И. К. Андронов
МАТЕМАТИКА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
И КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЕЛ
Под редакцией Н. М. МАТВЕЕВА
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1975

517
А66
Разрешено Управлением учебных заведений
Министерства просвещения СССР
ОТ РЕДАКЦИИ
Поскольку данным пособием (предназначенным
учителю и студенту вуза) завершается серия книг автора,
посвященных понятию числа и числовым системам,
редакция сочла возможным не приводить употребляемые в книге
терминологию и символику в полное соответствие с
вводимыми ныне в учебники для средней школы, — во избежание
разнобоя и возникновения противоречий в изложении
материала И. К. Андроновым.
Андронов И. К.
А66 Математика действительных и комплексных чисел.
М., «Просвещение», 1975
158 с. с ил.
ш 60501 — 537
А 112 — 75
103(03)—75
517
(g) Издательство «Просвещение», 1975 г.

Посвящаю светлой памяти моей дорогой
и горячо любимой оюены Анны Ивановны
АндроновойЛ рожденной Пилюгиной
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предполагается, что приступающий к изучению курса
математики действительных чисел уже владеет не
только практикой, но и теорией арифметики рациональных
чисел. Если последнего нет, то необходимо усвоить курс
рациональных чисел, так как курс математики
действительных чисел полностью опирается на теорию
рациональных чисел. В частности, можно рекомендовать
«Арифметику рациональных чисел» Андронова И. К. и Окунева А. К.
(Москва, «Просвещение», 1971).
Курс «Математика действительных и комплексных
чисел» развивается на единстве двух методов: 1) историко-
генетического и 2) логико-дедуктивного.

Часть I
МАТЕМАТИКА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Глава I.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КУЛЬТУРА ДО XIX в.
§ 1. Счет и измерение как следствия потребности людей
в ориентировке в количественных явлениях природы
Уже людям античных обществ потребовалась простейшая
ориентировка в жизненных явлениях, например определение емкости
употребляемой посуды, тяжести переносимых вещей, длин
проходимых путей, периметров и площадей занимаемых земель и др.
Началась практика сравнения этих величин с соответствующими
величинами, часто встречающимися в жизни и ставшими
привычными, например: емкостью ежедневно употребляемой посуды,
тяжестью часто переносимых стандартных вещей, длинами шага или
руки человека, площадью, занимаемой хижиной, и т. п. Последние
стали измерительными единицами.
В результате сравнения рассматриваемых величин с их
единичными величинами получали натуральные числа, показывающие,
сколько раз единичная величина содержится в рассматриваемой
величине, или дробные числа, показывающие, какую долю или
сколько долей единичной величины содержит рассматриваемая
величина. Так создавалась и совершенствовалась практика
измерения конкретных величин, встречающихся в жизни. Все это
служило основой для возникновения начал измерения и практики
обращения с натуральными и дробными числами.
§ 2. Начала первой теории абстрактного отрезка прямой и его
измерения в философско-математических школах классической
Греции (VI—V вв. до и. э.)
В философской школе Пифагора (580—500 г. до н. э.) было
открыто существование несоизмеримых отрезков.
По преданию философ И п п а с (Гиппас) — ученик Пифагора —
в установленном Пифагором соотношении, что квадрат,
построенный на гипотенузе с прямоугольного треугольника, равновелик
сумме квадратов, построенных на его катетах а и Ь, рассмотрел
случай а = b = 1. Получив с2 = I2 + I2, он поставил перед собой
задачу найти с. Очевидно, 1 < с < 2.
4

1) Взяв с= 1-^ = 1-1 , он получил с2 = (l i-j = (|j = | =
7 \2 49
T = ^ <2' значит>
5/ 2b
= 2 — , что больше 2.
4
2)
= 1
3)
ЛИ
Взяв с =
2
— меньше
5
При с =
т,
5
7
~~ 5'
искомого
. 17
" 12
он получил с2 =
>
1- <с<1-.
е; 9
получилось
с2 =
= fliy==2-L>2,
\12/ 144
7 . .17
?<c<Ii-
Подбирая таким образом число с, Иппас получал число то
большее, то меньшее, чем искомое. Найти число с путем подбора не
удавалось. Тогда Иппас решил найти с с помощью таких общих
рассуждений.
а) Пусть с= произвольная дробь, где числитель т и
п
знаменатель п — взаимно простые числа, т. е. дробь —
несократимая.
б) Имеем: (—V = 2, или — = 2, откуда т2 = 2п2. (*)
\ п / п2
в) Исследуем натуральное число т\
т2 должно делиться на 2, поэтому пусть т : 2 = тъ откуда
т = 2/лх, т. е. искомый числитель должен быть числом четным.
Подставим последнее в ранее найденное соотношение (*). Имеем:
(2т1)2 = 2д2, или 4тх2 = 2п2, откуда 2т\ = п2.
г) Исследуем натуральное число п: п2 должно делиться на 2,
а значит, и п должно делиться на 2. Имеем: п \ 2 — пъ откуда
п = 2/г1? т. е. искомый знаменатель должен быть числом четным.
д) Исследуем дробь — = '-^-. Она оказалась сократимой, но
п 2пх
по условию эта дробь несократима.
е) В рассуждениях получилось противоречие, значит,
допущение, что существует отрезок с = — , выражаемый дробным чис-
п
лом, ложно. Итак, отрезок с не выражается ни целым, ни дробным
числом. Следовательно, существует хотя бы одна пара отрезков
(сторона квадрата а и его диагональ с)у один из которых выражен
числом единицей, а другой не может быть при этом выражен ни
натуральным, ни дробным числом (т. е. существуют
несоизмеримые отрезки).

§ 3. Теория соизмеримости и несоизмеримости пар отрезков,
предложенная Евклидом (III в. до н. э.)
1. Два отрезка А^ и А2В2 называются соизмеримыми
(несоизмеримыми), если существует (не существует) третий отрезок CD,
который укладывается в каждом из двух данных отрезков целое
число раз, при этом отрезок CD называется общей мерой этих двух
отрезков. Например, если имеем:
АгВх = CD + CD + CD + ... + CD,
n слагаемых
A2B2 =CD + CD + CD + ... + CD,
m слагаемых
то АхВг и A 2B2 соизмеримы.
Сторона квадрата и его диагональ, как показано выше,
несоизмеримы.
2. Выполним над двумя любыми отрезками АВ и ДХ, где АВ>
> /(L, следующую последовательность операций:
1) Если АВ = /CL, то общая мера АВ и KL есть сам отрезок
KL = АВ, т. е. KL укладывается в АВ один раз и в KL тоже один
раз.
2) Если А В > KL, то будем последовательно откладывать /(L
на АВ\ может быть только два случая:
первый случай:
АВ = KL + KL + KL + KL+ ... + KL\
п
второй случай:
АВ = (KL + KL + KL + ... + КЦ + ги
где отрезок гг < /(L.
а) Если будет иметь место первый случай, то общая мера
отрезков АВ и KL найдена — это KL, так как АВ равно /(L, взятому
слагаемым п раз, и KL = KL, т. е. взятому один раз. Значит,
АВ и KL соизмеримы.
б) Если перейдем ко второму случаю, встает вопрос, не будет
ли отрезок гх (первый остаток) общей мерой, т. е. будет ли он
укладываться целое число раз в меньшем данном отрезке KL или нет.
Здесь также может быть только два случая:
первый случай:
KL = r1 + r1 + r1 + ... + гг;
пг слагаемых
второй случай:
KL = (r1 + r1 + r1 + ...+r1) + г29
пх слагаемых
где отрезок т2 <гг.
в) В первом случае общая мера АВ и KL найдена, это гг:
6

KL = rl-\-r1 + r1 + ...rl,
nt слагаемых
АВ = (/ytj + (/-!»!) + Mi) + ... + Mi) = rt (япО,
« слагаемых
т. е. гг в KL содержится пг раз, а в АВ — пп± раз. АВ и /?L
соизмеримы, их общая мера гг (I остаток).
г) Если будет иметь место второй случай, то, пока общая мера
не найдена, будем ее искать аналогично:
не будет ли общей мерой г2 (II остаток), т. е. отрезок, который
укладывается в I остатке целое число раз. Здесь также может
быть только два случая:
первый случай:
*1=/а + '2 + - + 'а }
п2 слагаемых
второй случай:
гг = (r2 + r2 + r2+ ... + г2) + г„
«2 слагаемых
где г3 < г2.
д) В первом случае общей мерой А В и KL будет отрезок га,
так как KL = ^4-^+ ^4- - + *i + гг = 'Л + ^ =
/ii слагаемых
= (^п2)п1 + Г2 = Г2 (/г2% + 1),
т. е. гг содержится в KL (пгпх + 1) раз.
АВ = п • KL + гх = п (пхп2 + 1) гг + пггг = (ппхпг + п + п2) гг%
т. е. г2 содержится в АВ (ппхпг -+- п + п2) раз.
Л В и KL имеют общую меру г2, значит, Л В и /CL соизмеримы.
е) Если будет иметь место второй случай, то общая мера пока
не найдена. Как видим, будем иметь или конечный процесс,
тогда общей мерой АВ и KL будет предпоследний остаток, так как
последний остаток равен нулю, или — бесконечный, тогда нет
общей меры АВ и KL, они несоизмеримы.
Выполненная выше последовательность операций называется
алгоритмом Евклида.
Таким образом, найден признак соизмеримости двух
произвольных отрезков АВ и KL, когда получается конечный алгоритм
Евклида, примененный к АВ и KL, и несоизмеримости, когда
получается бесконечный алгоритм Евклида.
Покажем применение этих рассуждений на двух примерах.
Пример 1. Пусть имеется прямоугольный треугольник с
острым углом В в 30° (рис. 1). Применим к отрезкам АВ и АС, где
АВ > АС, алгоритм Евклида. Предварительно продолжим АС на
отрезок СА± = СА и соединим Аг с В отрезком АгВ. Получим
равносторонний треугольник ААХВ. Применим алгоритм Евклида
к отрезкам АВ и АС:
1) отложим АС на АВ или на равном ему отрезке АА±:
ААг = АС + CAL = 2АС (остаток равен 0);

2) значит, АС есть общая мера АВ и
АС, а сами отрезки АВ и АС соизмеримы
(по определению соизмеримости). Здесь
алгоритм Евклида имел одно звено.
Пример 2. Пусть имеется
прямоугольный треугольник с острым углом А
в 45° (рис. 2).
Применим к отрезкам АВ и Л С, где АВ>
> АС, алгоритм Евклида. Отложим АС=
=АС± на АВ. Получим I остаток тх = СХВ,
который надо отложить на АС или на
равном ему ВС. Для этого проведем C1C2-LC1B,
получим СС2 = С2Сг = СгВ = гх = I ост.;
I остаток = СгВ будем откладывать на ВС=АС. Видим, что ВС =
= /i + С2?, гДе ^2^ — гипотенуза прямоугольного
равнобедренного треугольника ВС1С2, значит, катет СгВ = гх при откладывании
на гипотенузе С2В даст новый остаток г2, т. е. ВС = 2гх + г2\
АВ = ВС + /у, гг = 2г2 + г3. Алгоритм Евклида оказывается
бесконечным, значит, нет общей меры у АВ и ЛС, т. е. они
несоизмеримы.
Рис. 1
§ 4. Возникновение терминов «рациональное»
ное» число в античной Греции и в Риме
и «иррациональ-
Вычислительная практика античной Греции остановилась на
знании чисел натуральных и дробных. В философской школе
Пифагора было показано, что есть абстрактные отрезки, выражаемые
числами, но есть и отрезки, которые не могут быть переданы
никакими известными числами (см. выше, открытие Иппаса). Отрезки
первого вида стали позднее называть рациональными, т. е.
выразимыми, а второго вида — иррациональными, т. е. невыразимыми.
Позднее (примерно через 1000 лет), в V в. н. э. латинские слова
«рациональный» и «иррациональный» стали осмысливать глубже,
производя от корня рацио — «разум», употребляли термины га-
tionalis как доступное разуму, a irrationalis как недоступное
разуму. Несколько позднее, в средневековой математической культуре
возник новый термин вместо «иррацио-
/1 нальный» — surdus (глухой или немой),
т. е. такое число, когда немой не может его
высказать другому, а второй (глухой) не
может выслушать первого.
В средневековой Европе, например,
Леонард Пизанский (XIII в.) пользуется
терминами rationalis, irrationalis и surdus.
Те же термины остаются и у математиков
XV—XVI вв., как например у Михаила
С т и ф е л я (1486—1567), и доходят до
Рис 2 нашего времени. Термин «иррациональный»
8

распространился в Италии, Франции и др., а термин «сурдус» —
преимущественно в Англии и в зависимых от нее странах.
На основе такого неглубокого проникновения в природу и
свойства чисел образовалось «полупонятие» иррациональных чисел.
Вычисления с ними производились по аналогии с натуральными и
дробными числами (до середины XIX в.). Так, в предшествующем
примере имеем:
^-=з1+-Ь l+_J_el + ! 1+ ! =
СВ ВС ВС ' л.
2 + ^ 2+
= 1 +
, " 2+^
Го.
1
Предполагая, что существует число
2+ '
находили его следующим образом. Перенося единицу в левую
часть, имели!
1 =¦
1
1
1
ч+...
откуда находили:
= 2 + -; х = 1 Н т. е. =*
2 + —I— 2+_1—
2+~2 + ... 2+1+...
= 1+Х,
и окончательно получали:
1 = (1 + х) . (Х _ 1) = х2 — 1
х2 = 1 + 1 = 2, откуда х = 1/2, т. е. — = уТГ
ВС
Значит, Иппас открыл число ]/г2у называемое иррациональным,
природа которого была раскрыта только во 2-й половине XIX века.
§ 5. Операции с рациональными и иррациональными числами в
античном мире, средневековье и в новое время до XIX в.
1. Помимо несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной,
Евклид установил несоизмеримость многих других пар отрезков:
а) стороны правильного десятиугольника и радиуса
окружности, описанной около этого десятиугольника;

б) стороны правильного пятиугольника и радиуса описанной
около него окружности;
в) ребра куба и радиуса сферы, описанной около этого куба;
г) ребра правильного тетраэдра и радиуса сферы, описанной
около этого тетраэдра;
д) ребра правильного октаэдра и радиуса сферы, описанной
около этого октаэдра;
е) ребра правильного икосаэдра и радиуса сферы, описанной
около этого икосаэдра;
ж) ребра правильного додекаэдра и радиуса сферы, описанной
около этого додекаэдра.
2. Архимед (287—212 гг. до н. э.) в сочинении «Об
измерении круга» нашел приближенные рациональные значения
иррациональных чисел, например:
а)^5<]/3-<^!;
; 153 У 780
б) 3— < — < 3—, где С — длина окружности, D — длина ее
диаметра;
в) — < —, где К — площадь круга. D2 — площадь описанного
D2 14
квадрата.
3. В Западной Европе XVI и XVII вв. выражали зависимости
ребер правильных многогранников и соответственно радиусов
вписанных и описанных сфер. Например, у Альбрехта Дюрера
(1471—1528) находим:
а) г =
12
Приближенно имеем:
0,204а4 < г < 0,205а4,
б) г = ^-.
' 2
Имеем:
г = "5" Дб-
в) г =
/6
Приближенно имеем;
0,408а8 < г < 0,409д8
г) г - - а12
/¦
25—11 1/5
10
а) R = а-^-—, где а± — ребро
4
правильного тетраэдра.
Приближенно имеем:
0,61я4 < R < 0,62а4.
б) R = а-^-—, где а6 — ребро
куба. Имеем приближенно:
0,865а6 < R < 0,866а6.
в) R
-, где а8 — ребро
правильного октаэдра.
Приближенно имеем:
0,707а8 < R < 0,708а8.
г) К = а12 у
где
Ю

Приближенно имеем:
0,09a12<r<0,l«12.
Приближенно имеем:
0,755а20 < г < 0,756я20.
а12 —ребро правильного
додекаэдра. Приближенно имеем:
l,401flia</?< 1,402а12.
Д) R =
20
^20
V
5 + у 5
где а20 — ребро правильного
икосаэдра. Приближенно имеем:
0,0951а20< Я<0,0952я20.
Так в математике XVII — середины XIX в. вели точные и
приближенные вычисления, не имея теории иррационального
числа, теории характеристических свойств множеств рациональных
и иррациональных чисел и теории операций над ними. Отметим,
что теория рационального числа была создана лишь в XIX в.
Начало было положено немецким математиком-педагогом
Германом Грассманом (1809—1877), немецким
естествоиспытателем Германом Гельмгольцем (1821—1894) и
французским академиком, математиком-педагогом Жюлем Т а н н е р и
(1848—1910).
Глава II.
РЕВОЛЮЦИЯ, ПРОИСШЕДШАЯ В МАТЕМАТИКЕ
В 1826—1858 гг.
§ 1. Неевклидовы геометрии
Казанский профессор Николай Иванович Лобачевский
(1792—1856) объявляет, что он принял аксиому: на плоскости через
точку вне прямой, находящейся на плоскости, проходит не
единственная прямая, не пересекающая ее, — и получил логически не
противоречивую общую неевклидову геометрию, что вызвало
большое смятение среди математиков мира.
Вскоре выясняется, что «король математики» Карл Фридрих
Гаусс (1777—1855) развивал среди своих близких учеников
аналогичную теорию, но не решился опубликовать свое учение.
Публикуется работа Яноша Б о й а и (1802—1860) «Appendix» —
«Приложение», содержащее «науку о пространстве абсолютно
истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы
Евклида, что a'priori никогда решено быть не может, с прибавлением
к случаю ложности геометрической квадратуры круга».
В 1854 г. Бернгард Р и м а н (1826—1866) защищает
диссертацию в Геттингенском университете «О гипотезах, лежащих в осно-
11

вании геометрии»; он принимает гипотезу, связанную с
несуществованием параллельных прямых.
Новое учение было признано (с большими спорами) только через
50 лет. Ныне физико-математическая наука развивается в
основном на неевклидовой аксиоматике (см. теорию относительности
Эйнштейна и др.).
§ 2. Определение бесконечного множества, данное Г. Кантором
Известно, что у Евклида была VIII аксиома: «Целая величина
больше своей правильной части». Вдруг 24 марта 1858 г. профессор
Цюрихского университета, позднее университета в Галле, Георг
Кантор (1845—1918) показал, что целое множество может быть
эквивалентно правильной части этого множества.
В самом деле: 1) возьмем множество, образованное из всех
натуральных чисел: Мг = {1; 2; 3; ... ; п; ...}, и 2) выделим из
него М2 = {2; 4; 6; 8; ... ; 2/г; ...}, состоящее только из четных
натуральных чисел.
Легко установить взаимно-однозначное соответствие между
элементами М± и Мг:
1 2 3 4 ... п ...
X X X X X
2 4 6 8 ... 2п ...
Больше того, Кантор определяет бесконечное множество на
основе отрицания VIII аксиомы Евклида.
Бесконечным множеством Г. Кантор называет множество,
которое эквивалентно некоторой правильной части этого множества.
§ 3. Создание научных теорий действительных чисел
Математика XIX в. потребовала более строгих методов развития
вопросов математики. Так, Петер Густав Лежен Дирихле
(1805—1859) вводит функцию, позднее названную функцией
Дирихле:
И / \ __ [ 1; х — рациональное,
V (х) — | 0; х — иррациональное.
Позднее было найдено определение функции D (х), данное
аналитической формулой:
D (х) = lim lira [cos 2я (п\)х']2т.
В математическом анализе до XIX в. не была установлена связь
между двумя фундаментальными понятиями — непрерывностью
функции и ее дифференцируемостью. Немецкий математик Карл
Вейерштрасс (1815—1897) установил, что: 1) «всякая
непрерывная функция на отрезке интегрируема на нем»; 2) «не вся-
12

кая непрерывная функция на отрезке имеет в каждой точке
производную функцию».
Первый доступный пример, когда непрерывная функция на
отрезке не имеет ни в одной точке производной функции, был дан
чешским математиком-философом Бернардом Больцано
(1781—1848). Более сложные примеры были даны Вейерштрассом,
Бернгардом Риманом, Джузеппе П е а н о (1858—1932).
Все это движение привело к тому, что стало ясно: нужно дать
научную теорию учению о числах и действиях над ними как
фундамент, на котором надо вновь перестроить многоэтажный
математический дворец.
Создалось почти одновременно три научные школы
эквивалентных теорий действительных чисел:
1. Школа Вейерштрасса — теория действительных чисел как
бесконечных десятичных рядов.
2. Школа Кантора — теория действительных чисел как
фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
3. Школа Дедекинда — теория действительных чисел как
сечений в множестве рациональных чисел, завершающаяся сечениями
в множестве действительных чисел.
Нет нужды излагать систематически все три теории.
Целесообразно изложить одну из них, дав эпизодически понятие об
остальных двух. Как наиболее изящную и краткую (как нам
представляется), избираем в нашем курсе систему школы Дедекинда.
Глава III.
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПО ДЕДЕКИНДУ
§ 1. О творчестве Дедекинда
Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд (1831—1916) учился
в Геттингенском университете у Гаусса и Дирихле. С 1862
по 1894 г. состоял профессором Технологического института в
Брауншвейге. Одним из первых Дедекинд создает современную
алгебру произвольных полей, колец, групп и структур. Дедекин-
ду принадлежит общее определение идеала.
Дедекинд был избран членом Академии наук: Берлинской,
Парижской, Римской. Он автор одной из первых и получившей
наибольшее распространение системы строго научного обоснования
теории действительных чисел.
В 1872 г. выходит первая работа Р. Дедекинда «Непрерывность
и иррациональные числа», где читаем: «Рассуждения,
составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 г.
Тогда я в качестве профессора Союзного политехникума в Цюрихе
13

в первый раз обязан был излагать элементы дифференциального
исчисления и при этом чувствовал живее, чем когда-либо,
недостаток в действительном обосновании арифметики. При изложении
понятия о приближении переменной величины к постоянному
пределу и именно при доказательстве того положения, что величина,
которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна
приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрическим
очевидностям... Этот способ введения в изучение
дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.
Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в
такой степени, что я принял твердое решение думать до тех пор,
пока не найду чисто арифметического и вполне строгого основания
для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что
дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами, однако
же нигде не дают определения этой непрерывности... Все сводится
только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения
в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное
определение существа непрерывности. Это удалось мне 24 ноября
1858 г., и я в день юбилея своего отца, 20 марта 1872 г., изложил
эту работу».
В 1887 г. выходит вторая работа Дедекинда «Что такое числа
и для чего они служат?», где читаем: «Мой ответ: числа суть
свободные создания человеческого мышления, и они служат средством,
дающим нам легче и яснее постигать различие вещей. Строя науку
о числах чисто логически и создавая в ней непрерывную числовую
область, мы в состоянии точно исследовать наше пространство и
время, приводя последние в связь с созданной в нашем мышлении
числовой областью. Если мы точно проследим за тем, что мы делаем
при счете множества или численности вещей, то мы придем к
рассмотрению особой способности нашего мышления — относить
одну вещь к другой, создавать соответствие между двумя какими-
либо вещами или же отображать одну вещь с помощью другой; без
этой способности, вообще говоря, никакая мысль невозможна».*
По выходе в 1894 г. в отставку Дедекинд остался в Брауншвей-
ге, где занимался математическими исследованиями, по
преимуществу теорией чисел и общей алгеброй. Умер он в возрасте 85 лет.
§ 2. Определение сечения Дедекинда в поле рациональных чисел
Сечением Дедекинда в поле рациональных чисел называется
разбиение всего множества рациональных чисел на два непустых
подмножества так, что: 1) каждое число, вошедшее в первое
подмножество, меньше каждого числа, вошедшего во второе подмножество,
* К сожалению, ученый не был знаком с философией диалектического
материализма, создавшей научную теорию возникновения понятия числа. (См. работу
И. К. Андронова «Трилогия предмета и метода математика», М., 1974 г.)
14

2) каждое рациональное число должно входить в одно из этих двух
подмножеств.
Будем обозначать первое подмножество Rly а второе — через
R2. Рациональные числа, входящие в эти подмножества, будем
обозначать через г± и г2, так что гх ? Rx и г2 € Яг, а само сечение
будем обозначать через (R^ R2).
§ 3. Существование только трех видов сечений Дедекинда
I. Первый вид, когда в первом подмножестве есть последнее
число (наибольшее), а во втором подмножестве нет начального
(наименьшего) числа, что будем передавать в виде (Rx\ R2) = г±, где п
есть последнее в подмножестве Rx.
Доказательство существования такого вида сечения:
1) Возьмем произвольное рациональное число г.
2) Сконструируем сечение в множестве рациональных чисел,
разбив его на два подмножества так:
Первое подмножество Rx состоит из всех рациональных чисел,
не больших г, т. е. меньших и равных г, а второе подмножество
R2 — из всех, больших г. Тогда в Rx есть последнее (наибольшее)
число, а во втором подмножестве нет начального (наименьшего),
что доказывается от противного.
3) Допустим, что г2 есть начальное, входящее в R2\
встает вопрос: где будет находиться среднее арифметическое гг и гъ
являющееся числом рациональным? Известно, что гг < r 2 < гъ
значит, оно не может быть ни в Rlf ни в R2, а по определению
сечения каждое рациональное число должно быть в одном из этих
множеств. Получилось противоречие, следовательно, допущение
существования начального r2 ? R2 приводит к нелепости. Значит,
это допущение надо отбросить.
II. Второй вид сечения, когда в первом подмножестве нет
последнего (наибольшего) числа, а во втором есть начальное
(наименьшее) число, что будем передавать в виде (Rx\ R^ = r9 где г —
начальное (наименьшее) в R2-
Доказательство существования такого вида сечения.
1) Возьмем произвольное рациональное число л
2) Сконструируем сечение в множестве рациональных чисел,
разбив его на два подмножества так: первое подмножество Rx
состоит из всех рациональных чисел, меньших г, а ко второму
подмножеству R2 отнесем все числа не меньшие г, т. е. равные и
большие г. Тогда в R2 есть начальное (наименьшее) число г, а в Rx нет
последнего (наибольшего), что доказывается от противного.
3) Допустим, что есть г последнее, входящее в Rlt а потому
г < г.
15

Встает вопрос: где будет находиться среднее арифметическое
г и г, являющееся тоже рациональным? Известно, что г < -^— < г,
значит, оно не может быть ни в Rx, ни в R2j а по определению
сечения Дедекинда каждое рациональное число должно быть в одном
из этих множеств. Получилось противоречие, следовательно,
допущение существования г последнего в R± — ложное допущение.
III. Третий вид сечения Дедекинда, когда в первом
подмножестве нет последнего числа, а во втором подмножестве нет
начального числа.
Доказательство существования такого вида сечения.
1) Возьмем произвольное простое число р.
2) Отнесем в первое подмножество Rx все отрицательные
рациональные числа, нуль и все те положительные рациональные числа,
квадрат которых меньше /?.
3) Отнесем ко второму подмножеству R2 положительные
рациональные числа, квадрат которых больше р.
4) Отметим, что рациональных чисел, квадраты которых равны
простому числу ру не существует, что доказывается от противного:
а) допустим, что существует несократимая дробь—рациональнее
число —, где НОД (т, п) = 1, такое, что (—) = р (1);
п \ п ]
б) из последнего следует, что — = р или т2 = р • п2 (2);
д2
в) отсюда следует, что т2 делится на р\
г) из последнего следует, что т делится на р\
д) а потому запишем: т : р = тъ или т = т1 • р\
е) полученное подставим в соотношение (2):
(mi ' Р)2 = Рп2> или тЪ2 = п2Ру или т\р = п2\
ж) из последнего соотношения следует, что п2 делится на р\
з) а из этого следует, что п делится на р\
и) потому запишем: п : р = пъ откуда п = п± • р\
к) полученное подставим в соотношение (1):
т ртх __ тх
п ptix n-i
Видим, что дробь — оказалась сократимой, что противоречит
п
допущению (а), а потому допущение ложное, и тем самым
доказано, что нет рационального числа, квадрат которого равен
простому числу.
5) Докажем, что сконструированное так сечение не имеет в
первом подмножестве R± последнего (наибольшего) числа
(доказывается от противного):
а) Допустим, что в первом подмножестве Rx есть последнее
(наибольшее) положительное число а, тогда отметим, что а2 < р
(что указано в пункте 3).
16

б) Сконструируем новое положительное рациональное число
так:
fl(fl« + 2p) ^г> 0
2а2 + р
(множество рациональных чисел образует числовое поле).
в) Покажем, что сконструированное г находится в первом
подмножестве R±. Действительно, разность
р-г* = р-\а{а2 + Ы
(р-а2)(р* + ра* + а*) Q
(2а2+р)2
так как а2 < р, следовательно, г2 < р, а потому г находится в
первом подмножестве R±.
г) Покажем, что сконструированное число г > а, т. е. больше
предполагаемого наибольшего а. Для этого рассмотрим разность:
а (а2 + 2р) а (/? — а2) ^ ^ 9 ^
г — а = —-—-—— а = — > 0, так как а2 < р.
2а2 +р 2а1+ р
Отсюда следует, что г > а. Получилось противоречие с тем, что
число а — наибольшее в первом подмножестве. Значит, первое
подмножество не может иметь наибольшего числа.
6) Докажем, что сконструированное сечение Дедекинда не
может иметь во втором подмножестве R2 начального (наименьшего)
числа. Это доказывается от противного.
а) Допустим, что во втором подмножестве R2 есть начальное
(наименьшее) положительное число Ь. Тогда отметим, что Ъ2
больше простого числа р (что указано в пункте 3).
б) Сконструируем новое рациональное положительное число
так:
»<»' + ад =Гг>о
2Ь*+р
(множество рациональных чисел образует поле).
в) Покажем, что сконструированное число гх находится во
втором подмножестве R2.
В самом деле, разность
г2_ = Г 6(&2 + 2/7) IS (fr2_p)(fr4+/p62+p4)
1 Р [ 2b* + p \ Р (262+р)2
так как Ь2 > р, следовательно, г\ > р, а потому гг находится во
втором подмножестве R2.
г) Покажем, что гг < Ъ. В самом деле,
Ъ-тх=Ъ- W + W =Ь(Ь2-р)>0,такк*кЬ2>р,
1 2Ь2 + р 2Ь* + р
откуда следует, что b > г±.
Видим, что г± меньше допущенного наименьшего Ь, значит,
допущение ложно, а потому нет наименьшего числа в
подмножестве R2.
17

Отметим, что четвертого вида сечения
Дедекинда в множестве рациональных
чисел (когда в первом подмножестве есть
наибольшее число, а в втором подмножестве
есть наименьшее) не существует, что
доказывается от противного.
Допустим, что существует такое
сечение, когда в первом подмножестве /?х есть
наибольшее число гъ и в то же время
существует наименьшее г2 во втором
подмножестве R2. Встает вопрос: где будет
находиться их среднее арифметическое fl 2 ? Известно, что
оно рациональное число, причем rx < r± 2 < г2. Следовательно,
оно не может быть ни в первом подмножестве Rl9 ни во втором R2,
а по определению сечения Дедекинда оно должно быть в одном из
них. Получили противоречие. Это означает, что допущение
возможности четвертого вида сечения есть ложное допущение. Тем
самым доказана невозможность сечения Дедекинда IV вида.
§ 4. Определение действительного и иррационального чисел
Действительным числом называется любое из трех видов
сечений Дедекинда в поле рациональных чисел. Будем обозначать
множество действительных чисел через D, а действительное число через d\
йф.
Иррациональным числом называется действительное число,
определяемое сечением Дедекинда в поле рациональных чисел только
третьего вида.
Будем обозначать иррациональное число через w, а множество
иррациональных чисел — через W, так что w ? W.
Итак, множество действительных чисел распадается на два
подмножества: а) подмножество рациональных чисел, б) подмножество
иррациональных чисел, что можно изобразить, как показано на
рисунке 3.
D — множество действительных чисел, R — множество
рациональных чисел, круговое кольцо содержит множество
иррациональных чисел W.
Три вида сечений Дедекинда в поле рациональных чисел можно
передавать так:
I в и д (Ri, R2) = d = гъ где г± есть наибольшее (последнее)
рациональное число, входящее в I подмножество.
II в и д (/?х; R2) = d = г2, где г2 есть начальное (наименьшее)
рациональное число, входящее во II подмножество.
III вид (/?!*, R2) = d = w, где w — иррациональное число,
не входящее ни в I подмножество R±, ни во II — R2.
Определение. Положительным числом d > 0 называется
18

сечение Дедекинда, в котором нуль входит в I подмножество, что
графически передается так (рис. 4):
*»
d
Рис.
Определение. Отрицательным числом d < О называется
сечение Дедекинда, в котором нуль входит во II подмножество,
что графически передается так (рис. 5):
Определение нуля сечением Дедекинда в множестве
рациональных чисел: числом нуль называется сечение, в котором
нуль является или последним числом I подмножества, или первым
числом II подмножества, что графически передается так (рис. 6):
§ 5. Определение равных действительных чисел и следствия из
него: рефлексивность, симметричность, транзитивность
Равными действительными числами называются числа, у
которых тождественны и первые и вторые подмножества. Так, если
даны
dt = (Ri, R2) и d2 = (R[; R2), to dx = d2
тогда и только тогда, когда Rx = R\ и R2 = /?2, что графически
передается так (рис. 7):
Рис. 7
19

Следствия из определения равенства:
1. Рефлексивность, т. е. d = d, так как d = (R^, R2),
d = (R±\ R2), где R± = /?! и R2 = R2.
2. Симметричность. Если dx = (Яг\ R2) и d2 = (R[\
R2), причем dx = d2» то d2 = dx.
В самом деле,
dx = d2, следовательно, /?i == Rx; R2 = 7?2 и> следовательно,
d2 = rfx.
3. Транзитивность. Если даны d± = (R±\ R2), d2 =
= (R\\ #2), d3 = (R\\ R"2), причем d± = d2 и d2 = d3, то имеем
(по определению тождества) #1^= i?j и /?| == #1', откуда Rx = /?1
(следует из транзитивности рациональных чисел); R2 s= #2, #2 =
= /?2, откуда R2= Rl (основания те же). Значит, dx = d3
(определение равенства действительных чисел).
§ 6. Определение понятий «между» и «меньше» для
действительных чисел
I. Если задано иррациональное число сечением Дедекинда в
множестве рациональных чисел w = (R^ #2), то принимается
определение, что r±<w<r2, где г± — любое рациональное число,
входящее в подмножество Rlf а г2 — любое рациональное число,
входящее в подмножество R2. Соотношение r± <w < г2 будем
называть соотношением «между».
II. Если даны два действительных числа dx = (R±\ R2) и d2 =
= (R\\ R2), то dx <d2, тогда и только тогда, когда Rx есть
правильная часть /?/, что графически передается так (рис. 8):
Рис 8
Следствие из определения «меньше»—транзитивность понятия
«меньше»:
если даны dx = (R^ R2); d2 = (R[) R2) и d3 = (R\\ R2), причем
dt < d2 и d2 < d3f то dx < d3.
Доказательство
1) Из первого данного неравенства и определения «меньше» для
действительных чисел следует, что R± a R\.
2) Из второго неравенства и определения «меньше» для
действительных чисел следует R\ cz Ri.
20

3) Тем самым R± си R\ (следует из транзитивности отношения
«меньше» в множестве рациональных чисел).
Что графически передается так (рис. 9):
4) dx < d3 (определение «меньше»), что графически передается
так (рис. 10):
Рис. Ю
III. Если даны два действительных числа d1 = (R±\ R2) и
d2 = (RJ; R'2) и если R± = R[, to по определению dx = d2y a
если R±e^ Ru то по определению dx ф d2. Если R± есть
правильная часть R[, то по определению^ < d2> а если 7?i есть
правильная часть Rly то d2 <d±.
§ 7. Свойство сечения Дедекинда
Теорема. Если дано действительное число d сечением
Дедекинда в множестве рациональных чисел d = (Rx\ R2), то
для любого данного положительного рационального числа г
найдутся гг? Rx и r2? R2 такие, что г2—гг<е.
Доказательство
1) Возьмем произвольные числа гг ? R± и r2 ? R2, отметим,
что г2 > гг (определение сечения), а потому г2 — гг = г > 0
(свойство разности в множестве рациональных чисел).
2) Сконструируем конечную числовую последовательность:
П
г2 = гг + 1 • -; г3
^+2.|; г^^ + З.-l;
-Пг+^^+k- -.
21

2г
3) Взяв вместо k ^ — (рациональное положительное число г,
8
произвольно данное), подставив последнее в последовательность,
получим:
г1 = г1; 72 = гг+1^; F8=r1+2-|;r>r1 + 3-|-; ...
- ^ ,2/- 8 ,
- r/i+i> ri+ 7 ' 7 = ri + Г = Г2-
4) Итак, имеем конечную возрастающую числовую
последовательность: Гх < Г2 < Г3 < Г4 < ... < ГА+1 > Г2.
5) Отметим, что первый член сконструированной
последовательности гг ? Ru а последний член последовательности гЛ+1 € #2-
6) Следовательно, существуют два смежных члена этой
последовательности rt и ri+1, такие, что
rt^ Rx и ri+1? /?2, где ri+1 = гН— (по построению
последовательности).
7) Откуда ri+1 —г,=|-.
8) — < е (по свойству рациональных чисел).
9) Из 7 и 8 следует: ri+1 — rt <ей что и требовалось доказать.
10) Графическая интерпретация;
§ 8. Существование между двумя неравными действительными
числами бесконечного множества рациональных чисел
Отметим, что здесь возможны четыре случая: 1) оба числа
рациональные; 2) первое — иррациональное, а второе —
рациональное; 3) первое—рациональное, второе—иррациональное; 4) оба —
иррациональные.
I случай. Дано: 1) rx = (R^ R2) и 2) r2 = (R\\ #2), где
/'i < r2.
Имеем: беек. множ. (по свойству плотности множе-
гх < рац. чисел <г2 ства рациональных чисел.
«Арифметика рациональных
чисел», с. 255).
22

II с л у ч а й. Дано: 1) w = (Ях; R2) и 2) г = (R[\ R'2)t где
w < г, г ? Ri
Вывод:
1) По определению (§ 6) гг < w < г2, где rx € #i и г2 € #2-
2) По определению (§ 6) г2 < г.
3) Из 1 и 2 следует: гх < ш < г2 < г (транзитивность понятия
«меньше»),
4) В полученном имеем: r± <w <г2< бескон- множ. <г ^п0 1случаю)
5) Таким образом, хю< беск- множ- < г (что и требовалось
рац. чисел доказать).
III случай. Дано: 1) г = (R^ R2) и 2) w = (R[\ R'2), где
гг < w9 r € /?i.
Вывод:
1) По определению § 6: r\<w<r^
2) По определению § 6: г < п.
3) Из 1 и 2 следует: г < п < w < г2 (транзитивность понятия
«меньше»).
4) В полученном имеем: г < °еск> множ- <rj <w<r2 (по I случаю).
рац. чисел J '
5) Таким образом, г< беск- множ- <w (что и требовалось
рац. чисел доказать).
IV случай. Дано: 1) wx = (Rx\ R2) и 2) w2 = (R[\ R'2)y
где w1 < w2.
Выво д:.
1) По определению § 6: 1) r± <wt <г2 и 2) г[ < w2 < г\.
2) Из данного wx < w2 и определения § 52 имеем: ^ < Ш! <
<r2 <w2.
3) Имеем: между w2 и г2 бесконечное множество рациональных
чисел (II случай), а значит, и между w2 и wx бесконечное множество
рациональных чисел (что и требовалось доказать).
§ 9. Обобщение свойства сечения Дедекинда, рассмотренного в § 7
Теорема. Если дано иррациональное число w сечением
Цедекинда в множестве рациональных чисел W = (Rx\ R2), то
для положительного любого иррационального числа гх найдут-
ся гг ? R± и г2 ? /?2 такие, что гг—г1< ег
23

6
Рис. 12
Вывод:
1) Дано 8i > 0, откуда следует, что между ei —
иррациональным числом и нулем находится бесконечное множество
рациональных чисел; возьмем одно из них, равное е, указанное в § 7.
2) Имеем: ei >е > О (II случай, § 8).
3) Так как rl+1 — rt <е (установлено в § 7), то
4) ri+1 — rt <ei (транзитивность понятия «меньше»), тем
самым обобщенная теорема § 9 доказана.
5) Графическая интерпретация последнего соотношения (рис. 12).
§ 10. Сечение Дедекинда в множестве
действительных чисел
Сечением Дедекинда в множестве действительных чисел
называется разбиение всего множества действительных чисел на два
непустых подмножества D1 и D2, обладающих свойствами:
1) каждое действительное число dly входящее в первое
подмножество D1? меньше каждого действительного числа d2, входящего
во второе подмножество D2;
2) каждое действительное число должно войти только в одно
из этих двух подмножеств.
Теорема. В множестве действительных чисел существует
только два вида сечений, когда в первом подмножестве есть
последнее (наибольшее) действительное число, а во втором
подмножестве нет начального (наименьшего) действительного
числа или, наоборот, в первом подмножестве нет последнего
действительного числа, а во втором подмножестве есть первое
действительное число.
Доказательство
1) Сперва выделим из подмножества Dx все рациональные числа,
входящие в D±, и обозначим их множество в виде Rly где R± cz Dlt
2) Также выделим из подмножества D2 все рациональные числа,
входящие в D2, и обозначим их множество в виде R2y где R2 с= D2.
3) Так как числа d1 ? Dx и d2?D2 обладают свойством, что
d>! < d2y то и в выделенных подмножествах рациональных чисел
имеем: гг < г2, где гг ? R± a D± к г2 ? R2 cz D2. Поэтому (Rx\ R2)
есть сечение Дедекинда в поле рациональных чисел.
24

4) Исследуем полученное сечение: может ли оно быть сечением
I, II, III вида?
Пусть сечение rx = (R^ R2) I вида, где гх — последнее
(наибольшее) рациональное число, входящее в R±.
Оказывается, что тогда сечение Дедекинда в множестве
действительных чисел (Di, D2) = гг будет тоже I вида, где г± —
последнее (наибольшее) число, входящее в Dlf что доказывается от
противного: _
а) допустим, что найдется d± € Du большее чем ги т. е. d± > /у,
б) тогда по свойству § 7 в промежутке между dt и гг имеем
бесконечное множество рациональных чисел, т^е.
<k > /i > r2 > rs > г4 > ... > гп> ... > Тг\
в) отметим, что эти рациональные числа находятся в
подмножестве Dl9 а значит, и в Rlt но в R± самое большое рациональное
число /у,
г) получилось противоречие: найдено бесконечное множество
рациональных чисел, больших наибольшего рационального числа,
следовательно, допущение ошибочное, а потому I случай доказан.
Итак, если (R±\ R2) есть сечение I вида в множестве рациональных
чисел, то и (?>!', D2) — сечение в множестве действительных чисел
должно быть I вида.
5) Пусть будет (Цг\ R2) = г2 — сечение II вида в множестве
рациональных чисел, где /j — начальное (наименьшее)
рациональное число, входящее в R2. Оказывается, что тогда сечение в
множестве действительных чисел (Dx\ D2) = _г2 будет того же вида,
здесь г2 — наименьшее, входящее в D2. Доказывается это
утверждение от противного:
а) допустим, что найдется d2?D2 такое, что d2 <г2;
6) тогда по свойству промежутка между d2 и г2 найдется
бесконечное множество рациональных чисел таких, что
d2 O'i <~г2 <~г3 <7±< ... <7п < ... <г2;
в) отметим, что все найденные рациональные числа входят
в подмножество D2, а значит, и в R2i но в R2 есть самое малое
рациональное число /у,
г) получилось противоречие, так как найдено бесконечное
множество рациональных чисел, меньших наименьшего г2.
Следовательно, допущено ложное, а истина будет: (Dx; D2) = г_2, где?2 —
наименьшее действительное число, входящее в D2.
Вывод.
Если сечение в множестве рациональных чисел (R^ R2) II
вида, то и сечение в множестве действительных чисел (Dx; D2)
должно быть также II вида.
25

6) Пусть (Rx\ R2) = w — сечение в множестве рациональных
чисел III видз, где rt < w < г2 и гг — любое, входящее в Rl9 r2 —
любое, входящее в R2.
Тогда w = dly а потому оно находится в одном из двух
подмножеств: либо в Dly либо в D2.
I случай. Рассмотрим тот случай, когда w = d± ? D±:
а) утверждаем, что dx будет наибольшим в Dl9 что доказывается
от противного;
б) допустим, что в D2 найдется dx > dx\
в) тогда по свойству промежутка (гл. II, § 7) имеется
бесконечное множество рациональных чисел между dx и dly т. е.
di > гх > г2 > г3 > /*4 > ... > гп > ... >d1 = w.
г) Все найденные гь находятся в множестве Dly а значит, и
в Rly но каждое г{у входящее в Rly обладает свойством, что г <w =
= dly а в предыдущем соотношении каждое rt больше dx.
Получилось противоречие, следовательно, сделанное допущение ложное,
а потому w = dx есть наибольшее в Dl9 т. е. сечение в множестве
действительных чисел I вида.
II с л у ч а й. а) Пусть w = d2 находится в подмножестве D2,
т. е. d2 € D2. Утверждаем, что оно будет наименьшим в D2, что
доказывается от противного;
б) допустим, что в D2 найдется d <d2\
в) тогда по свойству промежутка имеем бесконечное множество
рациональных чисел между d и d2y т. е.
d <rt <72 <73 <74 < ... <7п < ... <d2 = w\
г) все найденные рациональные числа находятся в
подмножестве D2y а значит, и в подмножестве R2y но каждое число,
входящее в R2y больше w = d2\ найдено, что каждое из этих
рациональных чисел меньше d2 = w. Получилось противоречие,
следовательно, можно считать, что объявленное свойство
установлено.
Окончательный вывод.
Если (Rly- R2) = w — III вида сечение в множестве
рациональных чисел, то (Dt\ D2) = w — только I или II вида сечение в
множестве действительных чисел.
Следовательно, во множестве действительных чисел существует
только I или II вид сечения Дедекинда и нет III вида сечения,
т. е. если (Dx; D2) = dy то d есть наибольшее число в D1 или
наименьшее число в Ь2.
?6

Глава IV.
НЕПРЕРЫВНОЕ МНОЖЕСТВО И ЕГО СВОЙСТВА
§ 1. Определение непрерывного множества
Непрерывным множеством называется такое плотное в себе
множество, в котором можно образовывать сечение Дедекинда только
первого или второго вида, т. е. когда в первом подмножестве есть
наибольшее число, а во втором подмножестве нет наименьшего
числа или, наоборот, в первом подмножестве нет наибольшего
числа, а во втором подмножестве есть наименьшее число.
Пример непрерывного множества: множество всех точек
на прямой. Действительно, взяв на прямой произвольную точку Л,
сделаем сечение во множестве всех точек этой прямой так, что в
первое подмножество отнесем все точки, предшествующие точке Л,
и саму точку Л, а ко второму подмножеству — все следующие за Л.
Тогда в первом подмножестве есть последняя точка — точка Л,
а во втором подмножестве нет начальной точки, что легко
доказывается методом от противного. Можно сделать сечение и иначе:
отнесем к первому подмножеству все точки, предшествующие
точке Л, а ко второму подмножеству — саму точку Л и все следующие
за ней. Тогда в первом подмножестве нет последней точки, а во
втором подмножестве есть начальная точка — точка Л, что легко
доказывается методом от противного.
Следствия из определения непрерывного множества.
1) Множество рациональных чисел не является непрерывным,
так как ранее было показано, что в нем возможно сечение
Дедекинда III вида, что не удовлетворяет определению непрерывного
множества.
Множество рациональных чисел есть множество дискретное.
2) Множество действительных чисел есть множество
непрерывное, что следует из основного свойства множества действительных
чисел: в нем существует сечение Дедекинда только I или II вида,
т. е. оно удовлетворяет определению непрерывного множества.
§ 2. Взаимно-однозначное соответствие между точками прямой
и множеством действительных чисел
Отнесем каждой точке Л прямой ее абсциссу а — действительное
число, если взять начало координат в точке О на этой прямой с
абсциссой, равной нулю, и, обратно, каждому действительному
числу отнесем точку Л, где а есть абсцисса точки Л при том же
начале координат на прямой.
Тем самым можно рассматривать каждое действительное число
как определенную точку числовой оси и тем самым множество
действительных чисел упорядочится по возрастанию (больше),
поэтому будем называть числовое множество действительных чисел
точечным множеством.
27

§ 3. Определение числового отрезка, интервала
и полуинтервала
1) Числовым отрезком называется множество, состоящее из
всех действительных чисел, заключенных между двумя различными
действительными числами d1 и d2, и самих чисел dx и d2, что
обозначается так: [di\ d2]-
2) Интервалом называется множество, состоящее из всех
действительных чисел, заключенных между двумя различными
действительными числами dt и d2, без самих чисел d± и d2, что принято
обозначать так: (dx\ d2).
3) Полуинтервалом называется множество, состоящее из всех
действительных чисел, заключенных между двумя различными
действительными числами d1 и d2, и из одного из них dx или d2,
что передается знаком [dx; d2) или (dx; d2\
§ 4. Определение ограниченного множества
действительных чисел
1) Множество действительных чисел М называется
ограниченным сверху, если можно указать действительное число, большее
каждого числа, входящего в это множество М.
2) Множество действительных чисел М называется
ограниченным снизу, если можно указать действительное число d, меньшее
каждого числа, входящего в множество М.
3) Множество называется ограниченным» если оно ограничено
как сверху, так и снизу.
§ 5. Определение верхней и нижней граней множества
действительных чисел
1) Верхней гранью множества М9 ограниченного сверху,
называется самое малое действительное число рм, не меньшее каждого
из чисел мнооюества М.
2) Нижней гранью множествам, ограниченного снизу,
называется самое большое действительное число «м, не большее каждого из
чисел множества М.
§ 6. Существование у точечных множеств, ограниченных сверху
(снизу), соответственно верхней (нижней) грани
Теорема. Всякое ограниченное сверху (снизу) точечное
множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.
28

Доказательство
1) Если в М есть наибольшее
число Р, то оно будет верхней
гранью М (рис. 13).
М
-J3
Рис. 13
а) Усматриваем р — самое
малое действительное число, не
меньшее каждого числа,
входящего в множество М. Поэтому
оно удовлетворяет определению
верхней грани множества М.
2) Если множество М,
ограниченное сверху, не имеет
наибольшего числа, то М имеет
верхнюю грань вне множества
Му что доказывается так:
1) Если в М есть
наименьшее число а, то оно будет
нижней гранью М (рис. 14).
а —
М
ш
Рис. 14
а) Усматриваем а — самое
большое действительное число,
не большее каждого,
входящего в множество М. Поэтому
оно удовлетворяет определению
нижней грани множества М.
2) Если множество М,
ограниченное снизу, не имеет
наименьшего числа, то М имеет
нижнюю грань вне множества
М, что доказывается так:
а) дадим геометрическую интерпретацию множества М
(рис. 15, 16).
М
-J 1-
Рис. 15
М
Ркс. 16
у — число, ограничивающее
множество М сверху и не
входящее в него.
б) Существует бесконечное
множество действительных
чисел, не входящих в М и
больших любого числа из М.
Обозначим это множество через D2,
а все остальное множество
действительных чисел — через Dx
(рис. 17).
Рис. 17
в) Отметим, что множество
у — число,
ограничивающее множество М снизу и не
входящее в него.
б) Существует бесконечное
множество действительных
чисел, не входящих в М и меньших
любого числа из М. Обозначим
это множество через Dly а все
остальное множество
действительных чисел обозначим через
D2 (рис. 18).
Рис. 18
в) Отметим, что множество
MczD2.
29

г) Очевидно, что каждое
действительное число, входящее в
Dly меньше каждого,
входящего в D2.
д) Замечаем, что образуется
непустое сечение Дедекинда в
множестве действительных
чисел, а именно (Dx; D2), так как
1) каково бы ни было
действительное число &\ оно либо
меньше каждого числа,
входящего в УИ, а потому входит
BDlf
2) либо в М есть хотя бы
одно число меньше &\ а потому
оно должно входить в D2.
3) Оба признака,
определяющие сечение Дедекинда,
имеются налицо, а потому имеем
(Dx\ D2) — сечение Дедекинда
в множестве действительных
чисел.
4) По свойству сечения
Дедекинда в множестве
действительных чисел имеем (Dx\ D2) =
= dy где d есть или 1)
наибольшее в Dlf или 2) наименьшее
в D2.
5) Наименьшего в D2 не
может быть, так как тогда было
бы наименьшее в УИ, а это с
самого начала исследования
исключено.
6) Значит, d есть наибольшее
в Dv
7) Значит, d есть нижняя
грань УИ, так d есть самое
большое действительное число, не
большее каждого из чисел М.
§ 7. Условия совпадения верхней грани множества М
с нижней гранью множества N
Лемма. Если имеется ограниченное множество М, в
котором р м -1- его верхняя грань, а ам — его нижняя грань, то
отрезки [ам; ос] и [р; $м]> где а и |3 — действительные числа,
а>ам, а Р<Рм, содержат по крайней мере по одному числу
из М.
г) Очевидно, что каждое
действительное число, входящее в
?>!, меньше каждого, входящего
bD2.
д) Замечаем, что образуется
непустое сечение Дедекинда в
множестве действительных
чисел, а именно (D^ D2), так как
1) каково бы ни было
действительное число d\ оно: либо
больше каждого
действительного числа, входящего в УИ, а
потому входит в D2,
2) либо в УИ есть хотя бы
одно число большее dr, а потому
оно должно входить в Dv
3) Оба признака,
определяющие сечение Дедекинда,
имеются налицо, а потому имеем
(Dt\ D2) — сечение Дедекинда
в множестве действительных
чисел.
4) По свойству сечения
Дедекинда в множестве
действительных чисел имеем (Dx; D2) =
= d, где d есть или 1)
наибольшее в Dl9 или 2) наименьшее
bD2.
5) Наибольшего в D± не
может быть, так как тогда было бы
наибольшее в УИ, а это с самого
начала исследования исключено.
6) Значит, d есть
наименьшее в D2.
7) Значит, d есть верхняя
грань УИ, так как d есть самое
малое действительное число, не
меньшее каждого из чисел УИ.
30

Доказательство от противного
Если бы отрезок [ам; а] не
заключал внутри себя ни одного
числа из множества М, тогда
ам не было бы нижней гранью
этого множества вопреки
условию леммы.
Если бы отрезок [р; Рм] не
заключал внутри себя ни одного
числа из множества М} тогда Рм
не было бы верхней гранью
этого множества вопреки условию
леммы.
Теорема. Если два множества действительных чисел Ми N
таковы, что точки множества М лежат левее каждой точки
множества N, и если для произвольного положительного числа г
можно найти две точки, одну в множестве М, а другую в
множестве дг, так, что расстояние между ними будет меньше г, то
верхняя грань М равна нижней грани множества N,
Доказательство
1) Отметим, что множество М ограничено сверху любым числом,
входящим в N, а потому существует верхняя грань М. Обозначим
ее через рм
2) Отметим, что N ограничено снизу любым числом, входящим
в М, а потому существует нижняя грань N. Обозначим ее через aN.
3) Относительно чисел Рм и а^ можно сделать три взаимно
исключающих предположения, из которых лишь одно является
верным (на основе III следствия § 5, II главы):
I. рм> aN, II. Рм < а„, III. Рм = aN.
4) Исследуем предположение I:
а) из предположения I на основе доказанного свойства о
промежутке (II гл., § 7) будем иметь рациональное число г такое, что
aN <г < Р*;
б) по лемме отрезок [а^; г] содержит хотя бы одну точку,
такую п ? N, что aN ^ п ^ г\
в) по той же лемме отрезок [г; рм] содержит хотя бы одну такую
точку m € М, что г ^ m ^ Рм;
г) сопоставляя соотношения обоих отрезков б) и в), имеем:
aN ^ п ^ r ^ m ^ Pai (п0 транзитивности); отсюда следует, что
п <J т, а это противоречит условию теоремы § 2, что всякая точка
m множества М левее всякой точки п множества N, т. е. m < п\
д) получили противоречие, следовательно, доказано, что
соотношение (I), т. е. Рм > aN, невозможно.
5) Исследуем предположение II, что $M<aN:
а) из предположения II на основе доказанного свойства о
промежутке (гл. II, § 7) будем иметь рациональное число г такое, что
6) дополним полученное соотношение m <^$м <r <aN^ п
31

в) из последнего неравенства умозаключаем, что
п — т > aN — рм
(последнее умозаключение проведено не строго, так как разность
действительных чисел еще не рассмотрена). Это делается по
аналогии с рациональными числами*;
г) значит, п — т должно быть больше некоторого
действительного положительного числа, а по условию теоремы II п — т может
сделаться меньше любого, сколь угодно малого е > 0;
д) получилось противоречие, значит, допущение (3M < aN есть
ложное;
е) I и II допущения ложные, значит, истинным остается III
допущение, т. е. что Рм = а^.
В главах V—VI рассматриваются операции с
действительными числами.
Глава V.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 1. Определение суммы двух действительных чисел, существование
и единственность суммы
Определение. Если даны два действительных числа d± =
= (Ri\ R2) и d2 = (Ri\ R2) и образованы множества:
а) R\ из суммы г± + г[, где гг ? R± и r[ € R\,
б) R2 из суммы г2 + ^2, где г2 б #2 и т% ? R^
mo суммой dx + d2 называется d = (R\\ #2), где d есть общая
грань, равная верхней грани множества Ru совпадающей с нижней
гранью множества R2.
Теорема. Существует общая грань й, равная верхней
грани R\, совпадающей с нижней гранью R^
Доказательство
1) Пусть имеем рациональные числа:
г± € R± и г2 6 Д2,
r[ € R\ и г'2 6 R2.
* Доказательство требует введения новых понятий, чего в данном
кратком курсе автор решил не делать, а отослать интересующегося читателя к
книге академиков Александрова П. С. и Колмогорова А. Н.
«Введение в теорию функций действительного переменного» (ГТТИ, 1933,
стр. 55).
32

По свойству сечения Дедекинда запишем:
г\ <г2.
Откуда гх-\- г\ < г2 + г2 (монотонность суммы рациональных
чисел).
2) Образуем новые множества Rl из всех чисел вида г\ =
= гх + г и и R2 из всех чисел вида г2 = г2 + г'2. Тогда г\ < г2,
т. е. каждое число множества R\ меньше каждого числа множества
Rl
3) На основе теорем § 5—7, гл. IV, можно утверждать, что для
любого положительного числа е можно найти гг ? Rx\ r2 ? R2\
rl ? R\\ r2 ? R2 такие, что
'.-'l<f
Г ГС
Сложив, получаем: (rl + г2) — (гг + г[) <е.
4) Из последнего следует по теореме § 2, гл. VII, что верхняя
грань множества R\ равна нижней грани множества R2.
Обозначим общую грань множества R'[ и множества R"2 через d. Это
число и будем называть суммой d± и d2 и записывать:
^ + d2 = d = (/& /?г).
5) Видим, что общая грань — число d определяется числами
dx и d2 однозначно.
Отсюда как следствие получаем свойство аддитивности суммы
действительных чисел.
Если dx = d2, то и dx + d3 = d2 + d3 (по свойству
существования и единственности суммы).
Ниже (§ 2—4) указаны основные свойства суммы
действительных чисел.
§ 2. Коммутативность
Доказательство
1) dx + d2 = d = (/?!; ^2) (теорема существования), где
ri + г2 ? ^2.
33

2) Отметим, что так как г2 + гг ? Ru (свойство коммутативно-
/"2 + т\ ? R2 сти рациональных чисел),
то сечения а и Ь тождественны.
3) d2 + d1 = d= (R'u Ri).
4) dx + d2 = d2 + dx (по транзитивности равенства).
§ 3. Сумма трех действительных чисел и ассоциативность суммы
Определение. Суммой dx + d2 + d3 называется
число, которое получается так: находят сумму двух первых чисел
(d1 + d2) и к ней прибавляют третье число d3.
Теорема. (dx + d2) + d3 = dx + (d2 + d3).
Доказательство
1) (dx + d2) + d3 = (R\\ /?2). Дважды применяется теорема
существования суммы, где
(>i + г2) + г3(^и
(г[ + г'2) + г'3? Rl
2) Отметим, что гх + (г2 + гг) ? R\ и г[ + (г'2 + г'ъ) € R\
(по свойству ассоциативности в множестве рациональных чисел).
3) А потому dx + (d2 + d3) = (Rl; Rl) (тождественность
сечений).
4) dx + (d2 + d3) = (dx + d2) + d3 (транзитивность).
§ 4. Монотонность суммы
Если dx = (Rx; R2); d2 = (/?,'; R2) и d3 = (/& Rl),
причем dx < d2, то dx + d3 < d2 + d3.
Доказательство
1) Из данного неравенства
йг < d2 следует гх < г[9 где (по определению отношения
г € R и т'\ € R\, г < г[ «меньше» в множестве действи-
11 * тельных чисел), (определение
сечения Дедекинда)
г\ = г\ (рефлексивность)
r I r" < r' I " (свойство монотонности суммы
1 рациональных чисел).
2) Имеем: dx + d3 = d = (теорема существования суммы),
= (ЯГ; RZ)
d2 + d3 = d'= (R\v\ Rl2V) (то же).
34

3) Из установленного
неравенства гг + г\ < г[ +
+ П => R[ a R\v , откуда
(определение «меньше» в мно-
dx + d3 < d2 + d3. жестве действительных чисел).
§ 5. Определение пары взаимно противоположных действительных
чисел, их задание сечениями Дедекинда в поле рациональных чисел
Определение 1. Модулем действительного числа d ^ О
называется само число d, а модулем числа d < О называется
число— d > 0. Модуль d принято обозначать так: | d |.
Определение 2. Парой взаимно противоположных
действительных чисел d и —d называются числа с равными модулями и
противоположными знаками, т. е. \ d | = | —d |, причем если
d > 0, то —d ^ 0.
Представление пары взаимно противоположных
действительных чисел сечением Дедекинда в множестве рациональных
чисел.
а) Дано число: dx = (R±\ R2), имеем: гг 6 R± и r2 ? R2, причем
гг <г2. Из последнего следует, что—гг <—гг (по свойству
рациональных чисел).
б) В множестве R± заменим каждое гх противоположным ему
—гх и образовавшееся новое множество обозначим через Rx.
Аналогичное сделаем и в множестве /?2, образовавшееся из него новое
множество обозначим R2.
в) Имеем: — d = (R2, R±)y где 72 = — г2 € #2, а 7Х = — гг € Rlf
причем —г2 < —гг (как установлено выше). Видим, что множество
рациональных чисел разбилось на два непустых подмножества
R2 и /?!, обладающих двумя свойствами:
а) каждое число, входящее в R2, меньше каждого числа,
входящего в Ru _
б) Любое рациональное число —г входит либо в R2l либо в Rlt
что следует из того, что г входило в Rx или в R2.
Свойство взаимно противоположных действительных чисел:
d + (—d) = 0.
Доказательство
1) d = (Ri, R2)\ -d = (R2\ R±)\ d + (-d) = d±= (/?,'; r'2) (no
теореме существования суммы).
2) r[ ? R\ и r2 ? /?2, причем r[ = гг + (—r2), (определе-
r'<i = r2 + (—rt) ние суммы), где гг < r2.
3) Исследуем множества R[ и R2:
35

а) Каждое число, входящее в R'2j больше каждого числа,
входящего в /?i, так как
г\ = г2+ (—гг),
г'\ = гх + (—г2),
то имеем: т2 — г[ = 2 (г2 — /i)>0 (свойство
рациональных чисел).
б) Так как можно подобрать (IV гл., § 5, 7) такие т2 и rlf что
Г2 — /l < I"» Т0 Г2 — г\ = 2 (Г2 — Гх) <8 .
в) Значит, множества R2 и /?/ удовлетворяют условию
теоремы § 2, гл. VI, а потому применимо и заключение теоремы § 2,
гл. VI: существует общая грань — верхняя грань множества R\,
равная нижней грани множества R2, что легко видеть из
рассуждений, что г\ = *i + (—гА = — (г2 — fi), где г2 — гг <е < О, что
верхняя грань R\ будет (г2 — гг) = 0. Отметим, что г2 = /*2 +
+ (—Гх) = г2 — rx <g. Откуда получаем, что нижняя грань i?2
будет г2 — гх = 0.
г) Значит, d + (—d) = 0 (определение суммы действительных
чисел).
§ 6. Определение разности двух действительных чисел
и свойства действия вычитания
1) Определение. Разностью dx и d2 или dx — d2
называется сумма dx + (—d2), которая всегда и однозначно существует
(теорема существования и единственности суммы)
(к + (—da) = d.
2) \d\ + (—^a)] + d2 = d + d2 (аддитивность).
3) di + [(—d2) + d2] = d + d2 (ассоциативность суммы),
или dx + 0 = d + d2 (свойство взаимно противоположных чисел),
или dx = d + d2 (определение сложения нуля и транзитивность).
4) Видим, что вычитание есть действие, в котором по сумме
двух слагаемых и одному из них находится второе слагаемое, а
потому запишем: d1 — d2 = d*
§ 7. Определение произведения двух положительных
действительных чисел, существование, единственность
и коммутативность произведения
1. Определение. Если даны два положительных
действительных числа dx = {Rx\ R2) > 0 и d2 = (R[\ R2) > 0 и
образованы r\ = гг • r[ € Ru где rx g Rx и r[ € #1, и r2 = r2 • r2> где
36

r2 ? R2 и г2 С ^2, то произведением dx • d2 называется d =
= (R[\ rI), где d есть общая грань, равная верхней грани
множества Ru совпадающей с нижней гранью множества R2.
2. Теорема. Существует общая грань dy равная верхней
грани /?i, совпадающей с нижней гранью множества R2.
Доказательство
1) Обозначим рациональные положительные числа,
соответственно вводящие в R± и R2l через г± и г2. По свойству сечения:
О < гг < d±] О < dx < гъ
О < r\ < d2; 0 < d2 < /2.
2) Перемножим: 0 < гг • r\ ^ d± • d2 < r2 • r2y О < d± • d2 <
< r2 • r2 (монотонность произведения положительных
рациональных чисел).
3) Образуем новые множества: R[ из всех чисел вида г[ =
= гг • п и /?2 из всех чисел вида г2 = г2 • г2. Так как п < г2,
то каждое число множества R[ меньше каждого числа
множества R2.
4) На основе теоремы § 7, гл. IV, можно найти для любого
положительного числа е такие положительные числа гг ? R±\ r2 ? R2
и r\ ? Ri г2 ? R2j что будем иметь: г2 — rx <е, r2 — П <8.
Откуда получаем:
Г? г} 8 1 с=>г2 • г2 < /*! • г[ + (гг + г[ + е) • е (монотонность
Г2 < Г\ -jr & )
произведения положительных рациональных чисел)
или г2 • г2 — гг • п < (гг + г\ + е) • е.
5) Приняв е < 1, и так как rx + r2 < r\ + r'2f то получим:
Г2 • Г2 — Г± - П < (ri + Г2 + 1) • 8 .
6) Положим е = — (тогда е будет сколь угодно
г\ + г'2 + 1
малое положительное число) и подставим последнее в предыдущее
неравенство, получим:
V2 — гг-г[ <(rj + r2+ 1) • е = (ri 4-Г2 +1) • -—^ = elf
h+ г2 + \
короче: г2г2 — гг • r\ <ei или /2 — К <ei
(из последнего следует по теореме § 2, гл. V, что верхняя грань
множества R[ равна нижней грани R2).
37

Обозначим общую грань множества R'[ и Rl через d. Это число
и будем называть произведением dx и d2 и будем записывать: dxX
Xd2 = d = (R\\ Rl). Видим, что общая грань R[ и R2 — число
d определяется числами dx и d2 однозначно.
§ 8. Определение произведения двух любых действительных чисел
и коммутативность
I случай. Если dx > 0 и d2 < 0, то произведением d1 • d%
называется число | dx | • | d2 | , взятое с отрицательным знаком.
II случай. Если dx < О и d2 > О, то произведением dx - d2
называется число \ dx | • | d2 |, взятое с отрицательным знаком.
III случай. ?Ъш dx < 0 и d2 < 0, mo произведением dx • d2
называется число \ dx | • | d2 |, взятое с положительным знаком.
IV случай. .Когда хотя бы одая сомножитель равен
единице, то dx • 1 принимается равным dx.
V случай. /(огдя хотя бы один сомножитель равен нулю, то
произведение dx • d2 принимается равным нулю.
Единственность произведения двух действительных чисел во
всех возможных случаях очевидна.
Докажем, свойство коммутативности произведения dx • d2 =
= d2 • dx.
I случай: dx > О и d2 > 0.
dx • d2 = d = (R\\ R2) (теорема существования произведения),
где rx • г\ ? R[\ г2 • /"2 € /?г:
а) тогда п ¦ гх ? /?i; (свойство коммутативности произведения
/"2 • /"г € #2 рациональных чисел);
б) поэтому
d2 • di = d = (R\\ R2) = dx • d2
d2 - dx = dx • d2
(тождественность сечений, транзитивность).
II случай: хотя бы один из сомножителей dx или d2 —
отрицательное число.
Имеем: dx • d2, или d2 • dx, тогда модули равны, т. е.
\dx\ - I d2 I = I dx • d2 I = I d2 ¦ dx I = | d2 I • I di I (по
определению произведения), а левая и правая части dx • d2 и d2 • dj
будут иметь знак минус, когда dx и d2 имеют разные знаки, или знак
плюс, когда dx и d2 имеют одинаковые знаки (по определению
произведения ). Следовательно, dx • d2 = d2 • dx.
§ 9. Определение произведения трех действительных чисел
и ассоциативность
Определение. Произведением dx • d2 • d3 называется
число, которое получается так: находят произведение первых двух
dx • d2 и полученное умножают на третье d3, m. е. dx • d2 • d3 =
= (dx • d2) • d3.
38

Теорема. (dx • d2) • d3 = dx • (d2 ¦ d3) — ассоциативность
произведения.
Доказательство
I случай: dx > 0; d2 > 0; d3 > 0.
a) (d1-d2)-d3= d=(Rl\ fa) (теорема существования
произведения, дважды примененная),
где
(гг • г\) • п ? R[ (определение произведения);
б) гх • (г1 • г[) € /?Г (ассоциативность произведения
а* 0*2 • г") ? Rm рациональных чисел);
в) поэтому
(d1-d2)-d3=d=(Rr, R?) (тождественность сечений Де-
декинда);
г) откуда
d± -(d2-d3) = (dx • d2)-d3 (транзитивность).
II случай: не каждое из dlT d2 и d3 положительное число.
Доказательство
1) | (dx • d2) • d3 | = | dx X (по определению произведения
X (d2 • d3) | dx • d2 • d3 и I случай);
2) знаки легко проверяются — левая и правая части
соотношения (dx • d2) • d3 и dx • (d2 • d3) имеют одинаковые знаки, так как
знаки в обеих частях одинаково зависят только от четности и
нечетности числа отрицательных сомножителей: в первом случае
результат положительный, во втором — отрицательный;
3) значит, (dx • d2) ¦ d3 = dx • (d2 • d3).
§ 10. Дистрибутивность
Свойство дистрибутивности dx • (d2 + d3) = dx • d2 + dx • d3.
I случай: dx > 0, d2 > 0, d3 > 0, причем dx = (R±\ R2), d2 =
= (/?;; /?2), d3 = (/?!; /?a).
Доказательство
а) dx • (d2 + d3) = d = (теорема существования произ-
= (Rm\ R'") ведения и суммы);
б) r (r'{ _j_ /[) ^ ^ (на основании определения сум-
г (/ _l г"\ ^ d"' мы и произведения действитель-
2 ^ ' 2| ных чисел);
39

где rx?Rv r[?Ru n€/?i,
r2ZR2, r2€R2, r"2?R2.
г) тотлг.г1-г[+г1 • >\?#i\
Г2 ' ^2 + Г2Г2 € /?2
(дистрибутивность
рациональных чисел);
д) поэтому
d\ • d2 + dx • d3 = d=
е) сопоставляя соотношения а) ид), получаем:
di (^2 + d3) = ^d2 + did3 (транзитивность).
(тождественность сечений Де-
декинда);
II случай: среди чисел di, d2, d3 имеется одно, или два, или
три отрицательных числа.
1. Если будем рассматривать модули данных действительных
чисел, то по I случаю будем иметь:
I ^ | ( | d2 | + | d3 |) = | ^ | - | d2 | + | ^ | ¦ | d3 | .
2. Для данных чисел будем иметь:
в левой части dx (d2 + d3), в правой части dx • d2 + dx • d3.
3. Надо исследовать знаки данных чисел в обеих частях, всего
будет 23 = 8 комбинаций знаков.
4. Рассмотрим случай, когда имеется один отрицательный
сомножитель, например первый, который будем обозначать в виде —dx\
а) —<h (d2 + d3), что
символически передадим — (+), в
результате будет знак «минус».
а) —di • d2 + (—di • d3),
что символически передадим
—(+)—, в результате будет знак
«минус».
Усматриваем одинаковые знаки.
Итак, получаем: d± (d2 + d3) = dx • d2 + dx • d3.
б) Рассмотрим теперь случай, когда имеется два
отрицательных сомножителя, например второй и третий, которые обозначим:
—d2l —d3.
Имеем: dx [—d2 + (—d3)], что
символически передадим + (—),
в результате будет «минус».
di • (—d2) + di • (—d3),
что символически передадим
(—)+(—)> в результате будет
«минус».
40

Усматриваем одинаковые знаки.
Итак, имеем: dx • (d2 + d3) = d1 • d2 + dx • d3.
в) Рассмотрим случай, когда имеется три отрицательных
сомножителя, что обозначим в виде —du —d2, —d3.
Имеем:
(-4) • C(-d2) + (~d3)],
что символически передадим
(—)•(—), в результате будет
«плюс».
(-(к) ' (-d2) + (-di) • (-d3),
что символически передадим
(+)+(+), в результате имеем
«плюс».
Усматриваем одинаковые знаки.
Итак, имеем: dx • (d2 + d3) = dx • d2 + dx • d3.
Аналогично рассматриваются и остальные пять комбинаций.
5. Так как во всех случаях dx • (d2 + d3) и dx • d2 + dx - ds
дают один и тот числовой результат, то dx • (d2 + d3) = dx • d2 +
+ dx • d3.
§ 11. Монотонность произведения с ограничением
Если dx = (Яг\ R2) <d2 = (/?!; R2) и tf 3 =(/?Г; 1й) > 0, то
dx • dз < d2rf8.
Доказательство
1) Из первого условия следует, что rx < ri, где rx^Rx и л ?/?!.
2) Имеем: г\ > О (определение положительного числа d3).
3) Перепишем: гх < л
П >0
Т\ <Г\
п
4) dx • d3 = d= (Ri\R2)
(соотношение первого шага),
(соотношение второго шага),
(свойство монотонности
положительных рациональных
чисел).
(теорема существования
произведения, где г± • г\ = г" ? /?i,
учитывая, что гх • тх
<
< П л, заключаем: dxds < d2d3.
§ 12. Мультипликативность
Свойство мультипликативности. Если dx =
= d2i mo dxd = d2d.
Доказательство
Если d± = d2, то dx • d = d2 • d (теорема существования и
единственности произведения).
41

§ i3. Определение пары взаимно-обратных действительных чисел,
их задание сечениями Дедекинда в поле рациональных чисел
и их свойства
1. Определение. Парой взаимно-обратных
действительных чисел &х ф 0 и — называются числа, произведение которых
равно единице.
2. Существование пар взаимно-обратных действительных чисел
следует из исследования их задания сечениями Дедекинда в поле
рациональных чисел. В самом деле,
а) пусть dx = (R±\ R2) > 0. Тогда существуют rly г2:
0 < гг < г2, гг € #i, г2 € #2.
Поэтому гг Г2
б) В множестве Rx заменим каждое rt на — и образовавшееся
ri
новое множество обозначим 'Т^. Аналогично поступим и во
множестве /?2 и образовавшееся из него новое множество обозначим
в) Имеем: -1 = № 'tfi), где % = ? "/?а,
a Vx = f €'/?!•
Отметим, что "га = — < — = 'гх (что установлено выше).
г) Видим, что множество рациональных чисел разбилось на
два непустых подмножества "R2 и 'Rlt обладающих двумя
свойствами:
1) Каждое число, входящее в "R2, меньше каждого числа,
входящего в rRx.
2) Любое рациональное число г раньше входило либо в Ru либо
в R2, тогда теперь — будет входить в 'R± или в "R2.
д) Итак, образовалось сечение во множестве рациональных
чисел:
-7 = ("Rz, 'Кх).
3. Теорема. dx •—= 1.
42

Доказательство
Пусть dx > 0. Тогда:
a) d1 — = d=(/?i; /?2) (существование произведения), где
П ? R\ и Г2 ( i?2, причем имеем: г2 = V2 -1\ = r2 • — = i ^ 1,
rx = rx • ("r2) = rx • — = — ^ 1 (определение произведения).
б) Верхняя грань 7?/ равна — = 1.
Нижняя грань R2' равна — = 1.
в) Значит, d = 1 (определение произведения) или dj • — = 1
(транзитивность).
§ 14. Определение частного действительных чисел
а) Частным от деления dx на d2 ф 0 называется произведение
dx на — (последнее существует, как показано выше).
d2
б) dx — = d3 (теорема единственности существования
продажа
ведения).
в) Умножим обе части соотношения б) на d2:
U ¦ -) da = d8 • d2 (по мультипликативности).
г)Ч;г
. d ^ = d • d (теорема ассоциативности про-
4" ° изведения).
2 — w3 t*2
Д) di ' I = d3 • d2 (определение пары
взаимно-обратных чисел).
е) di = d9 • d2 (определение произведения на
единицу).
ж) Видим, что по данному произведению dx и одному из
данных сомножителей d2 находится другой сомножитель d3, а потому
деление в множестве действительных чисел, так же как и в
множестве рациональных чисел и целых чисел, есть действие, где по
данному произведению двух чисел и одному известному сомножителю
находят другой неизвестный сомножитель, поэтому соотношение
dx = d3 • d2 будем записывать так: dx\ d2 = d3.
43

Глава VI.
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
§ 1. Определение степени
Как умножение обобщает сложение, являясь сложением равных
слагаемых, т. е. d - n = d + d + d+ ... + d, причем d называет-
п слагаемых
ся множимым, п — множителем, а полученная сумма —
произведением, так и возведение в степень обобщает умножение, являясь
произведением равных сомножителей, т. е.
d • d ¦ d • d • ... • d} что читается так: d в n-й степени; dfl назы-
п сомножителей
вается степенью, d — основанием степени, п — показателем степени.
dl принимаем по определению равным d (что не входило в
данное выше общее определение).
§ 2. Существование и единственность степени при положительном
основании и натуральном показателе
1) Дано: d > 0.
2) Имеем dn = d • d • d • d • ... -d (определение степени).
n сомножителей
3) d-d-d-d-...-d={[(d-d)d]d...d}=d1 (существование и единст-
^Т^Гн^ителей венность произведения).
4) dn = d1 (транзитивность).
§ 3. Первое свойство умножения степеней
Вывод
1) dtl = d • d ¦ d • d • ... d (определение и существование
n сомножителей СТепеНИ).
2) dm = d • d • d - d - ... • d (определение и сущест-
^Г^1юЗГителей вование степени).
3) dn • dm = (d • d • d - ... • d) d • d • d - d • ... • d
n сомножителей m сомножителей
(существование произведения).
4) dn • dm = (d - d - d • ... • d) = dn+rn (ассоциативность умноже-
n+m сомножителей" ния и определение
степени).
44

5) dn • dm = dn+m (транзитивность).
Легко проверить, что соотношение верно и тогда, когда п = 1,
или т = 1, или п = 1 и т = 1.
§ 4. Второе свойство деления степеней: d" : dm=dn~mf еслип>т.
Вывод
1) /г — т = ft, где ft — натуральное число (существование
разности — соблюдено условие необходимое и достаточное).
2) dk = dn~m (теорема существования
степени, § 2).
3) dk • dm = dn~m • dm (существование произведения).
4) dk • dm = d{n~m)+m = dn (произведение степеней с
равными основаниями, § 2 и
свойство разности натуральных
чисел).
5) dn~m • dm = dn (транзитивность).
6) dn : dm = dn~m9 если n >tn (определение и свойство
частного).
§ 5. Третье свойство возведения в степень: (dn)m = dn,m
Вывод
1) (dn)m = dn • dn • dn - ... • dn (определение степени).
m сомножителей
n-\- n-\- n + ... + n
2) dn • dn • dn • dn • ... • drt = d m слагаемых = ^«.m
m сомножителей
(первое свойство степени и определение произведения натуральных
чисел).
3) (dn)m = dn'm (транзитивность).
§ 6. Четвертое свойство возведения в степень
Если d±>d2>0 и п —натуральное числоу то d\> dr
Доказательство
1) Запишем п раз данное неравенство:
dx > d2 > О
п неравенств
dx > d2 > О
d1>d2>0
45

2) Откуда {dx • d± - dx • dx - ... • dj = d!\ >
n сомножителей
> (d2 - d2 • d2 ¦ d2 • ... • d2) = d!\
n сомножителей
(монотонность произведения положительных чисел).
3) Короче, d!\ > d\ (определение степени).
§ 7. Пятое свойство возведения в степень
Если т> п и d> /, то dm> dn.
Доказательство
1) (d = d
п равенств \ d = d (рефлексивность).
2) т—п
неравенств
d = d
d > 1 (т—п—натуральное число, так
d > 1 как удовлетворяется свойство
d > 1 вычитания — существование раз-
ности).
Ы > 1
3) Перемножим левые и правые (монотонность произведения
части: действительных положитель-
dn • dm"n > dn ных чисел)
4) Короче, dn+{m~n) > dn (по 2-му свойству степенирова-
или dm > dn ния).
(свойство сложения и
вычитания натуральных чисел).
§ 8. Обобщение понятия степени — степень с целым показателем
1. Определение. Степенью с нулевым показателем
принято считать единицу, т. е. а0 = 1, где а ф 0 (основания
определения будут выяснены ниже).
2. Отметим, что 1-е, 2-е и 3-е свойства умножения, деления
степеней с нулевым показателем остаются теми же, что и при
натуральных показателях, что рекомендуется показать самому читателю.
Отметим, что dm : dn = dm~n, если т^ п\ произошло расширение
области условий делимости, так как было при условии
т > п.
3. Определение. За степень d~n принимается —, где
п — целое неотрицательное число, a d Ф 0.
46

Отметим, опуская доказательство, что при обобщении понятия
степени правила умножения степеней с равными основаниями и
возведения в степень остаются неизменными, а деление степеней
с равными основаниями теперь осуществляется без ограничений:
dm: dn = dm~n, где т может быть больше, равно и меньше п, тогда
как раньше оно осуществлялось только: а) сначала при т > п,
б) потом при т ^ п.
Глава VII.
ДЕСЯТИЧНЫЕ РЯДЫ ИЛИ БЕСКОНЕЧНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Основные определения и свойства
1. Числовым рядом называется выражение вида dx + d2 + d3 +
+ d4 + ... + dn+ ..., где каждое действительное число dt
называется членом ряда и в выражении нет последнего члена.
2. Десятичным рядом (или бесконечной десятичной дробью)
называется числовой ряд вида
С -4- ¦—- -4- —- 4- -—^- _l _i_ —- 4-
0 ю1 jo2 103 ~^ ••¦ + 10" "'
где целые числа cL при i = 1, 2, 3, ... , п неотрицательные, в
границах от 0 до 9, а число с0 — любое целое, неотрицательное число.
Отметим, что для простоты записи последнее число принято
условно записывать так: с0ус1с2с8 ... сп ...
3. Следствия из определения (основные свойства).
1) Всякое натуральное число п можно выразить двояко в виде
десятичного ряда п = /г, 000 ... 0 ... или п = (п — 1), 999 ... 9 ...
2) Всякая конечная десятичная дробь может быть также
выражена двояко в виде десятичного ряда, а именно:
d — Cq, с^с^с^с^ ... сп—г сп=с0, СуС^с^с^ ... сп^1сп ... О ...,
и d = c0J сгс2Съ ... сп_г (сп — 1)999 ... 9 ..., где сп > 0.
Чтобы не было двойственности в передаче десятичным рядом
действительного числа, будем передавать число в первом виде, где только
нуль (но не девятка) бесконечно повторяется. Тогда всякую
конечную десятичную дробь можно выразить в виде десятичного ряда
и притом единственным образом.
3) Всякое дробное число можно выразить в виде десятичного
ряда и притом единственным образом.
I случай несократимой дроби вида , где показатели т и
& о
п — целые неотрицательные числа.
47

II случай несократимой дроби вида , где р — простое
z • о • р
число, отличное от 2 и 5.
Известно*, что в первом случае (конечная десятичная
дробь) однозначно выражается десятичным рядом и что во втором
случае не выражается конечной десятичной дробью, а
2п'Ът'Р
выражается бесконечной периодической дробью с некоторым
периодом и предпериодом, т. е. выражается десятичным рядом и
притом однозначно:
2п • 5т- р
= с0, схсгсъс± ... сТахага^ ... акахагаъа^ ... акаха2а3... ah
где ^2^зс4 ••• сг — допериодическая часть, а^агаъа^ ... ak — период.
4) Всякое иррациональное число w = d, которое не является
ни натуральным числом, ни дробным числом, т. е. w Ф с0 + —,
где — — несократимая дробь, тоже может быть выражено
десятичным рядом.
В самом деле, пусть имеем:
nx <w< п± + 1;
w находится внутри отрезка {пх\ % + I). (1)
Разобьем отрезок (%; пх + 1) на 10 равных отрезков вида:
\пл: пхА ; л, -\ ; Пл-\— ; \Пл-\—; л, + — ;
L г х ioJ L ю х loj L ю ioJ
Г . 3 , 41 г .4 .51
Пл -\—; пг-\— ; \п1-\— ; п*-\— ;
[ г i ю х ioJ L ю х ioJ
[ч + f0; ч + f0]; [ч + ^ч+ ?]; [ч + ?; ч + ?];
h + fo;ni+^];h + fo;n+1}
Тогда w окажется внутри одного из этих отрезков, пусть,
например,
n1 + ^<w<n1 + Ш. (2)
1 ' 10 * 10 v '
* См., напр.: Андронов И. К- иОкуневА. К- Арифметика
рациональных чисел, с. 270.
48

На основе соотношения (2) заключаем, что w содержит в себе
пг целых и ix десятых долей. Отрезок (2) вновь разделим на 10
равных отрезков вида:
L 10 Х 10 102J L 10 1С2 * 10 102J
Точка w попадет внутрь одного из этих отрезков. Пусть это будет
1 10 1С2 Х 10 102 w
На основе соотношения (3) заключаем, что w содержит в себе
п± целых, ix десятых долей, i2 сотых долей. Отрезок (3) вновь
разделим на 10 равных отрезков и аналогично установим, что
Л+^ + — + — <о;<л1 + ^ + ^- + ^±-!-. (4)
1 10 102 1С3 ^ * 10 102 103 w
На основе соотношения (4) заключаем, что w содержит в себе %
целых, ix десятых долей, i2 сотых долей, i3 тысячных долей.
Отрезок (4) вновь разделим на 10 равных отрезков и будем продолжать
процесс п раз.
В результате будем иметь:
1 ^ 10 ^ 102 ^ 103 ^ "" ^ 10^ U ^ х 10 ^ 102^ 103 Г ' ^ 10* '
Взяв /г->оо, продолжив процесс бесконечно, придем к выводу,
что всякое действительное число единственным образом выражается
десятичным рядом (или бесконечной десятичной дробью): п1У 1х144ь
... in ... и, обратно, всякому заданному десятичному ряду
соответствует единственное действительное число, разложением из
которого получается заданный ряд.
Доказательство
1) Сконструируем бесконечную последовательность отрезков
вида:
Sl = [Л1; пх + 1]; S2 = [^ 4- ±\ п, + i±I]; S3 = \пх + ± + i;
Ul + ш + Ч&~} '" S™+1 = h + ш + ш2 + ю3 + и* + - lS~;
л + 1 + — + - + — + - 4-^-П,
1 10 ' 1С2 1С3 ^104 ют \
где т ->- оо.
2) Отметим, что всякий следующий отрезок заключается в
предшествующем и что длины этих отрезков неограниченно убывают.
49

3) Следовательно, существует только одна точка w — общая
для всех названных отрезков, что вытекает из известной леммы о
вложенных отрезках: «Если имеется бесконечная
последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, то
существует единственная общая точка, принадлежащая всем
отрезкам этой последовательности».
§ 2. Равенство и неравенство десятичных рядов (бесконечных
десятичных дробей)
Определения. 1. Двумя равными десятичными рядами
называются десятичные ряды, у которых все члены одного и того же
номера равны.
2. Двумя неравными десятичными рядами называются
десятичные ряды, у которых имеется хотя бы одна пара неравных членов
одного и того же номера.
Глава VIII.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
§ 1. Определение арифметического корня п-й степени
из неотрицательного действительного числа
Определение. Арифметическим корнем п-й степени
(п — натуральное число) из неотрицательного действительного
числа d называется действительное неотрицательное число dly если
йгп = d, что записывается: yd = d1 — и читается: корень п-ой
степени из d равняется dx, причем п называется показателем корня,
d — подкоренным числом, dx — значением корня.
Следствие. Из определения следует: [V d) = d.
Это соотношение является тождеством.
Пример. У^81 = 3, так как З4 = 81, причем 3 является
арифметическим корнем четвертой степени из 81, но —3 тоже есть
корень четвертой степени из 81, так как, в самом деле, (—З)4 = 81,
но —3 не является арифметическим корнем четвертой степени из 81.
§ 2. Существование и единственность арифметического корня #-й
степени из неотрицательного действительного числа
Теорема. Пусть d — неотрицательное действительное
число, п— натуральное число. Тогда существует единственное
число У а.
60

Доказательство
I случай: d = 0. Тогда у^О = 0, так как 0* = 0. При этом не
существует d Ф О : dn = 0. В самом деле, пусть нашлось число
dx Ф О : dn[ = 0. Имеем 0 = dn\ ф О, что невозможно.
II случай: d > 0; распадается на два подслучая:
a) d > 1 и б) 0 <d < 1.
Рассмотрим случай, когда d > 1.
1) Сконструируем конечную числовую последовательность:
\п < 2" < 3" < ... < л?, доведя до л? > d.
2) Если найдется один из членов этой последовательности
ап = d, то искомое найдено: j^d = а.
Если же не найдется ни одного члена, равного d, то, так как
Iя < d и пп\ > d; между парой смежных членов находится d.
Пусть это будет между kn < d < (ft')*, где ft' = ft + 1.
3) Сконструируем конечную числовую последовательность из
11 членов, у которой 1-й член меньше d, а последний больше d,
а именно:
ft" < (ft, 1)" < (ft, 2)" < (ft, 3)» < (ft, 4)я < (ft, 5)« <
< (ft, 6)" < (ft, 7)» < (ft, 8)" < (ft, 9)» < (ft1)".
Видим, что kn < d < (ft1)".
Значит, между парой смежных членов последовательности
находится d, пусть это будет между (ft, k^)n < d < (ft, fti)".
Если имеем равенства, то (ft, ft^" = d, откуда yd = ft, йх.
4) Если нет равенства, то вновь сконструируем числовую
последовательность с аналогичным свойством из 11 членов:
(ft, kxy <Jft, ?1)л < (М?2)л < &?3)я < (VM)" <
< (ft, fti5)" < (ft, ft, W < (ft, ft!7)"< (ft, kJS)n <
< (ft, fti9)" < (ft, fti>.
Видим, (ft, ftx)" < d < (ft, fti')n. Значит, между парой смежных
членов находится d, пусть это будет (ft, ftx k2)n ^ d < (ft, kxk^)n.
Если будет равенство (ft, ftx ft2)'z = d, то j/d = ft, ftx ft2.
5) Если будет неравенство, то сконструируем новую аналогичную
последовательность:
(kyXk2y < (ft, ftTftn)" < (К feTfe^)^ <
< (ft, ftTft73)" < ... < (ft, ft7ftT9)" < (ft, ftx fej)«.
Выделим в ней два смежных члена, между которыми будет d.
Пусть это будет (ft, kx fe2 fe8)" < d < (ft, ftx ft2 *з)л- Если будет
равенство, то d = ft, ftx ft2 ft3. Если будет неравенство, то вновь
продолжаем дальнейший аналогичный процесс.
51

6) Сконструируем новую аналогичную последовательность из
одиннадцати членов, а именно:
(ft, ki k2 k3)n < (ft, kx fe2 fe3 1)" < (ft, kik2k32)n <
< (ft, ki k2 fc3 3)" < ... < (ft, kx k2 ft3 9)" < (ft, ^ ft2 ftj)".
а) Выделим два смежных члена, между которыми находится d.
Пусть это будет (ft, ftx ft2 ft3 &4)л ^ d < (ft, ftx ft2 ft3 fti)".
б) Продолжая аналогичный процесс m раз, будем иметь:
(ft,ft1ft2ft3ft4...ftm)w< d < (ft, ft1ft2ft3ft4...ftm)"1
и пусть m-> oo.
I. Разобьем все множество рациональных чисел на два под-
множества Л^ и М2, отнесем к Мх все рациональные числа вида
ft, ft1ft2ft3...fti и меньшие их, а ко второму подмножеству—все
рациональные числа вида ft, кхк2къ ... k\ и большие их. Тогда
каждое число, входящее в Мъ меньше каждого числа, входящего
в М2. Причем каждое рациональное число отнесем или к Ми или
к М2\ Mi имеет верхнюю грань, так как оно ограничено сверху
любым числом М2\ М2 имеет нижнюю грань, так как оно ограничено
снизу любым числом, входящим в Мх.
II. Покажем, что можно найти г2 ? М2 и гг ? Мг так, что г2 —
— гг <е, где е —любое положительное число. Возьмем ei =
= 8 ¦ (п • bn~l), где п • Ъп~х > 0. Обозначим:
ft, kx ft2 ft3 ... k' = b и ft, kx k2 ft3 ... ftm = a.
Тогда bn — an=(b — a)- (b*-1 + bn~2 ¦ a + b""3 ¦ a2 +
+ ... + a71'1) <(b — a)- (6я-1 + 6Я-Х+ ft«-1+6«-1 + ... + Ь"-1)^
= (b — a) • (n • b'*-1). (*)
Откуда bw — an < (b — a) • n • Ь""1 (транзитивность).
Но fc — a = ft, ftx ft2 ft3 ... ft^ — ft, ftx ft2 ft3 ... ftm = 0,000 ... 01 =
_ j_,
- 10m»
откуда 6 — a = (транзитивность).
Поэтому при m-> oo имеем: — = e = b — а. Возьмем e • nx
\om
X Ьп-1=г1, откуда bn — an<(b — a) • n • b"-1 = гх (*),
короче: bn — an <ei- (транзитивность). Учитывая, что b = r2
и a = rlf получаем: r2 — rx <ei-
III. Видим, что множества Мх и М2 обладают условиями
теоремы V, следовательно, существует верхняя грань Мг, совпадающая
с нижней гранью М2} обозначим ее через dx. По определению
степени получаем d? = d, т. е. dx = |/d, тем самым показано
существование искомого числа х = dx = -j/d. Единственность ]/d = dx
доказывается методом от противного.
52

Допустим, что >/d = d2, где d2 ф d. (I)
Откуда d = d?,
d = dH (по определению степени).
Из последних равенств следует, что d"=d2(no транзитивности) (II).
Из I соотношения имеем: dn\ ф d" (III) (монотонность).
Сопоставляя II и III, видим, что получилось противоречие, тем
самым доказана единственность искомого числа х = -j/d, если
d > 1; теорема доказана для этого случая. Продолжим
исследование для случая, когда 0 <d < 1.
Сведем этот случай к доказанному.
— = d > 1 (что доказывается от противного),
d
откуда существует "1/' -т = у d = df (по выше доказанному)
или — = d(d')n (возведение в п-ю степень),
d
откуда d = — = (теорема доказана и для II случая).
d (d)n
§ 3. Свойство арифметического корня из произведения
неотрицательных действительных чисел: ^йг • d2 = yd1 • Vйг
1) yrd1 = ах (арифметический корень существует и
единственный, теорема § 2).
-j/d2 = ^2 (то же)-
2) Из предшествующих соотношений следует:
дл = fli
d2 = аЗ (по определению корня).
3) Перемножим почленно последние соотношения:
dx • d2 = d[ - al = (аг а2)п (мультипликативность,
следствие из ассоциативности
произведения).
4) аха2 = y^dx • d2 (по определению корня).
5) Подставляя выражения из 1) соотношения, получаем;
yrd1 • ]/rd2 = yrd1 • d2
§ 4. Свойство арифметического корня из частного
неотрицательных действительных чисел: \/ ~г = —^ > где tf2^0
53

Доказательство
Обозначения те же, что и в предшествующем параграфе, а
потому продолжаем обозначения 1-е и 2-е.
1) Разделим d± = dl на d2 = 02, получим:
d\ а\ /fli \п (свойство частного действитель-
~ = ~ = [— ных чисел).
2) Подставим последнее в данное:
V d2 V \ а2 ) а2
!^г— (1-е обозначение, § 3)
(обозначение 2-е, § 2,
определение, существование и
единственность корня).
п г—
(транзитивность).
§ 5. Свойство арифметического корня из корня, когда последний
берется из неотрицательного действительного числа: у уа = у а
1) Обозначим Vd = dx, тог- (определение и существование
' корня).
да й\ = а
2) Обозначим у dx = d2, от- (то же),
куда dl = di
3) Сопоставляя 1) и 2), име- (III свойство степени).
= й\ = (0,2' = U2
4) Из последнего получаем: (определение и существование
d2= yd корня).
б) Из данного получаем: (последовательные замены).
Wd = Vdi = d2
лч __ nFm/-r mnr~r
6) По транзитивности имеем: у у d = yd.
54

Глава IX.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ — СТЕПЕНЬ
С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 1. Степень неотрицательного числа с рациональным нецелым
показателем
т
Определение. Степенью dn называется число, равное
У dln, где d ^ 0, а рациональное число.
п
Отметим, что у dm = ас, если т : п = с, где с — целое число;
таким образом, имеем особый случай рационального целого
показателя, уже вошедшего в 1-е обобщение понятия степени, поэтому
надо рассмотреть случай, когда — Ф целому числу.
п
Теорема существования и единственности обобщенной
степени числа
т
dn = dly где d > О
Доказательство
1) dm = d1 > О (существует по теореме
существования и единственности
произведения).
2) Vdm = у^1 = d1 > 0 (по теореме существования
корня /г-й степени).
т
3) dn = -\^dm = d± > 0 (определение степени с
рациональным показателем и
транзитивность).
4) Отметим, что основные свойства 1-е—5-е, установленные для
степени с натуральным показателем, остаются верными и при
целых и рациональных показателях, что рекомендуется читателю
доказать самостоятельно.
5) Единственность числа обобщенной степени доказывается ме-
тодом от противного: а) допустим, что dn = d± и dn ~" 2'
dx ф d2. б) Тогда dm = rf[ и dm = dn2 (по определению степени),
в) По свойству монотонности произведения имеем: <$\ Ф d" , а
потому dm Ф dm (транзитивность). Но по теореме о степени с
натуральным показателем имеем
dm = dmy тем самым доказана единственность степени с
рациональным показателем.
55

§ 2. Степень положительного числа с любым показателем
Определение. Степенью dd^ называется действительное
число d = dd* , получаемое в результате следующих пяти операций:
1) Из данного числа dx = (Т^; R2) взяли такие rx g /?х и г2 € /?2,
что для любого положительного числа е имеем г2 — гх <е
(теорема § 7, IV гл.).
2) Сконструируем подмножества из действительных чисел:
Dx — из всех чисел dr* и меньших последнего,
D2 — из всех чисел dr* и больших последнего.
Числа dr« и dr* существуют — теория степеней с рациональными
показателями.
3) Исследуем множества Dx и D2:
а) Множество D± ограничено сверху числом d\ ? D2y а потому
Dx имеет верхнюю грань, множество D2 ограничено снизу числом
d\ ? Dl4 а потому D2 имеет нижнюю грань.
б) Покажем, что для любого положительного е можно найти
такие d\ € Dx и d\ ? D2, что d\ — d\ <е.
е_
4) В самом деле, drl > 0, а потому dri > 0.
Обозначим — = 8i (1).
dri
ei — новое положительное число. Отметим, что (1 +ei)rt >
> 1 + /!&!, где натуральное число п > 1. (Это соотношение легко
доказывается методом математической индукции.)
Подберем такое /г, чтобы 1 + пе± > d, откуда п > -^-. Так
как (1 +81)11 > 1 + пег > 0, то получаем
(l+ei)">d (транзитивность неравенства),
откуда (1 +ei) > V~d = dn (определение корня, его
существование и единственность).
\_ j_ 0.000...01
Из последнего 8i > dn — 1 > dl°n — 1 = <Г~^ — 1 =
__ , ft» fti ft2 kz - ftjj — ft' ki h2 йз - kn .
Иначе, ei >dr*~ri— 1.
Умножая обе части на dr^ > 0, получаем:
eidr* > dr* — dr* (монотонность произведения).
Подставляя из 1), имеем:
-¦#¦*> dr* — dr* .
dri
Короче, е > dr* — dr> = d\ — d\
или e > dl — d\.
56

5) Видим, что условия пятой теоремы § 7 соблюдены, а потому
применим ее выводы: существует общая грань множества Dx и
множества D2, которую обозначим d = ddi (существование ddl
доказано). Единственность степени dd* вытекает из единственности
существования общей грани — верхней грани множества Dlt
совпадающей с нижней гранью множества D2.
Случай, когда 0 <d < 1.
1) из данного 0 < d < 1 следует, что — > 1 (свойство деления).
d
2) Имеем: — = d2 > 1.
d
3) Применим теорему, рассмотренную в 1-м случае: d% =
$ = (±Y* = (d-1)** = d~d\ и получим:
d? = дГ 1
(по транзитивности).
Можно доказать, что свойства степени 1-е—5-е, установленные
для степени с рациональным показателем, верны и для степени с
действительным показателем (предлагается в качестве упражнения
доказать читателю).
Глава X
ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ В МНОЖЕСТВЕ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ ОСНОВАНИИ
§ 1. Определение логарифма и теорема существования и
единственности
Определение. Логарифмом положительного
действительного числа d при положительном основании аф1 называется
действительное число d± такое, что adi = d> причем последнее принято
обозначать и иначе: d± = \ga d — и читать: dx есть логарифм d
при основании а.
Теорема. Существует \ogad и притом единственный.
Первый случай, когда d > 1 и а > 1.
Доказательство существования hgad
Если известно dx такое, что ааг = d, то loga d = dv Если dx
не известно, то установим его существование следующими
рассуждениями:
57

1) Сконструируем конечную числовую возрастающую
последовательность:
а0 = 1 <а < а2 < а3 < а4 < ... <а",
где я. подберем, чтобы ап > d.
а) Отмечаем, что 1 < d < а".
б) Выделим из этой последовательности два смежных члена,
между которыми находится d. Пусть ак ^ d < ak'. Если в первом
соотношении будет равенство, то искомое найдено: ак = d, откуда
^ = l°ga d (определение логарифма), если же имеем неравенство,
то продолжим аналогичный процесс;
2) Сконструируем новую числовую возрастающую конечную
последовательность из 11 членов вида.
ak < ak,\ < акЛ < ak,3 < акЛ < ак,Ъ < ak,Q < ak,7 < ak,8 < ak,9 < ак'%
а) Отметим, что ее 1-й член ak<d, а последний akx > d.
б) Выделим из этой последовательности два смежных члена,
между которыми находится d. Пусть это будет ak>ki^d <ak>k'.
Если будем иметь в этом соотношении равенство, то k, kx = \ga d,
а если имеем неравенство, то продолжаем аналогичный процесс;
3) Сконструируем аналогичную числовую последовательность
из 11 членов:
ак,к, < а*лГ< ak,kJ < akJ$ < akJJ < _ < а*.М"< ak'kt .
а) Отметим, что ее первый член ak'k^ < d, а последний ak' fei >
>d.
б) Выделим из этой последовательности два смежных члена,
между которыми находится d. Пусть ak'k^k* ^ d < ак' klk2- Если
будет в этом соотношении равенство, то имеем k, k± k2 = \ga d,
если неравенство, то продолжим аналогичный процесс;
4) Сконструируем следующую аналогичную последовательность
из 11 членов:
я&,м7< ak'kik*1 <?. ak'kik'2< ak'k^6 < ... <*ЛЙГ< ak,k±k2.
а) Отметим, что ее первый член a*1' *2 < d, а последний aMlfe* .
б) Выделим два смежных члена, между которыми находится d,
пусть
ak, k,k2k, t^d < ak' k^K .
Если будет равенство, то fe, kx k2 k3 = \ga d, если же неравенство,
то продолжим исследование.
5) Сконструируем аналогичную числовую последовательность
из 11 членов:
gk, k±k2ka <^ рк, kjbikj. ^ Qk, ktk2k32 ^ gk, k^k^ <,,.<" Qk> ktk2k^9 ^ Q^,kik2k^
58

а) Отметим, что 1-й член akkik*k* < d, а последний член
ak, T$ji'3 > ^.
б) Выделим два смежных члена, между которыми находится d.
Пусть
Qk^ikik^ki ^ d <С Qk,kxk2kja <
Если будет равенство, то k.k-jzjzji^ = lgad, а если неравенство,
то продолжим аналогичный процесс.
6) Так продолжая т раз, будем иметь:
I. Сконструируем: а) подмножество D1 из всех действительных
чисел вида flWlW4,Jm и меньших последнего; б) множество
D2 из всех действительных чисел вида aWlW4'"m и больших
последнего.
II. Из этого конструирования множеств Dx и D2 видим, что
каждое действительное число, принадлежащее Dl9 меньше каждого
действительного числа, принадлежащего D2.
III. Множество D± ограничено сверху любым числом d2 ? ?>2»
а потому имеет верхнюю грань. Множество D2 ограничено снизу
любым числом di € Dx, а потому D2 имеет нижнюю грань.
IV. Покажем, что можно найти d2 ? D2 и d/ ? Dx такие, что
d2 — d/ <е, где е — любое положительное число:
а) Так как число ^^"''я > 0, то №****-ка > 0.
Обозначим последнее через
>0 (1)
?i =
б) Найдем такое натуральное число /г, чтобы 1 + пгг > d, где
d > 0. (п надо взять > ""
«1 .
в) Так как (1 +гг)п > 1 + тг > d (§ 2, стр. 67), то получаем:
L 2_
(1 + ei)" > d, откуда 1 + г > Vd = dn, гх> dn — \>
0,000 ... 01 ,
-> d n нУлей 1= d n 123 n j^
ft, htk2kskA ... ft — k,kth2k2k4 ... ft
Короче: ex > d n л— 1. (II)
г) Умножим обе части соотношения II на d ' * ih*k*-~hn > q
будем иметь:
/г, h-Jiihskt ... Л A kxk2k^k4 ... ftn' Л h^k^k^ ... А„ / j/
ех • d rt=d —a — d2— аи
59

д) Итак, имеем: d2 — d\ < е.
V. Видим, что условия теоремы V соблюдены по отношению к
множествам D± и D2, а потому применяем ее следствие: существует
общая грань, когда верхняя грань множества D1 совпадает с
нижней гранью D2, т. е. существует действительное число dx такое,
что а1 = d, или существует d± = loga d.
Второй случай, когда 0 < d < 1 и а > 1.
1) Имеем: — > l=»loga— = rfx (1-й случай).
d d
2) Из последнего получаем: — = adi (определение логарифма).
d
3) Из полученного имеем: d= — = а~^ .
4) Откуда loga d = —dx.
Третий случай, когда 0 < а < 1.
1) Имеем: — = аг > 1 (свойство действительных чисел).
2) По 1-му и 2-му рассмотренным случаям имеем: loga d = dl9
иначе, logl d = dx.
3) Из последнего получаем: ( —) = d (определение логарифма).
4) Следовательно, cTdi = d или loga d = —dv
§ 2. Свойства операции логарифмирования
Если d±>0 и d2>0, то
I. loga(^i ¦ d2) = loga dx + logatf 2 II. loga J =logarf1 — loga rf2.
Вывод
1) loga dx = сг (теорема существования и единственности),
loga d2 = с2 (то же).
2) Из последнего:
aCi = dx
ac* = d2
3) a** • ac2 = dx • d2
(свойства произведения
действительных чисел).
4) Из последнего:
di+c* = dx • d2 (свойство
степени).
60
(определение логарифма).
3) aci : a*. = dx : d2= ^•
cf2
(свойство частного).
4) Из последнего:
tfi-c* __ ^ . ^ (свойство
степени).

5) Откуда получаем:
logfl (dxd2) = с± + с2
(определение логарифма).
6) Из последнего имеем:
loga {dx • d2) = loga dt +
+ logfl d2
5) Откуда получаем:
l°ga — == ci — c2 (определение
d2
логарифма).
6) Из последнего имеем:
loga ~ = logA — \ogad2.
d2
III. \ogadb=d2\ogad1
а) Существует loga ^ = сг, откуда ac* = d±.
б) Возведя обе части последнего соотношения в d2, имеем:
(а<х у, = df2.
в) Иначе: aCt'd2 = df2 (свойство степени).
г) loga (d?2) = Ci • d2 (определение логарифма).
Д) l°ga (d?2) = d2loga d± (подстановка из а).
Глава XI
СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Множество действительных чисел образует числовое поле
Определение. Числовым полем называется множество
чисел, если над любой парой его элементов возможны операции
сложения, вычитания, умножения, деления (если делитель отличен от
нуля) так, что в результате получаются числа того же множества.
Следствие. Множество действительных чисел образует
поле.
d\ + d2 = d3; dx — d2 = d4; dx • d2 = d5; 7- = de, где d2 Ф 0.
§ 2. Множество действительных чисел есть множество несчетное
Лемма I. Множество действительных чисел в интервале
(0; 1) есть множество несчетное.
1) Всякое действительное число может быть передано
единственным образом в виде бесконечной десятичной дроби
(десятичного ряда) — теорема, гл. VII.
2) Доказательство леммы ведется методом от противного.
Допустим, что множество действительных чисел (0; 1) счетное.
3) Тогда все числа этого множества можно перенумеровать
(определение счетного множества).
Имеем:
61

dx = 0, аг аъ а3 а4 .
Аг — 0, Ьх b2 Ь3 fr4 .
«3 = "> С1 С2 С3 С4 ••
d4 = 0, dx d2 d3 d4 .
.. an ...
... &„ - (c
• c„ ...
...d„...
«Л = "> 'l '2 '3 '4 ••'
. la ...
(3) бесконечные десятичные дроби.
4) Сконструируем действительное число вида
х = 0, а1 Ьъ с3 d4 ... ln ... , где черточка наверху означает, что взята
любая из девяти цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, кроме цифры,
стоящей под чертой; например, если с3 = 8, то с3 Ф 8. Исследуем,
вошли ли числа х в выше рассматриваемое множество чисел.
Нет, не вошли, так как
х ф dlt х и dx имеют различное число
десятых долей,
хф d2, х и d2 различное число сотых,
х ф d3} х и d3 различное число тысячных,
х ф d4, х и d4 различное число
десятитысячных,
х ф db, х и d5 различное число стотысячных
хф dny х и dn различные десятичные знаки
на м-м месте.
5) Допустив, что все действительные числа интервала (0; 1)
можно перенумеровать, получили противоречие, так как оказалось,
что в этом интервале существуют числа, находящиеся вне
предполагаемого однозначного соответствия, причем этих чисел оказалось
бесконечное множество. В самом деле, чисел вида 0, ах b2tc3d^ ...
... ln ... бесконечное множество, так как ах может иметь 8
значений, Ь2 тоже 8 значений, их сочетание 0, аг Ъг — 82 значений, а
чисел вида 0, ах b2c3d± ... ln — 8п значений. При п -> оо, 8" -> оо,
т. е. в перенумерованное множество чисел не вошло бесконечное
множество чисел того же интервала (0; 1). Таким образом,
допущение счетности множества действительных чисел приводит к
противоречию, тем самым доказана несчетность множества
действительных чисел интервала (0; 1).
Лемма 2. Множество всех точек прямолинейного луча
есть множество несчетное (или: множество действительных
чисел в интервале (0:оо) есть множество несчетное).
Доказательство
1) Возьмем луч АХ с началом Л и на нем возьмем текущую
точку М (как показано на рис. 19).
62

D-
M
Рис. 19.
2) Из А проведем наклонный к лучу единичный отрезок АЕ = 1,
а из ? — произвольный отрезок ED \\ МА.
3) Из D проведем луч, проходящий через текущую точку М.
4) Пусть точка М пробегает точки луча AM. Устанавливается
взаимно-однозначное соответствие: а) точек интервала АЕ (0; 1) и
точек AM, интервала АХ (0; оо).
5) Видим, что точки и действительные числа — координаты
этих точек пришли во взаимно-однозначное соответствие:
множество точек АЕ эквивалентно множеству точек АХ, иначе, множество
действительных чисел интервала (0; 1) эквивалентно множеству
действительных чисел интервала (0; оо).
6) Применяя 1-ю лемму, имеем, что множество точек на луче
АХ несчетно, а значит, множество действительных чисел (0; со)
несчетно (транзитивность).
Теорема. Множество точек на прямой есть множество
несчетное, или множество действительных чисел в интервале (—оо,
оо) есть множество несчетное.
Доказательство
1) Возьмем прямую АВ и на ней произвольную точку О (как
показано на рисунке 20). Прямая распалась на два луча О А и О В
(рис. 20).
Рис. 20.
2) Из О проведем единичный отрезок ЕХЕ = 1 так, что:
а) ОЕ
±2^ = 1-1=1;
2 х 2 2
1
б)ОЕ1 = ±.Е1Е;
в) ?1? = ?10+0? = |+j = l.
63

3) Из Е проведем произвольный отрезок ED \\ ОА и из Е±
проведем произвольный отрезок E1D1 || ОВ.
4) Взяв на луче ОА текущую точку N и проведя луч DXN, в
процессе непрерывного движения N получу О А будем иметь
пересечение Е±0 X DXN = X. Геометрическое место точек X есть точки
Е±0. Видим, что множество точек на луче ОА эквивалентно
множеству точек на ЕхО, иначе, множество действительных чисел
интервала [—оо; 0) эквивалентно множеству действительных чисел
полуинтервала ; 0).
5) Взяв на луче ОВ текущую точку М и проведя луч DM, в
процессе непрерывного движения точки М по лучу О В будем иметь
пересечение точки, ОЕ х DM = X. Геометрическое место точек X
есть ОЕ, Видим, что множество всех точек на луче ОВ
эквивалентно множеству точек на ОЕ, иначе, множество действительных чисел
интервала [0, оо) эквивалентно множеству действительных
чисел полуинтервала [0» —).
6) Объединяя выведенные соотношения 4) и 5), имеем:
множество точек на прямой АВ эквивалентно множеству точек на ЕгЕ.
Иначе, множество действительных чисел на интервале (—оо; оо)
эквивалентно множеству действительных чисел интервала (0, 1).
7) Воспользовавшись 1-й леммой, утверждаем, что множество
точек на прямой несчетно, или множество действительных чисел
в интервале (—оо; оо) несчетно (транзитивность понятия
эквивалентности).
Глава XII
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Определение алгебраического действительного числа
Алгебраическим действительным числом называется
действительное число, которое может быть корнем многочлена с целыми
коэффициентами. Например: а) рациональное число — есть число
5
алгебраическое, так как многочлен с целыми коэффициентами
3 3
Ъх — 3 имеет корень— , что видно: 5 • 3 = 0; б) иррацио-
5_ 5
нальное число вида ]/2 есть число алгебраическое, так как
многочлен с целыми коэффициентами х2 — 2 имеет корень ]/"2, что видно:
(]/2)2 — 2 = 2 — 2 = 0.
64

Рациональные числа—числа алгебраические
1) Возьмем произвольное рациональное число —, где пфО.
п
2) Сконструируем многочлен с целыми коэффициентами:
п • х — т.
3) Покажем, что — есть корень этого многочлена п • х — т:
п
tTl г\
п
Иррациональные числа, являющиеся корнями из
рациональных чисел,— числа алгебраические
1) У г есть число алгебраическое, где г — рациональное
положительное число, не являющееся /г-й степенью.
Доказательство
Имеем У г = х, откуда г = хп\ получаем многочлен с целыми
коэффициентами хп — г, для которого У? является корнем:
[V~r)n— r = r — r = 0.
2) Vrx +V
?2 + У~?2 = x> гДе ri> r2> гз — рациональные числа,
откуда у r2+ у r3=xn — rl9
h/—
далее r2 + у r3 = (xn— r±)m (корни первого уравнения сохранились),
УТЪ = (хп — r±)m — г2 (корни второго уравнения также
сохранились),
гз = С(*л — ri)m — гъУг (корни третьего уравнения также
сохранились),
откуда: 1) [(*» — r±)m — r2f — r3 = 0,
2) xm± + axxmx"x— a2xmi~~2 + ... + atni_lx+atn=01rjiiem1=m-n-ki
n/ m r h ~r.
где все коэффициенты—целые числа, а радикал у гх + у г2+ У г3
есть один из корней полученного многочлена, так как от возведения
в степень обеих частей уравнения корни остаются (хотя, быть
может, прибавляются и новые).
Существуют алгебраические числа, не являющиеся
радикалами из рациональных чисел
Известно, что исследования алгебраистов начала XIX века
привели к доказательству Галуа, что не всякое уравнение с
рациональными коэффициентами, начиная с пятой степени, разрешимо
в радикалах. Так, уравнение хъ — х — 1 = 0 не разрешимо в
радикалах (смотри докторскую диссертацию Д. Селиванова (1855—
1932), защищенную в С.-Петербургском университете, 1889, стр. 162).
65

Но это уравнение имеет иррациональный корень х9 заключенный
в интервале 1 < х < 2. Этот корень есть число алгебраическое (по
определению последнего, так как многочлен хъ — х — 1 с целыми
коэффициентами).
§ 2. Счетность множества алгебраических действительных чисел
Теорема. Множество действительных алгебраических чисел
есть множество счетное.
Доказательство
1) Метод доказательства аналогичен тому, каким
устанавливалась счетность множества рациональных чисел (см. «Арифметику
рациональных чисел» Андронова И. К. и Окунева А. К).
2) Множество всех действительных алгебраических чисел есть
множество различных корней всех многочленов с целыми
коэффициентами вида а0хп + а1хп~1+ а2хп~2+ ... + ап~гх + ап, где все
at — целые числа, причем а0 > 0, и многочлен неприводим.
3) Для того чтобы рассматривать корни многочлена в строго
определенном порядке, вводятся натуральные числа под названием
«высоты» в виде Н = (п — 1) + а0 + \ аг | + | а2 \ + | а3 \ + ...
... + | ап | так, что при заданном Н определятся показатель п и
коэффициенты at (понятно, не однозначно).
4) Итак, каждое заданное значение Н определит конечное
множество многочленов с целыми коэффициентами, а каждый
многочлен определит конечное множество действительных корней (не
более чем п). Так последовательно будут возникать корни, которые
будут последовательно занумеровываться, и тем самым корни
всех многочленов с целыми коэффициентами будут вступать во
взаимно-однозначное соответствие с последовательностью
натуральных чисел. В самом деле, нижеприведенная таблица, состоящая из
7 колонок, показывает процесс образования последовательных
алгебраических корней многочленов с целыми коэффициентами и их
последовательное занумерование.
1) Так, (см. стр. 68), взяв Н = 1 = (п — 1) + а0, можно найти
только п = 1 и а0 = 1, т. е. найти единственный многочлен 1 • х,
у которого единственный корень 0, а потому ставим его во
взаимнооднозначное соответствие с единицей — началом
последовательности натуральных чисел, т. е. О *-* 1.
2) Взяв Н = 2 = (п — 1) + а0 + \ ах |, находим: а) п = 1;
а0 = 2; а0 = 1; аг = 1; б) п = 2, а0 = 1, следовательно, находим
четыре многочлена 2л;, х + 1, х — 1, 1 • я2, корни которых
соответственно 0, —1, 1, 0. Отбрасывая повторяющиеся корни 0; 0,
имеем —1 и 1, которые располагаем по возрастанию и ставим во
взаимно-однозначное соответствие с продолжающейся
последовательностью натуральных чисел: —1 <-> 2, 1 <-+ 3.
3) При Н = 3 имеем четыре корня:
— 2<->4; ч-> 5; — ++ 6; 2<-> 7 и. т. д.
66

Многочлены
Дейст.
корни
2 о
58
«
1 -х
нет
2х
х±1
1 -х*
О
±1
О
повт.
повт.
Зх
2*±1
*±2
2л;2
л:2 ± л;
х2± 1
О
1
±2
±2
О
0; ±1
±1
О
повт.
повт.
повт.
повт.
повт.
4
3
2
1
3
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
1
2
3
0
1
0
2
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0:
0
0
0
0|
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4х
Зх + 1
2л: ±2
х±Ъ
Зл;2
2а;2 ± 1 . х
2л;2 ±1
л;2 ±2*
'**+*+1; л:2 + л:
х*+х+\\ х2 — х
х2±2
2*3
х3±\ - х2
х* ±1 . х
ЛГ3±1
х*
— 1
— 1
0
0;
zb
повт.
повт.
повт.
повт.
повт.
V2
0; ±2
-2~ 2
±V2
0
±1; о
± 1; 0
±1
о
повт.
повт.
повт.
повт.
повт.
12
— 3
~2"~ 2
-/?
1
±,VJ
"2+ 2
2_
3
J. YJL
2 ~~ 2
1
V2
V*
2 + 2
8
9
10
И
12
13
16
17
13
19

Тем самым заданному Н соответствует конечное множество
многочленов с целыми коэффициентами, а каждому многочлену
соответствует конечное множество действительных корней (комплексные
отбрасываются). Располагая эти корни для заданного Н в порядке
их возрастания, и устанавливаем взаимно-однозначное
соответствие находимых корней, как показано в таблице на странице 68,
с последовательностью натуральных чисел с номера, на котором
остановились при Н.
Так доказана объективная возможность установления
взаимнооднозначного соответствия между множеством действительных
корней многочленов с целыми коэффициентами и множеством
натуральных чисел, тем самым теорема доказана.
§ 3. Несчетность множества иррациональных чисел
Теорема. Множество иррациональных чисел — несчетное
множество.
Доказательство методом от противного
1) Допустим, что множество иррациональных чисел есть
множество счетное.
2) Так как доказано, что множество рациональных чисел есть
множество счетное*, то множество тех и других (рациональных и
иррациональных) действительных чисел должно быть также
множеством счетным. Но выше установлено, что множество
действительных чисел — множество несчетное. Следовательно, допущение,
что множество иррациональных чисел счетно, привело к абсурду,
а потому теорема доказана.
Глава XIII
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ**
§ 1. Основные понятия, связанные с бесконечной цепной дробью
Определение. Бесконечной цепной дробью называется
выражение вида
* См., напр.: Андронов И. К. иОкуневА. К. Арифметика
рациональных чисел. «Просвещение», 1971.
** Конечные цепные дроби рассмотрены в вышеуказанной книге
Андронова И. К. и Окунева А. К.
68

fll+i
я3+ 1
«4 +
1
0/z-l + 1
an +
где каждое at есть натуральное число, кроме, быть может, а0 ^ 0
(а, называется знаменателем *-го звена), и где нет последнего звена.
Обозначение. Кроме обозначения вышеприведенного,
принимается и другое, условное обозначение цепной дроби:
(ас, ах а2аъа± ... ап-гап ...)
Теорема. Любое положительное иррациональное число
может быть представлено бесконечной цепной дробью и притом
единственным образом.
Доказательство
1) Пусть имеется иррациональное число до> 0, заданное
сечением Дедекинда во множестве рациональных чисел (сечением III
вида): (Rx\ R2) = w, тогда rx < до< r2, где г^^иг^ R2.
2) Выделим из до наибольшую целую часть а0 ^ 0 (что вполне
определяется числом до), имеем: до = а0 + дох (*), где дох —
иррациональное число, такое, что 0 < w1 < 1. Отметим, что — = w[
W
тоже иррациональное число, но w\ > 1 (по свойству
действительных чисел), откуда дох = —• . Подставляем найденное в (*),
полугар
чаем:
w = а0+ — • (2)
3) Выделим из w\ наибольшую целую часть а± > 0 (ах вполне
определяется заданным числом w\), получаем: w\ = ах + до2, где
до2—иррациональное число, причем 0<до2<1. Отметим, что
— = до2' — иррациональное число, большее 1. Откуда до2 =
щ
подставляя найденное во 2-м, имеем:
1
1
1
w0
(3)
69

4) Аналогично выделяем из w[ наибольшую целую часть а2 > О
(аг вполне определяется числом м^), имеем: о4 = а2 + ws, где
w3 — иррациональное число, причем 0<ws<l. Отметим, что
— =w's, где w's — также иррациональное число > 1. Откуда
w3 = —т, подставляя в соотношение (3), имеем:
w = a0+ 1
fli+ 1
«2+1
w3
5) Аналогично, повторив i раз рассуждение, будем иметь
конечное выражение:
, 1
«i+l
а2+ 1
а3+ 1
«4 +
+ 1
Щ-1 + 1
щ
где все яу единственным образом определяются заданным числом
w, причем а1э а2> а3, ... , ям — натуральные числа, а а, —
иррациональное число.
6) При i ->- оо будем иметь бесконечную цепную дробь:
w = a0+l
«i+l
«2+ 1
«з+ !
«4 +
+ 1
«Л-1+ 1
Ац +
70

где все натуральные числа ап определяются числом w. Например,
представим в виде бесконечной цепной дроби иррациональное
число уъ.
Щ /5—2 5 —4
+ - + 2 = 4 + 1.
Wi Wi
Видим, что знаменатель wx = 4 станет без конца повторяться, а
потому имеем:
/5=2+ 1
4+1
4 + 1
4+ 1
4+ ¦•.
Попробуем обратно получить из бесконечной цепной дроби равное
ей иррациональное число не в виде цепной дроби:
а) Запишем цепную дробь: б) Введем обозначение:
4+1 4+1
4+1 4+1
4+1 4+1
4+J 4 +
4 +
Замечаем, что х = ——, откуда 1 = х • (4 + х) или
4 -р х
хг + Ах — 1 = 0; хх = — 2 + 1/5;
1
4+ 1
= 2 + х = 2 +— 2 + /5 = ]/5.
4+1
4+1
4 + .
§ 2. Подходящие дроби данной бесконечной цепной дроби
и их свойства
1. Определение, k-й подходящи дробью заданной
бесконечной цепной дроби (а0, аг агага^ ... ak^xahak+1... а,^^...)
называется конечная цепная дробь, полученная из данной бесконечной
через отбрасывание всех знаменателей, начиная с ah+1.
71

2. В «Арифметике рациональных чисел» было изложено учение
о конечных цепных дробях и их подходящих дробях, причем
установлено:
1) Закон составления числителя и знаменателя подходящей
дроби: Pk = Ph^ah + Pfe_2,
Qh = Qft-i • 4 + Qh-г-
2) Подходящие дроби четного номера образуют возрастающую
последовательность:
Qo Q2 Q< Qe Q2*
3) Подходящие дроби нечетного номера образуют убывающую
последовательность:
Pl^fjl^Pb-^^J^ >> ^2fe-l v^ ^2ft+l
Qi Q3 Qs Q7 '" Q,ft-i <W"'
4) Установлено, что всякая подходящая дробь четного номера
меньше всякой подходящей дроби нечетного номера.
5) Установлено, что -^- = .
Q.2k-l Qzk Q.2k-V 0.2k
6) С неограниченным возрастанием номера k числитель Рк
и знаменатель Qh неограниченно возрастают.
Хотя все эти выводы сделаны в учении о конечных цепных
дробях, но они остаются верными и для бесконечных цепных дробей,
так как подходящие дроби являются конечными цепными дробями.
Значением любой бесконечной цепной дроби является
иррациональное число
1. Будем рассматривать множество М> образованное из всех
подходящих дробей четного номера и из всех рациональных чисел,
меньших каждой этой подходящей дроби, и множество N,
образованное из всех подходящих дробей нечетного номера и всех
рациональных чисел, больших каждой из этих подходящих дробей.
2. Отметим, что множество М ограничено сверху любой
подходящей дробью нечетного номера, а потому М имеет верхнюю
грань. Множество N ограничено снизу любой подходящей дробью
четного номера, а потому оно имеет нижнюю грань.
Р Р 1
3. Отметим, что —— = , где
Q.2k-1 0.2k Q2k' Q.2k-1
знаменатель Q2fe • Qzn-i делается больше любого положительного
числа, если k -> оо (свойство 6 на стр. 72).
4. Потому к множествам М и N применима основная теорема
V главы. Утверждаем, что верхняя грань множества М равна
нижней грани множества N. Обозначим эту общую грань через d —
число поля действительных чисел. Примем d за значение
бесконечной цепной дроби: d = (а0, аг а2 а3 а4 ... ак-г ah ...).
72

5. Надо установить, будет ли дейсвительное число d
рациональным или иррациональным. Рациональным оно быть не может,
так как d — значение бесконечной цепной дроби, а установлено,
что всякое рациональное число является значением конечной
цепной дроби (причем условие является необходимым и достаточным)
(А н д р о н о в И. К. и О к у н е в А. К., «Арифметика
рациональных чисел, с. 309).
Любое иррациональное число приближенно моокно передать
с любой степенью точности рациональным числом
1) Представим иррациональное число w в виде бесконечной
цепной дроби: w = (a0l аг а2 а3 а<± ... ап ...)(§ 1, 3).
2) Найдем подходящие дроби к w:
Р Р Р Р
а) четного номера —° < —2 < — < ... < -^ ..., каждая из
которых больше w (§ 1,3);
Q4
Р Р
б) нечетного номера — > — >
F Qi Qs Qb
3 v^ ^5 v>
>
торых меньше w (§ 1, 3), при этом разность
Q.2m-\
каждая из ко-
<8
$2/71+1 0.2ТП 0.2ГП ' Ч2Ш+1
при достаточно большом т.
р р
3) Из последнего следует, что %т'1 <ш< ~^- .
Qzm-l 0.2т
4) Видим, что иррациональное число апроксимируется
рациональным числом — подходящей дробью к иррациональному числу
и притом с любой степенью точности.
Глава XIV.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. Определение бесконечной периодической цепной дроби
1. Бесконечной цепной периодической дробью называется
бесконечная цепная дробь, обладающая свойством, что в ней с k-vo
звена начинается повторение пг звеньев бесконечно в одной и той
же последовательности:
а0, tfi ^2 «з #4 ••• я*-А Ь2 Ь3 Ъ± ... Ьм Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 ...
••• Ь/А ь2ьв г?4... ьтьг ь2...,
где (а1а2а3 а^ ... ак_х) называется допериодической частью и
(Ьх Ъ2Ъ3Ъь ... Ьт) называется периодом.
73

Так в рассмотренном примере § 1 имеем:
уЪ = 2, 4, 4, 4, 4, ... , 4, ... , где (2) — допериодическая часть
и (4) — период.
Бесконечные цепные периодические дроби бывают двух видов:
1) смешанные, где имеется допер иодическая часть, как в
вышеуказанном примере;
2) чистые, где нет допериодической части, например:
2" 1
2+1
2 + 1
2+1
2 +
Кстати, найдем ее значение: х = 2 + —, или х2 — 2х — 1 = 0.
хг = 1 + |/2 > 0, а х2 = 1 — V2 < 0,
х2 — отрицательное иррациональное число.
2. Бесконечной непериодической дробью называется бесконечная
цепная дробь, у которой ни с какого номера нет бесконечной
повторяемости т звеньев в одной и той же последовательности.
Например, 1,2322322232222...23222...2..., где после f-й тройки идет
(1+1) двоек, и, следовательно, периода образоваться не может.
Теорема. Бесконечная цепная чистая периодическая дробь
является положительным иррациональным корнем
квадратного уравнения с целыми коэффициентами
Доказательство
1) Пусть дана бесконечная чистая цепная периодическая дробь
w = (а0, ах а2 аъ а^ ... am_xax а2 а3 а4 ... ат_1а1 а2 а3 ай ...
... ат_! ...).
2) w = (а0, ах а2 аг а± ... ат_хш), т. е. вместо ам взято w.
о\ *_jn __ Рщ-1 am + ^m-2
Qm Q/n-i am + Qm-2
4) w= m-1'w^~ m'2 (т. е. вместо an взято w).
Qin-v w + Qm-2
5) Откуда находим
Рш-г • w + Pm_2 = Qm^w2 + Qm_2 • w
или
Qm-1 ' ^ + (Qm-2 - Pm-l)W - Pm~2 = 0. (1)
74

Так как^-х и Р7П_1—числа положительные, то корни уравнения
(1) — действительные числа и притом различных знаков.
Положительный корень и есть искомое число w — корень квадратного
уравнения (1).
Пример. Пусть дано w = (1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, ... , 3, 1, ...)
Тогда w = (1, 3, до) или w= 1 -\ = w ,
W
откуда 4до + 1 = Здо2 + w, или 3w2 — 3w — 1 = 0 г=ф
3w2 — 3w—l =0е=»ш= 3+yTl #
6
Теорема Лагранжа (обратная предшествующей теореме)
Положительный иррациональный корень квадратного
уравнения с целыми коэффициентами представляется бесконечной
цепной периодической дробью.
1) Пусть имеем положительный корень w квадратного
уравнения: pw2 + qw + г = 0 (1), где р, q, г — целые числа, причем
р > 0, D = q2 — 4рг является положительным целым числом, не
будучи точным квадратом.
2) Известно, что при этих условиях w будет иррациональным
числом, а значит (по теореме § 2), можно представить в виде
бесконечной цепной дроби: w = (я0, ах а2аваА ... ат^^т).
3) Известно, что w = Pm~lW,n + Рт~*.
Qm-iU>m + Qm-2
4) Уравнение (1) запишем так:
Рт-1 • ™т + Рт-2 \2 ¦ Q . Рт-1 0>т + Р,п-2 I г =0
Qm-2 I Qrn-l ЧЯ1-1
Преобразуем это уравнение:
р ¦ Pfn-lW2m + 2р ¦ Рт_1Р,п_2Шт + рР\г-2 + qPm-iQm-iU?m +
+qPm-2Qm-lWm+qPm-2Qm-i+'jPm-lQm-iWm+r(Qm_1Wm+Qm.ir=0.
5) Откуда получаем:
(р ¦ PL-l+qPm-lQm-l+r&nrl)V&+[2p- + Я (Qm-lQm-*+
+ Qm^Pm^+2rQm^ • Qm-2-}wm+pPl-2 + qPm-zQm-2+rQ2m-2=0.
6) Последнее можно передать короче:
р
2
mw1n+Qnwm + Rn = 0, (2)
P2m_, + qPm-Am-i
Qm = 2pPm-1Pm.2 + q (Pm-xQm_2 + Qm-xPm-,) + 2rQ,„_1Qm_„
где имеем: Pm= p • P2m-\ + qPm.xQ.m-x + rQ?,_b
Rm = pP2m-2 + <?Pm_8Qm-2 + rQ,2„_2.
75

7) Отметим: a) Rm = Рт-ъ б) дискриминант квадратного
уравнения (2):
Qm— APmRm = q2 — \рг (последнее — дискриминант
квадратного уравнения (1), а их равенство
получается из подстановки:
[2/7 ¦ Pm-Stn-z + q (Pm-lQm-2 + Qm-lPm-lY +
+ 2rQm_1Qfn_2] - 4[/?P,n-i + qPm^Qm^ + rQ2m_{] X
X [p • PL-2 + qPm-*Qm-b + r<&_2] = q2- 4/>r).
8) Отметим, что wm есть квадратичная иррациональность,
удовлетворяющая уравнению (2), дискриминант которого для любого
индекса т равен дискриминанту исходного уравнения (1).
Покажем, что при неограниченном возрастании т коэффициенты
переменных Рт, Qm, Rm остаются ограниченными сверху, т. е. можно
подобрать положительные числа М и N, не зависящие от
изменяющегося индекса т, так , что \ Рт\ < М, и | Qm\ < N, и | Rm | < М.
В самом деле:
а) первое равенство третьего соотношения может быть записано
иначе через его деление на Q)L-i > 0:
= p(^)*+q^rzl + r. (3)
^L-i №*-*' Qm-i
б) Известно, что w — иррациональное число, причем подходя-
щая дробь -^- как угодно мало будет отличаться от w, если т
неограниченно возрастает. Имеем:
р
Qn
1 Pm-l
<Ч— ; ^ = w + T} гт\т\<
юшение (3) запишется та
p(w + T)2 + q(w + T) + r
в) Тогда соотношение (3) запишется так:
Pm
Иначе:
я,
рш2 + qw + г + 2pwT + рТ2 + рТ =
qL-i
г) Учитывая, что pw2 + qw + г = 0, (уравнение (1)) последнее
запишется короче:
2pwT + рТ2 + qT = Р,п-
Ql-l
д) Возьмем от последнего соотношения модуль:
\Рщ\
\2pwT-\-pT2 + q\- |Р"
76

е) Из последнего имеем
IP
= \2pw + pT + q\\T\<\2pw + pT+q\
Qm-l Qm-l
(соотношение «б»).
ж) И подавно будем иметь:
I Рт\ <2pw + p+\q\, так как |Г|< —— < 1
(соотношение «б»).
з) Последнее неравенство усилим, взяв а0 -\ > w:
|Pm|<(2pf^±i-+p + |9|) = M (обозначим М, где М > 0),
ai
имеем: \ Рт\ < М.
и) Учитывая соотношение 7, имеем: | Рт-г\ < | Рт\ <М =
=>\Rn^\ <М.
Откуда Q2m- 4PmRm = D = q* - 4pr, (7b)
Q2m=D + 4PRm <D + 4M2.
к) Из последнего получаем:
I Qm\ <VD + ^M2 = N (введем обозначение N > 0).
л) Итак, имеем:
\PJ <М; |QJ <N; \ RJ <М.
м) Ql-APmRm = D.
Давая индексу последовательно значения т = 1, 2, 3, ... , &,
Pmrfn+Qnwm + Rn=0,
будем получать квадратные уравнения:
РА + Q1w1 + R± = 0
P2w22 + Q2w2 + R2 = 0
(9-е соотношение)
Рк< + QhWh + Ru = o
Так, что после конечного числа операций должны встретить такой
индекс mit а вслед за ним такой индекс mk > ть для которых
wm = wmk, так как соответствующие квадратные уравнения
Pflo? + Qtwt + ^ = 0и Pkwl + Qhwk + Ph = 0
окажутся с соответственно одинаковыми коэффициентами. Отсюда
следует, что w = (а0, ахагаъ ... ahak+1 ... )
77

(т. е. w — бесконечная цепная дробь будет периодической)
w = а0, аг аг а3 ... atai+1 ... ah_xaK al+1... ah__xah ... =
= я0> ai a2 ... Щ (ai+1 ... ak_x ak).
Доказанная теорема рассмотрена для положительных
квадратных иррациональностей. Если бы надо было рассматривать
отрицательную квадратичную иррациональность, то, заменив в
рассматриваемом уравнении w на —w, будем иметь положительный корень,
что уже было рассмотрено.
Из рассмотренной прямой и обратной теоремы в § 2 (4) следует,
что необходимым и достаточным условием того, чтобы
положительное иррациональное число w могло быть выражено бесконечной
цепной периодической дробью, является то, чтобы это
иррациональное число было корнем квадратного уравнения с целыми
коэффициентами. Так, например: 1) ]/10 является корнем квадратного
уравнения х2 — 10 = 0, следовательно, J/10 можно выразить в
виде бесконечной цепной периодической дроби, и действительно
имеем:
6+1
6+
2) |/10 является корнем кубического уравнения у? — 10 = 0,
а не квадратного, следовательно, -/Тб" нельзя выразить в виде
бесконечной цепной непериодической дроби и действительно
^Го = 2+бТТ-
2+J
4 +
(без периода, знаменатели не дают повторяемость структуры одних
и тех же чисел).
§ 2. Бесконечная цепная смешанная периодическая дробь
и нахождение ее значения
Определение цепной дроби дано выше, в §1.
I. Выделение цепной периодической дроби из данной смешанной,
значение которой является иррациональным положительным числом
(основание — теоремы § 1)
78

w = (bjbj>a... bm) =
&a+l
Ьз+1
&4 +
и;
^ = PmM> + Pm-i
QmW + Qm-i
Pmw + Pm+1 = Q,X + Q^
Qmrf+(Qnr-i-Pndv»-Pm-i=
Pm Qm-i~\~yPmz ^-PmQm-1
2Qm
: 0
+
w = (213213213 ...) = 2 +
+ 1
1 + 1
3+1
w
ш = 2+1 =2+1
1 + 1 1 + ИУ =
Зоу+1 Зш+1
w
1 Зад+l ^
=2+ Зш+1+ш =^+ 4w + 1 ^
Зш + 1
2(4ш+1) + 3&у+1 11ш+3.
4ш + 1 Aw + 1
4до2 + до = Идо + 3
Aw2 — 10w — 3 = 0;
10+ |/ 100 + 48 0 _
и;, = —LJL — « 2,77.
1 о '
II. Нахождение значения данной цепной смешанной дроби
х = (а0, afi&fh. ... anw) = а0 + л=(4,37да)=4+ 1 =
_ 3+1
«i+i Т+Т
+
«2+ !
^3 +
0У
1 1
=4+ — =4+
/VII 1 ' ДО
й«+! 3+——- 3+;
X =
О)
^я+1* + Pit
lw +1 7aw+l
Q,H-i* + Q» =4 i 2 =4. 7w+ ' =
Qn+i*? + QnX = Pn+i~ X+Pn 21w + 3 + w 22Ш+3
Qn+i*2 + (Qn — Pn+i)* — Pn= 0 7a- + 1
_ 88а)+12+7ш+1 _ 9Zw+l3 .
x = (Pn+i-Qn)+V (Pn+i-Qn)2+1Qn+iPn 22w + 3 22w + 3 '
2(?П+1 ,= 486 + 95^37 ^4>32
112+22/37
79

Глава XV.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ (НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ) ЧИСЛА
§ 1. К истории термина «трансцендентное» число
Слово «трансцендентный» происходит от латинских слов trans-
cendens — transcendo, т. е. «выхожу за границу».
1) Термин «трансцендентный» стал впервые употреблять Леонард
Эйлер (1707—1783) в труде «De relation inter tres pluresve quantita-
tes instituenda», 1775 г. Эйлер в своем большом труде «Введение
в анализ», вышедшем в 1748 г., установил фундаментальное
соотношение: eiz= cos г + i sin z> получив из последнего eKi = 1 и
е711 = 1. Оказалось, что основные числа 1, —1, /, е, я органически
взаимосвязаны друг с другом, а е и я трансцендентные числа,
возникшие из обобщенных цепных дробей вида нижерассмотренных:
/ о 1 1 !
1 + 1 4 1 + 1
2 + 9
2 + 25
1 + J 2 + 49
4+1
1 +
2 +
2) Жозеф Л а г р а н ж (1736—1813) вместе с Гаспаром М о н-
ж е м (1746—1816) и Пьером Лапласом (1749—1827)
проявляет инициативу в открытии в 1794—1795 гг. двух новых
прогрессивных школ в Париже: TEcole normale и l'Ecole poly technique.
Первая — для подготовки преподавателей — профессоров лицеев
и колледжей революционной Франции, в частности преподавания
физико-математических наук, а вторая — для подготовки
инженеров, в частности военных, владеющих методом
физико-математических наук.
Ж. Лагранж взял избранные вопросы повышенной
элементарной математики в TEcole normale, где вел лекции по теории
цепных дробей, в которых излагает необходимый и достаточный
признак того, чтобы положительное иррациональное число можно
было представить в виде цепной бесконечной периодической дроби.
Позднее эта теорема стала называться теоремой Лагранжа. Эти
лекции за Лагранжем были записаны и позднее изданы (Dr. Н. Nie-
dermuller «Lagranges Mathematische Elementar Vorlesungen»,
Leipzig, 1880 r.)
3) Швейцарский математик Ламберт И. Г. (1728—1777) в труде
«Vorlaufige Kentisse fur die, so sie Quadratur und Rectification des
Cirsuls suchen» (1776) впервые показал, что я — число иррацио-
80

нальное, опираясь на работы Л. Эйлера и разложение tg х в
бесконечную цепную дробь.
Французский математик Л е ж а н д р (1752—1833) в «Elements
de geometrie» (1794) дает независимо от Ламберта другое
доказательство иррациональности числа я, исходя из обобщенной
бесконечной цепной дроби вида:
п + т'
п' + тГ_
п"+ *• .
где m и л, т\ т", п', п" и т. д. — целые числа.
4) Французский математик Лиувилль И. (1809—1882) в
1840 г. показал, что е не может быть корнем квадратного уравнения
с целыми коэффициентами. Был поставлен вопрос: какое же
алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами можно
подобрать так, чтобы е было его корнем? Такое уравнение не было
найдено, и встал вопрос о его существовании.
§ 2. Понятие о трансцендентном (неалгебраическом)
действительном числе и несчетность множества трансцендентных чисел
Определение. Трансцендентным действительным числом
называется действительное число, которое не может быть корнем
никакого многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема. Существует бесконечное множество
действительных трансцендентных чисел.
Доказательство
1) Ранее (стр. 66) установлено, что множество действительных
чисел — множество несчетное.
2) Также установлено (стр. 72, 73), что множество
алгебраических чисел — множество счетное.
3) Значит, существуют среди действительных чисел какие-то
другие неалгебраические числа, притом этих неалгебраических
чисел множество несчетное, так как, допустив, что их счетное
множество, получаем, что объединение алгебраических и неалгебраических
чисел даст в результате счетное множество, а это объединение есть
множество действительных чисел, которое по доказанному есть
множество несчетное. Следовательно, допущение, что
множество неалгебраических чисел есть множество счетное, приводит к
противоречию. Поэтому множество действительных
неалгебраических (трансцендентных) чисел есть множество несчетное. Вводится
понятие мощности множества, как характеристики того общего,
что есть у всех множеств, эквивалентных данному. Для конечных
множеств мощностью являются натуральные числа. Для бесконеч-
81

ных множеств наименьшей мощностью обладает из всех бесконечных
множеств счетное множество. Мощность множества всех
действительных чисел называют континуум (от латинского слова
continuum — «непрерывное»).
Хотя трансцендентных чисел, как доказано, есть несчетное
множество, однако ни одного трансцендентного числа математики до
1873 г. не могли указать.
§ 3. Трансцендентность иррационального числа е = lim f 1 -\—|
jt-oo \ X J
Только в 1873 г. члену Парижской Академии наук Шарлю Э р-
м и т у (1822—1901) удалось открыть трансцендентность числа е.
Это открытие было изложено в мемуаре «Sur la foncion exponentiele»
(Comptes Rendus, t 77, 1883). Приведем доказательство, данное
известным профессором Гёттингенского университета Феликсом
Клейном (1849—1925) в 1894 г., упростившим доказательство
Эрмита. Это доказательство приложено к труду Ф. Клейна
«Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшему в Геттин-
гене в 1908 г. и изданному в переводе на русский язык в 1912 г.
(2-е издание вышло в 1923 г.).
Доказательство
1) Возьмем произвольный неприводимый многочлен n-й степени
с целыми коэффициентами
а0 + axz + a2z2 + агг3 + ... + anzn, где а0 ф 0,
и допустим, что действительное число е есть алгебраическое, а не
трансцендентное число. Тогда по определению алгебраического числа
имеем:
а0 + ахе + а2е2 + аъеъ + ... + апеп = 0. (I)
2) Найдем рациональные приближения иррационального
числа е и его степеней е2, es, ... еп в виде
_ С1 + г1 t 2 _ С2 + в2, о _ сз + 8з
С с с
еп _ Сп + еп
С '
из последних получаем:
60=^+ б1; Се2 = С2 + е2; С# = С3 + е3; ... Се» = Сп + вП9 (II)
где все Q суть целые числа, Ct — целое число (С Ф 0) и где все
fy — правильные достаточно малые дроби.
3) Выполним теперь некоторые преобразования:
а) Умножим соотношение I на число С Ф 0:
а0С + аг{Сё) + а2(Се2) + а3 (Се3) + ... + ап(Сеп) или иначе,
на основе соотношения II:
82

а0С + аг (Сг + ei) + а2 (С2 + е2) + а3 (С8 + е3) +
+ ... + ап (Сп + ел) - 0 ==> (я0С + а^ + а2С2 +
+ а3С3 + ... + апСп) + (а^ + а2е2 + а3е3 + ... +
+ яле/г) = 0. (III)
1-е слагаемое — сумма произведений целых чисел есть целое
число, а 2-е слагаемое — сумма произведений целых чисел и
правильных дробей.
В дальнейшем докажем, что первое слагаемое не равно нулю, а
второе — правильная дробь. При этом придем к противоречию —
сумма целого числа и правильной дроби не должна равняться
нулю, как получилось бы в соотношении III. Тем самым
предположение, что е — число алгебраическое, привело бы к абсурду
(противоречию), значит, число е не могло быть алгебраическим.
4) Возьмем гамма-функцию от целого числа р, имеем:
оо оо
Г (р) = f zp~! <r*dz\ Г (р) = Г j>-*er*dz = (р — 1)!, что ус-
0 о
танавливается интегрированием по частям.
оо
Так, Г (р) = — zp- ler* f + f e~*d (zp~l) =
о
00
= 0 + f (а — l)zP-2e~zdz =
о
00
= (р— 1) Г z*>-2erzdz =
о
оо
= (Р — 0 [— #-2ег*] I" + Г (р — 2) #-*e-zdz;
о
второй раз интегрируем по частям:
00
Г (р) = (р - 1) [0 + (р - 2) j zr-*er'dr,
00
I» = (р — 1) - (р — 2) j zP-*e-dz = (р- 1) • (р-2) X
О
00
Х(р — 3)J гР-4^-^г;
О
оо
Г(р) = j 2P-«e-*d? = (р- 1) • (р-2) • (р-3) • ... • [р-(р- 1)] =
= (р-1)!
83

(выполняя аналогично интегрирование по частям р — 1 раз,
получим записанное выше (р — 1)!, где р — целое число,
большее 1).
Итак, имеем:
f 2P-*er*dz = (p—l)\
5) Найдем целое число С следующим образом:
оо
J
гР-Ч-* {(г — 1) (г — 2) • ... • (г — n)}Pdz _
(р-1)!
I
zP-ie-z{zn + ... + (—\)nn\)Pdz
(p-l)I
где р — простое число, причем р < р.
Иначе, С= Г *"«-{(-irw + - + «y*
ОО
J
( 1)й (ral)P • zP~xerzdz + ... +
. О»-1)1
о
оо
^^(p-l)lj (р-1)!
о
оо
О
= (-1)" • W. (р_1у , , у Cp(P-I)! =
= (-l)*("!)p+- + I]<V/7 =
р = р + 1, р+2 (р + пр)
= (-l)"(nl)p + P-{Cp+1 + Cp+2(p+l) X
X (р + 2) + ... Ср+пр (р +\)(р + 2)... (р + пр)}.
Исследуем полученное целое число:
а) (—1)" (п\)р, равное первому слагаемому, не может делиться
на р, так как р — простое число, где р > п, и в произведении п!
нет сомножителя р, все они меньше числа р. Второе слагаемое
р • {Ср+1+ Cp+i(p + 1) + Cp+Z(p + 1) (р + 2) + ...} делится на р.
84

Следовательно, вся сумма, т. е. число С, не может делиться на
ру а потому число С не равно 0, так как если бы С = 0, то С
делилось бы на р.
6) Найдем теперь намеченные выше числа Cv, где v = 1, 2, 3,
... , п\
Ч-г{(г— 1) (г —2) . ... ¦ (z — n)}Pdz
(/7-1)!
о
Введем новую переменную y=z— v:
оо
с = С (У + у^-'й-у {(У + v - 1) (У + v - 2) ... (у + v - n))Pdz
V J (Р-1)!
оо оо оо
-[ Г уРе-УЛу + Г уР+1е-Уйу + ... + Г у^+^-У^у] =
0 0 о
1 -{Р! + (Р+ 1)! + .- + (Р + п)\] = —^— • {1 +
(/7-1)! v/ (/7-1)!
+(/7+1) + (Р+1)(Р + 2)+...+ (р+1)(р + 2)(р + 3)...(/7 + /г)}==
= /?{1+(/7 + 1)(Р + 2)+...+ (р+1)(рН-2)(/7 + 3)...(р + /г)} =
= целому числу, делящемуся на р (как видно из структуры
предшествующего).
7) Найдем теперь значение правильных дробей, намеченных
выше: 8v, где v = 1, 2, 3, ... , п.
Имеем:
V
6v _ov. х гР-*е-*{(г-1)(г-2).. (z-n)}Pdz
(/7-1)!
о
zP-ig-г+у {(з — 1) (г — 2) ... (г — /г)}*^
(р-1)!
Отметим, что абсолютная величина определенного интеграла не
превышает интеграла абсолютной величины подынтегральной
функции, а потому имеем:
Ы<|Т-^Г' где G>|*(*-l)(z-2).....(z-rt)|
J (р—1)1
о
и где g-v > | (г — 1) (z — 2) ... (г — ft)e~~z+v | (0 < г < л), откуда
находим:
GP-igv ¦ v
1е*К-;—г^—• (Ш)
(/7—1)!
85

Отсюда следует, что lev [можно сделать сколько угодно малыми
положительными числами, если взять достаточно большим число р.
Найдем значение модуля величины^! + а2г2 + ases + ... + апгп).
Имеем:
| я^! + а2е2 + а3е3 + ... + апгп | <
<1^1|-1е1| + |я2|.|е2| + кз|-|е3| + .. + |а7г|-|ед|<
<l\a1\(l-g1) + \a2\(2g2) + \a3\(3g3)+...
+ ... + \ап\ (ngn)2 —. (HI соотношение)
(p— l)
Исследуем последнее: а) на число р были наложены ограничения:
р — простое, р > п, р > а0 и р < р, так как простых чисел
бесконечное множество, то, взяв р достаточно большое, будет
(/7—1)!
таким, что правая часть отношений можно сделать как угодно
малым, в частности меньше единицы.
8) Подведем итоги всех трех вычислений: С, Cv, ev.
а) Имели соотношение III.
(а0С + fljCi + а2С2 + - + апсп) + (л1е1 + Д2е2+ ... + ппвп) = 0.
1-е слагаемое 2-е слагаемое
в) Выше установлено, что целое число С не делится на р\ так
как р > а0, я0 тоже не делится на /?, а потому а0С — целое число
не может делиться на /?, а вторая часть 1-го слагаемого {ахСг +
+ а2С2 + ... + апСп) = Р (сумма целых чисел), как видно из
записи выше, делится на р. Значит, все 1-е слагаемое не может
делиться на р, а потому оно не может быть равно нулю; 2-е слагаемое
меньше единицы, как установлено выше. Значит, сумма 1-го и
2-го слагаемого не может быть равной нулю, как получилось в
результате нашего предположения. Все рассуждения в
предшествующем логически обоснованны, кроме одного, где сделано
необоснованное допущение, что е есть число алгебраическое. Это, и только это,
и привело нас к абсурду (противоречию). Следовательно, нельзя
допускать, что е — число алгебраическое, значит, оно
неалгебраическое, т. е. оно трансцендентное.
§ 4. Трансцендентность иррационального числа я
В 1882 г. профессору Кенигсбергского, позже Мюнхенского
университетов Фердинанду Линдеману (1852—1939) удалось
доказать трансцендентность еще одного числа — числа п. Это
доказательство содержалось в представленном им в Берлинскую
академию наук мемуаре под названием «О лудольфовом числе».
Разбор этого мемуара, выполненный Карлом Вейерштрассом (1815—
1897), был переведен на русский язык. Отметим, что нидерландский
86

математик Лудольф ван Ц е й л е н (1539—1610) затратил десять
лет на вычисление л; с 20 десятичными знаками. Применив
предложенный еще Архимедом метод удвоения правильных описанных и
вписанных в круг многоугольников, он довел удвоение до п-уголь-
ника, где п = 60 • 229, и получил:
3,14159265358979323846 <я < 3,14159265358979323847.
Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van
den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота,
пусть пойдет дальше».
Мемуар К. Вейерштрасса был издан под редакцией проф.
А. В. Васильева (Казань, 1894).
Ф. Клейн в уже упомянутой выше работе дал другой, более
простой метод доказательства трансцендентности числа я,
аналогичный приведенному выше доказательству трансцендентности
числа е. Вот набросок этого доказательства:
1) Возьмем произвольный, неприводимый в поле рациональных
чисел многочлен n-й степени с целыми коэффициентами вида:
Ь0 + Ь^г + b2z2 + b3z* + ... + Ъ#\ где Ьп ф 0. (I)
Как известно, он имеет п корней, которые обозначим через
dlf d2» d3, ... , dn (теорема Гаусса).
2) Допустим* что число я есть алгебраическое. Это значит,
что мы имеем право записать соотношение:
Ь0 + Ь± (яО + Ь2 (яО2 + Ь3 (я/)2 ... + Ьп (ту = 0.
3) Сопоставляя последнее с предшествующим, приходим к
выводу, что dk есть одно из его значений равное nly где k = 1, 2, 3,
... ,п.
4) Известно, что eXL = cos х + i sin х (формула Эйлера).
Возьмем х = я, тогда получим: епС = cos я + i sin я = —1 +
-|- i . о = — 1 => 1 + enl = 0.
5) Возьмем произведение (1 + ed*) (1 + ed*) (1+ ed») ... (1 +
+ ed"). (И)
Отметим, что в произведении II имеется хотя бы один
сомножитель, равный нулю; следовательно, все произведение равно нулю.
Итак, имеем: (1 + ed*) (1 + ed>) (1 + в*-) ... (1 + е**) = 0.
Последнее преобразуем так:
1 + (ed* + ed> + ed* + ... А) + (в****» + ^+rf« +
+ ... е*1+*.+4гЬ..+<*я) = 0,
или короче: 1 + е$* + е^ + е$* + ... + е®п = 0. (П^
6) Выразим степени е& рационально приближенно в виде:
e$k — ck-r4 ^ где все q — целые числа, С — целое число =И=0,
с
8ft — достаточно малые правильные дроби. Откуда получаем:
СЛ = Ch+ eft, где k = 1, 2, 3 п. (Ill)
87

7) Умножим соотношение (II) на число С, имеем:
С + Се^ + Се^ + Се?> + ... + СФп = О
и подставим из предшествующего (III):
С + (Сх + б1) + (С2 + е2) + (С3 + е3) + ... + (Сп + е„) = О,
откуда получаем:
(C+Cx + Q+.-. + Q + (e1 + ea + e, + ... + eB) = 0.
1-е слагаемое 2-е слагаемое
Исследуем полученное:
а) С — целое рациональное число (С Ф 0), не делящееся на р
(устанавливается аналогично, как при изложении
трансцендентности числа ё),
б) С± + С2 + ... + Сп есть целое алгебраическое число,
делящееся на р (см. Клейна, стр. 363—370).
с) А потому 1-е слагаемое (С + Сг + С2 + ... + Сп) не может
делиться на /?, значит, 1-е слагаемое не равно нулю.
д) 2-е слагаемое (ех + е2 + е3 + ... + еп) можно сделать
меньше любого положительного числа, в частности меньше единицы
(устанавливается аналогично, как при изложении
трансцендентности числа е).
е) В результате получается: сумма 1-го слагаемого —
ненулевого числа — и 2-го положительного слагаемого, меньшего
единицы, равна нулю, что абсурдно (противоречиво). К абсурду привело
допущение об алгебраичности числа я, следовательно, п не есть
число алгебраическое, или я есть число трансцендентное.
Итак, доказано, что я — число трансцендентное, а потому
проблема квадратуры круга и ректификации окружности не может быть
решена циркулем и линейкой, так как в геометрии Евклида
площадь круга и длина окружности являются функциями числа я.
Знаменитая задача о квадратуре круга, на решение которой
было потрачено много усилий в течение около 2,5 тысячи лет,
наконец была разрешена в 1882 г. Только после открытия Линдема-
на стали обоснованными постановления многих академий наук не
принимать присылаемых решений задачи о квадратуре круга с
помощью циркуля и линейки, тогда как ранее постановление
Парижской академии наук (в 1775 г.) «Не рассматривать более решение
проблемы квадратуры круга циркулем и линейкой», ученый
секретарь академии Жан Антуан де Кондорсе (1743—1794)
мотивировал скорее метафизическими, чем научными, соображениями.
Примеру Парижской академии наук последовали быстро и другие
академии наук и математические общества.
На II Международном математическом конгрессе в 1900 г.
в Париже известный математик Д. Г и л ь б е рт (1862—1943)
88

в своем докладе «О 23-х неразрешимых проблемах в математике»
в седьмой проблеме поставил вопрос о том, является ли
натуральное число в степени алгебраической иррациональности числом
алгебраическим или неалгебраическим (трансцендентным) (напри-
3 б
мер, в частности, Т^ или 7^).
Докладчик Д. Гильберт сказал, что его школе в Геттингене дать
ответ на поставленный вопрос не удалось.
§ 5. Трансцендентность числа aw, где а=^ 1, аФ 0 и a —
алгебраическое число, w — алгебраическое иррациональное число
Только в 1934 г. член-корреспондент АН СССР А. О. Г е л fa-
фон д (1906—1968) установил, что aw есть число
трансцендентное, если а — число алгебраическое, не равное нулю или единице,
а w есть алгебраическое иррациональное число.
В частности, из этого следовало, что 2^7 и Т^2 —
трансцендентные числа, так как 2 и 7 — алгебраические, отличные от нуля
и единицы числа, а У~1 и 1/2суть алгебраические иррациональные
числа (§ 2). В качестве следствия из теоремы Гельфонда получаем:
десятичные логарифмы натуральных чисел, не
являющихся целыми степенями 10, суть числа
трансцендентные.
Доказательство
1) Сначала покажем, что десятичный логарифм натурального
числа, не являющегося целой степенью 10, есть число
иррациональное, что доказывается от противного. Пусть, например, log 10 2
т
есть число рациональное, т. е. log 10 2 = —, тогда 10" = 2
(определение логарифма). Из последнего получаем: \0т = 2п.
Исследуем последнее равенство, обнаруживаем противоречие: левая
часть делится на 5, а правая не может делиться на 5. Значит,
допущение было ложное. Аналогично же ведется доказательство
иррациональности и для логарифмов других вышеназванных чисел.
2) Теперь докажем, также методом от противного, что эти
иррациональные числа суть числа трансцендентные. Допустим, что
log 10 2 есть число алгебраическое, причем иррациональное.
Обозначим log 10 2 = а, тогда Юа = 2; но по теореме Гельфонда 10я
должно быть числом трансцендентным, а 2 — число алгебраическое,
получилось противоречие, следовательно, log 10 2 есть число
трансцендентное.
Аналогично доказывается, что log 10 3, log 10 4, log 10 5, log 106,
log ю 7, log 10 8, log 10 9 — числа трансцендентные, но log 10 10 =
= 1, log 10 100 = 2, ... , log10 Юп = п — числа алгебраические, где
89

п — натуральное число (см.: А. О. Г е л ь ф о н д.
Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952).
Из последнего следует, что числа
1 1 1_. 1 . 1_. 1 . __1 . _j
togio 2 ' log10 3 ' log10 4* log10 5 ' log10 6 ' log10 7 * log10 8* log10 9
суть числа трансцендентные иррациональные, что доказывается
от противного:
Пусть = q, где q— алгебраическое число; тогда log102 =
bgio 2
= _ = алг. число есть число алгебраическое; в то же время log10 2—
q алг. число
число трансцендентное (по вышедоказанному); образовалось
противоречие. Этим подтверждается, что в интервале (0; 1), как выше
было показано, бесконечное множество трансцендентных чисел.
Теперь бесконечное множество из них мы знаем и можем
некоторые указать.

Часть II
МАТЕМАТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Глава I.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ
КОМПЛЕКСНОГО (ОБЪЕДИНЕННОГО) ЧИСЛА
§ 1. Первая в истории математики встреча с «невозможными»
числами при решении квадратных уравнений
При решении квадратных уравнений х2 + рх + q = 0 все
обстояло нормально, когда имели р2 ^ 4q (1). Поэтому все задачи на
квадратные уравнения подбирались с такими численными данными,
чтобы они удовлетворяли соотношению (1).
Первым, осмелившимся рассматривать задачи, не
удовлетворяющие условию (1), был итальянский ученый Джеронимо Кар дано
(1501—1576), который поставил задачу: нарезать участок земли
прямоугольной формы с площадью S = 40 (кв. ед.) и периметром
2р = 20 (лин. ед.) — и при решении поступил так:
1) сперва получил систему уравнений (ху = 40,
[х + у = 10,
2) нашел из второго уравнения у = 10 — х и подставил в
первое уравнение: л: (10 — х) = 40.
х2 — Юх + 40 = 0, где 102 < 4 ¦ 40 = 160,
3) получил решения: хг = 5 + "(/25 — 40 = 5 + У —15 ,
х2 = 5 — 1/25 — 40 = 5 — У=Щ где
У—15 —софистическое число.
Кар дано был удивлен тем, что нашел, назвав эти числа
софистическими, добавив, что «для осуществления таких действий
нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же
утонченной, насколько бесполезной».
§ 2. Вторая в истории математики встреча с софистическими
числами при решении кубических уравнений
Отметим, что ученый, францисканский монах (Италия) Лука
П а ч и о л о (1445—1514) напечатал в Венеции в 1494 г. труд
«Сумма, арифметика, геометрия и пропорциональности», который
закончил выводом: «решение кубических уравнений вида х3 + рх = q,
91

где р > 0 и q > О, столь же невозможно при современном состоянии
науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой».
Несмотря на это предупреждение, за решение кубического
уравнения взялись одновременно два математика: Джеронимо Кар-
дано из Милана в своем произведении «Ars magna de regulis al-
gebraicis» («Великое искусство или правила алгебры») и Николо
Тарталья (1506—1559) из Вероны, талантливый самоучка,
ставший «профессором вычислительного искусства» и выпустивший
труд «Трактат о числах и мере».
Оба решили кубическое уравнение х3 + px=q, выведя формулу:
В связи с последней между Н. Тарталья и Д. Кардано возник
большой спор о приоритете открытия.
Рассмотрим три случая.
1) Когда (—] + (—) = 0, например, х3 — \2х + 16 = 0, по
формуле имеем:
= У _8 + "J/82 + (—4)3 + V—4 — ]/82 + (—4)3 =
= Y—8 + Y0~+ V—8 — l/0" = — 2 + (—2) = — 4.
Чтобы найти два других корня, надо было многочлен х3 — 12л: + 16
представить в виде произведения [х — (—4)] ¦ [л;2 + ах + Ь]\
последнее находится непосредственным делением:
х + 4
х3 — 12* + 16
_ 4* + 4 = (* — 2)2
(х — 2)2 = 0; имеем х2у3 = 2. Итак, корни: —4; 2 и 2.
2) Когда Ш2 + (?-\* > 0, например, х3 — 9х — 28 = 0, по
той
же формуле получаем
з
Xl = Уи + УЖ — 27 + У U — /196 — 27 =
= У Н + УШ+ 1^14 — 1/169 =
= /14+13 + /14^13 = 727 + У Г =
92

= 3+1 = 4. Имеем корни: 4; —2 + У—3 и —2 — У—3.
3) Когда ( —) + [--] < 0, тогда по формуле Кардано — Тар-
талья из отрицательного числа приходилось извлекать квадратный
корень, что невозможно сделать в множестве действительных
чисел.
Так, возьмем, например, Xs — 15я — 4 = 0, по выведенной
формуле имеем:
Xl=-/2+ ]А— 125 + У 2 — У\— 125 =
= У 2 + У—121 + У 2 — У—121 =
= 3/2+ иУ=Г+У2—ПУ=1.
Эти числа никакими приемами не удавалось преобразовать в
число 4, а легко видеть, что 4 является корнем данного уравнения
я8 — 15л: — 4 = 0; в самом деле,
43 _ 15 • 4 — 4 = 64 — 60 — 4 = 64 — 64 = 0.
В этом третьем неприятном случае получается результат в
каких-то «софистических» числах, неприводимых к настоящему
корню, а именно к 4.
Первая догадка, как из этих «софистических» чисел получить
действительные корни, пришла замечательному ученому из
Болоньи Рафаэли Бомбелли (1530—1572), который в своем труде
«Алгебра» (1572) показал, что новые числа дают при извлечении
корня сопряженные числа, при сложении которых взаимно
уничтожается корень квадратный из отрицательного числа.
В самом деле, /"2+11 У~—\ =2 + У—i,
У2—11 .У—Г = 2 — ]/—Г, а потому в
сумме имеем: У 2+IIY—T+ У 2—II -У—\= 2 + У—[ +
+ 2-У~—Г = 4.
Как же Бомбелли нашел, что у 2-f 11 ¦]/" —1 = 2 + ]/ —1 ?
Вероятно, пробами и проверкой:
а) в левой части 2+11- ]/—1,
б) в правой части (2 + У—I)3 = 8 + 12 • У~—\— 6 — У^=-
= 2 + 11 ¦ У— 1.
Аналогично и у 2 — 11 • ]/—1 получим:
а) в левой части 2— 11 • У—1,
93

б) в правой части (2 — У— I)3 = 8 — 12 ¦ У—\— 6—(—У^Л) =
= 8 — 12 ¦ V—1 — 6 + У—1 = 2 — 11 • К—1.
До извлечения кубического корня подкоренное выражение не
имеет никакого смысла, а по извлечении кубического корня
получено искомое.
Р. Бомбелли установил четыре правила действий над новыми
числами и четыре правила над новыми и «старыми» единицами:
1) yz=r-V=T = -lt 1)У-Г.1 =у^г,
2) У=Т. (-У=Т) = 1, 2) {-У=Т). 1 = -у=г,
3) (у=г)-У=Г=1, 3) 1.у-=Т = у-=ТУ
§ 3. Дальнейшие встречи с новыми числами у Р. Декарта при
исследовании решений алгебраических уравнений второй степени
Французский философ-математик Рене Декарт (1596—1650) в
приложении к труду «Рассуждение о методе, чтобы хорошо
направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637),
называемом «Геометрия» (в третьей книге — «О природе уравнений»),
ставит вопрос, сколько корней может иметь алгебраическое
уравнение п-и степени, и дает ответ: «Столько же различных корней,
сколько имеет единиц степень уравнения», но отмечает, что надо
различать «истинные» (положительные) и «ложные»
(отрицательные) корни. Дальше Р. Декарт показывает, как можно сделать,
чтобы ложные корни уравнения стали истинными, и обратно.
Например, если уравнение
х* _ 4г* — 19л:2 + 106* — 120 = 0
имеет корни 2, 3, 4, —5 (что легко проверить подстановкой), то
уравнение х4 + 4х3 — \9х2 — lOQx — 120 = 0 имеет корни —2, —3,
-4, +5.
Декарт показывает, что, кроме истинных и ложных
действительных корней, имеются воображаемые (imaginaires), мнимые,
корни.
Так, уравнение Xs — 6х2 + 13л: — 10 = 0 имеет только один
действительный корень, а именно 2, остальные — воображаемые
(мнимые). Р. Декарт указал, что линии на плоскости, которые не
могут пересекаться, при алгебраическом их представлении в виде
уравнений дают мнимые точки пересечения. Мнимые величины,
выдвигаемые Р. Декартом и его последователями, не получали
долго признания.
94

§ 4. Попытки интерпретации мнимых
решений уравнений
Готфрид Лейбниц (1646—1716),
немецкий философ и математик, иронически
писал: «Мнимые числа — это прекрасное и
чудесное убежище божественного духа, рис> 21
почти что амфибия бытия с небытием».
Лейбницу не ясна была природа числа V ]/—1.
Английский математик, профессор Оксфордского университета
Джон В а л л и с (1616—1703) в своем «Историческом и
практическом руководстве алгебры» (1685) впервые предлагает логически
незаконную геометрическую интерпретацию (истолкование)
мнимых величин У—п = Y—1 * л, где п > 0, в виде средиепропор-
ционального между —1 и п (рис. 21).
Д. Валлис, так же как и Р. Бомбелли, обратил внимание на
сопряженные корни вида а + ]/—Ъ и а — У—Ь, где b > 0.
§ 5. Мнимые числа и показательная функция с основанием е
и мнимым показателем у Леонарда Эйлера
Величайший математик XVIII в. Леонард Эйлер (1707—
1783) в работе «Введение в математический анализ» (1746), приняв
название мнимой единицы Р. Декарта imaginaires, вводит первую
букву этого слова i для обозначения У—1, так что i2 = —1, и
вводит функцию ехС, представляя ее как ряд вида:
лХ1
W + (*0ая + l = ri_^ + i!+ .
¦" 2я—1)! (2л+1)1 '"J L 2! 4!
+ (— 1)". — + ... 1+ Я*—*+*_?. + ...+
(2л)! J L 3! ^ 5! 7!
у2П+1 ~\
+ (—\у— + ... .
V ' (2л+1)! ^ J
Так как ранее было установлено Исааком Ньютоном (1642—1727),
что
cosx= l—i-+i-_*- + ... +(_i)« JL_+...
21 4! 6! V (2л)!
sin* = х \- \- ... + (— 1)п Ь • ••, то
3! ^ 5! 7! ^ V ' (2л + 1)
после подстановки последнего в предшествующее соотношение
Л. Эйлер получает:
е*1 = cosx + /sin я, (1)
95

откуда подстановкой находит.
er* = cos (—л:) + /sin (—х)
cos х
И далее получает:
exi = cos х _|_ / s;n ^
""¦*"' = COS Я
cos л; — * sin л;
ext _|_ e-xL _ 2 cos #
откуда
cos x =
??*' + g-
,-Jf/
В частном случае из (1)
получается:
eni = Cos n + i sin я = —1 +
+ Ю = —1
eni = _i или gnf -j-1^0.
г sin X.
При вычитании получает:
e** — <rxl = 2lsmx9
откуда
sin x =
exi — e
•xi
2/
Так же получается:
9 Я ... Я
г2 = cos —Ь *sln — =
2 2
= 0 + i ¦ 1 = i.
I, р
= * или e — i = Q.
Эйлер показывает, что
VV=T =1/Г= Ve^=e* l
л ... я /2 , . /2
= cos — + * sin — = 1- i — , а дальше развивает понятие
логарифма из отрицательного действительного числа, что вызвало
большой спор с Даламбером. После смерти Эйлера выяснилось, что
математическая истина была правильно отражена Л. Эйлером, а
не Даламбером.
Несмотря на развитие понятия мнимого числа, полученное
особенно в трудах Л. Эйлера, не всем это учение казалось столь
ясным, бесспорным, чтобы оно могло свободно развиваться.
Французский математик Лазарь Кар но (1753—1823) в труде
«Размышление о метафизике бесконечно малых» (1796) писал:
«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых
при вычислениях с мнимым количеством, хотя они представляют
собой только алгебраические формулы и иероглифы нелепых
количеств».
§ 6. Геометрическая интерпретация мнимых чисел в конце XVIII
и в XIX в. и дальнейшее развитие теории новых чисел
I. Первая удачная попытка геометрической интерпретации
мнимых чисел предпринята датским землемером и математиком
Каспаром Весселем (1745—1818) в труде «Essai sur la ге-
precentation analytique de la direction», Копенгаген, 1797 («Опыт
аналитического представления направлений»), к сожалению, в
течение столетия остававшемся неизвестным.
96

II. Аналитическую интерпретацию вторично вводит
французский математик Жан А р г а н (1768—1822) в своем труде «Essai sur
une maniere de representor les quantites imaginares dens les
constructions geometriques», 1806 («Опыт некоторого представления
мнимых количеств в геометрических построениях»).
III. Последовательную интерпретацию дает немецкий ученый,
«король математики» Карл Гаусс (1777—1855) в труде «Теория
биквадратных вычетов» (1799) и позднее в «Арифметической теории
комплексных чисел» (1806, 1825 и 1831 гг.), где он, рассматривая
способ интерпретации новых чисел, назвал их впервые
комплексными числами (от латинского слова «комплекс» — объединение),
имея в виду объединение двух действительных единиц: а един.
I + Ь един. II, оставив при этом идущее от Декарта название
вторых единиц (мнимые единицы), обозначаемых в виде 12 = i (от
первой буквы слова imaginaire); он стал таким образом обозначать
комплексные числа в виде а • I + Ы или, короче, а + Ы. В этой
работе Гаусс навсегда изгнал таинственность, окружавшую
мнимые числа, введя представление о них с помощью точек плоскости.
Позднее член Французской академии, математик Огюстен К о ш и
(1789—1857) в своем труде «Алгебраический анализ» (1821)
продолжает эту удачную интерпретацию и вводит понятие модуля
комплексного _числа_а + Ы в виде неотрицательного действительного
числа У а2, + Ь2.
IV. В 1831 г. ирландский математик Уильям Гамильтон
(1805—1865) вводит понятие о векторах и их равенстве в труде
«Лекции о кватернионах», 1853 г. и 1856 г.
Определение I. Векторными величинами называются
величины, которые вполне характеризуются, во-первых, их
численными значениями и, во-вторых, направлениями в пространстве.
Например, сила G = 10 (кг), приложенная к телу в точке А
и «тянущая» тело по строго заданному направлению.
Вектором является направленный отрезок с указанием его
начала (А) и конца (В), обозначаемый в виде АВ, где Л и В
соответственно начало и конец направленного отрезка АВ.
Определение II. Модулем
вектора А В называется длина отрезка
АВ, что записывается в виде | А В |.
Пусть на тело действует пара сил
АВ и АС и еще пара сил BD и CD,
образуется параллелограмм сил
ABCD (рис. 22).
Определение III. Равными
векторами АС и BD называются ее-
tn
97

кторы с равными модулями \ АС | = | BD \ и одинаковыми
направлениями.
Отметим, что векторы, совпадающие началами и концами,
рассматриваются как равные, имеющие равные модули, и
параллельные, как равноотстоящие на расстояние нуль.
Определение IV. Неравными векторами называются
векторы, которые не удовлетворяют хотя бы одному из двух
условий, определяющих равенство векторов.
Примеры: 1) АВ Ф ВА (не удовлетворяют одинаковости
направлений, если А Ф В)\
2) АВФ ABi (рис. 22), так как \АВ \ Ф \ АВг \ .
Глава II.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
§ 1. Прямая с множеством точек X, действительных чисел
(координат этих точек) и вектором на прямой ОХ
Как известно, на числовой прямой существует бесконечное
множество точек X, обозначаемое в виде Мг (X); на этой же прямой
имеется бесконечное множество действительных чисел х,
являющихся абсциссами точек Мх (X), тем самым имеется множество
чисел М2 (х). Кроме того, имеется бесконечное множество векторов
ОХ, лежащих на этой прямой, где точка О взята за начало с
абсциссой нуль, откуда получаем третье множество М3 (ОХ) (рис. 23).
ОХ Х(х)
~* 1 1 ^
О х
Рис. 23
Хотя все эти три множества имеют различные элементы, а
именно точки, действительные числа и направленные отрезки, но
между этими элементами можно установить взаимно-однозначные
соответствия: точкам X соответствуют действительные числа х\
абсциссам точек X соответствуют векторы ОХ, а потому эти множества
эквивалентны, т. е. Мх (X) ~ М2 (х) ~ Мд (ОХ).
98

§ 2. Плоскость с множеством точек Z, пар действительных чисел
(координат этих точек) и вектором OZ на плоскости
1. Возьмем на данной плоскости оси прямоугольных координат
ось х и ось у (рис. 24).
2. Возьмем произвольную точку Z на плоскости, имеем и пару
координат точки Z (х\ у) и вектор OZ. Между элементами установим
взаимно-однозначное соответствие: точке Z соответствует пара чисел
(х; у) и соответствует вектор OZ (рис. 25).
Здесь нет аналогии с § 1 в одном, а именно: рассматривается пара
(х\ у), а не одно число. Гауссом и было введено единство этих чисел
х • 1 и у/, а именно # • 1 + yi, и названо комплексным
(объединенным) числом из первых единиц (действительных единиц) и вторых
единиц (названных Декартом мнимыми единицами и передаваемых
в виде 0- Сумма х ¦ 1 + yf дает вектор OZ.
Итак имеем:
Точка на плоскости Z ++ комплексное число х • 1 + yl «-*
вектор OZ, а потому множества этих элементов эквивалентны, а именно:
M(Z)~M2(x- 1 + у • 0 ~ Мз (OZ).
Определение. Комплексным числом называется сумма
вида а - I + b - i, где aub — действительные числа, 1 ui — едини-
цыу соответственно взятые на осях х и у.
Примечание. Только по более чем столетней традиции,
идущей от Декарта, а в основном от Эйлера, сохраняется
обозначение мнимой единицы в виде i, было бы более сообразно обозначать
единицы первые и вторые так: 1х и 12, так что в целом комплексное
число передавалось бы как а • 1Х + b • 12, где эти единицы взяты
первая 1х на оси х, а вторая 12 на оси у, значит, единицы находятся
во взаимно перпендикулярном положении.
Обратим внимание на особые случаи комплексного числа
а • 1х + b • 12, где а и b — действительные числа.
У
0
1
м
у
«
Л/,
1
ч
мг
*
Л+i/t
Рис. 25
99

1) Если b = О, тогда имеем: а • 1 + 0 • ? = я • 1 = а—
действительное число, которое входит в понятие комплексного числа как
особый случай.
2) Если а = О, тогда имеем дело только с чисто мнимым числом
(О ¦ 1 + Ъ • 0 = Ь • i% которое является особым случаем
комплексного числа.
3) Когда а = 0 и Ь = 0, то имеем дело (0 • 1 + 0 • I = 0) с
нулем как особым случаем комплексного числа.
Итак, имеем схему (рис. 26): 1) Мг — множество действительных
чисел, М2 — множество комплексных чисел. Отметим, что в кольце
между М2 и М1 находится бесконечное множество чисто мнимых
чисел — Ы.
§ 3. Равные и неравные комплексные числа
Определение. Равными комплексными числами а^+Ь^ и a2-\~b2i
называются комплексные числа, у которых ях = а2 и Ъг = Ь2, или,
что то же, комплексные числа, у которых соответственно равны
векторы OZx = OZ2.
Из определения имеем три следствия:
I. Рефлексивность, а • l + b-i = a + b-i (комплексное
число равно самому себе), так как имеем: а = а и b = b, а это
необходимое и достаточное условие для равенства комплексных чисел
(определение равенства).
II. Симметричность. Если а • 1 + b • i = х • 1 + у • i, то и
х • 1 + у • i = а • 1 + b • i.
В самом деле, из данного условия следует: а = х и Ь= у,
откуда х = аиу=Ь (симметричность равенства действительных чисел),
а из последнего следует: х • 1 + у • / = а • 1 + b • i
(определение равенства комплексных чисел).
III. Транзитивность. Если а • 1 + Ъ • i = х - 1 + yi (1), а
х • 1 + у • i = с • 1 + di (2), то а • 1 + Ы = с • 1 + di.
В самом деле:
1) Из (1) следует: а = х и Ь = у
(определение равенства комплексных чисел).
2) Из (2) следует: х = с и у = d
(определение равенства комплексных чисел).
3) Сопоставляя 1) и 2), по
транзитивности равенства действительных чисел
имеем: а = с и b = d (3).
4) Из (3) следует: а • \+Ы=с-1 + <tf
(определение равенства комплексных чисел).
В итоге имеем: равенство комплексных
Рис. 26 чисел обладает теми же основными свойст-
100

Рис. 27
Рис. 28
вами, что и равенство действительных чисел. Существенные
различия имеются в понятии неравенства.
Определение. Неравными комплексными числами
называются комплексные числа, у которых не выполняется хотя бы одно
из двух условий равенства этих чисел.
Примеры.
1) (хг Ф х2у уг = у2)=
2) (х± = хъ ух ф у2)=
3) (х± Ф хг, ух Ф у2)=
Отметим, что к комплексным числам неприменимы понятия
«больше» и «меньше»; это следует из того, что и к векторам
неприменимы понятия «больше» и «меньше».
>(*i + У\i Ф *2 + УгО (рис. 27).
>(*i + уг1 Ф х2 + у2i) (рис. 28).
>(*i + У J Ф х2 + У4) (рис. 29).
§ 4. Модуль и аргумент комплексного числа
Определение. Модулем комплексного числа х • 1 + у/ на-
зывается неотрицательное действительное число, равное ]/х2+ у2.
Итак, модуль комплексного числа
передается следующими
обозначениями:
а) полностью: | х • 1 + у Л | =
б) короче: [ х
где р = \OZ | .
К модулям комплексных чисел
применимы понятия «больше»,
«равно», «меньше». Отметим, что
из равенства комплексных чисел
следует и равенство их модулей, но Рис. 29
101
1 + У • i \ =р.

из равенства модулей комплексных
чисел не следует равенство
комплексных чисел. В самом деле,
например: | 4 + 3*| = | 3 + U | =5,
но 4 + Ы Ф 3 + U.
Обратим внимание, что модуль
действительного числа получается
из модуля комплексного числа как
"Т частный случай, например: \х +
+о • / \=V*2 + о2 = У*2 = |jc|.
Отметим, что понятие
комплексного числа связано с понятием вектора, а последний
характеризуется модулем и направлением, последнее называется
аргументом вектора или заданного комплексного числа а • 1 + Ы.
Определение. Аргументом комплексного числа Z = ах
X 1 + Ы = OZ называется угол а между модулем вектора \ OZ \ и
положительным направлением оси х. Он обозначается в виде а =
argumentum (а • 1 + Ы) = arg (а • 1 + Ы)\ — = cos а» гДе Р > 0.
Р
arg (а + Ы) = arccos —. Итак, комплексное число записывается
Р
в двух формах:
1) а + Ы — алгебраическая запись комплексного числа;
2) из рисунка 30 следует, что а = р • cos а, Ь = р • sin а, a
потому а + Ы = р • cos а + ф sin а = р (cos а + i sin а), короче:
а + Ы = У а2, + Ь2 (cos а + i sin а) (тригонометрическая запись
комплексного числа).
Глава III.
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 1. Операции первой ступени — сложение и вычитание
I. Сумма векторов.
Определение. Суммой векторов, у которых начало
каждого следующего совпадает с концом предыдущего, называется
вектор, у которого начало находится в начале первого, а конец —
в конце последнего-, этот вектор суммы называется
замыкающим.
II. Сумма комплексных чисел.
Определение. Суммой двух комплексных чисел, которые
102
V,
>/МО(
а

характеризуются двумя
векторами, называется число,
соответствующее сумме этих
векторов.
Следствие. Сумма
двух комплексных чисел равна
комплексному числу: (a1+b1i)+
+ {а2 + b2i) = (ах + а2) +
(bx + b2)i. В самом деле:
1. Дадим геометрическое
изображение данных
(параллелограммом OZ± Z3 Z2)
(рис. 31):
а) числу а± + b±i
соответствует точка Zx и вектор OZx\
б) числу а2 + b2i
соответствует точка Z2 и вектор OZ2 = ZXZ3\
в) сумме (ах + ад + (а2 + b2i) соответствует точка Z3 и
вектор OZx + ZXZ3 = OZ3\
г) вектору OZ3 соответствует комплексное число ОА3 + A3Z3i=
= (ах + а2) + (Ьх + b2)L
III. Основные свойства суммы комплексных чисел.
1. Существование и единственность суммы при заданных
слагаемых вытекает из существования и единственности суммы
соответствующих векторов.
2. Коммутативность.
(ах + bxi) + (а2 + b2i) = (ах + а2) + (Ьх + b2)i =
= (а2 + ах) + (b2 + bx)i = (а2 + b2i) + (ах + bxi)
(теорема сложения) (коммутативность действительных чисел)
(теорема сложения).
3. Ассоциативность.
[(ах + ад + (а2 + b2Q] + (а3 + b3i) = [(ах + а2) + (Ьх +
+ b2)i~\ + (а3 + b3i) (по теореме сложения) = \_(ах + а2) + а3~\ +
+ UPi + Ъ2) + b3~\i (по теореме сложения) = [ах + (а2 + а3)] +
+ \Ь\ + Фг + b3y\i (ассоциативность суммы действительных
чисел) = (ах + bxi) + [(д2 + b2i) + (а3 + b3i)~\.
Определение. Парой взаимно противоположных
комплексных чисел называются комплексные числа вида (а + Ы) и (—а — Ы).
Следствие. Сумма пары взаимно противоположных
комплексных чисел равна нулю.
103

Доказательство
(а + Ы) + (-а - Ы) = [_а + (-а)] + [& + (-6)]/ = 0 +
+ 0 ¦ f = 0 (теорема § 1) (свойство суммы действительных чисел).
Вывод. Существенные свойства суммы действительных чисел
сохранились для суммы комплексных чисел.
IV. Разность комплексных чисел.
Определение. Разностью комплексных чисел ах + bxi и
а2 + b2i называется сумма первого (ах + b±i) и противоположного
второму (—а2 — &20-
Итак, имеем:
(а± + Ьх1) — (а2 + b2i) = {а1 + bxi) + (—а2 — b2i) =
= \Jh + (—«2)] + №1 + (—b2)~]i = (fli — а2) + (&! — b2) • i
(определение разности) (теорема § 1, существование и единственность
суммы) (сумма действительных чисел), следовательно,
(аг + b-J) — (а2 + b2i) = {ах — а2) + (Ьг — Ь2) • i (транзитивность).
Получено правило вычитания.
§ 2. Операции второй ступени — умножение и деление
Определение. Произведением заданных комплексных
чисел называется комплексное число, у которого модуль равен
произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов
сомножителей.
В частном случае, когда дано два сомножителя, имеем:
[рх (cos ах + / sin ах)] • [р2 (cos а2 + i sin а2)~\ =
= Р1Р2 [cos {ах + а2) + I sin (аг + а2)].
Следствие из определения. Возьмем особый случай, когда
оба сомножителя равны и р = 1:
cos —+ fsin— =0 + /. 1 =0 + i = i
22
cos — + i sin — = 0 + 1 • 1 = 0 + / = i
Найдем произведение:
/я. jt \ . . . /зх. я \
сози + ^) + 181П(т+т) = '-';
cos я + i sin я = i2;
—1 + i • 0 = i\
Имеем:
i2 = -1.
104

Основные свойства произведения комплексных чисел.
1. Существование и единственность произведения.
[рх (cos аг + i sin ах)] • [р2 (cos а2 + i sin а2)] =¦
= (Pi " Р2) • [cos fa + а a) + I sin fa + а2)].
(Произведение рх • р2 и сумма ах + а2 существуют и единственны
в множестве действительных чисел).
2. Коммутативность
[рх (cos ах + i sin ах)] • [р2 (cos а2 + i sin а2)] =
= (Pi ' Р2) • [cos К + а a) + i sin fa + а2)] =
= (Рг • Pi) [cos (а2 + ах) + i sin (а2 + -o^)] =
(коммутативность произведения и суммы действительных чисел)
= [р2 (cos а2 + i sin а2)] • [рх (cos ах + i sin ах)]
(теорема умножения).
Итак,
[рх (cos ах + i sin ах)] • [р2 (cos а2 + f sin а2)] —
= [р2 (cos а2 + i sin а2)] • [рх (cos аг + i sin а2)]
(транзитивность).
3. Ассоциативность.
[рх (cos ах + i sin ax) • p2 (cos oc2 + 1 sin a2)] •
• [p3 (cos a3 + i sin a8)] = {fa • p2 [cos fa + a2) +
+ i sin fa + a2)]} • [p3 (cos a3 + i sin a8)]
(теорема умножения) =
= {(Pi * Рг)Рз cos [fa + a2) + a8] +
+ /sin [fa + a g) + a3]}
(теорема умножения) = [px fa'PeXKcos [a1+(a2+a3)] -f i sin [ax+
+ (a2 + a3)]}
(ассоц. произведения и суммы действительных чисел)
= рх (cos ax + / sin аг) • [p2 (cos a2 + i sin a2) •
• p3 (cos a3 + i sin a8)].
4. Дистрибутивность.
1) fa + 6X0 • [fa + fe20 + fa + M] = fa + 61O [fa +
+ a») + fa + &зЮ = [fa. ¦ fl2 + fli ¦ «в) — fa • b2 + bv be)] +
+ * C&i fa + a3) + flx fa + b3)l
2) fa + &i0 • (a2 + 620 + fa + 6x0 fa + M =
= Cfa • a2 + 0x • ^3) — fa • b2 + b± • ft8)] + i [&! fa + a8) +
+ Oi (62 + 6a)]-
105

3) Из 1) и 2) следует:
(%+ад [(а2+ b2t)+ (а3+Ь$]=*
= (ах + bxi) • (д2 + М + (% +
+ &1О ¦ (а8 + М-
Вывод. Существенные
свойства произведения
действительных чисел сохранились и
в произведении комплексных
чисел, кроме понятий,
связанных с оценкой «больше» и
«меньше», например
монотонности.
Рассмотрим, как можно интерпретировать произведение
комплексных чисел на векторах (рис. 32):
ОМг ¦ ОМ2 = ОМ, где рх • р2 = р; а± + а2 = а.
АОМ±Е со Л ОММъ причем ОМ± повернут на а2, получен ОМ.
\о~м\ \ом2
Рис. 32
\ОМ1[
\ОМ\ =
1И
\OMi\
где е = ОЕу откуда получаем:
• 1 ОМ2 1 _ \OMi ~~*
|0М2
м
1
= \ОМ1\-\ОМ2
Используя комплексные числа, можно выводить свойства
действительных чисел. Например:
(а2 + Ь2) • (с2 + d2) = [(а + Ы) • (а - 60] ¦ Up + di) X
X {с — di)'] = [(а + Ы) • (с + di)] • [(а — Ы) • (с — d/)] (ассоц.
и коммут.) = [(ас — bd) + (ad + bc)i] • [(ас —bd) — (ad + bc)i] =
= [(ас — bd)2 + (ad + be)2];
(a2 + b2) • (c2 + d2) = (ac — bd)2 + (ad + be)2
(транзитивность).
Например: (52 + 32) • (102 + 72) = (5 ¦ 10 — 3 ¦ 7)2 + (5 • 7+
+ 3 • 10)2, или (25 + 9) • (100 + 49) = (50 - 21)2 + (35 + 30)2,
или 34 • 149 = 292 + 652, иначе 5066 = 841 + 4225.
Определение. Частным от деления рх (cos ах + i sin ах)
на р2 (cos а2 + i sin а2), где р2 ф 0, называется комплексное число
р (cos х + i sin л:), удовлетворяющее условию:
р! (cos аг + i sin аг) = [р2 (cos а2 + i sin а2)] X
Г" 2
X [р (cos х+ i sin *)],
з
т. е. по произведению двух сомножителей (1) и одному из данных
(2) находится другой из сомножителей (3).
рх (cos ах + i sin а±) = (р2 • р) [cos (а2 + х) + i sin (аг + я)}
(определение умножения).
106

Откуда pi = р2 • р; «х = а2 + х (по определению равенства
комплексных чисел).
р = —; х = ах — а2 (свойства деления и вычитания действитель-
Р2
ных чисел).
Вывод. Чтобы разделить комплексное число на комплексное
число, достаточно разделить модуль делимого на модуль делителя,
не равного нулю, и вычесть из аргумента делимого аргумент
делителя.
Отметим, что в множестве комплексных чисел всегда выполнимы
операции сложения, вычитания, умножения и деления, кроме
деления на нуль, и в результате получаются однозначно комплексные
числа, поэтому множество комплексных чисел, как и множество
действительных чисел, образует числовое поле.
§ 3. Операции третьей ступени — возведение в п-ю степень
и извлечение корня п-н степени
Определение, п-й степенью данного комплексного числа
р (cos а + i sin а) называется комплексное число, у которого
модуль является п-й степенью модуля данного комплексного числа, а
аргумент — произведением аргумента данного комплексного числа
на число п.
Следствие. Отметим, что при п = 1 основание остается
без изменения; при п = 0 имеем: р° = 1 и cos (0 • а) + i sin (0-а) =
= cos 0 + i sin 0 = 1.
Вывод. Степени комплексных и действительных чисел с
нулевым и единичным показателем обладают одинаковыми
свойствами.
Следствия.
|0 = J; I'l = f; i% = _i; р = р . i = _i . i = _(.
р = р . р = (_1) . (_1) = 1.
Если п>4, то п : А = q и остаток г < 4. Итак, п = \q + г,
где г < 4, т. е. г = О, 1, 2, 3, а потому
fl = /; j» = _1; /3 = _f
Имеем четыре значения in : 1, —1, /, —Л
Извлечение корня п-й степени из комплексного числа, где п —
натуральное число.
Определение. Корнем п-й степени из данного комплекс-
ного числа рг (cos аг + t sin ах) называется комплексное число
р (cos а + I sin ос), такое, что п-я степень последнего дает данное
комплексное число.
107

Следствие.
рх (cos ax + i sin a±) = [p (cos a + i sin а)]л =
= pn [cos (nx) + i sin (ш;)]
(теорема возведения в степень).
Откуда рх = р" и ах = пх (равенство комплексных чисел), откуда
получаем: р = у рх; х = — (свойство действительных чисел).
п
Рассуждения более общего характера:
рх (cos &! + i sin аг) = p± [cos (ах + 2nk) + i sin (ссх + 2яй)1
(периодичность) = [p (cos x + i sin x)]n = р'г [cos (nx) +
+ i sin (nx)]\ (теорема возведения в степень).
Откуда рх = рп и ах + 2я/г = /гя (определение равенства
комплексных чисел).
Из последнего следует: р = у рх и х = -^-! (операции с деи-
м
ствительными числами).
Вывод. Корень п-й степени из комплексного числа равен п
различным значениям, получающимся так, что модцль равен
арифметическому значению корня п-й степени из модуля данного
комплексного числа, аргумент равен частному от деления аргумента
данного комплексного числа на число п плюс -2—, где k принимает
п
значения О, 1, 2, 3, ... , (п — 1).
Итак, операция извлечения корня из комплексного числа,
имеющая п различных значений, отлична от операции извлечения
арифметического корня из действительного числа, имеющего одно
значение. _
Например: У\ = 1 в поле действительных чисел, а в поле
комплексных чисел: У\ = -y^cos 0 + i sin 0=y/cos-2nfe+*sin2:rtft.
-j/T = cos 0 + i sin 0=1 (1-е значение)
yT = cos — + i sin — « 0,623 + i ¦ 0,782 (2-е значение)
yT = cos — + i sin — « — 0,223 + / • 0,075 (3-е значение)
\Г\ = cos — + / sin — « — 0,901 + I • 0,434 (4-е значение)
yT = cos — + i sin — « — 0,901 — i - 0,434 (5-е значение)
Y\ = cos — + i sin — ^ — 0,223 — I • 0,975 (6-е значение)
j/T = cos — + / sin — « 0,623 = i. 0,782 (7-е значение)
108

В заключение обратим внимание:
1) в кольце целых чисел замкнуты три однозначные операции —
сложение, вычитание и умножение;
2) что в поле рациональных чисел, как и в поле действительных
чисел, замкнуты четыре однозначные операции — сложение,
вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль);
3) что в поле комплексных чисел замкнуты шесть операций —
сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на нуль),
возведение в натуральную степень и извлечение корня п-й степени,
причем пять первых операций однозначные, а последняя операция
n-значная (многозначная) имеет п значений.
Глава IV.
СТЕПЕНЬ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
§ 1. Экспонента с чисто мнимым показателем. Формулы Эйлера
В теории действительных чисел установлено, что
/у у2 уЗ у"
е* = 1 + - + - + — + ... + - + -.
1 2! 3! и!
Возникает вопрос, нельзя ли обобщить понятие ех, когда
показатель будет xft
Определение. Функцией exi называется сумма ряда:
^ 1 ~*" 2! 3! "*" 4! 5! ^ '*' п! '"
Из этого определения следует, что
L 21 41 + 61 ^'"^(2,1)1 ' -"Г
[у2 у4 yQ у8 УЧП "J
1 — — + - — +— — ... + (—1)". — + ...+
21 4! 6! 81 iv/ (2„)! J
+ *[*— —+—— — +... + (— I)"-1- X™~* + -l-
^ L 31^51 7! ^ TV ' (2я—1)1 J
Так как
cosx=l —— + *_?. + ... +(—1)" .— +...,
21 4! 6! ^ К ' (2п)1 '
уЗ уб у 7 у2Л-1
31 * 51 7! ' v / (2/2—1)! '
109

то имеем:
оП _
cos х + i sin х и е~п = cos х — i sin х.
еУ{ = cos у -f / sin у (перемножим)
е*"' . eyi = cos я • cos у + /а sin л: • sin у + f (sin л; • cos у +
+ cos х • sin у) = (cos я cos у — sin х • sin у) + i (sin х • cos у +
+ cos л: • sin у) = cos (х + у) + J sin (я + у) = e<*+y>* = ег'+У,
exi . е^ = ^i+^ (транзитивность).
Видим, что степени с действительным основанием и чисто
мнимым показателем обладают одним и тем же свойством: при
умножении степеней с одинаковыми основаниями е показатели
складываются, а основание остается то же.
Отсюда следует, что
1. ех : еу = ех~У, так как
е*~у. еУ = е{х~у)+у = ех.
2. (ех у = ех\
1. exl: еУ* = е*' = е*'-*', так
как exl-yl • е*' = е{х1-У1>+У1 =
= g*w—уй-у/) = exl.
2. (е-*^; имеем: ех1 = соъх-\-
что установлено в первой части
курса
+ i sin л:, откуда получим: (ех1)у =
= (cos х + i sin х)у = cos ху +
-f- I sin xy = e{Xy)l, т. е.
(e")y = efWK
Видим: 1) при делении степеней с одинаковыми основаниями
показатели вычитаются, а основание остается то же, причем это
происходит как при показателях действительных, так и при мнимых.
2) при возведении степени в новую степень показатели
перемножаются.
§ 2. Экспоненциальная функция от комплексной переменной
при основании е
Пусть г = х + iy. Тогда определяется
е* = ё*+У1 = ё* - eyl = ех (cos у + t sin х).
Свойства показательной функции при действительном
и комплексном показателе
Комплексный
показатель г.
1. Исследуем ez при частных
значениях:
а) пусть z1 = 2 + 2m', тогда
e2i х= ??2+2л1 = е2 (cos 2Я _|_
+ /sin2л) =е2(1 + I- 0) =е2>1.
з
б) Пусть га = —Ь я/, тогда
пока-
Действительный
за те ль х.
I. ех^\ при любом
неотрицательном х (установлено в
1-й части книги).
ПО

2. ех — функция
непериодическая, т. е. она не обладает
свойством, чтобы при любом х
имелось равенство
е* = ех+а, где а Ф 0.
(Доказать предлагается
читателю.)
1
3. а) 1х= 1,
б) (- I)-1 =
(- I)1
т. е. (— I)"1 = — 1.
=-1,
2+*L Г
ег* = е = е • (cos я +
+ i sin л) = е2 (— 1 + i. 0) =
= -е> <1.
в) Пусть 23
т
тогда имеем:
- 3 эт ... я
е2* = е = cos —\-1 sin— =
з з
= — + ^-Ч-» получили
комплексное число.
2. ег есть функция
периодическая с мнимым периодом 2ш,
так как
е* = е х+у'1 = в* е^= ех (cos у +
+ i sin у) = е* [cos (у + 2я&) +
+ isin(y + 2я?)] = er-^+2«ft)/=s
При й = 1 имеем:
иначе:
е* = е'
,2Н-2л?
3. *<=(cos| + /sin|Y =
= [<?)=# = в 2 «0,2075
(1-е значение).
В более общем виде:
Ц = |"cos (^ + 2nk\ +
+ ism (- + 2nk\Y =

4. Всякое положительное
действительное число D можно
представить однозначно в
форме: D= elnD (установлено в 1-й
части книги).
— многозначность в
зависимости от значения fe. Итак, il дает
многозначный результат, в
частности, при k = 1 имеем:
-fc+2nk) -5п
г1 = е V2 i =е «
^0,00039 (2-е значение).
(—i)~l= cos —я + / sin —я =
Г (-n+2nk\ i
Итак, имеем: (—*)-'»171 (при
k = 1) одно значение.
Всякое комплексное число
а + Ы можно представить
многозначно в форме:
-/
-л + Ink
= е
а+Ы = УФ + Ь2
Y& + ь*
\а + Ы\ х
+
X (cos а + i sin a) = | a + W| X
X [cos (a + 2я?) + i sin (a +
+ 2n?)] = |a+W|-e<a + 2"*)' =
_ e In i fl+w i . el>rg (a+bt)+2nft]i _
In [c-f-6i| + [arg {a-\-bi) -\-2nk] i
Глава V.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ НАД ПОЛЕМ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Определение логарифма
Ранее (в 1-й части) было установлено, что в поле действительных
чисел каждое положительное число имеет логарифм при любом
положительном основании, отличном от единицы, и притом
единственный, и ни одно отрицательное число в поле действительных
чисел не может иметь логарифма.
Как обстоит дело в поле комплексных чисел?
Зная, ЧТО a+W = el»l« + "l + [a»g(a + «> +
2nk\i
дадим
определение: натуральным логарифмом комплексного числа а + Ы на-
112

зывается показатель степени, в который надо возвести число е,
чтобы получить число а + Ыу что записывается в виде:
In (а + Ы) = In | а + Ы \ + [arg (а + bi) + 2nK\i (1).
В поле действительных
чисел имеем:
1) Существует единственный
натуральный логарифм
положительного числа dy т. е. In d, если
d > 0, в частности, имеем In е =
= 1 (установлено в 1-й части).
2) Натуральный логарифм
отрицательных чисел не
существует (установлено в 1-й части).
В поле комплексных чисел
имеем:
1) Существует не
единственный логарифм комплексного
числа а + Ы или In (а + Ы),
что видно из формулы (1), где
ft принимает любое целое число.
Существует не единственный
логарифм положительного числа d
в поле комплексных чисел:
In d = In d + [arg d + 2nfr]i =
= In d + [0 + 2stk]i = In d +
+ 2nki, причем логарифмы
являются комплексными
числами. Если взять ft = 0, то
логарифм положительного числа d
будет единственным, в частности
In е = 1 + 2nki\ если ft = 0, то
\пе= 1.
2) Существует не
единственный логарифм
отрицательного числа —с, где с > 0, в виде
комплексного числа:
ln(-C) = ln|-c|+[arg(-c)f
+ 2nk]i= In | с | + [я + 2nfc]i=
= In с + i (2k + 1)я, в
частности;
а) In (—10)=ln 10 + i (2ft +
+ 1)л « 2,3026 + i (2ft + 1)я;
б) ln(—l)=lnl+[arg(—1) +
+ 2nk~\i = 0 -f [я + 2nft]i =
= 2nki + ш.
Существует не единственный
логарифм мнимого числа в виде
комплексного числа. Так,
In i; = In | i | + (arg i + 2jtft) t =
= lnl +(-+2nk\i =
= 0+(^+2nky=^ni.
113

§ 2. Свойства логарифмов
В поле действительных чисел:
1) In (dx • d2) = In dx + In d2,
где dx > О и d2 > 0
(установлено в 1-й части).
В поле комплексных чисел:
In {zx-z2) = \nz1 + \nz2
В самом деле, имеем:
zi = Pi (cos ai+ i sin ai)» где
Pi = I *i I ,
^2 = p2 (cos a2 + / sin a2), где
P2 = U2 I •
Перемножая соотношения,
имеем:
h'z2 = Pi- P2 [cos (a± + a2) +
+ I sin • (ax + a2)] = px • p2 X
откуда
2l.22=Pl.p2.^+a«+2"ft)',
следовательно,
1п(г1.г2) = 1п(р1.р2) +
+ (^i + a2 + 2яЛ) j =
= In Pi + In p2 + (ax + 2nk1) i+
+ (a2 -f- 2nk2) i =
= [In Pi + (^ + 23t*i)q +
+ [In p2 + (a2 + 2nk2)i'] =
= In *! + In z2,
если аг + a2 находится в
промежутке (—я, я), в котором
выбирают главные значения
аргументов.
Итак, имеем в последнем
случае: In (zx • z2) = In zx + In z2.
Если z1 = d1>0n z2 = d2 > 0,
то In (zx ¦ z2) = In zx + In z2 =
In di + In d2yT. е.
логарифмирование в поле действительных
чисел есть особый случай
логарифмирования в поле
комплексных чисел.
2) Дано: zx = pt (cos аг +
+ i sin ax),
2) In
dx
lndi
lnd2,
114

где dx > 0 и d2 > О
(установлено в 1-й части)
3) In d^ = dt • In d, где
d > О, что установлено в 1-й
части.
*2 = р2 (cos а2 + * sin а2), где
Pl ^= 0 и р2 ?= 0.
Разделим первое на второе:
— ^os(a1 — a2) +
*а Ра
+ /sin(ai-aa)]= BL ^-^W,
Pa
откуда имеем: In— = In— =
ч Pa
= 1(аг — а2) + 2я?] i =
= In рх — In p2 + (at + 2яйх) / —
— (a2 + 2я?2) i\
In ^ = [In Pi + К + 2я/гх) /] —
Ч
— [In Pa + («2 + 2^)0 =
= 1пгх — lnz2,
если ах — а2 находится в
промежутке (—я, я).
Имеем особый случай: если
Ч = <4 > 0 и z2 = d2 > О, то
In -1 = In dx — In d2.
<?а
Видим, что логарифмирование в
поле действительных чисел есть
особый случай
логарифмирования в поле комплексных
чисел.
3) Имеем: z=p(cos а +1 sin ос),
откуда & = pd* [cos (adx) +
+ I sin (adx)] = ^ ^ Varfl+W=
__ In pdl+(adi + 2sik)i
— * »
откуда
In zdi = In prfi + (adx + 2nfe)? =
= dx In p + (adx + 2я&)?, если
k кратно d, т. e. k = d^m, то
In zd* =dx In p + dx (a+2nm)i =
= dr [In p+(a + 2nm)t]= dx- lnz;
откуда In zdi = d± • In z. Но если
m не кратно dx> то In zrfi ^
Ф dx • In z.
115

Глава VI.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Алгебраические комплексные числа. Счетность множества
алгебраических комплексных чисел
Определение. Алгебраическим числом называется
комплексное число, которое может быть корнем многочлена с целыми
коэффициентами.
Следствие. Существуют комплексные алгебраические
числа. В самом деле:
1. i есть число алгебраическое, так как многочлен с целыми
коэффициентами х2 + 1 имеет корень /, что видно при подстановке:
| i |2 + 1 = -1 + 1 = 0.
2. (Ы) есть число алгебраическое, где k — любое целое число.
Ы является корнем многочлена х2 + k2 с целыми коэффициентами,
так как
j ki |2 + k2 = —k2 + k2 = 0.
3. I + 1 есть число алгебраическое, так как оно является
корнем многочлена х? + 4 с целыми коэффициентами. В самом деле:
(t + 4 )4 + 4 = ((I + 1 |2)2 + 4= (I2 + 21 + 1 )2 + 4 = ( -1 +
+ И + 1 ) 2 + 4 = ( 20 2 + 4 = — 4 + 4 = 0.
Теорема. Множество алгебраических комплексных чисел
есть множество счетное.
Доказательство
1) Множество всех алгебраических чисел есть множество
различных корней многочленов с целыми коэффициентами вида: а0хп+
+ а^11"1 + а2хп"2 + ... + ап-гх + ап, где все at — целые числа
и а0 > 0 и многочлен неприводим в поле рациональных чисел.
2) Для того чтобы рассматривать корни многочленов в строго
определенном порядке, вводят натуральный ряд чисел под
названием «высота многочлена» в виде Я, где Н = \ п — 1 | + а0 +
+ | аг | + | а2 I + ... + | ап \ , так, что при последовательно
возникающих числах Н вполне определяется показатель многочлена и
все его коэффициенты (понятно, не однозначно, но конечно).
3) Итак, каждое заданное натуральное значение Н определяет
конечное множество многочленов с целыми коэффициентами, а
каждый многочлен определит конечное множество корней (равное
и). Так последовательно будут возникать алгебраические числа,
располагаемые при заданном Я в порядке их возрастания, если
они действительные, или в порядке возрастания модулей, если они
116

комплексные, причем последние будут парами сопряженными, то
их располагаем в порядке —а + Ыу —а — Ы, +а +Ы, где а > О,
b > О, если же а = О, то рассматриваются корни в порядке —Ы\
Ы, где Ъ > 0. Так на следующей странице оказалось:
1) Когда Н = 1, то существует единственный многочлен с
целыми коэффициентами 1 • х, имеющий единственный корень 0,
который вступает во взаимно-однозначное соответствие с началом
натурального ряда чисел, т. е. 0 ¦<—>¦ 1.
2) Когда Н = 2, то оказалось два многочлена с
неповторяющимися корнями: х + 1 их— 1, корни которых располагаем в
порядке возрастания —1 и 1 и продолжаем занумеровывать, т. е.
—1 +—>- 2; 1 +—> 3.
3) Когда Н = 3, то оказалось четыре многочлена с
неповторяющимися корнями: х + 2, 2# + 1, 2л;—1, я — 2, корни которых
располагаем в порядке возрастания: —2; ; —; 2 и продол-
t t t t
4 5 6 7
жаем занумерования.
4) Когда Н = 4, то оказалось, как видно на следующей
странице, 16 многочленов, из них 12 с действительными корнями и 4 с
комплексными корнями. Располагаем первые корни в порядке их
возрастания.
Так показывается объективная возможность устанавливать
взаимно-однозначное соответствие алгебраических чисел с
натуральными числами, тем самым подтверждается тот факт, что множество
алгебраических чисел есть множество счетное.
§ 2. Трансцендентные комплексные числа
Существуют комплексные трансцендентные числа.
1. e-\-i есть число трансцендентное.
Доказательство методом от противного
1) Допустим, что е + i = ky где k —число алгебраическое; тогда
е = k—i.
2) Так как число i — число алгебраическое, то е = алг. ч. —
— алг. ч. = алг. 4., т. е. е — число алгебраическое.
3) Но доказали раньше (стр. 82—84), что е— число
трансцендентное.
4) Получилось противоречие, заключающееся в том, что
трансцендентное число равно алгебраическому числу.
5) Тем самым доказано, что е + i не может быть, как допущено,
алгебраическим, следовательно, оно неалгебраическое, иначе, e-\-i
есть трансцендентное число.
2. я + / есть также число трансцендентное, что
доказывается аналогично:
117

г
1
2
3
4
4
я
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
Яо
1
0
2
1
1
3
2
1
2
1
1
1
4
3
2
1
3
2
2
1
1
1
2
1
1
1
<*t
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
1
2
3
0
1
0
2
1
0
0
!
0
0
°2
0
0
0
0
о.
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
i
2
0
0
0
0
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
я«
0
0
0.
0.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
0
0
0
а6
°|
0
0
0
о!
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Многочлен
\х 1
нет
2х
х±1
\х2
Зх
2х±\
х±2
2х2
х2±х
х2± 1
X3
4х
Зх± 1
2х ± 2
х±3
Зх2
2х2 ± \х
2х2± 1
х2 ± 2х
х2 + х ± 1
х2 ± 2
2х*
х*±х2
х*±\
X*
Корни
0
0
±1
0
0
1
±2
0
0; ±1
±1
0±i
0
1
±7
± 1
±3
0
0;±-
/2
0;±2
И*?)
! УЗ
— ± i
2 2
±У21
0
0;dzl
±1
1 Уъ
0
Повт.
нет
повт.
позт.
повт.
повт.
повт.
повт.
повт.
позт.
повт.
повт.
повт.
повт.
' повт.
повт.
повт.
повт.
п
1
2
4
Корни
0 <-
+ 1J
— 2 ч-
1
~~2*~'
1 '
— <-
2
2«-
(-\4:
-У2±-
1
уг
1
— — ч—
3
1
з *~
»(ffb
1
У2 Ч-
j(-ff')
И"?')
i-ff
№)~
Нуме-1
рация
-> 1
^2
->3
->4 1
-»5
->6
->7
-^8 1
->9
->10
> 11
->13
->14
->15
-*16
->17
<-*20
«->21
г 22
Г23
118

1) Пусть я + i — алгебраическое число, тогда я = алг. ч. — i.
2) Иначе: я = алг. ч. — алг. ч. = алг. числу.
3) Но доказано раньше (стр. 86—89), что я—трансцендентное
число.
4) Получилось противоречие, в том, что трансцендентное число
равно алгебраическому числу.
5) Следовательно, я + i — число трансцендентное.
3. Существует бесконечное множество трансцендентных
комплексных чисел.
Трансцендентными будут:
1) все комплексные числа вида lg N + i, где N — натуральные
числа, не являющиеся целой степенью десяти;
2) все комплексные числа вида Ь i, где N — натураль-
IgN
ные числа, не являющиеся целой степенью десяти.
Доказательство (от противного)
1) Допустим, что lg N + i есть число алгебраическое, иначе:
lg N + i = алг. ч., тогда lg N = алг. ч. — алг. ч. = алг. ч.
Итак, имеем: lg N — алгебраическое число.
2) Получили противоречие, следовательно, допущение, что
lg N + i есть алгебраическое число, — ложное допущение, значит,
lg N + i есть число трансцендентное. Аналогично доказывается
что + i число трансцендентное.
\gN
§ 4. Теорема. Множество комплексных чисел есть
множество несчетное.
Доказательство
1. Обозначим множества: а) М± (действительных чисел х с
векторами ОХ на оси х), б) М2 (комплексных чисел г с векторами OZ
на плоскости).
2. Установим взаимно-однозначное соответствие между
действительными и комплексными числами следующим образом:
ОХ-
или
-OZ
-г.
3. Из последнего заключаем,
что
Afi (х) - М2 (2).
4. Так как Мх (х) есть
несчетное множество, что
установлено в первой части курса
(стр. 63—64), то М2 (z) есть
также несчетное множество
(транзитивность эквивалентности).
Рис. 33
119

5. Теорема. Множество трансцендентных комплексных чисел
есть множество несчетное.
Доказательство (от противного)
1) Пусть множество трансцендентных комплексных чисел есть
множество счетное.
2) Известно, что множество алгебраических комплексных чисел
есть множество счетное.
3) Объединим оба рассматриваемых множества.
Имеем: множество всех комплексных чисел есть объединение
алгебраических чисел, т. е. алгебраическое число.
4) Но выше доказано, что множество комплексных чисел есть
множество несчетное.
5) Констатируем: получилось два противоречивых
утверждения, что логикой не допускается.
6) Анализируем: все рассуждения в предшествующем логически
обоснованы — доказаны, кроме сделанного допущения (верного
или ложного). Следовательно, противоречие возникло из
допущения, а потому его обязаны отбросить; отбрасывая его тем самым
доказываем теорему: множество трансцендентных комплексных
чисел есть множество несчетное.
Глава VII.
ИДЕЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИЙ
НАД ЧИСЛАМИ
§ 1. Возникновение и развитие понятия суммы чисел
1. Понятие суммы натуральных чисел основывается на двух
определениях:
а) п + 1 = /г'; б) п + т' = (п + т)\ логически
устанавливается пять основных свойств (законов) суммы:
1) существование и единственность суммы для любых
натуральных чисел;
2) коммутативность;
3) ассоциативность;
4) аддитивность;
5) монотонность.
Операция, обратная сложению, а-\- х = Ь, выполнима с
ограничением: для решения необходимо и достаточно, чтобы Ь > а.
2. Для разрешимости без ограничения рассмотренной обратной
операции логически создается обобщающее понятие натуральных
чисел — понятие целых чисел и их суммы на диалектически допол-
120

няемых определениях: а) с + О = с\ с + 1= с'\ б) с + 'k = '(c+k).
На основе этих пяти определений логически устанавливается, что
пять основных свойств (законов) суммы натуральных чисел
полностью сохраняются в сконструированном обобщенном множестве
целых чисел, и а + х = b разрешимо без ограничений: х = b — а
независимо от того, будет ли b > a, b = а или b <а.
§ 2. Возникновение и развитие понятия произведения чисел
1. Понятие произведения натуральных чисел основывается на
двух определениях: а) п - 1 = л; б) п • т! = пт + п. Логически
устанавливаются шесть основных свойств (законов) произведения:
1) существование и единственность произведения для любых
натуральных чисел;
2) коммутативность произведения;
3) ассоциативность произведения;
4) дистрибутивность произведения;
5) мультипликативность произведения;
6) монотонность произведения.
Множество целых чисел образует числовое кольцо.
Операция, обратная умножению, ах = Ь, выполнима с
ограничением; для решения необходимо и достаточно, чтобы b было
кратно а, и неразрешима, если b не кратно а.
2. Для разрешимости этой обратной операции без ограничений
создается обобщающее понятие целых чисел — понятие
рациональных чисел и их сумм и произведений на дополняемых определениях:
а) сумма на одном диалектическом определении* (а\ с) + (Ь; с) =
= (а + Ъ\ с), так что при с = 1 имеем: (а\ 1) + (6; 1) = {а + Ь\ 1),
т. е. переходим к предшествующему множеству целых чисел.
На этих же шести определениях логически устанавливается,
что пять основных свойств (законов) суммы сохраняются и во
множестве рациональных чисел, и а + х = b разрешимо без бывших
ограничений; х = b — а.
б) произведение на одном диалектическом определении
(а; сг) • (Ь\ с2) = (ab\ qc2), так что при сг = с2 = 1 имеем:
(а\ 1) • (Ь; 1) = (ab\ 1) = ab, т. е. переходим к предшествующему
множеству целых чисел.
На основе новых определений логически устанавливается
сохраняемость шести основных свойств (законов) произведения и
разрешимость без ограничений обратной операции умножения, т. е.
х • а = Ь, в виде х = b : а, независимо от того, является или не
является b кратным числу а. Устанавливается, что множество
рациональных чисел образует числовое поле.
* См. «Арифметика рациональных чисел», стр. 239.
121

§ 3. Возникновение и развитие понятия возведения
в п-ю степень
1. Понятие степени с натуральным показателем возникает из
двух определений: а) ап = а • а • а • ... • а; б) а1 = а, где а —
п сомнож.
рациональное число.
На основе этих двух определений логически устанавливается
пять основных свойств (законов) операций со степенью:
1) существование и единственность ап\
2) умножение степеней по правилу ап • ат = ап + т ;
3) возведение степени в степень по правилу {ап)т = апт\
4) I монотонности — если а > 6, то ап > Ъп\
5) II монотонности — если т > п и а > 1, то ат > ап.
Обратная операция умножения степеней ах • ап = ат9 или
а*+л = а™, выполнима с ограничением, когда т> п, и
невыполнима при т ^ п.
Для выполнения этой операции без ограничений логически
создается обобщение понятия степени с натуральным показателем
в виде степени с целым показателем, дополняя определение двумя
новыми диалектическими определениями: 1) а0 = 1; 2) агп =— ,
ап
где п — натуральное число, и логически устанавливается, что при
этом расширении понятия степени остаются те же пять основных
свойств (законов) степенирования и при обобщенных операциях
степени.
§ 4. Возникновение и развитие понятия корня я-й степени
из неотрицательного рационального числа
Корнем n-й степени из данного неотрицательного рационального
числа г называется число х, если хп = г, что записывается и иначе:
х = |/7, и г называется числом под корнем.
Отметим на примере: может быть случай, когда корень из
рационального неотрицательного числа может иметь два значения;
легко видеть, что 1^16 = 2 и уОб = —2, так как оба числа
удовлетворяют определению корня. Желая сделать ограничения,
чтобы не было этой двузначности, вводят понятие арифметического
корня.
Определение. Корнем п-й степени из неотрицательного
рационального числа называется неотрицательное число, п-я степень
которого дает данное подкоренное число. Тогда арифметический
корень ^16 будет только число 2.
На основе принятых определений логически устанавливается,
что арифметический корень из неотрицательного рационального
числа существует в множестве рациональных чисел с ограничением,
122

а именно >/7~ существует г19 если г\ = г, и не существует, если
А фг (например, J/2 =^ г1э так как г\ ф 2).
Создается обобщение понятия рационального числа введением
понятия действительного числа с его двумя видами — рациональным
и иррациональным числом. На основе нового определения степени
логически устанавливается, что в множестве действительных чисел
сохраняются:
1) пять основных свойств (законов) суммы любых
действительных чисел;
2) шесть основных свойств (законов) произведения любых
действительных чисел; устанавливается, что множество действительных
чисел образует числовое поле; 3) пять основных свойств (законов)
для степени аь при любых действительных а и ft.
Теперь разрешается без ограничений уравнение хп = d > 0 во
множестве действительных чисел, имеем: арифметический корень
х = -/d = иррац. ч. > 0 (раньше х = Yd = рац. ч.).
Например: 1) х2 = 2, не существует х, равного рациональному
числу, но есть х = "1/2 = 1,414 ... (бесконечная десятичная
непериодическая дробь);
2) х100 = 5, не существует х, равного рациональному числу,
7'" —
5 = 1,175 ... (бесконечная десятичная
непериодическая дробь);
3) х2 = V2t=*x = VVT== 1/17414... = 1,189 ...
Но неразрешимо в множестве действительных чисел хп =d, d< О,
если п = 2т; например, х2 = —2, нет х в виде действительного
числа.
§ 5. Возникновение и развитие понятия корня п-\\ степени
из любого действительного числа
Для выполнимости этой операции логически обобщается
понятие действительного числа введением понятия комплексного числа,
данного в нашем курсе.
В множестве комплексных чисел логически устанавливается
сохраняемость:
1) четырех основных свойств (законов) суммы любых
комплексных чисел, кроме пятого свойства — монотонности, так как
в множестве комплексных чисел нет понятий «больше»,
«меньше»;
2) пяти основных свойств (законов) произведения любых
комплексных чисел, кроме шестого свойства — монотонности (по
тому Же). Устанавливается, что множество комплексных чисел
образует числовое поле, в которое входит как подполе множество дейст-
123

вительных чисел, а в последнее входит как подполе множество
рациональных чисел;
3) трех основных свойств (законов) степени, за исключением
четвертого и пятого, относящихся к монотонности, так как во
множестве комплексных чисел нет понятий «больше» и «меньше».
Теперь разрешимо любое уравнение вида хп = d, тогда как
раньше разрешимо было только вида хп = d ^ 0. В самом деле:
х = ^d = а+ i • b.
Например: 1) я8 = 1; х = -j/l = y^cos 0 + i sin 0 =
з .
у cos 2nk+ i sin 2nk .
Откуда
2я& . . . 2я& 1 г\ л c\
x = cos 1- i sin , где k = 0; l; 2.
О О
УТ=1,
1 , i V~3
2 '
з
1 i УЪ
2 z
з з
2) хъ = — 1; x = У — 1 = у cos я + i sin тс =
= j/cos (я + 2nk) + / sin (л + 2nk).
г* я + 2я& . . . я -f- 2я& * ^ i л
Откуда х = cos -—- \-1 sin —I- , где k = 0; 1; 2.
3 3
2 2
1 i /3
V-\ =
§ 6. Возникновение и развитие понятия корня п-й степени
из любого комплексного числа
В нашем курсе развита теория комплексных чисел и операций
сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень
и извлечения корня п-й степени. В связи с этим развиты приемы
передавания комплексных чисел в трех формах:
1) алгебраической а + Ы\
2) тригонометрической р (cos а + / sin а), где
р = |^+Т2;
124

3) аналитической ep+ott = / • (cos a + i sin a) =
= p (cos a + i sin a), где p = $ .
Переходы от одной формы задания комплексного числа к
остальным:
1) Переход от 1-й ко 2-й:
а , . Ь
а + Ы = Va2 + b2
2) Переход от 1-й к 3-й:
]/а2 + b2 У а2 + Ь2
а+Ы = Va2 + b2
+ i-
\Р Р/
= р (cos a + i sin a), где a = p cos a; b = p sin a.
Пример, x2 = 6 + « = ]/62 + 82. (- + i-] « 10 (cos 53°8' +
+ i sin 53°8');
xx « ]Л0 (cos 26°34' + i sin 26°34') ж 3,162 (0,8945 + 0,4478) да
да 2,7 + 1,422/; x2 да —2,728 — 0,428/.
§ 7. Схема расширения понятия числа: от натурального —
к целому, рациональному, алгебраическому, действительному—
до комплексного числа
В каждом круге мыслится
множество точек, эквивалентное
множествам (рис. 34):
В концентрических кольцах
кругов мыслятся множества
точек, эквивалентные множествам:
Рис. 34
126

I. Натуральных чисел.
II. Целых чисел.
III. Рациональных чисел.
IV. Алгебраических
действительных чисел.
V. Действительных чисел
(всех).
VI. Алгебраических
комплексных чисел.
VII. Комплексных чисел
(всех).
I—II. Неположительных
целых чисел.
III—IV. Иррациональных
ал гебр аических чисел.
IV—V. Трансцендентных
действительных чисел.
V—VI. Алгебраических
мнимых чисел.
VI—VII. Трансцендентных
комплексных чисел.
Глава VIII.
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПРЕДЛОЖЕННАЯ
ВЕЙЕРШТРАССОМ
§ 1. Жизнь и творчество Карла Вейерштрасса
Карл-Теодор-Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897)
родился в Остенфельде (Вестфалия) в семье бюргейместера, который
был заведующим местным казначейством. Образование Карл
получил в гимназии Падерборне, которую закончил в 1894 г. Тогда же
поступил в Боннский университет, где занимался юридическими
науками. В Бонне он не проявил почти никаких математических
увлечений. Там преподавал математику Мюнхов, представитель
старой школы, объединявший астрономию, математику и физику.
Гораздо больше Вейерштрасс получил от самостоятельного
изучения науки в процессе самообразования, изучая то новое, что
появлялось в знаменитом журнале К р е л л я (1780—1855). В нем
появились работы Карла Я к о б и (1804—1851), привлекшие
внимание Вейерштрасса, а также он увлекался статьями Якоба Штей-
н е р а (1796—1863). Одновременно с вышеуказанным Вейерштрасс
был активен и в «Corps Saxonio», где каждый вечер он бывал одним
из посетителей; его можно было всегда встретить в фехтовальном
зале. Узнав, что в Мюнстерской Академии разрабатывает теорию
эллиптических функций профессор Ш. Гудерман (1798—1852),
Вейерштрасс прерывает учение в Бонне и переселяется в Мюнстер.
Вейерштрасс слушал лекции Гудермана в 1839/40 уч. году и в 1841
году подал свою работу на звание преподавателя математики взяв
тему «О разложении модулярных функций». Гудерман дал
лестный отзыв об этой работе: «Этой работой кандидат вступает в ка-
126

честве полноправного члена в семью увенчанных славой творцов
науки».
Для Вейерштрасса защита вышеназванной работы имела
значение: он был допущен к пробным урокам в местной гимназии. В
начале следующего года Вейерштрасс приглашается учителем в
прогимназию Дейч-Кроне (Пруссия) и через год был утвержден
штатным преподавателем этой прогимназии. Здесь он преподает
арифметику, геометрию, физику, химию, ботанику и гимнастику.
Вейерштрасс добросовестно трудится как учитель, отдавая 30 часов в
неделю школе.
Находясь в качестве учителя прогимназии в Дейч-Кроне, а
потом гимназии в Браунсберге, удаленных от центра математической
современной ему культуры, Вейерштрасс упорно и систематически
занимается исследованиями в самых сложных вопросах,
поставленных в математике его времени.
Так, в 1843 г. в отчете прогимназии в Дейч-Кроне он печатает
статью «Замечания об аналитических факториалах»; в 1849 г. в
отчете гимназии Браунсберга появляется мемуар «О свойствах
четырех периодов гиперэллиптических интегралов первого и
второго рода». В упомянутом выше журнале математика Крелля
печатается мемуар Вейерштрасса «К теории абелевых
интегралов»— он разрешает проблему обращения гиперэллиптических
интегралов.
На появившиеся многие математические исследования и
открытия Вейерштрасса обратили внимание передовые профессора и
академики, в частности профессор математики Кенигсбергского
университета Ф. Р и ш е л о (1808—1875). По его предложению Ученый
совет Кенигсбергского университета в 1854 г. присуждает Вейерш-
трассу степень доктора наук honoris causa. Через два года, в 1856 г.,
в Берлине открылся новый институт — Технологический, в который
получает назначение Вейерштрасс в качестве преподавателя
высшей математики. Вейерштрасс переезжает из провинции, в
которой он пробыл 18 лет, в качестве учителя школы, а потом
прибывает в столичный город Берлин. Он читает 12 лекций в неделю:
шесть по аналитической геометрии и шесть по математическому
анализу. В том же году Вейерштрасс приглашается в
университет в качестве экстраординарного профессора, с этого времени
Вейерштрасс получил возможность отдаться всецело науке и
вскоре оказался во главе новой, им созданной математической
школы. Вейерштрасс первым объявил полную строгость
математического доказательства, сделав это основным девизом своей
школы.
В 1857 г. Карл Вейерштрасс избирается членом Берлинской
Академии наук. При вступлении в это звание Вейерштрасс
произнес речь: «Мне представляется, что между математикой и
естествознанием должны быть установлены более глубокие
взаимоотношения, чем те, которые имеют место. Если бы, например, физика
видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть
127

даже необходимую, а математика рассматривала вопросы,
выдвигаемые физикам, только как обильное собрание примеров для своих
методов .... Я верю, что будет найдено еще много функций с
такими свойствами, как, например, знаменитые тета-функции Якоби,
с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько
квадратов разлагается любое заданное число, что позволяет
спрямить дугу эллипса, с другой стороны, они дают возможность найти
истинный закон колебаний маятника». «Сказанное показывает,
что Вейерштрасс не стоял в стороне от приложений математики и
ни в какой мере от них не отмежевывался», — пишет Феликс Клейн.
Школа Вейерштрасса была школой единства глубокой абстрактной
теории и широкой реальной действительности. Вейерштрасс читал
свои лекции перед все время растущей аудиторией в Берлинском
университете.
С 1864 г. Вейерштрасс становится ординарным профессором
Университета. Постепенно он завоевал непререкаемый авторитет
во всем научном мире. В юбилейный день семидесятилетия
Вейерштрасса, 31 октября 1885 г., прибыли из всех культурных центров
мира передовые творцы математической науки. Вейерштрассу был
поднесен мраморный бюст — художественное изваяние образа
Вейерштрасса и золотая медаль с выбитым его портретом от почитателей
его таланта и многочисленных учеников: С. В. Ковалевской, Г. Мит-
таг-Леффлера, Шварца, Фукса, Брунса, Шотки. Он получил
большое число поздравительных телеграмм, адресов и приветствий.
День был закончен праздничным дружественным обедом, на
котором велись интересные воспоминания о прошлом и мечты о
ближайшем будущем математической науки. «Итог» был подведен в
Париже академиком Шарлем Э р м и т о м (1822—1901), закончившим
речь словами: «Вейерштрасс — учитель нас всех».
Вейерштрасс создает школу, где закладываются основы
современной общей теории функций комплексного переменного, и
глубоко ее разрабатывает. Тонкие и сложные задачи, на которых были
сосредоточены научные интересы Вейерштрасса, требовали особой
точности методов. Строгость курсов Вейерштрасса стала образцом
для подражания. Так, например, введенное им понятие
равномерной сходимости функционального ряда входит в обязательный курс
современного математического анализа.
Вейерштрасс развивал не формально современную теорию
функций, а раскрывал скрытые качественные свойства: непрерывность,
существование производных, существование непрерывных
функций, не имеющих производных ни в одной точке. Он дает точные
средства для построения эллиптических и гиперэллиптических
функций.
Строгое развитие теории функций имеет в школе Вейерштрасса
своим началом научное построение теории иррациональных чисел.
Имеется интересное свидетельство харьковского профессора Тихо-
мандрицкого Матвея Александровича (1844—1921),
который посетил занятия Вейерштрасса в 1885 г.
128

«Занятия начались в громадном зале при тысяче слушателей,
состоявших из преподавателей университетов и институтов,
учителей гимназий, лицеев и колледжей и студентов высших школ,
прибывших из десятков государств.
Первая лекция была посвящена деталям систематического
изложения первой теории иррационального числа, разработанной Вейер-
штрассом. Лекция большинству слушателей показалась
малоинтересной. И я был свидетелем следующего: после первой лекции
громадный зал опустел. Вейерштрасс перешел продолжать лекции
в меньшую аудиторию, которая вмещала не более 150—200
слушателей, и то далеко не была полна. Вейерштрасс читал сидя в кресле
около классной доски, на которой писал и вел вычисления студент
под диктовку семидесятилетнего академика. Читал он не спешно
и достаточно громко». При этом Вейерштрасс стоял на строго
арифметической точке зрения без какой-либо примеси представлений
геометрических и топологических элементов. Так Вейерштрасс от
научного построения теории числа восходил к строгому
построению теории функций.
К сожалению, Вейерштрасс не оставил ни в печатных, ни в
рукописных работах следов развития иррациональных чисел.
Имеются следующие книги, посвященные Вейерштрассу и его
работам:
1) Слушатель Вейерштрасса Е. К о с с а к (1839—1892)
напечатал «Programm abhandlung des Friedrich-Werdeschen Gimnasiums
zu Berlin «Die Elemente der Arithraetik», Berlin, 1872.
2) Dantscher Victor von «Vorlesungen tiber die Weerstrasschen.
Theorie der irrationalen Zahlen», Leipzig, 1908.
3) П и p о ж к о в М. В. «Арифметика иррациональных чисел
по Вейерштрассу», СПб., 1898.
На основе этих документов нами дается представление об учении
Вейерштрасса о числе.
В последнее десятилетие жизни маститый ученый, бывший
холостым и проживавший с двумя сестрами Кларой и Елизаветой,
почти не мог выходить из дому; ежедневно у него собирались по
очереди его берлинские ученики — доценты и молодые профессора.
Восьмидесятилетний юбилей был нерадостным, так как Вейерштрасс
был прикован роковой болезнью к креслу: собрались только
ближайшие ученики и почитатели, был поднесен адрес от Общества
немецких математиков. Ко дню юбилея император Вильгельм в
воздаяние ученых заслуг Карла Вейерштрасса приказал создать
художественный портрет Вейерштрасса для потомства с хранением
его в Национальном музее.
Карл Вейерштрасс умер в 1897 г. Он остался бессмертным в
памяти поколений.
129

§ 2. Теория действительных чисел как бесконечных десятичных
рядов
1. Понятие числового ряда.
Определение. Рядом называется выражение вида:
С0 + Сг + С2 + Cs + ... + Сп + ... , где любое Ct есть
рациональное число, называемое i-тым членом ряда, и где нет последнего
члена.
Замечание. Если в ряде все члены начиная с Ch равны
нулю, то ряд называется конечным.
Определение. Действительным числом называется
десятичный ряд вида:
а 4- — 4- — 4- — 4- — -I- 4- — 4-
0 10 102 103 104 "' юп ""'
где а0 — любое целое неотрицательное число, а числители аь —
целые числа, ограниченные соотношением 0 ^ at ^ 9, т. е. могущие
иметь только десять значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причем
исключено повторение 9 бесконечное множество раз.
Обозначение действительного числа:
а) полное:
0 Ф 10 ~*~ 102 Т" 10з ~*~ Ш4 "Г '" "*" юл "*" -
б) краткое (условное):
а$, а^а2а3а^ ... ап ... ,
где каждое аь начиная с ах, называется цифрой.
в) наикратчайшее — большой заглавной (любой) буквой:
А, А19 А2, ... , Ап ... или D, Dl9 D2, ... , Dn ...
Определение. Заданным действительным числом
называется действительное число, у которого все цифры известны.
Например:
Аг = 5,1Ш ..• 1...
А2 = 12,212121 ...21 ...
Аг = 25,123456777 ... 7 ...
Л4 = 102,987654325325325 ... 325 ...
2. Равенство действительных чисел.
Определение. Равными действительными числами
называются числа, имеющие тождественную десятичную структуру.
Например, А = а0, аг а2 а3 ... ап равно В = Ь0, Ъг Ь2 Ьв ... Ьп... ,
если а0 = Ь0, ах = Ь1э а2 = Ъ2, а3 = bs ... ап = Ьп...
130

Следствия из определения равенств:
1) Рефлексивность. А = А или a0f аг а2 а3 ... ап ... =
= а0, ах а2 а3 ... ап ... (так как удовлетворяет определению
равенства).
Следовательно, действительное число равно самому себе.
2) Симметричность. Если Л = В, то и В = Л, или если
а0) ах а2 а3... ап ... = Ь0у Ьх Ъ2 Ь3 ... Ьп ... , то и &0, Ьх Ь2 Ь3 ... &~
... = #о, #1 #2 #3 ••• Яп ...
Доказательство:
а) из данного следует: а0 = Ь0, ах = blf а2 = b2, ci3 = Ь3, ..., ап=
= &п...;
б) из полученного Ь0 = я0, Ьх = аь &2 = ^2» ^з = Яз» ••• » &п =
= ап> ... ; (свойство взаимности во множестве целых чисел,
рассмотренное в книге «Арифметика рациональных чисел»);
в) из последнего Ь0, Ьг Ь2 Ь3 ... Ьп ... = а0у ах а2 а3 ... ап ...
3) Транзитивность. Если Л = В и В = С, то Л = С, или, если
д0, ах а2а3 ... a„ = fr0, Ьх Ь2 &з ... Ьп ... и
b0, &1 &2 &з •.. Ь„ ... = с0, с± с2 с3 ... сп ... , то
#о, flj_ 6^2 #з ••• ап ••• = ^о» ci сг ^з ••• сл •••
Доказательство
Из условия следует:
а) а0 = &0, ах = Ьи а2 = &2, я3 = &з> • •• > ап = V,
б) l?0 == ^0» ^1 == ^1» ^2 == ^2» ^3 == С3» ••• » 0« = ^W» •••
Сопоставляя а) и б), имеем:
а0 = ^0> ^1 == ^1» ^2 == ^2» ^3 == ^3» ••• * &п = Сп *••
(свойство транзитивности во множестве целых чисел);
Из последнего а0, аг а2а3 ... ап ... = с0У сгс2с3 ... сп ... (определен
ние равенства).
3. Неравные действительные числа.
Определение. Не разными действительными числами
называются действительные числа, не имеющие тождественной
десятичной структуры (имеющие хотя бы один нетождественный член
одинакового номера).
Следствия.
1) Взаимность понятия неравных чисел. Если Л ф В, то В ф Л,
или если а0а1 ага3 ... ап ... Ф b0bL Ьг Ь3 ... Ьп ... , то
и Ь09 Ьх Ьг Ь3 ... Ьп ... ф а0 аг а2 аъ ... ап ... (следует из
определения).
131

2) Неравные числа не обладают свойством транзитивности, т. е.
из того, что а0, аг а2 а3 ... ап ... Ф b0, b± b2 Ь3 ... Ьп ...
и b0, &i b2 b3 ... bn ... Ф с0, сг с2 с3 ... сп ... , то соотношение между
а0, ага2а3 ... ап ... и с0, с1с2с3 ... сп ... неизвестно, что
доказывается хотя бы двумя подобранными примерами, из которых один
в результате дает неравенство, другой равенство. В самом деле,
пусть дано:
1) 3,456777 ... Ф 2,4567444 ... 4 (определение неравенства),
2,456744 ... \Ф 15,15721212 ... 12 (определение неравенства),
3,456777 ... 7 Ф 15,15721212 ... 12 (определение неравенства).
2) 3,456777 ... 1 Ф 2,4567444 ... 4 (определение неравенства),
2,4567444 ... 4 Ф 3,456777 ... 7 ... (определение неравенства), но
3,456777 ... = 3,456777 ... 7 ... (определение равенства).
4. Понятие «меньше» («больше») в множестве действительных
чисел.
Определение. Число А = а0, ах а2 а3 ... ап ... называют
меньшим числа В = Ь0, Ьх Ъ2Ъ3 ... Ьп ... в том случае, если
1) а0 < Ь& независимо от соотношения остальных ai и Ъ1У где
п > 1;
2) при равенстве а0 = Ь0 первая цифра ah <bk и безразличном
соотношении следующих за ah и bk цифр, что записывается так:
А < В или В > Л.
Определе н и е. Приблиоюенным значением
действительного числа А = а0, ах а2а3 ... апап+1 ... называется:
1) рациональное число Ап = а0, ах а2 а3 ... ап с точностью до
— с недостатком:
10'*
2) рациональное число Ап = а0, ага2а3 ... ап с точностью до —
с избытком, где ап' = ап + 1.
Примеры.
А = 35,010010001 ... Его приближения:
А0 = 35; А'0 = 36;
А1 = 35,0 = 35; А[ = 35,1;
Л2 = 35,01; Л2 = 35,02;
А3 = 35,010 = 35,01; А'3 = 35,011;
Л4 = 35,0100 = 35,01; А\ = 35,0101;
А5 = 35,01001; Л; = 35,01002.
Легко заметить, что:
1) приближенные числа, взятые с избытком, идут не
увеличиваясь:
Л о > А[ > Л 2 > А'ъ > А'АР ... > Л^+1 (предлагается
доказать читателю);
J 32

2) приближенные числа, взятые с недостатком, идут не
уменьшаясь:
А-0 ^ ^1 ^ ^2 ^ Аз ^ ••¦ ^ Ah ^ ^ft+l*
Следствие. Если Ап = Вп при любом п Ф О, то Л = В,
и, обратно, если А = В, то Лп = В„ при любом п (предлагается
доказать читателю).
Следствия из определения понятий «меньше» («больше»):
1) Антивзаимность. Если А < В, то В > А (основное
определение «меньше», «больше»),
2) Транзитивность понятия «меньше» («больше»).
Если А < В и В < С, то А < С.
Доказательство
1) А = а0, аг а2аз ¦•> ап •- •
2) В = Ь01 ЬгЬ2Ь3 ...Ьп ... .
3) С = с0, сх с2 с3 ... с„ ... . (дано).
4) А < В => а0 < Ь0, aL < ftlf ... , aft < 6Л> а Л+1< bk+1.
5) В < С =ф Ь0 < с0, &! < q, ... , &ft < ck, bh+1 < cft+1 (при
безразличном соотношении далее следуемых цифр).
6) Из 4) и 5): aQ < cQy аг < си ... , яА < ?ft , aft+1 < cfc+1.
7) Из последнего следует: Л < С (определение и
транзитивность).
5. Свойства действительных чисел и их приближений:
I. Если А > В, то при всяком п целом неотрицательном числе
имеем:
ап > вп и л; > в;.
Доказательство
1) Имеем: Л = а0, ах а2 Дз -•» ап -••
и В = Ь0, 6Х Ь2Ь3 ... Ьп ... .
2) Из данного А > В следует, что это бывает только в двух
случаях: 1-й случай, когда aQ > Ь0 и безразличном соотношении
между следующими цифрами (определение). Тогда имеем, что при
любом п Ап > Вп. 2-й случай, когда а0 = Ь0; а± = Ьг; аъ = 62; ...
ak = frft, но ah+1 > 6ft+1 и безразличии в соотношении следующих
цифр (определение).
Из этого следует, что Ап ^ Вп.
II. Если Л > В, то найдется такое целое неотрицательное
число /г, что Ап > Вп'.
Доказательство
1) Из Л > В =ф, что существует /7-е приближение, что Ар > Вр.
Если на р + 1-м месте в числе В стоит цифра, отличная от 9, то
Ар+1 > вр-И-
133

Тогда, обозначая р + 1 = /г, имеем: Ап > Вп.
2) Но если на р + 1-м месте в числе В стоит цифра 9, то этого
сделать нельзя. Тогда надо остановиться на первой цифре,
отличной от 9, а она всегда найдется, так как при определении
действительного числа был исключен период 9 (повторяемость 9 без конца)
(определение). Пусть это найдено при цифре /и, тогда т + 1 < 9.
Тогда имеем: Ат > Вт, следующее будет Ат+1 > Вт+1> что
обозначим т + 1 = п, тогда Ап> В'п.
Тем самым II доказано.
III. Если действительные положительные числа А и В таковы,
что при некотором целом неотрицательном числе п имеем
приближение Ап > Вп, то А > В (определение).
IV. Ап <; А < А'п, где А — положительное число
(определение VI).
V. Если А < В, то Ап <! Вп и А'п < В'п при любом п
(определение).
Следствие. Если А < В, то Ап ^ Вп и А'п < В'п при
любом п (определение).
6. Основная теорема, характеризующая непрерывность множества
действительных чисел.
Если имеются два множества Rx и R2 рациональных чисел,
обладающих двумя свойствами: 1) каждое число множества /?х не
больше каждого числа множества R2 и 2) для любого данного
действительного положительного числа е найдутся числа q в множестве
/?2 и р в множестве Rx такие, что q — р <е, то можно
сконструировать действительное число А и притом единственное, которое не
меньше (^) каждого числа множества Rx и не больше «[) каждого
числа множества R2.
1. Доказательство существования А.
1) Возьмем любое число q1 из множества R2.
2) Отметим, что существует целое число ft, обладающее
свойством ft ^ qx < ft + 1 (основание: если q± целое, то qx = ft, а если q1
дробное, то существует целое ft <qx).
3) Итак, имеем промежуток от целого числа ft до целого числа
ft + 1, который состоит из ft + 1 целых единичных промежутков:
1-й | от ft до ft + I |
2-й | от ft +1 до/И- 2 |
3-й | от ft + 2 до ft + 3 |
я-й | от (п — 1) до п |
(п + 1)-й | от п до (п + 1) |
ft-й | от (ft — 1) до ft |
134

(Это можно интерпретировать на числовой прямой.)
4) Отметим цх между k и k + 1.
б) Так как р как угодно близко находится около точки q (на
основании 2)), то существует последний промежуток, в котором
находится число множества Rlt оно начинается с целой части,
пусть промежутка ft0, тогда каждое число множества Rx будет
меньше k0 + 1.
6) Образовался отрезок [fe0, kQ + 1], который разделили ца
10 новых равных отрезков.
Итак, имеем десять промежутков:
1) от?0 до?0+-;
2) от kQ + I до k0 + 1;
3) от k0 + ^ до fe0 + Ь,
4) от ?0 + 1 до fe0 + 1;
5) от k0 + 1 до 60 + 1;
ejorAb + i до^0+^;
7)отй0+^ доА^+1;
8) ОТ k0 + 1 ДО fe0 + 1;
9) от fe0 + ~ до ft0 + i;
10) от ?0+^ до ?0+1.
7) Пусть будет последний промежуток, где находится число
в множестве R> будет k0 + -Ц где fet одна из цифр (0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9). Тогда каждое число, входящее во множество Rlt бу-
U I *1 + 1
дет меньше я 0+ .
° 10
Так получили отрезок \k0 + -± ; fe0 + * + 1,
й разделим на 10 новых отрез
10
который разделим на 10 новых отрезков. Имеем десять
промежутков:
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
от k0 + k± + JL до kQ + k-±- + —];
0 10 10* ° 10 102'
135

7-й far ft» + &- + — до ft0 + h. + 1V
^ о 10 102 ° ' 10 ' 102/
8-й (от ft0 + &- + — flpft- + *L+JU
V ° io юг ° ^ io ^ lov
9-й (от ft0 + ^-+ — до ft0 + ^- +-);
I ° io io2 ° 10 102j
10
1.Й ^orfto + ^+^j до ft.+ *!+!);
ft к
стве /?1э будет &0 + т^" + т? * Тогда каждое из чисел /?х будет
8) Пусть последний промежуток, где находится число в множе-
ю Ю2
меньше k0 + Ь. + кл±1 ,
0 ю ю2
Получился новый отрезок \kQ + ^ + ^2; k0 + ^ + ^г\>
который разделим на 10 новых отрезков.
9) Итак, будем продолжать процесс без конца. При таком
процессе у нас возникает десятичный ряд вида:
k + b, + h + ... + ** + ... =А
0 10 102 10*
Отметим, что каждое из чисел будет меньше как угодно большего
приближения к Л.
10) Это сконструированное действительное число А
удовлетворяет условию вышеобъявленной основной теоремы, т. е. А не
меньше каждого числа множества Rx и не больше каждого числа
множества R2y что интуитивно ясно из самого вышерассмотренного
процесса конструирования числа Л.
2. Доказательство единственности числа А.
1. Допустим, что, кроме Л, существует действительное число,
обладающее тем же свойством, что и Л, причем А > В.
2. Имеем: Ат > Вт (основание — вышеустановленное
следствие).
3. Имеем: Л ^ Ат (определение).
4. Дополним последнее соотношением 2: Л ^ Ат > В'т> В
(основание транзитивность).
5. Дополним следствием основной теоремы:
q > Л > Ат > В'т > В > р.
6. Из соотношения 5-го &=><7 — р > Ат — В'м (транзитивность).
7. Примем е = Ат — В'т.
8. Из 6) и 7) q — р > Ат — В'т = е (транзитивность).
136

9. Из последнего q — р >& (транзитивность), а по условию
основной теоремы имеем: q— р <е; образовалось противоречие.
Надо отбросить допущение, что существует ?, тем самым следует
доказанность единственности существования числа Л.
7. Два вида действительных чисел
1) Действительные числа вида
а0У аг а2 а3 ••• ah Ъг Ь2 Ь3 ... Ьп Ьх Ъ2 Ь3 ... ЬпЬх Ъ2 br... Ьп ... =
= #0, а1а2а3 ... ah (bx b2b3 ... bn) называются рациональными чис-
лами\ а1а2а3 ... ah называется допериодической частью, а
b1b2b3...bn — периодом, который в таком составе и порядке
цифр повторяется без конца (что записывается в скобках).
Например: 1-го вида рациональное число 53,126000...0... (цифра
нуль повторяется без конца);
158,111... 1... (цифра единица повторяется без конца);
160,252525...25... (множество двух цифр 2 и 5 в одном порядке
повторяется без конца);
80,001001001...001 ... (множество цифр 0, 0 и 1 в одном порядке
повторяется без конца).
2) Иррациональные числа как особый вид действительных
чисел, где нет периодически повторяющихся одних и тех же цифр в
том же порядке, что обозначается символом w — произвольного
иррационального числа.
Например: w = 16,101001000100001...1000...01..., где между
единицами стоят нули, причем столько нулей, какова по счету была
единица; так, после первой единицы стоит один нуль, после второй
единицы —два нуля и т.д., после /г-й единицы — п нулей. Итак,
по такому закону число состоит из двух цифр — единицы и нуля,
причем закон образования цифр таков, что в нем не может быть
повторяемости их.
Можно передать граф, дающий представление о взаимной связи
всех действительных чисел и их особых видов рациональных и
иррациональных чисел (рис. 35). Все
множество точек, входящих в круг радиуса OD,
интерпретирует бесконечное множество
действительных чисел, круг радиуса OR —
бесконечное множество рациональных чисел, а в
круговом кольце между кругами OD и OR
интерпретируется бесконечное множество
иррациональных чисел.
Теория сложения действительных чисел
Определение. Суммой А =
= а0,а1а2а3...ап... и В = b0ib1b2b3... bn ...
называется число х, которое не меньше Рис. 35
137

каждой из сумм А0 + 50; А1 + Вг\ А2 + В2; Л3 + В3\ ...; Ап+
+ Вп\ ... и не больше каждой из сумм A'Q + В'0\ А\ + В\\ А'2 +
+ В'2;Аз+Вг\...\Ап+ Вп\ ...
Такое число х (и при этом единственное) существует, по
основной теореме; обозначим х = А + В.
Четыре основных свойства суммы:
1) А + В = В -|- А. (Переместительность (коммутативность)).
Доказательство
1) Ап + Вп = Вп + Ап (переместительность в множестве
рациональных чисел, что доказано, например, в книге Андронова
И. К. и Окунева А. К., стр. 244).
2) Ап + Вп = Вп + Ап (те же основания).
3) По основной теореме А + В не меньше каждой из сумм:
А0 + В0; А± + Вг\ Л2 + В2; ... ; Ап + Вп\ ...
и не больше каждой из сумм:
Ло + Во; А\ + В\\ А2 + В'2\ ... ; Ап + Вп\ ...
А потому на основе установленного в 2) факта, что число А + В
не меньше каждой из сумм
В0 + Л0; В, + А±; В2 + Л2; В3 + Л3; ... ; Вп + Ап
и не больше каждой из сумм:
Во + Ло; В[ + А{\ В2 + А2\ Вз + Лз; ... ; В'п + А'п
следует единственность существования Л + В, а потому Л + В =
= В + Л.
2) (Л + Я) + С = Л+ (Я + С). (Ассоциативность).
Доказательство
Имеем: Ап + Вп < Л + В < 4* + Вп; Сп < С < С^, Ля <
< Л < Ап, Вп + Сп < В + С < В'п + Сп.
Откуда
(Л, + Вп) + Сп^(А + В) + С < (Ап + Вп) + Сп;
Ап + (Вп + Сп)^А + (В + С) <А'п + (Вп + Сп).
А так как числа Лп, Вп, СПУ Ап, Вп, Сп рациональные, то имеем:
(Ап + Вп) + Сп = Ап + (Вп + Сп) = Ап + Вп + Сп
(что доказано раньше).
(Ап + Вп) + С'п = Ап'+ (Вп + Сп) = Ап + Вп + Сп.
Итак, каждое из чисел
(Л + В) + С и Л + (В + С)
138

не меньше каждого из чисел
А0 + В0 + С0; Ах + Вх + Сг; А2 + В2 + С2; ... ; А'„ + В'п + Сп
и не больше каждого из чисел
Ло + Во + Со; А\ + В\ + С\; А2 + В2 + С2; ... ;
Будем иметь:
(Ап+ В'п + С'п) - (Ап + Вп + Сп) = А < ± <в(р) <
<е, где п > р.
По основной теореме имеем, с одной стороны, (А + В) + С, а с
другой, Л + (В + С), но по основной теореме существует
единственное число, а потому (А + В) + С = А + (В + С).
3) Если А = В, то А + С = В + С (Аддитивность.)
Доказательство
Л = В *=> Ап = Вп и ^ = в;^4 + Сп = Вл + Сл и
Лл + С„ = Бл + Сп (аддитивность в множестве рациональных
чисел).
По основной теореме Л + С не меньше каждой из сумм
А'о + Со; А[ + С\\ А2 + С2\ ... ; А'п + Сп\ ... и не больше
каждой из сумм
А'о + Со; Ах + C'i; А'2 + С2\ ... ; Ап + С^; ...
Следовательно, на основании вышеприведенных равенств и
следствия из них В + С не меньше каждой из сумм Б0 + С0; Вх + Сг;
В2 + С2; ... ; Вя + Сп и не больше каждой из сумм В'0 + С0;
В\ + С\\ В2 + Сг; ... ; Вп + С„ ...
Но такое число есть одно, именно В + С, следовательно, А + С =^
В + С (основная теорема).
4) ?сл» Л > С я Д>/?, то А + В>С + D. (Монотонность.)
Доказательство
1) Л ^ С е=ф А + В ^ С + В (теорема аддитивности).
2) В >D *=$> В + С > D + С (теорема аддитивности).
3) Из соотношений \)h2)A + B^>C + B>D + C=C + D
(послед, коммутативность).
4) Из последнего следует: Л + В > С + D (транзитивность).
139

Теория операции вычитания
Определение. Разностью двух действительных чисел
В и А называется действительное число X такое, что А + X =
= В, и оно обозначается в виде X = В — А. Дальше дается
доказательство существования и его единственность (предлагается
сделать читателю).
Теория умножения положительных действительных
чисел
Пусть дано: А = 1,11...1...
и Я = 0,Г
Имеем:
Л0 = 1
в0 = о
л0е0 = о
л;=2
Во=1
А'0В'0 = 2
Вх = 0,9
Л1В1 = 0,99
Л,' = 1,2
В,' = 1
л;в; = 1,2
а = 1.н
В2 = 0,98
Л262= 1,0878
1,08
Ля =1,12
В'2 = 0,99
А'2В'2& 1,10
Л3= 1,111...
В3 = 0,988...
Л3В3= 1,09668 да
да 1,097
Лз = 1,112
В'з = 0,989
ЛзВз« 1,099
1-й интервал изменения (А0В0 = 0; Л обо = 2).
2-й интервал изменения (Л^ = 0,99; А\В\= 1,2).
3-й интервал изменения (А2В2 = 1,08; А2В2 = 1,10).
Видим, что каждый следующий интервал вложен в
предшествующий, как показано ниже на числовой оси (рис. 36). Видим, как
быстро сжимаются интервалы, стремясь как бы к перерождению
интервала в одну точку. В этом и заключался смысл основной,
вышедоказанной теоремы.
/ интервал
149

Абсцисса этой точки х = АВ и есть искомое.
D 1 1 98 — 9 10 89 , *
В данном случае х = 1 — ¦ = (правило обращения пе-
у уи у уи
риодической дроби) ?s 1,098.
Рассмотрим в общем виде произведение положительных
действительных чисел А и В.
1) Л больше каждого приближения:
Л0, А1у Л2, Л8, ... , Аю но приближения
Ло, А'и А*2, Л3, ... , An больше Л.
2) В более каждого приближения:
В0, Вь В2, В3, • •• » ^л» но приближения
Во, Ви ^2, Вз, ... , Вп более В (4-е следствие).
Отсюда следует, что каждое из произведений вида
А'о • В'о\ А[ • В[\ Лз • В2; Лз • Вз";...; Ап • В« (1)
более каждого из произведений
Л0 • В0; Л1 • В{; Л2 • В2; Л3 ¦ В3; ... ; Л„ • Вп (2)
(основное свойство рациональных чисел), т. е. множества
рациональных чисел 1) и 2) обладают первым свойством, указанным в
основной теореме. В самом деле,
Л; = Ап+ ^; В'п = Вп + ±, откуда Ап < Ап\ Вп < B'ni
откуда А'пВп -АпВп = ^±Iil + _L < d*±^±l.
Л« + Вп + 1
Отметим, что число п можно сделать менее любого
положительного числа, если подобрать число п надлежащим
образом.
А'+в'+\
В самом деле, пусть < е (р) откуда получаем
10я >
Тогда будем иметь:
К+вп+\
А:.Вп-Ап.Вп< An+^n + l <в(р)<е,
т. е. множества рациональных чисел 1) и 2) обладают свойством,
указанным в основной теореме. Следовательно, существует по
этой теореме одно и только одно действительное положительное
число х, которое не меньше каждого из произведений (2) и не
больше каждого из произведений (1).
141

Итак, имеем: Ап ^ А < Ап
и Вп^В <В„
АпВп < АВ < А'пВ'
(свойство монотонности произведения рациональных чисел).
Следовательно, число АВ не меньше, чем каждое в строке 2)
и не более, чем каждое из чисел в строке 1). А так как таких чисел
может быть только одно (по основной теореме), то х = АВ.
Таким образом, теорема существования и единственности
произведений двух положительных действительных чисел доказана.
Основные свойства умножения (положительных чисел).
1. Коммутативность АВ = В А.
Доказательство
Имеем: АпВп = ВпАп и АпВп = В'пАп (коммутативность во
множестве рациональных чисел) (А н д р о н о в И. К. и Оку-
н е в А. К. «Арифметика рациональных чисел», стр. 248). По
определению и теореме существования, по основной теореме имеем:
число АВ не меньше каждого из произведений А0В0\ АХВХ\ АгВг\
Л3В3; ... ; АпВп и не больше каждого из произведений А^ • Bq,
А\ • В[\ А'2В2\ А'3В'3\ ... ; А'п • В'п> не меньше каждого из
произведений В0А0\ BXAX\ В2А2; В3А3; ... Вп • Ап и не больше каждого из
произведений В'0А'0, В[А[У B2A'V В\А^ ...,В'пА'п.
Такое же число есть единственное по основной теореме,
откуда имеем: АВ = В А.
2, Ассоциативность (АВ) - С = А • (ВС).
Доказательство
1) При всяком п целом неотрицательном имеем: АпВп ^ АВ ^
^ А'пВ'п, Сп ^ С< С\ На этой основе можем записать:
(Апвп) • сп< (ав)с < (Ап вгп) • с;.
Таким же образом имеем при п целом неотрицательном:
^п< Л< Ап\ ВпСп^ВС^ВпСл, откуда имеем:
Ап(ВпСп)^Ап(ВС)^ Ап (В'пСп). В результате имеем:
(АпВп)Сп=Ап (ВпСп)= АпВпСп (ассоциативность во
множестве рац. чисел) (Андронов
И. К. и О к у н е в А. К.
(А'пВ'п)С'п==А'п(В'пС'п)=АпВ'пСп «Арифметика рациональных
чисел», стр. 248).
Следовательно, каждое из чисел (АВ)С и А(ВС) не меньше
каждого из чисел А0В0С0\ А^С^ АгВгСг\ ASB3C3\ ... ; АпВпСп и не
больше каждого из чисел
A'QB'0C'Q\ А[В[С\\ А2В2С2\ А'ЪВЪС^\ ... ; А'п В'п С'п. Множества чисел 1)
и 2) удовлетворяют всем условиям основной теоремы. В самом деле,
142

откуда получаем:
А'ЛСп - AnBnCn = (л„ + ij) (Вя + ±) (Ся + ^ - Л АСЛ =
= Ап+Вп+Сп ЛпВп + В0С0 + СпАп 1
число л можно подобрать, что эта разность будет менее как угодно
малого положительного числа е. Выбирая число р так, чтобы е(р)
было отлично от нуля, можно написать:
л' о'г*' ABC = ^п ~^~ ^п "^" ^п 1 я я "^" n n "^" n w I.
П П П П П П JQ2/1 ~*~ 1Q/1
j_ 4 + д;+с;+лх + в'0с0 + Фо +1 е (v < в
103/г 1С" ^
Откуда для выбора числа п получаем неравенство:
Aq + К+ С0+ А0в'0+ в'0С0+ С'0А'0+ *
10" >
*(Р)
Следовательно, среди чисел множества 1) и 2) можно найти
соответственно два таких числа, что разность между ними будет
меньше как угодно малого положительного числа е. Наконец, среди
чисел множества (1) есть числа m, q, г такие, целые
положительные числа, что Лт, Bq, Сг будут отличны от нуля; выбирая тогда
число t положительное и целое, такое, чтобы было соотношение
t ^ т\ / ^ q\ t^ г, или выбирая наибольшее из чисел m, q, г,
будем иметь число AtBtCt отличное от нуля. Итак, число п
должно удовлетворять двум условиям:
1) n>t и 2) 10» > К + Во+с1+л'Л+в1С0+с'А' + ^
е(р)
Мы доказали, что множества чисел 1) и 2) обладают свойствами,
указанными в основной теореме, а потому существует только одно
число не меньше каждого из чисел множества (1) и не больше
каждого из чисел множества (2), т. е. (АВ) • С = А (ВС), что и
требовалось доказать.
3. Дистрибутивность (А + В) • С = АС + ВС.
Доказательство
1) На основе теоремы сложения имеем:
Ап + Вп < А + В < А'п + В'п, а также имеем: Сп < С < С'п.
Откуда получаем:
(Ап + вп) • сп < (А + в) ¦ с < (А'п + в;) . с;,
с другой стороны, имеем:
143

Ап < A < A'n) Bn < В < B'n ; Cn < С < C'n и на основе тех
же следствий выводим:
АпСп^АС <А'п С'п ;ВпСп^ВС < В'п С'а,
откуда на основании 1-го и 2-го следствий из основных свойств
сложения выводим:
АпСп + ВпСп ^АС + ВС < А'пС'п + В'пС'а%
имеем: (Ап + Вп) • Сп = АпСп + ВпСп\ {А'п + В'п) • С'п =
«= А'пС'п + В'пСп (дистрибутивность во множестве рациональных
чисел) (Андронов И. К., Окунев А. К., стр. 248).
Следовательно, как число (А + В) • С, так и число АС + ВС
не меньше каждого из чисел А0С0 + В0С0\ АХС± + ВхСг\ А2С2 +
+ ВъСь • •• 5 АпСп + ВпСп и не больше каждого из чисел
AqCo+ BqCq] А\С\ + В\С\\ А2В2+ 5гСг; ... ;
К C'n +В'С'
п п ' п п
Каждое из чисел множества (1), очевидно, меньше каждого из чисел
множества (2). Далее, в том и другом множестве найти
соответственно два таких числа, что разность между ними будет менее какого
угодно малого наперед заданного действительного положительного
числа е. В самом деле, пусть р будет такое целое положительное
число е(р), отличное от нуля. Тогда имеем:
(А'пС: + В'пС'п) - (АпСп + ВпСп) = (Ап + ±) (Сп + ±} +
+ (Б«+15=) (с«+й=) - (Л«С"+ВЛ)
An ~f~ Сп j
10" 102*
¦ ВпСя 1 = Ап + Вп + Сп 2
10'* 102Л 10я 102"
л; + в;+2с;+2
< < е (я) < е,
10я
откуда для выбора числа я выводим неравенство:
10я 4+^+2^ + 2
в(Р)
Итак, мы видим, что множества чисел 1) и 2) обладают всеми
свойствами основной теоремы, а в таком случае существует одно и только
одно число, которое не меньше каждого из чисел множества 1) и
не больше каждого из чисел множества 2), т. е. (Л + В) • С =
= АС + ВС, что и требовалось доказать.
4. Мультипликативность. Если А = В, то АС = ВС.
Доказательство
1) Имеем: Ап = Вп\ Д» = Вп (следствие).
144

2) Откуда АпСп = ВпСп; А'п С'п = B'fp'n
(мультипликативность во множестве рациональных чисел) (А н д р о н о в И. К. и
О к у н е в А. К. Арифметика рациональных чисел, стр. 249).
3) По основной теореме умножения число Л С не меньше
каждого из произведений А0С0; АХС^\ АгСг\ ... ; АпСп ... (1)
и не больше каждого из произведений
Ао С0; Аг С± ; Л2 С2; ... ; Ап Сп (2)t
и, следовательно, на основе только что выведенных равенств и
неравенств и следствия из них не меньше каждого из произведений
В0С0; fiiCx; В2С2, ... ВпСп и не больше каждого из произведений
В0'С0'\ BiCi\ В^С%\ ... ; В'п Сп ... , а такое число есть одно (по
основной теореме), одно число ВС, следовательно, АС = ВС.
5. Монотонность. Если Л > 2? и С — положительное
действительное число, то АС > ВС.
Доказательство
1) А > В => Ап > Вп (2-е следствие)
2) Из 1) следует: Ап^В'п + ±.
3) Из 2): АпСп > (В'п + ±"j . Сп = В'пСп + ^ > В^.
4) Из 3): АпСп > Вп Сп.
5) Так как число Л С не меньше АпСп, а число ВС не больше
ВаСп, то, следовательно, будем иметь: АС > ВС.
Теория деления положительных чисел
Определение. Если имеется соотношение АХ = В, где
А и В — данные действительные положительные числа, а X —
неизвестное действительное число, называемое частным, то его
нахождение называется действием деления, а число В — делимым, число
А — делителем.
Теорема. Существует частное и притом единственное при
заданном делителе А, отличном от нуля, и любом делимом В > 0.
Доказательство
1) Конструирование действительных чисел:
а) Возьмем приближение В0 к данному числу В, имеем В0 < В,
где В0 достаточно мало отличается от В.
6) Построим числовую последовательность:
А • 0; А ¦ 1; А • 2; А • 3; ... ; А • В0.
в) Исследуем сконструированную последовательность:
1) она возрастающая, 2) первый ее член А • 0 = 0 < В, а
последний ее член А • BQ > В, 3) следовательно, существует ка-
145

туральное число kb такое, что А • k0 ^ В < А ¦ (&с + 1), 4) разобьем
промежуток от k0 до k0 -f 1 на десять равных промежуточков:
1
й [k°' k°+ io];
M^ + i^ + I]
5-й
6-й
7-й
K + yJ к + -0
йо+10. *о+ш
8.й[,о+1;/го + 1];
«[*,+ !; *, + !];
io-й [*» + ?; Ao+i].
где начало первого Ak0 ^ В, а конец последнего В < Л (fc0 •+- 1)-
Следовательно, существует число k^ такое, что А • (&0+ ~) <* ^ <
Число А^ одно из десяти цифр. Продолжая составлять и далее
таким образом ряды чисел, получим действительное число
^ -1- — + ... + -~ , что короче выразим так: k0, kx k2 къ... kn
+ ¦
ю 102
10я
Обозначим это число через X. Предыдущие неравенства
записываются Л • Хп < В < А • Х'п .
А так как Ап < А < А'п , то и подавно Ап • Хп ^ В < А'п • Х'п .
По основной теореме и теории умножения есть только одно число,
которое не меньше, чем Ап • Хп, и не больше, чем А'п • Х'п , при
всяком л, а именно Л • X, а потому В = АХ.
Основное свойство множества действительных чисел
Определение. Числовым полем называется множество
чисел, в котором над всеми числами возможны действия: сложение,
вычитание, умножение, деление, причем результаты действий над
ними находятся в том же множестве.
146

Теорема. Множество действительных чисел образует
числовое поле.
Доказательство
1) D± + D2 = D3 (теорема существования суммы).
2) Dx — D2 = D^ (теорема существования разности).
3) Dx • D2 = Db (теорема существования произведения).
4) D1\ D2 = DQ, если D2 ф 0 (теорема существования
частного).
Дальнейшее изложение опустим (легко обобщается умножение и
деление от положительных действительных чисел ко всем
действительным числам).
Глава IX.
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПРЕДЛОЖЕННАЯ
КАНТОРОМ
§ 1. Жизнь и творчество Георга Кантора
Георг Кантор (1845—1918) — сын немецкого торговца,
пребывавшего в Петербурге, где и родился Георг. Семья Кантора
уезжает в Германию, где Георг получает среднее образование.
Начав высшее образование в Швейцарии, Георг Кантор перешел
в Берлинский университет, который окончил в 1867 г. Его
учителями были известные профессора: Эрнест К у м м е р (1810—1893),
Леопольд Кронекер (1823—1891) и Карл Вейерштрасс.
В немецком городе Галле Кантор в 1869 г. защитил диссертацию
и стал преподавать математику в университете Галле, сперва в
качестве приват-доцента, а с 1872 г. в качестве профессора.
Наиболее значительные открытия в математике делаются
Кантором в 1871—1884 гг. (понятие множества, производного
множества, теория иррационального числа, введение фундаментальной
последовательности, непрерывные множества и аксиома
непрерывности). В 1874 г. им вводятся понятия счетного и несчетного
множеств и доказывается счетность множества алгебраических чисел
и несчетность множества всех действительных чисел, вводится
понятие мощности множества с рассмотрением их видов; дается
определение бесконечного множества, как множества эквивалентного
своей правильной части.
В 1882 г. выходит работа Кантора «Основы общего учения о
многообразиях», где в предисловии читаем: «Я не могу не
упомянуть, что когда я писал его, то я имел, главным образом, в виду
двоякого рода читателей — с одной стороны, философов, которые
следили за развитием математики вплоть до новейшего времени,
147

а с другой, математиков, которые знакомы с важнейшими фактами
древней и новой философии. Я отлично знаю, что рассматриваемая
мною тема была во все времена объектом самых различных мнений
и толкований и что ни математики, ни философы не пришли здесь
к полному согласию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу
сказать последнее слово в столь трудном, сложном и
всеобъемлющем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как
многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным
убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не
поколебались, но лишь укрепились, то я счел своей обязанностью
систематизировать их и опубликовать. Я могу только выразить
пожелание, чтобы мне удалось при этом найти и выразить
объективную истину, ради достижения которой я и работал».
В § 1 Изложения читаем: «При этом я нисколько не скрываю от
себя, что, решаясь на это, я вступаю в известный конфликт с
широко распространенными взглядами на математическую
бесконечность и с часто встречающимися воззрениями на сущность числовой
величины».
Действительно, современники не сразу оценили открытия
Кантора. Особенно резкую оппозицию против идей Кантора занял
Леопольд Кронекер.
В 1885 г. выходит работа Кантора «О различных точках
зрения на актуально-бесконечное» (11 стр.), напечатанная в
философском журнале «Zeitschrift fur Philosophie», т. 88, 1886 г., где
приводятся доводы на все возражения, выдвигаемые против актуально-
бесконечных чисел.
В 1887 г. Г. Кантор выпускает труд «К учению о трансфинитном
числе» (92 стр.), который вызвал наибольший спор.
В конце 80-х годов Кантор душевно заболевает и ослабляет
свои занятия математикой, увлекаясь спором о личности автора
шекспировских сочинений, приписывая авторство философу Фр.
Бэкону (1561—1626). В математике занимался проблемой
континуума безрезультатно и участвовал в создании немецкого
Математического общества, являясь его первым председателем.
Идеи Кантора оказали огромное влияние на развитие новой,
«современной математики».
73 лет Кантор умирает в г. Галле. Там на центральном
кладбище покоится прах его, а в библиотеках мира сохраняются
бессмертные идеи — открытия Георга Кантора.
§ 2. Теория действительных чисел Кантора как фундаментальных
последовательностей
1. Понятие последовательности рациональных чисел
Определение. Последовательностью рациональных чисел
называется бесконечное множество рациональных чисел, обладающих
свойствами'. 1) когда известно, как же рациональные числа входят
(и не входят) в данное множество, причем каждое это число называет-
на

ся элементом последовательности; 2) где относительно каждого
элемента можно указать, какой из них предшествует или следует,
а также известен начальный элемент, у которого нет
предшествующего элемента.
Примеры последовательностей:
п !• 1- 1- L . _1. 1
2 3 4 5 я я+1
^ j О J О) О) О) ••• ) О •••
2. Понятие о последовательности, имеющей рациональный
предел
а) На частном примере:
1- J-- 1- -I- • 1- *
2 3 4 5 я я + 1
имеет предел 0 (рациональное число), так как имеем следующие
разности между пределом единицей и элементами по модулю:
i-i
2
1-1
i-iUi
4 | 4'
| 1 _ 0,001 | = 0,999; ... | 1 — 0,000001 | = 0,999999 < 1.
Видим, разность возрастает, но возрастание затухает так, что
становится как угодно близкой к единице, называемой пределом
последовательности.
б) Определение. Рациональным пределом
последовательности рациональных чисел г1у гг, г3, г4, ... , гп, ... называется
рациональное число А, обладающее свойством, что разность между
постоянным числом А и переменным элементом rL делается и
остается по модулю менее любого положительного числа, обозначаемого
в виде е, что записывается двояко:
1) \h-rt\ <е,
2) lim гп = А.
Пример. Последовательность 5; 5; 5; ... ; 5; ... имеет
предел, равный пяти, так как (5—5) = 0 <е.
Теорема 1. Одна и та же последовательность не может
иметь двух различных пределов.
Доказательство (от противного)
1) Допустим, что существует последовательность
рациональных чисел: а1у аъ а3, ... , ап, ... , имеющая два предела Ах и А2,
где hx Ф А2.
2) По определению предела запишем:
IК — ап I < е или IК — ап! < у»
\К — ял1<е или |А2 — ап\ < j.
149

3) Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме
модулей, применим: | (hx — ап) + (ап — h2) \ < | hx — ап \ + \ h2 —
4) Откуда \hx — h2\ <е (транзитивность).
5) е может быть взято произвольно и, в частности, взято
меньше положительного е < I hx — Я2 | . Получим два противоречивых
соотношения 4) и 5).
6) Следовательно, допущение ложно, тем самым теорема
доказана.
Теорема 2. Если имеются две последовательности:
Он аъ «з, ••• , ял, — 0)
h, b2, b3, ... , bn, ... (2)
с соответствующими рациональными пределами hx и h2, то для
равенства пределов hx=h2 необходимо и достаточно, чтобы для
произвольного рационального е>0 можно было указать такое
натуральное число т, что \ап — Ьп\ <е для всех п> т.
Доказательство
1) | ап — hx | < -е, где п > т\
I h2 — Ъп | <—е, где п>т (определение предела).
2) Складывая оба соотношения, получим:
leu — К I + |Л2 — Ъп | <е.
3) Так как | (ап - }Ч) + (fta - Ьп) | < | ап - hx \ + \ h2 - bn\
(свойство модуля), то | (ап — hx)+ (h2 — bn) | <е (транзитивность)
или | (ап — bn) + (h2 — hx) | <8.
4) Если hx = h2, то \an — bn\ <8 или \Ьп — ап\ <е.
5) Из последнего: —е <Ьп — ап <е;
из 1): — -е < ап — hx < -8;
и —-г <h2 — Ьп<-г\
сложив, получаем: —2е <h2 — hx < 2е г=Ф h2 — hx = 0.
3. Фундаментальная последовательность рациональных чисел.
Определение. Фундаментальной последовательностью
рациональных чисел аг, а2, а3, ... , ап, ... называется
последовательность, обладающая свойством, что для любого произвольно заданного
положительного рационального числа г можно указать номер
элемента этой последовательности, начиная с которого все
последующие элементы будут попарно отличаться друг от друга по модулю
меньше чем на е, иначе: существует такое натуральное число т,
что | ак — а^ | < е, где X > т, и \i > т и где Ji и \i тоже
натуральные числа.
150

Пример.
Пусть дана последовательность аи а2, а8, ... , ал, ... , имеющая
предел h\ должно существовать натуральное число т, когда для
данного положительного числа е > 0.
Имеем:
\h~4\ < \*\ 1Л —^ I <ie-
откуда следует, что | ак— а | <е, где А, > т и \i > m, т. е.
эта последовательность, имеющая рациональный предел, всегда
есть фундаментальная последовательность.
Теорема. Существуют фундаментальные
последовательности, не имеющие рационального предела.
Доказательство
1) Возьмем последовательность:
a =2 + -L +-L + 1 + ... +J-.
п 2! 3! 41 п\
2) Исследуем разность общих элементов этой
последовательности:
Ял+* — ап = —^l1 + -тт +
(д+1)Ц п + 2 (/1 + 2)(л + 3)
1
(я + 2)(я + 3)
... (я + /е) J'
3) Чтобы упростить предшествующее, рассмотрим увеличенные
слагаемые:
_L_<_L. 1 с ' ! <
л + 2 я + 1' (n + 2)(n + 3) (п+ 1)а' "" '(n + 3)(rt + 3)...(n+fe)
(я + I)*"1
4) Возьмем в фигурных скобках увеличенную сумму из
предшествующей строки, получим:
I т» + 1 НО1 ИЧ! (»+1)*'1 /
5) Соотношение 2) запишется после подстановки из предшест
вующей строки так:
л (я + 1)! I (я + I)*'1 ) я • /г!
151

6) Зная, что an+h> ап, предшествующее на основе
транзитивности «меньше» запишем иначе:
О <*«+* — ап<—Ц--
7) Подберем п такие, чтобы < е, что всегда возмож-
п ¦ п\
1 ^
но, так как— < п.
8
8) 0 < a n+ft—ап <е (по транзитивности понятия «меньше»,
а это значит, что рассматриваемая последовательность
фундаментальная (по определению последней).
9) Докажем, что эта фундаментальная последовательность не
может иметь рационального предела, методом от противного.
1. Допустим, что lim ап = — — рациональное число, где р и
п -> оо q
q — натуральные взаимно-простые числа.
2. Выпишем 6-е соотношение: 0 < an+h — а„< .
3. Прибавляя по ап к каждой из трех частей неравенства,
будем иметь:
1
<*п<ап+к<<*п +
п • я!
4. Учитывая 1-е соотношение, последнее запишем иначе:
ап < Т < ап+и < ап +
q л™ п п-п\
5. Последнее запишем короче:
п 1
ап <; — < ап -}- (транзитивность).
q п • я!
6. Примем п = q, тогда последнее запишем иначе:
в*<т<а«+ '
я q я-Ф
7. Умножим все три части неравенства на q • q\
Имеем:
8. Исследуем полученное:
152

= натуральному числу, так как все слагаемые натуральные числа.
б) р • q\ — натуральное число;
в) anq\ q + \ — натуральное число, на 1 большее чем ап • q\ q\
г) имеем: нат. ч. 1 < нат. ч. (2) < нат. ч. 2 + 1.
Получили противоречивое соотношение: между двумя
натуральными числами, различающимися на единицу, заключено
натуральное число. Получилось противоречие, которое могло возникнуть от
не доказанного вначале допущения, так как вся цепь рассуждения
строго доказана. А потому обязаны отвергнуть допущение, тем
самым доказано, что lim = — не может быть.
л + оо q
Итак, существует два вида фундаментальных
последовательностей:
1) имеющие рациональный предел,
2) имеющие нерациональный предел.
Понятие действительного числа и его видов по Кантору
Определение. Действительным числом называется
всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел.
Классификация множества действительных чисел:
Если все множество действительных чисел интерпретировать
множеством всех точек в круге радиуса 0D, а все множество
рациональных чисел интерпретировать множеством всех точек в круге
радиуса OR, то все множество точек в кольце шириной 0D — OR
передает множество всех иррациональных точек. Следовательно,
множество действительных чисел состоит из множества
рациональных и множества иррациональных чисел.
153

БИБЛИОГРАФИЯ
I. Классики об основах арифметики.
1. Peano G. Arithmetices principia, nova methodo exposita 1889 г.
2. Grassmann, Hermann. Lehrbuch der Arithmetik. В., 1861.
3. Schrdder, Ernst. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Bd. I.
Lpz., 1873.
4. S t о 1 z, Otto. Vorlesungen uber allgemeine Arithmetik, Bd. I—II.
Lpz., 1885.
5. H e 1 m h о 1 t z, Hermann. Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd.
1—3. Lpz., 1882—1895.
6. H e 1 m h о 1 t z, Hermann. Vortrage und Reden, Bd. 1—2.
Braunschweig, 1884.
7. S t о 1 z O. und Gmeiner J. A. Theoretische Arithmetik. Lpz., 1900.
(Имеются также изд. 1902, 1911, 1915 гг.)
8. Kronecker, Leopold. Werke. Bd. 1—5. Lpz., 1895—1930. См.
также перевод на русск. яз. работы «Понятие о числе». Казань, 1906.
9. D е d е k i n d, Richard. Gesammelte mathematische Werke, Bde 1—3,
Braunschweig, 1930—1932.
См. также ел. переводы на русск. яз. его работ:
а) «Что такое числа и для чего они служат?» Казань, 1906.
б) «Непрерывность и иррациональные числа». Там же. Имеются и
другие издания этих работ на русск. яз.
10. Cantor, Georg. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts. В., 1932.
Имеются переводы след. его работ на русск. яз.
а) «Основы общего учения о множествах».
б) «О различных точках зрения на актуально бесконечное».
в) «К учению о трансфинитном», Петербург, 1914.
11. W е i е г s t г a s s, Karl. Mathematische Werke. Bd. 1—6, В., 1899—
1915. Учение о числе Вейерштрасса характеризуется в след. работах на нем.
яз.: D a n t s с h е г, Victor von. Vorlesungen uber die Weierstrassische Theo-
rie der irrationalen Zahlen. Lpz., 1908, На русск. языке: а) Коссак E.
Основы арифметики (пер. с нем.). б) Пирожков М. В, Арифметика
иррациональных чисел (по Вейерштрассу). Спб., 1898.
12. Н i 1 b е г t, David. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1—3. В. 1932-г-
1935.
Имеются переводы на русск. яз. его работ:
а) «Понятие о числе». Казань, 1906.
б) «Основы теоретической логики». М., 1947.
13. Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd. I; Arithmetik
und Algebra». Lpz., 1898—1904.
14. Encyclopedie des sciences mathematiques. P. — Lpz., 1908.
Имеется русск. пер. статьи из этого источника: Таннери, Жюль и Мольк,
«Основные принципы арифметики». Петербург, 1913.
15. Weber, Heinrich und Wellstein J. «Encyklopadie der Elementarmathe-
matik. В—d. I—III., Lpz., 1903—1907. Перевод на русск. яз. неоднократно
переиздавался, напр.: Вебер Г. и Вельштейн И.
Энциклопедия элементарной математики. Т. I., Госиздат. М.—Л., 1927. (1-е изд.
Одесса, 1907); Т. II. Одесса, 1909, 1910 и др.
154

13. К 1 e i n, F e 1 i x. EJenijntarmdtheraatik vom hoheren Standpunkt
aus, 1908—1909.
Имеется перевод на русск. яз.: Ф. Клейн. Элементарная математика
сточки зрения высшей. Ч. I. Одесса, 1902; Ч. П. М., 1933, 1934.
17. Enciclopedia della matematiche Elementari. Milano, 1954.
18. Энциклопедия элементарной математики. Кн. I. Арифметика. Изд.
АПН РСФСР, 1951. В ней статья Н. В. Проскурякова «Теоретические
основы арифметики».
19 Ж е г а л к и н И. И. Трансфинитные числа. М., 1907.
20. X и н ч и н А. Я- Цепные дроби. 1935 и др. изд.
21. К а г а н В. Ф. Теоретические основы математики. Изд. Гранат,
1927.
22. С т и л ь т ь е с Т. И. Исследование о непрерывных дробях. М.,
1936.
23. X а у с д о р ф Ф. Теория множеств. Пер. с нем. 1937.
24. Александров П. С. и Колмогоров А. Н. Введение
в теорию функций действительного переменного. М., 1940.
25. Л у з и н Н. Н. Теория функций действительного переменного.
М., 1940.
26. Г е к к е Э. Лекции по теории алгебраических чисел. Пер с нем.,
1940.
27. В е й л ь, Герман. Алгебраическая теория чисел. Пер. с нем.
М., 1947.
28. А л е к с а н д р о в П. С. Введение в общую теорию множеств и
функций. М., 1948.
29. Г е л ь ф а н д А. О. Трансцендентные и алгебраические числа,
1952.
30. К у р а н т Р. и Р о б и н с. Г. Что такое математика. Пер. на
русск. яз., 1967.
31. С т о л л Л. Р. Множества, логика и аксиоматическая логика.
Пер. на русск. яз., 1967.
32. Дэвенпорт. Г. Высшая арифметика. Пер. на русск. яз., 1965.
33. Л ю с ь е н, Феликс. Элементарная математика в современном
изложении. Пер. на русск. яз., М., 1967.
II. Учебные пособия по теоретической арифметике
1. Травчетов И. М. Иррациональные числа и длина окружности
Петербург, 1895.
2. В о л ко в М. Эволюция понятия о числе. Петербург, 1899.
3. Селиванов Д. Бесконечные десятичные дроби и
иррациональные числа. Петербург, 1907.
4. Симонов А. Я- Действия над несоизмеримыми числами. Омск,
1908.
5. В а с и л ь е в А. В. Введение в анализ, вып. I. Учение о целых
положительных числах. Казань, 1902 и др. изд. Введение в анализ, вып. II.
Обобщение понятия числа. Казань, 1906 и др. изд.
6. ПшеборскийА. Г. Конспект лекций по основаниям
арифметики. Литогр. издание, 1908 г. и 2-е изд. 1910 г. Харьков.
7. Б у к р е е в Б. Я- Учение об иррациональных числах с точки
зрения Г. Кантора и Э. Гейне. Киев, 1911.
8. F а г b е г С. «Arithmetik», Berlin, 1910. Имеется пер. на русск. яз.
Ф е р б е р. Арифметика для студентов. М., 1914, 2-е изд. Арифметика —
раавитие понятия числа, 1925.
9. Jules Tannery «Lesons d'Arithmetique theorique et practique». Paris.
1899.
Имеется русский пер. Жюль Таннери «Курс теоретической и
практической арифметики». Москва, 1913.
155

10. К и с е л е в А. П. «Иррациональные числа, рассматриваемые как
бесконечные непериодические дроби». Петербург, 1923.
11. К а ш и н Н. В. Основания математического анализа. Ч. I.
«Учение о числе». Л., 1926.
12. К о м а р о в В. Н. Теоретические основы арифметики и алгебры.
Л., 1929.
13. К р и ж а н i с ь к и й. СЕ. Теоретичю основи аритметики.
Харьков, 1931.
14. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М., 1938; 2-е изд.,
1939.
15. Б е л о н о с в к и й П. Д. Основы теоретической арифметики, 1938.
16. М а р к у ш е в и ч А. И. Действительные числа и основные
принципы теории пределов. М., 1948.
17. ГребенчаМ. К. Арифметика для учительских институтов.
1947.
18. П о г р е б ы с ь к и й И. Б. Арифметика. Киев, 1953.
19. Б р а д и с В. М. Теоретическая арифметика, 1954.
20. Б а л т а г а В. К- Комплексные числа. Харьков, 1959.
21. Б а р к о в И. Я- Основания арифметики действительных чисел.
Челябинск, 1960.
22. Демидов И. Т. Основания арифметики. 1963.
23. А н д р о н о в И. К- и О к у н е в А. К- Арифметика
рациональных чисел. М., 1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть I
МАТЕМАТИКА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Глава Т. Вычислительная культура до XIX в. 4
Глава II. Революция, происшедшая в математике в1826—1858 гг. 11
Глава III. Теория действительных чисел по Дедекинду .... 13
Глава. IV. Непрерывное множество и его свойства 27
Глава V. Арифметические действия над действительными числами 32
Глава VI. Возведение в степень 44
Глава VII. Десятичные ряды или бесконечные дроби 47
Глава VIII. Извлечение корня 50
Глава IX. Обобщение понятия степени — степень с любым по-
казателем 55
Глава X. Теория логарифмирования в множестве
положительных действительных чисел при положительном
основании 57
Глава XI. Свойства множества действительных чисел .... 61
Г л а в а XII. Алгебраические действительные числа 64
Глава XIII. Бесконечные цепные дроби 68
Глава XIV. Бесконечные цепные периодические дроби .... 73
Глава XV. Трансцендентные (неалгебраические) числа .... 80
Часть II
МАТЕМАТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Глава Т. Возникновение и развитие понятия комплексного
(объединенного) числа . . 91
Глава II. Основные понятия комплексных чисел и их
интерпретация Ь)8
157

Глава III. Операции над комплексными числами 102
Глава IV. Степень с комплексным показателем и действительным
основанием 109
Глава V. Логарифмическая функция над полем действительных
и комплексных чисел 112
Глава VI. Алгебраические и трансцендентные комплексные
числа 116
Глава VII. Идея развития понятия числа и операций над
числами 120
Глава VIII. Теория действительных чисел, предложенная Вейер-
штрассом 126
Глава IX. Теория действительных чисел, предложенная
Кантором 147

Иван Козьмич Андронов
МАТЕМАТИКА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
И КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Редактор Г. С. Уманский
Технические редакторы Г. Л. Татура,
и М. И. Смирнова
Корректор Н. М. Данковцева

Сдано в набор 29/XI 1974 г. Подписано к печа*
ти 6/V 1975 г. 60X90Vie. Бумага тип. № 1.
Печ. л. 10. Уч-изд. л. 8,54. Тираж 100 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета Совета
Министров РСФСР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома
Г осударственного комитета Совета Министров РСФСР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Заказ № 228.
Цена 23 к.