habibullin_b_n_istoriya

Similar

Искусственный интеллект и логические нейронные сети

Ручное ткачество. Учебное пособие для студентов направления 070800.62 и 072600.62. Декоративно-прикладное искусство и народные промыслы» профиля подготовки «Художественное ткачество

Верософия и Верология

Краткая история астрономии. Том 1. От неандертальцев до Николая Коперника

Text

Глава 1

Зарождение математики

1. Отношения - первые математические понятия.

2. Числовые системы. Нумерации.

3. Появление алгоритмов. Первые математические результаты
(Вавилон, Египет).

1.1. Отношения - первые математичес-
кие понятия

О зарождении математики мы знаем из разных источников.
Прежде всего здесь следует сказать об археологии, этнографии,
истории, филологии и психологии как о науках, изучавших (и
изучающих) зарождение математики.

Начнем, как ни странно, с психологии. Исследования психоло-
гов за последние 100 лет показали очередность появления опреде-
ленных понятий у человека, в том числе и понятий математиче-
ских.

В частности, выявлено, что дети вначале усваивают понятие
отношения: “меньше”, “больше”, “поровну” Достаточно посмотреть
на песочницу, где дети, едва научившиеся говорить, уже сообщают
соседу (или соседке), “а моя кучка больше твоей”

При этом, разумеется, они еще понятия не имеют о счете (из
психологов, занимавшихся возникновением понятия числа, отмечу
только француза Жана Пиаже (J.Piaget) и его классическую ра-
боту “Генезис числа у ребенка”1^).

Этнографы, изучая племена в разных частях планеты уже в
течение примерно 250 лет, установили, что дети в этих племенах
вначале усваивают понятие отношения и уже затем понятие числа.
Об употреблении у разных народов чисел (и их нумерации) писали
еще древние историки.

Отмечу работы Геродота (484-445 д.н.э.), Ю.Цезаря о гальских
племенах (1 в. д.н.э.), Тацита (55-120 н.э.) о быте древнегерма-
нских племен, Сыма Цяна (145-86 д.н.э.) автора исторических
записок (“Ши цзы”).

Великие географические открытия конца XV и XVI вв. н.э. ра-
сширили этнографический горизонт науки. В 1724 г. вышла книга
французского миссионера Жозефа Франсуа Лафита (1621-1695)
“Обычаи американских дикарей в сравнении с обычаями древних
времен” (в 2-х томах), в которой, в частности, констатируется схо-
дство в развитии математических понятий у людей отдаленных
континентов.

Из российских этнографов отмечу Семена Ульяновича Ремезо-
ва (1662-1716), который составил “Ремезовскую летопись”, где
кроме хроник завоевания Сибири (1576-1598), описаны быт мест-
ных племен (включая и их системы счисления), С.П.Крашенинни-
кова (1711-1755) (“Описание земли Камчатки 1755”, в 2-х томах).
Г.И. Невельского (1813-1876) о народах Амура, описанных в 1847-
1855 гг., И.А.Куратова (1839-1875) о народе Коми, Н.Н.Миклухо-
Маклая (1846-1888) о быте народов Новой Гвинеи, Бронислава

Генезис числа у ребенка (В кн.: Избранные психологические труды. М.:
Международная педагогическая академия, 1994.) =“Le langage et la pensee chez
1’enfant”. Neuchatel, Delachaux et Niestle, 1923.
Пилсудского (1866-1918) - о быте народа айнов на Сахалине, М.И.
Пржевальского (1839-1888) о быте племен Приморского края,
Средней Азии, Алтая, Тибета.

В результате исследований этнографов установлено, что основа
систем счисления совпадает с биологией человека: число рук (2),
число пальцев на одной руке (5) или двух руках (10), число паль-
цев на руках и ногах (20), число фаланг 4-х пальцев (12), либо
фаланг всех пальцев рук и ног (60). Таким образом, появились
системы счисления, опирающиеся на двойках, пятерках, десятках,
двадцатках, “двенадцатках” и “шестидесятках”

Следы этого видны в языках. Например, “двадцатки” играют
важную роль во французском языке (а также датском, ирланд-
ском, басков) [80 = quatrevingt(s)].

4 20

“Двенадцатки” - основа счисления латинян (сохранилась в ча-
сах, месяцах). Но она носила и черты 5-ричной, 10-ричной и 60-
ричной1). В 1937 г. этнограф Клюге (Kluge) изучил в Судане племя
“мунга” У них сохранилась законченная 12-ричная система счис-
ления. Шестидесятиричная система счисления была в Вавилоне
(Шумеры). Их система счисления (по записи) даже позиционная.

1.2. Числовые системы. Нумерации

Напомню, что если р 1 будет натуральным числом (т.е. р G
N, где N - множество натуральных чисел), то любое натуральное
число п G N можно представить единственным образом в виде:

п - акрк + ак~1Рк~г + +О1Р + а0з (1.1)

где

Щь оь , щ С {0, 1, 2, ,р- 1}, ak^0. (1.2)

^Римская нумерация осталась от времени 5-ричного счисления этрусков: Л
или V = 5; X— 2 5.
Число р называют основой счисления.

Формула (1.1) служит для объяснения позиционной системы
счисления. Однако есть народы и племена, у которых отсутствует
позиционная система исчисления. Например у айнов, живших на
Сахалине, (как впервые заметил Б. Пил судский ) нет позиционной
системы счисления. У них 9 = 10—1,8 = 10 — 2и т.д. Не было
позиционной системы счисления и у древних египтян.

Появление названий числительных не исчерпывает создание
систем счисления. Необходимо числа как-то записывать. В итоге
появилась нумерация.

Наиболее развитые системы нумерации были созданы: в Китае
(китайская), в Двуречье (шумерско-вавилонская), в Египте (еги-
петская), в Сирии (сирийская), в Италии (этруская, а затем
римская), в Индии (индийская, а затем арабская), в Централь-
ной Америке (майя).

Числа записывались и аддитивно (т.е. с помощью операции
сложения), и субтрактивно (т.е. с помощью операции вычита-
ния), и мультипликативно (т.е. с помощью операции умноже-
ния). В 4-м тысячелетии д.н.э. китайский император ФоГи изо-
брел двоичную систему счисления: вероятно, двоичная система
счисления была первоначально у многих народов.

Таблица Фо Ги. Черточка означает 1, а две точки нуль.

0 1 2 3 4 5 6 7

(Запись числа нуль появилась в Китае значительно позже).

Рассмотрим символы, использовавшиеся в Китае вплоть до
XX века. Заметим, что китайская нумерация основана на мульти-
пликативном принципе:

123 4 5 £ 7_ 9

(1 I II III Illi IIIII I II III Illi

(b)_ = ee = =1111

Указанная форма китайских иероглифических цифр установилась
в III в., хотя возникла как минимум на тысячу лет ранее.

Символы (А) употреблялись для записи единиц, сотен, десят-
ков тысяч и т.д. Символы (В) употреблялись для записи деся-
ток, тысяч, сотен тысяч и т.д. Система счисления не была, таким
образом, полностью позиционной (можно бы ее назвать полупо-
зиционной1 * * *^).

Пример 1.1.

Число 4783 записывается так
901 записывается так:
9001 записывается так:

Число нуль “0” (в виде круга) появилось примерно в VI в.

Итак, в Китае числа записывались с помощью операций сло-
жения и умножения. В древнем Китае иероглифы были иными и
основывались первоначально на 5-ричном счислении, но уже с 3-го
тысячелетии д.н.э. система была десятиричной.

5 = К 7=К ю = + юоо =4^ wo =g

1^На счетной доске китайцы пользовались позиционной системой счисле-

ния. На основе счетной доски в Китае появились счеты (по китайски “су-

анпан”), внешне подобные русским счетам. Эти счеты сохранили следы пяти-

ричного счисления.
Число 2121 записывалось столбиком:

2 1000 £ 1 - 100 g 20 = 1 1

В Древнем Риме числа записывались как с помощью операций
сложения, так и вычитания.

1 II 1 2 III v iv 3=2+1 5 4=5-1

т.е. система счисления тоже не была позиционной.

Отметим, что понятие "римская нумерация "опирается на дости-
жения этрусков (8-7 в. до н.э.- 2 в. до н.э.), населявших середину
Аппенинского полуострова.

Для сравнения приведем этруские и римские обозначения чи-
сел:

Этруски Римляне
5 = Л или V 10 = X или + 50 = Т или 1 100 = ф или 8 5= V 10 = X 50 — Ф или Т или J, или Л или L 100 = О или С 5оо= p=o=D 1000 = М =С 1 D

Отметим еще древнюю систему счисления Сирии, основанную
на двоичной Системе счисления:

1 Г П ГГ 12 3 4
Таблица 1.

дафр* • 4 • <1 • ♦ » ф » <

tf •
1 0 1 п 1$ 0 1 0 Ъ' 1$ 13 13
1 -20 «30 1 is-зо-здо 1 - зво * зев Ж» 13 20*13 = ж 7113

Интересно, что двадцатиричная система присутствовала у наро-
да майя (около 1 в. до н.э.) (точнее бы ее назвать 20-ричная-18-
ричная). (Расшифровал письменность майя Ю.В.Кнорозов к 1960
году.)

Запись чисел у майя была мультипликативно-аддитивная:

Любое натуральное п € N представлялось в виде:

n=a-bb-204-C\360/4-d <J20g+e-18-203+...; а, Ь, с, d, е€ {1, , 19}.

18-20 18-202

При этом запись чисел проводилась столбиком. Примеры приве-
дены выше в таблице 1.

Другой пример мультипликативно-аддитивной записи чисел
дали вавилоняне:

v V V /z/

V VW V V V { {{ {{{{ уу IУ (V>

V V V ''

1 3 9 10 20 = 210 40 50 100 1000 = 10 100

Вместо 9 позже появилось:
Приведем примеры записи чисел:

1423 = 24-60+13 = (24, 13)60 = 13 (mod 60) = // V V (wv
' 24 ' 13-'

1995 = 33-60+15 = (24, 15)60 = 15 (mod 60) = (((v VV ( V

33 15

В древнем Вавилоне первоначально не было нуля. Но позже
появился знак, заменяющий нуль; а именно: \

Пример 1.2. 3602 = V

(60,2) 2

Таким образом, шумеры имели позиционную систему счисления с
основанием 60.

В 2400 лет д.н.э. клинопись шумеров изменилась, в частности,
вместо 10 появилось ♦. Тогда, например, 36 запишется:

• • D D Э

• D D D

а 19 = 20 — 1 = • • V Наконец, появились и дроби: 1301/2 =

2 60 + 10 + 1/2=20. U

Отметим, что изменения в написании характерны и для иерог-
лифического письма древних египтян (таблица 2.). Иероглифи-
ческое письмо в папирусах трансформировалось в скоропись (так
называемое иератическое письмо), а позже в 8-2 вв. до н.э. в кратк-
ую скоропись (демотическое письмо).
Таблица 2.

I ю юо гаоо юооо юоооо ад!юо

" лл ллi 1 П И
3 45 23И

I II Ц| - Ч 7, = /Л- л А ‘А

123 4587 8 $ 10 20 30

Здесь верхняя строка иероглифические цифры, вторая
примеры записи чисел 9, 45, 2314, третья - иератические (жре-
ческие) цифры.

1.3. Появление алгоритмов. Первые ма-
тематические результаты

Примерно 7-8 тыс. лет тому назад появились первые ма-
териальные свидетельства математических знаний. Это были ри-
сунки на стенах, клинопись на глиняных табличках, и, наконец,
папирусы периода Среднего царства (в Египте): (т.е. от 2133 до
1800 г. до н.э.).

Клинопись (точнее шумерская письменность) была в период до
2500 года д.н.э. научной письменностью (как позднее греческий,
затем латынь, арабский, а теперь английский языки). В древ-
нем Вавилоне (~ 2400 лет до н.э.) появились методы определения
площади круга, объема призмы (не обязательно правильной) и т.д.
При этом в Вавилоне число тг принимали равным 3.
Рис. 1.1: Площадь
сегмента.

Интересно отметить, что формула поло-
вины площади круга была |/?2, т.е. прави-
льной (с точностью до числа тг), а вот пл-
ощадь сегмента (рис. 1.1) (с хордой длины Ь
и отсекаемой частью окружности длины а)
нет:

S = (а - Ь)Ь - |(а - 6)2 (1.3)

(а как должно быть?).

Также - объем правильной призмы был точен, но вот форм-
ула объема неправильной призмы (рис. 1.2) при a'ft а, b'ft Ь была
неточна.

1 /а + b а! + Ь'\
2 \ 2 + 2 )

h + h'
2

(1-4)

Объем усеченной пирамиды был приближенный: если высота
Д, и площади: основания - Pi и сечения - Рг? то

Vvh(Pi + P2)'£

Л-*-

(1-5)

Приведем еще

несколько результатов древних:

1. Объем усеченной пирамиды с квад-

ратными основаниями они вычисляли
в XVIII в.д.н.э. с помощью формулы,
известной Герону из Александрии (жи-

вшему на 1700 лет позже), т.е.

№

Рис. 1.2: Неправильная 2- За 1800 лет Д-н э- вавилоняне уже
призма. умели решать квадратное уравнение со

знаком при \/2\.

3. С помощью таблиц решалось уравнение вида а:3 = а.
4. Для нахождения квадратных корней вавилоняне использо-
вали алгоритм, получаемый из приближенного равенства

\/а2 4 5 ~ fli ——.

2а

(1-7)

Это равенство можно обосновать так: известно, что

.тп, где

О'

а(а — 1) (о - п + 1)

Тогда \/а2 ± b = а\ 1 ± , что при ск — 1/2 дает:

V G2

(1 4- т)1/2 = 14-

Отсюда: \А2 ± 6 = а ± ---—— ±

2а 8а3

5. В Вавилоне уже знали тройки Пифагора, т.е. натуральные
числа .т, у, z:

Вернемся теперь к старейшим папирусам, хранящимся в Моск-
ве (“Московский папирус” приобретен востоковедом В.С.Голенище-
вым в 1893 записан не позже 1850 г. д.н.э.) и в Лондоне (“Папи-
рус Г.Райнда (G.Rhynda) записан не позже 1575 г.д.н.э.” Г.Райнд
английский офицер, в 1858 г., приобретший этот папирус). Авто-
ром второго папируса является некий писец Ахмес. Он напис-
ал, что текст является развитием результатов, полученных еще в
Древнем царстве, т.е. в 3-е тысячелетие до н.э. (Напомним, что
Среднее царство охватывало период от 21 века д.н.э. до 18 века
д.н.э., Новое царство 16-11 вв. д.н.э., Позднее царство 10-5 вв.
д.н.э.).

Математические знания в папирусах переданы в форме задач
и решений. Задач несколько десятков. В Московском папирусе -
25 задач, а в папирусе Г.РаЙнда - их 84. Иероглифическое письмо
позволило египтянам широко использовать дроби. Дело в том, что
если п € N, то египтяне легко писали 1/п, добавляя над числом
овал.

Пример 1.3.

НГ)

Египтяне использовали только простые дроби, т.е. числа вида п“1,
где п € N. Остальные рациональные положительные дроби они
представляли в виде суммы простых дробей, т.е. они владели алго-
ритмом разложения любой рациональной дроби в сумму простых
дробей.

Пример 1.4.

9 9 1_27-19_8 8 1 _ 64 - 57 _ 7

19’ 19 “ 3 ” 57 “ 57’ 57 ~ 8 ~ 456 “ 456’

7 1 _ 462 - 456

45б"б6 “ 30096

6 1 9 111 1

30096 ~ 5016’ Те’ 19 ~ 3 + 8 + 66 + 5016'

Рис. 1.3: Усечен-
ная прямоугольная
пирамида

Мы разложили — в сумму пяти-пр-
остых дробей. Но можно ли представить

эту дробь в виде суммы меньшего числа
слагаемых? Проблема не решена до сих
пор. Еще в 30-е годы XX века П.Эрдёш
(P.Erdos) и Е.Г.Штраус (E.G.Straus) выд-
„ 4

винули гипотезу: дробь вида —, где п > 4,
Т1

может быть представлена в виде суммы не

более 3-х простых дробей. Эта гипотеза не

доказана до сих пор. Польский математик
Анджей Шницель (Andrzej Schinzel) выдвинул более слабую гипо-
тезу: для каждого натурального числа а, большего 2, существует
такое натуральное число п(а), что при всех п > п(а) дробь — пре-
п
дставима в виде суммы не более трех простых дробей. Но и эта
гипотеза до сих пор не доказана.

Среди результатов древних египтян можно выделить уже
точную формулу вычисления объема правильной усеченной пира-
миды (см. рис. 1.3):

V = |л.(а2 + ab + Л2) (1.8)

Упражнения

1. Запишите числа: 67,28,20,5 по-китайски (нумерация XVI ве-
ка), числа 6728 и 2005 по-римски и по-шумерски, а число
1999 на языке майя.

2. Профессор А.Эйзенлор, впервые описавший (в 1877 г.) папи-
рус Ахмеса, приводит, в частности, следующие задачи:

а) У семи лиц по семь кошек, каждая съедает по 7 мышей,
каждая из них съедает по 7 колосков, из каждого ко-
лоска вырастает 7 мер ячменя. Сколько мер ячменя
могло бы вырасти (в сумме) у этих лиц не будь мышей?

Ь) Найти приближенное значение для числа тг, приняв
площадь круга равной площади квадрата со стороной
g

- диаметра круга. (Решите эти 2 задачи.)

„ . 8

Разложите в сумму простых дробей —.

1м

4. Проверьте, что формула (1.1) площади сегмента при тг = 3
верна для полукруга, а для хорды b — г - радиусу круга - не
верна.
Глава 1. Зарождение математики
Глава 2

Математика Древней Греции

1. Фалес Милетский и возникновение' дедукции.

2. Пифагор и его школа.

3. Три знаменитых проблемы древних.

4. Сократ, Платон, Аристотель, софисты и их влияние на ма-
тематику.

5. Теэтет и Евдокс; теория пропорций и теория исчерпывания.

6. Евклид и его “Начала”

7. Архимед и его свершения.

2.1. Фалес Милетский и возникновение

дедукции

Под математикой Древней Греции мы будем, главным образ-
ом, понимать результаты математиков, которые жили в ХХП-П
веках до н.э. на землях, где сильна была эллинская культура, т.е.
восточное и центральное Средиземноморье.
Не нарушая уже сложившейся традиции, историю математики
древней Греции начнем с результатов Фалеса Милетского (640-546
гг. до н.э.).

Основные заслуги Фалеса (не считая систематизации геомет-
рических знаний египтян) кратко укладываются в два пункта: он
дал

1. Первую абстрактную теорему о прямых.

2. Первые примеры применения математики в практике (изме-
рил высоту пирамид, наблюдая за их тенью; измерил расст-
ояние от судна до берега и др.).

Однако в первом пункте содержится нечто большее, чем просто
теорема; этот пункт фактически содержит то, что теперь называ-
ется методологией дедукции.

Период жизни Фалеса был периодом набега доров (пастуше-
ских племен из Ирана) на ахеев племя землепашцев в Греции. И
именно знания доров послужили толчком к появлению дедукции.

В чем же смысл дедуктивной методологии?

а) Определенные знания можно атомизировать, т.е. представить
в виде порций, называемых теоремами;

б) условия, принятые для большой группы теорем называются ак-
сиомами (или постулатами). Эти условия предшествовали
соответствующей группе теорем;

в) условия, относящиеся к конкретной теореме и содержащиеся в
ее записи, называют предложениями;

г) поскольку теоремы могут быть отправной точкой для других
теорем, то операция нахождения этих отправных точек назы-
вается доказательством.
2.1. Фалес Милетский и возникновение дедукции

Дедуктивная теорема имеет следующее строение: “Если имеют
место следующие условия .. и если ничто иное не может повлиять
на результат, то тогда будет то-то

Причина того, что именно у доров появился принцип абстрак-
ции (поскольку принималось, что теорема относится к абстракт-
ным явлениям и не относится ни к конкретным индивидуальным
элементам, ни к множествам), кроется в жизни пастушеских пле-
мен, которые должны были делать выводы в изменяющихся ус-
ловиях.

Напомним, что принцип абстракции заключается в том, что
любое разбиение произвольного множества М определяет от-
ношение эквивалентности и наоборот, задание в М отношения эк-
вивалентности определяет разбиения этого множества на классы
непересекающихся подмножеств.

Конструкция принципа абстракции привела к выделению абст-
рактных наук, которые вместо реальной деятельности используют
модели. Среди таких наук в первую очередь важно выделить ма-
тематику и философию. Можно также заметить, что теорема (во
времена доров) должна была быть выражена формально и быть
условным предложением (формальность не тождественна симво-
личности).

Напомним теперь теорему Фалеса: прямая, если она параллель-
на одной из сторон треугольника, делит остальные стороны треу-
гольника на пропорциональные части. Поскольку теорема требо-
вала доказательства, то такое было дано и опиралось оно во вре-
мена Фалеса на возможность найти общую меру у любых двух от-
резков. К сожалению, этот факт, считавшийся во времена Фалеса
очевидным, был опровергнут позже во времена расцвета школы
Пифагора (-572, -497)

1> Иногда, вместо того чтобы писать: “до н. э", будут употребляться “отрица-
тельные” годы.
2.2. Пифагор и его школа

Пифагор родился на острове Самос в 572 году д.н.э. Позже
с коллегами пустился в путешествие и осел на юге Италии. Он
основал город Кротон. Там и зародилась Школа Пифагора и на-
правление в науке, названное пифагорейским.

Основным мотивом этого направления стало убеждение, что в
мире царит гармония, которая пронизывает все, включая и богов.
Целью жизни является познание, как можно глубже, этой гармо-
нии.

Интересно, что в это же самое время в разных частях Евразии
еще несколько человек явно поставили тот же самый вопрос о цели
жизни.

В Китае это был Конфуций (Kun-fu-tsu) (-551, -479), в Индии
это был Будда (князь Сиддхарта - (-560, 480)).

Все они о цели жизни говорили в одних терминах - в терминах
этических категорий. (Кроме названных, были еще двое мудрецов,
живших в это же время, которые оставили след в философии - это
Лао-цзы (= Ли Эр), 6-5 в. д.н.э. - основатель даосизма1^ в Китае
и Вагдхамана Махавара Джинна ( победитель) основатель
религии (в Индии) джайЦизма, в которой целью и мотивацией
жизни провозглашается победа над собой и ненанесение никому и
ничему ущерба.

Возвращаясь к пифагорейцам, добавим, что они считали, что
гармония мира ярче всего видна в музыке, астрономии, арифмети-
ке и геометрии, т.е. в так называемом (в средневековье) “квадри-
уме”

При этом именно пифагорейцы открыли музыкальные интер-
валы, называемые октавами, квинтами, квартами, что отвечало
длинам двух натянутых струн соответственно как 1 2; 2 3 и 3 4.
(А вот пары струн с длинами 4 5 уже не создают гармонических

Даосизм утверждает, что мир и жизнь людей подчинены определенному
пути (=дао).
Карта передвижения математиков в (-VI, III веках) из книги
Mioduszewski J. (Мёдушевский Е.) Ci^glosc. Szkice z historii
matematyki., WSziP, Warszawa, 1996, (c. 48)

звуков)!

В первый период существования пифагорейской школы прин-
ималось, что гармония и число одно и то же, точнее, что числа
являются носителями гармонии.

В частности, как пример гармонии были переоткрыты, назван-
ные позже тройками Пифагора, тройки натуральных чисел, т.е.
тройки х, у, z 6 N х2 + у2 = г2, известные еще древним египтя-
нам.

Из достижений в геометрии важно, что именно пифагорейцы
определили понятия прямой, отрезка, угла, плоскости в том ви-
де, который и сейчас употребляется в школе. Именно они ввели
понятия вписанного угла, перпендикуляра. Теорему Фалеса они
назвали его именем, дали доказательство теоремы Пифагора.
Катастрофа наступила там, где ее не ждали. Появились доказа-
тельства того, что существуют несоизмеримые отрезки. (Сторона
квадрата с его диагональю). А это поставило под удар доказатель-
ство теоремы Фалеса. В результате школа Пифагора распалась, а
его изгнали из Кротона. Впрочем, о результатах пифогорейцев мы
знаем благодаря другому изгнанику из Кротона - Гиппократу (-
Vb.) из Хиоса (не путать с патроном врачей Гиппократом из Кос).
Их он изложил в своем труде “’Элементы” Кстати, Гиппократ был
изгнан из Кротона за преподавание геометрии за деньги! (Его мо-
жно было бы назвать первым пострадавшим репетитором).

Приведем еще один нетривиальный результат пифагорейцев,
принадлежащий Гиппократу Хиосскому, который фактически соз-
дал и теорию рациональных чисел и ее широко применял в теории
подобия:

Если Л АВС прямоугольный и он вписан в полукруг с центром
в точке О и радиуса г, и на его катетах как диаметрах построе-
ны полуокружности, то сумма площадей темных луночек равна
площади ДАВС (см. рис. 2.1).

Доказательство: г = => а1 2 + Ь2 = с2 — 4г2 Кроме того,

_ тга2 _ „ тгЬ2 _

51 + 5J = ——; 52 + ^2 = -г-. Если 5з площадь полукруга с

О о

7ГГ

центром в точке О, т.е. S3 = , то

Следовательно S^abc = S3 — (SJ + S0 = Si + S2, где S'2 и SJ -

“светлые” луночки1)

1) Гиппократ нашел три вида квадрируемых луночек, т.е. луночек, площади
которых равновелики с квадратом. В 30-40-х годах XX века Н.Г.Чеботарев

(1894-1947) и А.В.Дороднов доказали, что имеется всего 5 видов квадрируем-
ых луночек, но ни одна из них не квадрируема вместе с кругом.
Нужно сказать, что именно
пифагорейцы выбрали евклидову
геометрию в качестве единст-
венно возможной. (Пример, как
раз факт о луночках).

Именно с пифагорейцами
связывается название профессии:
математик. Это было назван-

ие одной из двух группиров- Рис. 2.1: Луночки Гиппократа
ок пифагорейцев (от греческого:

“mathejii”- учиться, знать). Дру-

гая группировка называлась “акузматики” (—“слушатели”) и име-
ла мистический характер.

Добавим, что в современном значении с гюво “математик” поя-
вилось лишь в конце XIX века (перед этим вместо “математик”
употреблялось слово “геометр”)

Возвращаясь к математикам-пифагорейцам, заметим, что пос
ле появления понятия несоизмеримости, они заменили девиз: “все
можно описать числами” на девиз: ядром заинтересованности ма-
тематиков являются геометрические фигуры” Именно тогда поя-
вился новый символ пифагорейцев: “пентаграмма”, т.е. правиль-
ный (звездный пятиугольник).

Отношение почти всех его отрезков
было одинаково:

\AD\ _ |ВВ| _ |ЛС| _ _ / 2 \
\BD\~ \AB\~ \DC\~

т.к. если обозначить |Л£>| = а, |ВВ| =
х, то

а х \/5 — 1

— =------=> х = —-—а.

х а — х 2

Рис. 2.2: Пентаграмма

Это так называемое золотое сечение. И
(а) К задаче об удвоения (Ь) К задаче о трисекции (с) К задаче о квадрат-
объема куба угла уре круга

Рис. 2.3: Три проблемы древних

по мнению математиков-пифагорейцев именно золотое сечение
выражает гармонию мира.

2.3. Три знаменитых проблемы древних

Пифагорейцам мы обязаны постановкой 3-х (иногда говорят
4-х) величайших задач древности:

1. Построить куб, имеющий вдвое больший объем, чем данный
(рис. 2.3.а).

2. Поделить произвольный угол (рис. 2.3.Ь) на 3 равные части
(“трисекция угла”).

3. Найти квадрат (т.е. узнать его сторону), равновеликий за-
данному кругу (“квадратура круга”) (рис. 2.3.с).

Первую из указанных задач иногда называют “делосской” по
названию города Делос, в котором вспыхнула какая-то эпидемия.
Чтобы узнать, что нужно делать, были посланы послы к Пифии
Дельфийской, которая якобы изрекла, что только дар на алтарь
Аполлона из золота в два раза больший по объему, чем имеющий-
ся, в форме куба, остановит эпидемию.
У

Рис. 2.4: Циссоида Диоклеса

Математики - пифагорейцы решили эту задачу. Одно из реше-
ний предложил Архит из Тарента (-428, - 365).

Решение Архита опиралось на применение двух средних про-
порциональных, т.е. таких отрезков длины хиу, что

а х у

х у Ь'

для заданных а и Ь.

В случае b = 2а имеем:

х2 х4

У = —; у2 = xb = х 2а => — = х2а =>
а а*

х — х^2а.

Другое решение примерно в (-150 году) дал Диоклес, который
ввел кривую (Диоклеса), называемую циссоидой (“вид плюща”
греч.) Диоклеса (рис. 2.4):

2 Z3
У =
2d т

Параметрически формула циссоиды:
а а

х ~ t2 + Г у ~ t(t2 + 1)
Иначе, циссоида - это множество всех тех и только тех точек, для
которых |(ЭМ| = |СВ|.

Рис. 2.5: Конхоидограф

Трисекция угла решалась относительно просто с помощью при-
бора, называемого конхоидографом. Это прибор, представляющий
из себя резиновую палку с двумя дырками (ее часть между дырк-
ами не растяжима). Палка закрепляется (не жестко) в некоторой
точке дугой на шарнире (рис. 2.5).

Если одну дырку вести вдоль кривой, то другая - опишет ко-
нхоиду данной кривой, т.е. г = /(0) ± d. Геометр Никомед (-250,
-150) брал в качестве кривой прямую х — а. Полученная конхоида
называется конхоидой Никомеда:

а
г —----- ± d

cost?

или в декартовых координатах:

(х — а)2(х2 -I- у2) — rfV — 0.

Прямая х = а будет асимптотой конхоиды, которая имеет две
ветви: внутреннюю и внешнюю (рис. 2.6).

Для нахождения | заданного угла с вершиной О проводим ок-
ружность радиуса d/2 (где d расстояние между дырками ко-
нхоидографа) с центром О. Точки пересечения заданного угла (р с
окружностью обозначим через А и В. Найдем точку В' - симметр-
ичную В относительно точки О (см. рис. 2.7). Построим внешнюю
ветвь конхоиды относительно прямой АВ с а равной высоте ОК.
Рис. 2.6: Виды конхоиды Никомеда

Проведем прямую АВ' до пересечения с конхоидой. Эту точку наз-
овем точкой С. Угол АОС - искомый. Попробуйте сами доказать
это, учитывая, что здесь |СЕ| = |АЕ|*= |Д(Э| = |ED| = |В'О| =
|ОВ|, ЛАОВ = 92.

Что касается третьей проблемы (“квадратура круга”), то ее
решение сводилось к аппроксимации числа тг1) Кстати иногда к
4-й задаче древних относили задачу “спрямляемости” окружности
(т.е. нахождение отрезка равного по длине заданной окружности).
Эта задача также сводится к аппроксимации числа тг

Любопытно, что еще в 1833 г. однофамилец Н.И. Лобачевского, помощн-
ик библиотекаря Императорской Медико-Хирургической Академии в Санкт-
Петербурге штабс-капитан Иван Васильевич Лобачевский в типографии
Н.Греча издал книгу: “Геометрическая программа, содержащая ключ к квад-
ратуре неравных луночек 3 4 и 1 4 и сегмента в составе полу разности

оных находящихся”, где пробовал решить квадратуру круга с помощью квад-
рируемых луночек.
2.4. Сократ, Платон, Аристотель, софис-
ты и их влияние на математику

Рис. 2.7: Решение за-
дачи трисекции угла

В период расцвета школы пифагорейцев появились люди,
которые достаточно громко стали высказывать сомнения в спра-
ведливости основных постулатов этой школы.

Этих людей стали называть “олеатами” по названию города
Элеи, откуда происходили крупнейшие философы из этой группы:
Парменид (-540, -470) и Зенон1^ (-490, -430). Свои идеи, названные
“апориями” ^трудностями), а позже известные, как парадоксы
Зенона, они провозглашали открыто, невзирая на осуждающие
взгляды “толпы” Этих парадоксов было много: “Ахилл, который
не может догнать черепаху”, “летящая стрела, которая в каждый
момент времени неподвижна” и т.д. Все они посвящены защите
учения Парменида о едином, нераздельном и неизменном бытии.

Другим критиком учения пифагорейцев
был Сократ (-464, -399), который доказы-
вал, что если один аргумент взять из есте-
ственных прав (“права природы”), а дру-
гие из морального права, то можно дока-
зать что угодно.

Идеи Зенона и Сократа, непонятные
многим, вызывали реакцию отторжения
(Сократа заставили выпить яд цикуты,
а Зенона бросили в медный котел и за-
толкли насмерть).

Ученик Сократа Платон, хотя не был
математиком, но оказал очень большое
влияние на ее развитие. Отметим, что в
Академии, им основанной2^ в лесу около

1^Не путать с Зеноном (-336, -264) - основателем учения стоиков из Китиона.

2) Первую школу естественных наук для любознательных греков и их детей
2.4. Сократ, Платон, Аристотель, софисты

(Ь) октаэдр
^восьми-
гранник)
“воздух”

(а) тетраэдр,
четырехгранник
(—правильная
пирамида) “огонь”

(с) куб (= ше-
стигранник)
“вода”

(—двенадцатигран-
ник) “земля”

Рис. 2.8: Платоновы тела

Афин1), над главными воротами висела надпись: “Пусть не входит
сюда любой, кто не знает геометрии”

Во-первых, именно Платон инспирировал исследования, посвя-
щенные правильным выпуклым многогранникам, т.е. таким вы-
пуклым телам, у которых все грани одинаковые (с точностью до
размеров) правильные многоугольники. До Платона было изве-
стно 4 таких тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр.

Ученик Платона Теэтет (-410, -368) (о нем еще будет идти
речь дальше) нашел 5-ый правильный многогранник: икосаэдр
(= двадцатигранник) (Рис. 2.9).

Эти пять тел были названы Платоновыми телами. Они нашли
позже применение в кристаллографии, а в XX веке в функци-
ональном анализе (в частности, октаэдр является единичным ша-
ром трехмерного пространства /J, а куб пространства 1^).

основал в Афинах в (-460г.) астроном Анаксагор (-500, -428). Им впервые
были сделаны расчеты размеров Солнца и Луны на основе изучения затмений
Луны.

^Лес был посвящен богу Академосу.
Во-вторых, Платон заявил, что решения задач по геометрии
должны использовать не более двух инструментов: линейку и
циркуль (поэтому решения, полученные с использованием других
инструментов, не считаются решениями). В итоге, только через
2 тысячи лет удалось доказать невозможность с помощью линей-
ки и циркуля решить 3 задачи древних (невозможность решен-
ия задачи удвоения куба доказал в 1837 г. П.Ванцель (P.Wantzel),
трисекции угла - Н.Абель и Э.Галуа).

Ученик Платона Аристотель (-384, -322) имел такое боль-
шое влияние на все стороны развития человечества, Что не мог
не иметь влияние и на развитие математики. Он был одним из
создателей формальной логики. Аристотель рассматривал мате-
матику как инструмент, необходимый при решении самых разно-
образных задач, которые возникают в реальной жизни. Интересно,
что именно у Аристотеля (в его “Своде”) упомянуто о возможности
существования неевклидовых геометрий (см. ниже §2.6).

Рис. 2.9: Икосаэдр

Однако некоторые его мысли о мате-
матике оказались неверными, что имело
негативное влияние помимо его воли на
развитие математики даже спустя 1800
лет после их оглашения.

Например, он утверждал, что тело,
имеющее бесконечную протяженность
(= 4-оо), имеет и бесконечный объем.
В результате, например, Эванджелиста
Торричелли (1608-1648), который постр-
оил ограниченное по объему тело беско-

нечной длины (тело вращения части гиперболы у = —, х G (0, 1]
х

вокруг оси OY), оказался в Индексе (т.е. запрещен), и его мате-
матические работы были опубликованы только в 1922-1944 г. А
ведь именно он открыл формулу Ньютона-Лейбница, несобствен-
ный интеграл и т.д.
2.5. Теэтет и Евдокс; теория пропорций
и теория исчерпывания

Среди учеников Академии Платона нужно выделить двух, о
которых обычно редко вспоминают и чьи результаты приписаны
другим. Это Теэтет из Афин (=Teajtetas) (-410, -368) и Евдокс
(-408, -355) из Книда.

Именно Теэтет применил впервые алгоритм, который оказал-
ся нам известен под названием алгоритм Евклида, а Евклид жил
примерно на 50 лет позже (-365, -300), и ввел аксиому, известную
нам под названием аксиома Архимеда, а Архимед жил более, чем
на 100 лет позже (-287, -212).

Напомним эту аксиому: “Для произвольных величин А и В (од-
ного рода) существует такое кратное величины В, которое больше
А.” (На современном языке: для VA, В > 0 3m € N А < тВ).

С помощью своего алгоритма Теэтет для каждых двух чисел
А > В > 0 получает некоторую последовательность (конечную
или бесконечную) (hi, п2, .) натуральных чисел. При этом для
целых А и В эта последовательность конечна. Продемонстрируем
это на примере двух пар чисел Ai = 11 и В{ ~ 7 и А2 — 7 и В2 — 5.
(Проверьте сами, что последовательность Теэтета бесконечна для
отрезков а и Ь таких, что а2 — 262, т.е. для диагонали и стороны
квадрата).

Итак имеем:

последовательность (1, 1, 1, 3).

Сопоставим дроби
Аналогично,
В итоге: дроби - сопоставлена последовательность (1, 2, 2).
5

На основе своего алгоритма Теэтет дает интересный признак
несоизмеримости двух отрезков: “если площадь квадрата выража-

ется целым неквадратным числом, то его сторона несоизмерима со
стороной единичного квадрата”, тем самым Теэтет построил пер-
вый бесконечный класс иррациональностей.

Рис. 2.10: Исчерпывание отрезка [0, 1].

Вернемся однако к
общей пропорции А/В,
(Л В > 0 А,В е
К). На первом шаге бу-
дем искать наибольшее

натуральное число щ

А щВ. Поэтому либо А = щВ, либо С — А — щВ < В. Во
втором случае ищем n2 € N В п2С. И вновь, либо В = п2С
(и процесс окончен), либо D = В — п2С < С и т.д. В итоге, если
А и В е N, то процесс конечен, и А/В задаст конечную послед-
овательность (п], n2, rifc), т.к. число целых чисел, меньших В,

конечно.

Если же одно из чисел (например А) иррационально, а В це-
лое, то процесс бесконечен. Например, — => (1, 2, 2, 2, .) (про-
верьте!). Фактически Теэтет ввел непрерывные (=цепные) дроби,
хотя не придал этому значения (более того, с помощью метода,
указанного Теэтетом 2000 лет позднее, была построена теория

аппроксимаций корней алгебраических уравнений, доказана ирра-
циональность чисел е и тг (И.Ламберт, (1728-1777))).

Теэтету принадлежит и основная теорема теории делимости о
представлении любого натурального числа в виде произведения
простых чисел (VII книга “Начал” Евклида (о делимости чисел)
фактически принадлежит Теэтету).

Другой ученик Платона Евдокс (-408, -355) также занимался
изучением пропорций. Ему принадлежит следующее определен-
ие: “Две величины А и В (одного рода) образуют ту же самую
пропорцию, что и величины а и р (тоже одного рода, но возмож-
но отличного от А и В), если для каждой пары (т, п) натуральных
чисел справедливы условия:

если mA < пВ,
если mA = пВ,
если mA > пВ,

то и та < пр,
то и та = пр,
то и та > пр."

В терминах сеченийР. Дедекинда (1831-1916) это определение
означает: “каждое сечение является вещественным числом.” (Об-
ратное утверждение Евдокс не получил - это уже целиком заслуга
Р. Дедекинда).

Другим замечательным достижением Евдокса был метод ис-
черпывания. Основан этот метод на двух фактах.

1° Греки уже умели доказывать, что

1 1 1

2+4+8+

(2-3)

Приведем доказательство:

Заметим, что левая часть в равенстве (2.3) не превышает 1.

Обозначим

Если бы 1 — d = г > 0, то учитывая, что

Напомним, что сечением множества Q рациональных чисел называется
пара непустых подмножеств (Я1, Яг), таких, что R\ П Яг — 0» Я1 U Яг = Q,
и для любого х € Я1 и любого у € Яг справедливо х < у. Сечение, у которого
в Я1 есть наибольшее число или в Яг есть наименьшее, отождествляют с этим
числом. Сечение, у которого в Яг нет наибольшего числа и в Яг нет наимень-
шего, называют иррациональным числом. Множество всех иррациоанльных
и рациональных чисел составляют R - множество вещественных чисел.
получили бы, что 1 — d = г < ~ для любого п.

Пусть х произвольное положительное число, меньшее, чем
1/2. В силу аксиомы (Архимеда) Эк € N 1 < кх. Отсюда

1 11

к > —. Так как к < 2fc, то — < 2*, или — < х.

х ' х ' 2к

г < Из этого противоречия следует: г = 0.

2° Пусть имеем ограниченную фигуру (тело) площади (объема)
S. Удалим часть этой фигуры (тела) площади (объема) Si:
S, > is.

Из оставшейся части фигуры (тела) удалим часть S2 по
площади (объему) больше половины оставшейся, т.е.

Г, 1/Z, ч 1 1 „ 1 Л 11^ 1 ~

$2 > ~ $1) — 7$ “ 9*^1 > 9$ ~ 9 9^ —

и т.д. каждый раз удаляя больше половины площади (объема
оставшегося.) Тогда Si + S2 + + Sn + исчерпывает S,

ОО

т.е. S = ^Si.

t=i

Доказательство: S S1+S2 = S.

2 4 8

В качестве примера метода исчерпывания рассмотрим получе-
ние формулы объема четырехгранной пирамиды. (Этот пример
дан Евклидом) Пусть имеем четырехгранник ABCD с основан-
ием АВС площадью S и высотой h. Будем “исчерпывать” этот че-
тырехгранник следующим образом: удалим 2 призмы NMKLCQ
и NQPBKL (N, К, Р, Q, L - середины соответствующих ребер)
(рис. 2.11).

Каждый из оставшихся четырехгранников, т.е. DQNP и ANMK
подобны исходному четырехграннику (коэффициент подобия 1/2);
а значит, их объем (каждого) равен 1/8 объема многогранника
ABCD.

Обозначим объем четырехгранника
ABCD через V Тогда общий объем
Ц, удаленных двух призм NMKLCQ и
NQPBKL, будет

> (2.4)

Далее из каждого из оставшихся 2-х чет-
ырехгранников удалим 2 призмы, подоб-
ные удаленным на первом шаге. Их об-
3

ъем равен -Vi и т.д. В силу 2°), V =
4

ОО

1=1

Рис. 2.11: К вычисле-
нию объема пирамиды

Отметим, что объем призмы KLBNQP, т.е. Vrlbnqp, ра-
вен произведению площади Srlb основания (очевидно Sklb =

-Sabc) на izh (— высота призмы KLBNQP), т.е.
т:

Vklbnqp — qSabc ' h,
О

а объем призмы KMNLQC'.

Vkmnlqc — ^Smklc * 2^ ~ ~^$авс ' 2^ ~ qSabc h.

Итак:

3
h = как доказано выше (2.4) = -V,
а тогда

V = -Sabc h.

Вопрос, который оставался без ответа почти 2200 лет, звучит: а
нельзя ли получить результат Евклида без использования теории
пределов? Явно поставил этот вопрос в 1900 г. Давид Гильберт
(1862-1943), и в том же году был дан отрицательный ответ. Его
дал тогда 22-летний Макс Дэн (Max Dehn: (1878-1952)).

Более того, через 2200 лет после создания метода исчерпыван-
ия оказалось, что этот метод теснейшим образом связан с теорией
интеграла Пеано-Жордана (это модификация интеграла Рима-
на). Точнее, если тело измеримо по мере Пеано-Жордана1^ и по
мере Лебега, то результаты совпадут с результатами по методу
исчерпывания, т.е совпадут объемы и по мере Лебега и по мере
Пеано-Жордана.

Если же тело не измеримо по Пеано-Жордану, но измеримо
по Лебегу, то метод исчерпывания даст результат меньший, чем
соответствующий интеграл Лебега. 2)

Напомним, что множество Е С называется измеримым по
Пеано-Жордану, если для Vs > 0 существуют два множества Di
и D2'. Е С D2 и Е Э Dp При этом и Z)2 являются объе-
динениями непересекающихся ’’полуоткрытых прямоугольников”3^
и разность объемов (площадей) £?г и £)2 будет меньше е. Мерой
Пеано-Жордана для Е назыается нижняя грань множества об-
ъемов всех покрывающих Е множеств, являющихся объединением
конечного количества “прямоугольников”

Камил Жордан (Camile Jordan) (1838-1922), французский математик;

Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano) (1858-1932), итальянский математик.

2) Подробнее см А.Лебег Об измерении величин. М.Учпедгиз. 1960.

3)Т.е. множеств вида [ai,bi) х х (an,&n) С Кп.
2.6. Евклид и его “Начала”

Познакомим теперь читателей с двумя великими математика-
ми Древней Греции: Евклидом и Архимедом.

Начнем с Евклида. Евклид (-365, -300) был первым директор-
ом Александрийской библиотеки, построенной одним из стратегов
по имени Птолемей (из армии Александра Великого). Птолемей
провозгласил себя фараоном (под именем Птолемей I) и основал
город Александрия. Незадолго до смерти Евклида появилась его
важнейшая работа “Начала”

Первая попытка унификации текста была сделана через 600 лет
после смерти Евклида неким Терном (IV век н.э.), а последняя - в
1883-1886 группой немецких ученых под руководством И.Хайберга
(J.L.Heiberg) (1854-1928).

“Начала” состоят из 13 книг. В первой книге даны постулаты
(5) и 35 определений, из которых выводятся примерно 250 теорем.
Определения делятся на 2 группы: “рабочие” которые широко
используются и “описательные” не используемые (точка, линия
(—длина без ширины)).

Постулаты следующие:

I. Из любой точки в любую другую можно провести прямую.

II. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по
прямой.

III. Из всякого центра любым раствором (циркуля) может быть
описан круг.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние
односторонние углы, меньшие (в сумме) двух прямых, то пр-
одолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той
стороны, где углы (в сумме) меньше двух прямых1) (углов)
(Рис. 2.12).

Рис. 2.12: К V постулату
Евклида

Многих математиков смущала
такая сложная конструкция V пост-
улата. Однако примерно 40 лет тому
назад (в 1966 г.) И.Тот (Toth I.)
при анализе текстов Аристотеля сде-
лал вывод, что в античной мате-
матике до Евклида изучались гео-
метрические системы, в которых
сумма углов треугольника не равна
двум прямым углам, а больше или
меньше2^

Кроме постулатов, которые можно было бы назвать главными
аксиомами, Евклид дал еще 5 аксиом:

1. Две величины равные третьей равны.

2. Добавляя к двум равным одно и то же, получим равные.

3. Отнимая от двух равных одно и то же, получим равные.

4. Величины, которые можно заменять между собой, равны.

5. Часть меньше целого.

школьных учебниках дана формулировка Прокла (Proklos) (410-485).
Интересно, что сам Прокл дал “доказательсво” своей формулировки: “Через
точку, лежащую вне прямой в плоскости, определенной этой точкой и этой
прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую заданную”
Доказательство Прокла использовало следующий факт, который он считал
очевидным: “Существует максимум расстояний между прямыми к и к', если
а + 0 = 2d.” Но этот факт равносилен V постулату! (см.рис. 2.12)

2)l.T6th Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum. AHES, v.3 (1967),
249-422
Интересна 4 аксиома, она на языке современной математическ-
ой логики означает, что равенство формул - это выполнение всех
одинаковых пропозициональных формул.

В книге II “Начал” содержатся 14 теорем о формулах, на-
пример:

Книги III и IV содержат определения и теоремы о геометрии на
плоскости. Приведем теорему (Фалеса): если прямая, параллел-
ьная основанию ВС треугольника АВС, пересекает его боковые
стороны в точках D и Е, то (рис. 2.13)

\BD\ _ \&BDE\ _ \/\CDE\ _ |СЯ|
|Ш| “ \Kade\ ~ '\Kade\ “ |£\4|‘

Доказательство опирается на лемму:
«а 7 а

если — = —, то — = — , которая в. св-

р о у о

ою очередь выводится из определения пр-
опорций и равенства площадей треугол-
ьников BDE и CDE, которое следует из
равенства высот этих треугольников (т.к.
ВС || DE) и общего основания DE.

Кроме “Начал” Евклиду приписывают
еще 4 книги:

Рис. 2.13: К теореме

Фалеса

1. “О разбиении” работа о разбиении фигур на части.

2. “Оптика” -работа о геометрической оптике.

3. “Феномен” -работа, посвященная астрономии.

4. “Sectio canonis” (латинское название) - работа, посвященная
музыке.
Еще есть несколько работ, которые приписываются Евклиду,
например, “О конусах”

(Гораздо более известная работа на эту тему принадлежит
Аполлонию из Перги (-262, -170)).

После Евклида пост директора Александрийской библиотеки1)
занимали еще несколько видных ученых. Из математиков сле-
дует отметить, в частности, Эратосфена из Кирены (-262,-194),
известного своим алгоритмом нахождения простых чисел (решето
Эратосфена )2\ Он также вычислил радиус Земли (изучая раз-
ности углов падения солнечных лучей).

2.7. Архимед и его свершения

Несомненно, после Евклида наиболее прославился Архимед
(-282, -212). Начнем с факта, о котором в школе не упоминается.
Именно Архимед установил, что число, равное отношению длины
окружности к диаметру (тг), и число, равное отношению площади
круга к площади квадрата, построенного на его радиусе (тг), сов-
падают.

Архимед часто пользовался методом исчерпывания для дока-
зательства разных теорем, в частности для доказательства сле-
дующих двух теорем:

Теорема А. Если площадь |F| фигуры F меньше площади
круга К, то существует такой многоугольник W, вписанный в К,
(точнее в окружность круга К), что |Ж| > |F|.

Теорема В. Если площадь |F| фигуры F больше площади
круга К, то существует такой многоугольник V, описанный око-
ло круга К, (точнее около окружности круга К), что |V| < |F|.

Сравнительно недавно Александрийская библиотека была восстановлена
на деньги Евросоюза (1 млрд $) и вновь является крупнейшей библиотекой
Средиземноморья.

2) Хакеры для взлома публичных кодов в начале 90 г. XX века использовали
модификацию этого алгоритма.
Доказательство теоремы А пров-
одится удалением из круга вначале
вписанного квадрата, его обозначим
через Wi, а затем из оставшейся ча-
сти равнобедренных треугольник- Рис. 2.14: К доказательству
ов (рис. 2.14). Квадрат с этими треу- теоремы А
гольниками образует многоугольник

W2 и т.д. Тем самым круг можно исчерпать многоугольниками Wj,
притом так, что для любого е > 0 разность |А"| — |Wi| может стать
меньше £ при всех г больших некоторого г€. Возьмем £ < |К| — |F|.
Тогда существует

un |кыиг1<|к|-1л^ш>1П

Другим примером может служ-
ить доказательство того факта, что
число 7Г и число 7г - полученное, как

отношение площади круга к квад-
рату его радиуса, равны (рис.
2.15).

Доказательство. Пусть дан
круг К радиуса г и число тг, рав-

Рис. 2.15: К доказательству
равенства тг и тг

ное отношению длины окружности
к диаметру. Отложим отрезок, рав-
ный длине |С| окружности С круга К (|С| — 2тгг) и построим

прямоугольный треугольник Т высоты г

Его площадь \Т\ — -г|С| = тгг2. Площадь |7<| — тгг2 (по оп-
ределению тг). Если мы докажем, что |Т| — |7<|, то тем самым

установим, ЧТО ТГ = 7Г.

а) Предположим, что |К| > |Т|. Тогда на основании теоремы А
существует многоугольник W, вписанный в круг, удовлетво-
ряющий условию |ТУ| > |Т|. Разделим этот многоугольник на
треугольники с основаниями ai,.. , а* и высотами hi,..., hk
(рис. 2.16а).

(Ь)

(а)

Рис. 2.16: К доказательству а) и Ь) равенства тг и тг

Обозначим через Дтах

= тах{|Д1|,..., |}. Тогда

+ |аг| + + Ы) < 27ГГ = |Т|,

т.е. получили противоречие.

б) Предположим, что |А7| < |Т| (рис. 2.16b). На основании тео-
ремы В существует многоугольник V описанный около К:
|V| < |Т|. Разделяя этот многоугольник V на треугольники
с основаниями Ь15 ,Ьп и высотой по длине равной г, полу-
чаем:

И = ^г-|Ь1|+. . + |г-|Ь„| = ^г(|Ь1|+. .+|ЬП|) > ir2Trr = |Г|,

т.е. вновь получили противоречие. Значит, |Т| = |7<|.

Дадим еще две формулы, сообщаемые в школе либо без доказа-
тельства, либо с использованием интегралов, данные Архимедом.
Это формулы площади поверхности шара и объема шара.
(а)

Рис. 2.17: О нахождении площади поверхности шара

Чтобы найти площадь поверхности шара радиуса г, опишем ок-
оло него цилиндр К. Проведем 2 параллельные плоскости, расст-
ояние между которыми равно h. Вначале Архимед устанавливает,
что вырезанная боковая поверхность цилиндра (равная 2тгг/г) со-
впадает по величине с площадью боковой поверхности усеченного
конуса, касающегося шара по окружности, полученной сечением
шара между 2-мя плоскостями как раз в середине и высекающ-
его окружности на этих плоскостях (радиус верхней пусть будет
гь а нижней г2, а радиус окружности касания пусть будет г (см.
рис. 2.17)). Действительно, из подобия треугольников OPS и QPR
следует, что

К=К! - m• i^i=ips|.m г J=г-1 => 2^rh=2«fi.
г A f L
2 2

Отсюда сумма площадей боковых поверхностей таких конусов
всегда равна площади поверхности всего цилиндра, т.е.

‘I'jvrhi = 2тгг 2г — 4тгг2
Рис. 2.19: Разбиен-
ие призмы (рисунок
Евклида)

При уменьшении к нулю максимума высоты конусов и увеличении
до бесконечности числа сечений получим, что и поверхность шара
равна 4тгг2

Архимед дает и простое доказательство
для формулы объема шара (рис. 2.18 на
стр.50). Описав вокруг шара радиуса г цил-
индр Ц, проведем две плоскости, параллел-
ьные основанию цилиндра (одну Dq че-
рез центр шара, а другую Dx на высоте
х от нее). Площадь Sx сечения шара этой
плоскостью Dx будет: Sx = тгг2 = 7г(г2 — т2).
Впишем в наш цилиндр два круговых ко-
нуса с центром в центре шара и основан-
иями, совпадающими с основаниями цил-
индра. Найдем теперь площадь кольца Мх,

образованного сечением плоскости Dx в цилиндре, но вне конуса.
Smx = тгг2 — тгт2 (так как площадь сечения конуса равна тгт2).

Итак, на каждой высоте сечения шара и сечения цилиндра вне
конусов по площади совпадают. Архимед делает вывод, что и об-
ъемы совпадают. Но объем цилиндра без конусов будет равен

Уц\2К = ттг2 2г - 2

1 2 4 3

-7ГГ Г — -7ГГ

3 3

Заметим, что рассуждения Архимеда только внешне похожи на
принцип Кавальери (но этот принцип нельзя применить, так как
круг непрерывной деформацией не превратить в кольцо). Обосно-
вание у Архимеда другое: “Наливая воду в цилиндр без конусов
(через дырочку вверху) и в шар, заметим, что на каждом уровне
воды требуется одинаковое количество (так как площади уровней
одинаковы), а поэтому объем воды будет тот же самый.”

Добавим еще, что Архимед получил интересную оценку числа
О1137 1335

38069 <7Г< 39347'
Упражнения

1. Докажите, что конхоида Никомеда решает проблему три-
секции угла, т.е. что угол АОС на рис. 2.7 искомый.

тт „ 19

Найдите разложение в непрерывную дробь —

„ „ V2

Проверьте, что дроби — соответствует бесконечная после-
довательность Теэтета (1, 2, 2,...).

4. Если a priori объем пирамиды равен произведению: “пло-
щадь основания на высоту и на некоторый постоянный ко-
эффициент 7”, получите, что 7 = 1/3, пользуясь рисунком
2.19 Евклида.
(а) Сечение шара

(Ь) Сечение ци-

линдра вне конуса

(с) Сечение цилин-
дра вне конуса (вид
сбоку)

(d) Сечение шара (вид
сбоку)

Рис. 2.18: К нахождению объема шара
Глава 3

Математика в период от
времени расцвета Рима до
эпохи Возрождения (-II в.,
XVI в.)

1. Закат европейской математики.

2. Китай (до 1430 г.) один из центров развития астрономии,
механики и алгоритмов.

3. Индия - еще один центр развития математики (в период

-V в. - XII в.).

4. Багдадский халифат и творчество Мухаммеда ал-Хорезми,
Абу-ал-Вафа, Омара Хайяма, Ал-Каши.

5. Началого нового расцвета Европы и математики.
3.1. Закат европейской математики

Период расцвета Рима продолжался от начала пунических1'*
войн (-264г.) до III века н.э. В этот период в некоторых городах
империи еще жили и работали математики, но их деятельность,
за редким исключением, не имела такого влияния на развитие ма-
тематики, как это имело место в Древней Греции. Кстати, Греция
окончательно была захвачена Римом в 146 г.д.н.э.

Уже упоминавшийся выше Аполлоний из Перги (-272, -170)
сделал еще много открытий в геометрии конусов, но оценили его
результаты только спустя 1500 лет. Он, в частности, открыл свой-
ства эллипсов, парабол и гипербол.

В I веке д.н.э. в Александрии жил математик Герои. Прослав-
ился он прежде всего своими открытиями в технике. Но его книга
по математике “Метрика” также была широко известна. Именно
в этой книге и содержится его знаменитая формула о площади
треугольника со сторонами а, Ь, с:

S& = i\/(a + 6 + с)(а + 6 — с) (а — 6 + с) (—а + 6 + с) (3.1)

В I веке Никомах из Герасы исследует функцию 2sin— 2\ Во-
&

обще говоря, тригонометрические функции применялись и ранее

при решении сферических треугольников в астрономии, в частн-
ости еще у Аристарха (-IV в. -III в.), Гиппарха (-11 в.). Первую
таблицу синусов составил Птолемей Клавдий (85, 165), которому
кстати принадлежит книга “Великая математическая конструкция

астрономии”, которая почти 1500 лет была основной книгой по
астрономии в Средиземноморской цивилизации. Для объяснения

Войны (-264, -146) между Римом и Карфагеном за господство в западном
Средиземноморье называются пуническими (от лат. слова Puni - так римляне
называли карфагенян).

2) Синус от лат. sinus - выпуклость.
движения планет с центром Земля, Птолемей для каждой пла-
неты, а также для Солнца, строит окружность, названную диф-
ферентом, по дифференту движется центр еще одной окружн-
ости (названной им эпициклом) (рис. 3.1) и т.д. В среднем на одну
планету и Солнце приходилось по 11 окружностей. (По последней
окружности и двигалась планета или Солнце). На всю систему
Птолемею потребовалось 77 окружностей.

В своих работах Птолемей сущест-

венно опирался на труды Менелая Алек- /***"*\_

сандрийского, жившего в I веке. Три кн- бМ

иги его содержат важнейшие элементы f Ax'

сферической геометрии и тригонометрии. I у

В третьей книге он приводит свою тео- _

рему о трансверсалях: пусть АВ и АС

прямые на плоскости и на них взяты

произвольные точки Е и D (рис. 3.2). Рис- 3.1: Дифферент и
Пусть CD и BE пересекаются в точке. G. эпициклы

Тогда

АЕ CG DB

СЕ DG АВ

(3.2)

Считая, что ДАВС лежит внутри шара
и его плоскость не проходит через центр
шара О, Менелай проектирует всю “ка-
ртинку” на сферу и получает формулы
сферической тригонометрии. (Эти форм-
улы послужили Н.И.Лобачевскому для
обоснования своей неевклидовой геомет-

Рии)’ Рис. 3.2: К теореме

Еще одним математиком из Александ- Менелая

рии, оказавшим существенное влияние

на развитие математики (но после XVI

века!), был Диофант. К сожалению, о жизни Диофанта нам мало
что известно, кроме того, что он жил во второй половине III века
в Александрии. Не известно, был ли он греком и жил, как об этом
иногда пишут, 84 года. Известны 6 книг “Арифметики” Диофанта.

Приведем несколько результатов из этих книг (Диофант дал
их без доказательства.).

Теорема А. Если простое число имеет вид 4к + 1, (к 3), то
существуют числа hi € N и h2 € N, такие, что

4к + 1 = h2 + h22. (3.3)

Теорему А доказал П.Ферма, а Л.Эйлер получил на ее основе
свойство простых чисел: для того, чтобы число вида 4к + 1 было
простым необходимо, чтобы оно единственным образом представ-
лялось в виде суммы двух квадратов.

Теорема В. Если п — 8к + 7 € N, (к G N), то не существуют
h± h,2, h% € N:

n = 8k + 7 = h2 + h2 4- h2. (3.4)

Доказательство этой теоремы впервые дал Гаусс в конце XVIII
века.

Основная задача, решаемая Диофантом в своих книгах, это
решение уравнений и систем алгебраических уравнений в раци-
ональных положительных числах. Диофант употреблял только
одну переменную, которую назвал “arythmos” Дочь ученика Ди-
офанта математика Теона (из Александрии), по имени Гипатия
(370-415), написала в начале V века комментарий к “Арифметике”
Диофанта, о котором сообщали арабские источники, и который
был обнаружен только в 1975 г. (в Каире) и опубликован. В нем в
частности, впервые появляется понятие отрицательной степени.
Таким образом, Гипатия была первой женщиной математиком. К
сожалению, она была забита камнями толпой христиан в 415 г.

Из современников Диофанта можно выделить Паппа (? ;320),
написавшего краткое изложение греческой математики под наз-
ванием “Синагога”, что на иврите означает “Собрание”. В частн-
ости, он, ссылаясь на Архимеда, описывает полуправильные мно-
гогранники (грани - правильные многоугольники, но не обязател-
ьно с одинаковым числом сторон). Он приводит 13 таких тел (тела
Архимеда). Например, кубооктаэдр (рис. 3.3), состоит из 6 квад-
ратов и 8 треугольников. 14-ое тело Архимеда было найдено в 1957
В.Г.Ашкинузе.

Других тел Архимеда, как следует, на-
пример, из результатов В.А. Зал галл ера1)
не существует. Эти тела оказались весьма
важными в кристаллографии.

Наконец, последним из математиков
этой эпохи можно назвать, уже упомина-
вшегося в связи с V постулатом Евкл-
ида, Прокла (410-485), который написал
историю математики, точнее геометрии
Древнего мира в комментариях к I кни-
ге “Начал” Евклида. О многих результа-
тах древних мы знаем только из этих ко-

Рис. 3.3: Кубооктаэдр

мментариев.

В 529 г. император Юстиниан закрыл Афинскую академию.
Часть математиков была вынуждена переехать в Византию (как
например Исидор из Милета и Анфимий из Тралл именно они
были архитекторами и строителями знаменитого собора св.Софии
в Византии), другие в Персию, (как, например, Симпликий он
написал комментарий к работам Аристотеля, где, в частности, и
упоминает о Гиппократе Хиосском и о квадрируемых луночках).

В.А.Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями. Л.:
Наука, 1967.
3.2. Китай (до 1430 г.) - один из цент-
ров развития астрономии, механики
и алгоритмов

Если мы достаточно хорошо знакомы с цивилизацией Вост-
очного Средиземноморья (включая и Двуречье), то значительно
меньше (в силу разных причин) мы знаем о другом центре миров-
ой цивилизации Китае. Письменных источников до 213 года до
н.э. в Китае не сохранилось.

Прежде всего, это связано с тем, что в (-213г.) император Ши
Хуан-ди, желая унифицировать китайскую письменность, прик-
азал сжечь все старые книги (предварительно переписав их). Во-
вторых, уже в (-II в.) в Китае была изобретена бумага, а она как из-
вестно горит (в отличие от глиняных табличек или текстов на кам-
не). Наконец, в третьих, Китай довольно долго был закрытым для
иностранцев государством. Открылся он довольно поздно (факти-
чески в конце XVIII века), будучи полуколонией на территории
которой постоянно шли войны, восстания, революции. Только в
последние 20 лет появилась возможность планомерно и широким
фронтом вести изучение его истории.

Тем не менее, мы знаем, что еще в период династии Чжоу (-
1050, -221) в Китае появились “магические квадраты”1^ с числами
от 1 до 9 - сумма элементов любой из строк или столбцов или
диагоналей которых постоянна:

4 9 2

3 5 7

8 16

(3-5)

На гадательных костях животных (-ХШ века) уже изображены
правильные 5, 7, 8 и 9-ти угольники.

Из древних книг, переписанных в (-II в.) до нас дошли:

Появление этих квадратов относят к (-XI в.)
1. “Трактат об измеримых шестах” математико-астрономи-
ческая работа;

2. “Математика в девяти книгах”

Хотя в “Трактате...” в основном идет речь об астрономии, но
там же содержится теорема Пифагора и приведены вычисления с
дробями.

“Математика в девяти книгах” по форме изложения напомина-
ет папирус Ахмеса. В ней собрано 246 задач, изложенных догмати-
чески: формулировка, ответ и очень сжато способ решения. В I
книге изложены арифметика дробей и способы вычисления площ-
адей плоских фигур. Во II книге решаются задачи на пропорции
(в форме текстовых задач для зерноторговцев), а в III - на пропо-
рциональное деление. В IV книге приведено нахождение: стороны
квадрата по площади, стороны прямоугольника по площади и
другой стороне, ребра куба - по объему, диаметров кругов и сфер.
В V книге измеряются объемы стен, каналов, рвов, плотин и выч-
исляется число рабочих, необходимых‘для выполнения строител-
ьных работ. В VI книге решается задача справедливого распреде-
ления налога и поставок между уездами и другие экономические
задачи. В VII книге решаются системы 2-х линейных уравнений с
2-мя неизвестными. В VIII книге решается система п уравнений с
п неизвестными методом фан-чэн

Наконец, IX книга посвящена решению задач, связанных с тео-
ремой Пифагора, в частности, решению задачи нахождения цело-
численных решений неопределенного уравнения:

а2 + Ь2 = с2 (3.6)

Были найдены такие тройки а, Ь, с, которые удовлетворяли урав-
нению (3.6):

п _ Р2 - Q2

р +
b=pq, с = —-—

(3.7)

^Фактически этот метод совпадает с методом Гаусса.
где р и q одновременно либо четные либо нечетные натуральные
числа.

В IX же книге есть серия задач, сводящихся к решению сис-

темы:

х2 ± у2 — а
у ±х = Ь,

что равносильно решению квадратного уравнения.

если

' х2 + у2 - а
у - X = Ь,

то китайцы, пользуясь подстановкой x = z--,y = z +
задачу к решению неполного квадратного уравнения:

(3-8)

Например,

(3.9)

2’

сводили

2z2 + 2

(3.10)

Интересно, что в “Математике в девяти книгах” разработаны мет-
оды извлечения квадратного и кубического корней. Основаны они
на формуле квадрата и куба суммы двух чисел. Более того, к I
веку н.э. в Китае появилось обобщение этих методов на извлечен-
ие корня любой натуральной степени п 2, а также численное
решение уравнений n-степени. Этот метод появился в Европе то-
лько в XIX веке и назван методом Руффини-Горнера.

Для решения уравнения n-ой степени f(x) = 0, имеющего дей-
ствительный корень х = оца^з • •, записанный в десятичной сис-
теме, подбором находится целая часть корня o?i, делается подс-
тановка

у = Юз/ = 10(з: - th) (3.11)

Далее переходят к уравнению <р(у) ~ 0, где у = a2^3 • снова
подбором находится а2, т.е. имеем схему Горнера.

Комментатор “Математики в девяти книгах” Лю Хуэй (III в.)
определял расстояние до недоступных предметов и размеры этих
предметов. Полководец Ван Фань (умер в 267 г.) получил прибл-
иженное значение тг « 142/45 « 3.155. Лю Хуэй получил для тг
оценку: тг ~ 3.14. Оценка получена при вписывании в круг пра-
вильных 96-и и 192-угольника. Астроном Цзу Чунгжи (430-501)
доказал, что

3.1415926 < тг < 3.1415927.

До 1400 года развитие механики в Китае опережало развитие ме-
ханики в Европе. В конце III в. в Китае уже был изобретен верто-
лет. Астрономические наблюдения в Китае были точнеее и полнее
европейских. Календарь, имевший 365 суток, в Китае появился
еще в (-XII в.)! Более того, в 1421 г. во времена династии Минг
была предпринята экспедиция вокруг Земного шара, но только не
на запад, а на восток. Обойдя с юга Южную Америку и Африку
и составив в пути более 70 карт звездного неба, через 3 года эк-
спедиция благополучно вернулась в Китай1). По картам удалось
точно установить время и трассу экспедиции2)

3.3. Индия - еще один центр развития
математики в период (-V в, XII в.)

Еще в середине III тысячелетия д.н.э. в долине Инда сущ-
ествовала развитая цивилизация, одним из центров которой был
город Мохенджо-Даро.

Первые индийские математические памятники относятся к
периоду с VII-V вв.до н.э., примерно тогда же, когда появились

х)Эти факты кроме китайских источников подтверждены в диссертации
1998 г. бывшего командира американской атомной подводной лодки, после
обработки сохранившихся китайских карт звездного неба с помощью комп-
ьютера.

2 Вероятно сведения об этой экспедиции и явились побудительным толчком
для экспедиции Колумба.
священные книги брахманов Веды, и содержатся в комментариях
к ним.

Отметим, что уже в (ЛХв.) были установлены связи Индии
и Вавилона. Через юго-восточную Азию существовали связи и с
Китаем, по крайней мере с (-Vb.) Как известно, в (-327, -325) ча-
сть Северной Индии была завоевана Александром Македонским.
С тех пор прослеживается эллинское влияние на развитие мате-
матики в Индии. После разгрома в V веке Александрийской шк-
олы часть ее математиков бежала в Индию. Книги по математике,
издававшиеся в Индии с V века, носят явный отпечаток эллин-
истической культуры.

Как известно, наши цифры, называемые арабскими, на сам-
ом деле индийские. Цифра “0” появилась там еще в (-III в), что
отличало 50 от 5 и 0,5. Дроби в Индии известны с середины II
тысячелетия до н.э., в частности, не только вида п~1, а, например,
и 3/4 = (“три-пада”)1). В “Сульвасутре” (-V в.) видим разложение:

^1 + |4 + Й + ГТ34 а 1’4142156' <312)

Во II веке н.э. (на 100 лет позже Никомаха) в книге “Сурья Си-
ддханта” уже можно найти таблицу синусов. Отрицательные чис-
ла появились у индийцев за 1000 лет до их появления у европей-
цев. Напомним, что позиционная система счисления появилась в
Индии в (-Ш в.)

Важным достижением индийских математиков было создание
развитой алгебраической символики. Появились знаки для мног-
их неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней,
квадратного корня. Бхаскара (1114-1185) уже знал, что

/ /г а + у/а? — b а — \/а2 — b + 2 2 0 Число Зив санскрите - “три” (3.13
и

(3.14)

и применял:

V5 + = V2 4-\/3

(Докажите сами!)

(3.15)

Ариабхата I (родился в 475г.) дает решение квадратного уравнен-
ия:

tx2 + рх — qp

в виде:

х —

Магавира (IX в) уже знает, что квадратное уравнение имеет (усл-
овие их существования дает Бхаскара) 2 корня.

В отличие от Диофанта, искавшего только
рациональные решения неопределенных
уравнений, индийцы дали способ решения
неопределенных уравнений в целых поло-
жительных числах. Их дал уже Ариабха-
та I, но подробнее Бхаскара и БрахмаГуп-
та (598, 7)1’.

Вершиной в этом направлении яв-
ляется решение уравнений вида:

Рис. 3.4: К формуле
площади четырехуго-
льника, вписанного в
круг

ах2 + Ъ — у2.

(a, b е N),

а также вида

ах 4- Ьу 4- с = ху

(a, be, € N).

^Год смерти не известен.
Брахмагуптой в 628 г. были изданы 20 книг, из которых XII и
XVIII книги были посвящены математике.

Брахмагупта (рис. 3.4) дал формулу нахождения площади чет-
ырехугольника, вписанного в круг, со сторонами а, Ь, с, d:

а -Ь b + с 4- d

Пусть р -------------, тогда

Sabcd = \/(р-а)(р- b)(p -с)(р- d)

(3.16)

(Докажите сами!).

Рис. 3.5: Доказатель-
ство Бхаскары теоремы
Пифагора с помощью

Бхаскара дает правило вычисления
4

объема шара: V = -тг/?3, где 77 = 3.1416.

Им же дано доказательство теоремы
Пифагора с помощью чертежа (рис.
3.5).

Индийцы уже пользовались график-
ом синуса и косинуса. Бхаскара дает
таблицу синусов через 1° Хотя инд-
ийцы рассматривали тригонометриче-
ские величины только для дуг I-й чет-
верти, но они пользовались соотношен-
иями:

чертежа

sin2 а + cos2 а — 1,
sin а = cos(90° — а),
sin(a ± /3) — sin си cos /3 ± cos a sin /3.

Еще в “Ведах”1) индийские математики приводят примеры ари-
фметических и геометрических прогрессий. В XIV веке Нара-
йяна начал находить конечные суммы. В частности, если =

1)“Веды” (или “Самхита” - санскрит) - древнейшие памятники древнеинд-
ийской литературы, написанные стихами и прозой до возникновения будди-
зма, т.е. ранее 6 века до н.э.
14-2 4- + п, S™ = S[m 4- S^m + 4- 5nm то Нарайяна

приводит формулу:

„{тх п(п 4- 1)(п 4- 2) • • • (п 4- тп) . .. /п <ят.

----7 • ------ (докажите сами!). (3.17)
(т 4-1)!

Им был обобщен этот результат на арифметическую прогрессию
с первым членом ai и разностью d:

(™) ,

V = щ ——r^n-i + (докажите сами!).

z—' п — 1

В XVI веке Нилаканта (XV-XVI вв.) дает разложение дуги чет-
верти окружности в ряд:

7Г _ 1 1 _ 1

4“ “з+5“7+

(-I)""1
2п — 1

4- fcn,

(3.18)

при этом поправка кп дается в трех видах:

А(1) = С"1)" fc(2) =
4п ’ "

(-1)пп
4п2 4-1 ’

(3.19)

Легко видеть, что > |fcn3^| > |^|- Число тг, найденное Ни-
лаканта, имеет 10 первых верных знаков.

В трактате “Техника вычислений” (XV-XVI в.), автор которых
не известен, даются разложения синусов и косинусов:

s3 s5
rS,nv = S-3!^ + 5!H~

rcosv = Г- — + ^-

где s = rip,

Разложение в ряд arctgz было также открыто Нилаканта:

• • 9 • 5

г sin (р Г Sin (р г sin ср

cos tp 3 cos2 tp 5 cos5 tp

(3.20)
Ряд (3.20) был переоткрыт Дж.Грегори (Gregory J.) в 1671 г. и
Г.Лейбницем в 1673 г.

Нилаканта при получении (3.20) раскладывает ------- в степ-

енной ряд, а затем фактически почленно интегрирует, аналогично
тому, как это делается при выводе равенства:

arctg t —

1 + х2

Отметим еще, что в XII веке Бхаскара написал книгу “Лилавати”
(“Восхитительная”) - множество оригинальных упражнений и за-
бавных задач которой, написанных в увлекательной форме, сотни
лет служат источником интереса к математике у детей и взрослых.

3.4. Багдадский халифат и творчество
Мухаммеда ал-Хорезми, Абу-ал-
Вафа, Омара Хайяма, Ал-Каши

В VII веке в Аравии возникла новая религия ислам (ара-
бск.: “покорность”), основанная Мухаммедом. Она впитала трад-
иции иудаизма и христианства. Мухаммед был объявлен 6-м пр-
ороком после Адама, Ноя, Авраама, Моисея и Иисуса. Началом
мусульманской эры считается 622 г. (время бегства Мухаммеда из
Мекки в Медину.) Он вернулся победителем в Мекку в 630 г.

После смерти Мухаммеда (в 632 г.) его преемники - халифы,
распространили ислам от Испании, юга Италии, всей Северной
Африки до Средней Азии и части Индии. В период от 750 до 1258
г. от Испании до Персии включительно господствовал багдадский
халифат рода Аббасидов. Наряду с садами Семирамиды халифы
открыли в Багдаде Дом Науки - учреждение, по образцу которого
позже в Европе появились университеты. В IX веке крупнейшим
ученым в этом Доме был Мухаммед ал-Хорезми (787-850), автор
двух выдающихся произведений:

1. “Algoritmi de Numero Indorum” (лат) = “произведение аль-
Хорезми об индийских числах”;

2. “Хисаб ал-джабр вальмукабала” (арабск.) = “Искусство сок-
ращения (=редукции) и переноса (восполнения)”

Из первого произведения Европа узнала десятичную позицион-
ную систему счисления и, что даже может быть важнее, понятие
алгоритма.

Второе произведение посвящено решению уравнений первой и
второй степени, и из него “выросла” европейская алгебра. Метод
ал-Хорезми, точнее его обоснование, рассмотрим на следующем
примере (рис. 3.6): найти решение уравнения

х2 + Юж = 39.

Строится квадрат со стороной х и к нему добавляют два прямоу-
/ г Ю ч *

гольника (со сторонами 5 = — и х).

Заштрихованная Г-образная фигура
имеет площадь 39. Добавляем к ней квад-
рат со стороной 5. Общая площадь рав-
на 64. Извлекая квадрат получаем, * что
5 + х — 8, т.е. х = 3.

Как самостоятельная наука алгебра
выступает в труде Омара Хайяма (1048-
1131) “Трактат о доказательствах задач
алгебры” (1074). В нем он решает куби-
ческие уравнения с помощью пересечен-
ия конических сечений. Решений в радик-
алах у него нет. Омар Хайям прославил-

5 5^ 25

Рис. 3.6: Метод Ал-
Хорезми решения
квадратного уравнен-
ия

ся прежде всего как поэт. Но он является автором самого сове-
ршенного календаря, дающего ошибку в 1 сутки за 5000 лет, в то
время, как современный календарь дает ошибку в 1 сутки за 3300
лет.

Уравнение 4-й степени впервые появилось в “Книге оптики”
Абу Али ал-Хайсама (965-1039) из Каира. Он решает задачу отра-
жения светящейся точки от цилиндрического зеркала по данным
положениям точки и глаза с помощью пересечения окружности и
гиперболы. Решений в радикалах у него нет.

Возвращаясь к Омару Хайяму, отметим, что он приводит фо-
рмулы

(а 4- Ь)2 = а2 + 2аЬ 4- Ь2, (а 4- Ь)3 = а3 4- За26 4- За&2 4- Ь3
как “индийские”, но вероятно, что он уже владел правилами воз-
ведения двучлена в любую целую положительную степень (он об
этом написал). Но пока текста этого открытия Омара Хайяма не
найдено.

Описание извлечения корня любой степени из целого числа дал
Насир ат-Туси (1201-1274). Интересно, что отыскание целой части
корня следует схеме, известной уже китайцам. Дробная часть кор-
ня + г, где а, п, г - целые числа, и ап4-г < (а4-1)п, - находится
приближенно в виде

Пример: »6 = 25^, = 25^^

Насир ат-Туси излагает правило образования разности:

и приводит таблицу биномиалных коэффициентов до п — 12. Ат-
Туси знал и зависимость
Очень подробно эти результаты изложены Ал-Каши (?; 1436)в
его книге “Ключ арифметики” (1427). Отметим еще, что выдающи-
мся его достижением является введение десятичных дробей. Впр-
очем, и Омар Хайям уже подходит к обобщению понятия числа
на любые положительные числа. Он вводит понятие отвлеченн-
ой делимой единицы, рассматривая отношение двух произвольных
непрерывных величин А и В.

Другим важным достижением Хайяма были результаты поп-
ыток доказать V постулат Евклида. В частности, им были получе-
ны некоторые предложения, лежащие в основе первых теорем не-
евклидовой геометрии Лобачевского и Римана (рис. 3.7).

(а) геометрия Лобаче- (Ь) геометрия Римана (с) евклидова геометрия
вского

Рис. 3.7: Виды четырехугольников с тремя прямыми углами в раз-
ных геометриях

Рис. 3.8: Сегмент параболы и параллелограмм, описанный около
него

^Год рождения неизвестен.
Рис. 3.9: Параболическ-
ая сфера и тело вращен-

Более того, три гипотезы о велич-
ине одного угла а, возникающего при
движении конца отрезка “с” перп-
ендикулярного прямой “Ь” в четыре-
хугольнике с тремя прямыми углами,
рассматривали в XVIII веке Ламберт
и Саккери.

ия вокруг стороны парал-

лелограмма - хорды пара- Много внимания арабы уделяли

болы астрономии и составлению таблиц

тригонометрических функций. На-
пример, Абу-ал-Вафа (940, 998) составил таблицу котангенсов че-
рез 15', а значения дал с 8 знаками после запятой. Привел он и
формулу косинусов для сферической тригонометрии: пусть а, 6, с
- криволинейные хорды на сфере, а - центральный угол. Тогда

cos а = cos b cos с — sin a sin b sin а. (3.22)

Чуть позже Ибн ал-Хайсам (965-1039) в трактате “Об измерен-
ии параболического тела” вычисляет объем, ограниченный пара-
болической сферой. При этом он вычисляет частичную сумму:

л=1

(п + 1)

(3.23)

и, применяя метод исчерпывания, доказывает, что объем, ограни-
ченный параболической сферой, равен 8/15 объема тела вращения
параллелограмма, описанного около сегмента параболы, при вра-
щении которого относительно одной из ее хорд получается парабо-
лическая сфера (объем этого тела вращения также равен объему
прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью(рис.
3.8 и 3.9)).

Фактически Ибн ал-Хайсам вычисляет / х4 dx (докажите
Л

сами!).
Техника вычисления у арабов была весьма развита. Уже упом-

инавшийся выше Ал-Каши вычислил тг, вписывая в круг и описы-
вая около окружности правильные n-угольники, где п — 228 3,

тг « 3.14159265358979325. Ему же принадлежит идея, что тг нельзя
п , __

представить в виде тг = —, где п, к € N, т.е. что тг не рациональное
к

число. Но доказательства он не дал.

3.5. Начало нового расцвета Европы и
математики

О начале возрождения европейской математики можно гово-
рить только с XIII века, когда в результате появления университе-
тов (Салерно - (XI) в., Болонья (1100 г.), Париж (XII в.), Оксфорд
- (XII в.), Виченцо - (1205 г.), Ареццо - (1215 г.), Падуя (1222
г.), Кембридж - (1209 г.), Саламанка, Коимбра, Неаполь, Прага
(1348 г.), Краков - (1364 г.) и т.д.) активно был начат перевод
текстов с арабского и греческого на латынь.

Первые математические работы новой Европы связаны с име-
нем Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180-1250) из города Пизы.
Этот город с середины XII века был богатым городом-республикой.
Математике Леонардо Фибоначчи научился в Алжире, где в гор-
оде Буджия торговал его отец, БоначЧи, а также в Египте, Сирии
и Византии. Всего Леонардо Фибоначчи написал 3 книги: “Книга
абака” (1202 г.), где под абакой понимается не счетная доска, а
арифметика, “Практика геометрии” (1220 г.) и “Книга квадратов”
(1225 г.). Первые две книги являются, с одной стороны, собран-
ием достижений древних греков и арабов, а с другой стороны
отражением и собственных результатов Леонардо Фибоначчи. В
частности, в XII главе первой книги, приводя задачи на суммиро-
вание прогрессий, Леонардо Фибоначчи приводит впервые пример
возвратного ряда. Речь идет о числе кроликов, за один год, котор-
ые родятся от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно
по разнополой паре, способной через месяц к размножению, и если
ни один кролик не погибает. Ответ дается суммой ряда:

14-1+24-3 + 54-84-13 + + 144 = 376,

где общий член ип удовлетворяет рекуррентному соотношению:

Un+i = ип 4“ un—i. (3.24)

Последовательность, удовлетворяющая условию (3.24), теперь на-
зывается последовательностью Фибоначчи. Эта последователь-
ность нашла широкое применение в логике, теории чисел, матема-
тической экономике, но ее исследование продолжается1).

Во второй книге Фибоначчи, кроме известных греческих резуль-
татов, приводит и свои. Например, дает доказательство того, что
три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Архимед
давал этот факт без доказательства.

В третьей книге, содержащей задачи на неопределенные квад-
ратные уравнения, Леонардо Фибоначчи, в частности, решает та-
кую задачу: Найти х, у, z, для которых следующие три суммы
были бы квадратным числом (т.е. квадратом рационального чис-
ла):

{х 4- у + z -I- т2,

х 4- у 4- z 4- х2 4- у2, (3.25)

х 4- у 4- z 4- х2 4* у2 4- z2.

Решите сами! Ответ:

16 48 144

В 1455 г. появилась первая печатная книга “Библия”, издан-
ная Иоганом Гефлейшем, известного под именем Гутенберг, а 39

1}До сих пор неизвестно, например, будет ли среди чисел Фибоначчи, т.е.
чисел последовательности Фибоначчи с начальными условиями щ = и? = 1,
конечное число простых чисел.
лет спустя - первая печатная книга по математике “Summa de Ar-
itmetica” Луки Пачоли (Luca Pacioli). Лука Пачоли (1445-1514)
дал в ней обзор актуального состояния исследований по решению
уравнений. Кроме того, в книге содержится материал, который по
современной терминологии относится к математической экономи-
ке1^ и к теории алгоритмов. В частности, он дал новый алгоритм
умножения, основанный на формуле:

4 4

Как уже упоминалось выше, арабы не умели решать в радик-
алах уравнений 3-го и 4-го порядков, хотя и высказывали пре-
дположения, в частности Ал-Каши, о такой возможности. Ал-
Каши дал2) оригинальный итерационный прием решения уравнен-
, q 4- х3 „

ия х 4- q = рт, которое он переписывал в виде х =-и брал в

q q

качестве первого приближения Xi = -* второго Х2 —---трет-

р р

। д.3

ьего Тз =------ и т.д. (Проверьте сходимость этого процесса!)

Поэтому для европейцев задача решения в радикалах уравнен-
ия 3-й степени была чрезвычайно заманчива. Первым ее решение
нашел Сципион Дель Ферро (Scipione del Ferro, 1465-1526).

Его метод по сути был подобен методу ал-Хорезми для решения
уравнения второго порядка вида: х2 4~ ах = Ь. Напомним (рис.
3.10), что мы разбивали квадрат со стороной А на два квадрата
со сторонами хи А- х = В и на два прямоугольника: Итак,

А2 — х2 4- В2 4- 2Вх => х2 + 2Вх ~ А2 — В2 = Ь.

1^Не случайно, Лука Пачоли считается одним из создателей бухгалтерского
учета.

2)“Трактат о хорде и синусе” для решения задачи трисекции угла Ал-Каши
до нас не дошел, но мы знаем о нем в изложении Кази-заде ал-Руми (XIV-XV

в.), работавшего вместе с Ал-Каши в Самаркандской обсерватории.
2 2

f CL ч-чО О’ л О 1 гчО »

Так как В = —, то В2 = — и А2 = b + В2 — b 4- —-

2 4 4

Рис. 3.10: Другая запись метода ал-Хорезми

Так как

Пусть теперь требуется решить уравнение

х3 4- ах = 6, где а, b > 0.

(3.27)

Рисуем (рис. 3.11) куб со стороной А. Разобьем теперь этот куб
на два куба со сторонами х и А — х = В и три прямоугольные
призмы.

Сосчитаем объемы:

А3 = ЗАВх 4- х3 4- В3 х3 4- ЗАВх = А3 - В3

Обозначая а = ЗАВ и b ~ А3 — В3, приходим к уравнению (3.27).
Введем новые переменные: р = А3 и q = В3 Тогда

а3

Р<?= 27’

(3.28)
ар — д = 6=>р = &4-<7-

Подставляя найденное р в уравнение (3.28), будем иметь:

(3.29)

Информацию о своем открытии
Сципион Дель Ферро передал
на ложе смерти своим ученик-
ам Ганнибалу дел Наве (Hanni-
bal della Nave), жившему в пер-
вой половине XV века, и Анто-
нио Марио Фиор (Antonio Mario
Fior), жившему в XV веке. Пос-
ледний, участвуя в 1535 г. в ма-
тематическом турнире, проиг-
рал некому Николо Тарталье
(Nikolo Tartaglia, 1500-1557). Та-
ртанья (это было прозвище)
“заика”, был выходцем из Бреш-
ии, самоучка, освоивший мате-
матику настолько, что смог да-
вать частные уроки. Фиор для

Рис. 3.11: К идее С.Ферро и

Н.Тартальи

турнира выбрал все задачи вида (3.27), а Тарталья накануне тур-
нира нашел правило Дель Ферро. После турнира Тартанья на-
шел метод решения уравнения (3.27) для случая а < 0 и b < 0.

Поскольку математики того времени знали уже, что уравнение

вида

у3 + ку2 + ty + и = 0,

(3.30)
где к, t, и - константы, с помощью подстановки у = х — — к тра-
нсформируется в уравнение без квадрата неизвестной, то кубиче-
ское уравнение вида (3.27), где ab > 0 было уравнением достаточно
общего вида.

Формула (3.29) носит однако не имя Ферро и не Тартальи, а
Кардано.

Джироламо Кардано (Girolamo Cardano, 1501-1575), сын юрис-
та из Павии, был выдающимся врачом, окончившим университет
в Падуе, но увлекался многими науками, в том числе и математик-
ой. Он узнал о победе Тартальи и уговорил его рассказать о реше-
нии. Через 10 лет (в 1545 г.) после турнира, выигранного Тарта-
льей, Кардано публикует это решение в своем трактате “Великое
искусство, или об алгебраических правилах” (“Ars magna”). Раз-
разился скандал, так как Тарталья не давал разрешения на публ-
икацию своего решения. Кардано оправдывался тем, что в своем
трактате он разобрал все случаи с коэффициентами (не только,
когда ab > 0, но и когда ab < 0), а самое главное, что в тракта-
те дано решение уравнения 4-й степени, открытое его учеником
Людовиком Феррари (Ludovico Ferrari, 1622-1665). Феррари расс-
матривает уравнение х4+ах2+Ьх+с = 0 и вводит дополнительную
переменную “у” так, что получаем равносильное относительно х
уравнение:

(9 ® л , /о Л \ /л _ .

т2 + - + И = 2ух2 — bx + I у2 + ау — с + — I (3.31)

л / \ /

Теперь ищем такое “у", чтобы выражение в правой стороне ра-
венства было полным квадратом. Иными словами, чтобы

(3.32)

а это уже уравнение 3-й степени. Если решить это уравнение (здесь
и нужен метод Тартальи) и найти корень yQ^ то подставляя его в
(3.31) получим:

(3.33)

Если при этом у0 > 0, то получим 4 значения х. Через 27 лет
после выхода книги Кардано “Ars magna. ” вышла книга Рафаэла
Бомбелли под названием “Алгебра” Эта книга оставалась важне-
йшим учебником почти до конца XVII века. И если Кардано только
формально использовал мнимые числа, то в книге Рафаэла Бом-
белли комплексные числа занимают уже важное место - даются
их применения в алгебре.

XV век характеризуется началом бурного развития ремес-
ел, мореплавания, астрономии, не случайно названного, наряду
с XVI веком, “Эпохой Возрождения” Николай Коперник из То-
руня (1473-1543) уже в 1504-1512 гг., будучи секретарем и вра-
чем варминского епископа, пришел к выводу, что если считать
неподвижным Солнце, то описание планетной системы будет пр-
още (эпициклов и дифферентов тогда понадобится в сумме только
34, а не 77 как у Птолемея.) Учился Коперник в Кракове, а затем в
Болонье и Падуе. По образованию Коперник был врачом и эконо-
мистом; с 1512 г. он каноник. Астрономия и математика были его
увлечениями. К идее гелиоцентрической системы он пришел еще
в 1512 г. Основной труд “О вращении небесных сфер” появился то-
лько в 1543 г. Инквизиция запретила его книгу. Запрет был снят
только в 1828 г. Николай Коперник был не только “ниспровергате-
лем” устаревших воззрений. Он был и интересным математиком.
Приведем для примера одну его теорему:

Пусть круг двигается без скольжения по ободу колеса внутри
него и радиус круга в 2 раза меньше радиуса колеса. Тогда (рис.
3.12):

а) орбитой центра круга будет окружность того же радиуса, что
и круг, т.е. в 2 раза меньше радиуса, чем радиус колеса.
Ь) орбитой любой точки границы круга будет диаметр колеса;

Рис. 3.12: К теореме Коперника о движении круга

с) орбитой любой точки круга, вне центра и границы, будет элл-
ипс. (Докажите сами!)

Датчанин Тихо Браге (Ticho Brage, 1546-1601) провел очень
большое число наблюдений в Праге за планетами Солнечной сис-
темы. Его ученик Иоган Кеплер (Johanes Kepler, 1571-1630) на
основе этих наблюдений вывел 3 закона движения планет:

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится Солнце.

2. Площади, покрываемые радиус-вектором с началом в центре
Солнца за равные промежутки времени, равны (рис. 3.13).

3. Если Т период полного оборота планеты вокруг Солнца,
D средняя арифметическая наибольшего и наименьшего
удаления планеты от Солнца, то

Г2 = kD3, (3.34)

где к некоторая константа.

Первые два закона были опубликованы в 1609 г., а третий - в 1619
г. в книге “Гармония мира (вселенной)”
Увлечение астрономией молодого

юриста из маленького городка Фонтен- «1

ле Конт француза Франсуа Виета д

(Frangois Viete, 1540-1603) привело его V уча. J

к мысли усовершенствовать систему __

Птолемея, так как он не считал сис-

тему Коперника удачной. Часть этого Рис. 3.13: К второму
сочинения вышла в свет в 1637 г. уже закону Кеплера
после его смерти. В процессе работы
он начал разработку тригонометрии и в

1579 г. издал “Математический канон” (“Canon mathematicus”), где
вводятся десятичные дроби.

Виет в работе “Восьмая книга ответов на различные вопросы”1)
впервые дает аналитическое представление числа тг и притом в
форме бесконечного произведения. Он вписывает в круг радиуса 1
n-угольник площади Sn и обозначает радиус круга, вписанного в
этот n-угольник через тп. Тогда

- гп, (рис. (3.14))

Действительно (см. рис. 3.15),

(3.35)

(3.36)

180°

с----= 1Г”7 = Гп’ а rn = cos---

ЪлоАВ 1 п

Отметим, что

Г2п

(Докажите сами!)

^“Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII” Turonis, 1593. Че-
рез 63 года (в 1656 г.) Джон Уоллис (John Wallis, 1616-1703) дал другую фо-
рмулу для тг в виде бесконечного произведения:

тг _ 2 2 4 4 2k 2k

2 13 3 5 2k - 1 2k 4-1

Кстати, Д.Уоллис впервые ввел знак сю.
Заметим (рис. 3.14), что

Учитывая, что

й А

5в 516

и S2n стремится при п —► оо к площади круга, то получаем:

(3.37)

Значит, 2/тг =

Несколько ранее в 1591 г. в книге “Введение в аналитическ-
ое искусство” Франсуа Виет вводит буквенные выражения, знаки
знаки степени у него отчетливо даны формулы
решения квадратного уравнения - формулы Виета Но он не пол-
ьзуется комплексными числами при рассмотрении уравнений трет-
ьей степени, так как сводит их к тригонометрическим уравнениям.

Отметим, что под конец XVI века техника вычислений ста-
ла очень важным инструментом развития науки и хозяйства.
Для умножения чисел с большим числом значащих цифр стали
применять тригонометрические таблицы, поскольку

Например, если требовалось найти произведение 0,284 0,391, то по
таблицам 0,284 = cos 73°10'; 0,391 = cos66°59'. И их произведение
равно:

1(—0,7714 + 0,9936) = 0,1111.
£

Были созданы тригонометрические таблицы с точностью до 10
цифр после запятой и с шагом 10"

Швейцарец Иёст Бюрги (Jost Biirgi, 1552-1632) построил та-
блицы (фактически таблицы логарифмов), возводящие в степень
число а = 1,0001. В этом случае an+1 — ап -Ь 10~4ап, а, значит,
возведение в степень заключается в сложении чисел, сдвинутых
на 4 позиции. Знакомым у Иёста Бюрги был английский магнат
Джон Непер (John Neper, 1550-1617), который построил похожие
таблицы. Последовательности в таблице Непера были гуще. Он
возводил в степень 6 = 0,9999999 = 10° — 107 Неперовский ло-
гарифм (обозначим его через Neplog) был таким, что

Neplog х = 107(ln 107 - In х) = 161181957 - 107 In я.

У Непера был приятель - математик Генри Бригс (Henry Brigs,
1561-1631), профессор Грешем Колледжа в Лондоне, который на
основе таблиц Бюрги и Непера заметил, что имеет смысл расс-
матривать функции, решающие функциональное уравнение

f(?y) = f(x) + f(y).

В качестве функции, удовлетворяющей этому функциональному
уравнению, с которой удобно будет работать с разными числами,
Г. Бригс выбрал fc

/о(Ю) = 1, (т.е. /0 = 1g).

Его книга “Логарифмическая арифметика” появилась в 1624
г. Через 150 лет Лаплас писал о ней: “ .открытие логарифмов
сокращает время работы (астрономов) с месяцев до дней”1)

^“Небесная механика” (Mecanique celeste), Paris, 1811, т.Ш.
В 1620 г. Эдмунд Гунтер1^ (Edmund Gunter, 1581-1626) изоб-
рел логарифмическую линейку и до XX века она была основ-
ным вычислительным инструментом2) инженеров и конструктор-
ов.

Рис. 3.14: К доказатель-

ству формулы (3.35)

Последний, великий математик,
работавший на рубеже XVI и XVII
века, был Галилео Галилей (Galileo
Galilei, 1564-1642), сын флорентийско-
го музыканта, выпускник университе-
та в Пизе, а с 1589 там же профессор,
руководитель кафедры математики и
физики. С 1592 г. до конца жизни
профессор в университете Падуи.

Из того нового, что внес в мате-
матику Галилео Галилей прежде всего
следует выделить векторы, хотя он их
описывал с помощью понятий “скор-
ость” и “сила”

Для развития физики особое значение имело опровержение ут-
верждения Аристотеля о том, что скорость свободно падающего
тела пропорциональна пройденному пути (Аристотель полагал,
что v(t) = cS(t), где t время, v скорость, S пройденный
путь, с - константа).

Галилео Галилей же доказал, что v(t) — a-1, где “а” - некоторая
/ ч 1

постоянная, а значит, средняя скорость vcp(i) = -a t, поскольку
движение началось с нулевой скорости. Так как Галилео Галилей

^Э.Гунтер ввел также в математический оборот слова косинус и синус.

2^В 1623 г. Вильгельм Шикард (Wilhelm Schickard, 1592-1635) изобрел перв-
ую вычислительную машину. В 1642 г. Блез Паскаль независимо от Шикарда
построил вычислительную машину. Сохранившиеся экземпляры работают и
теперь. В 1671 г. В.Лейбниц также строит вычислительную машину, экзе-
мпляр которой хранится в Ганноверской библиотеке.
считал, что S(t) = ivcp(t), то1)

S(t) = ’-at2

Галилео Галилей был одним из первых исследователей маятника,
конструктором термометра. В 1609 г. он усовершенствовал появи-
вшиеся в Голландии лунеты, поместив 96 увеличительных стекол
вместо применявшихся ранее 3-х, и тем самым, впервые сконст-
руировал телескоп. В результате, он увидел на Луне горы, уви-
дел, что Млечный путь это средоточие множества звезд, уви-
дел, что на Солнце есть пятна, открыл у Юпитера 4 спутника.

В 1636 г. Галилео Галилей сформулировал
классический закон относительности. Гал-
илео Галилей впервые стал отображать бе-
сконечные множества на свою часть. Он
доказал, что мощность множества чисел,
являющихся квадратами, равна мощности
множества всех натуральных чисел. Им
найдены центры тяжести некоторых фиг-
ур вращения.

Как известно, работы Галилео Галилея
были запрещены инквизицией. И только в
1992 г. Папа Римский Ян-Павел II (1920
2005) реабилитировал Галилея.

Рис. 3.15: Сегмент с
рисунка 3.14 в увели-
чении

О Этот результат впервые был установлен на 250 лет раньше французом
магистром Николем Оремем (Nicole Oresme, 1323-1382). Кстати, именно Орем
впервые ввел дробные степени и доказал расходимость гармонического ряда.
Он построил также ступенчатую фигуру, бесконечно протяженную с конечной
площадью, точнее говоря вычислил сумму ряда
Упражнения

1. Найдите все простые числа вида 4fc 4-1 < 100 и представьте
их в виде суммы 2-х квадратов (ср. теорему А Диофанта).

Проверьте, что х/б + V24 = л/2 4- л/3-

3. Докажите формулу площади четырехугольника, вписанного
в круг (формула Брахмагупты).

4. Докажите правильность суммы Нарайяны (3.17) Sn^ и сум-

(3)

мы если fli = 1, d — 2.

5. Проверьте справедливость формулы Ибн ал-Хайсама объе-
ма тела, ограниченного параболической сферой, с помощью
интеграла.

6. Выведите формулу для частичной суммы последовательн-
ости Фибоначчи с рекуррентным соотношением (3.24) и на-
чальными значениями: 1, 1.

7. Решите систему Фибоначчи (3.25).

8. Проверьте сходимость процесса Ал-Каши решения уравнен-
ия х3 4- q — рх.

9. Найдите подстановку, с помощью которой уравнение

х* + ах3 4- Ьх2 -I- сх 4- d = О

можно привести к виду

т4 4- тх2 4- кх 4- р = 0,

т.е. избавиться от члена ах3
10. Докажите, что ггп =

11. Докажите теорему Коперника об орбитах точек круга.

Глава 4

Классическая математика (от
начала XVII века до конца
XVIII века)

1. Рождение современной классической математики.

2. Юность классической математики.

3. Молодость классической математики.

4.1. Рождение современной классичес-
кой математики

Автором одной из философских доктрин рационализма
которая мощно влияла на развитие не только математической
науки на протяжении почти 3-х столетий (до 1900 г.), был Рене
Декарт (Rene Descartes)1) Он родился в семье сравнительно бо-
гатого французского юриста. По окончании в 1612 г. школы иезу-

Более известный под своим латинским именем Картезиус (Cartesius)
итов, он, пробыв почти 4 года в Париже, по примеру Демокри-
та продал часть своего наследства, чтобы иметь возможность в
путешествиях познавать мир и учиться. А поскольку в те време-
на это занятие было весьма рискованно, а позволить себе иметь
вооруженную охрану он не мог, то он поступает волонтером в гол-
ландское войско, выполнив волю отца1), и путешествует вместе с
войском. Дело в том, что в то время Голландия учавствовала в
30-летней войне с Австрией и Испанией - и, в результате, Декарт
объездил Германию, Венгрию и Чехию.

10 ноября 1619 г. Декарт записывает, что он открыл новую
универсальную математику, названную позже аналитической гео-
метрией. 1623-25 гг. Декарт проводит в Италии, а с 1628 по 1649 г.
живет в Голландии, опасаясь инквизиции. Трижды: в 1644, 1647,
1648 годы он посещает Францию. В 1649 г. он принимает приг-
лашение королевы Швеции об обучении философии королевского
семейства, но простужается и в начале 1650 г. умирает.

В 1637 г. в Голландии вышла его знаменитая книга “Рассужден-
ия о методе” (“Discours de la methode”). Декарт писал: “В объектах
наших исследований

1. Следует отчетливо отделить акт наблюдения от акта дедук-
тивной обработки полученного результата;

2. Необходима минимизация исходных предложений;

3. Разум должны мы признать за высшую инстанцию на кажд-
ом этапе наших исследований.”

В конце трактата Декарт приводит 12 приложений, демонст-
рирующих предлагаемый метод применительно к разным наукам,
в том числе и к оптике, метеорологии, и, наконец, к геометрии.
В двенадцатом приложении, которое появилось под названием:

1^В 1613 г. отец Декарта отправляет сына в Париж, надеясь, что сын станет
военным.
“Геометрия”1^, Декарт суммирует свои более ранние воззрения о
математике, констатируя: “а) все задачи математических наук мо-
жно описать с помощью уравнений той или иной степени; б) общий
метод решения уравнений заключается в нахождении их корней
как координат2) точек пересечения некоторых плоских кривых.
Эти кривые могут быть выражены с помощью алгебраических
уравнений с двумя переменными.”

“Геометрия” Декарта содержала три ча-
сти: “О задачах, решения которых стр-
оятся с помощью окружностей и прям-
ых”, “О природе кривых”, “О задачах
построения телесных и бблыпих [по
размерности)3), чем пространственные
[объектов]”.

В первой части Декарт вводит по-
нятие геометрического места точек и

Рис. 4.1: Построение
гиперболы с помощью
движения

решения задач с помощью уравнений. В
частности, он решает задачу, когда кор-
ни кубического уравнения с целыми ко-
эффициентами и старшим из них, рав-

ным 1, строятся с помощью циркуля
и линейки (т.е. уравнение разрешимо в
квадратных радикалах). Его ответ: тогда и только тогда, когда
уравнение имеет целый корень (т.е. приводимо).

Во второй части “Геометрии”|Декарт выясняет, когда уравнен-
ие 2-й степени дает эллипс, параболу, гиперболу или окружность;

1^В 1649 г. вышло отдельное издание на латыни, подготовленное учеником
Декарта профессором из Лейдена Ф. Ван Схоотеном (1615-1660).

2)у Декарта в “Геометрии” еще нет системы координат. Есть только одна
ось (т.е. первая координата), а вторая координата есть расстояние от точки
до оси (т.е. вторая координата всегда неотрицательна).

3>В скобках авторские вставки.
исследует фокусы и вершины кривых, изучает кривую третьего
порядка:

у3 — 2а2у2 — ау + 2а2 = аху, (4.1)

называемую “параболой” Декарта или “трезубцем” Ньютона, ввод-
ит понятие геометрических и механических линий. (Г.Лейбницом
эти линии названы “алгебраическими” и соответственно “транс-
цендентными”). Заметим, что и геометрические линии Декарт
получает с помощью движения. Например, пусть растягивающ-
аяся линейка GL закреплена в точке G, а ДРКЬ скользит вдоль
ее оси КА.

Найдем кривую, описываемую точкой С пересечения линейки
с продолжением стороны КР (рис. 4.1). Декарт утверждает, прав-
да, без доказательства, что эта кривая GEC - гипербола. (Док-
ажите сами!) Если вместо прямой СРК рассмотреть дугу СРК
параболы с осью К А, то кривая, описываемая точкой С и будет
“трезубцем” Ньютона (Проверить самим!).

Во второй книге Декарт решает также задачу отыскания крив-
ой по свойствам ее нормалей. Инспирацией для решения именно
этой задачи послужило открытие Декартом закона преломления
света1)

В третьей главе “Геометрии” Декарт занимается общей теорией
уравнений, графическими решениями уравнений 3,4,5 и 6 степени.
Для развития алгебры важное значение имело изучение Декартом
возможности представления многочлена высших степеней в виде
произведения многочленов низших степеней. Попутно Декарт ввел
обозначения а2, а3, ..., ап

В письмах к друзьям Декарт сообщает о своих вычислениях
площади сегмента параболы у — ах4, (т.е. фактически вычисляет
интеграл / t4 dt), находит методы вычисления касательных к па-
Jo

раболе и к циклоиде, а также к кривой, названной “листом Дека-

^Этот закон был открыт независимо Виллебордом Снеллом (Willebrord
Snell, 1581-1626) и фактически ранее Декарта.
рта

х3 + у3 = Заху. (4.2)

Практически одновременно с Декартом, а может быть, даже
несколько ранее, аналитическая геометрия начала создаваться Пь-
ером Ферма (Pierr Fermat (1601-1665)). Он родился в маленьком
местечке Beau Mont (“Прекрасная гора”) около Тулузы в семье
второго консула этого местечка. Учился Ферма вначале в школе
францисканцев, а позже в университете в Тулузе по специальн-
ости ’’Юриспруденция”, но любил также языки (прекрасно знал
латынь и испанский) и математику. В 28 лет он открывает метод
нахождения максимумов и минимумов.

После окончания университета работал вначале адвокатом, а
позже до самой смерти в суде. При жизни Ферма не опублико-
вал ни одной работы по математике, а своей известности обязан
Марину Мерсенну (1588-1648), с которым состоял в переписке, а
тот в свою очередь переписывался с Декартом, Паскалем, Каваль-
ери, Торричелли, Гюйгенсом и был инспиратором создания Пари-
жской Академии, образованной в 1666 г.

К 1638 г. относится письмо1) Ферма к Мерсенну под названием
“Введение в изучение плоских и телесных мест”, в котором даются
основы аналитической геометрии (и при этом в форме почти со-
временной), в том числе приводится формула преобразования ко-
ординат в результате сдвига2 3). Основная теорема из этого письма
звучит так: “Если степень ни одной из двух переменных в уравнен-
ии не превышает 2, то это уравнение отвечает либо конической3)
кривой, либо прямой”

10 января 1638 г. Мерсенн получает статью Ферма под назван-
ием “Метод получения максимумов и минимумов”, и тем самым

х)Это письмо было опубликовано в 1679 г.

2) Формулу преобразования координат - сдвиг и поворот осей координат -
дал в латинском переводе “Геометрии” в 1649 г. Франц Ван Схоотен (1615-
1660).

3)т.е. кривой, образуемой пересечением плоскости с круговым конусом.
математики получили известную теорему Ферма об экстремумах.
Правда, еще в 1615 г. Иоганн Кеплер в своей книге “Новая сте-
реометрия винных бочек. обратил внимание на свойства точки
максимума гладкой кривой: “По обе стороны точки максимума т0
значение функции практически не меняется” - что на современном
языке означает, что f'(xo) = 0.

Здесь уместно заметить, что в 1637-38 гг. Декарт (не без посред-
ничества Мерсенна ) обвинял Ферма, что тот не более, чем эпигон,
и что он (т.е. Декарт) “знает все лучше, чем Ферма” Результат эт-
ой полемики оказался на редкость плодотворным для математики,
так как потребовал усилий обоих для решения целого ряда проб-
лем, связанных с основами новой математики.

В 1621 г. Клод Баше де Мезирак (Claude Bachet de Mezi-
rak, 1581-1637) издал в Париже греко-латинский перевод “Ари-
фметики” Диофанта1^ со своим комментарием. Именно на полях
этой книги Ферма поместил свою “Великую” теорему:

“ Нельзя куб (представить) в виде суммы двух кубов, биквад-
рат в виде (суммы) двух биквадратов, степени большей, чем
два в виде (суммы) двух слагаемых той же степени. Нашел
доказательство, достойное внимания, но поля слишком малы,
чтобы его записать”

В современных обозначениях:

Jn е N (п > 2) & (хп + уп = 2П), где х, у, z € N, (4.3)

или что равносильно:

Vn С N (п > 2, хп -I- у11 = zn => xyz = 0,

где х, у, z е Z).

Для п = 3 и п = 4 доказательство этого факта получил в 1753 г.
Л.Эйлер, для п — 5 - А.Лежандр (1752-1833), для п = 7 - Г.Ламэ

“Алгебре” Р.Бомбелли (1572) уже содержались 147 из 197 задач “Ари-
фметики” Диофанта. В 1576 г. появился латинский перевод этой же “Ари-
фметики” В.Гольцмана-Кейландера (1532-1576). Сохранились и другие пе-
реводы “Арифметики”.
(Lame G., 1795-1870)1). В 1847-50 гг. Эрнст Куммер (1810-1893)
доказал теорему Ферма для всех п < 100. В 1955 году Андре Вейль
(Andre Weil, 1906-1978), будучи в Японии, в беседе с Ю.Танияма
(Ju.Tanijama, 1927-1958) и Г.Шимура (G.Shimura) сформулировал
некую гипотезу об эллиптических кривых, т.е. кривых вида

у2 = х3 + ах -I- Ь, (a, b € Z)2) (4.4)

В 1975 году Г.Фрей (G.Frei) из Германии предложил некую идею
доказательства теоремы Ферма, основанную на гипотезе Вейля
(которую с некоторых пор явно необоснованно стали называть вна-
чале гипотезой Вейля-Шимуры-Таниямы, а позже - просто гипо-
тезой Таниямы). В 1985 г. К.Рибет (Kenet Ribet) из США придал
этой идее законченный вид. Оставалось доказать гипотезу Вейля,
что почти сделал в 1993 г. Эндрю Виле (Andrew Wils) из Принст-
она (США). Наконец в 1995 г. П.Тейлор исправил ошибку в док-
азательстве Вилса. В 1998 г. на XXIII Международном Конгрес-
се математиков в Берлине Виле представил окончательную схему
доказательства теоремы П.Ферма (Само доказательство занимает
пока примерно 150 страниц).

Кроме “Великой” теоремы Пьеру Ферма принадлежит и “малая
теорема": “пусть а, b и р G N. Тогда

(а + Ь)р - ар - (4.5)

всегда делится нар, еслир - простое число. Если (ар—а) делится
на р, то (а 4- 1)р — ар — 1 делится на р”

1820-1832 гг. Г.Ламе работал в Петербурге в Институте корпуса инже-
неров путей сообщения.

2)См.: A.Weil. Ueber die Bestimmung Dirichletscher Reihen dutch Funktion-
algleichungen. Commentaire.// Ouvres scientifiques collected papers. v.III (1964-

1978),Springer, Berlin-New-York, 1979, с.450. Отметим еще, что А.Вейль был
одним из основателей группы Н. Бурбаки (Nicolas Burbaki) - предпринявшей
попытку реализовать идею Д.Гильберта представить все математические тео-
рии с позиций формального математического метода. А.Вейль ввел в мате-
матику понятия абстрактного алгебраического многообразия и равномерного
пространства.
Ферма принадлежит алгоритм решения в натуральных числах
уравнения, называемого ошибочно1) уравнением Пелля:

х2 — ку2 — 1, (к G N, к / т2, для Vm € N) (4.6)
- с помощью представления \/к в непрерывную (цепную) дробь.
Ферма принадлежат еще несколько замечательных результат-

ов: например, он заметил, что, если простое число можно предс-
тавить в виде 2* + 1, то к будет степенью двойки. Числа 22m + 1,
где т € N теперь называются числами Ферма. Заметим, что числа
Ферма не обязательно простые: в частности, число 22$ 4-1 делится
на 641, и потому не будет простым числом. До сих пор неизве-
стно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.
Связь между простыми чис-

лами, являющимися чис-
лами Ферма, и возможност-
ью построения циркулем и
линейкой правильных много-
угольников установил в 1796
г. К.Гаусс, который, в частн-
ости, доказал, что 3-, 15-,
17-, 257-, угольники мо-

жно построить с помощью

Рис. 4.2: Принцип Кавальери циркуля и линейки, а 7-, 11-,
13-угольники - нельзя. Еще в

1629 г. П.Ферма произвел квадратуру любых кривых вида у = хп,
где n€ N, т.е., говоря современным языком, вычислил

7° an+1

/ хп dx = . (4.7)

Jo п + 1

Интересно, что он сообщил об этом открытии только в 1636 г.

в письме к Ж.Робервалю (подлинное имя Жиль Персонье (Gilles

х)Джон Пелль (John Pell, 1611-1685). Название уравнению дал (ошибочно)
Л.Эйлер.
Personier, 1602-1675)).

Но в это же время этот же результат совершенно другим путем
получил Кавальери Б. (Bonaventura Cavalieri (1598-1647)). Эти
результаты содержались в его рукописи “Шесть геометрических
этюдов” 1631 г. на основе идеи его более раннего труда (1629 г.)
“Геометрия неделимых”1), предложенного для оценки при занятии
кафедры математики в Болонье. Кавальери изучал математику в
университете в Пизе. Хотя ему и принадлежали несколько трудов
по тригонометрии, логарифмам, геометрической оптике, но мы его
знаем как создателя метода неделимых, хотя идейно этот метод
восходит к работам Архимеда по определению площадей поверхн-
остей и объемов тел.

В трактате о неделимых рассматривались геометрические вел-
ичины (фигуры и тела), состоящие из неделимых элементов, деф-
ормируемых непрерывным образом параллельно друг другу. Из
школы известен “принцип Кавальери”, гласящий: “Фигуры (тела)
имеют одинаковые площади (объемы)., когда у них одинаковые се-
чения.” (рис. 4.2).

Ошибку заметил Э.Торричелли, показав, что тогда прямоугол-
ьные треугольники с одним одинаковым катетом имели бы равные
площади (рис. 4.3).

Действительно, в прямоугольных
треугольниках АВС и BCD каждому се-
чению, параллельному катету ВС, на-
пример, ab, отвечает сечение cd той же
длины, но площади △ АВС и /\BCD
не равны, если |АС| |С^|- Поэтому
принцип Кавальери не случайно дополнен
словами: “ . с каждой прямой (плоскост-
ью) в заданном направлении” Поэтому-то
два прямоугольника (рис. 4.4) одинаков-

Точное название: “Геометрия, изложенная новым способом при помощи
неделимых непрерывного.”

Рис. 4.3: Об ошибке
Кавальери
ой высоты |АВ| = |CD| не будут иметь равную площадь, если
их основания различны, т.е. |ВК| =£ |СР|, так как в направлении
I и АВ и CD, в одном из прямоугольников будет пустое сечение.

Кавальери довольно рано познакомил-
ся с Г.Галилеем, и когда последнему по-
надобился помощник (и преемник), то он
порекомендовал Галилею своего младшего
друга Эванджелисту Торричелли (Evange-
lista Torricielli). Торричелли родился в 1608
г. около Болоньи. После окончания школы

иезуитов он продолжил учебу в Римском
Рис. 4.4: Об условии университете, а затем работал секретарем
Торричелли епископа Чамполи (Ciampoli). С октября

1641 г. Торричелли становится помощник-
ом Г.Галилея. Галилей, несмотря на пригов-
ор инквизиции, не прервал работы над “Диалогом о двух системах
Вселенной” и познакомил Торричелли с материалами к “Пятому” и
“Шестому” дню “Диалога” К сожалению, совместная работа Тор-
ричелли и Галилея длилась очень не долго, так как 8 января 1642
г. Г.Галилей умирает. Герцог Тосканский Фердинанд II Медичи
назначает Торричелли на должность “философа и первого мате-
матика великого герцога” Более того, Торричелли должен продол-
жить читать лекции, которые до 1633 г. читал Г.Галилей. Кроме
того, Торричелли подготавливает к печати неоконченные труды
Г.Галлилея, включая “Пятый” и “Шестой дни”1)

В 1644 г. Торричелли публикует собрание собственных работ
по геометрии, механике и интегральному исчислению. Фактиче-
ски Торричелли открывает теорему об интеграле с переменным
верхним пределом, ныне носящую имя И.Барроу: если

, dS
т° = ~dt'

(4.8)

сожалению при жизни Торричелли они так и не были опубликованы:
“Пятый день” опубликован в 1674 г., а “Шестой день” в 1718 г.
Здесь t время, v(t) скорость, a S(t)

пройденный путь за

время t — to-

Не случайно в Италии эта теорема
носит название теоремы Торричелли-
Барроу.

В 1645 г. Торричелли получает еще
один результат, использующий понят-
ие интеграла: “ Пусть дана ограничен-
ная фигура F Тогда существует диа-
метр фигуры, который проходит че-
рез центр тяжести фигуры. Пусть
х абсцисса центра тяжести, если
принять диаметр за ось абсцисс с на-
чалом координат в одном из концов
диаметра. Пусть а длина диамет-

Рис. 4.5: О центре тяже-
сти фигуры

ра. Тогда справедлива формула:

а — х

а — x)f(x) dx

(4-9)

где {(т, /(т)) о х й} граница фигуры над диаметром.”
(рис. 4.5).

Самое большое достижение Торричелли вычисление несоб-
ственного интеграла (впервые!), которое навлекло на Торричелли
гнев инквизиции. Дело в том, что у Аристотеля есть утвержден-
ие: “Тело бесконечной протяженности имеет бесконечный объем.”
Торричелли же взял гиперболу ху = 2k2, точнее часть ее ветви
на промежутке (0, xq). Затем рассмотрел тело Г, полученное от
вращения этой части гиперболы, а также отрезка прямой АВ, где
/ 2k2 \

А = (хо, 0), В = I то, -- вокруг вертикальной асимптоты

\ хо /

гиперболы, т.е. вокруг оси OY
Для нахождения объема этого бесконечно протяженного тела
(рис. 4.6) Торричелли применил неделимые Кавальери, но в каче-
стве неделимых взял цилиндры с радиусом х и высотой у, вписан-
ные в это тело. Площадь боковой поверхности любого цилиндра
Ц, вписанного в это тело, будет равна: 5ц = 2тгху = 2тг • 2k2 Таким
образом, все вписанные в построенное тело цилиндры имеют од-
инаковую площадь боковой поверхности. Применяя принцип Ка-
вальери, т.е. сопоставляя телу Г прямоугольную призму с площ-
адью основания тг (2к)2 и высотой |ОА|, получим:

= 7г(2&)2|СЫ| = 4тгА;2д0.

(4-10)

Иными словами, бесконечно протяженн-
ое тело Г имеет конечный объем. По
сути, Торричелли вычисляет сумму несоб-
ственного интеграла

(2*2)2 ,
тг / -----— dy

J 2fc2 yZ

®0

Рис. 4.6: Об объеме
части однополостного
гиперболоида

и объема цилиндра высоты 2k2/xQ и
радиуса xq (эта сумма равна 4тгА:2то).
Хотя Аристотель жил еще в нехристиа-
нскую эпоху, его труды считались римско-

католической церковью основой миропорядка. Поскольку в этот

период свирепствовала инквизиция, то в результате математиче-
ские труды Торричелли на 60 лет попали в Индекс (список зап-
рещенных произведений). Более того, полностью их опубликовали
только в период 1919-1945 гг., в отличие от его трудов по физике.
В этой связи напомним только о физических открытиях Торри-
челли: “торричеллиевой пустоте”, барометре, формуле Торричелли
для скорости течения жидкости через отверстие, теории цирк-
уляции атмосферы. Вероятно также, что Торричелли пришел к
методу тестирования качества оптических линз с помощью интер-
ференции, хотя сама теория интерференции появилась только в
XIX веке. Об этом известно из сохранившегося письма Торричелли
Фердинанду И, но более подробные материалы пока не найдены.

Уже на примере однопол-
остного гиперболоида вращения
видно, как Торричелли модер-
низировал принцип Кавальери,
но особенно наглядно это видно
на примере вычисления площ-
ади круга К с радиусом R (рис.
4.7).

Строим отрезок длиной

Рис. 4.7: О площади круга

|АС| = 2тг7?, где АС - касател-
ьная к окружности радиуса R с
центром в точке О. Каждой окружности В радиуса |ОВ| сопоста-

вим отрезок вдоль касательной в точке В длиной |BD| = 2тг- |ОВ|.
Очевидно, точка D принадлежит отрезку ОС. Значит, каждой ок-

ружности внутри круга К с центром в точке О мы сопоставим
отрезок той же самой длины в треугольнике О АС. Отсюда Тор-
ричелли делает вывод, модернизировав принцип Кавальери, что
площадь круга К и площадь треугольника ОАС совпадают1) А

тогда площадь круга

SK = ||ЛС| |ОЛ| = | 2ttR R = Л-R2 (4.12)
£ &

Важно отметить и работу Торричелли, посвященную спрям-
ляемости кривых: в частности, кривой, задаваемой уравнением
у — сех и кривой с уравнением в полярных координатах р = ае~ьв,
названной Лопиталем логарифмической спиралью (а > О, b > О)2)

^Тем самым число тг, определяемое как отношение длины окружности к
своему диаметру, и число тг, определяемое как отношение площади круга к
площади квадрата со стороной, равной радиусу круга, совпадают.

2^Эти результаты Торричелли были найдены только в 1928 г.
Через год после смерти Торричелли в 1648 г. во Франции теми
же проблемами, которыми интересовался Торричелли (пустота,
гидродинамика), заинтересовался 25-летний сын богатого фина-
нсиста и юриста Блез Паскаль (Blais Pascal, 1523-1662). При этом
Б.Паскаль переоткрывает основной закон гидродинамики. Впро-
чем, для Б.Паскаля это был лишь эпизод. Б.Паскаль не учился ни
в школе, ни в университете - его учил отец, любитель математики
и физики. “Улитка Паскаля”, или конхоида окружности диаметра
а, задаваемая в полярных координатах уравнением р = a cos + Z,
названа в честь Этьена Паскаля (Etienn Pascal, 1588-1651), отца
Блеза. Желая помочь отцу в финансовых расчетах, Б.Паскаль в
19 лет изобретает и строит вычислительную машину, которая ре-
ально работала1^ Он отдает отчет в ее пользе в будущем. Так он
писал в одном из писем в 1643 г.: “Вычислительная машина см-
ожет делать операции, которые [стоят] ближе к мыслительным,
чем все то, на что способно животное.”2)

В 1653 г. к Б.Паскалю обратился кавалер де Мере с вопр-
осом по игре в кости. По поводу этого вопроса Б.Паскаль написал
П.Ферма. В итоге этой переписки в 1654 г. появились многие из
основных положений теории вероятностей. Следует, однако, от-
метить, что не столько азартные игры привели к появлению этой
теории, сколь потребности и запросы страхового дела3).

В 1654 г. Б.Паскаль заканчивает трактат “Об арифметическ-
ом треугольнике” (трактат увидел свет только 1665 г.) В 1658-59
гг. Б.Паскаль начинает интенсивно изучать циклоиду: определяет

^При жизни Б.Паскаля было изготовлено несколько десятков этих машин.

2) Любопытно сравнить это высказывание с определением: “Искусственный
интеллект - это программная система, имитирующая на компьютере мышлен-
ие человека” (Р.Левин, Д.Дранг, Б.Эдельсон. Практическое введение в теорию
искусственного интеллекта и экспертных систем. М.: Фин. и Стат., М., 1990,
с.15).

3) Первые страховые общества появились в Италии и Нидерландах еще в
XIV веке. В XVII веке страхование морских судов, а также построек от пожара
в Западной Европе было уже правилом.
площадь под графиком циклоиды (точнее, под траекторией точки
окружности, катящейся по прямой за один оборот); определяет
объем тела вращения сегмента циклоиды. Если г радиус окруж-
ности, а - угол поворота окружности, то параметрические урав-
нения циклоиды, полученные Б.Паскалем, будут:

х = r(p — г sin </?, у = г — г cos

(4.13)

При этих вычислениях Б.Паскаль
фактически использует определен-
ные интегралы. Не случайно позже
Лейбниц написал о книге Б.Паскаля
“Синус одной четвертой круга”, что
именно она инспирировала его (Ле-
йбница) на создание общей теории
интегрирования.

О Блезе Паскале можно еще доб-

авить, что хотя он не являлся соз- Рис- 4.8: Об уравнении
дателем проективной геометрии (од- циклоиды

ним из ее создателей был Ж.Дезарг

(Girard Desarges, 1591-1661)), но именно Б.Паскалю принадлежит
самая красивая теорема этой теории: “Точки пересечения против-

оположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое се-
чение, лежат на одной прямой” Этот результат Б.Паскаль получ-
ил еще в 1639 г., когда ему было только 16 лет!

В 1654 г., узнав о переписке Б.Паскаля с П.Ферма по поводу
основ теории вероятностей, голландский физик, астроном и ма-
тематик Христиан Гюйгенс (Christian Huygens, 1629-1695) пишет
работу “О расчетах в азартной игре”, где впервые вводит понятие
математического ожидания. (Опубликовал эту работу на латыни
в 1657 г. Ф.ван Схоотен). По образованию Гюйгенс был юрист-
ом, обучался в университетах Лейдена и Бреды, но под влиянием
Ф.ван Схоотена увлекся математикой и физикой. В 1657 г. Гюйге-
нс изобретает маятниковые часы1)

Гюйгенс был творцом волновой теории света, но для совре-
менников он был тем, кто решил две, волновавшие многих мате-
матиков, задачи: о таутохроне и изохроне. Первая задача закл-
ючается в нахождении кривой, такой, чтобы скатывающееся вд-
оль нее вниз тело достигало бы низшей точки кривой за одно и
то же время, независимо от места начала движения (рис. 4.10а).

Оказалось, что эта кривая циклоида,
если ее перевернуть. Другой задачей бы-
ла задача нахождения формы кривой,
по которой должен был бы двигаться ко-
нец маятника, чтобы период колебания
не зависел от амплитуды, т.е. не завис-
ел от величины отклонения. Разумеется,
движение нити маятника должно огран-
ичиваться кривыми (рис. 4.10b).

Оказалось, что это вновь циклоида2)
Отметим еще, что при решении этих за-
дач Гюйгенс создал теорию эволют и эв-
ольвент. Хотелось бы отметить еще одну
заслугу Гюйгенса, о которой мало гово-
рят. Именно Гюйгенс обратил вниман-
Рис. 4.9. О теореме Па- ие на г.в.Лейбница (1646-1716), когда
скаля тот, будуЧИ уЖе доктором юридических

наук, по поручению своего кюрфюрста
прибыл в 1672 г. с дипломатической миссией в Париж. Гюйгенс
заинтересовывает Лейбница современной математикой, знакомит
его с трудами Кавальери, Паскаля, Барроу, Декарта Р. (Descartes
R.). И к осени 1675 г. Лейбниц уже самостоятельно вырабатыва-
ет принципы и символику дифференциального и интегрального

^Труд “Маятниковые часы” был опубликован в 1673 г. в Париже.

2)Напомним, что название циклоиды было дано Г.Галилеем. См., например:
Берман Г.Н. Циклоида. М.: Наука, 1980.
исчисления. (А ведь Лейбницу только 29 лет!)

(а) К задаче о таутохроне

(Ь) К задаче об изохроне

Рис. 4.10: Вариационные задачи: о таутохроне и об изохроне

4.2. Юность классической математики

Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz) ро-
дился в 1646 г. в семье профессора морали Лейпцигского униве-
рситета. Филососфию и юриспруденцию изучал в университетах
Лейпцига и Иены в 1661-66 гг. В 1666 г. Лейбниц защищает док-
торскую диссертацию по юриспруденции и одновременно, в Ле-
йпциге, выпускает “Рассуждения о комбинаторном искусстве”
Этот труд и положил начало комбинаторике как самостоятельной
ветви математики. Кроме самого термина (комбинаторика) нов-
ыми были теоремы о циклических перестановках. В 1676 г. Лей-
бниц поступает на службу к герцогу Ганноверскому. Официально
Лейбниц заведовал библиотекой герцога, но фактически был со-
ветником по вопросам финансов, экономики, внешних сношений,
народного просвещения, а также учителем в семье герцога. Его
ученица София-Шарлотта после выхода замуж за прусского кор-
оля помогла Лейбницу организовать в Берлине в 1700 г. Общество

0“Dissertatio ( -рассуждение) de arte combinatoric”.
Наук, преобразованное в 1741 г. в Берлинскую Академию Наук.
Первым президентом Общества Наук стал сам Лейбниц.

Велики заслуги Лейбница в развитии наук и просвещения в
России. Уже в 1697 г. Лейбниц пишет для русского царя Петра I
несколько проектов о распространении наук и образования в Рос-
сии. Несколько раз в течение 1711-16 гг. встречается в Германии
(в Торгау, Карлсбаде, Дрездене) и подолгу беседует с Петром I
по этим вопросам. И в итоге в январе 1724 г. Петр I (1672-1725)
подписывает указ об учреждении в Санкт-Петербурге Академии
Наук, Университета и Гимназии при нем. Более того, Лейбниц по
просьбе Петра I составляет список лиц, которые могли бы помочь
найти людей для работы в этих учреждениях.

Г.В.Лейбниц за свою жизнь внес огромный вклад чуть ли не
во все естественные и общественные науки, существовавшие на
рубеже XVII и XVIII веков: в механике его имя связано с понят-
ием кинетической энергии и с новой формой закона сохранения
сил, в биологии и геологии - с разработкой эволюционных идей,
в психологии с одной из первых попыток включенния в науч-
ный обиход понятия подсознания, в лингвистике - с изучением
этногенеза (т.е. с происхождением народов) При этом Лейбн-
иц пытался создать универсальный логический алгоритм, позв-
оляющий доказывать или опровергать любое предложение любой
формализованной науки. В духе этой идеи Лейбниц пишет работы
по математической логике, вводит индексы, определители. Особ-
ое значение он придает символике. Символика, введенная Лейбн-
ицем, оказалась простой и удобной. В 1686 г. Лейбниц вводит в
печать знак интеграла. Еще ранее в 1675 г. в рукописи “Примеры
обратного метода касательных” он вводит символы dx, dy, где d -
первая буква от слова differentia (=разностъ).

Для реализации своей идеи проверки предложения с помощ-

Интересно, что Лейбниц провел исследование происхождения своей фам-
илии и установил, что его фамилия образовалась от славянского названия
луговой травы “липнице”.
ью универсального логического алгоритма, Лейбниц еще в 1671 г.
создает вычислительную машину. Он ничего не знал ни о машине
Б.Паскаля (1642 г.), ни о машине (1624 г.) астронома профессо-
ра Тюбингенского университета Вильгельма Шиккарда1) (Wilhelm
Schickard, 1592-1635). Машина Лейбница очень походила на будущ-
ий арифмометр, имея комбинацию цилиндров с зубчатыми коле-
сами, вращение которых реализовывало операции сложения или
вычитания. Кроме вычислительной машины, Лейбниц изобретает
механизм, вычерчивающий для заданной кривой квадрирующую
ее кривую. Описание было дано в работе Лейбница “Дополнение
измерительной геометрии” (1693 г.).

Для распространения идей новой математики Лейбниц основы-
вает в 1682 г. журнал “Acta Eruditorum”, ставший одним из мощне-
йших инструментов развития математики на рубеже XVII и XVIII
веков.

Одной из идей Лейбница, которую критиковали почти 270 лет
и которая была “реабилитирована” с появлением нестандартного
анализа2) Абрахама Робинсона3), была* теория “монад”

Очень грубо, в этой теории геометрическую прямую представ-
ляют в виде дискретно расположенных точек, а в промежутке
между “соседними” точками, где образуются “пустые” места, по-
мещают новые идеальные элементы. Так как расстояние между
“соседями” бесконечно мало, то вблизи каждой точки возникают

^Экземпляр этой машины (Шиккарда), предназначенный для И.Кеплера,
к сожалению, сгорел, и только в XX веке эта машина по описаниям была
построена и она работала.

2^См., например, А.Робинсон (A.Robinson). Введение в теорию моделей и
метаматематику алгебры. М.: Мир, М., 1967 или Ловягин Ю.Н. Исчисление
бесконечно малых Г.В.Лейбница в современном изложении. Сыктывкар: Изд-
во Лесного ин-та, 2001.

3) Абрахам Робинсон (Abraham Robinson) - один из создателей современной
теории моделей, родился в 1918 г. в Германии. После переселения в Палестину
он заканчивает там в 1940 г. Иерусалимский университет. В 1967 г. избирается
профессором логики Йельского университета в США.
бесконечно близкие ей идеальные точки - “ореол”. Эта так струк-
турированная прямая уже содержит ненулевые бесконечно мал-
ые числа близкие нулю, но не равные нулю. Аналог этому дает
физика - там свет обладает и волновыми (“ореол”), и корпускуляр-
ными (действительные точки) свойствами.

Нестандартный анализ Абрахама Робинсона опирается на по-
нятие неархимедовской упорядоченности, являющейся развитием
понятия монады Лейбница, т.е. отрезка вида (т — tZx, х + dx), со-
держащего только одно вещественное число. Как уже упоминал-
ось ранее, в 1672 г. в Париже Г.Лейбниц знакомится с “Лекциями
по оптике и геометрии”1) Исаака Барроу (1630-1677), опублико-
ванными в 1669-70 гг. В них обобщены результаты итальянской
математической школы, французов Декарта и Ферма, а также
двух англичан: Джона Уоллиса (John Wallis, 1616-1703) и Джей-
мса Грегори (James Gregory, 1638-1675). В частности, в 4-й лек-
ции своей книги Барроу строит касательные к кривым, а в 11-ом
предложении 9-й лекции дает два доказательства своей знамен-
итой теоремы о дифференцировании интеграла с переменным ве-
рхним пределом (одно доказательство кинематическое, а другое
аналитическое). Для приложения оказалось важным и нераве-
нство:

(1 + х)п > 1 -|-пт, где х > 0, nGN\{l} (4.14)

К сожалению, изложение И.Барроу было тяжеловесным по
форме, и кроме Х.Гюйгенса и Г.Лейбница, которых оно побуд-
ило к новым открытиям, а также И.Ньютона, который, как ска-
зано в предисловии, просмотрел труд и внес некоторые коррек-
тивы в “оптическую” часть, не обратило на себя большого вн-
имания. К моменту выхода этой книги И.Барроу оставил кафедру
И.Ньютону и стал придворным священником2) короля Карла И.

"Lectiones opticae et geometricae”, Londini.

2>По образования И.Барроу был богословом, и при этом был разностор-
онне образован. В Оксфорде он был профессором греческого языка, потом
преподавал математику в Грешем Колледже, и лишь с 1663 по 1669 г. был
Повлияло на это не только желание короля, но и то, что лет-
ом 1669 г. И.Ньютон передал И.Барроу труд “Анализ с помощ-
ью уравнений с бесконечным числом членов”, в котором в сжатой
форме дано исчисление бесконечно малых, учение о бесконечных
рядах и решении уравнений с помощью рядов. Ньютон не захотел,
чтобы этот труд был помещен в качестве приложений к лекциям
Барроу. При этом свою задачу - подготовку научного наследника

Барроу считал выполненной.

Итак, с 1669 г. Исаак Ньютон профессор в Кембридже.
И.Ньютон родился в 1643 г. в 75 километрах от Кембриджа, в
1661-65 гг. учился в Тринити Колледже Кембриджского универс-
итета, а в 1668 г. получил там степень магистра. И.Барроу уже в
1663 г. обратил внимание на Ньютона, и последний, под руково-
дством Барроу, дал формулу разложения бинома с любой степен-
ью. С 1665 г. И.Ньютон уже вполне самостоятельно разрабатывал
метод флюксий, совершенно отчетливо осознав взаимнообратный
характер операции интегрирования и дифференцирования. Одно-
временно он работал над проблемами* механики, всемирного тя-
готения, занимаясь оптикой, открыл дисперсию света, в 1668 г.
построил первый рефлектор. В 1670-71 гг. И.Ньютон готовит к
изданию книгу “Метод флюксий”, но издать ее не удалось книги
по математике как тогда, так и сейчас редко приносят прибыль* 1)
В этом труде И.Ньютон называет величины х, т/, z. , зависящ-
ие от времени t, флюэнтпами, скорости, с которыми изменяются
флюэнты называет флюксиями, т.е. флюксии являются произв-
одными флюэнт по времени. Флюксии он обозначал с точками:
х, у, z 2) Бесконечно малые изменения флюэнт И.Ньютон назы-

профессором математики в Кембридже.

1)Первый труд И.Ньютона “Рассуждения о квадратуре кривых” опублико-
ван вместе с “Оптикой” и “Перечислением кривых третьего порядка” в одной
книге в Лондоне только в 1704 г.

2)Через 25 лет И.Ньютон ввел другие знакомые нам обозначения: х =
dx dy dz
di’ V=di' - = t - время.
вал моментами (соответствует дифференциалам). Эта символика
частично сохранилась в механике и векторном анализе.

По терминологии И.Ньютона флюксия для т4 = 0 будет 4ж3 =

О, а флюэнтой для х3 — 0 будет -х* = 0. “Метод флюксий” был
4

опубликован только 1736 г. уже после смерти И.Ньютона (1727
г.). Отметим, что в этой работе формально дифференцируются
не функции, а уравнения. Интересно, что И.Ньютон интегриро-
вал исключительно только многочлены, а другие функции раск-
ладывал в степенные ряды. Закон всемирного тяготения он вывел
на основе трех законов динамики, трех законов Кеплера, анал-
итической геометрии Декарта и Ферма, свойств конических се-
чений, а также теоремы Барроу. Кстати, И.Ньютон вывел эту тео-
рему самостоятельно и очень удивился, когда узнал, что И.Барроу
давно с ней знаком.

Итак, если тр масса планеты, Ms - масса солнца, r(i) - рас-
стояние планеты от Солнца (точнее, от одного из фокусов орбиты
планеты в момент i), a F(t) - сила всемирного тяготения, то

m (4-15)

где G является постоянной, одинаковой для любых двух тел.

И.Ньютону было только 13 лет, когда в Великобритании нефо-
рмальный союз ученых (“Воскресный Коллегиум”) преобразовался
в Королевское Товарищество Поддержки Наук (“Royal Societe”).
В Англии это общество выполняло и выполняет роль Академии
Наук1) И.Ньютон стал членом Королевского общества в 1672 г., а
с 1703 г. до самой смерти был его бессменным президентом.

Огромны заслуги И.Ньютона для экономики Великобритании:
будучи с 1696 г. Хранителем Монетного Двора, а с 1699 г. до 1727

О Первая Академия Наук в Европе появилась в Неаполе в 1560 г., следующ-
ая Академия де Линчи (Academia dei Lincei) - в Риме в 1603 г., Парижская
(1666 г.), Берлинская (1700, окончательно 1741 гг.), Петербургская (1724 г.).
г. - директором Монетного Двора, И.Ньютон организовал чеканку
новых монет с ободком и поребриком, и, тем самым, спас Англию
от банкротства, так как в Англии к 1696 г. царила жесточайшая
инфляция из-за огромного числа фальшивых серебряных монет
(их расплющивали и обрезали по стандартной форме).

В 1709-12 гг. были опубликованы “Математические Начала нат-
уральной философии”1), сыгравшие огромную роль в развитии
не только математической физики, но и естествознания. К сожа-
лению, их выход способствовал обострению уже заглохшей было
полемики о приоритете в создании основ дифференциального и
интегрального исчисления между И.Ньютоном и Г.Лейбницем.
Еще в 70-80-х годах XVII века д 1ГЛ
И.Ньютон прекратил попытки публ-
икации своих трудов из-за предложен- \

ия Роберта Гука (Robert Gook, 1636- \

1703) вывести закон эллиптичности
орбит планет из закона всемирного тя- у
готения, или, как тогда говорили, зак-
она обратных квадратов2). Интересно,
что в процессе изучения эллиптиче- Рис- 4.11: К задаче о бра-
ских орбит И.Ньютон делает открыт- хистохроне
ие, которое почти на 200 лет оперед-
ило свое время: изучая замкнутые выпуклые алгебраические крив-
ые (алгебраические овалы), он ввел понятие алгебраической квад-
рируемости, то есть дал описание тех кривых, площади любых
сегментов которых выражаются алгебраически3). Теорема, кото-

*) Первая редакция этих “Начал” была послана И.Ньютоном Королевскому
Обществу для издания еще в 1686 г.

^Подробнее см. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук. М.: Наука,
1989.

3) Кривая на плоскости называется алгебраической, если она удовлетворяет
уравнению Р(х,у) = 0, где Р - ненулевой многочлен. В частности, алгебраи-
ческими кривыми будут эллипс, гипербола, но не синусоида. Функция назы-
вается алгебраической, если ее график - алгебраическая кривая.
рую получил Ньютон, гласит: ’’Все гладкие овалы алгебраически
не квадрируемы (в частности и эллипсы)” Это было прообраз-
ом доказательства неразрешимости алгебраических уравнений в
радикалах (Н.Абель, 1825г.) и неразрешимости некоторых диффе-
ренциальных уравнений в квадратурах, полученных в конце XIX
века Ж. Лиувиллем (Liouville J., 1809-1882).

4.3. Молодость классической математики

Перенесемся теперь вновь в середину XVII века. Если Р.Де-
карт для своей безопасности жил в Голландии, то отец купца Ник-
олая Бернулли (1623-1716) из-за религиозных преследований пр-
отестантов был вынужден покинуть Голландию в конце XVI века
и переселиться в Швейцарию. У Н.Бернулли было два сына: Яков
(1654-1703) и Иоганн (1667-1748). Купец Николай Бернулли любил
математику, и эта любовь передалась сыновьям. И хотя Яков из-
учал теологию, а Иоганн - медицину, оба стали математиками, и
притом - соперничающими. Серьезно заняться математикой Як-
ова и Иоганна побудил пример Г.Лейбница, точнее мемуар Лей-
бница (1684 г.) о дифференциальном алгоритме. Яков занимался
дифференциальным и интегральным исчислением. Пробовал он
решить проблему брахистохроны, т.е. кривой, соединяющей две
точки А и В на разных уровнях таким образом, чтоб движение
шарика под влиянием силы тяжести из точки А до точки В вдоль
кривой длилось минимальное время.

Решил эту задачу1^ Иоганн Бернулли и оказалось, что иско-

0 Отметим, что еще в конце своей первой статьи в 1690 г. в “Acta Erudito-
rum” Я. Вернул ли поставил вопрос о кривой, вдоль которой располагается под
действием силы тяжести однородная гибкая нить, подвешенная за два непод-
вижных конца. Оказалось, однако, что эта задача была поставлена еще в 1634
г. А.Жираром (Albert Girard, 1595-1632). Ответ дал брат Иоганн в 1691 г.
это цепная линия. График этой линии см. на рис 4.12. Ее уравнение

У - ?(е“ +е“«). (4-16)

4U
мая кривая - циклоида (рис. 4.11).

Яков Бернулли много занимался дифференциальными урав-
нениями. Метод Бернулли решения линейных дифференциальных
уравнений первого порядка - это метод Якова.

Наибольшее значение для математики имела опубликованная
в 1713 г. уже после смерти Якова книга “Искусство предположен-
ий” (“Ars conjectandi”), которая была по существу первым бол-
ьшим трудом, посвященным случайным явлениям. Знаменитая сх-
ема Бернулли, данная там, это схема Якова Бернулли. Лежащая
в основе этой схемы теорема Бернулли* 1) и до сих пор является
звеном, связующим теорию вероятностей со статистическими на-
блюдениями.

Иоганн Бернулли много внимания

посвятил воспитанию трех сыновей, кот-
орые внесли значительный вклад в мате-
матику. Николай (II) Бернулли (1695-1726
гг.) занимался теорией вероятностей, Дан-
иил (1700-1784 гг.) был не только мате-

матиком, но и выдающимся физиком и

астрономом. Именно он ввел в 1729 г. хор-
/ 1V
ошо нам знакомый предел: lim (1-1— | ,
п—*оо у nJ

названный позже в честь Леонарда Эйле-

0
Рис. 4.12: График
цепной линии

ра числом е. Его выдающееся произведение “Гидродинамика” ок-

азалось чрезвычайно полезным через 200 лет после своего появ-

ления для развития космических исследований с помощью ракет.

О Напомним эту теорему: Вероятность Р отклонения частоты ® наблюда-
емого события А от вероятности р наступления события А в каждом из п
испытаний на любую, но фиксированную величину е = е(п) > 0 стремится к

1 при п —♦ оо, т.е.

--р
п

)п—>ОО -

-----> 1.

(4.17)
Третий сын Иоганн (II) Бернулли (1710-1790) остался с отцом в
Базеле. Кстати, Яков Бернулли еще в 1683 г. стал профессором
в Базельском университете вначале по физике, а затем по мате-
матике, а после его смерти это место перешло к Иоганну Бернулли.

Среди учеников Иоганна (I) Бернулли кроме его сыновей и
Леонарда Эйлера, о котором поговорим отдельно, следует выдел-
ить маркиза Гильома Франсуа Антуана де Лопиталя (G.F.A.de
L’Hospital, 1661-1704). Он слушал лекции И. Бернулли в 1691-92
гг., а уже в 1696 г. издал эти лекции под своим именем, правда,
с некоторыми добавлениями, под названием “Анализ бесконечно
малых для исследования кривых линий” на французском языке в
Париже. Хорошо известные правила Лопиталя - это просто тео-
ремы Иоганна Бернулли. Иоганну Бернулли принадлежит и очень
красивое разложение в ряд интеграла от функции хх\

Xх dx — 1 — — 4-

1 1

S’ 4т +

(4.18)

Если говорить о рядах, то ряд Тейлора (Брук Тейлор (Brook Tay-
lor), 1685-1731) появился в 1715 г. в его работе “Метод приращен-
ий”1^. Ряд же Маклорена2^ (ученика И.Ньютона ) был опублико-
ван значительно позже - только в 1742 г. Интересно, что факти-
чески ряд Тейлора-Маклорена был известен еще Джеймсу Грег-
ори (1638-1675). Еще в 1668 г. Д.Грегори предложил в своей ра-
боте “Геометрические этюды” способ интерполирования для слу-
чая постоянной разности 2-го порядка. А двумя годами позже дал
общую формулу интерполирования с равноотстоящими узлами, в
которой функция f заменяется параболой n-го порядка, проходя-

l)“Methodus incrementorum”.

2) Колин Маклорен (Colin MaClaurin, 1698-1746).
щей через эти узлы: х0, xq + Л, xq + 2/i,..., х0 + nh — x\l\

f(x0 + xh) = f(xa) + ^Д/(х0) + ^~^-S2f(xB)+

+ (4.19)

Ряд Тейлора получается из этой формулы2^ путем предельного
перехода, что кстати и сделал сам Тейлор. Заметим, что понятие
предела и обозначение “ИлГ ввел Жан Д’Аламбер (Jean le Rond
d’Alambert, 1717-1783), издатель и соавтор знаменитой “Энцикл-
опедии” в 28 томах, в статье “Производная”

Вернемся теперь к Леонарду Эйлеру - величайшему мате-
матику XVIII века. Его отец Пауль Эйлер (1669-1745) учился в
Базельском университете и слушал лекции Якова Бернулли. Бо-
лее того, он защитил диссертацию по теории пропорций и отн-
ошений. Однако в итоге выбрал традиционную для семьи Эйлер-
ов профессию пастора. Сын Пауля Леонард в возрасте тринад-
цати с половиной лет поступает в 1720 г. в Базельский униве-
рситет на факультет свободных искусств. Иоганн (I) Бернулли
очень быстро замечает дарование Леонарда, но отказывается зан-
иматься с ним дополнительно (за деньги), мотивируя это недос-
татком времени. Вместо этого он дает ему еженедельные задан-
ия и обсуждает их выполнение раз в неделю. В 1724 г. Л.Эйлер
получает звание магистра искусств и поступает на богословский

х)Для случая n = 1 и п — 3 эта формула была известна еще в Китае более
1400 лет тому назад, и использовалась в календарных расчетах в VII-IX век-
ах. Ее ввел около 600 г. китайский астроном и математик Лю Чжо. Другой
китайский астроном И.Синь в VII в. распространил эту формулу на неравно-
отстоящие значения аргумента.

2)В современной литературе эту формулу называют часто формулой Ньют-
она для интерполирования “вперед” (Ньютон получил эту формулу незав-
исимо от Д.Грегори) (об этой формуле подробнее см., например, Исаков В.Н.
Элементы численных методов. - М.: Академия, 2003.)
факультет, не прерывая занятий математикой. В 1726 г. в жур-
нале “Acta Eruditorum” появляется первая заметка Л.Эйлера об
изохронах в сопротивляющейся среде. В связи с открытием в авг-
усте 1725 г. Петербургской Академии Наук, по протекции брат-
ьев Николая (II) и Даниила Бернулли Л.Эйлер получил приг-
лашение занять вакансию (по физиологии!). Николай (II) и Дан-
иил Бернулли приехали в Санкт-Петербург в 1725 г. Л.Эйлер
приезжает в Санкт-Петербург в 1727 г. и живет там первоначал-
ьно до 1741 г. Второй раз он приезжает из Германии в Санкт-
Петербург в 1766 г. и остается там до своей кончины (1783).
(Похоронен Л.Эйлер был первоначально на Смоленском Лютера-
нском кладбище в Санкт-Петербурге, а в 1956 г. перезахоронен
на кладбище в Александро-Невской Лавре неподалеку от могилы
М.В.Ломоносова (1711-1765)). В 1741-1766 гг. Л.Эйлер живет в По-
тсдаме, будучи заместителем Президента Берлинской Академии
Наук. При Л.Эйлере Президентом Академии был первоначально
П.Л.Моро де Мопертюи (Pierr Lois Mareau de Maupertuis, 1698-
1759) - французский физик, руководивший Лапландской экспед-
ицией по измерению длины дуги одного градуса меридиана. Позже
Президентом Академии Наук стал сам Король Пруссии Фридрих
(П) Великий (1712-1786)1).

О работах Л.Эйлера трудно говорить кратко - их у него было
более 800. В области математического анализа Л.Эйлеру принад-
лежат три произведения, цитируемые на протяжении почти 250
лет. Это “Введение в анализ” (1748), “Дифференциальное исчис-
ление” (1755) и три тома “Интегрального исчисления” (1768-1770).
Первое из этих произведений издано в Берлине, а два других
в Санкт-Петербурге. Содержат эти произведения последовательн-
ости, ряды, дифференциальное и интегральное исчисление в раз-
вернутом виде, выделены в них дифференциальные уравнения,

О Выбор француза Президентом Берлинской Академии был не случаен
Фридрих (II) любил французский язык и писал стихи только на французском
языке.
геометрическая и тригонометрическая интерпретации комплекс-
ных чисел. Есть там и знаменитое равенство, высланное в космос,
и связывающее три удивительных числа: е, тг, г:1)

е™ = -1. (4.20)

В 1744 г. появляется фундаментальная работа Л.Эйлера, посвя-
щенная вариационному исчислению, где, в частности, находя-
тся минимальные (при определенных условиях) поверхности, так
называемые “мыльные пленки”

В 1770 г. появилось “Полное введение в алгебру”2), в котор-
ой содержалось много новых результатов по теории чисел. Стоит
припомнить, что число е названо в честь Л.Эйлера.

Пусть А - множество алгебраических чисел3). В 1748 г. Л. Эй лер
поставил вопрос: когда logQ/3 € Q, т.е. будет рациональным чис-
лом? Ответ дал только в 1934г. А.О.Гельфонд: если а, /Зе А\{0; 1},
то либо loga/3 € Q, либо будет трансцендентным числом. Кс-
тати, понятие трансцендентного числ$ ввел еще Лейбниц, а пер-
вый пример трансцендентного числа дал X.Гольдбах4) (Christian
Goldbach, 1690-1764) в письме Д.Бернулли в 1729 г.:

Е10-2‘-' = 0,1 + 0,01 + 0,0001+ (4.21)

fc=l

До сих пор неизвестно, будет ли постоянная Эйлера

п /1 M+t 1 \

E = nlimX(fe-/ - dt) ~ 0,577215664. (4.22)

n~+o° к~1 \ Jk '

*)Мнимая единица i появилась фактически в труде Кардано “Великое иск-
усство”.

2)“Vollstandige Anleitung zur Algebra”, St.-Petersburg, 1770.

3^T.e. множество всех корней не нулевых многочленов с рациональными
коэффициентами.

4) Христиан Гольдбах был приглашен из Франции в числе первых членов
Петербургской Академии Наук.
рациональным числом или нет.

Л.Эйлер ввел еще одну постоянную, названную характерис-
тикой Эйлера конечного n-мерного клеточного комплекса К -
т.е. целое число

Х(К) = £(-1)Ч, (4.23)

fc=0

где Qfc - число fc-мерных клеток комплекса. Эта характеристика
является гомологическим, топологическим и гомотопическим ин-
вариантом комплекса. Сам Эйлер рассматривал только двумер-
ный клеточный комплекс. Точнее в 1758 г. Л.Эйлер получил для
выпуклого многогранника Р формулу:

х(Р) = Qo - Q1 + а2 = 2,

(4.24)

где &о число вершин, сц - число ребер, а2 - число граней мно-
гогранника Р

Л.Эйлер считается и родоначальником теории графов. Ему
принадлежит первый научный результат в этой теории в ходе
решения проблемы “Кенигсбергских мостов”1) (1736 г.).

Рис. 4.13: К задаче о
Кёнигсбергских мостах

В математическом анализе Л.Эйлер
широко использовал ряды. В ча-
стности, особо следует выделить за-
дачу о малых поперечных колебан-
иях натянутой идеальной струны дл-
ины I. Л.Эйлер заметил (1750), что в

ряде случаев решением может служ-

ить сумма простых гармонических
колебаний. Этот результат обобщил
Д.Бернулли, который утверждал, что
колебание струны в каждый момент

1^Речь идет о задаче существования маршрута, обходящего семь Кенигсбер-
гских мостов, связывающих 2 острова и берега реки Прегель, по одному разу
с возвращением в исходную точку (Рис. 4.13).
можно рассматривать как результат наложения простых гармон-
ических колебаний, т.е. суммой бесконечного тригонометрического
ряда вида

. тг п . 2тг . Зтг
у = a sin -г + р sin — + 7 sin ~ 4- (4.25)

LLL

Интересно, что Л.Эйлер часто использовал и расходящиеся
ряды, но результаты всегда получал правильные. Только во второй
половине XX века развитие теории алгебраических форм позвол-
ило объяснить это явление - интуиция Л.Эйлера не подвела.

В 1755 г. Л.Эйлер получает письмо от некоего юноши 19 лет,
в котором сообщается об изобретенном им алгоритме1) вариаци-
онного исчисления вместе с понятием и знаком вариации 6, Этим
юношей был Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736-
1813), который стал вторым выдающимся математиком XVIII
века. Он родился в Турине и там в возрасте 19 лет стал профессор-
ом математики в Артиллерийской школе. В 1766 г. был приглашен
в Берлин на место, освободившееся после отъезда Л.Эйлера в Пе-
тербург. В 1786 г. после смерти Фридриха II Лагранж возвращ-
ается во Францию, где становится соучредителем и профессором
Нормальной школы (Ecole Normale) и политехнической Школы
(Ecole Poly technique).

В теоретической механике Лагранжу принадлежит важне-
йшая работа конца XVIII века “Аналитическая механика” (1788
г.) Там практически в современной форме приведены результаты
от Ньютона до Эйлера и Д’Аламбера. В математическом анали-
зе широко известна теорема Лагранжа, обобщающая теорему
Мишеля Ролля (Michel Rolle, 1652-1719). В XX веке метод мно-
жителей Лагранжа оказался чрезвычайно востребован во многих

1> Правда элементы этого алгоритма можно разглядеть уже у древних грек-
ов при решении изопереметрической задачи: отыскание вида кривой заданной
длины, ограничивающей максимальную площадь. Подробнее см., например,
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. - Л.: Наука, 1980.
задачах оптимизации. Заключается он в следующем: если треб-
уется найти максимум или минимум функции /(si,... ,хп) при
условиях: , хп) = b,, i := 1 . m, (men), то ищется экст-

ремум функции

F(x, А) = f(x) + АДЬ1 - (ft(я)) + + Am(fem - дт(т)) (4.26)

называемой функцией Лагранжа, а числа А, (г := 1... т) - множ-
ителями Лагранжа, при этом х = (яь..., хп), А = (Ai,..., Am).

В алгебре известна теорема Лагранжа (1771) о порядке ко-
нечной группы: во всякой конечной группе порядок любой подг-
руппы является делителем порядка самой группы. Интерполяци-
онный многочлен Лагранжа (1795) степени п, интерполирующий
заданную функцию f(x) в узлах хп:

Г М t(„X (x-xi)(x-x2) (х-х„)

Ln(l) = /(lo)(io-x№-x2)-(4-In) +

, (х-Хр)(х-Х2) --(l-In)

+ (x, - x0)(zi - x2)• (X! - x„) +

•(*-*-) (4.27)

(a?n -£o)(Zn -*i) -’(Xn-ajn-i)

широко применяется в технике, экономике, астрономии, физике.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, не раз-
решенное относительно производной, но линейное относительно
независимой переменной и неизвестной функции: Ffy^x+Gtyyy —
Н(у'), называется уравнением Лагранжа1). Его частным случаем
является уравнение Клеро (1734) (Alexis Claude Clairaut (1713-
1768)) вида

у = ху' + f(y'), (4.28)

где / нелинейная функция. К уравнению Клеро приводили за-
дачи, в которых требовалось определить кривую по заданному св-
ойству ее касательных.

Лагранж изучил это уравнение в работе 1759 г.
Добавим широко известные результаты Лагранжа по теории
чисел:

• Всякое натуральное число можно представить в виде суммы
четырех квадратов натуральных чисел (1770),

• Число решений сравнений

ttQXn + a,ixn 1

п = 0 (modp), по 0 (mod р)

по простому модулю р не превосходит его степени п (1770).

Уже приведенные выше результаты показывают, каким глубоким
оказалось влияние Лагранжа на развитие математики не только
следующего XIX века, но и XX века.

Упражнения

1. Исследуйте и нарисуйте кривую,.называемую “листом Дека-
рта”, задаваемую уравнением х3 — у3 — Заху = 0.

2. Исследуйте и нарисуйте “параболу Декарта” (“трезубец Ньют-
она”), задаваемый уравнением

у3 — 2а2 у2 — ау + 2а2 = аху

при а — 1 (и при а = —1).

3. Найдите уравнение циклоиды Паскаля в декартовой системе
координат, если радиус г = 1.

4. Найдите эйлерову характеристику тора.

5. Проверьте для п < 20 результат Лагранжа: любое натурал-
ьное число можно представить в виде суммы 4-х квадратов
натуральных чисел.

Глава 5

Математика XIX века

1. Зрелость классической математики.

2. Теория множеств Г.Кантора и зарождение конструктивизма.

5.1. Зрелость классической математики

XVIII век заканчивался Великой Французской Революцией
(1789-1793), провозглашением независимости Соединенных Шта-
тов Америки (1776), принятием Конституций во Франции (1793),
США (1787 и 1791), Польше (1793). Все это наложило отпечаток и
на развитие математики. Математика как важнейший инструмент
развития техники (прежде всего военной), судоходства, банковско-
го дела стала получать поддержку государства. Прежде всего это
выразилось в распространении новых математических знаний не
только в высших учебных заведениях, но и в средней школе.

И в числе тех, кто нес эти новые идеи, формулировал их
и реализовывал в первую очередь нужно назвать Пьера Лапла-
са (Pierre Laplace, 1749 - 1827). Сын мелкого землевладельца из
Нормандии, он по окончании учебы в школе бенедиктинцев по
протекции Д’Аламбера стал профессором военной школы в Пари-
же. В 1799-1825 годах выдал 5 томов “Трактата о небесной меха-
нике”, где не только систематизировал предыдущие достижения,
но внес много новых идей. В частности, он ввел оператор:

названный оператором Лапласа и фактически стоял у истоков тео-
рии потенциала. При случае он должен был посчитать определи-
тель матрицы, и в результате мы имеем “разложение” Лапласа.

Свой детерминистический девиз “Все в природе можно описать
(и тем самым предсказать) с помощью достаточного числа урав-
нений” Лаплас последовательно старался претворять в жизнь и
на посту председателя (1790) Палаты мер и весов во Франции при
введении метрической системы мер, и при организации Нормаль-
ной и Политехнической школ.

Идеи детерминизма он попытался ввести и в теорию вероятнос-
тей. В 1812 г. появляется еще одно выдающееся творение Лапласа
“Аналитическая теория вероятностей”, где он четко и ясно изло-
жил основы теории вероятностей и ее приложения. В ней наш-
лось место развитию идей Абрахама Муавра (Abraham de Moivre
(1667-1754)), который ввел в математический обиход нормальное
распределение. Поскольку А.Муавр был гугенотом, то он с 1688
г. жил в Англии, где сблизился с Ньютоном. Его основной труд:
“Учение о случаях” выходил с дополнениями несколько раз. И в
1733 г. появилось дополнение:

lim Р

п—*оо

М - пр к
— о >
xAw J

_ tf. 7

е 2 dt

(“предел вероятности события в фигурных скобках равен ”), где
р, число наступления события в п независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность этого события равна р — 1 — q.
Формулы Томаса Байеса1) (Thomas Bayes,
1702-1761) и идеи Г.Бюрффона (George
de Buffon (1707, 1788)) о “геометрической т

вероятности также нашли отражение в
“Аналитической теории вероятностей” Ла-
пласа. Широко известна идея Бюффона
нахождения значения числа тг с помощью

бросания иглы длиной I на лист бумаги, Рис. 5.1: Нахождение
поделенный на полоски шириной L (рис. числа тг (по Бюфф-
5.1). Если п - число бросаний ид- число ону)

А:
бросаний, при которых игла пересечет линию, р « — частота

этого события, то

21 ~ 21п

pL kL

Лапласом были доказаны первые предельные теоремы; в тео-
рии вероятностей он стал широко применять конечно-разностные
уравнения и способы приближенного вычисления определенных
интегралов, нашедшие применение в страховом деле и отдельных
вопросах демографии.

Еще один преподаватель Политехнической школы (в 1796-98
гг.) Жан Батист Фурье (Jean Baptist Fourier, 1768-1830) основ-
ные свои труды посвятил изучению распространения тепла в изо-
морфном твердом теле. В 1807 г. для решения уравнения тепло-
проводности

Статья Т.Байеса “Опыт решения одной задачи учения о случаях” появ-
илась через 2 года после смерти автора. Эта статья не содержит “формул
Байеса” Т.Байес изучал падение мяча на квадрат со стороной 1. Фактиче-
ски определялась классическая априорная вероятность вертикальной прямой
в единичном испытании. Лаплас же рассмотрел дискретный аналог в еди-
ничном испытании и назвал его VI принципом теории вероятностей.
он предложил представлять функцию / на промежутке [0, 2тг] в
виде ряда

fc=i

(5-1)

где

1 [21Г

ак = ~ I f (х) cos kxdx,
Я JQ

1 /*2ЭТ

bk = — / f(x) sinkxdx1^
я Jo

(5-2)

Оказалось, что каждая функция /, которая интегрируема на
[О, 2тг], допускает представление (5.1). Это имело огромное значен-
ие в технике, особенно в создававшейся тогда электротехнике. Эти
результаты позже были обобщены в 1881 г. Жорданом (Camille
Jordan, 1838-1922), еще ранее в 1828 г. Ф.Бесселем (Friedrich Bessel,
1784-1846) в 1864 г. Р.Липшицем (Rudolf Lipschitz, 1832-1903), в
1891 г. А.Лебегом (Henry Lesbesgue, 1875-1941) и в 1907 М.Риссом2)
(Marcel Riesz, 1886-1969).

Интересно, что формулы (5.1) и (5.2) получил еще в 1777 г.
Л.Эйлер, но при решении иной задачи.

Развитие теории рядов Фурье привело не только к созданию
в XX веке гармонического анализа, но вызвало к жизни теорию
ортогональных рядов, что в свою очередь оказалось полезным в
кратномасштабном анализе и нашло широкое применение в соз-
дании CD дисков и новейших компьютеров.

Через 9 лет после рождения Ж.Фурье в 1777 г. в г.Брауншвейге
родился в бедной семье бывших батраков величайший математик
первой половины XIX века Карл Фридрих Гаусс (Carl Gauss, 1777-
1855). К.Гаусс окончил школу и благодаря спонсорам, одним из

1)Если ряд в правой части (5.1) сходится к f равномерно, то формулы (88)
и (5.1) корректны.

2Ше путать с его братом Фридьешем Риссом (Frygyes Riesz, 1880-1956).
которых был кюрфюрст Брауншвейга, окончил Геттингенский ун-
иверситет. Руководителем его докторской диссертации был профе-
ссор И.Пфафф (Johann Pfaff, 1765-1825)1\ В 1796 г. появилась раб-
ота К.Гаусса о возможности построения правильного 17-угольника
с помощью циркуля и линейки. В ней он доказал, что правиль-
ный (22Р 4- 1)-угольник может быть построен только, если число
(22Р + 1), р := 1, 2,... будет простым (числа 22’ 4-1 = 5, 222-Ь1 = 17
- простые.).

В 1801 г. в Геттингене вышли из печати “Арифметические исс-
ледования Гаусса ” Важнейшим в этой книге была теория бинар-
ных квадратичных форм, т.е. функций двух переменных вида

f(x, у) = ах2 4- Ъху 4- су2, (а, Ь, с G Z)

с определителем D — Ъ2 — 4ас и тернарных форм, т.е. функций
вида:

f(x, у z) = ах2 4- а'у2 4- a'z2 4- 2byz 4- 2b'xz 4- 2b"xy,

где a, a!, a", b, b\ b" € Z. Эта работа послужила отправной точкой
исследований в алгебре в течение последующих 200 лет.

В августе 1799 г. Гаусс заочно защитил докторскую диссе-
ртацию “Новое доказательство того, что любая целая рационал-
ьная алгебраическая функция одного переменного может быть
разложена на действительные множители многочленов первой и
второй степени” Гаусс записывает многочлен X в виде

X = Т + iU

И. Пфаффу принадлежат новые методы решения нелинейных диффе-
ренциальных уравнений в частных производных. Он же впервые исследовал
пределы последовательностей

Рп-1 4- Qn-l _ ,------

Рп — 2 ’ — \/РпЧп—1

(у Гаусса qn — n := 1> 2,...), оказавшиеся весьма полезными в

современной теории “быстрых алгоритмов”.
и доказывает, что корень уравнения X = 0 существует, когда кри-
вые, задаваемые уравнениями U = 0 и Т = 0, имеют точку перес-
ечения1).

В 1809 г. появилась книга Гаусса “Теория движения небес-
ных тел, обращающихся вокруг Солнца” В ней содержится тео-

рия определения орбит планет, не потерявшая значения и ныне.
В 1812-14 годах Гаусс занимается теорией интерполяции, позд-
нее - геодезией (в процессе создания карты Ганновера), развива-
ет метод наименьших квадратов2), изучает геомагнитное поле3).

Рис. 5.2: К интегралу
Коши комплексного
анализа.

Добавим еще, что Гаусс, как и
Н.И.Лобачевский и Я.Бояи, принял уча-
стие в рождении неевклидовой геомет-
рии, о чем будет идти речь далее, и мно-
гое сделал в изучении “внутренней” гео-
метрии.

Если работы Гаусса создавали еще
задел на будущее и не только в мате-

матике, во многом опираясь на его ген-

иальную интуицию, то настало время
“чистильщиков”, т.е. тех, кто приведет
полученные результаты в систему, кто
обоснует те положения, которые прин-

имались за очевидные. Величайшим “чистильщиком” первой поло-
вины XIX века был Огюстен Коши (Augustin Louis Cauchy (1789-
1857)). С 1816 г. до 1830 г. он работал в Политехнической школе,

^Идея Гаусса заключалась в том, что у него поле комплексных чисел С
заранее не задано. Если коэффициенты заданного неприводимого многочле-
на Рп{х) принадлежат полю Q, то он строит поле Q(0) поле разложения
данного многочлена и доказывает затем, что это поле изоморфно некоторому
подполю С.

2) Начало этому методу положила в процессе определения орбит комет ра-
бота 1805 г. А.Лежандра (Adrien Legandre, 1752-1833).

3^He случайно единица магнитной индукции в электромагнитной системе
единиц названа гауссом.
затем до 1838 г. в Турине и Праге, и позже, до конца жизни, вновь
в Париже. По профессии инженер, окончивший в 1807 г. Полите-
хническую школу, а также Школу мостов и дорог, он, как ни один
математик до него, много сделал, чтобы математический анализ
обрел надежную основу. Его “Курс анализа” (1821), “Лекции по
приложениям анализа и геометрии” в 2-х тт. (1826-28) до сих пор
служат образцом для курсов анализа. (Понятие непрерывности
функции, теория сходящихся рядов, определение интеграла как
предела интегральных сумм1) - все это вошло уже в повседневный
обиход не только математиков.) Краеугольные результаты в тео-
рии функции комплексного переменного, формула Коши2) (1831.)
в теории аналитических функций, задача Коши,3) - одна из основ-
ных краевых задач в теории дифференциальных уравнений, тео-
рема Коши о вычетах - без них сейчас трудно было бы представить
современные ракето- и самолетостроение, не говоря уже о физике.

Коши ввел понятие последовательности ап, такой, что расст-
ояние между ее членами, начиная с некоторого номера, не пре-
вышают заранее заданной величины е, точнее

Ve > 0 Зп € N Vm, к е N|an+m — an+k| < e,

где N - множество натуральных чисел. Такие последовательности,

1)Это определение интеграла - частный случай интеграла Римана.

2)Если f(z) - регулярная аналитическая функция комплексного переменно-
го z в области DvlL- замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, располо-
женная в D вместе со своей внутренностью G, при этом обход L совершается
против часовой стрелки (рис. 5.2). Тогда

Стоящий справа в формуле Коши интеграл называется интегралом Коши , а

функция ------ядром Коши.

3) Задача отыскания такого решения соответствующего дифференциального
уравнения или систем уравнений, которое удовлетворяет начальному задан-
ному условию.
называемые иногда фундаментальными1), играют очень важную
роль в теории метрических и нормированных пространств, (но это
уже математика XX века).

К сожалению, не обошли О.Коши ошибки как в оценке собст-
венных работ, так и в оценке работ других. Здесь следует прежде
всего назвать Эвариста Галуа (Evariste Galois’a, 1811-1832), чью
работу об основах теории групп он оценил негативно. А именно с
помощью этой работы, как и работы Нильса Абеля (Niels Hendrik
Abel, 1802-1829), окончательно удалось доказать, что три знамен-
итых задачи древних: о трисекции угла, об удвоении куба, о квад-
ратуре круга - невозможно решить с помощью циркуля и линейки.

Кроме того, доказано с помощью этой теории, что только алге-
браическое уравнение2^ не более, чем 4-й степени, всегда разреш-
имо в радикалах. Абель доказал эту теорему в 1824-26 гг.3) Даже
Эйлер был уверен, что всякое алгебраическое уравнение допуска-
ет решение в радикалах. Н.Абель, к сожалению, умер в расцвете
интеллектуальных сил в возрасте 27 лет от туберкулеза. Из его
математического наследства можно назвать и известную “теорему
Абеля” о сходимости и расходимости рядов. 9 апреля 2002 г. в оз-
наменование заслуг Абеля Норвегия установила для математиков
всего мира премию им. Абеля в размере Нобелевской премии4)

Из ошибок самого О.Коши имеет смысл сказать только об од-
ной: Коши не различал равномерной сходимости и просто сходи-
мости.

В связи с расширением проблемы нахождения корней алгеб-

1^Или последовательностями Коши.

2) Алгебраическое уравнение - это уравнение вида fn(x) — хп + aixn~l +
+ ап-1$ + а-п = 0, где щ,..., ап G Q - полю рациональных чисел.

3) Попытка доказать эту теорему была сделана в 1798-99 гг. профессором
анализа университета в Модене Паоло Руффини (Paolo Ruffini, 1765-1822 гг.)
Доказательство Риффини не было строгим, хотя он фактически уже рассмат-
ривал группы подстановок.

4) Первым лауреатом Абелевской премии стал в 2003 г. французский мате-
матик Жан Пьер Серр (Jean Pierre Serr), родившийся в 1926 г.
раических уранений высших степеней уместно посмотреть и на
методы решения систем линейных уравнений в первой половине
XIX века. Почти за 100 лет до этого ученик и друг И.Бернулли
профессор Женевского университета Габриель Крамер (Gabriel
Cramer, 1704-1752) начал изучать системы п-линейных уравнений
с п неизвестными. Для решения этих систем он и применил оп-
ределители1). К.Гаусс для решения систем n-линейных уравнений
с тп неизвестными применил метод, называемый теперь методом
Гаусса, последовательного исключения неизвестных. Матрицы для
Гаусса оставались лишь удобной формой записи. Матрицы же как
объект, служащий для описания линейных преобразований и опе-
раций над матрицами, рассмотрели англичане Артур Кэли (Arthur
Cayley, 1821-1895) и Джеймс Сильвестр (James Joseph Sylvester,
1814-1897). Первый из них был по профессии юристом, а второй -
поэтом. Увлечение математикой превратило их в профессиональ-
ных математиков. А.Кэли в 1863 г. стал профессором в Кембридже
после открытия восьмимерной действительной неассоциативной
алгебры с однозначным делением и единицей - названной алге-
брой Кэли, а Сильвестр преподавал в 1841-42 гг. в университете
в Виржинии, а в 1877-83 гг. в университете Джона Хопкина в
Балтиморе. Поэтому американские историки науки считают Силь-
вестра первым “строителем” американской математики.

Столь нам теперь привычным понятиям линейного пространст-
ва, базиса, тензоров мы обязаны учителю гимназии из Штеттина
(теперь Щецин) Герману Грассману (Hermann Grassmann, 1809-
1877 гг.). Он ежегодно писал по 10-20 работ до 1844 г. для локаль-
ных (фактически “районных”) изданий. К счастью, в 1844 г. одна
из его работ попала к берлинским математикам - и Г.Грассман
оказался в Берлинском университете. Его труд 1844 года “Учен-

0Увидели свет определители в мемуаре Г.Крамера “Введение в анализ кри-
вых алгебраических линий”, 1750г. Женева. Позже теорию определителей раз-
вивали Э.Безу (Etienn Bezout, 1730-1783), А.Вандермонд (Alexandre Vander-
monde, 1735-1796), а также Лагранж и Лаплас.
ие о линейном протяжении”, в котором и появилось грассманово
многообразие, до сих пор является важным для геометрии.

Если речь зашла о геометрии, то имеет смысл сказать о дв-
ух группах математиков: Николае Ивановиче Лобачевском (1793-
1856), Яноше Бояи (Janas Bolyai, 1802-1860) и Георге Римане
(Georg Friedrich Riemann, 1826-1866), а также о Гаспаре Монже
(Gaspar Monge, 1746-1816), Жане Викторе Понселе (Jean Victor
Ponselet, 1788-1867), Якобе Штейнере (Jacob Steiner, 1796-1863),
Августе Мёбиусе (August Mobius, 1790-1868), Юлиусе Плюкере
(Julius Plucker, 1801-1868), Мишеле Шале (Michel Chasles, 1793-
1880).

Николай Иванович Лобачевский - сын польского геодета И.М.
Лобачевского и русской дворянки1^, поступил в 1807 г. в незадолго
до этого открытый Казанский университет. Случай привел в 1810
г. в этот университет бывшего школьного учителя Гаусса - теперь
уже профессора - Иоганна Бартельса (1769-1836)2\ и он станов-
ится научным опекуном Лобачевского. Имеет смысл сказать, что
И.Бартельс был не только выдающимся педагогом, но и сильным
математиком. На 16 лет раньше, чем Френе (F. Frenet, 1816-1900),
в 1831 г. дал формулы, известные как формулы3^ Ф.Френе рег-
улярной кривой L в R3 И.Бартельс исследовал также бесконечные
произведения, занимался изучением скорости сходимости послед-
овательностей, что стало особенно важным, когда появились ко-

ОСм. Научное наследие. Л.: Наука, 1988. Т.12. С. 9-20.

2) Подробнее о И.Бартельсе можно прочитать в книге “Mathematyka czasdw
Gaussa” (под редакцией В.П.Одинца и В.Венслава), польск., ВПШ, Зелена
Гура, 2001.

3)Если кривая L в R3 определена в виде х = х(з), у — y(s), z — z(s)t где з-
параметр и t будет касательной к L, ~п - нормалью, Ь - бинормалью, к\
кривизной, к2 - коэффициентами кручения, то формулы Френе суть:

te = fcin, ns = —kit — kzb, ba — к?п.
мпыотеры. В своих курсах по основаниям геометрии в 1810 г. он
обратил внимание на V постулат Евклида. Н.И.Лобачевский вна-
чале пробовал доказать этот постулат и даже приводил в 1817
г. “доказательства” - но потом понял, что вероятно можно этот
постулат заменить на другой. Первые попытки этой работы были
посланы в 1823 г. на отзыв Н.И. Фуссу^и тот в 1825 г. резко ее ра-
скритиковал. Часть критики была справедливой, и Лобачевский
с удвоенной энергией берется за описание своей новой геометрии.
В феврале 1826 г. на научном семинаре Казанского университета
он приводит свои доводы существования неевклидовой геометрии.
Опубликован этот труд впервые только в 1829 г. в первом номере
“Казанского вестника”. Кратко опишем содержание статьи: Пусть
дана прямая L и пусть Р L. Опустим на L перпендикуляр PQ
(Q € L). Предположим, что |PQ| = а > 0. Лобачевский выдв-
игает постулат, названный постулатом Лобачевского: Через
точку Р можно провести бесконечно много прямых, параллель-
ных прямой L в некотором углу 0(a) такому, что

+ а(а) =\

2 v ' 2

при этом lim 0(a) = 0, где 0~1 будет биекцией: (0, тг/2) на
а—►4-оо

(0, +оо).

Пусть П = П(а) = 2arctg(e-*), где k € К - некоторая ко-
нстанта. Функция П теперь называется функцией Лобачевского, а
число к - радиусом кривизны пространства Лобачевского.

Отметим, что при к —> +оо, а также при а —> 0, простра-
нство Лобачевского превращается в евклидово пространство (то-

^Фусс Николай Иванович (Nikolaus Fuss, 1755-1825) - академик Петербур-
гской Академии Наук, швейцарец, уроженец Базеля, принявший русское по-
дданство в 1773 г. При жизни Л. Эйлера помогал ему в написании около
250 статей. Автор широко распространенных в России и Германии “Началь-
ных оснований чистой математики”, СПб., 1798. Работы Н.И.Фусса по диф-
ференциальной геометрии на плоскости послужили исходным толчком для
работ Я.Штейнера и Якоби К.Г. (Carl Jacobi, 1804-1851).
7Г

гда /3(а) = 0, а П(а) = —). Лобачевский считал, что поскольку в
его геометрии выполняются формулы сферической тригономет-

рии при замене радиуса к на мнимое число гк, то его геомет-
рия существует. Этот вывод Лобачевского фактически неправоме-
рен. Непротиворечивость геометрии Лобачевского показали позже
Б.Бельтрами (E.Beltrami, 1835-1900) и Феликс Клейн (Felix Klein,
1849-1925). В частности, Ф.Клейн построил модель неевклидовой

геометрии в рамках проективной геометрии.

---------$---------- !

Рис. 5.3: К построению
функции Лобачевского

Работа Лобачевского обратила на себя
внимание только тогда, когда была пе-
реведена на немецкий и французский
языки. После смерти в 1855 г. К.Гаусса
король Ганновера учредил в его честь
памятную медаль. Н.И.Лобачевский
незадолго до смерти получил извещ-
ение, что он награжден Серебряной и
Бронзовой медалями им. Гаусса.

История с открытием неевклидов-
ой геометрии имела и трагическое пр-

одолжение. Во время учебы в Геттингенском университете у
К.Гаусса был друг Фаркаш Бояи, (Farkasz Bolyai, 1775-1856) кот-
орый безуспешно пытался доказать V постулат Евклида. Его сын
Янош (Janos Bolyai (1802-1860)) в 1829 г. пришел к выводу, что
существует неевклидова геометрия. Он попросил отца поделиться
этой новостью с Гауссом. Отец послал письмо с кратким доказа-
тельством. В ответ Гаусс написал, что не видит в этом для себя
ничего нового, что он уже давно это знает. Обиженный Фаркаш
однако публикует в 1832 г. работу сына как приложение своей. В
1840 г. Янош Бояи случайно узнает о переводе работы Лобачевско-
го на немецкий язык и обвиняет отца, Гаусса и Бартельса1), что

И.Бартельс переехал в 1820 г. в Дерпт и до конца жизни оставался там,
они продали его результаты Лобачевскому. С этого времени Янош
ни с кем не разговаривает.

Янош Бояи, как и Лобачевский, открыл неевклидову геомет-
рию с отрицательной кривизной. Эту геометрию поэтому часто
называют геометрией Бояи-Лобачевского.

Построение геометрии с положительной кривизной осуществил
незадолго до смерти Гаусса Бернхард Риман (Bernhard Riemann,
1926-1866). Он был сыном сельского пастора. Учился в Геттингене.
Докторскую диссертацию защитил в 1851 г., а хабилитацию1^ в
1854 г. Публичный доклад Б.Римана в рамках хабилитации, выб-
ранный Гауссом, назывался “О гипотезах, которые лежат в осно-
ваниях геометрии” и имел огромное влияние не только на послед-
ующее развитие геометрии.

Риман в своей работе предполагает, что конечномерное прост-
ранство локально имеет структуру такую же, как евклидово пр-
остранство, соответствующей размерности. Далее, из этих “час-
тей” “правильным” и “гладким” способом образуют целое, которое
будем называть “ многообразием” Кроме того, Риман предлагает
аналитические методы введения метрики в этом многообразии. В
итоге строится внутренняя геометрия многообразий. Этим
методом можно строить разные неевклидовы геометрии с полож-
ительной кривизной.

Существует сравнительно простой наглядный способ различ-
ия геометрий (рис. 5.4): если в треугольнике АВС стороны а и Ь
перпендикулярны, то в случае, когда

1) а2 + Ь2 < (?, имеем геометрию Лобачевского,

воспитав и там несколько сильных математиков. Из архивов Гаусса и Бартел-
ьса мы знаем, что Гаусс своими результатами о неевклидовой геометрии с Ба-
ртельсом не делился. Он написал об этом ряд писем только своим коллегам
астрономам в 1806-07 гг.

^Хабилитация (реабилитация) (От habilis, - умелый, - лат.) - защита сле-
дующей после докторской диссертации. Соответствует защите нынешней док-
торской диссертации в России.
Рис. 5.4: О наглядном различии геометрий.

2) а2 + Ь2 = с2, имеем евклидову геометрию,

3) а2 + Ь2 > с2, имеем геометрию Римана.

Риман за свою сравнительно короткую жизнь (умер от туберк-

улеза, когда ему не было и 40 лет) успел оставить след не только
в геометрии. Хорошо известно понятие определенного интеграла
по Риману. До сих пор не решена проблема Римана: пусть tt(z) -
о° !

число простых чисел, меньших х. Обозначим через £(z) = —,

п=1 п

Г dx п

где z = а + it. Обозначим через ня = / ;—. Гипотеза Рима-
h Inz

на заключается в следующем: Предположим, что функция Q

удовлетворяет условию:

(<(т + iy) = 0 & 0<т<1)=>ж = |,
&

х, у 6 R.

Тогда для любого числа а > 1/2 справедливо утверждение:

Ха > 7г(т) — 1КЕ.

Отметим, что дзета функция была введена Л.Эйлером в 1737 г. и

Другая формулировка этой гипотезы: все нетривиальные нули дзета
функции лежат на прямой а = 1/2.
ему принадлежит ее важнейшее свойство: если а > 1, то

\ pz /
р 7

где р пробегает все простые числа.

Теперь есть смысл вновь вернуться к геометрии, точнее, погов-
орить о шестерых геометрах: Монже, Понселе, Штейнере, Мёбиу-
се, Плюккере и Шале. Гаспар Монж (1746-1818) один из соз-
дателей дифференциальной геометрии, был сыном своей эпохи.
Первым его открытием было создание начертательной геометрии.
Курс начертательной геометрии, читаемой ныне в технических
вузах, не сильно отличается от курса лекций Г.Монжа, напеча-
танного в 1795 г. И это при том, что мы живем в эпоху комп-
ьютерной графики. Вместе с А.Лавуазье (A.L.Lavoisier, 1743-1794)
и К.Бертолле (C.L.Bertollet, 1748-1822) он закладывает основы
физической химии и научные основы металлургии. Он создает По-
литехническую школу. В 1792 г. Монж получает портфель Мо-
рского министра. Однако главной своей работой Монж счита-
ет науку. В 1809 г. выходит “Приложение анализа к геометрии”
Именно в этой работе изучаются поверхности и линии в зависим-
ости от главных кривизн (т.е. максимальной и минимальной кри-
визн).

Рис. 5.5: Лента и лист Мёбиуса

Ученик Г.Монжа, Жан Виктор Понселе (1788-1867), военный
инженер, в 1815 г. выпускает “Трактат о проективных фигурах”
Он определяет две фигуры проективными, если одну из них можно
перевести в другую цепью проектирований. Он называет проек-
тивными отношениями или свойствами свойства, имеющие место
в одно и то же время и у данной фигуры, и у ее проекции. Он
показывает, что коническое сечение является проективной фигур-
ой. Понселе дополнил все плоскости идеальными или бесконечно
удаленными точками. В итоге был выявлен предмет проективной
геометрии и установлены ее важнейшие теоремы.

Дальнейшее развитие этой теории, а фактически и будущей
“геометрической” топологии связано с именем Августа Мёбиуса
(August Ferdinand Mobius, 1790-1868). Он был астрономом, но
его книга “Барицентрическое исчисление” (1837 г.) позволила ему
занять важное место среди геометров и топологов. Барицентри-
ческие координаты1) позволили Мёбиусу сформулировать целый
ряд аффинных и проективных свойств плоских и пространствен-
ных фигур.

Мёбиусу прнадлежит (1858 г.) пример односторонней неориен-
тированной поверхности, с эйлеровой характеристикой равной
нулю, край которой гомеоморфен окружности лист (или
лента) Мебиуса, получаемый из фигуры прямоугольника ото-
ждествлением (склеиванием) с помощью центральной симметрии
двух противоположных сторон (рис. 5.5)2).

Если ленту Мёбиуса склеить по краю с краем круга, то получим

х)Пусть ро, • - -Рп - (n + 1) точек в пространстве Rn, не лежащих в (п — 1)-
мерном пространстве. Наименьшее выпуклое множество Р, содержащее эти
точки, называется n-мерным симплексом с вершинами в точках ро,.. Рп- Мо-
жно показать, что любая точка х 6 Р может быть представлена единственным
образом, как
п п

х = QiPi, где а, 0 и Oi = 1.
i=0

Числа Оо, • ,Оп называются барицентрическими координатами точки
х. Впервые А.Мёбиус ввел их в 1827 г.

2) Независимо от А.Ф.Мёбиуса одностороннюю поверхность рассмотрел и
И.Листинг (Johann Listing, 1808-1882), ученик К.Гаусса. И. Листингу принад-
лежит и термин “топология” (1847).
проективную плоскость (рис. 5.6).

Рис. 5.6: Круг и лист Мёбиуса

Юлиус Плюккер (Julius Pliicker, 1801-1868) ввел в геометрию
совершенно новую идею: вместо точек в качестве элементов пр-
остранства принимать другие геометрические образы, например
прямые, окружности и т.д.1) Плюккеру принадлежит и широко
используемое ныне понятие n-параметрической группы объектов.

Яков Штейнер (Jacob Steiner, 1796-1863) - ученик Песталоцци
(J.N.Pestalozzi, 1746-1827) привнес в геометрию конструктивные
задачи, выполняемые одной линейкой или линейкой при наличии
неподвижного круга. Он также исследовал элементарными мето-
дами изопериметрическую задачу. В частности, он доказал, что
среди всех выпуклых тел заданного объема шар обладает наимен-
ьшей поверхностью, а среди всех выпуклых тел с данной площ-
адью поверхности шар обладает наибольшим объемом2) Правда,
в его доказательстве еще отсутствовало доказательство существо-
вания решения.

В этом параграфе хотелось бы сказать еще и о первом историке
математики - о Мишеле Шале (Michel Chasles, 1793-1880). Учась в
Политехнической школе, он слушал лекции Г.Монжа. Затем почти
на 25 лет отошел от научной жизни, занимаясь банковской деятел-
ьностью. И лишь в 1837 г. появился его труд “Исторический обзор

*)у Г.Грассмана тоже присутствует эта идея - у него в качестве элементов
- fc-мерные подпространства п~мерного пространства (к < п).

Подробнее см. §15 в книге: В.Бляшке. Круг и шар. М.: Наука, 1967.
(W.Blaschke, 1885-1962).
происхождения и развития геометрических методов”, в котором
очень много его собственных оригинальных результатов. Ему же
принадлежит “Трактат по высшей геометрии” (1857 г.). С 1846 г.
М.Шаль в течение более 30 лет преподавал в Сорбонне. Интере-
сно, что IV проблема Гильберта, о которой речь пойдет далее, до
конца не решенная и поныне, в значительной мере инспирирована
высказываниями М.Шаля.

В заключение этого параграфа несколько слов о математике,
чьи работы оказались востребованы во 2-й половине XX века
речь идет о Уильяме Гамильтоне (William Hamilton, 1805-1865),
по профессии астрономе, работавшем в Ирландии. Именно он в
1843 г. построил четырехмерную действительную ассоциативную
алгебру с делением, называемую алгеброй кватернионов. Совре-
менную ядерную физику уже трудно представить без кватернио-
нов. Он начал изучение и очень важного класса графов. Именно
циклы и графы Гамильтона нашли свое применение в современной
дискретной математике.

5.2. Теория множеств Г.Кантора и заро-
ждение конструктивизма

Развитие математики во второй половине XIX века харак-
теризовалось расширением круга лиц, занимающихся исследован-
иями в области математики. Прежде всего, это относится к Италии
после ее объединения в 1870 г. и к России, после отмены крепостно-
го права в 1861 г.

“Развитие в недрах математики теории множеств, связанной
с именем Георга Кантора, свидетельствовало лишь о том, что
анализ, наконец, пришел к осознанию in abstract© уже давно упо-
треблявшегося им метода”1). Теория множеств дала солидный

^Г.Вейль. О философии математики. М.: ГТТИ, 1934. С.8.
фундамент геометрии, которая все более алгебраизировалась в
духе “Эрлагенской программы” 1872 г. Феликса Клейна.

К 1900 г., когда Давид Гиьберт вместе с Морицем Паше постав-
ил на II Математическом конгрессе в Берлине знаменитые 23 проб-
лемы, мало еще кто представлял, что появившиеся вскоре антино-
мии теории множеств потрясут все здание математики. Однако
кризис пошел на пользу развитию математики: становление ма-
тематической логики, конструктивной теории функции открыло
новые пути в развитии математики, упрочило ее “старые”разделы,
резко усилило значение ее прикладных разделов. Лекарство созда-
вать заново не пришлось - оно появилось еще в середине XIX века.
В 1848 и 1854 г. появились две работы Джорджа Буля1) (George
Boole, 1815-1864), с 1847 г. профессора Куине-Колледжа в Корке
(Ирландия), в которых изучались частично упорядоченные мно-
жества специального вида (названные позже булевыми алгеб-
рами или булевыми решетками). Если, например, М есть некот-
орое непустое множество, то упорядочим (по включению) систему
всех его подмножеств. Обозначим ее через 2м Введем в 2м две
операции: V и А, совпадающие соответственно с объединением и
пересечением множеств. Дополнение элемента х будет множество
М \ х. В качестве наибольшего элемента, называемого единицей
“1” возьмем множество М, а в качестве наименьшего элемента
(нуля) - пустое множество.

Когда М = Мп = {1, 2, . ,п}, то характеристические функ-
ции подмножеств из М — это двоичные символы вида х — (xi,...,
xn), € {0, 1}, г := 1, ..,п. Функции, заданные на системе вс-
ех двоичных символов длины п со значениями в {0, 1}, называют
булевыми функциями от п переменных.

В момент своего создания аппарат символической логики Буля
еще не имел приложений. Но в дальнейшем, особенно во второй
x)“The mathematical analysis of logic”. Cambr.-London, 1847, и “An investiga-
tion of the laws of thought” Исследование законов мышления), London,
1854.
половине XX века, этот аппарат получил широчайшее применение
в теории вероятностей, топологии, дискретной математике, инфо-
рматике и т.д.

В то время как в Лондоне появилась первая работа Буля, в кат-
олической гимназии маленького городка Дойч-Кроне1) пятый год
преподавал математику, физику, ботанику, географию и гимна-
стику молодой учитель Карл Вейерштрасс (Karl Weierstrass, 1815-
1897). Он ожидал повышения по службе, т.е. перехода на работу
в гимназию в местечке Браунсберг (ныне Бранево - на границе
Польши и Калининградской области). В 1854 году, когда появи-
лась вторая работа Д.Буля, почти не замеченная современниками,
статья учителя гимназии “К теории функций Абеля”2) изменила не
только его жизнь (через два года он становится членом Берлинск-
ой Академии Наук), но косвенно предопределила многое в жизни
еще двух математиков: Георга Кантора (George Cantor, 1845-1918)
и Софьи Ковалевской (1850-1891).

Карл Вейерштрасс родился 31 октября 1815 г. в семье секре-
таря бургомистра местечка Остенфельде (Вестфалия). Карл уч-
ился в гимназии Теодорианум в г.Падеборн и был там одним из
лучших учеников. Уже в предпоследнем классе гимназии самост-
оятельно освоил основы интегрального исчисления. По окончании
гимназии с наилучшими оценками он в 1834 г. поступил в Бон-
нский университет. Его отец мечтал, чтобы сын изучил право и
экономику, а Карл изучал прежде всего “Аналитическую механ-
ику” Лапласа и работу по эллиптическим функциям К.Якоби3). В
1838 г. Карл вернулся домой, так как выяснилось, что за 4 года
он не сдал ни одного экзамена - деньги же на учебу он регулярно
получал из дома. Ситуацию спас Председатель Высшего Суда в
Падеборне Шлехденталь, который сочувствовал молодому чело-

1 ^Deutsch-Krone (ныне r.Bon4=Wolcz в Польше).

2)“Zur Theorie der Abelschen Functionen”, Journal fur die Reine und Ange-
wandte Mathematik, t.47 (1854).

3) “Новые основания эллиптических функций” (1829), лат, Konigsberg.
веку и предложил получить высшее образование за полтора года
в Философско-теологической Академии в г.Мюнстер, где препода-
вал знавший Карла по Бонскому университету специалист в тео-
рии эллиптических функций Христиан Гудерман. По окончании
Академии и краткой работы в гимназии в Мюнстере, Карл Ве-
йерштрасс оказался в Дойч-Кроне. Выход упоминавшейся выше
статьи Карла Вейерштрасса привел к тому, что университет в Кен-
игсберге присудил Вейерштрассу звание почетного доктора (hon-
oris causa) в 1854 г., что открыло в 1856 г. ему двери для профес-
суры в Берлинском университете.

Из руководимогоВейерштрассом, - вместе с Куммером (E.Kum-
mer, 1810-1893), - научного семинара вышло более 100 профессо-
ров математики. С 1880 до 1895 г. Карл Вейерштрасс был редакто-
ром журнала, публикация в котором в 1854 г. так сильно измени-
ла его жизнь. Три раза Карл Вейерштрасс избирался ректором
Берлинского университета1 \

Из многочисленных результатов Карла Вейерштрасса по мате-
матическому анализу2^ приведем одно,* может быть менее известн-
ое: функция вида

(х) — ап cos(&n7nr),
п—1

где b нечетное натуральное число, а € (0, 1)&а& > 1 — 3/2тг,
будет непрерывной функцией на R, не имеющей ни в одной то-
чке конечной производной. Этот результат был доказан в 1874 г.
П. Дюбуа-Раймон ом (Paul Du Bois-Rejmont, 1831-1889).

Отметим, что Карл Вейерштрасс вызвал интерес к трудам
чешского математика, теолога и философа Бернарда Больцано

^Ныне университет им. А.Гумбольдта.

2) Карлу Вейерштрассу принадлежат и многочисленные исследования по
теории аналитических функций, вариационному исчислению, по диффе-
ренциальной геометрии (геодезические линии и минимальные поверхности)
и др.
(Bernard Bolzano, 1781-1848). Широко известна лемма Больцано-
Вейерштрасса, гласящая, что из любой ограниченной последова-
тельности можно извлечь сходящуюся к конечному пределу под-
последовательность. Метод деления промежутка значений пос-
ледовательности пополам, используемый при доказательстве этой
леммы, это метод Больцано (1817), и он предвосхищает под-
ходы Г.Кантора в теории множеств, одновременно развивая идеи
Г.Лейбница об актуальной бесконечности.

Карлу Вейерштрассу принадлежит определение действитель-
ного числа, знакомое нам по школе: действительным числом назы-
вается всякая бесконечная дробь со знаком плюс или минус:

±ао,«1«2

где Qo € N U {0}, € {0, 1, 2,. ,9}. При этом беско-
нечная десятичная дробь с периодом из девяток • <*п(9)

считается равной ого, <^1 • • an-i, (ап + 1)? при <*п / 9, п > 0. Если
же имеем ог0, (9) .., то равной qjq + 1, 000.

Совершенно другой подход к определению действительного
числа дал Р.Дедекинд (Richard Dedekind, 1831-1916), чье опре-
деление действительного числа с помощью сечений “Дедекинда”
восходит к Евдоксу. Напомним, что Р.Дедекинд добавил к опреде-
лению Евдокса, что каждое сечение будет вещественным числом.
Р.Дедекинд ввел понятие кольца. Он был также одним из создате-
лей теории девизоров для любых конечных расширений числовых
полей.

Другим создателем теории алгебраических чисел был уже упо-
минавшийся Эрнст Куммер (Ernst Edward Kummer, 1810-1893).
После учебы в университете в Галле он был в течение 10 лет уч-
ителем гимназии. В Берлинский университет он пришел вместе с
К.Вейерштрассом в 1856 г.

Первые работы Е.Куммера были посвящены рядам. Им был
предложен признак сходимости:
ОО

Пусть дан ряд ^^ап, где (ап > 0) w (с1? С2, ..) - произвол-
П=1

ьная последовательность положительных чисел такая, что: ряд
ОО 1

У2 — расходится.

71=1 П

Если существует ко € N; при всех п > ко справедливо: Кп =
Сп——----cn+i 8, где 8 > 0 некоторая постоянная, то исход-

®п+1

ОО

ный ряд ^2 ап сходится. Если же Кп 0 при всех п > ко, то
П=1

исходный ряд расходится.

Кроме того, если существует lim Кп = К, тогда при К > 0
п—>оо

исходный ряд сходится, а при К < 0 - расходится.

Занимался Куммер и числами Якова Бернулли1^: т.е. числами
Вп (они окажутся положительными рациональными) в разложен-
t
ии функции ——- — 1:
— 1

f 1 u°°4 t2n

-r~i -1 = -J +

el — 1 2 (2n)l

n=2 ' ’

В частности,

_ __ i _ 1 _ 1 D 1 D . 1 D 691 _ 7

B1 “ 6’Bi ~ 30’Вз ~ 42’Bt ~ 30’Bs ~ 66’Вб ~ 2730’ ~ 6’'' ‘

Числа Бернулли появлялись при суммировании k-x степеней пер-
вых п натуральных чисел в работе Я.Бернулли 1713 г.

Учеником Куммера еще со школьных времен был Леопольд
Кронекер (Leopold Kroneker, 1823-1891). После окончания Берл-
инского университета в 1845 г. он занялся финансовой деятельн-
остью и преуспел на этом поприще. Но любовь к математике при-
вела Кронекера в Берлинский университет в 1861 г., где в течение

1>Л.Эйлер в 1740 г. нашел связь этих чисел со значениями дзета-функции
Римана при четных аргументах.
многих лет он преподавал без вознаграждения. Там он подружил-
ся с К.Вейерштрассом, и дружба продолжалась до 1881 г., когда
их взгляды радикально разошлись из-за отношения к теории мно-
жеств, которую развивал ученик К.Вейерштрасса Г.Кантор. Дело
в том, что первоначально в Берлинском университете Л.Кронекер
продолжил исследования Куммера по теории квадратичных форм
и теории групп. Затем он занялся арифметической теорией алге-
браических величин и стал сторонником сведения математики к
арифметике целых чисел. Отсюда неприятие теоретико-функцио-
нальной школы К.Вейерштрасса, и тем более, теоретико-множес-
твенной школы Г.Кантора.

Из результатов Л.Кронекера наиболее известны: теорема Кро-
некера-Капелли1) о критерии совместности системы линейных
уравнений, и символ Кронекера

1,
О,

если

i = Л

1 i, j п,

(1866 г.) широко используемый в тензорном исчислении.

Прежде, чем рассказать о Г.Канторе, нам придется вернуть-
ся в XVIII столетие, когда в 1766 г. Л.Эйлер вернулся в Санкт-
Петербург. В это время в Берлине появились две работы Иоганна
Ламберта (Johan Lambert, 1728-1777), в которых впервые дока-
зана иррациональность чисел е и тг. В 1882 г. через 116 лет был
сделан следующий шаг - Фердинанд Линдеман (Ferdinand Linde-
mann, 1852-1939) доказал, что число тг не принадлежит множе-
ству алгебраических чисел, т.е. является трансцендентным числ-
ом. Еще раньше в 1873 г. французский математик Шарль Эрмит
(Charles Hermite, 1822-1901) доказал трансцендентность числа е.

О Л. Кронекер эту теорему приводил на своих лекциях в 1883-1891.
А.Капелли (Alfredo Capelli, 1855-1910) опубликовал эту теорему в 1892 г. в
современном виде с использованием теормина “ранг матрицы” в журнале “Re-
vista di Matematica” v.2 p.54-58.
В 1885 г. К.Вейерштрасс доказал, что если х G А - множеству
алгебраических чисел, и х / 0, то еж $ А.

Иоганн Ламберт доказывал иррациональность чисел е и тг, ра-
складывая их в цепную дробь. Приведем иное доказательство:

Известно1^, что

п!

п!п’

где 6 € (0,1). Предположим, что е - рациональное число, т.е. е —

—, где т и п натуральные числа. Именно для этого п будем
п

иметь:

™+ I 1 !

п 1! п! п\п

Домножая обе части равенства на п! получим:

т(п — 1)! — п! — п! —

ft,
п ’

т.е. слева будет целое число, а справа - дробь —. Полученное
п

противоречие и доказывает иррациональность числа е.

К проблеме трансцендентности чисел мы еще вернемся, а пока
заметим, что до середины 70-х годов XIX века были попытки
построения ассоциативно-коммутативных или хотя бы ассоциатив-
ных алгебр без делителей нуля. Наконец в 1877 г. Фердинанд Георг
Фробениус (Ferdinand Georg Frobenius, 1849-1917) доказал, что
только поля действительных и комплексных чисел являются ко-
нечномерными алгебрами ассоциативно-коммутативными без дел-
ителей нуля, а тело кватернионов единственной конечномер-
ной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей

1>См., например, §37 Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интег-
рального исчисления. М.: Физматгиз, 1962. T.I.
нуля1).

В 1958 г. Джон Милнор (J. Milnor, р.1931) доказал2), что
размерность конечномерной действительной алгебры без делите-
лей нуля может принимать лишь значения п := 1,2,4 или 8.

Замечание о теореме Фробениуса связано только с тем, что ма-
тематики в 60-х - 70-х годов XIX века стремились глубже понять
природу алгебраических чисел, т.е. чисел, удовлетворяющих урав-
нению:

апхп + an-iz”'1 + + ахх 4- ао = 0, (5.3)

где n € N, а,- Е Z, i 1,..., п.

В 1872 г. за год до того, как Ш.Эрмит доказал трансцендентн-
ость числа е, Георг Кантор получил результат: множество алгеб-
раических чисел счетно. Доказательство опиралось на два факта:

1. Если определить высоту h уравнения (5.3) формулой h —
п

п + ^2 laih т0 число уравнений фиксированной высоты h ко-
г=0

нечно, поскольку степень п и коэффициенты а0,. ., ап мог-
ут принимать значения лишь из конечного множества целых
чисел;

2. Всякое уравнение вида (5.3) имеет самое большее п различ-
ных корней.

Используя другой свой результат о том, что множество дейст-
вительных чисел несчетно, он доказал, что множество действ-
ительных трансцендентных чисел несчетно.

х)Другой важный результат 1912 г. Ф.Г.Фробениуса это существование
наибольшего положительного собственного значения у положительной квад-
ратной матрицы, - играет важную роль в теории стохастических процессов,
в особенности в математической экономике. Этот результат был получен не-
зависимо в 1905 г. и Оскаром Перроном (Oscar Perron, 1880-1975).

2)Bull, Amer Math.Soc. 44 (1958), 87-89.
Далее Кантор вводит понятие мощности множества и доказы-
вает, что мощность множества точек квадрата совпадает с мощн-
остью множества точек его стороны. Интересно, что в 1890 г. итал-
ьянский математик Джузеппе Пеано (Guiseppe Peano, 1858-1932)
построил пример непрерывной кривой, целиком заполняющей
квадрат. Более простой пример дал Д.Гильберт год спустя. Появ-
ляется и известная теорема Кантора-Бернштейна* 2^ гласящая, что
два множества равномощны, если каждое из них равномощно с
каким-либо подмножеством другого. Если обозначить можность
множества X через |Х|, то (в 1883 г.) Г.Кантор доказал, что для
любого множества Z справедливо |2Z| > |Z|. Если обозначить
через е = |R| - мощность множества всех действительных чис-
ел, а через Zq - множество всех конечных множеств, имеющее
мощность множества натуральных чисел N, то Кантор доказал,
что £ — |2Z°|. В 1884 г. Г.Кантор поставил проблему (континуум-
гипотеза) : существуют ли множества, мощность которых будет бо-
льше, чем мощность множества натуральных чисел, но меньше
мощности £ - мощности континуума? *

В 1963 г. Поль Коэн (Paul Cohen, р. 1934 г.), доказал, что
как утверждение континуум-гипотезы, так и ее отрицание, может
служить аксиомой теории множеств. Следовательно, существуют
разные теории множеств.

Критика воззрений Г.Кантора была двоякого рода. Не отрицая
часть результатов Г.Кантора, желали получить эти результаты
путем построения (конструктивисты). В том, что такой путь мо-
жет приводить к результату, их убеждал пример Жозефа Лиув-
илля (Joseph Liouville, 1809-1882), построившего в 1844 г. транс-
цендентное число

ОО

«=Е 10“" •

П=1

ОВ смысле Жордана, т.е. гомеоморфной окружности.

2) Сергей Натанович Бернштейн (1880-1968).
называемое числом Лиувилля. Доказательство Лиувилля испо-
льзовало тот факт, что для любого иррационального числа А
существует бесконечно много несократимых рациональных дробей
т/п таких, что

п* 2

т 1

п п2

(5.4)

Для числа Лиувилля А == а в неравенстве (5.4) мы можем за-
менить — на —, где г - любое число большее 2, а вот для алгеб-
п2 пг

раических чисел такую замену сделать нельзя1).

Другое направление критики идей Г.Кантора было связано с
недостаточным “аксиоматическим” обеспечением этой теории. Бе-
ртран Рассел (Bertrand Russel, 1872-1970) сконструировал в нача-
ле XX века несколько примеров, ставивших математиков в тупик.
Например, если множество А содержит все такие, подмножества,
которые не являются его элементами, то существует ли само А?

Сам Кантор осознавал необходимость в уточнении своей тео-
рии множеств. Например, он предложил аксиому: все элементы
последовательности замкнутых отрезков, в которой каждый пос-
ледующий включается в предыдущий, имеют общую точку. Молод-
ой профессор2) Феликс Клейн (Felix Klein, 1849-1925) заметил, что
эта аксиома Г.Кантора вместе с аксиомой Архимеда3) равносил-
ьны постулату Р. Дедекин да о сечениях. Ф. Клейн задает вопрос:
“Что будет с теорией множеств, если “отбросить” аксиому Архиме-
да?” Оказывается, тогда возникает новая теория чисел, названных
в 1934 г. норвежским математиком Туральфом Сколемом (Skolem

х) Более того, для любого алгебраического числа А и любого г > 2 число
несократимых рациональных рациональных дробей т/п таких, что--------<

пг

А-----< —, конечно (теорема К.Ф.Ротта, 1955 г.) (Klaus Roth, р.1925,

п пг

английский математик.).

2)ф. Клейн стал профессором в 23 года.

з) Напомним: для произвольных величин одного рода А и В существует

кратное величины В, которое будет больше, чем А.
Thoralf, 1887-1963) гипервещественными. Для этих чисел Абрахам
Робинсон (Abraham Robinson, 1918-1974) строит новый математи-
ческий анализ, названный нестандартным анализом. Любопытно,
что создание нестандартного анализа реабилитировало теорию
“монад” Лейбница.

Сам Кантор занимается в это время построением анализа, опи-
рающегося на постулат Кантора: все фундаментальные последо-
вательности рациональных чисел имеют предел и эти пределы и
будут называться вещественными числами.

Вернемся однако к Ф.Клейну. В 1872 г., по случаю получения
титула профессора он делает в Эрлангене доклад, вскоре получи-
вший название “Эрлангенская программа”, в котором за важнейш-
ую цель в геометрических исследованиях ставится изучение групп
инвариантов для разных геометрий.

Для евклидовой геометрии - это будет группа движений (или
более общо - группа изометрий), для топологии - группа гомеом-
орфизмов и т.д. Любопытно, что сам Ф.Клейн стал заниматься
дискретными группами и, в частности, он установил, что существ-
ует ровно две четырехэлементные группы: одна из них классиче-
ская группа Z4, а другая теперь носит название группы Клейна.

Приятель Ф.Клейна норвежец Софус Ли (Sofus Lie, 1842-1899)
станет заниматься непрерывными группами. Эти группы, назван-
ные группами Ли, теперь стали важным инструментом физиков.

Группы изучал и крупнейший математик рубежа XIX и XX
веков, создатель качественной теории дифференциальных урав-
нений, теории автоморфных функций, автор методов малого пара-
метра, неподвижной точки, уравнений в вариациях, основополож-
ник дифференциальной топологии Анри Пуанкаре (Henri Poincare,
1854-1912). Одной из важнейших для приложений в математиче-
ской физике является фундаментальная группа группа Пуанк-
аре1). Учился Пуанкаре в Политехнической и Горной школах, по

1)Если X - топологическое пространство и точка a 6 X, то через F(X,a)
обозначим множество петель с началом и концом в точке а. Соответствующее
образованию он инженер и исповедовал принцип: “основные поло-
жения любой научной теории не являются ни истинами a priori,
ни моделями объективной реальности - они суть соглашения, ед-
инственным абсолютным условием которых является непротиво-
речивость”1). Этот принцип он применял и к математике. “Произв-
ольность выбора основных принципов (законов) теорий ограниче-
на с одной стороны потребностью нашей мысли в максимальной
простоте теорий, с другой - необходимостью успешного их испол-
ьзования.”

Упражнения

7Г

1. Проверьте, что lim П(а) = —, где П - функция Лобачевско-
fc—*+оо 2

го.

9 „.2 ~2

_ „ X у Z

2. Найдите главные кривизны эллипсоида — + — + — = 1 в

4 19

точке А(0, О, 1).

множество гомотопических классов обозначим через П1(Х, а). В этом мно-
жестве можно ввести групповую операцию - сложение, которая превращает
Пх (X, а) в группу. Эта группа называется фундаментальной группой прост-
ранства X в точке а или группой Пуанкаре.

Пуанкаре А. Ценность науки. М.,1906.
Глава 6

Математика XX века

1. Проблемы Гильберта и их влияние на развитие математики
XX века.

2. Новые и старые направления развития математики в XX
веке.

3. Новые математические объединения - ответ на вызов вре-
мени.

6.1. Проблемы Гильберта и их влияние
на развитие математики XX века

К концу девяностых годов XIX века доктрина Пуанкаре (о
которой была речь в конце главы 5) вовсе не представлялась такой
уж естественной. Отдельные ветви математики интенсивно раз-
вивались, отдаляясь друг от друга. В то же время математиками
отчетливо осознавалась необходимость и сотрудничества вне на-
циональных границ. В этой обстановке в Цюрихе в 1898 году от-
крылся I Международный Конгресс Математиков. К сожалению,
его организация была не на высоте: отсутствовала разбивка на сек-
ции, не было заранее подготовленных пленарных докладов. Проб-
лемы начались даже с языком.

Французский язык, в силу доминации французских математи-
ков в этот период (достаточно вспомнить, кроме Анри Пуанкаре,
Жана Френе (Jean Frenet, 1816-1900), Шарля Эрмита (Charles Her-
mite, 1822-1901), Камилла Жордана (Camille Jordan, 1838-1922),
Эмиля Пикара (Emile Picard, 1856-1941), Эмиля Бореля (Emile
Borel, 1871-1956), Рене Бэра (Rene Baire, 1874-1932), Анри Лебега
(Henri Lebesgue, 1875-1941) и Шарля Ла Валле Пуссена (Charles
La Vallee Poussin, 1866-1962)), хотя и был распространен, все-таки
не всех удовлетворял. Доклады носили очень узкий характер и
были понятны только специалистам в этой области. Выводы были
сделаны: следующие Конгрессы готовились заранее и тщательно,
введены были общие пленарные заседания и секционные. При этом
для пленарных заседаний доклады заказывались заранее. Каждая
секция имела уже председателя и секретаря. На! Международном
Конгрессе Математиков было решено созвать II Международный
Конгресс в августе 1900 года в Париже.

II Международный Конгресс Математиков открылся 6-го авг-
уста 1900 года. Его Почетным Председателем был избран 78-
летний Шарль Эрмит, а Председателем Анри Пуанкаре. На Ко-
нгрессе работало 6 секций1!, на каждой из которых был сделан
обзорный доклад. В историю вошел, однако, только один доклад,
который произнес на третий день работы Конгресса на совместн-
ом заседании 5-ой и 6-ой секций профессор из Геттингена Давид
Гильберт (David Hilbert, 1862-1942). Доклад назывался “Проблемы
будущего математики” К 1900 году Давид Гильберт имел уже ра-
боты по теории инвариантов (1885-1893), теории алгебраических
чисел (1893-1898), по основаниям геометрии (1898-1900).

Любопытно, что фактически, автором большинства поставлен-

1) арифметики и алгебры, 2) анализа, 3) геометрии, 4) механики и мате-
матической физики, 5) истории и библиографии, 6) дидактики и методологии.
ных в докладе Гильберта проблем был Мориц Паш (Moritz Pasch,
1843-1930), профессор университета в Гиссене, творчество которо-
го посвящено, главным образом, основаниям геометрии и котор-
ому, вместе с Давидом Гильбертом, и был заказан доклад.

Итак I проблема в докладе Гильберта касалась а) контину-
ум-гипотезы, Ь) возможности “хорошей” упорядоченности произв-
ольного множества, т.е. возможности введения такого порядка,
чтобы в каждом подмножестве исходного множества существовал
наименьший элемент.

Четыре года спустя, т.е. в 1904 году было доказано, что введен-
ие такого порядка равносильно аксиоме выбора1) Эрнста Цермело
(Ernst Zermelo, 1871-1953). В 1936 году Анатолий Иванович Мал-
ьцев (1909-1967) ввел принцип компактности2), оказавшийся тоже
эквивалентом аксиомы выбора. В 1940 году Курт Гёдель (Kurt
Godel, 1906-1978) вскоре после переезда из Вены в США, публик-
ует в Принстоне3) доказательство того, что аксиома выбора вместе
с континуум-гипотезой не противоречат4) аксиомам теории множе-
ств, а в 1963 году американский математик Поль Коэн (Paul Cohen
р.1934) построил модель теории множеств, в которой континуум-
гипотеза, высказанная Г.Кантором (1878 г.), была не верна, что
означает невозможность доказать континуум-гипотезу в рамках
теории множеств.

II проблема Гильберта относилась к вопросу о непротиво-
речивости аксиоматики арифметики. Упомянутый выше К. Гедель
еще в 1930 году доказал невозможность в рамках принципов фо-

1)Если дано множество М, то существует функция у?, сопоставляющая
каждому его непустому подмножеству А С М один определенный элемент
у>(А) из А.

2)В журнале “Математический сборник”,Т.1, (1936), с.323-335.

3)Русский перевод появился в журнале “Успехи Математических Наук” в
1948 году Т.З с.96-149.

4) Точнее, если непротиворечива аксиоматика теории множеств, то останется
непротиворечивой аксиоматика этой теории, пополненная аксиомой выбора и
обобщенной аксиомой континуум-гипотезы.
рмаЛизма доказать непротиворечивость арифметики. Более того,
год спустя в 1931 году он же показал и неполноту арифметики.

Ill проблема Гильбе-
рта относилась к возмо-
жности конечной равнос-
оставленности многогранн-

Рис. 6.1: О равносоставленности иков, имеющих одинаковые
треугольника и прямоугольника высоты и площади основан-
ий. Для треугольников этот
факт известен с древности
(рис. 6.1) т.к. любой треугольник равносоставлен с прямоугол-
ьником с тем же основанием и половиной высоты треугольника.
В том же 1900 году немецкий математик Макс Дэн (Max Dehn,
1878-1952) дал отрицательный ответ на Ш-ю проблему Гильб-
ерта, точнее он показал, что существуют два четырехгранника
с одинаковым объемом, которые неравносоставлены (рис. 6.2),
в частности, нельзя равносоставить куб и правильный четырехг-
ранник того же объема (рис. 6.3).

IV проблема Гильберта

Рис. 6.2: Четырехгранник, кот-
орый а) нельзя составить из
прямоугольных параллелепип-
едов, Ь) - можно

относилась к задаче построен-
ия разных геометрий с помощ-
ью введения метрик в заранее
заданные структуры, например,
в семейство геодезических. Сама
проблема формулировалась бо-
лее чем на страницу! Тем не ме-
нее, проблема была решена уже
через год учеником Д.Гильберта
Георгом Хаммелем (Georg Ham-
mel, 1877-1954). Г.Хаммель пок-

азал, что проблема сводится к
нахождению всех (с точностью
до изоморфизма) метрик пространства. Оказалось однако, что
IV проблема имеет иные интерпретации. Дело в том, что Хам-

мель фактически рассмотрел так называемые симметричные нос-
ители - непустые, открытые, связные подмножества Dn Для
не симметричных носителей проблема полностью не решена до

сих пор. Для п = 2 и для п = 3 полное решение проблемы
дал в 1973-74 гг. Алексей Васильевич Погорелов (1919-2003).

V проблема Гильбе-
рта кратко формулировала-
сь так: является ли условие
дифференцируемости функ-
ции, определяющей действ-
ие в непрерывных конечно-
мерных группах трансфо-
рмации, необходимым для
концепции групп Ли? Иными
словами “...если имеем сис-

Рис. 6.3: К результату Дэна о кубе
и тетраэдре того же объема

тему отображений

— fifal) у Xnj flj, . . . , $ •— 1) • • (6.1)

со свойством: любые два отображения системы:

fi(*^1 > • • • > ) • • j ®г) И X} fi(Xi,. . . , Xnj Ъ\,. . , Ьр)

(6.2)
выполненные одно за другим дают отображение, принадлежащее
той же системе, то необходимо ли, чтобы были дифференци-
руемы?”

Развитие этой тематики привело к созданию теории топологи-
ческих групп, то есть групп, имеющих согласованную с алгебраи-
ческой топологическую структуру. Начал эти исследования в 1910
году Эгберт Ян Брауер (Egbert Jan Brouwer, 1881-1966) циклом
работ о группах трансформации прямой и плоскости. В 30-е годы
Эли Картан (Eli Cartan, 1869-1961) и Герман Вейль1) (Herman

О Любопытно, что оба получили в СССР премию им. Н.И. Лобачевского,
Weil, 1885-1955) получили полное описание групп Ли как геомет-
рических объектов. Работы Джона (Яноша) фон Неймана (John
(Janos) von Neumann, 1903-1957) и Льва Семеновича Понтрягина
(1908-1988) завершились положительным ответом на поставлен-
ный Гильбертом вопрос для компактных и абелевых групп. Окон-
чательное решение V проблемы Гильберта было получено в 1952
году в работах А.Глисона (A. Gleason) и Д. Монтгомери-Л.Зиппина
(D. Montgomery-L.Zippin). В частности, для топологической груп-
пы G условие быть группой Ли равносильно тому, чтобы она была
локально евклидовой.

VI проблема Гильберта звучала так: “Имея в качестве об-
разца основания геометрии, аксиоматизировать те разделы физ-
ики, в которых математика играет существенную роль; в перв-
ую очередь, теорию вероятностей и механику” Здесь следует ска-
зать, что на сегодняшний день наиболее “аксиоматизированы” из
разделов физики квантовая механика, теория поля, кинетическая
теория газов, теория гравитации, сильное и слабое взаимодейств-
ия, электромагнитное взаимодействие.

Наибольшие заслуги в создании математических основ квант-
овой механики имеют работы Дж.фон Неймана 1927 года и его
работы совместно с Г.Биркгофом (Garret Birkhoff, р.1911) о ло-
гике квантовой механики, а также работы Н.Цирлера (N. Zirler)
об аксиомах нерелятивистской квантовой механики (1961).

В квантовой теории поля следует отметить теории калиброво-
чной симметрии и теории калибровочных компенсирующих полей,
начатую исследованиями Янг-Чжень-нина и Р. Миллса (R. Mills)
в 1954 г.

Что касается теории вероятностей (с 10-тых годов XX века ее
относят к математике, а не к физике), то придал законченный
вид ее аксиоматическим основам в 1931 г.1) Андрей Николаевич

первый в 1937 г., а второй в 1927 г.

^В 1917 г. Сергей Натанович Бернштейн (1880-1968) разработал первую
по времени аксиоматику теории вероятностей. Вторым (в 1919 г.) был Рих-
Колмогоров (1903-1987), несомненно крупнейший российский ма-
тематик XX века. В 1933 г. он констатировал, что вероятность -
это не что иное, как нормированная мера, и следовательно адд-
итивная функция со значениями между 0 и 1, включая и концы,
т.е. 0 и 1.

А.Н.Колмогоров родился в дворянской семье в Тамбове. После
смерти родителей воспитывался в семье двух тетушек-учительниц
в Ярославле. С 1920 года он начинает учиться в Московском Ун-
иверситете, с 1931 года и до конца жизни он профессор этого
университета. Кроме результатов по теории вероятностей у А.Н.
Колмогорова были выдающиеся результаты в области функцио-
нального анализа, теории стохастических процессов, эргодическ-
ой теории, общей топологии, теории информации, математической
лингвистики и др.

VII проблема Гильберта посвящена описанию распределен-
ия трансцендентных чисел с помощью показательной функции.
Сам Д.Гильберт считал, что ни он, ни его ученики еще не буд-
ут знать ответа на эту проблему. Решение было получено в 1934
году независимо двумя математиками. Первым был Александр
Осипович Гельфонд (1906-1968), профессор Московского Универс-
итета (с 1931 г). Основу для своего решения он получил еще ранее
в 1929 г., через 2 года после окончания университета. Результат
А.О.Гельфонда следующий:

Если а, /3 £ А множеству алгебраических чисел « /3 Q
множеству рациональных чисел, то а? А, т.е. будет транс-
цендентным числом.

Попутно оказалась решенной и проблема Л.Эйлера о logQ/3:
если, а, р G А \ ({0} U {1}), а именно:

если а, /3 6 А \ ({0} U {1}), то либо loga /3 G Q, либо logQ /3 А
(т.е. logQ/3 не может быть алгебраическим числом не будучи
рациональным числом).

аРД фон Мизес (R. von Mieses, 1883-1953), который ввел в широкий обиход
интеграл Стильтьеса, а в физике - цепи Маркова.
Несколько позже, чем А.О.Гельфонд, но в том же 1931 г. решен-
ие VII проблемы Гильберта дал другим методом немецкий мате-
матик Теодор Шнайдер (Theodor Schneider).

В связи с VII проблемой Гильберта вспомним, что до сих пор не
известно, будет ли иррациональна константа Эйлера е (см. 4.3), не
говоря уже о том, будет ли она трансцендентным числом. Кстати,
напомним, что первый пример трансцендентного числа данный
Гольдбахом в 1729 г.

£1»-

п=0

был обоснован только в 1938 г. Родионом Осиевичем Кузьминым
(1891-1949).

VIII проблема Гильберта относится к распределению прост-
ых чисел. Сам Гильберт писал об этом так: “В теории распределен-
ия простых чисел не хватает доказательства справедливости чрез-
вычайно важного утверждения Римана, что нули функции дзета,
определяемой рядом:

1 1

f (z) + + + +

2Z oz 4Z

(6.3)

(z G С - поле комплексных чисел) имеют вещественные части
1

равные -, за исключением хорошо известных вещественных нулей
в целых отрицательных числах” Эта проблема пока не решена. Не
доказаны пока и две гипотезы Христиана Гольдбаха (1690-1764):

1. Каждое четное число является суммой двух простых чисел,

2. Каждое нечетное число является суммой трех простых чис-

Правда, в отношении второй гипотезы есть надежда на ее
решение по мере роста возможностей суперкомпьютеров. Дело в
том, что еще в 1937 году Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983)
доказал, что 2-я гипотеза Гольдбаха верна для “достаточно” бо-
льших чисел. В 1990 году американские математики Чан (Chan)
и Ванг (Wang) доказали, что числа, большие, чем ее , в этом
смысле уже “достаточно большие”

С другой стороны, 2-я гипотеза Гольдбаха оказалась верна для
чисел меньших 1О50, что показали результаты работы одной из
программ одного суперкомпьютера в 2000 г.

Прежде, чем говорить о IX проблеме Гильберта, дадим два
определения:

Пусть р > 0 - простое число и n е N, такое, что п 0 (mod р).

Символом Лежандра назовем функцию: заданную на Z х

Р, где V - множество простых чисел больших, либо равных 3, a Z
- множество целых чисел: (n G Z, р 6 Р):

(п\ _ ( 1, если сравнение х2 = п (mod р) разрешимо;

\ — 1, в противном случае.

(6.4)

В 1801 году в своей работе “Арифметические исследования”

К.Гаусс доказал, что, если р и q - простые числа, q > 2 и q р, то

(6.5)

и назвал это законом взаимности.'Кроме того, Гаусс получил:

(6.6)

Так вот в IX проблеме Гильберта речь идет об обобщении
этого результата на случай степенных (а не только квадратичных)
сравнений степени /, где I - простое число (I 3) или его степень
в произвольном числовом поле. Важный шаг в этом направлении
сделал в 1927 году Эмиль Артин (Emil Artin, 1898-1962). Важные
результаты получены в 1950 году Игорем Ростиславовичем Шафа-
ревичем (родился в 1923 году) и в 1978 году Сергеем Владимир-
овичем Востоковым1^ (родился в 1945 году). Полностью проблема
не решена до сих пор.

X проблема Гильберта звучит так: “Предположим, что дано
диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и с
целыми коэффициентами. Указать процедуру, которая позволяет
за конечное число операций решить, будет ли это уравнение иметь
решение в целых числах”

Эта проблема не поддавалась решению более 50 лет. Вначале
Мартин Дэвис (Martin Davis) выдвинул гипотезу: каждое рекур-
рентно перечислимое множество является диофантовым. Здесь
под рекуррентно перечислимым множеством понимается множе-
ство, которое можно упорядочить в рекуррентную последовател-
ьность, а под диофантовым множеством понимается такое под-
множество А С N*, (k € N), для которого существует многочлен
с целочисленными коэффициентами P(oi,..., а^, #i,. , Хк) такой,
что

j4. {(ai, , Ofc) 3 , хк (Е P(ai,. , й^ , Xy , , хк^ 0}

(6-7)

В 1961 году М.Дэвис, Путнам (Putnam) и Джулия Робинсон
(Julia Robinson) доказали ослабленную гипотезу Дэвиса.

Последнюю точку в решении X проблемы Гильберта поставил
в феврале 1970 года Юрий Владимирович Матиясевич (родился в
1947 году). Он доказал полностью гипотезу Дэвиса, а вместе с тем
дал отрицательный ответ на проблему Д. Гильберта2)

Как следствия решения X проблемы Гильберта были получе-
ны удивительные результаты. Приведем только один из указанной
работы Ю.В. Матиясевича: “Можно указать полином пятой степ-
ени , ук, z) с целыми коэффициентами такой, что любое за-

данное перечислимое множество М натуральных чисел (например,

Востоков С.В. Явная форма закона взаимности. Изв. АН СССР, т. 42
(1978), с. 1288-1321,1439.

2)Матиясевич Ю.В. Диофантовость перечислимых множеств. Докл. АН
СССР, т. 191 №2, (1970), с. 279-282.
множество простых чисел) совпадает с множеством натуральных
значений полинома Р(уъ чУк^м), где ам - некоторое число,
которое эффективно строится по множеству М.

В связи с X проблемой Гильберта можно сделать одно заме-
чание. Пусть имеем полином Р от п переменных с целыми коэф-
фициентами. Рассмотрим уравнение Р(х\,..., хп) ~ 0. Из резул-
ьтата Ю.В. Матиясевича следует, что не всегда существует про-
цедура, позволяющая за конечное число операций решить, будет
ли это уравнение иметь решение в целых числах.

С другой стороны, если ограничиться решениями в веществен-
ных числах, то ответ всегда положителен (то есть, такая проце-
дура существует всегда). Этот результат получил в 1942 году вел-
икий польский логик Альфред Тарский (Alfred Tarski, 1902-1983)
уже в США, куда он эмигрировал в 1939 г. после очередной не-
удачной попытки1) получить должность профессора в Польше.

Если же ограничиться решениями в рациональных числах, то
ответ неизвестен.

XI проблема Д.Гильберта посвящена возможности перен-
оса теории квадратичных форм над полем рациональных чисел
Q на теорию этих же форм над полем алгебраических чисел. На-
ибольших результатов в решении этой проблемы добился Хельм-
ут Хассе (Helmut Hasse, 1898-1979) в 1923-1931 годах, а позже -
Эрнст Витт (Ernst Witt) в 1935-37 гг, Альберт Пфистер (A.Pfister,
р.1934) в 1966-71 гг. и Анджей Шинцель (Andrzej Schinzel, р.1932).
До конца проблема еще не решена.

XII проблема Д.Гильберта состоит из двух частей: в первой
спрашивается о существовании и числе уравнений данной степени,
которые имеют заданную абелеву группу над полем рациональных
чисел Q и заданный дискриминант (иначе говоря, о нахождении
некоторых алгебраических чисел с помощью их групп и разветв-

*) Связано это, в первую очередь, с воцарившимся в Польше с 1937 г. вплоть
до ее оккупации Германией во время Второй Мировой Войны антисемитизм-
ом.
лений), а во второй части спрашивается о возможности доказа-
тельства того, что корни таких уравнений образуют область оп-
ределения алгебраических чисел, которая совпадает с областью
значений показательной функции etnz, если z пробегает все раци-
ональные числа.

Проблема, поставленная во второй части, связана с ненайден-
ным доказательством одной теоремы Л. Кронекера. Полностью
проблема (это относится к обеим частям) еще не решена. Сущ-
ественные результаты в ее решении были получены Г.Шимуро
(G.Shimuro) в 1961-71 гг. и К.Рамачандра (K.Ramachandra) в 1964
году.

XIII проблема Д.Гильберта была посвящена возможности
представления вещественной непрерывной функции п переменных
в виде итерации функций двух переменных. Проблема была инс-
пирирована созданием в 1884-90 гг. общей теории номографиче-
ских построений (т.е. специальных чертежей, являющихся изобра-
жениями функциональных зависимостей)французского ученого
Мориса Оканя (Mauris d’ Ocagne, 1862-1938), и даже более ко-
нкретно, возможностью номографического решения уравнения 7
степени от п переменных, где п 3. (Сам Д.Гильберт считал это
невозможным).

В 1956 г. А.Н. Колмогоров установил следующий факт: каждая
вещественная непрерывная функция п переменных может быть
представлена как конечная итерация непрерывных функций 3-х
переменных. Год спустя (т.е. в 1957 г.) Владимир Игоревич Арно-
льд (р.1937 г.), тогда еще студент МГУ им М. В. Л омоносова, получ-
ил результат: каждая вещественная непрерывная функция 3-х пе-
ременных /(ti, ^з) может быть представлена как итерация 18-

Теория построения прямолинейных сетчатых номограмм была создана
еще в 1843 г.
ти непрерывных вещественных функций hij , gij (j := 1, 2, 3):

3 3

f(Xi, хг, I3) = 52 Х2>> гз)-

»=1 j=l

В итоге получилась теорема Арнольда-Колмогорова, решающая
полностью XIII проблему Гильберта: каждая вещественная неп-
рерывная функция п переменных может быть представлена как
конечная итерация непрерывных вещественных функций 2-х пе-
ременных.

XIV проблема Гильберта касалась возможности конечной-
порожденности некоторых алгебр. В 1956 г. Масояши Нагата (Ма-
soyashi Nagata) ответил отрицательно на вопрос Гильберта, постр-
оив контрпример. В 1975 г. был описан широкий класс групп,
для которых предположение Д.Гильберта справедливо. Это сде-
лал УХабоуш (W.Haboush), доказав правдивость гипотезы Дэв-
ида Мамфорда (David Mamford, р.1937) о редуктивных группах.
Ранее в 1916 г. и 1926 г. два класса колец, для которых предполо-
жение Д.Гильберта справедливо, выделила Эмми Нетер (Emmy
Noter, 1882-1935), работавшая еще в Германии, а в 1928-1929 гг.
преподававшая в МГУ им. М.В.Ломоносова, которая позже пере-
ехала в США.

XV проблема Д.Гильберта им не формализовалась. В ней
он апеллирует о создании математической теории, которая бы об-
основала операционные вычисления, выполненные немецким ма-
тематиком Германом Шубертом (Hermann Schubert, 1848-1911). В
ходе решения этой проблемы родились алгебраическая тополо-
гия и алгебраическая геометрия. Точнее, Бартель Л.Ван
дер Варден (Bartel van der Waerden, p.1903) в 1931-39 гг. пока-
зал, что симплициальная теория гомологий, развитая выдающи-
мся американским математиком Соломоном Лефшецом1^ (Solomon

^Соломон Лефшец родился в Москве, стал инженером. Во время I мировой
Lefschetz, 1884-1972) в двадцатых годах XX века, удовлетворяет
пожеланиям Д.Гильберта.

Позже появились и другие теории (гомологий и когомологий),
удовлетворяющие пожеланиям Гильберта. В частности, к ним отн-
осятся гомологии Бореля-Мура, гомологии де Рама, lf-теория и
другие1)

Активно в XX веке строилась и алгебраическая геометрия. Наз-
овем только нескольких математиков, внесших свой вклад в ее
развитие: Клод Шевалле (Claude Chevalley,p.l909), ЧженьШэнь-
шэнь(Черн) (Chern Shing-shen, р.1911), Андре Вейль (Andre Weil,
1906-1978), Жан Пьер Серр (Jean Piere Serr, р.1926), Александр
Гротендик (Alexander Grottendieck, р.1928), Ф.Хирцебрух (F.Hir-
zebruch, p.1927), y.4oy(W.L.Chow).

XVI проблема Гильберта состоит из двух частей. Первая
часть проблемы относится к топологии алгебраических веществен-
ных многообразий. Вторая часть проблемы касается качественной
теории дифференциальных уравнений.

Более подробно, первая часть XVI проблемы Гильберта касае-
тся классификации гладких кривых, заданных однородными урав-
нениями степени d вида f(x, у, z) = 0. Известно, что кривые пер-
вой степени - это прямые. Кривые второй степени - это линии
конических сечений. Кривые третьей степени были классифицир-
ованы еще Ньютоном. Кривые четвертой степени исследовались
в XIX веке (Ф.Клейн, А.Клебш2), Д.Гильберт). Классификация
кривых 5-ой и 6-ой степени была завершена в 1978-80 годах. Это
сделали Владимир Абрамович Рохлин (1918-1984) и его ученики:
В.В.Никулин (р.1948) и В.М.Харламов (р.1950). Для кривых 7-

войны ему оторвало кисти рук, и он, считая, что инженером уже не сможет
быть, стал заниматься математикой. С.Лефшец был профессором Принсто-
нского университета в 1924-1953 гг.

Арман Борель (Armand Borel, р.1923), Элиаким Г.Мур (Eliakim G. Moor,
1862-1932), де Рам (G. de Rham).

2) Альфред Клебш (Alfred Clebsch, 1833-1872) - немецкий математик.
ой степени результаты не являются пока полными. О кривых 8-ой
степени пока не знаем почти ничего1).

“Отцом” качественной теории дифференциальных уравнений
по праву считают Анри Пуанкаре. Однако после 1912 г. не было
существенного продвижения в решении второй части XVI проб-
лемы Гильберта. Возможно, это связано с глубинными трудностя-
ми самой теории. Остановимся на этом чуть подробнее.

Пусть дана автономная система дифференциальных уравнений
на плоскости R2:

i = f(x, у), у = д(х, у), (6.8)

где f и д - многочлены степени меньшей либо равной d. Предел-
ьным циклом I/ назовем изолированное периодическое решение
системы (6.8). Какова оценка числа предельных циклов в зависим-
ости от d и их взаимного расположения? Отметим, что уже проб-
лема конечности числа предельных циклов очень трудна. Поэтому
в 1980 г. В.И. Арнольд предложил ослабленную версию второй ча-
сти XVI проблемы Гильберта:

Для возмущения

где Р, Q, Н многочлены степени меньшей либо равной d, сис-
темы Гамильтона, предельные циклы отвечают нулям следующего
интеграла I (Абеля):

Требуется оценить число нулей функции I. К сожалению, и эта
проблема пока не поддалась решению.

^Подробнее см.: О.Я.Виро (р.1948). Успехи последних 5 лет в топологии
вещественных алгебраических многообразий. Proc, of Internat. Congress of
Math. 1983, Warszwa, p.603-619.
XVII проблема Гильберта посвящена одной проблеме ал-
гебры. Назовем многочлен (либо форму) с любым числом пере-
менных и с вещественными коэффициентами определенным, если
он (либо она) не будет отрицательным при любых вещественных
значениях переменных. Вопрос: каждая ли определенная форма
может быть представлена как частное сумм квадратов форм?

Ответ был дан Эмилем Артином (Emil Artin, 1898-1962) в 1927
г. и опирался на совместную с О.Шрейером (O.Schreier) работу по
теории полей. В результате возник раздел алгебры, называемый
абстрактной алгеброй.

XVIII проблема Гильберта касается кристаллографии и
упаковок пространства. Группа изометрий евклидовой плоскости
называется кристаллографической, если существует такая фигура
на плоскости, что ее образы в результате действия элементов груп-
пы изометрий покрывают всю плоскость и образы двух разных
преобразований (из группы) могут иметь разве что общую часть
границы. Аналогично определяется кристаллографическая группа
и в n-мерном евклидовом пространстве. Размерностью этой груп-
пы назовем число независимых направлений сдвигов, содержащ-
ихся в группе.

Уже более 1000 лет тому назад мавры для росписи стен ор-
наментами на территории современной Испании использовали 16
разных кристаллографических групп. В 1890 г. Евграф Степано-
вич Федоров (1853-1919) в работе “Симметрия правильных систем
фигур” установил, что на плоскости есть 17 разных кристалло-
графических групп, а в пространстве R3 их 230. Независимо от
Е.С.Федорова в 1891 г. этот же результат был получен Артуром
Шенфлисом (Artur Moritz Schonflies, 1853-1928).

Вопросы Д.Гильберта звучали так:

1. Для каждого ли п 6 N\{ 1} n-мерное евклидово пространств о
имеет конечное число неизоморфных кристаллографически
групп?
2. Существуют ли покрытия из одинаковых ^накладывающ-
ихся многоугольников (многогранников), которые не могут
быть фундаментальными областями1^ ни для одной группы?

(а) Элемент мозаики А нельзя пре-
образовать в В с сохранением струк-
туры мозаики

(Ь) Любой элемент мозаики
можно преобразовать в любой
другой с сохранением структ-

• Уры

Рис. 6.4: К вопросу Д.Гильберта о фундаментальных областях
(XVIII проблема)

На первую часть XVIII проблемы- Гильберта положительный
ответ дал в 1910 г. Людвиг Бибербах (Ludwig Bieberbach, р.1886).
Правда, пока не известно, как сосчитать (или хотя бы дать асимпт-
отическую оценку) числа неизоморфных кристаллических групп
для п > 42\

1^Т.е., что элемент “мозаики” не может перейти в результате преобразован-
ия из нашей группы в другой заранее заданный элемент “мозаики” так, что
сохраняется вся структура сети. На рис. 6.4а элемент мозаики, обозначен-
ный через А, нельзя преобразовать в элемент В, сохраняя структуру сети, а
мозаика на рис. 6.4b лишена этого недостатка.

2)Для п=4 Браун (H.Brown), Нойбюзер (J.Neubueser) и Зассенхаус (Н.
Zassenhaus) получили число 4783.
На вторую часть проблемы Гильберта положительный ответ
дал в 1961 г. Борис Николаевич Делоне (1890-1980).

XIX и XXIII проблемы Гильберта относятся к вариаци-
онному исчислению. Пусть D с Rn 1)_ замкнутая область и
f D х ]R х Rn -4 R функция (2n + 1) переменных, т.е.

/ = /(xi, ,тп,2,р15. .,рп)

класса С2

Пусть z D —* R и z.,; = ——. Рассмотрим задачу экстремали-

3 dxj

зации n-кратного интеграла (функционала):

Д*) = У У/(Т1, -,Tn,Zi(Ti,. . ,тп), .,2П(Т1 ..Tn))dTi .dxn.

Будем говорить, что этот интеграл 7(z) регулярен (задача рег-
улярна), если выполняется сильное условие Лежандра-Брюначчи1),
т.е. когда для всех чисел z, р1э ,рп и всех систем (ti, ..., жп) 6 D
квадратичная форма п переменных , sn

Wi,

П П

..,Tn,Z,p13 ,Pn}SiSj

будет положительно определена.

Вопрос Д.Гильберта был таким: “должны ли быть решения
уравнения Лагранжа, т.е. уравнения вида

1) Адриен Лежандр (Adrien Legendre, 1752 -1833) - французский математик,
Брюначчи (Brunacci) - итальянский математик.
каждой вариационной регулярной задачи аналитическими функ-
циями?”

Уже в 1903 г. Сергей Натанович Бернштейн (1880-1968) получ-
ил положительное решение этой проблемы для 2-х переменных.
В 1937 году Иван Георгиевич Петровский (1901 1973), введя по-
нятие эллиптичности оператора, т.е. свойства обратимости глав-
ного символа линейного дифференциального или псевдодиффе-
ренциального оператора, почти полностью решил эту проблему.

Развития его результатов были получены в 50-х годах К.Морри
(С.Моггеу), Ларсом Хёрмандером (Lars Hormander, р.1935), а в 50-
70 годы - тремя женщинами-математиками: Ольгой Александр-
овной Олейник (р.1925), Ольгой Александровной Ладыженской
(1922-2004) и Ниной Николаевной Уральцевой (р.1934).

XXIII проблема Гильберта фактически не является проблемой,
а пожеланием развития вариационного исчисления.

В ХХ-ой проблеме Гильберта содержится вопрос о сущ-
ествовании решений уравнений в частных производных при за-
данных краевых условиях.

Первые существенные результаты в решении этой проблемы
были получены С.Н.Бернштейном в 1910-1912 годах. Им, в ча-
стности, было получено доказательство существования решения
задачи Дирихле1) для п — 2.

Только через 20 лет эти работы С.Н.Бернштейна в 1933 г. были
по достоинству оценены и обобщены в работах Юлиуша Шаудера
(Juliusz Schauder, 1896-1943) и в 1934 г. Жана Лере (Jean Lerey,
р.1906). Дальнейшие результаты содержатся в работах 1938 и 1962
годов Сергея Львовича Соболева (1908-2003) и О.А. Ладыженской
(совместно с Н.Н.Уральцевой) в 1961 и 1973 годах.

О Напомним, что задачей Дирихле (Петер Дирихле Dirichlet Peter, 1805-
1859; немецкий математик) для п = 2 называют задачу минимизации интег-
рала (Дирихле): D(u) = - |Vu|2 dxdy, где Q область в 7?2, |Vu|2 =

д2и д2и
дз? + ap'l’

граница области, дП граница области Q.
XXI проблема Гильберта это проблема существован-
ия линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную
группу монодромии. Результаты, полученные в процессе решения
этой проблемы связаны, с одной стороны, с развитием теории ког-
омологий алгебраических многообразий (включая теорию Пикара-
Лефшеца), а с другой - с развитием дискретно-группового анали-
за. Отметим прежде всего результаты Дж.Милнора (John Mil-
nor, р.1931) и В.И Арнольда1). О развитии дискретно-группового
анализа мы поговорим несколько далее.

XXII проблема Гильберта относится к возможности униф-
ормизации аналитических отношений с помощью аналитических
функций. Под униформизацией алгебраической кривой понимае-
тся представление ее в параметрической форме с помощью одноз-
начной функции одной комплексной переменной. Полное решение
этой проблемы получил в 1907 г. А.Пуанкаре (и, независимо от
него, П.Коэбе (Р.КоеЬе)) с помощью теории автоморфных функ-
ций2) .

6.2. Новые и старые направления раз-
вития математики в XX веке

Как видно, проблемы Д. Гильберта мощно повлияли на раз-
витие математики в XX веке и прежде всего на развитие мате-
матической логики. Надежда Д.Гильберта, что непротиворечив-
ость влечет существование, что объекты и методы инфинитез-
имальные можно заменить на объекты и методы, оперирующ-
ие с конечными величинами в рамках теории доказательства,
названной системой арифметики Пеано, не оправдалась. В 1977
г. Дж.Парис (J.Paris) и Л.Харрингтон (L.Harrington) построили
пример простого комбинаторного высказывания, являющегося мо-

Арнольд В.И. “Успехи матем. наук” т.29 вып.2 (1974) с. 11-49.

2) Подробнее см. R.Nevanlinna, Uniformisierung, Springer, Berlin 1953.
дификацией теоремы Рамсея1), которое является правдивым, но
не разрешимо в системе арифметике Пеано РА. Эти результаты
дополнили полученные ранее результаты Курта Геделя, Алонсо
Черча (Alonso Church, р.1903), Эмиля Поста (Emil Post, 1897-
1954), Алана Тьюринга (Alan Turing, 1912-1954) и Андрея Анд-
реевича Маркова (1908-1979).

Математическая логика явилась и одной из основ создания
электронных вычислительных машин. Еще в 1936 г. Эмиль Пост,
американский логик, родившийся на той части территории По-
льши, которая входила в состав Российской империи до 1917 г.,
и, независимо от него, английский математик Алан Тьюринг соз-
дали первый виртуальный компьютер (машина Поста или Тью-
ринга). Э.Пост формализовал понятие алгоритма, введя понятие
вычислимой функции. В 1938 г. появились работы Клода Шеннона
(Claude Shannon, р.1916) по математической теории информации,
приведшие позже к бурному развитию вычислимой техники. Пер-
вый компьютер “в железе” был создан в США в 1943 г. в Пенси-
льванском университете Д.П.Эккертом (D.P.Eckert). Развитие ко-
мпьютерной техники в свою очередь привело к развитию разных
разделов математической логики.

Из классических разделов математики, который пережил <4бум”
на рубеже XX века и о котором мы не говорили, была теория
интегралов.

В 1894 г. Томасом Стильтьесом (Tomas Stiltijes, 1856-1894) было
дано обобщение интеграла Римана (интегрируемость одной функ-
ции относительно другой, определенной на этом же промежутке).

Другое обобщение интеграла Римана дал А.Лебег (для разрыв-

Франк Рамсей (Frank Ramsey, 1902-1930) - венгерский математик.

Теорема Рамсея:

Пусть Кп - полный неориентированный граф, имеющий п вершин без петель.
Пусть г,д > 2 - целые числа и пусть п = Тогда, если все ребра графа

Кп окрашены в два цвета: белый и красный (каждое ребро либо в белый,
либо в красный цвет), то существует либо подграф Кг, окрашенный только в
красный цвет, либо подграф Кд, все ребра которого окрашены в белый цвет.
ных функций) в 1902 г.

В 1912 г. Арно Данжуа (Arnaud Denjoi, 1884-1974) ввел такое
понятие интеграла, которое применимо ко всякой функции /, яв-
ляющейся производной некоторой функции F^. В 1929 г. Эдвард
Титчмарш (Edward Titchmarsh, 1899-1963) дал обобщение интег-
рала Лебега, названное А-интегралом, для интегрирования функ-
ций, сопряженных к суммируемым.

Вообще, математический анализ в XX веке развивался по нес-
кольким направлениям. Во-первых, это теория операторов в функ-
циональных пространствах1^. Здесь следует сказать, что рассмот-
рение пространств, в которых точками являются функции, преоб-
разило весь классический анализ. Особая роль в этом принадлеж-
ит выдающемуся польскому математику Стефану Банаху (Ste-
fan Banach, 1892-1945). К другим творцам этого направления мо-
жно отнести австрийского математика Ханса Хана (Hans Hahn,
1879-1934), польских математиков: Хуго Штейнгауса (Hugo Stein-
haus, 1887-1972), Станислава Мазура (Stanislaw Mazur, 1905-1981),
Владислава Орлича (Wladyslaw Orlicz, 1903-1990), великого амер-
иканского математика Джона фон Неймана и математика из США
Роберта Джеймса (Robert James), венгерского математика Фридь-
еша Рисса (Frigyes Riesz, 1880-1956) и целую группу математиков
из СССР: Марка Григорьевича Крейна (1907-1989), Селима Гри-
горьевича Крейна (1917-2002), Израиля Моисеевича Гельфанда
(р.1913), Андрея Николаевича Колмогорова (1903-1987), Сергея
Львовича Соболева (1908-2003), Давида Минхудовича Мильмана
(р.1913), Леонида Витальевича Канторовича (1912-1986), Бориса
Захаровича Вулиха (1913-1978).

Новым направлением математического анализа стала теория
аппроксимации, берущая начало в работах крупнейшего россий-
ского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышева (1821
-1894) о многочлене, наименее уклоняющемся от данной функции.

1^См., например, Порошкин А.Г. Функциональный анализ. М.: Изд-во
"Вузовская книга", 2004.
Уместно сказать несколько слов о его биографии. В 1837 г. он пост-
упил в Московский университет. В 1846 г. там же защищает магис-
терскую диссертацию “Опыт элементарного анализа теории вероя-
тностей”. Через год П.Л.Чебышев переезжает в Санкт-Петербург и
до конца жизни будет связан с Санкт-Петербургским университе-
том. Именно в Петербурге он закладывает основы теории ортого-
нальных многочленов, а также теории моментов и кубатурных фо-
рмул. Эти исследования уже в XX веке стали, наряду с работами
А. Лебега, Шарля Валле Пуссена (Charles La Valle’e Poussin, 1866 -
1962), Липота Фейера (Lipot Fejer, 1880-1959), основой создания со-
временной теории аппроксимации1!. Переломными в теории аппр-
оксимации были работы Пера Энфло (Per Enflo) в 1972-74 годах2!,
построившего пример сепарабельного банахова пространства, не
обладающего аппроксимационным свойством, (то есть свойством
бананахова пространства X, в котором для каждого компактно-
го множества К € X и любого е > 0 найдется конечномерный
линейный оператор Т К —> X такой, что ||х — Т(т)|| < £ для
всех х € К ), а также работы Р.Джеймса (1950) и Б.С.Цирельсона
(1974), построивших пространства, названные соответственно пр-
остранствами Джеймса и Цирельсона, со свойствами, интуитивно
не очевидными и не выполняющимися для конечномерных прост-
ранств.

Стоит сказать особо о новом направлении, выделившемся из
теории аппроксимации, - теории сплайнов, в том числе вейвлет-
ных, имеющем большое применение в информатике (прежде всего,
в хранении и передаче информации). Здесь можно выделить ра-
боты А.Хаара 1909-10 годов (А. Нааг) и Г.Фабера (Georg Faber,
1877-1966), Сергея Борисовича Стечкина (1920-1995) и И. Добечи
(I.Daubechies) 80-х годов XX века.

Х!О других аспектах творчества П.Л.Чебышева будет еще сказано отдельно
в главе 7.

2! Энфло П. Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховом простра-
нстве. Математика. Сб. переводов.,т.18, №1, (1974), с. 146-155
С математическим анализом тесно связан еще один новый
раздел математики - общая топология. У истоков ее создания
стояли Вацлав Серпинский (Waclaw Sierpinski, 1882-1969), Павел
Сергеевич Александров (1896-1982), швейцарский математик Хе-
йнц Хопф (Heinz Hopf, 1894-1971), Павел Самуилович Урысон
(1898-1924), австрийский математик Карл Менгер (р.1902), пол-
ьские математики: Казимир Куратовский (Kazimierz Kuratowski,
1886-1980) и Кароль Борсук (Karol Borsuk, 1905-1982), немецкий
математик Феликс Хаусдорф (Felix Hausdorf, 1868-1942) и русские
математики: Михаил Яковлевич Суслин (1894-1919), Андрей Ник-
олаевич Тихонов (1906-1993) и А.Н. Колмогоров.

Во время второй мировой войны особенно актуальными стали
те направления математики, которые имели технические прило-
жения и особенно в военной технике. Пока, к сожалению, мы еще
слабо знаем о результатах математиков, работавших в Германии,
СССР и США над атомной бомбой и над совершенствованием рак-
етной техники1^ Зато известно, что в 1942 г. Лотар Коллатц (Lotar
Collatz) оформляет в стройную теорию задачи на собственные зна-
чения. В том же 1942 г. Соломон Григорьевич Михлин (1908-1990)
строит энергетическое пространство для решения краевых задач и
получает новые результаты по проблеме собственных чисел. Цен-
ные результаты в процессе разработки теории сингулярных интег-
ральных уравнений получает в 1942-45 годах Николай Иванович
Мусхелишвили (1891-1976) и применяет их к задачам математи-
ческой физики.

О теории функций многих комплексных переменных, а также о
развитии гармонического анализа мы уже говорили при обсужден-
ии проблем Гильберта. Затрагивали мы и историю развития тео-
рии вероятностей. Однако о двух ее ветвях следует сказать особо:

Известно, например, что над проектом “Манхаттан” работала большая
группа математиков-эмигрантов из Европы. Наиболее известен среди них
ученик С.Банаха, один из создателей метода Монте-Карло, Станислав Улам
(Stanislaw Ulam, 1909-1984).
речь идет о теории стохастических процессов и о математической
статистике.

Из математиков, занимавшихся разработкой теории стоха-
стических процессов, назовем прежде всего Андрея Андреевича
Маркова (1856-1922). Ученик П.Л. Чебышева, он окончил Пете-
рбургский университет в 1878 г. с золотой медалью. Через два года
защитил магистерскую диссертацию и начал преподавать в Пете-
рбургском университете. Уже в 90-е годы XIX века А.А.Марков
приступил к изучению схем, в которых предыдущие состояния
системы влияли на состояние системы в последующие моменты
времени1^. В XX веке эти схемы, названные цепями Маркова,
нашли широкое приложение в работах великих немецких физик-
ов Макса Планка (Max Planck, 1858-1947) и Альберта Эйнштейна
(Albert Einstein, 1879-1955) и других ученых. Другим математик-
ом, оказавшим большое влияние не только на развитие теории
стохастических процессов, был Норберт Винер (Norbert Wiener,
1894-1964), сын еврейских эмигрантов из России (в США), “отец”
кибернетики, исследователь (Винеровских) процессов. Наконец,
нельзя не сказать об Александре Яковлевиче Хинчине (1894-1959),
заложившем основы теории стационарных процессов, и о А.Н. Ко-
лмогорове, внесшем крупнейший вклад в изучение Марковских
процессов с непрерывным временем.

Если говорить о развитии математической статистики в XX
веке, то первым, несомненно, следует назвать английского ма-
тематика Рональда Фишера (Ronald Fisher, 1890-1962), автора
метода максимума правдоподобия, дисперсионного анализа, по-
нятий: состоятельность оценки, ее эффективность и др. Р.Фишер
был достойным продолжателем исследований одного из творц-
ов теории проверки гипотез Карла Пирсона (Karl Pearson, 1857-
1936)2) Шведский математик Харальд Крамер (Harald Cramer,

^Первая публикация А.А.Маркова на эту тему относится к 1907 г. в “Изв.
Петерб. АН” т.1, №3, с.61-80.

2)Р.Фишер, как и К.Пирсон, родился в Лондоне.
1893-1985), кроме математической статистики известен и сво-
ими работами по теории страхования. Однако наиболее широко
применяются именно в математической статистике общие кр-
итерии существования оптимальных оценок, основанные на не-
равенстве Рао-Крамера1^, называемом также неравенством инфо-
рмации. Говоря о математической статистике, нельзя не сказать и
о вкладе в ее развитие математиков из России. Это прежде всего
Евгений Евгеньевич Слуцкий (1880-1948) - один из творцов теории
корреляции, Борис Владимирович Гнеденко (1911-1995), давший
в 1943 г. законченную теорию предельных распределений крайн-
их членов вариационного ряда2), и Юрий Владимирович Линник
(1914-1972) - получивший глубокие результаты по характеризации
распределений свойствами статистик, в изучении - вместе с тогда
еще молодым И.А. Ибрагимовым (р.1939), - независимых и стаци-
онарно связанных величин, теории оценивания и теории проверки
сложных гипотез. Ю.В.Линник прославился и своими результа-
тами в теории чисел. Он дал элементарное решение проблемы
Варинга (Edward Waring, 1734-1798), доказав, что каждое большое
натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел. Он
решил и проблему Харди-Литлвуда3) о представимости натурал-
ьных чисел суммой простого числа и двух квадратов, и другие
проблемы. Если зашла речь о теории чисел, то уместно вспомнить
и о замечательном индийском математике Сринивас Рамануджане
(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920), который оставил россыпь удив-
ительнейших математических соотношений и формул.

Математическая физика, дифференциальные уравнения, тео-
рия вероятностей, дифференциальная топология дали толчок воз-

ОРао (С. R. Rao) - индийский математик. Независимо от Рао и Х.Крамера
неравенство Рао-Крамера получил в 1943 г. также М.Фреше (Mauris Frechet,
1878-1973) - французский математик.

2) Ann. of Math, t.44 (1943), p.423-453.

3)Годфри Гарольд Харди (G.H.Hardy, 1877-1947) - английский математик.
Джон Литлвуд (John Littlwood, 1885-1977) - английский математик.
никновению нового направления развития математики - теории
динамических систем, включая эргодическую теорию. Теория
динамических систем оказалась востребованной не только в ма-
тематике, но прежде всего в теории управления (в частности,
ракетами). Хотя термин "динамические системы "вошел в шир-
окий обиход только в середине XX века, первые существенные
результаты появились значительно ранее. Здесь уместно вспомн-
ить о пионерских исследованиях С.Н.Бернштейна стохастических
дифференциальных уравнений, начатых еще до 1917 года. Напо-
мним, в 1917 году он строит и первую по времени аксиоматику
теории вероятностей. Позже фундаментальные результаты в тео-
рии динамических систем были получены А.Н.Колмогоровым,
В.А.Рохлиным, В.И.Арнольдом, учениками первых двух: Яковом
Григорьевичем Синаем (р.1933) и Анатолием Моисеевичем Верш-
иком (р.1934), а также американским математиком Стивеном Сме-
йлом (Stephen Smale, р.1930).

В 1929 г. А.Н. Колмогоров дал доказательство так называемо-
го закона повторного логарифма, установленного в 1923 г. для
частного случая А.Я.Хинчиным (1894-1959), весьма важного при
кодировке. Александр Яковлевич Хинчин заложил также основы
теории стационарных процессов.

Еще одним новым направлением в развитии математики в
XX веке стала теория игр, нашедшая очень широкое применен-
ие в экономических теориях, теории конфликтов, включая воен-
ные, и т.д. Среди математиков, внесших особый вклад в разв-
итие теории игр, ограничимся американцами: Джоном фон Ней-
маном и Оскаром Моргенштерном (Oscar Morgenstern, 1902-1977),
- заложивших основы применения теории игр при анализе эконо-
мического поведения, Руфусом Айзексом (Rufus Isaaks) одним
из создателей теории дифференциальных игр, Самуэлем Карл-
иным (Samuel Karlin)1), Л. Шепли (L.S. Shapley)2), Дж. Нэшем
(J.Nash)3), литовским математиком Эдуардасом Вилкасом (E.Vil-
kas)4) и группой российских математиков: Львом Семеновичем По-
нтрягиным - далеко развившим теорию дифференциальных игр,
Николаем Николаевичем Красовским (р.1924), одним из творцов
теории позиционных дифференциальных игр и их применения в
теории управления, Николаем Николаевичем Воробьевым (1925-
1995) - получившим глубокие результаты почти во всех разделах
теории игр, но особенно интересных - в теории бескоалиционных
игр, и Еленой Борисовной Яновской - ученице Н.Н.Воробьева, на-
иболее значительные результаты которой относятся к теории бе-
сконечных игр.

В последние полвека важным направлением развития мате-
матики стала дискретная математика, особенно один из ее раздел-
ов теория графов. Формально начало теории графов относят
к 1736 г., когда появилась работа Л. Эйлера, решившая проб-
лему Кенигсбергских мостов (см. §4.3). Фактически же теория
графов начала интенсивно развиваться с 30-х годов XX века в
связи с развитием химии полимеров, логистики и теории коммун-
икационных систем. Среди творцов теории графов назовем вен-
гра Поля Эрдёша (Paul Erdos, 1913-1996), француза Клода Бер-
жа (Clode Berge), американца венгерского происхождения Дьердя
Пойа (Gyorgy Polya, 1887-1985), индийца Нарсинга Део (Narsingh
Deo), американца Фрэнка Харари (Frank Нагагу), венгров: Бела
Боллобаш (Bella Bolobas, р.1942) и Лашло Ловаш (Laszlo Lovasz),
а также Виктора Павловича Маслова (р.1930).

г)Карлин С. был также одним из крупнейших специалистов по теории слу-
чайных процессов.

2) Наиболее известен вектор Шепли в связи с задачей справедливого
дележа в классических кооперативных играх.

3) Дж. Нэшу принадлежит новое понятие равновесия (равновесие Нэйла) и
создание (независимо от от Х.Райфы (H.Raifa) теории арбитражных решений.

4)Э.Вилкас, занимаясь проблемой оптимальности в играх, получил важные
результаты в теории принятия решений.
Классическая алгебра развивалась в XX веке в направлен-
иях, заданных проблемами Гильберта, т.е. гомологическая алге-
бра, теория алгебраических систем (ее создателем был Анатолий
Иванович Мальцев (1909-1967)), конечные группы, теория Галуа,
группы Ли, теория полугрупп (одним из ее творцов был Евгений
Сергеевич Ляпин (1923-2005)), теория колец, теория расширений
полей. В последние десятилетия к ним добавились теория кодир-
ования и компьютерная алгебра.

Классическая геометрия также претерпела изменения. Хотя,
по-прежнему, продолжалось изучение выпуклых многогранник-
ов, геометрических характеристик кривых, поверхностей и других
классических объектов, как например, неравенство Брунна-Мин-
ковского1), классическое изопериметрическое неравенство, было
начато изучение и нерегулярных метрических многообразий, об-
общающих понятие риманова многообразия - эти объекты вп-
ервые стал изучать Александр Данилович Александров (1912-
1999), крупнейший геометр XX века. Нелинейная теория упругих
оболочек и бесконечно малых изгибаний, проблема регулярности
выпуклой поверхности с регулярной метрикой, проблема существ-
ования замкнутой регулярной выпуклой гиперповерхности, пол-
ная кривизна которой является заданной функцией внешней но-
рмали, самый большой вклад в разработку этих теорий и задач
внес Алексей Васильевич Погорелов .(1919-2003), другой видне-
йший геометр XX века. Важной ветвью геометрии стала и ко-
мбинаторная геометрия. Здесь отметим израильского математика
Бранко Грюнбаума (Branko Griinbaum), а также П.Макмюллена
(P.McMullen) и Д.Барнетта (D.Barnette), и упоминавшихся выше
Виктора Абрамовича Залгаллера и польского тополога, создателя
теории ретрактов - Кароля Борсука.

На стыке дифференциальных уравнений и теории групп воз-

^Х.Брунн (H.Brunn), Г.Минковский (Hermann Minkowski, 1864-1909) - не-
мецкие математики. Г.Минковский был и выдающимся физиком.
никло новое направление, обобщающее теорию Пикара-Вессио1),
восходящее фактически к работе П.Медолаги (P.Medolagi)1898 г.,
по сути теория Галуа для дифференциальных уравнений, названн-
ое дискретно-групповым анализом. Из творцов этого направления
назовем только Льва Васильевича Овсянникова (р.1919).

В XX веке одним из важнейших направлений в развитии мате-
матики стала математическая экономика. Мы уже говорили выше
о решении экономических задач с помощью математики еще с
древнейших времен. Добавим только, что математический анализ
при исследовании рыночного равновесия впервые применил Леон
Вальрас (Leon Walras, 1834-1910) - представитель Лозаннской шк-
олы экономистов. Другой представитель этой же школы Вильф-
редо Парето (Vilfredo Pareto, 1848-1923) изучал состояние эконом-
ики, при котором улучшение состояния одного или нескольких лиц
невозможно без улучшения положения другого или других. Поэт-
ому в экономике есть понятие равновесия по Вальрасу и оптим-
ума по Парето. (Есть и понятие равновесия по Нэшу). В 1936 г.
Василий Васильевич Леонтьев (1906-1999) - эмигрант из России
- применил теорию положительных матриц для изучения динам-
ики рынка. Математические модели различных экономических пр-
оцессов и явлений построили Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн,
Леонид Витальевич Канторович, Т.Купманс (T.Koopmans, 1909-
1985), Д.Нэш, Роберт Сельтон (Robert Selton, р.1930) и многие
другие математики. Из названных выше последние четыре полу-
чили Нобелевские премии по экономике.

Научно-технический прогресс во второй половине XX в. привел
к появлению совсем новых разделов математики: математической
лингвистики, финансовой математики, математической психоло-
гии, математической биологии, математической экологии. Вероя-
тно эти направления вместе с классическими и будут определять
лицо математики в XXI веке.

Шарль Пикар (Charles Picard, 1846-1941), Эрнест Вессио (Wessio Ernest,
1865-1952) - французские математики.
Впрочем, развитие информатики возможно определит и со-
вершенно новые пути развития математики. Ведь еще в 1976
г. известная гипотеза У.Гамильтона, высказанная им в середине
XIX века, о достаточности 4-х красок для правильной раскраски
любой карты на сфере, была доказана К.Аппелем (K.I. Арре!) и
В.Хакеным (W.Haken) с помощью машинной программы. (И док-
азательства без использования компьютеров пока нет.) В том же
году появилась экспертная система для постановки диагноза и ле-
чения бактериальных заражений крови MYCIN, стимулировавшая
создание нечеткой логики. И таких примеров становится все боль-
ше.

6.3. Новые математические объединения
- ответ на вызов времени

В 1952 году был создан Международный Математический
Союз (International Mathematical Union (сокращенно IMU или
по-русски ММС)). С 1957 года членом ММС стал СССР, а с 1992 г.
- Россия. Высшим органом ММС является Генеральная ассамблея,
созываемая 1 раз в четыре года непосредственно перед очередным
Международным Конгрессом математиков.

Задачами ММС являются прежде всего организация и по-
ощрение международного сотрудничества в области математики;
помощь в организации Международных Конгрессов математиков;
содействие развитию прикладных разделов математики и внед-
рению математических методов в другие науки.

При ММС функционируют две комиссии: одна - по математи-
ческому образованию, а вторая по развитию и научному обмену.
Первая комиссия созывает раз в 4-5 лет Международные Конг-
рессы по математическому образованию. Последний проходил в
августе 2004 г. в Копенгагене.

ММС на своих ассамблеях выбирает Президента ММС на 4
года. В 1987-91 гг. Президентом ММС был Людвиг Дмитриевич
Фаддеев (р.1934 г.), основные труды которого посвящены мате-
матической и теоретической физике1). (В 2005 году он стал лауре-
атом Государственной премии России.)

В рамках ММС в 1994 году в Санкт-Петербурге был органи-
зован Международный Математический Институт им. Л.Эйлера.
На базе этого института проводятся школы молодых математиков,
организуются международные конференции, встречи, семинары и
т.д.

Одним из важных направлений в деятельности ММС является
присуждение на очередных математических конгрессах медали
им. Филдса2). Эта медаль присуждается за выдающиеся дости-
жения в математике тем из математиков, кто не достиг 40-летнего
возраста. Первое награждение состоялось в 1936 г. Приведем спи-
сок первых 20 лауреатов медали им. Филдса:

1936

Ларс Ал форс (Lars V Ahlfors, р.1907),
Джесси Дуглас (Jesse Douglas, 1897-1965).

1950

Лоран Шварц (Laurent Schwartz, р.1915),
Атле Селберг (Atle Selberg, р.1917).

ОЛ.Д. Фадцеев своими работами опроверг расхожее мнение, что “природа
отдыхает на детях”. Его отец Дмитрий Константинович Фадцеев (1907-1992)
чл.-корреспондент АН СССР, был одним из творцов ленинградской алге-
браической школы, а мать Вера Николаевна Фаддеева (1906-1983), лауре-
ат Государственной премии СССР, была одним из крупнейших специалистов
по вычислительным методам линейной алгебры. Впрочем, еще более яркий
пример дают академики: Петр Сергеевич Новиков (1901-1975), специалист по
теории алгоритмов, теории групп, математической логике, и Людмила Вс-
еволодовна Келдыш (1904-1976), специалист в области топологии, чей сын
С.П.Новиков является ныне одним из крупнейших математиков в мире.

2) Канадец Джон Филдс (John Charles Fields, 1863-1932) в 1924 году орган-
изовал Фонд (и внес туда деньги) для поощрения молодых математиков.
1954

Конихико Кодаира (Konihiko Kodaira, р.1915),
Жан-Пьер Серр (Jean-Pierre Serre, р.1926).

1958

Клаус Рот (Klaus F.Roth, р.1925),
Рене Том (Rene Thom, р.1923).

1962

Ларс Хермандер (Lars Hormander, р.1935),
Джон Милнор (John Milnor, р.1931).

1966

Майкл Атья (Michael F. Atiyah, р.1929),

Поль Коэн (Paul J. Cohen, p.1934),

Александер Гротендик (Alexander Grothendieck, p.1928),
Стивен Смейл (Stephen Smale, p.1930).

1970

Алан Бэкер (Alan Baker, p.1939),

Хеисуке Хиронака (Heisuke Hironaka, p.1931),

Сергей Петрович Новиков (p.1938),
Джон Томпсон (John Tompson, p.1932).

1974

Энрико Бомбьери (Enriko Bomberi, p.1940),
Дэвид Мамфорд (David Mumford, p.1937).

В 1959 году по инициативе Румынского математического и
физического общества в Бухаресте была проведена I Международ-
ная математическая олимпиада школьников1) В ней приняли уча-
стие школьники из 7 восточно-европейских стран: Болгарии, Вен-

Подробнее см. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математи-
ческие олимпиады. М., Просвещение, 1971.
грии, Германской Демократической Республики, Польши, Румын-
ии, СССР, Чехословакии. С 1967 г. в этих олимпиадах стали прин-
имать участие школьники и из Западной Европы. В последнее де-
сятилетие олимпиады по математике носят уже всемирный харак-
тер.

Хотя победители этих олимпиад не всегда становятся вы-
дающимися математиками, но хорошими математиками они, как
правило, становятся. Из упомянутых выше в п.6.4 математиков
Бела Боллобаш, например, получил дипломы первой степени на
П-й (1960) и Ш-й (1961) Олимпиадах, а Лашло Ловаш получил ди-
плом второй степени на V-й (1963) Олимпиаде. Ярослав Земанек
(Jaroslaw Zemanek) - ныне профессор Института Математики По-
льской Академии Наук, - был награжден дипломом Ш-й степени
на VI-й (1964) Олимпиаде. На этой же Олимпиаде Юрий Матия-
севич получил диплом Гой степени. На следующей VH-ой (1965)
Олимпиаде диплом I-ой степени завоевал Николай Широков
ныне заведующий кафедрой математического анализа Санкт-Пе-
тербургского государственного университета. Наконец отметим,
что в 1962 году на IV-ой Олимпиаде ученик 10-го класса моско-
вской школы Григорий Маргулис получил диплом П-ой степени,
а уже в 1978 г. он был награжден медалью Филдса за работы по
теории групп Ли.
Глава 7

Об истории математики в
России

1. Математические познания на территории России до XVIII
века.

2. XVIII век - начало математического просвещения России.

3. XIX век - математика в России становится плодоносной вет-
вью.

4. Советский период истории развития математики в России
блеск и тени.

5. Вместо заключения.

7.1. Математические познания на тер-
ритории России до XVIII века

В первые века существования Российского государства, на-
чиная с 862 года года образования государства Рюриковичей,
можно говорить достоверно только об элементах математических
познаний. Обширная торговля в первой столице Руси - Ладоге,
основанной в 753 г., а с 1704 г. переименованной в Старую Ладогу,
в последующей столице - Новгороде (первое летописное упоминан-
ие в 859 г.), а также в Пскове (первое летописное упоминание в 903
г.)1), возникшем на месте славянского поселения 6-го века, позво-
ляют об этом говорить вполне уверенно. Новгородская псалтырь2)
конца X века, берестяные грамоты, в части которых содержатся
долговые записи и записи о разделе имущества, фортификацион-
ные сооружения, первые храмы, кольчуги X века, найденные в
кузнях, несколько тысяч стеклянных цветных бус IX-X веков, при
изготовлении которых требовалось знание компонент и их про-
порций, церковные праздники, требовавшие знание календаря,
все это косвенно свидетельствует об определенном уровне не толь-
ко математических умений, но и знаний, которые черпались как с
Запада, так и с Юга3).

В конце X века вместе с приходом христианства на земли Древ-
ней Руси пришел и славянский алфавит и греко-славянская сис-
тема нумерации. В этой системе нумерации буквы алфавита были
одновременно и числовыми знаками, и, чтобы их отличать от букв,
над ними ставился знак - титло. Буквы от “а” до “г” - обоз-
начали единицы, от “г” до “п” - десятки, от “п” до “ю” сотни.
Для обозначения тысяч перед буквой ставился значок X; для де-

1)Из окрестностей Пскова происходит княгиня Ольга (897-969), которая
после смерти мужа - князя Игоря в 945 г., провела административную рефо-
рму, разделив Древнерусское государство на административные единицы - по-
госты, и установив размер дани с погоста. Эта административно-финансовая
реформа уже свидетельствовала об определенном уровне математических
умений.

2) Найдена в 2000 г. в Великом Новгороде. Текст написан на вощаных стра-
ницах. Является подлинным старейшим письменным источником не только в
России, но и всех славян.

3)Если посмотреть на списки имен в первых договорах русских князей с
Византией (941-944), то славянских имен там меньше одной пятой. Среди бояр
князя Игоря были и прусы, и скандинавы, и балты, и угро-финны, и тюрки.
сятков тысяч (=тьма) те же буквы ставили в кружок. Например:
10000= (а), для сотен тысяч (легионов) - в кружке из точек ,
для миллионов - в кружке из черточек (табл. 3).

Пример-.

156 = Р N S 7002 =Х 7 Z

В 1136 г. в Новгороде появилось сочинение “Наставление как
человеку познать счисление лет” Оно было посвящено арифметико-
хронологическим расчетам. Автором этого произведения был некто
по имени Кирик, родившийся в 1100 г. в Новгороде. Кирика Нов-
городца можно было бы назвать первым русским математиком. В
целом, однако до конца XVII века математические знания несмо-
тря на политические изменения: раздробленность Руси в XI-XIII
веках, объединение Руси вокруг Москвы в XIV-VX веках попол-
нялись незначительно. Более того, в тех областях жизни, где была
нужна математика, наблюдался даже регресс. Как отмечают ле-
тописи, к концу XV века русские мастера разучились делать цер-
ковные своды. При Иване 111(1462-1505)* для строительства нового
Успенского собора на месте обветшавшего, пришлось отправлять
за итальянскими архитекторами посла И.В.Голузина. И тот при-
вез архитектора Фиораванти из Болоньи (родился между 1415 и
1420 гг., умер около 1486 г.). В момент незадолго до 1492 г. нео-
жиданно выяснилось, что на Руси уже. нет человека, способного
провести расчеты Пасхи. В том году кончались расчетные табл-
ицы, унаследованные от византийской церкви1) Примеры можно
было бы продолжить.

В XVI и XVII веках на Руси развивались военное дело и тор-
говля, но они не привели к заметному изменению в развитии мате-
матики, хотя потребность в ней ощущалась все острее. Появление
в 1607 и 1627 годах “Устава ратных дел”, в 1629 г. - “Книги сошного
письма” говорят об этом красноречиво.

О Ситуацию разрешил Новгородский архиепископ Геннадий Гонзов, срочно
организовавший экспедицию в Рим за пасхальными таблицами.
Таблица 3.

ТГ* р о * * / ц а Гр*Ч2С#6'£ * я |><г. п>|1 !> -УКИ«**г4с*ч V р и а .»> 4/ £( а
f У Л * # их imiwwe //уф/ГОШМ* 4и*гга*и? /’Гл?п«гг/йг £ у •( 9 *г у ИХ i ^rcrfFirvoe Л41^е4ГО

/ а X —де>? 600 X
ф ....... ’ 800 W
8 — *Г&г 2 Б || - «м ООО
Г — 3 Г V 90
Д 4 Л ш -'-«ДО
£ «« £fJW*** 5 £ ш — 4^9
хЕ>ЖЯ*№е»М 1 1 1 ! 1 Г 1 1 * И $ U Ч U : М 3 5 \ ‘ 1 <? 7 ft? а 20 л> 40 50 S' 7. 1 н к л о N ъ Ъ1 ь ъ 10 Й 1€ А V — — «V» — йЛШ'* — rfi —Лг/ма< жи.нй-5 *
0 —с* 70 0 Л —Mic бс^х-с^й1
D — №fw so \ II IA _ W>-viHL ~~ ое *
Р -рцы fOO Р 1.¥ь •ИГ *
С — с-ада X>i> С 6’0 ¥
300 1 1 -я«* 700 t
Ot — /Я вв 400 0 —фигов* 9 а
Ф — ферт 503 ф i Y 1 — в • V
7.2. XVIII век - начало математического
просвещения России

Резкий перелом произошел в конце XVII века уже в прав-
ление Петра I (1672-1725). Так, в 1701 г. в Москве была открыта
Навигацкая школа, куда был приглашен для преподавания ма-
тематики и морских наук профессор Аббердинского университета
А.Д.Фархварсон1). В 1702 г. сподвижник Петра I Яков Брюс (1670-
1735) оборудовал при этой школе обсерваторию, занимался науч-
ными переводами, выпускал календари, обучал ее слушателей ма-
тематике, астрономии и физике. В 1703 г. выходит “Арифметика”
Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739). Л.Ф.Магницкий
после окончания Московской Славяно-греко-латинской академии
самостоятельно освоил голландский, немецкий и итальянский яз-
ыки и в “Арифметике” поместил многое из прочитанного.

Кроме арифметических сведений в ней давались значительные
алгебраические, навигационные и даже метеорологические сведен-
ия. В ней приводятся сведения о решении квадратных и биквад-
ратных уравнений, начала плоской и сферической тригонометрии,
сведения о вычислении площадей фигур и объемов тел.

В 1715 г. на базе Навигацкой школы была создана и переведена
в Санкт-Петербург Морская Академия. 24 января 1724 г. после-
довал указ Петра I об организации Академии Наук2), а при ней
- университета и гимназии. Повлияли на это и беседы в 1611-
1616 гг. с Лейбницем и переписка с немецким философом и мате-
матиком Христианом Вольфом (Christian Wolf, 1679-1754)3\ От-

Х)Андрей Данилович (Henri Farquharson, 1675-1739). С 1715 г. профессор
Морской Академии в Санкт-Петербурге.

2)Интересно отметить, что сам Петр I, как и А.Меньшиков, был избран
членом Королевского научного общества по рекомендации И.Ньютона, а в
1720 г. избран членом Парижской Академии.

3)в Марбурге, где преподавал X.Вольф, в число его слушателей входил и
М.В.Ломоносов.
метим, что по совету X.Вольфа Петр I приглашает в Петербур-
гскую Академию в качестве профессоров преимущественно моло-
дых людей. Первым академиком Петербургской академии станов-
ится швейцарский математик Яков Герман (Jacob Hermann, 1678-
1733). Он разрабатывал аналитическую геометрию в пространст-
ве, изучал кривые на сфере. В России он первый стал занимать-
ся историей математики. Осенью 1726 г. после смерти Петра I в
Санкт-Петербург приезжают Христиан Гольдбах (Christian Gold-
bach, 1690-1764), Николай II Бернулли (Nikolaus Bernoulli, 1695-
1726), Данилл I Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700-1782), выдающий-
ся французский астроном Ж.Н.Делиль (J.Delil, 1688-1788), мате-
матик и физик Георг Бернхард Бильфингер (Georg Bilfinger, 1693-
1750), проработавший в Петербурге с 1725 по 1730 г., геометр Фри-
дрих Христофор Майер (Friedrich Christoph Mayer, 1697-1729) Д В
мае 1727 г. к ним присоединились Л.Эйлер, а в 1729г. - математик
и физик Георг Крафт (Georg Wolfgang Kraft, 1701-1754)* 2) и астр-
оном и математик Х.Н.Винсгейм (Winnsheim, 1654-1751).

В 1736 г. приезжает астроном и географ Г.Гейнзиус (1709-1769).
Практическая работа Академии наук была сосредоточена в знач-
ительной мере на составлении карт Империи, потребностях артил-
лерии в изучении траектории бросаемых тел при различных усло-
виях сопротивления среды, проблеме построения оптических инст-
рументов для ориентировки в открытом море. Во всех этих прак-
тических работах принимали участие почти все члены Академии
Наук. В 1755 г. по инициативе3) графа П.И.Шувалова (1710-1762)
указом Императрицы Елизаветы Петровны (1709-1761) был от-

Несмотря на очень короткую жизнь, он успел в Петербурге опубликовать
14 статей по астрономии и тригонометрии.

2^Он ввел термин “полярного уравнения” в 1732-1733 гг., т.е. уравнения в
полярных координатах.

3) Петр Иванович Шувалов был автором и инициатором многих экономиче-
ских и военных преобразований в России: в частности, уничтожение внутрен-
них таможен, учреждение банков и т.д. М.В.Ломоносов (1711-1765) неоднок-
ратно помогал ему советами.
крыт Московский университет, а в 1773 г. уже по указу Екатерины
II (1729 - 1796) — Горный институт в Санкт-Петербурге. В конце
XVIII века в Санкт-Петербурге на базе учительской семинарии
был открыт педагогический институт, приравненный в 1797 г.
по указу Павла I (1754-1801) к университету, открыты в 1798 г.
Медико-хирургические Академии в Москве и Санкт-Петербурге.

Хуже дело обстояло с университетами. Из-за отсутствия сту-
дентов в 1783 г. был закрыт Санкт-Петербургский университет, а
в Московском университете в 1768 г. на медицинском факультете
оставался только 1 студент. Математика в Московском универс-
итете преподавалась в XVIII веке на очень низком уровне кроме
арифметики, преподавались лишь начала алгебры и геометрии с
элементами тригонометрии.

Фактически математика в России в XVIII веке развивалась
только силами членов Академии Наук - Л.Эйлера и его ученик-
ов: Котельникова С.К. (1723-1807), Румовского С.Я. (1724-1812),
Фусса Н.И. (1755-1826), Шуберта Ф.И.. (1758-1825), Лекселя А.И.’
(1740-1784) - из которых последние трое были приглашены из-за
границы: Фусс Н.И. - из Швейцарии, Шуберт Ф.И. из Германии
(перехал в Россию в 1783 г.), Лексель А.И. из Швейцарии в 1768
году.

При этом Румовский С.Я. Шуберт Ф.И. и Лексель А.И.
основные труды посвятили астрономий. Лишь Семен Кириллович
Котельников занимался механикой и геометрией и является авто-
ром первого учебника в России по механике, изданного в 1774 г.,
и первого учебного пособия по геодезии1^, изданного в 1766 году.
Что касается Николая Ивановича Фусса, то его основные труды
относятся к сферической геометрии и тригонометрии, геометрии
кривых и вопросам интегрирования дифференциальных уравне-
ний.

^Эта книга “Молодой геодет или первые основания геодезии” была, в ча-
стности, у отца Н.И.Лобачевского геодета Ивана Максимовича Лобачевского
(1771-1800).
Причина такого положения крылась прежде всего в отсутст-
вии начального образования широких слоев населения. Это по-
нимали многие русские деятели второй половины XVIII века. По
инициативе Ивана Ивановича Бецкого (1704-1795) в Россию в 1782
г. для организации школьной реформы был приглашен из Австрии
Ф.И.Янкович де Мириево1) (1741-1814), который ранее успешно
осуществил такую реформу в Австрии.

В первую очередь для подготовки учителей математики в 1783
г. была создана в Санкт-Петербурге учительская семинария, пре-
образованная позже в учительскую гимназию, а с 1797 г. в
педагогический институт. По уставу 1786 г. в губернских горо-
дах были открыты четырехклассные, а в уездных городах двух-
классные училища2^. Для этих училищ были изданы в 1783 году
Руководства, в частности, по арифметике, в двух частях: пер-
вая часть Стефана Вуяновского, помощника Ф.И.Янковича, а вто-
рая - М.Е.Головина (1756-1790), племянника М.В.Ломоносова. От-
метим, что и ранее, кроме переизданий “Арифметики” Л.Ф.Маг-
ницкого, в России появлялись учебники по начальному математи-
ческому образованию3)

После смерти в 1796 г. Екатерины II вокруг ее внука Александ-
ра I (1777-1825) группируется кружок молодых реформаторов4) во

1)Серб по национальности Янкович принял русское подданство и стал Фе-
дором Ивановичем.

2)До этого с 1715 г. по 1741 г. в России существовали цифирные школы,
подчиненные Адмиралтейской Коллегии. В лучшие годы насчитывалось 42
школы. Они были слиты с гарнизонными школами, учреждеными в 1737 г.

3>В 1757 г. появилась “Универсальная арифметика” Николая Григорьевича
Курганова профессора Морского корпуса (сейчас Высшее военно-морское
училище им. М.В.Фрунзе); в 1764 г. - “Арифметика предложения” Якова Пав-
ловича Козельского (1728-1793) - преподавателя Инженерно-артиллерийской
школы Санкт-Петербурга; в 1764 г. “Теоретическая и практическая ари-
фметика” Дмитрия Сергеевича Аничкова (1733-1788) преподавателя гим-
назии при Московском университете.

4)Входили в него граф Виктор Кочубей (1768-1834), граф Павел Строганов
(1772-1817) и граф Николай Новосильцев (1761-1833).
главе с князем Адамом Чарторыйским (1770-1861). В числе пер-
вых будущих реформ они предлагали создание Министерства
Просвещения, которое и было образовано в 1802 г., выработку
Нового университетского устава, принятого в 1804 г., организацию
в университетах, кроме традиционных трех факультетов: юриди-
ческого, филологического и медицинского, - физико-математичес-
ких факультетов. С 1803 г. к этой группе реформаторов примы-
кает Михаил Михайлович Сперанский (1772-1839), который выдви-
гается вскоре на первый план, из-за чего часто эти реформы
называют реформами Сперанского.

В 1804 г. открывают университеты в Харькове и Казани1) В
1819 г. восстанавливают университет в Санкт-Петербурге. Нако-
нец в 1834 г. открывают университет в Киеве. Но еще раньше в
1802 г. в Дерпте (ныне Тарту) был открыт университет с препода-
ванием на немецком языке. В 1803 г. в Вильне на базе иезуитской
академии, существовавшей с 1578 г., был организован Виленский
университет.

7.3. XIX век - математика в России
становится плодоносной ветвью

В 1805 г. под руководством астронома, академика Ф.И.Шубер-
та2), принявшего русское подданство, была произведена первая в
России магнитная съемка по маршруту Санкт-Петербург-Казань-
Тобольск-Иркутск. Им же было издано “Руководство к астро-
номическим наблюдениям” в 1803 г. Кстати, ранее в 1788-89 гг.
Ф.И.Шуберт ввел термин “конформная проекция” В 1810 г. ака-
демик Петербургской Академии Наук Василий Иванович Виско-

х)Уже к 1758 г. в Казани была открыта гимназия в помощь Московскому
университету.

2)ф.И.Шуберт (Friedrich Schubert, 1758-1825) дед по матери С.В.Ко-
валевской.
ватов (1780-1812) впервые вводит на русском языке термин “про-
изводная” Если говорить о научной терминологии на русском
языке, то важную роль в ее распространении сыграла “Ручная
математическая энциклопедия” в 13 томах, из которых 7 томов
посвящены математике. Энциклопедия была выпущена в 1826-
1837 гг. в Москве Дмитрием Матвеевичем Перевощиковым (1788-
1880), ставшим в 1855 г. академиком Петербургской Академии
Наук.

В 1820 г. профессор Иоганн Бартельс переезжает из Казани в
Дерпт и остается там профессором университета до самой смерти
(1837 г.). В 1833 г. он выпускает там первый том учебника по мате-
матическому анализу1) - тогда бесспорно лучший учебник в Евр-
опе. Для высших технических школ России прекрасные учебники
по математике и механике выпускает принявший русское подда-
нство Пьер Доминик Базен (Pierr Dominique Bazaine, 1786-1838),
он же Петр Петрович - математик, механик, инженер, профессор
с 1824 по 1834 г. Петербургского института корпуса инженеров
путей сообщений.

В 1828 г. из Франции возвратился Михаил Васильевич Острог-
радский (1801-1861), где, после учебы в Харьковском университе-
те в 1817-20 годах, дополнительно слушал лекции О.Коши, П.Лап-
ласа, Ж.Фурье, С.Пуассона, А.Ампера (Andre Ampere, 1775-1836).
Вместе с более молодым Виктором Яковлевичем Буняковским
(1804-1889) - получившим образование в Париже - они становятся
горячими поборниками французской математической школы, с ее
направленностью на решение конкретных жизненных задач, с ее
рационализмом. Отсюда кроется определенная настороженность к
результатом Н.И.Лобачевского, которого считали “немецким” иде-
алистом.

В.Я.Буняковский в 1846 г. выпускает “Основания математи-
ческой теории вероятностей”, где дается как изложение теории

Интересная деталь: Министерство Просвещения России обязало все гим-
назии иметь не менее 1 экземпляра этого учебника.
вероятностей, так и приложения к страхованию, демографии,
статистике народонаселения, организации пенсионных касс. Го-
воря о В.Я.Буняковском, полезно вспомнить, что в 1859 г. в т. 1
№9 на французском языке1) было опубликовано неравенство (для
функций интегрируемых с квадратом на [а, 6]):

Opb \ пЬ рЬ

' f(x)g(x)dx\ / f2(x)dx / g2(x)dx. (7.1)
а / Ja Ja

Разумеется, это неравенство аналогично алгебраическому нераве-
нству О.Коши (1821 г.): для любых a^bi G R, i := 1,... ,n

П \ П п

^akbkj С ^4 ^к. (7.2)

/ Jt=l fc-1

Что же касается Г.А.Шварца (Hermann A.Schwarz, 1843-1921)
немецкого специалиста по конформным отображениям и мини-
мальным поверхностям, то думается, что он никогда и не пре-
тендовал на приоритет Буняковского и переоткрыл в 1875 г. это
неравенство2) Михаил Васильевич Остроградский в 1830 г. получ-
ил звание академика по прикладной математике. В 1834 г. он
получил известную формулу кратного интегрирования. Его ис-
следования касались: распространения тепла, теории удара, бал-
листики, небесной механики, теории приближенных вычислений,
теории тестирования. М.В. Остроградский холодно относился к
неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевского, но поддерживал его

1)Memoirtes de Г Academic des Sciences de St.-Petersbourg.

2)Ныне неравенство О.Коши и В.Я.Буняковского объединены в одно нера-
венство для билинейных форм в предгильбертовых пространствах, которое
в англоязычных странах названо неравенством Шварца, а во франкоязыч-
ных Коши-Шварца. В нормированных пространствах неравенство Коши-
Буняковского будет частным случаем неравенства Гёльдера (Otto Holder.
1859-1937).
работы вне геометрии: по теории происхождения солнечной коро-
ны, по методу приближенного решения уравнений (“метод Лобаче-
вского”), “О сходимости бесконечных рядов” 1841 года и др. М.В.
Остроградский, как и В.Я.Буняковский, преподавали в разных
технических и военных вузах, главном педагогическом институ-
те1) и лишь изредка в Санкт-Петербургском университете.

Нет нужды говорить о сильном влиянии М.В. Остроградско-
го и В.Я.Буняковского на уровень математического преподава-
ния в высших учебных заведениях России, а не только Санкт-
Петербурга. Об этом вспоминал в одной из своих публичных лекц-
ий в 1864 г. выходец из Моравии, получивший образование в Вене,
приехавший на работу в Казанский университет и оставшийся в
России Николай Дмитриевич Брашман (1796-1866), с 1834 г. про-
фессор Московского университета, в 1864 г. один из основателей
Московского математического общества и в 1866 г. - журнала “Ма-
тематический сборник” Отметим, что Петербургское математиче-
ское общество возникло только в 1890 г. и его первым председате-
лем был Пафнутий Львович Чебышев.

О П.Л.Чебышеве мы уже вспоминали в VI главе. Появление
этой звезды первой величины на математическом небосклоне бы-
ло конечно не случайно. Кстати о звездах. Василий Яковлевич
Струве, родившийся в 1793 г. в Германии, учился в Дерптском ун-
иверситете, потом стажировался по астрономии у Гаусса. К 1833
г. он стал членом комиссии по строительству Пулковской обсер-
ватории, а в 1839-1862 гг. был ее первым директором. В 1827 г.
он публикует каталог двойных и кратных звезд, из которых 2343
были открыты им самим. После смерти своего тестя профессо-
ра И.Бартельса издает его конспект II тома по математическому
анализу.

Алексей Иванович Маюров (Майров) (1780-1848), с 1815 г. чл.
корр. Петербургской Академии Наук, занимался приложениями

^Ныне Российский государственный педагогический университет им.
А.И.Герцена в Санкт-Петербурге.
анализа и алгебры к геометрии. Ученик Н.И. Лобачевского Алек-
сандр Федорович Попов, профессор Казанского университета и
чл.корр. Петербургской Академии Наук, занимался математическ-
ой физикой и математическим анализом. Выпускник Московско-
го университета, работавший в Санкт-Петербурге Николай Ни-
колаевич Алексеев (1827-1881) получил серьезные результаты по
теории эллиптических функций, дифференциальным уравнениям,
именно в момент расцвета таланта П.Л.Чебышева.

После переезда из Москвы в 1847 г. в Санкт-Петербург П.Л.
Чебышев защищает в 1849 г. докторскую диссертацию “Теория
сравнений”, удостоенную в том же году Демидовской премии1)

В 1849-52 гг. П.Л.Чебышев обращается к проблеме распреде-
ления простых чисел. Он впервые доказал, что функция тг(т)
равная числу простых чисел не превосходящих т, удовлетворяет
неравенству:

а-— < я(я) < Ь-—, (7.3)

ШТ In X

где а < 1, b > 1. П.Л.Чебышев дает оценку: а « 0.921, b = 1.06.

К теории вероятностей П.Л.Чебышев обращался несколько раз.
Им был доказан закон больших чисел в весьма общей форме.
Теория машин и механизмов также интересовала П.Л.Чебышева.
Поскольку Россия гигантская страна, то имеющиеся карты су-
щественно искажали ее края. П.Л.Чебышев ставит в работе 1856
года “О построении географических карт” задачу отыскания такой
картографической проекции, чтобы наибольшее различие масшта-
бов в разных точках карты было наименьшим, при этом подобие
в малых частях должно сохраниться. Решил эту задачу его учен-
ик Дмитрий Александрович Граве (1863-1939), будущий создатель
Киевской алгебраической школы.

Среди учеников П.Л.Чебышева почему-то забывают Юлиана
Васильевича Сохоцкого (Julian Sochocki, 1842-1927), который под

^Деньги П.Л. Чебышев вкладывает в “банное” дело, став к концу жизни
крупнейшим владельцем бань в Санкт-Петербурге.
руководством П.Л.Чебышева защитил в 1867 г. диссертацию, оп-
убликованную в 1868 г. Из нее в математический обиход вошла
теорема: если z0 изолированная точка1) аналитической2) функ-
ции f(z), такая, что не существует конечного или бесконечного
lira /(z), то для любого комплексного числа v (а также v = оо)
z—»Zo

существует такая последовательность (zn)^L1; что zn —> z0 при
п —> оо и lim f(zn) = v.
п—*оо

В 1893 г. появляется выдающееся исследование М.В.Сохоцкого
по теории алгебраических чисел. Поэтому не случайно при созда-
нии в 1890 году Петербургского математического общества Ю.В.
Сохоцкий становится заместителем председателя, а с 1892 г. по
1914 г. его избирают председателем3)

Несколько слов еще о трех учениках П.Л. Чебышева. Александр
Николаевич Коркин (1837-1908), с 1868 г. профессор Петербург-
ского университета. Кроме работ по теории интегрирования урав-
нений с частными производными, он вместе с Егором Ивановичем
Золотаревым4) (1847-1878) в процессе изучения минимума поло-
жительных квадратичных форм, получил в 1871-1972 гг. точное
значение плотности решетчатой укладки единичного шара Кп для
п = 4 и п = 55).

Существенное продвижение в проблеме укладок шаров полу-
чил в 1908 г. один из последних учеников П.Л.Чебышева Геор-
гий Федосьевич Вороной (1868-1908), окончивший Петербургский
университет в 1889 г. Вороной Г.Ф. построил специальный мно-

^Например, если /(z) = sin —Ц-, a z0 = b.

z — Ь

2)В западных учебниках эта теорема носит название теоремы
Вейерштрасса-Казорати-Сохоцкого. Казорати (Felice Casorati, 1835-1890)
получил эту теорему в том же году, что и Ю.В.Сохоцкий. К.Вейерштрасс
опубликовал ее в 1876 г.

3)Ю.В.Сохоцкий умер в Ленинграде в декабре 1927 г. и похоронен там же
на Новодевичьем кладбище.

4)С 1876 г. профессор Петербургского университета.

5)Для п = 3 оценку получил К.Гаусс в 1831 г.
гогранник “многогранник Вороного” Последние 10 лет жизни
Г.Ф.Вороной преподавал в Варшаве, где написал свыше 70 работ.
Его работа “Об одной задаче из теории асимптотических функций”
явилась началом современной аналитической теории чисел.

Особо следует сказать еще о трех учениках П.Л.Чебышева: об
Андрее Андреевиче Маркове (1836-1922), Александре Михайло-
виче Ляпунове (1857-1918) и Константине Александровиче Поссе
(1847-1928).

А.А.Марков окончил Петербургский университет в 1878 г. со
степенью кандидата. Он писал работы по применению непрерыв-
ных дробей и интегрированию дифференциальных уравнений, о
бинарных квадратичных формах, завершил доказательство цент-
ральной предельной теоремы, исследовал стохастические процес-
сы - названные по предложению Ж.Адамара (Hadamard Jacques,
1865-1963) марковскими. Фактически, заложил основы теории
линейных динамических систем с дискретным временем. Был
прекрасным педагогом.

А. М. Ляпу нова с детства окружала атмосфера науки - его отец
был директором астрономической обсерватории в Казанском уни-
верситете, а затем директором Демидовского лицея в Ярославле.
В 1876 г. А.М.Ляпунов поступает в Петербургский университет.
Слушает лекции П.Л.Чебышева и Ю.В.Сохоцкого1) Тематика
последующих исследований А.М.Ляпунова оказалась тесно свя-
зана с курсами их лекций. В теории вероятностей А.П.Ляпунов
применяет новый для этого раздела математики метод: метод
“характеристических функций” и доказывает центральную пре-
дельную теорему при значительно более общих условиях, чем у

1^В упоминавшейся в предисловии книге Б.В.Гнеденко допущена очевидная
неточность: вместо Сохоцкого написано: академика Сонина. Николай Яков-
левич Сонин (1849-1915) с 1872 по 1892 гг. работал профессором в Варша-
ве. Академиком он становится в 1893 г. Основные результаты получены им
по теории цилиндрических функций, теории полиномов Я.Бернулли, теории
ортогональных полиномов.
П.Л.Чебышева и А.А.Маркова. Цикл работ по математическ-
ой физике, связанных с задачей Дирихле, приводит Ляпунова
А.М. к необходимости наложения условий на граничную поверхн-
ость - эти поверхности теперь носят имя Ляпунова. Однако глав-
ная проблема вопрос о фигурах равновесия жидкой однород-
ной вращающейся массы, все частицы которой притягиваются по
закону Ньютона, оставалась нерешенной. Частично эту проблему
А.М.Ляпунов решил в своей магистерской диссертации 1884 гД

С 1902 г. А.М.Ляпунов работает в Петербурге. Революция за-
стает его на Украине, куда он выехал для лечения жены. Смерть
жены, а также известие, что в его имении крестьяне сожгли библи-
отеку, собиравшуюся не одно десятилетие, привели к трагической
развязке. Он стреляет в себя. Это будет не последняя жертва Рев-
олюции среди математиков.

К.А.Поссе с 1883 г. становится профессором Петербургского
университета. Основные исследования это приближенное вы-
числение определенных интегралов, ортогональные функции. Его
“Курс дифференциального и интегрального исчисления” 1903 г.
был почти треть века широко распространен в России. Он же в
1914 г. перевел с немецкого и снабдил дополнениями прекрасный
“Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бе-
сконечно малых” Эрнесто Чезаро (Ernesto Cesaro, 1859-1906).

Хотя Софья Васильевна Ковалевская (1850-1891) и формально,
и фактически не была ученицей П.Л.Чебышева, но именно он до-
бился внесения изменений в устав Петербургской Академии Наук,
чтобы С.В.Ковалевская могла стать ее членом-корреспондентом.

Училась Софья Корвин-Круковская дома. Ее отец, по происхо-
ждению поляк, выписал ей учителя математики Малевича, кото-
рый учил ее в течение 10 лет. Позже она брала еще уроки по
высшей математике в Петербурге у А.Н.Страннолюбского. После
отъезда в Германию, оформив фиктивный брак с Владимиром Он-

0 А.Пуанкаре получил часть этих результатов позже и основывались они
на гениальных, но интуитивных догадках.
уфриевичем Ковалевским (1842-1883) - будущим основоположн-
иком эволюционной палеонтологии, слушает лекции в Гейдельбер-
ге, а с 1870 по 1874 гг. учится приватно1) у К.Вейерштрасса. В 1874
г. за работу “К теории дифференциальных уравнений”, где получе-
ны теорема о существовании решений нормальной системы урав-
нений с частными производными - теорема Коши-Ковалевской
и две другие, Геттингенский университет, по представлению К.
Вейерштрасса присудил ей заочно степень доктора философии.
Вернувшись в Россию, С.В.Ковалевская сталкивается с проблемой
трудоустройства при нехватке квалифицированных математи-
ков женщин на работу преподавателями не брали. Почти на 10
лет у С.В.Ковалевской наступает перерыв в научной работе. В
этот период ее фиктивный брак с В.О.Ковалевским становится
настоящим. У нее рождается дочь Соня2).

С.В.Ковалевская сотрудничает с газетами, пишет книги. В 1883
г. ее муж, вложивший состояние в нефтяные акции, разоряется и
кончает жизнь самоубийством. При содействии Г. Миттаг-Лефлера
(Gosta Mittag-Laffler, 1846-1927) — еще одного ученика К.Вейерш-
трасса, С.В.Ковалевская получает в 1883 г. должность приват-
доцента, а с 1884 г. - профессора Стокгольмского университета. В
1888 г. за работу “Задача о вращении твердого тела вокруг непод-
вижной точки” получает премию Парижской Академии Наук. Год
спустя за вторую работу на эту тему она получает премию Шве-
дской Академии Наук. Ей предлагают и место академика при усл-
овии перехода в шведское подданство, но она сохраняет русское
подданство.

В 1889 г. после внесения изменений в устав Петербургской Ака-
демии Наук, по представлению П.Л.Чебышева и В.Я.Буняковского
- в то время вице-президента Петербургской Академии Наук, - и

Берлинском университете учиться женщины тогда не имели права.
Уроки у К.Вейерштрасса оплачивал отец, генерал-лейтенант артиллерии
В.В.Корвин-Круковский (1801-1875).

2)С.В.Ковалевская (1878-1952), врач по образованию.
академика Василия Григорьевича Имшенецкого (1832-1892), одно-
го из основателей в 1879 г. Харьковского математического общест-
ва, математика и механика, специалиста по теории дифференциал-
ьных уравнений с частными производными С.В.Ковалевская
избирается чл.-корреспондентом Петербургской Академии Наук.
В расцвете творческих сил и планов, она простудившись в Генуе,
умирает от воспаления легких в феврале 1891 года.

В возрасте 40 лет умирает и первый российский ученый, чи-
тавший лекции по математической логике, Платон Сергеевич По-
рецкий (1846-1907). В 1876-89 гг. он работал в Казанском уни-

верситете.

В 1911 году Николай Егорович Жуковский (1847-1921) впер-
вые использовал отображение комплексной плоскости - (“функцию

Жуковского” - рациональную функцию комплексного переменно-

го вида: A(z) =
крыла самолета.

для построения изучения профиля

В том же самом году Дмитрий Федорович Егоров (1869-1931)
публикует свою знаменитую теорему о последовательности изме-
римых функций, почти всюду сходящихся на данном отрезке, оп-
ределившую направление развития теории функции действител-
ьной переменной на всю первую половину XX столетия.

Еще перед Первой мировой войной Сергеем Алексеевичем
Чаплыгиным (1869-1942) был разработан метод приближенного
решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциал-
ьных уравнений первого порядка, состоящий в одновременном
построении двух семейств последовательных приближений к ее
решению. Позже этот метод широко применялся в гидро- и аэро-

динамике.

В 1915 г. Борис Григорьевич Галеркин (1871-1945) применил
к задачам упругости проекционный метод, который нашел ши-
рочайшее применение как в функциональном анализе, тогда
только строившемся, так и в математической физике, в вариацион-
ном исчислении, теоретической механике.

В том же 1915 году Николай Николаевич Лузин (1883-1950)
защищает диссертацию “Интеграл и тригонометрический ряд”, в
которой содержатся результаты, определившие развитие метриче-
ской теории функций на долгие годы. Тогда же у Лузина зароди-
лись и оформились идеи дескриптивной теории функций.

В 1917 г. в возрасте 23 лет Михаилом Яковлевичем Суслиным
(1894-1919) было сделано выдающееся открытие в теории мно-
жеств. Он опубликовал заметку о существовании 4-множества,
не являющегося борелевским. Период до 1917 года это был
период, когда в Москве с 1915 г. интенсивно работали вместе
В.Серпинский1) и Николай Николаевич Лузин (1883-1950). Учени-
ком последнего и был М.Я.Суслин. К этой группе присоединился
в 1917 г. и Павел Сергеевич Александров (1896-1982), окончивший
в 1917 г. Московский университет, один из творцов топологии.

Революция 1917 г. и гражданская война по-разному повли-
яла на судьбы математиков. Одни, как Владимир Андреевич
Стеклов2^ (1863-1926), с 1912 г. академик Петербургской Акаде-
мии Наук, приняли революцию и сотрудничали с новой властью.
Но судьбы даже его трех известнейших учеников Я.Д.Тамаркина
(1888-1945), Александра Александровича Фридмана (1888-1925)
и Владимира Ивановича Смирнова (1887-1974) сложились совсем
по-разному. Первый в 1925 г. через Латвию эмигрировал в США и
стал там основателем американской школы специалистов по интег-
ральным уравнениям. А.А.Фридман развил в России теорию отн-
осительности А.Эйнштейна. В.И.Смирнов же стал, фактически, у
истоков успехов советской школы математической физики.

Вацлав Серпинский (Waclaw Sierpinski, 1882-1969) выдающийся пол-
ьский математик, один из создателей Варшавской математической школы.
Основные работы - по теории множеств, теории чисел, общей топологии, тео-
рии функций вещественной переменной.

2)Окончил Харьковский университет в 1887 г., где работал до 1906 г. Ученик
А.М. Ляпунова, он с 1906 г. перешел в Петербургский университет. Основные
труды посвящены математической физике.
Одним из основателей американской школы теории чисел и ее
связей с теорией вероятностей стал и академик Яков Викторович
Успенский (1883-1947), эмигрировавший в США в 1929 г. Через
10 лет к нему присоединится Марк Кац (Маге Кас, 1914-1984),
эмигрировавший в 1938 г. из Польши.

Одним из основателей школы теоретической механики, об-
ыкновенных дифференциальных уравнений, математической фи-
зики, теории групп Ли на Балканах был эмигрировавший в 1921 г.
в Белград бывший профессор Харьковского университета, участ-
ник IV Международного математического конгресса в Риме (6-11
апреля 1908 г. он делал доклад на! секции после Ивара Фредголь-
ма (Ivar Fredholm, 1866-1927)) Николай Николаевич Салтыков
(1872-1961). Этот список можно продолжить1^

Вернемся однако к одному важному элементу развития мате-
матики проблемам преподавания. В XIX веке, а также в начале
XX века издавалось довольно много учебной литературы по мате-
матике и для вузов и для школы. В 1802 г. выходят три тома “Кур-
са математики” Тимофея Федоровича Осиповского (1765-1832),
будущего профессора и ректора Харьковского университета. Ши-
рокую известность приобрели книги профессора Морского кор-
пуса Семена Емельяновича Гурьева (1766-1813) и его сына Петра
Семеновича Гурьева (1807-1884), первого - для технических учеб-
ных заведений, а второго для школ.

Федор Иванович Буссе (1794-1854) - профессор Главного педаго-
гического института, был еще молодым выпускником этого вуза,
когда его послали в Швейцарию в институт И.Песталоцци (Johann
Pestalozzi, 1746-1827) для освоения “метода взаимного обучения”

О В 1921 г. в Праге был учрежден Союз русских академических органи-
заций за границей. На его I съезде было принято “Обращение к ученым всех
стран и всему цивилизованному миру” к которому был приложен длинный
список, убитых большевиками русских ученых, составленный профессором
А.Я.Поппеном. (Локоть Н.В. Забытые имена: Николай Николаевич Салтыков
(1872-1947) // История науки в вузе и школе. Мурм.пед.ин-т, Мурманск, 1996,
с. 14-40. )
Ф.И.Буссе играл во второй четверти XIX века руководящую ро-
ль в организации преподавания математики в разработке прог-
рамм и составлении учебников. После Ф.И.Буссе в школах России
четверть века были популярны учебники Александра Федорови-
ча Малинина (1835-1888), директора Московского учительского
института.

Нельзя не вспомнить и “Сборник арифметических задач” Васи-
лия Андриановича Евтушевского (1836-1888), преподавателя шко-
лы военного ведомства, учебников издателя журнала “Русский
народный учитель” Василия Алексеевича Латышева (1850-1912),
учебников преподавателя Воронежского реального училища, вы-
пускника Петербургского университета Андрея Петровича Кисе-
лева (1852-1940), а также учебников и руководств выдающегося
методиста, выпускника Одесского и ряда германских университе-
тов Семена Ильича Шохор-Троцкого (1853-1923).

В 1912 г. в Санкт-Петербурге открылся I Всероссийский съезд
преподавателей математики1^ Были представители всех универс-
итетов России, представители учителей всех губерний. Заинтере-
сованно обсуждались все аспекты обучения математики от началь-
ной школы до последних курсов университетов. В 1914 г. прошел
и II Всероссийский съезд преподавателей математики. Но на нем
уже ощущалось приближение грядущих катаклизмов2^

^Д-Д-Мордухай-Болтовский. О первом Всероссийском съезде преподавате-
лей математики. Варшава, 1912. 42 стр. (Дмитрий Дмитриевич Мордухай-
Болтовский (1876-1953) ученик К.А.Поссе и А.А.Маркова, занимался диф-
ференциальной и проективной геометрией, теорией чисел и др.).

^Подробнее см. Путеводитель по литературе Гушель Р.З. “Из истории ма-
тематики и математического образования", Изд-во Яросл. гос. пед.ун-та, Яр-
ославль, 1999.
7.4. Советский период истории развития
математики в России - блеск и тени

Прошло 7 лет. В.А.Стеклов обращается к новым властям
РСФСР с предложением открыть Физико-математический инсти-
тут при Академии Наук в Петрограде. Такой институт был создан
- и В. А.Стеклов стал его первым директором. В 1934 г. институт
был разделен на два (Математический и Физический) и переве-
ден в Москву. В Ленинграде осталось Ленинградское отделение
Математического института им. В.А.Стеклова - ЛОМИ.

До 1945 г. развивались математические исследования как в
старых университетских центрах - Москве, Ленинграде, Казани,
Томске, так и в новых: Горьком, Свердловске, Воронеже, Сарато-
ве. После Великой Отечественной войны к ним добавились Новос-
ибирск и Иркутск, а также закрытые “наукограды” - Дубна, Арза-
мас-16, Красноярск, Челябинск-40 и др. Потребности авиа- и ра-
кетостроения, ядерной физики привели к мощному развитию при-
кладной математики и процессов управления. В 1948г. недалеко
от Киева начинается работа над созданием первой отечественной
ЭВМ под руководством Сергея Алексеевича Лебедева (1902-1974).
25 декабря 1951 г. первая ЭВМ была введена в эксплуатацию. В
1952 г. в Институте точной механики и вычислительной техники в
Москве был закончен монтаж первой БЭСМ; ее появление вызвало
резкий рост прикладных исследований в теории оптимальных про-
цессов и в теории автоматического управления, и в изучении кор-
ректных, некорректных и промежуточных задач прикладной ма-
тематики. Математик стал широко востребован. Одновременно
математика стала частью деятельности многих научных инсти-
тутов, не говоря уже о Центральном экономико-математическом
институте АН СССР, Институте Передач Информации АН СССР
и т.д. В 1956 г. в Новосибирске было создано Сибирское отделение
АН СССР и произошло очередное перемещение математиков из
старых центров.
В их числе были: Сергей Львович Соболев (1908-2003) - один
из виднейших специалистов в области математической физики,
функционального анализа, вычислительной математики, Михаил
Алексеевич Лаврентьев (1900-1980) - видный специалист по общей
теории функций, один из творцов теории пространственных квази-
конформных отображений, без которых теперь уже трудно пред-
ставить создание современных летательных аппаратов, Анатолий
Иванович Мальцев (1909-1967) - один из выдающихся создателей
общей теории моделей, связавшей математическую логику и ал-
гебру, Александр Данилович Александров (1912-1998) - один из
выдающихся геометров XX века и многие другие.

К 1957г. математики СССР “производили” свыше 1/4 всей миро-
вой математической “продукции” С 1954 г. регулярно стал выхо-
дить “Реферативный журнал. Математика”, который вскоре мог
серьезно конкурировать с американским “Mathematical Revue”, не
говоря уже о “Zentrallblatt fur die Mathematik” Появились и новые
математические журналы: “Математические заметки”, “Диффе-
ренциальные уравнения”, “Сибирский математический журнал”,
“Известия Вузов. Математика”, “Функциональный анализ и его
приложения” и другие. Профессия математика к концу 50-х го-
дов XX столетия стала массовой, и фронт научных исследований
по математике в СССР резко расширился. Появление электронно-
вычислительной техники позволило расширить возможности ма-
тематиков, их научные горизонты. Задачи атомной и ракетной тех-
ники, космические исследования потребовали создания эффек-
тивных методов рассчетов1) Крупнейший вклад в решение этих
задач внес Мстислав Всеволодович Келдыш (1911-1978), оставив-
ший значимый след не только в прикладной математике, но и в
теории функций действительного и комплексного переменных.

Одним из основоположников современного математического моделиро-
вания и вычислительного эксперимента был Александр Андреевич Самарский
(1919-2004), чьи результаты нашли широкое применение в механике, ядерной
физике и физике плазмы.
М.В.Келдыш, как президент АН СССР, открыл 16 августа 1966
г. XV Математический Конгресс в Москве. Этот конгресс боль-
ше походил на триумф победителей, хотя были и “облачка”. Дело
в том, что в годы, предшествовавшие Математическому Конгрес-
су в Москве, наиболее сенсационные результаты в математике
были получены в математической логике, алгебраической тополо-
гии и алгебраической геометрии. Не случайно четверо награжден-
ных Филдсовской медалью в канун проведения Конгресса в Моск-
ве представляли именно эти направления. Но среди них не было
никого из СССР. Связано это было частично с “французской” рево-
люцией в алгебраической топологии в начале 50-х годов, что пов-
лекло отход от алгебраической топологии, на тот момент круп-
нейшего в СССР специалиста, - Л.С.Понтрягина, а также части
его учеников и переключения их внимания к проблемам теории
управления, теории оптимизации, теории динамических систем.
Звезда Сергея Петровича Новикова в алгебраической топологии
еще только всходила. Частично отсутствие среди награжденных
медалью Филдса математиков из СССР объяснялось и ее стату-
том она давалась лишь математикам до 40 лет, а, значит, на нее
не могли претендовать, например, выдающиеся логики и алгебра-
исты Петр Сергеевич Новиков (1901 -1975) и Анатолий Иванович
Мальцев (1909-1967). В Москву, правда, не приехал самый (в то
время) популярный французский математик Александр Гротенд-
ик, но это воспринималось как досадное недоразумение. Тем более,
что хотя профессор Мэтьюз из Великобритании познакомил уча-
стников конгресса с результатами работы математического интер-
ната имени Наффилда, а профессор Маргарет Хэймон с математи-
ческими конкурсами в Англии, всем было очевидно, что СССР в
области обучения математике в школе и в вузе пока (т.е. к 1966 г.)
не имеет себе равных в мире. Огорчало только то, что в Западных
странах в школе уже появились элементы теории вероятностей, а
в СССР таких не было, хотя оставалась надежда на их появление
в школьных программах. Отметим, что до 1917 г. в реальных уч-
илищах России элементы теории вероятностей и математической
статистики были широко представлены.

В предыдущей главе фактически много места было уделено
“блеску” советской математики. Теперь же уместно сказать и о
“тенях”.

За год до открытия Конгресса в Москве Алексей Леонов пер-
вым вышел в открытый космос, а лунная программа США еще не
реализовалась. Хотя в 1964 г. кончилась “оттепель”, но ведь 1966
г. был не 1936 годом, когда “большой террор” задел и сотни ма-
тематиков1^ Перед II мировой войной в СССР уже были пробы
гонений на математиков. Была, например, организована травля
академика Н.Н.Лузина и чл.корреспондентов АН СССР Нико-
лая Максимовича Гюнтера в Москве и Родиона Осиевича Кузьм-
ина (1891-1949) в Ленинграде.

После гражданской войны многие национальные меньшинства
бывшей Российской империи обрели возможность быстрого куль-
турного и научного развития, правда, ценой отказа от религиоз-
ной самобытности. Особенно выиграли от этого беднейшие слои
евреев, армян, татар. Впрочем, это касалось и русских. Многие
из них, получив возможность учебы в вузах Москвы и Ленингра-
да, становились математиками. Однако “дело врачей”2) незадолго
до смерти Сталина, а также еще ранее, дело Антифашистского
комитета, - привели к целенаправленному ограничению доступа
евреев в вузы, аспирантуру, научные институты. Отзвуки этой по-
литики были ощутимы и через 30 лет после этих событий и при-
вели к широкой эмиграции евреев-математиков из СССР.

Нападки и травля, отказ в приеме на работу или необоснованн-

^По анализу публикаций и цитирований один из крупнейших специалис-
тов по теории игр,профессорН.Н.Воробьев в своем докладе на научной сессии
РГПУ им. А.И.Герцена в 1994 г. утверждал сравнимость потерь математи-
ков СССР от репрессий 1935-1939 гг. с их потерями в Великой Отечественной
войне.

2)Речь идет о якобы готовившемся заговоре с целью отравления И.Сталина.
ое увольнение с работы, в основе которых лежали идеологические
установки, зачастую замешанные на антисемитизме, по разным
причинам коснулись в разные годы уже упоминавшихся выше
профессоров: В.А.Рохлина, С.Г.Михлина, а также, хотя и в мень-
шей степени, докторов физико-математических наук: тополога
М.Л.Громова, “вероятностника” А.М.Кагана, не говоря уже о де-
сятках талантливых молодых математиков, внесших существен-
ный вклад в развитие математики, но вынужденных покинуть
СССР1>.

Преследования за религиозные убеждения делали внутрен-
ними диссидентами многих, в том числе и математиков. Достат-
очно назвать только Игоря Шафаревича. Впрочем советская вла-
сть своими действиями сама плодила диссидентов. В том числе и
математиков2).

Интересно, что специализированные физико-математические
школы и интернаты в 60-80 годы XX века играли в СССР
роль, сравнимую с ролью Царскосельского лицея в России в на-
чале XIX века они воспитывали свободомыслие. Среди тех кто
открыто выступал с критикой господствовавшей в СССР комму-
нистической идеологии назовем еще только двух докторов физи-
ко-математических наук: геометра Револьта Ивановича Пименова
(1931-1990), арестованного в 1968 г. и после суда в 1970 г. сосланно-
го в г.Сыктывкар, и логика Сергея Юрьевича Маслова (1939-1982)
- основного создателя программы АЛПЕВ (Алгорифм Поиска Ес-
тественного Вывода), автора модели начальных шагов эволюции
биологического кода, руководителя “домашнего” семинара “воль-

1^Как например, логиках: М.Г.Гельфонде и В.А.Лифшице, “аналити-
ках” Ю.А.Абрамовиче, Е.Глузкине и А.А.Колдобском, “вероятностниках”:
А.Л.Рухине и Е.Б.Дынкине, топологе Я.Элиашберге, ставших известными ма-
тематиками.

2) Отметим, что два знаменитейших диссидента СССР Нобелевские лауре-
аты Андрей Дмитриевич Сахаров (1921-1989) и Александр Исаевич Солжен-
ицин (р.1919) были связаны с математикой. Первый - работами по физике, а
второй - как школьный учитель математики.
нодумцев”, трагически погибшего в 1982 г. А сколько было несог-
ласных, но “в себе”!

7.5. Вместо заключения

Несомненно события, начинавшиеся в 1985 г. в СССР, были
вызваны внутренними причинами. За распад СССР и трансфор-
мацию России в государство с рыночной экономикой наибольшую
цену пришлось заплатить интеллигенции, в том числе и матема-
тикам и учителям математики. Развития науки в России, вклю-
чая и математику, это не остановило, хотя и сильно замедли-
ло. А вот уровень математического образования в России в хо-
де трансформации существенно снизился. Развитие математики в
современной России происходит, несмотря на нищету подавляю-
щей части математиков. История Швейцарии XVIII века и Герма-
нии первой четверти XIX века показывают, что не это главное для
развития науки. Можем поэтому смотреть в будущее с некоторой
надеждой.

Надежду придают еще два обстоятельства - талантливые дети
и энтузиазм учителей математики. Еще на II Всероссийском съе-
зде преподавателей математики в 1914 г. высказывалось пожела-
ние работы с одаренными школьниками. Реализовалось это поже-
лание через 20 лет уже в Советской России.

В 1933 г. чл.-корр. АН СССР Б.Н.Делоне предложил стройную
систему работы со школьниками, основой которой должны были
стать школьные кружки и кружки в районных и городских домах
пионеров, в которых велась бы регулярная работа в течение все-
го учебного года. Олимпиады должны были подводить итог этой
работы, выявляя одаренных в научном отношении ребят, для раб-
оты с которыми должны были быть привлечены опытные педаго-
ги и ученые-математики. И с 1934 г. в Ленинграде1), а с 1935 г. в

г) Благодаря усилиям прежде всего Г.М. Фихтенгольца, а также профессоров
Москве проводились на регулярной основе школьные районные и
городские Олимпиады1^. Работа со школьниками в кружках ши-
рилась по всему СССР. Великая Отечественная война прервала
эту деятельность, но после войны математические кружки вновь
возобновили работу, а в ряде мест и не прерывали ее.

К 1960 г. в рамках школьной реформы и образования специализ-
ированных физико-математических школ, а с 1963 г. - интернатов
при Московском, Ленинградском и Новосибирском университе-
тах для одаренных детей из отдаленных сел и территорий - встал
вопрос об организации общероссийской олимпиады по математике.

1-я Всероссийская олимпиада школьников по математике про-
шла в Москве в 1961 г.2) С 1963 г. появилась Всесибирская заочная
олимпиада школьников. Позднее появились и летние математи-
ческие школы. Многие видные математики принимали активное
участие в организации и проведении олимпиад, в работе физико-
математических школ и интернатов. Однако особо следует выдел-
ить Андрея Николаевича Колмогорова. Впрочем, как он сам гов-
орил, “ без тысяч самоотверженных учителей математики были
бы невозможны никакие успехи математики в нашей стране” И
этим высказыванием нашего великого математика мне и хотелось
бы закончить эту книгу.

О.К.Житомирского и В.А.Тартаковского при активном участии Д.К.Фадеева.

О Подробнее см: 1) Александрова М.Л. Первая математическая олимпиада.
Квант, №9 (1984); 2) Леман А.А. Сборник задач Московских математических
олимпиад. М.: Просвещение, 1965; 3) Фомин Д.В. Санкт-Петербургские ма-
тематические олимпиады. СПб.: Политехника, 1994; 4) Рукшин С.Е. Мате-
матические соревнования в Ленинграде - Санкт-Петербурге. Первые 50 лет.
Ростов-на-Дону: Изд-во "Март", 2000.

2)1) Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических ол-
импиад. М.: Наука, 1986; 2) Одинец В.П. Из воспоминаний о математических
олимпиадах начала 60-х гг. // Математика в школе, №2, 1998, с.94-97.
Список иллюстраций

1.1 Площадь сегмента. 16

1.2 Неправильная призма. 16

1.3 Усеченная прямоугольная пирамида 18

2.1 Луночки Гиппократа 27

2.2 Пентаграмма 27

2.3 Три проблемы древних 28

2.4 Циссоида Диоклеса 29

2.5 Конхоидограф 30

2.6 Виды конхоиды Никомеда 31

2.7 Решение задачи трисекции угла 32

2.8 Платоновы тела 33

2.9 Икосаэдр 34

2.10 Исчерпывание отрезка [0, 1]. 36

2.11 К вычислению объема пирамиды 39

2.12 К V постулату Евклида 42

2.13 К теореме Фалеса 43

2.14 К доказательству теоремы А 45

2.15 К доказательству равенства тг и тг 45

2.16 К доказательству а) и Ь) равенства тг и тг 46

2.17 О нахождении площади поверхности шара 47

2.19 Разбиение призмы (рисунок Евклида) 48

2.18 К нахождению объема шара . 50
3.1 Дифферент и эпициклы 53
3.2 К теореме Менелая 53
3.3 Кубооктаэдр 55
3.4 К формуле площади четырехугольника, вписанного в круг 61
3.5 Доказательство Бхаскары теоремы Пифагора с пом- ощью чертежа 62
3.6 Метод Ал-Хорезми решения квадратного уравнения 65
3.7 Виды четырехугольников с тремя прямыми углами в разных геометриях 67
3.8 Сегмент параболы и параллелограмм, описанный
около него 67
3.9 Параболическая сфера и тело вращения вокруг ст- ороны параллелограмма - хорды параболы 68
3.10 Другая запись метода ал-Хорезми 72
3.11 К идее С.Ферро и Н.Тартальи 73
3.12 К теореме Коперника о движении круга 76
3.13 К второму закону Кеплера 77
3.14 К доказательству формулы (3.35) 80
3.15 Сегмент с рисунка 3.14 в увеличении 81
4.1 Построение гиперболы с помощью движения 87
4.2 Принцип Кавальери 92
4.3 Об ошибке Кавальери 93
4.4 Об условии Торричелли 94
4.5 О центре тяжести фигуры 95
4.6 Об объеме части однополостного гиперболоида 96
4.7 О площади круга 97
4.8 Об уравнении циклоиды 99
4.9 О теореме Паскаля 100
4.10 Вариационные задачи: о таутохроне и об изохроне 101
4.11 К задаче о брахистохроне 107
4.12 График цепной линии 109
4.13 К задаче о Кёнигсбергских мостах 114

5.1 Нахождение числа тг (по Бюффону) 121

5.2 К интегралу Коши комплексного анализа. 124

5.3 К построению функции Лобачевского 130

5.4 О наглядном различии геометрий. 132

5.5 Лента и лист Мёбиуса 133

5.6 Круг и лист Мёбиуса 135

6.1 О равносоставленности треугольника и прямоуголь-
ника 152

6.2 Четырехгранник, который а) нельзя составить из
прямоугольных параллелепипедов, Ь) - можно 152

6.3 К результату Дэна о кубе и тетраэдре того же объема 153

6.4 К вопросу Д.Гильберта о фундаментальных облас-

тях (XVIII проблема) 165
Предметный указатель

аксиома, 22

акузматик, 27

алгоритм

разложения любой рацио-
нальной дроби в сумму
простых дробей, 18

апория, 32

барицентрические координаты,
134

брахистохрона, 108

булевые функции, 137

вектор, 80

внутренняя геометрия много-
образий, 131

гармония, 25

геометр, 27

группа фундаментальная, 148

джаймизм, 24

дифферент, 53

доказательство, 22

если то , 23

закон взаимности, 157

запись числа

аддитивная, 10

мультипликативная, 10

субтрактивная, 10

золотое сечение, 27

измеримость по Пеано-Жордану,
40

изохрона, 100

икосаэдр, 33

интеграл Коши, 125

интерполяционный многочлен
Лагранжа, 116

конхоидограф, 30

кривая алгебраическая, 107

лист Мёбиуса, 134

логарифмическая спираль, 97

математик, 27

мера Пеано-Жордана, 40

метод Гаусса, 127

методология дедукции, 22

многообразие, 131

множитель Лагранжа, 116

момент, 106

оператор Лапласа, 120

основа счисления, 10

пентаграмма, 27

пифагорейское направление,

платоновы тела, 33

постулат, 22
постулат Лобачевского, 129

предложение, 22

принцип абстракции, 23

программа Эрлангенская, 147

радиус кривизны пространст-
ва Лобачевского, 129

система счисления
полупозиционная, 11

таутохрона, 100

теорема, 22

теорема Лагранжа, 116

титло, 184

флюксия, 105

флюэнта, 105

функция Лагранжа, 116

функция Лобачевского, 129

функция алгебраическая, 107

цепная линия, 108

циссоида, 29

число, 25

число Лиувилля, 146

число гипервещественное, 147

элеат, 32

эпицикл, 53

ядро Коши, 125
Именной указатель

Абель Н., 34,108,126,138,163

Абрамович Ю.А., 208

Абу Али ал-Хайсам, 66

Абу-ал-Вафа, 51, 64, 68

Адамар Ж. (Hadamard J.), 197

Ал-Каши, 51, 64, 67, 69, 71, 82

Александр Великий Македо-
нский, 41, 60

Александров А.Д., 6, 177, 205

Александров П.С., 172, 201

Александрова М.Л., 210

Алексеев Н.Н. 195

Алексюк В.Н., 2, 6

Алфорс Л. (Ahlfors L.V.), 180

Аль-Хорезми М., 64, 65, 71

Анаксагор, 33

Аничков Д.М., 190

Анфимий, 55

Аполлон, 28

Аполлоний, 44, 52

Аппель К. (Appel K.I.), 6, 179

Ариабхата I, 61

Аристарх, 52

Аристотель, 21, 32, 34, 55, 80,
95, 96

Арнольд В.И., 107, 160, 161,
163, 175

Артин Э. (Artin Е.), 157, 164

Архимед, 21, 35, 38, 41, 44, 46-
48, 55, 70, 93, 146

Архит Таренский, 29

Атья М. (Atiyah F.M.), 181

Ахмес, 17, 19, 57

Ашкинузе В.Г. 55

Базен П.Д., 192

Байес Т. 121

Банах С. (Banach S.), 170, 172

Барнетт Д. (Barnett D.), 177

Барроу И. (Barrow I.), 94, 95,
100, 101, 104-107

Бартельс И. (Bartels J.), 128,
130, 192, 194

Баше де Мезирак К. (Bachet
de Mezirak С.), 90

Безу Э. (Bezout Е.), 127

Бельтрами Е. (Beltrami Е.),
130

Берж К. (Berge С.), 176

Берман Г.Н., 100

Бернулли Д. (Bernoulli D.),
109, 112-114, 188

Бернулли И. (Bernoulli J.), 108—
111, 127, 141

Бернулли Н., 108, 109, 112

Бернулли Н. П. (Bernoulli N.

П), 188

Бернулли Я. (Bernoulli J.), 108,
197

Бернштейн С.Н., 145,154,167,
175

Бертолле К. (Berthollet С.),
133

Бессель Ф. (Bessel F.), 122

Бецкой И.И., 190

Бибербах Л. (Bieberbach L.),
165

Бильфингер Г.Б. (Bilfinger G.),
188

Биркгоф Г. (Birkhoff G.), 154

Бляшке В. (Blaschke W.), 135

Боллобаш Б. (Bolobas В.), 176,
182

Больцано Б. (Bolzano В.), 140

Бомбелли Р. (Bombelli R.1),
75, 90

Бомбьери Э. (Bomberi Е.), 181

Борель Э. (Borel Е.), 150, 162

Борсук К. (Borsuk К.), 6, 172,
177

Бояи Ф. (Bolyai F.), 130

Бояи Я. (Bolyai J.), 124, 128,
130, 131

Браге Т. (Brahe Т.), 76

Брауер Я. (Brouwer E.J.), 153

Брахмагупта, 61, 62, 82

Брашман Н.Д., 194

Бригс Г. (Briggs Н.), 79

Брунн X. (Brunn Н.), 177

Брюначчи (Brunacci), 166

Брюс Я., 187

Будда (Siddharta Gautama),
24

Буль Д. (Bool J.), 137, 138

Буняковский В.Я., 192-194,
199

Бураго Ю.Д., 115

Бурбаки Н. (Burbaki N.), 91

Буссе Ф.И., 202, 203

Бхаскара, 60-62, 64

Бэкер A. (Baker А.), 181

Бэр Р. (Baire R.), 150

Бюрги И. (Burgi Jost), 79

Бюффон Г. (Buffon G.), 121

Вагдхаман Махавара, 24

Вальрас Л. (Walras L.), 178

Ван Схоотен Ф. (van Schooten

F.), 87, 89, 99

Ван Фань, 59

Ван дер Варден Л. (Bartel van
der Waerden), 161

Ванг, 157

Вандермонд A. (Vandermonde
А.), 127

Ванцель П. (P.Wantzel), 34

Варинг (Waring Е.), 174

Васильев Н.Б., 210

Вейерштрасс К. (Weierstras К.),
138-140, 142, 196, 199

Вейль A. (Weil А.), 91, 162

Вейль Г. (Weil Н.), 136, 154

Венслав В. (We§slaw W.), 128

Венслав В. (We§slaw W.), 6

Вершик А.М., 175

Весио Э. (Wessio Е.), 178

Виет Ф. (Viete F.), 77, 78, 83
Вилкас Э. (Vilkas Е.), 176

Виллеборд Снелл, 88

Виле Э. (Wils А.), 91

Винер Н. (Wiener N.), 173

Виноградов И.М., 157

Винсгейм Х.Н. (Winnsheim С.),
188

Виро О.Я. 163

Висковатов В.И., 192

Витт Э. (Witt Е.), 159

Вольф X. (Wolf С.), 187

Воробьев Н.Н., 6, 176, 207

Вороной Г.Ф., 196, 197

Востоков С.В., 158

Вулих Б.З., 170

Вуяновский С., 190

Гёдель К. (Godel К.), 151, 169

Гёльдер О. (Holder О.), 193

Галеркин Б.Г. 200

Галилей Г. (Galileo G.), 80, 81,
94, 100

Галуа Э. (Galois Е.), 34, 126,
178

Гамильтон У. (Hamilton W.),
136, 163, 179

Гаусс К., 54, 57, 92, 122-124,
127, 128, 130, 131, 157,
196

Гейзенус Г., 188

Гельфанд И.М. 170

Гельфонд А.О. 113, 155, 156

Гельфонд М.Г. 208

Герман Я. (Hermann J.), 188

Геродот, 8

Герои Александрийский (Heron),
52

Герцен А.И., 207

Гефлейш И., 70

Гильберт Д. (Hilbert D.), 6,
40, 91, 136, 137, 145,
150-166, 168, 177

Гипатия, 54

Гиппарх, 52

Гиппократ Хиосский, 26, 55

Глиссон A. (Gleason А.), 154

Глузкин Е., 208

Гнеденко Б.В., 5, 174, 197, 229

Голенищев В.С., 17

Головин М.Е. 190

Голузин И.В. 185

Гольдбах X. (Goldbach Ch.),
ИЗ, 156, 157, 188

Гольцман-Кейландер В. 90

Гонзов Г., 185

Горнер В. (Horner W 1786-
1837), 58

Грассман Г. (Grassmann Н.),
127, 135

Грегори Дж. (Gregory J.), 64,
104, ПО, 111

Греч Н., 31

Громов М.Л., 208

Гротендик A. (Grottendieck А.),
162, 181, 206

Грюнбаум Б. (Grunbaum В.),
177
Гудерман X., 139

Гук Р. (Hook R.), 107

Гумбольдт A. (Humboldt А.),
139

Гунтер Э. (Gunter Е.), 80

Гурьев С.Е., 202

Гурьев П.С., 202

Гутенберг И. (Gutenberg G.—

Genfleisch J.), 70

Гушель Р.З., 203

Гюйгенс X. (Haygens Ch.), 85,
89, 99, 100, 104, 107

Гюнтер Н.М., 207

Д’Аламбер (d’Alambert J.), 115,
119

Данжуа A. (Denjoi А.), 170

Де Мере (кавалер), 98

Де Мопертюи П. (Maupertuis

Р.), 112

Дедекинд Р. (Dedekind R.),
37, 140, 146

Дезарг Ж. (Desargues G.), 99

Декарт Р (Descartes R.), 85-

90, 104, 106, 108, 117

Дел иль Ж.Н., 188

Делоне Б.Н., 166, 209

Дель Ферро С. (Ferro S.del),
71, 73, 74

Демокрит, 86

Део Н. (Deo N.), 176

Депман И. Я., 229

Джеймс Р (James R.), 170,

171

Диоклес, 29

Диофант, 53, 54, 82, 90

Дирихле П. (Dirichlet Р.), 167

Добечи И. (Daubechies L), 171

Дороднов А.В., 26

Дранг Д., 98

Дуглас Дж. (Douglas J.), 180

Дынкин Е.Б., 208

Дэвис М. (Davis М.), 158

Дэн М. (Dehn М.), 40, 152

Дюбуа-Раймон П. (Du Bois-

Reymond Р.), 139

Евдокс, 21, 35-37, 140

Евклид, 21, 35, 36, 38, 40-44,
49, 55, 67, 129

Евтушевский В.А. 203

Егоров А.А. 210

Егоров Д.Ф., 200

Екатерина II, 189, 190

Елизавета Петровна (Импе-
ратрица), 188

Житомирский О.К., 210

Жордан К. (Jordan С.), 40,
122, 145, 150

Жуковский Н.Е., 200

Залгаллер В.А. 55, 177

Земанек Я. (Zemanek J.), 182

Зенон, 32

Зиппин Л. (Zippin L.), 154

Золотарев Е.И. 196

Ибн ал-Хайсам, 68, 82
Иван III, 185

Игорь (князь), 184

Имшенецкий В.Г., 200

Исаков В.Н., 111

Исидор, 55

Кавальери Б. (Cavalieri В.),
48, 85, 89, 93, 94, 96,
97, 100

Каган А.М., 208

Кази-заде ал-Руми, 71

Казорати Ф. (Casorati F.), 196

Кантор Г. (Cantor G.), 119,
136,138,140,142,144-
147

Канторович Л.В., 170, 178

Капелли A. (Capelli А.), 142

Кардано Д. (Cardano G.), 74,
75, 113

Карл II, 105

Карлин С. (Karlin S.), 176

Картан Э. (Cartan Е.), 153

Келдыш Л.В. 180

Келдыш М.В., 205, 206

Кеплер И. (Kepler J.), 76, 90,
103, 106

Кирик Новгородец, 185

Киселев А.А., 6

Киселев А.П., 203

Клебш A. (Clebsch А.), 162

Клейн Ф., 130, 137, 146, 147,
162

Клеро A. (Clairaut А.), 116

Клюге (Kluge), 9

Кнорозов Ю.В., 13

Ковалевская С.В., 191, 198-
200

Ковалевский В.О., 199

Кодаира К. (Kodaira К.), 181

Козельский Я.П., 190

Колдобский А.А., 208

Коллатц Л. (Collatz L.), 172

Колмогоров А.Н., 5, 83, 155,
160, 161, 173, 175, 210,
229

Колумб, 59

Конфуций, 24

Коперник Н. (Kopernik М.),
75, 77

Корвин-Круковский В.В., 199

Кордас М. (Kordas М.), 230

Коркин А.Н., 196

Котельников С.К., 189

Кочубей В.П., 190

Коши О. (Cauchy А.), 124-
126, 192, 193, 199

Коэбе П. (Koebe Р.), 168

Коэн П. (Cohen P.J.), 6, 145,
151, 181

Крамер X. (Cramer Н.), 174

Красовский Н.Н., 176

Крафт Г. (Craft G.), 188

Крашенников С.П., 8

Крейн М.Г., 170

Крейн С.Г., 170

Кронекер Л. (Kronecker L.),
141, 142, 160
Кузьмин P.O., 156, 207

Куммер Э. (Kummer Е.), 91,
139-142

Купмане Т. (Koopmans Т.),
178

Куратов И.А., 8

Куратовский К. (Kuratowski
К.), 6, 172

Курганов Н.Г., 190

Курт Г. (Kurt G), 151

Кэли A. (Cayley А.), 127

Лаврентьев М.А., 205

Лавуазье А., 133

Лагранж Ж.-Л. (Lagrange J.L.),
108, 115-117, 127, 166

Ладыженская О.А., 167

Ламберт И. (Lambert J.), 36,
68, 142, 143

Ламэ Г. (Lame G.), 91

Лао-цзы, 24

Лаплас П. (Laplace P.S.), 79,
119-121, 127, 138, 192

Латышев В.А., 203

Лафит Ж.Ф., 8

Лебег A. (Lebesgue Н.), 40,
122, 150, 169-171

Лебедев С.А., 204

Левин Р., 98

Лежандр A. (Legendre А.), 90,
124, 157, 166

Лейбниц Г. (von Leibniz G.W.),
34, 64, 80, 88, 99-104,

107, 108, ИЗ, 140, 147,
187

Лексель А.И. (Lexell А.), 189

Леман А.А., 210

Леонов А., 207

Леонтьев В.В., 178

Лере Ж. (Lerey J.), 167

Лефшец С. (Lefschetz S.), 161,
168

Ли С. (Lie S.), 147

Линник Ю.В., 174

Липшиц Р. (Lipschitz R.), 122

Листинг И. (Listing J.), 134

Литлвуд Дж. (Littlwood J.),
174

Лиувилль Ж. (Liouville J.),
108, 145, 146

Лифшиц В.А., 208

Лобачевский И.М., 189

Лобачевский И.В., 31

Лобачевский Н.И., 31, 53, 67,
124, 128-132, 148, 154,
189, 192, 193, 195

Ловаш Л. (Lovasz L.), 176,182

Ловягин Ю.Н., 103

Локоть Н.В., 202

Ломоносов М.В., 112,161, 187,
190

Лопиталь Г. (L’Hospital G.),
97, 110

Лузин Н.Н., 201, 207

Лю Хуэй, 58

Лю Чжо, 111
Ляпин Е.С., 177

Ляпунов А.М., 197, 198, 201

Мёбиус A. (Mobius А.), 128,
133, 134

Магавира, 61

Магницкий Л.Ф., 187, 190

Мазур С. (Mazur S.), 170

Майер Ф.Х., 188

Маклорен К. (Maclaurin С.),
110

Макмюллен П. (McMullen Р,),
177

Малаховский В.С., 230

Малевич, 198

Малинин А.Ф., 203

Мальцев А.И., 151, 177, 205,
206

Мамфорд Д. (Mumford D.),
161, 181

Маргулис Г., 182

Марков А.А. (мл.), 169

Марков А.А., 155, 173, 197,
198, 203

Маслов В.П., 176

Маслов С.Ю., 208

Матиясевич Ю.В., 6,158, 159,
182

Маюров А.И., 194

Медолаги П. (Medolagi Р.), 178

Менгер К. (Menger К.), 172

Менелай Александрийский, 53

Меньшиков А., 187

Мерсенн М. (Mersenn М.), 89,
90

Миклухо-Маклай Н.Н., 8

Миллс Р. (Mills R.), 154

Милнор Дж. (Milnor J.), 144,

168, 181

Мильман Д.М., 170

Минковский Г. (Minkowsky Н.),

177

Миттаг-Лефлер Г. (Mittag-Leffleur

G.), 199

Михлин С.Г., 172, 208

Монж Г. (Monge G.), 133, 135

Монтгомери Д. (Montgomery

D.), 154

Моргенштерн О. (Morgenstern

О.), 175, 178

Мордухай-Болтовский Д.Д.,

203

Мороз Б.З., 6

Морозов Е.А., 181

Морри К. (Morrey С.), 167

Муавр A. (Moivre А.), 120

Мур (Moore Е.), 162

Мусхелишвили Н.И., 172

Мухаммед, 64

Наве Г. (Nave del Н.), 73

Нагата М. (Nagata М.), 161

Нарайяна, 62, 63, 82

Насир ат-Туси, 66

Наффилд, 206

Неванлинна Р. (Nevanlinna R.),

168
Невельский Г.И., 8

Непер Д. (Neper J.), 79

Нетер Э. (Noter Е.), 161

Никомах, 52, 60

Никомед, 30, 49

Никулин В.В., 162

Нилаканта, 63, 64

Новиков П.С., 180, 206

Новиков С.П., 180,181, 206

Новосильцев Н.Н., 190

Ньютон И. (Newton I.), 34, 88,
101, 104-107, 110, 111,
115, 117, 120, 162, 187,
198

Нэш Дж. (Nash J.), 176, 178

Овсянников Л.В., 178

Одинец B.II.=Odinec V.—Odyniec

W.P., 1, 2, 6, 128, 210

Окань М. (d’Ocagne М.), 160

Олейник О.А., 167

Ольга (княгиня), 184

Омар Хайям, 51, 64-67

Орема Н. (Oresme N.), 81

Орлич В. (Orlicz W.), 170

Осиповский Т.Ф., 202

Остроградский М.В., 192-194

Павел I, 189

Папп (Александрийский), 54

Парето В. (Pareto V.), 178

Парис Дж. (Paris J.), 168

Парменид, 32

Паскаль Б. (Pascal В.), 80, 85,
89, 98-100, 103

Паскаль Э. (Pascal Е.), 98

Пачоли Л. (Pacioli L.), 71

Паш М. (Pasch М.), 137, 151

Пеано Дж. (Peano G.), 40,145,
168, 169

Пелл Дж. (Pell J.), 92

Перевощиков Д.М., 192

Перрон О. (Perron О.), 144

Песталоцци И. (Pestalozzi J.H.),
135, 202

Петр I, 102, 187, 188

Петраков И.С., 181

Петров Ю. П., 230

Петровский И.Г., 167

Пиаже Ж. (Piaget J.), 8

Пикар Ш. (Picard С.), 178

Пикар Э. (Picard Е.), 150, 168

Пилсудский Б. (Pilsudski В.),
9, 10

Пименов Р.И., 208

Пирсон К. (Pearson К.), 173

Пифагор, 21, 23-26, 57, 62

Пифия Дельфийская, 28

Планк М. (Planck М.), 173

Платон, 21, 32-36

Плюккер Ю. (Pliicker J.), 128,
133, 135

Погорелов А.В. 153

Погорелов А.В., 177

Пойа Д. (Polya G.), 176

Понселе Ж. (Poncelet J.), 128,
133, 134

Понтрягин Л.С., 154, 176, 206

Попов А.Ф., 195

Поппен, 202

ПорецкиЙ П.С., 200

Порошкин А.Г., 170

Поссе К.А., 197, 198, 203

Пост Э. (Post Е.), 169

Пратусевич М.Я., 2, 6

Пржевальский М.И., 9

Прокл (Proklos), 42, 55

Прохоров Ю. В., 229

Птолемей Клавдий, 41, 52, 53,
75, 77

Пуанкаре А., 147, 148, 150,
163, 168, 198

Пуассон С. (Poisson S.), 192

Пуссен Ш.В. (Ch. La Valle’e

Poussin), 150, 171

Путнам, 158

Пфафф И. (Pfaff J.), 123

Пфистер A. (Pfister А.), 159

Райнда Г. (Rhynda G.), 17, 18

Райфа X. (Raifa Н.), 176

Рам (de Rahm G.), 162

Рамануджан С. (Ramanujan

S.), 174

Рамачандра К. (Ramachandra

К.), 160

Рамсей Ф. (Ramsey F.), 169

Рао (Rao C.R.), 174

Рассел Б. (Russel В.), 146

Ремезов С.У., 8

Рене Т. (Rene Т.), 181

Риман Г. (Riemann G.), 40, 67,
125, 128, 131, 132, 141,
169

Рисе М., 122

Рисе Ф. (Riesz F.), 170

Роберваль Ж. (de Roberval
G.Personn), 92

Робинсон A. (Robinson А.),
103, 104, 147

Робинсон Дж. (Robinson J.),
158

Ролль М. (Rolle М.), 115

Рот К.Ф. (Roth F.K.), 146,181

Рохлин В.А., 162, 175, 208

Рукшин С.Е., 210

Румовский С.Я., 189

Руфус A. (Rufus I.), 175

Руффини М.П. (Ruffini Р.),
58, 126

Рухин А.Л., 208

Саккери Дж. (Saccheri G.G.),
68

Салтыков Н.Н., 202

Самарский А.А., 205

Сахаров А.Д., 208

Селберг A. (Selberg А.), 180

Сельтон Р. (Selton R.), 178

Серпинский В. (Sierpinski W.),
172, 201

Серр Ж.-П. (Serr J.-P), 162,
181
Сильвестр Д. (Sylvester J.),
127

Симпликий, 55

Синай Я.Г., 175

Синь И., 111

Сирота Ю.Н., 6, 231

Сколем Т. (Skolem Т.), 147

Слуцкий Е.Е., 174

Смейл С. (Smale S.), 175, 181

Смирнов В.И., 201

Смирнов С.Г., 230

Соболев С.Л., 167, 170, 205

Сократ, 21, 32

Сонин Н.Я., 197

София-Шарлотта, 101

Сохоцкий Ю.В. (Sochocki J.),
195-197

Сперанский М.М. 191

Сталин И., 207

Стеклов В.А., 201, 204

Стечкин С.Б., 171

Стильтьес Т. (StiltijesT.), 155,
169

Страннолюбский А.Н., 198

Строганов П.А., 190

Стройк Д. Я., 229

Струве В.Я., 194

Суслин М.Я., 172, 201

Тамаркин Я.Д., 201

Танияма Ю. (Tanijama J.), 91

Тарский A. (Tarski А.), 159

Тартаковский В.А., 210

Тарталья Н, (Tartaglia N.), 73,
74

Тацит, 8

Тейлор Б. (Taylor В.), ПО, 111

Тейлор П., 91

Теон, 41, 54

Теэтет, 21, 33, 35, 36, 49

Титчмарш Э. (Titchmarsh Е.),
170

Тихонов А.Н., 172

Томпсон Дж. (Tompson J.),
181

Торричелли Э. (Torricelli Е.),
34, 85, 89, 93-98

Тот И. (T6th I.), 42

Тьюринг A. (Turing А.), 169

Улам С. (Ulam S.), 172

Уоллис Д. (Wallis J.), 104

Уральцева Н.Н., 167

Урысон П.С., 172

Успенский Я.В., 202

Фабер Г. (Faber G.), 171

Фаддеев Л.Д., 180

Фадеев Д.К., 180, 210

Фадеева В.Н., 180

Фалес Милетский, 21-23, 25,
26, 43

Фархварсон A. (Farquharson
Н.), 187

Федоров Е.С., 164

Фейер Л. (Fejer L.), 171

Фердинанд II Медичи, 94, 97
Фердинанд Брауншвейгский,
101

Ферма П. (Ferma Р.), 54, 85,
89-92, 98, 99, 104, 106

Феррари Л. (Ferrari L.), 74

Фибоначчи Л. (Fibonacci L.),
69, 70, 82

Филдс Дж. (Fields J.), 180,
182

Фиор A. (Fior А.), 73

Фиорованти, 185

Фихтенгольц Г.М., 143, 209

Фишер Р. (Ficher R.), 173

Фо Ги, 10

Фомин Д.В., 210

Фон Мизес Р. (von Mieses R.),
155

Фон Нейман Дж. (von Neiman

J.), 154, 170, 175, 178

Фредгольм И. (Fredholm I.),
202

Фрей Г., 91

Френе Ж. (Frehnet J.), 128,
150

Фреше М. (Frechet М.), 174

Фридман А.А., 201

Фридрих (II) Великий, 112,
115

Фробениус Ф.Г., 143, 144

Фрунзе М.В., 190

Фудали С., 6

Фурье Ж.Б., 121, 122, 192

Фусс Н.И., 129, 189

Хаар А. (Haar А.), 171

Хабоуш У. (Haboush W.), 161

Хайберг И. (Heiberg J.L.), 41

Хакен В. (Haken W.), 6, 179

Хаммель Г. (Hammel G.), 152,
153

Хан X. (Hahn Н.), 170

Харари Ф. (Harary F.), 176

Харди Г.Г. (Hardy G.H.), 174

Харламов В.М., 162

Харрингтон Л. (Harrington L.),
168

Хассе X. (Hasse Н.), 159

Хаусдорф Ф. (Hausdorf F.),
172

Хермандер Л. (Hormander L.),
167, 181

Хинчин А.Я., 173, 175

Хиронака X. (Hironaka Н.),
181

Хирцебрух Ф. (Hirzebnich F.),
162

Хопкинс Д. (Hopkins J.), 127

Хопф X. (HopfH.), 172

Хэймон М. 206

Цезарь Ю., 8

Цермело Э. (Zermelo Е.), 151

Цзу Чунгжи, 59

Цирельсон Б.С., 171

Цирлер Н. (Zirler N.), 154

Цян Сым, 8

Чан, 157
Чаплыгин С.А., 200 Чарторыйский A. (Czartoryjs- ki А.), 191 Чеботарев Н.Н., 26 Чебышев П.Л., 170, 171, 173, 194-199 Чезаро Э. (Cezaro Е.), 198 Черч A. (Church А.), 169 Чжень Шеньшень (Shing-shen), 162 Чжоу, 56 Чиамполи (Ciampoli), 94 Чоу У. (Chow W.L.), 162 Шинцель A. (Schinzel А.), 19, 159 Широков Н.А., 182 Шнайдер Т. (Schneider Т.), 156 Шохор-Троцкий С.И., 203 Шрейер О. (Schreier О.), 164 Штейн Я. (Stein J.), 128 Штейнгаус X. (Steinhaus Н.), 170 Штейнер Я. (Steiner J.), 129, 133, 135 Штраус Е.Г. (Straus E.G.), 18 Шуберт Г. (Schubert Н.), 161
Шаль М. (Chasles М.), 128, 133, 135, 136 Шаудер Ю. (Schauder J.), 167 Шафаревич И.Р 157, 208 Шварц Г.А., 193 Шварц Л. (Schwartz L.), 180 Шевалле К. (Chevalley С.), 162 Шеннон К. (Shannon С.), 169 Шенфлис A. (Schonflies А.М.), 164 Шепли Л. (Shapley L.S.), 176 Ши Хуан-ди, 56 Шикард В. (Schickard W.), 80, 103 Шиккард В. (Schickard W.), 103 Шимуро Г (Shimuro G.), 91, 160 Шуберт Ф.И., 189, 191 Шувалов П.И., 188 Э дельсон Б. 98 Эйзенлор А., 19 Эйлер Л., 54, 90, 92, 108, 109, 111-115, 122, 126, 129, 132, 141, 142, 155, 156, 176, 180, 188, 189 Эйлер IL, 111 Эйнштейн A. (Einstein А.), 173, 201 Эккерт Д.П. (Eckert D.P.), 169 Элиашберг Я., 208 Энфло П. (Enflo Р.), 171 Эратосфен, 44 Эрдош П. (Erdos Р.), 18, 176 Эрмит Ш. (Hermite С.), 142, 144, 150
Юстиниан, 55

Юшкевич А.П., 5, 229

Якоби К. (Jakobi С.), 138

Йн-Павел И, 81

Янг-Чжень-нин, 154

Янкович де Мириево Ф.И., 170,

172,175, 190

Яновская Е.Б., 176
Литература

Основная литература

[1] Депман И. Я. История арифметики., Гос. уч.-пед. изд. М.
1959.

[2] Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Наука,
М. 1990.

[3] Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до
начала XIX века. т. I, II, III, Наука, М., 1970.

[4] Математика XIX века // под. ред. Колмогорова А. Н. и Юшк-
евича А. П. т. I, II, III, Наука, М. 1978.

[5] Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России.
ОГИЗ ТТЛ, М.-Л. 1946.

Дополнительная литература

[6] Юшкевич А. П. История математики в России до 1917г.,
Наука, М., 1968.

[7] Математический энциклопедический словарь // под. ред. Пр-
охорова Ю. В. , Сов.энцикл. М, 1988.
[8] Петров Ю. П. Лекции по истории прикладной математики.,
НИИХ СПбГУ, СПб, 2001.

[9] Kordos М. Wyklady z historii mathematyki, WSziP, Warszawa,
1994.

[10] Малаховский В. С. Избранные главы истории математики.
Янтарный Сказ, Калининград, 2002.

[11] Смирнов С. Г. Задачник по истории науки. МИРОС, М., 2001.
стр строка напечатано следует читать
5 1 снизу шестая седьмая
16 в формуле (1.5)пропущен коэффициент Vi v«(l/2)h(P,+P2)
16 в формуле (1.6) пропущены две скобки и степень 2 v=h(((a+b)/2)2+ +l/3((a-b)/2)2)
18 10 снизу пяти четырех
33 1 снизу богу божку
41 8 сверху город Александрия династию Лагидов
54 1 снизу иврите греческом
60 в формуле (3.12) лишнее слагаемое 1/3 72=1+1/3+1/4+ +1/(3-4-34)
76. 15 снизу Brage Brahe
91 3 сверху 1978) -2002)
91 13 сверху Wils Wiles
145 1 снизу Сергей Натанович Ф.Бернштейн (F.Bernstein) - не пу- тать с С.Н.Бернштейном
208 2 снизу (р.1919) (р.1918)
218 Wils Wiles
218 Galileo Galilei
225 Фадеев Д.К. Фаддеев Д.К.
225 Фадеева В.Н. Фаддеева В.Н.
226 Ferma Fermat
227 Шиккард Шикард