ПАШипокЖ
Т
КРАТКИЙ
ОЧЕРК
ОСНОВ ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983

22.151.2
Ш 64
УДК 513.81
ШИРОКОВ П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачев*
ского.— 2-е изд.— М.з Наука. Главная редакция физико-матема-»
тической литературы, 1983, 80 с— 10 к.
Книга представляет собой очень сжатое, но тщательно вы*
полненное изложение основ геометрии Лобачевского, и ее можно
рекомендовать для первого ознакомления с замечательной гео-
геометрической системой, носящей имя ее творца. Для понимания
первых шести глав достаточно знания элементарной математики.
Для лиц, желающих познакомиться с основами геометрии
Лобачевского, в первую очередь школьников старших классов
и преподавателей математики средней школы.
1-е издание выходило в 1955 г.
ттт 1702040000—119
Ш 053@2)-83

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ••,».,..» б
Введение »...*.... 7
Глава первая
ПОСТУЛАТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО
И ИХ СВЯЗЬ С ВОПРОСОМ О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
И ВОПРОСОМ О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
1, Постулаты Евклида и Лобачевского • . • 9
2, Сумма углов треугольника 10
3, Дефект треугольника и многоугольника . % 14
4, Вопрос о существовании подобных фигур 15
5* Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского 16
Глава вторая
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
1. Определение параллельной прямой. Функция Щх) , • 17
2. Основное свойство параллелизма • . 19
3. Взаимность (симметрия) параллелизма • • 2$
4. Транзитивность параллелизма в , • » 22
5. Расходящиеся прямые • 24
Глава третья
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ. РАСХОДЯЩИХСЯ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
1. Свойства функции П(л:) 24
2. Расстояния точек прямой линии от другой прямой ... 27
3. Замечание ,,,....,.. 30
Глава четвертая
ПУЧКИ ПРЯМЫХ И ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ
В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Три типа пучков прямых 31
2. Соответствующие точки относительно пучка прямых . . 33
3. Окружность, линия равных расстояний и предельная линия 34
4. Равенство (конгруэнтность) всех предельных лишга ... 35
5. Предельные дуги и их измерение •••••••••• 37
i* з

6. Отношение концентрических предельных дуг. Радиус кри-
кривизны пространства 39
7. Две вспомогательные формулы . . t . . 42
Глава пятая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Параллельные прямые в пространстве 44
2. Взаимное расположение прямой и плоскости 45
3. Взаимное расположение двух плоскостей 46
4. Связки плоскостей. Сфера, поверхность равных расстоя-
расстояний и предельная поверхность 48
5. Геометрия Евклида на предельной поверхности .... 52
Глава шестая
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Формулы для прямоугольного треугольника 55
2. Два свойства формул неевклидовой тригонометрии . . . 61
3. Основная формула Лобачевского (функция П(х)) я . . 62
4. Замечание 63
Глава седьмая
КРАТКИЙ ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШЕГО ПОСТРОЕНИЯ
ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Элементарная геометрия 63
2. Аналитическая и дифференциальная геометрия . • • • 64
3. Вычисление площадей и объемов 66
Глава восьмая
РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Отображение плоскости на предельную поверхность . • 67
2. Интерпретация Бельтрами 72
3. Интерпретация Кели — Клейна . . 74
4. Интерпретация Пуанкаре 75
5. Заключение , * . . .«•••••••••••» 76

ПРЕДИСЛОВИЕ
К 150-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского
работники Казанского университета выпустили сбор-
сборник статей, посвященных великому русскому уче-
ученому1). В этом сборнике был помещен очерк одного
из видных советских геометров Петра Алексеевича
Широкова A895—1944J), составляющий содержание
этой книги. Очерк представляет собой очень сжатое,
но тщательно выполненное изложение начал геомет-
геометрии Лобачевского, и его можно рекомендовать для
первого ознакомления с замечательной геометриче-
геометрической системой, носящей имя ее творца.
Для понимания первых шести глав книги доста-
достаточно знания элементарной математики. Некоторые
дополнительные сведения (аксиомы Паша, Дедекин-
да, Кантора и другие; формулы, относящиеся к ги-
гиперболическим функциям, сферической тригонометрии
и т. д.) даны в подстрочных примечаниях. Только
последние две небольшие главы требуют дополнитель-
дополнительных знаний из специальных отделов математики и при
первом чтении могут быть пропущены 3).
1) Николай Иванович Лобачевский A793—1856): Сборник
статей. — М.; Л.: Изд. АН СССР, 1943. [Как было установлено
позже, Лобачевский родился не в 1793 г., а 1 декабря 1792 г.
(нов. ст.).]
2) «Краткий очерк основ геометрии Лобачевского» (с. 19—55
указанного сборника). Очерк был перепечатан с незначитель-
незначительными изменениями (в основном — с добавлением новых черте-
чертежей) в книге: Широков П. А. и Каган В. Ф. Строение не-
неевклидовой геометрии (Серия «Геометрия Лобачевского и раз-
развитие ее идей», вып. I).— М.; Л.: Гостехиздат, 1950, с. 9—77.
В настоящем издании введены названия рубрик, добавлено еще
несколько чертежей и сделаны примечания для неподготовлен-
неподготовленного читателя.
8) Для понимания главы VII необходимо знакомство с ана-
аналитической и дифференциальной геометриями, а для понимания

Но чтобы по существу воспринять геометрию Ло-
Лобачевского и понять ее значение, необходимо предва-
предварительно ознакомиться с историей ее открытия, в
первую очередь — с знаменитой задачей о параллель-
параллельных линиях. Это задача оставалась нерешенной в те-
течение двух тысяч лет, пока гениальное открытие
Лобачевского не дало ей неожиданное разрешение и
не повернуло развитие геометрии и всей математики
по новому пути. Яркое изложение этих вопросов чи-
читатель найдет в очерках В. Ф. Кагана «Лобачевский
и его геометрия»1), которые рекомендуется прочесть
перед книгой Широкова.
Доступность книги Широкова вовсе не означает,
что она читается без труда. При чтении потребуется
большое напряжение: факты геометрии Лобачевского
слишком необычны для того, кто с ними впервые
встречается. Придется отказаться от привычных гео-
геометрических представлений, которые на первых порах
будут противоречить логическим выводам. Постепен-
Постепенно эти трудности будут преодолеваться, и, войдя в
новый «неевклидов» мир, читатель не только фор-
формально воспримет новые образы, но и «увидит» их-—
приобретет неевклидову интуицию.
После книги Широкова можно перейти к другим,
более обстоятельным изложениям геометрии Лоба-
Лобачевского 2).
главы VIII, сверх того, — с проективной геометрией. Элементар-
ное изложение содержания главы VIII («Интерпретации плоско»
сти Лобачевского») читатель найдет в книге: Делоне Б. Н.
Краткое изложение доказательства непротиворечивости плани-
метрии Лобачевского. — М.; Л.: Изд. АН СССР, 1953.
*) Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. Общедоступ-
Общедоступные очерки.— М: Гостехиздат, 1955. (Последний очерк — «Строе*
ние неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больаи» —
следует прочесть после книги Широкова.)
2) Аксиоматическое построение геометрии Лобачевского да-
дано в книге: Н о р д е н А. П. Элементарное введение в геометрию
Лобачевского. — М.; Л.: Гостехиздат, 1953. Очень подробное из-
изложение геометрии Лобачевского имеется в книге: Каган В. Ф.
Основания геометрии. Ч, I: Геометрия Лобачевского и ее пред-
история.— М; Л.5 Гостехиздат, 1949. Ч. II: Интерпретация гео«
метрии Лобачевского и развитие ее идей. — М; Физматгиз, 1956,

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существует много самых раз-
разнообразных методов изложения геометрии Лобачев-
Лобачевского.
Не говоря уже о различных способах изложения,
которые базируются на тех или иных интерпретациях
пространства Лобачевского при помощи геометриче-
геометрических образов в пространстве Евклида, мы имеем не-
несколько способов вывода формул гиперболической
тригонометрии, основанных на самых разнообразных
приемах и методах геометрического исследования,
В предлагаемой вниманию читателя книге дается
один из наиболее простых способов, близкий к тому,
которым пользовался Лобачевский при систематиче-i
ском изложении своей геометрии.
Как известно, в основе геометрии, как и каждой
математической дисциплины, лежит система аксиом
(постулатов), из которых развертывается построение
этой науки. Мы не будем приводить их списка отчасти
из-за краткости настоящего очерка, отчасти и пото-
потому, что простое перечисление аксиом, без детальных
указаний, каким образом из них могут быть получены
хотя бы простейшие теоремы геометрии (а в этом я
заключается наибольший интерес при изучении акси-.
оматического обоснования геометрии), дает мало по-
поучительного для читателя *).
Не производя анализа аксиом, мы будем пользо-
ваться простейшими, известными по учебникам эле--
ментарной геометрии теоремами, не зависящими от
1) Система аксиом Гильберта изложена в его работе «Осно*
вания геометрии». (Перевод с 7-го немецкого издания И. С. Град*
штейна с примечаниями и вступительной статьей П. К. Рашев-
ского, — М,; Л,; Гостехиздат, 1948.)

пятого постулата Евклида, на котором основана обыч-
обычная теория параллельных линий со всеми ее дальней-
дальнейшими применениями. Сам Лобачевский, уделяя много
внимания вопросам анализа простейших понятий и
обоснования геометрии, ни в одном из своих иссле-
исследований по неевклидовой геометрии не дает перечня
аксиом, ограничиваясь обычно кратким указанием на
те простейшие теоремы элементарной геометрии, не
зависящие от постулата Евклида, которыми он поль-
пользуется в дальнейшем. Лишь только в сочинении «Но-
«Новые начала геометрии с полной теорией параллель-
параллельных» 1) он дает систематическое доказательство тео-
теорем, не зависящих от пятого постулата, но также не
выделяет явно системы аксиом.
Не приводя подробного перечисления этих теорем,
укажем только на следующие основные факты и тео-
теоремы, принадлежащие, по терминологии Бояи, к «аб-
«абсолютной геометрии», т. е. к геометрии, не зависящей
от того или иного решения вопроса о теории парал-
параллельных линий: теоремы о равенстве треугольников,
учение о прямом угле, о смежных и вертикальных уг-
углах, простейшие свойства перпендикуляров и наклон-
наклонных (на плоскости и в пространстве), теорема о внеш-
внешнем угле треугольника, критерии равенства трехгран-
трехгранных углов — все это теоремы «абсолютной геометрии»,
не зависящие от постулата Евклида. Ими мы будем
все время пользоваться в дальнейшем изложении.
В этой книге дается краткий очерк основ геомет-
геометрии Лобачевского, поэтому мы будем приводить толь-
только самые основные теоремы, причем в доказатель-
доказательствах часто будем опускать детали изложения, предо-
предоставляя более подробное развитие доказательств чи-
читателю.
!) Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений/
Главный редактор В. Ф. Каган. Том. II. —М.; Л,: Гостехиздат,
1949,

Глава первая
ПОСТУЛАТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО
И ИХ СВЯЗЬ С ВОПРОСОМ
О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
И ВОПРОСОМ О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
1. Постулаты Евклида и Лобачевского
Основным пунктом, откуда начинается разделение
геометрии на обычную евклидову («употребитель-
(«употребительную», по терминологии Лобачевского) и неевклидову
(«воображаемую геометрию или «пангеометрию», по
его же терминологии) является, как известно, посту-
постулат о параллельных линиях.
В основе обычной геометрии лежит предположение
(аксиома, постулат), что через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести в плоскости, опреде*
ляемой этой точкой и прямой, не более одной прямой^
не пересекающей данную прямую. Тот факт, что че*
рез точку, не лежащую на данной прямой, проходит?
по крайней мере одна пря-
прямая, не пересекающая эту
прямую, относится к «абсо-
лютной геометрии», т. е. мо-
может быть доказан без по-
помощи постулата о парал-
параллельных линиях (достаточ-
(достаточно принять во внимание, что
перепендикуляры к одной
и той же прямой не пере-
пересекаются). Так, прямая ВВ' (рис. 1), проходящая
через точку Р под прямым углом к перпендику-
перпендикуляру PQ, опущенному на АА\ не пересекает прямой
АА'\ эта прямая в евклидовой геометрии, как извест-
известно, и называется параллельной к АА\
2 П. А. Широков 9

В противоположность постулату Евклида, Лоба-
Лобачевский принимает в основу построения теории па-
параллельных линий следующую аксиому:
Через точку, не лежащую на данной прямой, мож-
можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и
прямой, более одной прямой, не пересекающей дан-
данную прямую.
Отсюда непосредственно вытекает существование
бесконечного множества прямых, проходящих через
одну и ту же точку и не пересекающих данную пря-
прямую. В самом деле, пусть прямая СС не пересекает
АА' (рис. 1); тогда все прямые, проходящие внутри
двух вертикальных углов ZBPC и ZB'PC, также не
пересекаются с прямой АА'.
2. Сумма углов треугольника
Исследуем прежде всего связь постулатов Евклида
и Лобачевского с вопросом о сумме углов треуголь-
треугольника. Мы покажем, что постулат Евклида равносилен
предположению, что сумма углов треугольника равна
двум прямым, а постулат Лобачевского — что эта сум-
сумма меньше двух прямых.
Прежде всего исключим предположение, что сумма
углов треугольника может быть больше двух прямых.
Теорема 1. Сумма углов треугольника не может
быть больше двух прямых.
Доказательство — от противного: предполо-
предположим, что сумма углов треугольника ABC (рис. 2) рав-
равна 2d + ф. Пусть
Z ВАС = а — наимень-
наименьший угол этого тре-
треугольника (в частном
случае, если ABC —
равносторонний тре-
Рнс. 2. угольник или равнобед-
равнобедренный треугольник,
основание которого больше боковой стороны, то а —
один из его равных углов). Проводим медиану AD
противоположной стороны и откладываем отрезок
DB\, равный этой медиане. Из равенства треугольни-
треугольников ABD и BiDC выводим, что ZDBiC= ZDAB,
/.DCB\ = ZDBA. Таким образом, в треугольнике
ABiC (назовем его первым выводным треугольником)
10

сумма трех углов равна также 2<:/ + Ф, сумма двух
>глов с вершинами в конечных точках удвоенной ме-
медианы исходного треугольника равна а, а наименьший
уго i ^"o". Из первого выводного треугольника полу-
получаем аналогичным построением второй выводной: бе-
берем наименьший угол, проводим медиану противоле-
противолежащей стороны и т. д. В полученном таким образом
втором выводном треугольнике сумма трех углов рав-
равна по-прежнему 2d-\-q>, сумма двух углов с вершинами
в конечных точках удвоенной медианы первого вывод-
выводного треугольника ^ Y* а наименьший угол ^-р".
Продолжая этог процесс далее, получим ряд выводпых
треугольников; в п-ы треугольнике сумма углов равна
2d + cp, а сумма углов с вершинами в концах удво-
удвоенной медианы (п—1)-го выводного треугольника
^СЕсли взять п достаточно большим, то
^ 2rt~ 2
можно сделать меньше ф, т. е. третий угол этого тре-
треугольника будет больше 2d\
мы получаем противоречие
Теорема 2. Если в каком-
нибудь треугольнике сумма уг-
углов равна 2d, то это имеет ме-
место и во всяком другом тре-
угогьнике.
Доказательство. Для
удобства условимся обозна-
обозначать сумму углов треугольника ABC через Sabc-
Пусть в треугольнике ABC (рис. 3) сумма углов
равна 2d; тогда два угла, например Z.A и ZC, ост-
острые, и нетрудно показать, что высота BD, опущенная
из вершины В, пройдет внутри этого треугольника,
т. е. разобьет его на два прямоугольных треугольника.
Учитывая, что
Олог = О 1 ог> -t-
и принимая во внимание предыдущую теорем}, выво-
выводим, что S,\bc = S\bd = 2d.
Покажем теперь, что в каждом прямоугольном
треугольнике сумма углов равна 2d. Для этого возь-
возьмем треугольник ABD и дополним его до прямоуголь-

кика, пристроив к нему равный ему треугольник АЕВ
с прямым углом в вершине Е и катетами AE = BD
и EB=AD (рис. 4). В этом прямоугольнике AEBD
сумма углов равна Ad. Откладывая сторону AD n раз
вдоль прямой АХ, а сторону АЕ п раз вдоль прямой
У\
б~
м
и
И X
Рис. 4.
AY и прикладывая затем один к другому прямоуголь-
прямоугольники, равные AEBD, построим прямоугольник ALMK,
составленный из п2 прямоугольников, равных AEBD.
В прямоугольнике ALMK сумма углов также равна
Ad. Диагональ AM разбивает этот прямоугольник на
два прямоугольных треугольника, в каждом из кото-
которых сумма углов равна 2d
.(на основании теоремы 1).
Принимая я достаточно боль-
большим, получим прямоуголь-
прямоугольный треугольник А М/С, у ко*
торого катеты будут боль-
больше катетов некоторого за-
заданного прямоугольного
треугольника PQR (рис. 5).
Откладывая отрезки QT —
= KM, QS =АК, получим
ASTQ, равный ААМК и вмещающий в себе задан-
заданный APQR. Отрезок РТ разбивает ASTQ на два тре-
треугольника, и так как SSqt = SSpt + SPTq —- 2rf, то
Sspt + Sptq = Ad, откуда (на основании той же тео-
теоремы)
Рис. 5.
12

Применяя то же рассуждение к треугольнику PTQ
и отрезку PR, устанавливаем, что Spqr — 2d.
Итак, в каждом прямоугольном треугольнике сум-
сумма углов равна 2d. Но мы видели выше, что каждый
треугольник может быть разбит на два прямоуголь-
прямоугольных. Учитывая соотношение A), получаем, что в лю-
любом треугольнике сумма углов равна 2d.
Итак, возможны только два предположения: или
во всех треугольниках сумма углов равна 2г/, или же
во всех она меньше 2d.
Теперь мы установим связь вопроса о сумме углов
треугольника с постулатом параллельности.
Теорема 3. Если сумма углов треугольника
равна 2d, то имеет место постулат Евклида, если же
она меньше 2d, то справедлив постулат Лобачевского.
Имеет место и обратное предложение.
Доказательство. Прежде всего покажем, что
если сумма углов треугольника равна 2d, то через
точку Р (рис. 6), не лежащую на прямой АА\ можно
провести прямую, образующую с прямой ВВ' (АА'
и ВВ' перпендикулярны к PQ) сколь угодно малый
угол и пересекающую АА'.
Для этого построим отрезок QQ\ = PQ; тогда угол
= -у. Откладываем отрезок Q\Q2 = PQ\;
Z B'PQ2 = -«г. Затем продолжаем этот процесс:
строим отрезки QoQz = PQ2, Q3Q4 = PQz,
..., Q/z-iQ/i = PQn-i. Получаем лучи PQ3i PQ4t ..«
,.., PQn, образующие с лучом РВ' углы у, -^%...
..., -гтг. При увеличении п мы можем, таким обра-
образом, получить угол, меньший любого заданного.
Теперь уже просто доказать постулат Евклида.
Пусть некоторый луч PR образует с РВ' угол а.
13

Выбирая п достаточно большим (гак, чтобы -kft<^
мы получим треугольник PQQn, причем луч PR про-
проходит внутри угла QPQn, т. е. пересекает сто-
сторону QQn.
Рассмотрим теперь предположение, что сумма
углов треугольника меньше 2d. Покажем, что имеются
прямые, отличные от ВВ\ проходящие через точку Р
и не пересекающие АА'\
Соединим некоторую точку М, лежащую на АА',
с Р (рис. 7) и проведем луч PR так, чтобы ZMPR
был равен ZPA1Q. Из предположения о сумме углов
треугольника вытекает,
что" ZMPB"> ZPMQ,
т. е. луч PR пройдет внут-
внутри угла МРВ'\ этот луч
не пересекает АА\ так
как в противном случае
получился бы треуголь-
треугольник, у которого внешний
р 7 угол QMP равен внутрен-
внутреннему {MPR), с ним не
смежному.
Таким образом, первая половина теоремы дока-
доказана, а из нее непосредственно вытекает обратное
предложение.
При помощи доказанных теорем читатель может
показать, что при формулировке постулатов Евклида
и Лобачевского можно ограничиться более слабыми
требованиями; например, постулат Евклида можнр
формулировать так: существуют прямая а и не лежа-
лежащая на ней точка Р, обладающие тем свойством, что
в плоскости, определяемой ими, через точку Р про-
проходит не более одной прямой, не пересекающей а.
3. Дефект треугольника и многоугольника
Учитывая, что в геометрии Лобаческого сумма
углов треугольника меньше 2d, введем понятие о де-
дефекте треугольника, который равен разности между
2d и суммой углов этого треугольника:
U

Нетрудно видеть, что если отрезок BD ра дч нет
треугольник ABC на треугольники ABD и DBC, то
Для /2-уголышка дефект вводится как разность
между 2d(ft — 2) и суммой его углов. Можно дока-
доказать вообще что если многоугольник разбит лома-
ломаными на несколько многоугольников, то дефект пол-
полного многоугольника равен сумме дефектов его
частей.
4. Вопрос о существовании подобных фигур
Перейдем к вопросу о связи постулатов парал-
параллельности с вопросом о существовании подобных
фигур. Мы покажем, что существование подобных
фигур возможно только в том случае, если справед-
справедлив постулат Евклида. Докажем следующую теорему.
Теорема 4. Если существуют два подобных тре-
треугольника1) ю справедлив постулат Евклида.
Доказательство. Пусть у треугольников ЛВС
и А'В'С углы попарно равны: /.А — ZA', ZB =
= ZB\ ZC = ZC , но сторона АВ>А'В'. На сто-
стороне А В отложим отрезок А\В = A'Bf и проведем
Рнс. 8.
прямую А\М под углом ВА[М = ZA (рис. 8). Так
как А\М не может пересекать прямую АС, то она
пересечет отрезок ВС в некоторой точке Ci2). Так
1) То есть два неравных треугольника с попарно равными
углами.
2) В этом заключается требование так называемой аксиомы
Паша: если прямая, лежащая в плоскости треугольника ЛВС и
не проходящая ни через одну из его вершин, пересекает отре-
отрезок АВ, то она пересекает или отрезок АС или отрезок ВС.
Но АС она пересечь не может, так как две прямые АС и A{Mt
пересекающие третью прямую AAV под равными соответствен-
соответственными углами, не пересекаются (теорема абсолютной геометрии),
15

как АА\ВС\ — АА'В'С, то в четырехугольнике
АА\С\С сумма углов равна Ad. Разделяя его диаго-
диагональю на два треугольника, получим, что в каждом
из них сумма углов равна 2d, т. е. справедлив посту-
постулат Евклида.
5. Абсолютная единица длины
в геометрии Лобачевского
Таким образом, в геометрии Лобачевского подоб-
подобных фигур не существует, а это связано с многочис-
многочисленными осложнениями, которые кажутся очень
странными для каждого, начинающего знакомиться
с неевклидовой геометрией. В самом деле, из отсут-
отсутствия подобия вытекает, что треугольник вполне
определяется своими тремя углами (два треугольника
с попарно равными углами равны), что отрезок мо-
может быть определен при помощи угла (например, как
сторона равностороннего треугольника с заданным
углом, меньшим -^ dj .
В геометрии Евклида для определения отрезка не-
необходимо задать непременно некоторый другой отре-
отрезок (или систему отрезков) и указать то геометриче-
геометрическое построение, при помощи которого первый может
быть получен из второго (чаще всего задается еди-
единица длины и число, выражающее длину определяе-
определяемого отрезка). В геометрии Лобачевского дело об-
обстоит проще: для определения отрезка не надо зада-
задавать другого отрезка, достаточно указать только гео-
геометрическое построение, при помощи которого может
быть получен определяемый отрезок (например, как
сторона равностороннего треугольника с углом, по-
получаемым из прямого угла при помощи того или
иного построения).
Если реальное пространство подчиняется законам
геометрии Евклида, эталон длины необходимо дол-
должен быть реализован при помощи некоторого твер-
твердого тела; если же в реальном пространстве имеет
место геометрия Лобачевского, то единица длины мо-
может быть задана некоторым геометрическим построе-
построением— в этом случае само пространство своими гео-
геометрическими свойствами определяет ту или иную
единицу длины. Этот факт выражают, говоря, что
16

в пространстве Лобачевского существуют «абсолют-
«абсолютные единицы длины», т. е. не зависящие от задания
тех или иных отрезков.
Таким образом, в геометрии Лобачевского мы
имеем более тесную аналогию в вопросах измерения
отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии (для
углов в обеих геометриях существуют абсолютные
единицы меры, например прямой угол, получающийся
при помощи геометрического построения независимо
от задания тех или иных углов).
Глава вторая
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
1. Определение параллельной прямой.
Функция П(х)
Как мы видели, из постулата Лобачевского непо-
непосредственно вытекает, что через точку Р, не лежа-
лежащую на данной прямой АА', в плоскости, ими опре-
определяемой, можно провести бесчисленное множество
прямых, не пересекающих
АА' (рис. 9). Применяя
аксиому Дедекинда *), мо-
жно показать, что суще-
существуют две граничные
прямые СС и DD\ разде-
разделяющие класс пересекаю-
пересекающих прямых, лежащих в
углах СРВ и C'PD\ от
класса непересекающих, проходящих внутри углов
CPD' и DPC'. Нетрудно видеть, что эти граничные
прямые не пересекают прямую АА' (если бы суще-
*) Аксиома Дедекинда формулируется так: если точки от-
отрезка разбиты на два класса, лежащих раздельно (т. е. так,
что точки одного класса лежат по одну сторону от каждой точ-
точки другого), то существует точка, делящая этот отрезок па два
отрезка, на одном из которых лежат только точки одного клас-
класса, а на другом — только точки другого класса. При помощи
этой аксиомы можно получить аналогичную теорему об угле,
формулировка которой получается из аксиомы Дедекинда за-
заменой термина «отрезок» — углом, а термина «точка» — лучами
-угла.
17

ствоьала точка пересечения S прямых АЛ' и СС, то,
взяв на прямой АА' точку Т правее S, мы получили
бы прямую РТ, проходящую внутри }глов CPD' и
DPC и пересекающую АА'). Эти граничные прямые
СС и DD' Лобачевский и называет гараллельными
прямой АА' в точке Р.
Таким образом, через каждую точку Р плоскости
проходят две прямые, параллельные данной: прямая
DD\ параллельная АА' в направлении А'А, и прямая
СС\ параллельная той же прямой в протиеополож-
нол1 направлении ААГ. Обе эти прямые расположены
симметрично относительно перпендикуляра PQ, опу-
опущенного на АА'. Угол CPQ Лобачевский называет
углом параллельности. Он является функцией длины
перпендикуляра PQ, которую Лобачевский обозна-
обозначает так:
ZC'PQ=n{PQV).
Можно сказать, что постулат Евклида соответ-
соответствует предположению, что угол параллельности —
прямой. Отметим, что достаточно предположить, что
функция Yl(PQ) постоянна, чтобы отсюда вытекал
постулат Евклида (доказательство предоставляем
читателю).
Необходимо дать себе ясный отчет, насколько по-
понятие параллелизма в неевклидовой геометрии слож-
сложнее соответствующего понятия обычной геометрии.
В самом деле, по самому определению параллелизма
недостаточно сказать, например, что прямая СС па-
параллельна АА': необходимо при этом не только ука-
указать направление параллельности, но и ту точку Р,
в которой имеет место факт параллелизма (т. е. в ко-
которой прямая СС является граничной, отделяющей
пересекающие прямые от непересекающих). Поэтому
и критерий параллельности выражается более слож-
сложно, чем в евклидовой геометрии. Чтобы доказать, что,
например, прямая СС в точке Р параллельна А А'
в направлении АА\ необходимо: 1) установить факт
непересечения этих прямых, 2) показать, что СС
в точке Р является граничной прямой; это последнее
{) Обозначение П Лобачевский взял из русского аафавита
(начальная буква слова «параллельный»). Первые буквы рус-
русских слов он неоднократно применял для математических обо-
обозначений
18

устанавливается обычно так («критерий угла^): про-
проводим прямую PR, пересекающую АА\ и рассматри-
рассматриваем угол CPR, который своим отверстием обрашен
в сторону параллельности1); если каждый луч, имею-
имеющий вершину в точке Р и проходящий внутри этого
угла, пересекает луч RA\ то прямая СС параллельна
А А' в точке Р в направлении АА\
2. Основное свойство параллелизма
Переходим к доказательству основных теорем
о параллельных линиях. Прежде всего Лобачевский
доказывает, что прямая, параллельная данной пря-
прямой в некоторой своей точке, параллельна ей во всех
своих точках.
Теорема 1. Прямая сохраняет признак пара г-
лельности во всех своих гонках.
Доказательство. Пусть прямая ВВ' парал-
параллельна в точке Р прямой А А' в направлении А А*
(рис. 10). Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р
в сторону параллельности, т. е. по ту же сторону от
Рис. ю.
прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на
А А', что и луч RA'. Возьмем какой-нибудь луч QQ\
проходящий внутри угла B'QR, обращенного св<»им
отверстием в сторону параллельности, и докажем, ч^ >
он пересекает луч RA'. Для этого соединим какую-
нибудь его точку Q' с Р; луч PQf пересечет RA' в не-
некоторой точке 5 (так как прямая ВВ' параллельна
ААГ в точке Р). Луч QQ\ пересекающий сторону PS
треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR
(так как тогда он проходил бы внутри смежного
угла PQR) и не проходит ни через одну из вершин
To есть внутри этого угла проходит луч RA\
19

этого треугольника. Поэтому он должен пересечь от-
отрезок RS. Таким образом, теорема доказана для того
случая, когда точка Q расположена от точки Р в сто-
сторону параллельности.
Рассмотрим теперь тот случай, когда Q лежит
в обратном направлении от точки Р (рис. 11). Соеди-
Соединим произвольную точку R прямой АА' с Р и Q и рас-
рассмотрим луч QQ', проходящий внутри угла BQR.
Рис. п.
Этот луч пересечет отрезок PR в некоторой точке S.
Продолжая луч QQ' по другую сторону точки Q, бе-
берем на этом продолжении точку Т. Прямая ТР про-
проходит внутри угла RPB'y т. е. пересекает RA' в точке
U. Итак, луч QQ' пересекает сторону RP треуголь-
треугольника RPU, не пересекает отрезка PU и не проходит
ни через одну из его вершин, т. е. пересекает отрезок
RU. Таким образом, признак параллелизма имеется
в точке Q.
После того как доказана эта теорема, мы можем
внести упрощение в терминологию теории параллель-
параллельных: при указании, что прямая ВВ' параллельна АА',
не надо задавать той точки прямой ВВ', в которой
имеется факт параллелизма.
3. Взаимность (симметрия) параллелизма
Теперь возникает вопрос: можно ли говорить, чго
прямые ВВ' и АА' взаимно параллельны, т. е. обла-
обладает ли понятие параллелизма Лобачевского свой-
свойством симметрии? Докажем, что это имеет место.
Теорема 2. Если прямая АА' параллельна ВВ'}
то и ВВ' параллельна АА'.
Доказательство. Мы докажем эту теорему,
устанавливая, что существует прямая, относительно
20

которой прямые АА' и ВВ' расположены симмет-
симметрично. Для этого соединяем прямой две произволь-
произвольные точки D и Е, лежащие соответственно на АА'
и ВВ' (рис. 12), и проводим биссектрисы углов A'DB
и B'ED. Так как первая биссектриса пересекает пря-
прямую ВВ', то обе они пересекутся в некоторой точке О,
из которой опускаем перпендикуляры OR, OQ и ОР
на АА', DE и ВВ'; эти три перпендикуляра равны.
Проводим прямую СС, делящую угол POR пополам*
Нетрудно доказать, что каждая точка S этой прямой
равноудалена от прямых АА' и ВВ' и что СС делит}
углы TSU между перпендикулярами на эти прямые
пополам (для этого надо рассмотреть пары равных
треугольников OPS и ORS, PST и RSU). Теперь уже
просто устанавливается, что прямые АА' и ВВ' рас-
расположены симметрично относительно СС. В самом
деле, возьмем какую-нибудь точку G на прямой АА*
и покажем, что на прямой ВВ' можно найти точку,
симметричную G относительно СС. Для этого опус-
опускаем из G перпендикуляр ОН на СС у а из Н — пер-
перпендикуляры HJ и НК на А А' и ВВ'. От точки -/\
откладываем отрезок KL — JG в направлении В'В,
Из равенства прямоугольных треугольников GUI
и LHK, учитывая, что Z.JHC — Z.KHC, устанавли-
устанавливаем, что точки G, H, L лежат на одной прямой, пер-
перпендикулярной к СС, и что GH = LH.
Из существования оси симметрии для прямых АА'
и ВВ' вытекает, что они имеют в соответствующих
точках одинаковые свойства относительно друг друга,
т. е. если прямая АА' обладает свойством параллель-
параллельности относительно ВВ', то имеет место и обратное*
Прямую СС мы будем называть биссектрисой по*
яосы между двумя параллелями,
21

Задание направления параллельности на одной
прямой определяет однозначно ее направление на
другой. В дальнейшем для указания направления па-
параллельности будем часто поступать так: одну из
параллельных обозначать двумя буквами (например
АА)\ если прямая а параллельна этой прямой в на-
направлении АА', будем говорить просто, что а па-
параллельна AAf\ если имеет место параллелизм в об-
обратном направлении, будем говорить, что а парал-
параллельна А'А.
4. Транзитивность параллелизма
В геометрии Евклида две прямые, параллельные
третьей, параллельны между собой. В геометрии Ло-
Лобачевского в такой формулировке теорема не имеет
места. В самом деле, прямые СС и DD' (рис. 9 на
с. 17) параллельны АА\ между тем как они пере-
пересекаются в точке Р. Но все же, если внести ограни-
ограничение, требуя, чтобы две прямые были параллельны
третьей в одном и том же направлении, соот-
соответствующая теорема уже имеет место в геометрии
Лобачевского (свойство транзитивности параллелнз-
ма). Для доказательства этой
в' теоремы установим предвари-
~> тельно две леммы.
Л е м м а 1. Если две парал-
-а' дельные прямые лежат по раз-
разные стороны третьей прямой,
то все три эти прямые парал-
параллельны в одном направлении.
рЙС> 1з. Доказательство. Пусть
прямые ААГ и ВВ' параллель-
параллельны в направлении А А' и лежат по разные стороны
поямой СС (рис. 13). Докажем, например, что пря-
прямая ВВ' параллельна СС в том же направлении.
Прежде всего ясно, что пряхмая BBf не может пе-
пересекать СС, так как в противном случае она не
лежала бы целиком по одну сторону прямой СС.
Остается рассмотреть критерий угла. Возьмем на
Л А' и ВВ' произвольные точки М и N\ так как они
лежат по разные стороны СС\ то эта прямая пере-
пересечет отрезок MN в некоторой точке Р. Рассмотрим
туч /VQ, проходящий внутри угла MNBf, обращенное
22

своим отверстием в сторону параллельности; так как
В В параллельна АА\ NQ пересекает луч МА\ т. е.
пересечет и луч PC, лежашнй по ту же сторону прч-
мой A1N, что и луч МА .
Следствие. Биссектриса полосы между двумя
параллельными линиями параллельна им в сторону
их параллелизма.
Л е м м а 2. Если две пря-
прямые параллельны третьей в
одном направлении, то две
из этих трех прямых лежат
по разные стороны третьей
прямой.
Доказательство» Пусть
прямые АА\ ВВ' парал-
параллельны СС (рис. 14). Необходимо
Рис. 14.
рассмотреть,
конечно, только тот случай, когда АА/ и ВВ' лежат
по одну сторону прямой СС. Возьмем на этих трех
прямых произвольные точки М> N и Р. Из двух углов
/LM.PC и ZNPC, обращенных своими отверстиями
в сторону параллелизма, выберем наименьший —
пусть это будет угол МРС. Луч PQ, проходящий
внутри этого угла, пересекает обе прямые ААГ и ВВ'
в точках R и Q. Если точка Q лежит между Р и R,
то прямые ААГ и СС лежат по разные стороны пря-
прямой ВВ'\ в самом деле, прямые ВВ/ и СС не могу г
пересекаться как параллельные, а прямые Л 4'
и ВВ' — потому, что в про-
противном случае из точки их
пересечения выходило бы
два луча, параллельных
прямой СС в одном и том
же направлении.
На основании этих двух
лемм уже очень просто до-
доказать свойство транзитив-
транзитивности параллелизма в гео-
геометрии Лобачевского.
Теорема 3. Лее прямые, параллельные третьей
в одном и том же направлении, параллельны между
собой в том же направлении.
Доказательство. 1-й случай. Пусть пря-
прямые АА' и ВВ\ параллельные прямой СС\ лежат по
разные стороны этой прямой (рис. 15) t Пересекаться
23 .
Рис. 15.

АА' и ВВ' не могут, и достаточно рассмотреть крите-
критерий угла. Отрезок MN, соединяющий точки, лежащие
на АА' и ВВ', пересекает прямую СС в некоторой
точке Р. Рассмотрим луч MQ, проходящий внутри
угла А'МР, обращенного своим отверстием в сторону
параллелизма прямых АА' и СС'\ он пересечет луч
PC' в некоторой точке R и своим продолжением прой-
пройдет внутри угла CRN, также обращенного своим
отверстием в сторону параллелизма прямых СС
и ВВ', т. е. пересечет луч NB'.
2-й случай. Прямые АА' и ВВ', параллельные
СС, лежат по одну сторону СС. На основании лем-
леммы 2 среди этих трех прямых существует одна, отно-
относительно которой остальные две лежат по разные ее
стороны; пусть это будет прямая ВВ'. Тогда на осно-
основании леммы 1 все три прямые параллельны в одном
направлении.
Отметим здесь важный факт, вытекающий из
леммы 2: из трех прямых а, Ь, с, параллельных в од-
одном направлении, можно выделить одну, например а,
относительно которой две другие Ъ и с лежат по раз-
разные ее стороны. Мы будем говорить, что прямая а
лежит между двумя другими.
5. Расходящиеся прямые
Две прямые в плоскости Лобачевского могут или
1) пересекаться, или 2) быть параллельными, или
3) быть непересекающимися и непараллельными.
В последнем случае такие две прямые мы будем на-
называть расходящимися\ мы увидим в следующей
главе, что этот термин вполне соответствует их вза-
взаимному расположению в плоскости.
Глава третья
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ,
РАСХОДЯЩИХСЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
1. Свойства функции П(х)
Докажем прежде всего теорему, имеющую основ-
основное значение для всего дальнейшего изложения.
Теорема 1. Для каждого острого угла суще*
ствует прямая, перпендикулярная к одной его сто*
роне и параллельная другой.
24

Доказательство. Рассмотрим перпендикуля-
перпендикуляры, восставленные к стороне OQ острого угла POQ
(рис. 16); среди них, конечно, найдутся такие, кото-
которые пересекают сторону ОР (достаточно опустить из
какой-нибудь точки луча ОР перпендикуляр на OQ).
Покажем, что существует
бесчисленное множество
перпендикуляров, не пересе-
пересекающих ОР.
Докажем это от против-
противного, предполагая, что все
перпендикуляры к стороне
OQ пересекают ОР. Рас-
Рассмотрим на луче OQ ряд то-
точек 4,4i,42> ..., Ап такой,
что
Рис. 16.
Л2Л3 = 0А2,
Перпендикуляры, восставленные в точках 4, А\, . .„
..., Ап к стороне 0Qy согласно предположению, пере-
пересекут луч ОР в точках В, В\, В2> ..., Вп. Обозначая
дефект треугольника ОАВ через D, имеем
= Dob.Ai +
= 2DQAQ
i = 2Dqa1b1 +
> 22D,
DOAnBn —
Таким образом, увеличивая п, мы можем получить
треугольник ОАпВп, У которого дефект превышает
любое число, а это невозможно, так как дефект лю-
любого треугольника <2с/.
Итак, среди перпендикуляров к стороне 0Q су«
ществуют не пересекающее сторону ОР. Рассмотрим
один из них — MN (рис. 17). Если он параллелен ОР,
теорема доказана. В противном случае разбиваем
точки отре ка ОМ на два класса: к первому классу
отнесем те точки, в которых перпендикуляры пересе-
пересекают ОР, ко второму — те, в которых перпендику-
перпендикуляры не пересекают ОР. Ясно, что левее каждой
3 П. А. Шщоков 25

М
точки первого класса лежат только точки первого же
класса, т. е. классы лежат раздельно: второй класс
лежит правее первого; таким образом, это — классы
Дедекинда. Применяя аксиому Дедекннда, получаем
точку D, разделяющую эти классы.
Покажем, что перпендикуляр DE к OQ паралле-
параллелен ОР. Прежде всего этот перпендикуляр не может
пересечь ОР, так как, если бы он пересекал ОР
в точке F, то, опуская из
точки G, лежащей на ОР
правее F, перпендикуляр GJ
на OQ, мы получили бы
точку / первого класса,
лажащую правее точки D.
Остается показать, чго лю-
любой луч DK, проходящий
~Q внутри угла ODE, пересе-
пересекает ОР. Опуская из какой-
нибудь точки К этого луча
DK на OQ перпендикуляр KL, получим точку L пер-
первого класса, т. е. KL пересекает ОР в некоторой
точке R. Прямая DK, пересекающая сторону LR тре-
треугольника ORL, должна пересечь отрезок OR.
Таким образом, перпендикуляр DE действительно
параллелен ОР.
Следствие 1. Любой острый угол является
углом параллельности для некоторого отрезка. В са-
мом деле (рис. 17),
= U{OD).
Рис. 17.
Следствие 2. Для каждого угла (<z2d) суще-
существует прямая, параллельная обеим сторонам этого
угла. В самом деле, отложив на биссектрисе этого
угла а отрезок р такой, что ~ = П(р), проведем
через конец этой биссектрисы прямую, ей перпенди-
перпендикулярную; эта прямая, очевидно, будет параллельна
обеим сторонам угла а.
Теорема 2. Угол параллельности П(р) является
убывающей функцией длины р перпендикуляра, при-
принимающей все значения между 0 и d.
Доказательство. Пусть РР* параллельна
QQr (рис. 18), т. е. а = П(Р<2), Покажем, что эга
функция убывающая.

В самом деле, уменьшая ее аргумент, рассмотрим
отрезок PR < PQ. Перпендикуляр RR' к PQ пересе-
пересекает РР', так как, проводя прямую QS, параллель-
параллельную RR', мы получим треугольник PQT, одну из сто-
сторон которого пересекает RR\ а так как RR паоал-
лельна QS, она пересечет
сторону РТ этого треуголь- р
ника. Таким образом,
U(PR) >U(PQ)
Второе утверждение тео-
теоремы непосредственно выте-
вытекает из следствия 1 теоре-
мы 1.
Из этой теоремы вытека- Рис. 18.
ет тот важный факт, отме-
отмеченный в главе 1 (с. 16), что в геометрии Лоба-
Лобачевского отрезок может быть задан углом: отрезок р
вполне определяется соответствующим углом парал-
параллельности П(р).
2. Расстояние точек прямой линии
от другой прямой
При помощи теоремы 1 можно доказать следую-
следующие три теоремы, характеризующие взаимное распо-
расположение пересекающихся, расходящихся и парал-
параллельных прямых.
Теорема 3. Расстояния от точек, лежащих на
одной стороне острого угла, до другой стороны воз-
возрастают безгранично при удалении этих точек от
вершины угла.
Доказательство. Что расстояния увеличи-
увеличиваются при удалении их от вершины угла, следует не-
непосредственно из рассмотрения четырехугольника
ABDC с двумя прямыми углами: Z.ABD и Z.CDB
(рис. 19). Так как ZCAB> ZACD, то CD>ABl)r
Остается доказать, что расстояние АВ возрастает бес-
беспредельно при удалении точки А от вершины утла,
1) Здесь применяется следующее предложение «абсолютной
геометрии»: если в четырехугольнике ABDC с прямыми углами
Z.B и /-D, прилегающими к одной стороне, АВ — CD, то
Z.A = /LC\ если же А В < CD, то Z./4 > /-С и обратно.
Доказательство настолько простое, что мы его опускаем.
3* 27

т. е. что на ОР можно найти точку, расстояние ко-
которой до OQ больше любого заданного отрезка XY.
х Проводим перпендикуляр MN к OQ, параллель-
параллельный ОР; на нем отложим отрезок MR = XY. Перпен-
Перпендикуляр RT к MN пересечет ОР в некоторой точке Г,
так как он проходит внутри угла ORN> обращенного
своим отверстием в сторону
параллельности прямых ОР
и MN. Расстояние TU
точки Т до стороны OQ
больше MR = XY, так как
в четырехугольнике UTRM
с двумя прямыми углами
i/У при точках U и М Z UTR <.
V < ZTRM.
пг 1, 1_1 J /7 Теорема 4. Две расхо-
расходящиеся прямые имеют
общий перпендикуляр, по
обе стороны от которого
расстояния от точек одной прямой до другой возрас-
возрастают безгранично при удалении их от общего перпен-
перпендикуляра.
Доказательство. Обнаружим сначала суще-
существование общего перпендикуляра. Пусть АА' и ВВ'—
расходящиеся прямые (рис. 20). Возьмем на АА'
произвольную точку С и проведем из нее лучи CD и
СЕ, параллельные прялюй'ВВ'. Оба эти луча лежат
по одну сторону от АА', так как АА' и В В' — расхо-
расходящиеся прямые.
На основании теоремы 1 строим перпендикуляры
FF' и GG' к прямой АА', параллельные соответствен-
28

но лучам CD и СЕ\ они будут параллельны и прямой
ВВ' соответственно в направлениях ВВ/ и ВВ. Из
середины Я отрезка GF опускаем перпендикуляр HI
на ВВ'.
Покажем, что прямая HI перпендикулярна и к
АА'. Для этого проводим лучи НК и HL, параллель-
параллельные ВВ' соответственно в направлениях ВВ' и В'В
(эти лучи будут параллельны соответственно FF' и
GG'). Имеем ZKHI = ZLHI как углы параллельно-
параллельности отрезка Я/, ZKHA' = ZLHA как углы парал-
параллельности равных отрезков HF и GH. Таким образом,
ZKHI+ZKHA'=ZLHI + ZLHA = d, и JH дей-
действительно является общим перпендикуляром прямых
ААГ и ВВ'.
Опуская доказательство того, что расстояния о г
точек одной расходящейся прямой до другой растут
по мере их удаления от общего перпендикуляра (оно
проводится так же, как до-
доказательство аналогичного
факта в теореме 3), пока-
покажем, что эти расстояния воз-
возрастают беспредельно.
Пусть JH — общий пер-
перпендикуляр к прямым АА'
и ВВ' (рис. 21). Проводим
луч ЯК, параллельный
ВВ\ На основании преды-
предыдущей теоремы, на луче НК
можно найти такую точку L, что длина перпендику-
перпендикуляра LM, опущенного на АА\ больше некоторого на-
наперед заданного отрезка XY. Так как этот перпенди-
перпендикуляр входит внутрь угла BLK, обращенного своим
отверстием в сторону параллельности прямых ВВ' и
НК, то он пересечет В В в некоторой точке N. Итак,
NM>LM>XY.
Теорема 5. Расстояния от точек одной парад*
дельной прямой до другой беспредельно убывают в
сторону параллельности и безгранично растут в про*
тивоположном направлении.
Доказательство. Что указанные расстояния
убывают в сторону параллельности, доказывается так
же, как аналогичный факт в теореме 3. Остается до-
доказать безграничность убывания, т. е. что на одной
параллели можно найти точку, расстояние от которой
29
Рис. 21.

до другой параллели меньше наперед заданного от-
отрезка XY.
Опустим из произвольной точки С прямой ВВ', па-
параллельной А А , перпендикуляр CD на АА' (рис. 22),
Если CD ^ XY, теорема доказана. Если CD > XY,
отложим на этом перпендикуляре отрезок DE<CXY.
Через точку Е проведем параллели ЕЕ' и ЕЕ11 к АА\
Так как прямая Е"Е входит внутрь угла СЕЕ\ обра-
обращенного своим отверстием в сторону параллельности
прямых АА', ВВ' и ЕЕ', она пересечет ВВ' в некото-
некоторой точке F. Отложим на прямой ВВ' от F в сторону
параллельности отрезок FH = EF. Тогда перпенди-
перпендикуляр НК на прямую АА' равен ED (на основании
равенства треугольников EFG и HFG, EDG и IIKG),
т.е. HK<XY.
Безграничность возрастания расстояний в обрат-
обратном направлении доказывается совершенно анало-
аналогично.
3. Замечание
Из теорем настоящей главы особенно странной
для человека, привыкшего к образам и закономерно-
закономерностям только евклидовой геометрии, является теорема
4. Если принять во внимание, что прямые АА' и ВВ'
(рис. 20) не только безгранично расходятся, но что
прямая ВВ' вся помещается в полосе между перпен-
перпендикулярами FF' и GG', то станет ясным, какой сме-
смелостью мысли должен был обладать Лобачевский,
чтобы признать право на существование новой гео-
геометрической системы с такими необычными теоремами»
30

Г шва четвертая
ПУЧКИ ПРЯМЫХ И ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ
В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Три типа пучков прямых
В геометрии Евклида существуют два вида пучков
прямых: 1) пучок прямых, проходящих через одну
точку, и 2) пучок параллельных прямых. В геометрии
Лобачевского можно выделить три рода пучков:
1) пучок пересекающихся прямых (пучок 1-го ро-
рода, рис. 23, а) —совокупность прямых, проходящих
через некоторую точку {центр пучка);
2) пучок расходящихся прямых (пучок 2-го рода,
рис. 23, б)—совокупность прямых, перпендику-
перпендикулярных к некоторой прямой (оси пучка);
Рис. 23.
3) пучок параллельных прямых (пучок 3-го рода,
рис. 23, в) —совокупность прямых, параллельных не-
некоторой прямой в заданном на ней направлении.
Все эти три рода пучков имеют некоторые общие
свойства: так, например, через каждую точку плоско-
плоскости (кроме центра пучка 1-го рода) проходит одна и
только одна прямая п\чка, две прямые пучка вполне
определяют соответствующий пучок и т. д.
Докажем теорему, которая будет лежать в основе
построения простейших кривых в плоскости Лоба-
Лобачевского, тесно связанных с пучками разного рода.
Теорема 1. Три перпендикуляра к сторонам
треугольника, восставленные в их серединах, принад*
лежат к одному пучку.
Доказательство. 1-й случай. Пусть два
из г>тих перепендикуляров пересекаются; тогда и тре-
31

тий прохоит через эту точку пересечения. Доказатель-
Доказательство совершенно такое же, как и в геометрии Евклида.
2-й случай. Пусть в треугольнике ABC точки К
и М — середины сторон АВ и ВС (рис. 24). Два пер-
перпендикуляра KL и MN расходятся —имеют общий
перепендикуляр LN,
Требуется доказать,
что и третий перпенди-
перпендикуляр PQ (P—середи-
(P—середина стороны АС), пере-
пересекает LN под прямым
углом.
Опустим из А, В и
С перпендикуляры
АА1у ВВи ССг на LN.
Рассматривая равные
прямоугольные треугольники AKL и BKL, AA\L и
BBiL, выводим что АА\=ВВ\. Аналогично доказы-
доказываем, что BBi = СС\. Учитывая, что прямая LN не
может пересечь отрезка АС (так как в противном
случае она пересекла бы и другую сторону треуголь-
треугольника АВС — АВ или ВС), и рассматривая попарно
равные треугольники APQ и CPQ, AAiQ и CCiQ, вы-
выводим, что прямая PQ перпендикулярна к А\С\.
3-й случай. Два перпендикуляра параллельны.
На основании доказанных выше случаев третий пер-
перпендикуляр может быть толь-
только параллелен к первым
двум. Остается только дока-
доказать, чго все три перпенди-
перпендикуляра параллельны в од-
одном направлении (принад-
(принадлежат к одному пучку 3-го
рода). Для этого заметим,
что все три перпендикуляра пересекают наи-
Оольшую сторону треугольника (доказательство пре-
предоставляем читателю). Пусть Р, Q, R — эти три точки
пересечения, и пусть точка Q лежит ь.ежду Р и R
(рис. Г5). Тогда перпендикуляры, проходящие через
точки Р и /?, лежат по разные стороны перпендику-
перпендикуляра, проходящего через точку Q, а так как первые
два параллельны, то на основании леммы 2 из главы
2 (с. 23) все три перпендикуляра параллельны в од-
одном направлении.
32
IR
Рлс. 25.

2. Соответствующие точки
относительно пучка прямых
Для построения простейших кривых в плоскости
Лобачевского введем понятие о точках, соответствую*
щих друг другу относительно некоторого пучка.
Две точки называются соответствующими друг
другу относительно некоторого пучка, если они лежат
симметрично относительно некоторой прямой этого
пучка (рис. 26). Нетрудно видеть, что две точки, со-
соответствующие относительно пучка 1-го рода, равно-
равноудалены от его центра (и обратно), что две соответ-
соответствующие точки относительно пучка 2-го рода лежат
ч \ \AJ
а)
по одну сторону от его оси на равных расстояниях от
нее (и обратно); в случае пучка 3-го рода соответ-
соответствующие точки расположены симметрично относи-
относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми
пучка, проходящими через эти точки.
Ясно, что понятие соответствующих точек облада-
обладает симметрией. Покажем, что оно обладает и свой-
свойством транзитивности.
Теорема 2. Две точки, соответствующие третьей
относительно некоторого пучка, соответствуют друг
другу относительно того же пучка.
Доказательство. Теорема эта очевидна для
пучков 1-го и 2-го рода ввиду равноудаленное™ со-
соответствующих точек от центра или оси пучка. Приво-
Приводимое ниже доказательство, базирующееся на тео-
теореме 1, применимо к пучку любого рода. Пусть точки
В и С являются соответствующими точке А относи-
относительно данного пучка Р.
Рассмотрим случай, когда эти три точки не лежат
на одной прямой (см. рис. 24 на с. 32). По условию
33

перпендикуляры, восставленные к сторонам АВ и АС
треугольника ABC в их серединах, принадлежат к пу-
пучку прямых, но тогда на основании теоремы 1 к этому
же пучку принадлежит и перпендикуляр к стороне
ВС, восставленный в его середине, т.е. В и С — точки,
соответствующие относительно пучка.
Случай, когда Л, Ву С лежат на одной прямой,
так прост, что разбор его опускаем.
3. Окружность, линия равных расстояний
и предельная линия
Польз) ясь понятием соответствующих точек, мож-
можно построить три простейшие кривые в плоскости
Лобачевского. Делается это следующим образом.
Пусть задан некоторый пучок Р и точка А (не
являющаяся центром, если Р — пучок 1-го рода, и не
лежащая на оси, если он — 2-го рода). Рассмотрим
геометрическое место точек, соответствующих точке
А относительно пучка Р. В случае пучка 1-го рода мы
получаем окружность, центр которой совпадает с
центром пучка (рис. 27, а), в случае пучка 2-го родч
till
till
О)
Рис. 27.
получаем геометрическое место точек, равноудален-
равноудаленных от оси пучка,— так называемую линию равных
расстояний (рис. 27,6), наконец, если Р — пучок 3-го
рода, соответствующая кривая называется предельной
линией (орициклом) (рис. 27, в). Нетрудно видеть,
что во втором и третьем случаях на каждой прямой
пучка Р лежит только одна точка соответствующей
линии. Все три полученные линии — кривые.
Теорема 3. Никакие три точки окружности,
линии равных расстояний, предельной линии не лежат
на одной прямой,
34

Доказательство. Если бы три точки А, Ву С
какой-нибудь из эгих линий лежали на одной прямой
а9 то три прямые соответствующего пучка Р, относи-
относительно которых эти точки симметричны, были бы
перпендикулярны к прямой а. Таким образом, пучок
Р принадлежал бы ко 2-му роду, а рассматриваемая
тиния была бы его осью. (Это — предельный случай
линии равных расстояний: расстояние равно нулю.)
Теорема 4. Любые две точки окруэююсти, линии
равных расстояний, предельной линии являются соот-
соответствующими относительно того пучка, при помощи
которого построена расспатриваемая кривая.
Доказательство заключается в непосредст-
непосредственном применении теоремы 2.
Таким образом, все точки каждой из простейших
кривых являются равноправными; если за исходную
точку в построении выбирать различные точки этой
кривой, получим ту же самую кривую.
4. Равенство (конгруэнтность)
всех предельных линий
В дальнейшем мы будем изучать исключительно
предельную линию, как имеющую очень важное зна-
значение для вывода основ-
основных формул тригономет-
тригонометрии Лобачевского.
Пусть А и В— точки
предельной линии. Прово-
Проводим через них прямые
АА', ВВ' соответствую-
соответствующего пучка 3-го рода
(прямые этого пучка на-
называются осями предель-
предельной линии). Пусть на-
направления А А' и ВВ' сов-
совпадают с направлением
(рис. 28). Тогда
м
Рис. 28.
параллелизма в пучке
ZBAA' = Z ABB' = П (^
Построение точек предельной линии производится
следующим образом. Пусть даны пучок Р и исходная
точка А. Через А проводим ось АА\ причем пусть
35

AA'—направление параллельности прямых пучка. Про-
Проводим луч AM, образующий с АА' острый угол, и от-
откладываем на нем такой отрезок А В, чтобы Z МАА'—
= Ilf-^-V Точка В будет принадлежать к предель-
предельной линии, соответствующей пучку Р и проходящей
через точку А. Таким образом, за исключением пря-
прямой, перпендикулярной к оси АА', на каждой прямой,
проходящей через А, мы получим точку предельной
линии, отличную от Л. На прямой AT, перпендику-
перпендикулярной к оси и проходящей через Л, лежит только
Рис. 29.
одна точка этой кривой. Эта прямая называется /ад-
сательной.
Отметим, что предельная линия, с одной стороны,
является пределом переменной окружности, которая
проходит через некоторую точку Р и центр которой
удаляется в бесконечность по прямой а, проходящей
через Р; с другой стороны, она является также преде-
пределом переменной линии равных расстояний, которая
проходит через Р и ось которой удаляется в беско-
бесконечность, оставаясь перпендикулярной к прямой я.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этих
предложений, так как не будем ими пользоваться в
дальнейшем/
Покажем, что все предельные линии равны (кон-
(конгруэнтны). Для этого мы прежде всего уточним по-
понятие равенства кривых линий (введем его независи-
независимо от процесса наложения).
Две кривые называются равными (конгруэнтны-
(конгруэнтными), если между точками этих кривых можно уста-
установить такое взаимно однозначное соответствие, при
котором каждая хорда одной кривой равна соответ-
36

ствующей (т. е. соединяющей соответствующие точ-
точки) хорде другой.
Теорема 5. Все предельные линии равны.
Доказательство. Пусть S и Si—предельные
линии, ААГ и А\А\ — их оси в точках А и Ах (рис. 29).
Установив соответствие между полуплоскостями,
определяемыми прямыми АА' и AiA'u отнесем каж-
каждой точке Р линии 5 такую точку Рх линии Si в со-
соответствующей полуплоскости, чтобы
ZPAA'=ZPiAiAl A)
Покажем, что определенное таким образом взаим-
взаимно однозначное соответствие между предельными ли-
линиями S и Si является соответствием равенства.
Рассмотрим еще пару соответствующих точек Q и Q\i
ZQAA' = ZQ{A{A[. B)
Тогда в силу соотношений A) и B) АР — А\Ри AQ ==»
= i4iQi [так как, например, Z PAA' = u(J~-
и т. х.] и
т. е. AAPQ ==AAiP{Qi и PQ = P{Q{.
5. Предельные дуги и их измерение
Для дальнейшего построения геометрии необходи-
необходимо ввести понятие о дуге предельной линии и пока-
показать, что эти дуги могут быть измеряемы при помощи
некоторой дуги, принятой за единицу. Для этого
прежде всего следует установить, что для совокуп-
совокупности точек, лежащих на предельной линии, можно
ввести понятие между, аналогичное соответствующему
понятию на прямой.
Мы будем говорить, что из трех точек Л, В, С пре«
дельной линии точка В лежит между А и С, если ось
предельной линии, проходящая через В, лежит между
осями, проходящими через Л и С (в главе 2 было
введено понятие между для трех прямых, параллель-
параллельных в одном направлении). Можно показать, что это
понятие между для точек предельной линии обладаем
всеми основными свойствами аналогичного понятия
для прямой. Мы не будем останавливаться на этих
доказательствах^ так как они, с одной стороны, очень

просты, но. с другой — отняли бы слишком много ме-
места в настоящем кратком очерке.
Пользуясь понятием между, вводим понятие о
дуге как совокупности точек предельной линии, лежа-
лежащих между двумя точками (концами дуги). Понятие
о равных дугах вводится так же, как и понятие о кон-
конгруэнтных кривых линиях. Имея понятия между и
конгруэнтности, строим понятия больше и меньше для
дуг предельных линий, аналогичные обычным поня-
понятиям для прямолинейных отрезков. В дальнейшем
дуги предельных линий мы для краткости будем на-
называть просто предельными дугами.
Наконец, следует показать, что дуги предельных
линий могут быть измерены при помощи некоторой
предельной дуги, принятой за единицу. В основе из-
измерения, как известно, лежит аксиома Архимеда !),
применимость которой к предельным дугам и следует
установить. Здесь проще всего показать, что совокуп-
совокупность точек на предельной линии подчиняется более
сильной аксиоме Дедекинда, из которой вытекают и
постулат Архимеда и постулат Кантора2). Таким
образом, будет установлена не только возможность
измерения дуг, но и непрерывность множества точек
предельной линии.
Мы дадим здесь только идею доказательства того,
что совокупность точек предельной линии подчиняется
аксиоме Дедекинда. Пусть АВ— дуга предельной ли-
ш:и; отнесем каждой точке Р этой дуги точку Pi хор-
хорды АВ. получающуюся при пересечении этой хорды
с осью предельной линии, проходящей через Р. Не-
Нетрудно показать, что в этом взаимно однозначном
соответствии точек дуги и хорды классам Дедекинда
Ч Аксиома Архимеда читается так: если АВ и CD (АВ >
> CD) — произвольные отрезки, то на прямой АВ существует
такой ряд точек А\, А2, ... АПу что отрезки AAh Л1Л2, ...
..., Ап~\Ап конгруэнтны отрезку CD и В лежит между А и Ап.
2) Аксиома Кантора формулируется следующим образом:
если на прямой заданы два бесконечных класса точек К\ и Кг,
удовлетворяющих следующим требованиям: 1) точки одного
класса лежат по одну сторону от каждой точки другого класса,
2) можно найти такие две точки А и В, принадлежащие к раз-
различным классам, что отрезок АВ меньше любого наперед задан-
заданного отрезка,— то на этой прямой существует точка, делящая
прчмую на два луча, на одном из которых лежат только точки
класса /Сь а на другом — только точки класса Д'2-
38

на дуге будут соответствовать классы Дедекинда на
хорде н обратно. Так как аксиома Дедекинда имеет
место для хорды, то она справедлива и для дуги.
6. Отношение концентрических предельных дуг.
Радиус кривизны пространства
Для вывода основной формулы, выражающей
отношение концентрических дут предельных линий,
приведем ряд лемм.
Лемма 1. Равным хордам соответствуют равные
предельные дуги, большей хорде соответствует боль-
большая дуга.
Доказательство опускаем ввиду того, что оно ана-
аналогично доказательству теоремы 5.
Две предельные линии, оси которых принадлежат
к одному и тому же пучку 3-го рода, называются кон-
концентрическими.
Лемма 2. Отрезки осей, заключенные между дву-
двумя концентрическими предельными линиями, равна
между собой.
Доказательство. Проводим биссектрису по-
полосы между осями АА' и ВВ' двух концентрически*
предельных линий (рис. 30);
пусть она пересекает хорды
АВ и А'В' в точках С и С.
Из равенств треугольников
= АВВ'С вытекает, что
Длину отрезков АА'=
= ВВ' мы будем называть
расстоянием между дугами
концентрических предель- Рис- 30-
пых линий.
Л е м м а 3. Дуги концентрических предельных ли-
линий, заключенные между двумя осями, убывают з
сторону параллельности.
Доказательство. На основании теоремы 5
главы 3 (с. 29) имеем В'С < ВС (рис. 30), т. е.
А'В' < АВ\ отсюда А^В' < АВ (лемма 1).
Л е м м а 4. Отношение двух концентрических пре-
дельнных дуг, заключенных между двумя осями, за*
висит только от расстояния между этими дугами.
39

Доказательство. Покажем, что отношение
концентрических предельных дуг АВ и А'В' не зави-
зависит от величины дуги АВ. Возьмем концентрические
предельные дуги АВ и А/В', ВС и ВХ' (рис. 31J и
рассмотрим сначала случай соизмеримости дуг АВ и
ВС. Пусть общая мера содержится в АВ т раз, в ВС
п раз. Отложив эту меру на
этих дугах и проведя через
полученные точки оси, мы
разделим дугу А'В' на
т равных частей, а дугу
В'С на п таких же частей.
Таким образом,
АВ
А'В'
ВС В'С
рис 31. В случае несоизмеримо-
сти дуг АВ и вС применя-
применяем хорошо известный по учебникам элементарной
геометрии прием раессуждения и показываем, что
полученная пропорция имеет место и в этом случае.
Таким образом,
А8 ВС
т. е. отношение
АА\
А'В' Ъ'С
Ав
А В'
зависит только от расстояния
Теорема 6. Отношение концентрических дуг s\t
S2 (si >s2), заключенных между двумя осями, выра-
выражается показательной функцией от расстояния х ме-
между этими дугами:
S2
A)
где k — некоторая постоянная.
Доказательство. На основании леммы 4
(рис. 32)
40

Таким образом, функция f{x) удовлетворяет функцио-
функциональному уравнению
B)
На основании леммы 3 функция f(x) — возрастающая.
Но возрастающая функция, удовлетворяющая урав-
уравнению B), показательная2) Теорема доказана
Выясним геометрический смысл параметра kf вхо-
входящего в формулу A).
Так как формулы геометрии должны быть одно-
однородными относительно входящих в них длин отрезков,
то k представляет собою
длину некоторого опреде-
определенного отрезка. В конце
главы 1 (с. 16) мы указы-
указывали, что в геометрии Лоба-
Лобачевского каждый отрезок х У
может быть определен при Рис. 32.
помощи некоторого гео-
геометрического построения. Формула A) показывает,
что отрезок k равен расстоянию между двумя концен-
концентрическими предельными дугами, заключенными
между двумя осями, отношение которых равно е. По-
згому для построения отрезка k можно поступить
1) Доказывается это следующим образом. Из уравнения B)
вытекает, что f(x) не обращается в нуль ни при каких значе-
значениях х, так как в противном случае она была бы равна нулю
(х \2
"о" ) » то /(v)> 0 Из B)
при целом п получаем f(nx) = f(x)n. Отсюда f I — x) = f{x)n;
т
f f—X) — f(x)n, где т, п — целые числа. Обозначая /(I)
через а и полагая в последнем соотношении х = 1, получаем
т
п
¦¦ а
Таким образом,
f(x) = ax (а>1)
при рациональных значениях аргумента. Так как f(y)—возра-
f(y)—возрастающая функция, то полученная формула имеет место и для
иррациональных значений (две возрастающие функции, прини-
принимающие одинаковые значения для рациональных значений ар*
гумента, равны),
41

следующим образом (рис. 33). На предельной линии
5 откладываем произвольную дугу АВ и дугу АС—
== еАВ. Через точки А и В проводим оси предельной
линии АА' и ВВ', а через С — линию равных рассто-
расстояний, имеющую своей осью прямую АА'. Если D —
точка пересечения этой линии равных расстояний с
ff'j/ r/s
• А В
Рис. 33.
N У
прямой ВВ', DE — дуга предельной линии, концентри-
концентрической с 5, DF и CG — перпендикуляры на АА\ то
Параметр k называют иногда радиусом кривизны
пространства Лобачевского (термин, заимствованный
из теории римановых пространств, являющихся обоб-
обобщением пространств Евклида и Лобачевского).
7. Две вспомогательные формулы
В заключение настоящей главы выведем из A)
два соотношения, при помощи которых мы получим
в дальнейшем тригономет-
тригонометрические формулы для про-
пространства Лобачевского.
Пусть OX, OY — две вза-
взаимно перпендикулярные
прямые (рис. 34). Через то-
точку А прямой OY проведем
прямую АА', параллельную
ОХ, и построим предельную
линию с осью ОХ, прохо-
проходящую через точку О. Дугу
ОВ, заключенную между
осями ОХ и АА', обоз-
обозначим через s, отрезки О А и АВ — соответственно
через и и v. Проведем прямую ММ', параллельную
ОХ и OY. Предельную дугу ОС, заключенную между
42
Рис. 34

OK и ЛШ', обозначим через а Нашей задачей явля-
является вывод следующих формул:
о th-т-»
(A)
(В)
Построим прямую NN\ параллельную ОУ и пер-
перпендикулярную АА', и через точку N проведем пре-
предельную дугу NP, концентри-
концентрическую д>ге ОС. Так как пря- у
мая М'М параллельна NN' и
АА'У то NP — o. Далее, так
как
ZOAA =П(и),
то
т. е.
Рис. 35.
AN = и,
= u-\- v.
Примени формулу A) к концентрическим дугам
NP = а и ВС = а — s, получаем
о — s
0
C)
Отложим теперь отрезок ОА = и вниз от точки О
(рис. 35) и проведем прямую АА\ параллельную ОХ,
и прямую ЛШГ, параллельную ОХ и OY. Строшм пря-
прямую NN', перпендикулярную А А' и параллельную
]) Приводим определение гиперболическич функций:
: («,ипер болически й сииус»),
sh х-
ch х-
th x-
е* + е-
ел — е-
(«гиперболический косинус»),
(«гиперболический тангенс»).
Свойства этих функций, используемые в дальнейшем, приведены
в подстрочных примечаниях на с. 57, 58 и др.
43

0Y. Через точку О проведем ортогонально к ОХ пре-
предельную дугу ВОС = 5 + а, через точку N — концен-
концентрическую дугу ND = g. Так как ZOAA' = П(ОЛ) =
= U(AN)9 то AN = OA=uy т. е. BN = u — v, Итак,
*?- = fT. D)
Складывая соотношения C) и D), получаем фор-
формулу (В). Вычитая C) из D), имеем
s = oe kp sh -2-.
Подставляя сюда из (В) ek—ch-j-, получаем соот-
ношение (А),
Глава пятая
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рассмотрим сначала теоремы, связанные с вопро-
сом о пересечении и параллельности прямых и пло-
плоскостей.
1. Параллелжные прямые в пространстве
Две прямые пространства могут или быть скрещи-
скрещивающимися, или лежать в одной плоскости. В первом
случае, как и в геометрини Евклида, они. имеют об-
общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее рас-
расстояние между ними (мы опускаем доказательство
этого факта, так как в дальнейшем нигде не будем
пользоваться им). Две прямые, лежащие в одной
плоскости, как мы знаем, мсгуг быть или пересекаю-
пересекающимися, или расходящимися, или параллельными. До-
Докажем простейшие свойства параллельных прямыч
для пространства.
Лемма. Если через две параллельные прямы*
провести пересекающиеся плоскости, то прямая иг.
пересечения будет параллельна обеим данным прямым
в направлении их параллельности.
Доказательство. Пусть СС — прямая пере-
пересечения плоскостей а, р, проходящих через прямые
АА'} ВВ'г соответственно параллельные в направлю-
44

Рис. 36.
нии АА' (рис. 36). Докажем, что прямая СС парал-
параллельна АА' в том же направлении.
Прямые АА' и СС не пересекаются, так как в
противном случае через точку пересечения проходила
бы и прямая ВВ', и лежат в одной плоскости. Остает-
Остается рассмотреть критерий угла. Для этого на каждой
из трех рассматриваемых
прямых возьмем по одной ^"
точке: М, N, Р и рассмотрим
угол МРС, обращенный
своим отверстием в сторону
параллельности прямых АА'
и ВВ'. Покажем, что каж-
каждый луч РР', проходящий
внутри этого угла, пересе-
пересечет луч МА'. Для этого
проведем плоскость NPP',
которая пересечет плоскость АА'ВВ' по прямой NN\
проходящей внутри угла MNB'. Так как прямая ВВ'
параллельна АА\ то NN' пересечет луч МА' в неко-
некоторой точке, через которую пройдет и луч РР'.
Теорема 1. Две прямые, параллельные третьей
в одном и том же направлении, параллельны между
собой в том же направлении.
Доказательство. Теорема эта была доказана
в главе 2 для того случая, когда все три прямые ле-
лежат в одной плоскости. Здесь остается рассмотреть
общий случай.
Пусть прямые АА' и ВВ' параллельны прямой
СС в направлении СС Выбрав произвольную точку
М на прямой АА', проведем плоскости МВБ' и МСС
Прямая их пересечения на основании доказанной вы-
выше леммы параллельна СС> т. е. совпадает с АА', и
в то же время параллельна ВВ' в том же направле-
направлении. Таким образом, АА' параллельна ВВ' в направ-
направлении СС
2. Взаимное расположение прямой и плоскости
Рассмотрим в пространстве Лобачевского прямую
АВ и плоскость а. Построим проекцию АВ на пло-
плоскость а1). Если эта проекция вырождается в точку
1) Понятие проекции прямой на плоскость относится к «аб-
«абсолютной геометрии» (не зависит-от постулата о параллельных),
45

(прямая перпендикулярна к плоскости), имеем слу-
случай пересечения прямой АВ и плоскости а. В общем
случае при проектировании получим прямую А'В' на
плоскости а — проекцию прямой АВ. Прямые АВ и
А'В', как лежащие в одной плоскости, могут или
1) пересекаться (случай пересечения прямой с плоско-
плоскостью, рис. 37, а), или 2) расходиться (случай расхож-
расхождения прямой и плоскости, рис. 37, б), или 3) быть
параллельными (параллельность прямой и плоскости,
рис. 37, в). Во втором случае прямая и плоскость
имеют общий перпендикуляр (являющийся общим
перпендикуляром прямой и ее проекции), определяю-
определяющий кратчайшее расстояние между прямой и пло-
плоскостью; по обе стороны от эгого перпендикуляра
расстояния от точек прямой до плоскости беспредель-
беспредельно возрастают при удалении точек от общего перпен-
перпендикуляра. В случае параллельности прямая беспре-
беспредельно приближается к плоскости в направлении
параллелизма этой прямой и ее проекции и безгра-
безгранично удаляется от плоскости в противоположном
направлении.
Т е о р е х\1 а 2. Если прямая параллельна некоторой
прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна
плоскости а.
Доказательство сводится к простому применению
вышеприведенной леммы.
3. Взаимное расположение двух плоскостей
Рассмотрим взаимное расположение двух плоско-
плоскостей в пространстве Лобачевского; мы увидим, что и
здесь возможны три случая: пересечение, расхожде-
расхождение и параллелизм.
Покажем, что всегда для двух плоскостей а, р мо-
можно построить третью плоскость у, перпендикуляр-
46

ную к ним обеим (предложение «абсолютной геомет-
геометрии»). Для этого из точки А плоскости а опустим пер-
перпендикуляр АВ на плоскость р (рис. 38). Если АВ
лежит в а, то за у можно взять любую плоскость,
перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей
а, р. В том случае, когда
плоскость а не перпенди-
перпендикулярна к р, из точки В
опускаем перпендикуляр
ВС на а. При этом опять
может представиться ча-
частный случай, когда ВС
совпадает с Л С; как не-
нетрудно видеть, за плос-
плоскость у можно тогда
взять любую плоскость,
проходящую через АВ. Рис. 38.
Рассмотрим, наконец, об-
общий случай, когда точки Л, В, С различны. Плоскость
ABC тогда перпендикулярна как к а, так и к A Рас-
Рассмотрим прямые АА/ и BBf пересечения этой плоско-
плоскости с а и р. Возможны три случая:
1) прямые АА', В В' пересекаются; плоскости а
и Р — пересекающиеся;
2) прямые А А' и В В' имеют общий перпендикуляр
а — случай расходящихся плоскостей; нетрудно ви-
видеть, что а является общим перпендикуляром к пло-
плоскостям а и р, определяющим кратчайшее расстояние
между ними; во все стороны от этого перпендикуляра
плоскости безгранично расходятся;
3) прямые АА' и ВВ' параллельны — случай па-
параллельности плоскостей.
Итак, две плоскости называются параллельными,
если можно построить третью плоскость, перпендику-
перпендикулярную к ним обеим, которая пересекает их по парал-
параллельным прямым.
Две параллельные плоскости не имеют общих то-
точек, так как в противном случае плоскость у (рис.38)
была бы перпендикулярна к прямой их пересечения,
т. е. прямые АА', ВВ' были бы пересекающимися.
Если плоскости а, р параллельны, то каждая пло-
плоскость, перпендикулярная к ним обеим, пересекает их
по параллельным прямым.
47

Можно показать, что эти плоскости пересекают
каждую из плоскостей а р по прямым, принадлежа-
принадлежащим к пучку 3-го рода. Мы не будем останавливаться
на доказательстве этого предложения, так как нигде
в дальнейшем не будем им пользоваться.
Теорема 3. Через прямую АА\ параллельную
плоскости а, можно провести только одну плоскостьг
параллельную а; все остальные плоскости, проходя*
щие через АА\ пересекают плоскость а.
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр
на плоскость а, опущенный из некоторой точки А
прямой АА\ BBf— проекция прямой АА' на пло-
плоскость а (рис. 39). Плоскость, проходящая через АА!
перпендикулярно к плоскости АА'ВВ\ параллельна
Рис. 39.
плоскости а (на рис. 39 эга плоскость не изобра-
изображена). Покажем, что любая другая плоскость б, про-
проходящая через АА\ пересечет а. Для этого рассмот-
рассмотрим проекцию АС прямой А В на плоскость б. Так
как ZBAC<ZBAA' = U{AB), го АС пересечет
свою проекцию BD на плоскость а, г, е. а и 6 — пе-
пересекающиеся плоскости.
Эга теорема имеет очень важное значение для
построения геометрии Лобачевского; можно сказать,
чю она до некоторой степени является пространствен-
пространственным аналогом постулата Евклида,
4. Связки плоскостей. Сфе& а, поверхность
р?вч.1х расстояний и продельная поьерхность
Подобно тому как в плоскости были построены
простейшие кривые, в пространстве Лобачевского
могут быть получены простейшие поверхности —
сфера, поверхность равных расстояний и предельная
48

поверхность. Путь исследования здесь совершенно
аналогичный: вводится понятие соответствующих то-
точек относительно связок прямых и плоскостей того
пли другого рода.
Мы будем различать три вида связок:
1) связка 1-го рода — совокупность прямых и пло-
плоскостей, проходящих через одну точку — центр связки;
2) связка 2-го рода — совокупность прямых и пло-
плоскостей, перпендикулярных к некоторой плоскости—-
опорной плоскости связки;
3) связка 3-го рода — совокупность прямых и пло-
плоскостей, параллельных данной прямой в заданном на
ней направлении.
Все эти три вида связок обладают некоторыми
общими свойствами. Так, через каждую точку про-
пространства (не являющуюся в случае связки 1-го рода
ее центром) проходит одна и только одна прямая
связки; две точки пространства, ве лежащие на одной
прямой связки, определяют единственную плоскость
связки; прямые связки, принадлежащие к плоскости
связки, образуют пучок соответствующего рода; две
прямые связки определяют плоскость связки; если
две плоскости, проходящие через две прямые связки,
пересекаются, то прямая их пересечения принадле-
принадлежит к связке; двг прямые связки определяют связку,
так же как и три независимые плоскости связки,
и т. д.
Две точки называются соответствующими друг
другу относительно данной связки, если они располо-
расположены симметрично относительно некоторой прямой,
принадлежащей к зтой связке. В случае связки 1-го
рода соответствующие точки равноудалены от ее
центра (и обратно); в случае связки 2-го рода со-
соответствующие точки лежат по одну сторону опорной
плоскости на равных расстояниях от нее (и обратно);
наконец, если связка — 3-го рода, соответствующие
точки расположены симметрично относительно бис-
биссектрисы полосы между двумя ее прямыми, прохо-
проходящими через эти точки.
Понятие соответствующих точек обладает свой-
свойством симметрии и транзитивности. Докажем это по-
последнее свойство.
Теорема 4. Две точки, соответствую.цие третьей,
соответствуют и друг другу.
49

i
Рис. 40.
Доказательство. В случае связки 1 -го или
2-го рода теорема вытекает непосредственно из рав-
ноудаленности соответствующих точек от центра или
опорной плоскости связки.
Остается разобрать случай
связки 3-го рода.
Предварительно дока-
докажем такое вспомогательное
предложение: проекции пря-
прямых связки 3-го рода на
плоскость а, не принадле-
принадлежащую этой связке, пересе-
пересекаются в одной точке, че-
через которую проходит пря-
прямая связки, перпендикуляр-
перпендикулярная к плоскости а.
Возьмем в плоскости а (рис. 40) некоторую точ-
точку Р и проведем через нее луч связки РР\ направ-
направленный в сторону параллельности этой связки. Пусть
PQ — проекция этого луча на плоскость а. В пло-
плоскости QPP' строим луч QQ', перпендикулярный
к PQ и параллельный РР .
Он перпендикулярен к пло-
плоскости а. Если RR' — неко-
некоторая прямая связки, то,
проводя плоскость RR'QQ',
получим проекцию TQ пря-
прямой RR' на плоскость а;
она проходит через точку
О-
Обратимся теперь к до-
доказательству теоремы.
Пусть А, В— точки, соот-
соответствующие точке С отно-
относительно данной связки 3-
го рода. Если плоскость
ABC принадлежит к этой
связке, то теорема непосредственно приводится к
теореме 2 главы 4 (с. 33). Рассмотрим общий слу-
случай, когда плоскость ABC не принадлежит к связке
(рис. 41).
Пусть О — точка этой плоскости, через которую
проходят проекции прямых связки на эту плоскость.
Покажем, что ОА = ОВ = ОС. В самом деле, так
50

как биссектриса RK' полосы между прямыми связки
АА\ СС перпендикулярна к АС, го ее проекция КО
также перпендикулярна к АС, т. е. О А = ОС\ анало-
аналогично получаем, что ОВ = ОС. Опустим из точки О
перпендикуляр OL на АВ. Из равенства ОА = ОВ
вытекает, что AL = BL. Прямая LV связки, проек-
проекцией которой на плоскость ABC является OL, пер-
перпендикулярна к А В. Таким образом, точки А и В со-
соответствуют друг другу. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь геометрическое место точек,
соответствующих относительно данной связки неко-
некоторой точке (не являющейся центром в случае связки
1-го рода и не лежащей на опорной плоскости в сл\-
чае связки 2-го рода). Мы получаем три простейшие
поверхности: сферу в случае связки 1-го рода
(рис. 42, а), поверхность равных расстояний (геомет-
(геометрическое место точек, равноудаленных от плоскости
тру
Ы.И?
¦—Щ
L.L.I,
V
ft)
Рис. -12.
и лежащих по одну сторону ее) в случае связки 2-го
рода (рис. 42, б) и предельную поверхность {ори-
сферу) в случае связки 3-го рода (рис. 42,в).
Плоскости соответствующей связки пересекают
сферу по окружностям, поверхность равных расстоя-
расстояний— по линиям равных расстояний и орисферу—¦
по предельным линиям. Таким образом, ни одна из
этих поверхностей не является плоскостью.
Из теоремы 4 вытекает, что любые две точки каж-
каждой из эгих поверхностей являются соответствую-
соответствующими друг другу относительно связки, при помощи
которой построена эта поверхность. Таким образом,
за исходную точку построения можно выбрать любую
точку поверхности, и мы получим ту же самую по-
поверхность; можно сказать, что все точки поверхности
равноправны.
51

5. Геометрия Евклида на предельной поверхности
Рассмотрим более подробно предельную поверх-
поверхность. Прямые и плоскости той связки 3-го рода, при
помощи которой построена эта поверхность, назы-
называются соответственно ее осями и диаметральными
плоскостями. Как было указано выше, диаметраль-
диаметральные плоскости пересекают предельную поверхность
по предельным линиям. Покажем, что этим свойством
обладают только диаметральные плоскости
Теорема 5. Если недиаметральная плоскость
имеет с предельной поверхностью общие точки, то она
либо пересекает эту поверхность по окружности, либо
касается ее в одной точке.
Доказательство. Мы видели в начале дока-
доказательства теоремы 4, что в связке 3-го рода суще-
существует прямая, перпендикулярная к плоскости, не
принадлежащей к этой связке; прямая эта, конечно,
единственная. Пусть плоскость а, не являющаяся
диаметральной, имеет с предельной поверхностью об-
общие точки и пусть 00'— ось
этой поверхности, перпенди-
перпендикулярная к а (точка О лежи г
в а). Рассмотрим сначала
случай, когда точка О не при-
принадлежит предельной поверх-
поверхности.
Обозначим через А точку
Пересечения оси 00' с пре-
предельной поверхностью, через
В — одну из точек плоскости,
принадлежащих предельной
поверхности (рис. 43), через
ВВ' — ось последней. Так как А и В — соответствую-
соответствующие точки, то ZO'AB — ZB'BA. Рассмотрим точки
С и D, лежащие на луче ОВУ причем ОС < ОБ <
L< 0D. Проводя через С и D оси СС и DD', имеем
ZO'AC < ZO'AB = ZB'BA < ZC'CA,
ZO'AD> ZO'AB=ZB'BA> ZD'DA.
Таким образом, на каждом луче в плоскости а
с вершиной О лежит одна и только одна точка, соот-
соответствующая точке Л, — на расстоянии от О, рав-
равном ОВ.
Рис. 43.
52

Если точка О принадлежит к предельной поверх-
поверхности, то, как нетрудно видеть, в плоскости а нет бо-
более точек этой поверхности.
В главе 4 мы видели, что на предельной линии
можно ввести понятия, аналогичные основным поня-
понятиям геометрии прямой (между, отрезок, луч, кон-
конгруэнтность отрезков, длина отрезка, непрерывность
прямой), причем геометрия предельной линии ничем
не будет отличаться от геометрии прямой (безраз-
(безразлично— прямой в пространстве Евклида или Лоба*
чевского, так как свойства прямой в обеих системах
подчиняются одним и тем же законам «абсолютной
геометрии»). Теперь то же самое мы сделаем для
предельной поверхности — построим на ней геомет-
геометрию, аналогичную геометрии плоскости. Роль «основ-
«основных линий», аналогичных прямым плоскости, будут
играть предельные линии, лежащие на ней, со всеми
понятиями (между, луч, конгруэнтность отрезков
и т. д.), заимствованными из геометрии прямой. Углом
будем называть совокупность дЕух предельных лучей
с общей вершиной. Ясно, как ввести понятия треуголь-
треугольника, полуплоскости и т. д.
Докажем основное предложение, установленное
Лобачевским и положенное им в основу вывода три-
тригонометрических формул, — что построенная таким
образом геометрия предельной поверхности подчи-
подчиняется всем законам евклидовой планиметрии.
Теорема С. На предельной поверхности имеет
место геометрия Евклида.
Доказательство. Для доказательства этой
теоремы необходимо установить, что геометрия пре-
предельной поверхности подчиняется всем аксиомам ев-
евклидовой планиметрии. Взяв какую-нибудь систему
аксиом евклидовой геометрии (например, систему
Гильберта), необходимо проверить применимость к
предельной поверхности только плоскостных аксиом,
так как линейные аксиомы, как было указано выше,
справедливы для геометрии предельной линии. Мы
не будем проводить здесь полной проверки дтя всех
аксиом, так как это отняло бы слишком много места,
а ограничимся только некоторыми, наиболее яркими
постулатами,
53

Покажем прежде всего, что две точки предельной
поверхности определяют одну и только одну прохо-
проходящую через них предельную линию на этой поверх-
поверхности. В самом деле, две точки, не лежащие на одной
оси, определяют единственную диаметральную пло-
плоскость, которая пересекает предельную поверхность по
предельной линии, проходящей через данные две
точки. Единственность предельной линии вытекает из
того, что только диаметральные плоскости пересе-
пересекают предельную поверхность по предельным линиям.
Рассмотрим постулат Паша. Пусть ABC— тре-
треугольник на предельной поверхности, MN — предель-
предельная линия, не проходящая
ни через одну из его вер-
вершин и пересекающая дугу
АВ в точке Р (рис. 44).
Проектируя MN осями пре-
предельной поверхности на
плоскость ABC, получим
прямую M'N', пересекаю-
щую отрезок АВ и не про-
проходящую через точки Л, В,
С. Применяя постулат Па-
Паша к этой прямой и пло-
плоскому треугольнику ABC, выводим, что эта прямая
пересечет или отрезок АС, или отрезок ВС в некото-
некоторой точке Q'. Проводя через Q' ось поверхности, по-
получим на соответствующей дуге точку Q, через кото-
которую проходит предельная линия MN. "
Ограничиваясь относительно 5-й аксиомы кон-
конгруэнтности, играющей исключительно важную роль
в построении метрических теорем геометрии1), ука-
указанием, что ее проверка в геометрии предельной по-
поверхности приводится к простому применению крите-
критериев равенства трехгранных углов, перейдем к наи-
наиболее интересной для нас аксиоме параллельности.
Пусть Р — точка предельной поверхности, не ле-
лежащая на предельной линии MN этой поверхности
(рис 45). Проводим через Р ось РР\ через MN —
Рис- 44-
х) 5-я аксиома конгруэнтности в системе Гильберта форму-
формулируется следующим образом: если для треугольников ABC и
А'В'С имеют место равенства АВ = А'В', АС = А'С, Z-A =
«= Z.A', то /-В = Z-B'.
54

диаметральную плоскость а. Применяя к РР' и а
теорему 3 (с. 48), выводим, что только одна предель-
предельная линия, проходящая через Р, — именно та, кото-
которая соответствует диаметральной плоскости, прохо-
проходящей через РР' и параллельной ее, — не пересекает
Рис. 45.
линию ЛШ. Итак, на предельной поверхности имеет
место постулат Евклида.
Глава шестая
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
ТРИГОНОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
I. Формулы для прямоугольного треугольника
Так как на предельной поверхности имеет место
геометрия Евклида, то для предельных треугольников
на этой поверхности справедливы формулы обычной
тригонометрии. Основная идея вывода формул три-
тригонометрии Лобачевского заключается в следующем:
проектируя предельную поверхность ее осями на ка-
касательную к ней плоскость и пользуясь соотноше-
соотношениями (А) и (В) на с. 43, получим из формул обыч-
обычной тригонометрии формулы для плоскости Лоба-
Лобачевского.
Пусть ABC — плоский прямоугольный треуголь-
треугольник с гипотенузой АВ — с, катетами ВС — а, АС =
— Ь и острыми углами ZBAC — a, ZABC=$
(рис. 46). В вершине А угла а восставим перпенди-
перпендикуляр ААГ к плоскости треугольника и проведем
55

прямые В В', СС, параллельные АА\ Плоскости, оп-
определяемые этими тремя прямыми, пересекут предель-
предельную поверхность, касательную к плоскости ABC в точ-
точке Л, по предельным линиям, образующим предельный
треугольник АВ\С\ с углом а при вершине Л и прямым
>глом при вершине С\. Обозначим его гипотенузу
АВ\ через s3, его катеты ВхСх и АС\ соответственно
через 5i и 52. Выразим дуги sb s2, s3 через стороны
прямолинейного треугольника
ABC.
На основании формулы
(А) (с. 43) имеем
Рис. 46.
Чтобы
ДЛЯ S\,
ческую
Имеем
^
S2 = ath|
получить
проводим
предельную
(а)
(Ь)
выражение
концентри-
дугу СВ2.
ее,
• а ^
Пользуясь формулой (В) (с. 43), получаем
Итак,
е- =chf
к
(с)
Дальнейший процесс вывода заключается в сле-
следующем: берем формулы геометрии Евклида для
предельного треугольника и переводим их при по-
помощи соотношений (а) — (с) в формулы тригономет-
тригонометрии Лобачевского.
Начнем с теоремы Пифагора. Из соотношении
56

получаем
—r
Cfr -7-
t. e.
A)
Из формулы
получаем
= ^3 COS C6
~-= th~cosa.
Заменяя в этом соотношении Ь через а и а через р,
получаем парную формулу
(9Ъ)
Формула
дает
Si
k
ь
— th
= s3
i ~ cos p.
sin a
-г- sin a;
l) Используются следующие соотношения между гиперболи-
гиперболическими функциями одного аргумента:
th2 C
2) Отметим, что формула A) может быть получена и него*
ВБх
средственно, если учесть, чта ВВ\ = ВВ2 + B2BU е = ch —,
57

учитывая A), имеем
sh j =
Из соотношения
получаем
sh4- sine,
h-Jsinp1)-
= s2 ig a
= th.fc.ga,
(За)
т. e.
th-J=sh?lgaf Da)
thl^shflgp. Db)
Остается получить еще две формулы, связываю-
связывающие два угла прямоугольного треугольника с гипо-
гипотенузой или катетом. Перемножая почленно соотно-
соотношения Dа) и DЬ), имеем
Учитывая теорему Пифагора A), получаем
| E)
Наконец, деля почленно формулу Bа) на (ЗЬ),
имеем
1 I cos a
. b , с sin P"
en ~ ch -7-
k k
Пользуясь снова Teopejviofi Пифагора, выводим
cos a = ch ~ sin p. Fа)
Этой формуле соответствует парная:
= ch-r-sin a. Fb)
') Из определения гиперболических функций (см. подстрок
пое примечание на с. 43) следует, что sh х = chx-ihx.

Нами получены все основные формулы для пря-
прямоугольного треугольника. Для них можно формули-
формулировать аналог правила Непера для прямоуготьиого
сферического треугольника *).
В прямоугольном треугольнике имеем пять эле-
элементов: а, Ь, г, а, р; каждый из них имеет чва при-
прилежащих и два противолежащих элемента (рис. 47),
Рис. 47.
Аналог правила Непера заключается в следующем:
1) длины сторон входят в формулы под знаками
гиперболических функций, а величины углов — под
тригонометрическими;
1) Сферическим треугольником ЛВС называется треугольник,
вершинами которого являются три точки этой сферы, не лежа-
лежащие на одном большом круге, а сторонами — дуги больших кру-
кругов АВ, BCt СА этой сферы. Соотношения между сторонами
и углами сферических треугольников изучаются в сферической
тригонометрии. В формулы сферической тригонометрии входят
тригонометрические функции углов
треугольника и его сторон, взя-
взятых в отношении к радиусу
сферы R (например, формула" на
с. 61 этой книги).
Правило Непера состоит в
следующем. Если стороны и утлы
прямоугольного сферического тре-
треугольника (см. рисунок) расположить по кругу в том поряд-
порядке, как они находятся в треугольнике (пропустив прямой
угол), и заменить при этом катеты а и b их дополнениями до
90°, то
1) косинус каждого элемента равен произведению котанген-
котангенсов двух прилежащих к нему элементов,
2) косинус каждого элемента равен произведению синусов
двух неприлежащих элементов. (Длины сторон делятся на ра-
диус сферы R.)
Например, cos а = ctg Г 90° —— J ctg — , cos f 90° — — J =«
sin — sin a.
К
59

2) косинус элемента равен произведению синусов
противолежащих элементов и котангенсов прилежа-
прилежащих, причем если под знаком функции находится ка-
тет, то функцию надо заменить смежной (т. е. си-
синус — косинусом и обра-
обратно, тангенс — котанген-
котангенсом и обратно).
Для косоугольного
треугольника выведем
только две основные
формулы, выражающие
так называемые теоремы
косинуса и синусов.
Обозначая в прямолинейном треугольнике сто-
стороны и углы соответственно через а, Ь, с и а, р, у,
высоту CD — через /г, отрезок AD — через d (рис.48),
выводим из прямоугольного треугольника DCB:
Рис. 48.
с — d
d
i h i с * d , b « с л с « Ь ,« d
-chishiSii=chichi-shiehithi=
t b , с , с * b ,* b i
== cn -r ch -r— sh -r ch т th -г- cos aJ
к к к к, к
Получаем основное соотношение
л а % b . с , b л с у^ч
сп-г = ch-г-сп-г-— sh-r-sh-r cos a, G)
li k ft к /V
выражающее так называемую «теорему косинуса», из
которой чисто аналитически могут быть получены все
формулы тригонометрии.
Дадим все же геометрический вывод теоремы си-
синусов. Применяя к прямоугольным треугольникам
ACD и CD В формулу (За), имеем
Итак,
< h , а . о « b
sh -г- = sh -т- sin P = sh -r sin a.
к r к
1 U Л^ U
sh -r- sh -г-
sin a sin p sin у
J) Формула гиперболического косинуса разности аргументов
ch (л: — у) = ch л: ch у — sh я sh у.
60

2. Два свойства формул
неевклидовой тригонометрии
Лобачевский отмечает два следующих свойства
формул неевклидовой геометрии.
Во-первых, формулы прямолинейной тригономет*
рии для малых треугольников в первом приближении
дают формулы геометрии Евклида. Термин «малый
треугольник» надо понимать в том смысле, что его
стороны малы по сравнению с радиусом кривизны
пространства k. В самом деле, разлагая гиперболиче-
гиперболические функции в ряды1) и удерживая члены низшего
порядка, имеем, например, для теоремы косинуса
т. е. получаем в первом приближении основную фор-
формулу евклидовой тригонометрии:
а2 = Ъ2 + с2 — 2bc cos a.
Можно сказать также, что чем больше радиус кри-
кривизны пространства k, тем менее геометрические
свойства пространства Лобачевского в некоторой ко-
конечной области отличаются от свойств евклидова про-
пространства.
Во-вторых, Лобачевский отмечает аналитическую
связь между формулами неевклидовой и сферической
тригонометрии. Производя подстановку k = IR, по-
получаем из формулы G)
а Ъ с . . Ь . с
COS о- = COS тг COS -77 + Sin 77 Sill jr COS a,
А А К К А
т. е. основное соотношение сферической тригономет-
тригонометрии. Иногда эту аналитическую связь выражают,
пользуясь терминологией геометрии комплексного
пространства: формулы тригонометрии Лобачевского
имеют место для треугольников на сфере с мнимым
радиусом.
l) По формуле
61

3. Основная формула Лобачевского
(функция П (х))
Из тригонометрических соотношений для прямо-
прямоугольных треугольников при помощи предельного пе-
перехода можно вывести фор-
формулы для угла параллельно-
параллельности.
Пусть Д4' и ВВ'— парал-
параллельные прямые (рис. 49); при
удалении вершины С прямо-
прямоугольного треугольника ABC
в бесконечность в направле-
направлении АА' гипотенуза ВС будет
безгранично приближаться к
параллели ВВ\ угол а — к
углу параллельности П(р), угол р — к нулю [послед-
[последнее можно вывести хотя бы из формулы Fа)]. Так
как
Ч
Pic 49.
sina =
cos
ih-
то в пределе получаем
sin П (р) = —
(9)
Из второго соотношения нетрудно получить основную
формулу Лобачевского для угла параллельности:
A0)
Отметим, что в сочинениях Лобачевского стороны
прямолинейных треугольников входят в тригономет-
тригонометрические формулы через тригонометрические функции
их углов параллельности. Так, если взять формулу
G), то, чтобы получить ее вид, в котором она встре-
встречается в сочинениях Лобачевского, необходимо сде-
сделать подстановку, пользуясь соотношениями (9).
Получаем
sin п W sin П (с)
sin I i(ti) —
62

4. Замечание
При выводе формул тригонометрии мы пользова-
пользовались теоремами стереометрии Лобачевского: основ-
основным фактом, который был положен в основу этого
вывода, являлась теорема, что на предельной поверх-
поверхности имеет место геометрия Евклида. Этим методом
пользовались как раз творцы неевклидовой геомет-
геометрии— Лобачевский и Янош Бояи.
Интересным является вопрос, не могут ли триго-
тригонометрические соотношения быть получены без при-
применения стереометрии, из одних фактов планиметрии,
подобно тому как это имеет место для тригонометрии
Евклида. Позднейшие исследования вопросов обосно-
обоснования геометрии Лобачевского показали, что такой
путь возможен, но он более сложен и требует неко-
некоторых дополнительных исследований1).
Глава седьмая
КРАТКИЙ ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШЕГО ПОСТРОЕНИЯ
ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Элементарная геометрия
После того как выведены тригонометрические
формулы, дальнейшее построение неевклидовой гео-
геометрии значительно облегчается, так как в руках
исследователя имеется аналитический метод, поль-
пользуясь которым, можно систематически при помощи вы-
вычислений вести доказательство метрических теорем гео-
геометрии. Такие вопросы элементарной геометрии, как
свойства медиан, биссектрис, высот треугольников,
теорема Птоломея, теория пучков и сетей окружно-
окружностей, инверсия, вычисление длины окружности и т. д.,
могут быть исследованы при помощи полученных
формул. Например, применяя обычный метод преде-
пределов, читатель без труда, пользуясь соотношением
(За) (с. 58), может вывести формулу для длины
!) С методом вывода тригонометрических формул, основан-
основанным исключительно на теоремах планиметрии, можно познако-
познакомиться по книге: К a i а н В. Ф. Основания геометрии. Ч. I:
Геометрия Лобачевского и ее предыстория. — М; Л.: Гостей-
издат, 1949.
63

окружности радиуса R:
Укажем также на элементарную теорию кониче-
конических сечений, которая может быть построена анало-
аналогично той теории, которую мы имеем в геометрии Ев-
Евклида; при этом получается, конечно, большее разно-
разнообразие типов кривых, чем в обычной геометрии.
Особенно интересным фактом, который можно
установить при помощи тригонометрических соотно-
соотношений, является тот полученный Лобачевским и Бояи
вывод, что формулы сферической тригонометрии
имеют одинаковый вид в системах как евклидовой,
так и неевклидовой (стороны сферических треуголь-
треугольников при этом измеряются в угловой мере). Что вы-
вывод этот является вполне естественным, можно усмот-
усмотреть из того, что все основные предложения в теории
связки прямых и плоскостей, проходящих через одну
точку, одинаковы в обеих геометриях. А эти основные
предложения и предопределяют тригонометрические
соотношения для трехгранных углов, причем эти со-
соотношения могут быть получены независимо от пло-
плоской тригонометрии.
2. Аналитическая и дифференциальная геометрия
Координатный метод вводится вполне аналогично
тому, как зто делается в геометрии Евклида. Мы ука-
укажем здесь только на некоторые
простейшие координатные систе-
системы в плоскости.
Пусть OX, OY — две взаим-
взаимно перпендикулярные прямые,
PQ и PR— перпендикуляры из
Ж и р У точки Р на эти оси (рис. 50).
Мы получаем 4 отрезка: OQ =
Рис. 50. = Ut OR = v, PR = u'r PQ = v'.
При помощи их можно ввести
различные системы координат; из них отметим сле-
следующие.
1) Координаты Лобачевского
64

которыми он пользовался в своих исследованиях.
Они удобны для исследования главным образом во-
вопросов дифференциальной геометрии и приложений
интегрального исчисления к вычислению площадей.
Исследование же вопросов проективной природы
в них довольно сложно, так как прямая, например,
имеет трансцендентное уравнение.
2) Координаты Бельтрами
х = th~ = th ~ cos ф, у = th -f = th ~ sin ф,
особенно удобные для вопросов проективной при-
природы. Прямая имеет в них линейное уравнение, кони-
конические сечения выражаются уравнениями 2-го по-
порядка.
3) Координаты Вейерштрасса
хх — sh -г- = sh -г- cos ф,
v' г
*2=sh-^ = sh k sinf,
л г
Эти координаты связаны между собой соотношением
v2 J- х1 — X2 = 1
Эга система координат имеет, с одной стороны, ука-
указанное выше преимущество системы Бельтрами,
с другой — формулы, выражающие длины и углы,
в ней имеют наиболее простой вид. Поэтому иссле-
исследование общих вопросов аналитической и дифферен-
дифференциальной геометрии ведется обычно в этой системе*
Укажем также, что движения в плоскости выра-
жахотся так называемыми преобразованиями Ло-
ренца (основными преобразованиями координат про-
пространственно-временного континуума в частном прин-
принципе относительности ]):
]) То есть в специальной теории относительности. — Прим.
ред*
65

причем коэффициенты a k связаны соотношениями,
аналогичными соотношениям для ортогонального пре-
преобразования:
«Il
a,, —
1 « аз^ азз ~~
«11
«12
«22
«32
«13
«23
«S3
1, а33 > 1.
Ясно, что эта система координат удобна при ис-
исследовании вопросов применения геометрии Лобачев-
Лобачевского к частному принципу относительности
4) Полярная система координат
г, ф;
она применяется при исследовании тех же вопросов,
что и в геометрии Евклида.
При помощи координатного метода строится диф-
дифференциальная геометрия в пространстве Лобачев-
Лобачевского (исследуются кривые, поверхности, конгруэнции
и комплексы прямых и т. д.). К настоящему времени
в этой области накоплен очень богатый материал 1).
3. Вычисление площадей и объемов
Сделаем несколько кратких указаний о вычислении
тощадей и объемов в геометрии Лобачевского.
В настоящее время теория площади многоугольни-
многоугольников строится на идее равносоставленности фигур. Два
многоугольника называются равносоставленными,
если они могут быть разбиты на попарно конгруэнт-
конгруэнтные многоугольники. Принимая во внимание, что
дефект многоугольника равен сумме дефектов его
частей, видим, что равносоставленмые многоуголь-
многоугольники имеют равные дефекты. Можно доказать и об-
1) С основами аналитической и дифференциальной геометрии
можно познакомиться по книге: Каган В. Ф. Основания гео-
кетрии. Ч. I. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. См. также моногра-
монографию: К у л и д ж (Coolige). The Elements of Non-euclidean Geo-
Geometry.—Oxford, 1909. Основные вопросы дифференциальной гео-
геометрии изложены в книге Бьянки (Bianchi L.). Lezioni di geo«
metria differenziale. — Bologna, 1924, p. 11, v. 2.
66

ратное предложение: многоугольники с одинаковыми
лефектами равносоставлены. Таким образом, за меру
площади многоугольника можно принять величину,
пропорциональную его дефекту (обычно за коэффи-
коэффициент пропорциональности принимается квадрат ра-
лиуса кривизны пространства). Так, площадь тре-
треугольника с углами а, р, у равна S = k2(n — я —
-P-Y).
Следует отметить вытекающее из этой формулы
следствие, которое кажется с первого взгляда пара-
парадоксальным: площадь любого треугольника меньше
як2. Отметим также аналогию между теорией площа-
площадей в геометрии Лобачевского и сферической геомет-
геометрии: в этой последней площадь многоугольника про-
пропорциональна его избытку (т. е. разности между
суммой его углов и (п — 2)я).
Площадь криволинейных фигур вычисляется при
помощи метода пределов.
В основу теории объемов, как и в геометрии Ев-
Евклида, уже нельзя положить идею равносоставленно-
равносоставленности. Здесь приходится прибегать к интегральному
исчислению при вычислении объема даже такого про-
простейшего тела, как тетраэдр; при этом в формулу
для объема тетраэдра входят интегралы, не выра-
выражающиеся при помощи элементарных функций.
Вычисляя объем одного и того же тела различ-
различными путями, Лобачевский устанавливает соотноше-
соотношения между различными типами определенных инте-
интегралов. В этом заключалось первое применение «во-
«воображаемой геометрии» в анализе.
Глава восьмая
РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Отображение плоскости на предельную поверхность
Мы воспользуемся тем приемом проектирования
плоскости Лобачевского на предельную поверхность,
который мы применяли в главе 6 (с. 55—60) при
выводе тригонометрических формул для построения
интерпретации неевклидовой плоскости при помощи
геометрических образов плоскости Евклида.
67

Пусть плоскость а касается предельной поверхно-
поверхности S в точке О (рис. 51). Проводя через точки пло-
плоскости а оси предельной поверхности, мы отобразим
Рис. 51.
эту плоскость в круг на предельной поверхности
с центром О и предельным радиусом OR = g{QQ' —
ось предельной поверхности, параллельная плоскости
а). Окружность, ограничивающую эту область, мы
будем называть абсолютом. Прямые линии плоскости
О S Р
Рис. 52.
а при этом проектировании изобразятся предель-
предельными дугами на поверхности S, лежащими внутри
абсолюта.
Очень простое отображение дают пучки прямых
в плоскости Лобачевского. Так, пучку 1-го рода со*
68

ответствует совокупность предельных дуг, проходя-
проходящих через одну точку, лежащую внутри абсолюта.
Рассмотрим пучок 3-го рода U (рис. 52); пусть
ОВ— прямая этого пучка, проходящая через точку
касания О. Рассмотрим пучок плоскостей Т с осью
QQ\ параллельной прямой ОВ и являющейся осью
предельной поверхности. Плоскости этого пучка пере-
пересекают плоскость а по прямым рассматриваемого
пучка 3-го рода U, и обратно — каждая прямая
пучка U может быть получена как прямая пересече-
пересечения плоскости а с некоторой плоскостью пучка 7\
В пересечении с предельной поверхностью 5 плоско-
плоскости пучка Т дают пучок предельных дуг V с центром
R, лежащим на абсолюте.
Покажем теперь, что пучок расходящихся прямых
W в плоскости а (рис. 53) дает в отображении пучок
Рис. 53.
предельных дуг Z, продолжения которых за абсолю-
абсолютом пересекаются в некоторой точке М.
Для доказательства проведем через ось пучка W>
плоскость р, перпендикулярную к а, и построим ось
КК предельной поверхности, перпендикулярную к
плоскости р1). Прямая КК' пересекает предельную
поверхность в некоторой точке М, лежащей вне аб-
абсолюта. Плоскости, проходящие через КК', дают
в пересечении с плоскостью а прямые пучка W (ввиду
перпендикулярности этих плоскостей к J3), а предель*
ную поверхность пересекают по предельным линиям,
проходящим через точку М. Обратно, каждая прямая
*) На рис. 53 прямую КК' нужно считать перпендикулярной
к плоскости р, хотя она изображена в виде наклонной.
69

пучка Vi можег быть получена как пересечение пло-
плоскости а с некоторой плоскостью, проходящей че-
через КК'.
Таким образом, факты проективной природы, от-
относящиеся к прямым плоскости Лобачевского, выра-
выражаются очень просто на предельной поверхности при
указанном отображении. Иначе обстоит дело с мет-
метрическими соотношениями. Ясно, что расстояния
и упы в плоскости Лобачевского не равны дли-
длинам соответствующих предельных дуг и углам ме-
между предельными дугами на предельной поверхно-
поверхности. Установим формулы, выражающие расстояния
и утлы.
Рас, 54.
Возьмем точки А\у А2 в плоскости а (рис. 54);
пусть они отображаются в точки А{> А2 предель-
предельной поверхности S. Введем следующие обозначе-
обозначения:
A[A2:=d, ОАу — г^ OA2 = r2,
Имеем (формула G) главы 6 (с. 60))
Из формулы (А) (с. 43) получаем
к
70

Такчм образом !),
о" — р;р2 cos 9
и)
Аналогично выводится формула для угла ф между
пересекающимися прямыми (рис. 55, слева) и для
кратчайшего расстояния б между двумя расходящи-
расходящимися прямыми (рис. 55, справа). Пусть ОРи ОР* —
предельные дуги, проведенные из точки О ортого-
ортогонально к предельным линиям, получающимся яри
Рис. 55.
отображении из прямых плоскости а (точки Pi и Рг
принадлежат соответственно первой и второй из этих
предельных линий). Обозначим ОР\ = аь ОР2 = сг2,
угол между дугами ОР\ и ОР2 через о. Тогда
cos ф = ± ¦
О2 COS СО —- 0^02
a2 cos со —
B)
C)
') Используем основные соотношения между гиперболиче-
гиперболическими функциями одного аргумента:
ch х ¦¦
1
sh x-
\hx
71

2. Интерпретация Бельтрами
Получив отображение плоскости Лобачевского на
предельную поверхность, мы можем построить интер-
интерпретацию этой плоскости в плоскости Евклида. Так
как на предельной поверхности имеет место евкли-
евклидова геометрия, то, отображая предельную поверх-
поверхность на плоскость Евклида, получим в этой послед-
последней следующую интерпретацию. Плоскости Лобачев-
Лобачевского соответствует область, ограниченная окруж-
окружностью (абсолютом) радиуса а (рис. 56); ввиду про-
произвольности выбора единицы длины радиус абсолюта
в)
является произвольным отрезком. Прямые плоскости
Лобачевского интерпретируются отрезками прямых,
лежащими внутри абсолюта. Пучки прямых различ-
различного рода изображаются
пучками прямых с центра-
центрами, лежащими внутри аб-
абсолюта (пучки 1-го рода,
рис. 56,а), вне (пучки 2-го
рода, рис. 56, б) или на
абсолюте (пучки 3-го рода,
рис. 56, в). Неевклидовы
расстояния, углы и крат-
кратчайшие расстояния между
расходящимися прямыми
определяются соответствен-
соответственно формулами A), B) и
C). Вводя вместо поляр-
полярных координат прямоугольные декартовы координаты
с началом в центре абсолюта (рис. 57), имеем (через
#ь У\ и х2, у* обозначены координаты точек А и В,
72
Рис. 57.

неевклидово расстояние между которыми равно
cnk
Если прямые а, 6, интерпретирующие прямые в пло-
плоскости Лобачевского, заданы уравнениями
то угол ф между соответствующими прямыми на пло-
плоскости Лобачевского (в случае пересечения) и крат-
кратчайшее расстояние б (в случае расхождения) опре-
определяются следующими формулами:
cos со = н
Пользуясь этими формулами, нетрудно выразить
неевклидовы расстояния и углы при помощи проек-
проективных понятий.
Если прямая АВ пересекает абсолют в точках М
и N, то
\n{MNAB) G)
где {MNAB) = ^j-:-^— ангармоническое отношение
четырех точек М, N, А, В2).
l) Согласно известным формулам аналитической геометрии
cose.
Р1Р2
2) Получается из D) при помощи известного соотношения!
если ch х ==. у, то х = Arch у = -+¦ in (# + V^2 + l).
73

Для угла и кратчайшего расстояния между расхо«
дящимися прямыми можно вывести аналогичные фор*,
мулы. Пусть (рис. 57) a, b — прямые, интерпрети-
интерпретирующие две пересекающиеся прямые плоскости Лоч
бачевского, т. е. а, Ь пересекаются внутри абсолюта..
Пользуясь понятиями комплексной геометрии, мож-
можно говорить о паре комплексно сопряженных каса*
тельных m, n к абсолюту, проведенных из точки
пересечения прямых а и Ь. Из формулы E) полу*
чаем
Ф= ±57 In (/шшЬ). (8)
Если прямые a, b интерпретируют расходящиеся пря-
прямые, то точка их пересечения лежит вне абсолюта; из
нее можно провести две действительные касательные
m, n к абсолюту. Формула F) дает
6= ±у In {mnab). (9)
Построенная интерпретация плоскости Лобачев-
Лобачевского называется интерпретацией Бельтрами. Отме-
Отметим, что она может быть получена и чисто аналити-
аналитически. В самом деле, пользуясь координатами Бель-
Бельтрами, отнесем к каждой точке (х9у) плоскости
Лобачевского точку евклидовой плоскости, определяе-
определяемую прямоугольными декартовыми координатами
х' = ох, у' = оу.
Так как координаты Бельтрами удовлетворяют не-
неравенству
то плоскость Лобачевского отобразится в круг ра-
радиуса о,
3. Интерпретация Кели — Клейна
При помощи различных преобразований можно
получить из интерпретации Бельтрами самые разно-
разнообразные интерпретации. Так, например, применяя
к плоскости некоторое проективное преобразование^
74

получаем интерпретацию Кели — Клейна, являющую-
являющуюся непосредственным обобщением интерпретации
Бельтрами. Плоскости Лобачевского соответствует
область, ограниченная кривой 2-го порядка (абсолю*
том). Прямые плоскости Лобачевского изображаются
отрезками прямых, лежащими внутри этой кривой.
Ввиду того, что ангармоническое отношение является
инвариантом проективных преобразований, формулы
:G), (8) и (9) остаются в силе и для интерпретации
Кели — Клейна. Эта интерпретация интересна в том
отношении, что она позволяет все геометрические со-
соотношения планиметрии Лобачевского выразить как
проективные соотношения между соответствующими
геометрическими фигурами и абсолютом. Кроме того,
она показывает, что в основе метрической неевкли-
неевклидовой геометрии лежит обычная проективная геомет-
геометрия; только для получения полной проективной пло-
плоскости из плоскости Лобачевского необходимо про-
произвести более сильное дополнение этой последней
несобственными элементами, чем в геометрии Евкли-
Евклида: если для евклидовой плоскости достаточно ввести
бесконечно удаленную прямую, то плоскость Лоба-
Лобачевского приходится дополнять не только бесконечно
удаленными точками, лежащими на абсолюте, но
и так называемыми «идеальными элементами» — точ«
ками и прямыми, которые в интерпретации Кели—:
Клейна изображаются точками и прямыми, лежащи-
лежащими вне абсолюта.
4. Интерпретация Пуанкаре
Из интерпретации Бельтрами очень просто можно
получить интерпретацию Пуанкаре. Проведем через
абсолют сферу S, центр которой совпадает с центром
абсолюта, и отобразим при помощи прямых, перпен-
перпендикулярных к плоскости а абсолюта, внутреннюю
область абсолюта на одну из полусфер (например
«нижнюю», рис. 58). Отрезки прямых, интерпретиру-
интерпретирующие прямые Лобачевского, "дадут на нижней полу-
полусфере полуокружности, ортогонально пересекающие
абсолют. Пользуясь формулой E), можно показать,
что углы между прямыми в плоскости Лобачевского
равны углам между соответствующими полуокружно-
полуокружностями на нижней полусфере. Мы получаем, таким
75

образом, конформную') интерпретацию плоскости
Лобачевского на полусфере.
Произведем теперь стереографическое отображе-
отображение из полюса N верхней полусферы снова на внут-
внутреннюю область абсолюта: для этого проектируем из
N точки Р' на плоскость абсолюта. Тогда плоскость
Рис. 58.
Лобачевского изобразится внутренней областью аб-
абсолюта, прямые — дугами окружностей, ортогонально
пересекающих абсолют (так как при стереографиче-
стереографическом проектировании окружности, лежащие на сфере
S, дают в плоскости а также окружности, и стерео-
стереографическая проекция является конформным от-
отображением). Получающаяся таким образом кон-
конформная интерпретация плоскости Лобачевского на-
называется интерпретацией Пуанкаре. Она имеет боль-
большие применения в теории аналитических функций ком-
комплексной переменной2), особенно в теории автоморф-
ных функций. Пуанкаре, являющийся творцом теории
автоморфных функций, называет неевклидову гео-
геометрию ключом к этой теории3).
б. Заключение
В заключение отметим, что для пространства Ло-
Лобачевского можно построить интерпретации при по-
помощи образов пространства Евклида, вполне анало-
аналогичные тем, которые были указаны для плоскости.
То есть сохраняющую углы.
См. книгу: Жюлиа Г. Геометрические принципы ана-
анализа.— М.; Л.: ОНТИ, 1933.
s) Acta Math., 39, с. 100.
76

Значение различных интерпретаций неевклидовой гео-
геометрии очень велико: с одной стороны, они открывают?
возможность различных применений этой геометриче-
геометрической системы (так, например, интерпретация Кели —
Клейна может быть положена в основу приложения
геометрии Лобачевского к частному принципу отно-
относительности, интерпретация Пуанкаре, как было ука-
указано выше, связана с вопросами теории аналитиче-
аналитических функций); с другой стороны, они тесно увязывают
между собой обе геометрические системы — Евклида
и Лобачевского, так что вопрос о непротиворечивости
одной сводится к вопросу о непротиворечивости дру-
другой.

Петр Александрович Широков
КРАТКИЙ ОЧЕРК
ОСНОВ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Редактор В. В Донченко
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор Л. Л. Ипатова
ИБ № 12207
Сдано в набор 09.10.82. Подписано к печати 13.07.83. Фор-
Формат 84ХЮ81/з2. Бумага тип. № 2. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 4,2. Уч.-изд. л. 3,8.
Тираж 100 000 экз. Заказ № 387 Цена 10 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
грома при Государственном комитете СССР по делам . лзда,
тельств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Г# Ленинград,,
Л-52, Измайловский проспект, 29

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
С т р о й к Д. Я. Краткий очерк истории мате*
матикн.— 4-е изд.
Книга известного голландского математика и
историка математики Д. Стройка является одной из
лучших в мировой математической литературе,
В этой книге небольшого объема живым, образным
языком изложена история математики от зарожде-
зарождения этой науки до конца 19-го столетия.
Для преподавателей математики, студентов уни-
университетов и педагогических институтов. Книгу с
увлечением прочтут также и неспециалисты, интере-
интересующиеся математикой, ее историей и историей нау«
ки вообще.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
Дальма А. Эварист Галуа — революционер и
матема гик. — 2-е изд.
Книга посвящена замечательному французскому
математику Эваристу Галуа, прожившему короткую,
но очень яркую жизнь, наполненную революционной
борьбой и напряженной научной работой. Она на-
написана с горячей любовью автора к своему герою.
Большим достоинством книги является то, что в ней
научная деятельность Галуа не отрывается от его
прогрессивных политических взглядов. Наличие в
книге документального материала позволяет глубже
почувствовать дух эпохи и трагедию Галуа.
Для учащихся старших классов средней школы,
преподавателей математики и лиц, интересующихся
историей науки,