = х + 2,с = х + 4, тогда = — = 130,
Ар 6
и т. д.
147. Ответ:
148. Указание. Учесть, что а2к - 1 делится на
а2- 1.
149. Пусть в трапеции ABCD АВ = CD, AC =
= BD = mn ZAOB = а, АО = х, СО = у.
Заметим, что в с
+ SAAOD = 2 ' -£*У Sin α +
+ -у2 sin (180° - α) + А
+ —х2 sin (180° - α) = xy sin α + —у2 sin α +
dt dt
V2"V2

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · λ 27
+ —χ2 sin α =—(χ + у)2 sin α = —m2 sin α,
2 2 У 2
где х + у = AC = BD = m. Итак, S = —τη2 sin α,
ч. т. д.
150. Ответ; (0; 0; 0), (± л/2 ;± V2 ;± V2 ).
151. Решение. Рассмотрим квадратичную
функцию f(x) = ax2 + bx + с.
Заметим, что /(1) · ДО) = (а + Ъ + с) · с < 0.
Следовательно, на концах отрезка [0; 1]
функция принимает значения разных знаков, поэтому
ее график пересекает ось Ох, а значит,
дискриминант D = Ъ2 - 4ас > 0, т. е. Ъ2 > 4ас, ч. т. д.
152. Ответ: 4.
153. Решение.
I способ
Пусть Ъх, Ъ2, Ь3 — искомые числа, образующие
возрастающую геометрическую прогрессию.
Согласно условию, имеем систему
|Ь1+Ь2+Ь3 = 26, ibf(l + q + q2)2 = 676,
[Ь? + Ь\ + Ь\ = 364; [bfa + q2 + q4) = 364.
Разделим почленно I уравнение на II:
(Ι + g + g2)2 _ 13
l + q2 + q4 7 ' [ }
Заметим, что 1 + q2 + q* = (1 + q2)2 - q2 =
= (l + q2 + q)a + q2- q).
Тогда уравнение (1) примет вид
1 + q + q' _ 13
1+q-q 7
, или 6q2 - 20q + 6 = 0,
3q2 - lOq + 3 = 0, откуда находим ql = 3, q2= — ,
о

128 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Поскольку прогрессия возрастающая (по
условию), то q = 3, тогда Ъл = -г = 2.
1 + q + q
Ответ: Ъх = 2, q = 3.
II способ
Известно, что если все члены геометрической
прогрессии возвести в некоторую степень, то
опять получим геометрическую прогрессию.
-3-,
|Ь1 + Ь2+Ь3=26,
[bf + Ь| + Ь| = 364;
MW1
l-q
b^-^-364.
l-q2
Разделим почленно II уравнение полученной
τ b.il + q3) л.
системы на I: — ^-^ = 14.
1 + q
А теперь разделим I уравнение системы на по-
(1-ο3)(1 + ςτ) 13 1 + q + q2 13
лученное: -—^~—— = —, или —-^ = —,
(l + q3)(l-q) 7 1-q + q2 7
и т. д. (см. I способ).
III способ
Гг»!+ь2+ь3 =26, Ub1+b2+b3f = 262,
\bf + b\ + Ь2г = 364; j&f + b\ + b\ = 364;
\bl + b\ + bl + 2bxb2 + 2bxb3 + 2b2b3 = 676,
[b12+b22+b32 = 364;
364 + 2{bxb2 + bxb3 + b2b3) = 676, или
b1b2 + bxb3 + b2b3 = 156.
Ho b2 = ftjftg, тогда Ьрг + b2 + b2b3 = 156,

Разлел П. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 129
b2(b1 + b2 + b3) = 156. Так как b1 + b2 + b3 = 26, то
b2 = 156 : 26 = 6, и т. д.
Ответ: Ъ2 = 2, q = 3.
154. Ответ: χ = -2.
Указание, (х - I)2 - 9 = х3 + 8.
155. Ответ: (1; 16).
Указание. Заменой у[х = у, где у > 0, данное
(г/-4)(г/ + 1) л
неравенство приводится к виду — < О и
(г/ + 3)(г/ -1)
решается методом интервалов.
156. Ответ: Ъх = 32, q = — .
о
157. Ответ: например, х = у = 4020.
Указание. Записать уравнение в виде
(х - 20Щ(у - 2010) = 20103.
158. Ответ: х1 = 16, х2 = 96.
\У97-х = а,
Указание. Заменой < получим
[Ух-15 = Ъ
ia + b = 4,
Ί л л И Т. Д.
[а4+Ь4=82
159. Решение.
I способ
Так как sin3 χ + cos3 χ = (sin χ + cos χ) (sin2 χ —
- sin χ cos χ + cos2 я) = (sin χ + cos χ) (1 - sin jc cos x),
то исходное уравнение примет вид
4 (sin л; + cos χ) (1 - sin x cos я) =
= 3 (sin χ + cos χ), или
(sin jc + cos x) (4 - 4 sin я cos * - 3) = 0,
(sin χ + cos jc) (1 - 4 sin χ cos я) = О, откуда

130 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
71
sin χ + cos x = 0, tg x = -1, χ = -— + πη, η & Ζ,
4
или 1-2 sin 2x = 0, sin 2дс = —,х = (-1)"— + —,
2 12 2
η е Ζ.
Ответ: -— + πη, χ = (-1) — + — ,ηεΖ.
4 12 2
II способ
4 cos3 χ - 3 cos л; = 3 sin л; - 4 sin3 я.
Но 4 cos3 л; - cos χ = cos Зя и 3 sin χ - 4 sin3 я =
= sin Зя, тогда cos Зя = sin Зх, т. е. tg 3x = 1,
ο π . π πη
Зх = l· πη, χ 1 , η e Z.
4 12 3
160. Ответ: 0.
Указание. Возвести обе части равенства
а + b + с = 12 в квадрат.
161. Ответ: в I раз 8 л спирта, во II раз — 7 л.
Указание. Согласно условию, имеем уравнение
(64 - х) - —^ = 49, и т. д.
64
162. Ответ: хх = -0,5, х2 = 1.
Указание. Рассмотреть два случая:
1) х> 0; 2) χ < 0, и т. д.
163. Решение. Продолжим AD до пересечения с
ВС в точке Е. Так как ZA = ZB = 45°, то ZAEB =
= 90°, значит, ААЕВ равнобедренный и
прямоугольный. Аналогично в ADEC DE = ЕС, ZEDC =
= ZC = 45°. Пусть АЕ = BE = х, DE = СЕ = у,
тогда S^ = -АЕ - BE = -χ2, S^c = -у2.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 131
Значит, S^^ = -(х2 + у2). Но в ADEB х2 + у2 =
= BD2, следовательно, SAABCD = —BD2, ч. т. д.
164. Ответ: 91.
Указание. 10а + Ъ = ЮаЬ + k; 10b + а = 2ab + k,
где k — остаток. Тогда, вычитая из I равенства II,
получим 9а = Ь(8а + 9), и т. д.
71
165. Ответ: χ = — + 2πη, η>2.
2
Указание. Привести уравнение к виду
14х - 3 + 1| = sin χ + 4х - 3 .
166. Ответ: нет решений.
Указание. Левая часть уравнения х3 - χ =
= (χ - 1)х(х + 1) кратна 6.
167. Решение. Из первой точки можно
провести (п - 1) прямых линий ко всем остальным. Из
второй точки можно провести (п - 2) прямых
линий, так как прямая, идущая к первой точке, уже
учтена. Из третьей точки можно провести (п - 3)
прямых линий и т. д. Из последней точки нельзя
будет провести ни одной прямой линии. Таким
образом, число прямых линий представляет
сумму членов арифметической прогрессии.
Sn = (η - 1) + (η - 2) + (η - 3) + ... + 3 + 2 + 1,
где аг = η - 1, αα= 1 и число членов (η - 1).
_ п(п-1)
_ п(п-1)
Ответ: — прямых.

132 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
168. Ответ: х13 + х11 + 1 = (х2 + χ + 1) (χ11 - χ10 +
+ хд - χ7 + χ6 - χ4 + χ3 - χ + 1).
Указание. Показать, что данный многочлен
делится на χ2 + χ + 1.
169. Ответ: (-2013; 0).
111
Указание.
х(х + 1) χ х + 1
170. Ответ: 1 см.
171. Решение. Данный многочлен
представляет собой сумму шести членов геометрической
прогрессии, где Ъх = 1, q = χ2, bn = χ10.
По формуле суммы Sn = — имеем
q-1
х10-х2-1 = х12-1 = (х6-1)(х6+1) =
х2-1 х2-1 х2-1
= (х3 -1)(х3 +1)((*2)3 +1) =
х2-1
= (х2 + χ + 1) (х2 - χ + 1) (х2 + 1) (х4 -х2+ 1).
Ответ: (х2 + χ + 1) (χ2 - χ + 1) (χ2 + 1) (χ4 -χ2+ 1).
172. Ответ: χ = 4.
Указание. Левую часть уравнения записать в
1 1 1 ,111
— — — 1+-—н—+■—■к
виде χ · х2 · х4 ■ Xs ·... = χ 2 4 8 . Далее
использовать формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
173. Ответ: 8nm, m e Z.
Указание. Учесть ограниченность косинуса.
174. Решение. Заметим, что х2 - 5х + 6 =
= (х - 2)(х - 3), тогда многочлен М(х) делится без
остатка на (х - 2) и (х - 3). Согласно теореме Безу
имеем

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 133
ГМ (2) = 8а + 4Ь -146 +102 = 0,
|м(3) = 27а + 9Ь-219 + 102 = 0;
|8а + 4Ь = 44, |2а + Ь = 11,
|27а + 9Ь = 117; [За + Ь = 13,
откуда находим a = 2, Ъ = 7.
Ответ: a = 2, Ъ = 7.
175. Ответ: (1; 1).
176. Ответ: (-со; 2).
177. Ответ: 1) χ = 6, у = 2, ζ = 1; 2) χ = 6, у = 1,
ζ = 2; 3) χ = 8, у = 3, ζ = 1; 4) χ = 8, у = 1, ζ = 3.
178. Решение.
179. Ответ: при α = 2 и α = -1.
Указание. Выразить из I уравнения χ через у и
подставить во II уравнение.
180. Указание. Записать уравнение в виде
(х2 - χ - 2)2 - З2 = х3 + 1.
181. Ответ: 9 учеников.
Указание. Пусть χ — количество учеников,
у — средний возраст учеников, тогда получим
уравнение
(ху + у + 40) : (х + 1) + 36 = у + 40, и т. д.
182. Ответ: хх = -2, х2 = 1.

134 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Указание. Заменой — = а, = Ъ исходное
χ х + 1
уравнение сводится к решению системы
а3-Ь3=-,
о
откуда новой заменой 2ab = t получим
а-Ъ
-Ι»
, аЪ
уравнение ί3 + 6ί - 7 = 0, корень которого t = 1,
и т. д.
183. Решение. Поскольку скорость минутной
стрелки в 12 раз больше скорости часовой, то,
обозначив через χ время, пройденное часовой
стрелкой, 12л; — минутной, и, учитывая, что
первоначально между стрелками было ровно 15
минут, получим уравнение
4
12* = χ + 15, откуда χ = 1 —, тогда минутная
4 4
догонит часовую через 15 + 1— = 16— мин.
4
Ответ: через 16— мин.
11
184. Решение, abcde = АЪаЪсае, тогда все
цифры числа нечетные, в противном случае оно
кратно 10, но тогда е = 0, значит, и само число
равно 0. Значит, е = 5, следовательно, искомое число
кратно 25и(2 = 7(2 — четное).
Заметим, что а + b + с + 12 делится на 9, тогда
а + Ъ + с = 15.
Кроме того, 45 · 35 · аЪс < 100 000, т. е. аЪс < 63,
откуда подходит число 77 175.
Ответ: 77 175.
185. Ответ: (0; 1,5), (3; 0).

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 135
186. Решение. Пусть сторона квадрата равна х,
тогда АЕ = BE = χ V5 иАВ = \Ιδχ2 + 5χ2 = Xyfij) .
С В
~'~
р^^
D
_^^ ι
^^ I
I
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Ε
Из ААВЕ, где ZBAE = ΖΑΒΕ = a, ZAEB = β, по
теореме косинусов имеем 10л;2 = 5л;2 + 5л;2 - 2л; V5 cos β,
т. е. cos β = 0, откуда β = 90°, тогда ΖΒΑΕ =
= ZBFD = 45°.
Замечание. Можно применить скалярное
произведение векторов CD и АВ.
Ответ: 45°.
187. Ответ: через 144 суток.
188. Ответ: χ = 0.
Указание. Заменой л/l-V* = 2у данное
уравнение преобразуется к виду
4(1 - 4ι/2)2 = (40 - Ay2) (1 - 2у)2, и т. д.
189. Решение.
Пусть Oj и 02 —
данные точки, О — такая
точка, при которой
02 — середина ООх.
Согласно свойству
средней линии
трапеции, расстояния
от точки О до сторон

136 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-77 классы
треугольника будут равны соответственно 2 · 5 -
- 2 = 8; 2 · 6 - 4 = 8; 2 · 12 - 16 = 8. Учитывая, что
отрезок ООх не может пересекать ни одной
стороны треугольника, то точка О — центр окружности,
вписанной в данный треугольник радиуса г = 8.
Ответ: 8.
190. Ответ: (±1; 0), (0; ±1).
71
191. Ответ: π + 2πη; ± — + 2πη, η & Ζ.
3
192. Ответ: (2; 1).
Указание. Разложить на множители левую
часть I уравнения системы.
193. Ответ: —, .
V* + l
Указание. Ввести замену sjx + 1 = у.
194. Указание. Имеет место тождество
(χ3 + χ + 1) (ах2 + Ьх + с) = 2х'° - х* + х2 + тх + п.
Далее раскрыть скобки и сгруппировать
слагаемые при одинаковых степенях. Сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х,
находим а = 2, Ъ = -1, а + с = 0, откуда т = -3, η = -2.
195. Решение. Заменой χ = ι/ν6 уравнение
приводится к виду
Sy3~2yS -4>/6 =0,илиЗг/3-г/-2 = 0.
Заметим, что у = 1 — корень полученного
уравнения, тогда получим Зу(у2 - 1) + 2(у - 1) = 0, или
(у - 1) (Зу2 + Зу + 2) = 0, откуда у = 1 —
единственный корень полученного уравнения, так как
уравнение Зу2 + Зу + 2 = 0 не имеет
действительных корней (D < 0). Итак, у = 1, тогда χ = i/V6 =
= V6 — корень исходного уравнения.
Ответ: χ = ν6 .

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 137
196. Решение. Так как х2 = 2у2 + 1, то χ — число
нечетное. Пусть χ = 2тп + 1, тогда 2m(m + 1) = у2,
откуда у — четное число. Но число 2 —
единственное четное простое, значит, у = 2, тогда χ = 3.
Ответ: χ = 3, у = 2.
197. Ответ: 30°, 30°, 120°.
198. Ответ: хх = -1, х2 = 8.
Указание. Разделить обе части уравнения на
χ3 φ 0 и ввести замену χ - 5 - — = у.
χ
199. Решение. Пусть х, у — катеты, ζ —
гипотенуза, причем χ <у < ζ.
По теореме Пифагора х2 + у2 = ζ2, значит, х2у +
+ у3 = z2y, тогда х3 + у3 < х3у + у3 = z3y < ζ3.
Следовательно, χ3 + у3 < ζ3, т. е. куб
гипотенузы больше суммы кубов катетов.
200. Ответ: х12 = -(2 ± V7 ).
О
201. Ответ: (0; 0), (-9; 3), (3; 1), (-12; 6).
2
Указание. Записать систему в виде
а затем почленно сложить.
202. Указание. После
преобразования получим
у = 2х2-1.
х=-ху+у >
о 1 1 2
2и—х =—χ ,
. 3 9

138 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
203. Ответ: χ = - ν7 , у =
Л
Указание. Представить уравнение в виде
(х+ V7)2 +
У —
0.
204. Ответ: х, = —(1+ Vl3 ), x9= —
1 6 2 9
(г- л ^
Записать уравнение в виде 3
у/х г-
Зл[х
+
+ 9
х + -
9х
1
-8 = 0 и затем ввести замену
= t.
Зл[х
205. Ответ: χ = 5.
206. Ответ: (4; 1), (1; 4).
207. Решение. Если л^ и я2 — корни трехчлена,
■As* ι «Λίρ г^?
то по теореме Виета имеем
"""Ι ' ^"2 _ 2 *
_1_
Тогда *! + jc2 = (*! + jc2)2 - 2я1л;2 = ρ2 - —;
Ρ
х\ + χ* = (χ? + x22f -2x1 x\ =p4 + 4" - 4;
V
4 2 „
Ρ + — -4
Ρ
2
>
J
2
Ρ
^
2^
2
Ρ J
1
4
ρ
(
2
/^
^
21
2
/> J
^"- — + — -6p2;
Ρ Ρ

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 1 39
Λ<ι I m\rn Ι ·\τ* I •А'р I I •A'-j Ι ·Λ*η I •Л'н •Л'о I «As* I «Λ^ο Ι
n« 2 + 9
2 ^
i3 +_8"
Ρ J
-8
-6/
Ρ
V
ί <+2>
^
Ρ ν
г 2^
+ 20
1 (
\
Р*+—"4
ν ^ ^ /ν г у г \ Ρ
(
V
Используя неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим, имеем
2\ J A 2^
■А'н 1 ■Л'о
Ρ +■
8
р4+-
+ 20>
>-2V
_2_
Ψύ
+ 20 = 272 -8V2 +
+ 20 = 20 - б72 > 11, ч. т. д.
208. Ответ: χ = -1.
Указание. Рассмотреть 3 случая:
1) χ < -2; 2) -2 < χ < -; 3) х> -.
1 3 3
209. Решение. Запишем уравнение в виде
(х - 2 cos (дсг/))2 + 4(1 - cos2 (xy)) = 0, или
(х - 2 cos (яг/))2 + (2 sin (xy))2 = 0, откуда
л; - 2 cos (яг/) = 0 и sin (xy) = 0,
т. е. χ - 2 cos (xy) = 0 и cos (*ι/) = ±1.
Имеем 2 системы:
[x-2cos(;ei/) = 0, jx = 2, jx = 2,
[cos(xy) = 1; [xy = 2πη; [ι/ = πη, η & Ζ.
[x-2cos(xy) = 0, (x = -2,
[cos(xy) = -1; [;ει/ = π + 2π&;
λ; = -2,
71
υ = — + 2π&, k & Ζ.
У 2
1)
2)

140 · 800 лучших олимпиалных залач по математике 9-11 классы
210. Ответ: при α = 2019, Ъ = 12 078.
Указание, х2 + 7х2 + ах + Ъ = (χ2 + χ + 2013)(х + с).
Далее применить метод неопределенных
коэффициентов.
211. Решение, χ Φ 0, χ Φ 1.
Ы =
1)
3-1-1
χ-1
у>о,
2
у=—-·.
х-1
х-1
Гг/< о,
2)
У =
1-х
212. Ответ: при α = 3.
213. Решение. Пусть
Л4"(0; ί/) — точка на оси Оу.
Уравнение касательной
имеет вид у = ах + Ъ. В точке
касания дискриминант D квадратного уравнения
равен нулю, т. е.
х2 - Ах + 7 = ах + Ь, или х2 - (а + А)х + 7 - Ъ = 0.
Имеем D = (а + 4)2 - 4(7 - Ь) = 0, или
а2 + 8а + (4Ь- 12) = 0. (1)
Уравнение (1) должно иметь корни а1 и а2,
такие, что а1 · а2 = -1 — условие
перпендикулярности данных прямых, а1иа2 — угловые
коэффициенты.
11
4
f 11Л
Но аг' а2 = 4Ь
12, тогда 4Ь- 12 = 1, Ъ =
и
на оси Оу получили точку Μ 0;
J
Ответ
214
\
Ответ: χ = -1.
/

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 141
215. Указание. Учесть, что sin 540° =
= sin (3 · 180°) = 0, тогда уравнение после упроще-
\х\ 1 „
ний примет вид — = — х2.
о Ζ
Далее рассмотреть два случая, после чего нахо-
2
ДИМ Х12 = ±— .
216. Ответ: 6,25.
217. Ответ: 8.
Указание. Если х, у, ζ — стороны
треугольника, г — радиус вписанной окружности, то задача
гх = 2Ы,
сводится к решению системы уравнений -
гу = 208,
rz = 240.
Далее применить формулу Герона.
218. Ответ: при α = 60°.
219. Ответ: 6.
220. Ответ: -6.
Указание. Привести уравнение к виду
f 36 Υ _ 36Л
Я+15+-
х
Х+13+-
х
= 3.
36
Далее замена у = χ + —.
χ
221. Решение. Допустим, что уравнение имеет
т т
рациональный корень х0= —, причем — — несо-
п η
кратимая дробь, тогда
г λ5
' т χ
кп j
ρ·
' т χ
уп j
+ 1 = 0.(1)
Умножим обе части (1) на п3
5 5
—т- -рт3 + п3 = 0, или —т- = рт3 - п3. (2)
η η

142 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Поскольку — — несократимая дробь, то и
η
m"
—γ — несократимая дробь, тогда как правая
η
часть (2) есть целое число.
Следовательно, равенство (2) не может
выполняться, а это и означает, что наше допущение
неверно, т. е. исходное уравнение не имеет
рациональных корней.
222. Ответ: 210.
1-л/2*2-5* + 4
5х-2х2-3
л/2х2-5х + 4-1 1
223. Решение. Пусть у = — —-—-—, или
у = 5 = / = (здесь мы
2х2-5х + 3 V2x2-5x + 4+l
знаменатель дроби представили в виде
(2л;2 - 5х + 4) - 1 и разложили на множители).
Пусть 2л;2 - 5х + 4 = t, где ί > 0 при всех χ е R,
так как 5 = -7<0иа = 2>0.
Следовательно, E(t) e (0; +оо).
Заметим, что функция f(x) = f(t(x) = -7=—
Vi+i
убывающая, тогда свое наибольшее значение она
получит при наименьшем значении t, т. е. при
х = -— = 1-
2а 4'
Так как ближайшими к χ = 1 — целыми
числами будут 0 и 2 (при χ = 1 функция не определена),
то 1/(0) = \ и ι/(2) = —!— .
о V2 + 1

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 143
Но ι/(2) > ι/(0), следовательно, исходное
выражение имеет наибольшее значение при χ = 2.
Ответ: 2.
224. Ответ: (0; 0), (±2; ±1), (±^2 ; ±2^2).
Указание. Пара (0; 0) — решение системы.
Пусть ху φ 0, тогда, перемножив обе части
системы, а затем разделив на х3у3 φ 0, получим
8
^3
- +
У
х2 у2 х3 j
= 99.
χ у
Далее замена — + — = t. В результате упроще-
у χ
χ χ 1
ний получим — = 2, — = —, затем подстановкой
У У 2
во II уравнение исходной системы, и т. д.
225. Решение. В координатной системе Оах
отметим штриховкой все точки (а; х), координаты

144 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-71 классы
которых удовлетворяют указанным неравенствам
(двойной штриховке соответствуют те точки,
у которых χ е [1; 3]). Из рисунка видно, что
только при α < -3 и α > 1 полоса 1 < χ < 3 целиком
принадлежит заштрихованной области.
Ответ: α е (-оо; —3) и (1; +оо).
226. Ответ: 16.
227. Указание. Преобразовать данное
выражение к виду — (т + 2)(т + 3)(т + 4), откуда и сле-
6
дует требуемое.
228. Решение. Упростим II уравнение системы
V(*-2)2+(i/-3)2 +у1(х + 1)2+(у-7)2 =5. (1)
Заметим, что I квадратный корень — это
расстояние от точки координатной плоскости с
координатами С(х, у) до точки с координатами М(2; 3),
а II корень — расстояние от точки С(х, у) до точки
iV(-l; 7). Кроме того, MN = ^Ι(-1-2)2 +(7-3)2 = 5.
Следовательно, уравнение (1) имеет
геометрический смысл: решением этого уравнения
являются такие пары чисел (х; у), для которых
геометрическое место точек с координатами С(х, у)
на координатной плоскости задано равенством
МС + CN = MN. Очевидно, что лишь точки
отрезка АВ и только они образуют геометрическое
место точек. Упростим теперь I уравнение системы:
(х - 4)2 + (у- б)2 = 26. (2)
Уравнение (2) есть уравнение окружности с
центром (4; 6) и радиусом V26 . Найдем точки
пересечения отрезка MN с окружностью (2).

Раздел //. Ответы Указания. Решения: 9 класс · 145
Уравнение прямой MN имеет вид у = kx + Ъ.
Поскольку точки Μ и N принадлежат прямой, то
координаты точек должны удовлетворять прямой
у = kx + b, т. е. имеем
\2x + b = S,
\-x + b = 7;
x—z'
3
Тогда уравнение прямой примет вид
4 17
у = -— + — .
3 3
(3)
Подставим значение у из (3) в уравнение
окружности (2):
(х - 4)2 +
4 17 .
—х + 6
3 3
Л2
= 26, или
(Х - 4)2 + (4* + 1) = 26, 25л;2 - 64* - 89
О,
ι, х2
89
25
, тогда у1 = 7,
У2
откуда находим хх
23
25'
Заметим, что из полученных точек лишь точка
с абсциссой χ = -1 и ординатой у = 7 будет
принадлежать отрезку АВ. Значит, пара (-1; 7)
является решением исходной системы уравнений.
Ответ: (-1; 7).
229. Ответ: (1; 2), (-1; 0), (2; 4,5), (-2; 0,5).
230. Решение. Пусть АС = ВС = CD = χ.
По условию х2 = 4SAABC.
Но S^c = -АС · ВС sin ZC= -χ2 sin AC.
(1)

146 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Учитывая (1), получим х2 = 2х2 sin ZC, χ Φ О,
sin ZC= -, откуда ZC = 30°, тогда ZA = ZB = 75°.
По следствию из теоремы синусов
АВ
sin ZC
= 2R,
откуда R
У
2.1
2
У-
Известно, что S^ = ρ · г, где/? = —(2х + у), тогда
S,
Δ _
Я
Л _ 2у(2х + у)
ρ 2(2х + у) г
0,5у _
χ
(2)
Но cos ZA =
χ
cos 75°, или у = 2х cos 75°,
тогда (2) примет вид
— = 8 cos 75° · (1 + cos 75°). (3)
г
Но cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° -
- sin 30° sin 45° = — (V§ - 1), тогда (3) примет
4
ВИд * = 8 . Л . (л/з - 1) · [ 1 + ^(л/3-1)

Разлел II. Ответы Указания. Решения: 9 класс · 147
= (V3 - 1)(2V2 + л/3 - 1) = 2V6 - 2V2 - 2л/3 +
+ 4 = 2(л/3 + V2)(V2 - 1).
Ответ: 2( л/3 + V2 ) (V2 - 1).
231. Решение. Запишем уравнение в виде
х3-2
х + 2
+ 3
ν
х3+Зх + 4
13* + 4
х2-10
x3+3x + 4
-л;
= 0,
0.
х + 2 х2-10
В таком представлении и заключается идея
решения. Далее имеем
( 1 1 Л
(х3 + Зх + 4) — =^— =0,
U + 2 *2-loJ
χ*-2, χφ±4Ϊ0 .
(л;3 + Зх + 4) (х2 - χ - 12) = 0, или
(х + 1) (х2 - χ + 4) (х — 4) (х + 3) = 0, откуда
получим JCj = -1, х2 = 4, х3 = -3.
Уравнение я2 - χ + 4 = 0 не имеет
действительных корней, так как D < 0.
Ответ: хх = -1, х2 = 4, х3 = -3.
232. Ответ: 24.
Указание. Обозначить V*-144 = у, и т. д.
233. Решение. При а = Ъ получим тождество.
Пусть аФЬ. Так как а2Ь2 = а + ft, то а2Ъ2 (а - ft) =
= (а + ft) (а - ft), или а3Ь2 - а2Ь3 = а2 - ft2. (1)
Прибавим к обеим частям (1) а2Ь2 φ 0:
a3ft2 - a2ft3 + a2ft2 = a2 - ft2 + a2ft2, или
a2(ft3 + ft2 + 1) = ft2(a3 + a2 + 1), откуда
a2 a3+a2+l
ft2 ft3 + ft2 +1

148 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
234. Решение. Запишем уравнение в виде
(х - б)2 - 1 + (х - 5)3 + (х - 4)4 - 1 = 0, или
(х - 7)(х - 5) + (х - 5)3 + (х2 - 8х + 16 - 1) (х2 -
- 8х + 16 + 1) = О,
(х - 7)(х - 5) + (х - 5)3 + (х - 5)(х - 3) (х2 - 8х +
+ 17) = О,
(х - 5) (х - 7 + х2 - 10* + 25 + (х - 3) (х2 - 8х +
+ 17)) = О,
(х - 5) ((* - 3)(х - 6) + (х - 3) (х2 - 8* + 17)) = О,
(х - 5) (х - 3) (х2 - 7х + 11) = 0, откуда JCj = 5,
*2 = 3'*3,4= ^(7± V5).
Ответ: хх = 5, х2 = 3, я3.4 = ~~ (^ ± v5).
Г з з ^
235. Ответ: —j=·,—^ .
236. Указание. Рассмотреть функцию /(п) =
'7Y fsY π
+ — . Далее установить, что неравенство
νσ/
νσ/
выполняется при η > 4.
237. Решение. Заметим, что на основании
теоремы о среднем арифметическом и среднем
геометрическом имеем
Jx4+x3-2x2 + 2x-l < -(χ4 + χ3 - 2х2 + 2х),
ylZx2-x4-x3 < -(Зх2 -х*-х3+ 1).
Тогда \Jx4+x3-2x2 + 2x-l + ^Ζχ2-χ4-χ3 <
<-(х2 + 2х + 1).
2

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 149
Следовательно, и правая часть исходного
уравнения удовлетворяет условию
-{Зх2 - 2х + 3) < -(х2 + 2х+ 1), или
2 2
2х2 - Ах + 2 < 0, х2 - 2х + 1 < 0, (х - I)2 < 0,
откуда χ = 1 — корень исходного уравнения.
Ответ: χ = 1.
238. Решение. Пусть в ААВС CD = 4 — высота,
18
АВ — основание, AD : DB = 1 : 2, г = р= —
7 + V13
радиус вписанной окружности.
Пусть AD = х, DB = 2х, χ > 0, тогда SAABC =
= — -Зх-4 = 6х . С другой стороны, SAABC = ρ · г, где
ρ = — (Зх +АС + ВС), тогда имеем
9(Зх + АВ + ВС)
ох = т== , или
7 + V13
2(7 + Vl3 )х = 3(3л; +АВ + ВС).
Из AADCAC = у/х2 + 16 ,
из ACDB ВС = л/4л;2 + 16 = 2^Jx2+4.
Получим уравнение 2(7 + vl3 )x =
= 3(3л; + \1х2 + 16 + 2 V*2 +4), или
(5 + 2>/l3)x = 3(Vx2 + 16 +2л/л;2+4).
Возведя обе части в квадрат и упрощая, получим
((8 + 5 λ/Ϊ3 )х2 - 72)2 = (9 J(x2+4)(x2+16) )2, или
(8 + 5λ/Ϊ3 )2*2 - 144(8 + 5 λ/Ϊ3 ) = 81л;2 + 1620,
(308 + 80λ/Ϊ3 )х2 = 9(308 + 80λ/Ϊ3 ), откуда
х2 = 9,х = 3.

150 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Итак, AD = 3, DB = 2х = 6, тогда АВ = 3 + 6 = 9.
Ответ: 9.
239. Ответ: (х2 + χ + 1) (χ2 - χ + 1) (χ2 + 1) ·
• (χ* -χ2 + 1).
240. Решение. Ι слагаемое в левой части
уравнения есть среднее геометрическое 4л;3 + Зх2 + 2
и 1, т. е.
Vl-(4*3+3x2+2) < Ι((4χ3 + Зх2 + 2) + 1), или
у14х3 +Вх2 +2 < -(4л;3 + Зх2 + 3). (1)
2
Аналогично V2jc2 - 4л;3 + Ах -1 <
< -(2л;2 - 4л;3 + 4л;). (2)
Складывая почленно (1) и (2) получим
у/4х3+Вх2+2 + yl2x2-4x3+4x-l <
< -(5л;2 + 4л; + 3).
2
Следовательно, и правая часть исходного
неравенства должна удовлетворять условию
Зх2 + Зх + 2 < -(5л;2 + 4л; + 3) или л;2 + 2л; + 1 < О,
2
(л; + I)2 < 0, откуда χ = -1.
Ответ: -1.
*лл η (115
241. Ответ: —;—;
^ 2 4 16
242. Ответ: 5л/4~1.
243. Решение. Преобразуем уравнение системы:
12
- + — + -
Зл; 4у 12ζ
121*+^3
3 4 12
= 144,

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 151
U 3 5^
—+—+—
кх у ζ j
(4х + Ву + 5z) = 144, или
Г.. .Л Г.. -Л f
12
* + V + 20 £-Д| + 15
^ =94. (1)
z У)
Ηο- + ^·>2, - + ->2Д+->2, тогда (1)
ух ζ χ ζ у
выполняется при условии, что χ = у = ζ = 2.
При этих значениях II уравнение исходной
системы примет вид
х3 + 2х2 + 3х = 22. (2)
Так как число 2 удовлетворяет (2), то
х\х - 2) + 4х(х - 2) + 1Цх - 2) = 0, или
(х - 2)(х2 + Ах + 11) = 0, откуда χ = 2 —
единственный корень уравнения (2), так как
уравнение х2 + 4х + 11 = 0 не имеет действительных
корней.
Итак, исходная система имеет единственное
решение (2; 2; 2).
Ответ: (2; 2; 2).
9л/3
244. Ответ: . Использовать подобие
4
АВЕС и AAED, а затем теорему косинусов в ΔΑΒΕ.
245. Решение. Обозначим данное выражение
буквой А,
А = 1·4·6·(13 + 23+33+.„) = 1-4-6 =4 = 22
1·2·3·(13 + 23+33+...) 1-2-3
246. Ответ: хх = 1, х2 = -3.
Указание. Заменой у = у[7х-6 уравнение пре-
\х3 +6 = 7у,
образуется в систему \ которая легко
[у3 +6 = 7х,
решается вычитанием.

152 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
247. Ответ: CD = Vll3-64V3 * 1,5 см.
248. Ответ: 3,36.
Указание. Использовать свойство касательной
к окружности и формулу Герона.
249. Ответ: нет корней.
250. Решение. Пусть χ = ^/25 + λ/ΪΟ = у + ζ,
где у3 = 25, ζ3 = 40 и yz = ^25-40 = VlO^ = 10.
Тогда χ3 - 30* = х(х2 - 30) = (у + z)(y2 + 2yz +
+ ζ2 - 3yz) = (у + z)(y2 - yz + ζ2) = у3 + ζ3 = 25 +
+ 40 = 65.
Ответ: 65.
251. Ответ: 1) α = -7, b = -1; 2) α = -12, Ь = -2.
252. Ответ: (-4; 16), (3, 9).
Указание. Если числа т, л^, л;2 и η образуют
геометрическую прогрессию, то
2
Лгп — Л/л ιΙί
х\
т= —^ ,п =
х2
х2
Х1
Далее применить теорему Виета.
253. Решение. Заметим, что tg 127° 30'
-tg52°30'.
Так как tg - = iz££££ , то tg 127° 30' =
2 sin*
V2_V6
_ cos(45° + 60°)-1 _ 4 4 _ V2-V6-4
sin(45° + 60°) 2^ + Л/2 S + yfti
4 +

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 9 класс · 153
V2Q-V3-2V2) _ 1-V3-2V2
-ia-VS-
V2(V3+1) Тз + 1
-272)(л/3-1)=7з -2-Тб +V2.
Тогда исходное выражение примет вид
tg 127° 30'+7б-л/3-72=л/3-2-7б +
+ V2 + 7б - л/3 - V2 = -2, ч. т. д.
254. Ответ: χ = 4.
Указание. Умножить обе части уравнения на я,
а затем разделить на (х - З)3 Φ 0. Далее замена
4~х
=у, и т. д.
х-3
255. Ответ: л[тп .
256. Решение. Известно, что г = —(АС + ЕС -
2
АВ), тогда гх = -(АЕ + DE -AD) и
r2= -(DF + FB - DB).
Складывая полученные равенства, имеем
г, + г2= -((АЕ + DF) + (DE + FB) - (AD +

154 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
+ DB)) = -((АЕ + ЕС) + (CF + FB) - АВ) =
= -(АС + СВ -АВ) = г, ч. т. д.
257. Ответ: 2 (х2 + у2) (xi + 5х2у2 + у*).
258. Ответ: χ = 1.
Указание. Учесть, что = 3.
2х + 7 2х + 7
7
259. Ответ: —(х2 + ху + у2).
5
260. Решение. Легко показать, что ρ = 2R + г,
где ρ = —(a + b + с) — полупериметр, тогда S=pr =
= (2R + r)r = 2Rr + г2.
Следовательно, S + R2 = (2Rr + r2) + R2 =
= (R+ г)2, или R + г = yjS + R2 , откуда
г= yJs + R2 - R, ч. т. д.
261. Ответ: -(^/ГТ + ^8)(VTT + V8 ).
О
4
262. Ответ: х, = -1, х9 = -—.
1 2 7
Указание. Решить заменой у = 7х2 + 7х + 4.
Далее применить способ группировки.
263. Ответ: х12 = W—(-л/2012 ± л/2016),
х3= V2012.
Указание. Заменой л/2012 = а, где α > 0,
исходное уравнение приводится к виду
х9 - (а2 + 1)х3 + а = 0, или х3а2 -а + (х3- х°) = 0.

Раздел II. Ответы. Указания Решения: 9 класс · 155
Далее полученное уравнение решаем как
квадратное относительно а.
264. Ответ: χ = 1.
265. Ответ: χ = 2.
Указание. Представить уравнение в виде
7* + 2 _ х + 2 = 7_
х+2 Ίχ + 2 2
17 χ + 2
Далее замена . I = у, и т. д.
V х + 2
266. Ответ: на 50.
267. Указание. Выразить левую часть через
первый член и знаменатель прогрессии, и т. д.
268. Ответ: (см. рис.). V2
-1
-2
0 ι
-V2
269. Указание. Преобра- —
зовать уравнение к виду
(χ - ζ)2 + (χ + у - I)2 +
+ (х - у + З)2 = 0, откуда находим χ = -1, у = 2,
ζ = -1.
270. Ответ: χ = 2.
Указание. Обозначить л[х = t.
271. Решение. Заметим, что χ Φ 0, тогда
(х + 19) = (х- 1)!
Пусть χ - 1 = у, тогда χ = у + 1 и у + 20 = у\ (1)
Очевидно, что у = 4 — корень уравнения (1).
Учитывая, что у\ возрастает быстрее, чем у + 20,
то при у > 4 уравнение (1) корней не имеет.
Следовательно, у = 4 — единственный корень (1), тогда

156 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
х = у + 1 = 5 — единственный корень исходного
уравнения.
Ответ: χ = 5.
272. Ответ: при α = 1.
273. Ответ: х. = 2, х0 = —, х„ = —, х, = -2.
1 2 2> 3 2 4
Указание. Показать, что если χ + — = у, то
л;
Xs +—- = у5 - 5у3 + 5t/, где у φ 0. Далее решить
χ
уравнение 16у4 - 80у2 - 125 = 0, и т. д.
274. Ответ: при χ = -4; -2; 0; 2.
275. Решение. Запишем уравнение в виде
у7 = ζ2 - х2.
Заметим, что у7 =
V+i^
' V-i^2
Полученное равенство является тождеством.
При нечетном у > 1 можно положить
ζ = —(у7 + 1) и χ = —(у7 - 1). Таким образом,
f„i
всякая тройка чисел
У -1....У +1
■"•'г-,
, где ι/ > 1 и
ι/ — нечетное число, является решением
исходного уравнения.
Например, при у = 3, ζ = 1094, χ = 1093,
у7 = 2187 и 10932 + 2187 = 10942. Таким образом,
исходное уравнение имеет сколько угодно
решений в натуральных числах.
276. Ответ: (Ьд")7.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения- 9 класс · 157
277. Ответ:
3™
З'з
и(2;3).
278. Ответ: (-сю; 1) и (2; +оо).
279. Указание. Показать, что данный
многочлен имеет вид (х2 + Вх + Са2)2. Далее раскрыть
скобки в обеих частях равенства, упростить и
сравнить коэффициенты при х3 и х, откуда
находим В = 5а, С = 5, т. е. получим (х2 + бах + 5а2)2.
280. Ответ: χ = -1.
281. Ответ: л/3 + V2 - 1.
282. Ответ: D(y) = (-сю; -3) и [2; +оо).
283. Ответ: 3+ >/2.
284. Ответ: 7744.
285. Указание. S = * , где ςτ — знаменатель
1-q
прогрессии, тогда S - q.= 2 . Разделив I равен-
1-q
ство на II, получим требуемое.
286. Ответ: нет.
Указание. D = 18 493 — не является полным
квадратом.
287. Решение. Искомая сумма равна
аг + ап п(п + 1)
о„ — * τι —
2 2
и может оканчиваться лишь одной из цифр:
О, 1, 3, 5, 6, 8. Так что цифрой 9 оканчиваться не
может.
Ответ: не может.

158 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
288. Ответ: 4.
289. Ответ: 4567.
290. Ответ: 1:4.
291. Ответ: 147.
292. Указание. Если угол между диагоналями
останется без изменения.
293. Ответ: г = Ad.
294. Ответ: 4:5.
295. Решение. Имеем две возможности
расположения вершин параболы:
О ι
-3
■1
1) хв = а < -3. Тогда наименьшее значение
функции у = х2 - 4ах + 45 достигается в точке χ = -3.
Имеем у(-В) = 9 + 12а + 45 = 9, откуда а =
15
2) хв > -3. Тогда наименьшее значение
функции на [-3; +со) достигается при χ = а. Получим
у(а) = а2- 4а2 + 45 = 9, а2 = 12, откуда а = 2л/3 .
296. Ответ: 1 арбуз, 39 яблок, 60 слив.
297. Ответ: делится при η = 2k, k e N.
Указание. Рассмотреть два случая: 1) η = 2k;
2)n = 2k+l.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения- 9 класс · 159
298. Ответ: 13.
299. Ответ: (32; -3), (32; 2).
Указание. Преобразовать уравнение к виду
50
*=7 + _,„ткудаг,*-7 = ±1,±2,±5,±10,
±25, ±50.
300. Ответ: 10 989.
301. Указание. Записать данное выражение в
виде 27п+1 - 8П+1, откуда и следует требуемое.
302. Решение. Так как аФ'0, Ъ ф0, то умножив
обе части данного неравенства на а3Ъ3 φ 0, получим
адЬ3 + а3Ьд < а12 + ft12, или (а3 - ft3) (а9 - ft9) > 0,
откуда (а3 - ft3)2 (а6 + а3Ъ3 + ft6) > 0 — верно при
любых а ф 0, ft φ 0. Значит, верно и равносильное
ему исходное неравенство.
303. Указание. Умножить и разделить левую
часть тождества на 2 sin α. Далее применить
формулу синуса двойного угла.
304. Решение. 13! = 1 · 2 · 3 · ... · 13 = 1 · 2 · 3 ·
... · 11-(12- 13) = 11!· 12· 13;
13! - 11! = 11!(12 · 13 - 1) = 11! ■ 5 · 31 — кратно
31, ч. т. д.
305. Решение. Между корнями χν х2и х3
данного уравнения существует зависимость
хх + х2 + х3 = —. (1)
а
По условию задачи хх + х3 = 2х2, тогда,
учитывая (1), имеем 2х2 + х2 = -—, откуда х2 = - —,
а За
ч. т. д.

160 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-П классы
306. Решение. Пусть АВ = с , ВС = ά, СА = Ъ ,
тогда АО = —(с - Ь), Ъо = —(а - с),
о о
СО =-(Ь - а).
3
Значит, (АВ2 + В~С2 + СА*) - Ζ(ΟΑ + Ъ~В +
+ ОС2) = а2 + В2 + с2 - -((й - Ъ)2 + (Ь - с)2 +
О
+(с - а)2) = -(а2 + Ь2 + с2 + 2d Ъ + 2Ъ с +
+ 2ас)=—(а + Ъ + с )2, ч. т. д.
о
307. Решение, f
a-b — c
2а
a(a-b-c)2
4?
+
, Ыа-b-c) , (a-b-c) +2b(a-b-c) + 4ac
+ -Λ L + с = ^
2a 4a
_(a-b- c)(a - b + 2b) + 4ac _ (a - cf - b2 + 4ac =
4a 4a
_(a + c)2-b2 = (a-b + c)(a + b + c) = f(-l)-f(l)
4a 4a 4a
4. Т. Д.
0,

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 161
10 класс
1. Решение. ^9 + W5 = ^(2 + S)2 = л[2 + 7Е =
= -^16 + 8^5 = -V(l + V5)3 = -(1 + V5).
Аналогично ^9-4^5 = — (V5 - 1).
Тогда значение выражения равно 1.
2. Решение. Пусть х0 — общий корень
уравнений, тогда xl + тпх0 = -1 и х\ + тпх\ = -1.
Разделив почленно второе уравнение на первое,
4 2
X + ТТЪХ
имеем —\ = х0 = 1, тогда l + ml + l=0,
х0 + тх0
т=-2.
Ответ: т =-2.
3. Решение. Пусть lg 2 = — — рациональное
η
число, тогда т = η lg 2, или т = lg 2", откуда
10т = 2", что невозможно при целых тип.
Значит, lg 2 — иррациональное число.
4. Указание. Показать, что а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс.
Далее 2(а5 + Ь5 + с5) = 5аЬс(а2 + Ь2 + с2), и т. д.
5. Решение. Заметим, что 47 + 716 = 214 + 716 =
= 214 + 2 · 27 · 78 + 716 - 148 = (27 + 78)2 - 148 =
= (27 + 78 + 144) (27 + 78 - 144) — составное число,
ч. т. д.
6. Решение. В круг радиуса 10 нельзя
поместить 400 кругов диаметра 1, не налегающих друг

162 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-П классы
71
на друга, так как сумма их площадей 400 · — рав-
4
на площади круга 100 π.
7. Решение.
I способ
Пусть 13 = а, тогда х2 - a = \х + a , или х4 - 2ах2 +
+ а2 = χ + а, а2 - (2х2 + 1)а + (х4 - х) = 0, откуда
(2х2+1)±(2х + 1) „ ,, 2
а, 0 = —i , α, = хг + χ + 1, а, = хг - х.
1.2 2
Значит, х2 + χ + 1 = 13, х2 - χ = 13.
Из I уравнения находим хх = -4, хг = 3 (не
удовлетворяет, так как х2 - 13 > 0); из II уравнения
1 + V53 1-V53 .
х3 = , х4 = (не удовлетворяет).
Ответ: -4; —(1 + V53 ).
2
II способ
х4 - 2&х2 + 169 - χ - 13 = 0, или
(х2 - 12,5)2 - (х + 0,5)2 = 0, или
(х2 - χ - 13) (χ2 + χ - 12) = 0, и т. д.
8. Ответ: 4.
9. Указание. Соединить центр шара с
вершинами многогранника и найти сумму объемов
полученных пирамид.
10. Ответ: ±2; ±2 л/3 ; ± л/3 .
Указание. Щ-х2 = а, у]х2-3 = Ь, Ь > 0. Далее
[а3 + Ь3=1,
решить систему <
\а + Ь = 1.

Раздел II. Ответы Указания. Решения: 10 класс · 163
!, Ф^7 = ι -
II способ
Замена yjx2 - 3 = у, 4 - х2 = 1 - у
у, или у3 - Ау2 + Зу = О, и т. д.
11. Решение, х6 - у6 = (х - у) (х5 + х4у + х3у2 +
+ х2у3 + ху4 + у5) = (х3 + у3) (х3 - у3) =
= (х + у)(х- у) (х2 + ху + у2) (х2 - ху + у2),
откуда х5 + х4у + х3у2 + х2у3 + ху4 + у5 =
= (х + у) (х2 -ху + у2) (х2 + ху + у2).
-« π 5π , 2πη „
12. Ответ: χ = — + , η & Ζ.
18 3
Указание. Учесть, что sin Зх- л/3 cos Зх =
= -2 cos
Далее решить уравнение
4 cos2
3* + ^
6
cos
Зх + -
-5 = 0
как квадратное относительно cos
( πΛ
Зх + -
V 6
, и т. д.
13. Ответ: 21.
Указание. Согласно условию, имеем
Юл; + у + х3 + у3 = 10у + х,
или х3 + у3 = 9(у - х).
Заметим, что ни одна из цифр не превышает 4.
Единственное число 21 = 12 + I3 + 23.
14. Решение, а6 + Ь6 = (а2)3 + (Ъ2)3 = (а2 + Ъ2) (а4 -
- а2Ъ2 + Ь4) = (а2 + Ъ2) ((а2 + Ь2)2 - 3 а2Ъ2) = ((а + Ъ)2 -
- 2аЪ) {а2 + Ъ2- Sab) {а2 + Ъ2 + Sab) = ((а + Ъ)2 -
- 2аЪ) ((а + Ъ)2 - (2 + 7з )аЪ) ((а + Ъ)2 - (2 - 7з )аЪ).

1 64 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Так как aft и а + Ъ делятся на с (по условию), то
каждый множитель делится на с, значит,
произведение делится на с2.
15. Ответ: χ = 1.
16. Указание. 13 (х + у) = (9х + 4г/) + (4я + 9у).
Далее учесть, что а5 + Ь5 = (а + Ъ) (а4 - а3Ь +
+ а2Ь2 - аЬ3 + Ь4).
17. Решение. На продолжении ВМ за точку Μ
возьмем точку D так, что MD = СМ. Тогда AC DM
правильный и CD \\ КМ, поэтому ВМ : МК =
= BD:DC = (ВМ + СМ) : СМ, т. е.
1 ! + !
МК СМ ВМ
(б 5 [5Л
18. Ответ: (1; 1), "Г^л/х
19. Ответ: 5 ху (х + у) (х2 + ху + у2).
20. Решение. Из условия Та + 13Ь = 47 имеем
α = —(47 - 13ft), тогда исходное неравенство при-
7
мет вид 20(-(47 - 13ft)2 + 13ft2) > 2209, откуда
имеем 5200ft2 - 2440ft + 28 717 > 0, или после
упрощения получим (20ft - 47)2 > 0, верно при любом ft,
а значит, верно и исходное неравенство, ч. т. д.
21. Указание. Прологарифмировать обе части
уравнения по основанию 10 (или по другому
основанию).
22. Ответ: (х2 - χ + 1) (χ4 - χ2 + 1).
Указание. Умножить числитель и знаменатель
на х4 - 1.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 1 65
«оЛ гт 13 5 2006 .
23. Решение. Пусть — · — · — ·...· =А,,
2 4 6 2007 *
2 4 6 2007 =
3 5 7 ' '" 2008 2"
12 3 4 2009 2010
Так как — <—; — <—;...; < , то
2 3 4 5 2010 2011
.Aj < Aj · А2
1
2011
Следовательно, А, <*<±,ч. т. д.
л/2011 44
О 2
24. Указание. Из отношения —— = —г- нахо-
Sn η2
1 ,
дим α, = —α.
1 2
25. Ответ: V5-2.
26. Ответ: существует; h = 12, с = 13, Ъ = 14,
α = 15.
27. Решение. Так как 10 = 2 · 5, то количество
нулей в числе 2010! = 1·2·3·...· = 2010 столько
же, сколько раз 5 входит в разложение на
простые множители этого числа. Каждое пятое число
делится на 5, значит, чисел от 1 до 2010,
делящихся на 5, будет 402, делящихся на 25 — 80, на
125 — 16, на 625 — 3. Значит, число 5 входит в
разложение в 402 + 80 + 16 + 3 = 501-й степени.
Тогда в числе 2010! будет 501 нуль, и поскольку
двойка входит в разложение в большей степени,
чем 5, то последняя цифра четная.
Ответ: оканчивается 501 нулем, последняя
цифра четная.

166 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
28. Ответ: χ = 0.
Указание. Показать, что левая часть
уравнения приводится к виду (<Jl + x )3 - (\ll-x )3, и т. д.
29. Ответ: χ = 2.
—— Ш
+
+
( 5 Υ
= 1. Далее учесть свойство монотонности
функций.
30. Ответ: 6.
31. Ответ: (3; 1).
Указание. Разделить II уравнение на I, и т. д.
32. Ответ: 4 и 21.
33. Указание. Обозначить левую часть через χ
и возвести обе части полученного равенства в куб,
использовать формулу (а + ft)3 = а3 + ft3 + 3aft(a + ft).
Замечание. Можно решить иначе, выделив
полный куб подкоренных выражений.
34. Ответ: (2; 1), (1; 2), (-2; 1), (1; -2).
Указание. Записать уравнения системы в виде
х*+ У4= ((* + у)2 - 2ху)2 - 2х2у2,
χ + у = ху + 1. Далее подставить в I уравнение,
затем замена ху = а, и т. д.
35. Решение. Так как |cos a| < 1 при любом а & R,
то данное уравнение равносильно системе
( [χ = 2πη,
COSX = 1
\ „ ' i 2nk откуда χ = 2πη, η е Ζ.
cos7jc = 1; x = ,
l 7
Ответ: χ = 2πη, η & Ζ.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 167
„л т, π 2%k , _
36. Указание, χ = — + , k e. Ζ.
12 3
Преобразовать уравнение к виду
cos
( πΛ
Зх--
4
sin бдс = 1, равносильное двум системам.
37. Ответ: (4; 3; 9), (9; 3; 4).
Указание. Возвести I уравнение в квадрат и
вычесть П.
38. Решение. Пусть АВ = с, АС = Ь, ВС = а,
причем а <Ъ < с. Так как по условию задачи стороны
а, Ъ, с образуют арифметическую прогрессию, то
а + с = 2Ь. (1)
По теореме синусов = 2R, откуда
sinZE
Ъ = 2R sin ZB.
тг _ аЪс а + Ь + с
Известно, что S/.= ρ · г= , или · г =
Δ * 4R 2
аЪс .л. 3, аЪс
= , или, учитывая (1), имеем —Ъг= , от-
AR 2 4Д
куда
ас = 6Rr. (2)
По теореме косинусов Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos ZB,
или Ъ2 = (а + с)2 - 2ас - 2ас cos ZB,
12RH.1 + cos ZB) = 12R2 sin2 ZB,
2ac (1 + cos ZB) = 3b2.
Учитывая (2), находим 12Rr(l + cos ZB) = 3b2,
и, так как b = 2R sin ZB, то получим
r(l + cos ZB) = R sin2 ZB, или
r(l + cos ZB) = R{\- cos ZB) (1 + cos ZB).
Ho 1 + cos ZB * 0, так как ZB φ 180°, тогда
γ·
r = R(\ - cos ZB), откуда 1 - cos ZB = — .
R

168· 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-17 классы
г 2~Л
По условию задачи — = , откуда cos ZB =
R 2
= л/3/2. Значит, ZB = 30°.
Ответ: 30°.
39. Решение. Заметим, что при 2 + α = 0, т. е.
α = -2 уравнение обращается в линейное: Зх - 2 +
+ 5 = 0, откуда χ = -1. Пусть α Φ -2, тогда
исходное уравнение является квадратным и, согласно
теореме Виета и обратной к ней (при наличии
пары корней хх и х2), равносильно системе
а-1
■А'Н I ш\г С\
2 + а
а + 5
Х]Х-2
2 + а
Следовательно, х, + х2 + ххх2 = + = 2,
2+а 2+а
или (хх + 1) (х2 + 1) = 3. Если корни хх и х2 —
целые числа, то это означает, что пара чисел (хх + 1;
х2 + 1) совпадает либо с парой (1; 3), либо с парой
(-1; -3), а пара (я^; х2) — либо с (0; 2), либо с (-2; 4)
соответственно, т. е. либо = 0 · 2, откуда
2 + а
к * а + 5 / ол / ^ч (а + 5 = 8(2 + а),
а = -5, либо = (-2) · (-4), или \
2 + а [2 + а^0;
11
Та = -11, а = - —.
7
Ответ: -2; -5; .
7

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 169
Л_ ΎΤ х + у ^ a + b a + b
40. Указание. — > , где χ = ,
2 2 2
у = yfab . Далее возвести полученное неравенство
в 4-ю степень, и т. д.
41. Решение. Запишем уравнение в виде
х3у3+х2 + у2 1753
—-—= — = , или
χι/3+1 193
х2(ху3+1) + у2 _ 193-9 + 16
χι/3+1 193
2 1
Далее имеем х2 + —^ = 9 + ——, или
^2+-J>!_=9+^
ху3 +1 193
х2 + 3L_ = 9 + *
1 ю !
ι/ 16
Известно, что всякое натуральное число можно
представить в виде цепной дроби единственным
образом. Тогда х2 = 9, ху = 12, у2 = 16, т. е. χ = 3,
Ответ: χ = 3, у = 4.
42. Решение. Поскольку J|*| + 4 > j|x| при
любом х, то а > 0.
Запишем уравнение в виде J|x| + 4 > j|x| + α,
или |я| + 4 = |я| + а2 + 2а J\x\ , 2а Лх\ = 4 - а2, или
И--5Г· (1)
Заметим, что 4 - а2 > 0, а2 < 4, откуда -2 < а < 2.
Так как а > 0, то 0 < а < 2.

170 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Из (1) => \х\ =
4-а
2а
2 Л
, откуда х12 = ±
Ответ: при 0 < а < 2, хх2 =
тальных а решений нет.
4-а
2а
2\
'4-а2^
2а
; при ос-
43. Ответ: хх = 2, х2 = (lg 2 + lg 3).
Ig3
44. Решение. Пусть xyzt = 1000л; + 100ι/ +
+ 10z + t.
По условию х = ζ, у = t, тогда
ЮООх + ЮОу + ΙΟζ + t = 1000* + ЮОу + Юж +
+ у = 1010л; + lOly = 101 · (10* + y) — кратно 101.
45. Ответ: при α е
1
-со;--
u \-\ u[2;+co).
46. Ответ: χ =
Ig3-lg2
lg(l + >/5)-lg2'
Указание. Разделить обе части уравнения на
47. Решение. Рассмотрим отношение
101" = lOl^lOl1 = fl01V°°
100100 100100
= rioo+iY00
, 100
Uoo
ΙΟΙ1 =
1 + -
100
101 х =
ΙΟΙ1 <
< 3 · 1011 < 1 => 101" < 100100, т. е. 100100 > 101".
Замечание. Здесь мы использовали тот факт,
г
что 2 <
л
1+-
<3.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 171
48. Указание. \g a + \oga 10 = lg α + , и т. д.
\ga
лп _ 4(3-α)
49. Ответ: — - .
3 + а
50. Решение. Если искомая
последовательность существует, то ее можно представить в виде
а + (а + 1) + (а + 2)+ ... + (а + k) = 100. (1)
Левая часть (1) представляет собой
возрастающую арифметическую прогрессию, где
а1 = а, ап = а + k; η = k + 1, Sn = 100.
Замечание. Из απ = α + k получаем п = k + 1. По
формуле суммы η членов арифметической
прогрессии имеем
αι+αη с а +а + k , . л -. л Λη
— · п = Sn, или · (п + 1) = 100,
откуда (2а + /г) (/г + 1) = 200. (2)
Заметим,.что (2а + k) - (k + 1) = 2а - 1 —
нечетно, следовательно, один из множителей четен,
а другой нечетен.
Кроме того, 2a + k>k + ln для числа 200
получим разложение, удовлетворяющее (2):
200 = 200· 1 = 40-5=25-8.
Следовательно, имеем
[2а +/г = 200,
1)1, „ „ откуда k = 0 — не удовлетворя-
[& + 1 = 1,
ет, так как получим одно число;
„ Г2а + /г = 40, Га = 18,
2) < < откуда получим после-
[& + 1 = 5; [k = 4,
довательность 18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100,*

172 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
(2a + k = 25, ία = 9,
|/г + 1 = 8; [k = 7,
т. е. 9 + 10 + 11 + ... + 16 = 100.
Таким образом, существуют две
последовательности, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: а) 18 + 19 + ... + 22 = 100; б) 9 + 10 +
+ ... + 16 = 100.
51. Указание. Перенести xyz в каждом
уравнении в правую часть и перемножить полученные
уравнения.
52. Ответ: Sn = %Τ\~\η + (2" " D-
(X — L)X
Указание. Раскрыть скобки и сгруппировать
члены.
53. Ответ: 42 857 и 85 714.
Указание. Если X — искомое пятизначное
число и k — приписываемое число, то получим
10Х + & „ , ,„„^„
= 3, откуда X = k · 42 857, где
Х + /г-100000 *
0 < k< 9, и т. д.
54. Ответ: х12 = ±2.
55. Ответ: 1313.
Указание. 12 = 13 - 1; 14 = 13 + 1.
Далее учесть, что а" - 1 = (а""1 + а""2 + ... + 1).
56. Решение. Пусть гг и г2 — соответственно
радиусы нижнего и верхнего оснований
усеченного конуса, R — радиус шара, α — искомый угол
между образующей и плоскостью основания.
Согласно условию имеем
2rx + 2r2 = 5R. (1)

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 1 73
(X (X
Но Tj = R ctg— и r2 = R tg—, тогда (1) примет вид
2R ctg- + 2R tg- = 5Д, или
2 2
2 tg2- - 5 tg- +2 = 0,
2 2
откуда находим tg— = 2 или tg— = —.
Сл L·! LA
71
Так как 2 arctg 2 > — , то значение α = 2 arctg 2
не подходит. Значит, α = 2 arctg—.
2
Ответ: 2 arctg—.
57. Ответ: (3; 2).
58. Ответ: х1 = 1, х2 = 2.
Указание. Записать уравнение в виде
(хх - х2) (хх - 1).
59. Ответ: 1.
Указание. Пусть х1 и х2 — корни уравнения,
тогда хх + х2= V85 /4, х1х2 = 21/16. Пусть х1 > х2,
тогда х\ - х\ = (хх - x2)z + Зхгх2 (хг - х2).
χι ~ х2 = V^i +хг)2 ~ Ьх-\Х-2 , и т. д.
60. Ответ: χ = .
728
Указание. Разделить обе части уравнения на
yjx + 2 *0и ввести замену Я = у.
\х + 2
Замечание. Уравнение можно решить иначе.

1 74 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
61. Ответ: χ2 + χ + 1.
62. Ответ: (-2; -3; -4), (4; 3; 4).
.. _, х + у x + z y + z
Указание. Замена — = = = t, то-
5 6 7
гда II уравнение системы примет вид 25ί2 + 36ί2 +
+ 49ί2 = 110, откуда t12 = ±1, и т. д.
63. Указание. Преобразовать уравнение к виду
V2 (sin x + cos x) = .
cos л; sin*
Далее замена sin χ + cos x = у.
Замечание. Возможны и другие способы решения.
64. Ответ: χ = 1.
Указание. Записать уравнение в виде
^2013Υ .. ( 1 ν
2012
- 1
2012
и использовать свойство
монотонности функции.
65. Ответ: 832.
66. Ответ: если а < -5, то корней нет;
если а = -5, то χ = 3;
если -5 < а < -4, то χ = 3 ± ν5 + α ;
если а > -4, тоя = 3+ V5 + a.
67. Решение. Заметим, что 272010 < 302010 =
= gi005 . ]Л2010 < ^01005 . -^02010 _ Ц03О15_
103015 — наименьшее целое число, имеющее
3016 цифр, т. е. 272010 имеет меньше 3016 цифр.
68. Ответ: хХ2 = —(-1 ± V5 ).
Указание, (х2 + х)2 = \х2 + х\2.
Обозначив \х2 + х\ = t, где ί > 0, получим t2 + t -
-2 = 0, откуда t1 = 1, t2 = -2 — не подходит, и т. д.

Разлел П. Ответы Указания. Решения: 10 класс · 1 75
69. Указание. Возвести в куб.обе части
уравнения и заменить л[х + ух2 = у, после чего
получим χ + Зху + х2 = у2.
70. Указание. Учесть, что а + с = 2Ъ, тогда,
подставив Ъ = — (а + с) в данное равенство, полу-
чим тождество.
71. Ответ: (-оо; -1) и (-1; 2].
72. Решение. Общий метод: положить 20 +
+ 14V2 =(a + bv2)3. Далее решить систему
уравнений
a3 + 6ab2 = 20,
За2Ь + 2Ь3=14,
откуда находим а = 2, Ъ = 1.
Тогда получим а + b-j2 =2+ >/2 и а - Ь>/2 =
= 2- V2 . Значит, (2 + V2) + (2- >/2) = 4, ч. т. д.
73. Указание. Использовать основное
тригонометрическое тождество sin2 a + cos2 a = 1.
74. Решение. По условию задачи точка N —
середина DC. Известно, что если плоскость проходит
через данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия
пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
A, D,

176 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Значит, плоскость сечения пересечет
основания A1B1C1D1 и ABCD по параллельным
отрезкам. Проведем BD || B1D1. Из точки N проводим
MN || BD, значит, MN \\ B1D1. Соединим точки В1
и М, Dx и N, тогда BfiJtiM — искомое сечение.
Таким образом, в четырехугольнике B^D^M
имеем B1D1 \\ MN, значит, B^D^M — трапеция
(по определению).
75. Ответ: (0; 0), (3; 1).
76. Решение. Пусть χ — длина боковой
стороны, 2у — основания, h — высота
равнобедренного треугольника. Так как ZABC = 120°, то ZA =
= ZC = 30°.
В
А у D у С
Saabc =РГ=(Х + У)Г.
С другой стороны, SAABC =
Х2У
2R
(1)
(2)
хгу
Сравнивая (1) и (2), имеем (х + у)г = :1-^-. (3)
2R
По теореме синусов
χ
sin ZA
= 2R, откуда χ = R,
тогда равенство (3) примет вид (R + у)г =
R2y
2R
или (R + у)у = -Ry.
(4)

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10класс · \77
Из AABD по теореме Пифагора х2 - у2 = h2 = — χ2,
4
3 2 2 *>/3 #V3 (λ.
или — зг = ι/, т. е. ι/ = = , тогда(4) запи-
~Г Li Li
шется в виде 2
Д + -Дл/3
2
Г = Кг, ИЛИ
; 2
1 +
л/3
2
Значит, - = ^ = -^(2 - л/3).
Л 2(2 +73) 2
/з
Ответ: — (2 - л/3).
2
77. Ответ:
±J3; + Js.
,(±i;±2).
Указание. Заменой х = ty данная система при-
Γι/2(3ί2+2ί + 1) = 11,
водится к виду
[ι/2(ί2+2ί + 3) = 17,
и т. д.
78. Указание. Возвести первое уравнение в
квадрат и заменить х4 + у4 через 97. Возможны
и другие способы решения.
79. Ответ:
(π πΛ
4'4
Указание. Сложить почленно левые и правые
части.
80. Решение. Пусть χ и у — соответственно
цифры сотен и десятков, тогда искомое число
имеет вид ЮСЬс + Юг/ + 5. Если цифру 5 перенести
на I место, то получим число вида 500 + 10* + у.
Согласно условию получим уравнение

178 · 800 лучших олимпиалных залач по математике 9-11 классы
100л; + Юг/ + 5 - (500 + 10* + у) = ααα, где
ααα = 100α + 10α + α = 111α — трехзначное число
с одинаковыми цифрами, тогда
100* + Юг/ + 5 - 500 - 10* -у= Ilia,
или 3(10* + г/ - 55) = 37а. (1)
Так как число 37 простое, то α кратно 3,
т. е. α = 3k, тогда 1 < 3k < 9, откуда & = 1, 2, 3 (& e N).
Соотношение (1) примет вид
10* + у - 55 = 37/г.
Имеем 3 возможности:
1. Если k = 1, то 10* + у = 92, что выполняется
лишь при у = 2, χ = 9, так как 1<я<9, 1 < г/ < 9.
Искомое число 925.
2. Если k = 2, то 10* + у = 129 не имеет
решений при указанных ограничениях.
3. Если k = 3, то 10* + у = 166 также не имеет
решений. Итак, 925 — единственное число.
Ответ: 925.
81. Ответ: (1; 3; 5).
Указание. Записать уравнение в виде
x+JL-n- x
2 5
82. Решение. Пусть V* = a, yjy = Ъ, где α > 0,
ft > 0, тогда система примет вид
Ja(a2-l) = ft(ft2 + 5), (1)
|a2=ft2 + 3. (2)
Возведем обе части уравнения (1) в квадрат,
учитывая уравнение (2):
ia2(a2-l)2=ft2(ft2 + 5)2,
\ о о ИЛИ
a2=ft2 + 3,

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 1 79
(Ъ2 + 3)(Ь2 + 2)2 = Ъ\Ъ2 + 5)2. (3)
Пусть Ъ2 = t, где t > О, тогда получим
(ί + 3)(ί + 2)2 = t(t + 5)2 или
(ί + 3)(ί2 + 4ί + 4) = ί(ί2 + ΙΟί + 25).
После упрощения получим ί2 + 3ί-4 = 0,
откуда tx = -4, ί2 = 1. Так как ί > 0, то ί = 1, тогда ft2 = 1,
а2 = ft2 + 3 = 4, значит, χ = а2 = А; у = Ъ2 = \.
Ответ: (4; 1).
83. Ответ: χ = 0.
Указание. Умножить обе части уравнения на
выражение, сопряженное левой части уравнения.
Полученное уравнение решить с данным как
систему способом сложения, и т. д.
84. Указание. Преобразовать уравнение к виду
(х - 2у)2 + (у- 2х)2 = 5 = I2 + 22, и т. д.
ос „ т-г 17 10 17
85. Решение. Пусть з/—χ = у, тогда —χ -
- — = у\ или Зу3 + 10 = 17*. (1)
о
При этом исходное уравнение запишется в виде
Зх3 + 10 = 17у. (2)
Учитывая (1) и (2), имеем систему уравнений
|3х3 +10 = 17ι/,
[3ι/3+10 = 17*,
3(х - ι/)(χ2 + ху + у2) +П(х-у) = 0,
(х - у)(3х2 + Зху + Зу2 + 17) = 0, откуда χ - у = 0,
или Зх2 + Зху + Зу2 +17 = 0.
Так как Зх2 + Зу2 > \3ху\,
то Зх2 + Зху + Зу2 + 17 > 0.
Если χ - у = 0, то χ = у, тогда уравнение (2)
примет вид Зя3 - 17л; + 10 = 0, или Зх(х2 - 4) -
з -« - - тогда Зя3 - Зу3 = Пу - Их, или

180 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
- 5(х -2) = 0, (х- 2)(3х2 + 6х - 5) = 0, откуда х1 = 2,
или Зх2 + 6х - 5 = 0, D/4 = 9 + 15 = 24 > О,
-3±2Уб 27б
2,3 3 3
Ответ: хл = 2, х0, = -1 ± .
1 2,3 3
86. Указание. Разложить заданное число на
множители. Тогда получим 133 -3-61 — делится
на 61.
87. Решение. Имеем 5(х + у)3 + 54(я + у)2 -
- 108*,,, откуда τ, = С* + У)'(54-(* + ;,)) .
Так как χ > 0, у > 0, то 54 - 5(х + у) > 0, или
χ + у < 10,8, т. е. χ + у < 10.
Следовательно, χ + у = 2, 3, 4, ..., 10. Условию
задачи удовлетворяет лишь χ + у = 6, тогда ху = 8,
т. е. получим 2 пары решений: (2; 4), (4; 2).
88. Решение. Выделим полные квадраты в
каждом уравнении системы
[(*-9)2 + (ι/-4)2=16, (1)
[λ/(^-1)2+(ί/-7)2+>/(^-9)2+(ί/-1)2=10. (2)
Уравнение (1) есть уравнение окружности
радиуса г = 4 с центром в точке М(9; 4).
Пусть Ν(χ; у) — произвольная точка
координатной плоскости.
Тогда d1 = yj(x -1)2 + (у - 7)2 — расстояние от
точки N до точки А(1; 7),
d2 = λ/(χ-9)2+(ι/-1)2 — до точки D(9; 1).

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 181
Следовательно, уравнению (2) удовлетворяют
координаты тех и только тех точек плоскости,
при которых выполняется равенство d1 + d2 = 10.
Заметим, что \АВ\ = ^/(9 -1)2 + (1 - 7)2 = 7Ϊ00 = 10.
Значит, точка N находится на отрезке АВ.
Уравнение прямой АВ имеет вид у = kx + Ъ. Для
нахождения значений k и Ъ учтем, что точки Aw. В
принадлежат прямой, тогда имеем систему урав-
„ \k + b = 7, 3 31
откуда находим у = —χ + —.
нении
\9k + b = l,
В этом случае уравнение (1) примет вид
f 3 31 ^
(х - 9)2 +
—х + -
4
— 4
= 16,
или после упрощений получим 25л;2 - 378* +
+ 1265 = 0, откуда хх = 5, х2 = 10,12 — не
подходит, так как точка с такой абсциссой не
принадлежит отрезку АВ.
Если χ = 5, то у = -— · 5 + —
4 4
= 4.

182 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Точка iV(5; 4) е АВ, значит, пара (5; 4) —
решение исходной системы уравнений.
Ответ: (5; 4).
89. Решение. Поскольку х3 - Вх2 + Зх + 1 =
= (х - I)3 + 2, то у = (х - I)3 + 2. График этой
функции может быть получен из графика функции
у = х3 параллельным переносом. Так как у
графика функции у = х3 начало координат (0; 0) —L
центр симметрии, то у исходного графика
функции центром симметрии будет точка (1; 2).
90. Указание. Записать уравнение в виде
(х + у)3 - Зху(х + у) + ху= 13.
Далее заменой χ + у = ζ привести к виду
г3-13
ху = , после чего выделить целую часть.
Возможны и другие способы решений.
91. Решение.
I способ
SAABC = ~ВС " АС Sin ZC = 6· Τ&Κ Κ&Κ ΑΒ < АС>
то ZC < ΖΒ, т. е. ZC = 90°, тогда cos ZC > 0.
Но cos ZC = vl - sin2 ZC = —. По теореме косину-
5
сов АВ2 = ВС2 + АС2 - 2ВС ■ АС ■ cos ZC, откуда
АВ = 3. Известно, что г = мвс , где г — радиус
Ρ
вписанной окружности, ρ = —(АВ + ВС + АС) = 6.
Значит, г = — = 1.
6
Ответ: 1.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 1 83
II способ
Так как АВ = 3 и З2 + 42 = 52, то ААВС
прямоугольный (по обратной теореме Пифагора), где
ZB = 90°.
Тогда г = -(АВ +ВС- АС) = 1.
92. Ответ: 16 дм'.
93. Решение. Запишем уравнение в виде
5i«*s<*-i> -1 = 1+ 3loe»(xtl), или
5log3(x-l) + 31овз(х-1) = 5log5(x+l) + 3log,(i+l) ? откуда)
пользуясь монотонностью функции 5' + 3', получим
log3 (л: - 1) = log5 (л; + 1).
Пусть log3 (л: - 1) = у, тогда χ - 1 = Зу и
log5 (я + 1) = у, откуда 5У = χ + 1.
3^
Значит,
ii\y 2
+ — = 1.
5У
Поскольку левая часть полученного
уравнения — убывающая функция, то у = 1 —
единственный корень, тогда χ '= Зу + 1 = 4 —
единственный корень исходного уравнения.
Ответ: χ = 4.
94. Ответ: .
4
Указание. Показать, что ААВС
равнобедренный. Далее применить теорему косинусов в ААВЕ
и использовать подобие АВЕС и AAED.
95. Решение.
I способ (выделение в левой части
полного квадрата)
(4х - 3Vx + 16)2 = 0, или 4х = 3Vx + 13.

184 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-71 классы
После возведения обеих частей в квадрат
получим уравнение 16л;2 -9л;-117 = 0, откуда нахо-
78
дим хх = 3, х2 = < 0 — не подходит, так как χ > О
и 16л;2 + 9х + 117 > О (Ζ> < 0, α = 16 > 0).
Ответ: χ = 3.
II способ (замена переменной)
xyjx + lS φ О, тогда
16· , * +9·7*71* -24 = 0.
Vx+13 χ
χ
Далее замена . = у, где χ > 0, у > 0, и т. д.
V*+ 13
III способ (приведение к однородному)
Пусть Vx + 13 = у, тогда 9х + 117 = 9у2.
Получим уравнение 16л;2 - 24ху + 9у2 = 0, или
(4л; - Зу)2 = 0, и т. д.
96. Решение.
I способ
Запишем уравнение в виде
sin 9х = 2(1 - cos 6л;). (1)
Так как 1 - cos 6л; = 2 sin2 Зл;, то уравнение (1)
примет вид
sin 9х = 4 sin2 Зл;. (2)
Вычтем из обеих частей (2) sin Зл;:
sin 9х - sin Зл; = sin Зл; (4 sin Зл; - 1), или
2 sin Зл; cos 6л; = sin Зл; (4 sin Зл; - 1).
Отсюда имеем
τιτι
1) sin Зх = 0; Зл; = πη, χ = —, η e Z;
о
2) 2 cos 6л; - 4 sin Зл; + 1 = 0.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 185
Так как cos 6х = 1 - 2 sin2 Зх,
то 2(1 - 2 sin2 Зх) - 4 sin Зх + 1 = 0, или
4 sin2 Зх + 4 sin Зя - 3 = 0, откуда находим
sin Зя = —, л; = (-1)"— + —, η & Z;
2 18 3
sin Зх = -1,5 — нет корней.
Ответ: —; (-1)" l· —, η & Ζ.
3 18 3
II способ
Пусть Зх = у, тогда получим sin Зу + 2 cos 2y = 2.
Так как sin 3i/ = 3 sin у - 4 sin3 ι/ и cos 2ι/ = 1 -
- 2 sin2 ι/, то получим 3 sin у - 4 sin3 ι/ + 2(1 -
- 2 sin21/) = 2, или sin у - (3 - 4 sin21/ - 4 sin ι/) = 0,
откуда:
1) sin у = 0, у = πη, т. е. Зх = πη, χ = —, η e Z;
о
2) 3 - 4 sin2 у - 4 sin ι/ = 0, или
4 sin21/ + 4 sin у - 3 = 0, откуда sin г/ = —1,5 —
„ . 1
нет корней, sin у = —.
1 π
Если sin у = —, то у = (-1)" Ь πη, τ. е.
2 6
Зх = (-l)rt— + τιη, откуда χ = (-1)" Η — ,η&Ζ.
6 18 3
III способ
Левая часть уравнения не превосходит 2 и рав-
isin9* = 0,
на 2, если < и т. д.
[cosojc = 1,
97. Указание. Предварительно показать, что
2 (а5 + Ьь + с5) = ЪаЪс (а2 + Ь2 + с2) и
10(а7 + Ь7 + с7) = 7 (а2 + Ъ2 + с2) (а5 + Ьь + с5).

186 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
98. Указание. Учесть, что зс-7>0=>ж-4>0и
χ - 3 > 0, тогда χ-£ + χ-3 = χ-Ί, откуда χ = 0 — не
подходит, так как χ > 7. Значит, исходное
уравнение не имеет корней.
99. Указание. Решить заменой yjx2 + 1 =у,у>0.
Замечание. Уравнение можно решить заменой
( π πΝ
χ = tg у, где у е —-; — .
у ζ zj
100. Решение. Заметим, что число η в
последовательности занимает подряд η мест.
Следовательно, перед первым числом (п + 1) стоит 1 + 2 +
+ ... + η = · η чисел. Значит, нам надо найти
2
такое п, что — · (п - 1) < 2010 < п,
2 2
откуда подбором находим η = 63.
Ответ: 63.
101. Решение. Пусть четырехзначное число
имеет вид abed. По условию 13 · abed — точный
куб, тогда 13 · abed имеет вид (13&)3.
Значит, abed = 132 · k3, т. е. abed кратно 132 =
= 169. Но 1000 : 169 = 5,9... > 5, 9999 : 169 =
= 59,1... < 60, т. е. 5 < k < 60.
Нетрудно заметить, что между числами 5 и 60
находятся лишь два числа - 8 и 27, являющиеся
точными кубами. Следовательно, имеем две
возможности:
1) 169 · 8 = 1352; 2) 169 ■ 27 = 4563.
Действительно, 1352 · 13 = 13 · 132 · 23 = 263 =
= 17 576; 4563 · 13 = 13 ■ 132 ■ З3 = 393 = 59 319.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 187
+
102. Решение. Из условия следует, что sin χ +
> О, откуда sin χ > 0. Следовательно,
sin л;
Vsinjc-
ylsinx
+ 1>1,
If . 1 λ
— sin* н =
2^ sinxj
|cos ax\ < 1.
Тогда равенство возможно тогда и только
тогда, если
fsimc = 1,
|cosjc| = 1;
2k
π
χ = —ι+2πη,
2 откуда
α =
χ
1 + 4η
αχ = nk,
, где η, k e Ζ.
2k
, η, k e. Z.
Ответ: а
1 + 4η
103. Ответ: 1) χ = 12, у = 5, ζ = 13; 2) jc = 8,
ι/= 6, ζ= 10.
Указание. Если л:, ι/ — катеты, 2 — гипотенуза,
1 , η τ
то согласно условию — ху = χ + у + уя +у
и т. д.
104. Ответ: 61.
Указание. Использовать теорему Виета и формулу
1 a-3
105. Ответ: хл = πη, χ, = ± — arccos l· πη,
1 2 2 6
α e [-3; 9].
Указание. Использовать формулу sin Зх =
= 3 sin χ - 4 sin3 χ. Далее учесть, что sin2 x =
l-cos2x , ο ι ^ ι
= и |cos 2x\ < 1.

188 · 800 лучших олимпиалных залач по математике 9-11 классы
106. Ответ: корней нет.
Указание, χ - 13 = (13 + χ2)2, и т. д.
107. Ответ: 15.
5π
108. Ответ: χ = :^ 4- 2nk, k e Ζ.
4
Указание. Привести уравнение к виду
f „\
cos
X
π
4
sin 6л; = 1.
Полученное уравнение равносильно двум
системам
1)
sin 6л; = 1,
cos
f πΛ
χ —
4
= ΐ;
2)
sin
cos
δχ = -1,
( A
χ —
I 4j
-ι,
и т. д.
109. Ответ: 75°.
Указание. Применить теоремы синусов и
косинусов.
110. Ответ: 18π(2 - л/3 ) дм2.
111. Указание. 120 см2. Поставить пирамиду
на одну из боковых граней.
71
112. Ответ: l· 2тт, η е Ζ.
2
Указание. Учесть, что |sin х\ < 1, тогда sin χ = 1,
sin7 x = 1; -sin 7* = 1, и т. д.
113. Ответ: 247; 364; 481; 715; 832.
114. Решение. Пусть /(я) = х2 - χ + a; g(x) = χ3 +
+ χ + 90. Тогда ДО) = α; Д1) = α; g(0) = 90; £(1) = 92.
Значит, НОД (90; 92), т. е. 2 должен делиться на а.
Кроме того, /(-1) = а + 2; g"(-l) = 88, поэтому а не
равно ни 1, ни -2; /(-2) = а + 6; £(-2) = -8104,

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 189
X13 + Х + 90
поэтому α φ -1. Следовательно, α = 2 и —5 =
χ -х + 2
= х11 + х10 -х9- Зх8 - х1 + 5х6 + 7х5 - Зх* - 17л;3 -
- 11л;2 + 23* + 45.
115. Ответ: χ = 2.
Указание. Разделить обе части уравнения на
х2
(х - I)2 * о. Далее замена = у, и т. д.
х-1
116. Ответ: 60°.
Указание. Использовать формулу площади
треугольника S = —be sin ZA и теорему косинусов.
2-mk
117. Решение. Τ = ——, где d = НОД (4; 2; 6) = 2,
d
/г = НОК(15;21;35) = 105.
Следовательно, Τ = = 105π.
Ответ: 105π.
118. Ответ: 28 см.
Указание. г= —- = —-, где
Pi Рг
Si = л/ А (Л -«)(/>! -&)(А -с) .
S2= V#>(/>2 - α)(Ρ2 - b)(P2 ~ χ) .
где л; — неизвестная сторона второго треугольни-
0. 42 + х
ка,л = 34,/?2 = —-—.
Примечание автора. Редким примером
«тупоугольных близнецов» служат треугольники со
сторонами, равными соответственно 97, 169, 122

190 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
и 97, 169, 228. У каждого из них г = 30 (см. № 167
Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975).
Представляет интерес нахождение двух
треугольников подобного вида, у которых равны
радиусы описанной окружности.
119. Ответ: хх = 4, х2 = 12.
Указание. Записать уравнение в виде χ - \lx-3 =
= \lx-3 (у[х + \lx-3 ). Далее разложить левую
часть уравнения на множители.
120. Решение.
I способ
Запишем уравнение в виде
&с + 45 =1+ З/х-16. (1)
Возведем обе части уравнения (1) в куб:
χ + 45 = 1 + ЗЗ/х-16 + 3^1 (х-Щ2 + χ - 16, или
^/(х-16)2 + З/х-16 - 20 = 0. (2)
Заменой л/х-16 = t уравнение (2) приводится к
виду t2 + t - 20 = 0, корни которого t1 = 4, ί2 = -5.
Если t = 4, то л/х-16 = 4, χ - 16 = 64, хх = 80; если
t = -5, то 3/χ-16 = -5, χ - 16 = -125, х2 = -109.
Ответ: хх = 80, я2 = -109.
II способ
Возведем обе части уравнения в куб, используя
формулу (а - ft)3 = а3 - ft3 - 3aft (a - ft). Тогда
получим χ + 45 - (х - 16) - 3^/(x + 45)(x-16)(V* + 45 -
- З/х-16) = 1, или 60 - 3^/(x + 45)(x-16) -1 = 0,
^/(x + 45)(x-16) = 20; (χ + 45)(х - 16) = 8000,
откуда находим χλ = 80, х2 = -109.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 191
III способ
Пусть χ + 45 = α3, χ - 16 = ft3, тогда
α3-ft3 = 61. (1)
Кроме того, α - ft = 1. (2)
Уравнения (1) и (2) решаем как систему.
ία3-ft3 =61, ία = 5, ία = -4,
i откуда i , или <
[a-ft = l, [ft = 4, \ft = -5.
Учитывая замены л; + 45 = α3, л; - 16 = ft3,
получим x1 = 80, x2 = -109.
Ответ: хх = 80, x2 — -109.
121. Ответ: л/2010 - 1.
Указание. Умножить числитель и знаменатель
каждой дроби на выражение, сопряженное
знаменателю.
122. Ответ: (4; 1), (1; 4).
123. Решение. Возведем в квадрат обе части
данных равенств:
а2 = sin2 χ + sin2 у + 2 sin x sin у, (1)
ft2 = cos2 χ + cos2 у + 2 cos я cos ι/. (2)
Складывая (1) и (2), получим
a2 + ft2 = 2 + 2 cos (x - y). (3)
Аналогично вычитая, находим
a2 - ft2 = (sin2 χ - cos2 я) + (sin2 у - cos21/) +
+ 2(sin χ sin у - cos я cos у), или
ft2 - a2 = cos 2* + cos 2y + 2 cos (я + ι/), или
ft2 - a2 = 2 cos (x + y) (cos (x - y) + 1). (4)
Учитывая (3), имеем 2 cos (χ - у) = a2 + ft2 — 2,
ft2 - a2 = cos (* + !/)■ (2 cos (x - y) + 2) =
= cos (x + y) ■ (a2 + ft2 - 2 + 2) =
1,2 „2
ft -a
(a2 + ft2) cos (я + у), откуда cos (χ + у)
a2 + b2

192 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Так как cos (χ - у) = —(α2 + b2 - 2), то
cos(x + y) _ (ft2-α2)·2
cos(x-y) (a'+b')(aг+b г-2)
„ cos(x + y) 1-tgxtgy
Ho - — = ^-, тогда
cos(x-y) 1 + tgxtgy
1-tgxtgy _ 2(ft2-a2)
1 + tgxtgy (uT+ft2)(a2 + ft -2)
ас a+b c+d
Известно, что если — = —, то = ,
b d a-b c-d
2 (ft2 + a2)(a2 + ft2-2) + 2(ft2-a2)
ТОГДа = ^-5 5-^—5 ; i-s 5- , ИЛИ
2tgxtgy (ft2 + a2)(a2+ft2-2)-2(ft2-a2)
_ (a2 + ft2)2-4ft2 _ (a2 + b2+2b)(a2+b2-2b)
^Х^У (a2 + ft2)2-4a2 (a2+ft2+2a)(a2+ft2-2a)'
4. Т.Д.
124. Ответ: при 0 < α < 4.
Указание. Проще привести графическое решение.
125. Ответ: х1 = 3, х2 = - \/15 .
Указание. Данное уравнение равносильно двум
смешанным системам:
\х3-2х>0, пч [х3-2х<0,
1)\ 2) \ , и т. д.
[х3 - 2х = 2х + 15; [х3 - 2х = 2х + 15,
126. Решение. Пусть Зх - 2 = t + 1, тогда
χ = -(t + 3), χ - 5 = -t - 4 и χ + 1 = -(ί + 6).
3 3 3
Следовательно, I уравнение примет вид
f(t +l) + 7g
3
= -(ί + 6),

Раздел //. Ответы. Указания. Решения 10 класс · 193
т. е. f(x + 1) + lg
*-4
3
= -(* + 6).
Решая это уравнение совместно со II
уравнением исходной системы, имеем
f(x + l) + 7g
f(x + D-g
(χ л
--4
3
= -(* + 6),
χ
--4
3
= 3х,
откуда, вычитая из первого уравнения второе,
получим 8g
χ
--4
х + 6
- Зх, или
g|f-4
12
(3 - Ах).
(1)
χ
Пусть — - 4 = k, χ = 3(k + 4), тогда (1) примет вид
о
g(k) = -L(3 - 12(/г + 4)), или g(k) = -\{Ak + 15),
12 4
т. е. g(x) = - — {Ах + 15).
4
Из II уравнения последней системы имеем
f(x + l) = -^(3-Ax) = 3x,
/(* + 1)=-ί-(32* + 3),
/(*+l)=-!-(32(x + l)-29),
A. L·»
т.е. fix) =— (32л; -29).
Ответ: f(x) = —(32л; - 29), g(x) = --(4л; + 15).
12 4

194 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-17 классы
127. Ответ: графиком является прямая у = 5.
Указание, cos 2* = 1 - 2 sin2* = 2 cos2* - 1.
128. Решение. Пусть в ААВС основание АВ = 2*,
АС = ВС = у, высота CD = 12 (по условию), тогда
из AADC получим
у2-х2 =144. (1)
тт о а&с ι.
Известно, что оДАВС = , где а = о = у,
4R
с=АВ = 2х, тогда S^c = |^-. (2)
С другой стороны, S^c = pr = (x + у)г. (3)
Кроме того, S^ = -АВ · CD = 12*. (4)
Учитывая (4), соотношения (2) и (3) примут вид
2 2
2У- = 12*, или у2 = 24R, R=2-. (5)
2R 24
Аналогично из (3) имеем (* + у)г = 12*, откуда
г = . (6)
х + у
83
По условию задачи R + г = —, тогда, склады-
8
/*ч /сч 12Λ: . ί/2 83
вая (5) и (6), получим + -iL- = —, или, учи-
х + у 24 8
тывая (1), имеем систему уравнений
' 12* у2 83
■+- -
х+у 24 8
у2-х2=Ы4.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 195
Пусть у = tx, где t > О, тогда получим
12
- + ■
t2x2
1 + ί 24
2 144
χ =-
83
8'
ί2-1
Решая систему способом подстановки, полу-
13 1
чим 35ί2 - 96ί + 13 = 0, откуда tx = —, ί2 = —.
5 7
Учитывая подстановку ι/ = tx, получим две
системы уравнений:
1)
13
о
2)
1
у=—х>
7
[у2 -х2 =144; [у2 -х2 =144.
Из системы 1) имеем χ = 5, у = 13. Система 2)
не имеет решений. Итак, χ = 5, у = 13, тогда
АВ= 10,АС = ВС= 13.
Ответ: 10; 13; 13.
129. Ответ: - + 2nk\ arctg I + 2nk\ — + 2π&;
4 3 4
π - arctg _ + 2nk, k & Ζ.
3
Указание. Используя формулу 1 + tg2x =
данное уравнение примет вид 3 tg2x + 4
Далее рассмотреть 2 случая:
1) cos χ > 0; 2) cos χ < 0.
cos λ;
7 sin λ;
IcosjcI
130- Ответ: х =
7π
Указание. 1) cos л; < 0; 2) cos л; > 0.

196 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
131. Решение. Данное уравнение равносильно
системе <
. 5х л
sin— = 1,
4
cos* = l;
5х π η
— = — + 2πη,
4 2
χ = 2nk;
2nk = — + , откуда k = —{An + 1).
5 5 5
Так как k e Ζ, το η = 1 + 5m, тогда
χ = 2π + Ъптп, τη e Z.
Ответ: χ = 2π + 8nm, m e Z.
132. Ответ:
1(_1_ЛЗ)
о
U
U
(l + V13); + oo
Указание. После упрощений получим
неравенство Зх2 - 2\х\ - 4 > 0. Далее рассмотреть 2 случая:
1) χ > 0; 2) χ < 0.
133. Ответ: х1 = 2, х2 = —(-1 - V5).
Указание. После возведения обеих частей
уравнения в квадрат получим
(х - 2) (х + 1) (χ2 + χ - 1) = 0, и т. д.
134. Решение. 7 sin β = 6 sin β + sin β = sin (2α + β),
или 6 sin β = sin (2α + β) - sin β =
= 2 sin α cos (α + β). (1)
С другой стороны, 7 sin β = 8 sin β - sin β,
или 8 sin β = sin (2α + β) + sin β =
= 2 sin (α + β) cos α. (2)
Разделив обе части (2) на (1), получим
4
— = tg (α + β) ctg α, откуда 3 tg (α + β) = 4 tg α,
О
ч. т. д.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения- 10 класс · 197
135. Ответ:
2;3-
3
136. Ответ: (х3 - х2 + 1) (χ2 + χ + 1).
137. Ответ: χ = -1.
Указание. После почленного возведения урав-
нения в куб и подстановки у/х-1 вместо л/х + 1 +
+ yJ3x + l получим уравнение (Зх + 1) (х - 1) =
= -(х + I)2, и т. д.
0<х2-3<1,
π
138. Решение.
0<х2-3<1,
0<х2-3<1,
arcsinv*
2 3>ϊ;
V*2 -3>
л/3
*2-3>-
3 15
- < χ2 - 3 < 1. Тогда — < χ2 < 4,
4 4
ИЛИ
7Ϊ5
< |х| < 2. Значит, |х| < 2, т. е. -2 < л; < 2.
λ/Ϊ5
Из неравенства \х\ > получим
х>
х<
2 '
7Ϊ5
Ответ:
-2;-
>Я5
и
7Ϊ5
;2
139. Решение. Поскольку ι/ - 2я2 - 1 > 0, то
2л;2 + 1 < у, откуда ι/ > 1, тогда 3" > 3. Так как cos χ < 1,
то -3 cos л; > -3. Из данного неравенства следует,
что *Jy-2x2 -1 > 0. Учитывая полученные
соотношения, имеем Зу - 3 cos я + ^Jy-2x2 -1 > 0, а по

198 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
условию Зу - 3 cos χ + yjy-2x2 -1 < О, значит,
должно выполняться равенство
Зу - 3 cos χ + Jy-2x2 -1=0, откуда
Зу=3,
3cos* = 3,
Vi/-2x2-l =0.
Решением системы будет χ = 0, у = 1.
Ответ: χ = 0, у = 1.
140- Решение, у = 1 · Vcos2* = |cos *|.
[cos** 0,
π
л; * — + ηη, η & Ζ.
\y = \cosx\; 2
141. Решение.
Ι способ
Запишем уравнение в виде
3 48
ъ 5 = ' или
(1 + cos *)(l + sin χ) 35
(1 + cos2*) (1 + sin2*) =
35
16
(1)
Но cos2* = —(1 +cos 2х) и sin2* = —(1 -cos 2*),
тогда уравнение (1) примет вид

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 199
Л l + cos2*
1 +
1 +
1- cos 2*
35
16
, или
35
(3 + cos 2*) (3 — cos 2х) = —, откуда
4
cos2 2х = —, или
1 + cos Ax
1 л 2π , о
cos 4* = - —; 4* = ± l· 2πη,
2 3
π , πη _
т. е. χ = ± l· —, η e Ζ.
6 2
Ответ: ±— + —, η е Ζ.
6 2
II способ
Пусть 1 + cos2λ; = α, 1 + sin2* = ft, где α > 0, и
ft > 0. Тогда данное уравнение примет вид
Ι + 1-ϋ. (2,
α ft 35
Кроме того, α + ft = 2 + (cos2* + sin2*) = 3, или
α + ft = 3. (3)
Уравнения (2) и (3) решаем как систему
I I-4!
a + ft~35'
a + ft = 3.
Решая систему способом подстановки, находим
7 5 и 5 и 7
αι = τ ' α2 = Τ» тогда ftj = —, ft2 = — .
4 4 4 4
3
Так как 1 + cos2* = α, то cos2* = —, или
4
3 1 π
1 + cos 2* = — , cos 2* = —, * = ± h πη, η & Ζ.
2 2 6

200 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Аналогично 1 + cos2* = —, cos2* = —,
4 4
1 1 π
1 + cos 2* = —, cos 2* = - —, χ = ± l· πη, η & Ζ.
2 2 3
Ответ: ±— + πη; ±— + πη, η & Ζ.
6 3
III способ
Поскольку 1 = cos2* + sin2*, то исходное
уравнение примет вид
cos2 * + sin2* , cos2 * +sin2* 48 ...
-(- = β (4)
2cos2* + sin2* cos2* + 2sin2* 35
Разделив числитель и знаменатель каждой
дроби в левой части уравнения (4) на cos2* φ Ο,
получим
tg2* + l tg2* + l = 48
2 + tg2* 2tg2* + l 35"
После упрощения получим биквадратное
уравнение
3 tg4* - 10 tg2* + 3 = 0, откуда tg2* = 3,
tg2 * = — . Если tg2 * = 3, то tg * = ± л/3 ,
о
^ , г, . о 1 1
* = ±— + πη, η&Ζ, если tg'x = —, то tg * = ±—j=,
3 3 V3
χ = ±— + πη, η & Ζ.
6
Ответ: ±— + πη, ±— + πη, η & Ζ.
3 6
142. Ответ: [-5; -4) u [-2 -2 J- ; -3) u
u(-l;-2 + 2j|]u(0;l].

Разлел //. Ответы. Указания Решения: 10 класс · 201
Указание. Ввести замену х2 + 4х = t,
предварительно записав неравенство в виде
Ί 1 λ . f 1 1 Л
X Х + 4:
+
>
2\_
20
\Х + 1 х + Зу
143. Ответ: 2 ± ^9 + 4п2 , η = 0, 1 ...
Указание. Так как 1 - х3 = (1 - х) (1 + χ + χ2),
το уравнение примет вид cos (пых2 -4л;-5 ) = 1,
которое равносильно смешанной системе
[х2-4х-5>0,
п = 0. 1.
π\χ2 - Ах - 5 = 2πη,
., и т. д.
144. Ответ: -(3 + -ЛУ).
2
(1 Λ
145. Ответ: (1; 0), -;1
И ,
Указание. Дважды возвести первое уравнение
в квадрат.
146. Решение. Пусть в ААВС (ZC = 90°), АВ = с,
с
AD = —7= — биссектриса ZA. Пусть ZCAD = а =
л/3
= ZDAB.
Из AACD АС = AD cos α = -£=cos α из ААВС
V3
AC = АБ cos 2α = с cos 2α. Сравнивая правые ча-
с
сти полученных равенств, имеем —?=cos α =
7з
= cos 2α, или л/3 cos 2α - cos α = 0. Поскольку
cos 2α = 2 cos2 α - 1, то полученное уравнение
примет вид 2V3cos2 α - cos α - л/3 = 0, откуда

202 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
л/3
л/3
cos α = -— или cos α = — не подходит, так
2 о
как ΖΑ < 90°, тогда cos α > 0.
л/3
Если cos α = , то α = 30°, значит, ZCAD =
2
= ZDAB = 30°, ZCAB = 60° и ZB = 30°.
Следовательно, AC = —AB = — с, ВС = .
2 2 2
Замечание. Попытка решить задачу
алгебраическим способом приводит к решению системы
трех уравнений с тремя неизвестными, например,
АС = х, ВС = у, CD = ζ, тогда
Х2 + У2=с\
2 2-^-2
Χ +Ζ ~—С , И Т. Д.
О
У-*
_ 1 сл/З
Ответ: —с, .
2 2
147. Решение. ZC = 180° -
- (45° + 75°) = 60°. Заметим,
что ААВС подобен
треугольнику с вершинами в
серединах его сторон с
коэффициентом подобия k = —.
2 А
Значит, радиус
окружности, описанной около ААВС, равен R = 2г, тогда
S^bc= -AC ■ ВС-sin ZC =

Разлел //. Ответы Указания Решения: 10 класс · 203
= -(2r sin ZB) ■ (2r sin ZA) ■ sin AC =
= 2т3- sin 75° · sin 45° · sin 60° =
/9 /ч
= 2Г2 · — · ^- · sin (30° + 45°) =
2 2
2
л/б _, _ Г ^ >/2 V| V2
2' 2 + 2 ' 2 ,
^(1 + V3)r2.
= ^-(1 + л/3)г2(кв.ед.).
Ответ
4
148. Ответ: (1; 1).
Указание. Записать уравнение в виде
(х + ι/) (х2 - λ;ι/ + у2) + 2 = 2(χ + у), откуда χ + у =
= ±1; ±2. Далее записать уравнение в виде
(х + у)3-2(х + у) + 2
ХУ=- ' ,ит.д.
3(х + у)
149. Ответ: sin 9 > sin 10.
Указание. Рассмотреть разность sin 10 - sin 9
и учесть, в какой угловой четверти находятся
полученные углы.
150. Решение. Пусть 8х - х2 - 12 = а, 7 - 2х = Ь,
где а > 0, Ъ > 0. Заметим, что 6х - х2 - 5 = (8я -
-х2 - 12) + (7 - 2х) = а + Ъ, где а + Ъ > 0.
В этом случае исходное неравенство примет
вид 4а + Ъ > у/а + ыЪ , если а + Ъ> а + Ъ + 2 4аЬ ,
4аЬ <0, ab = 0.
Следовательно, имеем две смешанные системы:
a) J8*-*2 -12 = 0> х2-8х + 12 = о, ν = 2, х2 = 4.
[7-2х>0;
Так как χ < 3,5, то χ = 2.

204 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-П классы
б)
Г7-2х = 0,
ДГ — ΰ,Ο,
ОС — о, Э>
[8х-х2-12>0; [*2+8х + 12<0; [2<х<6,
откуда χ = 3,5.
Ответ: хх = 2, х2 = 3,5.
151. Решение (см. рис.).
152. Ответ: χ = πη,
χ = ±arctg 5 + πη, η & Ζ.
Указание. Применить формулу
tga»-***-*'*.
l-3tg2x
153. Решение. По формуле суммы η членов
геометрической прогрессии получим
*14-1
х12 + х10 + х9 + ... + х2 + 1 =
X
X
1 х7+1
х + 1
(х6 + Xs + xi + ... + χ + 1) (χ6
х-1
-х5 + χ4 - ... - χ + 1).
154. Ответ: 72.
Указание. 2х = а2, Зх = ft3, т. е. χ = 23
= 72с=>с = 1.
155. Решение.
I способ
S = — ab = рг= —(а + Ъ + с)г, откуда
С =
Г =
ab
а + Ъ + с
По теореме Пифагора а2 + Ъ2 = с2, или
(а + ft)2 - 2aft = с2, значит, 2aft = (a + ft)' - с' =
= (a + ft + с) (a + ft - с),
(1)
-2 _

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 205
тогда (1) примет вид г
_ (a + b + c)(a + b-c) _
2ab
2(α + b + с)
a + b-c
ч. т. д.
2(a + b + c) 2
II способ
Из центра О вписанной
окружности проведем
радиусы OD, ОЕ и OF в точки
касания, тогда OD _1_ АС,
OF J_ ВС, ОЕ 1 АВ.
Следовательно, CFOD —
квадрат, тогда OD = OF = OE =
= г; AD = АС - CD = Ъ - г;
BF = a - г. Но AD = АЕ и
BF = BE как отрезки
касательных к окружности,
проведенные из одной точки.
Значит, AE = b-r,BE = a-ruAB=AE + BE,
т. е. с = (6 - г) + (α - г), откуда г = —(а + b + с),
ч. т. д.
156. Решение. В силу неравенства Коши
(х2+х-Щ + 1 _ х2+х-15
yjx2 + x-16 <
ι г~Т7 ^ (х-х2+Щ + 1
yjx-x +16 <- -—
2
х-х2 +П
2 2
Следовательно, \lx2 +X-16 + yjx-x2 + 16 <х + 1.
Значит, из исходного уравнения следует, что
7х + 17 < χ + 1 или (х - 4)2 < 0, т. е. χ = 4.
2 _
X
Ответ: χ = 4.

206 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
157. Ответ: 1.
Указание. Подставить в выражение, данное в
условии, χ = 1.
158. Ответ: 54 и 18.
159. Решение. Пусть А = xyztxy — искомое
число. Вставленное двузначное число четное.
Обозначив его через 2а, получим
А = xyztxy = 10 000а + 100 · 2а + а = 10 201а =
= 1012а.
Так как А — шестизначное число и α — точный
квадрат, то 16 < α < 81, откуда α = 16; 25; 36; 49.
В этом случае получим соответственно 4 числа:
163 216 = 4042; 255 025 = 5052; 367 236 = 6062;
499 849 = 7072.
160. Ответ: 4001 и 8004.
161. Ответ: Ζ : 8.
Указание. Учесть, что AAKD ~ ΔΕΚΏ, где точка
К — точка пересечения DB и АЕ (Е е С В).
162. Решение. Если sin α = 3 cos α, το tg α = 3,
2tga_ = _2j_3_ =_£
4;
тогда tg 2a =
tg2a
tg3a =
12-3
tga + tg2a
l-tgatg2a
= =_9_
4+9 13'
Ответ: 9/13.
163. Ответ: х = 0.
7
164. Ответ: —.
25
1-9
3 +
3}
4
/ _
4
1-3
-^ 1 + -

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 207
Указание. Разложить sin4 α - cos4 α на
множители. Далее использовать формулы
i-tg2?
cos α
1+tiI
о
— и cos 2α = 2cos2a - 1.
165. Ответ: χ = 3.
Указание. Замена ых +1 = у, тогда после
упрощений получим уравнение (у2 - Ау)2 + 8(у2 - Ау) +
+ 16 = 0 — квадрат суммы, и т. д.
II способ
Запишем уравнение в виде
(х- 4у/х + 1)2+ 10(х-4у/х + 1) + 25 = 0, или
(х - 4yfx + l + 5)2 = 0, или χ - 4jx + l +5 = 0.
Полученное уравнение запишем в виде
(л/* + 1 -2)2 = 0, и т. д.
Ответ: χ = 3.
'9 1^ (
166. Ответ:
2' 2
2;
3}
2
(3
и·
3Л
2
/
-•--1
. 2' 2, '
167. Ответ: (1; 2) и (10; +<ю).
Указание. Замена л/2 —л; = ί, тогда * - 1 = 1 - ί3.
Получим VI — ί3 > 1 - ί, и т. д.
168. Решение, (х - Зу) (х2 + Зху + 9у2) = 37 =
= 1 · 37, причем χ - Зу < χ < х2 + Зху + 9у2.
\х-3у = \,
Значит, < . „ откуда, решая спо-
[х2 + 3ху + 9у2=37,
собом подстановки, находим χ = 4, у = 1.
Ответ: χ = 4, у = 1.

208 · 800 лучших олимпиалных залай по математике. 9-11 классы
169. Ответ: 54.
Указание. Разложить многочлен М(х) на
множители, а затем подставить значения р(х) и g(x).
170. Ответ: 351 и 459.
Указание. Согласно условию
100л; + 10у + ζ = В(ху + у ζ + χζ), или
40л: = 23у + bz.
Далее учесть, что 0<г/<9, 0<z<9, 0<л;<9,
и т. д.
171. Указание, у = -Jx + 2 , χ φ 2, χ > -2.
У*
172. Ответ: 10 см.
173. Указание. Данную функцию привести к
виду у = \х - 2|, где cos χ φ 0, т. е.
У = \х~2\,
χφ—+πη,η ez.
2

Раздел //. Ответы. Указания. Решения- 10 класс · 209
174. Указание.
Неравенство приводится к
виду
χ 1
sin— < -, откуда
Ann < χ < l· Ann,
3 3
n&Z.
175. Указание. После
преобразования получим
{у = \х-1\,
176. Ответ: хг = 1,
х2 = -0,5.
Указание. Рассмотреть 2 случая: 1) χ > 0; 2) χ < 0.
177. Решение. уг = х2(1 + х). Полагая 1 + χ = α2,
получим бесконечную серию решений χ = а2 - 1,
у = ах.
178. Ответ: χ = --
179. Ответ: (-со; 0) yj
\
-; + оо
Решение. Преобразовать неравенство к виду
\Zx- 1|> 1, и т. д.
180. Решение.
I способ
Так как α + β + γ = 180°, то α + β = 180° - γ,
тогда sin (α + β) = sin (180° - γ) = sin γ; cos (α + β) =
= cos (180° - γ) = -cos γ.

210 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Следовательно, tg α + tg β + tg γ = — +
+ tgy =
sin γ
+
cos α cos β
sin γ _ βΐηγίοοβγ + οοβαοοββ)
cos α cos β cosy
οοβαοοεβοοεγ
-cos(a + B) + cosacosP ^ sinasinR
tg γ · i ^ ζ- = tg γ · ρ
οοεαοοεβ
οοεαοοεβ
tg a tg β tg γ.
II способ
tg a + tg β + tg γ = tg a + tg β - tg (a + β) = tg a +
( -ι Λ
+ tgP- tgrtgP =(tga + tgP)
l-tgatgp
tga + tgp
1 —
1-tgatgP,
_(-tgatgP) = (tga + tgP)-(-tgatgP) =
l-tgatgp
tg (180° - γ) · (-tg a tg β) = tg a tg β tgy.
Ill способ
Так как a + β = 180° - γ, το tg (a + β) = tg (180° -γ).
tga + tgβ
— = _tg γ, или
l-tgatgp
tg a + tg β = -tg γ + tg a tg β tg γ, или
tg a + tg β + tg γ = tg a tg β tgy, ч. т. д.
181. Ответ:
Vio
;л/2
u
V2;
Vio
Указание. Имеем
0<х2-2<1,
arcsinV*
2 2<-,
6
π или

Раздел //. Ответы. Указания. Решения. 10 класс «211
0<х2-2<1,
х2-2<-,
и т. д.
182. Ответ: a = ±2 V3 .
Указание. Заменой χ = а + у первое уравнение
системы привести к виду Ау2 + 2ау + (а2 - 1) = О,
и т. д.
183. Решение.
I способ
Применяя формулы 2 sin x cos у = sin (я - у) +
+ sin (χ + у) и sin2 л;
2 -ν =
1-cos2jc
, получим sin2 а +
+ sin2 β + 2 sin α sin β cos (а + β) = sin2 а + sin2 β +
+ sin α (sin (а + 2β) - sin а) = sin2 а + sin2 β +
1
+ sin α sin (а + 2β) - sin2 а
-(1 - cos 2β) +
+ -(cos 2β - cos (2α + 2β)) = -(1 - cos (2α + 2β)) =
Li Li
= sin2 (а + β), ч. т. д.
II способ
sin2 а + sin2 β + 2 sin α sin β cos (а + β) =
= sin2 а + sin2 β - 2 sin α sin β (sin α sin β -
- cos α cos β) = sin2 а - sin2 α sin2 β + sin2 β -
- sin2 α sin2 β + 2 sin α sin β cos α cos β = sin2 α cos2 β +
+ sin2 β cos2 а + 2 sin α cos β sin β cos а = (sin α cos β +
+ cos α sin β)2 = sin2 (а + β), ч. т. д.
184. Решение.

212 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
185. Ответ: χ = 8.
Указание. Записать уравнение в виде
56 19
Далее замена 1 + — = а3, 1 + — = ft3. Имеем
χ χ
Далее перемно-
19 ,з
систему уравнении
:ftJ-l.
ι χ
жить обе части уравнений и решить полученную
[l9a3-56ft3=-37,
систему (с учетом замен) < и т. д.
[а + 4ft = 8,
186. Решение.
1 способ
В силу неравенства Коши
Π г ^ (х2 -х-1) + 1 х2-х
V* -х-1 < = ;
2 2
с τ (1-х-х2) + 1 2-х-х2
-Jl-x-x < — = .
2 2
Значит, левая часть неравенства не превосхо-
л ОС ОС £ ОС ОС н
дит 1 - х, так как + = 1 - х.
2 2
Следовательно, х2 + х + 2<1- х, или (х + I)2 < О,
откуда χ = -1.
Ответ: χ = -1.
II способ
Известно, что аха2 + b1b2 < -y/af+ftf · ^af+ft^
(неравенство Коши—Буняковского).

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 213
Тогда 1 · л/х2-х-1 + 1 · yjl-x-x2 <
< V2 · уР2х =2у[^х .
Из коллинеарности векторов (1; 1) и
(л1х2-х-1 ; yjl-x-x2 ), имеем
1 1
<Jx2-x-l yjl-x-x2
, или
χ'
χ
1 = 1
χ- χ2, χ2= 1, χ = -1 (χ < 0).
III способ
Заметим, что χ2 + χ + 2 > 0 при всех χ e R, так
как D<0na=l>0. Тогда область определения
уравнения равносильна системе неравенств
\х2-х-1>0,
ll-x-;e2>0;
( 1'
χ —
I 2,
х + —
2
>
4
ι
χ —
2
1
х + —
2
>
<
2 '
V5
откуда находим χ е
1 + V5 1-V5
На полученном отрезке левая часть исходного
уравнения является возрастающей функцией,
а правая — убывающая. Значит, уравнение
может иметь не более одного корня иж = -1 —
единственный корень.
IV способ
Область определения уравнения
Г ι+Vf ι-VJf
χ е ;
|_ 2 2
Запишем исходное уравнение в виде

214 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-7 7 классы
Заметим, что и + υ - 2 \fuv = t, или
(χ2 - χ - 1) + (1 - χ - χ2) - 2 4ΰϋ =χ2 + χ + 2;
-2 \fuv = χ2 + 3χ + 2, или
-24ΰϋ =(χ+ 1)(χ + 2),
поскольку uv > 0, то последнее равенство
возможно, если (х + 1) (χ + 2) = 0, откуда хх = -1, х2 = -2
(не удовлетворяет ОДЗ уравнения).
Итак, χ = -1 — единственный корень
исходного уравнения
Ответ: χ = -1.
187. Ответ: х1 = -(-3 + 2 7б ), х2 = - (-1 + у/2 ),
dt dt
*з=|(-3 + 2 73).
Указание. Рассмотреть 2 случая:
1) χ < 0; 2) χ > 0.
188. Решение, х2 + у2 + ху = (х - ру)2, у е N, от-
= х(2р + 1)
p2-i
а х надо выбрать так, чтобы у было целым, что
достигается, если положить χ = р2 - 1, у = 2р + 1.
В этом случае исходное равенство примет вид
(р2 - I)2 + (2р + I)2 + (р2 - 1) (2р + 1) =
= />4 + 2/>2(р + 1) + (р + I)2 = (р2 + (р + I))2 =
2
= (ρ2 + ρ + I)2 = ааа .
Подбором легко установить, что требуемое
равенство выполняется при/? = 10.
(102 + 10 + I)2 = 1112, тогда χ = 102 - 1 = 99,
у = 2· 10 + 1 = 21.
куда х2 + 2рх=р2у - у, или ι/ = ζ л , где/? > 1,

Раздел //. Ответы. Указания Решения: 10 класс · 21 5
При этих значениях исходное равенство
запишется в виде
992 + 212 + 99·21 = 1112.
Итак, χ = 99, у = 21 — наименьшая пара.
Ответ: χ = 99, у = 21.
189. Указание. Следует продолжить две пары
плоскостей противоположных граней угла до
пересечения и провести плоскость, параллельную
двум получившимся прямым.
190. Решение. 3 + cos χ (6 cos x + a sin x) = 1,
или 6 cos2 χ + a sin x cos χ + 2 = 0.
Поскольку 2 = 2(cos2 χ + sin2 χ), то получим
8 cos2 x + a sin x cos * + 2 sin2 χ = 0 —
однородное уравнение второй степени.
Разделив обе части уравнения на cos2 χ φ 0,
получим равносильное уравнение
2 tg2 χ + a tg χ + 8 = 0.
Пусть tg χ = t, t е. R, тогда уравнение 2t2 + at +
+ 8 = 0 имеет корни, если D > 0, т. е. а2 - 64 > 0,
а2 > 64, \а\ > 8, откуда а > 8 и а < -8.
Следовательно, а е (-со; -8] и [8; +со).
Ответ: (-со; -8] и [8; +оо).
191. Решение. Согласно условию имеем abc =
= life2, или 100а + 10Ь + с= life2, где 0 < а, Ъ, с<9.
Полученное равенство запишем в виде
1Ц9а + Ь) + (а-Ь-с)= life2. (1)
Чтобы (1) делилось на 11, необходимо и
достаточно, чтобы а - Ъ + с делилось на 11, т. е. а - Ъ +
+ с = 11т.
Так как 0<а<9, 0<Ь<9, 0<с<9, то
-9 < 11т < 18, откуда т = 0 или т = 1.
. ill(9a + b) + 0 = llfe2,
1. Если m = 0, то получим <
[а-Ь + с = 0;

216 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
\9a + b = k\
[a-b + c = 0,
или, складывая уравнения системы, имеем
\l0a + c = k2,
{ а>0,
[b = a + c,
где 10 < 10а + с < 99, или 10 < k2 < 99, т. е. k2 = 16;
25; 36; 49; 64; 81.
Из этих значений получим трехзначные числа:
176, 275, 396, 891.
2. Если m = 1, то 11(9а + Ъ) + 11 = life2, или
Г9а + Ь + 1 = /г2, Г10а + с + 1 = /г2 + 11,
\a-b + c = 11; [ft = a + c = ll;
Jl0a + c = /г2 +10,
[Ь = а + с-11.
Значит, 10 < 10а + с < 99; 10 < k2 + 10 < 99;
0 < k2 < 89, т. е. /г2 = 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.
Из этих значений получим еще два числа:
539; 704.
Ответ: 176; 275; 396; 891; 539; 704.
192. Решение. 11п + 2 + 122п + 1 = 121 · 11" +
+ 12 · 144" = (121 · 11" + 12 · 11") + (12 · 144" -
- 12 · 11") = 11"(121 + 12) + 12(144" - 11").
Дальнейшее очевидно.
193. Ответ:
(2 λ
' ;101
4lgl02
194. Решение. 3(1 + а2 + а4) - (1 + а + а2)2 = 3 +
+ За2 + За4 - 1 - а2 - а4 - 2а3 - 2а - 2а2 = 2 + 2а2 +
+ 2а4 - 2а3 - 2а - 2а2 = (о2-о)2 + (а2 - I)2 + (а - 1)2>0.
Замечание. Неравенство можно доказать иначе.
1 + а2 + а4 = (1 + а)2 - а2 = (1 + α + а2) (1 - α + α2).

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс «217
Так как 1 + α + α2 > 0, то доказательство
исходного неравенства сводится к доказательству
неравенства
3(1 - α + α2) > 1 + α + α2, или
3(1 - α + α2) - 1 - α - α2 = 2(α - Ι)2 > 0.
195. Ответ: χ = -1.
196. Ответ: (4; 4).
197. Решение. Согласно условию задачи, при
делении данных чисел на искомое получаются
одинаковые остатки, значит, если мы вычтем
одно число из другого, то разность разделится на
искомое число без остатка.
_ 200 631 _ 200 749 _ 200 749
200 513 200 631 200 513
118 118 236
Найдем простые делители полученных чисел:
118 = 2-59; 236 = 2-2-59.
Как видим, единственный общий делитель
полученных разностей равен 59, а общий остаток
(нетрудно проверить) — 31.
Ответ: 59.
198. Ответ: χ = 1.
Указание. Замена 3* = ί, где t > 0. В результате
9
получим: 1) 3* = -3; 2) 3* = , и т. д.
х + 2
199. Ответ: 4.
200. Ответ: 8567 и 8576.
Указание. Задача сводится к решению системы
\c + d = 13,
уравнений 1 , л^п Л где abed = 1000α +
I2ca = 156-9a,

218 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
+ 100ft + 10с + d — искомое число. Далее
доказать, что a — четное число.
201. Ответ: хл = —, х, = 3.
1 д. 2
202. Решение. Заметим, что в левой части
уравнения имеем возрастающую функцию, в
правой — убывающую. А это означает, что уравнение
может иметь не более одного корня. Поскольку
540 = З3 · 4 · 5, то уравнение запишется в виде
кз* . £4+х . з16+* = 58~* · 48~* · 33'8~^
Нетрудно убедиться, что χ = 2 — корень
уравнения.
Ответ: χ = 2.
203. Ответ: 56/9.
204. Решение. Если данное неравенство
выполняется при χ е (-2; 2), то оно, в частности,
должно выполняться при χ = 0. В этом случае неравен-
2
ство примет вид — > 1, откуда α > 7. Кроме того,
Ία
поскольку χ е (-2; 2), то χ + 7 > 0.
Следовательно, исходное неравенство с учетом
ограничений преобразуется к виду
х2 + а2 > а(х + 7), или х2 - ах + а2 - Та > 0. (1)
Заметим, что абсцисса х0 вершины параболы
9 , 9 а а .
у = хг - ах + а2 - "а равна х0 = —, где — > 1, так
как а > 7. Значит, неравенство (1) выполняется
при всех χ е (-2; 2), если оно выполняется при
χ = 1, т. е. 1 - а + а2 - Та > 0, или а2 - 8а + 1 > 0.
Решая полученное неравенство методом
интервалов, находим а е (-°°; 4 - 7Ϊ5 ] и [4 + 7Ϊ5 ; +«»).

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс «219
Учитывая, что α > 7, окончательно получим
α е [4 + ТГб ; +оо).
Ответ: [4 + V15 ; +оо).
205. Ответ: 4.
Указание. /(9) = -3; /(-7) = 4; /(6) = 3.
206. Ответ:
Г* о π о '
— + 2пт; — + 2πη
V4 '2 у
— + 2пт;—+2πη
4 4
η, т & Ζ
207. Ответ: х1 = 0, х2 = 9.
Указание. Замена V4 —ν* = у, тогда χ = (4 - ι/2)2.
В этом случае данное уравнение примет вид
16(2 - у)2 (2 + у)2 - 9(17 - у2) (2 - у)2 = 0, и т. д.
208. Ответ: 1/Ve.
209. Решение.
I способ
Упростим числитель дроби: 3 + 4 cos 2α +
+ cos 4α = (1 + cos 4α) + (2 + 4 cos 2α) = 2 cos2 2α +
+ 4 cos 2α + 2 = 2(1 + cos 2α + cos2 2α) = 2(1 + cos 2α)2 =
= 2(2 cos2 α)2 = 8 cos4 α.
Аналогично упростим знаменатель дроби:
3 - 4 cos 2α + cos 4α = (1 + cos 4α) + (2 - 4 ее - 2α) =
= 2 cos2 2α + 2 - 4 cos 2α = 2(1 - 2 cos 2α + cos2 2α) =
= 2(1 - cos 2α)2 = 2(2 sin2 α)2 = 8 sin4 α.
_ 3 + 4cos2a + cos4a 8cos4a
Следовательно, = -.— =
3-4cos2a + cos4a 8sin a
= ctg4 a, 4. т. д.
II способ
3 + 4 cos 2a + cos 4a = (4 + 4 cos 2a) -
- (1 - cos 4a) = 4(1 + cos 2a) - 2 sin2 2a =

220 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
= 4-2 cos2 α - 2 (sin 2α)2 = 8 cos2 α -
- 8 sin2 α cos2 α = 8 cos2 α (1 - sin2 α) =
= 8 cos2 α · cos2 α = 8 cos4 α.
Аналогично 3-4 cos 2α + cos 4α =
= (4 - 4 cos 2α) - (1 - cos 4α) = 4 (1 - cos 2α) -
- 2 sin2 2α = 8 sin2 α — 2(2sin α cos α)2 =
= 8 sin2 α (1 - cos2 α) = 8 sin4 α, и т. д.
(см. I способ).
III способ
3 + 4 cos 2α + cos 4α = 3 + 4 cos 2α +
+ cos 2 · (2α) = 3 + 4 · (2 cos2 α - 1) + 2 cos2 2α -
-1 = 3 + 8 cos2 α - 4 + 2 (cos 2α)2 - 1 = -2 +
+ 8 cos2 α + 2 (2 cos2 α - Ι)2 = -2 + 8 cos2 α +
+ 8 cos4 α - 8 cos2 α + 2 = 8 cos4 α.
Аналогично упрощаем и знаменатель дроби,
и т. д.
IV способ
3 + 4 cos 2α + cos 4α = 3 + 4 cos 2α +
+ (2 cos2 2α - 1) = 2 + 4 cos 2α + 2 cos2 2α =
= 2 (1 + 2 cos 2α + cos2 2α) = 2 · (1 + cos 2α)2 =
= 2 (2 cos2 α)2 = 8 cos4 α, и т. д. (см. I способ).
210. Ответ: нет решений.
211. Ответ: χ = -1.
7
Указание. Ввести подстановки — + 1 = а3;
χ
9
- - 1 = ft3. Далее исключить переменную х.
χ
212. Решение. Так как χ + 2у + Зг = а, то
а х 2
ζ= — - — у, и первое уравнение примет вид
о о о
( „ -ν ο,Λ
2
а х 2ц
X + U + -
3 3 3
4л;2 + у2, или

Раздел //. Ответы. Указания. Решения- 10 класс · 221
Ах + 2у + 2а = 12л;2 + Зу2, или
2х-
ιΥ ( ιλ2
+
У
2
9
2а
0.
Отсюда видно, что условию задачи удовлетво-
ряет тройка чисел (х, у, ζ), если — + — = 0,
откуда а
1_
3
Ответ: при а = -— .
3
213. Решение. Нетрудно заметить, что
log3 (4 - |sin адс|) > 1, a cos πχ— < 1.
Следовательно, равенство выполняется при
условии cos
π
πχ —
Если cos
π
πχ —
4
= 1 и Isin ax\
= 1, το πχ = 2πη, откуда
4
χ= l· 2η, η е. Ζ, и поскольку х е [4; 5], то
4
17
χ = — — единственный корень.
Значения а е (3; 5) находим, решив уравнения
sin-
17α
4
17α
• 217α Λ 21Ча п
= 1, или sin = 1, откуда cos = 0,
. 17α π 2ι,. , „ .
cos = 0, = — + πη, т. е. α = —(1 + 2п),
4 4 2 17 '
η е Ζ.

222 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
2π
По условию α е (3; 5), т. е. 3 < —(1 + 2п) < 5,
51-2π 85-2π
или < η < .
4π 4π
Так как η е Ζ, то подходят значения
2π,ι ^о лч 18π
a, = —(1 + 2 · 4) = ;
1 17V ' 17
2к<л ^о кч 22π
α2= Γ7( )=ТГ''
2π,. . „ _ 26π
α,= — (1 + 2-6) =
3 17ι
Тогда α1 + α2 + α3 =
17
66π
ΤΓ
(получены при η = 4; 5; 6).
Ответ:
66π
ΤΓ
214. Ответ: arccos 0,8.
215. Ответ: нет корней.
Указание. Преобразовать уравнение к виду
logx+3(x3-7x + 5)
3, и т. д.
logI+3(x-3)
216. Решение.
I способ
Пусть в ААВС (Z С = 90°) ОМ = ON = ОК = г—
радиус вписанной окружности. Так как ААВС

Раздел //. Ответь/. Указания. Решения: 10 класс · 223
прямоугольный, то АВ — диаметр описанной
окружности, тогда АВ = 2R.
Известно, что SA = ρ ■ г, где ρ — полупериметр.
По свойству касательных, проведенных из одной
точки к окружности, имеем АС + ВС = 2г + АВ,
тогда S = -(2г + 2АВ)г = (г + АВ)г = (г + 2R)r.
Итак, S = (2R + г)г, ч. т. д.
II способ
Так как ААВС прямоугольный, то АВ = 2R,
тогда S = —АС · ВС. Пусть АС = х, ВС = у, тогда
S = —ху.
2
Из ААВС х2 + у2 = 4R2. (1)
Известно, что г = —{х + у - 2R), откуда
χ + у = 2(R + г). (2)
тх /1ч /оч \x2+y2=4R2,
Из (1), (2) имеем систему <
[x + y = 2(R + r).
Из I уравнения имеем (х + у)2 - 2ху = 4R2, или,
учитывая (2), получим 4(i? + г)2 - 2ху = 4R2,
откуда -ху = (R + г)2 - R2, или S = r(2R + г), ч. т. д.
ΊΧ7. Ответ: χ = 0.
Указание. Записать уравнение в виде
(4*)3 - (З*)2 = 3((4*)2 · 3' - 4х · (3х)2).
Далее обозначить 4х = а, 3х = Ь, ит. д.
5 5
218. Ответ: хл = — , х9 = — .
1 3 2 4

224 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-П классы
219. Ответ:
9-V417 11-л/485
и
и
12 14
13 + >/449 9 + V417
14 12
220. Ответ: χ = 4,у = 4, ζ = 1.
Указание. Учесть, что 10 < ^xyz < 31, тогда
ζ < 3, т. е. ζ = 1; 2; 3, и т. д.
221. Решение. ОДЗ: 0 < χ < 4. Запишем уравне-
ниев виде (х - l)Jx = 2 у]х2-2х + 2 - \J4-x . (1)
Возведем обе части (1) в квадрат:
(х - 1)2х = Цх2-2х + 2) + (4 - х) -
-4yj(x2-2x + 2)(4-x) ,
или 4 yj(x2 -2х + 2)(4 - х) = -х3 + 6х2 - 10* + 8 + 4.
Но -х3 + 6х2 - 10* + 8 = (х2 - 2х + 2) (4 - х),
тогда получим
4yj(x2-2x + 2)(4-x) = (χ2 - 2х + 2) (4 - х) + 4. (2)
Пусть лДя2 -2х + 2)(4 -х) = у, где у > 0, тогда
уравнение (2) преобразуется к виду у2 - 4у + 4 = 0,
или (у - 2)2 = 0, откуда у = 2.
Учитывая замену, имеем (х2 - 2х + 2) (4 - х) = 4,
или х3 - 6х2 + 10* - 4 = 0. (3)
Заметим, что χ = 2 — корень уравнения (3),
тогда получим (х - 2) (х2 - 4х + 2) = 0, откуда х1 = 2,
х0„ = ζ ± л/3 . Найденные корни удовлетворяют
ОДЗ, значит, являются корнями исходного
уравнения.
Ответ: хх = 2, х2 3 = 2 ± л/3 .

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 225
222. Ответ: χ =
Указание. Преобразовать уравнение к виду
(х - I)3 = 7л;3, откуда х- 1= V7 χ, и т. д.
223. Ответ: (-1; 0), (1; 2).
Указание. Умножить и разделить левую часть
второго уравнения на -Jy - у/у-2х . В результате
упрощения получим систему уравнений
\4y+yjy-2x = -j2,
^Jy-y}y-2x=-j2x.
Далее сложить уравнения системы, получим
у = —(1 + х)2. В этом случае I уравнение исходной
системы примет вид
(л \
-il + xf-x
13
7л;4 + 6, и т. д.
224. Ответ: (3; 1), (1; 3).
225. Решение.
На плоскости хОа
изобразим
множество пар (х, у), для
которых
выполняется данное
неравенство. Искомые
значения а0
характеризуются тем,
что отрезок прямой
а = а0 при χ е [2; 3]
полностью принад-

226 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
лежит заштрихованной области, что достигается
f 1 Л
при α е
Ответ:
;б
f 1 «Л
V6
226. Решение. Заметим, что Ах2 + Ах + 3 =
= (2х + 1)2 + 2 и х2 - Ах + 6 = (2 - xf + 2, тогда
V(2x + l)2+2 ■ arctg (2л; + 1) -
- ^/(2-л;)2 + 2 · arctg (χ - 2) = 0.
Функция /(ί) = Vi2+2 · arctg i монотонно
возрастающая. Следовательно, последнее равенство
означает, что при tl = 2х + 1 и t2 = χ - 2 значения
функции совпадают, что возможно при условии,
если t1 = t2, т. е. 2х + 1 = χ - 2, откуда χ = -3 —
корень исходного уравнения.
Ответ: χ = -3.
227. Ответ:
a2 sin2 2α cos α
sin2 3α
228. Ответ: f(x) = —(32* - 29),
A. L·»
g(x) = --(Ax+15).
4
229. Решение. Так как 16 + 6х - х2 = 25 - (х - З)2,
то log5(16 + 6х- х2) = log5 (25 -(х- З)2)< log5 25 = 2.
Кроме того, tg2 — + ctg2 — > 2.
4 4
Следовательно, обе части уравнения
одновременно выполняются лишь при χ = 3, так как
tg2^=tg2^=tg2
4 4
f
π--
π
fc/
= tg2- =lHCtg2—- = 1.
4 4
ν 4
Итак, * = 3 — корень исходного уравнения.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 227
230. Ответ: 4.
231. Решение. Из условия следует, что χ > 0 и
9л;2 - 1 > 0, откуда χ > —.
Запишем уравнение в виде
1 + -* --»-. ,1)
ΊΟΤ^ϊ авх
Существует единственное значение 0 < t < —,
такое, что χ = , тогда у!9х2 -1 = J 5—1 =
3sini Vsin t
cost Л . („ π
, где cos t > 0, sin ί > 0, так как t е. 0; — .
sinf ^ 2)
В этом случае уравнение (1) примет вид
л , sini 35 . ^
1 + = —sin t, если
cosf 12
12 (cos ί + sin t) = 35 sin f cos t. (2)
Пусть sin t + cos ί = у, тогда у2 = 1 + 2 sin i cos ί,
откуда sin ί cos t = —(у2 - 1), и уравнение (2) пре-
35
образуется к виду 12у = —(у2 - 1), или 35у2 -
5 7
- 24у - 35 = 0, откуда у1 = --, у2 = -.
7 5
Поскольку t e
°;2
π^ 7
, то у > 0, тогда ι/
5
Получим систему уравнений
7
sini + cosi = —,
5
■ * + 12
sinicosi = —,
5

228 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
откуда находим
Так как χ =
'3
sini = —,
5
4
sini =—.
5
3sini
Ответ: х, = —, χ,
1 g 2
1 g 2
_5_
12'
12
232. Ответ: (см. рис.)· Пятиугольник
KMENF — искомое сечение.
233. Ответ: 1.
Указание. Установить, что данное число —
корень уравнения х3 + Зх - 4 = 0.
234. Ответ: χ = 2.
Указание. Исходное уравнение записать в виде
г
50505
131313
+
121212
131313
= 1.
(1)
Далее исследовать на монотонность функцию в
левой части уравнения (1), и т. д.
235. Ответ: -1.
Указание. Привести выражение к виду
Ve/i3-i)3 - ^/Ϊ3

Раздел //. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 229
236. Ответ: 8833 = 882 + ЗЗ2.
Указание. Имеем ххуу = 1100л; + Ну. По
условию 1100л; + Ну = (Их)2 + (Ну)2, или 99* + (х + у) =
= 11(л;2 + у2). Значит, χ + у кратно 11, и т. д.
237. Ответ: 35.
ЛТ п(п-3)
Указание. , где η — число диагоналей.
238. Ответ: (0; 0), (-4; 2), (-2 - V2; 2 + V2),
(-2+ V2; 2- V2).
239. Решение. Графики функций у = sin χ и у = ах
проходят через начало координат и симметричны
относительно начала координат. Следовательно,
число корней данного уравнения нечетно, а 2010 —
четное, ч. т. д.
240. Решение. Заметим, что выражение в I
скобке есть сумма (п + 1) членов геометрической
прогрессии, где Ъх = 1, q = 10, Ъп = 10", тогда
sn = ^LA = I (ю- -1).
q-l 9
Значит, данное число можно представить в
виде
10п+1-1
— · (10п+1 + 35) + 36, или
(10η+1-1)(10η+1+35) + 9·36 =
9
102(η+1)+34·10η+1-35 + 324 =
9
= 102(п+1)+34 10п+1+172 = (10п+1+П^9
9 I 3 ,
Поскольку 10п+1 + 17 кратно 3, то искомое
число есть точный квадрат, ч. т. д.

230 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
241. Ответ: 1) 20 рублевых и 20
четырехрублевых; 2) 28 рублевых, 9 четырехрублевых и
3 двенадцатирублевых.
242. Указание. Если sin χ + cos x = 1, то
sin л; cos л; = 0. Далее использовать формулу
а5 + Ь5 = (а + Ь) (а4 - а3Ь + а2Ь2 - аЪ3 + Ь4).
243. Ответ: 23.
244. Ответ: х3 + х2 + χ + 2013 = -91 (χ + 7)3 +
+ 716 (χ + If - 510 (χ + 7) + 1712.
Указание. Имеет место тождество
х3 + х2 + χ + 2013 = А (х + 7)3 + В (х + 7)2 +
+ С (х + 7) + D.
Далее раскрыть скобки и сравнить
коэффициенты при одинаковых степенях.
245. Ответ: xh2 = ±2.
Указание. Учесть, что (2+73)(2-73) = 1,
и т. д.
246. Решение. Пусть х1 = у, тогда х2ь = у4, х21 = у3.
Имеем 2у + у4 = Зу3, или у(у3 - Зу2 + 2) = 0, или
У (У - 1) (У2 ~ 2у ~ 2) = 0, откуда ух = 0, у2 = 1, уЗА =
= 1 ± л/3 . Тогда Xj = 0, х2 = 1, хЗА = ^Ι + λ/з .
247. Ответ: (х2 + χ + 1) (χ2 - а: + 1) (χ2 + 1) ·
• (χ4 -χ2+ 1).
248. Решение. Запишем данное уравнение в виде
х2+9у2 } 18ху _6
2xt/ х2+9у2
х2+9и2 9
Пусть — = ί, тогда (1) примет вид ί + — =6,
2ху t
χ2 + 9υ2
или (ί - З)2 = 0, откуда t = 3, тогда — = 3,
2ху
или (х - Зу)2 = 0, х = Зу.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 231
Следовательно, данное выражение запишется в
виде (х - 7)2 + Зху = (х - 7)2 + х2 = 2х2 - Ых + 49.
Поскольку графиком квадратного трехчлена
является парабола, то наименьшее значение
данного выражения достигается в вершине параболы
при хп = -— = 3,5.
0 2а
Ответ: 3,5.
249. Ответ: г = (7з - л/2)(7з + 1).
Указание. Доказать, что треугольник
прямоугольный.
250. Ответ: (0; 1) и (1; *tfl0 ).
251. Указание. Запишем данное число в виде
(29" - 16" + (19" - 6П) + (15п - 2").
Поскольку разность одинаковых степеней
делится на разность оснований, то каждое из чисел
в скобках делится на 13, а значит, и данное число
кратно 13, ч. т. д.
252. Решение. Так как а + Ъ + с = 0, то
а2 + Ъ2 + с2 = -2 (аЪ + ас + be). (1)
Возведем обе части (1) в квадрат:
(а2 + Ъ2 + с2)2 = Ца2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2 + 2а2Ъс +
+ 2аЪ2с + 2abc2), или
(а2 + Ъ2 + с2)2 = Ца2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2 +
+ 2аЪс(а + Ъ + с)), или
(а2 + Ъ2 + с2)2 = Ца2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2). (2)
С другой стороны, (а2 + Ъ2 + с2)2 = а4 + ft4 + с4 +
+ 2(а2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2). (3)
Из (2) и (3) получим
4(а2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2) = а4 + Ь4 + с4 +
+ 2(а2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2), откуда 2(а4 + Ь4 + с4) =
= а4 + Ь4 + с4 + 2(а2Ь2 + а2с2 + Ъ2с2),
или 2(а4 + Ь4 + с4) = (а2 + Ъ2 + с2)2, ч. т. д.

232 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
253. Ответ: χ = -1.
Указание. Умножить обе части уравнения на 4,
а затем вычесть по единице.
254. Ответ: (-1; -2), (2; 1).
Указание. Умножить обе части II уравнения
на 4, а затем вычесть из I уравнения системы
полученное.
255. Ответ: х, = 1, х,= — .
1 2 g
Указание. Привести данное уравнение к виду
(3* + 1)2 3* + 1 _
— = 8 · —j= 16, л; > 0.
X у/Χ
(3* + 1)2
Далее замена = у, и т. д.
л;
256. Ответ: (1; 1), (9; 3).
257. Указание. Показать, что выражение
(2р + 2)(2р + 1)-2/? = 2/>0> + 1)(2/> + 1) _ число
1-2-3 3
целое.
Но по условию задачи ρ и 2р + 1 — числа
простые, значит, /> + 1 делится на 3, а поэтому 4р + 1 =
= 3/? + (р + 1) — число составное, ч. т. д.
χ2 — 3# + 4
258. Указание. Заметим, что -
'х + 2* Г ^Л2
49
ч2
7х
. χ + 2 может делиться на 7
только в том случае, когда χ делится на 7, а 7х
может делиться на 49 только в том случае, если χ
делится на 7. Аналогично доказывается в
остальных случаях.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 70 класс · 233
259. Ответ: 7 ху (х + у) (х2 + ху + у2)2.
97
260. Ответ: —Ш8 .
6
261. Ответ: (УЗ - V2)(^/81 + ^/72 +4).
262. Ответ: (х + у + ζ)3 = 27 xyz.
Указание. Записать уравнение в виде у/х + \]у =
Далее возвести обе части в куб, используя фор-
мулу(а + Ь)3 = а3 + Ъ3 + 3 аЪ (а + Ъ).
«/«« ,, пгт 1+2+..,+п
263. Указание, yl-2-...-n < =
η
п(п + 1)
2Г-,ИТ-Д·
264. Решение, п5 - η = п(п2 - 1) (п2 + 1).
Если η не делится на 5, то число имеет вид
5k ± 1, 5k ± 2, тогда п2 = (5k ± I)2 = 25fe2 + 10fe + 1 и
η2 = (5k ± 2)2 = 25fe2 ± 20fe + 4, т. е. п2 - 1 кратно 5,
или п2 + 1 кратно 5. Значит, либо п2 - 1, либо п2 + 1
делится на 5.
265. Решение. Неполное частное
7·19α·29-39 .. л , За + 2
χ = = 94а - 1 + .
41 41
Наименьшее натуральное а, при котором
— целое число, а = 13. При этом х = 1222.
41
Значит, искомое число будет равно
(1222-41+ 39): 29 = 1729.
266. Решение. Вычитая —(17-13) = 2 из каж-
2
дого члена ряда, получим -15 + 15-15+15-

234 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
- 15 + 15 - ... Следовательно, п-й. член данного
ряда равен 2 + 15 ■ (-1)".
267. Указание. Пусть а = tg А, Ъ = tg В, с = tg С,
тогда по формуле тангенса разности получим
а-Ъ Ъ-с с-а ....
- + -—γ- + ί : =0, или (а-Ь)(Ь-с)(с-а) = О,
1 + аЪ 1 + Ьс 1 + са
откуда и следует, что исходный треугольник
равнобедренный.
Замечание. Можно было воспользоваться
соотношением А + В + С = π.
268. Ответ: х12 = -1 ± V2 .
Указание. Привести уравнение к виду
У + аЛ
yx-l j
2
2
х-1
тт χ2+Χ
Далее замена = у, и т. д.
х-1
269. Решение. Умножим обе части данного
равенства на ху/х - у/х3 -1 , тогда после упрощений
получим
Уу[у + №-1 =*Jx -у/x'-I. (1)
Аналогично, умножая обе части на
У Jy ~ Vp-11 получим
xyfx + ylx3-l =yyfy - <Jya-l. (2)
Складывая (1) и (2), имеем
2 (V*3-l + yjy3-l) = 0, откуда
yjx3-l + yjy3-\ = 0, ч. т. д.
270. Решение. Заметим, что tg 25° · tg 35° =
= tg (30° - 5°) ■ tg (30° + 5°) =

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 10 класс · 235
tg30°-tg5° tg30° + tg5°
l + tg30°tg5° l-tg30°tg5°
= tg230°-tg25° = l-3tg25°
l-tg230°tg25° 3-tg25° '
„ . 1K. sinl5° sin(3-5°)
Кроме того, tg 15 = = - -.
cos 15° cos (3-5°)
Ho sin (3 · 5°) = sin 5° ■ (3 - 4 sin2 5°) и cos (3 · 5°) =
= cos 5° · (4 cos2 5° - 3), тогда tg 15° =
4 ι 1
= tg5.W5°-l=tg5.. l + tg25° =
tg5°
4cos'5°-3
3-tg25c
l + tg25c
l-3tg25°'
Следовательно, tg 15° · tg 25° · tg 35° ■ tg 85° =
3-tg25° l-3tg25°
l-3tg25° 3-tg25c
tg 5° · tg 85° = tg 5° · ctg 5° = 1, 4. т. д.
^■^w^·*86'
271. Решение. Пятизначные числа,
оканчивающиеся цифрой 6, делятся на 3 в том и только
в том случае, если четырехзначное число,
полученное при отбрасывании последней цифры,
делится на 3. Четырехзначных чисел будет всего
9999 - 999 = 9000. Заметим, что каждое третье
из них делится на 3. Значит, существует 3000
четырехзначных чисел, кратных 3, и ровно столько
же пятизначных чисел, которые оканчиваются
на 6 и делятся на 3.
272. Решение. Заметим, что χ = — — корень
о
уравнения. Докажем, что других корней исход-

236 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
ное уравнение не имеет. При χ > - — функции
о
ух (х) = 8х и у2(х) = Зя + 1 принимают
положительные значения и возрастают, значит, левая
часть уравнения также является возрастающей
( 1 Ί
функцией. Тогда на промежутке —; + оо урав-
V 3 )
нение не может иметь более одного корня. Далее
при χ < -— имеем уг(х) > 0, у2(х) ^ 0.
3
( 1"
Значит, ух (х)' у2 (х) < 0, т. е. на -со; —
ν 3

уравнение не имеет корней.
Итак, χ = — — единственный корень уравнения.
о
Ответ: χ = — .
3
273. Решение. При делении на 3 квадрат
целого числа дает остаток 0, если число делится на 3,
и остаток 1, если число не делится на 3. Если бы
ни а, ни Ъ не делились на 3, то остаток от деления
числа а2 + Ъ2 на 3 был бы равен 2, что в силу
приведенного выше замечания невозможно, так как
сумма а2 + Ъ2 равна по условию с2. Следовательно,
по крайней мере одно из чисел α и Ъ делится на 3,
ч. т. д.

Разлел П. Ответы. Указания Решения: 11 класс · 237
11 класс
1. Указание. Учесть, что а3 + Ь3 + с3 = 3 аЪс, и т. д.
1 1 1
2. Решение. Заметим, что
п(п + 1) η п + 1
тогда данное уравнение примет вид
1111
+ +
х + 2009 х + 2010 х + 2010 х + 2011
1111
+ +
х + 2011 х + 2012 х + 2012 х + 2013
1 111
или
999999 л;+ 2009 χ+ 2013 999999
4 1
(χ + 2009)(χ + 2013) 999999
Пусть χ + 2011 = у, тогда получим
у2 = 4 (999 999 + 1), или (х + 2011)2 = 4 · 106,
откуда χ + 2011 = ± 2000.
Значит, х1 = -11, х2 = -4011.
Ответ: х1 = -11, х2 = -4011.
3. Ответ: -4; ± 3; 6.
Указание. Запишем уравнение в виде
(х + 4)(х-2) к , л Злг + 4 п л;2-Зл;-18
2 ! L - 5 + 1 - — = 0, ИЛИ V
х + 2 х2-Ы х + 2
з?-Зх-18
л;2-14
тель за скобки, и т. д
+ 2—7Ζ— = ®· Далее вынести общий множи-
4. Указание. 2(х3 + у3) = (х3 - х2у + ху2 + у3) +
+ (х3 + х2у - ху2 + у3), а сумма а5 + Ъь делится на
а + Ь, где а = х3 - х2у + ху2 + у3, Ъ = х3 + х2у -
- ху2 + у3.

238 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
5. Решение. Пусть log7 π = α, тогда π = 7α. (1)
Аналогично log5 π = β, тогда π = 5β. (2)
Из (1) и (2) => π1/α = 7; π1^ = 5, или π1/α ■ π1^ = 35,
или π1/α + 1/Ρ = 35 > π3, или — + - > 3.
α β
Так как α = log7 π и β = log5 π, то получим
+ > 3, ч. т. д.
log7 π log5 π
6. Решение. Пусть α (3х; 3"; Зг) и 8(1; 1; 1),
тогда α · ft = 3х · 1 + 3" · 1 + Зг · 1 = 9; |d| =
= J(3x)2+(3y)2+(32)2 = у/9х+9у+9г = V27 =373;
\b\ = Vl + 1 + 1 = V3 и a · b =\α\·\8\ = 9.
3X 3y 3Z
Имеем — = — = —, откуда 3х = Зу = Зг,
т. е. χ = у = ζ. Учитывая I уравнение исходной
системы, имеем 3х + Зу + Зг = 9; 3х = 3, χ = 1, тогда
у = ltz=l.
Ответ: (1; 1; 1).
7. Ответ: 1ху (х + у) (х2 + ху + у2)2.
h Ih
8. Ответ: . , где α < 3ft.
V3ft-a
9. Решение. Известно, что если даны векторы
χ = (*ι; у ι) и у = (х2; у2), то χ · у = ххх2 + уху2
и|х|= 4х1+у1 » \у\= у1х1+у\ ·
Так как χ · у =\х\\у\ cos γ, где cos γ = 1, то
\х ' у\<\х\ \у\.
Следовательно, ххх2 + уху2 < yjxl + у2 · yjx2 +y2 .
Аналогично для трехмерного пространства
ххх2 + уху2 + zxz2 < yjxl+yl+zl · yjx22+y22+z22 . (1)

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 239
Пусть x(yj2a + l; 72Ь + 1 ; 72с+ 1), у =(1;1; 1).
Согласно (1) имеем 72а+ 1 + 72& + 1 + 72с+ 1 <
<>/2а + 1 + 2Ь + 1 + 2с + 1 · 7з = 72(а + Ь + с) + 3 · 7з =
= 7212+3 ■ 7з = 78Ϊ = 9.
Итак, 72а+ 1 + 72Ь + 1 + 72с+ 1 < 9, ч. т. д.
7
10. Ответ: — (х2 + ху + у2).
5
11. Решение. 7п+2 + 82n+1 = (7rt+2 + 7" · 8) + (82π+1 -
- 7" · 8) = 7"(72 + 8) + 8 ((82)" - 7") = 57 · 7" +
+ 8 (64" - 7"). Поскольку 64" - 7" кратно разности
64 - 7 = 57, то и данное выражение кратно 57.
12. Решение. После возведения в п-ю степень и
приведения подобных членов, получим
(V2 -1)»=А>/2 -В,
где Aw. В — целые числа.
Далее доказать, что (V2 + 1)" = AV2 + В.
Перемножив полученные равенства, имеем
1 = (72 - 1)" · (>/2 + 1)" =2А2 - В2, или
В = у12А2 -1, а это и дает требуемое
представление (72 - 1)" = 72А1 - 72А2-1, ч. т. д.
13. Ответ: 1.
14. Решение. Простое число может иметь
следующий вид: ρ = 3, ρ = 3k + 1, ρ = 3k + 2. Если
ρ = 3, το ρ + 10 = 13 и ρ + 14 = 17 удовлетворяют
условию задачи.
Если/? = 3fe + 1, тор + 10 = 3fe + 11 ир + 14 =
= 3k + 15 — число составное.
Если /> = 3k + 2, то ρ + 10 = 3fe + 12 — число
составное, значит, ρ = 3.
Ответ: ρ = 3.

240 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
15. Решение. ^2 + л/б = W--8(2 + л/б) =
= -^16 + 8л/5 = -^l + 3x/5 + 3(V5)2+(x/5)3 =
= 1з/(1 + л/5)3 =|(1+ V5).
Ответ: —(1 + л/5).
16. Ответ; х1 = 0, х2= 240/289.
Указание. Умножить обе части уравнения на
yjl + x + 1.
17. Решение. Поскольку 2я2 + 2у2 = (х2 - ху +
+ у2) + (х2 + ху + у2), то сумма седьмых степеней
делится на сумму первых степеней.
18. Указание. Предварительно преобразовать
второе уравнение системы. В результате
получится система χ - у = 26, (х - у) (х + у) = 20, и т. д.
19. Ответ: (± 3; ± 2).
Указание. Возвести I уравнение в квадрат, из II
уравнения х2 + у2 = —. Далее возвести в квадрат
ху
и вычесть I уравнение.
71
20. Решение. Пусть χ = — - у, тогда
sin χ = sin
\'
cos у и
= sin 13л; = sin
Т~У
13
V ν
sin
J J
6n + ±-13y I =
π
= sinl--13y
cos 13y = f (cos y) = f (sin x).

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 241
Заметим, что число 13 можно заменить любым
целым числом вида 4п + 1.
21. Решение. Рассмотрим вектор й(х, у) и
u(Jy2-l; V*2-l ). Тогда |ΰ| = Jx2+y2 = 3 и
I уравнение системы примет вид
ΰ · ΰ = \й | · \ΰ|. (1)
Равенство (1) означает, что векторы й и ΰ кол-
линеарны, тогда W*2-1 = y^jy2 -1. (2)
Заметим, что функция /(#) = χ \1х2 -1
возрастающая на (-оо; 1), (1; +со), тогда из (2) имеем χ = у.
В этом случае II уравнение исходной системы с
учетом области определения уравнения примет
3
вид χ = у = -γ?.
(3 3)
Нетрудно проверить, что пара —=;—==■
является единственным решением системы.
( 3 3)
Ответ: —^;—^ .
{& 42)
22. Ответ: (-1; 3), (3; -1).
23. Решение. Если a, ft, с — стороны
треугольника, то α + ft > с (по неравенству треугольника),
и т. д. Следовательно, (>/а +\[b)3>a + b>c =
= (\[с)3, откуда у[а + ЩЬ > ус . Аналогично
рассматриваются остальные случаи проверки
неравенства треугольника. Значит, отрезки с длинами
yfa , \[b и у[с также образуют треугольник.
24. Ответ: χ е (1; +оо). Исследовать функцию
f(x) = Зх7 - χ4 + χ - 3 с помощью производной.

242 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
25. Указание. ill 2 3 ...п < 1 + 2 + -·· + η =
η
η(η + 1)
26. Ответ: х12 = ± 1.
V ό J
< —, откуда
о
27. Указание, arccos
372 <х<6.
Ig2
28. Ответ: χ = .
Ig3
Указание. Прибавить и вычесть х2, тогда
(^2 +х)2 = (х + 3)2, и т. д.
29. Ответ: χ = 0.
Указание. Записать уравнение в виде (3х)3 -
- (2х)3 = 3 · (2х · (3х)2 - 3х · (2х)2).
Далее замена 2х = а, 3х = Ь, и т. д.
30. Решение. Пусть в роще всего χ деревьев.
Опишем вокруг каждого дерева круг радиуса 6 м.
Согласно условию, эти круги не пересекаются и
расположены в круге радиуса 258 + 6 = 264 м.
Следовательно, площадь большого круга не меньше
суммарной площади маленьких. Имеем
неравенство π · 2642 > π ■ б2 · х, или χ < 442 = 1936 < 2013,
ч. т. д.
31. Ответ: хх = 1, х2 = 4.
Указание. Прологарифмировать обе части
уравнения, например, по основанию 10.
32. Указание. Достаточно показать, что данное
выражение делится одновременно на 7 и 9. Далее
рассмотреть 2 случая: 1) η = 2k; 2) η = 2k + 1.

Раздел //. Ответы. Указания. Решения. Π класс · 243
33. Решение. Пусть χ = sin α, у = cos α, тогда
χ2 + у2 = sin2 α + cos2 α = 1. В этом случае I
уравнение системы примет вид sin4 За + cos4 За = 1,
или (sin2 За + cos2 За)2 - 2 sin2 За cos2 За = 1, или
sin2 За = 0, или cos2 За = 0, т. е. sin За = 0, или
cos За = 0.
1. Если sin За = 0, то 3 sin а - 4 sin3 а = 0, или
sin а (3 - 4 sin2 а) = 0, sin а = 0, или 3-4 sin2 а = 0,
7з
2
а) если sin α = 0, то χ = 0, у = ±1;
7з 7з . ι
sin α =
б) если sin α = ±-
■, то хл „ = ± , у = ± —,
1,2 2 » 2
т. е. имеем 6 пар решений.
2. Поскольку исходная система является
симметрической, то существует еще 6 пар решений,
так что имеем всего 12 пар решений.
ι VT
Ответ: (±1; 0),
(0; ±1),
+^+
?,
\s
+ -1—
2
Ж\
2
(
У ν
V
+—
2,
Г
V
*2;Τ,2
^7з _ι
J
34. Ответ: (4; 2), (9; -3), (1; 1).
35. Решение. Так как |sin дс| < 1, то данное урав-
sinjc = l,
нение равносильно системе \ sin7 x = l,
-sin7jc = l.
Из I уравнения имеем χ = l· 2πη, η е. Ζ.

244 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-77 классы
Полученное решение удовлетворяет II и III
уравнениям системы, так как sin7* = (sin x)7 =
( (π \
sin
— + 2πη
V ν2 j
7
■ (7π ΛΑ λ
-sin7JC = -sin 1-14тш
= cos7 2nn = 1,
= cos 14πη = 1.
тс
Итак, χ = — + 2πη, η & Ζ.
2
36. Решение. Пусть f(x) = χ3 + 2χ + 10.
Заметим, что данное уравнение имеет вид f(f(x)) = χ.
Так как f(x) = Зх2 + 2 > 0 при всех χ е R, то
функция f(x) является возрастающей на всей числовой
прямой. Следовательно, данное уравнение
равносильно уравнению f(x) = χ, т. е. уравнению
х3 + 2х + 10 = х, или χ3 + χ + 10 = 0,
(х3 + 8) + (х + 2) = 0;
(х + 2) (х2 - 2х + 4) + (х + 2) = 0,
(я + 2) (я2 - 2я + 5) = 0, откуда χ = -2.
Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 не имеет
действительных корней (D < 0).
Ответ: χ = -2.
37. Указание. Выразить левую часть равенства
через первый член Ъх и знаменатель прогрессии q,
и т. д.
38. Решение. Запишем уравнение в виде
χ - 13 = (13 + х2)2, откуда J χ -13 = 13 + χ2. (1)
Пусть /(я) = 13 + χ2, тогда χ = *Jf -13 ,
т. е. #(*) = V*-13 , или #(*) = /(я), тогда f(x) = χ,
т. е. 13 + х2 = χ или х2 - χ + 13 = 0.
Полученное уравнение, а значит, и исходное,
корней (действительных) не имеет, так как D < 0.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 11 класс «245
Замечание. Уравнение χ - 13 = (13 + χ2)2 можно
решить иначе. Так как 13 + х2 > О при всех χ & R,
то χ > 13. Но при χ > 13, (13 + χ2)2 > χ - 13, так
что равенство я-13 = (13 + х2)2 не может
выполняться ни при каких х, т. е. исходное уравнение
не имеет корней.
Ответ: нет корней.
39. Решение. Пусть f(x) = 6 tg3 x - 5, тогда
tg χ = W-(tgx + 5), τ. e. g(x) = N-(f(x) + 5) —
обратная функция (правая часть исходного
уравнения). Тогда g(x) = f(x), где f(x) — монотонно
возрастающая на области определения. Значит,
f(x) = g(x) => f(x) = χ, или 6 tg3 χ - 5 = tg χ,
6tg3x- tgx-5 = 0. (1)
Пусть tg χ = у, тогда (1) примет вид
6у3 - у - 5 = 0.
Очевидно, что у = 1 — корень полученного
уравнения,тогда
6у(у2-1)+5(у-1) = 0,
(у-1)(6у2 + 6у + 5) = 0,
откуда у = 1 — единственный корень, так как
уравнение 6у2 + 6у + 5 = 0 не имеет
действительных корней (D < 0).
71
Если у = 1, то tg χ = 1, χ = — + πη, η & Ζ.
4
it
Ответ: х = — + πη, η & Ζ.
4
40. Ответ: χ = 0.
Указание, χ = 1 не является корнем. Далее
умножить обе части уравнения на (х2 - 1) φ 0.
В результате получим (х3 - 1) (я13 - 1) = (xs - I)2,
и т. д.

246 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
41. Решение.
\х>0,
, (х + 2)(х2-2х + 4)
Тогда у = 1 · - +— , или
χ -2х+4
у = χ + 2 (см. рис.).
42. Решение. Заметим, что корнями уравнения
О
5х2+ - = 3^5 являются абсциссы точек
пересечете
ния или касания графика функции f(x) = 5х2 + —
χ
и прямой у = 3^/5 . Найдем промежутки
монотонности функции у = f(x) и точки ее экстремумов.
fix) = 10х =-,
χ
f(x) = 0, или
2(5х3-1)
χ
= 0,
откуда χ = —==■, χ *0.
Πχ)
/(*)-
+
-· ►
ι ,
</5
Итак, f (х) > 0 при χ > -==; f(x) < О при χ < О
3/5
и 0 < х<
3S

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 247
Следовательно, функция у = f(x) убывает на
промежутках (-оо; 0) и
З/δ.
и возрастает на
1 ^
л/5
χ = -η=τ — точка минимума функции,
3/5
( л \
тогда ушп = у
= 1^ = 3^5,
v3/5y
= 5
25
+ 23/δ
15
25
Таким образом, число ЗЗ/δ является корнем
ρ
уравнения 5х2 + — = 3 3/5 , и при χ > 0 неравенство
χ
выполняется лишь в точке минимума. Поскольку
2
функция f(x) = 5х2 4- — непрерывна и убывает на
χ
(-со; 0), то если мы найдем точку х0 е (-со; 0),
такую, что f(x0) = 33/5 , то решением исходного
неравенства будет интервал [х0; 0). Значит, если
точка х0 существует, то она является корнем
ρ
уравнения 5х2 + - = 3^5 и равносильного ему
χ
уравнения 5х3 - ЗЗ/бχ + 2 = 0.
Разделив многочлен 5х3 - 3^/5 χ + 2 на двучлен
3/5 χ - 1, получим
5x3-33/5x + 2 = (3/5x-l)(5x2+ 3/25х- 23/б~) = 0.
Так как 5л;2 + 3/25*-23/б = (З/бх - 1)(3/25 χ +
р
+ 23/δ), то я0 = --,= . Следовательно, решением
3/5

248 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
исходного неравенства являются все числа из
промежутка
2 ^
^/5'°у
Ответ:
2
\
;0
и
1
*/5' ) №Г
43. Решение. Поскольку 27 = ху + yz + xz >
> ЗЩхуг)2 , xyz = χ + у + ζ + 18 > 4^18xyz , то из
первого неравенства имеем xyz < 27, а из второго,
с учетом того, что xyz > 0 (по условию), получим
xyz > 27. Значит, xyz = 27, откуда χ = у = ζ = 3 (из
неравенства между средними).
Ответ: (3; 3; 3).
71
44. Ответ: χ = — + 2πη, η > 2.
2
Указание, х-2 + 2yjx-3 = (χ - 3) + 2Vx-3 + 1.
После преобразований решить уравнение sin x=l,
где χ > 3.
45. Ответ: нет решений. Преобразовать
неравенство к виду 2|#| - χ < -0,5. Далее рассмотреть
два случая: 1) χ > 0; 2) л; < 0.
46. Указание. Предварительно доказать, что
sin3л; + cos3л; = — (3 - а2), тогда sin5* + cos5* =
= (sin3 x + cos3 χ) (sin2 χ + cos2 χ) - sin2 2x cos2 я ·
• (sin* + cos*), где sin2* cos2* = —sin2 2* = —(a - l)2,
4 4
ит. д.
47. Ответ: \-2^2\ 0) u (0; 2V2].
48. Ответ: [3; 5,25].

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 17 класс · 249
49. Решение. В силу того, что |sin α| < 1 и |cos α| < 1,
имеем неравенство
(sin (χ - у) + 1) (2 cos (2х - у) + 1) < 6,
причем равенство выполняется, если
sin (χ — у) = 1 и cos (2х - у) = 1.
Следовательно, исходное уравнение
равносильно системе
\sin(x-y) = l,
\cos(2x-y) = l;
х-у = — + 2πη,
2 η, τη e Ζ.
2x-y = 2nm,
Решая полученную систему (например,
вычитанием), находим
χ = — + 2(тп - η)π = 2nk - —,
2 V 2
у = (2(m - 2ή) - 1)π = (2(fe - η) - 1)π + (21 + 1)π.
50. Решение. Заменяя χ на —, получим
χ
5/
\χ )
= 3 f(x) + yfx , где χ > 0.
Решая полученное уравнение с данным, имеем
5/(*)-3/
3/(*)-5/
ί-1
ν*/
ί-1
ν*/
1
yJX
= -yfx.
Умножив обе части первого уравнения на 5,
а второго на (-3), а затем почленно складывая,
получим 16 f(x) = —j= + 3yjx , χ > 0, откуда
/(*) =
5 + 3*
16>/ί

250 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
51. Ответ: (2~1/S; 21/"/з~).
52. Решение. Пусть у = χ - 2, тогда числа
уг = х1- 2, у2 = х2 - 2, у3 = х3 - 3 являются
корнями многочлена (у + 2)3 - 9 (у + 2)2 + За (у + 2) + а =
= у3- Зу2 + 3(а - 8)у + 7а - 28.
Согласно теореме Виета для кубического
уравнения, имеем
У1 + У2 + Уз = 3> У1У2 + УхУг + УгУз = 3 (а - 8),
У1У2У3 = 28 - 7а.
Кроме того, yl + у\ + у33 = 0, но у\ + у\ + у33 =
= (У1 + Уг + Уз)3 ~ 3(ί/ιί/2 + У1У3 + УгУз) (.Ух + Уг + Уз) +
+ 3 угу2у3, тогда получим 0 = З3 - 3 · 3 · (а - 8) · 3 +
109
+ 3 · (28 - 7а), откуда находим α =
Ответ: a =
16
109
16
53. Решение. 7 sin β = 6 sin β + sin β =
= sin (2α + β),
или 6 sin β = sin (2α + β) - sin β =
= 2 sin α cos (α + β). (1)
С другой стороны, 7 sin β = 8 sin β - sin β,
или 8 sin β = sin (2α + β) + sin β =
=2 sin (α + β) cos α. (2)
Разделив обе части (2) на (1), получим
δεΐηβ _ 28Ϊη(α + β)οο8α
θείηβ 28ΐηαοο8(α + β)
4
tg (α + β) ctg α = — , откуда 3 tg (α + β) = 4 tg α,
Ο
т. д.
54. Ответ: χ12 = 2 ± V9 + 4n2 , η = 0, 1, ... .
или

Разлел //. Ответы. Указания. Решения. 11 класс · 251
Указание. После упрощения получим
г- \х2-4х-5>0,
cos (πν* -4χ-5 ) = 1, или < ,
[nyjx2 - 4х - 5 = 2πη,
η = О, 1, ..., и т. д.
[х>6,5,
55. Решение. ОДЗ: ί , т. е. л; е [6,5; +оо).
1**4,
Запишем уравнение в виде
f iY~6
Vй/
+ χ - 6,5 +
2
2
+ τ-ί£^-.(ΐ)
я-4
+ 13,5= (* 2) + х, или
х-4 v«v
Заметим, что χ = 6 — корень уравнения (1).
Докажем, что других корней уравнение (1) не
имеет. Так как 0 < — < 1, то функция у =
(ι Υ~6
+ 7
vuy
убывает. Для функции у = найдем произ-
х-А
водную:
2(*-2)(*-4)-(*-2)2 1 _
(x-Af
= {х-2)(2х-Ъ-х + 2) = (х-2)(х-6)
(х-4)2 (х-А)2
Если л; > 6,5, то у' > О, значит, функция
(х-2)2
у = возрастает на [6,5; +оо). Следователь-
х-4
но, χ = 6 — единственный корень исходного
уравнения.
Ответ: χ = 6.

252 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
56. Решение. Рассмотрим функцию
χ
у = 1п(1 + х)-
1 + х
Заметим, что при χ > 0 функция возрастает,
так как при χ > О
1 1 1+Я-1 χ
У = 5" = Г = 5" > О,
У 1 + х (1 + х)2 (1 + х)2 (1 + х)2
а при χ = 0, у' = 0.
Значит, при χ > 0 выполняется неравенство
χ 1
In (1 + χ) - > 0. Полагая χ = -г—7Г» получим
1 + я 2012
, 2013 1/2012 , 2013 1
In——— - —— _ „ _ > 0, или In-—— >
2012 2010/2012 ' 2012 2013'
т. е. I число меньше П.
57. Ответ: нет корней.
Указание, arcsin χ + arccos = — .
2
58. Решение. ОДЗ. 4 - χ2 > 0, χ2 < 4, \х\ < 2.
Заметим, что левая и правая части
уравнения — четные функции, так как
(-xfyJA-(-xf = W4-*2 и
|-х|3 - 4|-х| + 4 V2 = |л;|3 - 4|ас| + 4 V2 .
Следовательно, для нахождения корней
исходного уравнения (если они существуют) достаточно
ограничиться нахождением положительных
корней, а затем указать в ответе противоположные
им значения. Тогда существует, причем
единственное, число t e
*1
, такое, что χ = 2 sin t,
при котором данное уравнение примет вид

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 253
4 sin21 · 2 cos t = 8 sin3 t - 8 sin f + 4 V2 , или
sin2 ί cos ί - sin3 t + sin ί =
S
2 42
V2 sin ί (sin t cos ί + cos21) = 1, или
' 1 . 1
, или
2 sin ί cos t
r-sint + —F=rCost
y/2 y/2
f πΛ
t + —
4
1, или
= 1, откуда sin 2t > О и
sin
π
t + —\ > 0 (так как ί e [0; π/4]), тогда
sin 2ί sin
V
sin2f = l, π π г
откуда ί = — и л; = 2 sin V2 .
sin(f + 7i/4) = l, 4 4
Следовательно, как указывалось ранее,
х = ~ы2 — также корень исходного уравнения.
Ответ: х12 = ±ы2 .
7ir3Ctg3
(
59. Ответ:
45°-
α
3sinacos2a
60. Решение. Заметим, что 4х2 - χ + V7 > 0 при
всех хеД (так как D < 0 и первый коэффициент
4 > 0). Тогда данное
неравенство равносильно нера-
log0,5(* + l)
венству
>0.
х-а
Для решения
полученного неравенства на
координатной плоскости (х; а)
найдем области, где
выражение, стоящее в левой

254 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
части неравенства, сохраняет знак, и определим
его. Границы этих областей задаются
соотношениями д: + 1 > 0, χ + \ = 1, т. е. χ = 0 и a = х. На
рисунке заштрихованы те области, координаты
точек которых удовлетворяют неравенству.
Ответ: при α е (-оо; —1], χ е(-1; 0);
при α е (-1; 0), χ е (а; 0);
при а = 0 решений нет;
при а е (0; +со), χ е (0; а).
61. Решение. ОДЗ:
-1;-
л/3-
U
0;
л/3
Заменой χ = sin α, где -— < α < —, уравнение
приводится к виду VI - sin2 α = 3 sin α - 4 sin3 α.
Но 3 sin α - 4 sin3 α = sin 3α ил/l - sin2 α = Icos α|.
Так как -— < α < —, то cos α > 0, тогда
2 2
sin 3α = cos α, или sin 3α - sin
2 sin
4
или cos
f
1) sin
π
—+ α
4
л
cos
Λ
( πΛ
α + —
4
ν
= 0
= 0, sin
(π λ
— α
U J
ίπ λ
ι --2α
U
/
= 0;
= 0,
*-2α
ν4 j
πη
0, — — 2α = πη, откуда
4
π ....
α = — - —, η е Ζ.
8 2
Тогда -— < — - — < —.
2 8 2 2

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 255
Решая полученное неравенство, находим
3 5
-— < п< —, т. е. η = 0; 1.
4 4
Если η = О, α = —; если η = 1, α = -—.
8 8
2) cos
π
—+ α
4
О, откуда l· α = — + πη,
т. е. α = — + πη, η & Ζ.
4
Следовательно, — < l· πη < —, -— < η < —,
2 4 2 4 4
π
η = 0, тогда α = —
π . π
а) α = —, χ = sin —
8 8
«ч 3π · '
ο) α = —, λ; = sin
8
и π
1-cos—
V2-V2
3π
8
-sin
2 8
1 + cos
π
4 _
π
-COS— = -ι
8
π . π V2
в) α = — , λ: = sin— =
4 4 2
V2 + V2
V2-V2 V2 + V2 V2
Ответ:
2 2 2
62. Решение. Согласно условию, искомое число
имеет вид 2abcde , тогда имеем abcde2 = 3 · 2abcde ,
или abcde · 10 + 2 = 3 · (2 ■ ΙΟ5 + abode).
Пусть abcde = Χ — пятизначное число, тогда
10Х + 2 = 3 · (2 ■ 105 + X), или 7Х = 6 · ΙΟ5 - 2,

256 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
X = 85 714, тогда исходное число будет равно
2abcde = 2Х = 285 714.
Ответ: 285 714.
63. Решение. Пусть 2 = t, где ί > 1, тогда
получим неравенство (а - b)t < a - 3.
Ha координатной плоскости (ί; α) изобразим
области, координаты точек которых
удовлетворяют соотношению t = 1 и (а - 6)ί = а - 3, откуда
3(2ί-1) _ 3 „
α = = 6 + . На рисунке нужная область
заштрихована. Следовательно, при a e (-оо; 6]
α-3λ
t e [1; +оо); при α е (6; +сс) t e
а-6
Учитывая замену, получим ответ.
Ответ: при α е (-со; 6), л; е [4; +со);
при α е (6; +оо), jc e
4;4 + log^
α-3
α-6

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 7 7 класс · 257
18
64. Решение. Пусть f(x) = χ2 + —.
χ
Найдем с помощью производной наибольшее
и наименьшее значения функции f(x) {если они
существуют).
1Я
f(x) = 2х - —, f{x) = 0, χ * О, или 2х3 -18 = 0,
χ
х=^9.
+ ^
Следовательно, χ = >/9 — точка минимума,
18 27
тогда Гт1п = Д V» ) = V»" + ^ = -щ = 9*
Итак, л;0 = >/9 — один из корней исходного
уравнения. Записав его в виде х3 - 9>/3 χ + 18 = 0,
разложим левую часть на множители по степеням
(х - ν9 ) (например, делением «уголком»).
Имеем (х - ^9 ) (х2 + ^9 χ - 6^/з) = 0, откуда
хх = $9 , х2 + Zj9x - 6^/3 = 0, D = 27^/з > 0,
Таким образом, исходное уравнение имеет
3 корня, из которых хх и хг совпадают.
Ответ: ^/9,-2^/9.
65. Ответ: нет решений.
66. Решение. Функции у = ах и у = loga x
взаимно обратные. В силу симметрии их графиков
относительно прямой у = χ следует, что в случае

258 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-П классы
касания оба графика либо касаются прямой у = х,
либо перпендикулярны ей.
Следовательно, в точке касания имеем
1
у' = ax\n a = ±1, χ = ax, откуда a = ее (χ = е) для
знака «+» и а~е (х = е'1) для знака «-». Таким
образом, график у = ах касается графика у = loga x
при а = е1/е, а = е'е.
χ — у
67. Решение. 4 + 4 cos — + (1 + cos (χ - у)) =
1 + cos -
= 4V4x-x2 2_,
4 + 4 cos ^У- + 2 cos2 ?—У- =
2 2
= 2 \J4x - χ2 1 + cos ,
V 2 J
cos2^^- +(2- yj4x-x2 cos ?—У- +(2-^4х-х2 ) = 0.
2 2
Полученное уравнение решаем как квадратное
х-у
относительно cos .
2
D = (2 - у}Ах-х2 )2 - 4 (2 - у}Ах-х2 ) =
= -(2 - х)2 < 0, откуда χ = 2, тогда
х-у yj4x-x2 -2 2-у
cos — = , или cos — = 0, или
2 2 2
и-2
cos = 0, откуда у = π + 2 + 2πη, η & Ζ.
Ответ: (2; π + 2 + 2πη), η & Ζ.

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 259
68. Решение. Данное выражение приведем к
основанию 2:
log22 log23 log24 log25 log26 log27 =
log23 log24 log25 log26 log27 log28
_ log22 = 1_
log2 8 3 "
Замечание. Известно, что loga b · \ogc a = log,, ft. (1)
Если поставить в соответствие логарифму loga b
„ b
дробь — и то же сделать для других логарифмов,
а
то равенству (1) можно поставить в соответствие
Ъ а Ъ ..
равенство — · — — —, которое означает обычное
а Ъ с
сокращение на а. Рассматривая наш пример, име-
ем после сокращения дробь —, которой соответ-
8
ствует log2 8 = — (см. Шарыгин И. Математика
о
для поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 1997.
С. 139-140).
69. Ответ: Ъ = а.
Указание. Учесть, что (2 + V3)(2-V3)=l, и т. д.
70. Решение. Запишем I уравнение в виде
Ах Ах
у2 = —5—-. Пусть у2 = и, где и > 0, тогда и(х) = —„ .
х2 + 4 х2+4
Найдем множество значений функции и(х):
4(4-х2) ,. .
(х2+4)2
4(4-х2)
" (χ) = ,2—7Т" > и(х) = °> или
/v^a^ °' откуда jc1i2 = ±2.
(X +4)
и'(х) +

260 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Следовательно, хх = -2 —
точка минимума функции
и(х), тогда umin = u(-2) =
_ 4 (-2)
= -1.
4 + 4
Аналогично
JC q u
точка максимума и umax =
= u(2) = 1.
Значит, E(u) = [0; 1].
Так как и = у2, то 0 < у2 < 1,
т. е. у е [-1; 1].
Запишем II уравнение
системы в виде у3 = -х2 + 4х - 5.
Пусть у3 = υ, тогда υ(χ) = -χ2 + 4х - 5, где Ε(υ) =
= (-оо; υ0), где υ0 — ордината вершины параболы.
Найдем абсциссу вершины параболы
х0 = -b/2a = 2, тогда υ0 = -4 + 8 - 5 = -1, т. е.
ВД = (-<»; -1].
Значит, ι><-1,ι/3<-1,ι/<-1. Исходная
система имеет решение при у = -1, тогда χ = 2.
Ответ: (2; -1).
71. Ответ: χ = 3.
Указание. Преобразовать уравнение к виду
2 · 5х = 125 · 8* , а затем прологарифмировать обе
части по основанию 5 (или 8), и т. д.
72. Ответ: χ = 1.
Указание. Учесть, что а + — > 2, и т. д.
а
73. Решение. Заметим, что χ = 0 не является
корнем уравнения. Так как 8я4 - 8я2 + 1 = -1 +
+ 2(1 - 4л;2 + 4л;4) = -1 + 2(1 - 2л;2)2, то уравнение
примет вид
4(1-2л;2) (2(1 -2л;2)2- 1) = -1. (1)

Раздел II. Ответы. Указания. Решения: 77 класс · 261
( πΛ
, тогда 1 - 2л;2 =
Пусть χ = cos t, где t e. 0; —
V 2У
= 1-2 cos21 = cos 2ί и уравнение (1)
преобразуется к виду 4 cos 2ί (2 cos2 2ί - 1) = -1.
Но 2 cos2 2ί - 1 = cos 4ί, тогда получим
4 cos 2i cos4f = -1. (2)
Так как t φ 0, το sin 2ί * 0, тогда умножив и
разделив левую часть уравнения (2) на sin 2ί φ 0,
2(2cos2isin2i)cos4i
имеем = -1, или
sin2i
2sin4fcos4i . sin8i
= -1, или = -1.
sin2i sin2i
Значит, sin 8i + sin 2i = 0, тогда 2 sin 5i cos 3i = 0,
πη , π + 2πη _
откуда находим t1 = —. ί2 = , η e Ζ.
5 6
Так как t e
°·2
то из первой серии находим
7Г 2тг
t = — (при η = 1) и t = —- (при η = 2), а из второй
5 5
71
при η = 0 имеем t = —.
6
Учитывая, что χ = cos ί, получим ответ.
π 2π 72
Ответ: cos —; cos — ; —.
5 5 3
π V5+1 2π V5-1
Замечание, cos — = : cos — = .
5 4 5 4
74. Ответ: sin 18° = — (V5 - 1),
4

262 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Указание. Учесть, что sin 54° = cos 36° и sin 54° =
= sin (3 · 18°) = 3 sin 18° - 4 sin318°, cos 36° = 1 -
- 2 sin218°. Тогда получим уравнение 4 sin318° -
- 2 sin218° - 3 sin 18° + 1 = 0, и т. д.
75. Решение. Заметим, что χ Φ 0, у Φ 0, ζ Φ 0.
Тогда, разделив обе части первого уравнения
на x2y2z2 φ 0, получим равносильную систему
J_ J_ JL
.2 2 + _2
X y 2"
x2+y2+z2 = 16,
13V5*--Ц/ + 2л/Зг = 24.
V5
(1)
(2)
(3)
Введем векторы й
123
χ у' ζ.
, ϋ(χ, 2у, 5ζ).
12 3
Тогда и · ΰ = — · χ + — · 2у + — · 5ζ =
х у ζ
= 1 + 4 + 15 = 20.
Из (1) и (2) следует, что \й \ = 5, \ϋ \ = 4.
Следовательно, й · ν = \й\ · \ΰ\. Значит, эти
J_ = J_ = _§_
2
векторы коллинеарны, т. е.
χ
У
5zz

откуда уг = χά и ζά = — χά.
5
Тогда уравнение (2) примет вид
х2 + 4х2 + 25 ■ -х2 = 16, или 20х2 = 16,
5
откуда χ = ± -
у = ±-
ζ = ±-
2λ/3
S" "л/5" 5
Всего получим 8 троек чисел, которые
являются решениями уравнений (1) и (2). Проверкой

Разлел II. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 263
можно убедиться, что лишь тройка чисел (2/V5 ,
-2/V5 , -2V3/5) удовлетворяет уравнению (3),
а значит, является решением исходной системы.
Ответ: (2/ 7б , -2/ 4Е , -2 л/3 /5).
76. Решение.
I способ
Запишем III уравнение в виде ζ = 1 - 2 (я - З)2. (1)
Из I уравнения имеем * - 3 = , . (2)
V1 + 2/2
Тогда уравнение (1) примет вид
.2 ι ,.2
ζ=1-Τ^=Τ-^ΊΓ· (3)
V _ 1-У
1 + у2 1 + ί/
Теперь упростим II уравнение, учитывая (3)
(л , ,.2 Л
ί/2 =
1+j/
ι-ί/
2
2
7
/Ί , ..2 Λ
- 1, или у2 =
i-v
i-y2
a-yy—» Хил"а-уу
(Λ , ,.2 >
+ 1
2
J
2 V 4
или ι/2 = % , откуда у = О, или — — = 1.
Если у = О, то х = 3, 2 = 1; если — ^т = 1' то
(1-^):
у2 = ±2, откуда у2 = -1 — нет корней, у2 = 3,
ί/2,3 = ± V3 .
ι) г/2 = — л/3 , тогда я2 = 3 - —, ζ, =
а)
2 ' 2 1+3 2
а/3 1
б) Уз = ^3 , х3 = 3 + —, ζ3 = --.

264 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
Ответ: (3; 0; 1),
я
2 2
3+^;73;--
2 2
II способ
Замена ζ = cos ί, где t e [0; π], и т. д.
77. Решение. Пусть t = 0,5 (cos χ - sin я), или
/
t = -
2
cos л;-cos
ν
— χ
2
-2sin—sin
4
Итак, E(t) =
ν
π
χ —
2
Я .
sin
π
— *
72 72
2 ; 2
10
Заметим, что функция ι/ = —arccos t убываю-
π
щая и непрерывна, тогда
„. ч Ю 72 10
Е(у)= — arccos—; — arccos
π 2 π
Г 72
I 2
= [2,5; 7,5].
5 15
.2; 2.
Ответ: Е(у) = [2,5; 7,5].
78. Указание. Положить 7χ - 11 = ух + у =
= ух + 9у = k. После преобразований решить
уравнение 18fe5 - 74fe3 + 8k = 0.

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 11 класс · 265
79. Решение. Пусть f(x) = Зх7 - χ4 + χ - 3, тогда
f(x) = 21л;6 - 4х3 + 1. Поскольку D/4 = -17 < 0 и
α = 21 > 0, то f(x) > О при любом χ е R.
Следовательно, функция / является возрастающей и
непрерывной на всей числовой оси, т. е. ее график
может пересекать ось Ох лишь в одной точке. Так
как /(1) = 3 · V - I4 + 1 - 3 = 0, то решениями
исходного неравенства являются все числа из
промежутка χ е (1; +со).
Ответ: (1; +со).
80. Решение. Проведем апофему МК на грань
Μ DC. Пусть OK = χ, где χ > О — необходимое
условие, ОМ = у — высота пирамиды, тогда
Уп^=\^.-МО=^х*у.
rr τλ· 4^ 4 2 4V2
По условию Vnap = —— , тогда - х2у = —— ,
О ό ό
откуда у=—г-.
χ
^бок. = 7> осн. ' ""■>
гДе -Роен. = Sx;h= <Jx2+y2 ,
тогда S6oK. = - · 8* yjx2+y2 = Ax yjx2+y2 .
V2
Так как у = —γ, το S6 = S(x) = 4χ
χ
или S(x) = 4 Αχ4 + — .
2
Рассмотрим непрерывную функцию f(x) = χ4· + —-
хг
4
при χ > 0. Найдем производную f'(x) = —-(χ6 - 1);
χ

266 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
f'(x) = О при χ = 1. Заметим, что при 0 < χ < 1
f'(x) < О, при χ > 1 f\x) > 0.
Значит, функция / непрерывная в точке χ = 1,
убывает при 0 < χ < 1 и возрастает при л; > 1.
Следовательно, функции / и S6oK = 4 ^f(x) при χ = 1
будут иметь наименьшие значения.
При*=1,Яб0К =4л/з.
Ответ: 4V3.
81. Указание. Положить х2 = а, у2 = Ъ.
82. Ответ:
83. Ответ: 0.
84. Указание. Возвести I уравнение в квадрат и
подставить значение χ + у + ζ.
Получим у[ху + 4x2 + yfyz = 5.
II уравнение возвести в квадрат и вычесть III.
После преобразований получится система
x + y + z = &,
■ xy + xz + yz = 9,
xyz = 4,
которую можно решить с использованием
обобщенной формулы Виета.
85. Ответ: х1 = 3, хг = 6.
ЛТ л х-6 (х-5)(х-2)
Указание, χ - 4 = ;
х-4 х-4
1 2 _ х-А
3(л;-5) 3(л;-2) (х-5)(х-2)'
9 27"
4; 8 ,

Разлел //. Ответы. Указания. Решения- 77 класс · 267
Получим уравнение
5 lnga(*-5)(*-2) = i0g £zi + 7, или
*-4 ^ (*-5)(*-2)
после упрощений log2iiZLE2ifLlzA = 1, и т. д.
*-4
86. Ответ: χ = 62 193.
Указание. Если * — искомое число, то получим
fx + 307 = m2,
систему уравнений ■[ „ откуда т2 - п2 =
[х-192 = п2,
= 499, и т. д.
87. Решение. Заметим, что х2 - 10* - 22 > 0,
так как произведение цифр неотрицательно.
Следовательно, χ > 5 + V47 > 11. Можно доказать,
что произведение цифр любого числа не больше
самого числа.
Действительно, χ = а1а2а3...ап , тогда
а1- а2- ... · ап<аг- 9""1 < ах · 10""1 +
+ α2· 10π"2 + ... + ап = χ.
Значит, χ2 - 10* - 22 < 0, откуда находим
*< - (11 + л/209)< 13.
2
Итак, целое число * удовлетворяет
неравенству 11 < * < 13, откуда * = 12.
Проверка. 144 - 120 - 22 = 1 · 2.
Ответ: 12.
88. Решение. Пусть log3 x = у, тогда данное
уравнение примет вид
у2 + (х - 2)у + (2* - 8) = 0. (1)
Уравнение (1) является квадратным
относительно у.

268 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
D = (х - 2)2 - 4(2* - 8) = (х - б)2, тогда у1 = -2,
уг = 4 - х. Учитывая замену log3 x = у, получим
совокупность двух уравнений
log3 х = -2,
log3* = 4-;e.
Из I уравнения совокупности находим χ = —.
Нетрудно заметить, что χ = 3 — корень второго
уравнения совокупности. Других корней оно
иметь не может, так как функция, стоящая в
левой части уравнения, возрастает на ОДЗ
переменной, а функция в правой части убывает. Итак,
исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: хл = — , х0 = 3.
ι 9 2
89. Ответ: решений нет.
90. Ответ: если 0<α<1,τοα<χ< + 1 ,
если α > 1, то χ > να2 +1.
Указание. Преобразовать неравенство к виду
loga (χ2 - a2) > 0 и рассмотреть два случая.
91. Решение. Запишем уравнение в виде
log6 9χ2+1 = Зх(2 - Зх), где χ > 0. (1)
χ
Можно доказать (например, с помощью
производной), что наименьшее значение функции
Qr2+1 1
ух = , или у1 = 9х + — достигается при
χ х
1 «
χ = — и равно 6, тогда наименьшее значение
log69*2+1 -log66 = l.
χ

Разлел //. Ответы. Указания. Решения: 71 класс · 269
Аналогично в правой части уравнения
наибольшее значение функции уг = Зя(2 - Зх)
достигается при χ = — и равно также 1. Следовательно,
о
равенство (1) выполняется лишь при χ = — .
Значит, исходное уравнение имеет единственный ко-
1
рень χ = — .
Ответ: χ = — .
3
92. Ответ: .
2
93. Решение. Заметим, что выражение
1 + 10+ 102 + ... + 10п1 + 10"
есть сумма (п + 1) членов геометрической
прогрессии, где Ь1 = 1, q= 10, Ьп = 10", тогда
S - b"q~bi = 10" Ю-1 = 10"vl-l
q-1 10-1 9
Значит, данное число можно представить в виде
10п+1-1
— - (10"+1 + 35) + 36, или
-((10"+1 - 1) (10"+1 + 35) + 9 · 36) =
= 1((Ю2<"+1> + 34 · 10"+1 - 35 + 324) =
= I(i()2(»+i> + 34 · 10"+1 + 172)
9
^10п+1+17л2
Но 10"+1 + 17 кратно 3 (по признаку
делимости), значит, искомое число есть точный квадрат,
ч. т. д.

Литература
1. Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и
занимательные задачи по математике. — 3-е изд. —
Ростов н/Д: Феникс, 2008.
2. Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по
математике. 5-11 классы. — Ростов н/Д: Феникс,
2009.
3. Балаян Э.Н. 555 олимпиадных и
занимательных задач по математике. 5-11 классы. —
Ростов н/Д: Феникс, 2009.
4. Бартенев Φ Л. Нестандартные задачи по
алгебре — М.: Просвещение, 1976.
5. Дъюдени Г.Э. 520 головоломок. — М.:
Просвещение, 1983.
6. Коваль С. Математическая смесь. —
Варшава, 1972.
7. Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по
математике. — М.: Просвещение, 1995.
8. Мазаник ΑΛ. Реши сам. Ч. III. — Минск:
Народная Асвета, 1972.
9. Малаховский B.C. Числа знакомые и
незнакомые. — Калининград: ФГУИПП «Янтарный
сказ», 2005.
10. Минаева С.С. Вычисления на уроках и
внеклассных занятиях по математике. — М.:
Просвещение, 1983.
11. Сивашинский И.Х. Неравенства в
задачах. — М.: Наука, 1967.
12. Тригг У. Задачи с изюминкой. — М.: Мир,
1975.

Содержание
Предисловие 3
Раздел I. Условия задач 5
9 класс 5
Делимость чисел. Разложение на множители.
Действия с радикалами. Многочлены. Решение
уравнений различными способами.
Геометрические задачи. Задачи на доказательство.
Тригонометрические уравнения. Преобразование
тригонометрических выражений.
Доказательства тождеств. Иррациональные уравнения и
методы их решения. Комплексные уравнения и
неравенства. Линейные и нелинейные
уравнения с параметрами. Прогрессии
10 класс 36
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Задачи на доказательство. Решение
различных типов нелинейных систем уравнений.
Геометрические задачи, задачи с параметром.
Преобразования иррациональных выражений.
Неопределенные уравнения различных
степеней. Многочлены. Иррациональные уравнения,
решаемые с использованием различных идей.
Неравенства и системы. Нестандартные
уравнения. Комплексные упражнения (графики,
уравнения и неравенства)
11 класс 62
Алгебраические уравнения высших степеней и
способы их решения. Решение различных типов
неравенств. Применение производной при
решении уравнений и неравенств. Исследование
функций. Наибольшее и наименьшее значения
функций. Монотонность. Задачи на
доказательство. Нелинейные системы уравнений
высших степеней. Иррациональные системы

320 · 800 лучших олимпиалных залач по математике. 9-11 классы
уравнений. Тригонометрические уравнения и
уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции. Системы показательных
уравнении с двумя и тремя неизвестными.
Применение векторов к решению уравнений и
систем уравнений. Комплексные уравнения,
неравенства и графики. Уравнения и неравенства
с параметром. Геометрические задачи
Раздел II. Ответы. Указания. Решения 87
9 класс 87
10 класс 161
11 класс 237
Литература 318
Серия «Большая перемена»
Балаян Эдуард Николаевич
800
ЛУЧШИХ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
9-11 классы
Ответственный редактор С. Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Сдано в набор 25.05.2012. Подписано в печать 08.08.2012.
Формат 84 χ 108 1/32. Бумага тип № 2.
Гарнитура SchoolBook. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16,8· Тираж 2500 экз.
Заказ № 463
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80.
Сайт издательства www.phoenixrostov.ru
Интернет-магазин www.phoenixbooks.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга»
344019, г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57.
Качество печати соответствует предоставленным диапозитивам.

ISBN 978-5-222-20106-0
9II785222II201060